СЕРИЯ
XIX
1967
математика
кибернетика
МПТЕМНТИКИ
МПТЕМПТИКЕ
МАТЕМАТИКИ
О МАТЕМАТИКЕ
Сборник статей.
Перевод с английского
Переводчик и составитель В. Н. ТРОСТНИКОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1967
ВТ
М34
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие	t i	•	е	»	г	3
Годфри Гарольд	Харди. Исповедь математика	«	*	й	4
Тобиас Данциг.	Символы .	,	• . .	«	s	•	i ’ 16
Анри Пуанкаре*	Математические	открытия	♦.	»	t	s	24
МАТЕМАТИКИ О МАТЕМАТИКЕ
Редактор В. Ю, Иваницкий
Худож. редактор Е. Е. Соколов
Техн, редактор ЛЕ Т. Перегудова
Корректор С, И. Ткаченко
Художник Л. П. Ромасенко
Сдано в набор 22'V 1967 г.	Подписано к печати 14/VII 1967 г«
Формат бумаги 60X90/i6.	Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,0ч
Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,02. Тираж 51 200 экз. Издательство «Знание»«
Москва, Центр. Новая пл., д. 3/4. Заказ 1841, Типография изд.ва
«Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4,
Цена 6 коп.
2-2-1
112-67
ПРЕДИСЛОВИЕ
Три статьи, составляющие содержание этого сборника переводов, объ-
единены одной общей целью — раскрыть перед широким кругом читателей
некоторые фундаментальные аспекты математики. Мы не можем жаловать-
ся на недостаток отечественной литературы (книг и брошюр, статей в пе-
риодической печати), пропагандирующей математические знания, но темне
менее и настоящий сборник найдет свое место среди других популярных
изданий. Его материал не относится к новым этапам развития математики,
в нем ярко освещены основные стороны самой сути математики как науки,
ее роли в формировании человеческого мышления, показан характер мате-
матического творчества.
В сборнике опубликованы не статьи в собственном смысле этого слова,
а отрывки из книг, и притом книг разного характера и назначения (что не
мешает определенному единству этих отрывков). Первая из статей — вы-
держка из автобиографии одного из крупнейших английских математиков
Годфри Гарольда Харди (1877—1947). Харди был очень яркой фигурой,
последним представителем большого классического анализа, исключитель-
ным мастером преодоления головоломных аналитических трудностей. Его
математическое мировоззрение формировалось в самом начале века, когда
в Англии анализ и теория функций рассматривались почти исключительно
с позиций прикладной математики. Увлеченный филигранной строгостью
французских аналитиков конца XIX века, Харди был первым, кто ввел на
английской почве «культ чистой математики». По замечанию его ученика и
долголетнего сотрудника, другого знаменитого английского математика
Джона Идензора Литлвуда (род. в 1885 г.), Харди в одной из своих ран-
них книг «Курс чистой математики» выступил в роли «проповедника перед
каннибалами». Так у Харди выработалась установка на отстаивание само-
довлеющей роли теоретического начала в математике и несколько пренеб-
режительное отношение к ее прикладным возможностям. Он без энтузиаз-
ма относился и к новым сугубо абстрактным построениям современной
математики, в частности к проникновению в анализ топологических понятий
и методов, хотя и признавал их силу и общность. Он предпочитал теоремы,
утверждения которых легко сформулировать, но трудно доказать, тем ма-
тематическим предложениям, формулировке которых должна предшество-
вать длинная цепочка определений, и доказательства которых состоят в три-
виальном комбинировании этих определений. Харди был интересным собе-
седником, готовым обсуждать любые вопросы, причем он почти всегда
обнаруживал исключительную эрудированность в самых неожиданных об-
ластях. Несомненно, что точка зрения Харди на суть математических тео-
рий представляет значительный интерес для самых широких кругов читате-
лей, интересующихся математикой.
Вторая статья взята из книги менее известного американского матема-
тика Тобиаса Данцига «Числа — язык науки». В ней убедительно показы-
вается, что математическая символика не только стенографирует рассужде-
ния, но — если она адекватна — существенно стимулирует прогресс мате-
матической мысли. Это положение, конечно, хорошо известно в марксист-
ско-ленинской философии науки. Наконец, третья статья принадлежит перу
математика мировой известности — французу Анри Пуанкаре (1854—1912).
Это—отрывок из книги «Наука и метод», книги в целом спорной и выз-
вавшей в свое время большую полемику. Однако те несколько страниц из
нее, которыё мы приводим, обошли мировую печать (имеются они и в не-
доступных теперь изданиях на русском языке). В частности, эпизод с по-
садкой в карету стал уже классическим, но можно полагать, что многим из
читателей этого сборника он неизвестен. Мысли Пуанкаре о математиче-
ском творчестве представляют определенный интерес и сегодня.
Профессор Bt И. Левин
3
ИСПОВЕДЬ МАТЕМАТИКА
Годфри Гарольд Харди
Творчество, математика в такой же степени есть создание
прекрасного, как творчество живописца или поэта, — сово-.
купность идей, подобно совокупности красок или слов, дол-
жна обладать внутренней гармонией. Красота ^ёсть первый
пробный камень для математической идеи; в мцре нет места
уродливой математике. Говоря все это, я предчувствую, что
могу натолкнуться на все еще широко распространенное (хо-
тя сейчас, вероятно, менее широко, чем двадцать лет назад)}
заблуждение,, которое Уайтхед назвал «литературным пред-
рассудком», будто бы любовь к математике и способность
воспринимать, эту науку эстетически есть редкое врожденное
свойство, присущее лишь немногочисленным чудакам.
На самом же деле трудно найти столь «популярный» пред-
мет, как математика. Способность к восприятию математики
распространена в человечестве, пожалуй, в большей степени,
чем способность получать удовольствие от приятной мело-
дии, она присуща огромному большинству. На первый взгляд
такое утверждение выглядит парадоксально, но его кажуще-
еся несоответствие фактам легко объясняется. Музыка ис-
пользуется как средство вызывать массовые эмоции (в то вре-
мя как математика не служит этим целям), и поэтому отсут-:
сгвие музыкальности считается слегка дискредитирующим
свойством; с другой стороны, большинство людей страшатся
самого названия «математика» и, не боясь общественного
осуждения, готовы сколь угодно преувеличивать свою мате-
матическую тупость.
При первом же серьезном размышлении абсурдность «ли-
тературного предрассудка» становится очевидной. В каждой
цивилизованной стране имеется масса людей, играющих в
шахматы; в России они составляют почти все образованное
население. Но каждый шахматист обладает способностью
оценить «красивый» ход или «красивую» партию. В то же
4
время решение проблем шахматной игры есть не что иное»
как математическое упражнение (вся игра в целом — нет, ибо
в ней присутствует еще психологический аспект), и каждый,
кто называет эти проблемы «красивыми», апеллирует к под*
сознательному представлению (хотя и сравнительно низкого
уровня) об эстетической стороне математики. Игра в шахма*.
ты есть как бы насвистывание математических мелодий.
Другой пример такого рода, только более низкого класса*
дает игра в бридж; еще ниже располагаются на этой лестни-
це полосы популярных газет с занимательными задачами»
Популярность этих полос почти целиком базируется на при-
тягательной силе упражнений рудиментарного математиче-
ского мышления, а самьйе лучшие составители задач, как
Дюбеней или «Калибан» * не используют ничего, кроме этойг
силы. Они хорошо знают свое дело и понимают свои обязан-
ности: все, что нужно публике — это небольшая интеллекту-,
альная встряска, а она означает встряску математическую.
Я могу добавить, что нет ничего другого, что доставляет
такое наслаждение даже великим людям (в том числе и та-
ким, которые высмеивали математику), как доказательство и
«предсказательство» теорем чистой математики. Герберт
Спенсер приводит в своей автобиографии одну теорему об ок-
ружностях, которую он доказал в возрасте двадцати лет, не
зная, что она была уже доказана более чем две тысячи лег
тому назад Платоном. Такой же, даже более яркий пример
любителя представляет собой наш современник, профессор
Содди, однако его теоремы на самом деле принадлежат ему
самому.
Шахматные проблемы есть истинная математика, но эта
математика в некотором смысле «тривиальна». Какими бы
изобретательными и хитроумными ни были ходы в партии,
сколько бы в них ни заключалось оригинальности и неожи-
данности, здесь всегда имеется один существенный дефект —
проблемы шахматной игры не являются важными. Настоя-
щая же математика является столь же серьезной, сколь и пре-
красной («важные», если хотите, есть довольно неясное опре-
деление, и мне будет значительно проще объяснить значение
слова «серьезный»).
Я не имею в виду практических выводов математики. Если
говорить о «бесполезности» шахмат в грубом смысле, то тоже
самое можно сказать и о большинстве ветвей современной ма-
тематики, ибо очень малая часть математического знанияпря-
* Дюбеней и «Калибан» — известные в Англии составители популярных
задач и шарад («Калибан» — псевдоним)* публиковавшиеся в английских
газетах и журналах. — Ред,
5
мо используется в практике, а то, что используется, является
сравнительно мало Интересным. «Серьезность» математиче-
ской теоремы заключается не в ее утилитарном потенциале
(последний обычно пренебрежимо мал), а в значительности
математических идей, с которыми она связана. Несколько уп-
рощая дело, можно сказать, что математическая идея являет-
ся тем более значительной, чем с более широким комплексом
других математических идей она связана естественным и яв-
ным способом. Таким образом, серьезная математическая те-
орема — теорема, которая соединяет значительные идеи, как
правило, неизбежно приводит к важным результатам как в са-
мой математике, так и в других науках. Ни одна шахматная
проблема никогда не оказывала никакого влияния на разви-
тие научного мышления, тогда как Пифагор, Ньютон, Эйн-
штейн в свое время изменили само направление этого разви-
тия.
