Б.А. БЕРЕЗОВСКИЙ, В.И. БОРЗЕНКО, Л.М. КЕМПНЕР
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Б. А. БЕРЕЗОВСКИЙ, В. И. БОРЗЕНКО, Л. М. КЕМПНЕР
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
МОСКВА 1981
УДК 519.81
Березовский Б. А. , Б’орзенкоВ. И., Кемине р Л. М. Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. М.: Наука, 1981. 150с.
В монографии исследуется широкий круг вопросов, связанных с проблемой выбора при многих критериях. С единых позиций рассматриваются свойства абстрактных функций выбора, геометрия бинарных отношений, исследуются такие вопросы, как выяснение структуры предпочтений Л ПР, построение алгоритмов выбора, оценка точности этих алгоритмов, выбор в условиях риска.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся вопросами, так или иначе связанными с многокритериальной оптимизацией, а,также будет полезна инженерам и специалистам, работающим в ‘’области прикладной математики.
Табл. 2, ил. 76, список лит. 44 назв.
Ответственный редактор доктор технических наук, профессор В. Н. БУРКОВ
30502-312
Б 4 qqT 706-81, кн. 2 1502000000	© Издательство «Наука», 1981 г,
-1Уо1
Предисловие
Цель этой книги — ввести читателя в круг математических проблем современной многокритериальной оптимизации. Под многокритериальной оптимизацией мы понимаем прикладную науку, связанную с моделированием выбора, и в частности со следующими проблемами: выяснение и формализация параметров выбора, ограничений (т. е. исходного множества вариантов и предъявлений), структуры предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР) *, построение алгоритмов выбора, оперирующих с этой информацией, оценка точности таких алгоритмов и т. п.
Как в любой прикладной области, в многокритериальной оптимизации заняты не только математика, но и другие науки, например инженерная психология, экспертное оценивание и др. Наша тема — математическая основа многокритериальной оптимизации.
Последние годы знаменовались многочисленными разработками, связанными с практическими задачами многокритериальной оптимизации, с одной стороны, и интенсивным развитием теории выбора— с другой [1,3,33—44]. Но практические методы, на наш взгляд, страдали разрозненностью и отсутствием общей теоретической базы, а теоретические изыскания, как правило, абстрагировались от структуры пространства показателей.
Нам кажется полезным перенести теорию выбора" с абстрактного множества вариантов на множество, наделенное структурой вещественного пространства или, в общем случае, многообразия. Такая постановка позволяет посмотреть на проблемы многокритериальной оптимизации с новых, геометрических позиций. Поэтому эта книга, хотя и содержит много новых результатов, представляет, пожалуй, больший интерес с точки зрения тех проблем, которые в ней поставлены, нежели тех, которые в ней рщцены.
Мы постарались изложить основные идеи и четко, .сформулировать проблемы, встающие при их реализации. Для э^ого потребовалось ввести терминологию, удобную как с наших (геометрических) позиций, так и для изложения результатов, ранее полученных в теории выбора и многокритериальной оптимизации.
В гл. 1 излагаются основы абстрактной теории выбора. Основные результаты и понятия, используемые в этой главе, были изложены в курсе лекций М. А. Айзермана и А. В. Малишевского, прочитанном в 1979 г. в Институте проблем управления АН СССР,
* При этом под ЛПР понимается не обязательно человек, а любой источник информации о выборе.
3
и в их работе «Некоторые аспекты общей теории выбора лучших вариантов» [1]. Кроме того, вводятся основные понятия теории выбора в пространстве показателей, обсуждается место бинарных отношений в проблематике многокритериальной оптимизации.
В гл. 2 развивается геометрический взгляд на теорию выбора в пространстве показателей, ставший возможным благодаря учету структуры пространства. Эта глава является по существу центральной. В ней же значительное место уделено идее аппроксимации выбора по произвольному гладкому сравнению.
Гл. 3 посвящена изучению порядковых сравнений и функций выбора, играющих важнейшую роль в современной практике многокритериальной оптимизации.
В гл. 4 рассмотрены вопросы аппроксимации функций выбора ЛПР, в частности, с использованием упорядочения критериев по важности.
Гл. 5 содержит•обзор алгоритмов выбора с единых позиций,, выработанных в гл. 1—3. Хотя окончательные блок-схемы алгоритмов, как правило, не приводятся, изложенных идей и результатов достаточно для их написания.
В гл. 6 приведены результаты, полезные для оценивания точности аппроксимации функции выбора ЛПР.
Наконец, в гл. 7 обсуждаются вопросы выбора в условиях риска, заложены основы стохастической теории выбора. Эта глава написана совместно с А. В. Гнединым.
Книга предназначена для широкого круга специалистов, так или иначе сталкивающихся с задачами многокритериальной оптимизации. Поэтому для математика-профессионала изложение может показаться местами излишне подробным. Разобрано много примеров, иллюстрирующих приведенные определения и результаты. По этой же причиненекоторые доказательства, не содержащие важных с точки зрения теории выбора идей, изложены в конспективной форме.
Авторы благодарят С. И. Травкина за помощь в процессе работы над рукописью, а также И. В. Гусева и Е. Ю. Доброву за помощь в оформлении книги.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЫБОРА В ПРОСТРАНСТВЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
§ 1. Функция выбора
Основным объектом теории выбора является функция выбора И].
Функцией выбора мы будем называть тройку (Л, 30 с; Л, С : 30	Л), где Л — некоторое множество, 30 — некоторая
часть множества Л всех подмножеств множества Л, С : ЗС А — отображение, такое, что для любого X из 30 С (X) £ X.
В этом контексте множество Л называется исходным множеством вариантов, его элементы называются вариантами, 30 — классом (допустимых) предъявлений, любой его элемент X — (допустимым) предъявлением, С (X) — выбором из X.
По аналогии с обычными функциями, которые также определяются как тройка (/: АВ), там, где это не может вызвать недоразумений, функцией выбора называется само отображение С.
Класс функций выбора с исходным множеством вариантов Л и множеством предъявлений 30 обозначается 6 (Л, 30). По определению, 30 с А = {X Л}. Если же = Л, т. е. предъяв-def
лением может быть любое подмножество исходного множества вариантов, то 30 опускается: СЕЙ (Л) ♦.
§ 2. Примеры функций выбора
Рассмотрим наиболее распространенные функции выбора. Пример 1. Графодоминантная функция выбора [1].
Графодоминантная функция выбора задается некоторым бинарным отношением.
Аналогично функции выбора (бинарным) отношением назовем тройку (Л, А х Л, Л :	{истина, ложь}) (а не двойку
(Л, Л), как это обычно делается). Здесь Л — некоторое множество, Л — отображение.
В этом контексте Л называется исходным множеством вариантов, — классом допустимых пар.
Очевидно, бинарное отношение можно задавать двояко. Обычно в^сЛ X Л фиксируется некоторое множество Л* и отношение
* Мы несколько расширили принятое в литературе по теории выбора определение функции выбора, в котором полагается 30 — А или 30 = А \ ф. Как мы увидим, в многокритериальной оптимизации встречаются самые разнообразные множества предъявлений, и поэтому нам удобнее не фиксировать множество 30 заранее.
5
определяется так:
х Л у (х, у) е Л+
(напомним, что хЛу — это просто сокращенная запись высказывания 3?((я, у)) — истина).
Нам, однако, часто будет удобно для каждой точки zeA задавать множество
•%х	<= А : (х, у) е
называемое верхним конусом [2] точки х*.
Тогда отношение будет определяться отображением
: А А. х у** Л<^ч
а именно:
хЛу у е к^ (х) = Л*-
Понятно, что эти способы задания эквивалентны. Точнее, формулы
Л <-* ЛЗ = J?"1 {{истина}) о и
<Я+ ь* (х^ : х {у ЕЕ (х, у) 6= Л+}) определяют изоморфизмы классов отношений, подмножеств прямого произведения и функций верхних конусов.
Через Л'1 (У), гДе — некоторое подмножество образа, обозначается, как обычно, полный прообраз Y, т. е.
•Я’1	У}.
Наконец, по аналогии с классом функций введем класс бинарных отношений Ж (4, ®f) или $?(4), если = 4 х4. Так же, как и в случае функции, мы будем допускать некоторую вольность речи, говоря Л е ® (4,^).
Итак, пусть задано отношение (4, у, Л). Тогда можно построить функцию выбора (4, 3£, С), где
ЗС = {X 4: Nx, у ЕЕ X {х, у) ЕЕ Я **,
С : ЗС 4: X Мах^Х.
Здесь Мах^Х == {х ЕЕ X: Ху ЕЕ X хЛу} — максимум множества X по отношению Л, черта сверху обозначает отрицание.
В этом контексте отношение Л принято называть отношением доминирования (точка х доминируется точкой у), или предпочтения (точка х менее предпочтительна, чем точка у).
Замечание. Везде, где отношение Л имеет смысл доминирования, если не оговорено противное, мы будем для определен
* В литературе по многокритериальной оптимизации этот объект называется еще срезом отношения [3].
** Именно поэтому удобно отношение определять как тройку, а не как двойку.
6
ности полагать, что с: А XА \ D, где D {(я, х): х£=.А} — диагональ. Вся построенная теория без труда переносится на общий случай.
Построенная таким образом функция выбора будет называться графодоминантной по отношению Я и обозначаться С™.
Приведем пример. Пусть А — {х, у, z}, Я+ ~ {(я, у), (у. z), (z, х)}. Тогда, например, СТ£({х, у, z}) = 0, СГ£({х, у}) = {у) (рис. 1.1).
Введем также обозначение для класса графодоминантных функций по отношениям Я ЕЕ ЗВ (А,
®гд (А 39 {С^ Г Я е ® (Л, Ж
или
®ГД(А^{^:^е®(Л)}, если ^ = ЛхЛ.
Название «графодоминантная» не случайно. Дело в том, что теория выбора изначально в основном оперировала с конечными исходными множествами вариантов, а класс бинарных отношений * на конечном множестве очевидно изоморфен классу ориентированных графов (орграфов) с числом вершин, равным мощности множества А (дуга проводится в вершину х из вершины у тогда и только тогда, когда хЯу}. Таким образом, отношению Я соответствует орграф, который мы будем обозначать G (J?).
Еще удобнее изображать орграфом транзитивное бинарное отношение. Напомним, что бинарное отношение Я ЕЕ ЗВ (Л) называется транзитивным, если
Уж, у. z Е= А (xЯy&yЯz==>xЯz).
В этом случае можно изображать не весь орграф отношения, а лишь его транзитивный остов (не изображаются дуги, соединяющие начало и конец какой-либо цепи длины более единицы). Таким образом, операция взятия транзитивного остова является обратной к операции транзитивного замыкания, при которой начало и конец, каждой цепи соединяются дугой (рис. 1.2).
Всякое транзитивное бинарное отношение Я €= ЗВ (Л) назовем предпорядком на Л. Множество предпорядков на Л будем обозначать ST (Л). Орграфом предпорядка там, где это не вызовет недоразумений, будем называть транзитивный остов соответствующего бинарного отношения.
Понятно, что орграф предпорядка может иметь циклы (т. е. цепи, у которых начало и конец совпадают). Введем обозначение:
(Л)	ЗВ (Л): G (Я) не содержит циклов длины, меньшей
либо равной к} (к — 1, 2,. . ., оо) (т. е. (Л) — множество бинарных отношений, таких, что G (Я) не имеет циклов). Отношения
* Далее в этом параграфе определения и утверждения формулируются для случая = А X А, т. е. для 33 (4). Все они без труда переносятся на общий случай.
7
Рис. 1.1 Граф примера 1
Рис. 1.2. Транзитивный остов и транзитивное замыкание
1 — взятие транзитивного остова; 2__
транзитивное замыкание
«^6^1 называют антирефлекецрными, отношения J? Е Л2 — асимметричными. Понятно, что
УЛ Л (Л)	Л2 (Л) о	(Л).
Утверждение 1.1. УЛ ^(Л) П (Л) =	(Л) Q
П (Л).
В самом деле, еЛоДЛ) cz (Л), поэтому
(Л) П еЛое (Л) Q (Л) П (Л).
С другой стороны, пусть G (J#) имеет циклы. Тогда по транзитивности он имеет и петли (циклы длины один).
Отношение Л S (Л) р| (Л) называется порядком. Иногда наряду с так определенным порядком удобно рассматривать бинарное отношение Л', такое, что
хЛ'у 4=> хЛу V х = у-def
Очевидно, Л" всегда обладает следующими свойствами: рефлексивность (Vx GE Л хЛ'х), антисимметричность (хЛ'у& уЛ'х =^х = у), тр анзитивность.
Такое отношение будем называть нестрогим порядком или просто порядком (там, где это не вызовет недоразумений).
Далее заметим, что каждый предпорядок может быть превращен в порядок разбиением множества Л на следующие классы эквивалентности:
х ~ у хЛу & уЛх. def
Аксиомы эквивалентности, т. е. рефлексивность х~ х, симметричность х~у^>у~хк транзитивность, проверяются тривиально. Класс эквивалентности точки х обозцачим %. На множестве

классов эквивалентности вводится бинарное отношение Я'.
хЯу хЯу, где г е 2, у е у.
def
Нетрудно убедиться, что это определение корректно, т. е. значение хЯу (истина или ложь) не зависит от выбора представителей X ЕЕ % К У ЕЕ У •	~
Построенное отношение Я является порядком на множестве А классов эквивалентности..Более того, подобную операцию можно произвести на произвольном орграфе. Отношением эквивалентности в этом случае будет принадлежность одному циклу. Порядок вводится следующим образом:
хЯу 4=> Я# ЕЕ У у: хЯу.
def
Это определение также корректно, так как
если Я#! ЕЕ %, Ух ЕЕ у : хгЯух и Яя2 ЕЕ £, у2 ЕЕ у : у2^^ то % = У-
В смысле введенной эквивалентности в случае, когда J/? есть отношение доминирования на множестве А (т. е. в контексте графодоминантного выбора), удобно ввести следующие обозначения:
х -< у Ф» хЯу & уЯх,
х^у Ф» хЯу V х ~ у,
def
х 0 У Х-Яу & уЯх. def
Введенные понятия будут полезны для дальнейшего.
Наконец, заметим, что на множестве © (Л, 30} также можно рассмотреть по аналогии с Л* классы 91.:
30} = {СеК (Л, 30}'. ХХееЭ0\{<2)} |Х|</с=Ф def
к —1,2, . . . , оо.
Понятно, что 9U (Л, Й7) с: . . . cz 9(2 (Л, Й7) с: 91т (Л, 30}. Далее
Я ЕЕ еЛ.(Л) => ЕЕ 91. (Л).
Более того,
®гд (А) П 91. (Л) = {С$ : Я е Л.(Л)}.
Область (£гд — основное, наиболее очевидное место применения бинарных отношений в теории выбора.
Пример 2. Турнирная функция [1].
Не надо думать, что описанный способ — единственный, который позволяет естественно определить функцию выбора по данному бинарному отношению. Например, следующее правило, определяющее выбор на орграфе, называется турнирным. Вве-
9
дем функцию N' {функция очков):
если хЛу & уЛх. то N' (х,у) О,
если уЛх& хЛу, то N’ (х, у) = 1,
иначе N' (х,у) — 0,5.
Далее, N (ж) 5j N' (*, у) и C# (X)—множество х €= X, достав-у^Х
л.яющих максимум функции N на множестве X, т. е.
VX £ А (X) = {х е X: N (х) = max N}.
Приведем пример для отношения, орграф которого изображен на рис. 1.3. В этом случае
N (х) =2, N N (z) = 1,5, N (t) = 1, поэтому (Л) = = {ж}. Для орграфа с вершинами х, у, z N (z) = 0,5, N (х) — 1, N (у) = 1,5 и, таким образом, (Хх) = {г/}. Для орграфа с вершинами у, z, t N (у) = N(z) = N (t) = 1 и С& (Ха) = {у, z, t}.
§ 3.	Функции выбора в пространстве показателей (Ro)
Будем рассматривать класс функций выбора, для которых исходное множество вариантов А есть пространство Rn с фиксированными осями координат (Ro)- Этот класс является основным в теории многокритериальной оптимизации. В этой связи обсудим терминологию.
В контексте многокритериальной оптимизации шкалы — это оси координат в Rq*, само Ro (с фиксированными в нем осями) называется пространством показателей] оценка по i-й шкале — это i-я координата; и, наконец, бинарное отношение на Ro принято называть сравнением. Иначе говоря, сравнением называется элемент множества
и где 3T = $(R”).
71GEN
Обсудим также понятие «критерий». Если сравнение Л & 3?)П таково, что
(Xi == 1,. . . , п xt < yt) => xj/?y,
то показатели называются критериями в смысле сравнения Л. Само сравнение обладающее таким свойством, называется сравнением па критериям. Пространство показателей Ro в этом случае "называется критериальным пространством. Его координаты — оценками по критериям.
То же можно выразить иначе. Заметим, что в пространстве 10	’ \
Рис. 1.3. Граф примера 2
л = {х, v, г, о» «Х1 « {х, v, z}> х2 — = {у, z, о. СТ (А) = {х>, СТ (Л,) = =(!/}, СТ (Х2) = хг
Рис. 1.4. Пример сравнения по критериям
R* есть стандартный порядок Par71 — прямое произведение по рядков по координатам:
к Раг”у <==> Vi = 1, . . . , п xt < уi. def
Такой порядок называется парето-порядком * [4].
Кроме того, на множестве бинарных отношений в А также имеется естественный порядок — порядок вложения, на множестве всех подмножеств А х А. Иначе говоря, ^<^2 слабее, чем Я А fit S ^2, где X, <с4 х А. def 1
Или на языке верхних конусов
Vx е а я1х с я№.
Понятно, что эти определения эквивалентны.
Утверждение 1.2. J?i<J?2^VXcX МахЯ1Х = Э Мах^2Х, где через Мах^Х обозначен, как обычно, максимум множества X по отношению Я, т. е.
Мах^Х ={х Е X: Vy еХ х^у}. def
* В наших терминах стандартное определение парето-порядка: точка х доминируется£точкой у по Парето, если Vi xi yt и Hi: xt < уозначает в точности, что хРаг у и х =/= у, что в силу замечания на с. 7, то же, что х Par у.
11
Теперь наше определение переформулируется так: сравнение Л €= называется сравнением по критериям, если Л Рагп.
Заметим, что если понятие «показатель» имеет смысл независимо от какого-либо сравнения, то другое дело — критерии. Таким образом, понятие выбора по критериям пока имеет разумный смысл только для графодоминантного выбора. В § 4 это понятие будет распространено на весь класс функций выбора
и (Г, где
ngN
Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть сравнение J?EE532 определяется верхними конусами: Vx Ez R2 Лх = х + S.
Множество S Q Rq изображено на рис. 1.4, а. Очевидно, что Л Par 2. Пусть X = {$1 + xl 1}. Множества МахРаг2Х и Мах^Х изображен^ на рис. 1.4, б. Как и следовало ожидать, МахлХ CZ МахРаг2 X, Таким образом, сравнение Л является сравнением по критериям, и функцию Сг& естественно назвать функцией выбора по. критериям.
§ 4.	Примеры функций выбора в пространстве показателей
На основе вновь введенных понятий продолжаем обсуждение примеров задания различных функций выбора.
Пример 3. Функция выбора по Парето.
Функция выбора по Парето — это графодоминантная функция, в которой в качестве отношения Л фигурирует парето-порядок в пространстве показателей. Таким образом,
VX С R* С?аг (X) = {х е X: Vy е х х №у}.
Пример 4. Функция совокупно-экстремального выбора [1].
Функции выбора в пространстве Ro можно, разумеется, задавать и не только как графодоминантные. Функция совокупно-экстремального выбора на Ro задается следующим образом:
VX Ro ’(Vx, у е X Nix, У1)
Ссэ Гг {х е X:3i vy е X у, < хА,
т. е. из любого предъявления выбираются точки, доставляющие максимум хотя бы одной координате.
Иногда говорят, что совокупно-экстремальный выбор есть выбор точек, доставляющих максимум хотя бы по одному критерию. Заметим, однако, что это утверждение не имеет смысла при нашем определении критерия в отличие от показателя (гл. 1, § 3). В самом деле, функция совокупно-экстремального выбора не определяется с помощью какого-либо сравнения.
12
Однако понятие выбора по критериям можно обобщить. Распространим естественный порядок на множестве бинарных отношений в 4 до порядка на множестве функций выбора в А:
G "С С2 (С\ слабее, чем С2) 44 XX С2 А Сг (X) э С2(Х). def
Из утверждения 1.2 следует, что
сгЛ < сгЛ А <
Тогда выбор по критериям естественно определить следующим образом: пусть Се£п = © (Ro), тогда def
С — функция выбора по критериям 44 С CpaT def
по аналогии и в согласии с прежним определением.
С этой точки зрения совокупно-экстремальный в$бор есть выбор по критериям, так как очевидно, что
VXcR? Сспэ (X) C?ar (X), т. е. С” > С?аг.
§ 5.	Теория выбора
Интересно (и, как увидим впоследствии, полезно) рассмат-ривать свойства функции выбора, сформулированные на теоретико-множественном языке, абстрагируясь от структуры исходного множества вариантов. Ниже уточним смысл этой фразы. А пока проиллюстрируем нашу мысль на уже разобранных примерах.
Для простоты будем считать, что ЯС = А. Приведенные ниже определения автоматически переносятся на общий случай.
Нетрудно заметить, что все функции примеров 1, 3 и 4 обладают следующим (чисто теоретико-множественным) свойством [1]:
ххсл,х'сх, v^g x' (хе с(Х) =4хе с (Х'))>
т. е., если точка выбирается из некоторого предъявления, то она выбирается также и для любого его подмножества (см. рис. 1.5, а). Такое свойство назовем Н (наследования). Его удобно записывать в следующей форме:
VXC4, X' с X С (X) П X' с С (X').	(Н)
Это свойство, во всяком случае внешне, напоминает обратную монотонность функции С:
X' С X =4 С (X') С (X).
Наличие в формуле (Н) пересечения с X' вызвано свойством функции выбора С(Х') cz X'.
Подмножество функций, удовлетворяющих условию Н, обозначается, естественно, (А). Таким образом, утверждение, что
13
rfXUY)

a
0
Рис. 1.5. Свойства функций выбора
некоторая функция С удовлетворяет условию наследования, записывается следующим образом: С ЕЕ Ж (Л).!
Как мы уже говорили, все функции примеров 1, 3 и 4 удовлетворяют условию Н. Действительно, если х выбирается на некотором орграфе, то она будет выбрана и на произвольном его подграфе, значит	(Л) С^е^(Л),т.е. УЛ ®гД(Л)о^ (Л)
(если Уу ЕЕ X хЯ у, то, очевидно, это верно и для Уг/ ЕЕ X' d X). Поэтому $раг Е= Ж (Ro)- И наконец, С£э е (Ro), потому что, доставляя максимум некоторой координате i на предъявлении X, та же точка доставит ей максимум и для любого X' d X.
В то же время легко понять, что, например, функция турнирного выбора (пример 2) может не удовлетворять этому условию. Действительно, как видно из рис. 1.3, точка х выбирается на предъявлении X = Л, но не выбирается на его подмножестве Хх (таком, что х ЕЕ XJ.
Рассмотрим в некотором смысле обратное свойство функции выбора С:
УХ d Л, VX': С(Х) d X'd X С (X') d С(Х).	(О)
Иначе говоря, при отбрасывании невыбранных вариантов выбор не увеличивается (см. рис. 1.5, б). Условие О напоминает прямую монотонность функции С: X'd X ==> С(Х') d С (X).
Такое условие называется условием отбрасывания. Множество функций выбора, удовлетворяющих условию отбрасывания, обозначается буквой О *. Этим свойством обладают функции примеров 3 и 4, однако могут не обладать функции примеров 1 и 2.
* В литературе [1] условием О часто называют несколько другое:
VX С Л, VX' : С(Х) СХ' СХ С (X') = С(Х),	(О')
т. е. выбор вообще не изменяется при отбрасывании^невыбираемых вариантов [1J. Как увидим ниже, обсуждаемые свойства 'являются характеристическими для основных классов функций выбора (графодоминантные, Парето, совокупно-экстремальные). В этом контексте условие О рассматривается всегда вместе с условием Н. Но, как нетрудно видеть, Н & О <=> <=> Н & О'. С другой стороны, О' ==> О, т. е. условие О легче проверять (именно поэтому было выбрано приводимое определение).
14
То, что Сраг G= О (Ro), очевидно в силу транзитивности сравнения Рагп. Также ясно, что Ссэ ЕЕ О (Ro), так как значения максимумов по координатам при отбрасывании невыбранных вариантов останутся неизменными. В то же время (см. рис. 1.1) (f^ ({х9 У, z}) ~ Ф, но ({#, У}) = {^}, т- е- свойство О не выполнено, а из рис. 1.3 видно, что, выбрав X = {х, у, 2, £}, Хг = — {£, У, z} G X, мы получим (X') Ф С& (X), т. е. ЕЕ е® (Л) \ 0(A)
С другой стороны, свойством С (согласованности) [1] (см. рис. 1.5, в)
УХУ Е А С (X) П С (У) G С (X U У)	(Q
обладают функции примеров 1 и, следовательно, 3 и не обязательно — 2 и 4.
Как и свойство Н, это свойство удобно формулировать поточечно: х е с (X) & х е с (Y) => х е с (X и У).
То, что ®гд (Л) С $ (Л), очевидно. На рис. 1.3 показан случай Cj е®(Л)\$(Л). Действительно, у^С& ({х, у, z}), с другой стороны, у Е= Cj (Х2), но у С & (Хг (J Х2). Пример того, что Ссэ $ (Ro), приведен на рис. 1.6: у G= Ссэ (Х^, у Е= Ссэ(Х2), но у & (Xt U Х2);
Таким образом, мы установили, что любая графодоминантная функция выбора Е= (A) fj $ (Л), совокупно-экстремальная функция Ссэ обладают свойствами Н и О, а всякая паретов-ская функция выбора Сраг обладает всеми тремя свойствами Н, О и С. Кроме того, очевидно, что в двух последййХ случаях выбор не пуст ни для какого непустого предъявления. То есть Сраг, Ссэ €=	(Ro)- Заметим, что мы нигде не использовали конеч-
ности множества Л.
Для конечного множества Л можно показать (гл. 1, § 6), что в некотором смысле верны и обратные утверждения. А именно: всякая функция из (Л) может быть реализована с помощью графодоминантной функции выбора; всякая функция выбора из 5toc, удовлетворяющая условиям Н и О, может быть реализована как совокупно-экстремальная и, наконец, всякая функция выбора из ?1ос, удовлетворяющая всем трем условиям Н, О и С, реализуется паретовской функцией.
Сделанные утверждения заставляют думать, что свойства Н, О и С играют важную роль в теории выбора; теорема Плотта [5] (гл. 1, § 8) подтверждает это. С другой стороны, мы убедились, что функция турнирного выбора может не удовлетворять никакому из этих условий. Интересно установить для этой функции выбора свойства, необходимые и достаточные в том же смысле, что и в сделанных утверждениях.
15
§ 6.	Определение реализации и эквивалентности функций выбора. Абстрактные функции выбора
Уточним понятие реализации. Будем говорить, что функция выбора Сх ЕЕ Е (Л1? <2?i) реализуется функцией выбора С2 €= ЕЕ (£(Л2, «272), если существует отображение F: А1~^А2, удовлетворяющее условиям 1 и 2 (запись — Сг C2,F будем называть реализацией (\ через С2):
1) F (#i) £ т. е. VX е F (X) е ЗСг,
2) C2|f(^) = Ft(\oF-\
С2 означает сужение оператора С2. Заметим, что понятие сужения функции выбора не вполне совпадает с известным понятием сужения оператора. Функция Сг ЕЕ ® (Л1Г <27i) называется сужением функции С2 ЕЕ© (Л2,	(обозначение Сх = С2\Аи^),
если Аг cz Л2, <271 £$*2 и С1 = (Заметим, что по определению функции выбора <271 £ <272 П А-) Условие 1 необходимо, таким образом, для того, чтобы C2[f(<^i) было определено.
Для того чтобы смысл данного определения стал вполне прозрачным, приведем пример. Пусть = {^i, х2, х3}, С! е 9U (Лх) cz £©(АХ). Функция Ci определяется следующим образом:
({^ъ ^2}) “	({^и #з})«= {^1? ^з}»
({*^2’ ^з})	{*^2» *з},	^1 ({*^1» *^2> ^з)} ~ {^2? *з}-
Реализуем эту функцию как двумерную паретовскую в строгих шкалах. В наших терминах функция С Е (<27) называется функцией выбора в строгих шкалах, если SC = {X £ Ro- Vx, у S ЕЕ X. Xi = 1, . . ., п Xi yi}. Обозначается это так: С ЕЕ (от слова strict — строгий). Во-первых, очевидно, что F — инъекция, иначе, как нетрудно проверить, не выполнялось бы условие 2. Поэтому для того, чтобы определить реализацию, необходимо расположить на плоскости три точки у1, у2, у3 с несовпадающими координатами (условие 1) так, чтобы выбор на каждом предъявлении из этих точек содержал бы точки уг с теми же номерами, что и выбор из соответствующего предъявления на множестве Одна из возможных конфигураций приведена на рис. 1.7.
Теперь реализация F определяется так: F (^Од^У1, i s 1,2, 3.
Естественно также определить, что значит, что данная функция выбора С реализуется некоторым классом функций выбора ©о. Будем говорить, что С реализуется классом функций выбора ©о, если она реализуется какой-либо функцией из этого класса, т. е.
существует С' ЕЕ ©о, такая, что С С.
♦ Если Сг =	причем = Л2, то в обозначении опускается:
Ci ~ ^2 1^-
16	.	7*	4 .
2
Рис. 1.6. Пример совокупно-экстремального выбора
Xi = {х, у,}, Х2 = {у, 2}
Рис. 1.7. Пример реализации функции выбора
Далее, реализацию F, являющуюся биекцией, назовем эквивалентностью. Обозначение:	С2. Будем говорить, что функ-
ции выбора Сг и С2 эквивалентны, если существует эквивалентность F, такая, что Сг ~ С2.
Очевидно, что определенное таким образом отношение действительно является отношением эквивалентности на совокупности всевозможных функций выбора, исходные множества вариантов которых равномощны. Поэтому можно рассмотреть фактор-множество множества всех таких функций выбора, т. е. множество классов эквивалентности. Это фактор-множество будем называть классом абстрактных функций выбора и обозначать © (Л), где через А, естественно, обозначено фактор-множество совокупности равномощных множеств в теоретико-множественном смысле:
Ах ~ А2 ФФ 3F: Ai -> А2, где F — биекция, def
Элементы этого класса называются абстрактными функциями выбора. Естественную проекцию (К (А) -> (К (А) будем обозначать л.
Для того чтобы лучше освоиться с введенными определениями, сформулируем несколько очевидных утверждений.
F j
Утверждение 1.3. Пусть (\?—г С2, причем F — инъекция. Тогда
G ~ G |г(«а?1)-
Утверждение 1.4. Операторы эквивалентных функций выбора при взаимно-однозначном отображении F исходных множеств вариантов совпадают поточечно, т. е. следующая диаграмма коммутативна:
Ci ~
ЗС^> Ах
С> ~
ЗСъ > А2
МАУЧ1АЯ БИБЛМ0ТЕОI	17
ви. Горькего
L g г у
Это утверждение можно принять за определение эквивалент-ности функций выбора Сх и С2, независимое от понятия реализации.
То, что мы называем метатеорией выбора, исследует класс абстрактных функций выбора ® (Л*), т. е. свойства функций выбора, инвариантные относительно эквивалентности. Так, например, совершенно очевидно, что свойства Н, О и С таковы, т. е. классы Ж (Л), О (Л), $ (Л) (равно как, впрочем, и классы 31^ (Л), (£ГД(Л)) естественно проектируются в класс К (Л).
Понятия такой метатеории весьма полезны как инструмент в многокритериальной оптимизации, однако высокая степень абстрактности этой теории является также и ее недостатком. Насколько известно авторам, единственным нетривиальным результатом чистой метатеории выбора является теорема Плотта [5], доказательство которой приводится в гл. 1, § 8.
§ 7.	Проблемы реализации
Перейдем к вопросам реализации функций выбора С, обладающих свойствами Н и О, Н и С, Н, О и С.
Первое, что мы хотим показать,— это то, что всякая функция выбора С из St (Л) Q $ (Л) может быть реализована графодоминантной функцией, т. е.
УСе^п«(Л) ял',
более того, Я/'1: Л А' — биекция, т. е. Ял? G= ЗВ (Л): С ~
Действительно, пусть на орграфе с множеством вершин Л дуга в вершину х из вершины у проводится тогда и только тогда, когда х С ({я, у}). Тогда, если х cz X с Л — недоминируемая вершина орграфа, то Ху ЕЕ X х С ({х, у}) и по условию согласованности х €= С (X). Если же вершина х доминируется, например, вершиной г/, то рассмотрим множество X' = {х, у} с; X. Ясно, что х С (X') и по условию наследования х С (X).
Таким образом, мы установили, что для любого исходного множества вариантов Л
(£ГД (Л) = Ж (А) Г]^ (4).
В связи со сказанным в предыдущем параграфе это утверждение можно записать в виде
(£гд = Ж	(Л),
т. е. оно принадлежит метатеории.
Скажем несколько слов по поводу условий Кондарсе [6] — ведь условия Н и С стали широко использоваться в теории выбора лишь совсем недавно, а до того возможность реализации функции выбора графодоминантной функцией связывалась с выполнением именно условий Кондарсе.
Условиями Кондарсе [6] называются следующие четыре свойства функции выбора СЕ 6 (Л).
18	4 \
1.	Прямое условие Кондарсе СЕ^хЦ):
УХсЛ С(Х)=> (J П С(Х').
Х^х X'ei<2)
Х'эх
. Напомним обозначения: А = {X ст .4};	= (X £ A: I X I —
def	л def
= к}, Ле N.
Это свойство означает следующее: если точка выбирается из каждой пары точек какого-либо множества, то она выбирается и из всего множества.
2.	Обратное условие Кондарсе С ЕЕ ^*2 (Л):
УХтЛ С(Х)<= и П С(Х'),
Х^х геЖ Х'эх
т. е. если точка выбирается из какого-либо множества, то она выбирается и из каждой пары точек этого множества.
3.	Прямое обобщенное условие Кондарсе С Е ^1 (4):
ух^л С(Х)=> и л ст
Х^х Х'<=Х, Х'эх
т. е. если точка выбирается из каждого подмножества множества X, то она выбирается из самого множества X. По сравнению с условием Х(2) заменено на X. Но из того^ что X ЕЕ X, видно, что условие тривиально:	(Л) = (£ (Л).
4.	Обратное обобщенное условие Кондарсе С ЕЕ (Л):
УХ^Л С(Х)с (J П С(Х'). хех	х'эх
Из того, что Х(2) ст X, следует, что
Л С(Х')С п С(Х'),
Х'еХ.Х'ЭХ	Х'(=Х<2), Х'эх
I
поэтому (Л) £ «^2 (Л). Таким образом, обобщенное обратное условие Кондарсе сильнее простого обратного условия Кондарсе.
С другой стороны, нетрудно понять, что (Л) = 3$ (Л) и, кроме того, $ (Л) £ JTi (Л). Обратное включение, вообще говоря, неверно.
Действительно, рассмотрим в качестве Л четырехэлементное множество: Л = {a^, я2, х3, я4}. Пусть С (Л) = {х2, х3, х4}, С ({#!, х2}) = {я2}, С (X) = X для любого другого X СТ А. Нетрудно видеть, что условие выполняется.
С другой стороны, рассмотрим множество X = {хъ х3}, Y == {#1? х^}. Точка х± выбирается как в X, так и в У и не выбирается в Л = X (J У в противоречие с условием С.
Однако мы сейчас покажем, что
(л) л (л) = зе (Л) л (Л).
19
Действительно, из того, что $ (Л)^^ (Д) и Ж (Л) — Я'2 (Л) СЕ cz (Л), следует, что
Ж (Л) П М) S М) А ^2 (Л).
