AKADEMIE VĚD ČESKÉ REPUBLIKY
Recenzenti:
prof. RNDr. Lev Bukovský, DrSc.
prof. RNDr. Petr Hájek, DrSc.
Vydání této publikace podpořily
Akademie věd České republiky
firma Hewlett Packard, spol. s r. o.,
a Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy
České republiky, MSM 11 00 00 00 1

TEORIE
MNOŽIN
BOHUSLAV BALCAR
PETR ŠTĚPÁNEK
ACADEMIA

© Bohuslav Baleár, Petr Štěpánek, 1986 (1. vyd.)
© Bohuslav Baleár, Petr Štěpánek, 2000 (2. opravené a rozšířené vyd.)
ISBN 80-200-0470-X (2. vyd.)

Marii a Olze

Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor.
David Hilbert
Aktuální nekonečno neexistuje \ Cantor a jeho následovníci na to zapomněli
a dostali se do rozporů.
Henri Poincaré

Předmluva
Teorie množin má dnes v matematice své pevné místo. Získala je v prvním, dnes
už klasickém období, které vyvrcholilo ve třicátých letech. Mnohem méně je známo,
že zhruba od konce padesátých let začalo nové, stejně plodné období teorie množin.
V této knize chceme představit teorii množin jako živou disciplínu, která úzce
souvisí s dalšími obory současné matematiky. Kniha je určena studentům
matematiky a odborníkům, kteří se zajímají o použití teorie množin ve svém oboru.
Výklad se soustřeďuje na teorii množin s axiomem výběru, jejíž výsledky dnes
nacházejí nejširší použití v matematice. Klasické výsledky jsou podány ze současného
pohledu. Z velkého množství nových výsledků jsme vybírali tak, abychom předvedli
hlavní typy metod, které se dnes používají v teorii množin. Kde to bylo možné,
sledovali jsme vývoj až do současnosti.
Problematikou teorie množin se soustavně zabýval seminář, který v roce 1963
založil P. Vopěnka. Dvě desetiletí, která uplynula od vzniku semináře, byla jedním
z podnětů napsání této knihy.
K jejímu obsahu se vyjadřovali naši spolupracovníci P. Simon, J. Pelant, M. Hušek,
J. Nešetřil, J. Tůma a J. Fried, se kterými jsme často diskutovali o výběru materiálu
a jeho podání. Jsme také zavázáni K. Čudovi, P. Kaláškovi, J. Mlčkovi, Z. Rencovi
a P. Vojtášovi, jejichž připomínky přispěly ke zlepšení textu. Povzbuzením při psaní
knihy byly pro nás zájem a podpora docenta P. Vopěnky a profesora J. Kurzweila.
Za cenné rady vděčíme vědeckému redaktorovi a recenzentovi. Rádi bychom po-
dčko\ali paní J. Fraňkové za ochotu a trpělivost při přípravě rukopisu a paní
E. Brunhoíěrové, která nakreslila obrázky. Za sestavení rejstříku děkujeme J. Mens-
dorffovi a P. Štěpánově.
Autoři
Praha, červen 1984

Předmluva ke druhému vydání
Předkládáme čtenáři opravené a doplněné vydání Teorie množin. Opravili jsme
chyby, které se vloudily do prvního vydání, a doplnili jsme text o dva dodatky
věnované novým výsledkům v nekonečné kombinatorice a kardinální aritmetice,
které vznikly převážně v době od prvního vydání knihy. Doplnili jsme také citace
na novější literaturu. Rádi bychom poděkovali doc. RNDr. Petru Šimonovi, DrSc,
za pomoc při přípravě druhého vydání.
Oba dodatky, stejně jako dodatek k seznamu literatury, byly vysázeny
počítačovou sazbou programem TgX.
Praha, prosinec 2000
Autoři

Obsah
Romance matematické analýzy a teorie množin 11
Kapitola I 27
§ 1 Jazyk teorie množin 28
§2 Axiomy teorie množin 35
§3 Třídy 45
§4 Relace, zobrazení 50
§5 Vlastnosti relací, uspořádání a rozklady množin 64
§6 Konečné množiny, přirozená čísla a spočetné množiny 81
§7 Axiom výběru a princip maximality 101
§8 Filtry. Ultrafiltry. Princip kompaktnosti 112
Kapitola II 135
§1 Ordinální čísla 135
§2 Konstrukce transfinitní rekurzí 144
§3 Ordinální aritmetika 151
§4 Kardinální čísla 165
§5 Kardinální aritmetika 176
§6 Fundované relace a axiom fundovanosti 188
§7 Konstruovatelné množiny 200
KapitolalII 209
§1 Kombinatorické vlastnosti množin 209
§2 Stacionární množiny 228
§3 Stromy a lineární uspořádání 249
§4 Ramseyova věta a rozklady 275
§5 Velké kardinály 310
Kapitola IV 323
§1 Booleovské operace 323

§2 Strukturální vlastnosti Booleových algeber 339
§3 Generická rozšíření modelů teorie množin 360
Dodatek 1 Nekonečná kombinatorika modulo Fréchetuv ideál 389
Dodatek 2 Mocniny singulárních kardinálů 419
Literatura 437
Dodatek k seznamu literatury 445
Seznam symbolů 447
Rejstřík 453
.0

Romance matematické analýzy a teorie množin
S rozvojem novověké vědy začíná matematika studovat stále širší třídu objektů.
Vedle tradičních pojmů aritmetiky a geometrie, jako jsou přirozená, racionální
a reálná čísla, body, přímky, roviny a kuželosečky, začíná pracovat i s novými pojmy.
Z nich zejména pojmy proměnná veličina, relace a funkce rozhodujícím způsobem
ovlivnily její vývoj. Přitom se postupně rozšiřoval i samotný obsah těchto pojmů:
vedle původně jednoduchých předpisů pro funkce, jako jsou y — xn nebo y = sin x,
kterým odpovídá názorné grafické zobrazení, byly později pod pojem funkce
zahrnuty i předpisy dané mocninnými nebo trigonometrickými řadami, pro které
vhodné znázornění nelze vůbec sestrojit — například funkce, které v žádném bodě
nemají derivaci.
I když je mezi uvedenými příklady veliký rozdíl, jedno mají společné: funkce je
dána jediným předpisem. Dalším krokem ke zobecnění pojmu funkce byla možnost
definovat funkci po částech pomocí několika předpisů pro různé hodnoty
proměnných. Jednoduchým příkladem takové definice je funkce signum, definovaná
í 1, je-li x > 0,
sgn (x) = | 0 , je-li x = 0 ,
( - 1 , je-li x < 0 .
Tato funkce je příliš všední na to, abychom si uvědomili rozdíl, který je mezi
původní definicí funkce jedním předpisem a definicí po částech. Lépe nám poslouží
takzvaná Dirichletova funkce, která přiřazuje hodnotu jedna každému racionálnímu
číslu a hodnotu nula každému iracionálnímu číslu, tedy
f 1 , je-li x racionální,
d(x) = < . t. . tt ,
(0, je-li x iracionální.
Je-li dáno nějaké reálné číslo x, vůbec nemusí být jasné, podle kterého předpisu
máme určit hodnotu d(x). Princip definice po částech je doveden do důsledku v
soudobé definici zobrazení: Funkce / (zobrazení) je množina uspořádaných dvojic
<x, y), která splňuje tuto podmínku jednoznačnosti: Ke každému x existuje
nejvýše jedno y takové, že dvojice <x, y> je prvkem/. Každou uspořádanou dvojici,
11

která je prvkem f] můžeme chápat jako předpis přiřazující funkční hodnotu
jednomu argumentu.
Je nepochybné, že matematická analýza měla ve vývoji moderní matematiky
velmi důležitou roli. Ale ještě v první polovině devatenáctého století se opírala o
„názorné" geometrické představy o reálných číslech. Korektní teorie reálných čísel
neexistovala. Přitom se studovaly stále složitější části reálné přímky (obory spojitosti,
obory konvergence posloupností funkcí). Z hlediska pozdějšího vývoje zbývalo již
jen „rozbít" reálnou přímku na univerzum reálných čísel a pracovat se soubory
jeho prvků - s množinami reálných čísel. Takový krok by později zahrnul i
vytvoření nové teorie reálných čísel, jejíž potřeba byla pociťována. Přibývalo těch, kteří
se nechtěli smířit se skutečností, že tehdejší důkazy základních vět analýzy se
odvolávají na geometrickou názornost.
První vážný pokus v tomto směru podnikl Bernard Bolzano (1781-1848), který
zavedl pojem množiny a zevrubně prozkoumal vlastnosti nekonečných množin.
Problém nekonečna jako „aktuální" a absolutní velikosti se objevil v raném stadiu
katolické teologie a filozofie u Augustina a Tomáše Akvinského. Ve filozofii se
problémem nekonečna zabývali Aristoteles, Lukrecius, Descartes, Spinoza, Leibnitz,
Locke, Kant a další. Někteří byli ochotni přijmout nekonečno jako aktuální entitu,
jiní je horlivě zamítali.
V matematice Bolzanovy doby se však nekonečno objevovalo jen ve své
„potenciální" podobě. Byla to reakce na volné používání „nekonečně velkých" a „nekonečně
malých" veličin, které v počátcích infinitezimálního počtu vedlo i k odvození
některých nesprávných tvrzení. Skutečnost, že se nepodařilo formulovat korektní
pravidla pro „nekonečně velké" a „nekonečně malé" veličiny, způsobila, že tato forma
nekonečna byla z analýzy vyloučena. K. F. Gauss (1777-1855) píše v jednom z
dopisů: „Nekonečno nelze v matematice použít jako něco definitivního, je to jen
způsob vyjádření, který označuje jistou hranici, k níž se mohou některé veličiny
libovolně blížit, pokud jiné veličiny rostou neomezeně."
Nekonečné množiny však nelze vtěsnat do takto vymezeného rámce, protože
představují jinou, „aktuální" podobu nekonečna. Snad proto se Bolzano ve své knize
Paradoxy nekonečna omezil jen na shrnutí výsledků o paradoxních vlastnostech
nekonečných množin (některých si povšiml již Galileo Galilei (1564-1642)), aniž by
vytvořil ucelenou teorii nekonečných množin. Bolzano psal svou knihu na samém
sklonku života a kniha byla vydána až roku 1851, po Bolzanově smrti, jedním z jeho
žáků. Výzkumy ze dvacátých let našeho století ukázaly, že vydavatel provedl o své
újmě zásahy do Bolzanova rukopisu, aby odstranil jeho „nedostatky". Dnes nelze
s určitostí říci, že se definitivní podoba shoduje s Bolzanovým záměrem. Nikdo
z Bolzanových žáků na jeho výsledky nenavázal. Až v roce 1873 se podobnými
problémy začal zabývat Georg Cantor (1845-1918).
Mezitím v šedesátých letech minulého století byla zásluhou K. Weierstrasse
(1815-1897), G. Cantora a H. C. Méraye (1835-1911) vybudována aritmetická
teorie iracionálních a reálných čísel. Nová teorie se již neopírala o názorné geo-
12

Romance
metrické představy a k jejímu rozvinutí postačila všeobecně přijímaná potencionální
forma nekonečna. Analýza vsak již byla blízko okamžiku, kdy bylo nutné pracovat
s nekonečnými soubory reálných čísel..
Aktuální nekonečno zavedl do matematiky se vsí důsledností G. Cantor, když
v letech 1873-1897 publikoval sérii prací, ve kterých soustavně rozvinul matematické
prostředky ke studiu nekonečných množin. Stal se zakladatelem nové
matematické disciplíny — teorie množin. Cantor původně vyšel od problémů teorie reálných
funkcí. Zabýval se reprezentací funkcí trigonometrickými řadami a problém
jednoznačnosti takové reprezentace ho přivedl k otázce, zda má funkce konečný nebo
nekonečný počet singulárních bodů. Zkoumal vzájemně jednoznačná zobrazení
mezi množinami a v jedné z prvních prací si položil otázku, zda je možné vzájemně
jednoznačně zobrazit množinu přirozených čísel na množinu reálných čísel. Ukázal,
že takové zobrazení neexistuje. Nekonečné množiny se tedy rozpadají do dvou tříd,
na spočetné a nespočetné, podle toho, zda existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
množiny přirozených čísel na danou množinu či ne. Množina všech přirozených
čísel je spočetná a množina všech reálných čísel je nespočetná. To je velmi zajímavý
a nečekaný výsledek. Pozornost si zasluhuje i takzvaná diagonální metoda důkazu,
která je v mnoha obměnách používána v teorii množin, v logice i jinde.
Diagonální metodou ukážeme, že hodnoty žádného zobrazení množiny
přirozených čísel nemohou vyčerpat všechna reálná čísla. Stačí, když stejné tvrzení
dokážeme pro interval (0, l) všech reálných čísel x, 0 < x < 1. Využijeme fakt, že každé
takové číslo lze jediným způsobem vyjádřit pomocí nekonečného desítkového
rozvoje ve tvaru
0,c0clc2...cncn+l...,
kde pro každé přirozené číslo n je cn některá z číslic 0, 1, 2,...,9. Má-li nějaké číslo
i konečný rozvoj — například \ lze vyjádřit jako 0,5 — uvažujeme odpovídající
nekonečný rozvoj, pro -f je to 0,499 999 .... Je-li dáno nějaké zobrazení množiny všech
přirozených čísel do intervalu (0, l), jehož hodnoty tvoří posloupnost
(1) ao,^,^,...,^,^^,...,
pak desítkové rozvoje jejích členů lze vyjádřit následujícím způsobem:
(2) aQ = 0,coo c0l c02 c03 ...,
\
Cl\ = U,C10 Cl l Cl2 C13 ... ,
a2 = 0,c20 c21 c22 c23 ...,
a3 == 0,c30 c31 c32 c33 ...,
Nyní sestrojíme reálnéičíslo z intervalu (0, l), které je různé od všech členů
posloupnosti (l). Hledané Číslo má nekonečný desítkový rozvoj tvaru
13

d = 0,dOdld2CÍ3---dndn+\--^
jehož M-tá cifra dn je dána předpisem
fl , je-ii c- # 1 ,
(3) d- = k Ucl^i!
Číslo d je různé od každého an, protože desítkové rozvoje obou čísel se liší v ji-té
cifře. Podle (3) je dn 4= cnn. Ukázali jsme, že neexistuje zobrazení množiny
přirozených čísel na interval (0, 1), a tedy ani na množinu všech reálných čísel. Množina
všech reálných čísel a interval (0, 1) jsou nespočetné množiny. Úloha, jakou hrály
diagonální prvky cnn ve schématu (2) při definici čísla d, vysvětluje přívlastek
„diagonální", kterým je tato metoda označována.
Cantor zkoumal vlastnosti nekonečných množin a význam své teorie doložil
originálním příspěvkem k problému transcendentních čísel. Jde o reálná čísla, která
nejsou řešením žádné rovnice
(4) a0xT + axy?~l 4- ... + an_{x + an = 0,
kde
(5) a0,aua2,...,an
jsou celá čísla a a0 4= 0. Reálná čísla, která jsou řešením nějaké rovnice tvaru (4),
se nazývají algebraická. Ještě v polovině minulého století nebylo známo jediné
transcendentní číslo. Teprve v roce 1851 popsal J. Liouville (1809-1882) konstrukci,
jak transcendentní Čísla sestrojit. Obtížnost důkazu vzbuzovala dojem, že
transcendentní čísla jsou mezi reálnými čísly výjimkou. V roce 1874 Cantor ukázal, že
transcendentních čísel je v jistém smyslu více než algebraických, aniž by nějaké
další transcendentní číslo sestrojil. To vyvolalo velké překvapení.
Naznačme krátce hlavní body jeho důkazu. Každá rovnice (4) je jednoznačně
určena konečnou posloupností celých čísel (5). Cantor ukázal, že množina všech
konečných posloupností celých čísel je spočetná. Vzhledem k tomu, že každá
rovnice (4) má jen konečně mnoho kořenů, lze ukázat, že všechna algebraická čísla tvoří
jednu spočetnou množinu. Čtenář sám nahlédne, že nespočetnou množinu nelze
rozložit na dvě spočetné nebo konečné množiny. Množina všech čísel, která nejsou
algebraická, to jest množina všech transcendentních čísel, musí být nespočetná,
protože množina všech reálných čísel je nespočetná. Neobvyklá metoda důkazu
byla některými přijímána s rezervou a bylo i mnoho těch, kteří ji odmítali.
Další podrobné zkoumání vzájemně jednoznačných zobrazení vedlo k definici
pojmu mohutnost množiny a kardinální číslo. Říkáme, že dvě množiny mají
stejnou mohutnost, jestliže existuje vzájemně jednoznačné zobrazení jedné množiny
na druhou. Cantor definoval abstrakcí kardinální číslo jako vlastnost, která je
společná všem prvkům nějaké třídy množin, z nichž každé dvě lze na sebe vzájemně
jednoznačně zobrazit. Tuto vlastnost nazval mohutnost. Později ukázal, že ke každé
14

Romance
nekonečné množině existuje množina větší mohutnosti. Tím došel k překvapivému
výsledku, že škála nekonečných mohutností je nekonečná a není shora omezena.
Vzhledem k tomu, že přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných množin,
kardinální čísla lze chápat jako rozšíření přirozených čísel: kardinální čísla
vyjadřují „počet prvků" — mohutnost — nekonečných i konečných množin. Jiným
zobecněním přirozených čísel jsou ordinální čísla. Od vlastností, které má uspořádání
přirozených čísel podle velikosti, dospěl Cantor k pojmu dobré uspořádání a
abstrakcí zavedl ordinální čísla jako typy dobře uspořádaných množin. Podrobně také
vyšetřoval vlastnosti množin reálných čísel.
Když vyjasnil vztah mezi mohutností množiny všech algebraických reálných čísel
a množiny všech reálných čísel, položil si Cantor otázku, zda je možné vzájemně
jednoznačně zobrazit rovinu na přímku, případně čtverec na úsečku. Při použití
kartézských souřadnic jde vlastně o problém, zda je možné vzájemně jednoznačně
zobrazit množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel na množinu všech
reálných čísel, případně zda je možné vzájemně jednoznačně zobrazit množinu všech
uspořádaných dvojic čísel z nějakého intervalu na množinu všech čísel z téhož
intervalu. Vzájemně jednoznačná zobrazení budeme krátce nazývat prostá
zobrazení.
O svém problému Cantor napsal R. Dedekindovi (1831-1916), který měl po ruce
pohotovou odpověď: takové zobrazení neexistuje, protože „je zřejmé, že dvě
nezávisle proměnné veličiny nelze převést na jedinou44. V té době byl běžně přijímán
předpoklad, že mezi geometrickými útvary různých dimenzí neexistuje vzájemně
jednoznačné zobrazení. Tuto „samozřejmost" se Cantor snažil dokázat, ale bez
úspěchu. Nakonec dokázal, že existuje prosté zobrazení čtverce na úsečku. Jeho
první důkaz byl jednoduchý, ale neúplný.
Označme D interval [0, l] všech reálných čísel x, 0 < x < 1 a D x Q množinu
všech uspořádaných dvojic čísel z intervalu 0. Již víme, že s výjimkou nuly má každé
číslo z intervalu II jednoznačně určený nekonečný desetinný rozvoj. Jsou-li čí, b
dvě čísla z intervalu O a
(6) a = 0,ala2a^...,
b = 0,bíb2bi...
jsou jejich nekonečné rozvoje, uspořádané dvojici <a, b} přiřadíme číslo c tvaru
c = 0,albla2b2...anbn...
Zřejmě O < c < 1 a z čísla c lze určit obě čísla a, b. Definovali jsme prosté
zobrazení čtverce 0 x I) do intervalu D. Teprve Dedekind si povšiml, že hodnoty zobrazení
nevyčerpají celý interval O. Uvažoval číslo c tvaru
c = 0,a1la2^a30a40...an0...,
15

které má na sudých místech za desetinnou tečkou od šestého místa počínaje samé
nuly. Podle definice zobrazení by číslu c odpovídala dvojice (a,b), kde číslo
b = 0,730 000...
není v požadovaném tvaru. Přitom nekonečný desetinný ro7voj čísla b
neodpovídá Číslu c. Jinými slovy, c není přiřazeno žádné dvojici z 0x0. Je zřejmé,
že v intervalu 0 je takových čísel nekonečně mnoho. V odpovědi Dedekindovi Cantor
sestrojil jiné - už ne tak jednoduché - prosté zobrazení čtverce 0 x 0 na 0. Po-
užijeme-li Cantorovy a Bernsteinovy věty, která byla dokázána až o deset let později,
dokážeme existenci prostého zobrazení 0x0 do 0 a není těžké sestrojit prosté
zobrazení 0 do 1 x 1. Podle citované věty pak existuje vzájemně jednoznačné
zobrazení I x 1 na i. Dimenze tedy není invariantní vzhledem ke všem prostým
zobrazením.
Cantor si uvědomil, že tento výsledek je vážnou výhradou proti tehdejšímu pojetí
dimenze. V řadě dopisů mezi ním a Dedekindem postupně vykrystalizoval problém
invariantnosti dimenze. Šlo o to dokázat, že dimenze je invariantní vzhledem k jistým
spojitým zobrazením. Cantor publikoval své výsledky v roce 1878 a v krátké době
se pokusilo několik matematiků invariantnost dimenze dokázat. Ukázalo se, že je
to velmi obtížný problém. Do konce devadesátých let byly podány uspokojivé
důkazy invariantnosti dimenzí vzhledem ke spojitým a prostým zobrazením jen pro
dimenze menší než čtyři. Žádný důkaz však nedával vyhlídky na obecné řešení
problému.
\.r\ r\.i
-2-1012
Obr 0 I
V roce 1890 ukázal Giuseppe Peano (1858-1932), že samotná spojitost zobrazení
k invariantnosti dimenze nestačí. Sestrojil spojité zobrazení intervalu 0 na čtverec
0 x 0. Místo původní Peanovy konstrukce popíšeme jinou, jednodušší. Jde o to
sestrojit dvě spojité funkce x(ř), y(t) na intervalu 0 tak, aby uspořádané dvojice
(x(í), y(f)> pro ř e fl vyplnily čtverec 0 x 0. Nejprve definujeme pomocnou reálnou
funkci /. Její hodnoty v intervalu O jsou dány předpisem
( 0 pro 0 < a < j,
f(u) = j 3t/ - 1 pro 3 < w < § ,
i 1 pro § < u < 1
16

Romance
a ostatní hodnoty f(u) definujeme tak, aby / byla sudá periodická funkce s
periodou 2. To znamená, že pro číslo u, - 1 < u < 0 je f(u) dáno vztahem f(u) = f(-u)
a ostatní hodnoty jsou dány periodicitou funkce. Grafem funkce /je lomená čára
na obr. 0.1. Funkce /je spojitá a pro každé u platí 0 < f(u) < 1.
Pro libovolné t z intervalu II definujeme
Není těžké dokázat, že x(t\ y(t) jsou spojité funkce s hodnotami v 0. Jsou-li a, b
libovolná čísla z 11 a (6) jsou jejich vyjádření ve dvojkové soustavě, dá se ukázat, že
existuje číslo t v intervalu II takové, že
(7) «.=/(32"t),
ť„=/(32"+1í)
platí pro každé přirozené n. To znamená, že t je vzorem dvojice <a, 6> a že popsané
zobrazení spojitě zobrazuje interval 0 na čtverec 11 x i. Sestrojené zobrazení není
prosté, dvěma různým dvojkovým rozvojům téhož čísla, například
0,100...,
0,011...,
odpovídají podle (7) dva různé vzory t a mohou existovat i další, protože k odvození
vztahů (7) se používají jen intervaly, kde funkce / nabývá hodnot nula nebo jedna.
Není těžké dokázat, že žádné spojité zobrazení intervalu 0 na čtverec 0 x D nemůže
být prosté. Podobným způsobem lze sestrojit zobrazení reálné přímky U na
rovinu IR x IR.
Peanovo zobrazení odpovídá definici křivky, kterou několik let předtím vyslovil
Camille Jordán (1838-1922), když studoval možnosti zobecnění známé Cauchyho
věty o funkcích komplexní proměnné. Jordán tenkrát dokazoval jiné „samozřejmé"
tvrzení, že jednoduchá uzavřená křivka v rovině, tedy křivka podobná kružnici,
rozděluje rovinu na dvě souvislé části, na vnější a vnitřní. Matematicky zcela přesný
důkaz tohoto tvrzení, známého dnes jako Jordánova věta, byl podán až později.
Po Peanově objevu se zdálo, že je setřen rozdíl mezi křivkou a plochou, plochou
a tělesem. Kdo by považoval Čtverec za křivku!
Řešení problému dimenze přinesla topologie, která se koncem století vydělila
jako samostatná matematická disciplína z analýzy a geometrie. Její vývoj byl velmi
významně ovlivňován množinovým přístupem, zejména teorií bodových množin
— jak se tehdy říkalo studiu množin reálných čísel a množin bodů v obecných
euklidovských a metrických prostorech. Některé pojmy množinové topologie, mezi nimi
17

pojem uzavřená množina, řídká a perfektní množina, byly zavedeny Cantorem.
Klasickým příkladem řídké a perfektní množiny reálných čísel je Cantorovo diskon-
tinuum. Setkáme se s ním později ještě v jiných souvislostech. Topologie nabídla
nové prostředky pro detailní studium funkcí a matematická analýza z nich dovedla
pohotově těžit. Vývoj teorie reálných a komplexních funkcí se zrychlil v období po
zveřejnění hlavních Cantorových prací. Jen o málo později se prosazuje množinový
přístup i k některým základním otázkám geometrie. Do druhého vydání svého
Kursu analysy v roce 1893 zařadil Jordán vedle nového důkazu své věty o
uzavřených křivkách i samostatný oddíl o Cantorově teorii množin. Obecný důkaz in-
variantnosti dimenze podal L. E. J. Brouwer (1881-1966) až v roce 1910. Dnes je
teorie dimenze součástí topologie stejně jako topologická teorie křivek.
Ačkoliv byly dokázány obecné věty o množinách, samotný pojem množina byl
používán jen intuitivně nebo, v lepším případě, byl odvozován od filozofických pojmů
třída nebo totalita. Svědčí o tom i toto Cantorovo vymezení: „Množinou rozumíme
každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo
myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku „M".
Pojem množiny je zde opsán pomocí slov „souhrn" a „celek", která sama nejsou
o nic jasnější. Přesněji jsou popsány vlastnosti prvků množiny. Jsou navzájem
„různé", to znamená, že žádný objekt nemůže být opakovaně prvkem téže množiny.
Prvky množiny mají být „určité", to znamená, že má-li být dána nějaká množina,
předpokládá to, aby pro každý objekt bylo možné určit, zda je či není jejím prvkem.
V jednotlivých případech může být takové určení velmi obtížné, například o
některých reálných číslech není dosud známo, zda jsou transcendentní či algebraická.
Předpokládá se, že takové určení je možné alespoň v principu.
Je už jasné, že takové vymezení pojmu množiny není definice v pravém smyslu.
Jde spíše o intuitivní vyjádření toho, co by množiny měly být. I tak se nový pojem
stal východiskem k rozvinutí teorie množin a spolu s jejími účinnými metodami
rychle pronikal do mnoha odvětví matematiky. Ještě před koncem století poukázal
A. Hurwitz (1859-1919) v jedné z hlavních přednášek na I. mezinárodním
matematickém kongresu v Curychu (1897) na význam teorie množin a z ní odvozených metod
topologie pro teorii reálných a komplexních funkcí.
O tři roky později na II. mezinárodním matematickém kongresu v Paříži
konstatuje H. Poincaré (1854—1912): „... v analýze zůstávají jen přirozená čísla a konečné
nebo nekonečné soubory přirozených čísel... Můžeme dnes říci, že již bylo dosaženo
absolutní přesnosti". Tento optimistický názor předpokládal, že absolutní přesnosti
bylo dosaženo i v teorii „nekonečných souborů přirozených čísel", tedy v teorii
množin. Brzy se melo ukázat, že takový předpoklad nebyl oprávněný.
V teorii množin se objevily rozpory — antinomie, pro které nebylo uspokojivé
řešení. Nejprve jen v pokročilých partiích, týkajících se ordinálních a kardinálních
čísel. Cantor a nezávisle C. Burali-Forti (1861-1931) ukázali, že „množina" všech
ordinálních čísel je dobře uspořádaná. Typem jejího uspořádání by mělo být také
ordinální číslo, ale větší než všechna ordinální čísla. Tento výsledek publikoval
18

Romance
Burali-Forti v roce 1897. O dva roky později narazil Cantor na jiný rozpor, týkající
se mohutnosti „množiny" všech množin. Ukázal, že pro libovolnou množinu m
množina &(m) všech podmnožin množiny m má větší mohutnost než m. Uvažujeme-li
množinu U všech mnnožin, potom množina &(U) by měla mít větší mohutnost
než IM
Celá věc se zpočátku nebrala moc vážně. Svědčí o tom i použité terminologické
odstíny. I když každý z uvedených výsledků je sporem v teorii množin, vžily se pro
ně názvy paradox Burali-Fortiho a paradox Cantorův. Zřejmě se předpokládalo,
že paradoxy budou odstraněny zpřesněním důkazů některých vět o ordinálních
a kardinálních číslech.
Důvěrou v teorii množin otřásl až ;v roce 1902 Bertrand Russell (1872-1970),
když nalezl spor v teorii množin pomocí jejích nejelementárnějších prostředků.
Jádro sporu, který byl nazván Russellův paradox, je v následující úvaze: je-li soubor
všech objektů, které mají určitou vlastnost, množina, uvažujme množinu všech
množin, které nejsou obsaženy samy v sobě jako prvek. Pro větší názornost vyjádříme
takovou množinu zápisem
x = {y.yty},
kde výraz y <£ y chápeme jako formální zápis výroku „množina y není prvkem
množiny y" a závorku {y:...} chápeme jako označení množiny všech y, které mají
vlastnost „...". Nyní se můžeme ptát, je-li množina x sama svým prvkem či ne.
Rozebereme oba případy:
(a) Je-li x prvkem x (píšeme x e x), potom x musí mít vlastnost, která definuje
prvky množiny x. To znamená, že musí platit x 4 x. Tedy z x e x plyne x £ x.
(b) Není-li x prvkem x, potom množina x má vlastnost x £ x, která určuje prvky
množiny x. To znamená, že musí platit x e x. Tedy z x£x plyne xex.
Rozborem obou případů jsme ukázali, že x e x platí, právě když x £ x. Existence
množiny x vyplývá z principů Cantorovy teorie množin, ale vede ke sporu.
Russellův paradox se dotkl základních principů, které byly jako intuitivně zřejmé
začleněny do Cantorova pojmu množiny. Tento nečekaný zvrat vedl mnoho
matematiků k přehodnocení názorů na teorii množin. Příkladem takového obrácení
se stal i H. Poincaré, nepochybně jedna z vedoucích postav matematiky té doby.
Sám nemálo přispěl k propagaci teorie množin a po Russellově objevu věnoval
problematice základů matematiky dvě studie. K úsilí Russella, Zermela a dalších,
směřujícímu k odstranění paradoxů, však přistupoval se skepsí a značnou dávkou
ironie.
Brzo po Russellově antinomii bylo publikováno několik dalších. Všimněme si
zejména jedné z nich, kterou publikoval J. Richard v roce 1905. Tak zvaný Richardův
paradox je významný především úzkým vztahem k diagonální metodě. Spočívá
v následující úvaze. Uvažujme všechna reálná čísla x, 0 < x < 1, která lze
jednoznačně definovat konečnou posloupností slov. Například „jedna polovina", „třetí
odmocnina ze dvou" a podobně. V teorii množin se dá ukázat, že tato množina je
19

spočetná, označme ji R. Její prvky lze seřadit do posloupnosti aQ, a{, a2,.. - a ke
každému an existuje jednoznačně určený nekonečný desetinný rozvoj (2). Nyní můžeme
definovat Číslo d touto posloupností slov: „d je reálné Číslo mezi nulou a jednotkou,
jehož rt-tá cifra za desetinnou čárkou je rovna jedné, pokud rc-tá cifra n-tého čísla
z množiny R je různá od jednotky, v opačném případě je n-tá cifra desetinného
rozvoje Čísla d rovna dvěma".
Stejným postupem, kterým jsme dokázali, že množina všech reálných čísel není
spočetná, se můžeme přesvědčit, že číslo d není prvkem množiny R, přestože bylo
definováno konečnou posloupností slov.
Řada matematiků právem chápala vzniklou situaci jako krizi nejenom teorie
množin, ale i samotných principů, ze kterých vychází matematika. S velikým úsilím
se věnovali kritickému zkoumání základních principů celé matematiky. Tento proud
přinesl nový rozvoj logiky a radikálně změnil představy o základech matematiky.
Pokud jde o samotnou teorii množin, G. Cantor nikdy nepřestal věřit, že se podaří
udržet podstatný obsah teorie v jejím původním intuitivním pojetí. Poukázal na to,
že při většině množinových úvah lze napřed určit rámcovou množinu tak, že celá
úvaha se provádí jen s jejími prvky, a z prvků takové množiny nelze sestrojit spor
podle žádné z antinomií. Intuitivní teorie množin není vhodná ke studiu základních
principů matematiky, ale postačí pro většinu běžných aplikací v algebře a analýze.
Používá se dodnes pod označením naivní teorie množin.
Některé z nových směrů revidovaly mnohem podstatněji nejenom teorii množin,
ale i matematickou logiku. Radikální stanovisko zaujal zejména Brouwer,
zakladatel směru, který se nazývá intuicionismus. Zcela vyloučil aktuální podobu
nekonečna a v logice trval na přísně finitním a konstruktivním charakteru všech důkazů.
Za těchto omezení ztrácejí smysl podstatné partie teorie množin i některé další části
moderní matematiky. Pokus o revizi teorie množin, podniknutý Russellem a White-
headem, vyústil v nový axiomatický systém matematické logiky — tak zvanou teorii
typů. Teorie množin, rozvinutá Russellem v rámci teorie typů, byla těžkopádná
a příliš se nevžila. Pozdější pokusy o odstranění strnulosti teorie typů pocházejí od
W. W. Quinea a jsou známy pod názvem New Foundations. Oba zmíněné směry —
intuicionismus i teorie typů — provádějí souběžně revizi intuitivních principů
teorie množin i revizi logiky. To ve své době nebylo nic překvapivého. Tak zvaná
klasická logika v Aristotelovské tradici neměla k paradoxům co říci a moderní
matematická logika se rozvíjela souběžně s teorií množin v pracech Gotloba Fregeho
(1848-1925), Peana a dalších.
Axiomatická metoda budování teorie množin, kterou se budeme dále podrobněji
zabývat, odstranila všechny známé paradoxy, aniž bylo třeba podstatně měnit
matematickou logiku, jak byla založena Fregem a Peanem. Axiomatická metoda byla
už ve starověku používána v geometrii. V minulém století prošla svou renesancí
opět v geometrii a dnes je používána v mnoha odvětvích matematiky. Brzo po Russel-
lově paradoxu publikoval E. Zermelo (1871-1956) axiomatický systém teorie
množin, který klade jistá omezení na pojmy intuitivní teorie množin, a to taková, že právě
20

Romance
nepřipouští spor podle žádné ze známých antinomií. Zermelova původní axiomatika
byla později doplněna A. A. Fraenkelem (1891-1965) o tak zvané schéma axiomů
nahrazení a Zermelo připojil ještě axiom fundovanosti. Ve znění z počátku třicátých
let se tato axiomatika stala nejrozšířenější podobou teorie množin. Vžil se pro ni
název Zermelova a Fraenkelova teorie množin (ZF). Ve dvacátých letech vzniká
odlišná axiomatika, která vychází od pojmu zobrazení místo od pojmu množina.
Navrhl ji A. A. Fraenkel a později ji doplnil a rozpracoval J. von Neumann
(1903-1957). Na některé myšlenky navázal ve třicátých letech P. J. Bernays
(1888-1977), který navrhl axiomatiku založenou na pojmu třída. Koncem třicátých
let dal tomuto systému rámcovou podobu K. Godel (1906-1978). Tím vznikl druhý
typ axiomatiky, který se nazývá Gódelova a Bernaysova teorie množin (GB) nebo
řidčeji von Neumannova, Bernaysova a Gódelova teorie množin. Oba systémy jsou
odlišné ve způsobu, kterým řeší problém antinomií, ale pokud jde o jejich obsažnost
— máme na mysli věty, které se dají dokázat o množinách - není mezi nimi rozdílu.
Lze říci, že obě axiomatiky představují dvě formy téže teorie, které se liší jen v meta-
matematice. Na jejich základě lze rozvinout teorii množin, která je dost silná, aby se
mohla stát základní teorií pro většinu matematických disciplín. Z dalších
axiomatických teorií množin nelze opomenout ještě Morseovu a Kelleyovu axiomatiku, která
je zesílením Gódelovy a Bernaysovy teorie množin. V této knize bude zevrubně
vyložena teorie množin na základě Zermelovy a Fraenkelovy axiomatiky, která
zachovává původní Cantorovu představu množiny jako souboru „předmětů" a
dotváří ji (a současně omezuje) dvojím způsobem. Nejprve předpokládá, že všechny
objekty této teorie jsou množiny. Jinými slovy, množiny jsou jediné „předměty",
které mohou být prvkem množin. Navíc předpokládá, že univerzum množin vzniká
postupně v jednotlivých krocích. V každém kroku je dána množina všech doposud
sestrojených množin a nové množiny vznikají jako její části, tedy jako prvky její
potence. Můžeme říci, že množinové univerzum vzniká iterováním operace potence.
Jak uvidíme později ve druhé kapitole, tato iterace probíhá podle dobrého uspořádání
třídy všech ordinálních čísel. Axiomy Zermelovy a Fraenkelovy teorie množin
zachycují podstatné rysy takového univerza. Motivaci a hlubší zdůvodnění
jednotlivých axiomů lze nalézt v práci J. R. Shoenfielda (1977).
Je však možné vytvořit i jiná „alternativní" univerza množin, která řeší vztah
mezi konečnými a nekonečnými soubory zcela odlišným způsobem. Taková
univerza nebudeme v této knize zkoumat pro jejich značně odlišnou strukturu a axio-
matizaci. Soustavně se jimi zabývá kniha P. Vopěnky (1979).
Postavení teorie množin v matematice. Na několika příkladech z prvního období
jsme ukázali, jak Cantorova teorie množin ovlivnila řešení závažných problémů
analýzy, geometrie a teorie čísel. Nepřekvapí nás to, připomeneme-li si, že ke svým
úvahám o množinách se původně Cantor dostal od problému reprezentace funkcí.
Teorie množin rychle pronikla do analýzy, zvlášť výrazně do teorie míry a teorie
funkcí, zásluhou R. Bairea (1874-1932), E. Borela (1871-1956), H. Lebesguea
21

(1875-1941) a F. Riesze (1880-1956). Významně ovlivnila nově vznikající topologii.
Připomeňme alespoň F. Hausdorffa (1868-1942), R. M. Frécheta (1878-1973),
N.N.Luzina(1883-1950),P.Urysohna(1898-1924)aP.S.Alexandrova(1896-1982).
S využitím topologických metod v analýze je spojen vznik funkcionální analýzy.
Bez teorie množin si nelze představit ani rozvoj moderní algebry. Její počátky
spojené s využíváním metod teorie množin najdeme v pracích R. Dedekinda a D. Hil-
berta (1862-1943) ještě v minulém století a první etapa rozvoje moderní algebry
vrcholí ve dvacátých letech výsledky E. Noetherové (1882-1935), E. Artina
(1898-1962), O. Schreiera (1901-1929) a dalších. Monografie B. L. van der Waerdena
již důsledně vychází ze stanoviska, že algebra je studium operací na množinách.
Poprvé vyšla v roce 1931 a do dnešních dnů byla publikována v mnoha překladech
a nových vydáních. Ve stejném duchu pokračoval vývoj i ve třicátých letech, vedle
operací s konečným počtem argumentů byly vyšetřovány i nekonečné operace
na svazech a v dalších strukturách. Vzniká takzvaná univerzální algebra, jejíž
základy položil G. BirkhoíT. Téměř souběžně rozpracoval A. I. Malcev (1909-1967)
teorii algebraických systémů, která zahrnuje univerzální algebru a má styčné body
s teorií modelů, která se rozvíjí jako část matematické logiky pod vlivem A. Tarského
(1901-1983) a jeho žáků.
Teorie množin se stala společným základem řady disciplín, které dnes tvoří
podstatnou část matematiky. Tento fakt nelze přeceňovat. Pro většinu matematiků nejde
o víc než o jazyk teorie množin a základní množinové konstrukce. Z hlubších
výsledků teorie množin se nejčastěji používá transfinitní indukce a některé důsledky
axiomu výběru známé jako principy maximality. To vše lze zajistit již v naivní teorii
množin, která až do nedávné doby mohla postačit pro potřeby většiny matematiků
— snad s výjimkou těch, kteří se specializovali v logice a teorii množin. Dnes je již
zřejmé, že speciální problémy řady matematických oborů kladou teorii množin
stejně jemné otázky jako výzkum samotné teorie množin.
Během desetiletí se v různých oborech matematiky nastřádalo množství problémů,
které měly nějaký vztah k teorii množin a které po léta odolávaly úsilí matematiků.
Připomeňme známý Suslinův problém (1920), který se týká charakteristických
vlastností uspořádání reálné přímky, nebo kombinatorickou Kurepovu hypotézu (1938),
která klade otázku, zda „úzké" stromy mohou mít mnoho větví. Oba problémy
podrobně rozebereme ve třetí kapitole. V teorii míry to byla Borelova domněnka
o tom, že každá množina reálných čísel, která má absolutně míru nula, je spočetná.
Zajímavý je i Blumbergův problém z teorie funkcí. Bíumberg (1922) dokázal, že
ke každé reálné funkci /definované na celé reálné přímce existuje hustá množina H
reálných čísel taková, že /je spojité zobrazení množiny H do IR. Uvědomme si, že již
zmíněná Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě reálné přímky, ale omezí-
me-li se na hustou množinu racionálních čísel, získáme přesto spojité zobrazení této
množiny do reálné přímky. Blumbergův problém, zda totéž platí i pro každý
kompaktní HausdoríTův prostor, byl negativně rozřešen teprve nedávno. Z algebry
22

Romance
uvecfme alespoň Whiteheadův problém z teorie komutativních grup. V teorii množin
to byl známý problém hypotézy kontinua (CH), který vyslovil Cantor již v roce 1878.
Jde o tvrzení:
(CH) Každou nekonečnou množinu reálných čísel lze vzájemně jednoznačně
zobrazit buď na množinu všech přirozených čísel, nebo na množinu všech
reálných čísel.
Cantor píše v dopise G. Mittag-Leflerovi (1846-1927), že doufá, že mu bude moci
poslat důkaz hypotézy kontinua do čtrnácti dnů. Problém zůstal dlouho otevřený
a D. Hilbert jej zařadil na první místo do seznamu svých třiadvaceti problémů,
které přednesl na druhém mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900.
Pracovalo na něm mnoho matematiků. Ve své autobiografii píše P. S. Alexandrov,
jak se z podnětu N. N. Lužina pokoušel hypotézu kontinua dokázat.
Vývoj teorie množin ani dalších disciplín nebyl zadržen tím, že se hypotézu
kontinua nepodařilo dokázat. Ta spíše stimulovala k dalšímu zkoumání. Hypotézu
kontinua můžeme chápat jako princip, který omezuje množiny reálných čísel. Má
navíc vztah k některým z uvedených problémů. Plyne z ní například neplatnost
Borelovy domněnky. Ve třicátých letech W. Sierpinski (1882-1969) zevrubnou
analýzou ukázal, že hypotéza kontinua je ekvivalentní mnoha zajímavým tvrzením.
Jedno takové tvrzení se týká zobrazení reálné přímky na rovinu. V roce 1980
navázal M. Morayne na Sierpinského výsledky a ukázal, že hypotéza kontinua je
ekvivalentní následujícímu tvrzení.
Existují reálné funkce x{t\ y(t) definované na množině R všech reálných
čísel takové, že uspořádané dvojice <x(f), >{r)>, r e U vyplní celou rovinu U x U
a v každém bodě t má alespoň jedna z funkcí x(t\ y(t) vlastní derivaci.
Lze ukázat, že pokud funkce x(t\ y(t) mají uvedené vlastnosti, žádná z nich není
prostá na IR. Srovnejme toto tvrzení s tím, co bylo řečeno o Peanově křivce.
Co může říci axiomatická teorie množin například k problému kontinua? Nejprve
si musí položit otázku, zda z jejích axiomů není možné dokázat cokoliv - to
znamená, zda jsou její axiomy bezesporné. Ukázalo se, že to není jednoduchá otázka.
Teorie množin byla koncipována jako „svět matematiky", a proto její axiomy
obsahují řadu silných existenčních tvrzení. Už to naznačuje, že důkaz bezespornosti
může být obtížný. V práci z roku 1908, ve které zavedl axiomy teorie množin,
E. Zermelo konstatoval, že umí dokázat jen to, že jeho axiomy vylučují každý
ze známých paradoxů, ale že se mu nepodařilo nalézt obecný důkaz bezespornosti.
Že to nebylo náhodou, ukazuje výsledek K. Godela z roku 1931, ze kterého vyplývá,
že důkaz bezespornosti axiomů teorie množin není možné provést v teorii množin.
Vzhledem k tomu, že teorie množin zahrnuje většinu postupů užívaných v
matematice, Gódelův výsledek nedává mnoho naděje pro důkaz bezespornosti teorie
množin. Proto nás nesmí překvapit opatrná formulace jeho výsledku o hypotéze
kontinua. K. Godei ukázal v roce 1938, že jsou-li axiomy teorie množin bezesporné,
pak přidáním hypotézy kontinua a axiomu výběru vznikne opět bezesporný systém
axiomů. Říkáme také, že hypotéza kontinua (axiom výběru) je bezesporná vzhledem
23

k axiomům teorie množin. Můžeme také říci, že pokud z axiomů teorie množin není
možné odvodit cokoliv, potom z nich nelze dokázat negaci hypotézy kontinua.
Při důkazu tohoto tvrzení Gódel sestrojil třídu „konstruovatelných" množin
uvnitř univerza všech množin. Ve třídě konstruovatelných množin platí všechny
axiomy teorie množin a navíc hypotéza kontinua i axiom výběru. Rozborem Góde-
lova důkazu je možné vydělit nový princip — axiom konstruovatelnosti, který platí
ve třídě všech konstruovatelných množin a implikuje hypotézu kontinua i axiom
výběru. Godelův výsledek ukazuje, že axiom konstruovatelnosti je bezesporný
vzhledem k axiomům teorie množin. Přirozeně vznikla otázka, zda je axiom
konstruovatelnosti dokazatelný z axiomů teorie množin.
Teprve v roce 1963 P. J. Cohen ukázal, že jsou-li axiomy teorie množin bezesporné,
pak z nich nelze hypotézu kontinua (a přirozeně ani axiom konstruovatelnosti)
dokázat ani s použitím axiomu výběru. Cohen ukázal, že jsou-li axiomy teorie množin
bezesporné, pak přidáním negace hypotézy kontinua nebo negace axiomu výběru
vznikne bezesporný systém axiomů. Říkáme, že hypotéza kontinua je nezávislá na
axiomech teorie množin. Cohen dále ukázal, že axiom výběru je také nezávislý na
axiomech teorie množin.
Gódelovy a Cohenovy výsledky ukazují, že problém hypotézy kontinua nelze
rozhodnout na základě axiomů teorie množin. Jsou-li axiomy teorie množin
bezesporné, hypotézu kontinua z nich nelze ani dokázat, ani vyvrátit. Je tu jistá analogie
s problémem pátého Eukleidova postulátu o rovnoběžkách, který uzavřeli J. Bolyai
(1802-1860) a N. I. Lobačevskij (1792-1856). Pátý postulát nelze z ostatních axiomů
Eukleidovy geometrie ani dokázat, ani vyvrátit. Můžeme vytvořit různé geometrie,
přidáme-li pátý postulát nebo jiný axiom, ze kterého plyne negace pátého postulátu.
Podobně vytvoříme různá rozšíření teorie množin, přidáme-li k axiomům hypotézu
kontinua nebo nějaký jiný axiom, který ji neguje, například Borelovu domněnku
nebo Martinův axiom MAUi, o kterém se zmíníme ve čtvrté kapitole.
Je velkou zásluhou Cohenovou, že k důkazu nezávislosti hypotézy kontinua
vytvořil novou metodu, tak zvanou metodu forsingu (vynucení). Záhy se ukázalo, že
tato metoda může být dále rozpracována a použita k důkazům bezespornosti mnoha
dalších tvrzení. Tak lze ukázat, že kladné odpovědi ke všem problémům, o kterých
jsme se zmínili, s výjimkou Blumbergova, jsou bezesporné. Metoda forsingu byla
rozpracována nezávisle D. Scottem a R. Solovayem, R. Shoenfieldem a P. Vopěnkou
do metody, která se dnes používá ke konstrukci Booleovských modelů a generických
rozšíření modelů teorie množin, kterou popíšeme ve čtvrté kapitole.
Díky častému použití generických rozšíření modelů teorie množin je v současné
době známo několik desítek principů, které postulují určité vlastnosti univerza
množin a které jsou — podobně jako hypotéza kontinua — bezesporné vzhledem
k axiomům teorie množin a také jsou na nich nezávislé. Říkáme také, že jsou ne-
rozhodnutelné v teorii množin. Kterýkoli z nich je možno bezesporně přidat k
axiomům teorie množin, a tím vytvořit novou silnější axiomatiku, které říkáme rozšíření
teorie množin. Tuto skutečnost musíme brát v úvahu při řešení matematických
24

Romance
problémů v teorii množin. Nedaří-li se nám dokázat ani vyvrátit nějaké tvrzení
pomocí axiomů teorie množin, může to být i proto, že jde o tvrzení, které na základě
axiomů nelze rozhodnout. Pak je vhodné problém zkoumat v nějakém rozšíření
teorie množin. Dokážeme-li, že naše tvrzení je důsledkem nějakého principu, který
je sám bezesporný vzhledem k axiomům teorie množin, tvrzení je také bezesporné
vzhledem k axiomům. Je-li důsledkem takového principu negace našeho tvrzení,
tvrzení nelze dokázat z axiomů teorie množin. V této knize bude podána řada
podobných důkazů bezespornosti nebo nezávislosti a v odborné literatuře jsou dnes
běžné i mimo teorii množin.
Bezespornost anebo nezávislost nějakého tvrzení je možno dokázat i tím, že
sestrojíme vhodný model teorie množin. Konstrukce modelů teorie množin byla
donedávna výlučnou záležitostí specialistů v teorii množin. V současné době se stále
častěji používá i v dalších oborech matematiky.
Axiomatika teorie množin tak, jak se ustálila ve třicátých letech, nedává možnost
rozhodnout o mnoha problémech. Patrně nikdo z těch, kdo ji vytvářeli,
nepředpokládal, že navržená axiomatika bude úplná. Způsob, jakým Zermelo zdůvodňoval
své axiomy, naznačuje, že si byl vědom toho, že jím započatá analýza principů ještě
bude pokračovat. Výsledky posledních desetiletí vytvořily pestrou paletu možných
rozšíření teorie množin. Studium různých množinových principů, které jsou neroz-
hodnutelné na základě axiomů teorie množin a jejich vzájemných vztahů,
nepochybně přispěje k hlubšímu pochopení základních principů matematiky a může v
budoucnu vést k vytvoření nových teorií, které by zaujaly místo teorie množin.
Historický vývoj naznačuje, že strukturální bohatost v matematice se bude neustále
prohlubovat a že každá nová teorie povede k otázce, co je za jejími hranicemi.
25

KAPITOLA I
Osm paragrafů této kapitoly je úvodem do teorie množin, který má tři odlišné části.
První tři paragrafy se zabývají symbolickým jazykem a axiomy teorie množin. Jejich
trochu puntičkářský charakter může při prvním čtení odrazovat. Pro začátek však
stačí seznámit se s axiomy (§ 2) a k ostatnímu je možné se vrátit později. Výklad
pokračuje tím, čím by měl vlastně začínat, základními operacemi s množinami,
relacemi a zobrazeními (§ 4). V § 5 jsou podrobněji probírány vlastnosti relací
uspořádání a relací ekvivalence. Mac Neillova věta o minimálním rozšíření je
příkladem zajímavé algebraicky motivované konstrukce. Výklad o relacích uzavírá
srovnávání mohutnosti množin pomocí zobrazení a důležitá věta Cantorova a Bern-
steinova. Podrobněji se velikostí množin zabývá § 6. Začíná u konečných množin
a přirozených čísel a uvádí základní fakta o spočetných a nespočetných množinách.
Srovnává mohutnosti množin přirozených, celých, racionálních a reálných čísel.
Paragrafy 4-6 shrnují úvodní partie teorie množin. Poslední dva paragrafy
prohlubují předchozí výklad. Seznamují s axiomem výběru a jeho důsledky (§ 7) a
poslední paragraf ukazuje, jak novější pojmy teorie množin nacházejí rozmanité užití
v ostatních matematických oborech.
Každá kapitola je rozdělena do několika paragrafů a ty se dále dělí na číslované
odstavce. Tímto způsobem členění jsme chtěli usnadnit vyhledání potřebných
informací i těm, kdo nebudou knihu číst souvisle. V textu je zařazena řada příkladů.
Některé z nich se týkají i jiných oborů matematiky, většinou topologie, a jejich
pochopení může být vázáno na určité znalosti z daného oboru. Takové příklady je
možno vynechat, k pochopení dalšího výkladu nejsou nutné.
Na pojmy a výsledky uvedené v téže kapitole odkazujeme číslem odstavce, tedy
odkaz 5.2 se vztahuje ke druhému odstavci pátého paragrafu. Odkazy do jiné
kapitoly vždy začínají číslem kapitoly, tedy 1.2.12 je odkaz na odstavec 2.12 z první
kapitoly. Rejstřík a seznam symbolů jsou připojeny na konci knihy.
11

1
1 1
§ 1 Jazyk teorie množin
Axiomatická metoda má dlouhou tradici zejména v geometrii. Množiny však
představují jinou úroveň abstrakce než názorné pojmy elementární geometrie.
Nechtěně to dokládají četné sémantické paradoxy o množinách, které ukazují, že je
nezbytné co nejpřesněji vymezit jazyk teorie množin. Seznámíme se s jednoduchým
symbolickým jazykem, který používá axiomatická teorie množin. Popíšeme syntax
formulí, výrazů symbolického jazyka, které vyjadřují tvrzení a hypotézy o množinách.
Všimneme si rozdílu mezi volnými a vázanými proměnnými i způsobů, jak se
symbolický jazyk obohacuje.
1.1 Cantorova a axiomatická teorie množin. Axiomatizaci teorie vždy předchází
neformální popis nějaké oblasti zkušenosti nebo představ, který zhruba vymezuje její
předmět a používané metody. V našem případě je takovým popisem Cantorova teorie
množin, se kterou jsme se seznámili již v úvodu této knihy. Chceme-li nějakou teorii
axiomatizovat, nemusíme hned od počátku pracovat se všemi pojmy. Vybereme
jen ty nejjednodušší, ze kterých lze všechny ostatní pojmy definovat. To budou
základní pojmy axiomatické teorie. Všechna fakta, která o základních pojmech
budeme předpokládat, vyjádříme jako základní tvrzení — axiomy. Tím je dán
explicitní popis oboru, který studuje axiomatická teorie.
Srovnáme-li takový postup s Cantorovým pokusem vymezit pojem množiny,
vidíme, že axiomatická teorie množin na stejnou otázku odpovídá nepřímo, výčtem
vlastností univerza množin.
1.2 Jazyk a metajazyk. Axiomatická teorie se rozvíjí tím, že z axiomů odvozujeme
další tvrzení — věty. Přitom obohacujeme její jazyk o nové, složitější pojmy. Při
odvozování vět si nepočínáme libovolně, ale držíme se určitých pravidel, ať jsou
dána naším matematickým citem, nebo mají svůj původ ve hlubších znalostech
logiky. V tomto procesu má jazyk, kterým se vyjadřujeme (v našem případě
čeština), dvojí úlohu. Vyjadřujeme v něm definice a věty teorie, v této funkci jej
chápeme jako jazyk teorie. Stejným jazykem však mluvíme o definicích, o větách
a o teorii jako celku; můžeme říci „tato definice je příliš dlouhá", ,,takové tvrzení
nelze z axiomů dokázat" nebo ,,axiomy jsou nezávislé". V této funkci čeština
vystupuje jako metajazyk.
Ve většině matematických disciplín se živý jazyk používá v obou funkcích, aniž
by docházelo k nedorozuměním. Rada sémantických paradoxů založených na této
dvojí funkci jazyka však ukazuje, že v teorii množin je nutné obě jazykové hladiny
odlišovat. Připomeňme jen Richardův paradox citovaný v úvodu. Jeho jádrem je
jistá množina R „všech reálných čísel z intervalu (0, l), která lze definovat konečným
počtem slov". Povšimněme si, že definice množiny R spojuje obě hladiny jazyka: ta
její část, která určuje prvky množiny R tím, že „jsou definovány konečným počtem
slov", patří do metajazyka, protože mluví o definicích v jazyce teorie množin. Definici
28

1.3
Jazyk teorie množin
I
množiny R musíme odmítnout jako nekorektní, protože není vyjádřena v jazyce
teorie množin.
Nabízí se možnost vyloučit sémantické paradoxy tím, že v každé hladině
použijeme jiného jazyka. Pro základní pojmy teorie množin zavedeme speciální symboly
a tím vytvoříme základ formálního, symbolického jazyka, ve kterém budeme
formulovat definice a věty. Živý jazyk ponecháme ve funkci metajazyka, to znamená, že
jím budeme mluvit o větách teorie množin (tedy o slovech formálního jazyka),
o dokazatelnosti vět (tedy o posloupnostech slov formálního jazyka) a o teorii
množin jako celku. Těmito problémy, kterých jsme se zatím jenom dotkli a se kterými
se setkáváme v každé axiomatické teorii, se soustavně zabývá matematická logika.
Při výkladu logických pojmů se omezíme na minimum, které nám dovolí zavést
formální jazyk teorie množin a korektně s ním pracovat. Čtenář, který zatím logiku
nestudoval, může chápat formule — slova formálního jazyka — jako symbolický
zápis výpovědí o množinách. Může se vžít do doby, kdy se moderní matematická
logika a teorie množin rozvíjely souběžně. Dříve než popíšeme symboly formálního
jazyka teorie množin, podívejme se, jaké pojmy a obraty jimi chceme vyjadřovat.
13 Základní pojmy Zermeiovy a Fraenkelovy teorie množin jsou pojmy množina
a náležení. Podobně jako v jiných oblastech matematiky budeme také používat
pojem rovnost, který chápeme jako totožnost. Množiny jsou základní objekty teorie,
náležení a rovnost vyjadřují základní vztahy mezi množinami. Říkáme „množina x
je prvkem množiny y" nebo krátce „x je prvkem y" a „množina x se rovná množině y"
nebo krátce „x se rovná y". To jsou dva základní typy výpovědí teorie množin.
Složitější výpovědi vznikají ze základních nebo z již vytvořených výpovědí dvojím
způsobem: buď spojováním pomocí logických spojek, nebo kvantifikací, to znamená
připojením obratů „pro všechna ..." nebo „existuje ...". Úlohu obecných jmen
živého jazyka, jako jsou „množina" nebo „číslo", budou hrát symboly, které nazýváme
proměnné.
Pomocí logických spojek můžeme vyjádřit například tato tvrzení:
„x není prvkem y" (negace),
„x je prvkem y a x je prvkem z" [konjunkce),
„x je prvkem y nebo x je prvkem z" (disjunkce),
„je-li x prvkem y, potom x je prvkem z" (implikace),
„x je prvkem y, právě když x se rovná z" (ekvivalence).
Kvantifikováním vyjádříme tvrzení následujících tvarů:
„pro každé x platí ..." (obecná kvantifikace),
„existuje x, pro které platí ..." (existenčníkvantifikace),
kde x je proměnná a „..."je nějaké tvrzení teorie množin.
Předchozí rozbor ukazuje, že formální jazyk teorie množin by měl obsahovat
proměnné pro množiny, symboly vyjadřující vztahy náležení a rovnosti mezi
množinami, symboly pro logické spojky, symboly pro kvantifikátory a případně
další pomocné symboly (závorky), které slouží k lepšímu členění výrazů. Formální
29

jazyk teorie množin je speciálnim případem symbolického jazyka, kterým se zabývá
matematická logika. Ve shodě s terminologií logiky se symboly, které vyjadřuji
vztahy náležení a rovnosti, nazývaji predikátové symboly. Protože oba určují vztah
mezi dvěma množinami, říkáme, že jsou to binární predikátové symboly.
1.4 Jazyk teorie množin obsahuje následující symboly:
(i) proměnné pro množiny, kterých je neomezeně mnoho; značíme je zpravidla
malými písmeny a podle potřeby je indexujeme, například x, y, z, xlyx2,... jsou
symboly pro proměnné;
(ii) binární predikátový symbol = pro rovnost',
(iii) binární predikátový symbol e pro náležení;
(iv) symboly pro logické spojky ~i (negace), & (konjunkce). V (disjunkce),
—► (implikace), <-+ (ekvivalence);
(v) symboly pro kvantifikátory V (obecný kvantifikátor) a 3 (existenční
kvantifikátor);
(vi) pomocné symboly (různé druhy závorek).
Ze všech symbolů jazyka teorie množin je pro tuto teorii typický jen symbol e.
Ostatní symboly, mezi nimi také predikátový symbol =, se používají v jazycích
mnoha dalších teorií. Říkáme, že predikátový symbol e je speciálním symbolem
jazyka teorie množin a že ostatní symboly tohoto jazyka jsou logické symboly.
Ze symbolů formálního jazyka můžeme tvořit výrazy stejným způsobem, jako se
z abecedy tvoří slova českého jazyka. Tak jako živý jazyk má svou gramatiku
a všechny posloupnosti písmen nejsou nositeli významu, lze dát syntaktická
pravidla pro sestavování těch výrazů formálního jazyka, které mají přirozenou
interpretaci a vyjadřují tvrzení o množinách. Takové výrazy budeme nazývat formule.
Např. výraz xey čteme „množina x je prvkem množiny y", výraz x = y čteme
„množina x je rovna množině y'\ Takové formule nazýváme atomické. Všechny
ostatní formule se vytvářejí z atomických pomocí logických spojek a kvantifikací
proměnných. Přesná pravidla, podle kterých se formule vytvářejí, jsou obsahem
následující definice. Uvědomme si, že pojem formule — slova formálního jazyka —
je definován v metajazyce.
1.5 Formule, (i) Jsou-li x, y proměnné pro množiny, výrazy
[xey), (x = y)
jsou formule, které nazýváme atomické.
(ii) Jsou-li výrazy (p, y\i formule, potom výrazy icpy (cp & t//), (cp V i//), (cp —►(//),
((p «-» \j/) jsou formule.
(iii) Je-li x proměnná pro množiny a cp je formule, potom výrazy (Vx) <p, (3x) cp
jsou formule.
Každá formule vznikne konečným počtem užiti pravidel (i)-(iii).
Uvedená (meta)definice popisuje skládáni formulí z jednodušších výrazů, a tak
dává možnost se přesvědčit o kterémkoli výrazu, zda je či není formule.
30

1.7
Jazyk teorie množin
I
1.6 Příklady, (a) Výrazy xx, Vx)) nebo xeV nejsou formule,
(b) O tom, že výraz
(1) (lx)({xey)V(yex))
je formule, se přesvědčíme tím, že se jej pokusíme vytvořit podle pravidel (i)-(iii).
Náš postup zachycuje tato posloupnost:
(2) (x e y) je formule podle (i),
(3) (y e x) je formule podle (i),
(4) ((x £ y) V (y £ x)) je formule podle (ii),
(5) výraz (l) je formule podle (iii).
Posloupnost formulí (2), (3), (4), (5) obsahuje všechny podformule formule (l).
1.7 Pravidla (i)—(iii) jednoznačně předepisují psaní závorek ve formulích. Přesto
je v některých případech užitečné zjednodušit zápis formule vynecháním některých
závorek, které nejsou nutné k oddělení různých částí formule. Atomické podformule
mají sevřený tvar a ve většině případů u nich závorky vypouštíme. Píšeme kratčeji
x £ y, x = y místo (x £ y), (x = y). Rovněž se upouští od psaní párových závorek
na začátku a na konci formule, které předepisuje pravidlo (ii). Místo formule (4)
píšeme
x £ y V y £ x ,
ale ve formuli
(3x) (x £ y V y £ x)
krajní závorky ponecháváme. Pokud to nebude na újmu srozumitelnosti formulí,
budeme závorky používat volněji, než stanoví pravidla (i)—(iii). Negace atomických
formulí budeme důsledně psát x^y místo ~~i(xey) a x =f= y místo ~i(x = y).
Formuli x<£y čteme „x není prvkem y" a formuli x 4= y čteme „x je různé od y". Jsou-li
cp a \p formule, pak formuli -i<p čteme „neplatí <p" případně „non <p", dále konjunkci
cp & t/f čteme „platí (p a ^", disjunkci <p V \j/ čteme „platí (p nebo i/>", případně
„(p vel \j/". Implikaci (p—>ý čteme .jestliže cp, potom i//" nebo „<p implikuje t//"
a ekvivalenci <p <-► i// čteme „<p platí, právě když platí i//u nebo „cp je ekvivalentní s t/^\
Formuli (Vx) cp čteme „pro každé x (p/aří) <p" a formuli (3x) cp čteme „existuje x
takové, že (platí) cp".
Z metamatematického hlediska chápeme formule jako speciální posloupnosti
symbolů jazyka teorie množin. Každé místo, na kterém je určitý symbol zapsán,
nazýváme výskytem tohoto symbolu. Například symbol x se vyskytuje na třetím,
sedmém a patnáctém místě ve formuli (l). V daném případě jsou všechny výskyty
proměnné x vázané. Abychom osvětlili rozdíl mezi volnými a vázanými výskyty
proměnných, uvažujme dvě následující formule
(6) xey,
31

(7) (lx)(xey).
První z nich čteme „x je prvkem množiny /' a je to tvrzení o vztahu množin x a y.
Formule (7) vyjadřuje tvrzení jiného druhu. Čteme ji „existuje x, které je prvkem
množiny /' a totéž můžeme vyjádřit „množina y je neprázdná". Je zřejmé, že symbol x
má ve formulích (6) a (7) různou úlohu. Říkáme, že proměnná x je volná ve formuli (6)
a vázaná ve formuli (7), Pojem volné a vázané proměnné zavádí následující (meta)-
definice.
1.8 Volné a vázané proměnné.
(i) Říkáme, že výskyt proměnné na nějakém místě ve formuli cp je vázaný, je-li
součástí nějaké podformule tvaru (Vx) \f/ nebo (3x) ý formule <p. Není-li výskyt
proměnné vázaný, říkáme, že je volný.
(ii) Říkáme, že proměnná je vázaná v nějaké formuli, má-li v ní vázaný výskyt.
Říkáme, že proměnná je volná v nějaké formuli, má-li v ní volný výskyt.
1.9 Příklad, (a) Proměnná x je vázaná a proměnné y, z jsou volné ve formulích
"\(3x)(xey& xez),
(Vx) (x e y —► x e z),
(Vx) (xe y <->xe z) —* y = z .
(b) Ve formuli
(8) (xez)&(3x)(xey)
je proměnná x volná i vázaná současně, protože má volný výskyt na druhém místě
a vázaný výskyt na devátém a dvanáctém místě. Proměnné yaz jsou volné. V praxi
se vždy lze vyhnout tomu, aby jedna proměnná byla ve formuli současně volná i
vázaná. Formule (3u)(ue>') je logicky ekvivalentní formuli (3.x)(xey) a formule
(9) (xez)8c (3u) (u e y)
je ekvivalentní formuli (8). Přitom žádná proměnná není současně volná i vázaná
ve formuli (9). Při výkladu budeme používat jen formule, které mají tuto vlastnost.
(c) Uvažujme ještě formuli
(Vx)(x = x),
která neobsahuje žádnou volnou proměnnou a vyjadřuje fakt, že rovnost je reflexivní.
Srovnáme-li poslední formuli a formule (6), (7), můžeme říci, že formule, která
obsahuje volné proměnné, vyjadřuje nějakou výpověď o hodnotách těchto proměnných.
Například „x je prvkem /' nebo „y je neprázdná množina". Formule, které
neobsahují volné proměnné, nazýváme uzavřené. Takové formule vyjadřují obecná tvrzení
32

1.12
Jazyk teorie množin
I
teorie množin. Pro uzavřenou formuli má smysl se ptát, zda platí či nikoliv, zatímco
platnost formule s volnými proměnnými může záviset na volbě hodnot volných
proměnných.
1.10 Úmluva.
V dalším textu budeme používat následující úmluvu: Je-li <p formule a jsou-li
x1? x2,..., x„ proměnné, jejichž volné výskyty ve cp nás zajímají, píšeme cp(xl, x2,..., xj
místo cp. Tento zápis neznamená, že každá z proměnných xi musí mít volný výskyt
ve formuli cp, ani že formule cp nemá žádné jiné volné proměnné. Umožňuje však
přehledně vyjádřit, co se děje s volnými výskyty proměnných xt v průběhu nějakého
důkazu. Pracujeme-li s formulí
(10) ^! x; .vj
a u je nějaká proměnná, pak výraz (p(xl,..., u,..., xn) bude označovat formuli, která
vznikne z formule (10) následujícím způsobem: Každý volný výskyt proměnné xi
nahradíme proměnnou u a případné vázané výskyty proměnné u nahradíme jinou
proměnnou, která se ve formuli (10) nevyskytuje.
Je-li například cp(x) formule
(3u) (x e «),
potom cp(u) je formule
(lv)(uev).
1.11 Základní jazyk teorie množin a jeho rozšíření. Jazyk, který jsme právě zavedli,
budeme nazývat základní jazyk teorie množin. Postupně jej budeme rozšiřovat
o různé další speciální symboly, které budou označovat určité množiny (například
symbol 0 bude označovat prázdnou množinu), o nové predikátové symboly
(například c: bude označovat inkluzi) a o symboly pro množinové operace (například
n bude označovat průnik dvou množin). Všechny zaváděné symboly budeme
definovat pomocí symbolů základního jazyka a případně pomocí symbolů dříve
definovaných. Takový postup v matematice je běžný. Definované symboly jsou
užitečné, s jejich pomocí vyjádříme složité pojmy a tvrzení formulemi únosné
délky. Přitom každou formuli, která obsahuje nově definované symboly, lze
ekvivalentně vyjádřit v základním jazyce, když každý definovaný symbol nahradíme
jeho definicí.
Jiný způsob rozšíření jazyka bude souviset s rozšířením studovaného oboru
o další typy objektů. Zatím předpokládáme, že všechny objekty, se kterými
pracujeme v teorii množin, jsou množiny. Později se setkáme ještě se třídami. Jejich
odlišný charakter vyjádříme pomocí vhodných nových symbolů, o které rozšíříme
jazyk teorie množin.
1.12 Axiomy a odvozování vět. Podrobně jsme popsali jazyk a formule teorie množin.
Další podstatnou součástí axiomatické teorie množin jsou axiomy. Seznámíme se
s nimi v dalším oddílu této kapitoly. Nebudeme však rozvádět, jak se z axiomů
33

I
1.12
formálně odvozují věty, ani nezavedeme pojem formálního důkazu jako
posloupnosti formulí, která splňuje určité požadavky. Tato problematika patří do
matematické logiky. Všechny důkazy, které budeme provádět, budou neformální, jako
je většina důkazů, se kterými se čtenář dosud setkal.
34

§ 2 Axiomy teorie množin
Seznámíme se s axiomy Zermelovy a Fraenkelovy teorie množin. Je to
nejrozšířenější axiomatika teorie množin a v literatuře se označuje zkratkou ZF. Axiomy
teorie množin musí zaručit dostatečně bohaté univerzum množin jako možný svět
matematiky. Současně musí z univerza vyloučit takové soubory množin, které vedly
k paradoxům Cantorovy teorie množin. Proto se problémem existence množin
zabývá většina axiomů.
Začneme stručným přehledem všech axiomů Zermelovy a Fraenkelovy teorie
množin. Potom budeme podrobně rozebírat jednotlivé axiomy a budeme definovat
množinové operace, které z nich vyplývají.
Axiom existence množin
(3x)(x = x)
(existuje alespoň jedna množina).
Axiom extenzionality
(Vu) (u e x <-> u e y) —► x = y
(množiny, které mají tytéž prvky, se rovnají).
Schéma axiomů vydělení
Je-li cp(x) formule, která neobsahuje volně proměnnou z, potom formule
(Vfl) (3z) (Vx) (xez^(xea&L <p(x)))
je axiom vydělení (z každé množiny lze vydělit množinu všech prvků, které splňují
danou formuli).
Axiom dvojice
(Vfl) (Vfr) (3z) (Vx) {xez<->{x = aV x = b))
(libovolné dvě množiny určují dvouprvkovou množinu).
Axiom sumy
(Vfl) (3z) (Vx) (x e z ~ (ly) (xey&yea))
35

(ke každé množině a je dána množina všech prvků, které náleží do nějakého prvku
množiny a).
Axiom potence
(Va) (3z) (Vx) (x e z <-> x c: fl)
(ke každé množině je dána množina všech podmnožin).
Schéma axiomů nahrazení
Je-li 4/(u, v) formule, která neobsahuje volně proměnné vv, z, potom formule
(Vi<) (Vu) (Vw) ((^(u, v) & ^(«, w)) -+ v = vv) -►
— (Víi)(3z)(Vy) (uez^(3w)(uea& i//(u, v)))
je axiom nahrazení (definovatelné zobrazení zobrazuje množinu na množinu).
Axiom nekonečna
(3z) (0 e z Se (Vx) {xez^ x u{x} e z))
(existuje nekonečná množina).
Axiom fundovanosti
(Va) (a 4= 0-+ (3x) (xGú&xnfl = 0)).
Axiomy potence, nekonečna a fundovanosti používají definované symboly
c (inkluze), 0 (prázdná množina), u (sjednocení), n (průnik) a {x} (jednoprvková
množina), které nejsou v základním jazyce teorie množin. Použili jsme jich k jasnější
formulaci zmíněných axiomů.
Pomocí predikátu e lze jednoduše definovat, kdy je nějaká množina podmnožinou
jiné množiny. Schéma vydělení dovoluje definovat prázdnou množinu a operaci
průniku. Operaci sjednocení lze zavést pomocí axiomu sumy a jednoprvkové množiny
tvaru {x} lze zavést pomocí axiomu dvojice. Nyní podrobně rozebereme všechny
axiomy i definice použitých symbolů.
Volné vymezení množiny jako souboru určitých objektů, ze kterého vycházel
Cantor, není spolehlivým základem teorie množin. Paradoxy ukázaly, že každý
takový soubor nelze považovat za množinu. Soubor z Russelova paradoxu sestává
ze všech množin x, pro které platí x$x. Jak uvidíme později, tento soubor obsahuje
všechna ordinální čísla a za jistých předpokladů může obsahovat všechny množiny.
Také paradoxy Burali-Fortiho a Cantora pracují s velkými soubory — se souborem
všech ordinálních čísel a se souborem všech množin. Ve srovnání s tím axiomy teorie
množin vytvářejí univerzum množin postupně a po malých krocích: postulují
existenci některých množin a zaručují, že soubory, které z již daných množin vzniknou
určitými operacemi, jsou opět množiny. Přitom nové množiny se podstatně neliší
svou velikostí od množin použitých při konstrukci. Takový postup odpovídá
„zásadně omezené velikosti množin", kterou po zevrubné analýze paradoxů vyslovil
Russell v roce 1906. A výsledek? Žádný ze známých paradoxů nelze v axiomatické
teorii množin napodobit. Nic víc a nic méně.
36

2.3
Axiomy teorie množin
I
2.0 Axiom existence množin
(a*)(x = x)
zaručuje, že univerzum množin není prázdné. Později uvidíme, že tento axiom je
důsledkem axiomu nekonečna, který postuluje existenci alespoň jedné nekonečné
množiny. Axiom existence množin je nezbytný v dílčích axiomatikách teorie množin,
které neobsahují axiom nekonečna.
2.1 Axiom extenzionality
(1) (Vu) (u e x <-► u e y) —► x = y
popisuje souvislost mezi predikáty rovnosti a náležení: dvě množiny se rovnají,
jestliže mají stejné prvky.
Připomeňme, že množiny jsou základní objekty naší teorie. Z toho plynou dvě věci:
množiny mohou být prvky jiných množin a žádné jiné prvky množin nepřicházejí
v úvahu. Proto je v axiomu extenzionality kvantifikována množinová proměnná:
xayse rovnají, jestliže mají za prvky stejné množiny.
Axiom extenzionality neurčuje všechny vlastnosti predikátu rovnosti. Máme na
mysli přirozené požadavky, aby rovnost byla reflexivní, symetrická a tranzitivní
a aby sobe rovné množiny měly stejné vlastnosti vzhledem k náležení, to znamená,
aby sobě rovné množiny měly stejné prvky a aby byly prvkem ve stejných množinách.
Jde o obecné vlastnosti predikátu rovnosti, které stanoví axiomy rovnosti v logice.
Z nich plyne i obrácená implikace k (l) a následující tvrzení.
2.2 Lemma.
x = y <-► (Vu) [u e x *-> u e y).
2.3 Definice. Podmnožiny a inkiuze. Říkáme, že množina x je podmnožinou nebo
částí množiny y a píšeme x <= yt je-li každý prvek množiny x také prvkem
množiny y. Říkáme, že x je vlastní podmnožinou nebo vlastní částí množiny y a píšeme
x c v, je-li x c: y a x 4= y. Nově definované symboly ^ a c nazýváme
inkiuze.
Rozšíříme-li základní jazyk teorie množin o predikáty inkiuze, výrazy x c= y}
x c y jsou nové typy atomických formulí. Je zřejmé, že atomickou formuli x c y
můžeme ekvivalentně vyjádřit formulí
(Vu) (iť e x —► u e y)
základního jazyka. Podobně x <= y vyjádříme jako konjunkci předchozí formule
a x 4= >'• Vyjádření pomocí inkiuze je v obou případech kratší.
Následující lemma shrnuje základní vlastnosti inkiuze.
37

I
2.4 Lemma.
(i) x c x, ~i(x c x),
(ii) (x ^ y & y ^ z) —► x Q z ,
(x c: y & y c: z)—+X<^ z ,
(x c y & y c: z) —> x c z ,
(iii) (x c y & y c *)<-> x = y.
Důkaz, (i) je důsledkem rovnosti x = x. (ii) Je-li u e x, potom z x ^ y
(i z x c y) dostáváme w e y. Dále zy^z(izy<=z) odvodíme w e z. Tedy x c z.
Je-li x cz y, potom x + y a podle axiomu extenzionality existuje u e y, které není
prvkem x. Přitom vez a podle lemmatu 2.2 x #= z. To znamená, že x c z. Podobně
se dokáže x c z v případě, že platí y a z. Tvrzení (iii) je důsledkem lemmatu 2.2.
2.5 Schéma axiomů vydělení. Je-li cp(x) formule, která neobsahuje volně
proměnnou z, potom formule
(2) (Vfl)(3z)(Vx)(xez~(xea& cp(x)))
je axiom. Množina z je částí množiny a, z sestává ze všech množin x e a, pro které
platí <p(x).
2.6 Proč schéma a ne axiom? Pro každou volbu formule <p je formule (2) jeden
axiom teorie množin — axiom vydělení pro <p. To znamená, že 2.5 zastupuje
nekonečně mnoho axiomů, které vzniknou tím, že q> proběhne všechny formule.
Proto říkáme, že 2.5 je schéma axiomů.
Podle axiomu extenzionality je množina z ve formuli (2) jednoznačně určena.
Budeme ji označovat výrazem
(3) {x:xEa&(p{x)}
nebo krátce
{xea:cp{x)} .
Uvědomme si, že formule cp může mít podle úmluvy z § 1 i další volné proměnné
xl5 ...,xn různé od x. Množina (3) závisí na a a prostřednictvím formule <p i na
proměnných xl,...,xni které chápeme jako parametry.
Speciálně, je-li cp(x) formule x e b, potom odpovídající axiom vydělení definuje
množinu
{x: x e a& xe b} .
Je-li cp(x) formule x <£ b, stejným způsobem dostaneme množinu
{x:xea&x$b} .
38

2.9
Axiomy teorie množin
l
2.7 Definice. Průnik a rozdíl množin. Průnikem množin ay b nazýváme množinu
a r\b definovanou vztahem
a r\ b = {x:xea&cxeb}.
Rozdílem množin a, b nazýváme množinu a — 6, pro kterou platí
a — b = {x:xea&xíb}.
Nově definované symboly na- označuji binárni operace (funkce), které dvojici
množin přiřadí jejich průnik a rozdíl. Uvědomme si, že formuli xear\b lze
ekvivalentně vyjádřit formuli xea&xeb základního jazyka teorie množin. Podobně
formuli y = a n b lze ekvivalentně nahradit formulí
Nx) (xey^>(xea&xeb)).
Dá se ukázat, že každou formuli obsahující definované symboly n a — lze
ekvivalentně vyjádřit nějakou formulí základního jazyka teorie množin. Nicméně výrazy
an b, a — b jsou užitečné zkratky.
Definice 2.7 ukazuje, že schéma axiomů vyděleni dovoluje definovat nové množiny
jako podmnožiny již daných množin. To odpovídá zásadě omezené velikosti množin.
Schéma 2.5 však nelze dále zesílit tím. že (2) nahradíme formulí
(4) (3y)(Vx)(xey-<?(*)).
V takovém případě bychom při volbě <p(x) tvaru x$x odvodili spor jako v Russe-
lově paradoxu. Schéma formulí (4) můžeme chápat jako formální protějšek Canto-
rovy „definice" množin, ale všechny formule tvaru (4) nemůžeme přijmout za
axiomy.
Položme si nyní otázku, odkud se berou množiny a ze schématu vydělení. Tvrzení
„existuje alespoň jedna množina" je axiom. Ukážeme, že další množiny lze získat
pomocí „konstruktivních" axiomů teorie množin.
2.8 Prázdná množina. Víme-li, že existuje alespoň jedna množina, můžeme pomocí
schématu vydělení sestrojit množinu, která nemá žádný prvek. Je-li a libovolná
množina a <p(x) je formule x =*= x, podle axiomu vydělení pro formuli cp je
{x: x e a &. x 3= x]
také množina. Právě definovaná množina nemá žádný prvek, protože rovnost je
reflexivní. Budeme jí říkat prázdná množina a označíme ji symbolem 0. Množiny,
které mají alespoň jeden prvek, nazveme neprázdné. Říkáme, že množiny j, b jsou
disjunktní, jestliže a n b = 0.
2.9 Lemma.
(0 ^(3y)(ye0),
(ii)(Vx)(0£x),
(iii) x £ 0 *-> x = 0 .
39

I
2.10
2.10 Axiom dvojice.
(Va) (Vb) (3z) (Vx) (xez^(x = aVx = b)).
K libovolným dvěma množinám a, b existuje množina, která má právě prvky a a b.
Podle axiomu extenzionality je taková množina jednoznačně určena prvky a, b.
2.11 Definice. Dvojice množin. Jsou-li a, b množiny, pak množinu, která sestává
z prvků a, by nazveme neuspořádanou dvojicí množin a, ba. označíme ji výrazem [a, b\.
Říkáme také, že [a, b) je dvouprvková množina s prvky a, b. Místo (a, a] píšeme
krátce [a] a říkáme, že {a} je jednoprvková množina určená prvkem a.
2.12 Lemma.
(i) {x} = {y}~x = y,
{x} = {x,y}<->x = y,
(ii) {x, y} = {iijv} <-+((x = u&y = v)V (x = v&y = u)).
Pomoci neuspořádané dvojice množin můžeme zavést pojem uspořádané dvojice.
2.13 Definice. Uspořádaná dvojice množin a, b je množina {a, b} definovaná vztahem
Je to dvouprvková množina, jejíž prvek {a, b} určuje, o které dvě množiny jde,
a druhý prvek {a} vyznačuje, která množina je první. Oprávněnost názvu
„uspořádaná dvojice" je zřejmá z následujícího tvrzení:
2.14 Lemma.
<x, y> = <"> u> <-> (x = u & y = u).
Důkaz, (a) Je-li x = u a y = v, potom podle 2.12 také
{x} = {«}, {x,y} - {u,v}
a nakonec podle 2.13
<x,y> = <ií,u>.
(b) Předpokládejme, že platí <x, y> = <w, v}. Podle definice 2.13 to znamená
(5) {{x},{x,y}} = {{u},{u,v}},
odkud pro {«} dostáváme
{x} = {l(}V{u} = {x,y}.
Podle lemmatu 2.12 v obou případech x = u. Pro {u, u} z (5) plyne
{«,«;} = {x}V{u,u} = {Xl>}f
40

2.19
Axiomy teorie množin
odkud dostáváme
D = xVl] = J/
jako důsledek 2.12 a u = x.
Je-li v — y, je konjunkce u=*x&v=y dokázána. Je-li v
{«, u} = {x} a z (5) dostáváme dokonce x = u = y = v.
2.15 Definice, Uspořádaná /c-tice. Jsou-li dány množiny aiy .
k-tici množin al1 ..., ak pro /c < n definujeme tak, že pro k -
<a{} = a{
a je-li již definována uspořádaná /c-tice <a1?..., ak}, položime
<fli,...,ak+i> = «ap..-,flfc>»flk + i>-
Uvědomme si, že případ /c = 2 je shodný s definicí 2.13. Indukcí podle k se
dokáže
2.16 Lemma.
(flp ..., ak> = <6l5..., bk} *-+(al = b{ & a2 = b28c a3 = b3& ... & «k = bk).
2.17 Axiom sumy.
(Vfl) (3z) (Vx) (»i« {ly) (xey&ysa)).
K libovolné množině a existuje množina z, která sestává z množin, které jsou prvkem
nějakého prvku množiny a. Podle axiomu extenzionality je množina z jednoznačně
určena volbou množiny a.
2.18 Definice. Suma množiny a je množina \Ja definovaná vztahem
\Ja = {x:(ly)(xey&yea)} .
Je-li speciálně a = {b, c}, potom platí
(6) \J{b,c} = {x:xeb V xec} .
Plyne to z definice sumy a faktu
y e {b, c} «-* (y = b V y = c).
2.19 Definice. Sjednocení množin b, c je množina tuc definovaná vztahem
í)uc = {x:xel)Vx6c}.
Oprávněnost této definice plyne z axiomů sumy, dvojice a z (6).
41
= x, potom také
.., an, uspořádanou
■ 1 položíme

I
2.20
2.20 Pomocí axiomu dvojice jsme definovali jednoprvkovou a dvouprvkovou
množinu. Pomocí operace sjednocení můžeme definovat tříprvkovou množinu
s prvky a, b, c vztahem
{a, 6, c} = {a, b} u {c} .
Postup můžeme opakovat. Jsou-li dány navzájem různé množiny au...,an a je-li
již pro nějaké k, 2 < k < n definována /c-prvková množina {aly...,ak}, vztahem
{a{J...,ak,ak+l} = {a1,..,ak}u {afc+1}
definujeme (/c + l)-prvkovou množinu, která sestává z množin aly...,ak+í.
2.21 Axiom potence.
(Vúi) (3z) (Vx) (x e z <-> x c a).
Podle axiomu extenzionality je množina z jednoznačně určena volbou množiny a,
jejímiž prvky jsou právě všechny podmnožiny množiny a. Jsme oprávněni zavést
následující definici:
2.22 Definice. Potence množiny. Množina ^(a), která sestává ze všech podmnožin
množiny a, tedy
0>(a) = {x:x c fl},
se nazývá potencí množiny a.
2.23 Příklady, (a) Podle lemmatu 2.9 (iii) je
^(0) = {0}.
Přitom 0 a {0} jsou dvě různé množiny, protože 0 e {0}, ale 0 £ 0. Nyní je snadné
ověřit ^({0}) = {0, {0}}.
(b) Axiomy sumy a potence postulují existenci množin, pro které platí
(7) xcfl-»xe^(fl),
(8) xea -> x c \Ja .
Mezi oběma formulemi je jednoduchý duální vztah: zaměníme-li symboly e a c
a výrazy ^(a), (Ja, jedna formule přejde na druhou a naopak. Přitom potenčni
množina ^(a) je nejmenší množina, pro kterou platí (7). Je-li y taková množina, že
každá podmnožina x ^ a je jejím prvkem, z definice ^(a) plyne &(a) ^ y\ Ve
stejném smyslu je [ja nejmenší množina, pro kterou platí (8).
2.24 Schéma axiomů nahrazení. Je-li ij/(u v) formule, která neobsahuje volně
proměnné w, z, potom formule
42

2.26
Axiomy teorie množin
I
(Vlí) (Vu) (Vw) ((^(lť, u) & l/>(u, w) -> U = w) ->
->(Va)(3z)(Vy)(uezm (3«)(uefl& <//("> ")))
je axiom teorie množin, který nazýváme axiom nahrazení.
Připomeňme, že formule t^(u, y) může mít i další volné proměnné kromě li, v a že
ij/(u, w) vznikne z \\/{u, v) substitucí proměnné w za v. Schéma axiomů nahrazení
zastupuje nekonečně mnoho formulí uvedeného tvaru, které vzniknou tím, že i//(u, v)
proběhne všechny formule.
Předpoklad axiomu nahrazení požaduje, aby pro každé u formule ý(u, v) platila
nejvýše pro jednu množinu v. Pokud taková množina v existuje, je formulí \j/(u, v)
jednoznačně přiřazena k množině u. Má-li formule \jj uvedenou vlastnost, druhá část
axiomu zaručuje, že získáme opět množinu, nahradíme-li prvky uea jim
odpovídajícími množinami v.
Význam schématu axiomů nahrazení můžeme tedy shrnout tvrzením, že obrazem
libovolné množiny při definovatelném zobrazení je opět množina.
Zmíníme se ještě o dvou zbývajících axiomech Zermelovy a Fraenkelovy teorie
množin.
2.25 Axiom nekonečna.
(3z) (0 e z & (Vx) (x e z — x u {x} e z)).
Později ukážeme, že všechna přirozená čísla, která sestrojíme v teorii množin,
jsou prvky postulované množiny z. Zatím si povšimněme, že xu {x} 4= x, pokud
x £ x. Dá se ukázat, že vyjdeme-h od prázdné množiny, pro kterou platí 0 <£ 0,
můžeme naznačeným způsobem konstruovat postupně další a další množiny, které
jsou všechny prvkem množiny z.
Axiom nekonečna postuluje existenci aktuálně nekonečné množiny, aniž by
popsal operaci, kterou taková množina vznikne z již daných množin. Tím se axiom
nekonečna liší od jiných axiomů pro existenci množin — například od axiomů sumy
nebo dvojice — a překračuje princip omezené velikosti množin.
2.26 Axiom fundovanosti.
{Va)(a 4= 0-+(3jc)(xea&xna = 0)).
Axiom fundovanosti, který se také nazývá axiomem regularity, je spíše globální
charakteristikou množinového univerza. Vylučuje z něj některé typy množin, například
každou množinu y, pro kterou by platilo y e y. V takovém případě by žádný prvek
neprázdné množiny a = {y} nevyhovoval tvrzení axiomu fundovanosti, protože
y ^ {y} 4= 0. Stejným způsobem lze ukázat, že axiom fundovanosti nepřipouští
existenci konečných cyklů relace náležení, například y{ e y2 e yl5 y{ e y2 e y3 e yl
atd. Později ukážeme, že axiom fundovanosti je ekvivalentní s tvrzením, že
univerzum množin lze generovat z prázdné množiny iterováním operací potence a sumy.
43

I
2.27
2.27 Axiomatika Zermelovy a Fraenkelovy teorie množin. Původní Zermelova
axiomatika teorie množin z roku 1908 sestávala z axiomů extenzionality, dvojice,
sumy, potence, nekonečna, ze schématu axiomů vydělení a axiomu výběru, o kterém
dosud nebyla řeč. Axiom výběru se dnes obvykle nepočítá mezi základní axiomy
teorie množin. Proto mluví-li se dnes o Zermelově teorii množin, rozumí se tím
teorie označovaná symbolem Z, která vznikne z původní Zermelovy axiomatiky,
když axiom výběru nahradíme axiomem fundovanosti. Zermelova a Fraenkelova
teorie množin je rozšířením teorie Z o schéma nahrazení. V literatuře se označuje
zkratkou ZF.
Schéma axiomů nahrazení bylo vysloveno A. A. Frankelem až v roce 1922.
Ukážeme, že každý axiom schématu vydělení je důsledkem některého axiomu nahrazení.
Je-li (p(u) formule, která neobsahuje volně proměnnou z, zvolme další dvě
proměnné r, w. které nejsou volné ve formuli </>, a utvořme formuli \j/(u, r) tvaru
cp(u) & u — v .
Zřejmě platí
(9) (V«) (Vu) (Vw) (Mm, v) & Ý(u, w)) -> v = w)
a podle axiomu nahrazení pro formuli \j/ k libovolné množině a existuje množina z
tak, že pro každou množinu v platí
vez-^ (3u) (ueaSi \{/(u, v)).
Vzhledem k tomu, jak byla sestrojena formule \p, je pravá strana ekvivalence
splněna, právě když (vea& (p(v)). Tím je dokázán axiom vydělení pro formuli cp.
Také axiom dvojice je důsledkem axiomu potence a schématu nahrazení. Víme
již z odstavce 2.2, že druhá potence ^(^(0)) prázdné množiny sestává právě ze dvou
prvků 0 a {0}. Jsou-li a, b libovolné dvě proměnné pro množiny, sestrojme formuli
(u = 0&v = a) V (u = {0}&t; = b),
kde u, v jsou dvě proměnné různé od a, b. Pro formuli cp(u, v) zřejmě platí (9) a
množina z, kterou množině ^(^(0)) přiřadí axiom nahrazení pro formuli ij/, sestává
právě ze dvou prvků a, b.
Zcrmclma a Fraenkelova axiomatika teorie množin je tedy určena jen axiomy
exicn/ionalit\. fundowmosii. sumy. potence, nekonečna a schématem axiomů
nahrazení. Ukázali jsme, že z těchto axiomů lze od\odit tvrzení axiomu dvojice a tvrzení
každého axiomu ze schématu vydělení.
44

§3 Tíídy
Nyní zavedeme třídy jako soubory množin, které mohou být definovány
formulemi jazyka teorie množin. Takzvané třídové termy a třídové proměnné budou
sloužit k označení jednotlivých tříd. Poukážeme na to, že soubory, které nazýváme
třídy, vždy nemusí být prvky množinového univerza. Rozšíříme jazyk teorie množin
tak, abychom mohli používat třídové termy ve formulích, a ukážeme, že každou
formuli rozšířeného jazyka lze nahradit nějakou formulí, která neobsahuje třídové
termy. Pro třídy zavedeme operace průniku, sjednocení a rozdílu a budeme definovat
univerzální třídu jako třídu všech množin. Ukážeme, že univerzální třída není
množina.
3.1 Třídy a formule. Každá formule cp(x) přirozeným způsobem určuje soubor všech
množin x, pro které platí cp(x). Budeme jej označovat výrazem
(1) {x-Mx)}.
Pokud formule q> obsahuje další volné proměnné různé od x, chápeme je jako
parametry, na jejichž hodnotě definovaný soubor závisí.
Zatím jsme podobné označení používali jen ve speciálním případě, kdy formule cp
byla tvaru \p(x) Se xe a pro nějakou formuli i//. Podle schématu vydělení je v takovém
případě definovaný soubor (l) množinou. Přesněji řečeno, v takovém případě
existuje množina z, pro kterou platí
(2) (Vx)(xez~(/?(x)),
a tento fakt jsme vyjádřili rovností
(3) z = {x:<p(x)}.
Nelze popřít, že popsaný způsob vytváření souborů je přirozený a názorný. Pokud
respektujeme skutečnost, že v některých případech můžeme definovat soubory, které
nepatří do univerza množin, není ani proti duchu teorie množin: každý soubor (l)
shrnuje v jeden celek všechny množiny, pro které platí určitá formule. V některých
45

I
3 1
případech je to jen celek pomyslný, který nepatří mezi objekty teorie množin, ale
i tak může posloužit k jasnému vyjádření určitých myšlenek, tedy jako způsob
vyjadřování.
3.2 Třídové termy. Je-li cp(x) formule jazyka teorie množin, soubor všech množin x,
pro které platí <p(x), označíme výrazem (1). Říkáme, že (1) je třídový term, a soubor,
který označuje, nazveme třídou, která je určena formulí cp(x).
Říkáme, že třída (l) je množina, pokud formule (2) platí pro nějakou množinu z.
V opačném případě říkáme, že (1) je vlastní třída.
3.3 Množiny a třídy. Uvědomme si, že každá množina je třídou ve smyslu
definice 3.1. Pro libovolnou množinu y platí y = {x: x e y}. Pojem třída je tedy širší
než pojem množina. Třídové termy označují definovatelné soubory množin.
Rozšíříme jazyk teorie množin o třídové termy a třídové proměnné a připustíme, aby se
třídové termy a proměnné vyskytovaly ve formulích na těch místech, kde píšeme
volné množinové proměnné. Třídové termy ani proměnné však nebudeme
kvantifikovat, protože to by odpovídalo kvantifikaci formulí, která je v jazyce teorie
množin nepřípustná.
Naznačené rozšíření jazyka teorie množin však neprovedeme důsledně: každý
výraz s třídovými termy budeme chápat jako zápis určité formule původního jazyka
teorie množin, která neobsahuje třídové termy.
3.4 Proměnné pro třídy. Každý třídový term označuje jednu určitou třídu a formule
rozšířeného jazyka, která ho obsahuje, odpovídá určité formuli bez třídových termů.
Jazyk teorie množin rozšířený o třídové termy dává možnost vyjádřit tvrzení o
jednotlivých třídách, ale nedává možnost vyjádřit tvrzení, která platí pro všechny třídy.
Zavedeme proto proměnné pro třídy, které budeme značit velkými písmeny.
Třídová proměnná zastupuje libovolný třídový term. Ve formulích se třídové
proměnné používají na těch místech, kde píšeme volné množinové proměnné.
Rozšíříme pojem formule tak, aby formule mohly obsahovat i třídové proměnné a
třídové termy. Nebudou to již formule základního, ale rozšířeného jazyka teorie
množin.
3.5 Formule s třídovými proměnnými a termy. Nechť <p(x) a \p(y) jsou formule
základního jazyka teorie množin, nechť x, y jsou množinové a X, Y třídové proměnné.
(i) Výrazy xey, x = yy xeX, x = X, X e x, X e Y, X = Y, YeX a výrazy,
které z nich vzniknou, když třídové proměnné X, Y po řadě nahradíme třídovými
termy (l) a
(4) ir-Hy)},
jsou atomické formule rozšířeného jazyka teorie množin.
(ii) Všechny ostatní formule rozšířeného jazyka vznikají z atomických formulí
pomocí logických spojek a kvantifikováním množinových proměnných. Proměnné
x, y uvnitř termů (l) a (4) považujeme za vázané (příslušným termem).
46

3.7
Třídy
l
3.6 Omluva. Každou formuli rozšířeného jazyka, která obsahuje jen třídové termy
a žádné třídové proměnné, chápeme jako zkrácený zápis jisté formule základního
jazyka teorie množin.
Pokud formule rozšířeného jazyka obsahuje třídové proměnné, chápeme ji jako
schéma formulí rozšířeného jazyka, které vzniknou tím, že jednotlivým třídovým
proměnným přiřazujeme libovolné třídové termy jako hodnoty. Po vyloučení
třídových termů dostáváme schéma formulí základního jazyka teorie množin.
Nyní podrobně popíšeme způsob eliminace třídových termů z formulí rozšířeného
jazyka.
3.7 Eliminace třídových termů. Nechť x, y, z jsou množinové proměnné a X, Y jsou
třídové proměnné. Nechť (p(x) a il/(y) jsou formule základního jazyka teorie množin.
Předpokládejme, že proměnná X zastupuje třídový term [x: <p(x)} a proměnná Y
zastupuje třídový term {y: ý(y)}.
(i) Výraz zeX zastupuje formuli ze{x\(p(x)} rozšířeného jazyka, kterou čteme
„z je prvktrn třídy všech množin x, pro které platí <p(x)". Tuto formuli nahradíme
formulí cp(z) základního jazyka teorie množin. Připomeňme, že podle úmluvy 1.10
je cp(z) formule, která vznikne z q>(x) tím, že každý volný výskyt proměnné x
nahradíme proměnnou z (a je-li třeba, změníme vázané výskyty proměnné z ve (p(x)).
(ii) Výraz z — X zastupuje formuli z = {x:<p(x)}, kterou čteme „množina z se
rovná třídě (x:<p(x)}" a kterou chápeme jako zkrácený zápis formule
(Vw) (uez<-+ (p(u)),
kde u je proměnná, která se nevyskytuje ve formuli cp(x).
(iii) Výraz XeY zastupuje formuli {x: <p(x)} e {y: ý(y)}, kterou čteme „třída
{x: <p(x)} je prvkem třídy {y: *A(y)}". Tuto formuli nahradíme formulí
(3u)(u={x:<p(x)}&ue{y:Hy)}),
kterou podle (i) a (ii) můžeme nahradit formulí
(3u)[(Vv){veu^(p(vj)8cil/(u)]
základního jazyka, kde u, v jsou proměnné, které se nevyskytují ve cp(x) ani \j/(y).
Podobně výraz X e y můžeme nahradit formulí
(3 w) [(Vu) (v e u <-> q>(v)) &aey]
základního jazyka.
(iv) Výraz X = Y zastupuje formuli (x:<p(x)} = {y:i//(y)}, kterou čteme „třída
{x: <p(x)} se rovná třídě {y: ^(y)}" a kterou chápeme jako jiný zápis formule
(Vu)(q>(u)~Hu))
základního jazyka, kde u je proměnná, která se nevyskytuje ve cp(x) ani \p(y).
(v) Způsobem popsaným v (i)-(^v) ^ze vyloučit třídové termy z libovolné atomické
47

I
3.7
formule rozšířeného jazyka. Vzhledem k tomu, že všechny formule rozšířeného
jazyka vzniknou z atomických formulí pomocí logických spojek a kvantifikováním
množinových proměnných, naznačeným způsobem lze vyloučit třídové termy z každé
formule rozšířeného jazyka.
(vi) Obsahuje-li formule rozšířeného jazyka navíc nějaké třídové proměnné,
odpovídající schéma formulí základního jazyka získáme tím, že za třídové proměnné
postupně dosazujeme všechny třídové termy, které vyloučíme podle (iHv)-
3.8 Příklad. Jsou-li (p(y) a \j/(z) formule bez třídových termů, potom výraz
(5) xe{y.cp(y)}&xi{z:ils(z)}
je formule rozšířeného jazyka. Podle 3.7 první člen konjunkce (5) chápeme jako
formuli cp(x) a druhý člen jako formuli ~iiA(x). Formuli (5) tedy odpovídá formule
cp(x)& ~i\l/(x) jazyka teorie množin bez třídových termů.
Vraťme se ještě ke způsobu, kterým zavádíme třídy. Zatím jsme připouštěli jen
možnost definovat třídu pomocí formule základního jazyka teorie množin. Náš
příklad naznačuje, že to je zbytečné omezení. Výraz
{x:xe{y:cp(y)}&xt{z:<P{z)}},
který obsahuje formuli (5) rozšířeného jazyka, je vlastně jiné označení pro třídu
{x:cp(x)&^(x)}.
Úmluva o interpretaci formulí rozšířeného jazyka pomocí formulí bez třídových
termů ukazuje, že při definici tříd můžeme používat i formule rozšířeného jazyka.
Získáme jen ty třídy, které lze definovat formulemi bez třídových termů.
3.9 Třídové operace. Pomocí třídových proměnných můžeme definovat operace
sjednocení, průniku a rozdílu pro libovolné dvě třídy.
Jsou-li A, B třídy, definujeme
A n B = {x: xe A& xe B} (průnik tříd A, B),
Au B = {x: xe A V xe B} (sjednocení tříd A, fí),
A - B = {x:xeA&x<£B} (rozdíl tříd A, B).
Je-li A n B = 0 říkáme, že třídy A, B jsou disjunktní.
Uvědomme si, že každá formule se třídovými proměnnými, kterou jsme použili
k definici třídových operací, zastupuje schéma formulí základního jazyka.
Je-li speciálně A = {y: cp(y)} a B = (z:i//(z)}, potom A n B = {x:cp(x)&ij/(x)}
podle úmluvy 3.7 o interpretaci formulí xe A a x e B. Podobně pro operace
sjednocení a rozdílu dostáváme
AuB = {x:cp(x) V y^(x)} , A - B = {x: <p{x)& ~i^(x)} .
48

3 14
Třídy
I
3.10 Univerzální třída a doplněk třídy. Je-li cp(y) formule y = y, potom třída
|v: y = y) sestává ze všech množin, protože pro každou množinu y platí y = y.
Tuto třídu označujeme symbolem V a říkáme, že V je univerzální třída.
Doplňkem třídy A nazýváme třídu — A = V — A, která sestává ze všech množin,
které nejsou prvkem třídy A.
Také pojem inkluze lze přirozeným způsobem definovat i pro třídy.
3.11 Definice. Říkáme, že třída A je částí (podtřídou) třídy B, a píšeme A c= fí,
jestliže každý prvek třídy A je prvkem třídy B. Říkáme, že A je vlastní částí třídy B,
a píšeme A ^ B, je-li A c B a A 4= B.
Je zřejmé, že každá třída je částí univerzální třídy a že i pro třídy můžeme dokázat
všechna tvrzení lemmatu 2.4.
3.12 Definice. Suma, průnik a potence třídy, (i) Sumu třídy A, kterou označíme
\JA, definujeme vztahem
\JA = {x:(3a){aeAScxea}};
(ii) průnik třídy A, který označíme f)A, definujeme vztahem
f]A = {x:(Va)(ae,4-*xea)};
(iii) potenci třídy A definujeme vztahem
&(Á) = {a:ac: A] .
3.13 Suma a potence třídy jsou zobecněním operaci, které jsme definovali pro
množiny. Uvědomme si, že prvkem potence třídy A může být jenom množina, která je
částí A. Je-li A neprázdná třída a aeA, potom f]A c a c [JA. Je-li naopak
A = 0, potom pro každou množinu x a množinu a je formule a e 0 —> x e a
pravdivá, protože první člen implikace je nepravdivý. Z definice 3.12 potom plyne, že průnik
prázdné množiny je univerzální třída. To je důvod, proč operaci průniku zavádíme
až zde.
3.14 Lemma. Univerzální třída V není množina.
Důkaz. Předpokládejme, že V je množina, to znamená, že pro nějakou množinu v
platí v = V. Stejným způsobem jako v Russelově paradoxu odvodíme spor. Podle
schématu vydělení existuje množina z, pro kterou platí
z = {.x: x g v& x £ x} ,
odkud plyne
Z G Z <-> Z ^ Z .
Univerzální třída V tedy není množina.
Naopak platí
49

1
3 15
3.15 Lemma. Pro libovolnou třídu A a množinu a je a n A množina.
Důkaz. Je-li A třída definovaná formulí (p(x), podle 3.7 lze sestrojit formuli i//(x)
bez třídových termů tak, že
A = {x:ý{x)}.
Potom
an A = {x: i//(x)&xea)
je množina podle schématu axiomů vydělení.
3.16 Zermelova a Fraenkelova teorie množin zavádí třídy jenom jako pomocný
prostředek. Třídy jsou definovány pomocí třídových termů, které lze z formulí
nakonec vyloučit. Na rozdíl od toho jsou třídy v Gódelově a Bernaysově teorii
množin zaváděny důsledně a od počátku jako jeden ze základních pojmů teorie.
Množiny jsou definovány jako třídy, které jsou prvkem jiných tříd.
§ 4 Relace, zobrazení
Seznámíme se blíže se základními operacemi průniku, rozdílu a sjednocení a
zavedeme operaci kartézského součinu, která je východiskem k důležitým pojmům
relace a zobrazení. Víme již, že základní operace, které jsme definovali pro
množiny v § 1, můžeme přirozeným způsobem rozšířit i na třídy. Vzhledem k tomu, že
každá množina je také třídou, postačí, budeme-li zkoumat vlastnosti průniku,
rozdílu a sjednocení tříd, odpovídající tvrzení pro množiny jsou speciálním
případem vyslovených vět.
4.1 Lemma. Pro libovolné třídy X, Y, Z platí:
(i) X = X n X = X u X (idempotence),
(ii) Xu Y = YuX,
X n Y = Y n X (komutativnost),
(iii) {X nY)nZ = Xn{YnZ),
(Xuy)uZ = Xu(7uZ) (asociativnost),
(iv) X n{YuZ) = (X n Y) u (X n Z),
Xvj{YnZ) = (X u Y) n (X u Z) (distributivnost).
Důkaz. Dokážeme první rovnost z (iv), ostatní ponecháváme jako cvičení.
x e X n (7 u Z) <-> (x e X & (x e 7 V x e Z)),
<-> (x e X & x 6 Y) V (x g X & x g Z),
<- x g ((X n y) u (X n Z)).
50

47
Relace, zobrazení
I
4.2 Lemma.
(i) XnY^X^XuY,
X nY<=, Fc X u Y,
(ii) x c FhJu y = y,
(iii) xcynXny^,
(iv) xcyHV-ycv-x.
Du/cflz. (iv) Je-li X^y a xeV~y, potom nutně x <£ X. Tedy xeV-X
a inkluze napravo platí. Je-li V- Y ^ \ - X a x g X, potom x e Y. Kdyby
platilo x i y, z předpokládané inkluze bychom odvodili x <£ X.
4.3 Lemma (de Morganova pravidla).
(i) X-(YlvY2) = {X- YjniX-Y,),
(ii) X -(Y.nY^^iX-Y^iX -Y2).
Důkaz, (i) xeX - (^ u y2)~ xgX & x^i u Y2),
«-> x e X & (x £ yt & x i y2),
«-> (x e x & x č yj & (x e x & x č y2),
^xe(x - yjn(x - y2).
(ii) se dokazuje podobně.
4.4 Lemma.
(i) {X - Y)-Z = X -(YkjZ),
(ii) x - (y- z) = (x - y)u(xnz).
Důkaz, (i) jako cvičení, (ii) je-li xeX-(Y-Z), znamená to, že xeX a x^
^(y-Z), z druhé formule tedy buď x$Y, nebo xeZ. Proto xg(X - Y)u
u (X n Z). Obrácená implikace se dokáže obdobně.
4.5 Příklad. Rozdíl není asociativní operace. Jsou-li a, b, c tři různé množiny
a položíme-li X = {a, fc>, c}, y= {a}, Z = {6}, podle 4.4(i) a (ii) dostáváme
((X - y) - Z) = {c} a X - (y - Z) = {b, c}. Je zřejmé, že rozdíl není
komutativní.
4.6 Připomeňme, že třídu V — X nazýváme doplněk třídy X a označujeme - X.
4.7 Lemma.
(i) Xn(-X) = 0, Xu(-X) = V,
(ii) -(-*) = *.
(iii) xny = o<->yc -x.
51

I 4.7
Důkaz, (i) Uvědomme si, že třída —X sestává ze všech množin, které nejsou
prvkem X.
(ii) Podle 4.4(ii) je
-(-X) = V-(V-X) = VnX = X.
(iii) Je-li X n Y = 0 a x e Y, potom x e V - X. Opačná implikace je zřejmá.
Dále zavedeme kartézský součin dvou tříd jako třídu sestávající z jistých
uspořádaných dvojic. Následující definice je názorná, i když trochu zneužívá zavedené
značení.
4.8 Definice. Kartézský součin tříd A, B je třída
(1) A x B= {(a,b)>:aEA&beB},
kde pravou část v rovnosti (1) chápeme jako zkrácený zápis třídového termu
{x:(3a)(lb)(x = <a, b} & aeA Se beB)}.
Uvědomme si, že z definice samotné nevyplývá, že kartézský součin dvou množin
je také množina. Dokážeme to později.
4.9 Z definice kartézského součinu je zřejmé, že pro libovolné třídy A, B platí
4xB = 0<->(/l = 0V£ = 0).
Je-li A x B 4= 0, potom pro libovolné třídy C, D dostáváme
A xB = CxD-+(A = C&B = D).
Snadno se ověří, že operace kartézského součinu je monotónní v obou proměnných,
to znamená, že platí
(2) (A <= Ax &B c BJ-+A x B c Ax x B{ .
4.10 Lemma.
(i) A x (B, u B2) = (A x flj u (.4 x £2),
(/li u A2) x £ = (/li x B) u (42 x 5),
(ii) Axf^n fí2) = (/l x fíj n [A x £2),
(/li n 42) x £ = (/li x fí) n (A2 x fl),
(iii) A x(Bt -B2) = (X x ^i)-U x Bi)>
{A, - A2) x B = {Al x B)-(/42 x £).
Důkaz. Dokážeme první tvrzení z (iii). Ostatní přenecháváme za cvičení. Snadno
se nahlédne, že uspořádaná dvojice <a, b) je prvkem levé (a také pravé) strany
rovnosti, právě když platí aeA, beBx a b£B2.
52

4.14
Relace, zobrazení
4.11 Lemma. Pro libovolné dvě množiny x, y je x x y také množina.
Důkaz. Položíme-li z = x u y, pak podle (2) je x x y c: z x z. Podle schématu
vydělení stačí, dokážeme-li, že z x z je množina. Uvažujme libovolný prvek
<u, u> e z x z, to znamená, že u,ve z. Potom
{li} £ Z, {«, t;} £ Z,
a proto
{u}e^(z), {u,v}e&(z).
Opakováním této úvahy dostáváme
odkud plyne <u, y> e &(@>(z)). Ukázali jsme, že
z x ze; ^(^(z)),
a na pravé straně inkluze je množina podle axiomu potence. Proto z x z (a x x y)
je také množina.
4.12 Podle 4.11 je x x x množina všech uspořádaných dvojic prvků množiny x
a V x V je třída vůbec všech uspořádaných dvojic. Připomeňme, že pomocí operace
uspořádané dvojice jsme sestrojili i uspořádané trojice, čtveřice atd. Budeme-li
stejným způsobem iterovat kartézský součin, můžeme sestrojit třídu všech
uspořádaných n-tic pro každé konkrétní přirozené číslo n (například tři, čtyři, dvacet sedm,
sto,...).
4.13 Definice. Pro libovolnou třídu X definujeme
X1 = X
aje-li již definována třída X", položme
Xn+X = Xn x X .
Zřejmě Xn je třída všech uspořádaných n-tic prvků třídy X. Pro různé exponenty
platí
(3) V""1 c V c ... c V3 c V2 c V1 = V .
Například uspořádanou čtveřici <x1? x2, x3, x4> můžeme chápat jako uspořádanou
trojici (u, x3,x4>, kde v = <x1?x2>, nebo jako uspořádanou dvojici <vv, x4>, kde
w = <xl5x2,x3>, nebo jako prvek univerzální třídy.
4.14 Predikáty a relace. Náš výklad dospěl k bodu, kdy můžeme přiblížit důležitý
rys teorie množin, který přispěl k jejímu postavení v soudobé matematice:
Nejrůznější vztahy mezi prvky ve studované množině, ať je to množina přirozených čísel,
množina bodů a přímek v rovině, nebo nějaká jiná množina, například vztahy
53

I
4 14
,,číslo x dělí y", ,,z je nejmenší společný násobek čísel x a y" nebo ,,přímky p a q
jsou rovnoběžné", můžeme vyjádřit množinou, která sestává ze všech uspořádaných
/í-tic prvků studované množiny, které jsou v uvažovaném vztahu.
Je výhodou teorie množin, že ke studiu vztahů, které obvykle popisujeme
různými predikátovými symboly, není třeba zavádět další typy objektů. Plně vystačíme
s množinami, případně třídami uspořádaných n-tic, kterým budeme říkat n-ární
relace. Zvláštní postavení mezi relacemi zaujímají relace, které sestávají z
uspořádaných dvojic. Říkáme jim binární relace. Jsou důležité jednak proto, že v základních
vztazích (například ve vztahu náležení) jde velmi často o vztah mezi dvěma
množinami, jednak proto, že binární relace slouží k výstavbě relací vyšší četnosti.
4.15 Definice. Relace, (i) Říkáme, že třída R je relace, je-li R £ V x V. V
takovém případě se často píše xRy místo <jc, y) e R.
(ii) Je-li R c V" pro nějaké n > 2, říkáme, že R je n-ámí relace.
Jinými slovy, R je n-ární relace, jestliže každý její prvek je uspořádaná fi-tice.
Snadno se nahlédne, že jsou-li R, S dvě n-ární relace, potom RnS, RvSa.R — S
jsou opět n-ární relace.
4.16 Příklad. Relace náležení a identity. Pro teorii množin jsou důležité následující
dvě relace:
E - {<x,y>:xe>j,
Id = {<x,y>:x = y} .
První z nich popisuje predikát náležení a říká sejí e-relace, druhá popisuje predikát
rovnosti a říká se jí identita.
Následující definice je motivována pojmem relace, ale má smysl pro libovolnou
třídu.
4.17 Definiční obor a obor hodnot relace. Třída
Dom(A-) = {u:(3v)((ilv}čX)}
se nazývá definiční obor nebo levý obor třídy X. Třída
Rng(X)= {D:(]u)((M>eX)}
se nazývá obor hodnot nebo také pravý obor třídy X. Sjednocení levého a pravého
oboru, tedy třída Dom (X) kj Rng (X), se nazývá obor třídy X.
4.18 Příklad. Pro libovolnou relaci X platí
(4) X c Dom(A-) x Rng(X).
Nahradíme-li levou stranu průnikem X n V2, pak (4) platí pro každou třídu X.
54

4.22
Relace, zobrazeni
Je-li X /í-ární relace, potom Dom (X) c V" l. Snadno se ověří, že platí Dom (id)
= V = Rng(Id), Dom(E) - V a Rng(E) = V - {0}.
4.19 Definice. Obraz a zúžení, (i) Říkáme, že třída
X"Y={z:(3y)(yeY8L(y,z>eX)}
je obraz třídy Y daný třídou X.
(ii) Třídu
X\Y = {<y,z>:j/ey&0\z>e*}
nazýváme zúžení třídy X na třídu Y.
X"Y
4.20 Obraz X"Y sestává ze všech množin z, které spolu s nějakým prvkem ye Y
tvoří dvojici <y, z> e X. Třída X \ Y je částí X a sestává ze všech dvojic <y, z) e X,
pro které platí yeY. Obě třídy jsou znázorněny na obr. 4.1. Třída X \ Y je vy-
šrafována.
Snadno se ověří, že pro libovolnou třídu X a množinu x platí X |0 = 0,
Iďx = x a E"{x} = {y:xe>'|.
y<=Z->X|Kc=X|Z,
ycz^ryc x"z.
4.21 Lemma.
0)
(ii)
Důkaz přenecháváme čtenáři.
Nyní ukážeme, že provedením kterékoli z operací definovaných v 4.17 a 4.19
získáme z množin opět množinu.
4.22 Lemma. Je-li x množina, potom Dom (x), Rng(x), x| Y a x"Y, kde Y je
libovolná třída, jsou také množiny.
Důkaz. Nejprve ukážeme
(5)
Dom(x)c|J(Ux).
55

I
4.22
Nechť u je libovolný prvek Dom (x), to znamená, že pro nějaké v je <w, v)ex.
Ale {u}e(u,v}, tedy {u} e (Jx. Dále ue{«}, takže i<e(J(|Jx) a (5) je dokázáno.
Podobným způsobem se dokáže
(6) Rng(x)czU(lW-
Podle axiomu sumy je na pravé straně inkluzí (5) a (6) množina, tedy Dom (x)
a Rng(x) jsou také množiny. Uvědomíme-li si, že x"Y c Rng(x) a x \ Y c x,
je lemma dokázáno.
4.23 Lemma.
(i) X"(YvZ)= X"YkjX"Z,
(ii) X"{YnZ)<^ X"YnX"Z,
(iii) x"y- x"z c x"(y- z).
Důkaz, (i) Je-li i; 6 r(Yu Z), potom pro nějaké w, které je prvkem Y nebo prvkem
Z, plati («,i')el Tedy y je prvkem X"Y nebo X"Z. Stejným způsobem se
dokáže obrácená inkluze.
(ii) Je-li veX"(YnZ\ potom (u, v) e X platí pro nějaké ueYnZ. Tedy
v je prvkem X"Y a X'Z.
(iii) Je-li ue A™y— X"Z, potom existuje ueY tak, že (u,i')eX a pro žádné
ř e Z neplatí <í, i1) e X. To znamená, že ue K-Z a i; e A"'( 7 — Z).
4.24 Příklad. Obrácená inkluze v (ii) a (iii), a tedy ani rovnost, v obecném případě
neplatí. Jsou-li Y a Z dvě neprázdné disjunktní třídy a X = (Y x V) u (Z x V),
potom X"(KnZ) a X'T-X"Z jsou prázdné, ale X"Yr\X"Z a A"'(r-Z)
se rovnají univerzální třídě.
4.25 Definice. Inverze a skládání relací. Pro libovolné relace R, S definujeme
(i) R~l = {<u,i;>:<t;,u>eR},
(ii) R o S = {<«, u>: (3w) «u, w)eK& <w, z>> e 5)} .
Říkáme, že R~ l je re/ace inverzní /cRaže relace i?o5 vznikla složením relací R a S.
4.26 Příklad. Z definice je zřejmé, že pro libovolné relace R, S platí
Dom(R-1) = Rng(R), Rng(/Tl) = Dom (/*),
(7) Dom (RoS)c Dom (R),
(8) Rng(,Ro5)^Rng(S).
Je-li navíc Rng (R) c Dom (5), potom v (7) platí rovnost, a je-li Dom (5) £ Rng(R),
potom platí rovnost v (8).
56

4.29
Relace, zobrazení
I
Snadno se ověří, že pro libovolnou relaci R a množiny x, y platí
Ido R = Rola = R
a
<x, >'> t E o E <-► x e (J v .
421 Lemma. Pro libovolné relace R, S, T platí
(i) {ROS)'1 = S^o^1,
(ii) Ko(5oT) = (/?o5)oT.
Důkaz, (i) Je-li <u, u> e(Ro S)-1, potom (i',u)tRoS a pro nějaké w platí
<u, w)eR, <w, u) eS,
to znamená, že také
<u,w>eS"1 , <w,u>eR"1 ,
odkud plyne <w, u)e5"loKM. Stejným způsobem se dokáže opačná implikace,
(ii) Snadno se ověří, že dvojice <u, v} je prvkem levé (ale i pravé) strany rovnosti,
právě když pro nějaké množiny r, .s platí <i/, r) 6 Rs <r. .^tS a <.s. r> e T.
Relace, které splňují jistou podmínku jednoznačnosti, se nazývají zobrazení.
4.28 Definice. Zobrazení, (i) Říkáme, že relace F je zobrazení (funkce), jestliže
pro libovolná u, v, w platí
(9) (<u,u>eF&<u,>v>eF)-->i; = w.
To znamená, že k libovolnému u e Dom (F) existuje právě jedna množina r,
<w, u> e F. Říkáme, že y je hodnota přiřazená zobrazením F množině u, a píšeme
F(u) = v.
Říkáme, že F je zobrazením třídy X do třídy Y, a píšeme F:X—*Y, jestliže
Dom {F) = X a Rng (F) S=> K
Říkáme, že F je zobrazení třídy X na třídu Y, je-li Dom (F) = X a Rng(F) = Y.
(ii) Říkáme, že zobrazení F je prosté (vzájemné jednoznačné), jestliže inverzní
relace F"1 je také zobrazení.
Jinými slovy, F je prosté zobrazení, jestliže pro libovolné u, v, w platí
(10) (F(u) = w & F(v) = vv) — u = u ,
to znamená, že každý prvek w g Rng(F) má právě jeden vzor. V takovém případě
je inverzní relace F_1 také prosté zobrazení.
4.29 Skládání zobrazení. Jsou-li Fa G zobrazení taková, že F\ X —■> Y a G: Y —♦ Z,
potom složená relace Fo G je zobrazení Ido Z. Jsou-li <x,z> a <x, ť) prvky
relace Fo G, potom pro nějaká >', ý g Y platí
57

í
4.29
<x,y>eF&<>',z>eG
a
(x,/>6F&(/,:'>6G,
odkud dostáváme y = F(x) = y' a nakonec z = G(y) = z'. Pro každé xgA' tedy
platí (Fo G)(x) = G(F(x)) a Fo G je zobrazení X do Z.
Složené zobrazení budeme označovat GF místo F o G. Potom (GF) (x) = G(F(x))
a záměna pořadí F a G jako při výpočtu (Fo G)(x) není nutná. Navíc zdůrazníme,
že jde o skládání zobrazení a nejen relací.
4.30 Lemma. Jsou-li F: X —> Y a G: F—> Z prostá zobrazení, potom
(i) GFje prosté zobrazení X do Z a (GF)~l = F_1G~\
(ii) Je-íí nauic Rng(F) = 7, pořom F_1F = Id | X a FF~l = Id | K
Důkaz, (i) Relace F~l a G"1 jsou zobrazení podle předpokladu. Tvrzení plyne
z lemmatu 4.27. (ii) F_1 je prosté zobrazení 7 na X a F_1(F(x)) = x pro každé
x e X. Podobně se ukáže, že FF~l = Id | Y.
Nyní ukážeme, že pro relace, které vznikly inverzí nějakého zobrazení, platí
silnější verze lemmatu 4.23.
4.31 Lemma. Pro libovolné třídy X, Y a zobrazení F platí
(i) F-u,(Xn Y) = F~l"X nF~l"Y,
(ii) F~lf,(X - Y) = F~X"X - F~l"Y.
Důkaz, (i) Podle lemmatu 4.23(ii) je levá strana rovnosti částí třídy na pravé straně.
Předpokládejme, že z je prvek třídy na pravé straně rovnosti. Potom existují
množiny xeX, yeY, pro které plati (z,x)eF a (z,y)eF. Podle předpokladu je F
zobrazení, tedy x-y a x € X n Y. Přitom <x, z>eF_1, takže z e F" l"(X n Y).
Tím je opačná inkluze dokázána.
(ii) Podle lemmatu 4.23(iii) je pravá strana rovnosti částí třídy na levé straně.
Dokážeme obracenou inkluzi. Nechť z je libovolný prvek třídy /• ["(X — >), to
znamená, že pro nějaké xeX - Y je (z,x)eF. Zřejmě také zeF~l"X. Stačí,
dokážeme-li, že z není prvkem F~l"Y. Kdyby pro nějaké y e Y platilo (z,y) e F,
potom by x = y, protože F je zobrazení. Ale to není možné, protože x e X — Y
a y e 7. Tedy z e F~l"X — F~l"Y a rovnost je dokázána.
4.32 Relativizace kvantifikátorů. V dalším výkladu budeme používat tuto úmluvu
o zápisu formulí:
Je-li A symbol, který označuje nějakou třídu, a (p je formule rozšířeného jazyka
teorie množin, výrazy
(11) (3xeA)<p, (Vxe/l)(p
chápeme jako zkrácený zápis formulí
(3x) (xeA&<p), (Vx) (xeA-^<p).
58

4.34 Relace, zobrazení
Říkáme, že kvantifikátory uvedené v (ll) jsou relativizovány do třídy A.
4.33 Úmluva a značení. Pro obraz nebo vzor třídy X při zobrazení F se častěji
používá označení F\X\ a ^_1[^] místo F'X a F~l"X. Tedy
F[X] = {y.(3XeX)(y = F(x))}
a
F-1[X] = {y.(3xeX)«y,xyeF)}.
V dalším textu budeme dávat přednost použití hranatých závorek, ale z
typografických důvodů si ponecháváme obě varianty.
Snadno se ověří, že pro libovolné X cz Dom(F) a Y c Rng(F) platí
(12) X^F~l[F[X]\
a
(13) F[F'l[Y]] = Y.
Je-li F prosté zobrazení, potom i ve (12) platí rovnost.
4.34 Indukovaná zobrazení mezi potenčními množinami. Každé zobrazení/ množiny
X do množiny Y určuje dvě zobrazení mezi potenčními množinami í?(X) a &(Y).
První z nich, které označíme/", zobrazuje &(X) do &(Y) a každé podmnožině
x ^ X přiřazuje její obraz
rM = /M
při zobrazení /
Druhé zobrazení /"" zobrazuje ,^(y) do ZP(X) a každé podmnožině y c= y
přiřazuje její vzor
rw = /"W-
Podle lemmatu 4.21 pro libovolné xl5x2 c ^(A") a y^y, e &>(Y) platí
x, cx2-*/-(Xl)cz/-(x2),
Říkáme, že /"* a /"*" jsou monotónní vzhledem k inkluzi. Podle 4.23(i) také platí
r(xx ux2) = /^(x1)u/"(x2)
a
/"(yi ^^H/^J^/^)-
Říkáme, že obě indukovaná zobrazení zachovávají operaci sjednocení. Podle
lemmatu 4.31 zobrazení /" zachovává i operace průniku a rozdílu. To znamená,
žeplati /l^v^íl^nry
a
59

I
4 34
Zobrazení / ' zachovává průnik a rozdíl, právě když f je prosté zobrazení.
4.35 Lemma. Nechť f je zobrazení množiny X do množiny Y a j "*, /*" nechť jsou jím
indukovaná zobrazení. Potom platí:
(i) Je-ii f zobrazení X na Y, potom j~* je zobrazení &(X) na &(Y) a f~*f*~ =
= id|^(y).
(ii) Je-li f prosté zobrazení X na Y, potom f~* je prosté zobrazení &(X) na ??(Y)
a (/"*)"" * — f*~- To znamená, že také f*~ je prosté zobrazení &(Y) na Í?(X).
(iii) Je-li navíc g zobrazení množiny Y do množiny Z, potom pro složené zobrazení
gf: X—*Z platí
(fl/T = žf.r. (aír = /'T.
Důkaz, (i) Je-li y libovolná podmnožina Y, položme x = /'"(>'). Podle (13) je
rw = >■■
(ii) Je-li / prosté zobrazení .Y na Y, potom /""* je podle (i) zobrazení t?(X) na í^( Y).
Ukážeme, že je prosté. Nechť x1,x2 jsou dvě různé podmnožiny X takové, že
xt - x2 4= 0. Potom /"(xj - x2) 4 0 a /""(xj 4= /~*(x2)> protože /* zachovává
rozdíl.
Pro libovolné xe&(X) a y e 0>(Y) podle (12) a (13) dostáváme
fW = y-x = r(y),
to znamená, že í/'-*)-1 = f*~
(iii) Označíme-li /i = gf, potom h~l = flg~l. Pro libovolné xe^(X) a ye
e^(y) platí
tedy
4.36 Definice. Třída všech zobrazení množiny do třídy. Jeli dána nějaká třída A
a množina a, nechť aA označuje třídu všech zobrazení množiny a do třídy A, tedy
aA = {f:f:a^A}.
Uvědomme si, že definice ztrácí smysl, nahradíme-li množinu a nějakou vlastní
třídou B. Podle 4.22 je každé zobrazení F s definičním oborem B vlastní třídou
a nemůže být prvkem žádné třídy. Snadno se ověří, že platí
°Y = {0},
-x0 = 0 , je-li x * 0 .
4.37 Lemma, (i) Pro libovolné množiny x, y je xy také množina.
(ii) Je-li x =}= 0 a Y je vlastní třída, potom XY je vlastní třída.
60

4.40 Relace, zobrazení
Důkaz, (i) Každé zobrazení /: x—*y je podmnožinou kartézského součinu x x y.
Třída xy je tedy částí množiny &{x x y) a je množinou podle schématu vydělení,
(ii) Je-li x 4= 0, můžeme pro každé y e Y definovat konstantní zobrazení fcv,
kde ky(u) = >' platí pro každé i/ex. Pro různá y dostáváme různá zobrazení.
Kdyby *Y byla množina, pak Y by byla také množina podle schématu axiomů
nahrazení. Tedy Tje vlastní třída.
4.38 Soubory a systémy množin. V některých úvahách, například chceme-li
vystihnout opakování, přiřazujeme množinám indexy z nějaké třídy. Tím vlastně
sestrojujeme zobrazení definované na třídě indexů. Takové zobrazení můžeme
chápat jako indexovaný soubor množin.
Naproti tomu množinu sestávající z některých podmnožin nějaké množiny
budeme nazývat systém množin. V tomto případě nejde o zobrazení, ale o množinu
částí nějaké množiny, které říkáme systém množin místo množina podmnožin.
4.39 Označení. Je-li F zobrazení s definičním oborem J, výraz
(14) (Fj-.jejy,
kde Fj označuje množinu F(j) pro každé j eJ, je jiným označením pro zobrazení F.
Říkáme také, že (14) je soubor množin, J je jeho indexová třída a její prvky nazýváme
indexy. Říkáme, že množina x patří do souboru (14), jestliže pro nějaké je J platí
x = Fj, jinými slovy, je-li x e Rng (F).
Operace sjednocení, průniku a kartézského součinu lze definovat i pro soubory
množin.
4.40 Definice. Sjednocení a průnik souboru množin, (i) Sjednocení souboru (14)
definujeme vztahem
\jFj={x:(ljeJ)(xeFj)}.
(ii) Průnik souboru (14) definujeme vztahem
n^M*:(^J)(xeF,)}.
ieJ
Je zřejmé, že
jeJ jeJ
Sjednocení souboru množin je speciálním případem sumy třídy. Sjednocení [JFj
je množina, právě když Rng (i7) je množina, speciálně je-li indexová třída souboru
množina. Je-li indexová třída souboru prázdná, potom Rng(F) = 0 a podle 3.13
je průnik takového souboru univerzální třída. Je-li indexová třída J neprázdná,
potom
(V; S F, £ U^
jeJ jeJ
platí pro každý index ;' e J.
61

I
4.41
4.41 Lemma. Pro libovolné soubory množin (FýjeJ} a (Gk:kE X>, libovolnou
třídu A a množinu a platí
(i) Ar,\jFj=\J(Ar,Fj),
jeJ jeJ
a^f]Fj=f](auFJ),
JeJ je 3
(") U^l)G*= U {Fjr>Gk),
jeJ keK <j.k>eJ*K
f]Fjuf]Gk= O (FjuGk),
jeJ keK (j.k}eJ*K
(iii) (de M orgánová pravidla)
a-(]FJ=\J(a-F]),
je-li J 4= O, pot od
a-{]Fj=f](a-F1).
Jsou-li obě třídy J, X neprázdné, platí
(iv) AnftF^ftiAnFj),
Je3 je3
a^{jFj= [jia^F),
je3 jz3
(v) U^IK= U (FjuGk),
jeJ keK <j.k>eJ*K
fV^fK= D (FjnGk).
jeJ keK (j.k}eJ*K
Důkaz. Dokážeme první tvrzení z (i) a (iii), ostatní důkazy přenecháváme jako
cvičení.
(i) xeAn[)Fj~xeA& {3j eJ)(xe F) ,
JeJ +->(ljeJ)(xeA&xeFj),
^xe^AnF,).
JzJ
(iii) xe a — f)Fj+-+ xe a& —i(Vj čJ) (x e F) ,
~(3jeJ)(xea8tx£ F),
4.42 Jak definovat kartézský součin souboru množin. Jsou-li X, Y nějaké množiny,
uspořádanou dvojici (x, y> e X x V můžeme chápat jako kód funkce / která
zobrazuje nějakou dvouprvkovou množinu {a, b} do X u 7 a je dána předpisem
/(a) = x, f(b) = y. Kartézský součin X x Y potom sestává ze všech kódů zobra-
62

4 44
Relace, zobrazeni
I
zení g množiny {a, b} do X u Y takových, že g(a) e X a g(b) e Y. Kartézský součin
souboru množin definujeme jako množinu všech zobrazení indexové množiny
souboru, která splňují určité podmínky.
4.43 Definice. Kartézský součin souboru množin. Nechť J je množina. Kartézský
součin souboru množin (Fj-Jef) definujeme vztahem
(15) XFj = {f:f-J-*{)FJ&(VjeJ)(f{j)eFJ)}.
Tato definice má smysl jen pro soubory indexované množinou. Je zřejmé, že je-li
některá z množin F} prázdná, potom kartézský součin souboru je také prázdná
množina.
4.44 Lemma. Je-li J množina, potom X^; Je ta^ množina. Jestliže pro každé jeJ
platí Fj = 7, potom X^j = Jy-
Důkaz. Je-li J množina, potom F = [JFj je také množina a kartézský součin (15)
je podmnožinou množiny všech zobrazení z J do F.
63

§ 5 Vlastnosti relací, uspořádání a rozklady množin
Seznámíme se se základními vlastnostmi relací a podrobněji se budeme zabývat
dvěma typy relací — relacemi uspořádání a relacemi ekvivalence. Zavedeme pojmy
lineárního a dobrého uspořádání a ukážeme, že každou uspořádanou množinu lze
vnořit do úplného svazu, tedy do uspořádané množiny, jejíž každá podmnožina má
supremum a infimum. Ukážeme vztah mezi relacemi ekvivalence na nějaké množině
a jejími rozklady. Ukážeme, že množina všech relací ekvivalence na libovolné
množině tvoří úplný svaz.
Srovnávání velikosti, říkáme také mohutnosti, množin pomocí vzájemně
jednoznačných zobrazení je v teorii množin velmi důležité. Tomu odpovídají dvě relace
na univerzální třídě: relace „množina x má stejnou mohutnost jako množina y"
a relace „mohutnost x je menší nebo rovna mohutnosti množiny y". Ukážeme, že
první z nich je relace ekvivalence na celé univerzální třídě, a dokážeme důležitou
větu Cantorovu-Bernsteinovu o vztahu obou relací.
Velká část zaváděných pojmů má smysl i pro třídy, uvádíme je ve třídové verzi.
Stejně tak věty, které se dokazují stejným způsobem pro množiny i pro třídy,
formulujeme ve třídovém tvaru. Věty, které se pro třídy musí dokazovat jinak než pro
množiny, uvádíme v jednodušším množinovém tvaru.
5.1 Připomeňme, že třída Dom (R) u Rng (R.) se nazývá obor relace R. Základní
vlastnosti relací budeme definovat vzhledem k nějaké třídě, protože daná relace
může mít určitou vlastnost jenom na části svého oboru.
5.2 Definice. Elementární vlastnosti relací. Říkáme, že relace R je na třídě A
(i) reflexivní, jestliže pro libovolný prvek x e A platí <x, x> e R,
(ii) antireflexivní, jestliže pro žádné xe A- neplatí <x, x> e R,
(iii) symetrická, jestliže pro libovolné x, y e A platí <x, y> e R —► <y, x) e R,
(iv) slabě antisymetrická, jestliže pro libovolné x, y e A platí
«x,y>eK&<y,x>eK)->x = y,
(v) antisymetrická, jestliže pro libovolné x, y e A platí <x, y> e R —> <y, x> <£ R,
(vi) trichotomická, jestliže pro libovolné x, yeA platí <x, y} e R V x = y V
V <y, x> e R,
64

5 5
Vlastnosti relací a uspořádání
I
(vii) tranzitivní, jestliže pro libovolné x,y,zeA platí (<x, y> e R & <y, z) e K)—>
Říkáme, že relace R je reflexivní (symetrická atd.), je-li taková na svém oboru.
5.3 Definované vlastnosti relace se týkají jednotlivých prvků, ne však podmnožin,
jejího oboru. Takové vlastnosti nazýváme elementárními vlastnostmi nebo
vlastnostmi prvního řádu. To proto, že mohou být definovány v jazyce logiky prvního řádu,
který má symbol označující relaci a který má proměnné jen pro prvky, ale nemá
proměnné pro podmnožiny oboru relace.
Každá z vlastností (i)-(vn) se zachovává, přejdeme-li od třídy A k nějaké její části.
Takovým vlastnostem se říká dědičné. Uvidíme, že všechny vlastnosti prvního řádu
nejsou dědičné. Dá se však ukázat, že vlastnosti prvního řádu, které lze definovat
formulemi bez kvantifikátorů, jsou dědičné.
Uvědomme si, že obor relace R a třída A nemusí být totožné. Je-li R reflexivní
nebo trichotomická na A, potom A je částí oboru relace R. Je-li na druhé straně A2
disjunktní s R, snadno se ověří, že R je antireflexivní, symetrická, antisymetrická
a tranzitivní na A.
5.4 Definice. Relace uspořádání, (i) Říkáme, že relace R je uspořádání na třídě A,
nebo že A je uspořádána relací R, je-li R reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní
na A. Říkáme, že prvky x, y e A jsou srovnatelné vzhledem k R, je-li (x, y) e R
nebo (y, x) e R. Je-li (x, y) e R, píšeme x <R y, a říkáme, že x je menší nebo
rovno y vzhledem k R.
(ii) Říkáme, že uspořádání R na třídě A je lineární, je-li navíc relace R
trichotomická na A.
(iii) Relaci R nazveme (lineární) uspořádání, je-li R (lineární) uspořádání na svém
oboru.
5.5 Příklady. Náš výklad teorie množin je teprve na počátku. Zatím jsme nepopsali
množinovou konstrukci žádné hlubší matematické struktury. Abychom nebyli
omezeni jen na nejjednodušší příklady, které se opírají o několikaprvkové množiny,
budeme používat i množinu co všech přirozených čísel a množiny Q a IR všech
racionálních a reálných čísel. Konstrukci těchto množin podrobně popíšeme později,
v příkladech použijeme jenom základní vlastnosti číselných oborů, jejichž znalost
můžeme u čtenáře předpokládat.
(a) Relace R{ = Id | {1,2,3} - {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>} je uspořádání na
množině {1,2,3}. Žádné dva různé prvky nejsou srovnatelné. Podobně pro libovolnou
třídu A je relace Id | A uspořádání na A, které nazýváme diskrétní.
(b) Relace R2 = RY u {<1,2>, <1, 3>, (2, 3>} je lineární uspořádání na
množině {1,2,3}.
(c) Relace K3 = {<x, y>:x ^ y} je uspořádání na univerzální třídě V, ale není
lineární. Například {0} a {{{0}}} jsou dva nesrovnatelné prvky vzhledem k R3.
(d) Je-li co množina všech přirozených čísel, potom relace R4 = {<m, n>:m, ne
65

I
5 5
eco8cm< n} je lineární uspořádáni na co. Později uvidíme, že R4 = (E n co2) vj
u {<n, rc> : n e oj}, kde E je relace náležení.
(e) Relace R5 — {(m,n}:m, něco Sem dělí n} je uspořádání na oj, které není
lineární.
5.6 Ostrá a neostrá nerovnost. Všechny vlastnosti, které definují uspořádání i
lineární uspořádání, jsou dědičné, proto i vlastnost být lineárním uspořádáním na
nějaké třídě se přenáší na podtřídy.
Reflexivnost v definici uspořádání naznačuje, že jde o neostrou nerovnost. Vyne-
cháme-li v relaci uspořádání R všechny prvky tvaru (x, x>, získáme relaci R\ která
je antireflexivní a tranzitivní a která odpovídá ostré nerovnosti. Je-li <x, y) e R\
říkáme, že x je menší než y vzhledem k R a píšeme x < Ry. Říkáme, že R' je ostré
uspořádání. Mezi oběma relacemi je jednoduchý vztah. Je-li A obor relace R, potom
R' = R - Id, R = R'u(ld\A),
speciálně pro relaci R2 z příkladu 5.5 dostáváme
#2 = {<1,2>,<1,3>,<2,3>} = K2 _Ri.
Budeme používat obou typů uspořádání podle toho, které z nich bude výhodnější.
Další pojmy — majoranta, největší prvek, supremum - mluví o vztahu prvku
a části uspořádané třídy. Budeme také definovat pojmy, které se týkají podtříd nebo
podmnožin uspořádané třídy. Zde již nejde o vlastnosti prvního řádu.
Uvědomme si, že inverzní relace k uspořádáni je také uspořádání. Proto každému
pojmu, který se týká uspořádání, odpovídá duální pojem, který se definuje stejným
způsobem, ale pomocí inverzní relace. Jinými slovy, duální pojem zavedeme tím,
že v definici použijeme obrácené nerovnosti.
5.7 Definice. Největší a maximální prvek, supremum. Nechť < je uspořádání na
třídě A a nechť X ^ A. Říkáme, že a e A je
(i) majoranta nebo horní mez třídy X. jestliže pro každý prvek .x e X je
x < a,
(ii) maximální prvek třídy X, je-li a e X a pro žádné x e X není a < x,
(iii) největší prvek třídy X, je-li a majoranta A' a a e X.
(iv) Minoranta a minimální prvek třídy X se definují tak, že obrátíme nerovnosti
v (i) a (ii). Nejmenší prvek třídy X je minoranta, která je prvkem X.
(v) Říkáme, že aeA je supremum třídy X, je-li a nejmenší prvek třídy všech
majoráni třídy X. Říkáme, že a je infimum třídy X, je-li to největší minoranta třídy X.
Uvědomme si, že je-li x nejmenším prvkem třídy X, potom x je také minimálním
prvkem a infimem třídy X. Je-li < lineární uspořádání na A, potom každá třída
X c A má nejvýše jeden minimální prvek a ten je také nejmenším prvkem třídy X.
Duální tvrzení platí také pro největší a maximální prvek a supremum třídy X.
66

5 !!
Vlastnosti relací ci uspořádáni
5.8 Označení. Ze slabé antisymetrie relace uspořádání vyplývá, že největší a
nejmenší prvek třídy X — pokud existuje — je určen jednoznačně. Totéž platí pro
supremum jako nejmenši prvek třídy všech majorant a pro infimum, které je
největším prvkem třídy všech minorant. Můžeme zavést následující označení.
Je-li x největší (nejmenší) prvek třídy X při uspořádání R, píšeme x = maxK (X)
(x = minK (X)). Je-li x supremum třídy X, píšeme x = supK (X\ a je-li x infimum
třídy X při uspořádání R, píšeme x = infR (X).
5.9 Uvědomme si, že supremum prázdné podmnožiny uspořádané třídy A existuje,
právě když A má nejmenší prvek. V takovém případě je supremem prázdné
podmnožiny nejmenší prvek třídy A. Podobně infimum prázdné podmnožiny třídy A
existuje, právě když existuje největší prvek třídy A, ten je potom infimem prázdné
podmnožiny.
5.10 Příklady. Definované pojmy budeme ilustrovat na relacích uspořádání z
příkladu 5.5.
(a) Každý prvek množiny {1,2,3} je maximální i minimální při uspořádání R{.
Diskrétně uspořádaná množina, která má alespoň dva prvky, nemá největší ani
nejmenší prvek a nemá žádnou majorantu ani minorantu, tedy také nemá supremum
ani infimum.
(b) Jednotka je nejmenším a trojka je největším prvkem množiny {1,2,3} při
uspořádání R2.
(c) Prázdná množina je nejmenším prvkem univerzální třídy K při uspořádání R3
a žádný prvek není maximální, a tedy ani největší.
(d) Nula je nejmenším prvkem množiny co při uspořádání R4. Množina co nemá
největší ani maximální prvek. Jak uvidíme později, je co (jako ordinální číslo)
supremem množiny všech přirozených čísel ve třídě ordinálních čísel.
(e) Jednotka je nejmenším prvkem a nula je největším prvkem množiny co při
uspořádání R5. Pro libovolná přirozená čísla n, m je jejich nejmenší společný násobek
supremem množiny {n,m\ a největší společný dělitel je infimem téže množiny při
uspořádání R5. Uvežujeme-li množinu cd — {0, 1}, jejími minimálními prvky jsou
právě všechna prvočísla.
5.11 Příklad. Potence čP(a) libovolné množiny a je uspořádána relací inkluze a platí:
(a) 0 je nejmenší a a je největší prvek ^(a).
íbc]
íb<Dw
o
Obr. 5.1
67

I
(b) Pro libovolné x, y e P?(a) je x u y supremem a x n y infimem množiny
{x, y} vzhledem k inkluzi.
(c) Pro libovolnou množinu u c; .^(^) je (J^ supremem a množina a n (f)u)
je infimem množiny i/ vzhledem k inkluzi.
(d) Jsou-li b, c dva různé prvky množiny a, potom {b}, {c} jsou dva nesrovnatelné
prvky množiny ^(a). Podle (b) je množina {b, c} supremem a prázdná množina je
infimem množiny {{fr}, {c}} ^ &{a). Situaci vyjadřuje obrázek 5.1, kde spojnice
mezi vrcholy vyjadřuje srovnatelnost.
5.12 Příklad. Nechť množina C má právě čtyři prvky, C = {a, b, c, d}, a nechť
R = {<a,c>,<a,d>,<6,c>,<M>}.
Pak R je ostré uspořádáni na C. Máme obrázek 5.2. Množina {a, b] má dvě
nesrovnatelné majoranty c, d, a nemá tedy supremum. Podobně množina {c, rf} má dvě
nesrovnatelné minoranty a nemá infimum.
Obr. 5.2
5.13 Definice. Usměrněné množiny, filtry a ideály. Nechť množina A je uspořádána
relací < a nechť X ^ A. Říkáme, že:
(i) X je shora {zdola) omezená v A, jestliže existuje majoranta (minoranta) a e A
množiny X.
(ii) X je dolní množina v X, jestliže s každým svým prvkem obsahuje i všechny menší
prvky množiny A, to znamená, jestliže platí
y < x e X -> y e X
pro libovolné x,ye A.
Říkáme, že X je horní množina v /!, jestliže s každým svým prvkem obsahuje
i všechny větší prvky množiny A, tedy jestliže platí
y>xeX-*ye X
pro libovolné x, ye A.
(iii) X je do/ů (nahoru) usměrněná, jestliže pro libovolné x, y e X existuje ze X
takové, že z < x a z < y (z > x a z > y).
(iv) X je idea/ v A, je-li X nahoru usměrněná dolní množina. X je /i/řr v A, je-li
X dolů usměrněná horní množina.
68

5 15
Vlastnosti relaci a uspořádání
(v) A je svaz, jestliže A je neprázdná a k libovolným dvěma prvkům x, yeA
existuje supremum a infimum množiny {x, y} v množině A.
(vi) A je tip/?7 v svaz, jestliže v množině A existuje supremum a infimum pro každou
podmnožinu u c A.
5.14 Příklady, (a) Množina všech prvočísel je zdola omezená a není shora
omezená při uspořádání K4, ale je zdola i shora omezená při uspořádání R5 z
příkladu 5.5.
(b) Množiny {16, 8,4, 2, 1}, {27, 9, 3, 1} a {27,18, 9, 6, 3, 2, 1} jsou příklady dolních
množin čísel při uspořádání R5 z příkladu 5.5.
(c) Nechť < označuje obvyklou relaci (ostrého) lineárního uspořádání
množiny U všech reálných čísel (podle velikosti). Množinu {z: x < z < y], kde x. v jsou
reálná čísla a x < y, označujeme (x, y) a nazýváme ji otevřený interval. Čísla x, y
jsou meze intervalu (x, y). Při uspořádání množiny č?(U) inkluzí je množina všech
otevřených intervalů nahoru usměrněná. Je-li z nějaké reálné číslo, pak množina
všech otevřených intervalů, jejichž prvkem je z, je dolů usměrněná vzhledem k inkluzí.
(d) Nechť množina A je uspořádána relací < a X c A. Je-li X nahoru
usměrněná množina, potom množina
l(X)={y.yeA8c(3xeX)(y<x)}
je ideál. Říkáme, že l(X) je ideál generovaný množinou X a že X je bází ideálu I(X).
Je-li X dolů usměrněná množina, potom množina
F(X) = {y: yeASc{3xe X){y > x)}
"je filtr generovaný množinou X. Říkáme, že X je bází filtru F(X).
Je-li speciálně A = &(U\ < je uspořádání inkluzí a .Y je množina všech
otevřených intervalů, jejichž prvkem je pevné reálné číslo z, potom F(X)')q filtr všech okolí
bodů z.
(e) Množina co při uspořádání R5 z příkladu 5.5 je svaz.
(f) Pro libovolnou množinu A je potence &{Á) při uspořádání inkluzí úplným
svazem. Uvědomme si, že úplný svaz musí mít největší a nejmenší prvek.
5.15 Zúplnění uspořádaných množin. Položme si otázku, zda je možné vložit
libovolnou uspořádanou množinu do úplného svazu tak, aby se všechna suprema
a infima, pokud existují v původní množině, shodovala s odpovídajícími supremy
a infimy v úplném svazu. Ukážeme, že takové rozšířeni lze sestrojit pro každou
uspořádanou množinu.
Konstrukci takového zúplnění provedl poprvé R. Dedekind, který sestrojil
množinu reálných čísel jako zúplnění lineárně uspořádané množiny racionálních čísel.
Zúplnění libovolné uspořádané množiny popsal H. M. Mac Neilie, který zobecnil
původní Dedekindovu myšlenku.
Víme již, že potenční množina libovolné množiny spolu s uspořádáním inkluzí
tvoří úplný svaz. Potenční množiny nebo jejich části jsou přirozenými kandidáty,
mezi nimiž budeme hledat zúplnění uspořádaných množin.
69

I
5 16
5.16 Definice. Hlavní ideál. Necht R je uspořádáni na množině A. Pro libovolné
x e A je množina {y: ye A & y <Rx} dolní vzhledem k uspořádání R a je nahoru
usměrněná, protože má největší prvek. Označíme ji (<—, x] a říkáme, že je to
hlavní ideál určený prvkem x. Říkáme, že ideál X £ A je hlavní, jestliže pro nějaké
xeA platí X = (<—, x].
Duálním pojmem k hlavnímu ideálu je hlavní filtr. Snadno se ověří, že množina
[*,->) = {y:yeA&yR> x)
je dolů usměrněná horní množina. Říkáme jí hlavní filtr určený prvkem x. Říkáme,
že filtr X c= A je hlavní, jestliže pro nějaké xeA platí X — [x, —►).
5.17 Lemma. Nechť R je uspořádání na množině A. Pro libovolné x,ye A platí
x <*)>«-► (<-,*] £ (<-,>']•
5.18 Definice. Izomorfismy a vnoření. Nechť Fje zobrazení Ax do A2 a nechť i?2, /?2
jsou relace. Říkáme, že:
(i) F zachovává relace Rx, R2, jestliže pro libovolné x,yeAl platí
^y)eRi-^(F(x),F(y))eR2.
(ii) Fje vnoření A{ do A2 vzhledem k Rt, /?2, je-li F prosté zobrazení a pro
libovolné x, y e A j platí
<x,y>eR1^<F(x),F(y)>eK2.
(iii) F zachovává suprema, když pro libovolné xe A, a Xg/lj platí
x = suPj<1(.YHF(x) = supK;(F[.Y]).
Obdobně se definuje zachovávání infima.
(iv) F je izomorfismus tříd AlyA2 vzhledem k R^Rj, jestliže F je vnoření /^
do A2 a Rng(F) = A2. Říkáme, že F je izomorfismem relací RliR2, jestliže F je
izomorfismem oborů relací RUR2 (vzhledem k RliR2). Říkáme, že třídy AX,A2
jsou izomorfní vzhledem k R{,R2. jestliže existuje nějaký izomorfismus obou tříd
vzhledem k relacím R}, R2.
5.19 Snadno se ověří, že izomorfismus dvou uspořádaných množin zobrazuje dolní
množinu na dolní množinu, ideál na ideál a filtr na filtr. Izomorfismus také zachovává
suprema a infima. Stejná tvrzení však neplatí pro vnoření.
Je-li A množina uspořádaná relací R, definujme zobrazení F:A—^^(A) tak,
že pro libovolné a e A položíme
F(a) = (<-, a] .
Podle lemmatu 5.17 je F vnoření A do &(A) vzhledem k relaci R a inkluzi. Označí-
me-li D(A) množinu všech dolních množin v množině A, potom F je také vnoření A
do D(A) vzhledem kRa inkluzi. Ukážeme, že množina D(á) je také úplný svaz při
uspořádání inkluzi.
70

