/
Author: Потапов М.К. Пасиченко П.И. Александров В.В.
Tags: алгебра математика математический анализ
Year: 1981
Text
М. К. ПОТАПОВ
В. В. АЛЕКСАНДРОВ
П. И. ПАСИЧЕНКО
АЛГЕБРА
И АНАЛИЗ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
М.К. ПОТАПОВ
В. В. АЛЕКСАНДРОВ
П.И. ПАСИЧЕНКО
АЛГЕБРА
И АНАЛИЗ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для слушателей
подготовительных отделений высших
учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 1
22.141
П 64
УДК 512
Михаил Константинович Потапов
Владимир Васильевич Александров
Петр Иванович Пасиченко
АЛГЕБРА И АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
М., 1981 г., 560 стр. с илл.
Редакторы Б. В. Куксенко, Т. А, Панькова.
Техн, редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Л. Н. Ворована.
ИБ Ха 11598
Печать с матриц. Подписано к печати 19.12.80. Бумага 60X90f/te« Тнп. № 2.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 35. Уч.-изд. л. 37,78.
Допечатка тиража 100000 экз. Заказ № 2381. Цена книги 1 р. 40 к.
Издательство «Наука*
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового/Красного Знамени Первая
Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва*
М-54,- Валовая, 28
п 20202—013
П 053(02)-81
26-80. 1702030000
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980 >
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ••••••••••••••••••••••••*•••« 5
Глава I. Действительные числа .•.••••••••••«•••• 7
§ 1. Натуральные числа . . . . ................•••••••• 7
§ 2. Дроби.............................................. 18
§ 3. Целые числа................................... 24
§ 4. Рациональные и иррациональные числа . . . ....... • 27
§ 5. Действительные числа.......................... 30
§ 6. Числовые равенства и неравенства • 38
§ 7. Числовые множества.......• 41
Упражнения 47
Глава II. Алгебраические выражения 52
§ 1. Определения и основные свойства.................... 52
§ 2. Равенства и неравенства алгебраических выражений • • • • • 58
§ 3. Многочлены........... 69
§ 4. Алгебраические дроби .............................. 75
§ 5. Многочлены, целые относительно одной буквы ....... 81
§ 6. Метод математической индукции • 92
Упражнения • • • • ..................................... 99
Глава III. Алгебраические уравнения и неравенства 109
§ 1. Уравнения с одним неизвестным 109
§ 2. Неравенства с одним неизвестным •...••••••••• 124
§ 3. Уравнения с двумя неизвестными.................... 134
§ 4. Системы уравнений 146
Упражнения • 161
Глава IV. Степени и логарифмы 170
§ 1. . Степень с целым показателем .......• •••..•• 170
§ 2. Степень с рациональным показателем ............... 175
§ 3. Степень с иррациональным показателем •••••••«••• 179
§ 4. Степень положительного числа...................... 181
§ 5. Логарифмы ....................... . . . ......... 184
Упражнения 189
Глава V. Тригонометрия 198
§ 1. Углы и их измерение .............................. 198
§ 2. Синус и косинус угла ............................. 208
. § 3. Тангенс и котангенс угла....................... 222
§ 4. Основное тригонометрическое тождество •»•••»•••• 233
: § 5. Формулы сложения ................................. 238
§ 6. Формулы для двойных и половинных углов . ....... . 251
Упражнения . 261
3
Глава VI. Функции и их графики...........................*••••* 271
§ 1. Определения и примеры.................................. 272
§ 2. Основные элементарные функции......................... 280
§ 3. Обратные функции....................................... 294
§ 4. Суперпозиции функций и их графики...................... 301
Упражнения................................................... 315
Глава VII. Уравнения с одним неизвестным........................ 320
§ 1. Основные определения и утверждения равносильности урав-
нений .............. . . ................................... 320
§ 2. Простейшие уравнения . . . ............................ 327
§ 3. Равносильные преобразования уравнений . , . ........... 341
§ 4. Неравносильные преобразования уравнений................ 348
Упражнения...............................................* • 367
Глава VIII. Неравенства с одним неизвестным..................... 377
§ 1. Основные Понятия и утверждения равносильности неравенств 377
§.2, Простейшие неравенства................................ 385
§ 3. Преобразования неравенств.............................. 413
Упражнения................................................... 432
Глава IX. Предел последовательности и предел функции............ 442
§ 1. Числовые последовательности............................ 442
§ 2. Предел числовой последовательности..................... 447
§^З.П редел функции......... ... . _. ................... . 461
§ 4. Непрерывность функции.................................. 472
§ 5. Прризврдоая функции. ................................. 476
Упражнения................................................... 482
Глава Х. .Системы линейных уравнений.............................486
§ 1. Матрицы................................................ 486
§ 2. Определители.............*............................. 493
§ 3. Обратная" матрица. Ранг матрицы........................ 501
§4. Системы линейных уравнений............................ 508
Упражнения . ................................................ 520
Глава XL Комплексные числа .................................... 522
§ 1. Понятие комплексного числа.......................... . 522
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел............. 531
§ 3. Числовые поля и кольца...................... ........ 538
§ 4/ Многочлены над полем комплексных чисел................. 540
§ "5 . Кольца/ поля, группы............................... 548
Упражнения................................................... 559
: ПРЕДИСЛОВИЕ
С 1969 года при высших учебных, заведения^ в, Соответствии
с Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров. СССР открыты
подготовительные отделения для рабочей- и сельской молодежи.
Перед этими отделениями поставлена ответственная задача —
обеспечить повышение уровня общеобразовательной подготовки
молодых рабочих, колхозников, лиц, демобилизованных из рядов
Советской Армии, создать у них прочный фундамент знаний для
дальнейшего успешного обучения в вузе. . , . , , ,
Изучение математики на подготовительных отделениях суще-
ственно отличается от изучения математики в средней школе.
Отличие это состоит прежде всего в том, что на . подготовитель-
ном отделении происходит обучение лиц с законченным -средним
образованием, имеющих перерыв в учебе. Обучение ’ математике
на подготовительных отделениях заключается в комплексном
повторении школьного курса, в воспитании активных знаний и
творческого усвоения навыков оперирования с математическими
объектами. Основной упор при этом делается на те вопросы,
глубокое и полное понимание которых является особенно важным
при изучении высшей математики. Все эти особенности изучения
курса математики на подготовительном отделении были учтены
при создании данного пособия. Оно написано на основе лекций,
которые читались авторами в течение ряда лет на подготовитель-
ном отделении Московского государственного университета им.
М. В. Ломоносова.
Первые четыре главы пособия «Действительные числа», «Ал-
гебраические выражения», «Алгебраические уравнения и неравен-
ства» и «Степени и логарифмы» содержат материал, изучаемый на
подготовительном отделении в первом семестре. Материал сле-
дующих пяти глав: «Тригонометрия», «Функции и их графики»,
«Уравнения с одним неизвестным», «Неравенства с одним неиз-
5
вестным» и «Предел последовательности и предел функции» изу-
чается во втором семестре.
Последние две главы являются дополнительными. Они полез-
ны для будущей специализации, например, системы линейных
уравнений —для будущих экономистов; комплексные числа—для
будущих студентов технических вузов; поля, группы, кольца —
для будущих математиков.
В пособии уделено большое внимание теоретическому мате-
риалу, приводятся некоторые понятия и определения, отсутствую-
щие в школьных учебниках, но необходимые при изучении выс-
шей математики. Поэтому пункты и разделы, показавшиеся
трудными читателю при первом знакомстве с книгой, можно
опустить с тем, чтобы вернуться к ним в дальнейшем.
Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Натуральные числа
Ряд натуральных чисел. Понятие натуральных чисел возникло
из потребностей счета. Натуральные числа можно сравнивать
между собой, при этом ясно, какое из двух чисел больше. Все
натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, обра-
зуют ряд натуральных чисел: первое число —единица, второе —
два, третье—три и т. д. У каждого натурального числа есть свое
место в этом ряду. В дальнейшем ряд натуральных чисел будем
обозначать буквой N.
Чтобы обозначить, что число т больше числа п, употреб-
ляется запись т > п. Для обозначения того, что число т меньше
числа п, употребляется запись т < п. Называют эти записи не-
равенствами натуральных чисел. Чтобы обозначить, что число т
и число п—одно и то же число, употребляют запись т = ии на-
зывают ее равенством натуральных чисел.
Сложение натуральных чисел можно определить, используя
ряд натуральных чисел, следующим образом.
Сложить два натуральных числа т и п—значит найти в ряду
натуральных чисел число р (р > т), находящееся на n-м месте
от числа т, причем счет начинается с числа т 4-1. Это число р
называется суммой чисел т и п и обозначается т-\-п, а числа
тип называются слагаемыми. Например, т 4-3 — число, стоящее
после числа т на третьем месте. Чтобы сложить несколько на-
туральных чисел, надо сложить сначала первые два, затем к по-
лученной сумме прибавить следующее натуральное число и т. д.
Умножить натуральное число т на натуральное число п—
значит найти натуральное число q, равное: а) п, если т=1; б) сум-
ме т чисел, каждое из которых есть п, если т > 1. Это число q
называется произведением чисел т и п и обозначается тп, а числа
тип называются сомножителями. Например,, умножить нату-
ральное число 2 на число п — значит найти натуральное число q,
равное сумме двух чисел, каждое из которых есть число п. Это
число обозначается 2п, т. е. q = 2n. Чтобы перемножить несколько
натуральных чисел, надо сначала перемножить первые два, затем
полученное натуральное число умножить на следующее натураль-
ное число и т. д.
7
Приведем основные законы сложения и умножения нату-
ральных чисел:
а) т+п = п+т (коммутативность сложения);
б) (1 + т) + п — 1 + (т + п) (ассоциативность сложения);
в) тп = пт (коммутативность умножения);
г) (1т)п = 1(тп) (ассоциативность умножения);
д) (/ 4- т) п = In+тп (дистрибутивность сложения относительно
умножения).
Если число т взято сомножителем k раз (k—натуральное
число, большее единицы), то произведение
тт ... т
k раз
называют k-й степенью числа т и обозначают тк, т. е. по опре-
делению
тк = тт ... т.
k раз
Кроме того, по определению
т1 — т.
Справедливы следующие свойства степеней:
а) тктп = тк*п;
б) (тк)п=ткп‘,
в) тк1к=(т1)к.
Эти свойства доказываются с помощью основных законов сложе-
ния и умножения натуральных чисел.
Определим действия, обратные сложению и умножению нату-
ральных чисел,—действия вычитания и деления для натураль-
ных чисел.
Вычесть из натурального числа п натуральное число т —
значит найти натуральное число р такое, что
т+р = п. (1)
Не для любых натуральных чисел пит существует такое нату-
ральное число р, что выполняется равенство (1). Если п > т, то
такое число существует и единственно. Оно называется разностью
чисел п и т и обозначается п—т, число п называется умень-
шаемым, а число т—вычитаемым.
Разделить натуральное число п на натуральное число т —
значит найти натуральное число q такое, что
mq = n. (2)
Не для любых натуральных чисел п и т существует такое нату-
ральное число q, что выполняется равенство (2). Если такое
число существует, то числа т и q называются делителями числа
п и обозначаются^
q = п: т\ m = n:q.
Опираясь на основные законы сложения и умножения натураль-
ных чисел и определения действий вычитания и деления, можно
доказать следующие утверждения или, другими словами, теоремы.
Теорема 1. Если число т есть делитель чисел и пг, то
т есть делитель суммы п1-\-п2.
Доказательство. Поскольку т есть делитель числа л,,
то tii = mqi. Аналогично n2 = mq2. Применяя закон дистрибутив-
ности сложения относительно умножения натуральных чисел,
имеем «! + п2 = mqt + mq2 — m(q1 + q2). Следовательно, число «х+Лг
делится на число т.
Теорема 2. Если число т есть делитель чисел и п2 и
nl > n2, wo число т есть делитель разности п^—па.
Справедливость этого утверждения доказывается аналогично.
Отметим еще. несколько очевидных свойств равенств натураль-
ных чисел:
а) если т=п, то m-{-k — n-{-k для любого натурального
числа k.-,
б) если т = п, то т—1 — п — 1 для любого натурального числа I
такого, что /и > /; \
в) если т = п, то тр = п.р для любого натурального числа р;
г) если т = п, то т: q = п: q для любого натурального числа q,
являющегося делителем числа т.
Расширенный ряд натуральных чисел. Рассмотрим новое
число —число нуль. Для его обозначения употребляется символ 0.
Нуль не является натуральным числом и считается числом, пред-
шествующим всем натуральным числам. Ряд натуральных чисел
вместе с числом нуль называется расширенным натуральным
рядом. Расширенный натуральный ряд будем обозначать буквой Zo.
В расширенном натуральном ряду можно определить действия
сложения и умножения; для этого к определениям сложения и
умножения натуральных чисел достаточно добавить определения
сложения и умножения, в которых участвует число нуль:
а) 0+л = л+0 = п;
б) 0+0 = 0;
в) 0-л = л-0 = 0;
г) 0-0 = 0.
По определению нулевая степень любого натурального числа т
есть единица, т. е. /л° = 1.
Деление на нуль и возведение нуля в нулевую степень явля-
ются запрещенными действиями.
Чтобы производить действия над числами из расширенного
натурального ряда, надо уметь их записывать. Запись одного и
того же натурального числа зависит от системы счисления.
В основе всякой системы счисления лежит следующий прин-
дип: некоторое количество единиц составляет новую единицу
следующего высшего разряда. Это число называется основанием
системы счисления. Если за основание системы принято число два,
то система счисления называется двоичной, если за основание
«50^
9
принято число двенадцать—система называется двенадцатерич-.
ной и т. д.
Дальше будем рассматривать только десятичную систему
счисления. В этой системе вводится десять знаков, называемых
цифрами; для обозначения первых девяти натуральных чисел —
знаки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для числа нуль—знак 0. В этой
системе счисления число десять обозначается символом 10, а каж-
дое натуральное число р представляется в виде
p = an-10“ + an_1-10n-1+ ... 4-а2-ЮН-Оо, (3)
где п—число из расширенного натурального ряда, ап—одно из
чисел 1, 2, 3, .... 9, каждое из а0, alf а2, ..., ап_1 — одно из
чисел 0, 1, 2, 3, ..., 9. Заметим, что если число п будет больше,
чем число девять, то оно само должно быть записано в виде (3).
Для записи числа р обычно употребляется другая форма
записи, основанная на принципе позиционного значения цифр.
Суть этого принципа заключена в том, что каждая цифра, кроме
своего значения в зависимости от начертания, получает еще и
так называемое позиционное значение. Например, цифра 5 может
иметь значения: пять единиц, если стоит в изображении числа р
на первом месте справа; пять десятков, если стоит в изображе-
нии числа р на втором месте справа, и т. д. На этом принципе
и основана обычная запись натуральных чисел. Запись 2705
означает, что число состоит из двух тысяч, семи сотен, нуля
десятков и пяти единиц, т. е.
2705 = 2 • 103 + 7 < 102 + 0 • 10 + 5.
Если взять число р, представленное в виде (3), то его запись,
основанная на позиционном принципе, будет такая:
Р — Q-rfln—i • • •
(черта сверху ставится для того, чтобы отличать это число от
произведения a„an_j.. .сцца^. В дальнейшем будут употребляться
две формы записи натурального числа р:
а) р = апап_г. . .а^^,
б) р = а„-10"+«„_!-10"-1.. 4-а2-1О2+а1-1О+ао,
т. е. дальше будем пользоваться равенством
. .а^йо = ап• lOM^-i • 10°-*4-... 4- а2• 1024-о1 • 104- а0. (4)
Признаки делимости. Ранее уже отмечалось, что не всегда
одно натуральное число делится на другое. Поэтому представ-
ляет интерес выделение тех случаев, когда деление возможно.
Выделению этих случаев весьма помогают так называемые приз-
наки делимости. Приведем некоторые из них. Заметим предвари-
тельно, что из вышеизложенного вытекает, что:
10.
а) нуль делится на любое натуральное число,
б) любое натуральное число делится на единицу.___________(
Теорема 3. Чтобы натуральное число p — a^in^i...aaala9
делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра а9
этого числа делилась на 2.
Доказательство. Докажем, что если число ав делится
на 2, то число р также делится на 2. Запишем. число р в виде
р = а+р, (5)
где
а = (а„. 10»“i-f-an_I- 10»-? +... 10+^)-10,
Р = а0.
Каждое слагаемое в правой части равенства (5) делится на 2,
следовательно, и вся сумма делится на 2, т. е. число р делится
на 2.
Докажем обратное утверждение. Если число р делится на 2,
то число а9 также делится на 2. По свойству б) равенств из ра-
венства (5) вытекает, что
о» = р — [ап • 10е-1+а„_! • 10»-? + ... + а2 • 10 + а,) • 10.
Каждый член разности правой части равенства делится на 2,
следовательно, вся разность делится на 2, т. е. число а0 делится
на 2. Теорема доказана.
Натуральные числа, делящиеся на два, и число нуль назы-
ваются четными числами. Все остальные натуральные числа
называются нечетными. Теорему 3 можно переформулировать
так: для четности любого натурального числа Р = апа„^.. лцсцсц,
необходимо и достаточно, чтобы последняя , цифра а, этого числа
была бы числом четным.
Рассмотрим характерные черты доказательства теоремы 3.
В самой теореме сформулированы, а затем и доказаны два утверж-
дения: а) из делимости числа а0 на 2 следует делимость на 2
числа р [достаточное условие делимости числа р на 2); б) из дели-
мости числа р на 2 следует делимость на 2 числа ай [необходи-
мое условие делимости числа р на 2). Если свойство делимости
числа а„ на 2 обозначим буквой А, а свойство делимости числа р
на 2 обозначим буквой В, то первое утверждение можно кратко
сформулировать так: из А следует В (А=фВ), а второе утверж-
дение—из В следует А (А<=В). Теорему с помощью введенных
символов можно записать так: А&В.
Запись А В означает также, что свойство А, более простое
и легко проверяемое, является необходимым и достаточным усло-
вием для выполнения более сложного свойства В.
Так как свойство А является достаточным условием для свой-
ства В (А=^В), то на практике, убедившись в том, что послед-
няя цифра является четной, можно быть уверенным, что и все
число делится на 2. Так как свойство А является необходимым
11
ч
условием для свойства В (А<?=В), то, установив, что число а0
не делится на 2, можно утверждать, что и число р не делится
на 2, т. е. теорему 3 можно сформулировать так: если послед-
няя цифра числа р делится на 2, то число р делится на 2, если
она не делится на 2, то число р не делится на 2.
Отметим, что если некоторое свойство С является достаточным
условием для свойства D, то это еще не означает, что нет чисел,
обладающих свойством D, но не обладающих свойством С. Напри-
мер, достаточным условием делимости числа р на 4 является
условие <z1=ao = O. Справедливость последнего утверждения сле-
дует из представления числа р в виде
p = (a„-10n-?+an_r Ю"-3-}-... +Оз-Ю+а2)-10?
и делимости числа 100 на 4. В то же время, например, число 252
делится на 4, хотя две последние его цифры не нули.
Если доказано, что некоторое свойство Е является необхо-
димым условием для свойства D, то это еще не означает, что
нет чисел, обладающих свойством Е, но не обладающих свойст-
вом D. Например, необходимым условием делимости числа р на 4
является четность числа р. Справедливость последнего утвержде-
ния очевидна, ибо если число р делится на 4, то тем более оно
делится на 2. В то же время, например, число 1222 не делится
на 4, хотя оно четное.
Если же доказано, что свойство S является необходимым и
достаточным условием для свойства Q, а свойство S легко про-
веряется для любого числа р, то, найдя все числа, обладающие
свойством S, можно сказать, что найдены все числа, обладающие
более сложным свойством Q.
В дальнейшем для краткости будем часто пользоваться сим-
волами =>, <=, в следующем смысле: запись M=$>L будет
означать, что из утверждения М, стоящего слева от символа =>,
следует утверждение L, стоящее справа. Запись Q^=S будет
означать, что из утверждения S, стоящего справа от символа <=,
следует утверждение Q, стоящее слева. Запись Е &F будет
означать, что утверждения, стоящие слева и справа от символа ФФ,
равносильны, т. е. одновременно и из утверждения F, стоящего
справа от символа вытекает утверждение Е, стоящее слева,
и из утверждения Е, стоящего слева от символа вытекает
утверждение F, стоящее справа.
Сформулируем и докажем еще признаки делимости натураль-
ных чисел на 4 и на 9.
Теорема 4. Для того чтобы натуральное число р =
= atfln-t .а^а^ делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы
число а^ делилось на 4. ___
. Доказательство. Достаточность. Пусть число ata0
делится на 4. Запишем число р в виде
Р = ф + Ф. (6)
12
где
‘ <p = Gv 10«-?+a„-r 10«-s+ • • • +<V Ю+аа). 10%
Ф = аЛ,.
Каждое слагаемое в правой части равенства (6) делится на 4,
следовательно, и вся сумма делится на 4, т. е. число р делится
на 4.
Необходимость. Пусть число р делится на 4. По свой-
ству б) равенств из равенства (6) вытекает, что
= (а„-10п-?+а„_1-10п-3+ ... +аз-1О-Ьа2).1О?.
Каждый член разности правой части равенства делится на 4,
следовательно, вся разность делится на 4, т. е. число
делится на 4. Теорема доказана.
Например, число 1232 делится на 4, так как число 32 делится
на 4, а число 15126 не делится на 4, так как число 26 не делится
на 4.
Теорема 5. Для того чтобы натуральное число р =
-а апап^1.. .а&су, делилось на 9, Необходимо и достаточно, чтобы
сумма всех цифр данного числа делилась на 9.
Доказательство. Достаточность. Пусть сумма цифр
данного числа делится на 9. Запишем число р в виде
р = ап- 10’+а„_г Ю"-1-!- ... 10?4-^. 10+о,.
Легко видеть, что справедливо равенство
10* =99... 999 + 1.
_ _ у
k раз
Пользуясь этим равенством, перепишем р в виде
р = у + Х, (7)
где
у = (ап • 99...9+ап _ г 99... 9 +... + а, • 99+ац • 9),
^Т^раз^ (я^1)раз
^ = аи + ап-1+ • • • Н-0»'
Каждое слагаемое в правой части равенства (7) делится на 9,
следовательно, и вся сумма делится на 9, т. е. число р делится
на 9-
Необходимость. Пусть число р делится на 9. По свой-
ству б) равенств из равенства (7) вытекает, что
(йи +а1 + • • • +а») —
= р — (ап-99...9+a„_j-99.. .9+ ... +аа.99 + аг9).
п раз (п- 1)раз
13
Каждый член разности правой части равенства делится на 9,
следовательно, вся разность делится, на 9, т. е. число (a0 + Oi +
+ •.. ++) делится на 9. Теорема доказана.
Например, число 1215 делится на 9, так как 14-2+1+5 = 9,
а число 4232 не делится на 9, так как 4+2 + 3+2=11, и 11
не делится на 9.
Простые и составные числа. Множество натуральных чисел
состоит из единицы, простых и составных чисел. Натуральное
число, большее единицы, называется простым, если оно не имеет
делителей, кроме единицы и самого себя. Натуральное число,
большее единицы, называется составным, если оно имеет хотя бы
один делитель, отличный от единицы и самого себя.
Пользуясь этим определением можно показать, что любое
составное число имеет хотя бы один делитель, который явля*
ется простым числом.
Теорема 6. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Допустим, что существует лишь конеч-
ное число простых чисел рх, рг, ..., рп. Тогда каждое нату-
ральное число, большее 1 и не совпадающее ни с одним из этих
чисел, будет составным. Число р = рх • рг• р3 •... • рп + 1 не совпа-
дает ни с одним из чисел рг, рг, р3, ..., рп, так как оно больше
каждого из них. По нашему предположению, простых чисел,
кроме pi, р3, ..., рп, нет. Следовательно, число р составное и
поэтому делится хотя бы на одно из чисел рг, р2, ..., рп.
С другой стороны, число р не делится ни на одно из чисел
Pi, р2, ..., р„, поскольку произведение рх-р2-.. ,-рп делится
на каждое из этих чисел, а число 1 ни на одно из них не делится.
Таким образом, предположив, что существует лишь конечное
число простых чисел, приходим к противоречию. Следовательно,
множество простых чисел бесконечно.
Теорема 6 доказана способом от противного. Этот способ
заключается в следующем: строится отрицание утверждения, сфор-
мулированного в теореме. Затем на основании построенного отри-
цания приходим к выводу, который либо неверен, либо противо-
речит сделанному отрицанию. Тем самым из двух логически
возможных ситуаций (либо верно данное утверждение, либо его
отрицание) остается только одна —верно данное утверждение.
Всякое составное число р можно записать в виде произведе-
ния простых чисел: так, например, 221 = 13-17. В этом случае
говорят, что число р разложено на простые множители.
При разложении числа на простые множители некоторые из
них могут встретиться в разложении не один раз. Принято писать
этот простой множитель в степени, показывающей, сколько раз
он является сомножителем, например 360 = 23-32-51.
Любое натуральное число р можно записать в виде
р=рШ2. . .р^, . (.8)
И
где ро р2, ...» рк —различные простые делители числа р, а
at, a2, ..., ак—число их повторений в разложении числа р.
Разложение (8) натурального числа р на простые множители
единственно, т. е. не существует других простых чисел, являю-
щихся делителями числа р, и степени ах, а2, ..., ак не могут
быть заменены другими степенями. Итак, справедлива следующая
теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема 7 (основная теорема арифметики). Для каждого
натурального числа р > 1 существует единственное его разложе-
ние на простые множители.
Если натуральные числа Pi и р2 делятся на-'одно и то же
натуральное число р, то число р называется общим делителем
чисел Pi и р2. Наибольшее натуральное число, на которое делятся
pi и р2, называется наибольшим общим делителем этих чисел
(НОД). Например, НОД чисел рх = 132 = 2®-3-11 и р2=90 =
= 2-3®-5 равен 2-3 = 6.
Если НОД двух чисел равен 1, то они называются взаимно
простыми. Взаимно простыми являются, например, числа 33 —
= 3-11 и 35 = 5-7.
Теорема 8. Если натуральные числа pt и ра взаимно прос-
тые, а натуральное число р делится и на pt и на рг, то р
делится на произведение ptpa.
Доказательство теоремы опустим.
Заметим, что если числа рх и р2 не являются взаимно прос-
тыми, то утверждение теоремы не всегда верно. Например, нату-
ральное число 180 делится на 4 и на 6, но не делится на их
произведение — на 24.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел
Pi, р2 называется наименьшее натуральное число, которое делится
и на Pi и на р2. Например, НОК чисел 132 и 90 есть число
2®-32-5-11 = 1980.
Деление с остатком. Если в результате деления натурального
числа р на натуральное число т получилось натуральное число q
такое, что p—mq, то говорят, что р делится на т. Как следует
из вышеизложенного, не всегда в результате деления получается
такое число q. Однако всегда возможно деление с остатком.
Разделить натуральное число р на натуральное число т с
остатком — это значит найти два числа q и г из расширенного
натурального ряда такие, что справедливо равенство p = mq + r,
причем г удовлетворяет условию 0^г</п. Число ^называет-
ся частным, а число г —остатком. Если г = 0, то говорят,
что натуральное число р делится на натуральное число т без ос-
татка.
Теорема 9. Пусть р и т —любые натуральные числа. Тогда
существует единственная пара чисел q иг из расширенного нату-
рального ряда, удовлетворяющая условиям: p = mq + r иО^г <т.
Доказательство. Если р<т, то пара чисел ^ = 0, г = р
удовлетворяет условиям теоремы.
\\ 15
К
Если р = т, то пара чисел q—l, г = 0 удовлетворяет усло-
виям теоремы.
Если р> т и р делится на tn, то существует натуральное
число qi такое, что p = mq1, тогда пара чисел q = qi и г = 0
удовлетворяет условиям теоремы.
Если р > т и р не делится на т, то пара чисел <7i = I и
г1 — р~ т будет удовлетворять условиям
р = г1>0.
Поскольку р не делится на т, то Значит, либо г1</и,
либо > т. Если < т, то пара чисел q — 1 и г = удовлет-
воряет условиям теоремы.
Если Г1 > т, то число г2 = г1 — т таково, что г1 = т + гг и
О < гг < rt. А потому справедливо равенство
р = т-2-\-гг.
Так как р не делится на т, то г2#=/п. Значит, либо г2 < т,
либо г2> т. Если г2 < т, то пара чисел q — 2 и г = г2 удов-
летворяет условиям теоремы.
Если же г2 > т, то повторяем этот процесс до тех пор, пока
на каком-то k-м шаге окажется, что
p = mk + rk, 0<гк<т.
А это означает, что пара чисел q = k и г — гк удовлетворяет
условиям теоремы. Существование такого &-го шага вытекает
из следующей аксиомы для натуральных чисел: для любых нату-
ральных чисел р и т таких, что р> т, найдется натуральное
число I такое, что р < ml.
Итак, доказано существование пары чисел q и г, удовлетво-
ряющих условиям теоремы.
Теперь докажем единственность такой пары чисел. Предпо-
ложим, что есть две пары чисел q, г и q0, гп, удовлетворяющие
условиям теоремы, т. е. такие, что
p = m<7 + r и 0^г</п,
р = /л<7о + го и 0<г0</п.
Следовательно, mq + г = mq9 + гс.
Предположим для определенности, что г0 > г, тогда 0 < г0 —
— г<т и q — q2> 0 и m (<? — </0) = г» — г. В этом случае в послед-
нем равенстве в правой части стоит натуральное число, меньшее
чем т, а в левой части — большее чем т или равное ему, и,
следовательно, равенство m(q — qe) = r9 — r является неверным.
Аналогично, рассматривая случай г0 < г, приходим к противо-
речию. Следовательно, г = г0. Тогда из равенства m(q — q<)) =
= ra — r = Q следует равенство q = q9, т. е. пара чисел q и г,
удовлетворяющая условиям теоремы, единственна. Теорема дока-
зана.
Приведем пример применения теоремы 9.
16
Докажем, что если' р — простое число, большее трех, то одно
из двух чисел (р — 1) или (р + 1) делится натри. Действительно,
! число р не делится на три без остатка, так как оно простое и
больше трех. Следовательно, остаток при делении на 3 может
быть 1 или 2. Если остаток равен единице, т. е. если р—3(^+1,
то ясно, что число р— 1 делится на 3. Если остаток равен двум,
т. е. если р = Зр2 + 2, то ясно, что число р + 1 делится на 3.
Доказанная теорема дает способ нахождения наибольшего
общего делителя (НОД) двух чисел. Возьмем два числа р и т из
расширенного натурального ряда и пусть, для определенности,
р > т. Если т = 0, то НОД (р; 0) = р. Если т =+ 0, то р = tnq-\-r,
причем, либо р делится на т без остатка, т. е. г = 0, либо р
делится на т с остатком г, где 0 < г < т. В первом случае
НОД (р; т) = т, но НОД (/и; 0) = т, т. е. справедливо равен-
' ство НОД(р; т) = НОД(/п; г). Оказывается, что аналогичное
равенство
НОД(р; т) = Н0Д(т; г) (9)
имеет место и в случае 0 < г < т.
Действительно, пусть /—общий делитель чисел р и т, т. е.
пусть p — lk и m — ln, где k, I и п—натуральные числа. Так как
p = tnq-\-r и г > 0, то lk — lnq>Q, т. е. /(& — «<?)> 0. Но тогда
k — nq>0 и г —Is, где s — k—nq — натуральное число, т. е. /
является делителем числа г.
Значит, каждый общий делитель чисел р и т является общим
делителем чисел т й г. Рассуждая аналогично, получим и обрат-
* ное утверждение: каждый общий делитель чисел т и г явля-
ется общим делителем чисел р и т.. Отсюда следует, что совпа-
дают и наибольшие общие делители этих пар, т. е. что верно
равенство (9). Так как т<р и г<т, то задача нахождения
* НОД (/и; г) является более простой, чем задача нахождения
НОД (р; т).
Рассмотрим следующий пример. Найти НОД (1428; 420).
Так как 1428 = 420-3+168, то НОД(1428; 420) = НОД(420;
168).
Так как 420=168-2 + 84, то НОД(420; 168) = НОД(168; 84).
Так как 168 = 84 -2, то НОД (168; 84) = НОД (84; 0) = 84, т. е.
НОД (1428; 420) = 84.
Таким образом, способ нахождения НОД(р; т) заключается в
применении равенства (9).
После нахождения НОД (р; т) оказывается возможным найти
и наименьшее общее кратное этих чисел: НОК (р; tri). Для этого
| надо воспользоваться теоремой 10, доказательство которой опустим.
| Теорема 10. НОД(р; /п)-НОК(р; т) — р-т.
L Например, найдем НОК (1428; 420). Из предыдущего при-
+ мера следует, что НОД (1428; 420) = 84. Следовательно,
? НОК (1428; 420) = 1^|^2 = 7140.
I
| 17
шт
§ 2. Дроби
I
Выше отмечалось, что деление не всегда выполнимо в множе-
стве натуральных чисел. Например, в множестве натуральных
чисел нельзя 5 разделить на 4. Чтобы деление было выполнима
всегда, приходится рассматривать новые числа —части натураль-
ных чисел, или дроби.
Обыкновенные дроби. Число, равное k-й части числа единица
(k — натуральное число, большее единицы), обозначают -i-. Если
эта часть берется т раз (т — натуральное число), то получаемое
в результате этого новое число обозначают -у. Число, определяе-
мое по этому правилу при помощи двух натуральных чисел р и .
q (q > 1) и записываемое как —, называют дробью или частным
натуральных чисел р и q, при этом р называют числителем этой
дроби, а число q—знаменателем.
Всякое натуральное число можно считать дробью со знамена-
телем единица, т. е. любое натуральное число п можно записать
как дробь у. Поэтому дальше ограничение q > 1 на знаменатель
дроби снимается и говорят, что частное двух любых натуральных
чисел р и q есть дробь у и при этом множество всех дробей со-
держит в себе множество всех натуральных чисел.
Две дроби у и у считаются равными, если произведение
числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведе-
нию числителя второй на знаменатель первой, т. е. уесли
pk = qm.
Аналогично еслИ pk > тЧ\ zr > если < тЯ-
Cf к if к
Суммой двух дробей называется дробь, числитель которой
равен сумме произведений числителя первой дроби на знаменатель
второй и числителя второй дроби на знаменатель первой, а зна-
менатель равен произведению знаменателей этих дробей, т. е.
р । m pk+qm
q ' k qk
Произведением двух дробей называется дробь, числитель кото-
рой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель—
произведению знаменателей, т. е.
р т _ рт
q ’ k qk *
Справедливы следующие основные законы сложения и умно-
жения дробей:
18
$
а) у + у (коммутативность сложения)^.
б) (у+=—4- (ассоциативность сложения);
в) — • т-'Т' ~ (коммутативность умножения);
q к к q
г) . ~=(т * тг) (ассоциативность умножения);
д) (у++"у' 4 (дистрибутивность сложения
относительно умножения).
Разделить дробь у на дробь <2-—значит найти дробь у та-
кую, что
I т____р
1"~п~ q *
В отличие от натуральных чисел, деление для дробей всегда
выполнимо. Используя определение равенства двух дробей, легко
показать, что
I _рп ~
k qm *
Вычесть из дроби -- дробь у—значит найти дробь у такую,
что
т . г _ р
п ' s q
Вычитание так же, как и для натуральных чисел, не всегда выпол-
нимо. Если — < — или — , то не существует дроби, которая
q fl q fl
ба при сложении с дробью -у давала бы дробь у. Если же у >
> -у, то вычитание выполнимо и легко видеть, что в этом случае
г рп—mg
s ' nq
Из определения равенства двух дробей вытекает основное свой-
ство дробей: если числитель и знаменатель данной дроби умно-
жить или разделить на одно и то же натуральное число k, то
получится дробь, равная данной:
р _pk
q 4k *
Дробь у называется несократимой, если числа р и q взаимно
простые.
J9
Теорема 1. Если —несократимая дробь, то дробь равна
ей тогда и только тогда, когда m — pk и n — qk, где k — некото-
рое натуральное число.
Доказательство. Достаточность. Пусть m=pk и
n = qk. Тогда дроби у и равны по основному свойству дробей.
Необходимость. Пусть — По определению равен-
ства дробей pn = mq. Левая часть этого равенства делится на
число р, следовательно, согласно основной теореме арифметики
(см. § 1, теорема 7) и правая часть делится на р. Так как числа р
и q взаимно простые, а произведение mq делится на р, то на р
делится т (т. е. существует натуральное число k такое, что т — pk).
Подставляя значение т в равенство pn=mq, получаем пр = pkq,
откуда n = qk. Теорема доказана.
Конечные десятичные дроби. Рассмотрим те дроби £, у кото-
рых знаменатель q = 10fe, где k—некоторое натуральное число.
Для каждой такой дроби принята специальная форма записи, а
именно: пишут числитель дроби и, отсчитав с правой стороны k
цифр, отделяют их запятой; если в числителе меньше цифр, чем k,
например п цифр (и < Д>), то пишут числитель и перед его первой
цифрой дописывают k—n нулей, затем ставят запятую и перед
ней еще один нуль; если же в числителе k цифр, то пишут числи-
тель, перед его первой цифрой ставят запятую и перед ней допи-
сывают нуль.
3721 21 131
Так, например, дроби , jqqq могут быть записаны
так: 37,21; 0,0021; 0,131.
Дробь, записанная в таком виде, называется конечной деся-
тичной дробью.
Значит, дроби 37,21; 0,0021; 0,131 могут служить примерами
конечных десятичных дробей. Вообще, каждую конечную деся-
тичную дробь будем дальше обозначать так:
а0, а^а^. .ak, (1)
где k — натуральное число, а0 —число из расширенного натураль-
ного ряда, каждое из at, а2, ..., ак — одно из чисел 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9. Часто конечную десятичную дробь называют просто
десятичной дробью, опуская слово «конечная».
Любая конечная десятичная дробь легко переводится в обык-
новенную. Для этого надо записать в числитель целое числе, кото-
рое получается, если отбросить запятую у десятичной дроби, а
в знаменатель написать число 10 в такой степени, сколько цифр
стоит у десятичной дроби после запятой, после чего дробь можно
сократить на общий множитель, если он есть, например 0,34 =
34 17
— 100~50*
20
Записать обыкновенную дробь в виде конечной десятичной —
значит найти конечную десятичную дробь, равную данной. Есте-
ственно поставить вопрос: любую ли обыкновенную дробь можно
записать в виде конечной десятичной дроби? Оказывается, что
здесь дело обстоит намного сложнее, чем с переводом конечной
десятичной дроби в обыкновенную.
Теорема 2. Всякая дробь , где натуральное число q не
имеет простых делителей, отличных от 2 и 5, может быть запи-
сана в виде конечной десятичной дроби.
Доказательство. Пусть дана дробь у, где <7 = 2“-5я.
По основному свойству дроби любая обыкновенная дробь не изме-
нится, если числитель и знаменатель ее умножить на одно и то
же число. Умножая числитель и знаменатель дроби у на 2"5'л,
получим
р р 2а‘5т'р 2п.5тр 2п5тр
~q = 2я*-5е 2'я«5п-2п-5'в 2ЙТЙТ5ЙТЙ ю»+»» ’
Так как произведение 2"-Ьтр — натуральное число, то, обозначая
его через I, запишем дробь в виде у = > откуда видно, что
дробь у может быть записана конечной десятичной дробью. Теоре-
ма доказана.
Теорема 3. Если данная несократимая дробь может
быть записана конечной десятичной дробью, то ее знаменатель не
содержит простых множителей, отличных от 2 и 5.
Доказательство. Если q = l, то теорема очевидна. Рас-
смотрим случай, когда q=£l. Дробь у по условию представлена
в виде конечной десятичной дроби, значит справедливо равенство
-£ = — , где / и k—натуральные числа. Так как — несократимая
q 10* q
дробь, то из теоремы 1 вытекает, что 1 = рт и 10* = ^т. Число
10* содержит только простые множители 2 и 5. Значит, и число
qm не имеет других простых множителей, кроме 2 и 5, что выте-
кает из единственности разложения числа на простые множители.
Следовательно, число q не содержит других простых множителей,
кроме 2 и 5. Теорема доказана.
Теорема 4. Для того чтобы несократимая дробь — могла
быть записана конечной десятичной дробью, необходимо и доста-
точно, чтобы ее знаменатель не содержал никаких других простых
множителей, кроме 2 и 5.
Справедливость теоремы 4 вытекает из теорем 2 и 3.
21
Теперь рассмотрим дробь у, где pnq — взаимно простые числд,
и q содержит простые множители, отличные от 2 и 5. Как выте-
кает из теоремы 4, эта дробь не может быть записана конечной
десятичной дробью. Но такие дроби могут быть записаны при
помощи так называемых бесконечных периодических десятичных
дробей. .
Бесконечные периодические десятичные дроби. Выше конечной
десятичной дробью была названа дробь, записанная в виде (1),
где после запятой стоит конечное число цифр. Естественно беско-
нечной периодической десятичной дробью назвать десятичную дробь,
у которой после запятой стоит бесконечно много цифр, причем
одна цифра или упорядоченная совокупность цифр, начиная с не-
которого места после запятой, повторяется. Более точно это можно
сказать так: бесконечной периодической десятичной дробью назы-
вается дробь, которая может быть записана в виде
Пд, OjtZg . . . U/f ..., (2)
где
1. а0 —число из расширенного натурального ряда;
2. в записи (2)—для любого натурального числа т на т-м
месте после запятой стоит одно из чисел 0, 1,2, ..., 9, при этом
или Од отлично от нуля, или, если Од равно нулю, то существует
хотя бы одно натуральное число q такое, что на q-м месте после
запятой стоит одно из чисел 1, 2, ..., 9;
3. существуют такие натуральные числа I и р, что для любого
натурального п^1 справедливо равенство ап+р = ап, при этом
упорядоченная совокупность цифр (azaz+1.. 'fy+p-i) называется
периодом бесконечной периодической десятичной дроби (2).
Обычно при записи бесконечной периодической десятичной
дроби многоточие ставится после несколько раз повторенного
периода, т. е. тогда, когда становится понятным, какое число
является периодом этой дроби.
Например, очевидно,-что дробь
4,27131313... (3)
есть бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом (13).
Вместо того чтобы писать период несколько раз и потом ста-
вить многоточие, принято писать период один раз, заключая его
в круглые скобки:
4,27131313... =4,27(13),
0,454545... =0,(45).
Справедлива следующая теорема, доказательство которой опу-
скается.
Теорема 5. Всякая дробь где р и q взаимно просты и
q содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2
22
и 5, может быть единственным образом записана в виде бесконеч-
ной периодической десятичной дроби.
Объединяя теоремы 4 и 5, получаем, что любую обыкновенную
дробь можно записать в виде либо конечной десятичной дроби,
либо бесконечной периодической десятичной дроби. Приведем без
доказательства правило перевода бесконечной периодической деся-
тичной дроби в обыкновенную (это правило будет доказано
в гл. IX).
Чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь
в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вы-
честь число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность
числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько
цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько
цифр между запятой и первым периодом. Например:
П 1 179/ГЛ — 11 720—1172 — 10 548 — 1172,9 — 293,4 — 293 •
U,11/2(U) — 99QQ9 —90000 9.10000-4-2500 — 2500 ’
л /лкч — 45-0— 5-9 _ 5 .
99 — 9.Ц — п’
4 97/1 _ 42 713— 427 _ 42 286 _ 2-21 143 _ 21 143
4,2/(161 9999 9999 2,495о 4950 •
Пользуясь этим правилом, можно показать, что любую конеч-
ную десятичную дробь также можно представить в виде бесконеч-
ной периодической десятичной дроби, причем двумя способами.
Например:
О 172 = 0 172(0)— 1720~~172 — 1548 — 172'9—q по-
u,i/z v,i/z(vj 9^ эддо 9<1000 u,i/z,
0 172 — 0 171 (9)— 1719-171 — 1548 — 172,9—п 172
u,i/2 —v,i/i (»; 9000 9000 9,1000 о, i/z.
Чтобы не было двух разных представлений одной и той же
конечной десятичной дроби, принято не иметь число 9 в периоде.
Тогда каждая десятичная конечная дробь может быть единствен-
ным образом записана в виде бесконечной периодической деся-
тичной дроби с периодом 0 и, наоборот, каждая такая дробь есть
конечная десятичная дробь. Итак, имеет место
Теорема 6. Каждая обыкновенная дробь может быть
единственным образом представлена в виде бесконечной десятичной
периодической дроби и, наоборот, каждая бесконечная десятич-
ная периодическая дробь может быть единственным образом пред-
ставлена в виде обыкновенной дроби .
Таким образом, можно сказать, что каждая бесконечная пе-
риодическая десятичная дробь есть другая форма записи некоторой
вполне определенной обыкновенной дроби.
23
§ 3. Целые числа
Выше уже отмечалось, что вычитание не всегда выполнимо
в множестве натуральных чисел. Например, в множестве натураль-
ных чисел нельзя вычесть из числа 3 число 5. Поэтому возникает
необходимость в расширении множества натуральных чисел.
Введем в рассмотрение новые числа — натуральные числа со
знаком минус, т. е. числа вида (—т), где т — натуральное число,
и будем называть такие числа отрицательными целыми числами.
Отрицательное целое число (—т) называют иногда числом, про-
тивоположным натуральному числу т.
Будем говорить, что два целых отрицательных числа (—т) и
(— п) равны, если равны натуральные числа тип. Теперь рас- J
смотрим множество чисел, состоящее из всех натуральных чисел, I
нуля и всех целых отрицательных чисел. Будем считать, что два 1
числа из этого множества равны, если либо они — равные нату- I
ральные числа, либо они —равные целые отрицательные числа,
либо каждое из них есть нуль. Определим теперь действия сло-
жения и умножения для чисел из этого множества. Если оба
числа, которые надо сложить или умножить, есть числа из рас-
ширенного натурального ряда, то действия сложения и умножения
для этих двух чисел определяются так же, как в § 1. Если же
одно число или оба числа, которые надо сложить или умножить,
есть отрицательные целые числа, то действия сложения и умноже-
ния для этих двух чисел производятся следующим образом:
а) (— т) + (— п) = — (т + п);
б) (— m)-f-0 = 0+(— пг) = —-т\
— (т — п), если /п>п;
п — т, если m<n;
О, если т = п-,
г) (—т)п — т(—п) =—(тп); , '
д) (— /п) (— и) = /ип;
е) (—т)-0 = 0-(—/и)=0.
Множество чисел, состоящее из всех натуральных чисел, нуля
и всех отрицательных целых чисел, с только что введенными
определениями равенства и действий сложения и умножения, назы- ;
вается множеством целых чисел и обозначается буквой Z, а сами
эти числа называются целыми числами. Натуральные числа иногда
называются также целыми положительными числами.
Основные законы сложения и умножения целых чисел анало-
гичны основным законам сложения и умножения натуральных
чисел и потому здесь не приводятся.
Для действий сложения и умножения целых чисел вводятся
обратные действия — вычитание и деление (кроме деления на нуль).
При этом действие вычитания теперь всегда выполнимо, а действие
деления не всегда. Но, как и для натуральных чисел, для целых
24
чисел всегда выполнимо деление с остатком. Ниже рассматривается
подробно лишь деление с остатком целого числа на натуральное
число.
Деление с остатком. Разделить целое число а на натуральное
число т с остатком—это значит найти два целых числа q и г
таких, что справедливо равенство a = mq + г, причем число г
удовлетворяет условию 0 г < т.
Если г = 0, то говорят, что целое число а делится нацело на
натуральное число т.
Теорема 1. Пусть а—любое целое число и т—любое нату-
ральное число. Тогда существует единственная пара целых чисел
q и г, удовлетворяющая условиям: a = mq + r и О^г <т.
Доказательство. Случай, когда а—натуральное число,
был разобран в § 1.
Если а = 0, то пара чисел <7 = 0 и г = 0 удовлетворяет усло-
виям теоремы.
Пусть а — — п — целое отрицательное число. Тогда «—нату-
ральное число, и по уже доказанному получаем, что существует
пара целых чисел qt и rt такая, что n = mqi + ri и 0^г1</п.
В случае, если ^=0, из равенства п^пи^+г! вытекает равен-
ство a = mq, где q = (—qi), т. е. пара чисел q = — qt и г = 0
удовлетворяет условиям теоремы. Если 0 < < т, то из равенства
п = tnqi + + вытекает равенство а — (— qx — 1) т + (т — rj, и тогда
пара чисел q = — ?i—1 и r — m — удовлетворяет условиям
теоремы.
Итак, для любого целого числа а и любого натурального числа
т существует пара целых чисел q и г таких, что a — mq + г и
г < т.
Единственность пары целых чисел q и г доказывается так же,
как и в теореме 9 § 1. Так же, как и в § 1, целое число, деля-
щееся на 2 нацело, будем называть четным числом, а делящееся
на 2 с остатком г = 1 — нечетным.
Приведем некоторые следствия теоремы 1.
а) Любое четное число а может быть записано в виде a = 2q,
где q—некоторое целое число.
б) Любое нечетное число а может быть записано в виде а —
=2^ + 1, где qr—некоторое целое число.
в) Любое целое число а, делящееся нацело на три, может быть
записано в виде a = 3q, где q—некоторое целое число.
г) Любое целое число а, не делящееся нацело на три, может
быть записано в одном из следующих видов: а —31+1 или а = Зп + 2,
где I и п—некоторые целые числа.
д) Любое целое число а, делящееся нацело на некоторое нату-
ральное число k, может быть записано в виде a = kq, где q—неко-
торое целое число.
е) Любое целое число а, не делящееся нацело на некоторое нату-
ральное число k, может быть записано в виде a = kq + r, где г-— одно
из чисел 1, 2, ..., (&—1), a q —некоторое целое число.
25
В зависимости от делимости целых чисел на данное натураль-
ное число k множество целых чисел можно разбить на k классов.
Например, если k = 2, то множество всех целых чисел разбивается
на два класса: четные числа и нечетные числа.
Множество всех целых чисел можно разбить также и на три
класса:
а) числа, кратные числу три, т. е. числа вида 3q, где q —
любое целое число;
б) числа, имеющие при делении на три остаток единицу, т. е.
числа вида 3Z-J-1, где /—любое целое число;
в) числа, имеющие при делении на три остаток два, т. е. числа
вида Зп+2, где п—любое целое число.
Из приведенных примеров ясно, как разбить множество целых
чисел на 4 класса, 5 классов и т. д.
Приведем примеры, показывающие, как разбиение целых чисел
на классы помогает решать ряд задач.
1. Доказать, что при любом целом b число 6(264-1) (764-1)
делится на три.
Доказательство. Разобьем множество всех целых чисел
на три класса: a) 3q\ б) 3g+1; в) 3g 4-2, где q — любое целое
число.
Пусть Ь —любое число из класса а). Тогда 6(264- 1)(7b+ 1) =
= 3g (6g 4-1) (21g 4-1)» откуда видно, что при любом целом q это
число делится на 3.
Пусть Ь — любое число из класса б). Тогда b (2b+ 1)(764-1) =
= (3g 4-1)-3• (2<?4-1) (21д4-8), откуда видно, что при любом целом
q это число делится на 3.
Пусть Ь — любое число из класса в). Тогда b (264-1) (764- 0 =
= (3q 4- 2) (&q 4- 5) • 3 • (7q 4- 5), откуда видно, что при любом целом
q это число делится на 3.
2. Доказать, что среди любых k последовательных целых чисел
есть число, делящееся нацело на k.
Доказательство. Все целые числа можно разбить на
следующие k классов:
kq,
kq-{-l,
Й + 2.
kq + (k— 1),
где q — любое целое число.
Пусть даны k последовательных целых чисел, начинающихся
с некоторого целого числа Ь, т. е. Ь, (64-1)» (64-2), ..., [б4-(& — 1)],
и пусть число b содержится в классе kq + i для некоторого
26
, i[t=O, 1, 2, 1)], т. e. пусть b — kq-\-i, где q — некоторое
целое число. Поскольку среди k последовательных чисел есть число
[ft + (k — 0] = [kq + i + (k — i)] = k (q 4-1),
которое делится нацело на k, то утверждение 2 доказано.
§ 4. Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа. Как уже отмечалось выше, в множестве
натуральных чисел не всегда выполнимы действия вычитания и
деления. В § 2 множество натуральных чисел было расширено до
множества обыкновенных дробей, и в этом множестве действие
деление уже всегда выполнимо; однако действие вычитания выпол-
нимо не всегда? Поэтому возникает необходимость во введении
новых чисел.
Введем в. рассмотрение новые числа — дроби со знаком минус,
т. е. числа вида (—J , где т и п — натуральные числа. Дробь
(т \ - т
——] называют иногда числом, противоположным дроби —.
Теперь рассмотрим множество чисел, состоящее из всех дробей,
нуля и всех дробей со знаком минус. Можно считать, что каж-
дое число из этого множества есть отношение целого числа к
натуральному. Поэтому будем считать, что это множество состоит
из чисел вида у,
Будем считать,
где q — натуральное число, ар — целое число.
р т
что два числа — и — из этого множества
q п
равны, если справедливо равенство pn = qm. Будем считать, что
сложение и умножение чисел из этого множества производится по
следующим правилам:
£
я
т pn-f- gm
п qn
р т рт
q п qn ‘
Множество чисел, состоящее из всех чисел вида , где q —
натуральное число, а р —целое число, с только что введенными
определениями равенства и действий сложения и умножения, назы-
вается множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q,
а сами эти числа называются рациональными числами.
Если р —натуральное число, то число -у называется положи-
тельным рациональным числом, или положительной дробью.
Если же р—отрицательное число, то число — называется
отрицательным рациональным числом, или отрицательной дробью.
Ясно, что множество целых чисел —часть множества рациональ-
ных чисел.
27
Для действий сложения и умножения рациональных чисел
вводятся обратные действия — вычитание и деление, при этом оба
эти действия, за исключением запрещенного деления на нуль,
всегда выполнимы.
Основные законы сложения и умножения рациональных чисел
аналогичны основным законам сложения и умножения целых чисел
и потому здесь не приводятся.
Если рациональное число г взято сомножителем k раз (k > 1),
то произведение гг. ..г называют k-й степенью числа г и обозна-
k раз
чают г*. Кроме того, по определению гг = г.
Как и для натуральных чисел, справедливы следующие свой-
ства степеней рациональных чисел:
a) =
б) гМ=(г1г2)'я;
в) (гк)т = гкт;
г) (—Y = -Ц-, если гг =/= 0;
\ Г2 / Г 2
д) у^- = г*-“, если k>m, г#=0.
По определению г° = 1 для любого рационального числа г, кроме
числа нуль.
В связи с понятием степени рационального числа часто воз-
никает задача: для данного натурального числа k и для данного
положительного рационального числа найти другое положи-
тельное рациональное число га такое, что г| = гх.
Эта задача не всегда имеет решение.
Теорема 1. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен 2.
Доказательство. Предположим, что существует рацио-
нальное число у такое, что = 2. Не ограничивая общности,
будем считать р и q взаимно простыми (если числитель и зна-
менатель данного рационального числа имеют общие множи-
тели, то число у, полученное после сокращения, равно дан-
ному). Пользуясь свойством г) степеней рациональных чисел,
р1 2
запишем наше предположение в виде = у •
Из определения равенства рациональных чисел вытекает, что
p2 = 2q2. Поскольку правая часть этого равенства делится на 2,
то и левая должна делиться на 2. Но число р- делится на 2
только в случае, если число р делится на 2 (если р не делится
на 2, то р2 также не делится на 2). Поскольку р делится на 2,
то существует целое число k такое, что p = 2k. Подставляя это
значение р в равенство p2 = 2q2, получаем, чтод2 = 2/г2. Поскольку
28
правая часть этого равенства делится на 2, то и левая делится
на 2, значит, число q делится на 2, т. е, q — 2т.
Итак, получили, что числа р и q имеют общий множитель —
число 2, а по предположению в равенстве —2 числа р и q
взаимно простые. Это противоречие и означает, что сделанное
предположение неверно, а верно утверждение теоремы.
Таким образом, возникает необходимость ввести новые числа,
отличные от рациональных, такие, например, как число, квадрат
которого равен 2.
Иррациональные числа. В § 2 были введены в рассмотрение
бесконечные периодические десятичные дроби. Теперь расширим
это понятие, введя в рассмотрение новые числа, которые будем
называть бесконечными десятичными дробями.
Бесконечной десятичной дробью назовем число, которое может
быть записано или в виде
а^ащ^.. .ак..., (1)
или в виде
— аа,а1а2...ак..., (2)
где ай — число из расширенного натурального ряда, af, а2, ..
..., ак, ... — числа из множества чисел 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Многоточие означает, что для любого натурального числа т на
/n-м месте после запятой стоит число ат.
Если среди чисел а0, at, а2, ..., ак ... хотя бы одно отлично
от нуля, то число, записанное в виде (1), будем называть поло-
жительной бесконечной десятичной дробью, а число, записанное
в виде (2), будем называть отрицательной бесконечной десятич-
ной дробью. Если среди чисел а0, аг, аг, ..., ак,. .. нет чисел,
отличных от нуля, то число, записанное в виде (1), будем счи-
тать равным числу, записанному в виде (2), и называть нулевой
бесконечной периодической десятичной дробью и обозначать так:
0,(0). Очевидно, что множество всех' бесконечных десятичных
дробей содержит в себе: • ,
1) множество всех положительных периодических бесконечных
десятичных дробей;
2) множество всех отрицательных периодических бесконечных
десятичных дробей;
3) нулевую бесконечную периодическую десятичную дробь.
Покажем теперь, что только что перечисленными периодиче-
скими бесконечными десятичными дробями не исчерпывается мно-
жество всех бесконечных десятичных дробей.
Теорема 2. Бесконечная десятичная дробь
0,1010010001000010000010000001...,
образуемая по правилу: за каждой единицей идет группа нулей,
содержащая на один нуль .больше, чем предыдущая группа,— не
является периодической десятичной дробью. .
29
Доказательство. Предположим, что это периодическая
дробь. Пусть ее период состоит из л цифр и первый период
начинается с &-го места. Ясно, что в рассматриваемой дроби,
начиная с некоторого т-го места, каждой единице будут пред-
шествовать (2и4-1) или более подряд идущих нулей. Рассмотрим
каждую из таких групп нулей, начинающуюся с любого р-го
места, где p~>k и р>т. Возьмем теперь нуль, стоящий посре-
дине этой группы. Этот нуль находится либо в начале, либо
в конце, либо внутри некоторого периода длины п, но во всех
перечисленных случаях этот период целиком лежит на взятом
отрезке из (2/i-f-l) или более нулей. Значит, период состоит из
одних нулей, и, следовательно, в записи дроби с fc-го места
должны быть только нули, а это неверно. Теорема доказана.
Из вышеизложенного вытекает, что каждое рациональное число
может быть записано в виде бесконечной периодической десятич-
ной дроби. Поэтому естественно иррациональным числом назвать
число, которое может быть записано в виде бесконечной неперио-
дической десятичной дроби.
В дальнейшем будем считать, что любая бесконечная перио-
дическая десятичная дробь есть вполне определенное рациональ-
ное число, а любая бесконечная непериодическая десятичная
дробь есть вполне определенное иррациональное число. Заметим,
что в силу этих определений нулевая бесконечная периодическая
дробь есть число нуль.
§ 5. Действительные числа
Множество всех бесконечных десятичных дробей (с вводимыми
ниже определениями равенства, суммы и произведения этих чисел)
называется множеством действительных чисел и обозначается
буквой R, а каждая бесконечная десятичная дробь называется
действительным числом. Положительная бесконечная десятичная
дробь будет называться положительным действительным числом,
отрицательная бесконечная десятичная дробь — отрицательным
действительным числом, нулевая бесконечная периодическая де-
сятичная дробь (с периодом нуль) — числом нуль. Поскольку
бесконечные десятичные дроби есть периодические и непериоди-
ческие, то каждое действительное число является либо рацио-
нальным, либо иррациональным.
Два положительных действительных числа
а9,а1аг.. .ак...,
МЛ-. .ьк...
равны, если Ьк = ак для всех чисел k из расширенного натураль-
ного ряда.
Из двух положительных действительных чисел
а9,а1аг.. .ак...,
Ъ9,ЬгЬ9.. .Ьк...
30.
Ц г.
первое больше второго, если либо ав>Ь0, либо если a9=bt, но
Oi>blf либо если а0=60, ^=6^ ап=Ьп (для некоторого
натурального числа п), но а„+1 > bn+i.
Два действительных числа
Цо и b$ ,Ь^Ь^ • •. bk • • •
называются противоположными, если bk = ak для всех чисел k
из расширенного натурального ряда. Два отрицательных дейст-
вительных числа равны, если равны противоположные им числа.
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противопо-
ложное (положительное) число меньше. Положительное число
больше нуля и любого отрицательного числа. Нуль больше
любого отрицательного числа.
Рассмотрим приближенные значения бесконечных дробей. Обо-
рвем на каком-то месте бесконечную положительную десятичную
дробь, изображающую данное положительное действительное
число. Получим конечную десятичную дробь (которую можно
записать в виде бесконечной с периодом нуль). Эта дробь будет
меньше данного числа (или равна ему). Такая дробь называется
приближенным значением данного положительного действитель-
ного числа с недостатком.
Если положительную бесконечную десятичную дробь оборвать
на каком-то k-м месте и к полученной дроби прибавить дробь
1
10*
то получим конечную десятичную дробь, которая больше
данного действительного числа. Такая дробь называется прибли-
женным значением данного, положительного действительного
числа с избытком.
Если отрицательную бесконечную дробь оборвать на каком-то
месте, то получим конечную десятичную дробь, которая больше
данного действительного числа (или равна ему). Такая дробь
называется приближенным значением данного отрицательного
действительного числа с избытком.
Если отрицательную бесконечную дробь оборвать на каком-то
’ Л-м месте и к полученной дроби прибавить дробь , то
получим конечную десятичную дробь, которая меньше данного
действительного числа. Такая дробь называется приближенным
значением данного отрицательного числа с недостатком.
Примеры. 1. Приближенным значением числа 0,4(31) с не-
достатком будут следующие конечные дроби: 0,4; 0,43; 0,431;
0,4313; 0,43131; ... Приближенным значением этого же числа
с избытком будут дроби 0,5; 0,44; 0,432; 0,4314; 0,43132; ...
2. Приближенным значением числа —3,2(17) с недостатком
будут следующие конечные дроби: —3,3; —3,22; —3,218;
—3,2172; —3,21718; ... Приближенным значением этого же
31
числа с избытком будут дроби —3,2; —3,21; —3,217; —3,2171;
—3,21717; ...
Определим теперь действия сложения и умножения для дейст-
вительных чисел.
Суммой двух действительных чисел называется число, которое
больше (или равно) суммы двух любых приближенных их значе-
ний с недостатком, но меньше (или равно) суммы двух любых
приближенных их значений с избытком.
Без доказательства примем, что такое число всегда сущест-
вует и притом только одно.
Отметим частный случай: сумма действительного числа а и
противоположного ему числа (которое будем обозначать (—а))
есть число нуль.
Произведением двух действительных положительных чисел
.. .ак... и b0,bib2.. ,Ьк... называется число, которое больше
(или равно) произведения двух любых приближенных их значе-
ний с недостатком, но меньше (или равно) произведения двух
любых приближенных их значений с избытком.
Без доказательства примем, что такое число всегда сущест-
вует и притом только одно.
Произведение двух действительных отрицательных чисел
(—a^a^Ot.. .ак...) и (—b9,bjb2.. .bk...) равно произведению
противоположных им положительных чисел а^а^.. .ак... и
b^b^.. .Ьк... . Произведение двух действительных чисел, име-
ющих разные знаки а^а^.. .ак... и (—Ь0,6Д.. ,Ьк...) или
(— • -ak- • •) и b<s,b1b2.. .Ьк..., равно отрицательному числу,
противоположному произведению чисел а2,ага2.. .ак... и
ЬагЬ\Ьг. . ,Ьк. . . .
Произведение двух чисел, одно из которых есть нуль, равно
нулю.
Справедливы следующие основные законы сложения и ум-
ножения действительных чисел:
а) а + Ь = &4-а (коммутативность сложения);
б) (a + &)+c = a + (b-j-c) (ассоциативность сложения);
в) ab = ba (коммутативность умножения);
г) (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения);
д) (а-{-Ь)с=ас-}-Ьс (дистрибутивность сложения относительно
умножения).
Для действий сложения и умножения действительных чисел
вводятся обратные действия — вычитание и деление.
Вычесть из действительного числа а действительное число b —
значит найти действительное число с такое, что Ь-$-с = а.
Разделить действительное число а на отличное от нуля дей-
ствительное число Ь — значит найти действительное число d такое,
что bd = a.
На множестве действительных чисел действия вычитания и
деления, за исключением запрещенного деления на нуль, всегда
выполнимы.
32
Если действительное число а взято множителем п раз (п —на-
туральное число, п>1), то произведение аа...а называют п-й
t. . * п раз
степенью числа а и обозначают ап. Кроме того, по определению
ах—а. Свойства степени действительных чисел аналогичны свой-
ствам степени рациональных чисел и потому здесь не приводятся.
В связи с понятием степени действительных чисел часто возникает
такая задача: для данного натурального числа п и для данного
неотрицательного действительного числа а найти- другое неотри-
цательное действительное число b такое, что Ь" = а.
Неотрицательное число b такое, что его п-я степень есть дан-
ное число а, т. е. Ь"=а, называется арифметическим корнем
степени п из неотрицательного числа а и обозначается Ь=^а.
Теорема. Для любого натурального числа п и любого неот-
рицательного числа а существует и притом единственный в мно-
жестве неотрицательных чисел арифметический корень степени п
из числа а.
Доказательство теоремы опустим.
В случае и = 2 в обозначении корня цифру 2 не пишут;
в случае и = 1 корень 1-й степени из числа а есть само число а.
Арифметические корни могут быть рациональными и иррациональ-
ными числами. _____
3 Г 8 2 г—
Например, V есть рациональное число у; V 2~ есть
иррациональное число (это вытекает из теоремы 1 § 4).
Заметим, что по определению арифметический корень из числа О
есть нуль.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а
называется: само это число, если а —положительное число; нуль,
если а —нуль; число противоположное числу а, если а —отрица-
тельное число. Абсолютная величина действительного числа а
обозначается | а |. Сформулированное выше определение можно
коротко записать так:
а, если а > 0;
0, если а = 0;
— а, если а < 0.
Основные, свойства абсолютных величин действительных чисел
будут приведены в главе II.
Заметим, что в силу определения арифметического корня из
неотрицательного числа для любого действительного числа спра-
ведливо равенство 'Иа2 = |а|.
Поставим более общую задачу: для любого действительного
числа а и любого натурального числа п найти действительные
числа b такие, что Ьп — а. Если такие числа существуют, то они
называются действительными алгебраическими корнями п-й сте-
пени из действительного числа а. Если число а неотрицательное,
2 М. К. Потапов и др.
33
то, как говорилось выше, существует одно неотрицательное число b
такое, что Ь" = а, т. е. для любого неотрицательного числа а
всегда существует хотя бы один алгебраический корень Ь, для
обозначения которого есть специальный символ {/а (арифмети-
ческий корень). В случае существования других алгебраических
корней, кроме арифметического корня, для их обозначения нет
специальных символов.
Рассмотрим вопрос существования алгебраического корня из
действительного числа. Заметим, что в этом параграфе утвержде-
ния о количестве действительных корней для данного действи-
тельного числа принимаются без доказательства. Их справедли-
вость будет вытекать из общей теоремы о количестве корней из
комплексного числа (гл. XI).
Пусть а = 0, тогда для любого натурального числа п сущест-
вует и притом только один алгебраический корень n-й степени —
число Ь, равное 0.
Пусть а —положительное число и п — нечетное натуральное
число (п = 2^4-1). Тогда существует и притом только один ариф-
метический корень =2ft+]/а из этого числа и других действи-
тельных алгебраических корней из этого числа нет. Таким
образом, существует только один алгебраический корень нечетной
степени из положительного числа, а именно арифметический
корень.
Пусть а —положительное число и п—четное натуральное
число (n = 2k). Тогда существует и притом только один арифме-
тический корень — у а и действительный алгебраический ко-
рень 62=—2у/а из этого числа. Таким образом, существуют два
действительных алгебраических корня четной степени из положи-
тельного числа a: = 2у/а н Ь2 = — 2^/а.