Серьезность теоремы не заключена, конечно, в многочис-
ленности ее следствий; эта многочисленность лишь служит
подтверждением серьезности. Шекспир оказал огромное вли-
яние на развитие английского языка, а Отвей — нет, но вовсе
не вследствие этого Шексйир является более крупным поэтом.
Он был выше потому, что писал лучшие стихи. Недостатки
шахматных проблем, так же как и стихов Отвея, лежат не в
отсутствии вытекающих из них следствий, а в самом содер-
жании.
Имеется еще один пункт, которого я коснусь лишь
вскользь, но не потому, что он мало интересен, а из-за его
большой трудности и еще из-за того, что я не обладаю доста-
точной квалификацией для споров об эстетике. Красота ма-
тематической теоремы в существенной степени зависит от ее
серьезности, так же как в поэзии красота строки часто в ка-
кой-то мере зависит от значительности заключенных в ней
мыслей. Содержание влияет на форму даже в поэзии, а тем
более в математике; однако я не буду пытаться серьезно об-
суждать здесь этот вопрос.
Ясно, что для того, чтобы двинуться дальше, нам пора,
наконец, рассмотреть какой-нибудь конкретный пример «на-
стоящей» математической теоремы — такой, которую каждый
математик признает первоклассной. Но те цели, которые я
ставлю перед собой в настоящей статье, накладывают в дан-
ном случае очень жесткие ограничения. С одной стороны,
пример должен быть весьма простым и доступным пониманию
читателя, не обладающего специальными знаниями в области
математики, — необходимо обойтись без длинного подготови-
тельного объяснения; нужно, чтобы читатель мог следить за
всеми тонкостями доказательства с полным пониманием. Эти
6
требования сразу исключают, например, большинство пре*
красных теорем из области теории чисел. С другой стороны,
наш пример должен принадлежать к «математике чистой во-
ды», к той сфере, в которой работаетпрофессиональный мате-
матик, . и это требование исключает большое количество тео-
рем, сравнительно легко объяснимых неспециалисту, но свя-
занных с логикой и философией математики.
Вряд ли в таком положении можно придумать нечто луч-
шее, чем обратиться к древним грекам. Я сформулирую и до-
кажу две знаменитые теоремы античной математики. Они
являются «простыми», — простыми как по идее, так и по до-
казательству,— но ученые не имеют ни малейшего сомнения
в том, что эти теоремы относятся к рассуждениям самого вы-
сокого класса. Каждая из них сегодня столь же свежа и зна-
чительна, как в те времена, когда они были открыты, — две
тысячи лет бессильны состарить их. И оба утверждения мо-
гут быть постигнуты, а их доказательства прослежены внима-
тельным читателем менее чем за час, независимо от его мате-
матической подготовки.
1,	Первое утверждение есть теорема Эвклида о бесконеч*
пости множества простых чисел.
Простыми числами называются числа
2, 3, 5, 7, II, 13, 17, 19, 23, 29^,
которые нельзя представить в виде произведения меньших чи*
сел. Так, 37 или 317 суть простые числа. Простые числа явля-
ются материалом, из которого создаются все остальные числа
с помощью умножения; так, 666 есть произведение простых
чисел 2, 3* 3 и 37. Всякое число, не являющееся простым (оно
называется составным.—Ред.), делится по крайней мере на
одно простое число (обычно, конечно, на несколько) . Мы дол-
жны доказать, что существует бесконечно много простых чи-
сел. т. е., что написанный выше ряд чисел не имеет конца.
Допустим обратное — что этот ряд конечен, т> е, выглядит
так:
2,	3, 5... Л
Здесь Р есть самое большое из всех простых чисел, Рас-:
смотрим далее число
Q = (2-3-5-... Р) ТЕ
Очевидно, что Q не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5, ...,
Р, так как при делении на любое из них в остатке получается
единица. Значит, это число, если оно само не является прос-
тым, делится на какие-то простые числа помимо наших. Сле-
довательно, существуют простые числа, не стоящие в нашем
гряду, — или само число Q, или те простыенислд,далрхорые
7
оно делится. Выводит, предположение о том7 что написанный
ряд включает все простые числа, неправильно.
Доказательство такого типа называется доказательством
or противного. Этот способ доказательства, который так лю-
бил Эвклид, является одним из наиболее мощных орудий ма-
тематики. В нем пожертвование идет гораздо дальше, чем в
любом шахматном гамбите — шахматист отдает пешку или
фигуру, в то время как математик жертвует всей игрой.
2.	Вторым примером является доказательство «иррацио-
нальности» числа принадлежащее Пифагору.
Рациональным числом называется число, представимое
а
дробью ~~ s где а и b — целые числа. Мы можем предполо-
жить, что а и & не имеют общих делителей, ибо в противном
случае мы могли бы предварительно произвести сокращение
дроби на эти делители. Утверждать, что V 2 есть число ир-
рациональное, означает утверждать, что 2 не может быть
выражено в форме
—)2 или, что то же самое, не может быть'
выполнено равенство
а2 = 2b2t
Доказываемая нами теорема является чисто арифметической
и в принципе не требует знания теории иррациональных чи-
сел.
Мы снова будем действовать по методу доказательства «от
противного». Предположим, что равенство а2 = 2Ь2 выпол-
няется, причем а и b не имеют общих делителей. Тогда, оче-
видно, а2 есть число четное, но, следовательно, и а есть тоже
число четное, ибо квадрат нечетного числа снова будет чис-
лом нечетным. Поэтому можно записать а = 2с, где с — неко-
торое целое число. Подставляя это выражение для а в наше
.равенство, получим 2Ь2 = 4с2, или Ь2 =2с2. Теперь уже стано-
вится очевидным, что Ь2, а следовательно, и b — числа четные*
Но если и а и Ь оба четные числа, то они имеют общий дели-
тель— двойку. Это противоречит нашему предположению и
доказывает теорему.
Из этой теоремы вытекает, что диагональ квадрата несоиз-:
мерима с его стороной (что их отношение не есть рациональ-
ное число, т. е., что не существует единицы длины, которая
укладывалась бы целое число раз и в стороне и в диагонали).
Если мы возьмем длину стороны за единицу, а длину диагона-,
ли обозначим через d, то, применяя знаменитую геометриче-
скую теорему того же Пифагора, мы получим:
d2= Р + 12 = 2.
Но, как мы только что убедились, при таком соотношении
rd не м£жет быть рациональным числом,
8
Я мог бы привести множество Других теорем из теории чи?
сел, смысл которых понятен всякому. Например, существует
так называемая «основная теорема арифметики», согласно ко-
торой каждое целое число представляется в виде произведе-
ния простых чисел единственным способом. Так, 666 = 2*3*
-3-37 и не допускает никаких перекомпозиций. Это значит, что
невозможно выполнение равенств, скажем 666 = 2-11-29 или
13-83 = 17-83 (это можно увидеть не -производя вычисле-
ний). Эта теорема, как следует из ее названия, лежит в осно-
вании высшей арифметики, но доказательство ее, хотя и не
особенно «трудное», требует установления предварительных
положений и покажется слишком длинным для нематематика.
Еще одна знаменитая и изящная теорема — это теорема
Ферма «о двух квадратах». Все простые числа (если исклю-
чить из рассмотрения особое простое число 2) могут быть
разделены на два класса: те, которые дают при делении на
4 остаток единицу
5, 1а, 17, 29, 37, 41, ...
и те, которые дают при этом делении остаток 3
3,	7, 11, 19, 23, ...
Каждое число первого класса (но никакое число второго
класса) может быть разложено в сумму двух квадратов, как,
например:
5 = I2 + 22,
17 = Р + 42,
13 = 22 + З2,
29 = 22 + 5%
но ни 3, ни 7, ни 11, ни 19 не могут быть представлены таким
способом, как читатель легко может в этом убедиться прямой
проверкой. Это утверждение и есть теорема Ферма, которая
считается (и совершенно справедливо) одной из тончайших
во всей арифметике. К сожалению, ее доказательство может
быть постигнуто лишь специалистом-математиком.
Имеются изящнейшие теоремы также в «теории мно-
жеств»— такие, как теорема Кантора о неисчислимости кон-
тинуума. Но здесь у нас возникают трудности, противополож-
ные тем, с которыми мы сталкивались выше: доказательство
теоремы весьма просто, если только понять его язык, но необ-
ходимы длинные объяснения для того, чтобы стал ясным
смысл проблемы. Поэтому я не буду пытаться приводить еще
какие-либо примеры. Те, которые я уже привел, являются как
бы своего рода проверкой, и читатель, не понявший их, вряд
ли сможет понять что-либо в математике.
Я говорил уже, что математик воплощает идеи в опреде-
ленные формы и что красота и серьезность являются крите-
рием -совершенства этих форм. Я уверен^ что TOTf кто понял
9
две вышеприведенные теоремы, не может возражать протии
утверждения, что они удовлетворяют этим критериям. Если
мы сравним их с самыми изобретательными загадками Дюбе-
нея, с шахматными этюдами или задачами лучших, мастей
ров этого дела, превосходство теорем по обоим признакам бу*
дет несомненным: они явно относятся к более высокому клас-
су интеллектуальной деятельности. Они и более серьезны и
более красивы, и нам есть смысл проследить несколько под-,
робнее, в чем именно заключается их превосходство.
Прежде всего, превосходство математических теорем в
серьезности является очевидным и подавляющим. Шахматные
проблемы есть продукт весьма сложного, но в то же время
весьма ограниченного круга идей, причем идеи эти не отли-
чаются друг от друга в своей основе и не имеют внешних
коммуникаций. Мы мыслили бы так же, как сейчас, и в том
случае, если бы шахматы не были вообще изобретены, в то
время как теоремы Эвклида и Пифагора глубоко повлияли на
образ мышления не только математиков.
Теорема Эвклида Является жизненно важным положением
всей арифметики. Простые числа есть «сырой материал», из
которого формируется арифметика, и теорема Эвклида гаран-
тирует нам, что существуют неограниченные запасы этого ма*.
