МАТЕМАТИКА — 1986 г.
Билет № 1
1. Решить уравнение
V bg | -— E.т) • log5* = —2.
2. Точка D лежит на стороне СВ прямоугольного треу-
треугольника ABC (С=90°), причем |Л5|=5, лЗс=агссоз
• , \DB\= 41 10 . Найти площадь треугольника ABC.
У ю 3
3. Решить систему уравнений
| sin х = sin Чу,
\ 2 sin Dх + 8г/) sin (Зх+Юу)+5 cos Gx + 2y)=4.
4. Длина высоты правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (S — вершина) в 1^3 раз больше длины ребра ос-
основания.
Точка Е — середина апофемы грани ASB. Найти угол
между прямой DE и плоскостью ASC.
5. Для каждого числа р на координатной плоскости рас-
рассматривается множество М всех точек, координаты (а; Ь)
которых удовлетворяют условиям: а>0, Ь>0, а + Ь>\,
Зар<Ьр + 2р2 и таковы, что система уравнений
рх2 + 2ху + у2 = Ь2,
Зх + у = а
не имеет решений.
а) Найти площадь многоугольника, внутренней областью
которого является множество М, если р = .
О
б) Найти все действительные р, при которых множество
-М является внутренней областью многоугольника.

Билет № 2
1. Решить уравнение
3 log3x х = 2 log9x x2.
2. Точка D лежит на стороне ВС равнобедренного треу-
треугольника ABC (\АВ | = \ВС\), причем \CD\= —\CB\,
4
АСВ =arccos ]/-|- , \AD\= -p
Найти площадь треугольника ЛВС.
3. Решить систему уравнений
cos Зх = cos г/,
2 cos (9* + Зг/) + 9sin A5x—2y) = 4.
4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСОА\В\Сф\.
Точки Е и G — середины отрезков А\В\ и DC\ соответствен-
соответственно, точка F лежит на отрезке BE, причем 31 BF \ = \ BE \. Най-
Найти угол между прямой FG и плоскостью АА\Си если извеет-
но, что \AB\ = \AD\, \AAi\=-\/J.\AB\.
У 3
5. Для каждого числа р на координатной плоскости рас-
рассматривается множество М всех точек, координаты (а; Ь)
которых удовлетворяют условиям: а>0, Ь>0, а + 2Ь<1,
6Ь>2а + р, и таковы, что система уравнений
Ах2 + Аху + ру2 = а2,
х + у = b
имеет два различных решения.
а) Найти площадь многоугольника, внутренней областью
которого является множество М, если р = — -— .
8
б) Найти все действительные р, при которых множество
М является внутренней областью многоугольника.

Билет № 3
1. Решить уравнение
У
log,6 _ {7х3) • log7x = —6.
Ух
2. Точка D лежит на стороне АС прямоугольного тре-
треугольника ABC (С=90°), причем |Л5|=6, 5DC=arccos 7T=l
\AD\=yr 6. Найти площадь треугольника ABC.
3. Решить систему уравнений
( sin Ах = sin у,
{ 3sin A2х + 3у) sin Dх + 5у) + 10 cos (\6х + 2у) = 6.
4. Длина высоты правильной треугольной пирамиды.
5
SABC (S — вершина) в ,—раз больше длины ребра осно-
V 6
вания. Точка D — середина апофемы грани ASC. Найти угол
между прямой BD и плоскостью, проходящей через ребро SC
и середину ребра АВ.
5. Для каждого числа р на координатной плоскости рас-
рассматривается множество М всех точек, координаты (а; Ь)
которых удовлетворяют условиям: о>0, Ь>0, а + Ь> —
6ар<ЗЬр + р2 и таковы, что система уравнений
рх2 — 2ху + у2 = Ь2,
2х + у = а.
не имеет решений.
а) Найти площадь многоугольника, внутренней об-
областью которого является множество М, если р = 4.
б) Найти все действительные, р, при которых множество
М является внутренней областью многоугольника.

Билет № 4
1. Решить уравнение
2 log4x*3 =
2. Точка D лежит на стороне АВ равнобедренного тре-
треугольника ABC (|Л?| = | ВСI), причем | AD\= ~\AB\, {CD | =
= 7, 5ЛС= arccos |/ ~- Найти площадь треугольника
3. Решить систему уравнений
cos х = cos 5г/,
6 cos {2х + Юг/) + 20 sin Fх — 20у) = 9.
4. Длина высоты правильной треугольной призмы
АВСА\В{С\ в 4 раза больше длины ребра основания. Точка
D — середина ребра А\В\, точки Е и F расположены на от-
отрезках AD и СВ\ соответственно, причем \АЕ\=—I^^M,
\CF\ = — |CBi|- Найти угол между прямой EF и плоскостью,
4
проходящей через ребро ВВ\ и середину ребра АС.
5. Для каждого числа р на координатной плоскости
рассматривается множество М всех точек, координаты (а; Ь)
которых удовлетворяют условиям: а > 0, Ь > 0, а + Ь < 2,
2b>a + 3p и таковы, что система уравнений
х2 — 2ху + ру2 = а2,
х — 2у = b
имеет два различных решения-
а) Найти площадь многоугольника, внутренней областью
которого является множество М, если р = .
б) Найти все действительные р, при которых множество
М является внутренней областью многоугольника.

Билет № 5
1. На координатной плоскости даны точка А D; 2) и пря-
прямая у = —2х + 5. Найти координаты точек, лежащих на этой
прямой и удаленных от точки А на расстояние 5.
2. Решить неравенство
C— IOjc—8х2) lgfl— Wo.
3. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
уравнение
2cos 2х + 2а sin x + а—1=0
имеет единственное решение на интервале ,0 .
4. Трапеция AEFG {EF || AG) расположена в квадрате
ABCD со стороной 14 так, что точки Е, F и G лежат на сто-
сторонах АВ, ВС и CD соответственно. Диагонали AF и EG
перпендикулярны, |?О| = ЮУ2. Найти периметр трапеции,
5. Длина ребра основания правильной четырехугольной
пирамиды SABCD (S — вершина) равна 10. Точки Е и F,
расположены на ребрах DC и ВС соответственно, причем
СЕ\=6, |CF|=9. Известно, что для данной пирамиды су-
существует единственный конус, вершина которого совпадает
с точкой Е, центр основания лежит на прямой SA, а отре-
отрезок EF является одной из образующих. Найти объем этого
конуса.

Билет № 6
1. На координатной плоскости расположены точки А C;
1) и В (—2; 4). Найти координаты точки С, лежащей на
биссектрисе I и III координатных углов и одинаково уда-
удаленной от точек А и В.
2. Решить неравенство
1/ 9*+ —— • (9—2
f 2x+\
3. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
уравнение
A— a)tg2x — + 1 + За=0
X
имеет более одного решения на интервале О, -^
4. Длина стороны АВ параллелограмма ABCD равна 2,
BAD=45°. Точки Е и F расположены на диагонали BD, при-
причем AEB=CFD=90°, \BF\ = ~\BE\. Найти площадь па-
параллелограмма.
5. Длина ребра основания правильной треугольной пи-
пирамиды SABC (S — вершина) равна 8. Точки К и L распо-
расположены на ребрах А В и АС соответственно, причем |Л/С| =
=7, \AL\=4. Известно, что для данной пирамиды сущест-
существует единственный конус, вершина которого совпадает с точ-
точкой К, центр основания лежит на прямой SC, а отрезок KL
является одной из образующих. Найти объем этого конуса.

Билет № 7
1. На координатной плоскости даны точка А (—б; 5)
и прямая у = 2х + 2. Найти координаты точек, лежащих на
этой прямой и удаленных от точки А на расстояние 5У5.
2. Решить неравенство
E — 7х — бх2) lg (' 1 ) *S0.
V 4(x2 + 2x + 2) /
3. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
уравнение
4cos 2х—Dа—2) sin х—а—3=0
имеет единственное решение на интервале ,0
4. Трапеция AEFG (EF\\AG) расположена в квадрате
ABCD со стороной 3 так, что точки Е, F и G лежат на сто-
сторонах АВ, ВС и CD соответственно. Диагонали AF и EG
трапеции перпендикулярны, |5.F|=1. Найти периметр тра-
трапеции.
5. Длина ребра основания правильной четырехугольной
пирамиды SABCD (S — вершина) равна 4. Точки Е и F рас-
расположены на ребрах СВ и AD соответственно, причем
| СЕ | =3, |Л/7| = 2. Известно, что для данной пирамиды су-
существует единственный конус, вершина которого совпадает
с точкой F, центр основания лежит на прямой SD, а отрезок
EF является одной из образующих. Найти объем этого ко-
конуса.

Билет № 8
1. На координатной плоскости расположены точки А
(—1; —2) и В B; 5). Найти координаты точки С, лежащей-
на биссектрисе II и IV координатных углов и одинаково
удаленной от точек А и В.
2. Решить неравенство
Г±^. (9-16х»M>0.
3. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
уравнение
(a+\)tg2x— .^±i— 7a+l=0
COS X
1 л Г
имеет более одного решения на интервале О.~ •
4. Длина стороны АВ параллелограмма ABCD равна У5,
1
BAD==arccos~z. Точки Е я F расположены на диагонали
V5
причем AEB=CFD=90°, \BF\=3\BE\. Найти площадь
параллелограмма.
5. Длина ребра основания правильной треугольной пира-
пирамиды SABC (S — вершина) равна 3. Точки К. и L располо-
жены на ребрах АС и ВС соответственно, причем \СК.\= —,
|BL|=1. Известно, что для данной пирамиды существует
единственный конус, вершина которого совпадает с точкой
К, центр основания лежит на прямой SB, а отрезок KL яв-
является одной из образующих. Найти объем этого конуса.

Билет № 9
1. Решить уравнение
8(etgx-tg.v)
CtgX + tgX
2. Решить уравнение
3 1og0-12S U- + 3)
log? E-х) ' log2 E-х)
3. Числа Mi, «2, Щ, «4, сумма которых равна 5, являются
первыми четырьмя членами геометрической прогрессии,
8
а числа и2, щ, —щ являются последовательными членами
арифметической прогрессии. Найти первый член и знамена-
знаменатель указанной геометрической прогрессии.
4. В треугольнике ABC \ АС\ = — , | СВ | = 1, ЛС?=90°.
При повороте треугольника вокруг точки С точки А и В пе-
переходят в точки А' и В' соответственно, причем отрезки CAf
и АВ пересекаются в точке D, отрезки А'В' и АВ — в точ-
точке Е, а отрезки А'В' и ВС — в точке F. Найти угол пово-
поворота и площадь четырехугольника CDEF, если известно, что
около него можно описать окружность.
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
(S — вершина) длина ребра основания равна 2УЗ, а длина
высоты пирамиды SH равна 6. Через точку Е перпендику-
перпендикулярно к прямой AS проходит плоскость, которая пересекает
отрезок SH в точке 0. Точки Р и Q расположены на прямых
AS и СЕ соответственно так, что прямая PQ касается сферы
радиуса— с центром в точке 0. Найти наименьшую длину
отрезка PQ.
2-И9

Билет № 10
1. Решить уравнение
sin2 2x
1+ctg2* 2 3
2. Решить уравнение
(l + log53)log15x=log528 + log0i2 (*—3).
3. Сумма первых 12 членов геометрической прогрессии
равна 9, а сумма следующих 6 членов равна 64. Найти пер-
первый член и знаменатель прогрессии.
4. Точка Е лежит на стороне CD равнобедренной трапе-
трапеции А В CD (BC\\AD), причем \DE\=* — \DC\, \ЛЕ\ =
— j BE j =5У2, | АВ | =10. Найти углы и площадь трапеции.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S —
вершина) длина ребра основания равна 4]'2, а длина высо-
высоты пирамиды SH равна 8. SE — апофема грани ASD. Че-
Через точку С перпендикулярно к прямой SE проходит плос-
плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке 0. Точки Р и
Q расположены на прямых SE и СВ соответственно так, что
прямая PQ касается сферы радиуса У2 с центром в точке 0.
Найти наименьшую длину отрезка PQ.
10

Билет № 11
1. Решить уравнение
=4—cos 4x.
tg*+ctg;c
2. Решить уравнение
2 log cot (*-2)
log3 F-*) logs F-л-)
3. Числа щ, «2, Ш, , «5, сумма которых равна 62, явля-
являются первыми пятью членами геометрической прогрессии,
а числа и3, —«4, щ являются последовательными членами
4
арифметической прогрессии. Найти первый член и знамена-
знаменатель указанной геометрической прогрессии.
4. В треугольнике ABC \AB\=\, |ВС|=2, ЛВС=12С>;.
При повороте треугольника вокруг точки В точки А и С пе-
переходят в точки А' и С соответственно, причем А'В и АС
пересекаются в точке D, отрезки А'С и АС — в точке Е.
а отрезки А'С и ВС — в точке F. Найти угол поворота и
площадь четырехугольника BDEF, если известно, что око-
около него можно описать окружность.
5. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вер-
вершина) длина ребра основания равна 6, а длина высоты
пирамиды SH равна У15. Через точку В перпендикулярно
к прямой AS проходит плоскость, которая пересекает отре-
отрезок SH в точке 0. Точки Р и Q расположены на прямых
AS и СВ соответственно так, что прямая PQ касается сфе-
сферы радиуса 1/2. с центром в точке 0. Найти наименьшую
V 5
длину отрезка PQ.