Обратное включение докажем в два этапа.
1.	(Л) П Я*2 (Л)	(Л).
Действительно, пусть выполнены условия СИ\ и ZXf2 и точка .£ ЕЕ X' ЕЕ X cz Л такова, что х ЕЕ С (X). Из свойства -Я'? следует, что
Vi/ех хееС({х, у}).
Поэтому V?/E X' с X х ЕЕ С ({я, у}).
Теперь из свойства ^'i получаем х Е: С (X'), что и требовалось.
2.	(Л) П (Л) С (Л).
Пусть точка х ЕЕ С (X) А С (У). Тогда из свойства следует х ЕЕ С ({#, у}) \у ЕЕ X и х ЕЕ С ({х, у}) Ny ЕЕ У. Ссылка на свойство завершает доказательство.
Таким образом, получаем окончательно
(Л) а ^2 G4) =	(Л) А И) = ®гд И)-
Перейдем к реализации функций С е 91 х> А А ® М) в случае конечного множества Л. Оказывается, каждую такую функцию можно реализовать совокупно-экстремальной функцией выбора.
Теперь докажем, что всякая функция С ЕЕ 9U А^А® А $ И) реализуется паретовской функцией некоторой размерности. Еще раз напомним, что А считается конечным.
Прежде всего заметим, что из того, что функция С Е: Ж А$ (Л), по доказанному в начале параграфа следует, что она реализуется как графодоминантная, причем множество Л можно считать множеством вершин соответствующего орграфа. Дуги же его определяются следующим образом: дуга в точку х из точки у (х$у) проводится, если С ({х, у})
Докажем теперь, что при выполнении условия О и CeeSIoo (Л) орграф задает порядок на Л. Очевидно, что достаточно доказать, что Л (Л).
Пусть хЛу и т. е. х ^Е С ({х, у}), у С ({z/, z}). Докажем, что х ЕЁ С ({я, z}). Действительно, в силу свойства Н С({х, у, z}) cz {z}. Из свойства О поэтому следует, что С ({z, z}) cz EZ{z}. Это и требовалось доказать.
Остается доказать, что существуют п ЕЕ N и отображение F f А.
такие, что С Сраг*
Приведем конструктивное доказательство, в котором п равно минимальной мощности покрытия орграфа G (J?) транзитивными цепями [7].
Действительно, зададим функцию /: Л -> R1, такую, что л<%у => f (*) </ (У) *•
* Как мы увидим далее (гл. 2, § 2), такая функция называется изотонной.
2Q
В качестве такой функции можно взять функцию, называемую «высотой» .в смысле данного порядка Л и определяемую следующим образом:
пусть Му = Мах^Л,
Mfc+i =Мах^ (Л \ [__] Л/\);
г=1
тогда число множеств Mt называется высотой орграфа, обозначается Я; функция высоты определяется как h (х) = = Н — i + С> где х Mi.
Назовем совокупность транзитивных цепей орграфаЛ? (J^) {Ch покрытием G (J%), если
Vx, yEA ((Si: x, у e Chf)
4=> (хЛу V уЯх))',
Рис. 1.8. Функция высоты на графе
*г. е. две вершины принадлежат одной цепи тогда и только тогда, когда они сравнимы. Фиксируем некоторое покрытие орграфа, такое, что его мощность к минимальна. Каждой цепи Chf этого покрытия поставим в соответствие показатель i и положим Xi ~ = 2h(x), если .г ЕЕ ChЕсли х e£Chf, то пусть существует у ЕЕ Ch£, такой, что y^lx и V/ ЕЕ Chz такого, что у'Лх, h (у) > h (у'). Тогда положим xt = 2/г (у) + 1, в противном случае xt = 1. Ясно, что если хЛу, то (по построению) для любого t Xi <Уь т. е. я Par *7/. Если же х<Я!у & уЯх, то, очевидно, существует цепь СЬ^, не содержащая х, но содержащая у (хг <yt), и цепь Chj, не содержащая у, но содержащая х (у j <xj), т. е. х и у несравнимы по Парето. Как мы видим, размерность пространства, в котором реализуется данное бинарное отношение, равна мощности к минимального покрытия орграфа транзитивными цепями.
Так, высота вершин транзитивного орграфа, представленного на рис. 1.8 своим остовом, равна: h (х-^ = h (х2) = 3, h (х3) = = h (ж4) = 2, h (z5) = h (ze) = 1. Граф покрывается тремя транзитивными цепями:
Chi = {я1? х3, хъ}, Ch2 = {х2, х3}, Ch3 = {х2, х±, х^}.
Таким образом, по первому показателю мы имеем
•^1,1 в, Ж3>1 —- 4, X$ty = 2у 3?2,1 ==	== *^6,1	1 ?
по второму показателю
^2,2 = 6, x3t2 = 4, Ж1>2 = 5, Я4,2 = я5,2 = #6,2 = 1;
по третьему показателю
*^2,з = 6, #4>3 = 4, xq,3 = 2, £i>3 = #з,з ~ ^б.з ~
Проверка показывает, что бинарное отношение Л действительно реализовано в R3 сравнением Par3;
21
/7 лар
Рис. 1.9. Граф «корона с п зубцами»
Каждая верхняя точка соединяется с каждой нижней, под ней не лежащей
Заметим, что в качестве реализации взята инъекция и в^силу утверждения 1.3 всякая функция из С CZ 91<х> П П 0 Г| $ (Л) для любого конечного А эквивалентна некоторому ограничению Сраг- В отличие от графодоминантной функции ограничение Сраг не обязано быть паретовской функцией.
Если теперь ввести обозначение (5раг (Л) = {л (Сраг |Ле^)}, браг (Л) = U Рагп (Л) и аналогично (Л) и (£Сэ (Л), то ре-def neN
зультаты этого параграфа формулируются как теоремы.
Теорема 1.5. УЛ (Л) = Ж П G?)-
Теорема 1.6. УЛ: I Л е N 6Раг (Л) = р Ж |~| О П ЛШ
Теорема 1.7. УЛ: | Л | 6= N ®сэ (Л) = 3U р % П О (^)-
Если, однако, А хотя бы счетно, то вопрос реализации не решается так просто. Рассмотрим, например, область Ж р| 0 р| Для конечного орграфа назовем парето-размерностъю минимальную размерность пространства показателей, в котором соответствующая графодоминантная функция выбора реализуется как функция выбора по Парето. (Заметим, что из сказанного выше следует, что парето-размерность орграфа не больше мощности любого его покрытия транзитивными цепями.)
Существует пример графа — «корона с п зубцами» (рис. 1.9). Известно, что парето-размерность короны с п зубцами равна п. Поэтому ясно, что корона со счетным числом зубцов не реализуется как парето-порядок ни в каком конечномерном пространстве Rq*
Более подробно о проблемах реализации говорится в гл. 2.
§ 8. Теорема Плотта
Как мы увидели из § 6 и 7, свойства Н, О и С оказались довольно интересными. Однако мы все же хотим подчеркнуть, что выбор их весьма произволен. Так, например, часто условие О
NX с А, X' с X (С {X) ^Х' =^С (X') е С (X))
формулируют иначе:
VX с Л, Г с I (С (X) с ХМС (X') - С (X)).
Назовем последнее условие О' (рис. 1.10, а).
Понятно, что УЛ О' (Л) С0 (Л) (рис. 1.10, б). Однако использование в нашей теории условий О или О' безразлично в том смысле, что Ж ["] #' (Л) = Ж П 0 (Л) (рис. 1.10, б), а в наших рассмотрениях условие О (О') встречается только вместе с условием Н (в совокупно-экстремальной и паретовской функциях). Докажем это.
У т в е_р ж д е н и е 1.8. Ж Q О' (Л) = 9С О (Л) для любого множества Л.
Так как О' (Л) cz О (Л), то достаточно доказать, что
Г) о (Л) е & (Л).
В самом деле, пусть
УХ£Л, Х'сХ С (X) П X's С (X') (условие Н) и VXc Л, Х'сХ (С (Х)сзХ' С (X') с С (X)) (условие О) и, наконец, пусть X' с	и С (X) cz X'. Тогда условие Н
дает С (X) cz С(Х'), а условие О дает С (X') cz С (X), что и требовалось доказать.
Оказывается, область Ж Q 0 (Л) интересна не только из-за реализации совокупно-экстремальной функцией выбора (теорема 1.7).
Обозначим через 9^1 (Л) класс функций выбора из Л, удовлетворяющих следующему условию (Плотта) [51:
VX, Y с А С (X U У) = С (С (X) U С (У)).
Это условие, как нетрудно понять, имеет вполне разумный содержательный смысл.
Оказывается, верна следующая теорема.
Т е о р е м а 1.9 (П л о т т a).	(Л) = Ж П 0 (Л),
где А — произвольное множество, конечное или бесконечное.
Доказательство. Прежде всего докажем, что
9>1 (Л) =? Ж Л О М).
Действительно, условие Н дает для любых X, У cz Л
С (X и У) П X с с (X) и с (X U У) П у е с (У).
Поэтому
с (X U У) n X U С (X U n n Y С с (X) и с (У).
Но по закону де Моргана (A Q (В (J С) = A Q В (J Л Q С) имеем
с (X U У) П (X U У) С (X) U С (У).
Так как C(X{JY)QX[J Y, имеем C(X[JY)QC (X) U С (У) (рис. 1.11).
23
Рис. 1.11. Условие Плотта
J — С (X и Y) = С (С (X) и С (У))
Рис. 1.12. К теореме Плотта
(НН> С (X и У) С с (X) Ц С (У),*2 = X и У, 7/ = С (X) и С (У)
Используем теперь свойство О' (по утверждению 1.8 V4 ЖП0 (Л) = Ж П#' (Л)). Обозначив через Z, а С (X)(J (J С (У) через Z', имеем Z' cZcA, С (Z) с Z' (рис. 1.12). Поэтому С (Z') = С (Z), т. е. С (X (J У) = С (С (X) U С (У)). Итак, С е &>1 (Л).
Доказательство обратного утверждения
&1 (Л) с % 0 О (Л) проведем в два этапа.
1. Пусть С ЕЕ (Л). Будем доказывать, что СЕ1 (Л). Рассмотрим X' cz X с А. Обозначим X \ X' = Z. Тогда
С(Х) = C(X'uZ) = C(C (X') LJ С (Z)).
Заметим, что X' f) С (Z) = ф. Так как
С(Х) = с (С (X') u с (Z)) е с (Г) uc(z),
то C(X) Q X' cz С (X'), что и требовалось доказать.
2. Доказательство условия О несколько сложнее. Предпошлем ему две леммы.
Лемма 1. Пусть	(Л), Xr £ X £ Л .
Тогда С (X) С Xf =» С (X) С (X').
24
В самом деле, так как С (=	(А), по доказанному ранее
с S Ж (Л), т. е. еда П Г с с (X'). Но С (X) CZ X', поэтому С (X) с С (X').
Л е м м а 2. В условиях леммы 1
С (С (X')) С (X').
В самом деле, обозначив X' через Z, а С (X') через Z' и имея в виду, что|
С (Z) = С (X') S С (X') = Z' и Z' = С (X') £ X' = Z,
из леммы 1 получаем
C(Z)cC(Z'), т. е. С (X') S С (С (X')).
Но, с другой стороны, С (X') С (С (X')) как выбор. Доказательство леммы 2 закончено.
Докажем, наконец, что в сделанных предположениях С (X') £ d С (X), т. е. свойство О:
С (X) С (X(JX') & С(С(Х) (JC(X')) = С(С(Х')) с (X').
Переход (1) — очевиден; (2) — следует из того, что С ЕЕ &>1 (Л); (3) — так как С (X) cz С (X') по лемме 1; (4) — по лемме 2. Доказательство теоремы Плотта завершено.
Как формулировка, так и доказательство теоремы Плотта автоматически переносятся на класс абстрактных функций выбора.
Докажем аналогичную, но более простую теорему.
Обозначим через % on (А) класс функций выбора на А, удовлетворяющих следующему условию (Кондарсе):
VX,Y<=A С (X) П С (Y)<^ <^с (X U У)^с (X) и С (У).
Теорема 1.10. ^оп (А) = = Ж П (А) для любого множества А.
Доказательство. Вложение %оп (А) d Ж (А) П $ (А) тривиально: пусть X' с X А, обозначим X \ X' = Z, тогда
Рис. 1.13. Условия Кондарсе
(Con) : С (X) QC (У) S С (X (J Y) С С С (X) (J С (У)
С (X) = с (X' и Z) <= с (X') и с (Z)
(напомним, что знак [_] означает дизъюнктивное объединение, т. е. объединение непересекающихся множеств), поэтому С (X) Q П X' cz с (Х')? т. е. условие Н выполнено. Условие С, т. е. VX, У d А С (X) П С (У) с С (X и У) есть в точности «половина» условия Кондарсе.
Пусть теперь выполняются условия Н и С. Докажем, что тогда выполняется и условие Кондарсе. Для этого достаточно
25
доказать, что из условия Н следует
с (X U У) <= С (X) U С (У),
но именно это было сделано при доказательстве теоремы Плотта (рис; 1.13).
Заметим, что доказана эквивалентность условия Н следующему:
УХ, У А С (X U У) С (X) (J С (У).
Теперь теоремы реализации можно переформулировать без использования условий Н, О и G.
Теорема 1.5'. УЛ (£гд (Л) = ^оп (Л).
Теорема 1.6'. УЛ: | Л | G N <£Раг (Л) = 3U (Д) Г) Я Ъоп (Л) П (Л).
Теорема 177'. VЛ:|Л|eN ®сэ (Л) = ^(Л) Q
§ 9. Инвариантные структуры на классе функции выбора
Подведем некоторый итог. Множество (£ (Л) оказалось наделенным целым рядом структур. В первую очередь это теоретико-множественный порядок и теоретико-множественные операции со всеми соответствующими свойствами. Конкретнее:
G < С2 VX С А Сг (X) =? С2 (Х)\ def
VX cz Л С (X) X \ С (X);
УХ £ л (G U с2)(Х)	(\ (X) U G (*);
УХ с Л (G п С2)(Х) 53 G (X) П С2 (X);
С = 0оУХсЛ С(Х) = 0;
def
С - 1 О УХ с Л С (X) = X. def
Всевозможные теоретико-множественные свойства введенных понятий проверяются без труда.	И
Кроме того, на множестве ® (Л) естественно вводится операция композиции:
УХСЛ (С1О С2)(Х)==С2(С1(Х)).
Напомним также об инвариантности классов 91» (Л), Ж (А), О (Л), rd? (Л), 94 (Л), $оп(Л). Естественно, возникает вопрос об инвариантности перечисленных классов относительно всевозможных операций.
Не менее интересен вопрос о полноте различных классов функций выбора в смысле заданных операций по аналогии с полнотой классов булевских функций *.
* Напомним, что класс cz (£ (Л) называется полным относительно некоторого набора операций, если любая функция из @ (А) представима в виде композиции этих операций на элементах класса Я.
26	К
Решение этих проблем представляет не только теоретический интерес, так как весьма правдоподобно, что, например, какой-нибудь достаточно хорошо изученный класс (хотя бы сёоп (Д) = = ®гд (Л), окажется полным, что позволит применить разработанный аппарат бинарных отношений к решению проблем, связанных с произвольными функциями выбора.
§ 10. Проблема обоснования применения бинарных отношении в теории выбора
Однако, уже не дожидаясь решения проблем, поставленных в § 9, можно утверждать, что область применения бинарных отношений в теории выбора значительно шире, чем г£оп
Для того чтобы прояснить полезность бинарных отношений в практике выбора и многокритериальной оптимизации, введем еще один класс (абстрактных) функций выбора SR (Л) £ S (Д), удовлетворяющих следующему условию М {монотонности)*.
VXCA |С(Х)|<|С(Л)|.
Таким образом,
(А) {С е е (4): ХХ<=А I С (X) К | С (4)|).
Это условие, так же как и ранее введенные условия, имеет вполне разумный «физический» смысл: число вариантов, выбираемых из любого предъявления, не превышает мощности выбора из всего исходного множества вариантов А.
Следующая теорема в значительной степени расширяет (и проясняет) границы применимости бинарных (как, впрочем, и n-арных) отношений в теории и практике выбора.
Теорема 1.11. Пусть функция выбора С е ® (Д)Г)^ И). Пусть, кроме того, 90'	90 — некоторое семейство подмножеств
исходного множества вариантов. Рассмотрим множество
У {у е А: ЭХ е 90': у^Х\С (Л)}, тогда
С (А \ У) = С (А).
Доказательство. Действительно, обозначив для удобства Д \ У через Z, из условия Н имеем
С (Д) П Z с С (Z).
Докажем, что С (Д) cz Z, от противного. Пусть найдется точка х, такая, что х G= С (Д) и х ЕЕ У.
Это значит, что ЯХ ЕЕ 90': х Ez X \ С {X).
Условие Н для множества X Ez 90' дает С (Д) Г] X cz С {X), но точка х принадлежит левой части и не принадлежит правой — противоречие. Итак, С (Д) Q У = 0, поэтому С (Д) Z, и тогда С (Д) П Z cz С {Z) переписывается в виде С (Д) cz С (Z).
27
Но по условию М | С (Л) | > | С (Z) |, поэтому С (Л) = С (Z), чта и требовалось доказать. В частном случае, когда 30' S Х(2)» получаем обоснование для отбрасывания доминируемых вариантов. Заметим, что условие М использовалось только в конце доказательства и что эту теорему можно сформулировать в несколько иной форме, имеющей, правда, на наш взгляд, меньший практический интерес:
пусть С е (Л), дано семейство 33' cz ЗС,
Y^{y^A:	: i/EX\C(X)},
тогда С (Л \ Y) => С (Л).
Интересно, что^се ранее приведенные теоремы касались общих свойств функций выбора, ничего не говоря о проблеме одиночного выбора, свойства Н, О иС формулировались относительно сразу всех пар подмножеств > множества Л. В то же время на практике часто встает именно проблема одиночного выбора из некоторого исходного множества вариантов. Приведенная теорема полезна именно в этом случае: она позволяет, вообще говоря, значительно сузить класс вариантов, предлагаемых для выбора, что, конечно, облегчает работу лицу, принимающему решения (ЛПР).
Для многокритериальной оптимизации приведенная теорема обосновывает следующую процедуру: если из исходного множества вариантов нужно выбрать некоторое конкретное число вариантов (7V), если ЛПР достаточно компетентно (или показатели выбираются достаточно правильно) для того, чтобы при попарном, например, сравнении не признавались худшими варианты, лучшие во всем исходном контексте, если при любом частном предъявлении не имеет смысла выбор более чем N вариантов, то процедуру выбора разумно разбить на этапы. На каждом этапе множество оставшихся вариантов оценивается по некоторым показателям, после чего доминируемые варианты отбрасываются и показатели заменяются новыми, более «тонкими». Таким образом, множество вариантов может быть сокращено до такой степени, что ЛПР получит возможность совершить выбор интуитивно, не отдавая даже себе отчета в критериях, которыми он при этом руководствуется.
Глава 2
ГЕОМЕТРИЯ СРАВНЕНИЙ И ВЫБОРА
§ 1. Язык верхних конусов. Основные классы сравнений
Вдохновляясь сказанным в гл. 1, § 10, перейдем к изучению сравнений (т. е. бинарных отношений в R”) и порожденных этими сравнениями графодоминантных функций выбора.
Прежде всего напомним определение функции верхних конусов (х^) бинарного отношения
А А: X {у е A: xj?y}.
Множество
(х) = {у S A: xj?y}
называется верхним конусом точки х по отношению Л и обозначается J?x-
Язык верхних конусов хорошо отражает специфику сравнений как бинарных отношений в пространстве Ro, он позволяет устанавливать связь между имманентными (т. е. инвариантными относительно эквивалентности, см. гл. 1) свойствами бинарных отношений и геометрическими характеристиками подмножеств евклидова пространства Rn с фиксированными осями. Именно этот язык используется в наших рассмотрениях.
Для начала опишем на этом языке основные классы сравнения в различных типах шкал.
Дадим сперва «старые» определения, не использующие понятие верхнего конуса (рис. 2.1).
Принято говорить, что Л — сравнение в порядковых шкалах, если результат сравнения любых двух вариантов зависит лишь от порядка их оценок по каждой шкале. Класс таких сравнений в п шкалах обозначим ЗВ™. Точнее
< ая	V (х, у), (х', у') g= Ron
(Vi sgn* * (yt — Xt) = sgn (y'i — Xt)) =» (xj?y => x'j?y'),
где % (R»)}.
Сравнения J# EE SB i будем называть порядковыми сравнениями в п шкалах.
Г 1, х > 0,
* sgn (х) = j 0, х — 0,
I —1, х < 0.
29
Рис. 2.2. Новое определение классов сравнений
z^(x2)-x2==S (^?)^R2; б —	8 (<5?) —конус;
о	ЦСГ	2
в — G <$?2, 5 (<#) состоит из квадрантов
Рис. 2.3. Связь свойств сравнения с геометрией конуса
а —	— антирефлексивно, <^2 — рефлексивно; б — 8г = {rt U r3} — симметричный»
S2 = {rt (J r2} — асимметричный, S3 = {rt |jo} — антисимметричный; e —	— тран-
зитивно, — нетранзитивно
Говорят, что J/? — сравнение в относительных шкалах, если значение сравнения на любых двух вариантах х и у зависит лишь от направления вектора у — х, иначе говоря, от отношения разностей между одноименными оценками по каждой паре шкал. Точнее	' t
30
{%<=№: V (x, у), (x', у') е Ro2”
V i (sign (yt — Xi) = sgn (y'i — xi) &Vj>i (yi — xi) (y} — Xj) =-= (yt — xi) (y) — x'j))^- (xj?y=»x'j?y')}.
Сравнения J? EE® 2 будем называть относительными сравнениями в п шкалах.
Говорят, что Л — сравнение в интервальных шкалах, если результат сравнения любых двух вариантов х и у зависит лишь от разностей оценок вариантов по каждой шкале. Точнее
< {Я е ззп: v (X, у), (х', у') е Ro2n
((Vi yt — xt = yl — xi) => (xj?y =^x'J?y'))}.
Сравнения	называть интервальными сравне-
ниями в п шкалах.
Как видим, определения более чем громоздки. На языке верхних конусов (рис. 2.2) они формулируются так:
Т (.,	(•)) S W = com>t},
где Т: Rq X Ro Ro- (*, X) »-> X —- х — оператор сдвига (таким образом, Т задает биекцию 9$ ->Ro- S (^) и получаем возможность говорить о верхнем конусе сравнения $€=9$}',
9$^ {3?е®з: S (9?) - конус*};
Зе? № €=9д™ : S (Л) состоит из квадрантов **}.
Заметим, что по определению
и что лишь 93i определяется неинвариантно относительно системы координат в Rw.
§ 2.	Геометрия сравнений в случаях Л е 9^ и 9% е 9Вз
Уже для произвольного J? ЕЕ 9Вп можно установить некоторую связь между свойствами как бинарного отношения и геометрическими свойствами значений как элементов Rn. Начнем с самых тривиальных (рис. 2.3).
1.	антирефлексивно (т. е. 9RGE <A(Ro))*** 4^ VxERq х^Е J?x-— рефлексивно (т. е. Vx ЕЕ Rq xj?x) Ф4 Vx e Ro х ЕЕ Л?х.
* Не путать с верхним конусом % I Напомним: S d Rn— конус <4 Vx е х	def
е= S, Л > О Хх е= S.
** Квадрантом везде будем называть открытый квадрант произвольной размерности. Квадрант максимальной размерности будем называть телесным квадрантом.
**♦ Соответствующие обозначения см. гл. 1, § 2.
31
Понятно, что если J?EE®3, то Л либо антирефлексивно (8 (Л) ЕЁ ijS 0), либо рефлексивно (8 (J#) ЕЭ 0). Напомним, что в соответствии с замечанием на с. 7 мы считаем, что 0	8 {Л),
2.	Далее, если Л Е=53з, то Л симметрично 44 S (Л) симметричен относительно нуля;
Л асимметрично (антисимметрично) <4* конус S (Л) асимметричен (антисимметричен), т. е.
Vx е s (Л) - х s (Л) (х, - х е s (Л) =4 х = 0).
3.	ЛЕЕ$п транзитивно (т. е. Л GE S (R?)) 44 Vx, у ERj (У е Лх =4 Лу £ Л^.
Л транзитивно (т. е. Л ЕЕ S (Ro)) 44 Vx ЕЕ S (Л) S (Л) + + х с 5 (Л).
Свойство множества 8 cz Rn: Vx Е S 8 + х cz S (т. е. Vx, У GE 8 х ~ у Е S или просто S + 5 cz S) назовем транзитивностью множества 5 CZ Rn.
4.	ЕЕ $?з имеет Л-цикл (т. е. цикл длины &) 44 3 {х{ ЕЕ
3 х4 = 0.
i=l
Доказательства этих утверждений полезны для усвоения основных определений.
Для примера докажем, что если Л ЕЕЗоз, то Л симметрично 44 44 S (Л) симметричен, т. е.
(Vx, у Е Rn х Л у =4 у Л х) 44 (х е S (Л) =4 — х ЕЕ 5 (Л)),
(1)	(2)	(3)	(4)
(=4): х ЕЕ 8 (Л) =4 ОЛх =4 хЛО =4 0Л — х =4 — х е 8 (Л).
Переходы (1), (4) — по определению 8 (Л); (2) — по предположению; (3) — так как Л е Ж-
(1)	(2)	(3)
(4=) : xJ?y=4y —xe^(^)=4 х — у ^5 (J?)=4yJ#y +
(4)
+ (х —y)=4yj?x.
Переходы (1), (3) — по определению S (Л); (2) — по предположению; (4) — очевиден.
Приведем еще достаточное условие ацикличности для Л ЕЕ Звп и 53з. Предварительно дадим определения.
Гиперплоскость (т. е. собственное линейное подпространство максимальной размерности) L CZ Rn назовем опорной {строго опорной) для множества 8 Rn, если 8 целиком лежит в замкнутом (открытом) полупространстве, определяемом гиперплоскостью L.
Множество 8 cz Rw, имеющее опорную (строго опорную) гиперплоскость в своей линейной оболочке * X (5), называется не-
♦ Напомним, что линейной оболочкой множества S С Rn называется минимальное линейное подпространство L с Rn, содержащее это множество 5.	\
32	.
Рис. 2.4. Примеры острых и тупых множеств
а — S острое; б — S нетупое, но не острое; в — S тупое (£? (S) одномерна)
Рис. 2.5. Условие ацикличности для
м == и (<#х — х)
x€=R2
тупым (острым). Множество 5 с Rn, не являющееся нетупым, называется тупым (рис.
2.4). Обозначения соответствен-но: 5Е^<, Следующее утверждение дает достаточное условие ацикличности сравнения J?EE53n.
Утверждение 2.1.
Если множество М&= Н (J?x — defxSRn
— x)cRn острое, то сравнение Л ациклично.
Доказательство.
Введем функцию ль: Rn—> R1, определяемую проекцией вдоль L на какую-нибудь прямую, проходящую через нуль и не лежащую в гиперплоскости L, строго опорной для причем положительной полупрямой
будем считать ту полупрямую, которая лежит в полупространстве, содержащем М& (рис. 2.5). Тогда понятно, что
Vx, у Е Rn (у Е Л => яь (х) < nL (у)) *.
Пусть теперь х, у, z Е Rn таковы, что xj^y, yj?z и zj/?x, т. е. образуют цикл.
Тогда имеем лд (х) <л/, (у), ль (у) <л^ (z), ль (z) <ле (х), что противоречит ацикличности порядка на прямой.
Как мы увидим, это утверждение — наш единственный точный инструмент в общем случае ЕЕ 39п. Оно хотя и очевидно, но иногда позволяет получать довольно приятные следствия. Пока-
* Функции, обладающие таким свойством, называются изотопными. Вообще, пусть заданы множества Аг и А2, %i е & (Ах), е 35 (А2) п отображение F: Af —> А2, тогда F называется изотопным, если Vx, у е Ai x^iy => F (x)%2F (у).
2 Заказ № 125
33
жем, как работает это утверждение, и заодно введем полезный кл асе сравнений, не содержащихся даже в
Пусть А некоторое множество и Я ЕЕ 93 (А). Пусть, далее, на А действует некоторая конечная группа (симметрии) G, т. е. каждому элементу g (Е G поставлен в соответствие оператор fg: А—>4, причем fe = id А (через е обозначена единица в G, через id А — тождественный оператор на A), Vg1? g2 е G fgl о fg2 = == fgig2 *
Пусть, кроме того, каждому g ЕЕ G поставлено в соответствие некоторое множество Ag cz А, которое назовем хорошим в смысле g. Тогда симметризацией Я называется отношение Sim Я Е= 33 (А), определяемое следующим образом:
х Sim Я у <=> xJ?y> V (Я# Е G: у Е & xJ?/s (у)).
Понятно, что Ag достаточно задать на образующих группы G и распространить ца остальные элементы по индукции: х ЕЕ Agf если существует образующий h, такой, что g = hg', хеА§'. fg> (х) Ё= Аь. Эту схему удобно применить для случая, когда А —пространство показателей Ro, G—группа перестановок. При этом показатели I и j называются равноценными, если А/; = == Во, где ij — перестановка; далее говорится, что показатель г важнее, чем /, если Ац ~ {xt
Если при этом Я паретовское, то получаем известный класс сравнений по Подиновскому (рис. 2.6) [81.
Легко сообразить, что гиперплоскость яд + . . . + хп = 0 — строго опорная для множества М& ==f (J (Я* — х), где Я — ка-xSRn
О
кое-либо сравнение Подиновского (в случае всех равноценных критериев это, очевидно, так, а во всех остальных случаях — тем более, так как может только уменьшиться). Поэтому утверждение 2.1 автоматически дает нам ацикличность всех сравнений Подиновского.
Читатель справедливо возразит, что сравнения Подиновского, очевидно, транзитивны и, коль скоро мы рассматриваем лишь ан-тирефлексивные сравнения, вопрос об ацикличности вообще не встает.
Однако легко усмотреть, что транзитивность сравнений Подиновского — это явление случайное, обусловленное симметричностью паретовского верхнего конуса, и что если взять какое-либо другое, ничуть не менее транзитивное, сравнение Я ЕЕ М2, то его симметризация Sim Я (в смысле перестановок) уже не будет транзитивным сравнением (рис. 2.7).
В то же время если гиперплоскость хх + . . . + хп — 0 является строго опорной для S (Я), то она будет таковой и для
т. е. Sim Я в силу утверждения 2.1 ациклично, что но всем было ясно с самого начала.
Это же утверждение в случае Я е 93з переформулируется так: если существует гиперплоскость L СЕ Rn, являющаяся строга 34	’ V
Рис. 2.6. Сравнения Подиновского по двум
показателям
б — показатель 1 важнее показателя 2
а — показатели равноценны;
опорной для S (Я), то отно-шение Я ЕЕ ациклично.
Обратное, очевидно, неверно даже для На рис. 2.2 изображен верхний конус сравнения, являющегося контрпримером. Ниже будет показано, да и так понятно, что такое бинарное отношение является ациклическим. При этом очевидно, что изображенное множество не имеет строгой опорной гиперплоскости (т. е. в данном случае — прямой), хотя и имеет нестрогую опорную гиперплоскость (#! = 0).
Оказывается, как будет показано в § 4, что если е 3^2 Г| tAcx •> TO S («^?) £ ef , т. е. хоть нестрого опорная плоскость, да найдется. Интересно, что если снять требование	то это не
так уже для	Нетрудно
Рис. 2.7. Нетранзитивность симметризации
----6----------------------6----
-/	17	'J/
Рис. 2.8. Пример ациклического сравнения
8 (Ж) — тупое, но & ациклично! (<£?	<^2)
проверить, что если 5 (J?) = {—1, ]Л2}, то	ациклично
(рис. 2.8). Наконец, можно указать, что если ЛЕЕЕЛк и J?,
то
§ 3. Гладкие сравнения. Основная модель
Понятно, что для столь общих предпосылок вряд ли удастся утверждать что-либо содержательное. При этом одной из основных целей предпринимаемых изысканий является разработка исчер
2*
35
пывающей методики для работы с возможно более широким классом сравнений.
В нашей модели множество = {(х, у) Е R? X Ro: xj?y} всегда предполагается псевдомногообразием. Что это такое?
Псевдомногообразием М в Rn будем называть объединение конечного числа гладких (класса Ск) непересекающихся подмногообразий Rn, называемых кусками псевдообразия и обозначаемых Ni (М — [JNi), таких, что
1) V/ Cl Ni — объединение конечного числа непересекающихся подмногообразий,
2) Vi, / Cl Ni f) Cl Nj либо пусто, либо состоит из кусков М.
Размерность псевдомногообразия
dim М шах dim N^
i
Каков «физический» смысл псевдомногообразия?
Известно, что подмногообразие в Ro можно определять как поверхность, отвечающую невырожденной гладкой системе уравнений. Поэтому псевдомногообразия — это практически все, что можно задать конечным образом при помощи различных систем гладких уравнений и неравенств. Напомним, что уравнение / = О (неравенство /	0) называется гладким, если функция / —
класса Ск.
Заметим, что любое конечное множество точек из Rn есть псевдомногообразие размерности нуль*.
Если множество G Rn X Rw — псевдомногообразие, то, как легко понять, для любого х ЕЕ Rn верхний конус
{у ЕЕ Rn: х^у}-также псевдомногообразие (на единицу меньшей размерности), причем почти везде «гладкая».
Итак, мы будем рассматривать гладкие сравнения.
Определение. Сравнение J?EE называется гладким $&1Вс, если — псевдомногообразие в R2n.
Это определение не зависит от системы координат и может быть перенесено с Ro на любое многообразие.
Понятно, что все разумные сравнения являются гладкими (и даже О), но не аналитическими.
Обращаясь к введенным нами классам ЗВГ, ЗВ2, $В3, ЗВ, замечаем, что Vi — 1, 2, 3 SBi \ SBC 0.
Для работы с гладкими сравнениями, не являющимися порядковыми (У? ЕЕ ЗВс \ ЗВ1), естественно использовать идею аппроксимации.
* Модель может быть естественно расширена так, чтобы могло быть счетным множеством, имеющим конечное пересечение с каждым компактом, но мы не хотим загромождать изложение и поэтому рассматриваем простейший случай, исчерпывающий, на наш взгляд, все практически интересные сравнения.
36
§ 4. Аппроксимация гладких сравнений и соответствующих графодоминантных функций выбора
В самом деле, по причинам, уже изложенным в § 3, исходное множество альтернатив Л cz Rg также можно считать псевдомно-гообразием. Более того, как нам кажется, естественно предположить, что множество А компактно, т. е. (поскольку А сс Ro) замкнуто и ограничено. То же можно сказать и о любом предъявлении.
Поэтому часть пространства Ro, содержащую Л, можно разбить на конечное число n-мерных кубиков Де с достаточно малой стороной е. Тогда, считая, что VxERq х ЕЕ C1J?X, будем аппроксимировать множество внутри | |£ его касательным конусом ТкЯ*.
Напомним определения. Пусть множество М cz Rn. Тогда вектор % будем называть касательным к множеству Л/, если расстояние р (Х£, М) = о (X) и X 0.
Напомним, что через о (X) обозначается любая такая величина, что lim (о (Х)/Х) = 0.
—>0
Объединение касательных к М векторов | называется касательным конусом к множеству М в нуле и обозначается Tq М. Наконец,
Tt М = Т+0(М - х) + X.
clef
Обратим внимание, что, вообще говоря, при замене J?x его касательным конусом мы можем потерять недоминируемые точки, что в большинстве практических задач нежелательно.
Верхний конус J?x поэтому следует аппроксимировать изнутри. Как мы увидим ниже, аппроксимация касательным конусом, вообще говоря, неудобна. Как бы то ни было, при достаточно маг лом е можно с необходимой точностью аппроксимировать верхний конус <>?х внутри | |g одинаковыми конусами (уже в прямом смысле слова «конус»). Таким образом мы перешли от рассмотрения произвольного «Я к рассмотрению ЕЕ Ж П ЗВа.
