АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
А.П. ЮШКЕВИЧ
СТОРИЯ
МАТЕМАТИКИ
Р В
1оссии
ДО 1Q1J ГОДА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1968

Ю 96
ЛМШМ min mm
АННОТАЦИЯ
Книга содержит историю математических
исследований в России до начала XX века.
Вначале рассматриваются рукописные памятники
средних веков и начала нового времени, до сих
пор опубликованные только частично. Далее
последовательно анализируется научное
творчество петербургских академиков XVIII века
во главе с Эйлером, открытия Лобачевского,
деятельность математической школы Чебыше-
ва, труды математиков, работавших в Москве,
Киеве, Харькове и других университетских
центрах. Помимо печатных трудов, в книге
использованы и архивные материалы, например,
неопубликованные сочинения Остроградского.
Книга иллюстрирована портретами
отечественных математиков, некоторыми факсимиле;
в ней также имеется обширная библиография.
Книга рассчитана на студентов и
преподавателей университетов и педагогических
институтов, учителей средних школ и научных
работников.
82-68

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА В РОССИИ ДО НАЧАЛА XVIII ВЕКА
Глава 1. Математические знания в Древней Руси 9
Древнерусская нумерация (9). Метрология (13). Первые системы
дробей (15). Математические памятники Киевской Руси (16). Кирик
Новгородец (17). Вопросы «философии математики» (20). Татарское иго
(22).
Глава 2. Рукописи XV—XVII вв 23
Подъем Московского государства (23). Арифметика в рукописях XVII века
(24). Инострументальный счет (27). Строка тройная (30). Строка
фальшивая (32). Задачи для развлечения (36). Геометрические прогрессии
(36). Задача «о деньгах в куче ведати» (37). Терминология (40). Оценка
арифметических рукописей (41). Измерение фигур (42). Геометрическая
рукопись «Синодальная № 42» (47). Проблемы непрерывного и
неделимых (49). Итоги (51).
Глава 3. Государство и математика в эпоху Петра Первого ..... 52
Подготовка военных и технических кадров (52). Новые школы (52).
Я. В. Брюс (54). Л. Ф. Магницкий (55). А. Д. Фархварсон (56).
«Арифметика» Магницкого (58). Алгебра и тригонометрия у Магницкого (65).
Первые учебники геометрии и тригонометрии (71).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МАТЕМАТИКА В ПЕТЕРБУРГСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК В XVIII ВЕКЕ
Глава 4. Петербургская Академия наук 74
Основание Академии наук (74). Математика в Академии наук (75).
Академия наук и математическое просвещение (76). Учебная литература
(79).
Глава 5. Первые академики-математики . 83
Математика на рубеже XVII и XVIII веков (83). Первые академики (85).
Я. Герман (86). Дифференциальные уравнения (87). Вопросы геометрии
(88). Ф.-Х . Майер и разработка тригонометрии (90). Н. Бернулли (90).
Г.-В. Крафт (91). X. Гольдбах и учение о рядах (92). Проблемы
Гольдбаха в теории чисел (95). Интегрирование дифференциального бинома (96).
Даниил Бернулли (97). Проблемы теории колебаний (99). Численное
решение уравнений (100). Теория вероятностей и статистика (101).
Кривая распределения ошибок (102).
Глава 6. Леонард Эйлер 103
Начало карьеры (103). Переезд в Петербург (103). Эйлер в Берлине (106).
Возвращение Эйлера в Петербург (108). Общая характеристика творче^
ства (110).
Глава 7. Бесконечные ряды 114
Интерполирование последовательностей и рядов; специальные функции
(114). Формула суммирования Эйлера (117). Дзета-функция (119).
Суммирование расходящихся рядов (121).

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 8. Математическая трилогия Л, Эйлера 128
«Введение в анализ бесконечных» (128). Понятие функции (130).
Исследование элементарных функций (134). Начала теории функций
комплексного переменного (135). Основная теорема алгебры (137). Логарифмическая
функция (138). Новые приложения комплексных чисел (139). Конформные
отображения (139). Вычисление определенных интегралов и уравнения
Даламбера — Эйлера (140). Проблема интерпретации комплексных чисел
(141). Основания дифференциального исчисления (142). «Исчисление
нулей» Эйлера (145). Разработка дифференциального исчисления (148).
Интегральное исчисление (150). Эллиптические интегралы (152).
Определенные интегралы (154). Кратные интегралы (156).
Глава 9. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление .... 157
Обыкновенные дифференциальные уравнения (157). Уравнение Риккати
(157). Линейные уравнения с постоянными коэффициентами (158).
Линейные уравнения с переменными коэффициентами (159).
Интегрирующий множитель (160). Особые решения (161). Численное решение
дифференциальных уравнений (161). Уравнения с частными производными (163).
Проблема колебания струны. Метод Даламбера — Эйлера (164). Принцип
наложения колебаний Д. Бернулли (167). Аналитическая представимость
функций (170). Тригонометрические ряды (172). Вариационное
исчисление (174).
Глава 10. Другие математические работы Л. Эйлера 181
Элементарная геометрия и тригонометрия (181). Аналитическая
геометрия (181). Дифференциальная геометрия поверхностей (183).
Топологические задачи (185). Теория чисел (185).
Глава И. Ученики и первые преемники Эйлера 190
Школа Эйлера (190). С. К. Котельников и С. Я. Румовский (190). А. И. Лек-
сель (195). Н. И. Фусс (196). Ф. И. Шуберт (198). Мемуар С. Е. Гурьева
(199). Вопросы обоснования анализа на рубеже XVIII—XIX веков (201).
С. Е. Гурьев и его последователи (203). Математика в Академии наук
в начале XIX века (214).
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
МАТЕМАТИКА В РОССИИ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА
Глава 12. Общие условия развития математики 216
Реформа системы образования (216). Физико-математические факультеты
(218). Академия наук (224). Особенности развития математики в России
и за рубежом (225).
Глава 13, Н. И. Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии .... 229
Постулат Евклида о параллельных (229). Н. И. Лобачевский (232).
Мировоззрение Н. И. Лобачевского (235). Пространство и действительность
(237). Начальные понятия геометрии (238). Открытие неевклидовой
геометрии (240). Лобачевский о геометрии действительного мира (247).
Первые применения геометрии Лобачевского (248). Непротиворечивость
гиперболической геометрии (249). Н. И. Лобачевский и современники
(250). Теория поверхностей К. Ф. Гаусса (252). Исследования Ф. Г. Мин-
динга по теории поверхностей (255). Дальнейшее развитие неевклидовой
геометрии (257). Геометрия и физика XX века (262). Аксиоматический
метод (263). «Алгебра» Лобачевского (265). Сочинения по алгебре
М. В. Остроградского и О. И. Сомова (269). Студенческая работа П. Л. Че-
бышева (270). Исследования Лобачевского по теории рядов Фурье
(270). Признак сходимости Лобачевского (272).
Глава 14. Новый подъем исследований в Академии наук; М. В,
Остроградский и В. Я. Буняковский 274
Жизнь М. В. Остроградского (274). Работы Остроградского по теории
теплоты (278). Вариационное исчисление (285). Дифференциальные
уравнения (287). Кратные интегралы (289). Интегрирование алгебраических
функций (293). Жизнь и творчество В. Я. Буняковского (296).
Неравенство Буняковского (298). Буняковский и теория параллельных (299).
Теория вероятностей (300). Вычислительные устройства (302).

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
МАТЕМАТИКА В РОССИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX
И В НАЧАЛЕ XX века
Глава 15. Общие условия и особенности развития математики 306
Математическое образование; средняя школа (306) . Математика в
университетах (311). Математические общества и научные съезды (316).
Математические журналы и другие издания (320). Основные направления
математических исследований в России и за рубежом (324).
Глава 16. П. Л. Чебышев и петербургская математическая школа .... 332
Жизнь П. Л. Чебышева (332). О творчестве Чебышева (337). Чебышев
и его ученики (341).
Глава 17. Теория чисел 343
Исследования П. Л. Чебышева по теории распределения простых чисел
(343). Диофантовы приближения (348). Работы Н. В. Бугаева (349).
А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев (350). Работы А. Н. Коркина и Е. Н.
Золотарева по теории квадратичных форм (353). А. А. Марков и его
магистерская диссертация (357). Г. Ф. Вороной и геометрия чисел (363). Теория
алгебраических чисел (366). Новые исследования по аналитической
теории чисел (376).
Глава 18. Интегрирование алгебраических функций 380
Исследования П. Л. Чебышева (380). О. И. Сомов (383). Преемники
Чебышева (384).
Глава 19. Теория вероятностей 387
Закон больших чисел и центральная предельная теорема (387). П. Л.
Чебышев и теория вероятностей (390). Проблемы теории моментов (394).
Предельные теоремы А. А. Маркова и А. М. Ляпунова (398). Цепи
Маркова (401). Е. Е. Слуцкий (403). Аксиомы теории вероятностей С. Н. Берн-
штейна (404).
Глава 20. Теория приближения функций , 405
Исследования П. Л. Чебышева (405). Работы Е. И. Золотарева, А. А.
Маркова и В. А. Маркова (411). Интерполирование и ортогональные
многочлены (413). Механические квадратуры (418) С. Н. Бернштейн и
конструктивная теория функций (421).
Глава 21. Дифференциальные уравнения 427
Классические методы; А. Ю. Давидов (427). В. Г. Имшенецкий (429).
A. В. Летников и приложения «междупредельных производных» (433).
М. Е. Ващенко-Захарченко и символическое исчисление (435). Новые
направления в теории дифференциальных уравнений (437). СВ.
Ковалевская (438). Теорема Ковалевской (440). Задача о вращении твердого
тела (443). В. А. Анисимов (444). С. Н. Бернштейн и проблемы
Гильберта (445). Качественная теория дифференциальных уравнений и
теория устойчивости (446). Работа Н. Е. Жуковского (448). Жизнь
A.M. Ляпунова (448). Фигуры равновесия вращающейся жидкой массы
и их устойчивость (451). Грушевидные фигуры (454). Устойчивость
систем с конечным числом степеней свободы (455). П. Г. Боль и метод
неподвижных точек (458). Квазипериодические функции (462). Жизнь
B. А.Стеклова (463). Задачи математической физики (464). Теория
замкнутости (467). Н. М. Гюнтер (471). Интегральные уравнения (472). Младшее
поколение петербургской школы (475). Методы В. Ритца и Б. Г. Га-
лёркина (476). А. Н. Крылов (477).
Глава 22. Сходимость и суммирование рядов 483
Н. В. Бугаев и учение о сопряженных рядах (483). В. П. Ермаков и его
признак сходимости (486). Параллелограмм Ньютона (489). Метод
суммирования Г. Ф. Вороного (489). Улучшение сходимости ряда Фурье по
А. Н. Крылову (490).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 23. Теория аналитических функций; специальные функции ....
Распространение теории аналитических функций (492). М. Е. Ващенко-
Захарченко (493). Ю. В. Сохоцкий (494). Теорема Сохоцкого (495.)
Граничные свойства аналитических функций (496). Эллиптические и
гиперэллиптические функции (498). Б. Я. Букреев (499). Другие работы (500).
Историк теории аналитических функций И. Ю. Тимченко (501).
Исследования по цилиндрическим функциям; Н. Я. Сонин (502). Гамма-функция
(506). Функции и числа Вернул ли (506).
Глава 24. Геометрические исследования; вопросы математической логики
О. И. Сомов и векторное исчисление (509). Сети Чебышева (510). К. М. Пе-
терсон и московская геометрическая школа (511). Лекции В. Я. Цингера
(513). Работы по проективной геометрии К. А. Андреева и А. К. Власова
(513). Дифференциально-геометрические исследования Б. К. Млодзеев-
ского (515). Д. Ф., Егоров и его ученики (517). Геометрия в Казани;
Ф. М. Суворов (519). А. В. Васильев (520). А. П. Котельников и теория
векторов в неевклидовых пространствах (521). Д. Н. Зейлигер и
геометрия линейчатых пространств (525). Работы Д. М. Синцова по теории
коннексов (526). Основания геометрии (527). Геометрия в Одессе;
аксиоматика В. Ф. Кагана (528). С. О. Шатуновский и теория измерения
многогранников (531). Аксиомы учения о величине (533). П. С. Порецкий
и алгебра логики (534). И. В. Слешинский (535). Проблема закона
исключенного третьего (536).
Глава 25. Исследования по алгебре
Вычисление корней (538). Решение алгебраических уравнений в
трансцендентных функциях (539). Теория групп (540). Распространение теории
групп в России (545). Возникновение Киевской алгебраической школы
(547). Д. А. Граве (547). Ученики Д. А. Граве; О. Ю. Шмидт (552).
С. О. Шатуновский и теория Галуа (554). Гиперкомплексные числа
(555). Диссертация П. Э. Ромера (557). Ф. Э. Молил (557).
Глава 26. Возникновение московской школы теории функций
Теория множеств и теория функций (559). Первые работы по теории
функций в России (562). Теория функций в Московском университете (563).
Теорема Д. Ф. Егорова (565). Н. Н. Лузин (565). Теорема о С-свойстве (566).
«Интеграл и тригонометрический ряд» (567). Ученики и последователи
Лузина (573).
Заключение
Именной указатель
492
509
538
559
578
579
6

ПРЕДИСЛОВИЕ
Русские математики вступили на путь самостоятельного научного
творчества в двадцатые годы прошлого столетия. К этому времени
относятся исключительные по идейной глубине и смелому новаторству
исследования Н. И. Лобачевского, открывшего целый мир неевклидовой
геометрии, и выдающиеся труды М. В. Остроградского по
математической физике и интегральному исчислению. Вскоре затем (в середине
ж второй половине XIX века) П. Л. Чебышев получил фундаментальные
результаты в теории чисел, далеко продвинулся в разработке созданной
им теории наилучшего приближения функций и поднял на неизмеримо
более высокий уровень теорию вероятностей. Вместе с тем он организовал
и возглавил Петербургскую математическую школу, к которой
принадлежали крупнейшие математики конца XIX и начала XX вв.: А. А. Марков,
проложивший новые пути в теории вероятностей (марковские цепи),
А. М. Ляпунов, творец важных отделов математической теории
устойчивости, Е. И. Золотарев и Г. Ф. Вороной, авторы замечательных
открытий в теории квадратичных форм и в алгебраической теории чисел и
другие ученые. Петербургская школа пользовалась всемирным признанием.
Будучи ведущей в России до самой Великой Октябрьской
социалистической революции, она не являлась единственной. В университетах Москвы,
Казани, Киева, Одессы, Тарту, Харькова складывались другие
направления, подготовлялись большие научные школы анализа, геометрии,
алгебры и т. д., которым предстояло в дальнейшем сыграть
первостепенную роль. Так, еще до 1917 г. в Москве началось формирование школы
теории функций действительного переменного, особенно ярко
представленной в то время Н. Н. Лузиным.
Необычайный расцвет математического творчества наступил после
Октябрьской революции. Успехи, достигнутые в течение первых же лет
после 1917 г., были немыслимы в других общественных условиях.
Повсеместное расширение сети средних и высших школ, создание научных
институтов и разветвленной системы аспирантуры, широкая
демократизация образования, ставшего доступным всем слоям населения и всем
национальностям, издание огромной учебной и научной литературы,—
все это, вместе с революционным творческим порывом учащейся
молодежи и многих ученых старших поколений, быстро выдвинуло советскую
математику на одно из самых первых мест в мире. По размаху, качеству
и значимости математических исследований Советский Союз ныне не
уступает ни одной стране.
Вместе с тем успехи математики в СССР и его отдельных республиках
тесно связаны с предшествующим развитием математики и
математической культуры в России. Скромная и почти забытая теперь работа
математиков допетровского времени, в частности безымянных
авторов рукописей XVII века, явилась предпосылкой первого
изданного у нас печатного руководства — энциклопедической «Арифметики»

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Л. Ф. Магницкого (1703). Возникшие при Петре I военно-технические
школы сразу стали важным рассадником математической образованности.
Основание в 1725 г. Академии наук в Петербурге сообщило мощный толчок
усвоению и дальнейшему развитию у нас математических открытий
Декарта и Ферма, Ньютона и Лейбница. Гений Л. Эйлера, для которого
Россия стала родной страной, оказывал из Петербурга мощное влияние на
прогресс математических наук во всей Европе. Научно-просветительная
и педагогическая работа Эйлера и его учеников, последователей или
ближайших преемников — С. К. Котельникова, С. Я. Румовского,
Н. Г. Курганова, Н. И. Фусса, С. Е. Гурьева и др. немало содействовала
улучшению преподавания во всех учебных заведениях страны, число
которых на протяжении XVIII века постепенно возрастало. Эта работа
подготовляла и ту реформу системы образования, которая была начата
еще в конце XVIII века, но проведена лишь в начале XIX века.
Составной частью реформы явилось открытие первых
физико-математических факультетов, в которых получили свои путевки в научную жизнь
в Казани Лобачевский, в Харькове — Остроградский, в Москве —Чебышев.
Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена истории
математики в России со времен, от которых сохранились в нашей стране
первые математические памятники, т. е. с XI — XII вв., до Октябрьской
революции. Основное место занимает изложение собственно научных
исследований с учетом развития математики за рубежом. Истории
математической культуры — образования, литературы, обществ, съездов
и т. д., естественно, отведено меньше места. Описание отдельных, даже
весьма крупных открытий, ограничивается, как правило,
характеристикой основных идей и результатов; проведение доказательств увеличило
бы объем книги во много раз. Читатель, желающий ознакомиться с каким-
либо вопросом подробнее, найдет в книге необходимые литературные
ссылки, как на первоисточники, так и на исторические работы о них.
Я ограничиваюсь историей математики в России и не касаюсь
математики в Средней Азии или Закавказье, тем более, что по этому вопросу
имеется своя собственная литература. Как известно, имеются также
подробные обзоры развития математических наук в СССР, доведенные до 1957 г.
Подготовляя книгу к печати, я опирался как на собственные работы
в этой области, которые веду уже свыше 25 лет, так и на работы других
исследователей. При подготовке настоящей книги литература, изданная
до начала 1966 г., учтена по мере возможности полностью. Как правило,
я старался знакомиться с первоисточниками. Там, где материал
приходилось брать из вторых рук, это указано в литературных ссылках.
Календарные даты приведены по новому стилю, за редкими, особо
оговоренными исключениями.
Я не претендую на исчерпывающую полноту описания. Многое
просто не умещалось в установленный объем книги, многое — и, быть
может, еще большее, до сих пор вовсе не изучено. За любые указания
на пробелы в изложении я буду благодарен каждому, кто пожелает мне
об этом письменно или устно сообщить.
Я весьма благодарен Г. Ф. Рыбкину и А. Ф. Лапко за большую
работу при подготовке книги к печати.
Москва,
май 1966 г.
А. Юшкевич

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА В РОССИИ
ДО НАЧАЛА XVIII ВЕКА
ГЛАВА ПЕРВАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
Первые сведения о развитии математики, именно арифметики, на
Руси относятся к IX — XII вв., к эпохе процветания и упадка киевской
«империи Рюриковичей».
Арифметических знаний требовала практическая деятельность людей:
расчеты в торговле, выкладки, связанные с обложением податью, а также
с нуждами строительства и военного дела. Без них невозможно было
составление календаря. Без них, так же как без знакомства с некоторыми
свойствами геометрических фигур, невозможно было понимание ряда
основных фактов в астрономии.
Древнерусская нумерация. В то время как народы средневековой
Западной Европы переняли римскую нумерацию, в России получила
распространение десятичная алфавитная нумерация, сходная с той,
которой пользовались вслед за древними греками византийцы. В Византии
была в ходу так называемая теперь ионийская нумерация, восходящая
примерно к V веку до н. э. и основанная на греческом алфавите из
24 букв, обозначавших по порядку числа от 1 до 9, десятки и сотни,
с тремя исключениями из этого правила: 6, 90 и 900 обозначались
с помощью особых знаков «вау», «коппа» и «сампи», которые в греческом
письме не употреблялись х). Возможно, что до создания специальной
азбуки, приспособленной к фонетическим особенностям славянской речи,
славяне, находившиеся в тесных связях с византийцами, пользовались
при письме греческими алфавитом и нумерацией. Затем в
южнославянских землях были разработаны два славянских алфавита — глаголица,
буквы которой имели также числовое значение, и кириллица, в короткое
время вытеснившая глаголицу.
На Руси кириллица получила распространение вскоре после ее
введения у балканских славян, вероятно, при великом князе киевском
Владимире Святославиче (978—1015); ею написаны уже древнейшие
рукописи XI века. Создатели кириллицы использовали греческий алфавит,
но в широкой мере учли потребности славянского языка. На этой
азбуке основывалась и древнерусская нумерация, применявшаяся без
х) Об ионийской нумерации см. М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра
в древнем мире, М., 1967.

10
ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
существенных изменений до XVII века включительно х). Числа от 1 до 9,
десятки и сотни изображались с помощью последовательных букв.
Из этого правила имелось несколько исключений. Так, число 2
обозначалось третьей буквой «веди», а не второй «буки», не получившей числового
значения, ибо у византийцев это число выражалось буквой Р, которую
на Руси передавали звуком В. «Фита», стоящая в славянском алфавите
предпоследней, соответствовала 9, подобно греческой 0, а буква «живете»,
которой нет в греческом алфавите, числового значения не получила.
Отступления от правила имеются также в обозначениях десятков и сотен.
Так, знаком 90 долго служила упомянутая «коппа» q , а затем, не
позднее XIV века, ее сменила похожая буква «червь», сначала лишенная
числового значения. 900 вначале изображались «малым юсом», несколько
сходным с «самни», позднее же буквой «цы», быть может, под влиянием
глаголицы, в которой графема «цы» изображала 900.
Приведенная здесь таблица (рис. 1) дает ясное представление о
славянском алфавите в цифрах. Буквы написаны в ней строгим уставом,
который с XIV века все чаще заменяется более простым и беглым
полууставом, а затем скорописью. Для выделения чисел и записи над их
знаками ставился еще особый значок ~ — титло. Титло, которому в
греческой нумерации соответствовала черта, ставилось иногда над каждой
буквой —цифрой, иногда только над первой или же над всем числом.
В некоторых рукописях числа выделялись с обеих сторон точками.
Тысячи обозначались теми же буквами алфавита, у которых внизу слева
ставился знак в виде перечеркнутой черточки, например ^ = 1000,^=3000.
Греки и византийцы применяли с той же целью значок в виде штриха.
При помощи цифр и этого знака можно было непосредственно обозначить
все целые числа до одного миллиона 2).
При записи чисел больше 10 цифры писали слева направо в порядке
убывания десятичных разрядов так, как теперь. Описанный порядок не
всегда соблюдался только для чисел от 11 до 19. В согласии с
произношением этих девяти чисел, при котором единицы называются ранее десяти
(одиннадцать — один на десять и т. п.), числа 11, 12 и т. д. иногда
записывали так: д| ? bj и т. д. Знак тысяч слева ставился при каждой цифре,
означающей то или иное количество тысяч: пропуск этого знака повлек
бы за собой изменение числового значения записи. Например,
ТКЛ = 321
Д КЛ = 300021
Д^КЛ =320001
7ДЛ = 321000
Для единиц более высоких десятичных разрядов имелись специальные
названия и обозначения. Описание развитой системы таких числительных
г) Р. А. Симонов, О некоторых особенностях нумерации, применявшейся
в кириллице; JI. П. Жуковская, К истории буквенной цифири и алфавитов
у славян. В сб.: Источниковедение и история русского языка, М., 1964.
2) Иногда значок тысяч перечеркивали только один раз, а случалось, что и
три раза.

ДРЕВНЕРУССКАЯ НУМЕРАЦИЯ
11
и знаков мы находим в рукописях XVII века, но несомненно, что она
возникла не позднее XV века. Наиболее употребительный счет велся
на тьмы (десять тысяч), легионы или легеоны (десять тем) и леодры (десять
Рис. 1. Славянский алфавит и цифры (звездочкой помечены буквы,
исключенные впоследствии из русского алфавита; двумя звездочками — буквы, у
которых изменилось начертание).
легионов) 1). Вот как именовалось при этом число 9 876 543 210: «девять
тысящ леодров и восмьсот леодров и семьдесят леодров и шесть леодров
г) Слово тьма означало в обычной речи огромное, не поддающееся пересчету
количество; в смысле 10 000 оно встречается уже в XII веке. Слово легион,
вероятно, связано с наименованием крупного римского воинского подразделения,
состоявшего из 10 когорт. Происхождение термина леодр — неясно.

12 ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
и пять легионов и четыре тьмы и три тысящи и двесте и десять»*). Нередка
в рукописях встречаются и более высокие разряды той же системы —
враны, т. е. вороны (десять леодров), и колоды (десять вранов). Тьмы
обозначали (рис. 2), обводя знаки единиц кружком, легионы с помощью
кружков из точек, леодры — кружками с лучиками 2), а враны —
кружками из крестиков, или же ставя по бокам знака единиц букву «како».
Колоду иногда обозначали, как показано на рисунке, но имелись и другие»
Тьмы (д), (в), . . .
Легионы { А }, (' В } • • .
Леодры = А с, |В |, ...
Враны i Дх5, {KJ, . . . , или же КАК, КЕК
Колода А
Рис. 2. Примеры обозначения древнерусских
единиц для высоких девятичных разрядов.
обозначения. Наиболее ранняя запись десятков тысяч с помощью кружков
встречается в одной новгородской грамоте на бересте XIV века (рис. 3) 3).
Наряду с такой системой, иногда называвшейся «малым числом»,,
существовала и другая —«великое число», применявшаяся «коли
прилучался великий счет и перечень» (перечень значит число). Здесь тьма
Рис. 3. Фоторепродукция прориси берестяной грамоты № 342 первой половины
XIV в. В верхнем ряду изображены цифры 1, 2, 3 (частично) 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40,
(частично); в среднем 60, 70, 80, 90, 100, 200 (частично), 300, . . ., 700; в нижнем
ряду 2000, . . ., 9000, 10 000, . . ., 40 000 (от 50 000 остался след).
означала тысячу тысяч, т. е. 106, легион — тьму тем, т. е. 1012, леодр —
легион легионов, т. е. 1024, вран —леодр леодров, т. е. 1048, и колода —
десять вранов, т. е. 1049.
О границе счета в рукописях нередко сказано: «И боле сего несть
человеческому уму разумети, токмо един бог весть» 4), но не в том смысле,
что больших чисел не существует, а в том, что «сего боле несть числа
х) Рукопись Арханг. Д. — 478 Библиотеки АН СССР в Ленинграде, л. 51.
2) Иногда, наоборот, для легионов применялись кружки с черточками, а для
леодров — кружки с точками.
3) Р. А. Симонов, Числовые грамоты на бересте XIII—XIV вв. и
некоторые вопросы истории кирилловской нумерации. В сб.: Хиляда и сто години сла-
вянска писменост, София, 1963, стр. 290.
4) Рукопись Э/РБ—40 Отделения ист. русской культуры Государственного
Эрмитажа, л. е^ об.

МЕТРОЛОГИЯ
13
в словенстем языце» х). Как «малое», так и «великое число» в XVII веке
уже начинали выходить из употребления вместе с алфавитной нумерацией.
Следует заметить, что с двоякими значениями названий высших
десятичных разрядов мы встречаемся и в древнекитайском и в
западноевропейском счете, который также начал обогащаться на исходе средних
веков новыми числительными. Так, вслед за появлением в Италии
XIV века слова «миллион», во Франции в конце XV века вводятся
термины: биллион, триллион, квадриллион и т. д. для степеней миллиона:
(106)2, (106)3, (106)4, ... В XVII веке во Франции (и в XIX веке в США)
слова: биллион, триллион, квадриллион и т. д. получили значения
степеней тысячи: 109, 1012, 1015, . . ., между тем как в Германии и Англии
они продолжали обозначать по-прежнему 1012, 1018, 1024, . . .
Алфавитная славянская нумерация применялась несколько веков,
и ньшешняя десятичная система, основанная на применении десяти цифр
О, 1, 2, . . ., 9 и принципа поместного или позиционного значения
(согласно которому значение всякой цифры определяется ее местом в записи
числа), начала вытеснять ее лишь в XVII веке. Алфавитная нумерация
менее совершенна, чем современная, и значительно менее удобна для
обозначения больших чисел и действий над ними. В IX—XI вв.
десятичная позиционная система была известна еще только в Индии и в
мусульманских государствах. Проникать в Западную Европу она начала
в XII веке. Вычисления при помощи алфавитной системы с небольшими
числами труда не представляют. В случае больших чисел она удобнее
для записи и выкладок, чем широко распространенная до XV века
в Западной Европе римская нумерация.
Метрология. Большую роль во всей хозяйственной жизни имеют
системы мер; они участвуют и в различных математических расчетах
и измерениях 2).
Три основные древнерусские меры длины носят названия частей тела.
Меньшая мера — малая пядь — является расстоянием между
раздвинутыми большим и указательным пальцами и соответствует примерно 19 см;
большая пядь — расстояние между большим пальцем и мизинцем —
около 22—23 см (отсюда название икон, имеющих в ширину 19 или 23 см,—
«пядницы»). Большая часть кирпичей XII века имеют ширину также
пядь в 19 см. Локоть есть расстояние от локтевого сочленения до концов
вытянутых пальцев и соответствует двум большим пядям; и эта единица
измерения имела свой вариант — локоть со сжатыми пальцами, размером
в две малые пяди. Такова обычная ширина холста, чрезвычайно
устойчивая и повсеместная, идущая из глубокой древности.
Единица сажень — расстояние от ступни до конца вытянутой вверх
руки (примерно 215 см) при росте человека 170—172 см. Величина другого
вида этой единицы измерения, так называемой простой сажени, определена
историками при помощи надписи на Тмутараканском камне, содержащей
сведения о промере ширины Керченского пролива. Результат этого
интересного измерения «по леду от Тмутороканя до Корчева» (Керчи),
произведенного в 1068 г., выразился в 14 000 сажен. Величину простой
сажени определяют отсюда в 150—158 см. Она составляет расстояние
между большими пальцами рук человека среднего роста, вытянутых в
г) Рукопись Э/РБ — 40 Отделения ист. русской культуры Государственного
Эрмитажа, л. д. об.
2) Подробнее см. Л. В. Ч е р е п н и н, Русская метрология, М., 1944. Он же,
Русская хронология, М., 1944.

14
ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
стороны. При последовательном делении ее на 4 и на 8 получаются
известные уже нам малые локоть и пядь. По-видимому, простая сажень
предшествовала обыкновенной, трехаршинной.
Для определения больших расстояний в Древней Руси существовала
верста, или поприще. Все эти термины: пядь, локоть, сажень, верста,
поприще встречаются уже в XI — XII вв. Меры длины, как и другие
меры, не отличались устойчивостью и в период феодальной
раздробленности в России колебались от одного княжества к другому, а вместе
с тем изменялись во времени. Подобная же пестрота мер характерна
была и для других феодальных стран в средние века, а иногда и позднее.
Система мер, употреблявшаяся в России до введения метрических мер
по декрету Совета Народных Комиссаров РСФСР от 14 сентября 1918 г.,
в основном установилась в XVII веке; установление ее явилось одним
из следствий объединения различных частей страны в единое
централизованное государство с единым рынком, валютой и законами 1).
Меры поверхности находились в тесной связи с мерами сыпучих тел,
прежде всего зерновых культур. В Киевском государстве и феодальных
княжествах XIII — XV вв. главными мерами сыпучих тел служили кадь
(киевская кадь — примерно 14 пудов ржи, а московская— примерно 24 пуда)
и ее подразделения: 1 кадь = 2 половникам = 4 четвертям = 8
осьминам. В XVI — XVII вв. кадь и половник из обихода исчезают и
основной мерой становится четверть (равная примерно 6 пудам ржи) и ее
двоичные или троично-двоичные подразделения: 1 четверть = 2
осьминам =4 полуосьминам = 8 четверикам = 16 получетверикам и т. д.=
= 3 третям = 6 полтретям = 12 пол-полтретям и т. д. Меры земельной
поверхности определялись первоначально тем средним количеством ржи,
которая на них высевалась. Основные дореволюционные меры
поверхности— десятина и четверть появляются в XIII —XV вв., причем две
четверти составляли десятину2). Четверть (или четь) представляла собой
площадь, на которой высевалась четверть ржи. Четверти — меры
поверхности — делились на более мелкие меры совершенно так же, как
четверти — меры сыпучих тел. Мы еще вернемся к некоторым
особенностям старинной русской системы земельных мер, ибо с ними впоследствии
связана была раскладка налогов, а денежные расчеты податного
обложения сыграли немалую роль в развитии некоторых частей арифметики.
У всех народов на определенной ступени культуры наблюдается
тесная зависимость между весовой и денежной единицами.
Весовой и одновременно денежной единицей в Киевском государстве
была гривна. Происхождение ее не византийское, а скорее всего
восточное — результат тесных торговых связей Руси с Востоком. Находимые
в изобилии в кладах серебряные слитки — русские гривны — по весу
соответствуют почти в точности арабскому фунту — ротлю (409,5 г),
который арабы заимствовали в Ираке. Вес золотой монеты Владимира
Святославича составляет 1/96 часть позднейшего русского фунта, или
золотник, т. е. соответствует арабскому золотому динару. Следовательно,
древнерусская гривна соответствует позднейшему фунту и представляет
собой очень давнюю единицу русских мер веса. Слово золотник
встречается в ряде документов Киевской эпохи, так же как пуд и берковец.
Однако неясно, означал ли первоначально золотник специфическую
г) В стандартной дореволюционной системе русских мер одна верста =500 саж.^
«1066,8 ж, одна сажень = 3 арш. « 213,4 см, один аршин = 16 вершкам «71,1 см.
2) Одна десятина = 80 X 30 кв. саж. = 2400 кв. саж. = 1 га 925 кв. ж.

ПЕРВЫЕ СИСТЕМЫ ДРОБЕЙ
15
весовую единицу или золотую монету. Точно так же не известен
первоначальный вес пуда и берковца. Впоследствии установились
соотношения: 1 берковец = 10 пудам, 1 пуд = 40 фунтам, т. е. 16,4 кг.
Более древними обозначениями понятия «деньги» в русском языке
были слова «скот» и «куны», так как первыми мерилами ценности и
платежными знаками при возникновении обмена у славянских племен
явились домашний скот и меховые шкурки лесных зверей («куны»— куницы).
Вплоть до XV века, а кое-где и позднее, шкурки куниц и белок или
только их мордочки —«мордки» и отрезки —«резаны» продолжали
служить мелкой монетой. Вместе с тем уже в Киевской Руси денежная или
кунная система существенно опиралась на систему металлических единиц,
слитков или монет. Вначале, видимо, основная крупная единица — гривна
подразделялась на 20 ногат х), а также на 25 кун и 50 резан. Чеканка
монет прекратилась в конце XI века и возобновилась два или три века
спустя. В период феодальной раздробленности в Москве, Новгороде,
Пскове и т. д. имелась своя особая валюта, затем в ходе объединения
страны постепенно создается общая денежная система.
В XIII — XV вв. основной единицей в Москве становится рубль —
серебряный слиток, представлявший собой половинный обрубок прежней
гривны, весом в полфунта или 48 золотников, т. е. 204,76 г. Более мелкими
единицами являлись полтина (1/2 рубля) и деньга (сначала 1/100 рубля).
В Новгороде рублем тогда служил слиток или монета почти вдвое
большего веса. В обращении были также алтыны, монета в 6 денег 2). Иван III
(1462—1505) запретил удельным князьям чеканку собственной монеты,
а в начале царствования Ивана Грозного (1533—1584) была установлена
денежная система, единая для всего государства. Были введены
серебряные копейки в 1/100 рубля 3), деньга получила значение полкопейки,
гривна, гривенник — десяти копеек. В ходу долгое время, частью до наших
дней, сохраняются деньги, алтыны, полтины и другие единицы, но
основными оказываются рубль, гривенник и копейка. Тем самым русская
денежная система приобрела в главном десятичную структуру. Мы
увидим, что это отразилось и на судьбе русских счетов.
Первые системы дробей. Простейшие из дробей, 1/2 и 1/3, были
известны с незапамятных времен. Затем путем деления пополам этих
основных в обиходе дробей возникли два ряда дробей — двоичный
и троично-двоичный. Оба они возникли вместе с описанными выше
аналогичными подразделениями мер, особенно мер сыпучих тел и земельных
поверхностей. Эти два ряда были: а) 1/2, 1/4 (четь или четверть), 1/8
(полчети или полчетверти), 1/16 (пол-полчети), 1/32 (пол-пол-полчети,
или малая четь) и т. д. и б) 1/3, 1/6 (полтрети), 1/12 (пол-полтрети), 1/24
(пол-пол-полтрети, или малая треть) и т. п.
При помощи сложения или вычитания таких основных дробей нередко
выражали другие дроби, например: 11/24 есть треть и пол-полтрети и
х) От арабского «нагд», что значит полноценная, хорошая монета.
2) Слово деньга произошло от названия татарской монеты «данги» или «тенга»
и т. п., в свою очередь восходящего к наименованию весовой и денежной единицы
«данг», бывшей в употреблении в Средней Азии и Иране. Татарского же
происхождения, вероятно, слово алтын, от «алтын» — шесть или «алтун» — золото. Имеются
и другие гипотезы о происхождении этого термина.
3) Слово «копейка» в русском языке встречается с XV века и возникло из
татарского названия монеты «динарь — копеки» =1/6 тенги. С 1704 г. копейки
изготовляли уже из меди.

16
ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
11 1 1 1
пол-пол-полтрети, т. е. ^ = у+ 79 + 97» а ^^ есть тРеть ^ез пол"пол"
29 1 1
полчетверти, т. е. об = ~з"~~з2- ^ти ДБа Ряда ДР°бей играли особенную
роль при расчете податей и составляли важную часть сошного письма,
как именовалась в XVI — XVII вв. совокупность приемов поземельного
налогового обложения.
Для названия целого числа единиц без половины ставилась перед
названием этого числа единиц приставка «пол». Полтретьи (не полтрети)
обозначало, таким образом, 2 1/2, полчетверты — 3 1/2, полшесты —
5 1/2 и т. п. До сих пор говорят: полтора (пол-втора) и при счете времени:
полтретьего, полшестого.
Математические памятники Киевской Руси, В X—XI вв. Киевское
государство достигло высокой степени могущества и культурного
расцвета. Оно поддерживало связи с Византией и Западной Европой.
При Владимире Святославиче в Киеве была основана для детей
приближенных к нему людей школа, в которой обучение велось по образцам
византийских школ; при Ярославе Мудром (1019—1054), как
свидетельствует летопись, переписывалось много книг. При княжеских дворах,
в церквах и монастырях появляются библиотеки. Наряду с Киевом
крупным культурным центром страны был Новгород, с его высоко
развитыми ремеслами и торговлей, которую он в широких размерах вел
и с заморскими странами. Летопись сообщает об открытии школы в
Новгороде Ярославом Мудрым, который «прииде к Новугороду собра от
старост и поповых детей триста учити книгам». Начальная
арифметическая грамотность не была редкостью даже среди простых новгородцев
XII — XIII вв.1). Однако до нас почти не дошло сведений о
математических знаниях того времени: в бесчисленных пожарах и разрушениях,
которые принесли с собой нашествия татар, погибли почти все рукописи,
за редчайшими исключениями. Сохранились только единичные
письменные свидетельства, знакомящие нас с математикой Киевской Руси далеко
не полностью.
Одним из исторических документов является «Правда Русская»—
сборник юридических установлений, регламентирующий наказания,
в частности, штрафы за всякого рода преступления. «Правда Русская»
была составлена в XI — XII вв. и дошла до нас в нескольких редакциях,
рукописи которых восходят к XIII — XV вв. Сочинение служит
драгоценным источником по метрологии. Наиболее интересные вычисления
имеются в статьях, входящих в состав так называемой Софийской
летописи 2), в которых идет речь о приплоде от скота и пчел и его стоимости,
о прибытке от высева хлебных злаков и т. п. Несомненно, что эти статьи,
по характеру совершенно отличные от всех других параграфов сборника,
и во многих редакциях отсутствующие, являются произвольной вставкой
каких-то переписчиков. В нескольких случаях здесь находится сумма
геометрической прогрессии со знаменателем 2. Так, указано потомство
от 22 овец за 12 лет, при невысказанном допущении, что вначале было
также 22 (или 21) барана, что каждая овца приносит за год по овце и
барану и что все потомство выживает. Через 12 лет овец будет 90112, баранов
столько же или на одного меньше. Указана также цена всего стада через
х) Л. Е. Майстров, О математических знаках и терминах, встречающихся
в археологических памятниках Древней Руси.— Ист.-матем. исслед., вып. X, 1957.
2) «Правда Русская», под ред. Б. Д. Грекова, М.—Л., 1940, стр. 352 и след.

КИРИК НОВГОРОДЕЦ
17
12 лет, если овца стоит 6 ногат, а баран 10 резан; цена —«40 000 гривен
и 5000 гривен и 50 гривен и 5 гривен и 40 резан» г) подсчитана для случая,
когда баранов вначале было 21. Принятая скорость размножения овец
недалека от действительной. Вместе с тем практического значения такой
подсчет, сделанный в допущении выживания всего стада за 12 лет, иметь
не мог. Статья возникла как обобщение и вместе с тем упрощение
наблюдаемых явлений. Такова же статья о приплоде от 22 коз. В аналогичной
статье о свиньях числовые данные между собою не согласуются и
внушают недоверие 2), но, по-видимому, и тут имелась в виду прогрессия
со знаменателем 2. В нескольких других статьях числовые данные не
подходят под какое-либо простое правило; возможно, что эти данные при
переписке были искажены.
Задачи на геометрические прогрессии привлекали математиков
с древнейших времен. Как вычисляли авторы математических статей
«Правды Русской», неизвестно. Впрочем, им требовалось немногое:
складывать, умножать на 2, 6 и 10, делить на 50. Более сложные расчеты нужны
были в календарных и хронологических расчетах, результаты которых
мы находим в древнейшем русском математическом сочинении, дошедшем
до нас целиком и принадлежащем новгородскому ученому Кирику.
Кирик Новгородец. В хозяйственной и гражданской жизни всех
народов большое значение имеет календарь, который является основой
и всякой хронологии. Свой календарь имели с древности и славянские
народы; о нем мы почти ничего не знаем. С принятием христианства
в Киевской Руси получил распространение юлианский календарь,
введенный в Римской империи в I веке до н. э. и слегка модифицированный
в Византии. Счет лет велся от «сотворения мира», именно с 5508 г. до
н. э., а днем Нового года было, как и в Византии, 1 сентября. В народе,
впрочем, широко принято было новый год начинать по старинному обычаю
в марте, когда наступает весенняя погода. Современное летосчисление
ввел с 1 (11) января 1700 г. Петр Великий, а старый юлианский стиль
был заменен новым григорианским с 14 (1) февраля 1918 г.
Календарь нужен был не только для регулирования земледельческих
работ и всей гражданской жизни, но и для своевременного отправления
церковных праздников. Эти праздники делятся на неподвижные, которые
имеют место всегда в одни и те же дни года, и переходящие, которые
в разные годы могут падать на разные дни. Переходящими являются
и дни некоторых постов. Все переходящие праздники и посты твердо
связаны с наступлением пасхи. Крупные деятели христианской церкви
неоднократно посвящали труды вычислению пасхалий. Уже английский
клирик Беда, прозванный Достопочтенным (672—735), считал нужным
обучать в церковных школах астрономии и арифметике, чтобы
разбросанные по разным местностям священники могли сами правильно
назначать переходящие праздничные дни.
Вычисление дня наступления пасхи представляет собой довольно
сложную математическую задачу. Согласно старинным правилам пасха
должна праздноваться в первое воскресенье вслед за весенним
полнолунием, наступающим не ранее дня весеннего равноденствия 21 марта и не
х) Автор этого текста не пользуется для обозначения 10 000 словом тьма, как
и для 100 000 словом легион. Видимо, эти термины были еще мало употребительны,
а второй из них, быть может, тогда вовсе не существовал (ср. стр. 11).
2) А. П. Юшкевич, О некоторых статьях «Правды Русской»,— Труды Ин-та
ист. естеств., т. II, 1948.

18
ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
позднее 18 апреля. Поэтому первый день пасхи бывает не ранее 22 марта
и не позднее 25 апреля. Не вдаваясь в некоторые, впрочем, существенные,
детали, мы отметим следующие наиболее важные для вычисления пасхалии
моменты. Прежде всего, лунный месяц, который длится чуть более
29,5 суток, почти целое число раз содержится в 19 солнечных годах
по 365,25 суток. По истечении 19-летнего «лунного круга» в 235 месяцев
фазы Луны всякий раз пробегают одни и те же числа юлианского
календаря. С другой стороны, в календарном году содержится 52 недели и один
или два дня, в зависимости от того, простой год или високосный. Поэтому
какой-либо день недели, например, первое мартовское воскресенье,
перемещается по различным числам, совершая периодический цикл
в 28 лет, так называемый «солнечный круг». В результате дни пасхи
перемещаются по числам календаря в определенной последовательности за
период в 28 х 19 = 532 года. По прошествии этого «великого круга»
или «великого индиктиона» весь цикл передвижения дня пасхи
повторяется *). Заметим еще, что при определении дней мартовских воскресений
исходили из того, что в году, предшествовавшем началу христианского
летоисчисления, воскресеньями были 7, 14, 21 и 28 марта.
С математической точки зрения вычисление дня пасхи приводится
к решению в целых числах линейных неопределенных уравнений.
Пасхалии рассчитывали на много лет вперед, неоднократно проверяли
уже сделанные таблицы. В народе производили вычисления по руке
и пальцам. Составление простых и удобных формул, учитывающих
различные не упомянутые нами обстоятельства,— дело, требующего немалого
остроумия. Этой задачей не пренебрегали самые крупные ученые. К. Гаусс
опубликовал без доказательства найденные им правила в 1802 г. Н. И.
Лобачевский посвятил этой задаче несколько параграфов «Алгебры или
вычисления конечных» (Казань, 1834). Н. Я. Сонин напечатал в томе V
«Математического сборника» (1870) перевод большой статьи Г. Кинкелина
«Вычисление христианской пасхи».
Вопросам хронологии и календаря и посвящено «Учение им же ведати
человеку числа всех лет», т. е. «Наставление, как человеку познать
счисление лет» Кирика — первого русского математика, известного нам
по имени 2).
Мы располагаем о Кирике очень немногими сведениями. Родился
он в 1110 г.3), а в 1136 г., когда написал свое «Учение», состоял диаконом
Новгородского Антониева монастыря. Он был близок ко двору
новгородского епископа Нифонта, которому адресовано другое сохранившееся
его сочинение, содержащее вопросы относительно церковных обрядов
и допустимости некоторых обычаев. Кирик участвовал также в
составлении первой Новгородской летописи. Из «Вопрошаний Нифонту» видно,
что их автор был человеком болезненным.
Сочинение Кирика о счислении лет состоит из 27 пунктов. В начале
указан год, в котором оно написано, именно 6644 г. от «сотворения мира».
Далее указано, что от этого момента до настоящего времени прошло
79 728 месяцев, или 346 673 недели,— тут разъясняется, что в году
х) Мы не касаемся небольших отклонений от этих целых чисел, которые
сказываются лишь по истечении больших промежутков времени.
2) Текст этого сочинения был впервые опубликован в 1828 г. по неполному списку.
Более полный список (начало XVI века) издали с русским переводом Т. И. Коншина
и В. П. Зубов; примечания принадлежат последнему. См. Ист.-матем. исслед., вып. VI,
1953.
3) А не в 1108 г., как указывали прежде.

КИРИК НОВГОРОДЕЦ
19
52 недели и один с четвертью день, или 2 426 721 день или 29 120 652
дневных часа и столько же ночных, считая по 12 часов в дне и в ночи. 29
миллионов Кирик называет 290 несведиями. Этот термин для 100 000
встречается только в рассматриваемом сочинении, слово же легион здесь не
Рис. 4. Фоторепродукция страницы рукописи «Наставления»
Кирика Новгородца (рукопись начала XVI в. из Погодинского
собрания, № 76 в Гос. публ. библиотеке в Ленинграде, л. 343).
употребляется. С числовой записью в рукописи можно познакомиться
по прилагаемой фотографии (рис. 4). Такие выкладки были в XII веке
нелегким делом. Недаром Кирик сопровождает подсчет числа часов
замечанием: «по малу бо созидается град, и великий бывает, тако и

20
ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
видение [знание] по малу на много приходит»1). Все приводимые
результаты вычислены точно.
Затем сообщается, как находить солнечный и другие круги, что
«от Адама» прошло 237 солнечных кругов и нового круга идет 8-й год,
349 —«полчетвертаста без одиного»— лунных кругов и нового круга
идет 13-й год, а также 12 великих кругов и 13-го прошло 260 лет. В
заключение приведены данные о пасхалии, рассчитанной самим Кириком на
6644 г. В этом году пасха пришлась на 22 марта, т. е. была наиболее
ранней возможной. Кирик говорит, что так бывает редко и в ближайший раз
это повторится через 248 лет. Очевидно, что пасхальные таблицы были
вычислены по крайней мере на два с половиной века вперед. В последних
строках автор сообщает свой возраст в годах, месяцах, неделях, днях
и часах. Вычисления с большими числами доставляли ему несомненное
удовольствие.
Любопытно применяемое Кириком деление часа на пятые, двадцать
пятые и т. д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами».
Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500,
причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается.
Это, кажется, единственная пятеричная система деления часа; мы находим
ее затем лишь в некоторых русских рукописях XVI — XVII вв., уже
наряду с делением на минуты и секунды.
Почему же Кирик остановился на седьмых дробных? В. П. Зубов
объяснил это, предположив, что Кирик применил свои пятеричные
«часцы» к измерению длины астрономического года, исходя из
продолжительности 19-летнего цикла в 6940 суток2). Деление 6940 на 19 дает
в частном 365 суток и в остатке 5-24 = 120 часов. Деление 120 на 19
дает в частном 6 часов и в остатке 6. Остаток обращается в первые дробные
часы и 6-5 = 30 делится на 19 и т. д. Получив при седьмых дробных
в остатке 1, Кирик увидел, что умножение на 5 дает число, меньшее 19»
и потому объявил, что «не ражаются от седьмых дробных» 3).
Астрономический год выразится при этом как 365 дней 6 часов 1 первый дробный
час, 2 вторых дробных, 4 третьих, 2 четвертых, 1 пятый, 4 шестых и 1
седьмой. А. Е. Раик отметила еще, что от девятых дробных при делении
5-5 = 25 на 19 в остатке получается снова 6, как вначале, т. е. начинается
новый период бесконечной пятеричной дроби, так что «седьмые дробные
являются как бы естественным порогом, за пределами которого через
два шага картина циклически повторяется» 4). Не исключено, что Кирик
обратил внимание на такую цикличность.
Вопросы «философии математики». Математика в Древней Руси
не была ограничена кругом чисто практических вопросов и
хронологических вычислений. В образованных кругах пробуждался интерес и к более
отвлеченным вопросам.
В развитии европейской мысли средних веков большую роль сыграло
распространение воззрений Аристотеля. Идеи Аристотеля, в частности,
его учение о количестве, получили известность и в Киевском государстве.
х) Кирик Новгородец, Учение им же ведати человеку числа всех лет.—
Ист.-матем. исслед., вып. VI, стр. 178.
2) В. П. Зубов, Кирик Новгородец и древнерусские деления часа.—Ист.-
матем. исслед., вып. VI, 1953.
3) См. Ист.-матем. исслед., вып. VI, стр. 188.
4) А. Е. Р а и к, К вопросу о делении часа у Кирика Новгородца.— Ист.-матем.
исслед., вып. XVI, 1965, стр. 188.

ВОПРОСЫ «ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ»
21
Об этом прежде всего свидетельствует сборник болгарского
происхождения, составленный в 1073 г. для черниговского князя Святослава Яросла-
вича (1054—1076), так называемый «Изборник Святослава», самый ранний
Рис. 5. Фоторепродукция страницы из факсимильного издания
«Изборника Святослава» (СПб., 1880, л. 164).
памятник древнерусской письменности х). Наряду с текстами по
грамматике, логике, поэтике и пр. здесь имеются статьи, восходящие к
«Категориям» Аристотеля и трактующие о количестве как мере, посредством
х) Изборник Великого князя Святослава Ярославича 1073 года, СПб., 1880.

22
ГЛ. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В ДРЕВНЕЙ РУСИ
которой производится измерение и счисление, и о количественном, как
о том, что является измеряемым и счисляемым (рис. 5). «Количества же,—
сказано в сборнике,— ова суть разлучаема [одни дискретные], ова же
содержима [одни же непрерывные]» *); далее приводятся примеры и
пояснения. Более подробно те же вопросы рассмотрены в переводе
«Диалектики» византийского философа и богослова первой половины VIII века
Иоанна Дамаскина (ум. 749), дошедшем во многих списках. Хотя эти
списки начинаются с XV века, но сделаны со значительно более ранних
рукописей. У Иоанна Дамаскина даны античное определение числа как
собрания единиц, аристотелево определение непрерывных количеств,
как таких, чьи части соединяются общей границей («их же части к некоему
общему пределу совокупляются» 2)), указаны различные виды дискретного
{«содержащеся») и непрерывного («определеное») количеств. Последнее
делится на пять видов: тело, поверхность («явление»), линия («черта»),
место и время. В этой связи объяснено, что точка («срока») не имеет
измерения («расстояния»), линия — одно измерение и т. д. Количество
расчленяется также на конечное («убо есть в пределе») и бесконечное
(«беспредельно») и т. д.3).
Татарское иго. Так в X—XII вв. поднимались первые ростки
математики в России. Как в странах Западной Европы, так и в Киевском
государстве начиналось культурное пробуждение. На Западе знакомятся
с математикой арабоязычных народов, возникает борьба за внедрение
позиционной десятичной системы, переводятся арабские сочинения по
алгебре и тригонометрии. Около 1200 г. необычайно математически
одаренный пизанский купец Леонардо пишет знаменитый труд по
арифметике и алгебре Liber Abaci. В России, первоначально более связанной
с Византией, чем со странами ислама, развитие математики пошло иным
путем. Установление довольно оживленных государственных и
культурных контактов с рядом стран Западной Европы, казалось, предвещало
€ближение в ходе развития и в области математических наук.
Исторические судьбы сложились иначе. Раздираемая феодальными
междоусобицами, Киевская Русь не смогла противостоять полчищам татар. Она
заслонила собою лежащие к западу части Европы, но сама попала с середины
XIII века под тяжкое иго, которое на долгий срок задержало ее
культурный и научный прогресс. А. С. Пушкин как-то заметил, что татары не
походили на мавров: завоевав Россию, они не подарили ей ни алгебры,
ни Аристотеля. В общем итоге к началу Нового времени наша страна
значительно отстала от Западной Европы в науке вообще и в математике
в частности.
х) Изборник Великого князя Святослава Ярославича, л. 231 об. См. также
В. П. Зубов, К вопросу о характере древнерусской математики.— УМН, VII,
(3) 1952, стр. 84.
2) В. П. Зубов, цит. соч., стр. 86.
3) Там же, стр. 87—89.

ГЛАВА ВТОРАЯ
РУКОПИСИ XV—XVII вв.
Подъем Московского государства. Еще до разгрома войск Золотой
Орды Дмитрием Донским (1359—1389) в 1380 г. и окончательного
свержения татарского ига в 1480 г., его пагубное влияние постепенно слабеет,
хотя и продолжает тормозить развитие Русского государства. В XV веке
крепнет экономическое и политическое могущество Москвы и Новгорода.
В 1478 г. «Господин Великий Новгород» подчиняется Московскому
великому князю. Московское княжество уже со времен Ивана Калиты (1325—
1340) становится организующим началом Русского централизованного
государства, которое быстро расширяет свои границы, преодолевая
сопротивление русских феодальных князей и возвращая силой земли на
востоке и западе, на юге и севере, захваченные в период ига. С
укреплением и объединением Русского государства в XV — XVI вв., с
постепенным экономическим подъемом страны и ростом городов были связаны новые
запросы общества к математике. Большое государственное значение
приобрели межевание и измерение земель и раскладка податей. Увеличивался
торговый оборот внутри страны и с иноземными государствами, а
вследствие этого рос интерес к практической арифметике и практической
геометрии. Коммерческие и землемерные задачи оказывали длительное
и плодотворное влияние на развитие средневековой математики во всех
странах, в том числе и в России. Усиливается потребность в
математических знаниях среди строителей и военных. Исследователи истории
русской иконописи, а также гражданского, церковного и военного зодчества
подчеркивают выдающееся значение для этих отраслей искусства навыков
в практической геометрии, соблюдения определенных пропорций.
Организация войска и, особенно, артиллерии также требовали определенного
минимума математических знаний. В военной литературе тех времен
решен ряд задач на определение расстояний от далеких предметов или
высоты недоступных построек и т. п. Предъявляла свои запросы к
математике и церковь. Так, в конце XV века в Москве и Новгороде были
продолжены на несколько десятков лет вперед пасхальные таблицы
ранее доведенные до 1492 г., а в 1538 г. священник новгородского
Софийского собора Агафон рассчитал пасхальные даты до 7980 г., т. е. до 2472 г.
Наконец, и в сочинениях «светского», натурфилософского и
естественнонаучного содержания, которые имели довольно широкое
распространение среди интеллигентных людей, встречаются сведения по
математике.
Математических документов XV — XVI вв. сохранилось крайне
мало, но в книгохранилищах Советского Союза имеется много
десятков рукописных учебников математики, написанных неизвестными нам

24
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
авторами в разное время на протяжении всего XVII века г). Книги эти не
тождественны между собою. Одни включают арифметику и геометрию,
другие только арифметику или ее отдельные вопросы, либо же только
геометрию. В одних задач больше, в других меньше; есть рукописи с
пространными предисловиями на нескольких страницах, есть сочинения
с коротенькими введениями в несколько строк. Основное арифметическое
и геометрическое содержание в большинстве случаев почти одинаково.
Нередко правила и задачи во всех рукописях изложены в одних и тех же
выражениях. Можно с уверенностью сказать, что все эти учебники
восходят к одному или немногим прототипам, которые до сих пор не
обнаружены. Все же между рукописями имеются различия в составе задач
и даже общих правил. Кроме того, на протяжении XVII в. наблюдается
постепенно вытеснение алфавитной нумерации современной. В более
ранних сочинениях славянская нумерация применяется еще довольно
широко и переплетается с так называемой арабской; к концу столетия
она становится все более редкой и сохраняется почти исключительно для
ознакомления с современными цифрами.
Арифметика в рукописях XVII века. Изложению арифметики
предшествовало введение, в котором специально подчеркивалась
общественная полезность и ценность этой науки. Арифметика рассматривается как
одно из семи «свободных искусств», составлявших в средневековой Европе
основу высшего образования: грамматики, риторики (искусства
красноречия), диалектики (искусства вести спор), музыки (учения о гармонии),
арифметики, геометрии и астрономии. В рукописи № 681 из собрания
В. М. Ундольского, хранящегося в Государственной библиотеке
им. В. И. Ленина (это рукопись первой половины XVII века), арифметика
именуется «пятой мудростью в семи великих мудростях» и о ней сказано:
«Сия мудрость есть изыскана древними философи остропаримого разума,
нарицается арифметика, сиречь счетная — арифмос по-гречески счет
толкуется. Ею же состоится численная всякая мудрость: сим бо числом
может числить всякой счет малой и великой, елико мощно постигнути
человеческому разуму» 2). Отмечается общее воспитательное значение
арифметики: «Сия мудрость... и честь дарует, и ум человеческий высоко-
парив творит, и память укрепляет, и острых острее творит в разум».
Несколько далее арифметика разъясняет от своего лица приносимую
ею пользу: «Аз заочные, невидимые и предъочные дела объявляю: в
солнечном же и в лунном течении разум многим подаваю; и в морском
плавании и в земном верстании наставляю и меру указую; и в купеческих
вещех и во всяких числех недоумени разрешаю...», а далее вновь
подчеркивается: «Без сея мудрости ни един философ, ни доктор не может быти.
По сей мудрости гости по Государствам торгуют» 3) и т. д. При этом
сказано, что арифметика — слово греческое, что по-немецки она называется
алгоризма, а по-русски — цыфирная счетная мудрость.
г) Ср. К. I. Швецов, Б1бл1ограф1я староруських математичных рукопкпв.—
Станиславський Державний педагопчний шститут. Науков1 Записки, Ф1зико-мате-
матична cepia, вып. 1, Кшв, 1955.
В личной библиотеке проф. И. К. Андронова имеется рукопись, содержащая
большой отдел арифметики и относящаяся ко второй половине XVI века. Эта
рукопись, во многом сходная с позднейшими, остается пока, к сожалению,
неопубликованной.
2) Цит. по кн.: В. В. Б о б ы н и н, Очерки истории развития
физико-математических знаний в России (далее: Очерки...), вып. I, М., 1886, стр. 5.
3) Там же, стр. 6.

АРИФМЕТИКА В РУКОПИСЯХ XVII ВЕКА
25
Руководства по арифметике предназначались, впрочем, не столько
для изучения навигации и астрономии, хотя были люди, знавшие и
любившие астрономию, сколько для торговцев, чиновников государственных
учреждений, землемеров, управителей имений, ремесленников и т. п.
Этим определялось и содержание учебников.
Весь материал распределен на «статьи», следующие в общем порядку
возрастающей трудности вопросов и содержащие «строки» х) — правила,
поясняемые затем многочисленными и обычно весьма хорошо
подобранными задачами, опять-таки следующими в порядке усложнения. Во
многих случаях задачи позволяли не только усвоить, но и понять механизм
действия правила.
Однако никаких теоретических выводов или разъяснений не
сообщалось. В те времена во всем мире был чрезвычайно широко
распространен подобный метод обучения и изложения, обращенный более
к памяти, чем к уму учащихся. В западноевропейской литературе
руководства такого рода часто назывались «Практическими арифметиками»
(или геометриями), а немногочисленные учебники, содержащие
доказательства, именовались «Теоретическими арифметиками» (или,
соответственно, геометриями).
Прежде всего разъясняется современная десятичная позиционная
нумерация (рис. 6). Введение новой нумерации, обусловленное ростом
связей со странами Западной Европы, явилось событием огромного
культурного и научного значения. В XVII веке в России новая нумерация
употреблялась еще только узким кругом знатоков математики. Детей,
вместе со славянской грамотой, обучали алфавитной нумерации, которая
применялась почти во всех печатных книгах и в общежитии. К изучению
арифметических рукописей приступали, уже владея алфавитной
нумерацией. Об этом свидетельствует тот факт, что новые цифры поясняются
в рукописях не только словами, но и надписанными сверху алфавитными
знаками чисел.
В статье о нумерации читатель знакомился также с
произношением чисел. Здесь приводились сведения об упоминавшемся уже выше
счете тьмами, легионами и леодрами, как в «малом» числе, так и в
«большом».
Слова: миллион, биллион, триллион и т. п. введены были
Л. Ф. Магницким в его «Арифметике» 1703 г.
Отметим здесь же, что в книгопечатании, официальной
документации, монетном деле переход к позиционной системе происходил
постепенно.
Если не считать славянских книг, изданных за границей в 1611 и
последующих годах, то датой появления новых цифр в собственно русской
печати был 1638 г. (Псалтирь, изданная в местечке Евю). Затем эти цифры
встречаются на многих чертежах и текстах к ним в «Учении и хитрости
ратного строения пехотных людей» (М., 1647). Таблицы произведений до
100 х 100 в «Считании удобном, которым всякий человек купующий
и продающий зело удобно изыскати может число всякие вещи» (М., 1682)
даны еще в славянской нумерации. Даже в 1702 г. половина тиража
«Юрнала» об осаде Нотебурга была выпущена с алфавитными цифрами,
между тем как другая половина — с новыми. В «Арифметике»
Магницкого применяется лишь новая нумерация, но пагинация алфавитная
г) Слово строка, вероятно, есть перевод латинского regula, обозначающего
и правило, и линейку.

26
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
и так же дан год издания на титульном листе. После этого старая
нумерация исчезает из печати. В частности, «Книга считания удобного» была
Рис. 6. Примеры записи чисел славянскими и «арабскими» цифрами в
арифметической рукописи XVII в. (Гос. библиотека им. В. И. Ленина в Москве).
переиздана в новой нумерации (СПб., 1714). На русских монетах новые
цифры появились впервые в 1654 г.; в последний раз славянские цифры
были вычеканены на медных деньгах в 1718 г.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ СЧЕТ
27
Вслед за нумерацией излагались четыре первых действия над целыми
числами. Проверка вычитания производилась путем сложения разности
с вычитаемым, проверка прочих действий посредством числа 9. Проверка
девятью, известная еще древнегреческим и индийским ученым, основана
на том, что остатки от деления на 9 любого натурального числа и суммы
значений его цифр одинаковы. Если назвать такой остаток поверочным
числом, то, например, поверочное число суммы должно быть равно сумме
поверочных чисел слагаемых или, если эта вторая сумма более или
равна 9, поверочному числу этой второй суммы. При неравенстве названных
поверочных чисел сложение произведено безусловно неверно. Однако
это необходимое условие правильности результата не является
достаточным: поверочные числа могут оказаться равными и при неправильно
произведенном сложении. В этом легко убедиться хотя бы на примере
равенства 25 + 71 = 96 и 25 + 71 = 87, из которых первое — верное,
а второе — неверное. Впрочем, авторы рукописей формулировали
равенство поверочных чисел, как достаточное условие правильности выкладки;
так оно и бывает чаще всего в практике вычислителей. Для умножения
и деления правила проверки девятью формулируются сходно с правилом
проверки сложения (и вычитания).
При инструментальном счете (см. далее) все действия проверялись
€ помощью обратных. Так, в упомянутой на стр. 12—13 рукописи Э/РБ-40
Государственного Эрмитажа после описания умножения «костьми»
говорится: «А пытати хошь, гораздо ли счел или не гораздо умножал, и ты
пытай деловою строкою, которым перечнем умножал, тем и дели. Буде
з делу выдет такожде перечень, каков умножал, то гораздо столко.
Не таков, то не гораздо. Опять считай.» *). При действиях над дробями
каждая операция проверялась с помощью обратной.
Свойства арифметических операций были в то время выделены только
частично. В рукописях иногда упоминаются переместительное свойство
сложения (на примере 3 + 4 = 4 + 3) и умножения (на примере 1/3-1/4 =
= 1/4-1/3) 2).
Инструментальный счет. Производству арифметических действий
в письменном виде или в уме всюду предшествовали простейшие формы
инструментального счета: на пальцах, при помощи камешков или палочек,
зарубок на палке или узелков на веревке и т. п. и уже в древности
(Египет, Греция, Китай) появляются специальные счетные приборы, широко
распространенные в быту и особенно в торговом деле. В рассматриваемых
нами рукописях обычно кратко описываются два приема
инструментального счета. Один из них —«счет костьми», другой —«дощаной счет».
Счет костьми применялся во всей средневековой Европе, и в
западноевропейских странах его именовали счетом на линиях 3). Состоял этот
прием в следующем. На доске или столе проводили мелом несколько
горизонтальных прямых линий — для единиц, десятков, сотен и т. д.,
х) Цит. рукопись, л. к—к об., ср. также л. кв. Знаки препинания
поставлены мною. См. еще рукопись Рог. 23 Гос. библиотеки им. В. И. Ленина, л. 38
(согласно задаче на подсчет числа часов, прошедших от «сотворения мира», до 7138
(т. е. 1630) г. протограф или один из протографов этой рукописи 1681 г. относится
к 1630 г.; см. л. 252) и рукопись 17.6.24 Библ. АН СССР в Ленинграде, л. 16
(рукопись 1645 г.).
2) См. рукопись Э/РБ-40 Отд. ист. русск. культуры Государственного Эрмитажа
л. з об. и В. В. Б о б ы н и н, Очерки..., вып. I, стр. 66.
3) Кости в наших рукописях нередко именуются «пенязи» или «пеняги» —
от немецкого названия счетных жетонов Rechenpfennige.