Билет № 12
1. Решить уравнение
1 + tg2 лг 4 10
2. Решить уравнение
A—lg 5) log2x=lgl2 + 21ogo,oi (*— 1).
3. Сумма первых 8 членов геометрической прогрессии
равна — , а сумма следующих 4 членов равна —.
2 8
Найти первый член и знаменатель прогрессии.
4. Точка Е лежит на стороне АВ равнобедренной тра-
трапеции ABCD (BC\\AD), причем |Л?|=— \АВ\, \DE\ =
б
= | СЕ |=5, |ЛВ|=2У5. Найти углы и площадь трапеции.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S —
вершина) длина ребра основания равна 8УЗ, а длина высо-
высоты пирамиды SH равна 8. Точки Е и F— середины ребер
АВ и AD соответственно. Через точку F перпендикулярно к
прямой SC проходит плоскость, пересекающая высоту SH в
точке 0. Точки Р и Q расположены на прямых SC и EF со-
соответственно так, что прямая PQ касается сферы радиуса
— с центром в точке 0.
Найти наименьшую длину отрезка PQ.
12

ФИЗИКА — 1986 г.
Билет № 1
1. Два мяча брошены одновременно навстречу друг дру-
другу с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх с по-
поверхности земли, другой вертикально вниз с высоты Я.
Найти эти скорости, если известно, что к моменту встречи
один из мячей пролетел путь 7з Н. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
PULC i
2. Моль идеального газа из начального состояния 1 с
температурой 100 К расширяясь через турбину в пустой со-
Рис Z
13

суд совершает некоторую работу и переходит в состояние 2
(см. рис. 1). Этот переход происходит без подвода либо
отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе 2->-3, в кото-
котором давление является линейной функцией объема и нако-
наконец, в изохорическом процессе 3->-1 газ возвращается в ис-
исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при
расширении через турбину в переходе 1->-2, если в процессах
2-*-3-*-1 к газу в итоге подведено 72 Дж тепла. Известно
также, что Т2 = Тг; V2 = 3Vi\ газовая постоянная R =
= 8,31 Дж/молб-К.
3. На плоский слой, заряженный равномерно по объему
положительным зарядом с плотностью р падают положи-
положительно заряженные частицы с зарядом q и с кинетической
энергией Е. Определить толщину слоя, если известно, что
максимальный угол падения, при котором эти частицы могут
пролететь слой, равен в (см. рис. 2).
4. На экране, расположенном на расстоянии 60 см от со-
собирающей линзы получено изображение точечного источни-
источника, расположенного на главной оптической оси линзы. На
какое расстояние переместится изображение на экране, если
при неподвижном источнике переместить линзу в плоскости,
перпендикулярной главной оптической оси, на 2 см? Фокус-
Фокусное расстояние линзы равно 20 см.
14,

Билет № 2
1. С какой скоростью v надо бросить вертикально вверх
мяч, чтобы после удара о потолок, расположенный на высо-
высоте Н, мяч возвратился назад со скоростью */5v? При ударе
теряется 60% кинетической энергии. Сопротивление воздуха
не учитывать.
Рис. 3
2. Моль идеального одноатомного газа описывает замк-
замкнутый цикл, совершая в нем работу 2026 Дж. Цикл состоит
(см. рис. 3) из процесса 1-^-2, в котором давление является
линейной функцией объема, изохоры 2-»-3 и процесса 3-*-1,
в котором теплоемкость газа остается постоянной. Найти
указанную теплоемкость, если известно также, что 7\ =
= Г2 = 2Гз=!Ю0К, У2/1Л = 8, газовая постоянная R =
= 8,31 дж/моль-К.
:ь- - -
Рас

3. Электрический диполь из двух жестко связанных то-
точечных зарядов +<7 и —<7, расположенных на расстоянии t
друг от друга, пролетает плоский конденсатор, пластины ко-
которого подключены к источнику с постоянной э. д. с. Е. Оп-
Определить скорость диполя в центре конденсатора, если из-
известно, что его скорость вдали от конденсатора равна v0.
Расстояние между пластинами конденсатора d, масса дипо-
диполя т. (см. рис- 4).
4. На расстоянии 90 см от экрана расположена собираю-
собирающая линза, главная оптическая ось которой горизонтальна
и проходит через основание стоящей вертикально свечи. При
перемещении свечи по вертикали на 4 см изображение пла-
пламени на экране переместилось на 5 см. Найти фокусное рас-
расстояние линзы.
16

Билет № 3
1. С некоторой высоты мяч был брошен вертикально вниз
со скоростью V. После неупругого удара о поверхность зем-
земли он подскочил на высоту, вдвое меньшую первоначальной.
Определить указанную высоту, если время подъема после
удара оказалось вдвое больше времени падения. Сопротив-
Сопротивлением воздуха пренебречь.
2. Моль идеального газа из начального состояния 1 с тем-
температурой 100 К, расширяясь через турбину в пустой сосуд
переходит в состояние 2, совершая некоторую работу (см.
рис. 5). Этот переход происходит без подвода либо отвода
тепла. Затем газ сжимают в двух процессах, возвращая в ис-
исходное состояние. Сначала сжатие происходит в процессе
2->-3, когда давление является линейной функцией объема,
а затем в адиабатическом процессе 3->-1. Найти работу со-
совершенную газом при расширении через турбину в переходе
1-*-2, если в процессе сжатия 2->-3->-1. над газом совершена
работа 1091 Дж- Известно, что Т2 = Т3, V2 = 2V3, газовая по-
постоянная R = 8,3l Дж/моль-К-
3. На плоский слой толщиной Н с положительным объ-
объемным зарядом плотностью р падают положительно заря-
заряженные частицы под углом падения а. При каких кинети-
кинетических энергиях частицы смогут пролететь через заряженный
слой? Заряд частицы равен q. (см. рис. 6)
17

T~T~7
Н ¦ ¦
4. С помощью собирающей линзы с фокусным расстоя-
расстоянием F=30 см на экране получено изображение точечного
источника света, расположенного на главной оптической оси
на расстоянии 40 см от линзы. На какое расстояние была
перемещена линза в плоскости, перпендикулярной главной
оптической оси, если изображение на экране сместилось на
4 см при неподвижном источнике?
18

Билет № 4
1. С какой минимальной скоростью надо бросить верти-
вертикально вниз мяч с высоты Н, чтобы после удара о поверх-
поверхность земли он смог достичь прежней высоты? При ударе
теряется 20% кинетической энергии. Сопротивление воздуха
не учитывать.
Puc7
2. Моль идеального одноатомного газа совершает замк-
замкнутый цикл, совершая в нем работу 11845 Дж. Цикл состоит
(см. рис. 7) из процесса 1->-2, в котором теплоемкость газа
остается постоянной, процесса 2-^-3, в котором давление га-
газа является линейной функцией объема и изохорического
нагрева 3->-1. Найти теплоемкость газа в процессе 1-^2, если
4-L-
О
19

известно, что 7\ = 1933 К, T2 = TZ= 1000 К, У2/У3=3, газовая
постоянная Л? = 8,31 Дж/моль-К.
3- Электрический диполь из двух жестко связанных то-
точечных зарядов +q и —q, расположенных на расстоянии /
друг от друга, пролетает плоский конденсатор, пластины
которого подключены к источнику с постоянной э. д. с. Е.
Определить скорость диполя в центре конденсатора, если
известно, что его скорость вдали от конденсатора равна о0.
Расстояние между пластинами конденсатора d, масса ди-
диполя т (см. рис. 8).
4. Главная оптическая ось тонкой линзы с фокусным
расстоянием 30 см проходит через основание стоящей верти-
вертикально свечи. Расстояние между свечой и линзой 40 см. На
какое расстояние по вертикали сместили свечу, если изо-
изображение пламени на экране сместилось на б см?
20

Билет № 5
1. Чашка пружинных весов с гирями совершает верти-
вертикальные гармонические колебания с амплитудой А и перио-
периодом Т. Общая масса чашки и гирь т. Гирю какой массы
надо снять с чашки весов в момент нахождения ее в край-
крайнем верхнем положении, чтобы колебаня прекратились?-
(см. рис. 9).
J
СУ
Рис 9
2. В сосуде постоянного объема находятся 1 моль неона
и 2 моля водорода. При температуре Г] =300 К, когда весь
Рас 'Ю.
J
21

водород молекулярный, давление в сосуде 105 Па- При тем-
температуре Г2 = 3000К давление возросло до 1,5-106 Па. Какая
часть молекул водорода диссоциировала на атомы?
3. По вертикальным проводящим рельсам в поле тяжести
может скользить без трения контакт массой т и длиной I.
Рельсы замкнуты на идеальную индуктивность L и находят-
находятся в горизонтальном магнитном поле с индукцией В пер-
перпендикулярной плоскости рисунка. В начале контакт под-
поддерживался внешней силой в покое. Определить максималь-
максимальное смещение контакта от начального положения, если внеш-
внешнюю силу убрать, так что контакт начинает движение вниз
с нулевой начальной скоростью (см. рис. 10).
4. Линза создает изображение предмета с увеличением
Ti = 3. Вплотную к этой линзе приставили вторую такую же.
С каким увеличением будет изображаться предмет? Рас-
Расстояние до предмета осталось неизменным.
22

Билет № 6
1. Брусок массы М под действием пружины совершает
на гладком столе гармонические колебания с амплитудой А
и периодом Т. Вдоль оси движения летит пуля массы т.
Попав в брусок в момент прохождения им положения рав-
равновесия, она застревает в нем. В результате соударения ко-
колебания прекратились. Определить скорость пули (см.
рис- 11).
га
PUC.//
2. Замкнутый цилиндрический сосуд делится легким под
вижным поршнем на две равные части. В одной из них на-
находится воздух, в другой — вода и пар. При медленном на-
нагревании всего сосуда поршень начинает двигаться и в не-
некоторый момент времени останавливается. В этот момент
Puc

он делит объем сосуда на части в отношении 1 : 3. Опреде-
Определить отношение массы воды к массе пара в начальном со-
состоянии. Температура в обеих частях сосуда во время опы-
опыта одинаковая. Объемом, занимаемым водой в одной из ча-
частей сосуда, пренебречь.
3. В схеме, изображенной на рис. 12, два одинаковых
резистора, каждый сопротивлением R и две одинаковые ин-
индуктивности подключены к источнику с постоянной э. д. с. Е.
В начальный момент ключ К разомкнут. После замыкания
ключа на время т его снова размыкают. Какой заряд про-
протечет через гальванометр после размыкания ключа /С? Со-
Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением
источника пренебречь.
4. Тонкая линза создает изображение предмета. Если
вплотную к этой линзе приставить перпендикулярно глав-
главной оптической оси плоское зеркало, то такая система при
неизменном расстоянии до предмета создает его изображение
с тем же увеличением. Определить это увеличение-
24