При выделении недоминируемых можно будет вначале производить сравнение между представителями кубиков Де, а затем уточнять выбор внутри кубика, заменив исходное отношение его приближенным.
Однако, как мы видим, перехода в класс SSc Г) недостаточно для алгоритмизации процедуры. Дело в том, что класс SSc П ^2 бесконечен, а стало быть, нет языка, который позволил бы идентифицировать его представителей. Поэтому расквантуем 53с П ЗЗа: будем рассматривать класс Ср многогранных конусов,задаваемых
37
системой неравенств <р, О, где р = (ръ. . pn), pt р, р, Pi €= Z.
Очевидно, что все такие конусы выпуклы. Для получения невыпуклых конусов будем рассматривать класс конусов Cpt
{U S:S!=CnP}. uei j
Понятно, что чем больше р, тем богаче классы Ср и Ср и тем, стало быть, точнее аппроксимация.
Точность аппроксимации может пониматься при этом только как мощность (мера) множества точек, на которых допущена ошибка, о грубости же ошибки в наших терминах говорить не приходится, что, вообще говоря, не соответствует тому, что происходит в жизни. В этом сйысле нам кажется весьма перспективным трактовать верхние конусы как размытые множества. Это позволяет, например, учесть тот очевидный факт, что, поскольку основные ошибки аппроксймации совершаются вблизи границы верхнего конуса, их стоимость несравненно меньше стоимости аналогичной ошибки, совершенной в «середине» верхнего конуса при явном предпочтении.
Аналогичную идею целесообразно рассмотреть и для функции выбора. Заметим, что такие свойства, как Н, О,С и пр., отлично переформулируются в размытых терминах.
§ 5. Критерии транзитивности и ацикличности для 53”
В свете вышеизложенного понятен особый интерес к свойствам Ср э Ср, составляющим базу аппроксимации, предложенной ранее. В этом направлении удалось получить критерии транзитивности и ацикличности, опирающиеся на понятие выпуклого множества в Rn. Напомним определения.
Пусть S cz Rn, тогда выпуклая оболочка множества S
{x^Rn : Я/cSN, {bf>0, xfeS}i'L1:SX; = l&
= x},
т. e. выпуклой оболочкой множества называется совокупность конечных линейных комбинаций точек этого множества с неотрицательными коэффициентами, в сумме дающими единицу.
Очевидно, что (S) 2 S и что обратное, вообще говоря, неверно.
Множество S о Rn называется выпуклым, если $ (S) = S.
Очевидно, что
S с Rn выпукло Ф4 Vx, у Е S, 0 < X < 1 Хх +
+ (1 — А,) у ЕЕ 5,
т. е. множество выпукло тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок.
38	/ А
г=1 / к '
Xi>Ot XiCES. Переобозначим Xi = %i/	x'==Xi
1 I г—1	def
к
Vi ta>0, xiEES как конусу, УХ{ = 1. Стало
Непосредственно из этого следует тот факт, что множество выпукло тогда и только тогда, когда выпукло пересечение его с любой двумерной плоскостью.
Введем определение положительной оболочки множества $ с Rn:
3й (S) да {х е R” : ЯЛ е N, > 0, Xi е S}ki=l-. 2^ = х},
т. е. ёР (5) отличаются от $ (5) только тем, что сумма коэффициентов линейной комбинации не обязана равняться единице. Непосредственно очевидно, что S5 (S) — конус и VS cz Rn $ (S) cz с ^(5).
Полезно иметь в виду следующее.
Утверждение 2.2. Пусть S — конус. Тогда % (S) = = ^(8).
к
В самом деле, пусть хЕ 5^ (S). Пусть х = У где Vi
к
У Xi. Тог-г=1
_______________________________	быть, X = г=1 к	к
= S ktXj = S XiXjEEz^ (S), что и требовалось доказать.
г=1	i=l
Поэтому если S — конус, то в качестве критерия выпуклости удобно применять условие (S) = 8.
Приступим к доказательству критерия транзитивности сравнения	который состоит в следующем.
Теорема 2.3*. Пусть	Тогда ЛееЗ' (Rn) 44- S (JT) —-
выпуклый.
Для доказательства заметим, что, как и выпуклость, транзитивность множества определяется транзитивностью его пересечений со всеми двумерными подпространствами Rn.
Таким образом, критерий можно рассматривать на двумерной плоскости, на которой он становится очевидным. Заметим, что конус тоже можно определять как множество, пересекающееся с каждым двумерным подпространством Rn по плоскому конусу, что завершает доказательство теоремы.
Дадим также непосредственное доказательство критерия.
Пусть множество S С Rn — выпуклый конус, тогда, по утверждению 2.2, S = 5^(8), поэтому 8 + 8 cz 8, т. е. 8 — транзитивное множество.
Обратно, пусть конус S cz Rn транзитивен, т. е. Vx, у S 8 х + у G S. Тогда VXn Х2 > 0, Vx, у Ххх, Х2у е S; Хгх + Х2у е S и по индукции ёР (S) с; 8, т. е. конус S выпуклый.
♦ В одну сторону (<=) это известно [9].
39
{Теперь можно по аналогии с линейной: выпуклой, положительной оболочками ввести понятия транзитивной (S) оболочки множества S С Rn:
^(S)s{xeRn J ЯЛ S N: {х, s S}i=i: 2xf = х},
так что 5 транзитивно тогда и только тогда, когда 3~ (5) = S. Очевидно, что, как и выпуклая оболочка $(£), транзитивная оболочка такова, что Sc J(S)cf(5)( причем если S — конус, то 5C®(S)=^(S) = ^(S)C55(S).
Чтобы покончить с транзитивностью, заметим, что требование Л существенно, так как для существуют примеры для которых S {Л) — 1) выпуклый и нетранзитивный и 2) транзитивный Й невыпуклый (рис. 2.9):
т = {(хг -1)2 +	< 1},
5 (j/?2) = {хг 4- Х2 > 1} и {я.1 > о, х2 > 0}.
Вопрос о связи минимальной длины цикла сравнения Л ЕЕ 5Э3 с геометрией S (Л) разрешается теоремой 2.5. Напомним определение: Лт — множество сравнений Л таких, что VA: <; т, отсутствуют /с-циклы. Нам понадобится следующее утверждение.
Утверждение 2.4. Пусть S cz Rn — конус. Тогда следующие условия эквивалентны.
(1)	(S) = X (5),
(2)	- S с (5),
(3)	s е^>.
Доказательство. ((1) ==> (2)) — очевидно, так как S с Ж (S) =	(5).
Докажем ((2) => (1)). Пусть — S с_ (5), х ЕЕ X (5), т. е. к
х = 3 ^гхг, Vi Xi е S. Для каждого номера г, такого, что Х* <0, г=1 к'
запишем xt = У к^хц, где Vj xi3- ЕЕ S, кц > 0 (по условию 2). j=i
Подставив выражение для xf в разложение х, получим разложение уже с неотрицательными коэффициентами. Стало быть, X (5)0 £^(S), но по определению VS о Rn 3^ (S)cz jg (S), поэтому 5? (S) =	(S). ((1) =м> (3)) — очевидно, так как пусть S
но тогда S <S^, т. е. имеет опорную гиперплоскость в X (S). Тогда очевидно, что X (S) имеет ту же гиперплоскость опорной. Поэтому X (S) X (5), что противоречит предположению.
Докажем ((3) ==> (1)). Пусть X (S) =#= X (5). Достаточно доказать, что любое выпуклое собственное подмножество линейного пространства L cz Rn (обозначим С) является нетупым. Обозначим через р расстояние на L, индуцированное расстоянием на Rn* Возьмем вместо С его замыкание Cl С. Понятно, что Cl С L, так как С — собственное выпуклое подмножество L. Кроме того, 40
Рис. 2.9. Связь выпуклости и транзитивности
1 — S выпукло, но пе транзитивно; 2 — S транзитивно, но не выпукло
Cl С выпукло (очевидно). Далее, пусть х0 ЕЕ L \ Cl С (которое непусто). Тогда задача
р (х0, у)—>min, yeCl С
разрешима, т. е. Яу0 ЕЕ Cl С: :VyeClC р(х0,УоХр(х0,у). Для того чтобы в этом убедиться, достаточно взять какую-либо точку у' ЕЕ Cl С, тогда очевидно, что у0 (= ЕЕ @хоХо’у * — замкнутому шару с центром х0 и радиусом р (х0, у'). Поэтому
min р (х0, у) =
У&С1 С
= min р (х0, у).
уеС1СП0хв(адГ)
Рис. 2.10. К утверждению 2.4
Но множество С1С Q <?£0(Хе,у) замкнуто и ограничено, а следовательно, компактно, и min р (х0, у) существует как минимум непрерывной функции на компакте.
Проведем теперь гиперплоскость через точку у0, ортогональную отрезку [х0, у0]. Докажем, что она опорная.
Для этого рассмотрим шар <?хоХ°’Уо) с центром х0 и радиусом р (х0, у0). Пусть наша гиперплоскость не опорная, т. е. Яу" ЕЕ С167 по ту ее сторону, где точка х0. Но тогда отрезок [у", у0] £ С1С (по выпуклости С1С) и пересекает внутренность шара, что противоречит минимальности точки у0 (рис. 2.10).
Определение. Назовем к-звездой объединение к различных лучей с началом в нуле. Обозначим А-звезду через
41
Заметим, что й-звезду можно трактовать как минимальный конус, натянутый на к неколлинеарных векторов, т. е. на Zc-penep.
Т е о р е м а 2.5. Пусть S (^) cz Rn — конус. Тогда Л €= Л\ \Лщ+1,где т==: min dim Ж (S').
def S'CS(^), S'^>
Следствие. J? EE (m. e. ациклично) о VS' cz S (J?) S' e
Доказательство теоремы. Пусть k — длина некоторого цикла, причем k гп. Это значит, что Я {х^ е е5(^)}?=1 : 2Хг =0.	.	.
Достроим репер {хг}<=1 до Ar-звезды Sk. Тогда Sk <У’> (выпол-няется условие,) (2) утверждения 2.4: — S cz 5P(S)), причем dim £ (Sk) к — 1 <Z т. Противоречие.
Существование (т + 1)-цикла следует из леммы 1.
Лемма 1. ДЛя любого тупого конуса S найдется (к + \)-звезда SA+1 cz S, также тупая, причем к т, где т = dim X (S).
Докажем сначала лемму 2.
Лемма 2. Пусть луч г CZ S таков, что — г СЕ Int 3s (S). Тогда S ЕЕ <У> (Int S — внутренность S в X (S), где S cz Rn).
По утверждению 2.4 достаточно доказать, что X (S) cz (S). Пусть х Е (S). Теперь достаточно рассмотреть двумерную плоскость L, проходящую через х и г. Понятно, что —г CZ Int (5s (S)Q п L). Поэтому х представим в виде суммы двух слагаемых из L с положительными коэффициентами. На двумерной плоскости это очевидно. Доказательство завершено.
Доказательство лем мы 1. Рассмотрим г CZ S. По условию (2) утверждения 2.4 — г (Е X (S). Но тогда — г cz (S \ г), причем понятно, что
dim X (S \ г) = т.
Рассмотрим все тп-звезды S™ cz S \ г. Тогда очевидно, что
& (S \ Г) = и (SS) = U Int (61). а	а
Значит,
За0, kQ < т : — г СЕ Int & (S^)
и по лемме 2 (к + 1)-звезда г (J Sa« — искомая.
Таким образом, критерии транзитивности и ацикличности доказаны.
Эти результаты представляют дополнительный интерес по меньшей мере по двум соображениям. Во-первых, они позволяют выяснить имманентные свойства сравнений ЕЕ причем уже алгоритмически. Подробнее об этом мы будем говорить в следующей главе.
Понятно, что для сравнений Л, определяемых конусом из классов Ср, Ср, аналогичные алгоритмы также существуют.
к
42
Во-вторых, они позволяют осознать транзитивность и минимальную длину цикла как локальные характеристики сравнения
Точнее, сравнение	транзитивно (имеет минималь-
ную длину цикла к) в точке х £ Rn, если эти свойства выполняются в любой, достаточно малой окрестности точки х.
Понятно, что локальные характеристики J/? ЕЕЙЭс определяются соответствующими глобальными характеристиками отношения J?' G= , задаваемого формулой
S (Л') = т+ J?x. к f def
Такие локальные, не зависящие от осей координат свойства интересно переносить на многообразия. Точнее, в нашей модели предъявления локально являются подмногообразиями в Rn. Сравнение же задается, как правило, на самом Rn. Для того чтобы понять, каковы свойства сравнения, индуцированного из пространства показателей на предъявления, приходится заниматься сравнениями на многообразиях. Естественно, что в теорию сравнения на многообразиях переносятся далеко не все понятия, введенные для пространства показателей, а лишь локальные, во-первых, и инвариантные относительно невырожденных линейных преобразований (т. е. не зависящие от шкал) — во-вторых.
Таким образом, например, понятия, специфические для порядковых сравнений и функций выбора, интересные сами по себе и рассматриваемые нами в следующей главе, как правило, не имеют никакого смысла при переходе на многообразия.
Для того чтобы дать почувствовать, какого рода утверждения могут быть сделаны в этом контексте, сформулируем очевидное после всего сказанного условие.
Чтобы гладкое сравнение, индуцированное на подмногообразие М в Rn, было транзитивным в окрестности точки х, необходимо, чтобы конус П Т^М был выпуклым.
§ 6. Проблемы реализации.
Размерность бинарного отношения
В связи со сказанным становится разумным целый ряд вопросов, связанных с реализацией, имеющих, вообще говоря, два аспекта.
Первое: какими имманентными свойствами должно обладать бинарное отношение, чтобы допускать реализацию как сравнение из класса ($?2, <@3, ®с, ®р, 5?р)?
Второе: каково минимальное п для всех отношений данного класса, реализующих данное отношение на множестве А? Такое п назовем размерностью данного отношения в смысле данного класса сравнений. Например,
43
Ясно, что это понятие имеет смысл и для других классов сравнений, которые могут, в частности, сводиться к единственному бинарному отношению. Например, парето-размерность (см. гл. 1).
С другой стороны, понятие размерности допускает естественное обобщение на функции выбора вообще. Формализовать определение размерности функции выбора по аналогии с размерностью отношения и на основании определения реализации функции выбора данной схемой (см. гл. 1, § 6) предоставляем читателю.
Далее понятно, что первый аспект можно объединить со вторым, поставив вопрос так: имеет ли данное отношение (конечную) размерность в смысле данного класса?
В случае бесконечного исходного множества альтернатив А оба аспекта вопроса о реализации исследованы слабо. В случае же конечного А первый аспект, как правило, тривиален (см. гл. 3), второй — нет.
Глава 3
ПОРЯДКОВЫЕ СРАВНЕНИЯ И ПОРЯДКОВЫЕ ФУНКЦИИ ВЫБОРА
§ 1. Строгие и нестрогие шкалы
Напомним определения порядковых сравнений:
< =	V (х, у), (х', у') eR2n((VZ = 1, . . ., п
sgn (z/f — Xi) = sgn (yl — z'i)) => (x J?y => x' Я у'))}
или на языке верхних конусов:
~	$ (<%) — набор квадрантов}.
Напомним также, что мы имеем в виду открытые квадранты произвольной размерности, т. е. множества, задаваемые системами неравенств и уравнений, левые части которых являются координатами (например О, х2 <С 0, х3 = 0}).
Важнейшей особенностью является его конечность, которая позволяет ввести однозначный естественный язык для описания сравнений J? GE Si и использовать его для всевозможных алгоритмов, выясняющих характеристики соответствующего сравнения *. Тут важную роль начинают играть типы шкал: непрерывные и дискретные, строгие и нестрогие.
Напомним определение строгих шкал. Как обычно, говоря о типах шкал, мы имеем в виду не свойства этих шкал, а нечто совсем иное — так уж исторически сложилось. Если, говоря, например, о порядковых шкалах, мы подразумеваем, что шкалы — самые обыкновенные и только на сравнение в этих шкалах накладываются определенные ограничения; если, говоря о дискретных шкалах, мы опять-таки имеем в виду, что шкалы — самые обычные оси координат, но что класс допустимых предъявлений
sc = {X <= Rq: vz, vx е х xt е z},
* С другой стороны, существенным недостатком рассматриваемого класса является его неинвариантность относительно замены осей координат. Этот факт лишает нас возможности рассматривать свойство порядковости как локальное и делать соответствующие обобщения. Однако, как бы то ни было, класс включает в себя многие используемые до сих пор в практике многокритериальной оптимизации сравнения и является наиболее исследованным. Большинство полученных ранее результатов теории выбора в пространстве показателей относится исключительно к этому классу. Так, например, поиски функций распределения мощности максимума, подробно описанные в гл. 6, имеют смысл и перспективу только при условии порядковости соответствующих функций выбора. Так нам, во всяком случае, представляется в настоящее время.
45
h
то и на этот раз в определении строгой шкалы фигурирует не свойство самой шкалы, но свойство класса допустимых предъявлений ЗС или класса допустимых пар В зависимости от контекста будем использовать два определения. Если речь идет о функции выбора С Е (Й7), то z-я шкала называется строгой, если vx Vx, у е х yi-
Соответственно если речь идет о некотором сравнении Л 6=
то г-я шкала называется строгой, если V {х, у} ЕЕ =И= Z/i-Сравнение	называется сравнением в строгих шкалах, если
все шкалы строгие. Класс таких сравнений обозначается 33^.
Теперь понятно, что при работе с верхним конусом S (J?), где	имеет смысл учитывать лишь телесные (т. е. имею-
щие максимальную* размерность) квадранты, а точки, принадлежащие координатным плоскостям *, включать или не включать в S (J?) по своему произволу.
§ 2. Булевский язык
Чтобы задать набор квадрантов верхнего конуса S (Л) для сравнения	удобно использовать булевский язык. Для
простоты изложения и восприятия реализуем эту идею сначала для сравнения	верхний конус которого, как мы указы-
вали, определяется набором своих телесных квадрантов (таким образом, понятно, что | ЗЗу | = 22П). Описание произвольного порядкового сравнения получается очевидной модификацией нашего языка.
Итак, квадрант (Xj > 0)^’ (где / —	принимает зна-
чения +1 и означает соответственно отсутствие отрицания или п
его наличие) обозначается /\ х У (причем Xj трактуется как булев-3=1 3
ская переменная, принимающая значения +1) и называется моно-к п
мом. Объединение к квадрантов — полином Р& (х) = \/ /\хвл?
1=1 j=i J обладает, конечно, следующим свойством:
хЯу <=> Р& (sgn (z/i — Zi), ...» sgn (y„ — xn)) = 1 по самому определению P^. Примеры таких полиномов даны на рис. 3.1. Обратим внимание на некоторую «накладку» в обозначениях:
* Под координатной плоскостью мы понимаем любое линейное подпространство R™ задаваемое системой уравнений вида х. = 0,. . ., х- — 0, где
1	и
0 п, причем всегда можно считать, что	В дальнейшем
такую координатную плоскость будем обозначать lj , где 1к = (jx,. . . . .	г\). Наборы с одинаковым Л: можно упорядочить, например, следующим образом: пусть kQ : Vj < kQ ij — i. и tk 4=	• Тогда
Ik < Ц & \
Как мы увидим в § 4, такое упорядочение называется лексикографическим.
46
Рнс. 3.1. Булевы полиномы сравнений в строгих шкалах
« —	(х) = xtx2; б —	(х) — ххх2 + х&г
если в определении полинома х =^= (х19 . . ., хп) понимался как набор булевских переменных, то в последней формуле х = (х19 . . . • . - £п) ЕЕ Ro- Это не должно вызвать путаницы, если учитывать контекст.
Впрочем, один раз установив связь между описанием квадрантов на старом, координатном и новом булевском языках, мы преодолели необходимость в подобного рода неудобствах.
Заметим, наконец, что на множестве введенных полиномов Р& естественно рассмотреть порядок Р<^	Р^>, <=> Я\ Я2 (см.
гл. 1).
§ 3. Общий случай Я е
Заметим, что в § 2 полином Р^ изначально всегда получался однородным. Однако для сокращения записи имеет смысл вместо ххх2 + ххх2 + ... * писать просто хг + ..., чем мы и будем широко пользоваться. Теперь заметим, что если в случае однородного полинома это не может вызвать недоразумений (всегда понятно, какие переменные опущены), то если нам приходится описывать квадранты различной размерности, соответствующие мономы нельзя просто написать в строчку: один и тот же хг может быть попят в случае е 3$ и как 0}, и как {xt > 0, х2 = 0} (рис. 3.2). Поэтому запись надо разбить на «этажи», соответствующие размерностям, и в каждом «этаже» выписывать квадранты, лежащие в координатных плоскостях данной размерности. Но это еще не все.
Рассмотрим, например, некоторое сравнение Я GE На «втором этаже» может встретиться запись «я2», и мы не будем знать, имеется ли в виду = 0, х2 > 0}, или {х2	0, х3 = 0} (рис. 3.3).
Поэтому на каждом «этаже» выписываются квадранты координатных плоскостей, упорядоченных лексикографически по индексам.
* Как обычно в алгебре логики, мы знак конъюнкции будем опускать, вместо знака дизъюнкции будем писать плюс.
47
Рис. 3.2. Булевы полиномы сравнений в нестрогих шкалах
а — полная запись Р^ ($: у, (этаж 2), О, xj (этаж 1); сокращенная запись Р^(х): х* (этаж 2),0 (этаж 1); б — Р& (х): 0 (этаж 2), 0, xt (этаж 1);	(х): 0 (этаж[2), xt (этаж 1)
Рис. 3.3. Примеры записи полиномов сравнений в нестрогих шкалах а — полная запись Р^(х): 0 (этаж 3), 0,0, х2 (этаж 2), 0, х2, О (этаж’1); сокращенная запись Р$ (х): 0 (этаж 3); 0, 0, х2 (этаж 2), 0 (этаж 1); б — 0 (этаж 3), х2, 0, 0 (этаж 2)» 0,0, х2 (этаж 1); 0 (этаж 3), х2, 0, 0 (этаж 2), 0 (этаж 1)
Рис. 3.4. Примеры квадранта и цилиндра
а — квадрант	б — цилиндр
Обратим внимание, что на более высоком «этаже» могут быть при сокращенной записи указаны квадранты более низкого «этажа» *. Действительно, (J? ЕЕ $?i), запись на верхнем этаже» означает в подробной записи следующее:
этаж 2 Х]Х2 +
этаж 1 так как
{^i > °} = {^i > 0, х2 < 0} (J {^1 > 0, х2 = 0} U {х± > 0,
> 0}.
Поэтому при формировании «этажей» мы можем применить более простую запись (см. рис. 3.2).
В § 4 постараемся все сказанное максимально пояснить примерами.
Наконец, введем некоторые понятия, облегчающие описание объектов из (рис. 3.4).
Квадрант
9i+,i- = Ц+ > о, . . Х.+ > 0, х.~ < 0, . . ж.- < 0}, def г1	гЛ’~
где /+ — (j1? . . ,, ifc+), I — (i1? . . ., ц-).
Цилиндр
ci+,i- = X h-def
Напомним определение координатной плоскости
h =	= 0, • zjk = 0}, где J = (Л, . . ., /О-
В нашей записи цилиндру cj+tI- соответствует моном
х. + ... X. + X. - ... х.~ , г1 гк+ г! гк~
набор J выясняется по месту монома в записи сравнения.
§ 4.	Примеры
1.	Сравнение по Парето является, как мы знаем, порядковым. Напомним, что в строгих шкалах его определение имеет вид х Рагэту <=> Vi = 1, ..., n Xf<Zyi> Очевидно, что в этом случае булев полином вырождается в моном
^Рагп (Х) А Л*
j=l
Для нестрогих шкал этот полином записывается, очевидно, так (приведем случай п = 3):
Ррагз (х) : ^2^3 I #2^3, ^з, ^1^2 |	х2, xv
♦ Это корректно, если <= ^с. Все % е в книге — гладкие.
49
Здесь «этажи» отделены друг от друга символом |, а совокупности квадрантов, соответствующие различным координатным плоскостям каждого «этажа», лексикографически перечислены через запятую. Для произвольного п полином выписывается аналогично.
2.	Лексикографическое сравнение [10]. Дадим определение этого сравнения:
х^пу о Я/ : Xi < z/f, V/ < i х} =
Будем говорить, что х Е лексикографически хуже, чем у ЕЕ Rj-Ясно теперь, почему такое сравнение называется лексикографическим. Ведь именно по такому принципу составляются словари, где слова упорядочиваются сначала по первой букве, затем по второй и т. д.
Предполагая/ что сравнение происходит в строгих шкалах, мы исключаем возможность совпадения оценок, в том числе и по первой, самой «важной» шкале, и определение лексикографического сравнения принимает вид хЖпу 44	< уи чему соответствует бу-
лев полином Р.п (х) = хг. Таким образом, оценки по остальным шкалам при сравнении вообще не учитываются. Ясно, конечно, что говорить о лексикографическом сравнении в строгих шкалах не имеет смысла, поэтому мы приведем сейчас полином Р^п для нестрогих шкал:
Р^п (х): хг	этаж п
0, . ..,0 этаж п — 1
хп, 0,. .., 0 этаж 1
Заметим, что введение сокращенной записи существенно облегчило булевскую запись сравнения для произвольной размерности. Такая запись соответствует разбиению верхнего конуса сравнения на цилиндры, а не на квадранты, что, как мы увидим впоследствии, весьма естественно и полезно. На рис. 3.5 изображен верхний конус сравнения Ж3.
3.	Мажоритарное сравнение [3]. Для х, у ЕЕ ЕЕ Ro обозначим т (х, у) количество индексов i, для которых Xi < yt. Будем говорить, что точка х мажорируется точкой у (х.//пу), если т (х, у) < т (у, х). Другими словами, предпочтение отдается тому из двух объектов, который имеет превосходство по большему числу шкал. Для мажоритарного сравнения в строгих шкалах булев полином имеет, очевидно, вид
<мАх)==\/ Агде /={г:^сть>о|,	•
ге2 ;=1	t j—1 J
j
т. e., например, при п — 3 (рис. 3.6)	J
50
Рис. 3.5. Лексикографическое сравнение
Р^З (х): л-1 (этаж 3), x2i 0, 0 (этаж 2), л:3, 0, 0 (этаж 1)
Рис. 3.6. Мажоритарное сравнение
В нестрогих шкалах этот же полином будет выглядеть так:
(^) === *^'1‘^2‘^3	•^1*^2^'3	Х^Х^Х^ | ^2^3’	*^1*^2 I
|*^3> ^2»
4.	Класс порядковых сравнений {Qg} [11]. Мы уже сталкивались с понятием «важности» шкал, когда говорили о лексикографическом сравнении. Там превосходство по самой «важной» шкале оказывалось достаточным для предпочтения в целом, и никакие оценки по остальным, менее важным шкалам не могли этому предпочтению помешать, Совсем другая ситуация при паретовском сравнении. Здесь превосходство, скажем, по i-й шкале, конечно, недостаточно, ибо на это предпочтение в равной степени влияют оценки, полученные по всем шкалам. В этом параграфе мы рассмотрим один класс сравнений, который включает в себя как частные случаи и паретовское, и лексикографическое сравнения. Для большей общности мы будем предполагать, что сравнение производится в нестрогих шкалах, за исключением случаев, когда это будет специально оговорено. Итак, дадим определение. Vx, у GE Ro построим последовательность (S)}i=0, где S — некоторое положительное число, «физический смысл» которого станет ясен чуть позже. Положим (S) — 0, а для i О рекуррентно:
7ПхУ (5) = min (5, max (—S.rn^1 (5) + sgn (xt — yi))).	(3.1)
Ясно, что если бы не наличие S в правой части, то т*? (S) было бы просто разностью числа координат, по которым х превосходит у и по которым у превосходит х. Это, очевидно, так и есть, когда
51
1
S n. В остальных же случаях последовательность подчиняется неравенствам Vi = 1, . . ., п — S^mxy (S) < 5. (Заметим здесь, что, как следует из (3.1), Vx, у е Ro, Vi — 1, . . ., п mXy (S') = = mxy (S")	[S'] = [£"], где символ [•] означает взятие целой
части числа. Учитывая это, мы в дальнейшем, если не будет оговорено иначе, будем считать S натуральным и, учитывая соображение, приведенное выше, не превосходящим п.)	j
Дадим теперь определение бинарного сравнения
Vx, у Е Ron xQ§y о mnyX (S) = S.	j
Проследим, во что превращается это определение при некоторых особых значениях)S. Положив S = п, получим
х£2§У о /ПуХ (ri)	Xt<Zyi,
что соответствует определению паретовского сравнения в строгих шкалах. Таким образом, < Рагп, а в строгих шкалах = j -Parn.	f
Положим теперь S = V2 (главное здесь, что S <; 1). Нетрудно 1 убедиться, что в этом случае сравнение Qin2 совпадает с лексикографическим сравнением с точностью до перемены индексов *. Действительно, если не по всем показателям xt = уь то тху (V2) может принять лишь два значения — ±V2. Ясно, что это полностью определяется наибольшим индексом i, таким, что xt у^
Из свойств сравнения Qg (S 0) наряду с очевидной асимметричностью отметим его ацикличность. Действительно, так как xQ§y -=? хп уп, то из существования цикла xQ§y ... QgzQgx, (х, у, . . ., ze Исследовала бы необходимость существования такого же цикла для fis1. Но на RJ сравнение очевидно, ацик' лично.
Отметим также, что сравнение вообще говоря, не обязано быть транзитивным, кроме случая S = и. Транзитивность с одной стороны, очевидна, с другой стороны, тривиально проверяется при помощи критерия транзитивности порядкового сравнения, приведенного в следующем параграфе.
Следующие два свойства полезны для понимания связи класса сравнений {Qg} с известными сравнениями Рагп и Хп.
1) Пусть 1 < S' < 5" < п. Тогда Qg" <
Для доказательства достаточно показать, что xQs+i У xQg У-Заметим, что Vf = 1, . . ., п | тху (S + 1) — тХу (S) |	1.
Если теперь предположить, что хй£+1у, но xQgy, т. е. т,уХ (S + 1)=
--	з
* Во избежание путаницы в порядке следования индексов отметим, что	1
при лексикографическом сравнении самым важным остался первый по-	»
казатель. У нас же «-й показатель самый важный ввиду того, что так удобнее определить сравнение Q^.	‘	♦.
52	V	i
Рис. 3.7. Вложенность сравнении
Мах о X г~ Мах о X с Мах <>Х = Мах « X
«?/2	~	~ Й2
= S + 1, а ШуХ (S) <С S, то приходим к противоречию:
I (S - 1) - тпух (У) | > 1.
Свойство доказано.
Таким образом, сравнения из класса {й§} удовлетворяют неравенствам:
Qv2>Q?>... >йп-
При этом = Хп и й£ = Рагп в строгих шкалах.
Соответственно NX cz Rq
Max nX cz Max nX cz ... z Max nX. Qi/2	£2n
Вложенность эта для трехмерного случая проиллюстрирована на рис. 3.7. При S = V2 считается, что критерии лексикографически упорядочены в порядке убывания индексов.
Становится ясным теперь смысл параметра S в сравнении й$. Минимальное его значение соответствует лексикографическому, наиболее жесткому из известных сравнений в смысле упорядочения шкал по «важности» *, максимальное (Л’ — п) соответствует паретовскому, наиболее в этом смысле мягкому сравнению.
♦ См. гл. 4.
53
2) Обозначим х^ вектор, полученный из х Е Во перестановкой его Z-й и /-й координат. Тогда для любых j, /, не превосходящих 5 + 1,
xQs у+> x^Qsy^.
Действительно, обозначим т\ (х,у) (соответственно т\ (х, у)) — число координат j /, таких, что <С z/j (соответственно х$ z/j). Заметим, что если m<+1 (х, y)-m>+1 (х, у) О, то т^1 (5) — = тп>+1 (х, у) — тп<+1 (х, у), т. е. значение mxy1 (S) не зависит от порядка суммирования по координатам. Если же, например, т8+1 (х, у) = 0, то /Пху1 (S) — S и тоже не зависит от порядка суммирования. Следовательно, т^у (S) не зависит от порядка суммирования первых 5 + 1 координат, т. е. свойство доказано.
Таким образом, сравнение инвариантно относительно перестановки первых 5 + 1 координат. Понятно, что при 5 = п и даже при 5 = п — 1 Qg становится инвариантным относительно любой перестановки координат; с другой стороны, при 5 — V2 это, вообще говоря, неверно.
Из определения сравнения Qg также следует, что если 25 п, то Vx, у Е= Ro» Vi = лг, . . ., п — 25 + 1 х{ < xQ§ 'У, т. е. «единодушие» по 25 старшим показателям определяет результат сравнения вне зависимости от оценок, полученных по остальным шкалам.
Параметр 5, таким образом, определяет сравнительную важность показателей в смысле возможности перестановок координат. С этой точки зрения все шкалы при паретовском сравнении имеют одинаковую важность, так как здесь допускается любая перестановка координат. При лексикографическом сравнении, напротив, никакие перестановки не допускаются, так как все показатели имеют различную важность. Сравнение Q§, как мы видели, предполагает имеющими одинаковую важность первые 5 + 1 показателей, т. е. и в этом смысле класс {Qg} занимает промежуток между сравнениями — лексикографическим и паретов-ским.
Для сравнений из класса {Q§} также можно выписать соответствующие им булевы полиномы. Наиболее простой вид имеет полином для 5=1: сравнения Qj мы будем обозначать через и называть ^-оптимальностями.
Для большей наглядности здесь мы будем считать, что координаты пронумерованы в обратном порядке. Тогда для строгих шкал
Р n (х) = XLX2 + ХгХ2Х3Х^ + Х-^ХъХьХьХъ + ...
или
(х) =	(х2 + z3 (ж4 + Хь (хе + . > .))).
54	.
Как выглядит этот полином в случае нестрогих шкал, покажем на* примере п = 4:
Р^п (х) = хг (х2 + z3z4) | х2 (х3 + я4), #1 (^з + я4), Xi (я2 + + Х^ | £3^4, «Г2^74, Я2#з, XrX^ Х]Х3, XrX2 I Х4, Х3, Х2, Xt.
Во всех приведенных выше примерах при записи полинома для нестрогих шкал нам удавалось спуститься на самый нижний * «этаж». Конечно, это возможно не всегда, хотя бы в случае S =  — п — 1:
суп	= Х± ... Хп | Х2 ... Д7П, . . ., Ху ... £n-i,
лп-1
т. е. занятыми оказались лишь два верхних «этажа».
Таким образом, номер «этажа», ниже которого нам не удалось спуститься, можно понимать как минимальное число показате- - лей, по которым оценки вариантов должны различаться с тем, чтобы один из вариантов был еще в состоянии доминировать другой. ; Конечно, это нельзя обобщать на произвольное порядковое сравнение.
Заметим, что все рассматриваемые сравнения обладают еле- j дующим свойством:	;
Vx, у е R" (xj? у => Vy' : Vi y’i > уг nJty').	j
А это в точности означает, что верхний конус сравнения Я в точ- ? ке х содержит в себе конус Раг£ для любой точки у е Ях>
Ях Рагу.	\
Такие сравнения Я будем называть правильными.
Очевидно, что если сравнение правильное, то оно обладает ] свойством парето-транзитивности (рис. 3.8, а):
Vx,y, zER? (х Par”y&yJ?z xJ?z).
Конечно, из xJ/?y&yParz не следует, что хЯг (рис. 3.8, б).
Очевидно, J?x^Parx*, поэтому в случае правильных сравнений показатели в пространстве Rg являются критериями.
Можно использовать более простую форму записи полиномов правильных сравнений в строгих шкалах, нежели запись
Р^(х) = \/ Д х^.
Пусть 2 = {<тг = (огг1, . . ., orin), i == 1, . . ., к}. Обозначим 2° = {(Ц ЕЕ 2 : 3/ i : о7-	: VZ = 1, . . ., п	ai:}.