5 23 l la^musti relaci a uspoi udaní I
5.20 Lemma. Sechi R je uspořádaní na množině A, nechl D(A) je množina usech
dolních množin při uspořádání R.
Pro libovolnou množinu C c: D(A) jsou množiny (JC a A n (f]C) opět dolní
množiny. První z nich je supremum a druhá je infimum množiny C vzhledem k inkluzi
D(A) je úplný svaz vzhledem k inkluzi.
Důkaz. Protože D(A) c &(Á), stačí dokázat, že suma i průnik C jsou dolní
množiny, z vlastností sumy a průniku je zřejmé, že jde o supremum a infimum. Je-li
ye{JC, potom y je prvkem nějakého ceC. Je-li xeA a x<Ry, potom xec,
protože c je dolní množina. Podle definice sumy je c £= (JC, takže xe[jC.
Dokázali jsme, že suma množiny C je také dolní množina. Je-li C prázdná, potom f]C
je univerzální třída, takže (f]C) n A = A, a to je dolni množina. Je-li C neprázdná,
snadno se ověří, že f]C je také dolní množina.
5.21 Je-li IR množina .všech reálných čísel, < je její obvyklé uspořádání podle
velikosti a X je otevřený interval (<—, 1) všech reálných čísel x, x < 1, potom
supX = 1 a F(l) = (-,1].
Na druhé straně pro supremum obrazu množiny X platí
supgF[.Y] = Uf[-V] = (-,l)*F(l),
tedy zobrazení F:U—»D(íR) nezachovává suprema. Při konstrukci zúplnění tuto
obtíž odstraníme tím, že nepoužijeme všechny, ale jenom speciální dolní množiny.
5.22 Definice (Mac Neille). Nechť A je uspořádaná množina,
(i) Pro libovolnou podmnožinu X g A položíme
XA = {x: xe A &x je majoranta X) ,
Xv = {x: x e A & x je minoranta X] .
Je zřejmé, že XA je horní množina a Xv je dolní množina vzhledem k uspořádání
množiny A. Uvědomme si, že XA je prázdná, pokud X není shora omezená, a Xv je
prázdná, pokud X není omezená zdola.
(ii) Říkáme, že podmnožina X c: A je stabilní, jestliže platí X = (XA)V.
5.23 Lemma. Pro libovolné podmnožiny X, Y 9= A a libovolný prvek ae A platí
(i) je-li X c y, potom YA c XA a Yv c Xv,
(ii) X S (XT,
(iii) (XA)V> vzhledem k inkluzi nejmenší stabilní nadmnožina množiny X,
(iv) hlavní ideál (<—, a] je stabilní množina.
Důkaz, (i) Zřejmě každá majoranta (minoranta) množiny Y je také majorantou
(minorantou) množiny X.
(ii) Libovolný prvek xeX je minorantou XA, tedy je prvkem (XA)V.
(iii) Označme Z = (XA)V a ukážeme, že Z je stabilní množina. Podle (i) a (ii) je
ZA c XA. Dokážeme i obrácenou inkluzi. Je-li x e XA, pak x je majorantou
množiny X, to znamená, že x > z pro každé ze Z, tedy také xtZA. Z rovnosti
71

5 21
XA = ZA plyne {XAf = {ZAf. Je-li S stabilní a X c 5, podle (i) je SA c XA
a (XA)V <= (SA)V - S.
(iv) Důkaz je zřejmý.
5.24 Věta (Mac Neille). Nechť A je množina uspořádaná relací R a F je zobrazení,
které každému ae A přiřazuje hlavní ideál (<—, a]. Množina S(Á) všech {vzhledem k R)
stabilních podmnožin množiny A je úplný svaz při uspořádání inkluzi.
Zobrazení F je vnoření množiny A do S(A) vzhledem k R a inkluzi, které zachovává
suprema i infima.
Důkaz. F je podle lemmatu 5.23(iv) zobrazení A do S(A) a podle lemmatu 5.17 je to
vnoření vzhledem k R a inkluzi. Zbývá dokázat, že S(A) je úplný svaz a že F zachovává
suprema a infima.
Nechť B c S(A) a X = [JB. Z definice sumy a lemmatu 5.23(iii) vyplývá, že
(XA)V je supremum množiny B vzhledem k inkluzi. Je-li fi + Oa Y = f]B, potom
pro každé SeB platí Y c 5 a také (FA)vc5, protože 5 je stabilní. Tedy
(FA)V = Y a Yje infimem množiny £ vzhledem k inkluzi. Je-li B prázdná, snadno
se dokáže, že A je infimem B. Ukázali jsme, že množina S(A) je úplný svaz při
uspořádání inkluzi a že množina S(A) je uzavřena na průniky.
Ukážeme, že F zachovává suprema. Nechť X c A a x = supR(.Y). Položíme-li
Y = [JF[X\ snadno se nahlédne, že XA = YA. To znamená, že x je nejmenší
prvek yA a že platí (<—, x] = (yA)v, kde na pravé straně je supremum F[X]
vzhledem k inkluzi. Zobrazení F tedy zachovává suprema. Je-li y = míR (X), není
těžké ukázat, že
F(v) = (-,y] = ÍMA'],
odkud vyplývá, že vnoření F zachovává infima.
5.25 Konstrukce zúplnění uspořádaných množin ukazuje postup, který se s
obměnami opakuje při řešení mnoha podobných úloh v matematice. Můžeme jej shrnout
do dvou kroků: Je-li třeba, nahradíme výchozí množinu jinou množinou, která je
s ní izomorfní, a tu potom doplníme o „chybějící" prvky. Z důkazu Mac Neillovy
věty je zřejmé, že množina S[A) obsahuje jen takové prvky, které jsou nutné k doplnění
množiny A do úplného svazu. V tomto smyslu je S(A) minimální úplný svaz, do
kterého lze vnořit uspořádanou množinu A. V našem případě jsme od původní
množiny přešli k množině všech hlavních ideálů a tu jsme doplnili do úplného svazu
všech stabilních množin. Úplné svazy všech podmnožin a všech dolních množin
byly příliš velké — vnoření nezachovávalo suprema. Častokrát se původní množina
ztotožňuje se svým izomorfním obrazem a považuje se také za podmnožinu zúplnění.
5.26 Dedekindovy řezy. Dedekindovsky úplná uspořádání. Stabilní podmnožiny
lineárně uspořádaných množin lze charakterizovat jednoduchou podmínkou.
Je-li A lineárně uspořádaná množina, snadno se ukáže, že libovolná podmnožina
X ^ A je stabilní, právě když A'je dolní množina a sup (X) je prvkem množiny A\
pokud supremum existuje.
72

5 30
Vlastnosti relací a uspořádání
Podmnožiny lineárně uspořádaných množin, které splňují tuto podmínku, se
nazývají Dedekindovy řezy. Řez je přiléhavé označení pro dolní množiny v lineárně
uspořádané množině. V Dedekindově konstrukci reálných čísel každému reálnému
číslu odpovídá právě jeden Dedekindův řez na množině racionálních čišel.
Říkáme, že množina X lineárně uspořádaná relací < je dedekindovsky úplné
uspořádání na X, jestliže každá podmnožina Y c= X má supremum v množině X.
5.27 Definice. Dobré uspořádání. Říkáme, že uspořádání R na třídě A je dobré,
jestliže každá neprázdná podmnožina u c: A má nejmenší prvek vzhledem k R.
Říkáme, že A je dobře uspořádaná, je-li uspořádána nějakou relací dobrého
uspořádání.
5.28 Dobré uspořádání není vlastnost prvního řádu, protože definice dobrého
uspořádání mluví nejen o prvcích uspořádané třídy, ale i o jejích podmnožinách.
Z definice je zřejmé, že je to vlastnost dědičná. Každá podtřída dobře uspořádané
třídy je dobře uspořádaná. Libovolné dva prvky x, y dobře uspořádané třídy jsou
srovnatelné, protože množina {x, y} má nejmenší prvek. To také znamená, že každé
dobré uspořádání je lineární.
Pojem dobrého uspořádání zachycuje některé vlastnosti uspořádané množiny
přirozených čísel. Jak uvidíme později, tento pojem dovoluje definovat třídu ordi-
nálních čísel, která je nadtřídou množiny přirozených čísel, tak, že operace součtu
a součinu lze rozšířit z přirozených čísel na všechna ordinální čísla.
Zatím si povšimneme jiné zajímavé vlastnosti dobře uspořádaných množin.
Řekli jsme, že množina oj všech přirozených čísel je dobře uspořádaná a její část -
množina všech sudých čísel — je také dobře uspořádaná. Snadno se ověří, že
zobrazení /definované předpisem f(n) = 2n pro něco je jediný izomorfismus množiny w
a množiny sudých čísel při daném uspořádání. Ukážeme, že k libovolným dvěma
dobře uspořádaným množinám existuje právě jedno zobrazení, které je izomorfis-
mem jedné z nich s nějakou dolní podmnožinou druhé množiny. To znamená, že
všechny dobře uspořádané množiny jsou — až na izomorfismus - srovnatelné.
5.29 Definice. Nechť A je množina uspořádaná relací R a B je množina uspořádaná
relací S. Říkáme, že zobrazení F je počátkové vnoření A do B, jestliže Ax = Dom (F)
je dolní podmnožina množiny A, B{ = Rng(F) je dolní podmnožina v B a F je
izomorfismus Al a Bl vzhledem k R a S.
Jinými slovy, F je počátkové vnoření A do fí, je-li to izomorfismus nějakých
dolních podmnožin množin A a B.
5.30 Lemma. Nechť F a G jsou počátková vnoření dobře uspořádané množiny A do
dobře uspořádané množiny B. Potom F <= G nebo G <= F.
Důkaz. Nechť R je dobré uspořádání množiny A a S je dobré uspořádání B. Z
linearity uspořádání R plyne, že libovolné dvě dolní podmnožiny množiny A jsou
srovnatelné vzhledem k inkluzi, tedy buď Dom(F) ^ Dom (G), nebo Dom (G) c Dom (F).
73

I
5 30
Předpokládejme, že platí první inkluze, a ukážeme, že F(x) = 0(x) pro každé xe
e Dom (F). V opačném případě nechť x je vzhledem k R nejmenší prvek takový, že
p(x) #= G(x). To znamená, že pro každé y <Rx platí F(y) = G(y). Z linearity
uspořádání S vyplývá, že F(x) a G(x) jsou srovnatelné. Nechť například F(x) <s G(x)
a označme b = F(x). Vzhledem k tomu, že G respektuje uspořádání, pro každé
zeDom(G) takové, že z R> x, plati G(z) s> b. To znamená, že b^Rng(G)
a obor hodnot zobrazení G není dolní množina v B — spor. V případě, že
Dom (G) ^ Dom (Z7), postupujeme obdobně.
5.31 Věta. Nechť množina A je dobře uspořádaná relací R a množina B je dobře
uspořádám relací S. Potom existuje právě jedno zobrazení F takové, že F je izomorf
ismus množiny A a nějaké dolní množiny v B nebo F je izomorfismus B a nějaké dolní
množiny v A.
Důkaz. Nechť P je množina všech počátkových vnoření A do B. Položme F = [JP.
Snadno se ukáže, že i7 je zobrazení. Je-li (xj^ef a (x,y2)eF, pak existují
počátková vnoření FVF2 taková, že {x,y1)eFl a <x, y2>eF2. Podle lemmatu
5.30 je f\ c F2 nebo F2 £ Fx, odkud plyne yx = y2. Ukážeme, že F je také
počátkové vnoření A do B. Je-li x{ <Kx2eDom(F), pak existuje F' e P takové,
že xv x2 e Dom (F'), a protože F' je počátkové vnoření, dostáváme
F(x1) = F'(xI)<sF'(x2)=F(x2).
Přitom Dom (F) je sjednocení dolních množin Dom (F'), FeP a je podle
lemmatu 5.20 dolni množinou v A. Podobně se ukáže, že Rng(F) je dolní
množina v B.
Ukážeme, že Dom (F) = A nebo Rng(F) = B. V prvním případě je F hledaný
izomorfismus množiny A a dolní podmnožiny B a ve druhém případě je F_1
izomorfismus B a nějaké dolní podmnožiny množiny A. Kdyby však byly obě množiny
A - Dom(F) i B — Rng(F) neprázdné, vezměme jejich nejmenší prvky a, b.
Snadno se ověří, že zobrazení F\ které vznikne z F tím, že rozšíříme F do bodu a
tak, že F'(a) = b, je také počátkové vnoření. Tedy F' e P a to je ve sporu s definicí
zobrazení F. Jedna z obou množin musí být prázdná.
5.32 Relace ekvivalence jsou důležitým typem relací, kterými stojí za to zabývat se
hned od počátku. Relace ekvivalence mají podobné vlastnosti jako rovnost a popisují
vztah mezi prvky nějaké třídy, které můžeme považovat (i když jsou různé) z nějakého
hlediska za rovnocenné — ekvivalentní.
5.33 Definice. Relace ekvivalence. Říkáme, že relace R je ekvivalence na třídě A,
je-li R reflexivní, symetrická a tranzitivní na A. Říkáme, že prvky x,yeA jsou
ekvivalentní vzhledem k R, je-li (x, y) e R. Je-li R ekvivalence na svém oboru,
říkáme krátce, že R je relace ekvivalence.
74

5.38
Vlastnosti relaci a uspořádáni
I
534 Příklad. Rovnost je reflexivní, symetrická a tranzitivní, proto relace Ld | A
je ekvivalence na libovolné třídě A. Snadno se ověří, že relace A x A je také
ekvivalence na A. Můžeme říci, že Id | A je nejmenší nebo nejjemnější a relace A2 je
největší nebo nejhrubší ekvivalence na A. Vzhledem k relaci Id | A je každý prvek
třídy A ekvivalentní jen sám se sebou, vzhledem k A2 jsou libovolné dva prvky
třídy A ekvivalentní.
5.35 Definice. Třídy ekvivalence. Je-li R relace ekvivalence a u je prvek oboru
relace K, třída R"{u} sestává ze všech prvků oboru relace, které jsou ekvivalentní
s u. Třída R"{u) se častěji označuje jako \_u~\R a řiká se jí třída ekvivalence určená
prvkem u. Z reflexivity relace R je zřejmé, že u e [w]K-
5.36 Lemma. Necht relace R £ A x A je ekvivalence na třídě A. Třídy ekvivalence
[a]R, [_b]R libovolných dvou prvků a,be A jsou bud disjunktní, nebo se rovnají.
Důkaz. Stačí, dokážeme-li \_a]R = \_b~\R, pokud obě třídy ekvivalence mají nějaký
společný prvek. Nechť c je společným prvkem [a]R a [b\R, potom {a, c> e R
a (b,c}eR. Ze symetrie R také (c,b)eR a z tranzitivity dostáváme (a,b}eR.
Je-li x e [a]R, to znamená, je-li <a, x) e R, ze symetrie a tranzitivity dostáváme
(b, x> e K, tedy x e [b]R a [a]^ c= [frj^. Stejným způsobem se dokáže i obrácená
inkluze. Dokázali jsme, že třídy ekvivalence \_a]R, \_b]R se rovnají, právě když a, b
jsou ekvivalentní vzhledem k R.
Třída A je relací ekvivalence rozdělena na disjunktní podtřídy tvaru [a]R.
S takovým rozdělením se dobře pracuje, pokud žádná třída ekvivalence není vlastní
třídou, speciálně, je-li A množina.
5.37 Definice. Rozklad množiny, (i) Říkáme, že množina P je rozkladem množiny
/l, jestliže \JP = A A) i P a libovolné dva různé prvky u<reP jsou disjunktní.
(ii) Je-li R c A x A relace ekvivalence na množině A, množinu
AJR = {[a]R:aeA}
nazýváme faktorizací množiny A podle relace R a zobrazení F.A—>AjR, které
každému as A přiřadí \_a]R, nazýváme kanonickým vnořením A do AJR.
5.38 Věta. (i) Je-li R <= A x A relace ekvivalence na množině A, potom
faktorizace AltR je rozkladem množiny A.
(ii) Je-li P rozkladem množiny A, pak existuje právě jedna relace Ry která je
ekvivalencí na množině A a AJR — P.
Důkaz, (i) je důsledkem lemmatu 5.36.
(ii) Je-li P rozklad množiny A, definujme relaci R následovně:
R = {(a,b):{3peP){aep&bep)} .
Je zřejmé, že R je reflexivní a symetrická. Je-li <a, b} e R a <b, c> e R, pak
75

I
5.38
z disjunktnosti rozkladu P je zaručena existence p e P takového, že a,b,ce p,
tedy <a, c> e R a R je tranzitivní. Z definice R je zřejmé, že P - AJR a že R je
jediná taková relace ekvivalence.
5.39 Definice. Zjemnění rozkladu. Říkáme, že rozklad P množiny A je zjemněním
rozkladu Q z píšeme P <š Q, jestliže ke každému p e P existuje q e Q takové,
že p c q. Množinu všech rozkladů množiny A označíme R(A).
5.40 Lemma. Nechť E(A) £ &{A x a) je množina všech relací ekvivalence na
množině A.
(i) Relace <š je uspořádání na množině R(A).
(ii) Jsou-li R, S relace ekvivalence na A, potom
R^S^AJR^AJS,
[o znamená, že zobrazení, které každé relaci ekvivalence R přiřadí rozklad AJR,
je izomorfismus množin E[A\ R(A) vzhledem k inkluzi a <š.
Důkaz, (i) Přenecháváme jako cvičení, (ii) Uvědomme si, že jsou-li R. S relace
ekvivalence, pak R G S implikuje, že [a]R c [a]s platí pro každé as A a naopak.
5.41 Věta. (i) Množina E(A) všech relací ekvivalence na množině A je úplný svaz
při uspořádání inkluzi.
(ii) Množina PIA) usech rozkladů množiny A je úplný svaz při uspořádání <š.
Důkaz, (i) Nejprve ukážeme, že průnik libovolné množiny relací ekvivalence na A
je relace ekvivalence na A. Nechť E c E[Á) a O = f)E, ukážeme například, že
Q je reflexivní na množině A. Pro libovolný prvek aeA a libovolnou relaci
SeE z reflexivity 5 vyplývá <a. a)šS. Tedy také (a, a} e O aO je reflexivní.
Podobným způsobem se ukáže, že O je relace ekvivalence na .4. Je zřejmé, že O je
infimem množiny E vzhledem k inkluzi. Je-li D £ E(A) libovolná množina relací
ekvivalence, nechť
E = {R:RzE(A)&.(VSeD)(S c R)} .
Uvědomme si, že E je neprázdná množina, protože A x A <= £. Položíme-li
Q — P|£, pak Oje relace ekvivalence. Zřejmě Oje nejmenší prvek množin> £
vzhledem k inkluzi, a tedy Q je supremum množiny D. Tvrzení (ii) je důsledkem (i) a
lemmatu 5.40(ii).
5.42 Srovnávání velikosti množin. Inkluze nabízí nejjednodušší způsob srovnávání
velikosti: Je-li x cz y, potom x má nejvýše tolik prvků jako množina v. Víme, že
inkluze je relace uspořádání na univerzální třídě V, ale není to lineární uspořádání.
Mnoho párů množin je neporovnatelných. Tuto nevýhodu lze do značné míry
(a s axiomem výběru úplně) vyloučit, využijeme-li prostá zobrazení.
Zavedeme dvě velmi důležité relace pro srovnávání velikosti množin a
seznámíme se s jejich vlastnostmi.
76

547
Vlastnosti relaci a uspořádáni
1
5.43 Definice. Srovnávání mohutnosti, (i) Říkáme, že množiny x. y mají stejnou
mohutnost a píšeme x % y, jestliže existuje prosté zobrazení množiny x na
množinu y.
(ii) Říkáme, že množina x má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny y
a píšeme x ^ y, jestliže existuje prosté zobrazení množiny x do množiny y. Je-li
x^}> a neexistuje prosté zobrazení množiny x na množinu y, píšeme x < y a
říkáme, že množina x má menší mohutnost než množina y.
5.44 Je zřejmé, že je-li x £= y, potom x ^ y, protože identické zobrazení Id | x
zobrazuje množinu x prostě do y. Relace ^ je tedy zobecněním pojmu inktuze.
V §7 ukážeme, že axiom výběru je ekvivalentní s tvrzením, že relace =^ je tricho-
tomická. Na druhé straně, je-li x a y, potom x ^ y, ale nemusí platit x < y.
5.45 Příklad. Uvažujme množinu co všech přirozených čísel a množinu co - {0}
všech kladných přirozených čísel. Zobrazení / definované předpisem f(n) = n -f 1
pro ne co je prosté a zobrazuje co na to — {0}. Obě množiny tedy mají stejnou
mohutnost, i když je jedna vlastní podmnožinou druhé.
5.46 Lemma.
(i) x % x ,
(ii) x^y->y^x,
(iii) (x«>&j;«z)-+x«z,
(iv) x ^ x ,
(v) (x^y&y^z)->x^z.
Důkaz. Identické zobrazení / = Id | x zaručuje ekvivalenci (i) a subvalenci (iv).
(ii) Je-li / prosté zobrazení x na y, potom j ~] je prosté zobrazení y na x. (iii) Je-li
/ prosté zobrazení x na y a g je prosté zobrazení y na z, potom gf je prosté
zobrazení x na z podle 4.30(i). Podobně se dokáže (v).
5.47 Tvrzení (i)—(iii) lemmatu 5.46 ukazují, že relace « je reflexivní, symetrická
a tranzitivní. Je to relace ekvivalence na univerzální třídě. Podle 5.36 určuje rozklad
univerzální třídy na třídy ekvivalence takové, že libovolné dvě množiny z téže třídy
ekvivalence lze na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit a mezi množinami z
různých tříd takové zobrazení neexistuje.
Relace =^ je reflexivní a tranzitivní podle tvrzení (iv) a (v). Není však slabě anti-
symetrická: pro kterékoli dvě různé jednoprvkové množiny {a}, {b} platí {a} ^ \b)
i {b} ^ {a}, ale {a} =# {b}. Na rozdíl od relace inkluze, kterou zobecňuje, relace ^
není uspořádání na univerzální třídě. Jak uvidíme později, je to lineární uspořádání
na třídě kardinálních čísel.
77

1
5 47
Z definice ekvivalence je zřejmé, že pro libovolné dvě množiny platí
x « y -> (x < y & y ^ x),
ukážeme, že platí i obrácená implikace.
5.48 Věta (Cantor, Bernstein).
(x^y&y^x)-+xzty.
Je-li mohutnost množiny x menší nebo rovna mohutnosti množiny y a naopak, potom
x a y mají stejnou mohutnost.
Důkaz. Nechť/je prosté zobrazení množiny x do y a g je prosté zobrazení množiny y
do množiny x. Zobrazení / a g určují podle 4,34 dvě zobrazení mezi potencemi
&(x) a &(y), která jsou monotónní vzhledem k inkluzi. S jejich pomocí budeme
definovat zobrazení H: &(x)—> &(x) tak, že položíme
H(u) = x — g[y — f[u]~] pro každé u ^ x .
Snadno se ověří, že H je také monotónní vzhledem k inkluzi, to znamená, že pro
libovolné m c u c x platí H(u) c /f(u). Později ukážeme, že každé zobrazení ^(x)
do &(x), které je monotónní vzhledem k inkluzi, má pevný bod. To znamená, že
existuje podmnožina c <= x, pro kterou platí H(c) = c.
Předpokládejme na chvíli, že podmnožina c £ x je pevným bodem zobrazení H.
Tedy
c = H{c) = x-g[y- f[cj] ,
odkud dostáváme
x - c = g[y - f[c]] .
Přitom g je prosté zobrazení množiny y do x a. podle předchozí rovnosti je x - c
obrazem podmnožiny y — /[c]. Odtud plyne, že g"1 |x - c je prosté zobrazení
množiny x — c na množinu y — /[c]. Položíme-li
,/ x jf(a) Pro aec'
[g (a) pro ae x — c,
potom Ji je hledané prosté zobrazení množiny x na y.
Důkaz Cantorovy-Bernsteinovy věty bude úplný, dokážeme-li následující tvrzení.
5.49 Lemma. Je-li H zobrazení &(x) do &{x\ které je monotónní vzhledem k inkluzi,
potom existuje množina c c= x taková, že H(c) = c.
Důkaz. Uvažujme množinu
C = {li c x:uc H(u)}
a položme c = (JC. Potom c ^ x a pro každé t/eC platí u c= c. Z
monotónnosti zobrazení H dostáváme
78

5.51 VhiWiio^íf icicuía uspořádaní
u ^ H{u) ^ H(c) pro každé nťC,
odkud plyne c = (JC c f/(c). Znovu využijeme monotónnost zobrazení H a
dostáváme H(c) ^ H(#(c)). To znamená, že H(c) je také prvkem množiny C a z definice
sumy dostáváme H(c) £ c. Ukázali jsme, že f/(c) = c a c je pevným bodem
zobrazení H.
5.50 Příklad, (a) Ukážeme, že množina co všech přirozených čísel je ekvivalentní
množině všech uspořádaných dvojic přirozených čísel. Snadno se sestrojí prosté
zobrazení / množiny co do (d x m: stačí položit f(n) = <0, n) pro každé něco.
Definujeme-li pro m, něco zobrazení g vztahem g(min) = 2m. 3", z
jednoznačnosti prvočíselných rozkladů vyplývá, že g je prosté zobrazení co x co do co. Podle
věty Cantorovy-Bernsteinovy existuje prosté zobrazení množiny co na co x co.
V tomto případě lze takové zobrazení jednoduše popsat. Definujeme-li zobrazení
h(m,n) = 2m(2n + 1) - 1, není obtížné ukázat, že h je prosté zobrazení co x co
na co.
(b) Označíme-li [co]2 množinu všech dvojic přirozených čísel, to znamená
množinu všech dvouprvkových podmnožin {m, n} ^ co, potom s malou změnou
zobrazení fz odstavce (a) pomocí věty Cantorovy-Bernsteinovy dokážeme existenci
prostého zobrazení h množiny co na [co]2. Čtenář se může pokusit sestrojit prosté
zobrazení co na [co]2.
Nyní ukážeme několik tvrzení o ekvivalenci množin, která budeme později
potřebovat.
5.51 Lemma.
(i) X X y % y x x ,
x x (y x z) ^ (x x )') x z,
(ii) (x « x,8cy % yx)-^(x x y) k (x: x yj,
(iii) x^><-^(x)^()<),
(iv) ^(x)«'2, kde 2 = {0,{0}}.
Důkaz. Tvrzení (i) a (ii) dokáže čtenář sám. (iii) plyne z lemmatu 4.35, kde je
dokázáno, že ,^(x) a ^(y) jsou dokonce izomorfní vzhledem k uspořádání inkluzí
a izomďrfismus zachovává operace sjednocení, průniku a rozdílu, (iv) Označíme-li
množinu {0} symbolem 1, pro každou podmnožinu y e Ž?(x) můžeme definovat
charakteristickou funkci iy e x2 předpisem
.f,\ f1' Je~H tey>
'vU [0, je-li tex-y.
Snadno se ukáže, že zobrazení, které každé množině y <= x přiřazuje její
charakteristickou funkci iv, je prosté a zobrazuje <?(x) na x2.
79

I
5 52
5.52 Lemma.
(0
(«)
(iii)
(iv) jsou-li x,
0*x^y-+xu^yu,
u =^ v —* yu =^ yv ,
(JcXy,u% ^u) ^ y(xu),
y disjunktní množiny, potom
lx"y)u ^ xu x >u.
Důkaz, (i) Je-li 1/ = 0, pak na pravé straně implikace jsou jen prázdné množiny
a tvrzení platí. Nechť n 4=0 a agu. Každé funkci f:x—+u přiřadíme vzájemně
jednoznačně nějakou funkci f:y—+u. Nechť g je prosté zobrazení x do y a yt =
= Rng(g), položíme-li
(a> je-li rey-y^
potom zobrazení F, kde F(/) =/, je prosté a zobrazuje množinu xu do vu. Snadno
se nahlédne, že je-li x = 0, y 4= 0 a u = 0, subvalence na pravé straně (i) nemůže
platit.
(ii) Je-li h prosté zobrazení u do v, každé funkci f:y—>u přiřaďme zobrazení
/ = */.
(iii) Pro libovolné zobrazení f:x x y—*u a prvek aex definujme zobrazení
fa:y-*u, kde
fa(t) = /(a, r) pro r e y .
Potom relace r— {</ {<tf,/a> : a 6 x}> :/e {xXy]u} je prosté zobrazení množiny
(xXy)udox(y4 Je-li ^efu), potom
/= {(a,b,c):aex&(^c)eg(a)}
je vzorem g při zobrazení r. Tedy r je prosté zobrazeni {XXy)u na a(yw). Podobně se
dokáže i druhá část tvrzení (iii).
(iv) Je-li /libovolné zobrazení množiny x do množiny u a g je libovolné zobrazeni
y do u, z disjunktnosti množin x, y plyne, že h = /u g je zobrazení množiny xuy
do u. Je-li naopak /i zobrazení z množiny x u y do u, potom h určuje jednoznačně
dvojici zobrazení </, g>, kde f = h\ x a g = ft | y.
5.53 Důsledek.
(i) (x ^ y Se u ^ v)—+xu^yv.
(ii) (0 * x < y & i/ ^ «) - xu ^ yu.
Důkaz tvrzení (iii) lemmatu 5.52 ukazuje, že každou funkci dvou nebo více
proměnných lze vyjádřit funkcemi jedné proměnné, pokud připustíme, aby hodnotami
funkce byla opět zobrazení.
80

§ 6 Konečné množiny, přirozená čisla a spočetné množiny
Zavedeme pojem konečné množiny a indukcí pro konečné množiny dokážeme,
že třída všech konečných množin je uzavřená na základní množinové operace.
Budeme definovat množinu co všech přirozených čísel, dokážeme princip indukce
pro přirozená čísla a ukážeme, že uspořádání přirozených čísel podle velikosti
charakterizuje množinu co až na izomorfismus. Nekonečné množiny se dělí na spočetné
a nespočetné. Množina co je prototypem spočetných množin.
Ukážeme, že množiny ZaQ všech celých a racionálních čísel jsou spočetné a že
i uspořádání množiny Q má své charakteristické vlastnosti. Dokážeme také, že
množina U všech reálných čísel je nespočetná a že z toho plyne existence transcendentních
reálných čísel. Zamyslíme se také nad charakterem existenčních důkazů v teorii
množin. Na závěr ukážeme, že škála mohutností nekonečných množin je shora
neomezená.
6.1 Konečné množiny. Řekneme-li „konečná množina", máme na mysli množinu
s konečným počtem prvků. Zatím umíme sestrojit množiny, které mají daný konečný
počet prvků (jeden, dva, sedm, sto). Chybí nám souhrnný pojem, který by se
vztahoval na všechny konečné množiny.
Jedna z cest k pojmu konečné množiny vede oklikou přes přirozená čísla. Pro
potřeby výkladu raději užijeme definici A. Tarského, která definuje konečnost
množiny přímo z vlastností její potence. Přirozená čísla budeme definovat až později.
6.2 Definice. Konečné množiny (Tarski). Říkáme, že množina x je konečná,
a píšeme Fin (x), jestliže každá neprázdná podmnožina y ^ -P(x) má maximální
prvek vzhledem k inkiuzi.
Snadno se ověří, že prázdná množina a každá jednoprvková množina jsou
konečné, protože &(0) = {0} má jedinou neprázdnou podmnožinu y = {0} a její prvek
je maximální vzhledem k inkiuzi. Podobně ^({x}) = {0, {x}} má tři neprázdné
podmnožiny a v každé z nich najdeme maximální prvek.
Je-li dána libovolná množina x, zobrazení d, které každé podmnožině u c x
přiřazuje její doplněk d(u) = x — u, je prosté, zobrazuje &(x) na £^(x) a je klesající
vzhledem k uspořádání inkiuzi. Odtud plyne, že množina x je konečná, právě když
81

1
62
každá neprázdná podmnožina y ^ ž?(x) má minimální prvek vzhledem k inkluzi.
Je-li dána podmnožina y c 0>{x\ přejdeme k množině y — d\y'\ která sestává
z doplňků všech množin z y. Je zřejmé, že u je minimální prvek množiny ý, právě
když d(u) je maximální prvek množiny y a naopak.
Bezprostředním důsledkem definice konečných množin je následující tvrzení.
6.3 Věta. (i) Je-li a konečná uspořádaná množina, potom každá neprázdná
podmnožina b c: a má alespoň jeden maximální prvek a alespoň jeden minimální prvek.
(ii) Každé lineární uspořádání na konečné množině je dobré uspořádání a libovolná
dvě lineární uspořádání na téže konečné množině jsou izomorfní.
Důkaz, (i) Nechť a je uspořádána relací < a b je její neprázdná podmnožina.
Ukážeme, že existuje maximální prvek množiny b. Každý prvek xea spolu s relací
uspořádání určuje dolní podmnožinu
(<-—, x] = {y: y e a & y < x} .
Nechť u je množina, která sestává ze všech dolních množin (<—, x] pro .x e b.
Potom u je neprázdná podmnožina potence @{a\ a protože a je konečná množina,
existuje prvek meb takový, že (<—, m\ je maximální prvek množiny u vzhledem
k inkluzi. Podle lemmatu 5.17 je m maximální prvek množiny b vzhledem k
uspořádání <.
Uvažujeme-li místo dolních množin horní množiny
[x, —►) = {y: yeaSc x < y},
stejným postupem dokážeme existenci minimálního prvku množiny b. K důkazu
tvrzení (ii) stačí, uvědomíme-li si, že v lineárně uspořádané množině je minimální
prvek totéž co nejmenší prvek.
Jsou-li r, 5 dvě lineární uspořádání na konečné množině a, jsou to dobrá
uspořádání. Podle věty 5.31 je dobře uspořádaná množina <a, r> izomorfní s nějakou
dolní podmnožinou b í= a při uspořádání 5 nebo dobře uspořádaná množina {a, s>
je izomorfní s nějakou dolní podmnožinou b při uspořádání r. V obou případech
mají množiny a, b stejnou mohutnost. Stačí, dokážeme-li a = b. To plyne z
následujícího lemmatu.
6.4 Lemma. Je-li a konečná množina, potom a má větší mohutnost než libovolná vlastní
podmnožina b cz a.
Důkaz. Každá podmnožina b c a má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti
množiny a. Stačí, dokážeme-li, že žádná vlastní podmnožina b ^ a nemá stejnou
mohutnost jako množina a. Dokazujeme sporem.
Předpokládejme, že existuje vlastní podmnožina b <= a taková, že b ^ a. Nechť
y c= 0»{a) je množina, která sestává ze všech takových podmnožin, y je tedy neprázdná
a má minimální prvek vzhledem k inkluzi, protože množina a je konečná. Nechť
c e y je minimální prvek množiny y. Podle definice množiny y je c vlastní
podmnožinou množiny a a má s ní stejnou mohutnost. Je-li / prosté zobrazení množiny a
82

Konečné množiny u přirozená čísla
na ca. d — f[c\ potom množiny a, c, d mají stejnou mohutnost. Přitom d je vlastní
podmnožinou c, protože / je prosté zobrazení a d neobsahuje obrazy prvků z
neprázdné množiny a — c. To je ve sporu s předpokladem, že c je minimální prvek
množiny y. Žádná vlastní podmnožina b <=■ a nemá stejnou mohutnost jako a.
Ukážeme, že konečnost se zachovává při přechodu k podmnožinám a při prostých
zobrazeních.
6.5 Lemma.
(i) (Fin(x)&ycx)->Fin(y),
(ii) (Fin(x)&x^y) — Fin(y),
(iii) (Fin(x)&y<xHFin(y).
Důkaz, (i) Je-li x konečná a y £ x, potom &(y) c @{x) a každá neprázdná
podmnožina w c ^(y) má maximální prvek vzhledem k inkluzi. (ii) Je-li / prosté
zobrazení x na y, podle lemmatu 4.35(ii) jsou potence ž?(x) a ^(y) izomorfní
vzhledem k uspořádání inkluzi, tedy y je také konečná množina, (iii) plyne z (i) a (ii).
6.6 Lemma.
(i) (Fin (x)& Fin (y))-> Fin (xvjy),
(ii) Fin(x)-(Vy)Fin(xw{y}).
Důkaz, (i) Nechť w je neprázdná podmnožina &(x u y). Ukážeme, že existuje
maximální prvek v e w. Položme
wL = {u: (3f g w) (u = t n x)},
potom wl je neprázdná podmnožina c?(x). Nechť v{ je maximální prvek wi vzhledem
k inkluzi. Položme dále
w2 = {u\ (3rew)(( r\ x = v{ Se t r\ y - a)} ,
potom w2 je neprázdná podmnožina &{y\ Je-li v2 £ w2 maximální vzhledem
k inkluzi, potom v = vl u u2 je hledaný maximální prvek množiny w. Tvrzení (ii)
plyne z (i), protože každá jednoprvková množina je konečná.
6.7 Definice. Třída všech konečných množin
Fin = {x: Fin (x)} .
Podle lemmatu 6.6 je třída Fin uzavřena na sjednocení dvou množin. Uvědomme
si, že podle 6.5(i) je také uzavřena na průnik a rozdíl. Tvrzeni (ii) lemmatu 6.6
naznačuje důležitou vlastnost třídy Fin, kterou nazveme princip indukce.
6.8 Věta. Princip indukce pro konečné množiny. Je-li X třída, pro kterou platí
(i) OeX,
(ii) xeX->(Vy)(xu{y}GX),
potom Fin c X.
83

I
68
Důkaz. Předpokládejme, že X je třída, která splňuje obe podmínky věty, ale Fin
není její podtřídou. Je-ií x nějaký prvek třídy Fin - X, definujme
vv = {v: v c x& veX} .
Podle (i) je 0 e w a w je neprázdná podmnožina -?(x). Nechť u0 je maximální prvek w
vzhledem k inkluzi. Tedy vQ £ x, ale v0 4= x, protože v0eX. To znamená, že
existuje nějaký prvek yex — vQ. Poiožíme-li v{ = v0 u [y], potom vl e w a v0
není maximální vzhledem k inkluzi — spor. Tedy Fin g: X a věta je dokázána.
6.9 Lemma. Fin (x) -► Fin (&>(x)).
Důkaz. Použijeme principu indukce. Ukážeme-li, že třída X = {x: Fin {^(x))}
splňuje podmínky (i) a (ii) věty 6.8, potom Fin ^ X a. lemma bude dokázáno. Víme,
že ^(0) = {O}, a to je konečná množina, tedy QeX. Je-li xeX a y je libovolná
množina, chceme ukázat, že x u {y} e X. V případě, že yex, není co dokazovat,
protože x u {y} = x. Předpokládejme, že y $ x, a rozdělme potenci ^{x u {y})
na dvě části ^(x) a z = .^(x u {y}) — #(x). To znamená, že množina z sestává
ze všech podmnožin v g x u {y}, pro které platí yeu. Snadno se ověří, že
^(x) % z, stačí, položíme-li /(i/) = {>•} u w pro každé u^9\x), potom /je prosté
zobrazení &(x) na z. Podle předpokladu je á?(x) konečná množina, takže z je konečná
podle 6.5(ii) a &>(x u {y}) je konečná podle 6.6(ii). Ukázali jsme, že X splňuje obě
podmínky principu indukce a lemma je dokázáno.
6.10 Důsledek. (Fin (x)& Fin (y)) — Fin (x x y).
Důkaz. Položme z = x u y. Podle 6.6(i) je z konečná množina a podle 6.5(i) stačí,
ukážeme-li, že z x z je konečná množina. Z důkazu 4.11 plyne, zq z x z <^ ^(^(z))
a z x z je konečná množina podle lemmatu 6.9 a lemmatu 6.5(i).
6.11 Lemma. Je-li a konečná množina a každý její prvek je také konečná množina,
potom [ja je konečná množina. Jinými slovy, sjednocení konečně mnoha konečných
množin je konečná množina.
Důkaz. Použijeme princip indukce. Nechť
X = {x:x c Fin&Fin((Jx)}.
Snadno se nahlédne, že 0 e X. Je-li x e X a y je libovolná konečná množina, potom
\J(xKj{y}) = yu[)X
a na pravé straně rovnosti je sjednocení dvou konečných množin. Podle 6.6(i) je
x u {y} také prvkem třídy X a tím je lemma dokázáno.
Ukážeme, že každá konečná množina je srovnatelná se všemi množinami.
6.12 Lemma. Fin (x) -> (Vy) (_x < y V y ^ x).
Důkaz. Indukcí pro konečné množiny. Položme
X = {x:(Vy)(x^yV y^x)}
84

6 14 Konečné množiny a přirozená čisla \
a ukážeme, že třída X splňuje obě podmínky principu indukce. Prázdná množina
je podmnožinou každé množiny, proto Oe X. Nechť xeX, u je libovolná
množina a z = x u {u}. Chceme ukázat, že zeX. Můžeme předpokládat, že u není
prvkem množiny x. V opačném případě je z = x a není co dokazovat. Nechť y je
libovolná množina. Podle předpokladu je a ^ \ nebo \ ^ .v. Je-li \ ^ v. pak
existuje proste zobrazeni J množiny y do x a / je také prosté zobrazení y do z. tedy
y ^ z. Zbývá případ x < y (protože x « y je zahrnuto v y> ^ x). Je-li g prosté
zobrazení množiny x do y. pak existuje nějaký prvek vsy - Rng (g), protože x
a y nejsou ekvivalentní množiny. Položíme-li
h = gyj {<u,u»,
pak h je prosté zobrazení množiny z do y, takže z =^ y. Pro libovolnou množinu y
jsme ukázali,že z =^ y nebo y ^ z, tedy ze X. Podle věty 6.8 je Fin c X a lemma
je dokázáno.
6.13 Přirozená Čísla, množina co. Popíšeme nyní konstrukci množiny co všech
přirozených čísel. S touto množinou jsme se již setkali v příkladech, zatím aniž bychom
ji definovali.
Náznak induktivního vytváření přirozených čísel najdeme v důkazu lemmatu
5.51. Sestrojili jsme množiny 0, 1,2, které můžeme chápat jako přirozená čísla nula,
jedna a dvě. Základem konstrukce je jednoduchá myšlenka J. von Neumanna, že
přirozené číslo je množina všech menších přirozených čísel. To znamená, že nule
odpovídá prázdná množina, jednotce odpovídá {0} a dvojce odpovídá {0, {0}}.
Povšimněme si, že platí
0 = 0,
1 = 0 u {0},
2=lu{l}.
Je zřejmé, že stejným způsobem můžeme sestrojit množiny
3 = 2 u {2} ,
4 = 3u{3},
které odpovídají trojce nebo čtyřce, a že můžeme dojít ke kterémukoli napřed
danému přirozenému číslu. Přitom nula je prázdná množina, jednotka je jednoprvková,
dvojka dvouprvková a trojka tříprvková množina atd.
Zatím jsme ponechali stranou otázku, zda je možné definovat množinu \šech
přirozených čísel. Budeme ji definovat jako nejmenší ,,induktivní" množinu.
6.14 Definice. Induktivní množiny. Říkáme, že w je induktivní množina, jestliže
platí
(7) 0gw&(Vu6\v)(uu |u}gw).
85

I
6.14
Uvědomme si, že axiom nekonečna postuluje existenci alespoň jedné induktivní
množiny. To znamená, že třída všech induktivních množin je neprázdná a podle
3.13 je průnik této třídy množina. Tím je oprávněna následující definice.
6.15 Definice. Přirozená čísla. Množinu všech přirozených čísel označíme co
a definujeme ji vztahem
(8) co = f]{w: w je induktivní} .
Prvky množiny co nazýváme přirozená čísla. Uvědomme si, že množina všech
přirozených čísel je podmnožinou každé induktivní množiny.
6.16 Lemma, co je nejmenší induktivní množina.
6.17 Označení. Na množině co definujeme zobrazení s tak, že pro každé přirozené
číslo n položíme
s(n) — n u {n} .
Z lemmatu 6.16 vyplývá, že s zobrazuje množinu co do sebe. Říkáme, že přirozené
číslo s(n) je následníkem čísla n.
6.18 Věta. Princip indukce pro přirozená čísla. Je-li X množina přirozených čísel,
pro kterou platí
(i) OeX,
(ii) xeX-> s{x) e X ,
potom co = X.
Důkaz. Splňuje-li nějaká množina X obě podmínky věty, potom X je induktivní
a wgX plyne z lemmatu 6.16. Tím je věta dokázána.
Chceme-li dokázat, že nějaké tvrzení cp{n) platí pro každé přirozené číslo n,
podle předchozí věty stačí, dokážeme-li, že tvrzení platí pro nulu a že pro každé
přirozené n lze z předpokladu cp(n) dokázat (p(s(n)). Tento postup se nazývá důkaz
indukcí.
6.19 Lemma. Pro libovolná dvě přirozená čísla m, n platí
(i) neft)->nCfij,
(ii) men—>m c; n ,
(iii) n$n.
Důkaz indukcí, (i) Je zřejmé, že tvrzení (i) platí pro nulu, protože prázdná množina
je podmnožinou každé množiny. Předpokládejme, že tvrzení (i) platí pro přirozené
číslo n. To znamená, že n c co, odkud plyne s(n) — n u {n} £ co. Podle věty 6.18
tvrzení (i) platí pro každé přirozené číslo n.
(ii) Postupujeme indukcí podle n. Nechť
X = {n: ne co Se (Vm) [men—>m c n)} .
86

6.22
Koneční' množiny a přirozená čísla
I
Snadno se nahlédne, že Oe X. Nechť n je libovolný prvek množiny X. Ukážeme, že
s{n)eX. Nechť m je libovolný prvek z s(n). To znamená, že men nebo m = n.
V obou případech platí m <= n (v prvním případě to plyne z předpokladu neX).
Uvědomme si, že ng s(?i), a dostáváme s(n)e X. Tím je (ii) dokázáno.
(iii) Prázdná množina nemá žádný prvek, proto (iii) platí pro nulu.
Předpokládejme, že n je přirozené číslo a n $ n. Kdyby platilo s(n) g s(n), potom buď s(n) e n,
nebo s(n) = n. V obou případech dostáváme inkluzi s(n) = n u {n} c n (v prvním
případě užijeme (ii)), ze které odvodíme ne n. To je ve sporu s předpokladem
n i n. Proto s(n) $ s(n) a (iii) je dokázáno pro všechna přirozená čísla.
6.20 Věta. (i) Každé přirozené číslo je konečná množina.
(ii) Množina x je konečná, právě když má stejnou mohutnost jako nějaké přirozené
číslo.
(iii) Množina co a každá induktivní množina je nekonečná.
Důkaz, (i) Postupujeme indukcí. Prázdná množina je konečná, a proto tvrzení (i)
platí pro nulu. Je-li číslo n konečná množina, potom jeho následník s(n) je také
konečná množina podle lemmatu 6.6(ii).
(ii) Má-li množina x stejnou mohutnost jako nějaké přirozené číslo, potom x
je konečná množina podle (i) a lemmatu 6.5(ii). Indukcí pro konečné množiny
dokážeme, že každá konečná množina má stejnou mohutnost jako nějaké přirozené
číslo. Položme
X = {x:(3neo))(x« «)} ,
potom QeX. Je-li x « n, kde n je přirozené číslo, a y je libovolná množina, potom
x u {>•]• má stejnou mohutnost jako n nebo s(n) podle toho, zda y je či není prvkem
konečné množiny x. Podle věty 6.8 je každá konečná množina prvkem X a tvrzení
(ii) je dokázáno.
(iii) Podle lemmatu 6.l9(i) je co c ^(co), ale žádný prvek ne oj není maximální
vzhled k inkluzi, protože n c s(n) podle 6.19(iii). Víme, že co je podmnožinou každé
induktivní množiny, podle lemmatu 6.5(i) musí být každá induktivní množina
nekonečná.
6.21 Tvrzení 6.20(iii) nahrazuje intuitivní zdůvodnění axiomu nekonečna, které
jsme uvedli v § 2. Axiom nekonečna postuluje existenci alespoň jedné induktivní
množiny a ta je nekonečná.
Dá se ukázat, že nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, pak vznikne teorie,
v níž lze dokázat tvrzení „každá množina je konečná". Takovou teorii nazýváme
teorie konečných množin.
6.22 Lemma. Pro libovolná přirozená čísla m, n platí
(i) m G n <-> m <= n ,
(ii) men V m = nV ms n .
87

6 22
Důkaz, (i) Implikace zleva doprava je důsledkem 6.19(ii) a faktu m$m.
Obrácenou implikaci dokážeme indukcí podle n. Je zřejmé, že tvrzení platí pro
n = 0 a libo\olné m. Předpokládejme, že (i) platí pro nějaké n a každé m.
Nechť m c= s(n). Nejprve ukážeme, že m c n. Kdyby nem, pak z 6.19(ii)
dostáváme /; i m a nakonec s(n) c= /n — to je ve sporu s předpokladem,
že m je vlastní podmnožinou s(n). Tedy n£m a m ^ n. Je-li man, pak
m €;/ (a iiiě^ji)) dostáváme z indukčního předpokladu. Je-li m — n. pak také
m g s(n). Ukázali j^mc, že obrácena implikace platí i pro s{n), a tvrzení (i) je dokázáno
pro všechna přirozená čísla.
(ii) Pro každé přirozené číslo n nechť A(n) označuje množinu všech přirozených
čísel m, pro která platí
(1) m G n V m = n V m 9 n .
Stačí, dokážeme-ii, že každá množina A(n) je induktivní. Začneme s množinou ,4(0).
Z rovnosti 0 = 0 dostáváme 0 e A(0). Je-li m g A(0), potom buď 0 = m, nebo
Oem, V obou případech platí 0es(m). Takže s(m)e ,4(0) a množina A(0) je
induktivní. To znamená, že každé přirozené číslo n je prvkem množiny A(0). Protože
čísla m, n vystupují v (l) symetricky, dostáváme hned, že nula je prvkem každé
množiny A(n). Nechť n je libovolné přirozené číslo a mEA(n). Ukážeme, že také s(m)e
g A(n). Podle indukčního předpokladu platí (l). Rozebereme jednotlivé případy.
Je-li m e n, potom podle (i) je s(m) ^ n, a to (opět podle (i)) znamená, že s(m) e n
nebo s(m) = n. Je-li m = n nebo m3n, potom s{m)sn. Ukázali jsme, že platí
s(m) tnV s(m) = n V s(m) 3 n .
To znamená, že s(m) g A(n). Každá množina A(n) je induktivní a tvrzení (ii) platí
pro libovolná dvě přirozená čísla.
6.23 Věta. (i) Množina všech přirozených čísel je dobře uspořádána relací e.
(ii) Je-li A nekonečná množina, lineárně uspořádaná relací < tak, že pro každé
as A je dolní množina (+—, a~\ konečná, potom < je dobré uspořádání množiny A
a množina A je izomorfní s co vzhledem k uspořádáním < a G.
Důkaz, (i) Podle lemmatu 6.19(iii) je relace e antireflexivní na co, Z tvrzení (ii)
téhož lemmatu plyne, že e je na co také tranzitivní: Jsou-li l, m, n přirozená čísla
taková, že lem a msn, potom mc n, a tedy len. Podle 6.22(ii) je relace e tricho-
tomická na co. Relace g je tedy lineární uspořádání na množině všech přirozených
čísel Ukážeme, že je to dobré uspořádání. Nechť a je neprázdná množina
přirozených čísel. Zvolme libovolně ne a. Pokud n není nejmenší prvek množiny a
vzhledem k uspořádání g, pak b = a n n je neprázdná konečná podmnožina množiny a.
Podle věty 6.3(ii) existuje nejmenší prvek m množiny b. Snadno se ověří, že m je také
nejmenší prvek množiny a.
(ii) Nejprve ukážeme, že < je dobré uspořádání. Je-li a neprázdná podmnožina
množiny A, zvolme libovolně nějaký prvek n g a. Pokud n není nejmenší prvek
množiny a, pak b = a n (<—, «] je neprázdná podmnožina množiny a. Podle před-
88

6.26 Koncinc množm\ a pinozcná Číslu 1
pokladu je to konečná množina a podle věty 6.3(ii) existuje nejmenší prvek m
množiny b. Snadno se ověří, že m je také nejmenší prvek množiny a.
Víme, že obě množiny A i co jsou nekonečné a že jsou dobře uspořádané relacemi
<ae. Podle věty 5.31 je bud množina A izomorfní s nějakou dolní (vzhledem k
uspořádání g) množinou B ^ co, nebo co je izomorfní s nějakou (vzhledem k uspořádání
<) dolní množinou C c A. Rozebereme podrobně první případ. Množina B není
shora omezena žádným přirozeným číslem n, protože potom by platilo B c= n a A by
byla konečná množina. To znamená, že každé přirozené číslo n je menší než nějaký
prvek množiny Ba neB, protože B je dolní množina. Ukázali jsme, že B = co
Stejným způsobem se ve druhém případě dokáže, že C = A. Množina A je tedy
izomorfní s množinou co.
6.24 Přirozená čísla v teorii množin. V teorii množin jsme popsali konstrukci
množiny co a ukázali jsme, že každé konkrétní přirozené číslo, například dvě, tři,
sedmnáct, sto atd., má v množině svůj protějšek, který má právě tolik prvků. Dvojce
odpovídá dvouprvková množina, trojce tříprvková atd. Množina co je dobře
uspořádaná relací e a snadno se nahlédne, že v tomto uspořádání za číslem n bezprostředně
následuje číslo s(n). Ukázali jsme, že pro prvky množiny cd platí princip indukce,
který se považuje za pravdivé tvrzení o přirozených číslech. Později uvidíme, že na
množině to lze definovat operace součtu a součinu a s jejich pomocí lze zavést i další
pojmy aritmetiky přirozených čísel (operaci mocnění, dělitelnost, prvočísla apod.)
a dokázat o nich všechna tvrzení, která známe z elementární aritmetiky.
Z těchto důvodů můžeme považovat množinu co za vyjádření pojmu přirozeného
čísla prostředky teorie množin. Uvědomme si však (Richardův paradox!), že
přirozená čísla, o kterých se mluví v metajazyce ve slovních spojeních jako .,formule <p
má méně než n symbolů", nejsou objekty teorie množin a nemůžeme je považovat
za prvky množiny co. Abychom zdůraznili tento rozdíl, říkáme, že prvky množiny co
jsou přirozená čísla v teorii množin.
Zamysleme se ještě nad skutečností, že v teorii množin můžeme množinu všech
přirozených čísel definovat jedním krokem, a nad úlohou, jakou v tom hraje axiom
nekonečna. Ten postuluje existenci alespoň jedné induktivní množiny a tím dovoluje
definovat množinu co ,.shora" jako průnik všech induktivních množin. Srovnejme
to s vytvářením přirozených čísel ,,zdola" krok za krokem od nuly postupným
přičítáním jednotky a uvědomíme si rozdíl mezi aktuální a potenciální formou
nekonečna. Nekonečné množiny jsou aktuální formou nekonečna v teorii množin.
6.25 Spočetné množiny. Přirozená čísla jsou měřítkem velikosti konečných množin
— ke každé konečné množině existuje přirozené číslo stejné mohutnosti. Množina
všech přirozených čísel je nekonečná. Použijeme ji ke srovnávání velikostí
nekonečných množin.
6.26 Definice. Spočetné a nespočetné množiny, (i) Říkáme, že množina x je
spočetná, má-li stejnou mohutnost jako množina všech přirozených čísel.
89

1
6 26
(ii) Říkáme, že množina x je nejvýše spočetná, je-li x konečná nebo spočetná
množina. V opačném případě říkáme, že x je nespočetná množina.
Uvědomme si, že spočetné a nespočetné množiny jsou nekonečné a že každá
množina, která má spočetnou nebo nespočetnou podmnožinu, je nekonečná podle
6.5(i).
6.27 Věta. (i) Každá shora omezená podmnožina A ^ co je konečná a každá shora
neomezená podmnožina množiny co je spočetná.
(ii) Každá podmnožina spočetné množiny je nejvýš spočetná.
Důkaz, (i) Je-li A shora omezena přirozeným číslem n, potom A ^ s(n) a A je
konečná podle 6.20(i). Nechť A je neomezená množina přirozených čísel. Množina A
nemůže být konečná, protože potom by podle věty 6.3 měla největší prvek. A je tedy
nekonečná, je dobře uspořádaná a pod každým ae A je jenom konečně mnoho
předchůdců. Podle věty 6.23 je množina A spočetná.
(ii) Nechť A je spočetná množina a /je prosté zobrazení množiny A na co. Podle
(i) je podmnožina B ^ A konečná nebo spočetná podle toho, zda /[B] je shora
omezená nebo neomezená podmnožina množiny co.
6.28 Příklady. Uvažujme množinu co x oj a definujme na ní relaci < následujícím
způsobem:
<mlT «!> < <m2, «2> «-> (m1 e m2 V (m{ = m2 & n{ e n2)).
Snadno se ověří, že < je ostré lineární uspořádání na množině co x co. Nazýváme
ho lexikografické uspořádání, protože je obdobou způsobu, jakým se uspořádávají
slova ve slovníku: Nejprve porovnáváme první složky uspořádaných dvojic a v
případě rovnosti porovnáváme druhé složky.
a) Relace < je lineární uspořádání na podmnožině co x 2 c= co2 a počáteční
úsek tohoto uspořádání vypadá takto:
<0,0> < <0,1> < <1,0> < <l,l> < <2,0> < <2, 1>...
Pro libovolné dvojice (/c, /> a <m, n) z co x 2 platí
</c,/> < Oi,/i> —<M>es(m) x 2.
To znamená, že každý prvek množiny oj x 2 má jenom konečný počet předchůdců
v lexikografickém uspořádání. Množina co x 2 je podle věty 6.23(ii) izomorfní s oj,
tedy oj x 2 je spočetná množina. Stejným způsobem se dokáže, že pro každé
přirozené číslo n je oj x n také spočetná množina.
Na druhé straně lexikografické uspořádání množiny oj x co není izomorfní s oj,
protože prvek (1,0) (a každý větší) má nekonečně mnoho předchůdců. Ukážeme,
že malou úpravou lexikografického uspořádání dosáhneme toho, že oj x oj a oj
budou izomorfní.
(b) Maximo-lexiko grafické uspořádáni. Nechť max (m, n) označuje větší z
přirozených čísel m, n. Na oj x oj definujme relaci <š :
90

6.28 Končině množiny a přirozená u\la l
<ml5 /it> <š <m2, rc2> *-► (max (m„ /?,) e max (m2, «2) V (max (m1? /íj =
= max (m2, n2) & <ml5 «! > < <m2, n2»).
Je zřejmé, že <0, 0> je nejmenší prvek co x co při maximo-lexikografickém
uspořádání <š a že počáteční úsek uspořádání vypadá
<0,0> 4 <0,1> < <1,0> < <1,1> < <0,2> <š <1,2> <š
<Š <2,0> « <2,1> <š<2,2><^ <0,3> <...
Ponecháme čtenáři, aby rozborem jednotlivých případů ověřil, že <t je lineární
uspořádání na co x o. Z definice uspořádání je zřejmé, že pro libovolné dvojice
</c, /> a <m, rc> platí
</c,/> < <m,n> —<M>eí x f,
kde t = s(max (m, «)). Každý prvek <m, n> má jenom konečně mnoho předchůdců
vzhledem k uspořádání <š. Podle věty 6.23(ii) je co x co izomorfní s co vzhledem
k uspořádáním <^ae. Podali jsme nový důkaz, že co x co je spočetná množina.
(c) Nechť [co]<cí označuje množinu všech konečných množin přirozených čísel.
Jsou-li x, y dvě různé konečné množiny z [co]<a\ potom jejich symetrický rozdíl
x A >< = (x - y) u (y - x)
je neprázdná konečná množina. Podle věty 6.3 existuje její největší prvek vzhledem
k uspořádání e. Označme ho max (x Ay)a uvědomme si, že patří buď do x, nebo do y%
ale není prvkem obou množin současně.
Pro konečné množiny x, y přirozených čísel definujeme relaci <a předpisem
(2) x <] y <_► (x 4= y & max (xAy)<Ey).
Z definice je zřejmé, že o je antireflexivní relace a že pro libovolné dvě konečné
množiny x, v platí w w
J y v xo y V x = y V y<\ x ,
to znamená, že o je trichotomická na [co]<CJ. Dokážeme, že <] je tranzitivní relace.
Nechť x, y, z jsou konečné množiny přirozených čísel takové, že x<y a y<:.
Označme ml = max (x A y) a m2 = max (y A z). Z předpokladu x o y vyplývá,
že mx e y — x a že pro každé přirozené číslo n platí
(3) ml e n—> (ne x—► ns y),
protože mj_ je největší prvek symetrického rozdílu množin x, y.
Podobně z předpokladu y<i z vyplývá, že m2 e z — y a že
(4) m2 e n —* (n e y <-> n e z)
platí pro každé přirozené číslo n. Přitom m^rrij jsou různá čísla, protože ml je a m2
není prvkem množiny y. Protože e je dobré uspořádání na množině co, platí buď
mx em2, nebo m2em1. Rozebereme oba případy.
91

f
6 28
Je-li mlem2, víme, že m2ez a zeje to největší prvek symetrického rozdílu
:Ay. Podle (3) je m2 také největší prvek množiny zAx, tedy x <3 z.
Je-li m26m1, víme, že «ij £>' a že mx je největší prvek symetrického rozdílu
x A y. Podle (4) je mye z a je to největší prvek xA:, tedy opět x o z.
Ukázali jsme, že o je lineární uspořádání na množině [co]<ío. Je zřejmé, že
prázdná množina je nejmenší prvek při uspořádání <j. Je-li y neprázdná konečná
množina přirozených čísel a n je její největší prvek, z definice (2) vyplývá, že pro
libovolnou konečnou množinu x přirozených čísel platí
x<3 y-* x e &{s(n)).
Podle 6.9 je na pravé straně implikace konečná množina. Každá konečná množina y
přirozených čísel má jenom konečně mnoho předchůdců v uspořádání o. Podle
věty 6.23(ii) je o dobré uspořádání množiny [oo]<fo a je izomorfní s uspořádáním
množiny co. Množina [co]<ío je tedy spočetná.
6.29 Věta. Jsou-li A, B spočetné množiny, potom A u B i A x B jsou spočetné
množiny.
Důkaz. Nechť/je prosté zobrazení množiny A na cd, g je prosté zobrazení B na co.
Položíme-li (/ / x AX
h(x) = \ ^ J *
\<g(x), O, je-li xzB-A,
pak h je prosté zobrazení množiny A u B do spočetné množiny co x 2. /Iu6
je tedy spočetná podle 6.27(ii).
Položíme-li pro libovolné aeA a fr e B
*(<*.*>» = </(*),#)>,
potom k je prosté zobrazení množiny A x B na spočetnou množinu co x co.
Indukcí se dokáže
630 Důsledek. Je-li 1 neprázdná konečná množina a je-li každá množina Al pro
i e I spočetná, potom
is/ iel
jsou spočetné množiny.
6.31 Věta. Je-li A spočetná množina, potom
(i) množina [Á]<0J všech konečných podmnožin množiny A je spočetná,
(ii) množina <0}A všech konečných posloupností prvků množiny A je spočetná.
Důkaz, (i) Nechť/je prosté zobrazení množiny A na co. Položíme-li
/-(a) = f[a]
pro každou konečnou podmnožinu a c A, podobně jako v 4.35(ii) se dokáže, že
/"je prosté zobrazení množiny [/l]<í;J na množinu [co]<c<\ která je spočetná podle
příkladu 6.28(c).
92

(ii) Konečné posloupnosti prvků množiny A jsou zobrazení nějakého
přirozeného čísla do A. Tedy <aJA = {) nA
n€<x>
Je zřejmé, že složíme-li kterékoli zobrazení g e <(ÚA se zobrazením f z (i),
dostaneme konečnou posloupnost přirozených čísel. Popsané přiřazení je prosté a zobrazí
množinu <0,A na množinu všech konečných posloupností přirozených čísel. Proto
stačí, ukážeme-li, že <ÍJa> je spočetná množina.
Uvědomme si, že každá konečná posloupnost přirozených čísel je vlastně
konečná množina uspořádaných dvojic přirozených čísel. Dostáváme inkluzi
<MOJ C [co X Gj]<í<J
a na pravé straně je spočetná množina podle (i) a příkladu 6.28(b). Přitom množina
všech konečných posloupností přirozených čísel není konečná. Je tedy spočetná
podle věty 6.27.
Následující věta ukazuje, že přijmeme-li existenci jedné nekonečné množiny jako
axiom, potom je škála nekonečných množin shora neomezená.
6.32 Věta (Cantor). x < 0>(x)
Důkaz. Ukážeme, že každá množina má menší mohutnost, než její potenční množina.
Je zřejmé, že zobrazení, které každému prvku tex přiřadí jednoprvkovou
množinu {ř}, je prosté a zobrazuje x do 0>(x). Proto x =^ &{x). Ukážeme, že neplatí
x ^ č?(x). Předpokládejme na chvíli, že /je prosté zobrazení množiny x na v?{x)
a definujme množinu y c: x vztahem
y={t:t€x&téf{t)}.
Ukážeme, že množina y nemá vzor při zobrazení / Kdyby platilo f(v) = y pro
nějaké vex, potom buď vey, nebo v$y. Oba případy však jsou ve sporu s
definici množiny y. Snadno se ověří, že z v e y vyplývá v $ y = f(v). Podobně z r i y =
= f(v) zase plyne v e y. To znamená, že / nezobrazuje x na 0*{x\ a věta je
dokázána.
6.33 Podrobnější rozbor ukazuje, že předchozí důkaz používá diagonální metodu.
Je založen na této myšlence: Prosté zobrazeni / množiny x na ž?(x) představuje
množinu čP(x) jako soubor množin indexovaný prvky množiny x. Podmnožinu
y <= x, ke které chybí index, lze sestrojit diagonalizací zobrazení /jako v důkaze 6.32.
6.34 Důsledek. &(co) je nespočetná množina.
6.35 Nekonečné množiny, rozklady, Dirichletuv princip. Zatím umíme rozdělit
množiny podle velikosti do tří typů na konečné, spočetné a nespočetné. Předchozí
věty ukazují, že jde o tři — zatím velmi hrubé — stupně velikosti množin. Typ
nekonečné množiny se nezmění, přičteme-h k ní nebo odečteme-li od ní konečnou
množinu. Z vět 6.27 a 6.29 vyplývá, že přičtením nebo odečtením spočetné množiny
získáme z nespočetné množiny opět nespočetnou množinu.
93

I
6.35
Nekonečnou množinu nelze rozložit na konečně mnoho konečných množin
podle lemmatu 6.11. Jinými slovy, je-li nekonečná množina sjednocením konečně
mnoha množin, potom jedna z nich musí být nekonečná. Tento názorný výsledek je
znám jako Dirichletův princip pro nekonečné množiny a je hojně používán v
důkazech v mnoha oborech matematiky.
Z důsledku 6.30 dostáváme o něco silnější výsledek pro nespočetné množiny.
Je-li nespočetná množina sjednocením konečně mnoha množin, pak jedna z nich je
nespočetná.
Každá nekonečna množina nia podle lemmatu 6.12 konečné podmnožiny s
libovolně velkým počtem prvků. Víme také, že množina, která obsahuje spočetnou
podmnožinu, je nekonečná. Obrácené tvrzení, že každá nekonečná množina obsahuje
spočetnou podmnožinu, lze dokázat až s pomocí axiomu výběru. Tímto axiomem se
budeme zabývat v příštím oddílu. Zatím si podrobněji všimneme množin celých,
racionálních a reálných čísel.
6.36 Věta. Množina Z všech celých čísel a množina Q všech racionálních čísel jsou
spočetné.
Důkaz. Záporná čísla zobrazíme vzájemně jednoznačně do množiny přirozených
čísel, když každému číslu přiřadíme jeho absolutní hodnotu. To znamená, že Z je
sjednocením dvou spočetných množin a je to spočetná množina podle 6.29.
Připomeňme, že každému racionálnímu číslu lze jednoznačně přiřadit
uspořádanou dvojici nesoudělných celých čísel. To znamená, že množina Q má stejnou
mohutnost jako nějaká podmnožina součinu Z x Z. Množina všech racionálních
čísel je tedy spočetná podle 6.29 a 6.27.
6.37 Příklad. Uspořádání množiny O všech racionálních čísel podle velikosti. Nechť
< je (ostré) lineární uspořádání množiny Q podle velikosti. Jsou-li p, r dvě
racionální čísla taková, že p < r, potom jejich aritmetický průměr q = (p + r)/2 je také
racionální číslo a platí p < q < r. Mezi dvěma různými racionálními čísly tedy leží
nějaké další racionální číslo. Lineární uspořádání, které má tuto vlastnost, se nazývá
husté uspořádání.
6.38 Definice. Husté uspořádání. Nechť < je lineární uspořádání na množině A.
Existuje-li pro libovolné dva prvky a, b e A takové, že a < b, nějaké c e A, pro
které platí a < c < b, říkáme, že < je husté uspořádáni na množině A nebo že
množina A je hustě uspořádaná relací <.
Snadno se ověří, že mezi dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží
nekonečně mnoho prvků. Hustě uspořádaná množina, která má alespoň dva prvky,
tedy musí být nekonečná. Kdyby mezi prvky a < b lineárně uspořádané množiny A
leželo jen konečně mnoho prvků množiny A, podle 6.3(ii) existuje nejmenší z nich.
Označme jej m. Potom a < m a mezi prvky a, m již neleží žádný prvek množiny A.
To znamená, že A není hustě uspořádaná množina.
94

6.40
Konečné množiny a phrazená čisla
I
Pro množinu racionálních čísel Q odtud plyne, že mezi každými dvěma
racionálními čísly leží spočetně mnoho racionálních čísel. Přitom spočetná podmnožina Z
všech celých čísel není sama hustě uspořádaná. Husté uspořádáni tedy není dědičné
vzhledem k podmnožinám.
6.39 Charakteristické vlastnosti uspořádání množiny Q. Následující klasická věta
ukazuje, že podobně jako množina cj je i množina Q určena svým uspořádáním
až na izomorfismus. Navíc lze každou nejvýše spočetnou lineárně uspořádanou
množinu izomorfně vnořit do Q. Říkáme také, že Q je univerzální množinou pro
třídu všech nejvýše spočetných lineárně uspořádaných množin.
6.40 Věta (Cantor). (i) Ke každé nejvýše spočetné lineárně uspořádané množině
existuje prosté izomorfní vnoření do množiny Q uspořádané podle velikosti.
(ii) Každá spočetná hustě uspořádaná množina, která nemá největší ani nejmenší
prvek, je izomorfní s množinou Q.
Důkaz, (i) Nechť A je nejvýše spočetná množina lineárně uspořádaná relací <.
Množina A je buď konečná, potom ji lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaké
přirozené číslo, nebo A je nekonečná a lze ji vzájemně jednoznačně zobrazit na oj.
'Nechť
(5) <fl„:nea>
je prostá posloupnost sestávající ze všech prvků množiny A, kde a je nějaké
přirozené číslo nebo o. Nechť
(6) (qn\n ecj)
je prostá posloupnost všech racionálních čísel.
Prosté zobrazení /: A —> Q, které bude izomorfním vnořením, sestrojíme rekurzí
podle nex Tato konstrukce je speciálním případem konstrukce transfinitní rekurzí
podle věty II.2.3. Nejprve položíme j{ao) = qo Nyní uvažujeme prvek a\. Je-li
&\<&§, položíme f{o\) = q\í} kde A: je nejmenší přirozené číslo takové, že
<7k <qo=Aao)- Je_u ao<&\> položíme j{a{) = qk, kde k je nejmenší přirozené číslo
takové, že f{a^) = qo<q\. Dostáváme tedy a0 < a{ *-> f{a0) <f(a{). Předpokládejme,
že pro nějaké nenulové nect již máme sestrojeny všechny hodnoty fta) pro / < n tak,
aby platilo
(7) al < aj +-> f(a) < f{a) pro libovolné i,j < n.
Uvažujme prvek an a množinu An = {at: i < n). Prvek an rozděluje množinu An
na dvě části _ ,
An = {a.: i < n&at <an\,
A; = {ax:i < n&an< a,} .
Mohou nastat tři případy: obě množiny jsou neprázdné nebo jedna z množin A~, A„
je prázdná. Jsou-li obě množiny neprázdné, jsou konečné a mají největší a nejmenší
95

I
6 40
prvek. Nechť a je nej větši prvek An a a+ je nejmenší prvek A^. Potom a~ <an<a +
a podle (7) je f(a~) < f{a + ). Položime f(an) = qk, kde k je nejmenší přirozené číslo
takové, že f(a~) < qk < f(a + ), potom f(an) 4= /(a,.) pro každé i < n a (7) platí
pro všechna ij < n. Je-li A~ = 0, je >4^" 4= 0 a položíme f(an) = qk) kde k je
nejmenší přirozené číslo takové, že qk < f(a + ).
Podobně, je-li A* = 0, položíme f(an) = qk, kde k je nejmenší přirozené číslo
takové, že f(a~) < qk. Ve všech případech takové k existuje, protože O je hustě
uspořádaná a nemá největší ani nejmenší prvek. Je zřejmé, že potom (7) platí pro
všechna ij < n. Nakonec sestrojíme prosté zobrazení / množiny A do Q, které je
podle (7) izomorfním vnořením.
(ii) Nechť (A, <> splňuje předpoklady tvrzení a nechť (5), kde a = co, je prostá
posloupnost všech prvků množiny A. ízomorfismus /: A —► Q konstruujeme rekurzí.
Přitom musíme splnit dva požadavky: aby /bylo prosté vnoření ^doQa aby každé
racionální číslo mělo svůj vzor v množině A. Tomu odpovídají dva odlišné kroky,
které se v konstrukci budou pravidelně střídat. Nejprve položíme f(a0) = q0.
V kroku n > 0 vycházíme z již sestrojeného úseku zobrazení / který má n-prvkový
definiční obor An £ A a n-prvkový obor hodnot Qn = /[/ij £ Q, takového, že
(8) a<b~f(a)<f(b)
platí pro libovolné a,beA„. K množinám AniQn přidáme po jednom prvku tak,
aby (8) platilo pro všechna a,be An+l. Přitom rozlišujeme dva případy.
(a) Je-li n liché (krok tam), nechť j je nejmenší přirozené číslo takové, že a} i An.
Podobně jako v důkazu (i) prvek a] rozdělí množinu An na dvě disjunktní části
4M\ A^, kde A~ sestává ze všech prvků množiny Air které jsou menší, a A* ze všech
prvku, které jsou větší než a Stejným /pust>bem jako \ (i) najdeme racionální
číslo qk k množinám A~ a A^ a položíme
f{aj) = qk, An + l = Anu{aj}, Qn+: =/[>lll + 1].
Je zřejmé, že (8) platí pro všechna a,be An+V
(b) Je-li n sudé (krok zpět), nechť j je nejmenší přirozené číslo takové, že q $ Qn.
Také prvek qJ rozdělí množinu Qn na dvě disjunktní části 0~ a Q^ sestávající
z prvků, které jsou menší než q} a větší než qy Dále postupujeme stejně jako v případě
(a), jenom místo zobrazení / uvažujeme jeho inverzi /_1. Protože množina A je
hustě uspořádaná a nemá nejmenší ani největší prvek, najdeme ak i An takové, že
když položíme
/k) = V \+i = Anv{ak}9 Qn^l =/IX+1].
potom (8) platí pro všechna a,be An + 1. Nakonec sestrojíme celé zobrazení /
které je izomorfismem množin A a Q. Z konstrukce je zřejmé, že/je prosté vnořeni
A do Q. Zbývá ověřit, že f\_A~\ = Q. V opačném případě by nějaké racionální číslo
qk nemělo vzor v množině A. To však není možné, protože popsanou konstrukcí se-
96

6.42 Konečné miwž\u\ u pvuozLUit číslu l
strojíme vzor čísla qk nejpozději v kroku 2/c. Tím je tvrzení (ii) dokázáno. Použitý
postup je klasickým příkladem metody ,jdi a vrať se", která se často používá
k sestrojení izomorfismů nebo vnoření mezi matematickými strukturami.
6.41 Typ rj. Ukázali jsme, že každá spočetná hustě uspořádaná množina, která
nemá nejmenší ani největší prvek, je izomorfní s množinou Q všech racionálních
čísel uspořádaných podle velikosti. Odtud plyne, že libovolné dvě takové množiny
jsou izomorfní. O takových množinách říkáme, že jsou uspořádány podle typu rj,
nebo krátce, že mají typ )/\. Uvědomme si, že každý neprázdný otevřený interval
v množině typu n je také typu rj. Je tedy izomorfní s celou množinou. Této vlastnosti
množin typu n se často používá.
Nyní si blíže všimneme množiny reálných čísel, kterou lze sestrojit zúplněním
hustého uspořádání racionálních čísel metodou Dedekindových řezů, kterou jsme
popsali v § 5. Konstrukce množiny reálných čísel a aritmetických operací je podrobně
rozebrána například v knize Blažek a kol. (1983).
6.42 Veta. Nechť U je množina všech reálných čísel a 0 je uzavřený interval sestávající
ze všech reálných čísel x, 0 < x < 1. Potom
&>(co) « D « R,
to znamená, že 3 a U jsou nespočetné množiny.
Důkaz. Podle lemmatu 5.51 (iv) je &(co) ekvivalentní s množinou "2 všech
nekonečných posloupností nul a jedniček. Přitom každé nenulové číslo a z intervalu 0 lze
ve dvojkové soustavě zapsat jediným způsobem ve tvaru
a = OiaQala2...attan+l...,
kde
(9) aQial,aly...ianian + ii...
je posloupnost nul a jedniček, v níž se nekonečněkrát opakuje číslice jedna. Přiřadí-
me-li nule posloupnost ze samých nul, dostáváme prosté zobrazení intervalu 0 do w2.
Přejdeme-li ke trojkové soustavě, můžeme sestrojit prosté zobrazení množiny w2
do 3. Každé posloupnosti (9) z nul a jedniček přiřadíme reálné číslo
(io) «= 12^-2^.
Z obecných vlastností p-adických rozvojů reálných čísel vyplývá, že dvě různé
posloupnosti nul a jedniček určují dvě různá reálná čísla (10) z intervalu 0. Z Can-
torovy-Bernsteinovy věty 5.48 dostáváme ekvivalenci 0>(oS) zz D.
Není těžké sestrojit prostou funkci, která zobrazí reálnou přímku do intervalu I.
Protože také 0 <= U, dostáváme
1R< 0 < U
97

I
6 42
a ekvivalence
plyne opět z Cantorovy a Bernsteinovy věty.
6.43 Problém hypotézy kontinua. Podle topologické definice je kontinuum souvislý
metrický kompaktní prostor, který má více než jeden bod. V užším smyslu se
kontinuem rozumí takový podprostor euklidovského prostoru. Interval 3 je tedy velmi
důležitý příklad kontinua. Dá se ukázat, že libovolná dvě kontinua (v užším smyslu)
mají stejnou mohutnost. Předchozí věta ukazuje, že interval 0, reálná přímka a
potence &(cú) mají stejnou mohutnost — mohutnost kontinua.
V roce 1878 vyslovil Cantor domněnku, že každá nekonečná množina reálných
čísel je buď spočetná, nebo má mohutnost kontinua. To znamená, že neexistuje
nespočetná množina reálných čísel, kterou nelze zobrazit na IR.
Cantorova domněnka byla později nazvána hypotézou kontinua. Podle předchozí
věty je hypotéza kontinua ekvivalentní s následujícím tvrzením:
Neexistuje množina x, pro kterou cd < x < ^{co).
Cantor a po něm mnoho jiných se po léta marně snažili hypotézu kontinua dokázat.
O historii tohoto problému jsme se podrobněji zmínili v úvodní kapitole.
Připomeňme jenom, že podle Gódelova známého výsledku je možné k axiomům
teorie množin bezesporně přidat hypotézu kontinua. Cohen ukázal, že totéž platí
i pro negaci hypotézy kontinua. To znamená, že problém hypotézy kontinua nelze
rozhodnout na základě axiomů teorie množin.
6.44 Cantorovo diskotinuum. V důkazu věty 6.42 jsme každé posloupnosti nul a
jedniček z ^2 přiřadili reálné číslo a tvaru (10). Nechť D je množina všech takových
čísel. Sestává ze všech reálných čísel ael, která lze ve trojkové soustavě zapsat
jen pomocí číslic 0 a 2.
Množinu D můžeme popsat jako průnik množin Jn, něco, které vzniknou
následujícím způsobem. Množina J v vznikne z intervalu 0 tím, že vyjmeme otevřený
interval (j, f) sestávající ze všech reálných čísel x, 3- < x < f. Množina J2 vznikne
z Jx odečtením otevřených intervalů (£,§) a (|, §) atd. Každá množina Jn sestává z 2n
nepřekrývajících se uzavřených intervalů. Množina Jn^ , vznikne z Jn tím, že každý
interval rozdělíme na tři stejně dlouhé intervaly a odečteme prostřední interval bez
krajních bodů. Potom
d= rv.-
neo)
Mezi libovolné dva body množiny D lze vložit alespoň jeden otevřený interval,
který je disjunktní s množinou D. Dá se ukázat, že při vhodné topologii na množině
"2 je prosté zobrazení této množiny na D popsané ve větě 6.42 spojité a že D je
98

6.46
Konečnc množiny a přirozená iisla
I
kompaktní totálně nesouvislý prostor. Proto se množině D říká Cantorovo diskon-
tinuum. Tato množina má řadu zajímavých topologických vlastností a setkáme se
s ní později v dalších souvislostech.
6.45 Algebraická a transcendentní čísla. Reálná čísla, která jsou kořenem nějaké
rovnice
(11) a0xn + a{xn~l 4- ... + ati^x 4- an =0, a0 4= 0
s celočíselnými koeficienty, se nazývají reálná algebraická čísla. Reálná čísla, která
nejsou kořenem žádné takové rovnice, se nazývají transcendentní. Tyto pojmy souvisí
s otázkou, zda je možné získat všechna reálná čísla z racionálních čísel, když
použijeme odmocniny jako další operace. O problému existence transcendentních čísel
jsme se zmínili již v úvodní kapitole. Nyní ukážeme, že množina všech algebraických
čísel je spočetná.
Víme, že množina všech celých čísel je spočetná a že každá rovnice (l 1) je určena
konečnou posloupností celých čísel
(12) a0,a1,a2,...,an_van.
Podle věty 6.31 lze všechny posloupnosti (12) vzájemně jednoznačně zobrazit do
množiny co. Podle známé věty z algebry má každá rovnice (li) nejvýše n různých
reálných kořenů a ty jsou na reálné přímce uspořádány podle velikosti. Každý reálný
kořen x rovnice (11) je jednoznačně určen uspořádanou dvojicí přirozených čísel
</c, /), kde k je číslo přiřazené posloupnosti (12) a přirozené číslo / udává, že x je
/-tý reálný kořen této rovnice podle velikosti. Je zřejmé, že jednomu algebraickému
číslu x může odpovídat více různých uspořádaných dvojic </c, />, protože x může
být kořenem různých rovnic. Přiřadíme-li algebraickému číslu x ze všech dvojic
</c, />, které mu odpovídají, tu nejmenší vzhledem k maximo-lexikografickému
uspořádání, definovali jsme prosté zobrazení množiny všech algebraických čísel
do spočetné množiny co x co.
Množina algebraických čísel je tedy spočetná. To znamená, že množina všech
transcendentních čísel je nespočetná. Transcendentní čísla musí existovat.
6.46 Existenční důkazy v teorii množin. Zamysleme se nad předchozím důkazem.
Existence transcendentních čísel byla dokázána tím, že jsme ukázali, že množina
všech transcendentních čísel je neprázdná. Žádné transcendentní číslo jsme však
nesestrojili. Říkáme, že jde o čistě existenční důkaz v teorii množin. Liouville byl první,
kdo dokázal existenci transcendnentních čísel tím, že některá sestrojil. Říkáme, že
takový důkaz je konstruktivní.
Srovnejme oba důkazy. Liouvillův konstruktivní důkaz dává návod, jak některá
transcendentní čísla sestrojit. Cantorův čistě existenční důkaz ukazuje, že
algebraických čísel je velmi málo. Množina všech algebraických čísel je spočetná, a má
tedy Lebesgueovu míru nula. Každý z obou důkazů poskytuje nějakou informaci
99

I
6 46
navíc. Moderní matematika proto používá konstruktivních i čistě existenčních
důkazů.
Na závěr ještě citát z knihy M. Kace a S. M. Ulama, Matematika a logika:
„Zavedení čistě existenčních důkazů, založených na teorii nekonečných množin, mělo
zásadní vliv na vývoj matematiky. Byla to snad jediná vážná metodologická změna
od dob starých Reků a způsobila možná jediné vážné rozdělení matematiků na
filosofickém základě".
6.47 Cantorův paradox. Z Cantorovy věty 6.32 vyplývá, že ke každé množině v
existuje množina y, x < y. Speciálně, je-li x nekonečná, potom y je také
nekonečná. Důsledkem axiomu nekonečna je tedy shora neomezená škála nekonečných
množin.
Tyto úvahy vedou ke sporu, předpokládáme-li existenci množiny všech množin.
Kdyby v byla množina všech množin, potom pro každou množinu x platí x c v,
odkud plyne x =^ v. Zvolíme-li x = &(v), dostáváme spor s Cantorovou větou.
Cantor si tohoto problému povšiml v roce 1895. Předpokládal, že se tento spor
odstraní dalším vývojem teorie množin. Z dnešního hlediska dává uvedený paradox
jiný důkaz faktu, že univerzální třída V není množinou.
100

§ 7 Axiom výběru a princip maximaiity
Velikost množin je porovnávána pomocí prostých zobrazení a zavedli jsme relaci
x ^ v, množina x má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny v.
Libovolné dvě konečné množiny jsou porovnatelné, to znamená, že relace =^ je trichoto-
mická na konečných množinách. Ukázalo se, že trichotomii relace K nelze dokázat
obecně pro nekonečné množiny, aniž se přijme další axiom, který de facto postuluje
tuto vlastnost. Axiom výběru je nejběžnější forma takového axiomu. V této části
dokážeme ekvivalenci axiomu výběru s principem maximaiity a s principem dobrého
uspořádání.
7.1 Při zrodu axiomu výběru jako samostatného principu stál omyl obsažený v
následujícím tvrzení. Víme-li, že existuje zobrazení / množiny X na množinu Y pak
existuje prosté zobrazení g množiny Y do X. Situace je znázorněna na obr. 7.1.
Zobrazení j určuje rozklad r množiny X sestávající ze vzorů prvků množiny Y neboli
r = [f~l{y):ye Y}. Z množiny rozkladu f~l(y), jelikož je neprázdná, vybereme
jeden prvek, a tak získáme pro každé yeY právě jeden prvek x e X, čímž je
definováno prosté zobrazení g množiny Y do X. Je tato úvaha korektní? Existuje-li
totiž požadované zobrazení g, pak v = Rng (g) je množina, která má s každou
množinou rozkladu r společný právě jeden prvek. Můžeme říci, že v je výběrová množina
pro rozklad r. Sestává-li r z konečně mnoha prvků, to znamená, je-li r konečná
množina, existenci výběrové množiny pro r můžeme dokázat indukcí. Ale co když
je rozklad nekonečný? V obecném případě nelze existenci výběrové množiny
dokázat pomocí dosud uvedených axiomů.
Obr. 7.1
101

I
7 I
Vzhledem k tomu, že úvahy využívající existenci výběrových množin mají řadu
zajímavých důsledků v dalších matematických disciplínách, byl již v počátcích
rozvoje teorie množin formulován princip výběru jako jeden z nejdůležitějších a
nejzajímavějších axiomů teorie množin.
7.2 Princip výběru. Pro každý rozklad r množiny X existuje výběrová množina,
to znamená množina v <= X, pro kterou platí
(Vuer)(3x)(t?nw= {x}).
Dnes obvyklejší formulace axiomu výběru používá selektorů na množinách.
7.3 Definice. Selektor na množině. Funkce / definovaná na množině X, pro
kterou platí
(yeXScy*0)-*j(y)ey,
se nazývá selektor na množině X. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat,
že selektor /je definován na množině X - {0} a pro každé" yeDom(/) platí
J{yfey-
7.4 Axiom výběru (AC). Na každé množině existuje selektor.
7.5 Tento axiom říká, že na každé množině X existuje funkce, která vybírá po
jednom prvku z každé neprázdné množiny y e X. Přitom je důležité, že se tento
výběr děje paralelně na všech prvcích dané množiny a je reprezentován funkcí, tedy
objektem teorie množin. Axiom výběru nelze zaměňovat s tvrzením, že z každé
neprázdné množiny lze vybrat jeden prvek.
7.6 Lemma. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:
(i) axiom výběru,
(ii) princip výběru,
(iii) pro každou množinovou relaci s existuje funkce f taková, že f <^ s a Dom (/) =
= Dom (s),
(iv) kartézský součin ^^a/.iex} neprázdného souboru neprázdných množin je
neprázdný.
Dom (s)
Obr 7.2
Tvrzení (iii) ilustruje obr. 7.2.
Důkaz, (i)—>(ii). Nechť r je rozklad nějaké množiny. Budiž/selektor na množině r.
Pak v = Rng (/) je výběrová množina pro r.
102

7.7 /Ixioni i \hěru a princip uuiMinaln \ I
(ii)—>(iii). Je-li s = O, pak /= O a není co dokazovat. Předpokládejme 5 4= 0.
Položíme-li
r = {{</, x>: <i, x> g 5}: 1 e Dom (<?)} ,
pak r je rozklad množiny s a výběrová množina / pro r je hledaná funkce.
(iií) —►(iv). Neprázdný soubor neprázdných množin (at:iex} určuje relaci
s = {</,y>: lex&yea-}. Podle (iii) existuje funkce /c s, Dom(/) = Dom (5) = x,
a tedy /je prvkem uvažovaného kartézského součinu. Součin X(<Víe:c) Je
proto neprázdný.
(iv) —► (i). Je-li x nějaká množina, musíme ukázat, že existuje selektor / na x.
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že x 4= 0 a 0 <£ x. Identita na x určuje
neprázdný soubor neprázdných množin (y:j/ex). Podle (iv) je kartézský součin
XCv"- y E x) neprázdný a každý jeho prvek je selektorem na množině x.
7.7 Příklady, (a) Nechť / je reálná funkce definovaná pro všechna reálná čísla.
V matematické analýze se dokazuje, že spojitost funkce / v bodě je ekvivalentní
konvergenci jistých posloupností.
Funkce/je spojitá v bodě a, právě když pro každou posloupnost (an: n přirozené)
reálných čísel platí
\\man - a^\imf(an) = f(a).
Je-li /spojitá v bodě a, z definice spojitosti je lehké dokázat uvedenou implikaci pro
každou posloupnost. V případě, že / není spojitá v bodě a, pak existuje okolí V
čísla f(a) takové, že v každém l/ji-okolí čísla a existuje x„, pro které f(xn) $ V.
Položme
Wn = ^x:\x-a\<-^&f(x)tv\.
Podle 7.6(iv) existuje posloupnost an taková, že an e Wn pro každé n. Tato
posloupnost nutně konverguje k a, ale posloupnost f{a„) nemůže konvergovat k f(a). Tím
je ekvivalence dokázána.
Všimněme si, že v důkaze jsme použili axiom výběru. Nebyla to náhoda. Je známo,
že bez určité formy axiomu výběru nelze tuto ekvivalenci dokázat.
(b) Sjednocení spočetného souboru nejvýše spočetných množin je nejiýše
spočetná množina. Nechť (Bf.je /> je uvažovaný soubor. Bez újmy na obecnosti můžeme
předpokládat, že I — w a indexy souboru jsou přirozená čisia. Víme, že to x co
je spočetná množina, a proto stačí, když ukážeme, že sjednocení S uvažovaného
souboru lze prostě zobrazit do množiny co x oj. Nechť pro každé j je Ej množina všech
prostých zobrazení množiny B} do co. Soubor (E/.jeco} sestává z neprázdných
množin, protože Bj jsou nejvýše spočetné. Podle 7.6(iv) existuje výběrová
posloupnost </J:;eco>, kde /} e £,-- Definujme h:S—*a> x co předpisem h(x) = <//(x)>,
kdeyje nejmenší index z co takový, že xeBy Zřejmě /ije prosté zobrazení S do co x co.
103

í
I zde jde o podstatné použití axiomu výběru: ze spočetně mnoha množin Ej musíme
simultánně vybrat po jednom zobrazení j.. Pokud nepřijmeme axiom výběru, je
bezesporné předpokládat, že množina všech reálných čísel která je nespočetná, je
sjednocením spočetného souboru spočetných množin. To také znamená, že bez
použití axiomu výběru nelze dokázat, že Lebesgueova míra na reálné přímce je
spočetně aditivní.
7.8 Axiom výběru je ekvivalentní s řadou tvrzení. Uvedeme dvě, která jsou v
matematice nejčastěji používána, princip maximality a princip dobrého uspořádání.
7.9 Definice. Řetězec. Nechť množina A je uspořádána relací <. Podmnožinu
B c: A nazveme řetězcem v A, je-li B lineárně uspořádána relací <.
7.10 Princip maximality (PM). Nechť A je množina uspořádaná relací < tak, že
každý řetězec je shora omezený. Potom ke každému a e A existuje maximální
prvek b množiny A takový, že a < b
Všimněme si, že prázdná množina je řetězcem v každé uspořádané množině,
a tedy z podmínky na omezenost řetězců plyne, že A je neprázdná množina.
Princip maximality byl nezávisle vysloven několika autory, F. Hausdorffem(1914).
K. Kuratowskim (1922) a M. Zorném (1935). V literatuře bývá nejčastěji uváděn
jako Zornovo lemma, protože Zorn zpopularizoval princip maximality tím, že
ukázal jeho zajímavé důsledky v topologii a funkcionální analýze.
7.11 Princip minimality. Přechodem k inverznímu uspořádání dostáváme z
principu maximality princip minimality. Má-li každý řetězec v uspořádané množině A
dolní mez, pak ke každému a e A existuje minimální prvek b množiny A takový,
že b < a.
7.12 Při užití principu maximality se nejčastěji setkáváme se situací, kdy uspořádaná
množina </í, <> sestává z některých podmnožin dané množiny B, tedy A ^ ^(B),
a uspořádání < na A souhlasí s relací inkluze, to znamená, že x < y—> x ^ y platí
pro libovolné prvky x, y e A. V takovém případě k ověření předpokladů principu
maximality, to znamená k ověření, že každý řetězec je shora omezený, stačí ukázat,
že pro každý řetězec c v A platí [jce A. Jinými slovy, stačí ověřit, že množina A
je uzavřena na sjednocení řetězců.
7.13 Příklad. Předpokládejme platnost principu maximality. Pak v každé
uspořádané množině (A, < > ke každému řetězci v existuje řetězce w takový, že v <= w <= A
a w je maximální vzhledem k inkluzi. Speciálně z principu maximality plyne existence
maximálního (vzhledem k inkluzi) řetězce v každé uspořádané množině.
Je-li dána uspořádaná množina (/l, <>, nechť L je množina všech řetězců v A.
Potom L g= &{A) a L je uspořádaná inkluzi. Je-li K c: L množina lineárně
uspořádaná inkluzi, snadno se ukáže, že \JK je také řetězec vzhledem k < v množině A,
tedy každý řetězec v L je shora omezený. Podle principu maximality potom k libo-
104

7.15 Axiom výběru a princip nnixmialit\ l
volnému řetězci vgL existuje řetězec \v e L, v c Wj který je maximální vzhledem
k inkluzi.
Ukážeme další použití principu maximality.
7.14 Trichotomie relace ^. Pro libovolné množiny A, B je buď A ^ B, nebo
B^A.
Důkaz. Množina
D = {f:f)Q prosté zobrazení, Dom(/) g: 4, Rng(/) ^ B}
uspořádaná inkluzí splňuje předpoklady principu maximality. Nechť g je nějaký
maximální prvek v D. Kdyby obě množiny A - Dom(g) a B - Rng(g) byly
neprázdné, mohli bychom zobrazení g prodloužit a to je spor s jeho maximalitou.
Proto buď Dom (g) = A, nebo Rng (g) = B. V prvním případě zobrazení g zaručuje
vztah A ^ B, ve druhém případě zobrazení g~~l zaručuje B ^ A.
7.15 Příklady. Rozklady nekonečných množin, (a) Pro každou nekonečnou
množinu A platí co ^ A. Jinými slovy, každá nekonečná množina obsahuje spočetnou
podmnožinu.
Je-li A spočetná množina, pak dokonce co « A. Předpokládejme, že množina A
je nespočetná. Z trichotomie relace =^ víme, že platí co ^ A nebo A =^ co. Jelikož A
je nespočetná množina, druhá alternativa neplatí, tedy co ^ A.
Nechť / je prosté zobrazení co do A, pak Rng (/) je spočetná podmnožina
množiny A.
(b) Pro nekonečnou množinu A je A % A x {0, l). Tedy každou nekonečnou
množinu lze rozložit na dvě nekonečné části.
Uvažujme množinu D všech vzájemně jednoznačných zobrazení podmnožin
B c A na B x {0,1} uspořádanou inkluzí. Uspořádaná množina <D, ^> splňuje
předpoklady principu maximality. Nechť /je maximální prvek v D. Označme B =
= Dom (/). Ověříme, že množina 4 - £ je konečná. V opačném případě, podle
předchozího příkladu, existuje spočetná množina C ^ A - B. Podle 6.28(a) je
co ^ o) x {0, l}, tedy existuje vzájemně jednoznačné zobrazení g množiny C na
C x {0,1}. Jelikož j\jgeD, dostáváme spor s maximalitou zobrazení / proto
množina A — B je konečná. Ukážeme, že A % B. Sjednocení dvou konečných
množin je konečná množina a jelikož množina A je nekonečná, je nekonečná i
množina B. Z příkladu (a) víme. že existuje spočetná množina C <= B. Pro nějaké
přirozené n je A - B ^ n a jelikož co - n ^ co. je [A - B) u C ^ C. Tedy
/t = (.4 - B) u C u (5 - C) ^ C u (B - C) = B .
Podle předpokladu je B % B x {0, l}, proto také A ^ A x [0, l}. Je-li/i vzájemně
jednoznačné zobrazení A na A x {0. l}, pak množiny ,4L =/i_1[/í x {0}],
/U = h~l[A x {l}] tvoří žádaný rozklad.
105

!
7.15
(c) Pro nekonečnou množinu A platí A x A % A. Každou nekonečnou množinu
lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí.
Uvažujme množinu D všech vzájemně jednoznačných zobrazení podmnožin B
množiny A na B x B uspořádanou inkluzí. Podle (a) existuje spočetná množina
S £ A. Jelikož oj % co x co, existuje geD s Dom (g) = S. Nechť /je maximální
prvek v D takový, že g ^ f. Množina B — Dom(/) je nekonečná, protože S c B.
Podle 7.14 je B ^ A — B nebo ,4 — B ^ B. Ukážeme, že první případ nemůže
platit. Kdyby B ^ A - B, pak existuje C ^ A - B takové, že C ^ B.
Opakovaným použitím (b) můžeme množinu C rozložit na tři části CVC2,C^ všechny
stejné mohutnosti, jako je mohutnost množiny C. Navíc BxC~CxB?z
zz C x C « C. Množiny BaC jsou disjunktní, proto
(BuC)x(BuC) =
= (B x B) u (B x C) u (C x 5) u (C x C) ^ 5 u Cx u C2 u C3 -
= BuC.
Odtud plyne, že existuje zobrazení he D s Dom [h) = B u C, které rozšiřuje
zobrazení f, a to je spor. Platí tedy A — B ^ B. Rozložíme-li množinu B na dvě
části BÍ,B2, stejné mohutnosti, jako je mohutnost množiny B, dostáváme A =
= (A - B) u B ^ Bl u B2 = B. Přitom B <^ A, tedy z Cantorovy a Bernsteinovy
věty plyne A m B, proto /í « A x ,4. Ukážeme, že existuje spočetný rozklad
{An: něco) množiny A takový, že pro každé n je An ~ A. Z předchozího víme, že
existuje vzájemně jednoznačné zobrazení f: A x A —> ,4, a podle (a) existuje prosté
zobrazení h:co—> A. Položíme-li An = f[{h(n)} x /l] pro n > 0 a v40 =
= /l — U{/4n: n > 0}, dostaneme žádaný rozklad,
(d) Pro nekonečnou množinu A platí
A a <(M a M"",
přitom <(M je množina všech konečných posloupností prvků množiny A a [/í]<c)
je množina všech konečných podmnožin množiny A.
Nejprve ukážeme, že množiny [/4]<0) a <0)A mají stejnou mohutnost. Podle (a)
a (c) je A^coxA^AxA^A, tedy co x A % A. Konečná posloupnost
prvků z A je konečnou podmnožinou množiny co x A, neboli <CM c [oj x Á]<0J.
Proto <CJ/1 ^ [^]<CJ- Na druhou stranu pro ye[yl]<<0 je množina Wy =
= {/: (3necú)(f: n+-+y)} neprázdná. Selektor na množině [Wy\ y e \_A~]<a}) určuje
[.4]<to =< <ÍOA. Dokázali jsme, že <CJA % |>]<co.
Ukážeme indukcí, že pro každé něco je "A ^ A. Pro n = 0 je °/l = {0}
a zřejmě °/l ^ /í. Předpokládejme, že pro n platí M ^ A. Přiřadíme-li posloupnosti
g en+[ A dvojici (g \ n, g(n)>, dostáváme vzájemně jednoznačné zobrazení množiny
n+íA na nA x /l. Tedy "+1/1 ^nAx A. Z indukčního předpokladu plyne
nA x A ^ A x A a protože /l x A ^ /l, platí " + M ^ A. Vezměme rozklad
{An:nea)} množiny A s An ^ A z příkladu (c). Víme, že "A^A, a tedy pro každé n
106

7 17 Axiom v\bí'ru a princip muximahty I
platí nA^An. Vybereme-li prostá zobrazení fn'-nA—>An, pak j = []{/„'■ neto]
je prosté zobrazeni 7 <Í!)A do -4, a protože triviálně platí ,4 =^ <f",4, je <UJ,4 ^ A.
Všimněme si, že jsme také dokázali
A * M * [4]"
pro každé nenulové přirozené n.
7.16 Dnes se obvykle principy maximality a dobrého uspořádání ukazují z axiomu
výběru pomocí transfinitní indukce. Takové důkazy jsou krátké a elegantní, ovšem
opírají se o strukturu ordinálních čísel (viz kapitola 11). Obě tvrzení lze dokázat
i skromnějšími prostředky, které čtenář již zná z předchozích odstavců, ovšem důkazy
jsou pracnější. Takový důkaz zde předvedeme. Máme za to, že ukáže několik
typických obratů a dá i nahlédnout do historie teorie množin. Před tím však vyslovíme
princip maximality v jiném tvaru.
Princip maximality (PMS). Nechť (A, < ) je uspořádaná množina taková, že pro
každý řetězec v A existuje supremum. Potom ke každému aeA existuje
maximální prvek b množiny A takový, že a < b.
Snadno se nahlédne, že tato verze principu maximality je důsledkem principu PM.
Existuje-li v množině A supremum každého řetězce, pak je každý řetězec omezený.
Maximální prvek je potom zaručen principem maximality PM. Ukážeme také, že
princip maximality (PM) je důsledkem principu PMS.
Nechť </l, <) je uspořádaná množina, v níž je každý řetězec shora omezený.
Nechť L je množina všech řetězců v4.V příkladě 7.13 jsme ukázali, že L je
uspořádána inkluzí a že pro libovolný řetězec (vzhledem k inkluzi) K ^ L je [JK e L.
Uvědomme si, že []K je supremum řetězce K vzhledem k inkluzi. Množina L tedy
splňuje předpoklady principu PMS. Tedy ke každému řetězci veL existuje
maximální (vzhledem k inkluzi) řetězec vv, v c u- c a.
Je-li dáno aeA, nechť vv je maximální řetězec takový, že {a} c= vv. Podle
předpokladu existuje horní mez b řetězce vv. Zřejmě a < b. Přitom z maximality řetězce vv
vyplývá, že b je největší prvek ve vv a že b je maximální prvek množiny A.
Ukázali jsme, že obě verze principu maximality jsou ekvivalentní.
7.17 Věta (Hausdorff). Z axiomu výběru plyne princip maximality.
Důkaz. Ukážeme, že axiom výběru implikuje (PMS). Předpokládejme, že množina A
je uspořádána relací < a že každý řetězec v A má supremum. Předpokládejme, že
pro nějaké aeA neexistuje maximální prvek bsA, b > a. Omezíme se na množinu
X = [>,-►) = {xeA:a < x] .
V množině X existuje supremum pro každý řetězec, ale neexistuje žádný maximální
prvek. To znamená, že pro každé x e X je množina (x, —>) = [y e X: y > x]
neprázdná. Nechť g je selektor na č?(X\ jeho existence je zaručena axiomem výběru.
Definujme zobrazení f:X—>X předpisem f(x) = g({yeX:y>x}). Pro každé
xeX platí x < f(x). Nechť S sestává ze všech množin Z c: X, které splňují
107

(1) aeZ,
(2) je-li xeZ. pak f(x) e Z,
(3) je-li U řetězec a U c Z, pak sup U e Z.
Zřejmě XeS a 5 + 0. Položme M = Q{Z:ZeS}. Snadno se nahlédne, že Ní
splňuje podmínky (1), (2), (3), a proto M je nejmenší prvek v S vůči inkluzi. Jestliže
ukážeme, že M je řetězcem, pak pro b = sup M platí b e M z podmínky (3), z
podmínky (2) máme f(b) e M, to znamená, že f(b) < sup M = 6, a dostáváme spor
s vlastností funkce /. Tento spor končí důkaz věty.
Zbývající část, ryze technická, je věnována důkazu trichotomie pro prvky z M.
Vyšetřujme množinu
T= {xeM:(VyeM)(y < x —/(y) < x)} .
7.18 Lemma. Jestliže xeT a yeM, pak platí x < y nebo y < x.
Důkaz. Vezměme pevné x e T a uvažujme množinu
Zx = {yeM:x < y V y < x) .
Ověříme, že množina Zx splňuje podmínky (l)-(3).
(1) Jelikož aeM, a je nejmenším prvkem v X, je a < x, tedy aeZx.
(2) Nechť yeZx. Buď x < y, a potom x </(>'), nebo y < x, a na základě
definice množiny T platí f(y) < x. To znamená, že /(>•) g Zx.
(3) Nechť U c Zx je řetězec. Jestliže pro nějaké ueU platí x < «, pak také
x < sup U. Je-li naopak u < x pro každé u s U, potom sup U < x. Tedy
sup UeZx. Ukázali jsme, že ZxeS pro každé xeT. Víme, že M je
nejmenší množina systému S. Z inkluze Zx c M proto plyne, že Zx = M pro
každé xel Tím je lemma dokázáno.
7.19 Lemma. Pro libovolné xeT a ve M platí
x < y->f{x) <y.
Důkaz. Nechť x je nějaký prvek z T. Uvažujme množinu
Wx = {v e M: x < y->/(x) < y} .
Ukážeme, že množina Wx má vlastnosti (l)-(3).
(1) ae\Vx, protože a < x.
(2) Nechť yeWx. Podle lemmatu 7.18 jsou prvky x, y srovnatelné, protože
x e T a ve Aí. Chceme ukázat, že f(y) e Wx, to znamená, že platí
* < /(v)-/(x) </(>•).
Předpokládejme, že x < /(y), to vylučuje případ y < x vzhledem k definici
množiny T. Rozebereme zbývající dvě možnosti. Je-li x = y, potom f(x) = f(y). Je-li
x < y, potom f(x) < y plyne z definice Wx a f{x) < f(y), protože y < f(y). V obou
případech dostáváme f(x) < f(y), takže f(y) e Wx.
108

Axiom výběru a princip maximalny
I
(3) Nechť U c Wx je řetězec. Víme, že každý prvek z M (tedy i z Lr) je
srovnatelný s x. Předpokládejme, že x < supu, potom pro nějaké ueU musí platit
x < u. Z definice Wx dostáváme f(x) < u < sup U, to znamená, že sup U e Wx.
Ukázali jsme, že Wx má vlastnosti (l)-(3), a proto platí M = Wx pro každé
xe T. Tím je lemma dokázáno.
7.20 Lemma. T = M, tedy M ;e lineárně uspořádaná množina.
Důkaz. Jelikož T^ My stačí ukázat, že TeS.
(1) a e T, protože a < >- pro každé y e M.
(2) Nechť xeT. Abychom ověřili f(x)e T, zvolme yeM takové, že y < f(x).
Z lemmatu 7.18 víme, že x, y jsou srovnatelné, a z lemmatu 7.19 plyne, že nerovnost
x < y nemůže nastat, protože by z ní plynulo f(x) < y. Je-li x = y, pak f(x) = f(y).
Je-li v < x, pak f(y) < x, protože xeí a tedy f(y) < f{x). V obou případech
máme f(y) < f(x\ tedy f(x) e T.
(3) Nechť U je řetězec U ^ T. Uvažujme ye M, y < sup (7. Jelikož y je
srovnatelné se všemi prvky z [7, je y < u pro nějaké w e U. Odtud plyne f(y) < u,
a tedy f(y) < sup (7, neboli sup (7 e T Máme dokázánu rovnost T = M a z
lemmatu 7.18 plyne, že každé dva prvky z \f jsou srovnatelné, proto M je řetězec, a to
jsme potřebovali ověřit, aby důkaz \čt> 7.17 byl úplný.
7.21 Princip dobrého uspořádání (WO). Pro každou množinu A existuje relace R,
která je dobrým uspořádáním na A. Stručněji, každou množinu lze dobře
uspořádat. Princip dobrého uspořádání pochází od E. Zermela z roku 1904 a je znám jako
Zermelova věta.
7.22 Veta (Zermelo). Z axiomu výběru plyne princip dobrého uspořádání.
Důkaz. Podle věty 7.17 stačí ukázat, že princip dobrého uspořádání plyne z principu
maximality. Nechť A je daná množina. Uvažujme množinu
D = {R: R c a2 , R je dobré uspořádání) .
Uvědomme si, že D 4= 0, protože Oje také relace dobrého uspořádání a OtD. Pro
Rtl R2 t D položme R5 o R2, jestliže R2 je koncové rozšíření RL, to znamená, že
R{ Q R2, a je-li b prvek oboru relace R2, který nepatři do oboru relace R^ potom
a <Ri b platí pro každé a z oboru relace Rx. Je vidět, že (D,<i) je uspořádaná
množina, a potřebujeme ověřit podmínku omezenosti řetězců. Nechť C <= D je lineárně
uspořádaná relací o. Pokud C = 0, je (JC = 0 a vskutku QeD. Pokud C =±= 0,
je snadné nahlédnout, že S = [JC je lineární uspořádání. Ověříme, že S je dobré
uspořádání. Nechť u je neprázdná podmnožina oboru relace S. Zvolme pevné x e u,
potom x je prvkem oboru některé relace Re C. Nechť
v = {y.yeu&y <R x},
nechť yQ je nejmenší prvek množiny v vzhledem k R. Potom yQ gh a ukážeme, že
y0 je nejmenší prvek množiny u vzhledem k relaci S. Kdyby existovalo z <= u,
109

7 22
z <sy0, pak z <^>'0 pro nějaké O e C, a jelikož Q <^ R nebo R o Q, je také
z <R v0, a to vede ke sporu s volbou j^. Dokázali jsme, že 5 je dobré uspořádání,
a tedy D je uzavřená na sjednocení řetězců. Podle principu maximality existuje
maximální prvek R množiny D. Ukážeme, že R je dobré uspořádání na množině A.
Nechť B je obor relace R. Kdyby A — B byla neprázdná množina, nechť x je nějaký
její prvek. Položíme-li
S = R u {B x {x}} ,
potom S e D a S je koncové rozšíření relace K, a R není maximální. Tedy B = A
a R je dobré uspořádání na množině /l. Ukázali jsme, že princip maximality a
dobrého uspořádání jsou důsledky axiomu výběru. Oba principy jsou ekvivalentní axiomu
výběru.
7.23 Věta. Axiom výběru (AC), princip maximality (PM), princip dobrého uspořádáni
(WO) jsou ekvivalentní tvrzení.
Důkaz. Implikace AC —> PM je věta 7.17. Důkaz věty 7.22 je fakticky důkazem
implikace PM->WO. Pro úplnost zbývá ukázat implikaci WO—► AC. Nechť A
je neprázdná, 0 £ /4. Uvažujme X = [JA. Podle WO nechť < je dobré uspořádání
množiny X. Každá a e A je neprázdná podmnožina množiny X, a má tudíž nejmenší
prvek, který je relací < jednoznačně určen. Položme
/ = {{a,x}:ae A & x e a & {x} = {yea: y < x}} .
Získali jsme tak selektor / na množině A.
7.24 Axiom výběru pro konečné množiny je dokazatelný: má-li množina A konečně
mnoho prvků, pak na A existuje selektor. Na druhé straně tvrzení, že na libovolné
množině A, jejíž všechny prvky jsou konečné množiny, existuje selektor, není bez
axiomu výběru dokazatelný. A to ani v případě, když všechny prvky množiny A
jsou dvouprvkové. Jsou-li všechny prvky množiny A jednoprvkové, existence selek-
toru je triviální.
Axiom výběru má specifický charakter. Základní axiomy teorie množin (viz § 2)
jsou tvrzení o existenci určitých množin, ale každá množina, jejíž existence je axiomem
postulována, je také definována nějakou formulí. Na rozdíl od toho axiom výběru
postuluje existenci množin - selektorů - aniž by takový selektor definoval. Proto
kolem axiomu výběru vznikla diskuse na několik desetiletí. Řada matematiků
poukazovala na odlišný charakter axiomu výběru a tvrzením, která se jeho pomocí dají
dokázat, přisuzovala jinou hodnotu než těm tvrzením, která se dají dokázat bez
axiomu výběru. Podrobnější informaci o těchto otázkách čtenář nalezne v
monografii Bar-Hillel, Fraenkel, Lévy (1973).
Teorie množin s axiomem výběru se považuje zajedno z možných rozšíření teorie
množin. Zatímco pokračovala diskuse, axiom výběru zdomácněl v mnoha odvětvích
matematiky, protože se podařilo s jeho pomocí dokázat řadu hlubokých tvrzení
o základních pojmech topologie, funkcionální analýzy, teorie množin a algebry.
110

7 24
Axiom týběru a princip maximaluy
I
Uveďme napřiklad Baireovu větu, Hahnovu-Banachovu větu, Vitaliho větu o
existenci neměřitelné množiny a známou větu o existenci algebraického uzávěru tělesa
Můžeme říci, že teorie množin s axiomem výběru, označená ZFC, je dnes
nejpoužívanější a nejlépe prostudované rozšíření teorie množin, proto mu v této knize
budeme věnovat nejvíce pozornosti.
V teorii množin lze vyslovit i jiné přirozené principy, které nejsou slučitelné
s axiomem výběru. Nejznámější z nich je axiom determinovanosti, který postuluje
existenci vyhrávající strategie v některých nekonečných hrách. Také axiom
determinovanosti má řadu zajímavých důsledků, například, že všechny podmnožiny
reálných čísel jsou lebesgueovsky měřitelné. Svým charakterem se axiom
determinovanosti podobá axiomu výběru. Pro konečné množiny je dokazatelný a v obecném
případě postuluje existenci množin, které nelze definovat.
V současné době je teorie množin s různými formami axiomu determinovanosti
také podrobně studována. V Bukovského knize (1979) jsou uvedeny základní
důsledky tohoto axiomu pro množiny reálných čísel.
111

§ 8 Filtry. Ultrafiltry. Princip kompaktnosti
Seznámíme se blíže s použitím axiomu výběru. Podrobněji se zabýváme filtry,
ultrafiltry, ideály a prvoideály na množinách a dokážeme hlavní větu o ultrafiltrech.
Zavedeme pojem limity posloupnosti přes filtr a pomocí ultrafiltrů dokážeme
existenci konečně aditivní míry definované na všech podmnožinách přirozených
čísel a invariantní vůči posunutí. Formulujeme princip kompaktnosti, který
umožňuje přenášet vlastnosti z konečných systémů množin na nekonečné systémy, a
ukážeme to na příkladě barevnosti grafů.
8.1 Matematické struktury (grupy, okruhy, grafy, topologické prostory) jsou
zpravidla určeny nějakou nosnou množinou, na které jsou vyčleněny některé
operace, relace, případně systémy podmnožin.
I když samotné prvky nosné množiny jsou opět množinami, jsou chápány
z hlediska uvažované matematické struktury jako individua a nezajímá nás jejich
vnitřní množinová struktura. Podstatná je pouze jejich rozlišitelnost.
8.2 Z hlediska teorie množin je základním t>pem struktura určená množinou X
spolu se všemi jejími podmnožinami, to jest potence množiny X. Pro podmnožiny
množiny X byly definovány binární operace průniku a sjednocení a operace doplňku
do množiny X. Jsou-li A, B ^ X, víme, že množiny A n B, A u B a X — A patří
do &(X). Množina X - A se nazývá komplementem množiny A a budeme místo
X — A psát pouze —A, pokud bude z kontextu zřejmé, že nejde o doplněk do
univerzální třídy.
8.3 Definice. Potenčni algebra množin. Množinu í^{X) spolu s binárními operacemi
průniku a sjednocení a unární operací komplementu nazýváme potenčni algebrou
množin nad množinou X.
Je-li dána množina X, víme, že množina 3?{X) je uspořádaná inkluzí, a podle
5.14(f) tvoří spolu s inkluzí úplný svaz. Připomeňme, že pro A.B ^ X jsou všechny
následující vztahy ekvivalentní:
112

X b t '.liry a uiiruiihry I
A c B , - tf c - A ,
Aufi = B, - /l vj J3 = .V .
8.4 V odstavci 5.13 jsme zavedli pojem filtru a ideálu v obecném případě pro
uspořádané množiny. Nyní se budeme těmito pojmy podrobněji zabývat ve speciálním
případě potenční algebry množin. Podle citované definice je Fg :J/{X) filtr,
jestliže F je dolů usměrněná horní množina v <ó?(X), £>. To znamená, že jestliže
pro libovolné A, B ^ X }e A e F a A ^ B, pak 5tF, protože F je horní množina.
Navíc, je-ii A i B prvkem F, pak z dolní usměrněnosti plyne existence C e F, C Q
^ A n B, a tedy také A n 6e F.
Je zřejmé, že každá část množiny ^(Ar). která s libovolnými dvěma množinami
A, B má za prvek i jejich průnik (je uzavřená na průniky) a spolu s množinou A
obsahuje také všechny množiny B takové, že /} c fi c A' (je uzavřená na nadmnožiny).
je filtr podle definice 5.13.
Duálně, ideál I c: &>(x) je charakterizován uzavřeností na sjednocení dvou
množin a uzavřeností na podmnožiny.
Potenční množina &(X) i prázdná množina jsou současně filtrem a ideálem.
Jsou to nezajímavé případy, a proto je v následující definici vyloučíme. Budeme
definovat pojem filtru a ideálu na množině, kterým se také říká vlastní filtr a vlastní
ideál
8.5 Definice. Filtr na množině. Nechť X je neprázdná množina.
(i) Říkáme, že neprázdný systém ŽF sestávající z podmnožin X je filtr na množině X,
jestliže pro libovolné A, B c= X platí
(1) 0^,
(2) AtBe^-^An Be-F ,
(3) (AeF&A £ B)->Be^ .
(ii) Filtr .3^, který navíc splňuje podmínku
(4) A e & V X - A s &
pro každé A c= A\ se nazývá ultrafiltrem na množině X.
Pojem ideálu a prvoideálu na množině je duálním pojmem k pojmu filtru a ultra-
filtru. To znamená, že definici ideálu získáme nahrazením symbolů 0, n, c; v
podmínkách (l)-(3) po řadě symboly X, u,3.
8.6 Definice. Ideál na množině. Nechť X je neprázdná množina.
(i) Říkáme, že neprázdná množina J c: g?(X) je ideál na množině X, jestliže pro
libovolné A, B <= X platí
113

I
8 6
X é J .
(AeS&B c /i)-»5e./.
(ii) Ideál ./ na X se nazývá prvoideálem na množině X, jestliže pro každé
A c X platí
Pojem filtru a ultrafiltru na množině vyslovil F. Riesz již roku 1908. Po více než
dvaceti letech tento pojem nezávisle zavedli A. Tarski, H. Cartan a M. H. Stone.
8.7 Všimněme si, že právě zavedené pojmy filtru a ideálu mají smysl pouze na
neprázdných množinách. Nechť ŽF je filtr na X. Pak existuje nějaké Ae3ř, neboť J*7
je neprázdný systém, a tedy z (3) plyne, že nosná množina X leží v ŠF. Podmínka (l)
je ekvivalentní s požadavkem 2F 4= &>(X). Z podmínky (2) plyne indukcí, že pro
každou neprázdnou konečnou podmnožinu K filtru ŠF je f]Ke^i to znamená,
že pro každé kladné přirozené n a Au ..., An e J^ je také
Ax c\ ...r\ AneŽF .
Buď A £ X. Pak množiny Aa X - A = -A nemohou současně ležet ve filtru ^,
jinak by z (2) plynulo
0 = An -Ae&,
a to je ve sporu s (1).
8.8 Je-li ŠF ultrafiltr na A\ z předchozího faktu a z (4) plyne, že právě jedna z množin
A, — A leží v J*. Ukážeme, že pro ultrafiltr ŽF dále platí:
(5) je-li AuBeF, pak AeF nebo BeJ^.
Předpokládejme, že /luBt.í. Kdyby žádná z množin A, B neležela v ultrafiltru &,
pak podle (4) je - A e & a -Bei7, a tedy -/l n -J3 = -(/i u fl)e ,^\ To je
spor, množina /4 u B a její doplněk nemohou být současně prvkem 3F.
Indukcí lze vlastnost (5) rozšířit pro konečné soubory; je-li pro kladné
přirozené n
Ax u A2 u ... u y4M ež7 ,
pak alespoň jedna z množin /!,. leží v ultrafiltru .9r.
8.9 Duální ideál, duální filtr.
(i) Je-li SF filtr na X, pak systém ^* = {X - /l: A e J^} je ideálem na X a
nazývá se duálním ideálem k filtru 3F.
(ii) Je-li ./ ideál na X, pak J* = {X - A: AeJ] je filtr a nazývá se duálním
jílrem k ideálu J.
114

8 11
Fihr\ a ultraCihry
[
Je zřejmé, že [5F'*Y — Sř a (Jf *)* — ■$■ f"^lr & n'd ^ Je ultrafiltr, pravě když i^*
je prvoideál.
Právě zmíněná dualita mezi ideály a filtry umožňuje zabývat se jen jedním
z těchto pojmů. Tvrzení a pojmy týkající se filtru (ideálu) se užitím de Morganových
pravidel převádějí na duální ideál (duální filtr). Budeme preferovat ideál před
filtrem nebo naopak, podle toho, co bude v dané situaci vhodnější.
8.10 Ideál na množině X slouží jako jeden z možných způsobů matematického
vyjádření pojmu „malé" části nebo „malé" podmnožiny množiny X. Je-li J ideál
na X, pak podmnožiny Y c= X, které leží v .ý, můžeme prohlásit za malé.
Jsou v podstatě dvě možnosti, jak definovat velké množiny. Za velké můžeme
považovat ty množiny, které nepatří do ý, tedy množiny z f?(X) — «/, a pak máme
všechny podmnožiny množiny X rozděleny na malé a velké. Nebo můžeme za velké
považovat pouze množiny ležící v duálním filtru, to jest ty množiny, jejichž doplněk
je malý. V tomto případě mohou existovat množiny, které nejsou ani malé, ani velké.
Pro prvoideál obě možnosti dělení na malé a velké podmnožiny splývají. Je-li ý
prvoideál, pak množina A neleží v J, právě když A leží v duálním ultrafiltru, to
znamená, že je velká.
Různé ideály vyjadřují různé pohledy na to, které části nosné množiny jsou
považovány za malé. Uvažujeme-li reálnou přímku R, pak z hlediska míry za malé
množiny považujeme množiny Lebesgueovy míry nula, ty tvoří ideál. Z
topologického hlediska jsou na IR za malé považovány hubené množiny (viz IV. 1.29), které
také tvoří ideál.
8.11 Příklady, (a) Hlavní filtr, triviální ultrafiltr. Nechť X #= 0. Je-li A neprázdná
podmnožina X, pak
{Bci X:A c: #}
je filtr, který se nazývá hlavní filtr určený množinou A. Duálně, je-li A c X,
A #= X, pak
{£:£<= A}
je hlavní ideál určený množinou A.
Je-li 3F hlavní filtr určený množinou A, pak duální ideál i*7* je hlavní ideál
určený doplňkem —A. Hlavní filtr žF určený množinou A je ultrafiltr, právě když A
je jednoprvková množina. Jsou-li x, y dva různé prvky z A, pak
A = {A- {x})u {x}e&,
ale žádná z množin A - {.x}, {x} není nadmnožinou množiny A. Podle 8.8 pak ^
není ultrafiltr.
Naopak hlavní filtr určený kteroukoli jednoprvkovou podmnožinou {x} c X
je ultrafiltrem. Je-li B libovolná podmnožina X, potom B nebo — B je prvkem
takového hlavního filtru podle toho, zda .x je či není prvkem B.
115

8 11
Hlavní ultrafiltr je vždy určen jediným prvkem nosné množiny. Proto se hlavním
ultrafíltiůiri říká triviální uitrafiltry.
Všimněme si, že na konečné množině je každý filtr hlavní; je-li & filtr na konečné
množině, pak J* je konečný systém množin, a proto A — fY^e J*\ to znamená,
že Šř je hlavní filtr určený množinou A.
(b) Filtr okolí bodu. Uvažujme topologický prostor X. Čtenář, který není
obeznámen s pojmem topologického prostoru, si může představit eukleidovský prostor
nebo metrický prostor. Buď A c: X. Říkáme, že množina V c X je okolím
množiny A, jestliže existuje otevřená množina U taková, že A c= U c ]/
Systém všech okolí neprázdné množiny A tvoří filtr a nazývá se filtrem okolí
množiny A. Speciálně, je-li xeX, pak filtr okolí jednoprvkové množiny {x} se
nazývá filtr okolí bodu x a označíme ho ŽF x. Tedy filtr okolí bodu x sestává z nad-
množin otevřených okolí bodu x.
Nepožadujeme, aby okolí bodu nebo okolí množiny bylo samo otevřenou
množinou, stačí, že otevřenou množinu obsahuje. Otevřená množina je okolím každého
svého bodu. V příkladě 5.14(d) byl definován filtr okolí bodu na reálné přímce.
Všimněme si, že souhlasí s obecnou definicí filtru okolí bodu v topologickém prostoru.
Připomeňme, že topologický prostor je Hausdorffův, jestliže ke každým dvěma
různým bodům x, y existují disjunktní okolí U ež?x, Ve^y. V Hausdorffově
topologickém prostoru je filtr okolí bodu x hlavním filtrem, právě když bod x je
izolovaný (to znamená, že {x} je otevřená množina). V tomto případě je filtr okolí bodu x
triviálním ultrafiltrem na X určeným prvkem x.
(c) Fréchetův filtr na co. Nechť (X, <) je neprázdná lineárně uspořádaná množina
bez největšího prvku. Systém všech shora omezených podmnožin množiny X tvoří
ideál.
Víme, že množina přirozených čísel co je uspořádaná relací e. Shora omezené
množiny v (co, e) jsou právě konečné množiny přirozených čísel. Ideál J¥ všech
konečných podmnožin množiny oo se nazývá Fréchetův ideál Duální filtr k JrF
se nazývá Fréchetův filtr 3?¥.
Z hlediska Fréchetova ideálu na oo jsou konečné množiny malé a množiny, které
mají konečný doplněk, jsou velké. Množina všech sudých přirozených čísel není
ani malá, ani velká z hlediska J¥.
Připomeňme obvyklou definici limity posloupnosti reálných čísel. Posloupnost
(an: n e oo} má limitu rovnu a, jestliže pro každé okolí V čísla a skoro všechny členy
posloupností leží ve V\ přesněji, množina {n:aneV\ patří do Fréchetova filtru,
je velká z hlediska ideálu J¥.
Na tomto místě čtenáře jistě napadne, jak formulovat obecnější pojem limity
posloupnosti podle filtru. Budeme se tím zabývat až o několik odstavců dále.
(d) Hustota množin přirozených čísel. Pro libovolnou množinu A přirozených
čísel 'd neoo nechť A(n) je počet prvků množiny A, které patří do intrvalu [0, n]
všech přirozených čísel menších nebo rovných n. Uvědomme si, že interval [0, a]
116

8.11
Filtry a ultrafiltry
I
má n -f- 1 prvků a že podil A(n)j(n + l) udává četnost výskytu prvků množiny A
v intervalu [0, n\. Horní hustota d*(Á) množiny A je definována jako
d*{Á) = lim sup A(n)l(n +1).
Podobně dolni hustota množiny A je
JJX) = lim inM(n)/(" +1).
n-*co
Zřejmě každá podmnožina přirozených čísel má horní i dolní hustotu a platí
nerovnost
(6) 0 < d,{A) < d*(A) < 1 .
Existuje-li lim A(n)j(n + l), to znamená, že
n-*ao
d*(A) = djA) = d(A),
říkáme, že množina A má hustotu d{Á).
Existují množiny přirozených čísel, které nemají hustotu. Na druhé straně každá
konečná množina má nulovou hustotu. Jsou-li a,b egj a b je kladné, pak množina
X = {a -f k. b:keců} ,
tvořená členy nekonečné aritmetické posloupnosti, má hustotu rovnu \jb, neboť
pro n > a platí
n — a , x n — a
— -!£*(»)£ —+1.
a tedy lim X(n)jn = lib.
Jsou-li A, B disjunktní množiny přirozených čísel, pak pro sjednocení C =
= A^j B platí C(n) = /l(n) + B(n), a tedy
(7) d*(C) < d*{A) + d*(B).
Navíc, existují-li hustoty í/(.4) a d(ij), pak existuje hustota d(C) a platí
á(C) = d(A) -f d(B).
Má-li množina A hustotu d{A\ pak i doplněk -A má hustotu a platí
,/(_4) = i - d(A).
Tedy speciálně pro kladné číslo p množina B všech čísel, která nejsou dělitelná
číslem p, má hustotu
d(B) = 1 - 1/p.
Lze dokázat, že množina všech prvočísel má nulovou hustotu.
Nechť ^ je systém všech množin, které mají nulovou hustotu. Z (6) plyne, že
117

1
8.11
A e 9, právě když d*(Á) = 0. Přitom pro A ^ B je A(n) < B(n), odkud plyne
d*(Á) < d*(B). To znamená, že systém 9 je uzavřen na podmnožiny. Zřejmě
d{(ú) =1 a o i 9. Uzavřenost 9 na sjednocení plyne z (7). Ověřili jsme, že 9 je
ideál. Do ideálu 9 patří kromě všech konečných množin i některé nekonečné
množiny, 9 je obsažnější než Fréchetův ideál.
(e) Van der Waerdenův ideál. Setkáme se se systémy podmnožin přirozených čísel,
pro které není snadné ověřit, že tvoří ideál. Uvedeme takový případ.
Říkáme, že množina A c o obsahuje aritmetickou posloupnost délky n, jestliže
existují čísla a a kladné d taková, že všechny členy konečné aritmetické
posloupnosti
a + k . d pro k < n
patří do množiny A.
Nechť iV je systém sestávající ze všech podmnožin přirozených čísel, které
neobsahují libovolně dlouhé konečné aritmetické posloupnosti.
Je zřejmé, že 3'F c iť a {2":n€cu} je příkladem nekonečné množiny, která
neobsahuje žádnou aritmetickou posloupnost délky 3, patří tedy do iť. Je zřejmé,
že systém iť je uzavřený na podmnožiny ažeo nepatří do iť. To, že systém W je
také uzavřen na sjednocení, vyplývá z následující verze známé van der Waerdenovy
věty, jejíž důkaz lze nalézt v knize Graham, Rothschild a Spencer (1980).
Věta. (van der Waerden, 1927). Obsahuje-li množina přirozených čísel A = A{ u A2
libovolné dlouhé konečné aritmetické posloupnosti, pak alespoň jedna z množin Al,A1
má tutéž vlastnost.
Systém W je tedy ideál. V (d) jsme zavedli ideál 9 množin nulové hustoty. Existuje
množina z 9y která nepatří do W", je to například množina
U[»3V+n].
necj
která je sjednocením nekonečně mnoha intervalů rostoucí délky.
Hluboký výsledek Z. Szemerediho z roku 1975 ukazuje, že if a 9, to znamená,
že každá množina přirozených čísel s kladnou horní hustotou obsahuje libovolně
dlouhé konečné aritmetické posloupnosti. Víme, že množina všech prvočísel leží
v 9. Zda množina všech prvočísel patří také do iť, je otevřený problém, který je
považován za velmi obtížný, až beznadějný.
8.12 Označení. Víme, že algebra všech podmnožin libovolné množiny X je úplný
svaz při uspořádání inkluzí. Infimum libovolného neprázdného systému F c; @{X)
vzhledem k inkiuzi je rovno f]F. Je-li i7prázdný, infimum Fje X. Bude-li z kontextu
zřejmé, že se zabýváme podmnožinami určité množiny X, infimum prázdného
systému množin budeme označovat průnikem stejně jako infimum neprázdného
systému.
Dále se budeme zajímat o systémy množin, které určují filtr.
118

S 15
/ iltry a ulrrafíltry
I
8.13 Definice. Báze filtru. Generátory filtru. Nechť jF je filtr na X.
(i) Množina B c= ^ se nazývá báze filtru ŠF, jestliže každá množina z filtru 2F
je nadmnožinou nějaké množiny z jB, to znamená, jestliže
(VYe^)(3ZeB)(Z c y).
(ii) Množina S £ ^ se nazývá množinou generátorů filtru ^jestliže systém všech
průniků konečně mnoha množin z S tvoří bázi filtru ^, neboli
(VAe^)(3S0e[sY»){f)S0c,A).
Říkáme také, že S generuje filtr 2F.
8.14 Definice. Centrovaný systém. Buď S nějaký systém podmnožin množiny X.
Říkáme, že S je centrovaný systém na X, jestliže průnik každého konečného
podsystému S0 c S je neprázdný.
Z úmluvy 8.12 plyne, že prázdný systém na X je centrovaný právě tehdy, když
X je neprázdná množina. Je-li S neprázdný systém, pak centrovanost systému S
požaduje, aby pro každé kladné přirozené na A {,..., An e S platilo Ax n ... n An =4=
4=0.
Každý filtr je svou bází a také je centrovaným systémem, který s každou
množinou obsahuje i všechny nadmnožiny. Naopak, je-li S c &>(X) centrovaný systém,
pak
F(S) = {Y ^ X:(3S0e[sY<*)(C)S0 c: Y)}
je filtr na X a je to navíc vůči inkluzi nejmenší filtr na X obsahující systém 5.
Všimněme si, že množina všech průniků konečných podsystémů centrovaného systému S
tvoří bázi filtru 3F(S\ a tedy filtr ^(S) je generován systémem S. Centrovaný systém S
na množině X jednoznačně určuje filtr ^(S\ který je tímto systémem generovaný.
8.15 Příklady, (a) Nechť (X, <) je nahoru usměrněná uspořádaná množina.
Potom S = {[*,—►)". xe X} je centrovaný systém na X. Z usměrněnosti uspořádání
plyne, že pro konečně mnoho xl5..., xneX existuje yeX takové, že y > xr To
znamená, že [>',—►) £ [*i> —>) n •■■ n [_xn>~*\ a tecty S Je bází filtru &{S\ který je
systémem S generován.
(b) Bázi filtru okolí bodu x v topologickém prostoru, jak byl definován v 8.1 l(b),
tvoří všechny otevřené množiny prostoru obsahující bod x.
(c) Množiny reálných čísel Lebesgueovy míry nula a současně typu G5 (to
znamená průniky spočetně mnoha otevřených množin) tvoří bázi ideálu všech množin
Lebesgueovy míry nula.
(d) Existuje soubor </1M: n e p;) množin přirozených čísel takový, že
(i) průniky libo\olných tří množin souboru jsou neprázdné,
(ii) průniky alespoň čtyř množin souboru jsou prázdné.
119

I
8.15
Je zřejmé, že stačí sestrojit takový soubor na nějaké spočetné množině. Uvažujme
množinu X = [o;]3 sestávající ze všech tří prvkových podmnožin přirozených čísel.
Množina .Y je spočetná. Pro každé přirozené n položme
An = {ae X\ ne a} .
Množina An sestává z těch tříprvkových množin, které mají číslo n jako svůj prvek.
Ověříme, že soubor (An: něco) podmnožin množiny X má vlastnosti (i) a (ii). Pro
různá /,_/, keco průnik Ai n A} n Ak sestává z jediné tříprvkové množiny {/,_/', /c},
je tedy neprázdný. Uvažujeme-li čtyři množiny, například A0,...,A3, pak
A0 n ... r\ /l3 = 0, protože žádná tříprvková množina neobsahuje čtyři různé
prvky 0, 1,2,3.
Požadovali jsme, aby soubor s vlastnostmi (i) a (ii) byl nekonečný, a použitím
Dirichletova principu snadno odvodíme, že všechny množiny souboru musí být
nekonečné. Čtenář si zajisté uvědomil, že číslo tři nehraje důležitou roli a může být
nahrazeno libovolným kladným přirozeným číslem.
8.16 Rozšiřování filtrů. Uvažujme pevnou neprázdnou množinu X a všechny filtry
na X. Filtr ŽF na X sestává z některých částí množiny X, tedy ŠF ^ 0>(X). Obsa-
huje-li filtr Jřr1 všechny části množiny X, které obsahuje filtr 5^2, to znamená, je-li
#2 ^ 3FX, říkáme, že J^ rozšiřuje J^.
Množina všech filtrů na X je uspořádaná inkluzí. Podstatné je, že při tomto
uspořádání jsou splněny podmínky principu maximality 7.10, neboť je-li S neprázdný
systém filtrů lineárně uspořádaný inkluzí, pak i [JS je filtr.
Z principu maximality pak plyne existence maximálních filtrů a dokonce to, že
každý filtr lze rozšířit do maximálního filtru.
Je zřejmé, že SF^ c J*2: právě když pro duální ideály platí &* ^ -i%*. To
znamená, že předchozí úvahy lze přenést i na ideály.
8.17 Lemma. Filtr 3F je maximální, právě když JF je ultrafiltr.
Důkaz. Nechť $F je maximální filtr na X. Potřebujeme ukázat, že pro libovolnou
A c X je AeŽF nebo — AežF. Předpokládejme, že pro nějaké A to neplatí.
Pak & v {A} je centrovaný systém, neboť pro žádné YezF není Yc -A, a tedy
Yc\ A 4 0. Filtr ŠFl generovaný systémem ŠF u {A} je vlastním rozšířením filtru
ŽF a dostáváme spor s maximalitou ŽF. Tedy 3F je ultrafiltrem na X. Naopak, nechť
ŽF je ultrafiltr na X. Kdyby existoval filtr J^ rozšiřující & a & 4 J^, pak pro
Ae&Y - ŠF, které neleží v ultrafiltru SF, platí -Ae^, a tedy A i -A patří do
5^, což není možné pro žádný filtr. Ukázali jsme, že ultrafiltr je maximální filtr
vůči inkluzí.
Duální tvrzení pro ideály je nasnadě. Vidíme, že pojmy ultrafiltr a prvoideál na
množině jsou synonyma pro maximální filtr a maximální ideál. Pomocí axiomu
výběru, přesněji z principu maximality, jsme ukázali, že každý filtr lze rozšířit do
maximálního filtru (ultrafiltru). Uvědomíme-li si, že každý centrovaný systém
generuje nějaký filtr, následující tvrzení je dokázáno.
120

,x 22 f litry J ukrafiitry I
8.18 Základní věta o ultrafiltrech. Každý centrovaný systém S na množině X lze
rozšířit do nějakého ultra filtru & na X.
8.19 Označení. ftX označuje množinu všech ultrafíltrů na X. Protože každý triviální
ultrafiltr na množině X můžeme ztotožnit s nějakým prvkem x e Xy budeme
množinu všech netriviálních ultrafíltrů na X značit fiX — X.
8.20 Definice. Uniformní filtr. Říkáme, že filtr J^ na X je uniformní, jestliže každá
množina z Žř má stejnou mohutnost jako nosná množina X. Množinu všech
uniformních ultrafíltrů na X označíme °?/(X). Uvědomme si, že filtr na co je
uniformní, právě když sestává jen z nekonečných množin. Na a; splývají pojmy
netriviální ultrafiltr a uniformní ultrafiltr.
8.21 Existence netriviálních ultrafíltrů. Na konečné množině jsou všechny ultrafiltry
triviální. Základní věta o ultrafiltrech 8.18 zaručuje existenci nějakého ultrafíltrů
na oj, který rozšiřuje Fréchetův filtr @rY. Uvčdomíme-li si, že ultrafiltr na co rozšiřuje
Fréchetův filtr, právě když je netriviální, dokázali jsme, že množina pco — co je
neprázdná.
Podobně se dokáže, že každý uniformní filtr ^ na co lze rozšířit do uniformního
ultrafíltrů, neboť C = & u #"r je centrovaný systém na co a každý filtr, který je nad-
množinou C, je uniformní.
Obecněji, pro každou nekonečnou množinu X je .ý — [X]<co ideál na X a každý
ultrafiltr na A\ který rozšiřuje duální filtr </*, je netriviální, tedy z 8.18 plyne
px - x * o.
Ukázali jsme, že pco - co = /JU{oj). Jsou-li dány nespočetná množina X, její
spočetná podmnožina A a netriviální ultrafiltr ŠF na A. je snadné ověřit, že
^ = {B c X-.BnAe^}
je netriviální ultrafiltr na X, který není uniformní, protože A e^ a množiny A a. X
mají různou mohutnost. Pro libovolnou nespočetnou množinu X tedy platí ,Ji/{X) g
s px - x.
Nyní víme, že existují netriviální ultrafiltry na libovolné nekonečné množině,
ale žádný takový ultrafiltr jsme nepopsali.
Uvědomme si, že základní věta o ultrafiltrech je důsledkem principu maximality,
který je ekvivalentní s axiomem výběru. Pokud nepřijmeme axiom výběru nebo
alespoň základní větu o ultrafiltrech jako další axiom teorie množin, můžeme
bezesporně předpokládat, že na každé množině existují jen triviální ultrafiltry.
Chceme čtenáře přesvědčit, že netriviální ultrafiltry mohou být užitečné v
kombinatorice, topologii a v algebře. V dalším proto budeme předpokládat platnost
základní věty o ultrafiltrech, která je speciálním případem principu maximality.
8.22 Limita posloupnosti podle filtru. Připomeňme, že posloupnost
(8) (xn:neoj)
121

8 22
bodů nějakého prostoru P je zobrazení j:co—*P, pro které f(n) = xn. V příkladě
8.1 líc) jsme připomněli vztah limity posloupnosti k Fréchetovu filtru. Je-li dán
nějaký filtr ŽF na co, obvyklý pojem limity posloupnosti rozšíříme tím, že za velké
množiny přirozených čísel budeme považovat množiny z filtru J*\
8.23 Definice. J^-limita posloupnosti. Nechť ŠF je filtr na co a P je topologický
prostor. Říkáme, že bod a e P je limitou posloupnosti (8) podle filtru ŽF nebo že
posloupnost (8) konverguje k a podle SF, a píšeme
(9) J^-lim xn = a ,
jestliže pro každé okolí Kbodu a skoro všechny členy posloupnosti leží ve K to
znamená, že
{n:xne V} e& .
8.24 Obvyklý pojem limity posloupnosti odpovídá limitě podle Fréchetova filtru
a v tomto případě budeme místo (9) psát
lim xn = a .
Pokud filtr ^ rozšiřuje filtr SF a platí-li ,^-lim xn = a. pak také ^-lim xn = a.
Tento fakt plyne z definice 8.23. Speciálně, existuje-li obvyklá limita a lim xn = a,
pak pro každý filtr J^ rozšiřující Fréchetův filtr je také ^-lim xn = a. Existují
však J^-limity posloupností, které v obvyklém smyslu nekonvergují.
8.25 Příklady, (a) Posloupnost čísel (-1)" je jednoduchým příkladem
posloupnosti, která nemá limitu. Avšak pro každý filtr &r, ve kterém leží množina všech
sudých čísel platí
^-lim(-l)" = 1.
(b) Je-li ŽF triviální ultrafiltr na co určený přirozeným číslem k, pak pro každou
posloupnost (8) je
J^-lim x„ = xk.
(c) Hromadné body posloupnosti. Nechť (8) je posloupnost bodů nějakého
topologického prostoru. Je-li <& uniformní filtr na co a platí-li
(10) y-\imxn = a,
pak v každém okolí bodu a leží nekonečně mnoho členů posloupnosti xn. To
znamená, že a je hromadným bodem posloupnosti (8).
Na druhou stranu, je-li a hromadným bodem posloupnosti (8), pak existuje
uniformní filtr & na co, pro který platí (10). Stačí, vezmeme-li centrovaný systém Sa
sestávající z množin
Av = {n:ameV},

8.27
Filír\ a ultrafiliry
I
kde Kje libovolné okolí bodu a. Protože a je hromadným bodem, Av je nekonečná
množina. Pro libovolná dvě okoli K W bodu a je
Aynw = Av O Aw .
To znamená, že systém Sa je uzavřen na průniky. Filtr & generovaný systémem Sa je
uniformni a platí (10).
8.26 Z vlastností filtrů plynou i další vlastnosti ^"-limit dobře známé pro obvyklé
limity posloupností reálných čísel.
Pokud topologický prostor P je Hausdorffův, pak posloupnost bodů prostoru P
může mít nejvýše jednu limitu podle daného filtru. Kdyby pro nějaký filtr 8F platilo
J^-lim xn = a, i^-lim xn = b 3. a #= 6, pak pro disjunktní okolí U, V bodů a, b by
množiny {n: xn e U} a {m: xm e V} z & byly disjunktní a to není možné.
Předpokládejme, že v topologickém prostoru P je definována spojitá binární
operace, označme ji ©.Jestliže J^-lim xn = a a J^-lim v„ = 6, pak JF-lim(xn © yj =
= a © fr. Speciálně, operace sčítání a násobení reálných čísel jsou spojité, a proto
pro každý filtr J na o a libovolné posloupnosti \„, r„ reJhnch čísel plalí
(11) i^-lim (xn + yn) = j^-lim x„ -i- ^-lim y„,
J^-lim (x„. yn) = (F-lim xn). (J^-lim j,J,
pokud limity na pravých stranách existují.
Ultrafiltr je extrémním případem filtru a to se promítá i do existence J^-limit.
V důkazu následujícího tvrzení použijeme Cantorův princip vložených intervalů,
který říká, že libovolná posloupnost </ n: ne co} do sebe zařazených uzavřených
intervalů reálných čísel, jejichž délka konverguje k nule. má v průniku právě
jeden bod.
8.27 Veta. Každá posloupnost reálných čísel má jednoznačně určenou (vlastní nebo
nevlastní) ^-limitu pro libovolný ultrafiltr 8? na co.
Speciálně, každá omezená posloupnost má vlastní ^-limitu pro libovolný ultrafiltr
8F na co.
Důkaz. Nechť /: oj—+ (R je posloupnost reálných čísel. Bud 8F ultrafiltr na w.
Budeme diskutovat tři vzájemně se vylučující případy.
(i) Existuje množina A e 8F, na které je funkce / konstantní. Nechť a je hodnota,
kterou funkce / nabývá na množině A. Potom
J^-lim f(n) = a .
n
Všimněme si, že do tohoto případu spadá triviální ultrafiltr.
(ii) Funkce f není omezená na žádné množině z $F. Pak buď /_1"[0, ->)e^
a v tomto případě je
^-\imf(n) = +oo ,
123

I
8 27
nebo / ~ '"(«-, 0] e .¥ a v tomto případě je
J^-lim/^?) = - x .
(iii) Nenastane žádný z případů (i) a (ii). Pak existuje uzavřený interval I0
reálných čísel takový, že množina Á0 = /~l[/0] ^ží v «^\ tedy /je omezená na /10
a přitom / není konstantní na žádné množině z J27.
Interval I0 rozpůlíme a získáme dva uzavřené podintervaly J{,J2- Ověříme, že
právě jedna z množin Aí = f~1[Jl'], A2 = f~1[J2] leží v ultrafiltru ŠF. Předně
Ax u A2 = A0 a A0 gJ27, tedy z vlastnosti (5) ultrafiltru plyne, že alespoň jedna
z množin Ai náleží do Sř. Kdyby obe množiny ležely v J^, pak /je konstantní na
množině Ai n X2 e^, ale tento případ jsme vyloučili. Označíme /1 ten z intervalů
Jf-, pro který platí Ay e &. Dále postupujeme indukcí; půlíme intervaly In a ultrafiltr
určí, který z polovičních intervalů bude interval InJ_1. Získáme tak posloupnost do
sebe zařazených uzavřených intervalů
/0 3 /1 3 I2 =3 ...,
jejichž délka konverguje k nule. Podle Cantorova principu vložených intervalů
existuje jediné číslo úeflj/^n < oj}.
Zbývá nahlédnout, že
J^-lim f(n) — a .
Nechť Kje okolí čísla a. Protože délka intervalů In konverguje k nule, existuje
přirozené k, pro které platí Ik c= V. Zřejmě
neboť tak byly intervaly In konstruovány. To znamená, že
{n:f(n)eV}e&.
Jednoznačnost ^"-limity plyne z toho, že uvažovaná topologie reálné přímky IR je
Hausdorffova.
Je-li posloupnost omezená, odpadá případ (ii) a posloupnost má vlastní .^-limitu.
8.28 Konečně aditivní míry na algebře ^(co). Vraťme se k příkladu 8.11 (d), kde byl
zaveden ideál množin nulové hustoty a pojmy dolní a horní hustota pro A ^ co.
V citovaném příkladě jsme uvažovali posloupnost relativních četností množiny
A ^ co
(12) <A{n)!(n + l):/ieaj>.
kde A(n) je počet prvků konečné množiny A n [0, n\
Vezměme pevný ultrafiltr 3? na cd a podívejme se, co dostaneme, budeme-li
uvažovat J^-limity posloupností (12).
Podle věty 8.27 pro každou množinu A ^ co existuje jednoznačně určené číslo
(13) n^A = ^-\\mA{n)\{n + l)
n
124

8 31 /-i/'r> j ullrajlltry 1
a zřejmě pláli
n^Q = O, y\-u = 1 , O < ;^/l < 1 .
Jsou-li množiny A, B disjunktní a C = .4 u 8, potom
C(n) = /l(n) + B(n)
a podle (11) je .^"-limita součtu posloupností rovna součtu .i^-limit, tedy
^C = n^A + >/^£ •
Dále je zřejmé, že pro /l c B je >?,4 < //6. Funkce n^\^(o))-^R připomíná míru
definovanou na .:^(<x>).
8.29 Definice. Míra na &>{cú). Říkáme, že funkce //: .^(oj) —> (R /ť (konečně aditivní)
míra na 3P((ú), jestliže platí
(14) >?0 = 0, nai>0,
(15) /l c B-+r\A < r\B ,
(16) /l n £ = 0->i/(/l uB) = >M -I- ^fí .
Říkáme, že A je rj-nulová množina, jestliže rjA = 0. Dvě míry se nazývají
ekvivalentní, mají-Ii stejné nulové množiny. Míru n nazýváme normovanou nebo
pravděpodobnostní mírou, jestliže platí ijo = 1.
8.30 Všimněme si, že podle 8.29 míra přiřazuje každé podmnožině přirozených čísel
nějaké nezáporné reálné číslo, neboť podle (15) a (14) je nA > n0 = 0. Nevlastní
hodnotu + oo jako míru nějaké množiny nepřipouštíme. Takovým mírám se říká
konečné.
Indukcí podle n se z (16) dokáže
(17) ri{AlKj...uAn)= tnAl9
i = i
pokud Aíí...,An jsou po dvou disjunktní množiny. Nepožadujeme však, aby míra
byla cr-aditivní, to znamená, aby (17) platilo i pro každý spočetný disjunktní soubor
množin. Proto mluvíme o konečně aditivní míře.
Každá konečná míra v na ^(oj) je ekvivalentní s nějakou normovanou mírou n,
stačí položit
vA
rjA = —.
V(JŮ
Vidíme, že funkce n& definovaná pro daný ultrafiltr ŠF vztahem (13) je normovaná
míra na ^(oj). Uvedeme další příklady měr.
8.31 Příklady, (a) Dvouhodnotové míry. Každá míra na &(a)) nabývá alespoň
dvou různých hodnot. Speciálně normovaná míra musí nabývat hodnoty 0 pro
125

I
8 31
prázdnou množinu a hodnoty 1 pro celé co. Nabývá-li míra jen dvou hodnot, 0 a 1,
říkáme, zeje dvouhodnotová
Nechť n je dvouhodnotová míra. Potom systém
# = {A c a):nA = 1}
je ultrafiltr na oj. Naopak, je-li ^ ultrafiltr na co, pak charakteristická funkce
množiny ^ definovaná na &(a>) je dvouhodnotová míra. Existuje tedy vzájemně
jednoznačná korespondence mezi ultrafiltry na co a dvouhodnotovými mírami na ^(co).
(b) Váhové míry. Nechť /je posloupnost nezáporných reálných čísel. Říkáme, že
/je váhová funkce na co, jestliže Yf(n) konverguje a f(n) > 0 alespoň pro jedno
přirozené n. Je-li / váhová funkce a položíme-li
(18) »M =!/(«)
pro libovolnou množinu /l c: co, dostaneme míru na .^(co). Říkáme, že ^ je váhová
míra.
Můžeme si představit, že funkce / přiřazuje hmotnost každému prvku n e co a že
míra množiny je součtem hmotností jejich prvků.
Z absolutní konvergence řady Yf(n) dále vyplývá, že míra definovaná podle (18)
je c-aditivní. Není obtížné nahlédnout, že c-aditivní míry na í^(co) jsou právě všechny
váhové míry.
V podmínce (14) jsme požadovali, aby míra množiny co byla kladná. Odtud plyne,
že míra, pro kterou jsou všechny jednoprvkové, a tedy i konečné, množiny nulovými
množinami, nemůže být a-aditivní. To znamená, že dvouhodnotová míra je a-adi-
tivní, právě když množiny míry jedna tvoří triviální ultrafiltr.
(c) Ideál nulových množin. Je-li n míra na ^(co), označíme J'n systém všech rj-nu-
lových množin; to znamená, že
/n=(/lc oj:i]A = 0}.
Z aditivnosti míry rj vyplývá, že Jn je ideál na oj. Speciálně pro dvouhodnotovou
míru ji je Jn prvoideál. Tedy každá míra na ^(co) určuje nějaký ideál na co. Můžeme
se ptát, zda každý ideál na co je určen nějakou mírou, to znamená, zda každý ideál
sestává ze všech nulových množin nějaké míry na 2?(oj). Není obtížné ukázat, že
Fréchetův ideál a ideál množin nulové hustoty jsou příklady ideálů, které nejsou
určeny žádnou mírou.
Připomeňme, že každý ideál rozděluje podmnožiny na malé a ne-malé. Míra
umožňuje jemnější klasifikaci množin podle velikosti.
8.32 Míry rozšiřující hustotu. Ověříme další vlastnosti konečně aditivní míry t] f
definované vztahem (13), které závisí na volbě ultrafiltru & na to.
Je-li J* triviální ultrafiltr určený číslem k e co, potom rj^ je váhová míra s vahou
f(n) = \j[k + l) pro n < k a f(n) = 0 pro n > k.
126

8 33
blit vy a ultrajlltry
I
Zajímavější je případ netriviálního ultraťiltru. Předpokládejme, že ullraHUr ^
rozšiřuje F-récheluv filtr Potom podle 8.24 platí
n*A = d(A)
pro každou množinu A, která má hustotu. Říkáme, že míra rj^ rozšiřuje hustotu.
Nechť s je zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje následníka, to
znamená
s{n) = n + 1 .
Je-li A c: co, množina B = s-1[/l] vznikne posunutím množiny A o jedničku
doleva (s případným vynecháním —1, je-li OeA). Je zřejmé, že B(n)j(n + l) se liší
od A(n)j(n + 1) nejvýše o l/(n -f l). Odtud pro limity relativních četností podle
2F plyne
nJyA) = rj,^s'l[A].
Říkáme, že míra rj^ je invariantní vzhledem k posunutí.
Pro každé A <= oj platí
dM) ^ n^A < d*(A),
neboť rj^A je podle 8.25(c) nějaký hromadný bod posloupnosti (11), zatímco d^{Á)
je nejmenší a d*(A) největší hromadný bod této posloupnosti. Je-li d*(A) > 0, to
znamená, nemá-li A nulovou hustotu, pak podle 8.25(c) existuje uniformní filtr c§
takový, že
V-lim A(n)l(n + l) = d*{A).
Tedy platí
r)M = d*{Á) > 0
pro každý uniformní ultrafiltr ČF rozšiřující <§.
Následující věta shrnuje, co jsme právě dokázali.
8.33 Věta. Je-li ŽF netriviální ultrajiltr na co, pak rj^ je konečně aditivní míra na <?(cú),
která rozšiřuje hustotu a je invariantní vzhledem k posunutí. Navíc, pro každou množinu
přirozených čísel A, která má nemdovou horní hustotu, existuje netriviální ultrajiltr
ŽF takový, že n&A > 0.
Existence konečně aditivních měr s uvedenými vlastnostmi i níže uvedený příklad
Banachovy limity se obvykle dokazují pomocí Hahnovy-Banachovy věty ve
funkcionální analýze. Ukázali jsme, že ve speciálním případě lze tvrzení dokázat
jednoduššími prostředky.
127