Билет № 7
1. Чашка пружинных весов массы ть совершает верти-
вертикальные гармонические колебания с амплитудой А. Когда
чашка находилась в крайнем нижнем положении на нее
Рис \Ъ
положили груз массы т2. В результате колебания прекра-
прекратились. Определить первоначальный период колебаний
чашки (см. рис. 13).
2. Два теплоизолированных баллона соединены трубкой,
перекрытой вентилем. В первом баллоне объемом У] = 500 л
находится «1 = 16,8 кг азота под давлением Pi = 3-106 Па;
во втором баллоне объемом V2 = 250 л находится т2=1,2 кг
аргона под давлением Рг = 5-105 Па. Какое давление и тем-
температура установятся в баллонах, если открыть вентиль на
трубке, соединяющей их? Теплоемкость азота CVl =5/У<?, мо-
молекулярный вес |^i = 28; теплоемкость аргона CV! =3faR, мо-
молекулярный аес ^2 = 40, газовая постоянная R =
= 8,31 Дж/моль-К-
3. По вертикальным проводящим рельсам в поле тяже-
тяжести может скользить без трения контакт массой т длины /.
Рельсы замкнуты на идеальную индуктивность L и находят-
находятся в горизонтальном магнитном поле, перпендикулярном
плоскости рисунка. Вначале контакт поддерживался внеш-
внешней силой в покое. В некоторый момент времени внешняя
сила убирается и контакт начинает движение вниз с нуле-
нулевой начальной скоростью. Определить величину индукции
3—549 25

магнитного поля В, если известно, что максимальная ско-
скорость, с которой движется контакт, равна Vq. (см. рис. 14).
в
Их Й
4. С помощью тонкой линзы получают изображение
предмета. К линзе вплотную приставляют другую линзу.
При неизменном расстоянии до предмета получают изобра-
изображение той же величины, что и ранее. Найти, с каким увели-
увеличением изображается предмет. Абсолютные значения фокус-
фокусных расстояний линз равны.
26

Билет № 8
1. Брусок совершает гармонические колебания на глад-
гладком горизонтальном столе под действием пружины. В мо-
момент, когда брусок находится в одном из положений мак-
максимального отклонения, на него падает и прилипает кусок
пластилина. В результате амплитуда колебаний не измени-
изменилась, а период изменился вдвое. Во сколько раз изменилась
максимальная скорость бруска? (см. рис- 15).
т
Рис.15
2. Легкий подвижный поршень делит объем замкнутого
сосуда на 2 части в отношении 4 : 1. В одной из частей на-
находится воздух, в другой — водяной пар. При медленном.
Рис 16
3*
27

охлаждении всего сосуда поршень в некоторый момент на-
начинает двигаться. Какая часть пара сконденсируется к тому
моменту, когда поршень делит объем сосуда на части в от-
отношении 1:1? Температура в обеих частях сосуда во время
опыта одинаковая. Объем, занимаемый сконденсированной
водой мал.
3. В схеме, изображенной на рис. 16, два одинаковых ре-
резистора, каждый сопротивлением R, и две одинаковые ка-
катушки индуктивности L подключены к источнику постоянной
э. д. с. В начальный момент времени ключ К разомкнут,
Ключ замыкают, а через некоторое время, когда ток через
гальванометр будет равен нулю, ключ размыкают. Опреде-
Определить э. д. с. источника, если известно, что после размыкания
ключа через гальванометр протечет заряд Q. Сопротивлением
гальванометра и внутренним сопротивлением э. д. с- прене-
пренебречь.
4. К тонкой линзе с фокусным расстоянием F = 9 см вплот-
вплотную прижато плоское зеркало. Эта система создает изобра-
изображение предмета. Если, не меняя взаимного расположения
линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создает изо-
изображение предмета с тем же увеличением, что и раньше.
Определить расстояние от предмета до линзы.
28

Билет № 9
1. На гладком блоке радиуса R висит однородный гиб-
гибкий канат массы т и длины I. Найти максимальную силу на-
натяжения каната (см. рис. 17).
V«c
I?
2. В последние годы популярность приобретает катание
на воздушных шарах. Воздух в таком шаре нагревается с
помощью газового факела, расположенного у отверстия
в нижней части шара. Какую температуру должен иметь воз-
воздух в шаре, чтобы поднять 2-х человек? Вес людей, оболочки
Рис. а.
29

шара, корзины, баллона с газом составляет 420 кг, диаметр
шара 20 м, температура окружающего воздуха + 17°С, сред-
средний молекулярный вес воздуха 29 г/моль, универсальная га-
газовая постоянная R = 8,31 Дж. град-1-моль-1, (см. рис. 18).
3. Две соединенные проводником пластины конденсатора
площадью S находятся на расстоянии d друг от друга (это
расстояние мало по сравнению с размерами пластин) во
внешнем однородном электрическом поле, напряженность
которого равна Ео. Какую работу нужно совершить, чтобы
медленно сблизить пластины до расстояния —? (см. рис. 19).
Рис {9
4. Телеобъектив с фокусным расстоянием F=\ м и пере-
переходное кольцо толщиной 9 см позволяет снимать фотоаппа-
фотоаппаратом с расстояния не меньше 11 м. С какого минимального
расстояния можно вести съемку с помощью этого объектива
без кольца?
Примечание: Переходное кольцо устанавливается между объективом
и пленкой и служит для дополнительного увеличения расстояния меж-
между ними.
30

Билет № 10
1. Математический маятник длины I совершает колебания
в вертикальной плоскости с малой угловой амплитудой.
Для, увеличения амплитуды колебаний нить при каждом про-
прохождении положения равновесия укорачивают на малую ве-
величину Л/=//300, вытягивая ее через узкое отверстие в ме-
месте подвеса, а в каждом крайнем положении нить удлиняют
на Л/, отпуская ее (параметрическое возбуждение колеба-
колебаний). Нить удлиняют (укорачивают) таким образом, что за
время одного удлинения (укорачивания) натяжение нити
можно считать постоянным (разумеется различным) по ве-
величине. Во сколько раз увеличивается угловая амплитуда
колебаний за один период? (см. рис. 20).
Рис 20
2. На пружинных весах уравновешен цилиндрический со-
сосуд с водой сечением 5=10 см2. На дне сосуда лежит метал-
С
О
Рис 21
31

лическое тело плотностью рт = 8 -103 кг/м3. Если тело под-
подвесить на нити так, что оно целиком остается погруженным
в воду, но не касается дна, то показание весов изменится
на 70 г. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если
тело из него вытащить?
3. Два конденсатора, каждый емкостью Со, заряжены
до напряжения Uo и соединены резистором (см- рис. 21).
Пластины одного из конденсаторов быстро раздвигают, так
что расстояние между ними увеличивается вдвое, а заряд на
пластинах за время их перемещения не меняется. Найти
количество тепла, выделившегося на резисторе во время
последовавшего затем переходного процесса перезарядки
емкостей.
4. Изображение предмета, находящегося на расстоянии
81 см от собирающей линзы, получено на экране с увели-
увеличением 1 : 9. С каким увеличением можно получить изобра-
изображение, если расстояние от линзы до экрана будет на 18 мм
больше первоначального?
32

Билет № 11
1. Через блок радиуса R перекинут однородный гибкий
канат массы т и длины I, прикрепленный к двум крюкам
на потолке, расположенным на расстоянии 2^. На оси блока
висит груз, масса которого вместе с блоком М. Трение меж-
между канатом и блоком отсутствует. Найти минимальную силу
натяжения каната (см. рис. 22).
Рас .22
2. Какой груз может поднять в первый момент воздуш-
воздушный шарик, вынесенный из теплой комнаты ( + 27°С) на мо-
мороз (—23°С)? Диаметр шара 40 см, вес резиновой оболоч-
оболочки 2 г. Средний молекулярный вес воздуха 29 г/моль, уни-
Рис гъ
33

версальная газовая постоянная R равна 8,31 Дж.град-'-
• моль~'. Упругостью оболочки пренебречь.
3. Две соединенные проводником пластины плоского кон-
конденсатора площадью S находятся на расстоянии d друг от
друга во внешнем однородном электрическом поле. Расстоя-
Расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пла-
пластин- Определить напряженность внешнего электрического
поля, если известно, что при медленном сближении пластин
до расстояния а'/З, необходимо совершить работу А (см.
рис. 23).
4. Объектив фотоаппарата с фокусным расстоянием F =
= 10 см позволяет вести съемку с минимального расстояния
в 2 метра. Какой толщины переходное кольцо необходимо
использовать для съемки с расстояния в 1 метр?
Примечание: Переходное кольцо устанавливается между объективом
и пленкой и служит для дополнительного увеличения расстояния меж-
между ними.

Билет № 12
1. Небольшой шарик на нити длины L совершает коле-
колебания в вертикальной плоскости с малой угловой амплиту-
амплитудой. Для увеличения амплитуды колебаний нить при каж-
каждом прохождении положения равновесия укорачивают на
малую по сравнению с L величину /=3 мм, вытягивая ее
через узкое отверстие в месте подвеса, а в каждом крайнем
положении нить удлиняют на /, отпуская ее (параметриче-
(параметрическое возбуждение колебаний). Нить удлиняют (укорачи-
(укорачивают) таким образом, что за время одного удлинения (укора-
(укорачивания) натяжение нити можно считать постоянным (разу-
(разумеется различным) по величине. Найти период колебаний,
если за каждый период угловая амплитуда возрастает на
0,5%. (см. рис. 24).
2. В сосуд с водой, уравновешенный на пружинных ве-
весах, опускается на нити кусок железа, так что он целиком
+ Г i +
Рис 15
35

погружается в воду, но не касается стенок сосуда. При этом
показание весов изменяется на 10%. Во сколько раз по срав-
сравнению с первоначальным изменится показание весов, если
этот кусок положить на дно сосуда? Плотность железа
8 г/см3.
3. Два конденсатора, каждый емкостью Со,, заряжены до
напряжения Uo и соединены резистором (смг-\рис. 25). Пла-
Пластины одного из них быстро сближают, так что заряд на пла-
пластинах за время их перемещения не меняется. Во сколько
раз изменилось расстояние между пластинами конденса-
конденсатора, если в последовавшем затем процессе перезарядки
конденсаторов на резисторе выделилось количество тепла,
равное 1/12 энергии, запасенной в конденсаторах до пере-
перемещения пластин.
4. Изображение предмета с увеличением 1 : 10 получено
с помощью собирающей линзы на экране, удаленном от лин-
линзы на 11 см. На сколько сантиметров необходимо изменить
расстояние от предмета до линзы по сравнению с первона-
первоначальным, чтобы можно было получить изображение с уве-
увеличением 1:11?
36

МАТЕМАТИКА — 1987 г.
Билет № 1
1. Решить уравнение
Iog2 (—sin х)—log4cosx =
2. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки К и L так, что AK=KL = LB^ Найти углы
треугольника ABC, если известно, что СК=У 2 CL.
27 1
3. Касательная к графику функции у =— xi обра-
образует с осью абсцисс угол, равный arctg 2, и пересекает в точ-
точках А и В окружность с центром в начале координат. Найти
радиус этой окружности,,если известно, что АВ — 1.
4. Дано уравнение
2
Найти все значения а, при которых:
1) это уравнение имеет хотя бы одно решение при г/ = 2;
2) найдется хотя бы одна пара чисел (х; у), удовлетво-
удовлетворяющая этому уравнению.
5. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вер-
вершина) точка Р — середина апофемы SD грани SBC. На реб-
ребре АВ взята" точка М так, что MB :AB = 2: 7. Сфера, центр
которой лежит на прямой МР, проходит через точки А, С и
пересекает прямую ВС в точке Q так, что CQ = m- Найти
объем пирамиды SABC, если известно, что радиус сферы
равен -^-.
УЗ
37

Билет № 2
1. Решить уравнение
(-^ cos
2. В равнобедренном треугольнике ABC точки М и N на-
находятся на боковых сторонах АВ и ВС соответственно. Най-
Найти площадь треугольника ABC, если известно, что AM = 5,
ЛЛГ = 2У7, CM =U, CN= 10.
3. Из точки М, расположенной на положительной полу-
полуоси ординат, проведены касательные к графику функции у =
о
= —, пересекающие ось абсцисс в точках К и L. Найти
х2
радиус окружности, описанной около треугольника MK.L,
если известно, что угол KML равен 2arcsin —— .
4. Дано уравнение
4х2 + аху+у2+ -5- ах + 6г/+10 = 0.
3
Найти все значения а, при которых:
1) это уравнение имеет хотя бы одно решение при х = 2;
2) найдется хотя бы одна пара чисел (х; у), удовлетворяющая
этому уравнению.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S —
вершина) SA = 2AB. Перпендикуляр, опущенный из точки В
на ребро SD, пересекает его в точке К- На апофеме SF гра-
грани SAB взята точка М так что SM : SF — 4 : 5. Сфера с цент-
центром на прямой МК проходит через точки В, К и пересекает
прямую АВ в точке Р, причем BP = d. Найти длину отрез-
отрезка АВ.
38