Пусть 7° = {I : $1 £= 2°},	= {/ :	=1}. Тогда в новой запи-
си булев полином имеет вид
д,«(х)= V Л х}.
i^I0
* Вообще говоря, это неверно (см. рис. 3.9), но мы, как правило, предполагаем, что х <= CW?X, и тогда это верно по непрерывности.
55
Рис. 3.9. Контрпример
Рис. 3.8. Парето-Транзитивность
Запись, несомненно, более удобная, ведь она не содержит теперь перечисления всех (или многих) квадрантов, составляющих конус S (Я), а перечисляет лишь тот минимум, который необходим для восстановления конуса,— ядро верхнего конуса правильного порядкового сравнения. Точнее, ядро верхнего конуса правильного порядкового сравнения содержит не более СГ2] квадрантов, в то время как его верхний конус может содержать до 2п квадрантов.
Правильные порядковые сравнения можно определить и иначе, а именно: сравнение J? ЕЕ S3n назы
вается правильным, если полином (х) не убывает ни по одной координате. Эквивалентность этого определения и предложенного выше очевидна.
Следует отметить, что хотя булевский язык вводился для порядковых сравнений, он естественно может быть обобщен на порядковые функции выбора. Например, для известных порядковых функций совокупно-экстремального выбора и ®-оптималь-ности [20] полиномы в строгих шкалах соответственно имеют вид к
РГ(и) = и<лу г=1 j^t k
pIli(u) = u1\/ A «,-ЛУ Л (AG{1,.1А1 = н).
Определения функций выбора на булевском языке запишутся тай:
х е (X) О Vy е х st: р? (ggn (Ж1 - У1), .. def
sgn (Хп — Уп)) = 1,
геСи(Х)^¥уеХ Я/и : Р, (sgn - У1\ ... def	и
..., sgn (хп— уп)) = 1.	\
56
§ 5. Алгоритмы, устанавливающие основные характеристики сравнений ее
В гл. 2 была установлена связь между свойствами сравнения Л ЕЕ 302 как бинарного отношения со свойствами верхнего конуса S (J?) как подмножества Rq. Эти результаты позволяют по полиному однозначно описывающему множество S (J?) cz Rg, алгоритмически устанавливать транзитивность и минимальную длину цикла порядкового сравнения Л.
Приведем соответствующие теоремы. Сначала для случая Л Е:	чтобы облегчить восприятие и прояснить идеологию.
Прежде всего будем предполагать, что полином Рц приведен. Операция приведения для J-й координаты состоит в следующем: полином Р % представляется в виде
Р 1%3 4" PpCji
где Р± и Р2 не содержат переменной Xj. Если при этом оказалось Pj = Р2, то будем говорить, что сравнение Л ЕЕ не зависит от Xj, и в качестве полинома Р^ рассматривать Р2. Таким образом, установлена биекция между сравнениями из не зависящими от Xj, и сравнениями из ЗВ^1.
Так вот, приведенным называется полином Р^, приведенный по всем переменным, от которых сравнение Л не зависит.
Теперь обратим внимание, что если S (Л) было цилиндром, то после всевозможных операций приведения оно превратилось в квадрант этого цилиндра. С другой стороны, теорема 2.3 утверждает, что Л транзитивно тогда и только тогда, когда S (Л) цилиндр.
Чтобы сделать это совсем понятным, сформулируем следующую лемму.
Лемма 3.1. Пусть Л ЕЕ ЗВ^, S (Л) определяется следующими квадрантами: q +	, . . ., q +	. Тогда положительная
11’ Ч	1т
оболочка SP (S (Л)) =	1-,
где /+ = {j = 1, . . ., п : Эй : у ЕЕ Гк&ЗЛ : j е Гк}-,
Г = {у = 1, . . ., п : 3/с : у е Я & З/с : /	/£};
J = {у = 1, . . п : 3fc : у ЕЕ П & Я* : у ЕЕ Л}.
Теперь достаточно вспомнить, что, так как S (Л) — конус, критерием его выпуклости является равенство
SP (S (Л)) = S (Л).
Резюмируем все сказанное в теореме.
Теорема 3.2. Пусть Л ЕЕ , пусть Р^ его приведенный полином. Тогда Л d (Rn) О Р^ — моном.
Иными словами, транзитивны все те и только те порядковые сравнения в строгих шкалах, которые сводятся к паретовскому
57
J
Рис. 3.10. Примеры к критерию транзитивности
слева —	(х) = д'! — моном, е (R2); справа --	(х) =	+ xtx2 — полином
отбрасыванием лишних переменных и, быть может, заменой знака в некоторых из оставшихся.
Доказанная только что теорема проиллюстрирована на рис. 3.10 для некоторых порядковых сравнений Я £= 53г- Вернемся еще раз к рис. 3.6. На нем изображен конус трехмерного мажоритарного сравнения, не являющийся, очевидно, цилиндром, а потому .//п
S’ (Ro) при п > 3.
Нетрудно доказать аналогичный критерий и для общего случая, когда Я ЕЕ 53?.
Сравнение Я ЕЕ 53? транзитивно тогда и только тогда, когда каждой координатной плоскости соответствует не более одного монома. причем цилиндры младшей размерности принадлежат замыканию цилиндров старших размерностей.
Так, сравнение транзитивно (см. рис. 3.5).
Заметим, что при этом некоторые «этажи» могут быть нулевыми. Например, сравнение Я. имеющее полином следующего вида, транзитивно:
этаж 4	0
»	3	0,	0,	0,	хг
»	2	0,	z2,	х3.	0
»	1	х3.	х2
»	0	0
Перейдем к вопросу о минимальной длине цикла. Пусть сначала Я S 53?,. Из леммы следует, что объединение квадрантов q,+ т~, . . ., qr+ Т- является тупым конусом тогда и только тогда, когда
V/ = 1, . . п Я А : j е Ik & Я/с : де Л,
58 \
т. е. J = (1, . .	п). Или, что очевидно то же самое,	?
V/3h, i2 :	(Р) <jhj (Р).
В самом деле, по определению тупого конуса S (S) = X (S), но если S содержит хотя бы один телесный квадрант, то X (8) = = Ro.
Оказывается, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.3. Пусть Л е Тогда Л е Лт+1 \ Лт, TJ& т — минимальное число мономов в таком полиноме Р, что
1) 8 (Р) с; S (Р^), где S (Р) — множество, задаваемое полиномом Р;	?
2) соответствующий Р верхний конус — тупой, т. е.
V/S^, i2 :	(Р) =#= Oi2j (Р).
Следствие. Пусть Л е Тогда
Л е Лоо Я/ : VZi, i2 (yid (Р^) = oi2 (Р^).
Доказательство теоремы состоит из двух лемм.
Лемма 1. Пусть С — тупой конус, определяемый т телесными квадрантами (причем это т минимально). Тогда существует (т — 1)-мерная плоскость, пересекающая все эти квадранты.
Лемма 1 доказывается индукцией по размерности пространства п. Спроектируем все рассматриваемые квадранты на ка кую-нибудь координатную гиперплоскость. Получившийся после проектирования конус, очевидно, будет тупым.
При этом нетрудно понять, что либо сам он будет минимальным (т. е. содержащим минимальное число квадрантов), либо ровно один квадрант можно откинуть так, чтобы он остался тупым и он будет уже минимальным тупым из числа конусов, принадлежащих проекции С.
Действительно, пусть можно было бы отбросить два квадранта. Тогда при достраивании конуса до n-мерного либо сразу же получился бы тупой конус, либо в худшем случае все квадранты повысили бы размерность за счет одной и той же полупрямой той прямой, вдоль которой происходило проектирование, т. е. оказались бы по одну сторону некоторой гиперплоскости. Тогда хотя бы один из отброшенных квадрантов при достраивании оказался бы по другую сторону этой гиперплоскости, а второй был бы лишним в противоречие минимальности исходного конуса.
Таким образом, следует рассмотреть два случая: когда полученный при проектировании конус уже минимальный и второй — когда есть один лишний квадрант. В первом случае по предположению индукции полученный при проектировании конус содержит (т — 1)-мерную плоскость, пошевелив которую, получим искомую. Во втором случае из предположения индукции следует, что есть (тп — 2)-мерная плоскость, взяв линейную оболочку которой с диагональю квадранта, проектируемого в отбрасываемый, получаем искомую (т — 1)-мерную плоскость, пересекающую
59
Рис. 3.11. Сравнение
все квадранты исходного конуса. Доказательство леммы 1 закончено.
Лемма 2. Пересечение плоскости с тупым конусом, определяемым телесными квадрантами,— тупой конус.
Это очевидно.
Проиллюстрируем суть доказанной только что теоремы на примере мажоритарного сравнения в трехмерном пространстве (см. рис. 3.6):
(х) =	+
~Ь х-^х^хз
Д’ ^1*^2*^ з •
Такая запись в столбик приведена для удобства: мы сразу замечаем, что нет такого столбца /, чтобы для любых Gii	действительно, каждая переменная в столбце
встречается и с отрицанием и без него. Следовательно, J/3
С другой стороны, для У/3, очевидно, выполнено условие 2) теоремы и ни для какого	полином которого содержит
менее трех мономов, оно не выполнено. Следовательно, минимальная длина цикла равна трем.
Пример, х = (3, 2, 1), у = (2, 1, 3), z = (1, 3, 2). Очевидно, Z.//3y, у.//3Х, xj/3z.
Теперь рассмотрим сравнение ££3 ее 53®, конус которого изображен на рис. 3.11, а полином которого
Р^з (х) =	+
+ ^^2^3 +
Как видим, переменная хг в каждый моном входит без отрицания, следовательно,
§ 6. Порядковая функция выбора
Для наших очередных целей сформулируем определение порядкового сравнения несколько иначе.
Назовем биекцию ф : R£ -> Ro сохраняющей порядок пары х, У Е Ro, если
Vi = 1, . . n sgn ((<р (x))f — (ф (у))г) = sgn (xt — yi).
Теперь назовем сравнение Я ЕЕ S3 (Ro) порядковым, если на каждой паре оно инвариантно относительно биекции ф, сохраняющей порядок этой пары, т. е.
xj£y & ф (х) Я ф (у).
60	' «
Мы теперь хотим перенести это понятие на множество функций выбора в Ro- Делаем это так же, как при определении выбора по критериям и классов (см. гл. 1). А именно: для переноса некоторого понятия из класса сравнений в класс функций выбора, смотрим, что означает это понятие для графодоминантных функций выбора, определяемых сравнениями, и, если это свойства естественно, распространяем его на возможно более широкий класс функций выбора.
Заметим, что при этом, если классы вводились для абстрактной функции выбора, т. е. не использовали никакой структуры, то и понятие выбора по критериям и понятие порядковога выбора существенно опираются на структуру Rq. Это и не удивительно: ведь классы Ли бинарных отношений, . не имеющих циклов длины, меньшей или равной /с, также не опирались на евклидову структуру, чего нельзя сказать о понятии сравнения по критериям, так же как и о понятии порядкового сравнения.
Пусть теперь А о RJ. Скажем, что биекция ф: А А сохраняет порядок множества X cz А (ф ЕЕ Ord X), если Ух, у Е X Ф сохраняет порядок пары х, у.
Так как графодоминантная функция определяется выбором из парных предъявлений, легко понять, что если сравнение Л порядковое, то соответствующая ему функция выбора С1^ обладает следующим свойством:
XX £ А, Уф е OrdX С (ф (X)) = ф (С (X)),
т. е. функция выбора на каждом предъявлении инвариантна относительно любого отображения, сохраняющего порядок этого предъявления.
В соответствии с нашим планом принимаем это свойство в качестве определения порядковой функции выбора Се£(^)-
Определение. Функция выбора С ЕЁ (Л) называется порядковой, если
vxc л, Уф е Ordx с (ф (X)) = ф (с (X)).
Это определение тривиально переносится на случай функции выбора общего вида: СЕК (Л, Й7).
Единственным примером негр афо доминантной порядковой функции выбора, встречавшимся ранее, была функция совокупно-экстремального выбора Q.
В самом деле, выбор на любом предъявлении состоял из точек, имеющих максимальный ранг хотя бы по одной координате, т. е. зависел лишь от ранжировки.
Рассмотрим еще один пример пеграфодоминантной порядковой функции выбора, точнее, целое семейство (однопараметрическое) таких функций, встречающееся в литературе по многокритериальной оптимизации под названием «^-оптимальность». Это семейство, которое встретится нам в гл. 6, определяется следующей
61
формулой:
VX с А с R” X е с (X) <й> Я4 = (й, . .	**):
: Vy е X (yt >	=> Ni e hVt < Ъ).
Видно, что один показатель играет особую роль. В данном контексте он называется главным. Без ущерба для общности его можно считать первым, что мы и делаем. Легко усмотреть, что 3)% совпадает с двумерным выбором по Парето, а 3)1 — с трехмерной ^-оптимальностью. И вообще для любого п ЗУ^1 есть графодоминантная функция выбора.
Однако неверно было бы думать, что 3)п при п 3 совпадает с Парето, хотя ффрма записи несколько похожая. Запишем функцию выбора по Парето в форме, аналогичной формуле для ^-оптимальности:
VXC4 с Ro X е с (X) Vy е X (Я/ = 1, . . ., п : Vi >
> Xi => Я/ = 1, . . ., п :	> у;).
Как видим, эта формула отличается от формулы для 25-оптимальности в двух местах: во-первых, номер координаты i не фиксирован (в 25-оптимальности i = 1), во-вторых, j зависит не только от х, как в 25-оптимальности, но и от у. Нетрудно понять, что оба эти различия расширяют выбор по Парето по сравнению с выбором по 25-оптимальности. Иначе говоря, на любом предъявлении 25-оптимальные точки всегда являются парето-оптималь-ными, но не наоборот (рис. 3.12).
Если теперь мы вспомним определение функции «выбора по критериям», данное в гл. 1, то увидим, что выбор 25-оптимальных, равно как и совокупно-экстремальный выбор, является выбором «по критериям».
Полезным упражнением является проверка для 25-оптимальности условий Н, О и С, введенных в гл. 1. Каждый без труда установит, что условия Н и О выполняются, а С нет.
Заметим интересную вещь: совокупно-экстремальный выбор можно представить в виде
Сспэ = G U • •. и
где Ct — функция, выбирающая альтернативы с максимальными оценками по i-й шкале.
В этой связи обобщим понятие верхнего конуса. Назовем набор множеств {J?x	букетом верхних конусов в точке х
в смысле функции выбора С (не обязательно графодоминантной), если
х е С (X) & 3Z : X (С) П X = 0.
Заметим, что мы действовали по обычной схеме, обобщая определение для графодоминантной функции выбора.
62	' \
Рис. 3.12. ^-оптимальность
Рис. 3.13. Букет конусов для функции совокупно-экстремального выбора
хг, Xs, х&, х3 — ^-оптимальные; х2, х®, х®, х\ х7 — парето-опти-мальные; х8, х3— ^-оптимальные;
Par3 <	< %*
Очевидно, что функция С, соответствующая данной функции букетов верхних конусов *, является объединением графодоминантных функций выбора, соответствующих функциям верхних конусов х X (С) по отдельности. Это следует прямо из определений. В частности, для функции совокупно-экстремального выбора букет в каждой точке одинаков и состоит из всех положительных полупространств, определяемых гиперплоскостями, проходящими через его «начало» (рис. 3.13).
В связи со сказанным интересно, конечно, установить, что функция выбора ^-оптимальных также удовлетворяет этому условию, т. е. также порождается букетами конусов.
В обоих случаях эти букеты инвариантны относительно сдвига, т. е. функции выбора можно поставить в соответствие один букет и т. д. по аналогии со сравнениями из $?3, и Понятно, что для любой такой функции выбора выполняется условие Н и что обратное, вообще говоря, неверно. Очень интересно описать класс функций, порождаемых букетами, т. е. разлагающимися в сумму графодоминантных функций.
Все проблемы реализации, поставленные нами ранее для сравнений, имеют смысл и для таких функций.
§ 7. Проблемы реализации порядковыми сравнениями
Несмотря на свою очевидную узость класс порядковых сравнений тем не менее достаточно гибок. Так, оказывается, что любая функция выбора, удовлетворяющая условиям Н и С, может быть
* Определяемой, очевидно, по аналогии с функцией верхних конусов (см. гл. 1).
63
реализована как графодоминантная по некоторому порядковому сравнению, если только исходное множество вариантов конечно.
Для этого достаточно показать, что таким образом мы сможем реализовать произвольную графодоминантную функцию, так как
(Л) е ^(Л) Q (Л). Для Я eJ(4) П (Л) это уже доказано в гл. 1, а именно было показано, что такую функцию можно реализовать как паретовскую.
Здесь мы приведем общую теорему о реализации графодоминантных функций выбора, обладающих различными свойствами.
Теорема 3.4. Для любого конечного множества А (| А | = т) графодоминантная функция выбора CTJt (Л) может быть реализована в пространстве показателей Ron функцией СТ$* (Л), где Я* Effii и при эгпом таково, что:
1)	— отношение «больше» и п = 1, если Я сильно транзи-
тивно *;
2)	Я* — паретовское сравнение, если Я транзитивно (как следует из доказательства на с. 21);
3)	Я* — мажоритарное сравнение, п = 2т, если Я асимметрично',
4)	Я* — правильное сравнение и п == 2т, если Я антирефлексивно [7];
5)	ЕЕ 531 > если Я рефлексивно.
Доказательство будем проводить отдельно для каждого случая.
1)	Орграф G (J?) — сильно транзитивный. Легко понять, что
Ух, у GEG (Я) h (х) <Zh (у) хЯу,
Tjsph (х) — высота вершины х в графе, определение которой было дано выше. Действительно, в силу транзитивности Я Hz S G (Я) h (z) — h (у) и хЯг. По свойству высоты гЯу & yЯz, т. е. zly. Если бы не выполнялось хЯу, то тогда обязательно xly и в силу транзитивности I xlz, что противоречит тому, что xЯz.
Теперь понятно, что отображение h : Л -> R1 обладает тем свойством, что
хЯу h (х) <h (у).
Таким образом первая часть теоремы доказана. Ясно, что доказательство переносится и на бесконечное множество Л с помощью трансфинитной индукции.
2)	Орграф G (Я) — транзитивный. Для него это утверждение было нами доказано ранее (см. гл. 2, § 7). Еще раз напомним, что так может быть реализована только графодоминантная функция, заданная на конечном орграфе. Пример невозможной реализации — граф «корона со счетным числом зубцов» (см. рис. 1.9). Также только для конечного Л верны и остальные утверждения.
* Бинарное отношение % называется сильно транзитивным, если оно транзитивно, а также транзитивно отношение L = Я, (J %.
«  <
3)	Орграф G(J?)— асимметричный. Каждой вершине х орграфа G G#) поставим в соответствие две шкалы (xl и х2) и положим по ним xl (х) = 3, х2 (х) = 2. Для вершин у & А, таких, что уЛх, положим xl (у) = 2, х2 (у) = 1, а для остальных вершин zG А xl (z) = 1, х2 (z) — 3. Таким образом, мы построили отображение ф множества А вершин орграфа G (УН) в пространство показателей Во™, если т = | А |. Покажем теперь, что
Ух, у 6= А хЯу 4=> ф (x)Jl?mq (у).
Пусть хЛу. Тогда по построению xl (х) <я2 (у), х2 (х) <х2 (у). По остальным же парам шкал Nz =^= х возможны три случая: a) zl (х) > zl (у), z2(x) <z2(y), б) zl(z) <zl(y), z2(x) > z2(y), в) zl(x) = z2(y), z2(x) = z2(y). В том числе это верно и для z = х в силу асимметричности. Следовательно, ф (у) превосходит ф (х) по большему числу показателей, чем ф (х) превосходит ф (у), а значит ф	(у).
Пусть теперь для некоторых х, у е А ф (ж).>2тф (у). Очевидно, что это возможно только, когда найдется zG=A, такой, что zl (х) <zl (у) и z2 (х) <z3 (у)/ Для z =й= у это неверно по построению, и все определяется показателями yl, у2, по которым yl (х) <Zyl (у) и у 2 (х) <Zy2 (у), а это возможно лишь в том случае, когда х$1у. Что и требовалось доказать.
4)	Орграф — антирефлексивный. Определим сначала порядковое сравнение Е:	с помощью булевского поли-
нома
(U) = V ^2i+1^2i+2,
т. е. Р&* (и) = ихи2 + U3ZZ4 + . . . .
Этот полином написан для строгих шкал, нам же нужны сравнения в нестрогих шкалах. Полином тогда примет такой вид:
zhw2 + w3zz4 + . .. I	этаж 2п
—	|	этаж 2п — 1
^5^6 4~ • • •> WjKa 4“	-f-.. .* .. . I этаж 2п — 2
—	этаж 2п— 3
И1И2;	и3и4;	...	|	этаж	2
.—	|	этаж	1
О	|	этаж	О
Каждый более низкий этаж получается перечислением всех полиномов, которые содержат ровно на одно слагаемое (вида w2i+iw2i+a) меньше, чем полиномы верхнего этажа. Ноль на нулевом этаже означает, что Nx G= A S (<>?*)	0, т. е. J#* антиреф-
лексивно.
3 Заказ № 125	05
Заметим, что Л правильное, так как Р&* (и) не содержит отрицаний.
Построим отображение ф: А R2m точно таким же образом^ как это было сделано в предыдущем пункте доказательства. Пронумеруем эти показатели так, чтобы показатели, соответствующие одной вершине, получили соседние номера. Ясно, что первый из них всегда нечетный. Покажем теперь, что
V#, у ЕЕ А хЯу ф (х) ^*ф (г/).
Пусть сначала хЯу. Тогда по паре шкал z/1 и у2 по построению yl (х) <у! (у), у2 (x)<Zy2 (г/), а следовательно, и ф (я)^?*ф (у)-k Обратно, пусть для некоторых х, у из А ф (я)^*ф (г/). Это буквально значит, ч^о существуют два соседних показателя, причем первый из них нечетный (пусть их номера 2i 4~ 1 и 2z + 2), по* которым
(ф < (ф Ю)2г+1 И (ф (х))гг+2 < (ф (у))2г+2-
Ясно, что эти показатели соответствуют некоторой вершине z графа G. По построению z = у, а следовательно, и хЯу.
Ясно, почему доказанное неверно для рефлексивных орграфов: полином Р^*(и) на нулевом этаже содержит нуль.
5) Из предыдущей фразы понятно, что для того, чтобы можна было реализовать рефлексивное отношение, следует «нулевой» этаж полинома тождественно задать равным единице, сохранив все остальные этажи неизменными. Очевидно, что тогда Ух ЕЕ А хЯх ф (х)с^*ф (ж). Верно это и в обратную сторону, так как если у х, то, например, по показателю z/1 z/1 (х) у! (у), т. е-ф (я) =/= ф (у), что и требовалось доказать.
Глава 4
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ ВЫБОРА ЛПР
§ 1.	Процедура выбора
Важное место в теории многокритериальной оптимизации занимает разработка процедур выбора, основанных на взаимодействии ЛПР и ЭВМ. Теперь, после абстрактных построений первых трех глав, мы перейдем к исследованию на их основе (в следующих трех главах) вопросов, представляющих в первую очередь практический интерес. При этом мы по-прежнему будем рассматривать некоторые задачи, имеющие математический характер, однако целью нашей является уже не столько изучение свойств некоторого абстрактного объекта, сколько получение на основании результатов такого изучения некоторых процедур и рекомендаций в практике многокритериальной оптимизации. Однако, на наш взгляд, построения этой и последующих глав представляют также самостоятельный теоретический интерес.
Итак, переходим к рассмотрению процедур выбора в пространстве показателей *. На первом этапе всех процедур этого типа необходимо получить как можно больше достоверной информации о структуре предпочтений ЛПР. Разумеется, полностью выяснить функцию, реализующую выбор ЛПР на каждом допустимом предъявлении, практически невозможно. Поэтому имеет смысл рассмотреть несколько способов формализации каких-либо свойств функции выбора, которые полезны для приближенного выяснения структуры предпочтений ЛПР. При этом приближать функцию выбора, соответствующую предпочтениям ЛПР, обычно имеет смысл некоторыми более слабыми функциями выбора, т. е. такими, выбор по которым содержит в себе истинный выбор, как подмножество (в этом смысле интересен § 10 гл. 1). Один из таких способов уже был рассмотрен в гл. 2 в параграфе, посвященном аппроксимации.
В самом деле, легко получить процедуру, позволяющую приближать (изнутри!) истинный верхний конус в данной точке многогранным конусом, соответствующим сравнению из класса Ср-Далее, как сказано в этом параграфе, сравнив между собой «кубики» и предоставив выбор в каждом из них ЭВМ (что возможно, так как класс Ср конечен, подробнее об этом написано в гл. 5), мы получаем некоторое приближение графодоминантной функции
* Вопросы о выяснении существенных параметров выбора (т. е. показателей) и о способах задания предъявлений в этой книге не рассматриваются.
3*
67
выбора, порожденной отношением предпочтения Л ПР, в предположении гладкости этого отношения. Однако вопрос о точности такого приближения до сих пор исследован слабо, что в значительной мере дискредитирует всю процедуру.
Отчасти поэтому, а отчасти вследствие их самостоятельного теоретического и практического интереса рассмотрим несколько других способов аппроксимации функции выбора ЛПР в различных предположениях о классе допустимых функций. Одним из важнейших понятий, используемых при аппроксимации в многокритериальной оптимизации, является понятие упорядочения показателей. В литературе по многокритериальной оптимизации оно, как правило, встречается под названием «упорядочение критериев по важности».
§ 2.	Упорядочение показателей
Понятие упорядочения показателей разработано для сравнений, которые, как мы видим, играют важнейшую роль в теории выбора в пространстве показателей Ro [11—13].’ Как и многие другие понятия, рассмотренные в предыдущих главах, оно может быть перенесено со сравнений и, стало быть, графодоминантных функций выбора на произвольные функции выбора в пространстве шкал. Однако в связи со слабой разработанностью процедур неграфодоминантного выбора остановимся на сравнениях.
Анализируя известные отношения предпочтения, мы замечаем^ что превосходство вариантов друг над другом по разным показателям в различной степени влияет на результат сравнения вариантов по совокупности всех показателей. Действительно, при лексикографическом сравнении превосходства по наиболее «важному» критерию достаточно для того, чтобы оказаться более предпочтительным. Если же объекты сравниваются, например, по Парето или мажоритарному отношению, то возникает совсем другая ситуация: превосходство ни по одному показателю не может гарантировать предпочтение в целом. Таким образом, понятно, что показатели здесь имеют одинаковую «важность» в некотором интуитивном смысле этого слова.
Будем рассматривать «важность» показателей с точки зрения возможности перестановки оценок вариантов по показателям без нарушения отношения между вариантами. Причем такие перестановки мы будем рассматривать в двух смыслах: перестановки относительных оценок вариантов и перестановки их абсолютных оценок.
1.	Перестановка относительных оценок. Пусть х, yERo-Тогда у' ЕЕ R? называется симметричной точке у относительно точки х в смысле перестановки показателей Z, /, если у' = х + + (У — х)м, гДе через xfJ- обозначается значение на точке х обычной перестановочной симметрии.
68
'V
Рис. 4.1. Перестановка относительных оценок
Рис. 4.2. Перестановка абсолютных оценок
Пусть при сравнении по двум критериям х оказался хуже, чем у (xj?y), и при этом z/i —	<у2 — х2 (рис. 4.1). Тогда если из
xj#y следует, что xJ?y' для любых х, у, то имеет, очевидно, смысл говорить о том, что показатель 1 не менее важен,чем показатель 2. Действительно, улучшение относительной оценки по первому показателю компенсировало такое же ухудшение оценки по второму показателю. Заметим, что если варианты сравниваются по Парето, то Vx, у G В? хРагп у 44 х Рагпу'.
2.	Перестановка абсолютных оценок. Пусть х = (х1? я2), у = (у1? у2) и xJ^y. При этом > х2, Ух <у2.
Рассмотрим варианты х' и у', имеющие оценки соответственно #i) и (у2, ух), т. е. полученные перестановкой оценок исходных объектов. При этом х' превосходит х по показателю 2, у' превосходит у по показателю 1. Будем говорить, что если xj?y -4 x'J£y', то это значит, что в абсолютном смысле показатель 1 не менее важен, чем показатель 2. Действительно, увеличение абсолютной оценки по показателю 1 у доминирующей точки компенсировало увеличение абсолютной оценки доминируемой точки по показателю 2 (рис. 4.2).
Введем понятие симметризации бинарного отношения. Как мы увидим впоследствии, это понятие является основным при рассмотрении упорядочения показателей.
Итак, пусть А — некоторое множество и J? Е® (А). Пусть далее на Л X Л действует некоторая конечная группа (симметрий) G.
Напомним, что говорится, что группа G действует на множестве М, если каждому элементу g Ez G поставлен в соответствие оператор fg: М М, причем fe = id М, где через е обозначена единица в G, через id М — тождественный оператор на М. Vgr, ^2 G fgt ° fg2 = fgig2, при этом если группа G конечна или конечно порождена, она называется группой симметрий множества М.
Пусть, далее, каждому g GE G поставлено в соответствие некоторое множество Ag ЕАхА. Тогда относительной симметриза-
дней называется бинарное отношение определяемое еле* дующим образом:
xJ?ry о xJ?y V {rdg е G: (х, у е Ag & fg (х, у) е Л+}.
Напомним, что через J?+ в первой главе было обозначено множество = {(х, у) е А X A: xj?y}.
В частном случае, когда любая симметрия g G С распадается в прямое произведение тривиальной симметрии на Л и какой-либо другой симметрии на А, т. е. VgEEG rAfg: 4—>4, такая, что fg : А X А -> А X А : (х, у) н-> (х, fg (у)), и, с другой стороны, для любого g Е G Ag = A xAg, где 4g се 4, формулу можно переписать в виде
х^аУ хЛу V./3# : g Ag & Kflfg (у)}.
В этом случае симметризация называется абсолютной и именно поэтому полученное отношение обозначается Таким образом, абсолютная симметризация является частным случаем относительной. Терминология не слишком безукоризненная, однако удобная для наших целей.
Понятно, что Ag достаточно задать на образующих группы G и распространить на остальные элементы по индукции: х ЕЕ Ag, если существует образующий Л, такой, что
g — hgf, х ЕЕ Ag', fg> ЕЕ Ah.
В самом деле, нас интересует случай, когда 4 — пространство показателей Ro, G — группа перестановок n-ок, fg : (х, у) »-> (х, х + (у — х)^) (напомним, что через xfJ- обозначается значение перестановки (г, /), 4fJ- = {(х, у): (у — x)f С (у — х);}. В этом случае будем говорить, что показатель i не менее важен, чем показатель j в относительном смысле.
Если же Ла — абсолютная симметризация и Ац ~ {xt Xj), то в этом случае будем говорить о сравнительной важности показателей в абсолютном смысле.
Обратим внимание на свойства, которыми обладают верхние конусы сравнений Лг и Ла при так определенной симметризации.
Обозначим для; любого х ЕЕ Ro ЛГх ЛГх — х. Тогда если показатель i не менее важен, чем показатель / в относительном смысле, то
{^гх П {%i	— ЛГх,
где через {А}^ обозначено множество {xf7- : х ЕЕ 4} (рис. 4.3, а).
Сравнение Ла удовлетворяет похожему свойству: если показатель i не менее важен, чем показатель ; в абсолютном смысле, то Vx : Xi > Xj (Лах)ц CE Лах^ (рис. 4.3, 6).
Заметим теперь следующее: определения упорядочения показателей как в относительном, так и в абсолютном смысле были даны для симметризаций. Представляется, однако, естественным 70
V
обобщить эти определения на произвольные сравнения Я ®п. Что мы и сделаем в следующем параграфе, учитывая сказанное о перестановке абсолютных и относительных оценок.
§ 3.	Относительное упорядочение
Пусть сравнение Я .59” задано функцией верхних конусов : Rn R” : х *-> J?x- Для любых номеров показателей г, / обозначим через Sij : Ro Во ’ х хг? — симметрию, соответствующую перестановке Z, / из группы п-перестановок.
Обозначим через : Rq -> Rq : х	— х. Пред-
ставим Ях как объединение частей, лежащих по разные стороны гиперплоскости Xt ~ хр
Ях = ЯхП {xt > xj} U X п (я, < Xi) (см. рис. 4.3).
Определение 4.1. Будем говорить, что показатель i не менее важен, чем показатель j в относительном смысле по срав-нению Я ЕЕ (и обозначать это i j) тогда и только тогда, когда для любого х Е R?
(Ях П {xi #/}) £=
Поясним смысл этого определения. Пусть Ях = {у: |У - х|< | х |}, т. е. верхние конусы состоят из точек, находящихся на расстоянии, не большем, чем | х | от точки х. Очевидно, Ях EZ Ях = {у : | У | = | х |} и представляет собой шар радиуса | х | с центром в начале координат. Это изображено на рис. 4.4. Поскольку Ях симметричен относительно прямой xt == х2 при всех х е R2, то, очевидно,
*^1? (Ях Q {#1	^2}) — Ях и 5*21 (Ях П {%2 > *^1}) — Ях*
Следовательно, верно как 1	2, так и 2щ1.
Пусть теперь
Ях - {у: | у — х | < | х |, У1 > Ху} (рис. 4.5, а).
В этом случае для любого х е Ro, S12 (Ях П {хг > ^1})	Я*»
однако, существует точка у ЕЕ Ях из нижней полуплоскости, такая, что 512 (у) Ях* Таким образом, 1	2, но неверно, что
2 z± 1. Конус
Ях = {у: | У — х | < | х |, уу > Ху при Ху > О, уу < Ху при Ху <0}
в полуплоскости Ху х2 совпадает с конусом, изображенным на рис. 4, 5, б. Из этого сразу делаем вывод, что неверно 2	1.
71

Рис. 4.3. Упорядочение показателей
Рис. 4.4. К определению 4.1
по симметризации
Вид конуса J?x для точек х из левой полуплоскости изображен на рис. 4.5, б. Здесь, наоборот, Vy g= из полуплоскости хг х2 512 (у) ЕЕ но существует у Е X из другой полуплоскости, такая, что 512 (у)	^х, т. е. неверно и
1^2.
Таким образом, в смысле г сравнения Я неверно ни 1	2,
ни 2 z± 1.
Определение 4.1 было дано для произвольного сравнения
Я ЕЕ Sn. Для ЕЕ ЗЗз это определение можно упростить. Действительно, ведь класс $?з состоит из конусов, инвариантных относительно параллельного переноса. Поэтому если для ЕЕ 33 з включение	Q {xt > х;}) с: Я* имеет место при некотором
х ЕЕ Ro, то и для любого у ЕЕ И? оно останется верным. Исходя
Рис. 4.5. К относительному упорядочению показателей
из этого, обозначая Л' = Л^, модифицируем определение 4.1 для сравнений из класса ®з:
Определение 4.2. Будем говорить, что по сравнению
ЕЕ ®з показатель I не менее важен, чем показатель j в относшпель-Т
ном смысле (i — 7) тогда и только тогда, когда
SiJ П {^г	#/}) Л $ •
Здесь отсутствует квантор общности по х.
Пользуясь определением 4.1 на множестве показателей для любого сравнения Л ЗВп, введем систему бинарных отношений гЛ r г 1
Лг = (“*,*-►, < и » /строгого предпочтения,равноправности и несравнимости по важности.
Для любых I #= у будем говорить, что показатель I важнее, чем показатель /:
О —*/) -w- 0=^0 & О’— ^); def
показатели i и j равноправны:
 (»**	i — i&i —i;
def
показатели i и j несравнимы:
(i ~£~i)<&(i=Zj)&(j^i). def
Этим определениям эквивалентны следующие:
г Л VxG R? Su (Ях П fa < *,}) E X & Si} Q
П {xj < xt}) £
i ♦-> 7'<4 Vx^-R” ^x симметричен относительно гиперплоскости
•El =
f 7 44 Яу1 e В?: Ях1 e : x} > x}, Si} (x1)
& Яу2 (= Во: Ях2 <= X2:	> xij, Si} (x2)
На рис. 4.6 приведены различные типы конусов из класса и соответствующие им упорядочения показателей.