I
8 34
8.34 Banachova limita. Nechť /°° je lineární prostor všech omezených posloupností
reálných čísel Je-li je \Sj a v je zobrazeni z 8.32. potom posloupnost /v. pro kterou
platí (js)(n) = j(n + 1), je také pr\ kem r. Ukážeme, že existuje zobrazení LIM
prostoru /x do reálných čísel iR, které splňuje následující podmínky pro libovolná
j.ger- a c.de li.
(i) LIM(c-/ + ďg) = c-LIM / + d-UMg,
(ii) LIM/ > 0 , jakmile f{n) > 0 pro každé n,
(iii) LIM/= LIM(/>),
(iv) existuje-li obvyklá limita posloupnosti / pak LIM / = lim /.
Podle (i)—(iv) je LIM lineární kladný funkcionál na prostoru P°, který je
invariantní vůči posunutí a rozšiřuje obvyklou limitu posloupnosti. Takový funkcionál
se nazývá Banachovou limitou.
Ke konstrukci Banachovy limity na lCXi stačí vzít libovolný netriviální ultrafiltr ?F
na co a pro /e/30 definovat LIM /jako ^-limitu částečných aritmetických
průměrů posloupnosti / přesněji
LIM/^-IimM±M±^^W.
J n n+ 1
Tato definice má smysl, protože posloupnost částečných aritmetických průměrů
libovolné fel™ je také omezená a podle 8.27 má jednoznačně určenou vlastní
^-limitu.
Je zřejmé, že LIM je kladný funkcionál, a ze vztahů (11) vyplývá, že je lineární.
Abychom dokázali, že LIM je invariantní vzhledem k posunutí, uvědomme si, že
aritmetické průměry prvních n členů posloupností j a fs se liší o hodnotu
|/(0) - f(n -f- l)|/(n -f- l) a že tento rozdíl konverguje k nule, protože /je omezená
posloupnost.
Vlastnost (iv) je důsledkem známého faktu z analýzy: konvergentní posloupnost
konverguje ke své limitě i v průměru.
Z předchozího je zřejmé, že funkcionál LIM závisí na volbě ultrafiltru ZF e ;//(co),
ze kterého byl sestrojen. Všimněme si, že pro charakteristickou funkci xA kterékoli
množiny A <= oj platí
LIM Xa = r\*A .
kde r]^ je míra na &(cú) definovaná vztahem (13).
To znamená, že Banachova limita určená ultrafiltrem ZF je rozšířením konečně
aditivní míry r\& z věty 8.33. Mezi Banachovou limitou a y\& je tedy podobný vztah
jako mezi integrálem a mírou.
8.35 Budeme se dále zabývat principem kompaktnosti, který umožňuje přenášet
některé vlastnosti konečných podsouborů na celý nekonečný soubor množin.
Princip kompaktnosti byl formulován jako samostatné tvrzení na přelomu 40.
a 50. let.
128

8.36
F Litry a ulirafútry
I
Nejprve zavedeme pomocné pojmy. Mějme soubor množin
A = <At:ÍEl).
Uvažujme systém S, který sestává z částečných selektorů souboru A, to znamená
z některých zobrazení /, jejichž definiční obor je částí indexové množiny / a pro
každé i e Dom (/) je /(z) e Av
Říkáme, že systém S pokrývá konečné podmnožiny /Jestliže pro každou konečnou
část u množiny / existuje ! eS takové, že u c; Dom (/). Zobrazení u nazýváme
filtrovaným prodloužením systému S, jestliže y je definováno na celé množině / a
konečné části zobrazení g jsou vymezeny systémem S, přesněji
(Vu6[/]<»)(3/-eS)(/|u = 9|u).
Ie zřejmé, že filtrované prodloužení systému S, pokud existuje, je prvkem
kartézského součinu X^i:* 6 O-
K důkazu principu kompaktnosti použijeme základní větu o ultrafiltrech 8.18.
8.36 Věta. Princip kompaktnosti. Jsou-li všechny množiny A. souboru (^t: i e f)
konečné, pak každý systém částečných selektorů pokrývající konečné podmnožiny I
má filtrované prodloužení.
Důkaz. Nechť S je systém pokrývající konečné podmnožiny /. Zúžením všech
zobrazení z S na konečné podmnožiny vytvoříme systém Sx, který také pokrývá konečné
podmnožiny a sestává jen z konečných zobrazení. Filtrované prodloužení systému S
je filtrovaným prodloužením systému Si a naopak. Proto můžeme předpokládat,
že S sestává pouze z konečných zobrazení. Z pokrývači vlastnosti systému S plyne,
že každá z množin A{ je neprázdná, a také, že 5 + 0.
Budeme definovat množinu X a na ni zavedeme centrovaný systém. Hledané
zobrazení získáme z ultrafiltru, který tento centrovaný systém rozšiřuje.
Buď X množina všech konečných částečných selektorů, to znamená, že
ieu
Pro i e I položme
Yt = {feS:ieDom{f)}.
Předpokládali jsme, že S g; X, a tedy Yt ^ X pro každé iel. Ukážeme, že
množiny Yl tvoří centrovaný systém. Je-li u konečná neprázdná podmnožina /, pak z
pokrývající vlastnosti systému S plyne existence feS takového, že u <^ Dom (/).
To znamená, že fe f]^, a tedy systém je centrovaný.
Buď <§ nějaký ultrafiltr na X rozšiřující systém {Y^iel}. Uvažujme nyní
množinu Ai pro pevné i e /. Pro a e Ai položme
Yi(a)={feYi:f(i) = a}.
129

I
8 36
Pro různá a>be A, je zřejmě Yt(a) r^ )i(b) = 0 a navíc
[J{YÁa):aeA.) = Y.
Vidíme, že množina Y{ z ultrafiltru ťš je sjednocením konečně mnoha [At je konečné
dle předpokladu) disjunktních množin. Tedy existuje právě jeden prvek aeAl
takový, že Y^a) e *§. Můžeme nyní definovat zobrazení g vztahem
g(i) = a<-+ Y.[a)ey
pro každé i e I.
Zbývá ověřit, že g je filtrované prodloužení systému S. Uvažujme konečnou
neprázdnou množinu u^ I. Pro každé ieu je Y^ifje^ a Y-[g{í)) c S. Tedy
průnik n{^(#(z)): *e "} \Qž\ také v &, a je proto neprázdný. Pro libovolné / z tohoto
průniku platí feS, u £ Dom (/) a pro každé ieu je g(i) = f(i). Tím je důkaz
dokončen.
Uvědomme si, že princip kompaktnosti je netriviální tvrzení jen pro nekonečné
soubory množin.
8.37 Sňatkový problém. Hallova věta. Každý muž se zná s jistými ženami a je
možné, že více mužů se zná s touže ženou. Ptáme se, kdy je možné, aby se každý muž
oženil s některou z žen, které zná, když mnohomužství je vyloučeno?
Formulace sňatkového problému v matematické řeči je nasnadě. Buď M konečná
množina a nechť
(19) <Pťm:meM>
je soubor konečných množin. Ptáme se, kdy existuje fe\ Wm, které je prostým
me.VÍ
zobrazením, neboli, kdy existuje prostý selektor na souboru (19), jehož definiční
obor je celá množina M?
Překvapivě jednoduchou odpověď dává Hallova věta. Prostý selektor pro konečný
soubor (19) konečných množin existuje právě tehdy, když
(VJcM)(|J|<|U^J).
Důkaz této věty čtenář nalezne v Nešetřilově knize Teorie grafů (1979).
Podmínka řešitelnosti sňatkového problému říká, že každá skupina mužů se musí
znát dohromady s nejméně tolika ženami, kolik je mužů ve skupině. Je zřejmé, že
je to podmínka nutná, netriviální část Hallovy věty ukazuje, že je to i podmínka
postačující.
Princip kompaktnosti umožňuje přenést Hallovu větu na nekonečné soubory
konečných množin. Ukážeme, že platí následující tvrzení.
Prostý selektor pro libovolný soubor konečných množin (A,: ie /> existuje právě
tehdy, když existuje prostý selektor pro každý konečný podsoubor (At:iejy,
J e [/]<».
130

841
Filtry a uhrafiltry
l
Snadno se nahlédne, že zúžení f\J prostého selektoru j pro (At:iel) na
množinu J c= I je prostým selektorem pro (At: ie J>. Na druhou stranu,
zobrazení /, které je filtrovaným prodloužením systému všech konečných částečných
prostých selektoru, je hledaným prostým selektorem pro celý soubor.
Omezení v principu kompaktnosti na konečné množiny v souborech je
podstatné. Uvažujme soubor <ajr: r e IR>, kde r probíhá všechna reálná čísla a každé cor
je množina všech přirozených čísel. Je zřejmé, že pro každý konečný podsoubor
existuje prostý selektor. Kdyby bylo možné použít principu kompaktnosti i v tomto
případě, pak by existoval prostý selektor pro celý soubor, a to je prosté zobrazení
nespočetné množiny IR do spočetné množiny w. Víme, že takové zobrazení
neexistuje.
8.38 Obarvkelnost grafu. Na problému obarvitelnosti grafů ukážeme další
použití principu kompaktnosti. Připomeňme nejprve základní pojmy.
8.39 Definice. Graf. (i) Graf G = (K, //) je určen množinou vrcholů V a
množinou hran H\ hrany jsou některé dvouprvkové podmnožiny množiny vrcholů, tedy
H £ [V]2. Říkáme, že hrana (x, y) e H spojuje vrcholy .v a y. Graf je konečný,
jestliže má konečnou množinu vrcholů.
(ii) Graf Gj = (Vl,H1) se nazývá indukovaným podgrafem grafu G, jestliže
V, <= V, Hl = [V,]2 nH.
8.40 Příklady, (a) Úplný graf. Graf Kv = <K[^]2> se nazývá úplný, protože
každé dva vrcholy jsou spojeny hranou.
(b) Kružnice délky rz je graf Cn = <K H), kde V je nějaká n-prvková množina
{v0, ..., vn_l} a množina H sestává z hrany {v0,vn_l} a všech hran {ur ^-n Pro
i < n - 1.
(c) Je-li A c X, každé zobrazení h:A—+X určuje graf Gh = <X,H> s
množinou hran
H = j{x,li(x)):xe/l&x =# h(x)} .
Všimněme si, že pro zobrazení /: X —► X množiny X do sebe je graf G/ totožný
a grafem Gh, kde h = f\ (X - {x: f(x) = x}), a že zobrazení h nemá pevné body.
8.41 Definice. Obarvení grafu. Buď k přirozené číslo. Zobrazení /, které přiřazuje
každému vrcholu grafu G = (V, Ff) nějaké přirozené číslo menší než k tak, že
j[x) 4= J[y) pokud {x, v} e H^ se nazývá k-obarvení grafu G nebo obarvení G
pomocí k barev.
Říkáme, že daný graf je k-obarvitelný, jestliže existuje nějaké jeho /c-obarvení.
Graf je konečně obarvitelný, je-li /c-obarvitelný pro nějaké přirozené k.
Vzhledem k tomu, že definice /c-obarvení nepožaduje, aby bylo použito všech
k barev 0, 1,..., k — 1, každé /c-obarvení je také /-obarvení pro / > k.
131

I
8 42
8.42 Definice. Je-li G konečně obarvitelný graf, pak nejmenší počet barev, kterými
je obarvitelný, se nazývá barevnost grafu G.
8.43 Příklad. Snadno se nahlédne, že úplný graf Kn má barevnost n. Kružnice Cn
sudé délky n > 2 má barevnost 2 a kružnice liché délky n > 3 má barevnost 3.
V 8.46 ukážeme, že graf Gh z příkladu 8.40(c) má barevnost nejvýše 3.
Nekonečný úplný graf není konečně obarvitelný.
Všechny podgrafy /c-obarvitelného grafu jsou opět /c-obarvitelné: je-li / /c-obar-
vení, pak zúžení / na nějakou podmnožinu vrcholů zůstane /c-obarvením
odpovídajícího podgrafu.
Následující veta spojuje konečnou obarvitelnost nekonečného grafu s obarvitel-
ností konečných podgrafu.
8.44 Věta o barevnosti grafu (de Bruijn a Erdos, 1951). Nechť k je přirozené číslo.
Graf G = [V, H) je k-obarvitelný, právě když každý jeho konečný podgraf je
k-obarvitelný.
Důkaz. Již jsme ukázali, že z /c-obarvitelnosti grafu G plyne /c-obarvitelnost každého
podgrafu. Opačnou implikaci dokážeme použitím principu kompaktnosti. Nechť S
je množina sestávající ze všech /c-obarvení konečných indukovaných podgrafu
grafu G. S je systém Částečných selektorů souboru (Ax: xe V), kde Ax =
= {0, 1,..., k — 1} pro každé x. Navíc S pokrývá konečné podmnožiny množiny V.
Tedy z principu kompaktnosti existuje nějaké filtrované prodloužení g systému S.
Pro takové g zřejmě platí
g:V-+k a g{x)=¥g(y), jakmile {xj}gH,
tedy g je Jc-obarvení grafu G.
8.45 Poznámka. Když v roce 1976 K. Appel a W. Haken rozřešili slavný problém
čtyř barev a ukázali, že každý konečný rovinný graf je 4-obarvitelný, podle věty 8.44
tím dokázali, že každý (i nekonečný) rovinný graf je 4-obarvitelný.
Následující tvrzení, které je důsledkem věty 8.44 o barevnosti grafu, nachází
uplatnění v teorii ultrafiltrů.
8.46 Lemma o třech množinách. Buď Y e X a h zobrazení množiny Y do X, které
nemá pevné body, to znamená, že pro každé x e Y je h(x) =)= a\ Potom existuje
rozklad množiny X na tři části X = X0 u X1 u X2 takový, že pro každé i < 2 platí
(20) /i[X,]nX,. = 0.
Důkaz. Zobrazení h: Y-+X určuje graf Gh = {X,H) z příkladu 8.40(c), kde H =
= {{x,h(x)}:x(E Y}. Tvrzení bude dokázáno, ukážeme-li, že graf GJe 3-obarvitelný.
Je-li / nějaké 3-obarvení grafu Gh a Xt je množina všech vrcholů obarvených í-tou
barvou, dostáváme (20). K tomu stačí ukázat podle 8.44, že každý konečný
indukovaný podgraf grafu Gh je 3-obarvitelný. Dokážeme to indukcí podle mohutnosti
konečných podmnožin množin X. Každý graf s nejvýše třemi vrcholy je 3-obarvi-
132

8 49
bútry a ultrajútry
I
telný. Předpokládejme, že každý podgraf grafu Gh s n vrcholy je 3-obarvitelný, a
dokazujeme, že i každý podgraf s n + 1 vrcholy je 3-obarvitelný. Bud /leTYl"*1
Ihažujme nejprve případ, kdy h\A~] =t= A. Zvolme nějaké se A - h[A] a položme
B = A - {x\. Vrchol x je spojen hranou nejvýše s jedním vrcholem ležícím v £,
a to /i(.x). Podle indukčního předpokladu existuje nějaké 3-obarvení / definované
na B. Každé takové obarvení / můžeme rozšířit na 3-obarvení definované na
množině A, přiřadíme-li prvku x barvu f(x) < 3 různou od barvy f(h(x)).
Uvažujme zbývající případ, kdy h[A] = A. Množina A je konečná, a proto h
zobrazuje množinu A vzájemně jednoznačně na A. Zvolme nějaké x e A a položme
B = A — {.xj. V tomto případě je x spojeno nejvýše se dvěma vrcholy ležícími v B,
a to h(x) a h~l(x). Opět můžeme libovolné 3-obarvení / definované na B rozšířit
na A, zvolíme-li f(x) < 3 různé od f(h(x)) i od f(h~l(x)).
Dokázali jsme, že každý podgraf s n + 1 vrcholy je 3-obarvitelný, a tedy i každý
konečný podgraf má tuto vlastnost.
8.47 Obraz filtru. Nechť / je zobrazení množiny X do množiny Y a /""* je
indukované zobrazení &>{X) do &>(Y) z 4.34.
Obraz neprázdné množiny je neprázdný a pro průniky platí inkluze
f[AnB]zf[Á]nf[B].
Tedy pro libovolný filtr & na X je
r[F] = {f[Á]:Ae&}
centrovaný systém na Y.
Snadno se nahlédne, že systém
(21) {Cc Y\f-l[C\e&]
je filtr na Y a že /"[^"] je jeho báze.
Uvědomme si, že samotný obraz f~*\&'~\ filtru ^ nemusí být filtrem na Y.
Je-li ^ ultrafiltr na X. pak /"[^"] je báze ultrafiltru na Y. protože pro libovolné
A c= Y množiny / " ' [/1], j ][Y — ,4] tvoři rozklad množiny X a jedna z nich patři
óo uliraíillru .'/ . To znamená, že systém (21) je ultrafiltr na Y.
8.48 Zobrazení fif. Předchozí úvaha ukazuje, že pro každé zobrazení f: X —► Y
můžeme definovat zobrazení /?/: fiX —> fiY vztahem
Pf(V) = {A cz Y:J~l[A']^}.
Všimněme si. že triviálnímu ultrafiltru y// nad bodem xe X při zobrazeni flf
odpovídá triviální ultrafiltr nad bodem ((x). Může se stát, že /?/('//) je triviální ultrafiltr,
i když ultrafiltr '//je netriviální, například, je-li j konstantní zobrazení.
8.49 Pevné body zobrazení /?/. Nechť f je zobrazení množiny X do sebe. Potom
133

I
8 49
Pf: pX -* pX a ultrafiltr fy je pevným bodem zobrazení Pf jestliže Pf(fy) = fy.
Uvědomme si, že následující podmínky jsou ekvivalentní:
(22) Pf[%) = V,
Aefy -+f[A]efy .
Je-li zobrazení / identické na nějaké neprázdné množině B c: Xy pak každý
ultrafiltr fy e pX, který obsahuje fí, je pevným bodem zobrazení pf. K důkazu
použijeme druhou podmínku z (22). Je-li A libovolná množina z fy, potom
/InBef a /[^nB] = /4nfic/[4 odtud plyne f[A]efy. Podle (22)
je fy pevným bodem zobrazení Pf
Ukážeme, že předchozí podmínka charakterizuje všechny pevné body zobrazení
pf-
8.50 Věta. Kechť J je zobrazení množiny X clo sebe. Ultrafiltr j(/e\]X je pevným
bodem zobrazení pj, právě když f je identita na nějaké množině z y//, tedy když
{xeX:f(x) = x}efy .
Důkaz. Jednu implikaci jsme již dokázali v předchozím odstavci. K důkazu
opačné implikace použijeme lemma 8.46 o třech množinách. Označme B =
= {xeX:f(x) = x}. Pokud Bg^, jsme hotovi. Předpokládejme, že B$°U,
to znamená, že množina Y = X — Befy. Nechť h =/| Y. Podle 8.46 existuje
rozklad množiny X na tři části X0, Xlf X2 takový, že /i[X,-] n Xi. = 0 pro i < 2.
Přitom právě jedna z množin Xx leží v fy, protože Xet. Je-li X{efy, potom
také A = X-{ n Ye fy, ale /[/l] neleží v ^, protože je disjunktní s X {. Ukázali jsme,
že pro ultrafiltr fy není splněna druhá podmínka z (22), to znamená, že fy není pevným
bodem zobrazení pf. Tím je věta dokázána.
8.51 Právě dokázané tvrzení budeme ilustrovat na příkladě dvouhodnotové míry
na ^(co) a transformace zachovávající míru.
Podle věty 8.33 víme, že na &(cú) existuje míra rj a existuje zobrazení /:co—»co,
které zachovává míru q, to znamená, že platí
nf~l[A] = riA
pro každou (měřitelnou) množinu A ^ co a navíc / není nikde identické.
Uvažujme speciálně dvouhodnotovou míru v na ^(co) a ptejme se, jaká
zobrazení / tuto míru zachovávají. Míře v odpovídá ultrafiltr fy na co sestávající právě
z množin míry 1. Jestliže zobrazení / zachovává míru v, pak pro každé Ae°U je
v/-10] = vA = l,
a tedy f~l[A^efy, neboli fy je pevným bodem zobrazení Pf Podle věty 8.50 to
znamená, že zobrazení / je identické skoro všude ve smyslu míry v.
Ukázali jsme, že zobrazení zachovává dvouhodnotovou míru, právě když je skoro
všude identické.
134

KAPITOLA II
Ordinální Čísla rozšiřují množinu přirozených čísel za hranice konečných množin.
Platí pro ně princip (transímitní) indukce a mají svou aritmetiku. Klíčem k zavedení
ordinálních čísel je pojem dobrého uspořádání, který je odvozen z uspořádání
množiny přirozených čísel. Ordinální čísla jsou typy všech dobře uspořádaných
množin, zatímco přirozená čísla jsou typy dobrých uspořádání konečných množin.
Ordinálním číslům jsou věnovány §§ 1-3. Při prvním čtení stačí seznámit se s § 1,
s první částí § 3, kde je zaveden ordinální součet a součin, a s částí § 2 až po větu
o rekurzi.
Kardinální čísla tvoří část třídy ordinálních čísel. Jsou to mohutnosti dobře
uspořádaných množin. Platí-li axiom výběru, kardinální čísla jsou mohutnosti všech
množin. Také kardinální čísla mají svou aritmetiku, která se liší od aritmetiky
ordinálních čísel. Operace kardinální aritmetiky odpovídají množinovým operacím
a dovolují určit mohutnosti množin, které vzniknou množinovými konstrukcemi.
Ve srovnání s operacemi kardinálního součtu a součinu, které jsou velmi jednoduché,
je operace mocnění dosti složitá a její průběh není jednoznačně určen systémem
axiomů ZFC. Základní fakta o kardinálních číslech obsahuje § 4, § 5 je věnován
mocninám kardinálních Čísel a důsledkům, které pro mocniny kardinálních čísel
plynou ze zobecněné hypotézy kontinua (GCH) a z hypotézy singulárních kardinálů
(SCH). Šestý paragraf je věnován kumulativní hierarchii univerza množin, která je
matematickým vyjádřením představy množinového univerza, ze které vychází
Zermelova a Fraenkelova axiomatika. Poslední paragraf je věnován hierarchii
třídy konstruovatelných množin. Na vztahu obou hierarchii závisí globální
vlastnosti množinového univerza. Při prvním čtení je možné §§ 6 a 7 vynechat.
§ 1 Ordinální čísla
Ukážeme, že pomocí dvou základních vlastností přirozených čísel lze definovat
širší třídu čísel, která nazveme ordinální. Vedle přirozených čísel, která splývají
s konečnými ordinálními čísly, v této třídě najdeme i nekonečná (transímitní)
ordinální čísla. Třída všech ordinálních čísel je dobře uspořádaná relací e a platí pro ni
135

II
1.1
princip indukce, který je zobecněním principu indukce pro přirozená čísla. Ukážeme,
že jsou ordináiní čísla dvou typů* izolovaná a limitní, a podrobně rozebereme
vlastnosti dobrého uspořádání třídy všech ordinálních čísel. Na závěr ukážeme, že
dobrá uspořádání, která jsme definovali pro dvojice přirozených čísel, a uspořádání
konečných množin přirozených čísel se přenášejí i na ordináiní čísla.
1.1 Definice. Tranzitivní třídy a množiny. Říkáme, že třída X je tranzitivní, jestliže
každý prvek x e X je podmnožinou X, to znamená, když platí
xeX -*x^ X .
1.2 Z definice 1.1 je zřejmé, že třída X je tranzitivní, právě když pro libovolné x, y
platí
(1) yexeX-^yeX.
Poslední implikaci nelze zaměňovat s tvrzením, že relace e je tranzitivní na X.
Z (l) je zřejmé, že X je tranzitivní, právě když [JX c: X.
Univerzální třída a prázdná množina jsou tranzitivní. Podle lemmatu 6.19
z první kapitoly je množina všech přirozených čísel tranzitivní a každé přirozené
číslo je také tranzitivní množina.
1.3 Lemma, (i) Jsou-li X a Y tranzitivní třídy, potom X n Y a X u Y jsou
tranzitivní.
(ii) Je-li každý prvek třídy X tranzitivní množina, potom f]X a [JX jsou tranzitivní.
(iii) Je-li X tranzitivní třída, potom relace náležení je tranzitivní na X, právě když
každé x e X je tranzitivní množina.
Důkaz, (i) plyne přímo z definice 1.1.
(ii) Ukážeme, že f]X je tranzitivní. Nechť pro množiny y, z platí yeze(\X,
to znamená, že pro každé x e X platí ze x a y e x, protože x je tranzitivní. Tedy
ye f]X a f\X jejranzitivní. Podobně se dokáže, že [JX je tranzitivní.
(iii) Jsou-li x, y, z libovolné množiny takové, že ze y e xe X, potom také
y, ze X, protože X je tranzitivní.
Je-li každé xeX tranzitivní množina, dostáváme, že zex a relace náležení je
tranzitivní na X. Je-li naopak relace e tranzitivní na X, pak je každý prvek
xeX tranzitivní.
1.4 Definice. Ordináiní čísla. Říkáme, že množina x je ordináiní číslo nebo krátce
ordinál, jestliže x je tranzitivní a relace náležení je dobré (ostré) uspořádání
množiny x.
Třídu všech ordinálních Čísel označíme On, tedy
On = {x: x je ordináiní číslo} .
Připomeňme, že relace 6 je ostré uspořádání na x, jestliže je antireflexivní a
tranzitivní na x. Je to dobré uspořádání, jestliže každá neprázdná podmnožina a ^ x
má nejmenší prvek.
136

1 8
Ordinainí čísla
1.5 Z definice ordinálního čísla je zřejmé, že prázdná množina je ordinálni čislo
Z věty 6.i9 a 6.23 z první kapitoly vyplývá, že každé přirozené číslo je ordmálni
číslo a že množina o v^ech přirozených čísel je také ordinalní číslo. Víme, že a> je
nekonečná množina a že přirozená čísla jsou konečné množiny. Později uvidíme,
že ordinálni číslo oj je supremem množiny všech přirozených čísel ve třídě On.
To znamená, že přirozená čísla jsou právě konečné ordinály a že co je nejmenší
nekonečné (transfmitní) ordinálni číslo.
Nyní ukážeme, že třída On má podobné vlastnosti jako kterékoli ordinálni číslo:
je tranzitivní a je dobře uspořádána relací e. Ukážeme také, že On není množina
a že je to jediná vlastní třída s takovými vlastnostmi.
1.6 Lemma. On je tranzitivní třída.
Důkaz. Ukážeme, že každý prvek y ordinálního čísla x je také ordinál. Relace
náležení je tranzitivní na ordinálu x a podle 1.3(iii) je každý prvek yex tranzitivní
množina. Z tranzitivnosti x také plyne y c x a y je dobře uspořádána relací e.
Tedy y je ordinál a On je tranzitivní třída.
1.7 Lemma. Jsou-li x, y ordinály, potom platí
(i) x £ x ,
(ii) x n y je ordinál,
(iii) xe y <-► x c y .
Důkaz, (i) (sporem). Kdyby platilo x e x, potom relace náležení není
antireflexivni na x a nemůže být ostrým uspořádáním na x.
(ii) x n y je tranzitivní množina podle 1.3(i) a je dobře uspořádána relací e, protože
je podmnožinou ordinálu x (i ordinálu y).
(iii) Je-li xey, z tranzitivnosti y dostáváme x c y a z (i) plyne x =(= y- Je-li
naopak x c y, potom y — x je neprázdná množina. Nechť 2 je její nejmenší prvek
vzhledem k uspořádání e. Ukážeme, že x = z, a tvrzení (iii) bude dokázáno.
Nejprve ukážeme, že x ^ z. Je-li u e x, potom také u e y a pro u, z z linearity
uspořádání e na y dostáváme
wezVu = zVzeu.
Vzhledem k volbě z v disjunkci nemůže nastat druhý a třetí případ: rovnost u = z
vede k u$x a z eu spolu s tranzitivností x dává z e x. Ukázali jsme, že u e z,
to znamená, že x c z.
Je-li u e 2, potom z tranzitivnosti y plyne u e y. Kdyby u $ x, dostali bychom
spor s minimalitou z v množině y — x. Tedy také 2 ^ x.
1.8 Věta. Relace náležení je dobré ostré uspořádání třídy On.
Důkaz. Podle 1.7(i) je relace e antireflexivni na On. Podle 1.6 je třída On tranzitivní
a každý její prvek je ordinál, tedy tranzitivní množina. Podle lemmatu 1.3(iii) je
relace náležení tranzitivní na On. Ukázali jsme zatím, že e je ostré uspořádání na On.
137

II
8
Zbytek důkazu rozdělíme do dvou kroků. Ukážeme, že:
(i) Relace náležení je trichotomická na On, to znamená, zeje lineárním
uspořádáním.
(ii) Každá neprázdná množina ordinálních čísel má minimální prvek vzhledem
k uspořádání e.
Tím bude dokázáno, že e je dobré uspořádání na On, protože v lineárně
uspořádané množině je minimální prvek nejmenší.
(i) Jsou-li x, y libovolné dva ordinály, podle 1.7(ii) je x n y také ordinál.
Uvažujme inkluze
xnycx, xnyCj;,
Je vyloučeno, aby v obou platila ostrá inkluze. Potom bychom dostali x n y e x n y
a to je ve sporu s tvrzením (i) lemmatu 1.7. Zbývají tři možnosti.
V případě, že v obou inkluzích platí rovnost, dostáváme x = y. Platí-li rovnost
jen v první z nich, podle 1.7(iii) dostáváme xev, a platí-li rovnost jen ve druhé
inkluzi, dostáváme y ex. Relace e je trichotomická na On.
(ii) Nechť a je neprázdná množina ordinálních čísel a nechť a e a. Pokud a není
minimální prvek množiny a vzhledem k uspořádání e, položme b = a n cc ať je
neprázdná podmnožina ordinálu ol. Nechť P je nejmenší prvek b vzhledem k e.
Ukážeme, že p je minimální prvek množiny a vzhledem k e. Kdyby pro nějaké y e a
platilo y e P, z předpokladu fiect. dostáváme yea, protože a je tranzitivní. To by
znamenalo, že y e a n a = b a že p není nejmenší prvek množiny b. Ukázali jsme,
že P je minimální prvek množiny a vzhledem k e. Stejným způsobem se dokáže, že
každá neprázdná podtřída A <= On má nejmenší prvek.
Následující tvrzení je obdobou paradoxu Burali-Fortiho. který v roce 1897
ukázal, že všechna ordinální čísla nemohou tvořit množinu.
1.9 Důsledek. Třída On není množinou.
Důkaz. Podle 1.6 je On tranzitivní a podle 1.8 je dobře uspořádána relací náležení.
Kdyby třída On byla množinou, pak by byla ordinálním číslem a platilo by On e On.
To je ve sporu s lemmatem 1.7(i).
1.10 Důsledek. Je-li X tranzitivní vlastní třída dobře uspořádaná relací náležení,
potom X = On.
Důkaz. Nechť X splňuje předpoklady tvrzení. Je zřejmé, že každý prvek xeX
je ordinál, tedy X ^ On. Kdyby platila jen ostrá inkluze a x bylo ordinální číslo,
které není prvkem třídy X, z tranzitivnosti X a z věty 1.8 dostáváme X ^ x.
To vede ke sporu s předpokladem, že X je vlastní třída, tedy X = On.
1.11 Označení. Třída všech ordinálních čísel spolu s dobrým uspořádáním relací
náležení a dalšími operacemi je velmi důležitou strukturou v teorii množin.
V dalším textu budeme ordinální čísla označovat zpravidla malými písmeny
138

1.16
Ordinálni čísla
II
řecké abecedy a, /?, 7, qlí, a2, ..., an, ... a relaci dobrého uspořádání na On budeme
označovat < místo e. Budeme psát a < fi místo z e fi a budeme psát a < fi
místo ae/3 V a = fi. Výraz a < $ čteme „(ordinálni číslo) z je menší než (ordinálni
číslo) j3" a podobně výraz a < /? čteme „a je meraSz rce£>o rovno /?".
1.12 Lemma, (i) Množina x <= Ort je ordinálním číslem, právě když x je
tranzitivní množina.
(ii) Je-/i A neprázdná třída ordinálních čísel, potom f]A je nejmenší prvek třídy A
vzhledem k uspořádání < .
(iii) Je-li a množina ordinálních čísel, potom [ja je také ordinálni číslo a je to
supremwn množiny a vzhledem k uspořádání <.
Důkaz, (i) Podle věty 1.8 je každá množina ordinálů dobře uspořádána relací
náležení. Je tedy ordinálním číslem, právě když je tranzitivní.
(ii) Je-li A neprázdná podtřída On, podle důkazu věty 1.8 existuje nejmenší prvek
ze A vzhledem k uspořádání <. Uvědomme si, že z tranzitivnosti ordinálů pro
libovolné $eA dostáváme a c /?. To znamená, že a = f]A.
(iii) Nechť a c; On. Podle 1.3(ii) je [Ja tranzitivní množina a je to ordinálni číslo
podle (i). Je-li oce a, potom a c (Ja = /?, tedy a < fi podle 1.7(iii) a 1.11. Je-li
7 < P, to znamená, je-li 7 6 (Ja, pak existuje oce a tak, že 7 £ a, tedy 7 < a.
Ukázali jsme, že [ja je nejmenší majorantou množiny a.
1.13 Důsledek. Ordinál co je supremem množiny všech přirozených čísel ve třídě On.
To znamená, že co je nejmenší nekonečné ordinálni číslo. Konečné ordinály jsou právě
přirozená čísla.
Důkaz. Podle 6.19(i) / prvni kapitoly je supe; = [Joj = o. Je-li y nekonečné
ordinálni číslo, pak nutně o < y a naopak.
1.14 Lemma. Je-li a ordinálni číslo, pak au [a] je nejmenší ordinál větší než a.
Říkáme, že a u {a} je následníkem a a že txje předchůdcem a u {a} v uspořádání <.
Důkaz. Pro každé aje au {a} tranzitivní množina ordinálů a je to ordinálni číslo
podle 1.12(i). Je-li /? < au {a}, pak j3 e a u {a}, tedy buď fiex. nebo [i = a.
To znamená, že f < a a mezi a a a u {a} není žádné ordinálni číslo.
1.15 Definice. Izolovaná a limitní ordinálni čísla.
(i) Říkáme, že ordinálni číslo aje izolované, jestliže a = 0 nebo a má předchůdce,
to znamená, jestliže existuje ordinál [i takový, že a = /? u {/?}.
(ii) Říkáme, že ordinálni číslo a je limitní, je-li nenulové a nemá-li předchůdce.
1.16 Je zřejmé, že každé přirozené číslo je izolované a že co je limitní ordinálni
číslo. Ordinálni číslo co u {w} je izolované, ale není to přirozené číslo.
Třída všech ordinálních čísel se rozpadá na dvě disjunktní části: na izolovaná
a limitní ordinálni čísla. Mezi izolovanými čísly zaujímá nula jako nejmenší
ordinál zvláštní místo, protože nemá předchůdce.
139

II
1.17 Topologie určená uspořádáním třídy On. Na třídě On můžeme zavést intervaly
stejným způsobem jako na reálné přímce. Jsou-h a, fj libovolná ordinálni čísla
a a < /?, říkáme, že množiny
(a,jí) = [yeOn:a<y<p},
(<-,a) = {veOw:y < a}
jsou otevřené intervaly na On. Uvědomme si, že intervaly (a,/?) a (<-,a) mohou
být i prázdné, jestliže v prvním případě /? = <x u {a} nebo a = 0 ve druhém
případě.
Říkáme, že množina o c On je okolím ordinálu a, je-li a prvkem nějakého
otevřeného intervalu, který je podmnožinou o. Otevřený interval je tedy okolím všech
svých prvků.
Je-li a = 0 nebo a = p u {/?}, potom jednoprvková množina (a) je také
okolím ordinálu a, protože {0} = (+-, l) a {a} = (/?, a u {a}). V topologii se body,
které mají jednoprvkové okolí, nazývají izolované. Ve shodě s tím jsme taková
ordinálni čísla nazvali izolovaná. Je-li X limitní ordinál, snadno se nahlédne, že
v každém jeho okolí je nekonečně mnoho ordinálních čísel menších než X. Přitom X
je největším prvkem okolí (a, X \j {/.}).
1.18 Ordinálni Čísla jako typy dobře uspořádaných množin. Jsou-li dvě množinové
relace izomorfní, podstatně se neliší, i když popisují vztahy mezi prvky ze dvou
různých množin. Říkáme také, že izomorfní relace jsou „stejného typu". Je zřejmé,
že vztah „býti izomorfní'4 („býti stejného typu") určuje relaci ekvivalence na třídě
všech relací. Snadno se nahlédne, že ke každé množinové relaci existuje vlastní třída
relací, které jsou s ní izomorfní. To znamená, že třídy takové ekvivalence jsou
vlastní.
Tím se dostáváme k otázce, zda je možné přiřadit každé relaci nějakou množinu
— její typ — tak, aby dvěma izomorfním relacím byl vždy přiřazen stejný typ. V
takovém případě typ reprezentuje celou třídu navzájem izomorfních relací. Ideální
je taková reprezentace, která dovoluje z daného typu t sestrojit alespoň jednu relaci
typu t. Potom můžeme celou třídu relací typu t nahradit jedinou relací a vyšetřovat
jen takové reprezentující relace.
Ukážeme, že ordinálni čísla mohou posloužit jako typy pro relace dobrých
uspořádání.
1.19 Věta. Je-li R dobré uspořádání množiny A, pak existuje právě jedno ordinálni
číslo a. a jednoznačně určený izomorfismus a a A vzhledem k < a R.
Důkaz. Pro každý ordinál a podle věty 1.5.31 existuje jednoznačně určený
izomorfismus (vzhledem k < a R), který zobrazuje A na nějakou dolní podmnožinu a nebo
a na nějakou dolní podmnožinu A. Přitom je-li a < jS a i je izomorfismus, který
zobrazuje ordinál /? na dolní podmnožinu A, potom i\cc je izomorfní zobrazení a
na dolní podmnožinu A a podle věty 1.5.31 žádný jiný takový izomorfismus
neexistuje. Víme, že On je vlastní třída, není tedy možné, aby každý ordinál /? byl izo-
140

1 23
Ordinální c isla
II
morfní s nějakou dolní podmnožinou A. Nechť /? je ordinál takový, že A je izomorfní
s nějakou dolní podmnožinou a ^ p. Přitom dolní znamená totéž co tranzitivní,
protože jde o uspořádání relací e. Podle lemmatu 1.12 je tranzitivní množina a
hledaný ordinál a. Podle věty 1.5.31 je to jediný ordinál izomorfní s A.
1.20 Důsledek. Dva různé ordinály nejsou izomorfní.
1.21 Věta 1.19 ukazuje souvislost von Neumannovy definice (1923), která je dnes
všeobecně používanou definicí ordinálu s původním Cantorovým pojetím z roku
1895, který definoval ordinální čísla abstrakcí jako typy dobře uspořádaných
množin.
Nyní ukážeme, že lexikografické a maximo-lexikografické uspořádání se přímo
přenášejí z přirozených čísel na ordinální čísla jako dobrá uspořádání třídy
On x On.
1.22 Definice. Lexikografické a maximo-lexikografické uspořádání.
(i) Na třídě On1 definujeme lexikografické uspořádání <Le tak, že pro libovolné
ordinály oc1? a2, j5l5 p2 položíme
<«n0i> <Le<«2^2> "«i <*2 V(a, =a1&Pl <P2).
(ii) Maximo-lexikografické uspořádání <MLe na On2
<«1,01> <MLe<a2^2>^
<-> Max {at, a2} < Max {a,, £2} V
V (Max [2,,/Vf = Max{a2,02} &
&<«l,iSl> <Le<«2.02>)-
1.23 Věta. (i) Lexikografické uspořádání je dobré ostré uspořádání na On2.
(ii) Maximo-lexikografické uspořádání je dobré ostré uspořádání na On2. Navíc
každá dvojice <a, /?> má jenom množinu předchůdců. Maximo-lexikografické
uspořádání je tedy úzká relace.
Důkaz. Obě uspořádání jsou rozšířením uspořádání, která jsme zavedli na ojxoj
v příkladu 1.6.28.
(i) Snadno se nahlédne, že lexikografické uspořádání je antireflexivní a tranzitivní
relace. Ukážeme, že je to dobré uspořádání. Nechť u je libovolná neprázdná
podmnožina On2. Potom Dom(u) je neprázdná množina ordinálních čísel nechť a
je její nejmenší prvek. Položíme-li v — {/?: (a, /?> eu}, potom i1 je také neprázdná
množina ordinálních čišel. Snadno se ověří, že <a, /?>, kde /? je nejmenší ordinál
z u, je nejmenší prvek množiny u vzhledem k lexikografickému uspořádání. V lexiko-
grafickém uspořádání dvojici (1,0) předcházejí všechny dvojice <0, a), aeOn.
Lexikografické uspořádání tedy není úzká relace.
(ii) Také maximo-lexikografické uspořádání je antireflexivní a tranzitivní relace.
141

II
1 23
Podobným způsobem jako v (i) se dokáže, že je dobré. Ukážeme, že je úzké. Nechť
<gí, py je libovolná uspořádaná dvojice ordinálů a nechť y je větší z ordinálů ct. p.
Je-li <Č, ř7> <MLe<a>/^X potom c, r/ < y. To znamená, že každá dvojice, která
přechází <a, j5>,je prvkem množiny (y u {y})2.
1.24 Definice. Nechť [On]<CJ označuje třídu všech konečných podmnožin On, tedy
[On]<w = {x:x^ On&F'm(x)}.
Pro libovolné dvě konečné množiny ordinálů x, y definujeme
x <i y «-» (x =j= y & rnax ((x - y) u (_y - x)) e y),
jinými slovy x přechází y, jestliže symetrický rozdíl množin x, yje neprázdný a jeho
největší prvek náleží do množiny y.
1.25 Věta. Relace <j je úzké dobré ostré uspořádání na [On]<co.
Důkaz. V 1.6.28 jsme ukázali, že <i je lineární uspořádání. Je-li x konečná množina
ordinálů a Č, je její největší prvek, potom každá množina y<i .v je podmnožinou
ordinálů c To znamená, že <j je úzká relace. Ukážeme, že je to dobré uspořádání.
Ke každé množině u ^ [On]<ÍO existuje ordinál a takový, že «g [a]<aí.
Předpokládejme, že -o není dobré uspořádání. Nechť a je nejmenší ordinál takový, že
existuje neprázdná množina u c: [a]<a>, která nemá nejmenší prvek vzhledem k o.
Nechť P je nejmenší prvek množiny {max (x): x e u) a v je množina všech x e u,
pro které max (x) = j3. Z definice uspořádání je zřejmé, žé t; je dolní podmnožina
množiny u, proto v také nemá nejmenší prvek vzhledem k o. Přitom v c
^ [/? u {/?}]<co, to znamená, že a =/? u {/?}. Nechť w vznikne z i1 tím, že
z každého .xeu vynecháme největší prvek p. Potom w c [/5]<ÍO, a protože
P < a, existuje nejmenší prvek }- množiny w vzhledem k <i. Položíme-li x —
= yu {/?}, pak x je nejmenší prvek množiny t; (i množiny u) vzhledem k <] — spor.
Relace o je tedy dobré uspořádání na [On]<tJ.
1.26 Transfinitní indukce. Na závěr vyslovíme princip transfinitní indukce, který
je zobecněním principu indukce na množině všech přirozených čísel.
1.27 Věta. Nechť A je třída ordinálních čísel taková, že pro každý ordinál a platí
a c A -* a. e A ,
potom A = On.
Důkaz. Uvědomme si, že předpoklad a ^= A je ekvivalentní s tvrzením, že každý
ordinál P < a je prakem třídy A. Kdyby On - A =)= 0, pro nejmenší ordinál a
z této třídy platí x ^ A, ale x$A. To je ve sporu s předpokládanou vlastností
třídy A.
Následující verze principu transfinitní indukce popisuje indukční kroky pro
izolovaná čísla a limitní čísla každý zvlášť.
142

1 29
Ordinalní čísla
II
1.28 Věta. Nechť A je třída ordinálních čísel taková, že
(i) OgA
a pro každý ordinál i platí
(ii) ole A -> a u {a} e A ,
(iii) a c: /l —► a e .4 , je-li a limitní.
Potom A = O/i.
1.29 Důkazy transfinitní indukcí. Chceme-li dokázat, že nějaká formule cp(a) platí
pro každé ordinální číslo, uvažujeme třídu
A = {ateOn: cp(a)} .
Podle předchozí věty stačí ověřit, že A splňuje podmínku věty 1.27 nebo 1.28. Potom
A = On a (p(ct) platí pro každý ordinál ol.
Srovnáme-li větu 1.28 s principem indukce pro přirozená čísla (věta 1.6.18),
uvidíme, že transfinitní indukce má navíc podmínku (iii), která dovoluje indukční
krok i pro co a další limitní ordinály. Přívlastek „transfinitní" má zdůraznit, že
indukce pokračuje i za konečné ordinály. Princip transfinitní indukce budeme často
používat v následujících dvou paragrafech a na mnoha dalších místech.
143

§ 2 Konstrukce transfinitní rekurzí
Seznámíme se s metodou konstrukce transfinitní rekurzí, která je jedním ze
silných prostředků teorie množin. Dokážeme tři nejčastěji používané verze věty o
transfinitní rekurzi a s jejich pomocí podáme jednoduchý důkaz principu dobrého
uspořádání z axiomu výběru, který jsme jiným způsobem dokázali v 1.7.22.
Ukážeme také, že každá vlastní třída, která je dobře uspořádána úzkou relaci,
je izomorfní s On. Na závěr si všimneme úlohy parametru, které se mohou
vyskytnout při konstrukci rekurzí.
2.1 V mnoha případech se hodnoty nějakého zobrazení konstruují krok za krokem
opakováním stejné operace. Připomeňme známé rekurentní vztahy
(1) n + 0 = n,
n + s(m) — s(n + m),
kterými se definuje součet přirozených čísel m, n pomocí zobrazení s, které každému
číslu n přiřazuje následující přirozené číslo. Podobně jsme sestrojili zobrazení, které
danou lineárně uspořádanou množinu vnořuje do množiny všech racionálních čísel.
Z rovností (l) se snadno odvodí vztahy
0 4-0 = 0,
0+1-1+0=1,
0 + 2=1 + 1=2 + 0 = 2,
ale z toho ještě neplyne, že jsme definovali zobrazení „ + *' množiny co x co do co.
To vyplývá až z věty o definici rekurzí, která je důsledkem principu indukce.
Dokážeme obecnější tvrzení, které se vztahuje na všechna ordinální čísla.
Věta o transfinitní rekurzi zaručuje existenci zobrazení F, které je definováno pro
každé ordinální číslo a tak, že hodnota F(cc) závisí na úseku F | a, tedy na
hodnotách funkce F pro ordinální čísla menší než a. Podle § 4 kapitoly I však takové
zobrazení nemůže být množinou.
144

2.3
Transfimtni rekurze
II
2.2 Třídová zobrazení. Připomeňme, že každá třída zastupuje nějaký třídový term,
je tedy určena nějakou formulí. Speciálně každá třída G g; V x V je uvedena
nějakou formulí cp(x, y), tedy rovností
G = {(x,yy.<p(x,y)}.
G je třídové zobrazení, jestliže splňuje podmínku jednoznačnosti, to znamená, že
pro libovolné x, y, z lze dokázat
(<p(x, y) & (p{x, z)) -► y = z.
Potom definujeme
G(x) = y <-> q>{x, y) .
Definovat třídové zobrazení znamená dát formuli cp(xy y) s uvedenou vlastností.
Následující tvrzení je tedy schéma vět, které pro každou formuli <p(x, y) definující
nějaké zobrazení G zaručuje existenci třídového zobrazení F s uvedenými
vlastnostmi. Důkaz tvrzení je návodem, jak z formule cp sestrojit formuli \J/(x, y), která
zobrazení F definuje.
23 Věta o transíinitní rekurzi. Nechť G je [třídové) zobrazení, které každé množině x
přiřazuje množinu G(x). Potom existuje právě jedno zobrazení F, které každému
ordinálu a přiřazuje množinu
(2) F(a) = G(F\a).
Důkaz. Nechť je dáno zobrazení G. Chceme definovat zobrazení F:On-+ K pro
které platí (2). Předpokládejme na chvíli, že již takové zobrazení F bylo sestrojeno.
Je-li P eOn a / = F | /?, potom
(3) Dom (/) = /?,
f(a) = G(f\ a) platí pro každé a < /?.
Takové zobrazení / můžeme chápat jako aproximaci třídového zobrazení F. Je
zřejmé, že zobrazení F (jehož existenci zatím jenom předpokládáme) je
sjednocením třídy všech aproximací. Zbytek důkazu se rozpadá na dvě části, nejprve
ukážeme, že zobrazení F s uvedenými vlastnostmi existuje, a potom ukážeme, že takové
zobrazení je právě jedno.
V předchozí úvaze je obsažen návod, jak sestrojit zobrazení F. Definujeme třídu A
všech zobrazení / takových, že pro nějaký ordinál f$ platí (3). Snadno se nahlédne,
že pro každé fe A a /? e Dom (/) je také /1 f$ e A. Dále platí
(a) pro libovolné /;/' e A a a e Dom (/) n Dom (/') je /(a) = /'(a)>
(b) každé fteOn je definičním oborem nějakého feA.
Obě podmínky dokážeme později, nyní s jejich pomocí sestrojíme zobrazení F.
Položíme-li F = [JA, potom F c= On x V a z (a) vyplývá, že F je zobrazení. Z
podmínky (b) dostáváme Dom (F) = On. Ukážeme, že pro F platí (2). Nechť a je
libovolný ordinál. Zvolme nějaké feA takové, že aeDom(/). Potom z (a)
dostáváme
145

II
2 3
/(a) = F(cl) , 7 | a = F | a .
Navíc
/W = G(/|a),
protože / splňuje podmínku (3). Srovnáním posledních tří rovností dostáváme (2).
F je tedy hledané zobrazení.
Nyní dokážeme (a): Jsou-li /,/' libovolná zobrazení z A, potom Dom(/)n
n Dom (/') je ordinální číslo. Označme je 3. Indukcí dokážeme, že /(a) = f'(oc)
platí pro každé a < 3. Předpokládejme, že /(/?) = /'(/?) platí pro každé fi < a,
to znamená, že f\ a — f | a. Z podmínky (3), která platí pro / i /', dostáváme
rovnost
/(«) = G(/1 «) = G(/'I «) = /'(«)
a podmínka (a) je dokázána. Předpokládejme, že (b) neplatí, to znamená, že existuje
ordinál /?, který není definičním oborem žádného f e A. Nechť fí je nejmenší
takové číslo. Potom
P = {Dom(g):geA}
a podle již dokázané podmínky (a) je / = \JA zobrazení s definičním oborem /?.
Stejným způsobem, jako jsme dokázali, že pro F platí (2), dokážeme, že pro /platí (3).
To znamená, že fe A, a dostáváme spor s volbou ordinálu /?. Tím je dokázána
podmínka (b) i existence F.
Kdyby F' bylo jiné zobrazení, pro které platí tvrzení věty, transfinitní indukcí se
dokáže, že F(ol) = F'(a) pro každý ordinál a. Postup je stejný jako při důkazu (a).
Existuje tedy nejvýše jedno zobrazení s uvedenými vlastnostmi.
2.4 Věta o transfinitni rekurzi má více ekvivalentních podob, které se využívají
při různých typech konstrukcí. Dokážeme dvě další verze, které mohou čtenáře
inspirovat, aby si dokázal další, které se mu budou lépe hodit.
2.5 Věta. Nechť Gí je zobrazení definované na univerzální třídě. Pak existuje právě
jedno zobrazení F: On —► V takové, že
F(a) = G, (/•[«])
pro každý ordinál a.
Důkaz. Je-li dáno zobrazení G1? položme G(x) = G^Rng^)) pro každou množinu
x. Podle věty 2.3 existuje právě jedna funkce F:On -> V taková, že
F(a)=C(F|a) = G1(F[a])
pro každé a e On.
2.6 Veta. Je-li dána množina a a zobrazeni G{,G2 definovaná pro každou množinu,
pak existuje právě jedno zobrazení F: On-+V takové, že platí
146

2.8
Transjimtní rekurze
II
F(0) = a,
F(ct) =■ GxF(p), je-ii a následníkem ordinalu /?,
F(a) = G2(F[a]), je-li a /imzfm ordinál.
Důkaz. Jsou-li dána zobrazení G1? G2 a množina a, pro libovolné x položme
IGi(x(P)), je-li x zobrazení, 0 ordinál a Dom (je) = /? u {/?},
G2(Rng (x)), je-li Dom (x) limitní ordinál,
a v ostatních případech.
Podle věty 2.3 existuje právě jedno zobrazení F s definičním oborem On takové,
že pro každý ordinál a platí
F(a) = G{F | a).
Snadno se nahlédne, že F je hledaná funkce. Pro a = 0 dostáváme
F(0) = G{F | 0) - G(0) = a ,
pro a = /? u {/?}
/■(a) = G(F|a) = G1(F(/J))
a pro limitní
F(a) = G(F|a) = G2(F[a]).
2.7 Při definici rekurzí se někdy požaduje, aby hodnota F(oí) nezávisela jen na úseku
F | a, ale i na ordinalu a. Jinými slovy, je dáno zobrazení G0:On x V -» V
a konstruuje se zobrazení F: On -^> V takové, že
F(a) = C0(a, F | a)
platí pro každý ordinál a. I tento případ je zahrnut ve větě 2.3. Uvědomme si, že a =
= Dom (F | a). Je-li dáno zobrazení G0, můžeme definovat zobrazení G vztahem
G(x) = G0(Dom (x), x). Je-li F zobrazení z věty 2.3, pro každý ordinál a dostáváme
F(a) = G{F | a) = G0(x F | a).
Transfinitní rekurzí lze z axiomu výběru (AC) jednoduše dokázat princip
dobrého uspořádání (WO).
2.8 Věta (AC). Každou množinu lze dobře uspořádat.
Důkaz. Nechť A je libovolná množina. Můžeme předpokládat, že je neprázdná,
jinak není co dokazovat. Stačí, když sestrojíme prosté zobrazení / nějakého
ordinalu a na A, které na množinu A přenese dobré uspořádání ordinalu a.
Hledáme ordinál a a prosté zobrazení / Myšlenka důkazu je velmi jednoduchá.
Nechť g je selektor na &{A\ který vybírá z každé neprázdné podmnožiny a ^ A
prvek g(a) e a. Zobrazení / konstruujeme tak, že nule přiřadíme prvek, který
147

II
28
selektor vybírá z množiny A. Jsou-li již sestrojeny hodnoty /(y) pro každé y menší
než nějaký ordinái p a množina A - f[f\ je neprázdná, /(/?) bude prvek, který
z ní selektor vybere.
Existenci zobrazení / zaručuje věta o transfinitní rekurzi. Operaci G definujme
vztahem G(x) = g(A - x) pro každé x. Podle věty 2.5 existuje právě jedno
zobrazení F takové, že pro každý ordinái a je F(a) = G(F[a]). Je-li a nejmenší
ordinái takový, že A - F[a] = 0 a / = F | a, z definice G a vlastností F se snadno
ukáže, že /je prosté zobrazení a na A.
2.9 Je zřejmé, že v případech, kdy rekurzí podle věty 2.5 konstruujeme zobrazení
nějakého zatím neurčeného ordinálu do dané množiny A, stačí, aby operace G byla
definována na množině £?(A). Použijeme-li větu 2.3, stačí, aby operace G byla
definována na &(a x A) pro dosti velký ordinái a.
2.10 Úzká dobrá uspořádání a On. Říkáme , že R je úzká relace, jestliže
{y- (y» x) e ^} Je množina pro každé x. Víme, že On je vlastní třída, která je dobře
uspořádaná úzkou relací. Ukážeme, že každá vlastní třída, která je dobře
uspořádaná úzkou relaci, je izomorfní s On.
Snadno se nahlédne, že je-li R úzká relace dobrého uspořádání na třídě A, potom
každá neprázdná podtřída B c; A má nejmenší prvek: libovolný prvek b e B je
buď nejmenším prvkem třídy B, nebo u = [a:ae B &i(a,b) e R} je neprázdná
podmnožina třídy A. Nejmenší prvek množiny u existuje (R je dobré uspořádání)
a je i nejmenším prvkem třídy B.
2.11 Věta. Je-li R úzké dobré uspořádání na vlastní třídě A, pak existuje pravé jedno
izomorfní zobrazení F třídy On na A.
Důkaz. Izomorfismus F sestrojíme transfinitní rekurzí. Pro libovolné x nechť G(x)
je nejmenší prvek třídy A - x vzhledem k R. Uvědomme si, že A — x =f 0 pro
každé x, protože A je vlastní třída. Podle věty 2.5 existuje právě jedno zobrazení
F: On -+ V takové, že pro každý ordinái a je F(a) = G(F[a]). Přitom pro libovolný
ordinái a je A — F[a] + 0> proto F je prosté zobrazení On do A. Snadno se ověří,
že pro libovolné a, /? platí
*<P~F{*)<RF(P).
F je tedy izomorfní zobrazení On na nějakou dolní podtřídu třídy A. Kdyby
existoval nějaký prvek aeA, který' není hodnotou zobrazení F, pak a má vlastní
třídu předchůdců a R není úzké uspořádání. Proto F je izomorfní zobrazení On
na A.
2.12 Jiný důkaz věty 2.11 lze získat úpravou důkazu věty 1.5.31 bez použití rekurze.
2.13 Příklad. Maximo-lexikografické uspořádání je podle věty 1.23 úzké dobré
uspořádání na On2. Podle věty 2.11 existuje právě jeden izomorfismus J třídy On2
a On vzhledem k maximo-lexikografickému uspořádání a <. V příkladě 1.6.28 jsme
148

2.14
7ransfinitni / ckurze
II
ukázali, že J zobrazuje axw na co. Později uvidime, že podobná rovnost plati
i pro další limitní ordináíy, speciálně pro všechna nekonečná kardinální čísla.
Podle věty 1.25 je relace o úzké dobré uspořádání na třídě [Orc]<OJ všech
konečných podmnožin třídy On. Existuje tedy izomorfní zobrazení K třídy [0«]<u
na On. Z 1.6.28 vime. že K zobrazuje [w]^w na uj. Později uvidíme, že totéž platí
i pro všechna nekonečná kardinální čísla.
2.14 Parametry transfmitní rekurze. Podle úmluv z §§ 2 a 3 kapitoly I může mít
formule <p, která definuje zobrazení G, i další volné proměnné pro množiny a pro
třídy, které chápeme jako parametry. Například v důkazu 2.11 vystupují třídy A, R
jako parametry v definici zobrazení G. Rozebereme případ, kdy (p má kromě volných
proměnných x, y ještě jednu volnou množinovou proměnnou z a jednu volnou
proměnnou C pro třídy. Je-li dána třída C, potom
(4) G = {(x,y):(p{x,y,z,C)}
je zobrazení a hodnoty G(x) závisí i na parametrech z a C. Je-li F zobrazení
sestrojené transfmitní rekurzí z operace G, jeho hodnoty F(a) také závisí na parametrech
z, C. Můžeme to zdůraznit tím, že sestrojené zobrazení označíme FzC.
Vraťme se ke vztahům (1), které definují součet n + m rekurzí podle proměnné m.
Proměnná n v nich vystupuje jen jako parametr konstrukce. Je-li dáno přirozené
číslo n, podle věty 2.6, kde a = n, G{(x) = x u {.x} a G2 je definováno libovolně,
sestrojíme zobrazení Fn takové, že pro každé přirozené číslo m platí
Fn(m) = n + m.
Položíme-li F'(n, m) = Fn{m) pro každé n, m < co, parametr n zobrazení Fn se stal
proměnnou zobrazení F'.
Ukážeme, že takový postup je korektní, že množinové parametry zobrazení
definovaného transfmitní rekurzí lze zahrnout mezi proměnné nějaké jiné operace.
Předpokládejme, že je dána třída C a že pro každou množinu z je třída G ze vztahu
(4) zobra^ním V do V. Definujeme-li
G = {<x,z,y>:c/>(x,y,z, C)} ,
potom G' je zobrazení V x V do V. Dále postupujeme jako v důkazu věty 2.3.
Definujeme A jako třídu všech zobrazení / s definičním oborem P x {z} pro nějaký
ordinái P a množinu z takových, že pro každé a < p platí
/(*,;) = G'(/|(ax {,})).
Stejným způsobem jako v důkazu věty 2.3 dokážeme existenci zobrazení
F':On x V -> V takového, že pro každý ordinái a a množinu z platí
FM = G'(F|(ax{z})).
149

1!
2.14
Uvědomme si, že hodnota F'(ct, z) závisi jen na hodnotách F'(y,z) pro y < a, ale
nezávisí na hodnotách F'(}\z) pro z ={= z!
Snadno se nahlédne, že tuto konstrukci lze dále zobecnit tak, aby hodnota F(a, z)
závisela na hodnotách F'(y, z), y < a pro všechna z z nějaké množiny. Nemůžeme
však konstruovat zobrazení F' tak, aby hodnota F'(a, z) závisela na hodnotách
F'(y,z'), y < a pro vlastní třídu parametrů z.
150

§ 3 Ordinální aritmetika
Zavedeme aritmetické operace na ordinálních číslech a seznámíme se s jejich
vlastnostmi. Dokážeme větu o jednoznačném vyjádření ordinálních čísel podle
mocnin ordinálu w z. ukážeme, že podobné vyjádření lze sestrojit pro kterýkoli
základ y\ > 1. Aritmetické operace na množině w splňují všechny axiomy Peanovy
aritmetiky, to znamená, že v teorii množin lze dokázat všechny věty o přirozených
číslech, které jsou dokazatelné v Peanově aritmetice. Na závěr dokážeme Goodstei-
novu větu o přirozených číslech. Tato věta teorie množin (s axiomem nekonečna)
je příkladem tvrzení, které není dokazatelné v Peanově aritmetice ani v teorii
konečných množin, i když ho lze v obou teoriích vyslovit.
3.1 Definice. Ordinální funkce. Říkáme, že zobrazení F je ordinální funkce, jestliže
jeho definičním oborem je nějaký ordinál nebo On a Rng (F) £= On.
Říkáme, že ordinální funkce F je rostoucí (neklesající), jestliže pro libovolné
peDom{F) aa<]3 platí F(ol) < F(j3) (F(a) < F{p)).
Připomeňme, že dobré uspořádání připouští jenom konečné klesající
posloupnosti. Proto pojmy klesající a nerostoucí ordinální funkce ani nezavádíme.
3.2 Věta. (i) Je-li F rostoucí ordinální funkce, potom a < F(a) pro každé
cc e Dom (F).
(ii) Je-li A dobře uspořádaná množina a B c= A, pro ordinální typy a, P množin
A, B platí p < a.
Důkaz sporem, (i) Nechť a je nejmenší ordinál takový, že F(a) < a. To znamená,
že pro každé P < a platí F(P) > P. Položíme-li /? = F(oc), dostáváme F(fí) > fi =
= F(cc), a to je ve sporu s předpokladem, že F je rostoucí funkce.
(ii) Nechť; je izomorfní zobrazení množiny A na ordinál a a k je izomorfismus
B a p. Kdyby P > a, potom / = jo k~l je rostoucí ordinální funkce na P a. pro
a dostáváme /(a) < a. To je ve sporu s (i).
3.3 Spojitost a limity. Připomeňme, že dobré uspořádání určuje na On
intervalovou topologii. Libovolná množina ordinálních čísel je otevřená, právě když je
sjednocením nějakého systému otevřených intervalů. Izolovaná ordinální čísla jsou
151

II
právě všechny izolované body a je-li A limitní ordinál, množiny {a: \i < a < Áj
pro jj. < á tvoři bázi okoli bodu a. Množina X c O^ je uzavřena, pravě když
supremum každé její podmnožiny je prvkem X. Obvyklé pojmy spojitosti a limity
zobrazení, které se definují pomocí okolí, se přenášejí i na ordinální funkce. V
izolovaných bodech nejsou tyto pojmy zajímavé, můžeme se omezit jen na limitní
ordinály. Snadno se ukáže, že neklesající ordinální funkce F má v každém
limitním ordinálu A e Dom (F) limitu, která je supremem předchozích hodnot F[a),
a < Á.
3.4 Definice. Normální funkce. Říkáme, že ordinální funkce F je normální, je-li
rostoucí a spojitá. To znamená, že pro každý limitní ordinál X e Dom (F) platí
F(A) - sup [F(a):a < )] .
3.5 Příklad. Identické zobrazení je nejjednodušším příkladem normální funkce
na On. Naproti tomu funkce S, která každému ordinálu a přiřazuje jeho následníka
a vj {a}, je rostoucí, ale není spojitá.
Uvědomme si, že pro normální funkci F a. limitní Á e Dom (F) je F(á) limitní
ordinál.
3.6 Lemma. Je-li F normální funkce, potom pro každý ordinál /?, F(0) < f$ <
< supRng(F), existuje největší ordinál a, pro který platí F(a) < ft.
Důkaz. Ze spojitosti F plyne, že vzor uzavřeného intervalu [0, /?] je uzavřená
množina, má tedy maximální prvek a. Protože F je rostoucí, a je největší ordinál,
pro který platí F(ol) < /?.
Z příkladu 3.5 je zřejmé, že tvrzení lemmatu neplatí, jestliže neostrou nerovnost
nahradíme ostrou nerovností.
3.7 Lemma. Jsou-li F, G normální funkce na On, potom FoG je také normální
funkce.
3.8 Definice. Pevné body. Říkáme, že ordinál c je pevným bodem ordinální funkce F,
jestliže F[£) = £.
3.9 Věta o pevných bodech normální funkce. Nechť F je normální funkce definovaná
na On.
(i) Ke každému ordinálu a existuje fí > a, které je pevným bodem funkce F. Třída
všech pevných bodů normální funkce F je tedy neomezená.
Navíc, definujeme-li posloupnost ordinálu <an: n < co} tak, že a0 = a a pro každé
přirozené n je dn^x = F(aJ, potom supremum této posloupnosti je nejmenší ze všech
pevných bodů £ > a funkce F.
(ii) Třída všech pevných bodů funkce F je uzavřená. To znamená, že supremum
každé množiny pevných bodů je také pevným bodem funkce F.
Důkaz, (i) Je-li dáno a, nechť /? je supremem odpovídající posloupnosti. Potom
F(P) = sup {F(aJ: n < co} = sup {an+ {: n < co} = /?,
152

3 14
O) ihnální aritmetika
II
kde první rovnost plyne z normality, druhá a třetí plynou z definice y.n^l a 3.2. Je-li
a < p a C je ordinál takový, že a < ^ < /I, potom pro nějaké n platí an < <; < a„ _ 1.
Z monotónnosti F dostáváme <; < in^l = F(an) < F(í). To znamená, že c není
pevným bodem funkce F. (ii) Je-li x nějaká množina pevných bodů funkce F a P je
její supremum, podobným způsobem jako v (i) dokážeme F(p) = /?.
3.10 Důsledek. Je-li F normální funkce na On, podle 2.11 existuje izomorfní
zobrazení J třídy On na třídu K(F) všech pevných bodů funkce F. Navíc je J normální
funkce, protože K(F) je uzavřená třída.
3.11 Připomeňme, že lexikografické uspořádání je dobré uspořádání třídy On x On.
To znamená, že každé množině a ^ Om2 je jednoznačně přiřazeno ordinální číslo,
které je typem jejího dobrého uspořádání. Tento fakt použijeme při definici součtu
a součinu ordinálních čísel.
3.12 Definice. Ordinální součet a součin. Nechť oc, fi jsou ordinální čísla.
(i) Ordinální číslo, které je typem množiny ({0} x a)u({l} x p) při lexiko-
grafickém uspořádání, označíme a 4- P a nazveme ho součtem ordinálů a a p.
(ii) Ordinální číslo, které je typem množiny p x a při lexikografickém
uspořádání, označíme a. p a nazveme ho součinem ordinálů a a /?.
3.13 Množiny a = {0} x a a 6 = {l} x /? z definice ordinálního součtu jsou
disjunktní a při lexikografickém uspořádání jsou izomorfní po řadě s ordinály a a /?.
Součet a 4- /? je tedy typem sjednocení dvou disjunktních množin a, b, které jsou
izomorfní po řadě s a, /?, a každý prvek množiny a předchází každý prvek množiny b.
Takovým způsobem lze definovat součet libovolných uspořádání (nejenom dobrých).
Snadno se nahlédne, že a 4- 1 = a u {a}. Přičtením jednotky dostáváme
následující ordinální číslo. V dalším budeme psát a + 1 místo a vj {a}.
Podobně je a. p typem dobře uspořádané množiny, která je sjednocením
disjunktních množin uspořádaných podle typu a, které jsou položeny za sebou podle
typu p. Uvědomme si, že a. p je typem množiny fi x a při lexikografickém
uspořádání. V kartézském součinu aaf vystupují v obráceném pořadí! Tato zvláštnost
vznikla historickým vývojem. Asymetrii v definici (ne ve vlastnostech) ordinálního
součinu lze odstranit použitím zpětného lexikografického uspořádání, které
porovnává nejprve druhé členy a potom teprve první členy uspořádaných dvojic. Ordinál
a . P je potom typem množiny a x p při zpětném lexikografickém uspořádání.
3.14 Jednoduché vlastnosti součtu a součinu. Pro libovolné ordinály a, j8, y platí
a + (P 4- >') = (a 4- P) 4- y
153

II
3 14
a pro součin
a.O - 0 = O.a,
a . 1 = a = 1 . a,
a . 2 = a -h a ,
«.(£.-/) = (a./J).y.
Ordinálni součet a součin jsou asociativní operace. Užijeme-li charakterizaci
uspořádáni co z I.§ 6, snadno nahlédneme, že
1 -f co = w i= to + 1,
2 .co = cd ^ oj .2 .
Ordinálni součet a součin nejsou komutativní operace.
3.15 Lemma. Monotónnost sčítání. Pro libovolné ordinály a, f$, y platí
(i) a </?->}' + a < y + /?,
(ii) a < /? -+ ol 4- 7 < p -f y.
Důkaz, (i) Z a < /? a definice součtu vyplývá, že >• 4- a je typem vlastní dolní
podmnožiny ordinálu y 4 p.
(ii) Je-li a < p, potom množina uspořádaných dvojic, která definuje a 4- }',
je podmnožinou množiny odpovídající součtu p 4- >'. Tvrzení plyne z 3.2.
3.16 Lemma. Monotónnost součinu. Pro libovolné ordinály a, /?, y p/a//
(i) ;e-/í >' > 0, potom
a< p->(y.a<y.p),
(ii) «<0-Ma.y<0.y).
Důkaz, (i) Je-li a < p a >• > 0, potom a x y je vlastní dolní podmnožinou p x y
při lexikografickém uspořádání, (ii) Je-li a < /?, potom y x a ^ y x P a tvrzení
plyne z 3.2.
Poznamenejme, že tvrzení (ii) v předcházejících dvou lemmatech neplatí obecně
pro ostrou nerovnost, protože 1 < 2, a přesto
1 +cú = 2 + cú = cú,
1 . co = 2 . co = co .
3.17 Distributivnost. Není těžké ověřit, že pro libovolné ordinály a, /?, y platí
a(P 4- y) = a . p + a . y ,
to znamená, že ordinálni součin je zleva distributivní. Naproti tomu je podle 3.14
(1 + l).co ^ co + co.
154

3.22
Ordmálni ai umelika
11
Ordinální součin tedy není distributivní zprava.
3.18 Lemma. Je-li a < /?, pak existuje právě jeden ordinál q takový, že a + q = p.
Důkaz. Je-li a < p, potom a je dolní podmnožinou P a její doplněk P - a je horní
podmnožinou p. Je-li q ordinální typ p — a, dostáváme a + # = p.
Jednoznačnost vyplývá z 3.15(i).
3.19 Příklad. Rovnice <;+/? = cj je řešitelná, právě když P — 0 nebo /? = co.
V prvním případě je C = &> jediným řešením a ve druhém případe je řešením každé
C < cj.
3.20 Lemma. Pro libovolný ordinál a v množině všech řešení <<;, *f) rovnice
í 4- >7 = a
najdeme jen konečně mnoho různých hodnot n.
Důkaz sporem. Předpokládejme, že pro nějaké a v množině všech řešení dané
rovnice existuje nekonečně mnoho různých hodnot rj. Nechť <č,, r/,), i < oo je
posloupnost řešení taková, že pro každé přirozené i platí rji < ni+x. Z monotónnosti
sčítání dostáváme ^ < č0 a indukcí podle i dokážeme či + l < £t pro každé i < co.
To znamená, že množina ordinálu {£,■: i < co} nemá nejmenší prvek — spor.
3.21 Lemma. Je-li P > O, pro každý ordinál a existují jednoznačně určené ordinály
ó < oc a q < P takové, že
OL = P .5 + Q.
Důkaz. Podle 3.16(ii) je a < P . a. V případě, že a = ft. a, zvolíme ó = a a g = 0.
Z monotónnosti součtu a součinu a z levé distributivity se snadno ukáže, že je to
jediné řešení splňující podmínky lemmatu. Je-li a < p . a a j je izomorfismus lexiko-
graficky uspořádané množiny a x p a ordinálu p. a, pak existuje právě jedna
dvojice <(3, £>ea x /? taková, že ;(^»í?)) — x Nutně á <ot a ^ <)8 a snadno
se ověří, že
(X = P .0 + Q .
3.22 Veta. (i) Pro každý ordinál a je ordinální funkce F(q) = a + £ normální.
(ii) Pro každé a > 0 je ordinální funkce F(£) — a . <; normální.
Důkaz, (i) Z monotónnosti součtu vyplývá, že F je rostoucí funkce, a není těžké
ověřit, zeje spojitá.
(ii) Je-li a > 0, Fje rostoucí podle 3.16(i). Nechť /je limitní ordinál, ukážeme, že
a. A je supremem všech hodnot F(c), t < a. Je-li <x < a. /, podle předchozího
lemmatu existují ordinály ó a q < a takové, že a = a. 3 + q. Z monotónnosti
operací dostáváme S < k a také ó 4- 1 < Á, protože Á je limitní. Potom
o- = a.<5 + e<a.(5 + a = F(<5 + l).
To znamená, že F(X) = a.Á je nejmenší majorantou množiny {F(č): c < a}.
155

II 323
3.23 Definice. Mocniny ordinálů. Pro libovolné a definujeme mocninu ^ rekurzí
podle p
(>) «° =i,
(ii) ot", + 1> = a'.a,
(iii) vř = sup {ay:0 < y < (1} , je-li/Himitní ordinál.
3.24 Jednoduché vlastnosti mocnin. Pro libovolné ordinály a, /? platí
(i) 0° = 1 a 0" = 0, pokud 0>O,
(ii) l' = l,
(iii) a1 = a , a2 = a . a , a3 = (a . a), a .
3.25 Lemma. Pro libovolné a, p, 7 p/at/
(i) a < p - ay < ^ ,
(ii) (1 < a & jS <y)->^ <ay,
(iii) pro každé a > 1 je oč normální funkce proměnné <;.
Důkaz, (i) Indukcí podle y. Je-li y = 0, potom a7 = /T = 1. Je-li a < /?,
y = <5 + 1 a a6 < pó, z monotónnosti součinu dostáváme ay = a5. a < pd . P = p\
Je-li y limitní a pro každé 5 < y již platí aó < p6, potom také ď < py.
(ii) Předpokládejme, že a > 1. Indukcí podle ó se pro každé <5 > 0 dokáže
yfi < ^+\ Je-li /? < y, podle 3.18 existuje 6 > 0 takové, že y = /J + č.
(iii) Je-li a > 1, podle (ii) je cr rostoucí funkce proměnné c,. Z definice mocniny
je zřejmé, že je spojitá.
3.26 Lemma. Pro libovolné a, P, y platí
(i) aP + » = ař.*\
(ii) (a')"' =a"-v,
Důkaz, (i) Pro a < 1 tvrzení plyne z 3.24. Je-li a > 1, dokazujeme indukcí podle y.
Je-li y = 0, není co dokazovat. Je-li y = ó + 1, potom p + y = [p + ó) + 1
a tvrzení plyne z indukčního předpokladu. Zbývá případ, kdy y je limitní ordinál
a tvrzení platí pro každé ó < y. Potom
a* . a? = afi . {supa5;0 < S < y} ,
= sup {a*, a*; 0 < ó < y},
= sup{a/ř+á;0<<5 <>■},
= sup{a£;0 < e < P 4- >■} = a' + y.
Druhá a čtvrtá rovnost plynou z toho, že součin a součet jsou normální funkce
vzhledem ke druhému argumentu, a třetí rovnost je indukční předpoklad.
(ii) Platí, je-li jeden z ordinálů P, y roven nule nebo a < 1. Předpokládejme,
že a > 1 a že /?, y jsou různé od nuly. Dokazujeme indukcí podle y. Je-li y = Ó 4- 1,
156

3 30
Oi iluwliií ai-itmcnka
II
tvrzení plyne z (i) a z indukčního předpokladu. Zbývá případ, že y je limitní ordinál.
Potom /?. y je také limitní ordinál a
(xpy = sup {(a*)*; 0 < <5 < y] ,
= sup{aM; 0 < (5 < >•} .
= sup{c(c; 0 < e < p.y} = a" y.
Druhá rovnost plyne z indukčního předpokladu a třetí rovnost plyne z toho, že
součin je normální funkcí druhého činitele.
3.27 Veta. Jsou-li m, n přirozená čísla, potom m 4- n, m.n a mn jsou také přirozená
čísla. Navíc
m 4- n = n + m, m.n = n .m .
Součet a součin přirozených čísel jsou komutativní operace, a protože ordinální součin je
distributivní zleva, součin přirozených čísel je distributivní.
Důkaz. Z definice součtu a součinu je zřejmé, že m + n a m.n jsou konečná
ordinální čísla. Indukcí podle n dokážeme, že i mn je přirozené číslo. Dokážeme, že součin
přirozených čísel komutuje. Snadno se sestrojí prosté zobrazení konečné množiny
m x /; na množinu n x m. Prosté zobrazení přenáší lexikografické uspořádání
množiny m x n na nějaké lineární uspořádáni množiny n x ni. Podle 1.6.3 jsou
na konečné množině všechna lineární uspořádaní izomorfní. To znamená, že m.n =
= n . m. Podobným způsobem se dokáže, že součet přirozených čísel také komutuje.
3.28 Zúžením ordinálních operací na přirozená čísla dostáváme operace sčítání,
násobení a mocnění přirozených čísel Z dokázaných vět vyplývá, že aritmetické
operace na přirozených číslech v teorii množin mají všechny vlastnosti, které lze
dokázat v Peanově aritmetice. Proto se množina co spolu s operacemi součtu a
součinu a konstantami 0, 1 nazývá standardním modelem Peanovy aritmetiky.
V aritmetice lze každé přirozené číslo vyjádřit rozvojem podle mocnin základu
2 > 1. Ukážeme, že obdobné tvrzení platí i v ordinální aritmetice. Mezi ordinály,
které mohou být základem takového vyjádření, zaujímá co význačné postavení.
Tvrzení dokážeme pro tento speciální případ.
3.29 Lemma. Jsou-li k, mQ, mt, ..., mk přirozená čísla a y0, yl5 ..., yk jsou ordinály
menší než <5, potom
to5 > wyo . m0 4- coyi . m{ 4- ... + co:k . mk .
Důkaz. Nechť m je největší z přirozených čísel mi a y je největší z ordinálů y,, i < k.
Potom ordinál of . m . k majorizuje součet na pravé straně nerovnosti. Podle
předpokladu je ó > y 4- 1, odkud cos > coy+i > coy. m . k.
3.30 Věta o rozvoji ordinálních čísel v mocninách o;. Ke každému orďmálu
a > 0 lze jednoznačně přiřadit přirozená čísla k. mQ, m{. ..., mk různá od nuly a
ordinály y0 > yx > ... > yk tak, že
157

II
3.30
(1) a = coyo .m0 + cjyi .ml + ... 4- coyk .mk.
Výraz na pravé straně nazýváme Cautorovým normáinim tvarem ordináiu a.
' Je-li
(2) p = coóo.n0 4- cd3í .n, + ... + 0J3l.nt
vyjádření ordinálu P v Cantorově normálním tvaru, potom a < P, právě když nastane
jeden ze dvou následujících případů:
(i) k < l a pro každé i < k je <yf, m,> = <(5/5 n,->,
(ii) existuje i < min (íc, /) takové, že <?,-, mf> 4= <<5,, ",-), a pro nejmenší takový
index i je bud y{ < <5f, nebo y{ = 5,. a mť < nr
Důkaz. Indukcí podle a dokážeme, že každý nenulový ordinál lze jednoznačně
vyjádřit v Cantorově normálním tvaru. Pro a = 1 je a = co0 . 1 jediné vyjádření,
které splňuje podmínky věty. Předpokládejme, že a> 1 a že každý nenulový ordinál
P < a lze jednoznačně vyjádřit v Cantorově normálním tvaru, co7 je normální funkce,
existuje tedy největší ordinál y takový, že coy < a. Z normality součinu plyne
existence největšího ordinálu 5, coy. 5 < a. Přitom ó < co, protože coy+l = coy. co > a.
Je-li coy. 5 = a, z lemmatu 3.29 plyne jednoznačnost takového vyjádření. Je-li
co'. 3 < a, pak existuje právě jeden nenulový ordinál p takový, že coy. 3 4- P = a.
Přitom p < coy, protože z p > coy dostáváme coy. 3 4- /? > a/(<5 4- l), a to je ve
sporu s volbou ordinálu 3.
Nechť
P = cún .m1 4- cd72 . m2 4 ... + coVk. mk
je vyjádřením ordinálu /? v Cantorově normálním tvaru. Položíme-li y0 = y,
m0 = 3, pak y0 > yL a (l) je vyjádřením ordinálu a v Cantorově normálním tvaru.
Jednoznačnost vyjádření plyne z lemmatu 3.29 a z jednoznačnosti vyjádření
ordinálu p.
Nyní dokážeme druhé tvrzení věty. Předpokládejme, že ordinály a, p jsou
vyjádřeny ve tvarech (l) a (2). Platí-li (i), potom a < p, protože zbývající členy v rozvoji P
jsou nenulové. Předpokládejme, že platí (ii) a že i je nejmenší index, ve kterém se
oba normální tvary liší. Je-li y. < <5,, potom a < p plyne z lemmatu 329. Je-li
y; = Sj a mi < np potom nl > m- 4- 1
a
cd*5' . ni > coyi . m, 4- cd7' .
Podle lemmatu 3.29 poslední sčítanec na pravé straně majorízuje součet všech
zbývajících členů v (l), tedy také a < p.
Zbývá dokázat obrácenou implikaci. Je-li a < p, normální tvary (l) a (2) se musí
lišit. Potom buď rozvoj jednoho ordinálu splývá s počátečními členy rozvoje
druhého ordinálu, nebo existuje i < k, /, kde se rozvoje liší. S pomocí již dokázané
implikace se ukáže, že mohou nastat jen případy (i) nebo (ii).
158

3.34
Orchnální aruiuctika
II
3.31 Důsledek. Je-li a > O, potom platí:
(i) existuje právě jedno přirozené číslo / > O a jednoznačně určeně ordinály
Vo ^ Ví ^ ••■ ^ yj ^ že
a = coyo 4- on 4- ... 4- co71,
(ii) existují jednoznačně určené ordinály /i, 7 takové, ze
a = a/''(Č 4- 1).
Důkaz, (i) Pro každý ordinál y a přirozené m je co7. m součtem m sčítanců tvaru
<úy. Rovnost (i) získáme rozepsáním Cantorova normálního tvaru (l).
(ii) Je-li a v normálním tvaru (l), položme y = yk. Potom pro každé i < k
je y{ = y 4 3t pro nějaký ordinál ó,-. Podle 3.26(i) a z levé distributivity dostáváme
a = čL>y(a/°. m0 4- oj3' . my + ... + cú° . mk).
V závorce na pravé straně je izolované číslo tvaru /? + 1, protože mk je přirozené
číslo různé od nuly. Jednoznačnost takového vyjádření plyne z jednoznačnosti
Cantorova normálního tvaru.
3.32 Rozvoj ordinálnich čísel podle mocnin libovolného základu n > 1. S výjimkou
lemmatu 3.29 jsme v důkazu věty 3.30 nepoužili žádné speciální vlastnosti cd. Vy-
slovime-li lemma 3.29 opatrněji, jen pro pravé strany s klesajícími exponenty
a s koeficienty mf < n, můžeme je dokázat pro každý základ r\ > 1 místo a)
indukcí podle y0.
Když ve znění (1) v důkazu věty 3.30 všude nahradíme základ a; daným ordiná-
lem r\ > 1 a přirozená čísla 771 ť, ni nahradíme nenulovými ordinály menšími než rj%
dokážeme obdobnou větu 'o vyjádření ordinálů podle mocnin základu rj.
Omezíme-li se jen na přirozená čísla, dostáváme známou větu o rozvoji
přirozených čísel podle mocnin základu z > 1. Tohoto výsledku použijeme k důkazu
Goodsteinovy věty (1944), která spolu s větou Kirbyho a Parise (1981) ukazuje
zajímavou souvislost mezi aritmetikou nekonečných ordinálnich čísel a aritmetikou
přirozených čísel. Nejprve zavedeme potřebné pojmy.
3.33 Definice, e-číslo. Říkáme, že ordinál č, je s-číslo, je-li pevným bodem funkce
co\ to znamená, že c, je e-číslem, jestliže č, = cď\
3.34 Příklad. Víme, že cd^ je normální funkce. Podle věty 3.9 je třída všech
e-čísel uzavřená a neomezená. Je zřejmé, že žádné přirozené číslo nemůže být
e-číslem. Podle věty 3.9 je nejmenší e-číslo supremem rostoucí posloupnosti
Později uvidíme, že každý člen této posloupnosti je spočetný ordinál a že nejmenší
e-číslo, které se označuje e0, je také spočetný ordinál.
159

1 Í4
Ordinál t:0 má úzký vztah k Peanově aritmetice. Gerhard Gentzen (1909-1945)
dokázal v roce 1936 bezespomost Peanovy aritmetiky transfinitní indukcí do e0.
Indukce do e0 je také jádrem důkazu Goodsteinovy věty.
3.35 Goodsteinovy posloupnosti. Je-li dáno přirozené číslo m, můžeme sestrojit
posloupnost přirozených čísel
(3) m0, m1,m2,..., mn, mn+1,...
tak, že položíme m0 — m a čísla m„, n > 0 vypočteme následujícím způsobem:
nejprve vyjádříme m0 podle mocnin základu 2 a totéž provedeme se všemi exponenty,
které jsou větší než 2. Je-li třeba, stejným způsobem upravíme i exponenty exponentů
atd. Je-li například m = 29, dostáváme
m0 = 24 + 23 + 22 + 1 = 2(22) + 2(2+1> + 22 + 1 .
Je to výraz sestavený jen z čísel nejvýše rovných dvěma, nazveme ho úplné vyjádření
čísla m0 podle mocnin základu 2. Číslo ml vypočteme tak, že ve výrazu každou dvojku
nahradíme trojkou (ostatní čísla ponecháme beze změny) a od výsledku odečteme
jedničku. V našem případě dostáváme
m{ =3<33) + 3(3+1) + 33 + 1-1 -8.1012.
Známe-li již číslo mn, mn+1 vypočítáme tak, že v úplném vyjádření čísla mn podle
mocnin základu (n + 2) všude nahradíme základ (n + 2) číslem n + 3 a odečteme
jedničku. Tedy
m2 =4(44) + 4(4 + 1) + 44- 1 ~ 10154.
Vyjádříme-li
44-l=43.3 + 42.3 + 4.3 + 3,
můžeme pokračovat
m3 = 5(55) + 5(5 + 1) + 53.3 + 52.3 + 5.3 + 3 - 1 - ÍO2200 ,
m4 = 6(66> + 6<6 + 1) + 63.3 + 62.3 + 6.3 + 2-1- 1036305 ,
m5 = 7(7?) + 7<7 + 1> + 73.3 + 72.3 + 7.3+1-1- 1069*000,
Výpočet několika členů naznačuje, že Goodsteinova posloupnost (3) velmi rychle
roste. Následující tvrzení je překvapující.
3.36 Věta (Goodstein 1944). Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené n takové,
že mn = 0.
Důkaz využívá dobrého uspořádání ordinálních čísel. Ukážeme, že posloupnost (3)
je majorizována posloupností ordinálů </V n < oj) takovou, že pro každé n platí
(4) /i„ > 0-/in + 1 <iin.
160

3.36
Ordmálni aritmetika
II
Protože dobré uspořádání připouští jen konečné klesající posloupnosti, existuje
přirozené n takové, že jxn = mn = 0. Členy posloupnosti }ifí sestrojíme tak, že
v úplném vyjádření čísla mn nahradíme základ všude ordinálem cd.
Nejprve definujeme zobrazení e(m, n, x). Jeho hodnotou bude ordinální číslo,
které vypočteme tak, že v úplném vyjádření přirozeného čísla m podle mocnin
základu n > 1 všude nahradíme základ n ordinálem x < co. Zobrazení e
definujeme rekurzí podlém pro každé n > 1 a x < (o. Je-li m — 0, položíme e(0, «, x) — 0.
Je-li m > 0 a
k
(5) m = X rí . p,
í = 0
je jednoznačné vyjádření m podle mocnin nepoložíme
(6) e(m9n,x) = t x^"'*>. Pl.
ť = 0
Uvědomme si, že pro každé přirozené m a n > 1 ve vyjádření (5) platí k < m.
V definici (6) používáme jen hodnoty zobrazení e, které byly definovány dříve.
Dále definujeme zobrazení Gn(m), On(m) pro každé přirozené m a n > 1. Položíme
Gn(0) = On{0) = 0 pro každé n > 1 .
Je-li m > 0, definujeme
GM(m) = e(m, n, rc + l) — 1 ,
On(m) = e(m, rc, co).
Je-li m = m0 počátečním členem Goodsteinovy posloupnosti (3), pro její
zbývající členy platí
(7) ™n+i = Gn+2K)-
Snadno se nahlédne, že pro každé m a « > 1 je On(m) < e0.
Rekurzí podle oc < e0 pro každé přirozené n definujeme ordinál <a>(fl) tak,
že položíme
<0>(n) = 0,
</J + 1>(h) = j8,
a je-li a limitní ordinál, je tvaru o/. (/? 4- 1) pro nějaký ordinál /? a (3 > 0,
a potom položíme
<o>*. (p + 1)> (n) = o/ . /} 4- w<ÓXn). n 4- O/^' > (n).
Indukcí se snadno ověří, že pro každý a < £0 platí
(8) 0 < a^ <a>(n) < a,
pro gc = e0 již definice nemá smysl.
161

II
3 36
Jádrem důkazu Goodsteinovy věty je následující tvrzení.
3.37 Lemma. Pro každé a < e0 a přirozená čísla m, n platí:
(i) Je-li m>0, n>Qax = On+l(m), potom
On + l{m- 1) = <«>(*).
(ii) Pro každé n > 1 platí
<On(m)y(n) = On + l(Gn(m)).
Důkaz lemmatu, (i) Dokazujeme indukcí podle m. Předpokládejme, že
k
m = £(n + \)l.pi
i = 0
je vyjádření čísla ni podle mocnin základu /? -f 1 a že j je nejmenší index takový,
že pj + 0. Je-li j — 0, potom a = [i + 1 pro nějaký ordinál ji a tvrzeni plyne
z definice </? + l>(n) a On+i(m — l). Předpokládejme, že j > 0 a že tvrzení již
platí pro každé m, 0 < m < m. Z definice On+1 a z vyjádření čísla m dostáváme
(9) . Op + l(m-l)= Í a)*,tw.ři+0,+ 1((n+iy.prl).
Přitom
(10) {n+iy.Pj-l=(n+ iy. (/>, - 1) + (n + I)*'" '. n + (n + l)7'" ' - 1,
odkud
o0+1((i + iy.Pj- 0 =
= tuí0-"+,-",.(py- l) + £o°"lU-1,.n + 0I1+,((n+ IV-1 - 1).
Z indukčního předpokladu dostáváme
O.+ i0' - 0 = <0„ + 1(j)y(n) = {e(j,n + 1, *>)>(,.)
a
0.+ i((n + 0U"l) " 0 = <0„+1((» + l)U"l,)>W = <co°"*'"-">(«).
Celkem tedy
(11) 0„+i(("+ 1)J.P,-1) =
Na druhé straně a je limitní ordinál, a proto
<a>(n) = X ^(M+l,ÍU).Pi + o)e{j^l^.(pj - 1) +
162

3.39
Ordmální aritmetika
II
Tvrzení (i) plyne z (11) a (9).
(ii) Z definice Gn(m) a z (i) dostáváme
Ott+i(Gm(m)) = On+l(e(m,n,n+ i) - l) =
= <0„+1(4,Wi + 1 ))>(«).
Přitom
On + l(e(m,n,n + l)) = 0„(m),
odkud bezprostředně vyplývá (ii).
K dokončení věty 3.36 stačí majorizovat členy Goodsteinovy posloupnosti (3)
ordinály
(!2) l*n = 0^2(mn)>mn.
V našem případě dostáváme
//2 = íli(íoíj,) + a)ítí+1+tó3.3 + o)2.3 + aj.3 + 3,
^3 = a>(a,W) + aT + l + co3. 3 + co2 .3 + co. 3 + 2,
Tedy /i0 = 02(mo) a ze 0)> (^) a 3.37(ii) dostáváme
M„ + i = <X>(« + 2).
Nakonec z (8) vyplývá, že posloupnost /zn splňuje podmínku (4), má tedy jen
konečně mnoho nenulových členů.
3.38 Ještě jednou Goodsteinovy posloupnosti. Konstrukci Goodsteinovy
posloupnosti můžeme zobecnit tím, že s prvním členem m zvolíme i základ z > 1 pro
úplné vyjádření Čísla mQ = m (v původní konstrukci jsme zvolili z = 2). Ostatní
členy posloupnosti jsou dány vztahem mn+l = Gn+Z(mn). Z důkazu
Goodsteinovy věty je zřejmé, že její tvrzení platí i pro zobecněné Goodsteinovy
posloupnosti.
3.39 Přirozená čísla v teorii množin a Peanova aritmetika. Ukázali jsme, že pro
přirozená čísla v teorii množin platí všechny axiomy Peanovy aritmetiky, to
znamená, že každé tvrzení o přirozených číslech, které lze dokázat v aritmetice, je také
větou teorie množin. Říkáme, že přirozená čísla v teorii množin jsou standartním
modelem Peanovy aritmetiky. Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve
standartním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta
L. Kirbyho a J. Parise (1982) ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení
163

II
3 39
nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy
Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení,
které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin.
Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů
Peanovy aritmetiky 1
Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie
konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho
negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii
konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově
aritmetice, tedy Goodsteinova veta zde není dokazatelná. Dostáváme se k
zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňujeme dokazatel-
nost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.
164

§ 4 Kardinální čísla
Zavedeme pojem kardinálního čísla a ukážeme, že kardinální čísla vyjadřují
mohutnosti množin, pro které existuje dobré uspořádání. To znamená, že za
předpokladu axiomu výběru kardinální čísla vyjadřují mohutnosti všech množin.
Kardinální čísla jsou podtřídou On a existuje normální funkce X (alef), která
zobrazuje On na třídu všech nekonečných kardinálních čísel. Uvedeme základní
vlastnosti této funkce a pojem kofinality, který rozděluje kardinální čísla na regulární
a singulární. Nakonec zavedeme operace součtu a součinu kardinálních čísel a
vyslovíme zobecněnou hypotézu kontinua.
4.1 Prostá zobrazení a mohutnosti. Víme, že mohutnosti množin lze srovnávat
pomocí prostých zobrazení a že relace x ~ y „množiny x a y máji stejnou
mohutnost" je ekvivalencí na univerzální třídě. Chceme-li přejít od pouhého
srovnávání velikostí dvou množin ke kvantitativnímu vyjádření mohutností množin,
stojíme před otázkou, jak reprezentovat třídy
(i) {y.y**}
všech množin, které mají stejnou mohutnost jako x. Jde o to, zda můžeme definovat
zobrazení, které každé množině x přiřadí nějakou množinu |x| tak, aby pro libovolné
dvě množiny x, y platilo ^
(2) x^>'<->|x|H)'|.
Ideální je taková reprezentace, kde množina |x| je v nějakém vztahu ke třídě (l).
Množinu |x| nazveme mohutnost množiny x.
Pro některé třídy množin je snadné definovat mohutnosti jejich prvků tak, aby
byla splněna podmínka (2). Je-li x konečná množina, potom existuje právě jedno
přirozené číslo n takové, že x % n, a můžeme položit |x| = n. Podobně, je-li x
spočetná, položíme |x| = co a podmínka (2) je splněna pro každou množinu y.
V obou případech jsme mohutnost množiny definovali vhodným ordinálním
číslem. Nebylo to náhodou. Je-li x množina, kterou lze dobře uspořádat (každou
konečnou i spočetnou množinu lze dobře uspořádat), zvolme nějaké její dobré
uspořádání. Vzhledem ke zvolenému uspořádání je x izomorfní s nějakým ordinálem a
165

II
4 1
a třída (l) má neprázdný průnik s On. Mohutnost |x| můžeme potom definovat
jako nejmenší ordinál, který' je prvkem třídy (l). Je zřejmé, že žádný ordinál
C < |x| nemá stejnou mohutnost jako ordinál \x\. To je klíč k definici kardinálních
čísel.
4.2 Definice. Kardinální čísla, (i) Říkáme, že x je kardinální číslo, jestliže x je
ordinál, který nelze prostě zobrazit na žádné menší ordinální číslo. Tvídu všech
kardinálních čísel označíme Cn, tedy
Cn = {xeOn:(Vš < x){c, * x)} .
Kardinální čísla budeme označovat zpravidla malými písmeny x, A, fi, v ... ze středu
řecké abecedy.
(ii) Říkáme, že kardinální číslo x je mohutnost množiny x, a píšeme |x| = x, jestliže
existuje prosté zobrazení množiny x na x.
4.3 Mohutnosti dobře uspořádaných množin. Podle 4.1 a definice 4.2 má každá
dobře uspořádaná množina stejnou mohutnost s právě jedním kardinálním číslem.
Naopak, je-li X ^ x pro nějaký kardinál x, potom existuje dobré uspořádání
množiny X podle typu x. Je-li/prosté zobrazení X na x, na množině X můžeme
definovat relaci o tak, že/je izomorfismus X a x vzhledem k <j a dobrému uspořádání
x. Stačí, položíme-li
x^yWM <f{y)
pro každé x, y e X.
Kardinální čísla jsou tedy mohutnosti množin, které lze dobře uspořádat. Množinu,
která nemá stejnou mohutnost se žádným kardinálním číslem, nelze dobře uspořádat.
V § 6 ukážeme, že i pro takové množiny lze definovat mohutnost tak, aby byla
splněna podmínka (2). Přijmeme-li axiom výběru, z principu dobrého uspořádání vyplývá,
že ke každé množině x je přiřazeno právě jedno kardinální číslo x, \x\ = x.
4.4 Příklady, (a) 0 a oj jsou kardinální čísla. Víme, že oj je nekonečná množina,
a proto nemůže být oj ^ n pro žádné přirozené n < oj.
(b) oj c Cn. Je-li n libovolné přirozené číslo a m < n, potom m <= n a podle
1.6.4 konečná množina n nemůže mít stejnou mohutnost s vlastní podmnožinou m.
Tedy n e Cn.
(c) oj H- 1 £ Cn. Ukážeme, že existuje prosté zobrazení co + 1 na oj. Víme, že
oj -f 1 = oj u {oj}. Položíme-li f(n) = n + 1 pro každé n < co a /(oj) = 0, potom
/je hledané prosté zobrazení.
Podobným způsobem se pro každý ordinál a > uj ukáže, že ct + 1 <£ Cn.
(d) Ukázali jsme, že každé kardinální číslo x > oj musí být limitním ordinálem.
Neplatí to naopak, každý limitní ordinál není kardinálním číslem. Například
oj + oj > oj a podle definice ordinálního součtu je oj-foj = oj.2^2.oj = oj.
Podobně se ukáže, že každý ordinál oj . n pro n < oj je spočetná množina a není
166

47
Kardinální čbla
II
kardinálním číslem. A můžeme jít ještě dál: z definice ordinálního součinu vyplývá,
že ordinál co . co = co2 je také spočetná množina, a indukcí se dá ukázat, že totéž
platí pro každý ordinál co", n < cd.
Víme, že cd03 je supremem spočetných ordinálu a/1, n < co. Není proto těžké
sestrojit prosté zobrazení co" do co x co a potom do co. To znamená, že co10 je také
spočetný ordinál. Podobně se ukáže, že
jsou spočetné ordinály a jejich supremum - ordinál £0 — je také spočetný
ordinál. ,
Závěr: Ukázali jsme, že každý ordinál a < co je kardinálním číslem, ale za
kardinálem co následuje velký interval ordinálních čísel, které nejsou kardinály. Později
uvidíme, že totéž platí pro každý nekonečný kardinál x.
4.5 Lemma. Je-li X množina kardinálních čísel, potom sup X je také kardinální
číslo. To znamená, že Cn je uzavřena na suprema.
Důkaz. V 1.12 jsme ukázali, že o = sup(X) = [JX eOn. Je třeba dokázat
implikaci
a < o -> a & o.
Nechť a je libovolný ordinál menší než o. To znamená, že ae\JX a a e x pro
nějaký kardinál xeX. Z tranzitivnosti množiny x dostáváme aczx^|JX = (T.
Přitom a # x, protože x e Cn. Podle Cantorovy a Bernsteinovy věty nemůže být
ani a % o.
4.6 Věta. (i) Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
(ii) Cn je vlastní třída.
Důkaz, (i) sporem. Předpokládejme, že x je největší kardinální číslo, potom pro
každé a > x existuje prosté zobrazení ordinálu a na x. Podle 4.3 pak existuje dobré
uspořádání množiny x podle typu a. Jsou-li ra, rp nějaká dobrá uspořádání množiny x
podle typů a > f$ > x, potom ra 4= f> protože ordinály a a /? nejsou izomorfní.
Každé uspořádání r2 množiny x podle typu a je podmnožinou x x x. Pro každé
a > x můžeme definovat množinu Ra e & &(x x x) všech uspořádání množiny x
podle typu a. Potence množiny je opět množina a podle předpokladu jsou množiny
K2, a > x neprázdné. Víme, že jsou po dvou disjunktní. Dostáváme tak prosté
zobrazení vlastní třídy On — x do množiny & 0>(x x x) a to je spor podle axiomu
nahrazení.
(ii) Kdyby Cn byla množina, podle lemmatu 4.5 by její supremum bylo největší
kardinální číslo a to je ve sporu s (i).
4.7 Definice. Následník kardinálu, limitní kardinál, (i) Je-li x e Cn, nejmenší
ze všech kardinálních čísel k > x nazveme následníkem kardinálu x a
označíme x + . Říkáme, že kardinál x je předchůdcem kardinálu k, je-li k = x + .
167

II
47
(ii) Říkáme, že kardinál Á je limitní, jestliže nemá předchůdce.
Je zřejmé, že pro každé přirozené číslo n platí n+ = n + 1, že co je nejmenší
limitní kardinál a co + je nejmenší nespočetné kardinální číslo.
4.8 Funkce K. Ukázali jsme, že Cn je vlastní třída, která je částí On. Je tedy dobře
uspořádána úzkou relací < dobrého uspořádání třídy On. Podle věty 2.11
existuje jednoznačně určená rostoucí ordinální funkce, která je izomorfismem tříd On
a Cn. Podle lemmatu 4.5 je to spojitá, tedy normální funkce. Na dolní množině
co u {co} však splývá s identitou, protože co u {co} ^ Cn.
Stejnou úvahu můžeme opakovat pro třídu Cn — co všech nekonečných
kardinálních čísel a dostáváme existenci normální funkce, která zobrazuje On na
Cn - co. To je zajímavější zobrazení, které pomocí důvěrně známých přirozených
čísel očísluje prvních co nekonečných kardinálů a vnáší jisté měřítko do světa
nekonečných mohutností. Vžilo se pro něj označení prvním písmenem N (alef)
hebrejské abecedy.
4.9 Označení. Jednoznačně určenou normální funkci, která zobrazuje On na třídu
všech nekonečných kardinálních čísel, označíme K (alef) a její hodnoty K(a)
označujeme krátce Na (alef alfa).
To znamená, že Ka označuje a-tý nekonečný kardinál, speciálně K0 = co, N1 =
= co+, K2 = co++ atd.
Je zřejmé, že K0 je limitní kardinál a že pro a > 0 je Xa izolovaný (limitní)
kardinál, právě když a je izolované (limitní) ordinální číslo.
Souběžně se pro kardinály Ka, oce On používá označení coa, speciálně co0 =
= co = K0, cOi = co+ = Kx,.... Označení coa se tradičně užívá v případech, kdy
máme na mysli dané kardinální číslo jako ordinál, tedy i s jeho dobrým uspořádáním.
Tato paralelní symbolika vznikla historickým vývojem, když se kardinální a
ordinální čísla definovala abstrakcí a symboly N7 a coa označovaly dvě různé třídy abstrakce.
Pro nás však Xa i co2 označují tutéž množinu.
4.10 Věta. Pro každé oce On a limitní ordinál í platí
(i) «<Na,
(ii) coa je limitní ordinál,
(iii) K? = sup{ťv,:a < č,} ,
(iv) K xK,| = N„
(v) 100*1 = tv
Důkaz, (i) podle věty 3.2, (ii) plyne z příkladu 4.4(c), (iii) ze spojitosti funkce X.
(iv) Dokazujeme indukcí podle a. Pro a = 0 jsme to dokázali v příkladu I.6.28(b).
Předpokládejme, že a > 0 a že (iv) platí pro každé [j < i. Maximo-lexikografické
uspořádání je podle věty 1.23 dobré uspořádání na coa x coa.
Existuje tedy právě jeden ordinál n, který je izomorfní s coa x coa při maximo-
lexikografickém uspořádání. Stačí, když ukážeme n = coa. Je zřejmé, že neplatí
168

4.13
Kardinální Číslu
II
rj < cja, protože a)a ^ coa x coa % 77, a ukážeme, že nemůže platit cox < r\. V
opačném případě by nějaká dvojice <y, (5)ea;a x coa musela mit coa předchůdců při
maximo-lexikografickém uspořádání. Ukážeme, že to není možné. Nechť C =
= max {>•,($} H- 1. Potom každý předchůdce dvojice <y, 5> je prvkem množiny
í x í, která má mohutnost menší než co2, protože c, < cox a |č| = co^ pro nějaké
f3 < <x. Ověřili jsme, že r\ = wa a že (iv) platí pro každé a.
(v) Připomeňme, že [Xj<aj je množina všech konečných podmnožin Ka, která
je dobře uspořádána relací o z definice 1.24. Dokazujeme indukcí podle x Pro
a = 0 užijeme výsledku příkladu I.6.28(c). Předpokládejme, že a > 0 a že tvrzení
platí pro každé ji < a. Je-li ^ ordinál, který je izomorfní s [N\J < " při uspořádáni <3,
snadno se nahlédne, že neplatí r\ < coa. Je-li x konečná podmnožina Ka a č, je její
největší prvek, každý předchůdce y množiny x v uspořádání o je podle věty 1.25
podmnožinou č> + 1- Přitom Z + 1 < coa, tedy |£ + l| = co^ pro nějaké j3 < a,
a podle indukčního předpokladu je jenom a)fi konečnýcn podmnožin ordinálu £ -f 1.
To znamená, že x má méně než a)a předchůdců, tedy neplatí ani cox < r\ a tvrzení
(v) je dokázáno.
4.11 Výpočty nebo odhady mohutností množin a systémů množin jsou často
podstatným krokem k řešení různých problémů. Předchozí věta v podstatě určuje
operace kardinálního součtu a součinu, které se používají pro výpočet mohutnosti
sjednocení a kartézského součinu dvou množin.
4.12 Definice. Součet a součin kardinálních čísel. Jsou-li x, X kardinální čísla, jejich
součet x + X a součin x . X definujeme vztahy
x + X = |({0} x k)u({1} x /)],
x.X = \X x x\.
To znamená, že x + X a x.X jsou kardinální čísla, která vyjadřují mohutnost
množiny na pravé straně rovnosti, na rozdíl od ordinálního součtu a součinu, který
určuje ordinální typ stejné množiny při lexikografickém uspořádání. Chceme-li
tento rozdíl zdůraznit, mluvíme o kardinálním součtu a součinu.
Snadno se nahlédne, že kardinální součet a součin jsou asociativní, komutativní
a distributivní operace. Jsou-li x, X přirozená čísla, kardinální součet a součin se
shodují s ordinálním součtem a součinem, protože co c= Cn.
4.13 Jsou-li x, y množiny ax,l kardinální čísla taková, že |xj = x a |>!| = A, potom
x . X = \y x x\ = |x x y\
a x + X je mohutnost disjunktního sjednocení ({0} x x) w ({l} x v) množin x, y.
Jsou-li x a y disjunktní množiny, platí
x + X — \x u y\ .
Z následující věty vyplývá, že tato rovnost platí pro libovolné množiny x, y, je-li
alespoň jedno z kardinálních čísel x, X nekonečné.
169

4.14 Věta. (i) Pro každé aJeOři platí
K + N/l = K* • K/J = maX {Na» K/J •
(ii) Jsou-íi x, A kardinální čísla a alespoň jedno z nich je nekonečné, potom
x + A = max {x, A} ,
x.A = max {x, A}, ;"e-/z x, A > 0 .
Důkaz, (i) Nechť x = max {Xa, X^}, potom podle 4.10(iv) dostáváme
x =^ ({0} x coj u ({l} x co^) ^^xío^ux^x.
Tvrzení (i) vyplývá z Cantorovy a Bernsteinovy věty. (ii) se dokazuje obdobně.
4.15 Příklad. Kardinální čísla a rozklady množin. Uvažujme kardinální číslo X0,
které je supremem kardinálních čísel Xn, n < co. Definujme množiny An, n < co
Aq ~ cúq ,
An = oon - U{/4k: k < n) pro každé n > 0 .
Podle předchozí věty pro každé n platí |/lj = Xn < Xu. Množiny An jsou po dvou
disjunktní a jejich sjednocením je kardinál Xu. To znamená, že kardinál X^ lze
rozložit na oj, tedy méně než Xu množin, z nichž každá má mohutnost menší než Xw.
Srovnejme to s kardinálem X0. Víme, že sjednocením konečně mnoha konečných
množin získáme jenom konečnou množinu. Kardinál X0 tedy nelze rozložit na menší
počet množin menší mohutnosti.
4.16 Ukázali jsme, že kardinály X0 a Xu mají vzhledem k rozkladům odlišné
vlastnosti. Dříve než zavedeme odpovídající pojmy regulárních a singulárních
kardinálů, povšimněme si, že rozklad K^ byl definován pomocí posloupnosti N„, n < co
se supremem Xu. Naproti tomu žádná konečná posloupnost přirozených čísel nemá
supremum X0. Začneme tedy oklikou a budeme studovat typy kofinálních
posloupností.
4.17 Definice. Kofinální množina. Nechtěje množina uspořádaná relací < . Říkáme,
že Y c= X je kofinální s X nebo že Y je kofinální podmnožinou X vzhledem k
uspořádání <, jestliže k libovolnému xeX exibiuje ye Y, x < y.
4.18 Je zřejmé, že kofinální podmnožina musí obsahovat každý maximální prvek
množiny X. Je-li x největší prvek množiny X, potom {x} je kofinální podmnožina X.
Snadno se ověří, že je-li Y kofinální s X a Z je kofinální s Y, potom Z je také
kofinální s X.
Pokud < není lineární uspořádání na X, může se stát, že žádná kofinální
podmnožina není lineárně uspořádaná. Stačí, když v X existuji alespoň dva maximální prvky,
ale není to nutná podmínka. Naproti tomu se dá ukázat, že je-li < lineární
uspořádání, potom existuje dobře uspořádaná kofinální podmnožina.
170

4 22
1\íd(hiujlni ( islu
II
4.19 Kofinální podmnožiny ordinálních čísel. Jeli y limitní ordinál a v ^ y. ze 4.17
vyplývá, že .v je kofinální s a, právě když sup v = 3. Přitom každá podmnožina
ordinálu cl je dobře uspořádána, má tedy jednoznačně určený ordinální typ. V mnoha
případech stačí uvažovat jen typy kofinálních podmnožin. Je zřejmé, že a > 0 je
izolovaný ordinál, právě když má kofinální podmnožinu uspořádanou podle
typu 1. V následující definici se proto omezíme jen na limitní ordinály.
4.20 Definice. Koflnál. Nechť a je limitní ordinál. Nejmenší ordinál /?, který je
typem uspořádání nějaké kofinální podmnožiny ordinálu a, nazveme kofinúlem a
a označíme cf (a).
Pro každé limitní a platí oj < cf(a) < a a cf(a) je limitní ordinál.
4.21 Příklady.
(a) cf(oj) = oj ,
cf(Xj = oj.
(b) cf (co + cd) = cf (co . oj) = cf (co"1) = oj ,
kde + a . označují ordinální součet a součin. Dokonce platí:
(c) Je-li a spočetný limitní ordinál, potom cf (a) = oj. Podle předpokladu existuje
prosté zobrazení/ oj na a. Sestrojíme rostoucí funkci g, která zobrazí oj na kofinální
podmnožinu a.
Položíme
a 3(0) = 0
g(n + 1) = max {f{n),g{n)} + 1 pro n > 0.
Zřejmě sup {g(n): n < co) = sup {f(n): n < oj} = a a indukcí se ověří, že g je
rostoucí funkce.
(d) Je-li a limitní ordinál, potom cf (Xj = cf (cc). Kardinál Xa je supremem
kardinálů X^, p < oc. Můžeme se omezit jen na kofinální podmnožiny sestávající
z kardinálních čísel. Stačí si uvědomit, že množina {X^jftex} je kofinální s Xa,
právě když x je kofinální podmnožina a.
4.22 Lemma. Pro každý limitní ordinál a platí
(i) cf(cf(a)) = cf(a),
(ii) cf(oc) je nekonečné kardinální číslo.
Důkaz, (i) Položme p = cf (cc) a y = cf (d(y)), tedy y < p. Podle definice kofi-
nálu existuje rostoucí funkce f, která zobrazuje p na kofinální podmnožinu a,
a rostoucí funkce </, která zobrazuje y na kofinální podmnožinu /). Potom lg
je rostoucí funkce, která zobrazuje y na kofinální podmnožinu a. Proto nemůže b\l
y <p.
(ii) Víme, že cf (a) je nekonečný ordinál. Kdyby cf (a) nebyl kardinálním číslem,
pak existuje kardinál x < cf(a) a prosté zobrazení / z x na cf(a). Položíme-li
g(P) = sup/[/3] pro každé P < x, potom g je neklesající funkce a Rng(g) je kofi-
171

II
4 22
nální podmnožina cf (a) uspořádaná podle nějakého typu y < x. Je-li h rostoucí
funkce, která zobrazuje cf(a) na kofmální podmnožinu a, potom /i[Rng(g)] je
kofmální podmnožina a, která je uspořádána podle typu y < x < cf(a). To je
ve sporu s definicí cf (a), proto cf (a) musí být kardinální číslo.
4.23 Definice. Regulární a singulární kardinály. Nechť x je nekonečné kardinální
číslo. Říkáme, že x je regulární kardinál, je-li cf(x) = x. Říkáme, že x je
singulární kardinál, je-li cf(x) < x.
4.24 Třída Cn obsahuje dvě disjunktní podtřídy regulárních a singulárních
kardinálů. Podle 4.21 je X0 regulární kardinál a Xw je singulární kardinál. Snadno se
nahlédne, že pro každé a > oj je Ka + G) singulární kardinál.
Podle 4.22 je kofinál limitního ordinálu vždy regulární kardinální číslo. Ptáme se,
zda existují regulární kardinální Čísla větší než N0. Ukážeme, že ano, pokud přijmeme
axiom výběru. Gitik (1979) ukázal, že tvrzení „N0 je jediný regulární kardinál" je
bezesporné s axiomy ZF. V takovém případě každý limitní ordinál a má kofmální
podmnožinu uspořádanou podle typu co.
4.25 Věta. Nekonečné kardinální číslo x je singulární, právě když x = [JX, kde
X je nějaká množina mohutnosti menší než x a (Vx e X) (\x\ < x).
Jinými slovy, kardinál x je singulární, právě když ho lze vyjádřit jako sumu méně
než x množin mohutnosti menší než x.
Důkaz. Je-li x singulární kardinál a X <= x je kofmální podmnožina x uspořádaná
podle typu d(x), potom \X\ = cf(x) < x a |.x| < x pro každé xeX. Navíc x =
= supX = [JX.
Naopak, předpokládejme, že x je regulární kardinál a že existuje množina X,
která vyhovuje tvrzení věty. Potom Y — (sup (x): x e X} je kofmální podmnožina x
a \Y\ < \X\ < x. To znamená, že x není regulární kardinál — spor.
Často se používá následující tvrzení:
4.26 Důsledek. Je-li x regulární kardinál a x = [JX, kde |x| < x, potom pro
nějaký prvek x e X platí \x\ = x.
Nyní ukážeme, že z axiomu výběru vyplývá, že regulární kardinály tvoří shora
neomezenou podtřídu Cn.
4.27 Lemma (AC). Nechť \X\ < Ka a nechť pro každé xeX je také \x\ < Xa.
Potom
Je zřejmé, že je-li nějaké x e X mohutnosti Ka, platí rovnost. Není to však nutná
podmínka.
Důkaz. Ukážeme, že [JX lze prostě zobrazit do . a>a x coa. Podle předpokladu
existuje prosté zobrazení /: X —► oja a pro každé x e X je množina cx všech prostých
zobrazení množiny x do coa neprázdná. Selektor na množině C = {cx:xgX}
172

4.32
Kardinální čísla
II
potom ke každému xeX vybere nějaké prosté zobrazení gx: x -» a>2. Prosté
zobrazení h: \JX -► ío2 x cd3 definujeme tak, že libovolnému ye[]X přiřadíme
hodnotu h(y) = <<5, gx(y)}> kde ó je nejmenší ordinál takový, že yex a f(x) — 6.
4.28 Věta (AC). Pro každý ordinál ot je Na+1 regulární kardinál
Důkaz sporem. Víme, že cf(Xa + 1) je kardinální číslo. Předpokládejme, že Ka+1 je
singulární kardinál, potom existuje kofinální podmnožina X a wJL + l mohutnosti
nejvýše frsa. Podle předchozího lemmatu dostáváme ||jx| < Na, protože |x| < Na
pro každé xeX. To je ve sporu s kofinalitou X, která tvrdí [JX = waM.
4.29 Nedosažitelné kardinály. Ukázali jsme, že v teorii množin s axiomem výběru
je každý nekonečný izolovaný kardinál regulární. Víme, že a) je limitní regulární
kardinál. Položme si otázku, zda existují limitní a regulární kardinály větší než oj.
Podle 4.21(d) takový kardinál musí být pevným bodem funkce N.Z věty 3.9 vyplývá,
že existují libovolně velké singulární kardinály, které jsou pevnými body funkce X.
Naše otázka tedy zní: existují regulární kardinály, které jsou pevným bodem funkce
K? Taková kardinální čísla si vysloužila označení nedosažitelná: zdola je nelze
dosáhnout ani přechodem k následujícímu kardinálu, ani supremem množiny menší
mohutnosti. Dnes se taková čísla nazývají slabě nedosažitelná.
4.30 Definice. Slabě nedosažitelné kardinály. Říkáme, že kardinální číslo x je
slabě nedosažitelné, je-li x nespočetný limitní a regulární kardinál.
4.31 Pojem slabě nedosažitelného kardinálu zavedl F. Hausdorff (1908). Teprve
mnohem později se ukázalo, že existenci takových kardinálních čísel nelze dokázat
z axiomů teorie množin (je-li bezesporná).
Existence slabě nedosažitelného kardinálu vyžaduje, aby dvě vlastnosti — regula-
rita a limitnost — spočetného kardinálu X0 platily i pro nějaké nespočetné
kardinální číslo. Tvrzení „existuje slabě nedosažitelné kardinální číslo" proto můžeme
chápat jako silnější formu axiomu nekonečna. Jak uvidíme později, je mnoho
problémů, které vedou k otázce, jak dlouhá je škála kardinálních čísel v teorii množin
a zda existují kardinální čísla s určitými vlastnostmi. Není-li existence takových čísel
dokazatelná v teorii množin (například proto, že jde o kardinální čísla větší než slabě
nedosažitelný kardinál), říkáme, že jde o „velké" kardinální číslo. Slabě
nedosažitelný kardinál je nejmenší z velkých kardinálů, kterým bude věnován § 5 kapitoly III.
4.32 Mohutnost potence množiny. Jaká je mohutnost různých systémů podmnožin
dané množiny a mohutnost její potence, to je jedna z otázek, se kterými se při
řešení různých problémů znovu a znovu setkáváme. Pro konečné množiny indukcí
podle n < oj dostáváme
\X\ = n^\&(X)\ = 2".
Jaká je však mohutnost &{X\ je-li X nekonečná? Je-li \x\ = xeCn, potom &(X) x
^ ^(x) a stačí určit mohutnost &(x). V analogii s konečnými množinami se
mohutnost šP(x) vyjadřuje jako kardinální mocnina 2*.
173

II
4.32
Ptejme se nejprve, jaká je mohutnost ^(co) a jaké mohou být mohutnosti systémů
mno/m přirozených čísel. Podle věty 1.6.42 má .^((o) stejnou mohutnost jako
množina U všech reálných čísel a uzavřený interval |_0, 1J c [R, ^{oj) má tedy mohutnost
kontinua. Ptáme-li se, jaké mohou být mohutnosti systémů S c ^(co), můžeme
stejně dobře zkoumat mohutnosti množin reálných čísel. Zjišťujeme, že pro jednoduše
definované nekonečné množiny reálných čísel nemáme mnoho na vybranou: takové
množiny jsou buď spočetné, nebo mají mohutnost kontinua.
4.33 Mohutnosti otevřených a uzavřených množin reálných čísel. Snadno se nahlédne,
že libovolné dva uzavřené netriviální intervaly lze na sebe zobrazit prostým
(lineárním) zobrazením. To znamená, že každý netriviální interval má mohutnost kontinua
a totéž platí pro každý neprázdný otevřený interval. Proto i každá neprázdná
otevřená množina má mohutnost kontinua.
Víme, že každá konečná množina reálných čísel je uzavřená a prostá konvergentní
posloupnost spolu s limitou je příkladem spočetné uzavřené množiny. Uzavřené
množiny reálných čísel mohou nabývat všech mohutnosti x < cd. Ukážeme, že
každá nespočetná uzavřená množina reálných čísel má mohutnost kontinua. Nejprve
vyšetříme speciální případ perfektní množiny. Připomeňme, že X c U je perfektní
množina, je-li neprázdná, uzavřená a nemá žádné izolované body.
4.34 Lemma. Každá perfektní množina reálných čísel má mohutnost kontinua.
Důkaz. Víme, že množina Q všech racionálních čísel je spočetná a hustá v IR. Z toho
plyne, že množina všech uzavřených intervalů s racionálními konci je také spočetná.
Budeme uvažovat jen takové intervaly, jejichž koncové body jsou různé, a množinu
všech takových intervalů označímu U.
Nechť P je libovolná perfektní množina. Víme, že P musí mít více než
jeden bod, nechť pQ,p^eP jsou dva různé body. Nechť Iq,IxeU jsou
disjunktní intervaly takové, že p0el0, px e /t a PQ = P n /0, P{ = P n /1 jsou
dvě disjunktní perfektní podmnožiny P. Nyní můžeme stejný postup opakovat
s každou z nich. Sestrojíme disjunktní intervaly I00,I01eU a perfektní
podmnožiny P0o,Poí — ^o a podobně pro množinu PY sestrojíme intervaly /10, III
a perfektní podmnožiny Pl0lPií £= P. Je zřejmé, že pro libovolnou konečnou
posloupnost nul a jedniček oe<"2 sestrojíme interval la a perfektní
množinu Pa = P r\ la tak, že pro libovolné dvě různé posloupnosti cr, q stejné
délky jsou Ia a Ig disjunktní. Přitom můžeme požadovat, aby délka intervalů lg
s rostoucí délkou posloupnosti a klesala k nule.
Je-li se03! nekonečná posloupnost nul a jedniček, potom podle principu
vložených intervalů (1.8.26) je [\{Pa'G £! s&ae <a>2} jednobodová podmnožina
perfektní množiny P. Přitom dvěma různým nekonečným posloupnostem odpovídají
dva různé prvky množiny P. To znamená, že P má také mohutnost kontinua, protože
"2 « U.
4.35 Věta (Cantor, Bendixson). Každá nespočetná uzavřená množina reálných čísel
obsahuje perfektní podmnožinu.
174

4 36
Kardinální čísla
II
Důkaz. Nechť C je libovolná nespočetná uzavřená množina reálných čísel.
Spočetnou množinu všech neprázdných otevřených intervalů s racionálními mezemi
označíme (7. Rekurzí podle ct < col konstruujeme uzavřené množiny Cx g: C.
Položíme C0 = C a je-li již sestrojena uzavřená množina Ca, Ca^l vznikne z Ca
vypuštěním všech izolovaných bodů. Protože každý izolovaný bod xeCa můžeme
oddělit od zbytku množiny Ca nějakým intervalem z [/, Ca — Cr + x je nejvýše
spočetná množina. Je zřejmé, že Ca+1 je také nespočetná uzavřená množina. Je-li
{ < col limitní ordinál a všechny množiny Ca, a < £ již byly sestrojeny, položíme
Q = n(Q:a < í}- P°tom i Q Je nespočetná a uzavřená.
Uvědomme si, že každý bod xeC — Ca lze oddělit od Ca nějakým intervalem
z U tak, že dvěma různým bodům přiřadíme dva různé intervaly. Přitom U je
spočetná množina a col je nespočetný kardinál. Existuje tedy a < col takové, že Ca =
= Ca+1. To znamená, že Ca je perfektní podmnožina množiny C.
4.36 Ukázali jsme, že každá nespočetná uzavřená množina reálných čísel obsahuje
perfektní podmnožinu, má tedy mohutnost kontinua. Dokázali jsme o trochu více,
že každou nespočetnou uzavřenou množinu reálných čísel lze jednoznačně rozložit
na perfektní množinu a nejvýše spočetnou rozptýlenou množinu. Připomeňme, že X
je rozptýlená množina, jestliže každá její neprázdná podmnožina obsahuje izolovaný
bod. V našem případě je Ca = C2 + j perfektní podmnožina C a snadno se nahlédne,
že C — Ca je rozptýlená.
Víme, že nekonečné otevřené nebo uzavřené množiny reálných čísel jsou buď
spočetné, nebo musí mít mohutnost kontinua. Dá se ukázat, že stejné tvrzení platí i pro
všechny Borelovské množiny a pro všechny analytické množiny na reálné přímce.
Tyto výsledky naznačují, že mezi K0 a mohutností kontinua již není žádná „střední"
mohutnost. Toto tvrzení vyslovil Cantor jako domněnku již v roce 1878, která se
stala známá jako hypotéza kontinua (CH). Cantor ji formuloval v následujícím tvaru:
(CH) 2*° = Kt .
Protože ani pozdější výsledky o mohutnostech Borelovských a analytických množin
nebyly s hypotézou kontinua ve sporu, nelze se divit, že se Cantor a po něm mnoho
dalších po léta snažili tuto domněnku dokázat. V roce 1908 vyslovil F. Hausdorff
takzvanou zobecněnou hypotézu kontinua (GCH) ve tvaru
(GCH) (Va)(2*- = N,+ 1).
Připomeňme, že 2Kat je mohutnost &(ooa). Zobecněná hypotéza kontinua tvrdí, že
každá taková potence má za mohutnost kardinální číslo, to znamená, že každou
množinu ^(coj lze dobře uspořádat. A. H. Kruše a H. Rubin dokázali v roce 1960,
že zobecněná hypotéza kontinua implikuje axiom výběru.
175

§ 5 Kardinální aritmetika
Známe již součet a součin kardinálních čísel a víme, že se v oboru nekonečných
kardinálů redukují na maximum z obou argumentů. Zavedeme mocniny kardinálů,
součty a součiny souborů kardinálních čísel, které jsou nezbytné pro výpočty
mohutností různých matematických struktur, to znamená systémů množin a zobrazení.
Seznámíme se s vlastnostmi kardinální funkce 2*, která určuje mohutnosti
^(x), a xA, která určuje mohutnost množiny všech zobrazení z k do x, a s jejich
vztahem k funkci gimel. Ukážeme, že zobecněná hypotéza kontinua (GCH), která
předepisuje hodnoty 2Na, radikálně zjednodušuje i průběh mocniny a funkce gimel.
Podobný vliv na průběh zmíněných kardinálních funkcí má hypotéza singulárních
kardinálů (SCH).
Axiomy teorie množin připouštějí velkou volnost pro hodnoty T na regulárních
kardinálech. Pro singulární x však hodnoty 2* závisí na hodnotách 2A pro k < x.
Na závěr vyslovíme Silverovu větu (1974), která je podstatným krokem řešení
problému singulárních kardinálů, a větu Shelahovu (1982), která dává horní odhad
pro hodnoty 2* na singulárních kardinálech. V celém oddílu budeme předpokládat
axiom výběru. Každá množina je tedy ekvivalentní s právě jedním kardinálním
číslem, které vyjadřuje její mohutnost.
5.1 Mohutnosti množin zobrazení. Připomeňme, že ba je množina všech zobrazení
množiny b do a. Speciálně, je-li a = {0, 1} = 2, potom h2 je množina všech
charakteristických funkcí podmnožin c ^ b. Jsou-li x. k kardinální čísla taková, že
\a\ = x a |b| = /, potom množiny ba a Ay. mají stejnou mohutnost podle 1.5.53.
Stačí tedy zkoumat mohutnost množiny /-x.
5.2 Definice. Kardinální mocnina x\ Jsou-li x, k kardinální čísla, kardinální
mocninu xx definujeme vztahem ; i; i
J x = I x|
jako kardinální číslo, které je mohutností množiny všech zobrazení / do x.
5.3 Z definice součtu a součinu kardinálních čísel a z 1.5.52 a 1.6.32 pro libovolné
kardinály x, Á, ^, v dostáváme
176

5 5
Kiiuhnáhií ar i(n\clika
II
(i) 2* = |^(*)|>x,
(ii) (O * x < /* & /. < v) -> x' < fC ,
(iii) x«^> = x".x\
(iv) (x*y = 7ť-\
Jsou-li x, X přirozená čísla, indukcí podle X se dokáže, že kardinální mocnina xx se
rovná odpovídající ordinální mocnině. Na přirozených číslech tedy splývají operace
kardinální a ordinální mocniny. Není těžké vypočítat hodnoty xx v případech, kdy
alespoň jeden z argumentů je přirozené číslo.
5.4 Věta. Pro libovolná kardinální čísla x, X platí
(i) 0° = 1,
X =(= 0 - 0X = 0,
(ii) x° = l,
1A = 1 ,
(iii) (x > oj &. 0 < X < cd) -> xx = x ,
(iv) (2 < x < A & A > <u) -> xA = 2A.
Důkaz, (iii) se dokáže indukcí podle / s použitím 4.10(iv). (iv) Je-li fexx, potom
fe&{X x x), a podle předpokladu je \X x x| = X. Dostáváme
2X <xx = \xx\ < \&(X x x)\ = \0>(X)\ = 2X.
5.5 Příklady. Množiny reálných čísel a spojité funkce. Množina reálných čísel R
a &(a)) mají stejnou nespočetnou mohutnost 2", říkáme jí mohutnost kontinua.
Hustá množina Q všech racionálních čísel je spočetná.
(a) Mohutnost množiny 0(U) všech otevřených množin na U. Uvažujme nejprve
množinu [R]2 všech dvouprvkových množin reálných čísel. Snadno se nahlédne,
že [R]2 = 2", protože
2W < |[R]2| < |R x U\ = 2W . 2" = 2" .
To znamená, že množina /(R) všech neprázdných otevřených intervalů na reálné
přímce má také mohutnost kontinua. Přitom každá neprázdná otevřená množina
je sjednocením spočetného souboru intervalů z /(IR). Dostáváme nerovnosti
2W = \l(U)\ < \0(U)\ < \"I(U)\ = (2")° = l™ = 2U,
odtud plyne |0(R)| = 2U .
Systém všech otevřených množin na reálné přímce má mohutnost kontinua a každá
uzavřená množina je doplňkem právě jedné otevřené množiny. To znamená, že systém
všech uzavřených množin na reálné přímce má také mohutnost kontinua.
(b) Mohutnost množiny C(U) všech spojitých reálných funkcí. Označme C(U)
množinu všech spojitých funkcí /: R -> R a položme si otázku, zda existuje reálná
funkce g, jejíž graf má neprázdný průnik s grafem každé spojité funkce feC(U).
177

II
5 5
Mohutnost množiny C(U) dává klíč k řešení problému. Víme, že každá spojitá
funkce /eC((R) je jednoznačně určena svými hodnotami v racionálních bodech.
Víme také, že každá konstanta ce R je spojitá funkce. Shrnutím dostáváme
20J = \U\ < \C(U)\ < 15iR| - (2°)" = T .
To znamená, že existuje prosté zobrazení, které každému reálnému číslu r přiřazuje
právě jednu funkci fr e C(U) tak, že soubor
(1) <fr:rsU}
obsahuje všechny funkce z C(U). Položíme-li
g(r) = fr(r) pro každé relR,
je zřejmé, že g je hledaná funkce, jejíž graf protíná graf každé / e C(U). Povšimněme
si, že funkce g byla sestrojena diagonalizací souboru (l), který indexuje spojité funkce
reálnými čísly. Není těžké nahlédnout, že g není prvkem C(U).
5.6 Mohutnosti sjednocení a součinů souborů množin. Je-li (X{: i e 1} soubor
množin s indexovou množinou /, ptejme se, jaká je mohutnost sjednocení
X = \JX,.
iel
Stejně jako u sjednocení dvou množin zkoumáme nejprve případ, kdy jsou množiny
Xt po dvou disjunktní. Potom ke každému xeX existuje právě jeden index i e /
takový, že xeXr Nechť xt- jsou kardinální čísla taková, že \X\ = x( pro každé
ie/. Na rozdíl od množin X{ nemusí být kardinální čísla x{ po dvou disjunktní
množiny. Vhodným protějškem množiny X je tedy disjunktní sjednocení
* = U(W **,-)•
iel
Ukážeme, že existuje prosté zobrazení množiny X na K. Axiom výběru zaručuje
existenci souboru <yj:iG/>, kde / je prosté zobrazení X{ na x{. Přiřadíme-li
každému xgX dvojici <í,/(x)>, kde i je jednoznačně určený index takový', že
x 6 Xi9 dostáváme prosté zobrazení X na K. Stačí tedy určit mohutnost množiny K.
Podobným způsobem se pomocí zobrazení f{ sestrojí prosté zobrazení
kartézského součinu X^í na součin Xx<- Mohutnost kartézského součinu množin je stejná
jako mohutnost odpovídajícího součinu kardinálních čísel.
5.7 Definice. Součet a součin souboru kardinálních čísel. Nechť (xl: i e f) je
soubor kardinálních čísel. Jeho součet
5>. = IU({í} x «,)l
iel iel
definujeme jako mohutnost disjunktního sjednocení kardinálů xt a součin
n*. = ix*,i
iel iel
178

5 10 Kanhnálni aritmetika \{
definujeme jako mohutnost kartézského součinu kardinálu xr Speciálně, je-li
xt - x pro každé iel a |/| = X, potom
!>« = *'■
iel
5.8 Něco nového přináší jen případ, kdy / je nekonečná množina. Součet
a součin konečného souboru kardinálů lze vyjádřit pomocí operací součtu a
součinu dvou kardinálních čísel.
Snadno se nahlédne, že součet a součin souboru kardinálů se permutací indexů
nemění. Jsou-li X{ kardinální čísla taková, že v,x < ki pro každé íe/, potom
iel iel
a je-li J c / potom také v- v-
ieJ iel
Podobné nerovnosti platí i pro součiny. Jsou-li X{ libovolné množiny takové, že
y.{ = \Xi\ pro každé i e /, potom
ie/ iel
Jsou-li navíc množiny X{ po dvou disjunktní, platí rovnost. Není to však nutná
podmínka.
5.9 Definice. Množiny [X]A a [^]<A. Je-li X množina a X kardinální číslo,
definujeme
[X]x = {*:*<= X&\x\ = a},
[X]<x = {x:xc X&\x\ < X}.
Obě množiny jsou částí 3?{X\ \X~Y sestává z podmnožin mohutnosti X a [X]<A
sestává ze všech podmnožin mohutnosti menší než X. Speciálně [X]<ř,) je množina
všech konečných podmnožin X, kterou jsme definovali již v první kapitole.
Povšimněme si, že pro X > \X\ dostáváme [X]<x = &(X) a [x]x = 0.
5.10 Lemma. Nechť X je množina mohutnosti x a X je kardinální číslo. Potom
(i) \[xf\ =x\ je-li / <x,
(ii) \[xyx\ = ^ť, je-li X < yS .
Důkaz, (i) Je zřejmé, že mohutnost [X]x závisí jenom na x a /. Můžeme
předpokládat, že X = x. Pro libovolnou množinu xe[x]A existuje zobrazení fsxx
takové, že x = Rng (/). Pomocí axiomu výběru každému x e [x]x přiřadíme
právě jedno takové zobrazení fx. Dostáváme tak prosté zobrazení [x]x do xx.
Abychom dokázali obrácenou nerovnost, uvědomme si, že každé zobrazení fexx
je prvkem \_X x x]x. Shrnutím obou faktů dostáváme
179

II
5 10
y} < \[X x x]A\ = |[x]A| < x\
(ii) plyne z (i) a z toho, že množiny [X]*\ \i < X jsou po dvou disjunktní.
5.11 Definice. Slabá mocnina x<J\ Pro libovolné kardinály x, X definujeme
kde na pravé straně sčítáme přes kardinální čísla menší než X. Říkáme, že x<x je
slabá mocnina kardinálů x, X.
5.12 Lemma. Nechť x-, ieí jsou nenulová kardinální čísla, Je-li \l\ nebo některé
z xi nekonečné kardinální číslo, potom
X>i = max(j/|,sup{x,:ie/}).
ir.I
Důkaz. Nechť x — sup x.v Podle 5.8 je Yj*i ^ y- a protože všechna xi jsou
nenulová, dostáváme stejnou nerovnost pro |/|. Abychom dokázali obrácenou
nerovnost, uvědomme si, že disjunktní sjednocení \J({i} x x) lze prostě zobrazit
do / x x.
5.13 Důsledek, (i) Jsou-li Xt množiny takové, že pro každé ieí je \X(\ = x-0
a sup {xr. ie /} je nekonečný kardinál větší nebo rovný |/|, pofo/M
HJXj = Slip folie/} = Jfo.
(ii) Kardinál x je singulární, právě když existují kardinály X < x a xt < x
pro i < X takové, že
X = £fo.
i'< X
5.14 Lemma. Je-li xi > 2 pro každé ieí, potom
Důkaz. Je-li / nejvýše dvouprvková množina, není těžké tvrzení ověřit.
Předpokládejme, že |/| > 2. Sestrojíme prosté zobrazení disjunktní sumy \J({i} x x;) = D
do X^, = K. Podle předpokladu jsou nula i jednička prvkem každého
kardinálu x-r Každé dvojici <j, a> e D chceme přiřadit zobrazení fjaeK. Pro libovolné
jsi a a < xi položíme
'1, je-li i^j,
(0, je-h í - j ,
a pro a > 0
[0, je-li i^j
fjÁi) = , . .. . .
a, je-h 1=7.
180

5 18 Kardinální aritmetika
Snadno se nahlédne, že je to prosté zobrazeni množiny D do K. Tim je nerovnost
dokázána.
5.15 Věta. Konigova nerovnost. Jsou-li xv áí kardinální čísla taková, že xi < A(
pro každé iel, /=*=(), polom
Ix,<m.
íe/ ie/
Důkaz. Je zřejmé, že všechna Af jsou nenulová kardinálni čísla. Je-li pro nějaké
jel Xj = 1, potom všechny funkce /eX^-í nabývají v bodě; téže hodnoty. Vy-
pustíme-li index j, mohutnost součinu se nezmění. Stejně tak můžeme vypustit člen
Xj = 0 na druhé straně nerovnosti. Můžeme tedy předpokládat, že A(. > 2 pro každé
iel, a podle lemmatu 5.14 dostáváme Yjxi < ^Ař < P]Ar
Předpokládejme na chvíli, že platí rovnost. To znamená, že existuje soubor
(X^.ieO po dvou disjunktních množin takový, že |X(.| = x. pro každé iel
a {JX{ = X^i- Diagonální metodou sestrojíme funkci g e X^í> která není prvkem
žádné z množin X{. Pro každé iel nechť ^ = {/(í):/e X]. Potom |]<| < \x\ =
= xl < Ái a funkce z X{ svými hodnotami v bodě i nemohou vyčerpat /L. Položíme-li
g(() = min (A,. - i;) pro ie/,
potom g e X^r' a^e neru' prvkem žádné množiny X{ — spor. Platí tedy ostrá
nerovnost.
5.16 Konigova věta je zobecněním Cantorovy věty 1.6.32 o mohutnosti potenční
množiny. Je-li |/| = x a pro každé i e I je x. = 1 a Af = 2, z Konigovy nerovnosti
dostáváme x < 2*. Navíc platí:
5.17 Důsledek. Jsou-li x, A kardinální čísla taková, že x > 2 a A > co, potom
(0 cf(2i) >i,
(ii) d{xl)>).,
(ni) icf(A) >A.
Důkaz, (i) je speciálním případem (ii). Je-li <x,: í < A> posloupnost kardinálních
čísel menších než x\ z Konigovy nerovnosti dostáváme
í < A t < A
To znamená, že každá kofinální podmnožina kardinálu xA musí mít mohutnost
větší než A. (iii) Nechť A = £A;, kde '*; Jsou kardinály takové, že Ař < A platí
pro každé i < cf (A). Z Konigovy nerovnosti dostáváme
x= i a,. < n x = ;-cf(;) •
Kcf(A) Kcf(A)
5.18 Funkce 2X*. Shrneme-li vše, co jsme o mocninách 2N* zatím dokázali, jsou to
následující nerovnosti:
181

II
•5 18
(2) a < p -> 2** < 2**,
2*- > Xa,
cf(2«-)>Na.
Budeme-li předpokládat, že pro hodnoty 2Ka platí
(H) (Va)(2«- = XIT2),
vidíme, že tato hypotéza vyhovuje nerovnostem (2) stejně dobře jako zobecněná
hypotéza kontinua (GCH). To znamená, že uvedené nerovnosti neurčují hodnotu
2N* ani v jediném speciálním případě.
K. Godel (1939) dokázal, že zobecněná hypotéza kontinua je bezesporná
vzhledem k axiomům teorie množin. Můžeme tedy předpokládat, že 2Ko = X^
P. Cohen (1963) ukázal, že hypotéza kontinua je nezávislá na axiomech teorie množin:
je bezesporné předpokládat, že 2No je X2 nebo něco jiného. Mohutnost kontinua
tedy není jednoznačně určena axiomy teorie množin. W. Easton (1970) ukázal, že
nerovnosti (2) jsou vše, co lze z axiomů dokázat o hodnotách 2Ka pro regulární Ka.
H. Woodin (1981) dokázal, že i hypotéza (H) je bezesporná vzhledem k axiomům
teorie množin, předpokládáme-li že existence superkompaktního kardinálu je
bezesporná s axiomy teorie množin.
Nyní se budeme zabývat hodnotami T pro singulární kardinály x.
5.19 Lemma. Je-li x limitní kardinál, potom
9* _ (2<x)cf<*>
Důkaz. Jednoduchým výpočtem dostáváme
Í2<x)cf(x) < 2x,cf^1 = 2*
Přitom 2<x je mohutnost množiny všech shora omezených podmnožin limitního
kardinálu x. K důkazu opačné nerovnosti stačí ukázat, že libovolná podmnožina
X <= x je jednoznačně určena jistou posloupností (X3:ot < cf(x)> omezených
podmnožin. Nechť (,xa:a < cf(x)> je rostouc! posloupnost kardinálních čísel se
supremem x. Libovolné podmnožině X ^ x přiřadíme posloupnost množin Xa =
= X n xa pro a < d(x). Je zřejmé, že jsou-li X, Y dvě různé podmnožiny
kardinálu x, jim přiřazené posloupnosti se musí lišit ve všech členech od jistého počínaje.
5.20 Definice. Funkce gimel. Pro libovolný nekonečný kardinál x definujeme
funkci
'/(*) = *c"".
kterou nazýváme gimel. Je to kardinální funkce, která zobrazuje třídu všech
nekonečných kardinálních čísel do Cn. Vime, že p(x) > x, a z Kónigovy nerovnosti
také plyne cí(^(x)) > cf(x), speciálně cf(^(x))"> X0 pro každj/ nekonečný kar-"
dinál x.
182

5 23
Kardinální aritmetika
II
5.21 Věta. Průběh funkce 2S\ (i) Je-li Xa regulární kardinál, polom
(ii) (Bukovský) Je-li Ka singulární kardinál, mohou nastat dva případy: (a) Existuje
P < ct. tak. že pro každý ordinál y v intervalu fí < y < oc platí 2*y = 2*p, potom
(b) Ke každému /? < oc existuje y, j3 < >' < a takové, že 2N/? < 2**v. Potom
2«- = ^(2<K«).
Důkaz, (i) Pro regulární Xa je ^(ttj = Na* = 2Na. K důkazu (ii) použijeme
lemmatu 5.19. Je-li splněn předpoklad tvrzení (a), potom 2<N* = 2X/\ a můžeme
předpokládat, že cf (Ka) < K^ < Xa. Podle 5.19 dostáváme
2^* = (2N^)cf(Na) = 2N/} = 2<^a
Je-li splněn předpoklad tvrzení (b), potom 2<Nof je limitní kardinál, a cf(2<K") =
= cf (Xj. Tvrzení plyne z lemmatu 5.19.
5.22 Funkce ^ a 2N\ (i) Předpokládejme, že Xa je singulární kardinál, který'
splňuje podmínku (ii)(a) z předchozí věty, potom z Kónigovy nerovnosti dostáváme
cf (2<x°) > Xv pro každé y < a .
Stejná nerovnost platí i pro y — a, protože na levé straně je regulární kardinál.
Víme, že v případě (b) je cf (2<K") = cf (Nx) < N\. To znamená, že 2Xa nabývá
nejmenší možné hodnoty vzhledem k 2N", /i < a, pokud je splněna podmínka
cf(2**) > Ka. Jinak 2K" = Á2<H
(ii) Všechny hodnoty 2N3 jsou jednoznačně určeny průběhem funkce g-. Ve dvou
případech je to explicitně vyjádřeno v předchozí větě. Zbývá případ (ii)(á). Je-li \<p
nejmenší kardinál takový, že 2N/3 = 2Na, potom buď je N^ regulární, nebo K^ je
singulární a musí splňovat předpoklady tvrzení (ii)(b). V obou případech dostáváme
2N" = ?(K,).
5.23 Singulární kardinály a GCH. V 5.18 jsme konstatovali, že hodnoty 2N* pro
regulární Ka nejsou jednoznačně určeny axiomy teorie množin. Dá se ukázat, že
kterýkoli rozumně definovaný regulární kardinál Xa, například
Ko>Ki>Nioo»Nu+i'No, + i ^
může být první, na kterém se poruší zobecněná hypotéza kontinua, to znamená, že
2Ka > Na+1 a 2N/) = X^ + 1 pro každé fí < ol.
Otázka, zda hypotéza kontinua může být poprvé porušena na singulárním
kardinálu, zůstala dlouho otevřená. Silver (1974) dal negativní odpověď pro singulární
kardinály s nespočetnou kofinalitou. Pro singulární kardinály se spočetnou kofi-
183

II
5 23
nalitou ukázal Magidor (1977), že tvrzení 2Noj = Ku + 2 a 2Kn = X„+l pro každé
přirozené n je bezesporné s axiomy teorie množin, pokud je bezesporné
předpokládat, že existuje jistá dvojice velkých kardinálních čísel.
V Silverově výsledku jde o speciální horní odhad mohutnosti 2*° pro singulární
Ka, jestliže 2*p = \$fi+x pro každé /? < a. Galvin a Hajnal (1975) dali horní
odhad mohutnosti 2Ka za slabších předpokladů, je-li Ka silně limitní singulární
kardinál s nespočetnou kofmalitou. Shelah (1982) dokázal, že stejný odhad platí
pro všechny silně limitní singulární kardinály (5.25).
5.24 Věta (Silver). Je-li Xa singulární kardinál takový, že cf(Nj > co, a pro každé
P < a. platí 2K/? = X^+1, polom také 2Ka = Na+1.
Důkaz Silverovy věty využívá vlastnosti stacionárních množin. Provedeme jej
v III.2.29.
5.25 Definice. Silně limitní kardinální čísla. Říkáme, že kardinální číslo x je
silně limitní, jestliže pro každý kardinál X < x platí 2A < x.
Je zřejmé, že co je silně limitní kardinál a že každé silně limitní kardinální číslo je
limitní. Dá se ukázat, že ke každému kardinálu X existuje silně limitní singulární
kardinál x > X.
5.26 Věta (Galvin, Hajnal, Shelah). Je-li N\ silně limitní singulární kardinál, potom
Navíc, je-li a = /? -f- >' a y =f= 0, potom
Speciálně, jsou-li Xw a Xmi + W silně limitní kardinály, dostáváme
a
Z <■ \, + (2**°) -
Důkaz věty přesahuje rámec této knihy (Shelah 1982).
5.27 Vlastnosti funkce X^. Jsou-li x, X nekonečná kardinální čísla a x < X, potom
xx = 2l podle 5.4. Je-li naopak /. < x, podle 5.10 je xx — |[x]A|. Je-li navíc
X < cf (x), potom každá podmnožina X ^ x mohutnosti X je shora omezená
nějakým ordinálem c < x. Proto
(3) M;-=U[cT-
Pro případ cf(x) < X < x dostáváme:
184

5 29
Kardinální aritmetika
II
5.28 Lemma. Je-li X2 limitní kardinál a cf (Xj < X^, potom
Dw/caz. Nechť
A= \Jv»wy
je množina všech zobrazení cl^ do coa, jejichž hodnoty jsou shora omezeny nějakým
kardinálem x < coa. Podle 5.8 je \a\ < £X^. Přitom X*" je mohutnost množiny
všech zobrazení /: a^ -» oja. Ukážeme, že každé takové zobrazení je jednoznačně
určeno jistou posloupností zobrazení z A.
Nechť (x^.č, < cf(Xa)> je rostoucí posloupnost kardinálních čísel, která je ko-
finální s Xa. Je-li/zobrazení cop do cl>3 a c < cf (Xj, nechť f^ je zobrazení co^ dox^+1
definované vztahem f^S) = min (f(S), x^) pro každé ó < Op. Je zřejmé, že
posloupnost </*: C < cf (Xj> jednoznačně určuje zobrazení / To znamená, že X*" <
— (X)"v^)cf(Na)- Majorizujeme-li každý člen sumy kardinálem X*", dostáváme
opačnou nerovnost.
5.29 Věta. Pro mocniny X*'1 platí následující tvrzení:
(i) Je-li ot < p, potom X*" = 2*^.
(ii) (Hausdorfí) Je-li a = y + l, potom
(iii) (Tarski) Je-li a limitní a X^ < cf(Xj, potom
K" = Z Kfi ■
(iv) (Bukovský) Je-li cf (Xj < X^ < Xa, mohou nastat dva případy:
(a) Existuje y < a takové, že X^ = X*" pro každé S, y < ó < a, potom
X^ = X^ .
(b) Pro každé y < a existuje <5, y < ó < <x takové, že X^ < X^, potom
Důkaz, (ii) a (iii) jsou důsledkem (3): předpokládejme, že ji < y. = y + 1. Pro
každý ordinál c takový, že coy < ; < co^1? je |[c]K"| = K^. Podle (3) a 5.12
dostáváme
v** < x XN^
Opačná nerovnost je zřejmá. Snadno se ověří, že vzorec (ii) platí i pro a < /?.
(iii) Je-li a limitní a X^ < cf (Xj, z (3) dostáváme X* * < £X* *. Obrácená nerovnost
plyne z 5.12 a z monotónnosti mocnin, (iv) Splňuje-li y < a podmínku tvrzení (a),
potom pro každé ó < z platí Xá < X*" < K^'\ tedy také Xa < X*". Odtud
dostáváme
185

II
5 29
(4) X?" < N*> < (N.^)*' = X^ .
Je-li splněna podmínka tvrzení (b), potom cf(Xt) = cf(X3) a tvrzení plyne
z lemmatu 5.28.
5.30 Důsledek. Induktivní výpočet Xí^. Pro libovolné a a pevné f> platí:
(i) Existuje-li kardinál x < Xa takový, že x*p > Xa, potom X*" = x*p. Speciálně.
je-li a < 0, dostáváme X*' = 2*'.
(ii) Je-/z xK^ < Xa pro /caždý kardinál x < Xa, potom
[Xf^, po/cud cf (Xa) < X^ < Xa.
Důkaz, (i) Je-li * < Xa kardinál takový, že xK" > Xa, potom v nerovnosti (4)
můžeme všude nahradit Xy kardinálem x a dostáváme X** = x*0.
(ii) Uvažujme nejprve případ a = y + 1. Potom nutně \sp < cf (Xa) = X3
a podle HausdoríTovy formule dostáváme Xí^ = X2. X\^ = Xa. Je-li a limitní ordi-
nál, podle předpokladu je v xX
y <a
a tvrzení plyne z 5.29(iii) a (iv)(b).
5.31 Funkce X^ a g. Mocnina X^ nabývá vždy některé z následujících hodnot Xa,
2N/}, ^(Xy) pro nějaké y < a. Dokážeme to indukcí podle a. Pro a = 0
a libovolné ft dostáváme X^ = 2^. Předpokládejme, že a > 0 a že tvrzení platí
pro každé y <<x a libovolné /?. Rozebereme případy (i) a (ii) z 5.30. V prvním
existuje ó < a takové, že X*" = X^, a tvrzení plyne z indukčního předpokladu.
Ve druhém případě není co dokazovat.
Víme, že hodnoty 2Nfl jsou jednoznačně určeny průběhem funkce g. Odtud plyne,
že totéž platí i pro hodnoty X^. Naopak z definice funkce g. je zřejmé, že její hodnoty
jsou jednoznačně určeny průběhem mocniny X^\ Magidor (1977) ukázal, že hodnoty
funkce^ nejsou jednoznačně určeny průběhem funkce 2S\ je-li existence superkom-
paktního kardinálu bezesporná s axiomy teorie množin.
Přijmeme-li zobecněnou hypotézu kontinua (GCH) jako další axiom, potom
^(Xa) = Xa+I pro každé a a výpočet X^ se radikálně zjednoduší.
5.32 Důsledek (GCH). Pro libovolné ordinály a, /? platí
K«e =
X3, je-li K^cfíXj,
Xa,1? je-li cf(Xa)<X, <Xa
Xp+li je-li x<p.
5.33 Hypotéza singulárních kardinálů. Zobecněná hypotéza kontinua předepisuje
hodnoty 2X = x+ pro všechny nekonečné kardinály. Tím daleko překračuje to,
co lze odvodit z axiomů, které ponechávají jistou volnost hodnotám 2* pro regulár-