Билет № 3
1. Решить уравнение
log-3(—cosx) — log9sin х+ — =— Iog92.
4
2- На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки Р'и Q так, что ZACP= ZPCQ= ZQCB. Най-
Найти углы треугольника ABC, если известно, что 4СР = ЗУЗ CQ.
ч 11
3. Касательная к графику функции у=~-х4 обра-
16 16
о
зует угол с осью абсцисс, равный arctg —, и пересекает в
4
точках С и D окружность с центром в начале координат.
24
Найти радиус этой окружности, если известно, что CD= —
О
4. Дано уравнение
х2— 5ху + 5ау2+ Bа
Найти все значения а, при которых:
1) это уравнение имеет хотя бы одно решение при у=1;
2) найдется хотя бы одна пара чисел (х; у), удовлетворяю-
удовлетворяющая этому уравнению.
5. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вер-
вершина) на ребре АС взята точка L так, что LC : АС=4 : 5.
Медианы грани SAB пересекаются в точке К. Сфера, центр
которой лежит на прямой KL, проходит через точки В, С и
пересекает прямую АВ в точке Р так, что ВР = Ь. Найти
объем пирамиды SABC, если известно, что радиус сферы
равен Ь.
39

Билет № 4
1. Решить уравнение
21og (—y2~sinx) = ;
2. В равнобедренном треугольнике ABC (АС— основа-
основание) на стороне ВС находятся точки D и Е так, что DE =
— ЕС = 2. Найти периметр треугольника ABC, если известно,
что Л? = 5, Л?> = УЗЗ~.
3. Из точки Е, расположенной на положительной полу-
полуоси ординат, проведены касательные к графику функции
и— , пересекающие ось абсцисс в точках А и В. Найти
у 9х2
радиус окружности, описанной около треугольника ЕАВ, если
известно, что угол ЛЕВ равен 2arcsin — •
ую
4. Дано уравнение
5х2 + аху + у2 + 8ах + 8у+20=0.
Найти все значения а, при которых:
1) это уравнение имеет хотя бы одно решение при х=1;
2) найдется хотя бы одна пара чисел (х; у), удовлетворяю-
удовлетворяющая этому уравнению.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
(S — вершина) точка F — середина ребра SB, a SA = 1 2 АВ.
На апофеме SL грани SAD взята точка Р так, что SP : SL =
— 1: 12. Сфера с центром на прямой PF проходит через точ-
точки D, F и пересекает прямую AD в точке М, причем MD = l.
Найти длину отрезка АВ.
40

Билет № 5
1. Решить уравнение
3
2х— У х2+х 2х+У х2+х З*2— х
2. Найти все значения а, при которых вершина параболы
у = х2 + ах+1 принадлежит множеству точек на плоскости,
заданному неравенством \х — 4у\^1.
3. В трапеции ABCD длина основания ВС равна 13, а угол
BAD острый и вдвое больше угла ADC. Окружность с цент-
центром на прямой ВС касается прямых AC, AD и отрезка CD.
Найти площадь трапеции ABCD, если известно, что радиус
окружности равен 5.
4. Найти все решения уравнения
sin 2itx+sin2 4jt %=sin26jt x,
удовлетворяющие неравенству
Iog4x_36 (Ю-*)<!•
5. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вер-
вершина), АВ =4, длина высоты 50 пирамиды равнат/JJ.. Точ-
ка D лежит на отрезке SO, причем SD : DO = 2 : 9- Цилиндр,
ось которого параллельна прямой SA, расположен так, что
точка D — центр его верхнего основания, а точка О ле-
лежит на окружности нижнего основания. Найти площадь ча-
части верхнего основания цилиндра, лежащей внутри пира-
пирамиды.
4—549

Билет № 6
I. Решить уравнение
ЗУ х + 1 —
2. Найти все значения а, при которых расстояние между
вершинами парабол у = 2х2 + Зах+\ и у = х2 + ах— —а2 мень-
8
ше -—
2
3. Окружность с центром в точке пересечения диагона-
диагоналей КМ и LN равнобедренной трапеции K.LMN касается
меньшего основания LM и боковой стороны MN. Найти пе-
периметр трапеции KLMN, если известно, что ее высота рав-
равна 36, а радиус окружности равен 11.
4. Найти все решения уравнения
4 1
tg2nx+ — cos 4л А'-!- —=о,
О О
удовлетворяющие неравенству
!°8' 1 1ОЕ
5. В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная
трапеция ABCD, в которой AD — X, ВС =—, угол BAD равен
arctg6. Высота пирамиды проходит через точку О пересе-
пересечения диагоналей трапеции. Точка Е лежит на отрезке 50,
причем SE:SO= 1:4. Цилиндр, ось которого параллельна.
апофеме SM грани SAD (SM= -zr), расположен так, что
точка Е является центром его верхнего основания, а точ-
точка О лежит на окружности нижнего основания. Найти
площадь части верхнего основания цилиндра, лежащей внут-
внутри пирамиды.

Билет № 7
1. Решить уравнение
1
— 4х 4л:— л:2
2. Найти все значения а, при которых вершина параболы
у = х2 + 2ах + 3а2 принадлежит множеству точек на плоско-
плоскости, заданному неравенством \у — 2х— 6|>6.
3. В трапеции KLMN длина основания LM равна 17,
а угол LKN острый и вдвое больше угла KNM. Окружность
с центром на прямой LM касается прямых КМ, /GV и отрез-
отрезка MN- Найти периметр трапеции KLMN, если известно, что
радиус окружности равен 15.
4. Найти все решения уравнения
cos23jt х + cos25jt x = cos 8я х + 1,
удовлетворяющие неравенству
5. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вер-
вершина) SA= ¦—-,АВ = Ъ. Точка Е лежит на высоте пирамиды
4
SO, причем SE:SO = 2:ll. Цилиндр, ось которого парал-
параллельна прямой SB, расположен так, что точка Е — центр
его верхнего основания, а точка О лежит на окружности
нижнего основания. Найти площадь части верхнего основа-
основания цилиндра, лежащей внутри пирамиды.
4* 43,

Билет № 8
1. Решить уравнение
хг+8х
т 1х+9 -V
3 У х+9
2. Найти все значения а, при которых расстояние между
2 19
вершинами парабол у = х2 + ах + ¦— и у = Зх2 + Ъах + —а2
_ з 12
больше -—¦ .
з
3. Окружность с центром в точке пересечения диагона-
диагоналей АС и BD равнобедренной трапеции ABCD касается мень-
меньшего основания ВС и боковой стороны АВ. Найти площадь
трапеции ABCD, если известно, что ее высота равна 16, а
радиус окружности равен 3.
4. Найти все решения уравнения
4cos 4л х
1 +3ctg2it д;
удовлетворяющие неравенству
.
16
5. В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная
трапеция ABCD, в которой AD = 2, BC=\, высота трапеции
равна 3. Высота пирамиды проходит через точку О пересече-
4
ния диагоналей трапеции, SO= —zz Точка Улежит на отрезке
У 5
50, причем SF:FO=l : 3. Цилиндр, ось которого параллель-
параллельна апофеме грани SAD, расположен так, что точка F являет-
является центром его верхнего основания, а точка О лежит на ок-
окружности нижнего основания. Найти площадь части верх-
верхнего основания цилиндра, лежащей внутри пирамиды-
44

ФИЗИКА — 1987 г.
Билет № 1
1. Автомобиль массой /п=1200 кг, тормозя при выключен-
выключенной передаче, катится вниз с постоянной скоростью по на-
Рис 26
клонному участку шоссе с углом наклона a (sin <*= 1/14).
Каждое из четырех колес автомобиля (см. рис. 26) имеет
внешний радиус R и жестко скреплено с тормозным бараба-
барабаном радиусом г= ——¦ R, к которому прижимаются с одинако-
одинаковой силой N тормозные колодки Л и А'. Найти N, если коэф-
коэффициент трения скольжения между барабаном и колодками
О
Рис 27

К = 0,4- Проскальзывание между шинами и шоссе отсутст-
отсутствует.
2. Цилиндрическое тело плотностью рт = 1,6 г/см3 и объ-
объемом У=103 см3 подвешено на нити (см. рис. 27) и опущено
в жидкость, плотность которой увеличивается с глубиной h
по закону р(Л)=ро+Р^, где ро= 1 г/см3, Р = 10—3 г/см4. Найти
силу натяжения нити, если верхняя грань тела находится на
глубине h\ — \ м, а нижняя — на глубине/г2 = 2 м.
3. Проволочное кольцо, состоящее из двух тонких разно-
разнородных проводников в форме полуокружностей одинаковой
длины L и равного сечения, равномерно вращается с часто-
частотой / в однородном магнитном поле с индукцией Во. Ось вра-
вращения кольца проходит по его диаметру и составляет угол
90° с вектором магнитной индукции. Определить максималь-
максимальные упорядоченные скорости (относительно кольца) движе-
движения электронов в проводниках, если известны концентрации
свободных электронов в проводниках пх и п2 и удельные
электрические сопротивления pi и р2.
^ТТ? 7777/77/ У.'////, ¦ /////¦
Рис 21
4. Луч света падает на плоскопараллельную пластинку
толщиной Н=\ см из стекла с показателем преломле-
преломления « = 1,73 (см. рис. 28). Из-за многократных отра-
отражений от граней пластинки на экране Э образуется ряд
светлых пятен- Найти расстояние между пятнами, если угол
падения а = 60°, а падающий луч перпендикулярен плоскости
экрана. Плоскость падения луча совпадает с плоскостью
рисунка.
46

Билет № 2
1. Детская игрушка неваляшка (ванька-встанька) пред-
представляет собой фигуру высотой h = 21 см и массой М = 300 г
с симметричным распределением массы относительно оси KD,
причем поверхность нижней части неваляшки есть часть
г?феры радиусом R = 6 см (см. рис. 29). Если неваляшку
Ясс. 29„:
поставить на шероховатую плоскую поверхность, наклонен-
наклоненную под углом а = 30° к горизонту, то неваляшка занимает
устойчивое положение равновесия, при котором ее ось KD
отклоняется от вертикали на угол C = 45°. Какую наименьшую
массу пластилина надо прикрепить к макушке неваляшки в
-
\-Y77y
-A
\ЧЧ
i
—
/y///c
_.
--
G- —
\W
4. \
Рис. 50

т. К, чтобы она потеряла устойчивость на горизонтальной
поверхности стола?
2. Подводная опора, забитая в глинистый грунт водоема
глубиной /i=3 м, представляет из себя два соосных цилинд-
цилиндра различного диаметра (см. рис. 30). Найти силу, дейст-
действующую на опору со стороны воды в водоеме, если площадь
сечения цилиндра меньшего диаметра, забитого в грунт, рав-
равна S—1 м2, объем части опоры ABC, находящейся в воде,
V = 4 м3, плотность воды р=1 г/см3.
3. Проволочное кольцо, состоящее из двух разнородных
тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой
длины L с равными площадями сечения проводников а; рав-
равномерно вращается с частотой v в однородном магнитном по-
поле с индукцией В0- Ось вращения кольца проходит по его
диаметру и составляет 90° с вектором магнитной индукции.
Найти мощность тепловых потерь в кольце, если удельные
электрические сопротивления проводников равны pi и р2.
4. На плоскопараллельную стеклянную пластинку, нижняя
грань которой посеребрена, падает под углом а=30° узкий
пучок света, содержащий излучение двух длин волн (см.
рис. 31). Показатель преломления стекла для одной длины
волны равен пи а для другой — п2{щ>пх). В результате
преломления на верхней грани, однократного отражения от
нижней и еще одного преломления на верхней грани из пла-
пластинки выходят два пучка света. Найти расстояние между
пучками, вышедшими из пластинки, если ее толщина Н.