Представляют несомненный практический интерес свойства системы бинарных отношений на множестве показателей. Сначала рассмотрим эти свойства в предположении, что Л ЕЕ $?г — поряд-т ковое сравнение. Мы увидим, что отношение равноправия <-► оказывается симметрично и транзитивно, а отношение предпочтения транзитивно.
73
Рис. 4.6. Упорядочение показателей по сравнениям из
Действительно^ имеют место следующие свойства VJ? ЕЕ 33?:
1)	отношение	транзитивно и рефлексивно;
2)	отношение	есть отношение строгого порядка;
3)	отношение А есть отношение эквивалентности.
В свойствах 1) и 3) по определению положено для любого i г
i I.	.
Прежде чем приступить к доказательству этих свойств, сформулируем определения упорядочения показателей для порядковых сравнений на булевском языке.
Пусть ЕЕ 33?, тогда для любых /, j
где знак в последнем определении означает «не меньше и хотя бы в одном случае больше».
Теперь перейдем к доказательству свойств, причем заметим, что не совсем тривиальными являются только свойства транзитивности отношений, но и они достаточно очевидны.
г	г
Действительно, пусть i / и ] «-> к. Тогда
Ц=*1, Xj—О, xfe—о	1x^=0, х;=1, xfe=0	1x^=0, Xj=O,
если Xj = 0, и аналогично, если Xj = 1. Таким образом, i Л- Л*.
Пусть теперь i J, j к. Тогда если Xj = 1, то
1^=0, Xj=1, xfe=l & 1х|=1, Ху=о, xfc— 1 >	1х{= 1, Xj—1, xfc=0 \
и аналогично, если xj = 0. Таким образом i =*к.
г	г	,	г
И наконец, пусть i —» 7, 7 —> к. Если это так, то верно i 7,
Г	г	г
j к, а следовательно, и I к. Но если i ++ к. то, учитывая, г	г	г
что 7 —> &, получаем противоречие: j i. Следовательно, i —> к.
Сказанного здесь достаточно для доказательства свойств: 1) - 3).
§ 4. Анализ сравнении с точки зрения упорядочения показателей
Как только мы научились всякому сравнению Я ставить в соответствие некоторое упорядочение критериев, у нас появилась . возможность исследовать сравнения по виду этого упорядочения, j Так, если нам ничего не известно про само сравнение, а есть только таблица упорядочения показателей, уже эта информация позволяет ' делать некоторые заключения о свойствах этого сравнения. Конечно, если имеем дело со сравнениями из класса <®п, то информа- ; ция об упорядочении показателей может дать очень мало сведений о самом сравнении. Так, если, например, 1 *~Г> 2, то можно сделать только вывод о том, что все верхние конусы симметричны -относительно гиперплоскости	само собой, форма их при §
этом может быть произвольной.	|
Совсем иное дело — сравнения из класса Основная их ? особенность, как уже знаем, конечность. Поэтому всякая инфор- j мация об упорядочении показателей позволяет гораздо более точно восстановить такое сравнение.
Приведем пример. Пусть варианты сравниваются всего по двум ; показателям, причем шкалы — строгие. Всего различных срав-нений при этом может быть 24 = 16. Пусть, однако, известно, что ?
т	:
показатели равноправны: 1	2 (о том, как получить такую ин- ]
формацию, будем говорить позже).	•
Ясно, что число сравнений, которым соответствует это упо- < рядочение показателей, сокращается до восьми. На рис. 4.7 при- J ведены примеры таких сравнений.	J
Еще меньшее число возможных сравнений получаем в случае , строгого упорядочения показателей, когда 2	1 (рис. 4.8). *
Заметим, что если сравнение правильное (гл. 3, § 4), то в первом случае возможны конусы, изображенные на $ рис. 4.7, а, д, е, а во втором — это единственный конус (рис. 4.8,	*
Таким образом, информация о том, что сравнение J?, во-первых*  правильное, а во-вторых, 2 —» 1<, оказалась достаточной для вое-становления сравнения — это лексикографическое сравнение. ?
Не во всех, конечно, случаях мы будем столь удачливы в вое- I становлении сравнений, однако всегда на основе информации об | упорядочении показателей можно построить некоторое сравнение, | реализующее такое упорядочение, т. е. получить «оценку снизу»*
75
7 -й—2—^2
Рис. 4.7. Примеры равноправности показателей в RjJ
Рис. 4.8. Примеры строгого упорядочения показателей
Для этого достаточно взять пересечение всех сравнений, реализующих данное упорядочение.
г' Перейдем теперь к анализу известных порядковых отношений с точки зрения упорядочения показателей.
1. Сравнение Парето. Покажем, что по парето-сравнению Par любые два показателя равноправны. Действительно, пусть х Рагп у, тогда Vi Xi Если для некоторого / xi — Уз xi ~ Уь то Ху у;. Очевидно, что в этом случае перестановка координат никак не может повлиять на отношение между векторами: х Рагп у => Рагп уг?. Следовательно, i / для всех г
* #= 7, а значит, i ++ j:
л г о г г
2. Лексикографическое сравнение. В отличие от сравнения Парето, по которому все показатели оказались равноправными, здесь никакие два показателя не являются таковыми. Более того, один из них обязательно (эудет более важным, 76
Рис. 4.9. Упорядочение показателей
лексикографическому сравнению
Рис. 4.10. Упорядочение показателей по мажоритарному сравнению чем другой:
Vi, 7 #= i (i Д у) V (/ Л i),
т. е. несравнимые по важности показатели здесь также отсутствуют.
Справедливость этого очевидна. Ясно, что если найдется номер к < г, такой, что х* у^, то перестановка координат не может повлиять на результат сравнения. Случай, когда для всех Л <+ хн — Ук изображен на рис. 4.9. Понятно, что i —> /.
Таким образом, показатели здесь упорядочены следующим образом: 1	2—»...—> и.
3. Мажоритарное сравнение. Убедимся сейчас, что и по этому сравнению, как и паретовскому, все показатели оказываются равноправными. Действительно, в этом случае любая перестановка показателей оставляет неизменной значение суммы п (х, у), равной, как мы помним, разности числа координат г, по которым xi <Zyi, и координат, по которым Xi > у^ (рис. 4.10).
Таким образом, 1 <-> 2	. А п, хотя, конечно, .//П + Рагп.
Этот факт подтверждает, что показатели могут быть упорядочены одинаково в смысле разных сравнений.
4. Сравнения Qg. Как следует из определения сравнения Qg i=± j	i > /. Очевидно также, что если i > j и i > S + 1,
г
то i —> / и наоборот. С другой стороны, как отмечалось в гл. 3, сравнение инвариантно относительно перестановки первых 5 + 1 координат, следовательно, для г, j' S + 1 j. Получаем, таким образом, следующее упорядочение показателей:
г	г г	г г г
П~^П — 1	S + 1	5	1.
С этих позиций также можно объяснять смысл параметра 6'. Это — число равноправных показателей, причем составляющих группу наименее важных. При S = п (и даже п — 1) все показатели оказываются равноправными, что и не удивительно: ведь в строгих шкалах Qn = Рагп.
§ 5. Упорядочение показателей на языке конусов возможных направлений
Предложенный в § 3 способ упорядочения показателей не является, конечно, Единственным. Приведем здесь еще один способ, основанный на предположении о существовании некоторой моно* тонной функции., описывающей структуру предпочтений.
Предположим, что задана непрерывная функция U : X -> R1: х -*• U (х), где Xc^Ro* Бинарное отношение Л определяется следующим образом:
Vx, уЕХ х^у 44 U (х.) < £7 (у).
def
Вектор Vx (U) = dU (x)/dxt, . . ., dU (х)/дхп называется градиентом функции U (х), множество Сх — {Vx (£7) : х GE X} — конусом возможных направлений. Сравнительная важность показателей определяется так [13]:
i <-> j (показатели i и / равноценны) 44 Сх ЕЕ {х^ = Xj};
i -4 / (показатель i важнее показателя у) 44 Сх Е: {xt Xj} &
& Сх {^i = </};
i +н » / (показатели i и у несравнимы) 44 Сх ЕЕ {xt х^} &
& Сх е {xj > xt}.
Эти определения проиллюстрированы на рис. 4.11. На: рис. 4.11, а показатели 1 и 2 равноценны, так как конус возможных направлений совпадает с прямой хг = х%. На рис. 4.11, б он полностью находится в нижней полуплоскости (поэтому 1-42),. а на рис. 4.11, в лежит по обе стороны по прямой хг = х2
Градиент Vx указывает направление максимального улучшения в точке х в смысле значения функции £7 (х). Поэтому естественно считать, что если для всех точек х ЕЕ X приращение по показателю i больше, чем по показателю у (что и отражено на рис. 4.11, б), то показатель £ более важен, чем показатель у... В этом и заключено определение сравнительной важности показателей.
Установим связь между рассмотренными способами упорядочения показателей — относительным (см. § 3 этой главы) и упорядочением на языке конусов возможных направлений [13]. Существование функции £7 (х) означает, что сравнение Л ЕЕ задано» 78
Тис. 4.11. Упорядочение показателей на языке конусов возможных направлений
функцией верхних конусов:
: X = {у : и (у) > и (х)}.	,
Рассмотрим другую функцию:
: X ~	= {у: (Vx (Z7), у) > U (х)}.
Здесь конус является первым приближением конуса J?x в точке х и представляет собой полупространство. Легко видеть, что для сравнения оба упорядочения совпадают: i j 44 i /. ’
Действительно, пусть i -т> /. Без ограничения общности положим х = 0. Тогда если у G и i/f z/j, то (V* (U), у') > I
(Vx (U), у), а следовательно, у' ЕЕ J#*- Заметим, что /, ? значит i —> /. Обратное также очевидно. Таким образом, если верх- \ ний конус сравнения есть полупространство, рассмотренные определения упорядочения показателей эквивалентны (рис. 4.12). ?
Без доказательства приведем более общее утверждение. Пусть для любого х ЕЕ X Лк — выпуклое множество, Гх — его выпуклая граница, п (х) — вектор, нормальный к Гх в точке у и на- : прав ленный в сторону ее выпуклости. Гх CZ Сх = {п (у), у Е Гх, х Е X}. Тогда i 4 j => i j, т. е. упорядочение пока- * зателей на языке конусов возможных направлений является частным случаем относительного упорядочения.	'
§ 6. Абсолютное упорядочение
Дадим теперь определение сравнительной важности показателей в абсолютном смысле. Пусть сравнение Л ЕЕ задано функцией верхних конусов : Ro : х -> Лк-
Определение 4.3. Будем говорить, что показатель i не менее важен, чем показатель j в абсолютном смысле по сравнению Л €= (и обозначать это t zz± J) тогда и только тогда, когда
Vx : Xi Xj Sij (Л* Q {xi #j}) E2 Лк^
где сохранены обозначения § 2 (рис. 4.13).
Рис. 4.13. К определению 4.3
Рис. 4.12. Связь различных определений упорядочения
4" •••’
Ясно, что в случае определения сравнительной важности показателей для симметризаций верхние конуры этому соотношению удовлетворяют. Поэтому с этой точки зрения можно говорить о корректности определения 4.3. а
Определив отношение =±, можно ввести систему отношений _ ® f а а Я .
За = {—>, <->, *-н > } строгого предпочтения, равноправия и несравнимости показателей в абсолютном смысле точно так же, как это делали для относительного упорядочения. Различные примеры отношений приведены на рис. 4.14.
Выясним теперь вопрос о соотношении относительного и абсолютного упорядочений. Оказывается, что для сравнений из класса нельзя сделать' никаких заключений по этому поводу. На рис. 4.15 приведены примеры, когда 1 Д 2, но неверно 1 Д 2, и наоборот: 1 Д 2, но неверно 1 Д 2 для Л ЕЕ йп. Действительно, пусть верхние конусы — подобные треугольники, причем нижней полуплоскости соответствует меньший треугольник (рис. 4.15, а). Ясно, что показатели равноправны в относительном смысле (так расположены треугольники), однако легко видеть, что в абсолютном смысле первый показатель важнее. На рис. 4.15, б верхние конусы J?x обладают тем свойством, что целиком принадлежат той полуплоскости, которой принадлежит точка х.	*
Тогда по определению 1 Д 2. С другой стороны, Vx П {хг >	I
>	= 0, следовательно, 1 —» 2.	?
Однако уже для сравнений Л ЕЕ определения совпадают: Д = Д и, следовательно, 3? — За • Действительно, пусть i Д у. Это значит, что
Vx, у е Ro •• (у — x)i < (у — x)j у е + (у -х);>е €= J?x, в том числе, если xt > yt <1 yj.	’
SO	’	1
Рис. 4.14. Примеры^абсолютных упорядочений
Вспомним, что J? е 53g. Тогда Хи + (у — x)ij е Но хо‘ + (У “ х)о- = Угу, следовательно, yr7 е т. е. i А у.
Совершенно аналогично показывается, что i j ==> i zz± ]. Таким образом, говорить об относительном и абсолютном упорядочении показателей, подразумевая при этом разные вещи, можно только для сравнений из класса 33п. Единственного условия — инвариантности функции верхних конусов относительно х ЕЕ Ro — достаточно для того, чтобы эти понятия стали эквивалентными. Поэтому для сравнений из класса Sg будем опускать значки «а» и «г» над отношениями.
§ 7. Упорядочение по Подиновскому
Напомним некоторые существенные понятия. Информация о важности показателей задается совокупностью со сообщений вида «показатель i важнее показателя /» (это за писывается как iBj) и «показатели i и j равноценны» (iSj) * [8].
♦ На самом деле упорядочение определяется шире: не только для пар, а для наборов показателей. Мы здесь рассматриваем лишь частный случай — упорядочение пар показателей.
81
Рис. 4.16. Абсолютнее упорядочение показателей
— 17V2; б — 7S2
Далее для любого у ЕЕ R? определяется множество л® (у); делается это следующим образом:
уел® (у);
Vz Е Ro i / (z Е л® (у) =Ф zu е л® (у)) 4=>
4=> (iSj V iBj&Zi < zj).
Определяется бинарное отношение предпочтения Р® [14]:
Vx, у е Ro
хР®у a 3z Е лй (у) : х Parnz.
Пример 1. Пусть п — 3 и, совокупность сообщений о сравнительной важности показателей имеет вид
со = {152, 1РЗ, 2ВЗ}.
Пусть у1 = (3, 2, 1). Тогда, очевидно,
л® (yl) = {(3, 2, 1), (2, 3, 1)}.
Для у2 = (1, 2, 3)
л® (у2) = {(1,2,3), (2,1,3), (3,2,1), (2,3,1), (1,3,2), (3,1,2)}.
Рассмотрим вектор z = (0, 3, 2). Очевидно, что zP®y2, потому что нашелся вектор у = (1, 3, 2) Ел® (у2), такой, что z Рагпу. Что касается вектора у1, то, как видим, ни для какого у Е= л® (у1) не имеет места z Рагпу. Следовательно, zP^y1 .
Таким образом, для любой пары показателей i и / может иметь место одна из четырех ситуаций iSj, iBj, jBi, либо неверно ни одно из этих отношений (iNj). Это означает, что на множестве пар показателей вводится система бинарных отношений 5s® = = {5, Р, 7V} равноценности, предпочтения и несравнимости по важности. Из свойств этой системы отметим лишь то, что S эквивалентность, а В не является строгим порядком. Некоторые примеры упорядочения показателей приведены на рис. 4.16.
82
Как видим, определение упорядочения показателей по Подиновскому является частным случаем определения упорядочения для абсолютных симметризаций (для этого в определении^ достаточно положить Л — Рагп). Заметим здесь, что определение упорядочения на языке симметризаций предполагает принадлежность сравнений
и Явообще говоря, классу
(если только Ац Ro).
Укажем на одну особенность абсолютной симметризации Несмотря на то что порождающее ее сравнение Л может быть
Рис. 4.17. Нетранзитивность абсолютной симметризации х^ау, y«%az, х^а®
транзитивным, само сравнение Ла таковым быть вовсе не обязано-(рис. 4.17). Что же касается ацикличности, то об этом уже говорилось в гл. 2. Повторим: если	и^?еЛ,тои Д ЕЛ-
§ 8. ЛПР и упорядочение показателей
В этом параграфе мы покажем один из способов аппроксимации структуры предпочтений ЛПР в предположении, что соответствующая функция выбора — графодоминантная порядковая.
Используем информацию об упорядочении показателей. Мы уже отмечали (§ 4 гл. 4), что эта информация может резко сузить число допустимых порядковых функций выбора.
Покажем, как получить от ЛПР такую информацию. Про любую упорядоченную пару показателей £, у зададим вопрос: если вариант у лучше варианта х и при этом	Уз — та
следует ли из этого, что вариант уг? обязательно лучше, чем xiJ? Всего, очевидно, таких вопросов придется задать п(п— 1)/2. Допустим, что нам повезло, т. е. на все вопросы ЛПР ответил либо «да», либо «нет» (третья альтернатива — «не знаю» — отказ выдавать информацию). Очевидно, что ответ позволяет установить, верно соотношение i у между критериями или нет. Если был получен ответ «да», то i j, в противном случае i j. Таким образом, задав п (п — 1)/2 вопросов, получим некоторое упорядочение критериев. Нам может повезти: оно окажется непротиворечивым, т. е. отношение удовлетворяет свойствам строгого порядка, а отношение <-> свойствам эквивалентности (свойства 1-3 § 3). В этом случае существует несколько порядковых сравнений, удовлетворяющих такому упорядочению. Объединение соответствующих этим сравнениям функций и берется в качестве аппроксимирующей функции выбора. Еще лучшего результата добьемся, если будем предполагать искомое сравнение правильным.
83
Следующий этап работы с ЛГ1Р — это «спуск по квадрантам». Назовем высотой квадранта число положительных полуплоскостей, его пересекающих. Среди тех квадрантов, которые остались после предыдущего этапа, выбираем имеющие максимальную высоту и про каждый из них задаем вопрос ЛПР (о принадлежности его верхнему конусу порядкового сравнения). Такие вопросы, конечно, представляют куда большую сложность, потому что требуют одновременного учета сразу нескольких показателей. Поэтому весьма возможно, что ЛПР не в состоянии ответить на такой вопрос. Если все-таки последовал ответ «да», то переходим к следующему квадранту такой же высоты или (если все они уже просмотрены)) меньшей на единицу. Наиболее «благоприятным» является ответ «нет». В этом случае в силу правильности сравнения из дальнейшего рассмотрения исключается часть квадрантов меньшей высоты.
Процедуру «спуск по квадрантам» можно заменить аналогичной процедурой «подъем по квадрантам». При этом также большую роль играет свойство правильности, правда, используется оно уже при положительном ответе ЛПР.
Глава 5
АЛГОРИТМЫ ВЫБОРА
§ 1.	Алгоритмы в многокритериальной оптимизации
Важнейшее место в многокритериальной оптимизации зани-мает задача разработки процедур, в которых ЭВМ призвана максимально помочь ЛПР осуществить выбор *.
Вначале необходимо получить и формализовать максимум информации о структуре предпочтений ЛПР (об этом речь шла в предыдущей главе), после этого машина должна на основе этой информации делать выбор из предъявленного множества альтернатив. Как мы видели в § 10 гл. 1, этот выбор не обязан совпадать с окончательным выбором ЛПР, но лишь как-то приближаться к такому выбору, причем, как правило, содержать его как подмножество.
В свете изложенной в предыдущих главах теории сделаем обзор алгоритмов, совершающих графодоминантный выбор, т. е. выбирающих точки, недоминируемые в смысле какого-либо сравнения из некоторого фиксированного класса.
Мы, как правило, не будем формально выписывать алгоритмы, однако приводимых соображений достаточно для программной реализации изложенных идей.
§ 2.	Конечные классы допустимых предъявлений
Очевидно, что алгоритмизировать выбор по данному сравне нию из некоторого класса можно только при условии, во-первых конечности этого класса сравнений (иначе как мы будем задавать конкретные сравнения?), во-вторых, предъявления должны описываться конечным образом: будь то некоторая n-мерная матрица (рис. 5.1), каждый индекс (n-мерный) которой соответствует некоторой точке исходного множества вариантов, ограниченного
* Тут уместно заметить, что целью многокритериальной оптимизации является моделирование выбора. Всякое моделирование состоит, во-первых, из выделения некоторой формализованной части информации об объектах моделирования из общего объема, вообще говоря, неформализованной информации, во-вторых,— из алгоритмической обработки этой информации в соответствии с моделью. В контексте многокритериальной оптимизации всякий источник информации мы будем называть «лицом, принимающим решение»— ЛПР (это может быть человек, природа и т. п.).
85
Рис. 5.1. Дискретная модель
Предъявление задается матрицей
Рис. 5.2. Непрерывная модель
Предъявление задается набором п-ок п = 2):	(2,135; 6,911), (3,141; 2,718),
(4,865; 1,141), (4,988; |,318), (7,397; 4,013) Рис. 5.3. Гладкая модель
Допустимые гладкие функции — линейные и квадратичные, число систем равно двум, число уравнений (неравенств) в системе не превышает трех. Предъявление задается так:
прямоугольником в дискретных шкалах, так что элемент с данным индексом равен единице, если соответствующая его индексу точка входит в предъявление, и нулю — если йе входит, или будь то конечный набор n-ок вещественных (т. е., разумеется, псевдо-вещественных, т. е. заданных с точностью до некоторого знака) чисел в случае непрерывных шкал (рис. 5.2), или, наконец, если предъявленное псевдомногообразие (разумеется, в непрерывных шкалах) такое, что определяющие его гладкие функции являются конечными алгебраическими комбинациями некоторых элементарных функций (т. е. полиномов, тригонометрических, экспоненциальных функций и обратных к ним) (рис. 5.3).
Конечно, такое разделение в некотором смысле условно, так как при желании набор n-ок псевдовещественных чисел также можно задавать в виде n-мерной матрицы из единиц и нулей, однако понятно, что иногда это делать удобно, а иногда — отнюдь нет и что в каждом конкретном случае выбор модели класса
86
допустимых предъявлений либо очевиден, либо может быть определен прикидкой машинного времени и подобных характеристик задачи.
Для того чтобы сразу дать почувствовать специфику перечисленных основных типов множеств предъявлений, рассмотрим простейший случай — выбор по Парето.
§ 3.	Алгоритмы паретовского выбора
1.	Дискретные шкалы. Идея вполне очевидна. Реализуем ее для двумерного случая — на случай произвольной размерности все сказанное переносится автоматически.
По определению дискретных шкал оценка по каждой шкале может принимать конечное множество значений; пронумеруем эти значения: ij = 1, . . ., mj для /-го критерия.
Предлагаемый алгоритм (рис. 5.4) из матрицы, соответствующей предъявлению, делает матрицу, соответствующую выбору из этого предъявления по Парето (в нестрогих шкалах) (рис. 5.5).
Как видим, матрица предъявления просматривается всего один раз, поэтому число операций (логических!) имеет порядок п
П mi т- е- тот же, что ввод-вывод матриц. Стало быть, можно j=i считать, что этот алгоритм следует предпочесть алгоритму для непрерывных шкал тогда и только тогда, когда задать соответствующий предъявлению набор n-ок труднее, чем ввести матрицу.
2.	Непрерывные шкалы. В первую очередь надо иметь в виду следующее: если для дискретных шкал строгость шкал является существенным ограничением, так как совпадение оценок происходит часто (мощность предъявления сравнима с мощностью исходного множества вариантов), то иное дело — непрерывные шкалы: вероятность совпадения практически равна нулю; она была бы и в точности равна нулю, если бы оценки по критериям принимали не псевдовещественные, а настоящие вещественные значения, причем она равна нулю с тем большей точностью, чем больше точность задания вещественных чисел в машине (или в задаче) и чем меньше число вариантов предъявления по сравнению с исходным множеством вариантов. Легко получить точную формулу.
Поэтому, как правило, при работе в непрерывных шкалах можно считать, что шкалы строгие, более того, вероятность попадания точки у — х, где х, у Е X — предъявленные варианты, на некоторую фиксированную гиперповерхность равна нулю. (Напомним, что по определению данного конечного класса предъявлений мощность каждого предъявления конечна). Однако мы приведем и такие алгоритмы, в которых это допущение не принимается — для тех ответственных случаев, когда цена ошибки при имеющейся вероятности совпадения все же слишком велика.
87
I Ж7 |
I i J
Рис. 5.4. Алгоритм паретовского выбора
в дискретной модели
Важнейшее место в идеологии алгоритмов выбора занимает следующая очевидная идея: если предложить простой способ отыскания одной недоминируемой точки, то можно будет использовать следующую процедуру: найти недоминируемую точку, выбросить ее вместе со всеми точками, которые она доминирует, из предъяв-
88
Рис. 5.7. Парето-максимум на шаре
/л
Рис. 5.8. Нахождение Парето-максимума на невыпуклом предъявлении
ления, найти на оставшемся множестве новую недоминируемую точку и т. д., пока есть что выбрасывать [15, 16].
Такая процедура, вообще говоря, существенно ускоряет процесс по сравнению с тривиальной процедурой попарного сравнения, так как позволяет не сравнивать между собой никакие доминируемые точки.
Понятно, что для обоснования такой процедуры достаточно свойства О (отбрасывания) или, что в данном случае то же (по теореме 1.7), транзитивности и ацикличности (что в свою очередь по утверждению 1.1 эквивалентно транзитивности и антирефлексивности) рассматриваемого сравнения. Без этого условия, вообще говоря, не обойтись (пример ациклического, но нетранзитивного
89
отношения (из класса ^), для которого такая процедура дает неверный ответ, приведен в следующем параграфе), однако па-ретовский выбор ему очевидным образом удовлетворяет.
Самый очевидный способ найти недоминируемую точку — это построить достаточно простую изотопную функцию / : Rn -> R1 и взять ее максимум (рис. 5.6). В простейшем случае в качестве / можно выбрать линейную функцию или даже одну из координат (т. е. проекцию на некоторую шкалу) (см. теоремы 2.5, 3.3), для паретовского выбора в строгих шкалах можно взять проекцию на любую шкалу, в случае же нестрогих шкал естественно предло-п
жить в качестве изотонной функции f = У х-х.
i^l
В самом деле, # доказательстве утверждения 2.1 была построена линейная изотонная функция по опорной гиперплоскости к верхнему конусу сравнения. Очевидно, что гиперплоскости {xt = 0}
{П	Ч
У| Хх — Or являются строго опорными 1=1	J
для верхнего конуса паретовского сравнения в случае строгих и нестрогих шкал соответственно.
3.	Псевдомногообразия. Легко понять, что граница парето-максимума на псевдомногообразии состоит из точек, касательные пространства в которых содержат координатные плоскости той или иной размерности (рис. 5.7). Поэтому для того, чтобы задать псевдомногообразие, являющееся парето-макси-мумом для данного псевдомногообразия — предъявления, в принципе достаточно узнать частные производные гладких функций, задающих предъявление, что, очевидно, можно сделать алгоритмически для рассматриваемого класса гладких функций, после чего все трудности сведутся к вопросу о пустоте пересечений некоторых псевдомногообразий, т. е. к существованию [решений некоторых систем гладких неравенств (рис. 5.8).
Конечно, вопрос существенно упрощается, если известно, что предъявление выпукло. Тогда после получения частных производных достаточно вычислить их значения в конечном числе точек.
§ 4.	Об алгоритмах выбора по сравнениям из конечных классов
Как следует из теоремы 3.3, для верхнего конуса любого порядкового ациклического сравнения в строгих шкалах существует координатная строго опорная гиперплоскость, т. е. проекция на некоторую ось является изотонной. Однако если такое сравнение нетранзитивно к тому же, то описанная в предыдущем параграфе процедура неприменима.
Идея контрпримера следующая: рассмотрим три точки х, у, zERo;x^y, y-<z, z несравнима с х, причем изотонная функция (любая!) / такова, что / (х) < / (у) ,< / (z). Тогда при приме-90	’ V
Рис. 5.9. Контрпример
<г — х = (0> 0, 0)» У = (1> —2, 1,) z — (2, —1, —1); f — jrt, Л1 (х) < jrt (у) < Jii (z); С — пересечение верхнего конуса ^’-оптимальности с кубом
Рис. 5.10. Модификация процедуры для нетупого конуса
нении нашей процедуры мы сначала найдем точку z, затем выбросим у и в конце концов выберем х, что неверно.
Для примера возьмем трехмерную ^-оптимальность (рис. 5.9).
Далее, если даже и транзитивность и ацикличность (антирефлексивность) имеют место, то не всегда так просто бывает найти недоминируемую точку *. Ведь, например, как мы видели в гл. 2, § 2, двумерная лексикография, являясь безусловно транзитивным и ациклическим сравнением (теоремы 2.3 и 2.4), имеет, очевидно, лишь нестрого опорную гиперплоскость {хх = 0} (рис. 5.10). В этом случае поиск недоминируемой точки можно модифицировать так (см. рис. 5.10): если максимум по первой координате достигается сразу на нескольких точках, то выбрать следует ту из них, на которой достигается максимум по второй координате. Эта идея с помощью теоремы 2.2 и утверждения 2.3 распространяется на все транзитивные, антирефлексивные сравнения из $J2.
* Тут надо заметить, что эти проблемы встают только в случае дискретных шкал или при особой ответственности задачи (см. § 3).
91
В самом деле, по утверждению 2.3 из антирефлексивности следует наличие опорной гиперплоскости у выпуклого (теорема 2.2) верхнего конуса рассматриваемого сравнения.
Рассмотрим пересечение этой гиперплоскости с верхним конусом: оно либо пусто (и тогда изотонная функция построена), либо выпукло и (опять же по утверждению 2.4 и из-за антирефлексивности) является нетупым конусом. Тогда для точек из пересечения также можна строить изотопную функцию и т. д.
В случае, когда сравнение Я ЕЕ Ср (гл. 2, § 4), а тем более сказанное выше легко довести до программы.
Однако сравнения ЕЕ или Л ЕЕ Ср не обязаны быть транзитивными. Как быть в таком случае? Тут, по-видимому, следует воспользоваться следующим очевидным утверждением.
Утверждение 5.1. Пусть X С А и VxE X — = U X- Тогда
i
Мах^Х = Q Max^iX.
i
Заметим, что если знаки объединения и пересечения поменять местами, то утверждение останется истинным.
Теперь понятно, что верхние конусы нетранзитивных сравнений из рассматриваемых классов следует представлять в виде объединения некоторого числа выпуклых множеств. В случае эта удобно делать исходя из сокращенной записи сравнения (см. гл. 3, § 3).
Более того, понятно, что сравнение в смысле не требуется производить для точек, доминируемых в смысле где / < i.
Пример. Пусть верхний конус сравнения Л CZ 3$ выглядит так, как показано на рис. 5.11. Тогда, используя результаты § 3, мы сначала выберем недоминируемые в смысле паретовскога конуса, а затем можно, используя ту же технику на всем предъявлении, выбрать максимум в смысле третьего квадранта и взять пересечение, а можно сравнить лишь паретовские точки со всеми (!) остальными в смысле третьего квадранта (см. рис. 5.11).
§ 5.	Параллельные алгоритмы выбора
В настоящее время широкое распространение получают многопроцессорные вычислительные системы. В этой связи появляется потребность в распараллеливании алгоритмов. Распараллеливание большинства приведенных нами алгоритмов выбора осуществляется крайне просто.
В случае дискретных шкал идея заключается в следующем (будем опять же рассматривать двумерный случай, полностью аналогичный n-мерному): большой прямоугольник, ограничивающий исходное множество вариантов, разбиваем на меньшие и начинаем с прямоугольника, соответствующего старшим значениям
Pit с. 5.11. Случай нетранзитивного сравнения
Рис. 5.12. Распараллеливание алгоритма
индексов (т. е. в нашем случае с самого верхнего и правого). Выделяем там парето-максимум по приведенному выше алгоритму, после чего выводим максимальные значения обоих индексов для данного предъявления. Затем рассматривается независимо прямоугольник непосредственно снизу и прямоугольник непосредст
93
венно слева от начального. Причем рассматриваются только те *гочки, у которых значения соответствующих индексов больше крайних значений, определенных во время работы с первым прямоугольником и т. д. (рис. 5.12).
Заметим, что для такого алгоритма порядок распараллеливания, т. е. максимальное число процессоров, одновременно участвующих в работе, ограничен размерностью исходного множества вариантов.
В случае непрерывных шкал для каждого транзитивного, анти-рефлексивного отношения удобно воспользоваться теоремой Плот-тга (гл. 1, § 8), так как графодоминантный выбор по такому сравнению заведомо удовлетворяет условию Н и О.
Выделение максимумов для транзитивных «кусков» нетранзи-тгивных в целом сравнений так же можно производить параллельно.
Порядок распараллеливания в двух последних случаях не ограничен.
Глава 6
ТОЧНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ ВЫБОРА
§ 1. Сравнение точности аппроксимации
Пусть имеются две функции (выбора), моделирующие некоторый истинный выбор, причем обе устроены так, что доставляемый ими приблизительный выбор содержит истинный выбор как подмножество. Можно ли априори (т. е. до получения обоих аппроксимирующих выборов) судить о том, какая из них лучше? Конечно, предпочесть следует ту, которая выбирает в каком-либо смысле меньше вариантов: во-первых, такой выбор ближе к истинному, а во-вторых, с меньшим числом вариантов проще работать.
Так естественно возникает проблема сравнения функций выбора в смысле мощности множества выбираемых вариантов.
Кое-что на этот счет мы уже знаем: в гл. 1 именно в таком смысле был введен порядок на классе функций выбора.
Пусть С2 е © (Д Й?). Тогда
G < С2 & NX ^30 Сх (X) э С2 (X).
Однако нетрудно сообразить, как мало в жизни встречается функций выбора, сравнимых по этому определению. И кроме того,, это определение качественно, т. е. не позволяет устанавливать,, насколько одна функция лучше другой.
Мы привыкли, что точность того или иного приближения характеризуется либо максимальной величиной ошибки, либо ее средней величиной. Первый способ в нашем случае представляется мало перспективным, так как мощность выбора (по одной и той же функции выбора) весьма существенно зависит от конкретного предъявления и нередко может даже совпадать с мощностью самого предъявления. Рассмотрим хотя бы функцию Сраг. Легко понять, что если расположить исходное множество вариантов вдоль главной биссектрисы (рис. 6.1, а), то выбор всегда состоит из единственного варианта; если же варианты расположить вдоль ортогональной этой биссектрисе гиперплоскости = то
4=1 J
выбор всегда совпадает с предъявлением (рис. 6.1, б).
Естественно возникает идея в качестве соответствующей характеристики функции выбора использовать математическое ожидание числа выбранных вариантов. Эта идея дала интересные результаты, которые будут приведены в следующих параграфах.
При этом, однако, будет видно, что успех обусловлен поряд-ковостью, с одной стороны, и независимостью распределения оце-
95
Рис. 6.1. Примеры выбора по Парето
« - сРаг = <ХЬ 6 — сРаг <*) = х А
нок по показателям и по вариантам — с другой. Эти свойства позволяют сводить, сложные вероятностные задачи к сравнительно простым комбинаторным и получать характеристики функции выбора, не зависящие от распределения оценок вариантов по показателям. Получить же сколь-нибудь нетривиальные обобщения (пока, во всяком случае) не удается.
Тем не менее приведенные ниже результаты весьма полезны на практике.
§ 2. Математическое ожидание мощности выбора
В этой главе мы в основном будем рассматривать графодоминантные функции выбора, т. е. определяемые следующим образом:
(X) - {х е х : Ny е х х л у}, х е зс о л,
где Л — некоторое бинарное отношение, заданное на множестве пар из А. В литературе элементы х €=	(X) называют макси-
мальными (см., например, [3]), поэтому в дальнейшем множество (X), как и договаривались еще в гл. 1, будем называть максимумом множества X по отношению Л или просто максимумом, если из контекста ясно, о каких X и Л идет речь, и обозначать Мах^ X. Будем также считать, что Л — сравнения, т. е. бинарные отношения в пространстве R^.