териала, Но теорема Пифагора имеет значительно более ши-:
рокие применения.
Легко заметить, что рассуждения Пифагора можно рас-
пространить на очень многие числа, не изменяя самого принч
ципа этих рассуждений. Таким же способом нетрудно дока-;
зать (первым это сделал, по-видимому, Тететус), что иррацио-:
нальными являются числа
кт КТ КТ КТц кт кт
Тем же самым методом мы докажем, что иррациональны
или ’|/ТГ (этого Тетстус еще не знал).
Теорема Эвклида говорит о том, что для построения ариф^
метики целых чисел имеется в запасе достаточно много мате-:
риала. Теорема Пифагора и ее следствия утверждают, что,’
построив такую арифметику, мы не удовлетворим полностью
наших нужд, так как останется множество величин, для ко-,
торых не будет способа измерения; простейшим примером та-
кой величины является диагональ квадрата. Глубочайшее зна^
чение этого открытия было сразу же оценено греческими ма-;
, тематиками^ Раньше они предполагали (я думаю, что им под-;
сказывал «здравый смысл»), что все величины одного и того
же сорта соизмеримы, т. е., что любые две длины, например,
могут быть получены последовательным откладыванием одной
и той же соответственно выбранной единицы. Вся греческая
теория пропорций того периода была основана на этом пред-.
10
положении. Открытие Пифагора показало, его несостоятель-
ность и привело к построению. значительно, более глубокой
теории, принадлежащей Эвдоксу, которая изложена в пятой
книге «Начал» и которая многими современными.математика-
ми считается высшИхМ достижением античной математики. Эта
теория поразительно «модернистская» по своему духу и ее
можно рассматривать как начало сегодняшней теории ирра-
циональных чисел, революционизировавшей математический
анализ и оказавшей огромное воздействие на философию.
Итак, нет никаких сомнений в «серьезности» обеих теорем.
Но мне хочется сейчас обратить внимание на то, что ни одна
из них не имеет даже самых ничтожных прямых практиче-
ских применений. В повседневной жизни мы имеем дело со
сравнительно небольшими числами; разве только звездная
астрономия сталкивается с огромными числами, но она имеет
не на много больше применений, чем абстрактная математика.
Я не знаю, какова наибольшая степень точности, которая
когда-либо была нужна инженеру, но мы заведомо удовлетво-
рим его потребности с лихвой, если введем в рассмотрение
десять значащих цифр. В этом случае число 3,14159265 (значе-
ние «пи» до восьмого знака после запятой) есть отношение
двух девятизначных целых чисел
314159265
100000000 1
Количество простых чисел, меньших миллиарда, выражает-
ся цифрой в 50847478. Их вполне достаточно для инженера:
он благополучно обойдется без остальных, поэтому от теоремы
Эвклида ему нет никакого проку. Что касается теоремы Пи-
фагора, то она тоже не представляет интереса для практики,
ибо в окружающем нас реальном мире нет таких явлений, ко-
торые не поддавались бы описанию или анализу с помощью
приблизительных величин, а всякое приближение рационально.
«Серьезная» теорема есть теорема, содержащая «значи-
тельные» идеи. Я думаю, нам необходимо рассмотреть не-
сколько пристальнее вопрос о том, какие качества делают ма-
тематическую идею значительной. Сделать это очень трудно
и вряд ли мой анализ проблемы будет полным. Мы можем оце-
нивать «значительность», когда видим ее воочию, как это бы-
ло при разборе двух древнегреческих теорем, но обычно это
требует проведения логических рассуждений довольно высо-
кого уровня и знакомства со многими математическими идея-
ми. Другими словами, способность понять значительность по-
ложений математики вырабатывается лишь после многих лет
занятий этой наукой. Поэтому мне придется применить особый-
сорт анализа, который может быть доступным любому мыс-
11
лящему человеку, независимо от его специальной подготовки*
Есть два существенных, хотя и трудно определимых признак
ка: общность и глубина. Они нам сейчас и понадобятся.
Значительная математическая идея, серьезная математик
ческая теорема должны обладать определенной общностью в
следующем смысле. Идея должна быть такой, чтобы ее можно
было использовать во многих математических построениях,
чтобы она была пригодной для разработки методов доказа-
тельства теорем многих различных типов. Теорема должна
быть такой, чтобы, будучи доказанной первоначально для ка^
кого-то специального случая (как, скажем, теорема Пифаго*
ра), она допускала широкое приложение и могла явиться об-
разцом для целой серии теорем, подобных ей. Соотношения,
развиваемые в доказательстве, должны . объединять собою
множество различных математических идей. Все сказанное
сейчас нуждается, конечно, в уточнениях и оговорках. Но каж-
дому станет очевидно, что теорема вряд ли может быть серь-
езной, не обладая указанным свойством, если рассмотреть
пример из одной забавной, но изолированной отрасли ариф-
метики. Я приведу даже два примера, которые выбраны на-,
угад из книги Роуза Болла «Математические досуги».
1. Кроме 8712 и 9801 не существует ни одного целого чис-;
ла, которое делилось бы на число, написанное теми же циф-;
рами, но расположенными в обратном порядке!
8712 = 4-2178;	9801 = 9- 1089.
2. Существуют только четыре числа (кроме единицы), ко-
торые представляют собою сумму кубов своих цифр;
153 = Р + 53 4- З3,	370 = З3 4- 73 + О3,
371 = З3 73 4- Р,	407 = 43 4- О3 гЕ ?3*
Приведенные примеры являются удивительными фактами,
весьма подходящими для раздела занимательных задач в га-
зете и способными немало развлечь любителей, но в них нет
ничего такого, что нужно математику. Доказательства их не
являются ни трудными, ни интересными — они лишь несколь-
ко утомительны. Теоремы эти не серьезны, и одна из причин
этого совершенно ясна (хотя она, возможно, не является самой
важной) — они слишком специальны и по смыслу, и по дока-
зательству и не допускают сколь-нибудь существенного обоб-
щения.
12
Надо сказать, что «общность»**-* очень расплывчатое по-
нятие и употреблять его нужно с большой осторожностью.
Поэтому необходимо следить, чтобы проводимый нами анализ
не уводил в сторону. Слово «общность» фигурирует как в са-
мой математике, так и в разговорах о математике, к тому же
свой, особый смысл, совершенно неприемлемый для нас, оно
имеет в логике, ибо в этом смысле абсолютно все математиче*.
ские теоремы обладают одинаковой и полной общностью.
«Ценность утверждений математики, — говорит Уайтхед,—
заключается в их абстрактности и общности». Когда мы ут*
верждаем, что 2 + 3 = 5, мы устанавливаем соотношение ме-
жду тремя группами «вещей», и эти «вещи» не обязаны быть
яблоками, монетами или другими предметами какого-либо
определенного сорта. Они есть просто «вещи». Смысл нашего
установления совершенно не зависит от индивидуальных ка-
честв членов групп. Все объекты математики и все соотноше-
ния этой науки, например «2», «3», «5», «+», или «=»», все ма-
тематические высказывания обладают крайней степенью общ-
ности и являются совершенно абстрактными. Строго говоря,
во фразе Уайтхеда имеется словесное излишество: в нашем
смысле абстрактность и есть общность.
Смысл слова очень важен, и логики правы, когда подчер-
кивают это, напоминая тем самым об элементарной истине, ко-
торую большинство людей склонны забывать. В среде, напри-
мер, астрономов или физиков часто можно слышать утверж-
дения, что кто-то нашел «математическое доказательство»
определенных свойств или черт поведения реальных объек-
тов. Все эти утверждения, если подходить строго, лишены
смысла. Невозможно доказать математически, что завтра бу-
дет затмение, ибо затмения, как и все другие физические яв-
ления, не относятся к абстрактному миру математики и это, я
думаю, должны под нажимом логики признать даже астроно-
мы, сколько бы затмений они ни предсказывали с высокой
точностью.
Очевидно, что нас не интересует такой аспект понятия «об-
щности». Мы исследуем различие в общности между двумя
математическими теоремами, в то время как в смысле Уайт-
хеда они одинаково общи. Точно так же «тривиальные» теоре-
мы о странных свойствах чисел, приведенные выше, являются
по этому критерию столь же «абстрактными» и «общими», как
теоремы Эвклида и Пифагора и как шахматные задачи. На
самом деле в этих задачах не важно, являются ли фигуры бе-
лыми и черными или красными и зелеными и существуют ли
эти фигуры вообще как физические тела: хороший знаток шах-
матной игры может решить задачу в уме не менее легко, чем
мы делаем это с помощью доски. Доска и фигуры есть не что
иное, как вспомогательные инструменты, стимулирующие на-
ше слабое воображение, и они имеют не большее отношение
13
к сущности задачи, чем грифельная доска и мел- к содержа*
нию лекции по математике.	’	!	'
Не об этом значении слова «общность», присущем всем
математическим теоремам, мы ведем речь в данный момент,
а о гораздо более тонком его значении, которое я приблизи-
тельно пытался объяснить. Мы не должны также слишком уж
сильно акцентировать даже на строгости значения (что, мне
кажется, логики типа Уайтхеда, склонны делать всегда). До-
стижения современной математики состоят не в простом на-
громождении одного уровня общности над другим. Некоторая
доля общности может присутствовать в любой из теорем выс-
шего класса, но слишком большая общность ведет к безлико-
сти. «Каждая вещь есть то, что она есть», и различия между
вещами так же интересны, как и их сходство. Мы любим сво-
их друзей не потому, что они олицетворяют какие-то приятные
общечеловеческие качества, а потому, что они обладают инди-
видуальными чертами. Точно так же в математике—свойства,
присущие слишком многим объектам, слабо вдохновляют ис-
следователя, и математическая идея становится расплывча-
той, если она не несет печати индивидуальности. Здесь я сно-
ва могу процитировать Уайтхеда: «Наиболее плодотворная
концепция — это высокая степень общности, в удачном соче-
тании с частностью».