5 34 Koiílinulni unimciika
ní x. Solovay (1974) vyslovil hypotézu singulárních kardinálů (SCH), která určuje
chování funkce gimel na singulárních kardinálech. Je to následující tvrzení:
(SCH) Pro každý singulární kardinál Xa platí
*(Nj = max(2'f(«->,X^,).
Povšimněme si, že pro regulární Xa hypotéza dává jen rovnost 2N" = ^(Xa)
z věty 5.2L Kdybychom předpokládali, že hypotéza platí i pro všechny regulární
kardinály, nedostaneme nic nového. Hypotéza singulárních kardinálů je důsledkem
zobecněné hypotézy kontinua, to znamená, že je také bezesporná s axiomy teorie
množin. Je-li Xa singulární kardinál, z GCH dostáváme 2cf(Ka) < Xa a ^(Xa) = Ka + 1,
jak požaduje SCH. Magidor (1977) ukázal, že SCH není dokazatelná v teorii množin,
pokud jě existence superkompaktniho kardinálu bezesporná s axiomy. Na druhé
straně Jensen (1976) ukázal, že hypotéza singulárních kardinálů je dokazatelná
v teorii množin rozšířené o axiom, který zakazuje existenci všech dosti velkých
kardinálů.
Na závěr ukážeme, že hypotéza singulárních kardinálů zjednodušuje výpočet
hodnot 2Nfl a X*'.
5.34 Důsledek (SCH). (i) Je-li Xa singulární kardinál, potom
Í2<N«, jestliže cf(2<^)>N>2,
j(2<^)+, jestliže cf(2<K-)<Xa.
Pro libovolné ordinály a, p platí
2*p ?
Na>
*W
je-li
je-li
je-li
2K" > Xa,
2K" <Xa a X^ <cf(Xa
2*'<Xa a cf(Xa)<X
p'
Důkaz, (i) Položme x = 2<Ka. Je-li cf(x) > Xa, podle 5.22 jde o případ (ii)(a)
z věty 5.21 a 2Ka = x. Je-li cf (x) < Xa, jde o případ (ii)(b). Přitom x je singulární
kardinál a 2cf(x> < x. Z hypotézy singulárních kardinálů dostáváme 2** = ^(x) =
= x + .
(ii) Postupujeme indukcí podle a. Pro a = 0 a libovolné P tvrzení platí, protože
Na" = 2K" > Xa. Předpokládejme, že a > 0 a že věta platí pro každé y < a a každé
p. Je-li 2** > Xa, potom X*" = 2** podle 5.30(i). Předpokládejme, že 2*' < Xa.
Je-li a = y + 1, podle indukčního předpokladu je X** < Xa a X*" = Xa podle
Hausdorffovy formule. Je-li a limitní ordinál, podle indukčního předpokladu je
X*p < tt« pro každé y < i. Tvrzení plyne z 5.30(ii). V případě, že cf(Xa) < X^ < Xa,
z indukčního předpokladu dostáváme 2cf(Ka) < Xa a z SCH plyne X^ = ^(Xj =
= X„+1.
187

§ 6 Fundované relace a axiom fundovaností
K nejdůležitějším prostředkům teorie množin patří transfinitní indukce a rekurze,
které jsou vázány na dobrá uspořádání. Přirozeným zobecněním pojmu dobré
uspořádání se dostáváme k pojmu fundované relace, který dovoluje rozšířit metody
indukce a rekurze i na relace, které nejsou dobrým uspořádáním.
Dokážeme věty o fundované indukci a fundované rekurzi. Potom se budeme
věnovat relaci náležení a ukážeme, že existuje největší tranzitivní třída, říkáme jí
fundované jádro, na které je relace e fundovaná. Tato třída je sjednocením
kumulativní hierarchie množin, která vznikne iterováním operace potence. Ukážeme, že je
uzavřená na množinové operace a že jejími prvky jsou základní číselné obory -
množiny co, Z, O, (R a C všech přirozených, celých, racionálních, reálných a
komplexních čísel. Ukážeme, že fundované jádro má podobné postavení vzhledem k úzkým
fundovaným relacím, jaká má třída On vzhledem k dobrým uspořádáním: budeme
definovat Mostowského kolapsující zobrazení a s jeho pomocí ukážeme, že každá
extenzionální úzká fundovaná relace má izomorfní kopii ve fundovaném jádře.
Axiom fundovanosti zaručuje, že relace e je fundovaná. To znamená, že
univerzální třída splývá s fundovaným jádrem. Tato skutečnost dovoluje v mnoha
důležitých případech nahradit vlastní třídy množinami. Dokážeme, že princip
fundované indukce potom platí pro všechny fundované relace a že každá relace ekvivalence
může být vhodně reprezentována množinami. Tím bude řešen problém faktorizace
vlastních tříd podle relací ekvivalence. Podrobněji se budeme zabývat dvěma
speciálními případy této úlohy, a to zavedením mohutnosti množin, které nelze dobře
uspořádat, a reprezentováním tříd navzájem izomorfních matematických struktur.
6.1 Definice. Fundované relace, (i) Říkáme, že relace R je fundovaná, jestliže
každá neprázdná množina má alespoň jeden ^-minimální prvek. Říkáme, že r je
R-minimální prvek množiny X, je-li r e X a pro žádné x e X neplatí (x, r) e R.
(ii) Říkáme, že relace R je fundovaná na třídě A, jestliže každá neprázdná
podmnožina třídy A má alespoň jeden R-minimální prvek. Tedy R je fundovaná relace,
je-li fundovaná na univerzální třídě.
188

6 5 / undovane relace a n\iom jundoi unosil II
6.2 Fundované relace jsme definovali pomoci K-minimality, která připomíná
obdobný pojem pro uspořádání. Je zřejmé, že fundovaná relace je antireflexivní,
ale tím končí analogie s ostrým uspořádáním, protože fundované relace nemusi být
tranzitivní. Některé pojmy z uspořádaných množin budeme však používat i pro
fundované relace, protože jsou názorné a vystihují, o co jde.
Snadno se nahlédne, že každá podtřída fundované relace, speciálně prázdná
relace, je fundovaná. Je-li i? relace fundovaná na třídě A, potom RA — R n (A x A)
je fundovaná relace.
6.3 Příklady, (a) Relace e je fundovaná na každém ordinálu i na On. Relace e
je také fundovaná na množině A = {0, {0}, {{0}}}, ale není tranzitivní na A. Proto
ea je fundovaná relace, která není tranzitivní.
(b) Ostré lexikografické uspořádání na třídě On x On je fundovaná relace.
Je-li R c: A x A ostré dobré uspořádání na třídě A, potom R je fundovaná relace.
To znamená, že fundované relace jsou zobecněním dobrých uspořádání.
(c) Relace R definovaná na 0/7 x On vztahem
R= {<<c^>,<a',/0>:/?</3'}
je fundovaná.
(d) Relace inkluze je fundovaná na množině <LÚ2 všech konečných posloupností
nul a jedniček. Tato množina spolu s uspořádáním inkluzí se nazývá úplný binární
strom. Obecně, je-li A neprázdná množina a a ordinál, potom relace inkluze je
fundovaná na množině <a . i y.
A= \JPA
li<a
všech posloupností prvků z A délky menší než a. Mluvíme o úplném /4-árním stromu
výšky cl. Stromová uspořádání jsou často užívanými případy fundovaných relací.
Budeme se jimi podrobněji zabývat v § 3 III. kapitoly.
6.4 Snadno se nahlédne, že fundovaná relace nepřipouští konečný cyklus ani
nekonečnou klesající posloupnost. Je-li .R fundovaná relace, pak neexistuje žádná
posloupnost <a„: n < oj>> taková, že (an+i, an} e R pro každé n. Z axiomu výběru
plyne i opačná implikace.
6.5 Věta (AC). Relace R je fundovaná, pravé když neexistuje žádná nekonečná
posloupnost klesající v R.
Důkaz. Stačí, když ukážeme, že relace, která není fundovaná, připouští nekonečnou
klesající posloupnost. Nechť R je relace a nechť u je neprázdná množina, která nemá
.R-minimální prvek. To znamená, že pro libovolné xeu existuje yeu takové, že
<y, x> e R. Zvolme nějaké dobré uspořádání < množiny u a konstruujme
posloupnost <an:n<co> následujícím způsobem. Libovolně zvolíme a0eu. Je-li již
sestrojen prvek aneu, pak ani.i je nejmenší prvek množiny {y e u: <y, an) e R}
v dobrém uspořádání < . Potom pro každé přirozené n dostáváme <art + 1, an) e K,
takže R připouští nekonečnou klesající posloupnost.
189

II
6 6
6.6 Úzké fundované relace jsou nejdůležitějším případem fundovaných relací,
protože zaručují existenci minimálních prvků nejenom v neprázdných
podmnožinách, ale i ve všech neprázdných třídách. Pro úzké fundované relace lze dokázat věty
o indukci a rekurzi podobné těm, které známe pro ordinální čísla.
Připomeňme, že relace R je úzká, jestliže každé y má v R jenom množinu
předchůdců {x: <x, y} e R}. Relace náležení a inkluze jsou úzké, to znamená, že v
příkladu 6.3 jsou (a) a (d) úzké fundované relace. Relace (b) (c) z 6.3 nejsou úzké.
Ukážeme, že úzké relace dovolují sestrojit tranzitivní nadmnožinu ke každé
množině.
6.7 Definice, R-tranzitivní množina. Říkáme, že množina A je tranzitivní vzhledem
k relaci R, nebo krátce, že A je R-tranzitivní množina, jestliže pro každé a e A je
{x:(x,a}eR} c A.
Je zřejmé, že e-tranzitivní množina je totéž co tranzitivní množina z definice 1.1.
Průnik libovolného systému R-tranzitivních množin je R-tranzitivní množina.
Podobně i sjednocení množiny R-tranzitivních množin je R-tranzitivní množina.
6.8 Lemma. R-tranzitivní obal. Je-li R úzká relace, pro libovolnou množinu u existuje
R-tranzitivní nadmnožina, která je nejmenší vzhledem k inkluzi. Označíme ji UR(u)
a nazveme ji R-tranzitivním obalem množiny u.
Důkaz. Je-li dána množina w, rekurzí definujeme množiny un, n < co. Položíme
u0 = u
a
Un + 1 = {* : (3>' G Un) (<*> >'> E R)} Pr° kaŽdé "•
V každém kroku dostáváme jen množinu, protože R je úzká relace. Je zřejmé, že
\Jun je R-tranzitivní nadmnožina množiny u. Ukážeme, že je to R-tranzitivní obal
množiny u. Je-li t1 libovolná R-tranzitivní nadmnožina u, potom indukcí ověříme,
že un g: v pro každé n < co. To znamená, že \Jun = UR(u) ^ v.
6.9 Příklad. Tranzitivní obal množiny. Pro libovolnou množinu u je podle lemmatu
6.8 U€(u) nejmenší tranzitivní nadmnožina množiny u. Říkáme jí tranzitivní obal
množiny u. Je zřejmé, že Ue(n) = u pro každou tranzitivní množinu u, speciálně
pro každý ordinál. Všimněme si, že pro libovolné x je Ue({x}) nejmenší tranzitivní
množina, jejímž prvkem je x.
6.10 Lemma. Princip minimality. Je-li R úzká fundovaná relace, potom každá
neprázdná třída má alespoň jeden R-minimální prvek.
Důkaz. Je-li dána neprázdná třída A, nechť r je nějaký její prvek. Pokud r není
sám R-minimální v A, uvažujme neprázdnou množinu u = A r\ UR({r}). Ta má
nějaký R-minimální prvek s. Ukážeme, že 5 je také R-minimální prvek třídy A.
V opačném případě existuje teA takový, že <ř, s} e R. Odtud plyne teu a 5 není
R-minimální v u - spor.
190

6 13 hundoiuné relace a axiom jinulovano^ti 11
6.11 Věta. Fundovaná indukce. Je-li R úzká jundovanú relace a X je třída taková,
že pro každé x platí
(1) (y:(}',x)e^} <= X-» x e X ,
potom X — V.
Důkaz sporem. Předpokládejme, že V - X =(= 0 a že x je R-minimální prvek
V - X. Potom x <£ X, ale (y: <y, x) e R} ^ X. To je ve sporu s předpokladem (l).
6.12 Věta. Fundovaná rekurze. Nechť R je úzká fundovaná relace a nechť G je
zobrazení definované na univerzální třídě V. Potom existuje právě jedno zobrazení F
takové, že Dom (F) = V a
F(x) = G{F I {y: <y, x> g R}) pro každé x.
Důkaz. Postupujeme obdobně jako při důkazu věty 2.3 o transfinitní rekurzi.
Definujeme třídu A všech zobrazeni / takových, že Dom (/) je R-tranzitivní množina
a pro každé x e Dom (/) platí
f(x)=G(f\{y:(y,x}eR}).
Fundovanou indukcí lze dokázat
(a) pro libovolné /,/' e A a x e Dom (/) n Dom (/') je f(x) = f'(x),
(b) pro každé x existuje fe A takové, že Dom(/) = UR({x}).
Dokážeme jen tvrzení (b). Je-li x libovolná množina, pak UR({x}) je nejmenší
R-tranzitivní množina, jejímž prvkem je x. Předpokládejme, že pro každé y takové,
že <y, x) e R, existuje zobrazení geA s definičním oborem UR({y}). Podle (a)
je takové zobrazení určeno jednoznačně, můžeme jej označit gv. Položíme-li
h=\J{gt:<y,x)eR},
potom h je také zobrazení podle (a). Navíc, h je definováno pro všechny prvky
množiny UR({x}) s výjimkou x. Zobrazení j\ pro které platí (b), získáme tak, že h
rozšíříme o hodnotu f(x)= G{h \ {y: <y, x> 6 R}). Podle věty 6.11 je podmínka (b)
dokázána pro každé x.
Položíme-li F — \Já, stejným způsobem jako ve větě 2.3 dokážeme, že F je
zobrazení, které vyhovuje tvrzení věty. Nakonec fundovanou indukcí ověříme, že
takové zobrazení je jediné.
6.13 Typové funkce. Je-li R úzká fundovaná relace, rekurzí podle R můžeme
definovat zobrazení qr: V —► On tak, že pro libovolné x položíme
(2) QR{x) = sup {6R(y) + 1: <y, x> e R) .
Podle věty 6.12 je funkce gR jednoznačně určena podmínkou (2) a je definována pro
každé x.
Říkáme, že £K je typová funkce relace R a že oR(x) je typ množiny x (vzhledem
k R). Snadno se ukáže, že typ nula mají právě všechny R-minimální prvky třídy V.
191

II
6 11
Typ jedna mají množiny, které nejsou /^-minimální, ale mají jen /^-minimální
předchůdce.
Pro libovolné x, y platí
(3) <x, y} e R -> Qr(x) < oR{y) .
Na druhou stranu, existuje-li zobrazení g, které splňuje podmínku (3), potom R je
fundovaná relace. Nemusí však být úzká. Pro fundovanou relaci z příkladu 6.3(c)
lze definovat zobrazení, které splňuje^) a dokonce i (2). Pro relaci 6.3(b) podobné
zobrazení neexistuje.
6.14 Fundovaná indukce a rekurze vzhledem ke třídě. Je-li R úzká relace, která je
fundovaná na nějaké třídě A, podle 6.2 je RA = R n (A x A) úzká fundovaná
relace. Pro RA bychom mohli použít větu 6.11 o fundované indukci v doslovném
znění. Ve většině případů bychom jen obtížně ověřili předpoklad (1). Uvědomme si,
že každé x £ A je /^-minimální prvek třídy V. Ověřit (1) pro x znamená ukázat,
že x e X. Přitom na množinách, které nejsou prvky třídy A, zpravidla nezáleží.
V takových případech je vhodné omezit indukci jen na třídu A. Ověříme-li, že
pro každé xeA platí
(r) {yeA:(y,x)sR} c X-+xeX ,
stejným způsobem jako v 6.11 dokážeme A <= X. To je princip fundované indukce
vzhledem ke třídě A.
Podobně je tomu s fundovanou rekurzí. Použijeme-li větu 6.12 pro operaci G
a relaci RÁ, dostáváme zobrazení F takové, že Dom (F) — V a pro každé x platí
(4) F(x) = G(F\{y:(y,x>eRA}).
Snadno se nahlédne, že pro každé x $ A je F(x) = G(0). Na doplňku třídy A
dostáváme nezajímavé konstantní zobrazení. Omezíme-li se jen na třídu A, podle (4)
pro každé as A platí
(5) F(a) = G(F\{yeA:(y,a}eR}).
Ukázali jsme, že za uvedených předpokladů existuje zobrazení F takové, že
Dom (F) = A a pro každé as A platí (5). To je princip fundované rekurze
vzhledem ke třídě A.
Fundované jádro je největší ze všech tranzitivních tříd, na kterých je
fundovaná relace e. Je překvapivé, že taková třída existuje a může být definována z prázdné
množiny iterováním operace potence.
6.15 Definice. Množiny Va. Pro každý ordinál a definujeme množinu Vx. Položíme
Vo =0,
Va = \J Va pro limitní k .
a < X
192

6.19
Fundované relace a axiom fundovanosti
II
Třída WF je sjednocením všech množin Va, tedy
WF = {J{Va:zeOn} .
6.16 Lemma. Pro každý ordinál i platí
(i) V2 je tranzitivní množina,
(ii) Vp c V2 pro každé $ < a,
to znamená, že množiny Va tvoří kumulativní hierarchii a WF je také tranzitivní
třída.
Důkaz transfinitní indukcí. Uvědomme si, že Va je tranzitivní množina, právě když
každý její prvek je také její podmnožinou. Obě tvrzení jsou zřejmá pro a limitní
a pro a = 0. Je-li V2 tranzitivní, pak Ka c V2 + i, a snadno se nahlédne, že K2+ l je
také tranzitivní. WF je tranzitivní podle lemmatu 1.3.
6.17 Definice. Typová funkce třídy WF. V kumulativní hierachii přibývají nové
prvky třídy WF jen jako podmnožiny nějaké množiny Vr Pro libovolné x e WF
můžeme definovat
q(x) = min {a: x c Ka} .
Říkáme, že g je typová funkce pro třídu WF.
Snadno se ukáže, že pro libovolný ordinál a a x e WF platí
(6) <?(*) = a~*6Ka+1 - K.
J/ = {xeWF:q(x)< a} .
6.18 Lemma. Pro libovolné ye WF a libovolné x platí
(i) xey^ q{x) < o{y),
(ii) xeWF^x^ WF.
Důkaz, (i) Je-li g(y) = fi, potom y c= V&, ale y £ J^. Pro libovolné xe y
dostáváme xePJc WF a £>(x) < g(y).
(ii) Je-li x c WF, položme a = sup {g(y) + l:yex}. Potom x c Ka podle (6)
a xeKaTl c: J^F. Opačná implikace plyne z toho, že WF je tranzitivní třída.
6.19 Věta. WF je největší tranzitivní třída, na které je fundovaná relace e. Říkáme,
že WF je fundované jádro relace e.
Důkaz. Podle 6.18(i) splňuje typová funkce q podmínku (3) z 6.13. Relace e je tedy
fundovaná na třídě WF. Ukážeme, že je to největší tranzitivní třída s touto
vlastností. Nechť X je tranzitivní třída a nechť e je fundovaná na X. Ukážeme, že
X c WF. V opačném případě je X — WF =(= 0 a podle principu minimality
existuje alespoň jeden e-minimální prvek xe X — WF, protože e je úzká relace.
Potom x c: WF, protože x <= X a žádný prvek množiny x nepatří do X — WF.
Podle 6.18(ii) je xe WF, spor.
193

II
6.20
6.20 Relace e je úzká a fundovaná na WF. Podle 6.13 existuje právě jedna typová
funkce o taková, že pro každé x e WF platí
Q(x) = ^PÍQ(y) + l:yex}.
Přesvědčíme se, že typová funkce q z 6.17 splňuje uvedenou podmínku. Tím bude
ospravedlněn její název. Je-li xe WF, položíme a = sup {g(y) + l:yex}. Potom
x <= V3 podle (6) a a je nejmenší takový ordinál, tedy ^(x) = a.
Ukázali jsme, že každá tranzitivní třída, na které je fundovaná relace e, je pod-
třídou WF, speciálně On c; WF.
6.21 Lemma. Pro každé as On platí
(i) q(<x) = a,
(ii) a = VanOn.
Důkaz, (i) transfinitní indukcí. Předpokládejme, že pro každé p < a platí g(p) - p.
Potom a c Ka a pro žádné /? < a nemůže platit a c l^, proto g(a) = a.
(ii) plyne z (i) a (6).
6.22 Fundované jádro WF má další zajímavé vlastnosti. Každá množina, která
vznikne z prvků WF nějakou množinovou operací, je sama také prvkem WF.
Říkáme, že třída WF je uzavřena na množinové operace. Protože co e WF a z množiny
všech přirozených čísel lze sestrojit množiny Z, Q, IR, C všech celých, racionálních,
reálných a komplexních čísel, tyto číselné obory jsou také prvkem fundovaného
jádra.
6.23 Lemma. Nechť x,ye WF, ol = q(x) a p = max {q{x), g(y)}. Potom:
(i) Množiny x n y, x — y, [jx, Dom (x), Rng(x), {xj a ^(x) jsou prvky WF
a typ každé z nich je < ol + 1.
(ii) Množiny x u y, {x,y}, <x, y>, x x y a xy jsou také prvky WF a typ každé
z nich je nejvýše P + 3.
(iii) Množiny Z, Q, U, C všech celých, racionálních, reálných a komplexních čísel
jsou prvky Víú + a).
Důkaz, (i) Podle předpokladu je x g: Va a totéž platí pro x n y a x — y. Podle
6.18(ii) patří obě množiny do WF a jejich typ je <a. Podobně [jx ^ Va, protože
Va je tranzitivní množina. Připomeňme, že Dom (x) a Rng (x) jsou podmnožiny
ULU Dále &(x) ^ &(K) = ^+ i a totéž platí pro jx}.
(ii) Podle předpokladu je xuyc j/. Je-li asx a bey, potom {a, b} c v
a <a, 6> c í/+1, odkud dostáváme <a,b>GK/? + 2 a x x yc l/+2. Nakonec
\v<=^(x x j/jc |/„ + 3.
(iii) Podle lemmatu 6.21 je co c: V^. Množina Z všech celých čísel vznikne
faktorizací co x co podle jisté relace ekvivalence. Proto Z c ^(co x oj) c J/^3.
Podobně postupujeme i pro další číselné obory. Uvědomme si, že Q vznikne
faktorizací množiny Z x (Z - {0}), (R c 0>(Q) a C = (R x IR.
194

6.29
bumloiaih' relace a axiom fundovanosti
II
6.24 Fundované relace a WF. Podle věty 6.19 fundované jádro zahrnuje každou
tranzitivní třídu, na které je relace e fundovaná.
Nyní ukážeme, že fundované jádro zahrnuje i obrazy všech úzkých fundovaných
relací. Je-li R úzká relace fundovaná na třídě A, pak existuje zobrazení třídy A do
WF, které relaci R převádí na e.
6.25 Definice. Mostowského kolaps. Je-li R úzká relace fundovaná na třídě A,
fundovanou rekurzí na A definujeme zobrazení F tak, že
F(x)={F(y):yeA&<y,x>eR]
pro každé x e A. Říkáme, že F je Mostowského kolapsující zobrazení nebo
krátce Mostowského kolaps třídy A určený relací R.
6.26 Z definice je zřejmé, že obor hodnot kolapsujícího zobrazení je tranzitivní
třída a že pro libovolné x, y e A platí
(x,y}eR-+F{x)eF(y).
Fundovanou indukcí se dokáže, že F(x) e WF pro každé xe A. To znamená, že F
zobrazuje třídu A na tranzitivní část fundovaného jádra. Nemusí to vždy být
zajímavé zobrazení. Je-li R = 0 nebo je-Li R disjunktní s A x A, potom F(x) = 0
pro každé xeA. Ukážeme, že kolapsující zobrazení je izomorfismus vzhledem
k R a e, právě když R je extenzionální na A.
6.27 Definice. Extenzionální relace. Říkáme, že relace R je extenzionální na třídě A,
jestliže pro libovolné x, y e A platí
(Vz e A) «z, x> e R <- <z, ><> e R) - x = y .
Jinými slovy, relace R je extenzionální na A, jestliže na A platí axiom extenzionality
v případě, že relaci e nahradíme relací R.
6.28 Příklady, (a) Každé lineární uspořádání na třídě A je extenzionální na A.
(b) Je-li A tranzitivní třída, potom relace e je extenzionální na A, protože pro každé
as A je a = {xe A: xea}.
(c) Je-li A množina sestávající ze dvou prvků 0 a {{0}}, pak e není extenzionální
na A. Uvědomme si, že eA = 0. Obecně, prázdná relace není extenzionální na žádné
třídě, která má alespoň dva prvky. Extenzionálnost relace R je tedy nutnou
podmínkou, aby kolapsující zobrazení bylo prosté.
6.29 Mostowského věta o kolapsu. Je-li R úzká relace, která je extenzionální a
fundovaná na třídě A, pak existuje právě jedna tranzitivní třída M c= WF a jednoznačně
určené zobrazení F, které zobrazuje A na Ní a je izomorfismem vzhledem k relacím
Rae.
Důkaz. Nejprve ukážeme, že Mostowského kolapsující zobrazení F splňuje
podmínky věty. Položíme-li M = Rng (F), potom M je tranzitivní část WF. Stačí, ukáže-
195

II
6 29
me-li, že F je prosté zobrazení, z definice F pak bude zřejmé, že F je izomorfismus A
a iVÍ vzhledem kRae. Předpokládejme, že F není prosté a že a je i^-minimální
prvek třídy {xe A:(3ye Á)(x ^ y& F(x) = F(y))}, Zvolme nějaké b e A různé
od a takové, že F{a) = F(b). Potom {ve A: <u, a> e R} =f= {wg A: <w, 6> e £},
protože K je extenzionální na ,4. Mohou nastat dva případy. Předpokládejme, že
pro nějaké ve A je (v, a) e R, ale (vyb)>$R. Potom F(v) e F(a) = F(b) a z
definice F plyne, že F(v) = F(vv) pro nějaké we A, které je různé od v. Dostáváme
spor s minimalitou prvku a. Stejným způsobem dojdeme ke sporu i ve druhém
případě, kdy existuje we A takové, že <vv, b} eR, ale <w, a> <£R. Zobrazení F je
tedy prosté a je to izomorfismus. Zbývá dokázat jednoznačnost F a M. Kdyby F'
byl jiný izomorfismus zobrazující A na M', fundovanou indukcí dokážeme F(x) =
= F'(x) pro každé xe A, odkud plyne M = M'.
Je-li R relace náležení, dostáváme důležitý speciální případ věty o kolapsu.
6.30 Věta o kompresi (Gódel 1938). Je-li A <= WF a e je extenzionální na třídě A,
potom existuje právě jedna tranzitivní třída M <= WF a jednoznačně určené
zobrazení F, které je izomorfismem tříd A, M vzhledem k relaci e. To znamená, že pro
libovolně x, y e A platí
xe y<r+ F(x) e F(y).
Je-li B tranzitivní třída a B <= A, potom
F{x) — x pro každé xe B .
Důkaz. Relace e je úzká a je fundovaná na WF. Je-li A c WF, první část tvrzení
plyne z Mostowského věty o kolapsu. Je-li B c= A tranzitivní, fundovanou indukcí
se dokáže, že F(x) — x pro každé xeB.
6.31 Axiom fundovanosti a WF. Připomeňme, že axiom fundovanosti je následující
tvrzení:
(Va)(fl + 0->(3xea)(xna = 0)).
Je-li xea a x n a = 0, potom x je e-minimální prvek množiny a. Axiom
fundovanosti tedy tvrdí, že relace e je fundovaná. Protože WF <= V a univerzální třída je
tranzitivní, z věty 6.19 dostáváme:
6.32 Věta. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:
(i) axiom fundovanosti,
(ii) V = WF ,
(iii) (Vx) (3oc) (x e Kj .
6.33 Axiom fundovanosti postuluje důležitou vlastnost relace náležení a globálně
charakterizuje univerzum množin. V tom se podobá axiomu extenzionality. Plyne
z něj, že do univerza patří jen takové množiny, které vzniknou z prázdné množiny
postupným iterováním operace potence. Podle věty o kompresi nemůže mít takové
196

6.35
Fundované relace a axiom fundovanosti
II
univerzum žádný netriviální automorfismus, to znamená izomorfní zobrazení
univerza na sebe.
Na rozdíl od axiomu extenzionality, který používáme tak často, že si to ani
neuvědomujeme, axiom fundovanosti jsme zatím nepoužili k důkazu žádné věty teorie
množin. Co získáváme a co ztrácíme, přijmeme-li tento axiom? Získáváme
přesnější popis univerza množin a možnost používat fundované indukce a rekurze
podle e na celé univerzální třídě. To zjednodušuje studium modelů a metamatematiky
teorie množin a dává nové matematické prostředky pro řešení některých problémů,
které se týkají tříd. Ztrácíme množiny, které nejsou prvkem fundovaného jádra,
například množiny tvaru x = {x}. Takové množiny přestávají být předmětem
našeho zájmu. Podle lemmatu 6.23 to není žádné podstatné omezení. Základní
číselné obory jsou prvky fundovaného jádra, které je uzavřeno na množinové operace.
Do fundovaného jádra tedy patří i všechny další struktury, které z nich lze vytvořit
obvyklými matematickými konstrukcemi. Nic podstatného neztrácíme ani v meta-
matematice: dá se ukázat, že přidáním axiomu fundovanosti k ostatním axiomům
získáme bezespornou teorii, je-li bezesporná teorie množin bez axiomu fundovanosti.
Axiom fundovanosti v mnoha případech dovoluje nahradit vlastní třídy
množinami.
6.34 Nahrazení třídy podmnožinou. Jde o technický prostředek, který je dán existencí
kumulativní hierarchie množin. Je-li dána neprázdná třída A, pak existuje ordinál ol
takový, že Van A je neprázdná množina. Je-li a nejmenší ordinál s touto
vlastností, získáváme podmnožinu a = Van A třídy A, kterou můžeme vyjádřit
pomocí typové funkce následujícím způsobem :
a = {xeA:{VyeA)(Q(x)<Q(y))}.
Je zřejmé, že množina a závisí jen na třídě A a že její definice je návodem, jak nahradit
libovolnou třídu nějakou její podmnožinou.
Předvedeme dvojí použití takového postupu: dokážeme, že princip minimality
platí pro všechny fundované relace a že každá relace ekvivalence má množinovou
reprezentaci tříd ekvivalence. Toho využijeme k definici mohutnosti množin, které
nelze prostě zobrazit na žádné kardinální číslo. Nejprve dokážeme:
6.35 Lemma. Každá relace obsahuje úzkou relaci, která má stejný obor hodnot.
Jinými slovy, ke každé relaci R existuje úzká relace S taková, že S c= R a Rng (S) —
= Rng {Rl
Důkaz. Je-li dána relace R, s využitím typové funkce q definujeme relaci S
S = {<*, y>eR:ye Rng (R) & (Ví) «í, y> e R - q(x) < q(i))} .
Je zřejmé, že S splňuje tvrzení lemmatu, protože pro libovolné y e Rng {R) ze všech
dvojic <x, y) e R do S patří jen ty, ve kterých je x nejmenšího možného typu.
197

II
6 36
Princip minimality a fundovaná indukce platí pro všechny fundované relace.
Je-li R fundovaná relace a A neprázdná třída, nechť RA = R n (A x A) aSg^
je úzká relace z lemmatu 6.35 taková, že Rng(S) = Rng(JR/í). Potom S je také
fundovaná relace a podle lemmatu 6.10 existuje 5-minimální prvek as A. Je zřejmé,
že a je také K-minimální prvek třídy A. V opačném případě existuje b e A tak, že
(b,a}eR, tedy a e Rng (RA) = Rng (s), a pro nějaké cg A musí platit <c\ a>eS.
To je ve sporu s S-minimalitou prvku a.
Ukázali jsme, že princip minimality vyslovený v lemmatu 6.10 platí pro všechny
fundované ťelace. Stejně tak můžeme vynechat omezení na úzké relace v principu
fundované indukce z věty 6.11, která je důsledkem principu minimality. Ze znění
i z důkazu věty 6.12 je vidět, že v principu fundované rekurze nelze vypustit omezení
na úzké relace.
6.36 Mohutnost množin. Definovat mohutnost množiny x je totéž jako
reprezentovat třídu [y: x ~ y] všech množin y, které lze prostě zobrazit na .v. To je jednoduché,
pokud lze množinu x dobře uspořádat, potom prvkem uvažované třídy je právě
jedno kardinální Číslo, které jsme definovali jako mohutnost \x\ množiny x. V tomto
případě dokonce dostáváme
(7) x*|x|.
Pokud x nelze dobře uspořádat, musíme použít axiom fundovanosti. Položíme-li
|x| = {>•: y*x& (Vz)(z * x) - Q(y) < g{z))},
není těžké ověřit, že pro libovolné x a y platí
(8) **y~M = b'l-
Množinu |x| můžeme plným právem nazvat mohutnost množiny x. Dá se ukázat,
že při této definici mohutnosti již neplatí (7). Proto je výhodné kombinovat oba
přístupy a právě uvedenou definici mohutnosti vyhradit jen pro množiny, které
nelze dobře uspořádat.
Axiom fundovanosti má podstatnou roli při definici mohutnosti. A. Lévy (1969)
ukázal, že bez axiomu fundovanosti a axiomu výběru nelze definovat zobrazení,
které by každé množině x přiřadilo množinu \x\ tak, aby platilo (8). Podstatná je
i role dobrého uspořádání při důkazu (7). D. Pincus (1974) ukázal, že bez axiomu
výběru neexistuje zobrazení takové, že (8) a (7) platí pro libovolné množiny.
Zavedení mohutnosti je jen speciálním případem reprezentace tříd ekvivalence.
6.37 Věta. Reprezentace tříd ekvivalence. Je-li R relace ekvivalence na třídě A,
potom existuje zobrazení z\ A —► 3?(A) takové, že
z(a) = t{b) <- (a, b)eR
platí pro každé a,bs A.
198

6.38
fundované relace a axiom jundovanosii
II
Důkaz. K definici zobrazení i použijeme typovou funkci q. Pro libovolné ae A
definujeme
i(a) = {xeA:(a,x}eR8c (Vy e A) «a, y> 6 /l - q(x) < Q{y))} .
Ze symetrie a tranzitivnosti K plyne, že x má požadovanou vlastnost.
6.38 Typy uspořádaných množin. Nechť A je třída všech uspořádaných množin.
Jejími prvky jsou všechny dvojice (a, r) takové, že r je nějaké uspořádání na
množině a. Izomorfismy mezi uspořádanými množinami definují relaci = , která je
ekvivalencí na třídě A. Podle věty 6.37 existuje zobrazení i, pro které platí
T(<a,r» = T«b,s»-<a,r>^<6,5>.
Říkáme, že t(<a, r>) je typem uspořádané množiny (a, r>. Je to neprázdná množina
sestávající^ z některých uspořádaných množin, které jsou izomorfní s (a, r>.
Známe-li typ uspořádané množiny, známe všechny její vlastnosti, které se
zachovávají při izomorfním zobrazení.
Je zřejmé, že stejným způsobem můžeme definovat i typy jiných matematických
struktur, grup, okruhů, těles, Booleových algeber a dalších.
199

§ 7 Konstruovatelné množiny
Pojem konstruovatelné množiny je radikálním pokusem o co nejpřesnější
vymezení univerza množin. Konstruovatelné množiny tvoří jakési minimální jádro
univerza množin, jehož prvky se konstruují každý zvlášť transfinitním iterováním
několika jednoduchých operací. Odlišnost takového postupu vynikne, srovnáme-li
jej s konstrukcí hierarchie množin Va, která v jediném kroku co + 1 generuje
všechny nekonečné podmnožiny V^ tedy nespočetně mnoho množin najednou.
Budeme definovat množiny La Q V% a třídu L všech konstruovatelných množin.
Dá se ukázat, že v L platí všechny axiomy teorie množin a navíc tvrzení V = L, které
se nazývá axiom konstruovatelnosti. Volně řečeno, třída L je model rozšíření Zer-
melovy a Fraenkelovy teorie množin, které označujeme ZF + V = L.
Technické prostředky ke studiu třídy L, které vytvořil K. Gódel (1938), byly
rozvinuty R. B. Jensenem (1972) do té miry, že dovolují zcela detailní popis univerza
konstruovatelných množin, jakému se vymyká každý jiný model teorie množin.
Proto se třída L těší velké pozornosti a je místem, kde se testují různé hypotézy.
Univerzum konstruovatelných množin můžeme studovat matematicky jako
speciální třídu definovanou v teorii množin nebo metamatematicky jako model teorie
množin. To druhé by vyžadovalo více prostředků z matematické logiky, než jsme
mohli do této knihy zařadit. Seznámíme se s jednoduchými vlastnostmi množin La
a ukážeme, že axiom výběru (AC) a zobecněná hypotéza kontinua (GCH) vyplývají
z axiomu konstruovatelnosti. To znamená, že L je modelem ZFC + GCH. Na
závěr si všimneme vztahu mezi univerzem konstruovatelných množin a univerzem
všech množin. Uvedeme Jensenovu větu o pokrytí, která tvrdí, že konstruovatelné
množiny mohou dobře aproximovat všechny nespočetné množiny ordinálů, pokud
univerzum množin neobsahuje některé typy velkých kardinálů. Ukážeme, že v
takovém případě platí hypotéza singulárních kardinálů (SCH), jejímiž důsledky jsme
se zabývali v § 5.
7.1 Hierarchie množin La. Chceme-li úsporněji napodobit proces, kterým se vytvářejí
množiny Ka, budeme na každém kroku postaveni před stejnou otázku: Je-li La vše,
co jsme dosud vytvořili, které podmnožiny x <= La nemůžeme zapřít, a proto rau-
200

7 2 Konstruovatelné množiny li
síme zařadit jako prvky do množiny Lz+ x? ,,Všechny," tvrdí axiom potence.
Pokusíme se tento hlas ignorovat a hledáme odpověď u ostatních axiomů. Axiom dvojice
požaduje všechny množiny {u, v} pro u, v e La a přihlédneme-li k axiomu sumy,
zařadíme i další konečné podmnožiny. Podle schématu vydělení musíme přidat
všechny množiny tvaru
x — {te La: cp(t, al,..., an)} ,
kde cp je nějaká formule a množiny au ..., an jsou nějaké její parametry. Je zřejmé,
že v kroku a nemůžeme brát množiny ai,..., an odjinud než z La a že každý
kvantifikátor ve formuli (p se může vztahovat jen na prvky z La. Říkáme, že množina x
je v La definována formulí (p z parametrů au...,an. Schéma nahrazení požaduje
zařadit všechny podmnožiny La, které jsou obrazem nějaké množiny u e La při
definovatelném zobrazení. Ve všech případech jde o podmnožiny La, které jsou
v La definovatelné nějakou formulí z parametrů z La.
To je jeden pohled na množinu La+l. Nemůžeme ho použít k definici množiny
La + 1, protože překračuje rámec jazyka teorie množin. Mluví o formulích i
množinách současně.
Podrobnějším metamatematickým rozborem lze ukázat, že existuje méně než
deset základních operací, s pomocí kterých lze každou takovou podmnožinu La
sestrojit z prvků La a množiny La. Zde je příklad takové sady operaci:
Fj(ií) =Dom(u),
F2(u) = {(x,y>6u:x6j;},
F3(u) ={0,3c>:<x,y>eu},
Fju) ={«x,z>,^>:«x,y>,z>6u}>
Fs{u, v) = {u, v} ,
F6{u, v) = u - v,
F7(u, v) = u x v .
7.2 Uzávěr množiny na operace F15 . ,.,F7. Říkáme, že množina y je uzavřena na
operace F1? ..., F7, jestliže pro každé u, v e Y je také Fjw) g Y pro / = 1, 2, 3, 4
a Fj(u% v) e Y pro y = 5, 6, 7.
Podobně, jako se konstruuje tranzitivní obal množiny, můžeme ke každé
množině X sestrojit nadmnožinu uzavřenou na operace Ff. Rekurzí sestrojíme množiny
Xn pro n < co. Položíme
X0 = X
a pro každé přirozené n
^Ti =Xnu{x:{3u,veXn){x = Fl(u) V ...V
V ... V x = F» V ... V x = F5(u,u) V ... V x = F7(u, u))} .
201

II
7 2
Potom DÍ(X) = \JXn je nejmenší nadmnožina množiny Xy která je uzavřena na
operace Ff. Je-li X nekonečná, potom |Df (X)\ = |A|
Protože nám půjde jen o podmnožiny x ^ X, které lze vytvořit pomocí operaci
Fi z prvků X a z množiny ^, položíme
Def (X) - Df (X u {X}) n 0>{X).
7.3 Definice. Množiny La a třída L. Pro každý ordinál definujeme
L0 =0,
La+i = Def(La),
La = U L^ , je-li a limitní.
Dále
aeOn
Říkáme, že L je třída konstruovatelných množin, a její prvky nazýváme konstruova-
telné množiny.
7.4 Srovnání množin Va a La. Z definice je zřejmé, že pro každé a platí
La c Va. Navíc pro každé přirozené n platí
odkud také
K=V», \La\ = \Va\=o>.
Potom
1^11 = 1^^)1 = 2™,
ale
l^+il = w>
protože uzavřením spočetné množiny L^ u {L^} na základní operace získáme
jenom spočetnou množinu. Můžeme říci, že hierarchie Va roste exponenciálně,
zatímco hierarchie La roste jen lineárně. Víc o tom říká následující tvrzení.
7.5 Lemma. Pro libovolné ordinály a, ft platí:
(i) Laje tranzitivní množina,
(ii) a<^Lac^,
(iii) a = L3 n On ,
(iv) a > co -> |Lj = |a| .
Důkaz transfinitní indukcí. Je zřejmé, že (i)—(iií) platí pro a = 0. Nejprve ukážeme, že
La c La + 1, pokud je La tranzitivní. To bude klíč k důkazu (i) a (ii). Je-li La
tranzitivní a .xeLa, potom x <= La. Odtud dostáváme xeLa+1, protože xe
202

7 8
Konsti uoi ateinc množiny
II
g Df(La u {L2}). Odtud také plyne, že La+1 je tranzitivní: pro každé xeLx+l
je x g: La c L,^. Pro limitní a plyne (i) z definice L2. Platí-li (ii) pro nějaké /?,
z dokázané inkluze je zřejmé, že platí i pro j5 + 1. Pro limitní p plyne (ii) z definice
L^. Tvrzení (iii) a (iv) dokazujeme společně. Je-li a limitní a obě tvrzení platí pro každé
q < a, potom (iii) a (iv) platí i pro a. Je-li a = On n Lfl, potom a je definovatelná
podmnožina Lfl, a proto aeLa + 1. Přitom žádný ordinál /? > a nemůže být prvkem
La^ 1? protože neplatí P ^ La. To znamená, že a 4- 1 = La+ir\ On. Tím je dokázáno
(iii). Je-li |La| = |a| > ca, potom uzávěr množiny La u {La} na základní operace
má také mohutnost |a|, odkud plyne |La+1| < a. Obrácená nerovnost plyne z (iii).
7.6 Důsledek. L ;e tranzitivní třída a On g= L.
Ukážeme, že třídu L lze dobře uspořádat, použijeme k tomu následující tvrzení.
7.7 Lemma. Každé dobré uspořádání množiny X lze rozšířit do dobrého uspořádám
jejího uzávěru Df [X) na operace Fl,..., F7.
Důkaz. Je-li < dobré uspořádání množiny X, rekurzí podle n < co můžeme
definovat uspořádání <n každé množiny Xn z definice uzávěru Df (X). Nechť <0 je <.
Víme, že každé xeX1- X se získá nějakou operací F{ z nějakých prvků
u,v,eX (F1?..., F4 můžeme také považovat za operace dvou proměnných). S
použitím <0 definujeme dobré lexikografické uspořádání množiny X x X. Ke
každému xelj-X přiřadíme nejmenší dvojici <u, u) takovou, že x = Fi(u,v)
pro nějakou operace Fr Platí-li x = Fj(u, v) i pro nějakou jinou operaci, zvolíme tu
s nejmenším indexem. Tím jsme ke každému xeXx — X jednoznačně přiřadili
trojici <<w, u>, i> a dobré uspořádání množiny (X x X) x co určuje dobré
uspořádáni rl množiny Xl - X. Nechť <l je dobré uspořádání množiny X{, které
je součtem uspořádání <0 a rl. To znamená, že každý prvek množiny X předchází
každý prvek z Xx — X a prvky z X jsou uspořádány relací <0 a prvky z X l — X
relací rt. Podobným způsobem definujeme uspořádání <n+l množiny Xn+ L z
uspořádání <„ množiny A'n. Sjednocením všech relací <n dostáváme uspořádání
množiny Dí(X).
7.8 Lemma. Pro každý ordinál oc existuje relace <3eL dobrého uspořádání
množiny La taková, že o = IJI^: a e ^nl Je dobré uspořádání třídy L.
Důkaz. Pro a = 0 položíme <i0 = 0. Je-li oa dobré uspořádání množiny La,
rozšíříme ho do uspořádání množiny Lx v {Lj tak, že L2 bude největší prvek.
Dobré uspořádání množiny Df(La u {La}) indukuje dobré uspořádání ^x+l její
podmnožiny Def(L0) = La + 1. Je zřejmé, že La je dolní podmnožinou La^t
vzhledem k uspořádání <ia+ j a že o je úzká relace dobrého uspořádání třídy L. Dá se
také ukázat, že každá relace <ia je prvkem L.
Můžeme říci, že dobré uspořádání třídy L z předchozího lemmatu je dáno pořadím,
v jakém se generují jednotlivé konstruovatelné množiny. Z lemmatu 7.8 také plyne,
že existuje prosté zobrazení třídy L na On.
203

II
Pro konstruovatelné podmnožiny nekonečných kardinálů v L platí následující
tvrzení, které uvádíme bez důkazu:
(l) Pro každé a a každou konstruovatelnou x c: co2 existuje f$ < c/;2+1 takové,
že x 6 Lp.
7.9 Axiom konstruovatelnosti tvrdí, že V = L, to znamená, že třída L obsahuje
všechny množiny.
7.10 Veta. Axiom konstruovatelnosti implikuje axiom výběru a zobecněnou hypotézu
kontinua. Tedy
V = L^(AC&GCH).
Důkaz. Podle lemmatu 7.8 je o dobré uspořádání třídy L. Je-li V = L, pak <a je
dobré uspořádání na každé množině x.
Podle (l) pro každé a platí ^(wJcLaati a podle lemmatu 7.5(iv) je na
pravé straně inkluze množina mohutnosti coa + 1. Odtud plyne GCH.
7.11 Bezespornost axiomu konstruovatelnosti. K. Gódel (1938) ukázal, že axiom
konstruovatelnosti je bezesporný vzhledem k axiomům Zermelovy a Fraenkelovy
teorie množin. To znamená, že teorie množin s axiomem konstruovatelnosti
ZF + V = L je bezesporná, je-li bezesporná samotná teorie množin ZF. Tento
výsledek se obvykle zapisuje
Con (ZF) -> Con (ZF + V = L),
kde predikát Con vyznačuje bezespornost (konzistenci) uvedené teorie. Podle
věty 7.10 dostáváme také
Con (ZF) -> Con (ZFC + GCH),
to znamená, že axiom výběru a zobecněná hypotéza kontinua jsou bezesporné
vzhledem k axiomům teorie množin. Na dlouhou dobu zůstala teorie ZFC + GCH
nejsilnějším rozšířením teorie množin, o kterém bylo známo, zeje bezesporné
vzhledem k ZF.
Alespoň naznačíme důkaz bezespornosti axiomu konstruovatelnosti. Nejprve
se ukáže, že všechny axiomy ZF platí ve třídě L. Vyjádříme se přesněji. Pro
libovolnou formuli <p můžeme sestrojit formuli (pL tím. že každý kvantifikátor formule cp
relativizujeme do třídy L. To znamená, že každou podformuli (Vx)... formule (p
nahradíme formulí (VxeL)... a každou podformuli (3x)... nahradíme formulí
(žlxeL).... Říkáme, že axiom q> platí ve třídě L, jestliže platí formule (pL. Jde o to
dokázat formuli cph pro každý axiom cp (připomeňme, že axiomy ZF nemají volné
proměnné). V některých případech je to docela jednoduché. Víme, že L je
tranzitivní třída, a podle 6.28(b) je relace 6 extenzionální na L. Podle definice 6.27 je to totéž
jako axiom extenzionality ve třídě L. Podobně (axiom dvojice^ je formule
(VaeL)(V6eL)(3zeL)(VxeL)(xez~ (x = a V x = b)),
204

7 13
Konstruovatelní' množiny
II
která plyne z uzavřenosti třídy L na operaci dvojice. Platnost dalších axiomů
ve třídě L nebudeme ověřovat, využívá se přitom uzavřenosti třídy L na
definovatelné podmnožiny každé množiny La.
Nakonec je třeba ověřit, že také axiom konstruovatelnosti platí ve třídě L. Vime,
že L obsahuje všechny ordinály a že je to třída uzavřená na operace 771,...,F7.
Protože v L platí všechny axiomy ZF, můžeme v L znovu definovat celou hierarchii
konstruovatelných množin. Tím sestrojíme třídu LL c= L. Dá se ukázat, že
LL = L, a to znamená, že v L platí axiom konstruovatelnosti.
7.12 Nezávislost axiomu konstruovatelnosti. P. J. Cohen (1963) ukázal, že negace
axiomu konstruovatelnosti je také bezesporná vzhledem k axiomům ZF. Dokázal,
že platí
Con (ZF) -> Con (ZFC + V =*= L),
Con (ZF) -> Con (ZFC + ~i GCH),
to znamená, že k axiomům teorie množin je možno bezesporně přidat negaci
zobecněné hypotézy kontinua a negaci axiomu konstruovatelnosti. ZFC -f V = L je
tedy jen jedno z mnoha rozšíření teorie množin, která jsou bezesporná vzhledem
k ZF. Studium kombinatorických principů, které platí na třídě L, ukázalo, zeje to
podstatně silnější teorie než ZFC + GCH.
K důkazu nezávislosti Cohen vytvořil novou metodu, které se říká metoda forsingu.
Tato metoda byla rozpracována P. Vopěnkou a nezávisle D. S. Scottem a R. M. So-
lovayem na metodu booleovských rozšíření modelů teorie množin, která je dnes
nejpoužívanější metodou důkazů bezespornosti v teorii množin.
7.13 L jako vnitřní model teorie množin. Řekneme, že nějaká tranzitivní třída M
je vnitřní model teorie množin, jestliže ve třídě M platí každý axiom teorie množin.
To znamená, že pro každý axiom (p platí formule cpM, která vznikne z (p relativizací
kvantifikátorů do třídy M, podobně jako formule cpL vznikla relativizací q> do L.
Víme, že třída L je model teorie množin, a dá se ukázat, že je minimální v
následujícím smyslu:
(2) Je-li M vnitřní model teorie množin a On c M.
potom L c; M.
Můžeme říci, že univerzum konstruovatelných množin je jeden z možných světů
teorie množin. Univerzum všech množin je případně jiný z možných světů. Třída L
je v určitém smyslu nejmenší svět teorie množin.
Ve třídě L můžeme znovu definovat všechny pojmy teorie množin, například
pojem kofinálu a kardinálního čísla, které se teď budou vztahovat jen ke konstruo-
vatelným množinám a zobrazením. Můžeme se ptát, jsou-li kofínály a mohutnosti
ordinálních čísel uvnitř L v nějakém vztahu ke kofínálům a mohutnostem
počítaným vně L. Následující důležitá věta Jensenova ukazuje, že kofínály a mohutnosti
205

II
7.13
ordinálních Čísel vně a uvnitř L se nemohou příliš lišit, pokud v univerzu množin
neexistují některé typy velkých kardinálů. Tento předpoklad lze nejpřesněji
vyjádřit popřením existence jisté množiny přirozených čísel, jejíž označeni 0*
(„o s křížkem") připomíná hudební terminologii. Existenci této množiny si vynucuje
každý „dosti velký" ze třídy velkých kardinálů.
7.14 Jensenova věta o pokrytí (Jensen 1974). Neexistuje-li 0 *, potom platí:
(CT) Ke každé nespočetné množině X c: On existuje YeL taková,
že X c Y a \X\ = \Y\.
7.15 Jensenovu větu o pokrytí uvádíme bez důkazu. Její tvrzení, které jsme označili
(CT), je dokonce ekvivalentní s neexistencí množiny O*. Můžeme říci, že CTje slabší
formou axiomu konstruovatelnosti. Každá množina nemusí být konstruovatelná,
ale konstruovatelné množiny dobře aproximují nespočetné množiny ordinálních
čísel.
Tvrzení věty o pokrytí (CT) je bezesporné vzhledem k axiomům ZFC, protože
vyplývá z axiomu konstruovatelnosti. Můžeme je přidat jako dodatečný axiom
a získáme další z mnoha rozšíření teorie množin. Podle 7.11 dostáváme
Con(ZF)-Con(ZFC + CT).
Ukážeme, že v teorii množin s axiomem výběru z (CT) vyplývá hypotéza
singulárních kardinálů (SCH), která tvrdí, že rovnost xcí{x) = 2cf(*) .x + platí pro každý
singulární kardinál y.
7.16 Věta. CT - SCH.
7.17 Mezi dvěma světy. Dříve, než dokážeme předchozí větu, připomeňme, že L
je modelem ZFC -\- GCH, a uvědomme si, co z toho vyplývá. Všechny pojmy,
které jsme dosud použili, můžeme definovat také v L. Speciálně ordinální a
kardinální čísla, následníky kardinálů, kofinály a operace kardinální aritmetiky, které
se pak vztahují jenom k univerzu konstruovatelných množin. Odpovídající operace
v L budeme označovat indexem L. Víme, že .
OncLcY.
a dá se ukázat, že OnL = On a ojl = cj podobně jako LL = L. V ordinálních
číslech není žádný rozdíl, ale obě univerza se mohou lišit v podmnožinách ordinálů
a v zobrazeních mezi ordinály. Podle definice je co\ nejmenší z nekonečných ordinálů,
který nelze zobrazit prostým konstruovatelným zobrazením na cd. Může se stát,
že takové zobrazení a>\ na co existuje, ale není konstruovatelné. V takovém případě
je co\ jen spočetným ordinálem v univerzu všech množin. Je-li y kardinálním
číslem v L, znamená to jen tolik, že x nelze žádným konstruovatelným zobrazením
prostě zobrazit na nějaký menší ordinál. Pokud takové zobrazení existuje, ale není
konstruovatelné, x je jen ordinálním číslem v univerzu všech množin. Naopak je
zřejmé, že každý kardinál v univerzu množin je kardinálem i v L. Dostáváme
206

7.18
Konstruovatelné množiny
II
Cn £ CnL. Podobně cfL(a) je nejmenší ordinál, který je typem
konstruovatelné kofinální podmnožiny ordinálu a. Přitom a může mít i další kofinální
podmnožiny, které nejsou konstruovatelné. Proto cf(a) < ďL(oc) a může platit i ostrá
nerovnost, speciálně některý kardinál, který je regulární v L. může být
singulární v univerzu všech množin. Podobně se nahlédne, že (x + )L < x^ pro každý
kardinál x. Můžeme shrnout: oč méně je množin a zobrazení v L, o to více je tam
kardinálních čísel a kofmály nabývají vyšší hodnoty.
Důkaz věty 7.16. Předpokládejme, že platí tvrzení věty o pokrytí a že x je singulární
kardinál. Potom x je také kardinál v L a ukážeme, že (x + )L = x~. V opačném
případě je (x + )L < x + a (x + )L je ordinál, která má v univerzu všech množin
mohutnost x a kofinalitu menší než x, protože x je singulární kardinál. To znamená,
že (x + )L má nějakou kofinální podmnožinu X mohutnosti menší než x. Podle
tvrzení (CT) z věty o pokrytí existuje konstruovatelná nadmnožina Y^ X, která
má také mohutnost menší než x (je-li X nespočetná, pak \X\ = \Y\, a je-li X spočetná,
pak \Y\ = o)l < x). Můžeme předpokládat, že X c y c (x + )L, protože Y n (x + )L
je také konstruovatelná množina. To znamená, že yje konstruovatelná kofinální
podmnožina ordinálu (x + )L, který je regulárním kardinálem v L. Existuje tedv
konstruovatelné prosté zobrazení množiny Y na (x + )L. Ve hře jsou ještě další ově
prostá zobrazení. Jedno zobrazuje Y na nějaký kardinál X < x a druhé zobrazuje
(x + )L na x. Je zřejmé, že v univerzu všech množin existuje prosté zobrazení X na x,
a to je ve sporu s předpokladem, že x je kardinál. Proto (x + )L = x.
Označme v = cf(x). Ukážeme, že platí hypotéza singulárních kardinálů, tedy
rovnost
xv = 2v:.x+ .
Z kardinální aritmetiky dostáváme
2\x^ < xv = |[x]v|.
Jde o horní odhad mohutnosti množiny [x]v. Podle CT je každá X e [x]v
podmnožinou nějaké konstruovatelné Y c= x, která má mohutnost v+ < x (je-li v
nespočetné, pak dokonce \Y\ = v). Přitom každá konstruovatelná množina mohutnosti
v+ má jen (v + )v = vv.v+ = 2V podmnožin mohutnosti v. Spočítáme-li vůbec
všechny konstruovatelné podmnožiny kardinálu x, dojdeme k číslu (x + )L = x + ,
protože v L platí zobecněná hypotéza kontinua. Celkem dostáváme horní odhad
xv < T . x+ a hypotéza singulárních kardinálů je dokázána.
7.18 Z Jensenovy věty o pokrytí vyplývá, že univerzum všech množin se podobá
třídě L, pokud neexistují žádné anebo jen „malé" z velkých kardinálů. V takovém
univerzu platí hypotéza singulárních kardinálů (SCH), která zjednodušuje kardinální
aritmetiku téměř tak podstatně jako GCH. Univerzum všech množin a L se mohou
podstatně lišit, pokud existují některé typy velkých kardinálů. To nemusí hned
znamenat, že neplatí SCH, která není ekvivalentní s tvrzením CT z věty o pokrytí.
207

li
7 18
Jensen (1982) ukázal, že z neplatnosti SCH plyne existence vnitřního modelu teorie
množin, ve kterém je mnoho velkých kardinálů: existuje měřitelný kardinál, který
je limitou měřitelných kardinálů.
208

KAPITOLA III
Nekonečná kombinatorika se zabývá nekonečnými systémy množin s určitou
organizovaností. Motivace pro studium takových systémů vychází z uspořádaných
množin (systémy vzájemně disjunktních prvků, stromy, dobře kvaziusporádané
množiny), z množinové topologie (husté podmnožiny prostoru, ideály, ultrafiltry,
stacionární množiny), z algebry, teorie míry a teorie grafů (množiny nezávislých
prvků, měřitelné kardinály). Přitom nás může zajímat, zda určitý typ systému
existuje, případně jaké dodatečné předpoklady jeho existenci zaručují (Aronszajnův strom,
Suslinův strom). Existují-li systémy daného typu, můžeme se ptát, jaké jsou jejich
mohutnosti (systém skoro disjunktních množin, systém nezávislých množin) nebo
kolik je všech systémů daného typu (ultrafiltrů na dané množině) nebo zda existují
dostatečně velké podsystémy s vyšším stupněm organizovaností (Ramseyova věta).
Podrobnější přehled výsledků uvádíme v záhlaví jednotlivých paragrafů. Axiom
výběru používáme v celé kapitole.
§ 1 Kombinatorické vlastností množin
Seznámíme se s klasickými výsledky kombinatorické teorie množin, které jsou
důležité pro studium různých matematických struktur. Budeme se postupně zabývat
disjunktními zjemněními souborů množin, nezávislými systémy rozkladů, skoro
disjunktními a kvazidisjunktními systémy (A-systémy), volnými množinami pro
množinová zobrazení. Zajímají nás převážně maximální možné velikosti takových
systémů a množin. V celém oddílu budou symboly x, A značit nekonečná kardinální
čísla a v bude značit libovolný (i konečný) kardinál.
Začneme jednoduchým pozorováním, týkajícím se souboru konečných množin.
1.1 Nechť n je kladné přirozené číslo. Je-li dáno n množin Ai,..., An, z nichž každá
má n prvků, pak můžeme vybrat prvky x. e A{ tak, že xi ={= xr jakmile i =(= j-
Přejdeme-li od konečného n k nekonečnému kardinálu x, platí poněkud silnější
tvrzení.
209

III
1.2
1.2 Lemma o disjunktním zjemnění. Nechť <(/l3: a < x)> je soubor x množin, z nichž
každá má mohutnost x. Potom existuje soubor (Ba: a < x) vzájemně disjunktních
množin takový, že pro každé a < x platí Ba Q Aa a \Ba\ = x. Říkáme, že
(5a: a < x) je disjunktním zjemněním souboru (Aa: cc < x).
Důkaz. Uvažujme maximo-lexikografické uspořádání na x x x. Nechť S je systém
všech prostých zobrazení /, která jsou definovaná na dolních podmnožinách x x x
tak, že pro každé <a, >•> e Dom (/) je /'(a, y) e Ax. Systém S je uspořádán inkluzí,
nechť g je nějaké maximální zobrazení v S. Ukážeme, že g je definováno na celém
x x x. V opačném případě existuje nejmenší dvojice <a, >•>, která nepatří do
definičního oboru Dom (g). To znamená, že |Dom (g)\ < x, a jelikož |Aa| = x, je
Aa — Rng (#) =f= 0. Můžeme proto vybrat prvek x e Aa různý od všech g(P, y)
a zobrazení g prodloužit. To je ve sporu s maximalitou g. Ověřili jsme, že
Dom (#) = x x x. Pro a < x položme
Ba = {g(<*,y)--y <*}•
Z vlastností zobrazení ze systému S plyne, že Ba c Aa. Zobrazení g je prosté, tedy
\Ba\ = x a Ba,Bp jsou disjunktní pro různá a, p. Dokázali jsme, že (B^.i < x>
je požadované disjunktní zjemnění.
1.3 Lemma. Nechť (Aa:ot < x} je soubor podmnožin nějaké množiny X, z nichž
každá má mohutnost x. Potom existuje x vzájemně disjunktních množin Bp c= X,
P < x, pro které platí
\BP\ = x,
\Bp n Aa\ = * pro každé cc,f$ex.
Důkaz. Nechť <Ca:a<x> je disjunktní zjemnění souboru (Aa:a<x) z 1.2.
Každou množinu Ca rozložme na x částí C(a,p\ p < x tak, že každá"množina C(a, £)
má mohutnost x. Máme tedy Ca = \J{C(a,p):p < x] pro každé a < x. Pro p < x
položme
*/> = U{CM):a<x}.
Množiny B& jsou sjednocením x množin mohutnosti x, tedy \BP\ = x. Pro P =f= y
a libovolné ccv a2 jsou množiny C^, P) a C(a2,y) disjunktní, proto jsou disjunktní
i množiny Bp a By. Přitom Bp protíná každou množinu Aa v mohutnosti x, protože
C(aJ)QAxnB(}.
Dokázané lemma zaručuje, mimo jiné, existenci dvou disjunktních množin
takových, že každá z nich má neprázdný průnik s každou množinou výchozího
systému. Použití ukážeme na příkladech. ,
1.4 Příklady, (a) Rozklad množiny racionálních čísel na husté podmnožiny.
Množina Q racionálních čísel je hustou podmnožinou reálných čísel U. Ukážeme, že
množinu Q lze rozložit na nekonečně mnoho Částí [qn: ne oj} tak, že každé qn je opět
hustou podmnožinou v U.
210

1.4
Kombinatorické vlastnosti množin
III
Uvažujme lineární uspořádání racionálních čísel podle velikosti. Nechť /n, n < co
je nějaké očíslování všech neprázdných otevřených intervalů na množině Q. Každý
interval In c Q je spočetný, můžeme použít lemmatu 1.3, podle kterého existují
množiny qmi m < co, které jsou vzájemně disjunktní a každá z nich má neprázdný
průnik se všemi intervaly In. To znamená, že množiny qm jsou husté v Q i v IR.
Pokud systém {qm: m < cd] nepokrývá celé <Q>, vezmeme q0 u (Q — [J qm) misto
m>0
qQ, ostatní qm ponecháme beze změny, a tak získáme hledaný rozklad celé
množiny Q. Z důkazu je zřejmé, že tvrzení o rozkladu platí pro každou spočetnou hustou
podmnožinu U, nikoliv pouze pro Q.
(b) Báze uhrafiltru. Nechť ŽF je filtr na x. Připomeňme, že B c $F je báze
filtru &', jestliže každá množina z ŽF je nadmnožinou nějaké množiny z B.
Dokážeme, že uniformní filtr ^nax (každá množina X e ŠF má plnou
mohutnost x\ který má bázi mohutnosti < x, není ultrafiltrem. Jinými slovy, jakákoliv
báze každého uniformního ultrafiltru na x má mohutnost větší než x.
Dokazujeme sporem. Předpokládejme, že nějaký uniformní ultrafiltr & má bázi
Bg^", |fí| < x. Nechť <fla:a < x} je nějaké očíslování všech prvků z B, v očíslování
připouštíme i opakování. Všechny množiny aa mají mohutnost x, tedy z 1.3 plyne,
že existují dvě disjunktní množiny b0i bx c x takové, že jednaje doplňkem druhé,
a pro každé i < 2 a každé a < x je bt n aa 41 0- To znamená, že ani jedna
z množin bf není nadmnožinou nějaké množiny z JB a přitom buď b0i nebo 6j musí být
v ultrafiltru. Dostali jsme spor s tím, že B je báze ultrafiltru SF.
(c) Bernsteinovské množiny. Budeme se zabývat množinami reálných čísel. Víme,
že uzavřené podmnožiny reálné přímky jsou bud nejvýše spočetné, nebo mají již
plnou mohutnost 203. Navíc, všech uzavřených množin je 203.
Nechť {Ga: a < 2W} je nějaké očíslování všech nespočetných uzavřených množin.
Podle 1.3 existují vzájemně disjunktní množiny bx, a < 2"" reálných čísel, každá
z nich protíná každou nespočetnou uzavřenou množinu.
Říkáme, že množina B c: U je bernsteinovská, jestliže ona i její doplněk protínají
každou nespočetnou uzavřenou množinu. Tedy každá množina ba je bernsteinovská.
Bernsteinovské množiny jsou zajímavé z hlediska míry.
Je-li B bernsteinovská množina, pak je lebesgueovsky neměřitelná a také nemá
Baireovu vlastnost (viz IV. 1.29).
K tomu stačí dokázat, že každá měřitelná podmnožina množiny B nebo (R — B
má míru nula, a také, že každá podmnožina množiny B nebo U — B, která má
Baireovu vlastnost, je hubenou množinou.
Nechť A c B je měřitelná. Libovolná uzavřená množina G c A je nejvýše
spočetná, protože nespočetná uzavřená množina má neprázdný průnik s U — B,
a tedy m(G) = 0. Množina kladné míry obsahuje uzavřenou množinu také kladné
míry a to znamená, že m(Á) — 0.
Nechť A c B má Baireovu vlastnost. Potom A = C u D, kde C je G5-množina
a D je hubená množina. Protože každá nespočetná G^-množina obsahuje nespočet-
211

III
1.4
nou uzavřenou množinu, je množina C nejvýše spočetná, a tedy hubená. Množina A
je sjednocením dvou hubených množin, proto je také hubená. Stejnou úvahu můžeme
použít i pro množinu U — B.
Známá Vitaliho konstrukce neměřitelné množiny využívá invarianci Lebesgueovy
míry vůči posunutí, tedy vlastnosti související s grupovou strukturou reálných čísel.
Naproti tomu Bernsteinova konstrukce využívá topologických vlastností reálné
přímky.
1.5 Definice. Nezávislé systémy množin. Nechť
(1) {M{oL,i):aeA,i< 2}
je systém podmnožin kardinálu x takový, že pro každé a tvoří množiny M(a, 0)
a Af(a, 1) rozklad kardinálu x (to znamená, že M(a, 1) = x — Aí(a,0)).
Říkáme, že systém (l) je nezávislým systémem množin na x, jestliže pro každou
konečnou množinu B ^ A sl pro každé zobrazení f:B->2 má průnik
f]{M(a,f(a)):aeB}
mohutnost x.
Je-li (l) nezávislým systémem, pak všechny množiny M(a, i) mají mohutnost x
a pro ai 4= a2 je M(at,0) 4= M(a2,0). To znamená, že největší možná mohutnost
nezávislého systému množin na x je rovna mohutnosti množiny [x]x neboli 2*.
Ukážeme, že existuje nezávislý systém maximální možné mohutnosti T
sestávající dokonce z rozkladů kardinálu x na x částí.
1.6 Věta o nezávislých rozkladech. Na nekonečném kardinálu x existuje systém
množin {M(ccy /?): a < 2*, /? < xj takový, že
(i) pro každé a < 2* je {M(a, /?):/? <x} rozklad množiny x, neboli pro
Px < p2 < x je M(a, jSj n M(a, j82) = 0 a (J{M(a, j8): j8 < x} = x,
(ii) pro každou konečnou množinu B g: 2* 0 každou funkci f:B-+x je
in{M(a,/(a)):ae5}| = x.
Důkaz. Vezměme množinu P všech dvojic <x,/>, kde x je konečná podmnožina
kardinálu x a / je zobrazení /: &{x) -» x. Pro konečné x c x množina všech
zobrazení z ^(x) do x má mohutnost x, všech konečných množin x c x je také x,
tedy |P| = x. Stačí proto nalézt nezávislý systém rozkladů sestávající z podmnožin
množiny P. Pro libovolné y <= * a j3 < x definujeme
M(y,/í) = {<3C,/>eP:/(jcny) = /?}
a uvažujme systém
(2) fMW):yc^<x).
Je zřejmé, že pro dané y c x je {M(y, /?): /? < x} rozklad množiny P. Dokazujeme
(ii). Zvolme libovolně kladné přirozené n, dále vzájemně různé podmnožiny kardi-
212

1.8
Kombinatorické vlastnosti množin
III
nálu x y0, y1?..., yn_x a libovolnou posloupnost j50, /?,,..., fin_ x ordinálnich čísel
menších než x.
Množiny yi9 i < n jsou vzájemně různé, proto všechny symetrické rozdíly
yi A y7, i < j < n jsou neprázdné množiny. Pro každou konečnou množinu x <= x,
která má nějaké společné prvky s každým rozdílem y- A y., i < j < n, platí
(3) x n yt- =j= x n y;-, jakmile i =j= 7.
Zvolme jedno tahové x a definujme zobrazení fx:^(x) -► x předpisem
v v f/ž,-, jakmile z = xnyf pro nějaké 1 < n,
/t(z) = JO jinak.
Nyní je zřejmé, že
(x,/J>eM(,0,f0)n...nM(y,.t,í1.1).
Konečných množin x c= x, které splňují (3), je x, to znamená, že také
|p|{M(yt-, /?,): i <-n}| = *. Podmnožin y c x je 2*, proto systém (2) sestává z 2*
nezávislých rozkladů. Důkaz je hotov.
1.7 Právě dokázaná věta zaručuje existenci nezávislého systému 2* rozkladů na
každé nekonečné množině X mohutnosti x. Potřebujeme-li kratší nezávislý systém,
stačí některé rozklady z dlouhého systému vynechat, tím neporušíme nezávislost.
Každý rozklad v nezávislém systému rozkladů z věty 1.6 má plnou mohutnost x.
Jednotlivé rozklady můžeme zmenšit tím, že některé množiny rozkladu sloučíme
do jedné. Tím neporušíme podmínku nezávislosti. Například, položíme-li pro každé
a<2*
/4(a,0)= M(a,0),
4(a>l)= U{M(a>0):O<0 <*}>
dostáváme nezávislý systém množin {á(cc, i): a < 2*, i < 2).
Následující tvrzení se týká aproximací funkcí v kartézském součinu a je
kombinatorickým jádrem topologické věty Hewittovy, Marczewského a Pondiczeryho
z příkladu 1.1 l(b).
1.8 Důsledek. Nechť (A^. i e /) je soubor množin takový, že \At\ < x pro každé i e1
a \l\ < 2*. Pak existuje množina S c: X<^i: i'eO> která má mohutnost <x, a pro
každou funkci fe^iA^ ie 1} a každou konečnou množinu J^I existuje geS
takové, že
f\j = g\j.
Důkaz. Stačí omezit se na soubor, ve kterém / ={= 0 a každá množina A{ je alespoň
dvouprvková. Víme, že na x existuje nezávislý systém rozkladů {M(i, a): ie l,ae At}.
Pro každé ie I je {M(í, a): a e A{} rozklad x na \A{\ částí.
213

III
1.8
Nechť a < x. Pro i e / položme Ga(i) = a, právě když a e M(i, a). Tim je
definována funkce Ga e X^i: * 6 O- Může se stát, že pro a < /? < x jsou funkce Ga
a Gp stejné. Položme S = {Ga:a < x], zřejmě |S| < x.
Je-li dána libovolná funkce /eX(^:'60 a libovolná neprázdná konečná
množina J c /, pak z nezávislosti dostáváme
0{M(i,/(i)):ieJ} + 0.
Pro libovolné a z tohoto průniku platí
f\j = G.\J.
Ověřili jsme, že systém S má požadované vlastnosti.
Nezávislé systémy množin slouží ke generování různých filtrů a ultrafiltrů. Filtr
na x je speciální podmnožinou množiny &{x\ tedy nějakým prvkem množiny & &{x\
proto na x existuje nejvýše 22x filtrů. B. Pospíšil (1937) ukázal, že počet ultrafiltrů
na x dosahuje horního odhadu počtu filtrů.
1.9 Definice. Je-li & filtr na x, pak charakterem filtru ŠF rozumíme kardinál
x(&) = min {\B\: B je báze filtru &}.
Je zřejmé, že pro filtr ÍF na x je i{&)< 2X, a J27 je hlavní, právě když x{&) = 1-
Filtr, který není hlavní, má nekonečný charakter. Podle 1.4(b) je charakter
uniformního ultrafiltrů na x vždy větší než x.
1.10 Věta (Pospíšil). Pro každé nekonečné x existuje 22" uniformních ultrafiltrů
na x, neboli |/fo| = \fy(x)\ = 22*. Navíc, množina všech uniformních ultrafiltrů, které
mají maximální možný charakter 2*, má také mohutnost 22~.
Důkaz, Dokazujeme nejprve první část. Vezměme nějaký nezávislý systém
{Af(a, i): a < 2*, i < 2} množin na x, jeho existenci jsme dokázali v 1.6 a 1.7. Z
nezávislosti uvažovaného systému plyne, že pro každou funkci /: 2* -► 2 množina
S/ = {M(a,/(a)):a<2'<}
je uniformně centrovaný systém množin na x. Pro dané / existuje nějaký ultrafiltr
fyf na x, který současně rozšiřuje Sf i Fréchétův filtr na x. Ultrafiltr fyf je uniformní
a <ftf 2 Sf.
Jsou-li f g dvě různé funkce z 2* do 2 a je-li /(a) =j= (/(a), potom množiny
M(a,/(a)), M(a,g(a)) jsou disjunktní a první padne do ^ a druhá do fyg. Z toho
plyne, že fyf 4= fyg- Všech funkcí /: 2X -» x je 22x, proto počet uniformních
ultrafiltrů na x je také 22*.
Dokázali jsme \fy{x)\ = 22*. Uniformní ultrafiltry tvoří podmnožinu všech
ultrafiltrů na x, fy(x) c /?x, a víme, že |/Jx| < 22*, tedy \fy(x)\ = |/?x| = 22x.
Důkaz druhé části. Vyjdeme opět ze stejného nezávislého systému množin na x,
ale místo Sf použijeme bohatší systémy. Pro každé /: 2* -» 2 položme
214

1.11
Kombinatorické vlastnosti množin
III
Tf = Sfv{x-r)Y:Ye[Sf]«}.
Množina 7} obsahuje kromě množin z Sf také doplňky všech průniků spočetných
podsystémů systému Sf. Ověřime, že pro každé/je Tf uniformně centrovaný systém
na x. Pro kladná přirozená čísla n, k mějme dány různá ordinální Čísla a0,..., a„ _ x < 2*
a různé spočetné podmnožiny Y0,..., Yk_l c 2X. Zvolme čísla /?. pro j < k
vzájemně různá a také různá od všech čísel a. tak, aby P}e Yy Protože množiny Y.
jsou nekonečné, taková volba je možná. Je zřejmé, že
nM(a,,/(a,))n ()(x - (){M(Z,f(i)): i e Yj}) 2
i<n j<k
3C\M(at,f(at))n()M{pJ,l-f{pj)),
i<n j<k
a z nezávislosti výchozího systému plyne, že průnik má mohutnost x. Tedy 7} je
uniformně centrovaný systém.
Nechť Yf je nějaké rozšíření systému 7} do uniformního ultrafiltru na x. Ověříme
sporem, že x{^}) — 2X. Předpokládejme, že ultrafiltr Yf má bázi B mohutnosti
<2X. Víme, že 2X množin Aí(a,/(a))je v ultrafiltru Vf a |fi| < 2X, tedy existuje CeB
takové, že množina
r = {a< 2x:Cg M(a,/(a))}
je nekonečná. Vezměme spočetnou podmnožinu Y c Y\ Potom
Ccf){M(a,/(a)):aey}e^
a současně
(x-niM(a,/(«)):a6y})6T/c^)
neboli v ultrafiltru ^ leží množina i její doplněk a to je spor. Proto x(^j) = 2*.
Dokázali jsme, že |^6^(x):*(^) = 2X| = 22*.
1.11 Příklady, (a) Zobecněné nezávislosti. Nechť A, x jsou nekonečná kardinální
čísla a nechť x<x = x (tedy A < x). Pak existuje systém {a(ol, fi):cc < 2X, /? < x}
rozkladů na x plné mohutnosti 2X, který je A-nezávislý, to znamená, že pro každé
B g: 2X mohutnosti < A a pro každou funkci f\B-+x je množina
neprázdná a má mohutnost x.
Uvědomme si, že pro nekonečné x platí x<ÍJ = x, a co-nezávislost je totéž, co
obvyklý pojem nezávislosti. Uvedené tvrzení je proto zobecněním věty 1.6. Je-li A
nespočetný kardinál, pak A-nezávislost je silnější než pouhá co-nezávislost.
Nepřekvapuje, že existence velkého A-nezávislého systému na x závisí na vztahu mezi
kardinály x a A.
Snadno se ověří, že na a> nemůže existovat nekonečný co {-nezávislý systém množin.
215

III
1.11
Důkaz zobecněného tvrzení získáme úpravou důkazu věty 1.6. Použijeme množinu
P = {(A,F):Ae[x]<x,F:B-+x, B e[0>(Á)]<x},
pro kterou z předpokladu x<x = x plyne \p\ = x. Pro C c x, stačí položit
^(C, a) = {</!, F>: /4 n C e Dom (F) & F(/4 n C) = a} , je-li 0 < a < x
a
A{C,Q) = P- |J{M(C,a):0 < a < x} .
(b) Věta (Hewitt, Marczewski, Pondiczery). Jsou-li S., i e / topologické prostory,
z nichž každý má hustou podmnožinu mohutnosti <x, a je-li \l\ < T, pak topologický
součin X^i- 'eO obsahuje nějakou hustou množinu mohutnosti <x.
Důkaz plyne z 1.8. Jsou-li A, husté množiny v Si9 \AL\ < x, pak množina funkcí
S c XC^,-". ie/> popsaná v 1.8 má mohutnost <x a je hustá v součinu X^-íeJ).
Připomeňme, že topologický prostor je separabilní, jestliže obsahuje hustou
podmnožinu, která je nejvýše spočetná. Je zřejmé, že součin konečně mnoha
separabilnich prostorů 5i5 i < n je opět separabilní prostor, protože jsou-li
A{ c 5ř husté množiny v Si9 pak množina XA Je hustá v X^,-
Z dokázané věty plyne, že dokonce součin T* mnoha separabilnich prostorů
je opět separabilní prostor. Speciálně prostor 2<"2, kde 2 = (0,1} je diskrétní, je
separabilní. Není těžké ověřit, že prostor <2°,, + 2 již není separabilní. To znamená,
že ve větě (Hewitt, Marczewski, Pondiczery) je omezení |/| < T nutné.
1.12 Definice. Skoro disjunktní systémy, (i) Říkáme, že dvě podmnožiny x, y
kardinálu x jsou skoro disjunktní, jestliže \x n y\ < x.
(ii) Říkáme, že S je skoro disjunktní systém množin na x, zkráceně AD systém,
jestliže S c: [x]* a každé dvě různé množiny z S jsou skoro disjunktní.
(iii) Skoro disjunktní systémy na x jsou uspořádány inkluzí. Říkáme, že S je
maximální skoro disjunktní systém na x, krátce MAD systém, je-li maximální
vzhledem k inkluzi.
Z principu maximality plyne, že každý skoro disjunktní systém na x může být
rozšířen do maximálního skoro disjunktního systému,
AD systém S na x je MAD systémem, právě když pro každé x e [x]* existuje
y 6 S takové, že |x n v| = x. Zajímají nás maximální možné mohutnosti AD
systémů na x. Je zřejmé, že každý disjunktní systém podmnožin x nemůže mít větší
mohutnost než x. Jiná je situace pro AD systémy.
1.13 Lemma. Předpokládáme, že x je nekonečný kardinál
(i) Žádný AD systém na x mohutnosti cí(x) není maximální.
(ii) Existuje AD systém na x mohutnosti >x +.
Důkaz, (i) Nechť v = cí(x) a {/4a:a <'v} je nějaký AD systém na x. Množiny
A^ zmenšíme o malé množiny tak, abychom získali disjunktní systém. Pro a < v
položme
A'a = Aa - \J{Ap: P < a} .
216

1.13
Kombinatorické vlastnosti množin
III
Od Aa jsme odečetli množinu, která je sjednocením méně než cf(x) množin
Aa n Ap pro /? < a, z nichž každá má mohutnost menší než x, a tedy množinu
mohutnosti <x. To znamená, že \AZ — Áa\ < x, \A'a\ — x a libovolná množina je
skoro disjunktní s A^ právě když je skoro disjunktní s Áa. Systém {Áx: a < v} je
disjunktní.
V případě regulárního x je v = x a stačí vzít množinu B c: x, která vybírá
po jednom prvku z každé množiny A'a. Potom |JB| = x a B je skoro disjunktní se
všemi množinami Aa, tedy výchozí systém není MAD systémem. Je-li x singulární,
tedy v < x, nechť <xa, a < v> je rostoucí posloupnost kardinálů konvergující ke x.
Pro každé a < v zvolme množiny ba c A^ tak, že \ba\ = xa, a položme B —
= U(^a:a < v}- Jelikož mohutnosti množin ba konvergují ke x, je \b\ = x. Pro
a < v je B n A'a = ba, to znamená, že £ je skoro disjunktní s A'a, a tedy také s Aa.
Dokázali jsme, že {Aa:a < v) není MAD systémem.
(ii) Pro regulární x vezměme nějaký rozklad R — {y42:a < x] kardinálu x na
množiny mohutnosti x. Jakýkoliv MAD systém na x rozšiřující rozklad R má podle
(i) mohutnost >x.
Zbývá singulární x. Na tomto místě ukážeme využití systémů skoro všude různých
funkcí. Nechť <xa: a < v> je rostoucí posloupnost nekonečných kardinálů
konvergující ke x. Uvažujme kartézský součin C = X^x«+ : a < v>- Prvky z C jsou
ordinalni funkce / definované na v takové, že pro každé a < v platí /(a) < x3+. Říkáme,
že dvě funkce f,geC jsou skoro všude různé, jestliže |{a < v:/(a) = g(a)}| < v.
Protože v je regulární kardinál, poslední podmínka je ekvivalentní s tím, že existuje
£ < v takové, že /(/?) =f= #(/?) pro všechna /? > £. Nechť {/,:>• < x} c C je
libovolný systém mohutnosti x. Pro každé a < v položme
g(a) = sup{/y(a) + 1:>'<xJ.
Množina {/y(a) + l:y < xa} má mohutnost nejvýše xa, a je proto omezenou
podmnožinou kardinálu xa+. To znamená, že g(a) < x + pro každé a < v, tedy g e C.
Pro dané y < x nechť č je nejmenší ordinální číslo takové, že y < xt. Potom
g(a) =j= ^(a), jakmile £ < a < v, a tedy g je skoro všude různé od každé funkce fy,
y < x.
Tím jsme ukázali, že můžeme rekurzí sestrojit systém S — {gň:ó < x + } c C
mohutnosti x+ vzájemně skoro všude různých funkcí. Tento systém použijeme
ke konstrukci hledaného AD systému na x.
Nejprve rozložíme množinu x na v částí, x = U{^: a < v}> ta^ že \Aa\ = xa+.
Každou množinu Aa dále rozložíme na x* množin A(cc,p\ fi < x*, z nichž každá
má mohutnost xa. Konečně pro ó < x+ položme
B4 = UM(«./»):«<V}.
kde fd je funkce ze systému S.
Mohutnosti množin A(a,fd(a)) s rostoucím a konvergují ke x, tedy |bJ = x.
217

III
1.13
Jakmile y < S < x +, je By n Bd c (J{/la: a < £}, kde c^ < v je číslo, od kterého
počínaje jsou funkce fy a /á všude různé. Tedy \By n Bó\ < x a {i^: <5 < x+} je
AD systém na x mohutnosti x +.
1.14 Největší možná mohutnost AD systému na x je 2*. Ptáme-li se, jestli vždy
existuje MAD systém na x mohutnosti 2*, odpověď není jednoznačná. Za
předpokladu GCH kladná odpověď plyne z 1.13.Nepředpokládáme-liGCH, J. Baumgartner
ukázal, že na a^ nemusí existovat žádný MAD systém mohutnosti 2031. S důkazem
této konzistence se seznámíme v kapitole IV.
Nicméně na množině co vždy existuje nějaký AD systém, tedy i MAD systém
mohutnosti kontinua. To plyne z následujícího obecnějšího tvrzení pro x = cd.
1.15 Věta. Jestliže 2<x = x, potom existuje AD systém A c: &>(x) mohutnosti 2*.
Důkaz. Místo množiny x vezměme množinu X = <x{0,1} všech posloupností nul
a jedniček délky <x. Z předpokladu 2<x = x plyne, že \x\ = x. Pro každé
/: x -> {0,1} položme
Af = {/| a: a < x}.
Je zřejmé, že ^ e [^]*. Jsou-li /, gex{0,1} dvě různé funkce, nechť £ je
nejmenší ordinál, pro který /(<!;) 4= #(£)• Potom Af n Ag £. {f\y:y < £}, a proto
l^y-n^J < |<!;| < x. Tedy {i4y:/e*{0, l}} je AD systémem mohutnosti 2* na
množině X, která má mohutnost x.
Z věty 1.15 vyplývá, že neexistuje-li MAD systém na ojí plné mohutnosti 2*01,
neplatí hypotéza kontinua.
Na o) existuje MAD systém mohutnosti kontinua, tedy největší možné
mohutnosti. Problém, zda každý nekonečný MAD systém na co má mohutnost 2", je
nerozhodnutelný v teorii množin.
1.16 Příklady, (a) Elegantní konstrukce skoro disjunktního systému mohutnosti
kontinua na spočetné množině využívá struktury reálné přímky. Na množině Q
racionálních čísel sestrojíme AD systém tak, že pro každé iracionální číslo r vybereme
jednu posloupnost p(r) = {an: ne cd) racionálních čísel, která konverguje k r.
Jsou-li r0, rl libovolná různá iracionální čísla a V0i Kx jsou jejich disjunktní okolí,
z konvergence posloupností p(rt) plyne, že pro každé / < 2 je p(rt), až na konečnou
množinu, částí Vv To znamená, že p{r^ p(r2) jsou skoro disjunktní nekonečné
množiny. Ověřili jsme, že S — {p(r)'-r iracionální} je AD systém na Q mohutnosti
kontinua.
Zkonstruovaný systém S však není maximálním skoro disjunktním systémem,
protože k libovolnému iracionálnímu číslu r lze sestrojit jinou posloupnost
racionálních čísel konvergující kra disjunktní se zvolenou posloupností p(r). Navíc
vhodnou volbou prvních členů posloupností p(r) můžeme docílit toho, že Q = \JS.
V takovém případě dokonce platí, že pro každou nekonečnou množinu A c: Q
buď existuje konečná S0 <= S taková, že A c [JSQ, nebo existuje nekonečná
podmnožina B c A, která je skoro disjunktní se všemi množinami z S.
218

1.19
Kombinatorické vlastnosti množin
III
(b) Konstrukce nezávislého systému množin z AD systému. Nechť S — [aa: cc < 2"}
je nějaký AD systém na co. Pomocí S snadno získáme nezávislý systém množin
mohutnosti kontinua na spočetné množině X = [co]<co. Pro každé a < 2"
definujeme
ba0 = {xeX:xnaa + 0}
a
K\ = X - ba0.
Čtenář se snadno přesvědčí, že {b^/. cc < 2", i < 2} je nezávislý systém podmnožin
množiny X.
(c) MAD systém na x mohutnosti x. Podle 1.13(i) nemůže takový systém existovat
na regulárním x, připadá v úvahu pouze singulární kardinál. P. Erdos a S. Hechler
(1973) dokázali následující tvrzení: Je-li x silně limitní singulární kardinál, pak na
x existuje MAD systém mohutnosti x.
Závěr (GCH): Na libovolném kardinálu x existuje MAD systém mohutnosti v,
právě když v =j= cf (x) a 1 < v < 2*.
1.17 Definice. J-systém. Říkáme, že systém množin A je kvazidisjunktní nebo že je
A-systém, jestliže existuje pevná množina b taková, že pro každé dvě různé množiny
x,y e A je x n y = b. Množina b se nazývá jádrem A -systému. Odečteme-li od
každé množiny A -systému jeho jádro, získáme disjunktní systém.
Říkáme, že (^i i e /> je A -soubor, jestliže existuje množina b taková, že pro různá
Ujel je AinAj = b.
Následující tvrzení je snadno zapamatovatelné a je speciálním případem věty
o existenci A -systému, který se často používá.
1.18 Lemma. Je-li A nespočetný systém konečných množin, pak existuje nespočetný
podsystém B c A, který je A-systernem.
Lemma plyne z následující věty, když položíme k = cj^ a x — co, protože pro
každé spočetné ordinálni číslo je množina všech jeho konečných podmnožin opět
spočetná.
1.19 Věta o J-systémech (Erdós, Rado 1960). Nechť X > x a Xje regulární kardinál
takový, že pro každé cc < X je \a<x\ < X. Je-li A systém množin mohutnosti X
a každá množina x e A má mohutnost menší než x, pak existuje A-systém B ^ A
mohutnosti X.
Důkaz. Podle předpokladu je |y4| = X a pro xs A je |x| < x < X, proto
HJ-^I — ^- Nezáleží na tom, z kterých prvků se množiny xeA skládají, můžeme
předpokládat, že [JA Q X. Každá množina x 6 A je podmnožinou X a je
uspořádaná podle ordinálního typu <x. Jelikož X je regulární a x < X, existuje ordinálni
číslo q < x takové, že množina A1 = {x e A: x je typu q} má mohutnost X.
Zvolíme pevně takové q a uvažujeme pouze systém Av
219

III
1 19
Pro každé a < X je |a<x| < A, to znamená, že těch xeAx, které jsou
podmnožinami a, je méně než X. Tedy {JA{ nemůže být omezená podmnožina X. Pro
č, < q a x e A{ nechť x(č,) je C-tý prvek množiny x. Jelikož X je regulární a
LUi = UWČ):*^},
existuje nějaké £, pro které je množina (x(£): xe Ax] neomezená. Nechť í0 je
nejmenší takové £ (případ č0 = 0 je možný). Položme
a0 = sup{x(^) -f 1:^7 < <J0 &X6 ^j} .
Pro každé >/ < c0 je podmnožina {x(n):xe A{] omezená v A, proto a0 < A,
a navíc pro libovolné x e ^ a ^ < £0 je x(ř/) < a0.
Nyní transfinitní rekurzí pro fi < X vybereme xpeA1 tak, že platí xp{šQ) > a0
a Xp(£0) je větší než všechny prvky z (J xr Existence takového xp plyne z toho, že
y<fi
ao < ^ U xy Je omezená a (x(£0): xe A:) je neomezená množina v X.
y<P
Položme A2 = {xp: P < /}. Potom \A2\ = A a pro různé x, ye/l2 je xnyg a0.
Jelikož |a^x| < A, existují b c a0 a B <^ A2 takové, že \B\ = A a x n a0 = fr pro
každé xeB. Tedy £ je hledaný A -systém s jádrem b.
Předpoklad regularity kardinálu A je nutný i v případě systémů sestávajících jen
z konečných množin.
1.20 Příklad. Pro libovolný singulár A > cf (A) = v existuje systém A
dvouprvkových množin, který má mohutnost A, a žádný A -systém B c A nemá plnou
mohutnost A. Nechť <A^: £ < v> je rostoucí transfinitní posloupnost kardinálů
konvergující k A. Pro C < v položme
\ = U^*?}1 A* <f < Ví}-
Je zřejmé, že A^ je ^1-systém s jádrem {A,} a |/L| = A^ + 1 < A. Položme A =
= (J{/1-: £ < v}, pak |/4| = A. Jakmile čx =j= í2> Pa^ Pro libovolné xe^,
yeA^2 je x n y = 0. To znamená, že zl-systém B ^ A je buď podmnožinou
nějakého Ap a pak |fí| < A« + 1 < A, nebo |B n/L| < 1 pro každé č, < v, a pak
|£| < v < A. V každém případě je \B\ < A.
Právě uvedený příklad je typický pro singulární kardinály a naznačuje, že
v některých případech můžeme tvořit dvoustupňové A -systémy.
1.21 Kaktusové lemma. Nechť X je singulár s nespočetnou kofinalitou v == cf (A)
a nechť A je systém konečných množin takový, že \A\ = A. Potom existuje konečná
množina r a pro každé a < v existují Ba^ A a konečná množina ra takové, že platí
(i) mohutnosti |£a| pro a < v konvergují k A,
(ii) pra /caičté a < v je Ba A-systém s jádrem ra,
(iii) {ra: a < v} je A-systém s jádrem r,
(iv) je-li ol < fí < v a x e Ba, yeBp, pak x n y = r.
220

1.22
Kombinatorické vlastnosti množin
III
Důkaz. Zvolme <Aa:a < v> rostoucí posloupnost regulárních kardinálů
konvergující k a tak, že A0 > v. Nechť {á^.cc < v} je rozklad množiny A takový, že
MJ = K Pro každé a < v. Podle věty 1.19 existují zl-systémy B'a £ Aa, \B'a\ = Áa.
Pro každé a < v zvolme* pevně takovou množinu B'a a položme ra = H^á-
Soubor <ra: cc < v> sestává z jader systémů £a, tedy z konečných množin. Protože
v je nespočetný regulární kardinál, existuje podle věty 1.19 neomezená podmnožina
X c: v a konečná množina r takové, že [rx\ xe X} je zl-systém s jádrem r. Množina
Xgv má ordinální typ v a její prvky lze jednoznačně očíslovat všemi ordinálními
čísly a < v. Jednoduchou záměnou indexů systémů rx, Bx a kardinálů kxi kdy
místo x píšeme a, jakmile x je a-tý prvek X, dosáhneme toho, že indexová množina
bude celé v. Získali jsme tak zl-systémy B'a pro a < v a zl-systém {ra: a < v}, jejichž
jádra jsou ra pro a < v ar, pro které platí (i}-{m)-
Dalším prořezáním systémů B'a zabezpečíme (iv). Pro a < v položme Ca =
= (JíU^r^ < a}- Jenk°ž Aa je regulární a Xa > v, je |cj < Aa. Každé
xeB'a protíná množinu Ca v konečné množině. Konečných podmnožin množiny Ca
je méně než \B'a\ = Aa, a proto existuje konečná množina ca ^ Ca a množina
Ba c Ba takové, že |#a'| = Aa a pro každé xe5je xnCa = ca. Je zřejmé, že ca c
c ra. Nakonec položme
Ba = B." - {x e B- (3/? < v) ((* - rj n r, * 0)} .
Protože 5a je zl-systém s jádrem ra, zmenší se Ba oproti £a nejvýše o v množin,
tedy \Ba\ - Xx. Pro fi < a < v zvolme xe^ a y e Ba. Jelikož yeJBa a x £ Ca,
je ]/nxgcac ra. Z definice množiny B^ plyne, že ra n x ^ rfi, a jelikož
ra c y, r^ c x, to dohromady znamená, že r ^ y n x ^ ra n /^ = r, neboli
y r\x = r. Dokázali jsme, že zl-systémy Bay a < v splňují i podmínku (iv).
Věta o zl-systémech se používá pro výpočet Suslinova čísla uspořádaných množin
a topologických prostorů.
1.22 Definice. Suslinovo číslo. Nechť <P, < ) je uspořádaná množina.
(i) Říkáme, že prvky x, ye P jsou disjunktní, a píšeme x _L y, jestliže žádný prvek
z P není současně menší než xay.
(ii) Říkáme, že X ^ P je disjunktní množina, jestliže každé dva různé prvky
x,yel jsou disjunktní.
(iii) Kardinální číslo c(P, <) = sup {|X|: X c p je disjunktní množina} se
nazývá Suslinovým číslem uspořádané množiny <P, <).
(iv) Suslinovo číslo topologického prostoru S je kardinální číslo c (Š) — sup {|A'|: X
je disjunktní množina otevřených neprázdných podmnožin prostoru S}.
Je zřejmé, že Suslinovo číslo neprázdné lineárně uspořádané množiny stejně jako
uspořádané množiny s nejmenším prvkem je rovno 1. Pro topologické prostory je
Suslinovo číslo reálné přímky a vůbec každého nekonečného separabilního Haus-
dorffova prostoru K0.
221

III
1.23
1.23 Lemma. Nechť A je nespočetný regulární kardinál a nechť {A^.iel} je
soubor množin takový, že každá množina Ai je mohutnosti <A. Uvažujme množinu
P = {f'-fje konečná funkce a f(i) e Ai pro každé i s Dom (/)}
uspořádanou opačnou inkluzí, to znamená, že f < g +-+ g c: j% Potom každá disjunktní
množina X ^ P má mohutnost <k. Odtud plyne, že Suslinovo číslo c(P, =>) < A.
Důkaz sporem. Nechť X = {fa\ a < k} g; p je disjunktní množina mohutnosti A.
Položme aa = Dom(/J. Soubor <aa:a < A> sestává z konečných množin a má
nespočetnou regulární délku k. Z věty 1.19 plyne, že existuje množina W c k
mohutnosti A, pro kterou je soubor (aa.<xeW} /d-souborem s nějakým jádrem b.
Jelikož X je disjunktní množina, žádné dvě různé funkce z X nemají společné
prodloužení. Odtud plyne, že jádro b je neprázdná množina a pro různá š,neW jsou
funkce fe\b a fn\ b různé. Předpokládali jsme, že \A-\ < A, a víme, že b je
konečná, proto |X(^«: *'e b>l < ^ ^likož množina {f^ \ b: č, s W) má mohutnost A,
dostáváme spor. Důkaz je hotov.
1.24 Důsledek. Suslinovo číslo Cantorova prostoru (02 je X0. Totéž platí i pro
zobecněné Cantorovy prostory a2, kde cc je libovolný nekonečný ordinál.
Označíme-li 0(S) množinu všech otevřených neprázdných množin topologického
prostoru S, pak 0(S) je uspořádaná inkluzí a zřejmě platí c(S) = c(0(S), e). V
kapitole o Booleových algebrách uvidíme, že každá uspořádaná množina jednoznačně
určuje Booleovu algebru a Stoneův prostor všech ultrafiltrů na této algebře. Susli-
nova čísla uspořádané množiny a odpovídajícího Stoneova prostoru jsou si rovna.
1.25 Příklad. Suslinovo Číslo součinu topologických prostorů. Je-li (S^./eí) soubor
topologických prostorů takový, že Suslinovo číslo každého topologického součinu
konečně mnoha prostorů S, je <K0, potom c(X(^: ie />) < X0.
Důkaz využívá 1.18. Předpokládejme, že Va, a < cox jsou vzájemně disjunktní
neprázdné otevřené množiny prostoru ^{S^ ieI}. Můžeme předpokládat, že
každá množina je bázová. Pak Va závisí pouze na konečné množině souřadnic
aa c /. Nechť <aa:a£ W} je zl-soubor s jádrem b a \w\ = Kx. Všechny projekce
n(Va), a e W na prostor X^: ř E ^> tvor^ nespočetný disjunktní systém otevřených
množin v součinu konečně mnoha prostorů St a to je spor.
Problém, zda Suslinovo číslo součinu každých dvou prostorů se spočetným Susli-
novým číslem je opět spočetné, není rozhodnutelný v ZFC. R. Laver ukázal, že z
hypotézy kontinua plyne negativní odpověď. Martinův axiom MAWl řeší problém
pozitivně.
1.26 Definice. Volná množina. Nechť A je libovolná množina. Množinovým
zobrazením na A nazýváme funkci
F:A-+0>{A)
222

1.27
Kombinatorické olastnosti množin
lil
takovou, že a$F(a) pro každé a e A. Říkáme, že podmnožina B g: A je volnou
množinou pro F, jestliže pro každé a £ £ je B n F(a) = 0. Ekvivalentně, £ je volná,
jestliže pro každé dva prvky a,beB platí a £ f(6).
Zajímají nás podmínky na množinové zobrazení, za kterých existuje velká volná
množina. P. Turán byl první, který položil kolem roku 1930 problém tohoto typu.
Ptal se, existuje-li volná nekonečná množina pro množinové zobrazení F: U -► &*(U),
když každá množina F(r) je konečná. Odpověď je pozitivní, dokonce existuje volná
množina mohutnosti 2*°.
Na druhé straně, množinové zobrazení F na x definované předpisem F(<x) =
= {/?: P < a} pro každé a < x je příkladem zobrazení, pro které platí
(Va<x)(|F(a)|<x),
a přesto neexistuje ani dvouprvková volná množina pro F.
Lze očekávat více, budeme-li předpokládat, že pro množinové zobrazení F na
x existuje kardinál v < x takový, že pro každé <x < x platí |f(a)| < v.
Ruziewicz vyslovil 1936 hypotézu, že za těchto předpokladů existuje volná
množina pro F plné mohutnosti x. Tato hypotéza byla zodpovězena kladně D. Lazarem
(1937) pro regulární x a A. Hajnalem (1961) pro singulární x.
1.27 Věta o volných množinách. Nechť x a v jsou kardinály, x nekonečné a v < x.
Nechť A je množina mohutnosti x a nechť F je množinové zobrazení na A takové, že
\F{d)\ < v pro každé ae A. Potom existuje množina B £ A mohutnosti x, která
je volná pro zobrazení F.
Důkaz. Všimněme si, že všechny volné množiny pro dané množinové zobrazení
jsou uspořádány inkluzí a splňují podmínky principu maximality. Existují tedy
maximální volné množiny.
Nejprve vyšetřujme případ, kdy je x regulární. Rekurzí pro a < v vybereme
množiny Aa c A takové, že pro každé a < v je Ax nějaká maximální volná
podmnožina množiny A — [){Ap: p < a).
Pokud pro nějaké ot je \Aa\ = K jsme hotovi, protože množina Aa má požadované
vlastnosti.
Předpokládejme, že tato situace nenastane, tedy že pro každé a < v je \Aa\ < x,
a dojdeme ke sporu. Protože 1^(^)1 < v < x, pro každé a < v platí
\[){F{a):aeAa}\<x.
Odtud a z regularity x plyne, že množina
B= \jAau\J{F(a):ae\jAa)
a<v a<v
má mohutnost <x, a proto A - B ^ 0. Zvolme xgA — B. Pro každé a. < v
platí
xí[)Afi i xíAau\J{F{a):aeAa}9
223

III
1.27
a protože Aa je maximální volná množina, je F(x) n Aa + 0. Množiny A^ a < v
jsou vzájemně disjunktní, F(x) má s každou z nich neprázdný průnik, tedy nutně
\F(x)\ > v. To je však spor s tím, že |f(íz)| < v pro každé ae A. Pro regulární x
je věta dokázána.
Předpokládejme nyní, že x je singulár. Položme A — cf (x) a zvolme rostoucí
posloupnost <xa: a < A> kardinálů konvergující ke x takovou, že x0 = max (A + , v + ).
Zvolme dále rozklad {/4a:a<A} množiny /l takový, že pro každé a < A je
14x1 = y-l'• Kardinály xa+ jsou nekonečné a regulární, v < xa+, a proto z první části
důkazu plyne, že pro a < A existují množiny B'x c /la, |/^| = xa+, které jsou volné
proF.
Pro ol < X položme
B, = B:-{j{F{a):ae\}A,}.
f}<JL
Od B'3 odečítáme množinu mohutnosti <xa, tedy |£a| = x*. Navíc pro libovolné
xeB2 platí
(4) F{x)n[){Bp:a<p<X}=Q.
Dále rekurzí vybereme pro každé a < A a každé <J < x0 množiny fí(a, č) c B2
tak, že platí
(i) £(a, cO n B(a, <S2) = 0, jakmile ^ < í2 < x0,
(ii) je-Ii x £ fí(a, š), pak F(x) je disjunktní se (J{#(/?, č): P < a},
(iii) je-li mohutnost množiny
(5) {x e (B. - U 5(a,'/)): f W n U B(^, Č) = 0}
nejvýše xa, pak B(a, č) je přímo množina (5), je-li mohutnost množiny (5) větší
než xx, pak B(a, č) je nějaká její podmnožina mohutnosti xa.
Nyní, pokud pro nějaké č, < x0 má množina
mohutnost x, jsme hotovi, protože z (4) a (ii) plyne, že A^ je volná množina pro F.
Dokazujeme sporem, že takové č, existuje. Předpokládejme, že pro každé
HjB(a,c;):a < A| < x .
To znamená, že pro každé č < x0 existuje a(£) < A takové, že
IUB(a,í):a<A| < xa(4).
Jelikož x0 je regulární kardinála x0 > A = cf(x), existuje y < X takové, že množina
Y = {£ < x0:a(č) = 7} má mohutnost x0. Odtud plyne, že pro každé č, e Y je
£(}', C) < xy.
224

1.28
Kombinatorické vlastnosti množin
III
Množina By - \J{B(y,š):š < x0] je neprázdná, protože \By\ = x* a |J3(y,c)l <
< xy. Vezměme nějaký prvek xeBy - {J{B{}\Q:š < xQ}. Potom x neleží také
v žádné množině B(y, č), £ £ 7 a to znamená podle (iii), že pro každé cev platí
F(x) n U W> Č): /? < v} + 0. Z toho a z (i) plyne, že \F(x)\ > xQ > v, a to je spor.
Důkaz věty je kompletní.
Množinová zobrazení jednoznačně určují orientované grafy bez smyček. Je-li
totiž F: A -» &{Á) množinové zobrazení, pak odpovídajíci graf GF sestává z
množiny A jako množiny vrcholů a z vrcholu a vede hrana do vrcholu b, právě když b e F(a).
Formálně GF = <4, H>, kde H = {<<3, b}\ beF(a)}. Vidíme, že množina B^A
taková, že žádné dva vrcholy z B nejsou spojeny hranou v grafu Gf, je právě volnou
množinou pro zobrazení F.
Naopak, je-li G = <X, H> nějaký orientovaný graf bez smyček a položíme-li
F(a) = {be A: <a, fe> eH} pro každé aeX, dostaneme množinové zobrazení F
na A a je zřejmé, že G = Gf.
S množinovými zobrazeními a volnými množinami jsme se setkali již v kapitole I.
Lemma o třech množinách 1.8.24 neříká nic jiného, než že pro množinové zobrazení
F na A takové, že pro každé aeA je |jF(a)| < 2, existují tři volné množiny, jejichž
sjednocení je A.
Stejným způsobem jako lemma o třech množinách, užitím principu kompaktnosti,
lze dokázat obecnější tvrzení známé také de Bruijnovi a Erdosovi. Nechť n je kladné
přirozené číslo. Je-li F množinové zobrazení na A takové, že pro každé a e A je
|f(fl)| < n, pak A je možno rozložit na 2n - 1 volných množin.
Následující věta je alternativou zmíněného tvrzení pro případ nekonečného n.
1.28 Věta (Fodor). NechťX axjsou nekonečné kardinály, X < x. Nechť A je množina
mohutnosti x. Je-li F množinové zobrazení na A takové, že pro každé aeA je
\F(a)\ < A, pak existuje systém S s &(A) sestávající z volných množin a takový, že
\S\ < X a \JS = A.
Důkaz. Rekurzí pro libovolnou množinu X e \_A~]X definujeme množiny Xn c A.
n < cd tak, že X0 = X, Xn+ l = [jF[Xn]. Potom množina X„, = \J\ Xn\ n < o>}
má mohutnost A a je uzavřená vůči F v tom smyslu, že pro každé xeXw je
F{x) s Xa.
Z toho plyne, že množinu A můžeme vyjádřit jako sjednocení x množin
A = U\řj4a: a < xl> každá z nich má mohutnost A a je uzavřená vůči F.
Položíme-li pro každé a < x
je zřejmé, že množiny Bai a < x pokrývají celou množinu A a jsou vzájemně
disjunktní. Navíc, z uzavřenosti množin Aa vůči F plyne, že pro libovolné xs Ba je
(6) F(x)n{J{Bp:a<p<x}=0.
225

III
1.28
Nejprve popíšeme konstrukci, jak pro libovolnou neprázdnou množinu T ^ A
získat systém H(T) nejvýše A volných podmnožin množiny T, pro který platí
(7) xe(T- \JH(T)) - (3>- e [}H(T)) (y e F(x)).
To znamená, že systém H(T) bude mít tuto vlastnost: pokud H(T) nepokrývá celou
množinu T, každý prvek, který nepatří do některé volné množiny z H(T), je spojen
s nějakým prvkem množiny \JH(T).
Položme Ta = T n Ba pro každé a < x. Nutně |Ta| < A, a proto, je-li Ta =(= 0,
všechny prvky z Ta můžeme očíslovat (případně s opakováním) tak, že
Ta = {fl(a,{):í<A}.
Pro í < A zvolme maximální podmnožinu Y^ množiny
{í2(a,c):a < x&Ta + 0}
takovou, že
/J<a<x->fl(j8,{)#F(fl(a,{)).
Podle (6) je Y, volná množina.
Systém H(T) = {Y^: { < A} splňuje podmínku (7), neboť je-li xe T - (J{Y?: í < A},
pak x = a(a, £) pro nějaké a < x, í < A, a protože x £ Y^, z maximality Y^
plyne, že F(x) obsahuje nějaký prvek a(P, č) s Y^ pro f} < a.
Hledaný systém 5 nezávislých množin získáme opakovaným použitím konstrukce
systému H(T) pro T ^ A. Položme T0 = /l a S0 = H(T0). Dále rekurzí pro r\ < A
získáme množiny 7^ a systémy 5^ volných podmnožin množiny Tn tak, že položíme
T, = >i-U0K:Í<1},
5, = H(T,), pokud T, + 0, jinak S„ = 0.
Ověříme, že S = [j S^ má požadované vlastnosti. Každá množina ze systému
je volná pro F, |sj < A pro >? < A, tedy |S| < A.
Zbývá ověřit, že [JS = A. Všimněme si, že A — \JS = f\{Tn:rj < A} a že 7^
je disjunktní s množinou U{U^:Č < ^}- Kdyby existovalo nějaké xsA- (JS,
pak x e Tn pro každé rj < A, proto podle (7) F(x) má neprázdný průnik se všemi
množinami \JSn, r\ < A, které jsou vzájemně disjunktní, odtud plyne spor
|F(x)| > A. Tedy (JS = A a důkaz je hotov.
Dokázanou větu můžeme vyjádřit v řeči teorie grafů.
1.29 Věta. Nechť A je nekonečný kardinál. Je-li G = </4,H> orientovaný graf bez
smyček a má-li každý jeho vrchol výstupní stupeň <A, pa/c graf G je X-obarvitelný.
Důkaz. Jakmile \a\ < A, je tvrzení triviální, protože rozklad množiny A na
jednoprvkové množiny zaručuje A-obarvitelnost. Jakmile A < \a\, pak v důsledku věty
226

1.30
Kombinatorické vlastnosti množin
III
můžeme množinu A rozložit na X volných množin. Takový rozklad určuje obarvení
grafu G pomocí X barev.
Ukážeme jednoduché použití věty 1.27 v uspořádaných množinách.
1.30 Lemma. Nechť (,4, <> je nekonečná uspořádaná množina. Nechť existuje
kardinální číslo v < \a\ takové, že pro každé as A má dolní množina (<-,a) =
— {x s A: x < a] mohutnost <v. Pak existuje množina X g; A vzájemně
neporovnatelných prvků taková, že \X\ = \A\.
Důkaz. Položíme-li F(a) = («-, a) pro aeA, získáme množinové zobrazení F
na A, které spolu s v splňují předpoklady věty 1.27. Proto existuje velká volná
množina X pro F. Je vidět, že různé prvky z X jsou neporovnatelné.
227

§ 2 Stacionární množiny
Seznámíme se s hlavními výsledky o stacionárních množinách, které úzce souvisí
s ordinálními funkcemi a s filtry a ideály na ordinálech. Zavedeme pojmy uzavřená
neomezená množina, stacionární a nestacionární množina, regresivní funkce, filtr
uzavřených neomezených množin, normální filtr.
Dokážeme Fodorovu větu, která charakterizuje stacionární množiny pomocí
regresivních funkcí. Seznámíme se s Ulamovými maticemi a větou o rozkladu
stacionární množiny na stacionární podmnožiny. Dokážeme také Silverovu větu, jejíž
speciální případ (bez stacionárních množin) jsme vyslovili v II.5.24.
V závěru zavedeme kombinatorické principy diamant O a čtvereček □•
V celém oddílu x% A značí nekonečná kardinální čísla, d značí limitní ordinální
číslo.
2.1 Definice, x-úplný filtr. Říkáme, že filtr .F na množině X je x-úplný\ jestliže
libovolný průnik méně než x množin z filtru $F je opět v .F.
Ideál / na X je x-úplný, jestliže libovolné sjednocení méně než x množin
z J je opět vJ.
Každý filtr i ideál je podle definice co-úplný, x-úplnost dává něco nového jen
v případě, kdy x je nespočetný kardinál. Místo col -úplnosti se také mluví o a-úplnosti
filtru nebo ideálu. Je zřejmé, že filtr je x-úplný, právě když duální ideál je x-úplný.
Hlavní filtr je charakterizován tím, že je x-úplným filtrem pro každý kardinál x.
2.2 Definice. Fréchétův filtr, ideál. Nechť A'je nekonečná množina a \X\ = x. Ideál
[X]<x nazýváme Fréchétovým ideálem na X. Duální filtr k Fréchétovu ideálu
nazýváme Fréchétův filtr.
Je-li J Fréchétův ideál na kardinálu A, pak je cf (x)-úplný, není však cf(A) +-úplný.
Ideál všech spočetných podmnožin nespočetné množiny A' je <r-úplným ideálem.
Ideál všech množin Lebesgueovy míry nula a ideál všech hubených množin jsou
známé příklady c-úplných ideálů na reálné přímce.
Budeme se zabývat podmnožinami nějakého pevně zvoleného nekonečného
kardinálního nebo limitního ordinálního čísla. Připomeňme, že každý ordinál je
228

2.6
Stacionární množiny
lil
také topologický prostor s topologií danou dobrým uspořádáním. Má tedy své
otevřené a uzavřené množiny. Ukážeme, že v některých případech uzavřené a
neomezené množiny generují filtr.
2.3 Definice. Uzavřená neomezená množina. Nechť 3 je limitní ordinál.
(i) Říkáme, že množina A £ 3 je neomezená (v 3), jestliže A je kofmální s 3, neboli
sup A = 3.
(ii) Říkáme, že množina A c 3 je uzavřená (v 5), jestliže pro každé limitní číslo
a < S platí
sup (v4na) = a-+ae/4.
(iii) Říkáme, že množina A £ <$ je uzavřená neomezená (v 3\ má-li vlastnosti
(i) a (ii).
Uzavřené množiny jsou právě množiny uzavřené v topologii uspořádání ordi-
nálních čísel.
2.4 Příklady, (a) Pro každé a < 3 je 5 — a uzavřená neomezená množina v 3.
(b) Množina {a < 3: a limitní} je uzavřená v <5 a je-li 3 limitou limitních ordi-
nálů, pak je také neomezená. Množina {a < 3: a nekonečný kardinál} je uzavřená
a je neomezená, právě když 3 je limitní kardinál, to znamená, že 3 = K^ pro nějaký
limitní ordinál*/?.
2.5 Uzavřené množiny souvisejí s normálními funkcemi. Víme, že pro libovolnou
množinu A c On existuje jediné ordinální číslo a a jediný izomorfismus / ordinálu
a a množiny A vzhledem k <. Říkáme také, že /je číslující funkce množiny A.
Pro uzavřenou množinu A c: 3 je číslující funkce množiny A rostoucí a spojitá,
tedy normální.
Předpokládejme, že 3 je regulární kardinál. Pak každá neomezená podmnožina
X c 3 je uspořádaná podle typu 3. Odtud je zřejmé, že uzavřené neomezené množiny
v <5 jsou právě obory hodnot normálních funkcí f:S -> ó.
Předpokládejme nyní, že x = cf (3) < 3. Ukážeme, že existuje normální funkce
definovaná na x, která konverguje k 3. Z definice kofinality víme, že existuje
neomezená množina X c 3 uspořádaná podle typu x. To znamená, že číslující funkce g
množiny X je rostoucí, g:x->3 a konverguje k 3. Položíme-li pro a limitní
/(a) = sup {g(p): ji < a} a pro zbývající a /(a) = g(<x\ získáme normální funkci
f\x -> 3 konvergující k 3. Obory hodnot normálních funkcí f:x -+ 3, které
konvergují k (5, jsou typické příklady uzavřených neomezených množin v 3. Na rozdíl
od regulárního kardinálu tím nejsou vyčerpány všechny uzavřené neomezené
podmnožiny ordinálu 3.
2.6 Nechť cf(<5) = co. Pak každá množina X c 3 kofmální s 3 a typu w je
uzavřenou neomezenou množinou v 3. Snadno nalezneme dvě takové množiny,
které jsou disjunktní, a tedy uzavřené neomezené množiny netvoří centrovaný
systém.
229

III
2.7
2.7 Zajímavější a také důležitější je případ, kdy cf (o) > co. Za tohoto předpokladu
je snadné ověřit, že pro neomezenou množinu C g <5 je její derivace
C — {a < (3: a je hromadný bod množiny C}
uzavřenou neomezenou množinou v S.
Dále ukážeme, že uzavřené neomezené množiny tvoří centrovaný systém.
2.8 Definice. Je-li cf(<5) > co, systém
Cub(<5) = {X g <5: (3,4 g X)(/4 je uzavřená neomezená v ó)}
se nazývá filtr generovaný uzavřenými neomezenými množinami nebo stručněji
filtr uzavřených neomezených množin.
Nadmnožina uzavřené množiny nemusí být sama uzavřená, proto každá
množina v Cub (S) je neomezená, ale nemusí být uzavřená. Podstatné však je, že
uzavřené neomezené množiny tvoří bázi filtru Cub (<5), jak vyplývá z následujícího
tvrzení.
2.9 Lemma. Nechť cf (<5) > co. Potom
(i) průnik libovolného systému méně než cí(S) uzavřených neomezených množin
je opět uzavřená neomezená množina,
(ii) Cub(c5) je d(ó)-úplný filtr.
Důkaz, (i) Nechť v je kardinál <cf (<5) a nechť Ai9 i < v jsou uzavřené neomezené
množiny. Ověříme, že A — f)Ai je také uzavřená neomezená. Je zřejmé, že A je
uzavřená, dokazujeme neomezenost. Nechť a0 < ó. Rekurzí pro n < <d budeme
definovat rostoucí posloupnost ordinálů an < ó tak, že každý interval [a„, an + 1)
má neprázdný průnik s každou množinou A{. Odtud, z uzavřenosti množin A{
a nespočetné kofinality S plyne, že a = supan < ó, as A, a > a0, proto A je
neomezená.
Mějme definováno an. Z neomezenosti množin A{ plyne, že množiny At — an
jsou neprázdné. Nechť X c S je nějaká množina, která vybírá alespoň jeden prvek
z každé množiny Ax — an, i < v, a \X\ < v. Položíme-li afl + 1 = supX + 1, pak
an < an+1 < <5, a jelikož X g; [an, a„+1), je splněna podmínka neprázdných
průniků.
(ii) Z první části důkazu víme, že průnik libovolného konečného počtu
uzavřených neomezených množin je opět množina uzavřená a neomezená, tedy neprázdná.
To znamená, že Cub((3) je filtr. Nechť XasCub(ó) pro a < v, kde v < d(ó).
Vyberme uzavřené neomezené množiny Aa g; Xa, pak f]Aa c= QXa, a tedy podle
(i) je p)^ e Cub (<5). Ověřili jsme, že filtr Cub((5) je cf((5)-úplný.
Podmnožiny ordinálů <5 se dělí z hlediska filtru uzavřených neomezených množin
na malé a velké, pro které zavedeme zvláštní pojmenování. Připomeňme, že
Cub* (ó) značí duální ideál k filtru Cub (ó).
230

2.13
Stacionář ni množiny
III
2.10 Definice. Stacionární množiny. Nechť cf (8) > co.
(i) Říkáme, že množina E c S je stacionární (v <5), jestliže £ £ Cub* (c)).
(ii) Množiny ležící v ideálu Cub* (ó) se nazývají nestacionární.
Je zřejmé, že množina X c <3 je stacionární, právě když má neprázdný průnik
s každou uzavřenou neomezenou množinou C c $. Tuto charakterizaci budeme
často používat při důkazu, že daná množina je stacionární. Každá množina z Cub (5)
je stacionární. Je-li E ^ 5 stacionární a A s Cub (á), pak průnik £ n ^4 je
stacionární množina. Sjednocení méně než cf(<5) nestacionárních množin je
nestacionární množina. Tedy, rozložíme-li nějakou stacionární množinu v S na méně než cf (<5)
množin, pak alespoň jedna množina rozkladu je stacionární.
2.11 Příklad. Nechť cf (<5) > v, kde v je nekonečný regulární kardinál. Ukážeme,
že množina
£(v)= {a <<5:cf(a) = v}
je stacionární v S.
Libovolná uzavřená neomezená množina C v <5 má mohutnost >v. Pro v-tý
prvek cv množiny C z uzavřenosti C plyne cf(cv) = v. Tedy E(v) n C =f= 0 pro
každou uzavřenou neomezenou množinu C a to znamená, že E(v) je stacionární.
Speciálně E(co) c co2 a J^coJ £ co2 Je příklad dvou disjunktních
stacionárních množin v a>2.
Normální funkce zprostředkují převod mezi stacionárními množinami v <5 a
stacionárními množinami v x = cf (ó) > oj. Je-li /: x -+ ó normální funkce, která
konverguje k č, pak zřejmě obraz uzavřené neomezené množiny v x je uzavřená
neomezená množina v ó. Na druhou stranu, je-li A uzavřená neomezená v S, pak
podle 2.5 je také A n Rng(/) uzavřená neomezená v <5, a proto množina
{*<x:f(a)eA}=rl[Rng(f)nÁ]
je uzavřená neomezená v x. Tím jsme dokázali:
2.12 Lemma. Nechť x = d(S) > co. Je-li f\x-+ 5 normální funkce, která
konverguje k ó, pak pro libovolné A c 5 platí:
(i) A £ Cub (ó) +-+{a<x: f(a) e A} e Cub (x),
(ii) A je stacionární v S *-* {a < x:f(a) e A} je stacionární v x.
Z předchozího vyplývá, že stačí zabývat se stacionárními množinami na
regulárních kardinálech větších než co.
2.13 Definice. Diagonální průnik, normální filtr.
(i) Nechť </la:a<x> je soubor podmnožin kardinálu x. Množinu AAX =
= {y < x: (Va < y)(y e Aa)} nazýváme diagonálním průnikem množin Aa.
(ii) Filtr & na x, který rozšiřuje Fréchétův filtr a je uzavřený na diagonální
průniky, se nazývá normální filtr. Normální ideál je ideál duální k normálnímu filtru.
231

III
2.13
Snadno se ověří, že
AAa = f){4aua:a < x) .
Normalita je zesílením x-úplnosti. Předpokládejme, že Žř je normální filtr na x,
a nechť pro dané v < x jsou Ba, a < v množiny z $F. Potom množina B =
= fj{B„ua:a<v} je diagonálním průnikem souboru (Aa: a < x>, kde Aa = Bz
pro a < v a /la = x pro v < a < x, tedy Be^. Navíc Q{Ba:a<v}2
^ £ n (x - v) a x - v e J^, protože J* rozšiřuje Fréchétův filtr. To znamená, že
C\BaG^ a tedy normální filtr na x je x-úplný.
<x< v
Odtud plyne, že na žádném singulárním kardinálu neexistuje normální filtr.
Neexistuje ani na co. Zbývají tedy nespočetné regulární kardinály. Je-li x takový
kardinál, pak množiny x — a pro a < x tvoří bázi Fréchétova filtru na x a jsou
současně uzavřené neomezené, proto Cub (x) rozšiřuje Fréchétův filtr.
2.14 Lemma. Nechť x > (o je regulární kardinál. Jsou-li Aa, a < x uzavřené
neomezené množiny, pak diagonální průnik AAa je opět uzavřená neomezená množina.
To znamená, že filtr Cub(x) je normální filtr na x.
Důkaz. Ověříme neomezenost AAa, uzavřenost je zřejmá. Zvolme £0 < x. Podle
2.9 víme, že Hí^a- a < Šo} Je neomezená množina. Nechť ^ je nejmenší prvek
této množiny >í0. Rekurzí získáme rostoucí posloupnost <Jn délky co takovou, že
Š»+ieC\{A*:a ^ <U a £„ + i>ín Platí Pro každé n < co. Pro { = sup £n
z uzavřenosti množin Aa plyne č e C\{Aa: a < c}, to znamená, že č, e AAa.
Dokázali jsme, že AAa je uzavřená neomezená množina.
Nechť (Xa:ct < x> je libovolný soubor množin z Cub(x). Vybereme uzavřené
neomezené množiny Aa c Xa. Jelikož AAa c AX a podle předchozího AA^ e
e Cub (x), je také AXa e Cub (x). Ukázali jsme, že Cub (x) je uzavřený na diagonální
průniky, a protože x je regulární, rozšiřuje Fréchétův filtr. Tedy Cub(x) je
normální filtr na x.
2.15 Definice. Regresivní funkce. Nechť A je množina ordinálních čísel. Říkáme,
že funkce f: A—> On je regresivní na A, jestliže pro každé nenulové aeA je
A*) < ol.
Jinými slovy, funkce je regresivní, je-li všude, kromě nuly, menší než identické
zobrazení.
Následující, často používané tvrzení charakterizuje stacionární množiny pomocí
regresivních funkcí. Vysvětluje pojem stacionární množiny, protože každá regresivní
funkce na takové množině nabývá stejné hodnoty v neomezeně mnoha bodech.
2.16 Věta (Fodor 1956). Nechť x > co je regulární kardinál. Pro množinu E <= x
jsou následující vlastnosti ekvivalentní:
(i) Eje stacionární,
(ii) pro každou regresivní funkci na E existuje a < x takové, že /-1{a} je
neomezená množina,
232

2.18
Stacionární množiny
III
(iii) každá regresivní funkce na E je konstantní na nějaké stacionární množině.
Důkaz. Postupně dokážeme (i) -+ (iii) -> (ii) -> (i).
(i) -> (iii). Nechť £ je stacionární množina. Předpokládejme naopak, že /je
regresivní funkce na E taková, že pro každé a < x je /-1{a} nestacionární množina.
Pro každé a < x zvolme uzavřenou neomezenou množinu Aa takovou, že
AaLr\f~i{cí\ = 0. Nechť A = AAa. Víme, že A je uzavřená neomezená, a proto
A n E musí být neomezená množina. Vezměme libovolné y e £, y > 0. Pro
ol = f(y) platí cc < y, protože /je regresivní, a >■ e/_1{a}. Odtud plyne, že
y £ i4a, a proto také y <£ A. Ukázali jsme, že in£c {0}, a to je spor.
(iii) -> (ii) je zřejmé, protože stacionární množina je neomezená.
(ii) -► (i). Pro nestacionární množinu X c: x nalezneme regresivní funkci / na X,
jejíž všechny vzory jsou omezené množiny. Zvolme uzavřenou neomezenou
množinu A disjunktní s X. Nechť č, je nejmenší prvek v A. Pro P eX položme
f(R) = iSUP ^ n ^ ' Jestliže P > í »
^l ' ~ [O , jestliže /J < í .
Je-li P e X a j5 > í, je /(/?) e /l, protože ,4 n /? ={= 0 a /l je uzavřená. Navíc,
f(P) < P, Pí A, a proto f(P) < p. Tedy /je regresivní na X. Funkce / nesplňuje
(ii), protože pro libovolné a < x platí /_1[a] = {PeX:f(P) < a) c y, jakmile
>' 6 >4 a y > a. Důkaz je hotov.
2.17 Předpokládejme, že / je nějaká regresivní funkce na stacionární množině
E c X, kde a je regulární kardinál > co. Zajímají nás vzory/-1 {a}, které jsou
stacionárními množinami. Nechť ,S je systém všech stacionárních vzorů funkce / S je
disjunktní systém množin a z 2.16(iii) plyne, že S pokrývá celou množinu E 2lž na
nestacionární množinu. Navíc S je maximální disjunktní systém stacionárních
podmnožin množiny E v následujícím smyslu: pro každou stacionární podmnožinu
X c E existuje stacionární X^ £ X, která je podmnožinou nějaké YeS. To
znamená, že X n Y je také stacionární množina.
Ukážeme, že každou stacionární množinu E c X lze rozložit na X stacionárních
podmnožin, nebo ekvivalentně, že existuje X vzájemně disjunktních stacionárních
podmnožin množiny E. Zajímají nás v této souvislosti regulární kardinály X > oj.
Pro takové X může nastat jedna z možností: buď X = x"1", to znamená, že X je
následník nekonečného kardinálu x,nebo A je limitní regulární kardinál a to znamená,
že X je slabě nedosažitelný kardinál.
Nejprve se budeme zabývat kardinály, které jsou následníky nekonečného
kardinálu.
2.18 Ulamovy matice. Popíšeme konstrukci matice sestávající z podmnožin
kardinálu coj. Podstatně využijeme toho, že ol je následník kardinálu co, to znamená,
že co lze zobrazit na každé a < coí.
233

III
2.18
Pro každé y, co < y < a^ zvolme vzájemně jednoznačné zobrazení fy
kardinálu co na y. Systém {//co < y < co^ určuje co zobrazení gn'.(coí — co)->col3
kde gjy) = fy(n) pro každé co <y < cov Nyní položme
X(nJ)={y>f}:gn(y) = P}
pro každé n < co a každé fi < col. Dostáváme tak systém podmnožin kardinálu
col indexovaný prvky co x co1 neboli (co, cot)-matici
(1) (X(nJ):n<coJ<coí>.
Ověříme, že každý řádek i sloupec matice (l) je disjunktním systémem množin a že
sjednocení každého řádku i každého sloupce je celé cd1 až na spočetnou množinu.
Množiny X(n, /?), fi < coí jsou právě vzory funkce gn, proto jsou vzájemně disjunktní
a \J{X(n,fi): fí < c^} = col — co. Všechny funkce fy jsou prosté, a proto pro n =j= m
jsou funkce gn a gm všude různé. To znamená, že každý sloupec sestává ze vzájemně
disjunktních množin. Protože fy je zobrazení co na celé y, je pro každé P < co{
[]{X(nJ):n< co} = ^-(0+1).
Sjednocením libovolného sloupce nebo řádku matice (l) dostáváme celé col až na
spočetnou podmnožinu.
Všimněme si, že všechny funkce gn jsou regresivní na cox — co.
2.19 Definice. Říkáme, že soubor <X(a, j5):a < x, fi < x+) podmnožin kardinálu
x+ je Ulámovou maticí na x +, jestliže pro každé a < x a j5 < x+ platí
(i) Pi*P2^X{aJl)nX(aJ2) = 01
(li) a, +a2-*4,flnX(a2,ř) = 0,
(iii) |%+-UWo,j5):jS<x+}|<x,
(iv) \x+ - y{X(a,j5):a < x| < x.
Matice (l) je Ulamovou maticí na co{ = co +. Stejným postupem jako ve 2.18
se dokáže:
2.20 Věta (Ulam 1930). Pro každý nekonečný kardinál x existuje Ulamova matice
nax +.
Tato věta má několik zajímavých důsledků.
2.21 Věta (Ulam). Nechť X = x+ je následník nekonečného kardinálu. Je-li J
X-úplný ideál na X rozšiřující Fréchétův ideál, pak existuje X vzájemné disjunktních
množin, žádná z nich neleží v J.
Důkaz. Pokud J je přímo Fréchétův ideál, tvrzení je snadné, protože stačí vzít
rozklad kardinálu X na X množin, každou mohutnosti X.
Pro obecný případ použijeme Ulamovu matici (X(a, fi):a < x, j5 < A) na X.
Sjednocení každého sloupce matice leží v duálním filtru J*. Ideál J je A-úplný
a každý sloupec má méně než X množin. Proto pro každé fí < X existuje číslo
234

2.26
Stacionární množiny
III
h(0) < x takové, že X(h(P\P)^J. Máme funkci h z regulárního X = x + do x.
Proto existuje a < x, pro které |/j_1{/j}| = L Pro takové a je {X(a,P):h(p) = a}
hledaným systémem množin.
2.22 Důsledek (Ulam). Na X = x + neexistuje X-úplný uniformní ultrafiltr.
Jinými slovy, následník kardinálu není měřitelným kardinálem, viz 5.26.
2.23 Důsledek (Fodor). (i) Je-li X = x+ > co, každou stacionární množinu E c X
lze rozložit na X stacionárních podmnožin.
(ii) Pro každé regulární X > co existuje X vzájemně disjunktních stacionárních
podmnožin X.
Důkaz, (i) Ideál S = {X ^ X:X n EeCub* (X)} splňuje předpoklady věty 2.21,
proto existuje X vzájemně disjunktních množin Dx c X, které neleží v/.To
znamená, že pro každé a < X je Ea = E r\ Da stacionární množina, a tedy {£a: a < X}
je disjunktní systém stacionárních podmnožin množiny E.
(ii) Je-li X = x+, jde o speciální případ tvrzení (i). Je-li a limitní, tedy slabě
nedosažitelné, pak existuje X nekonečných regulárních kardinálů v < X a podle 2.11
pro každé takové v je £(v) = {a < A: cf (a) = v} stacionární množina v X. Navíc,
pro v1 + v2 je ^(vjn £(v2) = 0.
R. Solovay ukázal, že i v případě slabě nedosažitelného X lze každou stacionární
množinu rozložit na plnou mohutnost stacionárních podmnožin. K důkazu
potřebujeme jemnější prostředky.
2.24 Definice. Nechť A c On. (i) Říkáme, že 3eA je stacionárním bodem v A,
jestliže cf (<5) > co a množina A n 3 je stacionární v 5.
(ii) nst (A) značí množinu bodů v A, které nejsou stacionární v A. Speciálně každé
ae/l, které je izolované číslo nebo má spočetnou kofinalitu, leží v nst(/l).
2.25 Lemma (Solovay). Nechť X je regulární nespočetný kardinál. Je-li E c X
stacionární v X, pak nst (E) je opět stacionární množina v X.
Důkaz. Nechť C je libovolná uzavřená neomezená množina v X. Vezměme
množinu C všech hromadných bodů množiny C. C je také uzavřená neomezená a C £ C.
Množina £ je stacionární, proto EnC'^0, a nechť ó je nejmenší prvek tohoto
průniku. Zřejmě ó je limitní ordinál a je-li cf (ó) = cd, pak čenst(£). Je-li
cf (S) > co, z definice C plyne, že množina b n C je uzavřená neomezená v <5.
Přitom E n (<5 n C) = 0. To znamená, že £ n 3 je nestacionární v <5, tedy opět
ó e nst (£). Ukázali jsme, že ó e nst (£) n C. Množina nst (E) má neprázdný
průnik s každou uzavřenou neomezenou množinou, a proto je stacionární.
2.26 Příklady, (a) Nechť 3 je limitní ordinál. Ptáme se, pro jaké množiny X c 3
existuje regresivní funkce / na X, která je neklesající a konverguje k ó.
Všimněme si, že pro regresivní neklesající funkci / konvergující k ó platí
(2) (Va < 3) (/"1 [a] je omezená v 3).
235

111
2 26
Z regresívnosti plyne, že množina A' musí být neomezená. Předpokládejme
cf ((3) = co a vezměme rostoucí posloupnost £ni n < co konvergující k ó, pro kterou
í0 = 0. Položíme-li /(O) = 0 a f(a) = max {<!;„: £n < a} pro 0 < a < 5, je /
funkce definovaná na <5, která je neklesající regresivní a konverguje k ó. Tyto
vlastnosti má i zúžení /1 X na libovolnou neomezenou množinu X ^ ó.
Je-li cf(<5) > co, pak z důkazu 2.16 a 2.12 plyne, že pro neomezenou množinu
X c= (5 existuje regresivní neklesající funkce na X konvergující k 5, právě když X
je nestacionární v ó.
(b) Je-li / regresivní a neklesající na stacionární podmnožině regulárního
kardinálu X > co, pak / má právě jeden stacionární vzor.
2.27 Věta (Solovay 1971). Nechť X > co je regulární kardinál. Každou stacionární
množinu E c: X můžeme rozložit na X vzájemně disjunktních stacionárních množin.
Důkaz. Uvažujme množinu A = nst (É) n E!. A je stacionární v A, protože je
průnikem stacionární a uzavřené neomezené množiny, Ac£ Každé ó e A je
limitní, E n <5 je neomezená v 5 a je-li cí(ó) > co, je navíc nestacionární v ó.
Využijeme 2.26(a) a pro každé 5 e A zvolíme regresivní neklesající funkci fó definovanou
na E n <5, která konverguje k S.
Pro libovolné č, eE je zobrazení g^ definované na A — (č, + 1) předpisem
9t(s) = m
všude menší než <;, to znamená, že je regresivní na stacionární množině, a má proto
nějaký stacionární vzor.
Pro libovolné £ e £ položme
/(Č) = min {/?: g^l{P} je stacionární v A} .
Funkce / je regresivní na E a protože fó jsou neklesající, je neklesající také /.
Podle 2.26(b) to však znamená, že / je všude menší nebo rovna a, kde a je jediné
číslo, pro které je vzor /~l{a} stacionární množina.
Konečně definujme funkci g na A — (a -f 1) předpisem
(3) g(«5) = sup{če£n^(c)<a}.
Z vlastnosti (2) funkcí fó plyne, že množina na pravé straně rovnosti (3) je omezená
v <5, tedy g(S) < <5. To znamená, že g je regresivní funkce na stacionární množině.
Naším cílem je ukázat, že g má X stacionárních vzorů. Tím bude dokázáno, že
množinu A, ale také E 3 A, lze rozložit na X stacionárních množin.
Předpokládejme, že g má méně než X stacionárních vzorů. Z regularity X plyne,
že existují >* < X a nestacionární množina M (můžeme předpokládat a + 1 c; M)
takové, že pro každé č e A — M je #(<5) < y. Podle definice funkce g to znamená,
že pro každé č e £, í > >' a pro každé <5 e >4 - M, č > £ je /á(£) > a. Zvolme
nějaké £ e £, í > y. Právě jsme ukázali, že množina {ó e A — (£ + l)'-fd(£) > «}
je celé /4 až na nestacionární množinu. Současně množina
236

2.31
Stacionární množiny
III
{SeA-{^l):fó(í)<a}^g-^]
je stacionární podmnožinou množiny A — to je spor. Tedy g má A stacionárních
vzorů a důkaz je skončen.
2.28 Příklad. Počet ultrafiltrú rozšiřujících daný filtr.
(a) Je-li SF filtr uzavřených neomezených množin na regulárním X > co nebo
(b) je-li SF uniformní filtr na X > oj a má charakter <A nebo
(c) je-li SF uniformní c-úplný filtr na col5 pak počet všech ultrafiltrú rozšiřujících
filtr SF je stejný jako počet všech ultrafiltrú na uvažovaném kardinálu.
Ve všech třech případech se důkaz opírá o stejnou vlastnost filtru i27: existuje
X vzájemně disjunktních množin 4-^ z nichž každá je kompatibilní s SF. To
znamená, že SF u {Aa} tvoří centrovaný systém. V případě (a) plyne existence
systému A^ a < X z existence rozkladu X na X stacionárních množin, v případě (b)
plyne z 1.3 a 1.4(a) a v případě (c) z věty 2.21 pro X = cov
Nyní pro každý ultrafiltr <% na X je
Fu{\jAt:XeV}
aeX
centrovaný systém. Pro různé ultrafiltry na X jsou centrované systémy neslučitelné,
a proto se rozšiřují do různých ultrafiltrú. To znamená, že existuje 22 ultrafiltrú
na A, které rozšiřují daný filtr SF.
2.29 Hypotéza kontinua a singulární kardinály. Dokážeme Silverovu větu 11.5.24,
ze které vyplývá, že singulární kardinál s nespočetnou kofinalitou nemůže být
první, pro který se poruší zobecněná hypotéza kontinua. Stacionární množiny
hrají důležitou roli v důkaze a umožňují obecnější formulaci: plati-li hypotéza
kontinua pro dostatečně mnoho menších kardinálních čísel, platí i pro daný singulár.
Proto je věta 5.24 z II. kapitoly speciálním případem následujícího tvrzení.
2.30 Věta (Silver 1974). Nechť X je singulár s nespočetnou kofinalitou. Je-li množina
{v < A: 2V = v+} stacionární v A, pak 2X = A + .
V dalším A značí singulární kardinál s nespočetnou kofinalitou a x = cf(A).
Nejmenší takový kardinál je KaJl s kofinalitou cd^
Důkaz Silverovy věty spočívá v odhadech mohutností systémů skoro všude
různých funkcí.
2.31 Definice. Nechť A c= x. Říkáme, že funkce f g definované na x jsou na A skoro
všude různé, jestliže existuje a < x takové, že pro všechna j3e A a fl > a je
srn * m
Podle předpokladu je A singulár s kofinalitou x a z 2.5 plyne, že existuje normálni
funkce h:x -+ A, která konverguje k A a její hodnoty jsou nekonečná kardinální
čísla. Zvolme jednu takovou funkci (A^a < x>.
237

III
2.31
Zajímají nás funkce z kartézského součinu
(4) X{V-«<*}.
Je podstatné, že systémy skoro všude různých funkcí z (4) mají, za jistých
předpokladů, menší mohutnost než celý kartézský součin. Snadno se ukáže, že součin (4)
má mohutnost X* > X.
Následující lemma je klíčem k důkazu Silverovy věty.
2.32 Lemma. Nechť pro každé a < x je X* < X a nechť A £ x je stacionární
množina v x.
(i) Každý systém Se ^^ skoro všude na A různých funkcí má mohutnost < X.
a<x
(ii) Každý systém T c= X K skoro všude na A různých funkcí má mohutnost < A+.
Důkaz. Kardinály Aa konvergují k A, proto z předpokladu plyne, že pro každé
v < X platí vx < X, speciálně xx = 2* < X.
(i) Nechť B je množina všech limitních ordinálů z A. Je zřejmé, že B c A je také
stacionární v x. Pro libovolné fe X^« definujme funkci f+: B -+ x předpisem
<2<X
/» = min{j3<x:/(a)< Xp).
Z normality posloupnosti <Aa: a < x> plyne, že/+ je regresivní na B, a tedy pro
nějaké P < x je vzor Bf = f*l{P} stacionární. Pro takové fi je funkce f\ Bf
omezená číslem Xp.
Každému / přiřaďme funkci <p(f) = f\Bf. Pro různé fgeS jsou <p(f) a (p(g)
také různé, protože Bf a Bg jsou stacionární podmnožiny množiny A a podle
předpokladu jsou fa. g skoro všude na A různé. To znamená, že cp zobrazuje jednoznačně
systém S do D = [){xXa: *<x,X ^x}. Odtud |S| < \d\ < 2X. £ K = 2* •* = ;-
Tedy |S| < X.
(ii) Na T zavedeme lineární uspořádání ks a ukážeme, že pro každé feT má
dolní úsek («-,/) mohutnost <A. Odtud již snadno plyne, že \t\ < X+.
Zvolme ultrafiltr ^U na x, který rozšiřuje filtr Cub (x) takový, že Aetft. To
znamená, že každá množina Xe% je stacionární v x. Pro fgeT defmujme
/-S3 0<-{cc < x:/(oc) <g(a)}e^.
Snadno se nahlédne, že o je antireflexivní a tranzitivní. Protože různá fgeT
mají skoro všude na A různé hodnoty, platí buď g<i f nebo /o g. Odtud plyne,
že o je lineární uspořádání.
Vezměme feT a označme W = (+-,/). Odhadujeme mohutnost W Pro
ge V7 položme Bg = {ae/l^ja) < /(a)}. Jelikož 5ff6^, je Bg ^ A stacionární
v x. Systém W prostě zobrazíme na systém W c X ^a- Pro každé a < x je
a<x
/(a) < A*, proto můžeme zvolit prosté zobrazení <pa: /(a) -> Aa. Pomocí souboru
zobrazení q>a přiřadíme funkci g e W funkci g e X K předpisem
n<x
238

2.34
Stacionární množiny
III
'(a) = Í^Ma)), je-li ae5s,
^W [O, jinak.
Jsou-li gvg2£W různé funkce, pak g\, g'2 jsou skoro všude různé na Bgi n Bgi e °ll.
To znamená, že W = {g':ge W] má stejnou mohutnost jako W. Je-li X
stacionární podmnožina x, položme
W'(X)={g'eW:XzBg}.
Zřejmě W = U{W'(AT): X c * stacionární} a každé W'(X) splňuje předpoklady
tvrzení (i). Odtud dostáváme \W\ = \W\ < 2* . X = X.
Dokázali jsme, že Tje lineárně uspořádáno relací o a že pro každé feT je
|K/)|<A, proto |T|<A+.
233 Důkaz Silverovy věty. Předpoklad věty je podle 2.12 ekvivalentní s tím, že
A = {a < x: 2 a = X*} je stacionární v x. Odtud plyne, že X* < X platí pro každé
a < x. Pro každé cte A zvolme prosté zobrazení (pa'^{Xa) -> ia+. Každé
podmnožině Xcl přiřadíme funkci fx e X 'C předpisem
a<x
/• (a\ = Í^(X ° A«) ' POkU<d a G ^ '
Al0íj [O, jinak.
Pro různá X,Y ^ X existuje a0 < x takové, že X n Xa =|= 7 n Xa pro každé a > a0.
Přitom cpa jsou prostá zobrazení, to znamená, že fx& fY jsou na A skoro všude různé
funkce. Získali jsme tak prosté zobrazení ^(X) na systém
{/x:*sA}s XV,
a<x
který splňuje předpoklady lemmatu 2.32(ii). Odtud dostáváme \&(X)\ = 2X = X +.
Důkaz je skončen.
Silverova věta, nebo spíše metoda důkazu, dává nové světlo na hypotézu
singulárních kardinálů (SCH) diskutovanou ve II.5.33.
234 Důsledky, (i) Platí-li hypotéza singulárních kardinálů pro singuláry se
spočetnou kofinalitou, platí pro všechny singulární kardinály.
(ii) (Erdos, Hajnal, Milner 1968). Předpokládejme, že X je singulár s nespočetnou
kofinalitou x a že pro každé v < X je v* < X. Potom každý systém množin S ^ £P(X)
takový, že množina {ft < X: \{ft n X: X eS}\ < \P\} je stacionární v A, má
mohutnost <X.
Důkaz, (i) Dokazujeme indukcí, že pro libovolný singulár X platí
(5) AcfW = max(2cf^U+),
pokud (5) platí pro všechny singuláry se spočetnou kofinalitou.
239

III
2.34
Nechť A je singulár s nespočetnou kofinalitou x = cf(A) takový, že pro
všechny singuláry v < A platí (5). Odtud podle II.5.34(ii) plyne, že pro každý
singulár v < A platí
(6) vx = max(2*,v+).
Je-li 2* > A, pak A* = 2* > A, a tedy A splňuje (5). Rovnost 2* = k nemůže nastat
podle Kónigovy nerovnosti.
Předpokládejme, že T < k. Potom množina S = {v < A, v > 2*&cf(v) = co}
je stacionární v A a podle (6) pro každé v eS platí v* = v + . Vezměme spojitou
rostoucí posloupnost kardinálů (Aa:a<x> konvergující k A. Množina A =
= {a < x:cf(Aa) = aj8ik*a = Aa+} je stacionární v x. Pro každé oce A vezměme
prosté zobrazení cpa množiny [Aj-X do Aa+. Přiřadíme každé množině X c: A
mohutnosti <x funkci fx definovanou na x předpisem fx(a) = (px(X n Aj, pokud
ae/1, a jinak /x(a) = 0. Získali jsme tak prosté zobrazení množiny [A]^* na
systém na A skoro všude různých funkcí
{fx:XelX]**}c=XK-
Tedy podle 2.32(ii) je A* = A+ a A splňuje (5).
(ii) Důkaz je obdobou předchozího důkazu. Nechť <Aa: a < x} je rostoucí spojitá
posloupnost kardinálů konvergující k A. Pro systém S c ^(A) položme ,4 =
= {a < x: \{X r\ kx: X e S}\ < Aa}. Z předpokladu na systém S plyne, že /l je
stacionární v x. Zvolíme-li pro každé <xe A vzájemně jednoznačné zobrazení (pa
množiny {Xnka:XeS} do Aa, získáme, podobně jako v předchozím důkaze,
systém na A skoro všude různých funkcí {fx:XeS} ^ X K- Tedy podle 2.32(i)
je|5|<A.
2.35 Diamantové kombinatorické principy. Silverova věta je příkladem, v jehož
důkaze hrají stacionární množiny důležitou roli. Setkáme se ještě s jinými příklady
použití stacionárních množin. Řešení otázek bezespornosti známých problémů
(Suslinovy a Kuperovy hypotézy, viz § 3) vedlo k formulaci principů, týkajících se
stacionárních množin, které nalezly širší použití.
R. Jensen vyslovil nejdůležitější z těchto principů (O, □, morass) a ukázal, že
platí v univerzu konstruovatelných množin. Uvedené principy nejsou dokazatelné
v teorii množin, ale jsou relativně bezesporné. To znamená, zeje lze přidat jako nový
axiom. Řeší některé problémy, které jsou jinak nerozhodnutclné. Mají podobnou
úlohu jako axiom výběru nebo hypotéza kontinua.
2.36 Množiny uzavřené na operace. Začneme jednoduchým pozorováním.
Připomeňme, že operací na množině A se rozumí každé zobrazení /: A" —> A, kde n
je přirozené číslo, kterému se říká četnost operace /.
Nechť na A jsou dány operace fh i e l a nechť m£ je četnost operace j\. Říkáme, že
Y c: A je uzavřená na operace, jestliže pro každé i e / platí
f^Y"1] c y.
240

2.38
Slúcionární množiny
III
Jinými slovy, Yje uzavřená na operace ^Jestliže pro libovolné prvky x1,x2,..., xn eY
je výsledek operace f^x^ ..., xn) opět prvkem množiny Y.
2.37 Uzávěr množiny na operace. Nechť ft, iel jsou operace na množině A.
Ukážeme, že pro každé X c A existuje množina Y c A taková, že (i) obsahuje X,
(ii) je uzavřená na operace a (iii) je to nejmenší množina (vzhledem k £), pro kterou
platí (i) a (ii).
Množina Y se nazývá uzávěr množiny X na operace fv iel a budeme ji
značit Cl{X).
Pro libovolné Z ^ A položme
op(z) = zu U/[z"'].
Iterováním zobrazení Op získáme uzávěr množiny X. Položme
ci(x)= [jxn,
n<(ú
kde X0 = X a Xn+l = Op(X„) pro každé n < cd. Je snadné ověřit, že množina
Cl(X) splňuje podmínky (iHm)-
Uvedená konstrukce umožňuje odhadnout mohutnost uzávěru Cl(X). Speciálně,
uvažujeme-li nejvýše spočetně mnoho operací na množině A, pak pro každou
nekonečnou X c A má uzávěr Cl{X) stejnou mohutnost jako X, protože
|x|<|c/(x)|<|x| + IW-W.
n<o)
Jinými slovy, uzavřením nekonečné množiny na operace získáme množinu stejné
mohutnosti.
Čtenář snadno nahlédne, že má-li množina X mohutnost >0}l5 pak její uzávěr
na wl operací bude mít stejnou mohutnost jako X. Podobně i pro další
mohutnosti.
Následující tvrzení je zobecněním předchozího pozorování.
2.38 Věta. Nechť X > co je regulární kardinál a nechť fiy iel je méně než X operací
na X. Potom množina
C = {a < X: a je uzavřené na operace f{, i e /}
je uzavřená neomezená v X.
Toto tvrzení je obdobou známé Lowenheimovy-Skolemovy-Tarského věty
směrem dolů.
Důkaz. Uzavřenost množiny C je zřejmá. Dokazujeme neomezenost. Nechť a0 < X.
Protože X > cd a regulární, je uzávěr Cl(cc0) na operace jx menší mohutnosti než X,
a proto C/(a0) je omezená množina v X. To znamená, že existuje ctí < X takové, že
C/(oc0) c olv Rekurzí získáme rostoucí posloupnost an, n < co, pro kterou Cl(ocn) c
— an+i- ^e zřejmé, že pro a = sup an je
241

III
2.38
Cl(a) = (J C/(aJ = a,
tedy a > a0 a je uzavřené na operace /J.
Dokázali jsme, že C je také neomezená v A.
2.39 Příklady, (a) Nechť/je vzájemně jednoznačné zobrazení a>í na w^ x ojj.
Množina
C = {a < a?!:/ zobrazuje a na a x a}
sestává právě z ordinálních čísel, která jsou uzavřená na operace f\ nxf a 7i2/,
proto je podle 2.38 uzavřená neomezená,
(b) Nechť </a:a < o^) je soubor operací na <ov Potom množina
D =■ {a < a>1: a je uzavřené na /^ /J < a}
je uzavřená neomezená.
Pro každé cc < coí položme Aa = {/? < a)x:/? uzavřené na /,}. Jelikož D =
= A/Ía, podle 2.38 a 2.14 je D uzavřená neomezená.
2.40 Definice (Jensen 1968). Diamantový princip O je následující tvrzení: Existuje
posloupnost (Aa: a < a^) taková, že pro každé a < a;1 je /ía c a a pro libovolné
Ico)j je množina {a < a^: X n a = ,4a} stacionární v coj.
Posloupnosti, která splňuje podmínky O, říkáme O-posloupnost.
2.41 Lemma O -* CH.
Důkaz. Nechť </4a: a < a^) je O-posloupnost. Potom pro každé X c o> existuje
a, a; < a < a^ takové, že X = X n a = /ía. Odtud plyne, že existuje prosté
zobrazení &{cú) do (j)í9 proto 2* = a^.
Diamantový princip <> je zesílením hypotézy kontinua. O-posloupnost obsahuje
všechny omezené podmnožiny col a navíc s libovolnou přesností aproximuje všechny
podmnožiny oj v
2.42 Příklad. Víme, podle 1.15, že za předpokladu CH existuje skoro disjunktní
systém množin na o^ mohutnosti 2Ml. Ukážeme, že za předpokladu O existuje
takový systém sestávající navíc ze stacionárních množin.
Nechť (Aa:cc < a),> je O-posloupnost. Pro X c o^ položme
S(X) = {a<(oi:Xna = Aa).
Pro různé X, Y c o^ je S(JY) n5(Y)c a, kde a je nejmenší prvek z X A Y.
Tedy (S(X): Xcojje AD systém plné mohutnosti 2"1 sestávající ze stacionárních
množin.
Existuje přirozené zobecnění diamantového principu i pro větší kardinály.
2.43 Definice (Jensen). Nechť A > co je regulární kardinál a nechť E c A. Princip
Oa(E) označuje následující tvrzení:
242