Пусть 30 — класс допустимых предъявлений. Обозначим 30т = {X 6= «27: | X | _ г}, т. е. в 30г включим все предъявления мощности г. Пусть X = {х1, . . ., хг} €= «27г.
Рассмотрим события
Bt = {xi е Мах<я X} (/=!,.. ., г)
и случайные величины принимающие значения
(1, если событие Bt имеет место, "10 в противном случае. ч
V
96
Пусть N — случайная величина мощности максимума Мах^Х, равная, очевидно, сумме случайных величин:
= S Xi-
i=l
Наша задача — это нахождение математического ожидания случайной величины N. Запишем:
=	3 Xi]= ij М [Xi] =
L i=l J i=l
= S (Р{-/л = 1}-1 + -Р{Хг=0}.0)= {Xi= 1}. i=l	i=l
Но любая точка хг (i = 1, . . ., г) с равной вероятностью принадлежит максимуму, другими словами, Vi, j Р {fai =1} = P{fa = = 1}. Поэтому можно записать, что
MIN] =гР {Х1 =1}.	(6.1)
Здесь надо сделать замечание. Хотя мы и отметили, что будем рассматривать графодоминантные функции выбора, все сказанное до сих пор остается справедливым для произвольной функции выбора. Именно: для нахождения математического ожидания мощности выбора необходимо и достаточно определить вероятность того, что произвольно выбранная точка х ЕЕ X попадет в множество С (Х). Ниже (§7) в подтверждение этого будет приведен расчет математического ожидания мощности выбора для порядковых функций совокупно-экстремального выбора, а также ^-оптимальности. Но сейчас, как и собирались, мы продолжаем рассматривать графодоминантные функции выбора.
Будем в дальнейшем для математического ожидания М [7V] использовать обозначение (г, п), где п — число показателей пространства В©.
Множество вариантов X ЕЕ будем считать случайной выборкой г точек из множества А. Эту выборку раз и навсегда мы будем считать независимой, так как оценки одного варианта считаются независимыми от того, какие оценки получили другие варианты. Поэтому каждый элемент выборки будем считать n-мерным вектором с функцией распределения
(к) = ^{11 <*!»•• .. In < ®п}-
Зная распределение, можно определить и математическое ожидание (г, п). Пусть — конус сравнения в точке х. Обозначим SA (х) = Q 4. Тогда вероятность того, что некоторая точка у доминирует фиксированную точку х, равна J dF^(y). Поскольку ни для одной точки у из X не должно быть xj?y, то вероятность, что точка х принадлежит максимуму
4 Заказ Ks 125	97
Мах^ X, равна
(1- J ^(у)р.
V SA(x)	/
Интегрируя теперь по всей области А, окончательно получим
P{X1 = 1) = J(1- J
А Х 8л(х)	1
и для математического ожидания
м*(г,п) = т J(l- 5 ^(У)Г^Л(Х).	(6.2)
А ВАЫ	J
Эта формула будёт исходной для подсчета математического ожидания мощности максимума в самых различных случаях.
Предположим, что функция распределения F$ (х) может быть представлена в виде
Fl (х) = Р {В1 < *1}. • • р йп< хп} = П(х4).
i=l
В этом случае будем говорить, что сравнение вариантов производится в независимых показателях. Это означает, что оценки, которые вариант получил по одним показателям, не влияют на то, какие оценки он получит по другим показателям. Основные результаты этой главы получены как раз для таких распределений. Что касается зависимых показателей, то в одном из следующих параграфов для них будет приведена оценка математического ожидания числа вариантов, оптимальных по Парето.
Для независимых распределений особый интерес представляет случай, когда функции распределения обладают свойством
Р < Xi} = Р {|г < xt} (i = 1, . . . , n).	(6.3)
Отсюда следует, что вероятность совпадения оценок различных вариантов по любой шкале равна нулю. Это очень напоминает сравнение в строгих шкалах; здесь, однако, несмотря на нулевую вероятность, такая возможность не считается недопустимой.
Распределения, удовлетворяющие свойству (6.3), имеют важную особенность. Пусть случайные величины . . ., ^ одинаково распределены с функцией распределения (я), удовлетворяющей (6.3). Тогда
р {u < и < • • • < м = w.	(6.4)
для любой перестановки индексов (г\, . . ., г^).
СО
Действительно, < . ..	= j dFl(xh)- •• 5 dFt(x^
xi^
и после замены переменных z^ = Zj (j — 1, . . ., к) получим р а, <	< ьк} = р . < ы-
98	Ч
Но всего существует к\ перестановок индексов (1, . . м к). Согласно свойству (6.3) события Р < . . . < %ij(} образуют полную группу. Следовательно,
SP {U<...<W
где сумма берется по всем к\ перестановкам индексов.
Отсюда и следует утверждение (6.4). Очевидно и следствие
Р {ij = 1} =1/к	(/,/=!,.. .,&),
т. е. вероятность того, что в цепочке < . . . < £ifeHa j-м месте стоит равна 1/к и не зависит от I и у.
В большинстве случаев будем предполагать, что распределения удовлетворяют свойству (6.3). Это, конечно, сильное требование, предполагающее, что сравнение вариантов производится со сколь угодно большой точностью так, что из двух вариантов по каждой шкале с вероятностью единица одному отдается предпочтение. Практически это означает, что сравнение производится в строгих шкалах. Но тем не менее такое предположение оказывается весьма целесообразным по следующим причинам. Во-первых, как увидим далее, значительно упрощается аналитическое исследование распределений. Во-вторых, многие распределения* не обладающие свойством (6.3), асимптотически им обладают и в этом смысле на них могут быть распространены полученные результаты.
Итак, каковы бы ни были функции распределения если выполнено свойство (6.3), любая перестановка оценок вариантов по любой шкале равновероятна. В связи с этим воз-1 никает естественное желание — исследовать сравнения, зависящие только от порядка следования оценок вариантов по шкалам* т. е. порядковые сравнения.
§ 3. Математическое ожидание мощности выбора для порядковых сравнении в строгих шкалах
Как мы уже отмечали в конце предыдущего параграфа, свойство (6.3) функций распределения является достаточным для того, чтобы любой порядок следования оценок вариантов по шкалам был одинаково вероятен, Поэтому без ограничения общности можно считать, что распределения оценок по шкалам имеют такой вид, который более нам удобен, лишь бы (6.3) было выполнено. Достаточным, например, оказывается условие непрерывности функций распределения. Для удобства будем считать, что случайная величина £ = (|г, . . ., gn) равномерно распределена в л-мер-ном единичном кубе Еп = {0 xt 1 (г = 1, . .	п)}:
п	п
А (X) = П A. (Xi) = П Р {Bi < Xi), г=1	,	i—1
4»
Рис. 6.2. Пересечение конуса с единичным квадратом
Мя (г, n) = г J (1 — Pf )r-1dx,
при этом F&. (.2\) =
О, если xt<^0, = Xi, если
. О, если 1 xit
При таком распределении сохраняется и независимость шкал, и равная вероятность любой перестановки оценок вариантов.
Теперь можно упростить формулу (6.2) и записать ее применительно к порядковым сравнениям. Учитывая, что А = Еп, dF% (х) — dx =dx1 . . . dxn, получим
(6-5)
En
где Рх — объем области 5Еп (х) (рис. 6.2).
Таким образом, для порядковых сравнений задача определения математического ожидания сводится к вычислению объема Р*.
Заметим теперь, что существует тесная связь между свойством (6.3) и требованием к множеству предъявлений вариантов при сравнении их в строгих шкалах. Действительно, требование несовпадения оценок различных вариантов можно заменить более слабым — возможностью их совпадения, но с нулевой вероятностью. Тогда для подсчета математического ожидания можно применять формулу (6.5), так как все совпадения оценок происходят на множестве меры нуль и никак не могут повлиять на окончательный результат. Итак, для подсчета математического ожидания мощности выбора для порядковых сравнений мы будем использовать формулу (6.5). Мы можем еще более упростить эту формулу, в. явном виде выписав объем по виду булева полинома Р& (и) = к п
= V Л |(напомним, что этот полином задает} некоторый : i=l j=i 3
Набор открытых квадрантов, определяющих верхний конус порядкового сравнения J?, подробнее см. гл. 3, § 2).
Пусть х и у — значения случайной величины £. Рассмотрим несовместные события
5f={Vj>0 (ао = 1 ФФ Xj < у;)} (i =1, ...,к) и последовательно получим
Рх =Р {xjffy} = Р {Ря (sgn (у — х)) = 1} =
= Р { V Л sgn (у} - х^ = 1) = Р { V В'} = S Р (Bl).
i=l j=i	\ i=i	i=l
too	V.
Обозначим Ji = {] : Оц = 1}. Тогда можно записать
р№)= П (i-^) п
и окончательно формула для математического ожидания примет вид
fc	г-1
Мя(г, П) = г j (1— 2 П (1 —П dx. (6-6) Еп г=1
Аналитическое ее исследование для произвольного порядкового сравнения связано с вычислительными трудностями, но легко может быть запрограммировано. Однако многие сравнения, как будет видно ниже, могут быть исследованы непосредственно с. помощью формулы (6.6).
Приведем также формулу для подсчета величины М& (г, га), когда Л — правильное сравнение. В этом случае, как мы помним, в полиноме Р& перечисляются не все квадранты, входящие в верхний конус сравнения, а лишь некоторые, образующие его ядро. Наша задача ~ по виду ядра восстановить не указанные в полиноме квадранты. Это делается очень просто. Пусть опять х и у — значения случайной величины Рассмотрим на этот раз совместные события
Я’ = {V/ > 0 j е Ji & х} <у}} (1 = 1,.. ., к'),
где Ji = {j : oi} = 1 при обычной записи полинома}. Для правильных порядковых сравнений таким образом получим
Рх = Р (\/Bi)
г=1
и, обозначая Ptl...is = Р (Б* Д . . . Д5{Д к	к'—1 к'
P^ = ^Pi-^ 3 Лл + ... + (-1)п+1А..л-i=l	ii=l
Пример. Используем формулу (6.6) для подсчета математического ожидания числа вариантов, оптимальных по Парето. Булев полином для сравнения Парето в строгих шкалах имеет вид
PParn(u)= Л “л
;=1
а все множества Ji одинаковы: Ji ~ Jx = {1, . . ., п}, следовательно,
МРаг (г, п) = г У fl — П (1 —Xj)\ dx,
En ^=1
101
а после замены переменных
1 1
МРаг (г, п) = г У ... У (1 — Xi... xn)r^dxi... dxn. 0 0
Это выражение можно переписать в другом виде. Для этого заметим, что
J (1 — ... ^n)r-1dxn=-—=уУ(1 —
в	" 1	fci
откуда и получаем рекуррентную формулу
МРаг (г, п) = У, 4- М₽аг (к, п — 1).
fc==l
Продолжая так далее, в конце концов придем к формуле
Г	frn-2
«₽"<г,п)»£... £ aT-L_.	(6.7)
*i=l	п
Эта формула получалась и другими авторами (см., например, 117—19]).
В следующем параграфе математическое ожидание числа паре-то-оптимальных вариантов будет получено другим способом с использованием свойства ацикличности порядкового сравнения. Но прежде скажем несколько слов о трудностях, которые возникают, когда сравнение вариантов производится в нестрогих шкалах. Ясно, что здесь уже нельзя пользоваться теми преимуществами, которые дает выполнение свойства (6.3). Действительно, появляется ненулевая вероятность совпадения оценок различных вариантов. И при этом ее величина явно зависит от вида функции распределения оценок по шкалам. Подтвердим это самым тривиальным примером. Пусть лишь два варианта сравниваются по одной шкале, оценки по которой могут принимать только два значения 1 и 2 с вероятностями соответственно р и 1 — р. Тогда для сравнения Par1, например, имеем
МРаг (2? 1) = р	= 1} + 2 Р {N = 2},
но Р {N = 1} = 2р (1 — р), так что
МРаг (2, 1) -- 1 + (1 - р)*.
Видно, что 7ИРаг (2, 1) есть функция р и при изменении р от О до 1 принимает значения от 1,5 до 2.
В самом деле, если при сравнении в строгих шкалах мы интересовались лишь всевозможными перестановками индексов, соответствующими порядку следования оценок вариантов по шкалам, то здесь приходится учитывать и возможность совпадения
102
I
оценок различных вариантов. Вот и в нашем примере возможны ' уже не два ({^ <^2} и {^2	а три события: к двум преды- J
дущим добавляется событие {хг = я2}, которое все «портит». ;
При этом Р {хг = х2} = р2 + (1 — р)2, и чем больше эта вероятность, тем больше, вообще говоря, отклонение математического ’ ожидания для сравнений в нестрогих шкалах от «строгого» слу- : чая. Итак, мы объяснили, почему здесь результат зависит от функ- ' ций распределения (х).
Тем не менее для нестрогих шкал остается справедливой формула (6.2); ниже будут приведены некоторые результат^ для порядковых сравнений в нестрогих шкалах, полученные с помощью > этой формулы.	;
§ 4.	Ациклические порядковые сравнения в строгих шкалах
Расчет математического ожидания мощности максимума для ациклических порядковых сравнений, очевидно, можно прово- i дить и по формуле (6.5). Используя, однако, свойство ациклич- 5 ности, расчет можно существенно облегчить, а именно: может ? •быть понижена размерность пространства, в котором задается * сравнение. Отметим, что требование, чтобы сравнение производи- J лось в строгих шкалах, здесь весьма существенно, так как при | выводе будет использоваться равновероятность произвольной ? перестановки оценок различных вариантов по любой шкале. j
Как мы помним, для любого сравнения *Я	j
М& (г, и) = гР {%! = 1}.	"
Теперь используем ацикличность J?, из которой следует, что су- J ществует такая шкала j, что для любых х, у Е I хЯу ^Xj<Zys- i Без ограничения общности можно считать, что это первая шкала: ; j = 1. В этом случае булев полином сравнения Я имеет вид I.
Ря (и) =	(и2, . .	и„),	;
где Р^ — тоже некоторый булев полином, соответствующий срав- ? нению Я, заданному в пространстве Ro~x (о критерии ациклич- ? ности порядковых сравнений см. гл. 3, § 5).	I
Будем называть рангом точки х ЕЕ X по шкале i число, на еди- J яйцу большее числа точек у Е X, таких, что z/i и обозна- 1 чать ранг точки через R1 (х). Так, если не существует точек у ЕЕ X,	।
таких, что yt > xt, то Rx (х) = 1. Введем полную группу событий:	j
Bi = {7?1 (х1) = i, т. е. точка х1 ЕЕ X по первой шкале имеет	|
ранг i} (£ == 1, . . ., г). В § 2 показано, что Vi = 1,. . г Р (В^ =	I
== i/г (именно поэтому мы рассматриваем строгие шкалы). Ис-	1
пользуя теперь формулу полных вероятностей, получим	|
г	г
р {%i=1}=£р р ({zi==Е“гл<’ г=1	i=l
103
где jif — вероятность того, что точка из выборки X принадлежит максимуму Мах^ X при условии, что ее ранг по первой шкале равен i. Тогда для математического ожидания получим
М& (г, п) = 3 г=1
Задача, таким образом, сводится к определению величины л^. Легко видеть, что точка х, такая, что R1 (х) = Z, принадлежит максимуму, если для любой точки у, такой, что R1 (у) <; Z, неверно Р~ (sgn (z/2 — #2), • • sSn (Уп — яп)) = 1. Вероятность этого очевидно равна
«i= J (l -J’fy-Mx En“i *
или, учитывая (6.5),
= М& (j, п — l)/j.
Таким образом, для ациклического порядкового сравнения получили формулу, с помощью которой понижаем размерность рассматриваемого пространства на единицу:
М'я (r,n)=	1),	(6.8)
i—1
где Я — также порядковое сравнение.
Очевидно, что если сравнение Л ациклично, то аналогичные рассуждения можно продолжать и далее вплоть до получения булева полинома, соответствующего циклическому сравнению. Так если Р& (и) = иг . . . щР# (инь . . ., ип), где Л — циклично, то
fcl=l	fct=l
Из этой формулы можно сразу же получить выражение для математического ожидания числа парето-оптимальных вариантов, для чего достаточно положить I = п — 1.
§ 5.	Асимптотика математического ожидания паретовского сравнения
По формуле (6.7), конечно, трудно судить о свойствах математического ожидания числа парето-оптимальных вариантов. Поэтому здесь мы приведем некоторые асимптотические формулы, описывающие поведение функции Л/Раг (г, п) при г оо и п —>• —> оо.
104
1.	Асимптотика при г —>• ос. Покажем, что имеет место следующая оценка:
Л/Раг (г, п) ~ lnn^r/(n — 1)!.
Этот результат был получен многими авторами (см. [17—19]), но доказательство, которое будет приведено здесь, как нам кажется, более простое. Его будем проводить по индукции.
Очевидно, при п = 2 эта формула верна, так как сумма гармонического ряда растет со скоростью натурального логарифма. Предположим, что формула верна и для некоторого к > 2: .
МРаг (г, к) ~ Ъ^-'гЦк — 1)!,
и докажем, что для к + 1 она останется верной.
Вспомним формулу (6.7) и из нее получим
Л/Раг(г, &+1) — МРаг(г — 1,/с + 1) = уЛ/Раг(г,Л:).
Запишем это равенство для р — 1, . . ., г и просуммируем правые и левые части полученных г равенств. В результате имеем
л/Раг (г, к +1) = £ мРаг (р, к).
Р=1
По индуктивному предположению при г—> ос
Р=1 г
Рассмотрим сумму т (г, к) = ln*~xp/p. Очевидно, что к ней можно p=i
применить интегральную оценку (рис. 6.3):
? 1Л1 (р — 1) з , 1.\	Л
J  р Д----^р<7П(г,*)< J
2	1
Отсюда получаем
InMfc < т (г, к) < lnfe (г + 1)/к,
т. е. т (г, к) ~ In* г/к, и окончательно для математического ожидания
7ИРаг (г, к + 1) — т (г, к)/(к - 1)! - h? г/к\.
Индуктивное доказательство на этом завершается.
2.	А с им птотика при п —> оо. Нетрудно проверить,.
что выполняется следующее равенство:
л/р“(г, ") = ' £(-0^-17^
105
Рис. 6.3. К выводу асимптотики ЛГРаг(г, D -л
Рис. 6.4. МРаг (г, п) ~	/ (п — 1)!
к)
(это следует, например, из (6.6) после раскрытия бинома и взятия интеграла). Следующие преобразования достаточно очевидны:
МРаг(г, п) = г (1-1^1
Г—1	к
+ у rci-г
Z-J	(к + 1)п
/f=2	' 1 7
Но г V (~1)^_1;—Цг
поэтому при достаточно больших п можно записать
МРаг (г, и) ~ г (1 - (г - 1)/2п) или в другой форме
ЛГРаг (г, п) ~ Г (1 — ^п(г-1)-п1П2)а
Итак, мы имеем возможность сделать такие выводы: во-первых, с ростом г величина МРаг (г, п) возрастает со скоростью (п — 1)-й степени натурального логарифма (рис. 6.4), во-вторых, даже при незначительном увеличении числа шкал п число парето-оптималь-ных вариантов экспоненциально стремится к своему максимуму (рис. 6.5). Заметим, что последнее обстоятельство —одна из причин, ограничивающих область применения оптимизации по Парето.
§ 6.	Й-оптимальность
Раньше (в гл. 3) мы уже встречались с понятием 36-оптималь-ности и выяснили, что булев полином сравнения имеет вид
Лл (u) = W1 («2 + из (“4 + • • •))• cXf
(Здесь для удобства шкалы пронумерованы в порядке, обратном тому, который был введен в гл. 3, § 4.)
106
ЯГ
40
J0
20
/0
Г	.... Я
Рис. 6.5. №аг (г, п) ~ г (1 — gln(r-i)-n in 2)
Так как — ациклическое сравнение, можно для нахождения величины (г, п) применить формулу (6.8):
M*(r,n)=	(i,n — 1),	(6.9)
i=l где Л — некоторое порядковое сравнение.
Далее запишем:
(^1> • • •» Wn) —	(W2> • • •> Wn)»
где Р& = щ + и3 (и4 + . . .). Отсюда получим
P&i (^2j • • •’ ип) = щР(^з» • • ип) и
Р (и2> • • м ип) = 1) = Р (щ = 1) + Р (P*(u3, . . ип) = = 1) Р (и2 — 1)Р (Pgt (u3, . . ип) = 1).
Следующую цепочку очевидных преобразований приведем без промежуточных пояснений:
— l)==i J (1— P?)dx = i J (1_(1_X2)_
— P (P& (sgn (y — x)) = 1) + (1 — x2) P (P# (sgn (y — x)) = — 4))wdx = Z	— P(P^(sgn(y — x) = l))wdx =
xeEn-i
= 4- J	(1 —Р?){'Чх = М^(г,п —2)/i.
xeEn“2
Таким образом, (Z, n — 1) =	(f, n — 2)/Z и, подставляя
-это в (6.9), получим для (г, п) рекуррентную формулу
(г, п) = ,s (i, п — 2)/12,
107
или
М& (г, п) = М& (Г. п — 2)/г2 + М& (г - 1, п).	(6.10)
Теперь мы можем выписать явную формулу для математического ожидания
rpfi т —
fc*=l kTO-*«_i 1	m~1 т
{1 при п четном, 2 при п нечетном.
(6.11)
m
Здесь использовалось то, что М& (г, 1) = 1иМ^(г,2)= У 1/к. Из формулы (6.11^ видно, что величина М& (г, и) определяется по-разному при четных и при нечетных значениях п. Поэтому исследование функции (г, п) будем проводить отдельно для четных и нечетных значений числа критериев. Для этого введем функции / (г, тп) и g (г, тп), такие, что
м«(г, „) = (/<;.™ури» = 2'» + 1.
(g (г, т) при п = 2т.
1.	Очевидно, что М& (г, п) — монотонно возрастающая функция от г при п У= 1 (соответственно такими же являются / (г, т) и g (г, т)).
2.	/ (г, тп) — монотонно возрастающая функция от т при г > 1.
Для доказательства обозначим Д (г, т) = f (г, тп + 1) — f (г, т) и, используя рекуррентную формулу (6.10), получим аналогичные формулы для / (г, т) и для Д (г, т):
/ (г, т) = f (г, т — l)/r2 + f (г — 1, т),	(6.12)
Д (г, т) — Д (г, т — 1)/г2 + Д (г — 1, т).
Заметим, что при любом т Д (1, т) = 0, а при r^> 1 Д (г, 1) — г
= /(г, 2)—/ (г, 1) = 21 fc“x^>0. Этого достаточно для того, чтобы fc=2
Д (г, т) оставалось положительным при любых т и г 1. Следовательно, при таких г / (г, т) — монотонно возрастающая функция.
3.	Аналогично доказывается, что g(r, т)— монотонно убывающая функция от т при г 1. Для этого достаточно заметить^* что Д (г, т) (здесь Д (г, т) = g (г, т + 1) — g (г, т)) — нуль при г == 1, а при г 1 Д (г, 1) <0. Действительно, легко видеть,, что
г
к=1
108
Но A (2, 1) = g (2, 2) — g (2, 1) <0, поэтому A (r, 1) <0 при r > 1. Значит, и при любых г 1 и тп > 1 А (г, т) <0, т. е. g (г, т) — монотонно убывающая функция.
Из этих свойств следует удивительный факт: пусть пг = 2кг + + 1, п2 = 2к2 (къ к2 0). Тогда М& (г, nJ (г, п2), т. е. математическое ожидание числа 36-оптимальных вариантов при «равнении их по нечетному числу шкал всегда строго меньше, чем при сравнении по четному числу шкал. При этом / (г, т) монотонно возрастает, a g (г, т) монотонно убывает при увеличении т. Для того чтобы понять, как ведут себя эти функции при достаточно больших тп, приведем еще два свойства, первое из которых тривиально.
4.	g (г, тп) ограничена снизу.
5.	/ (г, тп) ограничена сверху.
Для доказательства в формуле (6.11) поменяем порядок сум-оо
мирования и, обозначая C(^) = 2j к р (дзета-функция Римана), 1
получим
f(r,zn) = £...	£
1 • ’ • т
Л .j • • • /v 1 тп
оо	оо	оо
+ У, ^г2 • • • У, кт =/(г,т — 1) + (У/*:'2— 1) = fci=2	/f==1
= /(r,zn-l) + (C(2)-l)m.
Таким образом, имеем следующую оценку:
/(г, т) </(г, ш-1) + (С(2)-1Г.
Обозначив q == £ (2) — 1, последовательно можно записать /(г, 1) = 1, /(г, 2) <1 + ?2, / (г, 3) < 1 + q2 + q3,
f (г, тп) < 1 + q* + . . . + qm.
Оценивая сумму убывающей геометрической прогрессии (q 0,65), получим
f (г, тп) < (1 — q + ?2)/(1 — q),
т. е. / (г, т) действительно ограничена сверху.
Из ограниченности сверху монотонно возрастающей функции
/ (г, тп) и снизу — монотонно убывающей g {г, т) следует, что
109
существуют пределы
/* (г) = Ит / (г, т) и g* (г) — lim g (г, т). т->х>	т->х?
6.	Очень просто показать, что
lim М& (г, п) = /* (г) = g* (г) = 2г/(г + 1).
Л“>СО
Действительно, так как эти пределы существуют, имеем правое скажем в (6.12), осуществить предельный переход:
/* (г) = /* (г)/г2 + /* (г — 1),
в результате чего получаем рекуррентное соотношение
/* (г) = Г2/(г2 - 1)./* (г — 1).
Учитывая, что /* (1) = 1, после несложных преобразований получим /* (г) = 2г/{г + !)'• Совершенно аналогично это свойство доказывается для g* (г). Очевидно, что lim М& (г, п) существует п->х>
и также равен 2rI (г +1).	>
Остается теперь выяснить, как ведет себя М& (г, п) при увеличении числа г. Для нечетных п, как мы только что убедились, (г, п) <2r/(r + 1) <2, для четных — М& (г, п) 2г/(г + + 1) = 2 — 2/(г — 1). Выясним, ограничено ли в этом случае М& (г, п). Ясно, что при п = 2 не ограничено, так как совпадает с математическим ожиданием числа парето-оптимальных вариантов и растет со скоростью In г. Однако при п 2	(г, п) огра-
ничена сверху. Это следует из ограниченности g(r,m), которая: сейчас будет доказана.
7.	g (г,т) ограничена сверху при т^> 1.
Действительно, так как g (г, т) — монотонно убывающая от т функция, то g (г, т) <cg (г, 2) для любого т 2. Оценим g (г, 2) сверху:
г	к	Т	Г	ос	ос
g(г,2) = 3 к~* S r= S г1 3 r2< S г1 S &’2= к=1 i=i	i~i	k=t	f=l
=С(2)+	*'2-
(=2	*==«
Но JV2 < V - у) = 7^, так что k=t	k=t
оо
g (г, 2) < : (2) + £ 1 • 7^ = С (2) + 1.
t=2
Следовательно, g как и g (г, 2), ограничена сверху величиной С (2) + 1 ~ 2,65.
Таким образом, за исключением случая сравнения вариантов по двум критериям математическое ожидание мощности множества.
НО	К
Max^ X ограничено величиной £ (2) + 1 и, как мы убедились, практически не зависит от мощности исходного множества вариантов. На первый взгляд это довольно удивительное заключение. Ведь, например, число оптимальных по Парето вариантов с увеличением г растет со скоростью степени логарифма, а при увеличении числа шкал приближается к
Рис. 6.6. Математическое ожидание числа ^-оптимальных вариантов
мощности исходного множества вариантов.
Причину такой «неизме-
няемости» величины Мах^Х
можно объяснить следующим образом. Если бы число ^-оптималь
ных вариантов росло с увеличением числа шкал, то в конце концов все или почти все варианты оказались бы несравнимыми. Но тогда добавление еще одной наиболее важной шкалы приведет к тому, что из всех несравнимых вариантов, составляющих множество Мах^Х, будет выделен один, а именно тот, который имеет по этой шкале максимальную оценку. С другой стороны, понятно, почему математическое ожидание числа Э5-оптимальных вариантов практически не растет с увеличением г. Это особенно хорошо видно в случае п = 3. Пусть вариант имеет худшую оценку по первой шкале (наиболее важной для сравнения Э5П). Тогда, чтобы оказаться оптимальным по Парето, ему достаточно превзойти каждый из остальных вариантов по любой из двух оставшихся шкал, но для SS-оптимальности необходимо предпочтение по обеим шкалам (своеобразный «квадрат сложности»). На рис. 6.6 изображена зависимость математического ожидания от числа сравниваемых вариантов. Параметром является п — число шкал.
§ 7. Порядковые функции выбора
При выводе формулы (6.1) было отмечено, что она верна не только для графодоминантных, но и для произвольных функций выбора. Рассмотрим две порядковые функции выбора: совокупноэкстремальную и Ж-оптимальность. С первой из них мы уже знакомы по гл. 2 (§4), вторая лишь упоминалась в § 6 гл. 3, поэтому здесь она будет рассмотрена более подробно. Для нахождения математического ожидания мощности выбора будем использовать формулу (6.1). Предположим шкалы независимыми и функции распределения удовлетворяющими свойству (6.3). Этого, как помним, достаточно для того, чтобы любой порядок следования оценок вариантов по шкалам был возможен с одинаковой вероят
111
ностью. Следствием же отсюда было то, что для любых i = 1, . . . . . ., п, к = 1, . . г
Р {R1 (х) = к} = 1/г, где хЕХЕТ = {ХеЖ |Х|=г}.
1. Совокупно-экстремальная функция выбора. Напомним определение:
VXCRJ Й(Х) = {хеХ: az:Vyex
Пусть х Е I, где X е Заметим, что х только тогда принадлежит совокупно-экстремальному .выбору, когда хотя бы по одной шкале он имеет ранг, равный единице. Поэтому x^C^W^VZ Bi(x)>l.
Учитывая, что Р {В.г (х)	1} = (г —1)^г, получаем
Р {х Ссэ т = ((г - 1)/г)п. Но Р {Х1 = 1} - 1 - Р {х
Ссэ (X)},
и для математического ожидания окончательно находим (рис. 6.7) М™ (г, лг) = г (1 — (1 — 1/г)п).
Формула получилась очень простая и может быть исследована аналитически. Так, при п -> оо MCQ (г, п) ~ г, т. е. при достаточно большом числе шкал выбор включает в себя с большой вероятностью все сравниваемые варианты.
С другой стороны, зафиксировав п и увеличивая г, мы добьемся того, что число выбранных вариантов с большой вероятностью совпадет с числом шкал, по которым они сравниваются:
Иш Мсэ (г, п) = lim г (1 — 1 + я/г + о (п21г2)) = п. Г-*х> •	Г->зо
Это и понятно, так как вероятность, что вариант окажется лучшим более чем по одной шкале, очень мала.
И последнее соотношение, которое здесь приведем. Пусть г-> оо, п-+ оо и при этом nlr ~ а. Тогда
Мсэ (г, п) ~ г (1 — е“а) — п (1 — е~а)/а.
Формула математического ожидания для случая нестрогих шкал будет приведена в § 9 настоящей главы.
2. 2)-о птимальность [20]. Сначала напомним определение:
VX^A CR? хе (% (XW3 /д = (и,..^): Vy е X й/i > => vfe
Будем считать, что сравнение производится в строгих шкалах.
Как видим, вариант, имеющий по первой шкале максимальную оценку, является ®п-оптимальным независимо от его оценок по другим шкалам. Вариант, &-й по доминирующей первой шкале,
112	Ч
выбирается в том и только том случае, когда по не менее чем заданному числу шкал р он превосходит все варианты, имеющие по доминирующей шкале большие значения.
Таким образом, введено не одно, а целое семейство функций выбора. Чем больше р, тем труднее Ar-му варианту быть выбранным. Отметим, что это свойство может быть положено в основу процедуры последовательного выбора. Если выбор при некотором р привел к недопустимо большому числу вариантов, то уже из отобранных вариантов можно произвести дополнительный выбор, увеличив значение р на единицу. Легко видеть, что такая процедура будет корректна в том смысле, что выбор из исходного множества вариантов с помощью функции Су+1 (X) привел бы к такому же решению.
Итак, перейдем к нахождению математического ожидания мощности выбора при произвольном значении р. Как мы не раз уже поступали, рассмотрим полную группу событий:
Bt = {Я1 (к1) = 1} (i= 1, . . ., г), где х1 е X е
Далее:
г	г
р {Xi=1}=£ р({ъ=1ж) р <&) =-
i=l	ч 1=1
Для того чтобы оказаться ®п-оптимальным, варианту, имеющему по первому показателю ранг Z, необходимо превзойти варианты, имеющие меньшие ранги по к показателям, где к может принимать значения от р до п — 1. Зафиксируем любое из к. Очевидно^ что необходимое превосходство может иметь место по любому из Сп-1 наборов показателей. Теперь остается заметить, что вероятность оказаться лучшим по некоторому показателю из i вариантов равна 1/i, и можно писать окончательную формулу для л j:
Выражение в правой части есть не что иное, как распределение Паскаля:
^l/i(n» п р — 1) = в (р? п_ р __ 1)	^_1(1	#) Ц
о
где В— бета-функция.
Таким образом, математическое ожидание запишется следующим образом:
(г, п) = 3 Fj/i (р, п — р — 1).
i-1
Заказ № 125	j}'*
Рис. 6.7. Математическое ожидание мощности совокупно-экстремального выбора
/
Рис. 6.8. Математическое ожидание числа «^-оптимальных вариантов
ц = 1, М^(г, п)—(и — 1)1п г
Исследуем эту формулу. Пусть р, = 1, тогда «м-Ё£^4П‘-4Г‘ г=1 к—1
Запишем это в виде
М1(г, n) = J^(n —1) 4- (1—	+ Mz(r,n)
г=1
и оценим величину М2 (г, п), поменяв для этого порядок суммирования. Получим
п-к~1
П—1	оо	п
У?,	У, т" — У,
i=1
где £ (к) — дзета-функция Римана, ограниченная при к > 2. Следовательно, при р, = 2 величина М* ограничена, значит поведение М1 (г, п) определяется первым слагаемым. Имеем
МЦг, п)~£ (п-1) 4 (!—г)П’2 = г—1
г
=У, (п—i)-|-[i—4-+°(о]—(п—ijin?-. г=1
Итак, при ц == 1 математическое ожидание числа ^-оптимальных вариантов с ростом г возрастает пропорционально (п — — 1) In г (рис. 6.8). По сравнению с ростом математического ожи
<14
Дания числа парето-оптимальных вариантов это значительно медленнее, чего, впрочем, и следовало ожидать. При ц 1 величина
(г, п) ограничена и имеет предел. Действительно, для р = 2 это уже доказано. Остается заметить, что
г
М* (г, п) = У, С^-!	(1 — 4)П"Ц-1 + Л/'Ц+1 (г, «) >	(г, п).
Так, например, для случая трех показателей и р = 2 будем иметь
М>(г,3) = ^4. г=1
Переходя к пределу, получим
Ит М* (г, 3) =	А = £(2) = 4~ 1 ’645>
г®=1
Этот результат совпадает с полученным ранее для сравнения SC3, когда варианты также сравниваются по трем показателям, ведь в этом случае определения ®з-оптимальности и Ж3-оптимальности в точности совпадают.
§ 8. Сравнения из класса $п
О сравнениях, являющихся симметризациями, мы уже говорили в § 2 гл. 2. Здесь мы рассмотрим одно из них — сравнение с которым встречались в гл. 4 (§ 7). Это сравнение, как помним, не является порядковым, более того, оно принадлежит классу ®п, хотя и порождено порядковым паретовским сравнением.