Второе свойство, которое я приписал значительной идее,
есть глубина, и ее определить еще труднее. Она имеет нечто
общее с трудностью: чем глубже идея, тем обычно труднее ее
постигнуть, но все-таки здесь нет тождества. Идеи, заключен-
ные в теореме Пифагора и в ее обобщении, являются доста-
точно глубокими, но ни один математик не признает их труд-
ными. С другой стороны, теорема может быть весьма трудной
по доказательству, но довольно поверхностной по смыслу (как
многие Диофантовы теоремы, т. е. теоремы, касающиеся реше-
ния уравнений в целых числах).
Мир математики представляет собою как бы многоэтажное
здание, причем идеи каждого этажа связаны как между со-
бою, так и с теми, которые находятся выше и ниже. Чем ниже
этаж, тем глубже (и, вообще говоря, труднее) идеи. Так, на-
пример, идея иррационального числа является более глубокой,
чем идея целого числа, и теорема Пифагора поэтому глубже
теоремы Эвклида.
Сосредоточим наше внимание на отношениях между целы*
ми числами или какими-то другими объектами, расположен*
ными на определенном этаже этого здания. Может случиться,
что некоторые из этих отношений могут быть поняты полно-
стью и что мы можем их постигнуть и доказать (например,
некоторые свойства целых чисел) без знания чего-либо о со-
14
держании нижнего этажа. Так, мы доказываем теорему Эвкли«
да, используя свойства лишь целых чисел. Но есть также мно*
жество теорем, которые мы не можем понять и тем более до-;
казать без экскурса вглубь, без погружения в нижележащие
области.
В теории чисел легко найти примеры, поясняющие сказан*
ное. Теорема Эвклида очень важна, но не очень глубока —
мы можем доказать, что существует бесконечное количество
простых чисел без использования чего-либо более глубокого,
чем понятие «делимости». Но когда мы докажем это, сами со-
бой возникнут новые вопросы. Хорошо, простых чисел беско-
нечно много, но как они распределены? Если дано большое
число N, например, 1080 или 101о1О# то можно ли узнать, сколько
простых чисел, меньших этого числа, существует в природе?
Когда мы поставим эти вопросы, мы окажемся в принципиаль-
но но-вой позиции. Мы сможем ответить на них (и даже е
большой обстоятельностью), но только после углубления в
гораздо более низкие этажи математического здания — туда,
откуда целые числа представляются лежащими высоко навер-
,ху—и употребляя самые мощные орудия исследования совре-
менной теории функций. Поэтому теорема, отвечающая на по-
ставленные вопросы, является гораздо более глубокой, чем
теоремы Эвклида и Пифагора,-
Я мог бы умножить число примеров, но представление о
«глубине» не является совершенно незыблемым и четким да-
же для математика, который им владеет. Поэтому я сомнева*
юсь, что сумею добавить нечто такое, что сделает для чита*
теля эту проблему более ясной2
символы
Тобиас Данциг
Под алгеброй в самом общем смысле в современной математике пони*
мается наука, которая имеет дело с операциями, записанными в символик
ческой форме. Рассматриваемая в столь широком плане алгебра не только
пронизывает своими идеями всю математику, но и распространяет их на
логику и даже философию. Определенная таким образом алгебра является
столь же древней, как и способность человека к отвлеченному мышлению,
как его умение различать понятия «некоторый» и «каждый».
В данной статье, однако, нас будет интересовать алгебра в гораздо бо-
лее ограниченном смысле — та часть алгебры, которая носит очень точное
название теории уравнений. Название «алгебра» впервые было Применено
именно в этом узком смысле. Слово это пришло из арабского языка. Ал —
это определенный артикль; гебар—глагол «устанавливать». До сих пор сло-
во алгебриста сохранило в испанском языке (на который оказал влияние
арабский язык мавров) значение «костоправ».
Почти в каждой стране алгебра последовательно проходила в своем
развитии три стадии: риторики, сокращений и символов. Риторическая ал-
гебра характеризуется полным отсутствием каких бы то ни было символов,
если, конечно, не иметь в виду, что сами слова могут использоваться в
«х символическом значении. До сих пор риторическая алгебра проявляется
в таких утверждениях, как «сумма не зависит от порядка слагаемых», ко-
торое в символической форме может быть запиоено a -j- b = b -{- а.
Алгебра сокращений, типичным примером которой является древнееги-
петская алгебра, представляет собой дальнейшее развитие риторической.
Некоторые слова из-за частого употребления постепенно стали подвергать-
ся сокращениям. Со временем эти сокращения достигли такой формы, ког-
да уже трудно было установить их забытое первоначальное значение, и
они потеряли всякую видимую связь с названиями обозначаемых ими ма-
тематических действий. Так сокращение превратилось в условный знак.
Это можно проиллюстрировать историей математических знаков «-}-»
или «—». В средневековой Европе последняя операция сперва обозначалась
написанным полностью словом «minus», затем его первой буквой «/и» над
которой ставилась черточка. Наконец, сама буква исчезла и осталась одна
только черточка. Знак «+» тоже возник в результате аналогичных мета-
морфоз.
Поворотным пунктом в истории алгебры явилась работа, написанная
в конце шестнадцатого столетия французом Виетом, который подписывался
латинизированным именем Францискус Виета. Его великое открытие пред^
ставляется нам сегодня совсем простым. Оно описывается самим автором
в следующих словах:
«Здесь мы будем придерживаться правила, которое позволит нам от-
личать данные величины от неизвестных или искомых: введем символику
16
очень простую по своей природе и легко постижимую, заключающуюся, на-
пример, в обозначении неизвестной величины через А или другую гласную,
а данные величины через В, С, G или другие согласные».
Такая система гласных — согласных продержалась очень недолго. Ме-
нее, чем через полстолетие после смерти Виета была опубликована «Гео-
метрия» Декарта, в которой для известных величин употреблялись первые
буквы алфавита, а для неизвестных — его последние буквы. Картезианская
нотация (т. е. способ обозначения чисел, предложенный Декартом.—Ред.)
не только вытеснила нотацию Виета, но и дожила до сегодняшнего дня.
Несмотря на то, что принцип выбора букв, который использовался Вие-
та, не привился, основная идея его предложения была принята. Введение
букв для обозначения чисел в математике, — «логистика специоза», как
он сам назвал ее, и которая сыграла столь значительную роль в развитии
математики, является величайшей заслугой Виета.
Нам сейчас даже трудно себе представить истинную ценность идеи
Виета. Разве буквенная нотация не представляет собой простую формаль-
ность, в лучшем случае удобный способ сокращения? Действительно, есть
определенная экономия в записи:
(а + Ь)* = а2 + 2 ab + Ь\
но дает ли эта запись нам нечто такое, чего бы не было в словесном утверж-
дении «квадрат суммы двух слагаемых равен сумме квадратов этих слагае-
мых и их удвоенного произведения»?
Буквенную нотацию постигла судьба всех чрезвычайно удачных ново-
введений. Повсеместное ее использование привело к тому, что сейчас трудно
себе представить время, когда прибегали к менее удобным методам. Се-
годня формулы, в которых фигурируют буквы, обозначающие числа и
другие величины, стали самым обычным делом, и возможность оперировать
символами кажется большинству людей почти врожденным свойством мыс-
лящего человека. Но она стала столь естественной только благодаря по-
стоянному упражнению. Во времена Виета эта нотация воспринималась как
коренным образом противоречащая вековым традициям.
В чем же сила такой символики?
Прежде всего, буквы освободили алгебру от подчиненности слову. Не
только в том смысле, что без буквенной нотации всякое обладающее неко-
торой общностью алгебраическое утверждение превращается в длинный
поток слов со всей присущей человеческой речи неточностью и многознач-
ностью смысла. Это, конечно, очень важное обстоятельство, но еще важ-
нее, что буква свободна от ограничений, наложенных на слова. «А» Виета
или наш «х» существуют независимо от того, какой конкретный объект
скрывается за ними, в то время как сокращенный условный знак переносит
свой первоначальный смысл на то, что он обозначает. Поэтому буквенная
символика не есть простая формальность.
Во-вторых, над буквенными выражениями очень удобно производить
действия и с их помощью преобразовывать одну формулу в другую, экви-
валентную ей. Преобразования соотношений для алгебры важнее, чем со-
кращение записи.
До появления буквенной символики можно было говорить лишь об ин-
дивидуальных выражениях. Каждое из выражений (как, например, 2x4-3;
Зх — 5; х2 + 4х4~7; Зх2 — 4х + 5) имело свои особенности и к каждому
нужен был свой подход. Буквенная нотация позволила перейти от инди-
видуального к коллективному, от «некоторого» ко «всякому». Линейная
функция ах+b, квадратичная функция ax^bx+с стали рассматриваться
теперь с единой точки зрения. Это позволило построить общую теорию
функций,, которая является базисом всей прикладной математики.
Но самое важное из того, что дала «логистика специоза» — и это нас
будет интересовать в данной статье — роль, которую она сыграла в фор-
мировании обобщенной концепции числа.
17
Имея дело с серией численных уравнений типа
:vi	W * 4-6 = 4
2х = 8	2х = 5
л2 «9	х2 = 7,
можно ограничиться заявлением (как это и делали средневековые алгебраи-
сты), что первую группу уравнений решить возможно, а вторую — не воз*
можно.
Но когда мы рассматриваем буквенные уравнения такого же типаг
х + Ь = а
Ьх — а
хп = а,
то сама неопределенность коэффициентов заставляет писать символичен
ские решения уравнений;
х — а — b
а
х== ь
п /—
X—V
а.