Пусть а — отрицательное число и п — четное натуральное число
(n = 2k). Поскольку любое не равное нулю действительное число
в четной степени есть положительное число, а число 0 в любой
натуральной степени есть нуль, то нет ни одного действитель-
ного числа Ь такого, что &2* — отрицательное число. Значит, нет
действительного алгебраического корня чётной степени из отри-
цательного числа.
Пусть а — отрицательное число и п — нечетное натуральное
число (и = 2k -|-1). Покажем, что есть одно действительное отрица-
тельное число b такое, что Ьп = а. Обозначим с = — а. Тогда
с > 0, и потому существует единственный арифметический ко-
рень d степени (2&+1) из числа с: d2A+1=c, или d = 2A+|/ с =
_ —а _ 2*+^/1 а ।. Положим теперь b — — d. Тогда b2k+1 =
= (— I)2*+1d2ft+1 = (— 1)с = (—1)(— а) = а. Значит, Ь =—2й+{/1а|
есть отрицательное число такое, чтоЬ2А+1 = а, т. е. (—2A+j/[af) —
действительный алгебраический корень из отрицательного чи-
сла а.
34
Примеры. 1. Пусть а = — 7, п = 5, тогда вещественный
алгебраический корень 5-й степени из числа (—7) есть число
2. Пусть а = —8, п = 3, тогда вещественный алгебраический
корень 3-й степени из числа (—8) есть число Ь = — у/1—8| =
= _/8 = -2.
Замечание. Иногда корень нечетной степени из отрица-
тельного числа а записывают в виде Ь = 2к+\/а, понимая под
этим число Ь = —2*+|/|а|. Например, вместо Ь = —у1 пишут
Ь = р/—7. Но в дальнейшем такая запись употребляться не будет.
М < .... *
i -i Wi a
Рис. 1.
Перейдем теперь к геометрической интерпретации действи-
тельных чисел. Пусть дана горизонтальная прямая (рис. 1). Она
имеет два взаимно противоположных направления. Назовем одно
из этих направлений положительным, а другое отрицательным.
Для определенности за положительное направление выберем
направление вправо (если смотреть по рисунку). Зафиксируем
на прямой некоторую точку О и назовем эту точку началом от-
счета. Точка О разбивает прямую на две части, называемые
лучами. Луч, направленный вправо, назовем положительным лу-
чом, а луч, направленный влево,— отрицательным лучом. Пусть
задан отрезок, принятый за единицу длины; в таких случаях
говорят, что введен масштаб.
Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное
направление и введен масштаб, называют числовой прямой.
Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответ-
ствие действительное число по следующему правилу:
— выбранной точке О поставим в соответствие число нуль;
— каждой точке N на положительном луче поставим в соот-
ветствие положительное число а, где а — длина отрезка 0N\
— каждой точке М на отрицательном луче поставим в соот-
ветствие отрицательное число Ь, где |Ь|—длина отрезка ОМ.
Таким образом, каждой точке числовой прямой (при выбран-
ном масштабе) поставлено в соответствие единственное действи-
тельное число.
Покажем, что этим процессом перебраны все действительные
числа. Предположим противное, т. е. пусть некоторое действи-
тельное число с не поставлено в соответствие некоторой точке
на числовой прямой. Если число с положительное, то найдется
отрезок, длина которого равна с. Отложив этот отрезок вправо
от точки О на числовой прямой, получим точку, которой число с
должно соответствовать, т. е. получим противоречие. Если же
число с отрицательное, то найдется отрезок, длина которого
2* 35
равна |с|, отложив этот отрезок влево от точки О на числовой
прямой, получим точку, которой должно соответствовать число с,
т. е. опять получим противоречие.
Итак:
1. каждой точке на числовой прямой поставлено в соответ-
ствие одно и только одно действительное число;
2. разным точкам числовой прямой поставлены в соответствие
разные числа;
3. нет ни одного действительного числа, которое не соответ-
ствовало бы какой-либо точке числовой прямой.
В таких случаях говорят, что между множеством всех точек
числовой прямой и множеством всех действительных чисел уста-
новлено взаимно однозначное соответствие.
Отметим, что часто при этом точки числовой прямой отожде-
ствляются с числами, которые им поставлены в соответствие.
Пользуясь этим, легко сформулировать, какое из двух действи-
тельных чисел больше: больше то, которое расположено на числовой
прямой правее другого. '
Система координат на прямой. Если на прямой выбрано на-
чало отсчета, положительное направление и введен масштаб, то
говорят еще, что на прямой задана система координат. При этом
сама прямая называется координатной осью, а точка О —началом
координат. Каждой точке М этой прямой ставят в соответствие
число, называемое координатой точки М. в заданной системе
координат. Это число определяется по правилу: если точка М
находится на положительном луче, то это число равно положи-
тельному числу—длине отрезка ОЛ4; если точка М находится
На отрицательном луче, то это число равно отрицательному
числу—длине отрезка ОМ со знаком минус; если же точка М
совпадает с началом координат, то это число равно нулю.
Пусть данная координатная ось расположена горизонтально,
причем так, что положительный луч направлен вправо. Тогда
любая точка, лежащая справа от начала координат О, имеет
положительную координату, а любая точка, лежащая слева от
начала координат О,— отрицательную координату. Координата
точки О, начала координат, равна нулю. Легко видеть, что коор-
дината любой точки М координатной оси равна действительному
числу, поставленному в соответствие точке на числовой прямой.
Если рассматривается несколько разных фиксированных точек
оси t, то часто их обозначают некоторой заглавной буквой с раз-
ными номерами, например Mit М2, Ms, .... Мп, ...; координаты
этих точек обозначают буквой оси с соответствующими номерами,
т. е. tt, t2, ts, ..., t„, ... Чтобы указать, что данная точка
имеет данную координату, записывают эту координату в круглых
скобках рядом с обозначением самой точки, например Mi(tt),
Mt(t2), M»(t8), ..., Mn(tn), ... Говоря, что дана точка, пони-
мают, что дана ее координата; говоря, что надо найти точку,
ищут ее координату.
36
Теорема 1. При любом расположении на координатной оси
двух разных точек М, (/,) и М2 (/2) расстояние d между этими
точками равно модулю разности их координат, т. е.
d = |Z1-Z2|.
Доказательство. Если точки Мг и М2 совпадают, то
утверждение теоремы очевидно. Пусть точки Мг и Л12 не совпа-
дают и пусть для определенности точка М2 (/2) лежит правее
точки (Zj) (если точка лежит правее точки M2(t2), то
доказательство повторяется с заменой t2 на t2, a t2 на /2).
И---------*L
-4------1-------1...... J-------
0(0) 1 Ц(*г) t
Рис. 2.
L—h.-------J
iw, i ,r
0(0 1 fy(fz) t
Рис. 3.
Пусть Afj (/,) и M2(t2) — любые не совпадающие точки, лежа-
щие правее начала координат О (рис. 2). Тогда длина отрезка
Л11Л/2 равна длине отрезка 0М2, которая равна t2, минус длина
отрезка ОМ2, которая равна т. е.
d—it t2 — 112 1.
Пусть совпадает с началом координат 0(0), т. e. /х = 0,
а Af2(/2)— любая точка, лежащая правее начала координат О
(рис. 3). Тогда длина d отрезка равна длине отрезка 0М2,
которая равна t2, т. е. х
d = /2 = | /2 01 = |Z2 Zj |.
Пусть Мг (/J — любая точка, лежащая левее начала координат,
а точка М2 (t2) — любая точка, лежащая правее начала координат
I _______ft
(-Ц) ТГ--------
I
- 1-1-------
I
I
.... I ...........
t
am '
(ри^Ь 4). Тогда длина d отрезка М2М2 равна длине отрезка 0Мг,
которая равна t2, плюс длина отрезка 0М1г которая равна (—I,),
т. е.
Л) — ti ~ I ^2 |«
37
Пусть Mj (/,) —любая точка, лежащая левее начала коорди-
нат, а точка Л42(/2) совпадает с началом координат 0(0), т. е.
^2=0 (рис. 5). Тогда длина d отрезка совпадает с длиной
отрезка Мг0, которая равна (— т. е.
d = _ ^ = |0 —4| = |/в-^|.
Пусть Mi (ZJ и Mt (t2) — любые несовпадающие точки, лежащие
левее начала координат О (рис. 6). Тогда длина d отрезка
L J
iw №г&г), г
Ж / t
—I------1--------1---I—>.
(№1 1 t
Рис. 5. Рис. 6.
равна длине отрезка OMj, которая равна (—/х), минус длина
отрезка ОМа, которая равна (—/2), т- е-
= ( ^i) ( /2) = t2 ti = | ta — ti |.
Итак, во всех случаях d = |/2 — ZJ. Теорема доказана.
Примеры. 1. Найти расстояние между точками Л4(3) и
Р(-2).
d = |3—(-2)| = |3-|-2| = 5 или d = |—2 —3| = |—5| = 5.
2. Найти расстояние между точками М(—4) и Р(—10).
d = | — 4 —(—10)| = |6| = 6 или d = |(-10)-(—4)| = |—6| = 6.
Итак, можно сказать, что модуль любого действительного
числа а, т. е. |а|, есть расстояние от точки М(а) до начала
координат.
§ 6. Числовые равенства и неравенства
В § 5 упоминалось о сравнении чисел и были приведены
определения, по которым можно выяснить, равны ли два данных '
действительных числа или одно больше другого. Все эти .опре-
деления можно записать иначе, используя сравнениё'Действйтёль-
ных чисел с числом нуль, а именно так: два действительных
числа а и b равны тогда и только тогда, когда их разность
равна нулю, т. е. а = b фф а — b = 0; число а больше числа b тогда
и только тогда, когда разность (а—Ь) положительна, т. е.
а> b & а — & > 0; число а меньше числа Ь тогда и только тогда,
когда разность (&—а) положительна или когда разность (а—Ь)
отрицательна, т. е. а< Ь&а—Ь < Офф Ь—а > 0.
38
Если два числа соединены знаком равенства, то принято го-
ворить, что задано числовое равенство. Однако это равенство
может быть и верным, и неверным. Например, 2 = 5 — 3, у = —
верные, а 3 = 5—1, 6 = у—неверные равенства.
Аналогично, если два числа соединены любым знаком нера-
венства, то принято говорить, что задано числовое неравенство,
которое может быть верным и неверным. Например, 110,1 < 1Р,
/ТО > 3 — верные, —5 > ]/2, у >3 —неверные неравенства.
Справедливость или несправедливость некоторых числовых
равенств и неравенств не всегда очевидна. Например, справед-
ливость неравенства
(100)50 < 1-2-3-4 ... 99100
не очевидна. В таких случаях числовые равенства и неравенства
надо доказывать. Большую роль при этом играют рассмотренные
ниже основные свойства равенств и неравенств.
1. Если числа а, Ь и с таковы, что а = Ь и Ь = с, то а —с (свой-
ство транзитивности равенств).
2. Если числа a, b, с, d таковы, что а — Ь и c—d, то а + с =
= b+d.
3. Если числа a, b, с, d таковы, что a = b, c — d, то ac — bd.
4. Для любых действительных чисел а, b и с равенства а — Ь
и а-\-с = Ь-)-с равносильны, т. е. из справедливости равенства
а — Ь следует справедливость равенства a-rc = b^-c, и*наоборот,
из справедливости равенства а-{-с = Ь-\-с следует справедливость
равенства a = b, т. е. а = Ь&а+с = Ь+с.
5. Для любых действительных чисел а и Ь и для любого дей-
ствительного отличного от нуля числа с равенства а = Ь и ас = Ьс
равносильны, т. е. если то а = Ь&ас=Ьс.
“• Приведем аналогичные свойства для числовых неравенств.
1.. Если числа а, Ь и с таковы, что а>Ь и Ь > с, то а>с
(свойство транзитивности неравенств).
Доказательство, а — с = (а — с)4-(6 — b) = (a —Ь) + (Ь — с).
Так как а > Ь, то а—Ь > 0, так как Ь > с, то Ь —с > 0, но сумма
двух положительных чисел положительна, поэтому а—с > 0,
т. е. а > с.
2. Если числа a, b, с, d таковы, что a>b, c>d, то а-\-с>
>b+d.
Доказательство. (а4-с) — (b-)-d) — (a —b) + (c —d). Так
как а>Ь, то (а—Ь) положительное число; так как c>d, то
(c — d) также положительное число; сумма двух положительных
чисел положительна, поэтому (а + с) — (b-)-d) > 0, т. е. а4-с>
Ь d.
2а. Если числа а, b, с, d таковы, что а>Ь и c<. d, то
а— с~>Ь—d. J
£ \ №
Доказательство. (a — c)—(b — d) = (a—b) + (d — c). Так
как а > Ь, то (а — Ь) — положительное число; так как с < d, то
(d — с) — также положительное число; сумма двух положительных
чисел положительна, поэтому (а—с) — (b — d) > 0, т. е. а—с>
> b—d.
3. Если а, b, с, d — положительные числа и а>Ь и с> d, то
ас > bd.
Доказательство, ас—bd = {ас—bd) + (bc — be) = (ас—bc)+
+ (bc—bd) = c(a—b)+b(c—d). Так как а>Ь, то (а—^ — поло-
жительное число; так как с — положительное число и так как
произведение положительных чисел положительно, то с (а—Ь) —
^положительное число; аналогично показывается, что Ь(с—d) —
положительное число; сумма двух положительных чисел поло-
жительна, поэтому ас—bd >0, т. е. ас > bd.
4. Для любых действительных чисел а, b и с неравенства
а>Ь и а + с>Ь + с равносильны, т. е. из справедливости нера-
венства а>Ь следует справедливость неравенства а-\-с~>Ь-±-с
и наоборот, из справедливости неравенства а-{-с>Ь-\-с следует
справедливость неравенства a>b, т. е. а> b&a + c>b+c.
, . Доказательство. Пусть а>6. Тогда (а-|-с)— (& + с) =
= (а — 6) + (с —с) = (а —6)> 0, т. е. а + с>Ь-\-с. Пусть (а+с)>
> (Ь + с). Тогда a—b — (a—b) + (c — c) = (a + c) — (b+c)>0, т.е.
, а > Ь.
5. Для любых действительных чисел а и b и любого положи-
тельного числа с неравенства ayb и ас>Ьс равносильны, т. е.
если с> 0, то а> b &ас> Ьс.
, Доказательство. Пусть а>Ь, тогда ас—Ьс= (а— Ь)с.
Так как с и (а — Ь) — положительные числа, то их произведение
. положительное число, т. е. ас — Ьс > 0, или ас > Ьс. Пусть ас > Ьс,
тогда (а—6)с = ас—6с > 0.
Если произведение двух чисел положительно и одно из них
также положительно, то положительно и другое число, т. е. так
как с > 0, то а—Ь > 0, т. е. а>Ь.
. 5а. Для любых действительных чисел а и b и любого отри-
цательного числа с неравенства а> Ь и ас<Ьс равносильны,
т. е. если с <0, то a>b&ac <Ьс.
Доказательство этого факта аналогично доказательству свой-
ства 5.
Итак, имеют место следующие основные свойства равенств и
неравенств;
1) а — Ь, Ь = с=>а = с\ 1) а>Ь, Ь> с =$а> с;
2) a — b, c = d=t>a + c = b+d", 2) a>b, с> d=$»a + c> b+d;
2а) a>b, с <.d=$a — c> b—d‘,
3) a = b, c = d=>ac = bd; 3) a>6>0, c > d > 0=^>ac>6d;
4) a=b&a+c = b + c-, 4) a> b&a+c> b + c-,
5) a = b&ac = bc при c=^=0; 5) a> b&ac> be при c>0;
5a) a > b & ac < be при c < 0.
О
Выше употреблялись знаки равенства (=) и строгого неравенства
(< или >). Иногда этих знаков не хватает. Есть задачи, где
необходимы нестрогие неравенства.
П р и м е р. Сегодня в Москве 0°, а в Ленинграде температура
не выше.
Если температуру в Ленинграде обозначить буквой Т,
тогда либо Т =0°, либо Т < 0°. В таких случаях принято писать
Т < 0°.
Приведем определения нестрогих неравенств а^Ь а а^.Ь.
Числовое неравенство считается верным и при а< & и
при а = Ь и неверным лишь в случае а>Ь. Например, неравен-
ства 6 9 и 3^2 +1 — оба верные неравенства, а неравенство
7^6 неверное. (Запись а^.Ь читается либо как «а не больше Ь»,
либо как «а меньше или равно 6».)
Числовое неравенство а~^Ь считается верным и при a >6,
и при а—Ь; оно считается неверным лишь в случае а<&. (За-
пись а ~^Ь читается либо как «а не меньше Ь», либо как «а больше
или равно &».)
Для нестрогих неравенств справедливы свойства 1—5а, если
в них знак строгого неравенства заменить на знак нестрогого
неравенства.
Будем говорить, что
справедливо двойное неравенство а < b < с, если одновременно
справедливы два неравенства а < b и b < с;
справедливо двойное неравенство a Ь <с> если одновременно
справедливы два неравенства а^Ь иЬ<с;
справедливо двойное неравенство а < b ^.с, если одновременно
справедливы два неравенства а<Ь и bс;
справедливо двойное неравенство а6 с, если одновременно
справедливы два неравенства а^.Ъ и Ь^с.
§ 7. Числовые множества
Понятия множества и элемента множества относятся к основ-
ным понятиям, т. е. к понятиям, которые не определяются.
В этом параграфе рассматриваются числовые множества, эле-
ментами которых являются действительные числа.
Если число а принадлежит множеству М, то пишут а£М,
если а не принадлежит множеству М, то пишут а(£М.
Например: 2£ЛГ,
Выше были введены следующие числовые множества:
N — множество всех натуральных чисел (ряд натуральных
л чисел);
Z —множество всех целых чисел;
Zo — множество всех неотрицательных целых чисел (расширен-
ный ряд натуральных чисел);
Q — множество всех рациональных чисел;
'/? — множество всех действительных чисел.
41
Приведем теперь примеры других числовых множеств и усло-
вимся, как будем их обозначать дальше.
Множество, не имеющее элементов, называется пустым мно-
жеством и обозначается 0.
Если множество состоит из конечного количества элементов,
то такое множество принято записывать так: в фигурных скоб-
ках записывают все элементы множества (в любом порядке),
отделяя их друг от друга точкой с запятой. Например, множе-
ство М, состоящее из шести первых чисел натурального ряда,
можно записать так: М = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, а множество L, состоящее
т/~2___________________3 I1/*~2_31
из одного числа -——, запишется так: L= —>.
Если множество состоит из бесконечного количества элемен-
тов или из элементов, которые в свою очередь являются множе-
ствами, то введенные фигурные скобки сохраняются, а внутри
них приводится краткое описание множества. Например, множе-
ство всех пар чисел а и Ь, из которых а есть любое целое число,
а b есть любое действительное число, записывается так:
М = {(а-, b)\a£Z, b£R}.
Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В,
то множество А называется подмножеством множества В. В этом
случае принято писать Ас В или Вс А.
Например: NcZ\ {(a; b)\a£N-, b£Z}c{(cr, b)\a£Z-, b£R}.
Множество всех действительных чисел t, для каждого из ко-
торых справедливо двойное неравенство — 1 < t < 2, принято
обозначать (—1; 2) и называть интервалом (—1; 2). В силу
взаимно однозначного соответствйя между множеством всех дей-
ствительных чисел и множеством всех точек числовой прямой об
интервале (— 1; 2) принято говорить, что это есть множество
всех точек числовой прямой, расположенных между точками
(— 1) и (2), не включая эти точки (рис. 7).
Множество всех действительных чисел t, для каждого из ко-
торых справедливо двойное неравенство — 2 t <4 , принято
----—*- — -х
-t 0 f Z. t -4 ff f 4 i
Рис. 7. Рис. 8.
обозначать [—2; 4) и называть полуинтервалом [—2; 4). При-
нято также говорить, что полуинтервал [— 2; 4) есть множество
всех точек числовой прямой, расположенных между точками (—2)
и (4), включая точку (— 2) (рис. 8).
Множество всех действительных чисел t, для каждого из ко-
торых справедливо двойное неравенство 0 < t 3, принято обо-
значать (0; 3] и называть полуинтервалом (0; 3]. Принято также
говорить, что полуинтервал (0; 3] есть множество всех точек
42
числовой прямой, расположенных между точками (0) и (3), вклю-
чая точку (3) (рис. 9).
Множество всех действительных чисел t, для каждого из
которых справедливо двойное неравенство —2s^/^l, принято
обозначать [—2; 1] и называть отрезком [—2; 1]. Принято
__-------------------->. —-—b/WMWuywQ---------->.
л f s -t -z . о i t
Рис. 9. Рис. 10.
также говорить, что отрезок [— 2; 1] есть множество всех точек
числовой прямой, расположенных между точками (—2) и (1),
включая обе эти точки (рис. 10).
В общем случае, если а < Ь, то
отрезком [а; Ь] называется множество всех действительных
чисел t, для каждого из которых справедливо двойное неравен-
ство а t Ь;
полуинтервалом [а; Ь) называется множество всех действитель-
ных чисел t, для каждого из которых справедливо двойное не-
равенство а t < b;
полуинтервалом (а; Ь] называется множество всех действи-
тельных чисел t, для каждого из которых справедливо двойное
неравенство a<t^.b;
интервалом (а\ Ь) называется множество всех действительных
чисел t, для каждого из которых справедливо двойное неравен-
ство а < t < b;
лучом [а; + оо) называется множество всех действительных
чисел t, для каждого из которых справедливо неравенство t а\
лучом (а; + оо) называется множество всех действительных
чисел t, для каждого из которых справедливо неравенство t > а\
лучом (— оо; а] называется множество всех действительных
чисел t, для каждого из которых справедливо неравенство t «С а;
лучом (—оо; а) называется множество всех действительных
чисел t, для каждого из которых справедливо неравенство t < а.
Заметим, что иногда говорят—«промежуток», понимая под
этим либо луч, либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.
Наконец, иногда множество R всех действительных чисел обоз-
начается так: (— оо; 4- оо).
Объединение и пересечение множеств.
Объединением множеств А и В называется множество С, со-
стоящее из всех таких элементов, каждый из которых содержится
хотя бы в одном из данных множеств А я В. Для объединения
множеств употребляется символ U : С = А и В.
Примеры. 1. Если Д = {1; 2; 3; 4} и В = {2; 3; 4; 5}, то
4UB = {1; 2; 3; 4; 5}.
2. ^UZou(O} = Zo; 3. (-1; 2) и (0; 3] = (- 1; 3];
4- (-1; 2) U [-2; 1) = [- 2; 2); 5. [-2; 1]U (0; 3] = [-2; 3];
6- (- 1; 2] U (2; 4) = (- 1; 4); 7. (0; 1) U (- 1; + «>) = (- 1;+оо).
43
Пересечением множеств А и В называется множество L, эле-
ментами которого будут те и только те элементы, которые одно-
временно являются элементами и первого и второго множества,
т. е. пересечение двух множеств есть общая часть этих множеств.
Для пересечения множеств употребляется знак л' L — Af)B.
Примеры. 1. Если Д = {0; 1; 2; 3} и В = {2; 3; 4; 5; 6},
то ЛлВ = {2; 3};
2. Nf}Z6 = N-, 3. =
4. {1; 2; 3; 4}n{2; 3; 4; 5} = {2; 3; 4}; 5. (- 1; 2) П (0; 3] ==
•= (0; 2);
6. (—оо; 1]П(0; 3) = (0; 1]; 7. (- 1, 3)П(3; + оо) = 0.
Упорядоченные множества. Перестановки и размещения. При
рассмотрении числового множества можно числа, принадлежащие
этому множеству, расположить в определенном порядке. Тогда
имеет смысл говорить об упорядоченном множестве. Одним из
примеров упорядоченного множества является ряд натуральных
чисел. Если два упорядоченных множества содержат одни и те
же элементы, но расположенные в разном порядке, то будем
говорить, что эти упорядоченные множества отличаются порядком
расположения элементов. Например, из трех чисел 4, 7, 1 можно
составить шесть различных упорядоченных множеств: П; 4; 7},
{1; 7; 4}, {4; 7; 1}, {4; 1; 7}, {7; 1; 4}, {7; 4; 1}.
Рассмотрим более подробно этот вопрос для конечных мно-
жеств, т. е. для множеств, состоящих из конечного числа эле-
ментов, например чисел.
Определение. Установленный в конечном множестве поря-
док называется перестановкой его элементов. Число перестановок—
это число различных упорядоченных множеств, составленных из
одних и тех же элементов. Число перестановок из п элементов
обозначают через Р„. Для того чтобы ответить на вопрос, — чему
равно число перестановок из п элементов, рассмотрим общую
задачу. Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Вы-
делим т элементов, где т п, из этого множества и расположим
их в некотором порядке. Полученное конечное упорядоченное
множество будем называть размещением. Общую задачу можно
сформулировать так: «Сколько существует размещений из п эле-
ментов по т элементов?» Ответим сначала на вопрос, сколько
существует размещений из п элементов по два элемента. На
первом месте такого размещения может быть любой элемент из
п элементов, на втором месте может быть любой из (п— 1) остав-
шихся. Пусть на первом месте стоит элемент ах, тогда на вто-
ром месте может стоять любой из элементов а2, а9, ..., ап. При
этом получим (п— 1) размещений. Если на первом месте стоит
элемент а2, то на втором месте может стоять любой из элементов
Of, а3, й4, ..., ап, т. е. будет еще (п — 1) размещений. Перебрав все
элементы а^, а2, а3, ..., ап, получим п групп, в каждой из ко-
торых содержится (га — 1) размещений. Следовательно, число всех
размещений из п элементов по два будет п(п— 1).
44
.. Если нужно узнать число размещений из п элементов по три,
то следует к каждому, размещению из п элементов по два до-
бавить дю очереди один элемент из (п —2) оставшихся. Тогда
получится n(n—1) групп, в каждой из которых будет по (п —2)
размещений. Следовательно, всего размещений из п элементов
по три будет п(п — 1)(п — 2). Если число размещений из п эле-
ментов по т обозначить Д”, то можно записать следующие фор-
мулы:
4* = п(п-1), Л3„ = п(п-1)(п-2). (1)
Перепишем формулы (1) в ином виде:
Агп = п[п — (2— 1)], А3п = п(п — 1)[п — (3— 1)]. (2)
Можно подметить определенную закономерность в формулах (2):
число размещений равно произведению последовательных нату-
ральных чисел начиная спи кончая [п — (k—1)], где & = 2, 3.
Рассуждая аналогично предыдущему, получим
Л,7 = п(п —1)(п—2).. .[n—(m— 1)],
1 т п.
(3)
Пример. В 1-м классе 6 учебных предметов и 4 урока в день-
Сколькими способами можно составить расписание одного учеб-
ного дня (более одного урока в день по каждому предмету не
допускается)?
Для того чтобы решить эту задачу, надо найти число разме-
щений из 6 элементов по 4: Л, = 6-5-4-3 = 360. Итак, возможно
360 способами составить расписание на день. Очевидно, что пе-
рестановка—это размещение из п элементов по п. По формуле (3)
Рй = п(п-1)(и-2)...2-1. (4)
Если воспользоваться символом п! (читается: «п факториал»),
который обозначает произведение п первых чисел натурального
ряда (n! = 1-2-3-. ..-п), то формулу (4) можно записать так:
Р„ = п1. (5)
Формулу (3) тоже можно записать, используя этот символ:
лт_п(п—!)..[«—(т— m)...2-l]_ n! .fi.
" “ ((«—т)...2-1] <п — т)! • W
Чтобы формула (6) совпадала с формулой (5)при/п = п, принято
считать, что 0! = 1.
Сочетания и их свойства. Часто возникают задачи, когда из
данного конечного множества из п элементов надо образовать
множество из т элементов (m^n), но во вновь построенном
множестве порядок следования элементов не важен, а важно
лишь их наличие.
Например, пусть спрашивается, сколькими способами можно
выбрать трех учеников из десяти для уборки класса. В этом
45
случае упорядоченность в группе из трех человек необязательна.
Такие множества из п элементов по т, которые отличаются
друг от друга только элементами, но не порядком их располо-
жения, называются сочетаниями, и их число обозначается че-
рез Сп- Очевидно, что число сочетаний из п элементов по п
равно единице: Q= 1. Рассмотрим общий случай, когда 1
Пусть составлены все сочетания из п элементов по т.
Возьмем любое из этих сочетаний и переставим в нем элементы
всевозможными способами. Тогда число полученных всевозмож-
ных упорядоченных множеств из п элементов по т равно С™Рп.
Покажем, что это число совпадает с числом всех размещений
из п элементов по т. Действительно, возьмем всевозможные
размещения и запишем их по группам. В каждую группу вклю-
чим размещения, составленные из одинаковых элементов, отли-
чающиеся порядком их расположения. Таким образом, в каждую
группу войдет столько размещений, сколько можно образовать
перестановок из данных т элементов, т. е. ml размещений. Все
размещения, расположенные в одной группе, рассматриваемые
как сочетания, одинаковы, так как.содержат одинаковые элементы.
Следовательно, число групп — это число различных сочетаний
из п элементов по т, т. е.
ЛЯ1 = С?/«!. (7)
Из равенства (7) получим формулу Для подсчета числа сочетаний
или, используя формулу (6):
' «=<т4т=- <«>
Отметим, что в силу принятого соглашения: 0! = 1, формула
(8) справедлива и при т = 0, а именно С®=1. Решим сформули-
рованную выше задачу о выборе трех учеников. Число возмож-
ных способов выбора учеников равно
з 1.2-3-4-5.6-7-8-9-10 „
С10'~СЬ2-3"4Г5.6-7) (Ь2.3)~
Если подсчитаем С1о, то получим тот же результат:
_ 1.2-3.4.5.6.7.8.9.10 „
С1» - (1-2.3) (1.2.3.4-5-6.7) -
Покажем в общем случае, что С£ = Сп m(Q^m^.n). Действи-
тельно,
Г'п-т___________________— —----2*--= Ст (Q\
[л—(л—«)]! (л—лг)! ml (л—т)! " ’ v’)
46?
формула (9) позволяет легко подсчитать число сочетаний из п
по т, когда т близко к п. Например,
С 8__ ГЧ _ 9! _Q
9 — ь9 — — V.
Покажем справедливость еще одного свойства числа сочетаний:
Гти+1 । гчп____г>т+1
Действительно, используя формулу (8) имеем
п!
/и! (п—/и)!
ГЧП+1 I гчп___ _________22________
__________п!_________.________п!________
~“/n! (m+ 1) (п~т— 1)! т\ (п—т — 1)! (п—т)
________п!___ ( 1 . 1 \__________п! (п+ 0__________
т\ (п—т— 1)! 1 ' п—mJ ml (п—т— 1)! (ти + 1) (л—т)
=_________(п+0!
(m+l)![(n+l)-(m+l)]!-
Используя еще раз формулу (8), получаем, что формула (10)
верна.
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить (1—10):
5.
44+5,4+0,2 (6)
1|+0,0(3)+0,1
1,01-1
г/з^.злгбх _о,34П
|.\ 5,5 : 341 J :6,875] :
2
4+0,125
31-0,8
2-0,04
1—0,11 *
47
[(,7i?o-'‘’27M:4
12 : [2,28 : (28,57 —5,03)]
И (4,6+5:6,25). 141 7| 2 ,
4-0,125+2,3 J-.6/: 12 4+4 2_ +
5
4)]}-
3,25-21) .
4 J
Доказать следующие утверждения (11—33):
11. Для того чтобы натуральное число anan_i.. делилось на 5,
необходимо и достаточно, чтобы либо 0, либо л0 = 5.
12. Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, что-
бы оно делилось на 3.
13. Для того чтобы натуральное число делилось на 3, достаточно, чтобы
оно делилось на 6.
14. Для того чтобы натуральное число апап_г.. .оздь п^1, делилось
на 4, необходимо и достаточно, чтобы число делилось на 4.
15. Для того чтобы натуральное число агдп^х.. п^> 2, делилось
на 8, необходимо и достаточно, чтобы число ]тыъ на 8.
16. Натуральное число тогда и только тогда делится'на 11, когда раз-
ность между Суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой его
цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
, п’(п+1) (п + 2)
17. Для любого натурального числа п число —--------~-------- нату-
' ральное.
18. Произведение двух последовательных натуральных чисел при делении
на три дает в остатке нуль или два.
19. Число, являющееся квадратом натурального числа, или делится на
три, или при делении на три дает в остатке единицу.
20. Число, являющееся кубом натурального числа, при делении на 9 дает
в остатке либо 0, либо 1, либо 8.
21. При любом натуральном п число п(п2+5) делится на 6.
22. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится наЗ.
23. Произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из
которых есть квадрат натурального числа, делится на 60.
24. Для любых целых п и т число [пт(п—т)] является четным.
25. Произведение двух последовательных четных чисел делится на восемь.
26. Разность между кубом нечетного числа и самим числом делится на 24.
27. Квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.
28. Сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 4.
29. Два последовательных нечетных числа —числа взаимно простые.
30. Для любого натурального числа п числа п, п+1 и 2n-f-l попарно
взаимно простые.
31. Сумма четырех последовательных натуральных чисел не может бьиь
простым числом.
т_ л ° 14я«4“3 2л 4-3
32. Каждая из двух дробей и 5^77
несократима ни при ка-
ком натуральном п.
33. Если данная дробь несократима, то дробь с числителем, равным сумме
числителя и знаменателя данной дроби, и знаменателем, равным произведению
числителя и знаменателя данной дроби, тоже несократима.
34. Сколько раз число 2 содержится множителем в разложении числа 100!
на простые множители?
35. Сколько раз число 5 содержится множителем в разложении числа
1980! на простые множители?
36. Найти остаток от деления числа: а) 21980 на 5; б) 77100 на 3.
37. Какой цифрой оканчивается число, получаемое в результате следую-
щего возведения в степень: а) 2х880; б) 71980.
38. Можно ли число 101010 представить в виде разности квадратов двух
целых чисел?
39. Делится ли число 11 ... 11 на 81?
81 раз
40. Найти НОД (247, 221), НОД (323; 187; 209).
41. Найти числа а и Ь, если: НОД («; Ь) — 13, НОК (а; Ь)— 1989.
42. При каких цифрах х и у число 34x5# делится на 36?
43. Разность двух чисел равна 5, а сумма квадратов равна 157. Найти
эти числа.
44. Найти все такие трехзначные числа, каждое из которых в 12 раз
больше суммы своих цифр.
45. Найти правильную дробь, превышающую зная, что от увеличе-
О
ния ее числителя на некоторое целое число и умножения знаменателя на то
же число величина дроби не меняется.
46. Дробь -^-'несократима. Выяснить, сократима или несократима сумма
двух дробей 1 и
47. Найти все такие натуральные числа п, для каждого из которых число
Зп+4
—g-----натуральное число.
48. Верно ли утверждение: сумма двух натуральных чисел, каждое из
которых не делится на 7, также не делится на 7?
49. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7
дает остаток 6, а при делении на 9 дает остаток 8.
49
50. Найти наибольшее трехзначное число, которое при делении на 6 дает
остаток 5, а при делении на 4 дает остаток 3.
51. Найти все натуральные числа, большие 200, но меньшие 1500, каж-
дое из которых как при делении на 7, так и при делении на 21, дает в ос-
татке 2.
52. Найти все натуральные числа, меньшие 150, каждое из которых как
при делении на 6, так и при делении на 8, дает в остатке 5.
53. Пусть р (р^5)— простое число. Доказать, что число (р2—1) делится
на 24.
54. Пусть р (р^7)—простое число. Доказать, что число (р2—13) не
делится на 24.
55. Найти простые числа р и q такие, что р2—2q2 = 1.
56. Будет ли число (4р +1) простым, если известно, что чи<;ла р и (2p-f-1)
простые и р > 3?
57. Найти число р, если известно, что р, (р + 2) и (р+4)—простые числа.
58. Показать, что сумма (разность, произведение, частное) двух иррацио-
нальных чисел может быть рациональным числом.
59. Доказать иррациональность чисел 1^5; 49; (V*2 +1^3);
(К2’ + /?).
60. Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011..., где
после запятой выписаны подряд все натуральные числа, является непериоди-
ческой дробью.
61. Дано: а^Ь >0; с > d > 0. Доказать, что -£• > —.
а с
62. Доказать, что |а| = | — а |; | а |а; |а|^—а.
Найти множество всех чисел, для каждого из которых справедливо ра-
венство (63—73):
63. |— а\ = а. 64. |— а|=-— а. 65. а+| а | = 0. 66. а—|а|=0. 67. а +
+ (а|=2а. 68. а|а|=— а2. 69. -Д-=1. 70. -Д- = —1. 71. V^= — а.
72. a /2 = —/2а2. 73. /За2=—а /У.
74. Какие из следующих неравенств справедливы: 5^2; 3^3; /4 <2;
6 </49 и 38 </912?
Если два действительных числа а и b таковы, что а > Ь, то справедливо
ли неравенство (75, 76): 75. а2 > д2; 76. — < -у?
Найти множество всех чисел, для каждого из которых справедливо нера-
венство (77—88):
77. [_а]^а. 78. |а|<—а. 79. |«|<| — а|. 80. а\а\^а2.
81. -Д-<
!«1
1. 82.-ArSal. 83. /а2<—а. 84. а/5 </5а2.
|а|
85. 7а2 <— а/7. 86. |а| —а<0. 87. |аЦ-а<2а. 88. |аЦ-а<0.
Найти пересечение следующих двух множеств (89—96):
„.[-2»; »] . j-б; 21. [К2; -Ц+1] П+П] •
50
104. (—4; 3) и (2; 4].
91. [-/3; 2] и (lig; 4) . 92. (-Кб; 4] и [4; К17].
93. (i; и 2^ . 94. (-00; 2) и (-КЗ; 10].
/ 1 . \ Г—/2—0,6 , \
95. ( — -у; + оо \ и ---; + оо I.
96. (- /17; /5) и ; 6 •
Найти объединение следующих двух множеств (97—105):
97. 1—1,5; 4] и [—2; 1]. 98. {1; 5] и [0; 6). 99. [2; 4] и [4; 7]. 100. (—1; 4)
и (0; 3].
101. (—оо; 2] и [—3; 5). 102. (0; 1) и (у; 4-оо
1/7* _
103. (-оо; 2] и IJ-; /17
105. [—1; 1) и (0,2; 2].
На числовой оси указать множество всех чисел, удовлетворяющих условию
(166—113):
106. |*| = 1. 107. |х| <3. 108. |x|5s2. 109. 1 <х<4. ПО. —3<х<0.
111. (х—1)(х+2) = о. 112. (х-1)2(х+3)<0. 113. (х—2)2(х2+4)<0.
114. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить, исполь-
зуя цифры 1,2, 3, 4, 5, если в записи каждого такого числа никакая цифра
не повторяется?
115. Сколько различных семизначных телефонных номеров можно набрать
с помощью диска, имеющего десять отверстий с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, О?
116. Сколькими способами в группе из 25 человек можно выбрать про-
форга, физорга и культорга?
117. Сколькими способами можно отобрать несколько книг (не менее
одной) из 5 одинаковых учебников алгебры и 4 одинаковых учебников геомет-
рии?
118. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими
способами можно выбрать наряд, состоящий из одного офицера, 2 сержантов
и 20 рядовых?
119. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу
с 3 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?
120. У одного человека есть 7 книг, а у другого 9. Сколькими способами
они могут обменять друг с другом по две книги?
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Определения и основные свойства
Математические и алгебраические выражения, В предыдущей
главе были рассмотрены действительные числа и некоторые дей-
ствия над ними. С помощью чисел, знаков действий и скобок
составлялись различные числовые выражения. Приведем примеры
некоторых числовых выражений:
(27:9); /8+Т
V11 2 /7* \ 5 + 7 / 47.
(I___£\ Г9 ’
\19 2 У 17
2-1034-7-102+ 10-5.
Если в числовом выражении можно выполнить все указанные
в нем действия, то полученное в результате действительное число
называют числовым значением данного числового выражения, а о чис-
ловом выражении говорят, что оно имеет смысл. В приведенных
примерах каждое из первых трех числовых выражений имеет
числовое значение 3, а четвертое —2705.
Если числовое выражение состоит из одного действительного
числа, то его числовым значением является само это число.
Иногда числовое выражение не имеет числового значения, так
как не все указанные в нем действия выполнимы; о таком чис-
ловом выражении говорят, что оно не имеет (лишено) смысла.
Например, числовые выражения 37^6 ’ и (2 — 2)° ли-
шены смысла.
Таким образом, любое числовое выражение либо имеет одно
числовое значение, либо лишено смысла.
Числовое выражение часто употребляют для описания какого-
либо свойства числа, являющегося числовым значением этого
выражения. Так, например; свойство числа (—17) давать при
делении на 2 остаток 1 записывают числовым выражением 2(—9)4-1.
Чтобы описать свойство каждого нечетного числа из отрезка [—2; 14]
давать при делении на 2 остаток 1, надо написать соответствую-
щее числовое выражение для каждого из чисел —1, 1, 3, 5, 7,
52
9, 11 и 13, т. е. восемь следующих числовых выражений:
2.(—1) + 1; 20+1; 21 + 1; 2-2+1;
2-3+1; 2-4+1; 2-5 + 1; 2-6+1.
Это же свойство можно записать, используя буквенную сим-
волику,, следующим образом: 21 +1, где {— 1, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6}.
Приведенный пример говорит о том, что часто вместо число-
вых выражений удобнее рассматривать выражения, в которых
на некоторых местах вместо чисел стоят буквы. Всякое такое
выражение называют математическим выражением. Примеры мате-
матических выражений:
4 + 2*+3; sin^; Гз + 1; arctg|; lo&HJ^.
и и р п
Отметим, что понятие «математическое выражение» является про-
стейшим, и потому оно не определяется, а лишь описывается,
что и было сделано выше. Математическое выражение, в котором
над числами и буквами, входящими в это выражение, произво-
дятся действия сложения, вычитания, умножения, деления, воз-
ведения в натуральную степень и извлечения арифметического
корня, называется алгебраическим выражением.
Примеры алгебраических выражений:
I h а---С О а ft | t ь
Алгебраическое выражение называется рациональным, если
в нем участвуют относительно входящих в него букв лишь дей-
ствия: сложение, умножение, вычитание, деление и возведение
в натуральную степень (рациональное алгебраическое выражение
может содержать любые числа, в том числе и иррациональные).
Примеры рациональных алгебраических выражений:
ss+’/3o; —а’ К5(И-.) +1!1'
Рациональное выражение называется целым относительно данной
буквы, если оно не содержит деления на данную букву или на
выражение, содержащее эту букву.
Дробное рациональное выражение относительно данной буквы —
это рациональное выражение, содержащее деление на некоторое
выражение, содержащее эту букву, или на саму букву.
Например, рациональное выражение -^^)с—целое относи-
тельно буквы с, но дробное относительно букв а и Ь\ рацио-
нальное. выражение у 4--^—целое относительно а, но дробное
относительно Ь.
53
Алгебраическое выражение называется иррациональным, если
в нем участвует относительно входящих в него букв действие
извлечения арифметического корня.
Примеры иррациональных алгебраических выражений:
V'a+'Kb+2аЬ; /с+1; 2/3/ + /3/-1.
Действия над алгебраическими выражениями. Пусть даны два
алгебраических выражения, которые обозначены буквами А и В.
Определим для них арифметические операции.
Сложить два алгебраических выражения А и В —значит фор-
мально написать алгебраическое выражение А + В, которое назы-
вается суммой выражений А и В.
Например, суммой алгебраических выражений и
-- а—b . а
будет алгебраическое выражение +
Умножить два алгебраических выражения А и В —значит
формально написать алгебраическое выражение АВ, которое назы-
вается произведением выражений А и В.
Например, произведением алгебраических выражений -3*
36
и (а2—Ь2) будет алгебраическое выражение —у (л2—Ь2),
Если надо сложить несколько алгебраических выражений, то
сначала складывают два первых выражения, затем к полученной
сумме прибавляют третье выражение и т. д. Вот, например, как
выглядит сумма пяти алгебраических выражений: {[(А+В)+С]+
+ D} + E. Аналогично определяется и произведение нескольких
алгебраических выражений.
Если в произведении одно и то же алгебраическое выражение
А является множителем п раз (га> 1, n^N), то пишут Ап вместо
произведения А А ... А.
п раз
Например, вместо произведения (а+&)(а+&)(а+&) пишут
(а + &)3. Вместо А1 обычно пишут А.
Вычесть из алгебраического выражения А алгебраическое выра-
жение В —это значит формально написать алгебраическое выра-
жение А — В, которое называется разностью выражений А и В.
Например, разностью алгебраических выражений abc3 и -—
а2тп
будет алгебраическое выражение abc3—
Разделить алгебраическое выражение А на алгебраическое
выражение В —это значит формально написать алгебраическое
выражение А:В, которое называется частным <ут деления выра-
жения А на выражение В.
Например, частным от деления алгебраического выражения
(а — Ь2) на алгебраическое выражение будет алгебраическое
54
выражение (а—й2):-^. Отметим, что частное от деления алгебраи-
ческого выражения А на алгебраическое выражение В часто запи-
А
сывается в виде -g.
Область допустимых значений алгебраического выражения.
Ясно, что под областью допустимых значений алгебраического
выражения следует понимать ту область, в которой это алгеб-
раическое выражение имеет смысл. Однако это понятие необхо-
димо уточнить.
Пусть дано некоторое алгебраическое выражение. Множество
всех букв, входящих в это выражение, называется буквенным
набором данного алгебраического выражения.
Если в алгебраическое выражение входит п букв alt а2, .... ап,
то буквенный набор этого. алгебраического выражения записы-
вают в виде (an а2, ..., ап). Каждая буква, сколько бы раз она
ни встречалась в алгебраическом выражении, пишется в буквен-
ном наборе только один раз. При составлении буквенного набора
данного алгебраического выражения порядок следования букв
может быть любым возможным, но раз навсегда зафиксированным.
Например, для алгебраического выражения
2а—7Ь л
буквенным
Y19ac J
набором может служить набор (а, Ь, с), для алгебраического
3
выражения у -j+a’fe* — а —набор (k, а, а, Ь).
Если в буквенном наборе (а, 0, у) вместо буквы а взять,
например, число (—вместо буквы 0 — число К2, вместо
буквы у —число 0,3, то набор чисел ( — и 0,3 называ-
ют числовым набором, соответствующим данному буквенному набо-
ру (а> 0> у)> и записывают в виде ( —, ]/"2, 0,3^ . При этом го-
ворят, что числовой набор (—1^2, 0,з) соответствует бук-
венному набору (а, 0, у) при а = —-j^, 0=^2, у = 0,3.
Аналогично определяется числовой набор, соответствующий
буквенному набору (ах, а2, ..., ап), и для любого набора из
п букв (п — любое натуральное число).
Одному и тому же буквенному набору можно поставить в соот-
ветствие бесконечно много разных числовых наборов.
Два числовых набора считаются разными, если хотя бы на од-
ном, но на одном и том же в каждом наборе, например, i-м месте
этих числовых наборов стоят неравные числа (т. е. вместо одной
и той же буквы, стоящей на t-м месте буквенного набора, в этих
двух числовых наборах взяты неравные числа). Например, числовые
наборы (1, —3, —5, —/2, у) и (1, —3, —4, —/2, у) ,
55
соответствующие буквенному набору (a, b, с, d, е), разные, так
как у них на одном и том же ; третьем месте стоят неравные
числа (—5) и (—4) (т. е. в первом наборе с = —5, а во втором
(9 \ /9 \
—3, — у) и (—у, —31, соот-
ветствующие буквенному набору (х, у), разные, так как у них
на первом месте стоят неравные числа (т. е. в первом наборе
х = —3, во втором х =— у ); кроме того, они разные, так как
у них на втором месте стоят неравные числа ^т. е. в первом
наборе у —— у, во втором у ——з).
Пусть даны некоторое алгебраическое выражение и его бук-
венный набор. Рассмотрим некоторый числовой набор, соответ-
ствующий этому буквенному набору. Этот числовой набор на-
зывается числовым набором для букв данного алгебраического
выражения. Если в это алгебраическое выражение подста-
вить вместо каждой буквы, где бы она в нем ни стояла, соот-
ветствующее ей число из данного числового набора, то получим
числовое выражение, которое либо имеет смысл, либо лишено
смысла. Например, рассмотрим алгебраическое выражение .
Запишем его буквенный набор в виде (а, Ь). Для числового набора
(4, 5), соответствующего буквенному набору (а, Ь) (т. е. при а = 4,
Ь = 5),’это алгебраическое выражение записывается в виде числового
5-3-4 I 7 \ п
выражения -т.-. и имеет числовое значение —5-). Для чис-
V 54-4 k d /
лового набора (—6, 5) (т. е. при а=—6, Ь = 5) это алгеб-
раическое выражение запишется в виде числового выражения
5—3 (—6)
У , которое лишено смысла.
Числовой набор, соответствующий буквенному набору дан-
ного алгебраического выражения, называется допустимым для
этого выражения, если имеет смысл числовое выражение, кото-
рое получается из данного алгебраического выражения, если
вместо каждой буквы, где бы она в нем ни стояла, подставить
соответствующее ей число из данного числового набора.
Совокупность всех допустимых числовых наборов, соответст-
вующих буквенному набору данного алгебраического выражения,
называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного алгеб-
раического выражения.
Отметим, что существуют алгебраические выражения, ОДЗ
которых пуста. Например, пуста ОДЗ алгебраического выражения
=—5—г, ибо для любого числового значения буквы а, соот-
2а—
ветствующее числовое выражение лишено смысла. Такие выра-
жения называются выражениями, не имеющими смысла, и в даль-
56
нейшем рассматриваться не будут. Обычно ОДЗ алгебраического
выражения записывают в виде набора множеств, причем указы-
вают, какой букве соответствует каждое множество. Так, напри-
h — Q
мер, ОДЗ алгебраического выражения записывается в виде
V 5-j-a
{(a, ft)|<z£(—5; 4-оо); b£(—сю; +<»)}.
Числовым значением., или числовой величиной, алгебраического
выражения для данного числового набора из ОДЗ называют
числовое значение того числового выражения, которое получится,
если в данное алгебраическое выражение вместо каждой буквы,
где бы она в нем ни стояла, подставить соответствующее ей число
из данного числового набора.
Например, числовым значением алгебраического выражения
ь 3 2
при а = 4 и Ь = 5 будет число , а при a = 0 и ft = 4 —
y5-|-a »
число -1^-.
э
Часто алгебраические выражения рассматриваются не на всей
своей ОДЗ, а лишь на ее части — некоторой области М,
Например, рассмотрим алгебраическое выражение vt. ОДЗ этого
выражения {(о, t) | v € R', t£ Я}. Пусть это алгебраическое выра-
жение vt определяет путь, пройденный за время t со скоростью о.
Тогда по физическому смыслу задачи следует наложить на о и
t ограничения: о>0 и />0. Другими словами, надо рассмот-
реть алгебраическое выражение vt на следующей области М —
части ОДЗ этого выражения: М = {(а, t) | v € [0; +оо); / G [0; +оо)}.
Алгебраическое выражение обычно дается вместе с областью М,
на которой оно рассматривается. Если область М не указана,,
то алгебраическое выражение следует рассматривать на всей ОДЗ,
которую предварительно надо найти.
Пусть даны два алгебраических выражения А и В. Множество
всех букв этих двух выражений называют буквенным набором
двух выражений А и В. Числовой набор, соответствующий бук-
венному набору двух алгебраических выражений, называют до-
пустимым, если одновременно имеют смысл оба числовых выра-
жения, которые получаются из данных алгебраических выраже-
ний, если в них вместо каждой буквы, где бы она в них ни
стояла, подставить соответствующее ей число из этого числового
набора.
Совокупность всех допустимых числовых наборов, соответ-
ствующих буквенному набору двух алгебраических выражений,
называется областью допустимых значений (ОДЗ) этих алгебраи-
ческих выражений. __ ___
о л п («+*) 1 апо
Пример. A = В =' -ОДЗ этих двух
алгебраических выражений записывается в виде {(a, ft)|a£
€[-1; 2) и (2; 4~°о); Ье(-3; 4-«>)}.
57
Аналогично определяется ОДЗ п алгебраических выражений.
Два алгебраических выражения можно рассматривать не на всей
ОДЗ, а лишь на некоторой ее части —некоторой области М.
Поэтому дальше под областью М, принадлежащей ОДЗ алгеб-
раических выражений, будет пониматься либо вся эта ОДЗ, либо
какая-нибудь явно указываемая ее часть.
§ 2. Равенства и неравенства алгебраических выражений
Равенства алгебраических выражений. Два алгебраических
выражения называются тождественно равными на области М,
если для любого числового набора из области М соответствующие
числовые значения этих выражений равны.
Например, два алгебраических выражения (а+1)2 и (a2+2a-j-l)
тождественно равны как на всей ОДЗ этих выражений, т. е. на
области {(а)|а£(—оо; -|-оо)}, так и на любой ее части. Два
a—b d(3-| С)-На— М
алгебраических выражения /”+« + и v 3^--------------~ тождест-
венно равны не на всей ОДЗ этих двух выражений, которой
является область {(a, b, т, с, d) | а£ R, b € R; т € R', с € (—оо; —3) и
U(—3; Н-оо); d£R}, а лишь на ее части —области М, где
М = l(a, b, m,c,d)\a£R-, b£R-,m£ {0}; с£ (—оо; —3) U (—3; 4-оо);
d С ₽}• Для записи тождественного равенства на области М двух
алгебраических выражений иногда употребляется знак равенства,
над которым сверху написана буква М, т. е. если буквами А п В
м
обозначены некоторые алгебраические выражения, то запись А = В
обозначает, что алгебраические выражения А и В тождественно
равны на области М, а область М входит в ОДЗ двух выраже-
ний А и В.
Например, запись
а—&одз а__________________________b
3—|-с 3 -|— с 3 —1~ с
1а—Ь\ (а Ь \
означает, что алгебраические выражения и (з“+с—3~+с)
тождественно равны на ОДЗ этих выражений, т. е. на области
{(а, Ь, с)|а£7?; b£R, с£(—оо; —3)и(—3; 4-оо)}, а запись
____м
уаг=а, где М = {(а)|а£[0; +°о)}, означает, что утверждается
тождественное равенство алгебраических выражений ]/'аг и а
лишь на области М.
Замена алгебраического выражения А алгебраическим выра-
жением В, тождественно равным ему на области М, принадле-
жащей ОДЗ выражений А и В, называется тождественным пре-
образованием на области М алгебраического выражения А. Если
не указана область М, на которой происходит тождественное
преобразование, то принято считать, что это преобразование
58
происходит на ОДЗ двух выражений: данного и преобразован-
ного.
Например, замена алгебраического выражения (a-j-l)’ алгеб-
раическим выражением а2 + 2а+1 является тождественным пре-
образованием на ОДЗ этих выражений, т. е. на области М, где
М = {(«) |а€Я}.
Законен вопрос, а возможна ли запись А=В без буквы М
над знаком равенства и что эта запись означает?
Конечно, формально можно сделать запись А = В, но если
рядом нет слов, поясняющих, как следует понимать такую запись,
то такая запись не несет никакой смысловой нагрузки. Следо-
вательно, такая запись должна употребляться только с некото-
рыми сопровождающими эту запись пояснениями, которые и
разъяснят, как следует понимать эту запись.
Приведем теперь наиболее часто встречающиеся случаи упо-
требления записи А = В с соответствующими пояснениями, как
следует понимать такую запись.
а) Пусть известно, что на некоторой области М, принадле-
жащей ОДЗ двух алгебраических выражений Л и В, эти два
выражения тождественно равны. Тогда это утверждение записы-
вают так: «Известно {или дано), что А = В на области Мъ.
В этом случае говорят также, что на области М дано тождест-
венное равенство А = В.
б) Пусть требуется доказать справедливость утверждения:
алгебраические выражения Л и В тождественно равны на об-
ласти М, принадлежащей ОДЗ этих выражений. Тогда пишут:
«Доказать, что А = В на области М». В этом случае говорят
также, что требуется доказать справедливость на области М
тождественного равенства А = В.
в) Пусть требуется найти область М, принадлежащую ОДЗ
двух алгебраических выражений Л и В, такую, что для любого
числового набора из области М соответствующее числовое зна-
чение выражения Л равно соответствующему числовому значению
выражения В, а для любого числового набора, не входящего
в область М, но входящего в ОДЗ этих выражений, соответст-
вующие числовые значения данных выражений не равны. В таких
случаях говорят: «Решить уравнение А = Въ.
Прежде всего отметим, что сложение и умножение алгебраи-
ческих выражений производятся с использованием следующих
утверждений:
1. На ОДЗ двух выражений А и В справедливо тождествен-
ное равенство Л+В = В + Л.
2. На ОДЗ трех выражений А, В и С справедливо тождест-
венное равенство (Л + В) + С= Л + (В+С).
3. На ОДЗ двух выражений А и В справедливо тождествен-
ное равенство АВ = ВА.
4. На ОДЗ трех выражений А, В и С справедливо тождест-
венное равенство {АВ) С —А {ВС).
59
5. На ОДЗ трех выражений А, В и С справедливо тождест-
венное равенство А(В + С) — АВ + АС.
Поскольку метод доказательства справедливости этих утверж- ,
дений один и тот же, то приведем здесь доказательство
лишь утверждения 1.
Возьмем некоторый числовой набор из ОДЗ двух выражений
А и В и обозначим соответствующие числовые значения этих
выражений соответственно через Ао и Во. Тогда для чисел Ао и Во
по свойству коммутативности сложения чисел справедливо число-
вое равенство АвН-Вв = В0-|- Ае. Значит, показано, что для дан-
ного числового набора из ОДЗ двух выражений А и В соот-
ветствующие числовые значения выражении Л0Н-Вв и Вй4-Л0
равны. Так как это рассуждение можно провести для любого
числового набора из ОДЗ двух выражений А и В, то справед-
ливость на ОДЗ этих выражений тождественного равенства
Л4-В = В + Д доказана.
Аналогично доказываются и следующие утверждения.
б. На ОДЗ выражения А справедливы тождественные равен-
ства А-\-0 = А, 0 + Л = А.
7. На ОДЗ выражения А справедливы тождественные равен-
ства АЛ=А, 1-А = А.
8. На ОДЗ выражения А справедливо тождественное равен-
ство А + (— А) = 0.
9. На области М —части ОДЗ выражения А, на которой ни
для одного числового набора соответствующее числовое значение
выражения А не равно нулю,—справедливо тождественное равен-
ство А -^=1. ~-
Используя утверждения 1 — 9, можно показать, что действия
вычитания и деления алгебраических выражений являются соот-
ветственно обратными к действиям сложения и умножения алге-
браических выражений. А именно, справедливы следующие ут-
верждения.
10. На ОДЗ двух выражений А и В справедливо тождествен-
ное равенство В + (А—В) = А.
11. На области М—части ОДЗ двух выражений А и Bi на
которой ни для одного числового набора соответствующее число-
вое значение выражения В не равно нулю,— справедливо тожде-
ственное равенство В = А.
Приведем теперь утверждения, которые часто использу-
ются при доказательстве равенств алгебраических выражений.
12. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ трех
алгебраических выражений А, В и С, одновременно справедливы
тождественные равенства А —В и В —С, то на области М
справедливо и тождественное равенство А = С (транзитивность
равенств).
60
13. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ че-
тырех алгебраических выражений А, В, С и D, одновременно
справедливы тождественные равенства А =В и С = D, то на об-
ласти М. справедливо и тождественное равенство A-\-C = B-[-D.
14. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ че-
тырех алгебраических выражений А, В, С и D, одновременно
справедливы тождественные равенства А=В и С — D, то на об-
ласти М справедливо и тождественное равенство AC = BD.
Метод доказательства утверждений 10—14 является тем же
самым, что и при доказательстве утверждений 1 — 9. Докажем,
например, утверждение 12.
Возьмем некоторый числовой набор из области М. Обозначим
соответствующие числовые значения выражений А, В и С соот-
ветственно через Ло, В6 и Са. Из справедливости на области М
тождественных равенств А —В и В = С вытекает справедливость
числовых равенств Лв = В0 и В0 = С0. По свойству транзитивности
числовых равенств тогда справедливо и числовое равенство Л0 = С0.
Таким образом, показано, что для4 данного числового набора из
области М. соответствующие числовые значения выражений А и С
равны. Поскольку это рассуждение можно провести для любого
числового набора из области М, то справедливость на области М
тождественного равенства А = С доказана.
Принято следующее соглашение: если не указана явно об-
ласть М, на которой рассматривается тождественное равенство
Л = В, то оно рассматривается на ОДЗ двух выражений Л и В.
Поэтому слова «дано, что Л = В» означают, что на ОДЗ двух
выражений Л и-В справедливо тождественное равенство Л = В.
Слова «доказать, что Л = В» означают, что сначала надо найти
ОДЗ двух выражений Л и В, а затем доказать тождественное
равенство А —В на этой ОДЗ.
В частности, исходя из этого, утверждения 1—5, называемые
обычно законами сложения и умножения алгебраических выра-
жений, можно переписать и так:
Справедливы следующие законы сложения и умножения
алгебраических выражений:
1. А-\-В — В 4-Л (коммутативность сложения);
2. (ЛВ) 4"С = Л 4“ (В-|-С) (ассоциативность сложения);
3. ЛВ = ВЛ (коммутативность умножения);
4. (ЛВ)С = Л(ВС) (ассоциативность умножения);
5. (Л 4-В) С = АС-}-ВС (дистрибутивность сложения относи-
тельно умножения).
Прежде чем рассмотреть применение данных утверждений для
доказательства равенств, дадим определение равносильного пере-
хода от одного равенства к другому.
Если на некоторой области М из справедливости одного тож-
дественного равенства вытекает справедливость второго, а из спра-
ведливости второго вытекает справедливость первого, то говорят,
что такие два тождественные равенства равносильны на области М,
61
а замену одного из них другим называют равносильным перехо-
дом на области Л4 от первого равенства ко второму.
В дальнейшем,' если это не будет вызывать недоразумений,
для краткости слово «тождественное» будем опускать.
Равносильный переход на области М от одного равенства
к другому обозначается двойной стрелкой, над которой сверху
написана буква М, т. е. запись A=B&C=D означает, что на
области М равенства А = В и C — D равносильны.
Тогда из справедливости утверждений 13, 14 следует спра-
ведливость следующих равносильных переходов.
15. Пусть М—ОДЗ трех алгебраических выражений А, В и С,
м
тогда А = В<& А-\-С — ВД-С.
16. Пусть некоторая область М принадлежит ОДЗ трех ал-
гебраических выражений А, В и С и обладает следующим свойст-
вом: ни для какого числового набора из области М соответст-
вующее числовое значение выражения С не равно нулю. Тогда
А = В&АС=ВС.
Докажем, например, утверждение 15. Так как С = С, то из
утверждения 13 следует справедливость перехода от равенства
А —В к равенству Д + С = В + С, Обратно, имея равенства
Л + С = В + С и (—С) = (—С) и используя утверждения 13 и 8,
получим справедливость перехода от равенства (Л 4-С) = (B + Q
к равенству А = В. Следовательно, справедлив равносильный пе-
реход
м
А = В&А + С = В+С.
Приведенные утверждения 1 —16 позволяют доказывать ра-
венства алгебраических выражений. Докажем, например, что на
ОДЗ двух выражений А и В справедливо равенство
А-В = А + (— В).
На основании утверждения 15 это равенство равносильно ра-
венству
А-В + В = А + (— В) + В.
Согласно утверждениям 1,2 и 10 справедливы следующие ра-
венства:
А-В + В = В + (А—В) и В + (А-В) = А.
Следовательно, А — В-\-В— А.
Аналогично, используя утверждения 2,8, имеем А + (— В) +
+ В = А.
Таким образом, доказано, что равенство А—В + В = А +
+ (—В) + В справедливо на ОДЗ алгебраических выражений
А и В. Следовательно, на этой ОДЗ справедливо и равенство
А-В=А + (— В).
62
Неравенства алгебраических выражений. Перейдем теперь
к употреблению знака неравенства для алгебраических выраже-
ний. Знак неравенства > (^, < или так же, как и знак
равенства, употребляется для алгебраических выражений только
с некоторыми пояснениями, как следует понимать такую запись.
Приведем наиболее часто встречающиеся случаи употребления
этих знаков.
а) Пусть известно, что на некоторой области М, принадле-
жащей ОДЗ двух алгебраических выражений А и В, для любого
числового набора из М соответствующее числовое значение вы-
ражения А больше соответствующего числового значения выра-
жения В. Тогда это утверждение записывается так: «Известно
(или дано), что Л > В на области М». В этом случае говорят
также, что на области М справедливо тождественное неравенство
А> В.
б) Пусть требуется доказать справедливость утверждения:
«Для любого числового набора из области М, принадлежащей
ОДЗ двух выражений А и В, соответствующее числовое значе-
ние выражения А больше соответствующего числового значения
выражения В». Тогда пишут: «Доказать, что Л > В на облас-
ти Мъ. В этом случае говорят также, что требуется доказать
справедливость на области М тождественного неравенства Л > В.
в) Пусть требуется найти область М, принадлежащую ОДЗ
двух алгебраических выражений Л и В, такую, что для любого
числового набора из области М соответствующее числовое зна-
чение выражения Л больше соответствующего числового значе-
ния выражения В, а для любого числового набора из ОДЗ, не
входящего в область М, соответствующее числовое значение вы-
ражения А меньше или равно соответствующему числовому зна-
чению выражения В. В таких случаях говорят: «Решить нера-
венство Л > В».
При доказательстве тождественных неравенств часто прихо-
дится пользоваться следующими утверждениями.
17. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ трех
алгебраических выражений А, В и С, одновременно справедливы
тождественные неравенства А~> В и В > С, то на области М
справедливо и тождественное неравенство А>С (свойство тран-
зитивности неравенств).
18. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ че-
тырех алгебраических выражений А, В, С и D, одновременно
справедливы тождественные неравенства Л > В и С > D, то на
области М справедливо и тождественное неравенство А+С > B+D.
19. Если для любого числового набора из некоторой области М,
принадлежащей ОДЗ четырех алгебраических выражений А, В,
С и D, соответствующие числовые значения этих выражений
А, В, С и D положительны и если на этой области одновре-
менно справедливы тождественные неравенства Л > В и С > D,
то справедливо и тождественное неравенство АС > BD.
63
Дадим теперь определение равносильного перехода от одного
неравенства к другому.
Если на некоторой области М из справедливости первого
тождественного неравенства вытекает справедливость второго,
а из справедливости второго вытекает справедливость первого,
то говорят, что такие два тождественные неравенства равносильны
на области М, а замену одного из них другим называют равно-
сильным переходом от первого неравенства ко второму. При этом
употребляется знак равносильного перехода о.
Из справедливости утверждений 17—19 следует справедли-
вость следующих равносильных переходов.
20. Пусть М.—ОДЗ трех алгебраических выражений Л, В и С,
м
тогда Л > В фф Л + С > В + С.
21. Пусть некоторая область М принадлежит ОДЗ трех ал?
гебраических выражений А, В и С и обладает следующим
свойством: для любого числового набора из области М соответ-
ствующее числовое значение выражения С положительно. Тогда
м
А>В&АС>ВС.
Принято следующее соглашение: если не указана явно об-
ласть М, на которой рассматривается тождественное неравенство
А > В, то оно рассматривается на ОДЗ двух выражений Л и В.
Поэтому слова «дано, что А > В» означают, что на ОДЗ двух
выражений Л и В справедливо тождественное неравенство Л > В;
слова «доказать, что А > В» означают доказать, что на ОДЗ
двух выражений Л и В справедливо тождественное неравенство
Л > В (при этом имеется в виду, что эту ОДЗ обязательно сле-
дует отыскать). Если дано неравенство Л > В, то ОДЗ двух
выражений Л и В называют часто ОДЗ неравенства Л > В.
Следует отметить, что утверждения 17 — 21 останутся верными
и в случае нестрогих неравенств. Например, свойство транзи-
тивности неравенств может быть сформулировано так.
17а. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ трех
алгебраических выражений А, В и С, одновременно справедливы
тождественные неравенства Л В и В > С, то на области М
справедливо и тождественное неравенство AZ>C.
176. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ трех
алгебраических выражений А, В и С, одновременно справедливы
тождественные неравенства Л > В и BZ^C, то на области М
справедливо и тождественное неравенство Л > С.
Если оба неравенства являются нестрогими, то неравенство,
вытекающее из них, будет также нестрогим. Например, в этом
случае утверждение о транзитивности неравенств имеет вид.