28
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
следуя снизу вверх. На каждую линию полагалось класть до четырех:
костей или жетонов; кость, помещенная между двумя линиями, означала
пять единиц того разряда, который откладывается на более близкой
к вычислителю линии. Далее доска расчерчивалась вертикальными
прямыми на несколько столбцов, в которые клали кости, выражающие
отдельные слагаемые или сомножители и т. д. Результат действия или
составляющие результат числа отмечались в свободных отделениях доски.
Мы приводим здесь (рис. 7) схему умножения 66 х 96 = 6336 (= 36 -f-
+ 540 +360 +5400).
Хотя счет костьми и был известен в России, но гораздо большей
популярностью пользовался дощаной счет — вычисления при помощи
прибора, бывшего прообразом русских счетов. Старинные русские счеты
•
•
1_*—
•
•
—*_
•
•
•
•
•
АЛЛА
•
• "
ШЛА
•
Рис. 7. Схема умножения при счете костьми или на линиях.
отличались от позднейших менее совершенным устройством, но и в
начальном виде позволяли быстро и легко производить .сложные арифметические
действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди
торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков»— землемеров,
монастырских экономов и т. д. Как показывают новейшие исследования,
дощаной счет возник в связи с потребностями сошного письма, о котором
мы уже говорили ранее (стр. 16) *). Налог взимался поземельный, в
зависимости от количества и качества земельной площади, которую переводили
в условные единицы — сохи, по некоторым коэффициентам,
определявшимся не только качеством земли, но и социальным положением ее
владельца. Так, соха земли среднего качества, принадлежавшая церкви
или царю, составляла 1000 четвертей, земли помещичьей — 700
четвертей, а земли, обрабатывавшейся казенными крестьянами,— 600
четвертей. Измерением земель, их переводом в сохи и подсчетом налогов
занималась целая армия специальных чиновников, для которых составлено
было руководство —«Книга сошному письму» 2). Понятие сохи
своеобразно применялось и при обложении доходов горожан, не имевших
земельных угодий.
Дощаной счет в первоначальной форме был специально приспособлен
к нуждам сошной арифметики. Обычно прибор состоял из четырех
счетных полей, расположенных по два в двух ящиках, в каждом из которых
протянуто было по 14 параллельных веревок или проволок. Иногда таких
полей было два. На проволоках, предназначенных для счета целых
чисел, нанизывалось по 9 (иногда по 10) костяшек; на прочих — меньшее
1) И. Г. Спасский, Происхождение и история русских счетов.— Ист.-
матем. исслед., вып. V, 1952.
2) С. Б. В е с е л о в с к и й, Сошное письмо. Исследование по истории
кадастра и посошного обложения Московского государства, т. 1—2, М., 1915—1916.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ СЧЕТ
29
количество костяшек. В одном из полей имелась проволока с четырьмя
костяшками, а, кроме того, три проволоки с одной костью каждая: здесь
велся счет четвертям (земли), полчетвертям, пол-полчетвертям; в
соседнем поле, где имелась проволока с тремя костями, аналогично велся счет
с третями, полтретями и т. д. В другом ящике, назначавшемся для
денежных расчетов, имелись проволоки с пятью и шестью костями (1 алтын,
как уже говорилось, содержит 6 денег) и ряд проволок с одной костью
(рис. 8). Такие приборы уже в середине XVII века назывались просто
счетами и в рукописях более или менее подробно объяснено, как ими
Рис. 8. «Дощаной счет» с четырьмя счетными полями
(фотокопия из рукописи № 1664 Погодинского
собрания в Гос. публ. библиотеке в Ленинграде).
пользоваться. Способ вычислений в дощаном счете таков же, ^ак в
нынешних русских счетах. Отметим только, что сложение двух одинаковых
«сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например,
111
-гк + jo — ~а и т. п. На счетах сложению двух таких дробей соответствует
переход к ближайшей вышестоящей костяшке.
В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими
дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц
счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом
рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128
и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы.
Для удобства вычислителей приводилось много правил «свода мелких
костей», т. е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде:
три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т. д. вплоть до пол-
пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети,
т. е. 3/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т. п.1).
Сошное письмо вышло из употребления во второй половине XVII века
в связи с введением в 1646 г. подворного обложения (в 1722 г. замененного
подушным). Но русские счеты не исчезли вместе с сошным письмом.
Уже в XVII веке они прочно вошли в житейский обиход. Изменилась
лишь форма счетов, которые были теперь приспособлены прежде всего
х) И. Г. Спасский, цит. соч., стр. 346,

30
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
к денежным выкладкам в наиболее употребительных валютных единицах:
осталось одно счетное поле и исключены лишние ряды костей. До сих пор
сохранились два ряда из четырех костей, применявшиеся ранее для счета
полушек — четвертей копеек и, быть может, четвертаков (четвертак —
25 копеек).
О происхождении русских счетов были высказаны различные
мнения. Некоторые, в том числе В. В. Бобынин, полагали, что они пришли
с Востока, от китайцев, быть может, через посредство татар. Однако
китайский суанпан существенно отличается от русских счетов
применением пятеричного принципа: в нем на каждой проволоке имеются пять
шариков со значением единицы соответствующего разряда и один или
два шарика со значением пяти таких единиц. Более вероятно мнение
И. Г. Спасского о самобытном возникновении счетов, как инструмента,
приспособленного для сошного письма. Идея устройства счетов могла
быть навеяна, согласно И. Г. Спасскому, четками, которые, как
свидетельствуют исторические памятники, носили многие русские люди.
Ритуальное применение четок соединялось, видимо, с их употреблением,
как простейшего счетного прибора *).
Вслед за описанием инструментального счета во многих рукописях
идут важные для торговцев и потому весьма обширные таблицы денежных,
весовых, сыпучих и иных мер Московского государства, Венеции,
Антверпена, Нюрнберга и других городов, с примерами перевода
больших мер в меньшие и обратно или перехода от мер одной системы к
другой 2). Разделы, посвященные счету, заканчиваются подробнейшим
изложением действий над обыкновенными дробями, первым из которых
служило «вынимание дробовое»— определение одной или нескольких долей
данного целого или дробного числа: такие величины участвовали затем
в остальных действиях над дробями. Особенно детально рассмотрено
сложение. Здесь дается 10 правил, начиная со случая, когда слагаемые имеют
общий знаменатель и кончая сложением выраженной смешанным числом
части смешанного числа с несколькими долями дроби (на примере: 32/3
от 21/2 плюс 4/5 от 6/7). В пояснение сложения в рукописях говорится:
«О разумении, что есть сложение долям. Буди же ти ведомо сице. Возми
число шесть. Что же половина изо шти; то есть три. Что есть треть изо
шти; то есть два. Сложи же половину с третью. Станет пять шестин» 3).
Строка тройная. Остальное содержание арифметических руководств
почти полностью составляют задачи коммерческой арифметики. Задачи
разбиты на многочисленные «статьи». Названия этих статей часто
покажутся странными нынешнему читателю, но в свое время они помогали
ориентироваться при поисках приема решения того или иного вопроса.
Например, в «Статье складной торговой» рукописей даны решения задач,
в которых требуется распределить прибыль между участниками
предприятия, внесшими в складчину определенные взносы (в более поздних
учебниках такие задачи объединялись под рубрикой «Правила
товарищества»). «Статья о нечисти во всяких овощах и товарех»— это статья на
правило смешения (название связано с тем, что в задачах смешивается,
г) И. Г. Спасский, цит. соч., стр. 372.
2) Таблицы восходят к «Торговой книге», составленной, вероятно, в XVI веке.
См. Записки отделения русской и славянской археологии Русского археологического
общества, т. 1, отд. 3, СПб., 1851, стр. 106—114.
3) Рукопись Арханг. Д—478 Библиотеки АН СССР в Ленинграде, л. 94 об»

СТРОКА ТРОЙНАЯ
31
скажем, чистый перец с нечистым). Впрочем, иногда под одной рубрикой
собраны были задачи различного содержания.
С математической точки зрения все задачи решаются при помощи
немногих приемов: тройного правила и правил ложного положения.
Тройное правило применялось при решении задач, в которых ищется
величина я, находящаяся в геометрической пропорции с тремя данными
величинами: — = —. Отсюда и наименование правила — правила трех
величин. Задачи такого рода встречались и решались с незапамятных
времен. В древнем Китае и особенно в Индии решению их был придан
характер регулярного правила, затем не позднее IX века оно попадает
в страны ислама, а в Европе с тройным правилом познакомились в XII веке
по сочинениям на арабском языке. И еще в Индии к простому тройному
правилу были добавлены обратное, а также правила 5, 7, 9 и т. д. величин.
Так, по правилу пяти величин находят величину х, удовлетворяющую
двум пропорциям:
х d у Ъ
у е ' а с '
abd -г-, г>
сразу в виде частного х = . Б задачах на обратное тройное правило
величины одной категории находятся в отношении, обратном отношению
соответствующих им величин другой категории.
В средние века, да и много позже, до XIX века включительно,
тройное правило с различными его вариантами занимало при обучении
арифметике одно из главных мест. Авторы европейских арифметических
сочинений XV и следующих веков расточали этому правилу похвалы, называли
его наиболее полезным правилом своей науки, «золотым». Сочинители
русских арифметических руководств также писали: «Та строка тройная
похвальная и лутчая строка изо всех иных строк. Философы ее зовут
златою строкою» *).
Описанию правила в рукописях не предпосылается объяснение
пропорции и ее свойств. Это стали делать много позднее, в середине
XVIII века. Общий прием решения задач на тройное правило сразу
формулируется в следующих словах: «Она [строка тройная] ставится
в три перечня [т. е. числа], ражает собою четвертый перечень. Поставит
первой перечень, а другим перечнем третей умножает, и что родится во
умножении, то первым перечнем делит и оттуды выходит четвертый
перечень». Непосредственно за этим следовал разъяснительный пример:
«Смотри: восмь; цена им, или добыли, или потеряли, или дали, или дадут,
или заняли, или платили. g[ . [12]. Что дадут, или платят, или что ни
есть десять? И ты умножай 12 с 10, придет 120; то дели ж на 8, придет 15,
мно стало сколь дорого 8, по той цене стало и 10». Самое вычисление
располагалось так: «Указ счету:
8 12 10
12
^15
120
8
2).
г) Этот текст из рукописи Ундольского № 681 цит. по кн.: В. В.Бобынин,
Очерки..., вып. I, стр. 8.
2) Этот текст из рукописи Ундольского № 681 цит. по кн.: В. В. Б о б ы н и н,
Очерки..., вып. I, стр. 8—9. Знаки препинания расставлены мною. (—А. Ю.)

32
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
Как видно, в примере речь шла об отыскании, скажем, цены 10
предметов по известной (12) цене 8 таких же предметов:
х 10 12-10 ,к
¦j2" = -g-, откуда х = —g— =15.
В рукописях нет указания на круг вопросов, к которым применимо
тройное правило; где и как следует его применять, показывали
многочисленные дальнейшие задачи. При внимательном чтении подробного
решения таких задач учащийся вполне мог разобраться в механизме
действия тройного правила.
Не всегда, впрочем, решение задач достаточно мотивировано. Такова,
например, задача: при цене меры ржи 4 алтына, т. е. 12 коп., за 2 деньги
продается хлеб весом в 3V3 фунта; каков должен быть вес хлеба в ту
же цену, если мера ржи стоит 2 гривны, т. е. 20 коп.? Эта задача, по
существу, на обратное тройное правило. В рукописях, однако, без всякого
пояснения вопрос решается, как если бы имела место прямая
пропорциональность: «А считай сице. Постави на строку тройную и молви: 2 гривны
даст 3V3 фунта, что даст 4 алтына?» х), откуда искомый вес получается
равным 3-о---^г = 2 фунтам. Еще менее понятен без дополнительных
разъяснений ход решения задачи, составляющей «статью спрашивалную
со времены»: во сколько дней выпьет кадь кваса жена, если вместе с мужем
они ее выпивают за 10 дней, а один муж может выпить кадь за 14 дней.
Эта задача — типа старинных греческих задач на бассейны с трубами,
сохранившихся и в наших задачниках арифметики. И здесь приводится
только один рецепт: «А считай сице. Выни 10 из 14: останется 4. Молви:
4 даст 10. Что даст 14? Умножи 14 с 10, придет 140; дели ж ту 140 на 4,
станет 35 дней. В столько дней одна жена его кадь квасу выпьет» 2).
Решение задачи, таким образом, производится по тройному правилу, но
о самом приведении задачи к этому правилу ничего не сказано 3). Такое
решение могло быть усвоено только механически.
Строка фальшивая. Догматически излагалось в рукописях и другое
важное правило —«ложного положения», или, как оно в них называлось,
статья «вымышленая или затейчивая», а также «фальшивая». Правила
ложных положений, попавшие в Европу с Востока через посредство
переводов с арабского языка, применялись к решению задач, которым
соответствуют уравнения первой степени. Различались два вида этого
правила. Правило одного ложного положения применимо к задачам,
которые по-современному выражаются уравнением ах = с. Если
приписать искомому х произвольное «ложное» значение х± и обозначить ах{
через с4, то истинное значение х найдется по тройному правилу из
пропорции
X с
х^ с±
Возник этот прием в связи со стремлением избежать действий с дробями
в задачах, в которых коэффициент при неизвестном является суммой
г) Текст из рукописи Ундольского № 681 цит. по кн.: В. В. Б о б ы н и н,
Очерки..., вып. I, стр. 82.
2) Там же, стр. 83.
3) Муж с женой выпивают в день 1/10 кади, один муж — 1/14 кади; следова-
1 1 14—10 4
тельно, одна жена может выпить в день —— -— , т.е. ———_—__ кади и т. д.
10 14 14-10 14-10

СТРОКА ФАЛЬШИВАЯ
33
нескольких дробей:
\ 41 42 Чп )
В качестве ложного положения выбирали здесь число, нацело делящееся
на все знаменатели qu q2, . . ., qn. Правило распространяли и на задачи,
в которых коэффициент при неизвестном целый.
В. В. Бобынин, который впервые исследовал русские математические
рукописи XVII века, не усмотрел в них правила одного ложного
положения 1). Это правило в них, действительно, не сформулировано, но
фактически используется. Таковы, например, задачи «статьи деловой» рукописи
Рог. № 23 2). В одном случае 12 рублей делятся между тремя братьями
так, что доли их относятся, как 4:2:1. Мы бы выразили вопрос
уравнением -г + -7г + -г = 12. Автор принимает xt = 4, так что сумма всех
долей будет 7, а затем «ставит на строку», т. е. применяет для отыскания
каждой доли тройное правило. В другом случае требуется разбить число
100 на части так, чтобы треть одной из них равнялась учетверенной
другой. Если в уравнении х/3 = 4z/ взять х^ = 12, то у± = 1 и сумма
xi + У± = 13 вместо 100. «Ставя на строку», автор находит х = 92 4/13
и у = 7 9/13, добавляя: «Сице всегда ищи». Задача трактуется, по
существу, как система двух уравнений: уравнение с одним неизвестным
х/3 = 4(100 — х) по шаблонному правилу одного ложного положения
потребовало бы предварительного сведения к форме ах = с. Задачи»
подобные первой из приведенных, имеются во многих рукописях, иногда
под рубрикой «статьи фалшивой торговой складной» 3). Любопытно, что
в одной рукописи неизвестная величина именуется «столко», т. е.
количество 4). Гораздо чаще, однако, употреблялось правило двух ложных
положений.
Мы только что упомянули, что к задачам, непосредственно
выражающимся уравнением ах -\- Ъ = с, правило одного ложного положения
неприменимо. Для их решения издавна пользовались правилом двух
ложных положений, которое ранее всего встречается в китайской
литературе, не позднее начала н. э. Из Китая правило было перенесено много
веков спустя в страны ислама и отсюда попало в Европу. Искомой
величине х даются последовательно какие-либо два значения xt и х2. При ах± +
-\- Ъ = Ci и ах2 + b — с2 из данного уравнения и только что написанных
равенств следует, что
X — Х{ с — с±
х — х2 с — с2
Если с — ci = di, c — c2 = d2, то искомое значение
d2 — di
Мы вывели значение неизвестной алгебраически. В старинных
рукописях давалось только словесное предписание, без вывода. При этом
1) В. В. Бобынин, Очерки истории развития физико-математических знаний
в России, ч. III. Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем, т. 7,
1888, стр. 307—308.
2) Рукопись Рог. № 23 Гос. библиотеки им. В. И. Ленина, лл. 95—97.
3) Например, в рукописях Арханг. Д — 478 (л. 178 об. —180 об.) и Арханг.
Д —479 (л. 176—177 об.) Библ. АН СССР в Ленинграде.
4) «Счетная мудрость». Труды Общества любителей древней письменности,
т. 43, СПб., 1879, л. 72 об.— Заметим, что в индийской алгебре неизвестная величина
нередко называлась «яват — тават», по-санскритски «столько — сколько».

34
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
авторы, не знавшие еще отрицательных чисел, формулировали правило»
двух ложных положений отдельно для случая, когда с^ и с2 оба больше-
или меньше, чем с (т. е. ошибки db d2 — одинакового знака), и для
случая, когда одно из чисел си с2 больше с, а другое меньше (du d2 — разных
знаков). В первом случае неизвестная находится путем деления разностей,
а во втором — путем деления сумм.
Правило двух ложных положений дает точное решение для уравнения
первой степени с одним неизвестным и определенных систем таких
уравнений со многими неизвестными. Этот момент в некоторых рукописях
особо подчеркивается наряду с высокими требованиями, предъявляемыми
к тем, кто применяет правило ложных положений. Так, в одном
манускрипте конца XVII века мы читаем: «Статья цыфирная еже именуется
вымышленая или затейчивая высокого остропамятного разума, и любо-
трудного умного прилежания. Ее же нецыи фалшивой строкой нарекоша,
иже ни малым чим погрешается» х). Популярность правила в средние-
века и даже в XVII — XVIII вв. объяснялась тем, что оно позволяет
автоматически находить точное решение задач первой степени с одним
или несколькими неизвестными, не составляя уравнений и не анализируя
вопрос по существу. Правило двух ложных положений нередко
применялось также, да и теперь применяется, для приближенного вычисления
корней нелинейных уравнений, и его можно найти в любом современном
курсе приближенных вычислений. Из школьных программ его исключили
в начале XIX века.
Фальшивое правило описано в рукописях весьма подробно и общая
вычислительная схема иллюстрируется многими задачами. Ошибки имеют
специальные названия и обозначения. Если принятое «ложное положение»-
дает результат больше требуемого в условии, ошибка d помечается
«знаменем», т. е. знаком —\—, а если меньше, то знаком —'-—. Приведем ход.
решения задачи, которую можно записать уравнением *L = 18. Вначале
за х принимается 8, что дает для левой части уравнения 24 вместо 18,—
«ино тут много —}— 6», а затем берется число 7, причем получается 21,—
«ино много ж—¦—3» 2). Неизвестная я = 6 находится следующим образом:
3деловое Ч I 6 -то есть число.
о
~24
Знаки —|— и —\— характеризуют не сложение и вычитание, а
избыток и недостаток по отношению к числу, данному в условии.
Несомненно, что они, как и выражения «много» и, соответственно (в случае-
недостатка), «мало» восходят, как и вся схема вычисления, включая форму
записи, прежде всего к немецкой учебной литературе. Знаки -\- и —
появляются в ней в конце XV века, а знак —;— впервые встречается
у А* Ризе в 1525 г.; они использовались как в правиле ложного
положения, так и для действий сложения и вычитания. В 1489 г. И. Видман
г) Рукопись Арханг. Д — 479 Библ. АН СССР в Ленинграде, л. 126. Судя
по задаче об определении числа часов от сотворения мира до 7138 г. (л. 21—21 об.)г
протограф или один из протографов этой рукописи относится к 1630 г. Ср. стр. 27.
2) В. В. Б о б ы н и н, Очерки..., вып. I, стр. 92—93.
аз 42
__24__
вы 18 ни »

СТРОКА ФАЛЬШИВАЯ
35
писал: «das ¦+- das ist mer» и «was — ist das ist minus» x). Еще ранее схемой
с крестом и терминами plus (больше) и minus (меньше) пользовался
Леонардо Пизанский (1202) 2).
Приведем еще решение по фальшивому правилу задачи на отыскание
двух неизвестных по двум условиям: два купца, Петр и Иван, желают
приобрести двор ценой 38 руб. У Петра недостает до этой суммы 2/3
наличных денег Ивана, а у Ивана 3/4 наличности Петра. Задача может
быть записана системой уравнений:
*+-|-г/ = 38' (1)
У + 3. х = 38, (2)
где х — наличность Петра, у — наличность Ивана. В качестве первого
положения берется х<± = 24, тогда по (1) у± = 21; эти значения при
подстановке в левую часть (2) дают 39, т. е. на d± = 1 больше, чем следует.
В качестве второго положения берется х2 = 20, тогда по (1) у2 = 27;
это для левой части (2) дает 42, т. е. на d2 = 4 больше, чем следует. После
этого х и у вычисляются согласно правилам:
^24.4-20.1^1 21^2L1 = 19>
4—1 3 ' * 4—1
Авторы рукописей применяли правило ложных положений и к
задачам, которые мы выразили бы системами трех уравнений с тремя
неизвестными (статья фальшивая в три перечня) и даже четырех уравнений
с четырьмя неизвестными (статья фальшивая в четыре поставки, или
статья фальшивая четвертная). Не приводя безукоризненных вычислений
(они довольно длинны), мы только сформулируем на языке современной
символики одну такую задачу с четырьмя неизвестными:
x+±-(y + z + u) = 100,
y + ±(x + z + u) = 100,
z + ±(x + y + u) = 100,
u+±(x + y + z) = 10Q.
Здесь x = 2 26/37 рубля или 2 рубля 23 алтына 2 деньги и 1 3/37
полуденьги 3). Подобного рода задачи, восходящие к Диофанту, нередко
встречаются у средневековых западноевропейских математиков, начиная
с Леонардо Пизанского. Иногда к ним применялось, как позднее в наших
рукописях, правило двух ложных положений 4).
В некоторых случаях задачи, сводящиеся к двум линейным
уравнениям с двумя неизвестными, решаются без фальшивого правила.
г) J. Tropfke, Geschichte der Elementar — Mathematik, В. II, 3 Aufl.,
Berlin und Leipzig, 1933, стр. 22.
2) F. С a j о г y, A history of mathematical notations, vol. I, Chicago, 1928,
стр. 230—256.
3) В. В. Б о б ы н и н, Очерки..., вып. I, стр. 98—104.
4) См. К. V о g е 1, Die Practica des Algorismus Ratisbonensis, Munchen, 1954,
стр. 171—173, 187—188.— Practica представляет собой сборник задач, составленный
в Германии в середине XV века.

36
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
В «Счетной мудрости» Общества любителей древней письменности имеется,
например, такая задача: «Идет корабль по морю, на нем мужеска полу
и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына,
а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было
и женска порознь» *). Далее следует выкладка. Все суммы переводятся
в копейки, берется разность между оплатой проезда с мужчины и с
женщины, т. е. 3 к., 120 умножается на 9 и произведение 1080 к. вычитается
из 1200 к.; разность 120 по делении на 3 и дает число мужчин, равное 40.
Все завершается проверкой: 12-40 -\- 9-80 = 1200, за которой следует
одно слово: «правда». Здесь мы имеем дело с продуманным
арифметическим решением вопроса. Нам не встречались такого рода решения
линейных задач с 2 неизвестными в западноевропейских руководствах.
Задачи для развлечения. В конце многих рукописей, а иногда и в самом
тексте, приводятся еще задачи для развлечения и развития смекалки.
Есть среди них задачи на определение времени и места встречи
путешественников, движущихся с определенными скоростями друг за другом
или навстречу друг другу, на геометрические прогрессии, неопределенные
задачи на отыскание трех неизвестных по двум линейным зависимостям
и другие. Некоторые задачи можно найти в арифметических задачниках
вплоть до нашего времени, вроде задачи о гусях: «Летело стадо гусей,
навстречу им один гусь и рече: бог в помочь летети сту гусям. И гуси
яму сказали: не сто нас гусей всем стадом летит: нас летит стадо и как
бы и нам еще столко, да полстолка, да четверть столка, да ты, гусь, и то
было б сто гусей» (ответ: 36) 2). В одних рукописях ответ приводится
без вывода, в других он получен по правилу ложных положений.
Геометрические прогрессии. Мы рассмотрим здесь две группы задач.
Одна из них представляет собой излюбленные у многих народов, начиная
с древних египтян, задачи на суммирование геометрических прогрессий.
Уже в более ранней русской литературе встречались прогрессии,
знаменатель которых равен 2. В рукописях XVII века содержатся задачи на
прогрессии со знаменателями 2 (последний член прогрессии доходит до 224
и даже до 240), 3, 4, 5, 7, 8, 12, 40. Выбор знаменателей 7, 12, 40 не
случаен: эти числа занимали особое место в древнейшем счете, о чем
свидетельствуют различные поговорки и выражения, вроде «семь раз отмерь,
один отрежь», «сорок сороков»— в смысле очень большого числа и т. п.
Задачи часто приводятся в шутливой форме. Вот одна из них:
«Идет семь баб: 7
У всякия бабы по семи посохов: 49
На всяком посохе по семи сучков: 343
На всяком сучку по семи кошелей: 2401
Во всяком кошеле по семи пирогов: 16807
Во всяком пироге по семи воробев: 117649
Во всяком воробе по семи пупков: 823543
И всего — 960799» 3).
г) «Счетная мудрость», л. 86.
2) «Памятники древней письменности», СПб., 1878—1879. Вкладные листы
€ факсимиле арифметических задач, л. 315.
3) «Памятники древней письменности», СПб., 1878—1879. Вкладные листы с
факсимиле арифметических задач, л. 314.— В рукописи Арханг. Д — 478 Библ.
АН СССР в Ленинграде эта задача доведена до 78. Ср. там же прогрессию 40 +
_j_ 402 + . . . + 408 с суммой 6 721 641 025 640 (л. 228 об.).

ЗАДАЧА «О ДЕНЬГАХ В КУЧЕ ВЕДАТИ»
37
Первоначально сумму прогрессий находили, складывая подряд все
ее члены. Но русские арифметики XVII века знали и правило
сокращенного суммирования геометрической прогрессии. Именно,
Sn=l + q+...+qn
при целом д>2, находится следующим образом: целая часть от
деления qn на q—1 умножается на q и к результату прибавляется остаток,
т. е. 1. В самом деле,
-^ = l + q + q2+...+q"-i + —LT
(l + q+...+q--i).q + l=,Sn.
При q = 2 сумма вычисляется по правилу
1 + 2+ ¦ • ¦ +2?г = 2-2п —I1).
Такой прием суммирования встречается и в западноевропейской
литературе, например у итальянца Бельдоманди в «Algorismus de integris»
(1410; опубл. в 1483 и 1540 гг.) и в немецкой анонимной арифметике,
изданной в Бамберге в 1483 г.
Задача «о деньгах в куче ведати». В другой группе задач,
сводящихся к решению в целых числах неопределенных уравнений первой
степени, особый интерес представляет задача «О деньгах в куче ведати».
Она впервые встречается у китайского математика Сунь-цзы, жившего
примерно в III веке н. э.: требуется найти число, которое при делении
на 3, 5 и 7 дает соответственно остатки 2, 3 и 2. Китайские математики
уже знали общий метод ее решения. Неизвестными путями задача попала
в Византию, где мы ее находим в одной рукописи конца XIV или начала
XV века, а также в Европу. Здесь она имеется в «Книге об абаке»
Леонардо Пизанского (1202), который мог с ней познакомиться во время своих
поездок в арабские страны и Византию, позднее в немецких арифметиках
XV века, у французского математика Баше де Мезириака (1612) и т. д.
Ею занимался Эйлер, а полное обоснование способа ее решения при
любом числе делителей дал К. Гаусс (1801). В терминах теории сравнений
Гаусса для случая 3 попарно взаимно простых делителей задача Сунь-цзы
формулируется так: ищется решение системы сравнений
х = rd (modft),
х= r2(modq2),
x = r3(modq3).
Основным является определение вспомогательных чисел N±, N2, N3.
удовлетворяющих другой системе,
Niq2q3= 1 (mod ft),
#2?1?з= l(modg2).
N3qiq2= l(modgr3).
Решение дается сравнением
x = {Niq2q3ri + N2qiq3rz + N3qtq2r3) (mod д&ЯзЬ
г) «Счетная мудрость», л. 24 об., 25.

38
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
откуда легко находится наименьшее положительное решение, которое
только и интересовало средневековых математиков.
Во многих русских рукописях механизм решения описан весьма
лаконично. «Аще хочеши в куче деньги ведати, и ты вели перевести по
3 деньги. А что останется от 3-х, 2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели
перевести по 5, и что останется 4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади
по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется, 6 или 5, или 4, или
3, или 2, или 1, и ты тако же за всякий 1 клади по 15. Да что в остатках
перечни родились, и те перечни сочти вместо; а сколько станет и ты из
того перечню вычитай по 105, и что останется от 105 или сама 105,
то столько в куче и есть» 1). Как видно, здесь сразу названы числа
А^^Мз = 70, N2qiq3 = 21 и N^q2 = 15, после чего предлагается
составить сумму 70^ -f- 21г2 + 15г3; ответ находится, как наименьшее
положительное значение разности 70г± -f- 21r2 -f- 15г3 — ЮЫ при целом t.
По цитированному правилу можно решить задачу с данными делителями
3, 5 и 7, но не с какими-либо другими делителями, так как не сказано,
ни как находить числа N±, N2, N3, а по ним А^д2#з и т. д., ни как
образовано число 105 = gi<72#3-
Задача Сунь-цзы была известна у нас и в других числовых вариантах.
В рукописи Рог. 23 (лл. 227 об.—228 об.) с той же краткостью приведены
правила решения еще для двух троек делителей 5, 7, 9 и 15, 28, 19. Здесь
также без всяких объяснений даются в первом случае N^qz = 126,
-^2<Мз = 225, N3q1q2 = 280 и gig2#3 = 315, а во втором соответственно
6916, 4845, 4200 и 7980.
Однако мы можем утверждать, что наши арифметики XVII века
полностью владели общим алгоритмом решения задачи 2). Об этом
свидетельствует «Счетная мудрость», изданная Обществом любителей древней
письменности. Данная рукопись вообще весьма интересна, так как
написана учеником. Об этом говорят отличия от стандартных текстов других
рукописей, язык, очень близкий к устной речи, необычная подробность
многих выкладок и объяснений, сокращения слов, обилие описок и т. д.
Иногда писавший как бы пересказывает то, что слышал от учителя и
благодаря тому знакомит нас хотя бы отчасти с процессом обучения. И вот
в «Счетной мудрости» в деталях объяснено, как находить
вспомогательные числа iVi, iV2, N3 и заодно числа А^д2д3, называемые «примерами»,
а также модуль дадг^з» именуемый «деловым числом». Решение получается
как остаток от деления iV"1g2g3ri + -^2?19зг2 + Лгз?1?2гз на деловое число 3).
Все это иллюстрируется на самом частом и старинном случае делителей
3, 5, 7. Так, чтобы отыскать «пример» для 3, составляется произведение
5-7 = 35 и с помощью проб ищется такое наименьшее Ni4 чтобы А^-35
при делении на 3 давало в остатке 1: «Будет же от того деления останется
одна [т. е. 1], то пример будет тому числу, коим делил то число, что делил,
или хотя без доль придет. А будет же сперва не придет, не останется
одного числа от первого деления... и ты тот перечень зачни умножать с.2.
и дели тем числом, которому пример станешь искать, чтоб одно число
в долях осталось. А будет из.2. ум[ножил], а одного числа от делу не
останется, и ты тот перечень хотя до.30. [нужно: до 3] умножай, по
единому числу прибавливай впрет, вдугорет [в другой ряд] с.З. ум[ножь],
г) Цит. по кн.: В. В. Б о б ы н и н, Очерки..., вып. I, стр. 117.
2) А. П. Юшкевич, Об одной задаче теории чисел в русских математических
рукописях XVII века— Труды Ин-та ист. естеств. и техн., т. 17, 1957.
3) При делении нацело искомым оказывается, как мы видели, само «деловое
число».

ЗАДАЧА «О ДЕНЬГАХ В КУЧЕ ВЕДАТИ»
39
в трете с.4. и впред потому же и от которого ум[ножил] от делу останется
одно число, то ум[ноженное] число и пример станет» *).
В «Счетной мудрости» (лл. 100—101 об.) задача решена еще во
многих вариантах, с тройками делителей 5, 7, 9; 15, 19, 28 (обе тройки
Рис. 9. Фоторепродукция таблицы для решения задачи «О деньгах в куче
ведати» (рукопись Э/РБ — 40 Государственного Эрмитажа в Ленинграде, л. 24).
имеются в рукописи Рог. 23); 7, 9, 11 («примеры» 99, 154, 441); 9, 11, 17
<«примеры» 748, 1530,1089) и, наконец, И, 13,17 («примеры» 221, 1496, 715).
*) «Счетная мудрость», л. 99. Разумеется, чтобы найти N± в случае делителя 3,
достаточно использовать iV4 = 1, 7V4 = 2, iV^ = 3 (последнее для случая деления
без остатка).

40
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
В западноевропейских книгах по арифметике дается такое же
правило подыскания чисел Л^д2<7з и т. д.*). Но в них не встречается решение,
записанное в виде таблицы, которое имеется в уже не раз упоминавшейся
рукописи Государственного Эрмитажа. Текст задачи на остатки совпадает
с цитированным выше, а за ним на отдельном листе следует заполненная
славянскими цифрами таблица с тремя входами, в которую занесены все
наименьшие числа, дающие при делении на 3, 5, 7 соответственно остатки
от 1 до 3, от 1 до 5, от 1 до 7. Таблица окаймлена указателями остатков
в современном начертании. Под таблицей разъяснено, как ею
пользоваться: «по 3 перевесть и на той стране смотри, где по три стоит. В другой
ряд перевесть по 5 и на другой стране смотри, где стоит по пяти и в той
полосе друг против друга стоит. А в третью статью перевесть по 7. Итого
смотри сверху, что скажет и по полосе поди и как до той полосы дойдет,
то и укажет» 2) (рис. 9). Например, чтобы найти число, дающее остатки
2, 3, 4, следует в строке, соединяющей число 2 в левом указателе остатков
от деления на 3, и число 3 в правом указателе остатков от деления на 5,
взять число, стоящее под 4 в верхнем указателе остатков от деления на 7,
т. е. число 53. Всего в таблице 105 чисел, дающих наименьшие значения
х = 70г± + 21г2 + 15г3 —105*.
Вдоль каждой строки следуют числа в арифметической прогрессии с
разностью 15 (так как г4 и г2 постоянны), причем, если числа больше 105,
то вычитается 105. Вдоль каждого столбца (где г3 постоянно) числа
возрастают на 91, с той же оговоркой относительно вычитания 105. При
переходе от последнего члена строки к первому члену следующей число
увеличивается на 1. Составление таблицы было, по-видимому, делом одного
из русских математиков.
Терминология. Математическая терминология XVII века была еще
во многом несходна с установившейся позднее. Число часто называлось
перечнем, нуль — оном, оником (название буквы «о»). Дроби — обычна
«доли»— 1/5, 1/7... именовались пятиной, седьминой и т. п., а 12/13 либо
двенадцать тринадцатин, либо двенадцать тринадцатых жеребьев
(т. е. частей). Вместо «сумма» говорили исподний большой перечень,,
т. е. нижнее большое число (сумма подписывалась под слагаемыми —
перечнями), вместо «уменьшаемое» и «вычитаемое»— заемный и
платежный перечень, вместо «делимое», «делитель» и «частное»— большой,
деловой и жеребейный перечень. Специальных названий для множителей
не было. Числитель дроби назывался верхним числом, а знаменатель —
нижним. Появлялись и некоторые иностранные термины. Так, мы
встречаем статьи: «Нюмерасие [лат. numeratio], или считание словесем и
начертание числом цыфирным», «адитсие [лат. additio], или считание», но также
сложение; «сюстряксие» [лат. substractio], по-русски вынимание или
вычитание, «мюлтипликасие [лат. nmltiplicatio], или умножение числу
всякому», «статия дивизие [лат. divisio] или деловая, или росчетная» 3).
Основы современной русской математической терминологии были далее
развиты в XVIII веке.
г) Ср. К. V о g е 1, Die Practica des Algorismus Ratisbonensis, стр. 120—121.
Решение поясняется здесь на том же примере делителей 3, 5, 7. Все остальные
примеры (их 8) отличаются от имеющихся в наших рукописях.
2) Рукопись Э/РБ — 40 Отделения истории русской культуры
Государственного Эрмитажа, л. 24.
3) Цит. по кн. В. В. Бобынин, Очерки..., вып. I, стр. 6—7, 62—63.

ОЦЕНКА АРИФМЕТИЧЕСКИХ РУКОПИСЕЙ
41
Оценка арифметических рукописей. Как видно из нашего обзора,
русские арифметические учебники XVII века сообщали большую сумму
знаний, начиная с элементарных правил нумерации и действий над
целыми дробями и кончая приемами решения задач, приводящихся
к системам четырех уравнений первой степени с четырьмя неизвестными.
Мы подчеркивали, что изложение арифметики носило в рукописях
догматический характер. Учащемуся предлагались готовые правила,
поясняемые многочисленными задачами. Способ умножения и деления
дробей, столь смущающих, как известно, новичков, не мотивировался;
понятия отношения и пропорции не вводились и т. д. С современной нам
точки зрения такую методику можно было бы подвергнуть критике, так
же как и некоторые другие недостатки изложения (неоправданное иногда
существом дела распределение задач по «статьям» и т. п.).
Подчеркивая эти методические недостатки, В. В. Бобынин высказал
в свое время мнение о «низком состоянии интеллектуальных средств»,
имевшихся «в распоряжении наших арифметиков XVII столетия и более
ранних времен», об отсутствии у них «ясного представления о сущности
предмета и о том общем, что скрывается под видимым разнообразием
частных случаев» *). Сознательное употребление тройного правила,
например, он считал для них немыслимым. Здесь, однако, смешиваются
два различных вопроса — об уровне изложения предмета, с одной
стороны, и об уровне знаний составителя учебника, с другой.
Догматизм изложения был присущ почти всей тогдашней литературе
по «практической» математике. Математика средневековой Европы
развивалась прежде всего как наука купцов, строителей, художников,
горных техников, военных инженеров, чиновников, мастеров. Эти люди
не были знакомы с античным идеалом математической строгости, да и не
испытывали нужды в такой строгости. Математика была нужна им как
средство решения сравнительно простых задач, встречавшихся в
практической деятельности, и в учебной литературе они искали предписаний
и правил для таких типичных задач.
Воспитание мышления стояло в педагогике тех времен на заднем
плане, хотя его значение иногда декларировалось самими авторами
практических руководств. Даже в XVII и XVIII вв. сохранялся большой
спрос на руководства, содержавшие только правила арифметики и
геометрии, поясняемые на примерах и задачах.
Самое беглое сопоставление русских арифметических рукописей
с наиболее популярными сочинениями по практической арифметике
в Германии, Франции, Англии XVII века показывает их тесное
внутреннее родство. Это была литература одного стиля — и по содержанию
и по форме. Везде мы встречаем рецептурную манеру изложения, везде
в центре стоит тройное правило, а за ним — правило ложного положения;
везде, наконец, мы находим классификацию задач по правилам —
тройному, товарищества, смешения и пр., классификацию, сохранявшуюся
до конца XIX века и отвергнутую лишь новой методикой. Сходны многие
задачи в книгах на разных языках. Они нередко отличаются только
числовыми данными.
Несомненно, что составители русских рукописей знали и
использовали западноевропейскую учебную литературу по арифметике. Точно
назвать сочинения, бывшие в их распоряжении, мы не можем, но это
не столь важно. Различия между русскими, немецкими, французскими,
г) В. В. Бобынин, Очерки..., вып. I, стр. 67—68.

42
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
итальянскими и т. д. арифметиками были менее существенны, чем то,
что имелось в них общего. Скорее всего наши авторы примыкали к немец-
жим учебникам. В пользу этого говорят как изложение ряда вопросов
в наших рукописях (счет костьми, правило ложных положений и др.),
так и общие исторические соображения: оживленные торговые связи,
сравнительная географическая близость немецких стран и т. д. Весьма
вероятно, что в распоряжении наших авторов были также польские
и голландские учебники. Но, во всяком случае, наши рукописи не
являлись переводом или переложением какого-либо одного труда. Все они
заметно отличаются от любого из нам известных зарубежных учебников.
Русские авторы тщательно и вдумчиво перерабатывали доступные им
материалы, учитывая запросы своего читателя и уже сложившиеся в
стране традиции. Отметим, прежде всего, переделку всех задач применительно
к русской системе мер. Уже одно это требовало большой предварительной
расчетной работы, невозможной без ясного понимания соответствующих
приемов. Далее, наши рукописи выделяются во всей европейской
арифметической литературе обилием подробно решенных задач. Эта
особенность, обусловленная потребностями самоучек и недостаточным в то время
числом школ, сохранилась и во многих русских учебниках XVIII века.
Можно отметить целый ряд более частных отличий. Так, в
противоположность ряду зарубежных учебников, наши рукописи не содержат
распределения задач на тройное правило по рубрикам прямого и обратного,
а также пятерного, семерного и т. п. правил. Небольшой популярностью
пользовалось у нас правило одного ложного положения,
распространенное в западных странах. То же следует сказать о счете на линиях;
наоборот, широко распространился в России самобытный «дощаной счет».
Наконец, мы находим в рукописях оригинальные вещи, вроде таблицы
решений задачи на остатки.
Если к сказанному добавить, что при устном обучении, несомненно,
давались дополнительные объяснения, то становится очевидным, что
высказанная В. В. Бобыниным оценка «интеллектуальных средств»
русских математиков XVII века несправедлива. Конечно,
арифметические рукописи подобно большинству учебников представляли собой
компиляции, но их составление могло быть посильно только людям,
свободно владевшим всей системой тогдашней практической арифметики
и способным к ее сознательному употреблению. И если упоминавшаяся
«статья спрашивалная со времены» помещалась среди задач на тройное
правило, то не потому, что авторы рукописей не понимали сути этой
не столь уж трудной задачи, но по невниманию (в данном случае) к
методической стороне обучения.
Мы обязаны авторам арифметических руководств XVII века многим.
Эти люди явились в России пионерами распространения десятичной
позиционной нумерации и построенной на ней «алгорифмической» арифметики.
Они во многом подготовили почву, на которой выросли учебная
литература и школа XVIII столетия.
Измерение фигур. В рассматриваемых рукописях имеются также
сведения по геометрии, преимущественно об измерении площадей и
объемов1).
г) Подробнее см. В. В. Б о б ы н и н, Очерки..., вып. II, М., 1893; К. I. Ш в е-
ц о в, Навчальш поспбники з геометрп та викладання геометрп в Pocii в XVII ст.—
Науково-дослщний шститут педагогши. Науков1 записки, т. XIII, Ф1зико-матема-
тична cepin, вып. II, 1959.

ИЗМЕРЕНИЕ ФИГУР
43
Для измерения земельных участков их разбивали на простейшие
фигуры. Были известны точные правила измерения площади
прямоугольника, прямоугольного треугольника и прямоугольной трапеции.
Площадь треугольника вычисляется по различным правилам: как
произведение половины меньшей стороны на большую, как произведение
половины большей стороны на полусумму двух других и еще по так
называемой формуле Герона. В рукописи Ленинградской публичной
библиотеки им. Салтыкова-Щедрина F — IX.47 оба последних способа
применяются к треугольнику со сторонами 13, 14, 15. По формуле Герона
площадь равна 84, а формула S = —^—^ дает 101 1/4 (с погрешностью
около 20%). В рукописи на это расхождение не обращено внимания *).
В других задачах погрешность менее значительна, но приближенный
характер ряда правил нигде не отмечается. Четырехугольник иногда
разделяется на треугольники; применяется также выражение его площади
в виде произведения полусумм противолежащих сторон, что дает (кроме
случая прямоугольника) результат с избытком. Невнимание к точности
правил сопровождается иногда пренебрежением к условиям задач и
некоторые грубые ошибки повторяются во многих рукописях. Такова,
например, задача на вычисление площади четырехугольника со сторонами
256 1/2, 26 1/2, 467 1/2 и 65 1/2. Здесь произведен полный расчет по
правилу S = а~^~с ^—. Между тем такой четырехугольник явно
невозможен, ибо третья сторона больше суммы остальных (рис. 10) 2).
Площади произвольных многоугольников измеряли, разбивая их
на треугольники и четырехугольники, или же по общему правилу,
включавшему невысказанное допущение, что любые плоские фигуры с равным
периметром имеют одинаковую площадь. Именно, принимали, что всякий
многоугольник равновелик квадрату со стороной, равной четверти его
периметра. Правило рекомендовалось как точное. В рукописи из собрания
В. М. Ундольского № 682 (Гос. библиотека им. В. И. Ленина) говорится,
что, вычисляя таким образом, «единую сажень не потеряешь» 3). На самом
деле ошибка при этом может быть весьма значительной. В случае круга
(С \ 2
-г\ ,
соответствующей приближению я ^ 4, дает результат, меньший истинного
С2
S = -т-г- примерно на 20% 4). В «Счетной мудрости» встречается
аналогичный, только еще ухудшенный прием «землемерия округою» 5),
происхождение которого неизвестно: сторона квадрата, равновеликого данной
фигуре, берется равной ее периметру, деленному на 4 2/3. Фигура может
быть при этом многоугольной или криволинейной, притом не обязательно
г) К. I. Швецов, цит. соч., стр. 92—93.— Заметим, что в данной рукописи
есть несколько задач на построение: перпендикуляра в конце отрезка, середины
отрезка, центра круга и др.
2) На это не обратили внимания ни В. В. Бобынин (цит. соч., вып. II,
стр. 96), ни К. I. Швецов (цит. соч., стр. 102).
В «Счетной мудрости», изданной Обществом любителей древней письменности,
эта ошибка повторяется в случае четырехугольника со сторонами 256 1/2, 26 1/2,
367 1/2 и 35 1/2 (л. 117 во второй пагинации).
3) В. В. Бобынин, Очерки..., вып. II, стр. 111.
4) Это грубое приближение иногда применялось в Западной Европе еще в
_Х-Х1 вв.
5) «Счетная мудрость», л. 114 об.

44
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
выпуклой. Так находится, например, размер пахотной земли участкаг
на котором имеются болота, озеро, лес и гора (рис. 11).
Наряду с этим для измерения круга применялись и более
совершенные приемы. В рукописях Ундольского № 682 и F — IX.47
Ленинградской публичной библиотеки им. Салтыкова-Щедрина площадь круга
Рис. 10. Задача на измерение площади четырехугольника с неправильными
числовыми данными (фоторепродукция из факсимильного издания «Счетная
мудрость», СПб., 1879, л. ИЗ).
(7 \ 2
что соответствует приближению я ^ 3 1/16 = 3,0625. Там же приводится
построение круга, равновеликого квадрату (как иногда выражаются,
циркулатура квадрата), для чего в качестве диаметра круга принимается
4/5 диагонали квадрата. В рукописи F — IX.47 мы читаем (рис. 12):
«Землю четвероуголною хошь круглину учинити и ты из угла в угол положи
черты на крест и размерь из угла в угол на 10 мер, а в четверти по 5 и от
угла остави 5-ю меру очерти цыркулем и стала она из четвероуголного
кругла» х); как видно, при построении пользовались циркулем. Этой
циркулатуре квадрата соответствует приближение я = 3 1/8 = 3,125.
Обе только что указанные квадратуры известны были еще в древней
Индии и неоднократно применялись западноевропейскими математиками
средних веков 2). И, наконец, длина окружности выражается через диа-
х) К. I. Швецов, цит. соч., стр. 105.
2) См. М. Cantor, Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik, B-de I—II,
Leipzig, 1899—1906; по указателю (число я).

ИЗМЕРЕНИЕ ФИГУР
45
22
метр соотношением С = -=- d, восходящим к Архимеду. Из всего этого
следует, что авторы рукописей не имели еще точного понятия о взаимных
связях между длиной окружности, площадью круга и его диаметром,
ограничиваясь приближенными правилами измерения различной степени точности.
Рис. 11. «Землемерие округою» (фоторепродукция из факсимильного издания
«Счетная мудрость», СПб., 1879, л. 115).
Помимо перечисленных, в рукописях имеются задачи на определение
расстояний — гипотенузы по катетам или одного из катетов по гипотенузе
и другому катету; впрочем, указания, что
рассматриваемый треугольник — прямоугольный, мы при этом
не встречаем. Есть и задачи на определение расстояния
до недоступного места или же высоты предмета с
помощью двух различных шестов данной длины или одного
такого шеста. Правила недостаточно полны и в них
ничего не говорится о подобии треугольников, на
которое они опираются1). Аналогичные задачи разобраны
в рукописи по военному делу, составленной на
основании, главным образом, «Kriegsbuch» Л. Фронспергера
(Франкфурт-на-Майне, 1566—1573) в 1606—1607 гг. М. Юрьевым и И.
Фоминым, а затем дополнительно обработанной в 1620 г. А. Михайловым 2).
г) В. В. Б о б ы н и н, Очерки..., вып. II, стр. 155—160.
2) Издание текста А. Михайлова: Устав ратных, пушечных и других дел, касаю-
щих до военной науки. М., 1777—1781. См. Т. И. Р а й н о в, Наука в России XI—
XVII веков, М.—Л., 1940, стр. 295—299.

46
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
Как упоминалось, в рукописи F — IX.47 есть задачи на построениег
которые не встречаются в других: перпендикуляра в конце отрезка,
середины отрезка, центра окружности, а также задачи на преобразование фигур
в равновеликие, например, прямоугольника в квадрат. Пояснения
отсутствуют и чертежи, иллюстрирующие преобразования фигур,
несовершенны. Точно так же без всяких объяснений решена в этой рукописи задача
на вычисление высоты h прямоугольного треугольника по данным катетам
и г. аЪ г)
а, о ж гипотенузе с: п = — '.
Сообщаются в наших рукописях и правила нахождения некоторых
объемов: куба, прямоугольного параллелепипеда, прямого цилиндра
(здесь площадь основания исчисляется по диаметру при я = 3), бочки.
Объем бочки определяется, исходя из допущения, что она равновелика
цилиндру, имеющему ту же высоту и диаметр основания
diJr2d2-\-d3
4
где du d3 — диаметры нижнего и верхнего оснований бочки, a d2 —
диаметр параллельного основаниям сечения, проходящего через воронку.
Результат получается меньший истинного.
К задачам на измерение площадей и теорему Пифагора примыкает
в некоторых рукописях описание извлечения квадратного корня-«радикса
геометрического» из многозначного целого числа, последовательные цифры
корня устанавливаются на основании правила возведения в квадрат
двучлена. В случае иррационального корня У а2-{-г, где г < 2а +1,
дробная часть приближенно вычисляется по своеобразному правилу,
нигде более, кажется, не встречающемуся. Если, для простоты, целая
часть корня двузначна а = 10а + Р> то )/~a2-\-r представляется в виде-
10а + р + /on 4- r\ ft ' аналогично находится дробная часть в других
случаях 2). В немногих примерах с дробями дело приводится по
приближению к целым числам. Например, в треугольнике с катетами 9 1/2 и 6 3/4
квадрат гипотенузы 135 52/64 заменяется на 136, после чего значение
]/436 получается равным 11 15/21.
Точно так же в стереометрической части рукописей иногда
сообщается прием извлечения «кореня осмоу го лного», т. е. кубического корня на
основе правила возведения двучлена в куб. Дробная часть
иррационального кубического корня находится по правилу ]/а3 + г = а -\- ^ .
Как видно, в целом геометрические знания в России XVI — XVII вв.
значительно уступали арифметическим. Рукописи по геометрии нередко
содержат ошибки. Переписывались они весьма некритически. Чертежи
часто плохого качества. Такое различие в состоянии арифметики и
геометрии объяснялось, по-видимому, следующим. Арифметика в
значительной мере обслуживала предприимчивый торговый люд, высоко
ценивший точность в денежных расчетах. А землемерной геометрией занимались
чиновники, пользовавшиеся прадедовскими приемами, не придавая
большого значения их точности и не будучи заинтересованными в ней. Обилие
свободной земли также не стимулировало аккуратности измерений.
г) К. I. Швецов, цит. соч., стр. 86—90.
2) Напомним, что общепринятые приближенные формулы суть ~\/а2 + r ^
Г / т
^ а + 7л—ПГ (по неД°статку) и у а2 + г s а + — (по избытку).

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РУКОПИСЬ «СИНОДАЛЬНАЯ № 42» 47
Геометрическая рукопись «Синодальная № 42». Все же
рассмотренные рукописи недостаточно полно отражают геометрические знания
в России того времени. Имелись и высокообразованные любители наук,
стремившиеся поднять уровень математического просвещения в стране.
Попытку такого рода предпринял составитель первого русского
систематического курса геометрии, точнее, планиметрии, в котором около
350 страниц и множество чертежей, и рукопись которого
«Синодальная № 42» хранится в Московском государственном историческом музее.
Судя по первому из двух предисловий к рукописи, составителем был
князь Иван Елизарьев; согласно второму — свое сочинение он писал,
в 1625 г.1)'.
Елизарьев был очень начитанным в геометрии человеком. В своей
работе он использовал многие источники. Первое предисловие начинается
с указания, что оно «собрано» «от многих учителей и их книги у меня все»
и далее говорится: «Начало философеи и ритории и иных мудростей, что
подобает к геометрии, собрал я от различных многих старинных
мудростей и книг» 2). Особенно опирался Елизарьев на «Резюме геометрии»
(Geometrical extraction, London, 1616) англичанина Дж. Спейделя и
весьма известные в ту пору «Двадцать семь книги геометрии» (Geometriae
libri XXVII, Basileae, 1569) французского философа и математика
Пьера ла Рамэ или, в латинизированной форме, Петра Рамуса,
выдающегося педагога, стремившегося к упрощению изложения геометрии и ее
приспособлению к нуждам практики. Свой труд Елизарьев рассматривал
как элементарное руководство, советуя затем изучать Евклида, «Рамеюса»
и иных «учителей»3).
Геометрия определяется в первом предисловии, как «мастерство
чтобы было добро положено» 4),— так перевел Елизарьев слова, с которых
начинается книга ла Рамэ: «Geometria est ars bene metiendi», т. е.
«Геометрия есть искусство хорошо измерять». Значительная часть этого
предисловия является переводом или пересказом текста ла Рамэ, в
котором говорится о предмете геометрии, о мерах, о смысле, придаваемом
термину «геометрия» разными авторами — Платоном, Плутархом и др.
Язык предисловия труден, а порой даже неясен. Отчасти это можно
объяснить терминологическими трудностями, которые приходилось
преодолевать Елизарьеву.
Собственно геометрический текст рукописи начинается с 47
определений, называемых «совершениями» 5),— линии, поверхности, тела,
перпендикуляра, различных видов углов, треугольников и
четырехугольников» окружности, касательной, параллельных прямых, подобия фигур
и т. д. Тут же вводятся понятия об измерении площади квадрата и
градусной мере углов.
Приведем для примера определения прямого угла и
перпендикуляра: «Аще прямая черта упадет на другую прямую черту, сотворяет
углы на всякие страны равны и всякой угол нарицается прямой угол,
а та прямая черта, которая справлена, нарицается стоячея» 6). К
определениям иногда добавлены указания на свойства фигур, Так.
*) Ю. А. Белый иК. И. Швецов, Об одной русской геометрической
рукописи первой четверти XVII века.— Ист.-матем. исслед., вып. XII, 1959, стр. 186—188.
2) Там же, стр. 194.
3) Там же, стр. 208.
4) Там же, стр. 193.
5) Греческое 'opog — граница, предел; латинское definitio происходит от defi-
nire — ограничивать, устанавливать и т. п.
6) Ю. А. Б е л ы й и К И. Ш в е ц о в, цит. соч., стр. 204.

48
ГЛ. 2. РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
определив равносторонний треугольник, автор указывает, что каждый
из его углов составляет шестую часть «венца»— окружности.
Далее следует 74 планиметрические теоремы —«видения» х), по
большей частью восходящие к первым шести книгам «Начал» Евклида.
Формулировки теорем сопровождаются пояснениями, иногда включающими
элементы доказательств. Мы особо отметим 59—61 теоремы, а именно
неравенства 3 10/71 < я < 3 1/7, приближение п = 22/7, выражение
площади круга через радиус и длину окружности и приближенное
выражение площади квадрата на диаметре круга через 14/11 площади последнего
(все это со ссылками на Архимеда), а также 66 теорему об отношении
площадей кругов (она доказана в XII книге «Начал»).
Определения и теоремы составляют две части первой книги рукописи.
Две другие части, образующие вторую книгу, содержат 132 построения —
«провидения». Помимо простейших построений, мы находим здесь,
например, деление отрезка в среднем и крайнем
отношении (№ 20), деление окружности на
равные части — до 10 частей (№ 25),
преобразование пятиугольника в равновеликий
четырехугольник (№ 26), проведение касательной
к окружности из внешней точки (№ 31),
построение треугольника и вычисление высоты
С по трем данным сторонам (№№ 42—43),
построение треугольника по различным условиям,
Рис. 13. Задача о делении скажем, подобного данному треугольнику
треугольника на пять рав- и равновеликого данному квадрату (№ 81),
ных частей. деление треугольника на данное число
равновеликих частей прямыми, выходящими из точки
на одной из его сторон (№ 123; ср. рис. 13, где число частей пять и
сторона ВС разделена на пять равных частей).
Даже это неполное перечисление говорит о замечательном богатстве
руководства Елизарьева как в теоретической части, так и в отделе
построений. Мы не будем подробно останавливаться на его терминологии, которую
он должен был в значительной мере создавать впервые. Иногда он
подбирает русские слова, иногда копирует латинские и английские термины.
Подобие называется «сподоблением», касательная —«притирающей
чертой», слово «основанный» означает пропорциональный; есть «паралле-
лицкие черты», «дегриис» (англ. degrees) или «степени», т. е. градусы,
«скара» (англ. square) — квадрат либо площадь и т. д.
Елизарьев надеялся на издание книги в типографии. Обращаясь
к царю Михаилу Федоровичу (1613—1645), он писал: «А буде твое
государьское жалованье будет, велишь к печати ту книгу отдать и толды еще
стану смотреть у справки. Надеюсь, государь, на милость божию и на
твое государьское жалованье, что не будет та книга виновата, хотя без
помощника справлена» 2). Царь и его приближенные не сочли этого
нужным и рукопись осталась в единственном экземпляре, который
автор не отредактировал окончательно. Первый печатный учебник
геометрии вышел в России более чем 80 лет спустя, а равноценные
по содержанию руководства еще позднее, после основания
Академии наук.
г) Греческое слово Фешрт^а (от Фесорбсо— смотрю, вижу) означает зрелище,
видение, а также доказываемое предложение.
2) Ю. А. Белый и К. И. Швецов, цит. соч., стр. 201.
Ж

ПРОБЛЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО И НЕДЕЛИМЫХ
49
Проблемы непрерывного и неделимых. В XV—XVII вв. среди части
русской интеллигенции вновь усиливается, как некогда в Киевской Руси,
интерес к естествознанию и философии. Упоминавшаяся выше
«Диалектика» Дамаскина переписывалась в то время неоднократно, а в XVI веке
был сделан новый ее перевод (с латинского перевода). В последние
десятилетия XV и начале XVI вв. в Новгороде, Пскове, Москве и других
городах появилась рационалистическая ересь «жидовствующих», сторонники
которой изучали по рукописным переводам астрономию, медицину,
логику и т. д. В одной такой космографической рукописи XVI века
имеются некоторые сведения по математике. Так, в ней приведено
определение сферы по «премудрому Клидасу», т. е. Евклиду: «И то нарицается
круг, половина обыходу кругового и около снура, олны дойдеть до местьца
своего, тогда ся наречеть круг равен в частках своих, а плоть одержанаа
в обыходе том наречеться круг» х). Здесь слово круг имеет значение шара;
в этом смысле в других местах рукописи кругами называются небесные
сферы и небеса (латинское orbis также обозначало круг и небо). Это
определение весьма близко к данному Евклидом в XI книге «Начал»: «Сфера
будет: если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся
полукруг снова вернется в то же самое [положение], из которого он начал
двигаться, то охваченная фигура [и есть сфера]» 2).
Слова «равен в частках своих» выражают, быть может, равенство
радиусов сферы. Не ограничиваясь этим, автор рукописи определяет
еще сферу по «премудрому Феодосию», автору «Сферики» (ок. 100 г. до
н. э.), который «зоветь кругом то, что [в] своей тычьце равен по своим
сторонам; тычка же насереднейшаа, то есть — тычька кругови, а снур —
то, что приходить с одной стороны круговой и до другое через тычьку его».
«Снур», определение которого дается попутно, означает здесь диаметр;
это же слово обозначало тогда более общим образом линию. В рукописи
упоминаются прямые и непрямые углы и приведено градусное деление
зодиака. Каждый его знак, «задея», делится на 30 «степеней», т. е.
градусов, степень — на 60 «дробниц», т. е. минут, далее идут 60 «уторых»—
секунд и 60 «третьих»— терций.
В тех же «еретических» кругах был выполнен перевод части
«Стремления философов» (Маккасид ал-Фаласифа) мусульманского богослова
второй половины XI и начала XII века ал-Газзали, именно входящей
в состав этого труда «Логики» и части «Метафизики». Сочинения
ал-Газзали, в натурфилософии близкого к Аристотелю, оказали заметное влияние
на средневековую европейскую мысль. Математические вопросы
затрагиваются ал-Газзали многократно. Так, в «Логике» попутно упоминается
теорема о равенстве суммы углов треугольника двум прямым («...також
отлучится мыслию будущу углом треснурии ровно двема стоящим») 3).
Перевод «Метафизики» сделан с древнееврейского перевода; он сохранился
в нескольких списках, доходящих до XVIII века 4). Как и в «Диалектике»
*) А. И. Соболевский, Переводная литература Московской Руси XIV—
XVII вв., СПб., 1903, стр. 409—412. Здесь даны лишь отрывки из «Космографии»,
полностью еще не изученной. Об астрономическом содержании ее см. Т. И. Рай-
нов, Наука в России XI—XVII вв., стр. 239 и след. Однако Т. И. Райнов ошибочно
принял это определение за дефиницию круга (стр. 209—210).
2) «Начала Евклида», книги XI—XV, перев. и комментарии Д. Д. Мордухай-
Болтовского, при ред. участии И. Н. Веселовского, М.—Л., 1950, стр. 10.
3) С. Л. Неверов, Логика иудействующих.— Киевские унив. изв., 1909,
№ 8, стр. 46. Перевод Неверова сделан по рукописи второй половины XV века.
4) В. П. Зубов, Вопрос о «неделимых» и бесконечном в древнерусском
литературном памятнике XV века.— Ист.-матем. исслед., вып. III, 1950. В. П. Зубов
взял за основу одну рукопись XVII века.