2.45
Stacionární množiny
III
Existuje posloupnost </4a:ae£> taková, že pro každé a e E je Aa c= a a pro
libovolné X c A je množina {cceE: X not = Aa} stacionární.
Posloupnost </ta:ae£> splňující podmínky Ox(É) nazýváme
OX{E)-posloupností.
Místo Oa(>*) píšeme stručněji Oa a jakmile A = cou index A vynecháváme.
Je zřejmé, že jakmile platí Oa(£), pak £ je stacionární v X. Je-li Ex ^ £2 ^ A,
pak O^H Oa(£2).
Podobně jako 2.41 se dokáže
(7) Oi-(Vv<A)(2«<l).
Diamantový princip má řadu ekvivalentů. Uvedeme jeden z nich.
2.44 Definice. Pro E £ A, A > co regulární 0'A(£) označuje následující tvrzení:
Existuje posloupnost (Wa:ct < A> taková, že pro každé a < A je Wa c ^(a),
|W£| < |a| a pro libovolné X c / je množina (ae£:Xnae^J stacionární.
Povšimněme si, že posloupnosti zaručené v principech O, Ox{É)> 0\(E) můžeme
pozměnit na nestacionární množině, aniž bychom porušili platnost odpovídajícího
kombinatorickému principu.
2.45 Věta(Kunen). OX{Ě)++0\(E).
Důkaz. Implikace -» je zřejmá, stačí položit Wx = {Aa}. Dokazujeme opačnou
implikaci. Nechť <V^:ae£> je <0>Á(£)-posloupnost. Potřebujeme nalézt <0A(£)-po-
sloupnost.
Zvolme vzájemně jednoznačné zobrazení / kardinálu X na X x X. Podle 2.39(a)
víme, že množina C = {a < X:/[a] = a x a} je uzavřená neomezená. Z
posloupnosti < Wz: a e £> a zobrazení / získáme novou posloupnost (Ra: a e £>, kde
K = {f[Y]-YeWa}, P°kud oteCnE
a jinak
Nejprve ověříme, že pro libovolné X' c= X x A je množina
(8) 5' - {ae£:rn(«x otjeRj
stacionární v A. Pro dané X' c A x A vezměme množinu X =/_1[X'] c A.
Z předpokladu 0\(E) plyne, že množina S = {ae£:Xnae W3] je stacionární.
Pro oteCnS platí Xn<xeWa a /[Jín«]=/[jí]n/[a] = X' n (a x a),
proto X' n (a x a) e Ka. Ukázali jsme, že C n S c S'( tedy S' je stacionární
množina.
Nyní ukážeme jak z posloupnosti <Ra:ae£> získáme 0^(£)-posloupnost.
Je-li ae£, je \Ra\ < |a| a Ka c ^>(a x a). Zvolíme očíslování Ka = {r(a,/?):/? < a)
pro každé a e £ a položíme pro a e £, P < a
243

III
2.45
Je zřejmé, že á(ol, 0) c a. Ukážeme, že pro nějaké /?0 < X je (/l(a,/]0):ae£)
hledaná O A(£)-posloupnost. Předpokládejme, že to neplatí. Pro každé P < X zvolme
X^l takové, že
{aeE:Xpnx = A(aJ)}
je nestacionární v /. Položme X' — \J ({/?} x Xp) a vezměme množinu S' defino-
vanou vztahem (8). Pro aeS' existuje číslo g(x) < a takové, že
X' n (a x a) = r(a, g(x)).
Získali jsme funkci g, která je definovaná a regresivní na stacionární množině S".
Podle Fodorovy věty existuje y < X takové, že vzor Sl = g'l{y} je stacionární.
Pro každé aeSt platí X' n (a x a) = r(a, y) a současně (X' n (a x a))" {y} =
= Xrna, odtud dostáváme Xy n a = ,4(a, >•). To znamená, že množina
{aeE: Xyna = 4(a,y)} 2 S,
je stacionární, to je spor s volbou množiny Xy.
Dokázali jsme, že pro nějaké P0 < X je <X(a, jj0): aeE} <>A(E)-posloupnost.
Důkaz je hotov.
2.46 Princip O je silnější než CH, neplyne ani z GCH. Pro X > cd{ není O^ tak
silné tvrzení. Za předpokladu GCH platí pro následníky nespočetného kardinálu
dokonce silnější verze diamantového principu.
2.47 Princip 0J(E), kde X je nespočetný regulární kardinál a £ je jeho stacionární
podmnožina, zaručuje existenci posloupnosti <W^:aeE> takové, že pro každé
aeE je Wa c ^(a), \Wa\ < |a| a pro libovolné X c X existuje uzavřená
neomezená množina C ^ X taková, že pro každé aeC n E platí X n a e Wa.
Je zřejmé, že z 0*(E) plyne OÁ(£), a tedy podle 2.45 také Ox(E). Navíc,
z 0*(E) plyne O^(^) pro každou stacionární množinu D c £, a také O a-
2.48 Věta (Gregory 1976, Shelah 1980). Předpokládejme GCH. Je-/t A > co, pa/c
pro každé regulární x < X takové, že x =(= cf(A), p/aíz OJ+(E(x:)).
Speciálně, je-li T3 = coj a 2"1 = co2, potom p/aíz OojE^)).
Důkaz. Ukážeme, že když 2* = A+ a pro nějaké regulární x < X platí buď
(i) X* = X,
nebo
(ii) X je singulár, x ^ d(X) a pro každé v < X je v* < A,
potom O *+(£(*)).
Z předpokladu 2A = A + plyne, že všech omezených podmnožin kardinálu X +
je X +. Zvolme očíslování
(9) </!.:«< A+>
244

2.48
Stacionární množiny
II]
všech omezených množin v A' s A ~ násobným opakováním. Pro libovolnou množinu
Xcl+ sestrojíme funkci /: A + -* A + a uzavřenou neomezenou množinu C <= /.""".
Podle předpokladu pro každé a < A + se množina X n a vyskytuje v souboru (9)
A + -krát. Můžeme proto rekurzí sestrojit rostoucí funkci /:A + -► A + takovou, že
pro každé a < A + je X n a = Af(ay Položme
C = {a < A+:/[a] <= a} a £ = {(5 < A + : A < S & cf (5) = x] .
Je zřejmé, že C je uzavřená neomezená v A + a OJ+(£)*-»> Oj+(£(*)).
Nechť pro x, A nastává případ (i). Pro každé Se E položme
W9 = {\jAfi:Ye[5y*&(vpeY)(A,z5)}.
fieY
Je zřejmé, že Wó c 0>(<5) a |M^| < |(5|x = A* = A. Ověříme, že <Wi:<5e£> splňuje
podmínky <>*+(£). Nechť Jc]+ a vezměme /aC sestrojené pro X v první části
důkazu. Pro libovolné 5eC n E zvolme množinu Y ^ 6 kofmální s S a |Y\ = x.
Jelikož SeC, /[ Y] je kofmální podmnožina 3. Odtud plyne, že
Xnó= \JXnp= []Am.
PeY /Jel'
To znamená, že X n 5 e Ws. Dokázali jsme, že pro každé ó e C n £ je X n ó e Wó,
tedyOj+(£).
Uvažujme případ (ii). Označme \í — cf (A) a vezměme rostoucí posloupnost
kardinálů <AÍ? í < ^> konvergující k A. Předpokládáme, že x > /i, protože
x < ^ spadá do případu (i). Pro každé a < A+ zvolme neklesající posloupnost
<V(a, £): £ < jí> podmnožin ordinálu a takovou, že a = \J V(a, <£) a |K(a, £)| < A^
pro každé č, < \í. Pro óeE definujeme
W6 = {U^:(3Í < jí) (ye[K(á, £)]**& U-4, £ *} •
Je zřejmé, že W^ c 0>(<5), a podle předpokladu (ii) je \WS\ < £|K(5,^)|X < A.
Ověříme, že (Wó:óeE) je posloupnost pro <>*+(£)• Nechť X ^ A+ a vezměme
/ a C definované pro množinu X v první části důkazu. Pro <5 e £ n C zvolme
množinu Y c <5 kofmální s <5 a |Y| = x. Potom /[Y] je kofmální podmnožina 5
a |/[Y]| = x > /í. Tedy existuje Qe[Y]x takové, že /[Q] c K(č,í) pro nějaké
C < ;í. Potom X n <5 e H^, protože
Xn^=UXn^=U -V)
Dokázali jsme, že i v tomto případě pro každé <5 e C n £ je Xnáe^. Důkaz
je hotov.
245

III
2.49
2.49 Zastavime se u jednoduché otázky. Je-li £ stacionární podmnožina
regulárního kardinálu x, můžeme se ptát, zda existuje nějaké 3 < x takové, že £ n 3 je
stacionární v 3. Otázka má smysl pouze pro kardinály x > cop protože pojem
stacionární množiny je zaveden pro ordinály 3 s nespočetnou kofinalitou. Pokud takové
S < x existuje, říkáme, že 3 reflektuje stacionárnost množiny £.
Podle 5.10 je pro nedosažitelný kardinál, který je slabě kompaktní, odpověď
pozitivní. Co můžeme říci o této vlastnosti pro následníky nekonečného kardinálu?
Je-li x regulární, pak E(x) = {3 < x^ :cf(<5) = x) je stacionární množina v x +,
ale její stacionárnost není reflektována žádným ordinálem 3 < x + s nespočetnou
kofinalitou. Pro limitní ó < x+ je cf (3) < x a zvolíme-li uzavřenou neomezenou
podmnožinu C ^ 3 uspořádanou podle typu cf(ó), potom E(x) n C'= 0, a tedy
£(x) n 3 není stacionární v 3.
Seznámíme se s dalším Jensenovým principem □;., nazývaným prostě čtvereček.
2.50 Definice. Princip □ x: Existuje posloupnost množin (Có: 3 < A* & 3 limitní)
taková, že pro každé limitní 3 < A+ platí
(i) Có c 3 a je uzavřená neomezená v o\
(ii) je-li cf (5) < A, pak \CÓ\ < A,
(iii) je-li y < 3 limitní bod množiny Cól pak C. = C3ny.
Posloupnost <Cy.<5 < A> splňující podmínky (i)-(m) nazýváme C\x~posloupností.
Všimněme si, že DA zaručuje existenci množin Cá pro ordinály až do následníku
A + . Pro A = co čtvereček Cu platí, stačí položit Có = 3. Jiným příkladem D^-po-
sloupnosti je posloupnost (CÓ'S < oj1 Se 3 limitní), kde pro každé 3 je Có kofi-
nální podmnožina 3 typu co sestávající z izolovaných čísel.
Pro A > co však princip Cx není'dokazatelný v teorii množin. Místo D^, budeme
psát krátce □• Jensen (1972) ukázal, že z V = L plyne DA pro každé A. To
znamená, že tvrzení (VA) DA je bezesporné s teorii množin.
Nechť (CÓ:S < A+ 8c 3 limitní) je D^-posloupnost pro A > co. Potom z (ii)
a (iii) plyne, že pro 3 < A+ takové, že cf(<5) = A, je typ (Cá) = A. Je-li A singulár,
pak pro každé 3 < A+ je typ (Q) < A. Odtud plyne, že typy uspořádání všech
množin Cs jsou nejvýše rovny A.
Ukážeme, že DA řeší negativně problém reflexe stacionárnosti pro kardinál A + .
2.51 Věta. Předpokládejme A > co a Qx. Potom pro každou množinu A'gl +
stacionární v A+ existuje Y c X, /crerá ;> fa/cé stacionární v X*, ale žádné 3 < X*
nereflektuje stacionárnost množiny Y
Důkaz. Nechť (Q: <5 < A+ &<5 limitní) je DA-posloupnost. Limitní ordinály
<A+ rozložíme na třídy podle typů uspořádání množin Có. Pro a < A položme
Ta = {(5 < A+:typ(C<5) = a}. Nejprve ukážeme, že každá množina 7^ je
nestacionární všude pod A + . Vezměme libovolné p < A+ takové, že cf (/?) > co. Nechť
Cp je množina hromadných bodů množiny C^ v /3. Víme, že Cfi je uzavřená
neomezená v /?, a je-li 3eCpnTa, pak <5 je limitní, Có = C^ n 3 a typ (C,,) = a. To znamená,
246

2.54
Stacionární množiny
III
že množina C'Q n Ta je nejvýše jednoprvková, a proto 7^ n /? je nestacionární v /?.
Nechť X je stacionární podmnožina A + . Systém {Tan X =£ 0; a < A} je rozklad
stacionární množiny X n{S < X+:5 limitní) na méně než A + částí. Jelikož ideál
nestacionárních množin v A+ je A+ -úplný, existuje nějaké a < X takové, že X n Ta
je stacionární v X +. Pro jedno takové a položme Y = X n 73. Jelikož y Q T3,
je také množina y nestacionární všude pod A + . Důkaz je hotov.
2.52 Důsledek. Předpokládejme GCH a \Z\X pro a > co. Potom existují stacionární
množina E Q A + a Dx-posloupnost (Dó: S < X+ & 5 limitní} takové, že platí
(i) Dó n E = 0 pro /caídé <5,
(ii) o^(4
D^-posloupnost splňující (i) se nazývá nA(£)-posloupností.
Důkaz. Podle věty 2.48 víme, že existuje regulární x takové, že platí Oj+(£(x)).
Odtud plyne, že pro každou stacionární množinu E c £(x) platí <>*♦(£).
Nechť (CÓ:S < X* &S limitní) je nějaká nA-p°s^ouPnost- Zvolme ol < X
takové, že pro množinu Ta definovanou v předchozím důkaze je množina E =
= Ta n E(x) stacionární vl + . Platí O^E). Tím je dokázáno (ii), zbývá dokázat (i).
Buď S < X+ limitní. Existuje-li ŠeCó takové, že množina Qn( má typ a,
pak existuje jediné takové í,av tomto případě položme B6 — Cs - (č, + 1). Jestliže
žádné takové £ neexistuje, položme Bó — C6. Snadno se ověří, že množiny B5
tvoří nA-posloupnost. Navíc, žádný limitní bod množiny Bd neleží v Ta. Proto
uvažujme množiny B'5 všech hromadných bodů Š < <5 množin Bó. Je-li B'd
neomezená v <5, a to je vždy, když cf (S) > co, položíme Dó = B'b. Je-li B'h omezená v <5,
pak cf (6) = co a Dó získáme tak, že přidáme k množině B'ó nějakou koíinální
podmnožinu s 5, jejíž prvky jsou izolovaná čísla a větší než všechny prvky z B'ó.
Posloupnost (Dó:5 < X+ SlS limitní) je hledaná GX + {E) posloupnost.
2.53 Existence stacionární množiny E c X+ pro X > co takové, že platí 0A + (£),
spolu s existencí nA(E)-posloupnosti je kombinatorický předpoklad, z kterého
plyne existence A + -Suslinova stromu. Ukážeme to v následujícím oddílu.
2.54 Bezespornost kombinatorických principů OaQ. Jensen (1972) ukázal, že
principy Ox(E) pro každé stacionární E c X a A regulární a (VA) \JX platí v univerzu
konstruovatelných množin L. Jsou tedy bezesporné s teorií množin. Navíc ukázal,
že O není důsledkem CH.
Podle (7) (viz 2.43) <0A implikuje identitu 2<x = A, která není dokazatelná v teorii
množin. To znamená, že není dokazatelný ani princip Qx.
Porušení E^ pro A > co je mnohem obtížnější. Jensen (1972) ukázal, že pokud
neplatí Qx pro nějaké A > co, potom A+ je Mahlův kardinál v L. Speciálně z -i O
plyne, že existence Mahlova kardinálu je bezesporná s teorií množin.
Porušení Cx Pr° nějaké singulární A, například nDNů}, má za důsledek
bezespornost existence měřitelných kardinálů.
247

!l[
2.54
Jsme svědky situace, která není neobvyklá v teorii množin, kdy nějaké tvrzení
o malém kardinálním čísle, například ~~i □, dává bezespomost existence nějakého
velkého kardinálu.
248

§ 3 Stromy a lineární uspořádání
Nejprve se budeme zabývat typy uspořádání množin reálných čísel. Ukážeme,
že existuje plná mohutnost 220> množin reálných čísel, které mají navzájem
neporovnatelné typy. Seznámíme se se Speckerovým uspořádáním a se Suslinovým
problémem charakterizace uspořádání reálné přímky, který vede k Suslinově hypotéze.
Budeme definovat Kurepův systém množin a vyslovíme Kurepovu hypotézu.
Zavedeme důležitý pojem stromu a dokážeme existenci Aronszajnova stromu.
Ukážeme, jak za pomoci kombinatorických principů O a G lze konstruovat
Suslinovy stromy.
Popíšeme dualitu mezi lineárně uspořádanými množinami a stromy a ukážeme ji
na vztahu mezi Speckerovým uspořádáním a Aronszajnovým stromem a mezi
Suslinovou přímkou a Suslinovým stromem.
Mnohé základní otázky týkající se lineárních uspořádání a stromů (například
Suslinova nebo Kurepova hypotéza) jsou nerozhodnutelné v teorii množin. V
závěrečném odstavci je uveden stručný přehled výsledků týkajících se bezespornosti.
3.1 Typy lineárně uspořádaných množin. Jsou-li dvě lineárně uspořádané množiny
izomorfní, říkáme, že jsou stejného typu. Připomeňme, že typ lineárně uspořádané
množiny <L, <) je nějaká množina tp (L, <), která reprezentuje třídu všech
uspořádaných množin izomorfních s <L, <).
Víme, že ordinální čísla jsou typy dobře uspořádaných množin. Stejně jednoduché
typy pro všechna lineární uspořádání nejsou bohužel po ruce. Typy lineárních
uspořádání však můžeme definovat pomocí axiomu fundovanosti způsobem, který
je uveden v §6 kapitoly II. Izomorfní vnoření pak dávají přirozenou možnost
vzájemného porovnávání typů.
3.2 Porovnávání typů. Nechť <p = tp (L, <L) a \j/ = tp (K, <K) jsou typy lineárně
uspořádaných množin. Říkáme, že <p lze vnořit do \j/ nebo že ý rozšiřuje (p, a píšeme
(p < ^, jestliže existuje prosté zobrazení f: L—+ K, které zachovává uspořádání.
Tedy cp < ip, právě když existuje izomorfní vnoření (L, <L) do (K, <K).
249

111
3.2
Je zřejmé, že < je reflexivní a tranzitivní relace. Uspořádané množiny stejného
typu mají nejen stejnou mohutnost, ale i izomorfní uspořádání. Relace < není
slabě antisymetrická, neplatí pro ni obdoba Cantorovy a Bernsteinovy věty.
3.3 Příklad. Reálnou přímku IR s obvyklým uspořádáním lze izomorfně vnořit
do její podmnožiny R0 = U - {0}. To znamená, že tp(R) < tp(R0) a současně
tp (R0) < tp (IR). Přitom však množiny R0 a IR nejsou izomorfní, tedy tp (IR) ^ tp (R0).
3.4 Mohutnost typu. Inverzní typ. Nechť <p je typem lineárního uspořádání <L, <L).
(i) Mohutností typu cp rozumíme mohutnost množiny L. Značíme ji |<p|.
(ii) Typ množiny L při inverzním uspořádání >L značíme cp* a nazýváme jej
inverzním typem k typu cp.
Je zřejmé, že |<p| = \q>*\. Speciálně co* je spočetný typ inverzní k typu co.
3.5 Typy co, rj, A. Přirozená, racionální a reálná čísla s obvyklým uspořádáním
jsou základní příklady lineárně uspořádaných množin. Jim odpovídající typy
uspořádání se značí symboly co, rj, A. Snadno se nahlédne, že co* #= co, n* = n
a Á* = /.
3.6 Báze třídy typů. Je-li C třída typů, říkáme, že množina B c C je bází pro C,
jestliže pro každé \j/ e C existuje cp e B takové, že cp < ip.
3.7 Spočetné typy mají řadu hezkých vlastností. Uvidíme ve 4.9, že z Ramseyovy
věty plyne, že pro každý spočetný typ cp platí co < cp nebo co* < (p. Jinými slovy,
{co, co*} je bází pro množinu všech spočetných typů. Odtud plyne, zeje to také báze
pro třídu všech nekonečných typů.
Tvrzení 6.40 z kapitoly I říká, že rj je univerzální spočetný typ. To znamená, že
pro každý spočetný typ cp platí cp < n. Speciálně pro každý spočetný ordinál a je
a < f], neboli existuje podmnožina X c Q\ která je uspořádaná podle typu a.
Nespočetné typy již nemají tak hezké vlastnosti. Ukážeme, že {co^co*} netvoří
bázi třídy nespočetných typů.
3.8 Lemma. Žádná podmnožina reálné přímky není uspořádaná podle typu col ani
podle typu a,f, tedy ^^ ^ ^ }
Důkaz. Ukážeme, že neexistuje množina X c U typu co^ Stejné tvrzení pro typ
co* se dokazuje podobně.
Předpokládejme, že existuje množina X = {xa:a < ojJ c U taková, že pro
všechna a < fí je x, < xQ. Pro každé a < oj1 vybereme jedno racionální číslo qa
takové, že xa < qz < xa+i. Dostáváme prosté zobrazení nespočetného kardinálu
col do spočetné množiny racionálních čísel a to je spor.
3.9 Reálné typy. Říkáme, že cp je reálným typem, jestliže cp < X. Reálné typy jsou
právě typy podmnožin reálné přímky.
250

3.13
Stromy a lineární uspořádáni
III
3.10 Speckerovy typy. Erdós a Rado (1956) položili otázku, zda col7 w\ a
nespočetné reálné typy tvoří bázi pro všechny nespočetné typy. Krátce nato dal
E. Specker negativní odpověď. Ukázal, že existují nespočetné lineárně uspořádané
množiny takové, že žádná jejich nespočetná podmnožina není typu col, ani co*,
ani není izomorfní s nějakou podmnožinou reálné přímky. Takovým lineárním
uspořádáním říkáme Speakerova uspořádání a typy nazýváme Speckerovy. Specke-
rovými typy a jejich vztahem k Aronszajnovým stromům se zabýváme v 3.63.
Je zajímavé, že Speckerovy typy mají mohutnost právě coi, viz 3.63. Odtud plyne,
že {(UpO)}), nespočetné reálné typy a Speckerovy typy tvoří množinu, která je
bází pro třídu všech nespočetných typů.
Ukážeme, že za předpokladu hypotézy kontinua neexistuje konečná báze pro
nespočetné typy. Je dosud otevřeným problémem, zda toto tvrzení platí i bez
dodatečných množinových předpokladů.
3.11 Neslučitelné typy. Říkáme, že dva typy cp, ip stejné mohutnosti jsou neslučitelné,
jestliže pro žádný typ x mohutnosti |<p| neplatí současně x < (p a / < t^.
3.12 Věta (W. Sierpinski 1950, S. Ginsburg 1955, J. Baumgartner 1982). Nechť <p
je reálný typ mohutnosti 2°\
(i) Existuje systém S c [yjjwjj < <p8l\\\j\ = 2°) vzájemné neporovnatelných typů
takový, že S má maximální možnou mohutnost 22".
(n) Existuje systém T^ {\jj: \p < (p& |^| = 2"} vzájemné neslučitelných typů
takový, že \T\ = (2m)+.
3.13 Důsledek. Za předpokladu CH systém T sestává z neslučitelných typů
mohutnosti CDj. To znamená, že za předpokladu hypotézy kontinua nemůže existovat konečná
báze dokonce ani pro nespočetné reálné typy.
Dříve než tato tvrzení dokážeme, zavedeme pojem uzávěru izomorfismu a ukážeme,
že existuje pouze T3, v jistém smyslu maximálních, izomorfních zobrazení podmnožin
reálné přímky do reálné přímky.
Je-li f: A -> B izomorfismus množin A, B ^ U, definujme uzávěr/ izomorfismu/
následujícím způsobem: Pro libovolná reálná čísla x, y
y = f(x) <-> (Ve > 0) (3xlt x2 e A) (x{ < x < x2 Se f(x{) < y < f(x2) &
&(x2-x1)<e&(/(x2)-/(x1))<fi).
Je zřejmé, že f ^ f, proto A c Dom(/). Navíc xeDom(/) - A, právě když
x = sup {a e A: a < x} — inf {a e A: a > x),
sup {/(a): aeA&a<x} = mf{f(a):aeA& a > x}.
Pro každé takové x je f(x) = sup f[A n (<-, x)].
Snadno se ověří, že /je také izomorfismus a zeje to největší izomorfismus, jehož
hodnoty jsou jednoznačně určeny zobrazením /
251

III
3.14
3.14 Lemma. Je-li f izomorjismus mezi podmnožinami reálné přímky, pak existuje
nejvýše spočetné zobrazení g £= / takové, že f c g.
Důkaz. Nechť / je izomorfismus, který zobrazuje množinu A na B. Ukážeme, že
existuje nejvýše spočetná množina A0 ^ A taková, že každé xeA - A0 je
limitním bodem obou množin {a e A0: a < x} i {ae A0: a > x}.
Množinu A0 získáme tak, že vybereme nejvýše spočetnou množinu Al c A
hustou v A a k ní přidáme všechny body z A, které nejsou oboustranně hromadnými
body množiny Av Nechť B0 c B je nejvýše spočetná množina s obdobnými
vlastnostmi jako A0. Vezměme C = A0 u/_i[B0] a položme g = f\C. Je snadné
ověřit, že zobrazení g má požadované vlastnosti.
3.15 Důkaz věty 3.12. Nechť A c R má mohutnost 2" a <p = tp(A). Nechť
</2: a < 2") je očíslování všech spočetných izomorfismú mezi množinami reálných
čísel.
Rekurzí sestrojíme množinu Z = {z3:a < 2U) c A, kterou použijeme k důkazu
(i) a (ii). Předpokládejme, že a < 2" a že jsme již sestrojili zp pro 0 < a. Nechť Za
je uzávěr množiny {zp\ fí < oc} na všechna zobrazeni f^^jpx pro /? < a. Přitom
|Zj < 2", můžeme tedy vybrat zxeA tak, že za $ Z2. Takto získáme množinu Z.
Nyní pro libovolné .Y £ 2° položme Z(Y) = {za:aeX}. Ukážeme, že jsou-li
Y, 7 c 2" takové, že X - Y je kofmální podmnožina kardinálu 2", pak Z(A') se
nedá izomorfně vnořit do Z(Y).
Předpokládejme naopak, že f:Z(X)-+Z(Y) je nějaké vnoření. Podle 3.14 je
/ £ £ pro nějaké a.Zvolme fi e X - Y takové,že p > a. Pak z, eZ(X) a /(z,) =
= fl(zp)eZp+l. Podle předpokladu je f(zp) = z., pro nějaké yeY! Přitom
z.,eZ|, + 1) tedy y < /?, a £ e.Y - Y. To znamená, že y < 0, a z konstrukce množiny
Z dostáváme z^ = /" ](zv) = £~ '(z..) e Zp. To je spor, protože zp <£ Zp.
(i) Vezměme nezávislý systém {X(a, i): a < 22w, í < 2} množin na 2"
mohutnosti 22w. Takový systém existuje podle 1.7. Pro různá č, n < l2" má rozdil
Y(č,0) - X(ny0) mohutnost 2", a je proto kofmální s 2". To znamená, že typy
množin Z(X(£, 0)) pro <; < 22~ jsou vzájemně neporovnatelné.
(ii) Vezměme systém S skoro disjunktních množin na 2" takový, že |S| > 2°\
Takový systém existuje podle 1.13(ii). Pro každé X eS nechť t/^je typ množiny Z(X).
Ukážeme, že pro různá ^,76 5 jsou typy \J/X a i//y neslučitelné. Předpokládejme,
že i// je nějaký typ mohutnosti kontinua takový, že \p < ýx^r- Existuje tedy
£ c X mohutnosti 2W takové, že Z(£) má typ i/r. Přitom £- 7 je kofmální s 2",
a proto Z(£) nelze vnořit do Z(Y). To znamená, že ip $. t/^- - spor. Systém 7 =
= {\px: X e 5} má všechny požadované vlastnosti. Tím je věta dokázána.
Uvědomme si, že každý systém vzájemně neslučitelných reálných typů i/> takových,
že \\p\ = 2", určuje skoro disjunktní systém množin na 2". To znamená, že bez
dodatečných předpokladů nelze zvýšit mohutnost systému T v tvrzení (ii) vety 3.12.
252

3.17
Stromy a lineární uspořádání
III
3.16 Xj-husté reálné typy. Spočetná hustá množina X c U má tu vlastnost, že
pro každý neprázdný otevřený interval /je 1 r\ X spočetný. Víme také, že všechny
spočetné husté množiny v IR jsou typu q. Pojem Xt-husté množiny v IR je přirozené
zobecnění spočetné husté množiny.
Říkáme, že D £ R je $<rhustá, jestliže pro každý neprázdný otevřený interval /
je |/ n D\ = X,. Je-li D Nj-hustá množina, její typ se nazývá tfx-hustý typ.
Xt-hustá množina má mohutnost Xt. Na druhou stranu, je-li X c= U množina
mohutnosti X15 pak množina
X0 = {x e X: (3e > 0) (\X n (s - x, x)\ < co V \X n (x,x + t)j < co]
je nejvýše spočetná. Snadno se nahlédne, že množina X — X0 je izomorfní s nějakou
X^hustou množinou, takže její typ je X^hustý. Odtud plyne, že X^husté reálné
typy tvoří bázi pro všechny nespočetné reálné typy.
Všechny spočetné husté neboli X0-husté množiny jsou izomorfní. Pro Xj-husté
množiny podobné tvrzení není dokazatelné.
Předpokládáme-li, že 2° < 2W1, pak již existují různé Xrhusté typy. Podle 3.14
s každou Xj-hustou množinou může být izomorfní nejvýše 203 podmnožin reálné
přímky. Přitom je 2m různých Xx-hustých množin. To znamená, že je 2*91 různých
Xj-hustých typů.
Předpokládáme-li CH, pak dokonce existuje 2"1 vzájemně neslučitelných
Xx-hustých typů. To plyne z 3.12(ii) a důkazu 3.15.
Na druhou stranu J. Baumgartner (1973) ukázal, že tvrzení „všechny X1-husté
množiny jsou izomorfní" je bezesporné s teorií množin. V takovém případě nutně
2<* = 2*°^ ale není to postačující podmínka.
3.17 Suslinův problém se týká vztahu Suslinova čísla a separability lineárně
uspořádaného topologického prostoru.
Je-li nekonečný Hausdorffův topologický prostor X separabilní, to znamená,
existuje-li spočetná hustá podmnožina Y c X, potom existuje nejvýše spočetně
mnoho vzájemně disjunktních otevřených podmnožin prostoru X. Jinými slovy,
Suslinovo číslo c (X) prostoru X je co.
Klasická Cantorova věta, která charakterizuje uspořádání reálné přímky IR,
tvrdí, že každá lineárně uspořádaná množina <X, < > taková, že
(i) X je hustě uspořádaná a nemá nejmenší ani největší prvek,
(ii) je dedekindovsky úplná, to znamená, že každá neprázdná shora omezená
podmnožina má supremum v X,
(iii) je separabilní,
musí být izomorfní s IR.
Suslin (1920) položil otázku, zda podmínka (iii) v Cantorově větě může být
nahrazena slabší podmínkou
(iv) c{X) = co.
253

III
3.17
Kdyby to nebylo možné, pak musí existovat lineárně uspořádaná množina
(X, < > taková, že X jako topologický prostor s intervalovou topologií má spočetné
Suslinovo číslo, ale není separabilní. Takovou uspořádanou množinu nazýváme
Suslinovou přímkou.
3.18 Suslinova hypotéza (SH) je tvrzení „neexistuje žádná Suslinova přímka".
Je zřejmé, že pokud platí Suslinova hypotéza, podmínky (i)-(n0 a 0)> (n)> (iv)
jsou ekvivalentní. Ukážeme, že i naopak z ekvivalence uvedených podmínek plyne
Suslinova hypotéza. To znamená, že Suslinova hypotéza je ekvivalentní s tvrzením,
že podmínky (i), (ii) a (iv) charakterizují uspořádání reálné přímky.
3.19 Věta. Existuje-li Suslinova přímka, pak existuje Suslinova přímka <L, <>,
která je hustě uspořádaná, a v žádném neprázdném otevřeném intervalu neexistuje
spočetná hustá podmnožina.
Důkaz. Nechť X je nějaká Suslinova přímka. Definujme relaci ekvivalence na X
tak, že x ~* y, právě když existuje nejvýše spočetná množina hustá v intervalu s
koncovými body x a y.
Nechť P ^ X je nějaká třída ekvivalence odpovídající relaci ~-. Je zřejmé, že P
je konvexní množina. Ověříme, že P je separabilní prostor. Nechť M je nějaký
maximální systém vzájemně disjunktních otevřených intervalů (x, y) takových, že
x, yeP. Jelikož Suslinovo číslo c(X) = a>, je \m\ < co. Pro každý interval I e M
vyberme nějakou nejvýše spočetnou množinu D/ c /, která je hustá v I. Potom
množina
D= [)D,
je nejvýše spočetná a přidáme-li k ní nejmenší a největší prvek množiny P, pokud
existují, dostaneme množinu hustou v P. Tedy P je separabilní prostor.
Položme L=XJ~. Faktorovou množinu L lineárně uspořádáme relací <,
kde P < Q znamená, že buď P = <2, nebo nějaký (každý) prvek z P je menší než
nějaký (každý) prvek z Q v uspořádání přímky X.
Postupně ověříme, že <L, <> je hustě uspořádaná množina, žádný neprázdný
otevřený interval není separabilní a Suslinovo číslo c(L) = cj. Pro každé Pe L
zvolíme nejvýše spočetnou množinu HP ^ P, která je hustá v P v uspořádání
přímky X.
Nechť P < Q. Kdyby interval (P, Q) byl prázdný, pak pro libovolné xeP
a y e Q množina HP u HQ je hustá v intervalu (x, y) a to znamená, že x ~ y — spor.
Tedy < je husté uspořádání. Podobně se dokáže, že interval (P, Q) není také
separabilní prostor.
Předpokládejme, že c(L) > co. Potom existují vzájemně disjunktní neprázdné
intervaly (Pa, Qa) pro a < co{. Pro každé a vybereme prvky xaePa a yaeQa.
Každý interval (xa, yj přímky X je neprázdný, protože Pa < Qa a xa není
ekvivalentní s ya. Tedy (xa, ya) pro a < cd1 je nespočetně mnoho disjunktních otevřených
intervalů na přímce X — spor. Dokázali jsme, že c (L) = co.
254

3.27
Stromy a lineární uspořádání
III
3.20 Předpokládejme, že neplatí Suslinova hypotéza. Podle předchozí věty existuje
Suslinova přímka <L, < >, která je hustě uspořádaná. Můžeme předpokládat, že L
nemá nejmenší ani největší prvek. Potom dedekindovské zúplnění přímky L bude
opět hustě uspořádaná množina se stejným Suslinovým číslem a také bez spočetné
husté množiny. Získáme tím lineárně uspořádanou množinu, která splňuje podmínky
(i), (ii) a (iv) z 3.17, ale nesplňuje podmínku (iii). Ukázali jsme, že pokud podmínky (i),
(ii) a (iv) charakterizují reálnou přímku, potom platí Suslinova hypotéza.
3.21 Kurepova hypotéza. D. Kurepa (1936) se ptal, zda existuje systém množin
S £ ^(wj takový, že \S\ > a>2 a současně pro každé a < (úx je množina
[A n oc: A e S} nejvýše spočetná.
3.22 Označení. Je-li F nějaký systém množin a X libovolná množina, potom
zúžení F na X je systém
F\X= {A n X:AeF] .
3.23 Kurepův systém. Říkáme, že F Q ^(o)x) je Kurepův systém, jestliže
ale
(ii) \F I X\ < o pro každé X c col takové, že \x\ < co.
Je zřejmé, že systém S z 3.21 je Kurepův systém.
3.24 Kurepova hypotéza (KH) je tvrzení „existuje Kurepův systém".
KH je nerozhodnutelná v teorii množin. Z negace Kurepovy hypotézy vyplývá,
že o)2 je nedosažitelný kardinál v L. Tedy z negace KH plyne bezespornost existence
nedosažitelného kardinálu. Naopak Silver (197.1) ukázal, že bezespornost existence
nedosažitelného kardinálu implikuje bezespornost negace Kurepovy hypotézy.
3.25 Kurepova přímka je lineárně uspořádaná množina <L, <>, pro kterou platí
(i) \L\ > co2 ,
(ii) existuje hustá množina X c L mohutnosti col,
(iii) žádnou nespočetnou množinu reálných čísel nelze izomorfně vnořit do L.
3.26 Věta. Kurepův systém existuje, právě když existuje Kurepova přímka.
Náznak důkazu. Nechť F je Kurepův systém. Vezmeme-li charakteristické funkce
na coí všech množin Ae F spolu s jejich lexikograííckým uspořádáním, dostaneme
Kurepovu přímku.
Naopak, nechť <L, < > je Kurepova přímka a M c L hustá množina mohutnosti
(úv Pro každé xeL položme Dx = {yeM: v < x}. Pak F = {Dx:xeL} c &(m)
a F je Kurepův systém na Aí.
3.27 Seznámili jsme se se Suslinovou a Kurepovou hypotézou. Každá z nich je
nerozhodnutelná v teorii množin.
Uvažujeme-li souběžně o platnosti či neplatnosti hypotézy kontinua, Suslinovy
255

III
3.27
hypotézy a Kurepovy hypotézy, je celkem osm možných případů. Je známo
(Devlin 1978), že každý z nich je bezesporný s teorií množin, případně s teorií množin
a existencí nedosažitelného kardinálu (jde-li o ~iKH).
3.28 Speckerovy typy lineárního uspořádání, Suslinova a Kurepova hypotéza mají
ekvivalentní vyjádření v řeči stromů.
Pojem stromu je zobecněním pojmu ordinálu. Stromy reprezentují procesy, které
se v jednotlivých krocích mohou větvit. U ordinálu se přechod od menšího k
většímu děje pouze v jednom směru, od daného ordinálu k jeho následníku a na limitních
krocích k nejbližšímu limitnímu ordinálu.
Zpočátku je nutné zavést několik pojmů o stromech. Jako obvykle x, X značí
nekonečné kardinály, v je libovolný kardinál.
3.29 Definice. Strom je uspořádaná množina (T <> taková, že pro každý vrchol
xeT množina všech jeho předchůdců {y e T. y < z} je dobře uspořádaná relaci <.
Podstrom stromu Tje libovolná podmnožina T £ T se stejným uspořádáním <.
Je-li navíc T dolní podmnožina, říkáme, že T" je dolní podstrom stromu T.
Pokud bude zřejmé, které uspořádání stromu máme na mysli, píšeme krátce T
místo <7; <>.
Připomeňme, že v libovolné uspořádané množině {A, <> se podmnožina
Á c A, která je lineárně uspořádaná, nazývá řetězcem. Naopak, podmnožina,
která sestává ze vzájemně neporovnatelných prvků, se nazývá antiřetězec.
Vzhledem k tomu, že ve stromu je množina předchůdců libovolného vrcholu
dobře uspořádaná, každý řetězec je dobře uspořádaná množina. Přitom množina
řetězců je také uspořádaná inkluzí a splňuje podmínky principu maximality. Proto
každý řetězec je obsažen v nějakém maximálním řetězci.
3.30 Definice. Větev je maximální řetězec ve stromu.
Větev obsahuje s každým prvkem také všechny jeho předchůdce. Každá větev
je tedy dolní podmnožinou stromu.
3.31 Definice. Nechť Tje strom, (i) Je-li x e T, ordinální číslo, které je typem dobře
uspořádané množiny (<-, x), nazýváme výškou vrcholu x ve stromu T a značíme
HT(x) nebo krátce H(x).
(ii) Množina Ta = {x e T. H(x) — a} se nazývá cx-tá hladina stromu T.
Dolní podstrom sestávající ze všech hladin 7} pro /? < a budeme označovat
T\a.
(iii) Výška stromu Tje nejmenší a takové, že Ta = 0. Značíme ji H(T). Jinými slovy
H(T) = sup{/íT(x)+ 1:xgT}.
Mluvíme-li o hladinách stromu, máme na mysli jeho neprázdné hladiny, to
znamená 7^ pro a < H(T).
(iv) Délkou větve rozumíme typ jejího uspořádání. Je to vždy ordinální číslo
<H(T).
256

3 32
Stromy a lineární uspořádání
III
(v) Je-li délka větve v c; T rovna výšce stromu T, říkáme, že v je kojlnáiní větev
ve stromu T.
Přitom kofinální větev nemusi být kofinální podmnožinou vzhledem k uspořádání
stromu T.
Nejprve si povšimneme jednoduchých souvislostí mezi zavedenými pojmy.
Je-li xe Ta a /? < a, pak existuje jediný vrchol y výšky fl takový, že y < x. To
znamená, že řetězec (*-,x] ve stromu T je selektorem na množině {Tp: P < a}.
Každá kofinální větev (pokud existuje) je selektorem na množině všech hladin.
Dvě různé hladiny jsou disjunktní. Různé vrcholy z téže hladiny jsou
neporovnatelné. Hladiny jsou příklady maximálních antiřetězců v T.
Jsou-li x, y neporovnatelné vrcholy, pak existuje nejmenší ordinál a takový,
že se liší předchůdci x', y vrcholů x, y v hladině 7^. Totéž platí pro každou hladinu Tp
takovou, že a < /? < min (H(x\ H(y)). Pro neporovnatelné vrcholy x, y jsou
množiny [x, -►) a [y, -+) jejich následníků disjunktní.
Je-li S dolní podstrom stromu 7^ pak výška každého vrcholu xeS ve stromu S
je stejná jako jeho výška ve stromu T. Je-li S libovolný podstrom stromu 7; pak pro
každý vrchol xeS platí jen nerovnost Hs(x) < HT(x).
3.32 Příklady, (a) Každý ordinál a s obvyklým uspořádáním je strom. Jeho výška
je a a pro každé /? < a platí Ha(fi) = /?.
(b) Je-li /l^Oaa ordinál, pak množina <aA všech posloupností prvků z A délky
<a uspořádaná inkluzí je strom. Tento strom má výsku cc a pro každé /? < a
množina PA tvoří jeho /?-tou hladinu. Nazývá se úplným A-árním stromem výšky a.
Speciálně, je-li A = {0, 1}, jde o úplný binární strom výšky a.
Úplný binární strom výšky cd nazýváme Cantorův strom.
(c) Nechť g(Q) je množina všech (i transfínitních) rostoucích omezených
posloupností racionálních čísel. Jinými slovy, q(Q) je množina všech izomorfních vnoření
ordinálních čísel na omezené podmnožiny racionálních čísel.
q(Q) s uspořádáním daným inkluzí je strom výšky a>{, který nemá žádnou
kofinální větev.
(d) Nechť x je nekonečný kardinál. Uvažujme množinu T všech posloupností
pG <x2 takových, že množina (aeDom(p):p(a) = 1} je konečná. Potom T spolu
s inkluzí je strom výšky x a každá jeho hladina má méně než x prvků.
Je-li cf (x) > co, pak existuje právě x kofinálních větví v T, protože každá
kofinální větev je určena charakteristickou funkcí konečné podmnožiny kardinálu x.
Je-li cf (x) = cd, pak existuje xKo kofinálních podmnožin kardinálu x
uspořádaných dle typu cd. Každá charakteristická funkce takové množiny určuje kofinální
větev stromu T. Existuje tedy alespoň xKo, tedy více než x různých kofinálních větví.
Výška stromu a mohutnost jeho hladin, existence a počet kofinálních větví jsou
důležité charakteristiky nekonečných stromů.
257

III
3.32
V příkladu 3.32(c) je strom výšky wx, který nemá žádnou kofinální větev. Jeho
hladiny mají pro všechna nekonečná a < a^ mohutnost 2°. Pro libovolný
nekonečný kardinál x snadno sestrojíme strom výšky x bez kofinálních větví.
3.33 Příklad. Nechť x je nekonečný kardinál, v = cf(x) a nechť <x^: ($ < v> je
rostoucí posloupnost, která konverguje ke x. Potom množina
7= {<a,£>:a < xfi & P < v}
spolu s uspořádáním <, kde
je strom výšky x, který nemá žádnou kofinální větev. Strom Tje sjednocením v větví,
každá má délku <x. Všechny hladiny stromu Tmají mohutnost d(x).
Takový strom není příliš zajímavý, ale vede k otázce, zda existují kofinální větve
v každém stromu výšky x, jehož hladiny mají mohutnost < cf (x). Odpověď závisí
na tom, zda existuje Aronszajnův cf (x)-strom (3.42).
3.34 Definice. Strom výšky x, jehož všechny hladiny mají mohutnost menší než
kardinál v, se nazývá (x, v)-strom. (x, x)-strom nazýváme krátce x-stromem.
Klasická věta D. Kóniga (1926) řeší základní případ co-stromů.
3.35 Věta. Každý a>-strom má kofinální větev.
Důkaz. Nechť T je co-strom. Pak T je nekonečný a každá hladina Tn je konečná.
Zvolme í0 e T0 takové, že množina (í0, ->) všech jeho následníků je nekonečná.
Přitom T, je konečná a , . . . r .
(t0,-)£ U [^.-).
Existuje tedy tx e Tx takové, že tx > t0 a (íls ->) je opět nekonečné. Užitím axiomu
výběru můžeme pro každé n vybrat tn e Tn tak, že (tn ->) je nekonečné a tn < tn+i.
Potom {tn: n < co} je kofinální větev v T.
3.36 Příklady, (a) (D. Konig) Bude-li lidstvo žít neomezeně dlouho, dnes žije muž,
jehož rod nikdy nevymře po meči.
(b) Nechť/je zobrazení množiny B c A do A takové, že vzory všech 3c e A jsou
konečné množiny. Nechť existuje a € A takové, že pro každé přirozené n existuje
posloupnost <x0,..., xn> taková, že /(x0) = a z pro každé i < n platí f(xi+l) = xť.
Potom existuje nekonečná posloupnost <xř: / < co> prvků z B se stejnými
vlastnostmi.
Uvědomme si, že toto tvrzení zahrnuje i příklad (a).
3.37 Definice. Říkáme, že strom T nemá krátké výhony, jestliže pro libovolné ordi-
nály a < fí < H(T) a každé xeTa existuje yeTp takové, že y > x.
Jinými slovy, strom nemá krátké výhony, jestliže z každého vrcholu do každé
vyšší hladiny vede nějaká větev.
258

3.40
Stromy a lineární uspořádáni
III
3.38 Lemma. Nechť T je (x,c((x))-sLrom. Potom existuje dolní podstrom T stromu T
výšky x, který nemá krátké výhony.
Důkaz. Vezměme množinu T těch xgT, pro které množina následníků (x, ->)
ve stromu T má mohutnost x. Je zřejmé, že T je dolní podstrom stromu T.
Nechť x g T3\ Pro libovolné fi takové, že a < /? < x, má množina
Ul>,-)
vel fi
mohutnost x a pokrývá celé (x, -+) až na množinu mohutnosti <x. Přitom
17j| < cf(x), proto existuje yE Tp, takové, že y > x a |(y, -*)| = x. To znamená,
že y e T. Podobnou úvahou dokážeme, že nějaké xeT0 je v T, tedy T =J= 0.
Odtud plyne, že T' nemá krátké výhony a má výšku x.
Pro (x, cf(x))-stromy je problém existence kofinálních větví převeden na
(x, cf (x))-stromy bez krátkých výhonů. Uvědomme si, že kofinální větev ve stromu T
z 3.38 je také kofinální větví v T.
Snadno dostáváme následující zobecnění Kónigovy věty.
3.39 Důsledek. Pokud d(x) — co, každý {x,(ú)-strom má kofinální větev.
Důkaz. Nechť V je podstrom bez krátkých výhonů z 3.38 (x, co)-stromu T. Nechť
<txn:n < co> je rostoucí posloupnost ordinálů, která konverguje ke x. Pro každé
n < co můžeme vybrat vrcholy xneTa'n tak, že x„ < xn + 1. Řetězec {xn:n < co}
určuje kofinální větev T.
Kofinální větev ve stromu lze zaručit i v dalších případech. Stačí, když strom je
štíhlý a dostatečně vysoký.
3.40 Věta. Předpokládejme, ze v < cf (x). Potom každý (x, v)-sfrom má kofinální
větev.
Důkaz. Nejprve ukážeme, že stačí vyšetřovat případy, kdy x je nespočetný regulární
kardinál a v je nekonečný regulární kardinál menší než x.
Pokud cf (x) = co, je věta speciálním případem 3.39. Je-li x singulár a cf (x) > co,
vezměme kofinální podmnožinu C ^ x typu cf (x). Potom
aeC
je podstrom stromu T, který je (cf(x), v)-stromem. Kofinální větev v S určuje
kofinální větev v původním stromu T. Stačí proto vyšetřovat stromy s regulární
výškou.
Předpokládejme, že x je nespočetný regulární kardinál, v < x a T je (x, v)-strom
bez krátkých výhonů. Odtud plyne, že \Ta\ < \Tp\ < v pro každé a < fí < x, a
snadno se nahlédne, že také sup {|Ta|: a < x) < v. Je-li v singulár, pak existuje regulární
kardinál vr < v takový, že T je (x, v')-strom. Je-li v konečné, pak co < x a T je
(x, co)-strom. Ukázali jsme, že stačí vyšetřovat případ, kdy v je nekonečný regulární
kardinál.
259

III
3.40
Uvažujme stacionární množinu £ = {a < x:cf(a) = v}. Ukážeme, že pro každé
a e E existuje číslo f(a) < a takové, že interval [/(a), a) neobsahuje délku žádné
větve stromu T.
V opačném případě pro nějaké a e E existuje rostoucí posloupnost ordinálů
<a.:í < v>, která konverguje k a, a pro každé č, < v existuje větev v4 délky a,.
Potom množina A = {u. + 1(^):č < v}, kde fr+1(a.) je a,-tý prvek větve yí+1,
obsahuje antiřetězec A' mohutnosti v. Přitom každý vrchol z A' má výšku <a
a má alespoň jednoho následníka v hladině 73. Proto |Ta| > v — spor.
Získali jsme regresivní funkci / na stacionární množině £. Podle Fodorovy věty
existuje neomezená množina £' c £, na které je/konstantní s nějakou hodnotou /?.
To ovšem znamená, že libovolná větev v T je bud kratší délky než/?, nebo má délku x.
Proto každá větev procházející nějakým vrcholem x e Tp je kofmální větví v T.
Důkaz je hotov.
Pro nespočetný regulární kardinál /. však kofmální větev v x-stromu nemusí
existovat.
3.41 Věta (Aronszajn — viz Kurepa 1937). Existuje (Dx-strom bez kofinálních větví.
Důkaz. Strom T konstruujeme jako dolní podstrom co-árního stromu výšky a>l.
Každá jeho hladina 7^ sestává z některých prostých funkcí g: a -*• co takových, že
co-Rng (g) je nekonečná množina. Odtud plyne, že v T neexistuje větev délky co^
jinak by existovalo prosté zobrazení kardinálu cdí do co. Potřebujeme pouze
zajistit, aby |7^| < col pro všechna a < ol.
Hladiny T3 konstruujeme rekurzí tak, aby platilo:
(*) pro každé y < a. feTy a konečnou množinu x c co-Rng (/) existuje geT3
takové, že / c g a x c co-Rng (g).
Položíme T0 = {0}. Předpokládejme, že pro a > 0 máme již sestrojeny 77.,
7 < a. Pokud a = /? + 1, T2 sestává ze všech přípustných prodloužení funkcí z Tp.
Nechť a je limitní. Pro dané y < a, fe Ty a konečné x c co-Rng (/) nalezneme
funkci g, která bude splňovat (*).
Zvolme rostoucí posloupnost <an: n < co} konvergující k a takovou, že tx0 = y.
Využitím indukčního předpokladu snadno současně zkonstruujeme posloupnost
funkcí </,: n < co> a rostoucí posloupnost konečných množin (xn:n < co> tak,
že platí
fn e T3ii,
Položíme-li
n<ca
g je prosté zobrazení a do co.
x0 = x,
fn S/„+M
xn c co-Rng (/fl + 1).
260

3.46
Stromy a lineární uspořádaní
III
U xn c co-Rng (g) a fcg.
n<ca
Funkce g bude prvkem Ta. Protože existuje pouze spočetně mnoho trojic y, /; x,
množina Ta je spočetná.
T= U Ta
a<aii
spolu s inkluzí je a>1 -strom bez kofinálních větví.
3.42 Defínice. Aronszajnův x-strom je x-strom, který nemá žádnou kofínální větev.
Je-li x = coí, mluvíme ó Aronszajnově stromu.
V Aronszajnově x-stromu nejsou kofínální větve, tedy ani řetězce velikosti x.
V následující definici budeme navíc požadovat, aby neexistoval ani antiřetězec
velikosti x.
3.43 Definice. Suslinův x-strom je x-strom, který nemá řetězec ani antiřetězec
mohutnosti x.
Je-li x — coiy mluvíme o Suslinově stromu.
Pro každý singulár x existuje Suslinův, tedy i Aronszajnův x-strom, jak je zřejmé
z příkladu 3.33.
Podle Kónigovy věty nemůže existovat Aronszajnův co-strom. Naproti tomu
existuje Aronszajnův ct^-strom, tvrzení 3.41. Zdá existují Aronszajnovy co2-stromy,
nelze rozhodnout v teorii množin. Za předpokladu GCH však existují Aronszajnovy
x + -stromy pro každé regulární x. Zůstává otevřeným problémem, platí-li to i pro
následníky singulárních kardinálů.
Existence Aronszajnových x-stromů pro nedosažitelné x souvisí s jemnější
klasifikací velkých kardinálů.
3.44 Věta (Specker 1949). Je-li x<x = x, pak existuje Aronszajnův x^-strom.
3.45 Důsledek (GCH). Pro každé regulární x existuje Aronszajnův x+ -strom.
Důkaz. Podmínka z věty 3.44 je ekvivalentní s tím, že x je regulární kardinál a pro
každé v < x je 2V < x. Z GCH plyne, že tuto podmínku splňuje každý regulární
kardinál.
K důkazu věty 3.44 použijeme Kunenovo (1977) kombinatorické tvrzení, které
je samo o sobě zajímavé.
3.46 Lemma. Je-li X regulární kardinál, pak existují prostá zobrazení fa'-OL—>A
pro a < á+ taková, že
|{č</?:/^) +/,(£)}!< A,
jakmile /? < a < Á + .
261

III
3.46
Důkaz. Nejprve dokážeme lemma pro regulární X > uj. Důkaz zobecňuje postup
užitý ve větě 3.41 a opírá se o následující fakta o stacionárních množinách:
(i) Každá množina M c / mohutnosti A má nestacionární podmnožinu X ^ M
stejné mohutnosti.
(ii) Je-li yc/. stacionární množina a {Ya: a < X] je její rozklad na
nestacionární podmnožiny, potom
7' = {min(7j:a < X} c Y
je stacionární množina a množina Y — Y' není stacionární.
Obě tvrzení plynou z Fodorovy věty. Vezmeme-li za X množinu všech bodů z M,
které mají v M bezprostředního předchůdce, dostáváme (i). Kdyby Y — Y' byla
stacionární množina, pak na ní můžeme definovat regresivní funkci, která každému
č, e Ya — Y' přiřazuje nejmenší prvek množiny Ya. Podle Fodorovy věty by jedna
z množin Ya musela být stacionární.
Nechť J je ideál všech nestacionárních podmnožin X. Pro každé a < X+
uvažujme množinu
S(a) = {/:a -> A:/je prosté a Rng(f)eJ) .
Je zřejmé, že každé S(a) =f= 0. Jestliže se funkce f, g e S(ol) liší v méně než X bodech,
píšeme / ~ g.
Rekurzí podle a vybíráme funkci f2eS(a) tak, aby platilo:
(iii) pro každé y < a a g e S(y) takové, že g ~ jr existuje g e S(a) takové, že
g^g a fa - #'.
Položíme /0 = 0. Předpokládáme, že a > 0 a že již máme sestrojeny funkce fy,
y < a. Pokud cc = fl + 1. pak /2 je kterékoli přípustné prodloužení funkce _/],.
Je-li a limitní s kofinalitou v. zvolíme normální posloupnost <o^:£ < v>, která
konverguje k a, takovou, že a0 = 0. Jelikož v < X a ideál J je /.-úplný, z indukčního
předpokladu plyne, že existuje posloupnost funkcí <gs,: £ < v> taková, že g^ e S(ol^
Položme
gr= U^ a ^=Rng(^).
Je-li YeJ, pak geS(x), a v takovém případě položíme fa = g.
Pokud Y<£./, pak nutně v = A, a funkci fa sestrojíme pozměněním funkce g.
Množiny Y, = #4 + i[[a4, a^ + i)] Pr° í < A tvoří nestacionární rozklad stacionární
množiny Y. Nechť Y' c= y je stacionární množina z (ii) a nechť X c: y je
nestacionární množina mohutnosti A podle (i). Označme /l = #~l[Y'] a nechť /i je nějaké
prosté zobrazení A do X. Nyní položíme /a = h u # | (a - /l). Funkce /a je prostá,
definovaná na a a Rng(/a)^(Y — Y')kjX je nestacionární množina. Navíc
z konstrukce Y' pro každé £ < A dostáváme |/1 n a*| < A. Proto /a | a, ~ #«,
a tedy také /a | a, ~ /a Odtud plyne, že pro každé [1 < a je /a | /? ~ /r Snadno
se ověří, že pro /a platí (iii).
262

3 50
Stromy a lineární uspořádáni
III
Uvedený důkaz lze použit i pro A — cu, pokud místo ideálu nestacionárních
množin uvažujeme systém všech podmnožin X ^ co, které mají nekonečný
doplněk.
3.47 Důkaz věty 3.44. Vezměme zobrazení </a:a < x + >, která zaručuje předchozí
lemma, a pro každé a < x + položme
Tx — {q: 9 Je prosté zobrazení a do x & g ~ fa} .
Z předpokladu x<x = x plyne, že \Ta\ < x. Navíc, pro /? < a a každé geTa je
g | /?e Tp. To znamená, že T = \J{Ta:ot < x + } spolu s inkluzí je x + -strom. Kofi-
nální větev v T by určovala prosté zobrazení kardinálu x+ do x, Proto T je
Aronszajnův x+-strom.
3.48 Speciální Aronszajnovy stromy. Aronszajnův x + -strom sestrojený v 3.41 nebo
3.47 sestává z prostých funkcí s hodnotami v x a je uspořádán inkluzí. Vezmeme-li
podstrom S = [){Ta+l: a. < x + }, pak S je také Aronszajnův * + -strom a navíc
je sjednocením nejvýše x antiřetězců, a to
Ay = {fe S: Dom (/) = a + 1 &/(«) = y}
pro y < x.
Takové stromy se nazývají speciální Aronszajnovy x*-stromy.
Víme, že každý Suslinův x + -strom je Aronszajnovým x* -stromem, ale nemůže
být speciálním stromem. Je-li TSuslinův x+-strom, potom \t\ = x+ a každý anti-
řetězec v T má mohutnost nejvýše x. To znamená, že T nemůže být sjednocením
x antiřetězců.
Odtud plyne, že metodami, které jsme použili pro konstrukci Aronszajnových
stromů, nemůžeme sestrojit žádný Suslinův strom. K tomu potřebujeme něco navíc.
Ukážeme, že Suslinův x+-strom lze sestrojit, přidáme-li k předpokladu x<x = x,
který jsme použili ke konstrukci Aronszajnova stromu, ještě diamantový princip
Ox + {E(x)). Nejprve však zavedeme další pojem o stromech.
3.49 Definice. Stupeň vrcholu x ve stromu T je mohutnost množiny všech jeho
bezprostředních následníků, to znamená
st(x) = \{yeT.x < y&H{y) = H(x) + l}| .
Je-li st (x) > 2, říkáme, že vrchol x se větvi.
3.50 Lemma. Každý A-strom, který nemá antiřetězec mohutnosti X a jehož každý
vrchol se větví, je Suslinův.
Důkaz. Je potřeba ukázat, že takový strom nemá kofmální větev. Je-li b nějaká
jeho kofmální větev, pro každé xeb nechť y(x) je bezprostřední následník, který
neleží v b. Potom {y{x)\ xeb] je antiřetězec mohutnosti A, spor.
Abychom získali Suslinův Á-strom, stačí sestrojit A-strom, jehož každý vrchol
se větví a každý antiřetězec má mohutnost menší než A.
263

III
3 51
3.51 Lemma. Nechť T je X-strom a X je nespočetný regulární kardinál Je-li A c= J
maximální antiřetězec, potom množina
C = {a < X\ A n T\cc je maximální antiřetězec v T | a]
je uzavřená neomezená v Á.
Důkaz. Množina A je maximální antiřetězec ve stromu T, proto ke každému xeT
existuje ye A, které je srovnatelné s x. Nechť f:T-+A je nějaké zobrazení, které
každému xeT přiřadí s ním srovnatelný prvek f(x) e A. Je zřejmé, že pokud T | a
je uzavřeno na zobrazení j\ pak A n [T | a) je maximální antiřetězec v T | a.
Podobně jako ve větě 2.38 se ukáže, že C je uzavřená neomezená.
3.52 Věta (Jensen). Platí-li x<x = x a Ox + {E(x)\ pak existuje Suslinův x +-strom.
Speciálně, je-li x = co, pak O zaručuje existenci Suslinova stromu.
Důkaz. Strom (T, <T> sestrojíme rekurzí po hladinách 7^ pro a < x + spolu s
uspořádáním <T množiny T | a + 1. Vrcholy budou ordinální čísla <x + , tedy T ^ x+.
Nechť <Aa:ae£(x)> je Ox + (£(x))-posloupnost.
Hladiny Ta a. uspořádání <r konstruujeme tak, aby platilo:
(i) každým vrcholem x e T | a prochází alespoň jedna větev kofinální v T \ a,
která má prodloužení do hladiny Ta a vrchol x se větví,
(ii) pokud a je limitní a cf(a) < x, pak každá kofinální větev v T | a má právě
jedno prodloužení v 7^,
(iii) pokud cf(a) = x a množina Aa z diamantové posloupnosti je maximální
antiřetězec v T | a, pak každá větev v T | a, která má prodloužení do Ta, obsahuje
nějaký prvek z Aa,
(iv) |Tj < x.
Strom T, který splňuje podmínky (i)-(iv). je x + -strom. ukážeme, že je Suslinův.
Podle lemmatu 3.50 stačí ukázat, že každý antiřetězec má mohutnost menši než xr.
Nechť /l c 7 je maximální antiřetězec. Z mohutnosti hladin plyne, že množina
q = ja < x+: T | a c a} je uzavřená neomezená v x+. Nechť C je uzavřená
neomezená množina z 3.51 sestávající z čísel a, pro která A n 7 | a je maximální
antiřetězec v T | a. Podle <>„+ (£(*)) je
S = {a < x+:cf(a) = x&/4a = /lna}
stacionární množina. Odtud plyne, že pro ae S n C n C1 je /4a maximální
antiřetězec v T | a a cf (a) = x. Podle (iii) je každý vrchol v Ta srovnatelný s nějakým
xeAa. To znamená, že ,4 Je maximální antiřetězec v celému tedy Ax = A a \A\ < x.
Zbývá popsat konstrukci hladin Ta. Položíme T0 = {0} a 0 < r 0.
Předpokládejme, že a > 0 a že již máme sestrojen strom <T | a, <T>.
Je-li a = fí + 1, pro každý vrchol xeT^ do hladiny 7^ dáme dva jeho
bezprostřední následníky. Tím je sestrojena hladina Ta a rozšíření uspořádání <r. Z indukčního
předpokladu plyne |7^| < x.
Je-li a limitní s kofinalitou v, ukážeme, že každým x e T \ a prochází alespoň
264

3.54
Stromy a lineární uspořádání
III
jedna kofinální větev v T | a. Nechť x e T \ a, tedy xeTe pro nějaké f$ < a. Zvolme
rostouci posloupnost <a*: č, < v), která konverguje k a, takovou, že a0 > j3. Podle
(i) existuje x0eTzo takové, že x <Tx0. Využijeme-li (i) a (ii), rekurzí sestrojíme
řetězec <x^: £ < v> v T\ol takový, že xče Ta?, a ten určuje kofinálni větev, která
prochází vrcholem x.
Uvažujme dva případy. Je-li v < x, pak na hladině Ta připojíme jeden vrchol
ke každé kofinální větvi v T\ol. Z předpokladu x<x = x plyne, že \TX\ < x.
Je-li v = x, vybereme nejvýše x kofmálních větvi v T\ol tak, aby každý vrchol
ležel v nějaké vybrané větvi, a pokud Aa je maximální antiřetězec v T \ a, aby
každá větev obsahovala nějaké y e Aa. Takový výběr je možný, protože každým
vrcholem prochází nějaká kofinální větev, mohutnost T \ cc je nejvýše x a je-li
x <Ty a ye Aa, pak každá kofinální větev obsahující y obsahuje také x. Na hladině
Ta připojíme jeden vrchol ke každé vybrané větvi, proto |7^| < x. Důkaz je hotov.
3.53 Stupeň větvení. V Aronszajnově x + -stromu sestrojeném v 3.41 a 3.47 je stupeň
každého vrcholu x, je tedy maximální možné velikosti. Naproti tomu jsme v 3.52
sestrojili Suslinův x + -strom T, jehož každý vrchol má stupeň dva. Ukážeme, jak
získat ze stromu T nový Suslinův x + -strom T takový, že stupeň každého jeho
vrcholu je x. Konstrukce je obsažena v následující úvaze.
Předpokládejme, že A > co je regulární a v je takové, že 2 < v < X. Pak každý
Aronszajnův, tedy i Suslinův, Á-strom T obsahuje podstrom fg]; který je také
Aronszajnovým, případně Suslinovým, A-stromem a každý jeho vrchol má v T
stupeň alespoň v. Podle 3.38 můžeme předpokládat, že T nemá krátké výhony. Pro
libovolné xeT podstrom {y e T:x < y V y < x) stromu Tje A-strom bez
kofmálních větví, a proto nemůže být (A, v)-stromem podle 3.40. Navíc Tnemá krátké
výhony, proto existuje a < X takové, že každá hladina Tp pro a < $ < X obsahuje
alespoň v následníků vrcholu x. Odtud s využitím regularity kardinálu X můžeme
rekurzí sestrojit uzavřenou neomezenou množinu C = {o^: č, < X) c X takovou,
že každý vrchol x e Ta má alespoň v následníků v hladině T3 +1. To znamená, že
každý vrchol ve stromu
má stupeň alespoň v. Je zřejmé, že je-li výchozí strom T Suslinův, pak sestrojený
podstrom T je také Suslinův.
3.54 Doposud jsme sestrojili (v některých případech za dodatečných předpokladů)
Aronszajnovy a Suslinovy x+-stromy pouze pro regulární x. Pro sestrojené stromy
platí, že každý řetězec mohutnosti menší než x je omezený. Ukážeme, že to platí
i naopak.
Existuje-li nějaký Aronszajnův x + -strom, ve kterém je každý řetězec mohutnosti
menší než x omezený, pak x<x = x, a proto x musí být regulární.
Předpokládejme, že Tje Aronszajnův x + -strom, který má uvedenou vlastnost.
265

III
3.54
Podle předchozího odstavce můžeme navíc předpokládat, že T nemá krátké výhony
a že stupeň každého vrcholu je x. Pro libovolné a < x můžeme vnořit úplný x-ární
strom výšky a do dolního podstromu T\ a. Odtud dostáváme \ax\ < \Ta\ < x pro
každé a < x, a tedy x<x = x.
Ukážeme podmínky, za kterých je možno sestrojit Aronszajnovy a Suslinovy
x +-stromy i pro singulární x.
3.55 Příklad (Todorčevič 1981). Za předpokladu Dx (2.50) existuje speciální
Aronszajnův x+-strom.
Všimněme si, že pro x — co nedostáváme nic nového. Je-li x > co, v porovnání
s větou 3.44 nepotřebujeme žádné omezení kardinálních mocnin a x může být
singulár.
Přidáme-li k předpokladu O* ještě GCH a x > co, pak můžeme sestrojit
Suslinův x + -strom. Podrobněji, je-li x > co takové, že platí □* a 2* = x+
a (Vv < x)(2v < x), podle 2.48 a 2.52 existuje stacionární množina E ^ x +, pro
kterou současně platí Ox + {E) a CX(E).
Následující věta ukazuje, že to jsou postačující podmínky pro konstrukci Susli-
nova x*-stromu, a navíc dovoluje sestrojit Suslinův A-strom i pro některé
nedosažitelné kardinály X.
3.56 Věta (Jensen 1972). Nechť X je nespočetný kardinál, pro který existuje
stacionární množina E ^ X a posloupnost <Ca:a limitní a a < X} takové, že platí
0) oA(4
(ii) Ca c a je uzavřená neomezená v a,
(iii) je-li y < a limitní bod množiny Ca, pak y $ E a Cy = yn Ca.
Potom existuje Suslinův X-strom.
Důkaz. Hledaný strom <7^ <r> konstruujeme podobně jako ve větě 3.52 po
hladinách tak, že T £ X a pro každé a < X a xe T \ct existuje větev procházející
vrcholem x, která je kofinální v T | a. Nechť (Aa: a e £> je zvolená 0A(£)-posloup-
nost.
Položíme T0 = {0} a 0 <T0. Je-li a = /i + 1, pak hladinu Ta sestrojíme tak,
aby každý vrchol xeTp měl v Ta právě dva bezprostřední následníky.
Předpokládejme, že a je limitní. Nechť T\Ca značí podstrom \J{Tp: P e Ca}.
Nejprve popíšeme, jak získat pro každé xe T \ Ca větev vx ve stromu T | a, která
je kofinální a prochází vrcholem x. Nechť (yó: ó < O je normální .očíslování
množiny Ca. Pro dané x s T \ Ca nechť <5(x) je nejmenší 5 < £ takové, že x e Tv<j.
Rekurzí definujeme řetěz pa = {p*(5): 5(x) < 5 < č} v T \ Ca tak, že p*(S(x)) = x
a pro 5 > ó(x) je p*(S) nejmenší vrchol y e Tyó v uspořádání ordinálů takový, že
pro každé ó' takové, že ó(x) < ó' < <5, je p*(<5') <T y. Později ukážeme, že p*(ó) je
definováno pro každé 3 takové, že S(x) < 5 < £. Odtud plyne, že p* určuje
kofinální větev vx ve stromu T | a. Povšimněme si, že pro yepxa je x <Ty a p-a ^ pa,
proto yy = vx. Dále uvažujme dvě možnosti.
266

3.58
Stromy a lineární uspořádáni
III
Případ l,je-li ol$E nebo aeE a současně množina Aa není maximální antiřetězec
v T | oi. Potom hladina Tx sestává právě z jednoho prodloužení každé větve
{vx.xeT\Ca}.
Případ 2, a e £ a Aa je maximální antiřetězec v T | a. Pro každé x e T | Ca
vybereme jeden vrchol >>(x) eT\Ca takový, že x <T y(x) a nějaký předchůdce vrcholu
y(x) ve stromu T | a leží v i4a. Potom hladina Ta sestává právě z jednoho prodloužení
každé větve {vyix): xeT\ Ca}.
V obou případech platí, že každý vrchol z e T \ a je obsažen v nějaké větvi vx
nebo vy{x), proto má následovníka v hladině 7^. Navíc, ve druhém případě je
/la n i;y(JC) =|= 0. Jelikož \Ta\ < \T \ Cj, je |tJ < á. Stejně jako v 3.52 se dokáže,
že A-strom T = (J Ta je Suslinův.
Zbývá ověřit, že p*(6) je definované pro všechna Ó taková, že S(x) < ó < c.
Předpokládáme, že pro všechna limitní /? < a a všechna y e T | C^ jsou již řetězce pjj
v T\Cfi definovány. Kdyby pro nějaké ó < č, nebylo p*(ó) definováno, vezmeme
nejmenší takové. Jelikož T \ a nemá krátké výhony, ó je limitní. Odtud podle (ii)
a (iii) plyne, že ys je limitní bod množiny Ca, a podle (iii) je Cyó = C2n yd =
= (>V: & < <5)- Přitom xe T | Cyó a v kroku yá < a jsme konstruovali
WMM < 5' < b)
tak, že pro každé <5' < <5 je p*^') = p£(<5'). Navíc podle (iii) yó $ £, jde tedy
o případ 1 a větev vx ve stromu T \ yó určená řetězcem {p*(<5'): S(x) < S' < ó] má
jediné prodloužení y e T7ó. Proto můžeme položit p*(ó) = y. Ukázali jsme, že
řetězec p* určuje kofinální větev v T | a. Důkaz je skončen.
3.57 Jensen (1972) ukázal, že v univerzu konstruovatelných množin všechny
nespočetné regulární kardinály s výjimkou slabě kompaktních kardinálů splňují
předpoklady předchozí věty. V § 5 ukážeme, že pro každý slabě kompaktní kardinál /
má každý A-strom kofinální větev. To znamená, že v konstruktivním univerzu pro
každý regulární kardinál k > w jsou následující podmínky ekvivalentní:
(i) existuje Suslinův A-strom,
(ii) existuje Aronszajnův A-strom,
(iii) X není slabě kompaktní.
3.58 Lexikografické uspořádání stromu. Budeme se zabývat vztahem mezi stromy
a lineárními uspořádáními. Nejprve uvedeme jednoduchou metodu, jak rozšířit
uspořádání stromu do lineárního uspořádání.
Nechť <T, <> je strom. Každému vrcholu xeT jednoznačně odpovídá
posloupnost px všech y e T takových, že y < x. To znamená, že Dom (pj =
= IÍT(x) + 1 a pro každé a < Dom (px) je px(a) jediný předchůdce vrcholu v
v hladině Ta. Je zřejmé, že x < y je ekvivalentní s px £ Pym
Je-li pro každé a < H[T) dáno lineární uspořádání <a hladiny Ta, definujeme
uspořádání <4 množiny T předpisem
267

x <Ly~px^ Py
nebo pro
a = min {/J < Dom (Px) n Dom (Py): Px(p) + Py(fi)}
px{cc) <ap».
Snadno se ověří, že <z je lineární uspořádání. Říkáme, že <L je lexikografické
uspořádání stromu T (určené uspořádáními <J.
Pro každý vrchol xeT množina ST(x) = {yeT.x < y} je konvexní v
libovolném lexikografickém uspořádání stromu T. Konvexní množina s každými dvěma
srovnatelnými prvky obsahuje i všechny prvky, které leží mezi nimi.
Podobným způsobem, jako jsme definovali lexikografické uspořádání stromu,
tedy jeho vrcholů, můžeme definovat lineární uspořádání množiny všech jeho větví.
V takovém případě mluvíme o lexikografickém uspořádání větví.
3.59 Příklad (Kurepa 1968). Nechť x je nekonečný kardinál. Připomeňme, že x*
značí typ lineárního uspořádání, které je inverzní k uspořádání x. Nechť D je
lineárně uspořádaná množina typu x* + x. To znamená, že množinu D = Dx u D2
lze rozložit tak, že podmnožina Di je uspořádaná podle typu x*, podmnožina D2
je uspořádaná podle typu x a všechny prvky z Dt předcházejí všem prvkům z D2.
Uvažujme množinu T všech konečných posloupností prvků z D uspořádanou
inkluzí. Jinými slovy, Tje úplný D-ární strom výšky a>. Položme V(T) — WD.
Množina V(T) všech nekonečných posloupností prvků z D odpovídá jednoznačně všem
větvím stromu T. Nechť < značí lexikografické lineární uspořádání množiny
Tu V(T\ které je určené uspořádáním množiny D.
Za uvedených předpokladů platí:
(a) <T < > je lineární husté uspořádání.
(b) Každý neprázdný interval v <T <) obsahuje konvexní podmnožinu
izomorfní s <T <>.
(c) Pro každý ordinál a < x+ v každém neprázdném intervalu / c T existuje
množina C £ /, která je uspořádaná relací < podle typu a. To znamená, že
(Va < x + )(a < tp(/, <)). Přitom \t\ = x, proto x+ ^ tp(T, <).
(d) (TuK(r),<) je dedekindovské zúplnění lineárního uspořádání (T, <>
a pro každé ue V(T) množina {xe T. x < v} má kofinální podmnožinu typu co
a množina {xeT.v < x) má koiniciální podmnožinu typu co*.
3.60 wl-stromy. Aronszajnovy a Suslinovy stromy jsou důležité příklady cot
-stromů. Žádný z těchto stromů nemá kofinální větev. Požadavek, aby oj1 -strom měl
mnoho kofinálních větví, vede k pojmu Kurepova stromu.
3.61 Definice. Kurepův strom je coj-strom, který má alespoň co2 kofinálních větví.
Z uvedených tří typů co {-stromů pouze Aronszajnovy stromy existují absolutně,
bez dodatečných předpokladů (věta 3.41). Ukážeme však, že Aronszajnovy stromy,
268

3.63
Stromy a lineární uspořádání
111
Suslinovy stromy a Kurepovy stromy úzce souvisí po řadě se Speckerovými typy,
Suslinovou hypotézou a Kurepovou hypotézou.
Nejprve dokážeme, že Speckerova uspořádání (3.10) jsou právě lexikografická
uspořádání Aronszajnových stromů.
3.62 Věta. Je-li <7^ <> Aronszajnův strom a jsou-li <a libovolná lineární uspořádání
hladin Ta, pak lexikografické uspořádání <L stromu T je Speckerovým uspořádáním.
Odtud plyne, že existují Speckerovy typy.
Důkaz. Nechť X c T je nespočetná množina. Ukážeme, že v iexikografickém
uspořádání <L množina X není uspořádaná podle typu a^, w* ani podle žádného
reálného typu.
Každá hladina Ta je nejvýše spočetná, proto pro každé a < cd1 existuje xaeTa
takové, že množina
(*) {xeX:xa<x}
je nespočetná.
Předpokládejme, že X je uspořádaná relací <L podle typu ojx. Potom pro každé
a existuje právě jedno xa, které splňuje (*), jinak by existovala nespočetná vlastní
dolní podmnožina množiny X. Ze stejných důvodů je xx < x& pro a < jí. To
znamená, že {xa:oi<a)l} je kofinální větev v T - spor. Podobně se ukáže, že X
není uspořádaná podle typu cd*. Zbývá ukázat, že X nelze izomorfně vnořit do reálné
přímky. V opačném případě existuje spočetná množina FgX, která je hustá v
prostoru X s intervalovou topologii. Odtud plyne, že 7c t\ol pro nějaké a < co1
a pro xasTa, které splňuje (*), množina {xeX:xa < x} je nespočetná konvexní
podmnožina množiny X, která neobsahuje žádný prvek z Y. To je spor s tím, že 7je
hustá v X. Tedy <7^ <L> je Speckerovo uspořádání.
Je překvapující, že platí také opačné tvrzení.
3.63 Věta. Každá Speckerovo uspořádání je izomorfní s lexikografickým uspořádáním
nějakého Aronszajnova stromu.
Odtud plyne, že každé Speckerovo uspořádání má mohutnost a^.
Důkaz. Nechť <(S, <s> je Speckerovo uspořádání. Žádná podmnožina množiny S
není uspořádaná podle typu co*, proto každá neprázdná konvexní množina K g; S,
která nemá nejmenší prvek, obsahuje klesající posloupnost <sn:>iEco> koiniciální
s K. To znamená, že K můžeme rozložit na spočetně mnoho vzájemně disjunktních
zleva uzavřených intervalů [srt+1,sj pro n > 0 a [s,,->). Takový rozklad
nazýváme standardním rozkladem konvexní množiny K. Všimněme si, že je-li <s husté
uspořádání, pak každá množina rozkladu je nekonečná.
Aronszajnův strom U konstruujeme po hladinách. Hladina U3 bude sestávat
ze vzájemně disjunktních konvexních množin, které mají nejmenší prvek. Uspořádání
stromu U bude dáno opačnou inkluzi.
269

III
3.63
Je-li / konvexní množina s nejmenším prvkem, p(l) značí její nejmenší prvek
(počátek).
Pokud má množina S nejmenší prvek, položíme U0 = {S}. Jinak U0 sestává ze
zvoleného standardního rozkladu množiny 5.
Případ 1, ol = fí -f 1. Nechť I e Up. Má-li množina / - {p{I)} nejmenší prvek,
dáme / — {p{l)} do Ua. Je-li množina / — {p(l)} neprázdná a nemá nejmenší prvek,
zvolíme její standardní rozklad a všechny intervaly tohoto rozkladu dáme do Ua.
Projdeme-li takto všechny intervaly / e Up, získáme hladinu Ua.
Případ 2, a je limitní. Nechť v je kofinální větev ve stromu U\ol taková, že
f]v =(= 0. Je zřejmé, že f]v je konvexní množina. Má-li nejmenší prvek, dáme ji do Ua.
V opačném případě dáme do U2 všechny intervaly zvoleného standardního rozkladu
množiny f)v. Tuto konstrukci provedeme pro každou kofinální větev v U\a.
Ověříme, že U je Aronszajnův strom. Nechť v je větev v U. Protože strom U je
uspořádán inkluzí, z I <VJ plyne p(l) <sp{J) a množina {p(l):Iev} c 5 je
dobře uspořádaná. Jelikož 5 je Speckerovo uspořádání, množina počátečních bodů
i větev v je nejvýše spočetná. To také znamená, že výška stromu U je nejvýše ojv
Kdyby nějaká hladina Ua byla nespočetná, vezměme nejmenší takové a. Z konstrukce
Ua plyne, že a je limitní a že ve stromu U | a existuje nespočetně mnoho kofinálních
větví v takových, že f\v =(= 0. Pro každou takovou větev v vyberme svef\v.
Jsou-li větve vy v různé, pak existuje Ie U\oc takové, že p(l) leží mezi sv a sv-.
Odtud plyne, že spočetná množina A = (p(/): IeU\a) je hustá v množině
B = A v {sv: v je kofinální větev v U \ a}.
To znamená, že množina B c S je nespočetná a lze ji vnořit do reálné přímky -
spor. Tedy každá hladina Ua je nejvýše spočetná. Jelikož S je nespočetná množina,
pro každé a < oj1 existuje se S — {p(l)'. I e U \ a}. Proto existuje J eUa takové,
že se J. Odtud plyne, že výška stromu U je cdx a U je Aronszajnův strom.
Položme T = {p(/): / e U). Množina T spolu s uspořádáním p(I) < p(J) *-*> I ^ J
je strom izomorfní s < £/, 3 >. Navíc 7=5, protože 7 s s a každý prvek
seS — 7 by určoval větev [i e U\ se 1} délky co1 ve stromu U. Vezmeme-li
lineární uspořádání <a hladiny Ta jako zúžení uspořádání <s na 7^, je zřejmé, že
lexikografické uspořádání stromu 7 je totožné s uspořádáním <s. Proto každé
Speckerovo uspořádání má mohutnost a)1.
3.64 Věta. Suslinův strom existuje, právě když existuje Suslinova přímka.
Suslinova hypotéza je tedy ekvivalentní s tvrzením „neexistuje žádný
Suslinův strom".
Důkaz. Nechť <7 <> je Suslinův strom. Můžeme předpokládat, že stupeň každého
vrcholu je co. Pro každé a < oj1 zvolíme lineární uspořádáni <a hladiny Tz tak,
aby pro každý vrchol xeT množina všech jeho bezprostředních následníků neměla
nejmenší prvek. Nechť <L značí odpovídající lexikografické uspořádání.
270

3.65
Stromy a lineární uspořádán i
lil
Ukážeme, že (T, <L) je Suslinova přímka. Potřebujeme ověřit, že T jako
prostor s intervalovou topologií neobsahuje spočetnou hustou množinu a že jeho
Suslinovo číslo c(T) = co. Jelikož <7^ <> je také Aronszajnovým stromem, podle
3.62 <7; <Ly je Speckerovým uspořádáním, a proto T není separabilní prostor.
Předpokládejme, že c(T) > co. Potom existují vzájemně disjunktní neprázdné
intervaly Ia = (xa, ya) pro ol < o)1. Z každého intervalu Ia vybereme vnitřní bod za tak,
aby platilo:
(i) jsou-li xa a ya neporovnatelné vrcholy ve stromu T, pak za je nějaký
bezprostřední následník vrcholu xa,
(ii) je-li xa < ya a ya je předchůdce vrcholu ya, který je bezprostředním
následníkem vrcholu xa, pak za je bezprostřední následník vrcholu xa, který je menší než ya
v uspořádání hladin.
Odtud plyne, že pro každé a < w, je {ze T. za < z} c /a. Jelikož intervaly 7a
jsou disjunktní, množina {za:a<ol\ je nespočetným antiřetězcem ve stromu
T — spor. Tedy c(T) = co a <7^ <L> je Suslinova přímka.
Na druhou stranu, předpokládejme, že existuje Suslinova přímka <L, <L>.
Podle 3.19 můžeme předpokládat, že <L je husté uspořádání. Odtud plyne, že každá
alespoň dvouprvková konvexní množina K c L je již nekonečná. Podle
předpokladu je c(L) = co, proto neexistuje žádná množina X c L uspořádaná podle
typu co*.
Suslinův strom <£/, ^> konstruujeme ze Suslinovy přímky <L, <L> podobným
způsobem, jako jsme ve větě 3.63 konstruovali Aronszajnův strom ze Speckerova
uspořádání. Hladiny UQ a Up + 1 se konstruují úplně stejně jako v 3.63. Pro a limitní
je rozdíl pouze v tom, že uvažujeme jen takové kofinální větve v ve stromu U | a,
pro které je konvexní množina f]v nekonečná.
Ověřujeme, že U je Suslinův strom. Protože U sestává z nekonečných konvexních
podmnožin přímky L a c(L) = co, je každý antiřetězec v U nejvýše spočetný. Kdyby
výška stromu U byla spočetná, potom množina {p(l): I e U} by byla spočetnou
hustou množinou v L — spor. Tedy U je nespočetný strom, nemá nespočetné anti-
řetězce a každý jeho vrchol se větví. To znamená, že <[/, e> je Suslinův strom.
3.65 Věta. Kurepův strom existuje, právě když existuje Kurepův systém.
Tedy Kurepova hypotéza je ekvivalentní s tvrzením „existuje Kurepův strom".
Důkaz. Předpokládejme, že Se ^io)^ je Kurepův systém. Pro X eS nechť fx je
charakteristická funkce množiny X definovaná na cox. Potom množina T =
= {fx | a: a < wx & X e S} uspořádaná inkluzí je Kurepův strom.
Na druhou stranu, nechť (T, <T> je Kurepův strom. Jelikož \T\ = coj, můžeme
předpokládat, že T = cox. Potom množina {/? < cdx : T \ fi = /?} je uzavřená
neomezená. Nechť B je množina všech kofinálních větví v T. Podle předpokladu je
\B\ > co2 a B c ^(coj). Pro libovolné a < coj zvolme /? takové, že a < fi < gj{
271

III
3.65
a T\P = p. Potom {Xc^cl:XgB) c {(«-,x) n a:xe 7^} a jelikož hladina 7^
je nejvýše spočetná, je nejvýše spočetná i množina B | a. Dokázali jsme, že B je Ku-
repův systém na col.
3.66 Poznamenejme, že libovolné lexikografické uspořádání všech kofmálních větví
Kurepova stromu je Kurepovou přímkou.
Víme, že za předpokladu O existuje Suslinův strom. Je známo, že z O neplyne
existence Kurepova stromu. Nicméně v univerzu konstruovatelných množin Kure-
pův strom existuje. Platí tam dokonce silnější tvrzení.
(V = L) Existuje Kurepův systém S c ^(coj takový, že každá množina X eS
má mohutnost cúí a pro libovolnou množinu Y ^ col plné mohutnosti existuje
XeS takové, že X c y
Na druhé straně, jak jsme již uvedli v 3.24, z neexistence Kurepova stromu plyne
bezespornost existence nedosažitelného kardinálu.
3.67 Slabá Kurepova hypotéza wKH je tvrzení „existuje systém funkcí F ^ ^'co
takový, že F má mohutnost alespoň co2 a různé funkce fgeF jsou skoro všude
různé44.
3.68 Lemma. KH -► wKH.
Důkaz. Z Kurepovy hypotézy plyne, že existuje nějaký Kurepův strom T. Pro každé
a < co1 zvolme prosté zobrazení cpa:Ta-* co. Každé kofinální větvi v odpovídá
funkce fv: co, -»co taková, že fv(a) = cpa(v(c<)\ kde t;(a) je a-tý vrchol větve v. Jsou-li
kofinální větve v, v' různé, potom fv a fv. jsou skoro všude různé funkce. Systém
{/u: v kofinální větev v T} zabezpečuje slabou Kurepovu hypotézu.
Slabá Kurepova hypotéza také není dokazatelná v teorii množin. Ukážeme její
použití na problému regulárních ultrafiltrů.
3.69 Definice. Regulární ultrafiltr. Říkáme, že ultrafiltr fy na x je regulární, jestliže
existuje systém
{Ax\cl <x]^fy
takový, že průnik každého nekonečného podsystému je prázdný. To znamená, že
pro každé nekonečné X c x je f] Aa = 0.
aeX
3.70 Lemma. Ultrafiltr °U na x je regulární, právě když pro každý systém S c= xOn
nejvýše x funkcí existuje zobrazení cp: x -* [On]<to takové, že každá funkce feS
prochází skoro všude zobrazením cp, přesněji, jestliže {cc < x:f(oc)e cp(a)} eútt.
Můžeme říci, že cp je roura všude konečného průřezu, kterou skoro všude prochází
každé zobrazení z S.
Důkaz. Nechť $1 je regulární ultrafiltr na x a [áx\ ol < x) systém zaručující jeho re-
gularitu. Jsou-li dány funkce {fa: a < x\, položíme pro každé £ < x
272

3.72
Stromy a lineární uspořádáni
III
Dostaneme tak zobrazení <p, které má požadované vlastnosti.
Naopak, je-li cp roura pro systém konstantních funkcí {ka:ct<x}, kde ka
nabývá hodnoty a, množiny A^ = {£ < x: a 6 <p(í)} pro a < x zaručují regularitu
ultrafiltru <%.
Je-li ultrafiltr % na x regulární, pak je uniformní. Na co je každý uniformní ultra-
filtr regulární, stačí vzít množiny An = {k < co: k > n] pro n < co. Na každém
nekonečném x existuje regulární ultrafiltr. Stačí jej zkonstruovat na množině
X = [x]<(°, která má mohutnost x. Pro každé a < x položme Aa — {xeX\aex}.
Podobně jako v 8.15(d) v kapitole I se ukáže, že S = {Ax:ct < x) je centrovaný
systém podmnožin množiny X a každý ultrafiltr na X rozšiřující S je regulární.
Na druhé straně, uniformní ultrafiltr na x > co, který je cr-úplný, nemůže být
regulární. Takové ultrafiltry však souvisí s velkými kardinály (měřitelné kardinály)
a podle 2.22 neexistují na co i. Problém, zda každý uniformní ultrafiltr na co 2 je
regulární, se nazývá problém regulárních ultrafiltru. Je nerozhodnutelný v teorii množin.
Ukážeme, že wKH dává pozitivní odpověď.
3.71 Věta. Za předpokladu wKH je každý uniformní ultrafiltr na co1 regulární.
Důkaz. Nechť F c w,co je systém funkcí, který zabezpečuje wKH. Nechť °ti je
libovolný uniformní ultrafiltr na co^ Pro figeF definujeme
/<] g *-* {a < cúx :/(«) < g{cc)} e <% .
Protože různá f,geF mají od nějakého a < col počínaje různé hodnoty a
protože <?/ je uniformní, platí buď /o g9 nebo g o f. Odtud plyne, že <3 je lineární
uspořádání. Přitom |F| > co2, a proto existuje geF, které má alespoň a^
předchůdců fa pro a < cox v uspořádání o.
Funkce /* jsou vzájemně skoro všude různé, tedy pro každé a < co1 existuje
a' < cdx takové, že pro každé p > a' a každé £ < a je fj$) # j\{P\ Položme
i4. = {/»<«.:/»> a'&/8{/í)<ťK/»)}.
Pro každé a < co1 je A^e^l a ukážeme, že pro libovolné nekonečné X c co2
je průnik f] Aa prázdný. V opačném případě by pro fi e (\ Aa množina
<xeX aeX
{fÁ&): a G X} byla nekonečná a přitom každý její prvek by byl menší než přirozené
číslo g{0) — spor. Ukázali jsme, že systém {Aa\a < co^ zaručuje regularitu
ultrafiltru #.
3.72 Závěrečné poznámky. Kurepova hypotéza má následující přirozené zobecnění
pro libovolný nekonečný kardinál x.
KHX: Existuje systém S c 0>{x) takový, že |s| > x a pro každé nekonečné X c x
takové, že \x\ < x, je |S | X\ < \X\.
Je zřejmé, že KH^ platí a KHa)i je právě Kurepova hypotéza.
Za předpokladu GCH, podle 2.34(ii), pro singulár x s nespočetnou kofinalitou K Hx
273

III
3 72
neplatí. Jensen a Kunen ukázali, že KHX neplatí, je-li x velký kardinál nazývaný
nevýslovný kardinál (5.13).
Za předpokladu axiomu konstruovatelnosti V = L jsou to jediná omezení pro
neplatnost KHX (Jensen, Prikry).
Uvedli jsme již, že negace Kurepovy hypotézy je bezesporná, právě když je
bezesporná existence nedosažitelného kardinálu. Totéž platí o slabé Kurepově hypotéze
(Mitchel 1972).
Podle 3.71 z wKH plyne, že každý ultrafiltr tff etftfo)) je regulární. Laver
dokázal, že totéž plyne z Martinova axiomu MAUlJ který je důsledkem Martinova
axiomu MA a negace hypotézy kontinua.
Na druhou stranu, Laver ukázal, že neregulární ultrafiltr na (úx existuje, pokud
existuje čL)rhustý ideál /naco^ to znamená, že:
(i) J je cr-úplný a rozšiřuje Frechétův ideál na gí15
(ii) existuje systém {Xa: a < a^} c ^(coj - J takový, že každá velká množina
A c= cú1 obsahuje modulo J nějakou množinu Xa.
Existence takového ideálu je bezesporná, je-li bezesporná silná forma axiomu
determinovanosti (Woodin).
Víme, že za předpokladu V = L existuje Suslinův strom, a tedy neplatí Suslinova
hypotéza. V tomto případě existují Suslinovy x-stromy pro každý nespočetný
kardinál x, který není slabě kompaktní. V kapitole IV ukážeme, že z MAWi plyne
Suslinova hypotéza, tedy neexistuje Suslinův strom.
Laver a Shelah (1981) ukázali, že za předpokladu slabě kompaktního kardinálu
je bezesporná teorie
ZFC + CH + neexistuje Suslinův &>2-strom -i- 2°x > co2.
Zůstává otevřeným problémem, zda z GCH neplyne existence Suslinova co2-stromu.
Říkáme, že kardinál x má stromovou vlastnost, jestliže neexistuje Aronszajnův
x-strom. V 5.9 dokážeme, že nedosažitelný kardinál x má stromovou vlastnost,
právě když je slabě kompaktní. Za předpokladu V = L je stromová vlastnost
ekvivalentní slabé kompaktnosti. Obecně však nikoliv. Silver a Mitchel (1972) ukázali,
že z předpokladu existence slabě kompaktního kardinálu je bezesporné
předpokládat, že cú2 má stromovou vlastnost. Výsledek lze zobecnit i pro libovolný následník
regulárního nespočetného kardinálu namísto co2.
Naproti tomu není známo, zda existence Aronszajnova Kw+1-stromu neplyne
již z GCH, případně zda není dokazatelná jen v ZFC.
274

§4 Ramseyova věta a rozklady
„Je mnoho matematických vět, které — zhruba řečeno — tvrdí, že každý systém
z jisté třídy obsahuje velký podsystém, který má vyšší stupeň organizovanosti než
původní systém." Tuto poznámku vyslovili H. Burkill a L. Mirsky (1973) a lze s ní plně
souhlasit. Klasickým příkladem je věta Bolzanova-Weierstrassova o tom, že z každé
omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Jiným
příkladem je věta 1.19 o zd-systémech.
Nyní dokážeme jeden z nejdůležitějších výsledků nekonečné kombinatoriky,
fascinující Ramseyovu větu. Vyplývá z ní mimo jiné, že každý nekonečný graf
obsahuje nekonečný úplný podgraf nebo nekonečnou nezávislou podmnožinu vrcholů.
Uvidíme také, že v každé nekonečné uspořádané množině existuje nekonečný
řetězec nebo nekonečný antiřetězec.
Kromě Ramseyovy věty se seznámíme s její konečnou a kanonickou verzí. Analogií
Ramseyovy věty pro rozklady systému nekonečných množin přirozených čísel je
věta Galvinova-Prikryho. Je ukázáno použití těchto tvrzení v teorii dobrých
a lepších kvaziuspořádání, vrcholící v Laverově důkazu známé Fraissého domněnky.
V závěru je uvedena věta Erdose a Rado pro rozklady na nespočetných
kardinálech.
4.1 Budeme se zabývat různými, převážně nekonečnými verzemi známého
zásuvkového principu, nazývaného také Dirichletovým principem. S nejjednodušším
příkladem jsme se setkali již v kapitole I.
Rozložíme-li nekonečnou množinu na konečně mnoho částí, pak alespoň jedna
část je nekonečná.
Pro množinu Q racionálních čísel dokonce platí: Rozložíme-li racionální čísla na
konečně mnoho částí, Q = X0 u ... u Xn_l, pak alespoň jedna množina rozkladu
obsahuje izomorfní kopii množiny Q. Tedy jedna z množin rozkladu kromě toho, že
je nekonečná, odráží celou strukturu uspořádání množiny Q. Pro důkaz uvedeného
tvrzení stačí si uvědomit, že existuje otevřený interval / =f= 0 a číslo i < n takové,
že množina X-t r\ I je hustá v /. Odtud plyne, že O lze izomorfně vnořit do Xr
Nebudeme se omezovat jen na rozklady množiny X, ale budeme pracovat
275

1(1
4.1
i s rozklady množiny [X]n všech n-prvkových podmnožin množiny X. Přitom
rozklady jsou velmi často definovány pomocí zobrazení.
Každé zobrazení / s definičním oborem [X]M určuje rozklad množiny [X]" na
|Rng (/)| částí. Přitom x, v e [X]" leží v téže třídě rozkladu, právě když /(x) = f(y).
Můžeme si představit, že takové zobrazení přiřazuje každé n-prvkové množině
nějakou barvu. Proto se také mluví o obarveních místo o rozkladech a zobrazeních.
4.2 Definice. Homogenní množina, (i) Nechť A'je množina a Q je rozklad množiny
[X]n všech H-prvkových podmnožin množiny X. Říkáme, že množina A c= X je
homogenní (pro Q), jestliže všechny rc-prvkové podmnožiny množiny A leží ve stejné
třídě rozkladu. To znamená, že [Á\n c q pro nějaké qe Q.
(ii) Nechť/je funkce definovaná na [X]n. Říkáme, že A c= X je homogenní
(pro y), jestliže/je konstantní na [>4]n.
Všimněme si, že A c X je homogenní pro/ právě když je homogenní pro
rozklad určený zobrazením/
Tvrzení, která nás budou zajímat, lze elegantně vyjádřit pomocí rozkladové
šipky, kterou zavedli Erdós a Rado.
4.3 Definice. Rozkladová šipka. Nechť x, Á, [i jsou kardinální čísla, r je přirozené.
Symbol
(1) *-(Afc
znamená, že pro každou množinu X mohutnosti x a pro každé zobrazení /: [X]r -»[i
existuje množina A ^ X mohutnosti A, která je homogenní pro /
Neplatí-li (1) píšeme x ++ (Xf^. Pokud \i = 2, index /i u šipky se vypouští.
4.4 Příklad, (a) Známá hříčka. Sejde-li se kolektiv šesti lidí, najdou se mezi nimi
alespoň tři, kteří se buď navzájem znají, nebo žádný z nich se nezná s ostatními.
Ukážeme, že v řeči šipek se jedná o tvrzení
(2) 6-(3)2.
Nechť X je množina o 6 prvcích. Předpokládáme, že „znáti se" je symetrický vztah.
Pro každou dvojici {x,y}e[X]2 položíme /({x, y}) = 0, jestliže x a y se znají,
jinak položíme /({x, y}) = 1. Získáme tak funkci /: [X]2 -► 2. Nechť A c X je
homogenní pro / Nabývá-li / na \_Á\2 hodnoty 0, pak všechny dvojice z A se znají,
nabývá-li hodnoty 1, pak žádná dvojice z A se nezná. Protože nám jde o libovolnou
skupinu, musíme uvažovat všechny funkce /: [X]2 -* {0, l}. Existuje-li pro každou
z nich tříprvková homogenní množina, dostáváme (2), odkud plyne i řešení hříčky,
a naopak. Není těžké ověřit (2), stejně jako 5 +* (3)2.
(b) Obecně každé zobrazení /: [X]2 -> {0,1} určuje graf (X, H>, kde H je
množina těch hran {x, y}, pro které /({x, y}) = 0. Množina A ^ X je homogenní
pro / právě když buď kaidé dva vrcholy z A jsou spojeny hranou (A určuje úplný
276

4.7
Ramseyova věta a rozklady
II!
podgraf), nebo žádné dva vrcholy z A nejsou spojeny hranou (á je nezávislá množina
vrcholů).
Y řeči grafů (2) znamená, že každý graf o 6 vrcholech obsahuje bud nezávislou
tríprvkovou množinu, nebo úplný podgraf X3. Vztah 5 ++ (3)2 znamená, že existuje
graf o 5 vrcholech neobsahující K3 ani nezávislou tríprvkovou množinu vrcholů.
4.5 Jednoduché vlastnosti šipek. Vztah (l) je zajímavý, pokud x > k > r > 0
a p > 2. V ostatních (degenerovaných) případech je snadné zjistit, zda vztah (1)
platí či nikoliv.
(i) Monotónnost. Pro xl > x nebo kx < k nebo px < p z x -> (k)^ plyne
*i-(*i)m.-
(ii) Monotónnost v exponentu. Předpokládejme, že k je nekonečný kardinál a platí
x -* (A)^. Potom pro každé n < r platí
(3) k-W;.
Důkaz. Kdyby pro nějaké n < r neplatila šipka (3), existuje zobrazení /: [x\n -> p,
které nemá homogenní množinu mohutnosti k. Pro každé xe[V]n a ye[x]r_n
takové, že maxx < miny, položme g(xuy) = f(x). Potom ani zobrazení g\[x\r -> p
nemá homogenní množinu mohutnosti k — spor.
(iii) Tranzitivnost. Předpokládejme x -+ (k)^ al-> (z)rv. Potom platí x -> (t)^ v,
kde p. v je součin kardinálních čísel. Odtud indukcí a využitím monotónnosti
šipky v dolním parametru snadno dostaneme, že z co -> (cof2 plyne co -+ (co)rk
pro každé k < co.
Důkaz. Nechť f: [x]r -+ (p x v). Pro libovolné x e [x]r nechť g(x) je první číslo
dvojice /(x). Potom g: [x]r -> //, a proto existuje homogenní množina A c x pro
#, která má mohutnost k. Označme a0 < p hodnotu, které g nabývá na množině
[Á]r. Nyní pro x e [Á]r je první číslo dvojice f(x) rovno a0 a nechť h(x) je druhá
složka dvojice f(x). Potom h: [Á]r -* v a množina B c A mohutnosti t, která je
homogenní pro /i, je také homogenní pro výchozí zobrazení f.
(iv) Pro r = 1 ztotožňujeme množinu [X]1 s množinou X a x -* (A)* znamená,
že v každém rozkladu množiny jí na </i částí je nějaká množina mohutnosti
alespoň k. To je ekvivalentní s tvrzením, že £ Aa < x pro každou posloupnost
a < (i
<[ka, ol < p} kardinálních čísel menších než k.
4.6 Ramseyova věta řeší důležitý případ šipky (l) pro x = k = co a konečné ^í.
Dokázal ji F. P. Ramsey (1930) původně jako technický prostředek pro
matematickou logiku.
4.7 Ramseyova věta. Pro každé přirozené r a každý rozklad Q množiny [co]r na
konečně mnoho částí existuje nekonečná množina A přirozených čísel taková, že
[/4]r c= q pro nějaké q e Q.
Stručněji, pro každé přirozené rak platí co -> (w)rk.
277

III
47
Předvedeme důkaz pomocí ultrafiltrú, který se dá použít i pro velké kardinály.
Podobný stupeň obecnosti má i metoda rozkladových stromů, se kterou se
seznámíme později při důkaze věty 4.73.
Důkaz. V degenerovaných případech r = 0 nebo k < 1 věta triviálně platí, jakmile
r = 1 a k je libovolné konečné, jde o Dirichletův princip.
Větu dokazujeme indukcí podle r > 1 pro libovolné k > 1. Předpokládejme,
že pro dané r > 1 a libovolné k platí
(4) co->(o>Yk,
a dokazujeme co -> (co)rk+l.
Nechť^ je nějaký uniformní ultrafiltr na co. Mějme dáno zobrazení /: [co]r + * -* k.
Pro libovolné u e [co\r a i < k položme
X(u, i) = {x e co — u:f(u kj {x}) = i).
Množiny X(u, i) pro i < k tvoří konečný rozklad množiny co - u e °ll, právě
jedna z nich je prvkem ultrafiltrú ÚU. Označme g(u) jediné i < k, pro které
A^u, í) g °U. Získali jsme tak zobrazení
(5) g:[a,y^k.
S jeho pomocí sestrojíme nekonečnou množinu Y = {y,-: i < co} c co, která bude
obsahovat hledanou homogenní množinu. Prvních r členů množiny Y můžeme
zvolit libovolně, například y0 = 0, >>! = 1,..., yr_1 = r — 1. Předpokládejme, že
pro nějaké n > r již máme sestrojenu množinu Y„ = {yy.j < n}. Pro každé
ue[yjr je X(u, g(u)) e W a množina [7jr je konečná. To znamená, že
Xn = (){X(u,g(u)):ue[YnY}
je také prvkem ^ a je nekonečná. Proto je množina Xn — {p: p < y^-J
neprázdná. Za yn zvolíme nejmenší prvek této množiny. Tím je popsána konstrukce
nekonečné množiny Y.
Nyní uvažujme funkci g z (5) jen na množině [Y]r. Podle indukčního předpokladu
(4) existuje nekonečná množina A c= Y homogenní pro g. Předpokládejme, že g
nabývá na [Á]r hodnoty 0 (ostatní případy se dokazují stejně). Ověříme, že také
původní funkce / nabývá na [A]r+! hodnoty 0, to znamená, že A je homogenní pro /
Nechť v je libovolný prvek množiny [A]r+ \ Víme, že A c Y. Nechť y je největší
prvek množiny v a u = v - {y}. Potom g(u) = 0 a yeX(u,0), to znamená, že
f(v) = f(u u {y}) = 0. Ukázali jsme, že A je nekonečná množina homogenní pro f.
Důkaz je hotov.
Z Ramseyovy věty a monotónnosti šipky plyne, že pro každé nekonečné x platí
(6) x-(o));.
Dříve než se budeme zabývat důsledky Ramseyovy věty, trochu odbočíme.
278

4.11
Ramseyova věta a rozklady
ÍÍI
4.8 Sierpinského uspořádání. Předpokládejme, že množina X je lineárně
uspořádaná relací =^. Zvolme navíc nějaké dobré uspořádání < množiny X. Pro
x, y e X položme
x <sy+->x^y8cx<y.
Relace <5 je uspořádáním na množině X, které se nazývá Sierpinského uspořádání
(určené relacemi =^ a <). Je-li A ^ X řetězec vůči <s, snadno se nahlédne, že A je
dobře uspořádaná relací =^. Je-li A antiřetězec (<s), pak A je dobře uspořádaná
inverzní relací k =^.
4.9 Věta. (i) Nekonečná uspořádaná množina obsahuje nekonečný řetězec nebo
antiřetězec.
(ii) V každé nekonečné lineárně uspořádané množině existuje podmnožina, která je
uspořádaná podle typu co nebo typu co*.
Jinými slovy (3.7), typy co a co* tvoří bázi pro třídu všech typů nekonečných
lineárně uspořádaných množin.
Důkaz, (i) Je-li X nekonečná uspořádaná množina, pro každé u — {x, y}e[^]2
položme f(u) = 0, jestliže x a y jsou srovnatelné, jinak f(u) = 1. Podle (6) existuje
nekonečná množina A ^ X homogenní pro / Nabývá-li / na [A]2 hodnoty 0,
je A řetězec, nabývá-li / hodnoty 1, je A antiřetězec.
(ii) Nechť <X, =^> je nekonečná lineárně uspořádaná množina. Zvolme
Sierpinského uspořádání <snaJ, které je určeno relací ^ a nějakým dobrým uspořádáním
na Z. Podle (i) existuje nekonečná množina-A c X, která je buď řetězcem, nebo anti-
řetězcem vzhledem k <s. Je-li A řetězcem, podle 4.8 je A dobře uspořádaná relací ^,
a proto existuje dolní podmnožina B c A uspořádaná podle typu co. Je-li A
antiřetězec, pak A je dobře uspořádaná inverzní relací k =^, a proto existuje horní
podmnožina B c A uspořádaná podle typu co*.
4.10 Zúženi systému množin do podmnožiny. Chceme-li dát vskutku jednoduché
příklady nekonečných systémů množin přirozených čísel, systémy A = {{«}: n < co}
jednoprvkových podmnožin přirozených čísel nebo B = [n + 1: n < co]
neprázdných dolních podmnožin budou z prvních, které nás napadnou. Stejně
jednoduché systémy získáme přechodem k doplňkům množin z A nebo z B, tedy
C = {co — [n]: n < co} a D = {co - (n + 1): n < co}.
Připomeňme, že je-li S c= g?[X) systém podmnožin množiny X, potom pro
libovolné Y c X je S\Y = {Yn A: AeS} zúžení systému S na množinu Y.
4.11 Věta (Shelah). Pro každý nekonečný systém S c &{X) existují prostá
posloupnost <x„: n < co) prvků z X a podsystém [An: n < co} c: S tak, že
{{m<co:xmeAn}:n< co}
je právě jeden ze systémů A, B, C, D.
279

III
4.11
Jinými slovy, existuje spočetná množina Y ^ X a. spočetné S' ^ S tak, že zúžení
S' | Y je podobné jednomu ze systémů AziD.
Důkaz. Nejprve rekurzí podle n < co sestrojíme klesající posloupnost nekonečných
podsystémů Sn £ S a posloupnost prvků <xn:n<co> z X. Položme S0 = S
a x0eX zvolíme tak, aby systémy S0(0) = {AeS0:x0$A} a S0(l) = {v4eS0:x0é,4}
byly oba neprázdné. Je zřejmé, že systémy So(0) a S0(l) tvoří rozklad množiny S0,
proto je alespoň jeden z nich nekonečný a ten označíme Sj. V dalším kroku sipočí-
náme stejně. Vybereme xxeX tak, že oba systémy
51(0) = {AeS1:x1^},
Si(l) = {AeSl\xleÁ\
jsou neprázdné a za S2 zvolíme ten, který je nekonečný. Prvek x{ e X lze vybrat,
protože |sj > 2 a navíc je x1 =(= x0. Takto sestrojíme (Sn:n < co> a prostou
posloupnost (xn:n < co>.
Pro každé n vybereme An e Sn — Sn+l. Všimněme si, že při této volbě pro každé
i < co platí: Je-li x. <£ Ai9 pak xi e A} pro každé j > i, aje-li x, e At, pak xL $ Aj pro
každé j > i.
Pro i < j položme
AU)
0,
1,
2,
3,
ní
f-
jestliže
[co]2-4
XíMj
X,. 6 A;
Xř G Aj
*i t Aj
Podle
&XjíAn
& x, £ /l.,
&XjeAt.
Ramseyovy
věty
existuje
ne
Máme tak definované zobrazení /; [oj]2
konečná množina M ^ co homogenní pro /. Je snadné ověřit, že zúžení systému
S' = {An\ neM} na množinu Y = {xn: n e M) je podobné právě jednomu ze
systémů A, B, C, D, podle toho, je-li M homogenní pro barvu 0, 1,2, 3.
F. P. Ramsey (1930) dokázal také obdobu věty 4.7 pro konečné množiny.
4.12 Konečná Ramseyova věta. Pro libovolná přirozená čísla k, m, r existuje
přirozeně n tak, že platí
(7) n - (m)[.
Odtud plyne, že pro každé r existuje Ramseyova funkce Rr definovaná všude na
co x co vztahem Rr
(8) Rr(m, k) = min {n < co: n -+ (m)rk} .
Důkaz. Použijeme princip kompaktnosti (I. 8.36). Předpokládejme, že pro každé
n > r existuje obarvení fn: \_n\r -> /c, pro které neexistuje žádná homogenní
množina o m prvcích. Množina 5 = {fn: n > r} je systém konečných funkcí s hodnotami
v konečné množině k. Navíc S vykrývá všechny konečné podmnožiny množiny [co]r,
280

4.13 Ramseyova uěta a rozklady \\\
protože konečné X £ [o)]r je podmnožinou každé množiny [n]r = Dom (/) pro
libovolné n>maxyx. Podle principu kompaktnosti existuje zobrazení /: [cúV -> k
filtrující systém S. Odtud plyne, že pro každou konečnou množinu A c co existuje
n > max (Á) takové, že platí
(9) /IWr = /.IWr-
Z Ramseyovy věty 4.7 víme, že existuje nekonečná množina B ^ co homogenní
pro / Vezmeme-li libovolnou podmnožinu A ^ B o m prvcích, pak z (9) plyne,
že A je také homogenní pro nějaké obarvení fn — spor. Důkaz je hotov.
4.13 Příklady, (a) Ukazuje se, že výpočet hodnot Ramseyových funkcí (8) je velice
obtížný a přesných hodnot je známo jen málo. Příklad 4.4(a) říká, že jR2(3, 2) = 6.
Je také známo, že R2(4, 2) = 18, ale již pro R2(5,2) je znám pouze odhad
42 < K2(5, 2) < 55. Pro funkci K3 je situace ještě složitější. Pro nejjednodušší
případ jR3(4, 2) je znám jeno odhad 13 < R3(4, 2) < 15.
(b) K popularitě Ramseyovy věty rozhodným způsobem přispěly výsledky Erdose
a Szekerese z roku 1935, které uvádíme v příkladech (b) a (e). Erdós a Szekeres v téže
práci podali nezávislý důkaz konečné Ramseyovy věty. První jejich výsledek se týká
množin bodů v rovině.
Uvažujeme jen takové množiny bodu v rovině, že žádná jejich trojice bodu neleží na
přímce. Pro každé přirozené m existuje přirozené číslo n takové, že z libovolné n-bodové
množiny v rovině lze vybrat m bodů, které tvoří vrcholy konvexního m-úhelníku.
Uvedeme elegantní důkaz této věty, který pochází od M. Tarsyho. Stačí vzít n
takové, že platí
(10) n->(m)l
Množinu Y on bodech v rovině očíslujeme 0, 1,..., h — 1. Každou třiprvkovou
množinu {i,;, k} budeme zapisovat ve vzestupném uspořádání, tedy i < j < k. Trojici
{i,;, k) obarvíme bíle, jestliže přechod v rovině od i do ; a dále přes k zpátky do i
se děje proti směru hodinových ručiček, a černě, je-li přechod po směru hodinových
ručiček. Podle (10) existuje podmnožina X = {x0, xl7..., xm.l) o m bodech
uspořádaná tak, že každá její trojice má stejnou orientaci. Vezmeme-li libovolnou přímku p
procházející body xř, x/+l, kde í + 1 < m, nebo procházející body xm-1 a x0, pak
v důsledku stejné orientace trojic leží celá množina X v jedné z polorovin
vymezených přímkou p. To ovšem znamená, že body x0, xl?..., xm_ l jsou vrcholy
konvexního m-úhelníku.
(c) Jako důsledek konečné Ramseyovy věty dostaneme tvrzení o řetězcích a anti-
řetězcích v konečných uspořádaných množinách, které je obdobou 4.9(i). Pro dané
přirozené m existuje n takové, že každá uspořádaná množina o n prvcích obsahuje bud
řetězec, nebo antiřetězec o m prvcích.
Je však známa přímá metoda, která dává přesný dolní odhad čísla n v
závislosti na m.
281

III
4 13
Nechť F je konečná uspořádaná množina. Označme r(P) a a(P) po radě největší
délku řetězce a největší mohutnost antiřetězce v F. Ukážeme, že
(11) r(P).a{P)> \P\.
Nechť P0 je množina všech maximálních prvků v P. Dále vezměme množinu Px
všech maximálních prvků v F - F0. Takto po konečném počtu kroků získáme
rozklad {Př: i < n) množiny P. Je zřejmé, že každé P{ je antiřetězec, tedy \p\ < a(P\
a navíc n = r(P). Odtud plyne (11).
(d) Libovolná uspořádaná množina, která má alespoň r.a + \ prvků, obsahuje
buď řetězec délky r+1, nebo antiřetězec mohutnosti a + 1.
(e) (Erdós, Szekeres 1935). Z každé prosté posloupnosti reálných čísel délky n2 + 1
lze vybrat buď rostoucí, nebo klesající podposloupnost délky n + 1.
Na množině indexů posloupnosti, kterou ztotožníme s přirozeným číslem n2 + 1,
jsou dána dvě lineární uspořádání: první je obvyklé uspořádání přirozených čísel
a druhé je uspořádání indexů podle velikosti členů posloupnosti. Uvažujeme-li
odpovídající Sierpinského uspořádání (4.8) na n2 + 1, pak každý řetězec určuje
rostoucí podposloupnost a každý antiřetězec určuje klesající podposloupnost.
Z (11) plyne, že alespoň jeden z nich musí mít mohutnost n + 1. Není těžké sestrojit
příklad ukazující, že odhad n2 + 1 je nejlepší možný.
(f) Z věty 4.9(i) plyne, že (11) platí i pro spočetné uspořádané množiny. Ukážeme,
že ve větě 4.9(i) nelze slovo „nekonečný" nahradit slovem „nespočetný", a tedy pro
nespočetná uspořádání vztah (11) nemusí platit.
Víme, že reálná přímka U neobsahuje podmnožinu typu a>l ani co*. To znamená,
že pro Sierpinského uspořádání množiny (R, odpovídající uspořádání reálných čísel
a nějakému jejímu dobrému uspořádání, neexistuje ani nespočetný řetězec, ani
nespočetný antiřetězec. Dostáváme známé Sierpinského tvrzení
(12) 2"~ K)2.
Všimněme si, že pro strom T mohutnosti a>i neplatí (li), právě když T je Suslinův
strom.
4.14 Kanonické rozklady. Doposud jsme se zabývali jen konečnými rozklady.
Nyní nás budou zajímat všechny rozklady. Předpokládáme, že X je lineárně
uspořádaná množina. Zapisujeme-li /7-prvkovou množinu a c X výčtem jejích prvků
a = {a0, alí ..., an_í), vždy předpokládáme, že prvky a{ jsou uspořádány
vzestupně.
Zvolme přirozené n a uvažujme rozklady množiny [X]n. Pro každé A c
c {0, 1,..., n - 1} = n definujeme relaci ekvivalence ~A na množině [X]" tak, že
a ~ á b <-► pro každé / e A platí a{ = b{.
Nechť Qá je rozklad množiny \_X~\n sestávající ze tříd ekvivalence relace ~ A.
Rozklady Qó pro A c n se nazývají kanonickými rozklady na X (pro dané n).
282

4 18
Ramseyova věta a rozklady
III
Je-li X nekonečná množina a n > 0, pak existuje nekonečně mnoho (alespoň 2*°)
rozkladů množiny [X]n, ale jen 2n kanonických rozkladů. Ptáme se, zda pro
libovolný rozklad Q existuje nekonečná podmnožina A ^ X taková, že zúžení Q na [A~\n
je již kanonickým rozkladem na A. Pozitivní odpověď dává kanonická Ramseyova
věta.
4.15 Definice. Nechť X je lineárně uspořádaná množina a n přirozené.
(i) Říkáme, že rozklad Q množiny [A"]" je kanonický na množině A c X, jestliže
existuje množina A(Q, A) c {0,1,...,n - 1} taková, že libovolná a, be\_A~\n leží
ve stejné množině rozkladu, právě když pro každé i e A(Q, A) platí at — £>,-. To
znamená, že Q | [Á]H = QA{QtAy
(ii) Je-li / zobrazení definované na [X~\n, říkáme, že / je kanonické na A Q X,
jestliže rozklad Q určený zobrazením/je kanonický na A. V tomto případě píšeme
A(f, A) namísto A(Q,A).
Všimněme si dvou mezních případů množiny A(f, A). Je-li A(f, A) = 0, potom
f(a) — f(b) pro všechna a,be [^]n. To ovšem znamená, že množina A je homogenní
pro / Na druhé straně, je-li A(f,A) = {0, 1,..., n - 1} = n, potom pro a 4= b je
f(a) 4= /(&), tedy /je prosté zobrazení na množině [Á]n.
V případě n = 1, kdy ztotožňujeme [X]1 s X, je funkce / kanonická na
podmnožině A, jestliže / je buď konstantní na A (v případě A = 0), nebo prostá na A
(v případě A = {0}). Je-li X nekonečné, je zřejmé, že pro libovolnou funkci /
definovanou na X nalezneme nekonečnou množinu A c X uvedených vlastností.
4.16 Kanonická Ramseyova věta (Erdós a Rado 1950). Pro libovolné přirozené n
a každý rozklad Q množiny [co]" existuje nekonečná množina A c oj, na které
je rozklad Q kanonický.
4.17 Nejprve ukážeme, že kanonická Ramseyova věta je zobecněním Ramseyovy
věty. Předpokládejme, že Q je konečný rozklad množiny [co]n. Nechť A c co
je nekonečná množina, na které je rozklad Q kanonický. Dokazujeme, že A je
homogenní pro Q, neboli A(Q, Á) = 0. Předpokládejme, že existuje nějaké
íeA(Q,A). Pro libovolné xeA, které není mezi prvními i prvky množiny A,
existuje a(x) = {a0,..., an^l} e[A]n takové, že ax = x. Je-li x 4= x\ pak a(x)
a a(x) leží v různých množinách rozkladu Q, a protože A je nekonečná, Q musí být
nekonečný rozklad — spor.
K důkazu věty 4.16 použijeme následující charakterizace kanonických rozkladů,
která je sama o sobě zajímavá.
4.18 Invariantní rozklady. Předpokládáme, že X je lineárně uspořádaná množina.
Jsou-li a, b, c, d její rc-prvkové podmnožiny, píšeme
(13) a:b = c:d,
jestliže existuje rostoucí zobrazení c/>: a u b -► X takové, že q>\a\ = c a (p\_b] = d.
Jinými slovy, (13) je ekvivalentní s tím, že pro každé ij < n platí
283

III
4.18
ax < bj, pravé když cz- < d-.
Je-li Q rozklad množiny \_X]n, pak píšeme a = b{Q), jestliže a i b leží ve stejné
množině rozkladu. Pokud je zřejmé, který rozklad máme na mysli, píšeme krátce
a = b.
Říkáme, že rozklad Q množiny [X]n je invariantní, jestliže pro libovolné
a, b,c,de[X]n platí:
je-li a:b = c:d a a = b, potom c = d.
4.19 Lemma. Je-/i X nekonečná lineárně uspořádaná množina, potom libovolný
rozklad množiny [X]"^ kanonický, právě když je invariantní.
Důkaz. Nechť Q je kanonický rozklad a Q = Q^ pro nějaké A c «. Je-li a = fr,
pak pro každé z" e ^1 je at = b(, a z a:b = c:d dostáváme, že také ci - dx pro
každé ieA. Odtud c = d a Q je invariantní.
Důkaz opačné implikace je složitější. Předpokládejme, že Q je invariantní rozklad
množiny [X~\n a /i > 0. Zvolme libovolně množinu S = {x0,..., x2„} í X o 2u + 1
prvcích uspořádaných vzestupně.
Nejprve použijeme prvních n -h 1 prvků množiny 5 a pro každé i < n položíme
"i = \X0-> •'•' 'Xi- 1» Xi+1' •••» Xn) '
Je zřejmé, že každé Hř je n-prvková množina. Pro rozklad Q definujeme množinu
(14) A = {i<n:H^Hi+1}.
Dokazujeme, že Q = QA. Vezměme libovolné a,be [X~]n takové, že at = bx- pro
ieA. Položme fab) = \{i < n: a, * b,}\.
Indukcí podle q dokážeme, že a = b. Je-li g(a, b) — 0, pak a — b a triviálně a = fr.
Je-li ^(a, 6) > 0, nechť j je' nejmenší index, pro který a} ^ by Víme, že j$A.
Můžeme předpokládat aj < bj a položme
b' = {b0,...,bj_l,aj,bj+i,...,bn_l} .
Je zřejmé, že a{ = i?r pro každé í e zl a současně #(a, b') < o(a, b). Podle
indukčního předpokladu dostáváme a = 6'. Navíc platí
fc:fc' = H,.:Hj+1
a protože ;£4, je H; = HJ + 1. Z invariantnosti rozkladu Q plyne fr = 6', odkud
také a = b.
Potřebujeme ještě ukázat, že také naopak z a = b plyne at - bx pro všechna
ieA. Dokazujeme to sporem. Předpokládejme, že a = b a existuje ieA, pro
které je ax 4= bv Označme je A nejmenší takový index. Je-li j = 0 položme
c = a, d — b. Je-li j > 0, položme
c = {min (fl0, b0),..., min (a^, ^.„J, aJ9..., an_ x},
i = {min (a0, fc0),..., min(a^, ^_,), fc,,..., £>„_ J .
284

4.21
Ramseyoua věta a rozklady
lil
Z invariantnosti rozkladu gaz (14) dostáváme c = a, cl = b, odkud c = </. Je
zřejmé, že pro i < j je cf = d{ a c;- + d;.. Můžeme předpokládat, že c,- < dy
Nyní využijeme toho, že S má 2n + 1 prvků. Můžeme vybrat n-prvkové množiny
e,fz prvních 2n prvků množiny S tak, že platí
c:d = e:f.
Nutně ej < j) a eL — f{ pro i < j. Z invariantnosti Q máme e = /.
Uvažujme zobrazení (p.S— {x2n} -> 5 takové, že pro x < e,- je cp(x) = x a pro
x > e- je <p(x) následník prvku x v množině S. Označíme-li e = <p\_e] a /' = <p[/],
platí e:/ = e':/', a proto e =/'.
Podobně uvažujme zobrazení i/r. 5 - {x2n} -► S takové, že pro x < e} je
i//(x) = x a pro x > e,- je ^(x) následník prvku x v množině 5. Položme
e = Ý[e]. Je zřejmé, že /' = i/^[/J, a proto e:/ = e":/'. Odtud e" = /'. Nyní
víme, že £'=/' = e". Všimněme si, že
e":e = Hj:Hj+i,
a tedy tf; = Hj+1. To ovšem znamená, že j$A, spor. Dokázali jsme, že Q je
kanonický rozklad.
Pro konečné množiny lemma 4.19 neplatí.
4.20 Příklad. Nechť n > 1. Uvažujme množinu X = {0, 1, ...,p} pro nějaké p
takové, že n < p < 2n. To znamená, že n < \X\ < 2n. Definujme rozklad Q množiny
[X]" tak, že jedna jeho množina sestává z množin {0,..., n - 1} a {p - n + 1,..., p}
a zbývající množiny rozkladu jsou jednoprvkové. Q je invariantní rozklad, ale není
kanonický. Připomeňme, že v důkazu 4.19 jsme použili množinu o 2n -f 1 prvcích.
4.21 Důkaz kanonické Ramseyovy věty. Předpokládáme n > 0, případ n = 0 je
triviální. Použijeme Ramseyovu větu co -► (co)2" pro exponent 2/7 a číslo /c, které
udává počet všech relací ekvivalence (rozkladů) na množině mohutnosti ( j.
Důležité je, že k je přirozené číslo. Vezměme množinu J = {0, 1,..., 2n — 1}
a nechť E sestává ze všech rozkladů množiny [/]". Je zřejmé, že |£| = k.
Nechť Q je libovolný rozklad množiny [co]". Pro každou 2/i-prvkovou množinu
P = {Po>Pi> --'yPin-i} — m existuje jediný rozklad f(p)eE takový, že pro
libovolné x, y G [/]" platí
x = y(f(p))~{prie*} = {p/;ey}(G).
Získali jsme tak zobrazení /: [co]2" -+ E. Podle Ramseyovy věty existuje nekonečná
množina A c co homogenní pro / Ověříme, že rozklad Q je invariantní na \_Á]n.
Nechť a, b,c,de [Á]n a platí
(15) a:b = c:d.
285

ÍII
4.21
Doplníme, je-li třeba, množinu a u b na 2/i-prvkovou množinu p ^ A přidáním
prvků z A, které jsou za všemi prvky z au b. Podobně doplnime množinu cu d
na množinu ge[/l]2rt. Jelikož f(p) = f(q), v důsledku (15) platí a = b(Q), právě
když c = d(Q). Rozklad Q je tedy invariantní na \_Á]" a je kanonický podle 4.19.
Důkaz je ukončen.
4.22 Rozklady systémů nekonečných množin. Zajímají nás konečné rozklady systému
[X]™, tedy rozklady systému všech spočetných podmnožin nekonečné množiny X,
pro které existují nekonečné homogenní množiny. Klasický výsledek Erdóse a Rado
(1954), viz lemma 4.23, říká, že pro exponent co neplatí přímá analogie Ramseyovy
věty. Ovšem konstrukce rozkladu množiny [X]<0, pro který neexistuje nekonečná
homogenní množina, podstatně používá axiom výběru. Na druhé straně Galvin
a Prikry (1973) ukázali, že analogie Ramseyovy věty platí, pokud se omezíme na
vhodně definované rozklady. Seznámíme se s jejich větou a ukážeme její použití.
Nejdříve slíbený protipříklad.
4.23 Lemma. Pro každou nekonečnou množinu M existuje rozklad
[M]" = QívQ2
množiny [Mj° na dvě části takový, že pro každou nekonečnou množinu A cr M je
Stručněji, pro každé nekonečné x platí
(16) x++(alfá.
Důkaz. Na množině [A/]"* definujeme relaci ekvivalence tak, že
X ~ y<-> symetrická diference X A Y je konečná.
Z axiomu výběru plyne, že z každé třídy ekvivalence lze vybrat jeden prvek. Existuje
tedy zobrazení / takové, že f(X) ~ X a X ~ Y-+f(X) = f(Y) platí pro každé
X, 7g[M]w. Položme
Q0 = {XefXMX Af(X)\ je sudé číslo},
Gi = M" - Q0 •
Ověříme, že Q0> Qx mají požadované vlastnosti. Je-li A cr M nekonečná, vezměme
libovolnou spočetnou množinu X c A. Odebereme z X jeden prvek, dostaneme
množinu Y. Je zřejmé, že f(X) = f(Y\ a proto jedno z čísel \X A/(X)|, | Y A/(X)|
je sudé a druhé liché. To znamená, že jedna z množin Xy Ypatří do Q0 a zbývající do Q1.
Dokázali jsme, že žádná nekonečná množina A c: M není homogenní pro rozklad
{Qo.S!}.
286

4.28
Ramseyova věta a rozklady
III
4.24 Borelovské rozklady. Podle (16) plati co +-* (co)ť2\ Presto existují zajímavé
rozklady množiny [co]", které mají nekonečné homogenní množiny. Ukazuje se,
že k popisu takových rozkladů jsou vhodné topologické prostředky. Budeme
používat borelovské množiny a množiny s Baireovou vlastností, které jsou typickými
příklady <r-úplných algeber množin a jsou popsány ve IV. 1.
Na množině [co]" zavedeme nejprve topologii odvozenou z topologie Cantorova
diskontinua, kterou budeme nazývat klasickou topologií na [co]03. Ztotožníme-li
podmnožiny přirozených čísel s jejich charakteristickými funkcemi, stává se [co]fJ
podmnožinou, a tedy také topologickým podprostorem Cantorova diskontinua.
Báze topologie Cantorova diskontinua je určena konečnými funkcemi a
odpovídající báze topologie na [co]" bude určena konečnými množinami.
..Položme [0] = [co]" a [s] = {X e [oj]"^ n (max (s) + 1) = s} pro
libovolnou neprázdnou množinu se [co]<ai. Jinými slovy, X e [s], právě když s je dolní
podmnožinou množiny X v uspořádání přirozených čísel.
Pro libovolné K c [oS\<íú je
(17) o(X)=UW
seK
otevřenou množinou v klasické topologii.
Dále uvažujeme [co]" jako prostor s touto topologií. Rozklady množiny [co]w,
které sestávají z borelovských množin, nazýváme borelovskými rozklady.
4.25 Věta (Galvin, Prikry 1973). Pro každý konečný borelovský rozklad
existuje nekonečná množina A c co taková, že [Á]"3 c 5. pro nějaké i < k.
Nejprve uvedeme některé jednoduché důsledky této věty.
4.26 Definice. Říkáme, že systém K c [co]<ÍO je
(i) hustý, jestliže pro každé X e [co]" je JCn[l]<ffl^0,
(ii) spemerovský, jestliže žádná množina z K není v uspořádání přirozených čísel
dolní podmnožinou jiné množiny z K.
Všimněme si, že pro každé přirozené r je [co]r spemerovský systém.
4.27 Lemma. Je-li K c [co]<" hustý systém, potom existuje ,4 e [co]" takové, že
každé nekonečné B c: A má nějakou dolní podmnožinu v K.
Důkaz. Vezměme otevřenou množinu o(K) definovanou v (17). Potom o(K)
a [co]03 - o(K) tvoří borelovský rozklad, a proto podle věty 4.25 existuje
nekonečná množina A £ co taková, že bud [Á]03 c o(K)9 nebo [Á]03 n o(K) = 0.
Druhá alternativa není možná, protože z ní plyne [Á]<ai nK = 0, a to je spor
s hustotou systému K. Tedy [Á]03 c o(X), a to je právě to, co jsme chtěli dokázat.
4.28 Věta (Nash-Williams). Nechť K je spemerovský systém. Potom pro každý
jeho konečný rozklad
287

III
4.28
K=K0u...uKk^
existuje nekonečná množina A ^ co taková, že
[A]<tí} n K c £. pro nějaké i<k.
Ramseyova věta je speciálním případem tohoto tvrzení, protože [a/)r je sperne-
rovský systém.
Důkaz. Ukážeme podstatný případ k = 2, pro k > 2 pokračujeme indukcí.
Předpokládáme, že K = K0uKl. Pokud systém K0 není hustý, existuje A e [oj]'0
takové, že [a]<0) n K0 = 0, a tedy [A]<ai n K g= Kv
Je-li systém K0 hustý, vezměme množinu A e [a;]"0 z důsledku 4.27. Ověříme, že
[A]<(°nK cX0. Je-li se[i]<wnK, potom B = s u {ne A: (Ví e s)(i < n)}
je nekonečná a J3 c A. Ze 4.27 plyne, že B má nějakou dolní podmnožinu teK0.
Jelikož t i s jsou dolní podmnožiny B, jedna je dolní podmnožinou druhé. Navíc
5, teK a protože K je spernerovský systém, platí s = t. Tedy seK0 a věta je
dokázána.
4.29 Galvinovu-Prikryho větu dokážeme pomocí série lemmat, ve kterých
použijeme následující označení. Konečné množiny přirozených čísel značíme s, t a
nekonečné množiny přirozených čísel značíme A, B, X, Y. Podmnožiny prostoru [oj\10
značíme S.
Píšeme s < A, jestliže všechny prvky z 5 jsou menší než všechny prvky z A. Je-li
s < A, potom definujeme
[5, Á] = {Xe [cu]<°: s c X c s u A}.
Jinými slovy, X e [s, A\ právě když 5 je dolní podmnožina X a X - s c A.
Všimněme si, že [0, A] = [A]0* a že každou množinu [s] báze klasické topologie
na [oj]*0 lze vyjádřit jako množinu [s, co — (max (s) + l)].
4.30 Definice. Ramseyovske množiny, (i) Systém
nazýváme Ellentuckovým systémem.
(ii) Říkáme, že množina S c [co]" je ramseyovská, jestliže platí
(18) (V[s, X] e ď) (3J3 e [4]") ([>, B]cSV [s, B]nS = Q).
Systém všech ramseyovských množin značíme 01.
Zajímají nás vlastnosti systému (%. Je zřejmé, že Je ^>([^]í0), OeJ a že
doplněk každé ramseyovske množiny je také ramseyovská množina. Ukážeme, že M
je cr-úplná algebra množin, která obsahuje všechny otevřené množiny prostoru
[a)]03. Odtud pak plyne, že $ obsahuje také všechny borelovské množiny tohoto
prostoru.
288

4.33
Ram^eyova věta a rozklady
III
4.31 Příklad. Každá množina [ř, X]e<£ je ramseyovská, neboli S <= M.
Nechť [s, Á] je libovolná množina z i. Hledáme B, které splňuje podmínku (18)
pro S = [í, X]. Mohou nastat dva případy: bud je průnik [5, A] n [t, X] prázdný,
pak položíme B = A. Neboje neprázdný, a potom B = A r\ X je nekonečné a s je
dolní podmnožinou t nebo naopak. Ukážeme, že B také splňuje (18). Je-li t ^ 5,
pak [s, B] cr [t, X]. Není-li í dolní podmnožinou s, potom existuje prvek zet,
který je větší než všechny prvky z s. Je zřejmé, že z$ sv B, ale z je prvkem každého
Ye [ř, X]. Odtud plyne, že [5, B] má prázdný průnik s [t, X].
4.32 Přijímání a odmítání. Uvažujme libovolnou množinu S <= [a>]u a libovolné
[5, Á\ e &. Říkáme, že [s, A~\ přijímá S, jestliže existuje nekonečné B ^ A
tak0vé'Že [s,B]sS.
Pokud taková množina B neexistuje, říkáme, že [s, X] nepřijímá množinu S. Říkáme,
že [5, Á\ odmítá S, jestliže pro každé konečné t c A množina [5 uU(> r)]
nepřijímá S, kde A(>t) = {ney4:(Vieí)(i < n)}.
(19) Je zřejmé, že pokud [s, A] nepřijímá S, pak pro každé B ^ A také [5, B]
nepřijímá S.
Všimněme si, že platí:
(20) [í, B] ^ [s, 4], právě když 5 je dolní podmnožina t, B c ,4 a £ — s £ 4.
Odtud plyne, že [s, /l] odmítá 5, právě když každé [t, B] c [s, A] nepřijímá 5.
Pokud [5, ^4] odmítá S, pak také každé [t, B] c [5, Á] odmítá S.
4.33 Lemma. Jestliže [s, ,4] nepřijímá S, pak existuje nekonečné B ^ A takové, že
[s, B] odmítá S.
Důkaz. Nejprve ukážeme, že pokud množina [5, Á\ nepřijímá S, pak existuje
nekonečné X c 4 takové, že pro každé ne X
(21) množina [s u {n}, X(>«)] nepřijímá S.
V takovém případě říkáme, že [5, X] s/afrě odmítá S.
Předpokládejme, že množina X uvedených vlastností neexistuje, to znamená, že
platí:
(*) pro každé X'e[/l]ťJ existují xeX' a nekonečné Y' c X'(>x) tak, že
[5 u {x}, y] c s.
Položme X0 = X. Podle (*) existují x0eX0 a Xt c X0(>x0) tak, že
[su {x0}, Xj ^ s. Pro Xt opět použijeme (*) a získáme x^Xi a X2
takové, že {x0, x{] < X2 c Xi a [su {x1},X2] c 5. Rekurzí sestrojíme rostoucí
nekonečnou posloupnost x0 < xx < x2 < ... přirozených čísel a klesající systém
množin <Xř: i < cd). Položíme-li X = {x{: i < co}, potom X £ 4 a 5 < X.
Ověříme, že [s, X] c 5; a to je spor s předpokladem, že [s, /l] nepřijímá S. Nechť Ye
289

III
4 33
g [s, X] a nechť /je nejmenší index takový, že xř g 7. Potom Yg [5 u {x,}, Xl+l] c: 5,
to znamená, ze [5, X] c 5. Dokázali jsme, že platí (21).
Nyní konstruujeme množinu B. Předpokládáme, že [5, Á] nepřijímá 5, a víme, že
existuje X0 c A tak, že [5, X0~] slabě odmítá 5. Položme b0 = min X0 a Y0 =
= X0(>b0). Potom [s u {fe0}, y0] nepřijímá S podle (21) a [5, Y0] také nepřijímá
S podle (19). Předpokládejme, že jsme již sestrojili prvky fr0 < ^ < ... < bm a
množiny X0 => Y0=2 X, 3 Yx 3 ... => ym.! 2XmDym tak, že b, = min X, a Yt =
= Xť — {&,-} a pro každé í c {b0,..., bm) množina [su t, 5^] nepřijímá 5. Nyní
sestrojíme množinu Xm+l, která určuje 6m+ x =minXm + 1a Ym+l = Xm + l - {bm + 1}.
Víme, že ke každému tg {fr0> •••>&,«} existuje podmnožina Z, c Ym tak, že
[su £,Z(] slabě odmítá S. Postupně probíráme všechny množiny ř, je jich 2m+1,
a konstruujeme nerostoucí posloupnost množin Zt c Ym. Využíváme přitom
indukčního předpokladu a toho, že nepřijímání a slabé odmítání se zachovává při
přechodu k menší množině. Poslední z množin Zt označíme Xm+1. Máme zaručeno,
že pro libovolné t c {bQ,..., bm} množina \_su t,Xm+i] slabě odmítá S. Odtud
plyne, že pro kterékoli r c {b0, ...ibM+l} množina [s u r, Ym+ J nepřijímá S.
Takto získáme nekonečnou množinu B = {fy: i < co}. Je zřejmé, že 5 < B
a 2? c= A Ověříme, že [5, fí] odmítá S. Nechť t je libovolná konečná podmnožina B.
Je-li t — 0, pak [s, jB] nepřijímá 5, protože [5, Á] nepřijímá S. Předpokládejme
t =j= 0 a nechť fy, je největší prvek v t. Potom t ^ {b0,..., bm} a z předchozí
konstrukce plyne, že [su t,Xm+l~\ nepřijímá S. To znamená, že [s uí,(B > ř)] také
nepřijímá 5, protože B(>í)cImH. Dokázali jsme, že [s, fí] odmítá S.
Následující tvrzení zesiluje pozorování z příkladu 4.31.
4.34 Lemma. Pro libovolný podsystém E0 Q £ Ellentuckova systému je množina
S = U{[ř, x]: [í, x] e EQ) ramseyovská.
Speciálně, každá otevřená množina prostoru [co]" leží v 01.
Důkaz. Vezměme libovolnou množinu [s, A] g S. Pokud [s, Á\ přijímá S, je dobře.
Předpokládejme, že [s, A~\ nepřijímá S. Podle 4.33 existuje B ^ A takové, že
[s, B\ odmítá S. Ukážeme, že [s, fi] n S = 0. Předpokládejme naopak, že průnik
je neprázdný. Pak je neprázdný průnik [s, B] n [í, AT] pro nějaké [í, A"] g £0.
To ovšem znamená, že C = X n B je nekonečné a t — s c fí. Odtud plyne
[s u ř, C] c [t, X] a to je ve sporu s předpokladem, že [s, jB] odmítá 5 a [t, X] c 5.
Průnik je tedy prázdný a S je ramseyovská množina.
Víme, že každá otevřená množina [s] z báze klasické topologie je v S. Libovolná
otevřená množina prostoru [co]" je sjednocením nějakého systému množin z báze
a z dokázaného lemmatu plyne, že je ramseyovská.
4.35 Lemma. Ramseyovská množiny tvoří o-úplnou algebru množin.
Důkaz. Víme, že systém 0t c ^([co]w) je uzavřený na doplňky, proto stačí ověřit,
že je uzavřený na sjednocení spočetných podsystémů. Nechť {Si:i<(ú}^$
a položme
U«,-
290

4.38
Ratnseyova věta a rozklady
III
Uvažujme libovolné [5, A~\eé. Pokud [5, Á] přijímá S, není co dokazovat.
Předpokládejme, že [s, Á] nepřijímá S, a vezměme X c A podle 4.33 takové, že
[5, X] odmítá S.
Chceme sestrojit množinu B c X takovou, že [s, B] n 5 = 0. Postupujeme
podobně jako v důkazu 4.33. Víme, že [s, X\ odmítá 50. Protože S0 je ramseyovská,
existuje B0 ^ X takové, že [s, 50] n 50 = 0. Položme b0 = min B0 a X l =
= B0 — {b0}. Je zřejmé, že [5, Xj a [s u {b0}, Xj jsou podmnožiny množiny
[s, X], a proto obě odmítají S{.
Máme-li zkonstruovány prvky b0<bl <...<bm a množiny B0 => Bx =»...=) 5m
a *w+i =*«-{&-.}» pak pro každé t ^ {b0, ...,bm} množina [suUffl+1]
odmítá 5, a tedy také odmítá Sm+l. Podobně jako ve 4.33 nalezneme Bm+Í c Xw+1
takové, že platí
pro každé t c {fr0,..., 6m}, a položíme bm+l = minfím+1. Tímto způsobem
získáme množinu B — \b{. i < co} a klesající systém množin {Bř: i < co}. Zbývá ověřit
[s, B] n 5 = 0. Kdyby pro nějaké m existovalo Y e [5, B] n Sm, potom pro t =
= yn{^...,ti} platí
76[suř:B(>ljm_1)] c [sut,Bm]9
ale na pravé straně inkluze je množina disjunktní s Sm — spor.
4.36 Důsledek. Každá borelovská množina prostoru [co]0* s klasickou topologií je
ramseyovská.
4.37 Důkaz Galvinovy-Prikryho věty. Předpokládejme, že
HB = S0u...uSk_1
je rozklad sestávající z ramseyovských množin. Hledáme nekonečnou množinu
A c co takovou, že pro nějaké i < k je [^4]*° c £..
Vezměme libovolné nekonečné B0 c co. Pokud [0, B0] přijímá 50, X bude
taková podmnožina B0, pro kterou platí [0, Á] c 50. Přitom [0, /l] = [/4]°\ tedy
jy!]" c S0. Jestliže [0, B0] nepřijímá S0, potom existuje Bx c B0 takové, že
[Ojfíi] nS0 = 0, protože S0 je ramseyovská. To znamená, že [0,B1]cSlu...uSk_1,
a můžeme opakovat úvahu s Bv a Sx namísto B0 a S0. Nakonec nalezneme i < k
takové, že [0, Bř] přijímá 5f, a tedy pro nějaké A c Br je [x]w c 5..
Následující tvrzení využijeme, až se budeme zabývat Fraissého domněnkou.
4.38 Věta. Pro libovolně A e [co]03 a pro libovolný spočetný soubor (S^.i < co>
ramseyovských množin, který pokrývá množinu [Á]10, tedy takový, že
We US..
291

III
4.1R
existuje nekonečná množina B ^ A taková, že pro každé i < co je [B]0* n S, otevřená
množina (dokonce sjednocení konečně mnoha bázových množin) podprostoru [#]".
Důkaz je obdobou důkazu lemmatu 4.35. Množinu B konstruujeme rekurzí.
Položíme B0 = A. Předpokládejme, že jsme již definovali Bt. Potom položíme bi =
= minBi a Bi+l zvolíme tak, že Bi+l c fí.(>fe.) a pro každé tc {b0, ...,b,.}
platí buď [í,Bi+1] c s., nebo [t,Bi + 1] n S- = 0. Potom B = {/?,: i < co} je
hledaná množina, protože pro libovolné X e [#]<y platí X e S,, právě když
[ř,J3i + 1] ^ S,. pro ř = Xn{60,...,&,.}.
4.39 Ellentuckova topologie. Víme, že každá borelovská množina prostoru [<a]w
s klasickou topologií je ramseyovská. Opačná implikace neplatí, systém ramseyov-
ských množin je větší.
Nejprve ukážeme topologickou charakterizaci ramseyovských množin. Množiny
z Ellentuckova systému i jsou základními příklady ramseyovských množin.
Navíc, průnik dvou množin z Ellentuckova systému je bud prázdný, nebo obsahuje
nějakou množinu z S. To znamená, že £ tvoří bázi nějaké topologie na množině [co]*",
kterou budeme nazývat Ellentuckovou topologií. Je zřejmé, že Ellentuckova
topologie je jemnější než klasická topologie.
Budeme používat pojmy řídké a hubené množiny a množiny s Baireovou
vlastností, které jsou zavedeny v 1.29 IV. kapitoly.
4.40 Věta (Ellentuck 1974). Předpokládáme, že [co]" je prostor s Ellentuckovou
topologií. Množina S c [cdI™ je ramseyovská, právě když má Baireovu vlastnost.
Důkaz. Nejprve ověříme, že množina, která má Baireovu vlastnost, je ramseyovská.
Z lemmatu 4.34 plyne, že každá otevřená množina v Ellentuckově topologii je
ramseyovská. Nechť S je řídká množina. Potom množina [co]" - cl (S) je otevřená
a hustá, tedy ramseyovská. Systém $ je uzavřen na doplňky, proto také cl (S) e @t.
Jelikož cl (Š) je řídká a ramseyovská množina, pro každé [5, Á] e £ existuje B c A
takové, že [s, B] n cl (S) = 0. Pro stejné B platí také [s, B] n S = 0, tedy S e &.
Podle 4.35 je 0t cr-úplná algebra množin, proto i každá hubená množina je v 0t.
Odtud plyne, že každá množina S = U A H, která je symetrickým rozdílem
otevřené a hubené množiny, je ramseyovská. Tím jsme dokázali, že každá množina
s Baireovou vlastností leží v &.
Na druhou stranu předpokládejme, že S je ramseyovská množina. Potom
S{ = S — Int (S) e 3$, protože 0t je algebra množin a otevřená množina Int (S) e 0t.
Tedy pro libovolné [s, Á\eS existuje B c A takové, že [5, B] r\ Sx = 0 nebo
[s,B] c Sj. Druhá možnost nemůže nastat, protože Sl £ S a Sx je disjunktní
s Int (S). Odtud plyne, že S{ je řídká množina, a tedy S = Int (S) u S{ má Baireovu
vlastnost.
292

4.44
Ramseyova véla a rozklady
lil
4.41 Ramseyovské množiny a projektivní hierarchie. Povšimneme si vztahu mezi
klasickou topologií a projektivní hierarchií množin Cantorova diskontinua a ram-
seyovskými množinami. Připomeňme dva klasické výsledky deskriptivní teorie
množin, které lze nalézt v knize K. Kuratowského Topologie (1958).
(i) Množiny s Baireovou vlastností libovolného topologického prostoru jsou
uzavřeny na Suslinovu operaci.
(ii) Každou analytickou podmnožinu Cantorova diskontinua získáme Suslino-
vou operací z nějakého systému uzavřených množin.
Podle (i) a věty 4.40 jsou ramseyovské množiny uzavřeny na Suslinovu operaci,
a proto každá analytická množina je ramseyovská.
4.42 Důsledek (Silver). v-úplná algebra množin Cantorova diskontinua generovaná
analytickými množinami je obsažena v 0t.
Silver ukázal, že za dodatečných množinových předpokladů (Martinův axiom
a 2W > oj J lze uvedený výsledek rozšířit na další dva stupně projektivní hierarchie:
všechny spojité obrazy doplňků analytických množin, tedy všechny PCA ( = £2)
množiny, jsou ramseyovské.
Podle 4.23 nemohou být všechny podmnožiny \_(o]0) ramseyovské, platí-li axiom
výběru. Mathias (1977) ukázal, že v Solovayově modelu ZF, ve kterém platí slabší
forma axiomu výběru (axiom závislých výběrů) a ve kterém je každá množina reálných
čísel lebesgueovsky měřitelná, jsou všechny podmnožiny prostoru [co]" ramseyovské.
4.43 Kvaziuspořádání třídy lineárně uspořádaných množin. Znovu se vrátíme k
porovnávání lineárně uspořádaných množin. Připomeňme označení z § 3. Jsou-li
L, M lineárně uspořádané množiny, píšeme L < M, jes lize L lze izomorfně
vnořit do M. Jestliže L < M a M nelze vnořit do L, píšeme L < M. Je zřejmé, že
< je reflexivní a tranzitivní relace na třídě všech lineárně uspořádaných množin.
Z §3 víme, že tato relace není uspořádáním, protože není slabě antisymetrická.
Každou reflexivní a tranzitivní relaci nazveme kvaziuspofádánim. Relace vnořitel-
nosti < je tedy kvaziuspořádání na třídě všech lineárně uspořádaných množin.
V roce 1948 vyslovil R. Fraissé následující domněnku o spočetných lineárně
uspořádaných množinách.
4.44 Fraisseho domněnka. Mezi spočetnými lineárně uspořádanými množinami se
nenalezne nekonečně mnoho takových, které by byly vzájemně neporovnatelné
vzhledem k relaci vnořitelnosti nebo tvořily ostře klesající řetězec.
Třída všech nespočetných lineárních uspořádání nemůže mít stejnou vlastnost,
jak plyne z 3.12.
Každou spočetnou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do množiny
racionálních čísel. Pro Fraisseho domněnku jsou proto podstatné jen spočetné lineárnč
uspořádané množiny, které neobsahují kopii množiny racionálních čísel.
293

III
4 45
4.45 Definice. Rozptýlené lineární uspořádání. Říkáme, že lineárně uspořádaná
množina je rozptýlená, jestliže neobsahuje hustě uspořádanou podmnožinu.
Všechny dobře uspořádané množiny jsou rozptýlené.
Fraissého domněnka nás vede k pojmu dobrého kvaziuspořádání, které je
zobecněním dobrého uspořádání.
4.46 Definice. Dobré kvaziuspořádání. Říkáme, že kvaziuspořádání na třídě Q je
dobré, jestliže v Q neexistuje spočetný ostře klesající řetězec ani spočetný anti-
řetězec.
Fraissého domněnka je ekvivalentní s tvrzením, že relace vnořitelnosti je dobré
kvaziuspořádání na třídě všech spočetných lineárně uspořádaných množin.
Fraissého domněnku dokázal R. Laver v roce 1969. Navíc ukázal, že domněnka platí pro
třídu všech rozptýlených lineárních uspořádání.
4.47 Věta (Laver 1971). Relace vnořitelnosti je dobré kvaziuspořádání na třídě všech
rozptýlených lineárně uspořádaných množin.
Dříve než dokážeme Laverovu větu, seznámíme se blíže s pojmy a vlastnostmi
dobrého a lepšího kvaziuspořádání. Zda je kvaziuspořádání na nějaké třídě dobré,
se pozná na jejích nekonečných podmnožinách. Není proto na úkor obecnosti, když
se omezíme na dobře kvaziuspořádané množiny.
Z Ramseyovy věty dostaneme následující charakterizaci dobře kvaziuspořáda-
ných množin.
4.48 Lemma. Pro kvaziuspořádanou množinu <Q, <> jsou následující podmínky
ekvivalentní:
(i) < je dobré kvaziuspořádání,
(ii) v Q neexistuje nekonečný antiřetězec a odvozená relace < je fundovaná na Q,
přitom x<y<-+x<y&—\ y < x,
(iii) každá podmnožina X c Q má konečnou bázi Y c X, to znamená, že pro každé
x e X existuje yeY takové, že y < x,
(iv) pro každou posloupnost f'-(o-+Q existují přirozená i, j tak, že i < j
o /(i) < /(/),
(v) pro každou posloupnost f:a) -> Q existuje nekonečná množina A ^ (ú taková,
že pro každé ijeA, jakmile i < j, pak f(i) < f(j).
Důkaz. Z (i) plyne (ii), stačí si uvědomit, že relace je fundovaná, právě když neexistuje
nekonečný klesající řetězec.
Platí-li (ii), pro X c Q vezměme množinu Y' všech prvků z X minimálních
vzhledem k relaci <. Z fundovanosti relace < plyne, že Y' je báze pro X. Nechť
množina Y c= Y' je libovolný maximální antiřetězec vzhledem k <, proto je
konečná. Dokázali jsme (ii) -* (iii). Pro nekonečný antiřetězec ani nekonečný
klesající řetězec nemůže platit (iii), tedy z (iii) plyne (i).
294