17в. Если на некоторой области М, принадлежащей ОДЗ трех
алгебраических выражений А, В и С, одновременно справедливы
тождественные неравенства Л В и BZ^C, то на области М-
справедливо и тождественное неравенство AZ^C.
64
В дальнейшем, также, как и в случае равенств, слово тож-
дественное будем опускать.
Рассмотрим теперь некоторые способы доказательств равенств
и неравенств.
1. Перебор всех возможных случаев. Докажем этим способом
свойства абсолютных величин действительных чисел типа равенств
и неравенств:
1. | а+b | < | а| +1 b |;
2. |а — b I | о,—Ь|;
3. ab = &[; (1)
4. — -J-т-, если
о I b
Начнем, например, со свойства 3. Рассмотрим все возможные
случаи:
а) {(а, &)|а€[0; + оо); />£[0; +«>)},
Р) {(а, Ь)|а€[0; +оо); />€(-оо; О]},-
у) {(а, оо; 0]; &С[0; 4-оо)},
6) {(а, Ь)\а£(— оо; 0]; Ь£(—оо; 0]}
и доказательство проведем отдельно в каждом случае.
В случае а) по определению абсолютной величины [а| = а и
|Ь| = &, поэтому |о/>|=аЬ. Значит, в случае а) равенство ab\ =
= |а||&| может быть записано в виде ab — ab, после чего оно
становится очевидным.
В случае Р) ab^O, поэтому по определению абсолютной ве-
личины |а|.= а, |6| = — Ь, \ab\--ab. Значит, в этом случае
свойство 3 может быть записано в виде —ab = a(—Ь) или
— ab =— ab, после чего оно становится очевидным.
В случае у) или 6) свойство 3 доказывается аналогично. Из
справедливости свойства 3 во всех возможных случаях вытекает
его справедливость в той формулировке, в которой оно записано.
Докажем теперь свойство 1. Рассмотрим следующие 6 случаев:
а) а^О; Ь^О;
р) а>0; Ь<0; аф-Ь>0;
у) а^О; b^O; a-f-b^ZO;
6) а^О; a-j-b^O;
X) «СО; fe>0;
v) а^О,; Ь^О.
В случае а) |а+&| = а+& = |а| + |Ь|, поэтому свойство 1
в этом случае может быть записано в виде |а4-Ь| — 1«|4-|Н.
после чего оно становится очевидным.
В случаеР) |а+6| = а+Ь = а —(—Ь) = |а| —|Ь|, поэтому свой-
ство 1 в этом случае может быть записано в виде |а| —|Ь|^
|а| + |&|, после чего оно становится очевидным.
В. случае у) |а+Ь| = — (а + Ь) — (—Ь) — a = |fe|—|а|, по-
этому свойство 1 в этом случае может быть записано в виде
|6| —|а|<1|а| + |&|, после чего оно становищ очевидным.
3 М. К. Потапов и др. 65
В случаях 6), 1) и v) доказательства свойства 1 аналогичны
предыдущим. Из справедливости свойства 1 во всех' возможных
случаях вытекает его справедливость в той формулировке,.в ко-
торой оно записано. Свойства 2 и 4 абсолютных величин (1) до-
казываются аналогично.
2. Использование законов действий над алгебраическими вы-
ражениями и вытекающих из них свойств (1 —21). Докажем
этим способом равенство
(a + b)(a2+b2) = a3 + a2b + ab2^-b\ (2)
Отметим, что равенство (2) доказывается на ОДЗ трех выраже-
ний (а-Ь&), (а24-62) и a3+a2b+ab2+b3, т. е. на множестве
{(a, b)\a£R; b£R}. На основании закона дистрибутивности дей-
ствий над алгебраическими выражениями можно утверждать спра-
ведливость равенства
(a + b)(a2 + bl) = a(a3+b3)+b(a3 + b3.') (3)
На основании закона коммутативности умножения справедливы
равенства
а(а2+Ь2) = (а2+Ь2)а, (4)
• ' b(a2 + b2) — (a2 + b2)b. (5)
На основании закона дистрибутивности справедливы равенства
(а2+Ь2)а = а2а+Ь2а, (6)
(a2 + b2)b = a2b+b2b. . (7)
На основании законов коммутативности и ассоциативности умно-
жения справедливы равенства
а2а = а3, (8)
b2a=ab2, (9)
а2Ь = а2Ь, (10)
, b2b = b3. (11)
Вследствие того что равенства можно складывать (см. свойство
13 равенств), складывая равенства (8) и (9), а затем (10) и (И),
получаем справедливость равенств
а2а+&а = а3 4- ab2,
a2b + b2b = a2b+b\
Складывая эти равенства, а затем равенства (6) и (7), получаем
справедливость равенств
a2a+b3a+a3b + b3b =a3 + ab2 + a2b-{-b3, (12)
(a2 + b2)a+(a2 + b2)b = a2a^-b2a+a2b+b2b. (13)
Складывая равенства (4) и (5), получаем справедливость равен-
ства
а (а2 + Ь2)'+ b (а2+Ь2) = (а2 + Ь2) а+(а2 + Ь2) Ь. (14)
66
Применяя свойства транзитивности равенств, из справедли-
вости равенств (3), (14), (13) и (12) получаем справедливость
равенства (2).
Отметим, что все предшествующие выкладки записывают в виде
следующей цепочки равенств:
(a+fe)(a2 + fc2) =
= а (а2 + b2) + b (а2+&2) = (а2 + Ь2) а+(а2+62) Ь =
= а2а 4- b2a -|- a2b+Ь2Ь = а2 + а2Ь -)- ab2 + Ь2.
Из справедливости этой цепочки равенств делается вывод о спра-
ведливости равенства (2). В дальнейшем при доказательстве этим
и другими способами будем писать лишь цепочку очевидных ра-
венств.
3. Прямое доказательство. Часто в процессе поиска доказа-
тельства/переходя от данного неравенства к следующим, при-
ходят в конце к очевидному неравенству. Если при этом совер-
шались только равносильные переходы, т. е. в результате пере-
хода каждый раз получали неравенство, равносильное предыду-
щему, то тем самым получено доказательство исходного неравен-
ства. Докажем этим способом следующее неравенство: V«Ь
.на области М = {(а, Ь)|аС (0, -|-оо); &£(0; 4-оо)}. Напишем це-
почку равносильных на области Л4 переходов:
Д а + Ь—2 /aF> 0 &
4Э (У а)2 - 2У a Vb + (/Ь)2 > 0 (/а - /ь)2 > 0.
Поскольку справедливость последнего неравенства очевидна, то
из равносильности первого и последнего неравенств вытекает
справедливость первого неравенства.
Доказанное неравенство часто формулируют так: среднее ариф-
метическое двух положительных чисел не меньше их среднего гео-
метрического.
4. Метод от противного. Этот метод уже использовался в главе 1
при доказательстве теоремы о том, что простых чисел бесконечно
много. Можно его применять и при доказательстве равенств и
неравенств.
Докажем, например, этим методом, что для любого положи-
тельного числа а справедливо неравенство а+у^2. Предполо-
жим противное, т. е. предположим, что существует хотя бы одно
положительное число а такое, что для него справедливо нера-
венство а + ^<2. Так как а—положительное число, то это
неравенство на основании утверждения 21 равносильно неравен-
ству [а-\~\а<,2а, т. е. неравенству а2 +1 < 2а, которое на
з*
67
основании утверждения 20 равносильно неравенству (а2 + 1) — 2а <
<2я—2а, т. е. неравенству а2— 2а-\-1 <0. Перепишем последнее
неравенство в виде (а— I)2 < 0. Приходим к противоречию с оче-
видным фактом, что квадрат любого действительного числа неот-
рицателен. Полученное противоречие говорит о том, что сделан-
ное предположение неверно. Следовательно, неравенство а + -^-^2
выполняется для любого положительного а.
5. Использование свойства транзитивности неравенств. Пусть
требуется доказать на области М неравенство А < С. Если из-
вестно или уже доказано, что на области М справедливы нера-
венства А < В, В < С, или неравенства В<С, или не-
равенства А < В, В С, то по свойству транзитивности нера-
венств будет справедливо и исходное неравенство.
Докажем этим способом следующее неравенство:
"р+'2г + "зг+• • • < 2
на множестве M = {(n)|n£Af}.
Для п = 1 неравенство очевидно. Рассмотрим теперь любое
натуральное п^2. Каждое слагаемое суммы, начиная со вто-
- 1 11^1 до-
рого, заменим на большее: = у у < . где 2 sC k п.
Таким образом, имеем справедливое неравенство А„ < Вп, где
д _ 1 I 1 _1_ | 1 д 1 , 1 , 1 I | 1
ЛП р -г 22 -Г 32 + • •• +П2 И р ‘ 3-2 *" ‘ +n(n-1) •
Следует отметить, что неравенство А„ < Вп является строгим
при любом натуральном п 2.
Алгебраическое выражение Вп можно упростить, если каждое
слагаемое, начиная со второго, заменить алгебраической суммой:
(k— 1)= k^i~~k ;
Получим
5п = р + (т 2’) + (т З’)-^ ,,,+(jZ2~iPi) +
+ fj___________________________________________1\ = 2-.1
Мп-1 п) z п'
Неравенство Вп < 2 является, как легко заметить, справедливым
для любого натурального п. Следовательно, по свойству тран-
зитивности неравенств имеем Ап < 2, чтб и требовалось доказать.
Докажем в заключение свойства возведения алгебраических
выражений в натуральную степень, которые часто используются
при решении уравнений и неравенств (см. гл. III).
Теорема 1. Пусть некоторая область М принадлежит ОДЗ
двух алгебраических выражений А и В и обладает следующим
свойством: для любого числового набора из области М соответ-
ствующие числовые значения выражений А и В положительны.
Тогда на области М для любого натурального числа п (п^2): '
68
I
а) равенства А —В и An = Bn равносильны',
б) неравенства А> В и А\п> Вп равносильны.
Доказательство. Обозначим алгебраическое выражение
^4п-1_|-Л""аВ4- •.. + АВп~2 + Вп~1 через С. В § 6 будет доказана
справедливость следующего равенства алгебраических выражений:
Л«-В« = (Л-В)С. . (15)
Очевидно, что для любого числового набора из области М соот-
ветствующее числовое значение выражения С положительно.
Докажем утверждение а). Пусть дано, что Л = В на области М.
Тогда на основании утверждения 15 на М справедливо равенство
Л —В = 0, а отсюда по утвержденью 16 получим, что на М
справедливо равенство (Л — В) С — 0. По свойству транзитивности
равенств из этого равенства и равенства (15) вытекает, что
Л« —Вп = 0, откуда по утверждению 15 следует, что на области М
справедливо равенство Ап = Вп.
Итак, доказано, что на области М из справедливости равен-
ства А = В следует справедливость равенства Л" = Вп.
Пусть теперь дано, что А" — Вп на области М. Тогда на об-
ласти М по утверждению 15 справедливо равенство Ап — Вп — 0.
Отсюда и из равенства (15) на области М на основании свойства
транзитивности равенств имеем, что (Л — В) С = 0, а'отсюда по
утверждению 16 вытекает, что Л — В =-0, и наконец, по утверж-
дению 15 получаем, что А —В. Значит, на области М из спра-
ведливости равенства Ап — Вп вытекает справедливость равенства
А —В. Утверждение а) доказано.
Докажем теперь утверждение б). Пусть дано, что на области М
Л > В. Тогда на основании утверждения 20 на М справедливо
и неравенство Л — В > 0, а отсюда по утверждений 21 получим
справедливость неравенства (Л —В)С>0. Учитывая справедли-
вость равенства (15) получим, что Л" —В“>0. Наконец, по ут-
верждению 20 получим, что на М справедливо неравенство Л" > В".
Итак, доказано, что на области М из справедливости нера-
венства Л > В следует справедливость неравенства А" > В1*.
Пусть теперь дано, что Ап > В" на области М. Тогда на об-
ласти М по утверждению 20 справедливо неравенство Л" —В" > 0.
Отсюда и из равенства (15) получим, что (Л —В)С>0 на об-
ласти М. Применяя теперь утверждение 21, находим, .что Л — В > 0
на М. Наконец, по утверждению 20 имеем Л> В на М. Итак,
на области М из справедливости неравенства Ап > В" вытекает-
справедливость неравенства Л > В. Утверждение б) доказано.
Теорема доказана полностью. _ ,
§ 3. Многочлены
Рациональное выражение, содержащее относительно входящих
в него букв только два действия — умножение и возведение в
натуральную степень, называется одночленом.
69
Примеры одночленов: За, Zahc^^abc,^.
Рациональное выражение называется многочленом, если оно
является целым относительно каждой буквы,' входящей в это
выражение.
Например, рациональное выражение 4^35abc—+0,3dc яв-
ляется многочленом, ибо это выражение является целым относи-
тельно букв a, b, end.
В частности, рациональное выражение, содержащее только
одну букву и являющееся целым относительно этой буквы, назы-
вается многочленом целым относительно одной буквы.
Из определения многочлена и правил действий над алгебраи-
ческими выражениями следует, что сумма, разность и произве-
дение двух многочленов будут многочленами.
Если в многочлен входит п букв, то многочлен имеет смысл
для любого числового набора из « чисел. Поэтому обычно, рас-
сматривая многочлен, не говорят о его ОДЗ. ‘Обычно одночлены
тождественно преобразуют по законам действий, приведенных
в § 2, собирая вместе все числа, входящие в одночлен, и запи-
сывая их перед буквами одночлена, а также собирая вместе оди-
наковые буквы, входящие в одночлен, и записывая их в виде
натуральной степени этой буквы. После такого преобразования
одночлен считается записанным в стандартном виде, а числовой
множигель, стоящий перед буквами одночлена, называется коэф-
фициентом данного одночлена. к
3 ‘
Например, одночлен 3abc2cb у ас преобразуется к стандартному
18 18
виду -~а~Ьгс\ и число у есть его коэффициент.
v Согласно правилам действий над алгебраическими выраже-
ниями многочлен всегда можно тождественно преобразовать к ваду,
' в котором многочлен состоит из нескольких одночленов, запи-
санных в стандартном виде и соединенных знаками сложения и
вычитания; поэтому Обычно говорят, что многочлен есть алге-
браическая сумма одночленов.
Подобные члены многочлена—это его одночлены, записанные
в стандартном виде’и отличающиеся не более чем коэффициен-
тами. Привести поЭобмые члеиы многочлена—это значит заменить
алгебраическую сумму подобных членов одним членом, тождест-
венно равным этой сумме. ’
Исходя из правил действий над алгебраическими выраже-
ниями, можно следующим образом конкретизировать законы дей-
• ствий над многочленами.
Чтобы сложить два многочлена, следует записать подряд все
члены первого многочлена, а затем все члены второго много-
'члена, ‘сохраняя у каждого, одночлена знак, стоящий перед его
коэффициентом, после чего необходимо привести подобные члены.
70
Например: (2cd4- 5а) + (х + 7а—4cd) = 2cdЦ- 5a-f-х + 7а — 4cd =>
= l2a+x—2cd.
Чтобы вычесть из одного многочлена другой многочлен, сле-
дует записать подряд все члены первого многочлена, сохраняя
у каждого одночлена знак, стоящий перед его коэффициентом,
затем все члены второго многочлена, изменив на противополож-
ные знаки, стоящие перед, коэффициентами одночленов второго
многочлена, после чего необходимо привести подобные члены.
Например: (х2—г/2) — (—7х2 + 8у2 — 5а) =х2 — у2+7х2 — 8у2+5а=
= 8х2 — 9^4-5а.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, следует умножить
этот одночлен на каждый член многочлена, записать члены про-
изведения подряд с теми знаками, какие были у членов много-
члена, если перед коэффициентом одночлена стоит знак плюс,, и
с противоположными знаками —если перед коэффициентом- одно-
члена стоит знак минус, каждый одночлен произведения записать
в стандартном виде, а затем привести подобные члены.
Например: (—4а&) (За&—2+ЗаЧЯ) = — (4а6) (ЗаЬ) + (4аЬ)- 2 —
— (4аЬ)(За262)==—12а262-Ь8а&— 12а?6«; 5с(2й&+ 1 — ЗЬ)=(5с)(2а&)+
+(5с); 1 — (5с)(3&) = 10abc-[-5c— 15te.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, следует каждый
одночлен (вместе со знаком; стоящим перед его коэффициентом)
первого многочлена умножить на второй многочлен-, записать
подряд все произведения; каждый полученный одночлен записать
в стандартной форме, а затем привести подобные члены.
Например: (ай — cd) (ab + cd) = (ab) (ab) + (ab) (cd) — (cd) (ab) —
— (cd) (cd) — a262+abed — tibed.—c2d2 = a2t>2 — c2d2.
Пользуясь правилами сложения и умножения многочленов и
свойствами равенств алгебраических выражений,- получим тож-
дественные равенства, которые часто называют формулами сокра-
щенного умножения.
Начнем с перемножения одинаковых многочленов вида (а+&).
Используя законы действий- над алгебраическими выражениями,
можно написать следующую цепочку тождественных равенств:
(а+Ь)2 = (а'+Ь) (a+b) = (a) (а) + (а) (Ь) + (Ь) (d)+(b)(b)^
= а3+аЬ + аЬ + Ь2.— а2-)г2аЬ+Ь2. (1)
Формула (1) имеет следующую словесную формулировку: квад-
рат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удво-
енное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго
числа. ' '
Теперь, используя предыдущую формулу, можно написать
следующую цепочку тождественных равенств:
(а+Ь)2 = (а+Ь) (а+Ь)2 = (а+b) (а2 + 2а6+Ь2)-
= (а) (а?) + (а) (2аЬ) + (а) (52) + (Ь) (а2) + (Ь) (2а6)+(Ь) (Ь2) =
=а3 + 2а2Ь+а&2+а2Ф4-2агя+&8 = а3+За2&4-Заг>2+&э. (2)
71
Формула (2) имеет следующую словесную формулировку: куб
суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное про-,
изведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное про-
изведение первого числа на квадрат второго числа и плюс куб
второго числа.
Напишем еще одну цепочку тождественных равенств:
(a + b)* = (a+b)(a+b)3 = (a+b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b9)= ’
= (а) (а3) + (а) (За2Ь) + (аЦЗаЬ2) + (а) (Ь3) + (Ь) (а3) +
+ (Ь) (За2Ь) + (Ь) (ЗаЬ2) + (&) (Ь3) = а* + За3Ь + За2Ь2 + . .
+ ab3 + а3Ь 4- За2Ь2 + 3ab3+b* = a* + 4a3b + 6a2b2+4аЬ3+Ь*.
Приведенные формулы позволяют заметить некоторую закономер-
ность, с помощью которой можно написать формулу для (а+&)“,
где п — любое натуральное число. А именно легко заметить, что
всех членов будет (n-f-1); первый член есть первое число в сте-
пени п; в каждом последующем члене степень первого числа на
единицу меньше его степени в предшествующем члене, а в по-
следнем члене оно в нулевой степени; второе число находится
в первом члене в нулевой степени, во втором члене в первой
степени, в каждом последующем чдене степень второго числа на
единицу больше его степени в предшествующем члене, а в по-
следнем члене второе число в степени п.
Коэффициент же при каждом члене можно найти при помощи
«треугольника Паскаля»:
0 1
1 11
2 12 1
3 13 3 * 1
4 14 6. 4 1
5 1 5 . 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6,1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 Д
• • • • • . •
Правило образования строк «треугольника Паскаля» простое.
Каждая строка может быть получена из предыдущей верхней
строки следующим образом. В промежутке между любыми сосед-
ними числами верхней строки (но ниже их) пишется сумма этих
чисел, а по краям пишутся единицы. Номер строки показывает,
в какую степень возводится двучлен (а+b), а числа этой строки
являются коэффициентами соответствующих членов, записанных
в рассмотренном выше порядке.
Конечно, если надо написать формулу для (а+#)", где п —
большое число (например, 100), то ясно, что по треугольнику
Паскаля вычислять коэффициенты правой части долго. Поэтому
72
желательно знать общую формулу для вычисления (а + Ь)п. Эта
формула <носит название формулы бинома Ньютона и имеет вид
(а+b)a = Сйпап++ .,..+ Ckan~kbk + ... +C‘bn, (3)
где С»—01 = 1, &! = 1-2-3*. ,.-fe для любого k€{ 1, 2,
KI K)l ’
3, ..rt}.
Доказательство равенства (3) будет дано в § 6.
Применим формулу бинома Ньютона, например, для вычисле-
ния (a-f-b)s:
(a + bf = Cga5 + Qa'b+Cfa3b2+Cftfb3 + C*ab* + C3b3.
Вычислим коэффициенты С<Г, где tn € {0, 1, 2}. Для вычисления
остальных коэффициентов воспользуемся равенством
С" m = (n—(« — «)]! (n—m)l'= ml(n—m)i ’ ДЛЯ
доказанным в главе 1. .
Таким образом,
c?=q=i, a=ci=^=5, q=ct=2^. = io.
Следовательно,
(a+b)5 =as + 5a4b +10aW+10a2b3 + 5a&4 + b8.
Из формулы бинома Ньютона легко получить формулу для
(а—Ь)п. Обозначим d =— b и применим формулу бинома Ньютона:
(a—Ь)п = (а+d)“ = С?а» + Qa" "М + . • • + Ckan~kdk + ... + C"d”.
Подставляя (—b) вместо d, получим
(a~b)n^C^nr-C\an-lb+ ... +(— 1)к Скап-"Ь№ + .... +(—1)" СппЬп.
Частные случаи этой формулы для п = 2 и п = 3:
(а—Ьу=а* — 2аЬ+Ь\
(а—Ь)3 = а3 — За2Ь + За& — Ь3.
Формула бинома Ньютона (а-\-Ь)п и вытекающая из нее фор-
мула (а — Ь)п Являются формулами сокращенного умножения, в
которых берется произведение одинаковых многочленов (биномов)
п раз.
Докажем теперь некоторые формулы, в которых берется про-
изведение разных многочленов. Очевидна следующая цепочка
тождественных равенств: .
(а - Ь) (а + Ь) = (а) (а) + (а) (Ь) - (Ь) (а) - (Ь) (Ь) =
= а3-УаЬ — ab — Ь2 = а2 — Ь2.
73
Эта формула обычно запоминается в записи, где меняются' местами
праваяй левая части: а2 — Ь2 = (а—Ь)(а-}-&). Приведем ее словес-
ную формулировку: разность квадратов двух чисел равна произ-
ведению разности этих чисел на их сумму.
Выведем формулу разности кубов двух чисел (a3 — Ь3). По-
скольку'
(а - Ь) (а2+ab+Ь3) = (а) (а2) + (а) (ab) + (а) (&*) - (Ь) (с2) -
- (b) (ab) - (b).(b3) = а3 + a*b + ab3 - a3b -ab3-b3 = a3 -b3,
to ’ '
a? — b3 = (a—b) (a3 + ab -{-b3).
Приведем словесную формулировку этой формулы: разность кубов
двух чисел равна пруизведению разности этих чисел на неполный
квадрат суммы этих чисел.
Приведенные формулы позволяют заметить закономерность,
с помощью которой легко записать формулу ап-^Ьа для любого
натурального числа п. Эта формула имеет вид
an — bn = (a—b)(ап~1 + ап~3Ь+ ... 4-аЬ"-2 + &п-1).«
Доказательство этой формулы будет проведено в § 6 методом
математической индукции.
Наконец, выведем следующую формулу:
a3 + b3 = (a+b) (а3~аЬ+Ь3).
Действительно,
0H-&):(a2-a64-b2)=
= (a) (а2) - (a) (ab) + (а) (Ь3) + 0) (а2).- (6) (ab) + (b) (b3) =
= а3 — а3Ь + ab3 + а3Ь—ab3-\-b3 = а3 + &?. -
Словесная формулировка этой формулы следующая: сумма кубов
двух чисел равна произведению- суммы этих чисел на неполный
квадрат разности этих чисел. • _
Приведем формулы, которые желательно запомнить:
(a + &)2 = а2 + 2ab+b3, ч
(а+Ь)3 = а3 + За3Ь + ЗаЬ3 + Ь3,
(a-b)3 = a3-2ab + b3,
(a-b)3 = a3 — 3a3b + 3ab3-b3,
a3 — b^ = (a — b)(a + b),
а3 — b3 ^(a — b).{a3 + ab+b3),
a3 b3 = (a + b) (a3 — ab -f- b3).
Формулы, доказанные в этом параграфе, справедливы для
любых числовых значений букв а й Ь. Иногда эти формулы
употребляются и тогда, когда буквами а а b обозначены некото-
рые алгебраические выражения, но тогда очевидно, что эти фор-
74
мулы будут справедливы уже на ОДЗ двух алгебраических вы- i
ражений а и Ъ.
. В ряде вопросов при действиях с многочленами удобнее рас-
сматривать их >не в стандартном виде, а в виде произведения.
Тождественное преобразование многочлена к виду произведения
многочленов называется разложением многочлена на множители.
Собственно говоря, все формулы сокращенного умножения и есть
формулы разложения многочлена на множители.
Кроме применения формул сокращенного умножения, есть и
другие приемы для разложения многочлена на множители, напри-
мер, вынесение за скобки общего множителя, группировка. Для
разложения многочлена на множители употребляются все приемы. \
Рассмотрим пример разложения многочлена на множители.
Группируя, вынося за скобки общий множитель и пользуясь
формулой сокращенного умножения, получаем цепочку тождест-
венных равенств:
а2с+2abc 4- Ь2с 4- (а 4- b)2 d = с (а2 +2аЬ 4- b2) 4-d (я 4~ Ь)2 =
= с (а 4- Ь)2 4- d (а 4- Ь)2 = (а 4- Ь)2 (с 4- d).
§ 4. Алгебраические дроби
Алгебраической дробью называется дробное рациональное вы-
ражение, являющееся частным от деления одного многочлена на
другой. '
Алгебраическая дробь, которая есть частное от деления много-
А
члена А на многочлен В, обычно записывается в,виде -д-, причем
многочлен А называется 'числителем алгебраической дроби,; а
многочлен В —ее знаменателем.
Примеры алгебраических дробей:
. - За+b . ab— b . а2-1~Ь2 . ху4~бу
а3 4-1 d+a ’ а—b ’ 7х4-3у'
ОДЗ алгебраической дроби -д-, в которую входит п букв, есть
множество всех числовых наборов, соответствующих буквенному
набору/дроби кроме тех, для каждого из которых соответ-
ствующее числовое значение многочлена В равно нулю.
Например, ОДЗ алгебраической дроби есть множество
{(«, b)\aeR', b£R; a^b}.
Докажем несколько утверждений о равенстве алгебраи-
ческих дробей.
1. Если ' обозначить алгебраическую дробь одной буквой С,
то на ОДЗ этой дроби равносильны тождественные равенства
С = 4 и А=СВ.
О
75
Справедливость этого свойства вытекает из справедливости
утверждения 14 § 2.
2. Равенства = и AD = BC равносильны на ОДЗ первого
из них.
. А С
Это свойство часто формулируют так: две дроби и & тож-
дественно равны на ОДЗ тогда и только тогда, когда на этой
ОДЗ справедливо равенство AD = BC.
Доказательство. Пусть область М — ОДЗ двух дробей
АС * А
g и р. Рассмотрим случай, когда Д = 0 на М. Тогда -^ = 0 и
д с с
из равенства g = p следует, что и р = 0 на М. Поэтому С = 0.
на М, а это значит, что AD — BC на М.
Наоборот, пусть AD = BC и .4 = 0 на М. Так как на М D=/=0
и В#=0, то С = 0 на М. Следовательно, =
Рассмотрим теперь случай, когда ни для одного набора из
области М многочлен А не обращается в нуль, т. е. рассмотрим
А С
случай, когда Д=#0 на М. Пусть g = тогда отсюда следует,
А /С
что и С=/=0 на М. Обозначим д- через а и через 0.’ По свой-
ству 1 алгебраических дробей А=аВ. и C = 0D. По утвержде-
нию 14 § 2 имеем
A$D = CaB. (1)'
Так как а = р#=0 на Л4, то по утверждению 14 § 2 из (1) сле-
дует, что AD — CB.
Наоборот, пусть AD = BC, тогда, так как Л#=0, £>#=0 и
В#=0 на М, то. и С=#0 на М. Следовательно, а = д и P = g не
равны нулю на М. Тогда умножим данное равенство AD — BC
на а0. Получим равносильное равенство
. - a₽4D--=a0BC. (2) -
\
Но аВ — А, $D = C, и равенство (2) примет вид
z аДС = 04С. (3)
Используя утверждение 14 § 2, получим а==Т0, что и требовалось
доказать.
Таким образом, свойство 2 алгебраических дробей доказан^.
•3. На ОДЗ алгебраической дроби справедливы тождествен-
А ____А д ___А
ные равенства д — ——В~------в~'
Каждое из этих равенств становится очевидным,, если вос-
пользоваться только что доказанным свойством 2.
76
4. Для любого многочлена К, не обращающегося в нуль на ОДЗ
алгебраической дроби д, справедливо тождественное равенство
А_АК
В~ВК‘
, А
Поскольку на ОДЗ дроби g это равенство по свойству 2
равносильно равенству А(ВК) = В (А К), которое является очевид-
ным, то столь же очевидна и справедливость свойства 4.
5. На ОДЗ алгебраической дроби g справедливо тождествен-
А . I
ное равенство g = A--&
- Действительно, по утверждению. 9 § 2
Используя ассоциативность умножения алгебраических выраже-
ний, имеем
D \ D J \D / D
Применяя утверждение 11 § 2 получаем, что
В~Л В'
6. На ОДЗ алгебраической дроби справедливо тождествен-
111
ное равенство jg = • -д-.
Действительно, на ОДЗ дроби jg очевидна справедливость
цепочки тождественных равенств
4=4(в4)(^4)=(я4-^)44)Ч4-
А В
7. На ОДЗ двух алгебраических дробей -g- и -т- справедливо
и /1
тождественное равенство -g = ~g--
Т
Действительно, применяя сначала свойство 5 дробей, затем
свойства действий над алгебраическими выражениями, затем
свойства 6 и 5 дробей, имеем цепочку тождественных равенств
д-_L— _ r/.-L ——1_____1
B . В —Л в ( A 2. )~ \ A][ В _1_ )— 1 — в •
\ А/' .. \ A ) .A A
Напомним следующее соглашение: если не указана явно об-
ласть Л1,- на которой рассматривается некоторое тождественное
равенство, то оно рассматривается на ОДЗ двух выражений,
стоящих в левой и правой частях равенства. Поэтому дальше не
будет явно указываться область, на которой будет справедливо
тождественное равенство, имея в виду, что оно справедливо на
ОДЗ двух выражений, стоящих в левой и правой частях ра-
венства. .
Пользуясь свойствами сложения и умножения алгебраических
выражений и свойствами алгебраических дробей, легко показать
справедливость тождественных равенств
A C_4D + BC. А С _АС
В ' D BD ’ В' D ~ BD’
Действительно, используя свойства алгебраических дробей, по-
лучим
А , С _ AD у СВ
B'D ~ BD'DВ
BD^CB' BD'
Применяя теперь свойства сложения и умножения алгебраичес-
ких выражений, а затем опять свойства алгебраических, дробей,
имеем
AD-^ + CB-^AD+CB}-^
_AD-\-CB
BD ’
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается второе равенство:
_± .£-( a (С -И - АС •-• - - АС- —-—
в d~\a bJ V DJ~- в О ~Л BD~-BD’
Так же доказываются и равенства
A С __AD—BC. A,C_AD
В D~ BD ’ В : D ~ ВС
Часто надо привести алгебраические дроби к общему знамена-
телю, т. е. записать их так, чтобы у всех этих дробей'был один
и тот же знаменатель. Для этого существует следующий способ:
надо разложить каждый знаменатель на множители, а затем числи-
тель и знаменатель каждой дроби умножить на произведение тех
множителей знаменателей остальных дробей, которые не содер-
жатся в данном знаменателе, что по свойству дробей их не изменит.
Пример. Привести к общему знаменателю следующие алгеб-
раические дроби:
- а _, с d
а3—63 ’ а2—Ь2 ’ a2-}-ab-[-b2
Разлагая знаменатели на множители,'перепишем Дроби так:
'______________а________. с . d
(а—Ь) (а2-)-а6-|-&2) ’ (а—Ь) (а-j- b) ’ a2-]-ab-}-b2'
78
Теперь, умножая -числитель и знаменатель первой дроби на.(а+&),
второй —на с(а24-аЬ + Ь2), третий —на (а—b)(a + b), получаем
а(а+6) . с(я*+о6.4-^*)
(а—Ь) (а+fe) (a*+ab+b*)' (а—Ь) (a+b) (a*+ab+b*) ’
d(a—k)(a+b)
{а—Ь) («+&) (а2+я/>+62) '‘
У этих дробей одинаковые знаменатели, т. е. первоначальные
дроби приведены к Общему знаменателю.
В ряде случаев требуется представить дробь в виде суммы
дробей с более простыми знаменателями. Это можно сделать только
в том случае, когда многочлен, стоящий в знаменателе дроби,
разлагается на произведение'многочленов меньшей степени. Пока-'
жем на примере, как это делаетсй. -
Пусть надо разложить алгебраическую дробь на про-
стейшие. Так как многочлен х2 —1 разлагается на произведение
многочленов (х— 1) и (х-j-l), то это можно сделать. Для этого
нужно найти алгебраические дроби такие, чтобы было
1 А В
выполнено тождественное равенство Рассмот-
А , в п ,
рим сумму только что сформулированным пра-
вилам
_А___В Л(х+ 1)4-5 (х-Г) _ (4-НВ) х+(А — В1
X—1 *х4-1 (X-------1)(х-|-1) ,(х—1) (х-Н 1)
Так как эта дробь должна тождественно равняться дроби х2_ t
(заметим, что эти рассуждения проводятся для любого х, кроме
х=1 и х =—1), то по двойству 2 эти две дроби равны только
тогда, когда[(Я + В)х-|-(Д —В)](х—1)(х-|-1) = (х—1)(х+1). Так
как это равенство должно выполняться для1 любого х, кроме
х=1 и х = —1, то, полагая, например, х = 0, затем х = 2, полу-
чаем, что это будет верйо только тогда, когда одновременно
А — 8 = 1 и ЗД-|-В = 1. А эти два равенства справедливы одно-
временно- только для А = у и В =—Значит, данная дробь
разложена на простейшие, а именно, справедливо следующее
тождественное .равенство:
1 _J_
1 2 ___2_
X2—1 X—1+х+1 *
Этот способ разложения дроби в сумму более простых дробей
называется способом неопределенных коэффициентов. Действи-
79
тельно, полагая числа А и, В вначале неизвестными, получаем
на ОДЗ равенство двух многочленов, один из которых с извест-
ными коэффициентами, другой с неизвестными, выраженными
через А и В. Это дает возможность выписать алгебраические
равенства относительно неизвестных коэффициентов (в данном
случае А — В=1, ЗА + В=1). Найдя числовые значения неиз-
вестных коэффициентов, обращающие данные алгебраические равен-
ства в верные числовые равенства, тем самым решим поставлен-
ную задачу о представлении дроби в виде суммы более простых
дробей.
Неравенства алгебраических дробей. Докажем два утвержде-
ния, которые часто применяются-при рассмотрении алгебраиче-
ских дробей.
8. На ОДЗ алгебраической дроби равносильны следующие
А
неравенства: -g- > 0 и АВ > 0.
Докажем, что из справедливости первого неравенства следует
справедливость второго неравенства.
Доказательство. Обозначим алгебраическую дробь
А
одной буквой С, т. е. C—-g. На ОДЗ данной алгебраической
дроби алгебраическое выражение С положительно, так как любое
числовое значение алгебраического выражения С является поло-
жительным числом. По свойству 1 равенств алгебраических дробей
имеем А —СВ на ОДЗ данной дроби. Следовательно, алгебраиче-
ское выражение АВ равно СВ2: АВ = СВ2. По определению на
ОДЗ дроби алгебраическое выражение В в нуль не обращается,
т. е. алгебраическое выражение В2 положительно на ОДЗ дроби
А. Произведение положительных алгебраических выражений С и
В2 будет также положительным. Аналогично доказывается, что
А
на ОДЗ алгебраической дроби -д- из справедливости неравенства
А
ЛВ>0 следует справедливость неравенства -д->0.
Л * С
9. На ОДЗ алгебраических дробей -g- и -g- равносильны нера-
венства 4- > -тт и AD2B > CB?D.
D U - .
Доказательство. Используя утверждение 20, получим
равносильные неравенства: -§- > р- и -g—g > 0.
Выше было доказано равенство
... Л С —AD—BC
В D ~ BD ’
80
которое позволяет сделать еще один равносильный переход:
, Л -С « ad-вс п
В D BD
Последнее неравенство по утверждению 8 на ОДЗ алгебраических
АС ' •
дробей я равносильно неравенству (AD — BC)BD>Q,
которое равносильно неравенству AD2B > СВЧ). Утверждение 9
полностью доказано.
Утверждения 8, 9 используются при доказательстве других
неравенств.
Докажем, например,1 что неравенства и а>Ь
равносильны для любых, не равных друг другу положительных
чисел а и Ь.
Действительно, по утверждению 9 равносильны следующие
неравенства:
Й>^и (а*-Ь«)[(о+6)‘-(а-6Г]>0. , .
Так как (аА-Ь)й — (а — Ьу — 4аЬ, то последнее неравенство равно-
сильно неравенству (a—b)(a-\-b)4ab > 0, которое в силу положи-
тельности а и b равносильно неравенству а > Ь. Следовательно,
для любых, не равных друг другу, положи-
тельных а и Ь?
§ 5.- Многочлены, целые относительно одной буквы.
Многочлен, целый относительно одной буквы х, имеет одно-
члены разных степеней, ибо в противном случае можно привести
подобные члены. Одночлены разных степеней можно упорядочить
относительно возрастания или убывания степеней буквы х. Обычно
многочлен, целый относительно одной буквы, записывают в по-
рядке убывания степеней.
Многочлен, записанный в виде atxtt+a1xn~l-{-a2xn~?+...
... 4-an_tX+a„, называется расположенным многочленом. Если
то говорят, что этот многочлен имеет степень п.
Если не известно, равен йли не равен нулю коэффициент ав,
то говорят, что этот многочлен степени не выше, чем п.
Из этого определения в частности вытекает, что многочлены
нулевой степени—это отличные от нуля числа. Число нуль также
считается многочленом, причем это единственный многочлен, сте-
пень которого не определена. Для сокращенного обозначения
многочленов обычно употребляют следующие записи:
Р(х), Q(x), Т(х), 7?(х), р(х), q(x), г(х),
при этом, если хотят подчеркнуть, что многочлен /’(х)-—степени п,
то пишут Р„(х).
81
Для нахождения суммы многочленов Р„(х) и Qm(x) «ужно
записать подряд все члены этих двух многочленов и затем сделать
приведение подобных членов.
Для нахождения произведения многочленов Рп(х) и Qw(x) нужно
каждый одночлен многочлена Р„(х) умножить на каждый одночлен
многочлена Q„(x), сложить полученные произведения и привести
подобные члены.
Теорема I. Два многочлена, целые относительно х, тожде-
ственно равны тогда и только тогда, когда равны их степени и
равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Доказательство этой теоремы опускается.
В этом параграфе для обозначения тождественного равенства
двух многочленов Р(х) и Q(x) будет употребляться запись Р(х) =
= Q(x), т. е. в этом параграфе знак «=», связывающий два много-
члена, будет пониматься в смысле тождественного равенства этих
многочленов. В частности, запись Р(х) = 0 будет означать, что
многочлен Р (х) тождественно равен нулю, т. е. есть число нуль.
Теорема 1 может быть применена для разложения многочлена
йа множители. Воспользуемся методов неопределенных коэффи-
циентов. Суть применения этого метода состоит в следующем.
Пусть дан многочлен РЛ(х) степени п и его надо представить
в виде произведения многочленов степеней k n(n — k), где &<п. -
Тогда выписываются два многочлена Pk (х) и Р„_А (х); первый — сте-
пени k и второй— степени (n—k) с коэффициентами, обозначен-
ными некоторыми буквами, скажем,, у первого а0, а1( ..., ak, у
второго ро, Pj, ..., Перемножая многочлены Рк(х) и Р„_*(х),
получаем многочлен Т„(х) степени п с коэффициентами, завися-
щими от а,- (i = 0, 1, ...,#) и ру- (7 = 0, "1, .... n—k). Из усло-
вия, что многочлены Р„(х) и Т„(х) тождественно равны, получаем
п + 1 равенство, в которых участвуют п + 2 коэффициента <х,- и
Р/, которые надо'найти. Полагая, например, коэффициент а0 = <1,
приходим к п+ 1 равенству, из которых надо найти n+ 1 коэф-
фициент az (7=1, 2, .... k) и Ру (j=O, 1, ...,n — k). Найдя их,
найдем и многочлены Рк(х) и Р„_Л(х).
Пример. Разложить многочлен х3 + Зх+4 на множители,
среди которых один —многочлен первой степени, а второй—много-
член второй степени. Будем искать многочлены (х + ах) и
(р0х2 + Р1Х+ра) такие, что справедливо .тождественное равенство
(x+ar)(Pox2 + PiX+P2) = x3 + 3x + 4. Применяя теорему 1, полу-
чаем 4 равенства: Ро = 1, Peai+Pi = Piai + Ps = 3, ajP2 = 4. Этим
равенствам удовлетворяют Ро =1, + = 1, Pi = — 1, Р2 = 4. Значит,
многочлен х3 + Зх+4 разлагается на множители (х+1) и (х2 —
— х + 4), т. е.
х3 + Зх + 4 = (х +1) (х2 — х+ 4).
Заметим, что не всякий многочлен можно разложить на мно-
жители. Например, многочлен х2+х+1 нельзя разложить в про-
изведение двух многочленов’ первой степени.
82 '
Теорема 2. Если произведение двух многочленов тождественно
равно нулю, то хотя бы один из этих многочленов тождественно
равен нулю.
Доказательство этого утверждения опускается. •
Вычесть из многочлена Р (х) многочлен Т (х) — это значит найти
такой многочлен Q(x), что Р(х)= Г (x)4-Q (х).
Нетрудно проверить, что для любых двух многочленов Р (х) и
Т(х) такой многочлен Q(x) существует и при этом только один,
он называется, разностью многочленов Р(х) и Т(х) и обозначается
Q(x) = P(x)—Т(х).
Разделить нацело многочлен Р (х) на многочлен Т (х), отличный ,
от нуля,— это значит найти многочлен Q(x) такой, что Р(х) =
= T(x)Q(x).
Если такой многочлен Q(x) существует, то говорят, что много-
член Т (х) является делителем многочлена Р(х), а многочлен Q (х)
называется частным от деления многочлена Р(х) на многочлен
Т (х). Не всегда многочлен Р (х) можно разделить нацело на много-
член Т (х). Например, многочлен х2 +1 не делится нацело на
многочлен х-J-1. Значит, в множестве многочленов не всегда выпол-
нимо' деление нацело. Зато, как будет показано ниже, в множестве
многочленов всегда выполнима деление с остатком.
Деление с остатком. Разделить с остатком многочлен Р(х) на
многочлен Т (х), .отличный от нуля,— это значит найти два много- .
члена q (х) и г\х) такие, что
Р(х) = Т(х)?(х) + г(х), - (1)
причем либо степень многочлена г (к) строго меньше степени мно-
гочлена Т (х), либо г (х) есть нуль.
В случае, если выполнено равенство (1), говорят, что много-
член Р (х) делится на многочлен Т (х) с остатком г (х) и частным
<7 (х); если г(х) = 0, т..е. если остаток есть число нуль, то говорят,
что многочлен Р (х) делится на многочлен Т (х) с остатком нуль
или многочлен Р (х) делится нацело на многочлен Т (х).
Пример. Пусть Р(х) = х’ —хв4-2х5 + х2, Т (х) = х2 —x-f-2.
Тогда легко видеть, что Р (х) = Т (х) (х5 +1) -|- х—2, т. е. многочлен
Р(х) делится на йногочлен Т(х) с остатком г-(х) = х—2 и частным
х54-1. Отметим, что из равенства Р(х) = Р(х)х5+х* не вытекает,
что многочлен Р(х) делится на многочлен Т (х) с остатком ха, ибо
нарушено условие: степень остатка г (х) должна быть строго меньше
степени многочлена Т(х).
Теорема 3. Для любых двух многочленов Р(х) и Т(х), где
Т(х)=/=0, существует пара многочленов q(x) и г (х). таких, что
Р (х) = Т (х) q (х) + г (х), причем либо степень многочлена г (х) строго
меньше степени многочлена Т (х), либо г (х) есть нуль.
Доказательство. Пусть Р(х) = 0, а Т(х) — любой отлич-
ный от нуля многочлен,* тогда многочлены q(x) = 0 и г(х) = 0
Удовлетворяют условиям теоремы.
83
Пусть Р(х)=#О, а многочлен Т (х) имеет степень большую, чём
степень многочлена Р(х), тогда многочлены q (х) = 0 и г (х) = Р (х)
удовлетворяют условиям теоремы.
Наконец, пусть Р(х)#=О, а многочлен Т (х) имеет степень,
меньшую или равную степени многочлена Р(х). Если Т(х) = с,
где с—константа, отличная от нуля, то многочлены q(x) = P(x)/c
и г(х) = 0 удовлетворяют условиям теоремы.
Остается рассмотреть случай, когда многочлен Р(х) имеет сте-
пень п, причем п>1, а многочлен Т(х) имеет степень/и, причем
О < m п. Пусть Р (х) = Рп (х), Т (х) = Тт (х), где 0 < пг п,
п>1,т.е.
Рп (х) = алхп+а,хп-1+ ... +а„_1х+ап,
Tm(x) = btxm+bixm~1 + • • • +Ьй,-1х+&(Я,
где а0 =4= О, 0. Построим последовательность многочленов Qnft(x)
следующим образом. Положим
Q„,(x) = P„(x)—^х»-Тв(х).
Тогда либо Q4i(x) = 0, либо Q„t(x) можно записать в виде
Q„i(x) = aj,1)xni+al1>xni~1 + ... +a«,Lix+41?’
причем и стёпёнь многочлена Q„, (х) меньше, чем п, т. е.
«1 < п; если окажется, что MjCm или Qni (х) = 0, то многочлены
q{x) = y-xa~m и r(x) = Q„,(x) удовлетворяют условиям теоремы;
если же их т, то делаем следующий шаг: положим
„<1)
QnaW = Qn,W—
Ясно, что либо Q„s(x) = 0, либо пг < п,! < п и Q„a(x) можно запи-
сать в виде '
Q„a (х) = 42,хпа Н-а^х"»-1 + ... + а«?-1*.+ 4?.
причем Если окажется, что п2 < т или Q„ (х) = 0, то мно-
<i)
гочлены q (х) = хп~т -|—г— х">~т и г (х) = Q„, (х) удовлетворяют
условиям теоремы; если же п2 ~^т, то делаем следующий шаг и
продолжаем этот процесс. Поскольку на каждом шагу степень
уменьшается: п > nx > п2 >..., то на некотором Л-м шагу нату-
ральное число пк станет меньше натурального числа т или
Q«ft(x) = 0 и процесс закончится. В результате получим, что
^хП~т + ^-хП'~т + - • • + £V^-1-m}Tw(x) + Qnft(x).
Тогда многочлены г (х) = Q„k (х) и q (х) ч= хп~т+-^-xnir“ +...
... 4- °. хп*~1 т] удовлетворяют условиям теоремы.
Оо /
84 . . .
Итак, утверждение теоремы о существовании многочленов q (х),
?(х) доказано.
Теорема 4. Пара многочленов q(x), г(х), удовлетворяющая
условиям теоремы 3, единственна.
Доказательство. Предположим*противное, т.е. предполо-
жим, что существуют две пары многочленов <?(х), г(х) и </х(х),
г, (х) таких, что Р (х) — Т (х) q (х) + г (х) и Р (х) — Т (х) qA<(х) + гх (х).
Пользуясь определением равенства многочленов, имеем
Т(х)[<7(х)-<71(х)] = г1(х)-г(х). (2)
Возможны два. случая: либо гг (х) — г (х) = 0, либо г, (х) — г (х) =И= 0.
В первом случае, так как Т (х)#=0, то q (х) — qt (xji = 0, и един-
ственность имеет место.
Во втором случае, так как степень гх(х) —г(х) не больше ни
степени гх(х), ни степени г(х), то степень г1(х) — г(х) меньше
степени многочлена Т(х). В то же время степень многочлена
Т (х) [</ (х) — qr (х)] либо больше, либо равна степени многочлена
Т(х). Значит, в равенстве (2) многочлены, стоящие в левой и
правой частях, имеют разные степени, что противоречит теореме 1.
Полученное противоречие означает, что гх (х) — г (х) = 0, а в этом
случае единственность уже доказана. Объединяя теоремы 3 и 4,
получаем справедливость следующей теоремы.
Теорема 5. Для любых двух многочленов Р(х) и Т(х), где
Т(х)^=0, существует и притом единственная пара многочленов
q (x) и г (х) таких, что Р(Х)*=Т (x)q(x)-\-г (х), причем либо степень
многочлена г (х) строго меньше степени многочлена Т (х), либо г (х)
есть нуль. . ' .
Для определения коэффициентов многочленов q (х) и г (х) суще-
ствует несколько способов. Наиболее распространенным среди них
является метод неопределенных коэффициентов, уже рассмотрен-
ный ранее.
- Пусть даны многочлены Рп (х) и Тт (х), где п > т. Положим
4 Я (x) = cox'1-“ + c1x"-m-1+ ...
г (x) = dex'»“1-|-d1x”’-?4- ... +dOT_x,
где коэффициенты с{ и d, пока не определены (отметим, что их
всего п-|-1 и со=#О). Потребуем, чтобы было справедливо ра-
венство
Pn(x) = Tm(x)q(x) + r(x).
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х в левой. и правой частях, получим п +1 равенство,
в которых участвует п-\-1 коэффициент с0, сх, с2, ..., сп_т, da, d^,
d2, ..., dm_i, найдя их, тем самым найдем многочлены q (х) и г (х).
Пример. Пусть Р(х) = 2х4 —5х84-2, Т(х) = 2х2 —3x5 Пола-
гая </(х) =с0х2-|-С1Х+с2 (<о=5^О). г (x)=dox-|-dx, напишем равен-
ство
2х4—бх3+2 = (2Х2 — Зх) (с0х2+схх-J-с2) + (dox+dx),
85
которое можно переписать в виде
2х“ - 5х3 +2 = 2с0х4 + (2с± — Зс0) х3 + (2с2 - &г) х2- + (de - Зс2) х+d£.
Согласно теореме 1 справедливы равенства
' 2с0 = 2,
2сх—Зс,=—5/
<’2с2 —Зсх = О,
; d0 — Зс2 =0,
dx=.2.
3 9
Из этих равенств находим с0=1, сх =—1, сг~—, d0 ——,
3 9
di — 2; и тогда получаем, что q (х) = х2 — х—-=-ч, г (х) — —х 4- 2.
Схема Горнера. Рассмотрим деление многочлена на двучлен
(х-а).
Пусть даны многочлен
^^)==aexn4-a1x"-14-a2xn-?+...+an_1x+a„, .
где ао#=0, nj>l, и двучлен (х—а). По теореме 5 существует
многочлен ^ (х) и число / такие, что Р„(х) = (х—a)q(x) + r. Степень
многочлена ^(х) равна (n— 1). Поэтому q (х) =Ь9хп~1 -]-Ь1хп~ ? + • ••
». . + &„_2х4-6л_х, где Ьо^=0. Найдем числа Ьл, Ьи Ь2, &п_х
и г методам неопределенных коэффициентов. Подставим q(x)
в равенствр~Р(х)==(х—а)^(х)4-г, получим, что
«0х"+а1хп-^+й2хп-?+... +ап_1х+а„= '
= Ьох” + (Ьх — а60) хп"1 + (62—aZ>t) х”-2 4-...
. .x4-(ft„_1—а&„_2)х4-(г—afrn_f).
По правилу равенства многочленов, отсюда получаем, что
' аа = Ьл,
ai = bi~ab2,
у • а2==Ь2~аЬ1,
откуда
&1 = ао+°^о»
_ &2 = a24-ablt
bn-i=an_i+ab„.g,
. r = an+ab„_i.
86
Итак, коэффициенты частного q(x) и остаток t выражаются
через коэффициенты многочлена Р(х) и число а> при-помощи дей-
ствий сложения и умножения согласно формулам (3),_ откуда
следует:
а) если Aq, ах, а2, ..ап и а—рациональные числа* то Ьй, bit
b2, .... b„-i и г —также рациональные числа:
б) если а0,' at, а2, ..ап и а—целые числа, то &0, blt b2, ...
..., bn_i и г —также целые числа.
Из формул (3) вытекает следующее правило для вычисления
коэффициентов Ьо, blt b2, ..., Ьп_х и остатка г.
Выписать подряд, начиная с а,, в строку все коэффициенты
многочленаРп(х). Во второй строке под а, написать коэффициентЬ2,
равный коэффициенту а0. Умножить а на Ьо и, прибавляя произ-
.ведение ab6 к а2, получить коэффициент Ь± и написать его во
второй строке под а^. Умножить а на bi и, прибавляя произведе-
ние abi к а2, получить коэффициент Ь2 и написать его во второй
строке под а2. Продолжая этот процесс, получить коэффициент
bn-t и: написать его во второй строке под ап^. Умножить, нако-
нец, а на bn^i и, прибавляя произведение аЬп_х к ап, получить
остаток г и написать его во второй строке' под а„.
Это правило записывается в виде следующей таблицы, которая
называется схемой Горнера:
Схема Горнера позволяет легко разделить многочлен Р(х) на
двучлен х—а, т. е. найти коэффициенты частного q(x) и остаток г.
Пример. Применяя схему Горнера, найдем частное q(x)и
остаток г при делении многочлена Р (х) = 2x5 — х4 —Зх? + х—3 на
многочлен 7’(х) = х —3. z
Схема Горнера имеет вид:
Таким образом, 2х5—х4—Зх3 + х—3 = (х—3)(2х4 + 5х®+12ха +
+ 36x 4-109)+ 324.
Те орема 6 (теорема-Везу). Остаток от деления многочлена
Р(х) на двучлен (х—а) равен значению многочлена Р (х) при х = а,
т. е. г = Р(а). ~ ’
87
Доказательство.- Подставив в равенство Р(х) =
= (х—a)q(x) + r вместо х значение а, получим Р(а) = (а—а)(/(а)4-
4-г, откуда и вытекает, что г = Р(а).
Теорема 7. Многочлен Р (х) делится нацело на двучлен (х—а)
тогда и только тогда, когда значение многочлена при х — а равно
нулю, т. е. Р(а) — 0. --
Доказательство. Необходимость. Пусть многочлен
Р(х) делится нацело на двучлен (х—а). Это значит, что остаток г
равен нулю. По теореме Бёзу остаток г = Р(а). Следовательно,
Р(а) = 0.
Достаточность. Пусть Р(а) = 0. С другой стороны, по
теореме Безу г = Р(а). Значит, г = 0, т. е. Р(х) делится нацело
на х—а.
Приведем несколько следствий из этой теоремы.
/1. Многочлен Р„ (х) — хп—ап делится нацело на двучлен (х—а)
при любом натуральном п.
Действительно, Р„(а) = а» —ая = 0.
2. Многочлен Ри(а)==хя—ая делится нацело на двучлен (х+а)
при любом четном п (т.е. п=2т). \
Действительно, Р2т(—а) = (—а)2и—а2т = 0.
3. Многочлен Ра(х) = хп+ап делится нацело на дву член (хЦ-а,)
при любом нечетном п (т. е. п — 2т 4-1).
Действительно, Р2т+1 (— а) = (—а)2га+14-a2m+1 = 0. Приведем
пример на применение этих следствий.
Требуется доказать, что при любом четном натуральном п число
(20я 4-16я —3я—1) делится на 19. Так как п — 2т, где m£N, то
воспользуемся формулами сокращенного умножения:
20» 4-16я — 3” — 1 = (202(Я — 1) 4- (162“ — 32я>) =
= (20“— 1)(20'»4-1)4-(16“4-3й)(16“ — 3”). (4)
В первом слагаемом первый сомножитель при любом m£N делится
без остатка на-число (20—1), т. е. на 19. Во втором слагаемом
первый сомножитель при m = 2k+l, k £N,_делится без остатка
на число (164-3), т. е. на 19. При m — 2k второй сомножитель
можно представить в виде произведения сомножителей (16ft4-3ft)x
x(16ft—3fe). Если k нечетно, то разложение второго слагаемого
на сомножители заканчивается. Если же k четно, то разложение
продолжается. Через конечное. число шагов, не превышающее
(л — 1), разложение будет закончено и один из сомножителей этого
разложения будет иметь вид 16*4-3*, где s —нечетное число. Тогда
этот сомножитель делится на 19. Таким образом, и первое, и вто-
рое слагаемые в равенстве (4) при любом m£N делятся на 19,
значит, и (20я 4- 16я — 3я— 1) делится на 19 при любом четном
натуральном п.
Корни многочлена. Число а называется корнем многочлена
Р(х), если Р(а) = 0. Переформулируем теорему 7, используя опре-
деление корня многочлена.
88
Тебрема 8. Число а является корнем многочлена Р (х) тогда
41 только тогда, когда. многочлен Р (х) делится нацело на двучлен
х—а.
Докажем теорему о нахождении целых корней многочлена.
Теорема 9. Если все коэффициенты многочлена степени п, где
1, —целые числа и корень а этого многочлена —также целое
число, то число а —делитель свободного члена многочлена.
Доказательство. Пусть дан многочлен
Р„(х)=авх» + а1х»-1 + а2х«-‘2 + :.. +а„.1х + ап (ао#О)
степени п, где п^1, и пусть а—корень этого многочлена. Раз-
делим с остатком многочлен Р„(х) на двучлен (х — а), тогда част-
ное есть многочлен ^(x)=i>exn-1 + b1xn-24- • • • +Ьл-п а остаток —
число г. Как показано выше, если все коэффициенты многочлена
Р„(х) и а—целые числа, то числа &0, 6Х, .... и г —также
целые числа. По схеме Горнера- г = ап4-осй„_1, а по теореме 8,
если а—корень многочлена, то г = 0. Поэтому имеем равенство
on4-ab„_i = 0, откуда а„=а(—Так как ап, а, (——
целые числа, то отсюда вытекает, что 'а—делитель числа ап, и
теорема доказана.
Следствие. Целыми корнями многочлена с целыми коэффи-
циентами могут быть лишь делители свободного члена многочлена.-
Эго следствие позволяет находить все целые корни много-
члена с целыми коэффициентами, применяя, схему Горнера.
Пример. Выяснить, имеет ли целые корни многочлен
Р4(х)=х4 + 2х3 —2х2 — 6x4-5. (5)
Делители свободного члена: 1, —1, 5, —5. Найдем значения
многочлена в этих точках: 1
Р4(1)=14-2-2-6 + 5 = 0,
Р4(—1)= 1-2-2 + 64-5 = 8=# О,
Р4 (5) = 625 + 250-50 - 30 + 5 = 800 # 0,
Р4(—5) = 625-250-50 + 30 + 5 = 360#0.
Итак, многочлен (5) имеет целый корень х4 = 1, а числа 5,
—5 и —1 не являются его корнями. Применив схему Горнера,
разложим многочлен (5) на множители. Схема Горнера имеет вид:
7 2 -2 -5 5
I п п п п
г С О L I
7 3 1.-5- а
Следовательно, х4 + 2х® — 2х2 — 6х + 5 = (х — 1) (х3 + Зх2+х — 5).
Теперь будем искать корни многочлена Ра (х) = х3 + Зх2 + х—5.
Делители его свободного члена: 1, —1, 5, —5. Нет необходимости
искать значение многочлена Р3 (х) в точках —1, 5, —5, так как
89
эти числа заведомо не являются корнями многочлена; Pt (х), а
значит, и многочлена Р3(х) в силу того, что- многочлен; Р4(х)
в них не обращается в нуль. Поэтому проверим только число 1:
Р3(1)= 14-34-1—5 = 0.
Применив опять схему Горнера:
получим Р3(х) = (х-1)(х24-4х^5), а потому многочлен Р4(х)
можно записать так: Р4 (х) = (х— 1)2(х2 4- 4х 4- 5).
Так как квадратный трехчлен х2 4-4x4-5 целых корней не ,
имеет, то следовательно, многочлен Р4 (х) имеет два целых корня.
Xi = l, ха = 1. В-таких случаях целесообразно ввести понятие
кратности корня. Если многочлен Р„(х) делится нацело на (х —а)*,
где k — некоторое фиксированное натуральное число, но не де-
лится нацело на (х—a)ft+1, то число а называется корнем крат-
ности k многочлена Р„(х). Корни кратности единица называются
простыми корнями многочлена. Таким образом, многочлен Р4(х)
в вышеприведенном примере (5) имеет один корень х=1 крат-
ности’ два.
Замечание. Если найден один корень Xj = a многочлена
Р\х), то этот многочлен можно записать в виде.Р(х) = (х—a)q(x),
где коэффициенты многочлена q (x} легко вычисляются по, схеме
Горнера. Чтобы найти другие ксрни многочлена Р(х), следует
найти корни многочлена q(x). Важно отметить, что многочлен
q (х) может иметь корнем то же число а, которое находится также
по схеме Горнера.
Если не искать^ корни многочлена q(x}, а отыскивать корни
многочлена Р (х), то корень, который уже найден, во второй раз
этим же способом не будет обнаружен. Поэтому после нахожде-
ния одного корня надо искать корни частного, т. е. корни мно-
гочлена </(х).
Теорема 10. Если многочлен '
Р„ (х) = хп 4- fljX'’-14- а2хп~2 + ...+а„^х + ап
с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным
единице, имеет рациональный корень, то этот корень —целое
число.
Доказательство. Доказательство этой теоремы проведем
методом от противного. Предположим, что многочлен Р„ (х) имеет
корень <x = plq, где р и q — взаимно простые целые числа. Так
как число p!q~ корень многочлена Рп (х), то справедливо
90
числовое равенство
jn 4* пп-\i 4* а2 дп-2 4~ • • • 4“ ап-1 "у 4“ ап
“ л л “
которое можно записать в равносильной форме
рп ( ' рп~х , рп~2 , , о , \
= уа1^дП^1 + + дП^г + ’”• ; + «»-17 + «») ’
Умножая -это равенство на qn~l, получим равносильное равенство
^ = — alpn~1 — aipn-?q—... —an-lpqn-^ — anqn~i.
Так как числа р и q — взаимно простые, то число — не целое,
а справа в последнем равенстве стоит целое число. Такое равен-
ство невозможно, значит, предположение неверно, а верна теорема.
Следствие. Если у многочлена все коэффициенты — целые
числа, а старший коэффициент равен единице, то все рациональ-
ные корни этого многочлена—целые числа.
Рассмотрим многочлен Рп (х) = аох" + ^х"-1 + а2хп~- +,...
.. •4-ав_1х+а„ с целыми коэффициентами и многочлен
Q„ (х)=aS-1Ph (х) == (аох)” + at (а„х)п ~1 4-.... 4- апа^.
Ясно, что многочлены Р„(х) и QB(x) имеют одинаковые корни.
Обозначим у—а^с, тогда
Qn(x) = Т„(у) = уп + а\уп-1 + а2а1)уп-г + а3а1уп-3+ ... +а„а0"“1.
Многочлен Т„(у) имеет по теореме 10 только целые корни, кото-
рые можно найти. Пусть это будут числа уг, у2, ..., ут, тогда
числа хк==у^а3, где £€{!; 2; ...; т}, и только они будут рацио-
нальными корнями многочлена Рп (х). Итак, у любого многочлена
с целыми коэффициентами можно найти все его рациональные
корни.
Если коэффициента! многочлена —рациональные числа, то после
приведения их к общему знаменателю можно искать лишь корни
числителя, который есть многочлен с целыми коэффициентами.
Пример. Найти корни многочлена Р3 (х)=х®+ у х2 — -j-x — -g-.
Рассмотрим многочлен Q3 (х) = 8Р3 (х) = (2х)3 4- (2х)2 — 2х — 1 или
Т, (/) = /» 4-# — t— 1, где / = 2х. Делители свободного члена мно-
гочлена T3(tf. 4-1, —1. Найдем значения многочлена T3(t) в этих
точках:
. 73(1) = 14-1-1-1=0,
т,(-1)=-1+1 + 1-1 = 0.
Применив схему Горнера, получим Т3 = 1)(/? 4-2/4-1).
Многочлен (/?4-2/4-1) есть полный квадрат бинома (Z+1). Сле-
. 91
довательно, многочлен Т8(/) имеет три корня: /,= 1, /8==—1,
/„ =— а многочлен (х) —соответственно три корня: =
х, = —-4', х3 =— 4-, или два различных корня; один простой
1 „ 1
корень х, = у и другой корень хг —— у кратности два.
В заключение остановимся на корнях двучлена ;Р„(х) = х" —а.
Как следует из § 5 предыдущей главы, при четном п двучлен
Р„(х) имеет: если а > 0, то два корня: а и — p/а; если а = 0,
то один корень 0; если а <0, то не имеет корней. Если п —
нечетное число, то двучлен Р„(х) имеет: еслй а ^0 —один корень
а, если а <0—один корень (— Например, двучлен
Xs 4-11 имеет один корень (—£/11).
§ 6. Метод математической индукции
Существует очень много утверждений, зависящих от натураль-
ного числа п. Как понимать такие утверждения?
Поскольку натуральных чисел бесконечно много, то на самом
деле каждое такое утверждение содержит в себе бесконечно много
утверждений. Например, утверждение—сумма п первых натураль-
ных чисел равна ” + *)—содержит в себе следующие утверждения:
. для п=1: первое натуральное число, т. е. число единица,
1(1 + 1)
равно -у- -;
для п=2: сумма двух .первых натуральных чисел, т. е.
сумма 'чисел единица и два, равна ♦
для л = 3: сумма трех первых натуральных чисел, т. е.
3(3+1)
сумма чисел единица, два и три, равна v ;
для п = 10000: сумма десяти тысяч первых натуральных чисел
10 000 (10000+ 1)
равна--------------------—-!-+ и т. д.,
т. е. рассматриваемое утверждение действительно содержит бес-
конечно много утверждений.
Аналогично и любое другое утверждение, зависящее от нату-
рального числа п, на самом деле есть простая форма записи
бесконечного числа утверждений.
Возникает вопрос, а как убедиться в справедливости утверж-
дения, зависящего от натурального числа?
Для доказательства утверждений, зависящих от натурального
числа п, часто применяется общий метод доказательства—метод
полной математической индукции. Этот метод основан на аксио-
мах натуральных чисел. Но поскольку ранее эти аксиомы не при-
92
водились, -то метод полной математической индукции принимается
здесь без доказательства.
Для доказательства, некоторого утверждения, зависящего от
натурального числа п, делается следующее:
1. Проверяется справедливость этого утверждения для п = 1.
2. Предполагается справедливость этого утверждения для _n=k.
3. Доказывается справедливость этого утверждения для п =
»= k + 1 с учетом предполагаемой справедливости его для п = k.
После чего делается вывод, что утверждение справедливо для
любого натурального числа п.
Пользуясь этим методом, докажем, что для любого натураль
ного числа п справедливо равенство
- l+24-3+...+n = ^tl). (1)
, Проверяем справедливость равенства (1) для п — \. Для п = 1
оно запишется так: I = 1 , и очевидно, что это равенство
верное. Предположим, что равенство (1) справедливо для n — k,
т. е. предположим, что справедливо равенство
1+2 + 3+...-Н = Ц±^). . (2)
Используя равенство (2), докажем, что равенство (1) справедливо
Для n = k-}- l, т. е. докажем справедливость равенства
1 + 2 + 3+ • • + + 1) =(fe+ ° {У1 j •' (3)
Действительно, рассмотрим сумму 1 + 2 + 3 + ... +(k+1).
Используя сначала свойство ассоциативности сложения, затем
равенство (2) и делая простейшие преобразования, получаем
1 + 2 + 3+...+(А!+1) = (1+2 + 3+...+*) + (*+1) =
= fe(fe+l) + + ц = (fe+1) (fe+2) (fe+1) [(fe+i)+1]
2 2 * 2
т. е. получаем справедливость равенства (3). На основании ме-
тода полной математической индукции делаем вывод, что равен-
ство (1) справедливо для любого натурального числа п.