смысл только,если
После этого уже невозможно настаивать, что выражение а — Ь имеет
, а
а больше, чем о, что — не существует, если b не являет-
b
Пг--•'
что у а не есть число, если а не представляет точную
акт написания бессмыслицы придает ей смысл и трудно
ея делителем а, и
п-ую степень. Сам
становится отрицать существование того, что получило какое-то название.
Более того, если а > Ь, а — кратное Ь; а — точная n-ая степень какого^
<2 П______
то числа, то для действий, обозначаемых символами а — Ь\ —— • 1/^7” rv
b 3 F
шествуют твердые правила. Поэтому рано или поздно, благодаря тому
факту, что во внешнем виде этих выражений нет ничего такого, что ука?
зывало бы на их законность или незаконность, мы приходим к выводу, -т?
ничего не случится, если мы будем считать эти символы нормальными чис-
лами. А отсюда всего один шаг до признания этих символических выраже-
ний существующими вообще всегда. Современную арифметику отличает от
довиетовской именно разница представлений о «невозможности». До сем-
надцатого столетия алгебраисты вкладывали в это слово абсолютный
смысл. Имея дело лишь с нормальными числами при выполнении арифме-
тических операций, они считали возможность или ограниченную возмож-
ность существенным свойством этих операций.
Так, прямые действия арифметики — сложение (а+ 6), умножение
(ab) и возведение в степень ав — были всегда возможными, в то время
как обратные действия — вычитание (а — Ь), деление и извлечение
b
корня (]/"~а) — были возможными лишь при определенных ограничениях.
Довиетовские алгебраисты удовлетворялись констатацией этих фактов и
не отваживались на более глубокий анализ проблемы.
Сегодня кам известно, что возможность и невозможность — понятия
1&
весьма относительные, что они возникают не как проявление фундамен-
тальных свойств действий, а просто как следствие ограничений, наложен-
ных традицией. Устранив эти ограничения, мы устраним и невозможность
той или иной операции. Прямые действия арифметики производят впечат-
ление всегда возможных потому, что они требуют от нас сделать лиши
несколько дополнительных шагов в последовательность натуральных чисел,
которая априорно предполагается бесконечной. Отбросьте это предположе-
ние, ограничьте множество натуральных чисел тем или иным пределом (на-
пример-, числом 1000), и такие действия как 925 + 125 или 67 X 15 станут
невозможными, а соответствующие выражения бессмысленными.
Или представим себе, что мы ограничились рассмотрением только не-
четных чисел. Умножение в этом случае будет возможно всегда, ибо про-
изведение двух нечетных чисел есть число нечетное. Однако сложение в
таком ограниченном множестве окажется вообще невозможным, ибо сумма
двух нечетных чисел никогда не бывает нечетным числом.
В случае, если рассматривать одни лишь простые числа, умножение
будет вообще невозможно по той очевидной причине, что произведение
двух простых чисел никогда не бывает простым, в то время как сложение
возможно будет лишь для таких редких случаев, когда -одно из слагаемых
есть простое число 2, а второе является меньшим в паре «близнецов» (со-
седних простых чисел, различающихся на 2 —Ред.), как это имеет место
в случае 2+11 = 13.
Количество примеров можно было бы увеличить, но даже приведенных
здесь достаточно, чтобы вскрыть относительную природу слов «возможный»,
«невозможный» и «бессмысленный». Но коль скоро мы признаем эту от-
носительность, то естественным становится желание выяснить — нельзя ли
так расширить область обратных действий, чтобы они, подобно прямым,
стали всегда возможными.
В такую расширенную область операций вычитания достаточно вклю-
чить кроме натуральных чисел отрицательные числа и нуль; называется
эта область полем целых чисел.
Точно так же добавление положительных и отрицательных дробей де-
лает всегда возможной операцию деления.
Все эти числа — целые числа, дроби, положительные и отрицательные,
нуль — составляют область рациональных чисел. Как часть в нее входит
совокупность натуральных чисел арифметики. Четыре основных арифмети-
ческих действия, которые раньше производились над целыми числами, по
аналогии оказывается возможным распространить и на эти обобщенные
числа.
Это обобщение проходит совершенно гладко, без всяких противоречий,
и если пока исключить единственный случай, который мы сейчас рассмот-
рим, можно утверждать, что сумма, разность, дробь от деления и степень
всякого рационального числа есть также число рациональное. Этот чрез-
вычайно важный факт выражается обычно в следующей форме — множе-
ство рациональных чисел замкнуто по отношению к основным действиям
арифметики.
Единственное и весьма существенное исключение состоит в невозмож-
ности деления на нуль. Такое деление равносильно решению уравнения
х • 0 = а. Если а не есть нуль, то решение невозможно, ибо мы вынуждены,
определяя число нуль, приписать ему следующее свойство: а • 0 = 0. Поэто-
му не существует рационального числа, для которого х • 0 = а.
С другой стороны, уравнение х • 0 = 0 удовлетворяется при любом ра-
циональном значении х. Следовательно, х есть в данном случае неопреде-
ленная величина. И если у нас нет никакой другой информации по этому
вопросу, мы должны рассматривать -—-как символ, обозначающий всякое
а
рациональное число, а символ — как символ, не обозначающий никакого
рационального числа.
19
Подводя итог сказанному, мы можем выдвинуть следующее краткое
утверждение: если а, b и с — рациональные числа, и а не есть нуль, то
всегда существует рациональное число х, причем только одно, которое удов*
летворяет уравнению;
ах + b =s= (%
Это уравнение, называемое «линейным», представляет собой простей-
ший тип уравнений. Следующим по сложности является квадратное урав-
нение, затем кубическое, четвертой степени и т. д. Общее алгебраическое
уравнение степени п, где под п понимается наивысшая степень неизвестного,
есть
ах Ьхп~ с*п~2 ± w. И*. RX<7 — 0<
Но и оно не исчерпывает бесконечного многообразия уравнений, кото-
рые могут быть также экспоненциальными, тригонометрическими, логариф-
мическими, эллиптическими и т. д. Все последние типы уравнений охваты-
ваются весьма емким термином «трансцендентные».
Пригодно ли поле рациональных чисел для того, чтобы придать смыс I
всем этим уравнениям? Абсолютно непригодно. Мы можем ожидать все
большего и большего усложнения множества чисел по мере включения в
рассмотрение новых уравнений. Однако это усложнение не является про-
извольным, в природе заложен некий механизм расширения числового поля,
фундаментальная идея, дающая общую его схему.
Эта идея иногда носит название принципа перманентности. Впервые она
была ясно сформулирована в 1867 г, немецким математиком Германом
Ханкелем, но ее зачатки содержались уже в работах сэра Уильяма Гамиль-
тона — одного из оригинальнейших и продуктивнейших умов девятнадца-
того столетия.
Я сформулирую этот принцип в форме определенияз
Бесконечное множество символов называется числовым полем, и каж-
дый элемент этого множества называется числом при условиях:
— если среди элементов множества содержится последовательность на-
туральных чисел;
— если мы можем установить некий критерий, е помощью которого
мы получаем возможность всегда установить, равны ли два элемента меж-
ду собою, а если не равны, то какой из них больше, а какой меньше; в
случае, когда элементы являются натуральными числами, этот критерий
превращается в известное правило сравнения натуральных чисел;
— если для любых двух элементов множества мы можем дать схему
сложения и умножения, которая подчиняется перестановочному, сочета-
тельному и распределительному законам, и которая превращается в схему
этих действий над натуральными числами, когда символы являются тако-
выми.
Эти очень общие положения оставляют открытым вопрос о том, как
принцип перманентности применяется в конкретных случаях. Гамильтон
указал для этого метод, который он назвал методом алгебраических пар.
Мы можем проиллюстрировать его на рациональных числах.
а
Если а кратно Ь, то символ — обозначает операцию деления а на
9
Так, “ «= 3
о
означает, что частное от данного деления есть
3.
Можно ли
для любых двух таких операций устанавливать, являются ли их результаты
равными, а если нет, то какой из них больше, а какой меньше; причем
устанавливать без выполнения самих операций? Да, мы имеем следующий
критерий*
20
	а ft	V ~ А, *	если ad = be,
критерий сравнения	а	> —,	если ad>bc,
	Т	d.	
		с	если ad<bCt
1	~ь~	d ’	
Мы можем пойти даже дальше и, не выполняя указанных операций,
установить правила манипуляций для данных отношений}
а с ad +be
сложение}	----1---* *=-------*
b d bd
умножение}
a	j:___________ао_____
Ь ' d- “ bd	’
Теперь нам уже не нужно
ставить условие, что а должно быть крат-
ным Ь. Будем рассматриватькак символ нового поля определенным об-
ft
разом расположенных математических объектов. Эти символические объек-
ты зависят от двух целых чисел а и Ь, поставленных друг по отношению к
другу в определенном порядке. В этом множестве пар мы можем ввести
критерий сравнения, упомянутый выше, т. е, мы можем утверждать, на-
пример, что
20 1 6
15 - 12
так как 20 X 12 = 15 X 16
4	5
Г>7
так как 4 X 4 > 3 X 5.
Определим действия над этими парами в согласии с правилами, кото-
рые, как было показано, удовлетворяют нас в случае, когда а кратно Ь, и
с кратно dt т. е. будем утверждать, например, что
2	4 = (2 X 5) + (3 X 4)	22
3 + 5 “	3X5	“15
2	4	2X4	8
3 Х5 ~ 3 X 5 “ 15,'
Мы удовлетворим, таким образом, всем требованиям принципа перма-
нентности, а именно:
— новое поле содержит натуральные числа как подполе, так как мы
можем записать всякое натуральное число в виде пары;
12	3	4
1 ’ 1 5 1 ’ 1
новое поле имеет критерий сравнения, который сводится к критерию
а с
сравнения натуральных чисел, когда—и есть натуральные числа;
в»® существуют две операции над новым полем, которые обладают
21
.	я
свойствами сложения и умножения и сводятся к ним в случае, когда — и
b
с
--^есть натуральные числа.