Напомним, определение сравнения cVn. Пусть
<р: R"^Rn: х = (xlt . . хп) -> <рх = (xh , . . xin) ,
где (хг1, . . ., xin) — перестановка координат вектора х, такая, что	xtn- По определению
Vx, у е X <М> (рх Рагп <ру.
def
Как и раньше, будем считать, что сравнение вариантов происходит в независимых показателях и что функции распределения оценок вариантов по показателям удовлетворяют свойству (6.3). Здесь, однако, на функции распределения (х) необходимо наложить еще одно условие, учитывающее «однородность» шкал: они должны быть одинаковыми. В противном случае нет смысла говорить о возможности перестановок оценок вариантов при сравнении. Действительно, пусть случайные величины распределены некоторым образом на отрезках [Z — 1, Z]. Понятно, что в этом случае оценки вариантов всегда будут упорядочены в порядке
z 5*
115
возрастания и при сравнении вариантов не понадобятся никакие перестановки. При этом множество Max^n X совпадает с множеством Махр n X, хотя в общем случае это очевидно не так. Поэтому будем предполагать все случайные величины (i = 1, . . ., п) распределенными одинаково на интервале (а, Ь), где, быть может, а = — оо или Ъ = оо. Приняв это, выведем формулу для математического ожидания (г, п). Вернемся к формуле (6.2). В нашем случае А = {х €= Roi а <Схг < Ъ}, dF% (х) = dF^ (х^ . . . . . . dF^n (хп). Заметим теперь, что из наших предположений следует, что
J dFg(y)dy = J dF$(y~)dy,
SA(x)	j 8Л(х')
где х' — вектор, полученный из х произвольной перестановкой его координат. Действительно, ведь верхний конус сравнения <УП в каждой точке обладает свойством <^х = значит, и Sa (х) =	(х'). Учитывая это, теперь можем записать
1- У dFay)dyVdF^x)==
SA(*)
= т\ У fl— ( dFt(y)dy\ 1dFi(x), Ar sAw	7
где Л1 = {x e A:	. < xn}.
Теперь заметим, что если х. у Е Ат, то х^у о х Рагп у. Следовательно, вопрос о вычислении математического ожидания мощности максимума для сравнения свелся к расчету математического ожидания для порядкового паретовского сравнения.
Сделаем последнее предположение: случайная величина % — — (51» . .	|п) равномерно распределена в единичном кубе Еп
(так предполагали и когда имели дело с порядковыми сравнениями). Тогда формула для математического ожидания примет вид
Ms’(r,n) = rnl J (I — Plarn)r-ldx, Лп
где Хп = {О	• • • С П; ^хаг — объем пересечения
верхнего конуса сравнения Рагп в точке х с областью Лп (рис, 6.9).
Ясно, что теперь для нахождения величины Р£аг нельзя пользоваться старыми методами расчета с помощью булевых полиномов. Но это и не обязательно, так как легко видеть, что этот объем равен
1	УП	У2
рх = п\ dyn dyn-^ . . dyr.
хп	хп-1	Xl
116
Полученная формула может быть легко запрограммирована для расчета, однако ее аналитическое исследование более сложно. Тем не менее для случая двух показателей имеем возможность, используя ацикличность сравнения Par2, выписать явную формулу для математического ожидания. Для этого воспользуемся формулой
7ИРаг(г, п) =
2=1
где rii — вероятность того, что точка, имеющая по первому показателю ранг i, является паре-то-оптимальной. В нашем случае (для треугольника Л2)
Рис. 6.9. Пересечение паретовского конуса с единичным треугольником
О о
1
2г — 1
и, следовательно,
"^2) = £,2^4-4‘"Г-г=1
Итак, число ^-оптимальных вариантов оказалось приблизительно вдвое меньше числа парето-оптимальных при условии, что их оценки равномерно распределены в единичном квадрате. Этого и следовало ожидать. Из рис. 6.1 видно, что распределение в треугольнике, как это имеет место в нашем случае, способствует более вероятному расположению точек вдоль биссектрисы угла, нежели какому-нибудь другому. Это и приводит к уменьшению числа оптимальных вариантов.
Более трудным оказывается расчет математического ожидания для случая, когда не все показатели равноценны. Соответствующее сравнение обозначим Вп. Сразу же отметим, что
VX Max^n X cz MaxRn X cz Махр> n X. d	l аг
Для случая, когда упорядочены только два показателя (для определенности 1В2), приведем точную формулу для математического ожидания. Как и прежде, будем предполагать оценки вариантов равномерно распределенными в единичном n-мерном кубе Еп. Воспользуемся формулой (6.1) (в нашем случае Я = Вп). Обозначим X1 = {х ЕЕ En: хг >	X2, = {х ЕЕ Еп: хг <я2}- Рас-
смотрим события, соответствующие попаданию точки х в одну из
417
этих областей (й, = {хЕУ & хЕ X1} (г = 1, 2)) и образующие, очевидно, полную группу. Учитывая, что Vi Р (Bi) = V2, далее получим
Р {х Е MaxsnZ} = S Р ({х (= MaxBnX}/Bi) Р (Bi) =
= г/2 Р ({х ЕЕ МахрагПХ}/В1) + х/з Р ({х ЕЕ Мах^пХ}/В2).
Но Р ({х €Е MaxParn X}IBi) = Р {х е МахРагпХ}.
Действительно,
/’{хе МахРагПХ} = i/г i Р({х(ЕЕМахр ПХ}/В{), i=l
но области Вг и ‘Ь2 симметричны относительно гиперплоскости
= ж2, конусы Paix в симметричных точках также симметричны, поэтому
Р ({х е MaxParn Х}!В^ = Р ({х е МахРагп Х}/В2).
То же верно и для сравнения Sfn:
Р ({х €= Мах^,пХ}/5?) = Р{хЕ Мах^пХ}. Таким образом окончательно получаем
Р {х е MaxBnX} = V2 (Р {х (= Махрагп X} + Р {х е
6= Max^n X}).
Для математического ожидания теперь можно записать
Мв (г, п) = (Мр*г п) + М& (г? п))/2.
Этот результат получен М. В. Полящук.
Для п = 2 приведем явную формулу
мв(г,2)=4У(±+-^-ч)
к—1
и асимптотическую оценку при г-^ оо
Мв (г, 2) ~ 3/4 In г.
§ 9. Математическое ожидание мощности выбора для порядковых сравнений в нестрогих шкалах
В § 3 уже отмечались трудности, с которыми приходится сталкиваться, рассматривая сравнение в нестрогих шкалах. А именно появляется ненулевая вероятность совпадения оценок различных вариантов, которая и портит всю симметрию распределения оценок, имеющую место в случае строгих шкал. Мы показали, что результат здесь зависит от функций распределения
118
Рис. 6.10. Пересечение паретовского и лексикографического конусов с целочисленной решеткой
а — сравнение Парето; б — лексикографическое сравнение
оценок вариантов по показателям. Поэтому в первую очередь мы должны выбрать какое-то конкретное распределение, для которого будем излагать результаты. Заметим, что, конечно, все это может быть проделано для любого распределения, но здесь мы будем рассматривать следующую модель: случайные величины по каждому показателю могут принимать конечное число значений от 1 до mt (i = 1, . .	п), причем распре-
деления эти равномерные. Будем считать, что множество А — это решетка т1 X т2 X ... X тп.
Обозначим М? (лг1? . . ., mn) —
Рис. 6.11. Пересечение конуса с целочисленной решеткой
математическое ожидание числа эле-
ментов множества Мах^ X, где X е 30х G А, Л — некоторое сравнение. Нетрудно убедиться, что формула (6.2) ₽для нашего
случая примет вид
М* (тг,
mi	™ п
Х1=1 X =1
(6.13)
где (хъ . . ., хп) — это вероятность того, что случайно выбранная точка у GE А доминирует точку х = (хг, . . ., хп): xj?y. Задача, таким образом, опять сводится к определению вероятности Р& (хъ . . ., хп), которая определяется пересечением верхнего конуса сравнения Лх с целочисленной решеткой. И здесь для порядковых сравнений имеем возможность по виду булева полинома
119
выписать выражение для Р* (хи . . хп), конечно, полином должен быть записан для нестрогих шкал.
Так, для сравнения Парето имеем (рис. 6.10, а) п	п
РРаг(«х, ...,жп)=(П (т4-^+1)-1) / IImi-i=l	' г=1
Для лексикографического сравнения (рис. 6.10, б)
П	п	I п
=	П т>)) /П тг
i=l	£=*+1 I i=l
Вывод этих соотношений довольно прост и может быть проделан в качестве упражнения.
Приведем также формулу для сравнения сТ’2, т. е. когда варианты сравниваются по двум показателям. Здесь, однако, следует учесть однородность показателей. Для этого достаточно потребовать, чтобы пгх = т2 ~ т, т. е. чтобы шкалы имели одинаковое «строение». В этом случае получим (рис. 6.11)
Р^ х2) — ((jn ~ min х2) + I)2 — | хг —х2 |2 — 2)/тп2.
Рассмотрим теперь совокупно-экстремальную функцию выбора. Все предположения, сделанные в этом параграфе относительно функций распределения, остаются в силе. Пусть х Е А’ Е ЗСТ. Очевидно, что тг
vi=i......»
Нг (х) — ранг варианта х по i-й шкале. Но п
р {х £ С” (X)} = п Р {В* (X) > 1}, г=1
откуда для математического ожидания получаем следующую формулу:
п
м? (шь ..., тп) = тР{х^ с?э (X)} = г (1 - п V 4- Ш"1).
'	г=1^ mi	1
§ 10. Математическое ожидание мощности выбора в строгих зависимых шкалах
До сих пор мы рассматривали лишь независимые распределения, т. е. такие, что оценки варианта по одним показателям никак не влияли на то, какие оценки он имеет по другим показателям. Но, разумеется, представляет интерес случай, когда показатели зависимы, т. е. когда функцию распределения (х) нельзя пред-120	,	К х
ставить как произведение П/^ (xz) функций, соответствующих распределениям по каждому из показателей. Косвенно мы уже встречались с таким случаем в § 8, когда рассматривали сравнение cfn. Там задача свелась к равномерному распределению в области Лп = {0^	. ОтХ О, случайные величины	.
. . ., |п, очевидно, зависимы, Так, при п == 2
(^1> *^2) “ Р {^1 < #1, ^2	*^2} “ ^1^2 — Х1/2.
Приведем оценку мощности множества Парето для нормальной функции распределения (х) [21]. Необходимо отметить, что впервые такая постановка задачи встречается в [22], где приводится оценка мощности паретовского множества для двух зависимых показателей.
Итак, пусть функция распределения имеет вид
Л(Х)~|А<Щ±Г
Хп „_£у*Д-1у \ в	dy,
п
(2л)2 где Л = Л (р) — корреляционная матрица распределения, звездочка означает транспонирование.
Используя (6.2), запишем для математического ожидания
МРаг(Г, п) = г|Л|~‘/2- е“уХ*Л 'Х(1 — Рраг)г-Ух, 7	(2л)п/2 J	v	7
DPar | Л | 1/<2 f 2 У*Л У j т>	л
где =-----------4— \ е	ау, В нашем случае А —это
(2n)n/2 J
все пространство Rn.
Приведем идею асимптотической оценки. Преобразованием х = = Bv, где В*ЛВ =5 Е, приведем квадратичную форму х*Л'1х к сумме квадратов
S’ — “"ИМ!2
д/PaI (r n) = __L_ 4 v ’	{2л)п12 J ’
Л-1/» f -ТУ*Л-*У >г-1 dv-
Переходя теперь к полярным координатам v = /ге (<рх, . .
. . ., Ф-л-i), где е (ф) — единичный вектор, h = || v ||, и обозначая якобиан этого преобразования
J (h, ф) = hn^J (ф), получим
MPar(r,n) =----
v 7	(2л)п/2 J
<₽1
^hn^e^J
Фп-1 0
‘	dbdt-
4 /гВе(ф)
6 Заказ № 125
121
Без доказательства приведем две леммы.
Лемма. 1. Пусть А — положительно определенная симметричная матрица. Пусть z = Лх и Z) (х) = {z €=R” : Vi z.-> > 61| х ||}, х е Rn, 6 > о.
Тогда при || х || —> <х>
Лемма 2. При р<1,п>2, а—>оо
0	______at
j (— In i)n/2-1 e (-m dt ~ In”'1 а/а.
о	J
Запишем теперь МРм (г, n) в виде
»	09
MPar (r, n)> —T— $ $ h^e~^ J (Ф) (1 - <2 (h, ф)Г1 dh dy.
'	' <p 0
Разбивая область интегрирования по ср на две области
Р(<р)-{<р: (В*)^е (<р)>0}и5(ф)
и применяя результат леммы 1,‘ после громоздких преобразований, которые здесь не приводим, получим
Par	Г С /V /	1 \п/2~2 ~аГ / (1п-г) / \
М	5 /(ф)(Н1пт) е dt}d^
где а=(г— 1)|А|"1/г / (4л)71/2 П z = (B*)“'1e(<p), 0< р < 1 — /	г=1
некоторая константа.
/Применяя лемму 2, получим окончательную оценку
п-i	п
л/Раг (г>") ~	1п”"1г \ П (ф) <*ф-
|Л Z|
Из этой формулы видно, что МРаг (г, п) пропорционально 1нп~1г, а коэффициент пропорциональности выражается через обратную корреляционную матрицу А'1 и приводящую ее к единичной матрицу В. Сложность вычислений этого коэффициента определяется интегрированием по области D (ф), которая находится из решения п тригонометрических неравенств с п—1 переменными, как это было указано выше.
Так, для двумерного случая, когда
122
оценка имеет вид
МРаг(г, 2) ~ In г (1 — 2р/|/1 — р2 • arctg ]/\1 — р)/(1 4-р)).
Более сложная формула получается в случае трехмерного симметричного нормального распределения с матрицей корреляции
(1	р	р	\
р	1	р	j	:
Р	Р	1	/
МРаг (г, 3) ~ In2 r/2 f ГГр.(/ГЗ^((1 - р) (1 + 2р) - 2р21/(1 + + Р) + 2р/(1 + 2р) /1 + р (arctg (/1 - р2/р) + + ((2р2— 1)2р —(1 —р) (1 + 2р)2)/(1 + Р) X xacrtg/(l — р)/(1 + р))).
В случае р = 0, т. е. когда случайные величины независимы, эти результаты согласуются с полученными ранее.
§ 11. Распределение числа элементов максимума
Оценка средней мощности максимума, являясь весьма эффективной, тем не менее не дает той информации о модели выбора, какую иногда хотелось бы получить. А часто бывает необходимо знать не только среднюю мощность, а и то, какие возможны отклонения от этого значения, вероятность, с которой мощность максимума не превышает наперед заданного числа и т. п. На такие вопросы исчерпывающий ответ может дать лишь знание распреде-ния числа элементов максимума. К сожалению, нахождение распределения представляет собой гораздо более сложную задачу, чем нахождение или оценка математического ожидания, она решена лишь для некоторых частных случаев. Сначала приведем две формулы [17] для распределения числа паретовских точек в пространстве R?. Первая из них предназначена для случаев, когда п мало, и становится практически неприменимой уже при п = 4. Вторая формула предназначена для расчета в случае, когда мало г. И здесь она становится очень сложной при сколь-нибудь значительном увеличении г. Всюду будем предполагать шкалы строгими.
1. Распределение ^исла паретовских вариантов
1. Формула для подсчета при небольших значениях п. Как и раньше, без ограничения общности предполагаем случайную величины | равномерно распределенной в кубе Еп. Пусть X сг Еп и | X | = г. Обозначим Рп> г (к) вероятность того, что | MaxParn (X) | = к (к = 1, . . ., г). Зафиксируем в X к точек х\ . . ., х*, таких, что а) . . .<4и б) Vi = 1, . . ., к хгеМахрагп(Х'), где X' = {х1, . . хк}.
6*
123
Обозначим В — множество, содержащее все матрицы, размером к X п, строками которых являются векторы х1, . . х\ удовлетворяющие свойствам а) и б). Обозначим Р (X') вероятность того, что Vyel\T у^МахРагП(УиГ); и S(X')£En-область, определяемая так:
Vy е 5 (X') Эх е X': Niyi < xt.
Очевидно, что Р (X') = | S (X') |г~\ где | S (Xх) | — площадь области S (Xх). Учитывая, что всего существует г!/(г — к)\ способов выбора последовательностей из оптимальных по Парето точек, окончательно получим
4	fc п
рп, г (*) =	s (X'y-fc П П
, в	i==1
Здесь интегрирование ведется по множеству, все точки которого являются строками матриц из множества В.
Для | 8 (Xх) | можно выписать явное выражение
к п	п
|^(Л|=2П^- 2 ПшЬ(аЛ*,а^) + ...
i=l j=l
• • • + (—П min (х},..., ж»).
3=1
Сложность заключается в определении области интегрирования. Еще при п = 2 несложно получить
где сумма берется по к индексам /х, . . Д так, что при этом Vi ii > 1 и /х + . ..+ Л = г. Например, при к = 1
Р2,г(1) = 1/Г, при к — 2
(2)=-!-£,4- (r> 1).
Однако уже при числе шкал, большем трех, трудно указать удовлетворительную процедуру определения области интегрирования. Поэтому при больших значениях п приведенный метод расчета практически неприменим.
2.	Формула для подсчета при небольших значениях г. Идея этого метода заключается в сведении n-мерной задачи к некоторой одномерной. Обозначим р (к) вероятность того, что ни одна из фиксированных к точек не является оптимальной по Парето. Тогда, очевидно, Вероятность того, что ров-124	Ч,
но к точек не являются парето-оптимальными, равна r—k
Рп, г (r-k) = С* J (-l)lCi_kp (к + 0 Т——О
или после замены переменных к
Рп,г(к)=Ск^(-1)1С[р(г-к + 1). г==0
Задача, таким образом, сводится к нахождению величины р (к). Пусть 5 — множество индексов к + 1, . . п (к 0) и пусть Si (i = 1, . . ., к) — произвольные подмножества S. Пусть xt, . . . . . ., xr ЕЕ R1. Будем записывать xt -< Siy если хг < х$ для любого х$, такого, что / ЕЕ Пусть . . .,	— некоторые точки,
неоптимальные по Парето. Остальные г — к точек обозначим Пусть событие Bij состоит в том, что Xi Рат Xj, тогда г—к
(J — событие, состоящее в том, что это верно по крайней 7=1
к г—к мере для одной точки Теперь ясно, что р(&) = Т) U #<г 7=1 J=1
Нетрудно убедиться, что эта вероятность может быть представлена как конечная сумма вероятностей вида (Р -<	. . .
• •	5k))n.
Пусть Nt = 1 + число индексов в Sp, Nili2 = 2 + число индексов в St, U Sh (ij < i2); . . . Nt = к + число индексов в su U Si2 и . . . U Sik.
Тогда несложно показать, что ft! к =	*)) = У Пдг-1-----’
где индекс (а17-. . . при у = 1, . . к\ пробегает все к\ перестановок индексов (1, . . ., к).
Таким образом, мы имеем метод подсчета величины р (к), а следовательно, можем определить и вероятность Рп,г (к). Как видим, сложность вычислений совершенно не зависит от размерности пространства Rn, но целиком определяется числом г — мощностью исходного множества альтернатив. Уже при г — 5 при расчете приходится проводить суммирование 5! = 120 слагаемых, а дальнейшее увеличение г приводит к еще большим трудностям, особенно в определении мощности множеств индексов
3.	Производящая функция распределения для случая двух показателей [18]. Рассмотрим вариант х ЕЕ X ЕВ 9СГ, имеющий ранг к по первой шкале: 7?1 (х) == к. Пусть случайная величина хк принимает значение 1, если х ЕЕ Maxpar^X, и 0 — в противном случае. Очевидно,
125
что производящая функция распределения величины fa равна
Ф& (2) = Р {х Е МахРаг: X} t + (1 - Р {х Е МахРагз Х})= = t/k + (к- i)/k.
Г
Но поскольку | Махраг_> X | =	а случайные величины
fc=i
%i, . . Xr независимы в совокупности, то производящая функция распределения числа парето-оптимальных вариантов Фг% (О определяется как произведение производящих функций Фк (t) (к = 1, . .	г):
Г	J
ФГа2= П (tlk + (k-i)lk).
fc—1
Теперь представляется возможным определить асимптотическое поведение этого распределения нри г —> оо.
4.	Асимптотика паретовского распределения. G помощью производящей функции Фг,Г($)> опуская простые промежуточные выкладки, получим
что ранее выводилось другим способом. Дисперсия также может г
быть подсчитана: DPar(r, 2) =	(1/Zc—l/Л2). При г —» оо, таким
*==1
образом, имеем: МРаг (г, 2) ~ РРаг (г, 2) ~ In г.
Теперь покажем, что при п = 2 распределение числа парето-оптимальных вариантов при г —> оо стремится к нормальному [18].
Логарифм характеристической функции распределения центрированной нормализованной случайной величины N равен
Ф (?) = - (M[N]/d) it + Jn ФРа2Г(/) LeiVa,
где а = (DVBr(r, 2))*^; i2 = —1;
ФР|Г (0 — производящая функция распределения числа па-рето-оптимальных вариантов.
Вспомним, что
г
Фга2(0= П (tlk + (k-t)/k).
fc=l
Обозначая аг = 1 — еи?а, получим
In ФРа2 (е«/ч) = S 1п(1 - аг/к).
k=l
126	.
Поскольку еи№ = 1 + й7<* — ?2/(2о2) +0 (1/о3), получаем аг = —it !g + ?2/(2о2) +0 (l/o3).
Считая | ar | < 1, можем записать
S In (1 - ar/k) = S S 4/jkj = J аЦ] S l/kj = arM [TV] + k=i	j=l	J=i /г=1
У=2
где M [TV] a=MPar(r, 2), ^=2 l/АЛ Здесь перемена порядка л-=1
суммирования была возможна в силу того, что оба ряда являются абсолютно сходящимися.
Известно, что при / > 1 1 < bj < 2. Используя эту оценку, получим
S alH'bj < 2 ( S | Лт \’Ц — I аг |)= 21 ar | ( I «г Г*// — 1) • j=2	J==l	;=1
Так как limar = О,
Г—*оо
1ОО
S ar/i-bj 3=2
= o(ar).
Следовательно,
ф (?) = —(ЛГUV]/o) it - arM [TV] + о (ar).
Подставляя сюда ar = — it/o + ?2/(2о2) + О (1/о3), получаем ф (?) = - (?2/2o2)M[7V] + М [TVJ - о (1/о3) + о (1/о).
Теперь, наконец, воспользуемся тем, что lim (A/[TV]/o2) = 1, и
Г—*эс
окончательно получим lim ф (?) = —^2/2. Но это есть, как извест-
Г—>оо
но, логарифм характеристической функции нормального распределения.
II. Распределение числа ^-оптимальных вариантов при п=2 и п=3
Как помним (гл. 3, § 4), при п = 2 сравнение 2S2 совпадает с Par2, поэтому все результаты, полученные ранее для сравнения Par2, справедливы и для сравнения S62. В частности,
г
Фг*2(0= П ((f+ *-!)/*) /f==l
и при г —> оо распределение числа £б2-оптимальных вариантов стремится к нормальному:
2 (N) = s i/k ~ 1я/г, D?, 2 (2V) =	(1/* —1/&2) ~ In г.
fc=31	/f—1
127
Рассмотрим теперь случай п = 3. Пусть х S X и R" (х) = г. Очевидно, верна формула
рг>3 (к) = рг_1>а (к - 1)Р (х е ж3/1 3£31 = к - 1) +
+ Рг_1(8 (к)Р (х £ Зб3/ |3531 = к).
Ясно, однако, что VA Р (х €= 3£3/| Ж3 | = к) = Р (х Зб3) = п (г), а из определения сравнения 3£3 следует, что л (г) = 1/г2, ведь Vy G= X: x3<Z Уз хЗСу =>	> уг & х3 уг. Таким образом,
Рг,з (&) = (i/r^-Pr-^ (к - 1) + (1 - 1/г3) Л_1>3 (к)-учитывая это, мы получим функцию распределения
Г
ф?%(0= IH/f+i-1/л2).
fr=l
III. Распределение числа ^-оптимальных вариантов
В § 7 настоящей главы была получена формула вероятности того, что вариант, имеющий по доминирующему показателю ранг, является ®п-оптимальным. Рассмотрим, как и раньше, случайные величины Х& (к = 1, . . ., г), принимающие значение 1, если к-й по доминирующему показателю вариант ®п-оптимален. Производящая функция ф£’п’ц (t) распределения случайной величины Х&, очевидно, имеет следующий вид:
Ф£п,и (0 = nkt + 1 — Jtfc = Ft!li (ц, п — р — 1) t + +	— [LX — 1, ц).
Теперь остается заметить, что случайные величины Хп . . ., Хг независимы в совокупности (в качестве упраждения это можно проверить), так что производящая функция распределения числа ^-оптимальных вариантов Фг»п»^ (t) примет вид
г	г
ф”>n- *(f) = П	(f) = П (Л/» (и, п - у.- 1)t +
к—1	7г=1
+ Л-1/к(п —И —1,н)).
В заключение сделаем несколько замечаний о такой важной вероятностной характеристике распределений, как дисперсия. Совершенно ясно, что знание дисперсии даст нам возможность более точно сравнивать функции выбора с точки зрения аппроксимации истинного выбора. Так, пусть Сг (X) и С2 (X)—две функции выбора, и N2 — случайные величины мощности выбора этих функций. Предположим, что о математическом ожидании известно, что М [7VJ =9, М [TV21 = Ю. Допустим, что известна и дисперсия D [Д\] — D [7V2] = 0,5. Благодаря этому можем сделать более точный вывод: почти всегда (т. е. с большой ве-128	’ X
роятностью) | С\ (X) j < [ С2 (X) |. Если же D [Л\] = D [TV2] = 9, то, несмотря на то что М [7VJ < М [7V2], фактически вероятность того, что Nt гораздо выше, чем в предыдущем случае.
Поэтому нахождение или оценка дисперсии мощности выбора представляется весьма важной задачей. Сразу же отметим, что для тех функций выбора, для которых нам удавалось найти закон распределения числа оптимальных вариантов, нахождение дисперсии, как и всех других моментов, не представляет труда. Более сложен случай, когда закон распределения неизвестен, а именно это имело место в большинстве рассматриваемых здесь случаев. Трудность заключается в следующем. Дисперсию приходится вы-г
чис л ять по формуле D [TV] = М [7V2] — М2 [7V], где N = У Хь г—1
Но легко можно получить, что М [7V2] = г (г — 1) М [%гх2] + + М [7V].
Задача таким образом сводится к нахождению математического ожидания М [ZiX2], т. е. вероятности того, что варианты х1 и х2 (х\х2 £ X Е Й7Г) одновременно являются оптимальными. Это и приводит к дополнительным трудностям в основном комбинаторного характера.
Расчет дисперсии числа парето-оптимальных вариантов приведен в [17] для случая п = 3. В работе [23] получена общая формула для произвольного числа шкал:
D [TV] = 2 Cn 2i (h • • • 4-iJi • • • jn-xPi • • • Pk-i) 1 — й-=1
- (S Oi • • • *п-1)-1)2 + S 01 • • • V1)"1-
Пределы суммирования в г	. . .> in-t >. . .
. • ; > 1п-к >1, 71 > Pl > • • > Л-1 > 1, в s2 и 23 — г >
К > • •	4-1	'
Проводится асимптотическое исследование этой формулы. В частности,
при п = 3 D [7V] ~ (V2 + л2/6)1пг,’
прип = 4 £[2V]~ (| + С(3)+ £4Ёт)1п2г-
г=2	;=1
129
Глава 7
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВЫБОРА В УСЛОВИЯХ РИСКА
§ 1.	Введение
В этой главе будет рассмотрен некоторый класс задач теории выбора вариантов в условиях риска. Выбор в условиях риска имеет ту особенность,.>гго последствия выбора того или иного варианта не известны точно, а носят вероятностный характер. К этому классу относится задача о выборе наилучшего объекта, формулируемая следующим образом: определенное количество каким-то образом упорядоченных по качеству объектов появляется в случайном порядке (это означает, что все перестановки любой возможной последовательности объектов равновероятны). При появлении очередного объекта можно либо остановить на нем свой выбор, признав его лучшим, либо продолжать просмотр; возможность возврата к пропущенным ранее объектам исключается. Решение об остановке должно приниматься только на основании уже имеющейся информации о поступивших объектах. Необходимо найти стратегию, позволяющую с максимальной вероятностью останавливаться на лучшем в предъявляемой совокупности объекте. Возможны различные вариации этой задачи в зависимости от
1)	механизма поступления объектов: а) дискретное время, б) случайный процесс, в) непрерывное время, г) бесконечное время, д) конечное время;
2)	способа определения «лучших объектов», т. е. функции выбора на множестве объектов: а) графодоминантные функции выбора, б) совокупно-экстремальный выбор и др.;
3)	информации о поступивших объектах: а) абсолютные оценки по показателям, б) распределение оценок по показателям, в) сравнительные характеристики поступивших объектов;
4)	дисциплины остановки: а) однократный выбор, б) многократный выбор, в) игровые ситуации.
В классической постановке [24, 25] предполагается, что объекты линейно упорядочены, решение об остановке принимается только на основании сравнения поступивших объектов, которые поступают в моменты 1, 2, . . ., N. Оптимальная стратегия в этом случае предписывает пропуск d* объектов и остановку на первом (после d*-ro), лучшем всех предыдущих, где
N/e<d* <N/e + (2-1/е), lim (d*/N) = lim V (2V) - 1/e, N->oe	N—*oe
a V (N) — цена оптимальной стратегии, т. е. вероятность остановки на лучшем объекте при использовании оптимальной стратегии.
130	.	\
Однако во многих прикладных задачах требование линейной упорядоченности объектов вряд ли можно считать допустимым. Такие задачи возникают при коррекции объекта, движущегося случайным образом, в экономическом планировании, при оптимизации на случайном графе, в задачах математической статистики, когда экспериментаторы должны решать, окупает ли растущая информация затраты на ее получение, и т. д.
В общем случае в задаче об оптимальной остановке необходимо рассматривать некоторую функцию выбора. Например, в работе [26] рассматривалась задача выбора одного из двух лучших объектов, а в [27] ее обобщение на случай выбора одного из г лучших (объекты предполагались линейно упорядоченными). Оптимальная стратегия задается в этом случае следующим правилом: существуют числа 1 5Т	N, такие, что оптималь-
ная стратегия задается следующим правилом: если на n-м шаге приходит объект, являющийся к-м среди поступивших объектов, и $*, то следует выбрать этот объект. При этом
Vr(N)y>r!{r —1). izi/r — l/(r — 1)
и lim(s*/2V) = r ^r/(2r — 1) (г>1)>
2V-><x>
В работе [28] содержатся постановки задачи на случай частичного порядка на множестве объектов, являющемся прямым произведением п линейных порядков, и некоторые численные результаты для п = 2 и небольших значений N.
§ 2.	Формализация задачи
Предположим, что задано некоторое вероятностное пространство X, элементы которого будем называть объектами. Исходом одного испытания является последовательность N. объектов {хъ . . ., xn} CI X, поэтому все случайные величины естественно рассматривать на XN — X X X X .. . X X.
N
Поскольку последовательность поступающих объектов является случайной, функцию выбора нужно рассматривать как случайную величину. В нашем случае исходным множеством вариантов (объектов) является пространство X. В качестве множества предъявлений будем рассматривать совокупность всех конечных подмножеств X, а от самого отображения С потребуем его измеримость. Ограничение функции выбора на совокупность всех тп-элементных множеств (тп = 1, 2, . . .) удобно рассматривать как функцию на Xw, принимающую значения в множестве тп-мерных булевских векторов; разряд, равный 1, соответствует выбранному объекту, а 0 — отвергнутому. При этом аргументом является упорядоченное множество объектов х1У . . ., хгп, поэтому нужно еще потребовать, чтобы выбор из любой перестановки этих объектов совпадал с исходным.
131
множества. S буется, чтобы
pm т __цт.
X а I
В свете сказанного дадим формальное определение в этих терминах, обозначив функцию выбора этого типа через F.
Определение 7.1. Функцией выбора F называется последовательность отображений F1, . . Fm, . . . (где F™: Хт
Dm = D X D X . . . X D, D = {0, 1}), удовлетворяющая следующим условиям:
1. F™ — случайная величина на Хт\ будем считать, что она определена на первых т сомножителях XN.
2. Обозначим через Sm группу перестановок т-элементного действует перестановками координат на Хт. Тре-была коммутативна диаграмма
для любой совокупности (#!, . . ., хт) ЕЕ Хт и 5 ЕЕ Sm.
Последнее условие означает независимость выбора от расстановки объектов, оно есть формализация требования о том, чтобы функция выбора зависела только от предъявления.
В соответствии с этим определением объект xt является оптимальным в совокупности xt, . . хт, если FT (х^ . . ., жт) = 1, где FT обозначает i-й разряд Fm.
Заметим, что таким образом определенная функция выбора задана только на конечных совокупностях, хотя само X может быть бесконечным.
Рассмотрим множество случайных величин
' UGx, • • h)tXk-*Dk,	.
• • •> xi]t) (01> • • •> /ft} CZ {1,. .	m}).
Обозначим через о-алгебру, порожденную случайными величинами £m (h, . . ifr). Fm определена на первых т сомножителях XN.
Пусть Fi CZ- . . .CZ Fm — возрастающая последовательность а-алгебр, удовлетворяющая условиям: 1) Fm определена на первых т сомножителях XN\ 2) Fm ZD Fm.
F m соответствует некоторой информации о поступивших объектах, a Fm — знанию функции выбора на поступивших объектах.
Определение 7.2. Целочисленная случайная величина т, принимающая значения 1,2,. . N, называется моментом остановки (или стратегией), если {т тп} ЕЕ Fm-
Измеримость т относительно Fm формализует требование о том, что решение об остановке принимается только на основании информации о поступивших к моменту т объектах. Задача об оптимальной остановке на лучшем объекте сводится к максимизации функционала
7(т) = Р(Р? = 1),
132
где т — момент остановки, a F? определена условием = Fm> если т = т.
В этих терминах условия наследования (Н) и независимости ’ от отбрасываемых альтернатив (О) определяются так.
Определение 7.3. Функция выбора удовлетворяет усло-
вию Н, если для всех т — 1, . . N — 1
Лт+1 (аъ • .	*т+1) = 1 =» FT (хъ . . хт) = 1.
Определение 7.4. Функция выбора удовлетворяет ус-
ловию О, если для всех тп = 1, . . ., N — 1; к — 1, . . т
F™:} (Xj,.... xm+i) = 0 => FV1 (*!, • • хт) = F™ (xlt . . Хт).
§ 3.	Некоторые примеры
Проиллюстрируем формальную схему предыдущего пункта. Пример 1 (классическая задача о выборе наилучшего объекта).
X линейно упорядочено и Р (а > Ъ Д Ь > а) = 0 (а, 6 Е X);
F™ (#1, . • •, Хт) = 1 хх> хк (к = 2, . . ., тп).
Пусть х = (хъ . . ., хм) — последовательность поступающих объектов. Положим ут (х) = к, если хт является Л-м по порядку в совокупности (я3, . . ., хт). Ясно, что z/х, . . ., yN независимы и что Р (Ут =к) = 1/т. Положим & т = S (г/ь . . ут) — о-алгеб-ра, порожденная уъ . . ут.'
Пример 2 (выбор одного из г лучших в случае линейно упорядоченных объектов). В условиях примера 1
Рт (*i, • •хт) = (1^^0,..0),
если	> хт; на неупорядоченные совокупности F продол- '
жается по симметрии.
Пример 3 (совокупно-экстремальный выбор). Пусть на X * задано п линейных порядков удовлетворяющих условиям:
Р ((* > У) А (.У > а:)) = 0; г	г
(х >- у) и (х X у) независимы при i j.
i	j
Положим угт (х) к, если хт является к-м по Z-му от- ; ношению среди xlf . . ., хт, f m = 33 (у}) (j = 1, . . ., тп; i = j = 1, . . ., п). Заметим, что если положить Р (Fm (%) ~ 11 ^m), I
133
то для любого момента остановки т
p(^=i)= 2 Р(^=1дт=т)= т=1 N	N
= S J =	2 J
w==i (т—m)	m=l (x=m)
Функция fm интерпретируется как функция выигрыша, т. е» остановке на m-м шаге соответствует выигрыш fm.