4.52
Ramseyoua věta a rozklady
III
Je zřejmé, že z (v) plyne (iv) a z (iv) plyne (i). Zbývá dokázat (i) -+ (v).
Nechť f:w-> Q. Definujme obarvení cp\ [cd]1 -> 3 tak, že pro i < j položíme
fo, /(«)</O).
<p({ij}) = jl, je-li f(i) a f(j) neporovnatelné,
l 2, /(i) >/(/)•
Nechť A je nekonečná homogenní množina pro cp. Podle (i) množina [Á]2 musí
mít barvu 0.
4.49 Důsledek, (i) Každá podmnožina a každý homomorfní obraz dobře kvaziuspo-
řádané množiny je dobře kvaziuspořádaná množina.
(ii) Jsou-li <Gi,<i>, (Qii ^2) dobře kvaziuspořádané množiny, potom jejich
kartézský součin (Q± x Q2, <>, kde
<x, u> < <y, y> <-+ x <j&u<2u,
je dobře kvaziuspořádaný.
4.50 Špatné posloupnosti. Uvažujeme kvaziuspořádanou množinu Q. Říkáme, že
posloupnost f: a> —> Q je špatná, jestliže pro libovolná přirozená i, j platí
<< j -/on /(/)•
V opačném případě říkáme, že posloupnost je dobrá. Tedy Q je dobře
kvaziuspořádaná množina, právě když v g neexistuje špatná posloupnost. Je proto užitečné
seznámit se s chováním špatných posloupností.
Říkáme, že špatná posloupnost /je minimální, jestliže každá posloupnost g, pro
kterou platí
(22) (Ví) (3/) (g(í} </(/)) a (3f) (37) (g(í) </(/)),
je dobrá.
Je-li / špatná posloupnost, je zřejmé, že každá její nekonečná podposloupnost je
také špatná. Je-li / minimální, totéž platí pro každou její podposloupnost. Navíc
všechny členy špatné minimální posloupnosti jsou vzájemně neporovnatelné.
4.51 Lemma. Je-li f minimální špatná posloupnost v Q, potom podmnožina Q0 —
= {q e Q: (3í) (q < f(í))} je dobře kvaziuspořádaná.
Důkaz. Je-li g libovolná posloupnost v Q0, pak g splňuje (22), a proto je dobrá.
4.52 Lemma. Předpokládejme, že Q není dobře kvaziuspořádaná a že odvozená
relace < je fundovaná. Potom v Q existuje minimální špatná posloupnost.
Důkaz. Rekurzí sestrojíme minimální špatnou posloupnost. Nechť /(O) je (vzhledem
k <) minimální prvek z množiny všech počátečních členů špatných posloupností.
Dále uvažujme všechny špatné posloupnosti, které začínají s /(O). Nechť f(l) je
minimální ze všech druhých členů takových posloupností. Je zřejmé, že f(l) je ne-
295

III
4 52
srovnatelné s f(6). Takto sestrojíme celou posloupnost /, která je špatná, protože
každý její počáteční úsek je částí nějaké špatné posloupnosti. Navíc členy
posloupnosti/jsou vzájemně nesrovnatelné.
Ukážeme, že /je minimální. Předpokládejme, že existuje špatná posloupnost g,
pro kterou platí (22). Můžeme hned předpokládat, že g(0) < /(/) pro nějaké ;',
jinak vynecháme vhodný počáteční úsek posloupnosti g. Ukážeme, že existuje špatná
posloupnost h taková, že h \j = f\j a h(j) = g(0) < /(/). To je ve sporu s volbou/(/).
Nejprve si všimněme, že jen konečně mnoho členů posloupnosti g splňuje
nerovnosti /(/) < g(k) < f(i) pro nějaké i < j a že g(0) k nim nepatří. Všechny takové
členy z g vypustíme a položíme
h=f(0)J(l),..,f(j-l\g(0),g(l),..,
Kdyby pro nějaké i < j a k platilo f(í) < g(k), z (22) dostáváme f(í) < g(k) < /(/)
pro nějaké /. Odtud i = /, protože různé členy posloupnosti /jsou nesrovnatelné.
Taková g(k) jsme z g vypustili. Tedy h je špatná posloupnost. Dokázali jsme, že
posloupnost /je minimální.
4.53 Kvaziusporádáni konečných posloupností. Nechť Q je kvaziuspořádáná
množina. Na množině <a)Q všech konečných posloupností prvků z Q definujeme
kvaziusporádáni < předpisem
(23) s < ř, právě když t má alespoň takovou délku jako s, tedy Dom (s) < Dom (t),
a existuje prosté rostoucí zobrazení H: Dom (s) -> Dom (ř) takové, že pro
každé i < Dom (s) platí s(i) < t{H(i)).
4.54 Věta (Higman 1952). Je-li Q dobře kvaziuspořádáná množina, potom relace (23)
je dobré kvaziusporádáni množiny <aiQ.
Důkaz. Podle 4.49(ii) je kartézský součin konečně mnoha dobře kvaziuspořádaných
množin opět dobře kvaziuspořádáná množina. Odtud plyne, že relace < odvozená
z (23) je fundovaná na <0iQ. Předpokládejme, že < není dobrým kvaziuspořádáním.
Podle 4.52 existuje minimální špatná posloupnost / Je zřejmé, že pro každé i je /(i)
neprázdná posloupnost v Q. Můžeme proto každou konečnou posloupnost f(i)
jednoznačně vyjádřit jako zřetězení f(i) = g(i) x„ kde g(í) je počáteční úsek a xř
poslední prvek posloupnosti /(i). Je zřejmé, že každé g(í) patří do množiny
Q' = {ae <ů>Q:(3i)(a < /(i))}. Podle 4.51 je Q dobře kvaziuspořádáná relací <,
a proto i kartézský součin Q x Q je dobře kvaziuspořádaný. Přitom /je
posloupnost v Q' x Q a je špatná - spor.
4.55 Příklady, (a) Uvažujme všechna konečná slova nad konečnou abecedou A,
to znamená množinu všech konečných posloupností prvků z A. Uvědomme si, že
identita je dobré kvaziusporádáni množiny A. Podle Higmanovy věty má každá
množina slov S konečnou bázi S0 c S vzhledem k relaci (23). To znamená, že pro
každé slovo seS existuje teS0 takové, že všechny symboly slova t najdeme v s
ve stejném pořadí (nemusí však být bezprostředně za sebou).
296

4.56
Ramseyovo uéta a rozklady
III
(b) Dělitelnost je kvaziuspořádáni. Relace dělitelnosti je (kvazi)usporádání na w.
Není dobré, protože prvočísla tvoří nekonečný antiřetězec.
Je-li Igco dobře kvaziuspořádaná relací dělitelnosti, podle Higmanovy věty je
množina S(X) všech konečných součinů přirozených čísel z X také dobře
kvaziuspořádaná.
(c) Na množině
K= [jnn
n<tú
uvažujme Kruskalovo kvaziuspořádáni definované předpisem f <Kg, právě když
existuje rostoucí zobrazení H: Dom(/) -> Dom (g) takové, že pro každé ij <
< Dom(/) platí
/(')< /(/) ~g(H(i))<g(H(j)).
Toto není dobré kvaziuspořádáni ani na X, ani na podmnožině
s= IR
n <ťi)
konečných permutací, kde S„ je grupa všech permutací na n.
Definujeme-li pro každé m permutaci fm e S2m+2 tak, že
/J2j) =2/+l proO<;<m,
/J2j + 1) = 2/ - 2 pro 1 <i<m,
/Ji) =2m,
pak </m: m < co> je špatná posloupnost v S.
(d) (Laver 1976). Nechť C„ je množina všech zobrazení f:n-+n takových, že
pro každé i < n je /(i) = m. i(mod n), kde m < n je nějaké pevné číslo.
Uvědomme si, že pro n > 0 je |cj = n a feCn je permutace, právě když m
a m jsou nesoudělná.
Kruskalovo kvaziuspořádáni množiny (J Cn je dobré.
n<eo
4.56 Lepší kvaziuspořádáni. Ukázali jsme, že dobré kvaziuspořádáni na nějaké
třídě Q určuje dobré kvaziuspořádáni (23) všech konečných posloupností prvků
z Q. Podobným způsobem však nemusíme získat dobré kvaziuspořádáni
nekonečných posloupností. K tomu je třeba, aby Q mělo lepší vlastnosti, které se nejlépe
vysloví pomocí topologických pojmů. V dalším uvažujeme kvaziuspořádanou
třídu Q jako topologický prostor s diskrétní topologií a množinu [A]", pro
nekonečné A c co, jako topologický podprostor prostoru [a/)" s klasickou
topologií.
Místo posloupností v Q budeme pracovat se zobrazeními b: [A]™ -► Q, kterým
budeme říkat bloky.
297

IÍI
457
4.57 Definice. Každé spojité zobrazen b: [á]cj -> Q nazýváme blokem v Q.
Říkáme, že b je špatný blok, jestliže pro každé X e [A]™ platí
b{X)i b(X - {min X}).
4.58 Bloky a posloupnosti. Všimněme si, že každý blok s definičním oborem [^]w
určuje nejvýše spočetný rozklad množiny [/4]w na otevřené množiny. Snadno se
nahlédne, že libovolná posloupnost /: cu-* Q určuje blok b:[oj]í0 ~* Q takový,
že b(X) = /(min X) pro každé nekonečné X c co.
Stejnou úlohu, jakou měla Ramseyova veta pro posloupnosti, bude mít Galvi-
nova-Prikryho věta pro bloky: je-li b: [Á]01 -> Q blok, pak existuje nekonečná
podmnožina B c A taková, že buď zúžení b na [#]" je špatný blok, nebo pro každé
X e [B]a platí b{X) < b{X - {min X}).
4.59 Definice. Lepší kvaziuspořádání. Říkáme, že kvaziuspořádání < třídy Q je
lepší, jestliže žádný blok v Q není špatný.
Pojem lepšího kvaziuspořádání zavedl Nash-Williams (1965). Ukážeme, že je
zesílením pojmu dobrého kvaziuspořádání.
4.60 Lemma. Každé lepší kvaziuspořádání je dobré.
Důkaz. Nechť < je lepší kvaziuspořádání na Q a nechť/je libovolná posloupnost v Q.
Definujeme blok b tak, že pro každé nekonečné X ^ oj položíme b{X) = /(min X).
Podle předpokladu existuje nekonečné Y c oj takové, že b(Y) < b(Y — {min Y}),
tedy pro i = min Y a j = min (Y — min {Y}) platí i < j a f(i) < /(/), proto /
je dobrá posloupnost.
4.61 Příklady, (a) Každé dobré uspořádání je lepší kvaziuspořádání.
(b) Dobré kvaziuspořádání, které není lepší. Nechť QQ = {</>./>'•' < J; < w}
a nechť < je uspořádání na QQ definované vztahem
<i,7> < </c, /> <-> (i = k a ; < /) nebo 7 < /c.
Ověříme, že < je dobré kvaziuspořádání. Nechť (an: n < oj} je prostá posloupnost
v QQ. Pokud existuje nekonečně mnoho an se stejnou první složkou, pak mezi nimi
nalezneme am, an taková, že m < n a am < an. Existuje-li pouze konečně mnoho an
se stejnou první složkou, pak pro nějaká m < n platí (am)2 < (an)x, kde (am)2 je
druhý a (a^ je první člen uspořádané dvojice. Odtud dostáváme opět am < an.
Pro libovolné nekonečné X c oj položme b(X) = <x0, x,>, kde xQtxí jsou první
dva prvky množiny X. Je zřejmé, že b je špatný blok v Q0. Tedy < není lepší
kvaziuspořádání.
Snadno se ověří, že kvaziuspořádání (24) množiny nekonečných posloupností
"Qq není dobré.
4.62 Kvaziuspořádání transflnitních posloupností. Pro kvaziuspořádanou třídu Q
označme
298

4 63
Ramseyoua uěla a rozklady
III
aeOn
třídu všech transfinitních posloupností prvků z Q. Podobně jako na konečných
posloupnostech definujeme kvaziuspořádání < na třídě Seq (Q) tak, že
(24) s < í, právě když existuje rostoucí zobrazení H: Dom(,s) -> Dom (ř) takové,
že pro každé í eDom(s) platí s(č) < t{H(£)) v Q.
Chceme dokázat, že kvaziuspořádání (24) třídy Seq (Q) je dobré, je-li výchozí
kvaziuspořádání na Q lepší. K tomu použijeme minimální špatné bloky.
4.63 Lemma (Simpson 1984). Nechť < je kvaziuspořádání na Q. Předpokládejme,
že < je uspořádání na Q, které je fundované a pro libovolné x, yeQ z x < y plyne
x < y. Potom pro libovolný špatný blok b: \_B~\0i -> Q existuje špatný blok c: \_Č]<a -> Q
takový, že
(i)Ccfiíi c{X) ^ b(X) pro každé X e [C]°\
(ii) neexistuje špatný blok d definovaný na [D]w takový, že D c: C a pro každé
Y^D je d(Y)<c(Y).
Říkáme, že c je minimální špatný blok pod b vzhledem k uspořádání -<.
Důkaz. Předpokládejme, že pod špatným blokem b neexistuje žádný minimální
špatný blok. Za tohoto předpokladu sestrojíme nespočetnou posloupnost špatných
bloků ba: [Bj01 -► Q pro a < oj1 tak, že pro P < y < cúx platí
(25) Bp c B a By - Bp je konečné, to znamená, že By je až na konečně mnoho
prvků podmnožinou Bp,
(26) pro všechna X e [Bp n By~\a je by(X) < bp(X).
Z (25) plyne, že <fía:a < cox> je nespočetný uniformně centrovaný systém na cd.
V závěru důkazu ukážeme, že existuje rostoucí posloupnost <an: n < cd)
spočetných ordinálních čísel taková, že množina Z = f]{Ban: ne cd) je nekonečná. Odtud
podle (26) plyne, že (bXn(Z):n < co} je klesající posloupnost vzhledem k
fundované relaci -<, a tak dostáváme spor.
Konstruujeme rekurzí bloky ba. Položíme b0 = b, B0 = B a předpokládáme,
že již byly sestrojeny bp, Bp pro P < a splňující (25) a (26). Je-li a = P 4- 1, podle
předpokladu bft není minimální špatný blok, a proto existuje Ba ^ Bp a špatný
blok ba: [Bp]w -+ Q takový, že pro každé X e [fíjw je 6a(AT) -< ^(x).
Předpokládejme, že a je limitní. Nejprve ověříme, že existuje nekonečná množina
A ^ B taková, že rozdíl A - Bp je konečný pro všechna P < a. Jelikož a je
spočetné, soubor (Bp: P < a> můžeme indexovat přirozenými čísly, získáme tak
soubor (B'n:n < cd}. Vybereme rostoucí posloupnost (nk:k6ci))> c= B tak, aby
pro každé k platilo nke (\{B\\ i < k}. Potom A = {nk: keco) je hledaná množina.
Navíc pro libovolné Xe^]" je {P < a: X c Bp) konečná množina, neboť
v opačném případě dostaneme spor s (26) a fundovaností relace -<.
Nyní definujme g: [a]0* -> Q předpisem
299

III
4 63
g(X) = b„(X), kde p = max {y < a: X c By).
Je zřejmé, že g nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot. Navíc, pro každé q e Q
je g~1{q) borelovská množina v [Á]w, protože
Xeg~\q)^(3p <a)[X ^BpScXeb-^Sc^y)^ <y <oi^Xt[B7Y)].
Ověříme, že pro každé Xe[/l]í0 platí g(X) $ g(X - {min X}). Předpokládejme,
že pro nějaké X je g(X) < g(X — {min X}). Potom pro nějaká /?, y < a je
g(X) = bfi(X) a g(X - {min A-}) = by(X - {min X}). Jelikož X - {min*} c X
a fy je špatný blok, platí fi < y. Odtud a z (26) dostáváme
b0{X) < by(X - {min X}) < bp{X - {min X}),
neboli fy(X) < bp(X - {min X}), a to je spor.
Můžeme říci, že g je špatné borelovské zobrazení. Je zřejmé, že pro každé fi < a
a každé X e [A n B^° je g(X) = fy(X) nebo g(AT) -< fy(X). Jelikož g nabývá
nejvýše spočetně mnoha hodnot, podle 4.38 existuje množina Á e [a]w taková, že
g = g | [A']w je spojité zobrazení, a tedy špatný blok. Blok g není minimální,
proto existuje Bx e \_A,~\<a a špatný blok ba: [Ba]a> -► Q takový, že pro všechna
X 6 [bJ^ je fy(X) -< g\X) = ^(X). Ukázali jsme jak sestrojit špatný blok fy pro
každé a < Q}x.
Zbývá ověřit, že pro každý uniformně centrovaný systém Fnaw mohutnosti wl
existuje spočetný podsystém {An: n e a>} c F s nekonečným průnikem. Buď n0 e co
první takové «, že |{>4 e F: rc e /l}| = a>{. Zvolme A0e{Ae F:n0e a>] = F0.
Dále postupujeme indukcí; buď nkeAQr\...r\Ak_l první takové, že nk > ^^
a |{4 e Ffc_ t: nk e ,4}| = c^. Položme Fft = {A e Fk.i: nk e A} a vybereme AkeFk
různé od A0,..., Ak^l. Je zřejmé, že {nk:keco} c (^{X^: /ceco}. Důkaz je úplný.
Následující tvrzeni je analogie Higmanovy věty pro nekonečné posloupnosti.
Použijeme ho k důkazu Laverovy věty.
4.64 Věta (Nash-Williams 1968). Je-li třída Q lépe kvaziuspořádaná, potom třída
Seq (Q) je lépe kvaziuspořádaná relací (24).
Důkaz. Nejprve ukážeme, že pokud pro s, íeSeq(g) platí s $ r, potom existuje
jediný ordinál a e Dom (5) takový, že
(27) s\ol <t a s I (a + l) $ t.
Nechť s £ t. Rekurzí sestrojíme rostoucí ordinální funkci h tak, že h{£) bude
nejmenší r\ < Dom (r), pro které platí s(í) < t(rj) v Q a /i(í') < ř? pro libovolné
£' < £. Je zřejmé, že pro nejmenší a takové, že h(a) není definováno, platí (27).
Předpokládejme, že kvaziuspořádání < na Seq (Q) není lepší. To znamená, že
existuje nějaký špatný blok b v Seq(Q). S pomocí lemmatu 4.63 chceme získat vhodný
minimální špatný blok. K tomu definujeme uspořádání -< na Seq (Q) tak, že
s < t *-+ (3y < Dom (í)) (s = t \ y).
300

4.66
Ramseyova věta a rozklady
ÍII
Je zřejmé, že relace < je fundovaná a že je části kvaziuspořádáni <. Tedy podle
4.63 pod b existuje minimální špatný blok c: \_A~Y -* Seq(g) vzhledem k -<.
Připomeňme, že c(x) je posloupnost prvků z Q a je počátečním úsekem posloupnosti
b(X).- Jelikož c je špatný blok, pro libovolné X e [A]ffl a Y - X - [vsxmX) je
c(X) rj c(Y\ a proto existuje ordinál ocx takový, že platí c(X)\ax < c(Y)
ac{X)\ax + lic{Y).
Uvažujme zobrazení c = (c(X) \ <xx: X e \_Á]W}. Ověříme, že c je spojité, odtud
plyne, že c je blok. Zvolme X e [/i]". Ze spojitosti bloku c víme, že existuje
konečná dolní podmnožina x £ X taková, že c(X) = c(Z) platí pro každé Z e
e [x, /4(>x)]. Podobně pro 7 = X - {min X} existuje dolní podmnožina y ^ Y
taková, že c(Y) = c(T) pro každé Te [y, A(>y)]. Označíme-li t; = x u y a K =
= [u, i4(>u)], potom V je okolí množiny X a pro každé Ze V je c(X) = c(Z)
a ax — az> tecty cM I ax — c(Z) I az- To znamená, že c' je spojité zobrazení.
Blok c je pod c, to znamená, že c(X) \ <xx < c(X) pro každé X e [Á]03. Jelikož c
je minimální, blok c nemůže být špatný. Proto existuje nekonečné B c A takové, že
pro každé X e[B]a a Y = X - {min X} platí c(X)| a* < c{Y) | ocy. Přitom
4*0 I ax + 1 ^ c(y), a tedy také c(X)\ax + 1 $ 4y) | ay 4- 1. To znamená, že
4*0 (ax) ^ c(y)(ay) v Q. Potom zobrazení g: [B]03 -> Q, kde <y(AT) je o^-tý člen
posloupnosti c(X), je špatný blok v Q, spor. Všimněme si, že ccx-tý člen posloupnosti
c(X) je také členem posloupnosti b(X), kde 6 je výchozí špatný blok v Seq (Q).
4.65 Rozptýlená lineární uspořádání. Podle 4.45 víme, že lineárně uspořádaná
množina je rozptýlená, jestliže neobsahuje podmnožinu izomorfní s racionálními čísly.
Již v roce 1908 F. Hausdorff popsal způsob, jak lze získat všechny rozptýlené
lineárně uspořádané množiny. Použijeme ho v důkaze Laverovy věty.
Nechť R0 je třída všech nejvýš jednoprvkových lineárně uspořádaných množin.
Máme-li definovány třídy Ry pro y < /?, pak Rp je třída všech lineárně uspořádaných
množin, které jsou pro nějaké a e On izomorfní buď součtu
L0 4- Lt 4- ... + L4 + ... pro í < a ,
nebo součtu
... + í^ 4- ... 4- Lx + L0 pro í < a,
kde L^ jsou lineárně uspořádané množiny ze sjednocení tříd Rr y < /?. Nakonec
třída R je sjednocením všech tříd jRy pro y e On.
Indukcí podle y lze ověřit, že s každým prvkem obsahuje třída jR i všechny jeho
podmnožiny.
4.66 Věta R je třída všech rozptýlených lineárně uspořádaných množin.
Důkaz. Každá dobře uspořádaná nebo inverzně dobře uspořádaná množina je
rozptýlená. Odtud indukcí podle /? plyne, že každé Le Rp je rozptýlené.
Naopak, nechť L je libovolná rozptýlená lineárně uspořádaná množina. Dokazu-
301

III
4.66
jeme, že LgR. Na L definujeme ekvivalenci ~ tak, že x ~ y, právě když uzavřený
interval s koncovými body x, y patří do R. Je-li X ^ L třída ekvivalence, pak X
je konvexní. Ověříme, že X e R. Pokud v X je největší i nejmenší prvek, pak X g R
podle definice relace ~. Předpokládejme, že v X neexistuje největší prvek. Potom
pro nějaké limitní a existuje rostoucí posloupnost <xs*: í < a) prvků z X kofmální
v X. Množina
*i = ue^<«}>
kde
h ~ tx^ x^+1)' Je"^ ^ izolované
[*03*í + i) - UÍV? < £}> je-li c limitní
je dobře uspořádaným součtem množin z R, proto je také prvkem R. Pokud v X
existuje nejmenší prvek, můžeme položit x0 = min(X) a máme X = X1. V
opačném případě existuje klesající posloupnost (yy. č < /?) prvků z X koiniciální s X.
Navíc můžeme zvolit y{] = x0. Potom A',, = [xeA':jí< x„J je inverzně dobře
uspořádaným součtem množin z R. Proto X0e R a A' = X0 + X! je také prvkem
třídy R.
Ukážeme-li, že v L existuje jediná třída ekvivalence, důkaz je hotov. Snadno se
ověří, že mezi různými třídami ekvivalence musí existovat ještě jiná třída ekvivalence,
jinak by bylo možné obě třídy spojit. To znamená, že množina, která vybírá po jednom
prvku z každé třídy ekvivalence, je hustě uspořádaná část L, a to je spor.
4.67 Důkaz Laverovy věty 4.47. Dokážeme silnější tvrzení: třída R je lépe
kvaziuspořádaná relací vnořitelnosti, kterou budeme značit <.
Je-li Le R, stupeň rozptýlení množiny L definujeme jako nejmenší /? takové, že
LeRp, a značíme ho st (L). Na třídě R zavedeme uspořádání -< vztahem
L -< M +-> L < M & st (L) < st (M).
Předpokládejme, že třída R není lépe kvaziuspořádaná relací vnořitelnosti. Podle
4.63 existuje minimální špatný blok
(28) (Lx:Xe[Á}^
vzhledem k ■<. Každé Lx je rozptýlená lineárně uspořádaná množina jednoho z
následujících typů:
(i) dobře uspořádaný součet množin menšího stupně,
(ii) inverzně dobře uspořádaný součet množin menšího stupně,
(iii) jednobodová množina.
Podle Galvinovy-Prikryho věty můžeme předpokládat, že všechny množiny Lx
jsou stejného typu. Jelikož blok (28) je špatný, typ (iii) je vyloučen. Budeme
předpokládat, že všechna Lx jsou typu (i). Jsou-li typu (ii), důkaz je podobný. Tedy pro každé
Xg[á]w je
302

4 70
Ramseyova věta a rozklady
III
kde st (Lx) < st (Lx). To znamená, že pro každé C < olx je Lx < Lx.
Uvažujme transfinitní posloupnosti sx = (Lx: c, < <xx). Je zřejmé, že s =
= (sx\ X e [/l]") je blok ve třídě Seq (R). Ověříme, že je špatný. V opačném
případě pro nějaké X e [Á]w a Y = X — {min X] platí sx < sy. To znamená, že
existuje rostoucí zobrazení H: <xx -+ <xY takové, že Lx < L%^] pro všechna č, < ax.
Odtud dostáváme Lx < LY a to je spor, protože (28) je špatný blok. Dokázali jsme,
že s je špatný blok.
Z důkazu věty 4.64 vyplývá, že existuje nekonečné B c= A a špatný blok
b: [B]w -* R takový, že každé b(X) je členem posloupnosti s^. Jinými slovy, b(X) =
= VX{X) pro nějaké y(X) < ax. To znamená, že pro každé X e [Bj0 je Lyx{X) < Lx,
to je spor s minimalitou bloku (28). Důkaz je hotov.
4.68 Důsledek (Laver). Třída spočetných lineárně uspořádaných množin je lépe kvazi-
uspořádaná relací vnořitelnosti. Tedy platí Fraissého domněnka.
4.69 Rozklady množiny [x]r pro nespočetné x. Z Ramseyovy věty plyne, že pro
každý konečný rozklad existuje nekonečná homogenní množina. Na druhé straně
Sierpinského výsledek (12) ukazuje, že Ramseyova věta nemá přímé zobecnění pro
nespočetné mohutnosti, a to ani v nejjednodušším případě, kdy barvíme
dvouprvkové podmnožiny dvěma barvami. Následující tvrzení má nejblíže k zobecnění
Ramseyovy věty pro nespočetné.* a r = 2.
4.70 Věta (Erdós, Dushnik a Miller 1941). Pro každý nekonečný kardinál x platí
(29) x -» (x, co)2 .
Šipka (29) říká, že pro libovolné obarvení /: [x]2 -* {0,1} existuje bud
podmnožina B c= x mohutnosti x homogenní v barvě 0, nebo existuje nekonečná
podmnožina homogenní v barvě 1.
Důkaz. Mějme obarvení /: [x]2 -► 2. Dohodneme se, že 0 je barva bílá a 1 barva
černá. Pro xex položme
C{x) = {yEx:y$x&f({x,y}) = l}.
To znamená, že C(x) je množina těch bodů, které jsou spojeny s x černou barvou.
Nejprve ukážeme, že pokud pro každé B c x mohutnosti x existuje x e B
takové, že \C(x) n B\ = x, pak existuje spočetná množina X c= x homogenní pro
černou barvu. Množinu X = {xn: n < co} konstruujeme rekurzí. Podle
předpokladu existuje x0 g x takové, že Bl — C(x0) má mohutnost x. Dále existuje
xt gB1? pro které má množina B2 = C{x{) n B{ plnou mohutnost. Můžeme
pokračovat, a tak získáme spočetnou množinu X. Je zřejmé, že X je homogenní
v černé barvě.
Pokud pro obarvení / existuje spočetná homogenní množina černé barvy, není co
dokazovat. V opačném případě existuje množina B c x mohutnosti x taková, že
pro každé x e B je
303

III
4.70
(30) \C(x) n B\ < x .
Pomocí množiny B zkonstruujeme množinu X ^ B mohutnosti x a homogenní
pro bílou barvu. Je-li x regulární, rekurzí pro a < x vybíráme prvky xa tak, že
xaeB- U C(x,)u{x,}.
Z regularity x a z (30) plyne, že pro každé a je
| U C(x,)\ < x , tedy B - \J C(xp) u {x,} * 0
0<a /?<2
a je z čeho vybírat. Takto sestrojená množina X — {x^.ol < x) má plnou
mohutnost a je homogenní pro bílou barvu. Pro regulární x je šipka (29) dokázána.
Zbývá singulární x. Označme A = cf[x) a zvolme rostoucí posloupnost
(x(a):<x < /> regulárních kardinálů, která konverguje ke x a x(0) > A. Rekurzi
pro £ < A konstruujeme vzájemně disjunktní množiny A^ c £, jAT «| = *(<;)
homogenní pro bílou barvu. Zvolme libovolně podmnožinu YQ ^ B mohutnosti
x{0). Pro a < A položme Y0(a) = {xe Y0: |C(x) n B\ < x(a)}. Z (30) plyne
Yo = U W
a< A
a jelikož x(0) je regulární a větší než A, existuje a0 < A, pro které | y0(a0)| = x(0).
Zúžime-li obarvení / na množinu [Y0(a0)]\ potom podle šipky (29) pro regulární
kardinály existuje X0 £ Y0(a0) homogenní pro bílou barvu a \X0\ = x(0). Máme-li
pro nějaké n < A zkonstruovány disjunktní množiny A\, í < n, kde |.Yj = x{c),
a současně ordinály .c^ < A takové, že pro každé xeX^ je |C(x) n B\ < x(ač\
potom množina
Z,= UU C(x) n B
je sjednocením méně než A množin, které mají mohutnost menší než x. To znamená,
že rozdíl B — Zn má opět mohutnost x a můžeme zvolit množinu Yn c £ - Zn
takovou, že |Yj = x(^). Z množiny Y^ získáme podmnožinu Xn c Y^ a ordinál c^
stejnou úvahou, jako jsme získali X0 z Y0. Je zřejmé, že množina
x=[jx.
má mohutnost x & je homogenní pro bílou barvu. Důkaz je hotov.
4.71 Důsledek. Jsou-li < a =^ duě dobrá uspořádání nekonečné množiny X, potom
existuje podmnožina Y c X stejné mohutnosti jako X, na které se obě uspořádání
shodují.
Důkaz. Je-li x.yeX a x < y, položme
/({*.)'}) = i / jakmile * J"
304

4.73
Ramseyovu věta a rozklady
III
Podle (29) může pro obarvení /nastat jedna ze dvou možností. Bud existuje množina
ycX stejné mohutnosti jako X, která je homogenní v barvě 0. Potom Y je hledaná
množina, protože obě uspořádání jsou totožná na množině Y Druhý případ, kdy
existuje nekonečná množina A c X homogenní v barvě 1, nemůže nastat. Prvních
co členů [an\ n < co} množiny A v uspořádání < je ostře klesající nekonečná
posloupnost v uspořádání ^ a to dobré uspořádání nepřipouští.
Poznamenejme, že pro r — 3 již šipka (29) neplatí. Je přirozené se ptát, zdali
pro daný kardinál A a přirozené číslo r existuje x takové, že
x - (xy2.
Kladná odpověď plyne z věty 4.73.
4.72 Značení. Pro kardinál x a přirozené číslo n definujeme exp nx rekurzí:
exp °x = x ,
exp"+1x = 2exp"\
4.73 Věta (Erdós, Rado 1956). Pro každý nekonečný kardinál x a libovolné přirozené
n platí
(31) (exp"x)+-(x+ri.
Pro n = 1 dostáváme
(32) (2")+-(*+)2-
Důkaz. Postupujeme indukcí podle n. Pro n = 0 jde o šipku x+ -> (x+)l, která je
zřejmá.
Předpokládáme, že vztah (31) platí pro w, a dokazujeme, že platí i pro m = n -h 1.
Uvažujme množinu X mohutnosti (expmx)+ a rozklad
[x]»+1= LK-
Hledáme homogenní množinu B c X mohutnosti x +.
Zvolíme dobré uspořádání < množiny X a sestrojíme Z c X, pro které platí
(i)|Z|=(exp"x)+,
(ii) pro libovolné u e [Z]m a libovolné prvky 6, b' e Z, které neleží v w, platí
u u {b} e Sa <-> u u {6'} e Sa.
Nejprve ukážeme, jak pomocí takové množiny Z nalezneme hledanou homogenní
množinu B. Položíme-li
S; = {u e \_Z]m' (3b e (Z - M)) (tí u {b} e Sa)} ,
z (ii) plyne, že každé u e [Z]m leží v jediném S^. Navíc
[z]m = U s'„.
305

III
4.73
Podle indukčního předpokladu existuje homogenní množina B c= Z pro rozklad
{S'a: a < x}t která má mohutnost x +. Je zřejmé, že B je také homogenní pro původní
rozklad {Sa:<x < x).
Zbývá nalézt množinu Z. Nejprve pro každé xeX zkonstruujeme prostou
(konečnou nebo transfínitní) posloupnost fx prvků z X. Má-li xe X v množině X
nejvýše m předchůdců, je to nezajímavý případ a položíme fx = 0. Pokud má x více než
m předchůdců, prvních m členů posloupnosti fx je právě prvních m členů množiny X.
Máme-li definovány všechny členy fx(č) pro č, < rj, fjrj) bude nejmenší yeX
takové, že y < x, y je různé od všech /x(£) a pro každé u e [š]m množina
/jcM u [y] o m + l prvcích patří do stejné množiny Sa jako množina fx[u] u {x}.
Pokud takové y neexistuje, /x(^) není definováno a posloupnost končí. Tím jsou
definovány všechny posloupnosti fx pro xe X. Uvědomme si, že x samo není členem
posloupnosti fx a navíc, je-li nějaké y členem posloupnosti fx, potom fy cz fx.
Je-li definiční obor nějaké posloupnosti fx alespoň (exp"x)+, pak
Z = {/x(É):ž<(exp"K)+}
je hledaná množina. Zbývá dokázat, že taková posloupnost fx existuje. Pro každé
xeX uvažujme zobrazení
^x: [Dom (/,)]"■->x
takové, že gx(u) = a, jestliže fx[u] u {x} e Sa. Kdyby definiční obor každé
posloupnosti fx byl ordinál menší než (exp"x) + , existovalo by nejvýše
xexp«* = 2exp"x = exp"+lx
různých funkcí gx. V tom případě by existovaly dva různé prvky x,yeX takové, že
gx = gY, které mají oba více než m předchůdců v X. Můžeme předpokládat, že
y < x, a to znamená, že k posloupnosti fx je možné přidat ještě jeden prvek, spor.
Důkaz je skončen.
4.74 Příklady, (a) Odhad mohutnosti Hausdorffova prostoru (Hajnal, Juhász 1967).
Pro každý Hausdorffův topologický prostor platí
\X\ < 2C(X)X{X).
Připomeňme, že c(X) je Suslinovo číslo prostoru X a x(X) = sup {%(x): x e X},
kde x{x) je nejmenší mohutnost báze filtru okolí bodu x.
Pro konečný prostor X je odhad nezajímavý, protože X je diskrétní a |JV| = c(X).
Předpokládáme, že X je nekonečný, a položíme x = c(X). x(X). Potom také x
je nekonečné a potřebujeme ověřit, že \X\ < 2*. Pro každý bod xeX zvolme soubor
<^(x):a<x> otevřených množin, které tvoří bázi okolí bodu x. Dále zvolme
lineární uspořádání < množiny X. Protože X je Hausdorffův prostor, pro libovolné
x, yeX takové, že x < y, můžeme vybrat čísla a, fi < x tak, že Va(x) n Vp(y) = 0.
Položíme-li /({x, y}) = <a, j5>, získáme zobrazení /: [A']2 -> x x x, tedy obarvení
množiny [X]2 pomocí x barev.
306

4.75
Ramseyoua věta a rozklady
III
Předpokládejme, že | AT| > 2*. Potom z (32) plyne, že existuje dvojice <a,/i> a
množina 7^ X mohutnosti x + , která je homogenní v barvě <a,/?>. Pro xe Y položme
U(x) = Va(x) n Vfi(x). Jelikož xeU(x)t je U(x) neprázdná otevřená množina.
Navíc pro různá x,yeY jsou množiny U(x) a U(y) disjunktní. Tedy {U(x): xe Y}
je disjunktní systém otevřených množin, který má mohutnost x +. To je ve sporu
s předpokladem c(X) < x.
(b) Archangelskij (1969) dokázal, že pro nekonečné kompaktní Hausdorffovy
prostory platí dokonce \x\ < 2X(X)
(c) Odhad Suslinova čísla topologického součinu. Mějme soubor <Pt-: ie/>
topologických prostorů. Připomeňme, že obvyklá topologie na součinu P = Xí^;1 * G ^}
je určena bází, která je tvořena konečnými průniky vzorů otevřených množin v
prostorech P. při projekcích na i-tou složku kartézského součinu. Každá otevřená množina
z báze je tvaru A = X^í' kde ^t = ?i az na konečně mnoho indexů i e /, pro
které A{ je nějaká otevřená podmnožina Pť. Zobecněním topologického součinu je
takzvaný x-součin (x-box produkt), kde x je nějaký nekonečný kardinál. Bázi
x-součinu prostorů Pi5 který budeme označovat X(x> P^ tv°ří všechny množiny
A = X^i» kde A{ je otevřená podmnožina P. pro každé í e /, ale jen pro méně než x
indexů může platit Ax 4= P,-. Je zřejmé, že w-součin je totéž co obvyklý topologický
součin.
Je-li x nekonečné kardinální číslo a Suslinovo číslo c(P,-) každého prostoru je
nejvýše x, Kurepa (1962) ukázal, že Suslinovo číslo c(P) x + -součinu P = X(* + ) ^« Je
nejvýš 2*. Tvrzení lze dokázat pomocí šipky (32) z věty Erdose a Rado.
Předpokládejme, že cfPj < x pro každé / e /, ale c(P) > 2X. Existuje tedy
systém S po dvou disjunktních otevřených množin prostoru P takový, že |S| = (2*) +.
Můžeme předpokládat, že všechny otevřené množiny Ae S jsou z báze x + -součinu
P a pro každou z nich definujme množinu IA c /, která sestává ze všech indexů,
pro které A{ + Pť. Dostáváme soubor </^: ,4 eS> sestávající z množin mohutnosti
nejvýše x. Podle věty 1.19 o zl-systémech existuje množina R c / mohutnosti
nejvýše x a podmnožina S0 — S taková, že |S0| = \S\ a pro libovolné dvě různé
množiny A,BeS0 platí IAn lR — R. Je-li B = X^í> z disjunktnosti množin 4, 5
vyplyne, že pro nějaké ieR musí být množiny At a JB- disjunktní. Tedy R je
neprázdná množina a |#| < x. Uvažujme obarvení /: [S0]2 -» K takové, že f({A> B})
je nějaký index i e R, pro který Ai n B, = 0. Podle (32) existuje podmnožina
Si c= S0 mohutnosti x + , která je homogenní pro /. To znamená, že existuje index
ieR takový, že f({A,B}) = i pro všechny dvojice z [Sj2. Je zřejmé, že množiny
{/t^/teSj} tvoří po dvou disjunktní systém otevřených podmnožin prostoru Př.
Dostáváme spor s předpokladem c(Pt) < x a tvrzení je dokázáno.
4.75 Věta (Sierpinski). Pro každý nekonečný kardinál platí
2*+*(x + )\
tedy (2X)+ je nejmenší možná hodnota ve vztahu (32).
307

III
4.75
Důkaz. Tvrzení je zobecnění vztahu (12) a má i podobný důkaz. Stačí ukázat, že pro
každé x existuje lineárně uspořádaná množina mohutnosti 2*, která nemá
podmnožinu uspořádanou podle typu x+ ani podmnožinu uspořádanou podle inverzního
typu (x + )*. Uvažujme množinu*2 všech zobrazení g: x —► 2 s lexikografickým
uspořádáním. Předpokládejme, že <#a:a<x+> je rostoucí posloupnost délky x^
v lexikografickém uspořádání. Rekurzí sestrojíme funkci h:x-*2 a neklesající
posloupnost a. < x+ pro í < x tak, že pro každé í < x a /? > a, platí
h | (<* + 1) = gfi I (<J 4- 1). Položíme /i(0) = 0, jestliže pro každé a < x+ je #a(0) = 0.
V tom případě a0 = 0. Je-li ga(0) — 1 pro nějaké a < x + , pak a0 bude nejmenší
s touto vlastností a položíme h(0) = 1. Je zřejmé, že pro každé /? > <x0 je gp(0) =
= h(0). Předpokládejme, že již jsou sestrojeny hodnoty h(n) a čísla cnn pro n < £.
Nechť fí = sup {an:n < £}. Položíme h(£) = 0, jestliže pro libovolné a > f$ je
^a(í) = 0. V tom případě o^ = /?. Je-li ga(<!;) = 1 pro nějaké a > /?, nechť o^ je
nejmenší s touto vlastností a h(Č) = 1. Z konstrukce funkce /z a regularity
kardinálu x+ plyne, že pro každé a > sup {a?: ^ < x} je #a = /z, spor.
Pro klesající posloupnost je důkaz stejný, pouze se vymění úloha 0 a 1.
4.76 Kanonická verze věty Erdóse a Rado. Větu 4.73 můžeme také vyjádřit ve tvaru
kde dolní index <x+ znamená, že připouštíme každé obarvení pomocí méně než
x+ barev. Z této formulace a monotónnosti šipky plyne, že pro každý nekonečný
kardinál X a přirozené n > 1 existuje kardinál x takový, že platí
(33) *-(A)"<,.
Je-li dáno n a X, můžeme se ptát, pro jaké nejmenší x platí (33). Pro X = co máme
odpověď z Ramseyovy věty co -* {cof<U) pro každé n.
4JI Značeni. Pro nekonečný kardinál X a nenulové n definujeme o{X, n) tak, že
(j(A,l) = A, <j{X,2) = 2<x,
o(Xy n + 1) = T^n), je-li n > 2 .
Je zřejmé, že pro následník A + a n > 2 platí <r(/l + , m) = exp"_I(Á).
4.78 Věta (Erdos, Hajnal, Rado 1965). Pro každé nenulové n platí:
(i) Je-li X = co nebo je-li X slabě kompaktní kardinál, pak x = X.
(ii) Je-li X nespočetný regulární kardinál, který není slabě kompaktní, pak
x — X pro n = 1 ,
x = (<t(A, n))+ pro n > 1 .
(iii) Je-li X singulární kardinál, pak
x = A+ pro >i = 1,
x = (a(X+,n))+ pro n > 1 .
To znamená, že (exp"x) + ;'e nejmenší možná hodnota pro (31).
308

4.79 Ramseyova věta a rozklady \\\
Následuje kanonická podoba věty Erdóse a Rado. Povšimněme si, že případ
X = a> pro libovolné n je obsažen v kanonické Ramseyově větě 4.16.
4.79 Věta (Baumgartner 1975). Nechť n>0 a nechť platí x-+(XY<x. Nechť x
je kardinál takový, že pro každé u < X je ť' < X (x muže být i konečné). Potom pro
libovolný soubor funkci </a:a < i), z nichž každá je dejinovaná na množině [x]n,
existuje podmnožina A <= x taková, že
(i)M| = A,
(ii) každá funkce fa je kanonická na A.
Důkazy těchto vět pro jejich délku neuvádíme, i když se opírají jen o prostředky
vyložené v této kapitole. Další výsledky o rozkladových šipkách jsou obsaženy
v monografii Erdóse, Hajnala, Mátého a Rado (1984).
309

§ 5 Velké kardinály
S nedosažitelným kardinálem, který je vstupním prahem do světa velkých
kardinálů, jsme se seznámili ve druhé kapitole. Ve 111. kapitole jsme byli vícekrát svědky
toho, že přirozené kombinatorické otázky vedou k dalším, často podstatně větším,
kardinálům. Existenci takových kardinálních čísel nelze dokázat. Phjmeme-li
existenci nedosažitelného nebo jiného velkého kardinálu jako dodatečný axiom,
získáme podstatné zesílení teorie množin. Studium velkých kardinálů tvoří
samostatnou partii teorie množin, kterou nelze odtrhnout od ostatních částí právě proto,
že se stále setkáváme s problémy, které se týkají malých množin (často mohutnosti
cúí nebo co2), jejichž řešitelnost je podmíněná existencí nějakého velkého kardinálu.
Problematika velkých kardinálů je zevrubně studována od 50. let zásluhou A. Tar-
ského a jeho školy. Do dnešní doby bylo nashromážděno velké množství poznatků,
které odhalily zajímavou skutečnost: různé třídy velkých kardinálních čísel, i když
byly motivovány problémy často ze vzdálených oblastí matematiky, jsou téměř
lineárně uspořádány inkluzí.
Stručný přehled velkých kardinálů a jejich vzájemných vztahů je obsahem tohoto
oddílu.
5.1 Kdo je kdo mezi velkými kardinály. Číslo u názvu kardinálu odkazuje na definici.
Symbol => značí relativní bezespornost a —► značí implikaci (inkluzi). Začínáme
od slabě nedosažitelných kardinálů, které tvoří největší třídu velkých kardinálů.
(Schéma na následující straně.)
5.2 Slabě nedosažitelný kardinál jsme zavedli ve 4.30, kapitola II. Připomeňme, že
je to regulární kardinál, který je současně pevným bodem funkce X. Ukázali jsme,
že x je slabě nedosažitelný kardinál, právě když x je nespočetný, regulární a limitní
kardinál. To nevylučuje možnost, že existuje kardinál X < x takový, že 2A > x.
Může se stát, že existuje slabě nedosažitelný kardinál menší než 2a} nebo že samo
kontinuum je slabě nedosažitelný kardinál.
310

5.3
Velké kardinály
III
slabě nedosažitelný
kardinál (II.4.30)
\
| nedosažitelný (5.3)
slabě Mahlův
(5-5) T
Mahlův (5.5)
T
slabě kompaktní (5.7)
subtilní (5.12)
T
nevýslovný kardinál (5.13)
Erdósovy kardinály x(a)
(5.21)
T
Ramseyův kardinál (5.23)
T
měřitelný (5.26)
T
silně kompaktní (5.33)
T
superkompaktní (5.40)
obří (5.43)
~iKH, neplatí Kurepova
hypotéza
(a) neexistuje speciální
Aronszajnův &>2-strom
(b) -inco!
co2 má stromovou
vlastnost
subtilní nemusí být slabě
kompaktní kardinál,
ale pod ním existuje
slabě kompaktní
x-nevýslovný -» ~i KHX
existuje-li x(cú{), pak
neplatí Jensenova věta
o pokrytí
2° je reálně měřitelné
Fisherův axióm (5.34)
^w Je první kardinál,
který poruší GCH
5.3 Nedosažitelný kardinál. Říkáme, že x je nedosažitelný kardinál, jestliže x je
nespočetný, regulární a silně limitní kardinál. Připomeňme, že x je silně limitní,
jestliže pro každé X < x platí 2k < x.
Je zřejmé, že každý nedosažitelný kardinál je slabě nedosažitelný a větší než 2".
Pojmy slabě nedosažitelného a nedosažitelného kardinálu splývají, předpokládá-
me-li GCH.
311

III
5 3
Definujeme-li ordinální funkci F tak, že položíme F(a) = 2<N* pro každý ordinál
a, potom F je spojitá neklesající funkce a F(a) > Na. Snadno se nahlédne, že x je
nedosažitelný kardinál, právě když x je regulární a je současně pevným bodem
funkce F.
5.4 Nedosažitelné kardinály a stacionární množiny. Jeli x slabě nedosažitelný
kardinál, potom množina
[X < x: X je pevný bod funkce ft}
je uzavřená neomezená v x.
Podobně, je-li x nedosažitelný kardinál, potom množina
F = (A < x: A je pevný bod funkce F}
je uzavřená neomezená v x.
5.5 Mahlův kardinál (Mahlo 1911). (i) Říkáme, že kardinál x je slabě Mahlův,
jestliže je slabě nedosažitelný a množina
{X < x: X regulární kardinál}
je stacionární v x.
(ii) Slabě Mahlův kardinál, který je nedosažitelný, nazýváme Mahlovým
kardinálem.
Je zřejmé, že oba pojmy splývají, předpokládáme-li GCH.
5.6 Věta. (i) Je-li x slabě Mahlův kardinál, potom množina všech slabě
nedosažitelných kardinálů menších než x je stacionární v x.
(ii) Je-li x Mahlův kardinál, potom množina všech nedosažitelných kardinálů
menších než x je stacionární v x. Odtud plyne, že Mahlův kardinál x je x-tý nedosažitelný
kardinál.
Důkaz, (ii) Podle 5.4 je množina F uzavřená a neomezená v x. Podle definice
Mahlova kardinálu je množina S = {X < x: X regulární} stacionární. Tedy F n S
je také stacionární množina a každý její prvek je nedosažitelný kardinál. To znamená,
že před x existuje x nedosažitelných kardinálů.
5.7 Slabě kompaktní kardinál. Říkáme, že kardinál x je slabě kompaktní, je-li
nespočetný a x—>(x)^.
Slabě kompaktní kardinály jsou definovány přenesením speciálního případu
co -* (co)l Ramseyovy věty na nespočetné kardinály. Proto nepřekvapuje, že mnohá
další tvrzení, například Konigova věta (3.25), mají analogické verze i pro slabě
kompaktní kardinály.
Podle věty 3.62 v lexikografickém uspořádání libovolného Aronszajnova a)x
-stromu neexistuje podmnožina uspořádaná podle typu o)l nebo cd*. Stejným způsobem
se dokáže:
312

5.9
Velké kardinály
III
5.8 Věta. Nechť x je regulární a nechť T je Aronszajnův x-strom. Žádné lexiko-
grafické uspořádání stromu T neobsahuje podmnožinu uspořádanou podle typu x nebo
x*.
5.9 Věta. Pro nespočetný kardinál x jsou následující podmínky ekvivalentní:
(i) xje slabě kompaktní,
(ii) každá lineárně uspořádaná množina mohutnosti x obsahuje bud podmnožinu
uspořádanou podle typu x, nebo podmnožinu uspořádanou podle typu x*,
(iii) (stromová vlastnost) x je nedosažitelné a každý x-strom má kofinální větev,
(iv) x je nedosažitelné a v každé x-úplné algebře množin B c: gP(x\ která má
mohutnost x a obsahuje všechna cc < x, existuje x-úplný ultrafiltr rozšiřující Fréchétův
filtr na x,
(v) pro každé přirozené r platí x -> (x)r<x.
Důkaz. Implikace (i) -> (ii) je snadná, dokáže se stejným způsobem jako věta 3.9(ii).
Předpokládejme, že x > co splňuje (ii). Nejprve ukážeme, že x je regulární a silně
limitní. Kdyby x byl singulár, pak existuje rozklad {A^.č, < cf(x)} kardinálu x
na množiny menší mohutnosti. V tomto případě definujme lineární uspořádání <a
na x tak, že položíme a <i /?, jestliže buď a < jS a a, jS leží ve stejné množině Av
nebo ae A^, PeAv a n < £. V lineárně uspořádané množině <x,<]> neexistuje
ani ostře rostoucí, ani ostře klesající posloupnost délky x, spor. Tedy x je regulární.
Kdyby x nebylo silně limitní, pak pro nějaké X < x je 2X > x. Podle 4.75 v lexiko-
grafickém uspořádání množiny všech funkcí /: X -> {0,1} neexistuje rostoucí ani
klesající posloupnost délky X+ < x. Odtud dostáváme spor s (ii), tedy xje
nedosažitelný kardinál.
Důkaz (ii) -+ (iii) nyní plyne z věty 5.8.
(iii) -> (iv). Mějme x-úplnou algebru množin B c p(x) mohutnosti x takovou,
že x c B. Z x-úplnosti plyne, že [x]<x c B, tedy i Fréchétův filtr ŠF na x je
podmnožinou algebry B. Všech dvouprvkových rozkladů kardinálu x, které sestávají
z prvků algebry B, je x. Nechť pa = {fr(a, 0), fc(a, l)} pro a < x je zvolené očíslování
takových rozkladů. Nyní sestrojíme vhodný dolní podstrom T úplného binárního
stromu výšky x. To znamená, že Tc <x2 a uspořádání stromu Tje dáno inkluzí.
Pro každé £ < x posloupnost /: č, -* {0,1} bude v T, právě když
mw«./(«)): «<*)! = *•
Je zřejmé, že s každou posloupností /e T je v T také každé její zúžení. Tedy
17^| < 2'^ < x a Tje dolní podstrom úplného binárního stromu výšky x. Pro každé
£ < x systém množin
pokrývá x a má mohutnost menší než x. Z regularity kardinálu x plyne, že alespoň
jedna z množin systému S má mohutnost x. Dokázali jsme, že každá hladina 7J
313

III
5.9
je neprázdná, a tedy Tje x-strom. Podle předpokladu (iii) ve stromu T existuje kofi-
nální větev. To znamená, že existuje g: x -> {0, 1} taková, že g \ č, e T pro každé
í < x. Položme
U = {b(oL,g{a)):a<x}.
Je zřejmé, že pro libovolné b e B je bud b e U, nebo doplněk (x — b) e U. Pro
libovolné í < x má množina c = f]{b(cc, g(<x)): ce. < £} mohutnost x a leží v B.
Odtud plyne, že ceU. Dokázali jsme, že U je x-úplný ultrafiltr v B a každý jeho
prvek má mohutnost x.
(iv) -»(v). Postupujeme stejným způsobem jako v důkazu Ramseyovy věty 4.7.
Předpokládáme, že platí (iv), a indukcí podle r dokazujeme (v). Případ r < 1 je
jednoduchý. Předpokládejme, že pro nějaké r > 1 platí x -► (x)r<x, a dokazujeme
x -> (xY*xl. Nechť /:[x]r+1 -> A, kde A < k, je libovolné obarvení. Pro každé
a < X a ue [x]r položme
X(u,a)=(xex- u: f(u u {x}) = a}.
Nechť 5 c p(x) je nejmenší x-úplná algebra množin obsahující všechny množiny
X(u, a) pro a<la«e [x]r a všechny ordinály a < x. Algebra B má mohutnost x,
protože x je nedosažitelný kardinál. Podle předpokladu (iv) existuje K-úplný
ultrafiltr U v B takový, že každý jeho prvek má mohutnost x. Stejně jako v důkazu 4.7
nalezneme homogenní množinu mohutnosti x pro obarvení /.
Poslední implikace (v) -» (i) je zřejmá.
Dále uvedeme základní fakta bez důkazů. Důkazy a další výsledky lze nalézt
v přehledovém článku A. Kanamoriho a M. Magidora (1978).
5.10 Reflexe stacionárnosti. Je-li x slabě kompaktní kardinál, potom pro každou
stacionární množinu S ^ x existuje nespočetný regulární kardinál X < x takový,
že množina S n X je stacionární v X,
Z axiomu konstruovatelnosti V = L plyne i obrácená implikace (Jensen 1972).
Reflexe stacionárnosti tedy charakterizuje slabě kompaktní kardinály v univerzu
konstruovatelných množin. V obecném případě však obrácená implikace neplatí
(Kunen 1978).
5.11 Věta. Každý slabě kompaktní kardinál je Mahlův. Navíc, množina všech Mahlo-
vých kardinálů menších než slabě kompaktní kardinál x je stacionární v x.
5.12 Subtilní kardinál. Říkáme, že nespočetný regulární kardinál x je subtilní,
jestliže pro každý soubor
(l) </la: a < x> , kde Az c a pro každé oc < x,
a každou uzavřenou neomezenou množinu C ^ x existují ordinály a, /? eC
takové, že a < p a Ax = Afi n a.
314

5.19
Velké kardinály
111
5.13 Nevýslovný kardinál. Říkáme, že nespočetný regulární kardinál x je
nevýslovný, jestliže pro každý soubor (1) existuje stacionární množina S ^ x
taková, že pro každé a, p e S z a < /? plyne Aa = Ap n a.
Je zřejmé, že každý nevýslovný kardinál je subtilní.
5.14 Veta. (i) Subtilní kardinál je nedosažitelný.
(ii) Nevýslovný kardinál x je slabé kompaktní a množina všech slabé kompaktních
kardinálů menších než x je stacionární v x.
Subtilní kardinál nemusí být slabě kompaktní, ale nejmenší subtilní kardinál
(pokud existuje) je větší než nejmenší slabě kompaktní kardinál. Jinými slovy,
z existence subtilního kardinálu plyne, že existuje menší kardinál, který je slabě
kompaktní. Nejmenší subtilní kardinál je menší než nejmenší nevýslovný kardinál.
5.15 Věta (Kunen). Kardinál x je nevýslovný, právě když x je nespočetný, regulární
a platí
x-+(Stac)2<x,
kde Stač znamená, že homogenní množiny zaručené šipkou jsou stacionární v x.
Baumgartner (1973) ukázal, že x -> (Stac)^ neplatí pro všechny nevýslovné
kardinály.
5.16 Věta. Je-li ordinál a menší než nejmenší subtilní kardinál, potom existuje binární
strom T c: <a2 výšky a takový, že pro každé nekonečné č, < a v hladiné 7J existuje
list, tedy vrchol, který nemá žádného následníka ve stromu T.
5.17 Věta. (i) (Kunen) Je-li x subtilní kardinál, potom platí diamantový princip Ox.
(ii) (Jensen a Kunen) Je-li x nevýslovný kardinál, potom neplatí Kurepova
hypotéza KH„ (3.72).
5.18 Erdosovy kardinály. Ještě jednou se vrátíme k Ramseyově větě. Pro každé
přirozené r mějme jedno obarvení
£: [«,]'-{0,1}.
Víme, že pro pevné r existuje nekonečná množina homogenní pro zobrazení fr.
Ptáme se, zda vždy existuje nekonečná množina A c: co, která je homogenní
současně pro všechna zobrazení fr. Odpověď je negativní, jak ukazuje následující
příklad. Všimněme si, že každá posloupnost obarvení fr určuje jedno zobrazení
/:[co]<a,->{0,l} a naopak.
5.19 Příklad. Definujme zobrazeni /: [co]<(J) -> {0, 1} tak, že pro libovolnou
konečnou množinu b ^ a> položíme f(b) = 0, jestliže \b\eb a f(b) = 1 v opačném
případě.
Uvažujme libovolnou nekonečnou množinu A c: co. Je zřejmé, že pro každé
re A existuje množina b e [/l]r obsahující r, tedy f(b) = 0, a současně existuje
315

III
5.19
množina ce[/t]r, která neobsahuje r, tedy f(c) = 1. Ukázali jsme, že žádná
nekonečná množina přirozených čísel není současně homogenní pro všechna zobrazení
5.20 Pro libovolné kardinály x, \i a ordinál a rozkladová šipka
(2) *-(a);°>
znamená, že pro každé zobrazení /: [x]<01 -+ \i existuje množina A £ x
uspořádaná podle typu a a homogenní pro f, což znamená, že pro každé přirozené r je
f\ [Á]r konstantní zobrazení.
Jestliže pro každé \x < X platí (2), píšeme x -+ (a)<^\
Z příkladu 5.19 víme, že co ++ (co)^co. P. Erdos (1950) se ptal, zdali existuje
kardinál k, pro který platí x -> (coi)^01. Ukázalo se, že je to otázka po existenci velkého
kardinálu.
5.21 Definice. Pro ordinální číslo a Erdósův kardinál x(ct) je nejmenší kardinál x
takový, že x _♦ (a)<« .
5.22 Věta. (i) (Erdos, Hajnal 1958) Je-li oj < a < j3, pořom x(a) je regulární
kardinál a x(a) < >c(j5).
(ii) Je-li a limitní, pak x(<x) je subtilní kardinál a pro každé \x < x(a) platí
Erdosovy kardinály nemusí být slabě kompaktní, ale existuje-li Erdósův
kardinál x{cú\ pak existuje menší kardinál, který je nevýslovný.
5.23 Ramseyův kardinál. Platí-li
říkáme, že x je Ramseyův kardinál
Je zřejmé, že Ramseyovy kardinály jsou právě pevné body posloupnosti Erdoso-
vých kardinálů.
Nejmenší Ramseyův kardinál je slabě kompaktní a subtilní, ale není nevýslovný.
Je však větší než x(co), a tedy je větší než nejmenší nevýslovný kardinál.
5.24 Velké kardinály a L. Ve II. kapitole § 7 jsme konstatovali, že univerzum
konstruovatelných množin se špatně snáší s velkými kardinály. Většina z těch,
se kterými jsme se dosud seznámili, však může koexistovat s V = L.
Dá se ukázat, že je-li x nedosažitelný, Mahlův, subtilní, slabě kompaktní nebo
nevýslovný kardinál, pak x je velký kardinál stejného druhu i v univerzu L. Totéž
již neplatí pro Erdosovy kardinály. Silver ukázal, že pro každý ordinál a, který je
spočetný v L, Erdósův kardinál x(a) je stejného druhu v univerzu L, to znamená,
že v L platí x(ol) -+ (a)<w. Na druhé straně Rowbottom (1971) dokázal, v L neplatí
tvrzení (3x)(x = a^coj). To znamená, že z existence Erdosova kardinálu x(oj^)
plyne V =f= L. Navíc neplatí ani Jensenova věta o pokrytí (II.7.14).
316

5.30
Velké kardinály
III
5.25 Měřitelné kardinály. V kapitole 1.8.31 jsme ukázali, že každá dvouhodnotová
konečně aditivní míra na £?(co) je určena nějakým ultrafiltrem na co. Přitom
netriviální ultrafiltry určují difúzní míry, to znamená míry, pro které všechny konečné
podmnožiny mají míru nula. Měřitelné kardinály jsou motivovány otázkou, zda
na potenci nějakého nespočetného kardinálu x může existovat x-aditivní
dvouhodnotová difúzní míra. To je ekvivalentní s tím, že na x existuje netriviální x-úplný
ultrafiltr. Je zřejmé, že takový ultrafiltr musí být uniformní.
Je-li x nespočetný regulární kardinál, potom Fréchétův filtr a filtr uzavřených
neomezených množin na x jsou x-úplné uniformní filtry. Podle 2.23 to však nejsou
ultrafiltry. Pokus o jejich rozšíření do ;<-úplného ultrafiltru pomocí principu maxi-
mality selže, protože množina c-úplných filtrů nesplňuje podmínku omezenosti
řetězců vzhledem k inkluzi.
5.26 Měřitelný kardinál. Říkáme, že nespočetný kardinál x je měřitelný, jestliže
na x existuje netriviální x-úplný ultrafiltr.
Ulam (1930) zkoumal existenci netriviálních cr-úplných ultrafiltru. Ukázal, že
je-li x nejmenší kardinál, na kterém takový ultrafiltr existuje, potom každý cr-úplný
netriviální ultrafiltr na x je x-úplný.
5.27 Věta (Ulam). Každý měřitelný kardinál je nedosažitelný.
Je zřejmé, že měřitelný kardinál musí být regulární, protože pro singulární x
z x-úplnosti plyne x + -úplnost filtru. Podle 2.22 je měřitelný kardinál slabě
nedosažitelný a je snadné ověřit, že je silně limitní.
5.28 Věta o normální míře (Scott 1961). Na každém měřitelném kardinálu x existuje
normální ultrafiltr. Odpovídající dvouhodnotová míra na ^(x) se nazývá normální
míra.
Z vět o normálních filtrech z § 2 není těžké dokázat následující charakterizaci
normálních ultrafiltru.
5.29 Lemma. Pro x-úplný uniformní ultrafiltr ty na regulárním nespočetném x jsou
následující podmínky ekvivalentní:
(i) ty je normální ultrafiltr,
(ii) každá regresivní funkce na x je konstantní na nějaké množině z ty,
(iii) pro každý soubor (l) existuje množina Sety taková, že pro libovolné
a,(leS z (x < P plyne Aa = Ap n a.
5.30 Důkaz věty 5.28. Nechť x je měřitelný kardinál a ty je nějaký x-úplný uniformní
ultrafiltr na x. Říkáme, že funkce /: x -> x je nestlačitelná modulo ty, jestliže není
konstantní na žádné množině z ultrafiltru ty a současně každá funkce g:x -> x
taková, že f / \ w u ^.
{a < x:g(<x) <f(a)}ety,
je již konstantní na nějaké množině z ty. Podle 5.29(ii) je normální ultrafiltr
charakterizován tím, že identická funkce na x je nestlačitelná.
317

III
5.30
Nejprve ukážeme, že existuje nestlačitelná funkce modulo óll. Definujeme relaci -<
na množině *x tak, že
f<g~{a<x:f(a)<g(a)}eW.
Ověříme, že relace -< je fundovaná. K tomu stačí ukázat, že neexistuje posloupnost
funkcí </„: n < co> taková, že pro každé n je fn +, < f„. V opačném případě by pro
každé n < oj množina
*„={«<*:/,♦.(«)</(«)}
ležela v ultrafiltru Ol. Z x-úplnosti plyne, že
B= (\Bns«U,
n<a>
a proto B =(= 0. Pro libovolné ae5 by (fn(a)\n < co) byla nekonečná klesající
posloupnost ordinálních čísel, to je spor. Tedy < je fundovaná relace.
Vezměme množinu A <= xx všech funkcí, které nejsou konstantní na žádné
množině z °U. Je zřejmé, že A =j= 0, protože identická funkce patří do A. Z fundovanosti
relace < plyne, že existuje minimální fe A vzhledem k -<. Potom /je nestlačitelná
funkce modulo ty.
Máme-li nestlačitelnou funkci /: x -» x modulo ^, potom
je x-úplný netriviální ultrafiltr na x, pro který platí 5.29(ii). To znamená, že fíf(ty)
je hledaný normální ultrafiltr. Důkaz je skončen.
Každý normální ultrafiltr ty na x rozšiřuje filtr Cubx uzavřených neomezených
množin v x, a proto libovolná množina z ty je stacionární. Stejnou metodou, jakou
se dokazuje Ramseyova věta 4.7, použijeme-li normální ultrafiltr, můžeme dokázat
následující tvrzení.
5.31 Věta (Rowbottom 1971). Je-li ty normální ultrafiltr na měřitelném kardinálu x,
potom:
(i) pro každé zobrazení f: [/l]r -*• x, kde r je přirozené, x < x a /je^/, existuje
množina H e ty, která je homogenní pro f,
00 *->(*);?,
tedy x je Ramseyův i nevýslovný kardinál
Navíc, množina {X < x: X regulární a a -> (Stac)^} e^.
S pojmem měřitelného kardinálu je spojen pojem reálně měřitelného kardinálu.
5.32 Reálně měřitelný kardinál. Říkáme, že nespočetný kardinál x je reálně
měřitelný, jestliže existuje x-aditivní difúzní reálná míra \x\ P(x) —> [0, 1] s hodnotami
v jednotkovém intervalu taková, že }x(x) = 1.
Ulam (1930) ukázal, že reálně měřitelný kardinál x je buď < 2™, a pak je slabě
nedosažitelný, nebo je měřitelný.
318

5.37
Velké kardinály
III
Je-li bezesporný předpoklad existence reálně měřitelného kardinálu, je
bezesporný předpoklad existence měřitelného kardinálu a naopak (Solovay 1971).
Zesílením pojmu měřitelného kardinálu je:
5.33 Silně kompaktní kardinál. Říkáme, že nespočetný kardinál x je silně kompaktní,
jestliže na libovolné množině X každý x-úplný filtr lze rozšířit do x-úplného ultra-
filtru.
Povšimněme si, že silně kompaktní kardinály jsou definovány přenesením
základní věty o ultrafiltrech (každý co-úplný filtr lze rozšířit do w-úplného ultrafiltru)
na nespočetné kardinály. Je zřejmé, že silně kompaktní kardinál x je regulární a
rozšíření Fréchétova filtru na x do x-úplného ultrafiltru je *-úplný netriviální ultra-
filtr. To znamená, že každý silně kompaktní kardinál je měřitelný.
Kunen ukázal, že pokud je bezesporná existence silně kompaktního kardinálu,
potom je bezesporná teorie množin a
5.34 Fisherův axiom. Je-li (X, sš\ \x) libovolný pravděpodobnostní prostor a ^ ^
^ g?(X) je 2^-úplná algebra množin a \x je 2^-aditivní míra na sé, potom míra \x
může být rozšířena do 2^-aditivní míry definované na celé potenční algebře g?(X).
Z Fisherova axiomu plyne reálná měřitelnost kardinálu 2W, pokud 2W je regulární.
5.35 Silně kompaktní kardinál a L. Vopěnka a Hrbáček (1966) ukázali, že existuje-li
silně kompaktní kardinál, potom je veliká propast mezi univerzální třídou V a L.
Přesněji řečeno, třídu V nelze získat adjungováním žádné množiny k univerzu kon-
struovatelných množin, tedy pro každou množinu a platí V =N L[a]-
5.36 Superkompaktní kardinály jsou opravdovými obry ve světě velkých kardinálů.
Jejich definice vychází ze zobecnění pojmu stacionarity z ordinálnich čísel na systémy
množin. Zobecněný pojem stacionarity je důležitý i mimo kontext velkých
kardinálů.
Pro libovolný regulární nespočetný kardinál x a kardinál X > x uvažujeme
množinu S = [^]<x uspořádanou inkluzí, která nyní bude zastupovat regulární
kardinál z definice stacionárních množin. Ukážeme, že řada pojmů se zcela
přirozeně přenáší na S. Pro libovolné seS nechť sA = {teS:s c t}. Snadno se
nahlédne, že systém množin {sA: seS} je bází ^-úplného filtru na množině S, který
je obdobou Fréchétova filtru.
5.37 Definice. Filtr uzavřených neomezených množin na [A]<x.
(i) Říkáme, že množina A c= S = [X]<x je neomezená, jestliže pro každé seS
existuje t e A takové, že s c t.
(ii) Říkáme, že množina A c S je uzavřená, jestliže sjednocení každého řetězce
C £ A (vzhledem k inkluzi), který má mohutnost <x, náleží do A.
(iii) Uzavřené neomezené podmnožiny množiny S tvoří bázi filtru, který nazýváme
filtr uzavřených neomezených množin na [A]<x a značíme Cub (x, A).
319

III
>M
Cub(x, X) je x-úplný filtr, ve kterém leží každá množina sA.
5.38 Stacionární množiny a normální filtry na \_X]< \
(i) Říkáme, že A Q S = |_^J<X Je stacionární množina, jestliže A má neprázdný
průnik s každou množinou z Cub (x, X).
(ii) Filtr ^ na S se nazývá normální, jestliže obsahuje všechny množiny sA a je
uzavřený na diagonální průniky, to znamená, že pro každou posloupnost
(Aa. a < X) množin z filtru 2F také množina
AAa = {s e S: s e Aa pro všechna a es}
leží v &.
Platí analogie Fodorovy věty.
5.39 Věta (jech 1973). (i) Cub(x,/l) je normální filtr.
(ii) Je-li A c S stacionární množina a f je zobrazení definované na A takové, že
f(s) £ 5 pro každé neprázdné se A, potom f je konstantní na nějaké stacionární
množině.
5.40 Superkompaktní kardinál. Říkáme, že regulární nespočetný kardinál x je
superkompaktní, jestliže pro každý kardinál X > x existuje normální ultrafiltr na
[A]<*.
Není těžké ověřit, že kardinál x je silně kompaktní, právě když pro každé X > x
existuje x-úplný ultrafiltr na [X]<x obsahující všechny množiny sA. Odtud plyne,
že superkompaktní kardinál je silně kompaktní, protože každý normální ultrafiltr
na [X]<x je x-úplný.
Magidor (1977) ukázal, zeje bezesporný předpoklad ~i GNaj, pokud je bezesporné,
že existuje superkompaktní kardinál.
5.41 Elementární vnoření a velké kardinály. Říkáme, že zobrazení j\V—+M je
elementární vnoření univerzální třídy V do třídy M, jestliže pro libovolnou formuli
(p(x1, ..., xn) platí
(Vjc, *„)[>(*, *„)~<pM(/(.x,) j[xK))],
kde (pM je formule, která vznikne z <p relativizací kvantifikátorů do třídy M (viz
II.7.11).
Měřitelný kardinál je nejmenší z velkých kardinálů, který zaručuje existenci
elementárního vnoření univerzální třídy do nějaké tranzitivní třídy, které není identické.
5.42 Věta. (i) Kardinál x je měřitelný, právě když existuje elementární vnoření
j:\ -+ M univerzální třídy do tranzitivní třídy M takové, zej je identické na x, j(x) > x
a každá posloupnost <ma: a < x> prvků z M leží v M, zkráceně *M c M.
(ii) x je superkompaktní kardinál, právě když pro každé X > x existuje elementární
vnoření j: V -» M univerzální třídy V do tranzitivní třídy M takové, že j je identické
na x,j(x) > x a XM c M.
320

5.44
Velké kardinály
III
5.43 Obří kardinál. Řikáme, že kardinál x je obří, jestliže existuje elementárni
vnoření j:V —> M univerzální třídy do nějaké tranzitivní třídy M takové, že j je
identické na x, j(x) > x a i(x)M £ M.
Existuje-li obří kardinál, potom je bezesporná existence superkompaktního
kardinálu. Magidor (1977) ukázal, že za předpokladu, který je o málo silnější než
existence obřího kardinálu, je bezesporné, že Xtó je první kardinál, na kterém se
poruší GCH.
5.44 Kunenova bariéra je definitivním stropem pro škálu velkých kardinálů v teorii
množin s axiomem výběru. Jde o následující tvrzení:
Existence elementárního vnoření j: V -+ V univerzální třídy do univerzální
třídy, které není identitou, je ve sporu s teorií množin s axiomem výběru. To znamená,
že jakákoliv definice velkého kardinálu, která implikuje existenci neidentického
elementárního vnoření univerzální třídy do ní samé, je ve sporu s axiomy ZFC.
321

KAPITOLA IV
Těžištěm kapitoly je závěrečný § 3, věnovaný metodě generických rozšíření
modelů teorie množin. Výklad se opírá o teorii Booleových algeber, která je vyložena
v prvních dvou paragrafech. Po úvodním § 1, obsahujícím základní pojmy, tvrzení
a příklady, se v §2 zabýváme strukturálními vlastnostmi Booleových algeber.
Klademe důraz na úplné Booleovy algebry a ty jejich vlastnosti, které jsou relevantní
pro zkoumání generických rozšíření, například husté podmnožiny, rozklady
jednotky, saturovanost a distributivnost. Jsou zde též uvedeny konstrukce nových
algeber pomocí volného součinu a faktorizace a Stoneova věta o dualitě. V § 3
motivujeme pojem generické množiny, vyslovíme větu o generickém rozšíření, na
několika příkladech ukážeme její použití a v závěru ji dokážeme.
§ 1 Booleovské operace
Budeme definovat Booleovy algebry a algebry množin. Dokážeme základní tvrzení
a seznámíme se s důležitými typy Booleových algeber, zejména s x-úplnými
a úplnými Booleovými algebrami, algebrami obojetných množin, regulárních
otevřených množin a množin s Baireovou vlastností.
1.1 Definice. Booleova algebra je struktura <£, A, V, -,0,1> sestávající z
množiny B, ze dvou binárních operací průseku A a spojení V, unární operace kom-
plementu — a dvou prvků 0,1 e 5, ve které platí následující axiomy. Pro každé
x, y, z e B
(1) komutativita průseku a spojení
x A y = y A x, x V y = y V x,
(2) distributivní zákony
x A (y V z) = (x A y) V (x A z), x V (y A z) = (x V y) A (x V z),
323

IV
I.! 1
(3) neutralita nulového a jednotkového prvku
x V 0 = x, x A 1 = x,
(4) axiomy komplernentu
x A(-x) = 0, x V (-x) = 1,
(5) podmínka nedegenerovanosti
0*1.
Jinými slovy, Booleova algebra je každá struktura jazyka { A, V, -, 0,1}, v které
jsou pravdivé všechny formule (l)-(^)-
Operace průseku, spojení a komplernentu nazýváme booleovské operace.
Dohodneme se, že Booleovy algebry budeme značit stejným symbolem jako jejich
nosné množiny.
Mohutností Booleovy algebry se rozumí mohutnost její nosné množiny. Algebra B
je konečná (spočetná), je-li její nosná množina konečná (spočetná).
1.2 Příklady, (a) Dvouprvkové algebry. V libovolné Booleově algebře B uvažujme
vyčleněné konstanty 0 a 1. Axiomy (2),(3) a (4) zaručují, že všechny booleovské
operace z nich dávají opět hodnotu 0 nebo 1 podle následující tabulky:
t x y
0 0
0 1
10
11
x A y x V v —x
0 0 1
0 1 1 |
0 1 0
1 1 0
To znamená, že nejjednodušší typ Booleových algeber, které nazýváme triviální
nebo dvouprvkové, jsou algebry sestávající z prvků 0 a 1. Je zřejmé, že všechny
dvouprvkové Booleovy algebry jsou navzájem izomorfní. Nejznámější interpretace
takové Booleovy algebry reprezentují nulu a jedničku jako pravdivostní hodnoty:
0 nepravdu a 1 pravdu. Booleovské operace pak odpovídají pravdivostním
hodnotám konjunkce, disjunkce a negace v závislosti na pravdivostních hodnotách
jednotlivých komponent.
324

1.2
Booleovské operace
IV
(b) Pro neprázdnou množinu X je potenční algebra sS{X) spolu s množinovými
operacemi průniku a sjednocení dvou množin, operací doplňku do množiny X a
vyznačenými prvky 0 a X Booleovou algebrou. V této algebře je pro libovolné
XZckX
YA Z= YnZ, YW Z = YuZ,
-Y= X - Y,
0 = 0, 1 = X.
(c) Intervalové algebry. Buď <X, <> lineární uspořádání, X + 0 a uvažujme
všechny polouzavřené intervaly [a, b\ [a, -►) a intervaly (<-, a), (<- -►), kde a < b.
Systém všech konečných sjednocení polouzavřených intervalů s množinovými
operacemi je Booleovou algebrou, kterou nazýváme intervalovou algebrou lineárního
uspořádání <X, <>. Intervalová algebra racionálních čísel je příkladem spočetné
Booleovy algebry.
(d) Nechť J je ideál na množině X a nechť f* je duální filtr. Potom J \j J*
spolu s množinovými operacemi je Booleova algebra. Speciálně, je-li .f = [X]<ť°,
pak J v J* je algebra konečných podmnožin a doplňků konečných podmnožin
množiny X. Algebra konečných podmnožin a doplňků konečných podmnožin
přirozených čísel je také intervalovou algebrou uspořádání (co, <).
(e) Algebra obojetných množin. Totálně nesouvislý topologický prostor. Buď X
neprázdný topologický prostor. Množina A £ X se nazývá obojetná, jestliže A je
současně otevřená i uzavřená. Nechť CO(Ar) je systém všech obojetných množin
prostoru X. CO(X) s množinovými operacemi je Booleovou algebrou a nazývá se
algebrou obojetných množin prostoru X.
V hezkých metrických prostorech, jako jsou Eukleidovský n-rozměrný prostor
U" a Hilbertův kvádr O40, jsou pouze dvě obojetné množiny - prázdná množina a celý
prostor. Takové prostory se nazývají souvislé. Algebra obojetných množin je potom
triviální.
Z hlediska Booleových algeber jsou zajímavé nesouvislé prostory, v kterých
lze libovolné dva různé body oddělit obojvtnými množinami. Tato podmínka
je ekvivalentní s tím, že pro různé body x, y existaje obojetné okolí bodu x, v kterém
neleží bod y. Topologické prostory s touto vlastností se nazývají totálně nesouvislé.
(f) Nejjednodušším příkladem totálně nesouvislého prostoru je diskrétní
topologický prostor X. Není příliš zajímavý, protože CO(X) = ,^(X). Cantorovo diskon-
tinuum D, které jsme zavedli v 1.6.44, je netriviálním příkladem totálně nesouvislého
prostoru. Je to kompaktní metrický prostor bez izolovaných bodů. Připomeňme, že
Cantorovo diskontinuum je homeomorfní s topologickým součinem "2 spočetně
mnoha dvouprvkových diskrétních prostorů.
Je-li x nekonečné kardinální číslo, topologický součin x2 x dvouprvkových
diskrétních prostorů se nazývá zobecněné Cantorovo diskontinuum a označuje se D(x).
Je to kompaktní totálně nesouvislý prostor bez izolovaných bodů a je-li x > co,
pak D(x) není metrizovatelný.
325

IV
1.2
Ukážeme, že |CO(D(x))| = x. Pro konečnou množinu K ^ cd a funkci J: K -► 2
označme V(f) množinu všech funkcí z *2, které prodlužují / K(/) je obojetná
množina a navíc systém S = {^(/): K e [*]<ío &/: K -> 2} je bází topologie prostoru
D(x). Libovolná obojetná množina je jednak otevřená, a proto je sjednocením
některých množin z báze, jednak uzavřená, tedy kompaktní, a to znamená, že je
sjednocením jen konečně mnoha bázových množin. Proto platí
x<\S\ < |CO(D(x))| < |[S]<íd| = x
Tím jsme také ukázali, že existují Booleovy algebry libovolné nekonečné
mohutnosti.
1.3 Booleovy algebry z příkladů (b)-{í) mají jedno společné, jsou podalgebrami
nějaké potenční algebry 0>(X) a booleovské operace těchto algeber jsou totožné
s množinovými operacemi.
1.4 Definice. Podalgebra. Podalgebrou Booleovy algebry B nazýváme libovolnou
neprázdnou podmnožinu C, která je uzavřená na booleovské operace algebry B.
Booleovské operace podalgebry C jsou tedy zúžením na množinu C operací
algebry B.
Je zřejmé, že každá podalgebra algebry B obsahuje 0 a 1 a že každá algebra
obsahuje triviální algebru a samu sebe jako své podalgebry.
1.5 Definice. Algebra množin. Nechť A'je neprázdná množina. Podalgebra potenční
algebry í?(X) se nazývá algebrou podmnožin množiny X nebo stručněji algebrou
množin.
Algebra množin je jednoznačně určena neprázdným systémem S podmnožin
nějaké neprázdné nosné množiny X, který obsahuje s každými dvěma množinami
y, Z také sjednocení Y u Z a doplněk X — Y.
Z de Morganových pravidel plyne, že podmínka uzavřenosti systému S na
sjednocení může být nahrazena uzavřeností na průnik.
Algebry množin jsou speciálními případy Booleových algeber (existují Booleovy
algebry, které nejsou algebrami množin, například algebra RO((R2) z 1.25), jsou
však reprezentativním typem. Později ukážeme, že každá Booleova algebra je
izomorfní s nějakou algebrou množin.
1.6 Algebraická dualita. Podíváme-li se na axiomy Booleovy algebry, vidíme, že
každá formule z dvojice axiomů vznikne z druhé tím, že nahradíme operaci
průseku spojením, spojení průsekem a vyměníme úlohu konstant, 0 přejde na 1 a
naopak. Říkáme, že formule uvedené v jedné řádce jsou duální jedna k druhé. V
případě posledního axiomu dostaneme 1 4= 0, což je s původním axiomem
ekvivalentní.
326

1.8
Booleovské operace
IV
Jinými slovy, je-li <B, A, V, —, 0,1> Booleova algebra, potom také struktura
<£, V, A, —, 1,0> je Booleovou algebrou.
To znamená, že platí následující princip algebraické duality: je-li cp formule
dokazatelná z axiomů (l)-(5), pak i k ní duální formule je z nich dokazatelná. Praktický
význam spočívá v tom, že stačí dokazovat polovinu vět, druhou polovinu dostaneme
zdarma odkazem na princip duality.
Setkáme se ještě s jiným, důležitějším pojmem duality, s tak zvanou Stoneovou
dualitou, která dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé
topologické prostory.
1.7 Lemma. Pro libovolné prvky x, y Booleovy algebry platí
(i) zákony idempotence
x A x = x, xVx = x,
(ii) x A 0 = 0, x V 1 = 1,
(iii) zákony pohlcení
x A (x V y) = x, x V (x A y) = x.
Důkaz. Vztahy uvedené ve stejném řádku jsou duální, stačí proto dokázat první
z nich.
(i) Užitím axiómů v pořadí (3), (4), (2), (4), (3) postupně dostáváme
x = xAl = xA(xV - x) = (x A x) V (x A -x) = (x A x) V 0 = x A x.
(ii) Použijeme-li axiómy (3), (4), (2), (1) a (3), (1), dostáváme
x A 0 = (x A 0) V 0 = (x A 0) V (x A -x) = x A (0 V -x) = x A -x = 0.
(iii) Užijeme-li postupně axióm (3), vztah (ii) dokazovaného lemmatu a dvakrát
axiom (2), dostaneme
x = x A 1 = x A (1 V y) = (x A l) V (x A y) = x V (x A y).
1.8 Definice. Rozdíl a symetrický rozdíl. Rozdíl x - y a symetrický rozdíl
x A y libovolných dvou prvků Booleovy algebry definujeme vztahy
x - y = x A (->>),
xAy = (x-y) V (y — x).
Z axiomu (3) a komutativity je zřejmé, že
— x = 1 — x.
Přepsáním distributivního zákona získáme
(x\fy)-z = (x-z)\f{y-z).
327

IV
1.8
V algebře množin je booleovský (symetrický) rozdíl totožný se (symetrickým)
rozdílem množin. Proto jsme si dovolili použít stejné značení pro obě operace.
1.9 Lemma. Následující podmínky jsou ekvivalentní pro libovolné x, y:
(i) xAy = x,
(ii) x V y = y,
(iii) x - y — 0.
Důkaz, (i) -► (ii). Podle zákona pohlcení je y = y V (x A >'). Podle předpokladu je
x A y = x a dosadíme-li x za xAy, dostaneme y = y V x, a to je (ii).
(ii) -* (iii). Předpokládáme-li x V y = y, pak platí 0 = y — y = (x V y) - y =
= (x - y) V 0 = x - y, a tedy (iii).
(iii) -* (i). Předpokládáme-li x - y = 0, pak x = x A 1 = x A (y V _y) =
= My)V(x-y) = (xAy)VO = xAy, a tedy platí (i).
1.10 Pro dvě množiny A, B je rovnost A n B = A ekvivalentní s inkluzí A ^ B
a tento fakt motivuje definici uspořádání Booleovy algebry s podobnými vlastnostmi,
jako má množinová inkluze.
1.11 Definice. Kanonické uspořádání. Buď B Booleova algebra. Pro libovolné
x, y e B položme
x<y<->xAy = x.
Relaci < na B nazýváme kanonické uspořádání algebry B. Pokud bude zřejmé, o jaké
uspořádání jde, budeme slovo kanonické vynechávat.
V algebře množin je kanonické uspořádání totožné s inkluzí. V každé algebře je
0< 1.
Kanonické uspořádání Booleových algeber úzce spojuje jejich studium se
studiem uspořádaných množin. Navíc uspořádání umožňuje rozšířit operace
průseku a spojení i na některé nekonečné množiny a soubory prvků Booleovy algebry.
1.12 Věta. Nechť B je Booleova algebra. Pak
(i) < je uspořádání na B,
(ii) 0 < x < 1 pro každé x e B,
(iii) x A y = inf {x, y}, xVy = sup {x, y),
(iv) pro každé xe B má soustava rovnic x A « = 0, xVu = l právě jedno
řešení u — — x.
Vlastnosti (i)—(iii) říkají, že (B, <) je svaz s nejmenším a největším prvkem.
Důkaz, (i) Podle 1.9 víme, že x < y je ekvivalentní s x — y = 0 is x V y = y.
Ověříme postupně, že relace < je reflexivní, tranzitivní a slabě symetrická. Reflexivita
x < x není nic jiného než idempotence x A x = x. Pro tranzitivitu předpokládejme
x < y a y < z. To znamená, že platí xVy = y a y-z = 0 az těchto vztahů
dostáváme 0 = y-z = (xVy)-z = (x-z)VO = x-z neboli x < z. Slabá
328

\.\>
Booleovské operace
IV
antisymetrie plyne okamžitě z komutativity, neboť z x A y = x a y A x = y plyne
x = y.
(ii) Nerovnosti 0 < x a x < 1 jsou pouze přepisem axiómů (3) podle definice.
(iii) Zákony pohlcení x A (x V y) = x, y V (x A y) = y implikují x A y < x
a x A y < y, tedy prvek x A y je dolní mezí množiny {x, y}. Nechť z je jiná dolní
mez, to znamená, že zVx = x a z V y = y. Potom z V (x A y) = (z V x) A
A (z V y) = x A y neboli z < x A y. Tím jsme dokázali, že x A y = inf (x, y}.
Přechod k duálním vztahům dokazuje x V y = sup {x, y}.
(iv) Axiomy komplementu zaručují, že soustava má řešení u = -x. Chceme
ukázat, že jiné řešení neexistuje. Připojme k oběma stranám první rovnice - x a
dostaneme — x = — x V (x A n) = — x V u neboli u < — x. Druhou rovnici
prosekneme s — x a dostaneme — x = — x A (x V u) = — x A u neboli — x < u. Tedy
nutně u = — x.
1.13 Důsledek, (i) Operace průseku a spojení jsou monotónní; je-li
x < y a u < u,
pa/c
x A u < y A v a x V u < y V v,
(ii) -(-*) = *.
(iii) x < y «-♦ — y < — x, to znamená, že operace komplementu je prosté anti-
monotónní zobrazení B na B.
Důkaz, (i) Monotónnost operací plyne ze vztahu mezi operacemi A, V a infimemem
a supremem ve svazu (B, <).
(ii) Soustava — x A u = 0, -xVu=l má jediné řešení pro u. Řešeními jsou
x i — ( — x), jak plyne z komutativity a axiomů komplementu, tedy x = -( — x).
(iii) Z (ii) plyne okamžitě, že pro x ^ y )Q —x 4= — y, tedy komplementace je
prosté zobrazení B na B. Vztah x < y je ekvivalentní s x — y = 0 podle (ii) a to je
totéž jako — y — ( — x) = 0 a tento vztah je ekvivalentní s — y < — x.
1.14 Nekonečné operace. Booleova algebra B spolu s kanonickým uspořádáním
je svaz (£, <), a tedy pro konečně mnoho prvků z B je
xt A x2 A ... A xn = inf{xl5...,xn} .
Infímum nekonečné podmnožiny Booleovy algebry může, ale také nemusí existovat.
Totéž platí pro supremum.
1.15 Příklad. Nechť C je algebra všech konečných množin přirozených čísel a jejich
doplňků. Potom
A = {{"}:« je sudé]
je nekonečná podmnožina algebry C, která nemá supremum.
329

IV
1.16
1.16 Definice. Nekonečná spojení a průseky. Je-li u infimum množiny A £ B.
píšeme
« = A*
a prvek u nazýváme průsekem množiny A. Jinými slovy, /\ je operace průseku, která
je definovaná pro některé podmnožiny algebry. Podobně, je-li v supremum
množiny A £ B, píšeme
v = \/A
a V nazýváme operací spojení. Je zřejmé, že /\, \/ jsou rozšíření operací A, V na
všechny konečné a některé nekonečné podmnožiny algebry B. Uvědomme si, že
platí V0=°> A0=1> V{*} = AM = *> A{*>y} = xAy. Je-li <at:iG/>
soubor prvků algebry B, pak
16/ 16/
značí
Aíflr.ře/} a Ví^ie/}.
V dalším textu budeme pracovat s podmnožinami i se soubory prvků Booleovy
algebry.
Podle 1.13(iii) je přechod ke komplementům antimonotónní prosté zobrazení
svazu (B, <) na sebe. Odtud a z definice suprema a infima okamžitě plyne, že f\A
existuje, právě když existuje \J{—x: xe Á), a platí:
1.17 De Morganova pravidla. Pro A c: B je
_ /\A = V{-^:^€i4},
-V>4 = A{-*:*e/l},
pokud alespoň jedna strana z rovnosti je definovaná. Speciálně
x A y = -(-x V -j-), xVji=-(-xA-y).
Vidíme, že operace vystupující v definici Booleovy algebry jsou nadbytečné. Průsek
(spojení) je možno definovat pomocí spojení (průseku) a operace komplementu,
a to i pro nekonečné operace.
1.18 Asociativní zákony pro průsek a spojení nebyly uvedeny mezi axiomy (l}-(5)-
Jsou odvoditelné bezprostředně z vlastností suprema a infima i pro nekonečné
operace.
Nechť (Jk: ke K) je soubor množin a
keK
Platí
Afl,= A{Aa,:keK}.
V«, = V{'V<V*6K},
330

1.19
Booleovské operace
IV
s následující interpretací: mají-li výrazy na pravé straně smysl, pak má smysl
i výraz na levé straně a oba výrazy se rovnají. Speciálně
jcA(yAz) = (xAy)Az, x V (y V z) = (x V y) V z,
a tedy výrazy
xy A x2 A ... A x„, x1 V x2 V ... V xn
mají jednoznačný význam.
Zajímavější a důležitější jsou vztahy, ve kterých se vyskytují obě operace, průseku
i spojení.
1.19 Nekonečné distributivní zákony. Existuj í-li
V** a \/bj,
Íe7 jel
respektive
A*, a A*V
16/ j€i
pak pro libovolné ce B platí
(i) cAVa-VM^ie/},
(ii) cV A",- = A{cVa,.:ie/},
(iii) V** A V&; = V{«i A by. <U> e/xi),
16/ 76J
(iv) /\fc V A&y = AW, V 6,: <i)jf> elxj}.
i6/ jeJ
Důkaz. Dokážeme postupně vztahy (i) a (iii), zbývající jsou duální,
(i) Položme a = V^,- Jelikož a > a„ je také
c A a > c A a{,
a tedy c A a je majorantou množiny {c A a,: i e /}. K důkazu rovnosti stačí ukázat,
že pro každou majorantu d platí d > c A a. Nechť tedy d > c A a. pro každé
i 6 /. Potom platí
a,. = (c A flř) V (-c A a.) < ř/ V -c
pro každé i e / a z toho plyne, že
a < d V -c.
Pronikneme-li obě strany prvkem c, dostaneme požadovanou nerovnost
cAa<cAd<d.
(iii) Položme a = \faiy b = \/br Využijeme již dokázaného vztahu (i), z kterého
plyne
a A b = \/{a A byjeJ]
331

IV
1.19
a také
a A bj = bj A a = \J{bj A ar.iel}
pro každé je J. Dosadíme-li, pak z asociativního zákona 1.18 dostaneme
a A b = VÍV^i A by. je J} = V{a,- A by <i,;> e/ x 7} .
Nekonečné operace dovolují klasifikovat Booleovy algebry podle úplnosti.
1.20 Definice. Úplná Booleova algebra. Buď x nekonečné kardinální číslo.
(i) Booleova algebra B se nazývá x-úplná, jestliže pro každou množinu X £ B
mohutnosti menší než x existuje průsek f\ X.
(ii) Algebra B se nazývá úplnou Booleovou algebrou, jestliže existuje průsek pro
každou podmnožinu algebry B.
(iii) Říkáme, že podalgebra C úplné Booleovy algebry B je úplná {x-úplná) pod-
algebra, jestliže pro každou množinu X c C (\x\ < x) průsek f\BX e C.
Z de Morganových pravidel plyne, že v x-úplné algebře jsou obě operace f\ i V
definovány pro všechny podmnožiny mohutnosti menší než x. V úplné algebře B
je definiční obor operací ^ a y. celá potence množiny B. Každá algebra je
w-úplná, a tedy konečné algebry jsou úplné.
V algebrách množin booleovské operace souhlasí s množinovými. Pro algebry
množin definujeme silnější pojem x-úplnosti tak, aby i nekonečné booleovské
operace souhlasily s množinovými.
1.21 Definice. >c-algebra množin. Říkáme, že algebra množin A je x-algebrou,
jestliže pro každý systém 5e[>4]<x je f]SeA.
To znamená, že průsek systému S existuje a je totožný s průnikem f)S.
Pojem x-algebry je víc než to, že algebra množin je x-úplnou Booleovou algebrou.
Později uvidíme, že existují algebry množin, které nejsou uzavřeny na průniky
spočetných podsystémů, tedy nejsou co 1 -algebrami množin, ale přesto jsou co {-úplnými
Booleovými algebrami.
1.22 Matematicky nejzajímavější jsou co1 -algebry množin a co1 -úplné Booleovy
algebry, které mají přímý vztah k teorii míry a k teorii pravděpodobnosti. Je pro ně
vžitý starší název cr-algebry množin a a-úplné Booleovy algebry. Pro teorii množin
mají velký význam úplné Booleovy algebry.
1.23 Booleova algebra regulárních otevřených množin. Připomeneme nejprve
základní topologické pojmy a fakta. Buď X topologický prostor. Je-li A c X, cl (A)
bude označovat uzávěr a int (A) bude označovat vnitřek množiny A v prostoru X.
Připomeňme, že cl (A) je nejmenší uzavřená nadmnožina a int (A) je největší
otevřená podmnožina množiny A. Pro A c X položíme r(A) = int cl (A) a r{A)
budeme nazývat regularizací množiny A.
332

1.26
Booleovské operace
IV
Množina A £ X se nazývá řídká v X, jestliže r (A) = 0. Je-li cl (Á) = X, to
znamená, že také v(Á) = A', říkáme, že A je hustá v X.
Množina A je hustá, právě když má neprázdný průnik s každou neprázdnou
otevřenou množinou. Množina A je řídká, právě když pro každou neprázdnou
otevřenou množinu U existuje neprázdná otevřená V ^ U, která je s A disjunktní.
Je zřejmé, že r(0) = 0, r(X) = X a pro každou otevřenou množinu A je
Au'mt(X - A) hustá množina v X.
1.24 Definice (Kuratowski). Říkáme, že A je regulární otevřená množina, jestliže
t(A) = A.
Systém všech regulárních otevřených množin prostoru X označíme RO (X).
1.25 Volně řečeno, otevřená množina je regulární, nemá-li žádné praskliny. Rovina
U2 bez osy x je otevřená množina v IR2, ale není regulární. Její uzávěr i regularizace
je celý prostor. Naproti tomu obě otevřené poloroviny jsou regulární otevřené
množiny. Sjednocení dvou regulárních otevřených množin nemusí být regulární
otevřená množina. To znamená, že RO (X) nemusí být algebrou množin.
Množina je regulární otevřená, právě když je vnitřkem nějaké uzavřené množiny.
Speciálně pro otevřenou množinu A je r (X — A) = int (X — A). Je-li A ^ B c X,
z monotónnosti operaci uzávěru a vnitřku dostáváme r (A) c r (J3). To znamená,
že regularizace je také monotónní. Snadno nahlédneme, že pro otevřenou množinu A
je A ^ r(A) a že pro každou množinu A je r(r (A)) ~ r(A\ tedy r (Á)e RO(X).
1.26 Ukážeme, že regulární otevřené množiny s vhodně zvolenými operacemi
tvoří úplnou Booleovu algebru, kterou budeme nazývat Booleovu algebrou
regulárních otevřených množin.
Nejprve ověříme, že pro otevřené množiny A, B platí
(6) v(AnB) = r(A)nr{B).
Průnik A n B je částí A i B a z monotónnosti regularizace plyne, že v (6) je levá
strana podmnožinou pravé.
Uvědomme si, že pro otevřenou množinu P a libovolnou množinu Q
topologického prostoru platí
(7) Pncl(Q)ccl(PnQ).
Proto v našem případě je
And (B) c cl {A n B),
a tedy
Anr(B)c r(/4n5)c d(AnB).
r (B) je otevřená množina a opakovaným užitím (7) dostaneme cl (A) n r (B) c
cd(inr (B)) cd(/4n £), odkud plyne
r(yl)nr(B)c v(AnB).
333

IV
1.26
Z právě dokázané rovnosti (6) plyne, že průnik konečného počtu regulárních
otevřených množin je opět regulární otevřená množina. Naproti tomu průnik
nekonečného systému regulárních otevřených množin nemusí být regulární otevřená
množina. Každý otevřený interval na reálné přímce je regulární otevřená množina,
ale průnik všech otevřených intervalů obsahujících nulu nepatří do RO (R).
1.27 Věta. Regulární otevřené množiny RO (X) neprázdného topologického prostoru
X s operacemi
A A B= AnB, A V B = v(AuB),
-A = int(X - A)
a konstantami 0 = 0, 1 = X tvoří úplnou Booleovu algebru. Navíc, je-li
S c RO (X), pak
AS-r(ns), \/S = r({JS).
Důkaz. Víme, že zvolené operace dávají z regulárních otevřených množin opět
regulární otevřené množiny. Komutativita průseku a spojení plyne z komutativity
množinových operací. Je zřejmé, že 0 =f= 1 a že 0 i 1 jsou neutrální. Je-li A e RO {X\
potom
A A -A = Anint(X - A) = 0
a
A V -A = v(Auint{X - A)) = X,
protože na pravé straně je regularizace husté množiny.
Ověříme distributivní zákony. Nechť A, B, Ce RO {X\ Pro množinové operace
platí
A n(B u C) = (A n B)v {A n C).
Na obě strany rovnosti aplikujeme regularizaci a užijeme (6). Pro levou stranu
dostaneme
r(An(BuC)) = r(A)nv(BuC) = A A (B V C)
a pro pravou stranu
T({AnB)u(AnC)) = {A A B) V (A A C),
tedy platí
A A (B V C) = (A A B) V (A A C).
Druhý distributivní zákon lze ověřit stejným způsobem.
Zbývá ověřit úplnost. Víme, že průsek je totožný s průnikem, to znamená, že
kanonické uspořádání je množinová inkluze. Nechť S c= RO (X) a položme A =
= r(f]S\ Množina A je regulární otevřená a pro každé BeS je A ^ r(B) = B,
334

1.29
Booleovské operace
IV
A je tedy minorantou systému S. Nechť C € RO (X) je libovolná minoranta
systému S. Potom C ^ f]S a z monotónnosti regularizace plyne C ^ A. Tedy /l je
největší minorantou množiny S, to znamená, že A = /\S. Podobně se ukáže, že
VS = r (IJS). RO (X) je tedy úplná Booleova algebra.
Všimněme si, že pro každý topologický prostor platí CO (X) ^ RO (X) a navíc
je algebra obojetných množin podalgebrou algebry RO (X).
1.28 Definice. Topologický prostor X se nazývá extremálně nesouvislí;, jestliže
CO (X) = RO (X).
Prostor je extremálně nesouvislý, právě když uzávěr libovolné otevřené množiny
je otevřená, tedy obojetná množina. V extremálně nesouvislých prostorech je
Booleova algebra regulárních otevřených množin algebrou množin.
V § 2 uvidíme, že každá úplná Booleova algebra je izomorfní s algebrou
regulárních otevřených množin nějakého topologického prostoru. Prostor /?co všech ultra-
filtrů na přirozených číslech je nejjednodušším příkladem nekonečného
kompaktního extremálně nesouvislého Hausdorffova prostoru.
1.29 Příklady. V následujících příkladech předpokládáme, že X je neprázdný
topologický prostor.
(a) Borelovské množiny. Nejmenší a-algebra podmnožin prostoru X obsahující
všechny otevřené množiny se nazývá cr-algebra borelovských množin a značíme ji
Borel (X). Její prvky nazýváme borelovské množiny.
To znamená, že borelovské množiny získáme z otevřených množin použitím
libovolného počtu operací doplňku, sjednocení spočetně mnoha a průniku spočetně
mnoha množin.
Všechny uzavřené množiny jsou borelovské a Borel (X) je také nejmenší cr-algebrou,
která je obsahuje.
Hierarchie borelovských množin (Lebesgue, 1905). Definujeme podmnožiny Za
a i7a potence &(X) prostoru X:
Z0 je množina všech otevřených množin,
no je množina všech uzavřených množin, tedy doplňků množin ze £0,
pro a > 0
Za je množina všech sjednocení nejvýše spočetných podsystémů množiny [j IIp,
Fla je množina všech průniků nejvýše spočetných podsystémů množiny \J Zfi.
ft<z
Prvky ze Za a 77^ se nazývají ra-množiny a J7a-množiny. Místo Zx, 771 se používá
také značení Fa, Gó. Tedy Gd-množina je průnikem spočetně mnoha otevřených
množin.
Základní inkluze mezi borelovskými třídami znázorňují šipky v následujícím
diagramu:
335

IV
1.29
X X X X
Je-li X metrický prostor, platí také TI0 ^ Ul a I0 c Ij, protože každou
uzavřenou množinu A získáme jako průnik otevřených l/rc-okolí množiny A.
První nespočetné ordinální číslo cúy je regulární kardinál. Proto pro libovolný
spočetný systém
CL<Oi\
existuje P < cú1 takové, že S c ílfi. To znamená, že
Borel(X)= (J J7, = |J V
(T-algebra borelovských množin slouží jako přirozený definiční obor a-aditivních
měr na topologickém prostoru. Takovým mírám se říká borelovské míry.
Triviálním příkladem borelovské míry je dvouhodnotová míra určená bodem
z příkladu 1.8.22. Důležitým příkladem je Lebesgueova míra na IR.
(b) Hubené množiny, množiny s Baireovou vlastností. Každá podmnožina řídké
množiny i sjednocení dvou řídkých množin jsou řídké množiny. Řídké množiny
tvoří ideál na X, protože celý prostor X není řídká množina v X.
Říkáme, že A c X je hubená množina (podle staršího názvu množina první
kategorie), jestliže je sjednocením nejvýše spočetně mnoha řídkých množin.
Je zřejmé, že každá řídká množina je hubená a že sjednocení spočetně mnoha
hubených množin je opět hubená množina. Pokud celý prostor není sjednocením
spočetně mnoha řídkých množin, tvoří hubené množiny cr-úplný ideál na X.
Říkáme, že A c X má Baireovu vlastnost, jestliže existuje otevřená množina G
taková, že množiny A — G i G — A jsou hubené. Tedy množina má Baireovu
vlastnost, liší-li se od otevřené množiny o hubenou množinu.
Ukážeme, že množiny s Baireovou vlastností tvoři cr-algebru podmnožin prostoru
X. Budeme ji značit Baire (X). Nejprve dokážeme, že doplněk X — A má Baireovu
vlastnost, jakmile A e Baire (X). Nechť G je otevřená množina, která se liší od A
o hubenou množinu. Položme G0 = int (X — G) = X — cl G. Protože
(X - A) - G0 c cl(G) - A^(G - 4)u(cl(G) - G),
G0 - (X - A) c A - cl (G) c A - G
a cl (G) - G je řídká množina, X - A se liší od G0 o hubenou množinu. Tedy
X - A e Baire (X).
Zbývá ukázat, že množiny s Baireovou vlastností jsou uzavřeny na sjednocení
spočetných systémů. Předpokládejme, že pro každé přirozené n se An liší od otevřené
množiny Gn o hubenou množinu. Položme A = \jAn, G = [JGn. Protože
336

1.29
Booleovské operace
IV
A-Gc\J(Án-GH),
G-Ac: U(G„ - An)
a na pravých stranách jsou spočetná sjednocení hubených množin, tedy také hubené
množiny, má množina A Baireovu vlastnost.
Tím jsme dokázali, že systém Baire (X) je cr-algebrou množin. Navíc Baire (X)
je nejmenší cr-algebrou podmnožin prostoru X, která obsahuje všechny otevřené
a hubené množiny v X. To znamená, že
(8) Borel(X)c: Baire (X).
(c) Baireovské prostory, Baireova věta. Prostor X se nazývá baireovský, jestliže
žádná neprázdná otevřená množina A ^ X není hubená.
Ekvivalentní podmínka: průnik spočetně mnoha otevřených hustých množin
prostoru X je hustý v X.
Baireova věta. Úplné metrické prostory i kompaktní topologické prostory jsou
baireovské.
Baireova věta patří do zlatého fondu matematiky a její důkaz čtenář nalezne
v každé učebnici funkcionální analýzy nebo topologie. Poznamenejme, že důkaz
Baireovy věty pro separabilní úplné metrické prostory nepotřebuje žádnou formu
axiomu výběru.
(d) Ultrafiltry na co a borelovské množiny. Ztotožníme-li podmnožiny přirozených
čísel s jejich charakteristickými funkcemi, ztotožníme ^(co) a w2. Tím na množinu
^((o) přeneseme topologii Cantorova diskontinua D. Každý ultrafiltr na co je
nějaká podmnožina prostoru D a ptáme se, kdy má Baireovu vlastnost.
Je-li fy triviální ultrafiltr nad něco, pak °Tl = {fe032:f(n) = 1} je obojetná
množina báze S z příkladu 1.2(f). Vidíme, že nejmenší cr-algebra podmnožin
prostoru D, která obsahuje všechny triviální ultrafiltry, obsahuje všechny otevřené
množiny, a je proto rovna algebře borelovských množin.
Použijeme Baireovu větu a ukážeme, že žádný netriviální ultrafiltr na co nemá
Baireovu vlastnost. Z toho plyne podle (8), že není také borelovskou množinou.
Uvažujme libovolnou obojetnou množinu V{f) z báze S určenou zobrazením /
konečné množiny K ^ co do {0, 1}. Definujme zobrazení (pf: D -> D tak, že pokud
h $ V(f\ pak (pf(h) = h, a pokud h e V(f), pak <pf(h) (n) je opačná hodnota k h(n)
pro ne co — K a (pf(h) (n) = h(n) pro ne K.
Je zřejmé, že q>f je homeomorfismus prostoru D, a protože °U je uniformní, pro
duální ideál fy* platí
<Pf[V{f)nfy*] = V{f)nfy .
Homeomorfismus převádí řídké množiny na řídké, a tedy i hubené množiny na
hubené. Podle Baireovy věty V(f) není hubená a jelikož
337

IV
1.29
V(f) = (V{f)"*)v(V(f)n**)9
není hubená ani množina V(f) n fy, ani V(f) n fy*.
Předpokládejme, že ultrafiltr fy má Baireovu vlastnost. Nechť G je otevřená
množina lišící se od fy o hubenou množinu. Víme, že fy = V(0) n fy není hubená
množina, proto G je neprázdná. Vezměme libovolnou množinu V(f) c G z báze.
Jelikož G - fy 2 ^(/) - <# = F(/) n #*, dostáváme, že K(/) n ^* je hubená
množina, a to je spor. Dokázali jsme, že žádný uniformní ultrafiltr na co není
množinou s Baireovou vlastností v Cantorově diskontinuu.
338

§ 2 Strukturální vlastností Booleových algeber
Nejprve se seznámíme se speciálními typy podmnožin Booleových algeber, jako
jsou množiny disjunktních prvků, rozklady jednotky, husté množiny, množiny atomů
a množiny generátorů. Ukážeme, že libovolná uspořádaná množina určuje
jednoznačně úplnou Booleovu algebru. Budeme se zabývat obecnějším pojmem
distributivnosti Booleových algeber, který souvisí se zjemňováním rozkladů. Kolapsující
algebry C((o, x) jsou příkladem úplných algeber, které mají pouze spočetnou
množinu úplných generátorů. Kolapsující algebry jsou navíc univerzální v tom smyslu,
že každou Booleovu algebru s hustou množinou mohutnosti nejvýše x lze úplně
vnořit do algebry C(*a, x). Seznámíme se s konstrukcemi nových algeber pomocí
součinu, volného součinu a faktorizace. V závěru zavedeme pojmy ideálu a ultra-
filtru pro Booleovy algebry a připomeneme klasické výsledky M. H. Stonea o
reprezentaci Booleových algeber algebrami množin a o Stoneově dualitě mezi Booleo-
vými algebrami a booleovskými topologickými prostory.
V dalším budou písmena A, fí, C vždy označovat Booleovy algebry.
2.1 Faktory. Pro nenulový prvek b g B označíme B \ b množinu
{xeB:x < b}
všech prvků algebry J3, které jsou menší nebo rovny b. Množina B \ b spolu se
zúžením operací A, V a operací komplementu - b definovanou vztahem — bx = b — x
a konstantami 0 a b je také Booleova algebra. Nazýváme ji faktorem nebo zúžením
algebry B a značíme stejně jako její univerzum B \ b.
2.2 Disjunkrnost.
(i) Říkáme, že prvky x, y £ B jsou disjunktní, a značíme x 1 y, jestliže x A y — 0.
Nejsou-li prvky x, y disjunktní, říkáme, že jsou kompatibilní.
(ii) Říkáme, že X c B je množina disjunktních prvků, jestliže všechny prvky z X
jsou nenulové a po dvou disjunktní.
(iii) Množina P disjunktních prvků je rozkladem prvku beB, jestliže b = V^-
Podle lemmatu 1.9 platí
(1) x$y-x-^0.
339

IV
2.3
Odtud plyne důležitý vztah (2) mezi kanonickým uspořádáním a disjunktností:
(2) x ^ y, právě když existuje nenulový prvek z < x disjunktní s y.
Systém všech množin disjunktních prvků algebry B je uspořádán inkluzí a splňuje
podmínky principu maximality. Odtud plyne, že každou množinu disjunktních prvků
lze rozšířit do maximální. Přitom platí
2.3 Lemma. Množina P £ B je maximální množina disjunktních prvků, právě když P
je rozkladem jednotkového prvku lB.
Důkaz. Nechť P je maximální množina disjunktních prvků. Ukážeme, že sup P =
= \/P = 1. Nechť ueB je libovolná majoranta množiny P. Kdyby u + 1, Pa^
komplement — u je nenulový a disjunktní se všemi prvky z P, to je spor s maximali-
tou množiny P. Tedy jednotkový prvek je jediná majoranta množiny P a \/P = *■
Naopak předpokládejme, že \^P = 1. Stačí ukázat, že každé nenulové u je
kompatibilní s nějakým prvkem z P. Nechť u =)= 0. Potom — u =(= 1, a proto prvek
— u není majorantou množiny P. Tedy pro nějaké x e P platí x ^ -u a podle (1)
dostáváme x A u 4= 0 a u je kompatibilní s x.
Ve shodě s obdobnou definicí pro uspořádané množiny (III. 1.22) Suslinovo číslo
c (B) Booleovy algebry B je supremum mohutností všech množin disjunktních prvků
algebry B.
2.4 Definice. Saturovanost algebry B je nejmenší kardinální číslo x takové, že
v algebře B neexistuje množina disjunktních prvků, která má mohutnost x. Tedy
sat (B) = min {x: pro každou množinu X c B disjunktních prvků je |X| < x).
Je zřejmé, že c(É) < sat(B). Mohou nastat dva případy. Buď nějaká množina
disjunktních prvků má mohutnost Suslinova čísla c(B), pak sat (B) — (c(B)) + ,
nebo žádná množina disjunktních prvků nenabývá mohutnosti c (B), potom sat (B) =
= c(B). Pro nekonečné algebry platí následující tvrzení, které uvedeme bez důkazu.
2.5 Věta (Erdos, Tarski 1943). Saturovanost každé nekonečné Booleovy algebry je
nespočetný regulární kardinál
Z této věty plyne, že rovnost sat (B) = c (b) může nastat, jen když sat (B) je slabě
nedosažitelný kardinál. V příkladu 2.25(h) ukážeme, že pro každý slabě nedosažitelný
kardinál x existuje Booleova algebra B taková, že sat (B) — x.
2.6 Definice. Atomy.
(i) Říkáme, že prvek a e B je atom, je-li a =f= 0 a pro žádné b e B neplatí
0 < b < a. Množinu všech atomů algebry B značíme At (B).
(ii) Je-li At (B) prázdná množina, říkáme, že B je bez atomů.
(iii) Říkáme, že algebra B je atomární, jestliže pod každým nenulovým prvkem
existuje nějaký atom.
340

2.11
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
Je zřejmé, že At(B) je množina disjunktních prvků. Uvědomme si, že algebra,
která není atomární, ještě nemusí být bez atomů. Booleova algebra B je atomární,
právě když množina At(£) je rozkladem jednotkového prvku. Snadno se dokáže:
2.7 Lemma. Pro každé aeB jsou následující podmínky ekvivalentní:
(i) a je atom,
(ii) B\a je dvouprvková algebra,
(iii) pro každé be B platí a < b nebo a A b — 0.
2.8 Konečné Booleovy algebry jsou atomární. Předpokládejme, že B není atomární,
pak existuje nenulové b e B, pod kterým není žádný atom. Můžeme vybrat
nekonečnou klesající posloupnost b = b0 > bl > ... prvků menších než b. Odtud plyne,
že neatomární algebra je vždy nekonečná a že každá konečná algebra je atomární.
Předpokládejme, že B je atomární algebra. Jelikož pro různá x,yeB je symetrická
diference x A y nenulová, každý atom, který pod ní leží, je právě pod jedním
z prvků x, y a s druhým je disjunktní. To znamená, že zobrazení /; které každému
be B přiřazuje množinu
(3) f{b)={aeAt{B):a<b},
je prosté zobrazení atomární Booleovy algebry B do potenční množiny ^(At (B)).
Navíc pro každé beB platí b = \/f{b).
2.9 Věta. Je-li B nekonečná Booleova algebra, potom v B existuje
(i) nekonečná klesající posloupnost,
(ii) nekonečná množina disjunktních prvků, tedy sat (B) > co1.
Důkaz. Nejprve předpokládáme, že B je atomární. Potom At(#) je nekonečná
množina disjunktních prvků, tedy platí (ii). Vybereme-li prostou posloupnost
atomů (an:n < w>, stačí pro každé přirozené i položit bt = —\/{an:n < i] a
dostaneme nekonečnou klesající posloupnost <6ř: i < co>. Tedy platí (i).
Nyní předpokládáme, že B není atomární. Z 2.8 víme, že potom existuje nekonečná
klesající posloupnost (bn:n < co}. Položíme-li an = bn - bn+,, potom {an\n < co]
je nekonečná množina disjunktních prvků.
2.10 Husté množiny. Říkáme, že množina H ^ B nenulových prvků je hustá v B,
jestliže pro každé nenulové b g B existuje x e H takové, že x < b.
Je zřejmé, že pro každou algebru B je množina B - {0} hustá v B. Každá hustá
množina musí obsahovat všechny atomy. Algebra B je atomární, právě když množina
všech jejích atomů je hustá v B.
2.11 Lemma.Je-li H hustá množina v B, potom pro libovolné beB platí
(i) b = \/{xgH:x < b},
(ii) existuje rozklad prvku b, který sestává jen z prvků množiny H.
Důkaz. Pro zvolené beB položme X = {xeH.x < b}. Je-li b = 0, potom X
je prázdná množina, tedy sup X je nejmenší prvek 0 v B. Nechť b =}= 0. Potom
341

IV
2.11
X =(= O a je zřejmé, že b je majorantou množiny X. Potřebujeme ověřit, že pro
libovolnou majorantu c množiny X platí b < c. V opačném případě je b $ c
a podle (2) existuje u e H takové, že u < b, tedy ueX, a současně je u disjunktní
s c, spor. Stejným způsobem se dokáže, že každá maximální množina disjunktních
prvků z X je rozkladem prvku b.
Právě dokázané tvrzení naznačuje, že každá hustá množina spolu s kanonickým
uspořádáním odráží strukturu celé algebry.
Důležitá vlastnost uspořádání husté množiny je separovanost. Je-li H hustá
podmnožina algebry B, z (2) plyne, že pro libovolné x,yeH platí
(4) x^-(]zGH)(:<x&2ly),
kde zly znamená disjunktnost v uspořádání </í, <>. Uvědomme si, že (4) je
vyjádřena jen pomocí uspořádání množiny H.
2.12 Definice. Separované uspořádání. Říkáme, že uspořádání < na neprázdné
množině H je separované, jestliže pro každé x, yeH platí (4).
Víme, že kanonické uspořádání je separované na každé husté podmnožině Booleo-
vy algebry. Ukážeme v 2.17, že každá množina separované uspořádaná je hustou
množinou v nějaké jednoznačně určené úplné Booleově algebře. Nejprve
připomeneme důležité pojmy vnoření a izomorfísmu.
2.13 Definice. Úplné vnoření, izomorfismus.
(i) Říkáme, že zobrazeni f\ A-* B je vnořeni algebry A do algebry B, jestliže /
je prosté zobrazení a zachovává konečné booleovské operace: pro libovolné
x,ysA platí f(x A >•) = f(x) A f(y) a /(-x) = -/(x).
(ii) Jestliže navíc platí
/(M)= A/M
pro každou množinu X c A, která má infimum ^\X v A, říkáme, že / je úplné
vnoření A do B.
(iii) Je-li f: A -> B vnoření a f[A~\ = B, říkáme, že /je izomorfismus A na B.
Algebry A z B jsou izomorfní, značíme A = B, jestliže existuje izomorfismus A
na B.
Je zřejmé, že vnoření zachovává kanonické uspořádání a nejmenší a největší prvek.
Izomorfismus algebry A na B je také úplným vnořením. Jsou-li algebry A a B
izomorfní a je-li jedna z nich úplná nebo x-úplná, totéž platí pro druhou algebru.
2.14 Atomární algebry a algebry množin. Je-li B atomární Booleova algebra, snadno
se ověří, že zobrazení (3) z 2.8 je úplné vnoření algebry B do potenční algebry
^(At (B)). Každá atomární algebra je tedy izomorfní s nějakou algebrou množin.
Je-li B navíc konečná, pak je izomorfní s potenční algebrou &(n) pro nějaké přirozené
n > 0. Mohutnosti konečných algeber jsou právě všechny mocniny 2n pro n > 0.
342

2.16
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
Ukážeme, že úplná Booleova algebra je jednoznačně určená libovolnou hustou
podmnožinou a jejím kanonickým uspořádáním.
2.15 Věta. Jsou-li Bi, B2 úplné Booleovy algebry takové, že nějaká hustá podmnožina
Hl c Bl je izomorfní s nějakou hustou podmnožinou H2 c B2 vzhledem ke
kanonickým uspořádáním, potom algebry B{, B2 jsou izomorfní.
Důkaz. Předpokládáme, že j: Hx -» H2 je izomorílsmus hustých podmnožin
vzhledem ke kanonickým uspořádáním <x a <2. Ukážeme, že existuje dokonce jediný
izomorfismus J algebry Bx na B2, který rozšiřuje zobrazení;. Pro libovolné xe Bl
definujme
(5) J{x) = V1\j{y)-y^Hl&y^lx}.
Z úplnosti algeber plyne, že J je zobrazení By do B2. Nejprve ověříme, že J rozšiřuje
zobrazení). Pro libovolné xeHl máme J(x) = \/2{ze H2: z <2j(x)}. Podle
2.1 l(i) je spojení rovno j(x), a tedy J(x) — j(x). Ukážeme, že J je zobrazení na celou
algebru B2. Využijeme toho, že izomorfismus j zachovává disjunktnost. Mějme
libovolné zeB2 a položme x = \/i{yeHl:j{y) <2z). Je zřejmé, že z <2J(x).
Není možné, aby platilo J(x) ^2z. \ opačném případě existuje z0 e H2 takové,
že zQ <2J(x) a z0 je disjunktní se z. Položíme-li x0 =j~l(z0), potom x0eHl
a x0 je disjunktní sx.Z (5) plyne, že J(x) je disjunktní s j(x0) = z0, a to je spor,
protože 0 41 z0 <2 J(x). Ověřili jsme, že J(x) = z. Podobně lze ukázat, že J je
prosté zobrazení. Dále z (5) plyne, že zobrazení J zachovává kanonická uspořádání.
To znamená, že J je izomorfismus algeber Bl a B2. Přitom každý izomorfismus
J:BÍ -► B2, který rozšiřuje zobrazení ;, musí splňovat (5). Odtud plyne
jednoznačnost izomorfismu J.
2.16 Uspořádané množiny a úplné Booleovy algebry. Ukážeme, že každá neprázdná
uspořádaná množina jednoznačně určuje úplnou Booleovu algebru. To vede ke
snadnějšímu popisu různých Booleových algeber. Stačí sestrojit vhodnou uspořádanou
množinu, která pak určuje celou strukturu odpovídající Booleovy algebry. Je-li
výchozí množina uspořádána separované, je navíc izomorfní s nějakou hustou
podmnožinou odpovídající Booleovy algebry.
Předpokládáme, že <£), < > je neprázdná uspořádaná množina. Zajímají nás dolní
podmnožiny množiny Q. Je zřejmé, že sjednocení i průnik libovolného systému
dolních podmnožin je opět dolní podmnožina. To znamená, že systém všech
dolních podmnožin je topologie otevřených množin na množině Q. Nazýváme ji
topologií dolních podmnožin.
Regulární otevřené množiny prostoru Q s topologií dolních podmnožin tvoří,
podle věty 1.27, úplnou Booleovu algebru B = RO (Q). Říkáme, že úplná Booleova
algebra B je určena uspořádanou množinou <<2, < >.
Uvědomme si, že podmnožina X nějakého topologického prostoru je regulární
otevřená, právě když je otevřená a současně platí: je-li nějaké okolí bodu p částí
uzávěru cl (X) množiny X, potom peX. Pro každý bod p prostoru Q s topologií
343

IV
2.16
dolních podmnožin je množina («-,p] nejmenším okolím bodu p. Odtud plyne, že
X c Q je regulární otevřená množina v Q, právě když X je dolní podmnožinou
a současně platí
{VpeQ)[peX~(Vq<p)(Xn(<-,q]^0)].
Následující věta charakterizuje úplnou Booleovu algebru určenou uspořádanou
množinou.
2.17 Věta. Nechť Q je neprázdná uspořádaná množina. Potom existuje úplná Booleova
algebra B a zobrazení j:Q-> B takové, že platí
(i) j\Q\ je hustá množina v B,
(ii) j zachovává uspořádání, je-li p < q v Q, pak j(p) < j(q) v B,
(iii) j zachovává disjunktnost, je-li p ± q v Q, pak j(p) J_ j(q) v B.
Podmínky (í)—(íii) určují úplnou algebru B jednoznačné až na izomorfismus. Navíc,
je-li Q separované uspořádaná množina, potom zobrazení j je prosté, a tedy je izomorfním
vnořením Q na hustou množinu v B.
Důkaz. Nejprve dokážeme větu pro případ, že Q je separované uspořádání.
Uvažujme úplnou Booleovu algebru B = RO (Q) určenou uspořádanou množinou Q.
Dokážeme o ní, že splňuje podmínky věty. Snadno se nahlédne, že separovanost
uspořádání Q je ekvivalentní s tím, že pro každé peQ je (<-,p] regulární otevřená
množina. Odtud plyne, že položíme-li j(p) = (<-,p] pro každé peQ, potom j
je prosté zobrazení množiny Q do B. Každé j(p) je neprázdná množina, a tedy
nenulový prvek algebry B. Je-li X eB a X =f= 0, pak pro každé psX platí j(p) c X.
To znamená, že j[Q] je hustá množina v B. Je zřejmé, že zobrazení j je izomorfní
vnoření Q do B, proto platí (ii) a (iii). Dále dokážeme jednoznačnost algebry B.
Uvažujme libovolnou úplnou Booleovu algebru C a zobrazení k:Q~* C takové,
že vyhovují podmínkám (i)-^iii). Ověříme, že k je prosté zobrazení. Vezměme různá
p,qsQ, můžeme předpokládat, že p $ q. Ze separovanosti víme, že existuje r < p
disjunktní s q. Pak k(r) < k(p) a k(r) je disjunktní s k(q) v algebře C. Odtud plyne, že
k(p) $ k(q). Tedy k je dokonce izomorfní vnoření Q na hustou podmnožinu algebry
C. Jelikož ; je izomorfní vnoření Q na hustou množinu algebry B a k je izomorfní
vnoření Q na hustou množinu algebry C, obě algebry mají izomorfní husté množiny
a podle věty 2.15 jsou izomorfní. Dokonce existuje izomorfismus f\B-+C takový,
že složené zobrazení jj = k.
V případě, že Q není separované uspořádaná množina, postupujeme obdobně.
Místo množiny (+-, /?] v definici zobrazení j je nutno vzít její regularizaci (1.23).
2.18 Definice. Zúplnění. Říkáme, že úplná Booleova algebra B je zúplněním algebry
A a píšeme B = cm (A), jestliže A je podalgebra algebry B a množina A — {0}
je hustá v B.
Je-li B zúplnění algebry A, snadno se ověří, že identické zobrazení i: A -► B je
úplné vnoření A do B.
Následující tvrzení je důsledkem věty 2.17.
344

2.21
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
2.19 Věta. Každá Booleova algebra A má zúplnění cm (A\ toto zúplnění je (až na
izomorfismus) jednoznačně určeno.
Je-li A úplná Booleova algebra, je zřejmé, že cm (á) = A. Poznamenejme, že pro
libovolnou Booleovu algebru A dává Mac Neillova konstrukce, uvedená v 1.5.24,
také zúplnění cm (A).
2.20 Generátory. Průnik libovolného neprázdného systému podalgeber Booleovy
algebry B je opět podalgebra algebry B. Odtud plyne, že pro libovolnou množinu
A = (]{C:X c C a C je podalgebra B}
nejmenší podalgebra, která obsahuje všechny prvky z X. Říkáme, že algebra A je
generována množinou X nebo že X je množina generátorů algebry A.
Podobně, je-li B úplná Booleova algebra, můžeme se omezit jen na její úplné
podalgebry. Pro libovolnou množinu X c B je
A = f]{C\ X c C a C je úplná podalgebra B]
nejmenší úplná podalgebra obsahující X. Říkáme, že A je úplně generovaná
množinou X nebo že X je množina úplných generátorů úplné algebry A.
Podle 2.8 je každá hustá podmnožina H c B množinou úplných generátorů
úplné algebry B. Uvažujeme-li podalgebru C c B, která je pouze generovaná
množinou Jí, potom C nemusí být úplná. Platí vsak cm (C) = B. Tím, že jsme
dokázali, že libovolná uspořádaná množina Q jednoznačně určuje úplnou Booleovu
algebru B, ukázali jsme také, že Q jednoznačně určuje (ne nutně úplnou) Booleovu
algebru C, generovanou množinou j\Q\ (viz 2.17).
2.21 Mohutnost algebry a počet generátorů. Víme-li, že množina X ?= B generuje
algebru 5, můžeme odhadnout mohutnost algebry B z velikosti množiny X. Je-li X
nekonečná, podle III.2.37 je \B\ = \X\.
Podalgebra A c B generovaná množinou X c B sestává právě z těch prvků
xeB, které se dají vyjádřit ve tvaru
(6) x=VA(/Wh,
feF yeY
kde Yje nějaká konečná podmnožina X, F c= y{ — 1,1} a (— l)x = -x, (l) x = x.
Je zřejmé, že každý prvek xeB tvaru (6) patří do A. K tomu, že také každý prvek
a e A lze vyjádřit ve tvaru (6), stačí ověřit, že množina všech prvků tvaru (6) tvoří
podalgebru, tedy že je uzavřená na operaci průseku a komplementu.
Je-li X konečná množina generátorů algebry 5, potom B je konečná, má nejvýše
21*1 atomů a |S| < 22'*1.
Podobný odhad mohutnosti úplné Booleovy algebry z mohutnosti množiny
úplných generátorů není možný. Existují libovolně velké úplné algebry, například
C(co, x) z 2.25(e), které mají spočetné množiny úplných generátorů.
345

IV
2.22
2.22 Součin. Kartézský součin Bx x B2 Booleových algeber Bl9 B2 s
booleovskými operacemi definovanými po složkách je opět Booleova algebra. Nazýváme ji
součinem algeber Bl9 B2 a značíme Bi x B2.
Je-li B = Bi x B2, potom prvky u{ = <11,02> a u2 = <01,12> tvoří rozklad
jednotkového prvku <11}12> v B. Pro každé i— 1,2 je faktor B | ut- izomorfní
s algebrou B,-. Izomorfísmus jx: Bl -+ B \ ui je definován vztahem j{(x) = <x,02>
pro každé xeB, a podobně se definuje izomorfismus j2. Přitom libovolný prvek
(x,r)efi je spojením j{(x) V j2(y). Součin algeber B,, B2 tedy vznikne položením
algeber B: a B2 vedle sebe.
Uvažujme úplnou Booleovu algebru B, která má nějaké atomy, ale není atomární.
Potom její prvek u - \Jk\{B) je různý od 0 i 1 a B = B | u x B | (-u). To
znamená, že B je součinem atomární algebry a algebry bez atomů.
2.23 Volný součin. Pro Booleovu algebru B označíme B + množinu všech jejích
nenulových prvků. Mějme dány algebry B^ B2. Říkáme, že algebra C je volným
součinem algeber Blt B2 a píšeme
C = B1OB2,
jestliže pro každé i = 1,2 existuje vnoření ji algebry B, do C tak, že platí
(i) pro každé xgBj\ yeB2 je j^x) A j2(y) 4= 0 v C,
(ii) množina ^[Bj u;2[B2] generuje algebru C.
Z podmínek (i) a (ii) a vyjádření (6) plyne, že množina
1/iM A;2(ý):xeB; &yefl2'}
je hustá v C, a proto je volný součin algeber BX,B2 určen jednoznačně až na
izomorfismus. Navíc zobrazení y{- pro i = 1, 2 je úplné vnořeni do C. Poznamenejme,
že volný součin C úplných Booleových algeber BX,B2 nemusí být úplná algebra.
Proto je volný součin ve třídě úplných Booleových algeber definován jako zúplnění
algebry C.
2.24 Konstrukce volného součinu. Doposud jsme nedokázali, že volný součin
libovolných dvou algeber existuje. Mějme algebry Bp B2 a uvažujme množiny
Bl, B2 a jejich kanonická uspořádání <p <2. Snadno se nahlédne, že kartézský
součin B* x B2 je separované uspořádaný relací <, kde
<x1,y1> < <x2,y2>^->x1 <lx2Scyl <2y2.
Nechť B je úplná Booleova algebra určená uspořádanou množinou <B^ x B2, <>
a nechť C c B je podalgebra generovaná množinou B^ x B2. Víme, že B je
zúplnění algebry C. Definujme zobrazení jl: B^ -> C tak, že ^(Oj = 0 a ^(x) =
= <x, 12> pro xeBj. Podobně zobrazení j2'B2-+C se definuje tak, že
72(^2) = 0 a LCv) = Oi>y> pro yeBj. Snadno se ověří, že pro libovolné
xeBJ\ yeB2 v algebře C platí <x,y} = j\(x) Kj2(y) a že;,, je vnoření Bt do C.
Odtud plyne, že C je volný součin algeber Bl a B2 spolu se zobrazeními j1,j2-
346

2.25
Strukturální vlastnosti Booleouých algeber
IV
2.25 Příklady, (a) Pro libovolné množiny /, J označime F(l,j) množinu všech
konečných funkcí / takových, že Dom (/) e / a Rng (/) c J, uspořádanou
obrácenou inkluzi. Tedy f < g+->f ^ g.
Prázdná množina vždy leží v F(/, J). Je-li množina J alespoň dvouprvková, potom
F(I,J) je separované uspořádání. Úplnou Booleovu algebru určenou množinou
F(I,J) značíme C(l,J). Pokud J = {0,1}, píšeme krátce C(í) místo C(l, 2).
(b) Algebry C(a). Pro libovolný ordinál a konečné funkce /ef(a,2) určují obo-
jetnou bázi topologického prostoru a2. Odtud plyne, že úplná Booleova algebra
C(a) je izomorfní s algebrou regulárních otevřených množin RO (a2) a ta je
zúplněním algebry obojetných množin CO (a2).
C(0) je triviální dvouprvková algebra. Pro přirozené n je algebra C(n) konečná
a má 22" prvků. Pro nekonečné a algebra C(a) nemá žádné atomy. Podle III. 1.24
je Suslinovo číslo c(F(a, 2)) = co, proto sat(C(a)) = C0j. Speciálně C(co) je algebra
regulárních otevřených množin Cantorova diskontinua.
(c) Podalgebry algebry C(a). Uvažujme pevné a. Je-li J ^ a, potom F(/, 2) ^
c F(a, 2) a identické zobrazení k: F(/, 2) -> F(a, 2) lze jednoznačně rozšířit na
úplné vnoření K algebry C(l) do C(a). Přitom obraz jFC[C(/)] sestává ze všech prvků
u 6 C(a), které se v C(a) dají vyjádřit jako u = V^ Pro nějaké X c f(/, 2).
Ztotožníme-li C(/) s jK[C(/)], pak C(l) je úplná podalgebra algebry C(a). Speciálně
pro /?, >' < a jsou C(/?), C(y) úplné podalgebry algebry C(a) a z /? < y plyne
<#) «= C(y).
Ukážeme, že pokud je kofmalita ordinálu a nespočetná, potom C(a) =
= \J{C{P): P < a}, to znamená, že C(a) je sjednocením rostoucího řetězce úplných
podalgeber. Nechť ueC(a). Podle 2.1l(ii) existuje množina X c F(a, 2)
disjunktních prvků taková, že u = \/X. Jelikož sat (C(a)) < co1} množina X je nejvýše
spočetná. Odtud plyne, že mohutnost množiny D = \J{Dom(f):fe X] je nejvýše
co, a proto je omezená v a. To znamená, že pro nějaké fi < a je D c /?, a tedy
Xc=F(ft2) a ueC(P).
(d) C(a) jíi/co yo/wý součin podalgeber. Nechť fí < a. Přiřadíme-li každé funkci
feF(P,2) a 0eF(a-j3,2) funkci /u^, dostáváme izomorfismus kartézského
součinu F(j5, 2) x F(a — /?, 2) na uspořádanou množinu F(a, 2). Není těžké ověřit,
že C(a) je zúplněním volného součinu podalgeber C(j5) a C(a - /?).
(e) Kolapsující algebry. Pro libovolný nekonečný kardinál x úplnou Booleovu
algebru C(co,x) určenou uspořádanou množinou F(co, x) nazýváme kolapsující
algebrou. To proto, že každé generické rozšíření určené algebrou C(co, x) přidává
prosté zobrazení kardinálu x na co, a tím kolapsuje kardinál x, který se v rozšíření
stává spočetným ordinálem. Odtud také pochází myšlenka důkazu následujícího
tvrzení (Solovay 1966).
Každá kolapsující algebra má spočetnou množinu úplných generátorů.
Důkaz. Je zřejmé, že C(co, x) je izomorfní s algebrou RO (wx), kde "x je topologický
součin co exemplářů množiny x s diskrétní topologií. Pro libovolné m < co a a < x
položme
347

IV
2.25
Každá množina b(m, a) je obojetná a jejich konečné průniky tvoří obojetnou bázi
prostoru wx. Odtud plyne, že každá regulárně otevřená množina je spojením všech
obojetných množin z báze, které obsahuje. To znamená, že {b(m, a): m < <w, a < x]
je systém úplných generátorů algebry RO (^x), má však mohutnost x. Nyní pro
libovolná přirozená man definuieme
a(m,n)={fe">y.:f(m)<f(n)}.
Každou množinu a(m, n) i její doplněk lze vyjádřit jako sjednocení otevřených
množin
«(*.«) = U í/e "*■• /W =«& /W = 0}.
a<0
mx - a{m,n) = a(n,m)v [j {feax:f(m) = a&/(n) = a),
proto množiny a(m, n) jsou obojetné a patří do RO ("x). Ukážeme, že každou
množinu fr(m, a) lze získat ze systému S = {a(m, w):m, w < co} pomocí nekonečných
booleovských operací. Odtud pak plyne, že S je spočetný systém úplných generátorů
algebry RO (mx).
Stačí ověřit, že pro každé m a a < x platí
(7) b(m,«) = (-VKm,/J)) AA(V&M) V(-a(«,m))).
0<<x n<cu /J<a
Z definice množin 6(m, /?) dostáváme
{jb(mj)={fe'ax:f(m)<<x}
a to je obojetná množina. Proto
(8) \/b(mJ)={fe»x:f(m)<*},
(9) -V^)5) = {/eMx:/(m)>a}.
To znamená, že ve druhém členu pravé strany (7) můžeme nahradit spojení
sjednocením a komplement množinovým doplňkem. Pro každé n < co je
(10) \Jb{nJ) V (-a(n,m)) = {/e"V./(n) > /(m) nebo /(*) < a} .
Z (9) a (10) plyne, že ve vztahu (7) platí inkluze c. Předpokládejme, že platí ostrá
inkluze <=. Potom existuje neprázdná obojetná množina
c = {/e-x:/(i1) = y1&...&/(fj = y*},
která je disjunktní s b(m, cc) a je podmnožinou pravé strany v (7). Můžeme
předpokládat, že il = m. Jelikož c £ {fe0ix:f(m) > a} a pro žádné fec není f(m) = a,
348

2.27 Strukturální vlastnosti Booleových algeber IV
protože c je disjunktní s b(m,ct), je )\ > a. Zvolme přirozené n různé od všech iy
Potom pro gec takové, že g(n) = a, platí g(n) < g(m) a současně g(n) > a. To
podle (10) znamená, že
gí\/b(n,P)V(-c{n,m)),
to je ve sporu s předpokládanou vlastností množiny c. Dokázali jsme (7), a tím i celé
tvrzení.
(f) Pro množiny /,Ja nekonečný kardinál X označme F(/, J, X) množinu všech
funkcí / takových, že Dom(/) £ J, |Dom(/)| < X a Rng(/) c J, uspořádanou
opačnou inkluzí. Vidíme, že F(7, J, cd) je totéž jako F(l, J) z příkladu (a).
Úplná Booleova algebra C(l,J,X) určená uspořádáním F(l,J, X) je izomorfní
algebře regulárních otevřených množin prostoru XU){^«: * G ^}> z příkladu IÍI.4.74(c),
kde každé Ji — J a J je topologický prostor s diskrétní topologií.
(g) (7(0^,2, Wj) = C(co1,2UJ, coj. Stačí ověřit, že algebry máji izomorfní husté
podmnožiny. Rozložíme Oy na spočetné podmnožiny {Aa:a < oj^. Pro každé
s < o)l nechť {£ ^: /? < 2°*} je prosté očíslování všech funkcí definovaných na Ar
s hodnotami v {0, l}. Libovolné funkci he F(a)l,2a),a)l) přiřaďme funkci
[}{flMl>:aeDom(h)}.
Získáme tak izomorfní zobrazení množiny FÍw^^.I^^cú^ na podmnožinu Pc
c F(ol9 2, coj. Je zřejmé, že P je hustá množina algebry Cfo^ 2, coj.
(h) Pro slabě nedosažitelný kardinál x vezměme nějakou rostoucí posloupnost
nekonečných kardinálů <xa:oc < x> konvergující ke x. Je-li (Aa:a < x> soubor
množin takový, že |/lj = xa pro každé a < x, potom množina
^ = {/:/Je konečná funkce, Dom(/) c x a (Víe Dom(f))(f{i)e /!,•)}
je separované uspořádaná opačnou inkluzí a z III. 1.23 plyne, že pro algebru C
určenou množinou P je c(P) = sat (B) = x.
2.26 Zjemnění rozkladů. V 1.5.37 jsme se zabývali rozklady na množině. Každý
rozklad neprázdné množiny X je právě rozkladem jednotkového prvku v potenční
algebře ^(X). Nyní uvažujeme rozklady jednotky, krátce rozklady, v libovolné
Booleově algebře. Následující definice je obdobou zjemnění rozkladů na množině.
2.27 Definice. Zjemnění. Nechť P, Q jsou rozklady v B. Říkáme, že P je zjemněním
Q nebo že P zjemňuje 2, a píšeme P <š Qy jestliže pro každé xe P existuje
yeQ takové, že x < y.
Je-li P < Q, potom pro každé yeQ je Py = {xeP:x < y} rozklad prvku y.
Na druhou stranu, vybereme-li pro každé yeQ nějaký rozklad Py prvku v, potom
p = [j{Py: yeQ} Je rozklad jednotky aP<0. Je-li H hustá množina v J3, potom
podle 2.11 (ii) každý rozklad Q má zjemnění P, které sestává jen z prvků množiny H.
Pokud algebra B nemá atomy, pak každý rozklad Q má zjemnění P takové, že každé
349

IV
2.27
yzQ je v P rozloženo na dva prvky. Pro libovolný rozklad P v B množina
£<P> = {ueB:(3X c P)(u = \/X)} je atomární podalgebrou algebry B a P je
množina všech jejích atomů.
2.28 Věta. Všechny spočetné Booleovy algebry bez atomů jsou izomorfní.
Důkaz. Nechť B je spočetná algebra bez atomů. Nejprve zkonstruujeme rostoucí
posloupnost konečných podalgeber Bn takovou, že
B=[)B..
n<o>
Položíme B0 = {0,1}. Nechť x1,x2,x3,... je očíslování všech prvků z B - {0,1}.
Rekurzí konstruujeme posloupnost Pi,P2,P3,... konečných zjemňujících se rozkladů
tak, že xne£<Pn>. Položíme Pi = {xít -Xy], je zřejmé, že xleB(Pl}. Rozklad
Pn+! konstruujeme tak, že se každý prvek yePnvFn+1 rozkládá právě na dva prvky.
Pokud pro yePn jsou oba prvky y A xn+1 a xn + 1 — y nenulové, dáme je do Pn+1.
Jinak zvolíme libovolně dva prvky rozkládající prvek yePn a ty dáme do Pn+1.
Je zřejmé, že Pn + 1 <<; P„, xn+1 eB<Pn + 1> a |P„+1| = 2n + 1. Položíme-li Bn =
= B(Pn\ je B = (J Bn.
n<a>
Předpokládejme, že C je jiná spočetná algebra bez atomů. Uvedenou konstrukcí
získáme rozklady Qn a podalgebry C„. Izomorfismus fn algeber Bn a C„ je
jednoznačně určen vzájemně jednoznačným zobrazením cpn rozkladu P„ na Qn. Nechť
f0 je izomorfismus triviálních algeber B0 a C0. Nechť í^! je libovolné prosté zobrazení
Pj na Qv Máme-li již sestrojeno (pn, zobrazení <pn+í sestrojíme tak, aby pro
libovolné xePn+1, yePn platilo
*<y-><Pn+i(x)<(pn{y).
Potom izomorfismus fn+í rozšiřuje fn a / = (J fn je izomorfismus B a C.
2.29 Důsledek. Všechny úplné Booleovy algebry bez atomů, které mají spočetné
husté podmnožiny, jsou izomorfní.
Důkaz. Nechť H je spočetná hustá množina úplné Booleovy algebry B bez atomů.
Potom podalgebra C ^ B generovaná množinou H je spočetná, nemá atomy a
množina C — {0} je hustá v B. Odtud podle věty 2.28 plyne, že uvažované úplné algebry
mají izomorfní husté podmnožiny, a tedy podle 2.15 jsou izomorfní.
Odtud plyne, že algebry regulárních otevřených množin všech metrických separa-
bilnich prostorů bez izolovaných bodů jsou izomorfní. Speciálně, algebry RO (U)
reálné přímky, RO (U2) roviny, RO ("O) Hilbertova kvádru jsou všechny izomorfní
s algebrou C(cú) z příkladu (b).
2.30 Distributivnost algeber. Nekonečné distributivní zákony, uvedené v 1.19, jsou
ekvivalentní s tím, že libovolné dva rozklady P, Q jednotky v libovolné algebře mají
společné zjemnění, a to
{x A y ^0:xeP,yeQ}.
350

2.33
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
Společné zjemněni pro nekonečně mnoho rozkladů již nemusi existovat.
2.31 Definice. Nechť x, [i jsou kardinální čísla, mohou být i konečná. Říkáme, že
Booleova algebra B je (x, ^-distributivní, jestliže pro libovolný soubor rozkladů
<Pa: a < x> takový, že pro každé a < x je |Pa| < /i, existuje rozklad P zjemňující
každé Pa.
Je-li algebra (x, /i)-distributivní pro každý kardinál /i, říkáme, že je (x, oo)-distri-
butivní.
Je zřejmé, že (x, ^-distributivní algebra je také (A, ^-distributivní pro každé
X < x a r\ < \i. Algebra B, která je (x, /^-distributivní a má sat(fi) < /i+, je
(x, oo)-distributivní. Je-li algebra B atomární, potom rozklad At (É) zjemňuje všechny
rozklady v B, a tedy B je (x, oo)-distributivní pro každé x.
Předpokládejme, že B je bez atomů, a nechť x je nejmenší mohutnost nějaké husté
množiny H v B. Ukážeme, že B není (x, 2)-distributivní. Můžeme předpokládat, že
1£H. Pro každé ueH položme Q(u) = {u, -u}. Dostáváme systém 5 =
= {Q(u):ueH} sestávající z x dvouprvkových rozkladů. Přitom pro každé
nenulové veB existuje ueH takové, že u < v, tedy i; je kompatibilní sui - u. Odtud
plyne, že systém S nemá zjemnění.
Speciálně C((o) je úplná algebra, která není (co, 2)-distributivní.
2.32 Příklady, (a) Algebra B je (x, 2)-distributivní, právě když je (x, x)-distribu-
tivní.
(b) Úplná algebra je (x, 2)-distributivní, právě když je (x, 2*)-distributivní.
Je-li úplná algebra B (x, 2x)-distributivní, je také (x, 2)-distributivní.
Předpokládejme, že B je (x, 2)-distributivní. Je-li dán rozklad P mohutnosti 2*, ukážeme, že P
lze nahradit systémem x dvouprvkových rozkladů. Prvky rozkladu P můžeme
očíslovat zobrazeními /: x -> 2, tedy P = {pf:fe*2}. Dále pro každé a<x
nechť ua = V{P/:/(a) = 0} a ? = {"*> ~ua}- Máme systém {Pa:a < x}
dvouprvkových rozkladů a snadno se ověří, že společné zjemnění všech rozkladů Pa je
také zjemněním rozkladu P. Máme-li x rozkladů mohutnosti 2X, nahradíme každý
z nich systémem x dvouprvkových rozkladů. Z (x, 2)-distributivnosti algebry B
dostáváme zjemnění pro původní systém.
(c) Úplná algebra B je (x, A)-distributivní, právě když pro libovolnou matici
<u(a, P)\ a < x, P < A> prvků z jB platí
A V«M)= V A«(«,/(«))■
<r<x 0<A /€XA <x<x
2.33 Kritérium distributivnosti. Nechť X je nekonečný kardinál. Říkáme, že
uspořádaná množina Q je A-uzavřená, jestliže pro libovolné i < X a libovolnou klesající
posloupnost (qa:ai < č) prvků z 2 existuje qeQ takové, že q < qa pro
každé a < £. Jinými slovy, Qje A-uzavřená, jestliže každý řetězec v Q mohutnosti
menší než X má dolní mez.
351

IV
2.33
Uspořádaná množina F(ly J, X) z příkladu 2.25(f) je cf(A)-uza vřená.
2.34 Věta. Má-li Booleova algebra B hustou X-uzavřenou podmnožinu, potom B je
(x, co)-distributivní pro každé x < X.
Důkaz. Nechť <Pa:oc < x> je soubor rozkladů a x < X. Nechť H je hustá A-uzavřená
množina v B. Ověříme, že pro každé ueB + existuje x < u takové, že
(11) x e H a x je právě pod jedním prvkem z každého rozkladu Pa.
Pro libovolné ueB+ konstruujeme rekurzí klesající posloupnosti <xa:a<x>
prvků z H takovou, že x0 < u a každé xa je pod jedním z prvků rozkladu Pa. Máme-li
již sestrojenu posloupnost <xa: a < /?> pro /? < x, pak z A-uzavřenosti množiny H
existuje zeH, které je menší než všechna xa. Přitom z je kompatibilní s nějakým
prvkem y e Pfi, protože z =(= 0. Zvolíme xfi e H tak, aby xp < z A y. Tak
sestrojíme klesající posloupnost <xa:a < x> prvků z H a její dolní mez splňuje (11).
Ukázali jsme, že množina prvků, které splňují (l 1), je hustá. Je zřejmé, že libovolný
rozklad jednotky, sestávající z takových prvků, zjemňuje všechny rozklady Pa.
Proto je algebra B (x, oo)-distributivní.
2.35 Tříparametrová distributivnost. Nechť x, n, v jsou kardinály a v > 2.
Říkáme, že algebra B je (x, fi, ^distributivní, jestliže pro každý soubor rozkladů
<Pa: a < x} jednotky v B takový, že každé \Pa\ < /i, existuje rozklad P takový,
že pro každé xePa každé a < x je
(12) \{yePa->> A.x + 0}|<v.
Je-li algebra (x, \i, a»)-distributivní, říkáme, že je slabě (x, /i)-distributivní.
Všimněme si, že (x, /x, 2)-distributivnost je totéž jako (x, ^-distributivnost.
Tříparametrová distributivnost je tedy zobecněním pojmu distributivnosti.
2.36 Úplnost a distributivnost. Algebra A je (x, oo)-distributivní, právě když její
zúplnění cm (Á) je (x, oo)-distributivní. Uvědomme si, že každý rozklad jednotky
v A je také rozkladem jednotky v cm (Á) a že každý rozklad jednotky v cm (A) má
zjemnění v algebře A. Na druhé straně (x, ^-distributivnost se z algebry na její
zúplnění nepřenáší. V příkladu 2.45(b) popíšeme algebru, která je (co, 2)-distributivní, ale
její zúplnění není ani (w, co x, co ^-distributivní.
V následujícím paragrafu uvidíme, že distributivnost úplných Booleových algeber
určuje některé vlastnosti generických rozšíření modelů teorie množin. Proto se
budeme zabývat především distributivností úplných algeber.
2.37 Lemma. Je-li úplná algebra B (x, /x, v)-distributivní, potom každá její úplná
podalgebraje také (x, /x, v)-distributivní.
Důkaz. Nechť C £ B je úplná podalgebra a <Pa:a < x> je soubor rozkladů
jednotky v algebře C takový, že \Pa\ < íx pro každé a. Je to současně soubor rozkladů
jednotky v J3, a proto v B existuje rozklad P takový, že pro každé x e P a každé
a < x platí (12). Odtud plyne, že množina
352

2.41
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
H = jxeB+:(Va < x)(\{yePa:y A x + 0}| < v)>
je hustá v B. Pro každé x e H položme C(x) = /\{ue C: x < u}. Jelikož C je úplná
podalgebra, je C(x)eC, a proto C(H) — {C(x):xgH} je hustá množina v C.
Pro libovolné C(x) a každé a < x platí
C(x)< V{yePa:y A.x + 0}.
To znamená, že C(x) je kompatibilní s méně než v prvky každého rozkladu Pa.
Libovolný rozklad Q c C(H) je hledaným rozkladem v C.
238 (x, /x, v)-nedistributivnost. Předpokládejme, že úplná algebra £ není (x, /i, v)-dis-
tributivní. To znamená, že existuje soubor <Pa:a < *> rozkladů jednotky v B
takový, že |Pa| < li pro každé a < x a současně množina
X = \xeB+:(Va< x)(|{yePa:x Ay *0}| < v)i
není hustá v B. Pro takový soubor rozkladů mohou nastat dva případy. Buď X je
prázdná množina, to znamená, že každý nenulový prvek xe B je kompatibilní
alespoň s v prvky nějakého rozkladu Pa, a pak soubor <Pa: a < x> zaručuje všude
negaci (x, /x, v)-distributivnosti. Nebo AT + 0» a potom « = — V^ Je nenulový
prvek au+1, protože X není hustá v B. Vezmeme-li zúžení Pa | u = {w A y: y g Pa}
rozkladů Pa na prvek u, dostáváme soubor rozkladů jednotky v algebře B \ u, který
zaručuje všude v B \ u negaci (x,/x, v)-distributivity. To nás vede k následujícímu
zesílení negace (x, /x, v)-distributivity.
2.39 Definice. Říkáme, že úplná Booleova algebra B je všude (x, /x, v)-nedistributivní,
jestliže existuje soubor <Pa:a < x>, sestávající z rozkladů mohutnosti nejvýše /i,
takový, že pro každé xe B+ existuje a < x takové, že x je kompatibilní alespoň
s v prvky rozkladu Pa.
2.40 Definice. Booleova algebra B se nazývá homogenní, jestliže B je izomorfní
s každým faktorem B \ u.
Z předchozího plyne, že úplná homogenní Booleova algebra není (x, A,
/^-distributivní, právě když je všude (x, A, /x)-nedistributivní.
2.41 Příklad. Úplná algebra (^(co^, cot) z příkladu 2.25(1) je (cd, oo)-distributivní
a není (cot, 2)-distributivní. (co, oo)-distributivnost algebry plyne z věty 2.34, protože
její hustá množina F(a)1, 2, coj je cox-uzavřená. Kdyby byla (col5 2)-distributivní,
potom by podle 2.32(b) byla také (co^ 2C0\2)-distributivní.
Ukážeme však, zeje všude (col5 2W, 2w)-nedistributivní. Podle 2.25(g) je C(cou 2, co,)
izomorfní s C(a>li 2W, oj]). Přitom množina H všech funkcí definovaných na nějakém
spočetném ordinálu s hodnotami v 2" je hustá v C(co1} 2W, co,). Položíme-li
Pa = {/eH:Dom(/) = a}
353