Рассмотрим еще пример. Докажем, что для любого нату-
рального числа п справедливо неравенство
ПС2”-1. (4)
Доказательство^ Для п=1 неравенство (4) превращается
в верное числовое неравенство 1 21-1. Предположим, что нера-
венство (4) справедливо для n = k, т. е. предположим справед-
ливость неравенства
^<2*-\ ' (5)
.93
Используя неравенство (5), докажем справедливость неравенства
(4) для и = ^Н-1, т. е. докажем справедливость неравенства
(*+(6)
Действительно, очевидно, что k4-1 ^2k.' Отсюда, используя
неравенство (5) и свойство транзитивности неравенств, получим,
что k-\-1 Правая часть последнего неравенства может
быть записана в виде 2’*+1>-1, откуда и следует справедливость
неравенства (6). На основании метода полной математической
индукции делаем вывод, что неравенство (4) справедливо для
любого натурального числа п.
Обобщенный метод полной математической индукции. Часто
метод полной математической индукции применяется к доказа-
тельству утверждений, справедливых не для всех натуральных
чисел п, а лишь для п, больших или равных некоторого нату-
рального числа р. Тогда формулировка сути метода полной мате-
матической индукции остается почти такой же, но с заменой
пункта 1 на пункт 1а): «Проверяется справедливость этого утверж-
дения для п = р». В этом случае для доказательства справедли-
вости утверждения для любого натурального п(п^р) делается
следующее:
1. Проверяется, справедливость утверждения для п = р.
2. Предполагается справедливость этого утверждения для п = k
(где k^p). ' •
3. Доказывается справедливость этого утверждения для п = &4-1
с учетом его справедливости для и = k. После этого делается вывод,
что утверждение справедливо для любого натурального п^р.
Приведем пример доказательства неравенства с помощью обоб-
щенного метода математической индукции: докажем, что если
а—фиксированное число такое, что а>—1 и а=Д0, то для лю-
бого натурального п^2 справедливо неравенство Бернулли
(14-а)4 > 1+<хл. (7)
Действительно, при п = 2 неравенство (7) имеет вид
(14-a)V> l + 2a. ' (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству
а2 > 0. (9)
Неравенство (9) при а=/=0 очевидно. Следовательно, неравен-
ство (8) справедливо для рассматриваемых а. Предположим, что
для рассматриваемых а при n — k (6 >2) неравенство (7) спра-
ведливо, т. е. ,
(14-a)*> 1 4-а^. ’ (19)
Докажем, используя неравенство (10), справедливость нера-
венства (7) для n = k+l, т. е. Докажем неравенство'
(1+а)А+х> 1+а(^+1). (11)
94
Для доказательства умножим обе части неравенства (10) на по-
ложительное число (1 +<х) (так кака > —1, то 1 -|-а > 0). Получим
неравенство
(Ц-а)»+1>(1+аЛ)(1+а), (12)
равносильное неравенству (10), т. е. получим, что неравенство (12)
справедливо.
Докажем теперь справедливость неравенства
(l+afc)(l+a)> i+a(fc+i). (13)
Перенеся все члены неравенства (13) в одну сторону, раскрыв
скобки и приведя подобные члены, получим равносильное нера-
венство > 0, которое справедливо, так как а=#0 и
Следовательно, неравенство (13) справедливо, но тогда, используя
справедливость неравенств (12), (13) и свойство транзитивности
неравенств, получим, что справедливо и неравенство (11). Таким
образом, неравенство Бернулли доказано для любого натураль-
ного nZ>2.
Это неравенство имеет смысл запомнить, так как с его помощью
можно доказать справедливость многих других неравенств, напри-
мер, справедливость для любого натурального п неравенства
Действительно, сделав несложные преобразования, получим це-
почку равносильных неравенств:
fij-l’Wfl-i_____1 V+1 ~ (п+2)"-^п» -
V”1- nJ W(n-H)B+1(«4-1)“
n+2|n(n+2)l» - «+2Г. 1 1» .
L («4-1)4 > (n+ij2] >L *15)
Для доказательства неравенства (15) для п^>2 к выражению
Г, 1 Iя „ 1 г-
- считая a
нулли (7). Получим '
, применим неравенство Бер-
V* “Г Ч
(«4-1)2
п
К+Тр-
Умножая обе части этого неравенства на положительное число
п-4-2
;ГП- поучим
п
п
(п + 1)2
Поскольку
п 4-2
«4-1
к (»4-1)2
_«84-Зл24-Зп4-2 ,
“n«4-3n24-3«4-l
'95
то, используя свойство транзитивности неравенств, имеем
»+2 .Г 1 , / 1 w+2 fi п 1
п+1 L М (»+1)2Л «+1 V. (n+i)2^1.
Таким образом, неравенство (15) доказано.
Так как неравенство (15) равносильно неравенству (14), то и
неравенство (14) справедливо для н^2. Поскольку при п = 1 оно
очевидно, то справедливость неравенства (14)'доказана для любого
натуральногд п.
Решение задач на делимость. Метод математической индукции
применяется также для решения задач на делимость.
Докажем, например, что для любого натурального числа п
число N (п) = п3 + 5п делится на 6.
Доказательство. Для п=1 число ЛГ(1)«е6, и потому
N (1) делится на 6, т. е., утверждение справедливо, если rt=l.
Предположим, что утверждение справедливо для n = k, т. е. пред-
положим, что число N (£) = (£3 + 5Л) делится на 6. Используя то,
что число N (k) делится на 6, докажем справедливость утвержде-
ния для п = &+ I, т. е. докажем, что число У (&+1) = [(£+1)3 +
+ 5(&+1)] делится на 6.
Действительно, используя свойства ассоциативности и комму-
тативности действий над числами и алгебраическими выражениями,
имеем
Af (б4-1) = [(А:4-1)*+5(&+1)]=&3 + 3&2 + 3£+ 1+5^+5 =
= (А3 + 5k) + 6 + 3£2 + 3k = N (k) + 6 + 3k (k +-1).
Поскольку k и &+1— два рядом стоящих натуральных числа,
то одно из них четное, поэтому число Зй(й+1) делится на 6.
Учитывая, что число N (k) делится на 6 и число 6 делится на 6,
получаем, что число N(k-}-i) также делится на 6.. На основании
метода полной математической индукции делаем вывод, что число
N (л) = и8 + 5н делится на 6 для любого натурального числа п.
Рассмотрим решение более сложной задачи на делимость, когда
метод полной математической индукций приходится применять
несколько раз.
Требуется доказать, что при любом натуральном п число
(З3"—1) не делится нацело на число 2П+3.
При п— 1 утверждение очевидно, так как 8 не делится на 16.
Предположим теперь, что утверждение справедливо при n = k,
т. е. число (З2 — 1) не делится нацело на число 2*+3. Докажем
тогда, что число (33*+1 — 1) не делится нацело на число 2ft+‘,
т. е., что утверждение справедливо при n = k + l. Представим
выражение (З1**1—1) в виде произведения:
33*+1 _1 = (З3*— 1) (3**+ 1).
По предположению первый сомножитель произведения не делится
нацело на число 2Л+3, т. е. в представлении составного числа
96 .
1
(З2*—1) в виде произведения простых чисел число два повто-
ряется не более, чем (^ + 2) раза. Таким образом, чтобы доказать,
что число (32*+х — 1) не делится нацело на число 2*+4, надо до-
казать, что .число 432Й4-1) не делится, на 4.
Для доказательства этого утверждения докажем вспомогатель-
ное утверждение: для любого натурального п число (32Л+ 1) не
делится на 4. Для п=1 это утверждение очевидно, так как 10
не делится на 4 без остатка. При предположении, что (32*+1)
не делится на 4, докажем, что и (3?u+1)4- 1) не делится на 4.
Представим последнее выражение в виде суммы 32<А+1>-|-1 =(32*_f_ j)_|_
4- 8-32*. Второе слагаемое суммы делится на 4 нацело, а первое
не делится. Следовательно, вся сумма не делится на 4 без остатка.
Вспомогательное утверждение доказано.
Теперь ясно, что (32* + 1) не делится на .4, так как число 2*
является четным числом. Окончательно получаем на основании
метода полной математической индукции, что число (З2” — 1) не
делится нацело на число 2П+3 ни при каком натуральном п.
В заключение докажем методом математической индукции два
утверждения, приведенные выше (§§ 2, 3 гл. II). В § 3 была при-
ведена формула бинома Ньютона:
(а+6)"=С"а" + С>а”~’Ь + ... -|-С*ап-*Ь*+ ... + С*Ь\ (16)
Здесь С™ — биномиальные коэффициенты, вычисляемые по фор-
муле Сп — mi (П_ту •
Докажем равенство (16).
Для м = 1 формула (16) запишется в виде (a + b)I = C?a1J-C’1b1.
Учитывая правило для вычисления биномиальных коэффициентов,
перепишем эту формулу в виде (a + &)x = ai + 61, т. е. убеждаемся
в справедливости формулы (16) для и = 1. Предположим, что фор-
мула (16) справедлива для n = k, т. е. предположим, что спра-
ведлива формула .
(о-Н)* = <Ла*+С1а*-Ч>+ ... +Ci-W-“-»bt-I+C&-lbl +
+ С1+1а*-</+1)6,+1+ ... +Ckk-1abk~*+C№s. (17)
Докажем, используя справедливость формулы (17), что формула (16)
верна для п = &-|-1, т. е. докажем справедливость формулы
(fl+b)*+* = CLia*+I+CUa,*+1>-,b+ • • • +C£+1a(ft+l)-^+
+ ClV1a'A+l)’u+l)b'+1+...+C^1,-W + C^}&t+1. (18)
Действительно, используя сначала свойства степени с натуральным
показателем, затем формулу (17)., затем правило перемножения
4 М. К. Потапов и др. 97
многочленов, получим
(а+= (а+b) (а + Ь)к = (а+Ь) (Qa*+С^-'Ь+СЬак~2Ь2 +...
. . +Clr1ak-(l-1,bl-l + C^-tbl + Cll+iak-(l+1)bl+l+ ...
...+ Ci-1abk~l+Cibk) = С^ак+1 + (?kakb + C2kak~lb2 + ...
„ .. +C,k-1ak-l+2bl~1 + Clkak-l+1bl + Cjl+1ak-lbl+1+ ...
.., + C^-W-1 + Ckkabk + Ctakb+C1kak-lb2+Clak~2b3 + ...
... + Ch~1ak'~l+1bi + C/lak~tbl+1 + Ck+1ak~‘~lbl+? + ...
...+Ckk~1abk+Ckkbk+1. (19)
>
Приводя в этой сумме подобные члены, получим, что
(а + b)k+1 = С%ак+2 + (С! + СП акЬ 4- (Cf + CJ) ак~2Ь2 +...
..+ (Ci+Cl'1) ак~“V + (Cl+l + Cl) ak~V +* + ...
... +(a-1 + Ct2)a2^-x + (Ci+Ct1)a^ + Ci&ft+\ (20)
Так как коэффициент Ck есть число сочетаний из п элементов
по k элементов (см. § 7 гл. I), то
Cm+l I Г'т_/^т+1
п "Т’-'п — ^п+1 •
Пользуясь этим равенством, а также очевидными равенствами
С°к = 1 —CLi я Ckk= 1 =CfcJ}, из справедливости формулы (20) по-
лучим справедливость формулы (18). На основании метода полной
математической индукции делаем. вывод, что формула бинома
Ньютона (16) справедлива для любого натурального числа и.
В § 2 было приведено равенство алгебраических выражений
(Л — В)(Лп-* + Лп-2В+...+ЛВ'’-? + В«-1) = Дп— 'вп. (21)
Для доказательства, этого равенства при п 2 воспользуемся
обобщенным методом полной математической индукции.
При п = 2 имеем следующую цепочку,равенств: (Л—В)(Л+В)=
= Л2 + АВ — В А — В2 = А2 — В2, т. е. равенство (21) верно.
Предположим, что при n — k (&^2) равенство (21) справед-
ливо, т. е. справедливо равенство
(Л - В )(Л*-*+ Л*-?В + Ак~2В2 + ... + ЛВ*~2 + В*-х) = Ак - Вк.
(22)
Докажем, используя равенство (22), справедливость равенства (21)-
для n — k+1, т. е. докажем равенство
(Л - В )(Л* + Ак~1В + Л*-^В? + ... + ЛВ*-х + В*) =
= Ак+*-Вк+*. (23)
Действительно, используя свойства действий над алгебраическими
выражениями и равенство (22), имеем цепочку тождественных
98
равенств .
(Л - В) (4* + ДЬ-'В + Л*-2В2 + ... + ЛВ6-1 + Вк) =
= (Л - В).(Л* + Ак-1В + Л*~2В2 + ... + Л В*-1) + (Л - В) В* =
= (Л — В) (Л*-1 + Ак~2В + Л*’8В2 + ... + В*-1) Л + (Л - В) Вк =
= (Ак-Вк)А+(А-В)Вк = Ак^-ВкА + АВк-
— Bk+1 = Ak+l — Bk+l.
Тем самым равенство (23) доказано, а значит, доказано и равен-
ство (21) для любого натурального п>2.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти, числовое значение следующего алгебраического выражения при
а = -0,1 (1-5):
а2—2с4-1 . Г(с4-2)2—а2
а—3 L ^а2—4 -
3 1
а?дг-а] •
о f 2 i 6______4 \/ 4а24-1\
\2а— lrl— v4a2 2fl4-l/\ 4а2—1/'
, /,Д—2 । 1 ♦ \ а3—а । 2
\а34-1"гс®—-а24-с / ’ а24~ 1^~с34-с24-с4-1 ’
< {[(Ч) ЧЧЧЧЧЧт+ЧЬ1--’-
• /а2—2а4-4 2й2—а а-\-2 \ . 4 а4-4
\ 4а2—1 а3-|-8 2а24-а/ а24-2а 3—6а‘
Найти числовое значение следующего алгебраического выражения при
а=1 и Ь = —2 (6—10): .
с2(а4-62)(а3—63)(а2—6) а34-6 (624-3а) —1
”• (а24- 62) (2а—362) •_ 7* а (а—64-1)4-6(64-1)'
8 __________0*4-64________
’ 6(а-|-2)2—4 (а—6)—а2—8'
Найти числовое значение следующего алгебрайческого выражения при
ш=10, п=4 и р = 5"(11—15):
[3 («4-5)]"’—Р (т— I)8- (4-4 (3«—3)'»-2«32/’-1 J-:41 X
хМ+5\24 '
A~3J *
12. р3л+1.2 8 /:[(20—4п).5'»+1-(2п4-2)“-п].
1о~п
13 [2(р—4)]2'»-1.(3/>4-12) 2 4-15-n3<P-2).(m—1)«+P-3
6“+8 • (2 (п—5)].Р+5 4- (32—4р)20 - <»
14 5-43^.(2т—11)в+б—4 (р—4)-32”»-(2п)9
’ 5;22^_*«62"’-*—7-(т—8)2mt9-27v,~n *
4»
99
(/n4-26)*(3/n—12)ao~4n—8«2n*(P+n)4—3”+14m —4)^
(2n+4/n—22)«P " 2
Найти числовое значение следующего алгебраического выражения при
а = — УЗ , Ь=1, с=3, х= — (18—20):
А
х2 , (х—а)2 (х—Ь)2 . b—с . с—а . а—Ь г
‘ аЬ^~а(а—b) b (а—b) ‘ Ьс ‘ ас ‘ аЬ
1 1 ( 4 / х^/^хХ а4
‘ 2(х—а) 2 (х4~а) * а2— х2 ‘ \a2b2'ab2 J xb а3*
а2—4 х31^х , ЗаЬ2 15д2с2 ЗЬ 2
' 18‘ ’ а34-2а2+бРс ’ “Оа^Т” (64-1)2;Ь /?4-Г .
Ю Г а , Ь , с -| (х+1)3-(х-1)3
‘ [Да—Ь)(а—с)^(Ь—с)(Ь—а)^(с—а)(с—£)]* Зх34-х
Ш«4-*\2 , о! ГМ—*\2 11 а-4-1 2а . х—3
+3j:lU™ +4гпзЬ-?=й+—с-
Найти ОДЗ следующего алгебраического выражения (21—25):
а2 Ь2 * с2
1 (а—Ь)(а—с)^(Ь—с)(Ь—а)^(с—а)(с—Ьу
29 { 2 1 6Ь 4 V а2
\2а—Ь^Ь2—4а2 (2а + Ь))*4а2—Ь2‘
a2^2a+l J(a+2)2—a2 1]
а—3
у ___________________________________е
\т(Ь—с) "Г п (а—с)]‘ ab(m—c)J *(т—2) (а4-1) ’
a-\-t 2а . а—t 1 ab2t2 bt2
\a—t)2““ a^T2 + (/4-a)2J :а4^74“ t2—a2'
23.
a2—1 a2—a
b \ 9a2—Z>2
m—4
25.
Найти ОДЗ двух, следующих алгебраических выражений (26—30): •
4a2 4-12a 4-9. а2 4-6a 4-3 2а4-3
Л' 2а2—а—6 :а2+а—6 " а+3 '
2а Г а2—2а
2 а2—Ь2±аЬ(Ь+2) И а«(а+1)2—Д’
(1____________П 1________, b
\ b с )\а с J И а2—b—2Ьс'
29 c-bb2-c2 Н-1 1
Ьс а2 — 1 (рг —а) (&4- 0^ bcm
,а3/4-&3 ’ х4-в..а*+д2
‘а3—Ь2 И 2х4-а‘4х2—а2’
30
Найти ОДЗ следующего алгебраического выражения и упростить это
выражение на его ОДЗ (31—40):
31. (ЗЛ + а2х-18Л):(|-
32. (2x2f/x5^7 • 6х2^2): (—Зх^у • 4хбу3 ху).
33. [З^б’х3-5a3Z?x-(—6«3х2)]: (15ax-2£/xtz*7«t/x).
2х2у 5z2x ^I x^z2 .
3yz ’ 7ху2' 40xy2z
34 ( Sa2b V 15a2Z>2c
\12Ь2с'а*Ь2с): ЗаЬс ’
100
39.
40.
49.
\ а2х ‘ b j x3</J ‘ а2'
* /а2—5a4-6.fi2—4а.4-3'\ а24-3а — 4 .
37' \ а24-5а4-4:2«24-За4-1J *2в2—За—2*
Ь2—100.54-10 , а—b b2-\-db
3®- й2_Ь2 • а—Ъ + в24-2а54-52‘b2—ab'
<?—8. /с—2 8с3 XI с24~2с4-4
с-|-а \ 4с c24-ac/ j 2b (а—с)
а24-о54-52 а24-2а6—352\. 1 , с2—I2./a4-Z 2а—21
а2—4аЬ—21b2 а3—Ь3 )"а—76'* ба3^ \ 10а* ас*
Упростить следующее алгебраическое выражение (41—65):
41. 3(х—2)—2(х— 1).
42. 18^—5(х4-2)—3(х-}-1).
43. 6(х—2)—13 (х—3)— 2x4-4.
44. 3 (х—4)—4 (х—3)—5 (х—2)—9 (8—х)4-20.
45. 2х—5 [7— (х—6)4-3х]—21. . •
46. 1—х4-2{3—2[х4-2.(х—2)]—х}.
47. 24-3[х-4(1— х)]—х— {(х— 1)—3[х4-2(х— 1)]—2х}.
«т+'т-т+т-"-
ЧИНН*-*
“з+т-Н4-т)-4+4(т-")-
„ 0,75—х 2x4-4 . 1
51.——__—-х-4у.
52. 0,5х,—З-Ь0,2^ у.3х -г-1 ^х.
4 - ' , .
и-ть-5+44-»’1(т+«У
7%+2 . е 4х— 1 0,75х -
54.-2---115--3-----6—
13г
55. 5^-+0,5х—^+2(х+0,(3) —1)>
8/х. х х\ ПеГ1/5х х х\1
"• У кТ + *8 W-0,5 [*2 ( 6 ~I2+97+2 l4—i2;J-
57. a—{2a—[35—2 (4c— 2a)]—3(5—c)}.
58. 2x—4 [5x—(1 \y — 3x)]—3 [5»—2 (3x—6i/)].
59. 3y—{16y—2 [3x—2(x—12y)—5x]4-x).
60. —2 [a—2 (6—a)]—3 [5—4 (2a—36)]4-2a.
61. 6 {2a—3 [5—2 (c-|-a)J— 36}—4 {5—2 [a—4 (c—a)—2c]+3a},
62. 0,5a—И- 0,5a4 ( a- [ 11 a- ( 4- 0,25a1 - ( -
1,5
63.1[с—4(5—с)—26] —ly |о,5^6
м J_/2a 45\ 2Г04/5а_^._±
”* 8 Is- 15/ 20,4 к 4 6 10
2с—0,75
64.
SOI
65. 0,2(3) + а—0,5 Гг у)-4 (4+°-(6)—|-Y1 -а+1&5 •
[ \ О ч7 J L \ к) * / J ' 1 М
Следующий многочлен разложить в произведение не менее чем двух мно-
гочленов (66—85):
66. 5тх-)-Зпу—5ту—Зпх. 67. 5х-\-ху-)-5у-)-у2.
68. ах—Ьх-}-Ъу-\-су—сх—ау. 69. За5—6<z46 + 3a3ft2.
70. 36х2у2—100. 71. 25—49а26®с4. 72. 4p2q* —81г2.
73. (2а—3ft)2—(За—26)2. 74. (m + 2n)2—4 (3m—n)2.
75. 9 (а—3ft)2—16 (ft—2а)2. 76. а4 — с2 + 9у2— 6а2у.
77. с®—6с3—с2—2сх—х2-\-9. 78. a8ft3—27m8.
79. 1+ 10000®. 80. ,m8ft«c»—8fe®. 81. 125 a8—343ft3.
82. 8a8 + (ft—2a)8. 83. 64(m—n)8+l.
84. (2a—ft)8 —(3ft—a)8. 85. 8 (x— 0)8 + 27 (y—2x)3.
Следующий многочлен разложить в произведение не менее, чем четырех
многочленов (86—100):
86. 2562-8102г2—121а2-8102г2—25ft2-169а2+121а2-169а2.
87. 144a2ft8 • 25а1» — 49с4 • 25а1® — 144а268 + 49с4.
88. K5x3-(a+ft)2—125х3-(3а—2ft)2—8(a+ft)2+8(3a—2ft)2.
89. 25(а—36)2—|-(3a + 7ft)2—125z30»(a—3ft)2+^a30®(3a+7ft)2.
90. 16x2.64a666—225 (3/n—a)2«64a666 + 16x2—225 (3m—n)2.
91. 9 (x+#)2-27a663 —16 (x + 2i/)2*64ae63-p9 (x+#)2« 125m3 —16 (x+2#)2X
X125m3<
92. 2a2#54-afy/5—aby2 — 2a2y3.
93. 13x2#2* За — 39#4 - За— 13x2^2.9a2+39y4.9a2.
94 . 36a3 -49x2—9а62«49х2-|т36а3«7х#—9ab2«7x^4- 36a3 • 14x—9a62* 14x.
95. 156-4a2+45m62«4a2+156-16a6+15m62« 16a6.
96. (1—x2) (#2—m2) + (6x—9) (#2—m2)—(1—x2) (2mn4-a2) —(6x—9)X
X(2mn+n2).
97. (25x2 + b2) (a2 + Gab) + 9 (25x2 + b‘2) (b2— c2) — 9 ($r + 10x6) (62—c2) —
— G/2+10x6)(a2+6a6).
98- (x + y)4(a3 + 63)—a363+(x+^)4 (a + 6) —(a + 6).
99. (y3—y2+y) (121—25x2—10x) —(121—25x2—10x) —(^3—y2+^)4-l.
100. 16 (a3 — b3—b) (9x3y— 4x#3)4-16a (9x3y—4xt/3).
Привести к общему знаменателю следующие три алгебраические дроби
(101-110):
10i —!_________!_________'
х#4-*2’ х2—у2' 2х2—2хул
102 —!_________!_________L_
. (a+ft)2’ a3—a2ft’ a2—ft2'
ЮЗ 1 1 1 ’
1M+ a2—4’ a2+'3a+2’ a2+2a‘
Ю4 _____1 1 _ I
a24-a— 2’ a2—4a-h3’ a2—Г
105 1 . 1__________ * 1
* 20a — 4’ 50a2+ 2’ 75a2c— 3c
106. * i i
9bx^-4by* 18cx-^-12cyf8lx2—l6y2‘
102
*07* a2+a6’ b3-j-ab’ asb—&a'
108 1 1 1
x2— x—20’ x2—9x4-20 ’ 8x—32*
Ю9 1 1 _J_
* (2a2—3a6)2’ (4a—66)3 ’ 4a2—962'
no. !____ ________J_____ *
x3—p3 2x2-j-2xy + 2y2’ ax2—ay3‘
Найти ОДЗ следующего алгебраического выражения и упростить это
выражение на его ОДЗ .(111—130):
а3—а26—ab3—263
11Ь а3+3а26+3а62 + 263'
464+ 1162 + 25
4Ь*—962 + 306—25'
113 За24~6а а3—2а
11 " а24-4а-М " а4—4а2 + 4‘
62—5b 5а36+10а262
114* 62—46—5‘ За262+6а6® ‘
115 fx2“by2+xP.a3&—2а26+4а6Х х2—2х+1
1 * Xs—у3 : ^+8 /:3х3 + 7х—10'
110 Ь2—176+72 62—1 Ь3—96+8
62—25 *62— 86 — 9 : 62 + 46 — 5 '
с2—с—20 с2—с (' а2 с2—Зс— 15Х
171 с2+5с+4’с2+с—2:\с2 + Зс+2‘ с+3 )'
118 бху—14у х2—4 4х—7 Зх2—х—14
х—2 х+4х2 —14 4х2'' 2х2 + 4х
119 / а2—4а—45 а2 — 12а—45 \ / 62—4 6+11Х
IIS‘ 14а—15 : а2—ба—27 ') Л 62 —121 ' 6+2 ] '
. / 12а3+24а2\а2+2а\ / 16а2—49 . 2а2—а— 1 \
U' V 14а3—7а : 2а—1 J \ 4а2+а—14: 2а2+5а+2 ) ' • я
121 а ~ । а2 + 3а а+1
а+2-г 4—а2 За—6'
6а3+48а2 а2—4 За2,
а3+64 ' а+4 а2—4а+16 ’
123 1___________3
х2+Зх+2 (х+1) (х2+5х+6)' .
124 (х~ft)(x—с) । (х—с)(х—а) , (х—а)(х—6)
(а—6) (а—с)’г (6—с) (^—а)‘(с—а) (с—Ь)'
125 с с—а . а—6_______2 . 2_____2_
(а—6)(а—с)+(6-с)(6-а) + (с—а)(с—6) а—6 6— с~ с—а’-
128 1 1 1 ) 1
' a2+a'ra2+3a+2‘ra2+5a+6~ra2+7a+12'
ае—Ьв а®+6® а4—64 .
' а2—62 а2+62~(а2+62)(а—6)'
128' (т+УЬ^-^ + ^ + ^т--JrW+y)2-^!-
\л a j \Л у /
129 (Х+У Х~У\-(Х+У
\х—У *-\-у)\х—У x+yj'
юз.
,,n ( 1__________x+y \ ifi—y* . x3 — у3
\х+«/ x2— xy-\-y2 J x2y2 ‘ xy
Найти ОДЗ двух следующих алгебраических выражений А и В и дока-
зать, что на этой области справедливо тождественное равенство А = В
(131—160):
а2—2 1863 362
131‘Л 6аЬ 5а4— 10а2’ 5а3’
. а3 — /?3 а2—Ь2 " D a2-\-ab-{-b2 132. А —а2_2ab^.gz a*+ab ' а
... л 16 -2а+8 в-3(а~3)
л-а2-8а+1’б’За-9’ 2 (а-4)’
' П4 л_«3 + 9аг+20а.^7а+10 134. А а2_|_5а+4 • а2 + 3а+2 ' а\
- л 2а~3 ' 4 а2—За—7 а2+5а—24 135‘Л~2а2+13а-24 4а-7 а2-2а-3 ’ Ь
’ 1ОА 2a2+3ab—2b2 a2— W 2a2-5ab-\-2b2 136. Л a2 + 2ab+4b2 a2+3ab + 2b2' a2+2ab + b2 9
л &—9 М+3 2а—6\ о -2. 137 • А 5а»63 • \ 10а* ab* ) ’ “ •
/ ^34-4/п2п+4/па2 . (m4-2n)3 \ /п2—4п2 т 138. А—3пг2п_5ягп2_2Пз Ч1т3+п3 ) 9т2—3тп+п2' В~ п '
a cZ—4т2 c24-2cm—8т2- R__ 4т2 139. А с2_2ст с2—4m2 ’ ‘ с(с+2т)л
л 14-а2+а . а—а2 о 1 140. Л = (__а3 | (1_а)з - в (1—а)2'
‘ill Л - а' I {а^хГ <a+y)8 5=1
ху 1 х2— ху ух—у2'
~ 142 А—1 За~5 Зд4-5 1 5=2.
3а2—2а-5 За2+7а+2 6а2—а-1 ’
in .1 5(26-3) 7Ь 12(36+0 В=_1_
14о. Л—- । j _ j) 1 662+76 —3 11 (462+86 + 3) • 26+1
... » О' 1 , а+1 4 - । 2 R — Q Ц4- л— а_2 1 а+2 4—а2.1 2—а’ • *
3 1 3. 1 48
145. 4-х+1- х+311_х 3_ж- а (х2-9)(х2-1) * -
а За ! 1 о х
,146. А—(а_%)2 1 Х2_|_ах_2аг 1 2а+х’ ° (fl— х)2 ' .
147 А= 1 — 4—-li2—— 5=0
* (я— У)(х—г) 1 (у—2)(у—х) 1 (г—x)(z—у) ’
. . т2пг . п2тг . г2тп _ .
* ~~ (т—/г) (т—г) (п—г) (п—т) ’ (г—т) (г~п) ’
л __(dc4-&m)3—(ат+Ьс)3 (ac-\-bm)2-\- (ат+Ьс)3 149, А (а—Ь)(с—т) (а+Ь)(с+т) •
5=2(ас+6т) (а/п+6с).
+ 3, 2с+15 2 ; 18(2с+15) 1&U. А 2с__3 4с2+9 2с+з 1 81 —16с4 9 Ц’
- л^ + Зх2 4*5x4-15 х4+х34*Зх4-х—2
,5Ь Л-“х3+2х24-5х+ 10“ х4+2^ + Зх24-4х-4 ’
104 .
149 Л^(Х+У)8+(Х~У)!8- В—. ‘
10г- Л (x+y)8-(x-i/)® • 2ху (х-у) ’ х+у-
Л . ’t2—(У—z)2 , Уг—(Z—х)а (х—у)2—г» . „ = .
, (х+гр-у2^ (х+yp-z* (у.+ г)2—х2 ’
.=4 л_(х—У)4—*У(*~У)?—2х2У2 д X2—4ху+у2 .
(х-у)(х2-у’)+2х2у2 ’
г2 , а24-Ь2 ( га2 \2
,55‘Л=а2+&«+ а262 (х — «2+&2) ’ В=
156. Л = (^±5+^±5У4±51+£!±5 ,
\5а—1 1 а-|- 1J 1—5а 1 а+1
&“3\ 76—4, 62—14'
157. A — \jb_4 Ь^4)*дЬ^3^+ 4—Ь ’
158M=ri±6ac J V/ 1
х2+^2 . *
В<=а — 1.
В ——(6 + 4).
= 1—2с+'а.
» Ь
В Ь—4'
8с3—а3 2с—а)\а3—8с3 а2-}-2ас-}-4с2 J '
A-b-i ( 806 l 26 г?=-16\ 66+4
1 6—2’V*3—3 l*2+26 + 4 2—6/ (4—6)2 ’
А — т I 12m2—9m, 9 \
lb0* Л““(3—m)2 Vm—27—m3 'Ьт2+Зт+9/’
Для любых положительных чисел а и b доказать, что справедливо нера-
венство (161—165):
161.
В =
1.
(а2—62)2^ 4а6 (а—Ь)*. 162. а3+ b3 a2b+ab2.
(а+Ь)*<8а*+8Ь*. 164. т+гт <тт—Ьт-гт?
v ' 1 + а+6 1 + а\1 + 6. - z
«3 + 63 /а+6\з
“2~^ V 2 } ‘
Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометри-
ческом, доказать, что для любых положительных чисел а, 6, ,с справедливо
следующее неравенство (166—168): -
166. —>а+&+с.
а 1 b ‘ с: 11 е '
167. (а+ 6) (*+с) (а+с) ЗаЬс.
168. a2+b2+c*^ab+bc+qc. . *
169. Доказать, что для любого действительного числа а справедливо не-
равенство
163.
165.
' . в‘+,>^+Г-
170. Доказать, что если а^иЬ^О 0, то
4+-4--^з.
Ь 1 с 1 а
171. Доказать, что если а± > О, а$> 0, ...? ап > 0 и 0f+og+.. .4-^ = 1#
то
2 . 2 , , 2^ 1
ai+fl2-|-...+ а«^—.
Доказать, что при любом натуральном п справедливо следующее нера-
венство (172—173):
П2. ^+^+32 + *••+’^2 $ 2- .
105
,и-т+га+гга+-+-г<2-
Доказать, что для любых натуральных лт и р справедливо следующее
неравенство (174—176):
,74* (m+ 1) («4-2) (т+2) («4-3) + («4-3) («4-4) + "' +
+________1_____<_L_.
+р+0 т-Н
I7K 1 I 1 । > 1 t _ I 1 -ч. Р
m+l”t”m+2~rm+3"r* т + р т±р‘
1 1 1 , 1 1
,76' (m+ I)2 + '(т+2)2 + (т + 3)2 Ч« + р)2 < р '
Доказать, что для любого натурального п^2 справедливо следующее
неравенство (177—184): п 2 177. (п1)’>>Л 178. 179. 4» А to| о со | N3 а /
,80- «1 < 2"-1 ' L о J
/ 14- tb- \ 1 3 5 2п— 1 1
182. п! < (— 1 184, п4-1+п4-2“1‘ • 183. • “?—• •... • —X < > 1 ---
2 4 6 • I—1 п4-3 1 1 Зи4-1 х 2« У2п+1 > 1.
Разложить по формуле бинома Ньютона (185—187):
185. fa+4-}’- »86. (в-К2)7. 187. (a-K3)8 + (a+/"3)8.
Найти 7-й член в разложении бинома Ньютона (188—191):
/ \ 12
188. (24-5)». 189. (За—2)10. 190. (а2—2а)п. 191. —4-За ) .
Найти все k, при каждом из которых коэффициент при- ak в разложении
бинома Ньютона есть рациональное число (192—194):
192. (Уз+1/2.а)24. 193. (^2-^3-а)’6. 194. (^З.а+^)102.
а Найти коэффициент при х5 следующего многочлена (195—200):
195. (*4-у)14. 196. (2х — I)1’. 197. (14-х—х2)*.
198. (1— 2х+х2)5. 199. (1^-х)2.(24-х)«. 200. (1 4-2х)4-(х—1)’.
Подобрать числа Л, В, С так, чтобы было справедливо следующее тож-
дественное равенство (201—205):
201. х*-у2х3— 16х2—2x4- 15 = (х4-1) (х34- Лх2-4 Вх4~ Q.
202. Зх&—х4—3x4-1 = (х24-1) (Зх34-Лх24-Вх+С).
203 х2+<х-1 _ * В С
’ х34-9х24’23х4~ 15 х4-1‘гх4-3^х4-5‘
ПЛ4 х2—1 А В , С
204 ‘ Хз + 5Х2 + Зх_9~х—
205 ~2х+! - - А | В*+С (
х34-2х24-2х4-1 х4-1^х24-х4-1 ‘
Применяя схему Горнера, найти частное и остаток при делении на (х4-1)
следующего многочлена (206—211):
106
206. х6 + 9x3-J-32r + 16.
207. 14х—44~27х4—9х7. 208. х5 —7х—6. 209. х44~19х2—30.
210. 4 (х4-5) (х4-6) (х+Ю)(х+12)—Зх2.
211,. (х2 + 4х+18)2 + Зх (х2—4х+8) + 3.
Применяя схему Горнера, убедиться, что и число (—2) и число 1 являются
корнями следующего многочлена (212—214):
212. (х2+х)2 + 4(х2+1)—12. 213. (х2 + х+1) (х24-х-[-2) —12.
214. 2х4 + 7х3—2х2 —13x4-6.
215. Применяя схему Горнера, убедиться, что многочлен
(х2 4- 4х+3) (х2 4-12х 4- 35) 4-15
делится на многочлен (х4-2) (х4~6), и 11айти частное.
216. Применяя схему Горнера, убедиться, что многочлен
—бх4 4-1 бх3—32х2 + 48х—32
делится на многочлен (х—2)3.
217. Делится ли многочлен (х4—10х24- 16)4-(х<—Их24-24) на много-
член (х2—8)?
218. Доказать, что сумма^о^инаковых степеней хш4~с/я не делится на раз^
ность их оснований х—с.
219. Доказать, что разность одинаковых нечетных степеней х2* + 1—
не делится на сумму их оснований х4~с* ''
220. Доказать, что сумма одинаковых четных степеней х2Л4~с2* не Де-
лится на сумму их оснований х4~с.
221. Найти целые корни многочлена х4—х3-—2х24~4х—24.
Доказать методом математической индукции, что для любого натураль-
ного п справедливо следующее равенство (222—241):
222. 1 +2+34-.. +п=П^-).
223. P+2«+32+ .. . + »!!=”(”~|~1)6^2п-^-1)-.
224. 22+42+82+ . . + (2п)2 = 2n(n+
225. 12+32+52+... +(2n—1)2=П(2"~-^-- + 1)'.
226. 1.2 + 2-3 + 3.4+...+п(в+1)=я{”+-^£^-.
227. 1.2.3 + 2-3-4+ 3.4.5+ ... + n (n+1) («+2)=П (”4+2) (п + 3\
228. 1 -22 + 2-32 + 3-42+ ... +(n —1) я2= 1H3w+2) t
229. 13 + 23+З3 + ... + n3 = р +1 2.
3 (3»__n
230. 34-324-334-...4-Зд== 1
231. 2*2°4-3-214-4-224-...4*(n4-l).2w“1 = W‘2rt.
поп 1 | 1 I _J I I__________1______
2*3 ‘ 3*4 ‘ 4*5 ' “ * ' (п4~ 0 (п + 2) 2(п4-2)‘
233 J_ I ? l_2_j_ _1 — 2 п +
233. g -f- 22 “г 2з "Г • • • г 2« 1 2п *
234 - I - к— I- I 2n~,~* — 3 ' 2n 3.
2 г 22 + 2» ' ' ‘ ‘ 2" 6 :2я ‘ . .
1 I ’'j. 1 * I 1 _ n
j l-4+4-7+7-10‘r-,‘+(3n—2)(3«+I) —3«+l '
9QZ* 1 I I I )______1
1 • 10^10-19 ' 19-28(9n—8)(9«+1) ~9« + l‘
237 I i | t-- ____________П
5-ll’r11.17’1-17.23’r,"“r (6n—l)(6n+5)— 5(6n+5f
238 J—| 1___________2_
1-3 <3.5 г5.7-Г"--Г (2n—.l)(2n + l) 2n+l •
23ft _L 1 21 _u21 , 1 ** n(n+D
l-3"t’3-5’t‘5-7'r"‘'T'(2n—1)(2«4-1) 2(2n+l)‘.
240. —-__I___!_I___J--к .. -I____—-——=
1-2-3^2-3-4^3-4-5 ‘ ' n(«+l)(« + 2) -
1 / 1 1 \ ,
₽2 U >+1) («+2)Л
241 ‘ Ь3^5+з^7+Г7^+’“+(2п—l)(2zi^l)(2n+3) =
»(»+!)
e 2(2n+l)(2n+3) •
Доказать (методом математической индукции), что для любого натур а ль- : ,
вого п справедливо следующее неравенство *(242—244):
' 242’ т+2^+з2 + -”+ («+1)2 <2“ « + Т*
243. 2 К«+1 >—^=4-----7=Н----7=-+- --Ч---J — > /я+Т-. '
f п\п
-244. (п!) > ( у j .
245. Доказать, что для любого натурального п^5 справедливо неравен-
ство 2" > п2.
246, Доказать, что для любого натурального п^З справедливо нера«-
венство п\ > 2П~1.
, Доказать, что при любом натуральном п:
247. Число n3+^n делится на 6.
248. Чи^ло п3 + (п+1)3 + (п+2)3 делится на 9.
2|9. Число I делится на 9.
250. Число 32rt—1 делится на 2^+2 и не делится на 2»+э..
251. Число пъ—п делится на 30.
252. Число 42n—З2”—7 делится на 84.
253. Число 62п+19я-*2и+х делится на 17.
254. Число 42п+х4-Зп+2 делится на 13. .
255. Число n2(n4—1) делится на 60. , ш '
256. Число^n5+15n4+10n3—n делится на 30.
257. Число 20п+1+16«+^—3n + 1 —1 делится на 323.
258. Число (2л)3 + 20(2п) делится на 48.
Глава III. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
Пусть даны два многочлена А и В. Если стоит задача (гл. II)
решить уравнение А = В, то говорят, что дано алгебраическое
уравнение А = В. Если же стоит задача решить неравенство
А > В (А < В, А^В, А^В), то говорят, что дано алгебраи:
ческое неравенство А > В (А < В, А В, А^В). •
В этой главе рассматриваются только алгебраические урав-
нения и неравенства. Поэтому в этой главе часто вместо слов
«алгебраическое уравнение» будем писать просто «уравнение»,
вместо слов «алгебраическое неравенство» будем часто писать
«неравенство».
§ 1. Уравнения с одним неизвестным
Основные понятия и определения. Пусть стоит задача решить
уравнение
R(x) = Q(x), (1)*
где R (х) и Q (х) — многочлены,’ целые (см. гл. II) относительно
одной буквы х; тогда букву х называют неизвестной буквой, или
просто неизвестным, а уравнение (1)—алгебраическим уравнением
с одним неизвестным. .
Поскольку ОДЗ многочленов R(x\ и Q(x) состоит из всех
действительных чисел, то задача о решении уравнения (1) может
быть сформулирована так: найти все числовые значения неизвест-
ного х, каждое из которых обращает уравнение (1) в верное чи-
словое равенство. Каждое такое число называют корнем или ре-
шением уравнения (1). Поэтому решить уравнение (1)—это зна-
чит найти множество всех его корней.
Если множество всех корней уравнения (1) состоит из k
чисел хп х2, ..., хк, то говорят, что уравнение (1) имеет только
k корней xit х2, ._.., хк, т. е. множество всех решений уравне-
ния (1) есть множество М = {х1, х2, ..., хк}. Если же множе-
ство всех корней состоит из одного числа xit то говорят еще,
что уравнение (1) имеет единственный корень или единственное
решение хг.
В случае, если множество всех корней уравнения (1) есть
пустое множество, говорят, что уравнение (1) не имеет корней.
109
Например, очевидно, что уравнение х2 + \ = — (х4 +1) корней
не имеет, ибо ни для одного числового значения неизвестного х
это уравнение не превращается в верное числовое равенство.
Теперь рассмотрим простейшее алгебраическое уравнение
с одним неизвестным
х = а, '' (2)
где а —некоторое фиксированное число. Очевидно, что это про-
стейшее уравнение имеет единственный корень — число а, поэтому
множество всех корней уравнения (2) состоит из одного числа а.
Не для всякого алгебраического уравнения с одним неизвест-
ным так же очевидно, как в двух рассмотренных примерах,
множество всех корней уравнений. Обычно для нахождения мно-
жества всех корней уравнения это уравнение равносильными
переходами (определение равносильного перехода см. ниже) сво-
дят к одному, или совокупности нескольких уравнений (опреде-
ление совокупности уравнений см. ниже), каждое из которых —
либо простейшее уравнение типа (2), либо уравнение, для кото-
рого очевидно, что оно не имеет корней.
В этом параграфе рассматриваются примеры равносильных
переходов.
Пусть даны два алгебраических уравнения с одним неизвест-
ным R (х) = Q (х) и S (х) = Т (х). Эти уравнения называются рав-
носильными, если любой корень первого уравнения является
корнем второго уравнения, и, наоборот, любой корень второго
уравнения является корнем первого уравнения. В силу этого
определения равносильны любые два уравнения, не имеющие
корней.
Замена одного уравнения равносильным ему другим уравне-
нием называется равносильным переходом от одного уравнения
к другому. Равносильный переход от одного уравнения к дру-
гому обозначается двойной стрелкой Завись
P(x) = Q(x)^S(x) = T(x) •
означает, что уравнения R (x) = Q(x) и S (х) = Т (х) равносильны.
Приведем некоторые утверждения, при помощи которых
и будут совершаться равносильные переходы.
1. Уравнения 7?(x) = Q(x) и А*(х)— Q(x) = 0 равносильны.
2. Уравнения 7?(x) = Q(x) и 7?(x)-f-a = Q(x)-|-a равносильны
для любого действительного числа а.
3. Уравнения P(x) = Q(x) и a7?(x) = aQ(x) равносильны для
любого отличного от нуля действительного числа а.
4. Пусть известно, что для любого действительного числа х
справедливо равенство Р(х)=Т(х), тогда равносильны уравнения
7?(x) = Q(x) и T(x)=Q(x).
Доказательства справедливости этих утверждений похожи,
поэтому докажем, например, утверждение 2. Пусть число xt—
некоторый корень уравнения J?(x) = Q(x). Тогда справедливо
ПО
числовое равенство R (xj = Q (xj)4 Поскольку справедливость
числового равенства не нарушается при прибавлении к обеим
его частям любого действительного числа (см. гл.- I), то спра-
ведливо числовое равенство R (X;i)4-a= QfxJ+a. Справедливость
этого числового равенства означает, что число хх является кор-
нем уравнения (x)-j-a = Q (х)4-а. Поскольку такое рассужде-
ние можно провести для любого корня уравнения 7?.(x) = Q(x),
то тем самым показано, что любой корень уравнения R(x) = Q (х)
является корнем уравнения 7? (х)+<х= Q(x)4-a.
Покажем теперь обратное. Пусть число ха есть некоторый
корень уравнения R (x)4-a = Q(x)+a, тогда справедливо число-
вое равенство /?(x2)-j-a = Q(x2)4-a, Прибавим к обеим частям
этого числового равенства число (—а),, получим справедливость
числового равенства R (х2) — Q (ха), откуда вытекает, что число х2
есть корень уравнения R (x) = Q(x). Поскольку такое рассужде-
ние можно провести для любого корня уравнения /?(x)+a=Q(x)4-a,
то тем самым показано, что любой корень уравнения 7?(х)-|-а =
= Q(x)4-a является корнем уравнения P(x) = Q(x).
Из доказанного вытекает, что если уравнение R (x) = Q(x) не
имеет корней, то и уравнение /?(x)-|-a = Q(x)-|-а также не имеет
корней. Действительно, предположим, что уравнение /?(x) = Q(x)
не имеет корней, а уравнение /?(x)-|-a = Q(x)+a имеет хотя бы
один корень. Из условия, что уравнение R (x) + a = Q(x) 4-а
имеет корень, по доказанному выше следует, что имеет корень
и уравнение /?(x) = Q(x), что противоречит предположению. Зна-
чит, если уравнение R(x)--=Q(x) не имеет корней, то и уравне-
ние R (x)4-a = Q (x)-|-a корней не имеет.
Аналогично показывается, что если уравнение /?(х)4-а =
= Q(x)+« не имеет корней, то и уравнение 7?(x) = Q(x) корней
не имеет.
Итак, показано, что в этом случае уравнения /?(x) = Q(x)
и R (x)+a = Q(x)4-a равносильны. Тем самым утверждение 2
доказано полностью.
Пусть дан многочлен Р (х) степени п, целый относительно
буквы х:
P(x) = a0x»4-a1xn-*+...4-a„_ix+a„ (ao¥=O), (3)
где буквами а0, а1г .... a„-i, ап обозначены, некоторые фикси-
рованные действительные числа, называемые коэффициентами
многочлена Р(х).
Из утверждений 1 и 4 вытекает, что каждое алгебраическое
уравнение с одним неизвестным можно привести к виду /)(х)-=0,
поэтому достаточно рассмотреть лишь уравнение
Р(х) = 0, (4)
где Р(х) есть многочлен вида (3). Всякое такое уравнение на-
зывается алгебраическим уравнением степени п.
411
Из определений корня многочлена Р(х) (см. § 5 гл. 11)
и корня (решения) алгебраического уравнения следует, что любой
корень многочлена Р (х) является корнем (решением) уравнения (4).
Следовательно, нахождение всех корней (решений) уравнения .(4)
сводится к нахождению всех корней многочлена Р(х). Следует
только иметь в виду, что при нахождении корней уравнения (4)
не учитывается кратность корня многочлена Р(х). Например,
многочлен Р(х) = х? —2x4-1 имеет корень х,= 1 кратности два,
а уравнение х? —2х4-1=0 имеет единственный корень (единст-
венное решение) xf = 1. Хорошо известно, что нахождение корней .
многочлена является сложной задачей. Поэтому рассмотрим толь-
ко' некоторые такие случаи, когда удается найти всё корни
многочлена, т. е. решить।уравнение (4).
Уравнение перрон степени. Рассмотрим случай, когда Р(х)
есть многочлен первой степени, т. е. рассмотрим уравнение
aex4-ai = 0 (ао#=0). ‘ (5)
На основании утверждения 2 уравнение (5) равносильно
уравнению
свх = —(ав#=0). (6)
Поскольку число ав=/=0, то на основании утверждения 3 урав-
нение (6) равносильно уравнению
g- (а.^0). (7)
и0
Все равносильные переходы от уравнения (5) к уравнению (7)
можно записать более коротко в виде следующей цепочки равно-
сильных переходов:
п2х -J- 0 (Пф 0) 4-^ п2х = (а0 "У— 0) 44^ х=== (а0
Простейшее уравнение х= —— имеет единственный корень —
1 а° у '
число —g-) . Так как уравнение *(5) равносильно простейшему
уравнению (7), то уравнение. (5) также имеет единственный корень —
(«, \
---L .
«0 7 . , . -
Таким образом, уравнение первой степени с одним неизвест-
ным (5) имеет только один корень х2 =—
Для решения алгебраических уравнений более высоких сте-
пеней понадобится понятие совокупности уравнений. Пусть дано
т многочленов Pj(x), Р2(х), ..., Р„(х). Говорят, что дана со-
вокупность т алгебраических уравнений с одним неизвестным х:
Л(х) = 0,. Р2(х) = 0, ..., Pffl(x) = 0, (8)
112
если требуется найти все числовые значения неизвестного х,
каждое из которых является корнем хотя бы одного уравнения
из этой совокупности (8) (уравнения совокупности обычно запи-
сываются в строчку).
Таким образом, решить совокупность уравнений (8) —значит
решить каждое уравнение Pz(x) = 0, где 4 = 1, 2, .т, т. е.
найти множества Nt, ..Nm всех корней каждого из урав-
нений и затем взять объединение этих множеств; Это объединение
N = Л\ U ATS и ... U Nm будет множеством всех корней совокупности
уравнений (8), а каждое число из множества N будет называться
корнем или решением совокупности (8). Если множество N со-
стоит из k чисел: хх, х2, ..., хк; то говорят, что совокупность
уравнений ,(8) имеет только k корней xit х2, .... хк, если же
множество N состоит из одного числа хх, то говорят, что сово-
купность уравнений (8) имеет единственный корень хх.
— Часто возникает необходимость совершить равносильный пе-
реход от уравнения к совокупности уравнений. Будем говорить,
что уравнение
Р(х) = 0 (4)
равносильно совокупности уравнений
* . : Л(х) = 0, Р2(х) = 0, ..., Ри(х) = 0,_ (8)
если любое решение (любой корень) уравнения (4) является ре-
шением (корнем) совокупности (8) и, наоборот, любое решение
(любой корень) совокупности (8) является решением (корнем)
уравнения (4). Замена уравнения (4) равносильной ему совокуп-
ностью (8) называется равносильным переходом от уравнения (4)
к совокупности (8). -
Например, уравнение
, (Зх4-4)(—7x + 2)(2x-/5)(-12i-16) = 0 (9)
равносильно совокупности уравнёний
Зх + 4 = 0, — 7x4-2 = 0, 2х —/5 = 0, — 12х—16 = 0.
Действительно, любой корень уравнения (9) обращает в нуль
хотя бы один из многочленов (3x4-4), (—7x4-2), (2х—/5),
(—12х—16), т. е. является корнем хотя бы одного из уравне-
ний совокупности, и, наоборот, любой корень совокупности обра-
щает..в нуль хотя бы один из этих многочленов, т. е. удовлет-
воряет уравнению (9). Совокупность уравнений имеет только три
корня Xi = — у, х2=у, х3 = -~5-. Следовательно, в силу рав-
носильного перехода эти корни и только они являются корнями
уравнения (9).
Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени, т. е.
уравнение
ах^+Ьх+с—0 1 (as#=0). (10)
из
Такие уравнения принято называть квадратными уравнениями:
Многочлен ах2+Ьх+с, где а#=0, называют обычно квадратным
трехчленом, число а (а #= 0), стоящее при х2, —называется первым
коэффициентом, число Ь, стоящее при х, — вторым коэффициен-
том, число с — свободным членом. Кроме того, число D = Ъ2 — 4ас
называется дискриминантом квадратного трехчлена, а также
дискриминантом квадратного уравнения (10).
Проведем тождественное преобразование квадратного трех-
члена. Так как а=#0, то справедливо тождественное равенство
ах2+Ьх+с = а + 4 х +"а ) *
Теперь применим тождественное преобразование, которое назы-
вается «выделением полного квадрата»:
/ b \2 . с Ь2 / । b V . 4ас—Ь2 / '. b \2 Ь2—4ас
= \Х+2а) + 4^2 — W""~\X+ 2^) 4аГ
_( Ь у D
~\Х'2а) 4а2'
Окончательно получаем справедливость следующего тождествен-
ного равенства:
ах?+Ьх + с = а (а#=0).
На основании утверждения 4 уравнение (10) равносильно урав-
нению
°[(х+£У~^]=з0 (а^0)* (11)
а на основании утверждения 3, учитывая, что а^О, получаем,
что уравнение (И) равносильно уравнению
(х + .й)2-^- = 0 <12)
Более коротко это можно записать так:
ах24-Ьх+с = 0 (а^=0),
а [(Х+ =° . <а=^0)’'
$
(x+rJ-^=0
В завйсимости от дискриминанта D возможны три случая.
'a) D < 0. Так как при любом числовом значении х0 число
f h \2 f D \
неотрицательно, а число (—— положительно, то
Ш
f . b\* D
число i xo-i~2a) —4^a также положительно и потому не может
равняться нулю. А это означает, что уравнение (12) не имеет
действительных корней. Поскольку уравнение (10) равносильно
уравнению (12), то оно также не имеет действительных корней.
б) D — 0. Тогда уравнение (12) принимает вид
(Х+ГаУ = °
Это уравнение равносильно уравнению первой степени
’ *+а=° (»*<>)•
Следовательно, если D = 0, то уравнение (12) имеет единственный
корень А = — ^ •
в) D > 0. Тогда D = (l^D)2, и поэтому выражение, стоящее
в левой части уравнения (12), можно рассматривать как разность
/- . Ь\2 /K5V' г,
двух квадратов I х-г^а) и I j . Воспользовавшись форму-
лой сокращенного умножения, получим уравнение'
Г/ . ь \ , /о 1 Г/ , ь \ Уо! л . ,
[\.Х+2а) + 2а ] Цх + 2а) 2а J (а=#0),
равносильное уравнению (12). Это уравнение, в свою очередь,
равносильно совокупности двух уравнений
* + 24—т£ = °
Каждое уравнение в этой совокупности, является уравнением
первой степени и, следовательно, по доказанному выше имеет
только один корень. Решая каждое уравнение совокупности (13),
получаем, что совокупность уравнений (13) имеет только два
корня
= (а=#°). (14)
В силу равносильных переходов, если D > 0, то уравнение (10)
равносильно совокупности (13) и потому имеет только два корня
Xi и х2, вычисляемые по формулам (14).
Итак, квадратное уравнение (10) не имеет действительных
корней, если его дискриминант отрицателен, имеет только два
действительных корня, если дискриминант положителен, и имеет
только один действительный корень, если дискриминант равен
нулю.
Отметим, что если дискриминант квадратного уравнения (10)
положителен, то формулы (14) для нахождения корней этого
115
уравнения часто записывают в виде одной формулы:
^&2~4?С- (а=^0). ' (15)
Замечание. Если D = О, то можно считать, что формула (15)
остается справедливой, только, надо помнить о том, что в этом
случае квадратное уравнение имеет только один корень.
Приведенное квадратное уравнение. Квадратный трехчлен,
у которого первый коэффициент равен единице, называется при-
веденным квадратным трехчленом. Общепринято второй коэффи-
циент приведенного трехчлена обозначать р, а его свободный
член — </, т. е. приведенный квадратный трехчлен имеет вид
x'+px+q.
Квадратное уравнение вида
x? + px-f-<7=0 (16)
называется приведенным квадратным уравнением.
Очевидно, что квадратное уравнение (10) равносильно соот-
ветствующему приведенному уравнению, а именно
ах2+&х+с = 0 (а^=0)«х24-ух4-у = 0 (а=#0). (17)
Если дискриминант приведенного уравнения (16) положителен,
то формула (15) для нахождения корней этого уравнения прини-
мает вид
Xi,, = - f ± y^ -q. (18)
Теорема (теорема Виета). Если приведенное квадратное
уравнение хг + px-}-q = 0 имеет положительный дискриминант, то
сумма корней этого уравнения равна второму его коэффициенту,
, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно
свободному члену, т. е. если xt и х2 корни уравнения х? 4- рх 4- q = 0,
то хЛ 4- х2 = — р\ XxXs=q.
Доказательство. Так как D > 0, то используя фор-
мулы (18), получим
+*. - (- f+)^(f) ’ -?)+(-1 - т p-
,Л=(-г+
Теорема доказана.
Замечание. При D = 0, как следует из доказательства,
теорема Виета верна, если рассматривать корень хг =— у как
два совпадающих корня х2 =— у и х2 = — у. Теорема Виета
116
имеет место и при D < 0, но в этом случае корнями квадратного
уравнения будут комплексные сопряженные числа (см. гл. XI).
Теорема Виета часто применяется при решении различных
задач. Рассмотрим одну из них. Требуется найти неизвестный
свободный член q квадратного уравнения х24-х4-<? = 0, если
известно, что это уравнение имеет два действительных корня xit
х2 и сумма квадратов этих корней равна единице, т. е. х24-х2 = 1.
Чтобы найти q, воспользуемся теоремой Виета. Справедлива це-
почка тождественных равенств
xl+х2 = xf 2хгх2 4- xl—2хххг = (хх 4-х,)2 — 2ххха,
и потому х24-х2=1 — 2q, т. е. 1 —2^=1, откуда q = 0.
Симметричное уравнение третьей степени. Алгебраическое
уравнение третьей степени называется симметричным уравнением,
если оно имеет вид
ах3 + Ьх?4-Ьх + а=0 (а^О). (19)
Преобразуем многочлен ax3 + bx?+bx + a, воспользовавшись
способом разложения многочлена на множители. Очевидна спра-
ведливость следующей цепочки тождественных равенств:
ax3+bxa- + bx+a==a(x3 + 1)4-&х(х+1)= --
= а(х4-1).(х?—х+ 1)+6л(х4-1)= (х+ 1)[а(х2—х+ 1)4-Ьх] =
' = (х 1) [ах? '-f-(Ь—а) х4-а],
поэтому уравнение (19) равносильно уравнению
(х4-1)[сх24-(Ь — а)х4-а] = 0 (а#=0). (20)
Уравнение (20), в свою очередь, равносильна совокупности урав-
нений:
£4-1 = 0 (а^О), ах24-(д —а)х4-й —0 (а#=0). (21)
Следовательно, и уравнение (19) равносильно этой совокупности.
Решение совокупности (21) легко находится, так как она содер-
жит только уравнения первой и второй степени.
Пример. Найти корни уравнения,
х® 4-4х? 4-4x4-1 = 0. (22)
Преобразуем левую часть уравнения:
х3 4-4х? 4-4х 4-1 = (л3 + О + 4х (х 4-1) = (% 4-1) (х? 4-Зх 4-1).
Очевидно, что уравнение (22) равносильно совокупности урав-
нений
х4-1=0, х- 4- 3x4-1=0. (23)
' Первое, уравнение совокупности (23) имеет только один корень
117
. —3+ у 5
Xj = —1; второе — только два корня х2 =-------— и х3 =
-3-Г5
------. Следовательно, совокупность уравнений (23), а зна-
чит, и данное уравнение (22) имеют только три корня = —1,
-3+/5 „ -3-/5
л2 — v 2 » Лз 2 ’
Симметричное уравнение четвертой степени. Алгебраическое
уравнение четвертой степени называется симметричным, если
оно имеет вид
ах* + Ьх3 + cxi+bx + a = 0 (а=/=0). (24)
Учитывая, .что а=#0, запишем это уравнение в равносильном
виде:
(х* + 1) + |х(^ + 1) + ^х2 = 0 (а=#0).
Очевидна справедливость следующей цепочки тождественных
равенств:'
(х‘+1) + 4-«(а:’+1) + ^х' = (х< + 2х’+1) + Ъ(хЧ-1) +
Из справедливости этой цепочки получаем, что уравнение (24)
равносильно уравнению
(** + х2 — О (а=/=0). (25)
В зависимости от числа М = Ь2 —4а (с —2а) возможны три случая:
а) М < 0. Уравнение (25), а значит, и равносильное ему
уравнение (24) действительных корней не имеют.
б) Л4 = 0. Уравнение (25) в этом случае принимает вид
(*2 + ^+1У = °- (26)
Очевидно, что уравнение (26) равносильно уравнению
х2 + ^х+1=0. (27)
Следовательно, множество корней симметричного уравнения
4-й степени в этом случае совпадает с множеством корней квад-
ратного уравнения
х24-Ах+1=° (а#=0). (28)
118
в) М > 0. Уравнение (25), а значит, и равносильное ему
уравнение (24) равносильны совокупности квадратных уравнений
х2 + &+ +1=о (а=#0), (29)
^ + Ь- (с—2«). х+1 = о (ау=0), (30)
каждое из которых легко решить.
Пример. Решить уравнение
х4+х3 —х2+х+1 = 0. (31)
Приведем следующую цепочку тождественных равенств:
х4+х*-х2 + х+1=х4 + 2х2 + 1+х(х2+1)-Зх2 =
= (х"+1Г + 2(х!+1)+ у) -аг>-+=(хч++1) - + =
= ^+1+Изх+1)(х.+кЦ2х+1),
откуда следует, что уравнение (31) равносильно совокупности
уравнений
Х2+1 + .рз.х^1 = о> х2+1-^ х+1=о.
Первое уравнение этой совокупности имеет только два корня:
_-/ТЗ-1 + /2/ТЗ-2 _-/13-1-/2/13-2
Xj — , Х2 , (о2)
а второе уравнение действительных корней не имеет, так как
его дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение (31)
имеет только два корня (32). • ,
Двучленное уравнение. Алгебраическое уравнение называется
двучленным уравнением, если оно имеет вид
хп —а = 0. (33)
Рассмотрим сначала двучленное уравнение (33) в частном случае,
когда а = 1:
хп-1 = 0. (34)
При п = 1 уравнение (34) есть частный случай уравнения
первой степени и потому имеет единственный корень хх = 1.
При п = 2 уравнение (34) есть частный случай квадратного урав-
нения с положительным дискриминантом и потому имеет только
два корня: хх=1 и х2 =—1. Покажем теперь, что при п^З
для любого нечетного п уравнение (34) имеет только один дей-
ствительный корень хх=1, а для любого четного п уравнение
(34) имеет только два действительных корня хх=1 и х2 = —1.
• 119
Пусть п—фиксированное нечетное натуральное число, п^З,
т. е. пусть п =2^4-1, где k—фиксированное натуральное число.
Пользуясь формулой сокращенного умножения, получаем спра-
ведливость тождественного равенства (см. гл. II):
х2*Ь1_ 1 = (х— 1)(х2* 4-х2*"1 + ... 4-Х24-х +1)..
Из справедливости этого тождественного равенства вытекает,
что уравнение (34) при п = 2&4-1 равносильно совокупности
уравнений
(х—1) = 0, x2ft4-x2ft-14-... 4-х24-х4-1 =0.
Первое уравнение этой совокупности имеет только один ко-
рень Xi — \f второе уравнение совокупности действительных кор-
ней не имеет. Для доказательства этого покажем, что для любого
действительного х справедливо неравенство
x?fe4-x2ft-l'4-... 4-х? 4-х 4-1 > 0. (35)
Действительно, для любого х £ [0, 4- оо) справедливость неравен-
ства (35) очевидна. При любом х€[— 1; 0), переписав левую часть
неравенства (35) в виде
Х2к _|_ х2*-? (х 4-1) 4-... 4- х2 (х 4-1) 4- (х 4-1),
убеждаемся, что первое слагаемое этой суммы положительно, а
остальные —неотрицательны. Значит, для любого х£[—1; 0) не-
равенство (35) справедливо. Переписав левую .часть неравенства (35)
в виде ’ '
х2*-1 (х 4-1) 4- х*к~3 (х 4-1) 4-... 4- х (х 4-1) 4-1,
-убеждаемся, что для любого х£(—оо, — 1) все слагаемые этой
суммы положительны. Значит, для любого х£(—оо;. — 1) нера-
венство (35) справедливо.
Итак, показана справедливость неравенства (35) для любого
действительного х, а это означает, что уравнение
х^+х2*-^ ... 4-х? 4-Х 4-1=0 .
действительных корней не имеет. Значит, уравнение (34) при
п=2&4-1 имеет только один действительный корень Xj = 1.
Пусть теперь п = 2й (^—фиксированное натуральное число и
k^2). Пользуясь формулой сокращенного умножения (см. гл. II),
получаем справедливость тождественного равенства
х?»— 1 =(х? — 1)(х?(А-1>4-х?<А_?’4-.... 4-х‘4-х? 4-1).
Из справедливости этого тождественного равенства вытекает, что
уравнение (34) при n = 2k (k~^2) равносильно совокупности
уравнений
. х?— 1 =0, x?<ft-l’4-x§(*"2>4- • • 4-**4-х?4-1=0.
120
Первое уравнение этой совокупности имеет два корня -4=1 и
х4 =—1, а второе уравнение действительных корней не имеет,
так как для любого действительного х очевидна справедливость
неравенства
х2(6-1)4-Х2(й-2>_|_ 4-х*+х«4-1 >0.
Значит уравнение (34) имеет при п = 2k два действительных корня:
Х1 = 1 и х2 = —1.
Итак, уравнение (34) при любом нечетном п имеет только
один действительный корень 1, а при любом четномп—только
два действительных корня: х^ = 1 и х2 = —1.
Рассуждая аналогично, можно показать (см. § 1 гл. VII), что:
— при любом положительном а уравнение (33) имеет: 1) при
любом нечетном п только один действительный корень х2 = ffii,
2)при любом четном п—только два действительных корйя Xj= \/ а
п /"-------- .
и х2 = — у а;
— при а = 0 уравнение (33) имеет только один корень х, = 0;
. — при любом отрицательном а можно показать (см. § 1 гл. VII),
что уравнение (33) имеет: 1) при любом нечетном п только один
действительный корень xt = — —а, 2) при любом четном ft не
имеет действительных корней. ’ > ,
Пример. Решить уравнение 4
х8-|_ 8=0.
Так как в данном случае я—нечетно (п = 3) и а—отрица-
тельно (а = —-8), то данное уравнение имеет единственное реше-
ние Xj = — 2.
.Трехчленное уравнение. Алгебраическое уравнение вида
ах2Л+Ьх”4-с = 0 (36)-
при,условии, что п^2, 0, &#=0, с =#0, называется трех-
членным уравнением. При п = 2 трехчленное уравнение имеет еще
одно название «.биквадратное уравнение». Для решения биквадрат-
ного уравнения
ах4+Ьх? + с = 0 (а=#0) (37)
. его левая часть преобразуется способом «выделения полного
квадрата»: -
ox- + ^ + c = 4(x‘ + 2x-A+(A),)+i-^]_
-‘[(*+£)’-^]
На основании этого тождественного равенства уравнение (37) равно-
сильно уравнению
- + + 138)
121
Очевидно, что если Ьа — 4ас<0, то уравнение (38), а значит, -
и равносильное ему уравнение (37), корней не имеют.