Это и означает, что наши новые объекты удовлетворяют4 Всем новым
требованиям принципа. Они доказали свое право получить почетный титул
«чисел». Они, таким образом, получили признание, и поле чисел, старых и
новых, получило название поля рациональных чисел.
На первый взгляд может показаться, что принцип перманентности
оставляет такую свободу в выборе операций, определяющих обобщенные
числа, что этот слишком уж широкий охват не имеет особой практической
ценности. Однако предположение, что натуральные числа входят как
часть в новое поле и что операции над всеми числами должны подчиняться
одинаковым законам (таким же, как и для натуральных чисел), наклады-
вают в действительности столь серьезные ограничения, удовлетворять кото-
рым могут лишь весьма специальные поля.
Позицию арифметики, в которой сформулирован принцип перманентно-
сти, можно сравнить с политикой государства, склонного к экспансии, но
желающего всюду соблюдать те фундаментальные законы, на которых Оно
зиждется. Эти две различных цели — экспансия, с одной стороны, и сохра-
нение порядков и унификация, с другой, определяют условия присоеди-
нения новых стран к союзу.
Первый пункт принципа перманентности соответствует положению, что
центральное государство союза задает тон всему союзу. Для каждого
гражданина этого государства существует некий «табель о рангах», и этот
табель распространяется на всех граждан вновь присоединенных стран.
Это соответствует второму пункту принципа перманентности.
Наконец, предполагается, что законы, определяющие взаимоотноше-
ния между гражданами каждой отдельной страны, входящей в союз, стро-
ятся по типу отношений, установленных в ведущем государстве этого
союза.
Разумеется, я не хочу, чтобы читатель воспринимал эту аналогию бук-
вально. Она приведена лишь потому, что может вызвать ассоциации из бо-
лее знакомой всем сферы и убедить в том, что принцип перманентности не
является надуманным и искусственным.
Рассуждения, которые помогли нам сконструировать область рацио*
нальных чисел, были характерны для первых этапов того исторического
процесса, который получил название арифметизации математики. Это дви-
жение, начатое Вейе^рштрассом в шестидесятых годах прошлого века, име-
ло своей целью принципиальное отделение чисто математической концепции
таких терминов, как «число», «соответствие» и «множество», от интуитив-
ных представлений, связанных с ними и родившихся в результате долгого
использования этих понятий в геометрии и механике.
В частности, механика, по мнению сторонников формальной школы,,
наложила такой сильный отпечаток на математическое мышление, что да-
же при самом тщательном выборе слов, в формулировках все равно чув-
ствуется механическое значение, скрытое в глубине, и это оказывает влия-
ние на наши рассуждения. Беда в том, что слова человеческой речи суть
нечто, связанное с определенным содержанием, в то время как целью ма-
тематики является «очищенное» мышление.
Но как можно избежать употребления человеческой речи? Ответ за-
ключен в слове «символ». Только используя символический язык, не захва-
ченный еще влиянием расплывчатых идей о времени, пространстве, непре-
рывности, господствующих в нашем подсознании и затуманивающих рас-
суждение, — только так мы можем надеяться поставить математику на
крепкое логическое основание.
•В этом заключается платформа школы, заложенной итальянцем Пеано
и такими представителями современной математики, как Бертран Рассел
22
ИАльфред Норт Уайтхед. Ё фундаментальном труде этих ученых «Prlnct*
pia Mathematica» авторы попытались сконструировать весь базис матсма-
тики, отталкиваясь лишь от наиболее глубоких, фундаментальных предпо-
сылок и опираясь исключительно на строгие принципы логики. Использо-
вание символики не оставило места в этой книге для тех расплывчатых’
ассоциаций, которые всегда связаны со словами людской речи.
Признаюсь, что мне лично не импонирует крайний формализм школы
Пеано — Рассела, что я никогда не чувствовал вкуса к их методам симво-
лической логики и что все мои многократные попытки усвоить их симво-
лизм всегда кончались неудачей, смущением и отчаянием. Это индивидуаль-
ное мое качество, разумеется, оказывало влияние на мое мнение, и это —?
важная причина, по которой я не излагаю здесь своих предубеждений.
Тем не менее, эти предубеждения не заставили меня недооценивать
роли математической символики. Я считаю, что колоссальное значение этой
символики заключается не в создании стерильности и полном запрещении
интуиции человеческого мышления, а в неограниченной возможности ис-
пользовать эту интуицию для создания новых форм мышления.
Чтобы убедиться в этом, нет необходимости обращаться к сложным
техническим терминам современной математики. Достаточно более изве-
стной, но и более тонкой символики языка. Ибо, поскольку наш язык при-
годен для формулировки точных высказываний, он является не чем иным,
как системой символов, риторической алгеброй высшего ранга. Существи-
тельные есть не что иное, как символы классов объектов, глаголы символи-
зируют отношения, а предложения являются утверждениями, связываю-
щими эти классы. Но будучи абстрактными символами классов, слова об-
ладают способностью пробуждать в воображении картину конкретного эле-
мента, представляющего класс. Именно в этой двойственности функции
слов и заключено зерно конфликта, который возникает между логикой и
интуицией.
То, что верно по отношению к словам вообще, верно, в частности, и
до, отношению ж тем словам, которые обозначают натуральные числа. Бла-
годаря тому, что они способны вызывать в нашем воображении конкрет-
ные множества, они кажутся нам настолько глубоко связанными с реаль-
ностью, что приобретают как бы абсолютное значение. Тем не менее, в. том
смысле, в каком они употребляются в арифметике, они есть не более, как
символы, подчиняющиеся определенным правилам действий.
Но как только мы приходим к признанию символической природы на-
туральных чисел, они сразу же теряют свой абсолютный характер. Их вну-
треннее .родство и сходство с более обширным классом объектов, ядром
которого они являются,, становятся совершенно очевидным, Наряду с этим
в новом освещении последовательное расширение концепции числа начи-
нает выглядеть не как некий искусственный и условный трюк, а как необ-
ходимый и неизбежный процесс, шаг за шагом углубляющий наше позн^
яиев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ
Анри Пуанкаре
Происхождение математического открытия — проблема,
способная вдохновить пытливого психолога, ибо в этом откры-
тии человеческий ум, по-видимому, очень слабо опирается на
-внешнюю реальность, в которой мы живем и действуем, и из-
влекает истину как бы из самого себя, так что, изучая процесс
развития геометрического мышления, мы можем надеяться
установить то, что является наиболее существенным свойст-
вом человеческого мышления вообще.
Первое, что удивляет нас или, скорее, должно было бы
удивить нас, если бы мы так не привыкли к нему, это следую-
щий вопрос — почему существуют люди, не понимающие ма-
тематики? Если наука придерживается четких правил логики,
доступных всякому здравомыслящему человеку, если ее дока-
зательства основаны на принципах, которые никто, кроме су-
масшедшего, не может не принять, то как может случиться, что
имеется все же довольно много индивидуумов, абсолютно не
воспринимающих эту науку?
Нет ничего удивительного в том, что не каждый способен
сделать открытие. Также можно допустить, что не всякий спо-
собен удержать в своей памяти то, что он однажды выучил. Но
кажется наиболее странным, когда думаешь об этом всерьез,
что никто не умеет понять математические доводы в тот самый
момент, когда они перед ним выдвигаются. И даже те, кто
успевают следить за этими доводами, составляют явное мень-
шинство. Сказанное мной является твердо установленным фак-
том — опыт учителей, преподающих в старших классах, под-
тверждает это.
Пойдем дальше — как могут возникать математические
ошибки? Нормальный разум не. должен ошибаться в логике, и
тем не менее существуют очень проницательные люди, не де-
лающие никаких ложных шагов в повседневных рассуждениях,
но в то же время совершенно не способные повторить без
24
ошибки математическую мысль, которая, хотя и бывает длин-
ной, есть не что иное, как концентрированное выражение той
аргументации, которую все мы легко понимаем в быту. Сле-
дует ли напоминать, что даже сами математики не являются
здесь безгрешными?
Для меня ответ на все эти вопросы является очевидным.
Представим себе длинную серию силлогизмов, в которой вы-
вод каждого предыдущего является посылкой для последую-
щего. Мы, как правило, способны усвоить каждый из силло-
гизмов и не подвергаемся опасности сбиться на пути от посыл-
ки к выводу. Но между моментом, когда мы впервые приходим
к некоторому утверждению, являющемуся выводом опреде-
ленного силлогизма, и моментом, когда мы вновь возвращаем-
ся к нему как в посылке следующего силлогизма, проходит
обычно много времени и здесь мы теряем многие звенья цепи —
попросту забываем их или, что еще серьезнее, забываем их
смысл. Поэтому случается, что мы заменяем их другими, не-
сколько отличными от них предложениями, или сохраняем то
же самое предложение, но придаем ему слегка другой смысл,
и таким образом впадаем в ошибку.
Математик часто должен знать какие-то правила и, естест-
венно, он начинает освоение с демонстрации этих правил.
В момент, когда демонстрация еще довольно свежа в его уме,
он полностью понимает смысл и значение правил, и в это вре-
мя нет опасности, что он их забудет. Но позже он просто на-
деется на память и применяет их уже механически, и тогда
память может подвести его, и он может применить правила
неверно. Это приблизительно можно сравнить с тем, если бы
мы забыли таблицу умножения — ошибки в вычислении стали
бы неизбежными.
В свете только что сказанного вывод цо отношению к ма-
тематике должен быть таким — для ее усвоения необходима
либо очень хорошая память, либо сильнейшая способность к
концентрации внимания. Эти качества аналогичны тем, кото-
рые необходимы игроку в вист, которому необходимо запоми-
нать вышедшие карты, или, если прибегнуть к примеру более
высокого класса, шахматисту, воспроизводящему в сознании
будущее развитие игры на много ходов вперед. Всякий хоро-
ший математик должен быть хорошим шахматистом и наобо-
рот; кроме того, математик должен быть и хорошим вычисли-
телем. Так и происходит в некоторых случаях. Гаусс, напри-
мер, будучи гением в геометрии, в то же время обладал спо-
собностью быстро и безошибочно производить сложные вы-,
числения.