Билет № 3
1. Автомобиль массой т=1600 кг тормозит на горизон-
горизонтальном участке шоссе при выключенной передаче, имея на-
начальную скорость Уо = 36 км/час. Каждое из четырех колес
-ту ГТГГГ,
Т777-?-?
Рас 32
автомобиля (см. рис. 32) имеет внешний радиус R и жестко
скреплено с тормозным барабаном радиусом r~ — R, к кото-
которому прижимаются с одинаковой силой iV=2200 H тормоз-
тормозные колодки В и В'. Коэффициент трения скольжения меж-
между барабаном и колодками /^=0,4. Найти тормозной путь
автомобиля. Массой колес пренебречь. Проскальзывание
между шинами и шоссе отсутствует.
Q
ill ii i i i
Рас 33
2. Цилиндрическое тело плотностью рт = 0,9 г/см3 и объ-
объемом V= 103 см3 удерживается нитью, прикрепленной ко дну
сосуда, в жидкости, плотность которой р увеличивается с глу-
49

биной h по закону p(h) =po + ah, где ро=1 г/см3 (см. рис. 33).
Найти постоянный коэффициент а, если сила натяжения нити
/Г = 6Н. Верхняя грань тела находится на глубине /ii = 2 м,
нижняя — на глубине Л2 = 3 м.
3. Проволочный виток в виде кольца состоит из двух тон-
тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой дли-
длины с равными площадями поперечного сечения, но с разными
удельными электрическими сопротивлениями- Виток помещен
в однородное магнитное поле, вектор индукции которого пер-
перпендикулярен к плоскости витка. Найти максимальные на-
напряженности электрического поля в проводниках, если из-
известно, что индукция В магнитного поля изменяется во вре-
времени t по гармоническому закону В (t) =BQcos u>t. Длина
каждого проводника равна L, а отношение удельных элек-
электрических сопротивлений проводников pi/p2== Р-
Рис 3*1
4. Луч света падает на плоскопараллельную пластинку
толщиной Н= 1 см из стекла с показателем преломления
п =1,41 (см. рис. 34). Из-за многократных отражений от гра-
граней пластинки на экране Э образуется ряд световых пятен.
Найти расстояние между пятнами, если угол падения а = 45°,
а падающий луч параллелен плоскости экрана. Плоскость
падения луча совпадает с плоскостью рисунка.
50

Билет № 4
1. Детская игрушка неваляшка (ванька-встанька) пред-
представляет собой фигуру высотой Н = 24 см с симметричным
распределением массы относительно оси АВ, причем поверх-
поверхность нижней части неваляшки есть часть сферы радиусом
/? = 8 см (см. рис. 35). Если неваляшку поставить на шеро-
Рис 35
ховатую поверхность стола и медленно увеличивать наклон
поверхности стола к горизонту, то ось АВ отклоняется от
вертикали, занимая положение, соответствующее новому
устойчивому положению равновесия, а при угле наклона
стола a (sin а =—) неваляшка теряет устойчивость и дожит-
О
ся на стол, касаясь его головой. Если к макушке неваляшки
в т. Л прикрепить кусок пластилина массой не менее т =
к
т
Рис 3 6
51

= 100 г, то неваляшка, находясь на горизонтальном столе,
теряет устойчивость и заваливается на бок. Найти по этим
данным массу неваляшки.
2. Подводная опора, забитая в глинистый грунт водоема
глубиной Л = 3 м, представляет из себя два соосных цилиндра
разного диаметра (см. рис- 36). Найти силу, действующую
на опору со стороны воды в водоеме, если площадь сечения
цилиндра большего диаметра, забитого в грунт, равна 5 =
= 2 м2, объем части опоры ABC, находящейся в воде, У = 3 м3.
Плотность воды р=1 г/см3.
3. Проволочный виток в виде кольца состоит из двух тон-
тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой дли-
длины L с равными площадями поперечного сечения а и с раз-
разными удельными электрическими сопротивлениями pt и р2.
Виток помещен в однородное магнитное поле, вектор индук-
индукции которого перпендикулярен к плоскости витка. Найти
мощность тепловых потерь в каждом проводнике, если из-
известно, что индукция магнитного поля изменяется во вре-
времени t по закону B(t)=B0 A +sin at), где Во и со некоторые
постоянные.
11
Рис 37
4. Узкий пучок света, содержащий излучение двух длин
волн, падает под углом а = 60° на плоскопараллельную стек-
стеклянную пластинку (см. рис. 37). В результате однократного
прохождения пластинки из нее выходят два пучка, расстоя-
расстояние между которыми а. Найти толщину пластинки, если
показатель преломления стекла для одной длины волны ра-
равен «ь а ДЛЯ ДРУГОЙ — «2(«2>«l)-

Билет № 5
1. С какой скоростью должен был бы лететь самолет
вдоль экватора, чтобы сила давления сидящих пассажиров
на кресла самолета уменьшилась на четверть по сравнению
с силой давления перед взлетом? Радиус Земли принять
равным ^ = 6400 км. Собственным вращением Земли и вы-
высотой полета самолета по сравнению с радиусом Земли пре-
пренебречь.
ис.
2. Один моль одноатомного идеального газа совершает
замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависи-
зависимостью давления от объема, изобары и изохоры (см. рис. 38)-
Найти количество тепла, подведенного к газу на участках
цикла, где его температура растет. Температура газа в со-
состояниях 1 и 2 одинакова и равна Т{ =,300 К, отношение
К
Рис 39
53

объемов на изобаре Wl/3 = 3/2, направление обхода цикла
указано на рисунке стрелками. Универсальная газовая по-
постоянная R = 8,31 Дж/ (моль -К).
3. При разомкнутом ключе К (см. рис. 39) вольтметр Vi
показывает 0,9?. Что покажут вольтметры при замкнутом
ключе, если сопротивление вольтметра V2 вдвое меньше со-
сопротивления вольтметра Vi?
4. Пучок лазерного излучения мощности да =100 Вт пада-
падает на пластинку под углом а = 60°. Пластинка пропускает 40%
падающей энергии, а остальную зеркально отражает. Найти
абсолютную величину силы, действующей на пластинку со
стороны света. Скорость света С=3-108 м/с.
54

Билет № 6
1. При какой продолжительности суток на Земле тела
на экваторе были бы невесомы? Радиус Земли принять рав-
равным .Л? = 6400 км.
р.
'и с
2. Один моль одноатомного идеального газа совершает
замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависи-
зависимостью давления от объема, изобары и изохоры (см. рис- 40).
Найти количество тепла, отведенного, от газа на участках,
где его температура уменьшается. Температура газа в со-
состояниях 1 и 2 одинакова и равна 7^ = 350 К- Отношение
давлений на изохоре Р\1Р$=-А. Направление обхода цикла
указано стрелками. Универсальная газовая постоянная R =
= 8,31 Дж/(моль-К).
Рис. 41
3. Во сколько раз и как изменится заряд конденсатора С
(см. рис. 41) после замыкания ключа /С? Все сопротивления
схемы и внутреннее сопротивление батареи равны.
55

4. Для уменьшения доли отраженного света от поверхно-
поверхности стекла на нее наносят тонкую пленку, показатель пре-
преломления которой меньше показателя преломления стекла
(просветление оптики). Какой наименьшей толщины пленку
с показателем преломления п = 4/3 надо нанести на поверх-
поверхность стекла, чтобы при падении (нормально к поверхности)
света, содержащего излучение двух длин волн с Xi = 700 нм
и ?.2 = 420 нм, отраженный свет был максимально ослаблен
для обеих длин волн?
56

Билет № 7
1. Арбуз взвешивают в салоне самолета на пружинных
весах один раз перед взлетом, а другой — во время полета
самолета вдоль меридиана. Какой должна была бы быть
скорость самолета, чтобы показания весов в полете умень-
уменьшились на 1/16 по сравнению с их показаниями перед взле-
взлетом? Радиус Земли принять равным .Л? = 6400 км. Вращением
Земли вокруг своей оси и высотой полета самолета по срав-
сравнению с радиусом Земли пренебречь.
Рис
2. Один моль одноатомного идеального газа совершает
замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависи-
зависимостью давления от объема, изохоры и изобары (см. рис. 42)-
Найти тепло, подведенное к газу на участках цикла, где тем-
температура газа растет. Температура газа в состояниях 1 и 2
равна 7, = 300 К, отношение объемов на изобаре V %\V \ = Ь12,
направление обхода цикла указано стрелками. Универсаль-
Универсальная газовая постоянная /? = 8,31 Дж/(моль-К).
57

3. При замкнутом ключе К (см. рис. 43) вольтметр Vi
показывает 0,8 Е (Е— э. д. с. батареи). Что покажут вольт-
вольтметры Vi и V2 при разомкнутом ключе, если их сопротивле-
сопротивления равны?
4. Пучок лазерного излучения мощности ау=100 Вт па-
падает на непрозрачную пластинку под углом а = 30°. Пластин-
Пластинка поглощает 60% падающей энергии, а остальную зеркаль-
зеркально отражает. Найти абсолютную величину силы, действую-
действующей на пластинку со стороны света. Скорость света С —
= 3-108 м/с.
58

Билет № 8
1. При взвешивании тела массой т на пружинных весах
их показания на полюсе и экваторе планеты отличаются
на АР. Радиус планеты R- Определить угловую скорость вра-
вращения планеты вокруг своей оси.
2. Один моль одноатомного идеального газа совершает
замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависи-
зависимостью давления от объема, изохоры и изобары (см. рис. 44).
Рас Ц
Найти количество тепла, отведенного от газа на участках,
где его температура уменьшается. Температура в состояниях
1 и 2 одинакова и равна 7^ = 70 К, отношение давлений на
изохоре /Эз//Э2 = 5. Направление обхода цикла указано
стрелками. Универсальная газовая постоянная R =
= 8,31 Дж/(моль-К).
Р
ис
59

3. После замыкания ключа К (см. рис. 45) заряд конден-
конденсатора С уменьшился в полтора раза. Найти внутреннее со-
сопротивление батареи, если .Л? =10 Ом.
4. С целью уменьшения доли отраженного света от поверх-
поверхности стекла на нее наносят тонкую пленку, показатель прелом-
преломления которой меньше показателя преломления стекла (прос-
(просветление оптики). Пучок белого света (длина волн от 400 нм
до 700 нм) падает нормально на нанесенную на стекло
пленку. Показатель преломления пленки п = 4/3, ее толщина
Я = 600 нм. На каких длинах волн отраженный свет макси-
максимально ослабляется?
60

МАТЕМАТИКА — 1988 г.
Билет № 1
1- Решить неравенство
Iog2(*+l)<l —
2. Решить уравнение
/ 1 п
J/ — + cos л: cos 2.t =sinI2x+—~
3. Диагонали BD и АС выпуклого четырехугольника
ABCD перпендикулярны, пересекаются в точке О, АО = 2,
ОС = 3. Точка К лежит на стороне ВС, причем В/С: К.С=\ : 2.
Треугольник AKD равносторонний. Найти его площадь.
4. Множество М состоит из точек (а; Ь) координатной
плоскости, для которых | а \Ф\ и уравнение
(За — 4б+15)х4+Gа — 24б + 35)х2 + | а2 — 1 | + а2— 1=0
имеет ровно три решения. Доказать, что в многоугольник,
внутренней областью которого является множество М, мож-
можно вписать окружность, и найти координаты центра этой
окружности.
5. На продолжении за точку А} ребра АА\ правильной
треугольной призмы АВСАХВ\С\ (ABC—основание) взята
точка М. Через точку М и точку К — середину ребра ВС
проведена плоскость а, пересекающая ребро АС в точке К\
так, что угол КК\М равен arctgV 55. Известно, что сечение
призмы плоскостью а — пятиугольник КК\КъКгКь У которого
/(,/B= —, КК! = И±1, К2Кз= —Ш. Найти объем призмы.
6Ё