При 62 —4ас = 0 уравнение (38) принимает вид
(*- + £У = ° («¥=(>). (39)
Очевидно, что уравнение (39) равносильно уравнению
х2 + ^ = 0 («¥=0)? ' (40)
Таким образом, при Vs — 4ас~0 биквадратное уравнение (37)
равносильно квадратному уравнению (40), т. е. при^<0 имеет
/ь -«Г ь
—^-их2 = — 1/ —; .
£11 т £и
при ^ = 0—единственный корень Xi = 0; при > 0—не имеет
решений.
Если же Ь2 — 4ос > 0, то уравнение (38), а значит, и равно-
сильное ему уравнение (37) равносильны совокупности уравнений
х2+^-тг^=0
Перепишем эту совокупность в равносильном виде:
» —&+K"fe2—4ас , , п\ « —b—УЬ2—4ас . , Лч
х2 =-------------- (а¥=0), х2 =---------------- (а#=р). (41)
Поскольку числа, стоящие в правых частях уравнений совокуп-
ности (41), есть корни квадратного уравнения
а/2 + ^+с = 0 (а=/=0), (42)
имеющего положительный дискриминант D = b2 — 4ас, то совокуп-
ность уравнений (41) может быть записана в виде
х2 = ^ (а^О), х2 = /2 (а#=0), (43)
где it и /2 —корни уравнения (42).
Таким образом показано, что для решения биквадратного урав-
нения (37) надо сначала решить квадратное уравнение (42), при
этом, если квадратное, уравнение (42) не имеет действительных
корней, т. е. его дискриминант отрицателен, то уравнение (37)
также не имеет корней; если дискриминант уравнения (42) равен
нулю, то уравнение (37) равносильно квадратному уравнению (40),
которое легко решается; если же дискриминант уравнения (42)
положителен, то уравнение (37) равносильно совокупности урав-
нений (41). Каждое из уравнений совокупности (41)—квадратное,
поэтому корни этой совокупности, а значит, и корни равносиль-
ного этой совокупности уравнения (37) легко найти.
122
Пример. Решить биквадратное уравнение
х«-х2-6 = Д (44)
Для решения уравнения (44) решим сначала квадратное урав-
нение /2 — t — 6 = 0. Корни этого уравнения /j = —2, /2 = 3. По-
этому уравнение (44) равносильно совокупности уравнений
х2 = — 2, х2 = 3.
Первое уравнение этой совокупности действительных корней не
имеет, а второе имеет только два корня: хг=У 3 и х2 =— У'З.
Значит, и уравнение (44) имеет только два корня х1 = 'КЗ и
х2 = — Уз.
При п > 2 для решения трехчленного уравнения
ах2п + &хп4-с = 0 (а#=0)
его левая часть также преобразуется способом «выделения пол-
ного квадрата»
ах2”+&хв + с = а[(хп + ^У—. (45)
На основании этого тождественного равенства уравнение (36) равно-
сильно уравнению
(Х“ + $ = Ь±Г <46>
Очевидно,- что если б2 — 4ас<0, то уравнение (46), а значит, и
уравнение (36) корней не имеют.
Если Ь2—4ас — 0, то уравнение (46) равносильно двучленному
уравнению
Х" + Й = °. <47>
Следовательно, при 62 — 4ас = 0 трехчленное уравнение (36) равно-
сильно двучленному уравнению (47), решение которого рассматри-
валось в предыдущем пункте.
Если же Ь2 —4ас>0, то уравнение (46) равносильно совокуп-
ности двучленных уравнений
*,+я-£ПЁ±£-« <“*°>’ =. : ' “
(48)
решение которых, как показано выше, можно найти.
Пример. Решить трехчленное уравнение
х" 4-Зх8 4-2 = 0. - (49)
Так как данное уравнение равносильно совокупности двух дву-
членных уравнений
Xs 4-2 = 0, х34-1=0,
123
то, решив их, получим, что уравнение (49) имеет только два дей-
ствительных корня = —у/ 2 и х2 =—1.
Замечание. Выше было показано, как решить любое урав-
нение первой степени и любое квадратное уравнение и были вы-
ведены формулы для нахождения их корней. Что касается урав-
нений, степени которых выше, чем два, то были рассмотрены лишь
отдельные примеры. Связано это с тем, что хотя ддя уравнений
третьей и четвертой степеней такие формулы есть, они очень гро-
моздки и потому применяются редко, а для уравнений пятой сте-
пени и выше, таких формул нет. В то же время следует отме-
тить, что если все коэффициенты многочлена Р (х) в уравнении (4)
являются целыми (или рациональными) числами, то для нахож-
дения целых (или рациональных) корней уравнения (4) можно
применить теорему о целых (или рациональных) корнях многочле-
на (см. гл. II).
§ 2. Неравенства с одним неизвестным
Основные понятия и определения. Пусть стоит задача: решить
неравенство
7?(x)>Q(x) [или R (х) < Q (х)], (1)
где R(x) и Q (х) —многочлены, целые (см. гл. II) относительно
одной буквы х. Буква х называется неизвестной буквой, или
просто неизвестным, неравенство (1) — алгебраическим неравенст-
вом с одним неизвестным.
Поскольку ОДЗ многочленов R (х) и Q (х) состоит из всех дей-
ствительных чисел, то . задачу о решении неравенства (1) можно
сформулировать так: найти все числовые значения буквы х,. каж-
дое из которых обращает,неравенство (1) в верное 'числовое не-
равенство. Каждой такое числовое значение называется решением
неравенства (1). Поэтому, решить неравенство (1) —это значит
найти множество всех его решений. В случае, если множество
всех решений неравенства (1) есть пустое множество, говорят,
что неравенство (1) не имеет решений.
Два алгебраических неравенства #(x)>Q(x) и T(x)<S(x)
называются равносильными, если любое решение первого неравен-
ства является решением второго, и, наоборот, любое решение
второго неравенства является решением первого. В силу этого
определения равносильны любые два неравенства, не имеющие
решений. Замена одного неравенства равносильным ему другим
неравенством называется равносильным переходом от одного не-
равенства к другому. Равносильный переход принято обозначать
двойной стрелкой Запись -
£(x)>Q(x)^T(x)<S(x)
обозначает, что неравенства J? (x) > Q(x) и Т (х) < S (х) равно-
сильны.
124
Приведем некоторые утверждения, при помощи которых
будут совершаться равносильные переходы. <
i; Неравенства R(x)> Q(x) и R (х) — Q (х) > 0 равносильны.
2. Неравенства R (х) > Q (х) и R Q (х)4-а равносильны
для любого действительного числа а.
3. а) Неравенства R(x)> Q (х) « aR (х) > aQ (х) равносильны
для любого положительного числа а.
б) Неравенства 7? (х) > Q (х) и aR (х) < <*Q (х) равносильны для
любого отрицательного числа
4. Пусть известно, что для любого действительного числа х
справедливо равенство R(x) = T (х\ тогда равносильны неравенства
R (х) > Q (х) и Т (х) > Q (х).
Доказательства справедливости'этих утверждений похожи, по-
этому докажем, например, утверждение 1. Пусть число Xj есть
некоторое решение неравенства R (х) > Q (х), т. е. пусть справед-
ливо числовое неравенство ₽(x1)>Q(x1). Тогда по свойству чи-
словых неравенств справедливо и числовое неравенство R (х,) —
— Q (xj > 0. Справедливость этого числового неравенства озна-
чает, что число хх является решением неравенства R (х)—Q (х) > 0.
Поскольку такое рассуждение можно провести для любого реше-
ния неравенства R (х) > Q (х), то любое решение неравенства
R(x)>Q(x) есть решение неравенства 7? (х)—Q(x) > 0.
Покажем теперь обратное. Пусть число х2 есть некоторое ре-
шение неравенства R(x) — Q(x) > 0, т. е. пусть справедливо чи-
словое неравенство Т?(х2) — Q(xg) > 0. Из справедливости послед-
него неравенства следует справедливость числового неравенства
R (х2) > Q (х2), а это означает, что число х^— решение неравенства
R (х) > Q (*)• Поскольку такое рассуждение можно провести для
любого решения неравенства R(x) —Q(x) > 0, то любое решение
неравенства 7? (х)—Q (х) > 0 есть решение неравенства R (х) > Q(x).
Значит, если каждое из неравенств R (х) > Q (х) и R (х)—Q (х) > 0
имеет решение, то эти неравенства равносильны.
Из доказанного вытекает, что если одно из неравенств R(x) >
>Q(x) или R(x) — Q(x)>0 не имеет решений, то ц другое не
имеет решений, т. е. и в этом случае неравенства 7? (х) > Q (х)
и 7?(х)—Q(x) > 0 ^равносильны. Утверждение 1 доказано.
Из утверждений 1 и 4 вытекает, что каждое алгебраическое
неравенство можно привести или к виду Р (х) > 0 или к виду
Р(х)<0, поэтому достаточно рассмотреть лишь неравенства вида
/>(х)>0 (2)
и
р(х)<0, (3)
где 7>(х) —многочлен степени п, целый относительно^уквы х, т. е.
Р(х)=аох'Ч-а1х«-1+ ... лГап_1х+ап (а0^=0);
Такие неравенства называют алгебраическими неравенствами
степени п.
125
Неравенства первой степени. Метод интервалов. Пусть надо
решить неравенство, ",
a0*4-«i>0 («о =0=0), (4)
которое называется неравенством первой степени. На'основании :
утверждения 2 неравенство (4) равносильно неравенству
а9х а± (a.Q 0). (5)
Рассмотрим случаи а0 > 0 и а0 < 0. Пусть а9 > 0, тогда на осно- ?
вании утверждения За) неравенство (5) равносильно неравенству
Х>~Т9 (ао¥=0). (6) j
Очевидно, что любое х из промежутка ( —— , 0- оо ) удовлетво- |
\ «0 J '#
ряет неравенству (6). Следовательно, мйожество всех решений |
неравенства (6) есть промежуток , +оо^ (рис. 11). Так
как неравенство (4) при ав > 0 равно-
Л сильно неравенству (6), то множество
Рис 11 всех Решений неРавенства (4) также
есть промежуток (—, 4-оо). Все
равносильные переходы от неравенства (4) к неравенству (5),
.а затем к очевидному неравенству (6) записываются более корот-
ко в виде следующей цепочки равносильных переходов:
«о* 4~ «1 > ° (а„ > 0) «Ф айх > — (ав > 0) & х > — •£- (а0 > 0).
' «о
Аналогично .справедливы следующие цепочки равносильных пе-
реходов:
«0*4-01 Z >0(а0 < 0) Ф» аох > —(Zj (а0 < С. 0) х < Z-^-(a9< «о v ° СО);
а9х -j- < СО(ао > 0) «ф аох < С — ai(a9 > 0) <фх < >0);
aox4-ai < Z 0(ао < 0) аох < С 0) 4Ф X СО).
В каждой из этих цепочек'из последнего неравенства' легко найти
множество всех решений первого неравенства данной цепочки
(при указанном ограничении на а0). Итак, решением неравенства
aox4-ai > 0 при а0 < 0 является промежуток (— оо, —; ре-
шением неравенства nox + «i < 0 при а0 > 0 является промежуток
(—со , ; решением неравенства а^х+а^ < 0 при а9 < 0
/ at , \
является промежуток (-L , со ).
\ G0 1
126
Все вышенапис-анное о решении неравенств первой степени
часто формулируют так: многочлен первой степени авх(а0=^ 0):
а) при а0 > О положителен для любого х£ ( —— , 4* 00 ) и
(d< \
— °°’ —а) ’
б) при а0 < О положителен для любого х£(— оо,—— ) и
отрицателен для любого ——, -f-oo),
В частности, двучлен (х —а) положителен для всех х, нахо-
дящихся на числовой оси справа от точки, изображающей число а,
и отрицателен для всех х, находящихся слева от этой точки.
Другими словами, точка а делит числовую ось на две части:
в части, находящейся справа от точки а, двучлен (х — а) поло-
жителен, а в части, находящейся слева, от точки а, отрицателен.
Это свойство двучлена (х—а) лежит в основе метода интер-
валов и часто используется для решения алгебраических неравенств
более высоких степеней.
Пусть требуется решить неравенство
(х—ах)(х — а2).. ,(х—a„_x)(x—а„) > 0, (7)
где % а,, .... а„-1, ап — фиксированные числа, среди которых нет
равных, причем такие, что ах < а2 <... < а„_£ < аЛ.
Рассмотрим многочлен
Р(х) = (х-ах)(х-а2)... (х-ая_х)(х-а„). (8)
На основании-сделанного выше замечания очевидно, что для лю-
бого числа х0 такого, что х0 > а„, соответствующее числовое зна-
чение любого сомножителя в произведений (8) положительно, по-
этому соответствующее числовое значение Р (х0) многочлена Р (х)
также положительно. Для любого числа хх, взятого из проме-
жутка (а„_х, а„), соответствующее числовое значение последнего
сомножителя отрицательно, а соответствующее числовое значение
любого из оставшихся сомножителей положительно, поэтому чи-
сло Р(хх)—отрицательно; аналогично для любого числа х2 из
промежутка (а„_2, а„_х) число Р(х2) —положительно и т. д.
Рис. 12.
На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий
в следующем: на числовую прямую наносят числа Oj, а2, ...
..., а„_х, а„; в промежутке справа от наибольшего из них ставят
знак плюс, в следующем за ним справа налево промежутке ставят
знак минус, затем —знак плюс, затем —знак минус и т.д. (рис. 12).
127
Тогда множество всех решений неравенства (7) будет объедине-
нием всех промежутков, в которых поставлен знак плюс.
Методом интервалов можно решать те алгебраические нера-
венства, которые цепочкой равносильных переходов можно свести
к неравенствам вида (7). •
Пример. Решить неравенство*
' (х-3)(2+х)(4-х)> 0. (9)
Умножая неравенство (9) на (— 1) получим равносильное ему не-
равенство
[х—(—2)](х—3) (х—4) < 0. (10)
Для решения неравенства (10) применим метод интервалов: на
числовую прямую наносим числа (— 2), 3,4. В промежутках справа
налево расставим знаки плюс и минус (рис. 13). Множество всех х
из промежутков (—оо,—2) и (3,4)—множество всех решений
неравенства (10). Поскольку неравенство (9) равносильно нера-
венству (10), то множество всех решений неравенства (9) есть
множество (—оо, — 2) и (3,4). . ' ,
Квадратное неравенство. Применим метод интервалов к ре-
шению алгебраических неравенств второй степени. Отметим, что
обычно их называют квадратными неравенствами. Рассмотрим
квадратное неравенство
ах2--\-Ьх + с > О
(а Ф 0).
(И)
Применяя тождественное преобразование «выделение полного
квадрата» (см. § 1, гл. III), получаем
ах2 + Ьх + с=а[(х + ^)2-^]»
Где D = b? —4ас. Поэтому неравенство (II) равносильно неравенству
»[(д:+йУ-да]>0 (“*0)- (12)
Пусть а>0. Тогда неравенство (12) равносильно неравенству
(*+2-о)’-т?>0 <“>°>- ' 03)
а) Если D < 0, то при любом числовом значении неизвестного
х=ха в левой части неравенства (13) стоит сумма неотрицатель-
/ h \ 2 f D \
ного числа ( *0+^ ) и положительного числа I —), т. е. не-
равенство (13) превращается в верное числовое неравенство.
Следовательно, неравенство (13) справедливо при любом х. Дру-
гими словами, множество всех решений неравенства (13) в этом
случае есть множество всех действительных чисел.
б) Если D = 0, то очевидно, что неравенство (13) превращается
в верное числовое неравенство для любого числа х, кроме хв =
= —Следовательно, множество всех решений неравенства (13)
в этом случае есть множество (—оо,—и (—+«>).
в) Если D > 0, то неравенство (13) равносильно неравенству
(х—хх) (х—х2) >0 (а > 0), (14)
—ь— /о -b-\-V~D ~
где Xi ---------, х2 =----. Очевидно, чтох, < х2, поэтому,
применяя метод интервалов, получим, что множество всех реше-
ний неравенства (14) есть множество (—оо, х,)и(х2, +<»)•
Пусть а < 0. Тогда неравенство (12) равносильно неравенству
(h \ 2 Г)
а) Если D < 0, то очевидно, что для любого числа х это не-
равенство превращается в неверное числовое неравенство, а по-
тому неравенство (15) не имеет решений.
б) Если D = 0, то столь же очевидно, что неравенство (15) не
имеет решений.
в) Если £>> 0, то неравенство (15) равносильно неравенству
(х—хх)(х—х2) < 0 (а< 0), (16)
—ь— Vd —ь+Vd ~
где. х, = ~— , х2 = —. Очевидно, что хх > х2, поэтому,
применяя метод интервалов, получим, что множество всех реше-
ний неравенства (16) есть интервал (х2; хх).
Аналогично проводится решение неравенства ах2-}-Ьх-\-с < 0
(ау=0). Приведенные выше рассуждения можно собрать вместе
(см. табл. 1 на с. 130).
Отметим, что запоминать эту таблицу не надо, для решения
конкретного квадратного неравенства лучше каждый раз повто-
рить те рассуждения, которые были сделаны выше.
Пример. Решить неравенство
х2 —х —6 < 0.
Поскольку корни квадратного трехчлена Р(х) = х?—х —6 есть
хх = 3 и х2 = — 2, то Р(х) = (х — 3)(х4-2).
Значит, неравенство равносильно неравенству
(х—3)(х + 2) < 0.
5 М. К. Потапов и др.
129
ТАБЛИЦА _t
а D Неравенство Решение неравенства
а > 0 D>Q ax2-\-bx-^-c > 0 / /—ь+Уо , У k *’ 2a _)"( 2a ’+*Л
а > 0 D>Q ax2-5rbx + c < 0 /—b—VD —/>+
\ 2a ’ 2a /
а > 0 D = 0 ax2 + &x-|-c > 0
а > 0 D = 0 ax2-]- bx-{-c < 0 нет решений
а > 0 D<0 ax2 + 6x-f-c > 0 (—оо, + оо)
а > 0 £><0 ax2 + &x-f-c < 0 нет решений
а < 0 £>>0 ax2-]- bx-\-c > 0 /—ь+К5
\ 2a] ’ 2a /
a < 0 D>0 ax2-j-bx-j-c < 0 V 2а ' Ж ’ 2Г •’+*;
а < 0 D = 0 ax2-(-6x-|-c > 0 нет решений
а < 0 D = 0 dx2+^x+c < 0 (-°5’ -йМЧ?+*)
а < 0 D<0 ax24-ta+tf > 0 нет решений
а < 0 D<0 ax2 + &x-|-c < 0 (— оо, + оо)
Применив метод интервалов к последнему неравенству (рис. 14),
получим, что множество всех решений исходного неравенства
есть интервал (—2; 3).
Обобщенный метод интервалов. Некоторые алгебраические
неравенства степеней, более высоких чем два, цепочкой равно-
сильных переходов приводятся к виду
(x-aj** (x-a2)*«.. (x-a„)*» > 0, (17)
где ku kit ..., &„_i, ^„ — фиксированные натуральные числа,
a*, Oj, ... a„_lt «„—фиксированные действительные числа, среди
Рис. 14.
которых нет равных, и такие, что ах < а2 <... < a„_f < а„ (отме-
тим, что если хотя бы одно из чисел то для решения не-
равенства (17) неприменим приведенный выше метод интервалов).
Тогда неравенства вида (17) решаются так называемым обобщен-
ным методом интервалов. Рассмотрим многочлен
P(x) = (x-a1)ft*(x-a2)^...(x-a„_1)ft«-*(x-a„)4 (18)
130
Очевидно, что для любого числа х0 такого, что х0 > а„, соответ-
ствующее значение любого сомножителя в произведении (18) по-
ложительно, поэтому числовое значение Р(х0) многочлена Р(х)
также положительно.
Для любого числа xit взятого из промежутка a„), соот-
ветствующее числовое значение любого сомножителя, кроме по-
следнего, положительно; соответствующее числовое значение по-
следнего сомножителя положительно, если kn — четное число, и
отрицательно, если kn — нечетное число. Поэтому число Р(х^)—
положительно, если kn — четное число, и число P(Xj)— отрицатель-
но, если kn — нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что
многочлен Р (х) при переходе через точку а„ меняет знак, если kn—
нечетное число, и не меняет знака, если ^„—четное число.
Аналогично показывается, что если известен знак многочлена
Р(х) на промежутке (a,-, az+i), то на промежутке (az_lf az) знак
определяется по правилу: многочлен Р(х) при переходе через
точку az меняет знак, если k{ — нечетное число, и не меняет знака,
если kj — четное число. На этом рассуждении и основан обобщен-
ней метод интервалов', на числовую ось наносятся числа alt <ха,...
.;., ctn_i, a„; в промежутке справа от наибольшего из этих чисел,
т. е. справа от а„, ставят знак плюс, в следующем за ним справа
налево промежутке ставят знак плюс, если k„—четное число, и
знак минус, если —нечетное число; в следующем за ним справа
налево промежутке ставят знак, пользуясь правилом: многочлен
Р(х) при переходе через точку a„_f меняет знак, если kn_y —
нечетное число, и не меняет знака, если четное число;
затем рассматривается следующий за ним справа налево проме-
жуток, в нем ставят знак, пользуясь тем же правилом; таким
образом рассматриваются все промежутки.
Решением неравенства (17) будет объединение всех промежут-
ков, в которых поставлен знак плюс.
Пример. Решить неравенство
(х + 5) (2х - З)5 (— х + 7)8 (Зх + 8)2 <0. (19)
т-г ( ( 1 \8 ( 1 >4\
Прежде всего, умножая это неравенство на I — (у)Чз") )» по'
лучим равносильное ему неравенство
[х-(-5)][х-(-|)]2(х-|У(х-7)’>0. (20)
Для решения неравенства (20) применим обобщенный метод
интервалов. На числовой оси отметим числа (—5), — у^., у,
7 (рис. 15). Справа от наибольшего числа, т. е. от числа 7, ставим
знак плюс. При переходе через точку (7) многочлен
РМ = [х-(-5)][х-(-|)]а(х-|)5(х-7Г (21)
5*
131
меняет знак, так как двучлен (х — 7) содержится в произведении
(21) в нечетной степени, поэтому в промежутке (у, 71 ставим
/ з \
знак минус. При переходе через точку I у ) многочлен Р (х) меняет
знак, так как двучлен fx—-у) содержится в произведении (21)
в нечетной степени, поэтому в промежутке (—-у, у I ставим
знак плюс. При переходе через точку (—многочлен Р (х) не
Г I 8 VI
меняет знака, так как двучлен х— — -ч- содержится в про-
I \ О / J
изведении (21) в четной степени, поэтому в промежутке (—5, —у)
ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку (—5) мно-
гочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен [х—(—5)] содержится
Рис. 15.
в произведении (21) в первой степени, поэтому в промежутке
(—оо, —5) ставим знак минус. Итак, решение неравенства (20)
и равносильного ему неравенства (19) — совокупность всех про-
межутков, где поставлен знак плюс, т. е. множество всех реше-
ний неравенства (19) есть множество (“5, — у) U у, у) U
U (7, 4-оо).
Нестрогие неравенства. Перейдем теперь к решению нестрогих
неравенств
Р(х)>0, (22)
Р(х)<0. (23)
Если некоторое число хЛ есть решение неравенства (22), то спра-
ведливо числовое неравенство Р(х0)2>0. Тогда в силу определе-
ния нестрогого знака неравенства справедливо или числовое ра-
венство Р(хо) = О или числовое неравенство Р(хо)>О. Другими
словами, если число х„ — решение неравенства (22), то оно —либо
решение уравнения Р(х) = О, либо —неравенства Р(х)>0. Такое
рассуждение можно провести для любого решения неравенства
Р(х)^О. Аналогично показывается, что любое решение нера-
венства Р (х) > 0 и любое решение уравнения Р (х) = 0 также
есть' решение неравенства (22).
Таким образом, множество решений нестрогого неравенства (22)
является объединением двух множеств: множества всех решений
строгого неравенства Р(х)>0 и множества всех решений урав-
нения Р(х) = О.
132
Аналогично множество всех решений нестрогого неравенства
(23) является объединением двух множеств: множества всех ре-
шений строгого неравенства Р (х) < О и множества всех решений
уравнения Р(х) = 0.
На этом и основано правило решения нестрогих неравенств.
Сначала решаются соответствующее строгое неравенство и соот-
ветствующее уравнение, а затем множества решений строгого
неравенства и уравнения объединяются; объединение этих мно-
жеств и является множеством всех решений нестрогого неравенства.
Примеры. 1. Решить нестрогое неравенство первой степени:
aex+at > 0 (а0 Ф 0). (24)
Решаем сначала уравнение
аох 4- at = 0 (а„ ¥= 0). (25)
Его единственное решение — число у-) . Затем решаем не-
равенство
a0x+ai>0 (ао¥=О). (26)
При а9 > 0 множество всех его решений — множество [ ——, 4- оо
при а9 < 0 множество всех его решений — множество (—оо, — —
Рис. 16. Рис. 17.
объединяя решения уравнения (25) и неравенства (26), получаем:
для а0 > 0 множество всех решений неравенства (24) есть мно-
жество Г——, 4-°0) (рис. 16); для ов<0 множество всех ре-
шений неравенства (24) есть множество (—оо, —— j (рис. 17).
2. Решить неравенство
(x* 2-3x4-2)(xs-3x2)(4-x2)>0. (27)
Поскольку справедливы следующие тождественные piaBeHCTBa
х?-3х4-2 = (х—2)(х—1),
х3 * — Зх2 = х2(х—3),
4-х? = —(х-2)(х4-2),
то согласно утверждениям 4 и 36) этого параграфа неравенство (27)
равносильно неравенству
[х-(—2)]х2(х—1)(х—2)2(х —3)^0. (28)
133
Решим сначала уравнение
[х - (—2)] х2 (х -1) (х - 2)2 (х - 3) = 0. (29)
Оно имеет только пять корней: х2 =—2, х2 = 0, х8 = 1, х4 = 2,
xs = 3. Затем решаем строгое неравенство
[х - (-2)1 х2 (х - 1) (х - 2)2 (х - 3) < 0 (30)
обобщенным методом интервалов (рис. 18). Множеством всех его
решений будет множество (—оо; —2) U (1; 2) и (2; 3). Объединяя
Рис. 18.
множество решений уравнения (29) и строгого неравенства (30),
получим множество всех решений неравенства (28), а в силу
равносильного перехода — неравенства (27).
Итак, множество всех решений неравенства (27) есть множество
(—оо, —2]u{0}(j[l; 3].
§ 3. Уравнения с двумя неизвестными
Основные понятия. Пусть дано уравнение
R(x, y) = Q(x,у), (1)
где 7?(х, у), Q(x, у)—многочлены, целые (см. § 3 гл. II) относи-
тельно двух букв х и у. Тогда говорят, что дано алгебраическое
уравнение с двумя неизвестными х и у. Упорядоченная пара (х, у)
называется набором неизвестных уравнения (1). ОДЗ уравнения (1)
является множество всех пар (х, у), где буквы х и у могут быть
любыми действительными числами.
Числовой набор (х0, у,), соответствующий набору неизвестных
(х, у), называется решением уравнения (1), если равны числовые
значения многочленов R и Q, соответствующие этому числовому
набору, т. е. если справедливо числовое равенство R (х0, у0) =
.=Q(x0, уй). Решить уравнение (1) —значит найти множество всех
его решений, т. е. найти все числовые наборы, каждый из кото-
рых обращает уравнение (1) в верное числовое равенство. Если
множество всех решений уравнения (1) состоит из k пар действи-
тельных чисел (xlt z/J; (х2, у2); ...; (xft, у^, то говорят, что урав-
нение (1) имеет только k решений, т. е. множество всех решений
есть множество M = {(xlt уг), (х2, у2).(xft, ук)}. Если же мно-
жество всех решений состоит из одной пары (х2, г/х), то говорят,
что уравнение (1) имеет единственное решение. Например, урав-
нение х? + «/2 = 0 имеет единственное решение (х, у): (0, 0). В слу-
чае, если множество всех решений уравнения (1) есть пустое
134
множество, говорят, что уравнение (1) не имеет решений. Напри-
мер, уравнение х2 4-у2 =—1 не имеет решений.
Пусть даны два алгебраических уравнения с двумя неизвест-
ными:
R {х, y) = Q (х, у) и Т (х, у)=S (х, у).
Эти уравнения называются равносильными, если любое решение
первого уравнения является решением второго уравнения и любое
решение второго уравнения является решением первого уравне-
ния. В силу этого определения равносильны любые два уравнения,
не имеющие решений.
Замена одного уравнения равносильным ему другим уравне-
нием называется равносильным переходом от первого уравнения
ко второму.
Справедливы следующие утверждения:
1. Уравнения R(x, y) = Q(x, у) и R(x, y) — Q(x, у) = 0 равно-
сильны.
2. Уравнения R(x, y) = Q(x, у) и R(x, y)+S(x, y) = Q(x, у)+
4-S(x, у), где S(x, у)—любой многочлен, целый относительно
букв х и у,— равносильны.
3. Уравнения R{x, y) = Q(x, у) и aR(x, y) = aQ(x, у) равно-
сильны для любого, отличного от нуля действительного числа -а.
4. Пусть известно, что справедливо тождественное равенство
R (х, У)=Т (х, у), тогда уравнения R (х, */)=Q (х, у) и Т (х, у) =
=Q (х, у) равносильны.
Справедливость этих утверждений доказывается аналогично
доказательству соответствующих утверждений § 1 и потому опу-
скается. Из утверждений 1 и 4 вытекает, что каждое алгебраи-
ческое уравнение с двумя неизвестными х в у можно привести
к виду Р(х, y) = Q, поэтому можно рассматривать лишь уравне-
ние вида
P(x,i/) = 0, (2)
где Р(х, у) — многочлен, целый относительно букв х и у. Для
геометрической иллюстрации множества всех решений уравне-
ния (2) целесообразно ввести систему координат на плоскости.
Прямоугольная система координат на плоскости. Если указан
способ, позволяющий устанавливать положение точек на плос-
кости заданием пар чисел, то говорят, что на плоскости задана
система координат. Плоскость в этом случае называют коорди-
натной плоскостью. Рассмотрим простейшую и чаще всего упо-
требляемую систему координат, которая называется прямоугольной.
Пусть дан отрезок, длина которого принята за единицу изме-
рения длины на плоскости, т. е. пусть введен масштаб. Пусть
даны две взаимно перпендикулярные прямые. Точку пересечения
прямых будем считать началом отсчета или началом координат.
На каждой прямой зададим положительное направление и отло-
жим от начала координат заданный единичный отрезок. Таким
135
осей является осью абсцисс,
—
Ma,6)
t—
1
l
I
I
1
I
I
f
i
1
i
n (fja л
ММ)
Рис. 19.
образом, на каждой этой прямой введена своя система координат
(см. § 5 гл. I); эти прямые называют координатными прямыми,
их часто называют еще координатными осями, причем одну
из них принято называть осью абсцисс, а другую—осью ординат.
Если на плоскости введен масштаб и заданы две взаимно
перпендикулярные координатные оси и указано, какая из этих
—-----------------, а какая осью ординат, то говорят,
что на плоскости задана прямо-
угольная система координат.
Обозначим начало координат
буквой О, ось абсцисс—буквами
Ох и ось ординат —буквами Оу.
На рисунках координатные оси
обычно располагаются так, чтобы
ось абсцисс была горизонтальной
и ее положительная полуось на-
правлена вправо, а положитель-
ная полуось ординат — вверх
(рис. 19).
Пусть М—любая точка ко-
ординатной плоскости. Проведем
через точку М прямые, параллельные координатным осям. Пусть
прямая, проходящая через точку М и параллельная оси Оу, пере-
сечет ось абсцисс в точке N, а прямая, проходящая через точку М,
параллельная оси Ох, пересечет ось ординат в точке L (см. рис. 19).
Так как на осях заданы системы координат, то точка N имеет
в системе координат на оси абсцисс координату а, точка L имеет
в своей системе координат на оси ординат координату Ь. Тогда
координатами точки М в выбранной системе координат с осями
Ох и Оу называют упорядоченную пару чисел (а, Ь). Число а на-
зывается первой координатой, или абсциссой точки М, число b
называется второй координатой, или ординатой точки М. Тот
факт, что точка М имеет абсциссу а и ординату Ь записывается
так: М (а, Ь) (при этом сначала пишется абсцисса, затем орди-
ната точки М).
Часто, когда рассматриваются несколько разных фиксиро-
ванных точек координатной плоскости, их обозначают некоторой
заглавной буквой с разными номерами, например, Mit Мг, ...
..., Мп,... Координаты этих точек помечаются соответствующими
номерами: (xit уг), М2(х2, уг), ... Мп(хп, у„), ...
Так как через любую точку плоскости можно провести только
одну прямую, параллельную данной координатной оси, а каж-
дая такая прямая пересечет соответствующую перпендикулярную
ей ось только в одной точке, то каждой точке координатной
плоскости соответствует только одна упорядоченная пара чисел —
координаты этой точки.
Между точками, лежащими на любой оси, и множеством дей-
ствительных чисел имеется взаимно однозначное соответствие
136
(см. гл. I), следовательно, разным точкам плоскости хОу будут
соответствовать разные упорядоченные пары действительных чисел.
Итак, если на плоскости задана прямоугольная система коор-
динатхО//, то между множеством точек на плоскости и множе-
ством упорядоченных пар действительных чисел существует сле-
дующее соответствие:
1. Каждой точке плоскости соответствует одна упорядочен-
ная пара действительных чисел.
2. Двум разным точкам плоскости соответствуют разные упо-
рядоченные пары действительных чисел.
3. Нет ни одной упорядоченной пары действительных чи-
сел, которая бы не соответствовала какой-нибудь точке пло-
скости.
Такое соответствие называется взаимно однозначным соответ-
ствием. Таким образом, введение на плоскости прямоугольной
системы координат позволяет установить взаимно однозначное
соответствие между множеством всех точек плоскости и множе-
ством упорядоченных пар действительных чисел. Это соответствие
дает возможность сводить изучение множества точек плоскости
к изучению множества пар действительных чисел, т. е. применять
к изучению вопросов геометрии алгебраические методы.
Сделаем несколько замечаний:
1. Абсцисса точки М равна нулю тогда и только тогда, когда
точка М. лежит на оси Оу.
2. Ордината точки М равна нулю тогда и только тогда, когда
точка М лежит на оси Ох.
3. Точка О — начало координат (и только она) имеет обе коор-
динаты, равные нулю.
4. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет положительную ординату (у > 0), называется
верхней полуплоскостью.
5. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет отрицательную ординату (у < 0), называется
нижней полуплоскостью.
6. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет положительную абсциссу (х > 0), называется
правой полуплоскостью.
7. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет отрицательную абсциссу (х < 0), называется
левой полуплоскостью.
8. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет положительную абсциссу (х > 0) и поло-
жительную ординату (у > 0), называется первой координатной
четвертью.
9. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет положительную ординату (у > 0) и отрица-
тельную абсциссу (х < 0), называется второй координатной чет-
вертью.
137
10. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет отрицательную абсциссу (х < 0) и отрица-
тельную ординату (у < 0), называется третьей координатной
четвертью.
11. Множество всех точек координатной плоскости, каждая
точка которого имеет отрицательную ординату (у < 0) и положи-
тельную абсциссу (х > 0), называется четвертой координатной
четвертью.
12. Две точки Л11(х1, у^) и Af2(x2, г/2) называются симметрич-
ными относительно оси ординат, если их координаты таковы,
д что Xi = —х2 и уг = уг (рис. 20);
I
I
симметричными относительно
оси абсцисс, если их координаты
таковы, что хг = х2 и У\ = —уа
(рис. 21); симметричными, от-
носительно начала координат,
если их координаты таковы, что
Х! = —х2 и у! = — уг (рис. 22).
Рис. 20.
Теорема 1. При любом рас-
положении двух точек Mi (Xj, yj
и М2 (х2, у2) на координатной плоскости квадрат расстояния
между ними (т. е. квадрат длины отрезка определяется
формулой d2=(x2—хх)?4-(«/г—у2)г, т. е. квадрат расстояния между
двумя любыми точками координатной плоскости равен сумме
квадратов разностей одноименных координат.
Рис. 21.
Рис. 22.
Доказательство. Пусть даны две несовпадающие точки
Л41(Х1, yj и М2(х2, у2). Прямая lAJA^ может быть:
а) параллельна оси Оу (или совпадать с ней);
б) параллельна оси Ох (или совпадать с ней);
в) не параллельна ни оси Оу, ни оси Ох. Доказательство
теоремы проведем для каждого из этих случаев отдельно.
138
а) Пусть прямая, на которой лежат точки Mt(xity^ и Af2(x2, у2),
параллельна оси Оу (или совпадает с ней). Тогда у любой точки,
лежащей на этой прямой, одна и та же абсцисса, т. е. у точек
и Мг одинаковые абсциссы: х1 = х2 = т (рис. 23).
Эта прямая может быть рассмотрена как ось, с положитель-
ным направлением вверх, с тем же самым единичным отрезком,
что и для системы координат хОу, и началом в точке (т, 0).
Координата любой точки этой оси будет совпадать с ординатой
Ki'3t,yr)
ff Mt
----—f—
I
—4
SM Н^у#
Рис. 23.
Рис. 24.
той же точки, рассматриваемой как точка плоскости. Согласно
теореме 1 (§ 5 гл. I) расстояние между точками Mf и Ms, как
точками этой координатной прямой, равно d = |i/2 — yj, откуда
= IУ1 — У112 = 0 + (у2—ytf = (т - trif + (у2 — yj2 =
= (x2-xip + («/2-t/1)2.
б) Пусть прямая, на которой лежат точки М2 и М3, парал-
лельна оси Ох (или совпадает с ней). Тогда у любой точки, ле-
жащей на этой прямой, одна и та же ордината, т. е. у точек Mf
и М2 одинаковые ординаты: у1=у2-=п (рис. 24).
Эта прямая может быть рассмотрена как ось с положительным
направлением вправо, с тем же самым единичным отрезком, что
и у системы координат хОу, и началом в точке (0, п). Коорди-
ната любой точки этой оси будет совпадать с абсциссой той же
точки, как точки плоскости. Согласно теореме 1 (§ 5 гл. I) рас-
стояние между двумя точками М^ и Л12, как точками этой коор-
динатной прямой, равно d = |x2 —xj, откуда
d? = I х2 — Xi р = (х2 — xj? + 0 = (х2 — xj2 + (и — п)2 =
= (х2-хО2
в) Пусть теперь точки Mt и М2 не лежат ни на прямой,
параллельной оси ординат, ни на прямой, параллельной оси
абсцисс. Тогда одноименные координаты этих точек будут разные
числа, т. е. хг=£хг и уг=£у2 (рис. 25). Проведем через точку Mt
139
прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку М2 — прямую,
параллельную оси ординат. Эти прямые пересекутся в точке
К(х2, уг). Точка Mt и точка К лежат на прямой, параллельной
оси абсцисс, следовательно, как было установлено в случае б),
расстояние между этими точками (длина отрезка М2К) равно
d.MtK=== I х2 х2 I*
Точка М2 и точка К лежат на прямой, параллельной оси
ординат, следовательно, как было установлено в случае а), рас-
стояние между этими точками
(длина отрезка М2К) равно du2K=
= |«/2 —г/1|. Так как треугольник
МгКМ2 — прямоугольный, то по
теореме Пифагора d8=d8M,K +
+ = | х2—Xj I? +1 y2—y212. Ha
основании свойств абсолютной ве-
личины получим
d2 = (x2~x1)t + (y2-y1)\
Теорема доказана полностью.
Следствие. Расстояние d
между двумя любыми точками
Л41(х1, и М2(х2, у2) на коорди-
натной плоскости определяется по формуле
d = /(х2 — xj8 + (у 2 — yf.
Пример. Найти расстояние d между точками М1(—3, —2)
и М2(—2, 1).
d = /[—2—(—3)]2 + [1 — (—2)]8 = /ТО.
Геометрическая иллюстрация множества решений. Непустое
множество всех тех точек координатной плоскости, координаты
х и у каждой из которых являются решением уравнения ^):
Р(х, y) — G, есть некоторая фигура G. Говорят, что уравнение
Р(х, у) —О задает фигуру G или что оно является уравнением
фигуры G, если выполнены два следующих условия:
1. Координаты каждой точки Л40(хв, у9) фигуры G являются
решением уравнения Р(х, у) = 0, т. е. удовлетворяют числовому
равенству Р(х0, уо) = О.
2. Любому решению уравнения Р(х, у) = 0, т. е. любой паре
чисел (хп г/i), удовлетворяющей числовому равенству Р(х,, У1)=0,
соответствует на координатной плоскости точка Л11(х1, уг), при- а
надлежащая фигуре G.
Приведем некоторые примеры.
1. Пусть дано уравнение
(х — а)2 + (у — b)2 = R2.
Покажем, что на координатной плоскости это уравнение являет-
ся уравнением окружности радиуса R с центром в точке С (а, Ь).
»»г<-
ио
jJAAAM '
Действительно, возьмем любую точку с координатами хв
и у0, лежащую на данной окружности. По определению окруж-
ности расстояние от точки М„ до центра окружности —точки С —
равно R. Используя следствие из теоремы 1, получим, что R =
=V(xt~<£f + (у„ — b)2. Из этого числового равенства вытекает
числовое равенство
^ = (х0-аГ4-(«/о-Ь)а.
Следовательно, каждая точка, лежащая на данной окруж-
ности, имеет координаты, являющиеся решением уравнения (3).
Возьмем теперь любое решение уравнения (3), т. е. возьмем
любую пару чисел (хх, ух) такую, что справедливо числовое ра-
венство
(Xi-a)2 + (yi-b)2. = R2.
Это числовое равенство равносильно числовому равенству
V(xl—a)2 + (yi—b)2 = | ЯI • _
Упорядоченной паре чисел (хх, уг) соответствует на координат-
ной плоскости точка Л1Х (х,, У1), причем из справедливости число-
вого равенства J/r(xx—a)?+(£/f—&)? = |/?|“/? следует, что точка
Mi(xit У1) лежит на окружности радиуса R с центром в точке
С (а, Ь).
Значит, действительно, уравнение (3) является уравнением
окружности радиуса R с центром в точке С (а, Ь) (рис. 26). Пусть
на координатной плоскости дана окружность радиуса г с цент-
ром в точке (а, Р). Рассуждая аналогично, можно показать, что
уравнение
. (х-«)’ + (£/-№ = г2
есть уравнение этой окружности. ’
Итак, на координатной плоскости каждое уравнение вида (3)
есть уравнение некоторой окружности, а каждая окружность
задается некоторым уравнением вида (3). Л
Поэтому, говоря, что на координатной плоскости дана окруж-
ность, имеют в виду, что дано уравнение этой окружности, т. е.
что дано уравнение вида (3).
2. Пусть дано уравнение
х—а = 0. (4)
Покажем, что на координатной плоскости это уравнение яв-
ляется уравнением прямой, параллельной оси ординат и прохо-
дящей через точку А (а, 0).
Действительно, возьмем любую точку Л40, лежащую на этой
прямой. Тогда абсцисса этой точки есть число х0 = а, а ордината у0
есть какое-то фиксированное действительное число.
Очевидно, что эти координаты х0 и у0 являются решением
уравнения (4), т. е. координаты любой точки, лежащей на пря-
мой, параллельной оси ординат и проходящей через точку А (а, 0),
являются решением уравнения (4).
Возьмем теперь любое решение уравнения (4), т. е. возьмем
любую пару чисел уг) такую, что она удовлетворяет число-
вому. равенству х^—а = 0. Другими словами, возьмем любую
пару чисел (a, t/j), где уг — любое фиксированное действительное
число.
Легко видеть, что точка Mi(a, уг) лежит на прямой, парал-
лельной оси ординат и проходящей через точку А (а, 0) (рис. 27).
Значит, действительно, уравнение (4) является уравнением пря-
мой, параллельной оси ординат.
Пусть на координатной плоскости дана прямая, параллель-
ная оси ординат и проходящая через точку D(d, 0). Рассуждая
аналогично, можно показать, что уравнение х — d = Q является
уравнением этой прямой.
Итак, на координатной плоскости каждое уравнение вида (4)
есть уравнение некоторой прямой, параллельной оси ординат,
а прямая, параллельная оси ординат, задается некоторым урав-
нением вида (4).
Поэтому, говоря, что на координатной плоскости дана прямая,
параллельная оси ординат, имеют в виду, что дано уравнение
этой прямой, т. е. дано уравнение вида (4).
3. Рассуждая аналогично, можно показать, что на коорди-
натной плоскости каждое уравнение вида
у — Ь = О (5)
•
есть уравнение некоторой прямой, параллельной оси абсцисс
(рис. 28), а каждая прямая, параллельная оси абсцисс, задается
некоторым уравнением вида (5).
Поэтому, говоря, что на координатной плоскости дана пря-
мая, параллельная оси абсцисс, имеют в виду, что дано урав-
нение этой прямой, т. е. дано уравнение вида (5).
142
4. Пусть дано уравнение
y = kx+b, (6)
где
В главе VI будет показано, что на координатной плоскости
это уравнение является уравнением прямой, проходящей через
точку Л4(0, Ь) и образующей с положительным направлением оси
Ох угол, тангенс которого равен k (рис. 29).
О (f,O) а
' I. g-6-д
Рис. 28.
Пусть на координатной плоскости дана прямая, проходящая
через точку Л4(0, Ьг) и образующая с положительным направле-
нием оси Ох угол, тангенс которого равен kit где kt ф 0; можно
показать, что уравнение
y = krx-\-bt
является уравнением этой прямой.
Итак, на координатной плоскости каждое уравнение вида (6),
где &=/=0, есть уравнение прямой, не параллельной ни одной из
осей координат, а каждая прямая, не параллельная ни одной из
осей координат, задается некоторым уравнением вида (6), где
k=^=0.
Поэтому, говоря, что на координатной прямой дана прямая,
не параллельная оси абсцисс и не параллельная оси ординат,
имеют в виду, что дано уравнение этой прямой/т. е. дано урав-
нение вида. (6), где
Уравнение первой степени. Уравнением первой степени с двумя
неизвестными называется уравнение вида
Ах By С — 0,
где Л24-В2#=0, или другими словами, где хотя бы один из двух
коэффициентов А и В отличен от нуля.
Йз вышеизложенного вытекает, что на координатной плос-
кости каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными
есть уравнение некоторой прямой, а каждая прямая плоскости
задается некоторым уравнением первой степени с двумя неиз-
вестными.
Действительно, пусть дано уравнение
Лх + Ву-|-С = 0 (Д2 + Д?=/=0). (7)
143
Если В —0, то учитывая, что Л =5^0, уравнение (7) равносильно
уравнению
а выше показано, что это уравнение есть уравнение прямой. Если
В#=0, то уравнение (7) равносильно уравнению
и~ \ в)xJr \ В
а выше показано, что это уравнение есть уравнение прямой.
Значит, действительно, уравнение (7) является уравнением неко-
торой прямой. Кроме того, можно показать, что если на коор-
динатной плоскости дана прямая, то она задается некоторым
уравнением вида (7).
Поэтому, говоря, что на координатной плоскости дана пря-
мая, имеют в виду, что дано уравнение этой прямой, т. е. что
дано некоторое уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Поскольку через две несовпадающие точки проходит единст-
венная прямая, то для того чтобы задать прямую, достаточно
задать две несовпадающие точки, лежащие на этой прямой.
Значит, если известны координаты двух несовпадающих точек,
лежащих на. этой прямой, то можно написать уравнение этой
прямой.
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через
начало координат и через точку М(р, q), где р2 + ^2=?^0. Если
р = 0, то очевидно, что эта прямая есть ось ординат и ее урав-
нение есть х==0.
Если ^ = 0, то очевидно, что прямая есть ось абсцисс и ее
уравнение есть z/ = 0.
Если q=£ 0, Рт4=0, то как указано выше, уравнение этой
прямой есть уравнение вида (7), где А, В, С—некоторые фикси-
рованные числа, причем Л2 + В2^0..
Найдем эти числа, используя условие, что две точки 0(0, 0)
и М (р, q) лежат на этой прямой.
Так как прямая проходит через начало координат, то пара
(О, 0) должна являться решением уравнения (7), а это возможно
только если С = 0. Ясно, что В=/=0, так как если бы коэффи-
циент В был равен нулю, то уравнение (7) имело бы вид Лх=0,
т. е. было бы уравнением оси ординат (Л =#= 0, так как Л2Ч-В2 0),
что противоречит условию р =£ 0. Так как В =/= 0, то уравнение (7)
равносильно уравнению
у = kx,
где k — — -g-. Так как прямая проходит через точку (/>, <?), то
справедливо числовое равенство
q=kp.
144
Следовательно, k=^ н уравнение прямой, проходящей через
начало координат и через точку М(р, q), не лежащую ни на
одной оси координат, имеет вид
Совокупность уравнений. Пусть даны многочлены Pt(x, у),
Рг (х> У), • • •» Рт (*> У\ целые относительно букв х и у.
Говорят, что дана совокупность т алгебраических уравнений
с двумя неизвестными
Л(Х, Z/) = 0, Р2(х, у) = 0, ..., Рм(х, у) = 0, (8)
если требуется найти все пары чисел (х, у), каждая из которых
является решением хотя бы одного уравнения из совокупности (8),
и которая называется решением совокупности (8). Таким образом,
решить совокупность уравнений (8) —это значит решить каждое
уравнение совокупности, т. е. найти множества М2, .... Мт,
где Ме — множество всех решений уравнения Р{(х, у) —0, а затем
найти множество Л40, являющееся объединением всех этих мно-
жеств: Мо = (J U • • U Af„. Множество Мо и будет множе-
ством всех решений совокупности уравнений (8).
Уравнение (1) равносильно совокупности уравнений (8), если
любое решение уравнения (1) является решением совокупности
уравнений (8), а любое решение совокупности уравнений (8) яв-
ляется решением уравнения (1), иными словами, если множества
их решений совпадают. Замена уравнения (1) равносильной сово-
купностью уравнений (8) называется равндсильным переходом от
уравнения (1) к совокупности уравнений (8).
Часто с помощью таких равносильных переходов к совокуп-
ности уравнений удается решить исходное уравнение. Например,
пусть требуется найти все корни уравнения
х2-у2 = 0. (9)
Воспользуемся формулой сокращенного умножения (см. гл. II)
х2—у2 = (х — у) (х+у). Тогда, по утверждению 4 получим уравне-
ние (10), равносильное уравнению (9):
(x-i/)(x+i/) = 0. (10)
Уравнение (10), как легко видеть, равносильно следующей
совокупности уравнений:
х—«/ = 0, х + «/ = 0. (11)
145
Множество всех решений первого уравнения совокупности
есть множество всех пар (t, t), где t — любое действительное число:
Mi = {(£, 01t € Множество всех решений второго уравнения со-,
вокупности есть множество всех
. пар (q,—q), где q — любое действи-
'ч у тельное число: М2 — {(q,—
X. у' Таким образом, множество всех
X. решений совокупности (11), а зна-
чит, и уравнения (9), есть объе-
' /п\('о) г" динение этих множеств М =
/ \ Zg-fD т. е. М = {(/,
/ X (<7, —<7)|<7ёЯ}.
Jr» Как было показано выше,
каждое из уравнений совокуп-
Рис' 3’ ности (11) есть уравнение пря-
мой. Поэтому фигура, задаваемая
уравнением (9), представляет собой две прямые; причем легко
видеть, что эти прямые проходят через начало координат и яв-
ляются биссектрисами координатных углов (рис. 30).
§ 4. Системы уравнений
Система двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть даны мно-
гочлены Р(х, у), Q(x, у), целые относительно букв х, у. Говорят,
что дана система двух алгебраических уравнений с двумя неиз-
вестными х и у:
/ Р(х, t/) = 0,
I Q(x, у) = 0,
если требуется найти числовые наборы, соответствующие набору
неизвестных (х, у), каждый из которых является решением каж-
дого из уравнений системы (1), т. е. если требуется найти все
такие числовые наборы неизвестных (х, у), при подстановке каж-
дого из которых в оба уравнения системы (1) последние обраща-
лись бы в верные числовые равенства. Каждый такой числовой
набор называется решением системы (1) (уравнения системы обычно
записываются в столбик и объединяются фигурной скобкой).
Решить систему уравнений (1), это значит найти множество
всех решений данной системы. Следует отметить, что это мно-
жество является пересечением двух множеств: множества всех
решений первого уравнения системы и множества всех решений
второго уравнения системы. Рассмотрим еще одну систему двух
алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
1/?(х, у) = 0,
1 S(x, У) = 0,
где R(x, у), S(x, у) —многочлены, целые относительно букв х
и у. Две системы алгебраических уравнений (1) и (2) называются
146
равносильными, если любое решение первой системы является
решением второй системы и любое решение второй системы яв-
ляется решением первой системы. Другими словами, системы (1)
и (2) равносильны, если множества их решений совпадают. Из
определения следует, что две системы равносильны, ёсли множества
их решений пусты.
Говорят, что дана совокупность k систем двух алгебраических
уравнений с двумя неизвестными:
I Л (*»!/) = О, ( Рг(х, у) = 0, ...» ( Рк(х, y) = Q,
I Qi(x, у) = 0, t Qi(x, у) = 0, ...» I Qk(x, у) = 0,
где Л (х, у), Р2 (х, у), .... Рк (х, у), Q, (х, у), ..., Qk (х, у) - мно-
гочлены, целые относительно букв хну, если требуется найти
все числовые наборы, каждый из которых является решением
хотя бы одной из систем уравнений совокупности (3). Каждый
такой набор называется решением совокупности систем уравне-
ний (3).
Система уравнений (1) равносильна совокупности систем урав-
нений (3), если любое решение системы уравнений (1) является
решением совокупности систем уравнений (3),. а любое решение
совокупности систем уравнений (3) является решением системы
уравнений (1).
Приведем некоторые утверждения о равносильности
систем уравнений:
1. Если изменить порядок следования уравнений системы (1),
то полученная система равносильна системе (1).
2. Если одно из уравнений системы (1) заменить на равносиль-
ное уравнение, то полученная система равносильна системе (1).
3. Пусть в системе уравнений с неизвестными х и у одно из
уравнений записано в виде, где в левой части стоит одно из не-
известных, например х, в первой степени, а в правой части—мно-
гочлен, целый относительно у. Тогда говорят, что неизвестное х
выражено через другое неизвестное у. Если неизвестное х выражено
из первого уравнения системы (1), то, подставив в другое урав-
нение системы (1) вместо х этот многочлен от у, получим равно-
сильную систему уравнений, т. е. равносильны следующие системы:
i x = R(y), ( x = R(y),
\Q(x,y) = 0, И I Q[R(y), y\ = 0.
Заметим, что второе уравнение Q [£(#), у] = 0 является уравне-
нием с одним неизвестным, и поэтому для нахождения его ре-
шений можно применить способы, рассмотренные в § 1.
4. Если первое уравнение системы (1) заменить уравнением,
равным сумме первого уравнения, умноженного на некоторое дей-
ствительное число р=#0, и второго уравнения, умноженного на
некоторое действительное число а, то полученная система урав-
нений равносильна системе уравнений (1), т. е. при любых дей-
147
ствительных 0=^=0 и а две следующие системы уравнений равно-
сильны:
( Р(х, у) = 0, I 0P(x, y)+aQ(x, у) = 0,
I Q(x, у) = 0, и t Q(x, у) = 0.
В качестве следствия утверждения 4 имеем утверждение:
5. Если первое уравнение системы (1) заменить на сумму
(или разность) первого и второго уравнений системы, то полу-
ченная система уравнений будет равносильна системе уравне-
ний (1).
6. Если первое уравнение системы (1) равносильно совокупности
уравнений Р2(х, у) —0, Р2(х, у) = 0, Pk(x> у) = 0,то си-
стема (1) равносильна следующей совокупности k систем уравнений:
( Р2(х, у) = 0, Г Р2(х, у)-О, ( Рк(х, у) = 0,
t Q(x, у) — 0, I Q(x, у) = 0, .... \Q(x, у) = 0. U
Если и уравнение Q (х, у) = 0 равносильно совокупности т урав-
нений Qi(x, у)=0, Q2(x, у)~0, ...» Qm(x, у) = 0, то к каждой
системе совокупности (4) применимо утверждение 6 и каждая
система совокупности (4) может быть заменена своей совокупно-
стью т систем.
Доказательство всех этих утверждений опускается.
Рассмотрим применение этих утверждений при решении систем
уравнений.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя не-
известными:
( а^ + ^у+с^О,
( а2х + Ь2у+с2-=0, ' '
где а?+/>!#= 0 и а!+61=#0, другими словами, где хотя бы один
из двух коэффициентов at и blt а также хотя бы один из двух
коэффициентов а2 и Ь2 отличны от нуля (в противном случае по
крайней мере один из многочленов агх+Ь1у+с2 или а2х-(-Ь2у+с2
не был бы многочленом первой степени ни относительно неиз-
вестного х:, ни относительно неизвестного у). .
Каждое из двух уравнений системы (5) (как было показано
в § 3) является уравнением прямой на координатной плоскости.
Как известно, две прямые на плоскости могут либо пересекаться
в одной точке, либо совпадать, либо быть параллельными, но не
совпадающими. Следовательно, и при нахождении всех решений
системы уравнений (5) могут возникнуть эти ситуации.
Рассмотрим их на примерах.
1. Пусть дана система уравнений
{х—у = 0,
x + s+1 = 0. <6>
148
Система (6), как легко видеть, равносильна системе
( * = //,
I х+у-\-1=0.
(7)
Используя утверждение 3, перейдем от системы (7) к системе
( х — у,
U+,+i=o, <8>
ей равносильной.
Второе уравнение системы (8) есть уравнение первой степени
1
с одним неизвестным и имеет единственное решение уг = — .
Следовательно, система (8), а значит и равносильная ей система (6)
координатами является точкой пересечения прямых, задаваемых
уравнениями (6) (рис. 31).
2. Пусть дана система уравнений
| %+!/+1=0,
Д 2х+2г/ + 2 = 0.
Разделив левую и правую части второго уравнения на 2, перей-
дем к системе
х-Н+1 = 0,
х+у+1 =0,
(10)
равносильной исходной системе (9).
Система (10) состоит из двух одинаковых уравнений, что со-
ответствует двум совпавшим прямым на координатной плоскости
(рис. 32). Очевидно, что множество всех решений системы (10),
а значит и равносильной ей системы (9) есть множество всех пар
вида (t, —1 — t), где / — любое действительное число.
149
3. Пусть дана система уравнений
*+# = 0,
2x4-2#+1 =0.
Перейдем к равносильной ей системе
х = —#,
2х+2# + 1=0.
(П)
(12)
Воспользовавшись утверждением 3, получим систему.
1 х= — у,
( 2(-#) + 2#+1.=0, !
(13)
равносильную системе (12).
Второе уравнение системы (13) равносильно числовому равен-
ству 1=0, которое не верно. Следовательно, система (13), а зна-
чит и система (И) не имеют решений, что соответствует двум не
совпадающим, но параллельным прямым на координатной
плоскости (рис. 33).
Д Способ решения систем урав-
нений (6), (9) и (11), основанный
на утверждении 3, называется спо-
собом подстановки или способом
исключения неизвестного.
Рассмотрим его применение на
более сложном примере, когда
одно из уравнений системы не яв-
ляется уравнением первой степени:
ах+6#+с=0,
х*+у2= 1.
(И)
Рассмотрим случай, когда 6 = 0. Тогда первое уравнение си-
стемы (14) есть уравнение прямой, параллельной оси ординат.
Второе уравнение системы (14) есть уравнение окружности еди-
ничного радиуса с центром в начале координат. Применив метод
подстановки (а + 0, так как 6 = 0), получим систему
(15)
равносильную исходной системе (14). Второе уравнение системы (15)
является квадратным уравнением. Если 1 —< 0, то это урав-
нение не имеет корней и, следовательно, система (15) и равно-
сильная ей система (14) не имеют решений. Это соответствует
150
ситуации, когда прямая х =— ~ не пересекает единичную окруж-
ность х? +у2 = 1 (рис. 34). (На рис. 34 прямая х — — изобра-
жена и в случае (—-£} > 1, и в случае Г—-£}< — 1.) Если
с*
1 -—^- = 0, то второе уравнение системы (15) имеет единственное
решение у — 0. Система (15), а значит, и система (14) имеют при
этом единственное решение (хх, ух): о). Геометрически
это соответствует случаю касания прямой единичной окружности
в точке (—£, о) (рис. 35). ^На рис. 35 прямая х =—£ изо-
бражена и в случае (—"а)==^,и в слУчае (—^сли
С2
1 —> 0, то второе уравнение системы (15) имеет только два
корня у! = f/' 1 —и Уг = — 1 • Следовательно, си-
стемы (15) и (14) имеют при этом только два решения (xn «/J,
(х8, &): (—4» V1 “&) ’ (— Tj’ — “"S’) • Геометри-
чески это соответствует пересечению единичной окружности пря-
мой х = — 4 в двух точках: (—1/1 — и ( — 4»
— j/ 1 •—(рис. 36). ^На рис. 36 прямая х = — изобра-
жена в трех случаях: 1) 0<—£ < 1, 2) (—-£j = 0,
3)0
Если Ьу=0, то из первого уравнения системы (14) можно вы-
а с
разить неизвестное у. у =—-^х—г —и аналогично вышесказан-
1Б1
ному применить способ подстановки. При этом возможны толь-
ко три ситуации:
1. Система (14) не имеет решений, т. е. прямая и окружность
не имеют общих точек (см. рис. 34);
2. Система имеет единственное решение, т. е. прямая является
касательной к данной ок-
ружности (см. рис. 35);
3. Система имеет только
два решения, т. е. прямая
пересекает окружность толь-
ко в двух точках (см. рис.
36).
Проведение соответству-
ющих выкладок в этом слу-
•f чае предоставляется читате-
’ ЛЮ.
Способ линейного преобра-
зования (способ базируется на
утверждении 4 и заключен в
равносильной замене первого
уравнения системы другим уравнением, равным сумме первого
уравнения, умноженного на число Р^=0, и второго уравнения,
умноженного на число а).
Рис. 36.
Рассмотрим применение этого способа на примере решения
следующей системы уравнений:
x24-f/2 + 3y4-l=0,
—3 = 0.
Вычитая из первого уравнения второе, получим на основании
утверждения 5 систему
2i/4-4 = 0,
x?+f/?4-f/—3 = 0,
(17)
152
равносильную системе (16). Первое уравнение системы (17)
имеет единственное решение уг ——2. Подставив это значение z/f
во второе уравнение системы (17), получим, что эта система,
а значит, и равносильная ей система (16) имеют только два ре-
шения: (1, —2) и (—1, —2). Отметим, что часто эти решения
записываются в виде множества: М — {(1, —2); (—1, —2)}.
Способ замены системы уравнений совокупностью систем урав-
нений (способ базируется на утверждении 6 о равносильности
системы уравнений совокупности систем уравнений).
Рассмотрим применение этого способа на примере решения
следующей системы уравнений:
1 х® — у2 — х + у = 0,
{ х + г--2 = 0.
Поскольку первое уравнение этой системы равносильно сово-
купности уравнений
х—у = 0, х+у —1=0,
то система (18) равносильна совокупности систем
J х —у = 0, ( х+у —1 — 0,
( х+у2- — 2 = 0, ( х+у2 — 2 = 0.
(19)
Каждая из систем совокупности (19) легко решается способом
подстановки. Первая система имеет только два решения: (1, 1);
(—2, —2); вторая система_тоже имеет только, два решения:
fi+V"5 1 —/5\ /1 —/5 .14-У5Х _
( —; I —Г-.|— 1. Следовательно, система
(18) имеет только четыре решения:
(I. 1); (-2.-2У, (±41, >±р).
Рассмотрим еще применение этого способа на примере решения
системы двух уравнений с двумя неизвестными, если одно из
уравнений этой системы будет однородным уравнением второй
степени. Уравнение ах2+Ьху+су2 = 0 называется однородным
уравнением второй степени. Итак, решим систему уравнений
ах2 +Ьху + су2 — 0,
Р(х, у) = 0,
(20)
где Р(х, у) — многочлен, целый относительно х и у.
1. Пусть а = 0. Очевидно, что система (20) равносильна сово-
купности систем
«/ = 0,
Р(х, у) = 0,
Ьх+су — 0,
Р(Х, у) = 0.
Каждую из этих систем можно решить способом подстановки.
153
2. Пусть а #=0. Применим к левой части первого уравнения
системы (20) тождественное преобразование «выделение полного
квадрата»:
ах3+Ьху+су3 = а (х3 +£ ху4~ р®) =>
Чр+^Й+(Й)Ч +4-• М
где D = b3 — 4ас.
В случае, если D > 0, левая часть первого уравнения си-
стемы (20) представляется в виде произведения
ах3+Ьху+су3 = а(х+^у +-§- у) (х +^у —~~ у),
и поэтому система (20) равносильна совокупности систем
(. b+V~D „ ( , b—V~D n
2а У~°’ j х + 2а У~ °’ (22)
Р(Х, г/) = 0, ( Р(х, у) = 0.
Каждую из этих систем можно решить способом подстановки.
В случае, если D = 0, совокупность систем (22) состоит из двух
одинаковых систем уравнений, т. е. на самом деле есть только
одна система уравнений.
В случае, если D < 0, из равенства (21) вытекает, что первое
уравнение системы (20) имеет единственное решение (xlt У1)'-
(0, 0) —и поэтому остается проверить, удовлетворяет ли это ре-
шение второму уравнению системы (20).
Решим следующую систему уравнений:
J х2+х^+^2=19’ ,231
( х3 — ху+у^ = 7. ' *
Применим сначала способ линейного преобразования системы:
умножая первое уравнение на 7, а второе на 19 и вычитая затем
из второго уравнения первое, приходим к системе уравнений
J 12х2 — 26xi/4- 12г/2 = 0,
( х3—ху + у3 = 7, (24)
равносильной системе (23). Применим к левой части первого
уравнения тождественное преобразование «выделение полного
квадрата»:
12х2 -26Х//4-W = 12 [х2-2х^4- (+У2 —-
_ юГЛ- 'W 25УЧ шЛ- , 5у> Zv_13£_5£\==
~ .ЦЛ 12) 144J 12 Т12ДХ 12 12/
154
На основании этого тождественного преобразования и утвержде-
ния 6 можно утверждать, что система уравнений (24) равносильна
совокупности систем уравнений:
I х —уу = 0, I х—у = о,
( х2 —xz/ + z/2 = 7, ( х2 — ху+у3 = 7.
Решая каждую из этих систем способом подстановки, получаем,
что первая система имеет только два решения: (2; 3) и (—2; —3);
и вторая система имеет только два решения: (3; 2) и (—3; —2).
Следовательно, система (23) имеет только четыре решения: (2; 3);
(—2; —3); (3; 2); (—3; —2).
Иногда для решения системы уравнений утверждение 6 надо
применить не один раз, а несколько раз. Например, так надо
поступить при решении системы уравнений
х3 — у3 = 19 (х—у),
х3+у3 = 7(х+у).
(25)
Перепишем эту систему в следующем равносильном виде:
1 (х —г/)(х2-(-хг/ + ^ —19) = 0,
I (*+!/)(х3-—ху+у*— 7) = 0.
На основании утверждения 6 эта система равносильна совокуп-
ности систем
j х —у = 0, J х3-хуу3 —19 = 0,
I (х+у)(х2 — ху+у3 — 7) = 0, 1 (х-Н)(х? — ху+у3 — 7) = 0.
Применяя к каждой системе опять утверждение 6, получим, что-
исходная система уравнений (25) равносильна совокупности си-
стем уравнений
( х — у = 0, ( х—у = 0, ( х3 + ху+у3- —19 = 0,
( х+у = 0, ( х2 — ху + у3 — 7 = 0, \ x+lZ = O»
( х3+ху+у3 —19 = 0,
1 х2—ху+у3 — 7 = 0.
Первые три системы легко решаются способом подстановки, а чет-
вертая система уже была решена выше. Собирая вместе решения
всех этих систем, получаем, что исходная система (25) имеет только
девять решений: (0, 0); (/7, У 7); (—У 7, —У7)-, (—УТ9^
У19); (У 19, — /19); (2, 3); (—2, —3); (3, 2); (—3, —2).
Отметим, что обычно для решения системы приходится при-
менять несколько способов.