Но существуют и исключения, а может быть я . и неправ,
называя их исключениями, ибо они, возможно, более много-
численны, чем случаи, подтверждающие правило. Скорее все-
го Гаусс был исключением. Что касается меня лично, то я дол-
25
жен признаться: я абсолютно не способен сложить два чшрла
без того, чтобы не ошибиться. Кроме того, я очень плохо играю
в шахматы. Я обычно легко могу рассчитать, что сыграв опре-
деленным образом, я навлеку на себя такие-то неприятности.
После этого я рассматриваю другие варианты хода и отвергаю
их по разным причинам. В конце концов я делаю тот самый
лод, который был отброшен мною вначале, так как к тому вре-
мени я уже забываю об опасности, которую предвидел тогда.
Словом, моя память не то, чтобы плоха, но недостаточна
для того, чтобы сделать меня сильным игроком в шахматы.
Почему же, в таком случае, она не подводит меня в сложных
математических рассуждениях, в который запуталось бы боль-
шинство шахматистов? Бесспорно потому, что она руководст-
вуется определенной нитью, проходящей через аргументацию.
Математическая мысль не есть простая совокупность силло-
гизмов; эти силлогизмы расположены в ней в определенном
порядке, и порядок, в котором элементы следуют друг за дру-
гом, гораздо важнее самих элементов. Коль скоро я чувствую
этот порядок, так сказать, интуитивно настолько, что .могу
уловить общую идею всей аргументации, я}могу не бояться
того, что один из элементов выпадет из моей памяти — каж-
дый из них в этом случае естественным образом ляжет на свое
место без особых усилий памяти.
Когда я повторяю чье-то математическое рассуждение, мне
всегда кажется, что я сам мог бы его придумать. Это только
иллюзия, но даже в тех случаях, когда я не оказался доста*
точно умным, чтобы создать какую-то мысль сам, я воссоз-
даю ее при повторении за другим.
Понятно, что это чувство, эта интуиция, делающая возмож-
ным постижение скрытой гармонии отношений, расположения
математических элементов, имеется не у каждого. Некоторые
не обладают ни этим тонким чувством, которому даже трудно
дать определение, ни силой памяти, ни концентрацией внима-
ния, превышающей обычную, и поэтому они совершенно не
способны усвоить даже простейшие понятия высшей матема*
тики. К этой группе относится большинство людей. Другие об-,
ладают интуицией в небольшой степени, но зато одарены не-
заурядной памятью и способностью сильно напрягать внима-
ние. Они выучивают элементы один за одним наизусть и могут
овладеть высшей математикой и некоторыми ее применениями,
но никогда не станут в этой науке творцами. Наконец, иные
имеют особую интуицию, о которой я говорил, и они способны
не только понимать математику, даже если их память не яв-
ляется очень хорошей, но и стать создателями нового и с
большим или меньшим успехом — в зависимости от степени
развития интуиции — попытаться сделать математические
открытия.
Что же представляет собой математическое открытие? Оно
26
не заключается просто в новой комбинации тех понятий, кото-
рые уже известны. Это может быть сделано каждым, а созда-
ваемые комбинации могут быть бесконечно разнообразными,
однако подавляющее большинство из них не представляет ни-
какого интереса!. Открытие в математике совершенно опреде-
ленно состоит не в конструировании бесполезных комбинации,
а в отыскайии того меньшинства из них, которое приносит
пользу. Таким образом, открытие есть отбор, селекция.
Как эта селекция должна производиться, я уже говорил.
Математическими фактами, достойными изучения, являются
такие, которые, благодаря их аналогии с другими фактайи,
способны привести нас к познанию законов математики —
точно так же, как экспериментальные факты ведут нас к по-
знанию законов физики. Это — такие факты, которые раскры-
вают глубокие связи между другими фактами, давно известны-
ми науке, но ошибочно считавшимися не имеющими друг к
другу никакого отношения.
Среди отбираемых нами комбинаций наиболее плодотвор-
ными часто бывают те, которые упорядочивают элементы, взя-
тые из самых разных областей. Я не хочу сказать, что, чтобы
сделать открытие, достаточно связать между собою объекты
настолько далекие друг от друга, насколько это возможно.
Огромное большинство таких соединений будет абсолютно бес-
плодным, но некоторые из них, правда очень редкие, оказы-
ваются исключительно плодотворными.
Я сказал, что открытие есть отбор. Но это, вероятно, не
совсем правильное слово. Оно подразумевает покупателя, ко-
торому показывают громадное количество образцов и который
рассматривает их один за другим для того, чтобы выбрать
нужный ему. В нашем случае образцы образуют такое мно-
жество, что жизни человека не хватит для испытания каждого
из них. Дело обстоит по-другому. Бесполезные комбинации не
столь навязчивы, чтобы пробиваться в сознание открывателя.
В сфере его мышления не проявляется ничего, кроме полезных
комбинаций; даже те, которые он отвергает, имеют характер
до некоторой степени полезных комбинаций. Все происходит
так, как если бы у открывателя был некий предварительный
экзаменатор, допускающий к окончательному испытанию лишь
тех кандидатов, которые справились с определенным экзаме-
ном.
То, что я говорил до сих пор, основано лишь на знакомст-
ве с работами геометров, знакомстве, которое, конечно, сопро-
вождалось анализом.
Теперь пора пойти дальше и заглянуть в самую душу ма-:
тематика. Здесь, я думаю, мне трудно сделать что-либо боль-
шее, чем поделиться собственными воспоминаниями.. Я огра-
ничусь рассказом о том, как я написал свой первый трактат
по фуксовским функциям. Я хочу принести извинения за то,
27
что мне придется иногда употреблять некоторые термины, нгг
это не должно тревожить читателя, так как ему не обязатель-
но вникать в их смысл. Я буду говорить, например, как я на-
шел применения такой-то теоремы в таких-то случаях; сама
теорема будет иметь варварское название, неизвестное боль-
шинству, но это не имеет никакого значения. Что интересует
психолога — это не теорема, а обстоятельства,
В течение двух недель я пытался доказать., что не может
существовать функция, аналогичная тем, которые я с тех пор
называю фуксовскими функциями. В то время я был крайне
невежественным. Каждый день в течение часа или двух я си-
дел за столом, изучая множество всяких комбинаций, но дело»
не двигалось с места. Однажды вечером я, против обычного,
выпил черного кофе и почувствовал, что не могу заснуть.
Вихрь идей завертелся в моей голове, я будто даже почувст-
вовал, как они оттесняют друг друга, пока две из них не
соединились, так сказать, в устойчивую комбинацию. Когда
настало утро, я установил существование одного класса фук-
совских функций, связанных с гипергеометрическими рядами,
Мне осталось только проверить результат* что потребовало
всего нескольких часов.
Затем я захотел представить эти функции в виде частного
от деления двух рядов. Эта идея была совершенно сознатель-
ной и целенаправленной — я руководствовался аналогией с
эллиптическими функциями. Я спросил себя, какими должны
быть свойства этих рядов, если последние существуют, и без
труда нашел ряды, названные мной тэта-фуксовскими.
В это время я покинул Каэну, где я тогда жил, чтобы при-
нять участие в геологической конференции, организованной
Горным училищем. Путешествие заставило меня забыть мою
математическую работу. Когда мы прибыли в Кутанс, нам
подали карету для прогулки. В тот самый момент, когда я по-
ставил ногу на ступеньку, мне пришла идея, хотя в пред-,
шествующих моих мыслях не было ничего такого, что могло
бы подготовить ее появление, что преобразования, использо-
ванные мной для определения фуксовских функций, были
идентичными с преобразованиями неэвклидовой геометрии.
Я не сделал проверки, не имея времени для этого, так как, сев
в карету, я должен был продолжать беседу, но я уже был аб-
солютно уверен в своей правоте. Вернувшись в Каэну, я про-
извел в спокойной обстановке необходимые выкладки и убе-:
дился для успокоения своей совести, что идея была совершен-:
но правильной.
Затем я начал изучать некоторые арифметические пробле-
мы *— без каких-либо явных результатов и сов^эшенно не
предполагая, что они имеют какую-то связь с моими преды-:
дущими исследованиями. Устав от попыток добиться успеха,
я поехал, провести несколько дней у моря, где думал совер-
28
шенно о других вещах,. Однажды, когда я Бродил я скалах,
меня снова озарила идея, столь же ясная, внезапная и несом-
ненная, что определенные арифметические преобразования
квадратичных форм тождественны преобразованиям неэвкли-
довой геометрии.
По возвращении домой я проанализировал результат и вы-
вел из него следствия, Квадратичные формы натолкнули меня
на мысль, что существуют фуксовские группы, отличные от тех,
которые соответствуют гипергеометрическим рядам; я увидел,
что к ним можно применить теорию тэта-фуксовских рядов и
что, соответственно, существуют фуксовские функции, не сов-
падающие с теми, — единственными, известными мне в то
время, которые происходят от гипергеометрических рядов.
Естественно, я захотел установить все эти функции. Я начал
их систематическую осаду и взял в плен одну за другой. Оста-
валась, однако,, еще одна, по-прежнему недоступная, захват
которой означал бы падение всей крепости. Но первое время
все мои усилия оказывались тщетными, если не считать, что
установление степени трудности проблемы само по себе все
же имеет определенное значение. Вся эта поисковая работа
велась уже абсолютно сознательно.