IV
2.41
pro každé a < col5 <Pa:a < cOj> je zjemňující se soubor rozkladů jednotky. Přitom
se každé feP^ rozkládá na 2" prvků v Pa + 1. Navíc H = (J{Pa:a < cox} je
hustá množina. Soubor <Pa:a < cox> tedy zaručuje, že algebra C(coly2Cíya)i) je
všude (col5 2", 2ťI,)-nedistributivní a totéž platí pro algebru C(col5 2, coj.
2.42 Charakterizace kolapsujících algeber. Pro nekonečný kardinál x uvažujme
úplnou algebru C(oj, x) definovanou v 2.25(e). Pro každé přirozené n je množina
Pn = "x rozkladem jednotky v C(co, x) a každé fePn je rozloženo v Pn+l na
x prvků
{/u{<n,a>}:« < x}.
Přitom množina <c3x = (JPn má mohutnost * a je hustá v C(a>, x). Odtud plyne,
že systém (Pn'n < co> zaručuje, že C(co, x) je všude (oj, x, x)-nedistributivní.
2.43 Věta (McAloon). Úplná Booleova algebra C, která je všude (co, x, x)-nedistri-
butivní a má hustou podmnožinu mohutnosti x, je izomorfní s kolapsující algebrou
C{(Dy x).
Důkaz. Nechť H c C je hustá množina mohutnosti x a nechť soubor (Qn: n < co>
zaručuje, že C je všude (w, x, x)-nedistributivní. Můžeme předpokládat, že každé
Qn má mohutnost x. Nejprve sestrojíme rozklady Q'n tak, aby (JÍ21- n < ^1 byla
hustá množina v C. Pro každé n položme
HH = {xeH:\{yeQH:y Ax + 0}| = xj.
Z (co, x, x)-nedistributivnosti dostáváme H = [j{Hn: n < co}. Přitom \H„\ < x
pro každé n < co, existuje tedy prosté zobrazení (pn:Hn->Qn takové, že (p„(x) A x =#
=t= 0 pro každé x e Hn. Pro každé n položme
Q; = (Qn-Rng(cpJ)u{xA cpn{x): xe Hn} u ({-x A^(x):xgHJ - {0}).
Potom každé Q^, je rozkladem jednotky a množina U{21: n < ^1 Je nustá v C.
Z (co, x, x)-nedistributivnosti plyne, že každý nenulový prvek y lze rozložit na
x prvků. Pro každé y zvolme jeden takový rozklad P(y) mohutnosti x. Rekurzí
definujeme zjemňující se posloupnost rozkladů (Pn:n < co). Položme P0 = {l}.
Pro n>0 vezmeme nejprve společné zjemnění P'n rozkladů P0,..., P„_1} 0'n_,
a položíme Pn = \J{P(y): y eP'n}. Je zřejmé, že P„ jsou rozklady jednotky. Jelikož
Pn+i "š Q'„ pro každé n, množina \J{P„'-n < co} je hustá v C. Navíc každé yePn
Je v Pn+\ rozloženo na x prvků. Odtud plyne, že hustá množina \J{Pn:n < co}
spolu s kanonickým uspořádáním je izomorfní s hustou množinou <OJx algebry
C(co, x). To znamená, že úplné algebry C a C(cd, x) jsou izomorfní.
2.44 Věta (Kripke). Každou Booleovu algebru, která má hustou podmnožinu
mohutnosti <x, lze úplné vnořit do kolapsující algebry C(co, x). Tedy každou algebru lze úplné
vnořit do néjaké úplné algebry se spočetnou množinou úplných generátorů.
354

2.45
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
Důkaz. Nechť B je zúplněni volného součinu A O C(co, x). Víme, že algebra A je
úplně vnořená do J9, a můžeme předpokládat, že C((d, x) je úplná podalgebra úplné
algebry B. Jelikož C(co, x) je všude (co, x, x)-nedistributivní, podle 2.37 totéž platí
i pro algebru B. Je-li H ^ A hustá množina mohutnosti x, potom kartézský součin
H x F(co, x) má také mohutnost x a určuje hustou množinu v B. Dokázali jsme, že
B má charakteristické vlastnosti kolapsující algebry C(čo, x), a proto je s ní izomorfní.
Odtud plyne, že algebra A je úplně vnořena do C(co, x).
2.45 Příklady, (a) Pro libovolný strom T označíme T* množinu T s opačným
uspořádáním. Potom vrcholy x a y jsou neporovnatelné v 7; právě když jsou
disjunktní v T*. Navíc T* je separované uspořádání, jestliže se každý vrchol
stromu T větví.
Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) Existuje úplná Booleova algebra B bez
atomů, která je (co, ccj-distributivní a má sat (B) = co^
(ii) Existuje Suslinův co^strom.
Nechť B je algebra splňující (i). Pro každý nenulový prvek y zvolme spočetný
rozklad Q(y) prvku y. Rekurzí sestrojíme posloupnost <Pa:a < o^) zjemňujících
se rozkladů. Položíme P0 = {l}. Máme-li sestrojenu posloupnost <Pa:a < /?>
a /? je limitní, nechť Pp je kterékoli společné zjemnění všech rozkladů Pa.
Z (co, oo)-distributivity plyne, že takový rozklad existuje. V případě /? = y 4- 1
položíme P^ = U{fí(y): yePy}. Snadno se ověří, že množina T = U{Pa: a < C0j}
spolu s opačným kanonickým uspořádáním je Suslinův cú1 -strom.
Naopak nechť T je Suslinův a)x -strom. Můžeme předpokládat, že se každý
vrchol větví a že Tje bez krátkých výhonů. Nechť B je úplná Booleova algebra
určená separovaným uspořádáním T*. Potom B je bez atomů, protože se každý vrchol
T větví a sat(B) = ov protože každý antiřetězec v Tje nejvýše spočetný. Tje bez
krátkých výhonů, proto každá hladina Ta určuje rozklad jednotky B takový, že
Tfi < T7 pro x < fi < (ox. Libovolný prvek xeB lze vyjádřit jako spojení nějaké
nejvýše spočetné podmnožiny X c T. Je-li i < (»x takové, že X c T\ot, potom
x e B<7^>. To znamená, že B je sjednocením rostoucí posloupnosti a>l úplných pod-
algeber. Každá spočetná množina rozkladů v B leží v nějaké úplné podalgebře £<Ta>
a Ta je jejich společným zjemněním v B. Tedy B je (co, oo)-distributivní.
(b) Připomeňme, že speciální Aronszajnův strom je cox -strom bez kofinálních
větví, který je sjednocením spočetně mnoha antiřetězců. Podle IIT.3.41 a 3.48
speciální Aronszajnův strom existuje a nemůže být Suslinovým stromem.
Nechť <7^ <> je speciální Aronszajnův strom. Můžeme předpokládat, že každý
vrchol v Tse větví a že T nemá krátké výhony. Ukážeme, že úplná algebra B určená
separované uspořádanou množinou T* je izomorfní s kolapsující algebrou C(co, cd^.
Nechť Tje sjednocením spočetně mnoha antiřetězců Qn. To znamená, že každé Qn
je množina disjunktních prvků v B, kterou můžeme doplnit na rozklad Pn
jednotky v B. Ukážeme, že soubor rozkladů <P„: n < cú} zaručuje, že algebra B je všude
(co,coj,co^nedistributivní. Vezměme libovolné yeT. Jelikož T nemá krátké vý-
355

IV
2.45
hony, množina Y = {xeT.y < x] je nespočetná, a proto existuje n takové, že
Yr\Qn má mohutnost cdv To znamená, že x je kompatibilní také s (nl prvky
rozkladu Pn. Algebra B je tedy všude (co, cox, coj-nedistributivní a je izomorfní
s C^^cDi) podle 2.43, protože Tje hustá množina v B mohutnosti ídv.
Každá hladina Ta stromu Tje rozkladem jednotky v B a B<7^> je úplná pod-
algebra. Sjednocení všech algeber B<7^> pro a < a)í je podalgebra C c B
a stejně jako v příkladu (a) můžeme dokázat, že C je (co, 2)-distributivní. Podalgebra
C je hustá v B, protože T ^ C. To znamená, že zúplněním C je celá algebra B,
která však není (co, 2)-distributivni. Tedy C je příkladem algebry, která je
(co, 2)-distributivní, ale její zúplnění není (co, 2)-distributivní.
2.46 Ideály a filtry v Booleovč algebře jsou přímým zobecněním pojmů ideálu a filtru
v potenční algebře množin, kterými jsme se podrobně zabývali v 1.8 (ideály
a filtry na množině).
Definice. Nechť B je Booleova algebra. Ideál v B je neprázdná množina J c B
taková, že platí J =}= B, aeJScb<a-^beJ, a^beJ-^aVbeJ.
Filtr v B je neprázdná množina F c B taková, že platí F^I?* aeF&b>a->
-+ 6 e F, a,beF -^ a AbeF.
Filtr v B se nazývá ultraflltrem, jestliže pro každé ae B je ae F nebo — aeF.
Hlavní filtr je množina tvaru {b e B: b > a}, kde a je nějaký nenulový prvek z B.
Je zřejmé, že pojmy ideálu a filtru jsou duální pojmy. Je-li J ideál v B, říkáme že
J* = {~a:aeJ} je duální filtr k J. Podobně, F* = {-a: aeF} je duální ideál
k filtru F.
2.47 Lemma, (i) Filtr v B je ultrafiltr, právě když je maximálním filtrem v B vůči
inkluzi.
(ii) Hlavní filtr {beB:b > a] je ultrafiltr, právě když a je atomem algebry B.
Důkazy (i) a (ii) jsou obdobou důkazů 1.8.17 a 1.8. i l(a).
Z principu maximality snadno plyne následující obecnější formulace základní věty
o ultrafiltrech (1.8.18):
2.48 Věta. Nechť S c B je centrovaný systém prvků algebry B, to znamená, že pro
každé konečné S0 ^ S je f\S0 + 0. Pak existuje ultrafiltr F v B takový, že S £ F.
Speciálně, pro každý nenulový prvek aeB existuje ultrafiltr F takový, že aeF.
2.49 Důsledek. Pro různé prvky a,beB existuje ultrafiltr v B, ve kterém leží právě
jeden z prvků a, b.
Důkaz. Pro různá a,beB je buď u = a - b + 0, nebo v = b - a ^ 0.
Předpokládejme, že u + 0. Vezměme ultrafiltr F 5 {u}, jehož existenci zaručuje
věta 2.48. Jelikož ueF a u < a, u< —b, je aeF a b£F.
2.50 Faktorizace. Ukážeme, jak konstruovat z dané Booleovy algebry B a ideálu
J v B novou algebru BjJ.
356

2.52
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
Pro libovolné a,beB definujeme
a ~ b «-> (a - b) V (b - a) e J .
Vztah a ~ b říká, že prvky a, b se od sebe málo liší z hlediska ideálu J. Jinými slovy,
existují u,vgJ takové, že a = (b - u) V v. Jelikož J je ideál, je ~ relací
ekvivalence na B, která respektuje booleovské operace, to znamená, že pro libovolné
a,b,c,deB platí
a ~ b -> -a b ,
(a- &)&(<:-</)-► (a A c) - (b A </).
Třídu ekvivalence, ve které leží prvek a e B, značíme \_a\. Povšimněme si, že [0] = J
a [1] = J\ proto [0] * [1].
Na faktorové množině B/~ definujeme booleovské operace předpisem
0]A,[>] = [flAb], [a]\fJ[b] = [a\fb],
Přirozená projekce h\B->BJ~, která každému aefi přiřazuje třídu ekvivalence
/i(a) = [<a], zachovává booleovské operace, a proto
B/J = <B/~,A„V„-J,0y,l,>
je Booleovou algebrou. Nazýváme ji faktorizací algebry B podle ideálu J.
2.51 Příklady, (a) Faktorizace BJJ je dvouprvkovou algebrou, právě když J je
maximální ideál v B (duální filtr k J je ultrafiltr).
(b) Je-li J hlavní ideál v B určený prvkem a, pak faktorizace BJJ je izomorfní
faktoru B\(-a).
(c) Předpokládejme, že X + 0 je baireovský topologický prostor, to znamená,
že žádná neprázdná otevřená podmnožina není hubenou množinou. Potom
faktorizace a-algebry množin Baire (X), všech množin s Baireovou vlastností, podle ideálu
hubených množin je izomorfní s úplnou Booleovou algebrou regulárních otevřených
množin RO(X).
(d) (Smith a Tarski, 1957) Je-li B a-úplná Booleova algebra, pak pro každý ideál
J v B takový, že sat(fí/j) < w,, je faktorizace BJJ úplná Booleova algebra.
Speciálně, je-li \i míra na &(co), viz 1.8.29, a je-li J^ ideál nulových množin, potom
platí sat (5/,/J < w,, a proto faktorizace B\J^ je úplnou Booleovou algebrou.
(e) Obecně se úplnost algebry faktorizací nezachovává. Faktorizace potenční
algebry &(w) podle ideálu JY všech konečných podmnožin přirozených čísel není
cr-úplná algebra. Navíc, sat {&{(jj)\JF) = (2W) + , což plyne z III.1.14.
2.52 Značení. Množinu všech ultrafiltrů v Booleově algebře B značíme Ult (B).
Všimněme si, že fiX z 1.8.19 je totéž jako Ult (&(X)).
Následující tvrzení ukazuje, že Booleovy algebry jsou úzce spjaty s algebrami
množin.
357

IV
2.53
2.53 Věta o reprezentací (Stone 1934). Každá Booleova algebra je izomorfní s nějakou
algebrou množin.
Důkaz. Je-li B atomární Booleova algebra a je-li X množina všech jejích atomů,
podle 2.14 víme, že zobrazení f definované pro každé beB předpisem f(b) =
= {aeX:a < b} je izomorfismus algebry B a algebry podmnožin {f(b)\ beB]
množiny X.
Existují však i Booleovy algebry, které nejsou atomární. Hledáme objekty podobné
atomům, které by sloužily jako prvky výchozí množiny algebry množin. Existuje
vzájemně jednoznačný vztah mezi atomy a hlavními ultrafiltry. Množina všech ultra-
filtrů je rozšířením množiny všech atomů a slouží jako výchozí množina pro
hledanou algebru množin.
Nechť B je libovolná Booleova algebra. Pro každé a e B definujme S(a) =
= {FeV\t(B):aeF}. Podle 2.49 je S prosté zobrazení algebry B do ^(Ult(B)).
Jelikož 0 neleží v žádném ultrafiltru a 1 je v každém ultrafiltru, je S(0) = 0 a S(l) =
= Ult(B). Navíc pro libovolné a,beB je
S{a A b) = S(a) n S{b),
S(-a) =Ult(B)-S(fl).
To znamená, že S je izomorfismus algebry B a algebry množin {S(a): ae B}.
2.54 Poznamenejme, že právě dokázaná Stoneova věta říká, že konečné booleovské
operace je možno reprezentovat množinovými operacemi. Pro nekonečné
booleovské operace taková reprezentace není obecně možná. Úplná Booleova algebra bez
atomů, která má spočetnou hustou podmnožinu, není izomorfní se žádnou
a-algebrou množin.
2.55 Stoneova dualita (Stone 1934, 1936, 1937). Stoneova dualita dává do souvislosti
Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory (1.2(e)),
které též nazýváme booleovskými prostory.
Booleově algebře B přiřadíme topologický prostor. Vezměme množinu Ult (B)
všech ultrafiltru v B a zobrazení S: B -> ^(Ult (B)) takové, že
S{a) = {FeU\t(B):aeF}.
Z důkazu 2.53 víme, že S[fi] je systém uzavřený na konečné průniky. To znamená,
že S[£] tvoří bázi nějaké topologie na množině Ult (B), kterou nazýváme Stoneovou
topologií. Množina Ult (B) s touto topologií se nazývá Stoneův prostor nebo také
duální prostor algebry B.
2.56 Věta. Pro každou Booleovu algebru B je Ult (5) booleovský prostor a S je
izomorfismus algebry B na CO (Ult (B)).
Důkaz. Jsou-li F, G různé ultrafiltry, pak existuje prvek aeB takový, že ae F,
— aeG. Pak S(a), S( — a) jsou obojetné množiny oddělující F a G. Dokázali jsme, že
prostor je totálně nesouvislý. Dokazujeme kompaktnost. Nechť Q je otevřené po-
358

2.56
Strukturální vlastnosti Booleových algeber
IV
krytí celého prostoru. Můžeme předpokládat, že Q sestává z bázových množin, tedy
Q = {S(a):aeZ} pro nějaké Z ^ B. Předpokládejme, že neexistuje konečné
Qo - Q pokrývající celý prostor. Potom { -\/Y: Y c Z, Y konečné} je centrovaný
systém prvků zBa ultrafiltr v £, který ho rozšiřuje, nepatří do žádné množiny z Q,
spor. Tedy Ult (i?) je booleovsVý prostor.
Jelikož S\_B] je algebra podmnožin prostoru Ult (B), jsou všechny množiny z S[B~\
obojetné. Na druhou stranu, mějme obojetnou množinu X. Z kompaktnosti plyne,
že je sjednocením konečného počtu bázových množin, například
X = S(ai)V...VS(aJ.
Potom X = S(b), kde b = ax V ... V a„, a tedy IeS[fí]. Jednoznačnost
zobrazení S byla dokázána v 2.53.
Každé Booleově algebře máme přiřazen booleovský prostor. Naopak, je-li dán
booleovský prostor X, uvažujme Booleovu algebru B = CO (X). Ukážeme, že
Stoneův prostor algebry B je homeomorfní prostoru X.
Bodům prostoru X jednoznačně odpovídají ultrafiltry v B. Pro xeX definujme
D(x) = {AeB\xeA}, což je ultrafiltr v B. Z totální nesouvislosti prostoru X plyne,
že D je prosté zobrazení. Mějme libovolný ultrafiltr F v B. Potom F je centrovaný
systém uzavřených množin v prostoru X. Z kompaktnosti plyne x e f]F pro
nějaké jc e X, a tedy F = D(x). Zobrazení D je prosté zobrazení X na množinu
Ult (B) a snadno se nahlédne, že D je homeomorfismus.
Stoneova dualita umožňuje použití topologických prostředků při zkoumání
Booleových algeber.
359

§ 3 Generická rozšíření modelů teorie množin
V předchozím textu jsme se vícekrát setkali s principy, hypotézami a tvrzeními,
nedokazatelnými v teorii množin ZFC. Seznámíme se s metodou, pocházející od
P. Cohena, jak prokazovat jejich nedokazatelnost, s metodou generických rozšíření
modelů teorie množin. Při výkladu těžíme z teorie úplných Booleových algeber
a generických ultrafiltrů na nich. Touto technikou získáme, mimo jiné, bezespornost
CH, O, "iCH. Dále se seznámíme s Martinovým axiomem. Důkaz věty o
generickém rozšíření tvoří závěr paragrafu.
3.1 Připomeňme, že Zermelova a Fraenkelova teorie množin (ZF) je teorie s
rovností = , speciálním predikátovým symbolem e a s axiomy extenzionality, sumy,
potence, existence nekonečné množiny, schématu axiomu nahrazení a axiomem
fundovanosti (1.2.27). Přidáme-li k nim axiom výběru, mluvíme o teorii ZFC.
Nebude-li uvedeno jinak, pracujeme v teorii ZF.
3.2 Relativizace. Nechť M je libovolná třída. Pro libovolnou formuli <p jazyka
teorie množin definujeme její relativizaci cpM do třídy M:
(i) (x e y)M je x e y, (x = y)M je x = y,
(ii) (—\cpfí je ~i(<p)M, (<p &ý)M je cpM&\j/M a podobně pro disjunkci,
implikaci a ekvivalenci,
(iii) (Vjc<p)M je (Vx GM)cpM = (Vx) (x e M - <pM\
(Ixcpf1 je (3x g M) (pM = (3x) (xeM&fl.
Tedy formule cpM vznikne z formule <p relativizaci všech kvantifikátorů do třídy M,
přitom predikáty rovnost a náležení zůstávají beze změny. Můžeme říci, že formule
cpM říká totéž pro množinové univerzum M co formule <p pro univerzum V.
3.3 Tranzitivní modeL (i) Říkáme, že uzavřená formule (p platí ve třídě M, jestliže
formule cpM je dokazatelná v teorii množin.
(ii) Říkáme, že třída M je modelem teorie ZF, jestliže každý axiom (p teorie ZF
platí ve třídě M. Je-li M navíc tranzitivní třída (II.l.l) říkáme, že M je tranzitivní
model ZF nebo vnitřní model teorie množin (11.7.13).
360

3.3
Generická rozšíření modelů
IV
Univerzální třída V i třída L všech konstruovatelných množin jsou tranzitivní
modely teorie množin. Navíc podle II.7 je třída L modelem ZFC, ve kterém platí
zobecněná hypotéza kontinua. Tedy L je modelem teorie ZFC -f GCH.
3.4 Příklady, (a) Axiom extenzionality platí v každé tranzitivní třídě Aí. Relati-
vizace axiomu extenzionality do třídy Aí je formule
(1) (Vx, yeM)((VueM)(ue x<-+ uey) -+ x = y).
Z tranzitivnosti třídy Aí plyne, že pro x,yeM je x = x n Aí a y = y n Aí,
a proto jakmile x n Aí = y n Aí, je x = y. Dokázali jsme formuli (l), tedy v Aí
platí axiom extenzionality.
(b) V každé třídě Aí platí axiom fundovanosti. Jeho relativizace je formule
(2) (VaeAí)((3xeAí)(xea)-+
-> (3x e Aí) (x e a & n(3y e Aí) (y e a & y e x)))
Jelikož předpokládáme axiom fundovanosti, pro každé ae Aí, pokud a n Aí je
neprázdné, existuje e-minimální prvek x v množině a n Aí. To znamená, že
platí (2).
(c) Pracujeme v teorii ZFC. Pro libovolný kardinál X nechť H(X) je systém všech
množin, jejichž tranzitivní obal (II.6.9) má mohutnost <X. Je zřejmé, že tranzitivní
obal každého prvku z H(X) je podmnožinou H(X), a tedy H(X) je tranzitivní množina.
Speciálně platí H((d) = va a. množina H((jo) je modelem teorie konečných množin,
to znamená teorie, která vznikne, když v ZF nahradíme axiom nekonečna jeho
negací. Je-li A nespočetný regulární kardinál, potom v H(X) platí všechny axiomy ZFC
až na axiom potence. Je-li navíc X nedosažitelný kardinál, pak v H(X) platí i axiom
potence a H(X) je množinový tranzitivní model teorie ZFC.
Existuje-li nedosažitelný kardinál, potom existuje i spočetný tranzitivní model
teorie ZFC.
3.5 Naším záměrem není metamatematické studium existence modelů teorie množin.
Soustředíme se na popis konstrukce, která pochází od P. Cohena a která umožňuje
z daného výchozího modelu získat nový model, který ho rozšiřuje. Chceme, aby
rozšířený model obsahoval více množin než výchozí model. To v některých případech
umožňuje ověřit, že v rozšířeném modelu platí nějaká hypotéza nebo
kombinatorický princip, které buď ve výchozím modelu neplatí, nebo jejich platnost neumíme
ověřit. Je zřejmé, že univerzální třída není vhodný výchozí model. Abychom vůbec
mohli přidat nové množiny, výchozí model musí být menší.
Konstrukce rozšíření modelu teorie množin má vzdálenou analogii v konstrukci
algebraického rozšíření tělesa. Pro dané těleso Ta polynom p(x) nad T který nemá
kořen v T, se konstruuje rozšíření T tělesa T, v kterém již existuje kořen polynomu
p{x).
361

IV
3.6
3.6 Volbou modelu M určujeme nové univerzum teorie množin, ve kterém úlohu
univerzální třídy přejímá třída M. Prvky třídy M jsou množinami modelu a náležení
mezi nimi je původní relace e. Ke každé formuli cp je dána relativizace <pM, proto
každému pojmu, který jsme zavedli v předchozích částech knihy, odpovídá nějaký
pojem ve třídě M. Je důležité vědět, co přeložený pojem znamená z pohledu
univerzální třídy.
Náležení a rovnost mezi množinami modelu M jsou stejné jako v celém
univerzu V, protože formule (x ey)M je xey a formule (x = y)M je x = y. Říkáme, že
náležení a rovnost jsou absolutní pro M. Zajímá nás, které další množinové pojmy
a operace (průnik a rozdíl množin, ordinální číslo) jsou absolutní. Pokud nějaká
operace není absolutní, chceme znát její hodnoty.
3.7 Absolutnost. Nechť cp je množinová formule, jejíž všechny volné proměnné
jsou mezi xl, ..., xn. Nechť MaN jsou třídy takové, že M ^ N.
(i) Říkáme, že cp je absolutní pro M, JV, jestliže
(Vxl,...,x„eM)(<pM(xl,...,x„)^<pN{xi,...,x„)).
(ii) Říkáme, že (p je absolutní pro M, jestliže je absolutní pro M a V, to
znamená, že
(Vxv...,x„eM)(<pM(xl,...,xn)~<p(xí,..,xn)).
Z definice absolutnosti dostáváme:
3.8 Lemma. Nechť M ^ N. Jsou-li formule cp, \j/ absolutní pro M a N, potom také
formule ~~\<p, cp V ^, cp & \j/, cp -► i/f, cp<-+\j/ jsou absolutní pro M, N.
Je-li cp absolutní pro M a současně absolutní pro N, pak cp je absolutní pro M, N.
3.9 Příklady. Předpokládáme, že M je tranzitivní třída.
(a) Absolutnost inkluze. Vztah x ^ y je zkratka za formuli
(Vz) (zex -» zey),
proto (x ^ y)M znamená
(3) (Vz e M)(z€x-^> zey).
Pro x,ye M je (3) ekvivalentní s x = xn M ^ y neboli s x ^ y. Ověřili jsme,
že pro každé x, y s M je (x ^ y)M *-> x ^ y, tedy vztah inkluze je absolutní pro M.
(b) Axiom potence platí v M, právě když
(4) (Vx e M) (3y e M) (Vz e M) {(z <= yf ^zey).
Z příkladu (a) plyne, že (4) je ekvivalentní s tím, že pro každé x e M je ^(x) n M e M.
Uvidíme, že operace potence nemusí být absolutní ani pro tranzitivní modely ZF.
3.10 Tranzitivní modely mají velkou přednost v tom, že pro ně je mnoho pojmů
absolutních, a tím je do nich nejlépe vidět. Proto se v dalším omezíme jen na
tranzitivní modely teorie ZF nebo ZFC.
362

3.13
Generická rozšíření modelů
IV
Následující množinové operace jsou absolutní pro každý tranzitivní model M:
(5) {x,y}, x-y, Rng(x),
<x, y> , x u {x} , r"x ,
xny, x x y, \Jx,
xuy, Dom (x).
To znamená, že pro každou z uvedených operací F(x, y) je formule z = F(x, y)
absolutní. Poznamenejme, že pro každou operaci F(x, y) definovanou v ZF se musí
dokázat, že pro každé x, y existuje právě jedno z takové, že z = F(x, y). Totéž platí
i v modelu M. Odtud a z absolutnosti plyne, že třída M je uzavřená na všechny
operace (5).
Ukážeme způsob, jakým se dokazuje absolutnost formulí pro tranzitivní modely.
3.11 Lemma. Je-li M tranzitivní třída a je-li cp absolutní pro M, pak také formule
(3x e y) cp, (Vx ey)(p jsou absolutní.
Důkaz. Nechť xl5..., xn jsou všechny volné proměnné ve (p. Pro tranzitivní třídu M
a yeM je (3x)(xey) ekvivalentní s (3xeM)(xey). Odtud a z absolutnosti <p
plyne, že pro každé y, xl5..., xn e M
((3x e y) <p)M <-> (3x e M) (x e y & <pM) <->
^(3x)(xgy& <pM)^>(3x)(xey&cp).
Podobně se dokazuje absolutnost formule (Vx e y) <p.
Výrazy (3x e y), (Vx e y) nazýváme omezené kvantifikátory. Říkáme, že formule je
omezená, jestliže všechny kvantifikátory v ní jsou omezené. Protože všechny formule
bez kvantifikátorů jsou absolutní, máme:
3.12 Důsledek. Je-li M tranzitivní a cp omezená formule, pak (p je absolutní pro M.
Týž pojem může být definován různými ekvivalentními formulemi. Je-li v ZF
dokazatelná ekvivalence cp <^>ý, píšeme ZFh (p «-* t//, pak v každém modelu M
teorie ZF platí cpM <->\f/M. Je-li navíc \\j absolutní pro M, pak V je také absolutní
pro M. Toho lze využít k důkazu absolutnosti nějaké formule cp. Podaří-li se nám
nalézt omezenou formuli \j/ a dokázat v ZF ekvivalenci cp <-* i//, víme, že cp je
absolutní pro model M. Tak lze ověřit absolutnost všech operací z (5). Například
pro sjednocení použijeme ekvivalenci
z = (Jx <-> (Vy e x) {y ^ z)Sl (Vw g z) (3y ex)(we y).
Formule na pravé straně je ekvivalentní s omezenou formulí, kterou získáme, když
y <= z nahradíme ekvivalentní omezenou formulí (Vw e y)(w e z).
3.13 Lemma. Pro tranzitivní model M jsou následující pojmy absolutní:
(i) z je uspořádaná dvojice,
(ii) r je relace,
363

IV
3.13
(iii) r je funkce,
(iv) r je lineární uspořádání na a.
Naznačíme důkaz (i) a (iv). Je zřejmé, že z je uspořádaná dvojice, právě když
(3x, y 6 [jz)(z = <x, _y» a tato formule je ekvivalentní s omezenou formulí. Stejně
tak vlastnost (iv) může být vyjádřena pomocí uspořádaných dvojic a omezených
kvantifikátorů.
3.14 Ordinální čísla v modelu. Následující pojmy jsou absolutní v tranzitivním modelu,
protože jsou v ZF ekvivalentní nějaké omezené formuli:
(i) x je ordinální číslo,
(ii) x je limitní číslo,
(iii) x je izolovaně číslo,
(iv) x je přirozené číslo,
(v) 0,(o.
Důkaz, (i) Z axiomu fundovanosti plyne, že x je ordinální číslo, právě když x je
tranzitivní množina, lineárně uspořádaná relací e. Obě vlastnosti jsou ekvivalentní
omezené formuli, (v) x = 0<->(Vyex)(y =|= y) a x = co, právě když x je limitní
ordinál a (Vyex)(y není limitní), (iv) x je přirozené čislo, právě když x a každé
y e x je buď 0, nebo izolované číslo.
Absolutnost formule „x je ordinální číslo" znamená, že ordinální čísla modelu M
jsou právě všechna ordinální čísla, která leží v M, neboli OnM = On n M. Jelikož
M je tranzitivní, On n M je tranzitivní část On, a tedy On n M je buď celé On,
neboje to ordinální číslo, a to v případě, že M je množina. Navíc OgM a pro každé
xe M je x u {x} eM, odkud plyne cd <= M a také, že On n M je limitní ordinál.
V M platí axiom nekonečna, proto co e M. V tranzitivním modelu jsou přirozená
čísla stejná jako ve V.
3.15 Příklad. V tranzitivním modelu jsou následující pojmy absolutní:
(i) <a, r> je dobré uspořádání,
(ii) a je ordinální typ dobrého uspořádání <a, r>.
Důkaz. Nechť a, re M, ukážeme, že
(6) (<a, r> je dobré uspořádání)M -► <a, r> je dobré uspořádání.
Dokázali jsme, že každé dobré uspořádání je izomorfní s nějakým ordinálním číslem
(II. 1.19). Tato věta platí i v modelu M, a proto existují a,feM takové, že
(a je ordinál a /je izomorfismus <a, r> na a)M .
To je formule absolutní pro M, protože a je skutečné ordinální číslo a /je skutečný
izomorfismus <a, r> na a. Tedy (a, r) je skutečné dobré uspořádání ordinálního
typu a. Důkaz opačné implikace k (6) je snadný.
364

3 18
Generická rozšíření modelů
IV
3.16 Operace potence v modelu. Axiom potence platí v tranzitivním modelu M,
z příkladu 3.9(b) dostáváme
(i) {&{x))M = &>{x) n M pro každé xeM,
(ii) (7jM = VanM pro každé aeOnnM.
Odtud plyne, že typová funkce je absolutní pro M.
Operace &M a množiny (Va)M nejsou obvykle absolutní. Zvlášť zřetelné je to v
případě, kdy M je spočetný model. Potom pro každé nekonečné xe M je ž?M(x) =j=
=)= @(x\ protože &(x) je nespočetné, zatímco &(x) n M je spočetná množina.
Také V™ 4= Va pro každé cteM a a > co.
Kardinální číslo je další pojem, který nemusí být absolutní. Je-li model M
spočetný, pak On n M je spočetné ordinální číslo. Proto každý nespočetný kardinál
v M je spočetným ordinálem ve V.
Pojem „B je Booleova algebra" je absolutní pro M. Avšak úplnost Booleovy
algebry není absolutní pojem. Je-li algebra BeM úplná v modelu M, říkáme, že
je M-úplná.
3.17 Rozšířeni. Jsou-li M a N tranzitivní modely, říkáme, že N je rozšířením
modelu M nebo že M je rozšířen do modelu N, jestliže oba modely mají stejná ordinální
čísla, tedy On n M — On n N a současně M c N.
3.18 Generická množina, motivace. Předpokládejme, že je dán nějaký výchozí
tranzitivní model M a jeho rozšíření do tranzitivního modelu N. Je-li N — M 4= 0,
uvažujme e-minimální množinu o ze třídy N - M. Pro ni platí o e N a o ^ M.
Ukážeme, že pro každou množinu a e N, která je částí modelu A/, existuje
množina aeM výchozího modelu taková, že o c: a. Stačí položit a = (J^)**,
kde a je typ množiny o (vzhledem k e). Typová funkce je absolutní a pro cr e N je
typ (cr) e On (M), tedy a c V^zM.
Vezměme tedy nějakou neprázdnou množinu cr e Ar, která je částí výchozího
modelu M. Víme, že existuje aeM, pro které o ^ a. Uvažujme obrazy množiny o
přes všechny relace z výchozího modelu
Ob(cr, M) = {v"o:r je relace, re M} .
Pro libovolné r e M je obraz v"a prvkem rozšíření N a současně je částí modelu M.
Navíc, libovolné xeM také získáme jako obraz množiny o\ stačí vzít relaci r =
= [y] x x pro nějaké yea. Zřejmě o e Ob (cr, M), protože identita na a je v M.
Dostáváme
M c Ob (ff, M)c {(?eN^cM}.
Požadavek jednoduchosti nás přivádí k otázce, existuje-li netriviální rozšíření N
daného modelu M, které je určeno výchozím modelem M a jedinou množinou
oeN, cr c M tak, že platí
Ob (er,M) -{^6ÍV:^cM}.
365

IV
3.18
V takovém případě všechny části výchozího modelu, které patří do rozšíření,
získáme jako obrazy jediné množiny a. Podívejme se, jaké podmínky by musela taková
množina o splňovat.
Třída {g g /V: o c M} je uzavřená na sjednocení a rozdíly množin. Pro libovolné
a je třída Ob (a, M) uzavřená na sjednocení, protože r[o u r"2o = (rl u r2)" a.
Obecně třída Ob(a, M) není uzavřená na rozdíl. To nás přivádí k definici generické
množiny.
3.19 Generická množina. Nechť M je tranzitivní model pro ZF. Je-li a Q a e M,
říkáme, že a je generická množina nad M, jestliže třída Ob [o, M) je uzavřená
na rozdíl.
Generické množiny úzce souvisí s ultrafiltry na Booleových algebrách.
3.20 Definice. Nechť B je Booleova algebra v tranzitivním modelu M. Říkáme, že
ultrafiltr G v B je generický nad M, jestliže G má neprázdný průnik s každou
množinou H modelu M, která je hustou podmnožinou algebry B.
Všimněme si, že ultrafiltr G v M-úplné algebře B e M je generický nad M, právě
když pro každou množinu c c: B z M platí
(7) cnG + O^VceG
nebo duálně c^G^fceG.
Pokud je zřejmé, který model je výchozí, mluvíme krátce o generické množině nebo
o generickém ultrafiltru.
3.21 Podobné množiny. Říkáme, že množiny a, q q M jsou podobné, jestliže
existují relace r, s e M takové, že r"o = q a. s"q — g.
Použijeme-li skládání relací, dostaneme:
3.22 Lemma. Každá množina q, která je podobná nějaké generické množině o, je
také generická a platí Ob [a, M) = Ob (q, M).
3.23 Věta (Vopěnka, Baleár). Kanonický tvar generických množin. Nechť M je
tranzitivní model teorie ZF a nechť o c: ae M. Potom o je generická množina nad M,
právě když je podobná nějakému generickému ultrafiltru G v nějaké M-úplné Booleove
algebře Be M.
Důkaz. Předpokládáme, že a c: aeM a že o je generická množina nad M.
Množina
leží v Ob (a, M), protože pro relaci q = {(x,u)\ xeu& ue &M(a)} je q"a = q.
Je zřejmé, že &(a - o) n M = 0>M{a) - q. Jelikož 0>M{a)eM a třída Ob (a, M)
je uzavřená na rozdíly, je &(a - o) r\ M e Ob (o-, M). Zvolme relaci re M tako-
vou? že r"o- = 0>(a - o) n M .
366

3.23
Generická rozšířeni modelů
IV
Můžeme předpokládat, že Dom (r) c= a a Rng (r) c: <?M(a). Z relace r sestrojíme
v M symetrickou a antireflexivní relaci s ^ a x a takovou, že platí
(i) pro každé x e a je s"{x} n a = 0,
(ii) pro každou množinu c Q a — a modelu M existuje xeo takové, že cc
c= s"{x}.
Nechť st je relace na množině a definovaná vztahem
Si = {<x,y}:x,yea&x + y&ye !>"{*}}•
Položme 5 = s1us1~1. Je zřejmé, že s je symetrická, antireflexivní relace a seM.
Pro libovolné zea je r"{z} c ^(fl — <r) n M, proto s'í{z} ^ a — o. Tedy pro
každé zea je s'í{z} disjunktní se cr. Předpokládejme, že pro relaci s a pro nějaké
xea neplatí (i). Potom pro yes"{x}no je yea a buď <x, y)es,, nebo
<>,,x)es1. Množiny s'í{x} a s'í{y} jsou disjunktní se a, proto x a y nemohou
být současně v a. Dokázali jsme (i). Nyní ověřujeme (ii). Jelikož <?{a — a) n M =
= rV, pro libovolnou množinu ceM takovou, že c <^ a — o, existuje x ea,
pro které cer"{x}. Odtud je zřejmé, že c £ s"{x} £ s"{x}, a tedy platí (ii). Od
relace s přejdeme ke kvaziuspořádání < na množině a definovanému pro x, y e a
vztahem
x < y <->s"{x} 2 s"{y} .
Relace < leží v M a ověříme, že platí
(8) pro každé x, y e a existuje zea takové, že z < x a z < y,
(9) je-li x e a a x < y, potom y e <r,
(10) je-li množina ceM taková, že c £ a - a, pak existuje xea, které je
disjunktní (ve smyslu kvaziuspořádání) se všemi prvky množiny c.
Platí-li (8)—(10), říkáme, že o-je generický filtr nad M v kvaziuspořádané množině
<«, <>■
Je-li x, y gct, pak podle (i) je s"{x} u 5"{y} £ a — cr, a proto podle (ii) existuje
zea takové, že s"{z} 3 s"{x) u s"{y}. To znamená, že z < x i z < y a platí (8).
Nechť xecr a x < y. Potom s"{y} £= s"{x) ^ a — o. Kdyby y$a, potom podle
(ií) existuje zea takové, že s"{z] =2 s"{x] u {y}. Tedy <z, y>es a ze symetrie
dostáváme (y,z} es, odkud plyne zea — a, to je spor. Zbývá ověřit (10). Nechť
ceM a c ^ a — a. Podle (ii) existuje zea takové, že cí s"{z}. Ukážeme, že
z je disjunktní se všemi prvky množiny c, to znamená, že pro žádné x e c
neexistuje yea takové, že
(11) s"{y} =>s"{z}us"{x}.
Předpokládejme, že pro nějaké xec a yea platí (11). Jelikož (z,x}es, podle
(11) je také <y, x>e5 a ze symetrie dostáváme (x,y>es. Odtud a z (11)
plyne <y, y> e 5, to je spor s antireflexivností relace 5.
367

IV
3.23
Ověřili jsme, že a je generický filtr v kvaziuspořádané množině <i/, <>. Nyni
od kvaziuspořádání přejdeme k Booleově algebře. Snadno se nahlédne, že věta 2.17
platí i pro kvaziuspořádané množiny. Tedy každá neprázdná kvaziuspořádaná
množina určuje úplnou Booleovu algebru. Odtud plyne, že v modelu M existuje
M-úplná Booleova algebra B a zobrazení j e M takové, že j zobrazuje množinu a
na hustou podmnožinu Ba; zachovává (kvazi)uspořádání a disjunktnost. Ověříme,
Že G = {ueB:{3xea){j{x)<u)}
je generický ultrafiltr v algebře B. Z vlastnosti (8) množiny a plyne, že G je filtr.
Je-li H eM hustá množina v B, položme
c = {xea: j(x) < u pro nějaké ue H} .
Množina c leží v M. Ukážeme, že cna^O. Jinak by podle (10) existovalo yea
disjunktní se všemi prvky z c. Protože zobrazení; zachovává uspořádání i
disjunktnost, bylo by j(y) disjunktní se všemi prvky z H, a to není možné. Nechť xea n c
a ueH je takové, že j(x) < u, potom ueG. Ukázali jsme, že každá množina
H e M, která je hustá v B, má společný prvek s G. Odtud již plyne, že G je ultrafiltr
v B, protože pro libovolné v e B je množina
{ueB — {0}: u < v nebo u < -v}
hustá, tedy v nebo — v leží v G. Množiny a a G jsou podobné, protože a = ;~ {"G
a G — q"o, kde q = {(x, u):j(x) < u}. Ukázali jsme, že každá generická množina
a c M je podobná nějakému generickému ultrafiltru.
Zbývá ukázat, že každý generický ultrafiltr v M-úplné algebře BeM je
generickou množinou nad M. Dokážeme to v následujícím odstavci.
3.24 Jména podmnožin. Nechť B je Booleova algebra, a libovolná množina. Každou
funkci
(12) f:a-+B
nazýváme jménem podmnožiny množiny a.
Jde o zobecnění charakteristické funkce množiny. Míra náležení prvku xea
do podmnožiny se jménem /nemá pouze hodnotu 0 nebo 1, ale může mít libovolnou
hodnotu 0B < f(x) < 1B. Je-li dán ultrafiltr G v B, potom jméno (12) určuje
jednoznačně množinu
fG = {xea:f(x)eG}=f-l"G.
Je zřejmé, že množina fG závisí na volbě ultrafiltru G. Funkce /je tedy jménem nějaké
podmnožiny množiny a a jeho význam je určen teprve ultrafiltrem G jako množina
fG. I když jsme jména podmnožin zavedli obecně uvnitř celé univerzální třídy,
budeme je používat nejčastěji uvnitř nějakého tranzitivního modelu. Pro nějakou
M-úplnou Booleovu algebru BeM a množinu aeM budeme uvažovat jen
jména (12), která jsou také prvky modelu M.
368

3.27
Generická rozšíření modelů
IV
Předpokládejme, že G je generický ultrafiltr v M-úplné Booleově algebře B e Aí.
Ukážeme, že platí
(13) Ob (G,M) = {/c:/je jméno, feM} .
Nechť q = r"G, r je relace z Aí. Můžeme předpokládat, že Dom (r) £ R Položme
a = Rng(r). Z Aí-úplnosti algebry B plyne, že pro každé xea je /(x) = V>" ^'{x}
prvek z £. Tím je definována funkce f: a -> B a fe Aí. Podle (7) je x e r"G, právě
když /(x)e G. To znamená, že f~l"G = r"G neboli Q = fG. Ukázali jsme, že ve
(13) platí inkluze c, opačná inkluze je zřejmá.
Nyní snadno ověříme, že pro libovolný generický ultrafiltr G v B je třída obrazů
Ob (G, Aí) uzavřená na rozdíl, tedy G je vskutku generickou množinou nad Aí podle
3.19. Z (13) plyne, že místo relací můžeme uvažovat jména. Nechť f:a—>B,
g:b-+ B jsou z Aí. Pro každé xea položme h(x) = f(x) —Bg(x). Jelikož G je
ultrafiltr, pro každé xea platí
h{x)e G ^ f{x)e GSeg(x)$G .
To znamená, že hG = /G — #G, a tedy třída Ob (G, Aí) je uzavřená na rozdíl. Důkaz
věty 3.23 je úplný.
3.25 Příklad. Nechť B je M-úplná algebra v modelu Aí. Generický ultrafiltr G \ B
leží v Aí, právě když G = {xeB:u < x} pro nějaký atom u algebry B. Plyne to
z vlastnosti (7). Je-li B algebra bez atomů, pak žádný generický ultrafiltr v B není
prvkem Aí.
3.26 Věta o generickém rozšíření. Je-li M tranzitivní model ZF a G generická
množina nad M, potom existuje rozšíření N modelu M takové, ze
(i) Ob (C,M)= {oeN:Q^ Aí},
(ii) je-/i NL tranzitivní model ZF takový, že M ^ Nl a G e Nlt potom N <= /Vl4
Navíc, je-li M model ZFC, potom řa/cé N _/e mode/ ZFC.
3.27 Generické rozšíření. Rozšíření N s vlastnostmi (i) a (ii), jehož existenci zaručuje
věta 3.26, nazýváme generickým rozšířením modelu Aí a značíme ho N = Aí[G].
Je-li G generická množina nad Aí, je rozšíření Aí[G] výchozím modelem Aí a
generickou množinou G určeno jednoznačně, neboť Aí[G] je nejmenší rozšíření
modelu Aí, v kterém leží G. Podle 3.23 můžeme předpokládat, že generická množina G
je generickým ultrafiltrem v nějaké Aí-úplné Booleově algebře z Aí.
Věta o generickém rozšíření má dvě stránky. První je metamatematická a
zaručuje, že pro každou generickou množinu G nad Aí existuje rozšíření Aí[G], které
je modelem teorie ZF nebo ZFC. Důkaz tohoto tvrzení je stejný pro všechny
generické množiny a vrátíme se k němu později. Druhá stránka je spíše matematická.
Jde o to, že volbou generické množiny můžeme ovlivnit platnost či neplatnost
nějakého množinového principu (hypotézy) v generickém rozšíření. Tímto způsobem
se otázka bezespornosti nějaké hypotézy vzhledem k axiomům teorie množin
369

IV
3.27
převádí na kombinatorický problém, zda ve výchozím modelu M existuje Booleova
algebra s určitými strukturálními vlastnostmi. Tuto druhou stránku ukážeme na
několika příkladech.
Musíme se nejprve zabývat existencí generických množin, speciálně generických
ultrafiltrů v Booieových algebrách. Pro spočetné modely snadno získáme různé
generické množiny.
3.28 Věta. Je-li M spočetný tranzitivní model a BeM je Booleova algebra, potom
pro každé nenulové v e B existuje generický ultrafiltr G c; B nad M takový, že v e G.
Věta plyne z následujícího tvrzení o Booieových algebrách.
3.29 Věta (Rasiowa, Sikorski 1950). Pro libovolný spočetný soubor (Hn.n < w}
hustých podmnožin Booleovy algebry B a pro libovolné nenulové veB existuje
ultrafiltr F v B, který má společné prvky s každou množinou Hn a veF.
Důkaz. Rekurzí sestrojíme posloupnost (vn:n < a>> prvků z B takovou, že d =
= v0 > vx > ... a pro každé n je un + 1 eHn. Množina {vn\ n < co} je centrovaná
a každý ultrafiltr v B, který ji rozšiřuje, je hledaným ultrafiltrem.
Všimněme si, že podle Stoneovy duality věta 3.29 je algebraickým protějškem
Baireovy věty (l.29(c)) pro booleovské topologické prostory.
Důkaz věty 3.28. Připomeňme, že každá Booleova algebra v M je Booleovou algebrou
ve V. Ze spočetnosti modelu M plyne, že všech hustých podmnožin algebry B, které
leží v M, je nejvýše spočetně mnoho. Očíslujeme je <H„: n e co). Podle 3.29 existuje
ultrafiltr G v B takový, zeveGaHnr\G^0 pro každé n. Ultrafiltr G je generický
nad M.
3.30 Co platí v generickém rozšíření M[G], když je dána algebra BeM a v ní
generický ultrafiltr G, podstatně závisí na vlastnostech algebry JB a na tom, které
prvky ultrafiltr G obsahuje. Ukážeme, jak lze volbou Booleovy algebry zaručit,
aby v generickém rozšíření platil některý z následujících principů:
(i) hypotéza kontinua,
(ii) diamantový princip (III.2.40),
(iii) negace hypotézy kontinua,
(iv) každý skoro disjunktní systém na col má mohutnost nejvýše co2 a přitom
2^ = <o3.
Běžný důkaz bezespornosti hypotézy kontinua používá univerzum konstruovatel-
ných množin, v kterém platí GCH. Použijeme generické rozšíření k tomu, abychom
získali model, ve kterém platí hypotéza kontinua. Ukážeme přitom některé
základní techniky.
Budeme předpokládat, že výchozí model M je spočetný tranzitivní model ZFC.
Podle 3.28 tím bude zaručeno, že pro libovolnou M-úplnou Booleovu algebru BeM
existuje generický ultrafiltr GvBa Aí[G] je také model ZFC.
370

3 31
Generická rozšíření modelů
IV
3.31 Bezespornost hypotézy kontinua. Je-li M spočetný tranzitivní model ZFC,
existuje jeho generické rozšíření N = M\_G], v kterém platí 2W = coj.
Důkaz. Jelikož M je tranzitivní model, množina všech přirozených čísel je absolutní,
tedy a>M = co. V M platí axiom výběru, proto všechny podmnožiny přirozených
čísel modelu M lze očíslovat ordinálními čísly menšími než (2")^ a nějaké očíslování
(Aa:cc < (2W)M> existuje v M. Přitom (2W)M > co™. Využijeme toho, že kardinální
čísla nemusí být absolutní pro M, N. Stačí nalézt generickou množinu G tak, aby
v generickém rozšíření M[G] platilo
(i) existuje prosté zobrazení ordinálu (2W)M na cof,
(ii) neexistuje nová podmnožina přirozených čísel, to znamená, že neexistuje
Xcoj taková, že X e M[G] - M* jinými slovy &m((jo) = ^M[G](a)\
(iii) co1? zůstává kardinálním číslem, neboli cof = cú^[g].
Z podmínek (i)-{iii) již plyne, že v M[G] lze všechny podmnožiny přirozených čísel
očíslovat pomocí ordinálních čísel menších než cú^[g\ a tedy v rozšíření M[Cf\ platí
2m = cov
Všimněme si, že na základě (iii) je (i) ekvivalentní s tím, že v M\G\ existuje zobrazení
q kardinálu cof na (2£0)w. Aproximacemi takového zobrazení o ve výchozím modelu
Mjsou všechny funkce feM, které jsou v M spočetné s Dom (/) c atf a Rng(/) c
c (2")^. To nás přivádí k uspořádané množině F(a)li2to,ojJ z 2.25(f) a jí určené
úplné Booleově algebře C(cols 2W, coj, které uvažujeme uvnitř modelu M. Tedy
C = CM(coly2<ůicúl) je M-úplná algebra v M s hustou množinou F = FM(a)l,2<a,a)l).
Nechť G je ultrafiltr v C, který je generický nad M. V generickém rozšíření M[G]
definujeme
Q = [){feF:feG}.
Množina £ je definovaná pomocí FeM a GeAífC], proto g6Aí[G]. Ověřujeme,
že q je zobrazení co^ na (2")*'. Jelikož G je filtr a množina F je uspořádaná obrácenou
inkluzí, libovolné funkce fl,f2eF r\G musí být kompatibilní a /, A /2 = f{ u /2 6
6 G, tedy /t u /2 je opět v F nG. Odtud plyne, že q je zobrazení. Využijeme gene-
ričnosti ultrafiltru G, abychom dokázali, že q je definované na celém co*? a že
Rng(e) = (2C,)M. Nejprve se přesvědčíme, že pro každé a < co*1 je
Da = {/EF:aEDom(/)}
hustá podmnožina algebry C. Pro dané a stačí ukázat, že každá funkce g e F má
prodloužení z Da. Je-li oc e Dom (g), pak přímo g e Da. Pokud a <£ Dom (#),
prodloužení g u {<a, 0>} je v Da. Množina Da je hustá v C. Tedy pro každé oc < cof
existuje feDanG a to znamená, že / g: g a oce Dom (e). Odtud dostáváme
Dom(e) = wf.
Podobně ověříme, že pro každé /? < (2co)M je
^ = {/6F:/?GRng(/)}
hustá množina v C. Každé # e F je spočetná funkce v M, proto cof — Dom (g) =f= 0.
371

IV
3.31
Jakmile g $ Rp, vezměme nejmenší a e w1? - Dom (g) a položme gu{<oc, $>}.
Získali jsme prodloužení, které je v K^, proto množina Rp je hustá. Tedy pro každé
P < (2W)M existuje feRpnG a to znamená, že / c o a /? e Rng (o). Ověřili jsme,
že q zobrazuje co^ na (2")^. Odtud a z caf < (2")M plyne, že v M[ď\ existuje prosté
zobrazení (2a)M na co1. Dokázali jsme (i).
K důkazu (ii) a (iii) využijeme distributivnosti algebry C. Uspořádaná množina
F(oo[. 203, o)í) je coi -uzavřená (2.33) a z toho plyne (oj, cc)-distributivnost úplné algebry
C(ťu1,2ů,,(u1). Tedy algebra C je (co, oc)-distributivní v M. Z následujícího tvrzení
3.32 plyne, že v Af[G] neexistuje žádné nové zobrazení z co do libovolného ordinálu
a < OnM. Tedy v M[G] neexistuje ani nová podmnožina přirozených čísel (funkce
z co do {0, l}), ani zobrazení z co na cof. Proto cof zůstává kardinálním číslem i v
rozšíření M[G]. Máme tím dokázáno (ii) a (iii), a tedy v M[G] platí hypotéza kontinua.
3.32 Věta. Nechť x a X > 2 jsou kardinální Čísla modelu M. Nechť v M platí, že B
je úplná (x, /)-distributivní Booleova algebra. Je-li G libovolný ultrafiltr v B, který je
generický nad M, potom v M[G^ neexistuje nové zobrazení z x do X. Speciálně se
v M[G] nepřidá nová podmnožina kardinálu x, tedy &M(x) = P?M[G](x) a všechna
kardinální čísla menší nebo rovna x+ v modelu M jsou také kardinálními čísly v
rozšíření M^G].
Důkaz. Mějme v M úplnou (x, A)-distributivní algebru Bavní ultrafiltr G generický
nad M. Nechť q: x -► X je libovolné zobrazení v generickém rozšíření M[G]. Chceme
ukázat, že ge M. Jelikož q c x x Xe M, je ^ podmnožinou výchozího modelu M,
a proto podle (13) existuje nějaké jméno /: (x x X) -* B takové, že fe M a g = fG.
To, že / je jméno nějakého zobrazení, umožňuje sestrojit v M nové jméno
v.x x X -> B takové, že vG = g a pro každé a < x soubor <t;(a,/?):/? < X}
sestává ze vzájemně disjunktních prvků algebry B a jeho spojení dává 1.
Konstruujeme v M jméno v. Pro každé a < x a p < X položme
v(a,fi) = f{zJP)-\/{f(*,y):y<p}.
Je zřejmé, že v(ol, P) < f(ot,P). Jelikož q = fG je zobrazení, pro každé a < x existuje
jediné Pa < X takové, že /(a, pa) e G. Odtud a z vlastnosti (7) generického ultra-
flltru dostáváme
\/{f(z,y):y<Pa}íG a v(*Ja)eG.
Ověřili jsme, že pro libovolné a < x a p < X platí
(14) v(x,p)eG~f(<x,p)eG,
tedy vG = fG = g. Pro každé a < x soubor <u(a, P): P < X) sestává ze vzájemně
disjunktních prvků. Můžeme předpokládat, že \J{v(ol, P)\ P < X) = 1. Pokud tomu
tak není, doplněk spojení můžeme přidat k u(a,0). Tím neporušíme disjunktnost
ani (14). Získali jsme tak (x, A)-matici <u(a, P):a < x, P < X) prvků algebry B
takovou, že nenulové prvky z každého řádku tvoří rozklad jednotky. Máme x rozkladů
a každý má mohutnost nejvýše X. Z distributivnosti algebry B plyne existence jejich
372

3.33
Generická rozšíření modelů
IV
společného zjemnění QeM, které je také rozkladem. Podle (7) je Q n G ^ 0
a protože prvky Q jsou navzájem disjunktní, existuje jen jediný prvek u e Q, který
náleží do G. Pro tento prvek u definujme
h = {<a, 0>: a <x, 0 < A, u < u(a, JSI)} .
Je zřejmé, že h je zobrazení xdola he M, protože je definováno uvnitř M bez
použití generického ultrafiltru. Jelikož h = q, leží q ve výchozím modelu M.
Dokázali jsme, že v rozšíření MIC}] se nepřidá nové zobrazení x do A. Odtud
plyne, že pro libovolnou množinu xeM mohutnosti x (v M) se v M[G] nepřidá
žádné zobrazení množiny x do A. Speciálně se nepřidá funkce z * do {0,1} a to
znamená, že se nepřidá nová podmnožina kardinálu x. Nepřidá se tedy ani nová
relace na x.
Připomeňme, že každé kardinální číslo rozšíření M[G\ je kardinálním číslem
výchozího modelu M. Je-li x kardinál v M, odtud plyne, že mezi kardinálními čísly x
a (x+)M neexistuje nové kardinální číslo v M[G]. Ukážeme, že každé v < x + , které
je kardinálním číslem v M, je také kardinálním číslem v M[G]. Předpokládejme, že
nějaké kardinální číslo v < x+ v M není kardinálním číslem v M [G]. To znamená,
že existuje ordinální číslo a < v a vzájemně jednoznačné zobrazení aeM\_G]
ordinálu a na v, přitom a < x. Relace
R = {<{^>:{^<a&<x({)<<7(ř|)}
je dobrým uspořádáním množiny a podle typu v v M[(j] a R cz x x x. Jelikož
typ dobrých uspořádání je absolutní a a < v, R nemůže ležet v M, a to je spor.
Důkaz je skončen.
Absolutnost dalších kardinálních čísel je dána saturovaností Booleovy algebry (2.4).
3.33 Věta. Nechť B je úplná Booleova algebra v M a její saturovanost v M je x. Je-li G
libovolný ultrafdtr v B, který je generický nad M, potom všechna kardinální čísla modelu
M, která jsou větší nebo rovna x, zůstávají kardinálními čísly v rozšíření
Speciálně, je-li sat (B) < co^, pak všechna kardinální čísla i jejich kofinality jsou
absolutní pro M a M\jj\.
Důkaz. Nechť v M platí sat(B) = x. Nechť a je kardinální číslo v M a X > x.
Uvažujme libovolné zobrazení q\ v -> X z generického rozšíření M[ď\ definované
na nějakém v < X. Abychom ověřili, že X je také kardinálním číslem v M[G], stačí
ukázat, že q nezobrazuje v na celé X. Jelikož q je zobrazení, (jcvx]eM,z důkazu
věty 3.32 víme, že v M existuje jméno v: (v x X) -> B takové, že řádky matice
<u(a, j3): a < v, j3 < A) sestávají z disjunktních prvků a pro každé a < A je @(a) = /?,
právě když ufot^jeG, Pro každé a < v položme A^ = {/? < A:u(a,/?) =(= 0}-
Soubor </la:a < v> i množina A = U(^a:a < v} ^ezí v M. Ze saturovaností
algebry B plyne \Aa\ < x pro každé a < v. Jelikož q(ol) e Aa, můžeme říci, že
<v4a: a < v> je roura v M všude o průměru menším než x, kterou prochází
zobrazení q. Pokud v > x, potom v Aí máme \a\ < v . x < v < A, a proto Rng (q) c= A + A.
373

IV
3.33
Je-li v < x, z regularity x (viz 2.5) dostáváme \a\ < x < A, tedy opět Rng(#) =f= ^~
Ověřili jsme, že X zůstává kardinálním číslem v M[G].
Nyní předpokládáme sat (B) < oj™ . To znamená, že každá disjunktní množina
v B ležící v M je v M nejvýše spočetná. Uvědomme si, že z absolutnosti kofinality
plyne absolutnost kardinálních čísel. Je-li č, limitní ordinální číslo se spočetnou kofi-
nalitou v M, má také spočetnou kofmalitu v Aí[G]. Předpokládejme, že cfM(^) > oj
a v < cfu(c;). Každé zobrazení q:v-+č, v M\_G\ prochází nějakou rourou
(Aa:a < v> e M, která má všude v M nejvýše spočetný průměr. Jelikož \á\ <
< oj . v <c{M(X), ani množina A> ani Rng(^) c A nejsou kofínální podmnožiny
ordinálu £. Dokázali jsme cf*'(£) = cť"101^).
Metoda užitá v důkazech předchozích dvou vět dává víc.
3.34 Důsledek. Nechť B je úplná Booleova algebra v M, pro kterou v M platí:
sat (B) = x a B je (v, 2)-distributivní pro každé v < x. Je-li G generický ultrafiltr
v B, potom všechna kardinální čísla i jejich kofinality jsou absolutní pro M a M[G\
3.35 Příklady, (a) Předpokládejme, že v M je x nekonečný kardinál. Uvažujme
kolapsující algebru C = C(oj, x) v M, která má množinu F = {/: n -> x: n < oj}
uspořádanou opačnou inkluzi jako hustou podmnožinu (viz 2.25(e)). Je-li G
ultrafiltr v C generický nad Aí, potom v rozšíření M[G] je
Q = [J{feF:feG}
zobrazení oj na x. Tedy v Mlč] lze každý nekonečný kardinál X < x v M zobrazit
na co. Říkáme, že X se kolapsuje na oj. Jelikož v M je sat (C) = x +, všechny
kardinály X > x+ v M zůstávají kardinály i v rozšíření. Speciálně ojM{G] = (x + )M.
(b) Uvažujme v M algebru C(oj2, 203\oj2) a v ní generický ultrafiltr G. Podobně
jako v 3.31 lze ukázat, že v M[G] platí 2"1 = oj2. Přitom PM{o)x) = PM[G]{o){),
(2CU1)M se kolapsuje na oj2, všechny kardinály X v Aí takové, že X < cd^ nebo
X > ((2WI) + )M jsou absolutní. Platí-li navíc ve výchozím modelu M hypotéza
kontinua, platí i v M[G].
3.36 Bezespornost diamantového principu O. Libovolný spočetný tranzitivní model
M teorie ZFC má generické rozšíření N, ve kterém platí O.
Důkaz. Chceme, aby v rozšíření N platilo: existuje posloupnost množin A =
= <v4a:a < oj^ taková, že pro každé a je Aa ^ a a pro libovolné X ^ oj1
a libovolnou uzavřenou neomezenou množinu C v oj1 existuje cceC, pro které
Aa = X n a.
Obvyklá myšlenka je konstruovat hledaný objekt pomocí jeho aproximací ve
výchozím modelu. Uvažujme v M množinu P všech posloupností p — (A^. Q < a>
nejvýše spočetné délky a < oj1 takových, že A, e £ pro libovolné č, < a.
Množinu P uspořádáme opačnou inkluzi. Nechť B je úplná Booleova algebra v M určená
uspořádanou množinou P. Zvolme ultrafiltr G v B generický nad M. Ověříme, že
v generickém rozšíření N = M[G~] platí
374

3.36
Generická rozšíření modelů
IV
(i) Cof = Cof^,
(ii) neexistuje nová podmnožina žádného ordinálu a < a>p
(iii) A = U{peP:peG} je O-posloupnost.
Část (i) a (ii) plyne z 3.32, protože uspořádaná množina P je cot-uzavřená v M, a B
je proto (co, oo)-distributivní.
Ověřujeme (iii). Jelikož G je filtr, libovolné posloupnosti p,qeG musí být
kompatibilní, a to znamená, že jedna je prodloužením druhé. Odtud víme, že A je
posloupnost. Z generičnosti G plyne, že její délka je cop protože pro každé a < co1
je množina [pe P: aeDom(p)} hustá v B. Dále je zřejmé, že pro každé £ < col
je A^ c £. Buď X c tOj množina z M[G], zvolme v M její jméno f:col -> J5,
fG =■ X. Z (co, oo)-distributivnosti algebry £ plyne, že v M existuje zjemňujicí se
soubor <Q(a):a<co1> rozkladů jednotky takový, že každé Q(a) zjemňuje
{{/(£), -/(í)}:^ < a}. Tedy pro každé ueQ(a) a pro každé č < a je buď w < /(£),
nebo u je disjunktní s /(<!;). Nechť C c co1 je uzavřená neomezená množina z M[G],
nechť g: co1 -* B je její jméno v M, gG = C. Neomezenost množiny C říká, že pro
každé P < o)x existuje y > p takové, že ysC. V booleovských hodnotách to
podle (7) znamená, že pro každé p < Wy je
(15) w/J = VWy)^<7<^1}6G.
Odtud dostáváme
Prvek w^O, protože leží v G. Z (15) plyne, že pro každé peP, p < w a každé
p < cot existuje y > /? takové, že p a g(y) jsou kompatibilní.
Hledáme aeC takové, že pro a-tý člen Aa posloupnosti A platí Aa = X n a.
K tomu účelu sestrojíme vhodnou množinu hustou v algebře B \ w.
Zvolme libovolně p e Pt p < w délky a0. Konstruujeme rekurzí pro přirozené n
posloupnost prodloužení
(16) P = Po> Pi> Pi> •■■ zP>
rostoucí posloupnost spočetných ordinálnich čísel
(17) a0 < y0 < ccx < y\ < a2 < y2 ...
a klesající posloupnost
(18) u0 > ul > u2 > ... prvků uneQ(an).
Známe-li pn a an, pak existují yn > an a un e Q(an) tak, že p„ A #(yj A un je
nenulové; protože Q(oin) je rozklad 1, existuje un e Q(an) takové, že p„ A t<n =f= 0, a
jelikož pn < p < w, je i pn A u„ < w, a tedy kompatibilní s nějakým g(yn) pro
yn > a„. Vybereme pn+] e P tak, aby délka an + 1 posloupnosti pn+ t byla větší než
y„ a pn+1 < pM A g(yj A un. Tímto postupem získáme (16), (17), (18). Položme
375

IV
3 36
a = supa, = sup?,,, p^ = U{Pn:" < ^}> \ = K < a:/(č) > pw}
a definujme
<p(p) = p«^ {<«, o} •
Množina H = {(p{p)'- pe P, p < w} je zřejmě hustá v B\w, a proto H n G -f 0.
Nechť p g P je takové, že <p(p) e H n G. To znamená, že <p(p) je počáteční úsek
posloupnosti A. Nechť a + 1 je délka cp(p), potom Ya = Aa.
Jelikož pro každé yn z(17) je g(yn) > pn + i > <p(p), je yn eC Z uzavřenosti
množiny C plyne, že a = sup yn e C. Zbývá ověřit, že pro poslední člen /4a posloupnosti
<p(p) platí Aa = X n a. Nechť £ e /4a, pak £ < a a f(č) > p^ > <p(p) e G, tedy
c, e X n a. Pokud ^ < a a Š$Aa, pak z definice prvků un plyne, že /(í) je
disjunktní s <p(p), proto /(<;) £ G. To znamená, že č,£ X n a. Ověřili jsme, že
Aa — X c\ a. Důkaz je hotov.
3.37 Poznámka. Podle III.2.41 z O plyne CH. Tedy bezespornost hypotézy kontinua
jsme právě ukázali podruhé. Na druhé straně O platí i v našem prvním modelu
z 3.31. Je-li dán model M, pak v M sestrojené algebry C = Cm{oj^ 2W, a^) aBz 3.36
jsou izomorfní v M. Generický ultrafiltr Gx v C se izomorfismem algeber převádí na
generický ultrafiltr G2v5, tedy G^ G2 jsou podobné generické množiny. Odtud
plyne M[G{] = M[G2\
3.38 Bezespornost negace hypotézy kontinua. Libovolný spočetný tranzitivní model M
teorie ZFC má generické rozšíření N, ve kterém platí 203 > co{. Speciálně, platí-li
v M 2W = wl9 pak existuje jeho generické rozšíření, ve kterém platí 2" = oj3.
Důkaz. Hledáme generické rozšíření N modelu M, které přidává hodně nových
podmnožin přirozených čísel. Charakteristické funkce podmnožin množiny co jsou
aproximovány konečnými posloupnostmi nul a jedniček.
Zvolme v Aí nekonečné kardinální číslo x a uvažujme v M množinu F = F(k 2)
z 2.25(a), tedy množinu
F = {p:x ->{0, i}:X c x, X konečné}
uspořádanou opačnou inkluzí. Nechť C(x) značí úplnou Booleovu algebru v M
určenou množinou F. Pro libovolný generický ultrafiltr G v C(x) máme generické
rozšířeni N = M[G]. Jelikož v M platí sat(C(*)) = coli jsou podle 3.33 všechna
kardinální čísla a jejich koílnality v M[_G] stejné jako v M. Ověříme, že v rozšíření iV =
= M[G] platí
(i) 2«>x,
(ii) T3 = (xw)M ; mohutnost kontinua v M\G\ je rovna kardinálnímu číslu
v? modelu M.
V M[G] položme £ = \J{feF\fe G}. Každá konečná posloupnost peF
má pro libovolné a < x prodloužení g e F takové, že a e Dom (g\ proto £> je
funkce definovaná na celém x s hodnotami v {0, l}. K důkazu (i) potřebujeme uká-
376

3.41
Generická rozšíření modelů
IV
zat, ževiV existuje alespoň x podmnožin přirozených čísel. Pro každé a < x
definujme v N funkci £a: o -* {0, 1} tak, že pro každé přirozené n je Qa(n) — q(ol -f n\
kde a -f n značí součet ordinálních čísel. Ověříme, že funkce ga, qp jsou různé pro
různá a, (1 < x. Zvolme a < x a konstruujeme hustou podmnožinu H e M
algebry C{x). Vezměme libovolné pe F, p: X -> {0, 1}. Jelikož X je konečná
podmnožina limitního ordinálu, existuje přirozené np takové, že a + np i P + np neleží
v X. Přitom a =f= /?, proto a -f np =(= 0 + V Položíme-li
<p(p) = pu{<a + np,0>,<č + np,l>},
pak p c cp(p)eF. Tedy množina H = {<p(p):peF} je hustá v C(x) a definovaná
v M, proto //nG^O. Buď p g F takové, že <p(p) e G. Potom <p(p) c g a pro n
platí £a(np) = 0 a (ty(rtp) = 1. Tedy ga a ^ jsou různé funkce. Ukázali jsme, že
v M[G~\ existuje alespoň x různých charakteristických funkcí na co, proto v MIC}]
platí T3 > x.
Pro důkaz (ii) uvažujme množinu
J = {feMJ:co->C{x)}
všech jmen podmnožin přirozených čísel, která jsou v M. Počítáme v M mohutnost
množiny J. Jelikož \f\ = x a každý prvek algebry C(x) lze vyjádřit jako spojení
nejvýše spočetně mnoha prvků z F, je |C(x)| < *"', a proto |j| < (x0))(:) = x°\ Odtud,
z absolutnosti kardinálních čísel a rovnosti PM[G\(o) = [jG: j eJ\ dostáváme
(2«)"[G] < (x-)m Z (i) a zřejmého faktu {x")M < {^f^ plyne opačná nerovnost;
dokázali jsme (ii).
Speciálně, platí-li ve výchozím modelu 2W = co^ platí v M také CO3 = co3. Tedy
v rozšíření N = M[G] přes algebru C(co3) platí 2" = co3.
3.39 Z konstrukce generických rozšíření pro negaci CH je zřejmé, že volbou
kardinálu x můžeme získat různá rozšíření, ve kterých je kontinuum libovolně veliké.
Jinými slovy, teorie ZFC nedává žádnou horní mez pro mohutnost množiny všech
reálných čísel.
3.40 Vracíme se k systémům skoro disjunktních množin na a>lt krátce k AD
systémům. Podle III. 1.13 víme, že vždy na a^ existuje AD systém mohutnosti 032. Zdi
předpokladu hypotézy kontinua existuje AD systém na a^ maximální možné
mohutnosti 2"11 (III. 1.15). Ukážeme, že bez dodatečných předpokladů, to znamená
pouze v ZFC, to dokázat nejde. Použijeme k tomu vhodné generické rozšíření
a z kombinatoriky rozkladovou šipku
(19) (2-r - kx
z věty Erdóse a Rado (III.4.73).
3.41 Věta (Baumgartner 1976). Nechť M je spočetný tranzitivní model ZFC,
ve kterém platí 2Wl = co2. Předpokládejme, že N je nějaké generické rozšíření modelu
377

[V
3.41
M přes M-úplnoa Booleovu algebru B e M, pro kterou v M platí sat (B) < a>r Potom
v rozšíření N platí:
(20) každý AD systém na coj má mohutnost nejvýše oj2 .
Speciálně, vezmeme-li v M algebru C(co3) z 3.38 a v ní generický ultrajiltr G, potom
v M[G] platí (20) a 2" - 2"1 = co3.
Důkaz. Nechť5jeM-úplnáBooleova algebra v M, pro kterou v M platí sat (B) < a^.
Nechť N = M[G], kde G je generický ultrafiltr v B. Podle 3.33 jsou všechna
kardinální čísla absolutní pro Ma/V. Nechť A je libovolný AD systém na cd{ v rozšíření N.
Chceme dokázat, že v iV platí \a\ < co2- Dokazujeme sporem. Předpokládáme,
že systém A má v N mohutnost co3. Dále pracujeme v N = M[G]. Zvolme prosté
očíslování </la:a < co3> systému /4. Každá množina A je nespočetná a A% c o^.
Pro a 41 j5 je průnik Xa n ,4^ nejvýše spočetný, proto existuje y < a>{ takové, že
Aa n By c y. Definujme zobrazení p: [co3]2 -► co i tak, že
<?({*> 0})= min {>*: AznÁp^ y] ■
Přitom q c [co3]2 x a^eM, tedy pro £ existuje jméno tf:([co3]2 x a^)-> B
takové, že v e M a pro každé {a, P) e [co]3 soubor
(21) <»(kP},y):y<G>i>
sestává z disjunktních prvků algebry J3. Využijeme toho, že B má malou saturovanost.
V souboru (21) je nejvýše spočetně mnoho nenulových prvků, to znamená, že pro
a 4= P existuje 5 = /({a,/?}) takové, že pro každé y >ó je v({a, /?), y) = 0.
Získali jsme tak zobrazení /: [co3]2 -> oj1, které je v M. Podle předpokladu v M
platí 2">l = co2, a tedy podle (19) také co3 -* (aj2)^. To znamená, ževAÍ existuje
množina X c: co3 mohutnosti co2 a číslo č, < ojy takové, že pro libovolná různá
aJeX je/({a,0}) = {.
V M[G] tedy platí: q je všude menší než f, neboť £ = vG a pro různá a, PeX
je 4 n ^ c £. Uvažujme systém D = {Aa - č: ae X}. Množiny Aa jsou
nespočetné a c < a^, proto D sestává z co2 neprázdných vzájemně disjunktních
podmnožin kardinálu a>1? a to je spor.
Dokázali jsme, že v M[G~\ je co2 horní mez pro mohutnost systémů skoro
disjunktních množin na coL. Speciálně algebra C(co3) v M má saturovanost a^ a podle
3.38 v generickém rozšíření přes tuto algebru C platí 2U — <x>3. Současně platí
2*01 = co3, protože jmen podmnožin kardinálu wl v M je nejvýše co^1 = čj3.
3.42 Podle věty Rasiowé a Sikorskeho na každé Booleově algebře existuje filtr
(ultrafiltr), který prochází předem zvoleným spočetným systémem hustých
podmnožin. Víme, že pokud Booleova algebra B nemá atomy, nemůžeme chtít, aby
existoval (ve V) filtr, který prochází všemi hustými podmnožinami algebry B. Jedním
z kombinatorických principů, které zaručují existenci filtrů procházejících i
nespočetně mnoha hustými množinami, je Martinův axiom.
378

3.46
Generická rozšíření modelů
IV
3.43 Definice. Martinův axiom, (i) Nechť x je nekonečné kardinální číslo.
Martinův axiom pro x, krátce MAx, je tvrzení: Je-li B libovolná Booleova algebra,
která má sat (B) < col, pak pro každý systém {#a:a < x} nejvýše x hustých
podmnožin algebry B existuje filtr na B, který má společný prvek s každou
množinou Ha.
(ii) Martinův axiom MA je tvrzení: (Vx < 2a,)(MAj.
Všimněme si, že MAW je speciální případ věty 3.29, a tedy MA je důsledkem
hypotézy kontinua. Zajímavější je Martinův axiom MAcui nebo MA -f —iCH. Ve 3.47
dokážeme, že
MA, -> x < 2" a 2° = 2* .
Tedy z MA plyne, že pro každé nekonečné x < 2W je (2W)X = 2" a 2(0 je
regulární kardinální číslo.
3.44 Bezespomost Martinova axiomu spolu s negací hypotézy kontinua dokázali
Solovay a Tennenbaum (1971).
Věta. Nechť M je tranzitivní model ZFC a X nespočetný kardinál v M, pro který v M
platí X<x — X. Potom existuje M-úplná Booleova algebra Be M taková, že v M platí
sat (B) = (úí a je-li G libovolný ultrafiltr v B generický nad M, potom v rozšíření
M[G] platí MA + 2" = X.
Důkaz tohoto tvrzení používá iterování generických rozšíření a lze jej nalézt
v knize T. Jecha (1978).
Seznámíme se s některými důsledky MA -f ~iCH.
3.45 Věta (MAX). Nechť (Aa:oL < x} je soubor spočetných podmnožin dané
množiny X takový, že pro libovolné ol < P < x je průnik Aa n Ap konečný. Potom pro
libovolné l c x existuje množina S c= X taková, že \s\ = \X\ a pro každé a < x
platí
\Aa n S\ < co «-» a e I .
Nejprve ukážeme použití této věty, její důkaz je v 3.50.
3.46 Lemma, (i) (MA,). Každý nekonečný MAD systém na co má mohutnost větší
než x.
(ii) (MA). Každý nekonečný MAD systém na co má mohutnost 2°\
Důkaz, (i) Nechť A = </la:a < X) je libovolný nekonečný MAD systém na co.
Pokud X > x, jsme hotovi. Předpokládejme, že X < x. Jelikož z MAX plyne MAA,
můžeme ve větě 3.45 nahradit x kardinálem X. Položíme-li I = X, X — co, pak
množina S z citované věty je nekonečná, S <= co a je skoro disjunktní se všemi Aa.
Tedy A není maximální, spor.
(ii) plyne z (i).
379

IV
3.47
3.47 Lemma. Z MAX plyne x < TJ a 2* = 2\
Důkaz. Z předchozího tvrzení 3.46 plyne, že existuje AD systém </4a:a < x) na
co mohutnosti x. Pro každou množinu / c= x zvolme množinu Sj ^ cú zaručenou
včtou 3.45. Jsou-li l,J^x různé podmnožiny, potom pro a ze symetrické diference
/AJ má množina Aa s jednou z množin S7, S, průnik konečný a s druhou
nekonečný. To znamená, že St ={= Sj. Získali jsme prosté zobrazení 0>{x) do ^(co), a tedy
2" < 2W. Odtud azw<x<2x máme x < 2° a 2* = 2".
3.48 Silně skoro disjunktní množiny na cov Je-li D AD systém nawp pak všechny
množiny z -D jsou nespočetné a libovolné dvč různé množiny z D mají nejvýše
spočetný průnik. Ptáme se, zda může existovat AD systém na co1? který má mohutnost
alespoň w2 a libovolné dvě různé množiny z D jsou silně skoro disjunktní, to
znamená, že mají konečný průnik.
Hypotéza kontinua dává negativní odpověď. Předpokládáme-li CH, existuje
očíslování (X^. £ < a^) všech spočetných podmnožin kardinálu cúv Je-li < Y2: a < co2>
libovolný soubor nekonečných podmnožin kardinálu o^, můžeme ke každé
množině Ya zvolit £ = f(a) takové, že X^ c= Ya. Přitom / nemůže být prosté zobrazení
oj2 do coj, proto existují různá a, /? taková, že K3 i Y^ obsahují stejnou spočetnou
podmnožinu, tedy průnik Yx n Yp je nekonečný.
Na druhou stranu, MAa)i dává kladnou odpověď.
3.49 Věta. (i) (MAW1). Existuje systém silně skoro disjunktních množin na cop
který má mohutnost w2.
(ii) (MA + ~1CH). Na <jjx existuje systém silně skoro disjunktních množin, který
má mohutnost >co2 a je maximálním AD systémem na cov
Důkaz, (i) Vezměme libovolný AD systém <Ca:a < co2> na aj{ mohutnosti co2.
Podle III.1.13 takový systém existuje. Hledaný systém D = <Da: a < co2}
konstruujeme rekurzí tak, že pro každé a < co2 je Da c Q. Pro libovolné a < w1
položme Da = Ca — (J{C^:^ < a}. Tedy {Da:<x < a^} sestává z nespočetných
a vzájemně disjunktních množin. Předpokládejme, že pro dané £, wl < C < co2
máme již sestrojeny množiny D3 pro všechna a < Č, a konstruujeme množinu D^.
Uvědomme si, že průnik C^n Da ^ C^n C3, a proto je nejvýše spočetný. Položme
,4 = {CínDI:a<{ a |C?- n Dj = o} .
Je zřejmé, že \a\ < ců1 a A sestává ze spočetných vzájemně skoro disjunktních
podmnožin množiny X = C^. Z MA^, podle 3.45, existuje nespočetná množina
S c: Q, která má s každou množinou z A konečný průnik. Položíme-li Dč = S,
pak pro každé a < č, je D^n Da konečná množina. Důkaz (i) je hotov.
Důkaz (ii) je snadnou modifikací důkazu (i). Využije se zvolené očíslování
<Fa:a < 2") množiny [wj^1 a MAX pro každé x < 2W. Množinu Da hledáme
jako část Ya jenom v tom případě, že {Ya} u {Dp: fí < a} tvoří skoro disjunktní
systém.
380

3.50
Generická rozšíření modelů
IV
Podle věty 3.44 můžeme získat model MA + 2W = co3 pomoci algebry, která má
saturovanpst co{. Tedy podle 3.41 je bezesporné
MA -f —iCH + „neexistuje MAD na cd1 mohutnosti 2"1".
Proto tvrzení 3.49(ii) neplatí, nahradíme-li mohutnost >a)2 mohutností 2C0\
3.50 Důkaz vety 3.45. Nechť A — (Aa:u. < x) je soubor vzájemně skoro
disjunktních spočetných podmnožin množiny X. Můžeme předpokládat, že X =
= UMa:a < x}' a Proto M ^ x- Uvažujme množinu funkcí
P= {p:Dom(p) = {J{A2:oleJ}u 7,
kde J ^ /, Y ^ X jsou konečné podmnožiny,
Rng(p)<= {0,1} a p_1[{l}] je konečné}
uspořádanou opačnou inkluzí. Všimněme si, že pro každé pe P je X - Dom (p)
nekonečná a Dom(p) nejvýše spočetná množina. Označme V(p) — p~ l[{ l}],
je to konečná množina. Nechť B je úplná Booleova algebra určená uspořádanou
množinou P. Ověříme, že sat^)^^. V opačném případě existuje soubor
<pa:a < &»!> vzájemně disjunktních prvků z D. Potom (V(pa):a. < c/Jt> je
nespočetný soubor konečných množin. Podle tvrzení o A -systémech (III. 1.18) existuje
nespočetná množina indexů L ^ o)l taková, že <K(pa): a e L> je A -soubor s
nějakým jádrem W. Zvolme a e L. Jelikož |Dom (pa)\ < o a L je nespočetné,
existuje P e L, $ =f= a takové, že Dom (pj r\ V(p^) — W. Odtud plyne, že pa u p^ e P
a pa\j pp je prodloužením pa i p^. To je spor s disjunktností pa, pp. Ověřili jsme
sat(B) < col, a proto můžeme použít MA,, pro algebru B.
Hledáme systém C hustých podmnožin algebry B tak, aby \C\ < x a aby pro
zvolený ultrafiltr G v B, který prochází všemi množinami z C, zobrazení
Q = \J{peP:peG}
bylo charakteristickou funkcí hledané množiny S *= £_1[{l}] ^ X. Do C dáme
každou množinu
H(a,n) = {pG?:|.42n K(p)| > n}
pro oiGX — I a přirozené h. Ověříme, že H(a, n) je hustá. Je-li dáno q e P
s Dom(g) = (Jj/l^i^G J] u Y, pak a<£ J. Jelikož množiny z /l jsou skoro
disjunktní, je Aa — Dom(g) nekonečné. Vezměme libovolnou množinu Yn c
^ Aa — Dom(q) o n prvcích, pak prodloužení q u(7n x {l}) je v H(<x,n), tedy
H(a, n) je hustá podmnožina algebry B. Ultrafiltr G prochází všemi množinami z C
proto existuje pe G n H(a, n) a p ^ Q. Odtud dostáváme |S n Aj > n. Jelikož
n je libovolné, je průnik S n Aa nekonečný.
Dále dáme do C množiny
H(a)= {peF:^c Dom (p)}
381

IV
3 50
pro každé ctel. Ověříme, že H(cc) je hustá v B. Mějme qeP s Dom (q) =
= (JÍ^V /?e J} u Y. Je-li a e J, pak q e H(a). Pokud a<£J, je /4anDom(g)
konečná množina a p = q u ((/la - Dom (q)) x {0}) je prodloužení <j, které leží
v H(ol). Tedy H(cc) je hustá množina a p € H(a) n G zaručuje, že průnik S n Aa ^ Vp
je konečný.
Zbývá zaručit |S| = \x\. Rozlišíme dva případy.
(i) Množina X je spočetná. Zvolíme její dobré uspořádání -< podle typu co.
Pro každé x € X dáme do C množinu
D{x) = {PEP:{3y>x){yzV(p))).
Množina D(x) je hustá v B a p e D(x) n G zaručuje, že v S leží nějaký prvek větší
než x. To znamená, že S je nekonečná a |s| = \X\.
(ii) Množina X je nespočetná, co < k = |AT| < x. Rozložíme X = U{^: £ < ^J
na A Částí, každou mohutnosti (ol. Do C dáme ještě všechny množiny
D(t)={peP:V(p)nX(*0}
pro č, < k. Pro libovolné qeP a Š < k je A^ nespočetná a X, — Dom(q)
neprázdná množina. Zvolíme-li xeX^ — Dom (q), pak gu{(x, l)jeD(í), a tedy
D(í) je hustá množina v B. Odtud plyne, že S má společné prvky s každou
množinou rozkladu X^ tedy |s| = k = \X\.
Systém C hustých množin, sestrojený v průběhu důkazu, má mohutnost nejvýše
x, a tedy jsou splněny všechny předpoklady Martinova axiomu pro x, konec důkazu.
3.51 Věta. Z MAW1 plyne Suslinova hypotéza.
Důkaz. Podle III.3.64 je Suslinova hypotéza ekvivalentní s tím, že neexistuje Susli-
nův co1-strom. Dokazujeme sporem. Nechť <7^ <> je Suslinův a^-strom. Můžeme
předpokládat, že Tnemá krátké výhony a všude se větví. Vezměme úplnou Booleovu
algebru B určenou uspořádanou množinou (7^ >>. Podle 2.45 je sat(fi) = cúx.
Pro každé a < cdí je H(a) — \J{Tp: fí > a} hustá podmnožina algebry B. Nechť
G je filtr v B procházející všemi množinami H(a); jeho existenci zaručuje MAU1.
Pro každé a < co1 existuje jediný prvek xa <= 7^ n G. Je-li a < /? < cou pak prvky
xa, Xp jsou kompatibilní, to znamená porovnatelné ve stromu T. Dostáváme tak
nespočetnou větev <xa: a < cOj) ve stromu T, spor.
Od této chvíle směřujeme k důkazu věty 3.26 o generickém rozšíření.
3.52 Booleovské univerzum. Předpokládáme, že M je libovolný tranzitivní model
teorie ZF a že B <= M je M-úplná Booleova algebra. V 3.24 jsme zavedli jména
podmnožin a podle (13) víme, že pro generický ultrafiltr G v B je množina a- € M\G\
významem nějakého jména z M, právě když x ^ M. Jakmile M 4= A^[G], v
rozšíření M[G] musí být množiny, které nejsou podmnožinami výchozího modelu M,
například jednoprvková množina {Gj, a tyto množiny nezískáme pomocí dosud
zavedených jmen.
382

3.53
Generická rozšířeni modelu
IV
Booleovské univerzum M{B) sestává ze všech funkcí feM takových, že
Dom (/) g M{B) a Rng (/) c B. Jeho rekurzívní definice je obdobou konstrukce
kumulativní hierarchie množin. Pro a < OnM definujeme
Mf = 0,
M{Bl, = {^M:Dom(a)c M{B)8cRng(a)^ B) ,
Mf = [j{M{B): fi < a} pro a limitní,
M{B) = U{M<S):a<OnM},
Typem (booleovským) funkce a e M(B) nazýváme ordinální číslo
typB (a) = min {a: Dom (a) c M^} .
Je-li 6 e Dom (a), pak typB (b) < typfí (a).
Existuje kanonické vnoření třídy M do univerza M(fl), které je definováno rekurzí
podle kumulativního typu předpisem
x = {<y, 1>: yex}.
Všimněme si, že univerzum M{B) i zobrazení v: M -► MlB) jsou třídy modelu M,
jejich rekurzívní definice se relativizací do M nemění.
3.53 Definice iYí[G]. Prvky booleovského univerza M(B) jsou vhodná jména pro
všechny množiny libovolného generického rozšíření modelu M přes algebru B.
Nechť G je ultraflltr v B, který je generický nad M. Na třídě Mífl) definujeme
zobrazení iG rekurzí podle booleovského typu prvků ae M{B)\
(22) ic(0) = 0,
íG(a) = {/G(6): b e Dom (a) & a(b) e G} .
Množina iG(a) je interpretací jména a určená ultrafiltrem G. Definujeme
M[G] = {i0(a):aeM«B'}.
Pro každé x e M[G] existuje nějaké jméno a e M(fl) takové, že x — ic(a). Zbývá
ověřit, že M[G] je vskutku generickým rozšířením modelu M.
Následující vlastnosti třídy íV/[G] dokážeme snadno. Z (22) plyne, že M[G^ je
tranzitivní třída. Pro libovolné x e M máme kanonické jméno x e M(B) a indukcí
ověříme, že iG(x) = x. Tedy M c M[G]. Platí G e \f[G], protože B e M a pro
jméno a — {(ú, u}: u <= B} je iG(a) = {iG(íí): i/e G} = G. Třídy iV/ a íV/[g] mají
stejná ordinální čísla. Jelikož M £ M[G], je M nOnc M[G] n On. Na druhou
stranu pro libovolné aeM{B) je typs (a) větší nebo roven kumulativnímu typu
množiny iG(a). Odtud plyne opačná inkluze.
Nechť N je model ZF takový, že M ^ N a Ge N. Pro každé ct e On'w je
M[B) e M, a tedy také M^5 e /V. Indukcí dokážeme, že iG | M(B) e iV, to znamená,
že pro každé aeMiB) je ijaje/V, neboli M[G] c N. Dokázali jsme 3.26(ii).
383

IV
3 53
Pro důkaz, že M\_G] je modelem ZF, případně ZFC, potřebujeme jemnější
prostředky.
3.54 Booleovské hodnoty formulí.
Pro libovolnou formuli (p(xx,..., xn) teorie množin definujeme v M zobrazení
\\(p\\M> krátce ||<p||, které každé n-tici al,...,anGM(B) přiřazuje prvek j|<p(al5..., aj||
algebry B. Přitom logickým spojkám ~~i, &, A odpovídají booleovské operace
komplementu, průseku a spojení v algebře B. Booleovská operace odpovídající
implikaci je operace
u => v — — u V u (<p -> i/f je ekvivalentní s ~np V i//)
a kvantifikátorům V, 3 odpovídají nekonečné operace /\ a V-
Pro libovolné ayb,al,..., tf„ € M(B) definujeme
(i) ||fl = i»I=( A Wc)- V ^)AÍ|á = c|))A
ceDom(a) deĎom{b)
A( A Wd)=> V a(c)A ||c = d||)),
í/eDom(M cebom(a)
(ii) ||aefc|| = V b{d) A ||d = a||,
deDom(b)
(iii) |h<ř>(aI;...,a„)|| = - i| <?)(«!,...,a„)||,
||(V&^)(fll,...,a.)!| = ||V(a1,...,fl,)||A ll^,....^)!,
||(«ř.V^)(aJ>...>a„)i| = !|<P(a1,...,a„)||V 1^,.... fl,)|| ,
(iv) Kix)^,^,...,^)! = \/{\\<P(b,ai,...,a,)l:beM^>},
pX)cp(x,aí,...,a„)\\ = A{\W(b,al,...,an)\\:beM^}.
Je zřejmé, že definice ||<p|| je rekurzívní podle složitosti formule <p. Nejprve se
definuje zobrazení
\\x = y\:M^ x M(B)->£
fundovanou rekurzí přes relaci R na M(B) x M(fl>, kde <c, í/> R <a, b>, právě když
c e Dom (a) a d € Dom (b). Je zřejmé, že K je úzká a fundovaná relace, protože
z cg Dom (a) plyne typB(c) < typfl (a). Zobrazení ||x e y1,] je definováno ze
zobrazení ||x = y\\ explicitně.
3.55 Lemma. Pro každé a&M{B) je \a = a\ — 1.
Důkaz indukcí podle typu:
||fl = fl|| = A {&)=>
beDom(a)
=> V a{c) A j|c = b||) > A (-a(b)V(a(fc) A l|fe = fc||)) =
ceDom(a) fc€Dom(a)
= A (-4)v4» = i-
beDom(a)
Nyní je zřejmé, že pro a,bzM{B) je b(a) < \\aeb\\ a ||a = b\\ = ||b = a|| .
384

3.58
Generická rozšíření modelů
IV
3.56 Příklad. Pro každé a, b, c, M{B) platí
\\a = b\\ A ||6 = cl| < \\a = c|| ,
\\a e 61| A ||a = c\\ < \\c e fc|| ,
|ja € frjj A jjb = c\\ < \\a e c|| .
Pro danou formuli (p(xlt..., xn) jsme zavedli zobrazení ||<p||: (M(B))" -> #.
Zobrazení ||<pj| určuje relaci Ih mezi prvky algebry B a n-ticemi jmen z M{b) definovanou
předpisem u |h ^ ? flj práyě když M < jj^ _ flj|
Jestliže u Ih cp^, ..., aj, říkáme, že uforsuje (vynucuje) <p pro al5..., a„.
Všimněme si, že booleovské hodnoty formulí i relace forsingu jsou pojmy
zavedené v M, zatímco třída Mlčí] je definována pomocí generického ultrafiltru, který
nemusí být v M. Následující klíčové tvrzení ukazuje vzájemný vztah mezi platností
formule v Mlčí] a relací forsingu v Aí.
3.58 Věta o forsingu. Nechť ultrafiltr G v B je generický nad Ní. Potom pro
libovolnou formuli (p(xly ..., jej platí
^||9(a1)...,aJ||M6G).
Jinými slovy, chceme-li ověřit platnost q> v Aí[G] pro množiny Xíy...iXne Aí[G],
stačí vzít některá jména a19...,ane M{B) odpovídající množinám Xlt..., Xn, spočítat
v M hodnotu \(p{av..., an)|| a dokázat, že tato hodnota leží v generickém
ultrafiltru G.
Důkaz. Místo interpretace iG píšeme pouze i. Jádro důkazu je v atomických
formulích. Fundovanou indukcí pro a, b e M(fl) dokazujeme
(i) i(a)=i(b)~\\a = b\\eG.
Stačí ověřit í(a)c,(b)^( A (a(c)=> V b(d) A ||c = d\\)eG .
ceDom(a) deDom(b)
Následující vztahy jsou ekvivalentní:
( A {a{c)=> V b(d) A\\c = 4)eG,
ceDom(o) deDom(b)
(Ve 6 Dom (a)) ((a(c) => V M<*) A [|c = á||) e G),
deDom(b)
(Ve € Dom (a)) (a(c) e G - ( V &(<0 A ||c = <ť||) e G),
deDom(b)
(Ve € Dom (a)) (a(c) € G - (Sd e Dom (i>)) {b(d) A ||c = <f | e G),
(Ve e Dom (a)) (a(c) e G - (3á € Dom (í>)) (fe(d) e G & i(c) = i(<i)),
(Ve € Dom (a)) (a(c) e G - ifc) e {i(á): b(d) e G}),
(Ve e Dom (a)) (i(c) e i(a) - /(c) € i(b)),
i(a)^i(b).
385

IV
3 58
(ii) i(u) t!'(/)), právě když ||aefr||eG, plyne z následujících ekvivalentních
vyjádření:
\\aeb\\ = V b{d) A \\d = a\\eG,
deDomib)
{3d e Dom (b)) (b{d) e G & \\d = a\\ e G ,
(3í/ g Dom (b)) (i(ii) e i(h) & i(<í) = i(a)),
fa) e/(fc).
(iii) ||-i(pj|eG<-» I^HG^n^"0^^^. Pro další logické spojky
je důkaz podobný.
(iv) Nechť \l/(ylt...,yn) = 3x(/>{x,yv...tytt). Pak
ll^(«i.---»«„)ll = ||3x^(x,a1,..,an)||eG,
právě když
(3b€M<B>)(|Mi,a1,...,aJ||eG).
Podle indukčního předpokladu máme
(3b eM«»)(<PM[G1(«(f>),«(«,),. .,<*„))
a to je ekvivalentní s
(JxeMCG])^^,^),...,^)),
což je ^MlG1(i(fli),..., í(aJ. Pro velký kvantifikátor je důkaz obdobný.
3.59 Dokončení důkazu věty 3.26 o generickém rozšíření. Víme z 3.53, že
N = Mlč] je tranzitivní třída a M c Af[G]. Odtud již plyne, že v Aí[G] platí
axiomy extenzionality, fundovanosti a nekonečna. Pomocí věty o forsingu ověříme
3.26(i) a dokážeme, že v M[G^ platí axiom potence, sumy a schéma axiomů
nahrazení. Opět místo iG píšeme pouze i.
Zvolme množinu XeM\G~\ a nechť aeM{B) je její jméno, to znamená, že
X = i(a). Nejprve ukážeme, že libovolné Y c X, YgM[G~\ má jméno
speciálního typu. Nechť b je nějaké jméno pro Y c X. Definujme jméno b' předpisem
(22) Dom (b') = Dom (a) & b'(c) = a(c) A ||c e fc|| .
Tedy pro každé c je b'(c) < a(c). Jelikož Y c X a i(b') = {i(c):(a(c) A ||c e b\\) e G},
pomocí věty o forsingu dostáváme
i(b') = {i{c): a{c) eGSc i(c) e i{b)} = XnY=Y.
Tedy b' je také jméno pro Y.
K ověření 3.26(i) využijeme identity (13). Nechť q c x e M a geN = M[G].
Uvažujme kanonické jméno a = x pro x. Podle (22) existuje jméno 6' pro g takové,
že Dom (b') = {y:ysx}. Definujeme-li f(y)= \\yeb'\\ pro každé y g x,
dostaneme funkci /: x -*■ B, fe M, pro kterou platí
386

3.59
(jcncncká rozšíření modelů
IV
y e £ <-+ b(y) eG+-+ f(y) e G .
Tedy Q=f~l"G, q e Ob (G,M). Stejným postupem nalezneme jméno b' e Mífl)
pro g c x, známe-li f: x-+ B, feM, pro které £ = f~l"G. Platí tedy 3.26(i).
/Ixiom potence. Bud a € M(B) jméno množiny X e M[G\. Podle 3.9(b) potřebujeme
dokázat, že &(X) r\ M[G] e M[G]. Vezměme množinu jmen
w={be M(B): Dom (b) = Dom (a)& (Veg Dom (a)) (b{c) < a{c))}.
Pak s = vv x {lfl}GM{£ř> je jméno množiny ^(l)nM[G], neboť pro každé
be w je i(fr) <= X a přitom každé 7 g: j£, Yg M[g] má podle (22) nějaké jméno
ve w. Tedy i(s) = ^(*) n Aí[G].
Axiom sumy se ověřuje podobně.
Axiomy nahrazení. Připomeňme, že axiom nahrazení pro formuli ý(u,v) říká: Je-li
třída F = {<u, u>: ^(w, i;)} zobrazením, pak pro každou množinu X je obraz F"X
také množinou.
Ověřujeme, že axiom nahrazení pro ip platí v M[G]. Předpokládáme, že \pM[G]
definuje zobrazení, to znamená, že
F = {<x, y>: x, y e M[G] & $"{G\x, y))
je zobrazením. Odtud a věty o forsingu pro libovolné b, c, c e M{B) máme
Mb.c)\\eG&U{b.c')\\eG)~
~ (rll'Mh). /(<•)) & ^""'W), '(C)) - f(f) = í(c')).
Nechť XeM[G] má jméno a. Hledáme jméno d pro F'X. Pro každé b g Dom (a)
existuje pouze množina jmen Jb taková, že
(23) V{WM||:c€M<fl>} = VílWMlhce-M.
protože Be M a můžeme vzít jména c minimálních typů. Definujeme d g AÍ(B)
předpisem
Dom(d)= [){Jb:be Dom (a)} a d(c) = V{||<MM)!: A a{b): be Dom {a)} .
Ověřujeme, že d je jméno pro F"X. Je-li z g í(á), pak z = i(c) pro nějaké c takové,
že d(c)eG. Z generičnosti G existuje beDom(a), pro které \\ý(b, c)||gG i a(b)eGy
tedy pro x = i(b) e X je z = F(x). Naopak, je-li z = F(x) pro nějaké xe X,
vezměme jméno be Dom (a) pro x a nějaké jméno c pro z. Přitom ||^(b, c')j| e G
a a(/))gG. Z (23) plyne, že existuje c e Jb c: Dom (d), pro které ||^(fr, c)\\ e G,
a proto d(c) e G. Jelikož i(c) = z, je také í(c) = z, proto z e i(d).
Důkaz hlavní části věty 3.26 je skončen. Zbývá ukázat, že v M[G~\ platí axiom
výběru, pokud Af je modelem ZFC. Je-li X e M[G^ se jménem a, pak pro
5 = Dom (a) je ig|SgM[G], protože podle 3.53 pro každé cceMnOn je
j"g | M{aB) e M[G\. V Aí platí AC, proto existuje prosté zobrazení h: S -> Onw, /íeM.
Definujme zobrazení gzXdo On předpisem
387

IV
3 59
g{x) = mm{h(b) : b e SkiG(b) = x}.
Jelikož g G M[G], g zaručuje dobré uspořádání množiny X v M[G}. Věta o for-
singu je dokázána.
V této kapitole jsme se seznámili s metodou forsingu a její použití jsme
ilustrovali na poměrně jednoduchých Booleových algebrách, respektive částečných
uspořádáních. Vyšetřování komplikovanějších částečných uspořádání již vychází
za rámec standardní učebnice. Některé příklady tohoto druhu jsme proto zařadili
do dodatků.
388

Dodatek 1. Nekonečná kombinatorika modulo Fréchetův ideál
V tomto dodatku se seznámíme s kombinatorickými vlastnostmi faktorizace
potenční algebry množin V(x) přes ideál \x\<yi sestávající z množin, které mají
mohutnost menší než x. V dalším výkladu x značí nekonečné kardinální číslo,
cf (x) jeho kofinalitu.
Faktorová algebra V\x)/[x]<>c> kterou budeme značit kratčeji Vx(x), je
přirozeným derivátem algebry V(x) a reflektuje některé vlastnosti množin
mohutnosti x. Algebra V^(x) má zajímavé strukturální vlastnosti, které mají vztah
k maximálním skoro disjunktním systémům, k vlastnostem uniformních ultrafiltrů
a překvapivě její zúplnění cm(Px(x)) je za předpokladu 2^ = x4" izomorfní
s dobře známou kolapsovou algebrou C(u, 2^) (IV.2.25 (e)), je-li cf(x) > u) a je
izomorfní s 0(^1,2*, u\) (IV.2.25 (f)), je-li cf(>r) = cj. Jádrem důkazů těchto
tvrzení je existence tak zvaných bázových stromů. K tomu účelu zavedeme pojem
výšky Booleovy algebry a určíme jejich velikosti pro algebry V>í{x) v případě
nespočetného x. V případě x — v nelze výšku algebry V^(lj) = V(uj)/fin
jednoznačně určit pouze v teorii ZFC. Seznámíme se také s další kardinální
charakteristikou b*, která se týká systémů funkcí z ** x, a se selektivními ultrafiltry na u.'.
Ukážeme, že algebra V^iuS) je kanonickou algebrou pro generické přidání
selektivního ultrafiltrů. Seznámíme se také s bohatou a zajímavou strukturou uzavřených
neomezených množin na singulárních kardinálních číslech.
1.1 Značení. Prvky algebry V>c{x) jsou určeny podmnožinami kardinálního čísla
x. Pro X C x bude [X] značit třídu ekvivalence obsahující množinu X. Tedy
Y e [X], právě když Y C x a |(X - Y)U (Y - X)\ < x. Algebra V„(>c) sestává
právě ze všech takových tříd.
Pro X, Y C x píšeme X C* y, jestliže \X - Y| < x. Tedy X C* Y, právě
když [X] < [Y] v kanonickém uspořádání algebry Px(^). Místo X C* Y <k X 7^*
Y píšeme X C* Y.
Uvědomme si, že S C [x]* je skoro disjunktní systém množin na x (III. 1.12),
jestliže {[X] : X <E 5} je množina disjunktních prvků v algebře V><(x) (IV.2.2).
389

Dodatek 1
Maximální skoro disjunktní systémy množin na x odpovídají rozkladům jednotky
Potenční algebra V(x) je úplná atomární algebra mohutnosti 2^, tedy
nehomogenní (IV.2.40).
1.2 Lemma. Algebra V J\x) (i) nemá atomy, i\\) je homogenní, (iii) není úplná,
(iv) má mohutnost 2*.
Důkaz, (i) Algebra nemá atomy, protože libovolnou množinu X G [x]" lze rozložit
na dvě disjunktní části X0 U X\ = A takové, že obě mají mohutnost x. Jelikož
[Xo], [X\] jsou nenulové a [Xo] A [X\] = 0, prvek [X] nemůže být atomem.
(ii) Je-li [X] ^ 0, pak \X\ = x, a proto existuje vzájemně jednoznačné
zobrazení / množiny X na x. Zobrazení / zachovává mohutnosti i operace průniku
a rozdílu dvou množin a tedy určuje izomoríismus faktoru V^(x)\[X) na V^ix).
(iii) Vezměme nějaký systém {Xa : a < x] C [x]* disjunktních množin.
Ukážeme, že soubor {[XQ] : a < x) nemá supremum v algebře V><{x). Nechř
[Y] je horní mezí tohoto souboru. Potom Xa C* Y pro každé a < x, a tedy
{X^ny : a < x} je disjunktní systém množin, každá mohutnosti x. Budiž Z C Y
selektorem pro tento systém a položme W — Y — Z. Jelikož \W\ = \Y\ = \Z\ = x
aIQ C* W, je [W] také horní mezí systému {[Xa] : a < x}. Ale [W] < [Y],
protože 0 ^ [Z] < [Y] a [W] A [Z] = 0. Tím jsme ukázali, že nemůže existovat
nejmenší horní mez zvoleného souboru.
(iv) Pro odhad \T>c{x)\ > 2^ stačí nalézt prosté zobrazení p : V(x) —>
V>,\x). Zvolme disjunktní systém {Xa : a < x) C [x]* a pro libovolné F C x
položme tp(Y) — [[J{Xa : a < x}], </? je hledané zobrazení. Opačná nerovnost
\V„{x)\ < 2~ je zřejmá.
1.3 Nedistributivnost algeber V><(x). K tomuto tématu je dobré připomenout si
pojmy ze IV. kapitoly, které se týkají hustých a A-uzavřených množin v Booleových
algebrách (2.10, 2.33, 2.34), (A, oo)-distributivnosti (2.31, 2.35) a (A. /i, i/)-nedis-
tributivnosti algeber (2.38, 2.39).
Dohodněme se, že u tříparametrové distributivnosti (A, ■. v) tečka znamená, že
druhý parametr, velikost rozkladů, není nijak omezen. Tedy (A, oo)-distributivnost
a (A, •, 2) distributivnost je totéž.
1.4 Definice. Výška algebry. Nechť Booleova algebra B nemá atomy. Výškou
algebry B nazýváme kardinální číslo
\){B) = min{A : B není (A. -. 2) - distributivní}.
Výšku algebry V^(x) značíme řj^. Místo \)u píšeme rj bez indexu.
1.5 Předpokládejme, že B nemá atomy. Z definice charakteristiky \]{B) plyne,
že jakýkoliv systém rozkladů jednotky mohutnosti menší než řj(jB) má společné
390

1 8
Nekonečná kombinatorika modulo Fráchetův ideál
Dodatek 1
zjemnění. Odtud je zřejmé, že výskaje nekonečné kardinální číslo a je regulární.
Kritérium distributivnosti, věta IV.2.34, říká, že z existence husté A-uzavřené
množiny v B plyne A < \){B). Jelikož B nemá atomy, je f)(5) < |5|.
Je snadné nahlédnout, že f)(B) je nejmenší mohutnost systému hustých dolních
podmnožin algebry B, jehož průnik není hustá množina v B.
Jaký je vztah mezi výškou algebry B a výškou jejího zúplnění cm(5) (IV.2.18)?
Hustá množina v B je také hustou množinou v cm(B). Na druhou stranu, je-li
H C cm(B) hustá dolní množina v cm(B), je množina H O B hustá dolní v B.
Tedy výška algebry se nemění přechodem k jejímu zúplnění. Jinými slovy, výška
algebry je určená libovolnou její hustou částí.
1.6 Soustředíme se na algebry Px(x). V důsledku jejich homogenity je r)x nejmenší
kardinál takový, že V^{x) je všude (f)^, -, 2)-nedistributivní. Naším cílem je určit
hodnotu čísla rj^, pokud je to možné, a nalézt co největší hodnotu třetího parametru,
pro kterou ještě platí (rj^, •, i/)-nedistributivnost algebry V><(x).
Dolní odhad řj^ získáme z kritéria distributivnosti.
1.7 Lemma. Algebra Px(x) má hustou oj\ -uzavřenou podmnožinu, právě když
cí(x) = oj.
Důkaz. Nechť cí(x) = oj. Ověříme, že V^x) — {0} je uvuzavřená. K tomu
stačí ukázat, že libovolná klesající posloupnost nenulových prvků {[Xn] : n G ~>}
má nenulovou dolní mez. Můžeme předpokládat, že množiny Xn jsou klesající
v inkluzi.
Zvolme rostoucí posloupnost kardinálních čísel xn takovou, že sup xn = x.
Pro x = oj, xn — n. Vybíráme posloupnost {yn : n G oj} vzájemně disjunktních
množin tak, že yn C Xn a \yn\ — xn. Pro množinu Y = {j{yn : n G oj} platí
\Y\ = xaFC* Xn pro každé n. Tedy [Y] je hledaná dolní mez.
Opačná implikace je důsledkem věty 1.8 (ii).
Z předchozího lemmatu plyne, že v případě x se spočetnou kofinalitoti platí
Později dokážeme, že pro nespočetné >r, číslo rj^ nabývá pouze hodnotu ^ nebo
uJ]_.
1.8 Věta. Pro nespočetné kardinální číslo x platí
(i) \).^ — oji, právě když cí{x) = oj
(ii) rj^ = oj, právě když cí{x) > oj.
Důkaz je v 1.26.
Zbývá diskuse toho nejzajímavějšího případu x = oj. Jaké je rj? Jaká je
šíře nedistributivnosti algebry V^(oj)? Hodnota rj závisí na dalších přidaných
axiomech, ale šířka je maximální možná, a to 2W.
391

Dodatek 1
1 9
1.9 Věta o bázovém stromu (Baleár, Pelant, Simon 1980). Existuje množina
TCP»- {0} taková, že
(i) T je hustá v Pu,.(cj),
(ii) (T, >)je strom výšky fy, kde <je kanonické uspořádání algebry V^{uj),
(iii) každé u G T má 2U bezprostředních následníků.
Důkaz. Nejprve předpokládejme, že máme strom T uvedených vlastností.
Ověříme, že každá jeho hladina TQ, pro a < fy, je rozklad jednotky. Nechfit.i' G Tajsou
různé. Kdyby u, v nebyly disjunktní, podle (i) existuje w G T, w < u A v. Odtud
plyne, jelikož T je strom, že u a i; jsou srovnatelné, a protože u ^ v, musely by ležet
v různých hladinách. Ověřili jsme, že TQ je disjunktní množina. Předpokládejme,
že\/ Ta ý 1- Potom existuje v G T, které je disjunktní se všemi u G Ta. Nutně
v e Tp pro nějaké (5 < a. Potom ({u> : w < v, w G U7<a^7}> -) Je hustý
strom v Vu(uj)\v výšky menší než fy. Jelikož r^P^cj)^) = fy, máme spor. Tedy
Ta jsou rozklady jednotky a pro /? < a rozklad TQ zjemňuje Tp. Proto hledaný
strom konstruujeme pomocí zjemňujícího se systému rozkladů.
Víme, že ^(cj) je všude (fy, *, 2)-nedistributivní. Jinými slovy, existuje systém
rozkladů {Pa : a < fy} takový, že každé nenulové u G V^{uj) protíná alespoň dva
prvky nějakého rozkladu Pa. Můžeme navíc předpokládat, že pro každé (3 < a < fy
Pa zjemňuje Pp. Ověříme, že každé nenulové u G Vu(uj) má neprázdný průsek
dokonce s 2^ prvky nějakého rozkladu Pa. To znamená, že systém {Pa : a < fy}
zaručuje, že algebra Vu(uj) je všude (fy, ■, 2a')-nedistributivní. Nechf uo = u je
nenulový prvek. Vezměme ctQ < fy takové, že existují různé prvky vq,vi £ Pao
s nenulovými průseky uoo — ^o A vq a itoi = ^o A v\. Obecně, máme-li pro
dané n sestrojen disjunktní systém {iif : / G n{0,1}} nenulových prvků, potom
k danému ari < fy existuje an+i > an takové, že každé uj je kompatibilní
alespoň se dvěma prvky ^/-o a ^'y-i zPctn_l. Stačí položit ií/-, =íijA(^,a
dostaneme disjunktní systém {ug : g G n+1{0,1}}. Tímto způsobem sestrojíme
rostoucí posloupnost {an : n < u} ordinálních čísel menších než fy a systém prvků
{uf : f G ^{0, 1}} takový, že pro každé y? : jj —> {0, 1} je {u^\n : n < u}
klesající posloupnost nenulových prvků. Podle 1.7 k danému y? existuje uv takové,
že pro každé n je
Využíváme toho, že rozklady {Pa : a < fy} se zjemňují, a že fy je nespočetné
regulární číslo. Tedy 13 = sup{an : n < uj} < fy a pro různá p.v; G ^{0, 1}
jsou prvky u^ a u^ disjunktní a kompatibilní s různými prvky z P^. Odtud plyne,
že množina {v G P^ : u A u ^ 0} 2 {^ G P/3 : u A u^ ^ 0; 9? G "'{0,1}}
má plnou mohutnost 2U. Dokázali jsme, že {Pa : a < fy} zabezpečuje všude
(fy, •, 2^)-nedistributivnost.
392

111 Nekonečná kombinatorika modulo Fréchetůz ideál DutLitek 1
Položme pro a < rj
Ra = {u e VU") -\{vePa : vAu^ 0}| = 2"}.
Z předchozích odstavců víme, že {Ja<h Re* = V^{^') - {0}. Platí \Rn\ <
|^(^)| < 2W. Indukcí můžeme získat prosté zobrazení ip : PQ —> PQ takové,
že ip(u) A u ^ 0 pro každé u e Ra. Potom {^(it) Au:u6jRq}u{u- 0(-u) :
u G Ra&u — ip(u) 7^ 0} U (PQ — Rng(V>)) je rozklad zjemňující PQ, který
označíme R(PQ). Tedy pro každé a můžeme Pa zjemnit na rozklad R(PQ) tak, že
pro každé u e Ra existuje v G R(Pa), pro které v < u. Dále víme, že pro každé
nenulové u existuje S(u) disjunktní rozklad prvku u mohutnosti 2U. Nyní stačí
indukcí konstruovat zjemňující se systém rozkladů {TQ : a < rj} tak, že pro každé
a je TQ+i rozklad zjemňující (JU£T ^M a R{R&)- Množina T = Ua<h ^ Je
hledaný strom a Ta je jeho a-tá hladina.
Následující množinová formulace je ekvivalentní větě o bázovém stromu.
1.10 Věta o bázovém systému množin. Existuje systém W C [uj]u takový, že
(i) pro každé nekonečné X C tu existuje A G W, pro které A C X,
(ú)je-li A,B eW, potom buď \AnB\ < ujy nebo AC *B, nebo B C * A,
(úi) pro každé A G W je \{B e W : A C *B}\ < i).
(iv) Pro každé A G W a libovolný systém S = {B e W : B C* A} mohutnosti
< 2" existuje C G W takové, že C C* A a C je skoro disjunktní se všemi
množinami B G S.
Důkaz. Vezměme nějaký bázový strom T v algebře Pw(uj) splňující podmínky
věty 1.9. Různé prvky z T jsou různé třídy ekvivalence sestávající z některých
nekonečných podmnožin uj. Nechf W je selektor ze systému {u : u G T}.
W splňuje (ii), protože T je strom. Podmínka (iii) plyne z toho, že výška T je
rj. Z hustoty množiny T dostáváme v (i) pouze C* místo C. Zmenšíme-li každou
množinu z W o konečnou část, zachováme vlastnosti (i) a (ii). Pro každé X G [tjp
existuje 2^ množin A G W takových, že A C* X, proto můžeme rekurzí sestrojit
prosté zobrazení <p : [u]^ —> W takové, že ip(X) C* X. Nyní stačí položit
W = {y{X) HX : X e [u]^}. Pro W platí také podmínka (i).
Vlastnost (iv) je bezprostředním důsledkem toho, že každý vrchol bázového
stromu má 2^ bezprostředních následníků.
Co můžeme více říci o čísle rj?
1.11 Věta.
(i)rj<cf(2-),
(ii) ř) < b.
Důkaz je v 1.15. Nejprve se seznámíme s dalším kardinálním invariantem b.
393

Dodatek 1
1.12 Definice. Kardinální charakteristika b^. Na množině *x všech zobrazení
z^dox uvažujeme relaci <* skoro dominance
/<^ = |{^x; f(a) > g(a)}\ < x.
Charakteristika
b^ — min{|F| : F C ^x a F nemá vzhledem k relaci <* horní mez}.
Opět místo b^ píšeme prostě b.
Diagonálním argumentem snadno ověříme, že pro každé x je b^ > cf(x) a
z definice plyne, že b^ je regulární kardinál. Tedy b > cji podobně jako rj.
1.13 Realizace b^. Pro regulární x můžeme b^ realizovat transfinitní posloupností
{fa '• oí < b^} rostoucích funkcí tak, že pro a < (5 < b^ je fa <* fp. K tomu
stačí vzít nějaký neomezený systém F C ^x mohutnosti b^, očíslovat jeho prvky
{ga : a < b*} a indukcí vybírat z ^x rostoucí funkce /a tak, že /o je identita na
x a /Q je horní mez systému funkcí 5Q = {fp : j3 < a} U {p^ : /3 < a}. Jelikož
l^al < b>o systém 5Q má horní mez, řekněme h. Jelikož x je regulární, existuje
rostoucí funkce f > h, tedy je z čeho vybírat. Získaný systém {fQ : a < b^} je
neomezený, protože F je neomezený a <?a <* fQ pro každé q < bx.
1.14 Příklady použití charakteristik b a fj.
(i) Rozklady množiny přirozených čísel na intervaly. Libovolná rostoucí
funkce / : uj —> uj s /(O) = 0 určuje rozklad Rf = [rn : n e uj} přirozených
čísel na polouzavřené intervaly rn = [f(n):f(n + 1)). Máme tak vzájemně
jednoznačný vztah mezi rostoucími funkcemi a rozklady na intervaly.
Říkáme, že X C uj je velká množina vůči rozkladu Rf, jestliže lim sup \X n
rn\ = uj. Množina Y, která vybírá po jednom prvku z každé množiny rn, je
příklad nekonečné množiny, která není velká vůči Rf. Množinám, které nejsou
velké, budeme říkat malé.
Nejmenší počet rozkladů na intervaly takových, ze libovolná nekonečná X C ^
je velká alespoň vůči jednomu z nich, je roven charakteristice b.
Důkaz. Necht {/a : a < b} je rostoucí systém rostoucích funkcí, který realizuje b.
Můžeme předpokládat, že /a(0) = 0 pro každé a. Máme tak rozklady na intervaly
Ra pro a < b. Nechť X e [uj]^ je libovolná, X = {x(0) < x(l) < . . . <
xn(n) < . . . } a definujme g(n) = x(rr + 1). Jelikož funkce g není horní mezí
systému {fa : a < b}, existuje a0 < b taková, že neplatí fQ[) <* g. Ukážeme,
že X je velká vůči každému rozkladu Ra pro cv > Qo- Necht a > a0. Pak
fa0 <* fa, a proto také fQ ^* g. Tedy pro libovolné k £ uj existuje m > k
takové, že fQ(m) > g(m) = x(m2 + 1).
394

1 14
Nekonečná kombinatorika rnodulo Fréchetův ideál
Dodatek 1
To znamená, že \X n [0, fa(m))\ > m2, a tedy pro nějaké n < m je
\Xn[fa(n)Ja(n+l))\ >m>k.
Jelikož k bylo libovolné, dokázali jsme, že X je velké vůči R^.
Naopak, mějme v < b rozkladů na intervaly, Ra pro a < v. Jim odpovídají
rostoucí funkce fa a systém {fa : a < v] má nějakou horní mez g. Můžeme
předpokládat, že g je také rostoucí. Definujme h G ^cj rekurzí: h(0) = g(0) + 1 a
h(n-r-1) = g(h(n) + 1). Množina X = {/i(n) : n E uj} je nekonečná, protože /ije
rostoucí funkce. Zbývá ukázat, že X není velká vůči žádnému rozkladu Ra, a < v.
Jelikož fa <* 9, existuje k G uj takové, že fQ(n) < g(n) pro všechna n > x. Pro
tatonje|Xfl[/Q(n),/a(n + l))| < 1, nebof je-li h(p) e [fa{n),/a(n + 1)], pak
h(p + 1) = g(h(p) + 1) > p(/Q(n) + 1) > y(n + 1) > /Q(n + 1). Tedy X není
velká vůči RQ.
(ii) Nekonečný MAD systém na uj má mohutnost > b. Nechf A je nekonečný
skoro disjunktní systém. Vezměme spočetně mnoho množin {Xn : n G uj}
z A. Konečnými modifikacemi množin X G A, to znamená přidáním nebo
ubráním konečné množiny, neporušíme skoro disjunktnost systému. Můžeme proto
předpokládat, že {Xn : n G uj} je rozklad množiny uj na nekonečné části. Každá
množina Xn je přirozeně očíslovaná
Xn = {xno < xni < xn2 <...}.
Pro Y G A - {Xn : n e uj} zvolme funkci fy G ^uj tak, že
fy(n) = min{m : Y D Xn C {xn0, - • • ,xnm}}.
Je-li |A| < b, pak systém funkcí fy má nějakou horní mez g vůči <*. Množina
Z = {a;n>ff(n)+1, /i E u;} je nekonečná, skoro disjunktní se všemi množinami z A.
Tedy A nemůže být MAD systém.
(iii) Skoro disjunktní zjemnění. Mějme S C [uj]^ systém nekonečných
podmnožin u. Zobrazení ó : S —* [cj}u nazýváme skoro disjunktním
zjemněním systému 5, jestliže <p(X) C X pro každé X G S a {y{X) : X 6 5}
je skoro disjunktní systém na u. Zdaleka ne každý systém má skoro disjunktní
zjemnění, například S = [uj}^1 .
Dokážeme následující dvě tvrzení o existenci skoro disjunktních zjemnění.
(a) Každý systém S C [u;]^ mohutnosti menší než 2^ má skoro disjunktní
zjemnění.
(b) Je-li {rn : n G cj} rozklad množiny uj takový, že lim sup \rn\ = wj, potom
systém S — {X G [cj]^ : lim sup \X D rn\ = uj} velkých množin vůči rozkladu
395

Dodatek 1
1 14
má skoro disjunktní zjemnění p sestávající z parciálních selektorú, to znamená
\p{X) H rn I < 1 pro každé n a každé X G S.
Společným jádrem důkazu je následující fakt vyplývající z existence bázového
systému z věty 1.10.
Nechť (Ára : a < v) je soubor nekonečných množin Xa C cj, délky v < 2~.
Připouštíme i opakování. Potom existuje soubor (Aa : a < v) C [cj]^ takový, že
Aa C* Xa pro každé a < z/ a je-li a < p, pak A? je buď skoro disjunktní s Aa,
nebo A3 C* AQ.
Důkaz. Pracujeme s nějakým bázovým systémem W z 1.10. Množiny Aa
vybíráme transřinitní rekurzí z W. Pro Xa nejprve vybereme CQ C XQ, Ca £ W.
Uvažujme systém Da = {A1 17 < a& Ay C* Ca}, který sestává z některých
již vybraných množin A1 pro 7 < a. Nutně \Da\ < 2W, a proto podle 1.10 (iv)
můžeme vybrat Aa 6 W takové, že Aa C* CQ a je skoro disjunktní se všemi
množinami z DQ. Množiny Aa mají požadovanou vlastnost.
Dokazujeme (a). Očíslujeme S — {Xa : a < z/}. Podle uvedeného faktu
máme systém {Aa : a < z/}, Aa C* Xa, který nemusí být ještě skoro disjunktní.
Využijeme toho, že v < 2^. Pro a < v uvažujme systém Da — {Ap : Ap C*
Aa}. Jelikož |Da| < v < 2U, podle 1.10 (iv) existuje Ba c* ^a, Ba skoro
disjunktní se všemi množinami z DQ. Položíme-li <p(XQ) — Xa n Ba, dostáváme
hledané skoro disjunktní zjemnění.
(b) Očíslujeme systém S = {Ma : a < 2^} velkých množin a pro každé
a < 2^ vybereme nekonečné Xa C uj tak, že limaGx0 |A/aHrn| = o;. Získáváme
soubor (Xa : a < 2^), ke kterému podle výše uvedeného faktu máme soubor
(Aa : a < 2^). Nyní transřinitní rekurzí vybíráme skoro disjunktní zjemnění (p
proS. (^ (A/o) bude nějaký selektor z {MoH/Vi : n e A0}. Máme vybrány selektory
p(Mp) pro 0 < a. Na kroku a uvažujme množinu M'Q = A/a n(J{rn : n e Act}.
Pro/3 < a']Q buď Ap skoro disjunktní s Aa, a proto p (Mp) je skoro disjunktní sM'a,
nebo Aj* D Aa. Ale těch 3 < a s druhou vlastností je méně než í), podle 1.10
(iii). Jelikož rj < b, nekonečné prvky systému {'p(Ag) : ,3 < a} U {A/a n r,ř :
?i € ^} netvoří maximální skoro disjunktní pokrytí množiny A/a, a proto lze
vybrat nekonečný parciální selektor ^(A/a) z {A/Q n rn : ?i G -4Q }, který je skoro
disjunktní se všemi dříve vybranými množinami p(Ap), p < a. Tím je konstrukce
disjunktního zjemnění skončena.
Otázka. Nutnou podmínkou pro to, aby systém S C [cj]^ měl skoro disjunktní
zjemnění, je existence AD systému D na u takového, že každé X G S má
nekonečný průnik s nekonečně mnoha množinami z D. Je-li tato podmínka též
postačující podmínkou v ZFC, je dosud otevřeným problémem. Více o této
problematice je možno nalézt v práci (Baleár, Simon 1989).
396

1 16 Nekonečná kombinatorika rnoduto Fréchetuu ideál Uu^LiU-k L
(iv) Součin sekvenciálně kompaktních prostorů. Připomeňme, že topologický
prostor se nazývá sekvenciálně kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů
lze vybrat konvergentní podposloupnost. Známá Tichonovova věta říká, že součin
libovolného počtu kompaktních prostorů je kompaktní prostor. Pro sekvenciální
kompaktnost analogické tvrzení neplatí.
Dá se dokázat (P. Simon 1993), že kardinální číslo ř} je největší kardinál r
takový, že topologický součin méně než r sekvenciálně kompaktních prostorů je
sekvenciálně kompaktní.
(v) Aditivita ideálů řídkých množin. Řídké množiny v každém topologickém
prostoru tvoří ideál. Tento ideál není obecně cr-aditivní, příkladem je reálná přímka.
Prostor U(uj) uniformních ultrafiltrů na cj jako Stoneův prostor algebry V^ (uj) nebo
prostor [cj]^ s Ellentuckovou topologií (III. 4.39) jsou příklady prostorů, ve kterých
ideál řídkých množin má aditivitu právě rj. To znamená, že f) je největší kardinál
takový, že sjednocení méně než i) řídkých množin je opět řídká množina. Detaily
je možné nalézt v článku (Baleár, Simon 1989).
1.15 Důkaz věty 1.11. rj < cf(2u;). Předpokládejme, že 2U je singulární kardinál
a A = cf(2w) < 2W. Zvolme rostoucí posloupnost (i/a : a < A) kardinálních čísel
se supz/Q = 2U a rozložme [lj]" = U{5a : a < X} tak, že \SQ\ < va. Podle
1.14 (iv) pro každé SQ existuje disjunktní zjemnění </?a. Rng(c^a) je AD systém,
doplňme jej na MAD a označme ho Pa. Kdyby A < rj, pak systém {Pa : a < A}
má společné zjemnění. Ukážeme, že to není možné. Nechť Y je nějaká množina ze
společného zjemnění. Vyberme nekonečnou část Z CY takovou, že \Y — Z\ — jj.
Pro nějaké /3 < A je Z e Sp. Tedy tpp(Z) 6 Pq. Protože Y je ze společného
zjemnění a ipp(Z) C Y, dostáváme spor s tím, že
K'W(Z)CZc*y a \Y-<p0{Z)\=uj.
\) < b. Vezměme systém rozkladů {Ra : a < b} na intervaly takový, že
každá nekonečná X C u je vůči některému z nich velká (1.14 (i)). Ke každému
Ra = {rn '• n ^ ^'} zvolme MAD systém Pa na 'jj sestávající z parciálních
selektorů, to znamená, že pro X G Pa platí \X n rn\ < 1 pro každé n. Získali
jsme tak b maximálních skoro disjunktních systémů. Zvolme libovolné X G U'l~'
a a < b takové, že množina X je velká vůči Ra. Pak X protíná alespoň dva prvky
systému Pa v nekonečné množině, tudíž V^^lo) není (b. •. 2)-distributivní.
1.16 Kofinální větve v bázových stromech. Kromě velikosti čísla ř) se můžeme
setkat s otázkou týkající se existence kofinálních větví v bázových stromech.
Teoreticky mohou nastat tři případy:
(a) Existuje bázový strom bez kofinálních větví.
(b) Každý bázový strom má kofinální větev.
(c) Existuje bázový strom jehož všechny větve jsou kofinální.
397

Dodatek 1
1 1()
Z lemmatu 1.7, plyne, že pokud rj = ux, potom nastává (c). Dokonce v každém
bázovém stromu jsou všechny jeho větve délky ui, tedy kofinální. Lze s malým
úsilím dokázat, že z (c) plyne (b). Jelikož z (c) plyne také, že 2A = 2^ pro každé
A, oj < A < rj, (b) nemůže být ekvivalentní s (c). P. L. Dordal 1987 ukázal, že je
bezesporná situace P) = u2 a platí (a).
1.17 Kolapsové algebry. Necht A je nekonečné regulární kardinální číslo, r > A
libovolný kardinál.
Col(A, r) bude značit úplnou Booleovu algebru, jejíž hustou částí je množina
{/ G ar : a < X} uspořádaná opačnou inkluzí. Tuto množinu jsme značili
vIV.2.25jakoFn(A, r, A) a odpovídající algebru jako C(A, r. A). Název kolapsové
algebry je odvozen od toho, že jsou to nejpřirozenější forsingové algebry pro
přidání nového zobrazení kardinálu A na kardinál r. V případě r > A je tím zrušena
kardinalita r, r je kolapsováno na A.
1.18 Lemma. Pokud nastává případ (c) v 1.16, pak úplná algebra cm(P^(cj)) je
izomorfní s kolapsovou algebrou Col(fj, 2^).
Důkaz. Pro izomorfismus úplných algeber stačí nalézt jejich husté množiny a
izomorfismus mezi nimi vůči odpovídajícím kanonickým uspořádáním. Vezměme
bázový strom T v algebře Pw(cj), jehož všechny větve jsou kofinální. Izomorfismus
<p sestrojíme rekurzí mezi hustými množinami (J{TQ+i;a < rj} a (Jl^-1-1^' :
a < fj} tak, že TQ+i bude prostě zobrazeno na (a+1)(2u;). Všimněme si, že
izomorfismus je definován pouze pro vrcholy, které mají bezprostředního předchůdce. Pro
a = 0 je |X\| = 2^', zvolíme jednoznačné očíslování 7\ = {v$ : £ < 2^} a
položíme ip(vz) = {(0)0}- Jsme v Oí-tém kroku, a > 0, a chceme definovat y
pro prvky z TQ+i. Pro každý vrchol u G Ta zvolme prosté očíslování všech jeho
bezprostředních následníků (l-U)c : £ < 2"). Nechť v G Ta+\. Existuje jediné
u G Ta takové, že u < u a proto u = i;^ pro jednoznačně určené £ < 2W. Je-li
a izolované číslo, máme již sestrojeno ^>{u) a položíme ^(^) = <p{u) u {(a-s)}-
Je-li a limitní, položíme
tp(v) = {J{p{w) : w eTd+l, w>u, ,3 < a} U {(«,£)}■
Tím dostáváme prosté zobrazení, které zachovává uspořádání a podmínka o kofi-
nálních větvích zaručuje, že y? je zobrazení na všechny požadované funkce. Lemma
je dokázáno.
Pokud nastává případ (b) v 1.16 a fj = 2"\ pak existuje uniformní ultrafiltr na ^
extremálních vlastností.
1.19 Definice. Selektivní ultrafiltr. Ultrafiltr F na cj, který rozšiřuje Fréchetuv
filtr, se nazývá selektivní, jestliže pro každý rozklad R množiny tu buď
398

1 20 Nekonečná kombinatorika modlilo Frr.chetúv ideál Dodatek 1
(i) nějaká množina z R leží v F, nebo
(ii) existuje X G F takové, že |r n X\ < 1 pro každé r G R.
Dokazujeme existenci selektivního ultrafiltru za předpokladu 1.16 (b) spolu
s fj = 2^. Všech rozkladů množiny uj je 2^', očíslujeme je {Ra : a < 2~}.
Systém všech nekonečných množin z Ra lze doplnit do maximálního skoro
disjunktního systému přidáním parciálních selektorů na Ra. Pro každé a < 2U buď
Pa nějaký takový MAD systém. Jelikož rj = 2^, můžeme vybrat zjemňující
soubor MAD systémů (Qa : a < 2U) takový, že každé Qa navíc zjemňuje také Pa.
Tím získáváme strom ({J{Qa '■ & < 2^}, D*), odpovídající bázovému systému.
Vezměme jeho kořinální větev H. Potom množina
F = {X Cuj : (3 V G H)X 3* Y}
je hledaný selektivní ultrafiltr.
Všimněme si, že zkonstruovaný ultrafiltr, kromě selektivity, má ještě následující
vlastnost. Pro každé S G [F]<2" existuje X G F takové, že X C* Y pro libovolné
Y e S. Ultrafiltr mající pouze tuto vlastnost, se nazývá P(2^)-ultrafiltr.
1.20 Příklad. Vlastnosti selektivních ultrafiltru. Nechť (Az : i G uj) je soubor
nekonečných částí množiny uj. Říkáme, že B C uj je diagonální množinou souboru
(Az : i G cj), jestliže
(Vi,j eB)i<j-+je Bt.
Existují soubory, pro které neexistuje nekonečná diagonální množina, například
když množiny souboru jsou skoro disjunktní.
Mluvíme-li o stromu T C {Jn£u nuj, který sestává z některých konečných
posloupností přirozených čísel, máme na mysli, že T f 0, s každou posloupností
obsahuje všechna její zúžení a uspořádání je dáno inkluzí.
Pro uniformní ultrafiltr F na u jsou následující vlastnosti ekvivalentní:
(i) F je selektivní.
(ii) Pro každý soubor (Az : z G u;) množin z F existuje jeho diagonální množina.
ležící také v F.
(iii) Je-li T C {Jn£uj ,1lj strom takový, že každý vrchol se větví do množiny
z ultrafiltru F, to znamená, že
(V/ e r) ({n : j-n G T) G F),
pak existuje větev l- ve stromu T taková, že Rng(|J v) G F.
(iv) Pro každé obarvení c : [uj]2 —> k, k e uj, existuje množina _Y G F, která
je homogenní pro c. To znamená, že v Ramseyove větě můžeme požadovat, že
399

Dodatek 1
1 20
homogenní množina je v ultrafiltru F. Odtud pochází název Ramseyův ultrafiltr
jako synonymum pro selektivní ultrafiltr.
(v) Pro každou funkci / : uj —> uj existuje množina X G F taková, že zúžení
f\X je buď konstantní, nebo prostá funkce.
Poznamenejme, že existenci selektivního ultrafiltru pouze v ZFC nelze dokázat.
Kunen 1976 ukázal, že v generickém rozšíření přes měrovou algebru délky alespoň
uj2 neexistuje selektivní ultrafiltr. Ve 1.23 uvidíme, že existuje generické rozšíření
pro přidání nového selektivního ultrafiltru, které je v jistém smyslu kanonické.
1.21 Co dává Martinův axiom? S Martinovým axiomem MA jsme se setkali
ve IV.3.43. Odtud víme, že MA je důsledkem hypotézy kontinua CH, ale také, že
je bezesporný s negací CH. Jedním z důsledků MA je regularita kardinálního čísla
2W.
Ukážeme další důsledky Martinova axiomu.
(i) Solovayuv princip. Nechť A,B C [lj]u jsou systémy množin mohutnosti
menší než 2" takové, že A ^ 0 a žádná množina A e A není pokryta až na
konečnou část nějakým konečným podsystémem z B. Potom existuje nekonečná
množina S C uj taková, že
\S n A\ = uj pro každé A e A, \S n B\ < u pro každé A e B.
(li) V^uj) - {0} je 2^-uzavřená.
Odtud pak, podle 1.5, 1.18, 1.19 víme, že
(iii) \) = 2";
(iv) v každém bázovém stromu jsou všechny větve kofinální;
(v) existuje selektivní, P(2u/)-ultrafiltr;
(vi) zúplnění cm(P^(u;)) je izomorfní s 0)1(2", 2").
Důkaz. MA —> (i) Solovayuv princip připomíná větu IV.3.45. Podstatné je, že jeho
důkaz získáme snadnou modifikací důkazu IV.3.50 této věty, a to takto. Jelikož
\A U B\ = x < 2U můžeme všechny množiny z A U B očíslovat (Aa : a < x),
opakování je přípustné. Položíme-li I = {a < x : Aa G B}, X = lu\ potom
uspořádání P a získaná množina S v důkazu IV.3.50 mají požadované vlastnosti.
Stačí si uvědomit, že místo skoro disjunktnosti systému (_4a : a < x) stačí v našem
případě použít to, že pro každé A e A a B0 e [B]<u-' je \A - \J B0\ = u.
(i) —^ (ii). Dokážeme trochu silnější tvrzení. Nechť A C [u]u je neprázdný
uniformně centrovaný systém množin, to znamená, že každý konečný podsystém
Ao C A má nekonečný průnik a nechť \A\ < 2". Potom existuje nekonečné S C uj
takové, že S C* A pro každé A € A.
Stačí položit B = {X e [ujY : {3 A e A)X = uj - A}, pak systémy A,B
splňují podmínky Solovayova principu. Nekonečné S C uj, které je skoro disjuktní
se všemi X G B má požadovanou vlastnost vůči systému A.
400

L 23 Nekonečná kornbuiaLoTika modlilo Fi écíietůi ideál Dodatek t
1.22 Zobecnění. Věta o bázovém stromu má širší působnost. Platí s analogickým
důkazem pro každou algebru C bez atomů, která má u\-uzavřenou hustou množinu
mohutnosti 2^ a je homogenní pro charakteristiku rj(C). Úlohu kardinálního čísla
řj přebírá výška fj(C). Jednoduchý příklad algebry splňující tyto podmínky a různé
oďP^(u) je volný součin C = V^(^)®V^(u). Překvapivě, výška tohoto součinu
může být menší než rj (Shelah, Spinas 1998).
1.23 V^(uj) jako forcingová algebra. Zajímá nás, co platí v generickém rozšíření
universa V konstruovaném nad algebrou Vu,(uj). Nechť G je libovolný generický
filtr na P^(cj) nad V, V[G] odpovídající generické rozšíření. Připomeňme, že
filtr G je generický, jestliže obsahuje nějaký prvek z každé husté podmnožiny H
algebry Vu{oj), pokud H G V. Ekvivalentně, jestliže pro každý rozklad jednotky
P, P e V,)ePnG ^ 0.
Algebra V^{<jj) je (>í, oo)-distributivní pro každé x < rj a tato distributivnost
se zachovává i v zúplnění cm(Vu(uj)). Podle věty IV.3.23 v rozšíření V[G] není
žádná podmnožina kardinálního čísla x, x < rj, která by nebyla ve V. Odtud
okamžitě vidíme, že kardinální čísla x < rj, včetně řj, jsou absolutní, zůstávají
kardinálními čísly i v rozšíření. Jelikož i] > uj\, V[G] nepřidává nová reálná čísla
(= synonymum pro podmnožiny přirozených čísel), a proto i rozklady přirozených
čísel ve V[G] jsou pouze ty, které náleží do V.
Pracujme chvíli v rozšíření V[G}. Víme, že G e V[G\ a že G £ V, protože
Vu((jj) nemá atomy. Filtr G sestává z nějakých prvků algebry V^(<jj), tedy z
nějakých tříd ekvivalence. Položme F = [jG. Ukážeme, že F je selektivní ultrafiltr
nacj (1.19). Předně F e V[G], F C [cj]w, F je filtr na cj, ale F £ V. Vezměme
libovolný rozklad R množiny tu. Nechť S = {A e R : |-4| = u;}. Pokud 5
není maximální skoro disjunktní systém na u, doplníme jej do takového systému
přidáním některých částečných selektorů rozkladu R a označíme jej P. Důležité
je, že konstrukci P provedeme ve výchozím universu V, tedy P e V. Obecně
ne každý MAD systém ve V[G] leží ve V. Systém {[X] : X e P} je rozklad
jednotky algebry V^(uj) a z genericity filtru G víme, že pro nějaké X G P je
[X] e G, neboli X e F. Toto X buď leží v S, a tedy v iž, nebo |Inr| < 1 pro
každé r <G R. Tím je selektivita filtru F ověřena. Všimněme si, že z ní již plyne,
že F je ultrafiltr. Tedy ve V[G] platí, že existuje selektivní ultrafiltr.
Víme též, že lui je absolutní, uj\ — '^\ ■ Protože MAD systém na ^ má
nejvýše mohutnost 2^, podle IV.3.33 jsou všechna kardinální čísla A > 2"' také
absolutní. Obecně číslo í) rozhoduje o tom, je-li nějaké kardinální číslo kolapsováno.
Ukážeme, že ve V[G] existuje nové zobrazení p, které zobrazuje řj na 2^'. To
znamená, že v případě rj < 2^ jsou ve V[G] všechna kardinální čísla x, rj < x < 2^',
kolapsována na rj, neboli roli mohutnosti kontinua ve V[G] přebírá číslo rj.
Jméno pro kolaps. Na algebře V^(<jj) existuje matice sestávající z disjunktních
souborů Aa^ pro a < f), /? < 2^ následujících vlastností:
401

Dodatek 1
L -2A
(i) pro každé a < řj, {J{Aa<f3 : j3 < 2"'} je rozklad jednotky;
(ii) Aa^ fl Aat/32 = 0 pro /?! Ý P2\
(iii) pro každé (3 < 2^ je množina [J{AQ)p : a < írj} hustá.
Matici {Aa?/3 : a < \),/3 < 2^} získáme snadno z bázového stromu. Nechť T
je takový strom. Pro každé u G T zvolme prosté očíslování {up : 3 < 2^}
jeho bezprostředních následníků. Položíme-li pro a < f), 0 < 2"' v4a/3 = {i^ :
u G Ta}, kde Ta značí a-tou hladinu bázového stromu, snadno nahlédneme, že
{Aa,p • ol < rj,/3 < 2^} má požadované vlastnosti.
Generický filtr G určuje zobrazení p : rj —> 2^ tak, že p(a) = /3, jestliže
Aa,p nG/0. Podmínky (i) a (ii) zaručují, že pro každé a existuje jediné /?, pro
které je p{a) = (3 a podmínka (iii) říká, že /? je zobrazení na celé 2^.
Následující tvrzení shrnuje vlastnosti generického rozšíření:
1.24 Věta. V generickém rozšíření V [G] platí:
(i) existuje selektivní ultrafiltr na tu,
(ii)V(cj) = VV(cj),
(iii) \)je nejmenší kardinální číslo rve V takové, ze v generickém rozšíření V [G]
se přidává nová podmnožina kardinálu r,
(iv) 2U = \)v ab = 2^,
Uvedli jsme již, že existence selektivního ultrafiltru není dokazatelná v ZFC.
Přesto může být výhodné využít předpokladu jeho existence ke zkrácení a
zprůhlednění důkazů některých tvrzení o podmnožinách přirozených čísel. Označme
H(u>i) množinu všech dědičně spočetných množin, H(lji) — {x : \U^{x)\ <
o;].}. K důkazu, že nějaká sentence <p platí ve struktuře (íí(cji), E), můžeme
využít selektivního ultrafiltru. Je to možné proto, že v kanonickém rozšíření V[G\
selektivní ultrafiltr existuje a (H(ui))v = (H(lji))v^. Jinými slovy, formule p
je absolutní mezi V a V[G). Příklad takového použití můžeme nalézt u K. Kunena
(1998).
Algebry V^{>c) pro nespočetné x. Nejprve si ověříme jednoduchý vztah mezi
algebrami V\(\) a 7^ (x), jakmile A = cf(*r) a >^je singulární kardinál.
Připomeňme, že vnoření/ : A —> B algebry A do algebry B je úplné (1V.2.13"),
právě když každý rozklad P jednotky v A je zobrazen na systém {/(u) : u G
P}, který je rozkladem jednotky v B. Při úplném vnoření algebry A do B se
převádějí rozklady jednotky na rozklady jednotky a zachovává se vztah zjemnění
mezi rozklady. Pokud navíc A i B nemají atomy, jsou definovány jejich výšky a
v takovém případě platí fy{A) > \){B).
1.25 Lemma. Pro singulární x s cf(x) = A existuje úplné vnoření V\(\) do
Vx{x)> cl tedy o výškách platí'rj ^ < \)\.
402

1 26 Nekonečná kombinatorika tnudulo Fréchetův ideál Dodatek 1
Důkaz. Zvolme rostoucí posloupnost kardinálních čísel (xa : a < A) kofinální
v x s ho = 0. Polouzavřené intervaly IQ = [xQ) xa+i) tvoří rozklad množiny x.
Pro [X] G V\{\) položme y{[X)) = [\J{I* : a G X}] v V*(x). Zobrazení ^ je
hledané úplné vnoření V\(\) do V>c(x).
Pro případ singuláru x se spočetnou kofinalitou, například N^, tedy víme, že
fy* < fy- Ale to je málo. Máme větu 1.8. Důkaz věty 1.8 je obsažen v následujícím
tvrzení.
1.26 Věta o výšce, (i) (Baleár, Vopěnka 1970) Je-li x kardinál s nespočetnou
kofinalitou, potom algebra V>c{x) je všude (cj, •, cí(x) + )-nedistributivní, a tedy
\)„ = u.
(ii) (Baleár, Simon 1988) Je-li x singulár se spočetnou kofinalitou, pak algebra
V>í(x) je všude (u^, •, 2^)-ne distributivní, a tedy
rjx = wi.
Důkaz. Začneme následujícím pozorováním.
(a) Nechí x je nekonečný kardinál, X E [x\* a / : X —> x je prosté
zobrazení. Potom existuje Y C X a prosté zobrazení g : Y" —► >ť takové, že
\Y| = xr a 0(£) < /(O pro každé £ G 7.
K tomuto cíli vezměme (r]L : l < x) rostoucí prosté očíslování množiny j"[X\.
Stačí položit
Y = {£ e X \ pro nějaké i < x je /(£) = r]L+1}
a definovat #(£) = 77,, jakmile /(£) = 77^.-^1.
(b) Dokazujeme (i). cf(x) > cj. Použijeme pozorování (a) a princip maximality
a budeme konstruovat indukcí pro n < uj maximální skoro disjunktní systémy An
na x spolu s prostými zobrazeními Ja : .4 —> x pro každé A G An tak, že platí:
(bl).4o = {*},/„ = id,
(b2) pro m < n < uj je .4a jemnější než Ani, to znamená, pro každé B G -4U
existuje ^4 6 -4m takové, že B C .4,
(b3) je-li m < n, B e An, A G .Am a B C .4, potom pro každé ( G B je
/b(0 < fA{£).
Předpokládejme, že máme sestrojen MAD systém An. Z (a) plyne, že pro
každé A G An a fA : A —> >r existuje MAD systém B(A) na .4 spolu s prostými
zobrazeními /# : 5 —> x pro každé B E #(^4) takovými, že /#(£) < /^(£)
pro každé £, e B. Položíme ^4n+i = (J{B(A) : A G An}> je zřejmé, že Ai+i je
MAD systém na x.
403

Dodatek 1
1 26
Ověříme, že soubor {An '■ ^ < ^'} zabezpečuje všude (^, •. (cf(>ť))4")-nedistri-
butivnost algebry V^(x). Musíme ukázat, že pro každé X G [x]3* existuje n < ^\
pro které platí
\{AeAn: \XnA\ = x}\>(cf(x))+.
Dokazujeme sporem, předpokládejme, že pro X G [x]* to neplatí. To ovšem
znamená, že pro každé n < uj má množina
velikost menší než cí(x). Velikost cf(x) není možná, protože na x neexistuje
MAD systém mohutnosti cí(x). Odtud plyne, že množina
Zn = \J{A D B : A,BeSnhA^B)
má mohutnost < x. Z maximality An plyne \X — |J Sn\ < x. Jelikož cí(x) < cj,
množina
Z = (Xn f]\JSn)- \JZn
je neprázdná.
Zvolme ( G Z. Potom pro každé n G uj existuje jediné An G Sn takové,
že f G i4n a tyto ,4n tvoří klesající posloupnost. Podle (b3) dostáváme klesající
posloupnost
/.40(0>/a1(0>--->/^„(0>-..
ordinálních čísel, a to je spor.
(c) Dokazujeme (ii), x > cí(x) = uj. V tomto případě je V^(x) (o;,-.2)-
distributivní podle 1.7 a odtud víme, že řj^ > u,^. Nejprve dokazujeme rj^ = ^i-
Transíinitní indukcí pro a < u>i konstruujeme maximální skoro disjunktní
systémy A(y na x spolu s prostými zobrazeními /a '■ A —> x pro každé .4 G Aa
tak, že platí:
(clMo = {^},/x = id,
(c2) je-li a < /3 < cji, potom ^ zjemňuje ,Aa, to znamená, že pro každé
B G -4/3 existuje A G A*, Pr° které 5 C A,
(c3)je-li a < P < ^i,B G AsM G40aSC .4, potom pro každéf G /4n£
Je/B(0</^(0-
Máme-li sestrojeno ^4a, použijeme (a) stejným způsobem jako v případě (i),
abychom získali A*+i-
Zbývá definovat Aa pro a limitní. Jelikož V^x) je (uj, ■, 2)-distributivní,
existuje MAD systém C na x zjemňující všechna A$, j3 < a. To znamená pro
404

1 27 Nekonečná kombinatorika modulu Frcchetůu ideál DocLitek 1
každé C G C a každé f3 < a existuje A e Ap takové, že C C* A. Pro C e C
definujme gc '■ C —> x předpisem
gc(0 = min{/.4(0 : A e Ap, C C* A. S e A, 0 < a}.
Pro každé rj G x máme
9č\v) C {f-\V) :CC* A.Ae Ap, 0 < a},
ajelikožajespočetnéakaždé/^ jeprosté, je |^1(?7)| < u. Tedy existuje D C C
takové, že \D\ — x a gc\D je prosté. Můžeme proto předpokládat, že každé
zobrazení gc pro C G C je prosté. Přechod od C k ^4Q je analogický jako od Aq
Máme sestrojenu matici {^la : a < lji} MAD systémů a nyní ověříme, že
zabezpečuje (ui, •, 2)-nedistributivnost algebry V>c(x). Pokud ne, existuje X G
\x\yc takové, že pro každé a < u^ existuje Aa G .4Q, pro které je X C* Aa.
Položme fa — jacx a definujme pro £ G X
/i(0 = min{/Q(0 :(Gln4,a<Wl}.
Pro a < cjí nechf Xa = {£ G X : /i(£) = /Q(0}.
Jelikož X — UQ<u Xa a \X\ ~ x a cf(>í) — cj, existuje a < u\ takové, že
\[J3<CíXp\ = x. Tedy (Jč<a-^-č - ^ -* ^Q a můžeme zvolit £ takové, že
£ G Xp fi AQ pro nějaké /3 < a. Pro takto zvolené £, z definice zobrazení /; a
množiny X^, dostáváme
MO = MO = min{/7(0 : É E A, H X, 7 < u^} < /a(0-
Jelikož a > (3, podle (c3) máme také /a(0 < /#(£) a dostáváme spor.
Dokázali jsme, že V>ť(x) je všude (cji. •, 2)-nedistributivní. Jelikož V>í(x) má
hustou cji-uzavřenou část, standardní argument rozvětvení dokazuje, že V*,{><) je
všude (lJx, •, 2^)-nedistributivní.
Víme, jaké jsou výšky algeber V><(x). Ptáme se, jestli existuje i pro nespočetné
x bázový strom v V^{x). Zde nastávají potíže, pouze v ZFC je otázka nerozhod-
nutelná. Pro pozitivní odpověď stačí předpoklad 2^ = x+, nebo o něco méně.
Použijeme kardinální charakteristiku b^ z 1.12 pro regulární x. Víme, že b^ > x+
a b^ je také regulární kardinální číslo. Navíc platí tvrzení 1.14 (ii) i pro nespočetné
x se stejnou ideou důkazu: MAD systém na regulárním x, který má mohutnost
alespoň x, má mohutnost > b^.
1.27 Věta o bázovém stromu pro x > uj (Baleár, Vopěnka 1970).
Předpokládáme, že pro nespočetné regulární kardinální číslo x platí 2* — b^. Potom
4U5