Билет № 2
1. Решить неравенство
log^+2 C
2. Решить уравнение
cos 2# V 15cos х = sin x — sin Зх.
3- Точки К и М расположены соответственно на стороне
ВС и высоте ВР остроугольного треугольника ABC. Найти
площадь равностороннего треугольника АМК, если известно,
что АР = 3, РС= —, ВК:КС=Ю:1.
4. Множество М состоит из точек (а; 6) координатной
плоскости, для которых уравнение
4 = 0
имеет ровно одно решение. Доказать, что в многоугольник,
которым является множество М, можно вписать окружность,
и найти координаты центра этой окружности.
5. В основании прямой призмы ABCA\B\Ci лежит равно-
равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Через точку
К — середину гипотенузы АВ треугольника ABC проведена
плоскость |3, пересекающая ребра ВС и СС\ в точках /Ci и Ki
соответственно. Известно, что сечение призмы плоскостью
Р — ПЯТИУГОЛЬНИК ККхКъКъКа^ У КОТОрОГО ZKlKKi =
= arccos (-1—) KK^ KK f
Найти объем призмы.
62

Билет № 3
1. Решить неравенство
log3x3s2-f log j (x + 8).
3
2. Решить уравнение
У1 + 2sin х sin 2.т = У2 cos \2х ).
3. Диагонали BD и АС выпуклого четырехугольника
ABCD перпендикулярны, пересекаются в точке О, АО= —'
ОС = 3. Точка N лежит на стороне АВ, причем AN : NB = I : 3.
Треугольник DNC равносторонний- Найти его площадь.
4. Множество М состоит из точек (а; Ь) координатной
плоскости, для которых | а \Ф2 и уравнение
Dа— 36 + 40).г4 + (За— 4&Ч-30).г2 + | а2 — 4 | + а2 — 4=0
имеет ровно три решения. Доказать, что в многоугольник,
внутренней областью которого является множество М, мож-
можно вписать окружность, и найти координаты центра этой
окружности.
5. На продолжении за точку В\ ребра ВВ1 правильной
треугольной призмы ABCA\BiCi (ABC — основание) взята
точка К. Через точку К и точку D — середину ребра АС про-
проведена плоскость а, пересекающая ребро АВ в точке Dt так,
что угол DDfK равен arctgy 51. Известно, что сечение приз-
призмы плоскостью а — пятиугольник DDtD2D3D4, у которого
DXD2= —У13, DDl = l, D2D3 = — . Найти объем призмы.
5 о

Билет № 4
1. Решить неравенство
2. Решить уравнение
sin2xj/ _LCOSx= —- (cos Зх — cosx).
г 3 4
3. Точки D и К расположены соответственно на стороне
АВ и высоте BE остроугольного треугольника ABC. Найти
площадь равностороннего треугольника DKC, если известно,
что Л?= — ,?С = 2, Л?> :?В=1 :8.
8
4. Множество М состоит из точек (а; Ь) координатной
плоскости, для которых уравнение
(8а—156— 135)x4+C6 — 4a + 27)x2 + \b2 — 9 | + 62 —9 = 0
имеет ровно одно решение. Доказать, что в многоугольник,
которым является множество М, можно вписать окружность,
и найти координаты центра этой окружности.
5. В основании прямой призмы АВСА^В{С{ лежит равно-
равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Через точку
D — середину гипотенузы АВ треугольника ABC проведена
плоскость р, пересекающая ребра ВС и СС\ в точках D\ и D2
соответственно- Известно, что сечение призмы плоскостью
р—пятиугольник DDXD2D2,DA, у которого Z.D{DDt,=
= arccos (
) 3 л ГЦ-
у 10 / ч Г 2
Найти объем призмы.

Билет № 5
1. Решить уравнение =5tgx + 4cosx.
COS X
2. Высота ВК ромба ABCD, опущенная на сторону AD.
пересекает диагональ АС в точке М. Найти MD, если извест-
известно, что 5/С=4, АК : KD = 1 : 2.
3. Бассейн наполняется тремя насосами за 4 часа, причем
второй насос производительнее третьего втрое. Если бассейн
наполнять двумя насосами: сначала на -1- объема первым
2
и вторым насосами, а затем на — объема первым и третьим
2
насосами, то он наполнится за 7— часов. За какое время
бассейн наполнится, если будет работать только первый
насос?
4. Найти все такие значения р, чтобы к графику функции
у= ¦ можно было провести касательную, пспе-
(р2+1)х2 + 91'+Зр
31' f3
секающую ось Ох в точке А такой, что АО
5. В трапеции ABCD угол BAD прямой, угол ABC равен
arctg 2 и AB—AD. Квадрат KLMN расположен в простран-
пространстве так, что его центр совпадает с серединой отрезка АВ.
Точка А лежит на стороне LK и AL<AK, точка М равно-
равноудалена от точек А я D. Расстояние от L до ближайшей
к ней точки трапеции ABCD равно—, а расстояние от N дс
ближайшей к ней точки трапеции ABCD равно У б . Найти
площадь трапеции ABCD и расстояние от точки М до пло-
плоскости ABCD.

Билет № 6
1. Решить уравнение
sin х sin 2x
2. На сторону ВС ромба ABCD опущена высота DE- Диа-
Диагональ АС ромба пересекает высоту DE в точке F так, что
DF : FE = 5. Найти сторону ромба, если известно, что АЕ=5.
3. Пункт В находится ниже по течению реки, чем пункт
А. Пункт Б равноудален от пунктов А и В. Из пункта Б вниз
по течению поплыл катер, а из пункта А одновременно с ним
отправился плот. Доплыв до пункта В, катер немедленно
повернул обратно и повстречался с плотом в тот момент вре-
времени, когда плот проплыл —• расстояния между А и В.
Найти время, которое затрачивает плот на путь из Л в В,
если известно, что катер проплывает путь из Л в В и обрат-
обратно за 4 часа.
4. Найти все такие значения р, чтобы к графику функции
у=х4 — 4У Зх2 + р—5 ~~'' можно было провести касатель-
касательную пересекающую ось ординат в точке (О; а), где а5=24 +
•+Р-5Р.
5. Два квадрата ABCD и KLMN расположены в прост-
пространстве так, что центр квадрата KLMN совпадает с середи-
серединой стороны ВС. Точка В лежит на стороне LM и BNK.BL,
точка N равноудалена от точек С и D. Расстояние от М до
ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно V10, а рас-
расстояние от К до ближайшей к ней точки квадрата ABCD
равно 6. Найти длины сторон квадратов ABCD и KLMN и
расстояние от точки N до плоскости ABCD.
•66

Билет № 7
1. Решить уравнение
3sin Ar=
sin x
2. Высота BL ромба ABCD, опущенная на сторону AD,
пересекает диагональ АС в точке Е. Найти АЕ, если извест-
известно, что BL=8, AL-.LD = 3:2-
3. Бассейн наполняется тремя насосами за 3 часа, причем
первый насос производительнее второго вдвое. Если бассейн
наполнять двумя насосами: сначала на — объема первым
и третьим насосами, а затем на — объема вторым и треть-
третьим, то он наполнится за 5 часов. За какое время бассейн
наполнится, если будет работать только третий насос?
4. Найти все такие значения р, чтобы к графику функции
можно было провести касательную.
3
пересекающую ось Ох в точке А такой, что AD<c:iP ' :i"
2УИ + 2
5. В трапеции ABCD угол ADC прямой, угол BAD равен
arctg 3 и AD = CD. Квадрат KLMN расположен в простран-
пространстве так, что его центр совпадает с серединой отрезка AD.
Точка D лежит на стороне LK и DL<.DK, точка М равно-
равноудалена от точек С и D. Расстояние от L до ближайшей к
ней точки трапеции ABCD равно 2, а расстояние от N до
ближайшей к ней точки трапеции ABCD равно 3. Найти пло-
площадь трапеции ABCD и расстояние от точки М до плоско-
плоскости ABCD.

Билет № 8
1. Решить уравнение
2ctg х —
cos л; sin 2л
2. На сторону ВС ромба ABCD опущена высота DK- Диа-
Диагональ АС пересекает высоту DK в точке М так, что
DM : МК= 13 : 7. Найти DK, если известно, что АК=17.
3. Пристань А находится выше по течению реки, чем
пристань 6. Из А и Б одновременно навстречу друг другу
начали движение плот и моторная лодка. Достигнув при-
пристани А, моторная лодка немедленно повернула обратно и
2
..догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл ~Т
о
расстояния между А и Б. Найти время, которое затрачивает
плот на путь из А в Б, если известно, что моторная лодка
проплывает из Б в А и обратно за 3 часа-
4. Найти все такие значения р, чтобы к графику функции
у = х4 — УЗ х2 + t р р можно было провести касательную, пе-
пересекающую ось ординат в точке (О; а), где аГ^— 2Р/?2Н—.
5. Два квадрата ABCD и KLMN расположены в прост-
пространстве так, что центр квадрата KLMN совпадает с середи-
серединой стороны АВ. Точка А лежит на стороне LM и AAK.AL,
точка N равноудалена от точек В я С. Расстояние от М до
ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 2У 3, а рас-
расстояние от К до ближайшей к ней точки квадрата ABCD
равно 5. Найти длины сторон квадратов ABCD и KLMN и
расстояние от точки N до плоскости ABCD.

ФИЗИКА — 1988 г.
Билет № 1
1. Троллейбус массой от=12-103 кг на некотором горизон-
горизонтальном прямолинейном участке увеличил скорость с V\=
=5 м/с до К2=Ю м/с. Двигатель троллейбуса развивал по-
постоянную мощность yV = 60 кВт. Пренебрегая сопротивлением
движению, найти максимальное и минимальное значения ус-
ускорения троллейбуса на этом участке.
Ри
с
2. Идеальный газ расширяется до удвоенного объема в
процессе 1—2 с линейной зависимостью давления от объема
(см. рис. 46). Затем его изобарически сжимают в процессе
Рас kl
69

2—3 до первоначального объема. Найти отношение работ,
совершенных газом в процессах расширения и сжатия. Из-
Известно, что температуры в состояниях 1 и 2 одинаковы.
3. В схеме (см. рис- 47) в начальный момент времени
ключи Ki и /С2 разомкнуты, а конденсатор С не заряжен.
Сначала замыкают ключ Кь В момент, когда напряжение на
конденсаторе оказывается равным сумме э.д.с. батарей ej
и е2) замыкают ключ Кг- Определить через какое время пос-
после замыкания ключа Къ величина силы тока через катушку
индуктивности L увеличится в 3 раза. Заданными считать L,
С и отношение e2/ei = 0,8. Всеми омическими потерями пре-
пренебречь.
4. Две тонкие линзы находятся на расстоянии 25 см друг
от друга так, что их главные оптические оси совпадают. Эта
система линз создает прямое действительное изображение
предмета в натуральную величину. Если линзы поменять ме-
местами, не изменяя положения предмета, то снова получается
прямое действительное изображение предмета с увеличе-
увеличением 4. На сколько отличаются оптические силы линз?
70

Билет № 2
1. Шайба, брошенная вверх вдоль наклонной плоскости,
скользит по ней и через некоторое время возвращается в
точку бросания. При каком угле наклона наклонной плоско-
плоскости шайба возвратится, имея втрое меньшую скорость, чем
при бросании? Коэффициент трения скольжения между шай-
шайбой и наклонной плоскостью (.1 = 0,3.
2. Вода при комнатной температуре находится в замкну-
замкнутом сосуде- При нагревании сосуда до 120°С вся вода испа-
испаряется и давление пара оказывается равным 1,6-105 Па. Ка-
Какую часть объема сосуда занимала вода вначале? Массой
пара в сосуде при комнатной температуре можно прене-
пренебречь. Универсальная газовая постоянная R —
=-8,31 Дж/(моль-К). Плотность воды р=1,0 г/см3. Молярная
масса воды ji = 18 г/моль.
3. В схеме, изображенной на рисунке 48, в начальный мо-
момент времени ключи К\ и К-г разомкнуты, а конденсатор С
не заряжен. Сначала замыкают ключ К\. В момент когда на-
и
¦пряжение на конденсаторе оказывается равным э. д. с. бата-
батареи е2) замыкают ключ /С2. Считая известными С, L и отно-
отношение e2/ei = l,8, определить через какое время после замы-
замыкания ключа /(о величина силы тока через катушку индук-
индуктивности L увеличится в 2 раза. Всеми омическими поте-
потерями пренебречь.
4. Две тонкие положительные линзы, оптические силы ко-
которых отличаются на 5/6 диоптрии, расположены так, что их
главные оптические оси совпадают. Эта оптическая система
создает прямое мнимое изображение предмета с увеличе-
71