Системы уравнений с несколькими неизвестными. На практике
приходится решать системы уравнений не только с двумя неиз-
155
вестными, но и с большим количеством неизвестных: с тремя,
четырьмя и т. д. Поэтому приведем соответствующие определения
и рассмотрим необходимые для решения таких систем утверждения.
Пусть надо решить уравнение
R(x, у, г, ..., t) = Q(x, у, г, ..., t), (26)
где R(x, у, z, t) и Q(x, у, г, I) — многочлены, целые
(см. гл. II) относительно букв х, у, г, ..., t. Тогда говорят, что
дано алгебраическое уравнение с неизвестными х, у, г, ..., t.
Заметим, что неизвестные х, у, г, ..., t представляют собой
множество всех неизвестных, содержащихся как в левой, так
и в правой частях уравнения (26). Например, уравнение 4х2 —
— уг-}-Ъу*- есть уравнение относительно неизвестных х, у, z, ибо
многочлены, стоящие в левой и правой частях этого уравнения,
могут быть записаны в виде R(x, у, z) = 4x2 = 4x2-|-0«/-f-0z,
Q(x, у, г)=уг-4-Ьу^ = 0-х-\-уг-{-Ьу2, откуда видно, что эти мно-
гочлены действительно целые относительно букв х, у, г.
Упорядоченный набор (х, у, z, ..., t) называется набором
неизвестных уравнения (26). ОДЗ уравнения (26) есть множество
всех числовых наборов, соответствующих набору неизвестных (х,
у, г, ...» /), у каждого из которых на месте каждого неизвест-
ного может стоять любое действительное число.
Числовой набор (хв, уй, г„, ..., /0), соответствующий набору
неизвестных (х, у, z,'..., t), называется решением уравнения (26),
если равны числовые значения многочленов R и Q, соответствую-
щие этому числовому набору, т. е. если справедливо числовое
равенство Я(х0, r/0, z„ .... Z0) = Q(-*:o* f/o> zo. •••. 4)-
Решить уравнение (26) —это значит найти все его решения,
т. е. найти все числовые наборы, каждый из которых обращает
уравнение (26) в верное числовое равенство.
Пусть даны два алгебраических уравнения с одними и теми
же неизвестными:
R(x, у, z, ..., i) = Q(x, у, г, .... I)
и
Г(х, у, z, t) = S(x, у, г, .... t).
Эти уравнения называются равносильными, если любое решение
первого уравнения является решением второго уравнения и, на-
оборот, любое решение второго уравнения является решением
первого уравнения. Замена одного уравнения равносильным ему
другим уравнением называется равносильным переходом от пер-
вого уравнения ко второму.
Справедливы следующие утверждения:
1. Уравнения R(x, у, г, ..., /) = Q(x, у, г, ..., t) и R(x,y,
г, ..., i) — Q(x, у, г, ..., t) = 0 —равносильны.
2. Уравнения R(x, у, г, .... t) = Q (х, у, г, ..., t) и R(x, у,
z, ..., 0+5(х, у, г, ..., Z) = Q(x, у, г, .... 0-|-S(x, у, z, ..., /)>
156
где, S(x, у, г, ..., t) — многочлен, целый относительно букв х,
у, г.....t, равносильны.
3. Уравнения R(x, у, г, t) — Q(x, у, г, ..., t) и a.R(x,
у, г, ..., /) = aQ(x, у, г, ..., t) равносильны для любого, отлич-
ного от нуля действительного числа а.
4. Пусть известно, что справедливо тождественное равенство
R(x, у, z.....t) = T(x, у, г, ..., t); тогда уравнения R(x, у,
г, ..., t) = Q(x, y,z, ..., t) иТ(х, у, z, ..., t) — Q(x, у, z, .. .,t) —
равносильны.
Справедливость этих утверждений доказывается аналогично
доказательству соответствующих утверждений § 1 и потому опу-
скается.
Из утверждений 1 и 4 вытекает, что каждое алгебраическое
уравнение можно привести к виду Р(х, у, г, ..., t) = 0, поэтому
можно рассматривать лишь уравнения вида
Р(х, у, г,..... t) = 0, (27)
где Р(х, у, z,..., I) — многочлен, целый относительно букв х,
у, z, ..., t.
Пусть даны многочлены Pt (х, у, г, ..., t), Pt(x, у, z, ... ,t),...
...., Рт(х, у, z, ..., t), целые относительно букв х, у, г, ..., t.
Говорят, что дана совокупность т алгебраических уравнений
с неизвестными х, у, z,
Pt (х,у, г,..., 0 = 0, Рг(х,у, г,..., 0=0(..., Рт(х, у, г,..., 0=0, (28)
если требуется найти все числовые наборы, соответствующие на-
бору неизвестных (х, у, z, ..., 0» каждый из которых является
решением хотя бы одного уравнения из совокупности (28). Каж-
дый такой набор называется решением совокупности (28). Таким
образом, решить совокупность уравнений (28)—это значит решить
каждое уравнение Рг(х, у, г, ..., 0 = 0, где i = l, 2, ..., т,
а затем взять объединение этих решений.
Уравнение (27) равносильно совокупности уравнений (28), если
любое решение уравнения (27) является решением совокупности (28),
а любое решение совокупности (28) является решением.уравне-
ния (27). Замена уравнения (27) равносильной совокупностью (28)
называется равносильным переходом от уравнения (27) к совокуп-
ности (28).
Пусть даны многочлены Рг (х, у, г, ..., 0» Л (х, у, г, ..., 0. • •.
..., Рт(х, у, г, .... 0> целые относительно букв х, у, г, ..., t.
Говорят, что дана система т алгебраических уравнений с 'неиз-
вестными х, у, z, ..., t:
Pi(x, у, г, ..., 0 = 0,
Р2(х, у, г,'..., 0 = 0,
Рт(х, у, z, .... 0 = °.
157
если требуется найти все числовые наборы, соответствующие ••на-
бору неизвестных (х, у, г, ..., t), каждый из которых является
решением каждого из уравнений системы (29), т. е. если требуется
найти все такие числовые наборы неизвестных (х, у, г, ..., t),
при подстановке каждого из которых во все уравнения системы (29)
последние обращались бы в верные числовые равенства. Каждый
такой числовой набор называется решением системы (29) (урав-
нения системы обычно записываются в столбик и объединяются
фигурной скобкой).
Две системы алгебраических уравнений с одними и теми же
неизвестными х, у, г, ..., t называются равносильными, если
любое решение первой системы является решением второй си-
стемы и, наоборот, любое решение второй системы является ре-
шением первой.
Говорят, что дана совокупность k алгебраических систем урав-
нений с неизвестными х, у, г, ..., t:
?и (х, у, z, ..., 0 = 0, Р12 (х, у, г, ..., 0 = 0,
Л1(х, У, Z, ..... 0 = 0, J Лг(*, У’ Z, .... 0 = 0, ...
Pmi(x, у, z, t) = 0, ( Р„2(х, у, г, ...» 0 = 0,
Р1ъ(х, у, Z, .... 0 = 0,
.... < р^(х, у, г, .... 0 = 0, (30)
ч Plk(x, у, 2, .... 0 = 0,
если требуется найти все числовые наборы, каждый из которых
является решением хотя бы одной из систем уравнений совокуп-
ности (30). Каждый такой набор называется решением совокуп-
ности систем уравнений (30). Система уравнений (29) равносильна
совокупности систем уравнений (30), если любое решение системы
уравнений (29) является решением совокупности систем уравне-
ний (30), а любое решение совокупности систем уравнений (30)
является решением системы уравнений (29).
Приведем некоторые утверждения о равносильности си-
стем уравнений.
1. Если изменить порядок следования уравнений системы (29),
то полученная система равносильна системе (29).
2. Если одно из уравнений системы (29) заменить на равно-
сильное уравнение, то полученная система равносильна системе (29).
3. Пусть в системе уравнений с неизвестными х, у, г, ..., t
первое уравнение записано в виде, где в левой части стоит одно
из неизвестных, например х, в первой степени, а в правой части —
многочлен, целый относительно других букв. Тогда говорят, что
неизвестное х выражено из первого уравнения системы через дру-
гие неизвестные. Если неизвестное х выражено из первого уравне-
ния системы через другие неизвестные, то, подставив в другие
158
уравнения системы вместо х этот многочлен от других неизвест-
ных, получим равносильную систему уравнений, т. е. равносильны
две следующие системы:
( x = Q\y, z, .... t), [ x = Q(y, z, ...» t),
I Р2(х, у, z, t) = 0, I P2[Q(y, z, .... t),y, z, =
[ Pm(x, y, z, ...» 0 = 0, Pm[Q(y, z, ...,t), y, z, ...,q = o.
Заметим, что если во второй системе рассмотреть только урав-
нения Рг — О, Р3 = 0, ..., Рт = 0, то они образуют систему урав-
нений с числом неизвестных меньшим, чем в первой системе.
4. Если первое уравнение системы (29) заменить уравнением,
равным сумме первого уравнения, умноженного на некоторое
действительное число ₽=/= 0, и второго уравнения, умноженного
на некоторое действительное число а, то полученная система
уравнений равносильна системе уравнений (29), т. е. при любых
действительных (5=^0 и а. две следующие системы уравнений
равносильны}
Pt(x, у, г, .... 0 = 0»
>Р2(х, уз z, ..., 0=0,
ч Рт(х, у, г, ..., 0 = 0,
и
PPi(x, у, г, ..., t)+a,p2(x, у, г, ...» t) = 0,
Р2 (х, у, г, ..., 0 = 0,
I Рт(х, у, г, 0 = 0.
В качестве следствия утверждения 4 имеем утверждения:
5. Если первое уравнение системы (29) заменить на сумму
(или разность) первого и второго уравнений системы, то полу-
ченная система уравнений будет равносильна системе уравне-
ний (29).
6. Если первое уравнение системы (29) равносильно совокуп-
ности уравнений Qx (х, у, г, ..., t) — 0, Q2 (х, у, г, ..., 0 = 0, ...
...» Qk(x, у, г, .... 0 = 0, то система (29) равносильна следую-
щей совокупности систем уравнений:
{Qi(x, у, г, .... 0 = 0, ( Q2(x, у, г, 0 = 0,
Р2 (х, у, г, .... 0 = 0, ) Р2 (х, у, г, .... О = 0, ...
Рт(х, У> г, 0 = 0, ( Рт(х, у, z, .... 0 = 0,
’ Qft(x, у, г, ..., 0 = 0,
I Р2(х, у, г....0 = 0, /Qn
Ри(х, у, г, .... 0 = 0.
159
Если другие уравнения системы (29) равносильны своим со-
вокупностям уравнений, то к каждой системе совокупности (31)
применимо утверждение 6 и каждая система совокупности (31)
может быть заменена своей совокупностью систем уравнений.
Полная совокупность систем уравнений, равносильная системе (29),
получается перебором всех логически возможных случаев.
Замечание. Системы линейных алгебраических уравнений
подробно рассматриваются в гл. X.
Пример. Решим систему трех уравнений с тремя неизвест-
ными:
' х2+у+? = 2,
’ х + «/2 + г = 2, (32)
,х4-«/ + г2 = 2.
Первое уравнение заменим на разность первого и второго
уравнений, второе уравнение заменим на разность второго и третье
его уравнений. В результате по утверждению 5 получим систему,
равносильную исходной:
х24-у —х —«/2 = 0,
• у2 + г-у-г* = 0, (33)
.x+y + z2 = 2.
Многочлены, стоящие в левой части первого и второго урав-
нений системы (33), можно разложить на множители:
х2 4- у—х—«/2 = (х—у) (х + у — 1),
У* + г—у - г2 = (у - г) (у +л — 1).
В результате, по утверждению 2, система (33) равносильна
следующей системе:
' (х-!/)(х+у-1) = 0,
' (У~г)(у + г—1) = 0, (34)
. х+у + г2 = 2.
Первое уравнение системы (34) равносильно совокупности урав-
нений
х — у = 0, х+у —1=0.
Следовательно, по утверждению 6, система (34). равносильна со-
вокупности систем
х —«/ = 0, Г х + у — 1=0,
' {У — г)(у + г —1) = 0, < (у — z) (у 4-z — l) = 0, (35)
. x+y + z2 = 2, ( х4-г/4-г2 = 2.
Второе уравнение в системах совокупности (35) равносильно со-
вокупности уравнений
»/ — г = 0, «/4-г —1=0.
160
Следовательно, первая система совокупности (35) равносильна
совокупности систем
х — у = О,
у — z = О,
х+у-\-г2 = 2,
' х—у = 0,
у + г — 1 = 0,
. х+у + г2 = 2.
Вторая система совокупности (35) равносильна совокупности
систем
х + у— 1=0, ( х±у —1=0,
< у — z = 0, у + г—1=0,
. * + y + z2 = 2,' \x + y + z2 = 2.
Таким образом, совокупность систем (35), а значит, и равносиль-
ная ей система (32), равносильна следующей совокупности систем
уравнений
' х—у = 0,
• y—z = 0,
. х + у + ?2 = 2,
' х—у = 0, (х+у—1=0,
y + z—1=0, (у — г = 0,
. x + y + z2 = 2, (x + y + z2 = 2,
'х+у —1 =0,
у+г—1=0,
++y + z2 = 2.
Все системы этой совокупности легко решаются методом подста-
новок. Первая система имеет только два решения (х, у, г):
(—1+/3; —1+/3; —1+ /3); (-1-/3; -1-/3; -1-/3);
вторая — только два решения (х, у, г): (—1; —1; 2); (1; 1; 0);
третья — только два решения (х, у, г): (0; 1; 1); (2; —1; —1);
четвертая — только два решения (х, у, г): (1, 0; 1); (—1; 2;—1).
Следовательно, исходная система (32) имеет только 8 решений
(х, у, г)^(-1 + /3; —1+/3; —1+/з); (—1 —/3; —1 —/з;
—1—/3); (0; 1; 1); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (-1; -1; 2); (-1; 2,
-1); (2; -1; -1).
6 М. К. Потапов и др.
УПРАЖНЕНИЯ
. Применяя способ выделения полного квадрата, записать в виде алгебраи-
ческой суммы квадратов многочленов следующий многочлен (Г—14):
1. 6х2 + 7х—3. 2. 23+31Х-5А 3. 27х2 — 15х—112.
4. х2—6(х+12). 5. х(*+34)+289. 6. -±-х2+2х+1.
1 х2
7. -s-x2—4х+2. 8. 9—Зх—r . 9. 4х2—4х+1.
о 4
161 .
10. 4+4-Зх2 +1. 11. х4—4Х8+6x2—4x4-1.
12. х4+2х’-х + 1. 13. х*-2хв + ^—J+1.
14; 16х6+Г6х7—4х8—4х°+х10.
Следующий многочлен записать в виде квадратного трехчлена относительно
х и найти его дискриминант (15—33):
4х
15. з_2±+4ха 16. 23х—120—х2.
17. 13х—11— 8х(1+х). 18. х(22+х)— 2 (х—3).
19. 4+х2+2(4х+6). 20. (х—1)(3—2xJ—Зх2+2.
21. (2х—3) (Зх+1) — (х—11). 22. 3(х+1)(2х+3)-(х— I)2.
23.'8х—(4х+3)(х—2)—х(2х—1). 24. х2—(х+2) (3—х)—2х—8.
25; 5(4х2 + 4)—3(х-1) + 4(х+1). 26. +1—х) (2-х)--£.
27. 1(2х+9)—1(х2-2х). 28. 3+@±^=9—
29. 2тх—тп—лх+2х2. 30. х2 + 2а (Ь — х) + 36х.
31. х2 — Ь(2х—Ь)—4Ь2. 32. 5а(х—а) + 8а(х+2а) —х(х — а)-\~2а(х—а).,
33. (х—3) (Зх—а)—(х—2а) (2х—3).
Принадлежит ли множество. {1; —2} множеству всех решений-следующего
уравнения (34—41):
34. 2х+1 =3 (х—2) —(х—7); 35. (х—1) (х+2) =0;
36. 2х+х2—3 = 0; 37. х6 + 7х3 = 8; . ~
38. 4 + х* = 5х2; 39. х3+2х(1—х) = х2;
40. х2+3х(х—3) = 7х—9; 41. (х2+3х— 5) (х2+Зх+3) + 7 = 0?
Равносильны ли два следующих уравнения (42—54):
42. 2х+1=3. и 2х=2; 43. ^±^=9,5 и х(х—1)=2;
44. х2=4 и х*-16 = 0; 45. х2+1=0 и х* + 1=0; ,
46. 9х(2х—3) = 26 и (6х—13)(Зх+2)=0; .
47. (х-2) (3+4х)=2х« и х+ Ух-=0;
48. (х+4)=0 и (х+4) (Х2+4х+100) = 0;
49. х —12=17,—2х и (х—12)2 = (17—2х)2;
50. х2=6—х и х2(х—2) = (6—х)(х—2);
51. х2+6 = 5х и (х2 + 6) (х + 4) = 5х (л+4);
52. 3 = 2х — х2 и 3 + (х2+*5)=2х—х2+(х2+5);
53. у(х-4) = 0 и 2 (х+1) (х+3) + 8=(2х+1) (х-|-5);
54. (Зх + 2)(2х—7)=6(х + 2)2+7 и 3[5-2(х2—2х+Ю)]=5х?
162
Равносильны ли следующие уравнение и совокупность уравнений (55—72):
Уравнение Совокупность уравнений
55. 4(7х + 9) 4 ( , х—1\ 4 15 5 I6 1 " 3 J 13х—92 = 0; х = 7^; 1 о
56. |(2х+9)-1(х^-1) = 7х==18—2;i; Зх+6 = О5
= (х+5)(х + 3)
57. (Зх—2) (х-1) 2 (х-3)2 2х-5 [7 — (х—6) (хЧ- 1)]<= 28;
21 7 1 7
х = 4;
58. 2х2—32 = х+4 х = -4; 3x4-12 = 0;
59. (Зх—5) (2х—5) = х2 + 2х + 3. х—4 = 0; х = -^-; О
60. 2х (х-|-7) — х2 + 3х 5х2=6х; 5х-|-4 = 0;
61. 2х2—15 = х 2(х—1)=х4-1; 2х4-5=0;
62. 15—11х = 8х (1-1-х) 8х—5 = 0; х4~3=0; '
63. 2 1 ЗХ 8 4 2х=1; 2х-|-6 = 2 (х 4-4)4-1;
64. (х+ 1) (2х+ 3) =4х2—22 0,Зх—1,8 = 0,7—0,2х; 2х4-5=0;
65. (Зх+5)24-2х (Зх-4-5)=О 3{7— 3 [х—2 (х—1)]} = 6х; 2х=5;‘
66. “1 " "’"й7" 1 4; V 5? 1 »—«* КГ II о Зх—1=0; 6—(3—х) = 4х—4;
67. (х+1 )2 + (х—2)2=2 (х2—2,5) 15—х (8—х) = (х—5)2; х = 5;
68. ,х (2x4-1) (х4-2)(х-4) ,1 0,5х4-4=л:—3; 2 (х—5)2=0;
14 7 2
69. сл| Q0 13 у т оо| ьэ 13 1 ^00 to / 4-0,25х=4; 2х,—1=0; о z и
70. 3 (х—9)2—2 (х—9) —16 = 0 II rf |со + ч 00 |1Л 1 ч |ео
х2—14x4-49 = 0;
71. Зх (х—2)—(х4-1) (х-13) =0 х2 4-7=0; 13х2—14x4-9=0;
72. 4 (2х—З)2—4 (2х—3)4-1 =0 /~Зх2^х4-2 = 0; 3 (2х-7) (х24-1). п
4 - ♦
Решить следующее уравнение (73—123):
73. 5—4(х—3) =х—2 (х —1).
74. 4 (3-|-х)—3 (2х—5) = 6—х—2 (3—х).
75. 3 {15—2 [х—2 (х—4)]—х} = 5х—20.
76. 6-^1=^+^. 77. ^-^=5х-17-1.
78. 0,2(х-1) + 0,5(Зх-9)=|-2. 79. 0,474-2х = 4^
6*
163
80. (х+2)(х—1)=0. 81. 2х(3х—4) = 0.
82. (3x4-4) (5—2х) = 0.
83. х2—7x-h6 = 0. 84. 2х2—5x4-12=0.
85. Зх2— 7х—1=0. 86. 2x(x-f-6) = x2—Зх.
87. 3 (х24-20) = 21х. 88. х-|-2х (х—1) = 5.
89. (2х4-5)24-2х(Зх4-5)=0. 90. (*+у)(у+2)-1=0-
91. 7(х24-5х4-8) = 3(х4-1)(х—2).
92. 3 (х2—3x4-1)—2х (х—2)=20—3 (х-|- 1) (2х—4).
93. 2 (х—3) — 3(х2—2х—4) = 4х2 —(3—5х) (х— 1)—34.
94. 3(х-2)2-3(2~х2)=х-11
95. (х4-2)(х—3)4-х(х4-4) = (х—3)(х—7)4-х2.
96. (х+ 1) (х4-2)4-94-(х4-2) (х+3) = (х4-3) (х+4).
97. (24-0,5х) -1)4~Зу=0,2 (у+2у) •
. 98. 184-(х4-4)(х-3)(х-1) = (х4-1)(х+3)(х4-2).
99. (1—х)(х4-2) (х4-3) = 9х2—х»4-4(1—7х).
100. х24-4х—8 /8-х-|-20 = 0. 101. х (х—3)— 2х( V 2-х— 3) = 0.
102. (х4-1)(х—3)—2(х-|-/7) = 0.
103. Зх2—2х(х—л)4-(х4-2)(3х—1) = 0. х ।
104. (/2—х)х—(/Зх4-4)(х4-2) = 0. 105. (х4-2)2 = 2 (х-)-2)4-3/
106. (х24-5х—7)(2х24-10х—11)4-1=0. 107. х«—Зх3-|-2 = 0.
108. х14-2х2—8=0. 109. х8—2х54-х=0.
ПО. (х*4-х24-1)(х44-х24-2)=12. 111. (х24-2х-|-1)(х2—5х4-7) = 0.
112'. (4Х3—19х24-12х)(2х2—7x4-6) = 0.
113. (х2—1)(х2—5х—6)=0. 114. Зх3—Зх (х—1) = 7х2.
115. х3—х24-х—1=0. 116. х34-х—2 = 0.
117. х3—2(х4-1) = х. 118. х4—7х34-14х2—7х4-1=0.
119. (х4-9)(х— l)(2x2-|-16x—20) =12.
120. (х2—5х4-7)2—2(х—2) (х—3)=1.
121. х*4-х34-х24-х4-1=0. 122. х4—х(х2—х4>1)4-1 =0.
123. xs4-x3 = x4.
Принадлежит ли множество {—2; 1} множеству всех решений следующего
неравенства (124—134):
124. 7х—3 (2x4-3) > 2 (х-4); 125. < 2-1~1=^}
4 Z о
126. Ц^4-3^=1 > 5-х; 127. < 0.3 (х4-7)4-21;
128. х(х— 1)— 6 > 5х—х2; 129. х2—4х-)-3 < 0;
130. 1х«—3 (х4-5) < 0; 131. 9х2—6x4-1 > 0;
132. х(х-З)— 2 < Зх-(х24-2); 133. 4х2-|-б(х-1) > 2;
134. (х—2)(Зх-|-4)(х24-1) >0?
Равносильны ли два следующих неравенства (135—153):
135. х2+4х+12 > 0 и х—х2—ЗГ> 0;
164
136. (2х—5)(2х—1) <Оиу<х<-|-;
137. (х— I)2 > 0 и 1— х < О;
138. 4х—3 > 1 и (4х—3)(х+2) > х+2;
139. 2(5х—4) < 4 и 4(5х—4)2<16;
140. х + 3 > 0 и х3 > — Зх2;
141. х—х2<2 и (х—х2)(х+4х2+5)<2(х+4х2+5);
142. 2х—4 > 3 и 2х—4+2 (х+3) > 3+2 (х+3);
143. х2—5х+6с0 и 1 2x4-7^3;
144. х2—х—б^Зх—1 и 3<:5—2x0-5;
145. х4-4 < Зх—2 и к (х4-1)? > 3(х4-1)2;
146. у-3 [2x-*~2^~3)J > х+Ц- и х > 3;
147. 6х2—29х+30 < 0 и — Зх2+5х+2 > 0;
148. (х2—4) (х+1) > 0 и х2—2х—3 > 0;
149. х2—х+1 > 0 и 4х2+х+3 > 0;
150. х^—1 < 0 и х < 1*
151. х^—1 и х3+К0;
152. х8—х5+х2—х+1 3s0 и х2—Зх+10^0;
153. 2х2—1<х* и 4х*—4х3 + 5х2—4х+1^4)?
Решить следующее неравенство (1.54—205):
154. 21—7(2х—9) > Зх. 155.‘5 (3—х) —3 (х—4) < 16х.
156. 2 (х— 1)— 3 (2х—3) >6—3(х+5).
157. -Ь (3—2х) -1(4-5х) > 1 (х+4)-16.
х (4х—7)(3х—5) 2 (4х—9) (х—1)
158, Т------15-----< Т-----“5----*
1 2х
159. (2х+24)—0,1 (х+1) > =г-0,3 (2—Зх).
ЧННИ4
162. (Зх—2) (2х—3)—(2х—1) (х—2) + 6х > (2х—З)2.
(Зх—4) (Зх+ 1) (8х-11) (х+2) (6х— 1) (2х—3)
164. (Зх—О < 1у+ — 2(Зх+1).
165. (2х+3) (х—7)—(23х— 11) <2 (х+ 8) (х—2).
166. |(2х-7)-|(х-8)-4^^±1+^х-11)-
167. х2—х—2 < 0. 168J Зх2—5х—8<0.
169. 15х2—77х+ 10 > 0. 170. Зх2+ 13х—30^0.
171. 16х^15х(х+1) < 0. 172. 21—22х—24х2<0.
173. (х—4)2(х + 5)<0. 174. - > x+^-i^.
175. (х—3)Ss(x—З)2. 176. 8х(х+2)+3(х+1) > —1.
177. (2х+2) (х—1) < 5х+6.
165
1 я
178. -х2-2х4-у >f(x-l)4-4.
.179. Кбх«—2/2х—/Зх+2<0.
180. (х2— 16х)2—63 3= 2 (х2 — 16х).
181. х24-2х4-7^(4-|-2х4-х2)(34-2x4-х2).
182. (Зх2—4х-|-1)(4х4—5х®4-х2)<0.
183. х®+2х2 > 64-Зх. 134. (x-f-2)(x—1) (х—3)2<0.
185. (х-Н) (х-|-2)® (х—1) (2—'х)2 (х2—Зх+5) > 0.
186. (х2—4) (х2—4х-|-4) (х2—х—2)<0.
187. (9—x2)(x2—2х—3)(x4-8)SsO.
188. (х® —2х2—Зх 4- 4) (х2—Зх 4- 7) > 0.
189. (27—37х2—16Х4) (х24-х4-1) < 0.
190. (х2—4х —12) (х® — 7х—6)3=0. 191. (х24-10x4-25) (25—х2) > 0.
192. (2х2—Зх—14) (2х24-11x4-14) < 0.
193. (Зх®—24) (2х24-6х—20)3=0.
.194. (х24-4х—45) (Зх2—14х—5) (х4-1)<0.
195; (2х24-2х) (х2—2х-|-1) (Зх®4-7х—10) >0.
196. (6х®—х24-16)(8х® —14х24-19х—4) < 0.
197. х(х24-3х—4) > 7х®—18х24-6х-|-5.
198. 4х®4-3х2—5(4х-|-3) > 2х®—5х(2-|-5х—х®).
199. (х—1)(х—3)(х—4)(х—6)4-103=0.
200. (х2—Зх-р-2)(х2—5хь4-6)(1— х2)<0.
201. (5х2—х—4)(х®—1) (x-f-10) > 0.
202. 3(х24-3х4-2)3= (х4-1) (х4-2) (х4-3).
203. (х2—16)(Зх—9)<(х2—8x4-16) (2x4-8).
204. (х24-4х) (х24-х—6) > (х®—9х) (х24-2х—8).
205. (Зх2—7x4-2) (х2—9) < (2х2—5х—3) (9х2—6x4-1)’. ,
В задачах №№ 206—213 под числовым набором (а; Ь) понимается число*
вой набо£, соответствующйй набору неизвестных (х; у) при х=а и у=Ь.
Принадлежит ли множество {(2; 1)} множеству всех решений следующей
системы уравнений (206—209):
208.
206 / 7х4-5у=1, ( 95у—49=23х,
) .5х4-7у=11; 76у=102-13х;
х+2у = 4, ( 14х4-9у=9,
2х4-3у=7; ‘SW9’ \ 9х4~4у=4?
Является ли множество {(2; 3), (3; 2)} множеством всех решений следую-
щей’системы уравнений (210—213):
210 / Х+У=5> ,211 / Х+У=5>
‘4,w• ) *®-|-^ = 35; 6 ь I х2у24-24= Юху;
919 J ( х24-4у24-80=15х4-30у(
1г' Д х‘4-х2у24-у*=133; Д ху=6?
В задачах №№ 214—221 под числовым набором (а, Ь9 с) понимается чис*
ловой' набор, соответствующий набору неизвестных (х, у, г) при х==а, y—bi
Принадлежит ли множество {(3; 2; 1)} множеству всех решений следую-
щей системы уравнений (214—217):
166
( 2x + ^/+z = 8,
214. 4 5х—3y + 2z=3,
\ 7х-j-у ~Ь 3z = 20;
{X2— ^2_1_г2_ 6,
2ух— zx -\-'2ху = 13,
—2;
( 5х—3z = 4 (1-]-£/),
215. Г2(г+2х)=-8+Зу,
к 2у+3х=14—z;
Г (х—1)^4-5)=14,
217. j (у+5) (z + 8) = 63,
\ (г+8) (х—1)= 18?
Является ли множество {(3; 4; 1), (—3; —4; —1)} множеством всех реше-
ний следующей системы, уравнений (218—221):
/ x2#z = 36, / х2+х#+лг = 2Й,
218. xi/2z = 48, 219. | ху + «/2 + ^z=32,
V xyz2 —12; \ xz4-j/z4-z2 = 8;
( x#2z2 = 36, / xy-f-2x + y/=249
220. | x2yz2=144, 221. j yz + 3t/ + 2z = 15,
( x2^2z = 48; ( zx + x+3z = 9?
Равносильны ли следующие две системы уравнений (222—229):
Зх =|— 1 2х—у_2у—х
222. J 3х + 20=13, ( Зх—2У = 5 и 7 2 8 ’ 4x—2 4y 5x. x + У
1 3 2 5 *
223. « f x+y=l\, J 1 X0=12 ( x+0=H, •«г+х0 + 02 = 91;
224. ( x+50 = 26, 1 x + 20=l,
1 x2—2502=156 1 x3+80» = 127;
225. < f ~x—?0=23, | 49x2—1602= 1081 J x+0=5, И 1 4 (x2+02) = 17x0;
226. < f У—х = 2, j 35x2 + 3502 = 74x0 J x2—x#+y2=19, И ) x4 + x202 + 0«= 741;
? X+0=6,' ( 4x—5#4-6z = 3,,
227. { 0 + z= 10, и { 8x—7y—3z = 9,
t z+x = 20 V 7x—8i/4-9z = 6;
( 0z + zx=16, / x24-xr/ + ^z = 48,
228. { zx+0x = 25, и { xy+y2 + y.z=A2>
\ X0+Z0=—39 xz+^z+z2 = 84;
( 0+x—z=14, ( (*+#)2—-z2 = 65,
229. | 02+z2—x2 = 46, и j X2—(y+z)2= 13,
I 0Z = 9 к x + #—z = 5?
е
238.
Решить следующую систему уравнений (230—273):
23ft J ^+3y = 2h I 43 + 2j/ = 9x,
230‘ j 4х-3у = 3. 231 ‘ 1 7х = 3у. ,
232 J 9x+3t/-2^0, J 7х = 8-7у,
’ j 10х + 6^—4 = 0. Д 16i/+16x—8 = 0.
234 1 235 / ^ + ^=12,
‘ I 6f/+15x = 9. | 2x^ = 9 (x—f/).
236 J Х+У=5’ nl / *+30=10,
• px^»—10x0+24=0. | x» + 2702 = 28O.
240 / x
+03 = 341. I x» = 272—0<
167
250‘ \,ху+у2=24.
252 1 *2+^2=8’ 4
*>г- х3-^ = 8(х-у).
244 / X2 —Х# + у2 = 39,
2 ' х3+^8=351.
х2у-\-ху2= 120,
x3 + f/3=152.
х2+ху+у2= 19,
х* + х2у2+у* = 133.
5х—4# + г=3,
260. { Зх+у—2г = 31,
8х—Зу—z^= 1.
' х + у — 2= 1,
-у+г—х=1, 1
. х+г—у=1.
' x+y+z= 19,
264. •? x2~fry2+z2=91, !
V У2=хг.
(ху+2х+у=7,
уг+3у+2г = 12, :
гх+г+3х= 15.
Z (х+у) (х+г) = 63,
268. { (у+г)(у+х) = 42, 269.
( (г+х)(г+у) = 54.
{у+г = хуг,
г+х = хуг,
х+у=хуг.
(x2yz2= 144,
х2у2г = 48,
ху2г2=36.
258.
258.
240 f x+y 24| f x У %, _
2W- xn+y3=1023. ) (x2+y2)(x® —у3)=260.
242 J x+3xy=35, f x3 = 5x+y,
\ y=22-2xy. j уЗ = х+5у.
„ J Xy = 35, 244 / *У = 72>
2 2(x+y)2+324 = 51 (x+y). 4 ( x2+y2=145.
248 J x*+xy=210, 4 1 (x—y)2 = 3—2x—2y, •
ЫЬ' | y2 = 231—xy. 2 ( y(x-y+l)=x(y-x+l).
I 3x2+xy = 2x+6, J x2—3y2 = 3y—x—30,
. ) 2y = y2+3xy+3. iV>- ( x2 + y2 + x+y= 18.
x2 + 2xy+10y2= 145, t I x2 + 4y2 = 5xy, .
2 1 2x2=y2+31.
( x2 + xy + y2=37,
253, j x3—y3 = 37.
255 J *2+У2 = 13’
I (*+y)(»3+x3)=19.
j x«+y4—x2y2 = 5,
I x2-y2—xy=L.
f Юх—9г = 19,
259. 4 8x—y=10,
( у—12z=10.
( 2x—y=z-j-12,
261. | 3z+3y — 6x—36,
, v 2(у+-г) = 4(х-6). ’
(4x—2y=7x,
y+z=x,
y2—4 = 8x—3г2.
Z x—y+z=2,
265. ! x2+z2=y2+6,
( 2 (xy-j-yz) —13+ zx.
~ ( xy+yz=10,
267. { yz±zx = 12,
гх+#г = 10.
x(x+y+z) = 42,
У(х+у+г) = 70,
г(х+к+г) = 84.
{x2j/z=6,
Х02г=18,
,хуг2=12.
(x?y2z=24,
xysz2= 18,
' x2y& = 108.
Какую фигуру на координатной плоскости задает следующее уравнение
(274—281):
274. у=1; 275. х—2у=0; 276. Зх—2|/=1; 277. ху=0;
278. (Г— х)(х—10=0; 279. x2+j/2=5; 280. х2+у2=0; 281. х2—у2=0?
263.
, 262.
168
Имеют ли общую точку следующие две прямые (282—284): .
282. х+2# = 4 и 2x4-3# = 7;
283. 4х—у = 3 и 8х = 2#+6;
284. 2х—у—3 = 0 и 2# + 9=4х?
Имеют ли общие точки следующие окружность й прямая (285—28*9):
285. х2+#2=16 и 2х+5 = 0;
286. х2+#2 = 25 и # = х;
287. х2+#2 = 49 и у = 2х—3;
288. х2+#2 = 4 и #_7—х;
289. х2+#2=18 и # = х+3 К2?
Глава IV. СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ
—. .
§ 1. Степень с целым показателем
В первой главе было определено действие возведения любого
действительного числа в степень с натуральным показателем.
В этом параграфе повторяется это определение, а также приво-
дятся определения вЬзведения числа в нулевую степень и в сте-
пень с отрицательным целым показателем.
Пусть а—любое действительное число, п — любое натуральное
число, тогда степенью числа а с натуральным показате'лем п (или
п-й степенью числа а) называется число, записываемое как ап и
определяемое по правилу
{аа ... а, если п 2;
п раз
а, если га=1.
Пусть а —любое отличное от нуля действительное число, тогда
нулевой степенью эт&о числа называется число единица, т. е. по
определению а°=1 для любого отличного от нуля действитель-
ного числа а. .
Нулевая степень числа нуль не определяется, и символ 0° счи-
тается лишенным смысла.
Пусть а—любое отличное от нуля действительное число, п—•
любое натуральное число, тогда степенью числа а с целым отри-
цательным показателем (—п) называется число т. е. по опре-
делению а~п — ± для любого отличного от нуля действительного
числа а и любого целого отрицательного числа (—га).
Целая отрицательная степень числа нуль не определяется, и
символ О-” считается лишенным смысла.
Итак, натуральная (га-я) степень определяется для любого’
действительного числа, а нулевая Ъ целая отрицательная степени
лишь для любого отличного от нуля действительного числа.
Если а—любое отличное от нуля действительное число, то
можно дать определение степени с целым показателей, которое
есть объединение* предыдущих определений.
170
Пусть о —любое отличное от нуля действительное число, а —
любое целое число, тогда под числом аЛ понимают число, опре-
деляемое по правилу
ао = <
аа ... а,
т раз
1,
1
ап 9
если
если
а = 1;
а — т, /« — натуральное число, т ^2;
если
если а — — п, (—«) — целое отрицательное число;
а = 0;
при этом число аа называется степенью с целым показателем,
число а —основанием степени, число а — показателем степени.
В первой главе были приведены основные свойства, которыми
обладает действие возведения в степень с натуральным показа-
телем. Для действия возведения в степень с целым показателем
эти свойства также имеют место.
Именно, пусть а, Ь —любые, не равные нулю, действительные
числа, а, р —любые целые числа, тогда:
а) (аЬ)* = а“Ь“; б) • .. .
в) а“йр = аа+₽; г) = = .
д) (аа)| = а“₽.
Докажем справедливость этих свойств. Справедливость свой-
ства а) при натуральном a (a = n, n£N) следует из основных
законов сложения и умножения действительных чисел:
(ab)a = (ab)n = (ab)(ab)... (ab) = a ... ab ...
п раз ^"гГраз' " лч>аз\
Пусть а = 0, тогда (ab)a — (ab)l,= 1 = 1 • 1 =a°ba =ааЬа, т. е.
(аЬ)а = а°Ф»
Пусть а=—т и /« — натуральное число. По определению
степени с отрицательным показателем (nb)“ = (ab)_'n = ^y^—
по свойству степени с натуральным пока- =——
зателем а
по свойству дробей = — • =
по определению степени с отрицательным — а~тЬ~т = ааЬ'х.
показателем
Следовательно, свойство а) справедливо.
Свойство б) доказывается аналогично.
Для доказательства свойства в) рассмотрим все шесть возмож-
ных случаев: 1) a = «, 0 = «г, 2) a = «, 0 = — «г, 3) a = — п, 0 = т;
4) а== — п, 0 = — т (где п и /и —любые натуральные числа);
5) а—любое целое число, 0 = 0; 6) а = 0, 0 — любое целое число.
171
Г. При a = n, р = т справедливость свойства в) следует из
основных законов сложения и умножения действительных чисел:
~ап ат = (а ... а) (а ... а) = а ... а = ая+,в = а“+р.
5Г*раз^ т раэ^ (п+тГраз
2. Пусть а=»п, р = — т, где п и т — натуральные числа,
тогда по определению степени с целым отрицательным показателем
а“а₽ = аи--4.
ат
1 ап
Применяя правило умножения дробей, имеем а"- —=—.
Пусть п > /л, тогда, применяя свойство степени с натураль-
ным показателем, получаем
— = ап\ат = ап~т =
ат
• Пусть п = /л, тогда по определению степени с нулевым пока-
зателем получаем
= 1 = йо = а»+<-<»> = а«+3.
ат
Пусть п < т, тогда, применяя свойство степени с натуральным
показателем и определение степени с целым отрицательным пока-
зателем, п'олучаем
1 х_________ 1 — «-(«-я) — /y-w+n — лп+(-«я) г»а+р
ат ~ т 1 ~~ а™а-п~ ат~п и ~~и *
ап '
3. Пусть а — — п, р = /л, где п и т — натуральные числа
Этот случай аналогичен Случаю а = п, ₽ = — т.
4. Пусть а'=—п, Р = — /и, где и, т— натуральные числа.
Тогда х aaap===or"a~w =
по определению степени с целым отрица- = ~
тельным показателем а а *
. „ 1
по правилу перемножения дробей =
_____1___
по свойству степени с натуральным пока- ~~ап+т —
зателеМ
по определению степени с целым = а~{п+т} = сгп~т =
отрицательным показателем =а(-п)+(-да) _аа+Рв
5. Пусть а—любое целое число,' р = 0, тогда, применяя опре-
деление степени с нулевым показателем, получаем
аМ = аа ,1 = аа = аа+0 =
172
6. Пусть а = 0, 0 — любое целое число, тогда, применяя опре-
деление степени с нулевым показателем, получаем
= 1. = а0+р = аа+р.
Следовательно, свойство в) справедливо.
Для доказательства свойства г) при натуральных а, 0 (а = п,
0>=/n, n^N, m£N) рассмотрим три случая:
1. Если п > т, то п = т + 1, где l^N. Воспользуемся ос-
новными свойствами умножения и деления действительных чисел:
т раз I раз
аа:ар = а":ат = • • • QHa • • _ ai _ ап-т _. аа~р.
ат а ... а
т раз
2. Если п = т, то
т раз
По определению а°=,1. Следовательно,
' аа:ар = ап‘.ат — а9 ~ап~т = аа~р.
3. Если т>п, то m=n-\-k, где k£N. Воспользуемся ос-
новными, свойствами умножения и деления действительных чисел,
а также определением возведения в отрицательную степень: '
п раз
а... а
aa:cfi =ап:ат
______________________= =
ат (а ... а) (а ... а) а ... а
'ТГраз^ ^Граз*^ 'Т~раз^
—an-m—aa-Pt
ап
Следует отметить, что в этом случае (п — т) не является нату-
ральным числом.
Для остальных пяти случаев значений а и 0 доказательство
свойства г) аналогично доказательству свойства в).
Для доказательства свойства д) также как и в случае свойств
в) и г) рассмотрим все шесть возможных ситуацйй:
1. Пусть a = n, 0 = т, где п и т — натуральные числа. Для
доказательства свойства д) в этом случае воспользуемся основ-
ными законами сложения и умножения действительных чисел:
(а“)₽ = (ап)т = (ап)(ап).... (a“) = (d ... а)... (а ... а) —
т раз п раз п раз
т раз
= аа ... а = апт —аар.
пт раз
173
2. Пусть a = n, р = ^/п, где n и m — натуральные числа.
Тогда ' ' . - (aa)₽ = (аа)~т =>
по определению степени с целым отрицательным — —
показателем - !(а )
по свойству степени с натуральным показателем =^ =
по определению степени с целым =а~па =
отрицательным показателем =а»(-<в) = а“₽>
3. Пусть а = — и, 0 = /п, где п и т — натуральные числа.
Справедливость этого свойства доказывается аналогично случаю
a = n, Р = — т.
4. Пусть а = — п, Р = — т, где и. и т — натуральные числа.
Тогда * (aa)e= (а-
по определению степени с целым отрица- = — Дг- —
тельным показателем 'й '
i
по только что разобранному случаю 3 =-^-^=5
по определению степени с целым отрица- = -|— =
тельным показателем
по свойству дробей = 1 :-!_==
по правилу деления дробей =апт=а<~п)<~'я)=аа^.
5. Пусть а—любое целое число, (3 = 0, тогда по определению
степени с нулевым показателем (da)p = (aa)°= 1 =ae = a“° = aa₽.
6. Пусть a = 0, (3 — любое целое число, тогда по определению
степени с нулевым показателем (а“)₽ = (а0)р = (1)р = 1 =а° = исР =
__ аар ' _ -
Следовательно, свойство д) справедливо.
Пример. Применим свойства степени с целым показателем
кдля вычисления следующего числового выражения:
174
§ 2. Степень с рациональным показателем
В главе I было дано следующее определение арифметического
корня из положительного числа.
Пусть п — натуральное число, а—положительное число. Тогда
положительное число Ь,- такое, что Ьп = а называется арифмети-
ческим корней п-й степени из числа а и обозначается Ь—у^а.
БеТ доказательства было принято утверждение, что для каж-
дого положительного числа а существует и притом единственный
арифметический корень_л-й степени.
По определению а справедливо следующее утверждение:
Г а —положительное число,
я/_ J « — натуральное число,
V & 1 п /~~
I v а ~~ положительное число*
Используя Определение возведения в целую степень и опре-
деление арифметического корня из положительного числа,, дадим
теперь определение возведения положительного числа в степень
с рациональным показателем.
Пусть а —положительное число, г = у—рациональное число,
причем q — натуральное число (<? > 0). Положительное число Ь
такое', что Ь = у/ае, называется r-й степенью числа а и обозна-
р __
чается' Ь=аг, т. е. а* — )/ар.
Заметим, что ^а — а^.
Пусть а и Ь — любые положительные числа, rt и гг — любые *
рациональные числа, тогда справедливы следующие свойства,
называемые свойствами степеней с рациональными показателями:
а) (a&)r* =ar>bri,
( а у» ог1
б> (-ь)
в) ariar»=ar«+r>-,
г) агчаг*—аг~г>,
Докажем справедливость этих свойств.
а) Пусть = причем q — натуральное число.
Рассмотрим
по определению рациональной степени
по определению арифметического корня
по свойству степени с целым показателем
==(о&)р =
= a?bP=i
175
по определению арифметического корня = (у/
/ Р_\? / Р \<7
по определению рациональной степени —ya*7 =
/ р Р\Я
по свойству степени с натуральным пока- =\а^Ь^) .
зателем
Итак, [(ab)rip = [ar*&rip. По теореме 1 § 2 гл. II это равен-
ство равносильно равенству (ab)r* = aribr* и свойство а) доказано.
Свойство б) доказывается аналогично.
р т
в) Пусть г1=-^-, rs = ^-. Тогда оТчУ^а'’ап.
[р т 1 qn
а"ал] =
(_p_\qn / т \дп
a4J \а"J =
показателем
по свойству степени с натуральным
показателем
по определению рациональной степени
по определению арифметического корня
по свойству степени с целым показате-
лем
-к^т(1^)пг=
= (аР)п(аа)9 =
= af’nam9 =
по свойству степени с целым показате- = #">+»»?:=
лем
г) доказывается аналогично.
tn
г1=^, Тогда («'‘)гз= •
по определению арифметического корня —(n^/aPtt+m9)a9 =
(рп+тд \пд
а п« ) . ' .
Итак^ учитывая, что — = ri + G> имеем (ariar^9a =
= (ari+По теореме 1 § 2 гл. II это равенство равносильно
равенству аг>аг* = аг'+г* и свойство в) доказано.
Свойство
д) Пусть
Рассмотрим
по свойству
зателем
степени с натуральным пока- =
по определению степени с рациональным
показателем
176
по
по
пО
по
(/• _рд»п ?
определению арифметического корня = } f
/ p\mq
свойству степени с целым Показателем == уа’ ; =
свойству степени с целым показателем =
определению степени с рациональным ;=
показателем
по определению арифметического корня = (а*)я =
по свойству степени с целым показателем = аРт =
по определению арифметического корня = (<?^а^я)<"’ —
(рт\дп
ачп) .
показателем
Итак, [(ari)'4]n« = (ar'r*)nq. По теореме 1 § 2 гл. II из справед-
ливости этого равенства вытекает справедливость свойства д).
Докажем еще одно свойство степени с рациональным пока-
зателем.
е) Пусть а—положительное число, гх = —рациональное
Р_ рп *
число, q и п — натуральные числа.,Тогда a4 — aqn.
( JL\qn
Рассмотрим {
по свойству степени с натуральным показателем
по определению степени с рациональным показа-
телем , '
по определению арифметического корня
по свойству степени с целым показателем
по определению арифметического корня
по определению степени с рациональным показа-
телем
Г / JlVl* >
= L\a<? / J =
=[(У^)7 =
= (аР)п=.
—аРп =
а«п) .
/ p_\qn f pn\qn
Итак, ) = \aqn) , откуда и вытекает справедливость
свойства е). _ . ’
Для арифметических корней доказанные свойства имеют вид
в) а • У а = пУап+к-,
г) %/а : У а = ak~n\
е) пУак^^а.
177
Пример. Упростить числовое выражение
А = (2/8 + 3/5 - 7/2) (/724-/20 - 4 /2). J
Применим рассмотренные свойства: '
/8 = /25 = 2/2; /72 = /^35 = /25-/35 = б/2; j
/20 = /^5 =/2^/5 = 2/5. \
Следовательно, ;
Л=(4У'2 + 3/5-7/2)(б/2 + 2/5-4/2)^
' = 3(/5-/2)-2,(/2 4-/5) = б(/5-/2)(/5 4-/2) = |
= 6(5-2) = 18. I
Рассмотрим теперь основные свойства типа неравенства для Я
степени с рациональным показателем. " ' fl
ж) Пусть а~> 1, г = — — положительное рациональное число |
(p>Q, 7>О)- Тогда аг>1. I
( 1
Рассмотрим 1а’) = |
по определению степени с рациональным е=(/а*)’ = |
показателем . • . fl
по определению арифметического корня • — аг. fl
По теореме 1 § 2 гл. II условия а> 1 и аР> 1? равносильны, Я
значит, из. условия а> 1 вытекает, что а^>1, но тогда fl
(а^)<7-> т‘ е' 1*» ОТКУДД по тому же свойству полу- fl
чаем, что аг> 1. Свойство ж) доказано. . Ж
з) Пусть 0 < а < 1, г — ~~ — положительное рациональное число fl
(р >0/9 >0). Тогда аг < 1. я
Доказательство этого свойства аналогично доказательству -fl
-свойства ж). fl
• и) Пусть а> 1 и гх и г2—рациональные числа такие, что fl
> г2. Тогда ari ~>ar>. fl
Доказательство. Поскольку (Г1 — г2) —рациональное по- я
ложительное число, то по свойству ж) а^~г* > 1. Умножая это я
неравенство на положительное число аг», по свойству 21 нера- Я
венств (см. § 2 гл. II) получаем аг>(аг*~г>) > аг>. Применяя к ле-
вой части свойство в) степени с рациональным показателем, Я
получаем art > агз, т. е. свойство и) доказано. Я
к) Пусть 0<а<1, ги гг— рациональные ,числа такие, что Я
ri>r2- Тогда аг> < аг». ' . ~ fl
Доказательство этого свойства аналогично доказательству fl
свойства и). fl
178 1
Пример. Доказать,'что для любых положительных чисел'а
и b справедливо неравенство
2 2 2
а3 +&3 > (а+Ь)3 .
Доказательство. Обозначим а+Ь через с и рассмотрим
дроби ~ и у. Так как у + у = Г, то 0<-2-<1, 0<£<1.
1 1
Используя свойство к), получим ( —)3 < 1» ( — )3<1 или
(—Y ,3<1? (—'j 3 < 1.’ Следовательно, f—)<(—)* и
\ с у \ с j у с у у с у
2 ; ’
3 . По свойству числовых неравенств справедливо и
неравенство • •
откуда, учитывая, что у + у=Ь получаем'справедливость не-
равенства
Учитывая, что с —положительное число, и умножая это неравен-
2 " 2 2 2
ство на с3,"получаем справедливость неравенства а3 + Ь3>с~,
что и требовалось доказать.
§ 3. Степень с иррациональным-показателем
Возьмем приближенные значения числа У 2 с недостатком:
* 1, 1,4, 1,41, 1,414, ...
и приближенные значения числа У2 с избытком:
>2, 1,5, 1,42, 1,415, ...
По свойству и) степени с рациональным показателем
31<31>4<31-41<31’414<... (1)
и .
З2 > ЗМ > З1-42 > З1-415 >... (2)
В неравенствах (1) и (2) членов бесконечно много и любой
член неравенств (1) меньше любого члена неравенств (2). Есте-
ственно под числом 3Гз понимать, число, которое больше любого
члена неравенств (1). и меньше любого члена неравенств (2). Зна-
чит, под числом 3Гз понимается число, которое больше чем 3
179
в любой рациональной степени, приближающей J/2 с недостат-
ком, и которое меньше чем 3 в любой рациональной степени,
приближающей У 2 с избытком. Без доказательства здесь при-
нимается, что такое число существует и притом только одно.
Так же определяется и аа, где а>1, а — иррациональное
положительное число. А именно,* находятся рациональные числа
г(., приближающие число а с недостатком: /\ < г2 < г3 <... < а,
затем —рациональные числа 1к, приближающие число а с избыт-
ком: /j > /2 > 13 >... > а, и составляются неравенства: аг\ <
< аг» < аг* <... и ah > а1* > а1* >... Тогда под а® понимается
число, которое больше любого числа ari и меньше любого числа а*к.
Это определение можно сформулировать и так.
' Пусть даны число а > 1 и положительное иррациональное
число а. Через обозначим рациональные числа, приближаю-
щие а с недостатком, через 1к — с избытком. Под числом аа пони-
мается число у такое, что для любых г,- и 1к справедливо нера-
венство аГ{ < у < Без доказательства здесь принимается, что
такое число существует и притом только одно.
Пусть даны число а такое, что 0<а<1, и положительное
иррациональное число а. Через г,- обозначим рациональные числа,
приближающие а с недостатком, через 1к—с избытком. Под чис-
лом аа понимается число у такое, что для любых гг и 1к спра-
ведливо неравенство tf' > у > Л Без доказательства здесь при-
нимается, что такое число существует и притом только одно.
Пусть даны положительное число а такое, что а#=1, и отри-
цательное иррациональное число а. Под числом аа понимается число,
равное —577, т- е. если а#=1 и а — отрицательное иррациональ-
ное число, то а® = . Поскольку число-а1®1 не равно нулю
а а
и в множестве действительных чисел деление всегда выполнимо,
то существует и притом единственное число, равное частному
1 /
——т. Это число называют числом а®.
а1®1
Замечание. 1. Если а=1, то а“ = 1 для любого действи-
тельного числа а. Поэтому в вышеприведенных определениях
случай а = 1 не рассматривается.
2. В силу вышеприведенных определений и определения сте-
пени с рациональным показателем для а > 0 и любого действи-
тельного числа а число а® всегда положительно.
Для степеней с иррациональным показателем справедливы
следующие свойства. Пусть а > 0, 6>0, а —иррациональное
число, ’0—рациональное или иррациональное, тогда:
a) (ab)“ = a«fe®;
( а \а аа
\ Ь ) ~ ’
180
в) ааа₽ = а“+₽;
г) о°Ча₽=а“~₽;
д) (ав)₽ = а“р.
Доказательство этих свойств проводится с помощью теории пре-
делов и поэтому здесь не приводится.
§ 4. Степень положительного числа
Изложенное в §§ 1—3 позволяет дать определение действи-
тельной степени положительного числа. Заметим, что число а“
существует и притом только одно для любого действительного а.
Определение. Пусть дано положительное -число а и дейст-
вительное число а. Под числом cfl понимают положительное
число, определяемое по следующему правилу:
I. Если а > 0 ы:
1. а — т, т — натуральное число, то
{а, при т= 1,
аа. ..а, при т 2.
т раз
2. а = ~, q —натуральное число, то с?= У а (арифметиче-
ский корень q-й степени из положительного числа)-,
3. а=-£, еде р, q*-натуральные числа, то аа = у/ар:
4. а— иррациональное число, тогда:
а) если а > 1, то аа — число большее, чем аг‘ и меньшее, чем
а'к, где’ г(—любое рациональное приближение числа а с недос-
татком, lk—любое рациональное приближение числа а с избыт-
ком: ,
б) если 0 < а < 1, то аа — число меньшее, чем аг‘ и большее,
чем а1* (Г; и lk — me же, что и выше):
в) если а=1, то а“=1.
II. Если а = 0, то а“=1.
III. Если а<0, то аа = -Лт.
а1 “1 .
Число аа называется степенью, число а —основанием степени,
число а — показателем степени.
Из §§ 1—3 вытекает, что степень положительного числа обла-
дает следующими основными свойствами: если а и Ь — положи-
тельные числа, а и 0 —любые действительные числа, то:
a) (ab)a = ааЬа:
/ а аа .
б) (.т) =V
181
в) а“а₽==а®+₽; -
г) а®:а₽ = а“_₽;
д) (а“)₽ = о®₽. '
Рассмотрим теперь основные свойства степени положительного
числа типа неравенства.
Теорема 1. Если а > 1 и а > 0, то аа > 1.
Доказательство. Если а = -^—рациональное число*
(р и ^—натуральные числа), то свойство а® > 1 уже доказано
в § 2. Если а —иррациональное число, то возьмем любое поло-
жительное рациональное число г, приближающее а с недостат-
ком, тогда > аг по определению иррациональной степени.
В то же время’ по уже доказанному в § 2 свойству ar > 1. По
свойству транзитивности неравенств из справедливости двух не-
равенств а® > аг и а' > 1 вытекает справедливость неравенства
а“ >1. Теорема 1 доказана. \
Теорема 2. Если а > 1 и а < 0, то аа < 1.
Доказательство. Число 0 = — а —положительное число,
поэтому, применяя теорему 1, имеем а^> 1. Умножим обе части
этого неравенства на положительное число аа. По свойству не-
равенств ара® > а®; по свойству в) и определению степеней
cfiaa — аа+р = а0 = 1, поэтому аа <1 и теорема 2 доказана.
Теорема 3. Если а > 1 и аа > 1, то а > 0.
Доказательство. Предположим, что а> 1 и а“>1, но
а^О, т. е. либо а = 0, либо а < 0. Если а = 0, то а®=1 по
определению. Если а<0иа>1, то применяя теорему 2, имеем
а®<1. Итак, если а^О, то а®^1, что противоречит предпо-
ложению а®>1. Теорема доказана.
Теорема 4. Если а > 1 и аа ’< 1, то а < 0.
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3.
Объединим теоремы 1—4.
Утверждение 1. Если а > 1, то условия аа > 1 и а > 0
равносильное, кроме того, равносильны условия а® < 1 и а < 0,
т. е. если а> 1, то
а“ > 1 «Ф а > 0, -
аа < 1 а < 0.
Теорема 5. Если 0 <а< 1 и а> 0, то аа < 1.
Доказательство. Рассмотрим число & > у. Так как b > 1,
то применяя теорему 1, имеем &“ = !. Умножим обе части этого
неравенства на положительное число а®. По свойству неравенств
Ь®а®>а“. По свойствам степеней 6®а® = (о&)® = (1)“= 1, поэтому
а® < 1.
Теорема 6. Если 0 < а < 1 и а < 0, /ио а® > 1.
Теорема 7. Если 0 < а < I и а“ > 1, то а < 0.
182. • z
Теорема 8. Если 0 < а < 1 и аа < 1, то а > 0.
Доказательство этих теорем аналогично доказательству тео-
ремы 5.
Объединим теоремы 5—8.
У твержде ние 2. Если 0 < а < 1, то условия аа > 1 и а < 0
равносильны-, кроме того, равносильны условия а“ -< 1 и а > 0,
т. е. если 0 < а < 1, то
а“ > 1 «Ф а < 0,
а“ < 1 4Ф а > 0.
Из утверждений 1 и 2 легко получить следующее следствие:
Утверждение 3. Если а > 0 и а=/=1, то условия аа= 1
и а = 0 равносильны, т. е, если а > 0 и а =/= 1, то
а“=1ФФа=^0.
Теорема 9. Если а> 1 и at > а2, то аа* > а“».
Доказательство. Рассмотрим число 0 = 0^—а2. Так как
Р>0, то a₽> 1. Умножим обе части этого неравенства на по-
ложительное число а“». По свойству неравенств а$аа* >а*«;
по свойству степеней a₽d“« = a“>, поэтому a“> > и теорема 9
доказана.
Теорем а 10. Если а > 1 и ах < а2, то а“* < а“».
Теорема 1U Если a > 1 и > a“s, то ax > a2.
Теорема 12. Если a > 1' и аа» <а“«, то <а2.
Доказательство этих теорем аналогично доказательству тео-.
ремы 9.
Объединим 1еоремы 9—12.
Утверждение 4. Если а>1, то условия аа* > аа* и
> а2 равносильны', кроме того, равносильны условия аа* <а*‘
и 04 < ам т. е. если а > 1, то
аа* > аа* ах > а2,
< аЛг & ах < а2.
Теорема 13. Если 0~< а < 1 и > а2, то < й“!.
Теорема 14. Если 0 < а < 1 и <Xj <а2, то а“*>а“2.
Теорема 15. Если 0 < а < 1 и > а“«, то <а2.
Теорема 16. Если 0 < а < 1 и а“> < а“2, то ах> а2.
Доказательство этих теорем аналогично доказательству тео-
ремы 9.
Объединим теоремы 13—16.
Утверждение 5. Если 0 < а < 1, то условия aa* > a“« и
ai < a2 равносильны-, кроме того, равносильны условия аа< < аа‘
и ax > а2, т. е. если 0 < а < 1, то
аЛ* > аа* ах < а2, -
а“* < а“2 ^>«2.
Из-утверждений 4и5 легко получить следующее с лед с твие:
183
Утверждение 6. Если а>0 и а=^1, то условия с^1 — аа*
и а!=а2 равносильны, т. е. если а>0 и а#=1, то
а®* = а«2 фф ах = а2.
Утверждения 4 и 5 словесно формулируются следующим образом:
Если основание степени больше 1, то большему показателю
соответствует большая степень и наоборот, большей степени
соответствует больший показатель.
Если основание степени меньше 1 (0 < а < 1), то большему
показателю соответствует меньшая степень и наоборот, меньшей
степени соответствует больший показатель.
Замечание. Если а>0, то понятие действия возведения
в степень можно расширить на множество всех неотрицательных
чисел, так как по определению 0® = 0, если си> 0.
Рассмотрим пример на применение свойств степеней положи-
тельного числа. Пусть требуется доказать, что Зг 3 < 7.
По определению Зг 3 < Зг, где г —рациональное приближение
иррационального числа КЗ с избытком. Возьмем г = -^-. Так как
7 • 7
j/З < , то 3^ < 34 . Докажем, что 34 <7.
Используя два раза теорему 5, получим равносильность сле-
дующих неравенств: •
Используя свойства степеней типа равенства, получим, что
' / — \4
( 34 । З7
неравенство ) < 1 равносильно неравенству < 1, кото-
рое является верным, так как 3’ = 2187, 74 = 2401.
Следовательно, в силу равносильности переходов верно и
исходное неравенство Зг 3 < 7.
§ 5. Логарифмы
Рассмотрим основные задачи, которые возникают при изуче-
нии степеней.
1. Даны действительные числа а и а. Найти действительное
число х такое, что х = аа. Это — задача о возведении действитель-
ного числа в степень. Она разрешима для любого положитель-
ного числа а и любого действительного числа а. Если й = 0 и
а>0, то х = 0 (см. § 4- гл' IV). При а<0-эта задача здесь
рассматриваться не будет.
2. Даны действительные числа b и а. Найти действительное
число х такое, что х^-^Ь. .
184
Если b—любое положительное число и а—любое отличное
от нуля действительное число, то эта задача сводится к преды-
дущей, ибо ответ дает число х = Ьа . Действительно, х“=(ь“ )“=
1 ,а
= Ьа —Ьг = Ь. Если а = 0 и b = 1, то решением этой задачи яв-
ляется любое действительное отличное от нуля число х.< Если
а=0 и 1, то эта задача не имеет решения. При Ь<0 эта
задача здесь рассматриваться не будет. ,
3. Даны действительные числа а и Ь. Найти действительное
число х такое, что ах — Ъ. Будем рассматривать эту задачу только
для действительных положительных чисел а и Ь.' Если а = 1 и
Ь=1, то решением этой задачи является любое действительное
число х. Если а = 1 и b =£= 1, то задача не имеет решения,. Рас-
смотрим случай а 1. . -
Теорема 1. Для любой пары действительных чисел'а и b
таких, что а > О, а=&1 и Ь> О, существует и притом только
одно действительное число х такое, что а* — Ь.
Доказательство существования такого числа х здесь не при-
водится. Докажем единственность. Предположим, что существуют
действительные числа хг и х2 такие, что а** = & и ах»=Ь. По
свойству транзитивности равенств а*> = аХг. На основании утвер-
ждения 6 (см. § 4) Xj=x2, что и требовалось доказать.
Определение. Если а>0, а#=1 и Ь> 0, то действитель-
ное число а называется логарифмом числа b по основанию а и обо-
значается a = logo6, если аа = Ь.
Заметим, что определение логарифма можно дать только после
доказательства теоремы 1, так как.до нее было неясно, сущест-
вует ли такое число а, что аа = Ь, и единственно ли оно. Под-
черкнем еще раз, что логарифм определяется только для поло-
жительного числа по положительному не равному единице ос-
нованию, т. е. для любого а 0, а = 1 и любого Ь 0' понятие
логарифма лишено смысла. Например, утверждение, что число 3
является логарифмом числа (—8) по основанию (—2), лишено
смьгсла.
Итак, в определении логарифма loge6 всегда a>0, а=/=1,
Ь > 0. Из определения логарифма вытекает основное логарифми-
ческое тождество
а'ое“Ь = ь.
Пользуясь определением логарифма, получаем, что logaa = l
Hlogel=0.
Используя единственность логарифма, имеем, что если р > 0
и р#=1, то всегда logop#=0..'
Перейдем к рассмотрению основных свойств логарифмов.
Пусть числа М, N, а, Ь, а и 0 таковы, что M>0, N > 0,
а>0, &>0, а=#1, Ь=й=1, а и 0 —любые действительные числа
(0=/=О). Тогда:
185
а) 1 oga MN = loga М + loga IV;
б) loge = loga M- loga N;
в) logaM“ = alogaAl;
г) log вМ“ = ^-1<^аЛ4;
a P
д) logt, M = м (правило перехода от логарифма по одному
основанию к логарифму по другому основанию);.
е) logaM=logaAl фф M = N-,
ж) если а > 1, то loge М. < loga N Л1 < N-,"
з) если 0 < а < 1, то loga М < loga N о М > N;
г') logM# = loga M;
д') loga&-log6a=l.
Докажем эти свойства.
а) Рассмотрим
основному логарифмическому тождеству
основному логарифмическому тождеству
свойству степени положительного числа
- ,logeMAZ = alogeM + logaW> Прнменяя к
a10goMN =
= MN =
=flIO8oMa,0gZ
= a!og«M+log<'JV
последнему равен-
по
по
по
• Итак, al0g°‘
ству утверждение 6 свойств степеней, получим, что logaAljV =
= logeM + logaAL
Свойство б) доказывается аналогично. •
в) Рассмотрим ai°go(M ) =
по основному логарифмическому тождеству = Ма’=(а-°е<*м)а =
по свойству степени положительного числа = а“ log“ м.
Итак, aXo%SM ^ = ааХо^ам; Применяя утверждение 6 свойств
степеней, получим loga (M“) = aloga М.
г) Рассмотрим ' (аЬ)1оеаЦм)а —
по основному логарифмическому тождеству = (М)а — (аХо^ам)а —
. по свойству степени положительного числа = а“ iogaM =
так как 0=?£=О, то 1=0--^-, поэтому = (а₽)₽ I =
а . ..
по свойству степени положительного числа = (яр)р а .
а а jOg 'м 4
Итак, (а₽)1оев₽ (Л4*=(а^)₽ °g“ . Применяя к последнему ра-
венству утверждение 6 свойств степеней, получим log р(Л1)а=;
= ? log, Я. “
186
д) Рассмотрим alogeM=s
по основному логарифмическому тождеству = М. =
по основному логарифмическому тождеству = blog<>M —
по основному логарифмическому тождеству = («log«4)logbM==
по свойству степени положительного числама,ог«6
Итак, = aloeob 10gbM. Применяя к последнему равенству
утверждение 6.Свойств степеней, получим, что log^M = loge b logb M.
По свойству равенств обе части этого равенства можно умножить
на число ь (так как'&=/=!, то logafe^=0) и получить спра-
ведливость равенства
е) По основному логарифмическому тождеству М = а'°е“М и
log„W
N = a “ , следовательно,
M = N& а"*°м = а1ог« w. (1)
По утверждению 6 свойств степеней имеем
a"<aM = a,eg«"«logeM = logey. - (2)
Из (1) и (2) вытекает, что
M = N&logaM = logaN.