Dodatek 1
1 27
(i) Existuje množina T C V>i(x) — {0} taková, že
(a) T je hustá v V^(x),
(b) (T, >)y<? sfrora vys/ry cj, £d<? <y<? kanonické uspořádání algebry V^\x),
(c) každé u G T wiá 2^ bezprostředních následníků.
(ii) Zúplnění cm(Px(x)) y'č izomorfnís kolapsovou algebrou Co1(cj. 2^).
Důkaz, (i) předvedeme v množinách. Z věty 1.26 (i) víme, že existuje spočetný
soubor (Pn : n e co) zjemňujících se MAD systémů na x, který zaručuje všude
(cj, •, >ř+)-nedistributivnost. To znamená, že pro libovolnou množinu A G [x]"
existuje n e lj takové, že {X n A : X G Pn & |X n A| = x} je MAD systém
na A mohutnosti větší než x, a tedy z našich předpokladů plyne, že má mohutnost
b>c = 2x.
Ověřili jsme, že soubor (Pn : 11 G cj) zaručuje (cj, ■, 2>í)-nedistributivnost.
Nyní k sestrojení hledaného bázového stromu zbývá postupovat stejně, jako
v posledním odstavci důkazu věty 1.9, stačí zaměnit rj za u a 2U za 2*. Získáme
zjemňující soubor MAD systémů Tn,n e lu, požadovaných vlastností.
(ii) plyne z (i), protože zúplnění cm(Px(x)) splňuje podmínky McAloonovy
věty IV.2.43.
Je známo, že za předpokladu 2^ = x+ existují bázové stromy nebo ekvivalentně
bázové systémy množin i pro singulární x. Později podáme důkaz alespoň pro x
se spočetnou kofinalitou.
1.28 Příklady, (i) Bázový strom nemusí existovat již pro x — u\. Stačí použít
Baumgartnerovu větu IV.3.41. Rozšíříme genericky universum V\ ve kterém platí
2Ul = lúo přidáním cj3 Cohenových čísel, to znamená pomocí algebry C(^3. 2).
V rozšíření V[G] platí 2Ul > cj3, protože již 2U' > ^3, MAD systémy na ^
mají mohutnost nejvýše cj2- Kdyby ve V[G] existoval bázový strom, tedy spočetně
mnoho MAD systémů, je ve hře pouzeuj2 podmnožin kardinálu ui. Ale ty nemohou
tvořit hustou část v [^i]^1, ta má v rozšíření mohutnost > cj3.
(ii) Malá hustá množina. Zabýváme se převážně vlastnostmi algeber V><(x),
které jsou určeny vlastnostmi libovolné její husté části. Algebra sama má mohutnost
2*, může mít hustou část mohutnosti menší než 2^? Pokud ano, pak každý MAD
systém na x má mohutnost také menší než 2*.
A. W. Miller (1982) ukázal bezespornost tohoto tvrzení:
Existuje H C [ujiY1 taková, že (VX G [^i]^'1) (3Y G H) Y C X a přitom
|tf| = Nw<Nw+i <2">.
V tomto případě je hustota ^(7^ (^1)) < 2LJl. Tvrzení platí v generickém
rozšíření V[G], kde předpokládáme, že ve V platí GCH (stačí, že K^. je silně
limitní) a G je generický filtr na algebře C(K^,2), to znamená na algebře pro
přidání Kw Cohenových reálných čísel.
406

1 29 Nekonečná kombinatorika modulu Fréchctův ideál Dodatek 1
(iii) (A. Dow, K. P. Hart 1994) Zúplnění cm(PJÍ(^)) se může podstatně lišit od
nějaké kolapsové algebry. Předpokládejme, že ve V platí 2ÚJl = uo a že máme
fixované kardinální číslo x > CJ3, pro které x^1 — x. Potom v generickém
rozšíření V[G] nad algebrou C(x< 2) platí
cm(PWl (1^)) ~ cm(Col(u;,a;2) <g> C\x. 2)).
To znamená, že zúplnění algebry VLJl (u>i) je izomorfní volnému součinu ve třídě
úplných Booleových algeber (IV.2.23) kolapsové algebry tu na uo a algebry pro
přidání x Cohenových čísel.
Bezprostředním důsledkem tohoto vyjádření je určení nejmenší mohutnosti
uniformních ultrafiltrů na ux, které tvoří hustou podmnožinu topologického prostoru
U(uji) neboli Stoneova prostoru \l\t{T)Lúl (<^i))- Ve V[G] platí: hustota prostoru
U(u)i) je rovna cj2> 2LUl = 2^ = x a přitom každá hustá část algebry V^x (^>i) má
plnou mohutnost 2"'1.
Kolapsování. Viděli jsme v právě uvedeném příkladu, že zúplnění algebry V^x {w\)
má daleko ke kolapsové algebře, přesto kolapsová algebra Co1(cj, U2) je jeho úplnou
podalgebrou. Tedy v generickém rozšíření přes VUi(<jJi) se kolapsuje uj-i na uj.
Přesvědčíme se, že to není náhoda, ani záležitost konsistentního příkladu, ale je to
dokazatelné v ZFC.
Zajímá nás, co platí absolutně, bez dalších předpokladů o teorii množin. Víme
již, že na existenci bázových systémů pro každé nespočetné x nemáme nárok.
Věta o výšce 1.26 je ekvivalentní s tvrzením, že algebra V^{x) forsuje zobrazení
malého kardinálního čísla u) nebo o^, v závislosti na cf(x), do čísla 2*. Systém
MADů, zabezpečující výšku rj ^, je jméno pro takové zobrazení. To, že odpovídající
zobrazení kolapsuje nějaké větší kardinály není přímým důsledkem této věty.
1.29 Věta o kolapsu, (i) Pro každé nespočetné x, regulární nebo singulární
s cí(x) = uj, existuje kardinální číslo r > x^ a systém {Pa : c\ < rj^}
maximálních skoro disjunktních systémů na x spolu s rozklady {Pa.j • 3 < r}
každého P& na r částí s následující vlastností: Pro každé X E [x]* existuje hladina
a < f)x taková, že pro každé (5 < r existuje A G P^3, pro které \X C\ A\ — x.
(ii) Úlohu t splňuje pro regulární x číslo b^, pro singulár s ci{x) — jj číslo
(iii) Pro singulární x s ci(x) — u je kolapsová algebra Col^x, xHí>) úplnou
podalgebrou zúplněnícm(P><(x)).
Hypotéza. Je velice plausibilní, že věta o kolapsu platí i pro singuláry x s
nespočetnou kofinalitou, kde úlohu r lu-aje x+. Doposud nebyl nalezen důkaz pouze
v ZFC.
407

Dodatek 1
i ig
Proč název věta o kolapsu? Položíme-li v úplné algebře cm(Px(x)) pro a <(]>,,
/3<r
dostáváme booleovskou matici typu (/z^, r). Její řádky jsou rozklady jednotky a
pro každý /3-tý sloupec je \f{uQ^ : q < rj^} = 1, tedy booleovské jméno pro
zobrazení f}xnar.
V dalším výkladu se seznámíme s kombinatorickými metodami, které se opírají
o topologii dobrého uspořádání ordinálních čísel, jmenovitě o uzavřené neomezené
a stacionární množiny, viz kapitola III.2. Uváděné techniky souvisejí s důkazem
věty 1.29 a jsou dnes součástí pcf teorie. Dohodněme se, že Club(J) pro limitní
ordinál 5 značí systém všech uzavřených neomezených podmnožin ordinálu S.
Tedy pro 5 s cf (6) > u filtr Cub(<5) má Club(á) jako svoji bázi.
Začneme s charakteristikou b^ pro nespočetné regulární x a jejím vztahem
k systémům uzavřených neomezených množin v x.
1.30 Lemma. Nechí xje nespočetné a regulární. Potom b^ je největší kardinál r
takový, ze pro libovolný systém {C& : a < A} méně nežr uzavřených neomezených
množin existuje uzavřená neomezená množina C, C C * Ca pro každé a < X.
Stručněji, Club (x) je v algebře V>ť(x) dolů b^-usměrněný systém.
Důkaz. Pro rostoucí funkci / : x —* x bude sp (/) značit spojitou modifikaci
funkce /, to znamená sp (/) : x —> x a sp (/)(£ H- 1) = /(£ H- 1) a pro £ limitní
sp(/)(0 = supn<^ f(rj). Je zřejmé, že sp (/) < /, sp (/) je spojitá rostoucí
funkce na x a pokud jsou f.g rostoucí a / <* g, pak i sp (/) <* sp (g).
Ověříme, že pro libovolný systéme C * x rostoucích funkcí platí: 5 je omezený
v (*x, <*)> právě když sp(S) = {sp(/) : / G S} je omezený. Je-li h horní mezí
pro S, můžeme předpokládat, že h je rostoucí. Pak sp(/i) je horní mezí pro sp(5).
Na druhou stranu, je-li h rostoucí a současně horní mezí pro sp(5), pak h, kde
h(£) = h(£ -f 1), je horní mezí pro S.
Vezměme posloupnost {/Q : a < b^} rostoucích funkcí, která realizuje b*
podle 1.13. Jak jsme ověřili, {sp(/a) : a < b^} také realizuje b^. Funkce sp(/n)
je rostoucí spojitá, proto množina jejích pevných bodů Ca = {£ e x : sp(/a)(£) —
£} je uzavřená neomezená v x. Pro a < 8 < b^ je sp(/Q) <" sp(/j) a proto
Cp C* Ca. Získali jsme tak C*-klesající řetězec {CQ : a < b^} C Club(>ť).
Ověříme, že řetězec {Ca : a < b^} nemá dolní mez v ([xj*. C*). Pokud A" je
takovou mezí, její i množina C = cl (A), a rostoucí funkce /, zobrazující x na C
by byla horní mezí pro {sp(/Q) : a < b^}, a to není možné.
Na druhou stranu, mějme systém {Ca : a < X} C Club(x), A < b^. Pro
a < X nechť fa je očíslování množiny Ca, tj. /a je rostoucí zobrazení x na
Ca. Jelikož A < by*, existuje rostoucí funkce g, která je homí mezí systému
408

] 33 Nekonečná kombinatorika modlilo Fréchctúv ideál Dodatek 1
{/Q : a < X}. Nechť C je množina pevných bodů zobrazení sp(g). Potom
C C* Ca pro každé a < A.
1.31 Důsledek. Pro nespočetné regulární x existuje řídký řetězec {Ca : a <
bx} C Club(x), to znamená, ze
(i) C^ C* Ca pra a < P < b„,
(il) pro libovolné X G [x]^ existuje a < b^ takové, ze \X — Ca\ — x.
Některé kombinatorické principy se nazývají predikční. Mezi takové principy
počítáme různé verze diamantových principů, čtvereček i v dalším textu uvedený
princip odhadu uzavřených neomezených množin. Jde o to, že se postuluje
existence (transfinitní) posloupnosti objektů daného typu, která zpravidla na stacionárně
mnoha místech uhodne nebo odhadne chování větších objektů téhož typu.
Následující Shelahův princip odhadu uzavřených neomezených množin patří
k základním tvrzením pcf teorie.
1.32 Věta. Nechí x, X jsou nekonečná regulární kardinální čísla taková, ze >r < X
a nechí S C {ó < X : cí(ó) — x] je stacionární množina v X. Pak existuje
posloupnost (es ' S G S) splňující:
(i) es C S a je uzavřená neomezená v 5,
(ii) ordinální typ uspořádání množiny es, zkráceně otp(c<$), je roven x,
(iii) pro každé C G Club(A) existuje 5 G S takové, že c$ C C.
Povšimněme si, že z této formulace již snadno plyne formálně silnější závěr.
Pro každé C G Club(A) je množina {ó G S : c$ C C) stacionární v A.
1.33 Definice. Posloupnosti C = (cj : 5 G S) splňující (i) - (iii) věty 1.31 říkáme
Club-odhadující posloupnost nad S.
Důkaz. Mějme požadované x, A, S. Pro každé 6 G S zvolme kofinální
podmnožinu ds ordinálního typu x, to můžeme, protože cí(5) — x. Množina ds nemusí
být uzavřená v ó, vezměme c$ = c\(ds) uzávěr v 6. Tímto uzávěrem se nezmění
ordinální typ. Máme tak startovní posloupnost C — (es : S G S).
Pro libovolnou množinu C G Club(Á) můžeme vytvořit modifikaci startovní
posloupnosti C, kterou označíme C \ C = (č§ : 5 G S). Volba modifikace bude
záviset na velikosti x. Je-li S limitním bodem množiny C, pak v případě x > wj
položíme čs — c$ n C a v případě x — uj položíme čs — {sup(C n (7 -f 1)) : 7 G
c^.Cn (7+ 1) 7^ 0}. Není-li 5 G S limitním bodem množiny C, bude čs — c^
v obou případech. Uvědomme si, že pro všechny modifikované množiny čj opět
platí čs G Club(í).
Dokazujeme, a to sporem, že existuje uzavřená neomezená množina C v A
taková, že posloupnost C \ C je Club-odhadující posloupností. Tedy
předpokládáme, že žádná modifikace nedává Club-odhadující posloupnost. Transfinitní
rekurzí pro a < x+ vybíráme množiny Ca G Club (A) tak, aby Ca C Cp pro
409

Dodatek 1
1.33
všechna j3 < a a aby byla svědkem toho, že modifikace C \ (C\q<Cx O) neni
Club-odhadující posloupností.
Vezměme C = f]{CQ : a < x+). Jelikož x+ < A, je C G Club(A).
C n S / 0, protože 5 je stacionární v A. Pro ó e C D S a. ó limitní v C je 5 limitní
také v každé množině Ca, a < x+.
V případě x > uj pro množiny c§ O CQ platí, že c$ C\ {Ca - Ca+i) ^ 0, nebof
Ca+1 svědčila o tom, že C \ (fl/3<c*+i Q?) není Club-odhadující posloupností.
Dostáváme ostře klesající posloupnost có- ^ q fl Co ^ . . . có- fl Ca ^ ... délky
>í+ podmnožin množiny mohutnosti x, a to není možné. Tím je důkaz prvního
případu proveden.
Pro x — uj dospějeme ke sporu takto. Je-li 7 G c$ takové, že C n (7 -f- 1) /O
a a < /? < >r+, pak sup(C/3 fl (7 -f 1)) < sup(Ca fl (7 4- 1)); přitom pro
nějaké 7 G es je nerovnost ostrá dle volby množiny C#. Protože množina es je
spočetná, musí existovat 7 G có- takové, že v transfmitní posloupnosti ordinálních
čísel 7 > sup(Co H (7 -f 1)) > • • • > sup(Ca fl (7 + 1)) > ... je nekonečně
mnoho nerovností ostrých, což není možné. Důkaz je hotov.
Ukazuje se, že struktura uzavřených neomezených množin na x ]t zajímavá i
užitečná také v případě, kdy x je singulární kardinál.
1.34 Značení. Q^ = {X e [x]* : X je uzavřená v x).
Místo [x]* skvaziuspořádánímC* se budeme zabývat podstrukturou (Q*. C*).
Chování uzavřených neomezených množin plné mohutnosti, tedy množin z Q^, se
pro x singulární podstatně liší od Q\ — Club(A), je-li A > u regulární. Nesmí nás
překvapit, že v Q^ nalezneme nekonečné podsystémy vzájemně skoro disjunktních
množin, ani to, že pro některá X G Q^ existuje rostoucí funkce / : X —* x,
která je skoro všude regresivní, tedy | {x G X : f(x) <£ x}\ < x.
1.35 Číslující funkce, skeleton. Libovolná množina a C On má jednoznačně
určený ordinální typ otp(a) = a. Izomorfismus ea ordinálního čísla (a, G) na
(a. G) nazýváme číslující funkcí množiny a. Pro .Y G [x]* je číslující funkce
ex definována na celém x a X G Q^, právě když ex je spojitá. Tedy množiny
z Qy, jsou vzájemně spojitě izomorfní. Pro každý singulár x s is = cí{x) existuje
aproximující posloupnost, to znamená rostoucí posloupnost kardinálních čísel s —
(xL : i < v) konvergující ke x. Skeletonem pro x rozumíme takovou posloupnost
5, která vznikne z nějaké spojité aproximace (A, : 1 < v) pro x přechodem k
následníkům, tedy xx — Az+ a navíc x0 > u+ a x^ < xl+i pro každé 1 < v.
Tedy skeleton sestává z regulárních kardinálních čísel a mezi následujícími členy
posloupnosti leží nějaký jiný kardinál. Všimněme si, že v případě v — uj je každá
aproximace spojitá.
410

1 36
Nekonečná kombinatorika rnadulo Frérhetův ideál
DcuLitek 1
1.36 Věta. Předpokládejme, ze x je singulární kardinál.
(i) Vlastnosti (Q^, C*) nezávislé na ci(x):
(a)|Q«| = 2-,*
(b) (Qx, C*)ye homogenní, to znamená, že pro každé X G Q* je Qx izomorfní
s{Y eQ„:YCX}vůčiC",
(c) výřta f)(Qx) = f)*,
(d) w/?Zrc<2 algebra RO(Q><1 C*) y<? úplnou podalgebrou zúplnění cm{V ^(x)).
(ii) Vlastnosti (Q„, C*) závislé na cf(x):
(a) (Q^, C*) y<? ui-uzavřené, právě když cf (>r) = cj.
(b) 7<?-/z cf(>ř) = u, vžfy existuje skoro disjunktní systém množin z Q*, kteiy
má mohutnost xH° = xcf^^. Jď-// cf (x) > u, existuje takový systém mohutnosti
x+', a/e nemusí existovat systém mohutnosti x0^**.
Důkaz. Fixujeme singulár x, označíme i/ = cf (>ť) a zvolíme skeleton (xz : z < i/)
pro >ť. Tím máme dány disjunktní intervaly Iz — [xi, xl+i). V každém takovém
intervalu můžeme vybrat x{ vzájemně disjunktních uzavřených podintervalů { JltCe :
a < Mi}, každý ordinálního typu xz -f 1.
(i)(a) Pro každé a < x existuje nejmenší i € v takové, že a < xz a pro takové i
označme Ka — Jz>Cí. Potom pro různá XFg [>c]" jsou množiny cl (IJa€ x K&),
cl (IW K*)e Qxa různé- Tedy \Q~\ =2>c-
(i)(b) Homogenita je přímým důsledkem toho, že množiny z Q^ jsou spojitě
izomorfní.
(ii)(b) Uvažujme systémy S C Xi£v ><i skoro všude různých funkcí z III. 1.13.
Položíme-li pro / G S Xf = UW,/(0 : l < v)^ Potom -4/ = cl(Xf) se
liší od Xf nejvýše o množinu mohutnosti < v. Proto {Af : / G S} je skoro
disjunktní systém. Podle III. 1.13 víme, že existuje systém S mohutnosti xH°
v případě spočetné kofinality a mohutnosti x^ v případě v > uj.
(ii)(a) Mějme dánu posloupnost {Xn : n G^}C QxsXn+i C* A'n. Hledáme
Z G Q„ takové, žeZ C* Xn pro všechna n G cj. Vezmeme-li Yn = H;^ ^"
potom posloupnost {Yn : n G c^} C Q^ je klesající v C. Očíslování množiny
Yn označme en a položme yTll — en(xz). Tedy yn<1 je xz-iý prvek množiny l";l.
Uvědomme si, že pro j < k < u je yJ}l < y^^ pro všechna i G cj.
Pro dané n G w chceme definovat množinu Zn takovou, že Zn C [ynn.yun+1),
Zn je kofinální v yn,n+i a tedy |Zn| = xn+i, a pro každé j < ?z je buď Zn C YJ?
nebo Zn n V^ = 0. K tomu cíli rozdělme {j : j < ?i} na dvě části cii, d2 tak,
že g?! — {j < n : y^n+i = yn,n+i} a <^2 je zbytek. Nutně n G d\. Vezměme
z = max{7/n)n,yJ)Tl+i : j G d2}- Potom z < yninTl a tedy [z, ?/a,n^i) je
neprázdný interval. Nyní stačí položit Zn = f]{Yj ' j' G d\ } n [2, ynn+i). Potom
Z - cl((J{^n : n G u}) G Q„ a platí \Z - Xn\ < \Z - Yn\ '< xn+1 pro
411

Dodatek i
1 .to
každé n G uj. Všimněme si, že toto je silnější vlastnost než požadované Z C* Xri.
Využijeme ji v důkazu věty 1.39.
(i)(c) Podle (ii)(b) pro každé X G Q^ existují skoro disjunktní X\, X2 G Q*
takové, že X\,X2 C X. Má tedy smysl ptát se na velikost výšky rjfQ^.C*).
Využijeme větu o výšce 1.26.
Nejprve případ v > u. Kardinální číslo v je regulární a nespočetné, tedy podle
1.26(i) víme, že \)v — uj. Nechť {Pn : n G w} je systém MADů na v, který svědčí
o rovnosti \)u — u. Pro singulár x máme zvolený skeleton (x; : i < v). Systém
{Pn : n G co} pracující na v přeneseme na systém {Pn : n G u} pracující na >c\
stačí položit pro každé p G Pn p = cl {J{IZ : i G p} a Pn = {p : p G Pn }•
Přesvědčíme se, že {Pn : n G uj} je posloupnost maximálních skoro
disjunktních systémů v Q^ svědčící o tom, že rj(Q^) — tu. Nechč je dáno n G ^j a
X G Q^. Jelikož |X| = >ť, můžeme vybrat transfmitní posloupnost (^ : j G ^)
ordinálních čísel < v takovou, že \X n lx | > >c3 pro každé j G v. Množina
a = {ij : j G i^} G \v\v, tedy existuje p E Pn, pro které |a D p| = i/. Pak ovšem
|X H|J{/2 : z G p}| = x. Nalezli jsme p G Pri, pro které |pfl X| = x. Tím jsme
dokázali, že P je maximální skoro disjunktní v Q^. To, že {Pn : 72 G -j} nemá
společné zjemnění v Q^ se ověřuje stejnou úvahou.
Důkaz pro i/ = uj převedeme na důkaz věty 1.26(ii) tím, že budeme specifikovat
prostá zobrazení /a : A —> x pro každé A G Q*. Pro A G Q^ máme očíslování
e^ : x —> A a položíme f& — e^1. Nyní hledáme B C A, B e Q^ takové,
že pro každé x G B je /s(x) < /a(x)- Využijeme skeleton (>rn : ?i G ^') pro
x. Množina e^"^!, xn+2) je kopie intervalu /n+i v /l, do množiny B dáme
pouze počáteční úsek ordinálního typu xn + 1. Tedy
n£uJ
zde -f značí ordinální součet. Množina B G Q^, B C .4 a mělo by být zřejmé,
že }b < Ía\B. Tím je zabezpečen přechod od Aa k Aa^i v konstrukci systému
{A% : £ < uj\} potřebného k ověření ^(Q^) = ^\. Zbývá a < ^^ limitní.
Použijeme uj\ uzavřenost Q^ a dostaneme se do situace, kdy máme maximální
skoro disjunktní systém C v Q^ zjemňující {Ap : ,3 < a}. Fixujeme C G C.
Hledáme podmnožinu B C C, B e Q„, pro kterou zobrazení /# < gc 5c
z důkazu 1.16(c). Množin A G LKA? : P < ah Pr0 které Platí ^ ^* -4, Je
spočetně mnoho, pouze jedna z každého .4.^. Očíslujeme je, máme tak množiny
{Am : m G ^} spolu se spojitými zobrazeními /m = Jaui-
Dále mějme n G cj a uvažujme kopii Cn+1 = ec"\>cn, xn+i) intervalu In v C,
označme án+i = ec(^n+i)- Ordinální číslo án+i má nespočetnou kofinalitu a
Cn+i je uzavřená neomezená množina v án+1. Jelikož množiny Am jsou uzavřené
412

1.37
Nekonečná kombinatorika tnodulo Fi échetúv ideál
Dodaiek 1
v celém x, pro Arn n Cn+\ nastávají pouze dvě možnosti. Buď Arn n Cu^i G
Club(ín+i), pak položme dm = Am D Cn+i, nebo Ani n Cn+i je nestacionární
v 5n+i< pak existuje drn G C\ub(5n^i), d711 C Cu+1 takové, že drn n _4m — 0.
Množina 67n+1 = p|{dm : m G ^} G Club(5;lTi). Položíme-li
fi' = U 6n+l U i5n + l '■ n ^ CJ>,
pak B' G Q>, a pro každé x G B' fl Am — {čn+i : n G u;} je /b(x) < frn(x).
Hledaná množina je
B = U ^'"[^ ^ + ^ + 1]-
(i)(d) Označme B^ = cmCP^x)). Naším cílem je ukázat, že B^ obsahuje
kopii algebry RO (Q^, C*) jako úplnou podalgebru.
Nejprve pro X G [x]* označme acp (Ár) množinu všech hromadných bodů
množiny X v x. Jinými slovy acp(X) je derivace množiny cl(X). Zobrazení
H : QK —> B„ definované vztahem
H{A) =\/{{X} :Xe [*]*&acp(X) C* ,4}
je homomorfismus (Q^, C*) do (B^, <). Navíc, jsou-li .A, jB G Q^ skoro
disjunktní, jsou prvky H(A),H(B) disjunktní. K tomu, aby RO (Q^Q*) bylo
izomorfní s úplnou podalgebrou algebry B„ obsahující množinu {H(A) • A G
Q^} jako hustou část, stačí ověřit, že H převádí každý maximální skoro disjunktní
systém A v Q^ na rozklad jednotky {H(A) : A G A} v Z^. Nechť A je takový
systém. Mějme libovolnou množinu X G [x'^'■ Potom z maximality systému A
víme, že existuje A € A takové, že množina D = A n acp (A") má mohutnost >ť.
Hledáme y G [X]" takové, že acp (y) C .4, neboř odtud plyne [X] n #(.4) =* 0.
Mějme očíslování {dtt : a < >ř} množiny D. Pro každé a < >ť vyberme z množiny
X nejmenší prvek xa > da. Množina Y = {xa : a < x} C X má mohutnost x
a acp (y) CDC/1, protože D je uzavřená v x. Tím je důkaz hotov.
Na závěr poznamenejme, že formálně jednodušší zobrazení F : Q^ —* V>c[x)
definované vztahem F(A) — [A], které je také homomorfismem (Q^.QM do
B^ a převádí skoro disjunktní množiny na disjunktní prvky, nepracuje, protože
nezachovává úplnost.
1.37 Příklad. Omezení velikosti skoro disjunktních systémů v Q^. Mějme
systém S C Q^ skoro disjunktních množin a (xt : i G v) nějaký skeleton pro x,
v — cf(x). Pro X £ S definujme gx '■ v —> x vztahem gx{i) — ex(xi), tedy
413

Dodatek 1
gx(i) Je >Vtý prvek množiny X. Potom {gx : X G 5} C ^x je systém skoro
různých funkcí.
Existuje generické rozšíření, ve kterém platí K^J > K^1 + i a přitom každý
systém skoro různých funkcí z "'1HU,1 má mohutnost < R^ + i. Analogicky jako
v příkladech 1.28 rozšíříme universum V s GCH genericky přidáním K^+2 Co-
henových reálných čísel. Podle Baumgartnerovy věty v rozšíření V[G] každý AD
systém na u>i má mohutnost nejvýše cj2. Forsingová algebra C(ujyJJl+2, 2) má sa-
turovanost u>i. Z toho plyne, že pro každé zobrazení a G V[G], a : ux —> K^
existuje roura, to jest relace ra C uj1 x #tUl taková, že ra G V, \ra\v — u>\ a
a C rG. Takových relací ve V je pouze K^J = H^ + i- Skoro různé funkce ležící
ve stejné rouře r tvoří skoro disjunktní soubor na množině r, \r\ — u\, a tedy je
jich nejvýše cj2. Odtud každý systém skoro různých funkcí ve V[G] má nejvýše
^2 • |N£l |v' = N^+i prvků, a současně 2*° - NWl+2, tedy H^ > NWl+2-
Víme, že Q^ má mohutnost 2*. Existence Club-odhadující posloupnosti, věta
1.32, umožňuje horní odhad mohutnosti hustých podmnožin v (Q*, C*).
1.38 Lemma. Nechí x je singulární kardinál. V (Q^, C*) existuje hustá množina
mohutnosti >ccí(*\
Důkaz. Jako obvykle ^ = cf(x), (^ \ i < v) je skeleton pro x, 7Z = [^,x; + ]).
Pro každé i < v označme SL — {a G Iz : cf(a) = x2}. Množina Sz je stacionární
v x2+i, podle věty 1.32 existuje Club-odhadující posloupnost Cz — (cla : a G St)
nad S\.
První odhad mohutnosti spočívá v tom, že | Xie^ Cz\ = \ Xz^ ^+1| = x" =
xcf(x) Označme C = XieuCl. Uvažujme další systém funkcí í> C ^>ť, kde
$ = {/:/€ "x&(Vz< i/)cf(/(i)) = xj. Opět |$ I =xu = xcf(>f).
Pro dané / G í> a každé z G í^ fixujeme jeden izomorfismus vůči uspořádání
ordinálních čísel ttj^ intervalu IL na nějakou množinu Kjz uzavřenou neomezenou
v f(i + l). Toje možné, protože cf(/(ž + l)) = ^+1, a xt^\ je regulární nespočetný
kardinál. Navíc, můžeme požadovat, aby Kj , C [/(/),/'(/' + !)) Pro < G C, f G $
definujeme množinu
#c./=cl([>;,"Cl).
Systém 7í = {Hcj :ceC./eí>}CQxmá mohutnost xcf(><).
Zbývá ověřit hustotu. Nechč je dáno A G Q^, e^ odpovídající číslující funkce.
Položíme-li f(t) = ca(xi) pro každé 2 < v, je / G í>. Dále A n /v/2 je uzavřená
neomezená v /(z + 1), a proto existuje cl G Cx, pro které ^fA"cx CAD K/:l.
Takto jsme získali posloupnost c = (cz : i < v) G C. Pro toto /G^acGCje
UiGív ^!a"c% ^ -4, .4 je uzavřené, proto i Hc / C .4. Tedy 7ť je hustá vQ^.
Naskýtá se otázka, je pro >ř singulární xcf(>ť) nejmenší možná mohutnost nějaké
husté části v (QK, C*)? Procf(>ť) = tu je odpověď pozitivní a plyne z věty 1.36(b),
414

1 39 hekonťčná kombinátu! ika modnlo bi d L.etuu ult-aí ÍJuaalťk i
protože v Qx existuje skoro disjunktní systém mohutnosti x^°. Pro ci(x) > lj je
konsistentní, že může být menší. To nastává v příkladě 1.37.
Další postup se týká důkazu věty o kolapsu 1.29. Pro nespočetné regulární x a
X — b^ odkazujeme na důkaz v článku (Baleár, Simon 1988), kvůli jeho technické
náročnosti. Větu 1.29 dokážeme pro singuláry se spočetnou kořlnalitou.
Fixujeme singulární kardinál x s cf (x) — o;. V dalším textu píšeme Q místo
Q*.
1.39 Lemma. (Q, C*)je všude (u^, •, xH°)-nedistnbutivni.
Důkaz. Víme, že Q jeu/i-uzavřená a fj(Q) = u>l5tedy (Q, C*) je všude (u^. •. 2"')-
nedistributivní. To znamená, že pro x < 2"' je lemma dokázáno.
Pro obecné x nejprve dokazujeme, že Q je všude (u/i, •, >í)-nedistributivní.
Požadovaná nedistributivita potom vyplyne z lemmatu 1.40. Fixujeme skeleton
(xn : n G u/) pro x. Vyjdeme z libovolné posloupnosti {AQ : a < uj\) skoro
disjunktních systémů v Q, svědčící o ř)(Q) = u»i a sestrojíme novou zjemňující se
posloupnost {7Za : a < lji}, přičemž 7£a+i zjemňuje AQ. Podstatný je limitní
krok. Pro každé limitní a < ui fixujeme rostoucí posloupnost {an : n G oj)
konvergující k a. Mějme již {IZp : (3 < a} zjemňující se systémy, o limitní.
Vezměme libovolný C* klesající řetězec R = {Y$ : (3 < a.Yp e 7Zp} délky a.
Podposloupnost {YQtl : n G u} je kofinální část řetězce R. Použijeme konstrukci
z důkazu 1.36(ii)(a), ze které víme, že pokud Y G Q a Y C* YaiL pro všechna
n G wj, pak existuje Z C Y takové, že Z G Q a (Wi) \Z — YOLn \ < xn+i. Vyberme
maximální skoro disjunktní systém V(R), sestávající z množin Z G Q, pro které
\Z — YQtl\ < xnri, pro každé n, a položme TLa = \J{V(R) : R jq C* klesající
řetězec v[J^Q^}.
Ověřujeme, že {7^a : a < ^i} zabezpečuje požadovanou (u^, ■, x)-nedistribu-
tivitu. Víme, že {7£a : a < ^i} stejně jako {.4a : a < u^} svědčí o rj(Q) = -Ji.
Mějme dáno X G Q. Existuje a(0) < ~>i a různé množiny ArQ(0)< ^a(o) £ 7^a(o)<
pro které |Xa(0) n X\ = \Ya[0) n A| = >r. Jsou-li a(n) < ^ a Aa(n). YCÍ[n) e
7^a(n) známy, nechť a(?i -f 1) je takové, že existují různé A^lln^n. YLi^n rl, G
^Q(n+i), Pro které |Aa(n+1) n ya(n) n X\ = \Ya(n+l) n 7a(n) n X| = ^.
Položíme a = supnGu; a(n). Uvažujme řetězec i? = {y G {J^<CÍ^3 '■ (3>í €
^) Ya(n) ^* Y}- Stačí ukázat, že množina Z = {Z e V{R) : \Z D X"| = >í} má
mohutnost alespoň x. Předpokládejme, že tomu tak není, \Z\ < x.
Ukážeme, že v tomto případě je dostatečný prostor k výběru vzájemně
disjunktních množin {dn : n G lj} takových, že pro každé n G u je dn C A", jd7Jj =
>ín, dn je uzavřená a omezená v x a navíc _D = LLe^. 4 c Q, |D- Ya;i | < ^n-^i
pro každé n G u> a D je disjunktní se všemi množinami ze Z. To však bude spor
s maximalitou systému V(R) C 7^a.
415

Dodatek 1
1.39
Máme dvě posloupnosti konvergující k a, totiž {an : n G u}, již jsme použili
pro konstrukci 7£a, a {a(n) : n G cj} použitou pro výběr skoro disjunktních
Xa{n)<Ya(n)- Pr0 dané n G j předpokládejme, že máme již dp pro p < n.
Vezměme nejmenší /c, m G ^, aby platilo aa < a(k) < a(k + 1) < alu. Zřejmě
A" = X nIa(Jt+1) n(~]p<n Y&P £ Q- Podívejme se na množinu X n (|J{Z : Z c
Z} U [J{dp : p < n}). Ta má mohutnost menší než x, neboř | UP<n ^pl < ^ a
|^a(/c+i) H ^Qm | < x a pro každé Z G Z je |Z - YariL\ < x-m+i a\Z\ < x.
Proto můžeme vybrat uzavřenou množinu dn C X omezenou v x mohutnosti
xn, která je částí intervalu [suplj <n dv + 1, x) a disjunktní se všemi Z G Z.
Potom množina D — UnEu dn G Q a pro každé n G u je D — YaTL C Up<n ^p>
tedy |D-yaJ < xn.
1.40 Lemma. Nechí X > 2 je kardinální číslo. Předpokládejme, ze (P,<) je
uspořádání (nebo kvaziuspořádání), které je (i) cji-uzavřené, (ii) všude (ui, -, A)-
nedistributivní Pak (P, <) je všude (cji, •, Xu)-nedistributivní.
Důkaz. Pokud A^ = A, není co dokazovat. Případ A < 2^ je také zřejmý, víme již,
že P musí být (cji, •, 2^)-nedistributivní. Předpokládejme tedy, že 2"' < A < A^'.
Nechť r < A je nejmenší kardinál splňující r^ > A. Zřejmě ru — Xu a
z Hausdorffovy formule pro kardinální aritmetiku a z předpokladu A > 2^ plyne,
že r musí být singulár se spočetnou kofinalitou. Zvolme rostoucí posloupnost
(rn :nGw) regulárních kardinálních čísel aproximující r. Z volby r plyne, že
r^° < r pro každé n G u.
Nechť {.4a : a < lji} je systém maximálních disjunktních množin v (P <),
které svědčí pro (lji. •, A)-nedistributivitu. Jelikož P je ui-uzavřené, můžeme
předpokládat, že Ap zjemňuje AQ pro a < ^ < ^i, to znamená, že pro libovolná
r G Ap, s G Aa je buď r < s, nebo ras jsou disjunktní, neexistuje žádný prvek
pod oběma.
Mějme dáno s G P. K prvku s konstruujeme rekurzí rozvětvující se systémy.
Rozvětvení bude kontrolováno stromem S = {p G nr : n G u &c (Vz G Dom (</?))
9 G íj} a uspořádání je prodloužení. 5n značí 72-tou hladinu stromu 5, tedy 5n =
Xi<n ri- Pro ^ £ 5n« n > 0- hledáme číslo a^ < u\ a prvky a^ G .4rt ., s^ G P
tak, že 5^ < a^. Pro ^ = 0 položíme sq = a0 = s, a0 = 0. Předpokládáme,
že pro 92 G Xi<7i rz máme s^ < a^ a a^. Existuje nějaké ot. < ~j\. a > as
takové, že Acx^ = {a G .4a : a je kompatibilní s s^} má mohutnost > rn. To
plyne z (uji. •. A)-nedistributivnosti a ra < A. Zvolme takové a, vyberme z 4av
část mohutnosti rn a prostěji indexujeme funkcemi {*/• G Xk^í : ^ ^ r}
Dostáváme tak {a^ : i' = 9 U (?i, <J), <f < rn} a vybereme 5^, tak, že sv, < 5^ a
50 < a^, a položíme a^ = a. Tím je popsána konstrukce.
Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti / G Xne^ rn- Ty jednak odpovídají
vzájemně jednoznačně větvím stromu S, a jednak na ně můžeme pohlížet jako na
416

1 40 Nekonečná kuinbinatur ika i nadulo Fr échctuu ideál Dodatek 1
body topologického prostoru X = Xnea; Tn se součinovou topologií diskrétních
prostorů rn. Zobrazení F : Xneu; Tn —> u''^i je určeno vztahem F(f)(n) = aj\n.
Jelikož |XnE^rn| = ^ — ^ > 2^' a I^cjiI = 2^, existuje jedna rostoucí
posloupnost 71 = (an : n G w), pro kterou množina
M = {/ € Xt„: F(f) = a}
má mohutnost větší než r. Cílem je ukázat, že \M\ — r^.
Nemůžeme použít mohutnostní argument, protože nevíme nic o vztahu cf(r")
a 2U. Zobrazení F je spojité zobrazení prostoru X do prostoru XU£u ui a množina
A/, jakožto vzor jednobodové a tedy uzavřené množiny, je uzavřená v X. Pro
<£ G S je O^ = {/ G X : ip C /} otevřená množina v prostoru X. Množina
U = [j{0^ : |0^ n M| <T,^e S} je otevřená a M0 = Mní/má mohutnost
nejvýše r, protože |5| = r.
Jelikož |M| > r+, je množina Mx = M - MQ = M - U uzavřená v X
a |Mi| > r+. Uvažujme podstrom T C S, T = {f\n : / G A/1,77, G ^}.
Topologická uzavřenost množiny M\ je ekvivalentní s tím, že každá větev v T
sestává z restrikcí nějaké funkce v M\. Ve stromu T platí: pro každé ip e T a
n e u; existuje ip e T,ip D <p zip má alespoň rn bezprostředních následníků v T.
Kdyby tomu tak nebylo, pak jednak z definice T existuje / G Mi, tp C f a jednak
[Oy n A/i| < r^ < r. To ovšem znamená, že i \0^ n M| < r a tedy / G !7,
máme spor s tím, že Mi C\U = 0.
Ověřili jsme, že strom T je dokonale větvící se a z toho by již mělo být zřejmé,
že větví v T musí být Y\n^Tn = r"'• TedY \M\ > |M| = t~Ku-
K dokončení důkazu označme /3 = sup/lGu, <xn. Ověřujeme, žes je kompatibilní
s alespoň rK° prvky /3-té hladiny A^. Pro / G A/ vyberme prvek sjeP takový,
že sj < Sf\n pro všechna n G uj, existence plyne z ux-uzavřenosti uspořádání P.
Dále zvolme af G A/3 tak, že aj je kompatibilní s sj. Pro různá /, g G A/jsou
prvky ay, ag disjunktní, protože af < af\n pro každé n G tu, a pro nejmenší m
takové, že /(m) ^ ^(tti) jsou prvky ay|m+i, ap|m+1 disjunktní. Jelikož 5/ < s,
je 5 kompatibilní se všemi prvky aj, / G M. Konec důkazu.
Nyní je již nasnadě důkaz věty 1.29 pro x > cf(>-r) = w. Použijeme přirozené
zobecnění McAloonovy věty IV.2.43: Má-li úplná Booleova algebra D nějakou
uJi-uzavřenou hustou část mohutnosti X a je všude (cji. •. X)-nedistributivní, potom
B je izomorfnís kolapsovou algebrou Coll^. A).
Víme, že (Q, C*) je u>i -uzavřená podle 1.36(ii)(a), má hustou části/ mohutnosti
xH° podle 1.38. H je nutně také uj\-uzavřená a podle 1.39 je všude (cji, •, xH°)-
nedistributivní. Proto RO (Q) je izomorfní s Col^, xK°). Tedy podle 1.36(i)(d)
nalezneme Co1(cji, xH°) jako úplnou podalgebru zúplnění cm(Px(x)).
Podívejme se na rozklady jednotky v kolapsové algebře Co1(cji , r), kde r je daný
kardinál. Existuje hustá část této algebry izomorfní s H — <"'1r, kanonickému
417

Dodatek 1
L 10
uspořádání algebry odpovídá prodloužení v H. Ztotožníme množinu H s touto
hustou částí.
Pro a < cji, (3 < t položme v algebře Col(u;i, r)
^,/3 - \/{f e H : a e Dom (/), f(a) = 0}.
Dostáváme tak booleovskou matici typu (cji, r), její řádky jsou rozklady jednotky.
Navíc, je-li f E H &a < ui,a £ Dom (/), pak pro každé (3 < r je / AuQj3 ^ 0.
Jelikož H je hustá množina, dostáváme, že pro každé nenulové v existuje 7 < uj\
takové, že pro každé a, 7 < a < ui a každé (3 < r je v A ua^ ^ 0.
Označíme-li r = xK°, víme, že Co1(u;i,t) je úplnou podalgebrou algebry
cm(T ^{x)) s hustou částí {[X] : x e [><}*}■ Z již popsané matice {uařj .
a < uj\,/3 < t} v CoI^^t) získáme MAD systémy požadované ve větě 1.29.
Za PaJ3 zvolme skoro disjunktní systém D na >c, pro který v cir^P^x)) platí
ua,/3 = VÍI^I : X € D}. Jelikož {ua^ : (3 < r} je rozklad jednotky, je
Pa = (J{paj3 ; /3 < r} maximální skoro disjunktní systém na x.
Mějme libovolné X e [><]*■ [X] je nenulový prvek v P^(x) C cm(Px(>r)).
Uvažujme prvek ^ = /\{ti : [X] <u&iu£ Co1(cji; r)}. Tedy v je nejmenší prvek
z podalgebry Col(u;i, r), který je nad [X]. Jelikož v 7^ 0, existuje a < uji takové,
že i; A uQip ^ 0 pro každé (3 < r. Potom také [X] A ííQj/3 ^ 0 pro každé ,5 < r,
neboť v opačném případě by pro některé (3 < r bylo v < — ua p, a to není možné
z důvodu i; A ua^ ^ 0. To dokazuje, že pro každé (3 < r existuje A e PQ,/3» Pro
které \An X\ = x. Tím je věta o kolapsu pro singulár x s cf(x) = to dokázána.
1.41 Důsledek. Nechť x je singulár s cf(x) = u a platí 2^ = >rHo (například ><
silně limitní). Potom cm(Px(x)) je izomorfní s CoI(u^i, 2^). To plyne z toho, že
hustá část Vx(>c) je u^-uzavřená, má mohutnost 2^ a algebra cm(P>ř(>ř)) je všude
(cji, •, 2^)-nedistributivní, protože již její podalgebra 001(^.2^) c^ RO(Q^) je
všude (ui, •, 2>ť)-nedistributivní.
Výsledek ve větě o kolapsu 1.29(iii) patří M. Kojmanovi a S. Shelahovi (Kojman,
Shelah 2001). Uvedený důkaz se opírá o práci (Baleár, Simon 2001).
418

Dodatek 2. Mocniny singulárních kardinálů
V tomto dodatku uvedeme dva výsledky, týkající se odhadu mocnin kardinálních
čísel. Prvním z nich je Shelahovo zobecnění Galvinovy a Hajnalovy věty i pro
kardinály N<$ se spočetnou kofinalitou. Je to obecnější formulace věty II.5.26.
Druhým je fantastický velmi překvapující výsledek Shelahuv, který je populární ve
své nejjednodušší formulaci, je-li H^ silně limitní, pak
Je vskutku číslo 4 to magické číslo, pro které nelze odhad zlepšit? To se doposud
neví.
2.1 Věta. Je-li ó limitní ordinál a p je kardinální číslo menši než. N<s, potom
2.2 Věta. Je-li S limitní ordinál, potom
KÍál<maX{K|á|+4,(2l'sl) + }.
Speciálně platí
Důkazy těchto tvrzení se opírají o takzvanou pcf teorii, neboli teorii možných
kofinalit redukovaných součinů malých množin regulárních kardinálů, kterou
vyvinul S. Shelah. Základní myšlenky této teorie a snad i její krásu a sílu ukážeme
na demonstraci věty 2.1. Pro technickou náročnost neuvádíme důkaz věty 2.2,
čtenáře odkazujeme na učebnici (Holz et al. 1999) a nejnovější přehledový článek
U. Abrahama a M. Magidora (2001).
419

Dodatek 2
2 A
2.3 Důsledky, (i) Je-li Kó- silně limitní singulární kardinál, potom
2 ň < K(2|a|)+ •
(ii) Je-li K^ silně limitní kardinální číslo, potom
2H^ < Ku;4 a přitom 2 ^ je regulární kardinál.
(iii) Je-li ttu silně limitní a platí CH, pak
Důkaz, (i) Víme podle II.5.19, že pro silně limitní Kó- je
Tedy podle věty 2.1 je
2Ká < K(|á|cf(á))+ < N(2iíi)+.
(ii) Silně limitní H^ znamená, že 2Kt" = H^°, a to podle věty 2.2 je
2H-<max{^4,(2^) + } = ^4,
protože (2") + < R^. Jelikož podle II.5.17 je cf(2K-) > ^ a 2K~ < K^4 a
všechny singulární kardinály x < K^4 mají kofinalitu nejvýše K3 < K^, musí 2K^
být regulární.
(iii) Je-li navíc 2^' = cjx, je podle (i)
2.4 Příklad. Pro každý ordinál a < (2Nú)"r platí
Ka° <^(2«o)+-
Abychom to dokázali, položme 5 = a + cj, potom 6 je limitní ordinál a jó|K° <
(2Ko)Ko = 2K°. Z věty 2.1 pak plyne
^o <^0 <N(|J|Ko) + <N(2„0)+.
420

2 7 Mot raný singulár iiÍlIl kar dinálu I)u<JaUk 2
2.5 Poznámka. Pro silně limitní kardinál H^, je dán odhad 2H-' < K^4. Můžeme se
ptát, jaké byly získány výsledky o bezespornosti pro mocninu 2N" . Magidor získal
první výsledky o bezespornosti za pomoci superkompaktního kardinálu. Ukázal,
zeje bezesporné předpokládat 2H^ > K^+i pro silně limitní N^ a takébezespornost
2K- = K^+2 při zachování zobecněné hypotézy kontinua pod K^. Tento výsledek
zlepšil Shelah až na hodnoty 2K>-" = Ka+i pro libovolné a < ^. Není známo, zda
2K^ může nabýt hodnoty větší než K^1.
Od této chvíle se budeme zabývat technikami, vedoucími k důkazu věty 2.1.
2.6 Redukce věty 2.1. Ukážeme, že stačí dokázat toto slabší tvrzení.
(*) Je-li 7 limitní ordinál a pro všechna 8 < 7 je NV " < N-,
pak H^(7) < H(|7,cf(7))+.
Nechť á je limitní ordinál a /x < Nd-. Pokud K£ = K<5, tvrzení věty je triviálně
splněno, neboť funkce K je rostoucí a (5 < |(5| + < (|<5|M) + . Budeme tedy nadále
předpokládat, že K£ > #$. Nutně \i > Ko-
Buď o < S nejmenší ordinál, pro který platí K£ > H&. Všimněme si, že z
nerovností K^ > N^ač > g okamžitě plyne WQ = N£, protože Ng = (^)/i > K£ > N£.
Pokud Ne < /i, pak H£ = 2/i a z minimality £> máme g = 0. Tvrzení věty pak
vyplývá snadno z faktu, že a < NQ, neboť K£ = K£ = 2^ < (2^)+ < QóKT <
K(|ó-|^)+. Tvrzení (*) jsme v tomto případě vůbec nepotřebovali.
Pokud Hg > /i, musí být g > 0, protože /i > No- Z minimality £ dostáváme,
že H^ < Ko pro všechna (3 < g, což podle věty II.5.29 vylučuje možnost, že by
g bylo izolovaným ordinálním číslem, stejně jako možnost, že by g bylo limitním
ordinálem a současně \i < cí(Hg). Avšak v situaci cf(K£;) < \i < K<; víme, že
K^ < Kg < H£ pro (3 < g a tedy případ (iv)(a) věty II.5.29 rovněž nenastává.
Zbývá druhá alternativa Bukovského formule, což v našem případě znamená
K£ = ^0° • Současně máme ci(g) = cf(H^) < \i a jelikož W^ < fr^, je i
Kc6 < Ko pro všechna 3 < g. Můžeme tedy při volbě 7 = g použít (-'■) a
dostáváme, že Hcg ^ < H^|e|Cf(s?)) + , a tedy
^ = WL = Kcf(í?) < K „.1 - < K , .
0 o íj \,y ~ ' — \ rJ
kde poslední nerovnost je důsledkem nerovností g < ó a ci(g) — cl(Kj < ^.
Ověřili jsme, že věta 2.1 plyne z (*).
2.7 Ordinální funkce a ultraprodukt. Nechť A je neprázdná množina a U je ultra-
filtr na A. Ordinální funkcí rozumíme jakékoli zobrazení s hodnotami v ordinálních
číslech.
421

Dodatek 2
Definice. Pro funkce /, g definované na A s hodnotami v On položme
/ = v p, jestliže {a e A : f(a) = g(a)} G L\
f <u g, jestliže {a G A : f(a) < g(a)} G U,
f <u p, jestliže {ae A : /(a) < g(a)} G 7.
Relace —u je ekvivalence, protože [/ je filtr. Pro libovolnou množinu S C A On
symbolem S/U značíme faktorizaci množiny S podle ekvivalence —^ ■ Z toho, že
U je ultrafiltr plyne, že <y je lineární kvaziuspořádání na 5, nebof pro libovolné
funkce f,g jsou množiny {a G i : f(a) = g(a)}, {a G A : /(a) < g(a)},
{a G ^4 : g(a) < f(a)} vzájemně disjunktní, pokrývají celé A a právě jedna
z nich leží v U, tedy buď / —u g, nebo / <u g, nebo g <y f. Tedy <u je lineární
uspořádání na třídách ekvivalence.
Libovolná množina S C A On a ultrafiltr U na A určuje jednoznačně kardinální
číslo, a to kofinalitu lineárně uspořádané množiny (S/U, <t/), značené obvykle
cf[/(5). Tedy cfř/(5) je nejmenší kardinální číslo >r takové, že existuje soubor
(/a '• ol < k) funkcí z S takový, že pro a < (3 < x je fa <u fp a pro každé
g G S existuje a < x splňující g <y fa. Z linearity uspořádání (S/U, <u) plyne,
že cíu(S) je regulární kardinální číslo.
2.8 Příklad, (i) Uvažujme množinu S = ^'u všech posloupností přirozených
čísel. Je-li U triviální ultrafiltr, to znamená, že obsahuje nějaký singleton {/c}, pak
cíu(S) = uj. Je-li U netriviální ultrafiltr, pak uji < b < cíy(S) < 2U, kde b je
charakteristika zavedená v Dodatku 1, 1.12. Nepřekvapí, že konzistentně mohou
existovat různé netriviální ultrafiltry C7, V na cj, pro které cíu(S) ^ cíy(S).
(ii) Nechf S = Xn€u;^n- Zřejmě K^ = sup{Kn : n G lj}. Pro libovolný
netriviální ultrafiltr U na lj má ultraprodukt S/U maximální možnou mohutnost
K^°, protože existuje K^° skoro všude různých funkcí v S. Snadno ověříme,
že cíu(S) > Hw. Shelah ukázal, že vždy existuje ultrafiltr U na u, pro který
2.9 Cesta za důkazem tvrzení 2.6 (*). Nejprve vyloučíme triviální případ.
Všimněme si, že (*) je tvrzení o singulárních kardinálech, protože z předpokladu na
K7 plyne cf(K7) = cf(7) < K~. Funkce K je nejen rostoucí, ale i spojitá, proto
má mnoho singulárních kardinálů jako pevné body. Pro takové singuláry tvrzení
(*) nic nového neříká. Pokud totiž nastává rovnost 7 — K~, pak máme KÍ =
h/|cf(7) < (l7|cf(7))+ < H(,7|cf^))+. Proto budeme nadále předpokládat, že-; <
K7 a uvědomíme si, že máme tedy také |7!cf^ < N^.
Začneme značením. Položme A — cf(7) a A = {1/ : v je regulární kardinál,
|7|A < v < K7}. A je množina nekonečných regulárních kardinálů, kofinální v K^,
A < |-<4| < |7|, která má tyto dvě vlastnosti:
(i) \A\ < min A, jinými slovy, A je progresivní,
422

2 10
Mocniny singulárních kardinálů
Dodatek 2
(ii) A je interval, to znamená, že obsahuje každé regulární r takové, že min A S
r < sup A.
Nyní uvažujme množinu funkcí S — X A — X{v : v e A}. Pro ultrafiltr U
na A označíme tcí(U) kofinalitu lineárního uspořádání (S/U. <u)- Zajímají nás
některé ultrafiltry na A. Pro M C A budeme symbolem Ult(A/) značit ultra filtry
na A obsahující množinu M. Množinu všech ultrafiltrů U na A takových, že
existuje M e U o mohutnosti \M\ < A, budeme značit Ult(i4, A). Položíme
pcf (4) - {tcf (U) : U e Ult(i4, A)}.
Poznamenejme, že v literatuře je takto zavedený pojem uváděn jako pcf\(A).
Pro pohodlí budeme raději pracovat s kvaziuspořádáním (XA, <u) než s
faktorizací (XA/U, <ř/), protože jejich kofinality jsou stejné.
Pro ultrafiltr U na A
limU = min{supX : X e U}.
Pokud U e Ult(A, A) a lim U < N7, pak z předpokladů na kardinál K7 je zřejmé,
že \S/U\ < N7, a tedy také tcf (U) < N7. Nepřekvapí proto, že nás budou nejvíce
zajímat ultrafiltry s lim U — N7. Pro takové ultrafiltry je vždy tcf(ř7) > K7, nebof
tcf(U) je regulární kardinál a nemůže být menší než H7.
Všimněme si, že A C pcf (.4), což zabezpečují triviální ultrafiltry na A.
Důkaz (*) nyní vyplyne z těchto tří vlastností množiny pcf (A):
(a) |pcf(i4)| < |7|A,
(b) pcf (A) je interval,
(c) sup pcf (A) = N*.
Vskutku, podle (b), množina pcf(i4) obsahuje všechny regulární kardinály
mezi ^7 a sup pcf (^4). Protože množina všech regulárních kardinálů mezi bL,
a K(|7|A)+ má mohutnost (|7|A) + , musí být podle (a) pcf(.4) C N(j7|a^, a proto
i sup pcf (.4) < K(|7|A)+. Nyní z (c) plyne, že K7 < sup pcf (.4) < K(j7|A)+, což
jsme měli dokázat.
Zbývá ukázat, že pcf (A) má vlastnosti (a), (b) a (c), což provedeme postupně ve
větách 2.12, 2.17 a poslední vlastnost (c) rozdělíme na případ nespočetné kofinalit\.
věta 2.22, a speciální případ spočetné kofinality je řešen větou 2.28.
2.10 Lemma. Je-li U 6 Ult(A A) a množina funkcí H C XA nemá horní mez
v uspořádání (X A, <u), pak existuje množina AI G U taková, že pro všechny
ultrafiltry V £ Ult(Aí) je H neomezená také v (X A, <v)-
Důkaz. Předpokládejme, že tomu tak není. Zvolme množinu L e U takovou,
že \L\ < A. Pro každé X C L, X e U, existuje ultrafiltr V(X) e Ult(X),
423

Dodatek 2
který je protipříkladem na tvrzení lemmatu. To znamená, že v kvaziuspořadání
(Xi4, <v{X)) existuje horní mez fx množiny H. Protože \P{L)\ = 2iLi < 2A a
protože každé v G A je regulární kardinál splňující v > 2A, je sup{/x(Vj : X C
L, X £ f/} < ^, a tedy funkce /, definovaná předpisem f{v) = sup{/x(^) '
X C L, X G ř/} pro zy G -4, je prvkem množiny X A.
Ověříme, že funkce / je <u-horní mezí množiny H, a to bude ve sporu s
předpokladem lemmatu. Zvolme g G H libovolně. Je-li X C L a. X G (7, pak množina
y(X) = {zy G X : g(zy) < fx{v)} G V^X), protože /j\- je horní mezí množiny
Jí v kvaziuspořadání <y(A> přitom zřejmě ^(A") C {zy G X : g(v) < f(v)}-
Položme M = LK^W : X C L & X G í/}.
Ukážeme, že M G f/. Kdyby tomu tak nebylo, muselo by být L — M G U,
jenže Y(L — M) G ^(L —Aí), tedy Y{L — M) je neprázdná podmnožina množiny
L — M a současně částí A/, což není možné. Z definice funkce / teď dostáváme,
že pro každé v G M je /(^) > gfV), tedy g <u /, a to je hledaný spor.
2.11 Důsledek. Pro každé U G Ult(4.. A) existuje množina M G U taková, že pro
všechny ultrafiltry V G Ult(A/)ye tcf(V) < tcf(í/).
Důkaz. Stačí zvolit množinu íf C X A, která má mohutnost tcf (U) a je kofinální
v (XA,<u). Podle 2.10 existuje M G 0r taková, že pro V G Ult(J\/) je H
neomezená v (XA, <y). Dostáváme tcf(V) < \H\ = tcf(f/).
Nyní už snadno dokážeme (a).
2.12 Věta. |pcf(i4)| < |7|A.
Důkaz. Pro každé r G pcf(.4) zafixujme ultrafiltr UT G Ult(.4. A), pro který platí
tcf(í/r) = r. Podle 2.10 existuje A/r G UT tak, že |A/T| < A a pro každý ultrafiltr
V G Ult(AJV) je tcf(F) < t. Získali jsme tak zobrazení ^ : pci(A) —* [A]~x.
Toto zobrazení je prosté, nebof pro r. r' G pcf(.4), r < r', musí být i\/r ^ 3/r',
jinak by r' < r. Jelikož množina A má mohutnost < |~/|, je |[^4]-A| < r;|A,atedv
i |pcf(A)| < |7|A.
Chceme se přesvědčit, že pcf (.4) je interval.
2.13 Definice. Buď U G Ult(A). r regulární kardinál, {fQ : a < r) <^--rostoucí
posloupnost funkcí vX^az<H^ nekonečný regulární kardinál. Řekneme, že
posloupnost (fa : a < r) je aproximována >í-malým podsoučinem, pokud existují
množiny Su C v (y G A) takové, že \SU\ < x pro všechna v G .4 a pro každé
a < r existují p > a ah e X^eA Su tak, že /Q <^ /z <£/ //3-
Následující dvě lemmata, vedoucí k důkazu (b), dávají kritérium k rozpoznání,
kdy má rostoucí posloupnost funkcí v (XA,<u) supremum.
424

2 14 Mocniny singulárních kardinálů Dodatek '2
2.14 Lemma. Buďte U £ Ult(.4), r. x regulární kardinální čísla splňující \A\~r —
x a x < t < tcf(í/). Není-li <u-rostoucí posloupnost funkcí délky t v \A
aproximována x-malým podsoučinem, pak má supremum v (X A Sr )
Důkaz. Zvolme posloupnost {fa : a < r) v X A, pro niž platí fa <u fj, jakmile
a < f] < r. Jelikož tcf([/) > r, existuje nějaká <£/-horní mez této posloupnosti,
řekněme ho. Můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že pro všechna a < r
a v £ A je /a(^) < ho(v), neboť min{/a,/io} =0' /a- Pokud je /i0 supremum
naší posloupnosti, jsme hotovi.
V opačném případě budeme transfinitní rekurzí do x nacházet stále menší horní
meze a v nějakém kroku buď nalezneme supremum, nebo x-malý podsoučin, který
aproximuje posloupnost (fa : a < r). Buď (<xa předpokládejme, že již známe
horní mez h$. Pokud je h$ supremem, rekurze končí. V opačném případě existuje
<u-horní mez hf+i, pro kterou platí /if+1 <u hc a opět smíme požadovat, ub\
h^i(v) < hc(v) pro všechna v E A.
Pro ti < x limitní, pokud již byly funkce hv pro rj < £ nalezeny, známe pro
každé v € A všechny hodnoty h^u), 77 < £. Položme á^f = {^77 (^) : 7/ < £},
máme S^ C /y a 15^1 < |£| < x. Pro a < r zvolme nejlepší horní aproximaci
funkce fQ v součinu XueA Su^, kterou je zřejmě funkce gayc definovaná předpisem
gccčiy) = min{í £ S^ : í > /q(í^)}.
Všimněme si, že pro rj < £ je /^ £ XU£A Su ca /rj <t' /?,r Proto qn c <r h,,
pro všechna a < r a 77 < £. Protože je £ limitní ordinál, je dokonce gn c <r /? r/.
neboč ^a^ <[/ hn+i <y hn. Dále, pro a < 3 < r je /a <jy /^ a tudíž
gQ,z <u gp,t.
Nyní mohou nastat dvě možnosti.
(i) Existuje a(£) < r tak, že ga(0,£ "^ ^^.s Pro všechna a > a(£)> a < r-
V tomto případě položme hc = ga(£)x a zřeJmě máme další horní mez dané
posloupnosti, která je <u-menší než všechny předchozí.
(ii) Pro každé a < r existuje 3 < r, 3 > a, takové, že ga c <r g,3 c. Pak však
součin Xi/G-4 Sv.s aproximuje posloupnost (/Q : a < r). Jsou-li totiž a < a <
/3 < r takové, že (/Qjc <rj g-^.c <b ^;c,pak/a <L- c/Q|c <L- /^ <L- 4^,- <r ,/j-
Tedy fa <L- g^^ <c fp a zřejmě g^^ £ X^e.4 $».'■ V tomto případě rekurze
končí, poněvadž jsme zjistili, že uvažovaná posloupnost je aproximována >^-malým
podsoučinem.
Lemma bude dokázáno, jestliže ověříme, že transfinitní rekurze nemůže
proběhnout všech x kroků. To ukážeme sporem. Předpokládejme, že jsme pro každé
£ < x našli popsaným způsobem horní mez hc. Posloupnost (hc : £ < x) je
<u -klesající. Pro všechna limitní £ < xjsme nalezli a(£) < r. Jelikož r>/a
r je regulární, je a = sup{a(£) : £ limitní, £ < x} < r. Z konstrukce plyne, že
425

Dodatek 2
2 14
pro každé limitní E, < x nastal případ (i) a tedy g^^ —u h>$, a c° je podstatné, pro
£i < £?, obě limitní, je ^c. > Oa,£2 všude na .4.
Pišme g^ místo ^ c.
Pro každé v G ^4 se nerostoucí posloupnost ordinálních čísel {gc{u) . £ hnut ni,
£, < x} někde stabilizuje, to znamená, že pro nějaké £(V) < x je g^U){^) —
mm{gc(is) : limitní £ < x}. Jelikož ;< je regulární a |.4| < x, je £ = sup{£(z/) :
i/ G A} < x. Ale pro £ limitní, £ > £, pro nějakém 6 4.je^(/y) < gj{v), protože
9í <u gč, a fo je spor s definicí čísla £. Tímto sporem je důkaz lemmatu ukončen.
2.15 Poznámka. Všimněme si, že předchozí lemma platí pro libovolný ultrafiltr U
na libovolné množině A regulárních kardinálů. Stejná poznámka ohledně množiny
A platí i pro následující lemma.
2.16 Lemma. Je-li U G Ult(.4, A) a r regulární kardinál, (|.4|A) + < r < tcf (ír),
pak každá <u-rostoucí posloupnost funkcí v X A délky r má supremum v kvazi-
uspořádání(X A, <u)-
Důkaz. Je zřejmé, že |,4|A > 2A > A4". Položíme-li x = A+, pak x < r a
pro M G U, \M\ < A, můžeme aplikovat předchozí lemma 2.14 pro ultrafiltr
U0 = U C\ V(M) na M. Nechť (fa : a < r) je </y-rostoucí posloupnost
v X A Potom / — (fa\M : a < r) je </y0-rostoucí posloupnost v X M a
tcf([/0) — tcf(ř7). Posloupnost / nemůže být aproximována žádným >r-malým
podsoučinem (S„ : z^ G M), protože |X^gM^| < AA = 2A < r a tedy je
k dispozici málo funkcí pro aproximaci rostoucí posloupnosti délky r
Posloupnost / má proto supremum v (X M. <l\X označme jej //. Libovolné
rozšíření funkce h do funkce v X A je supremem výchozí posloupnosti v líčí <u-
2.17 Věta. pcí(A) je interval.
Důkaz. Jelikož množina A je počátečním úsekem pcf(Vl) a sama je intervalem,
stačí ukázat, že pro regulární kardinály r ar7, N7 < r < t'', pokud je r' g pcf(A),
pak také r G pcf(^4).
Zvolme ultrafiltr U G Ult(.4, A) tak, aby platilo, že r' — tcf([/). Víme, že
existuje <[/-rostoucí posloupnost (fn : a < r'), kofinální v (X-4. <[/). Jelikož
|4.|A < N^ < r, podle 2.16 existuje supremum /? počátečního úseku ( f(x : n < r\
v(X-4.<L).
Pro funkci /i musí množina {v G 4 : fr(^) limitní } ležet v U, můžeme proto
předpokládat, že všechna čísla /i(l/) jsou limitní. Funkce /a, a < r, nebo jejich
modifikace na množinách neležících v U, zaručují cf(Xi,^4 h(v). <c) = r.
Mělo by být zřejmé, že se pro ordinální funkce kofinalita ultraproduktu nemění
přechodem k ultraproduktu kofinalit, jinými slovy,
cf( X h{y\ <u) = cf( X cf(h(iy)), <u).
426

2 20 Mocniny singulárních kardinálu Dodatek 2
Položme g(y) = cf(h(v)) pro v G A. Jelikož g{y) je regulární kardinál < v
a cf(Xi/t/i p(^')? ^u) = r > ^7, Jc pfo každé C, < ^7 množina {^ . y{u) G
A, g{v) > O G U, to proto, že |£|A < K7 a U G Ult(AA). Můžeme tedy
předpokládat, že pro každé v G A ]q g(v) G A Položíme-li V = {X C A :
g~l{X) G í/},jeV ultrafiltr na A. Dále, V G Ult(.4, A), protože [/ G UltfAA)
aproM G t/, |M| < A,je#[A/] G VA a \g[M]\ < A.
Zbývá ověřit, že tcf(Vr) = r. Zafixujme M G £/, |A/| = A. Funkce g určuje
rozklad množiny M na obory konstantnosti {g~1(p) : \± G g[M}}. Pro libovolné
d G X^e/i g(^) definujme modifikovanou funkci d takto. Pro i/ G M položme
d(v) — supd[g~l {g(u)}) aproz^ G ,4 —Mnechč d(/y) = d(v). Funkcedopět leží
v XveA g{v), d < d všude a <f je konstantní na každé množině g~l(p), p G #[M].
Modifikované funkci d přiřadíme funkci ip(d) e XA tak, že pro p — g{y),
v G M, položíme íp(d)(p) = d{v), pro zbývající /x může být hodnota zvolena
libovolně. Je zřejmé, že pro modifikované funkce d\,d2,)t d\ <u d2, právě když
y?(^i) <v ^(^2)- Odtud plyne, že tcf(K) = r. Tedy r G pcf(^4) a věta je
dokázána.
Přecházíme k nejzávažnějšímu bodu (c). Je jasné, že sup pcí(A) < HA, protože
o tcí(U) pro U G Ult(A, A) rozhoduje nejvýše K^ funkcí. Podstata je tedy v
nerovnosti opačné. Budeme se zabývat dvěma technikami spadajícími do pcf teorie.
První používá fundované relace a skoro všude různé funkce a je použitelná pro
případ nespočetného A. Druhá používá dominující systémy funkcí, báze ideálů a
použijeme ji pro případ A = uj.
2.18 Rozšíření značení. Nechť X je ideál na množině X. Pro ordinální funkce /. g
definované na X položme
/ <j g, jestliže {xeX: f(x) > g(x)} G X,
f <T £, jestliže {x G X : f{x) > g(x)} G 1.
Je-li X maximální ideál na X, pak duální filtr U kXje ultrafiltr. V tomto případě
právě zavedená relace <j a relace <u z 2.7 splývají.
2.19 Lemma. Je-li X a-úplný ideál na X, potom <j je fundovaná relace na A On.
Důkaz. Stačí ukázat, že neexistuje nekonečná posloupnost /0 >j • ■ • fn >r
/n+i • • • funkcí. V opačném případě máme pro n G u množiny Yn — {x G X :
fn(z) < fn+i{%)} € X, a tedy ze a-iiplnosti je také 1" = [j{Yn : ?i G -} G X.
Jelikož X ^ J, je X — V # 0. Pro j- G A" - Y bychom měli nekonečný regres
fo{x) > ■ ■ • > fn(x) > ■ • • v ordinálních číslech, což je nemožné.
2.20 Skoro všude různé funkce. Nechť X je nekonečná množina a X ideál na X.
Funkce /,g jsou J-různé, jestliže {x G A : f(x) — g{x)} G X. Pokud Xp je
Fréchetův ideál na A, to znamená Xp = {Y C .A : |]K| < |A|}, pak Xp -různé
funkce nazýváme skoro všude různé.
427

Dodatek 2
1 21)
Připomeňme, které symboly máme zafixované: N~,, A — cf(N7), .4 množinu
regulárních kardinálů.
2.21 Lemma. Existuje rostoucí'funkceip : A —> A taková, zevsoučinuY^c<\ ^(0
existuje K^ vzájemně skoro všude různých funkcí.
Důkaz. Buď ip : Á —> A rostoucí funkce splňující sup{^(a) : a G A} = K7
a taková, že (sup{ijj(3) : j3 < a})x < ip(a) pro každé a < A. Z kardinální
aritmetiky víme, že | Xa<A Tp{ot)\ — H^ a navíc pro každé a < X máme nějaké
prosté zobrazení eQ : Xp<aip(P) —> ^(a). Pro libovolné / G XQ<AV(a)
funkce gj, definovaná vztahem
gf(a) = eQ(/|a),
leží opět v Xq<a w{a)- Pro různé /j, ji jsou funkce g^ a g/2 skoro všude různé.
Máme tak {gj : / G Xa<A V;(a)} ^7 skoro všude různých funkcí.
2.22 Věta. Je-li A nespočetné, pak suppcf(,4) = K^.
Důkaz. Zvolme pevné regulární r, K7 < r < N7. Dokazujeme, žer e pef(4).
Uvažujme množinu i? všech zobrazení -0 : A —> A, pro které v X^<a 9(0
existuje alespoň r skoro všude různých funkcí. Fréchetův ideál Zp na A je a-
úplný. Podle předchozího lemmatu je R 7^ 0. Z fundovanosti plyne, že existuje
<xF-minimální funkce p e R. Chceme nalézt ultrafiltr T na A, pro kterv platí
cf(Xc<A9(0,<^)>^
Položme Z = ZFU {X : X e [A]\ existuje g G XceX 9(0 a v X^ex #(0 Je
alespoň r skoro všude různých funkcí}.
Dokazujeme, že Z je ideál na A. Předně A ^ J, jinak existuje g . A —- K~,
g < ¥ a v X^gaíKO existuje r vzájemně skoro všude různých funkcí. Stejnou
vlastnost má funkce g' < g, kdet/(0 = \g{£,)\, a navíc #'(0 < 9(0- Položíme-li
pro £ < A
/i(0 = min{^ G .4 : ^ > sup{gf(íj) : r/ < £}}<
je h : A —-> .4, /z <jF ^ a fr, G i?, a to je spor s minimalitou funkce y\ Uzavřenost
X na podmnožiny je zřejmá, a jsou-li X, V £ Z — Zp disjunktní množiny a gy. gx
jim odpovídající funkce, pak gx U #y zaručuje, že sjednocení X UY e Z. Přidá-
me-li k X e Z — Zp množinu Y G Zp, neovlivní to skoro různost požadovaných
funkcí, Z je ideál.
Nechf T je ultrafiltr na A, který rozšiřuje filtr duální k 2, to znamená, zeTnZ —
0. Ověříme, že cf(X^<a 9(0> ^^") = r- Zvolme S C X^<a 9(0 systém skoro
všude různých funkcí, |5| = r. .T7je uniformní ultrafiltr, tedy pro /, g G 5, jakmile
/ 7^ #, pak/ t^jf ^r tedy mohutnost ultraproduktu I X^<a 9(0/^1 > T- K ověření
kofinality stačí ukázat, že pro každé / G X^<a 9(0 Je množina Sf = {g G S :
428

2.24 Mocniny singnlár~ních kai dinálů Dodatek 2
9 <T f} malá, \Sf\ < r. Pokud by pro nějaké / bylo Sf = r, potom pro každé
g £ Sf existuje Xg £ T takové, že g\Xg < f\Xg. Ale r > K7 > 2A, proto pro r
funkcí g £ Sf je Xg stejné, označme jej X. To ovšem znamená, že X £ X, a to
není možné, protože X £ T.
Nyní stačí ultrafiltr T převést na ultrafiltr U £ Ult(A, A), kde U = {}' C A
Lp~l[Y] £ F}. Stejně jako ve 2.17 ověříme, že tcí(U) — r. Tedy r £ pcf(A).
Požadovaná rovnost je dokázána.
Všimněme si, že jsme pro případ nespočetné kofinality nejen znovu dokázali
větu o intervalu pcf(A), ale i to, že pokud K^ je regulární kardinál, pak ^ =
maxpcf(A). Obecně maximum pcf(A) ve smyslu naší definice nemusí existovat.
2.23 Dominující systémy. Uvažujme na X ^ 0 nějakou množinu H ordinálních
funkcí. Systém D C H nazýváme dominující, jestliže
(V/ eH)(3g€D) (Vx € X) (f(x) < g{x)).
Je asi patrné, že nás budou zajímat nejmenší velikosti dominujících systémů v
různých množinách funkcí.
Pro naši množinu kardinálních čísel A označme
supp(X A A)={/6XA:|{^/1: f{v) + 0}| < A}.
Tedy supp(X A. A) sestává z funkcí, které mají nosič nejvýše mohutnosti A. Z
následujícího tvrzení plyne, že v supp(X A, A) je nejmenší mohutnost dominujícího
systému rovna právě sup pcí(A).
2.24 Lemma, (a) Pro každé U £ Ult(v4, A) existuje množina M e U a soubor
funkcí G CXi tak, ze \G\ — tcf (U) a pro každou f e XA existuje g £ G takové,
že pro všechna v £ M platí f (v) < g{v).
(b) Je-li M C A, 0 < \M\ < X, pak existuje G C XA tak, že ,G| <
sup{tcf(í/) : U e Ult(A, A),M £ U} a pro každou f £ XA existuje g £ G
takové, že pro všechna v £ M platí f (v) < g{v).
Důkaz, (a) Zvolme F C XA neomezenou v (XA,<L-), |F| = tcí(U). Buď
M £ U zvolena podle lemmatu 2.10. Množinu G C XA definujme jako G —
{max{/0,/i,. • • ,/n} : n £ cj& /o./i,. . . Jn £ F). Zřejmě \G\ = \F\.
Ukážeme, že G je hledaná množina. Předpokládejme sporem, že existuje / £
XA tak, že pro každé g £ G je množina X{g) = {y £ M : g[u) < j'\v)}
neprázdná. Protože G je uzavřená na konečná maxima, soubor {X(g) : g £ G}
má konečnou průnikovou vlastnost, a tedy ho lze rozšířit do ultrafiltru V. Jenže
g <y f pro všechna g £ G, což je ve sporu s tím, že M byla zvolena podle 2.10.
(b) Pro každý ultrafiltr U £ Ult(A, A), který obsahuje množinu M, zvolme
množinu M(U) a soubor funkcí G(U) s vlastnostmi z právě dokázané části (a). Pak
429

Dodatek 2 2 24
existuje konečně mnoho množin M(U\), M(Uo),..., M(Un), jejichž sjednocení
obsahuje celou množinu M. Kdyby tomu tak nebylo, pak by soubor [M — M(U) :
U G U{A, A), M G U} byl subbází filtru F na množině M, pro ultrafiltr U D F
by pak platilo, že M(U) G U a M - M(U) G F C U, což není možné. Soubor
G = {max^,^,....^} •' 9i e G(Ul),g2 G G(U2),...,gn e G(Un)} zřejmě
má požadované vlastnosti.
2.25 Definice. Pokrývači číslo ideálu. Nechť Z je ideál na nekonečném kardinálu
x. Pokrývacím číslem rozumíme
cof (Z) = min{|B| :BCI, (Wx e 1) {3 y G B)(iC </)}.
Tedy cof(X) je nejmenší mohutnost báze ideálu 1. Pokrývači Číslo ideálu [x]-T
pro fixované nekonečné r < x značíme cov(>r, r).
Uveďme základní vztahy pro cov(x, r).
2.26 Lemma, (i) cov(cj,u;) = 1,
(ii) cov(Nn,u;) = Knpro n e lj - {0},
(iii) Nechí x je singulár s cf (x) — lj. Potom
(a) cov(x, u) > >ť,
(b) xK° - 2H° -cov(^,u;).
Důkaz, (ii) Všimněme si, že pro libovolné kardinály x, A takové, že lj < \ < xax
regulární, je nutně cov(x, A) > x. Pro Kn dokážeme nerovnost cov(Kn,u;) < N;i
indukcí. Pro Ki tvoří systém {a : a < l^} bázi ideálu [^i]-"', tedy cov(^i,o,») =
Ki. ProK,lT.i jecov(KnT.i.^') < cov(Nn+1. K?,)-cov(K77, „<) = K,l+1-K„ = N„_i
(iii)(a) Nechť (>rn : n G cj) je rostoucí posloupnost kardinálních čísel korinální
v x. Ukážeme, že žádný systém B C [x}-^ mohutnosti x není bází ideálu [x]-^'.
Očíslujeme B = {xa : a < x}. Položme Xn = [J{xa : a < xn} pro n G uj.
Jelikož \Xn\ < xn, je \x — .Ya| = >ť. Můžeme proto vybrat prostou posloupnost
{an : n G ^j} tak, že an <E x — Xn pro každé ?i. Množina {an : /; G ~} není
pokryta žádnou množinou z 5. Tedy cov(z,u.') > x.
(ii)(b) Je zřejmé, že xKú > 2K° a >ík° > cov(x,^'), protože |[^]-^| = xH°■
Na druhou stranu, je-li B báze ideálu [x]-"\ potom \J{V(x) ■' x G 5} — [^]-".
a tedy x*° < cov(*r,u;) • 2K°.
2.27 Příklad. Nechť A' značí ideál množin Lebesgueovy míry nula na reálné
přímce. Hodnotu cof (A') nelze jednoznačně určit v ZFC, platí u\ < cof (A') <
2K°. Nechť M^ značí ideál na ^{0, 1} nulových množin ve standardní Haarově míře
na kompaktní grupě 2*. Označme B^ měrovou algebru Borel (2^)/A/'>í. Nechť
71(8^) je nejmenší mohutnost husté množiny v B^. Pak platí rovnosti (Cichoň et
al. 1985)
cof (A/*) = cof (AT) ■ cov(x,u) = *(!&„).
430

2 29 Mocniny singulár níríi kardinálů Do< látek 2
Vracíme se k našemu tématu. Máme ve hře dva systémy ordinálních funkcí.
První, supp(XA A), funkce definované na A, \A\ = J7J, druhý. supp(N" {0. 1}. A).
pouze dvouhodnotové funkce definované na N~,. Nejmenší mohutnost dominujícího
systému v supp(X A A) je sup pcf (.4), to je dokázáno ve 2.24. Nejmenší
mohutnost dominujícího systému v supp(N"' {0,1}, A) je zřejmě cov(K7, A).
Poznamenejme, že Shelah dokázal rovnost sup pcf\(A) = cov(N7, A).
2.28 Věta. Pro A = u, sup pcf (A) = K^.
Tuto část důkazu provedeme pouze pro 7 limitní, 7 < u>i. Přitom ukážeme
hlavní ideu obecného důkazu, a to prostředky, které máme k dispozici. Obecný
případ využívá jemnějších kombinatorických argumentů a lze jej nalézt v pracích
zmíněných v úvodu tohoto dodatku.
Buď A = {v < K-y : v je regulární, (2LO)+ < v). Pro v € A označme v~
ten kardinál x, že v = >r+. Uvědomme si, že každý kardinál v G .4 je izolované
nespočetné kardinální číslo, tedy v~ je definováno. Pro každé v G A a x G zy \ z/~
zafixujme bijekci 6^ množiny x na zv~. Buď c < ui ten ordinál, že Kr = (2W) + .
Množina M C K7 se nazývá pokrývači, jestliže splňuje následujících šest
podmínek:
(l)MnNc = Nc,
(2) pro každé v G /l je sup(A/ fl 1/) < 1/,
(3) pro každé zv G A je cf(sup(M rii/))> cj,
(4) pro každé iv G AjeA/n(^\i/") uzavřená neomezená v bup(A/ fi z/j,
(5) pro každé zv G /l, každé x,y £ Mn(^\i^~), y < x, je bu^x(y) G M.
(6) pro každé v G A, každé x G M n (v \ v") a každé y G A/ n v~, je
Pro pokrývači množinu M označme Ch^/ funkci, která je definovaná vztahem
Ch^/(zv) — sup M n zv pro v G A. Tuto funkci nazvěme charakteristickou funkcí
množiny M.
2.29 Lemma. Jsou-li množiny A/. Ar pokrývači a platí-li CIim = Ch,v, pa/:
Důkaz. Stačí ukázat, že pro všechny kardinály v < K^ platí A/ n íy = A' u v. což
provedeme indukcí.
Pro v < Kc je Aí n zy = Ar n v = 1/ podle (1).
Předpokládejme, že pro všechna z/ < ^7, z/7 < 1/, platí M D v1 — A* n //. Je-li
zv limitní, pak ovšem M n zv = IX'<t, iV^ n ^ = U^oiV n v' = iV n ZA
Je-li zy kardinální následník, zv > Nc, pak v € A a M Ci l/~ — N C\v~.
Buď CM = AI n (zy \ í/~), C/V = A n [y \ v~). Podle (4) je množina Cm
uzavřená neomezená v Ch>/(ť) a množina C,v uzavřená neomezená v Ch j^(l/).
431

Dodatek 2
2 29
Protože ChiA/(V) = Ch,y(i/) a protože cf(Ch^/(^)) > ^ podle (3), je i množina
C = Cm fl CÁw uzavřená neomezená v Ch.v/(^).
Zvolme libovolné z G M C\ [y \ v"). Protože z < Ch,\/(i/) a protože C je
neomezená v Ch^/(i/), existuje x E C, x > z. Jelikož c G M, pro 2/ = bUT(z)
máme podle (5) y e M. Jelikož y e v~, tedy z indukčního předpokladu je y G .V.
Avšak x G C C Cm C íV, tedy podle (6) je z = 6~i(y) G A'r. Dokázali jsme, že
iW n [y \ u~~) C TV n (ř/ \ ř/~), a symetrickým argumentem dostaneme opačnou
inkluzi, tedy hledanou rovnost M n v = N n v.
2.30 Definice. Univerzální posloupnost. Nechť r G pcf(A). Posloupnost funkcí
(/c : £ ^ r)> splňující tyto tři podmínky
(i) pro každé £ G r je fc G X A;
(ii) je-li U libovolný ultrafíltr na A takový, že r = tcf(ř/), pak pro každá
£ < 7? < rje/^ <l/ /,,;
(iii) je-li t/ libovolný ultrafíltr na A takový, že r = tcf([/), a g G X .4, pak
existuje £ £ t tak, že g <£/ f^,
se nazývá univerzální posloupností pro r.
2.31 Definice. Univerzální ^-minimální posloupnost. Nechť r G pcť(A), >c
regulární nespočetný kardinál. Univerzální posloupnost (/f : £ G r) se nazývá
x-minimální, pokud pro každé (<ro kořlnalitě cf (f) = >ť platí
(iv) pro každé i/ G A je /^(/^) = min{sup{/r/(i/) : 77 G C} : C C £ je uzavřená
neomezená množina ordinálního typu x v £}.
2.32 Lemma. Pro každé r G pcf(A) existuje univerzální (2U,,)~'~-minimální
posloupnost.
Důkaz. Fixujeme r G pcf(A). Víme, že min(A) > |A| + , v našem případě
\A\ — u. Položme
J<r = {X C A : (Vt/ G Ult(A))(.Y G U —> tcf(ř/) < r)}.
Je zřejmé, že J<r je ideál na A. Speciálně, pro r — min(A) je J7<- = {0} a
univerzální posloupnost tvoří konstantní funkce /c, £ < r, pro které je /c(//) — £
pro všechna v G A.
Nejprve ukážeme, že kvaziuspořádání (X-4Xj^J je nahoru r-usměrněné
Kdyby tomu tak nebylo, pak existuje regulární kardinální číslo o <r,p> min(A),
a <j<,-rostoucí posloupnost (hn : rj < o) C XA. která nemá horní mez
v (X A, <j<T). Ukážeme, že toto vede ke sporu. Označme UT — {U e Ult(A) :
U fl J<r = 0}. Podle 2.10 je zřejmé, že U~ = {U G Ult(A) : tcf(L'r) > r}.
Pro každé U G Ur je posloupnost (hn : rj < g) <u-rostoucí a má <u-horní mez.
Označme ji hjj.
432

2 J-í Mocniny singulai nich Laidinálu Dodatek 2
Využijeme toho, že v našem případe je g > min (A) > 21'4' = 2W. Pro
dané (7 G Z//r je \U\ — 2" a tedy existuje množina Xy G U taková, že pro
kofinálně mnoho indexů r\ < g je hy\Xy > fn\Xy všude na Xy. To znamená,
že hy\Xy >j<T hn\Xy pro každé tj < g. Nyní z kompaktnosti plyne, že existuje
konečně mnoho ultrafiltrů z Ur takových, že Xyy U Xy2 U • • • U Xyit G J<T*» kde
J7<r* je filtr duální k J7<T. V opačném případě by množiny {A - (Xy0 U A^ U
• • • U Xyk) : k e lj: {Uz : i < k} C Ur] spolu s J7<r* tvořily centrovaný systém
a jeho libovolné rozšíření do ultrafiltrů V na A dává V G ZYr a máme spor s tím, že
Xv e V & A — Xy G V. Máme tedy konečně mnoho funkcí hy1. hy2, • • • , h^jt
a stačí položit /i = maxf/i^ : i — 1, 2, • • • . n}. Funkce h je <j<^ -horní mezí
posloupnosti (hn : r] < g).
Dokazujeme existenci univerzální posloupnosti pro r. Hledáme posloupnost
/ — (h '• £ < T) ^ X^4, která je <j<T-rostoucí a má požadovanou vlastnost
pro r. Předpokládejme, že taková posloupnost neexistuje. Provedeme \A\+ kroků,
v našem případě \A\ + = cji, ve kterých zkonstruujeme <j<T -rostoucí posloupnosti
fa = (í* - f < t) C X A pro a < |.4| + a současně vybíráme vhodné ultrafiltry
Ua s tcf (ř7Q) = r pro všechna izolovaná ordinální čísla a.
Nechť f° = (fc • £ < r) je nějaká <r-rostoucí posloupnost. Taková
posloupnost existuje, protože (X A, <j<r) je r-usměrněná.
Jsme v kroku a < \A\ +, máme posloupnost fa a konstruujeme posloupnost
/a+1. Jelikož fQ není univerzální pro r, existuje ultrafiltr Ua+i s tcf(ř/a + 1) = r
takový, že posloupnost/0' = (/? : £ < r) je <t/Q+i -omezená. Jako/^4-1 zvolíme
funkci, která je <ua+l-horní mezí posloupnosti /a, můžeme předpokládat, že
/o*+1 > fo všude na A. Ostatní funkce /^+1 volíme tak, aby
(1) /a+1 byla <jt<t -rostoucí a kofinální v (X A <í/a+1), a
(2) /^+1 > /^ všude na A pro každé £ < r.
Pro a limitní zvolme fa tak, aby
(3) fQ byla <j<T-rostoucí,
(4) /?+V) > sup{/f (*/) : /3 < a} pro každé i/GÍaf<r,
To je možné, jednak z r-usměměnosti kvaziuspořádání (X A <j<r) a jednak
proto, že a < \A\+ a min(^) > |.4|.
Definujme funkci g e XA vztahem
5H = sup{/0»:a<|.4|+}
pro v G A.
Pro každé a < \A\^ existuje £a < r takové, že g <yu + l Z""*"1, to plyne z koíi-
nálnosti posloupnosti /a+1 v (X A, <yu + l). Položme £ = sup{£a : a < \A\* }.
Jelikož r > |/l|++, je f < r.
433

Dodatek 2
2 .V2
Pro a < \A\+ je množina
XQ = {v e A : g{u) < /-a+1(^)} € tW
Jelikož pro a < /3 < \A\~*~ je f£ < f^ na celém .4, množiny A'Q s rostoucím a
rostou. Jelikož X& € Ua+i, ale Xa £ Up+\ pro [3 > a, je (Xa : a < |i4|T) ostře
rostoucí posloupnost podmnožin množiny A, a to není možné.
Tím jsme dokázali, že existuje univerzální <j<T-rostoucí posloupnost pro r.
Z ní a z r-usměrněnosti uspořádání (X A. <j<r) získáme snadno minimální
univerzální posloupnost.
Zafixujme jednu univerzální <j<t-rostoucí posloupnost pro r, (fc : £ < r).
Transfinitní rekurzí do r sestrojíme posloupnost (#£:£< r) takto: po = /o, je-li
£ < racf(£) ^ (2^)+, zvolme g^ tak, aby byla v uspořádání <j<T větší než funkce
f$ a všechny funkce gn, rj < £. To je možné, protože uspořádání (X A. <j ) je
r-usměrněné. Všimněme si, že z těchto požadavků a z univerzálnosti posloupnosti
(f$ : £ < r) plyne, že i posloupnost (<?$:£< r) bude univerzální pro r.
Mějme £ < t, cf(£) = (2^)+ a <j<T-rostoucí posloupnost (gn : rj < f) C
X A Pro libovolnou uzavřenou neomezenou množinu C C f, otpC = (2^) +
definujme funkci gc € X A vztahem
gc{v) =suv{gT](v) : 77 e C}.
Ukážeme, že mezi funkcemi {gc : C e Club(£)} existuje nejmenší. Využijeme
toho, že Club(£) je uzavřený na průniky mohutnosti \A\. Kdyby nejmenší funkce
gc neexistovala, můžeme vybrat klesající posloupnost {Ca : a < \A\ + ]
uzavřených neomezených množin v f, otpCa = (2")+ tak, že pro každé a je gctí (v) >
^cu+1(^) pro nějaké v e A. Jelikož pro a < [3 < \A\+ je gcít > yc^ všude na
\A\, nalezneme jedno v € A takové, že gca{v) > 9cCi + l pro neomezeně mnoho
a, a to není možné.
Pro£ < r,cf(f) = (2u,) + ,buď^ nejmenší z funkcí gc, C e Cliib(£)- Lemma
je dokázáno.
Pro každé r € pcí(A) zafixujme univerzální (2^) + -minimální posloupnost
(^(r) :íeí). Označme// množinu všech funkcí / G X A takových, že existuje
přirozené číslo n, kardinální čísla r0. Ti, •• • . r7l_i £ pcf(\4), ordinální čísla £L <
rt pro i < ?i, cf(^) = Nc, a rozklad AV A'i. ■ ■ ■ . A"a_i množinv .4 tak. že pio
každé i < nje /|A, - f\Til)\Xl.
2.33 Věta. 7č-/z 5 C N7, 5 spočetná, pak existuje pokrývači množina M C N7
tatova, & 5 C Aí, |M| = Kc a ChM e H.
Důkaz. Nejprve zavedeme zobrazení B : P(N7) —> ^(N7). Pro T C K7 buď
To = clT, kde cl je uzávěr množiny T v prostoru K7, a dále, Tk+\ — TkU{b^iX(y) :
434

2 3."-i Mocniny snigidámíc}\ kardinálů Dodatek' 2
veA,y€ TkC\v,x G Tkn(v\v-),y < x}u{b~lx(y) : jo e TkC\(v \u~), y G
T/c ^ ^'_}» S(T) = IJ/c^^T/c- Z této definice se snadno ověří, že T C J3(T) a
|B(T)|<|T|-o,.
Buď 5 spočetná podmnožina ordinálu N7. Množinu Aí nalezneme transfinitní
indukcí do Hc současně s množinami Z/r) C r pro r G pof (,4), mohutnost každé
množiny i/7*) je nejvýše 2W.
Pro každé r £ pcf(A) zafixujme univerzální Kc-minimální posloupnost f(T) =
(fc '■ £ < T) a položme 5o = S, Lg = 0 pro všechna r £ pcf(^4).
Je-li a < ttc limitní, položíme 5a = U/3<a ^» ^ — cKU/3<a ^Js )' uzávěr
je brán v prostoru r.
Známe-li Sa, předpokládáme, že \SQ\ < Kc. Pro v G A buď ha(is) = sup 5a n
i/. Pro r € pcf(^4) a pro A' C A označme f (a, X. r) nejmenší £ < r, které
splňuje, že £ > supLL a pro všechna z/ G X platí fc (v) > ha(u). Pokud £
s požadovanými vlastnostmi neexistuje, položme £(a,X, r) — 0. Množinu L^1
definujme vztahem I^J+i ~ cKLa U {f(a,X,r) : X C ,4}). Protože množina
A je spočetná a |LÍr)| < 2"', je i \L^li\ < 2W. Nyní položme
5Q+1 = £(Sa U {/e(TV) : ^ e A,£ G La+i.r € pcf(4)} U {a}).
Protože |pcf(i4)| < \A\" = 2U, je |5Q+1| < 2W.
Tím jsou indukční kroky popsány a zbývá položit M = {Ja<^ Sa, L^] —
Ua<Nr L-T) Pr0 T É pcf(4).
Z popsané konstrukce okamžitě plyne, že množina A/ = IJq<k ^ je
pokrývači, obsahuje množinu 5 a má mohutnost Nf. Musíme ještě ověřit, že Ch?\/ 6 í/\
Z transfinitní indukce víme, že pro a < (5 < Kc je ha < hj < Ch^/ všude na
A a že CriA/ = sup{/ia : q < Kc}.
Zvolme libovolně ultrafiltr U na ,4, buď r = tcf(Z7). Množina Z^r) je
podmnožinou ordinálu r, má ordinální typ Nc a pro 7/ = sup L^ je 1^ uzavřená
neomezená v rj.
Protože jsme pracovali s univerzálním Hc-minimálním systémem pro r, existuje
pro funkci fr)T množina C uzavřená neomezená v ?/ taková, že /// ' =■ sup{/:rJ :
£ G C}. Položíme-li C — C C\ L^T\)t C rovněž uzavřená neomezená v // a platí
také/;(;r)-sup{4r) :£GČ}.
Protože pro každé £ G Č je £ £ L^r\ existuje a < Kc, pro které je £ G li.
Avšak {fcT)(v) : v e A} C Sa + i, a tedy hQ+i(^) > /^ (^) Pr° všechna ^ G .4.
Dostáváme tak
4r) - sup{^(r) : £ G Č} < sup{/iQ : a G Kc} - Cli.w-
435

Dodatek 2
2 M
Zvolme libovolně a. < Kc. Soubor funkcí f? je <[/-neomezený, a tedy pro
nějaké ^ G r platí nerovnost ha <c nT\ Pro množinu X = {v € A : ha(v) <
fcT (v)} tedy existuje nenulové £(a, X, r) £ £a+i a platí, že/ia <<y /^ v r) <c/
/^. Protože £(a, X, r) < 77 a protože množina Č je neomezená v q, můžeme zvolit
£(a) e Č tak, že í(a,X,r) < £(a) < 77. Zřejmě ha <c/ f£ly
Označme Xa = {v e A : ha(i/) < fcJL(^)}- Máme Xa G U. Protože
Kc = (2W)+, existuje množina 7 C Kc o mohutnosti Nc a I 6 [/ tak, že pro
všechna a £ 7 je X — XQ. Pro všechna v £ X potom dostáváme
ChA/(V) = sup{hQ(u) : a G Hc} = sup{fra(i/) : a £ 7} <
< supí/^jM :«€/}< supí/^^M : ? e Č} = /,».
Tedy pro množinu X platí, že C\\m\X — fn\X. Množinu X jsme nalezli v ultra-
filtru U, a proto ji označme symbolem X\j.
Z kompaktnosti plyne, že pro nějakou konečnou množinu /C C Ult(A) je A =
Uuzic Xu, což dokazuje, že ChA/ G 77.
2.34 Závěr důkazu. Podle lemmatu 2.33 pokrývači množiny o mohutnosti Kc,
jejichž charakteristická funkce je prvkem množiny i7, pokrývají všechny spočetné
podmnožiny kardinálu K^. Protože |77| < suppcf(^) a každá pokrývači množina
o mohutnosti Kc obsahuje pouze Kc = (2")+ spočetných množin, dostáváme
N? < (2") + - \H\ = \H\ < suppcfU).
436

literatura
ARCHANGELSKIJ, A. V.
1969 O moščnosti bikompaktov udovletvorjajuščich pervoj axiome sčotnosti. Doklady Akad Nauk 187,
967-974
BALCAR,B.
1973 A theorem on supports in the theory of semisets. Comment. Math. Univ. Carolinae 14, 1-6
BALCAR, B., PELANT, J., SIMON, P.
1980 The space of ultrafilters on N covered by nowhere dense sets. Fund. Math. 110, 11-24
BALCAR, B., ŠTĚPÁNEK, P.
1977 Boolean matrices, subalgebras and automorphisms of complete Boolean algebras. Fund. Math. 106,
211-223
BAUMGARTNER, J. E.
1973 AU N,-dense sets ofreals can be isomorphic. Fund. Math. 79, 101-106
1975 Canonical partítion relations. Journal Symb. Logic 40, 541-554
J975 Incffability properties of cardinals I. Coli. Math. Soc. Jánoš Bolyai 10. lnfinite and finite sets,
Keszthely 1973, 109-130
1976 Almost-disjoint sets, the dense set problém, and the partilion calcuius. Ann. Math. Logic 10,401-439
1979 Independence proofs and combinatorics. Proč. of Symposia in Pure Math. 34, 35-46
1982 Order types of reál numbers and other uncountuble linear orderings. Proč. BaníT Conference on
Ordered Sets (ed. I. Rival), D. Reidel Publ. Co., 239-277
BELL, J. L.
1977 Boolean-valued models and independence proofs in set theory. Clarcndon Press, Oxford
BENDA, M., KETONEN, J. A.
1974 Regularity of ultrafiltres. Israel J. Math. 17, 231-240
BLASS, A.
1977 A model without ultrafilters. Bull. Acad. Polon. Sci. 25, 329-331
BLASZCZYK, A.
1982 Aspekty topologiczne algebr Boole'a. Univcrsytet Šlaski
BLAŽEK, J. et al.
1983 Algebra a teoretická aritmetika. SPN, Praha
BOLZANO, B.
1851 Paradoxien des Unendlichen. Leipzig (český překlad Paradoxy nekonečna, překl. O. Zich, NČSAV,
Praha 1963)
HROUWER, L. E. J.
Il)75 Collected works. North Holland, Amsterdam
RUKOV5KÝ, L.
1905 The continuum problém and the powers of alephs. Comment. Math. Univ. Carolinae 6, 181-197
437

1979 Struktura reálnej osi. Veda, Bratislava
BURK1LL, H., MIRSKY, L.
1973 Monotonicity. J. Math. Anal. Appl. 41, 391-410
CANTOR, G.
1932 GesammeUe Abhandlungen mathemalischen und philosophischen Inhalts Berlin 1932 (druhé
vydání G. Olms. Hildeshcim 1962)
CARTAN, H.
1937 Filtres et ultrafiltres. C. R. Acad. Sci. Paris 205, 111-119
COHEN, P. J.
1963 The independenec oť the continuum hypothesis. Proceedings of the Nat. Acad. Sci. USA 50,
1143-1148
1966 Set theory and the continuum hypothesis. Benjamin, New York (ruský překlad Mir, Moskva 1969)
COMFORT, W. W., NEGREPONTIS, S.
1974 The theory of ultrafilters. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
1982 Chain conditions in topology. Cambridge Univ. Press
DE BRLTN, H. G., ERDÓS, P.
1951 A colour problém for infinite graphs and a problém in the theory of relations. Nederl. Akad.
Wetensch. Proč. Sec. A 54 = Indag. Math. 13, 369-373
DEVLIN, K. J.
1978 K.-trces. Ann. Math. Logic 13, 267-330
1984 Constructibility. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
DEVLIN, K. J., JENSEN, R. B.
1975 Marginalia to a Theorem of Silver. In: Logic Conference Kiel 1974 (ed. G. H. Múller et al.). Lecturc
Notes in Maths. 499, 115-142, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
DEVLIN, K. J., JOHNSBRATEN, H.
1974 The Souslin problém. Lecture Notes in Math. 405, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
DEVLIN, K. J., SHELAH, S.
1978 A weak version of O which follows from 2*° < 2K\ Israel J. Math. 29, 239-247
DRAKE, F. R.
1974 Set Theory, An Introduction to Large Cardinals. North-Holland, Amsterdam
DUSHNIK, B., M1LLER, E. W.
1941 Partially ordered sets. Amer. J. Math. 63, 600-610
F. ASTON, W.B.
1970 Powersof regular cardinals. Ann. Math. Logic /, 139-178
ELLENTUCK,E.
1974 A new proof that analytic sets are Ramscy. J. Symbolic Logic 39, 163-165
ERDÓS, P., HAJNAL, A.
1966 On a problém of B. Jónsson. Bull. Acad. Polon. Sci. 14, 19-23
ERDÓS, P., HAJNAL, A., MATE, A., RADO, R.
1984 Combínatonal Set Theory North-Holland, Amsterdam
ERDOS, P., HAJNAL, A., RADO, R
1965 Partition relations for cardinal numbers. Acta. Math. Acad. Sci Hungar. 16, 93-196
LRDOS,P., HECHLER, S. H.
1975 On maximal almost-disjomt families over singulár cardinals. Infinite and Finitc Sets, vol 1 (cd.
A. Hajnal et al.), 597-604
ERDÓS, P., RADO, R.
1950 A combinatorial theorem. Journal London Math. Soc. 25, 249-255
1952 Combinatorial theorems on classifícations of subsets of a given set. Proč. London Math. Soc. (3),
2, 417-439
1956 A partition calculus in set theory. Bull. Amer. Math. Soc 62, 427-489
438

I.iierdhua
1960 Intersection theorems for systems of sets. J. London Math. Soc. 35, 85 90
ERDOS, P., SZEKERES. G.
1935 A combinatorial problém in geometry. Compocito Math. 2, 464-470
ERDOS, P., TARSK1, A.
1943 On families of mutually exclusive sets. Ann. of Math. 44, 315-329
fhlgner, u. (editor)
1979 Mengenlehre. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt
FODOR, G.
1956 Eine Bemerkung zuř Theorie der regressiven Funktionen. Acla Sci. Math. (Szeged) 17, 139-42
1966 On stationary sets and regressive functions. Acta Sci. Math. (Szeged) 27, 105-110
FRAENKEL, A. A.
1922 Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. Math. Annalen 86, 230-237
1966 Set Theory and Logic. Addison-Wesley, Reading
FRAENKEL, A. A., BAR-H1LLEL, Y., LEVÝ, A.
1973 Foundations of Set Theory. North-Holland, Amsterdam
FRAISSE, R.
1948 Sur la comparaison des types ďordres. C. R. Acad. Sci. Paris 226, 1330
FROLÍK, Z.
1968 Fixed points of maps of extremally disconnected spaces and complete Boolean algebras. Bull.
Acad. Polon. Sci. 16, 269-275
CALVIN, F., HAJNAL, A.
1975 Inequalities for cardinal powers. Ann. of Math. 101, 491-498
GALVIN, ¥., PR1KRY, K.
1973 Borel sets and Ramsey's theorem. J. Symbolic Logic 38, 193-198
GENTZEN, G.
1936 Die Wiederspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. Math. Annalen 112S 493-565
GINSBURG, S.
1955 Order types and similarity transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 79, 341-361
GITIK, M.
1980 AU uncountable cardinals can be singulár. Israel J. Math. 35, 61-88
GOODSTEIN, R. L.
1944 On the restricted ordinal theorem. J. Symbolic Logic 9, 33-41
GÓDEL, K.
1938 The Consistency of the Axiom of Choicc and of the Generalized Continuum Hypothesis. Procccdings
of the Nat. Acad. Sci. USA 24, 556-557
1939 Consistency proof for the generalized Continuum Hypothesis. Proceedings of the Nat. Acad.
Sci. USA 25, 220-225
1940 The Consistency of the Axiom of Choice and of the generalized Continuum Hypothesis with the
Axioms of Set Theory. Annals of Math. Studies 3, Princeton
GRAHAM, R. L., ROTHSC HILD, B. L., SIM M 1 K. J II
1980 Ramsey theory. John Wiley, New York
GREGORY, J.
1976 Higher Souslin trees and the generalized continuum hypothesis. J. Symbolic Logic 41, 663-671
hájek, p.
1966 The consistency of ChurcrTs alternatives. Bull. Acad Polon. Sci. 14, 424430
HAJNAL, A.
1961 Proof of a conjecture of S. Ruziewicz. Fund. Math. 50, 123-128
HAJNAL, A., JUHÁSZ, I.
1967 Discrete subspaces of topological spaces. Indag. Math. 29, 343-356
439

HALMOS, P. R.
1950 Measure theory. Van Nostranri, New York
1966 Lectures on Boolean algebras. Van Nostrand, New York
HALPERN, J D., LEVÝ, A
1971 The Boolean prime ideál theorem does not imply the axiom of choice. Axiomatic set theory (ed.
D. S. Scott), Proč. Symp. in Pure Math. Amer. Math. Soc. 75, Part I, 83-134
HAUSDORFF, F.
1914 Grundziige der Mengenlehre, Leipzig (druhé vydání Chelsea, New York 1949)
HIGMAN, G.
1952 Ordering by divisibility in abstract algebras. Proč. London Math. Soc. 2, 226-336
jech, T.
1967 Nonprovability of Souslin's hypothesis. Comment. Math. Univ. Carolinae 8, 291-305
1968 a;, can be measurablc. lsrael J. Math. 6, 367-367
1973 Some combinatorial problems concerning uncountable cardinals. Ann. Math. Logic 5, 165-198
1973 The Axiom of Choice. North-Holland, Amsterdam
1978 Set theory. Academie Press, New York
JECH, T., MAGIDOR, M., MITCHELL, W., PRIKRY, K.
1980 Precipitous ideals. Journal Symb. Logic 45, 1-8
JECH, T., PRIKRY, K.
1979 Ideals over uncountable sets. Application of almost disjoint functions and genenc ultrapowers.
Memoirs Amer. Math. Soc. 24
JENSFN, R. B.
1972 The Fine Structure of the Constructible Hierarchy. Ann. Math. Logic 4, 229-308
JENSEN, R., KUNEN, K.
1971 Some combinatorial properties of L and V (preprint)
JORDÁN, C.
1893 Cours ďAnalyse. Gauthier Villars, Paris
juhász, i.
1971 Cardinal functions in topology. Math. Centre, Amsterdam
1980 Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre, Amsterdam
KAC, M., ULAM, S. M.
1968 Mathematics and Logic. Retrospect and Prospects, F A. Praeger, Publishers (český překlad SNTL,
Praha 1977)
KANAMORI, A.
1982 On Silver's and related principles. Logic Colloqumm 80 (ed. D van Dálen et al.), North-Holland,
153-172
KANAMORI, A., MAGIDOR, M.
1978 The evolution of large cardinal axioms in set theory. Higher Set Theory, Lecture Notes in Math
669, 99-275
KATĚTOV, M.
1951 Remarks on Boolean algebras Coll. Math 2,229-235
1967 A theorem on mappings. Comment Math. Univ. Carohnae 8, 431 —433
KIRBY, L. A. S., PARIS, J.
1982 Accessible independence re^ults for Peano Anthmetic. Bull. London Math Soc 14, 285-293
KRIPKE, S.
1967 An extension of a theorem of Gaifman-Hales-Solovay. Fund. Math. 61, 29-32
KUNEN, K.
1971 Elementary embeddings and infinitary combinatones. Journal Symb. Logic 36, 407-413
1977 Combinatorics. Handbook of Math. Logic (ed. J. Barwise), North Holland, Amsterdam, 371-401
1978 Saturated ideals. Journal Symb. Logic 43, 65-76
440

Literatura
1980 Set Theory, An Introduction to Independence Proofs. North Holland, Amsterdam
KURATOWSKI, K.
1958 Topologie I. PWN, Varšava (ruský překlad Mir, Moskva 1972)
KUREPA, D.
1937 Ensembles linéaries et une class de tableaux ramifiés. Publ. Math. Univ. Belgrade 6, 129-160
1968 Around the generál Suslin problém. Proč. Internát. Symp. on Top. Herceg-Novi, Beograd 1969,
239-245
LAVER, R.
1971 On Fraisse's order type conjecture. Ann. of Math. 93, 89-111
1976 Well-quasi-orderings and sets of finite sequences. Math. Proč. Cambridge Phil. Soc. 79, 1-10
1976 On the consistency of Borďs conjecture. Acta mathematica 137, 151-169
LAVER, R., SHELAH, S.
1981 The N2-Souslin hypothesis. Trans. Amer. Math. Soc. 264, 411-417
LEVY, A.
1979 Basic Set Theory. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
MAC NEILLE, H. M
1937 Partially ordered sets. Trans. Amer. Math. Soc. 42, 416-460
MAGIDOR, M.
1977 On the singulár cardinals problém I. Israel J. Math. 28, 1-31
1977 On the singulár cardinals problém II. Ann. of Math 106, 517-547
1978 Changing cofinality of cardinals. Fund. Math. 99, 61-71
MAHARAM, D.
1947 An algebraic characterization of measure algebras. Ann. Math. 48, 154-167
MARTIN, D. A., SOLOVAY, R. M.
1970 Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic 2, 143-178
MATHIAS A. R. D.
1977 Happy families. Ann. Math. Logic 12, 59-111
1979 Surrealist landscape with figures (a survey of recent results in set theory). Period. Math. Hunganca
10, 109-175
MILLER, E. W.
1943 A notě on Souslin*s problém, Amer. J. Math. 65, 673-678
MITCHELL, W. J.
1972 Aronszajn trees and the independence of the transfer property. Ann. Math. Logic 5. 21-46
MONK, J. D., SOLOVAY, R. M.
1972 On the number of complete Boolean algebras. Algebra Univ. 2. 365-368
MORAYNE, M.
1980 O róžnickowalnošci funkcji Peano (preprint), Umwersytet Wroclawski
MOSCHOVAKIS, Y. N.
1980 Descriptive Set Theory North-Holland, Amsterdam
MYCIELSKl, J.
1964 On the axiom of determinateness. Fund Math. 53, 205-224
MYCIELSKl, J., ŠWIERCZKOWSKl, S.
1964 On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 54, 67-71
NASH-W1LLIAMS, C. ST. J. A.
1968 On better-quasi-ordering transfinite sequences. Proč. Camb. Phil. Soc. 64, 273-290
NEŠETŘIL, J.
1979 Teorie grafů. SNTL, Praha
OXTOBY, J.C.
1971 Measure and category. Springer-Verlag, Berlin (ruský překlad Mír, Moskva 1974)
441

piNrus, n
1974 Cardinal representativcs. Israel J. Math. 18, 321-344
pospíšii . R
1937 Remark on bicompact spaces Ann of Math. 38, 845-846
qline, w. v.
1963 Set theory and its logic. Cambridge, Massachusetts
RAMSRY, F. P.
1930 On a problém of formal logic. Proč. London Math. Soc. 30, 264-286
RASIOWA, H., SlKORSKl, R.
1950 A proof of the completeness theorem of Gódel. Fund. Math. 37, 193-200
R1EGER, L.
1951 On free N „-complete Boolean algebras. Fund. Math. 38, 35-52
RUBÍN, H.
1960 Two propositions equivalent to the axiom of choice only under both the axioms of extensionality
and regularity. Notices Amer. Math. Soc. 7, 381
scon, d. s.
1961 Measurable cardinals and constructible sets. Bull. Acad. Polon. Sci. 9, 521-524
1967 A proof of the independence of the continuum hypothesis. Math. Syst. Theory /, 89-111
shelah, s.
1975 A compactness theorem for singulár cardinals, Free Algebras, Whitehead problém and transversals.
Israel J. Math. 21, 319-349
1979 On the successors of singulár cardinals. Logic Colloquium 78 (ed. M. Boffa et al.), 357-380
1982 Proper forcing Lecture Notes in Maths. 940, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg
SHOENFIELD, J. R.
1971 Unramified forcing. Axiomatic Set Theory (ed. D. S. Scott), Proč. Symp. in Pure Maths. Amer.
Math. Soc. 13, Part 1, 357-382
1977 Axioms of Set Theory. Handbook o( Mathematical Logic (ed. J. Barwise), North-Holland,
Amsterdam, 321-344
sierpinski, w.
1934 Hypothčse du Continu. Monografie Matematyczne 4, Warszawa-Lwow
1950 Sur les types ďordre des ensembles linéaires. Fund. Math. 37, 253-264
SIKORSKI, R.
1964 Boolean algebras. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (ruský překlad Mir, Moskva 1969)
SILVER, J.
1970 Every analytic set is Ramsey. J. Symbolic Logic 35, 60-64
1971 The independence of Kurepa's conjecture and two-cardinal conjectures in model theory Axiomatic
Set Theory (ed. D. S. Scott), Proč. Symp. in Pure Math. Amer. Math. Soc. 13, Part 1, 383-390
1975 On the singulár cardinals problém Proč. Intern. Congress of Mathematicians, Vancouver 1974,
Vol. 1, 265-268
SIMPSON, S. G.
1984 BQO Theory and Fraisse':> Conjecture. In; R. Mansfield, G. Weitkamp, Descriplive Set Theory,
Oxford Logic Guides, Oxford University Press
SMITH, E. C, TARSKI, A.
1957 Higher degrces of dtstnbutivity and completeness in Boolean algebras. Trans. Amer. Math Soc. 84,
230-257
SOLOVAY, R. M.
1966 New proof of a theorem of Gaifman and Hales. Bull. Amer. Math. Soc. 72, 282-284
1970 A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. 92, 1-56
1971 Real-valued measurable cardinals. Axiomatic Set Theory (ed. D. S. Scott), Proč. Symp. in Pure
Math. Amer. Math. Soc. 13, Part I, 397-428
442

Literatura
1974 Strongly compact cardinals and the GCH. Proč. Tarski Symposium (ed. L. Henkin). Amer. Math
Soc. rroc. Symposia Pure Math 25, 365-372
SOLOVAY, R. M., TfcNNENBAUM, S.
1971 lterated Cohen extensions and Souslin's problém. Ann. of Math. 94, 201-245
SPECKER, E.
1949 Sur un probléme de Sikorski. Colloq. Malh. 2, 9-12
STONE, M. H.
1934 Boolean algebras and their application to topology. Proč. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 20, 197-202
1936 The representation theorem for Boolean algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 40, 37-111
1937 Applications of the theory of Boolean rings to generál topology. Trans. Amer. Math. Soc. 41,
375-481
SUSLIN, M. Ja.
1920 Probléme 3. Fund. Math. 7, 223
SZEMERÉD1, E.
1975 On sets of integers containing no k elements in arilhmetic progression. Acta Arith 27, 199-245
ŠTĚPÁNEK, P.
1981 Souslin's Hypothesis, BorePs Conjecture and the inner model HOD. Bull. Acad. Polon. Sci. 29,
193-197
ŠTĚPÁNEK, P., BALCAR, B.
1977 Embedding theorems for Boolean algebras and consistency results on ordinal definable sets. J.
Symbolic Logic 42, 64-76
ŠTĚPÁNEK, P., VOPĚNKA, P.
1967 Decomposition of metric spaces into nowhere dense sets. Comp. Math. Univ. Carolinae 8, 387-403
TARSKl, A.
1924 Sur les ensembles finis. Fund. Math. 6, 45-95
TODORČEVIČ, S.
1981 Trees, subtrees, and order types. Ann. Math. Logic 20, 233-268
1981 Some consequences of MA + ~iwKH. Top. and its Appl. 12, 187-202
1984 Trees and linearly ordered sets-. Handbook of Set-theoretic Topology, North-Holland. Amsterdam
ULAM, S.
1930 Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre. Fund. Math. 16, 140-150
VAN DER WAERDEN, B. L.
1927 Beweis einer Baudetschen Vcrmulung. Nicuw Arch. Wisk 15, 212-216
1971 How the proof of Baudeťs conjecture was found. Studies in Pure Mathematics (ed L Mirsky)
Academie Press, New York, 251-260
VAN DOUWEN. E. K.
1984 The integers and topology. Handbook of Set-theorctic Topology. North-Holland, Amsteidam
VAN MILL, J.
1984 An introduction lo (ia> Handbook of Set-theoretic Topology, North-Holland, Amsterdam
VLAD1MIROV, D. A.
1969 Bulevy algebry. Nauka, Moskva
VON NEUMANN, J.
1923 Zur Einfiihrung der transfimten Zahlen J von Neumann Collccted Works, Pergamen Press.
Oxford, London 1961
VOPĚNKA, P.
1965 On V-model ofset theory. Bull. Acad. Polon. Sci. 75,611-614
1967 General theory of V-models. Comment. Math. Univ. Carolinae 8, 145-170
1979 Mathematics in the Alternativě Set Theory. B G. Teubner, Leipzig (ruský překlad Mír. Moskva
1983)
443

VOPÉNKA, P., HÁJEK, P.
1972 The Theory ořSemisets. Nonh-Hoiiand, Amsterdam a Academia, Praha
VOPĚNKA, P., HRBÁČEK, K.
1966 On strongly measurable cardmals. Bull. Acad. Polon. Sci. 14, 587-591
WAGE, M. L.
1979 Almost disjoint sets and Martina axiom. Journal Symb. Logic 44, 313-318
WEGLORZ, B.
1979 Some cr-fields of subsets of reals. Logic Colloquium 78 (ed. M. Boffa et al.), North-Holland,
Amsterdam, 427-434
weiss, w.
1978 The Blumberg problém. Trans. Amer. Math. Soc. 230, 71-85
WILLIAMS, N. H.
1977 Combinatorial Set Theory. North-Holland, Amsterdam
ZERMELO, E.
1908 Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I. Math. Annalen 65, 261-281
ZORN, M.
1935 A remark on metod in transfinite algebra. Bull. Amer. Math. Soc. 41, 667-670
444

Dodatek k seznamu literatury
ABRAHAM. U.. MAGIGOR, M
2001 Cardinal arithmetic. Handbook of Set Theory (ed. M. Foreman, A. Kanamon, M Magidoi),
v tisku
BALCAR. B . SIMON. P
1988 On collections of almost disjoint families. Comm. Math. Univ. Carolinae 29(4), 63 1-646
1989 Disjoint refinement. Handbook of Boolean Algebras (ed. J. D. Monk a R. Bonnet), vol 2,
North-Holland, 333-386
2001 The name for Kojman-Shelah collapsing function. Ann. Pure Appl. Logic 1329, v tisku
BARTOSZYŇSKJ, T. JUDAH. H
1995 Set Theory: On the structure of the reál line. A. K. Peters, Wellesley, Massachusets
BAUMGARTNER, J E.
1983 Iterated forcing. Surveys in Set Theory (ed. A. R. D. Mathias), Cambridge Univ. Press, 1-59
BURKE. M R . MAGIDOR. M
1990 Shelafťs pcf theory and its applications. Ann. Pure Appl. Logic 50(3), 207-254
CICHOŇ, J . KAMBURELIS.T.PAWLIKOWSKU
1985 On dense subsets of the measure algebra Pioc Amer Math Soc 94.142-146
DEVL1N. K.J
1984 Constructibility. Perspectives in Mathematical Logic. Spnnger-Verlag. Berlin
DORDAL, P L
1987 A model in which the base-matrix tree cannot háve cofmal branches. J Symbolic Logic 52,
651-664
DOW, A
1995 More set-theory for topologists. Top. and Appl. 64, 243-300
DOW. A . HART. K P
1994 Co-absolutesofř/^i). Top. and Appl. 55, 185-194
DŽAMONJA, M . SHELAH. S
1999 Similarbut not the same- vanous versions of the club pnnciple J. Symbolic Logic 64. 180-198
FARAH, 1
2000 Analytic Quotients. Memoirs of the Amer. Math. Soc. 702
FOREMAN. M . MAGIDOR. M . SHELAH. S
1988 Martina Maximum, saturated ideals and non-regular ultrahlters. Part 1. Ann Math. 127, 1-47
FOREMAN, M., WOODIN, WH
1991 The generalized continuum hypothesis can fail everywhere. Ann. Math. 133, 1-35
FREMLIN, D H
1989 Measure algebras. Handbook of Boolean algebras (ed. J. D. Monk a R Bonnet), vol 3,
North-Holland, 877-980
445

1993 Real-valued-measurable cardinals. Set Theory of Reals (ed. H. Judah), Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 151-304
HOLZ, M , STEFFENS, K.. WEITZ, E.
1999 Introduction to Cardinal Arithmetic. Birkháuser Verlag, Basel
JECH, T.
1986 Multiple Forcing. Cambridge Univ. Press
1992 Singulár cardinal problém: Shelarfs theorem on 2 ". Bulletin of the London Mathematical
Society, vol. 24, 127-139
1995 Singulár cardinals and the pcf theory. Bull. Symb. Logic 7, 408-424
KANAMORI, A.
1994 The Higher Infinite. Springer-Verlag
KOJMAN, M.
1995 The abc of pcf. rukopis
1998 Exact upper bounds and their uses in set theory. Ann. Pure Appl. Logic, 92, 267-282
KOJMAN, M., SHELAH, S.
2001 Fallen cardinals. Ann. Pure Appl. Logic 7529, v tisku
KUNEN, K.
1976 Some points in (3N. Proč. Cambridge Phil. Soc. 80, 385-398
1998 Bohr topologies and partition theorems for vector spaces. Top. and Appl. 90, 97-107
MILLER, E. W.
1982 The Baire category theorem and cardinals of countable cofinality. J. Symbolic Logic 47, 275-
288
MONK, J. D., BONNET. R. (editoři)
1989 Handbook of Boolean Algebras, Vol. 1-3, North-Holland
NYIKOS, P. J.
1980 A provisional solution to the normál Moore space problém. Proč. Amer. Math. Soc. 78,
429-435
SHELAH. S.
1984 On cardinal invariants of the continuum. Contemporary Mathematics 31, 183-207
1994 Cardinal Arithmetic. Clarendon Press, Oxford
1998 Proper and Improper Forcing. Springer-Verlag
SHELAH, S., SPINAS, O.
1998 The distributivity numbers of finite products of P(cj)/fin. Fund. Math. 755, 81-93
SIMON, P.
1993 Products of sequentially compact space. Rend. dellTnst. di Mat. Univ. Trieste XXV, 447-450
TODORCEVIC, S.
1989 PartitionProblemsinTopology. Contemporary Mathemetics84, Amer. Math. Soc, Providence,
Rhode Island
TODORCEVIC, S., FARAH, I.
1995 Some Applications of the Method of Forcing. Mathematical Institute, Belgrade and Yenisei,
Moscow
WOODIN. W. H.
1999 The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideál. Walter de Gruyter.
Berlin, New York
446

Seznam symbolů
Kapitola I
=
€
—1
&,v
-+
•*-*
V
3
<p(x)
c
c:
{xea:(p(x)}
r\
0
M
{a}
<a,b>
u
u
<?(a)
{x:(p(x)}
V
-A
n
^xB
X"
E
Id
rovnost 1.4
náležení 1.4
negace 1.4
konjunkce a disjunkce 1.4
implikace 1.4
ekvivalence 1.4
obecný kvantifikátor 1.4
existenční kvantifikátor 1.4
formule s volnou proměnnou x 1.10
inkluze 2.3
ostrá inkluze 2.3
množina všech prvků z a, pro které platí <p 2.6
průnik dvou množin 2.7
prázdná množina 2.8
dvouprvková množina 2.11
jednoprvková množina 2.11
uspořádaná dvojice 2.13
suma množiny (třídy) 2.18
sjednocení dvou množin 2.19
potence množiny a 2.22
třída všech množin, pro které platí q> 3.1
univerzální třída 3.10
doplněk třídy A 3.10
průnik množiny (třídy) 3.12
kartézský součin 4.8
třída všech uspořádaných n-úc prvků z X 4.13
e-relace 4.16
relace identity 4.16
447

definiční obor relace 4.17
obor hodnot relace 4.17
obraz třídy Y daný relací X 4.19
zúžení relace X na třídu Y 4.19
relace inverzní k R 4.25
skládání relací 4.25
F je zobrazení X do Y 4.28
složení zobrazení / a g 4.29
relativizované kvantifikátory 4.32
obraz třídy X daný zobrazením F 4.33
indukovaná zobrazení mezi potenčními množinami
4.34
třída všech zobrazení množiny a do třídy A 4.36
soubor množin 4.39
sjednoceni souboru množin 4.40
průnik souboru množin 4.40
kartézský součin souboru množin 4.43
relace uspořádání 5.4
relace ostrého uspořádání 5.4
největší a nejmenší prvek 5.8
supremum, infimum 5.8
hlavní filtr v uspořádané množině 5.16
hlavní ideál v uspořádané množině 5.16
třída ekvivalence, ve které leží u 5.35
faktorizace množiny A podle relace R 5.37
zjemnění rozkladu 5.39
množiny x, y mají stejnou mohutnost 5.43
srovnávání mohutností 5.43
x je konečná množina 6.2
třída všech konečných množin 6.7
množina všech přirozených čísel 6.15
množina celých čísel
množina racionálních čísel
množina reálných čísel
uzavřený interval reálných čísel 0 < x < 1
přirozené číslo bezprostředně následující za n 6.17
symetrický rozdíl množin 6.28
množina všech konečných podmnožin množiny A
6.31
množina všech konečných posloupností prvků z A

Seznam symbolů
filtr na množině 8.5
ideál na množině 8.6
duální ideál k filtru & 8.9
duální filtr k ideálu J 8.9
Fréchétův filtr a ideál na množině přirozených čísel
8.11
hustota, horní a dolní hustota množiny A přirozených
čísel 8.11
množina všech ultrafiltrů na X 8.19
množina všech uniformních ultrafiltrů na X 8.20
limita posloupnosti podle filtru 3F 8.23
konečně aditivní míry na 0\cd) 8.29
Banachova limita pro omezené posloupnosti reálných
čísel 8.34
indukované zobrazení ultrafiltrů 8.48
třída ordinálních čísel 1.4
proměnné pro ordinální čísla 1.11
součet a součin ordinálních čísel 3.12
následník ordinálního čísla 3.13
mocnina ordinálních čísel 3.23
nejmenší s-číslo 3.24
třída kardinálních čísel 4.2
mohutnost množiny x 4.2
proměnné pro kardinální čísla 4.2
následník kardinálního čísla 4.7
funkce alef 4.8
a-té nekonečné kardinální číslo 4.9
součet a součin kardinálních čísel 4.12
kofinál 4.20
mocnina kardinálních čísel 5.2
součet a součin souboru kardinálních čísel 5.7
množina všech částí množiny X, které mají mohutnost
A (menší než A) 5.9
slabá mocnina kardinálních čísel 5.11
funkce gimel 5.20
R-tranzitivní obal množiny u 6.8
typová funkce fundované relace R 6.13

K
WF
K
L
Con (T)
kumulativní hierarchie 6.16
fundované jádro 6.16
hierarchie konstruovatelných množin 7.3
třída konstruovatelných množin 7.3
teorie Tje bezesporná 7.11
Kapitola in
Á*)
i)
Cub(5)
£(v)
*\
ni
O
0„0,(£)
OM Ot(E)
□*□
tp(L)
<P*
ti,Á
F\X
HT(x),H(T)
st(x)
x -+ (x, co)2
x-(a)2<»
A(>t)
expMx
Cub(M)
charakter filtru 1.9
Suslinovo číslo topologického prostoru nebo
uspořádané množiny 1.22
filtr uzavřených neomezených podmnožin 5 2.8
množina ordinálů s kofinalitou v 2.11
diagonální průnik 2.13
projekce na i-tou složku součinu 2.39
diamantový princip 2.40
diamantové principy pro kardinál X a stacionární
množinu E 2.43
2.44, 2.47
2.50
typ lineárně uspořádané množiny 3.2
inverzní typ k typu (p 3.4
typy uspořádání racionálních čísel a reálné přímky 3.5
zúženi systému množin 3.22
výška vrcholu ve stromu a výška stromu 3.31
a-tá hladina stromu T 3.31
stupeň větvení vrcholu x 3.49
rozkladová šipka 4.3
4.70
4.76
5.21
Ellentuckův systém 4.30
systém ramseyovských množin 4.30
4.32
H-tá iterace mocniny 2* 4.72
filtr uzavřených neomezených množin na [A]<x 5.37
Kapitola IV
A, V, -
0,1
450
booleovské operace průseku, spojení a komplementu
1.1
nejmenší a největší prvek Booleovy algebry 1.1

Seznam symbolů
CO (X) algebra obojetných množin topologického prostoru X
1.2(e)
RO (X) algebra regulárních otevřených množin topologického
prostoru X 1.24, 1.5
/\, \/ nekonečné operace průseku a spojení 1.16
cl (á\ int (A) uzávěr a vnitřek množiny A v topologickém prostoru
v (á) regularizace 1.23
Borel (X) <7-algebra borelovských množin 1.29(a)
Baire (X) a-algebra množin s Baireovou vlastností 1.29b
B | b zúžení Booleovy algebry 2.1
x 1 y disjunktní prvky algebry 2.2
c (B) Suslinovo číslo algebry B 2.3
sat (B) saturovanost algebry 2.4
cm(B) zúplnění algebry B 2.18
B+ množina nenulových prvků algebry B 2.23
BXQ B2 volný součin algeber 2.23
F(l, J) množina konečných funkcí 2.25(a)
C(/, J) úplná Booleova algebra určená množinou F(l,J)
2.25(a)
F(/,J,A) systém funkcí 2.25(f)
C(/, J, A) úplná Booleova algebra určená množinou F(l,J,X)
2.25(f)
< zjemnění rozkladů 2.27
Ult (B) množina ultrafiltrů v B 2.52
cpM relativizace formule (p 3.1
M, N modely teorie množin 3.3
&M, V^ relativizace operace potence a kumulativní hierarchie
3.16
Ob (ít, Aí) třída obrazů množiny o přes relace z M 3.18
M\jj] generické rozšíření modelu M 3.21, 3.53
cuf, (2C0)M kardinální čísla (ol9 2" v modelu M 3.31
M[B} hierarchie jmen 3.52
M(B) booleovské univerzum 3.52
typB(a) typová funkce hierarchie jmen 3.52
x kanonické jméno množiny x 3.52
iG interpretace jmen 3.53
||<p|| booleovská hodnota formule 3.54
Ih relace forsingu 3.57
451

Rejstřík
absolutní pojem 363, 364
absolutnost 362
- inkluze 362
Alexandrov P. S. 22, 23
algebra 22
- univerzální 22
- a - úplná 290, 293, 332
-, x - algebra 332
- (x,fi) — distributivní 351
- (x, /i, v) - distributivní 352, 353
- množin 326, 332, 342, 358
- potenční 112, 325
—, a — algebra množin 332
antiřctězec 256,279
AppelK. 132
aritmetika
- kardinální 176
- ordinální 151
- Peanova 157, 163
Archangelskij A. V. 307
Aronszajn N. 260
Artin E. 22
atom 340,356
axiom
- determinovanosti 274
- dvojice 40
- existence množin 31
- extenzionality 31, 361
- Fisherův 319
- fundovanosti 43, 196, 249, 361
- konstruovalelnosti 24, 204, 246, 274, 314
- Martinův 24, 222, 274, 293, 379, 382
- nahrazeni 42
- nekonečna 43
- potence 42,362,365
- sumy 41
axiom výběru 23, 24, 102, 107, 109, 110,
147, 172, 175, 204
- vydělení 38
- závislých výběrů 293
axiomatický systém 21
Baireova vlastnost 211, 287, 292, 336
BaireR. 21
Baleár B. 366
barevnost grafu 132
Baumgartner J. (1982) 218, 251, 253
(1975) 309
(1976) 315,377
báze
- filtru 69,119
- ideálu 69
- třidytypů 250
- ultrafiltru 211
Bendixson I. 174
Bernays P. J. 21
bezespornost
- axiomu konstruovalelnosti 204
- diamantového principu 374
- hypotézy kontinua 371
- kombinatorických principůO a □ 247
- negace hypotézy kontinua 376
- teorie 204
BirkhoffG. 22
blok 297,298
- špatný 295,299
Blumberg 22
Bolyai J. 24
Bolzano B. 12
Booleova algebra 222, 323, 358, 365
atomární 340, 342
- - C(a) 347
453

Booleova algebra duální 326
- dvouprvková 324
homogenní 353
- intervalová 325
- kolapsující 347, 354, 374
- - M - úplná 365, 366
- obojetných množin 325
- regulárních otevřených množin 332,
333, 334
- - úplná 332, 343, 355, 365
- všude (x, /i, v) — nedistributivní
353,354
- x - úplná 332
booleovská hodnota formule 384
booleovské univerzum 382
booleovský prostor 358
booleovský typ funkce 383
BorelE. 21
Borelova domněnka 22. 24
Brouwer L. E. J. 18
deBruijnN. G. (1951) 132,225
BukovskýL. 183, 185
Burali-Forti C. 18
Burkill H. 275
Cantor G. 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23,
98,99, 141, 174, 175
Cantorovo diskontinuum 18,95,287,
325,337
- zobecněné 325
Cantorův normální tvar 158
CartanH. 114
Cohen P. J. 25, 98, 182, 205, 360, 361
četnost operace 240
číslo
- izolované ordinální /39, 364
- kardinální 14, 15,766, 365
- kardinální silně limitní 184
- limitní ordinální 139, 364
-ordinální 15, 136, 364
- Suslinovo Booleovy algebry 340
- Suslinovo topologického prostoru 221,
222, 253, 307
- Suslinovo uspořádané množiny 221, 222
-, e - číslo 159
čísla
- algebraická 14, 15, 99
- celá 94
- přirozená 15,85,36,89,364
čibhi uicionální 94
- reálná 97
- transcendentní 14,99
čtvereček 246
DedekindR. 15,22,69
Dedekindův řez 72, 97
délka větve 256
derivace množiny 230
Devlin K. J. 256
diagonální metoda 13, 19
diagonální průnik 231
diamantový princip O 242, 264, 272, 374
diamantový princip Ox 242, 243, 264, 315
O';. 24*
Ox* 244
dimenze 16, 17
Dirichletův princip 275, 278
disjunkce 30
disjunktní pr\k\ 221. 33V
distributivnost
- Booleových algeber 350
- tříparametrová 352
doplněk třídy 49,51
dualita
- Stoneova 358
- algebraická 326
DushnikB.(1941) 303
dvojice
- množin 40
uspořádaná 40
Easton W. 182
ekvivalence 30
EllentuckE.(1974) 292
ErdósP.(194l) 303
(1943) 340,377
(1951) 132,219
(1956) 305
(1958) 316
(1960) 219,225
(1965) 308,309,316
(1968) 239,251,275,276,281,286
faktor algebry 339
faktorizace
- algebry podle ideálu 356
- množiny podle relace 75
filtr 68
~ duální 114
454

filtr duální v Booleově algebře 356
- Fréchetův 116, 122, 228, 317
- generický 367
- generovaný množinou 69
- hlavní 70,115
- hlavní v Booleově algebře 356
- maximální 120
- na množině 113
- normální 231, 320
- okolí bodu 116
- uzavřených neomezených množin 230,
232,319
- uniformní 121
- v Booleově algebře 356
- vlastní 113
- x — úplný 228
- <r - úplný 228
filtrované prodloužení systému 129
Fodor G. 225, (1956) 232, 235, 320
formule 30,45
- absolutní 362, 363
- atomická 30
- atomická rozšířeného jazyka 46
- duální 326
- omezená 363
- relativizovaná 204, 205, 360
- rozšířeného jazyka 46
- uzavřená 32
forsing 24, 205, 385
Fraenkel A. A. 21
Fraissé R. 293
Fraissého domněnka 293, 303
Fréchet R. M. 22
Frege G. 20
fundované jádro 192, 193
funkce 11,57
- číslující 229
- Dirichletova 11,22
- gimel 182, 186
- komplexní proměnné 17
- normální 152
- ordinální 151
- ordinální neklesající 151
- ordinální rostoucí 151
- Ramseyova 280
- regresivní 232
- skoro všude různé 217, 237
- ordinální spojitá 152
- reálná spojitá 177
- typová 191
funkce typová třídy WF 193
- váhová 126
- N 168
- 2K- 1 81
- N** 184, 186
GalileiG. 12
Galvin F. 184,286,(1973) 287,291
Gauss K. F. 12
generátory algeber 345
Gentzen G. 160
GinsburgS. (1955) 251
GitikM. 172
GoodsteinR. L. (1944) 160
GódelK. 21,23,24,98, 182,
(1938) 196,200,204
graf 131
- k - obarvitelný 131
- konečně obarvitelný 131
- konečný 131
- úplný 131, 132
Gregory J. (1976) 244
HajnalA. 184,223,(1968) 239,306,
(1965) 308,309,(1958) 316
Haken W. 132
Hausdorff F. 22, 104, 107, 173, 175. 185,301
Hechler S. 219
HewittE. 216
hierarchie
- borelovských množin 335
-K 200
- množin projektivní 293
Hilbert D. 22, 23
Higman G. (1952) 296
horní mez 66
hrana 131
HrbáčekK. 319
hromadný bod posloupnosti 122
HurwitzA. 18
hustota množin přirozených čísel 116
hypotéza
- kontinua 23, 24, 98, 175, 242, 247, 251,
371, 376, 379, 380
- kontinua zobecněná 175, 182, 186, 204, 244,
247,261,273,274, 311, 321
- Kurepova 22, 240, 255, 272, 273, 315
- singulárních kardinálů 186, 206, 239
- slabá Kurepova 272, 273, 274
- Suslinova 240, 254, 274, 382
455

charakter filtru 214
ideál 68
- duální 114
- duální v Booleové algebře 356
- Fréchetův 116,228
- generovaný množinou 69
- hlavni 70,115
- maximální 120
- na množině 113
- normální 231
- nulových množin 126
- v Booleově algebře 356
- Van der Waerdenův 118
- vlastní 113
- x - úplný 228
- a - úplný 228
identita 54
implikace 30
indexová třída 61
indexovaný soubor množin 61
indexy 61
indukce 83,86
- fundovaná 191, 192
- transfinitní 22,142
indukovaný podgraf 131
infimum 66,67
infinitezimální počet 12
inkluze 37,38,49
interpretace jména 383
intuicionismus 20
invariantnost dimenze 16, 18
izomorfismus 70
- algeber 342, 343
jádro Á — systému 219
jazyk 28
JechT. (1973) 320,379
Jensen R. B. 187, 200, (1974) 206,
207, 240, 242, 246, 247, 264,
(1972) 266,267,274,
314,315
jméno podmnožiny 368
Jordán C 17
Juhász I. 306
KacM. 100
Kanamori A. 314
kanonický tvar generických množin 366
kardinál
kardinál Erdosův 315, 316
- limitní 167
- Mahlův 247,312, 314
- méřitelný 3/7,319,320
- nedosažitelný 173,3/7,312
- nevýslovný 315, 316
- obří 321
- Ramseyův 316
- reálně měřitelný 318
- regulární 172
- silně kompaktní 319
- slabě kompaktní 312, 314, 316
- slabě Mahlův 312
- slabě nedosažitelný 173, 310
- singulární 172
- subtilní 314, 315
- superkompaktní 319,320
Kirby L. 163
kofinál 171
kompatibilní prvky 339
komplement 323
- množiny 112
Kónig D. 258
Koníkova nerovnost 181
konjunkce 30
konstrukce
- Mac Neillova 72, 345
- transfinitní rekurzí 144
- Yitaliho 212
Kripke S. 354
kritérium distributivnosti 351
Kruše A. H. 175
kružnice 132
Kunen K 243, 261, 274, 314, 315, 319
Kunenova bariéra 321
Kuratowski K. 104,293,333
Kurepa D. 22, 255, (1937) 260, 268
kvantifikátor 29,30
- omezený 363
kvaziuspořádání 293, 367
- dobré 294, 298
- konečných posloupností 296
- transfinitních posloupností 298
- Kruskalovo 297
- lepší 297, 298
LaverR. 222,274,(1971) 294,
297, 302, 303
Lázár D. 223
LebesgueH. 21,336
456

lemma
- kaktusové 220
- o 3 množinách 132,223
- Zornovo 104
LévyA. 198
limita
- Banachova 128
- & - limita 122
- ordinální funkce 152
- podle filtru 121
Liouville I. 14, 99
Lobačevskij N. I. 24
logické symboly 29, 30
Lówenheim L. 241
Lužin N. N. 22, 23
Mac Neille H. M. 69, 72
Magidor M. 184, 186, 187,314,
320, 321
MahloP. 312
majoranta 66
Malcev A. I. 22
Marczewski E. 216
Máte A. 309
Mathias A. R. D. 293
Mc Aloon K. 354
MérayH.C 12
metajazyk 28
Miller E.W. (1941) 303
Milner E. C. (1968) 239
minoranta 66
míra
- borelovská 336
- dvouhodnotová 125,134
- invariantní vzhledem k posunutí 121
- konečně aditivní na &(co) 124, 125,
127,317
- Lebesgueova 336
-na^(w) 125
- normovaná 125
- pravděpodobnostní 125
- rozšiřující hustotu 126, 127
- váhová 126
- o - aditivní 125
MirskyL. 275
Mitchel W. J. 274
Mittag-Lefler G. 23
množina 12,18,29,30
- atomů algebry 340
- bernsteinovská 211
množina borelovská 287, 291, 335
- celých čísel 94
- disjunktní 221,222
- disjunktních prvků 339
- disjunktních prvků maximální 340
- dobře uspořádaná 13
- dolní 68
- dolů usměrněná 68
- generátorů filtru 119
- generická 365, 366
- homogenní 276
- horní 68
- hubená 211,336
- hustá 333, 341
- induktivní 85
- kofinální 110
- konečná Si, 82
- konstruovatelná 24, 200, 202,
316,319
- konvexní 268
- lebesgueovsky měřitelná 211
- nahoru usměrněná 68
- nejvýše spočetná 90
- neomezená 229,319
- nespočetná 13,14,89
- nestacionární 231
- nosná 323
- perfektní 18, 1 14
- prázdná 39, 364
- racionálních čísel 94
- ramseyovská 288, 290, 291
- reálných čísel 97
- regulární otevřená 333
- R - tranzitivní 190
- řídká 18,355
- s Baireovou vlastností 336, 338
- shora omezená 68
- spočetná 13,89
-stacionární 232,232,312,320
- tranzitivní 136
- tranzitivní vzhledem k R 190
- ultrafiltrů 121
- ultrafiltrů v Booleově algebře 351
- uniformních ultrafiltrů 121, 214
- uspořádaná 343
- uzavřená 18,229,319
- uzavřená na operace 201, 240
- uzavřená neomezená 229, 319
- volná 222,223,225
- výběrová 102

množina zdola omezená 68
- r\ — nulová 125
- a - uzavřená uspořádaná 351
- Xl - hustá 253
množiny
- disjunktní 39
- podobné 366
- reálných čísel 12, 13, 15
mocnina
- kardinální 176
- slabá 180
mocniny ordinálů 156
model
- Peanovy aritmetiky standardní 157
- Solovayův 293
- teorie množin vnitřní 205, 360
- ZF 360
- ZF tranzitivní 360
modely
- booleovské 24
- teorie množin 24, 25
mohutnost
- Booieovy algebry 324
- množin 14, 15, 77, 165, 198
- typu 250
Morayne M. 23
de Morganova pravidla 51, 62, 330
Mostowského kolaps 195
Mostowski A. 195
nahrazení třídy podmnožinou 197
náležení 29, 30, 54
Nash - Williams C ST. J. A. 287, 298,
(1968) 300
následník čísla 86, 139, 167
negace 30
nekonečné distributivní zákony 331
nekonečno
- aktuální 12
- potenciální 12
nerovnost
- neostrá 66
- ostrá 66
nezávislé principy 24, 25
nezávislost axiomu konstruovatelnosti 205
Noetherová E. 22
obal
- množiny tranzitivní 190
- R - tranzitivní 190
obarvení 276
- grafu 131,226
obor
- definiční 54
- hodnot 54
- levý 54
- pravý 54
obraz 55
- filtru 133
- množiny přes relace 365
okolí ordinálů 140
operace 240
~ absolutní 363
- booleovské 323
- Suslinova 293
- třídové 48
ordinál 136
otevřený interval 69,140
paradox
- Burali - Fortiho 19
- Cantorův 19
- Richardův 19
- Russelův 19
Paris J. 163
PeanoG. 16,17
pevný bod
ordinální funkce 152
- - zobrazení/?/ 133, 134
Pincus D. 198
platnost formule 360
počet generátorů algebry 345
podalgebra 326
- x - úplná 332
- úplná 332
podmnožina 37
- hustá 210
- stabilní 71
podstrom 256
- dolní 256
PoincaréH. 18
Pondiczery ES. 216
porovnávání typů 249
posloupnost
- dobrá 295
- Goodsteinova 160
- minimální špatná 295
- špatná 295
- O — posloupnost 242
- D^ - posloupnost 246
458

Pospíšil B. 214
potence 21, 42, 365
- třídy 49
Prikry K. 274, 286, (1973) 287, 291
princip
- Cantorův 123
- dobrého uspořádání 109, 110,
147
- indukce 83
-kompaktnosti 129, 225, 280
- maximality 22,104, 107, 110
- minimality 104, 190
- transfinitní indukce 142
- výběru 102
- □;. 246,247,266
problém
- Blumbergův 22, 24
- Suslinův 22,253
- Whiteheadův 23
proměnná 30
- pro třídy 46
- vázaná 32
- volná 32
prostor
- baireovský 337, 357
- duální k Booleově algebře 358
- extrémně nesouvislý 335
- Stoneův 222, 358
- topologický separabilní 216
průnik 39,45,50,51
- souboru 61
- třídy 49
průsek 323
- množiny 330
- nekonečný 330
prvek
- maximální 66
- minimální 66
- nejmenší 66, 67
- největší 66,67
- R - minimální 188
prvoideál na množině 114
předchůdce
- čísla 139
- vrcholu 256
přímka
- Kurepova 255, 272
- Suslinova 254,270
Quine W. W. 20
Rado R. (1960) 219, 251, 275, 276, 286,
(1956) 305,
(1965) 308,309,377
Ramsey F. P. 277,281
Rasiowa H. 378
reflexe stacionárnosti 314
regularizace množiny 332
rekurze
- fundovaná 191, 192
- transfinitní 145, 146
relace 11,53,54
- antireflexivní 64
- antisymetrická 64
- binární 54
- ekvivalence 74
- extenzionální 195
- fundovaná 188, 189
"^ inverzní 56
- reflexivní 64
- slabě antisymetrická 64
- symetrická 64
- tranzitivní 65
- trichotomická 64
- úzká 148
- úzká fundovaná 190
relativizace kvantifikátorů 58, 204,
205, 360
reprezentace tříd ekvivalence 198
RieszF. 22,114
Richardi 19
roura 272, 373
rovnost 29,30
RowbottomF. 316,(1971) 318
rozdíl 39,45,51,327
- symetrický 91,327
rozklad
- jednotkového prvku 340
- kanonický 283,284
- množiny 75, 275
- prvku 339
rozkladová šipka 276, 377
rozklady
- borelovské 287
- invariantní 283, 284
rozšíření
- generické 24, 369
- modelu 361,365
rozšiřování filtrů 120
rozvoj
- ordinálního čísla 159
459

rozvoj ordinálního čisla v mocninách 157
RubinH. 175
Russell B. 19
RuzicwiczS. 223
řetězec 104, 256, 279
saturovanost algebry 340
ScottD. S. 24,205,(1961) 317
selektor 102
- prostý 130
Shelah S. 184, (1980) 244, 274, 279
schéma
- axiomů nahrazení 42
- axiomů vyděleni 38, 45
Shoenfield J. R. 21,24
Schreier V. 22
Sierpinski W. 23,(1950) 251,307
Sikorski R. 378
silně skoro disjunktní množiny 380
SilverJ. 183,184,(1974) 237,239,
274,293,316
SimpsonS. G. (1984) 292
sjednocení 41,48,51
- souboru 61,178
skládání zobrazení 57
Skolem T. 241
skoro disjunktní podmnožiny 216
složení relací 56
SmithE. C (1957) 357
sňatkový problém 130
Solovay R. 24, 187, 205, 235, (1971) 236, 3
347,379
soubor množin 61
součet
- kardinální 169
- kardinálních čišel 169
- ordinální 153
- souboru kardinálních čísel 178
součin
- algeber 346
- algeber volný 346
- kardinální 169
- kardinálních čísel 169
- kartézský 52, 53
- kartézský souboru 63, 178
- ordinální 153
- souboru kardinálních čísel 178
- topologických prostorů 216
SpeckerE. 251,(1949) 261
spojení 323
- množiny 330
- nekonečné 330
srovnatelné prvky 65
stacionární bod 235
Stone M. H. 114,339,358,(1934) 358
strom 256
- Aronszajnův 251, 258, 261, 269, 274
-, Aronszajnův x-strom 261, 313
- Aronszajnův speciální 263, 266, 355
- bez krátkých výhonů 258
- Kurepův 268,21 [,212
- Suslinův 26/, 263, 264, 270,
272, 355
-, Suslinův x-strom 261
- úplný /4-ární 257
- úplný binární 257
- V - Suslinův 247
-, {x, v)-strom 258
-. o>,-stromy 268
stupeň vrcholu 263
suma 41
- třídy 49
supremum 66,67
Suslin M. J. 22, 353
svaz 69, 328
- úplný 69,71,72
systém
- AD systém 216,311
- centrovaný 119, 121
- Ellentuckův 285,290
- hustý 287
- Kurepův 2.55,271
- kvazidisjunktní 219
- MAD systém 2/6, 379, 380
- maximální skoro disjunktní 216,
379,380
- množin 61
- nezávislý 212,219
- pokrývající konečné podmnožiny 129
- skoro disjunktní 2/6,377
- skoro všude různých funkcí 217,
238
- spernerovský 287
-, J-systém 2/9
SzekeresG. 281
Szemeredi Z. 118
Tarski A. 22,81, 114, 185, 241, 310,
(1943) 340,(1957) 357
460

TarsyM. 281
Tennenbaum S. 379
teorie
- množin naivní 20, 22
- modelu 22
- typů 20
TodorčevičS. (1981) 266
topologie 17,18
- dolnich podmnožin 343
- Ellentuckova 292
- intervalová 140, 151
- klasická na [co]" 287,291
- Stoneova 358
- určená uspořádáním třídy On 140
třida 21,46,47
- kardinálních čísel 166
- konstruovatelných množin 202
- L 202
- ordinálních čísel 136
- rozptýlených lineárně uspořádaných množin
301
- tranzitivní 136
- univerzální 49
- vlastní 46
- zobrazeni množiny do třídy 60
třídový term 46
třídy disjunktní 48
třidy ekvivalence 75, 198
Turán P. 223
typ
- dobře uspořádané množiny 140,
364
- inverzní 250
- relace 140
- reálný 250
- SpeckerŮY 251
- univerzální spočetný 250
- rj 97, 250
- X 250
- oj 250
- N, - hustý 253
typy
- lineárně uspořádaných množin 249
- matematických struktur 199
- neslučitelné 251
- uspořádaných množin 199
Ulamovy matice 233, 234
UlamS. M. 100,(1930) 234,235,
317,318
ultrafiltr
- generický 366
- na množině 113, 121, 337
- regulární 272,273
- triviální 115
- v Booleově algebře 356
Uryson P. 22
uspořádaná/c-tice 41
uspořádání 65
- Dedekindovsky úplné 72
- dobré 73, 298, 364
- dobré a úzké 148
- husté 94
- kanonické Booleovy algebry 328
- lineární 65
- lexikografické 90, 147
- maximo-lexikografické 90,141
- ostré 66
- rozptýlené lineární 294, 301
- separované 342
- Sierpinského 279
- Speckerovo 251, 269
- stromu lexikografické 267,313
- větví lexikografické 268
uzávěr
- izomorfismu 251
- množiny 332
- množiny na operace 201, 241
Van der Waerden B. L. 22, (1927) 118
velké kardinály 310
věta
- Baiereova 337
- Cantorova 93, 181
- Cantorova —Bernsteinova 16,78
- Hallova 130
- Jensenova o pokrytí 206
- o generickém rozšíření 369, 386
- o forsingu 385
- o normální míře 317
- o reprezentaci Booleovy algebry 358
- o volných množinách 223
- o J-systémech 219
- Ramseyova 277
- Ramseyova kanonická 283, 285
- Ramseyova konečná 280
- základní o ultrafiltrech 121,319,
356
větev 256
- kofinální 256
461

vnitřek množiny 332
vnoření 70, 72, 342
- elementární 320
- izomorfní 249
- kanonické 75, 383
- počátkové 73
- úplné 342
von Neumann J. 21,85,141
VopěnkaP. 21,24,205,
319,366
vrchol 131,256
yýška
- stromu 256
- vrcholu 256
Weierstrass K. 12
WoodinH. 182,274
7ermclo E 20, 21,23, 25, 109
zjemnění 349
- rozkladu 76, 349
- disjunktní 210
- společné 350
zobrazení 57
- M 133
-indukovaná 59,60,133
- kanonické 283
- množinové 222
- prosté 57
- třídové 145
- vzájemné jednoznačné 57
Zorn M. 104
zúplnění algebry 344, 345
zúžení 55,255
- algebry 339
462

®
RNDr. BOHUSLAV BALCAR, DrSc.
prof. RNDr. PETR ŠTĚPÁNEK, DrSc.
TEORIE MNOŽIN
Vydala Academia, nakladatelství AV ČR,
Legerova 61,120 00 Praha 2
s podporou
Akademie věd České republiky,
firmy Hewlett Packard, spol. s r. o.,
a Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy
České republiky, MSM 11 00 00 00 1
Vazbu navrhl Oleg Man
Redaktorka publikace RNDr. Alena Hanáková
Redaktor 2. vydání Mgr. Aleš Baďura
Technický redaktor Miroslav Konečný
Technická redaktorka 2. vydání Kateřina Stejskalová
Všechny dodatky byly vysázeny počítačovou sazbou programem TEX
Tisk šerifa s. r. o.. Jinonická 80, Praha 5
Vydání 2., opravené a rozšířené. 2001
Ediční číslo 1560
ISBN 80-200-0470-X

Knihy si můžete zakoupit
knihkupectví ACADEMIA ©
Wiehlův dům
Václavské náměstí 34,110 00 Praha 1
tel: (02) 24 22 35 11-13, fax: (02) 24 22 35 20
e-mail: knihkup_academia@kavcas.cz
knihkupectví ACADEMIA ®
Národní třída 7
110 00 Praha 1
tel.: (02) 24 24 05 47
knihkupectví ACADEMIA ®
Na Florenci 3
110 00 Praha 1
tel.: (02) 24 81 46 21
Objednávky přijímá a vyřizuje
ACADEMIA, nakladatelství AV ČR
sklad - expedice
Rozvojová 135
165 02 Praha 6-Suchdol
tel./fax: 02/2039 0510
e-mail: academia_market@kav.cas.cz
Knižní novinky http://www.cas.cz/ACADEMIA/
Internetová knihkupectví http://www.knihy.cz