50
ГЛ. 2 РУКОПИСИ XV—XVII ВЕКОВ
Дамаскина, мы находим здесь определения тела («плотного»), поверхности
(«простора») и линии («снура»); в теле можно разместить «три снуры
врезных на углы стоящий» (три пересекающиеся под прямыми углами
линии — прямые) 2), поверхность имеет «должину» и «ширину», а линии
только «должину»; к этому добавлено далее, что «тычка не имать меры»,
т. е. величины 2). Характеризуются виды углов —«стоящих», «острых»
и «широких» (тупых). Количество делится на «урезное»— дискретное
и «прилепное»— непрерывное. Обсуждается вопрос, есть ли линия
результат движения точки, причем ответ гласит, что это на самом деле
не так, хотя и мыслимо.
Наибольший интерес представляет анализ проблемы строения
непрерывных тел. Эта проблема обсуждалась в греческой философии и науке
еще с V века до н. э. Здесь боролись две основные концепции. Согласно
одной все состоит из физически или же мысленно неделимых частей;
по второй континуум потенциально бесконечно делим, так что не состоит
из атомов. Первый удар по учению о неделимых нанесли знаменитые
парадоксы Зенона Элейского. Развитие математики в Греции опиралось
на признание неограниченной делимости непрерывных величин. Лишь
в вопросах, относящихся к вычислению площадей и объемов
криволинейных фигур, отдельные ученые, например, Архимед, прибегали к идее
неделимых, как удобному средству исследования и открытия, но не
убедительного доказательства. Ряд аргументов против учения о
неделимых развили Аристотель и его последователи. Эта аргументация перешла,
в научную литературу на арабском, древнееврейском и латинском языках
и оживленно обсуждалась в средневековой схоластике. С нею же мы
встречаемся в русском переводе сочинения ал-Газзали.
Вслед за Аристотелем ал-Газзали критикует мнение, что непрерывное
тело состоит из неделимых в действительности или в мысли атомов.
Для этого выдвигается шесть аргументов, имеющих целью показатьу
что допущение неделимых приводит к противоречиям, например, к тому,
что диагональ квадрата оказывается равной его стороне, а это ложно,
«занеже мерою наугольник [диагональ] долже стран его много и се ведомо
с премудрости мерныя [из геометрии]» 3). Как и Аристотель, ал-Газзалн
принимает лишь потенциальную бесконечную делимость непрерывного:
тело имеет части не актуально («в деле»), а потенциально («в силе»).
В «Метафизике» разбирается и вопрос о бесконечно большом. Ал-Газзали:
отвергает «безконечьство» (также «безконечие») пустого или наполненного
пространства и цепи причин, но признает бесконечность времени и
мирового движения, и еще числа душ за бесконечное время существования.
Вселенной.
Проблемы непрерывного и дискретного, актуальной и потенциальной
бесконечности обсуждались не только инакомыслящими любителями
натурфилософии. Они излагались в учебных курсах физики, которые
читались в Киево-Могилянской академии, основанной в 1631 г. и Славяно-
греко-латинской академии, учрежденной в Москве в 1687 г. Эти учебные
заведения долгое время готовили образованных людей не только для
церкви, но и для государства, и лишь в начале XIX века были
преобразованы в чисто духовные высшие школы. В Славяно-греко-латинской.
г) В. П. Зубов, Вопрос о «неделимых» и бесконечном в древнерусском:
литературном памятнике XV века—Ист.-матем. исслед., вып. III, 1950, стр. 411, 412.
2) Там же, стр. 413.
3) Там же, стр. 420.

итоги
51
академии, как и в Киево-Могилянской, наряду с арифметикой читались
лекции и по курсу геометрии. Так, например, Феофан Прокопович
(1681—1736), сам бывший воспитанником Киевской Академии, в начале
XVIII века читал в ней на латинском языке довольно обширный
математический курс, в программу которого входили планиметрия,
излагавшаяся в духе обработки «Начал» Евклида, сделанной Хр. Клавием (1574),
сведения о квадратуре круга с помощью квадратрисы, понятия о
конических сечениях и спиралях. В Московской Академии обучался некоторое
время М. В. Ломоносов, впервые познакомившийся здесь с античными и
средневековыми воззрениями на континуум и атомистику1).
Итоги. Подводя итоги развития математической культуры в России
до XVIII века, мы видим, что к этому времени были удовлетворены лишь
первые потребности в сравнительно элементарных областях. Возникла
рукописная литература по практической арифметике и геометрии, но
попытка создания более совершенных руководств по геометрии не
получила официальной поддержки. Отдельные любители математики не
выходили за пределы решения любопытных частных задач и изучения
вопросов, связанных с натурфилософией. Правительства московских
царей, плохо понимавшие экономические и технические потребности
страны и неприязненно относившиеся к светской культуре Запада, почти
ничего не сделали для распространения в России технических и научных
знаний, соответствующих запросам эпохи. Духовенство решительно
поддерживало и нередко направляло царскую власть в этих вопросах.
В надгробном похвальном слове Петру I, произнесенном 29 июня (10 июля)
1725 г., Феофан Прокопович не очень сгущал краски, восклицая: «Тыя
прежде были ли? Не ведаю во всем государстве, был ли хотя один цирклик,
а протчаго орудия и имен не слыхано; а есть ли бы где некое явилося
арифметическое или геометрическое действие, то тогда волшебством нари-
цано» 2). В итоге наука в целом, и математика в частности, резко
отставали у нас от передовых стран Западной Европы, где на протяжении
XVII столетия достигнуты были большие успехи в астрономии и механике,
химии и биологии, где Декарт и Ферма заложили начала аналитической
геометрии, Ньютон и Лейбниц, завершая труды целой плеяды ученых,
разработали основы дифференциального и интегрального исчисления,
и где успешно исследовались проблемы теории чисел, теории
вероятностей, проективной геометрии и т. д. При всем том, перелом в истории
России, одним из важных элементов которого явился и перелом в развитии
у нас науки, был в конце XVII века уже не за горами.
г) В. П. Зубов, Ломоносов и Славяно-греко-латинская академия,— Труды
Ин-та ист. естеств. и техн., т. I, 1954.
2) Феофан Прокопович, Сочинения, М.—Л., 1961, стр. 135, 136.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
Подготовка военных и технических кадров. В первой четверти
XVIII века математическому просвещению в России было сообщено новое
направление. Математика перестает быть частным делом и обучение ей
ставится на службу политическим, военным, экономическим задачам
государства. За распространение светского образования борется с
большой энергией правительство во главе с царем, позднее императором
Петром I (1682-1725).
Одним из главных пунктов постепенно складывавшейся программы
деятельности Петра было создание кадров технической и
административной интеллигенции. Спешная подготовка специалистов была необходима
для новой регулярной армии, строившегося мощного флота,
насаждавшихся мануфактур, дорожного дела, для подвергнутого коренной
переделке правительственного аппарата. Петр столкнулся с отдельными
элементами этой задачи в юношеских военных играх с «потешными»,
а завершил свою просветительскую деятельность указом о создании
Академии наук.
Еще в молодости Петр с охотой изучал математику и овладел ею по
крайней мере в объеме, нужном для квалифицированного инженера,
архитектора и навигатора. По-русски он писал с ошибками, но с чертежами
и математическими приборами обращался свободно. В этом, как и во
многих других отношениях, он на голову превосходил не только своих
предшественников на русском престоле, но и других монархов.
Практическое значение математики ему было ясно и в организованных при нем
первых специальных школах она стала одним из основных предметов,
за преподаванием которого постоянно и пристально следили он сам и его
сподвижники.
Новые школы. О роли, которая придавалась математическому
образованию, говорит даже название некоторых школ. Первой была основана
по указу 14 (25) января 1701 г. школа «математических и навигацких,
то есть мореходно хитростно искусств учения» в Москве. Математико-
навигацкая школа, помещавшаяся с 1702 г. в снесенной в тридцатые
годы нашего века Сухаревской башне (рис. 14), была своего рода
политехникумом, откуда ежегодно выходили многие десятки молодых людей
различных сословий во все роды военной, морской и гражданской службы.
В 1714 г. приступили к организации в ряде городов низших «цыфирных»
школ. В 1711 г. в Москве начала функционировать инженерная школа
и в 1712 г. артиллерийская; обе они впоследствии были переведены
в Петербург. В 1715 г. от Навигацкой школы отделилась Морская
академия в Петербурге, которой поручено было готовить специалистов для
флота: Россия стала к тому времени крупнейшей морской державой.

НОВЫЕ ШКОЛЫ
53
Тогда же возникло несколько горных училищ на Урале. Несмотря на
многие трудности — недостаточную квалификацию преподавателей,
нехватку книг и приборов, суровый школьный режим, нежелание дворян,
Рис. 14. Сухаревская башня, в которой помещалась
Московская Навигацкая школа при Петре I.
чтобы их дети учились вместе с ребятами «неблагородного»
происхождения, несмотря на нерадивость самих учеников, иногда бегством
спасавшихся от горьких корней учения, не дожидаясь его сладких плодов,—
названные школы дали стране первые сотни и тысячи столь необходимых
ей специалистов, в том числе и учителей. В Сухаревской школе препода-

54 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
вание математики с самого начала включало арифметику, геометрию,
тригонометрию, пользование таблицами логарифмов, счетными
линейками. Обучение на первых порах и еще долгое время носило механический
характер: требовалось только запоминать правила и уметь применять
их к соответствующим задачам.
Я. В. Брюс. Петр Великий имел в этом деле ряд помощников.
Ближайшим был генерал Яков Вилимович Брюс (1670—1735), из «потешных»
выросший в крупного государственного деятеля — начальника всей
артиллерии, президента берг- и
мануфактур-коллегии и т. д. Брюс
получил хорошее образование в доме отца,
прибывшего в середине XVII века из
Шотландии в Россию и здесь
назначенного командиром одного из
полков. В 1697—1698 гг. около года
Брюс занимался в Англии с
преподавателем математики и астрономии.
Обе науки он изучил весьма
глубоко. Он много читал и оставил после
себя большую библиотеку (около
1500 книг), а также собрание
научных инструментов, которые завещал
Академии наук. В Сухаревской
башне он оборудовал первую в России
обсерваторию, сам изготовлял для
нее инструменты и вел наблюдения
и составил звездную карту. Он
выпускал календари, занимался научными
переводами и руководил как Нави-
гацкой школой, так и изданием
многих книг. Ему принадлежит за-
Я. В. Брюс. слуга пропаганды в России коперни-
канства, враждебно встреченного
православной церковью, и идей Ньютона г). Любопытны письма, которыми
обменивался этот замечательный человек с академиками И. Г. Лейтма-
ном, механиком и оптиком (1667—1736) и Л. Эйлером2).
К преподаванию в Навигацкой школе было привлечено несколько
человек. Во главе дела был поставлен А. Д. Фархварсон. Его ближайшим
помощником являлся Л. Ф. Магницкий; с ними работал также Стефан
Гвин, перешедший затем в Морскую академию (ум. 1720) и Грейс
(ум, 1709) 3). Фархварсону и особенно Магницкому принадлежат
почетные места в истории нашего просвещения.
1)Б. Е. Райков. Очерки по истории гелиоцентрического мировоззрения
в России, 2-е изд., М.—Л., 1947; В. Л. Ченакал, Яков Вилимович Брюс —
русский астроном начала XVIII века.— Астроном, журнал, т. XXVIII, вып. 1, 1951.
2) Научное наследство, т. 2, М., 1951, стр. 1083—1101 и Ист.-матем. исслед.,
вып. X, 1957, стр. 95—116.
3) Гвин и Грейс прибыли в Россию из Англии вместе с Фархварсоном (см. далее);
оба были, насколько известно, воспитанниками Оксфордского университета.
Возможно, что это были Sackvill Gwynne, поступивший в университет в 1689 г. в
возрасте 15 лет, и Robert Gray, поступивший в 1679 г., будучи 16 лет [письменное
сообщение д-ра Симпсона (W. D. Simpson) через посредство д-ра Уайтмана —
(W. P. D. Wiffhtman); оба — сотрудники университета в Абердине, Шотландия].

Л. Ф. МАГНИЦКИЙ
55
Л. Ф. Магницкий. Леонтий Филиппович Магницкий родился 19 июня
1669 г. Он происходил из тверских крестьян. По-видимому, самоучкой
он изучил многие науки и среди них математику, а также несколько
европейских языков х). В Навигацкой школе он работал с начала 1702 г.,
Рис. 15. Титульный лжет второго издания тригонометрических и логарифмических
таблиц (Москва, 1716).
преподавая арифметику, геометрию и тригонометрию, иногда и
мореходные науки. С 1716 г. до конца жизни Магницкий руководил школой,
б которой была тогда прекращена подготовка морских кадров. К осени
1702 г. он уже закончил свою знаменитую «Арифметику», о которой
говорится далее. Вместе с Фархварсоном и Гвином он опубликовал «Таблицы
логарифмов и синусов, тангенсов и секансов» (М., 1703). Эти таблицы
(рис. 15), воспроизводящие известные таблицы А. Флакка, вышедшие
в 1628 г. (А. V 1 а с q, Tabulae sinuum, tangentium et secantium, et
logarithm! sinuum, tangentium et numerorum ab unitate ad 10 000), содержали
1) Возможно, что Магницкий обучался в Славяно-греко-латинской академии;
«однако в списках ее учеников его имя не встречается.

56 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
семизначные десятичные логарифмы чисел до 10 000, а затем логарифмы
и натуральные значения названных функций (с тем отличием, что у Флак-
ка первыми шли таблицы тригонометрических величин). «Во употребление
и знание математико-навигацким ученикам», как сказано на титульном
листе, было выпущено через 13 лет второе издание этой книги (М., 1716).
Фархварсон и Магницкий подготовили также русское издание
голландских «Таблиц горизонтальных северные и южные широты восхождения
солнца...» (М., 1722), содержащих нужные мореплавателям таблицы
с объяснением, как ими пользоваться. Скончался Магницкий, проработав
в Навигацкой школе почти сорок лет, 30 октября 1739 г. и был похоронен
в одной из московских церквей, ныне не существующей.
Учеником Магницкого по Сухаревской школе был продолжатель
его дела — один из самых выдающихся русских педагогов XVIII
столетия Н. Г. Курганов г).
Как второе издание логарифмических таблиц, так и только что
названные таблицы для мореходов были напечатаны в типографии Василия Ано-
фриевичаКиприанова(ум. 1728), издателя многих первых русских научно-
технических книг. Киприанов принимал участие и в печатании
«Арифметики» Магницкого. Частично используя последнюю, он подготовил
увлекательно составленный математический плакат «Новый способ
арифметики феорики или зрителныя» (М., 1705), украшенный многими
рисунками, изображениями геометрических инструментов, видами Кремля
и только что основанного в 1703 г. «Петрополиса»— Петербурга, а также
воображаемыми портретами Пифагора, Архимеда, Птолемея, Тихо Браге
и еще нескольких знаменитых ученых, среди них даже Коперника.
Рисунки служили для характеристики различных наук — арифметики,,
геометрии, астрономии, оптики, фортификации и т. д.; к ним давались
подписи, объясняющие значение этих наук. Главное содержание плаката
составляло краткое описание правил действий над целыми и дробями,
включая «децимальные», т. е. десятичные, а также тройного и фальшивого*
правил, с примерами ко всему этому.
А. Д. Фархварсон. Андрей Данилович Фархварсон (Henry или Harry
Farquharson, ок. 1675—9 дек. 1739), уроженец Милна близ Абердина,,
обучался в 1691—1695 гг. в Маришал-Колледже Абердинского
университета и затем преподавал в нем математику2). Во время пребывания
Петра I в 1698 г. в Англии, он познакомился каким-то образом с Фарх-
варсоном и пригласил его с собой в Россию. Здесь шотландский математик
помогал царю в организации Навигацкой школы, где читал некоторые
разделы математики, астрономию и мореходное дело. В 1716 г. его перевели
профессором в Петербургскую морскую академию. Многие русские
моряки были его воспитанниками. В 1737 г. по представлению Адмиралтейств-
коллегий его произвели в бригадиры — чин, промежуточный между
полковником и генерал-майором и позднее упраздненный3).
Фархварсон был связан в своей деятельности с Академией наук.
Он составил по-латыни несколько руководств, оставшихся в рукописи
или в рукописном русском переводе. Участие его в издании учебной лите-
г) Биографию Магницкого см. в кн.: В. Е. Прудников, Русские педагоги-
математики XVIII—XIX веков, М., 1956; А. П. Денисов, Леонтий Филиппович-
Магницкий, 1669—1739, М.7 1967.
2) Этими данными я обязан опять-таки д-рам Симпсону и Уайтману.
3) Краткую,биографию Фархварсона см. в кн.: В. Н. Верх, Жизнеописания»
первых российских адмиралов, ч. 1, СПб., 1831, стр. 71—78.

А. Д. ФАРХВАРСОН
57
ратуры не ограничилось книгами, названными выше. Под его редакцией
вышел первый русский печатный теоретический курс геометрии, именно
«Эвклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранные и в осмь
книг чрез профессора математики Андрея Фархварсона сокращенные,
с латинского на российский язык хирургиусом Иваном Сатаровым
преложенные» (СПб., 1739) г). На самом деле эти «Элементы» представляют
собой, хотя это нигде в них не отмечено, переработку соответствующих
отделов «Начал плоской и пространственной геометрии, с приложением
избранных теорем Архимеда» (Elementa Geometriae planae et solidae.
Quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata, 1654) А. Такэ, которые
пользовались широким распространением во второй половине XVII
и первой половине XVIII вв. Основную часть учебника Такэ образует
адаптированное для юношества изложение I—VI и XI—XII книг
«Начал» Евклида. Особенно значительной переработке (в сторону арифме-
тизации) Такэ подверг теорию пропорций в V книге, заменив
классическое определение равенства отношений по Евдоксу другим, более
отвечавшим запросам вычислительной математики XVII века: как равные,
определяются отношения, предыдущие члены которых содержат свои
последующие или их любые равночастные доли (скажем, десятые, сотые,
и т. д.) равное число раз. Большое внимание Такэ уделил измерению фигур,
снабдив его числовыми примерами, причем оригинально изложил учение
об измерении пирамиды, круга и круглых тел. Как и многие его
предшественники и современники, он понимал, что общим содержанием
античных доказательств по методу исчерпывания служит предельный
переход, проведение которого, однако, весьма усложнялось из-за
отсутствия общих понятий и теорем. Из-за этого всякий раз приходилось
подтверждать правильность предельного перехода с помощью приведения
к нелепости допущения, что искомая величина не больше и не меньше
некоторой данной величины, фактически находимой при предельном
переходе. Предельный переход Такэ называл «окончанием» одной фигуры
в другую и основную роль у него играет общее предложение, которое мы
можем записать в таком виде: если xly = А/В, где А ж В суть постоянные,
lini зс А
тор— =7Г- ^а этои основе Такэ перестроил школьное учение округе,
пирамиде и круглых телах. В русском переводе соответствующее
определение таково: «Величины в некоторой фигуре написанные или описанные,
или фигуры меншие или болшие на фигуру окончатися глаголются
[in figuram desinere dicuntur], егда наконец от оные разнитися могут
количеством меншим каково нибудь даного, или коликим нибудь малым» 2).
А «общая поризма» гласит: «Буде оные которые в двух фигурах (А, В)
выписуются в тех окончаюца, какую пропорцию меж собой всегда имеют
написанные, ту же имеют и фигуры» 3). Это было первое у нас изложение
идей метода пределов, который нашел многих сторонников в России на
рубеже XVIII и XIX вв.
К материалу «Начал» Такэ присоединил изложение ряда
предложений из сочинений Архимеда «Об измерении круга» и «О шаре и цилиндре»
и еще некоторых вопросов (приближенное построение любых правильных
многоугольников, построение нескольких средних пропорциональных
и т. д.). Это добавление появилось на русском языке через несколько лет
г) О Сатарове известно еще только, что он работал переводчиком в
Академии наук.
2) Эвклидовы элементы..., СПб., 1739, стр. 259—260.
3) Там же, стр. 263.

58 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
после смерти Фархварсона. Однако теперь его имя на титульном листе
не было названо, зато появились имена Такэ и Домкино: «Архимедовы
теоремы Андреем Таккветом езуитом выбранные и Георгием Петром Дом-
кино сокращенные, с латинского на российский язык хирургиусом
Иваном Сатаровым преложенные» (СПб., 1745). Пагинация здесь
продолжает пагинацию «Элементов» и можно думать, что обе части готовились
одновременно. Какое участие принял Фархварсон в подготовке второй
части — неясно. Не удалось также узнать, о каком «ньютоновом» издании
говорится на титульном листе «Элементов». Что касается Домкино,
именем которого подписано и краткое историческое введение к «Эвклидовым
элементам», то установлено лишь, что это был Г. П. Домке — G. P. Dom-
cke, о личности которого более подробных сведений пока не имеется1).
По сравнению с книгой Такэ в русском тексте «Элементов» есть
небольшие изменения. Сокращен вводный отдел по истории математики,
исключены критика Евклида в V книге и рассуждения о модной в XV—XVII вв.
проблеме угла касания. Увеличено количество числовых примеров во
II книге (так называемая геометрическая алгебра) и в V книге. Добавлены
некоторые полезные предложения, вроде теоремы Птолемея. Возможно,
что книга предназначалась для учащихся Морской академии, в
типографии которой печатались обе ее части. И впоследствии, как мы увидим,
преподаватели этой Академии использовали «Начала» Евклида в учебных
целях (стр. 80) 2).
Перу Фархварсона принадлежит небольшая «Книжица о сочинении
и описании сектора, скал плоской и гунтерской со употреблением оных
инструментов в решении разных математических проблем» (СПб., 1739).
Сектор — это пара вращающихся вокруг общего центра и подходящим
образом разграфленных линеек, т. е. пропорциональный циркуль,
изобретенный почти одновременно в конце XVI века в Италии, Германии
и Бельгии; гунтерская скала есть логарифмическая шкала, которую ввел
в начале XVII века Э. Гунтер. Фархварсон учит построению и
применению натуральных и логарифмических шкал чисел и тригонометрических
величин, а также сектора. Затем он решает задачи на отыскание
неизвестного члена пропорции, деление отрезка на данное число частей, точечное
построение эллипса по данным осям, на решение прямоугольных
треугольников и т. п. Изложенные в книге Фархварсона элементарные
номографические построения, видимо, входили в курс Морской академии.
«Арифметика» Магницкого. Первое печатное руководство по
арифметике на русском языке было издано за границей. В 1700 г. Петр I дал
голландцу Я. Тессингу право печатать и ввозить в Россию книги
светского характера, географические карты и т. д. По математике Тессинг
выпустил «Краткое и полезное руковедение во аритметыку» (Амстердам,
1699) Ильи Федоровича Копиевича или Копиевского, родом из
Белоруссии. Однако арифметике здесь отведено лишь 16 страниц, где даны
краткие сведения о новой нумерации и первых четырех действиях над целыми
числами, причем сообщаются весьма лаконичные определения операций.
Нуль зовется оником или же, как вскоре и у Магницкого, цифрою; это
слово перешло в Европу из арабской литературы и долгое время
означало нуль. Остальные 32 страницы книжечки содержат нравоучительные
х) И. Я. Д е п м а н, Георг Петр Домкино.—Труды Ин-та ист. естеств.,
т. 2, 1948.
2) А. П. Юшкевич, О первом русском издании трудов Евклида и
Архимеда.— Труды Ин-та ист. естеств., т. 2, 1948.

«АРИФМЕТИКА» МАГНИЦКОГО
59
изречения (вроде: «жену свою ты должен любити, от любодеицы себя
сохранити») и притчи.
«Руковедение» Копиевича не имело успеха и не могло идти ни
в какое сравнение с появившейся вскоре «Арифметикой» Магницкого,
жзданной очень большим для того времени тиражом — 2400 экз. Эта
«Арифметика сиречь наука числительная. С разных диалектов на сла-
ьенский язык преведеная, и во едино собрана, и на две книги
разделена», изданная в Москве в январе 1703 г., сыграла в истории русского
математического образования чрезвычайную роль 1). Популярность
сочинения была необыкновенная, и около 50 лет оно не имело конкурентов
как в школах, так и в более широких читательских кругах. «Арифметику»
Магницкого и грамматику Смотрицкого называл «вратами своей учености»
Ломоносов. Вместе с тем, «Арифметика» явилась связующим звеном
между традициями московской рукописной литературы и влияниями
жовой, западноевропейской. Она оказала немалое влияние на учебные
руководства русских авторов, начиная с Киселева XVIII века — Н.
Курганова, до Курганова XX века — А. Киселева.
С внешней стороны «Арифметика» представляет собой большой том
in 4° в 331 лист, т. е. 662 страницы, набранный еще славянским шрифтом
(рис. 16); пагинация также славянская. Имея в виду интересы не только
школы, но и самоучек, каким в математике являлся он сам, Магницкий
снабдил все правила действий и решения задач очень большим числом
подробно решенных примеров 2). Таких примеров в ней значительно
больше, чем в соответствующих заграничных руководствах. В
предисловии автор, по примеру своих предшественников, разъясняет пользу
математики, и общегражданскую для всех людей — купцов,
ремесленников и т. д., и государственную, особо подчеркивая притом ее значение
ъ военном деле и мореплавании. Именно учитывая нужды практики
Магницкий придал своему труду полуэнциклопедический характер,
включив в него, помимо собственно математического материала,
многочисленные сведения по естествознанию и технике.
«Арифметика» делится на две книги. Первая из них, большая (в ней
218 листов),— состоит из пяти частей и посвящена преимущественно
арифметике в собственном смысле слова. Сам автор о ней писал: «В первой
_яже именуется политика, вся гражданские потребы, купецкие убо и
воинские, и различных чинов ради людей многие приклады и образы положи-
х:ом, пропорции руд, и различных царств и времен разнство денег, и весов,
и мер, разливающихся вещей тяготу, и ины многи образцы» 3) (л. 18).
Во второй книге (насчитывающей 87 листов) три части, включающие
алгебру с геометрическими приложениями, начала тригонометрии,
космографию, географию и навигацию. Тут все было новым для русского
1) Магницкому посвятили работы В. В. Бобынин (см. его Очерки истории
развития физико-математических знаний в России.— Физико-математические науки
ъ их настоящем и прошедшем, тт. VII—X, 1888—1891), а также Д. Д. Галанин
(Л. Ф. Магницкий и его арифметика, вып. I—III, М., 1914). Я во многом
расхожусь в оценке «Арифметики» с обоими исследователями.
2) В том, что автор предназначал книгу для самого широкого круга читателей,
убеждает уже титульный лист, где сказано, что она «ради обучения мудролюбивых
российских отроков и всякого чина и возраста людей... произведена». К тому же
Магницкий работал над нею еще в 1700 г. до открытия первой из петровских школ.
На л. 272 об. говорится о 1700 г., как «преходящем», а на л. 273 об. о 1701 г., как
о «предлежащем».
3) Термин «арифметика политика», т. е. гражданская ([хёфобосг поХтк&у
^OYapiaajxuv), восходит к византийской литературе XIV века.

Рис. 16. Первая страница «Арифметики» Л. Ф. Магницкого
(Москва, 1703).

«АРИФМЕТИКА» МАГНИЦКОГО
61
читателя. Мы ограничимся в дальнейшем разбором математического
содержания этого замечательного труда.
На титульном листе сам Магницкий характеризовал свое сочинение
как перевод — лучше сказать, переложение — с различных языков,
оставляя за собой лишь «во едино собрание». Эти слова, говорящие о
скромности автора, нужно понимать в том смысле, что, подобно всем авторам
учебных книг, Магницкий изучил и использовал целый ряд более ранних
руководств, причем он не ограничился старыми нашими рукописями, но
привлек и иностранную литературу. Фактически, «собирая во едино»
арифметические, алгебраические, геометрические и иные материалы, будь
то отдельные задачи или методы решения задач — он все подверг весьма
тщательному отбору и существенной обработке. В результате возник
вполне оригинальный курс, учитывавший запросы и возможности русских
читателей того времени и вместе с тем открывавший перед ними, как
выразился Ломоносов, врата к дальнейшему углублению знаний. Вопрос
о зарубежных книгах, которыми располагал Магницкий, исследован
не до конца. С большой вероятностью можно полагать, что он имел под
руками по крайней мере сочинения по арифметике Я. ван дер Шуере
(Arithmetica, Haarlem, 1601), И. Фаульгабера (Arithmetischer Wegweyser
zu...Rechenkunst, Ulm, 1614), А. Такэ (Arithmeticae Theoria et Praxis,
Lovanii, 1656), И. С. Фарманковича (Arithmetica practica bipartita...,
Cracoviae 1669; включало алгебру), труды по алгебре М. Штифеля
(Arithmetica integra, Nurnberg, 1544) и того же И. Фаульгабера или
других немецких авторов, Дж. Валлиса (1657) и К. Ф. Дешаля (1674)х). Таким
образом, Магницкий имел весьма основательную математическую
подготовку.
В первой книге «Арифметики» очень многое почерпнуто, в
обработанном виде, также из рукописей, о которых говорилось выше. Такая
преемственность имела большое воспитательное значение. Вместе с тем
уже в первых четырех частях этой книги немало нового, начиная с
обучения арифметическим действиям. Весь материал расположен гораздо более
систематически, существенно обновлены задачи 2), исключены сведения
о счете костьми и дощаном счете, современная нумерация окончательно
вытесняет алфавитную и старый счет на тьмы, легионы и пр. заменен
общепринятыми в Европе миллионами, биллионами, триллионами и
квадриллионами (каждый класс содержит шесть десятичных разрядов).
Далее этого Магницкий не идет, ибо
«Довлеет числа сего
к вещем всем мира всего».
Тут же, впервые в наших учебниках, высказана идея бесконечности
натурального ряда:
«Число есть бесконечно,
умом нам недотечно
Ни кто не знает конца,
Кроме всех Бога творца».
Стихи вообще нередко встречаются в «Арифметике»: в такой форме
Магницкий любил высказывать поучения, общие выводы и советы читателю.
*) Несомненно, что имелись и другие источники (например, по тригонометрии).
2) Среди задач на арифметические правила (тройное и др.) из рукописей взято
около половины. См. К. I. Швецов, Першоджерелы «Арифметики» Л. Магнщь-
кого.— 1сторико-математичний зб1рник, III, Кшв, 1962, стр. 122.

62 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
Главную роль в первой книге «Арифметики» играют, как и в
рукописях, тройное правило и правило двух ложных положений, а несколько
задач решено по правилу одного ложного положения, которое, впрочем,
в общем виде не формулируется. Однако, в отличие от рукописей,
различаются «возвратительное», т. е. обратное тройное правило и правила
пяти, а также семи величин. Все это вместе с правилом «соединительным»г
т. е. смешения, объединено под именем «правил подобных». Подобие или
подобенство — термин, означающий пропорциональность, а также
пропорцию. Еще ла Рамэ в 1555 г. писал, что пропорция есть подобие
отношений — proportio est similitudo rationum, а в XVII веке ряд авторов
именовал тройное правило со всеми его вариантами «правилами
пропорций». Действительно, решения основаны здесь на свойствах
пропорциональных величин. Магницкий обстоятельно описывает простое тройное
правило, которое характеризует, как «некий устав о трех перечнях, их же
друг к другу подобием учит изобретати четвертый, третьему подобный»
(л. 60 об.). Эти три данные числа называются количество, цена и
изобретатель; первое и третье должны быть «единого качества», а третье
«изобретает иный перечень подобный себе, таковым же подобием яковым и вторый
первому подобен есть» (там же). Правило поясняется примером: 1 фунт
стоит 20 алтын, сколько стоят 3 фунта? — и формулируется в следующих
выражениях: «И тому третьему перечню по подобию второго к первому,
изобретается тако: средний перечень сиречь вторый, умножай с третьим,.
а первым раздели» (л. 60 об.—61).
Как видно, Магницкий прямо связывает тройное правило с
пропорциональностью величин, и читатель, усваивая правило, заодно свыкался
с представлением о свойствах «подобия» двух пар чисел. Сама
формулировка правила конкретно выражала одно из свойств пропорции. Однако
Магницкий не выделил и не разъяснил предварительно применяемые им
общие свойства пропорциональных величин. Так поступало подавляющее
большинство авторов арифметических руководств. Только немногие,
вроде Такэ и Дешаля, предпосылали тройным правилам более или менее
развитое учение о пропорциях.
К «подобенствам» или, как он их теперь называет, пропорциям,
Магницкий возвращается в пятой части, озаглавленной «О прогрессиях
и радиксах квадратных и кубических». Эти вопросы, указывал Магницкий,
относятся собственно к алгебре, но, поскольку изучать ее смогут немногие,
он решил изложить их здесь «в дополнение многих, в прешедших частех
различных правил, и гражданских числительных потреб паче же
воинских» (л. 179).
Определив общим образом «прогрессио» или «шествование», как
«пропорцию, или подобенство числ к числам в примножении, или во умен-
шении яковых либо перечнев», Магницкий разделяет прогрессии на
арифметические, геометрические и «армонические» (л. 179 об.), последние,
впрочем, оставлены далее в стороне. «Арифметическое прогрессио или
пропорция есть, егда три или многая числа коеждо их друг от друга равное
разнство, но разные пропорции имать, и сие или единаким пошествием
яко 2.4.6.8.10.12 или не единаким, яко 2.4.5.7.8.10.11.13» (л. 179 об.).
Применение здесь слова «пропорция» в двух различных смыслах, как
прогрессии, т. е. некоторой последовательности чисел, и как
геометрического отношения двух чисел, разумеется, создавало трудности; через
несколько страниц это же слово означает также знаменатель
геометрической прогрессии или же ее «умножителное число». Непривычное для нас
включение в число арифметических прогрессий арифметических рядов

«АРИФМЕТИКА» МАГНИЦКОГО
63
с переменной разностью (в данном случае принимающей поочередно
значения 2 и 1) встречалось ранее, например у Дж. Кардано (1539)
и М. Штифеля (1544), который именовал их progressions intercisae —
прерывными прогрессиями1). Фактически все же Магницкий занимается
только обыкновенными арифметическими прогрессиями, решая типичные
задачи на вычисление суммы, первого члена («предела», от латинского
terminus), разности и т. д. по тем или иным данным; вводится и понятие
среднего пропорционального числа.
Аналогично арифметической определяется геометрическая
прогрессия или пропорция, «егда три или многая числа, едину и туюжде между
собою пропорцию, но разнства различные имут, и сие или единаким
пошествием, яко 2.4.8.16.32.64.128. или не единаким, яко 2.4.6.12.18.»
(л. 179 об.). Сумма обыкновенной геометрической прогрессии находится
по правилу S = nq ai . В одной из задач, именно на отыскание
знаменателя прогрессии по условию д7 = 2187, допущена, по недосмотру,
грубая ошибка: Магницкий делит 2187 на 7 и говорит, что остаток 3
дает «разнство» (опять недосмотр!) прогрессии.
Далее следует правило извлечения квадратного корня, само
название которого объясняется тем, что «от него вся пропорция всея алгебры
начинается или раждается» (л. 185 об.). Здесь, очевидно, имеется в виду
прогрессия степеней неизвестной, т. е. ж, х2, х3,. . . К этому примыкает
описание десятичных дробей, после чего приводится правило извлечения
кубического корня. Если квадратный корень или радикс определяется как
выраженный числом «бок» «четверобочной и равномерной фигуры», та
кубический корень вводится, как число, выражающее «бок» «кубичного
корпуса». Как видно, хотя Магницкий перенес извлечение корней,
излагавшееся ранее в геометрических рукописях, в арифметику, само
определение квадратного и кубического корня сохраняло след происхождения
этих понятий из геометрии. В качестве примеров приведено много задач
на теорему Пифагора и ее пространственный аналог, на определение
цилиндра с равными высотой и диаметром, а также сферы, равновеликих
данному кубу и другие. Есть здесь и задачи, не требующие извлечения
корней; например, на отыскание боковой поверхности конуса («шатра») по
окружности основания и образующей (к ней примыкает задача, в которой
даны диаметр основания и высота конуса) и на вычисление объема и
поверхности шара по его диаметру и «пропорции архимедовой» (я = 22/7).
Представляет интерес изложение системы десятичных дробей,
помещенное вслед за извлечением квадратного корня, несомненно в связи:
с употреблением в приближенных вычислениях правила, выражаемого
формулой
Vn =
Vamqs"
10'1
«Зде потребно есть,— писал Магницкий,— кратко о ином чине
арифметики рещи, яже децималь или десятная именуется, сиречь в десятных.
частях, или в сотых, или в тысячных, и множайше» (л. 202 об.). С. Стевин,
который в 1585 г. выступил с пропагандой системы десятичных дробей,
также говорил, что «десятая есть вид арифметики» 2), но Магницкий
г) М. Cantor, Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, B. II, стр. 501;
J. T г о p f k e, Geschichte des Elementar — Mathematik, B. VI, 2 Aufl., стр. 13.
2) The principal works of Simon Stevin, vol. II A. Amsterdam, 1958, стр.. 402.

64 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
следовал не Стевину, а немецким ученым, вроде И. Г. Бейера (1603) и др.,
которые применяли десятичные дроби в форме геометрических мер.
Многие,— говорится в «Арифметике»,— употребляют «сей чин... во искании
количества линий, и арей или суперфиций плоских» (л. 202 об.).
Магницкий излагает этот вопрос очень коротко, пример дает только на
сложение и остальное предоставляет читателю. Следует учесть, что в то время
десятичные дроби лишь начинали входить в более широкое употребление
и в курсы элементарной математики. Меры, употребляемые Магницким,
в порядке убывания, таковы: рута (немецкое Ruthe) или сажень, фут
или стопа, цолль или палец, гран или зерно и скрупул или дробь;
их «признаками» служат в случае линейных мер соответственно [0, [1, [2
и т. д. При этом вслед за числом пишется только знак наименьшей меры,
так что, например 82.3.9.3.8 [4 означает 82 руты 3 фута 9 цоллей 3 грана
и 8 скрупулов. Указание одного лишь последнего разряда десятичной
дроби встречается у ряда авторов, в том числе Бейера, писавшего над
последней цифрой латинский номер разряда, но употребление значка [,
как у Магницкого, я у других математиков не обнаружил. Дешаль
применял такой знак, но по-иному, отделяя им дробную часть десятичного
числа от целой.
Пятой частью заканчивается первая книга «Арифметики». Как видно,
она отличается от прежних русских арифметических рукописей не только
гораздо большим богатством содержания, но и самой манерой подачи
материала. В рукописях отсутствовали не только доказательства, но почти
полностью даже определения понятий; самое большее, некоторые
иностранные термины пояснялись русскими знакомыми словами, как «адитсие
или считание». У Магницкого также не было доказательств в строгом
смысле слова, но в очень многих случаях он, растолковывая свои
правила, подводит к их сознательному применению. Так поступает он,
например, при изложении тройного правила. Особенно важным средством
содержательного изложения и воспитания мышления стали у Магницкого
определения, которыми он пользуется не только, когда вводит такие
неизвестные читателю даже понаслышке понятия, как прогрессия или
радикс, но и в случае вполне, казалось бы, обиходных понятий и действий.
«Аддицио или сложение,— разъяснял он,— есть двух или многих числ
во едино собрание, или во един перечень совокупление» (л. 4).
«Умножение есть, им же что в числах умножаем, или коликим вещем по множеству
иных вещей раздаем, и количество их числом показуем» (л. 11 ), т\ е. есть
повторение данного количества столько раз, сколько вещей в другом
данном множестве. Такие же определения даются в иностранных
учебниках того времени и, с небольшими уточнениями, в школьной
литературе наших дней. Из этих определений, обобщенных на абстрактные
множества произвольных элементов, возникли современные определения
операций над количественными и порядковыми числами. Приведем еще
определение дроби: «Число ломаное ничтоже ино есть, токмо часть вещи,
числом обявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице:
1/2 рубля, или четь 1/4, или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5,
и всякие вещи яковая либо часть, обявлена числом» (л. 42). Отдел о дробях
следовал за метрологическим. И теперь детей учат дробям, отправляясь
от деления на равные части единичных конкретных величин, и в
частности, различных мер.
Уже в первой книге «Арифметики» Магницкий проделал большую
работу по обогащению и улучшению русской математической
терминологии. Многие термины впервые встречаются у Магницкого или, во всяком

АЛГЕБРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ У МАГНИЦКОГО
65
случае, благодаря ему вошли в наш математический словарь: множитель,
произведение (также продукт), делимый и частный перечни (также квотус),
делитель, квадратное число, среднее пропорциональное число, извлечение
корня (ранее говорили: деление радиксом), пропорция, прогрессия и т. д.
Алгебра и тригонометрия у Магницкого. Вторая книга «Арифметики»
впервые знакомила нашего читателя с обширным кругом знаний, которые
Магницкий назвал «арифметикой астрономской» и которые включали,
среди прочего, алгебру и тригонометрию. В предисловии Магницкий
подчеркивал значение всего этого комплекса сведений для России его
времени. «Астрономская» арифметика, писал он, «в настоящая времена
есть потребнейшая в нашем всероссийском государстве быти, неже в
прежде бывшем», ибо без нее невозможно быть хорошим геодезистом, инженером
и воином, «паче же ни навигатор будет без сея науки, не может бо добро
кораблеходствовати, и к желаемому пристанищу достигнути, и уречен-
ное место получити...» (л. 219 об.). Изучение алгебры он рассматривал
как «некий высочайший и тщаливейшим токмо свойственный жребий,
зане не всякому общенародному человеку есть сия потребна, яко купцем,
икономом, ремесленником и таковым» (л. 225 об.).
Мы остановимся только на алгебре и тригонометрии, оставив в
стороне извлечение корней высшей степени с помощью таблицы
биномиальных коэффициентов до 10 степени двучлена, которое он поясняет на
примерах от 4 до 8 степени х), а также изложение шестидесятеричной
системы дробей и целых чисел, высшие единицы которой, начиная с 602,
называются первой, второй и т. д. сексагенами 2), и некоторые другие
вопросы.
Слово алгебра Магницкий производил, как и многие, от имени якобы
йзобревшего ее Гебера (на самом деле севильский астроном Гебер, точнее,
Джабир ибн Афла, живший в XI веке, к этому не имел никакого
отношения). Итальянцы, добавлено в «Арифметике», зовут ее коссика, от слова
косса, т. е. вещь. В самом деле, итальянское название неизвестной
величины cosa — вещь — перевод соответствующего арабского Термина, было
распространено на всю науку алгебры, в латинской форме ars cossica
или просто cossa, а в немецкой — Gosse или die Coss. И прежде всего
Магницкий знакомит с коссическими названиями, а также обозначениями
степеней неизвестной вплоть до 25-й включительно. Этот «вид» алгебры 3)
он называет нумерацией — numeratio, поясняя: «Нумерацио или
счисление алгебраики есть числа алгебраическая или коссика именованиями
и характирами объявленная, от единицы коею либо пропорциею примно-
жаемая, и в не оконченое проходящая, и тою равною пропорциею ею же
при искренное единицы саму ону превосходит, их же расстояние от
х) Этот раздел излагался во многих сочинениях немецких алгебраистов.
2) Такая система возникла еще в древнем Вавилоне, а затем шестидесятеричные
дроби вошли в широкое употребление через эллинистическую астрономию. В странах
ислама астрономы с X—XI вв. применяли и шестидесятеричные разряды целых
чисел, так называемые первые, вторые и т. д. «поднятые»; попытки ввести шестидеся-
теричный счет целых делались и в Европе. В дальнейшем Магницкий сексагенами не
пользуется.
3) Слово «вид» есть перевод латинского species, означавшего со времени Ф. Вие-
та, с одной стороны, знаки алгебраических величин, а с другой — операции
арифметики и алгебры. Магницкий понимает под видом как раз последние, относя к действиям
наименование и обозначение. Знаки алгебраических величин он иногда называет
характирами, от characteres тогдашней латинской терминологии, что восходит к
греческому %арахтт]р — изображение и т. п.

66 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
единицы числа естественным порядком поступающая показуют» (л. 226).
Здесь появляется упоминавшаяся ранее геометрическая прогрессия
степеней неизвестной; Магницкий отмечает, что отношение (у него —
пропорция) к единице ближайшей к ней степени таково же, как между
соседними членами прогрессии, а также что стоящие в таблице
натуральные числа, нумерующие члены прогрессии, показывают их
расстояние от единицы. Мы не будем приводить все эти коссические знаки х).
После того Магницкий переходит к другому способу обозначения —
«знаменованию алгебраики»— notatio, которое «ничто же ино есть, токмо
литеры гласныя, полагаемыя за количество непознаное числ, или о немже
взыскание есть. Такожде и согласные, полагаемыя за количества даных
чисел, или познаных» (л. 227). На прилагаемой фотографии (рис. 17)
изображены различные приводимые Магницким символы первых пяти
и далее для четырех степеней неизвестной и данной величины.
Обозначение неизвестных величин прописными гласными и данных величин
прописными согласными ввел (1593) Ф. Виет, который характеризовал
степени, ставя рядом с буквой полное или сокращенное латинское название
степени. Т. Герриот заменил прописные буквы строчными (опубл. 1631)
и его обозначение степеней простым повторением букв дается в 7 и 9
строках фотографии. П. Эригон ставил показатель степени в одну строку
вслед за основанием (1634 и 1644), как в 12 и 15 строках снимка (или
перед основанием), причем пользовался строчными буквами. В 8, 10, 13
и 16 строках содержатся коссические знаки, иногда в форме, несколько
отличной от той, в какой они появились в конце XV века. Различие в 7
и 9 строках, а также в 12 и 15 строках между прописными и строчными
буквами следует отнести за счет ошибки типографии.
Магницкий приводит два примера алгебраических выражений в
буквенном обозначении, предупреждая, что числовой коэффициент (этого
термина у него нет) ставится впереди соответствующей буквы. В
дальнейшем он употребляет коссические знаки и излагает на многих
примерах основы алгебраического исчисления — вплоть до деления
многочленов; в примерах иногда встречаются ошибки или опечатки. Особенно бегло
и недостаточно ясно написан параграф о дробных алгебраических выра-
3 3
жениях. -р— он пишет -^б- и читает «три пятины радиксов».
В алгебре Магницкий пользуется знаками —{— (называемом «болше»)
и —'-— («менше») и чертой для деления (ср. стр. 34). Сообщаются правила
извлечения корней высших степеней и излагается учение о шестидесяте-
ричных дробях.
За всем этим следует вторая часть второй книги «О геометрических
чрез арифметику действующих», прежде всего 18 задач, среди которых
задачи на вычисление площадей параллелограмма, правильных
многоугольников (по стороне и «перпендикуляру» к ней из центра), сегмента
круга, объемов круглых тел; сообщены диаметр, поверхность и объем
Земли в итальянских милях, которых в градусе 64, 363 (рис. 18). Попутно
приведены некоторые теоремы — о равенстве стороны правильно
вписанного в круг шестиугольника «семидиаметру» и о равенстве отношения
площадей двух кругов отношению квадратов их диаметров. Для русского
читателя здесь было много новых важных сведений. А далее Магницкий
переходит к решению трех канонических видов квадратных уравнений
с положительными коэффициентами при членах: «Первое, егда едино есть,
г) См. А. П. Юшкевич, История математики в средние века, М., 1961,
стр. 412—413.

Рис. 17. Алгебраические знаки в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого (л. 227).

68 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
или многая q —¦— единым, или многими радиксы равняются числу. Якоже
q —|— R о или q о —|— R или о —{— q Д» (л. 252). Знаки неизвестной
(от radix — корень) и квадрата (от quadratum) следует понимать во
множественном числе, т. е. R это наше Ъх и q — наше ах2; знак о для
произвольного свободного члена —«праздного числа» возник, вероятно, из
соответствующего коссического знака, имевшего форму перечеркнутого
кружка. Здесь же впервые появляется удлиненный знак равенства,
предложенный Р. Рекордом (1557). Рассмотрение по отдельности указанных
трех форм квадратных уравнений, восходящее к греческой и арабской
математике, все еще сохранялось во многих учебниках, хотя с середины
XVI века в Европе была известна и единообразная трактовка вопроса. Для
каждой формы имелось свое правило решения; так поступает и Магницкий.
Решение высказано словесно; учитываются лишь положительные корни1).
Затем разобрано несколько задач, выражающихся линейными,
квадратными и биквадратными уравнениями. Геометрические задачи
объединены заглавием «О различных линиях в фигурах сущих».
Большинство из них относится к определению элементов
прямоугольных или произвольных треугольников по тем или иным данным
(например, катетов по их произведению и разности или высоты по
трем сторонам и т. п.). Любопытно введение в нескольких случаях
двух неизвестных, обозначаемых 1R и 1а или 1R и 1А: тут
сочетаются различные типы символов. Такое обозначение второй
неизвестной, как и приписывание коэффициента 1, восходит к
немецкому алгебраисту М. Штифелю (1544), который иногда обозначал
неизвестные и их степени гласными и согласными прописными готиче-
0 12 3
скими буквами, вроде 1, 121, 12Ш, 12ИШ и т. д. (1553). В примерах
алгебраической части «Арифметики» немало опечаток и есть отдельные
неточности. Вообще эта часть была составлена, как писал сам автор,
«не по мнозе времени» (л. 179).
Каковы же были здесь источники Магницкого? Скорее всего, как
уже упоминалось, он использовал «Математический курс или мир» (Cursus
seu Mundus mathematicus, Lugduni, 1674 и др. изд.) К. Ф. Дешаля,
сочинения коссистов М. Штифеля и И. Фаульгабера, а также «Общую
математику» (Mathesis universalis, Oxoniae 1657) Дж. Валлиса. Все это весьма
распространенные в XVII веке руководства, причем книги Дешаля и
Валлиса могли иметься у Фархварсона и Брюса.
Алгебраический отдел своего «Курса» Дешаль также начинает с
наименования и обозначения коссических чисел, которое называет denomi-
natio numerorum cossicorum, а следом в королларии знакомит с
обозначением данных и неизвестных величин при помощи прописных согласных
и гласных букв, причем в обеих формах записи: А, АА, AAA, . . .
и А, А2, A3, ... и т. п. Соответствующие объяснения у Магницкого
и Дешаля звучат весьма сходно. У Дешаля есть и термин numeratio
numerorum cossicorum, означающий коссическую запись алгебраических
выражений с помощью знаков действий. Как у Дешаля, так и у
Магницкого особо выделена нумерация «алгебраических чисел в долях»
(соответственно, numeratio fractionum cossicorum), начинающаяся с записи одно-
8 12
членов вроде -^-(Магницкий) или -^= (Дешаль) 2). Результат действий
г) Почему и не рассмотрено уравнение вида ах2 + Ъх + с = 0 при
положительных а, &, с.
2) С. F. D е с h a 1 е s, Cursus seu mundus mathematicus, Lugduni, 1690,
стр. 571—583.

Рис. 18. Размеры земного шара; измерение объема и поверхности некоторых тел
(«Арифметика» Л. Ф. Магницкого, л: 236).

70 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
оба автора рекомендуют проверять с помощью обратных операций.
Сходство обнаруживается и в предпочтении, отдаваемом коссическим знакам,
и в применении символа равенства Рекорда, и в ряде геометрических
задач. У Валлиса мы также находим таблицу алгебраических обозначений
под названием De notatione algebrica (ср. «Знаменование алгебраики»
Магницкого): в левом столбце ее стоят наименования (nomina) степеней,
затем самые знаки — characteres (вначале коссические, затем в виде
A, Aq, Ас и т. п., герриотовы и, наконец, декартовы а, а2, а3, . . .),
а в правом столбце указан еще показатель степени — potestas seu gradus х).
Впрочем, сам Валлис предпочитал символику Декарта (1637). Наконец,
у коссических авторов Магницкий мог найти таблицу биномиальных
коэффициентов с приложением к извлечению корней (он, как и Штифель,
останавливается на корне 8-й степени), а также, как говорилось,
обозначение двух неизвестных li?, 1А, которое, восходя к Штифелю, встречается
и у Фаульгабера2), с тем отличием, что последний писал не \А, но, в
соответствии с готическим алфавитом, 1SI.
При оценке изложения алгебры у Магницкого следует помнить, что
столь привычная теперь символика Декарта находила в те времена
признание еще немногих и повсеместно укореняется только в XVIII веке.
В курсах авторитетных педагогов XVII столетия преобладали то
коссические обозначения, то символы Виета и его последователей, иногда
комбинации тех и других, а иной раз собственные специально
придуманные знаки. Далее, одни авторы уже принимали отрицательные и мнимые
числа, другие еще отвергали их употребление, по крайней мере в школе;
а это, естественно, отражалось на учении о квадратных уравнениях.
Если оставить в стороне описки и опечатки в алгебраическом тексте
«Арифметики», то он стоит в одном ряду со множеством других учебников
алгебры своего времени.
Вслед за алгеброй Магницкий на нескольких страницах дает решения
семи тригонометрических «проблем», служащих для вычисления таблиц
синусов, тангенсов и секансов. Он сообщает правила вычисления по
синусу дуги а, меньшей 90°, косинуса дуги 90° — а («синуса дополнения») 3),
затем теоремы о синусах и хордах дуг 2а, За и 5а, которые с помощью
приведенного в книге чертежа могут быть распространены на (2п -{-1) а.
тз . а l/sin2a + sm vers2 а г
Выразив затем sin -^ = — , он далее приближенно
вычисляет с помощью правила двух ложных положений хорду 10° по хорде 30°
и хорду 2° по хорде 10°, а отсюда сразу получается синус 1°. Это первое
изложение тригонометрии на русском языке в силу своей чрезмерной
краткости вряд ли было доступно большинству читателей. В последней
части «Арифметики» содержатся различные сведения, полезные для
моряков (таблицы магнитных склонений, таблицы широты точек восхода
и захода Солнца и Луны, координаты важнейших портов, часы прилива
и отлива в них и т. д.).
«Арифметика» Магницкого удовлетворила важной государственной
и общественной потребности своего времени, ее изучали много и прилежно,
о чем свидетельствуют многочисленные сохранившиеся списки и
конспекты книги. Разделив судьбу родственных учебников в Западной
Европе, она прослужила до середины XVIII века. Все же, несмотря на свой
х) J. W а 11 i s, Operum mathematicorum pars prima, Oxoniae, 1657, стр. 72.
2) Ср., например, J. Faulhaber, Academia algebrae, Ulm, 1631.
3) А также по хорде («субтензе») дуги, меньшей 180°, хорды дополнения до 180°.

ПЕРВЫЕ УЧЕБНИКИ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ 71
энциклопедический характер, «Арифметика» и в Петровскую эпоху
оказалась для школы недостаточной: в ней было слишком мало геометрического
материала.
Первые учебники геометрии и тригонометрии. В Петровское время
на русском языке напечатаны были два геометрических руководства.
Одним из них был перевод австрийской книги А. Э. Буркгарда фон Пюр-
кенштейна «Ertzherzogliche Handgriffe des Zirckels und Lineals», Wien,
(1686), дважды изданный в Москве в 1708 г. под названием «Геометриа
славенски землемерие» и со шмуцтитулом: «Приемы циркуля и линейки
или избраннейшее начало во математических искусствах, им же возможно
легким и новым способом вскоре доступити землемерия и иных из оного
происходящих искусств» *). Эта была первая книга, набранная новым
русским шрифтом. Она была переиздана в 1709 г. под вторым из
приведенных названий, причем дополнена главой «О превращении фигур плоских
во иные такого же содержания» (отдельно изданной еще в 1708 г.), а также
главой об изготовлении солнечных часов. Четвертое издание вышло
в 1725 г. Переводчиком книги был Я. В. Брюс, который составил и
дополнение о преобразовании с помощью циркуля и линейки одних плоских
фигур в другие равновеликие фигуры с некоторыми данными элементами
{всего 39 задач). Сам Петр также принял деятельное участие в
издании, тщательно отредактировав весь текст книги и написав главу о
часах 2).
«Приемы циркуля и линейки» начинаются с объяснения тесной
взаимной связи между «геометрией феоретикой» и «геометрией практикой»
и пользы этой науки. За этим следуют многочисленные определения или
описания ряда геометрических понятий, «общественные знаемности»
(общепринятые положения, аксиомы) и «обещания или допущения»
(постулатов). В этой части сочинения, занимающей вместе с прекрасными
рисунками около 50 страниц, характерно сочетание математических
формулировок в стиле Евклида с практическими чертежными советами
и не претендующими на какую-либо точность аналогиями. Первым стоит
определение: «Пункт есть мнейшая точка, о ней же мыслити возможно,
и не может вящще мнейши разделена быти» и тут же добавляется: «А ради
недовольной остроты очес, делается она иногда довольно велика» 3).
О плоскости сказано: «Плоская суперфициа или наружность есть такое
величество, которое долго и широко есть без толстоты. Солнечная стень
изображает нам подлинную плоскость» 4). Даются графические
представления о винтовой линии («гелика или шурупная»), спиралях («спира-
лис или улитковая»), о линиях «эллиптике», «параболике» и «гиперболике»,
о которых сообщается еще, что они принадлежат к коническим сечениям.
Эллипсоид —«сфероид или раздавленный глобус»,— говорит автор,—
«изображает подлинное яйцо» 5), конус сравнивается с заостренным
караваем и т. п. Аксиомы — те же, что у Евклида, только нет аксиомы
о целом и части. Список постулатов заметно отличается от евклидова,
например, нет постулатов о равенстве прямых углов и о параллельных.
Приведем только первый постулат «Приемов»: «Допущается и признается
х) Ср. И. Я. Д е п м а н, О первом печатном руководстве по геометрии на
русском языке.— Труды Ин-та ист. естеств., т. III, 1949.
2) С. Е. Ф е л ь, Петровская геометрия.— Труды Ин-та ист. естеств., т. IV, 1952.
3) Приемы циркуля и линейки..., М., 1709, стр. 15.
4) Там же, стр. 26.
5) Там же, стр. 42.

72 ГЛ. 3. ГОСУДАРСТВО И МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ПЕТРА ПЕРВОГО
свободно без всякого прекословия, еже ли кто имеет прямую линейку,
к тому же карандаш, или перо, то может он тем на бумаге из даныя точки
прямую линею начертить» *), причем рекомендуется плотно приложить
линейку к бумаге и т. п.
Основное содержание «Приемов», разделенных на шесть книг,
образуют около сотни точных или приближенных построений при помощи
циркуля и линейки. Помимо простейших построений, отметим проведение
прямой через две точки, которые из-за большого расстояния между ними
Рис. 19. Пропорциональное увеличение и уменьшение изображений («Приемы
циркуля и линейки», Москва, 1709, стр. 238, 239).
нельзя соединить линейкой, черчение спиралей из полуокружностей
с растущими в арифметической или геометрической прогрессии
радиусами, веревочное построение эллипса, отыскание центра и осей данного
эллипса, приближенное построение данной плоской фигуры в данном
масштабе (рис. 19). Доказательства отсутствуют.
Богатство построений, содержащихся в «Приемах», очевидно. Книга
имела успех. Она не только трижды переиздавалась, но и много раз
переписывалась; один из сохранившихся списков сделан в Смоленске
в 1768 г.
Важным дополнением к «Приемам» явилась изданная в 1714 г. в
Петербурге «Геометрия практика», в четырех главах которой решено 68 задач
1) Приемы циркуля и линейки..., М., 1709, стр. 54.

ПЕРВЫЕ УЧЕБНИКИ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ
73
на измерение фигур х). В 1-й главе решаются треугольники и вычисляется
высота удаленных предметов с помощью натуральных таблиц синусов,
тангенсов и секансов. Тригонометрические линии эти вводятся,
соответственно, как горизонтальный катет, вертикальный катет и гипотенуза
прямоугольного треугольника. Во 2-й главе те же и аналогичные задачи
решены с помощью таблиц логарифмов. Главы 3—4 содержат правила
вычисления площадей и прямолинейных фигур, круга и его частей,
эллипса по неточной формуле S = я \—к— ) L поверхностей круглых тел,
а затем объемов правильных многогранников и круглых тел. И здесь
доказательства приемов решения задач не приведены.
И в этих книгах наша математическая терминология обогатилась
большим количеством слов. Многие из них укоренились, как плоскость,
катет, гипотенуза, высота, цилиндр, конус и т. д. Другие термины,
которые легко могли быть заменены русскими словами, вроде: сунерфиция
(площадь, поверхность), корпуленция (объем) и т. д. с течением времени
выпали из обихода.
Мы подробно остановились на учебных руководствах петровского
времени, чтобы показать, насколько шире стал кругозор русских
математиков за первую четверть XVIII века, насколько тем самым
подготовлена была почва для дальнейшего быстрого роста русской математической
культуры, связанного с учреждением Академии наук.
!) И. Я. Д е п м а н, «Геометрия практика», — Ист.-матем. исслед., вып.
VIII, 1955.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МАТЕМАТИКА В ПЕТЕРБУРГСКОЙ АКАДЕМИИ
НАУК В XVIII ВЕКЕ
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Основание Академии наук. Поворотным пунктом в развитии науки
в России явилось основание Петербургской Академии наук (рис. 20).
Событие это Петр I и его помощники подготовляли долгие годы. 22 января
(2 февраля) 1724 г. император утвердил проект положения об Академии.
Рис. 20. Академия наук и Кунсткамера (гравюра Мальтона, 1789).
Ему не довелось, однако, быть свидетелем открытия Академии наук,
первые собрания которой начались в августе 1725 г., через полгода после
его смерти.
Академия наук состояла из трех классов: первый объединял
математику, астрономию, механику с географией, второй — физику, химию
и естественные науки, третий — гуманитарные дисциплины. Академии
предназначалась роль не только научного учреждения, но и основного
центра подготовки ученых и вспомогательного персонала для ее
многочисленных учреждений — обсерватории, лабораторий, инструментальных
мастерских, библиотеки, музея, ботанического сада, издательства и
типографии. С этой целью при Академии учреждались университет и
гимназия, а на академиков возлагались преподавание в них и индивидуальные
занятия с более способными студентами х).
г) Подробнее см.: История Академии наук СССР, т. 1, М.—Л., 1958, а также
П. Пекарский, История Императорской Академии наук в Петербурге, т. I, СПб.,
1870 (эта книга содержит ценные биографические сведения о первых академиках).

МАТЕМАТИКА В АКАДЕМИИ НАУК
75
Математика в Академии наук. К началу XVIII века стало очевидным
значение большого математического аппарата для разработки многих
теоретических и практических проблем науки и техники, имеющих
государственное и общественное значение. При организации Петербургской
Академии наук это обстоятельство учитывалось в полной мере. Среди
23 академиков, приглашенных на работу в течение первых лет, семь
являлись математиками. Это были (по старшинству рождения) Я. Герман,
X. Гольдбах, Ф.-Х. Майер, Г.-В. Крафт, молодые братья Н. и Д. Бер-
нулли и их совсем еще юный друг Л. Эйлер. Вначале академиков
пришлось выписывать из-за рубежа, в данном случае из Швейцарии и
Германии. Позднее в Академии в XVIII веке работали математики В. Е. Адо-
дуров, С. К. Котельников, С. Я. Румовский, И. А. Эйлер, Н. И. Фусс,
М. Е. Головин, А. И. Лексель, Ф. И. Шуберт и С. Е. Гурьев. Все они
внесли больший или меньший вклад в развитие математических наук и
образования. Начиная с 1728 г., когда вышел первый том «Записок»
Петербургской Академии за 1726 г. (рис. 21), по 1806 г., когда был издан последний,
XV том ее «Новых трудов» за 1802 г. х), в изданиях Академии было
напечатано более 700 научных мемуаров и отдельных книг по математике
и механике, среди них около 400 работ Л. Эйлера, около 40 — Д. Бер-
нулли, по 2—3 десятка — Лекселя, Гурьева, Фусса и Шуберта, по
несколько статей Я. Германа, Г.-В. Крафта, С. К. Котельникова, С. Я. Румов-
ского и т. д. 2). Дело было, однако, не только и не столько в количестве
этих публикаций, сколько в их исключительно богатом и разнообразном
научном содержании. Вряд ли можно назвать какой-либо отдел
математики (и механики), который бы не был представлен в изданиях
Петербургской Академии первоклассными изысканиями. Это относится к
теории чисел и теории вероятностей с приложениями к статистике и
страхованию, к элементарной тригонометрии и тригонометрическим рядам,
к сферической геодезии и картографии, к небесной механике и морской
науке, к геометрии и теории машин, а главное, ко всем областям
математического анализа: интегральному исчислению, дифференциальным
уравнениям, вариационному исчислению, специальным функциям и т. д.
Печатные издания Академии оказывали огромное влияние на общий
прогресс математических наук и ученые Западной Европы с нетерпением
ожидали появления ее трудов. В 1734 г., всего лишь через шесть лет
после выхода первого тома «Записок», Д. Бернулли, возвратившийся
в Швейцарию, писал Эйлеру: «Не могу Вам довольно объяснить, с какой
жадностью повсюду спрашивают о Петербургских Мемуарах...
Желательно, чтобы их печатание было ускорено» 3).
Но международная научная информация передавалась не только
через посредство печатных изданий. В тот век, когда периодические
органы большинства академий выходили не чаще раза в год и нередко
с большим опозданием, очень большую роль играла научная переписка.
Ученая корреспонденция Петербургской Академии с Парижем, Лондоном,
х) Всего вышло 14 томов Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petro-
politanae, затем 20 томов Novi Commentarii, 12 книг Acta и 15 томов Nova Acta —
все на латинском языке. В дальнейшем они цитируются сокращенно: GAP, NCAP,
АР, NAP, соответствующий год тома приводится в скобках, а за ним указан без
скобок фактический год издания.
2) См. библиографический указатель: Математика в изданиях Академии наук.
1728—1935. Сост. О. В. Динзе и К. И. Шафрановский, под ред. В. И. Смирнова,
М.—Л., 1936.
3) Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du
XVIIie siecle, publiee par P. H. Fuss, t. II, St.-Petersbourg, 1843, стр. 415—416.