ж) По основному л.огарифмическому тождеству M=aiogaM
И’ N = а1оеа\ следовательно,
М <N&a°e«M <а,0*<Л. ’ (3)
На «сновании утверждения-4 свойств степеней имеем
а,овв м <a,oe“ N 4Ф loga М < loga N, (4)
Из (3) и (4) вытекает, что
М < N loga М < loga N-
Свойство з) доказывается аналогично.
Свойства ж) и з) имеют следующую словесную формулировку:
При основании, большем единицы, меньшему из двух положи-
тельных чисел соответствует меньший логарифм и меньшему
логарифму соответствует меньшее число.
При основании, меньшем единицы, меньшему из двух положи-
тельных чисел соответствует больший логарифм и большему ло-
гарифму соответствует меньшее число.
187
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными лога-
рифмами, и вместо обозначения log10Al часто употребляется
обозначение lg М.
Логарифмы по основанию е (е — иррациональное число, при?
ближённое значение которого\ 2,718281828459045...) называются
натуральными логарифмами, и вместо обозначения loge2V часто
употребляется обозначение In Д'.
Свойства логарифмов используются для преобразования раз-
личных логарифмических выражений как с числами, так и с бук-
вами.
—;---+ 1Z-r 125
✓ 7 /~~\ 5 з » V з
Пр имер ы. 1. Вычислить А — ( у ) .•
По свойству д') логарифмов ?—г = у- log3 5; по свойству д)
' ' ". * OlOg6J
логарифмов log9K7 125 = log 153 = | log3 5. Используя свойства
3 2й
степеней и основное логарифмическое тождество, получим
/ --г loga 5 + V log Ч5 „~Tlogs5 I „1™ J’T
* | ® ® . ® ® _ I з 5 I 5 __
_ 3 _______
--5 » 0,008.
2. Доказать, что если а, b и с—действительные числа, удов-
летворяющие условию 0.<й^с<а—1, то справедливо нера-
венство loga (a+fe) < logo_ca.
• Доказательство. Поскольку a>0 и с^&>0, то оче-
видна справедливость неравенства
. а2 — (с — Ь)а — Ь.с < а2,
которое можно йереписать так: . '
(а + &) (а — с) < а2. (5)
Так как а > 1, то можно воспользоваться свойством ж) и по-
лучить неравенство
loge (« + Ь) (а—с) < 2, (6)
равносильное неравенству (5).
ИспоЛьзуя свойство а), получим неравенство
loga(a+^) + loge(a-c)<2, (7)
равносильное неравенству (6).
Каждое слагаемое в левой части неравенства (3) положительно,
так как (a + b)> 1 и (a —с)> 1. Следовательно, можно восполь-
зоваться теоремой 1 § 2 гл. II: возведя в квадрат левую и пра-
вую4 части неравенства (7) получим равносильное неравенство.
188
Поэтому неравенство (7) равносильно неравенству
[loga (a + b) + loga (а—с)]2 < 4,
которое равносильно неравенству •
[log* (а+b) — loga (а—с)]2 < 4 — 4 loga (а+b) Ioga (а—с). (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству (5), которое спра-
ведливо, значит, справедливо и неравенство (8).
Так как при b > 0, с > 0 справедливо неравенство
0 < [loga (a+b) — log* (a - с)]2, - (9)
то можно воспользоваться свойством транзитивности неравенств.
Тогда из справедливости неравенств (8) и (9) будет следовать
справедливость неравенства
О < 4 — 4 loga (a + b) loga (a — c)„
которое можно записать так:
l°g« (a+b) log,, (a—c) < 1.
Применяя свойство д') и учитывая, что а—с> 1 й а> J, полу-
чим справедливость исходного неравенства.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти числовое значение следующего числового выражения (1—19):
I. (32)2-[(-2)3)2_(_5з)2. 2. (4)3+(Н)2-К-0’5)3!8.
3. 4-2-2-» + K-2)2J-i. 4. 2-1) "Х+(_.5
- 5. (-0,75)з+ (0,3)-2-(— I)"3. 6. [(0,6)2]о-[(-4,5)-2]0-ф1)°.
/ 1 \з / 1 \«
7. (4-1)«.2». J .(8-3)3.(643)3.8. (~2у] .(0,25)3.[(-5)-3]2.[(0,l)2]-2t-
/ 1 \ / 1 \ -2
10. 3 - 4:( 2*:32 —22:1-£-)-М 2у 1 -(—0,295)0.
12. (2уУ4-[(1,2)-4(^)2]:6-3-[(—33,41)3]о.
13. (-0,(3))2.[(11у]~24-((0,5)3)3:[(43)о]з + (_8)з.
271°-51у) ’312+X2j ’ ( 3^) •38J :[41.(3~з)-12 13 * 15].
15. [(10-’)-з-|-58.(25)*.2з.(23)2—51з.(42)2]:Г(5-5)-17^.\-а . iq.1
189
Г / 1 \ “2 / 1 \ -s / 1 \ -•!
16. 9(4) • 185-(2-2)-2. (4Д _(3-э)-2. (±) х-
L \ ~ У \ J \ ® J J
17. {15.[(|)2] (25)3-23.(53)2 + 4.^|.(4)-i.J.
8.(42)4-33'-272 + 90-63-4’-(32)2 .
,8, 24-(62)4.(24)2+ 144-(23)4-(92)2-42 *
Г / 1 \-21в /2 \ ~2
180- 2®-(у) •(4.) -72-(62)з.[(36)з.42}2
*9' 135^2163. [42 • 9 j2- 63 + 36 • [32 • 42-З4]2 *
Вынести за знак корня те множители числа, стоящего под знаком корня$
которые можно вынести (20—25):
20 . /120, /147, /108, /245, /363. 21. у32, £/54, £/512,
£/1080, £/375.
22 . £/80, £/405, £/328. 23. £/486, £/800', ,£/12500.
24 .У 18(4—/17)2, V54(2— /з)2.25.У48 (2— / Т)\ У2(/Н-3)\
Внести под знак корня все множители,' стоящие перед знаком корня
(26-30): _
26 .4/3, 5/2, 7)/у» 4 И5’ 27-2£/5, 3£/4, 121/\ 2. ,
3
28. |/8, 1|/1, 1|
Г о _
У 2-=-. 29. (2- /3)- /2, (4- /19)- / 3.
Г Э
30. (/3—2)-£/5, (11—У13)-£/7. •' • '
Вынести за знак корня знаменатель дроби, стоящий под знаком корня
(31—33):
/I ¥ /?• ¥ /4 ¥ 6 /Т
-/?./44Гг5.4/244)/13|.
Записать в виде произведения двух чисел следующее число (34—37):
34. 7+ / 7, /12+ /45+ /18, 5+ / 5+ /15.
35. 5—£/5, £/15— У25+У20, 3—Уб+УЙ.
36. 3 /12—3 /,6+ /30—/15. 37. У48 —У75+Уз2 —£/46.
Найти числовое значение следующего числового выражения (38—45):
38. 2 У 5 /48+ 3 У40 /12—2 V15 /27.
39. /176—2 /275+/1584— /891. . ,
40. 2 ( /252— /175)—(/Й2- /бЗ— /28).
190
41. 15 /1,04—| у 5y+6 j/1 —(5 / 0,02- /ЗОО).
42. 30 1/1+3| j+5 р^Ш. 43. 2 j/0J25+ рЛцЙЙб.
. /
44. У 0,0001 -р/ 0,00032. 45. ( / 6 -2 / 15) • /20.
О
Записать в виде корней одной и той же степени следующие четыре чи-
сла (46—50):
46. К 3. /2, У5 и У~7. 47. /5, рЛб, р/бО и ^171.
48. /2, У7,. р^П и у/ТбЛ. 49. УГз4, £/5.642, рЛТб® и /2Г7Г.
Записать в виде степени с рациональным показателем следующие числа
(51—53): _ __ __ _______ ______
51. V 5, 1^72, У IP, |/132, у 193.
52. /jF*", У10-», Уз^, У 7"*, У&.
53. 2 /4», 3 У&, 7 У1\ 3 р/276, 9 Уз^.
Записать, используя знак корня, следующую степень с рациональным
показателем (54—57):
1 3 _2_ 3 2. 1
54. 2® , З4 , 55 , 7^”, 4®. 55. З*.8, 4*.28, 4®.’8, 71.2®, З2^.
- <2..- 2. • 2±.
56. 3-2® , 4-3 4 , б-б®.48, 7-32.88, 2*9 2 . '
_2_
57. 2-3 2 , 3.2-®,’8, 7-5 4, 6.7-®.’, 8-10 2 .
Заменив все знаки корней рациональными показателями степени, найти
числовое значение следующего числового выражения (58—64):
58. УТъ-^УТъ-.У'У'б).
2.^
59. 2 У~2 : (pZ.2 /2 1^2 р/г) * .
и (/5Г5)'-(У кУк)'. (Vs/s-^).
CAW
191
Найти числовое значение следующего числового выражения (65—78):
1
./ £ 2 £ 2ЛТ
65. \27 3 *83 .32 5 -81 4 / .
4
/ А \ з
66. \ 100 2 -64 3 *0,25°»6.16"0»76/ .
77. (2 /б- / 5 + 4/ 2)(3 /5+ / 6-2 / 2).
78. ()/^-+4}/'^-)/9)(/‘9+У12+У1б).
. Доказать справедливость следующего числового равенства (79—112):
79. Ую—4 /б = / б —2. 80. /з—2/2 = / 2—1.
81. /б + 2 /Б+/5—2 /6=2 /3.
82/ У /6+2 /3+ / 2 + 4=2-^+^+2 .
83. У17—4/9+4 /5= /5—2.
84. У /5—3—/29—12 /5=1.
85. 6+2^5—/13+/48 =/3+1.
192
86. /8+ /40+ /20+ К 8= /5+ /2 + 1.
87. 84-2/10+2 /5+]/8—2/10+2 /5 = /2"(1 + /б).
88. /2+/^=1+2,ЛБ. 89. /5 /2+7-/5 /2-7=2.
90. V20+14 /2+^20—14 /2=4.
91. /25+4 /б—/1 + 2 /6 = 0.
92. ]/"з+э/12—9 /Т8 = /9—/б.
93. (/9+4 /5+/2+ /б) / /5—2 = 2.
94. /8 /2(7+4 /З).- /^4/2 /"2—2/6 /2 = 2 /1.
95. /28+ 4 /48= /3+1. 96. /17+12 / 2= /2+1.
97. /28—16 У"3 = /3—1.
98. У6+2 ( /6+ /3+ /2)—/б—2(/б—/3+ /2) = 2 /2.
99. _КК2±Х|== /5+ /2.
У 3/5—3/2
100 (2+ /5)<2+5 /5)-(2+2 /5) (2-2 / 5) ^--g
4+3/5
»01. 1 з/-=(/3- /2) (3 / 3+2 /9+4).
/ 2+ / 3
102. j.+ 2^/ls=/~3+l.
/ 10+6 /3
шя /3-/2 /з- /2 (3- /2) (3- /"2)
У /з+/г
104. _3 4/_ =(/ТТ+ /в) ( /П+ /1).
/11 —/8
105. -_!_— = ( /з- /1) (/1+ /1) ( /3+ /2).
/ 3+ / 2
1<М 2/3 2+/6-/10
К2+/3_+/5" 2
107 2 /зб (30—2 /30)(/5+/~6—/~7)
/5+ /6+ / 7~ 26 +
Ю8 I _ 3(3/2-4) (3+ /2+/3)
3+ / 2—/3 2
109. —= у—В——=--= 3-/27.
/3+/ 9+/27+3
М. К. Потапов и др. t 193
у у_L
НО. У*7--------1—=-Л-------------7=v+t^==0-
7(У+К4) /343
1П У/г-Ьу/з+г/2+У-(К'з+12)у/з-бКз-8 ,
/3-//2+1.Уз-2/2
112. С | _2~Г3 J-»
\/2+И2+ /1 У 2—V 2— У 3J
113. Разность У |40 /2—57 | —V40 У 2+57 является целым числом.
Найти это целое число.
Какое из двух следующих чисел больше (114—123):
114. Уй или У 3; 115. (/ОД)-3’5 или 1;
116. р/24 или у 5 ; 117. ХУ623 или V 5;
118. (2 У 2) 6 или 2”х1; 119. 9 или *У 81;
120. У125*343 или 1/1т ’ 4/Qa ’ ^972;
г о! г оУ
i/iooo 5 /То. ^/"4 .
1211 V 729 ИЛИ У12' У 81 ’
122. У у 10 или У /13; 123. У УУ 2s или У у у^?
Доказать справедливость следующего числового неравенства (124—132):
124. 331 > 251. 125. 202303 > 303202.
126. /з+Уз+/з- /з < 2 3/з.
127. у/ УП—3 > УП—У 3.
128. 2(У 3+У^5+У^)-(/з+/5+У'7) <3.
129. бУ~2 + 4Уз+б/5 > 5 У 6 + 7 У16+3 у/\5.
130. (У 5+ У 7 + У э) (У 5+У 7+У 9) > 9 Уз15.
131. зУ2+УЮ+У1+УЗ)>2У6(1+У^2+Уз).
132. У 6+У10+У15 < у.
Найти числовое значение следующего числового выражения (133—170):
133. log2 yi6+log8 У *2—log8 (27 Уз)-logs Уб У5.
»34-10^2 (гуэ)+10g3)+10g4Wrv g7
135. logj_ у 9+ log 8^т9- logj_ Уз2+ log^_ У128/2.
з У “зГ 8 У"2
/ В4 \
136. logs27—logr_ 27-log± 27— log^_ (g).
8 ~2~
.194
137. log2 log^ j/^-4=+ log , (9 У з).
v 2 " Ff
138. logo,4 ("5" • V^5o) -|” logo,e logo, 32 (——)•
139. logl/- V”5 —1<«з/-(5 V5)+ l°g(K3+i) (4+2 У~^‘
140. j/"log^KV^W^+iogy-^VVzVl.
142. ( logK- y) j/"log± (5 V~5) + log^ (5 V~5).
143. 2-log8 V^S+i • log^-25-logl Кб-2.
** V 5
144. у (9’°®»» 5+* — 32 (’°e“ 2 + 4 logr-(2 V2).
145. logs logo logs 16. 146. logo log4 loga 64.
147. log* log2 logs 81.
148. logs [ log| (y) +6 logs /2+5] .
149. (logr- 125: log* 25). Ql ogjL /5: logo.s ^25).
150. [ log± j/|+61og± (y)-21og± (1)1: log/_ ^~8.
L a 4 io J
*°g 3-1
151. 31+log>4+2loe,3_2. 152. 43 ,oe‘2—(1,5) ~
153. 23-1oS‘3 + 721o8’2 + 1. 154. le1"10®’ 5 + 4“Ioga3+31O6’\
155. 92 logs 2+4 ioe’» 2 "r 32+ 2 1Og*16.
156. (О,!)2*0’1-1-5 '^•«.(0,1Г(1б^+2“1в2°^
. ( 4-log: 9-log, 6 _,0®i/-H4^
157. 72Д492 +5 K5 ).
158. 8g (361 ~ 10g« 2 4- 49 ~log7 6).
15B r , y-2} 4. „ 8_, „ q
logo /2 L /2 J
160. 104-lg9-lg5+lg2,7Iog3/32\
7*
195
Tel. IogK-3-1о2з36-Но£^-8-log481.
.----------------- / 5/“\
162. 72 logg у y-log25|/ 2-HO log2\J^J.
2 1
— logs 32—- Iog3 64+ logs 10
163. 35 3
(0>2)^<9,Oge'22'3IOg°'84).
l08rrs"210V-2 25Лт10+2,0Vr
(lg 2+ 1g 54- lg'300—1g 3) .351°S»3.
A „ 07 i™ 1 /1оёз12 log84 \
V g’27 >ogo.s3 J ’ (jog3e3 iogl#e3J-
3 /"* л 3 /" ft
164.
165.
166.
167.
з
i 3 /”2*
log ~
f 3
168.
174.
loga/7 logjy/7 ®/7
169. 2,og‘3. (у)1’1088 2'5 • log92-log481.
170. log32-log43-Iog54,loge5-tog76,loga7.
Имеет ли смысл следующее числовое выражение (171—173):
171. Уloga 1,44-logs0,7; 172. /lg 154-ig0,07; 173. Iglglgll?
Какое из двух чисел больше (174—188):
1g 0,245 или 0; 175. 1g или 0;
lg х/10 или loga 1^2; 177. loga 5 или loge 5;
log» 10 или logio И; 179. logs2 или log23;
log42 или log»,oeas0,25; 181. log18» 1323 или log83 147;
logs 11 или log» /74; 183. y+>g3 или lg 19—lg 2;
Iogo.a0,84-loge,a5 или 0; 185. иди Ig5"^^— ;
186. 3(lg7—lg5) или 2lg9—уlgej ; 187. Iglglg5 или lg35;
188. log, logy—5 или logr- logK- 7?
T
Доказать справедливость следующего числового неравенства (189—205):
189. logs 32 < loga 5. 190. logs 14 > log7 18.
191. logjg729 < logs 16. 192. log± /3 < log± /2 .
2 3
"« <2-
195. (14- log» 5) (log^ r-54-1) > 2 log2 5-
176.
178.
180.
182.
184.
196
197. logso 2 log2 3 log2 5 <
198. 3 Jog5 7+ log, 5+ log49 5 > 4.
199. log, y^-log,^ /3) > 241og, {^5 log, /Г.
опл Igl + >g2 + lg3+lg4 Igl + lg2+lg3
2W. 4 > j .
20l. ig 7. > »g1 + lg2+lg3 + lg4+lg5+lg6j
202. log2log3y < log log y.
"T V
24 S
203. log e 2* logia 2- logj у > 1. 204. log a 7 > log, 3— у.
V ~ T
205. logit (Гз+/з + Гз-^з) < log, (2 '/з).
206. Зная, что log62 = a, найти |oga472.
207. Зная, что log368=d, найти log369.
208. Зная, что log4 125 = с, найти log1064.
209. Зная, что Jog10o3=a и logi0o2 = p, найти log56.
210. Зная, что loge 15 = /п и log1218 = n, найти log2624.
ГЛАВА V. ТРИГОНОМЕТРИЯ
§ 1. Углы и их измерение
Понятие угла. Пусть даны два совпадающих луча: луч ОА
и луч ОВ (рис. 37).
Пусть луч О А, поворачиваясь в плоскости вокруг точки О,
совершит некоторый поворот. Тогда для любого такого поворота
луч О В считается неподвижным (начальным) лучом поворота, а
луч О А — подвижным, совершившим данный поворот.
Любой поворот подвижного луча О А от неподвижного луча ОВ
может быть совершен в двух противоположных направлениях (по
часовой и против часовой стрелки).
1 Если на подвижном луче ОА приспосо-
и бить пишущее устройство, равномерно
Рис. 37. удаляющееся от точки О вдоль луча
ОА, то при вращении луча О А оно будет
оставлять след на плоскости. После того как луч ОА совершит
некоторый поворот, этот след будет представлять собой раскру-
чивающуюся вокруг точки поворота О кривую, которая начи-
нается у неподвижного луча ОВ и оканчивается у Подвижного
луча О А. С помощью такой кривой на рисунках показывают
повороты. При этом возле подвижного луча кривая обяза-
тельно оканчивается стрелкой, указывающей направление совер-
шенного поворота.
На рис. 38 показан один из поворотов по часовой стрелке.
На рис. 39 показан один из поворотов против часовой стрелки.
Пусть подвижный луч О А совершил такой поворот по часовой
стрелке, что луч ОА впервые совпал с начальным лучом ОВ.
198
Этот поворот принято называть полным оборотом по часовой
стрелке (рис. 40).
Пусть подвижный луч ОА совершил такой поворот против
часовой стрелки, что луч О А впервые совпал с начальным лу-
чом ОВ. Этот поворот принято называть полным оборотом про-
тив часовой стрелки (рис. 41).
На рис. 42 показан поворот, равный трем полным оборотам
против часовой стрелки.
На рис. 43 показан поворот, равный двум полным оборотам
по часовой стрелке.
Итак, из рассмотренных примеров ясно, как изобразить на
рисунке любой поворот.
Пусть подвижный луч О А совершил некоторый поворот в пло-
скости вокруг точки О от неподвижного луча ОВ. Тогда принято
считать, что тем самым образован некоторый угол а, и в таком
случае говорят, что подвижный луч ОА задает угол а, соответ-
ствующий этому повороту. Точку О называют вершиной угла а,
неподвижный луч ОВ —началом отсчета угла а, подвижный луч
О А — подвижным лучом, задающим угол а. Неподвижный луч ОВ
(начало отсчета для любого угла) на рисунках принято распола-
гать горизонтально вправо. Принято считать: если подвижный
луч совершил некоторый поворот против часовой стрелки, то он
задает соответствующий положительный угол-, если подвижный
луч совершил некоторый поворот по часовой стрелке, то он за-
дает соответствующий отрицательный угол-, если подвижный луч
не совершил поворота, то он задает нулевой угол.
Например, если подвижный луч ОА совершил полный оборот
против часовой стрелки, то он задает положительный полный угол-,
если подвижный луч ОА совершил полный оборот по часовой
стрелке, то он задает отрицательный полный угол.
Градусная мера угла. Пусть подвижный луч О А совершил
поворот, равный части полного оборота против часовой стрелки.
Тогда говорят, что подвижный луч ОА задает угол, градусная
мера которого равна одному градусу, или короче — угол в один
градус, (1°). Следовательно, положительный полный угол и угол
в 360 это один и тот же угол — угол, который задает подвиж-
ный луч ОА, совершивший полный оборот против часовой стрелки
(см. рис. 41).
Для частей угла в один градус приняты специальные наиме-
нования— минута и секунда.
Пусть, подвижный луч О А совершил поворот, равный части
поворота, соответствующего углу в один градус, против часовой
41
С
стрелки. Тогда говорят, что подвижный луч О А задает угол в
одну минуту (Г). Следовательно, угол в 60' и угол в Г—это
один и тот же угол.
Пусть подвижный луч ОА совершил поворот, равный части
поворота, соответствующего углу в одну минуту, против часовой
стрелки. Тогда говорят, что подвижный луч ОЛ задает угол в
одну секунду (Г). Следовательно, угол в 60" и угол в Г—один
и тот же угол.
Пусть подвижный луч ОА совершил поворот, равный у части
полного оборота против часовой стрелки. Тогда говорят, что под-
вижный луч О А задает положительный прямой угол, или угол
в 90° (рис. 44). 1
Пусть подвижный луч О А совершил поворот, равный у части
полного оборота против часовой стрелки. Тогда говорят, что
подвижный луч ОА задает развернутый положительный угол,
или угол в 180° (рис. 45).
Пусть подвижный луч О А не совершил никакого поворота,
тогда говорят, что подвижный луч ОА задает нулевой угол, или
угол в 0° (см. рис. 37).
В таких случаях иногда говорят, что подвижный луч ОА со-
вершил нулевой поворот.
Пусть подвижный луч О А совершил поворот, равный у части
полного оборота по часовой стрелке. Тогда говорят, что под-
200
вижный луч О А задает развернутый отрицательный угол, или
угол в (—180°) (см. рис. 45).
Пусть подвижный луч О А совершил поворот, равный части
полного оборота по часовой стрелке. Тогда подвижный луч О А
задает отрицательный прямой угол, или
угол в (—90°) (рис. 46).
Радианная мера угла. Пусть подвижный
луч О А совпадает с неподвижным лучом ОВ,
не совершив поворота. Возьмем произволь-
ную точку Л4 на неподвижном луче ОВ и
точку W подвижного луча О А, которая
совпадает с точкой М. Проведем окруж-
ность с центром в точке О радиусом R,
равным длине отрезка ON (рис. 47).
Если подвижный луч ОА будет вращаться вокруг точки О,
то точка N будет двигаться по этой окружности. i
Пусть подвижный луч ОА совершил такой поворот против
часовой стрелки, что точка N, двигаясь по окружности, прошла
расстояние, равное радиусу этой окружности. Тогда говорят, что
подвижный луч О А задает угол, радианная мера которого равна
одному радиану, или короче—угол в один радиан (рис. 48).
Пусть дано положительное число 0. Пусть подвижный луч
О А совершил такой поворот против часовой стрелки, что точка N,
двигаясь по окружности, прошла расстояние S, равное 0/?, тогда
говорят, что подвижный луч О А задает угол в 0 радиан.
Пусть дано отрицательное число 0. Пусть подвижный луч О А
совершил такой поворот по часовой стрелке, что точка Af,
двигаясь по окружности, прошла расстояние S, равное |0|7?,
тогда говорят, что подвижный луч ОА задает угол в 0 радиан.
Таким образом, радианную меру любого угла определяют
следующим образом. Пусть дан некоторый угол а, задаваемый
подвижным лучом ОА. Радианной мерой угла а называют такое
число, абсолютная величина которого равна отношению расстоя-
нии S, пройденного по окружности радиуса R точкой N. под-
201
»>, \
вижного луча О А, к радиусу R и знак которого определяется
направлением совершенного поворота, другими словами, радиан-
S
ной мерой угла а называют положительное число если по-
ворот совершен против часовой стрелки, или отрицательное число
I S\
1-^-1, если поворот совершен по часовой стрелке.
Если угол задается подвижным лучом О А, не совершившим
поворота, то угол а будет нулевым и радианную меру этого угла
полагают равной нулю.
Пусть подвижный луч ОА совершил полный оборот против
часовой стрелки, тогда точка N подвижного луча О А, двигаясь
по окружности радиуса R, прошла расстояние 2nR. Значит, в
этом случае подвижный луч ОА задает угол, радианная мера
которого равна 2л радиан, или короче, угол в 2л радиан
(рис. 49), т. е. угол в 360° и угол в 2л радиан,— один и тот же
угол (см. рис. 41 и рис. 49).
Если подвижный луч ОА совершил полный оборот по часо-
вой стрелке, то он задает угол в (—2л) радиан (рис. 50), т. е.
угол в (—360°) и угол в (—2л) радиан, —один и тот же угол
(см. рис. 40 и рис. 50).
Пусть подвижный луч ОД совершил часть полного оборота
против часовой стрелки. Тогда точка N подвижного луча, дви-
гаясь по окружности радиуса R, прошла расстояние . Следо-
вательно, если подвижный луч О А совершил у часть полного
оборота против часовой стрелки, то он задает угол в у радиан
(рис. 51), т. е. угол в 90° и угол в у радиан,—один и тот же
угол (см. рис. 44 и рис. 51).
Если подвижный луч ОА совершил -j часть полного оборота
по часовой стрелке, то он задает угол в у) радиан (рис. 52),
т. е. угол в (—90°) и угол в (-у) радиан,—один и тот же
угол (см. рис. 46 и рис. 52).
202
Пусть подвижный луч О А совершил у часть полного оборота
против часовой стрелки. Тогда точка N подвижного луча О А,
двигаясь по окружности радиуса R, прошла расстояние л7?, сле-
довательно, в этом случае, задаваемый
подвижным лучом О А угол, будет углом
в я радиан (рис. 53), т. е. угол в 180° и
угол в л радиан —один и тот же угол
(см. рис. 45 и рис. 53).
Аналогично угол в (—180°) и угол в
(—л) радиан—один и тот же угол— угол,
задаваемый подвижным лучом О А, совер-
шившим часть полного оборота по ча-
совой стрелке (см. рис. 45 и рис. 53).
Если радианная мера некоторого угла
есть р радиан, а градусная мера того же
самого угла равна а градусов, то эти числа связаны пропорцией
а°:360° = р:2л.
Пользуясь этой пропорцией, можно переводить радианную
меру угла в градусную и наоборот—градусную меру в радиан-
ную. Рассмотренные выше примеры —частные случаи этой про-
порции. Приведем еще примеры.
Угол в 30° и у^ол в -g- радиан есть один и тот же угол. Это
вытекает из справедливости пропорции 30°: 360° = -^-:2л.
Угол в 45° и угол в радиан есть один и тот же угол. Это
вытекает из справедливости пропорции 45°:360° = -^-:2л. Угол в
60° и угол в радиан есть один и тот же угол. Это вытекает
из справедливости пропорции 60°:360° = у:2л.
203
Замечание. Всюду в дальнейшем будет использоваться
только радианная мера угла. В обозначениях меры угла в ра-
дианах почти всегда будет опускаться слово «радиан». Поэтому
в дальнейшем
— под углом л понимается угол в л радиан, т. е. угол, ра-
дианная мера которого равна л радиан;
7 7
— под углом -д- понимается угол в -д радиан, т. е. угол, ра-
7
диаиная мера которого равна -§ радиан;
' —под углом а (где а—некоторое фиксированное число) пони-
мается угол в а радиан, т. е. угол, радианная мера которого
равна а радиан;
—под углом (а+Р) понимается угол, радианная мера кото-
рого равна (а+Р) радиан;
— под углом (а—Р) понимается угол, радианная мера кото-
рого равна (а—Р) радиан.
Отметим еще, что под словами «угол а такой, что a^p-J-Asy,
fegZ» понимается, что угол а такой, что его радианная мера
не равна числу (Р + &т) ни при ка-
ком целом числе k.
(0,1) Единичная окружность. Пусть на
у'''"" плоскости введена прямоугольная
у система координат хОу с положи-
/ \ тельной полуосью абсцисс Ох, на-
/ _______| правленной вправо, и положитель-
\(-%О) О 1(1,0) Ъ ной полуосью ординат Оу, направ-
V. / ’ ленной вверх. Пусть дана окруж-
V. у ность радиуса, равного единице из-
X. мерения длин, и с центром в начале
к00РДинат (рис. 54). Такую окруж-
’ ность принято называть единичной
окружностью.
Рис- 54* Примем за вершину любого угла
начало координат—точку 0(0, 0).
Положительную полуось абсцисс примем за неподвижный луч,
т. е. за начало отсчета для любого угла а.
Пусть дан любой угол а; очевидно, что подвижный луч О А,
задающий этот угол а, обязательно пересекает единичную окруж-
ность в некоторой точке Q(a, b). Столь же очевидно, что для
любой точки R (с, d) единичной окружности обязательно найдется
угол р такой, что подвижный луч О А, задающий этот угол р,
пересекает единичную окружность именно в этой точке R(c, d).
Определим координаты некоторых точек единичной окруж-
ности.
Прежде всего ясно (рис. 55), что: подвижный луч О А, задаю-
щий нулевой угол, пересекает единичную окружность в точке
7И(1; 0); подвижный луч О А, задающий угол л, пересекает еди-
204
ничную окружность в точке Р (—1; 0); подвижный луч О А,
задающий угол 4г. пересекает единичную окружность в точке
Т (0; 1); подвижный луч ОА, задающий угол (—у), пересе-
кает единичную окружность в точке L (0, —1).
Пусть подвижный луч О А, задающий угол у, пересекает
единичную окружность в точке К (рис. 56). Вычислим ее коор-
динаты. Проведем через точку К прямую, параллельную оси Оу,
пусть она пересекает ось Ох в точке Поскольку обе коор-
динаты точки К положительны, то они соответственно равны
длинам катетов равнобедренного прямоугольного треугольника
OKtK. Согласно теореме Пифагора | ОК |*.= | OKi |2 + | КК1\2> так
как | О/Сх| = | KtK |, то отсюда получаем, что | ОКХ | = | KKi\=-^~ •
тЛо”
Поэтому абсцисса точки К равна ординате точки К и равна -.
Значит, подвижный луч О А, задающий угол , пересекает еди-
(1Л<Г i/'o" \
. “Ч—) •
Пусть подвижный луч О А, задающий угол , пересекает
единичную окружность в точке S (рис. 57). Вычислим ее коор-
динаты. Проведем через точку S прямую, параллельную оси Оу,
пусть она пересекает ось Ох в точке St. Поскольку обе коор-
динаты точки S положительны, то они соответственно равны
длинам катетов прямоугольного треугольника 05х5. Из геомет-
рии известно, что в прямоугольном треугольнике длина катета,
лежащего против угла у, равна половине длины гипотенузы.
Значит, | SSt | = у. По теореме Пифагора | OSL |2 = | OS р — | SSt |2.
205
Откуда | OSf | —~Kr~. Поэтому абсцисса точки S равна , а ее
ордината равна 4-,
£
Рис. 57.
Рис. 58.
Значит, подвижный луч О А, задающий угол у, пересекает
единичную окружность в точке у).
Пусть подвижный луч О А, задающий угол у, пересекает
единичную окружность В/точке F (рис. 58). Вычислим ее коор-
динаты. Проведем через точку F прямую, параллельную оси Оу,
пусть она пересекает ось Ох в точке F^. Поскольку обе коор-
динаты точки F положительны, то они соответственно равны
длинам катетов прямоугольного треугольника. Используя сфор-
мулированное выше утверждение о длине катета, лежащего
против угла у, получаем, что | OF±| = у > но тогДа» применяя
206
уГ 3
теорему Пифагора, находим, что | Л/71 =—• Поэтому абс-
_ 1
цисса точки F равна у, а ее ордината равна —g—.
Значит, подвижный луч О А, задающий угол у, пересекает
единичную окружность в точке
Пусть подвижный луч О А, задающий угол а, пересекает еди-
ничную окружность в некоторой точке Q(a, b). Тогда легко
видеть справедливость следующих утверждений:
Т. Подвижный луч О А, задающий угол (а 2л), пересекает еди-
ничную окружность в той же
точке Q(a, b) (рис. 59).
2. Подвижный луч О А, задаю-
щий угол (а — 2л), пересекает еди-
ничную окружность в той же
точке Q(a, b) (рис. 60).
3. Подвижный луч, задающий
угол (а 4-л) пересекает единичную
окружность в точке Q2 (— а, ~Ь),
симметричной точке Q(a, Ь) отно-
сительно начала координат—точ-
ки О (0, 0) (рис. 61).
4. Подвижный луч, задающий
угол (—а), пересекает единичную
окружность вточке (а,.—Ь), сим-
метричной точке Q(a, b) относительно оси Ох (рис. 62).
5. Подвижный луч, задающий угол (л—а), пересекает единич-
ную окружность в точке Qs (—а, Ь), симметричной точкеQ(а, Ь)
относительно оси Оу (рис. 63).
207
§ 2. Синус и косинус угла
Пусть на плоскости введена прямоугольная система коорди-
нат хОу с положительной полуосью абсцисс Ох, направленной
полуосью ординат Оу, направленной
вверх (рис. 64). Пусть дана еди-
ничная окружность.
Примем за вершину любого
угла начало координат—точку
0(0, 0). Положительную полу-
ось абсцисс примем за непод-
вижный луч ОВ, т, е. за нача-
ло отсчета для любого угла а.
Пусть точка М есть общая
точка неподвижного луча ОВ
и единичной окружности. Тогда
часть неподвижного луча ОВ —
отрезок ОМ — будем называть
единичным неподвижным ради-
усом, или началом отсчета уг-
вправо, и положительной
лов.
Пусть подвижный луч О А совпадает с неподвижным лучом ОВ,
не совершив поворота. Точку подвижного луча О А, которая
совпадает с точкой М неподвижного луча ОВ, обозначим через N.
Тогда часть подвижного луча О А — отрезок ON — будем назы-
вать единичным подвижным радиусом, а точку N — концом еди-
ничного подвижного радиуса.
Если подвижный луч ОА совершит некоторый поворот, то
вместе с ним совершит этот же поворот и единичный подвижный
радиус ON. Поэтому можно считать, что не только подвижный
луЧ ОА задает некоторый угол а, но и единичный подвижный
радиус ON задает этот же угол а.
Условимся в: дальнейшем говорить: единичный подвижный
радиус ON задает угол а, понимая под этим, что соответствующий
подвижный луч О А задает тот же самый угол а.
Пусть конец подвижного единичного радиуса ON, задающего
угол а, совпадает с точкой Q(a, b) единичной окружности; тогда
координаты точки Q будем называть координатами конца еди-
ничного подвижного радиуса, задающего угол а, и будем писать:
N (а, Ь).
Синус угла. Пусть дан любой угол а. Число, равное орди-
нате конца подвижного единичного радиуса, задающего этот
угол а, называется синусом угла а и обозначается sina (рис. 65).
Из определения следует, что для любого угла а, существует
синус этого угла и притом единственный.
Пр имер ы.
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
нулевой угол, равна нулю (рис. 66), следовательно, sin 0 = 0.
208,
J
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол л, равна нулю (см. рис. 66), следовательно, sinn = 0.
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол у, равна единице (рис. 67), следовательно, siny= 1.
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол { —у), равна (— 1) (см. рис. 67), следовательно, sin (—у ) =
\ “ У \ у
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол равна у (рис. 68), следовательно, sin-y=y.
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол -у равна - (рис. 69), следовательно, sin-~- = -*y...
209
Ордината конца единичного подвижного радиуса, задающего
те 1/^ 3 зт 3
угол -я-, равна -(рис. 70), следовательно, sin-5- = -r5—.
О z£ О zJ
Отметим некоторые свойства синуса угла.
Так как для любого угла а ордината конца подвижного еди-
ничного радиуса, задающего этот угол а, не может быть меньше,
чем (—1), и больше, чем 1, а заключена между ними, включая
(— 1) и 1, то для любого угла а справедливо двойное нера-
венство — l^sina^l.
Пусть ордината конца единич-
ного подвижного радиуса, зада-
ющего угол а, есть число Ь, тог-
да, как указано выше, ордината
конца единичного подвижного ра-
диуса, задающего угол (—а) есть
число (—Ь) (рис. 71). Поэтому
для любого угла а справедливо
равенство
sln(—а) — — sin а.
Это свойство синуса угла мож-
но сформулировать так: знак ми-
нус можно выносить за знак си-
нуса или вносить под знак синуса,
т. е.
sin (— a) = — sin a = sin (— a).
П. f n\ . л 1
римеры. sin — -x- = — sin — о-;
r r \ 6 J 6 2 ’
sin(-4) = -sinT =---
. f л\ . n V3
sin\.—y) = ~sin3’=--
2Ю
Как указано выше, ордината конца единичного радиуса, за-
дающего угол а, равна ординате конца единичного радиуса,
задающего угол (л —а) (рис. 72). Поэтому для любого угла «
справедливо равенство
sin (л—а) = sin а.
п .Зя . / л Л . л У 2"
Примеры, sin—=sinl л—-j-l=sin-j-= 2 }
. 5я . / я \ .л 1
sin-H- = sin л —-д- — sin-7- = -x-;
6 \ 6 / 6 2
. 2л . / л\ л Уз
Sin = sin Л----5- = Sin -5- = —о— •
0 \ о / о 2»
Пусть ордината конца единичного подвижного радиуса, за-
дающего угол а, есть число Ь, тогда, как указано выше, орди-
ната конца единичного подвижного радиуса, задающего угол
Рис. 72.
Рис. 73.
(л-|-а) есть число (—Ь) (рис. 73). Поэтому для любого угла а
справедливо равенство
sin(n-|-a) =— sina. __
г. .5я . / , я \ .л У 2
Примеры, sin —= sin I n-|--j 1 = — siny =--;
. 7л . [ , л \ . я 1
Sin-7-= Sin Л+-c =—sm-тг = — -5-;
о \ о J о 2
. 4л . / , я \ .я Уз
sin-Г-= sin Л 4--Т = —Sin-j- =-Чу— •
О \ О 1 О Z
Как указано выше, ордината конца подвижного единичного
радиуса, задающего угол а, равна ординате конца единичного
подвижного радиуса, задающего угол (а 4-2л), и равна ординате
конца единичного подвижного радиуса, задающего угол (а—2л).
Поэтому для любого угла а справедливы равенства
sin a = sin (a-{-2n),
sin a = sin (a —2л).
211
Используя эти равенства и применяя метод математической ин-
дукции, можно показать, что для любого целого числа п и лю-
бого угла а справедливы равенства
sin а = sin (а + 2лп) = sin (а — 2лп).
Это свойство синуса угла можно сформулировать так: синус
любого угла а повторяется при изменении угла на 2лп, где.
п —любое целое число.
. 13л . f п , л \ . л 1
Примеры. sin-^- = sm 2n+— =sin—
r r 6 \ 6 j 62’
.9л . 7 n i л \ .л ]/г2
sin-т—==sin 2л +-r = sin -7-= .;
4 \ ‘ 4 j 4 2
.7л . (o , л \ . л
sin-y = sin ( 2л +y1 =sin-j= <2 -;
. 11л . 7~ л \ . f л \ 1 ,
sln—=s,n V2n --6) == SK4 - ej=_ т;
sin-^ = sin ( 2л —?) = sin (—?•) =-
4 \ 4/ \ 4 J 2
. 5л . 7 n л \ .7 л\
sin -x- = sin 2л —-тг = sin I — v =---
о \ О / - \ о / Z
sin^y+Юл^ = siny = 1;
sin(—y —24n)=sin(—y) =—
Пусть дано число 0€(O, л). Рассмотрим угол, радианная
мера которого есть это число 0. Конец единичного подвижного
радиуса, задающего этот угол, совпадает с некоторой точкой
<7=-/ ZT-/
—1" >
iff л
Рис. 74.
единичной окружности, лежащей или в I или во II четвертях,
или на положительной полуоси ординат. Поэтому ордината конца
единичного подвижного радиуса, задающего этот угол, положи-
тельна, другими словами, синус этого угла положителен.
Учитывая, что sin 0 = sin (0 + 2лп) для любого целого числа п,
можно утверждать, что sin а положителен для любого угла а
такого, что его радианная мера —число а —принадлежит при
некотором целом п соответствующему интервалу (2лп, л-)-2лп).
На числовой прямой (рис. 74) указаны такие интервалы, что
для каждого числа а из любого такого интервала sin а положи-
телен.
Аналогично показывается, что справедливо и такое утверж-
дение: sin а—отрицателен для любого угла а такого, что его
радианная мера —число а—принадлежит при некотором целом л
212
интервалу (л + 2лп; 2л + 2лп); На числовой прямой (рис. 75)
указаны такие интервалы, что для каждого числа а из любого
такого интервала sina отрицателен.
Наконец, учитывая, что sina = sin(a4-2nn) для любого це-
лого числа п и что sin 0 = sin л = О, получаем, что sina равен
п—2 П--7
-is-%.-я -% о f It Ztt •
Рис. 75.
нулю для любого угла а такого, что его радианная мера —
число а —равно при некотором целом т числу л/n. На числовой
прямой (рис. 76) указаны такие числа а, для каждого из кото-
рых sina равен нулю.
д>=-2 m--f т-7 т~3 _
-2я ' -JT .О я 2Я Зя я
Рис. 76.
Арксинус числа. Часто возникает такая задача: для любого
действительного числа а найти угол а такой,v что его синус
равен этому числу а.
Сразу отметим, что если а>1, а также если a< —1, то
эта задача не имеет решения, так как по определению синуса
угла нет такого угла, синус которого был бы больше, чем 1,
или меньше, чем (— 1).
Если же а£[—1; 1], то можно показать, что существует
бесконечно много углов таких, что синус каждого такого угла
равен числу а. Действительно, прямая у —а при а£[—1, 1]
пересекает единичную окружность либо в двух точках (рис. 77),
либо в одной (рис. 78). Но, как указано выше, для каждой
такой точки единичной окружности существует угол а такой,
213
что синус этого угла равен ординате этой точки, т. е. равен а.
Далее, по свойству синуса
sina = sin(a+2nn)
для любого угла а и любого целого числа п. Поэтому для лю-
бого целого числа п синус угла (а-|-2лп) равен числу а.
Принято следующее соглашение: тот угол, синус которого
равен числу а и который взят из сегмента £— у, у] , назы-
вать главным углом и обозначать arcsina (читается: арксинус
числа а). Таким образом, по определению arcsina—есть угол,
удовлетворяющий одновременно двум условиям:
—у arcsina ^у, sin(arcsina) = a.
Легко видеть, что для любого числа а£[—1; 1] арксинус этого
числа существует и притом единственный. Для любого числа
а£(—оо, — 1)и(1, + оо) арксинус этого числа не существует.
Примеры. 1. arcsinO есть такой угол а, что —у^а^у
и sina = O; ясно, что это есть нулевой угол, следовательно,
arcsinO = O.
2. arcsin 1 есть такой угол а, что —и sina=l;
ясно, что это есть угол у (см. рис. 78), следовательно,
. 1 л
arcsin 1= у.
3* / 4 \ о Л Л •
. arcsin(—1) есть такой угол а, что —Hsina =
= —1; ясно, что это есть угол (—у) (см. рис. 78), следова-
тельно,
arcsin (— 1) = — у .
4. arcsin-1- есть такой угол а, что —-^-^а^-^-и sina = -l-;
ясно, что это есть угол у, следовательно,
. 1 л
arcsiny = y.
5. arcsin^—^~) есть так°й Угол а» что —и
. l/jT f л\
sina =----у—; ясно, что это есть угол 1—у), следовательно,
214
6. arcsin-^- есть такой угол а, что —и sina =
/3 л
= -^н—, ясно, что это есть угол -у, следовательно,
Z о
. /З л
arcsin-Цг—= .
Z О
Отметим некоторые свойства арксинуса числа, вытекающие из
его определения. Для любого числа а, большего чем 1, а также
для любого числа а, меньшего чем (— 1), лишена смысла запись
arcsin а. Например, лишены смысла записи
arcsin2, arcsin(—3), arcsin(—
arcsin л, arcsin(—3л), arcsin 1/ у .
Для любого числа a£[—1; 1] справедливо двойное нера-
венство
—-у arcsin у •
Для любого числа а£[—1; 1] справедливо равенство
sin (arcsin а) = а.
Для любого угла а € £— у; -yj справедливо равенство
arcsin (sin а) — а.
Примеры. 1. Вычислить sin (arcsin у) . Поскольку у €
€[—1, 1], то sin^arcsinу^ = у.
2. Вычислить arcsin ^sin у Поскольку j/"у € [— у,
л 1 • ( • 1 / Я । -в / л
, то arcsin (sin У у )= У у •
_ . I . 13л \ г, 13л j. Г л л 1
3. Вычислить arcsin I sin -у I. Поскольку -у- — у, у I >
. ( . 13л \ 13л
то нельзя написать, что arcsin ( sin-у 1 = -у • Однако легко ви-
. 13л . /« > л\ . л п . / . 13л\
деть, что sin—y=sin( 2л + у) = siny. Поэтому arcsin! sin -у 1 =
= arcsin sin у) . Поскольку у€[— у. у] , то arcsin (sinyj=s
= у. Итак, arcsin ! sm -у- ) = у •
4. Вычислить arcsin [sin (— 5)]. Легко видеть, что sin (— 5) =s
= sin (2л — 5) и (2л — 5) I — у > у . Поэтому arcsin [sin (— 5)] =
215
= arcsin[sin(2n — 5)] = 2л — 5. Итак, arcsin [sin (—5)] = 2л —5.
Наконец, отметим еще одно свойство арксинуса числа а: для
любого числа а£[—1; 1] справедливо равенство
arcsin (— а) = — arcsin а.
Действительно, по определению
arcsinа = а, причем sina = a
я
2
и а£
arcsin (—а) = 0, причем sinfi = — а и
Отсюда очевидно, что 0 = — а, т. е.
arcsin (—а) = — arcsine.
Примеры.
, . ( 1 \ .1 я
1. arcsin (—у 1 =— arcsin у =— у.
.. . / УТ \ . Уг я
2. arcsin (-—^у— ) = — arcsin 2 — — у.
Л . / уТ \ . Уз" я
3. arcsin (-Чу—) = — arcsin о = —=-.
\ z / z о
Косинус угла. Пусть дан любой угол а. Число, равное абс-
циссе конца подвижного единичного радиуса, задающего этот
Рис. 79.
угол а, называется косинусом угла
а и обозначается cos а (рис. 79).
Из определения следует, что
для любого угла а существует
косинус этого угла и притом един-
ственный.
Примеры.
- Абсцисса конца единичного по-
движного радиуса, задающего угол
у , равна нулю (см. рис. 67), сле-
довательно, cos у = 0.
Абсцисса конца единичного под-
вижного радиуса, задающего угол
(—-у) > равна нулю (см.
0.
следовательно,
рис. 67),
Абсцисса конца единичного подвижного радиуса, задающего
нулевой угол, равна 1 (см. рис. 66), следовательно, cosO=l.
Абсцисса конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол л, равна (—1) (см. рис. 66), следовательно, cosn = —1.
216
Абсцисса конца_ единичного подвижного радиуса, задающего
угол , равна (см. рис. 68), следовательно, cos -^- = ~^3 .
Абсцисса конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол — равна (см. рис. 69), следовательно, cos-^- —-.
Абсцисса конца единичного подвижного радиуса, задающего
угол у, равна у (См. рис. 70), следовательно, cosy=y.
Отметим некоторые свойства косинуса угла.
Так как для любого угла а абсцисса конца подвижного еди-
ничного радиуса, задающего этот угол а, не может быть меньше
чем (—1) и больше чем 1, а заключена между ними, включая
(— 1) и 1, то для любого угла а справедливо двойное неравенство
— l^cosa^l.
Как показано выше, абсцисса конца единичного подвижного
радиуса, задающего угол а, равна абсциссе конца единичного
подвижного радиуса, задающего угол (—а). Поэтому для любого
угла а справедливо равенство
cos(—a) = cos a.
Это свойство косинуса угла можно сформулировать так: знак
перед углом, стоящйм под знаком косинуса, можно менять, не
меняя значения косинуса угла, т. е. '
Примеры.
cos (— a) = cos a=cos (— a).
cos ( < я \ я — 7Г = COS-^- = < 6 / 6 КЗ 2
cos ( < я \ я Т 1 =COS = 4 ) 4 2.
COS 1 ( я \ я [-3-) = cos3 = 1 2 ’
Пусть абсцисса конца единичного подвижного радиуса, за-
дающего угол а, есть число а; тогда, как показано выше, абсцисса
конца единичного подвижного радиуса, задающего.угол (л—а),
есть число (— а) (см. рис. 72). Поэтому для любого угла а спра-
ведливо равенство
cos (л—а) = — cos а.
Т-Т _ Зя f л\ Я
Примеры, cos -j- = cos л — } — — cos ---------
5я г I я \ я 1<3
COS -тг = COS Л — д- = — COS -----,
о • \ о / о . 2
’ 2я f я \ я 1
COS -X- = COS Л — -о- = — COS пт = — “о .
• о \ - о j о 2
217
Пусть абсцисса конца единичного подвижного радиуса, задаю-
щего угол а, есть число а; тогда, как указано выше, абсцисса
конца единичного подвижного радиуса, задающего угол (л4-«Х
есть число (—а) (см. рис. 73). Поэтому для любого угла а спра-
ведливо равенство
cos(n4-a) = — cosa.
п 5я f , я \ я У2
Примеры, cos — = cos ( л-f-y I = — cos =------,
7 л f , л\ л Уз
COS у = COS I Л -J-y ) = — COS у =--5— ,
4л ( , л \ я 1
COS у- = COS f Л + у j = — COS у 3 — у .
Как указано выше, абсцисса конца подвижного единичного
радиуса, задающего угол а, равна абсциссе конца подвижного
единичного радиуса, задающего угол (а4-2л), и равна абсциссе
конца единичного подвижного радиуса, задающего угол (а—2л).
Поэтому для любого'угла а справедливы равенства
cos a = cos (а+2л),
cos а=cos (а—2л).
Используя эти равенства и применяя метод математической ин-
дукции, можно показать, что для любого целого числа п и лю-
бого угла а справедливы равенства
cos a = cos (a 4- 2ли) = cos (a—2лп).
Это свойство косинуса угла можно сформулировать так: косинус
любого угла а повторяется при изменении угла на 2лп, где п —
любое целое число.
П 13л (п . л\ л Уз
Примеры, cos -g—== cos I 2л 4-y 1 = cos у = 2 ,
9л fn . n\ л У 2
cos -у-= cos 2л 4-v = cos -?- = —n -,
4 \ 4 / 4 2 ’ _
11л (n n\ ( л\ УЗ
6 \. 6/ \ 6 7 2 ’
7л / л . o А ( л \ У~2
COS-у = COS у 4-2л j= COS yj = -y- ,
( jz । z-ч \ f л \ 1
cos = cos — -Я-4- 2л —cos —-=•) — -s-,
О \ О J \ (5 j a
7л 7 л , „ \ л 1
COS—= COS I у4-2л j=COSy =y ,
cos —10n^ = cosy = 0,
cos (—у—102л = cos —y) = 0,
cos f -2-— 12л = cos 4 = 4- •
\ O / О л.
218
Пусть дано число Р € —у, у) . Рассмотрим угол, радиан-
ная мера которого есть число р. Конец единичного подвижного
радиуса, задающего этот угол, совпадает с некоторой точкой
единичной окружности, лежащей или в I или в IV четвертях,
п^-7 п~О л—f
О JL я to 2ff X
Рис. 80.
или на положительной полуоси абсцисс. Поэтому абсцисса конца
единичного подвижного радиуса, задающего этот угол, положи-
тельна. Другими словами, косинус этого угла положителен.
Учитывая, что cosp = cos(P + 2nn) для любого целого числа п,
можно утверждать, что cos а положителен для любого угла а
такого, что его радианная мера — число а—принадлежит при
некотором целом п йнтервалу —у + 2лп, у + 2лп). На число-
вой прямой (рис. 80) указаны такие интервалы, что для каждого
числа а из любого такого интервала cos а положителен.
Аналогично показывается, что cosy отрицателен для любого
угла у такого, что его радианная мера —число у — принадлежит
при некотором целом п интервалу (у + 2лп, -у- + 2лпУ На чи-
словой прямой (рис. 81) указаны такие интервалы, что для каж-
дого числа у из любого такого интервала cosy отрицателен.
л»-/ n-ff n^f
-Я-& я M Zlt & 3/1 & st
/t A A и
Рис. 81.
Наконец, учитывая, что cosa = cos(a-|-2nn) для любого целого
числа п и что cosy=cos^—у^ = 0, получаем, что cosa равен
нулю для любого угла а такого, что его радианная мера — число
а—равно при некотором целом п числу (л/г+у). На числовой
л—У л=-2 л»-/ л-^ л=2 л-2
“йЙ -зя/z ~::п7г я/z м/г м/г в
Рис. 82.
прямой (рис. 82) указаны такие числа а, для каждого из кото-
рых cosa равен нулю.
Арккосинус числа. Часто возникает такая задача: для любого
действительного числа а найти угол а такой, что его косинус
равен этому числу а.
219
Сразу отметим, что если а> 1, а также если а< —1, то эта
задача не имеет решения, так как по определению косинуса
угла, нет такого угла, косинус которого был бы больше, чем 1,
или меньше, чем (—1).
Если же а€[—1; 1]» то можно показать, что существует бес-
конечно много углов таких, что косинус каждого такого угла
равен числу а.
Действительно, прямая х = а при а£[—1; 1] пересекает еди-
ничную окружность либо в двух точках (рис. 83), либо в одной
(рис. 84). Но, как указано выше, для каждой такой точки су-
ществует угол а такой, что косинус этого угла равен абсциссе
этой точки, т. е. равен а. Далее по свойству косинуса
cos а = cos (а + 2ли)
для любого угла а и любого целого числа и. Поэтому для любого
целого числа и косинус угла (а+2лп) равен числу а.
Принято следующее соглашение: тот угол, косинус которого
равен числу а и который взят из сегмента [0, л], называть глав-
ным углом и обозначать arccosа (читается: арккосинус числа а).
Таким образом, по определению arccosa есть угол, удовлетворяю-
щий одновременно двум условиям:
О arccos а л, cos (arccos а) = й.
Легко видеть, что для любого числа а €[—1, 1] арккосинус этого
числа существует и притом единственный. Для любого числа
о£(—оо, —1)и(1, + оо) арккосинус этого числа не существует.
Примеры. 1. arccos 1 есть такой угол а, что О^а^л и
cosa = l. Очевидно, что это есть нулевой угол (см. рис. 84),
следовательно, arccos 1=0.
2. arccos,0 есть такой угол а, что О^а^л и cosa = 0.
Очевидно, что это есть угол у и, следовательно, arccos 0 = у.
220
3. arccos(—1) есть такой угол а, что О^а^л и соза=;—1.
Очевидно, что это есть угол л (см. рис. 84) и, следовательно,
arccos (—1) —л.
4. arccos у есть такой угол а, что 0^а<л и cos а = 4;.
Ясно, что это есть угол и, следовательно, arccosX = .
__ О 2 о
5. arccos-^- есть такой угол а, что О^а^л и cosa=
I *
Ясно, что это есть угол Д и, следовательно, arccos ^42 = ^-.
>/* з 1/"^?
6. arccos есть такой угол а, что О^а^л и соза = Лг- .
Ясно, что это есть угол и, следовательно, arccos -К-^ = -4-.
о 2 6
Отметим некоторые свойства арккосинуса числа, вытекающие
из его определения.
Для любого числа а, меньшего чем (—1), а также для любого
числа а, большего чем 1, лишена смысла запись arccos а. Напри-
мер, лишены смысла записи
arccos , arccos ( — » a,'ccos л '
/ п\ ,/То ( я\
arccos I — Та ) > arccos 1/ —, arccos I — -5-1.
\ 1U / F Л \ £ J
Для любого числа а£[—1; I] справедливо двойное нера-
венство
О arccos а л.
Для любого числа а£[—1; 1] справедливо равенство
cos (arccos а) =а.
Для любого угла а£[0; л] справедливо равенство .
arccos (cos а) = а.
Примеры. 1. Вычислить cos(arccos0). Поскольку 0 £[—1; 1],
то cos (arccos 0) — 0.
2. Вычислить cos (arccosу) . Поскольку уб[-1; 1]. то
( 1 \ 1
cos ( arccos у ) = у •
3. Вычислить arccos(cosVn). Поскольку ]/л£[0, л], то
arccos (cos К л) = jAi.
4. Вычислить arccos [cos (—6)]. Так как (—6)(£[0, л], то нельзя
написать, что arccos [cos(—6)] = —6. Однако легко видеть, что
cos (—6) = cos (2л — 6) и (2л —6) € [0, л]. Поэтому arccos[cos(—6)]=
=arccos[cos(2n — 6)] = 2л — 6.
221
Наконец, отметим еще одно свойство арккосинуса числа: для
любого числа а £[—1; 1] справедливо равенство
arccos (—а) = л — arccos а.
Действительно, по определению
arccosа=а, причем cosa = a и а£[0, л],
arccos (—а) = Р, причем cosp = — а и р€[0, л].
Отсюда видно, что |3 = л—а, т. е. arccos (—а) = л — arccos а.
Примеры.
, ( 1 V 1 л 2л
1. arccos!—75-) = л — arccos= л—.
\ Z у & О о
о ( V"2\ V~2 л Зя
2. arccos!—1 = л—arccos-^-=n——
л / /з л 5л
3. arccos!—I = л — arccosАг-= л—
\ 2 / 2 о О
§ 3« Тангенс и котангенс угла
Тангенс угла. Пусть дан любой угол а такой, чтоа^=у + nk,
k£Z. Тангенсом этого угла а называется число, равное отноше-
нию синуса этого угла а к косинусу того же угла а и обозна-
чаемое tga, т. е.
. sin a
tga =--------
® cos a
Из определения следует, что для любого угла а такого, что
а Ф у + k € Z, тангенс этого
единственный.
Примеры. tgO =
угла а существует и притом
sin 0 л sin л
tg Л =
cosO ’ COS Л
. Л . л
sin — sin —
4 < 6
= 0,
6
tgT= -> -
& 4 л
cos —
4
. л
Sin-5-
tgJ=-4-=/3.
COS-g
л 3
COS
b
Отметим некоторые свойства тангенса угла.
Для любого угла а такого, что a^y-f-n#, k^Z, справед-
ливо равенство
tg(—а) = —tga.
222.
Действительно, для любого угла а справедливы равенства
sin(—a) = —sina и cos(—a) = cosa, поэтому для любого угла a
такого, что a^^ + nk, k£Z, по определению тангенса
tg(_a) = 51JLb^=z2!!l«=_®!!l«-----tga.
°' ' cos (— a) cos a cos a ®
Это свойство тангенса угла можно сформулировать так: для
любого угла а такого, что a^-j-j-л^, k£Z, знак минус можно
выносить за знак тангенса или вносить под знак тангенса, т. е.
если а=#у + л£, k£Z, то
tg (—а) = —tga = tg (—а).
Примеры. tg(—у")= —tgi =—1,
3
I.
Используя свойства синуса и косинуса угла, можно показать,
что для любого угла а такого, что a=£^-\-nk, k£Z, справедли-
вы равенства
tga = tg(a-|-n) = tg(a — л).
Действительно, для любого такого угла справедливы цепочки
равенств
tg(a + n) = ljL^±4=ZZ^==^ = tga,
ь' 1 ' cos(a-|-ji) —cosa cosa & ’
tg(a-n) = ^±z4 = Z^ = ^=tga.
°' ' cos (a—л) —cosa cosa &
Примеры. tg-^ = tg(n + ^-)=tg^=l,
tg^ = tg(n—
tg = tg ( л --
У~з
3 ’
Используя равенства
tg а = tg (а +л) = tg (а —л)
и применяя метод математической индукции, можно показать,
что для любого целого числа п. и любого угла а такого, что
223
a^-^-f-nn, n£Z, справедливы равенства
tg а = tg (а лп) = tg (а — л/г).
Это свойство тангенса угла можно сформулировать так: тангенс
любого угла а такого, что сс#=-у + л/г, n£Z, повторяется при
изменении угла на лп, где п — любое целое число.
Примеры. tg-^- = tg(-2-+2n)=tg-J = ^,
tg(—
tg(--v)=tg(-|^) = tg(-£) — 1,
tg^ = tg(-^-+2n) = tg(-i)=-l,
tg^ = tg(£ + 2n)=tgj = l,
tg(_^ = tgL|_n)=tg(-|)=-----/3,
tg (-J+13jr)=tg£ = l,
tg(f-15n) = tg|=j/3’,
tg(-J+ion)=tgy=K3.
Для любого угла а, синус и косинус которого одного знака,
тангенс угла а положителен, т. е. tga положителен для любого
угла а, задаваемого подвижным единичным радиусом, конец ко-
торого совпадает с точкой единичной окружности, лежащей в I
Лв-Т Л”-2 л«-/ П"О л=/
о а га *
Рис. 85.
или III четвертях (т. е. для любого числа а как радианной меры
соответствующего угла а, принадлежащего при некотором целом и
промежутку лп^. На числовой прямой (рис. 85) ука-
заны такие интервалы, что для каждого числа а из любого та-
кого интервала tga положителен.
Для любого угла а, синус и косинус которого разных знаков,
тангенс угла а отрицателен, т. е. tga отрицателен для любого
угла а, задаваемого подвижным единичным радиусом, конец кото-
рого совпадает с точкой единичной окружности, лежащей во II
или IV четвертях (т. е. для любого числа а как радианной меры
224'
соответствующего угла а, принадлежащего при некотором целом п
промежутку (—у + лп, лп^; На числовой прямой (рис. 86)
указаны такие интервалы, что для каждого числа а из любого
такого интервала tga отрицателен.
/1=0
q &. я
***>£> X
Рис. 86.
& 2# & 5л
Для любого угла а, синус которого равен нулю, тангенс
угла а тоже равен нулю, т. е. tg а = О для любого угла а, зада-
ваемого Подвижным единичным радиусом, конец которого совпа-
дает или с точкой М (1; 0) или с точкой Р (—1; 0) (т. е. для
любого числа а как радианной меры соответствующего угла а,
равного при некотором целом п числу лп). На числовой прямой
(см. рис. 76) указаны такие числа а, для каждого из которых
tga равен нулю.
Приведенное выше определение тангенса угла можно пере-
формулировать так:
пусть дан (рис. 87) любой угол атакой, что а^=у+ли, n£Z,
й пусть конец подвижного единичного радиуса, задающего этот
угол а, есть точка N(a, b) (причем а#=0, вследствие того что
а^у + лп, ngz); тангенсом этого угла называется число,
равное отношению ординаты точки N к абсциссе той же точки N,
т. е.
tga = —.
® а
Легко видеть (см. рис. 87), что прямая, проходящая через
начало координат и точку N (а, Ь), пересекает прямую х — 1
в точке /<(1, Другими словами, прямая, проходящая через
начало координат и конец подвижного единичного радиуса, задаю-
щего угол a (a^= у -|- лп, n £ z), пересекает прямую х = 1 в точке
K(l, tga). Поэтому прямую х=1 часто называют линией тан-
генсов.
Арктангенс числа. Часто возникает такая задача: для любого
действительного числа k найти угол а такой, что его тангенс
равен этому числу k.
Можно показать, что существует бесконечно много углов
таких, что тангенс каждого такого угла равен числу k. Действи-
тельно, можно видеть (рис. 88), что прямая, проходящая через
начало координат и точку C(l; k), лежащую на прямой тангенса,
8 М. К. Потапов и др. 225
пересекает единичную окружность в двух точках: ( ,- :,
\ г 14- А®
k \ / ---I •—А \ ТТ
-__-1 и (-7==, -т--.....— 1. Но, как указано выше, для
/1+Аа/ \К1 + *2 К1 + А2/
каждой такой точки единичной окружности существует угол а
такой, что тангенс этого угла равен отношению ординаты этой
точки к абсциссе этой же точки, т. е. равен k. Далее по свойству
тангенса
tga = tg(&4-n/)
для любого угла а такого, что а^у4-л/и, m£Z, и любого це-
лого числа I. Поэтому для любого целого числа I тангенс угла
(a+л/) равен числу k. Принято следующее соглашение: тот угол,
тангенс которого равен числу k и который взят из интервала
(—Т’ т) ’ называть главным углом и обозначатьarctg & (читается:
арктангенс числа k).
Таким образом, по определению arctg k есть угол, удовлетво-
ряющий одновременно двум условиям:
—у < arctg k < у, tg (arctg k) = k.
Легко видеть, что для любого действительного числа k арк-
тангенс этого числа существует и притом единственный.
. Примеры. 1. arctgO есть такой угол а, что —у <а<у<
и tga=0. Ясно, что это есть нулевой угол, следовательно,
arctg 0 = 0.
226
8*
2. arctg 1 есть такой угол а, что —у < а < у и tg а = L
Ясно, что это есть угол у, следовательно, arctg 1 = у .
3. arctgКЗ есть такой угол а, что —у <а <у и tga = V£
Ясно, что это есть угол у. Следовательно, arctg ]/3 = у.
, . , /3 « л . . л . V з
4. arctg есть такой угол а, что —у <a<yHtga = -^у- ,
Ясно, что это есть угол -5. Следовательно, arctg -0 = 5-.
О о о
5. arctg (—1) есть такой угол а, что —< а < £ и tga=—1.
Ясно, что это есть угол — уСледовательно, arctg(—1)=(—у) .
Отметим некоторые свойства арктангенса числа, вытекающие
из его определения.
Для любого действительного числа k справедливо двойное
неравенство
—у < arctg Л <-у.
Для любого действительного числа k справедливо равенство
tg (arctg k) = k.
Для любого угла у, у) справедливо равенство
arctg (tga)=a.
Примеры. 1. Вычислить tg (arctg 10). Получаем
tg (arctg 10)= 10.
2. Вычислить arctg (tg-^-). Поскольку 4 € ( — -5» 5-^, то
\ м / о \ 4 £ ]
arctg (tg|)=£.
3. Вычислить arctg(tgЗя). Поскольку Зя(£^—у» у)’ то
нельзя написать arctg (tg Зя) = Зя. Однако tg Зя = tg 0. Следо-
вательно, arctg (tg Зя) = arctg (tg 0) = 0.
4. Вычислить arctg (tg 10). Поскольку —у,у^, то
нельзя написать arctg(tg 10)= 10. Однако tg 10 = tg(10 — Зя).
Так как (10 — Зя) £ (—у, у), то arctg(tg 10) =я
= arctg[tg(10 — Зя)]= 10 — Зя.
Наконец, отметим еще одно свойство арктангенса числа: для
любого действительного числа k справедливо равенство
arctg (— k) = — arctg k.
22?
Действительно» по определению
arctg£ = a, причем tga = & и а£^—у, у)
arctg (—&) = ₽, причем tg0 = — k и у, у
отсюда очевидно, что 0== — а, т. е.
arctg (— k) = — arctg k.
Примеры.
I. arctg(—1) = —arctg 1 = —у.
2. arctg(— ]/3) = — arctg V 3 = — у.
3. arctg ( —~y^) = — arctg .