нием 3. Если линзы поменять местами, не меняя положения
предмета, то получается мнимое прямое изображение пред-
предмета с двукратным увеличением. Найти расстояние между
линзами.
72

Билет № 3
1. Трамвай массой 104 кг на горизонтальном прямолиней-
прямолинейном участке длиной S = 21 м, двигаясь равноускоренно, уве-
увеличил скорость с Vi=4 м/с до 1^ = 7 м/с. Пренебрегая сопро-
сопротивлением движению, найти максимальное значение мощно-
мощности, развиваемой двигателями трамвая на этом участке.
п
г
-V
Р
ис
2. В процессе сжатия 1—2 с линейной зависимостью
давления от объема давление идеального газа возросло в
3 раза (см. рис. 49). Затем газ изобарически расширился
в процессе 2—3 до первоначального объема. Найти отноше-
отношение работ, совершенных газом в процессах сжатия и рас-
расширения. Известно, что температуры в состояниях 1
и 2 равны.
Рис 50
3. В схеме (см. рис. 50) в начальный момент времени
ключи Ki и /С2 разомкнуты, а конденсатор С не заряжен.
Сначала замыкают ключ К.\. В момент, когда напряжение
на конденсаторе оказывается равным разности э. д. с. бата-
73

рей е, и е2; замыкают ключ /С2. Через время х после замыка-
замыкания ключа /С2 величина силы тока через катушку индуктив-
индуктивности L увеличивается в 3 раза. Считая известными время т
и отношение ег/81 = 0,6, определить период собственных коле-
колебаний колебательного контура, состоящего из индуктивности
L и емкости С. Всеми омическими потерями пренебречь.
4. Две тонкие линзы создают мнимое перевернутое изо-
изображение предмета с увеличением 0,5. Главные оптические
оси линз совпадают- Расстояние между линзами — 50 см.
Оптические силы линз отличаются на две диоптрии. Если
линзы поменять местами, не изменяя положения предмета,
то снова получается мнимое перевернутое изображение. Най-
Найти увеличение в этом случае.
74

Билет № 4
1. Шайба, брошенная вверх вдоль наклонной плоскости
с углом наклона а = 45°, скользит по ней и через некоторое
время возвращается в точку бросания. Время подъема ока-
оказалось вдвое меньше времени спуска. Найти коэффициент
трения скольжения между шайбой и наклонной плоскостью.
2. Вода при комнатной температуре занимает 0,07% от
объема замкнутого сосуда. При нагревании сосуда до 110°С
вся вода испаряется. Найти давление паров воды в сосуде
при 110°С. Массой пара в сосуде при комнатной температуре
пренебречь. Универсальная газовая постоянная R=
= 8,31 Дж/(моль-К), плотность воды р=1,0 г/см3, молярная
масса воды jo. = 18 г/моль.
3. В схеме, изображенной на рисунке 51, в начальный мо-
момент времени ключи К\ и Кч разомкнуты, а конденсатор С
не заряжен. Сначала замыкают ключ К\. В момент, когда
\кг
Рис 51
напряжение на конденсаторе оказывается равным э. д. с. ба-
батареи е2, замыкают ключ /С2. Через время т после замыка-
замыкания ключа Кг величина силы тока через катушку индуктив-
индуктивности L увеличилась в 4 раза. Считая известными время т и
отношение ?2/ei = 0,4, определить период собственных коле-
колебаний колебательного контура, состоящего из индуктивности
L и емкости С, Всеми омическими потерями пренебречь.
4. Положительная и отрицательная (она ближе к пред-
предмету) линзы образуют оптическую систему. Линзы располо-
расположены на расстоянии 2,5 см друг от друга и их главные оп-
оптические оси совпадают. Сумма оптических сил линз равна
75

нулю. Эта оптическая система создает мнимое прямое изо-
изображение с увеличением 2. Если линзы поменять местами,
не изменяя положения предмета, то получается прямое мни-
мнимое изображение предмета в натуральную величину. Найти
фокусное расстояние положительной линзы. Расстояние от
предмета до ближней линзы не более фокусного расстояния
положительной линзы.
76

Билет № 5
1. Космонавты, высадившиеся на поверхности Марса, из-
измерили период малых колебаний в вертикальной плоскости
математического маятника длиной 1=1 м, оказавшийся рав-
равным Г = 3,25 с. Космонавты, оставшиеся в космическом ко-
корабле, вращающемся вокруг планеты по близкой к поверх-
поверхности круговой орбите, заметили, что их корабль вращает-
вращается вокруг Марса с периодом Т0=100 мин. Найти по этим
данным радиус Марса.
2. К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри
масляного пузыря, подводится тепло. Найти теплоемкость
газа (в расчете на 1 моль) в этом процессе, если давлением
снаружи пузыря можно пренебречь.
L
R
с 52
Указание: добавочное давление под сферической поверх-
поверхностью жидкости с коэффициентом поверхностного натяже-
натяжения о и радиусом кривизны г дается формулой Лапласа
Р = 2а/г.
3. Через параллельно соединенные резистор с сопротив-
сопротивлением R=IO Ом и катушку с индуктивностью L = 0,01 Гн
Рис 53
77

течет переменный ток с циклической частотой <»=103 с~'-
Амперметр Ai показывает ток 1\ = 2 А. Найти показание ам-
амперметра А2. Оба амперметра предназначены для измерения
переменного тока. Сопротивление амперметра А\ достаточно
мало (см. рис. 52).
4. В светонепроницаемом кожухе горит лампа. На зад-
задней стенке кожуха плоское зеркало 3. В переднюю вставле-
вставлена линза Л с абсолютным значением фокусного расстоя-
расстояния F. В этой системе наблюдают два прямых увеличенных
изображения нити лампы, причем одно изображение вдвое
больше другого. Найти расстояние от лампы до зеркала,
если расстояние от лампы до линзы равно d (см. рис. 53).
78

Билет № 6
1. Чтобы тянуть сани с постоянной скоростью по горизон-
горизонтальной дороге, надо прикладывать силу Л = 490 Н под
углом си = 60° к горизонту или силу /г2=330 Н под углом
аг = 30°. Определить по этим данным массу саней. Коэффи-
Коэффициент трения скольжения саней о дорогу не известен (см.
рис. 54).
Р
uc J ч
2. Замкнутый цилиндрический сосуд разделен на две ча-
части свободно перемещающимся поршнем, прикрепленным с
помощью упругой пружины к левому торцу сосуда. В левой
части сосуда — вакуум, в правой — моль идеального газа.
Найти теплоемкость газа, находящегося в таких условиях.
Недеформированное состояние пружины соответствует поло-
положению поршня у правого торца сосуда (см. рис. 55).
-рг
п
Рис 5 5
3. Через последовательно соединенные резистор с сопро-
сопротивлением У? = 100 Ом и конденсатор емкостью С=\0 мкф
течет переменный ток с циклической частотой ш=103 с~'.
Вольтметр Vi показывает напряжение t/j = 100 В. Найти по-
показание вольтметра V2. Вольтметры предназначены для из-
измерения переменного напряжения. Сопротивление вольтмет-
вольтметра Vi достаточно велико- (См. рис. 56).
79

R
С - f v<
Рмс,56
4. На расстоянии L = 4 см (больше фокусного) за линзой
расположено перпендикулярно главной оптической оси пло-
плоское зеркало. Перед линзой, также перпендикулярно главной
-L
Put 5?
оптической оси, расположен лист клетчатой бумаги. На этом
листке получают изображения его клеток при двух положе-
положениях листа относительно линзы. Эти положения отличаются
на /=9 см. Определить фокусное расстояние линзы (см.
рис. 57).
80

Билет № 7
1. Космонавты, высадившиеся на поверхность Марса, из-
измерили период вращения конического маятника (небольшое
тело, прикрепленное к нити и движущееся по окружности в
горизонтальной плоскости с постоянной скоростью), оказав-
оказавшийся равным Г=3 с. Длина нити 1=1 м. Угол, составлен-
составленный нитью с вертикалью, а=30°. Найти по этим данным
ускорение свободного падения а на Марсе (см. рис. 58).
Рис. 58
2. В цилиндрическом сосуде, разделенном свободно пере-
перемещающимся поршнем на две части, находится по одному
молю идеального одноатомного газа. Температура газа в
левой части сосуда поддерживается постоянной- Найти теп-
теплоемкость газа в правой части сосуда при положении порш-
поршня, когда он делит сосуд пополам. Поршень тепла не про-
проводит, (см. рис. 59).
1 ¦ 4 ¦
*
1
?
/
* • •
ис 59

3. Через параллельно соединенные резистор с сопротив-
сопротивлением # = 200 Ом и конденсатор с емкостью С = 5 мкФ те-
течет переменный ток с циклической частотой со=103 с. Ам-
Амперметр Ах показывает ток / =1 А. Найти показание ампер-
амперметра Л2. Оба амперметра предназначены для измерения
переменного тока. Сопротивление амперметра А\ достаточно
мало (см. рис. 60).
Рис. 60
4. В светонепроницаемой коробке стоит зажженная свеча.
Задняя стенка коробки — плоское зеркало. В переднюю
вставлена линза. Длина коробки L. В этой системе наблю-
Ри
дают два изображения пламени свечи. Причем размеры изо-
изображения одинаковы. Найти фокусное расстояние линзы
(см. рис. 61).
82

Билет № 8
1. Чтобы тянуть сани в гору с постоянной скоростью, надо
прикладывать силу /7=200 Н под углом р = 30° к поверхно-
поверхности дороги или силу ^1 = 190 Н вдоль дороги (см. рис. 62)>
Определить по этим данным коэффициент трения скольже-
скольжения между санями и дорогой.
62
2. Моль эдноатомного идеального газа находится в ци-
цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем, прикреп-
прикрепленным с помощью пружины к сосуду. Сила упругости F,
возникающая в пружине, зависит от ее удлинения по зако-
закону F = kxa, где k и а некоторые константы. Определить
а, если известно, что молярная теплоемкость газа, находя-
находящегося в таких условиях, С= 1,9-/?, где /? — универсальная
газовая постоянная. Внешним давлением, длиной пружины
в ненапряженном состоянии и трением поршня о стенки со-
сосуда можно пренебречь, (см. рис. 63)-
Рис 63
3. Через последовательно соединенные резистор с сопро-
сопротивлением R = 50 Ом и катушку индуктивности L = 0,05 Гн
течет переменный ток с циклической частотой со=103 с~:.
Вольтметр Vi показывает напряжение f/i==100 В. Найти по-
83

казание вольтметра V% Оба вольтметра предназначены для
измерения переменного напряжения. Сопротивление вольт-
вольтметра V'i достаточно велико (см рис. 64).
R
L
Juc
4. Параллельно друг другу расположены лист миллимет-
миллиметровой бумаги, тонкая линза и плоское зеркало. Расстояние
между линзой и зеркалом 6 см, фокусное расстояние линзы
4 см. Система линза+ зеркало создает на листе бумаги чет-
четкое изображение его клеток. На сколько нужно передвинуть
л-ист бумаги, чтобы на нем снова получилось четкое изобра-
изображение клеток?
«4

ОТВЕТЫ
МАТЕМАТИКА — 1986 г.
Билет № 1
1. *=_*-
25
2. S=J$-
24
3.
It
48 8
x= -\—'— I я—arccos 4 '
4. ф = 45°-
5. a) S= ™~.
25
--1-, _зцл-I-,
f.яarccos )
6 \ 5/3
г/=± — (я — arccos -i~) + —, /г, к Z.
12 \ 5/6

Билет № 2
1. x=l, *=g.
2.5= JIL
п
х-
3.
(— 1) arcsin -L +nn 1,
4 J
4.
"arcsin 1
+
5. a) S =
31
192
б) Р<4/з,
86

Билет № 3
1. л-=
49
с\ о fiV О
.-, 1 1 п-л
— ' ¦" dl LL-Uj ' | j
24 3 12
3. j
r/=± arccos —- 4- -^ -i-2/гд
< 6 3 3
,• 1 3 , nn
x—± arccos i ,
_ 1 3
У = arccos пя+B/г+1)я; п,Ы1.
A. cP = 30°.
23
5. a) S =
216
6) pe (l-H, ~8[U]iL,
U 17
87