76
ГЛ. 4. ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Берлином, Веной и т. д. колоссальна и в ней участвовали почти все
крупные математики того времени. Иные письма представляют собой
небольшие мемуары, с полными доказательствами теорем.
Рис. 21. Титульный лист первого тома «Записок Имп.
Петербургской Академии наук» за 1726 г., 1728.
Таким образом, уже вскоре после основания Академии наук в
Петербурге, молодая русская столица, только что возникшая «из тьмы лесов
и топи блат», превратилась в крупнейший международный центр физико-
математических исследований.
Академия наук и математическое просвещение. Как сказано, при
Академии функционировали университет и гимназия. Их история полна
трудной и далеко не всегда успешной борьбы передовых ученых с
бюрократическим и косным аппаратом, во главе которого долгие годы стоял
советник академической канцелярии И. Д. Шумахер (1690—1761), немало

АКАДЕМИЯ НАУК И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ 77
препятствовавший воспитанию русских научных кадров. К тому же
материальное положение учащихся было весьма тяжелое, а
перспективы перед большинством из них — незавидные. Государственные деятели
послепетровского времени, которых историк В. О. Ключевский метко
охарактеризовал нулями, потерявшими со смертью Петра I свою
передовую единицу, почти не заботились о подготовке национальной
интеллигенции. Дворянство, даже столичное,
гналось по большей части только за внешним
светским лоском, а тысячи разбросанных
по отцовским поместьям Митрофанушек
старались увильнуть от всякой службы. Купцы
и мещане нередко просили освободить их
детей от учения, детям же крепостных доступ
к образованию и вовсе был закрыт. Учащиеся
набирались по большей части среди детей
солдат, мещан, мастеровых, бедных
священников. Гимназистов и студентов было
немного, и они нередко по своей воле или
невольно не кончали курса и направлялись на
работу переводчиками, канцеляристами,
наборщиками, мастеровыми академических
учреждений. В 1745 г. академики
жаловались на Шумахера, что «при академии
довольного числа студентов никогда не бывало,
о сем не токмо теперь, но еще с начала
академии от всех профессоров происходили в* ?• АД°ДУР0В» первый рус-
г> г\ г -к г г гл скии адъюнкт Академии наук
жалобы. Однако-ж, об отвращении сего вреда (силуэт работы неизвестного
никогда довольного старания не было» и что художника).
пополнение университета присланными из
Москвы молодыми людьми, уже несколько подготовленными к занятиям,
оказалось почти безрезультатным, так как «большая часть из них вместо
обучения наукам сделаны переводчиками, подъячими и ремесленными
людьми». Шумахер, заявляли академики, «только думает о художествах,
которые глазами можно чувствовать и дабы тем себя показать, старание
имеет» *). В. Е. Адодуров (26 марта 1709—16 ноября 1780), первый русский
студент, получивший звание адъюнкта Академии 2) и работавший в ней
в 1733—1741 г., писал: «Кроме языков, обучался я при Академии наук
истории, географии, философским, математическим и физическим наукам,
а именно: логике, метафизике, арифметике, геометрии, тригонометрии
плоской и сферической, алгебре и некоторым другим. И может быть,
чтоб в оных науках не посредственное познание получить мог, ежели
бы для неискусства в тех науках академических переводчиков, не
принужден был касающих до оных наук переводов почти всегда отправлять,
которые не малую часть времени у меня занимали» 3).
1) С. В. Рождественский, Очерки по истории систем народного
просвещения в России в XVIII—XIX вв., т. I, СПб., 1911, стр. 166—167.
2) Младшие по должности члены Академии именовались адъюнктами, далее шли
по старшинству экстраординарные профессора и профессора (в XIX веке
—экстраординарные и ординарные академики). Звание члена-корреспондента введено в 1759 г.
3) П. Пекарский, История Императорской Академии наук в Петербурге,
т. I, стр. 511—512. По-видимому, Адодуров не был лишен математического дарования.
В Академии, помимо переводов, он должен был заниматься главным образом
преподаванием языков. В 1762—1771 гг. он состоял куратором (попечителем) Московского
университета.

78
ГЛ. 4. ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Общая математическая подготовка в университете ограничивалась
кругом элементарных предметов, но студенты, специализировавшиеся
в физико-математических науках, изучали и высшую математику.
Заканчивая университет, математики представляли пробные работы, решая
задачи, требовавшие хорошего владения аналитической геометрией,
дифференциальным и интегральным исчислением, обыкновенными
дифференциальными уравнениями, бесконечными степенными рядами и т. п.
Некоторые молодые люди
направлялись для
усовершенствования в Германию.
Как ни трудны были
условия деятельности академических
учебных заведений, они
сыграли весьма важную роль в
развитии науки и просвещения
в XVIII веке, вплоть до их
закрытия в самом начале XIX
столетия. Не говоря о гениальном
М. В. Ломоносове и других
представителях естественных
и гуманитарных наук, только
математическим наукам первый
наш университет дал В. Е. Адо-
дурова, А. А. Барсова, Б. А.
Волкова, М. Е. Головина,
Я. П. Козельского, С. К. Ко-
тельникова, С. Я. Румовского,
М. Софронова, Н. И. Фусса,
И. Юдина. Эти люди и другие,
здесь не названные, много
потрудились для распространения
математических знаний, а неко-
Н. Г. Курганов - «навигатор, обсерватор, Т0РЫе пеРвыми из РУССКИХ вы-
астроном, морской ходитель, корабельной ступили на научном поприще,
водитель, небесных звезд считатель» с руко- Почти все питомцы академи-
водством по навигации в руках (зарисовка, ческого университета вели заня-
сделанная в 1789 г. одним из учеников). тияне только в неми состоявшей
при нем гимназии, но и в других
учебных заведениях. А. А. Барсов (1730—1791) стал первым профессором
математики в основанном в 1755 г. Московском университете. Математику
он преподавал здесь шесть лет *), после чего его заменил в 1762 г. его
же ученик Д. С. Аничков (ум. 1788), автор нескольких учебников по
элементарной математике и философской диссертации, содержавшей
вольнодумные рассуждения о земном происхождении религий и о том, что
человеку по природе несвойственно верить тому, чего нельзя себе представить
мысленно или в воображении2). М. Е. Головин (1756—1790), племянник
Ломоносова и ученик Эйлера, активно участвовал в организации системы
1) Барсов, более интересовавшийся филологией, перешел на освободившуюся
кафедру русской словесности.
2) Заметим здесь же, что в XVIII веке математика была в Московском
университете второстепенным вспомогательным предметом и студенты проходили только
ее элементарные отделы. См. А. П. Юшкевич, Математика в Московском
университете за первые сто лет его существования,— Ист.-матем. исслед., вып. I, 1948.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
79
народных училищ, начатой в 1782 г., и был профессором основанной
в 1786 г. Учительской семинарии в Петербурге, первом рассаднике
преподавателей общей гражданской школы в России. Уроженец Украины
Я. П. Козельский (ок. 1728—ок. 1794), видный философ материалисти-
чески-сенсуалистского направления, обучал математике и механике
в Артиллерийском и инженерном кадетском корпусе, возникшем в 1762 г.
из слияния Артиллерийской и Инженерной школ. С. К. Котельников вел
занятия в Морском кадетском корпусе, открытом в 1752 г. на базе
Морской академии. В Сухопутном (открыт в 1731 г.) и Морском кадетских
корпусах преподавал Н. И. Фусс, который также принял активное
участие в реформе системы образования, произведенной в начале XIX века.
С. Я. Румовский в 1803—1812 гг. был первым попечителем Казанского
учебного округа и оказал большую помощь при организации Казанского
университета.
Наряду с этим к работе в Академии наук привлекались сотрудники
военных и морских школ. Так было, например, с учеником Магницкого
по Навигацкой школе, а затем слушателем Морской академии Н. Г.
Кургановым (1725 или 1726—1796), автором популярнейшей хрестоматии —
«Письмовника» (1769) и многих учебников для Морского корпуса, где
он преподавал математические и мореходные науки с 1743 г. до самой
смерти. На протяжении почти 20 лет Курганов участвовал в
астрономических и картографических работах и экспедициях Академии наук, был
тесно связан со многими ее учеными и в 1774 г. получил от Л. Эйлера
и С. К. Котельникова весьма лестную характеристику, на основании
которой ему присвоили звание профессора высшей математики и
навигации Морского корпуса *).
Учебная литература. Большой вклад внесла Академия наук в
создание учебной математической литературы. На протяжении XVIII века
количество русских руководств по математике постепенно возрастало.
За первую половину века их вышло около 30, за следующие 25 лет 32,
а в последнюю четверть столетия 66, т. е. больше, чем за предыдущие
75 лет.
Общей тенденцией европейской учебной литературы XVIII века
было стремление перейти от догматического преподнесения правил
решения задач, рассчитанного на механическое заучивание отдельных
рецептов, к систематическому научному изложению. В разных странах эта
тенденция принимала различные формы. В Германии, особенно под
влиянием Хр. Вольфа, автора весьма распространенных руководств по всему
циклу математических наук (1710 и след.) 2), была на первый план
выдвинута логическая тренировка учащихся. Вольфианство в педагогике,
справедливо отвергавшее обучение математике как совокупности
ремесленных правил, страдало переоценкой формальной и часто к тому же
иллюзорной строгости в ущерб наглядным представлениям и интуиции.
В погоне за мнимым логическим совершенством начальные отделы
учебников загромождались не применяющимися далее и потому бесполезными
и педагогически даже вредными аксиомами, постулатами и
многочисленными определениями, за которыми следовали плохо связанные с ними
и между собой теоремы, следствия и поучения, с одной стороны, и сугубо
х) Подробнее см.: А. П. Денисов, Н. Г. Курганов — выдающийся русский
ученый и просветитель XVIII века, Л., 1961.
2) К математическим наукам Вольф относил не только механику, физику и
астрономию, но также пиротехнику и архитектуру.

80
ГЛ. 4. ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
деловые советы землемерного или расчетного характера, с другой.
Педантическая псевдострогость приводила Вольфа и его последователей к
курьезам, вроде изложения архитектуры more geometrico, причем
доказывались, как «теоремы» утверждения, что окно не должно быть выше трех
футов от пола или что высота комнаты не должна быть ни слишком велика,
ни слишком мала. Это направление стало быстро отставать от требований
жизни и развития математики. Довольно скоро в самой Германии на смену
курсам Вольфа пришли изданные в 1758—1766 гг. руководства А. Г. Кест-
нера, гораздо менее педантические и более содержательные. В Англии
тогда же велась усиленная работа над приспособлением к преподаванию
«Начал» Евклида, доставивших немалые мучения многим поколениям
ребят. Наконец, в предреволюционной Франции шла борьба за
демократизацию преподавания и предпринимались энергичные и успешные усилия
соединить простоту и наглядность обучения математике с убедительностью
доказательств. Здесь во главе этого движения, истоки которого восходят
еще к XVI веку и П. ла Рамэ, стояли А. Клеро и Ж. Даламбер, которые
считали вообще лишним начинать курс с какой-либо аксиоматики.
Все эти тенденции отразились, хотя и с различной силой, в
оригинальной и переводной русской литературе. Мы встречаемся в ней и с
несколько ослабленным вольфианским направлением, например в учебниках
Д. С. Аничкова для Московского университета, и с попытками применения
в Морском корпусе обработок «Начал» Евклида, изданных Фархварсоном
и Кургановым *), а также преподавателями того же корпуса В. Н.
Никитиным (1739—1809) и П. И. Суворовым (1750—1815) 2), и с переводами
французских учебников. Вместе с тем в России складывалось и
собственное направление, по духу родственное французскому, но от него
независимое. Ведущими были руководства Л. Эйлера, оказавшие
исключительное воздействие на мировую учебную литературу. Характерными
особенностями курсов Эйлера являются, наряду со строгой последовательностью
и систематичностью, поразительная доходчивость и прозрачность
изложения. Теоретические положения доказываются с редкой простотой
и всегда сопровождаются увлекательными и подробно разобранными
примерами. Читатель вводится в самую суть проблемы как бы наиболее
естественным путем и все время с живым интересом следит за
рассуждениями автора, возбуждающими работу собственной интуиции читателя
и вместе с тем обучающими его мыслить математически. Так же писал
Эйлер свои научные мемуары.
Мы рассмотрим подробнее творчество Эйлера далее. Здесь мы назовем
для примера прежде всего «Руководство к арифметике, для употребления
в гимназии при Императорской Академии наук», вышедшее вначале
на немецком языке (СПб., 1738—1740), а затем в русском переводе
В. Е. Адодурова (ч. 1, СПб., 1740) и студента В. Кузнецова (ч. 2, СПб.,
1760). Хотя Эйлер, в 1741 г. переехавший в Берлин, не закончил книгу
и изданные части ее содержали лишь действия над целыми, дробями и над
именованными числами, она положила начало новому течению в нашей
учебной литературе. В предисловии Эйлер противопоставил свою
педагогическую установку авторам зарубежных учебников, которые либо
«содержат только правила с многими при них положенными примерами»,
х) Елементы геометрии,... состоящие из осьми Евклидовых книг, изъясненные
новым способом, удобопонятнейшим юношеству. Перев. с французского Н.
Курганова, СПб., 1769.
2) Евклидовых стихий осьмь книг... Переведены с греческого и поправлены
(В. Н. Никитиным и П. И. Суворовым), СПб., 1784; изд. 2-е, 1789.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
81
либо же, если и разъясняют основания арифметики, «однакож так
трудным и непонятным образом, что ежели кто к математическому порядку
не привык, так не можно почти того и выразуметь» (ч. 1, стр. 4). Свое
влияние «Руководство» Эйлера оказало особенно через две книги
Курганова, одобренные и изданные Академией. Это «Универсальная
арифметика» (1-е изд., СПб., 1757), содержащая, подобно труду Магницкого,
также геометрическую и алгебраическую части, и «Арифметика или
числовник» (1-е изд., СПб., 1771), отличающаяся от предыдущей книги
главным образом исключением геометрических задач и алгебры. В
изложении действий над отвлеченными и именованными числами Курганов
непосредственно примкнул к Эйлеру.
Еще большее значение получила «Универсальная арифметика»
Л. Эйлера (два тома, СПб., 1768—1769), вышедшая сначала в русском
переводе студентов П. Б. Иноходцева (1742—1806), позднее академика
по кафедре астрономии, и И. Юдина, а через два года в немецком
оригинале1). Это учебное руководство по алгебре включает большой отдел,
посвященный решению в целых числах неопределенных уравнений
и содержит, особенно в названном отделе, ряд открытий самого Эйлера.
О высоких достоинствах книги говорят ее многократные переиздания
и переводы на французский, английский, голландский и латинский языки.
В письме к Эйлеру от 30 декабря 1773 г. Ж. Лагранж писал: «Я в
особенном восхищении от части, касающейся неопределенных задач, и нахожу
ее тем более ценной, что, насколько мне известно, еще не существует
книги, в которой эта область анализа была бы рассмотрена сколько-
нибудь удовлетворительно» 2). Изданный в следующем году французский
перевод книги вышел с ценными дополнениями Лагранжа по диофантову
анализу. Но и в собственно алгебраической части «Универсальная
арифметика»— мастерский труд, существенно отличающийся от других
выдающихся курсов алгебры, вышедших ранее, таких, как «Универсальная
арифметика» И. Ньютона (Arithmetica universalis, 1707), развернутым
комментарием к которой является «Трактат по алгебре» (Treatise on
Algebra, 1748) К. Маклорена и «Начала алгебры» (Elements d'algebre, 1746)
А. Клеро. Отбор, расположение и способ изложения материала, данные
Эйлером, в значительной мере определили курс элементарной алгебры
в течение последующих полутораста лет. В первом томе Эйлер с
необычной ранее полнотой рассматривает основные понятия и операции алгебры
многочленов и развивает соответствующее исчисление; сюда же входят
соединения и бином Ньютона, пропорции и прогрессии, десятичные дроби
и логарифмы; второй том посвящен уравнениям до четвертой степени
включительно, приближенному вычислению корней и неопределенному
анализу. Позднее Н. И. Фусс составил по Эйлеру учебник для
Сухопутного кадетского корпуса на французском языке —«Уроки алгебры» (Legons
d'algebre, СПб., 1783). Переработка Фусса состояла, главным образом,
в сокращении объема, особенно в части диофантова анализа. По-русски
«Начальные основания алгебры» (СПб., 1798) Фусса вышли как первая
х) До того Академия выпустила в свет первый русский учебник алгебры —
«Начальное основание математики» (СПб., 1752) крупного военного инженера
Н. Е. Муравьева (1724—1770). Редактором книги, содержавшей и некоторые сведения
по высшей алгебре (связь корней и коэффициентов уравнения, правило Декарта,
отделение корней, кубические уравнения, приближенный метод Ньютона), но не
отличавшейся большими педагогическими достоинствами, был астроном академик
Н. И. Попов (1720—1782).
2) С. Я. Лурье, Неопубликованная научная переписка Леонарда Эйлера.—
Сборник: Леонард Эйлер, М.— Л., 1935, стр. 116.

82
ГЛ. 4. ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
часть курса, охватывавшего также геометрию, тригонометрию,
аналитическую геометрию и анализ и употреблявшегося в начале XIX века
в гимназиях.
В нескольких своих сочинениях Эйлер придал тригонометрии
современный вид — и по форме и по содержанию. На этой основе М. Е. Головин
написал «Плоскую и сферическую тригонометрию с алгебраическими
доказательствами», изданную по решению Академии наук (СПб., 1789).
Этот учебник превосходил по научному уровню все более ранние и даже
некоторые изданные позднее.
Наконец, сжатым конспектом трудов Эйлера явилось и первое на
русском языке изложение основ математического анализа, принадлежащее
С. К. Котельникову и включенное им во второй том переведенных и
переработанных им «Сокращений первых оснований мафиматики» (Auszug aus
den Anfangsgrunden aller Mathematischen Wissenschaften, Halle, 1713)
Xp. Вольфа (два тома, СПб., 1770—1771). На полусотне страниц
Котельников приводит сведения о функциях —«объятиях» и их разложениях
в степенные ряды, «дифференциальном калкулусе» (правила
дифференцирования, ряд Тейлора, экстремумы) и «интегральном калкулусе»
(вычисление неопределенных интегралов, применение рядов, отдельные
определенные интегралы и обыкновенные дифференциальные уравнения).
Объяснения, вообще очень сжатые, иногда вовсе недостаточны;
доказательства почти отсутствуют. Вскоре появились и другие, более полные
книги по высшей математике на русском языке, особенно нужные для
Учительской семинарии, военных школ, а с начала XIX века для физико-
математических факультетов. Студенты академического университета
нуждались в руководствах на русском языке в меньшей степени, так как
основательно изучали иностранные языки, включая латынь, на которой
написаны почти все работы Эйлера.
Не задерживаясь далее на истории математического образования *),
мы обратимся к научной деятельности петербургских академиков,
предпослав этому несколько замечаний о состоянии и задачах математики
к началу XVIII века.
г) Подробнее см. А. П. Юшкевич, Математика и ее преподавание в России
XVIII—XIX вв.— Математика в школе, 1947, № 3—4; А. П. Ю ш к е в и ч, Эйлер
и русская математика в XVIII веке.— Труды Ин-та ист. естеств., т. III, 1949.

ТЛАВА ПЯТАЯ
ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
Математика на рубеже XVII и XVIII веков. Основание Петербургской
Академии наук пришлось на время бурного расцвета математики и
механики. В XVII—XVIII вв., как писал Энгельс, «первое место заняло
элементарнейшее естествознание — механика земных и небесных тел,
а наряду с ней, на службе у нее, открытие и усовершенствование
математических методов. Здесь были совершены великие дела» х).
XVII век ознаменован был многими замечательными открытиями
в математике, механике, оптике и астрономии. В его первые годы Кеплер,
исходя из коперниканской картины мира, установил основные законы
движения планет по эллиптическим орбитам. Галилей, усовершенствовав
зрительную трубу, произвел на небе наблюдения, укрепившие коперни-
канство, а изучая падение тяжелых тел, заложил основы динамики. Вслед
за тем, как Галилей доказал, что наклонно брошенное в пустоте тело
движется по параболе, его ученик Торричелли установил, что
параболическую форму имеет и струя жидкости, вытекающая из отверстия в
боковой стенке сосуда: это был первый закон гидродинамики. Изготовление
телескопов и микроскопов выдвинуло ряд проблем геометрической оптики.
Гюйгенс исследовал, в связи с техникой изготовления часов, задачу
о малых колебаниях; попутно он выяснил, что траекторией маятника
постоянного периода служит циклоида. Изучение формы тяжелой, гибкой
и нерастяжимой нити, подвешенной за два конца, привело к другой новой
трансцендентной кривой — цепной линии. Наконец, Ньютон в
бессмертных «Математических началах натуральной философии» (Philosophiae
naturalis principia mathematica, 1686) сформулировал три классических
закона динамики и закон всемирного тяготения, вывел отсюда законы
Кеплера и заложил прочный фундамент классической небесной механики,
завещав, впрочем, потомству ряд трудных проблем теории движения
Луны, планет и комет, теории взаимного притяжения неточечных масс.
Развитие механики и физики непосредственно переплеталось, часто
в творчестве одних и тех же людей, с разработкой математических
методов. В центре внимания оказывается изучение быстро увеличивающегося
в объеме класса функций, этого математического эквивалента движения
и изменения. В 1637 г. Декарт и одновременно Ферма создают аналитико-
геометрический метод изучения геометрических образов при помощи
уравнений между переменными координатами их точек и показывают
образцы его применения на плоских кривых второго порядка и
нескольких других линиях; Ньютон, привлекая также проективный метод,
г) Ф. Энгельс, Диалектика природы, М., 1953, стр. 5.

34
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
исследует затем кривые третьего порядка. Тот же Декарт совершенствует
алгебру и ее символику. Целая плеяда математиков при решении вопросов
геометрии и естествознания создает два рода приемов для решения
двух групп задач. Одна из них в более отвлеченном выражении сводится
к дифференцированию (проведение касательных и нормалей,
определение скорости движения, экстремумы, кратные корни уравнений, эволюты),
а другая — к интегрированию (квадратуры и кубатуры, центры тяжести,
определение пути, давление). Быстро выясняется — в геометрическом
или механическом выражении — взаимообратная связь между этими
группами задач и соответствующими им математическими приемами.
Для представления иррациональных и трансцендентных функций и
для приближенных вычислений начинают применять бесконечные
степенные ряды.
В только что упомянутых приемах не было, однако, единства.
Им недоставало, как вскоре обнаружилось, общих аналитических
понятий и подходящей символики, без чего невозможно было создание
достаточно сильных и общих, а вместе с тем единообразных и простых методов,
пригодных для исследования всех этих задач. Новый и решающий шаг
был сделан Ньютоном и Лейбницем, которые выявили центральные общие
идеи, содержавшиеся в инфинитезимальных приемах их
предшественников. Следуя различными путями, употребляя различную терминологию
и обозначения, оба они независимо и почти одновременно установили
основные понятия и правила операций метода флюксий и флюент
(по выражению Ньютона) или дифференциального и интегрального
исчисления (как говорил Лейбниц). Они же первые стали употреблять
в широком масштабе бесконечные ряды, а также применили новое
исчисление к множеству новых вопросов, положив при этом начало
дифференциальной геометрии плоских кривых и решению обыкновенных
дифференциальных уравнений. Работы основоположников математического
анализа были почти немедленно продолжены их последователями,
особенно Яковом Бернулли и его младшим братом Иоганном Бернулли.
В конце XVII века исчисление бесконечно малых было приложено к
проблемам вариационного исчисления, а в начале XVIII века к одной из
важнейших в истории математической физики задач — о малых колебаниях
струны.
Успехи анализа были столь велики, что подавали надежду на быстрое
исчерпание главных математических задач. В 1691 г. Лейбниц писал
Гюйгенсу: «Я хочу, чтобы мы могли еще в этом веке довести до
завершения анализ чисел и линий, по крайней мере в главном, дабы избавить
от этой заботы человеческий род, чтобы отныне вся проницательность
человеческого разума обратилась к физике» х). Однако в
действительности, на протяжении всего XVIII века и вплоть до наших дней постоянно
возникали все новые проблемы, требовавшие новых понятий и методов
математического анализа.
Открытие дифференциального и интегрального исчислений явилось
основным, но не единственным крупным событием в математической
жизни XVII века. Это столетие было отмечено также большими
достижениями в алгебре и возрождением интереса к теории чисел, многие
замечательные предложения которой сформулировал, не сообщив
доказательства, Ферма. Тот же Ферма, вместе с Б. Паскалем и Гюйгенсом, сооб-
г) Leibnizens mathematische Schriften, hsg. von С. Gerhardt, В. II. Halle, 1850,
S. 107—108.

ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ
85
гцил первый толчок развитию теории вероятности, как отдельной науки,
а Я. Бернулли высказал и точно доказал носящий теперь его имя закон
больших чисел. Наконец, помимо аналитической геометрии, были сделаны
первые шаги в область проективной геометрии. Однако блестящий почин
Дезарга почти не нашел в ту эпоху продолжателей.
В Петербургской Академии наук XVIII века, кроме работ по
математическому анализу, преобладающее значение получили исследования,
связанные с его приложениями к проблемам механики, астрономии,
физики и техники. Именно это направление ярко выражено в трудах
Д. Бернулли, который был в первой группе ученых, приглашенных
из-за границы. Центральной фигурой в этой области был великий
Л. Эйлер, творчество которого охватило все области
физико-математических знаний. В этой сфере человеческой деятельности XVIII столетие
с полным правом может быть названо веком Эйлера.
Наряду с математическим анализом и его приложениями в Академии
разрабатывались вопросы теории чисел. Здесь основополагающими
явились опять-таки труды Эйлера. Другое важное направление изысканий
было связано с понятием вероятности и его приложениями в статистике.
Все отмеченные направления, возникшие в первый же период
существования Академии, получили широкое развитие в дальнейших ее работах
вплоть до настоящего времени. Наиболее яркий и влиятельный
представитель математических наук в Академии наук в XIX веке, П. Л. Чебышев.
сделал блестящие открытия во всех указанных областях: теории чисел,
теории вероятностей и математическом анализе, особенно в теории
приближения функций и ее приложениях к теории механизмов и машин.
Первые академики. Мы уже сказали, что с 1725—1727 гг. в составе
Академии наук работали Герман, Гольдбах, Майер, Крафт, два брата
Бернулли, к именам которых, быть может, следует добавить еще имя
механика и физика Г. В. Бюльфингера (1695—1750). Всем им, хотя и в
разной мере, Петербургская Академия наук обязана первыми своими
замечательными достижениями в сфере механико-математических наук.
Но и эти ученые, как и другие иностранные члены Академии, чрезвычайно
многим обязаны были России. Только здесь, в Академии, они нашли
подходящие условия для теоретических и экспериментальных
исследований, для публикации своих трудов, а потребности русского государства
и общества нередко непосредственно стимулировали и направляли
их занятия. В Академии был собран большой по тем временам коллектив,
члены которого имели постоянную возможность почти каждодневных
встреч, взаимного духовного обогащения и вместе с тем критики;
еженедельно, а то и два раза в неделю на конференциях обсуждались научные
доклады.
Петербург, как магнит, притягивал многих западноевропейских
ученых, не только начинающих, но и маститых, особенно из Германии
и Швейцарии. В немецких университетах первой половины XVIII в.
ничто, в сущности, не содействовало творческой деятельности по
математике; ни отношение властей, ни запросы студентов, ни среда, в которой
математик оказывался, как правило, в единственном числе. В
Швейцарии даже самые одаренные молодые математики не могли рассчитывать
на одну из крайне немногочисленных университетских должностей (они
насчитывались единицами), пока не скончается занимающий ее профессор,
и нередко вынуждены были браться за другие дела — юриспруденцию,
медицину, философию, богословие. Блестящие перспективы работы

86
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
в России ясны были уже И. Бернулли, который стал профессором
математики Базельского университета в 1705 г., когда умер состоявший в этой
должности его старший брат. В связи с переездом своих сыновей Николая
и Даниила в Петербург, И. Бернулли писал: «...лучше несколько
потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз,
чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз
обижают и презирают»1).
Выразительно подчеркнул значение, которое имела работа в
Петербургской Академии наук для ее членов, Л. Эйлер. В письме к Шумахеру
от 18 ноября 1749 г., отправленном из Берлина, где он тогда жил, Эйлер
писал: «...я и все остальные, имевшие счастье некоторое время состоять
при русской императорской Академии, должны признать, что всем, чем
являемся, мы обязаны благоприятным обстоятельствам, в которых там
находились. Что касается собственно меня лично, то при отсутствии этой
превосходной возможности, я был бы вынужден отдаться главным образом
другим занятиям, в которых, судя по всему, оказался бы только
дилетантом. Когда его корол. величество [Фридрих II Прусский] недавно
спросил меня, где я изучил то, что знаю, я, согласно истине, ответил, что
всем обязан своему пребыванию при Академии в Петербурге» 2).
Участие-академиков в развитии математики и в трудах самой Академии
было неодинаковым. Не говоря уже о различиях в даровании, некоторые
работали в Академии недолго, как Герман, Майер и особенно Н.
Бернулли, а Гольдбах занимался больше научно-организационными делами
Академии, чем научными исследованиями. Тем не менее и эти ученые
оставили значительный след в развитии математики.
Я. Герман. Старейший из академиков Яков Герман (16 июля 1678 —
14 июля 1733), первый из иностранных академиков заключивший
контракт, обязывавший его проработать в Академии пять лет, ко времени
приезда в Петербург был уже видным математиком. Его учителем по
Базельскому университету был Я. Бернулли, с ним переписывался
Лейбниц, по предложению которого Герман в 1701 г. был избран членом
только что основанной Берлинской Академии наук. В 1707 г. Герман
был приглашен в Падуанский университет, а в 1713 г. в университет
во Франкфурте-на-Одере, где он закончил свою «Форономию, или о силах
и движениях твердых и жидких тел» (Phoronomia, seu de viribus et motibus
corporum solidarum et fluidorum, Amstelodami, 1716). Этот труд, в
котором содержалось систематическое, хотя и весьма сжатое, изложение
механики, пользовался в свое время большой известностью. В
предисловии к своей «Механике» (1736) Эйлер писал: «Я не знаю, вышла ли в свет
какая-либо другая работа, кроме «Форономии» Германа, в которой это
учение о движении было бы разобрано совершенно отдельно и обогащено
столь многими блестящими вновь открытыми положениями»3). Вместе
с тем Эйлер отмечал, как недостаток сочинения, что автор не применил
анализа и все излагал при помощи синтетических геометрических
доказательств.
г) L.— G. du Pasquier, Leonard Euler et ses amis, Paris, 1927, стр. 9.
2) Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel
Leonhard Eulers, T. II, hsg. und eingeleitet von A. P. Juskevic und E. Winter,
Berlin, 1961, стр. 182.
3) Л. Эйлер, Основы динамики точки. Перев. В. С. Гохмана и С. П.
Кондратьева, под ред. В. П. Егоршина, М.— Л., 1938, стр. 33.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
87
Математические труды Германа стали появляться в 1700 г., когда
•он выступил с защитой дифференциального исчисления от голландца
Б. Ныовентиита, подвергнувшего критике понятие бесконечно малых
и принцип пренебрежения таких слагаемых, а также применение
дифференциалов высших порядков (1694 и след. годы). За этим последовали
статьи по дифференциальной геометрии плоских кривых (1702—1703),
вывод теорем сложения тангенса и секанса, откуда Герман индуктивно
получил разложения тангенса и секанса кратной дуги (1706), улучшенное
изложение открытого Лейбницем правила решения задачи об
ортогональных траекториях, т. е. об отыскании кривых, ортогонально пересекающих
данное однопараметрическое семейство плоских кривых (1717—1719)
и еще некоторые работы.
В Петербурге, куда Герман прибыл вместе с Бюльфингером в августе
1725 г., он, согласно контракту, должен был «о приращении Академии
генерально старание иметь, особливо же части высшей математики
в совершенство приводить, о том систему написать и ежедневно по оной,
выключая праздники, в пользу учащегося юношества по одному часу
читать и в своей науке одного или двух студентов в совершенство при-
весть» г). Как первый ученый, ставший у нас академиком [его патент
датирован 4(15) мая 1725 г.], он назывался нередко professor primarius
et matheseos sublimioris.
«Системы» высшей математики Герман не написал, но был весьма
деятельным членом Академии и оказал несомненное влияние на интересы
более молодых своих коллег. Первый сохранившийся протокол
конференции Академии гласит, что 13(24) ноября 1725 г. Герман сделал доклад
об аналитическом выводе сфероидальной формы Земли, которую Ньютон
выводил синтетическим методом. Его статья о мере живых сил открывает
собой первый том академических «Записок». В публичном собрании
Академии 1(12) августа 1726 г. он выступил с речью о происхождении и
развитии геометрии (De ortu et progressu Geometriae; опубликована в Ser-
mones in secundo solenni Academiae scientiarum... recitati., Petropoli,
1728). Из-за происков Шумахера Герман вместе с тем же Бюльфингером,
с которым приехал в Петербург, покинул в январе 1731 г. русскую
столицу, сохранив звание почетного академика, и пенсию, обязывавшие его
присылать в Академию некоторые свои труды.
Дифференциальные уравнения. В первых шести томах «Записок»
Академии напечатано 15 работ Германа, из них 12 по разным вопросам
математики, Несколько статей посвящено обыкновенным
дифференциальным уравнениям, которыми занимались и другие академики. В одной
статье предложен своеобразный прием преобразования уравнения
первого порядка, с помощью которого Герман проинтегрировал, правда,
довольно громоздко, уравнение в полных дифференциалах с целыми
рациональными коэффициентами [САР I (1726) 17281. Вскоре затем он
впервые рассмотрел [САР II (1727) 1729] уравнение
y = P(z)x + Q(z), где dy = zdx,
которое теперь известно под именем Даламбера, решившего его на
двадцать лет позднее [1748 (1750)] в порядке обобщения так называемого
уравнения Клеро [случай Р (z) = z; 1734 (1736)], или под именем Лагран-
жа, занявшегося им еще позднее. Для решения Герман прежде всего
1) П. П е к а р с к и й, История Ими. Академии наук в Петербурге, т. I, стр. 67.

88
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
дифференцирует уравнение по х (прием, употребленный также Клеро
и Даламбером), после чего получается вспомогательное уравнение,
линейное относительно х, которое затем интегрируется несколько иначе, чем
по обычному способу. Решение исходного уравнения, которое было бы
правильнее называть уравнением Германа, записывается в форме двух
выражений для х ж у в функции параметра z, точно так, как и теперь.
Случай обращения Р (z) — z в нуль Герман не рассмотрел, пройдя поэтому
мимо возможных особых решений и уравнения Клеро *).
Вопросы геометрии. Ряд работ Германа относится к различным
отделам геометрии. В том же первом томе «Записок» он поместил статьи о
задаче Кеплера разделить полукруг в данном отношении (Герман это делает
двумя способами: с помощью одной специальной кривой и аналитически,
посредством быстро сходящегося ряда) и о сферических эпициклоидах,
т. е. кривых, описываемых фиксированной точкой окружности радиуса Ь,
катящейся по неподвижной окружности радиуса а на поверхности шара.
Незадолго перед тем В. Вивиани показал, что сферическая лемниската,
возникающая в пересечении шаровой поверхности с касающимся его
внутренним образом цилиндром, диаметр которого равен радиусу шара,
вырезает из шарового октанта точно квадрируемую область (1692). Эта
изящная задача привлекла в свое время внимание Лейбница, И. Бернулли
и др. Герман занялся сферической эпициклоидой в связи с проблемой
спрямления кривых на шаре; он показал, что длина этой линии I весьма
просто выражается через радиусы обеих окружностей и косинус угла ф
между их плоскостями:
у_4&Уа2 — 2a&cos(p + b2
I — ш
а
Спустя некоторое время сферические эпициклоиды исследовал И.
Бернулли (1735), а позднее академики Лексель [АР (1779 : 1) 1782] и Фусс
(Mem. Acad. Petersb., VIII, 1822). Вообще, изучение кривых на шаре
стало в конце XVIII века одной из главных областей занятий учеников
Эйлера.
В IV т. «Записок» [1729 (1735)] Герман дал более полное, по сравнению
с прежними, аналитическое рассмотрение кривых второго порядка.
Он развил способ, предложенный еще Декартом (1637), и исходил из
уравнения
ат/2 + 2|in/ + ух2 + 28у + 2гх + ср = О,
разрешенного относительно у. Герман показывает, что кривая бывает
эллипсом, параболой или гиперболой, смотря по тому, меньше нуля,
равна ему или больше его величина J32 — ay. Случаи вырождения, вообще
говоря, остались вне поля зрения, но Герман знал, что когда в выражении
для у корень извлекается, уравнение может представлять пару прямых.
Декарт, не учтя двузначности квадратичного радикала, считал, что
уравнение при этом выражает одну прямую. Анализ Германа несколько
улучшил и дополнил В. Риккати (1757), который, в частности, подробно
разобрал один гиперболический случай, упущенный петербургским
1)М. I. Симонов, Про nepini дослщження з диференщальних р1внянь
у Петербурзыай Академп наук.— 1сторико-математичний збарник, IV, Кшв, 1963.—
Возможно, что уравнение Германа — Даламбера проинтегрировал еще в 1694 г.
И. Бернулли, не опубликовавший, однако, своего результата (ср. Г. В и л е й т-
н е р, История математики от Декарта до середины XIX столетия. Перев. под ред.
А. П. Юшкевича, 2-е изд., М., 1966, стр. 189).

ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ
89
академиком. В ином плане и с большим совершенством построил теорию
кривых второго порядка Эйлер, о чем будет сказано далее.
В том же томе «Записок» Герман распространил метод полярных
координат, примененных Я. Бернулли только к спиралям (1691), на любые
плоские кривые, подчеркнув, что с его помощью можно так же изящно
исследовать свойства линий, как и обычным методом. Попутно Герман
записал формулы, выражающие декартовы координаты точки через
полярные в виде х = nz, у = mz, где z —«радиус проекции», а п и тп —
косинус и синус «угла проекции». Среди кривых, рассмотренных таким
образом, были парабола — первое применение полярных координат
к коническим сечениям — и декартов лист. В употреблении таких
координат за Германом последовали многие и, пожалуй, прежде всего
петербургские математики — Крафт, в одной статье которого появляется
термин полярное уравнение — aequatio polaris [GAP VI (1732—1733) 1738],
Эйлер и затем его преемники до Гурьева включительно.
Наконец, Герман одним из первых приступил к систематической
разработке аналитической геометрии в пространстве. В статье,
присланной уже из Базеля и напечатанной посмертно в VI томе «Записок», ониссле-
довал, отправляясь от их уравнений, ряд поверхностей, начиная с
плоскости
az + by + ex — е2 = О,
параболического цилиндра
z2—ах— Ъу = 0
и конусов
z2 = xy и az2 — bxz — cyz + су2 = 0.
Поверхности с более сложными уравнениями
z2 — ах2 — Ъху — су2 — ех — fy = 0
и
az2 + byz + су2 — exz + fx2 + gz — bx = 0
он лишь бегло охарактеризовал как «коноидальные», имеющие
конические сечения. Поверхности
и2 — х2 — у2 = 0,
где и есть функция z, Герман называл «круглыми телами»; позднее стали
говорить о поверхностях вращения. С большей полнотой изучена
плоскость, но для некоторых поверхностей Герман выявляет также форму
с помощью плоских сечений, находит вершины и, в одном случае,
касательную плоскость, а также сообщает дифференциальное уравнение
геодезической (проблема, которой до него занимались оба старшие брата
Бернулли и Эйлер). Из высших поверхностей рассмотрена в первом
октанте поверхность с уравнением
(Ь — z) У а2 — у2 = Ъх.
Валлис, впервые изучивший эту поверхность без записи уравнения,
называл ее «конусоклином». По-видимому, Герман не знал появившейся
в 1731 г. замечательной работы по геометрии пространства А. Клеро,
во многом пересекавшейся с его собственными исследованиями. И в этом
направлении труды Германа, какиКлеро, были далеко продолжены прежде
всего Л. Эйлером.

90
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
Ф.-Х. Майер и разработка тригонометрии. Недолго, всего четыре
с половиной года, продолжалась деятельность в Академии и Фридриха-
Христофа Майера (10 окт. 1697—5 дек. 1729), прибывшего в августе
1725 г. вместе с Бюльфингером, у которого он учился в Тюбингене.
Несколько месяцев молодой магистр числился в Академии студентом,
но уже в январе 1726 г. был назначен экстраординарным профессором
математики.
В I—V томах «Записок» Майер опубликовал 14 статей по астрономии
и математике, преимущественно по тригонометрии [САР II (1727) 1729;
III (1729) 1735; V (1730—1731) 1738]. Несмотря на неясности и ошибки
в установлении знаков тригонометрических функций углов, больших
прямого (вопрос этот в то время еще не был решен окончательно), Майер
заметно содействовал прогрессу тригонометрии. Подобно другим авторам
он старался упростить символику этой науки и для этого обозначал
функции инициалами их наименований, не указывая, однако, аргумента.
гр Sc+Cs
1ак, синус суммы и разности он писал в виде —=^— , причем прописная
буква употреблялась для большего угла, а г — есть радиус
тригонометрического круга. Эти обозначения, которые при большем числе углов
приходилось пополнять все новыми и новыми буквами, применялись и другими
академиками, а также некоторыми зарубежными авторами. Майер, далее,
улучшил аналитическое изложение тригонометрии, большая часть формул
которой выводилась тогда каждая по отдельности на основе специального
геометрического построения. Он вполне отчетливо понимал значение
аналитического построения тригонометрии и утверждал, например, что
из теоремы косинусов сферической тригонометрии можно вывести все
формулы для прямоугольного и косоугольного треугольников.
(Последовательная аналитическая трактовка плоской и сферической тригонометрии
и создание современной символики явились, как упоминалось, заслугой
Эйлера.) Майеру принадлежит также несколько новых формул, удобных
для приведения к логарифмическому виду. Занимался он и
суммированием рядов.
Н. Бернулли. Всего лишь несколько месяцев успел проработать
в Академии Николай II Бернулли (27 янв. 1695—9 авг. 1726), неожиданно
скончавшийся в расцвете сил. Две работы его напечатаны в первом томе
«Записок»— одна о движении тел под действием удара и другая о
дифференциальных уравнениях, главным образом Риккати и линейном. Заслу-
живает внимания новый прием решения уравнения -*- = by -f ах
с помощью подстановки у = cbxz (заменой у = и (х) v (х) Лейбниц решил
линейное уравнение еще в конце XVII века). Такие
экспоненциальные подстановки сыграли затем большую роль в исследованиях
Эйлера.
Заметим тут же, что семья Бернулли сыграла большую роль в
развитии математических наук с конца XVII до конца XVIII столетия. Как
мы знаем, братья Яков и Иоганн I Бернулли стали ближайшими
сподвижниками Лейбница в разработке исчисления бесконечно малых, а братья
Николай II и Даниил, сыновья Иоганна I, принадлежали к числу наших
первых академиков. Видным математиком были также племянник и
ученик старших братьев Бернулли Николай I (1687—1759), одно время
занимавший кафедру математики в Падуе, а затем получивший профессуру
в Базеле, сперва на кафедре логики, а затем — юриспруденции; его имя

Г.-В. КРАФТ
91
нам еще встретится в дальнейшем. Наконец, внук Иоганна I Бернулли
и сын Иоганна II (1710—1790), физика, Яков II Бернулли (17 окт. 1759—
14 июля 1789) приглашен был после смерти Лекселя в Петербургскую
Академию наук. Деятельность его была здесь недолгой: он приехал весной
1786 г. и через три с небольшим года погиб во время купания в Неве.
В I—VI томах «Новых трудов» Петербургской Академии напечатано его
11 работ по механике.
Г.-В. Крафт. Георг Вольфганг Крафт (16 июля 1701 — 18 июля 1754),
как и Майер, был учеником Бюльфингера и прибыл в Петербург в конце
1725 г. Вначале он состоял адъюнктом, с 1731 г. профессором математики,
а с 1733 г. профессором физики. Он
преподавал в академических учебных
заведениях, вел метеорологические и
астрономические наблюдения, ставил физические
опыты в лаборатории, которую привел
в образцовый порядок. Для академических
гимназистов Крафт написал учебники
географии и механики, а также «Краткое
руководство к теоретической геометрии»,
сначала вышедшее по-немецки (СПб., 1740),
а затем в русском переводе студента И. Го-
лубцова, отредактированном М. В.
Ломоносовым (СПб., 1748). Это неплохая по тем
временам книга, написанная довольно
просто и, кроме теоретического материала,
содержащая многие весьма полезные
практические советы. Она была переиздана
в 1762 г.
Крафту принадлежат большие заслуги
в популяризации научных знаний. В
«Исторических, генеалогических и географи- Г-"в- ^Ра*т (гравюра И Гайда
^ ' гч тт с портрета работы В. Манера,
ческих примечаниях» к газете «С.-Петер- Конец 40-х, начало 50-х годов
бургские ведомости» — первом научно-по- XVIII в.).
пулярном журнале на русском языке,
издававшемся Академией наук, помещено много превосходных статей
Крафта и среди них обзоры истории и современного состояния
классических задач о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба.
Автор склонялся к мнению, что элементарное решение этих задач
невозможно и вместе с тем подчеркивал, что поиски таких решений
могут привести к другим важным открытиям. По поводу
квадратуры круга он, в частности, писал: «Ежели о вопросе нашем в протчей
истории наук посмотрим, то признаемся, что знатнейшие изобретения,
которые мы ныне имеем, не того ради изобретены, что их искали, но понеже
нечто иное напрасно искали, а между тем некоторые попалися, которые
будто незваные гости сами пришли и с собою великую пользу принесли.
Тако и о сем вопросе надеятися можно, что скорее иное что незнаемое
по случаю квадратуры циркуля найдется, нежели как она сама» 1). Это
предвидение Крафта полностью оправдалось. Известно, что он занимался
по требованию невежественной и суеверной императрицы Анны Иоаннов-
ны астрологией и составлением гороскопов. Вспомним, что веком раньше
г) Примечания в Ведомостях, 1729, стр. 261.

92
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
гороскопы по горькой необходимости вычислял и другой воспиганник
Тюбингенского университета — великий Кеплер.
В 1744 г. Крафт занял кафедру математики в Тюбингене, причем
за ним было сохранено звание почетного члена Академии. В качестве
такового он присылал в Петербург статьи до конца жизни. В «Записках»
и «Новых записках» помещено около 60 работ Крафта, из них примерно
треть по математике — элементарной геометрии, эволютам и каустикам,
дружественным и совершенным числам, интегральному исчислению.
Все они посвящены решению сравнительно нетрудных частных задач.
С Эйлером, после его отъезда в Берлин в 1741 г., Крафт вел дружескую
научную переписку, в которой обсуждались вопросы суммирования
рядов, решения дифференциальных уравнений, задачи механики и многое
другое. Нередко Эйлер разъяснял своему приятелю более трудные
вопросы. Так, встретившись в задаче о вычислении боковой поверхности
наклонного конуса, поставленной еще Я. Германом, с интегралом вида
е У(г2 + Ьд)2 + а2г2
\ ——' — ах, Крафт в 1742 г. просил разъяснить, нельзя ли его
<у 2~|/г2— х2
выразить посредством «квадратуры эллипса». Ответ Эйлера не сохранился,
но в статье Крафта [САР XIV (1744—1746) 1751] правильно сказано,
что интеграл не сводится к квадратуре конических сечений. Эйлер также
напечатал работу о поверхностях различных тел, в которой преобразует
интегралы, выражающие площади, к интегралам, выражающим дуги
плоских кривых [N САР I (1747—1748) 1750]. В 1748 г. Эйлер предложил
Крафту доказать найденную им незадолго до того теорему: сумма
квадратов сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей,
сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами
диагоналей. Оригинальное доказательство Крафта, как и собственный
вывод Эйлера, появились одновременно в т. I «Новых записок» *).
X. Гольдбах и учение о рядах. Своеобразна фигура Христиана
Гольдбаха (18 марта 1690—1 дек. 1764). Он окончил юридический факультет
Кенигсбергского университета, но еще в студенческие годы увлекся
математикой. В долгие годы странствий чуть ли не по всей Европе
Гольдбах завязал знакомство и переписку со многими геометрами, в том числе
Лейбницем и братьями Николаем и Даниилом Бернулли. С 1717 г. начали
появляться его небольшие статьи в лейпцигских Acta Eruditorum. Летом
1725 г. он приехал по собственному почину в Россию и был принят в
Академию в качестве профессора математики и первого ученого секретаря.
Назначенный благодаря своим приятным светским манерам воспитателем
наследника, вскоре императора Петра II (1728—1730), Гольдбах провел
1728—1731 гг. вместе с двором в Москве, переписываясь оттуда с Д.
Бернулли и Эйлером. В начало 1732 г. он возвратился в Академию, где
считался старшим среди ее членов. Через десять лет он был переведен на
крупный пост по ведомству иностранных дел и здесь дослужился до высокого
чина тайного советника. Связи его с Академией, кроме чисто личных,
на этом оборвались. Но он продолжал почти до кончины научную
переписку с Эйлером, жившим в 1741—1766 гг. в Берлине.
В I—III и VI томах «Записок» напечатаны шесть работ Гольдбаха,
из них две о дифференциальных уравнениях и две, наиболее интересные,
г) Ср. A. Juskevifi, Zu den russisch — deutschen Beziehungen auf mathematischem
Gebiet in der Mitte des 18. Jahrhundrts.— Jahrbuch fur Geschichte der UdSSR und
der Volksdemokratischen Lander Europas, B. 7, Berlin, 1963.

X. ГОЛЬДБАХ И УЧЕНИЕ О РЯДАХ
93
о бесконечных рядах. Первая из них «О преобразовании рядов»,
доложенная конференции Академии еще осенью 1725 г., содержит два метода
преобразования [САР 111(1727) 1729]. Один из них состоит в построении
по ряду А с данной суммой другого ряда, имеющего ту же сумму. Он
основан на почленном вычитании рядов В ж С, имеющих общую сумму,
а затем в почленном сложении (или вычитании) ряда А с рядом В — С = О,
так что А -± (В — С) = А. Это иллюстрируется примерами вроде
2
1
S
п(п-\г2) 4J 4л (и+1)
71 = 1 71=1
и, значит,
-*-! Ап(п + 1)(п + 2)
71=1
= 0.
-Заметим, что ряды, члены которых суть рациональные функции своего
номера с целыми коэффициентами, давно занимали Гольдбаха. Другой
прием основан на своеобразном почленном умножении ряда А = а -\-
+ &-fc-f^+---Ha ряд 1 + а — а +Р — Р + 7 — Т + * • •» в котором
а, Р, у» • • • монотонно убывают к нулю, так что его сумма равна 1.
Преобразованный ряд А получается в виде
Ш+Ъ) ( + (c + d)
[ +аа {
+ (* + /) ( + (g + h)+...
+ (е — с)а | +(g— е)а+ .
1 + ар ] +(с —а)Р {+(*-<•) р+..
1 + ау I +(с — а) у+ .,
+ (с — а) а
{ + а6+...
Беря А = 1 — т + т2 — т3 + ... = -г-;— и полагая
т2-\-т—1 п тг-\-т—1 т2-\-т—1
а~ ^+2 ' Р" (m + 2)2 ' Y (^г + 2)3 ' *
Гольдбах преобразует по этому методу прогрессию А в ряд
А=—hr + Tzrr™-*
2 ^(w+2)2^ (m+2)3^"' 7?i+l '
Все операции производятся формально. Гольдбах замечает, что, по
мнению многих, хотя ряд А возникает путем деления 1 на 1 + ти, он все же
неравен значению этой дроби при т > 1. Однако сам Гольдбах не видит
оснований отказываться от употребления расходящихся рядов, поскольку
их можно бывает преобразовать в сходящиеся. В защиту употребления
расходящихся рядов Гольдбах выступал ранее в переписке с Николаем I
и Даниилом Бернулли х). Мы скажем теперь, что ряд А: сходящийся
при —1 < т < 1, и ряд Аи сходящийся при т > —1 или т <— 3,
имеют общую сумму в общей части их областей сходимости; вместе с тем
второй ряд дает аналитическое продолжение первого 2).
г) Эта переписка опубликована в кн.: Correspondance mathematique et physique
de quelques celebres geometres du XVIIIе siecle, publiee par P. H. Fuss, t. II
St.-Petersbourg, 1843. Ср. особенно стр. 210, 213—216, 219—222.
2) Ср. Г. X a p д и, Расходящиеся ряды, перев. Д. А. Райкова, с
предисловием С. Б. Стечкина, М., 1951, стр. 31—32.

94
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
Другая саатья, частью подготовленная еще в 1721 г., но в России
переработанная и дополненная, называется «Об общих членах рядов»
1САР III (178 )1732]. В ней рассмотрен вопрос об интерполировании
последовательностей я1? а2, а3, . . . или рядов а± -f а2 + аз + • • •
(те и другие в то время назывались series), т. е. о нахождении функции
/ (тг), при всяком целом положительном п принимающей значение ап;
при п дробном значения «общего члена» / (п) дают «промежуточные члены»
с дробными индексами. В столь общей постановке задача неопределенна
и допускает бесчисленное множество решений; здесь дело зависело от
конкретных условий вопроса и интуиции исследователя.
Первое такое интерполирование произвел Валлис (1656). Он выразил
(мы пользуемся нашим математическим языком) квадратуру круга инте-
f -
гралом \ (1—x2)2dx = ~y- и получил новое представление я в форме
о
бесконечного произведения, проинтерполировав таблицу чисел
1:{{1-*Г*х=<г±01
О
С помощью остроумной индукции Валлис нашел, что при к = п—--у
4 3-3 5-5 7-7
J_, I я 2-4 4-6 6-8 "• *
2 '
1
1
и строго обосновал этот результат. Поскольку 1 : \ (1 — xk)ndx при
о
1 3 3 5
к =-гг ж п = 0, 1,2, ... принимает значения 1. ~о~ »1Г " т ' ' ' *' ^аллис
1
тем самым выразил член этой последовательности, имеющей индекс п = — .
Последовательность, п-ж член которой есть произведение п неравных
возрастающих или убывающих чисел, Валлис назвал
гипергеометрической; другим примером гипергеометрической последовательности у него
является последовательность факториалов {п\}.
Проблема интерполирования последовательностей вновь
заинтересовала математиков XVIII века, в частности, в связи с суммированием
рядов: если для ряда а± -\- а2 + • • • + ап + • • • известно аналитическое
п
выражение общего члена последовательности частных сумм 2 ak =
= S (п), то сумма ряда оказывается значением этого выражения при
п = оо. Гольдбах представил общий член произвольной
последовательности {ап} в форме
/(*) = fll+2 СГ1^!'
т. е., в случае дробного п, в виде бесконечного ряда; среди его примеров
фигурирует и гипергеометрическая последовательность {га!} Валлиса.
Для [у]! подучилось выражение в виде расходящегося ряда, но Гольдбах

ПРОБЛЕМЫ ГОЛЬДБАХА В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
95
обошел эту трудность, представив сходящимся рядом обратную величину:
J _, i_ _1 1_ J_ _1_ 1-3
3\ , 2! ' 2 3! '2-4+ 4! '2-4-6~f_ ' ' *
В 1728—1729 гг. проблема и статья Гольдбаха обсуждались в его
переписке с Д. Бернулли, причем последний поставил задачу выразить общий
член последовательности факториалов «в конечном виде» г). Это оказалось
не под силу ни Гольдбаху, ни самому Бернулли, который нашел, правда,
очень важное представление в форме некоторого бесконечного
произведения. Лишь Эйлер сумел найти совершенно неожиданное и чрезвычайно
глубокое решение вопроса,— о нем будет идти речь далее.
Мы остановились несколько подробнее на проблеме
интерполирования, как характерной для творчества Гольдбаха. Несмотря на свой
несомненный талант, он все же всегда был только любителем математики и
занимался ею недостаточно систематически, часто в часы досуга от других —
служебных или придворных — обязанностей. Иногда ему не доставало
и более солидной подготовки, пробелы которой ясны из его переписки.
Но идеи, носящиеся в воздухе, он подхватывал налету, а главное, обладал
удивительной интуицией в постановке важных и плодотворных задач.
Недаром Эйлер переписывался с Гольдбахом на протяжении более 30 лет.
Вообще, научная переписка Гольдбаха интереснее и значительнее его
напечатанных статей и в ней мы встречаем замечательные мысли,
стимулировавшие творчество не только его корреспондентов, но и позднейших
ученых, а также открытия, не появившиеся своевременно в печати.
Проблемы Гольдбаха в теории чисел. Имя Гольдбаха известно теперь
главным образом в связи с знаменитой «проблемой Гольдбаха». В письме
к Эйлеру от 27 мая (7 июня) 1742 г. он высказал предположение, что
всякое целое число, большее двух, есть сумма трех простых чисел,
понимая под простым числом также единицу 2); как видно из ответного письма
Эйлера от 30 июня, Гольдбах еще ранее сообщил ему, что любое четное
число есть сумма двух простых, откуда следовала бы истинность
предыдущей гипотезы3). Проблема Гольдбаха оставалась неприступной еще
в начале нашего столетия и только новые мощные аналитические методы
теории чисел позволили сдвинуть дело с мертвой точки. В двадцатые
годы английские ученые Г. Харди и Дж. Литлвуд установили связь этой
проблемы с другими задачами теории чисел и анализа. В 1930 г. советский
математик Л. Г. Шнирельман (1905—1938) с помощью специального
разработанного им метода доказал, что каждое целое число есть сумма
не более, чем к простых чисел (включая единицу), где к — некоторое
фиксированное число. Впрочем, доказать, что к = 3 по способу Шнирель-
мана не удается; установлено только, что к не больше 20. В 1937 г.
И. М. Виноградов, пользуясь совершенно другим методом тригонометри-
х) Gorrespondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du
XVIIIe siecle, t. II, p. 278. Подробнее о работах Гольдбаха по теории рядов см.
J. Е. Hofmann, Um Eulers erste Reihenstudien.— Sammelband zu Ehren des250.
Geburtstages Leonhard Eulers. Unter Red. von K. Schroeder, Berlin, 1959.
2) Гольдбах не подозревал, что такое же наблюдение сделал еще Декарт. Запись
Декарта была опубликована по его черновым бумагам только в 1908 г.
3) См. Leonhard Е и 1 е г und Christian Goldbach, Briefwechsel. 1729—
1764. Hsg. und eingeleitet von A. P, Juskevic und E. Winter. Berlin, 1965, S.
104, 110. Во введении к этой книге содержится разбор математического творчества
Гольдбаха.

96
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
ческих сумм, доказал, что всякое достаточно большое нечетное число есть
сумма трех простых. Методы Шнирельмана и, особенно, Виноградова
получили замечательные приложения и в исследовании других
арифметических задач1). Задача о представлении четного числа суммой двух
простых пока не решена.
В переписке Гольдбаха с Д. Бернулли содержатся еще два
арифметических предложения, которые были доказаны только много спустя,
28 апреля 1729 г. Д. Бернулли заметил, что натуральные логарифмы
рациональных чисел не могут быть выражены ни рациональными
числами, ни иррациональными корнями из них, т. е., по-нашему, что они
трансцендентны. В ответ на это Гольдбах 20 октября 1729 г. 2) привел
111
новый пример трансцендентного числа, именно 775 + 7752 + Ш* + • • • +
Н йч + • • ¦ Первые критерии трансцендентности чисел дал в 1844—
1851 гг. Ж. Лиувилль, причем построенные им примеры трансцендентных
чисел имеют сходство с числом Гольдбаха. Утверждение Д. Бернулли
следует из более общей теоремы Ф. Линдемана: натуральный логарифм
любого алгебраического числа, отличного от единицы, есть число
трансцендентное (1882). Предложение Гольдбаха доказал в 1938 г.
ленинградский ученый Р. О. Кузьмин (1891—1949) 3).
Интегрирование дифференциального бинома. Мы отметим еще два
открытия Гольдбаха, одно из которых относится к интегральному
исчислению, а другое к теории рядов. Еще в письме к Лейбницу
1676 г. Ньютон указал, что биномиальный дифференциал ят (а + bxn)v dx,
где т, 72, р — рациональные числа, интегрируется в конечном виде, если
т или т +/? есть целое положительное число; тривиальный случай
целого положительного р он просто не упомянул. Поисками условий
интегрируемости биномиального дифференциала с помощью его
рационализации занимались затем многие, в том числе И. Бернулли, Герман,
Д. Бернулли, Гольдбах и Эйлер. В письмах к Д. Бернулли от 1 июня
и к Эйлеру от 6 ноября 1730 г. Гольдбах показал, что посредством
некоторых подстановок биномиальный дифференциал преобразуется в
рациональный дифференциал, если хотя бы одно из трех указанных выражений
есть любое целое число, тем самым фактически исчерпав случаи конечной
интегрируемости \ хт (а -\- bxn)v dx. Эти условия обыкновенно связывают
с именем Эйлера, который, однако, сам признал полноту результата
Гольдбаха 4). Эйлер позднее записал в первом томе своего «Интегрального
исчисления» (1769) условия в обычном для нас виде, между тем как
у Гольдбаха они выглядят несколько иначе. Заметим, что при обсуждении
с Гольдбахом этого вопроса, Эйлер со всей ясностью подчеркнул
необходимость расширить смысл термина «интегрируемость». Под этим в те вре-
*) Н. Г. Чудаков, О проблеме Гольдбаха.— УМН, вып. IV, 1938;
Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел, М.— Л., 1947, стр. 365 и след.
2) Correspon dance mathematique et physique de quelques celebres geometres du
XVIIIе siecle, t. II, стр. 301, 326.
3) P. О. Кузьмин, О трансцендентных числах Гольдбаха.— Труды
Ленинградского индустр. ин-та, разд. физ.-матем., 1938.
4) См. Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres
du XVIIIе siecle, t. II, стр. 368—370; Leonhard Euler und Christian Gold-
h а с h, Briefwechsel, стр. 43—50.

ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ
97
мена понимали интегрируемость в алгебраических функциях и,
например, Д. Бернулли говорил, что рациональные дифференциалы либо
интегрируются, либо приводятся к квадратуре круга или гиперболы.
Эйлер предложил понимать под интегрируемыми функциями также и те,
интегралы которых выражаются в логарифмах. Позднее он присоединил
к этому круговые функции.
Итог изучению задачи интегрирования дифференциального бинома
в случае рациональных показателей подвел П. Л. Чебышев, который
в 1853 г. доказал, что давно известные достаточные условия
интегрируемости в элементарных функциях вместе с тем необходимы (стр. 381).
Наконец, в письме к Эйлеру от 20 сентября (1 октября) 1742 г. Гольдбах
сделал любопытное замечание о гармоническом ряде: 1, "Т ' Т ' Т ' ? ' ' " '*
путем подходящей расстановки в нем знаков + и — сумму такого ряда
можно сделать равной любому числу г). Общая теорема, согласно которой
условно сходящийся ряд можно, переставляя его члены, преобразовать
в ряд с наперед заданной конечной или бесконечной суммой, была
доказана в 1853 г. Б. Риманом.
Даниил Бернулли. Уже не раз упоминавшийся нами Д. Бернулли
родился 8 февраля 1700 г. в Гронингене (Голландия), где в то время его
отец Иоганн Бернулли занимал университетскую кафедру. Математику
Д. Бернулли изучал под руководством отца и старшего брата Николая.
Окончив в 1716 г. Базельский университет со степенью магистра
философии, он дополнительно изучил медицину и в 1721 г. сдал в том же Базеле
установленные экзамены. Затем он отправился в Италию для
усовершенствования в медицине. Одновременно Д. Бернулли продолжал занятия
математикой и вскоре выпустил «Математические этюды» (Exercitationes
quaedam mathematicae, Venetiae, 1724). Здесь, среди прочего, дано
решение поставленной незадолго перед тем Дж. Риккати задачи об отыскании
случаев, в которых уравнение
интегрируется путем разделения переменных, т. е. в квадратурах. Решение
нашли независимо и почти одновременно сам Риккати, И. Бернулли и его
сыновья Николай и Даниил, а также его племянник Николай Бернулли.
В печати первым выступил Д. Бернулли, который показал, что разде-
ление переменных достигается при п = —?Гг, где к — любое целое или к=оо.
В 1841 г. Лиувилль доказал, что эти случаи являются единственными.
Не найдя применения своим дарованиям ни на родине, ни в Италии,
Д. Бернулли охотно принял приглашение в Петербург на кафедру
физиологии, причем предполагалось, что он применит в этой науке
математические методы. Начало таким исследованиям, в частности по механике
движения животных, положил в конце XVII века итальянец Дж. Борелли
и это направление приобрело большую популярность. Плодом недолгих
занятий Д. Бернулли физиологией явились две статьи в первом томе
«Записок»— по теории движения мускулов и о зрительном нерве. Но уже
с самого приезда осенью 1725 г. он занялся почти исключительно
механикой и математикой и в 1728 г. был назначен профессором математики.
х) Leonhard Е и 1 е г und Christian Goldbach, Briefwechsel, стр. 123; ср.
также письмо Гольдбаха от июня — июля 1752 г. на стр. 350.

98
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
Д. Бернулли провел в Петербурге восемь лет до лета 1733 г. и вернулся
в Базель главным образом из-за враждебного отношения со стороны
Шумахера. В Базеле ему снова пришлось занять кафедру анатомии
и медицины; только в 1750 г. он перешел на освободившуюся кафедру
физики. Вместе с тем Д. Бернулли остался почетным членом Петербургской
Академии и поддерживал с нею научные связи до конца жизни. Из 75 работ
его в России вышло 50, а в последние годы он печатался почти
исключительно в петербургских изданиях. Академик Н. И. Фусс был в юные годы
учеником Д. Бернулли и получил
приглашение в Россию по его рекомендации.
Десять трудов Д. Бернулли
получили премию на различных научных
конкурсах. Он был одним из восьми
иностранных членов Парижской Академии
наук, членом Берлинской Академии,
Лондонского королевского общества.
Только Эйлер был удостоен таких же
научных почестей и отличий. Скончался
Д. Бернулли в глубокой старости в
Базеле 17 марта 1782 г.
Д. Бернулли был «геометром» в том
широком смысле, какое это слово имело'
в XVIII веке, т. е. занимался, как
и большинство математиков того
времени, различными
физико-математическими науками. Более всего его привлекали
физика и механика, а в математике —
методы исследования
естественнонаучных, технических и вообще практиче-
Даниил Бернулли (гравюра И. Гайда ских задач. Он предпочитал физическую
с портрета работы И. Губера, первая модель и рассуждение математической
половина XVIII в., Государствен- выкладке и стремился обойтись воз-
ныи Эрмитаж).
г ' можным минимумом математических
средств. Характерны названия многих
работ, представленных им на соискание премий Парижской Академии,
вроде: «О наилучшем устройстве якорей», «О наиболее выгодном способе
усилить действие ветра на больших кораблях», «О наилучшем способе
уменьшения боковой и килевой качки судна». К более отвлеченным
вопросам самой математики Д. Бернулли относился равнодушно
и даже несколько иронически; со временем это усиливалось. 18 марта
1778 г. он писал Фуссу по поводу занятий Эйлера теорией чисел:
«То, что Вы потрудились сообщить мне по этому вопросу, показалось мне
весьма тонким и достойным нашего великого метра. Но не находите
ли Вы, что расточать такие богатства на простые числа, значит, пожалуй,
оказывать им слишком много чести, и не является ли это данью
рафинированному вкусу нашего времени?» х).
Главным делом Д. Бернулли в Академии явилась подготовка труда
по гидродинамике, окончательная редакция которого была опубликована
через несколько лет в Страсбурге, причем на титульном листе стояло:
«Академический труд, составленный автором в период пребывания его
2) Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du
XVIIIе siecle, t. II, стр. 676—677.

ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
99
в Петербурге» (Hydrodynamica sive de viribus et motibus fluidorum com-
mentarii, Argentorati, 1738 1)). Эта классическая книга содержит
описание многих опытов над движением воды и воздуха, а также вывод на основе
некоторых гипотез ряда основных законов. По существу, только в ней
было положено начало гидродинамике как науке. К исследованию
движения жидкостей Д. Бернулли применяет закон сохранения живых сил.
Он впервые проводит различие между гидростатическим и
гидродинамическим давлением. Одним из важнейших результатов является вывод
знаменитого уравнения Бернулли, выражающего связь между давлением
и скоростью идеальной тяжелой жидкости на данной глубине под
поверхностью; оно широко применяется для решения практических задач и из
него следует закон истечения, открытый Торричелли. Здесь же заложены
основы кинетической теории газов, рассмотрен вопрос о реактивных
силах. Дифференциальных уравнений движения жидкости еще нет; они
были через 20 лет установлены Эйлером [Memoires de l'Acad. de Berlin,
XI (1755)1757]. Впрочем, Д. Бернулли сам писал: «Я рассматриваю
настоящий трактат скорее как физический, чем как математический» 2).
Ранее говорилось об отдельных математических открытиях Д.
Бернулли, изложенных в его переписке с Гольдбахом. Добавим, что 30
января (10 февраля) 1729 г. Д. Бернулли указал, что
есть основание натуральных логарифмов, которое Эйлер позднее обозна-
1-j ) = ех [Miscellanea Beroli-
nensia, VII, 17431. Большой интерес имеет также переписка Д. Бернулли
с Эйлером в 1726—1768 гг., опубликованная до сих пор не полностью 3)„
Впрочем, ее основное содержание включено в печатные труды обоих
корреспондентов.
Проблемы теории колебаний. Наряду с механикой жидкостей и газок
основное место в творчестве Д. Бернулли занимают исследования о
колебаниях систем с конечным или бесконечным числом степеней свободы.
В решении таких вопросов он руководствовался одним принципиально
важным положением, а именно рассматривал всякое колебание системы
как результат суперпозиции (наложения) колебаний специального вида
(теперь их называют главными), которые могут быть найдены
сравнительно просто. В истории математической физики особое место занимает
задача о струне. Математической трактовке ее подверг впервые Б. Тейлор,
который в несколько отличной от теперешней форме выразил
дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний (1713, опуб. в 1714).
Допустив, что все точки струны возвращаются в первоначальное
положение на одной прямой одновременно, Тейлор заключил, что струна
в каждый момент имеет форму синусоиды. И. Бернулли, бывший
почетным членом Петербургской Академии, в письме к сыну Даниилу, напеча-
г) Д. Бернулли, Гидродинамика или записки о силах и движениях
жидкостей. Дерев. В. С. Гохмана, комм, и ред. А. И. Некрасова и К. К. Баумгарта, статья
В. И. Смирнова, М., 1959. Статья В. И. Смирнова содержит разбор
математического творчества Д. Бернулли.
2) Д. Бернулли, Гидродинамика, стр. 34.
3) Correspondance mathematique de quelques celebres geometres du XVIIIе1
siecle, t. II.

100
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
танном во II томе ее «Записок», обратил его внимание на задачу о струне,
а в III томе посвятил ей специальную статью, в которой, впрочем, не
продвинулся существенно далее Тейлора. Таким образом, уже в первых
выпусках петербургских «Записок» был возбужден вопрос об этой задаче,
сыгравшей несколько позднее столь большую роль в развитии математики,
благодаря, прежде всего, Ж. Даламберу, Эйлеру и Д. Бернулли. Но на
первом этапе своей деятельности Д. Бернулли обратился к другому
вопросу теории колебаний, именно к задаче о малых колебаниях
дискретных систем грузов, связанных с вертикально подвешенной гибкой
невесомой нитью и, в предельном случае, когда число грузов неограниченно
растет, о малых колебаниях однородной тяжелой нити или цепи.
В двух работах, посвященных этим задачам [САР VI (1732—1733)
1738 и VII (1734—1735) 1740], Д. Бернулли положил начало теории
цилиндрических функций. Определение фигуры колебаний нити
приводится к частному случаю так называемого уравнения Бесселя, именно
к уравнению
dx2 dx n '
где x есть разность между длиной I нити и длиной части ее дуги,
отсчитываемой от точки подвеса, у — отклонение точки нити от вертикального
положения равновесия, а — представляет собой квадрат частоты
колебания, деленный на ускорение силы тяжести. Решение этого уравнения
находится по методу неопределенных коэффициентов в форме
л X , X2 хъ я4
2/ = 1--
1 4тг2 4-9тгЗ > 4-9-16и4 '"''
а это не что иное, как цилиндрическая функция первого рода нулевого
порядка/0 (1/ •—) • Поскольку у = 0 прия = Z, Д. Бернулли получает для
отыскания п уравнение, в левой части которого стоит бесконечный ряд.
Он заключает, что существует бесконечное число действительных корней
такого уравнения и два первых значения корня вычисляет с помощью
собственного приближенного метода, изобретенного незадолго перед
тем г).
Мы не будем останавливаться на последующих работах Д. Бернулли
по колебаниям упругих стержней и по колебаниям воздуха в трубах.
Заметим лишь, что в статье о колебаниях стержней [САР XIII (1741 —
1743) 1751] Бернулли проинтегрировал как с помощью бесконечных рядов,
так и в конечном виде линейное уравнение с постоянными коэффициентами
—-^ = /с4г/. Вполне общие результаты в этом направлении тогда же или
несколько ранее получил и Эйлер. Мы отложим пока рассмотрение работ
Д. Бернулли, посвященных задаче о струне.
Численное решение уравнений. Только что упомянутый
приближенный метод решения уравнений для случая, прежде всего, алгебраических
уравнений Д. Бернулли сообщил без вывода в третьем томе «Записок».
Он основан на применении рекуррентных (возвратных)
последовательностей или рядов, впервые подвергнутых подробному исследованию
х) Подробнее см. В. В. Гуссов, Развитие теории цилиндрических функций в
России и СССР.— Ист.-матем. исслед., вып. VI, 1953.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА
101
А. де Муавром, которому принадлежит и термин «рекуррентный» (1722).
В случае уравнения хп + а^х71'1 + .. . -\-ап = 0 берут п произвольных
действительных чисел ри р2, ..., рп и с помощью рекуррентного
соотношения рп+т + сцРп+т-1+"•+апрт = 0 образуют числа рп+и рп+2, ...
Наиболее удаленный от нуля действительный корень уравнения
находится как предел отношения ^^ при к-^оо. В т. V «Записок» Д. Бер~
Pk
нулли распространил свой метод на отыскание корней функций, задан-
ных бесконечными степенными рядами. Более детально метод Бернулли
исследовал Эйлер в т. I «Введения в анализ» (1748), рассмотрев случаи,
когда этот метод не ведет непосредственно к цели (предел не существует),
именно когда наибольшим модулем обладают два действительных
корня различных знаков или пара сопряженных комплексных корней.
Дальнейшая разработка метода принадлежит Ж. Лагранжу (1798)
и К. Г. Греффе (1837).
Теория вероятностей и статистика. В том же т. V «Записок» появилась
первая работа Д. Бернулли по теории вероятностей, посвященная
поставленной в 1713 г. его двоюродным братом Николаем задаче, получившей
название «петербургской игры». Бросается монета до тех пор, пока не
выпадет герб, после чего игра закончена. Петр выплачивает Павлу 2П~1
дукатов, если герб выпадает при п-ж бросании. Спрашивается, какую ставку
должен выплатить Павел Петру перед началом игры, чтобы игра была
безобидной? Игра считается безобидной, если за участие в ней платится
ставка, равная математическому ожиданию игрока. В данном случае
111
математическое ожидание Павла есть 1 -=- + 2-7-+ 4,_о~ + • • •» т- е-
Павел должен был бы за право игры внести бесконечную ставку. Такоо
расхождение с практическим здравым смыслом побудило Д. Бернулли
ввести другую оценку надежды на увеличение или уменьшение имущества
в зависимости от исходного имущества. Моральное значение у перехода
имущества а в имущество х выражается равенством y=b-log— , где Ъ >0
есть коэффициент пропорциональности; иными словами, бесконечно
малое приращение dy принимается обратно пропорциональным
имуществу х и пропорциональным бесконечно малому приращению самого
имущества dx. Исходя из этого выводится величина, которую Д. Бернулли
назвал «законно ожидаемой выгодой», а Лаплас в 1812 г. нравственным
ожиданием. Именно, если лицо, имеющее имущество а, ожидает с
вероятностями ри р2, . . ., рп, причем pi + р2 + ... + рп = 1,
соответственные приращения имущества а±, а2, . • ., ап, то нравственное ожидание
его есть (а + а1)Р1(а + а2)Р2 . . . (а + ад)Рп —а. Нравственное ожидание
Павла в петербургской игре оказывается при этом конечным.
Понятие нравственного ожидания, которое пытались применить
и к другим вопросам, например, страхованию, себя не оправдало и вышло
из научного употребления. Были предложены и другие объяснения
парадокса петербургской игры, в частности, советским математиком А. Я. Хин-
чиным (1925). Все же следует добавить, что сама идея применения
логарифмической функции к измерению вероятностных величин была недавно
с успехом развита в современной теории информации. В качестве меры
неопределенности опыта А с п возможными исходами Аи А2, . . ., Ап,
имеющими вероятности ри р2, . . ., рп (Pi + Р2 + ... + рп = 1)г
в теории информации служит так называемая энтропия Н(А), определяв-

102
ГЛ. 5. ПЕРВЫЕ АКАДЕМИКИ-МАТЕМАТИКИ
п
мая формулой Н (А) = —^] pklog pk. На эту аналогию указал
fe=i
Ю. В. Линник1).
В последующем Д. Бернулли не раз обращался к проблемам теории
вероятностей и статистике. Большой заслугой его явилось первое
применение в теории вероятностей исчисления бесконечно малых [NCAP XII
{1766—1767)1768 и XIV(1769) 1770]. Решение дискретных задач этой
науки комбинаторными методами нередко затруднительно, а кроме того,
приводит к громоздким выражениям. Д. Бернулли предложил пренебрегать
конечными числами, например единицей, в сравнении с большими
числовыми параметрами задач, как пренебрегают бесконечно малыми в анализе;
это позволяет заменять комбинаторные рассуждения и выкладки более
простыми дифференциальными и интеграционными операциями и получать
приближенные формулы, содержащие главные члены соответствующих
комбинаторных выражений. Несколько ранее, чем Д. Бернулли развил
общие соображения по данному вопросу, он показал первое их
применение в работе о смертности от оспы и действия прививок [Memoires de
Г Acad, de Paris (1760)1766]. Впоследствии методы анализа стали играть
в теории вероятностей решающую роль.
Кривая распределения ошибок. Другая важная работа Д. Бернулли
посвящена теории ошибок и обработке наблюдений, которой он занимался
еще в тридцатые годы [АР (1778 : 1)1780]. Кривая распределения ошибок
должна, по мнению Д. Бернулли, удовлетворять пяти условиям: она имеет
ось симметрии, монотонно убывает по обе ее стороны, касательная в
центре параллельна оси абсцисс, на которой откладываются значения
ошибок, на некотором расстоянии от оси симметрии кривая пересекает ось
абсцисс, и, наконец, касательная в точках пересечения параллельна
оси симметрии. В качестве такой кривой Д. Бернулли выбрал окружность;
радиус ее, т. е. возможный предел ошибок, устанавливается из
наблюдений. Первые три условия сохранил и К. Ф. Гаусс, предложивший так
называемый теперь нормальный закон распределения ошибок (1809).
Для определения центра окружности, которому соответствует наибольшая
ллотность вероятности, Д. Бернулли употребил метод максимального
лравдоподобия, который вновь применял затем Гаусс и который в общем
виде был разработан уже в XX веке Р. Фишером (1912) и др.
Прием Д. Бернулли основан на отыскании максимума некоторого
произведения и приводит к уравнениям высоких степеней. Эйлер
в том же томе «Трудов» указал другой способ, требующий решения
уравнения третьей степени.
Помимо упомянутой работы об оспопрививании, Д. Бернулли
принадлежит еще несколько ценных исследований по демографии.
Мы обратимся теперь к жизни и творчеству младшего по возрасту
члена академической группы математиков — великого Леонарда Эйлера.
г) См. статью В. И. Смирнова в кн.: Д. Бернулли, Гидродинамика, стр. 465.

ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Начало карьеры. Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. в Базеле
в семье сельского пастора. Отец, обучавшийся математике у Якова Бер-
нулли, дал сыну первые уроки по этому предмету, но предназначал его
к духовной карьере. В 1720 г. Эйлер приступил к слушанию лекций
в Базельском университете. Здесь он изучал древние языки и классиков,
философию и богословие, но интерес к математике взял верх, и юноше
в конце концов было дозволено отдаться любимой науке. Необыкновенные
способности Леонарда Эйлера обратили на себя внимание знаменитого
Иоганна Бернулли, который стал давать ему уроки. С сыновьями своего
профессора Николаем и Даниилом Эйлер завязал тесную дружбу.
В 1724 г. Эйлер окончил университет, а в 1726—1728 гг. появились
его первые работы — об изохронных кривых в сопротивляющейся среде,
об одном специальном виде траекторий, о звуке и о наилучшем способе
расположения мачт на корабле. Последняя работа была представлена
на конкурс Парижской Академии и принята к печати. Отметим здесь же,
что впоследствии Эйлер, как и Д. Бернулли, многократно получал премии
или почетные отзывы на конкурсах Парижской Академии. К 12 премиям,
присужденным Эйлеру Парижской Академией в 1738—1772 гг., следует
прибавить премию 1765 г. от английского парламента; ему также, по
существу, обязан своими семью премиями его сын Иоганн-Альбрехт, который
лишь излагал и обрабатывал идеи отца. Некоторые из премированных
работ Л. Эйлера относятся, как и первое конкурсное сочинение, к
кораблестроению и навигации, многие — к небесной механике, особенно теории
движения планет.
Только что упомянутая диссертация о звуке была представлена
Базельскому университету в связи с намерением Эйлера участвовать
в конкурсе на замещение должности профессора физики. Вакансии в этом
университете тогда замещались путем жребия среди отобранных
кандидатов. Эйлер не был допущен к жеребьевке; как пишет его биограф,
базельский профессор О. Шпис, это было для Эйлера счастьем, так как
перед ним в это же время открывалась неизмеримо более широкая арена
деятельности х).
Переезд в Петербург. Николай и Даниил Бернулли убедили
руководство Петербургской Академии пригласить их молодого приятеля на
свободную должность адъюнкта физиологии. Несколько месяцев Эйлер усиленно
штудировал медицину. 5 апреля 1727 г. он навсегда распростился со Швей-
г) О. S р i е s s, Leonhard Euler. Frauenfeld-Leipzig, 1929, стр. 51. Другие
биографии Эйлера: N. Fuss, Eloge de Monsieur Leonard Euler, St. Petersbourg, 1783;
L. G. du P a s q u i e r, Leonard Euler et ses amis, Paris, 1927.

104
ГЛ. 6. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
царией и после полуторамесячного путешествия по Рейну, Германии
и Балтийскому морю 24 мая прибыл в Петербург. С этого времени и до
самой кончины личная судьба Эйлера и его научное творчество оказались
теснейшим образом связанными с русской Академией наук, с Россией
вообще. Не в пример многим приглашенным в Россию иностранцам Эйлер
в первые же годы петербургской жизни изучил русский язык, на котором
мог говорить и писать.
Хотя Эйлера пригласили в качестве физиолога, но ему, как и Д. Бер-
нулли, сразу предоставили возможность работать по любимой им
специальности. Вскоре это было оформлено официально: с января 1731 г.
он был назначен профессором физики, а летом 1733 г. заменил уехавшего
Д. Бернулли на кафедре математики. По приезде в Россию Эйлер
немедленно приступил к научной работе, а также включился в педагогическую
и просветительскую и научно-организационную деятельность Академии.
Он читал лекции студентам академического университета, экзаменовал в
кадетском корпусе, рецензировал поступающие на отзыв работы молодых
ученых, руководил занятиями студентов, писал учебники и популярные статьи.
Этой стороны деятельности Эйлера мы отчасти коснулись уже ранее.
Активное участие Эйлер принял в тридцатые годы в деятельности
географического департамента Академии, на которьр возложено было
составление карт России. Этой работе правительство придавало огромное
значение и с выполнением ее непрестанно торопило Академию. В
географическом департаменте Эйлер работал много лет подряд. Блестящий
вычислитель, он нередко проводил кропотливые расчеты без помощников
и с необычайной быстротой и точностью. Но он занимался не только
выкладками и решением чисто математических задач, но картографией
в целом и даже сам вычертил немало карт.
Эйлер неоднократно участвовал и в технических экспертизах —
по устройству пильных машин, пожарных насосов, в комиссии о мерах
и весах, где изучал вопрос о чувствительности весов для взвешивания
монет. С конца тридцатых годов по особому поручению Академии Эйлер
приступил к подготовке большого труда по корабельной архитектуре
и кораблевождению, который закончил в 1743 г.
С необычайным успехом шла и научная работа по математике и
механике. В первый раз Эйлер прожил в Петербурге 14 лет. За это время
он получил блестящие результаты во многих областях: учении о
бесконечных рядах и бесконечных произведениях, в решении
дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории чисел, динамике
точки, теории музыки. Здесь следует подчеркнуть благотворные условия
работы в Петербурге. Если первые стимулы к научным изысканиям Эйлер
получил от своего учителя И. Бернулли, с которым продолжал
регулярную переписку почти до его смерти х), то общение с другими
петербургскими учеными обратило внимание молодого Эйлера на ряд новых проблем.
Нигде в мире Эйлер не мог бы оказаться в кругу столь
квалифицированных и одаренных математиков с общими интересами. Выше мы не раз
отмечали интенсивность духовного обмена между ними, в котором участвовал
и Эйлер. Упомянем, что ряд лет он жил в одной квартире с Д. Бернулли.
Литературная продукция Эйлера в первые пятнадцать лет научной
работы была в сравнении с последующим временем не очень велика.
К 1741 г. из печати вышло около 55 трудов и среди них двухтомная
г) Она опубликована в Gorrespondance mathematique et physique de quelques
celebres geometres du XVIIIе siecle, t. II и в Bibliotheca mathematica, 3 Folge, B. 4—
6, 1904—1905.

Леонард Эйлер (гравюра В. Соколова с портрета И. Брукера, сделанного
в Петербурге в 1737 г., Государственный Эрмитаж).

106
ГЛ. 6. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
«Механика» (Mechanica sive motus scientia analytice exposita, Petropoli,
1736), в которой дано первое последовательно аналитическое построение
динамики точки. Но уже в тридцатые годы XVIII века Эйлер наметил
программу многих последующих исследований.
Открытия молодого Эйлера, благодаря его переписке нередко
становившиеся известными задолго до появления в печати, произвели
сильнейшее впечатление на современников. Слава его быстро росла. Это
своеобразно отразил в письмах к Эйлеру И. Бернулли. В 1728 г. письмо
адресуется «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру»,
в 1731 г.—«славнейшему и ученейшему господину профессору,
дражайшему другу», в 1741 г.—«знаменитейшему и превосходнейшему мужу»
и, наконец, в 1746 г.—«главе математиков Леонарду Эйлеру», Mathema-
ticorum principi Leonhardo Eulero. К этому времени Эйлер был членом
двух академий — в Петербурге и Берлине. В 1749 г. он был избран членом
Лондонского королевского общества, в 1755 г. Парижской Академии
наук; кроме того, он был членом еще четырех других научных обществ.
В 1734 г. Эйлер женился и в том же году родился его старший сын
Иоганн-Альбрехт (27 ноября 1734—18 сентября 1800), впоследствии ученик
и сотрудник своего отца. Теперь Л. Эйлер обзавелся собственным домом
невдалеке от Академии. Казалось, он прочно обосновался в Петербурге.
Однако в регентство Анны Леопольдовны (с ноября 1740 г. по декабрь
1741 г.) в столице сложилась неустойчивая политическая обстановка,
которую весьма остро переживали иностранные жители. По словам
автобиографии Эйлера, «положение начало представляться довольно
неуверенным» 1). Это обстоятельство, а отчасти тяжелая обстановка в Академии,
постоянно поддерживавшаяся Шумахером, побудили Эйлера
воспользоваться предложением прусского короля перейти на работу в
Берлинскую Академию.
Эйлер в Берлине. Летом 1741 г. Эйлер с семьей прибыл в Берлин, где
ему предстояло прожить 25 лет. В Берлинской Академии он вел очень
большую научную и организационную работу. С 1746 г. он состоял
директором математического отделения и нередко исполнял президентские
обязанности. Помимо этого, Эйлеру приходилось по поручению короля
заниматься вопросами баллистики, гидротехническими задачами,
связанными с каналостроением и водоснабжением резиденции Фридриха Сан-
Суси, расчетами для организации государственных лотерей и т. д.
При всем том, Эйлер сохранял регулярную и тесную связь с
Петербургской Академией, если не считать вынужденного перерыва в течение
нескольких военных лет. Он оставался почетным членом нашей Академии
и ему выплачивалась крупная пенсия. Формально являясь почетным
членом Академии, он фактически работал, как ее иногородний
действительный член. Сил Эйлера с избытком хватало для полноценного
«совместительства» в обеих академиях. Свои сочинения он публиковал почти
поровну в берлинских и петербургских изданиях: даже обе академии
вместе не справлялись с колоссальным потоком его трудов 2).
1) Ю. X. К о п е л е в и ч, Материалы к биографии Леонарда Эйлера.— Ист.-
матем. исслед., вып. X, 1957, стр. 17.
2) Эти связи Эйлера, а через него и Берлинской Академии, с Академией наук
в Петербурге ярко отражены в его обширной переписке с должностными лицами
последней. См. Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im
Brieiwechsel Leonhard Eulers. Teil I—II, hsg. und eingeleitet von A. P. Juskevic und
E. Winter, Berlin, 1959—1961.

ЭЙЛЕР В БЕРЛИНЕ
107
Проживая в Берлине, Эйлер постоянно информировал Петербургскую
Академию о новинках научной и технической мысли за границей,
редактировал математический раздел ее записок, рецензировал дипломные
сочинения академических студентов и адъюнктов. На квартире у него
подолгу жили присланные к нему для завершения образования
Котельников, Румовский и Софронов. Эйлер приобретал для Академии книги,
аппаратуру и оборудование; он подыскивал кандидатов на замещение
вакансий в Академии. В последнем вопросе он никогда не становился
на сторону Шумахера и немецкой академической партии. Эйлер понимал,
что России нужны национальные кадры ученых, и поддерживал русских
кандидатов. Когда в 1754 г. встал вопрос о замещении вакантной кафедры
математики, Эйлер, сравнивая Котельникова с некоторыми зарубежными
претендентами, писал в Академию: «...во всяком случае несомненно, что
во всей Германии не найти более трех человек, которые в математике
заслуживали бы предпочтение перед Котельниковым, но я надеюсь,
что в течение года добьюсь с ним того, что он превзойдет и этих людей» *).
К этому времени относится и переписка Эйлера с М. В. Ломоносовым
(1711—1765), свидетельствующая об их глубоком взаимном уважении.
Ломоносов делился с Эйлером своими идеями, например, о
корпускулярном строении материи, своей теорией тепла, возражениями против лейб-
ницевой теории монад. В ряде пунктов физические взгляды Ломоносова
и Эйлера совпадали. В 1747 г. Шумахер послал две работы Ломоносова
на заключение Эйлера, надеясь получить отрицательный отзыв. Ответ
Эйлера разбил планы Шумахера. Великий математик писал: «Все сии
сочинения не токмо хороши, но и превосходны, ибо он [т. е. Ломоносов]
изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные,
кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкованию самым
остроумным ученым людям, с таким основательством, что я совсем уверен
в справедливости его изъяснений. При сем случае я должен отдать
справедливость г-ну Ломоносову, что он одарован самым счастливым
остроумием для объяснения явлений физических и химических» 2).
Энергия Эйлера в зрелые годы кажется неиссякаемой. Продолжая
осуществлять планы, намеченные в Петербурге, он вместе с тем включает
в круг занятий новые вопросы. Так, например, он впервые строит
теорию элементарных функций комплексного переменного, соревнуясь с
Ж. Даламбером и Д. Бернулли, разрабатывает задачу о колебании струны
и вместе с тем приемы решения уравнений с частными производными
и разложения в тригонометрические ряды, получает важные результаты
по эллиптическим интегралам, развивает алгоритм вариационного
исчисления, предложенный молодым Лагранжем, углубляется в
дифференциальную геометрию поверхностей и делает первые шаги в топологии. В
механике, соперничая с Клеро и другими, он решает трудные задачи теории
движения Луны и больших планет, а кроме того, закладывает
математические основания механики твердого тела и гидродинамики и решает ряд
задач теории упругости. Все это переплетается с построением первых
ахроматических рефракторов, изучением зубчатых передач,
совершенствованием гидравлической реактивной турбины, изобретенной И. А. Зег-
нером.
г) Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel
Leonhard Eulers, Teil I, стр. 57.
2) Цит. по кн.: M. В. Ломоносов, Избранные философские произведения
М., 1950, стр. 709—710.

108
ГЛ. 6. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
В то же время Эйлер пишет одну за другой большие сводные
монографии, вскоре ставшие классическими руководствами для многих
поколений. Он публикует в Швейцарии «Метод нахождения кривых линий,
обладающих свойствами максимума, либо минимума» (1744) и два тома
«Введения в анализ бесконечных» (1748), в Германии немецкий перевод
с обширными собственными дополнениями «Новых начал артиллерии»
(1745) Б. Робинса и «Теорию движения твердого тела» (1765), в
Петербурге заказанную нашей Академией двухтомную «Морскую науку»;
по поручению и за счет нашей же Академии он, для удобства чтения
корректур, печатает в Берлине «Теорию движения Луны» (1753) и
«Дифференциальное исчисление» (1755). За исключением книги по баллистике,
остальные написаны по-латыни.
Возвращение Эйлера в Петербург. Во время пребывания в Берлине
Эйлер несколько раз ставил вопрос о возвращении в Петербург.
Отношения его с королем чаще всего оставляли желать лучшего; эти
два человека слишком расходились во всем: в мировоззрении, в
отношении к математике (Фридрих не ценил сколько-нибудь отвлеченные
изыскания), в личных вкусах и манерах и т. д. Все это усиливало
разногласия в чисто деловых вопросах, касавшихся управления Берлинской
Академией, в которое король постоянно вмешивался. В 1766 г. Эйлер
решительно потребовал увольнения, с тем чтобы возвратиться в
Петербург. Опасаясь скандала и не желая конфликта с русским правительством,
стоявшим за спиной Эйлера, король с досадой отпустил ученого, бывшего
лучшим украшением и главной силой его Академии. 28 июля 1766 г.
Эйлер был снова в Петербурге.
Эйлер вернулся в нашу Академию под шестьдесят лет. Осенью
1766 г. он почти целиком потерял зрение на второй глаз, а первым не видел
с конца тридцатых годов. Это несчастье, впрочем, не отразилось на era
творчестве сколько-нибудь заметно. Эйлера выручали его
изумительная память, а также писавшие под его диктовку и проводившие
численные расчеты ученики — старший сын Иоганн-Альбрехт, Головин,.
Фусс и др.
Среди математиков всех времен Эйлер выделяется не только
гигантской продуктивностью, но и не слабевшей со временем активностью.
Наоборот, литературная продукция его с годами росла. За 1725—1744 гг. он
подготовил, считая по названиям, приблизительно 15 % своих сочинений,,
за 1745—1764 гг. около 35%, а за 1765—1783 гг. примерно 50%. Когда
ему было семьдесят лет, в 1777 г., Эйлер подготовил с помощью
секретарей чуть ли не сотню статей, по две в неделю. Мы назовем здесь только
большие книги, изданные во второй период петербургской жизни Эйлера.
Это — популярные «Письма о разных физических и филозофических
материях» в трех частях (франц. изд., СПб., 1768—1772; русский перевод
С. Я. Румовского, 1768—1774), трехтомное «Интегральное исчисление»
(1768—1770), известная уже нам «Универсальная арифметика» в двух
томах (1768 — 1769), трехтомная «Диоптрика» (1769—1771), огромная
«Новая теория движения Луны», составленная под руководством Эйлера
его старшим сыном Иоганном-Альбрехтом и академиками В.-Л. Крафтом
(1743—1814), сыном математика, упоминавшегося ранее Г.-В. Крафта,
и А. И. Лекселем, и, наконец, учебник «Полное умозрение строения
и вождения кораблей» (франц. изд., СПб., 1773, русский перевод
М. Е. Головина 1778 г.). «Интегральное исчисление», «Диоптрика» и книга
о движении Луны написаны по-латыни.

ВОЗВРАЩЕНИЕ ЭЙЛЕРА В ПЕТЕРБУРГ
109
Эйлер продолжал участвовать и в других занятиях Академии. Так,
он работал вместе с выдающимся изобретателем И. П. Кулибиным (1735 —
1818) над изготовлением по собственному проекту нового микроскопа.
В 1776 г. при экспертизе проекта постоянного одноарочного моста через
Рис. 22. Мемориальная доска, установленная 16 апреля
1957 г. на доме, в котором проживал Л. Эйлер во второй
петербургский период жизни (Ленинград, Набережная
лейтенанта Шмидта, 15).
Неву, предложенного Кулибиным, Эйлер оказал ему поддержку и дал
теоретическое обоснование найденного Кулибиным правила пересчета
результатов испытания моделей на натуру. Заметим, что Эйлер вообще
высоко ценил технические дарования русских мастеров 1). Вместе с сыном
Иоганном-Альбрехтом, назначенным в 1769 г. секретарем Академии,
г) А, П. Юшкевич, Жизнь и математическое творчество Леонарда
Эйлера.— УМН, XII (4), 1957, стр. 14.

110
ГЛ. 6. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Эйлер был в 1766—1774 гг. членом Комиссии, управлявшей всеми делами
Академии.
Последние годы жизни Эйлер уже не мог посещать заседания
конференции, хотя и продолжал работать дома, на углу 10 линии и
набережной Большой Невы,— этот дом сохранился в перестроенном виде до сих
пор (рис. 22). Эйлер был окружен большой семьей: кроме старшего сына,
в Петербурге жили и два других — врач Карл Эйлер (1740—1790) и
Христофор Эйлер (1743—1808)— офицер (потом генерал-лейтенант) русской
Рис. 23. Надгробие на могиле Л. Эйлера
в Ленинградском некрополе.
армии, а также их многочисленные дети, потомки которых и сейчас
проживают в Советском Союзе. Эйлер скончался скоропостижно, от
кровоизлияния в мозг, 18 сент. 1783 г. Его похоронили на Смоленском
лютеранском кладбище, в получасе ходьбы от его дома. Осенью 1956 г. могила
Эйлера и воздвигнутый на ней в 1837 г. памятник (рис. 23) были
перенесены в Ленинградский некрополь, по близости от могилы другого
крупнейшего деятеля Петербургской Академии — М. В. Ломоносова.
Общая характеристика творчества. При жизни Эйлера было
напечатано около 560 его трудов, из них около 400 в изданиях Петербургской
Академии. Эйлер как-то заметил в шутку, что оставит после себя столько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТВОРЧЕСТВА
111
статей, что их придется печатать еще в течение двадцати лет. На самом
деле публикация его научного наследия, в подготовке которой
участвовали Н. И. Фусс, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев и П. Н. Фусс,
продолжалась в изданиях нашей Академии до 1862 г.; некоторые работы
были выявлены еще позднее. Список трудов Эйлера, составленный в 1910—
1913 гг. шведским историком математики Г. Энестремом, насчитывает
более 850 названий, не считая 31 труда Иоганна-Альбрехта, написанных
под руководством отца; к этому следует
добавить многие сотни чисто научных
писем Л. Эйлера, нередко
представляющих собой подлинные научные тру
ды г). Полное собрание сочинений
Эйлера (без переписки), Leonhardi Euleri
Opera omnia, издающееся с 1911 г.
Швейцарским обществом
естествоиспытателей, должно содержать 72 больших
тома. Полностью завершена публикация
только математической серии в 29
томах, из которых один в двух частях2).
Не менее поразителен, чем
количественный размах, грандиозный
диапазон творческих интересов Эйлера,
распространявшихся не только на весь
цикл физико-математических наук, но
и на технику и даже на сельское
хозяйство — в одной статье он описывает
особый способ сева зерновых культур,
а вместе с тем на логику и
философию 3). При всем том, главным делом
Эйлера была разработка математики.
Из 72 томов его сочинений лишь 29
относятся, как сказано, к «чистой»
математике, 31—к механике и астрономии
и 12— к физике и разным вопросам.
Однако следует иметь в виду, что
значительная часть работ по механике, астрономии и оптике состоит в
точной математической постановке и математическом же решении их проблем.
Л.'Эйлер (бюст работы Д. Рашетта,
1784. Оригинал находится в здании
Президиума АН СССР в Москве,
авторская копия 1788 г. в
Государственном Эрмитаже).
х) Список трудов Эйлера, а также многочисленные сведения о его рукописях,
служебной карьере и участии в заседаниях Академии наук имеются в книге:
Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии наук СССР, т. I. Составители
Ю. X. Копелевич, М. В. Крутикова, Г. К. Михайлов и Н. М. Раскин, М.— Л., 1962.
2) Помимо изданий переписки, указанных выше, см. еще: Леонард Эйлер,
Письма к ученым. Составили Т. Н. Кладо, Ю. X. Копелевич, Т. А. Лукина, под
ред. В. И. Смирнова, М.— Л., 1963. Резюме почти всех сохранившихся писем Эйлера
опубликованы в кн.: Леонард Эйлер. Переписка. Аннотированный указатель, под
редакцией В. И. Смирнова и А. П. Юшкевича, Л., 1967.
3) О работах Эйлера по механическим и физическим наукам и технике см.:
А. Т. Г р и г о р ь я н, Очерки по истории механики в России, М., 1961; С. П. Т и-
м о ш е н к о, История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями
из истории теории упругости и теории сооружений. Перев. под ред. А. Н.
Митинского, М., 1957; А. П. М а н д р ы к а, Баллистические исследования Леонарда
Эйлера, М.—Л., 1958; М. Ф. Субботин, Астрономические^ работы Леонарда
Эйлера; Я. Г. Д о р ф м а н, Физические воззрения Леонарда Эйлера; Г. Г. С л ю-
с а р е в, «Диоптрика» Эйлера; Н. М. Раскин, Вопросы техники у Эйлера
(последние четыре статьи в сб.: Леонард Эйлер, под ред. М. А. Лаврентьева, А. П. Юшкевича,
А. Т. Григорьяна, М., 1958).

112
ГЛ. 6. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Все творчество Эйлера пронизывает идея тесной связи математики
с естественными науками и техникой. Как и Д. Бернулли, Эйлер в своих
работах осуществлял тесную связь теории и практики. Он с
непревзойденным искусством умел выделять в частных, конкретных задачах зерно
широких общих теорий и всегда стремился доводить теоретическое
исследование до числового результата, дающего вполне эффективное решение
вопроса. В отличие от Д. Бернулли, Эйлер, математик по преимуществу,
обращался к математике не от случая к случаю, но неустанно и
систематически развивал ее как единое целое. В значительной степени этим
определялся великолепный успех его трудов.
В математическом творчестве Эйлера на первом месте стоит анализ
бесконечно малых, которому отведено 18 томов собрания сочинений,
из них один двойной; далее следуют теория чисел — четыре с половиной
тома, геометрия — четыре тома, алгебра — полтора тома и комбинаторика
с теорией вероятностей — один том. Очень многие исследования по
геометрии проведены при помощи алгебры и исчисления бесконечно малых.
Таким образом, в главном Эйлер был аналистом и арифметиком.
Разрабатывая анализ, он обогатил его не только множеством отдельных важных
формул, теорем и приемов во всех ранее наметившихся направлениях,
не только последовательно систематизировал его в своих
фундаментальных руководствах, но и явился основателем нескольких больших
дисциплин: вариационного исчисления, учения об элементарных функциях
комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений, учения
о специальных функциях, учения о тригонометрических рядах и др.
А теория чисел на протяжении полувека принадлежала к самым любимым
предметам занятий Эйлера, как и многих других крупнейших
математиков, на другом полюсе интересов которых находились прикладные
проблемы, например К. Ф. Гаусса, П. Л. Чебышева и Д. Гильберта.
Широко распространено представление об Эйлере как великом
вычислителе и виртуозе формальных преобразований. Он действительно
был таковым. Но облик Эйлера-математика далеко не исчерпывается этим.
Искуснейшим образом манипулируя аппаратом формул, создавая
замечательные расчетные алгоритмы, он вместе с тем был творцом новых важных
понятий и глубоких идей. В математике XVIII века относительная роль
«понятийного» элемента в сравнении с формально-алгоритмическим была
гораздо менее значительна, чем в последующем столетии и особенно
в наше время. Это отражено и в творчестве Эйлера. Но развитие
математики и в XVIII веке включало совершенствование старых и создание
новых фундаментальных понятий этой науки и проходило в борьбе мнений
по многим принципиальным вопросам — о содержании и объеме понятий
функции, дифференциала и интеграла, о значении сходящихся и
расходящихся рядов, о роли комплексных чисел, и т. д. В этой работе Эйлеру
принадлежат очень большие заслуги, наряду с некоторыми неудачами.
Точно так же нередко встречается мнение, что Эйлер-математик
был эмпирик, всецело полагавшийся на неполную индукцию. М. Я.
Выгодский писал: «... тогда, когда Эйлеру нужно установить какой-либо закон,
имеющий место для целочисленных значений аргумента, он поступает
не так, как поступил бы математик нашего времени. Он ограничивается
наблюдением этого закона для некоторого (притом довольно
небольшого) числа значений, подобно тому как естествоиспытатель
устанавливает всеобщий закон природы из конечного числа наблюдений». Так,
увидев, что закон образования коэффициентрв в формулах конечных
разностей до пятого порядка тот же, что в биноме Ньютона, Эйлер делает вывод

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТВОРЧЕСТВА
113
о тождестве этих коэффициентов для разности любого порядка. М. Я.
Выгодский заключает: «Не нужно думать, что Эйлер не дает в таких случаях
общего доказательства ввиду его трудности или, наоборот,
предоставляет проведение легкого доказательства читателю. Нет, для него самого
„неполная индукция" вполне убедительна» г).
Совершенно верно, что Эйлер, как и другие математики всех времен,
широко использовал индуктивные обобщения, нестрогие аналогии,
наблюдения над эмпирическим числовым материалом и т. п. Но при этом он
прекрасно понимал, что это — эвристические приемы, не имеющие сами
по себе доказательной силы. В одной из ранних работ по теории чисел
Эйлер писал по поводу предложений Ферма: «По-видимому, сам Ферма
пришел к большей части своих теорем посредством индукции, которая
представляет собой едва ли не единственный путь нахождения этих
положений. Однако я мог бы показать, как мало значения приходится
придавать индукции в этих вопросах», и Эйлер указывает на опровергнутое
им предложение, что все числа вида 22т + 1 простые. Эйлер добавляет:
«По указанной причине все такие свойства чисел, которые опираются
на одну только индукцию, я считаю недостоверными, пока они не будут
либо подкреплены аподиктическими доказательствами, либо вовсе
опровергнуты» 2). Это далеко не единственное высказывание Эйлера такого
рода 3). Я не буду пока входить в вопрос о том, насколько
удовлетворительны с нашей точки зрения многие доказательства, казавшиеся Эйлеру
строгими. Свободные переходы по аналогии из области конечного в область
бесконечного, применение формул без разбора условий, в которых они
имеют реальный смысл, и т. п. недостатки метода вывода Эйлера были
позднее подвергнуты критике, во многом правильной, кое в чем
односторонней. Но так или иначе, неполная индукция, вопреки мнению
М. Я. Выгодского, была для Эйлера не приемом точного математического
доказательства, но только средством математического поиска.
Эйлер оказал огромное влияние на все развитие математических
наук. Выдающийся французский ученый Лаплас не раз говорил молодым
математикам: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш общий учитель» 4).
И Эйлера читали все крупнейшие математики XIX века, щедро черпая
в его трудах и знания, и проблемы для собственных изысканий, и методы,
подлежащие дальнейшему совершенствованию. Особое значение имело
творчество Эйлера для науки в России. Мы увидим далее, что оно нашло
великолепное и оригинальное развитие у П. Л. Чебышева и его учеников.
г) Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, перев. и вступительная статья
М. Я. Выгодского, М.— Л., 1949, стр. 23.
2) L. Е и 1 е г i Opera omnia, ser. I, vol. II, стр. 33.
3) Подробнее см.: Д. П о и а, Математика и правдоподобные рассуждения.
Перев. И. А. Вайнштейна, под ред. С. А. Яновской, М., 1957; см. также
И. Г. Мельников, Леонард Эйлер о математической строгости. — Ист.-матем.
исслед., вып. XVII, 1966.
4) Так вспоминал лично знавший Лапласа итальянский математик Г. Либри.
См. Journal des savants, 1846, стр. 51.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Мы начнем разбор математического творчества Эйлера с бесконечных
рядов, которые очень быстро приобрели в его исследованиях совершенно
исключительное значение. Уже Ньютон и Лейбниц видели в бесконечных
рядах не только средство приближенных вычислений, но своего рода
универсальный ключ к задачам анализа, которые не удается решить
в конечной форме. Ряды оказались пригодными для вычисления корней
уравнений, не разрешающихся в радикалах, для представления
неэлементарных интегралов, интегрирования дифференциальных уравнений,
не выражающихся в квадратурах и т. д. Эйлер необычайно умножил
приложения бесконечных рядов, впервые приступил в широком масштабе
к исследованию с их помощью функций и внес в теорию рядов новые идеи
и методы, разработка которых продолжается до сих пор.
Интерполирование последовательностей и рядов; специальные
функции. Первые и сразу же замечательные успехи Эйлера были связаны
с интерполированием рядов и последовательностей. Выше говорилось
о поставленной Д. Бернулли задаче найти конечное выражение для
общего члена последовательности факториалов 1,1-2,1-2-3, . . . Эйлер
решил эту задачу, обратив, в некотором смысле, ход мыслей Валлиса.
Английский математик применил интерполирование к вычислению
данного определенного интеграла; Эйлер выразил общий член
последовательности #1, а2, . . ., аП1 ... некоторым определенным интегралом
ь
р {х, п) dx, зависящим от переменного параметра п и при п целом
а
и положительном совпадающим с ап. Работа на эту тему была готова еще
осенью 1729 г. и тут же представлена Петербургской Академии, но
увидела свет много позднее (САР V (1730—1731) 1738). Прежде всего Эйлер
выражает общий член последовательности п\ бесконечным произведением,
которое в несколько ином виде нашел и Д. Бернулли:
/j.2n 21~n-3n З1-71-^
1 + п 2 + п 3 + п "'
Затем, не задерживаясь на обосновании этого результата, которое Эйлер
доложил лишь в 1776 г. [NAP VII (1789) 1793], он переходит к главной
1
цели. Отправляясь от интеграла \ xv (1 — x)q dx, отдельные случаи
о
которого рассматривал Валлис и который при целых положительных

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 115
(P+q + lY.
р, q равен /п_^^_^ , Эйлер с помощью преобразований и предельных
i
переходов получил интеграл \ (—In х)п dx, при целом положительном п
о
равный п\ Именно этот интеграл, который он впоследствии иногда
обозначал [/г], Эйлер принял за общий член последовательности
факториалов; что п должно быть здесь больше —1, он указал позднее. Тут же
Эйлер приводит основное свойство функции [п], общее с обыкновенным
факториалом: [п + 1] = (п + 1) [п]. Сравнение найденного для [п]
произведения при п = у с валлисовым бесконечным произведением для —
дало, в частности, «конечное выражение» члена, промежуточного между
первым и вторым, именно Г у 1 = (у )! = -у- .
Учение о бесконечных последовательностях и произведениях
переплетается в данной работе Эйлера, как и во многих последующих, с
теорией специальных функций, начало которой было положено в нашей
Академии наук. Вслед за Лежандром (1809 и след.) мы зовем теперь
1
\ (—In х)п dx эйлеровым интегралом второго рода или гамма-функцией
о
1
Г (п + 1), а интеграл \ xv (1 — x)q dx, где/? > —1, q > —1, эйлеровым
о
интегралом первого рода или, по предложению Ж. Бине (1839), бета-
функцией В(р + 1, q + 1). Эйлер открыл многие свойства обоих классов
функций. Так, в письме к Гольдбаху от 4 июля 1744 г. он привел
разложения логарифмической производной гамма-функции
d In Г (х + 1) _ , я х х
dx ~" ~~У ~т~ 1 + ж + 2(2 + х)+Ъ(3 + х) + "'
И
dlnr<?+1) = -V + E(2)s-e(3)s» + S(4)a;8-...
dx
1
Здесь у — так называемая постоянная Эйлера, а ? (п) = ^ ^ ~ дзета-
функция, о которых говорится далее. В том же письме содержится
асимптотическое разложение логарифма гамма-функции
In
Г(х+1) = ±1п2л+(х+±)Ых-х+-±-
3-4-5-б.гЗ г 5.6-7-6^5
которое для целых положительных п было дано еще в 1730 г. Дж.
Стерлингом и А. де Муавром. Эти результаты Эйлер включил в
«Дифференциальное исчисление» *) (1755).
х) Где коэффициенты разложения In Г {х + 1) по степеням 1/х уже выражены*
явно через бернуллиевы числа И, SB, (?,..., о которых см. далее:
1 / 1 ^ 21 SB .
6яб

116
ГЛ. 7. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Эйлеру принадлежит и другое, более употребительное интегральное
оо
представление Г (п) = \е"ххп"1 dz (представл. 1781, опубл. 1794), а также
о
многие важные формулы, среди которых укажем лишь две:
Г (и) Г (1-л) = -^— и В(р, q) = V^)V{q}
[NCAP XVI (1771) 1772]. Его исследования были продолжены многими
отечественными и зарубежными математиками, в частности Н. Я. Сони-
ным. Интенсивная разработка учения о гамма-функции была связана
с ее большой ролью в анализе и теории чисел. Через Г (п) выражаются
многие суммы рядов, бесконечные произведения и определенные
интегралы; она тесно связана с другими специальными функциями —
цилиндрическими, дзета-функцией и проч.
Несколько работ [САР V, VI и др.] Эйлер посвятил интерполирова-
11 1
нию и исследованию гармонических рядов —1-"~тт+ л. 91 ~^~ • • •'
названных так лордом Броункером (1668) потому, что любые три
последовательные члена их образуют гармоническую пропорцию, т. е. ak-±: ak+i =
= (uft-i — ak) : (ak — ak+i). Расходимость ряда 1 + 1/2 + 1/3 + . . . была
доказана около 1350 г. Н. Оремом и три века спустя вновь открыта
П. Менголи (1650) и старшими братьями Бернулли (1689). Тот же Менголи
заметил связь гармонического ряда с логарифмами (1659). Вскоре (1668)
Н. Меркатор открыл знаменитое разложение
1п(1+ж) = ж —-у- + -| ...
В статье, напечатанной в Acta Eruditorum за 1720 г., Гольдбах установил,
П оо
чт0 у = у ZL—г не зная, что этот результат был известен еще Мен-
АЛ к *-* к (к-\-п)
k=l k=i
голи и Я. Бернулли. В 1729 г. гармонические ряды явились одним из
предметов переписки Гольдбаха с Д. Бернулли; здесь х) мы находим некоторые
1
1
оценки Д. Бернулли для суммы 2 Т ' а также изложение открытого его
т-{-п
младшим братом Иоганном II свойства величины ^ у стремиться при
i . 1 гп-\-п
постоянном т/п и тп + п —> оо к «асимптотическому числу» In .
Эйлер продвинулся значительно дальше своих друзей. С помощью
разложения Меркатора он выразил частную сумму гармонического ряда
в виде
п п п п
i k=l k=i fc=l
x) Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du
XVIII« siecle, t. II, стр. 252-253, 300-302.

ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА
117
П
ХП 1
При п~-> оо разность 2j "т.— 1П (и + 1) стремится к конечному пределу
именно упомянутой постоянной у, носящей теперь имя Эйлера. Так было
открыто важное асимптотическое равенствох)
i+-r+T+---+4—lnn+v-
С помощью формулы
Y—|-С(2)—^С(3)+4-С(4)---.
Эйлер вычислил у = 0,577 218 (вместо 0,577 215 7 . . . ).
Формула суммирования Эйлера. В начале тридцатых годов Эйлер
открыл формулу суммирования, связывающую частные суммы ряда
с интегралом и производными его общего члена. Эйлер доложил ее
Петербургской Академии летом 1732 г. и она была напечатана в т. VI «Записок»,
вышедшем в 1738 г.; к тому же результату независимо пришел не позднее
1738 г. Маклорен, опубликовавший его в 1742 г. Первоначально Эйлер
привел формулу без доказательства в виде
Р л , , л . 0 dt , dH , я dH . dH .
здесь s — сумма n первых членов ряда с общим членом t(n), s = t = 0
при тг = 0, а коэффициенты определяются рекуррентными соотношениями
__1_ р__^ L — JL — _Ё 5L_L_i- —о
а~ 2 ' |J— 2! 3! ~ 12 ' У~ 2! 3! + 4! ~~U'
s_jl P. _i_ з L_ L 8-o
(вообще, начиная с 7, коэффициенты через один равны нулю).
Через три года, осенью 1735 г., Эйлер сообщил вывод формулы
суммирования и показал первые замечательные ее приложения [САР VIII
п
(1736) 1741]. Он выразил с ее помощью степенные суммы Sm = 2А:7П
до т = 16 включительно, еще не зная, видимо, что эта задача была
решена ранее Я. Вернул ли (опубл. в 1713), а затем частную сумму гармониче-
п
ского ряда 2т » причем, положив к = 10, подсчитал постоянную ус 16-ю
верными знаками. Расходимость доставляемого при этом формулой
суммирования бесконечного ряда Эйлеру была ясна и он умело взял
подходящее для его цели число членов. В этой же статье он привел весьма точные
приближения для ? (2), ? (3) и ? (4). Однако в то время Эйлер еще не
заметил и, во всяком случае, не указал, что коэффициенты формулы сумми-
г) Говорят, что / (х) асимптотически равна ер (х) при х ->- х0 (где х0 может быть
/ (я)
бесконечным), и пишут / (х) ~ ф (я), если lim —^ = 1. Иными словами, ф (х) выра-
жает / (х) при х->х0 со сколь угодно малой относительной ошибкой lim , , У = 0.
х J \х)

118
ГЛ. 7. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
рования непосредственно связаны со входящими в разложения для
степенных сумм S2m числами Бернулли х) и на эту связь указал лишь в
«Дифференциальном исчислении», где формула записана в виде
21 dz Ъ d*z , (? d*z
S(z)= J *<**+_* + _.-?-
1-2-3.4 dx* ¦ 1.2-3.4.5.6 dx*
причем SI = B2, ® = — iS4, © = ?9, ...
Как показал Эйлер, с ростом индекса 2п абсолютные величины чисел
В2п неограниченно возрастают, притом быстрее, чем члены любой
возрастающей геометрической прогрессии [САР XI (1739) 1750]. Поэтому
ряд, входящий в правую часть формулы суммирования, вообще говоря,
расходится. Вместе с тем во многих случаях формула суммирования
является превосходным инструментом приближенных вычислений. Это
удивительное обстоятельство обнаружил еще Стирлинг, разложение
которого для In (п\) представляет собой частный случай формулы
суммирования. Эйлер, как мы видели, встретился с тем же фактом в работе,
напечатанной в т. VIII «Записок», как и в только что упомянутой статье
t
в т. XI, где он, отправляясь от интеграла arctg t= \ , ,ц 2 и его при-
b
ближенного выражения суммой
nt Tit , nt , nt
S = -
s + *a"r" ^2 + 4*2 ~r w2 + 9?2 -r • • • ~r ^24-722*2
(она получается при делении отрезка интегрирования на п равных частей),
выразил разность arctg 1 — s по формуле суммирования и нашел
представление
п
я хч п i 1 I в2 BQ Bi0
у,
4 ZJ п* + № ^ 4п^ 2-2-п* 23.6./гб ~ гМО-лЮ
Особенность этого представления сам Эйлер характеризовал следующим
образом: чем больше п, тем точнее получается значение зг, однако ряд
следует обрывать на подходящем месте, ибо он расходится, причем так
сильно, что даже ряд, возникающий при умножении /тг-ro члена на х ,
остается расходящимся, как бы мало ни было х. Взяв п = 5, Эйлер
вычислил п с 12-ю верными десятичными знаками; при этом он совершенно
правильно оборвал суммирование на члене, имеющем наименьшую
абсолютную величину.
Ряды, обладающие таким свойством, Лежандр назвал
полусходящимися, теперь их чаще именуют расходящимися асимптотическими
1) Я. Бернулли ввел числа, названные по его имени Муавром (1730) и Эйлером
п
(1755), как коэффициенты при первой степени п в выражениях для ?2771 =
k=l
Теперь числами Бернулли обычно зовут все числа, возникающие из символической
формулы (В + 1)т — Вт = 0 (В0 = 1; т = 2, 3, . . .), если после возведения
в степень заменить Вк на В^. Кроме В±=—^ все B2h+i = 0. Сам Я. Бернулли привел
111 15
первые пять чисел В2 = — , В4 = —— , В6= —,В8=— ^, Bi0 = —.

ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
119
рядами х). Эйлер оперировал ими с величайшим мастерством, хотя и не
располагал выражением остаточного члена формулы суммирования.
Формула суммирования Эйлера — Маклорена явилась в XIX—
XX вв. предметом многочисленных изысканий; вместе с числами Бернулли
она широко применяется в различных вопросах анализа, теории конечных
разностей и теории чисел. Строгое обоснование теории асимптотических
разложений, нашедших важные приложения и в небесной механике, дал
впервые в 1886 г. А. Пуанкаре2).
Дзета-функция. Необыкновенно красивые результаты принадлежат
оо
Эйлеру в исследовании так называемых обратных рядов 2 ш» гДе п —
целое, большее единицы, т. е. функции, которую мы, вслед за Б. Риманом
(1859), называем теперь дзета-функцией ? (п) 3). Вопрос о суммировании
ряда обратных квадратов ? (2) поставил Менголи (1659); Я. Бернулли
доказал, что этот ряд сходится (1689). В 1728—1729 гг. вопрос вновь
обсуждался в переписке Гольдбаха с Д. Бернулли и оба они
приближенно подсчитали ? (2), но не точнее, чем до 0,01. Год спустя Стирлинг
вычислил восемь верных десятичных знаков.
Не зная еще вычисления Стирлинга, Эйлер вначале также занялся
приближенным вычислением, найдя ? (2) = 1,644934 [САР V (1730—
1731) 1738]; затем, как упоминалось, он нашел более точные значения
С (2), ?(3) и ? (4),— первое из них с 20-ю знаками. Вскоре Эйлер
продвинулся гораздо дальше, установив, что для всех четных степеней
отношение ? (2п) : п2п рационально. Вот схема одного из рассуждений в
первой из статей Эйлера, посвященных этому вопросу [САР VII (1734—1735)
1740], Зная, что функция
sin х л х2 , х*
3! ^ 5!
'*) Говорят, что ряд V, —— есть асимптотическое разложение функции / (х)/
jLJ xh
оо П
и пишут / (х) ~ yj —?-, если разность rn (х) —f (х) — *S\ -А при любом фиксирован-
k=0 ft=i
ном n удовлетворяет условию lim xnrn (x) = 0. Иначе: при x -> оо разность rn (х)
ЭС->оо
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем —^; тем самым характеризуется
п оо
степень приближения к f (х), которое дает *S\ —— . Разумеется, всякий ряд V, —— ,
fe=0 k=0
сходящийся к / (х), есть ее асимптотическое разложение, но это разложение может
быть и расходящимся рядом.
2) В. В. Л и х и н, Теория функций и чисел Бернулли и ее развитие в трудах
отечественных математиков.— Ист.-матем. исслед., вып. XII, 1959; М. В. Ч и р и
ков, Из истории асимптотических рядов.— Там же, вып. XIII, 1960.
оо
й) Ряд J>j -j— , где z = x-\-yi, определяет ? (z) лишь при # > 1. Риман, который
&=1
впервые стал рассматривать ? (z) при мнимых значениях аргумента, распространил
ее определение как однозначной аналитической функции, на всю комплексную
плоскость (за исключением простого полюса z = 1).

120
ГЛ. 7. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Sin я
имеет нули (корни) ±я, ±2я, ±3я, . . ., Эйлер применяет к
бесконечному ряду, стоящему в правой части, способ разложения на множители
обыкновенного алгебраического многочлена. Это немедленно дает
разложение в бесконечное произведение
4 — — Л- — — — (\ ——\ [\ х2 \ (\ х2 \
1_3!+5! •••-^ П2) (,1~4я2 ) [г - 9^2-j ••'
Затем Эйлер применяет зависимости между суммами обратных степеней
корней алгебраических уравнений и их коэффициентами и таким образом
выводит, что
11 я2
? (2) = 1 + -^г" + "32" + • • • = "ё~ »
с(4)=1+4г+ж+••¦=¦?¦
и т. д. до ? (12). Другое, аналогичное рассуждение давало точно такие же
результаты. Однако Эйлер сознавал недостаточную надежность своих
выводов, которые были подвергнуты критике и его корреспондентами.
И. Бернулли указал, что нужно еще выяснить, являются ли числа вида
±тгя единственными нулями функции sin х. Д. Бернулли подверг
сомнению законность переноса на бесконечные степенные ряды свойств
конечных алгебраических многочленов. В т. VII Miscellanea Berolinensia (1743)
Эйлер предложил новый способ разложения —- в бесконечное
произведение, основываясь на открытой им перед тем зависимости между синусом
и показательной функцией:
sin х = ^ •
r^ „ sin х
оилер рассматривает как значение выражения
(<+#)4'-f)"
2xi
при п = оо. Последнее выражение он преобразует в произведение,
применяя разложение на множители двучлена вида zn — ап х). Переходя к
пределу при п = оо, Эйлер получил прежний результат.
Несколько ранее Эйлер установил, что отношение ? (2п) : я2п весьма
просто выражаются через коэффициенты формулы суммирования (САР XII
(1740) 1750). В «Дифференциальном исчислении» они записаны также-
с помощью чисел Бернулли. В наших обозначениях выражения для
? (2/г) таковы:
г/о \ ( — 1)п-12*п-1В2пл2п
Помимо
и ряды
С(2в)
, Эйлер
1 1
ЬУ
*1Ь).
(2/г)!
просуммировал ряды
Г +
1
/[71
1
' 32П
!
+ Г
1
42rt
1 ,
-3)" '
•+
1
5П
22п-1_
• • • = 2ъп-
1 1 !
1 (— iyi 1 '
-1
-1
• • ?
-?(2»)
х) Разложения двучленов я4 =F яп на действительные множители 1-й и 2-й степенш
впервые нашел ученик Ньютона Р. Котес (опубл. в 1722).

СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
121
суммы которых также равны пп с некоторым рациональным
коэффициентом. Однако все его попытки определить арифметическую природу сумм
рядов обратных нечетных степеней, т. е. ? (2п + 1) оказались тщетными.
Этот вопрос остается нерешенным по сей день.
В теории дзета-функции Эйлер получил и другие замечательные
результаты. Прежде всего, его имя носит знаменитое тождество
е<*)=2трг= П —А-
где бесконечное произведение справа распространено на все простые
числа р (САР IX (1737) 1744). С помощью этого тождества Эйлер
определил суммы новых рядов и произведений, а для ряда чисел, обратных
1 1 1 1
простым, -^- + ^ + -?-+---Н Ь •••> получил асимптотическое
равенство
2 4~ь.2 4-
1
из которого следует, что названный ряд расходится. Функция ? (п) и
тождество Эйлера стали впоследствии важнейшим средством исследования
проблем распределения простых чисел в натуральном ряде и
арифметических прогрессиях, особенно благодаря П. Л. Чебышеву и Б. Риману.
Чебышев же продолжил изучение сходимости рядов, члены которых суть
функции простых чисел.
Мы отметим еще одно открытие Эйлера в теории дзета-функции,
именно его вывод функционального уравнения
[1 —ги-^ + З^1—4n-i+... __ Г(га —1)! (2П —1) пп_
1_ J 1_ яп(2п-1 —1) C0S 2
2П Зп 4П
или, в другой записи,
? (1 _^) =_А- .COS-^- Г (72) I (П).
Этот результат был доложен Берлинской Академии в 1749 г.,
опубликован почти через 20 лет (Mem. Ac. Berlin, XVII (1761) 1768) и затем надолго
забыт. Риман вновь получил его и доказал в общем случае в 1859 г.,
и только в конце прошлого века заметили, что функциональное уравнение
Римана имелось еще у Эйлера. Эйлер пришел к своему открытию,
сравнивая суммы прямых и обратных степеней натурального ряда. На строгое
доказательство он не претендовал, но, проверив равенство для всех
целых п и некоторых дробных, пришел к убеждению в его
справедливости и для других действительных значений аргумента.
Суммирование расходящихся рядов. Весьма интересна эта проверка
Эйлера, в которой применяется суммирование расходящихся рядов.
Дело в том, что при целом п > 1 ряд в числителе левой части уравнения
Эйлера расходится. Выражаясь на современном языке, можно сказать,

122
ГЛ. 7. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
что Эйлер вычислил сумму такого расходящегося ряда, как предел
l_2^-i + 3n-1-4n-1+...= lim (l-2n-1x+3n-1x2+in'1x3 + ...)¦
х->1-0
Это дало ему
1 _ 271"1 + З""1 — 472-1 + ... = 2^—JL ^
1 п
н, в частности,
1 — 1 + 1 — 1+--- =4"» 1-22* + 32* — 42*+...=0,
l_22fc-i + 32*-i-42*-1+ ... =^=±ДаЛ.
Такие равенства многие современники Эйлера считали бессмысленными.
Как может быть, спрашивали они, 1—4 + 9 — 16+ . . . = О, если
частные суммы 1, —3, 6, —10, . . . чем дальше, тем больше и притом
неограниченно удаляются от нуля? Однако вычисление суммы ряда
лосредством указанного предельного перехода и вытекающие из него
парадоксальные равенства имеют совершенно точный смысл. Каковы же
были взгляды Эйлера на общие проблемы сходимости рядов?
Математики XVIII века, как и мы, различали сходящиеся ряды
п
^о + а>\ + • • • + ап + • • ¦» частные суммы которых sn = ^j ak при
п—> оо стремятся к конечному пределу, от расходящихся. Правда, тогда
нередко называли сходящимися все ряды, члены которых стремятся
к нулю, но эта нечеткость терминологии не имела еще решающего
значения. Главное было в том, что отсутствовала общая теория сходимости.
Чаще всего сходимость ряда определялась на глаз и точно так же
оценивалась погрешность приближения суммы сходящегося ряда какой-либо
его частной суммой. Только в редких случаях оценки обосновывались
с помощью точных неравенств, например, в отдельных вычислениях
Эйлера. Несколько известных достаточных критериев сходимости —
Лейбница, Даламбера (сформулированный не вполне корректно) и Макло-
рена — почти не применялись, как и высказанный Эйлером в связи
с изучением знакоположительных гармонических рядов необходимый
критерий
l\m(shn— sn) = 0,
где к — фиксированное целое, большее единицы [САР VII (1734—1735)
1740] г). Хотя для отдельных функциональных рядов была фактически
известна область сходимости, но само это понятие выделено не было.
Действия над рядами — умножение, деление, обращение,
дифференцирование и интегрирование — производили по тем же правилам, что и над
конечными многочленами, без каких-либо ограничений, полагая, что
все операции алгебры и анализа в обоих случаях управляются одними
х) Некоторые авторы полагают, что в написанном равенстве Эйлер трактует к
как пробегающее все натуральные значения 1, 2, 3, ..., и соответственно считают его
условие равносильным общему критерию сходимости Больцано — Коши (с оговоркой,
что Эйлер имел в виду лишь знакоположительные ряды). Ср. введение G. Faber
bL. Euleri Opera omnia, Ser. I, vol. 16—2, p. XIV. Однако ни формулировка
критерия у Эйлера (довольно нечеткая), ни примеры его употребления не дают оснований для
столь широкого толкования.

СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
123
и теми же законами. Все же поскольку из области аналитических
функций выходили редко и в конце концов разложения рассматривали в
интервале абсолютной сходимости, такой формальный подход обычно не
приводил к ошибкам.
В трактовке сходящихся рядов ученые XVIII века были почти
единодушны. Иначе обстояло дело с расходящимися рядами. П. Вариньон,
Д. Бернулли (в молодые годы), его кузен Н. Бернулли, Даламбер, Лаг-
ранж (в зрелом возрасте) отвергали расходящиеся ряды. По их мнению,
под суммой бесконечного ряда было допустимо понимать только
результат последовательного сложения его членов, т. е. предел частных сумм,
если он существует.
Однако уже Лейбниц пытался рационально истолковать равенство
1 — 1 + 1 — 1+ ... = 1/2, формально получающееся из разложения
7--j— = 1 — х + х2, — xs -f- ..., при х = 1. Доводы в пользу
расходящихся рядов, правда, не отличающиеся убедительностью, приводил
Гольдбах в письмах к Д. Бернулли 1724 г. Главным сторонником
применения расходящихся рядов выступил Эйлер, который разработал
некоторые общие принципы их теории и первые эффективные приемы
суммирования.
Убедившись на собственном опыте в полезности асимптотических
и иных расходящихся рядов, Эйлер поставил целью обосновать
законность их употребления. Эту задачу он считал возможным решить при
помощи естественного обобщения понятия суммы ряда. В самой
постановке вопроса он занял позицию, отличную от всех его современников.
Он не спрашивал подобно другим, что есть сумма 1 — 1 +1 — . . .,
как если бы такая сумма была некоей заранее данной вместе с рядом
сущностью. Он считал нужным выяснить, как надлежит,— если это
возможно и целесообразно,— определить понятие суммы для расходящихся
рядов. «Современному математику,— пишет Г. Харди,— и не придет
в голову, что какое-либо соединение математических символов может
иметь «смысл» до того, как ему придан смысл с помощью определения» *).
Подход Эйлера гораздо ближе к нашему, чем его осторожных
противников, хотя развитая им концепция и не безупречна с точки зрения
математики нашей эпохи.
Свои соображения Эйлер прежде всего изложил в письмах к
Николаю I Бернулли (1743), который выдвинул некоторые возражения,
и к Гольдбаху (1745), который выразил полное согласие, а затем в
«Дифференциальном исчислении». Эйлер отправляется от примера ряда, порож-
даемого функцией т—— при неограниченном делении. На каждом шагу
деления получается точное равенство
¦=1+х+ . . . +хп
1-х ~ " ' " ' * " ' ' ' 1-
т. е.
гп+1
При — 1 < я < 1 и п—> оо разность стремится к нулю и сумма
1 тт
ряда, понимаемая как предел частных сумм, равна j—— . Для остальных
г) Г. Харди, Расходящиеся ряды. Дерев. Д. А. Райкова, с пред. С. Б. Стечки-
на, М., 1951, стр. 19.