Затем по делам армейской службы я вынужден был уехать
в Монт-Валерьен, где мои мысли оказались занятыми опять-
таки совершенно другими вещами. Как-то я переходил улицу
и вдруг понял, как решается мучившая меня задача. Я не по-
пытался развить идею в тот же момент и сделал это только
после окончания служебного задания, когда вернулся к своим
научным занятиям, У меня в руках были теперь все элементы
и оставалось только соединить их и упорядочить. Соответст-
венно, я закончил весь свой трактат без всякого труда, не
встав ни разу со стула.
Нет смысла увеличивать число примеров, и я ограничусь
теми, которые привел. Если бы я начал рассказывать о других
своих работах, то это лишь подтвердило бы сказанное. Еще
ряд подтверждений можно найти, изучая биографии других
математиков.
Случаи внезапного озарения, мгновенного завершения дли-
тельной подсознательной работы мозга, конечно, поразитель-
ны. Роль этой подсознательной деятельности интеллекта в
математическом открытии можно считать, по-видимому, бес-
спорной. Мы попытаемся обнаружить ее и оценить ее значе-
ние и в таких случаях, когда она не столь очевидна.
Часто бывает так: человек работает над трудной пробле-
мой, но ничего не может добиться сразу же, с первдго приема.
После безуспешных попыток он оставляет эту работу и неко-
торое время отдыхает, а затем снова садится за стол. В тече-
ние первых тридцати минут он все еще не можёт ничего до-
битьсяд а затем внезапно ему в голову приходит решающая
29
идея. Можно сказать, что в этом случае подсознание работало
более эффективно потому, что был сделан перерыв, и отдых
восстановил силу и свежесть мозга. Но более вероятно, что во
время отдыха подсознание продолжало работать как и преж-
де, и результат этой работы проявился позже в найденной ма-
тематикой формулировке подобно тому, как это происходило
в описанных мною случаях, с той только разницей, что озаре-
ние пришло не во время прогулки, а в период сознательной
работы мозга, но независимо от этой работы. Иными словами,
мы наблюдаем здесь процесс, похожий на то, как если бы
некий толчок пробудил к сознательной форме идею, созрев-,
шую во время отдыха, но остававшуюся до этого неосознан*
ной.
Следует сделать еще одно замечание, касающееся условий
подсознательной умственной работы, — она невозможна или,
во всяком случае, бесполезна без предыдущего и последующе*
го периодов сознательного мышления. Внезапное вдохнове-
ние никогда не могло бы прийти (и это уже достаточно веско
подтверждено приведенными примерами) без многих дней
предшествующих целенаправленных усилий, казавшихся в то
время совершенно бесплодными и направленными по абсолют-
но неправильному пути. Эти усилия, однако, как выясняется,
были не такими уж напрасными, какими они представлялись—
их роль заключается в том, что они включили машину подсо-
знания, которая без них не начала бы свое действие и не при-:
несла бы плодов своего труда.
Таковы факты. Они наталкивают на целый ряд размышле-
ний.
Прежде всего скажу, что моей целью было убедить читате-
ля в том, что существует некое «подсознательное я» и что
именно оно играет чрезвычайно важную роль в математиче-
ском открытии. Сейчас мы выяснили, что точка зрения тех,
кто считает это «я» работающим совершенно автоматически,
не является правильной. Мы убедились, что математическое
мышление нельзя рассматривать как простой и однородный
процесс, что его очень трудно сопоставлять с какой-нибудь
машиной, пусть даже очень сложной и совершенной. Это —
не просто применение определенных правил, перебор всех воз-
можных комбинаций, удовлетворяющих некоторым заранее
поставленным требованиям. Такие комбинации в своем по-
давляющем большинстве совершенно бесполезны. Истинная
работа открывателя состоит в выборе из гораздо более узкого
круга комбинаций, оставшихся после исключения явно бес-
плодных; последние даже не приходят математику в голову.
Правила, которые могут обеспечить такого рода предвари-
тельную сортировку, являются настолько тонкими и сложны-
ми, что точно и однозначно сформулировать их практически
невозможно; их скорее нужно чувствовать, чем описывать
30
словами. Но в таком случае разве можно говорить об их меха-
ническом применении?
Все, что я буду говорить дальше, является предваритель-
ной гипотезой, требующей проверки. «Подсознательное я» не
является ни в каком смысле низшим по сравнению с «созна-
тельным я»; его нельзя рассматривать как чисто автоматиче-
ский механизм; оно способно к различению идей; ему прису-
щи даже вкус и определенная тонкость чутья; оно может про-
изводить селекцию; оно способно восхищаться совершенной
формой, и более того, оно способно к этому чуть ли не в боль-
шей степени, чем «сознательное я», ибо срабатывает и в тех
случаях, когда последнее отказывает. Учитывая все это, мож-
но поставить вопрос — не является ли подсознание высшей
формой мышления по сравнению с сознанием?* Важность та-
кого вопроса нетрудно понять. В недавней лекции М. Бутро
показал, почему этот вопрос возникает и какие следствия вы-
текали бы из положительного ответа на него.
Должны ли мы дать положительный ответ, исходя из всех
рассмотренных фактов? Признаться, я совсем не склонен этого
делать. Давайте снова вернемся к фактам и посмотрим, нель-
зя ли дать им другое объяснение.
Совершенно очевидно, что комбинации, которые приходят
в голову в виде внезапного озарения после относительно дол-
гого периода подсознательной работы мозга, являются обыч-
но полезными и плодотворными комбинациями, они представ-
ляются результатом предшествующего фильтрования. Следует
ли отсюда, что подсознание, руководствуясь тонким чутьем
ценности комбинаций, не формирует ни одной из них, кроме
полезных? А может быть оно формирует и огромное количе-
ство всех остальных, но затем только те из комбинаций, кото-
рые представляют интерес, выходят в сознание, а бесполезные
остаются в подсознании?
С этой второй точки зрения в результате автоматического
действия подсознания формируются все комбинации, но лишь
те из них, которые представляют интерес, получают выход в
область сознания. Это тоже, конечно, загадочно. Как объяс-
нить, что из тысяч продуктов нашего подсознательного мыш-
ления лишь некоторым дано перейти определенный порог, в
то время как другие остаются за порогом? Простой ли случаи
обусловливает такую привилегию для части комбинаций?
Очевидно, нет. Мы знаем из других примеров, что из всех ви-
дов возбуждения наших органов чувств лишь самые интенсив-
ные привлекают наше внимание, если, конечно, последнее не
концентрируется на каком-то определенном восприятии по
сознательным причинам. Обобщая это, можно предположить,
* О критике В. И. Лениным философских взглядов А. Пуанкаре см. в
работе В. И. Ленина «Материализм и эмпириокритицизм». — Редь
21
что привилегированными подсознательными явлениями, ено»,
собными превратиться в сознательные, являются такие, кото-
рые прямо или косвенно оказывают наиболее глубокое воз-
действие на наши чувства.
Таким образом, неожиданно может оказаться, что наше
восприятие находится в прямой связи с математическим мыш-
лением, всегда считавшимся не эмоциональной, а интеллекту-
альной категорией. Но ведь мы определенно носим в себе ощу-
щение математической красоты, гармонии чисел и формы, гео-
метрического изящества. Все эти чувства — настоящие эсте-
тические чувства, и они хорошо знакомы всем настоящим ма-
тематикам. С другой стороны, они, безусловно, связаны с на-
шим общим восприятием.
Но принадлежат ли математические понятия, к которым
мы применяем эпитеты «красота» и «изящество», к области
истинной эмоциональной эстетики? Да, но только такие из
них, элементы которых расположены в столь гармоническом
порядке, что ум без всякого усилия, не вникая в детали, может
постигнуть их сущность. Такая гармония одновременно удов-
летворяет и нашим чисто эстетическим критериям. Она помо-
гает разуму, направляет его по верному пути, служит ориен-
тиром в поиске. Кроме того, представляя перед нашим интел-
лектом хорошо организованное целое, гармония осуществляет
реализацию математического закона. Но, как я уже говорил
выше, только факты, которые достойны нашего внимания и
способны принести пользу, являются фактами, открывающими
для нас возможность познания математической закономерно-
сти. Следовательно, мы приходим к такому заключению: по-
лезные комбинации являются в то же время и наиболее краси-
выми, то есть такими, которые способны возбуждать знакомое
всем математикам особое эстетическое чувство, хотя невежды
могут относиться к существованию такого чувства весьма
скептически,
б кон.
Индекс
70096
ДОРОГИЕ ТОВАРИЩИ!
Не забудьте выписать на 1968 год
серию научно-популярных брошюр
«Математика, кибернетика»
Индекс 70096
(хрия рассказывает о важнейших проблемах со-
временной математики и кибернетики, о том, как
абстрактные математические формулы приобретают
материальную силу, как математика позволяет раз-
решать самые разнообразные задачи в практиче-
ской деятельности людей.
В 1968 году подписчики получат следующие брошюры;
Бонгард М. М., канд. техн. наук.
Современная теория узнавания.
Бру дно А. Л., докт. физ.-мат. наук.
Задача о коммивояжоре.
Канторович Л. В., академик.
Что такое оптимальное математическое программирование
К р о и р о д А. С., докт. техн. наук.
Эвристическое программирование.
К у п п и П. Е., канд. техн. наук.
Кибернетика и медицинская диагностика
Левин В. И., докт. физ.-мат. наук.
Рамануджан.
Ляпунов А. А., чл.-корр. АП СССР
Математика и биология.
Полетаев И. А., канд. техн наук.
Математические модели кибернетики.
Тихонов A. II., академик.
Роль математики в развитии естествознания.
Резерв — 3 брошюры.
Всего 12 брошюр в год средним объемом 48 стр.
П о д и и с и а я плата на 12 мес. — 1 руб. 08 коп.
» 6 » —	54 коп.
» 3 » —	27 коп.
В катало! е «Союзпечати» серия «Математика, кибернетика»
расположена в разделе «Научно-популярные журналы» под
рубрикой «Брошюры издательства «Знание».
Издательство «3 н а н и е».