_f m/N, если ут = 1;
m“~ [ 0 , если ут=£ 1.
f __ 3	если yw==f<^r;
/m“J| 7=1
О, если ут^>г.
fm~l — (1 — m/N)\ если в последовательности
Пример
Пример
1.
2.
3.
Пример
Ут, . . Ут ровно к единиц.
Пример 4. Пусть на X задано два линейных порядка
1
удовлетворяющих условию примера 3. Определим функцию 2
выбора как выбор недоминируемых объектов в смысле прямого произведения порядков (парето-оптимальный выбор). такие же, что и в примере 3:
1	.	//Tl/i+fcl—l /nU2“l	Z1N~ 77l\
Jm—/ t xym-ll'-'N-l '^'m-ll^N-l (X/ci-l-feCN—m
если пришедший на тп-м шаге объект является парето-оптимальным и имеет ранги ут, у\ по отношениям >- (i = 1, 2), и fm = 0, если г
пришедший объект мажорируется одним из предшественников. Именно сложностью функции выигрыша обуславливается трудность решения задачи об оптимальной остановке.
§ 4.	Обратная индукция
Стандартная рекурсивная техника решения задач об оптимальной остановке носит название «принцип обратной индукции» и состоит в решении функционального уравнения [28, 291
VN = /дг,
ут = max {fm, Е (ym+11 ^т)} (т = N — 1, . .	1).	(7.1)
ут имеет смысл среднего выигрыша, получаемого при применении оптимального момента остановки из данного состояния. Оптимальный момент остановки задается формулой
{min {т | хт = Yw}, если это множество не пусто;
N в противном случае.
134
Принцип обратной индукции буквально означает то, что оптимальная стратегия оптимальна начиная с любого момента. Однако уравнение (7.1) как правило не поддается явному решению; в большинстве решенных задач Е (ут+1 | ^Гт) было константой.
Если	, ут), где не обязательно действительно-
значные случайные величины, и fm = fm (ут), т. е. выигрыш зависит только от наблюдений на тп-м шаге (говорят, что имеет место случай независимых наблюдений), то легко доказать, что Е (ут+11 $Fm) — Е (ут+1). Это обстоятельство имеет место в примерах 2 и 3.
§ 5.	Совокупная экстремизация
В условиях примера 3 все у*т независимы (i = 1, . . п; т = - 1, . . ., N) и
Р(Ут = 1/тп (^е {1, . .	т}).
Положим Е Сут+i) = Fm+i, тогда система (7.1) примет вид
ул = #л,
Ут = шах (хт, Р т+1) (^ — N 1, . . ., 1).	(7.2)
Число Vm+1 имеет смысл максимального среднего выигрыша, получаемого при пропуске первых т объектов, поэтому
V, > . . . > VN^ = 1 - (1 - 1/N)n > 0.	(7.3)
Отсюда следует, что если пришедший объект не максимален ни по какому отношению среди пришедших объектов, то на нем не следует останавливаться. Это обстоятельство является одним из характеристических свойств оптимальной остановки для функций выбора, удовлетворяющих условию наследования.
Заметим, что функции gk (т) = 1 — (1 — m/N)* монотонно возрастают с ростом т, поэтому если положить, что
st = min {т | gk (т) > Fw+1},
то для всякого т Д s* будет выполняться gk (т) Д Vm+l. Из того, что gi (пг) < . . . < gn (т), следует, что
1 < s* <: . . . <	< N.	(7.4)
Определим момент остановки v (s1? . . ., sn) формулой
V (sx, . . ., sn) min {т I Эй: (m > sk)-Д (^m > gk (rn)}. (7.5)
Из вышеизложенного следует, что
Н = v (st, . . ., s*), следовательно, для нахождения р достаточно максимизировать V (v (sx, . . sn)) = Р .....sn) = 1) ПО	sn.
Ясно a priori, что V (v (sx, . . ., sn)) имеет единственный (глобальный) максимум.
135
Выпишем явное выражение цены v (s19 . . ., sn):
п sk-r~l п—к m—1 .	п—к
V(v(Si,. V Ple У, У П (1—4-У c£(i—1/) X k=i m=sK l~°i=s^ 1 j=o
*------(7.6)
m
где pn = 1, s0 = N + 1;
n sj-l—1	n—j
p*= П П (i— i=8j 1
В табл. 7.1 приведены численные результаты для п == 2 и N = 2, . . ., 50.
Асимптотику V (р) можно найти, максимизируя (7.е6) и переходя по N к пределу. Однако ее можно найти и более изящным способом.
Положим Vm = a (m/N) и перепишем (7.2) в виде
Е (gm — Fm+1)+ = a (m/N) — а ((пг + 1)/W) =
== 3	(1 — (1 — mlN)* — а ((m + 1)/2V))+,	(7.7)
7l=l
где «+» означает положительную часть функции. Продолжим a (m/N) до ступенчатой кусочно-непрерывной функциц на [0, 1]. Можно показать [30], что решение разностного уравнения (6.2) будет сходиться к решению дифференциального уравнения
a'(t) == —nit (t — a (t))+, а (1) = 0.	(7.8)
В работах [31, 32] показано, что lim V (р) = а (0), а функция
N-^oo
a (t) определяет оптимальную стратегию в некоторой «предельной» задаче об оптимальной остановке.
Решая (6.8) вариацией постоянной, получаем
a(t)==|	м
I n/(n — i)-(t — tn), t^> / ifn.
Отсюда следует, что lira V (p) = п~У 1/n (n > 1).
2V->oo
Предельные значения для V (p) приведены в табл. 7.2.
§ 6. Пороговые стратегии
Хорошо известно, что когда функция выбора порождена линейным порядком, удовлетворяющим условию Р ((х >- у) Д (у >-х)) ~ 0, то момент остановки, задаваемый правилом «пропустить первые d — 1 объектов, а затем выбрать первый объект, луч-
136
Таблица 7.1
N	VAN)
2	0,75
4	0,72
6	0,64
8	0,61
10	0,59
20	0,54
30	0,53
40	0,52
50	0,518
Таблица 7.2
n	limVn(N) N -* oo
2	0,5
3	0,58
4	0,63
5	0,67
6	0,70
7	0,72
8	0,80
9	0,81
10	0,82
20	0,89
30	0,91
100	0,96
ший всех предыдущих», является при некотором d оптимальным в классе моментов остановки, использующих только информацию об упорядочении поступивших объектов. Это мотивирует следующее:
Определение 7.5. Момент остановки
(ж) = min {т | (zn > d) Д (Fm (х) = 1)} называется пороговым с порогом d.
Теорема 7.1. Если функция выбора удовлетворяет условиям Н и О и
1) в любой совокупности хъ . . xn ровно г оптимальных объектов,
2) в любой совокупности х1У . . ., хт (т <Z N) не более г оптимальных объектов, то
lim V (pi) > lim max V (т^) > Hr при г 1. 2V->o© d
Доказательство. Положим gm (x) равным числу оптимальных объектов в совокупности хи . . ., хт, по условию gm г. Рассмотрим момент остановки т^. Если Fm (х) = 1, то ив условия Н следует, что F™ (х) = 1, поэтому xd (х) w, если т > d. Следовательно,j
((F" = 1) Л (rd = тп)) ((Fm = 1) Л (rd > т - 1)).
Отсюда для цены xd имеем следующее выражение: N
^(Td)=3 JP((F^ = l)A(Td==W)) =
N
= 3 F((F" = l)A(Td>m-l)) =
N r
= S S P((^m=l)A(Td>m-l)A(gnwl = *)). m=d k—1
137
Докажем, что (Xd (*r) > т — 1) О (все объекты, оптимальные в совокупности . . ., xm-v имеют номер не выше d — 1). Положим к равным максимальному номеру объекта, оптимального в совокупности хъ . . ., Хщ^. Пусть к"^> d — 1, из условия Н следует, что F* = 1 и xd к, отсюда xd <Z т — 1. Полученное противоречие означает, что к d — 1.
Ясно, что Td У= тп — 1. Из условия О следует, что объекты, оптимальные в совокупности хх, . /	zm_2, имеют номер не выше
d — 1, отсюда т^ тп — 2. Аналогично Td У= тп — 3, . . ., Td =# ==^ d и, следовательно, xd^> т — 1.
Для всякого набора индексов {i^ . . ., CZ {1, . . ., т — 1} определим
A Gv . . ., 4) = ((/’Г1 = . . .= FT;1 = I) Л = fc) д Л (F* = 1)).
Все А (&х,. ,., ik) равновероятны вследствие того, что функция выбора симметрична и мера на прямом произведении инвариантна относительно перестановок координат. Таких множеств Cm-i^ и они образуют разбиение множества ((gw-i = к) Д (Fm — 1)).
Из доказанной эквивалентности следует, что если
{Ч, . . М с= {1, . .
то A (iv . . ifc) ZD ((Td > m — 1) A (gm-i = ty). Следовательно,
P ((Fm = 1) A (g^ = к) A (Td > m - 1)) = P ((Fm = 1) A A (gm-i = k^/CLt.
Отсюда
N r
v (Td) = E Ep ((F"*=Л (gm-1=ky> c^'c™-' >
m=d k=r
N r
> e Ep ((F™=л (gm-1=k})
m=d k=l
N .	N
= P (Fm= 1) £	£ (C5-1/Cm-1)	>
•	7n^d.	m=d
N d
Вычисляя максимум no d последнего выражения, получаем, /•—i ...............................................
что он достигается в точке d*, где lim d*/N = у 1/г.
N—>оо
При этом lim V (Td«) = Vr.
N-*0O
138
Следствие. Если gm = г для всех т = г, г 4~ 1, . . то момент остановки rd* является асимптотически оптимальным в классе пороговых моментов остановки.
Доказательство немедленно следует из того, что
N	N
v (Td) = £ Р (F" = 1)	£	(CS-i/C^-O.
m=d	m=d
Пример 2 из § 3 удовлетворяет условиям следствия •
В работе [27] доказано, что lim max V (xd) "> г (jfг-1 — 1)/
N—>оо d
/(г — 1). Теорема 7.1 дает точное значение этого предела, хотя оно получено без использования конкретного вида функции выбора (а следовательно, и функции выигрыша в соответствующей задаче об оптимальной остановке).
§ 7. Парето-оптимальный выбор
Задача об оптимальной остановке на парето-оптимальном объекте представляется довольно сложной как в случае, когда решение об остановке принимается на основании сравнения поступивших объектов, так и в случае, когда наблюдаются абсолютные числовые оценки объектов по критериям. В первом случае расчеты по принципу обратной индукции [28] показывают, , что [при двух критериях «технический» предел ~ 0,725.
Во втором случае можно доказать, что цена оптимальной стратегии Vn (N) стремится к 1 с ростом числа объектов при любом числе критериев п 1. Докажем это утверждение.
Итак, речь идет о следующей задаче. N объектов, независимо друг от друга оцениваемые по п критериям, появляются в случайном порядке. Предполагается, что многомерная функция распределения оценок известна. Решение об остановке принимается на основании оценок поступивших объектов. Функция распределения имеет независимые компоненты, непрерывна и одинакова для всех объектов.
Достаточно рассмотреть случай п = 2, так как объект, парето-оптимальный по первым двум критериям, оптимален по всем.
Монотонными деформациями координат приведем исходное распределение к равномерному в квадрате X с единичными сторонами. Ясно, что при этом преобразовании отношение сохраняется.
Легко показать, что если х19 . . ., ЕЕ X, то максимум любой изотонной функции достигается на паретовском множестве. Пусть . . ., hT — произвольные изотопные функции. Определим функцию выбора F . . ., hr):
F™ (х1У . . ., хт) = 1 «н ЗА: hjf (х^ = max {hk fo), . . .
. . hjf
139
Легко показать, что F удовлетворяет условиям Н и О. Для х ЕЕ €= Хт положим gm (х) равным числу F-оптимальных объектов в совокупности	Хт.
Лемма. Для всякого г существует последовательность наборов функций	hr, такая, что lim Р (gN = г) = 1 при
Л'-^оо. Доказательство довольно громоздко, поэтому мы его опускаем.
Теорема 7.2. lim V2 (N) — 1.
N->ос
Доказательство. Из леммы и теоремы § 6 следует, что lim V2 (N)	*5/ 1/г. Переходя по г к пределу, получаем нужное
Л—оо утверждение.
Таким образец, в задачах об оптимальной остановке на лучшем объекте можно делать какие-то выводы и строить субоптимальные стратегии без явного построения эксцессивной мажоранты функции выигрыша (обратная индукция), а лишь исследуя свойства функции выбора. По нашему мнению, это обстоятельство является характеристическим для вероятностных задач теории выбора.
Заключение
Итак, нами разработан язык, не использующий интуитивных понятий, основанный на четких математических формулировках. Определение реализации как отображения, делающего соответствующую диаграмму коммутативной, позволяет построить категорию функций выбора, в которой объектами являются функции выбора, а морфизмами — реализации. Этот язык оказывается адекватным и для формулировки результатов абстрактной теории выбора, изложенной как теория инвариантных относительно эквивалентности свойств функций выбора, и для описания геометрических свойств бинарных отношений, а также для различных прикладных проблем, вплоть до алгоритмизации выбора и обобщений классических задач.
Сама постановка проблемы — создать математическую базу для формулировки и решения конкретных прикладных задач многокритериальной оптимизации — привела к таким результатам, как обоснование (в терминах абстрактной теории выбора) сугубо прикладной процедуры поэтапного выбора с последовательным отбрасыванием части вариантов и сведение к минимуму мощности окончательного контекста. В частности, оказалось, что если функция выбора удовлетворяет условиям наследования и монотонности, то отбрасывание вариантов, не выбираемых из какого бы то ни было контекста, никак не влияет на окончательный выбор из исходного множества вариантов. Этот результат сразу позволяет существенно расширить область корректного применения бинарных отношений в многокритериальной оптимизации.
Такой насущный вопрос, как транзитивность и ацикличность тех или иных порядковых сравнений, привел к общей постановке о связи имманентных свойств бинарных отношений в пространстве показателей с чисто геометрическими их свойствами, точнее, с геометрическими характеристиками их функций верхних конусов. Обобщая, приходим к понятию отношения на многообразии, позволяющему строить теорию выбора для случая функционально зависимых показателей. В частном же случае независимых показателей, удалось получить не только геометрические критерии транзитивности и ацикличности, но и точную оценку длины цикла для отношений, верхний конус которых определен и является линейным конусом.
Эти результаты позволяют алгоритмически определять транзитивность и максимальную длину цикла для порядковых отношений.
Введено и исследовано понятие (кусочно-) гладкого отношения жак отношения, задаваемого псевдомногообразием в прямом про
441
изведении. Коль скоро всякое множество, задаваемое системой гладких неравенств, является псевдомногообразием, практически всякое отношение в показателях, хотя бы и зависимых, является псевдомногообразием. Так как понятие гладкого отношения естественно вводится для многообразия, бинарное отношение оказывается вполне геометрическим объектом.
По мере изложения проблемы, обсуждаемые в книге, оставаясь сугубо математическими, приобретают все более прикладной характер в соответствии с общей задачей авторов обсудить на новом теоретическом уровне конкретные проблемы многокритериальной оптимизации, т. е. науки моделирования выбора в показателях, имея в виду создание автоматизированных систем, помогающих ЛПР осуществить свой выбор.
В число этих Проблем входят уяснение класса функций выбора, соответствующего существу задачи, идентификация (или аппроксимация) системы предпочтения ЛПР внутри данного класса, формализация исходного множества вариантов и предъявлений, алгоритмическое исследование основных характеристик выбора, априорная оценка точности аппроксимации, алгоритмизации выделения выбора по данному предъявлению и др.
Наряду с проблемами многокритериальной оптимизации, которые, как надеются авторы, удалось прояснить, в монографии поставлены и вопросы/ нуждающиеся в дальнейшем изучении.
Литература
1.	Айзерман М. А., Малишевский А, В. Некоторые аспекты общей теории выбора лучших вариантов: Препринт Ин-та проблем управления. АН СССР. М., 1980.
2.	Скорняков Л. А, Элементы теории структур. М.: Наука, 1972.
3.	Миркин Б. Г, Проблемы группового выбора. М.: Наука, 1974.
4.	Льюис Р., РайфаХ. Игры и решения. М.: Изд-во иностр, лит., 1961.
5.	PlottC.R. Path Independence, Rationality and Social Choice.— Eco-nometrica, 1973, vol. 41, N 6.
6.	Айзерман M. А., Малишевский А, В. Проблемы логического обоснования в общей теории выбора. Часть II. Критерии классической рациональности и их приложения к анализу выбора: Препринт Ин-та проблем управления АН СССР. М., 1980.
7.	Бауман Е. В. Выбор на графе и в критериальном пространстве.— АиТ, 1977, № 5.
8.	Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями.—Ж урн.J вычисл. мат. и мат. физ., 1975, т. 15, № 2.
9.	Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха.— УМН, 1948, т. 3, вып. 1(23).
40. Подиновский В. В., Гаврилов В. М, Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Сов. радио, 1975.
11. Березовский Б. А., Кемпнер Л, М. Вложенные модели многокритериальной оптимизации с упорядоченными по важности показателями.— АиТ, 1981, № 1.
12. Подиновский В, В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений.— В кн.: Многокритериальные задачи принятия решений. М.; Машиностроение, 1978.
43. Макаров И. М., Виноградская Т. М. Глобальная характеристика структуры предпочтений в задачах выбора.—ДАН СССР, 1979, т. 245, № 2.
44. Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности однородными критериями,— АиТ, 1976, № 11.
15. Михалевич В. С., ШорН.З. Численное решение многовариантных задач по методу последовательного анализа вариантов,— В кн.: Научно-методические материалы экономико-математического семинара, вып. 1. М.: ЛЭММ АН СССР, 1962.
46. Гафт М. Г., Озерной В. М.‘ Выделение множества неподчиненных решений и их оценка в задачах принятия решений при векторном ^кри-терии. — АиТ, 1973, № 11.
47. Barndorff-Nielsen О., Sobel М. On the distribution of the numbar of admissible points in a vector random sample.— Теория вероятностей и ее применения, 1966, т. XI, вып. 4.
143
18.	Berezovsky В. A., Travkin S. I., Tracktengerts E. A. Stochastic Approach to the problem of multicrit erial Choices.— In.: IFAG Symposium on Large Scale System. Italy, Udina, 1976.
19.	Иванин В. M. Асимптотическая оценка математического ожидания числа элементов множества Парето.— Кибернетика, 1975, № 1.
20.	Березовский Б. А., Травкин С, И. Модель многокритериальной оптимизации с доминирующим показателем,— АиТ, 1981, № 4.
21.	Иванин В. М. Об одной оценке математического ожидания числа элементов множества Парето.— Кибернетика, 1975, № 3.
22.	Кукса А. И., Шор И. 3. О методе оценки количества условно-оптимальных траекторий дискретного сепарабельного динамического программирования.—Кибернетика, 1972, № 3.
23.	Иванин В. М. Вычисление дисперсии числа элементов множества Парето х для выборки независимых векторов с независимыми компонентами.— В кн.: Проблемы оптимизации. Киев: Йн-т кибернетики АН УССР, 1976.
24.	Дынкин Е. Б., Юшкевич А, А. Теоремы и задачи о процессах] Маркова. М.: Наука, 1967.'
25.	Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1969.
26.	Gilbert J.P., MostellerF. Recognizing the maximum of a sequence.— J. Amer. Statist. Assos., 1966, vol. 61; N 313, p. 35—73.
27.	Гусейн-заде С. M. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний.— Теория вероятностей и ее применения, 1966, т. XI, вып. 3.
28.	Березовский Б, А,, Генинсон Б. А., Рубчинский А. А. Стратегия оптимальной остановки на частично-упорядоченных множествах.— В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического совещания «Проблемы создания высокопроизводительных информационно-вычислительных машин». Кишинев: НТОРЭС им. А. С. Попова, 1979.
29.	Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М.: Наука, 1977.
30.	MucciA. Diffenrential Eguations and Optimal Choice Problems.—Ann. of Stat., 1973, vol. 1, N 1, p. 104—113.
31.	GianiniJ., Samuels M. The infinite secretary problem.—Ann. of Prob., 1976, vol. 4, N 3, p. 418—432.
32.	Gianini J. The infinite secretary as the limit of the finite problem.—Ann. of Prob., 1977, vol. 5, N 4, p. 636—644.
33.	Емельянов С. В., Наппельбаум 3, JI. Методы исследования сложных систем. Логика рационального выбора. М.: ВИНИТИ, 1977.
34.	Фишберн И. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.	.
35.	Ларичев О, И. Наука и искусство принятия решений. М.: Наука, 1979.
36.	Гафт М. Г. Принятие решений при многих критериях. М.: Знание, 1979.
37.	Дубов Ю. А, Условия оптимальности в динамических многокритериальных задачах. Препринт: ВНИИСИ, 1979.
38.	Шаломов Л. А. Логические методы в задачах согласованного выбора. Препринт ВНИИСИ, М., 1978.
144
39.	Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978.
40.	Современное состояние теории исследования операций. М.: Наука, 1979.
41.	Вопросы анализа и процедуры принятия решений,— В кн.: Сб. перев. М.: Мир, 1976.
42.	Sen А. К. Collective Choice and Social Welfare. San —Francisco: Holde-* Day, 1970.
43.	Многокритериальный выбор при решении слабоструктуризованных проблем.— В кн.: Труды ВНИИСИ. М.: ВНИИСИ, 1978, вып. 5.
44.	Проблемы принятия решений.— В кн.: Труды Института проблем управления. М.: ИПУ АН СССР, 1974, вып. 5.
145
Указатель терминов
Вариант 5
вариантов исходное множество 5
верхний конус точки по отношению 6
— — сравнения % е 31
верхних конусов букет 62
— ~ функция 6
выбор из множества (предъявле-
ния) 5
высота орграфа 21
высоты функция 21
Гиперплоскость (строго) опорная 32
гладкое неравенствр (уравнение) 36
Диагональ 7
допустимых пар класс 5
—	предъявлений &ласс 5
Изотонная функция 20
изотопное отображение 33
Квадрант 31
—	телесный 31
конус 31
—	касательный 37
координатная плоскость 46
критериальное пространство 10
критерий 10
ЛПР 3
Максимум множества по отношению 6
множество (S cz Rn) выпуклое 38
—	нетупое 32
—	острое 33
—	транзитивное 32
—	тупое 33
Оболочка множества (S d Rn) .выпуклая 38
—	— линейная 32
—	— положительная 39
—	— транзитивная 40
орграф отношения 7
—	предпорядка 7
отношение антирефлексивное 8
—	антисимметричное 8
—	ациклическое 7
—	бинарное 5
—	доминирования 6
—	рефлексивное 8
—	симметричное 8
—	транзитивное 7
отношений порядок И
оценка по критерию 10
—	— шкале 10
146
Парето-размерность отношения 22 показателей пространство 10 — упорядочение абсолютное 80 — — относительное 71 показатели несравнимые по важности 73 равноправные 73 показатель 10 полином приведенный 57 — сравнения	46
порядок 8 — лексикографический 46 — нестрогий 8 — паретовский 11 — функций выбора 13 предпорядок 7 предъявление 5 псевдомногообразие 36 размерность отношения 43 .— псевдомногообразия 36 реализация функцией выбора 16 — классом функций выбора 17 свойство Кондарсе 25 — монотонности (М) 27 — наследования (Н) 13 — отбрасывания (0) 14 — Плотта 23
—	согласованности (С) 15
симметрия 34 сравнение 10 — в шкалах дискретных 87 — — — интервальных (интервальное) 31
—	— — непрерывных 87
—	— — относительных (относительное) 31
—	__ — порядковых (порядковое) 29
—	— — строгих 46
—	гладкое 36
—	лексикографическое 50
—	мажоритарное 50
—	по критериям 12
—	правильное 55
Транзитивное замыкание орграфа 7 транзитивный остов орграфа 7
Функция выбора 5
—	— абстрактная 16 *
—	— в пространстве показателей 16
—	— в строгих шкалах 16
—	— графодоминантная 7
—	— паретовская 12
—	— по критериям 13
—	— порядковая 60
—	— совокупно-экстремальная 12 — —ч турнирная 9
’ к,
функции выбора размерность 43 	сужение 16 функций выбора классы 147 — — эквивалентность 17	Эквивалентности класс 8 Ядро верхнего конуса правильного сравнения 56 «^-оптимальность 56
Шкала 10 — дискретная 87 — непрерывная 87 — строгая 45	А:-звезда 41 «^-оптимальность 54 □-оптимальность 51
Указатель	обозначений
Классы функций выбора С (А, 37)	(А), если <27 = А; (Г*(57), если А = R”; ® (37) для U «"(-27); nGN 6 (А)) * - 5 €гд (А, 37) —7 %к(А,37) (fc = 1,2, . . оо) — 9 (А, 37) — 13 & (Л, 37) — 14 «(Л, 37)— 15 3>1 (А, 37)-23 <ёоп (А, 37) — 25 ЭД (Л, 37) — 27 <$аг(Л)-22 СМ)-22 Классы отношений <®(£, У) (Я (В), если ^=ВхВ; &п (У), если В = R”; & (У) для U <#" (У)) * - 6 neN Лк(В,У) (А: = 1,2	оо)	— 7 &(В,У) — 7 Функции выбора <^Д-7 ^Par-12 С" -12 Г —132 Отношения Я-5 2?+-6	^х~б — 6 Sim — 34 Мах^Х — 6 — И ^2 — 13 ““ ^6 Реализация Ci Ху ^2-16 F Ct ~ С2 - 17 с л —17 Множества в Rn R£-10 (5) — 39 X (S) — 32 (6 ) - 39 (S) ~ 40 —41 Т^М - 37 ^,^<•,<^.—33 lJ — 49 Qj+I- ci+l~ — 49 У порядочение показателей 31 г- 70 <-70 т
* В скобках даны модификации обозначений.	i	— 71 а i —> / — 80
147
Оглавление
Предисловие .....................................................  3
Глава 1. Введение в теорию выбора в пространстве показателей ......................................................  5
§	1.	Функция	выбора............................. 5
§	2.	Примеры	функций выбора..................... 5
§	3.	Функции	выбора в пространстве	показателей	(R™)	10
§	4.	Примеры	функций выбора в пространстве	показателей	12
§	5.	Теория выбора....................... 13
§ 6.	Определение реализации и эквивалентности функций выбора. Абстрактные функции выбора ....	10
§ 7.	Проблемы реализации.................................... 13
§ 8.	Теорема Плотта......................................... 22
§ 9.	Инвариантные структуры на классе функций выбора 26
§ 10.	Проблема обоснования применения бинарных отношений в теории выбора ... *................................... 27
Глава 2. Геометрия сравнений и выбора............................ 29
§ 1.	Язык верхних конусов. Основные классы сравнений	29
§ 2.	Геометрия сравнений в случаях	и % е	31
§ 3.	Гладкие сравнения. Основная модель..................... 35
§ 4.	Аппроксимация гладких сравнений и соответствующих графодоминантных функций выбора .....	37
§ 5.	Критерии транзитивности и ацикличности для	38
§ 6.	Проблемы реализации. Размерность бинарного отношения ....................................................... 43
Глава 3.	Порядковые сравнения и порядковые функции выбора 45
§ 1.	Строгие и нестрогие шкалы.............................. 45
§ 2.	Булевский язык......................................... 46
§ 3.	Общий случай % е .....................................  47
§ 4.	Примеры................................................ 49
§ 5.	Алгоритмы, устанавливающие основные характеристики сравнений % е .................................. 57
§ 6.	Порядковая функция выбора......................."...	60
§ 7.	Проблемы реализации порядковыми сравнениями . .	63
Глава 4.	Аппроксимация функции выбора ЛПР....................... 67
§ 1.	Процедура выбора....................................... 67
§ 2.	Упорядочение показателей..............................  68
§ 3.	Относительное упорядочение............................. 71
§ 4.	Анализ сравнений с точки зрения упорядочения показателей ............................................ 75
§ 5.	Упорядочение показателей на языке конусов возможных направлений.................\............................ 78
148	V
§ 6.	Абсолютное упорядочение................................ 79
§ 7.	Упорядочение по Подиновскому........................... 81
§ 8.	ЛПР и упорядочение показателей......................... 83
Глава 5. Алгоритмы выбора........................................ 85
§ 1.	Алгоритмы в многокритериальной оптимизации . .	85
§2.	Конечные классы допустимых предъявлений ....	85
§ 3.	Алгоритмы паретовского выбора.......................... 87
§ 4.	Об алгоритмах выбора по сравнениям из конечных классов.............................................. 90
§ 5.	Параллельные алгоритмы выбора .......................... 92
Глава 6.	Точность аппроксимации функций	выбора	95
§ 1.	Сравнение точности аппроксимации........................ 95
§ 2.	Математическое ожидание мощности	выбора ...	96
§ 3.	Математическое ожидание мощности выбора для порядковых сравнений в строгих шкалах................. 99»
§ 4.	Ациклические порядковые сравнения в строгих шкалах ....................................................... 103
§	5.	Асимптотика математического ожидания паретовского сравнения................................... 104
§	6.	.^-оптимальность ..................... 106
§	7.	Порядковые функции выбора. 111
§	8.	Сравнения из класса ................................. 115
§ 9.	Математическое ожидание мощности выбора для порядковых сравнений в нестрогих шкалах........... 118
§ 10.	Математическое ожидание мощности выбора в строгих зависимых шкалах ..............................  120
§	11.	Распределение числа элементов максимума	.	...	123
Глава 7. Некоторые вопросы выбора в условиях риска . . .	130»
§ 1.	Введение . . ......................................... 130
§ 2.	Формализация задачи............'...................... 131
§ 3.	Некоторые примеры..................................... 133
§ 4.	Обратная индукция..................................... 134
§ 5.	Совокупная экстремизация.............................. 135
§ 6.	Пороговые стратегии.........................  .	136
§ 7.	Парето-оптимальный выбор ............................. 139
Заключение...................................................... 141
Литература...................................................... 143
Указатель терминов.............................................. 146
Указатель обозначений........................................... 147
Борис Абрамович Березовский Владимир Игоревич Борзенко J Лев Маркович Кемпнер
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Утверждено к печати
Ордена Ленина Институтом проблем управления АН СССР
Редактор Л. Г. Никольская Художник Н. Н. Якубовская Художественный редактор Н. Н. Власик Технический редактор А. М. Сатарова Корректоры В. Г. Петрова, И. А. Тал а лай
ИБ № 21180
Сдано в набор 12.01.81 Подписано к печати 25.06.81 Т-09259. Формат 60х90*/н Бумага типографская № 2 Гарнитура обыкновенная Печать высокая
Усл. печ. л. 9,5. Усл. кр.-отт. 9,9. Уч.-изд. л. 9,2
Тираж 2300 экз. Тип. зак. 125 Цена 95 коп.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90 2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКА» ГОТОВЯТСЯ К ВЫПУСКУ В СВЕТ СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:
Вычислительные сети (адаптивность, помехоустойчивость, надежность).
В книге рассмотрена структура сложных систем обработки информации. Предложен метод адаптивной коммутации каналов, при котором в сети может использоваться как коммутация каналов, так и пакетов, в зависимости от информации. Рассмотрены источники ошибок систем обработки информации и методы повышения их помехоустойчивости и надежности. Приводятся программные методы повышения помехоустойчивости в системах ввода, хранения и передачи информации, а также методы синтеза структур сетей.
Для научных и инженерно-технических работников, занимающихся проектированием помехоустойчивых систем передачи данных.
Ярославский Л. П., Мерзляков Н. С. Цифровая голография.
Книга посвящена основам теории цифрового представления волновых полей, их преобразованиям, алгоритмам вычисления этих преобразований, синтезу и записи голограмм, пространственным фильтрам для оптических систем обработки данных, визуализации информации, методам цифрового восстановления голограмм и интерферограмм, цифровому моделированию голографических процессов. Показано применение методов в оптике, акустике, измерительной технике, при неразрушающем контроле.
Для специалистов по моделированию полей различной физической природы.
Книги можно предварительно заказать в магазинах Центральной конторы «Академкнига», в местных магазинах книготоргов или потребительской кооперации без ограничений.
Для получения книг почтой заказы просим направлять по адресу: 117192 Москва В-192, Мичуринский проспект, 12, магазин «Книга — почтой» Центральной конторы «Академкнига»; 197110 Ленинград П-110, Петрозаводская ул., 7, магазин «Книга — почтой» Северо-Западной конторы «Академкнига» или в ближайший магазин «Академкнига», имеющий отдел «Книга — почтой».
480091 АЛМА-АТА, УЛ. ФУРМАНОВА, 91/97 («КНИГА — ПОЧТОЙ»);
370005 БАКУ, УЛ. ДЖАПАРИДЗЕ, 13;
320005 ДНЕПРОПЕТРОВСК, ПРОСПЕКТ ГАГАРИНА, 24 («КНИГА —ПОЧТОЙ»);
734001 ДУШАНБЕ, ПРОСПЕКТ ЛЕНИНА, 95 («КНИГА —ПОЧТОЙ»);
335009 ЕРЕВАН, УЛ. ТУМАНЯНА, 31;
664033 ИРКУТСК, УЛ. ЛЕРМОНТОВА, 289;
252030 КИЕВ, УЛ. ЛЕНИНА, 42;
252030 КИЕВ, УЛ. ПИРОГОВА, 2;
252142 КИЕВ, ПРОСПЕКТ ВЕРНАДСКОГО, 79;
252030 КИЕВ, УЛ. ПИРОГОВА, 4 («КНИГА — ПОЧТОЙ»);
277001 КИШИНЕВ, УЛ. ПИРОГОВА, 28 («КНИГА — ПОЧТОЙ»);
343900 КРАМАТОРСК ДОНЕЦКОЙ ОБЛАСТИ, УЛ. МАРАТА, 1;
660049 КРАСНОЯРСК, ПРОСПЕКТ МИРА, 84;
443002 КУЙБЫШЕВ, ПРОСПЕКТ ЛЕНИНА, 2 («КНИГА —ПОЧТОЙ»);
192104 ЛЕНИНГРАД, Д-120, ЛИТЕЙНЫЙ ПРОСПЕКТ, 57;
199164 ЛЕНИНГРАД, ТАМОЖЕННЫЙ ПЕР., 2;
196034 ЛЕНИНГРАД, В/О, 9 ЛИНИЯ, 16;
220012 МИНСК, ЛЕНИНСКИЙ ПРО-
СПЕКТ, 72	(«КНИ ГА — ПОЧ-
ТОЙ»);
103009 МОСКВА, УЛ. ГОРЬКОГО, 8;
117312 МОСКВА, УЛ. ВАВИЛОВА, 55/7;
630076 НОВОСИБИРСК, КРАСНЫЙ ПРОСПЕКТ, 51;
630090 НОВОСИБИРСК, АКАДЕМГОРОДОК, МОРСКОЙ ПРОСПЕКТ, 22 («КНИГА — ПОЧТОЙ»);
142292 ПУЩИНО МОСКОВСКОЙ ОБЛ., МР «В», I;
620151 СВЕРДЛОВСК, УЛ. МАМИНА-СИБИРЯКА, 137 («КНИГА — ПОЧТОЙ»);
700029 ТАШКЕНТ, УЛ. ЛЕНИНА, 73;
700100 ТАШКЕНТ, УЛ. ШОТА РУСТАВЕЛИ, 43;
700187 ТАШКЕНТ, УЛ. ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 6 («КНИГА — ПОЧТОЙ»);
634050 ТОМСК, НАБ. РЕКИ УШАЙКИ, 18;
450059 УФА, УЛ. Р. ЗОРГЕ, 10 («КНИГА—ПОЧТОЙ»);
450025 УФА, УЛ. КОММУНИСТИЧЕСКАЯ, 49;
720001 ФРУНЗЕ, БУЛЬВАР ДЗЕРЖИНСКОГО, 42	(«КНИГА — ПОЧ-
ТОЙ»);
310078 ХАРЬКОВ, УЛ. ЧЕРНЫШЕВСКОГО, 87 («КНИГА —ПОЧТОЙ»)