124
ГЛ. 7. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
значений х разность -j—— к нулю не стремится и ряд 1 + х -f- • • -
. . . -\-хп -\- . . . расходится. Далее Эйлер пишет следующее. Из того, что,
выполняя последовательное сложение членов, мы не имеем при|я[>1
п
приближения 2 ж* к какому-либо пределу, некоторые заключают, что
оо
в этом случае ряд 2 хк вовсе не имеет суммы. Однако, отказавшись от рас-
ходящихся рядов, мы лишились бы многих замечательных открытий,
которые удается произвести с их помощью. Вместе с тем непонятно, как
такие суммы, если они ложны, всегда приводят к правильным
результатам. «Развязать этот труднейший узел» и избежать «кажущихся
противоречий» можно, «если мы припишем слову «сумма» значение, отличное
от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного
ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот
ряд. В этом смысле у бесконечного ряда 1 -\- х -\- х2 -\- хъ -\- и т. д.
истинная его сумма будет равна -. , ибо этот ряд происходит из разложения
этой дроби, какое бы число ни подставлять вместо х. При этом
соглашении, если ряд будет сходящимся, новое определение слова сумма совпадет
с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в
собственном смысле слова, то из этого нового наименования не проистечет
никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить
выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься
от всяческих обвинений» х).
Таким образом, Эйлер накладывает на понятие обобщенной суммы
ряда требование, теперь называемое условием регулярности: обобщенная
сумма ряда должна, если ряд сходится, совпадать с его обыкновенной
суммой, т. е. пределом частных сумм. Все же эйлерово определение
обобщенной суммы, как «конечного выражения, из разложения которого
возникает этот ряд», связано с некоторыми трудностями. Еще Н. Бер-
нулли выразил сомнение: не может ли один и тот же ряд оказаться
разложением двух разных аналитических выражений, значения которых при
одинаковых аргументах не равны? В этом случае определение Эйлера
потеряло бы смысл. Эйлер был убежден, что всякий ряд порождается
одним-единственным выражением, хотя доказать этого и не мог. Теперь
мы знаем, что для степенных рядов, которые главным образом имел в виду
Эйлер, его утверждение, при правильном понимании, верно: сходящемуся
степенному ряду соответствует одна порождающая его аналитическая
функция. Несостоятельность некоторых указанных позднее примеров,
казалось бы, противоречащих сказанному, была правильно выяснена
еще Лагранжем. Однако для других рядов утверждение Эйлера, вообще
говоря, утрачивает силу и суммирование в указанном смысле уже не
удовлетворяет условию регулярности 2).
Понимание обобщенной суммы ряда, как порождающего этот ряд
конечного выражения, приобрело точный математический смысл в теории
функций комплексного переменного XIX столетия, на основе учения
К. Вейерштрасса об аналитическом продолжении. Если / (z) — функция,
аналитическая в области g, и существует функция F (z), аналитическая
в более широкой области G, а в g тождественно равная / (z), то F (z) назы-
г) Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, стр. 101.
2) Г. X а р д и, Расходящиеся ряды, гл. 1 и 2.

СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
125
вают аналитическим продолжением f(z). Аналитическое продолжение
обладает свойством единственности, поэтому естественно F(z) обозначать
просто f(z). Область g может лежать на действительной оси х, т. е. можно
говорить об аналитическом продолжении функций действительного
переменного на комплексную область. Так, степенной ряд 1 + х -f- х2 -f- . . .,
сходящийся к f(x) = -г—— в интервале (—1, -\-1) и вне этого интервала
на оси х расходящийся, имеет аналитическим продолжением на всю
плоскость комплексного переменного, исключая точку z = 1, функцию
f(z) = г——, совпадающую с / (х) в интервале (—1, +1). Таким образом,
эйлерова обобщенная сумма данного ряда есть в этом смысле не что иное,
как аналитическое продолжение его суммы в интервале (—1, +1).
Эйлеру принадлежат два регулярных метода суммирования. Один
яз них был упомянут в связи с функциональным уравнением дзета-функ-
оо оо
ции: обобщенная сумма ряда 2 ап определяется, как lim 2 akxki если
/е=0 эс-*1—О k=0
этот предел существует. Другой метод описан в гл. I части 2
«Дифференциального исчисления». Данный ряд
ах— Ьх2 + сх3 — dx* + • • •
с помощью подстановки х= .v__ преобразуется в другой,
ау — Аау2 + А2а • у3 — А3а • у* + . . .,
где у = ——,&Аа—Ь—а, А2а = с — 2Ь-\-а, A3a = d—Зс + ЗЬ — а и т. д.
суть разности последовательности чисел а, Ь, с, d, . . . При х=1 будет
у = 1/2 и в качестве суммы ряда
а—Ъ-\-с— d-\- . . .
Эйлер принимает сумму ряда
^¦а — -^-Аа + ^А2а — ^гА3а+ . ..,
если последний сходится. Этот метод позволяет преобразовывать медленно
сходящиеся ряды в другие, сходящиеся быстрее, а также суммировать
многие расходящиеся ряды. Вот два примера Эйлера. Для ряда 1 — 1 +
+ 1 — ... все разности равны нулю, и, значит, обобщенная сумма
равна 1/2. Для ряда 1 — 4-J-9 — 16 + • ¦ • первые разности суть
нечетные числа 3, 5, 7, . . ., вторая разность постоянно равна 2 и третья —
нулю, так что обобщенная сумма есть 1/2 — 3/4 + 2/8 = 0.
Даниил Вернул ли, в молодости отвергавший расходящиеся ряды,
позднее, вероятно, под влиянием Эйлера, также оценил их пользу,
сравнивая их при этом с мнимыми числами. В статье, напечатанной в XVI т.
«Новых записок» Петербургской Академии (1771 (1772)), он писал: «Если
мы применим это парадоксальное решение как промежуточное звено
для определения при помощи его других величин, значение которых
не подвергается никакому сомнению, то определенное нами значение явно
окажется правильным,— это будет совершенно так же, как в тех
случаях, когда вещественные количества получаются при помощи мнимых
количеств» х). Заслуживает внимания метод суммирования, примененный
х) См. статью В. И. Смирнова в кн.: Д. Б е р н у л л и, Гидродинамика, стр. 475.

126
ГЛ. 7. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
им к периодическим колеблющимся рядам У] ak, у которых при некотором
фиксированном р имеет место а0 + #i + #2 + ... + #p-i = 0 и при
любом /2 справедливо а^+р = ар. Обобщенную сумму такого ряда он
вычислял как предел среднего арифметического частных сумм, т. е. как
Km g°-»"** + ¦ • • -~Tsn ^ g специальном случае ряда 1 — 1 +1 — 1 -f- ...
этот способ, дающий опять-таки 1/2, употребил еще Лейбниц (1713).
Д. Бернулли признавал, что не в состоянии обосновать свой «принцип»
и подтверждал его полезность примерами. Более глубокое развитие этот
метод получил у вновь открывшего его Э. Чезаро (1890).
Разыскание условий, в которых правомерны обобщенные приемы
суммирования, было непосильно для математики XVIII века. Между тем
неограниченное применение расходящихся рядов порождало, особенно
в руках менее глубоких и осторожных ученых, ошибки. Даже у Эйлера
встречаются промахи. В упоминавшейся статье о вычислении числа зт,
содержащей столь тонкие мысли о полусходящихся рядах (САР XI (1739)
1750), Эйлер высказал утверждение, что сумма любой геометрической
прогрессии, продолженной в обе стороны, равна нулю, т. е. что всегда
оо —1 оо
П=—оо 71=—оо 71=0
В 1753 г. этот парадокс обсуждался в переписке Эйлера с Г.-В. Крафтомг
который, наоборот, полагал, что такая сумма бесконечно велика.
В ходе реформы оснований анализа, начавшейся на рубеже XVIII
и XIX вв., расходящиеся ряды были почти полностью исключены из
рассмотрения. На первое место выдвинулась разработка теории сходимости
рядов (Б. Больцано, О. Коши, Н. Абель и др.). Построение этой теории,
а также теории аналитических функций, явилось необходимой
предпосылкой современной теории суммирования расходящихся рядов. В конце
XIX века выяснилось, что изучение многих вопросов теории рядов
нуждается в обобщении методов суммирования и на этом пути были
получены замечательные результаты. Новая теория суммирования была
построена на гораздо более прочной основе, чем в XVIII веке, и в гораздо
более обширных размерах. Теперь расходящиеся ряды стали не только
сильным, но и вполне безопасным средством исследования. Это повлекло
за собой радикальный пересмотр господствовавшей десятки лет
отрицательной оценки идей и методов Эйлера. Вот что писал в 1826 г. Абель:
«Расходящиеся ряды суть целиком изобретение дьявола и это позор,
что на них решаются основывать какие-либо доказательства. Применяя
их, можно вывести все, что угодно, и именно они породили столько
неудач и парадоксов. Можно ли вообразить себе что либо более
возмутительное, чем утверждение, будто
0 = l_2n + 3n-4n+ и т. д.,
где п — целое положительное число. Risum teneatis, amici»1). А вот
высказывание, сделанное в той же связи Г. Харди в наше время: «Ошибочно
х) То есть удержитесь ли Вы от смеха, друзья? (слова Горация). См. W. A h-
rens, Scherz und Ernst in der Mathematik, Leipzig, 1904, S. 46.

СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
127
считать Эйлера «нестрогим» математиком, хотя его язык может иногда
показаться нестрогим на современный слух... Затруднения того времени
относительно расходящихся рядов возникали большей частью не из-за
какой-либо особой таинственности расходящихся рядов, как таковых,
но из-за несклонности давать формальные определения и недостаточности
тогдашней теории функций» 1).
Начала современной теории суммирования положили на рубеже XIX
и XX вв. ученые разных стран — итальянец Э. Чезаро, француз Э. Бо-
рель, наш математик Г. Ф. Вороной, венгр Л. Фейер и другие 2).
х) Г. X а р д и, Расходящиеся ряды, стр. 29—30.
2) По истории проблемы до начала XX века см. также Е. В о г е 1, Logons sur
les series divergentes, 2е ed., Paris, 1928.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ Л. ЭЙЛЕРА
«Введение в анализ бесконечных». Мы обратимся теперь к другим
исследованиям Эйлера по анализу, по возможности группируя изложение
вокруг трех фундаментальных трудов, в значительной части
подытоживших его достижения в этой области —«Введения в анализ бесконечных»,
«Дифференциального исчисления» и «Интегрального исчисления», к
которым можно было бы еще отнести более ранний «Метод изучения кривых
линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума». Эти
сочинения составили эпоху в развитии математики и ее преподавания. В них
впервые математический анализ был представлен как единая система.
Исключительно ясное изложение теории иллюстрировалось множеством
примеров. Главную особенность педагогического мастерства Эйлера
правильно подчеркнул еще один из его младших современников,
французский математик и социолог Ж. А. де Кондорсе. В похвальном слове,
произнесенном вскоре после кончины великого ученого, Кондорсе
заметил, что Эйлер предпочитал обучение своих учеников тому небольшому
удовлетворению, какое получил бы, изумляя их, и потому счел нужным
добавить к своим открытиям чистосердечное изложение идей, к ним его
приводивших х). Особенно ярко великий учительский талант Эйлера
проявился во «Введении в анализ», которое до сих пор остается одной
из наиболее увлекательных книг для начинающих изучать так
называемую высшую математику.
«Введение в анализ бесконечных» (Introductio in analysin infinito-
rum, t. I—II, Lausannae, 1748) 2) состоит из двух томов. Второй посвящен
аналитической геометрии и мы оставим его пока в стороне. Предметом
первого тома (рис. 24) служит в основном теория элементарных
функций, которые изучаются при помощи алгебры и разложений в степенные
ряды и произведения. При этом используются понятия бесконечно малой
и бесконечно большой величины, но их определения и свойства не
высказаны, многочисленные предельные переходы производятся без
теоретического обоснования и само слово «предел» здесь не встречается.
Цель «Введения» Эйлер охарактеризовал в следующих словах
предисловия: «Нередко мне приходилось замечать, что большая часть
трудностей, с которыми сталкиваются в анализе бесконечных изучающие
математику, возникает оттого, что, едва усвоив элементарную алгебру,
х) J.-A. de Gondorcet, Eloge de M. Euler, 1786 (переиздано в L. Euleri
Opera omnia, Ser. Ill, vol. 12, 1960).
2) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, изд. 2. Перев. Е. Л. Пацанов-
ского, Вступит, статья А. Шпайзера. Ред. перев. И. Б. Погребысский, М., 1961. Тоже,
т. II, перев. В. С. Гохмана. Ред. перев., вступит, статья и примечания И. Б. Погре-
бысского, М., 1961.

Рис. 24. Титульный лист первого тома «Введения в анализ бесконечных»
Л. Эйлера (Лозанна, 1748).

130
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
они направляют свои мысли к этому высокому искусству, вследствие
чего они не только как бы остаются стоять на пороге, но и составляют
себе превратные представления о том бесконечном, идея которого здесь
используется... Есть много вопросов, разрешение которых важно для
подготовки изучающих к более высокой науке и которые, однако, в
элементарной алгебре либо пропускаются, либо рассматриваются
недостаточно обстоятельно... Я старался не только пространнее и отчетливее,
чем обычно, изложить все, что, безусловно, требует анализ бесконечных,
но развил также довольно много вопросов, благодаря которым читатели
незаметно и как бы сверх ожидания могут освоиться с идеей
бесконечного. Много вопросов, разбираемых обычно в анализе бесконечных,
я здесь разрешил при помощи правил элементарной алгебры, чтобы
впоследствии тем лучше выявилась сущность того и другого метода» *).
В том же предисловии Эйлер впервые отчетливо определил предмет
анализа. «Весь анализ бесконечных,— говорится там,— вращается вокруг
переменных количеств и их функций» 2). Наш выдающийся историк
математики И. Ю. Тимченко правильно характеризовал заслугу Эйлера:
«До Эйлера математический анализ был лишь системой методов,
служивших для решения различных конкретных вопросов, системой слабой,
без прочной внутренней связи — самостоятельного абстрактного объекта.
Эйлер нашел такой объект в понятии о функции — великой идее
Лейбница и Бернулли и тем положил основание математического анализа как
отдельной науки» 3).
Понятие функции. С отдельными видами функций математика имела
фактически дело с глубокой древности. Астрономические таблицы
вавилонян, древних греков и индийцев могут служить примерами табличного
задания функций, а теорема о постоянстве отношения площадей круга
и квадрата на его диаметре или же античные определения конических
сечений — примерами словесного задания функции, причем сами эти
кривые выступали как геометрический образ соответствующей
зависимости. Однако древность не выработала общего понятия функции, которое
впервые возникло, хотя и в недостаточно четкой форме, на протяжении
XIV века в учении о широтах и долготах форм (Р. Суайнсхед, Н. Орем:
и др.).
В XVII веке идея функции становится доминирующей в
математическом естествознании и математике. Важнейшее значение имело при
этом введение нового способа задания функции при помощи формул,
предпосылкой чего явилось развитие алгебры и ее символики. У Декарта
(1637) понятие функции уже фигурирует в виде уравнений между х и г/,
ограничиваясь, впрочем, почти исключительно явными или неявными
алгебраическими зависимостями. Ньютон трактовал функцию, как
флюенту — текущую величину, аргументом которой является равномерно
текущая величина, подобная времени. Здесь сказалось влияние механики;
возможно, что и генетически механическая трактовка идеи функции
восходит к упомянутому учению о широтах и долготах форм. Иногда Ньютон
говорил о величинах соотнесенной и отнесенной, которым соответствуют
наши аргумент и функция. Область изучаемых функций в XVII веке
х) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. 1, стр. 19.
2) Там же.
3) И. Ю. Тимченко, Основания теории аналитических функций, ч. 1.
Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории
аналитических функций, Одесса, 1899, стр. 259.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
131
быстро растет. Нередко функции представляли под видом площадей
или квадратур кривых, иногда их задавали с помощью степенных рядов.
Слово функция х) ввел в 1673—1694 гг. Лейбниц, назвав так различные
отрезки, связанные с данной кривой, как, например, абсциссы и
ординаты ее точек, или отрезки касательных и нормалей.
В печати чисто арифметическое определение функции сформулировал
впервые И. Бернулли (1718): функция переменной величины есть
количество, составленное каким бы то ни было образом из этой переменной
и постоянных 2). В первой главе «Введения» Эйлер раскрывает
определение своего учителя с большей полнотой: «Функция переменного
количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом
из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»3).
Здесь особо подчеркнуто, что функции задаются посредством
аналитических выражений, формул. При этом Эйлер делает шаг вперед
принципиального значения, заявляя, что «переменное количество», т. е.
аргумент, «охватывает собой решительно все числа», даже мнимые 4). Тем
самым функции комплексного переменного были объявлены
равноправными с функциями действительного переменного.
Более точно объем приведенного определения функции одного
переменного раскрывается в дальнейших пояснениях Эйлера. Что значит
«аналитическое выражение?» Ответ вначале гласит, что функции
образуются с помощью алгебраических операций, а также трансцендентных
действий, которые мы теперь называем элементарными, и бесчисленных
других, доставляемых интегрированием. Классифицируя разные типы
функций, Эйлер выделяет функции алгебраические и трансцендентные,
алгебраические подразделяются на рациональные и иррациональные,
рациональные — на дробные и целые. Особо выделяются функции
однозначные и многозначные. Все это знакомые теперь вещи. Также знакомы
ныне каждому студенту втуза неявное и параметрическое (термина этого
у Эйлера не было) задание функций и обратные функции. Несколько
далее Эйлер заявляет, что общим средством аналитического выражения
функций служат степенные ряды
A + Bz + Cz2 + Dz3 + ...
Тут Эйлер ссылается на опыт математиков: если кто-нибудь сомневается
в сказанном, то «сомнение устранится самим разложением той или иной
функции». Но для совершенной общности следует допустить еще любые
другие показатели: «не будет никакого сомнения в том, что всякая
функция z может быть преобразована в такое бесконечное выражение
Az* + Bz$ + CzV + Dzb +
где показатели а, р, у, б и т. д. обозначают любые числа» 5).
г) Латинское fungor, functus sum буквально значит осуществлять, исполнять.
2) Впрочем, еще в 1697 г. И. Бернулли писал о «количестве X, составленном из х
и постоянных» (Acta Fruditorum, стр. 115), употребляя знак X, чтобы сразу было
видно, какое количество служит аргументом данной функции. В той же статье 1718 г.,
в которой И. Бернулли сформулировал приведенное в тексте определение функции,
он применил символ ух (Joh. Bernoulli, Opera, vol. II, Lausannae et Genevae,
1742, стр. 241—243). Обозначение / ( [-a J с употреблением скобок принадлежит
Эйлеру [GAP VII (1734-1735) 1740].
3) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, стр. 24. Слова «каким-либо
образом» было бы лучше передать: «каким бы то ни было образом» (quomodocunque).
4) Там же.
5) Там же, стр. 67.

132
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
Итак, аналитически выразимая по Эйлеру функция в нашей
терминологии оказывается функцией аналитической во всей области своего
определения, кроме, быть может, отдельных значений аргумента, для
которых она пред ставима обобщенным степенным рядом. Сам термин
«аналитическая функция» восходит к Лагранжу, который в конце
XVIII века сделал попытку доказать в общем случае выдвинутое
Эйлером утверждение, в справедливости которого не сомневались и другие
математики вплоть до Коши, опровергнувшего «доказательство» Лагранжа.
Однако Эйлер не ограничился, да и не мог ограничиться, одними
аналитическими функциями* Нужды математики и ее приложений (об этом
нам придется говорить позднее), требовали более широкой трактовки
понятия функциональной зависимости. Эйлеру это было известно еще
до выхода в свет тома I «Введения» и в его томе II понятие функции
берется в большем объеме. В начале тома II плоские кривые и вместе с ними
функции подразделяются на непрерывные (functiones continuae) и
прерывные (discontinuae). Эти термины Эйлер употребляет не в нашем смысле.
Непрерывной он называет линию, природа которой выражается одной
определенной функцией, одним аналитическим законом, а прерывная
или смешанная линия определяется, как составленная из частей
различных непрерывных кривых. Речь идет, таким образом, о непрерывности
или неизменности «закона» линии или функции. Так, две ветви
гиперболы у = — составляют одну непрерывную линию, подобно параболе или
эллипсу (пример Эйлера), между тем как сплошная линия, составленная
из полупрямой у =— х для x^Cl и полупрямой у = х для #> 1,
разрывна. В анализе, замечает Эйлер, рассматриваются главным образом
«непрерывные» линии. Геометрически непрерывные, сплошные линии Эйлер
именовал иногда связными. Если эйлеровы непрерывные и аналитически
выразимые функции соответствуют нашим аналитическим, то разрывные,
которые он называл также смешанными и неправильными, оказываются
кусочно-аналитическими.
Любопытно, что Эйлер весьма рано встретился с функциями, которые
заведомо не являются аналитическими, т. е. не пред ставимы бесконечным
степенным рядом, даже обобщенным, хотя могут быть записаны одной
формулой и в этом смысле «непрерывны». Такова функция у = (— 1)*,
о парадоксальных особенностях которой Эйлер писал еще в письме
к И. Бернулли от 5(16) ноября 1727 г. х), и о которой вновь идет речь
в томе II «Введения». График этой функции, определенной лишь для
т
рациональных чисел вида 9 , , , состоит из двух множеств дискретных
точек, всюду плотно покрывающих прямые у = =pl, однако так, что,
по выражению самого Эйлера, «никакие две из этих точек не являются
смежными» 2). Подобного рода «аномалии», нарушавшие установленные
схемы классификации, еще мало интересовали Эйлера и других
математиков XVIII века.
Определение функции как аналитического выражения является
во «Введении» основным. Вместе с тем, Эйлеру приходится с самого начала
книги рассуждать о функциях, аналитическое выражение которых
неизвестно, например, когда формулируются теоремы о существовании
обратной функции или функции, заданной параметрически (теперь мы знаем,
что обе теоремы справедливы только при некоторых ограничениях).
~ !) Bibliotheca mathematica, 3 Folge, Bd. 4, S. 346—348.
2) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. II, стр. 276.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
133
В последнем случае, как специально замечает Эйлер, функцию весьма
часто нельзя «из-за несовершенства алгебры» выразить явно, «тем не менее
эта взаимность функций имеет такой характер, как если бы все уравнения
могли быть решены» 1). Итак, функция может существовать и тогда, когда
аналитическое выражение ее неизвестно. С другой стороны, различные
аналитические выражения, вроде ]/rl-\-z2jrz и t , могут на деле
У 1 + Z2 — Z
представлять одну и ту же функцию 2). Во всех таких случаях под
функцией понимается соответствие между элементами двух числовых
множеств, независимо от способа задания соответствия и от того, удалось ли
его представить аналитически.
Разумеется, сама по себе идея соответствия не была новой, она
присутствует во всяком способе задания функции, но до Эйлера она не была
выделена в общей форме, Эйлер сделал это в «Дифференциальном
исчислении»: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом,
что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то
первые называются функциями вторых. Это наименование имеет
чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно
количество может определяться с помощью других» 3). Новое определение,
не ограничивавшее способа задания функций, раскрывало необходимый
простор для исследований, прежде всего самого Эйлера. В том же
«Дифференциальном исчислении» ему приходится иметь дело с
«непредставимыми функциями», аналитическое выражение которых заранее неизвестно
(хотя в конце концов они оказываются аналитическими). К этому
определению Эйлера восходят классические дефиниции Н. И. Лобачевского
(1834) и П. Лежен Дирихле (1837), которые мы находим и в теперешних
учебниках. Впрочем, Эйлер не вкладывал в свои слова тот почти
безбрежный смысл, который они приобрели в теории функций
действительного переменного конца XIX и начала XX вв. 4).
Первые главы «Введения» содержат сведения «о функциях вообще»
и их преобразованиях. Многие теоремы, среди них об обратной функции
и о параметрическом задании, не доказываются. Среди недоказанных
теорем находится и утверждение, что целая рациональная функция
принимает все значения, промежуточные между какими-либо двумя ее
значениями. Это предложение пытались затем доказать для функций
неопределенно широкого класса, а Б. Больцано действительно доказал
его для функций, непрерывных в нашем смысле (1817). Опираясь на это
свойство, Эйлер выводит теоремы о существовании действительного корня
у алгебраического уравнения нечетной степени и положительного и
отрицательного корней у уравнения четной степени с отрицательным
свободным членом. Тут же Эйлер утверждает, что всякая целая рациональная
функция может быть разложена на действительные множители первой
или второй степени и что мнимые корни такой функции встречаются
сопряженными парами; в то время Эйлер готовил работу об
основной теореме алгебры. Здесь эти предложения нужны для разложения
г) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, стр. 29.
2) Более того, можно показать, что функция, представимая одним аналитическим
выражением, имеет бесчисленное множество аналитических выражений.
3) Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, стр. 38. О понятии функции
у Эйлера см.: А. И. Маркушевич, Основные понятия математического анализа
и теории функций в трудах Эйлера.— В сб.: Леонард Эйлер, М., 1958.
4) Подробнее см.: А. П. Ю ш к е в и ч, О развитии понятия функции.— Ист.-
матем. исслед., вып. XVII, 1966.

134
ГЛ. 8, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
рациональной дроби в сумму простых. Среди преобразований упомя-
(, m
,_, ) п и V ах* -\-Ъх -\-с\ все это
применяется в интегральном исчислении.
Исследование элементарных функций. Далее Эйлер переходит к
бесконечным рядам и произведениям и их применению к теории элементарных
функций. Прежде всего раскладываются в рекуррентные ряды
рациональные функции и сообщается без вывода разложение в ряд любой
действительной степени бинома ь) и полинома. Впервые дается определение
логарифмической функции, как обратной для показательной функции ах,
причем а > 0. Тригонометрические функции рассматриваются только
в круге радиуса 1, т. е. как отвлеченные числа, и, опять-таки впервые,
вносится совершенная ясность в вопрос о знаках круговых функций
при любых действительных значениях аргумента. Формулы Муавра (1722)
даются в простой и удобной современной записи 2)
(cos х ± i sin х)п = cos пх ± i sin пх.
Доказательство проводится только для натурального п. Из формул
Муавра, переписанных в виде
(cos х + i sin х)п + (cos х — i sin x) n
cosnx = - ¦ '
smnx =
2
(cos x + i sin x)n — (cos x — i sin x}n
2i
при помощи теоремы о биноме и предельного перехода, в котором х
берется бесконечно малой, а п бесконечным, так чтобы z = хп оставалось
конечным (цри этом, как пишет Эйлер, sin х = х и cos х = 1), выводятся
известные разложения для cos z и sin z в степенные ряды. Из тех же
формул, учитывая, что (1± —] при п = оо есть e±ix, Эйлер выводит
знаменитые зависимости между круговыми функциями и показательной
COS z = ^ , sin z = -
2 ' 2*
или
e±iz _. cos z + I sin z%
Мы егце вернемся к этим формулам Эйлера несколько далее.
г) Впоследствии Эйлер предложил различные выводы теоремы о биноме, с точки
зрения XIX века нуждающиеся в уточнениях. Особенно интересно доказательство
в NCAP XIX (1774) 1775, основанное на рассмотрении функционального уравнения
Ф(а)ф(р) = ф(сс + (3) и более строго проведенное Коши (1821).
2) Сам Муавр писал:
1
4 Пу .
где х = cos В, I = cos А = cos пВ.
Обозначая "]/—1 = i, mbi следуем Эйлеру, который, впрочем ввел знак i для
мнимой единицы много позднее (1777, опублик. в 1794). Во «Введении» этот символ
обозначает бесконечность.

НАЧАЛА ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 135
В качестве примера разложений в бесконечные произведения
приведем изящные представления для гиперболических функций х)
shx=Jl_fL=xji (l + ^gy) ,
k=l
ch^ =
ex-\-e x y-r / . 4r2
11 V + (2k — 1)2я2 j
2 11 V ' (2k —1)2 я2
ft=i
Отсюда, полагая показатели мнимыми, Эйлер чрезвычайно просто вывел
разложения
оо оо
SinX = Z П (1-Щг) И С°" = П (*~ (2к-1)*п*) '
fc=l fe=l
первое из них нам уже встречалось.
Во «Введении» Эйлер учит также третьему важному приему
разложения функций — в бесконечные суммы простейших дробей, которые он
использовал и в более ранних работах, например,
= 1 . 1 , 1 . 1 1 ,
® х * х — я ' х-\-ы х — 2п*х-{-2к
Большое место отведено дзета-функции. В связи с разбором задачи
о том, сколькими различными способами данное целое число представимо,
как сумма данного количества неравных или равных слагаемых,
вводится ряд
2 (-!)** —=П (!-**)•
h=-oo k=l
Это — одна из так называемых тэта-функций, учение о которых развил
почти сто лет спустя (1840) К. Якоби, применивший тэта-функции в
теории эллиптических функций.
Специальная глава отведена непрерывным дробям, которые еще
ранее были предметом важных изысканий Эйлера и получили у него
многочисленные применения2). Здесь, в частности, показано
преобразование в непрерывные дроби различных бесконечных рядов. В другой
главе развит, как упоминалось, метод Бернулли решения алгебраических
уравнений. Все это, как и многое другое, нам придется оставить в стороне.
Первый том «Введения в анализ бесконечных» оказал большое
влияние на преподавание анализа в высшей школе и на учебную литературу,
сначала непосредственно, а затем через различные примыкавшие к нему
руководства, вроде замечательного «Курса алгебраического анализа»
О. Коши (1821).
Начала теории функций комплексного переменного. Мнимые и
комплексные числа 3) были открыты в середине XVI века в алгебре и первое
применение получили в исследовании кубических уравнений. В 1629 г.
г) Обозначения chz, sh х ввел в 1757 г. В. Риккати, сын Дж. Риккати.
Гиперболические функции были выделены в особый класс В. Риккати и И. Ламбертом (опублик.
в 1769 г.).
2) Подробнее см. А. Н. Хованский, Работы Л. Эйлера по теории цепных
дробей.— Ист.-матем. исслед., вып. X, 1957.
3) Термин nombre imaginaire — мнимое число принадлежит Декарту;
«комплексное количество» встречается в 1803 г. у Л. Карно, а «комплексное число»
ш 1831 г. у Гаусса; о «сопряженных» выражениях писал Коши (1821).

136
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
А. Жирар и в 1637 г. Декарт высказали основную теорему алгебры
в таком виде: всякое алгебраическое уравнение может иметь столько
корней, какова его степень, и если действительных корней меньше, то
недостающие корни модшо себе вообразить. Это означало, что многочлен
хп -\- а^х71-1 + . . . + ап разлагается в произведение п множителей вида
х — хк, где xk есть число действительное или мнимое. Долгое время была
неясно, какова природа мнимых корней, т. е. все ли они того же вида
а -\- Ы, что и корни квадратного уравнения?
Занимаясь интегрированием рациональных функций, Лейбниц
и И. Бернулли ввели мнимые числа в анализ. Интегрирование такой
функции основано на ее разложении в сумму простых дробей. Лейбниц
(1702) поставил вопрос: всегда ли интеграл рациональной функции
выражается в логарифмах и арктангенсах (не считая рациональных функций)
или, как он говорил сам, в квадратурах гиперболы и круга? Ответ зависел
от того, всякий ли алгебраический многочлен с действительными
коэффициентами разлагается на действительные линейные и квадратичные
множители? Лейбниц ответил отрицательно. Уже для простого случая
многочлена я4 + а4 он не нашел такого разложения. Получив
х* + а4 = (х2 + аЧ) (х2 — аЧ) =
= (х + а Уъ) (х — а У г) (х + а У — i) (х — а У — i)
он высказал мнение, что правую часть невозможно представить как
произведение двух действительных квадратичных множителей. На
самом деле
(х ±а>УГ)(х ±о>У—i) = x2 ±У2ах-{-а2, так как "]/"& +У—г = ]/"2.
Этого Лейбниц не знал, несложное же преобразование
х* + а4 = (х2 + а2)2 — 2а2х2 = (х2 + У2ах + а2) (х2 — У2ах + а2)
он упустил из вида по случайному недосмотру. Как бы то ни было,
Лейбниц пришел к заключению, что область мнимых корней уравнений вовсе
не ограничена числами вида а -\- Ы.
Интегрирование рациональных функций привело также к вопросу
о природе логарифмов отрицательных и комплексных чисел. Что следует
понимать под \ —г, когда я-<0? Было известно, что при х > 0 интеграл
выражается логарифмом, но в толковании случая х < 0 Лейбниц и И.
Бернулли разошлись.
И. Бернулли сделал первый важный шаг в учении об элементарных
трансцендентных функциях комплексного переменного. Преобразовав
дифференциал арктангенса в сумму двух логарифмических
дифференциалов
dx _ 1 dx ,( 1 dx
а2-\-х2 ~~ 2а a-\-xi~r 2а а — xi '
он заключил (1703), что мнимые логарифмы заменяют собой
действительные круговые секторы; в пояснение И. Бернулли указал, что при сложении
мнимые величины здесь взаимно уничтожаются и сумма их оказывается
действительной 1). Однако он не развил эту замечательную идею. В 1712—
1713 гг. в полемике с Лейбницем И. Бернулли утверждал, что логарифмы
х) J oh. Bernoulli Opera omnia, vol. I, Lausannae et Genevae, 1742,
стр. 399—400.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
137
отрицательных чисел действительны и log (— а) = log (+а). Лейбниц
полагал, что такие логарифмы мнимы, не уточняя, в каком смысле.
Эйлер начал обсуждение проблемы в переписке с И. Бернулли 1727—
1728 гг. В ответ на совершенно точное эйлерово описание графика
функции у =(— 1)х, о котором говорилось выше, И. Бернулли заявил, что
у = (— 1)* = 1, так как log у = х log (— 1), a log (— 1) = log (1) =
= 0; вообще log (— х) = log х, поскольку d log (— х) = d log х, Эйлер
10/21 декабря 1728 г. возразил, что из последнего равенства следует лишьг
что log (— х) = log х -f- Const, где Const = log (— 1), между тем
допущение log (— 1) = log 1 = 0 ведет к противоречию. Используя метод
самого Бернулли «для приведения квадратуры круга к логарифмам»,
Эйлер вывел в других обозначениях формулу
1 -, cosz+tsinz
# = -777- Ш Ч— ,
2i cos х — isini
а из нее при х = -^- получил In (— 1) = яг. Попытки И. Бернулли
согласовать эти выводы, сделанные при помощи его же метода, с равенством
log (—х) = log х были неясны и неудовлетворительны1). Эйлер
продолжал следовать правильному пути.
Только что написанная формула, по существу, содержит в себе
знаменитые формулы Эйлера, связывающие между собой синус, косинус
и показательную функцию, однако в явном виде он пришел к ним
позднее 2). Несомненно, что Эйлер ими владел в 1739—1740 гг. Они
применяются в указанной ранее работе, посвященной ? (2п) и представленной
Петербургской Академии осенью 1739 г. (но напечатанной лишь в XII т.
«Записок» в 1750 г.). Вскоре затем, 18 октября 1740 г. Эйлер писал И.
Бернулли, что 2cos х и ехг -\- е~хг раскладываются в один и тот же ряд и
потому представляют собой фактически одно и то же решение некоторого
линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами 3). В печати формулы Эйлера появились прежде всего в также
упоминавшейся ранее статье в т. VII Miscellanea Berolinensia, 1743, а широкую
известность приобрели благодаря «Введению в анализ бесконечных».
В сороковые годы Эйлер, а также Даламбер, завершили в главном
создание начал теории элементарных функций комплексного переменного.
Важным результатом было установление того факта, что мнимые
величины алгебры и анализа всегда имеют вид а + Ы.
Основная теорема алгебры. 1 сентября 1742 г. в письме к Н. Бернулли
Эйлер впервые высказал основную теорему алгебры вполне отчетливое
всякий алгебраический многочлен любой степени с действительными
коэффициентами разлагается на действительные же множители 1-й и 2-й
степени, иными словами, корни многочлена, число которых равно его
степени, суть действительные или мнимые числа вида а + Ы. Правда,
добавлял Эйлер, он еще не располагает полным доказательством этой теоремы,
столь полезной и для анализа. Вскоре, 15 декабря, он оповестил о своем
открытии Гольдбаха. Характерно, что первоначально оба корреспондента
Эйлера усомнились в теореме и постарались подобрать примеры, ее
опровергающие. Лишь после разъяснений Эйлера они признали свои ошибки,
х) Bibliotheca mathematica, 3 Folge, В. 4, стр. 348—361.
2) Р. Котес обнародовал равенство In (cos х + ъ sins) = ъх еще в 1716 г., но у него
это равенство упоминается мимоходом и не получило ни развития, ни применения..
3) Bibliotheca mathematica, 3 Folge, В. 6, стр 76—77.

138
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
-аналогичные допущенной Лейбницем. Теорема была опубликована
б статье Эйлера в т. VII Miscellanea Berolinensia, 1743, посвященной
жнтегрированию линейных однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами при помощи алгебраического уравнения,
которое теперь называют характеристическим 1).
Доказательство основной теоремы алгебры Эйлер нашел,
по-видимому, через несколько лет: он представил его Берлинской Академии 10
ноября 1746 г., а появилось оно в Mem. Ac. Berlin V (1749) 1751. Тремя
годами ранее, в томе II того же издания (1746) 1748 было напечатано
доказательство теоремы, предложенное Даламбером. По своему характеру эти
два доказательства существенно различны. В то время как вывод Далам-
бера чисто аналитический, у Эйлера он в большой своей части
алгебраический, хотя и опирается на аналитические теоремы о корнях уравнений
нечетной степени и четной степени с отрицательным свободным членом,
о которых говорилось раньше. Обе работы содержали чрезвычайно
глубокие и плодотворные идеи, обе недостаточно строги с точки зрения
позднейшей математики, и оба доказательства были впоследствии
усовершенствованы крупнейшими математиками XIX века 2).
Логарифмическая функция. Статья Эйлера заканчивается теоремами,
ъ которых показано, что все алгебраические и основные трансцендентные
действия над комплексными числами порождают снова комплексные
числа. С утверждением, что любая функция величины х + iy есть также
комплексная величина р + iq, выступил в своей статье и Даламбер.
Однако в учении о логарифмах знаменитые математики разошлись. В
переписке с Эйлером 1747—1748 гг. Даламбер, подобно И. Бернулли, отстаивал
мнение, что log (— а) = log (+ а). Эйлер решительно оспаривал эту
точку зрения и развил полную теорию логарифмической функции
комплексного переменного, которая вошла, с некоторыми изменениями в
деталях изложения, в математику. Соответствующий мемуар Эйлера появился
в том же V томе записок Берлинской Академии.
Уже говорилось, что Эйлер определил логарифмическую функцию
как функцию, обратную показательной, т. е. у = In х, если х = еу,
причем х ф0. Комплексное число а + Ы Эйлер представляет в знакомой
теперь каждому школьнику тригонометрической форме а + Ы = с (cos ср+
+ i sin ф), где модуль с, термин, введенный в 1814—1815 гг. Ж. Арганом,
есть + У а2 + б2, cos ф = — , sin ср = —. Если с = ес, то In (а + Ы) =
= С + In (cos ф + i sin ф). Пусть cos ф + i sin ф = еи, т. е. и =
= In (cos ф + i sin ф). Записывая cos ф + isin ф в виде е®1= (l + -^-J
(и \п
1 -| ] , где п — бесконечно большая
величина, Эйлер получил двучленное уравнение бесконечно высокой степени
(* + v)"-(*+-?-)*-o.
бесконечное множество корней которого обнимается формулой
и = In (cos ф + i sin ф) = (ф ± 2%ri) i,
г) Leonhard Euler und Christian Goldbacn. Briefwechsel. 1729—1764,
S. 130—132.
2) И. Г.. Б а ш м а к о в а, О доказательстве основной теоремы алгебры.— Ист.-
матем. исслед., вып. X, 1957.

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
139
тде X может принимать все значения 0, 1, 2, 3, ... Поэтому
ln.(a + bi) = C + (y±2Xn)i, Л = 0, 1, 2, 3, ...
Таким образом, логарифм всякого отличного от нуля числа имеет
бесконечное множество значений. Среди значений логарифма любого
положительного числа есть одно действительное, другие же все мнимы;
логарифмы остальных чисел имеют только мнимые значения.
Новые приложения комплексных чисел. Эйлер не ограничился
разработкой учения об элементарных аналитических функциях комплексного
переменного. Ему, как и Даламберу, принадлежат новые приложения
комплексных величин в анализе, механике и геометрии, а также ряд
результатов весьма общего характера.
В 1752 г. Даламбер впервые применил комплексные величины в
гидромеханике. Исследуя установившееся плоское движение несжимаемой
жидкости, он получил, что слагающие скорости частицы потока и и v,
параллельные осям координат х и z/, удовлетворяют системе уравнений
с частными производными
f)u ди ди ди
dx ду ' ду дх
Решение этой системы он выразил при помощи двух произвольных
функций комплексного переменного, неявно предполагаемых аналитическими.
В гидродинамических работах 1755—1757 гг. Эйлер развил метод Далам-
бера далее и у него уже появились две важные величины, которые позднее
получили название потенциала скоростей и силовой функции. В одной
пз этих работ [Mem. Ac. Berlin XI (1755) 1757] Эйлер записал
составляющие скорости в виде
тде ф и г|) — произвольные функции, удовлетворяющие условию, что при
замене аргумента на комплексно сопряженный они сами принимают
комплексно сопряженные значения. Это означает, что рассматриваемые
Эйлером аналитические функции действительны на действительной оси.
Конформные отображения. Методы интегрирования уравнений
с частными производными, развитые в гидродинамике, оказались
полезными при изучение проблемы ортогональных траекторий, занимавшей
Эйлера еще в юности. Посредством функций комплексного переменного
Эйлер преобразует одни пары семейств ортогональных траекторий
в другие сначала в общем виде, а затем рассматривает некоторые частные
случаи [NCAP XIV (1769) 1770]. Так, например, ортогональные семейства
прямых переводятся с помощью целых многочленов в семейства
алгебраических кривых, а посредством дробно-линейной функции — в семейства
окружностей (или прямых). Такие отображения конформны, но в данной
работе Эйлер еще не подчеркнул это важное свойство, которое вскоре
выступило на передний план в его работах по картографии.
Начало общей теории картографических проекций положили в
течение немногих лет, с 1772 по 1779 г., Ламберт, Эйлер и Лагранж, причем
Эйлеру принадлежит заслуга употребления здесь аналитических функций.

140
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
В первой из своих трех статей по картографии [АР (1777 : 1) 1778] *)
Эйлер прежде всего доказывает невозможность конгруентного
отображения части сферической поверхности на плоскость. Затем он решает двумя:
способами задачу об отображении, при котором «малейшие» части земной
поверхности представляются на карте подобными им фигурами. Излагая
второй способ, он показывает, что такое отображение может быть
произведено посредством произвольной аналитической функции комплексного
переменного. В качестве примеров Эйлер рассмотрел ряд важных
употребительных проекций и, в частности, использовал круговое свойство
дробно-линейного преобразования, которое всегда отображает
окружности в окружности же (прямая считается окружностью бесконечно
большого радиуса). В последней статье Эйлер специально разобрал
достоинства и недостатки карты Российской империи, выполненной в конической
проекции французского астронома Ж. Н. Делиля, состоявшего в 1725—
1747 гг. членом Петербургской Академии.
Картографические работы Эйлера были продолжены многими
учеными, в том числе П. Л. Чебышевым и Д. А. Граве. Мы отметим пока статьи
академика Ф. И. Шуберта о проектировании на плоскость поверхности
эллипсоида вращения, в одной из которых появилось и выражение рго-
jectio conformis, конформная проекция [NAP V (1787) 1789].
Впоследствии учение о конформных отображениях выросло в один из главных
отделов теории аналитических функций и получило чрезвычайно важные
приложения в механике жидкостей и газов, теории упругости,
электростатике и т. д., а также в технике. Здесь весьма значительны достижения
советской научной школы, первыми руководителями которой были
Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин.
Вычисление определенных интегралов и уравнения Даламбера —
Эйлера. В те же семидесятые годы Эйлер открыл еще одну область
применения функций комплексного переменного: вычисление определенных
интегралов. Принципы и первые примеры нового метода интегрирования
изложены в двух статьях Эйлера, доложенных нашей Академии весной
1777 г., но напечатанных лишь посмертно [NAP VII (1789) 1793 и X (1792)
1797]. Успехи теории мнимых, подчеркивал Эйлер, основаны главным
образом на том свойстве функций комплексного переменного, что при
замене значения аргумента на сопряженное меняется на сопряженное
и значение функции. Выше было отмечено, что Эйлер рассматривал именно
такие функции. Сам способ интегрирования состоит в следующем. В
интеграле \ / (z) dz = F (z) производится подстановка z = х ± yi\ если
/ (х ± у г) = и ЧЬ vi и F (х ± yi) = U ± Vi, то сравнение
действительных и мнимых частей содержащего интеграл равенства приводит к двум
новым интегральным соотношениям:
U=\udx — vdy и "Р= \ vdx-\-udy.
Из этих равенств Эйлер извлекает важное теоретическое заключение.
Чтобы выражения v dx + и dy и и dx — v dy были интегрируемы,
требуется выполнение условий
ди _ dv ди __ dv
дх ду ' ду дх '
г) Все три опубликованы на русском языке в кн.: Л. Эйлер, Избранные
картографические статьи, перев. Н. Ф. Булаевского, под ред. Г. В. Багратуни, М., 1959.

ПРОБЛЕМА ИНТЕРПРЕТАЦИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 141
т. е. условий полного дифференциала [которые Эйлер привел еще в одной
статье в САР VII (1734—1735) 1740]. Тем самым Эйлер впервые выявил
общим образом, что действительная и мнимая части произвольной
(аналитической) функции и + vi удовлетворяют тем двум уравнениям,
которые встретились ему и, несколько раньше, Даламберу при решении
задач гидромеханики. Это свойство функций комплексного переменного
Эйлер справедливо назвал замечательным. Однако глубокое
теоретическое значение уравнений Даламбера — Эйлера выяснилось только в общей
теории аналитических функций Коши и Римана, по именам которых
чаще всего их и называют. Эйлер вывел эти условия, как необходимое
свойство функций комплексного переменного, недостаточно строго
и к тому же недостаточно определенно трактуя само понятие
аналитической функции. У Коши и Римана те же условия оказываются не только
необходимыми, но и достаточными (при некоторых дополнительных
требованиях) для аналитичности функции; вместе с тем действительная и
мнимая части функции оказываются сопряженными гармоническими
функциями. При этом однозначная функция, по определению, называется
аналитической в некоторой области, если она во всех точках этой области
дифференцируема. Функция, аналитическая в смысле Коши и Римана,
разлагается в некоторой окрестности каждой точки области
аналитичности в степенной ряд, т. е. является аналитической и в смысле Эйлера.
С помощью своего метода Эйлер вычислил несколько трудных
несобственных интегралов для случаев, когда первообразные не выражаются
в элементарных функциях. Примеры такого рода нам еще встретятся,
пока же мы ограничимся упоминанием, что эти работы Эйлера (и почти
одновременные — Лапласа) повлекли за собой классические
исследования об интегрировании в комплексной области Гаусса, Пуассона и,
особенно, Коши, в которых было разработано центральное понятие о
криволинейном интеграле, взятом вдоль кривой на комплексной плоскости,
у Эйлера еще отсутствовавшее.
Таким образом, Эйлеру принадлежит открытие столь
фундаментальных общих свойств класса аналитических функций, как выполнение
для них уравнений Коши — Римана и конформность производимых
посредством них отображений. Если к этому добавить пионерские
исследования Эйлера по интегрированию, фактическое применение
аналитического продолжения, его разложения в степенные ряды, бесконечные
произведения и суммы простых дробей и т. д., то ясной становится
огромная роль работ великого математика в подготовке общей теории
аналитических функций, многие идеи и методы которой явились прямым
развитием заложенных им начал.
Проблема интерпретации комплексных чисел. Новые успехи теории
функций комплексного переменного в XIX веке были тесно связаны
с уточнением основных понятий и приемов математического анализа
в действительной области и тех особенностей, которые возникают при их
переносе в комплексную область. Существенную роль сыграло
геометрическое истолкование мнимых и комплексных чисел. В XVII и XVIII вв.
эти числа рассматривали как вспомогательные символы, удобные и даже
необходимые в исследовании, но представляющие собой чистейшие
фикции. Правда, еще Валлис в конце XVII века пытался дать
геометрическое истолкование мнимых величин и аналогичную попытку предпринял
немецкий математик Г. Кюн в NCAP III (1750—1751) 1753. Примитивная
и путаная трактовка Кюна, в которой чисто мнимое число выступает

142
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
в качестве стороны квадрата с отрицательной площадью, а операции
над мнимостями вовсе не изучены, успеха не имела. Эйлер резко возражал
против нее. Для Эйлера мнимое число как таковое не име^хо реального
смысла, который присущ лишь его действительной части и коэффициенту
в мнимой части, взятым по отдельности. Разумеется, в работах по
гидродинамике и геометрии Эйлер переходил от комплексного числа z = х + yi
к точке М (х, у) и обратно, и в этом была уже некоторая основа для
геометрического истолкования. Но для Эйлера здесь речь шла не о
сопоставлении комплексного числа z с точкой М, но действительных чисел
х, у с ее координатами. Точно так же содержалась в скрытом виде
возможность геометрической интерпретации и в применявшейся Эйлером
тригонометрической форме комплексного числа z = г (cos ф + i sin ф).
В позднейшие годы жизни Эйлер, по-видимому, несколько ближе подошел
к мысли о геометрическом изображении мнимостей *). Однако
полноценная интерпретация должна включать истолкование операций, а этой
мысли у Эйлера мы не находим. Современная геометрическая модель
комплексных чисел была независимо предложена на рубеже XVIII
и XIX вв. несколькими учеными — датчанином К. Весселем в 1799 г.,
французом Ж. Арганом в 1806 г., Гауссом и другими.
Основания дифференциального исчисления. Через несколько лет
после издания «Введения в анализ бесконечных» Эйлер опубликовал
продолжение курса —«Дифференциальное исчисление» (Institutiones
calculi differentialis), которое он начал писать еще в Петербурге, но
закончил в Берлине, где оно и вышло в 1755 г. на средства Петербургской
Академии. Мы прежде всего остановимся на проблемах обоснования
математического анализа.
Лейбниц и его ученики строили дифференциальное исчисление на
принципе пренебрежения бесконечно малыми слагаемыми в сравнении с
конечными и бесконечно малыми высшего порядка в сравнении с величинами
более низкого порядка. Дифференциалы трактовались при этом как
бесконечно малые приращения, как разности двух ближайших друг к другу
значений какой-либо величины. Так, для вычисления дифференциала
функции у = х2 в уравнении
dy = Ay = (x-\- dx)2 ¦—xz = 2xdx-\- dx2
пренебрегали членом dx2 и получали dy = 2х dx. С современной точкж
зрения, если dy есть знак приращения г/, то уравнение dy = 2х dx
неточное. Если dy есть знак дифференциала, то это уравнение точное, но зато
неточно уравнение dy = 2х dx + dx2.
Первый учебник дифференциального исчисления, составленный
в 1691—1692 гг. И. Бернулли, открывается тремя постулатами:
1° Величина, уменьшающаяся или увеличивающаяся на бесконечно
меньшую, чем она, величину, не уменьшается и не увеличивается.
2° Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых,
которые сами бесконечно малы.
*) И. Ю. Тимченко, цит. соч., стр. 644. О работах Л. Эйлера по
аналитическим функциям, помимо труда И. Ю. Тимченко, см. А. И. Маркушевич,
Очерки по истории теории аналитических функций, М.— Л., 1951; С. Е. Б е л о з е р о в,
Основные этапы равития общей теории аналитических функций, Ростов-на-Донуv
1962.

ОСНОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
143
3° Фигура, содержащаяся между двумя ординатами, разностью
абсцисс и бесконечно малой частью любой кривой, рассматривается
как параллелограмм х).
Последний постулат относится собственно к интегральному
исчислению. Под интегралом в школе Лейбница понимали прежде всего сумму
бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов, т. е.
определенный интеграл. Вместе с тем, при вычислении интегралов пользовались,
когда это удавалось, взаимно обратной зависимостью между
дифференцированием и интегрированием, т. е., говоря по-нашему, находили
определенный интеграл как разность значений неопределенного интеграла
при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Приведенные постулаты и понятия вызывали немало сомнений и
возражений. Что такое бесконечно малая величина? Если она отлична от
нуля, то первый постулат несовместим с арифметическими свойствами
равенства величин. Непонятно, далее, как с помощью неточного
постулата получаются результаты, истинность которых во многих случаях
может быть строго подтверждена при помощи других приемов. А при
понимании бесконечно малой как нуля возникают другие трудности.
Все нули одинаковы, так что 0:0 = 1 и любые отношения бесконечно
малых, играющие главную роль в дифференциальном исчислении, также
сводятся к единице. Кроме того, ицтеграл оказывается суммой нулей,
а значит, нулем, и т. д.
Лейбниц в разное время обосновывал принцип отбрасывания
бесконечно малых и дифференциальное исчисление различными способами.
Мы находим у него и толкование бесконечно малых как просто крайне
малых величин, и замечание, что это актуально бесконечно малые
величины, не удовлетворяющие так называемой теперь аксиоме Архимеда.
В первом мемуаре по дифференциальному исчислению (1684) он ввел
дифференциал величины у как отрезок dy, удовлетворяющий равенству
7 ydx « „7
ау = -— , где St — подкасательная кривой с ординатой у и ах — про-
извольный отрезок абсциссы. Однако при вычислении и употреблении
дифференциалов следует исходить из того, что dy пропорционален
«мгновенному» приращению величины у. В других случаях Лейбниц ссылался
на то, что все результаты, получаемые с помощью бесконечно малых,
можно, независимо от природы последних, доказать с помощью
безупречного метода исчерпывания древних геометров. Он развивал также мысль,
что в математике действует своеобразный «закон непрерывности»,
лежащий в основании всех предельных переходов 2).
Для Ньютона и его последователей главными понятиями были
флюента — текущая переменная величина и ее флюксия, скорость ее течения
или изменения, т. е. наша производная, по отношению к которой флюента
есть неопределенный интеграл или первообразная. Наряду с флюксией
основным рабочим понятием был момент —«мгновенное приращение»,
«едва едва зарождающееся начало» текущей величины. В практике
вычислений момент не отличался от бесконечно малого дифференциала
г) Этот учебник, широко использованный Г. Ф. Лопиталем при написании
первого печатного руководства по дифференциальному исчислению: Analyse des infiniments
petits pour l/intelligence des lignes courbes (Paris 1696), увидел свет только в XX веке.
См. J. Bernoulli, Die Differentialrechnung, nsg. von P. Schaiheitlin,
Leipzig, 1924.
2) А. П. Юшкевич, Лейбниц и основание исчисления бесконечно малых.—
УМН, 3 : 1 (23), 1948, стр. 162, 187-196.

144
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
Лейбница. Однако Ньютон высказывался осторожнее. Флюксии,— писал
он,— относятся почти как приращения флюент за «крайне малые» и
равные приращения времени1), а точнее говоря, флюксии находятся в
«первом отношении» зарождающихся приращений или в «последнем отношении»
исчезающих приращений. Эти первые и последние отношения суть не что
иное как предел, который мы обозначаем lim ¦—-; Ньютон пользовался
Дя:->0 Дж
словом «предел», но не употреблял таких обозначений. Флюксия
величины у = х2 вычисляется так: образуется отношение
¦^- = 2х + Ах,
Ах ' '
а затем «приращения исчезают», т. е. Ах и Ау полагаются оба равными
нулю. Отбрасывание в дифференциальных равенствах бесконечно малых
заменяется здесь переходом к пределу в указанной форме.
В методе пределов и флюксий Ньютона, разумеется, была налицо
бесконечно малая величина, как переменная, имеющая пределом нуль
ж в конце концов с ним совпадающая. Изменение величин Ньютон
представлял себе, подобно движению в механике, непрерывным, так что
переменные, вообще говоря, достигают своих предельных значений, как
движущееся конечное время тело достигает конца своего пути. Флюксия
приводится тем самым к отношению двух нулей. Могут возразить,—
говорил Ньютон,— что когда величины исчезли, между ними уже нет
никакого отношения, а пока они не исчезли, отношение еще не есть
последнее, т. е. предельное отношение. На это он отвечал, что отношение величин
существует и в самый момент их исчезновения, подобно тому, как,
очевидно, существует скорость движущегося тела в момент его остановки,
жли в момент начала движения 2).
Дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница взяло
в XVIII веке верх над методом флюксий ж флюент Ньютона повсюду,
кроме Англии, где большинство ученых упорно придерживалось теории
и обозначений их великого соотечественника. В значительной мере это
было связано с оперативными преимуществами символики Лейбница 3).
Другой причиной победы дифференциального исчисления над флюксион-
ным была прямая необходимость в непосредственном употреблении
дифференциалов как элементарных частей величин, изучаемых в самой
математике и в математическом естествознании.
г) Временем Ньютон называл здесь отвлеченную величину, служащую общим
аргументом текущих величин и возрастающую равномерно, подобно времени.
2) А. Н. Колмогоров, Ньютон и современное математическое мышление,
в сб.: «Московский университет — памяти Исаака Ньютона», Москва 1946; А. П. Ю ш-
к е в и ч, Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке. В кн.: Л. К а р-
н о, Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, перев. Н. Соловьева
под ред. А. П. Юшкевича, М.—Л., 1936, стр. 25—40.
3) Ньютон обозначал флюксии величины г/, ставя над ней равное порядку флюксии
число точек, а интеграл (флюенту) писал в виде у или
, не указывая аргумента
интеграции. Это неудобно или непригодно для производных высших порядков, замены
переменных и особенно для распространения на функции многих переменных.
Замечательно гибкая символика Лейбница, отражающая самую суть понятий дифференциала
(d — инициал слова differentia — разность) и интеграла (S — первая буква слова
Summa), была тщательно продумана ее творцом, который вообще придавал
обозначениям первостепенное значение. Ньютоново обозначение производных используется до
сих пор в механике и векторном анализе.

«ИСЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ» ЭЙЛЕРА
145
Однако ни лейбницево обоснование исчисления бесконечно малых,
ни ньютоново обоснование метода флюксий не получили единодушного
признания. Едва-едва зарождающиеся начала величин или мгновенные
приращения, выступающие как некая неуловимая грань между бытием
и небытием, отбрасывание «ничтожно малых» или «исчезающе малых»
величин, отношения бесконечно малых при их становлении нулями, все
это вызывало недоумения, возражения и споры. К. Маркс писал об этом:
«Итак сами верили в мистический характер новооткрытого исчисления,
которое давало правильные (и притом в геометрическом применении
прямо поразительные) результаты математически положительно
неправильным путем. Таким образом сами себя мистифицировали и тем более
ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных
математиков и вызвали таким образом враждебный крик, отдавшийся
даже в мире несведущих в математике людей и бывший необходимым,
для того, чтобы проложить путь новому» х).
Особенное впечатление произвела остроумная критика оснований
математического анализа в небольшом сочинении «Аналист» (Analyst,
London, 1734) известного философа идеалиста Дж. Беркли. Всякое
дифференциальное уравнение, полученное путем отбрасывания слагаемых
бесконечно малых, содержит, согласно Беркли, ошибку. Точность
результатов анализа объясняется только взаимной компенсацией нескольких
таких ошибок в двух или более дифференциальных уравнениях, которые
составляются в ходе решения задачи. Эту идею оригинально и подробно
развил 60 лет спустя Л. Карно. Нестрогим, согласно Беркли, является
также метод пределов и флюксий, ибо не может быть отношения между
несуществующими вещами. Кроме того, логически порочно само
определение флюксии; ведь отношение ~~ образуется в предположении, что
Ах ф0, между тем для получения флюксии в нем затем полагают Ах = 0.
Памфлет Беркли вызвал в Англии бурные споры, в частности о том,
достигает переменная своего предельного значения или нет? Первую
точку зрения отстаивал Дж. Джюрин, а вторую Б. Робине. В дискуссии
выступил и Маклорен, посвятивший защите теории Ньютона
значительную часть своего «Трактата о флюксиях» (A treatise of fluxions, Edinburgh,
1742).
«Исчисление нулей» Эйлера. В одной своей брошюре (1739) Робине
задел и Эйлера, упрекая его в ошибках, будто бы допущенных в
«Механике» при употреблении принципа отбрасывания бесконечно малых,
который Эйлер-де воспринял от своего учителя, т. е. И. Бернулли. Если
обвинение в ошибках было неверным, то справедливо, что первоначально
Эйлер разделял взгляды И. Бернулли на вопросы обоснования анализа.
Сохранилась латинская рукопись, озаглавленная «Calculus differentialis»
и являющаяся незаконченным наброском курса дифференциального
исчисления, составленного Эйлером, вероятно, еще до 1730 г.
Дифференциальное исчисление трактуется здесь как специальный случай
исчисления конечных разностей, возникающий, когда разности бесконечно малы.
Формулы дифференцирования выводятся из формул конечных разностей
с помощью принципа отбрасывания бесконечно малых, причем Эйлер
доказывает этот принцип в немногих словах, опираясь на понимание
бесконечно малых, как величин, которые меньше любой данной конечной
) Сб. Марксизм и естествознание, М., 1933, стр. 54.

146
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
величины и потому не могут быть назначены или указаны.
Дифференциалом называется бесконечно малое приращение величины г).
Эйлер снова обратился к основаниям анализа в «Дифференциальном
исчислении». К этому времени он хорошо изучил литературу вопроса,
в частности, полемику, связанную с «Аналистом» Беркли, несомненно,
оказавшую влияние на эволюцию его взглядов. Теперь он развивает
своеобразное «исчисление нулей» и вводит в дифференциальное
исчисление Лейбница ряд идей теории флюксий Ньютона2). Главным объектом
дифференциального исчисления объявляется не дифференциал, но
производная функция, только, в отличие от Ньютона, Эйлер вводит ее чисто
арифметически, без каких-либо ссылок на понятие скорости.
Дифференциальное исчисление, подчеркивает Эйлер, есть «метод определения
отношения исчезающих приращений, получаемых какими-либо функциями,
когда переменному количеству, функциями которого они являются,
дается исчезающее приращение» 3). Несколько далее, опять-таки в духе
Ньютона, производная характеризуется как предел: сначала приращения
берутся конечными, а «затем нужно мысленно представить, что эти
приращения становятся все меньшими и меньшими, и тогда мы найдем, что
их отношение все более и более приближается к некоторому
определенному пределу, которого они достигают, однако, лишь тогда, когда
полностью обращаются в нуль. Этот предел, который составляет как бы
последнее отношение упомянутых приращений, и является истинным
объектом дифференциального исчисления» 4).
Эйлер следует за Ньютоном и в понимании бесконечно малых
величин. Функции мыслятся как непрерывные и, вообще говоря, достигают
своих предельных значений. Соответственно бесконечно малая величина
определяется как нуль (чего Ньютон не делал). При понимании
бесконечно малых как величин, отличных от нуля, возражения против
дифференциального исчисления были бы справедливы, но именно потому, что
они суть нули, дифференциальное исчисление безошибочно. Производная
может быть вычислена путем приравнивания нулю приращения
аргумента Ах в отношении -~-. Вместе с тем производная может
рассматриваться и как отношение ~- , где dy= О и dx = 0. Эйлер отвергает возражения,
будто деление нуля на нуль не имеет смысла. Нули можно сравнивать
между собой двояко. Арифметическое отношение, т. е. разность двух
нулей, есть нуль, но частное -^ может быть, вообще говоря, любым числом5),
г) Рукопись содержит четыре главы и заканчивается правилами
дифференцирования логарифмических и показательных функций. См. А. P. Juschkewitsch,
Euler and Lagrange tiber die Grundlagen der Analysis.— Sammelband zu Ehren des 250.
Geburtstages Leonhard Eulers. Unter der Redaktion von K. Schroder. Berlin, 1959.
2) Любопытно замечание Эйлера в начале первого тома его «Интегрального
исчисления». Указывая на различия в терминологии и символике между математиками Англии
и континента Европы, он отдает предпочтение наименованиям первых (например,
«текущим количествам», т. е. флюентам, перед «переменными количествами») и обозначениям
вторых. Правда, — добавляет Эйлер,—множество книг, написанных тем и другим
способом, делает такое согласование обеих теорий бесполезным. См. Л. Эйлер,
Интегральное исчисление, т. I, перев. С. Я. Лурье и М. Я. Выгодского. М., 1956, стр. 10—11.
3) Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, стр. 39.
4) Там же, стр. 41.
5) В поле действительных чисел частное 0 : 0 может равняться его любому
элементу. Ср. И. В. Проскуряков, Понятия множества, группы, кольца и поля.
Теоретические основы арифметики.— Энциклопедия элементарной математики, кн. 1,
М.—Л., 1951, стр. 115.

«ИСЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ» ЭЙЛЕРА
147
поскольку для любого конечного п справедливо п-0 = 0. Однако в
дифференциальном исчислении частное, выступающее под видом отношения
дифференциалов -j-, перестает быть неопределенным. Эйлер выводит
основные правила отыскания таких частных как в форме принципа
отбрасывания бесконечно малых, так и в форме, соответствующей переходу
к пределу, именно:
a±ndx = a и
а также (при п>т)
adxm-hbdxn = adxm и " "* Т™" *"" =1-
— a dxm
По существу, эти рассуждения Эйдера законны, поскольку он
предполагает всякий раз, что рассматриваемые непрерывные величины
принимают свои предельные значения. Для нас функция, заданная формулой
f(x)=^—^- ,
Jv ' х — а
определена для всех хфа. Мы можем построить другую функцию,
2—,7.2
а + п dx
а
adxm
и
— 1
*-•)
ЧЬ Ъ dxn
F{x) = { х~а
{ 2а
определенную и непрерывную для всех действительных значении х и
совпадающую с / (х) для всех хфа. Ньютон и за ним Эйлер заранее
принимали, что функция / (х), заданная формулой / (х) = ~а , определена
и непрерывна также при х = а, т. е. для них она совпадала с нашей
функцией F (х). Это и только это они имели в виду, говоря, что выражение
о. о
при х = а принимает значение 2а, которое Эйлер именовал отно-
х — а
шением двух нулей.
Эйлер, как и Ньютон, не дал явного определения понятия предела
и не сформулировал каких-либо теорем о свойствах пределов. Он
ограничился приведенными выше весьма общими соображениями, считая их
достаточными для разрешения всех сомнений в точности
дифференциального исчисления. Затем он распространяет исчисление нулей на
дифференциалы высших порядков.
Фактическое вычисление производных и дифференциалов
основывается на разложении функций в бесконечные степенные ряды.
Дифференциальное исчисление, как и в первоначальном эскизе курса,
рассматривается как частный случай метода конечных разностей, который
«наступает тогда, когда разности, которые мы раньше считали конечными,
полагаются бесконечно малыми» х). В связи с этим первые две главы
«Дифференциального исчисления» посвящены изложению начал теории
конечных разностей, причем Эйлер вводит современное удобное их
обозначение. Он показывает на примерах, как разлагаются конечные разности
функций в ряды по степеням конечной разности аргумента со и утверждает»
что такое представление
Аг/ = Рсо + (?со2 + Лсо3+ . ..
2) Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, стр. 102—103.

148
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
имеет место для любой функции. Для отыскания дифференциала dy
или производной функции Р достаточно знать первый член этого
разложения. Например, чтобы вычислить d In х=Ы (x-\-dx) — lnx = In (l + —) ,
Эйлер использует приведенное во «Введении в анализ бесконечных»
разложение
ln(l + 2) = z~? + -|—....
dx dx
и, беря z = —, сразу получает, что din я = — . Также производится
дифференцирование и некоторых других элементарных функций. Отсюда
был один шаг к определению производной, как коэффициента в члене
степенного разложения / (х + dx), линейном относительно dx. Этот шаг,
отправляясь от идей Эйлера, сделал в 1772 г. Лагранж.
Концепцию Эйлера (и Даламбера, о которой говорится далее) Маркс
характеризовал как некоторый шаг вперед. Оба математика брали за
исходный пункт не прежнее неточное равенство х^ = х + dx, где dx есть
бесконечно малая величина с ее неясными и противоречивыми
свойствами, а правильное равенство х± = х + Ах, где Ах есть какое-либо конечное
приращение, которое только под конец превращается в нуль. В этом
смысле Маркс говорил о рациональном исчислении Даламбера и Эйлера.
Однако эйлерова попытка обоснования анализа могла явиться только
одним из этапов в его развитии. Исчисление нулей маскировало
производившиеся фактически предельные переходы и дифференциал,
превратившийся в нуль, был, по сути дела, бесполезен в анализе и в его
приложениях. Дифференциал функции dy есть главная линейная часть ее
приращения Az/, и разность Аг/ — dy при бесконечно малом Ах и
производной, отличной от нуля, есть бесконечно малая высшего порядка
в сравнении с Ах. Эта современная формулировка появилась только
в XIX веке, но фактически указанным свойством дифференциала
пользовались с самого возникновения исчисления бесконечно малых. Сам
Эйлер писал: «Пусть приращение со, которое получает переменное х,
будет чрезвычайно малым... Тогда, зная первый дифференциал Р dx,
мы знаем с весьма большим приближением и конечную разность, ибо
и она будет равна Рсо; это дает немалую пользу во многих случаях, в
которых анализ применяется на практике» х). И хотя Эйлер тут же повторяет,
что дифференциал есть нуль, такая трактовка не согласуется со смыслом
цитированного отрывка. В применениях дифференциального исчисления
Эйлер широко использовал ряд Тейлора и при этом ему приходилось
всякий раз оперировать с величинами, достаточно и произвольно малыми,
но отличными от нуля и не с предельными равенствами, но, так сказать,
с допредельными соотношениями и с оценками неравенств. Такие оценки
производились, правда, без применения 8, б — техники Вейерштрасса,
иногда на глаз, но, во всяком случае, в них применялись не нулевые
бесконечно малые, а бесконечно малые величины в нашем понимании
этого слова.
Разработка дифференциального исчисления. «Дифференциальное
исчисление» чрезвычайно содержательно и многое в нем принадлежит лично
Эйлеру. В первой части подробно изложены приемы дифференцирования
¦) Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, стр. 105,

РАЗРАБОТКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 149
функций одного и многих переменных. Отметим здесь: правило
дифференцирования функции нескольких величин, зависящих от одного
аргумента, доказательство теоремы о независимости значения частных
производных от порядка дифференцирования (высказанной еще Николаем I
Бернулли— двоюродным братом Даниила—- в 1721 г.), выводы общей
теоремы об однородных функциях (для двух переменных Эйлер высказал
ее в 1736 г.) и необходимого условия, при котором выражение Р dx +
+- Q dy является точным дифференциалом, которое Эйлер пишет здесь
в форме
/dP_\ = /dQ\
\ dy ) \ dx )
Такое обозначение частных производных вслед за Эйлером стали
применять и другие математики, хотя еще долгое время, вплоть до середины
XIX века, частные производные писали чаще всего так же, как обыкно-
тт -, dv dv
венные. Наше современное обозначение, вроде -,-ит.п., встречающееся
у Лежандра в 1786 г., ввел в обиход Якоби, начиная с одной работы
1841 г.
Во второй части труда рассмотрены приложения дифференциального
исчисления; здесь выводятся и используются ряд Тейлора, а также
формула суммирования Эйлера — Маклорена. Как и в других сочинениях
Эйлера, поражают разнообразие и богатство примеров, частью
опубликованных ранее, частью новых. Большое место отведено учению об
экстремумах. Необходимые и достаточные условия экстремума функции у = f (х)
Эйлер получает, рассматривая знак разности
f(x±a)-f(x) = ±a^r + 4-^
dx 2 dx2
в достаточно малой окрестности соответствующего значения аргумента.
При этом он опирается на предложение (справедливое на деле только
при существенных ограничениях), которое применяется и в других
случаях и которое аналогично принципу отбрасывания бесконечно малых:
при достаточно малом а (абсолютная) величина какого-либо члена ряда
больше суммы всех следующих за ним членов. Впоследствии прием
Эйлера был уточнен: бесконечный ряд Тейлора был заменен так называемой
формулой Тейлора с остаточным членом, и на этой основе производится
требуемая оценка разности f(x ± а) — f(x). Эйлер исследует также
экстремумы функций двух и многих переменных. Удивительным образом
он допускает при этом ошибку, утверждая, что f(x, у) имеет максимум
(или минимум), если она имеет в этой точке максимум (или минимум)
относительно каждого из аргументов при постоянстве другого, т. е. если
^H-«*pfi<H$<»H3>^>»]. Более
точное исследование достаточных условий экстремума функций многих
переменных произвел вскоре Лагранж (1759).
Не останавливаясь на других вопросах (приложения ряда Тейлора
к численному решению уравнений, раскрытие различных форм
неопределенностей, анализ особых случаев, когда дифференциал функции
оказывается неравносильным ее приращению х) и т. д.), мы отметим еще
г) Это имеет место, если производная равна нулю или если функция в данной
точке не дифференцируема. Более детальный разбор таких случаев произвел Лагранж.

150
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
одну особенность «Дифференциального исчисления». Подобно первому
тому «Введения в анализ бесконечных» оно не содержит ни
геометрических приложений, ни даже каких-либо геометрических или механических
иллюстраций основных понятий и приемов. Все изложение имеет
исключительно арифметико-алгебраический характер. Аналогично строилось
и «Интегральное исчисление». Можно оспорить методические достоинства
такого изложения, однако для развития математики оно имело важное
значение. Отражая объективную тенденцию к выделению анализа в
самостоятельную дисциплину, оно прокладывало дорогу его арифметизации.
Для раннего исчисления бесконечно малых характерны были
геометрическая и механическая трактовка многих основных понятий и
обоснование некоторых принципиально важных теорем ссылками на
геометрическую или механическую очевидность. Мы видели, например, что Ньютон
пытался обосновать существование отношения исчезающих приращений,
апеллируя к идее скорости тела в мгновение его остановки. Лагранж
позднее заметил, что изучение движения тел является предметом
механики, которая сама опирается на анализ и что понятие скорости в любое
мгновение неравномерного движения нуждается в определении. Другой
пример: площади (или пути) вычисляли с помощью интегралов, а
существование интеграла обосновывали тем, что интеграл есть площадь
(или путь), которая, очевидно, существует. В итоге ни понятия скорости,
ни производной, ни площади, ни интеграла не получали
удовлетворительного определения и нельзя было точно исследовать «проблемы
существования» этих и других основных объектов. Недостаточная отвлеченность
и общность понятий анализа ограничивала вместе с тем его возможные
применения в различных областях естествознания.
Эйлер намеревался посвятить геометрическим приложениям
дифференциального исчисления отдельную третью часть своего труда. Эту
работу он не закончил, а подготовленная им еще около 1750 г. часть рукописи,
в которой речь идет главным образом о касательных к кривым и об их
бесконечных ветвях, увидела свет только в 1862 г.
Когда математики начала XIX века приступили к коренному
пересмотру оснований анализа, построение его на арифметическом
фундаменте, начатое Эйлером и продолженное Лагранжем, сыграло решающую
роль. При этом выяснилось, что наши геометрические или механические
представления весьма ограничены и в более тонких случаях могут
привести к неверным заключениям. Так, нельзя наглядно представить себе
непрерывное движение, в любой момент лишенное скорости (или
непрерывную кривую, нигде не имеющую касательной), но Больцано и затем
Вейерштрасс аналитически построили непрерывные функции, ни в одной
точке не имеющие производной.
Интегральное исчисление. Серию руководств Эйлера по
математическому анализу завершили три тома «Интегрального исчисления» (Insti-
tutiones calculi integralis, Petropoli, 1768—1770): том I, в котором
«излагается метод интегрирования от первых начал до интегрирования
дифференциальных уравнений первого порядка», том II, в котором «излагается
метод отыскания функций одного переменного по данному соотношению
между дифференциалами второго и высших порядков», и том III, в
котором «излагается метод отыскания функций двух и большего числа
переменных по данному соотношению между дифференциалами любого
порядка, с приложением о вариационном исчислении и с дополнением,
содержащим разбор весьма замечательных случаев, встречающихся при

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
151
интегрировании дифференциальных уравнений» 2). При вторичном
издании этого труда (Petropoli, 1792—1794) был добавлен том IV, куда вошли
статьи Эйлера, дополнявшие содержание первых трех томов.
Интегральное исчисление Эйлер определяет как «метод, посредством
которого по данному соотношению между дифференциалами количеств
находят соотношение между самими количествами» 2). Таким образом,
интегральное исчисление обнимает и интегрирование дифференциальных
уравнений. Именно так понимал интегральное исчисление, «обратный
метод флюксий» и Ньютон. Мы сейчас рассмотрим лишь работы Эйлера
по интегрированию функций одного переменного. В «Интегральном
исчислении» этому посвящены все девять глав первого раздела I тома
и пятая — шестая главы его второго раздела.
В интегральном исчислении в узком смысле слова основным является
у Эйлера понятие, которое теперь называется неопределенным
интегралом. Интегралом данной функции f(x) Эйлер называет функцию,
имеющую дифференциал f(x)dx. Он отвергает лейбницево понимание
интеграла как суммы бесчисленного количества малых дифференциалов, ибо
для Эйлера дифференциал есть нуль, а сумма любого числа нулей есть
снова нуль. Лучше сказать, говорит Эйлер, что интеграл находится
не по дифференциалу f(x)dx, который есть нуль, а по данной функции
f(x). Интеграл,, содержащий произвольную постоянную, Эйлер называл
полным, а тот, в котором эта постоянная получает в соответствии с
начальными данными (вроде: у = у0 при х = х0) фиксированное значение,—
частным. Величина, которую мы называем определенным интегралом,
выступает как значение частного интеграла при данном значении
аргумента.
Впрочем, концепция определенного интеграла как суммы, вернее,
как предела интегральной суммы, по необходимости выступает в
главе 7-й, посвященной приближенному вычислению интегралов. Здесь,
предполагая, что подынтегральная функция изменяется «мало» вместе
с «весьма малым» изменением аргумента, Эйлер приближенно выражает
X
интеграл \ f(x) dx, при х = х0 равный у0, т. е. \ f(x) dx + z/0, суммой
п п
^ / (х) dx = у о + 2 / (Zft-i) (я* — xk-±) = у о + 2 / (*ft-i) Axk-i-
k=i fc=l
Приближение тем точнее, чем меньшими берутся разности kxk, если
только при этом значения функции также изменяются на малые
разности: «Если же этого не происходит, то указанное определение будет
крайне ненадежным» 3). Как видно, Эйлер имеет в виду, что
подынтегральная функция непрерывна в нашем смысле слова. Несколько далее он
специально подчеркивает, что в окрестности точки бесконечного разрыва
такой способ приближенного вычисления «непозволителен» 4). Затем,
предполагая подынтегральную функцию монотонной, он заключает
1) Л. Эйлер, Интегральное исчисление, т. I, перев. С. Я. Лурье иМ. Я.
Выгодского. Предисловие М. Я. Выгодского, М., 1956; т. II, перев. и предисловие И. Б. По-
гребысского, М., 1957; т. III, перев. и комментарии Ф. И. Франкля, М., 1958.
2) Там же, стр. 9.
3) Там же, стр. 162.
4) Там же, стр. 164. На эти мысли Эйлера, кажется, в трудах по истории анализа
не обращали внимания.

152
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
интеграл между нижней и верхней интегральными суммами, т. е,
п п
У о + 2 / (xk-i) A#a-i и г/о + S / (xk) A#a-i; в следующем за этим примере
ft=i ft=i
он добавляет, что при бесконечно большом числе делений обе эти суммы
дают истинное значение интеграла. В специальном пояснении Эйлер
здесь принимает лейбницеву концепцию интеграла, приспособляя ее
к своему пониманию бесконечно малой: «интегрирование,— пишет он,—
можно получить из суммирования с любой точностью; точно же его нельзя
совершить иначе, как положив, что разности являются бесконечно
малыми, т. е. нулями» х). Отправляясь от этих соображений Эйлера, Лакруа
в своем курсе дифференциального и интегрального исчисления (1798)
еще ближе подошел к трактовке определенного интеграла как предела
интегральной суммы, подготовляя вслед за своим великим
предшественником почву для классического определения интеграла непрерывной
функции и доказательства его существования, данных Коши (1823) 2).
Техника вычисления неопределенных интегралов разработана в т. I
«Интегрального исчисления» с большой подробностью и систематически.
Практически Эйлер исчерпал случаи интегрирования в элементарных
функциях, круг которых он сам очертил, и потомству осталось добавить
в этом отношении только немногое. Изложение мало отличается от
теперешнего и содержание соответствующих глав труда великого ученого
без существенных изменений было включено в последующие руководства,
в которых, впрочем, гораздо меньшее место отводится интегрированию
при помощи бесконечных рядов. Многие приемы принадлежат самому
Эйлеру или получили от него свою окончательную форму,— это
относится к интегрированию \ R (х, У ах2 + Ъх + с) dx, дифференциального
бинома, различных трансцендентных функций, в частности,
тригонометрических, к разнообразным новым рекуррентным формулам и т. д.
Эллиптические интегралы. Из многочисленных открытий Эйлера
в интегральном исчислении мы остановимся на немногих и, прежде всего,
на теории эллиптических интегралов, т. е. интегралов вида
х
П (ж)=Л R(x, VP~(x))dx,
о
где R — рациональная функция, а Р (х) — многочлен 3-й или 4-й степени
без кратных корней. Такие интегралы начали встречаться во второй
половине XVII века в задачах на спрямление кривых (в частности, дуги
эллипса), а вскоре выяснилась также их важность в механике и теории
упругости. Ученые быстро убедились, что эллиптические интегралы
являются трансцендентными функциями нового типа и обладают
замечательными особенностями. В работах 1716 и следующих годов итальянец
Дж. К. ди Фаньяно, занимаясь спрямлением эллипсов,
гипербол и лемнискат, установил, что при определенных условиях
сумма или разность дуг одной и той же кривой выражается
алгебраически. Это означало, что алгебраически интегрируется
соответствующее дифференциальное уравнение с разделенными переменными,
г) Л. Эйлер, Интегральное исчисление, т. I, стр. 163.
2) А. П. Ю ш к е в и ч, О возникновении понятия об определенном интеграле
Коши.— Труды Ин-та ист. естеств., т. I, 1947.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
153
вроде
dx dlJ =0
dx
гэ ax
хотя \ л/\ _ 4 сам п0 се^е и не берется в конечном виде.
В серии работ, печатание которых началось в шестидесятые годы,
в частности в томе I «Интегрального исчисления», Эйлер далеко
продвинулся в направлении, указанном Фаньяно. Постепенно распространяя
свои результаты на более сложные случаи, Эйлер пришел к общей
теореме, позднее названной теоремой сложения эллиптических интегралов:
сумма или разность таких интегралов, отличающихся лишь своими
пределами, выражается интегралом того же вида, сложенным с некоторой
алгебраической функцией, т. е.
U(x) + U(y) = U(a) + f(x, z/, а),
где / (х, г/, а) есть функция алгебраическая1), и пределы х, у, а также
связаны алгебраическим уравнением. Эти исследования, переплетавшиеся
с изысканиями Лагранжа (1766, опубл. в 1769), Эйлер вел почти до конца
жизни. Они были блестяще продолжены в XIX веке, в первую очередь
Н. Абелем, который в 1826 г. представил Парижской Академии мемуар,
содержащий широкое обобщение теоремы сложения на так называемые
абелевы интегралы \ R (х, у) dx, где х, у связаны любым алгебраическим
уравнением F (х, у) = 0. Сумма таких интегралов, если они не
эллиптические, уже не может быть представлена одним интегралом того же вида,
но некоторым определенным числом таких интегралов, которое зависит
от природы уравнения F (х, у) = 0.
Эйлер и Лагранж обратили внимание на аналогию между
рассмотренными ими «эллиптическими» дифференциальными уравнениями и более
простым уравнением теории круговых функций
dx dy ^
уrz^2 — УГ1Г^2 ~~ '
интеграл которого можно записать и в алгебраической форме
х VT^y* ± У V~i — x* = а
и с помощью арксинусов
arcsin х + arcsin у = arcsin а.
Обращая функцию арксинуса
С3 dt (* dt
u = dLicsmx= \ . , v=diYCsmy =
0T/i-*2 " JVi-*2
т. е. переходя к тригонометрическим функциям x = sinu, y = sinv,
последнее равенство можно выразить как теорему сложения синусов,
алгебраически связывающую sin и = ]/"l—cos2 и, smv=Y^l — cos2z; и sin(u + z;):
sin и cos v + sin v cos и = sin (u±v).
x) В конце XVIII века выяснилось, что для некоторых видов интегралов
функция / (х, у, а) — логарифмически-алгебраическая.

154
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
Однако ни Эйлеру, ни Лагранжу не пришла мысль об обращении эллип-
х
тических интегралов z = П (х) = \ R(t, Р (t)) dt, т. е. о рассмотрении
о
функций х = ф (z), получивших позднее название эллиптических. Эта
идея была выдвинута опять-таки Абелем и одновременно Якоби (1827),
которые создали новую дисциплину — теорию эллиптических функций,
явившуюся затем предметом занятий многих крупнейших математиков —
Лиувилля, Вейерштрасса, Эрмита и других.
Второй круг вопросов учения об эллиптических интегралах связан
с проблемой сравнения между собою дуг различных конических сечений,
т. е. с преобразованием одних эллиптических интегралов в другие.
Основной целью было выделение среди всего разнообразия этих интегралов
по возможности немногих нормальных типов. Эту мысль Эйлер отчетливо
высказал в специальном мемуаре, в котором впервые предложил
рассматривать дуги эллипсов как функции, равноправные с логарифмической
и круговыми [NCAP X (1764) 1766]. За основное принимается кониче-
х2
ское сечение у2 = 2х , которое, в зависимости от значений а, может
быть эллипсом, параболой или гиперболой; длину дуги сечения Эйлер
обозначает особым символом ГЫа]. Преобразовав Пх[а] к форме
\ у т. f*^dz, Эйлер различает 12 случаев, в зависимости от знаков
и относительной величины постоянных. Классификацией эллиптических
интегралов занимались и другие, в том числе наш академик А. И. Лек-
сель. Окончательное решение вопроса дал А. М. Лежандр (1793—1794),
который показал, что любой эллиптический интеграл может быть
приведен к одному из трех основных родов, умноженному, быть может, еще на
постоянную, и сложенному с элементарной функцией. Эти три рода
Лежандр записал в виде
Т ^ _^Е_ ТТ ?M4-7?sin2co^ ТП е А + В sin* у dy
L ) АФ ' J \А + "8т Ч) Аф ' Ш' ) l-f-rcsin^ Д^ '
где Аф = "j/Ч — c2sin2cp, 0<с<1.
Определенные интегралы. Большое место в творчестве Эйлера
занимало изучение специальных определенных интегралов. Мы уже говорили
об эйлеровых интегралах 1-го и 2-го рода, т. е. функциях В(р, q) и Т(п).
С помощью дифференцирования и интегрирования под знаком интеграла,
а также мнимых подстановок он вычислил ряд новых важных интегралов.
Так, в статье, представленной в 1781 г., но напечатанной лишь в
четвертом томе «Интегрального исчисления» (1794), Эйлер, отправляясь от
равенства
оо
\ xnile-xdx = T (п)
о
и произведя подстановку х = ку, k = p±iq = r (cos а + i sin а), нашел
значения трех интегралов:
оо оо оо
С3 cos a da ? sin a da i/ я Р sin я 7 тс
о v о v о

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 155
Первые два он получил после соответствующих преобразований и срав-
нения действительной и мнимой частей, принимая тг = -% , р = 0, q =1,
т. е. г = 1, а=-^-, и учитывая, что Г ( —) = ]/"я. Третий интеграл
получается при р = 0, q = 1, исходя из того, что для бесконечно малого п
будет Т(п) = ±Т(1 + п) = Ш=±.
Упомянем еще, что в первом томе «Интегрального исчисления» рас-
ос In X
-,— = \ —- , изучавшийся затем итальянским
О — оо
математиком Л. Маскерони (1792). И. фон Зольднер назвал эту новую
трансцендентную интегральным логарифмом и обозначил li х (1809) *).
Следует заметить, что выводы Эйлера, относящиеся к вычислению
несобственных интегралов, обоснованы, с нашей точки зрения, нестрого;
правомерность фактически производимых предельных переходов при этом
не контролируется. Эйлер обращался с несобственными интегралами как
€ обыкновенными.
В последние годы жизни Эйлера вычисление и изучение свойств
определенных интегралов приобретает все большее и большее значение.
Определенный интеграл трактуется уже не только как одно из значений
«частного» интеграла, он становится самостоятельным предметом анализа.
Характерна в этом отношении одна статья Эйлера 1775 г., напечатанная
посмертно в Opuscula analytica, II (Petropoli, 1785). В ней впервые явно
формулируются основные свойства определенного интеграла,
выражаемые в наших обозначениях формулами
и и, и о и
<\Pdx= — *\Pdx, $Pdx+*{Pdx=^P
dx
(аЪ или
и, -
I
и им аналогичные. Примерно в то же время (1777) Эйлер ввел для опре-
Г Vab х = а~
деленного интеграла специальное обозначение 1 Pdx , _
<z = ot, ad = Ro), сходное с предложенным на год ранее Лапласом
х = а
dx {Р} h . Нижний предел Эйлер называл terminus a quo (предел,
X — о
от которого), верхний — terminus ad quem (предел, до которого). Вскоре
Лаплас ввел термины «определенный интеграл» и «пределы
интегрирования»— limites (Гintegration (1782, опубл. 1785), а С. Лакруа
—«неопределенный интеграл» (1798). Впрочем, еще в седьмой главе I тома
«Интегрального исчисления» Эйлер писал, что всякое интегральное выражение
само по себе «неопределенно» и делается «определенным», когда интеграл
получает данное значение Ъ при данном значении аргумента а 2). Слова
«производная» функция — fonction derivee и «первообразная» функция —
ь
fonction primitive принадлежат Лагранжу (1772). Обозначение \ / (х) dx
а
ввел в 1819—1820 гг. Фурье.
х) Мы еще встретимся с применением интегрального логарифма в работах
П. Л. Чебышева по теории чисел.
2) Л. Эйлер, Интегральное исчисление, т. I, стр. 161.

156
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРИЛОГИЯ ЭЙЛЕРА
Кратные интегралы. Наконец, Эйлер положил начало теории кратных
интегралов, введя двойные интегралы; ему принадлежит и этот термин.
В посвященной этому статье (NGAP XIV (1769) 1770) он учит находить
внутренние и внешние пределы интегрирования по уравнению границы
области, дает формальный вывод правила замены переменных, и
применяет двойные интегралы к вычислению объемов и поверхностей.
Следующим шагом явилось введение тройных интегралов Лагранжем (1773,
опубл. в 1775). Теория многомерных интегралов сразу стала одним
из важных средств механики и математической физики и ее успешно
развивали далее Гаусс, Коши, Дж. Грин и другие. В России
крупнейший вклад в разработку этой теории сделал М. В. Остроградский,
который, среди прочего, дал геометрическое истолкование приема Эйлера
для преобразования переменных в двойном интеграле и исправил одну
неточность, допущенную Лагранжем при выводе правила замены
переменных в тройном интеграле (1836).

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Еще Ньютон,
разрабатывая свой метод флюксий и флюент для нужд небесной механики,
увидел, что главным инструментом последней является не просто
интегрирование функций одного переменного, а решение дифференциальных
уравнений. Сам второй закон ньютоновой механики, устанавливающий
пропорциональность ускорения движущейся точки и действующей на нее
силы, выражается, как известно, дифференциальным уравнением
второго порядка.
Первое развитие методы решения дифференциальных уравнений
получили у Ньютона, Лейбница и братьев Бернулли. Эйлер обогатил
теорию дифференциальных уравнений новыми первостепенными
результатами. Можно сказать, что благодаря его трудам теория
дифференциальных уравнений выделилась в особую математическую науку.
Интегрированию дифференциальных уравнений Эйлер посвятил много статей
и большую часть «Интегрального исчисления».
В конце XVII и начале XVIII в. были разработаны приемы решения
весьма немногих классов обыкновенных дифференциальных уравнений.
Это были уравнения с разделяющимися переменными, приводящиеся
к ним однородные и линейные уравнения первого порядка, простейшие
линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
и еще некоторые. Для таких уравнений были найдены решения в
элементарных функциях или квадратурах. В частных случаях был применен
метод интегрирующего множителя. Найдены были также способы
понижения порядка уравнений второго порядка, не содержащих одной из
переменных. К уравнениям, неинтегрируемым в квадратурах, применяли
решения с помощью бесконечных рядов.
Уравнение Риккати. Важный толчок дальнейшим исследованиям
положило изучение специального уравнения Риккати, которым
занимались и наши академики Д. Бернулли и X. Гольдбах. Это уравнение, как
и общее уравнение Риккати
% = P(x)y* + Q(x)y + R(x)
(термин Даламбера), десятилетиями привлекало также Эйлера. Еще
в тридцатые годы он исследовал специальное уравнение Риккати,
представляя его решение в форме бесконечных рядов или непрерывных дробей.
В шестидесятые годы он установил, что, зная одно частное решение общего

158 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
уравнения Риккати, его можно свести к линейному уравнению первого
порядка, а зная два частные решения, найти общее решение одной
квадратурой. Эйлеру была известна и тесная зависимость между уравнением
Риккати и линейным уравнением второго порядка и способ
преобразования первого во второе.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные
дифференциальные уравнения играли важную роль в работах Эйлера по
механике и математической физике и он уделил этому классу уравнений и его
отдельным видам много внимания. Укажем прежде всего, что Эйлеру
принадлежит современный метод решения однородного уравнения с
постоянными коэффициентами
dny . dn~iy . . dy , л
Этим методом он овладел не позднее 1739 г., а соответствующая работа
увидела свет в т. VII Miscellanea Berolinensia, 1743 г. В этой статье
впервые появились термины «частный интеграл» и «полный интеграл»,
соответствующий нашему общему решению, причем в применении именно
к дифференциальным уравнениям. Вначале Эйлер устанавливает, что
линейная комбинация частных решений рассматриваемого уравнения
является в свою очередь его решением и что общее решение должно
содержать п произвольных постоянных; впрочем, более точный анализ
соответствующих понятий (линейная независимость, ее критерии и т. д.)
выпал уже на долю ученых XIX века. Затем применяется подстановка
у = ekx, приводящая к так называемому теперь характеристическому
уравнению
а0кп + а^к71'1 + . . . + ctn-ik + ап = О,
во всех подробностях разбираются случаи однократных и многократных
действительных или мнимых корней. Метод преобразования переменных
с помощью показательных функций Эйлеру был известен еще с 1728 г.г
когда он применил его для приведения некоторых уравнений второго
порядка к уравнению первого порядка [САР III (1728) 1732]. Перед тем
экспоненциальная подстановка была, как говорилось, употреблена
Николаем Бернулли (младшим).
Для решения неоднородного уравнения
Эйлер предложил метод последовательного понижения порядка [NCAP
III (1750—1751) 1753], суть которого мы поясним на примере уравнения
второго порядка:
Уравнение умножается на етх и интегрируется, причем результат ищется
в виде уравнения 1 порядка
emx(^ + ^y) = lf(x)e^dx,
где cti и а2 — некоторые постоянные, подлежащие, как и т, отысканию.
Дифференцирование последнего уравнения и сравнение результата с левой
частью данного уравнения позволяет найти все три постоянные. Далее

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 159
процесс повторяется применительно к возникшему уравнению, и т. п.
Излагаемый в теперешних учебниках способ вариации постоянных был
разработан Лагранжем (1775, опубл. в 1777), но к уравнению ~ +
+ ау = / (х) Эйлер применил его еще ранее в работе о приливах и
отливах (опубл. в 1741), а также в нескольких других случаях. Независимо
от Эйлера и одновременно с ним метод вариации постоянных применил
к только что написанному уравнению и Д. Бернулли, который, как
упоминалось, самостоятельно нашел также решение однородного уравнения
с постоянными коэффициентами. Добавим, что в томе II «Интегрального
исчисления», посвященном обыкновенным уравнениям выше первого
порядка, Эйлер впервые исследовал линейные уравнения с постоянными
коэффициентами бесконечного порядка, теория которых успешно
развивается и в наши дни.
Вслед за Даламбером (1743—1747), но применяя иные методы, Эйлер
разрабатывал также методы решения систем линейных уравнений с
постоянными коэффициентами [GAP I (1747—1748) 1750] *). Позднее в этом
направлении у нас работал А. И. Лексель.
Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Среди
изученных Эйлером линейных уравнений с переменными коэффициентами
мы особо отметим уравнение
(а + Ъхп) х* -0- + (с + fxn) х -g- + (g + hxn)y = 0,
которое содержит, как частные случаи, целый ряд важных типов
уравнений математической физики и самого анализа:
1) уравнение Бесселя
2) уравнение Лежандра
(1-х
3) гипергеометрическое уравнение Гаусса
*(i-*)g+i
4) уравнение Чебышева
(1-*)-Й-2*? + Лу = 0,
х(1-х)^ + [(1 + а + $)х-у]% + афу = 0,
5) уравнение Чебышева—Эрмита
В томе II «Интегрального исчисления» Эйлер интегрирует свое уравнение
прежде всего с помощью рядов, беря искомое частное решение в виде
ряда с неопределенными коэффициентами
y = xm(A + Bxn + Cs*n + Dx*n + ...)
х) Н. И. Симонов, О первых исследованиях Ж. Даламбера и Л. Эйлера по
теории линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.— Ист.-матем. исслед., вып. IX, 1956.

160 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(или же аналогичного ряда, в котором п заменено на —п). Это
приводит к определяющему т квадратному уравнению
am (т — 1) + cm + g = 0,
а также к рекуррентным соотношениям между коэффициентами А, В,
С, D, .... Если корни определяющего уравнения неравны и разность
их не делится на п, получаются два различных частных решения,
позволяющие составить общее; в противном случае второе частное решение
содержит, как показывает Эйлер, помимо степеней х, еще In х.
Сходимости возникающих рядов Эйлер не исследовал. Специальное внимание
он уделяет случаям, когда ряды обрываются и решения оказываются
конечными многочленами. Замечательный и важный метод Эйлера был
подробнее и глубже развит в XIX веке, в частности Г. Фробениусом
(1873); Эйлер применяет к тому же уравнению и другой изобретенный
им прием, в котором решение ищется в форме определенного интеграла
функции, зависящей от параметра 1). Этот прием Лаплас перенес на
линейные уравнения с частными производными второго порядка (1773, опубл.
в 1777).
Несколько ранее «Интегрального исчисления» появилась статья
Эйлера, в которой задача о колебании упругой мембраны была сведена
к решению уравнения Бесселя:
(NCAP X (1764) 1766). Найденное им в форме бесконечного ряда решение
этого уравнения представляет собой цилиндрическую функцию первого
рода /р ( — ] с любым действительным индексом (3. Напомним, что до того
Д. Бернулли встретилась цилиндрическая функция первого рода
нулевого порядка. В томе II «Интегрального исчисления», решая в одном
частном случае все то же общее уравнение второго порядка, Эйлер пришел
к цилиндрической функции второго рода нулевого порядка YQ (х),
которую представил рядом, содержащим In ж2). Цилиндрические функции,
наряду с гамма- и дзета-функцией, принадлежат к наиболее важным
видам специальных функций и постоянно встречаются в математическом
естествознании. В их дальнейшем исследовании и обобщении
участвовали Ф. В. Бессель и многие иные зарубежные ученые, а в России А. В.
Летников и Н. Я. Сонин, которому принадлежат здесь особые заслуги.
Интегрирующий множитель. Мы упоминали, что Эйлер, наряду
с Клеро, нашел необходимое условие, при котором выражение М (х, y)dx+
+ N (х, у) dy является полным дифференциалом. В томе I
«Интегрального исчисления» Эйлер показал, как при выполнении этого условия
—-=——найти функцию, имеющую указанное выражение своим
дифференциалом и тем самым установил достаточность условия. Стремясь
свести к уРавнению полного дифференциала возможно более широкие
классы дифференциальных уравнений, Эйлер развил метод
интегрирующего множителя, примененный до того в отдельных случаях И. Бернулли
и его сыном Николаем. В первую очередь Эйлер (одновременно с
г) Н. И. Симонов, Прикладные методы анализа у Эйлера, М., 1957, гл. II.
2) В. В. Гуссов, Развитие теории цилиндрических функций в России и СССР,
Ист.-матем. исслед., вып. VI, 1953, стр. 357 и след.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 161
Даламбером) доказывает теорему о существовании для каждого
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка интегрирующего
множителя; при этом предполагается существование общего решения.
После этого он находит интегрирующие множители для ряда уже
проинтегрированных видов уравнений, а затем по заданным множителям того
или иного вида находит соответствующие им классы дифференциальных
уравнений. Метод интегрирующего множителя Эйлер распространил на
уравнения высших порядков. При этом он использовал найденное им
несколько ранее [NCAP X (1764) 1766] условие, при котором функция
F (х, у, у'', . . ., у М) является полной производной некоторой другой
функции, содержащей производные у до (п — 1)-го порядка. То же
условие нашел в 1765 г. французский математик Кондорсе, а новый вывод
его предложил А. И. Лексель. Позднее работы Эйлера по теории
интегрирующего множителя были продолжены многими, у нас, в частности,
Ф. Г. Миндингом.
Особые решения. Перечислить все открытия Эйлера в учении об
обыкновенных дифференциальных уравнениях здесь невозможно. Упомянем
еще только два его результата. Один касается особых решений уравнений
первого порядка, примеры которых встретились прежде всего Тейлору
(1715), а затем Клеро и самому Эйлеру (1736). Мы имеем в виду первые
критерии, позволяющие установить, не зная общего интеграла
уравнения, является ли какое-либо данное его решение частным интегралом
или нет. Эйлер придавал таким признакам важное значение, поскольку
«во всех тех задачах, решение которых приводится к дифференциальному
уравнению, произвольное постоянное количество, присоединяемое в
результате интегрирования, определяется из условий, присоединяемых
к каждой задаче, так что всегда требуется только такой частный
интеграл» 1). Вопрос исследован в томе I «Интегрального исчисления», причем
Эйлер постепенно переходит от простейших видов уравнений с
разделяющимися переменными к уравнению Р (х, у) dx = Q (х, у) dy, где «какие
угодно» функции Р и Q фактически ограничены довольно широкими
условиями. Все дело сводится к установлению расходимости некоторых
несобственных интегралов, связанных с соответствующим
дифференциальным уравнением.
Эти исследования Эйлера были вскоре продолжены Лапласом и Ла-
гранжем. Последний разработал основы более общей теории особых
решений и, в частности, дал их геометрическое истолкование. Много спустя
критерий Эйлера для уравнения Р (х, у) dx = Q (х, у) dy был вновь
высказан С. Пуассоном, под именем которого иногда и встречается в
литературе 2).
Другой важный результат Эйлера лежит в области приближенного
интегрирования уравнений первого порядка.
Численное решение дифференциальных уравнений. Потребность в
приближенном интегрировании дифференциальных уравнений весьма остро
ощущалась в небесной механике,— в теории движения Луны и планет.
Именно в этой связи Эйлер разработал свой метод, изложенный все
г) Л. Эйлер, Интегральное исчисление, т. I, стр. 305.
2) Н. И. С и м о н о в, О научном наследии Леонарда Эйлера в области
дифференциальных уравнений.— Ист.-матем. исслед., вып. VII, 1954, стр. 543.

162 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в том же томе I «Интегрального исчисления». Задача о приближенном
интегрировании на отрезке (x0l х) уравнения
•?=/<*.*>
с начальным условием х = х0, у = у0 решается в предположении, что
/ (х, у) непрерывна (в нашем смысле слова) и что искомый интеграл
разлагается близ точки (х0, г/о) в ряд Тейлора:
СО dlj 0)2 d?lj
У - Уо -t-jr •¦^ + "2Г ' ~Ш + ' ' '
Переходя от х0 к х± = х0 + со и считая со весьма малым, Эйлер находит
приближенное значение уи вычисляя по функции f(x, у) производные
dy d2u о
j- , -г-j , . . . и подставляя в них начальные значения х0, у0. оатем,
отправляясь от значений хи у± и переходя к следующему близкому значению
х2, он аналогично находит приближенное значение у2 и т. д., пока для у,
соответствующего конечному значению х = хп, не получится
приближенное значение уп. Если ограничиться членами первой степени
относительно со, то возникает последовательность приближений
У1 = Уо + /(*о, У о) {xl — Xq),
y2 = yi + f(zi, г/i) (х2 — х±),
Уп — Уп-1 ~"Г / \Xn-li Уп-\) \Хп — Хп-1),
так что, в конце концов,
п
Уп = Уо+ 2 /(Sft-i, Ук-i) (Xk — Zk-i).
k=i
Этот метод излагается теперь под именем метода ломаных Эйлера, так как
искомая интегральная кривая, проходящая через точку (х0, у0),
аппроксимируется проходящей через ту же точку ломаной линией.
Исследование сходимости процесса Эйлер не производит; он ограничивается, как
и в случае приближенного вычисления определенных интегралов,
замечанием о способах преодоления трудностей, возникающих, когда
функция f(x, у) обращается в бесконечность (а также в нуль); затрагивается
и случай обращения в бесконечность коэффициентов ряда Тейлора, т. е.
dy d2y
Метод ломаных Эйлера, распространенный им самим в томе II
«Интегрального исчисления» на уравнения второго порядка, был затем развит
далее в XIX веке. Следует особо подчеркнуть, что этот метод лежит
в основе первого доказательства существования решения уравнения
Л = f(x, у) с начальными условиями, данного в двадцатые годы XIX века
Коши (опублик. в 1844) и впоследствии улучшенного Р. Липшицем (1876).
Доказательство Коши — Липшица приводится теперь во многих
руководствах г).
г) Подробнее см. Н. И. Симонов, Прикладные методы анализа у Эйлера,
гл. III.

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ^ ПРОИЗВОДНЫМИ
163
О применении Эйлером к решению дифференциальных уравнений
метода степенных рядов с неопределенными коэффициентами,
восходящего к Ньютону и Лейбницу, уже говорилось.
Уравнения с частными производными. В XVIII веке началась
интенсивная разработка приемов решения уравнений с частными
производными. Первыми успехами в этом направлении мы обязаны Эйлеру и Далам-
беру. В томе III «Интегрального исчисления» сведена значительная часть
всех результатов, полученных к концу шестидесятых годов, и он явился
первым курсом по этой тогда новой дисциплине.
Более ранние работы Эйлера тридцатых годов посвящены отдельным
уравнениям первого порядка, к которым он пришел, занимаясь
некоторыми вопросами геометрии [например, САР VII (1734—1735) 1740]; этим
кругом вопросов он занимался и позднее. Установленные им связи между
нелинейными и линейными уравнениями и прием решения последнего
в случае
% = V(x,y)? + U{x,y)
(«Интегральное исчисление», т. III) послужили отправным пунктом
дальнейших работ Лапласа и Лагранжа. Но с середины XVIII века
центральное место заняли линейные уравнения второго порядка, к
которым сводятся важнейшие задачи математической физики, в частности,
разнообразные вопросы теории колебаний. Только для примера мы
упомянем основное в гидродинамике уравнение, которому удовлетворяет
так называемое объемное расширение и:
д2и д2и . д2и д2и
dt2 ~~"дх2~^~ду2"^г dz2
[Mem. Ac. Berl., XV (1759) 1766], уравнение колебаний мембраны
d2z _ d2z дЧ
dt2 ~ дх2 "Г" ду2 '
решенное Эйлером с помощью цилиндрических функций первого рода
[NGAP X (1764) 1766] и еще уравнение
исследованное в томе III «Интегрального исчисления». Эйлер получил
это уравнение несколько ранее, изучая колебания струн переменной
толщины и движение воздуха в трубах. Позднее оно явилось предметом
изысканий Лапласа (1777), Пуассона (1823), Римана (1850), Г. Дарбу
(1877) и других ученых, вплоть до работ наших дней по газовой динамике.
Эйлер представил общее решение этого уравнения в форме ряда
z = А(х + у)х [f(x)+F (у)] + В (x + y)*+l[f (x) + F'(y)] +
+ C(x + y)x+2[f'(x) + F"(y)]+...,
где f(x) и F (у) — произвольные функции, вывел рекуррентные формулы
для коэффициентов и определяющее X уравнение
№ + (2т— 1)Л + тг = 0,
а в заключение рассмотрел случаи, когда ряд обрывается.

164 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Мы остановимся более подробно только на знаменитой в истории
математической физики и хронологически первой задаче о колебании струны1).
Проблема колебания струны. Метод Даламбера — Эйлера. Как
говорилось, вопрос о малых поперечных колебаниях бесконечно тонкой
однородной струны был впервые математически рассмотрен в 1713 г. Тейлором,
решение которого, однако, оказалось весьма частным и недостаточным.
За этим последовали две статьи И. Бернулли о колебаниях нагруженных
струн во II и III томах «Записок» нашей Академии. Принципиально
по новому подошел к задаче Даламбер. В работе 1746 г., изданной в Mem.
Ac. BerL, III (1747) 1749, он впервые записал дифференциальное
уравнение свободного колебания, которое теперь мы зовем волновым, в форме,
немногим отличающейся от современной,
<% д*у
dt* и дх* '
и с помощью остроумных преобразований вывел его решение в виде
у(х, t) = f1{x + at) + f2{x — at),
где /i и /2 — любые функции, подчиненные некоторым ограничениям,
о которых мы скажем далее. Так было найдено общее решение уравнения
колебаний струны, содержащее две произвольные функции. Эти
произвольные функции играют в интегралах уравнений с частными
производными роль, сходную с ролью произвольных постоянных в интегралах
обыкновенных дифференциальных уравнений. Даламбер подчеркнул
отличие своего решения, включающего бесконечное множество кривых, от
единственного синусоидального решения, указанного Тейлором.
Колебание струны вполне определяется при наличии дополнительных
условий, наложенных на струну. Уже Даламбер различал те два типа
условий, которые впоследствии назвали граничными (они относятся
к закрепленным концам струны, если только она не считается
бесконечной) и начальными (они характеризуют состояние струны в начальный
момент времени). Если концы струны длины/ неподвижны, то граничные
условия можно взять в виде
г/(0, t) = y(h 0=о.
Это позволяет выразить одну из произвольных функций через другую,
поскольку /2 ( — и) = — Д (и), так что решение будет
у(х, t) = fi(at + x) — fi(at — x).
Кроме того, функция /i(i^), если подставлять в нее произвольные
значения аргумента, оказывается четной и периода 21:
/i(-") = /i(«), /i(« + 2Z) = /i(u).
Начальные условия Даламбера заключались в задании исходной формы
струны и скорости ее точек:
у(х, 0) = у0(х), ду{*! 0) = vQ(x),
г) Подробнее см. Ф. И. Франк ль, Об исследованиях ^Л. Эйлера в области
теории уравнений в частных производных, в кн.: Л. Эйлер, Интегральное
исчисление, т. III; Н. И. С и м о н о в, Об исследованиях Л. Эйлера по интегрирова-
лию линейных уравнений и систем линейных уравнений с частными производными.—
Лст.-матем. исслед., вып. X, 1957.

ПРОБЛЕМА КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. МЕТОД ДАЛАМБЕРА — ЭЙЛЕРА 165
где известны функции у0(х), v0(x). Это дает уравнения
/i(*) —/i( —s) = Sfo(*). h(x) + h( — x) = -j[ v°(x)dx>
определяющие остававшуюся еще произвольной функцию Д (и).
Описанный прием теперь именуют методом характеристик. В другой
статье, напечатанной в томе VI «Записок« Берлинской Академии (1750)
1752, Даламбер наметил идею еще одного важного приема, отправным
пунктом которого служит представление искомого решения в форме
у (х, t) = ф (ж)-ф (?), что приводит к интегрированию двух обыкновенных
линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Этот «метод разделения переменных» был развит много спустя Фурье,
Пуассоном, Остроградским и другими.
Как сказано, произвольные функции, входящие в общий интеграл
волнового уравнения, Даламбер подчинил некоторым ограничениям.
Во-первых, произвольные функции, входящие в решение, оказывались
четными и периода 21, а функции, выражающие начальную форму и
скорость струны, должны были быть нечетными и того же периода.
Во-вторых, он требовал, чтобы каждая рассматриваемая функция определялась
одним уравнением (т. е. была «непрерывна» в уже известном нам смысле
этого слова) и даже более, чтобы она представлялась степенным рядом.
Во всех остальных случаях Даламбер считал свой метод неприменимым.
Тем самым исключались даже столь естественные начальные фигуры,
как защепленная струна, оттянутая вначале за одну из точек без
начальной скорости, или такая простая форма, как параболическая дуга, и т. п.
Дело в том, что аналитическое выражение, задающее кривую на каком-
либо одном участке, Даламбер считал автоматически определяющим
ее повсюду.
В следующем томе IV берлинских «Записок» [(1748) 1750] с работой
по тому же вопросу выступил Эйлер, который решительно отверг
требование «непрерывности», выдвинутое Даламбером. Эйлер указывал, что
по самому физическому существу дела, начальной фигурой струны может
служить произвольная линия, описанная свободным движением руки,
даже и непредставимая одним уравнением; то же относится к линии,
изображающей начальную скорость. Но такой произвол ничуть не мешает
употреблению описанного метода решения, ибо в нем имеет значение
лишь та часть данной линии у0 или же v0, которая соответствует отрезку
(0, Z). Продолжение этих линий вне участка (0, Z), каково бы оно ни было,
не приходится принимать во внимание. Найденное по начальным и
граничным условиям решение у распространяется (при всяком
фиксированном t) с отрезка (0, Z) на отрезок (—Z, 0) по закону нечетности, а вне
участка (—Z, Z) повторяется с периодом 21. Таким образом, устранялась
трудность, связанная с тем обстоятельством, что все функции, по самому
смыслу задачи, заданы на (0, Z), между тем как численные значения
аргументов at ± х в решении уравнения могут лежать вне этого промежутка.
«Непрерывные» функции, заданные одним аналитическим
выражением, обладали и с точки зрения Эйлера тем свойством, что задание их
на любом, сколь угодно малом отрезке однозначно определяет их повсюду.
В XIX веке выяснилось, что это свойство присуще аналитическим
функциям комплексного переменного. Эйлер считал, что во многих вопросах
анализа можно обойтись «непрерывными» функциями. Однако в
математической физике и решении уравнений с частными производными
необходимым становится применение линий, изображаемых произвольными

166 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
кривыми, и, следовательно, «разрывных» функций. По-видимому, Эйлер
имел в виду не только простые «разрывы» закона непрерывности, когда
функция может быть определена в области существования несколькими
различными формулами, так называемые «смешанные линии», но и еще
более произвольные «разрывные» функции1). Так или иначе, для
решения волнового уравнения нет нужды знать аналитические выражения
начальных функций. Эйлер специально подчеркивает, что
рассматриваемый метод интегрирования позволяет графически построить струну
в любой момент ее колебания безо всякого вычисления, только по
начальным фигурам кривых на отрезке (О, I).
По сути дела, допускаемые Эйлером произвольные линии
соответствуют нашим непрерывным функциям с кусочно-непрерывными первой
и второй производными, т. е. непрерывным кривым с
кусочно-непрерывными наклоном касательной и кривизной. Тем самым Эйлер впервые
сознательно ввел в употребление неаналитические функции. Это был шаг
вперед принципиального значения. Несколько лет спустя Эйлер писал:
«Особенная сила интеграции [уравнений с частными производными.—
А. Ю.], рассматриваемых в данной книге, в том и состоит, что при них
могут встречаться и разрывные функции, так что надо полагать, что
благодаря этому существенно новому исчислению границы анализа
значительно расширяются» 2). Здесь от идей Эйлера нити протягиваются
к новейшим методам XX века, к обобщенным функциям С. Л. Соболева
и французского математика Л. Шварца, позволяющим представить
решение волнового уравнения в классической форме /i (х + at) + /2 (х — а0
даже тогда, когда функции f± (х) и /2 (х), будучи непрерывными, недиф-
ференцируемы в обычном смысле слова.
Наряду с общими глубокими мыслями, чрезвычайно расширявшими
сферу приложения метода характеристик, статья Эйлера содержала
математический анализ физической картины колебания струны (установление
97
периода колебания во времени Т = —, подтвердившее результат
Тейлора, существование последовательности собственных частот колебания
vk = kvi, Vi = у , соответствующих основному тону и обертонам, и т. д.).
Попутно Эйлер отметил, что в некоторых случаях решением может
служить сумма простых гармонических колебаний
2. пкх nnat
ап sin — cos —j— ,
причем начальная фигура струны имеет уравнение
Уо= 2j Oti sin-р.
Однако такое представление Эйлер считал весьма частным и в подробности
не вошел. Он даже не указывает, имеются ли в виду конечные
тригонометрические суммы или бесконечные ряды.
Позднее Эйлер открыл совершенно иной прием решения уравнения
д*У _„2 д2У
dt* ~а дх*
г) См. статью Эйлера о применении в анализе разрывных функций в NCAP XI
(1765) 1767.
2) Л. Эйлер, Интегральное исчисление, т. III, стр. 28.

ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Д. БЕРНУЛЛИ 167
с помощью преобразования к так называемым теперь характеристическим
координатам и = х -\- at, v = х — at [Misc. Taur., Ill (1762—1765) 1766].
Данное уравнение переходит в более простое
ди dv '
общее решение которого получается почти сразу в виде
y = h (и) + h {») = /i (х + at) + h (х — at).
Принцип наложения колебаний Д. Бернулли. Вскоре после выхода
из печати первых статей Даламбера и Эйлера в обсуждение задачи о
струне включился третий крупнейший геометр того времени Д. Бернулли,
который выдвинул утверждение, что наиболее удобным и вместе с тем
совершенно общим является решение в виде бесконечного
тригонометрического ряда. Это внесло новый элемент в завязавшийся тем временем
спор между Даламбером и Эйлером и поставило перед математикой новые
чрезвычайно важные проблемы.
В томе IX берлинских «Записок» [(1753) 1755] Д. Бернулли выступил
с критикой метода Даламбера и Эйлера, которые, по его мнению, с помощью
труднейших абстрактных вычислений получают не более того, что можно
вывести почти без выкладок из содержательного рассмотрения самой
природы колебаний струн. Ни дифференциальное уравнение колебаний,
ни приемы его решения не вызвали интереса у Бернулли. Он отправляется
от синусоидального решения задачи, предложенного Тейлором, и того
положения, что звучание всех тел вообще складывается из бесчисленного
множества элементарных звуков, обусловленных некоторыми
регулярными колебаниями. Так, звук струны состоит из основного тона и всех
обертонов, которые она способна издавать и которые являются основными
тонами для струн в 2, 3, 4, ... раз более коротких, чем данная. В
соответствии с этим любое колебание струны оказывается суммой
бесчисленного множества простых гармонических колебаний — синусоид с
частотами, следующими в арифметической прогрессии, т. е. суммой
тригонометрического ряда. Таким образом, Д. Бернулли выдвинул на первый
план уже упоминавшийся принцип наложения или суперпозиции
колебаний.
Принцип суперпозиции Бернулли считал чуть ли универсальным
законом природы. В нескольких работах он показал его приложения,
не разрабатывая, впрочем, в деталях математическую сторону дела.
В частности, за только что изложенной была помещена статья,
посвященная задаче о колебаниях нескольких грузов, связанных с невесомой
натянутой нитью. Весьма выпукло Д. Бернулли высказал свою
концепцию в письме к Эйлеру, написанном не позже сентября 1754 г.: «Вот
каково мое мнение по этому вопросу: мы доказали, что любая кривая,
выраженная уравнением
пх п . 2пх , . Зпх ,
у = a sm Ь Р sin \- у sm f- и т. д.,
удовлетворяет условию, о котором идет речь. Но разве нельзя сказать,
что это уравнение обнимает все возможные кривые: нельзя ли,
распоряжаясь произвольными количествами а, р, у и т. д., заставить кривую
пройти через любое количество данных по положению точек? Разве
уравнение такой природы имеет меньшую сферу действия, чем
неопределенное уравнение
у = ах-{-§хх-\-ух3-{- . . . и т. д.?

168 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
...Итак, я утверждаю, что для решения Вашей задачи: по любой данной
начальной форме найти последующее движение нужно определить
количества а, Р, y» отождествляющие данную кривую с нашим
неопределенным: уравнением, и мы тотчас получим частные изохронные колебания,
из которых составится искомое движение». И далее Д. Бернулли
выражал восхищение «скрытым ранее физическим сокровищем», а именно
«возможностью сводить встречающиеся в природе движения, которые
кажутся не подчиненными какому-либо закону, к простым изохронным
движениям, которыми видимо пользуется природа в большей части своих
действий» 1).
Идея Д. Бернулли была чрезвычайно плодотворна. В. И. Смирнов
пишет: «пример колебания натянутой нити не был, по существу,
выигрышным для Даниила Бернулли. Метод Даламбера — Эйлера не использует
бесконечных рядов и при заданных начальных условиях он дает решение
задачи в известном смысле в конечном виде. Но круг задач, при решении
которых этот метод применим с такой простотой, весьма ограничен,
и Даниил Бернулли был вполне прав, когда подчеркивал общность своего
метода по сравнению с методом Даламбера — Эйлера» 2). Все это, однако,
стало выясняться лишь в XIX веке благодаря работам Фурье и его
последователей, которые синтезировали и развили далее метод разделения
переменных Даламбера и принцип суперпозиции колебаний Д. Бернулли.
Сам Бернулли, как сказано, не имел в виду предложить метод
интегрирования волнового дифференциального уравнения. Вместе с тем он не мог
обосновать утверждение о представимости любой (в некотором смысле)
кривой или функции в форме ряда по синусам. Он даже не располагал
общим способом вычисления коэффициентов такого ряда.
Ни Даламбер, ни Эйлер не согласились с Бернулли. В том же томе
берлинских «Записок», что и статьи Бернулли, появился ответ Эйлера.
Эйлер признает, что физическую картину процесса звукообразования
Д. Бернулли по своему методу характеризует и объясняет превосходно
и гораздо лучше своих предшественников. Все то же можно, однако,
получить из решения дифференциального уравнения колебаний по
способу Даламбера — Эйлера. Именно дифференциальное уравнение, решение
которого Бернулли обходит, является для Эйлера основой теории
колебаний струны,— это относится и к другим задачам математической
физики. Эйлер признает и ценность принципа суперпозиции. Но между тем как
у Д. Бернулли этот принцип выступает как чрезвычайно общий закон
природы, Эйлер трактует его как свойство решений линейных однородных
дифференциальных уравнений, причем доказывает соответствующую
теорему: линейная комбинация частных решений такого уравнения сама
является его решением. Поэтому принцип суперпозиции применим к
явлениям, которые можно описать линейными однородными
дифференциальными уравнениями.
Что касается решения в форме ряда по синусам, то Эйлер отказывает
ему как раз в той общности, на которой с такой решительностью настаивал
Д. Бернулли. Согласно Эйлеру ряды по синусам годятся для
представления весьма ограниченного класса непрерывных (в его смысле) нечетных
и периодических функций. Здесь Эйлер допустил ошибку, сходную с той,
в которой упрекал Даламбера. Возражения Эйлера опирались все на то же
г) Correspondance physique et mathematique de quelques celebres geometres du
XVIIIе siecle, t. II, стр. 654—655.
2) В. И. Смирнов, Даниил Бернулли, в кн.: Д. Бернулли,
Гидродинамика, стр. 482—483.

ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Д. БЕРНУЛЛИ 169
В
*Ч7*
убеждение, что формула, определяющая функцию в некотором интервале,
должна определять ее повсюду. Отход от этого положения Эйлер считал
возможным лишь в случае кривых (функций), заданных геометрически
произвольным свободным движением руки. А Бернулли не мог привести
в пользу своего утверждения,— справедливого, как выяснилось много
спустя, при некоторых ограничениях,—
убедительных доводов.
Спор между Даламбером, Эйлером
и Д. Бернулли распространился и на
другие задачи математической физики и типы
дифференциальных уравнений. Полемика
велась как в печати, так и в частной
переписке. Каждая сторона оставалась
в главном при своем мнении. В
дискуссию, кроме того, включились Лагранж,
Лаплас, Монж и другие математики, в той
или иной степени примыкавшие к ее
инициаторам, а иногда занимавшие
колеблющиеся позиции. В ходе обсуждения были
выдвинуты некоторые важные новые
соображения. Так, Эйлер указал, что его
решение задачи основано на допущении
бесконечной малости не только самого
колебания струны у, в.о и. наклона
касательной j- . Он весьма подробно
рассмотрел геометрическую картину
распространения и отражения волн (Miscellanea
Taurinensia, 3 (1762—1765) 1766; Mem.
de Berlin, 21 (1765) 1767), в частности,
для струны, защепленной в одной точке
(NCAP XVII (1772) 1773); этот пример
вошел впоследствии в курсы
математической физики (рис. 25). В качестве
дополнительного аргумента против метода
Д. Бернулли Эйлер в письме к Иоганну III
Бернулли (племяннику Даниила) от 24 мая
1764 г. привел такое возражение: вообще
говоря, невозможно определить
бесконечное множество коэффициентов ряда синусов, выражающего какую-либо
кривую. Д. Бернулли в письме к тому же адресату от 25 июля 1765 г.
заявил в ответ, что он все более убеждается в общности своего метода,
но только потенциальной, ибо согласен, что отыскание этих
коэффициентов по большей части превосходит возможности анализа г). В то
время Эйлеру еще не были известны формулы так называемых теперь
«коэффициентов Фурье».
Полемика продолжалась и после смерти всех трех ее инициаторов.
Еще в 1787 г. Петербургская Академия, как бы отдавая долг памяти
скончавшегося за четыре года до того Эйлера, объявила на 1789 г.
конкурсную тему (мы приводим ее в переводе с французского): «Определить,
D
Е/
* S
G \т?
\*
ff Ч^
Рпс. 25. Построение графика
колебаний защепленной струны (из
статьи Л. Эйлера в XVII т.
«Новых записок» Петербургской
академии наук; нижний рисунок
служит диаграммой для определения
движения).
г) См. С. Trues dell, The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies,
1638—1788 (L. Euleri Opera omnia, Ser. II, vol. llbis, 1960), стр. 277—278.—
Полностью эти письма не опубликованы.

170 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
принадлежат ли произвольные функции, вводимые при интегрировании
дифференциальных уравнений более чем с двумя переменными, каким бы
то ни было кривым или поверхностям, алгебраическим, трансцендентным
или механическим, разрывным или произведенным свободным движением
руки, или же их можно законным образом отнести лишь к кривым
непрерывным и способным быть выраженными алгебраическими или
трансцендентными уравнениями?». В 1790 г. премия была присуждена страсбург-
скому профессору Л. Арбогасту за его «Мемуар о природе произвольных
функций, входящих в интегралы уравнений с частными
дифференциалами» (Memoire sur la nature des fonctions arbitraires qui entrent dans les
integrales des equations aux differentielles partielles. St.-Petersbourg, 1791).
Арбогаст выступил на стороне Эйлера. Один из аргументов Даламбера
и его приверженцев был тот, что при отсутствии единого закона для всей
кривой не существуют, вообще говоря, значения производных в точках
разрыва, т. е. в точках перехода от одного закона к другому. Опровергая
этот довод, Арбогаст фактически пришел к понятию производной слева
и справа, хотя не ввел соответственных терминов.
Эти левые и правые производные первого, второго и высших
порядков могут удовлетворять данному дифференциальному уравнению точно
так же, как в случае, когда их значения совпадают, т.е. когда существуют
производные в точке. Арбогаст пошел дальше. Он полагал, что не только
у производных, но и у самих функций, служащих интегралами
уравнений, можно допустить в отдельных точках скачки. Такие функции он
называл несмежными — discontigues. Впрочем, и Арбогасту не удалось
решить все трудности, возникшие во время этой дискуссии, тогда
имевшей уже сорокалетнюю давность х).
Спор о решении волнового уравнения является одним из ярких
примеров того, как математическое естествознание порождает вопросы
глубочайшего теоретического значения, касающиеся самых оснований
математики. Комплекс этих вопросов велик и мы можем кратко
остановиться лишь на некоторых моментах истории их решения.
Аналитическая представимость функций. Ответ на вопрос, какие
функции могут быть выражены аналитически, зависит от операций,
которые допускается производить при составлении аналитических выражений
над переменными и постоянными. Подготовляя свою классификацию
функций, Эйлер в первом томе «Введения в анализ бесконечного» прежде
всего относит к действиям анализа алгебраические операции, от
сложения до решения уравнений, основные трансцендентные и интегрирование
всех элементарных функций. Затем он утверждает, что все такие
перечисленные типы функций представимы степенными рядами, мы бы сказали,
с помощью счетного множества сложений, умножений и предельного
перехода. Еще далее он включает в класс аналитических выражений
обобщенные степенные ряды. А. И. Маркушевич по этому поводу писал:
«Пользуясь современной терминологией, можно так резюмировать этот
взгляд Эйлера..., характерный для всего анализа XVIII века:
аналитически представимые функции суть функции аналитические» 2).
х) Подробнее см. И. Ю. Тимченко, Исторические сведения о развитии
понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций, стр. 473 и след.;
С. Truesdell, The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, part. III.
2) А. И. Маркушевич, Элементы теории аналитических функций, М.,
1944, стр. 22.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
171
Дополняя класс употребительных в анализе функций «разрывными»
функциями Эйлер, как отмечалось, фактически вводил всевозможные
непрерывные в нашем смысле слова функции с кусочно-непрерывными
первой и второй производными, представленные под видом плоских
кривых, проведенных «свободным» движением руки. При этом Эйлер
полагал, что «разрывные» или «смешанные» функции аналитически
невыразимы и, в частности, непредставимы тригонометрическими рядами,
которые он, естественно, относил к разряду допустимых аналитических
выражений. Однако Эйлер ошибался, думая, что его «разрывные»
функции действительно «разрывны» в его же понимании этого термина. Уже
Фурье показал, что многие функции, заданные на разных участках
отрезка [а, Ь] различными формулами, могут быть представлены на этом отрезке
одним тригонометрическим рядом, т. е. одним аналитическим
выражением (1822). Ему же принадлежит первая попытка доказать теорему
о разложимости произвольной функции в тригонометрический ряд. В
действительности такое разложение возможно не для всякой функции; сам
Фурье предполагал, по существу, функцию аналитической, а такое
ограничение чрезмерно. Вскоре были предложены многочисленные другие
доказательства теоремы о разложимости функции в соответствующий ей
«ряд Фурье» для функций тех или иных весьма широких классов. Так,
Н. И. Лобачевский доказал, что теорема верна для любой непрерывной
(в нашем смысле) на отрезке [а, Ъ] функции, вторая производная которой
обращается в бесконечность лишь конечное число раз (ср. стр. 272).
Тем самым «разрывные» функции Эйлера оказались аналитически
выразимыми с помощью рядов Фурье, правда, не всюду, а на отрезке конечной
произвольной длины. Такая же теорема имеет место и для непрерывных
функций с ограниченной кусочно-непрерывной производной. Одной
непрерывности, впрочем, уже недостаточно: существуют непрерывные функции,
ряды Фурье которых расходятся на конечных и даже бесконечных
множествах точек; первый пример такого рода был построен в 1873 г. П. Дюбуа-
Реймоном.
Проблема аналитической выразимости функций имеет долгую
историю. Важным этапом явилась теорема Вейерштрасса (1886), согласно
которой всякая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция / (х) может быть
на нем выражена как сумма равномерно сходящегося ряда целых
алгебраических многочленов Рп(х):
оо
/(*)= 2 *>.(*)•
Спрашивалось, как обстоит дело с функциями, имеющими конечное
или бесконечное множество точек разрыва? Этот вопрос подробно
исследовал в 1898 г. Р. Бэр. Построенная Бэром классификация функций
позволила решить в известном смысле проблему аналитической
выразимости функций. В 1905 г. А. Лебег доказал, что всякая функция,
аналитически выразимая при помощи счетного множества сложений, умножений
и предельных переходов, входит в классификацию Бэра и, обратно,
всякая функция, принадлежащая к этой классификации, аналитически
выразима указанным образом. Но, как показал тот же Лебег, имеются
функции, аналитически невыразимые в его смысле *).
г) Подробнее см. А. И. М а р к у ш е в и ч, Элементы теории аналитических
функций, стр. 20—32.