Билет № 4
1. х=1, х=16.
9 о 25У5"
2. 5= __.
3.
=^-[ (-l)narcsin
— ^ Г / 1 \
" +1
I»-1
4. cp = arcsin
5. a) 5= -29-
20
arcsin
20
6)

Билет № 5
1. @; 5); D; -3).
* « Ц--1-, - -§-M--J. -L]}.
3. a<—3, a>—1, ff*=—2.
4- P AEFG =45-
5. ККон=63УТя.
Билет № 6
2. xefl-J-,- -i-luf-Л -§-"
U 2 з J L 6 5
3. — <a<\, аФ -J—.
3 2
4- S ABCD=3-
5. Укон =ЮУ~Зя .
Билет № 7
1. D; Ю), (-4;-6).
3 2 1 J 2 2
3. а<1, а>3, а= 3/2.
4. PAEFG=5 + 2yT.
5. VK0H= Я- W п.
89

Билет № 8
1- (-3; 3).
3. ~
4- S ABCD
°- У кон —
J-,
3
1. *=:l?JL
6
2. x=—2.
3.
9=
J
13
Билет № 9
:e Z.
9=
4. фпов. =45°, SCDEF
5. | PQ |-5.
64_
35
¦F^2-1)-
90

Билет № 10
1. x='±i -2- +kn, ke Z.
3
2. x=7.
3.
4.
5.
q=1 2,
„,= VT-i.
7
ВАЪ = arctg 3, 5ABCD =
Э 1=6.
<7=—1 2
=40.
I +1
7
Билет № И
2. * =
3.
1 Hl=32.
4. фпов. =60°, S=
91

Билет № 12
1. х=-±} .— arccos -~ +kn, ke Z.
2. x=4.
3.
щ=±-B~1~2)
4. BAD = arctg3, 5ABCD =16.
5. |PQ|=-^r.
У 239
92

ФИЗИКА — 1986 г.
f
2.
3.
4.
2.
3.
4.
1.
о
о
<J.
4.
2Л«
^12- ^
I
#=cose
X = 6 CM.
C=CV +
F=40 см.
я= Ji-.
49
Л 2^2
2(
2 '"
л:=1 см.
V, Г/
—- +яг,
r,-
2?Ш у»
1 mrf / '
31(VyV3)— Л2
V,/V,)--^-
Я9РЯ2
2cos2a
Билет
' V2 \2
Билет
(V2/V,J -
2V2/Vi
Билет
™1f(V2/V3):
Г/ V2 \2
A v. J '
№
№
№
-1
1
]
J
2
= — 12,46 Дж/моль -К.
3
!3

1.
2.
3.
4.
v = VgH/2.
2.
С С
1
х=2 см.
Ац. —- +R
2 (Г,
2(?( Еу/2
Билет
тЛ(—-
-Т2) -
Билет
№
'J
№
4
— 1
5
]
=-!1,38Дж/моль'К
2. a = 0,75, где a — степень диссоциации молекул.
S.
4. Г2= -Л-= 0,6.
2rfF
1 v=
т Т
Билет № 6
М 2лА
2.
3. Q- —.
4. Г = 3.

Билет № 7
1. T=4n2Amllm2g.
2. Рсм = i^±^ VlCv*ri+V2Cv^ =21,4 атм.
V+V v,CVi+v,CVj
3. В~ШЩ
4. Г=1; Г=3.
Билет № 8
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
v». _ г2
Vi Г,
2
, где Ти Т2 -
75% пара сконденсировалась.
л:=6 см.
F max — pg
Г=316 К.
л:= 101 метр.
[*+ '"
Билет № 9
— nR ")
2 J-

Билет № 10
1. _А« =3 -^- = 0,01.
а I
2. Д*= ^ = 1 см.
g(Pr — pB)S
3. Q= J-lt,
6 Co
4.
¦¦
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
Г =
т -
0
А
1/3.
— б гр.
/ ЗА
V e0Sd "
(а, — а2
(а, — F) (а2
Т==2Я1/ 200 "
п =
п=
А
1,8.
2.
И(Г,-Г2)
Г,Гг(Г,+ 1)
mg
2
)F2
-Л
31
8
in
— 1U
Билет
R ,
I
¦ *6 MM
Билет
№ И
г
1.
№ 12
= 2,7 сек.
см.
96

МАТЕМАТИКА — 1987 г.
Билет № 1
1.
2.
3.
4.
5.
гв-
2
1) a^
V- -
я
3
arccos
3
:у1Г
. 11
10 '
45 г
+ 2л?, /fee Z.
у~
3 '
2) „< j-
Im3.
15
1024
Билет № 2
6
2. 5=18У2Т
q n 15
O. a — ¦
4
1 Я+2&Я * e Z.
4. 1) a< 1L, a>3; 2) lal>-^-.
3 5
5. AB= J- d.
9

Билет № 3
I. *= JLn + 2kn> k e Z.
о
2. Z5 n_arccosjL arcs. _^_ t
2У7
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5. t
/?= JL
5
1) «i JL;
28
81
*= — — лн
P = 30.
3
1) a<—2, a^
45= Ji_/
13
2)a<
?3.
Ь2*я, /fe
= 18; 2) |
4 4
Билет № 4
G Z.
a|>2.
Билет № 5
3. 5=157,5.
4. {9-!_>9JL
I ол 20 .
5. S= -iffarccos Ji-+ 7УТГ\
,•¦ 98
_L_ q Ji_ о 17 |
20 ' - 20 ' " 2 ' 20 ' 2TJ/

Билет № 6
1.
2.
3.
4.
х = -
a g
р
{
1
Г*
(-2,2).
129.
5 1 5
6 '
1
4
, 6
1
6
5. S= J—farccos -^- + ~ L
4 \ 37 37 27
Билет № 7
1. х = —2.
2. а е(—«о, —3)U(—l,0)UB, +~).
3. Р = * ~
4. ( lJL, 2, 2-L-,
I 16 16
, 2, 2-L-, 2-i~, 2-^1.
16 16 16 16 J
5. 5= A- f arccos -li- +
11 \ 30
11 \ 30 135
Билет № 8
1. х= ¦.
5
2. а е(—«о, _2)UB, +~).
3. 5=170—,
3
4 { ! 2 5 4_]
' \ 3 ' 3 ' 4 ' 3 Г
nC in A
5. S = arccos
Э7 37 27
99

ФИЗИКА — 1987 г.
Билет № 1
1 дг= mg sin " Л. = 630 Н.
8к г
2. F=gV [ Рт —Ро—^-(Ai + Аа) ] -4,4 Н.
о Т
4. х= Hsin2a =HiJ -0,58 см.
— sin2
sin2a
Билет № 2
1. /и= —5 !1Ш ЛГ = 60У ? r = 85 г.
Л — R sin p
2. Без учета атмосферного давления F=pg(V — hS) «*9,8-
•103 Н и сила направлена вверх. С учетом атмосферного дав-
давления F=9 • 104 Н, сила направлена вниз.
3 р=
4. а=Н1 3
Pl+P2
1
У 4«,2 — l У in22 — :
Билет № 3
авт- 16/WV r
О
9 гт —¦ —
gv
3.
_
'max ~ яA + Р) ' 2inax
А г— "|и" жп/о Н —ПЯ9 ru
У л* — sin' a

Билет № 4
1. м= H~R m = 600 г.
R sin a
2. Без учета атмосферного давления F=pg(V —
•10* Н. С учетом F=23-104 H. В обоих случаях сила дейст-
действует вниз.
2я2(р1+р2J
4. Я=
1
У 4«i2 — 3 У 4«22 — 3
Билет № 5
1. я=1/2Уя?~4км/с.
2. Q= 19/24 /?7*i= 1970 Дж.
3. V=0,75E.
4. F=\,2 -SL- cosa~2-10-7 H.
с
1.
2.
3.
4.
Г=2я ]/"—
Q = 33/16^r,-
92/91» 1.2.
/г = 394 нм.
6
5-Ю3
кДж
Билет
с«84
№ 6
мин.
101

Билет № 7
1. v~1 gRIA~2 км/с.
2. Q = 129/40 Я Г, ~ 8 кДж.
3. V, = V2 =
4.
1.
2.
3.
4.
F
со
Q
r-
U
w
с
-V
= 52/5
=/?/2 =
=640
-]/ 1,56«4,16- Ю-7 Н.
Билет № 8
АР
mR
#7Y^6,05 кДж.
= 5 Ом.
нм, Ал«*457 нм.
102 ;

МАТЕМАТИКА — 1988 г.
Билет № 1
1. 0<х<1.
2. х= — +пт, х*= — + 2nk; m, k e Z.
4 6
3. S= -=:.
уз
•(*-!¦)•
5. I/=
Билет № 2
1. — 2<*<—1,
2. д;= ± -2- +2nk, х=—arccos —- +2ntn; k, m e Z.
4 4
4Q
з. s= -4=..
уз
5. V= 200.T/X.
3^2
; 103

Билет № 3
1.
2. x = nm, x= — +2nt; m, I e Z.
6
3. 5= 4=.
4. @; 10).
5. I/= -^=.
Билет № 4
2. х = пBт+1), х= -5
2
1); т, l,k e Z.
3. 5= JL.
Уз
5. у= i^i
4
104

Билет № 5
1. х= (—l)narcsin \-nti, tie Z.
2. ЛШ = 3.
3. 20 часов.
4. р<1.
5. S ТраПеции =45, расстояние от М до плоскости ABCD
равно
О
Билет № 6
1. х=± J-^n + 2nn, л е Z.
3. 3 часа.
4. р^2.
5. ЛВ = ЗУ26, расстояние от точки N до плоскости ABCD
равно 6"i/"_Z_, AfЛ/"= 15.
г 13
105

Билет № 7
1. x=±arccos _i- +2kn, k e Z.
О
2. АЕ=ЗУ~5.
3. 12 часов.
4. p< J_.
4
5- 5трапец^=15о, расстояние от М до плоскости ABCD равно
з тЛи-.
* о
Билет № 8
о
2. ?>/С=2У30.
3. 4 часа.
4.
5. АВ-1ОТЖ «»-«,«». о, то,к„ *, д0 плоскости
равно 10i/i±.
г 13 '
106

ФИЗИКА — 1988 г.
Билет № 1
1. a max =Nlvxm= 1 м/с2, amin = N/v2m = 0,5 м/с2.
2. Л12/Л23=—3/2.
3. п = ЗУ?С, г2 = 3/2У LC.
4. D1—D2 =
Билет № 2
1. tg a = 5/4 (.1 = 3/8.
2. ~в=
3. Т1 = 9/4УХС, г2 = 3/4УХС.
4. L = 20 см.
Билет № 3
mOf(O!,t-o,») =
max „о
2. Л12/Л2з=—2/3.
3. Г, = 3/4лт, Г2=3/8ят.
4. Л = 1/3, А=1.
107

Билет № 4
1. А: = 3/5 tg ct=3/5.
2. р= ЛР?1«1,2.Ю5 Па, где а=Кв/Кс=7-10-*
3.
4.
1.
2.
3.
4.
г,= -
* = /(•
C=3R
h = f
F
2 '
СМ.
?~
/,
— d
Г2 = 0,Зят.
|2 =3,4-106 к
= 2,83 А.
Билет
[ = 3400
№ 5
км.
Билет № 6
1, m
g (F2cos a2 —
2. С=2^.
3. Ы1==ы2У 2^=141 В.
4. F=3 см.
108

Билет № 7
1. а= pM2/cos<z~3,8 м/с2.
2. C=2R.
3. /2 = /iYT=l,41 А.
4. F = L.
Билет № 8
1. ctgP0
F sin P
2. a = 3/2.
3. u2 = uiy~2=Hl B.
4. /=/*/ (I —F)=8 см.
109

ЗАДАЧИ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО ФИЗИКЕ И
МАТЕМАТИКЕ В МФТИ В 1986—1988 ГОДАХ
Задачи предлагались абитуриентам на письменных экзаменах по математике и
физике.
Все задачи снабжены ответами.
На выполнение каждой письменной работы давалось 4 часа.