172 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тригонометрические ряды. В заключение скажем несколько слов
о первом этапе развития учения о тригонометрических рядах, которое
заложено было все тем же Эйлером г). Первые разложения в
тригонометрические ряды Эйлер сообщил Гольдбаху в письме от 4 июля 1744 г. Это
было записанное в несколько иной форме разложение
я х . . sin2;z . sin Зге .
___==31ПЖ+__+__ + ...
(ряд сходится при О < х < 2я) и разложение
-тг + cos х + cos 2х + cos Зх + ...
(расходящееся всюду). Оба они были включены в «Дифференциальное
исчисление», а также в первую статью по тригонометрическим рядам,
представленную Эйлером весной 1752 г. Берлинской Академии, а год
спустя — Петербургской, в «Записках» которой она и увидела свет
(NGAP V (1754—1755) 1760). В этой статье Эйлер показал, что по
известной сумме ряда
оо
2 anzn = f(z),
п=0
где ап — действительные числа и z = o,osx-\-ismx можно, приравнивая
действительные и мнимые части, найти суммы рядов
оо оо
2 а>п cos пх и 2 ап sin пх.
П=0 71=1
Для геометрической прогрессии
оо
V anzn= 1_
^—I 1 — az '
71=0
таким образом, получаются два разложения
оо оо
XI п 1 — acosx утл п . a sin х
>. ап cosпх=т-.—s—о и >, ап smпх = -г-.—ъ—^ .
ZJ i_j_a2_2a cos а; ^-1 1 + а2 — 2а cos ж
71=0 71=1
Если а= —1, то первое разложение дает
cos х — cos 2х + cos Зх — ...=—.
Интегрируя почленно последнее равенство, Эйлер вывел новое
разложение
х . sin2z , sin3;r
а вторичное интегрирование дало ему
cos 2х . cos Зх
COS?-
22 ~ З2 ' ' ' 12 4
(что верно для —я<;^<я). Сходимость полученных рядов Эйлер,
как обычно, не исследует.
*) Подробнее см. статью G. F a b е г, в кн.: L. Е и 1 е г i Opera omnia,Ser. I,
vol. XVI2, а также А. Б. Паплаускас, Тригонометрические ряды от Эйлера fro
Лебега, М., 1966.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
173
В те же годы, как мы видели, Эйлер впервые применил
тригонометрические ряды к решению уравнения колебаний струны.
То обстоятельство, что тригонометрический ряд в силу своей
периодичности может представлять непериодическую функцию только на
конечном отрезке, было, разумеется, ясно с самого начала. Со всей
определенностью подчеркнул это Д. Бернулли в одной из своих более поздних
работ по рядам (NGAP XVII (1772) 1773). Здесь вновь получены
некоторые разложения, найденные раньше Эйлером, и по поводу разложения
линейной функции 4^-—2Г0В0РИТСЯ' что равенство
. sin2z . sin3;r . п х
Sina: + —g—+—g—+ . . . =-2~-J-
верно только при 0 < х < 2я, а на последующих промежутках длины 2я
сумма рядов есть (2п — 1) у —о" • Д- Бернулли отметил и скачок суммы
ряда от значения — ук у ПРИ переходе через точку х = 2я. Эти мысли
не получили, однако, в то время развития.
Первые разложения в тригонометрические ряды были найдены с
помощью частных приемов, и мы знаем, что Эйлер и Д. Бернулли долгое
время полагали, что нахождение всех коэффициентов ряда синусов,
изображающего произвольную данную функцию, превосходит возможности
математического анализа. Все же Эйлер решил и эту важную задачу,
именно в статье 1777 г., вышедшей в NAP XI (1793) 1798. Предполагая,
что / (х) разлагается на отрезке [0, дх] в ряд по косинусам (мы пользуемся
принятой теперь записью)
/(я)=-у- + 2 ancosnxi
n=l
он, умножая обе стороны равенства на cosmx и интегрируя почленно
от 0 до it, получил выражение для коэффициентов
хп = — \ / (х) cos пх dx, п = 0, 1, 2,
Все это,— указывал Эйлер,— легко прилагается и к разложению в ряд
по синусам. Тем самым Эйлер нашел формулы для разложения в
неполные ряды Фурье и значения так называемых коэффициентов Фурье,
носящие теперь имя французского математика, который вновь получил эти
результаты, показал фундаментальное значение тригонометрических рядов
для математической физики и начал разработку связанных с ними
теоретических проблем. Статья Эйлера, видимо, не была известна Фурье.
Следует добавить, что Эйлеру в свою очередь осталась неизвестной более
ранняя работа А. Клеро по небесной механике (1759), в которой уже были
опубликованы формулы коэффициентов Фурье в разложении в ряд
по косинусам.
В XVIII веке тригонометрические ряды привлекли сравнительно
небольшое внимание. Положение резко изменилось после работ Фурье,
когда изучением этих рядов занялись первоклассные математики — Коши,
Пуассон, П. Лежен Дирихле, Лобачевский, Риман, Г. Кантор и др.
Большие заслуги принадлежат и советским ученым, прежде всего Н. Н. Лузину

174 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и Д. Е. Меньшову. С развитием теории тригонометрических рядов
оказались связанными многие важнейшие открытия в области
математического анализа, как в его глубочайших основаниях — теории множеств
и теории функций действительного переменного, так и в приложениях
к естествознанию и технике. В конечном счете, истоки этого мощного
идейного потока восходят к Эйлеру и Д. Бернулли.
Вариационное исчисление. Одной из наиболее выдающихся заслуг
Эйлера в математике явилась разработка новой науки, которую он
впоследствии назвал вариационным исчислением.
Предметом вариационного исчисления является особый круг задач
о наибольших и наименьших величинах, существенно отличных от
обыкновенных задач на максимумы и минимумы, решаемых в
дифференциальном исчислении. В дифференциальном исчислении ищутся значения
аргумента, при которых принимает наибольшие или наименьшие (по
сравнению с ближайшими) значения данная функция f(x). Говоря на языке
геометрии, здесь ищутся вершины данной плоской кривой у = f(x). Эта
задача легко обобщается на функции многих переменных. В вариационном
исчислении ищутся экстремумы так называемых функционалов —
величин, значения которых определяются выбором уже не числового
аргумента, а некоторой функции или кривой (что опять-таки обобщается
на случай зависимости функционала от нескольких функций). Так,
площадь, ограниченная замкнутой и не пересекающей себя плоской кривой
данной длины, зависит от выбора этой линии. Вариационная задача об
отыскании замкнутой плоской кривой, которая при данной длине
(периметре) охватывает наибольшую площадь,— простейшая из так
называемых изопериметрических задач,— была поставлена и решена еще
древними греками. Искомой кривой является в этом случае окружность.
В конце XVII века было выдвинуто и частью решено несколько
вариационных задач. Ньютон рассмотрел вопрос о форме кривой, вращение
которой вокруг данной оси дает тело, испытывающее при движении
в жидкости в направлении этой оси наименьшее сопротивление. И.
Бернулли предложил задачу о разыскании кривой, соединяющей две не
лежащие на одной вертикали точки А и В, и обладающей тем свойством, что
падающая по ней тяжелая точка скатывается из верхнего положения
в нижнее за кратчайшее время. Братья Бернулли, Лейбниц и Ньютон
установили, что искомой кривой быстрейшего ската — брахистохроной
является циклоида. Я. Бернулли сформулировал и решил одну новую
трудную изопериметрическую задачу, а И. Бернулли предложил задачу
о геодезических линиях, т. е. об отыскании кривой кратчайшей длины,
лежащей на данной поверхности и соединяющей две какие-либо ее точки
(на шаре, скажем, такой кривой будет одна из дуг большого круга,
проходящего через две взятые точки) и нашел, что в точках геодезической
кривой ее соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к поверхности.
Дифференциальное уравнение геодезических линий первым опубликовал
Эйлер (САР III (1728) 1732), но оно было известно и его учителю.
До Эйлера не существовало сколько-нибудь общих приемов решения
вариационных задач, которые к тому же не ставились в сколько-нибудь
общей форме. В ряде статей и затем в специальной монографии Эйлер
заложил начала вариационного исчисления как самостоятельной науки.
Монография называлась «Метод нахождения кривых линий, обладающих
свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической
задачи, взятой в самом широком смысле» (Methodus inveniendi lineas

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
175
curvas maximi minimive propietates gaudentes, sive solutio problematis
isoperimetrici latissimo sensu accepti. Lausannae et Genevae, 1744).
Интересной особенностью этого сочинения является очень тесное переплетение
геометрического и аналитического изложения, от которого автор отошел
в более поздних курсах дифференциального и интегрального исчисления.
«Хотя вопросы этого рода могут быть сведены к чистому анализу, все же
полезно связать их с учением о кривых линиях. Ибо если бы мы
пожелали отвлечься от кривых линий и сосредоточить внимание на одних
только чистых величинах, то, во-первых, самые задачи стали бы
запутанными и неизящными и менее усматривался бы их практический смысл;
во-вторых, и метод разрешения такого рода вопросов, если бы он
применялся к одним только абстрактным величинам, был бы слишком запутан
и труден, тогда как рассмотрение фигур и линейное изображение величин
удивительно помогают ему и облегчают его понимание» 1). В общих
теоретических рассуждениях функции часто выступают здесь под видом
кривых линий и вне связи с каким-либо аналитическим выражением.
Фактически уже в этом сочинении Эйлер встал на путь введения
«разрывных» функций, ибо метод его основан на произвольном бесконечно малом
изменении кривой в окрестности одной или нескольких ее точек,
изменении, которое невозможно, как он утверждал позднее, без нарушения
«непрерывности» кривой 2).
Термина функционал у Эйлера нет, он появился только в XX веке,
но ему полностью соответствует выражение «формула максимума и
минимума». Первой ставится задача об отыскании проходящей через две
данные точки с абсциссами а и Ъ кривой у = f (х), сообщающей экстремум
интегралу
\z{x, y,*L,...,^)dx,
а
значения которого зависят от выбора функции у; функция предполагается
известной. Примером может служить брахистохрона с закрепленными
концами. Это задачи на абсолютный метод максимумов и минимумов,
когда кривая, дающая экстремум функционала, определяется «среди всех
вообще кривых, отнесенных к одной и той же абсциссе» 3), т. е.
определенных на одном и том же отрезке [а, Ъ]. В относительном методе
максимумов рассматривается иной класс задач, в которых экстремум функционала
ищется при дополнительном условии, наложенном на функцию у и ее
производные, или, как выражается Эйлер, только для тех кривых,
«которые имеют какое-либо наперед указанное общее свойство» 4). Таковы,
в частности, изопериметрическая задача и задача о геодезических.
Все эти понятия сформулированы в первой главе книги. Здесь же
вводятся еще два важнейших понятия, соответствующих варьированию
кривой (экстремали) в точке и вариации функционала. Для первой
операции Эйлер не имеет еще специального названия, он лишь описывает, как
производится переход от одной кривой к другой, бесконечно мало отли-
х) Л. Эйлер, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами
максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом
широком смысле, перев. Н. С. Кошлякова. М.—Л., 1934, стр. 43.
2) А. И. Маркушевич, Основные понятия математического анализа и
теории функций в трудах Эйлера, в сб.: Леонард Эйлер, М., 1958, стр. 108—109.
3) Л. Эйлер, Метод нахождения кривых линий, стр. 29.
4) Там же, стр. 31.

176 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
чающейся от нее в окрестности некоторой точки (рис. 26). Вызванное
таким переходом бесконечно малое изменение функционала именуется
дифференциальным значением, соответствующим данной формуле
максимума и минимума. Устанавливается, что необходимое условие экстремума
состоит в обращении в нуль дифференциального
значения, т. е. вариации функционала.
Достаточные условия Эйлер вообще не рассматривал.
В следующей, второй главе изложен общий
метод отыскания абсолютных экстремумов. Мы
кратко поясним, следуя Эйлеру, этот метод на
примере интеграла
А
М N О
Рис. 26. Варьирование
экстремальной кривой (из
«Метода нахождения кривых
линий...» Л. Эйлера, 1744).
и
W(y)=l Z(x, y,%)dx.
Кривую y = f (х), сообщающую W(y) максимум
или минимум, Эйлер фактически рассматривает
как предельную линию, к которой стремится
последовательность ломаных Ln с вершинами в точках Мъ (xk, yh), где
Xk = а + к dx, dx = -^- , к = О, 1, 2, . . ., п.
Именно, интеграл заменяется «эквивалентной», как говорит Эйлер,
суммой вида
Wn (у0, гЛ, . . ., уп) = 2 Z (xh, yk, Щр^) dx,
h=Q
зависящей от переменных у0, уи . . ., уп. Вариация интеграла,
обусловленная вариацией кривой в точке, заменяется соответственно бесконечно
малым приращением суммы Wn, обусловленным бесконечно малым
изменением одной из ординат yk. Таким образом, дело сводится к отысканию
обыкновенного экстремума функции многих переменных Wn,— задаче,
которую Эйлер более общим образом рассмотрел в «Дифференциальном
исчислении». Если теперь какой-либо ординате yk дается бесконечно малое
приращение пи (рис. 26), в сумме
п-1
У\ Z(xk, yk, pk) dx,
k=0
где
Pk
yk+j — Uk
dx
изменяются лишь два слагаемых
Z/fr-^dx
Zkdx
(мы отмечаем с помощью индексов соответствующие значения
аргументов х, у, р, чего Эйлер не делал). Дифференциальное значение
величины Wn, эквивалентной функционалу, вычисляется при помощи
обычных правил анализа, как сумма полных дифференциалов этих
слагаемых в виде
[Nk dx — (Pk — iVO] ¦ пи = (Nk dx — dPk) • nv,

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
177
где Nh = — и Pk = ——. Условие экстремума выражается уравнением
Nfrdx—dPk = 0 или, поскольку оно должно выполняться для любой
ординаты,
ах
Мы пишем это дифференциальное уравнение второго порядка в форме
dz d (w)
ду dx
- = 0
или
d2Z d2y d2Z dy d2Z dZ _ Q
dz/'2 dx2 dy dy' dx дх ду' dy
Его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, которые
определяются из условия, что искомая кривая проходит через две данные
точки. Приведенное уравнение, как и его обобщение на случай
функционала
ъ
\z(x, у,%, ..., g) dx,
именно
\ду' } , Уду") . , ..„ а \дУ™)
• + (-1)" Z =Q.
dy dx dx2 • • • г v. / fi^
также данное Эйлером, носят имя своего изобретателя. Для
определенности задачи в общем случае требуется задание 2п добавочных условий,
по которым определяются все произвольные постоянные, входящие
в общий интеграл уравнения порядка 2п, например, задание 2п точек,
через которые должна пройти искомая экстремаль.
Таким образом, отыскание экстремума функционала указанного вида
приводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
В главе V Эйлер изложил относительный метод максимумов и
минимумов, позволяющий свести эту задачу к нахождению абсолютного
экстремума. Здесь, среди прочего, исправлена ошибка Я. Бернулли, который
полагал, что кривая, которой присуще некоторое свойство максимума
или минимума, обладает им в любых сколь угодно малых своих частях.
Эйлер ранее стоял на той же точке зрения, теперь он показал, что принцип
Бернулли имеет ограниченную сферу действия. Все изложение снабжено
множеством превосходных примеров и задач из области геометрии и
механики.
К основному тексту книги добавлены два приложения, содержащие
применения вариационного исчисления к теории упругости и движению
тел в среде без сопротивления. В начале первого приложения Эйлер
высказывает метафизический принцип, согласно которому «в мире не
происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума
или минимума; поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира
с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи
метода максимумов и минимумов, как и из самых причин производящих» х).
г) Л. Эйлер, Метод нахождения кривых линий, стр. 447.

178 ГЛ.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Но далее идут совершенно конкретные вещи: решается задача об изгибе
однородной упругой пластинки, в которой требуется найти экстремум
интеграла
ds
Ж'
где R — радиус кривизны кривой изгиба, выведено и подробно
исследовано уравнение упругой линии, получена известная в учении о
сопротивлении материалов формула для определения критической нагрузки,
допускаемой без изгиба колонной данной высоты и с данным коэффициентом
упругости, и, наконец, рассмотрен изгиб неоднородной упругой
пластинки. Во втором приложении Эйлер впервые точно сформулировал принцип
наименьшего действия, решив тем самым вопрос, поставленный перед
ним в 1741 г. Д. Бернулли: можно ли исследовать орбиты, описываемые
телом под действием центральных сил, посредством «изопериметрическо-
го» метода? Эйлер дал утвердительный ответ, показав, что движение
совершается по траекториям, которые сообщают наименьшее значение
интегралу
Mvds,
где М— масса тела и v— его скорость. На этой основе Эйлер решает
несколько задач1).
Вслед за Эйлером вариационным исчислением занялся Лагранж.
Существенным нововведением, которое легло в основу алгоритма
варьирования, было обозначение изменений, претерпеваемых величинами при
переходе от одной кривой к другой, бесконечно близкой, специальной
характеристикой б, для отличия от знака d, выражающего изменения
величин при бесконечно малом перемещении вдоль одной и той же
кривой. Лагранж без доказательства установил основные правила операций
над символом б, совпадающие с правилами обыкновенного
дифференцирования, и, опираясь на переместительность б и d (также не обоснованную)
и интегрирование по частям, дал очень простой аналитический вывод
ъ
вариации интеграла \ F (х, г/, j-, . . ., ^-|J dx и уравнения Эйлера.
а
Свои первые результаты Лагранж сообщил в письме от 12 августа 1755 г.
Эйлеру, который немедленно оценил значение нового алгорифма,
позволявшего дать общее аналитическое выражение прежним способам,
опиравшимся на геометрически-инфинитезимальные рассмотрения. В ответном
письме от 6 сентября, горячо поддержав своего молодого корреспондента,
которому не было и 20 лет, Эйлер отметил следующую особенность
варьирования по Лагранжу. Тогда как Эйлер, переходя от искомой кривой
к соседней, изменял одну или несколько ординат, Лагранж изменяет все
ординаты сразу. Эйлер советовал Лагранжу продолжать исследования
и сам с увлечением занялся разработкой нового метода. Вскоре он
продвинулся далеко, но терпеливо выжидал с публикацией, чтобы не перебить
дорогу молодому ученому. Через семь лет появилась первая статья Лаг-
ранжа (1762). Кратко и совершенно формально описав принципы
алгоритма варьирования, Лагранж знакомил с его первыми приложениями.
При этом был разобран ряд новых вопросов: экстремумы с подвижными
г) Об истории принципа наименьшего действия и роли Эйлера в его разработке
см. сб.: «Вариационные принципы механики», под ред. Л. С. Полака, М., 1959.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
179
концами, одна задача на экстремум двойного интеграла. Тогда же Лагранж
опубликовал большую статью, в которой принцип наименьшего действия
распространялся на систему тел и открывались новые перспективы
приложения вариационного исчисления в динамике. Однако эти первые
публикации Лагранжа не обратили на себя должного внимания из-за
чрезмерной сжатости и трудности изложения начал. Вариационный алгоритм
Лагранжа получил известность, прежде всего, благодаря Эйлеру.
В томе X NCAP (1764) 1766 Эйлер дал собственное, очень подробное
и ясное изложение нового метода, трактуя его как новую отрасль анализа,
как новое исчисление, которому присвоил имя вариационного. В частности,
он впервые доказал основные равенства 8dy = dSy и б\И^= \ 8W1).
В томе III «Интегрального исчисления» Эйлер поместил обширное
«Приложение о вариационном исчислении». Здесь было впервые выведено
общее необходимое условие абсолютного экстремума двойного интеграла
с постоянными пределами, которое Лагранж получил лишь в одном
частном случае, именно в задаче о минимальных поверхностях 2). В
простейшем случае интеграла
Ь d
dz dz
^ J V(z, г/, z, p, q)dxdy, где p--
dx ' У ~dy
искомая функция (поверхность) z = f (х, у), которая может сообщить
ему экстремальное значение, должна удовлетворять уравнению в частных
производных второго порядка (типа Монжа — Ампера)
dz dx \ dp ) dy \ dq )
Вопроса о краевых условиях, служащих для выделения среди всех
решений уравнения искомого, Эйлер коснулся мельком. В качестве примера
он взял задачу об отыскании минимальной поверхности, под которой
Ъ d
на плоскости хОу находится данный объем, так что интеграл \ Kzdxdy
а с
задан. Решение возникающего при этом эллиптического нелинейного
уравнения превосходило возможности тогдашней математики и Эйлер
отметил только, что уравнение выполняется для отдельных классов
поверхностей второго порядка.
Эйлер ограничился двойными интегралами с постоянными пределами
и случай переменных пределов интегрирования оставил в стороне. Дело
в том, что при вычислении вариаций частных производных функции
z (х, у) он ошибочно получил для б д—т- и S^-o- два различных выражения
вместо одного (как потом выяснилось, оба неверных) и, во избежание
этого противоречия, принял, что Ьх не зависит от у, а 8у не зависит от х.
Поэтому формулы Эйлера для вариаций частных производных оказались
г) В своих работах по вариационному исчислению Эйлер и Лагранж фактически
оперировали только слабыми вариациями, считая бесконечно малой вместе с 6у и ду'.
Так называемые сильные вариации, при которых бесконечно малому перемещению
точки соответствует конечный поворот касательной, не рассматривались.
2) То есть задачи об отыскании среди всех поверхностей, проходящих через
данный пространственный контур, поверхности с наименьшей площадью. Лагранж вывел
дифференциальное уравнение в частных производных для таких поверхностей;
впоследствии их изучали многие.

180 ГЛ. 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
непригодными для отыскания вариации двойного интеграла с
произвольными переменными пределами. Только много спустя Пуассон
распространил результаты Эйлера на общий случай двойного интеграла.
Еще через несколько лет Эйлер предложил другой способ
построения вариационного исчисления, который сам назвал «легким» [NGAP XVI
(1771) 1772; также в томе IV «Интегрального исчисления»]. Здесь были
заложены начала трактовки операции варьирования, которая
впоследствии стала употребительной. Функции (кривые), среди которых ищется
та, которая сообщает экстремум данному однократному интегралу,
представляются в виде семейства, зависящего от одного параметра у = у (х, t);
предполагается, что искомая функция получается при t = t0. Этой
кривой соответствует вариация
Таким образом варьирование оказывается дифференцированием по
параметру с последующим предположением, что t = t0. На этом пути весьма
просто выводятся основные формулы вариационного исчисления, в
частности, переместительность операций дифференцирования и варьирования.
Решение дифференциальных уравнений, выражающих необходимые
условия экстремума функционалов, во многих случаях наталкивается
на практически непреодолимые трудности. В этой связи примечательно,
что первый конечно-разностный метод, с помощью которого Эйлер вывел
свое дифференциальное уравнение, сам заключает возможности как
приближенного, так и точного решения вариационных задач. Такие
«прямые» методы, в которых вариационная задача трактуется, как
предельная для задачи на обыкновенный экстремум функции конечного
числа переменных, получили большое развитие в XX веке. Более того,
эти методы доставляют прием решения проблем теории
дифференциальных уравнений путем приведения их к соответствующим вариационным
задачам, которые затем решаются с помощью прямых методов. Первым
по времени является прямой метод Эйлера, который, извлеченный из
забвения и усовершенствованный, излагается теперь во многих учебных
руководствах. Весьма употребителен также метод, предложенный в 1908 г.
В. Ритцем, а затем обоснованный и развитый далее советским ученым
Н. М. Крыловым в 1918 и следующих годах.
Нам еще придется говорить о вариационном исчислении в связи
с работами М. В. Остроградского об экстремумах кратных интегралов г).
г) Подробнее см. К. А. Р ы б н и к о в, Первые этапы развития вариационного
исчисления,— Ист.-матем. исслед., вып. II, 1949, и А. В. Дорофеева, Развитие
вариационного исчисления, как исчисления вариаций.— Ист.-матем. исслед.,
вып. XIV, 1961.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ДРУГИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ Л. ЭЙЛЕРА
Элементарная геометрия и тригонометрия. Хотя Эйлер был по
преимуществу арифметиком и аналистом, ему принадлежат работы почти
во всех областях современной ему геометрии, правда, в большей части
основанные на применении алгебры и анализа. Он не пренебрегал и
элементарными задачами. Примерами могут служить уже упоминавшаяся
его теорема о том, что сумма квадратов четырех сторон четырехугольника
равна сумме квадратов обеих диагоналей, сложенной с учетверенным
квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей [NCAP I (1747—
1748) 1750] и теорема: точки пересечения высот, центр тяжести и центр
описанного круга любого треугольника лежат на одной прямой [NCAP
XI (1765) 1767]. Несколько работ Эйлера относятся к геометрии на сфере
и аналитическому построению сферической тригонометрии. Последнее
Эйлер выполнил двумя способами: во-первых, трактуя стороны
сферических треугольников как геодезические, т. е. средствами
вариационного исчисления [Mem. Ac. Berlin, IX (1753) 1755], а во-вторых, на
элементарной основе [АР (1779 : 1) 1782]. Во второй статье впервые
выведена полная система основных формул сферической тригонометрии.
О заслугах Эйлера в плоской тригонометрии говорилось ранее.
Аналитическая геометрия. Аналитической геометрии посвящен весь
второй том «Введения в анализ бесконечных». Здесь в первый раз было
последовательно реализовано то стремление к алгебраическому
исследованию кривых и поверхностей, которое наметили еще Декарт и Ферма,
и постепенно проводили в жизнь их последователи в течение целого
столетия. В предисловии, помещенном в первом томе труда, Эйлер писал:
«я не пользуюсь (во II томе.— А. Ю.) никакими другими средствами,
кроме уравнения, выражающего природу той или иной кривой линии,
и показываю, как из этого уравнения можно вывести как фигуру кривой,
так и ее основные свойства» х); точно так же изучаются и поверхности.
Книга начинается с некоторых общих рассуждений о природе
функций и кривых линий, которых нам приходилось отчасти касаться; за этим
следует вывод формул преобразования координат, которые впервые
предстают в современной записи, и общего уравнения прямой. Классификация
алгебраических кривых сопровождается разбором основных свойств
линий любого порядка, например, о числе точек, определяющих кривую
га-го порядка,— вопроса, который Эйлер более подробно рассмотрел
тогда же в специальной статье (Mem. Ac. Berlin, IV (1748) 1750). После
этого Эйлер переходит к кривым второго порядка. Алгебраически иссле-
!) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, стр. 21.

182 ГЛ. 10. ДРУГИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ Л. ЭЙЛЕРА
дуя общее уравнение кривых второго порядка, которое пишется в виде
7/2 i (гх + У)У , frr2 + [fo + a _ п
У -h с -h с -и,
Эйлер строит теорию диаметров, центра, касательных и т. д., попутно
по-новому доказывая ряд теорем Декарта и Ньютона. С помощью
преобразования координат общее уравнение приводится к форме
г/2 = а + Р# + 7^2
и, в зависимости от условий у > 0, 7 < 0» У = 0» определяющих наличие
и характер бесконечных ветвей или их отсутствие, кривые второго
порядка подразделяются на гиперболы, эллипсы и параболы, свойства которых
изучаются с большой подробностью. Изложение, как всегда у Эйлера,
очень ясно, хотя еще во многом отличается от принятого в наших
учебниках. Например, записав уравнение эллипса относительно вершины
у> = 2сх-е{2*-е) х*
(с — полупараметр, d — расстояние фокуса от вершины), Эйлер
переходит к параболе, полагая 2d = с, причем оси эллипса становятся
бесконечно большими. После этого он выводит ряд свойств параболы,
рассматривая ее как бесконечно растянутый эллипс.
Далее Эйлер детально исследует вопрос о бесконечных ветвях и
асимптотах алгебраической кривой п-то порядка, применяя разложение на
множители совокупности старших членов уравнения, имеющих относительно
обеих координат измерение п. Здесь он попутно замечает, что общее
уравнение 2-й степени п
ау2 + §ху + ух2 + 6 у + гх + ? = 0
при P2<4(xy представляет эллипс, а при P2>4c&y гиперболу (ср. стр.88).
Однако учение об инвариантах кривых второго порядка не получило еще
у Эйлера какого-либо развития и осталось на долю геометров XIX века.
Теория бесконечных ветвей и асимптот затем используется для
классификации кривых третьего порядка, глубоко изученных еще Ньютоном
и его последователями, а также для классификации кривых четвертого
порядка, впервые успешно разработанной только Эйлером. Исследуется
также кривизна линий, причем используются лишь алгебраические
средства, и некоторые виды особых (кратных) точек кривых. Здесь
заметим, что с помощью простого примера у = У~х ± "j/я3 Эйлер показал
ошибочность мнения некоторых математиков, которое одно время
разделял и сам, будто алгебраические кривые не могут иметь тЬчек возврата
2-го рода. Наконец, рассмотрены условия, при которых плоские кривые
имеют одну или несколько осей симметрии, а также преобразования
подобия, определяемые формулами х = X/m, y = Y/m и аффинные
преобразования x = X/m, y = Y/n. Особая глава посвящена наиболее
употребительным трансцендентным кривым, и среди них кривой с уравнением
ху = ух, которая двадцатью годами ранее фигурировала в переписке
Д. Бернулли и Гольдбаха. Включение трансцендентных линий в курс
аналитической геометрии было методическим новшеством, как и широкое
применение в нем полярных координат (для спиралей, конхоиды и т. д.).
К основному тексту Эйлер добавил приложение о поверхностях. Эта
область геометрии была в то время почти не разработана. Первое
уравнение поверхности — параболоида вращения — появилось только в 1679 г.
у Ф. де Лагира, а после него можно отметить отдельные достижения
немногих ученых, среди них Я. Германа и А. Клеро, о которых
говорилось выше. Эйлер занялся вопросами пространственной геометрии и тео-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 183
рии поверхностей одновременно с двумя последними математиками,
и, например, в его статье о геодезических линиях речь идет об отдельных
классах поверхностях вращения, цилиндрических и конических. Во
втором томе «Введения» те же и некоторые другие общие классы
поверхностей трактуются более общим образом. Впрочем, главное внимание
уделено квадрикам, т. е. поверхностям второго порядка. Форма
поверхностей исследуется с помощью их плоских сечений. Для упрощения общего
уравнения квадрики выводятся формулы преобразования координат,
причем поворот осей определяется тремя углами, сохранившими до сих пор
название углов Эйлера. Совокупность старших членов общего
уравнения квадрики
az2 + $yz + yxz + by2 + гху + ?>х2 + щ + 0г/ + ix + к = О
в силу однородности уравнения
az2 + (Зг/z + yxz + бг/2 + гху -\-?)х2 = 0
принадлежит так называемому асимптотическому конусу, пользуясь
которым, Эйлер характеризует поведение квадрики в бесконечности, подобно
тому как с помощью асимптот изучаются бесконечные ветви кривых.
Канонические уравнения невырожденных квадрик получаются в форме,
мало отличной от принятой ныне. Уравнение
Ap2 + Bq2 + Cr2 + K = 0
при тех или иных комбинациях знаков соответствует эллипсоиду, эллипти-
ко-гиперболической и гиперболико-гиперболической поверхностям (наши
однополостный и двухполостный
гиперболоиды), а уравнение
Ар2 ± Bq2 = аг
—эллиптико-параболическим и
параболически-гиперболическим
поверхностям (наши эллиптический и
гиперболический параболоид);
учитываются соответствующие конусы
и цилиндры. Описание
поверхностей кратко и нет указаний на
системы прямолинейных
образующих однополостного гиперболоида
и гиперболического параболоида,
который рассмотрен здесь,
по-видимому, впервые. Впрочем, две
прямые, лежащие в пересечении
последнего с плоскостью г = 0, указаны
(на рис. 27 это прямые Ее, Ff).
Приложение заканчивается краткими замечаниями о пространственных
кривых, к изучению которых первым приступил А. Клеро в «Исследованиях
о кривых двоякой кривизны» (Recherches sur les courbes a double courbure,
Paris, 1731). Термин «кривая двоякой кривизны» ввел в 1726 г. А, Пито.
Дифференциальная геометрия поверхностей. Первые исследования
по дифференциальной геометрии были неразрывно связаны с разработкой
дифференциального исчисления. К концу XVII века удалось решить
основные задачи: определение касательных и нормалей к плоской кривой,
ее экстремумов, точек перегиба и заострения, радиуса кривизны и
соприкасающегося круга, эволют и огибающих семейства кривых. Клеро
Рис. 27. Различные плоские сечения
«параболически-гиперболической
поверхности», по Л. Эйлеру (из второго тома
«Введения в анализ бесконечных»,
Лозанна, 1748).

184 ГЛ. 10. ДРУГИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ Л. ЭЙЛЕРА
приступил к изучению пространственных кривых, рассматривая их как
пересечения поверхностей; он привел для кривой двоякой кривизны
формулу дифференциала дуги и подкасательной. Эйлер встретился с задачами
дифференциальной геометрии на первых же порах деятельности, в
частности, в связи с задачей о геодезических линиях. Ряд задач этой науки
он решил в ходе занятий механикой, изучая несвободное движение
точки по поверхности, а также в связи с картографией. Но он посвятил
дифференциальной геометрии и ряд специальных работ, имевших
основоположное значение.
К таким работам относится прежде всего статья о кривизне
поверхностей в томе XVI Mem. Ac. Berlin, (1760) 1767, с которой собственно
и начинается дифференциальная геометрия поверхностей. Эйлер прежде
всего выводит формулу радиуса кривизны произвольного плоского
сечения поверхности, затем переходит к случаю нормального сечения (т. е.
сечения, проходящего через нормаль к поверхности в данной точке),
устанавливает существование двух экстремальных сечений, лежащих
в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях и, наконец, дает
выражение радиуса кривизны г любого нормального сечения через
наибольший и наименьший радиусы / и g:
f + g — (f — g)cos2cp *
здесь ф — угол между этим нормальным сечением и одним из
экстремальных направлений. Результаты Эйлера были развиты в школе Мон-
жа, особенно Ж. Менье, теорема которого (1776, опубл. в 1785) наряду
с теоремой Эйлера приводится во всех современных учебниках, и Ш.
Дюпеном, который, в частности, сообщил формуле Эйлера употребительный
ныне вид. Введение понятия полной кривизны поверхности явилось уже
заслугой Гаусса (1827).
В следующей важной работе Эйлера изучены развертывающиеся
поверхности, которые можно наложить на плоскость без складок и
разрывов [NCAP XVI (1771) 1772]. Таковы, например, цилиндры и конусы.
Эйлер доказывает существование бесчисленного множества других
развертывающихся поверхностей, и выводит условия развертываемости.
Отправным пунктом служит положение, что бесконечно малый
треугольник на такой поверхности должен быть конгруентен соответствующему
треугольнику на плоскости. Здесь впервые вводится и используется
линейный элемент поверхности и впервые же декартовы координаты
x,y,z точек поверхности выражены в функции двух параметров t, и; вновь
так их выразил Гаусс, со времени которого эти «гауссовы» координаты
вошли в общее употребление. Окончательный результат данной работы
Эйлера состоит в том, что касательные к любой пространственной кривой
образуют развертывающуюся поверхность; кроме таких поверхностей,
развертываются на плоскость еще лишь цилиндрические и конические
поверхности. В более поздней статье 1776 г. [NAP VI (1788) 1790] Эйлер
изучил поверхности, которые получаются при движении центра данного
круга вдоль плоской кривой, если плоскость круга при этом все время
перпендикулярна к кривой в соответственной точке. Эйлер назвал такие
поверхности «искривленными цилиндрами», теперь их именуют
трубчатыми. Эйлер приступил также к изучению кривизны пространственных
кривых [АР (1782 : 1) 1786] и нашел первую из трех формул, данных
в 1847 г. Ж. Френе; эта формула устанавливает зависимость между
направляющими косинусами касательной и главной нормали и кривизной линии.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
185
Труды Эйлера по теории поверхностей были особенно успешно
продолжены Монжем и затем Гауссом. К сожалению, один из наиболее
замечательных результатов Эйлера оставался неизвестным почти сто лет
и увидел свет только в томе I Opuscula postuma, 1862. Он содержится
в заметке, написанной около 1770 г. и в современных обозначениях
гласит, что две поверхности наложимы одна на другую, если у них равны
коэффициенты Е, F, G первой дифференциальной квадратичной формы
Гаусса для линейного элемента. Эти условия были снова получены
Гауссом в его классической работе по теории поверхностей (1827), о которой
мы уже упоминали и которая еще встретится нам далее.
К Эйлеру восходит и так называемая естественная геометрия
плоских кривых, в которой свойства кривых изучаются с помощью
уравнений между величинами, непосредственно принадлежащими самим кривым,
например, между длиной дуги и радиусом кривизны. Эйлер применил
естественные координаты плоской кривой еще в САР VIII (1736) 1741.
Этим кругом вопросов занимался также Н. И. Фусс. В конце прошлого
века естественная геометрия получила широкое развитие у Э. Чезаро
и других.
Топологические задачи. Наконец, Эйлеру принадлежат первые
исследования по топологии,— науке, в которой изучаются свойства фигур,
не меняющиеся при любых взаимно однозначных и взаимно непрерывных
(или топологических) преобразованиях. Такова решенная им задача
о переброшенных через несколько рукавов реки мостах, которые
требуется перейти все, причем каждый не более чем один раз [САР VIII
(1736) 1741]; она вошла во многие занимательные книги по математике.
Но главный результат Эйлера в этой области относится к теории
многогранников [NCAP IV (1752—1753) 1758]. Здесь среди многих теорем
о свойствах и условиях существования многогранников Эйлер
формулирует и доказывает предложение, впервые высказанное им в письме к
Гольдбаху от 14 ноября 1750 г.: число вершин S, ребер А и граней Н любого
многогранника (предполагаемого выпуклым) связаны равенством
S + H = A + 2.
Равенство сохраняется для всех фигур, которые можно топологически
преобразовать в выпуклые многогранники. Эта теорема Эйлера (без
вывода встречающаяся в бумагах Декарта, опубликованных в 1860 г.)
явилась одним из первых предложений топологии, которая стала
складываться в самостоятельную науку лишь с середины XIX века. Число
S — A -f- Н, называемое теперь эйлеровой характеристикой, есть
основной топологический инвариант многогранника и играет важную роль
в исследовании общих свойств поверхностей1).
Теория чисел. Эта наука неизменно привлекала интерес крупнейших
математиков мира, начиная с древнейших времен, когда круг ее
интересов был еще ограничен только целыми числами. Древние греки
разработали важные алгоритмы разыскания общего наибольшего делителя
и общего наименьшего кратного, выявили существование простых чисел,
т.е. чисел, отличных от 1 и не имеющих делителей, кроме 1 и самих себя.
х) Подробнее см. Б. Н. Делоне, Эйлер, как геометр. В сб.: Леонард Эйлер,
М., 1958; Б. А. Розенфельд, Геометрические преобразования в работах
Леонарда Эйлера.— Ист.-матем. исслед., вып. X, 1957.

186 ГЛ. 10. ДРУГИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ Л. ЭЙЛЕРА
Простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . ., из которых путем
перемножения получаются все остальные натуральные числа, привлекали особое
внимание ученых. Древность оставила, однако, только два
фундаментальных результата в учении о простых числах, которые оба содержатся
в «Началах» Евклида. Одним из них было утверждение, что любое
натуральное число единственным образом, если отвлечься от порядка,
разлагается в произведение простых сомножителей. Другое предложение
гласило, что число простых чисел неограниченно велико. Современник
Евклида Эратосфен предложил всем известный способ составления
таблицы простых чисел («решето Эратосфена»). Видное место в античной теории
чисел занимало также решение неопределенных уравнений. Не позднее
V века до н. э. удалось найти полную систему целых решений уравнения
х2 -)- у2 = z2, т. е. построить прямоугольные треугольники со сторонами,
выражающимися целыми числами. Весьма остроумные приемы решения
в рациональных числах неопределенных уравнений первых трех степеней
изложены в «Арифметиках» Диофанта, жившего примерно в III веке.
Это сочинение оказало большое влияние на возрождение интереса к
теории чисел в XVII веке. Неопределенные уравнения изучались также
в Древнем Китае (задача об остатках) и Индии (уравнения первой и
второй степени), а также в странах ислама и в средневековой Европе.
Систематические работы по теории чисел начались только в XVII
и XVIII вв. благодаря трудам Ферма и особенно Эйлера. Ферма не
оставил доказательств многих высказанных им теорем, и эти доказательства
в ряде случаев были даны Эйлером, сделавшим также много новых
фундаментальных открытий. «Открытия Фермата, — писал П. Л. Чебышев,—
служили только вызовом геометрам на изыскания в теории чисел. Но,
несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера на них никто не вызывался.
И это понятно: эти изыскания требовали не новых приложений приемов,
уже известных, и не новых развитии приемов, прежде употреблявшихся;
эти изыскания требовали создания новых приемов, открытия новых начал,
одним словом, основания новой науки. Это сделано было Эйлером» г).
Теории чисел Эйлер посвятил почти полтораста работ и
значительную часть научной переписки. Особенно интересна переписка Эйлера
с Гольдбахом, по которой можно проследить за становлением и
развитием многих арифметических идей великого математика.
Среди утверждений Ферма, сообщенных им без вывода, важное место
занимает так называемая теперь малая теорема Ферма, одна из основных-
в современной теории сравнений, в которой изучаются вопросы делимости
чисел. По отношению к данному числу т, рассматриваемому как
делитель, все числа можно разбить на т классов вида
km, кт-{-1, кт-\-2, ..., кт-{-(т—1),
где к — любое число. Два числа одного и того же класса, а и Ь,
характеризуются тем, что их разность а — Ъ делится на т, т. е. а — Ъ = пт.
Такие два числа называются сравнимыми по модулю т и этот факт
записывается сравнением
а = Ъ (mod т),
причем говорят, что а есть вычет Ъ или Ъ есть вычет а по модулю т. Слова
вычет и невычет (по-латыни residuum и поп residuum) ввел еще Эйлер,
а термин сравнение (congruentia) и его знак принадлежат Гауссу, кото-
х) П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. I, М., 1944, стр. 10.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
187
рый разработал аппарат теории сравнений (1801), оказавшийся
чрезвычайно удобным, особенно потому, что сравнения по своим свойствам
подобны равенствам.
Малая теорема Ферма гласит, что если р простое и а не делится
на р, то а?'1 — 1 делится на р, т. е. а?'1 = 1 (mod р). Эйлер дал два
доказательства теоремы [САР VIII (1736) 1741; NCAP VII (1758-1759) 1761]
и затем ее обобщение: если функция ср (т) обозначает число чисел,
меньших и взаимно простых с т, то а® <т> = 1 (modт) [NGAP VIII
(1760-1761) 1763].
Ферма нашел, что всякое простое число вида in -\-1 есть сумма
двух целых квадратов или, как говорят, представимо формой х2 -|- у2.
В ходе доказательства этой теоремы Эйлер пришел к рассмотрению
остатков от деления на простое число р последовательности квадратов чисел
и так называемых квадратичных вычетов; как раз в этой работе
появились и слова вычет и невычет [NCAP V (1754—1755) 1760]. Если
двучленное сравнение второй степени х2 = а(то&т) имеет решение, т. е.
существует такое х, что х2 — а делится на т, то а называется квадратичным
вычетом по модулю т; если решения нет, то говорят, что а —
квадратичный невычет. Например, 5 есть квадратичный вычет по модулю
11, так как 42 — 5 делится,на 11, а 7 есть невычет по модулю 11, так как
х2 — 7 ни при каком целом х не делится на 11. Особую важность имеют
квадратичные вычеты по простому нечетному модулю. Аналогично
вводится понятие вычетов более высокой степени.
Эйлер заложил начала общей теории степенных вычетов и открыл,
хотя и не доказал, основной в теории квадратичных вычетов закон
взаимности (1772, опубл. в Opuscula analytica, 1, 1783). Этот закон
устанавливает, для каких нечетных простых чисел р данное нечетное простое
число q служит квадратичным вычетом. Именно, если хотя бы одно из
чисел р и q имеет вид in -\-1, то q будет квадратичным вычетом или
невычетом р, смотря по тому, будет ли р квадратичным вычетом или
невычетом q; если же оба они вида in +3, то q есть квадратичный вычет или
невычет р, смотря по тому, будет ли р квадратичный невычет или вычет q.
Например, пусть р = 11, q = 5; тогда 5 есть вычет по модулю 11 и вместе
с тем 11 — вычет по модулю 5. А если взять р = 11, q = 7, то 11 есть
вычет по модулю 7, так как 52 — 11 делится на 7, между тем, как было
сказано, 7 есть невычет по модулю 11.
Это открытие Эйлера оставалось незамеченным, пока на него не
указал в 1849 г. Чебышев. Квадратичный закон взаимности был вновь найден
Лежандром (1785) и доказан Гауссом (1801); он имеет фундаментальное
значение в теории делимости. Дальнейшие исследования в этом
направлении привели к созданию теории алгебраических чисел, лежащей на
стыке между теорией чисел и алгеброй. Квадратичный закон взаимности
получил широкие обобщения — у Гаусса на биквадратичные вычеты,
у Э. Куммера — на поля деления круга и т. д. В наиболее общей форме —
для любых полей алгебраических чисел — закон взаимности был
установлен в 1950 г. советским математиком И. Р. Шафаревичем.
Отправляясь от упомянутой проблемы Ферма о простых числах вида
in -|-1, Эйлер рассмотрел вопрос о представлении простых, а также
составных чисел и другими квадратичными формами вида ах2 -f- су2
и использовал свойства этих форм для исследования того, является ли
данное большое число N простым или составным. Более общей трактовке
бинарные формы с двумя переменными ах2 -f- 2bxy -f- су2 подверг Лаг-
ранж. К трудам обоих ученых восходит обширная теория квадратичных

188 ГЛ. 10. ДРУГИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ Л. ЭЙЛЕРА
форм, о которой нам еще придется говорить в связи с работами ряда
представителей школы П. Л. Чебышева.
Большое место в арифметических изысканиях Эйлера занимает
решение неопределенных уравнений. Мы уже упоминали, что он указал общий
прием решения древней задачи об остатках, которую можно выразить
системой линейньгх сравнений с различными попарно взаимно простыми
модулями
х = а>1 (mod mi), х = а2 (mod т2), ..., х = ak (mod mk)
[GAP VII (1734 — 1735) 1740]. Полный анализ вопроса дал Гаусс.
С помощью непрерывных дробей Эйлер исследовал задачу о решении
уравнения
х2 — dy2 = 1,
где d — неквадратное число [NCAP XI (1765) 1767]. Отыскание
наименьшего решения этого уравнения, которым до того, не говоря о древних
и индийцах, занимались Ферма и Валлис, Эйлер поставил в зависимость
от разложения в непрерывную дробь Y~d, причем указал на
периодичность такой дроби,— факт, вскоре доказанный Лагранжем. Решение
общего уравнения второй степени с двумя неизвестными
ах2 + Ъху -f су2 + dx -f- еу + / = 0
тесно связано с решением только что указанного частного случая; и здесь
изыскания Эйлера были завершены Лагранжем.
Особенной известностью пользуется в широких кругах так
называемая великая теорема Ферма: уравнение хп -\-yn = zn при п>3
и xyz ^0 не имеет целых решений. Ферма утверждал, что располагает
доказательством этого предложения, но его не оставил. Эйлер доказал
теорему по методу неограниченного спуска, принадлежащему Ферма,
для п = 4 (что было сделано, впрочем, еще в XVII в.) и для п = 3 [NCAP
VIII (1760—1761) 1763]. В этом втором случае Эйлер впервые рассмотрел
выражения вида a -f- b]f— 3, где а и Ъ — натуральные числа, как своего
рода целые числа,— прием, обобщенный затем Гауссом, Куммером и др.
творцами теории алгебраических чисел. В значительной части эти
исследования были связаны с пр од о лжавшимися усилиями доказать великую
теорему Ферма.
Наконец, к Эйлеру восходят первые применения в теории чисел
аналитических методов, которые он использовал в некоторых вопросах так
называемого partitio numerorum, т. е. в аддитивных задачах о
разложениях чисел в суммы чисел того или иного вида. В 1740 г. берлинский
математик Ф. Ноде поставил перед Эйлером вопрос: сколькими
различными способами можно данное число N представить суммами к равных
или неравных чисел? Эйлер привел решение в томе I «Введения в анализ
бесконечных». Оно основано на разложении некоторых бесконечных
произведений в бесконечные ряды, коэффициенты которых и дают ответ
на поставленные вопросы. Например, в разложении
1 = 1 + х + 2х2 + Зх3 + 5я4 + 7х5 + 11х6 + 15х7+ ...
П (1 —хП)
71=1
каждый коэффициент показывает, сколькими способами можно
представить в виде суммы равных или неравных чисел показатель степени х;

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
189
так, число 7 представимо таким образом 15 способами. Мы уже
говорили, что знаменатель только что написанной дроби разлагается в ряд
[] (1-х")= 2 (-!)*•* 2 •
71=1 fe= — оо
Эта формула теории тэта-рядов также применяется к анализу
рассматриваемых вопросов. С ее же помощью Эйлер вывел важную рекуррентную
формулу для определения суммы делителей данного числа N, впервые в
письме к Гольдбаху от 1 апреля 1747 г. [NGAP V (1754—1755) 1760].
В переписке с Гольдбахом Эйлер, по-видимому, впервые поставил
вопрос, насколько часто встречаются в ряду натуральных чисел простые
числа: 28 октября 1752 г. Эйлер отмечает, что число простых, меньших
данного N, примерно есть In N. Эта оценка оказалась довольно грубой.
Но Эйлер же, как говорилось, дал те аналитические средства, которые
оказались основными в дальнейшем исследовании этой проблемы: дзета-
функцию и интегральный логарифм. Наконец, в развитии аналитической
теории чисел важную роль сыграло выдвинутое Эйлером предположение,
что во всякой бесконечной арифметической прогрессии со взаимно
простыми первым членом и разностью содержится бесконечно много простых
чисел (Opuscula analytica, 11, 1783). Эту теорему доказал в 1837 г.
Дирихле.
Нельзя пройти также мимо заслуг Эйлера в изучении
арифметической природы некоторых замечательных постоянных и в постановке
проблем теории трансцендентных чисел. Установленная им зависимость
между числами е и я и разложения е в бесконечные непрерывные дроби
имели решающее значение для доказательства иррациональности обоих
этих чисел И. Ламбертом (1768), а первая названная зависимость — для
доказательства Ф. Линдеманом трансцендентности я (1882). Как мы
знаем, Д. Бернулли и Гольдбах выразили уверенность, что натуральные
логарифмы рациональных чисел трансцендентны. В томе I «Введения
в анализ бесконечных» Эйлер высказал такое утверждение: логарифм
рационального числа при рациональном основании есть либо
рациональное число, либо трансцендентное. На рубеже XIX и XX вв. Д. Гильберт
сформулировал среди труднейших и актуальных проблем математики
и вопрос об арифметической природе чисел вида аь, где а и Ъ —
алгебраические. Ответ дал в 1934 г. советский математик А. О. Гельфонд,
доказавший, что всякое алгебраическое число, отличное от нуля и единицы,
в алгебраически-иррациональной степени есть число трансцендентное.
Благодаря Эйлеру теория чисел превратилась в подлинную
математическую науку. Исследования, начатые им в столь многих
направлениях, были продолжены затем крупнейшими математиками всего мира1).
Мы перейдем теперь к разбору работ учеников и первых преемников
Эйлера, деятельность которых охватила почти семьдесят пять лет от
середины XVIII и до конца первой четверти XIX века.
г) Подробнее см. А. О. Гельфонд, Роль работ Л. Эйлера в развитии теории
чисел. В сб.: Леонард Эйлер, М., 1958; И. Г. Б а ш м а к о в а, Обоснование теории
делимости в трудах Е. И. Золотарева, § 1—5.— Ист.-матем. исслед., вып. II, 1949.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
УЧЕНИКИ И ПЕРВЫЕ ПРЕЕМНИКИ ЭЙЛЕРА
Школа Эйлера. Большой вклад в развитие математической культуры
и науки внесли ученики и ближайшие сотрудники Эйлера — академики
С. К. Котельников, С. Я. Румовский, М. Софронов, М. Е. Головин,
Н. И. Фусс, А. И. Лексель, Ф. И. Шуберт, а также С. Е. Гурьев и В. И. Вис-
коватов. Они преподавали в учебных заведениях, писали руководства
и популярные статьи по математике, механике и астрономии. Об этом
уже упоминалось ранее. Им принадлежит ряд научных исследований,
в значительной части примыкающих к тематике Эйлера. При этом из
приблизительно 200 математических работ Лекселя, Фусса, Шуберта
и Гурьева более 70 посвящено различным вопросам геометрии; можно
сказать, что на рубеже XVIII и XIX вв. в Петербурге работала сильная
геометрическая школа. Особенно интересные открытия сделаны были
в сферической геометрии, полигонометрии, а также некоторых отделах
дифференциальной геометрии1).
С. К. Котельников и С. Я. Румовский. Старшим учеником Эйлера
был Семен Кириллович Котельников (1723 — 13 апреля 1806). Сын
рядового Преображенского полка, обучившего его чтению, он 11-летним
мальчиком был принят в школу, учрежденную Феофаном Проконовичем
для детей бедняков и сирот. Здесь его выучили писать и началам
латинской грамматики. Еще три года он учился в семинарии при Алевхандро-
Невской лавре. Перед самым поступлением в академическую гимназию
18-летний Котельников сообщал о себе, что в семинарии «синтаксиму
и поэтику прошел и в риторику вступил. Сверх тех наук никакому
искусству и художеству не обучен» 2). Несмотря на столь слабую подготовку,
в гимназии и университете, куда его перевели осенью 1742 г.,
Котельников быстро выдвинулся как один из лучших студентов, а его
математические способности обратили на себя внимание известного физика
академика Г. Рихмана (1711—1753).
В октябре 1750 г. Котельников представил ученой Конференции
работу на латинском языке «О квадратуре и спрямлении конхоиды
посредством касательной». Название диссертации связано с тем, что за аргумент
г) В. И. Лысенко, Из истории первой Петербургской математической
школы.—Труды Ин-та ист. естеств. и техн., т. 43, 1961.
2) М. И. Сухомлинов, История Российской Академии, вып. 3, СПб., 1876,
стр. 4 (в этом сочинении имеются подробные биографии Котельникова, Румовского
и нескольких других математиков, состоявших членами Российской Академии,
организованной в 1783 г. и в 1840 г. объединенной с Академией наук; задачей этой
академии было изучение русской словесности).

С. К. КОТЕЛЬНИКОВ и С Я. РУМОВСКИЙ
191
принимается длина отрезка касательной в вершине между вершиной
и точкой пересечения с радиусом-вектором соответствующей точки
кривой; существенную роль в исследовании играет разложение
интегрируемых алгебраических функций в степенные ряды. Академики одобрили
сочинение, и молодой человек был произведен в 1751 г. в адъюнкты. Эйлер,
которому работу послали на отзыв, также хорошо оценил ее и было
решено направить Котельникова для
дальнейшего усовершенствования в Берлин к
великому математику.
В семье своего наставника Котельников
прожил четыре года, начиная с лета 1752 г.
Вместе с ним проходил курс математических
наук старший сын Эйлера Иоганн-Альбрехт
(27 ноября 1734 — 17 сентября 1800). 8
августа 1752 г. Эйлер, сообщая Шумахеру о своих
ежедневных занятиях с Котельниковым
анализом (за чем последуют механика,
гидромеханика и астрономия), писал: «Из его
прилежания и природной одаренности я могу
уже заключить, что в короткое время он
настолько продвинется, что Императорская
Академия сможет быть им вполне довольна.
Я даю ему уроки всегда в обществе моего
Альбрехта и замечаю, что небольшое
соревнование немало полезно обоим, так как они
примерно одинаковой силы» *). Летом 1754г.
группа «аспирантов» Эйлера еще выросла: из
Петербурга прибыли Степан Яковлевич Румовский (9 ноября 1734 —
18 июля 1812) и Михаил Софронов (1729 — 21 февраля 1760). Оба
выходцы из среды бедного духовенства, обучавшиеся вначале подобно Котель-
никову в духовных семинариях, Румовский и Софронов поступили в 1748 г.
в академический университет и кончили его с блестящим успехом.
На выпускном экзамене в январе 1753 г. Софронов по математике и физике
оказался даже первым. В его характеристике отдельно отмечалось:
«Да он же сверх того имеет особливые заслуги, что девять человек
студентов обучились у него геометрии и алгебре довольно» 2). Диссертации
Румовского «Решение Кеплеровой задачи об определении полуординаты
(эллипса) по данному сектору» и Софронова «О спрямлении эллиптических
дуг» были одобрены Эйлером; в конце 1753 г. оба они были произведены
в адъюнкты. Софронову, больному алкоголизмом, пришлось менее чем
через год вернуться в Петербург, где он еще несколько лет занимался
преподаванием и переводами. Его несомненное дарование не смогло
раскрыться из-за болезни; печатных трудов он не оставил. Котельников
и Румовский возвратились летом 1756 г. В том же году Котельников
был избран профессором математики. Деятельность его была
разнообразной. В 1761—1766 гг. он руководил Академической гимназией, 17 лет
состоял членом управлявшей Академией комиссии, работал в Географи-
С. К. Котельников (силуэт
работы Ф. Антинга, 1780-е
годы).
х) Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften in Briefwech-
sel Leonhard Eulers, B. 2, hsg. von A. P. Juschkewitsch und E. Winter, Berlin, 1961,
стр. 281.
2)B. И. Смирнов иЕ. С. Кулябко, Михаил Софронов, русский
математик середины XVIII века. М.—Л., 1954, стр. 21—22.

192
ГЛ. 11. УЧЕНИКИ И ПЕРВЫЕ ПРЕЕМНИКИ ЭЙЛЕРА
ческом департаменте, с 1771 г. заведовал библиотекой и музеем, читал
в Академии студентам и вольнослушателям вплоть до 1796 г. лекции
по высшей математике и механике, преподавал в Морском кадетском
корпусе. Мы упоминали о написанном им кратком изложении
дифференциального и интегрального исчисления, которое он включил в свой перевод
курса Вольфа; ему принадлежат и другие учебные руководства —«Первых
оснований мафиматических наук часть первая, содержащая в себе
арифметику» (СПб., 1766), «Молодой геодет или первые основания геодезии»
(СПб., 1766) и «Книга, содержащая в себе учение о равновесии и
движении тел» (СПб., 1774) х). В учебнике арифметики число трактуется по
Ньютону, как «содержание», т. е. отношение двух количеств и потому
большое внимание отведено изложению теории пропорций; применяется
буквенное обозначение количеств; приводятся правило ложных
положений, доказываемое алгебраически, сведения об извлечении корней,
прогрессиях, логарифмах. Начиная с 1783 г. Котельников отдавал много
времени работе в только что созданной тогда Российской академии,
а в 1797 г. был назначен цензором и в связи с этим перешел в Академии
наук на положение почетного члена.
Научная продукция Котельникова была невелика. В VII—VIII томах
«Новых записок» академии напечатаны три статьи его по механике и
физике, а в NCAP X (1764) 1766 математическая работа, в которой рассмотрена
задача Эйлера о числе Рп возможных способов разбиения га-угольника на
треугольники посредством непересекающихся диагоналей. Еще в письме
к Гольдбаху от 4 сентября 1751 г. Эйлер привел формулу
р _ 2-6-10. ..(4га —10) о
^п~ 2-3-4...(п-1) ' П>6'
которую затем опубликовал без доказательства в NCAP VII (1758—
1759) 1761. Котельников предложил вывод этой формулы, которую привел
также в своем учебнике геодезии вместе с несколькими теоремами о
построении га-угольника по тем или иным данным 2га — 3 его элементам, именно:
1) га сторонам и га — 3 углам, 2) га — 2 сторонам и га — 1 углам, 3) га
сторонам и га — 3 диагоналям. Обобщениями задачи Эйлера (например,
вопросом о разбиении га-угольника на гаг-угольники) занимались
впоследствии многие — Н. И. Фусс (1810, Mem. Ac. Sciences XI, 1830), Лиувилль
и др., а общие основы полигонометрии разработал другой петербургский
академик — Лексель.
В 1761 г. Котельников произнес яркую публичную речь о пользе
математики. Значение математики для других наук, «о пользе которых
никто не сумневается» 2), раскрывается с помощью исторического обзора
ее достижений и их приложений с древних времен до середины XVIII века.
Развивая замечательные мысли, высказанные за десять лет до того
в «Слове о пользе химии» (1751) М. В. Ломоносова (1711—1765),
призывавшего к объединению усилий математиков и химиков, Котельников
подчеркивает, что успехи наук были бы еще большими, если бы теоретики
и практики не были столь разобщены в своей деятельности. О роли
отвлеченных математических идей для познания природы Котельников писал:
«И понеже математики рассуждают вообще о всех вещах, ничего не назы-
1)А. А. Космодемьянский, Очерки по истории механики в России. —
Уч. записки МГУ, вып. 122. М., 1848, стр. 203—206.
2) С. К. Котельников, Слово о пользе упражнения в чистых
математических рассуждениях, СПб. 1761, стр. 6.

С. К. КОТЕЛЬНИКОВ и С. Я. РУМОВСКИЙ
193
вая своим именем, или поколику они [вещи] в рассуждении их величины
или количества их свойств переменяются, яко тягости, твердости,
движения, теплоты, упругости и прочих качеств; то можно оные рассуждения
их во всех употреблять науках, глядя по обстоятельствам случающихся
в телах перемен. Ибо к полезному оных в других науках употреблению
почти ничего больше не надобно, как каждое количество назвать своим
именем, которых уже свойства и их перемены исследованы и включены
в формулы аналитические. Итак, вся
трудность состоит в искусстве употреблять
в нужном случае исследованные уже в
математике и изображенные аналитическими
характерами [знаками] тел свойства»*).
Стихийно-материалистические установки
автора проявляются во всей речи.
Котельников принадлежал к той группе
русских математиков XVIII века, которые
почти всю свою энергию отдавали
просветительской деятельности в ее различных
проявлениях. Понятно, что, например, в декабре
1763 г., отвечая на запрос, почему он не
дает статей для «Новых ежемесячных
сочинений» Академии наук, Котельников писал:
«...порученное мне дело в рассуждении
гимназии, такожде и чтение лекций оставляют
весьма мало времени, в которое бы мне
в науке моей профессии можно было
упражняться в покое».
Более активно было научное творчество _ _,
С. Я. Румовского, хотя и он много времени с- я- Р^0ВТ1&м°КМпм^'
J ' ^ * менцова, литография М. Момар-
уделял преподаванию, учебно-литературной, ского? 183о-е годы).
и научно-организационной работе.
Отметим его «Сокращения математики, часть
первую, содержащую начальные основания арифметики, геометрии и
тригонометрии» (СПб., 1760), составленную с учетом, в частности,
тригонометрических исследований Эйлера и под несомненным влиянием руководств
профессора И. А. Зегнера. Профессор по кафедре астрономии с 1763 г.,
Румовский в последние годы работы в Академии состоял ее
вице-президентом (1800—1803). После того, оставаясь почетным членом Академии,
он плодотворно трудился до конца жизни на посту члена Главного
правления училищ, проводившего большую реформу системы
образования, а так же, как упоминалось, был попечителем Казанского
университета. Как и Котельников, Румовский был активным членом
Российской Академии 2).
Научные заслуги Румовского лежат главным образом в области
астрономии и географии. Почти 40 лет он возглавлял Географический
департамент Академии, занимался составлением карт, 25 лет руководил
изданием ежегодных астрономических словарей. В 1761 и 1769 гг. он
участвовал в экспедициях по наблюдению прохождения Венеры по Солнцу
в Селенгинске и, соответственно, на Коле, из которых вторая дала богатые
х) С. К. Котельников, Слово о пользе упражнения в чистых
математических рассуждениях, СПб., 1761, стр. 17.
2) Подробная биография С. Я. Румовского имеется в кн.: М. Сухомлинов,
История Российской Академии, вып. 2, СПб., 1875.

194 ГЛ. 11. УЧЕНИКИ И ПЕРВЫЕ ПРЕЕМНИКИ ЭЙЛЕРА
результаты. Изданные им в 1786 г. таблицы географического положения
многочисленных пунктов отличались замечательной точностью и высоко
ценились еще долгое время спустя. По математике он опубликовал семь
статей, тесно примыкающих к работам Эйлера.
Первая из математических работ Румовского [NCAP VIII (1760—
1761) 1763] содержит решение поставленной Эйлером задачи: определить
контур основания конуса данной высоты, имеющего при данном объеме
наименьшую боковую поверхность; употребляя полярные координаты,
Румовский свел дело к отысканию условного экстремума интеграла
\ ]/ a*\-j-y + (а2 + г2)г2 dcp, обращающегося в нуль, когда ф = 0 при
заданной величине \ г2йф; уравнение Эйлера интегрируется при этом
в квадратурах. Заметим, что в конце статьи приведено было решение
Эйлера, применившего прямолинейные координаты и что несколько
спустя Иоганн-Альбрехт Эйлер напечатал в Abh. d. Bayer. Akad. d.
Wissenschaften, 1764 решение задачи об отыскании контура основания
конуса данной высоты, имеющего при данной боковой поверхности
наибольший объем. Это — одна из трех математических работ И.-А. Эйлера;
остальные 28 принадлежат физике, астрономии и механике и в
составлении все