\ О J v
Котангенс угла. Пусть дан любой угол а такой, что а^=лт,
Котангенсом этого угла а называется число, равное отно-
шению косинуса этого угла а к синусу того же угла а и обозна-
чаемое ctga, т. е.
cos
. ! Л\ — 1
зн^-у)
я /з
cos6 —
. л 1
S‘n "6 "2
Из определения следует, что для любого угла а такого, что
а=£ят, т £ Z, котангенс этого угла а существует и притом един-
ственный.
Примеры.
. л cos ~2~ О п
ctg-2=—Г=Т = 0’
ЗШу
л /2
, л C0S Т __ ~2~
С g 4 .л Y 2
sin-j- 21
4 2
3,
1,
Ctg^
я
COS -Я-
о
. л
s,nT
£
2
з •
2
Отметим некоторые свойства котангенса угла.
Для любого
равенство
угла а такого, что а^т, m£Z, справедливо
ctg(— a) = — ctga.
для любого такого угла справедлива цепочка
Действительно,
равенств
eta (—a) = cos(~g) = cosa == — =, — ctn a
* sin (—a) —sina sina ° '
228
Это свойство котангенса угла можно сформулировать так: для лю-
бого угла а такого, что а =4= лт, m£Z, знак минус можно выносить
за знак котангенса или вносить под знак котангенса, т. е. если
а^лт, m£Z, то
ctg (—а) = — ctg а = ctg (—а).
Примеры.
ctg (—-j)=—ctg-£=—1; ctg(— £)=— ctg-£=—Уз,
( я Л .л /3
Ctg \ з / Ct£ 3 — 3 •
Используя свойства синуса и косинуса угла, можно показать,
что для любого угла а такого, что а^=лт, m£Z, справедливы
равенства
ctg а = ctg (а 4- л) = ctg (а — л).
Действительно, для любого такого угла справедливы цепочки
равенств
. . , . cos (а-f-л) —cos a cos a
ctg(a+Jt) = —A-F-± = —— = =ctga,
. z 4 cos (a—л) —cos a cos a
ctg(a-n) = -^^ = zz—= —= ctga.
Примеры. ctg-^=ctg (n-f-j)=ctg ^- = 1,
ctg^ = ctg (-| + n)=ctg^- = /3,
ctg = Ctg (— -J + n)=ctg (— -J)= — 1.
Используя равенства
ctg a = ctg (a + л) = ctg (a — л)
и применяя метод математической индукции, можно показать,
что для любого целого числа п и любого угла а такого, что
a^n/n, m£Z, справедливы равенства
ctg a = ctg (a -|- пл) = ctg (a — пл).
Это свойство котангенса угла можно сформулировать так: котан-
генс любого угла а такого, что a #= лт, т С Z, повторяется при
изменении угла на лп, где п —любое целое число.
Примеры. ctg^-^) = ctg(y4-2n) = ctg-|-==!]/3,
ctg ( ~Т) = ctg (|-2л) = ctg -£ = ^з,
ctg(-^-) = ctg(-j+2n) = ctg^ = l,
ctg = ctg. ( —J -J- 2л ) * ctg ( —J ) = — 1,
229
ctg (у +1 In) = ctg ,
ctg(-|-13n) = ctg(-|)=-^,
ctg (~т+15л) =ctg (~i)=°-
Для любого угла а, косинус и синус которого одного знака,
котангенс угла а положителен, т. е. ctga положителен для лю-
бого угла а, задаваемого подвижным единичным радиусом, конец
которого совпадает с точкой единичной окружности, лежащей в I
или III четвертях (т. е. для любого числа а как радианной меры
соответствующего угла а, принадлежащего при некотором целом I
промежутку у-f-л/)) . .
На числовой прямой (см. рис. 85) указаны такие интервалы,
что для каждого числа а из любого такого интервала ctga по-
ложителен.
Для любого угла а, косинус и синус которого разных знаков,
котангенс угла а отрицателен, т. е. ctga отрицателен для любого
угла а, задаваемого подвижным единичным радиусом, конец ко-
торого совпадает с точкой единичной окружности, лежащей во II
или IV четвертях (т. е. для любого числа а как радианной меры
соответствующего угла а, принадлежащего при некотором целом k
промежутку ^у+л&, л-(-лб)).
На числовой прямой (см. рис. 86) указаны такие интервалы,
что для каждого числа а из любого такого интервала ctga от-
рицателен.
Для любого угла а, косинус которого равен нулю, котангенс
угла а тоже равен нулю, т. е. ctga = 0 для любого угла а, за-
даваемого подвижным единичным радиусом, конец которого сов-
падает или с точкой Т (0; 1), или с точкой L (0; —1) (т. е. для
любого числа а как радианной меры соответствующего утла а,
равного при некотором целом п числу
На числовой прямой (см. рис. 82) указаны такие числа а, для
каждого из которых ctga равен нулю.
Приведенное выше определение котангенса угла можно пе-
реформулировать так:
пусть дан (рис. 89) любой угол а такой, что a=Anm, m£Z,
и пусть конец подвижного единичного радиуса, задающего этот
угол а, есть точка N(a,b) (причем Ь^=0, вследствие того что
а=/=л/и, m£Z); котангенсом этого угла а называется число, рав-
ное отношению абсциссы точки N к ординате той же точки N,
т. е. ctga = у.
Легко видеть (см. рис. 89), что прямая, проходящая через
начало координат и точку V (а, Ь), пересекает прямую у= 1 в точке
230
lj. Другими словами, прямая, проходящая через начало
координат и конец подвижного единичного радиуса, задающего
угол а(а =£= пт, т £ Z), пересекает прямую у = 1 в точке F (ctga, 1).
Поэтому прямую у = 1 часто называют линией котангенсов.
Арккотангенс числа. Часто возникает такая задача: для лю-
бого действительного числа d найти угол а такой, что его ко-
тангенс равен этому числу d.
Можно показать, что существует бесконечно много углов та-
ких, что котангенс каждого такого угла равен числу d.
М Т
Рис. 90.
Действительно, легко видеть (рис. 90), что прямая, проходящая
через начало координат и точку D(d\ 1), лежащую1 на линии
котангенсов, пересекает единичную окружность в двух точках;
/ d 1 \ / —— d —-1 \ тт
( , , ; - -), I _______г, ). Но, как указано выше,
\ К1 -Н2 +
для каждой такой точки существует угол такой, что котангенс
этого угла равен отношению абсциссы этой точки к ординате
этой же точки, т. е. равен d. Далее по свойству котангенса
ctg a = ctg (a 4- nri)
для любого угла а такого, что а^лт, m£Z, и любого целого
числа п. Поэтому для любого целого числа п котангенс угла
(a-J-лп) равен числу d.
Принято следующее соглашение: тот угол, котангенс которого
равен числу d и который взят из интервала (0, л), называть глав-
ным углом и обозначать arcctgd(читается: арккотангенс числа d).
Таким образом, по определению arcctg d есть угол, удовлет-
воряющий одновременно двум условиям:
0 < arcctg d < л, ctg (arcctg d) = d.
Легко видеть, что для любого действительного числа d арккотан-
генс этого числа существует и притом единственный.
231
Примеры. 1. arcctg О есть такой угол а, что 0<а<л и
ctga = 0. Ясно, что это есть угол у, следовательно, arcctg 0=у.
2. arcctg 1^3 есть такой угол а, что 0<а<л и ctga = J/3.
Ясно, что это есть угол у . Следовательно, arcctg р^З = у.
3. arcctg 1 есть такой угол а, что 0 < а < л и ctga = 1. Ясно,
что это есть угол -у. Следовательно, arcctg 1=-^-.
4. arcctg-—- есть такой угол а, что 0 <а < л и ctga = -^y-.
Ясно, что это есть угол у. Следовательно, arcctgX^ = y.
5. arcctg (— 1) есть такой угол а, что 0 < а < л и ctga = (— 1).
Ясно, что-это есть угол (-у-) . Следовательно, arcctg (—1) =-у.
Отметим некоторые свойства арккотангенса числа, вытекающие
из его определения.
Для любого действительного числа d справедливо двойное
неравенство
0<arcctgd<n.
Для любого действительного числа d справедливо равенство
ctg (arcctg d) = d.
Для любого угла а С (0, л) справедливо равенство
arcctg (ctga) = a.
Примеры. 1. Вычислить ctg(arcctg 10). Получаем
ctg (arcctg 10)= 10.
2. Вычислить arcctg (ctgy). Поскольку у С (0, л), то
arcctg (ctg у) =у.
3. Вычислить arcctg £ctg(—y)j . Поскольку (—-yj (£(0, л),
то нельзя написать arcctg fctg (—y^j = — у. Однако легко ви-
деть, что ctg ( —4} = ctg ( — у -Ь л= ctg -у- и -у- (О, л). Сле-
довательно, arcctg £ctg ( — у)j = arcctg (ctg-y-^ =~.
Наконец, отметим еще одно свойство арккотангенса числа:
для любого действительного числа d справедливо равенство
arcctg (— d) = л—arcctg d.
232
Действительно, по определению
arcctg d = а, причем ctga = d и а с (0, л),
arcctg(—d) = P, причем ctg (5 =— d и fJ£(O, л),
отсюда вытекает, что 0 = л—а, т. е.
arcctg (— d) = л — arcctg d.
Примеры. 1. arcctg(—1) = л — arcctg I = л — = -^-.
2. arcctg(—]/~3) = л—arcctgКЗ = л —-g-=.
3. arcctgf— — arcctg~^ = л — = -у--
§ 4. Основное тригонометрическое тождество
Теорема. Для любого угла а справедливо равенство:
sin2a +cos2a= 1, (1)
которое называется основным тригонометрическим тождеством.
Эту теорему можно сформулировать так: квадрат синуса лю-
бого угла плюс квадрат косинуса того же угла равен едцнице.
Доказательство. Пусть дан некоторый угол а. Тогда
координаты конца подвижного единичного радиуса, задающего
угол а, будут (cosa, sina) (рис.
91). Так как квадрат расстояния
между любыми двумя точками пло-
скости, заданными своими коор-
динатами, равен сумме квадратов
разности одноименных координат,
то для точки (cosa, sina) и точки
(0, 0) имеем
(cos a — 0)^ + (sina — О)2 = В
или
sin2 а-|-cos2 a = 1
и теорема доказана.
Основное тригонометрическое
тождество показывает, в какой
зависимости находятся синус и косинус одного и того же угла.
Зная одну из величин, входящих в основное тригонометрическое
тождество для некоторого угла а, можно найти другую, величину
того же угла а. Действительно, основное тригонометрическое тож-
дество равносильно равенству cos2a == 1 —sin2а, которое равно-
сильно следующему:
Icosa^p^ 1 — sin2a.
(2)
233
Из равенства (2) имеем
cosa=J/' 1 — sin2а (2а) cosa = — 1 — sin2a (26)
для любого угла а, для кото- для любого угла а, для кото-
рого cosa не отрицателен (т. е.. рого cosa не положителен (т. е.
для любого а, принадлежащего для любого а, принадлежащего
при некотором k С Z промежутку при некотором k £ Z промежутку
[2лй—£;£+2л&]). [2л* + £; 4г+2л*]) .
Далее, основное тригонометрическое тождество равносильно
равенству -
sin2a = 1 — cos2 a,
(3)
sina =— ]/1 — cos2 a (36)
для любого угла a, для кото-
рого sina не положителен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором т € ^промежутку
[л-}-2лт; 2л + 2лт]).
• которое равносильно следующему:
| sina| =/ 1 — cos2а.
Из равенства (3) имеем
sin a = V1 — cos2 а (За)
для любого угла а, для которого
sina не отрицателен (т. е. для
любого а, принадлежащего при
некотором m£Z промежутку
[2лт; л-}-2лт]).
Замечан ие. Формулы (2а) и (26) при граничных значениях
угла а, т. е. при а=у4-лй, где k$Z, дают одно и то же зна-
чение cosa = 0; формулы (За) и (36) при граничных значениях
угла а, т. е. при а — лт, где m£Z, дают одно и то же значение
sina = 0.
Примеры. 1. Вычислитьsina, еслиcosa = — и ag (л, -j-1.
Для любого угла а из указанного промежутка sina отрица-
телен, и поэтому sina = —/1—cos2a = —• J/G— (—Tif =
2 /То
₽ И •
2. Вычислить cosa, если sina = —у и а£ (——-у) .
Для любого угла а из указанного промежутка cosa отрица-
телен, и поэтому bcosa — —/1—sin2a = — 1/1— (—УУ =
з •
Следствие 1. Для любого угла а такого, что а^=у-|-лЛ,
справедливо равенство
14-tg2a = —V-
1 6 cos2 а
(4)
234
Доказательство. Так как kgZ, Tocosa^=0,
и поэтому основное тригонометрическое тождество (1) можно по-
членно разделить на cos2a. Тогда для любого такого а имеем
cos2 a-|-sin2 а_____________ 1
cos2 a Т cos2 a ’
cos2 a . sin2 a ^2 1
cos2 acos2a T cos2 a ’
If t
l+tg2a=-4-.
1 ? cos2 a
Равенство (4) доказано.
Равенство (4) показывает, в какой зависимости находятся тан-
генс и косинус одного и того же угла a ^а .
Зная одну из величин, входящих в равенство (4), для некоторого
такого угла а можно найти другую величину того же угла. Дей-
ствительно, так как а=/=-^-+^. kgZ, то равенство (4) равно-
сильно равенству cos2a = » которое равносильно следую-
щему:
““i-vnW (5)
Из равенства (5) имеем
cosa = —===== (5а)
/l+tg2a v
для любого угла а, для кото-
рого cos а положителен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором k £ Z промежутку
(tnk—«+2лА)).
cos a=—-=L== (56)
— Kl-Hg2a
для любого угла а, для кото-
рого cosa отрицателен (т. е. для
любого а, принадлежащего при
некотором k € Z промежутку
Далее равенство (4) равносильно равенству tg2a =---%—
которое равносильно следующему:
I tga|
1—cos2a
| cos а | *
(6)
Из равенства (6) имеем
(6а)
s cosa ' ’
для любого угла а, для кото-
рого tga и cosa одного знака
(т. е. для любого угла а, при-
надлежащего при некотором
< — V 1—cos2 a
tg a = — --------- (66)
& cos a ' '
для любого угла a, для кото-
рого tga и cosa разных знаков
(т. е. для любого угла а, при-
надлежащего при некотором
235
m£Z множеству m£Z множеству
|2л/п,-^-}-2лиг) U ^2л/л —л; —-5- + 2лт)и
и(у + 2лт; л4-2л/п]у и (—у + 2л/п, 2л/л^ .
Замечание. Формулы (6а) и (66) при граничных значениях
угла а, т. е. при а = лт, где т £ Z, дают одно и то же значение
tga = 0»
Примеры. 1. Вычислить tga, если cosa = — и ag
О
z- / Зя \
Для любого угла а из указанного промежутка tga положи-
. . |_cos2 сс
телен, а cosa отрицателен, и поэтому tga = — -------= 2.
2. Вычислить cosa, если tga = — 3 и а(Ц—у; О j .
Для любого угла а из указанного промежутка cosa-яоложи-
1 1/То
телен, и поэтому cosa = у—= V •
Следствие 2. Для любого угла а такого, что a^nk, k^Z,
справедливо равенство
14-ctg8a = -'. 1 .
1 & sin2 a
Доказательство. Так как а=0=л£, k£Z, то sina=^0, и
поэтому основное тригонометрическое тождество (1) можно почленно
разделить на * “
(7)
sin2 а. Тогда для любого такого а имеем
cos2 a 4- sin2 a _ 1
sin2 a ^sin2a’
c°s2a । sin2a®, 1
sin2 a 'sin2 a T sin2 a ’
3 ,
ctg2a-|- 1==-—-.
° ' sin2 a
(7) доказано.
(7) показывает, в какой зависимости находятся ко-
Равенство
Равенство
тангенс и синус одного и того же угла а (а^лА, k£Z). Зная
одну из величин, входящих в равенство (7), для . некоторого та-
кого угла а можно найти другую величину того же угла а.
Действительно, так Как a^=nfe, k£Z, то равенство (7) равно-
сильно равенству
. , 1
sin»ct = г, . а- ,
l-|-ctg2a*
которое равносильно следующему:
I sinal = . 1 —
У l + ctg2a
(8)
236
Из равенства (8) имеем
sin a = .. 1; ... .=• (8а)
У l+ctg2a v
для любого угла а, для кото-
рого sina положителен (т. е. для
любого а, принадлежащего при
некотором п С Z
(2л«; л-|-2л/г)).
Далее, так как
равенству
1
промежутку
sina =---.. (86)
-Ki + ctg2a '
для любого угла а, для кото-
рого sina отрицателен (т. е. для
любого а, принадлежащего при
некотором п Z промежутку
(л-}-2л/1; 2л + 2ли)).
ау=л£, k$Z, то равенство (7) равносильно
, 9 1—sin2a
ctg2 a = —r-s— ,
& sin2 a ’
которое равносильно следующему:
|ctga| =
1 — sin3 a
| sin а |
(9)
Из равенства (9) имеем
, К1 — sin2 а
ct g a = --:---- (9а)
& sina ' '
для любого угла а, для кото-
рого ctga и sina одного знака
(т. е. для любого а, принадле-
жащего при некотором k € Z мно-
жеству
~ ; 2nk^ (J _
и(2л£; у4-2лЛ]).
(96)
кото-
ctga=—-Л—s-‘-n—
& sina2
для любого угла a, для
poro ctga и sina разных знаков
(т. е. для любого а, принадле2
жащего при некотором k£Z
множеству
U (л-|-2л£; •^•-|-2n&j).
Замечание. Формулы (9а) и (96) при граничных значениях
угла а, т. е. при а = у4-лА:, k^Z, дают одно и то же значение
ctga = 0.
24 f
Примеры. 1. Вычислить ctga, если sina =— ^иаб?—л;
__л \
2'/’
Для любого угла а из указанного промежутка ctga положи-
телен, а sina отрицателен, и поэтому
eig« = ->/7=^r-«=^.
& sina 24
2. Вычислить sina, если ctga = 4 и ацл, -yj .
Для любого угла а из указанного промежутка sina отрица-
телен, и поэтому
1 УТ7
sina =-----7=========-== —
— + ctg2 a 17
1
237
Из определения тангенса и котангенса одного и того же угла
следует справедливость следующего утверждения:
для любого угла а такого, что а^Д!, n£Z, справедливы ра-
венства
. tgactga =1, (10)
<Н)
с^а=^- (12)
Равенства (11) и (12) показывают, в какой зависимости нахо-
дятся тангенс и котангенс одного и того же угла a I a=/= —, n g z i.
Зная одну из величин, входящих в равенства (11) и (12), для
некоторого такого угла а можно найти другую величину того
же угла а.
Примеры. 1. Вычислить cos a, tgan ctga, если sina = — и
_ / л \
а € ( —л, —у ).
Для любого угла а из указанного промежутка cos? отрица-
телен, и поэтому
---------------------------------4
cosa= — yl — sin2a = — у.
Так как cosa^O, то
• ~ sin a 3
tga=-----= -т .
® cos a 4
Аналогично, так как sina =/=(), то
. cos a 4
ctg a = = -5-.
6 sin a 3
2. Вычислить cosa, sina и tga, если ctga = — 7 иа£ nJ.
Так как ctga=/=0, то tga = ^ = — у.
Для любого угла а из указанного промежутка sina положи-
телен, а cosa отрицателен, следовательно,
sina = -F=1 cosa = —'Kl—sin^a——
Kl+.ctg2a 1° 10
§ 5. Формулы сложения
Пусть даны некоторый угол а и некоторый угол Р, т. е. пусть
даны число а, представляющее радианную меру угла а, и число р,
представляющее радианную меру углар. Тогда под углом (a — Р)
понимается угол, радианная мера которого есть число (a—Р);
238
угол (а —Р) называется разностью двух данных углов. Под углом
(а+Р) понимается угол, радианная мера которого есть число
(a-j-P); угол (а + Р) называется суммой двух данных углов.
Косинус разности и косинус суммы.
Теорема. Для любых углов а и р справедливо равенство
cos(a—P) = cosacosP + sinasinp, (1)
которое называется формулой косинуса разности двух углов.
Эту теорему можно сформулировать так: косинус разности
двух любых углов равен произведению косинуса первого угла на
косинус второго угла плюс произведение синуса первого угла на
синус второго угла.
Доказательство. Пусть на плоскости даны прямоуголь-
ная система координат хОу и единичная окружность. Будем счи-
тать началом отсчета неподвижный единичный радиус ОМ этой
окружности, где М (1, 0).
Пусть угол а задается подвижным единичным радиусом, конец
которого совпадает с точкой N (cosa, sina) единичной окруж-
ности; угол р—подвижным единичным радиусом, конец которого
совпадает с точкой P(cosp, sinP) единичной окружности.
Возможны два случая расположения точек N и Р: они или
совпадают (рис. 92), либо не совпадают (рис. 93).
Доказательство теоремы проведем отдельно в каждом из этих
случаев.
1. Пусть точки N и Р совпадают. В этом случае углы аир
таковы, что а —Р4-2л&, т. е. (а—Р)=2л£ для некоторого фик-
сированного целого числа k, и равенство (1) можно переписать
в виде
cos 2nk = cos р cos (Р + 2л£) + sin р sin (Р 4- 2л&)
239
или, поскольку
в виде
ccs 2лк = 1
cos (р+2лЛ) = cos р,
sin (Р + 2лЛ) = sin р,
1 = cos2 р + sin2 р,
т. е. в рассматриваемом случае равенство (1) есть равносильная
форма записи основного тригонометрического тождества, следо-
вательно, равенство (1) справедливо.
2. Пусть углы а и Р таковы, что a^P+2nfe ни для какого
целого числа k. Вычислим двумя
способами длину отрезка PN.
В данной системе координат
координаты точек N и Р изве-
стны, поэтому по теореме о длине
отрезка, координаты концов ко-
торого заданы, имеем
$v/>=(cos а—cos р)2 + (sin а—sin Р)2.
(2)
Введем теперь другую прямо-
угольную систему координат х'Оу'
так, чтобы единица масштаба сов-
пала с уже выбранной ранее еди-
ницей длины; положительная по-
луось абсцисс (Ох') была бы про-
должением радиуса ОР; положительная полуось ординат (Оу')
образовывала бы положительный угол с положительной полу-
осью абсцисс (Ох') (рис. 94).
В новой системе координат точка Р будет иметь координаты
Р (1, 0). Примем теперь радиус ОР за неподвижный единичный
радиус, т. е. за новое начало отсчета углов. Система координат
х'Оу' вводится так, чтобы новое начало отсчета углов (единичный
неподвижный радиус ОР) было смещено на угол р относительно
предыдущего начала отсчета углов (единичного неподвижного
радиуса ОМ). Тогда относительно нового начала отсчета углов
подвижный единичный радиус ON будет задавать угол (а —Р) и
в системе координат х’Оу1 точка N будет иметь координаты
JV(cos(a—Р), sin(a—Р)). По теореме о длине отрезка, координаты
концов которого заданы (см. § 3 гл. III), имеем
= -cos(a—р)]2 + [0-sin (а-р)]2. (3)
Так как квадрат расстояния между двумя фиксированными
точками плоскости, найденный в двух разных прямоугольных
системах координат с одной и той же единицей длины, есть одно
и то же число, то d'Np = <PNP.
240
Используя свойство транзитивности равенств, из равенств(2)
и (3) имеем
(cos а—cos 0)2 4- (sin а—sin 0)2 = [ 1 — cos (а—0)]2 4* [sin (а—0)]2.
Раскрывая скобки и группируя, имеем
(cos2 а 4- sin2 а) + (cos2 0 4- sin2 0) — 2 (cos а cos 0 4- sin а sin 0) =
= 1 4-[cos2(a—0)4-sin2(a—0)] — 2cos(a — 0).
Применяя трижды основное тригонометрическое тождество, пере-
пишем это равенство в виде
2—2 [cos a cos 0 4- sin a sin 0] = 2 — 2 cos (а — 0).
Откуда следует справедливость теоремы во втором случае. Тео-
рема доказана.
Пример. Вычислить cos .
IT JT JT
^Поскольку io = -5- — Т» то
л /л л А л л , . л . л
COS 775= COS I -5---Г ) = COS-5-COS-7-4~ sin-5-sm -Г =
12 \ 3 4 ) 3 4 ' 3 ‘t
_ 1 /2 /3 /2 _ /2(14- /3)
— 2 2 “Г 2 * 2 4 •
.. л /2(14-/3)
Итак, coS|2 = ——
Приведем несколько следствий из доказанной теоремы.
Следствие 1. Для любых углов а и 0 справедливо равенство
cos (а 4-0) = cos a cos 0 — sin a sin 0,
которое называется формулой косинуса суммы двух углов.
Это следствие можно сформулировать так: косинус суммы двух
углов равен произведению косинуса первого угла на косинус вто-
рого угла минус произведение синуса первого угла на синус вто-
рого угла.
Доказательство. Представим (<*4-0) в виде [а—(—0)] и
применим теорему. Затем, пользуясь тем, что cos(—a) = cos а и
sin(—a) =— sina для любого угла a, имеем
cos (a 4- 0) = cos [a—(— 0)] = cos a cos (— 0) 4- sin a sin (— 0) =
= cos a cos 0—sin a sin 0,
что и требовалось доказать.
Примеры. 1. Вычислить cos45-..
241
Поскольку -у^- = у + у > то
(it I л* \ л* * л* •
cosl2’ = cos V6 + т) =cos'6 C0ST—sin _6S7 =
_/3 /2 1 /2_/2(/3-1)
— 2 ’ 2 2'2 Г
„ 5л У2(/3-1)
Итак, cos-jy =----5-----.
7л
2. Вычислить cos-pj-.
1 4W
7тг тг тг
Поскольку -у = у + у, то
7л ( л , л \ л л .л. л
COS12 = C0S 11 + Т J = COS 3C0S Т“S1° 3 Sin Т ~
_ 1 У 2 /З У 2
"2’2 2’2
У 2 (1-/3)
4
.. 7л У 2(1— У 3)
Итак, cos-y =------4-----
Формулы для дополнительных углов. Два угла а и ₽, в сумме
составляющие у, т. е. такие, что а+р=у, называются допол-
нительными один к другому. Так, угол а дополнительный к углу
(у—а) и наоборот.
Следствие 2. Для любого угла а, справедливы равенства
(л \ . [л \
у—aj=sina, siniy—a)=cosa,
которые называются формулами для дополнительных углов.
Действительно, применяя равенство (1), имеем
cos ^у—= cos у cos a 4-sin-у sina = 0-cosa+1 • sina = sin а,
т. e. получаем справедливость первой формулы.
Обозначая (у—aj=P, получаем из уже доказанной первой
у—р). Так как (у—Р)=®. то
• f п \
sin (у—a 1 =cosa.
Следствие 2 можно сформулировать так:
— синус любого угла равен косинусу дополнительного угла, а
— косинус любого угла равен синусу дополнительного угла.
Пример. Вычислить sin-|y.
242
j—» 5л л л • 5л • (л л \ л л
Поскольку Т2’= 2~ 12’ то Sln T2’ = Sln (.'2'—12 ) =COST2 • Зна*
я , . /2(1+/3) ~
чение cosj2 было найдено выше и равно-1—т—Следова-
. 5л /2 (1 + /3)
тельно, sin-j^-=-—.
Следствие 3. а) Для любого угла а такого, что а =/= nk, k£Z,
справедливо равенство
tg (у—а) = ctg а.
б) Для любого угла а такого, что а Ф — -{- пт, m£Z, спра-
ведливо равенство
ctg (у—a)=tga.
Эти равенства также называются формулами для дополнительных
углов. Справедливость этих формул следует из определений тан-
генса и котангенса и следствия 2.
Пример. Вычислить tg-^. Так как = утг» то tg^ =
5л
/ Е \ Е C0S “Го" Е Е
=tg (у-Т?) = ctg TF = 5л • Значения COS7J и sinTF были
sinl2
1Л2 (V з—й V* 2( 1Л34-1)
найдены выше и соответственно равны -—--- и -— у- .
Следовательно, tg^ = или tg^ = 2 — ]/3.
Синус суммы и синус разности.
Следствие 4. Для любых углов а и Р справедливо равенство
sin (a+Р) = sin a cos р+cos a sin р,
которое называется формулой синуса суммы двух углов.
Это следствие можно сформулировать так: синус суммы любых
двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус вто-
рого плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.
Доказательство. Используя следствие 2, затем равен-
ство (1) и еще раз следствие 2, имеем
sin(a+P) = cos^y—a—р) =cos^y—а)— р] =s
= cos (у—a) cosp + sin^y—a) sinp = sinacosp-j-cosasinp,
что и требовалось доказать.
Примеры. 1. Вычислить sin-^-.
243
Поскольку -7К = -?- + -т , то
• 5л ./л . л \ .л л. л. л
sin-j2" = sin {-§- + -4-) — sin -g- cos j- 4- cos -g- sm =
1 /2 , v“3 V"2 K2(l+K3)
• — 2 * 2 2 * 2 — 4
г, . 5л Г2(1 + Гз)
Итак, sin-^-=-——-.
2. Вычислить sin^r. Так как tt = v4"t» t0
1л 1л о 4
. 7л . [ л . л \ .л л, л. л
Sin-7^- = Sin I -5-4--Т- )= sin v COS-7--|-cos v Sin=
1a \ О * J О □ 4
_Кз'К2, 1 /"2_К2(Кз+0
— 2 ’ 2 ' 2 " 2 — 4
„ . 7л К2(К34-1)
Итак, 51п-рт- = -—- . .
12 4
Следствие 5. Для любых углов а и Р справедливо равенство
sin (а—Р) = sin а cos р—cos а sin р,
которое называется формулой синуса разности двух углов.
Это следствие можно сформулировать так: синус разности
любых двух углов равен произведению синуса первого угла на коси-
нус второго угла минус произведение косинуса первого угла на
синус второго угла.
Доказательство. Представим (а—Р) в виде [а-|-(—Р)] и
применим следствие 4. Затем, пользуясь тем, что cos(—P) = cosp
и sin(—Р) = — sinp для любого угла р, имеем
sin (а—Р) = sin [а + (—Р)] = sina cos (—Р) + cos a sin (—Р) =
= sin a cos Р—cos a sin р,
что и требовалось доказать.
Пример. Вычислить sin^.
ПОСКОЛЬКУ 75 = 4 — т» то
1А О 4
• Л • f Л Л \ • Л Л Л • л
Sin775 = Sin V—Г I = Sin -5-cos—cos-sin-T =
12 \ 3 4 / 3 4 34
_уГз Г2 1 К2_Г2(ГЗ-1)
~~ 2 " 2 2 2 4
„ . л K2(K3—0
Итак, sinj2 = -—-------.
Тангенс суммы и тангенс разности.
Следствие 6. Для любых ддух углова и $ таких, что
a=/=y-{-n&, k£Z,. Р=^у+л/г, n£Z, и а+Р^=у+плг, m£Z,
244
справедливо равенство
i о\ _ tga+tgfl
tg(«+p) —! —tgatgf}*
которое называется формулой тангенса суммы двух углов.
Доказательство. Для любых двух таких углов справед-
лива цепочка равенств
tg(a+₽) =
sin (a-bfl)__sin a cos fl + cos a sin fl
cos (a+fl) cos a cos fl—sin a sin fl
sin a cos fl + cos a sin fl
cos a cos fl
cosacosfl—sinczsin fl
cos a cos fl
sin a cos fl . cos a sin fl sin a sin fl
cos a cos fl cos a cos fl coscPcesfl __ tga-Hgfl
cos a cos fl sin a sin fl ~ j _ sin a . sin fl 1 —tg a tg fl ’
cos a cos fl cos a cos fl cos a cos fl
которая и доказывает следствие 6.
5jx
Примеры. 1. Вычислить tg-jy
Поскольку = •?+?•. то
. л . . л
I 5л g 4 g 6
^12= ^т+ 6)=~ я;
i-tgTtgT-
’ + -?=• г-
г- - JZZ+1 □
i-i.JL Гз-i
/з ’
(/3-Ц)(/1-Ц) = 9 ,1/T
( if Q _ . l \ I if a i Л Z -f- p □.
Итак, tg-^- = 2-|-K3.
2. Вычислить tg-^-. Имеем
j л । . л
g~3~+gT /34-1
i_tg|tg| ~ 1-ГЗ-1 ”
_ (/3-М)(У~3 + 1)
(1-/з)(1+Гз)
=-(2+Гз).
-Итак, tg™---(2+/3).
Следствие 7. Для любых двух углов а и Р таких, что
k£Z, ₽=И=у4-лп, n£Z, и a — л/п> m£Z,
245
справедливо равенство
. tg(a-0)
tga—tgp
l-|-tgatgp ’
которое называется формулой тангенса разности двух углов.
Доказательство. Для любых двух таких углов сира
ведлива цепочка равенств
‘ дм— tga-!-tg(—Р) _ tga— tg fl
tg(a~ Р) — tg[a+( P)J— i—tgatg(— P) 1+ tgatgp’
которая и доказывает следствие 7.
Пример. Вычислить tg-g.
v л л л
Поскольку ]2='з—Т’ т0
, л , я
4 J , . . л . л
1 l+tgTtgT
/з-i (F з-1)(Гз-0
1 + Кз (1+/з)(/з-1)
=2-/~3.
Итак, tg^ = 2-/3.
Котангенс суммы и котангенс разности.
Следствие 8. Для любых углов а и ₽ таких, что a^nk,
k$Z, р=/=лп, n£Z, и (а+Р)=/=лт, m£Z, справедливо равенство
ctg(a+P)
__ctg a ctg Р—1
— ctg Р4-ctg а ’
которое называется формулой котангенса суммы двух углов.
Следствие 9. Для любых двух углов а и Р таких, что
a=^nk, kgZ, Р=/=лп, n$Z, и (а—P)^=nm, m^Z, справедливо
равенство
которое называется формулой котангенса разности двух углов.
Доказательство этих следствий аналогично доказательству
следствий 6 и 7 и потому опускается.
Примеры. 1. Вычислить ctgqy*
246
п 5л л > л _
Поскольку -J2= j + -g » т0
Л , Л у
ctgTctgT-1
, л । . л
ctg-g+ctgj
_ 1. Уз— 1 (/З —1)(/3—1) __о 1/-Q
~ /3+1 (/3+1)(/3-1)
Итак, ctg-§ = 2-/3.
2. Вычислить ctgy|.
Поскольку = у> то
ctg|ctgi+l
Ctg-J--Ctgy
/з‘1+1 (/з + 1)(/3 + 1) о, -./о
-(/з-1)(/з+1)“2+ГЗ-
/3
Итак, ctg^ = 2 + /3.
Формулы для вычисления произведений.
Следствие 10. Для любых двух углов а и 0 справедливо
равенство
cos a cos 0 = cos ^--PL+COS «И- Р),
которое называется формулой для вычисления произведения коси-
нусов.
Следствие 10 можно сформулировать так: произведение коси-
нуса любого угла а на косинус любого угла 0 равно полусумме
косинуса разности этих углов и косинуса суммы этих углов.
Следствие 11. Для любых двух углов а и $ справедливо
равенство
sina sin 0 = cos(a-P)-cos(a+0)t
которое называется формулой для вычисления произведения си-
нусов.
Следствие 11 можно сформулировать так: произведение синуса
любого угла а на синус любого угла 0 равно полуразности косинуса
разности этих углов и косинуса суммы этих углов.
247
Доказательство. Выше было показано, что для любых
углов аир справедливы следующие равенства:
cos (а—Р) = cos а cos р 4- sina sin р,
cos (а 4-Р) = cos a cos Р — sina sin р.
Складывая и вычитая эти равенства, получаем формулы для вы-
числения произведения косинусов и произведения синусов:
cosacosp^cos(a~-p)-±cos(a+P), . (4)
sinasinp^^--^-05 (a±P). (5)
Замечание. В формулах (4) и (5), в силу того что cos(—a)=
=cosa для любого угла а, при взятии косинуса разности двух
углов можно брать косинус и угла (a—Р) и угла (р—а).
_ . (л . а\ (л а\
Примеры. 1. cosl-g-4-yj cos 2^ =
(л . а л . а \ , (л . а , п а \
cos (-6+ 2—6 +tJ+cos 2-+
2 ~
_ cosa4-cos J _ созову _2cosa4-l
— 2 ~ 2 — 4
2. 2sin (£-р)sin (|4-P) =cos (у-р-у-р) -
—cos Р4-^4-Р) =cos (—2Р)—cos = cos 2р.
п л п cos (4—3)4-cos (44-3) cos!4-cos7
3. cos 4 COS 3 -1-'-%--J——----------Л--.
. 4 sin 7 sin 8 4 [cos (7—8)—cos (74-8)J 2 [cos 1 —cos 15J
4" 5 5-2 “ 5
Следствие 12. Для любых двух углов а и Р справедливо
равенство
a sin(a4-₽)4-sin(a—В)
sma cos Р = — i
которое называется формулой для вычисления произведения синуса
одного угла на косинус другого угла.
Следствие 12 можно сформулировать так: произведение синуса
любого угла а на косинус любого угла р равно полусумме синуса
суммы углов а и р и синуса разности углов а и р, причем раз-
ность берется так, что от угла, стоящего под знаком синуса,
вычитается угол, стоящий под знаком косинуса.
Доказательство. Выше было показано, что для любых
углов аир справедливы следующие равенства:
sin (а 4-Р) = sin a cos Р 4-cos a sin р,.
Sin (a—p) = sina cos p — cos a sin p.
248
Складывая эти равенства, получаем формулу для вычисления
произведения синуса угла на косинус другого угла:
о sin (a+6)-f-sin (а—6)
sin а cos р = —v-Т-Гцг:—i
Примеры. 1. Вычислить 4sin ^1cos (14-у).
Применяя формулу (6), имеем
4sin(l+4)cos(l+-j)=2[sin(l+|-+l+y) +
+ sin(l+|_l_£)]=2[sin(2 + ff) + sin(-f)] =
= 2[sin(y—(—2))—y]=2cos(—2)-l=2cos2-l.
Итак, 4sin(l-b+cos(l++=2cos2— 1.
2. Вычислить 2cos^-sin^.
Применяя формулу (6), имеем
2cos12Sini2“ [Sln \T2"^12)“l_Sin(12—12 )j —
— Sin -g-H-Sin^ -у j — 1 2~— 2 •
Итак, 2 cos sin •
о 3 sin 4 cos 5_3 [sin (44-5)+sin (4—5)[ _3(sin 9—sin 1)
7 7-2 — 14
Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
Следствие 13. Для любых двух углов а и $ справедливо
равенство
cosa + cos р = 2 cos cos
которое называется формулой суммы косинусов.
Следствие 13 можно сформулировать так: сумма косинусов
любых двух углов равна удвоенному ( произведению косинуса полу-
суммы этих углов на косинус полуразности этих углов.
Следствие 14. Для любых двух углов а и р справедливо
равенство
cos а—cos р = 2 sin —у1- sin ,
которое называется формулой разности косинусов.
Следствие 14 можно сформулировать так: разность косинусов
любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полу-
суммы этих углов на синус обратной полуразности этих углов
249
(под обратной разностью углов понимается такая разность, когда
из угла, стоящего под знаком вычитаемого косинуса, вычитается
угол, стоящий под знаком уменьшаемого косинуса). *
Следствие 15. Для любых двух углов а и р справедливо
равенство
sin а+sin р = 2 sin cos ,
которое называется формулой суммы синусов.
Следствие 15 можно сформулировать так: сумма синусов любых
двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих
углов на косинус полуразности этих углов.
Следствие 16. Для любых двух углов а и Р справедливо
равенство
sin а — sin р = 2 sin cos ,
A <£
которое называется формулой разности синусов.
Следствие 16 можно сформулировать так: разность синусов
любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полураз-
ности этих углов на косинус полусуммы этих углов, при этом
синус полу разности берется так, что из угла, стоящего под зна-
ком уменьшаемого синуса, вычитается угол, стоящий под знаком
вычитаемого синуса.
Доказательство. Обозначая
и складывая эти равенства, получим
I а = —
I 9 ’
(8)
Из равенства (8) следует, что для любой пары х и у всегда
найдется пара а и Р такая, что справедливы равенства (7).
Если в формулах (4), (5) и (6) произвести замену а и р на х
и у по формулам (7) и (8), то получим справедливость следую-
щих формул:
cos х + cost/ = 2 cos cos (9)
cos x —cos t/= 2 sin —sin , (10)
sinx4-sint/ = 2sin^y^cos^-jp. (11)
250
Пользуясь тем, что sin(—у) =—sin у для любого угла у, из фор-
мулы (11) получим
sinx—sin# = sinx-f- sin(—#) = 2sin^^cosy^,
т. e. получим, что справедлива следующая формула:
sinx — sin# = 2 sin cos (12)
Из справедливости формул (9), (10), (11) и (12),вытекает справед-
ливость следствий 13, 14, 15 и 16.
Примеры. 1. cos4а + cos6а = 2cos6аcos4ж~с«
— 2 cos 5а cos (—а) = 2 cos 5а cos а.
2. cos^-y — PJ—cos^y + Pj=2sin--%--sin—--------и
₽ 2 sin-J sin (₽-§) =/2"sin (₽-£).
3. sin Y +1=sin у+sin -J=2 sin (I+cos •
4. sina—cos —5a) = sina — sin5a = 2sincos=
— 2 sin (—2a) cos 3a = —2 sin 2a cos 3a.
§ 6. Формулы для двойных и половинных углов
Формулы для двойных углов. Пусть дан некоторый угол а,
т. е. пусть дано некоторое число а, представляющее радианную
меру этого угла. Тогда под углом 2a понимается угол, радиан-
ная мера которого есть число 2a; угол 2a часто называют двой-
ным углом.
1. Для любого угла а справедливо равенство
sin 2a = 2 sin a cosa, (1)
которое называется формулой синуса двойного угла.
Это утверждение можно сформулировать так: синус двойного
угла 2a равен удвоенному произведению синуса угла а на косинус
угла а.
Доказательство. Полагая а = р в формуле для синуса
суммы двух углов
sin 2a = sin (a -j- a) = sin a cos a + cos asina = 2sina cos a,
получаем справедливость утверждения 1.
2. Для любого угла 2a справедливо равенство
cos 2a = cos2 a — sin2 a, (2)
которое называется формулой косинуса двойного угла.
251
Это утверждение можно сформулировать так: косинус двойного
угла 2а равен квадрату косинуса угла а минус квадрат синуса
угла а.
Доказательство. Полагая 0 = а в формуле для косинуса
суммы двух углов
cos 2а = cos (а 4- а) = cos а cos а — sin а sin а = cos2 а — sin2 а,
получаем справедливость утверждения 2.
3. Для любого угла а такого, что а^уН-лй, k^Z, и
справедливо равенство
‘В2-=Т^. (3)
которое называется формулой тангенса двойного угла,
Доказательство. Представляя 2a как (a-|-a) и применяя
формулу тангенса суммы двух углов, имеем
, п l z . \ tga+tga 2 tga
tg2« = tg(a+a) = T^i^ = r=IFi,
что и требовалось доказать.
4. Для любого угла а такого, что , k£Z, справедливо
равенство
0)
. о ctg2 a—1
ctg2a=_2ctga-’
которое называется формулой котангенса двойного угла.
Доказательство. Представляя 2a как (a-]-a) и применяя
формулу котангенса суммы двух углов, имеем
elgto_ctg(« + a)-i^=^,
• что и требовалось доказать.
Примеры. 1. Вычислить sin2a и cos2a, если sina=*-|- и
’ я)-
Для любого угла а из указанного промежутка cosa отрица-
телен, и поэтому
cosa = — V1 — sin2a =— у.
Применяя формулы (1) и (2), получаем
24
sin 2a = 2 sin a cos a = — ~,
-
7
cos 2a = cos2 a—sin2 a = ~.
252
2. Вычислить tg(-2-+aJ—tg^-5- — a j , если tg2a = 3. При-
меняя формулы для тангенса суммы двух углов, затем для тан-
генса двойного угла, получаем
tg
(j+a)-tg(t-a)e
t £ X
1 — tg 4-tga
X Я X
tg-4-tga
1+tg-^tga
Рассмотрим угол na, где n — любое натуральное число. Под
углом па понимается угол, радианная мера которого есть число па.
Можно вывести формулы, выражающие sin па и cos па
через sina и cosa. В качестве примера приведем формулы для
sin 3qc и cos За:
sin За = sin (2а-|-а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а = 2 sin a cos2 а 4-
+(cos2 а—sin2 a) sin а = 3 sin a cos2 а — sin9 а = 3 sin а—4 sin* а.
Итак, sin За = 3 sin а—4 sin9 а;
cos 3a=cos(2a4-a)=cos 2а cos а—sin 2а sin a=(cos2 a— sin2 a)cos a—
' — 2 sih2 a cos a == cos9 a — (1 — cos2 a) cos a—2(1— cos2 a) cos a =
= cos9 a—cos a 4- cos9 a — 2 cos a 4- 2 cos9 a = 4 cos9 a—3 cos a.
Итак, cos За = 4 cos9 a—3cosa.
Q
Примеры. 1. Вычислить sin За, если sina = -j-. Используя
формулу для sin За, получим
slnta=3.i_4(|y=^=A.
2. Вычислить (sin За 4-cos За), если sina — cosa = -pL=-. Исполь-
зуя формулы для sin За и cos За, имеем
sin За 4- cos За=3 (sinа—cosa) — 4 (sin9а — cos9 а).
Применим формулу сокращенного умножения:
sin3 а—cos9 а = (sin а—cos a) (cos2 а 4- sin a cos а 4- sin2 а).
Таким образом, при sina —cosa = —L? имеем
V 2
3 1 ‘
sin За 4-cos За =-7=-—4-—7= (14-sinacosa) =
у 2 у 2 '
— —т=-(—1 —4sinacosa).
253
Дополним получившееся выражение до полного квадрата разности:
— 1 — 4 sinacosa =—3+2(1 — 2 sin a cosa) =
ss —3 + 2 (cos2 a + sin2 a — 2 sin a cos a) =s
—3 + 2 (sin a—cos a)? =; —3 + 2 • у — —2.
Окончательно получаем, что sin За + cos За = — V 2.
Формулы для половинных углов, Пусть дан некоторый угол а,
т. е. пусть дано некоторое число а, представляющее радианную
меру этого угла. Тогда под углом у понимается угол, радиан-
ная мера которого есть число у; угол у часто называется по-
ловинным углом.
5. Для любого угла а справедливо равенство
0 a I + cos a
COS-_=_X——,
(5)
которое называется формулой квадрата косинуса половинного угла.
Доказательство. Очевидно, что угол а можно считать
двойным углом по отношению к углу у. Поэтому для любого
угла а справедливо следующее равенство: ' • -
cos a=cos2 -х-—sin2 “77;
A A
кроме того, для любого угла а справедливо основное тригоно-
метрическое тождество:
l = COS?y + sin?y.
Складывая эти два равенства, получаем равенство (5).
Равенство (5) равносильно равенству
I + cos a
2
1H-COS«
Из последнего равенства имеем:
a ,/Т+cosa /с .
cos у = у — (5а)
для любого угла а, для кото-
рого cos у неотрицателен (т. е.
для любого а, принадлежащему
при некотором k € Z промежутку
[—л + 4л&; л + 4л&]).
254
_______ a т/ I + cos a /С/!ГЧ
cos у = — у — (56)
для любого угла а, для кото-
рого cos у неположителен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором k С Z промежутку
[л + 4лА; Зл + 4л&]).
Замечание. Формулы (5а) и (56) для граничных значений
угла а, т. е. при а = л-|-2шп, где m£Z, дают одно и то же
значение: cos £ = ().
Примеры. 1. Вычислить cos у . Так как cos^ у =
. . л , . к 2 ______
_ +cos 4 1+ 2 _2+Г2 toc0sZL-E2+£2.
2 “ 2 4 8 “ 2
2. Вычислить cos-у, если sina = y и а£^—-у,—л}.
Прежде всего найдем cosa. Поскольку для любого угла а из
указанного промежутка cosa отрицателен, то
cosa= —У 1 — sin2a= —-f-.
О
Так как a g (——д'), то £ € (—. Для любого угла
из этого промежутка cos у также отрицателен, и поэтому
„„„ a i/" 1+cosa У~5
cosT = -y—g-----------r.
ж» a V"5
Итак, cos у = —yj-.
6. Для любого угла a справедливо равенство
которое называется формулой квадрата синуса половинного угла.
Доказательство. Выше уже было отмечено, что для любого
угла а справедливы равенства
sin’—cos2 -к- = 1, — sin2 ?+cos2 5 = cos a.
4b 4 Z Л
Вычитая из первого равенства второе, получаем равенство (6).
Равенство (6) равносильно равенству
|sinf
/1—cosa
2
Из последнего равенства имеем
Siny= у ----2--- (6а)
для любого угла а, для кото-
рого sin у неотрицателен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором т £ Z промежутку
[4лт; 2л + 4лт]).
а т — cosa
Siny = —у -----2--- (66)
для любого угла а, для кото-
рого sin у неположителен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором т 6 Z промежутку
{—2л + 4лт; 4л/п]).
255
Замечание. Формулы (6а) и (66) для граничных значений
угла а, т. е. при а = 2лЛ, где k£Z, дают одно и то же значе-
ние: siny = 0.
. Я
1 — COS у
Примеры. 1. Вычислить sin у. Так как sin* 2 * у =-----------
1—-
2
2
У 2 .я
у— , то sm-g-
2. Вычислить sin у , если sina =—4 * * 7 , а а£^л,
Поскольку для любого угла а из указанного промежутка
cosa отрицателен, то
cosa = — V1 — sin2 a — —у .
Так как а€ (п, » то ("7’ т) ^ля любого Угла 7 из
этого промежутка sin у положителен, и поэтому
. а -./"1—cosa 2 У~2 г
smy^y—2— = — •
м . a ' 2
Итак, sin -к = — 5— -
Z о
7. Для любого угла а такого, что a^n + 2nk, k£Z, спра-
ведливо равенство
(7)
|„2 а 1 —cos а
2 1 + cos а ’
которое называется формулой квадрата тангенса половинного
угла.
Доказательство. Используя определение тангенса угла
и равенства (5) и (6), получаем равенство (7).
Равенство (7) равносильно равенству
I. а [_ Г1—cosa
® 2 I г 1-f-cosa '
Из последнего равенства имеем:
+ _ а ,/ 1—cosa ч
. ... (7а)
для любого угла а, для кото-
рого tg у неотрицателен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором п £ Z промежутку
[2лл; л 4-2 л и)).
____if i cos a /*7X4
2 — Y 14-cos a ( )
для любого угла a, для кото-
рого tg у неположителен (т. е.
для любого а, принадлежащего
при некотором zi промежутку
(— л 4- 2лп; 2лп]).
256
Замечание. Формулы (7а) и (76) для граничных значений
угла а, т. е. при а = 2лп, где n£Z, дают одно и то же значе-
ние: tg у = 0.
Примеры. 1. Вычислить tg-y. Так как
1 Л 1 1
1—COS-Г 1
tg 8 “ I 31 ~
1 + COS -7- 1
4
У~2 _ Г 2-1 _ (У2-1)2 _ , _ 9 ,/и
1 /2+1“ 2-1
/2
то
tg| = /з~2/2.
2. Вычислить tg^-, если cos2a = ^= и a € (—л, —.
\ 4 j
Поскольку для любого угла а из указанного промежутка
cosa отрицателен, то
cosa = —
1 + cos 2a
2
/39
8 '
т* ( Зя \ а [ л ЗлЛ тт
Так как ag ( —л; —^- \, то у С ( — у, —g-j. Для любого
угла у из этого промежутка tg у отрицателен, и поэтому
I a ____ -1/1—cos «___8-|- /39
® 2 V 1-j-cosa 5 *
Итак, tgf—5+р.
Для тангенса половинного угла можно вывести и другие фор-
мулы.
8. Для любого угла а такого, что a^nk, k^Z, справедливо
равенство
Доказательство. Так как а=0=л£, k^Z, то sin~=£0 и
cos “==4=0. Значит, справедлива цепочка равенств
.а . а Л . а Л . 9 а
sin-fT sin—-2 sin— 2sin2 —
f <y a —_2 __ 2______2_ ________2
® 2 “ a a o . a . a a
cos-^- cos—-2sm— 2sm—cos —
Z £ Z Z Z
Применяя теперь формулы (6) и (1), получаем справедливость
равенства (8).
9 М. К. Потапов и др. 257
9. Для любого угла а, такого, что a.^=n-\-2nk, k^Z, спра-
ведливо равенство
a sin a ,Q,
Доказательство этой формулы аналогично доказательству
формулы (8) и потому опускается.
Примеры. 1. Для любого угла а такого, что а=#л + 2лй,
k£Z, иа=/=у-|-лп, n£Z, упростить выражение
- _ sin 2а cos а
1 + cos а * 1 + cos 2а *
Поскольку для рассматриваемого угла а
cosa#=0, cosa=/= — 1, cos2a^&—1,
то
- _ 2 sin a cos a cos а_sin а
14-cosa 2 cos2 a 1 + cosa *
Так как в данном случае применима формула (9), то
Л =tg-|.
2. Вычислить tgу, если cos a = -|- и a£^—у, о) .
Для любого угла а из указанного промежутка sina отрица-
телен, поэтому
sina = — У 1—cos2a = —у»
Теперь применяя формулу (9), имеем
. a _ sin a 1
° 2 14-cosa 3
Итак, tg-^ =—у.
Приведем еще формулы, выражающие синус, косинус, тангенс
и котангенс угла через тангенс половинного угла.
10. Для любого угла а такого, что а=/=л + 2л&, k£Z, спра-
ведливо равенство
l-tg2j
cosa =---------. (10)
l+tg2|
258
Доказательство. Для любого угла а такого, что
#=л4-2лЛ, k£Z, справедлива цепочка равенств:
, а . , а
COS1 2 у-—Sin2 у
cos2-?-—sin2 Д- cos2-?
cosa 2 2 2
COS a = —r— =----------------=-----------------=
cos2 y.+ sin2 у cos2y 4- sin2 -Д
--------------------------------
COS2 у
. cos2y sin2 у /siny\
• ---------1 — I -------- I
9 а о a I a /
COS2y cos2 “7Г \ COS-H- /
I cos2 sin2 ~ /sin y\
-----—- I+I —- I
9 a 1 9 a ‘I a /
cos2— cos2-^ \cosy /
H-tg2j
из которой вытекает справедливость равенства (10).
11. Для любого угла а такого, что а#=л4-2л&, k£Z, спра-
ведливо равенство
sina
2tgy
H-tg2-j’
(И)
Доказательство. Для любого угла а такого, что а^=
=/=л + 2л&, k£Z, справедлива цепочка равенств:
л . а а
2 sin у COS у
1 9 a , . 9 a 9 a , . 9 a
cos “2 +Sm ~2 C0S Г + sm 2"
cos “2
. a a
sin-x- cos
2----z--------
cos cos 2 tg у 2 tg y
cos2y sin2 у / sin у \ 1 + tg2y
--------------- 1 + 1 -------- 2
о a 9 a I a
cos2 у cos2 у \ cos у j
из которой и вытекает справедливость равенства (11).
9*
259
12. Для любого угла а такого, что а=Н=л + 2л&, k£Z, и а=£
=/=у+лп, n£Z, справедливо равенство
2tgy
tga =-------j-
(12)
Это равенство есть следствие формулы тангенса двойного угла.
13. Для любого угла а такого, что a=/=nfc, k£Z, справедливо
равенство
i-tg* 2y
ctga =------(13)
2tgy
Доказательство. Для любого угла а такого, чтоа=/=лй,
k$Z, справедлива цепочка равенств:
«> а . „ а
COS2 “— sin2 тг
cosa 2 2
ctg а = -— --------------------
ь sina Л . а а
2 sin у cos у
, а . , а
cos2 у— sin2
Га
cos ~2
2 sin у cos у
, а
c°S*-
а
sin у
2-----
а
c°sy
9
COS2y
cos2 у sin2 у /sin —\
1 I £ I
9 a I a )
cos2 у \ cosy /
а Г? a
cosy 2tgy
a
cosy
1 — tg2 «
6 2
2tg|
из которой и вытекает справедливость равенства (13).
Пример. Вычислить r+coi|qisinoc, если tg| = 2.
J-tg2| -3
По формуле (10) cosa =-----------=- . По формуле (11)
l + tg2y й
о 1 5
Значит, хп--------Г—:-- = 77 •
* 2 + cosa+sina 11
260 .
1 .>
УПРАЖНЕНИЯ
Определить знак следующего числа (1—21):
1. sin 2-sin 4‘sin 6. 2. cos 5«cos 7«cos 8.
3. tg(-l).tg3-tg6-tg(-3).
5 sin (—3)-CQs4-tg(—5)
ctg 6
sin 6 +cos (—4)
7’ tg (—2) + ctg(—10) ‘
9 cos 7—tg 10
cos (— К2 )*ctg (—4)
4. ctg 1-ctg (—2)-ctg 9-ctg (—12).
sin 7»cos (—8)
tg6-ctg(—5) ’
sin (—8)-|-cos 9
cos 11 • tg (—9) ’
tg 7- sin — cos -Ц • ctg j/26
o.---------L!-----Л.
cos (-2).sin V17—tg /70
,, КЗ .9 sin—2~
П. cos-^- • .
12, -Sj|+tgH-ctg/49j.
13. arcsin-2— arctg (—10) +arccos ( — .
4 \ о )
1 /л
14. arccos — • arcctg (—11,5)— arcsin--
10 ° \ 4
16. arcsin [tg — -b) j +arctg [cos (—4)].
17 arcc*§ (sin ^) —arctg (cos 10)
arcsin [cos (—8)]-arccos (sin 5) ‘
18.
arcsin (cos 12) + arotg (sin 7)
^ctg(-7).
19 arccos ( arctg (COS 4) I Sin (~10)'
\ n ) arcctg 115' tg 12
20. arcsin [ctg (—0,3)]-sin (-9) . ctg (—£) 13
arcsin [tg (—0,4)]-cos (5,8) sin ]/*3 2
arctg(sfn 10)4-tg ^arcsin (—j tg(—ll)-sin^
21' ГТ 1 ЗуТ cos (-3,5) ’
ctg arccos I—1 v
Найти числовое значение следующего числового выражения (22—101):
261
24.
2л
3
25.
. 3л
sin —
4
26.
cos
5л . 2л
— ctg—
. . Л
| S.n у
5л
cos ~7Г
O Л
——-s,nT
ctg у
Л . Л
cosy-tgy
sin(—n) + cos л
. Л
• sin —
b
20л —
27.
cos
9Л . f 49л \ f 51л \ . . f Н3л\
34. sin'^ — — bos ) + ----J-J’
. 63л f 85л \ . f Ил\ 49л
36. sin-j-cos (---6~Jtg(-----3”)ct2“e
181л . f 31л \ 13л \
37.005-^-8!^----j.
37л .
cos —— Sin
4
tg^(—112л)-со52(П5л)
. « 119л . , 53л
Sit!2 -g--|-Ctg —y
262
( 37л \ / 44л \ . 51л
*{--4-ГЦ-—>п—
41. — •
cos2———|-sin (—Юл)
42. arccos (—arcsin-i-|“arct£ V&*
( V~2 \
43. 2 arccos (---— )+arcctg (—1)—л.
44. 3 arcsin^——2 arccos^
45. 4«irctg(— l) + arctgl— .
46. sin / arcsin -|“cos fn—arctg (— 1)J.
Г ,137л Л
47. sin-------~----2 arccos
49. sin 3arccos
<2
2
-^4-2arcctg (— V 3) j.
. . Н7л“|
4 arccos (— I) —g— .
51. tg 6 arccos
52. tg ( 8 arccos
Пл o УЗ
~2----2 arccos
. 54. tg arcsin
55. ctg
56. ctg
57. ctg
59. cos
60. cos
61. cos
o / /2 \ , Г
2 arcsin I-->4-arccos— .
i/~2" 1
3 arcsin (—1)4-arccos-^2— .
arcsin 0 _ . ( y^T \ | . Tarcsinl
—g-------2 arctg --jJ . 58. ctg
4 arcsin^—3 arctg (-/3) .
1^2 ’ 1
5 arcsin -------2 arctg (—1) | .
о /3
—3 arcsin
4-cos (—2 arctg 0).
B''
62.
63.
64.
65.
cos (л —arcsin 0)—cos [6 arcctg (—1)]
sin (2л—arcctg 1)
sin
tg (—115л—arcctg 1)
sin —2 arcctg
sin
4~cos (—5 arcctg 0)
263
66. tg(arctg31) + ctg (arcctg5).
67. tg ^arcsin |0. 68. tg ^arccos 0
70. sin ^arccos —cos ^arcsin
71. sin (arctg 12) +cos [arcctg (—2)].
69. tg (arcctg 7).
72. cos [arctg (—5)]—sin (arcctg 3).
73. cos (-arcsin -|-Y 74. cos (л —arctg 17). 75.cos Гarcctg (—4)
2л—2 arccos
'З
2
77. sin f ——arccos
76. cos
78. sin Гл + arctg -^0—. 79. sin f-y-—arcctg 81
/ i/2 \
80. sin ( 2л—3arcsin-+j—j .
ОЛ . / 3л . . j/*3 \
82. tg ^-g-4-4 arctg Jy-) .
81. tg arccos^—.
83. tg л + arcsin
(л v 2 i
84. tg [2л—arcctg (—5)J. 85. ctg ( y—arcsin j .
86. ctg Гл + arccos f—• 87• ctS M^~5arcctg (—1)1.
88. ctg [2л + arctg (—11)]. 89. arccos (cos 2) + arcsin [sin (—1)].
90. arcctg (ctg 3)—arctg (tg 1). 91. arccos ( cos ) —arcctg ( ctg-2.
\. " / \ о
92. arccos f cos arcsin Fsin y) j .
arcsin
93.
я
94.
arccos («cos л)—arcsin
95. arcsin (sin 2) + arccos (cos 10).
96. arccos [cos (—9)]—arcsin (sin 7).
97. arctg[tg(—6)]— arcsin (sin 8).
98. arccos f cos -(-arcsin [sin (—7)].
arcsin (sin 2б) + 2л
arctg [tg (—8)]—3л *
24
5
100. arctg (tg^ )— 2arcctg (ctg
\ о / \
101. arccos [cos (—5)] + arccos [cos (—8)].
Доказать справедливость следующего числового равенства (102—197):
ж. si„ "„/г-КГ
о 2
юз.
о
264
1°4. sinJL =Д-L. 105. sin Д-1 .
1о6.соз£=£1£ДЕЁ._ ю7.СО5?2=Д=1.
108. sin siny- sin^-= . 109. 8 cos cos cos -ттг= V3 •
ю о io 1о 1о
ил л Л л Пл 7л . л 1
110. COS^COS-^COS-^-S.n^^.
114 л Пл 13л К6+К2
"I- COS36COS_36"COS“36~=—•
_ л 2 л Зл 4л 5л 6л 7л I
иг. cos-cos^cos-ycos—cosmos -у cos—=—.
ИЗ. tgS-itg2^-=5. 114- cos£cos-^cos-^=l.
о о 7 7 7 8
i-e . л . 5л . 7л 1 _ . л . 2л х Зл t 4л 1
115. sm^sin-^sin-^-g-. 116. ctgctg-д-ctg — ctg—=у .
л 2л 1 цо Зл л 1
117. COS у-cos-5-= у . 118. sm-^-sm^y.
П9. ctg^-+4cos-^-=pr3 . 120. cos-^ +cos-^4-cos-у-=— -L .
<rt< 2л , 4л 7л л 1
121. cos—4-COS-^-COS-jg—005^=-^-.
122. ctgg + tg^-tgi-ctg^=6+2 /3.
4 л . . 2л , , 4л о . 2л
123- tg-g+tg-9-+tg-9---8sm-g-=y з.
4ЛЛ л , Зл . 5л , 7л , 9л 1
124. cospi+cos-pp+cos-jp+cos yp+cOS -^-=2“ •
<Л1- . л л , .,3л. . , 5л . . , 7л 3
125. sin^+s.n^+sin^ + s.n^=т .
sin810 vos810 sin6 10 . cos6 10 . sin4 10_J 1
126 ‘ “8 8 3 1 6 1 4 24 ‘
127. л3=3 2л ' Зл Siny sin—у- sin — . / tv я—2 129. arcsin (cos 1) = —— • / . 7л \ л 131. arccos Sin-777 =-^- . \ 1U / Э f ( 3л \ \ z 133. arccos ( cos ( y- j j ; / 2 135. sin arccos-5-+arccos 7 \ * 136. cos ^2 arctg ’"“у) ) ~ ( 5 . ; 137. cos arctcosy^ — arcsin 7 lo < -. 128. arcsin ( s'.n-7- =-t-• \ 4/4 «лл . ( ( Юл \ \ л 130. arcsin cos 5— — — . \ \ 3 / J 6 mo f • ( л \ \ 5л 132. arccos sin —=-3-. \ \ 0 J / 0 зл . /„ i \ V 3 —-zr-. 134. sin 2 arccos -x- =-Ц- • / у x у l_\_/5+4/2 3; 9 4 = 5 ‘ 3 \ 56 5 /65 ’ ,us265
138. tg (arctg 2+arctg3) = —1.
139. arctg (tg 6) = 6—2л. 140. arcsin (sin (—5)) = —5 +2л.
(1 \
— у J=-
143. arctg (— 2) + arctg(— 3) = — .
144. arcsin y-j-arcsin -j-arcsin gg = n.
145. arctg4*+arctg4-+arctg4-+arctg 4-==?.
о О / о 4
4 , 5 . . 16 л
arcsin -p- 4- arcsin — +arcsin
Э IO OO Z
146.
147. arctg 1 + arctg 2 +arctg 3 = л. _ _
„ .2 41 ,.n 1/2 / 6+1 я
148. 2arcsin—= arccos —. 149. arccos I/ — arccos -—7+- = —.
7 49 r 3 2 / 3 6
11 1 1 32
150. 2 arctg-y+^rctg —=arctg3. 151. arctg —+ 2 arctg—=arctg — .
& o 4 Э 4o
152. C0S —iA=r^-«ge 153. 2sin214+cos(4-7)=l.
1— sm 10 1—tg5 ' ' '
2sin6+sinl2 „ cos6—cos9+cos 12 n
,54‘ 2 sin 6-sin i2=Ctg* 3- *55- sin 6-sin 9+^12=^ 9*
156 sin8—sfn 10—sin 12 -[-sin 14_sin 11
cos4—cos6—cos8-i-cosl0 cos 7 *
157. sin® /?+ cos® /?+-|-sin«2 /7=1.
158. sin /2 sin (2— /2)+cos8l+sin2(l — /2) = 1.
159 l+sin4/3_ _ 2 _
‘1—2sin22/3 1— tg22 / 3 *
cos —- у (
leo.-------Ц---------
sin22 V 6 —sin
= 1.
161. sin 8—cos8tg4 = tg2.
162. 4 sin ^/1>+л) sin V cos 5^=sin3 /3.
1 оз *—sin61—cos6 1 __3
1—2sin22—/“3sin4“ 2 ’
<л. cos 2/11—cos6 /11+coslO/11 — cos 14 /11 »~
164. ---T7=-------7=---------7=-------57=’ = tg2 У 11.
sin2 /11 + sin6 / 11+sinlO /ll + sinl4 /11
165.
166.
167.
168.
169.
sin 23+cos 23—sin 69 — cos 69_ .
2 sjn 46 + 4 sin223_2 —Sin 2J.
1+cos 17 + cos34 + cos 51
2 cos 17+4 cos217—2
sin2+sin4 + sin6 = 4sin3cos2cos 1.
sin 2 /T3 + sin4 /Тз—sin 6 /13 = 4 sin 3 /13 sin 2 /13 sin /13.
L?-* 1 + ctg »=2ctg2. 170. 3-4cos2+cos4
l + tg2tgl 1/v‘ 3+4cos2 + cos4 g >
266
sin2 2 cos 6 +cos2 2 sm 6 л .
171. ——------4--——=2 cos 4.
sin3 1 cos 3 +cos3 1 sin3
Л , 3n\ , n 11л\
COS l+v +2cM 1—(Г)
172. >---V---------+ ~ Л = / 3 ctg I.
2sin 0L+l)+/3sin(-^--l)
173. /(I —tg2l)(ctg2 1 — 1) = — 2 ctg 2.
174. (cos 2 tg 1 —sin 4) (cos 4 ctg 2 + sin 4) = — I.
sin 13 + sin 14+sin 15 + sin 16__. 29
cosl3 + cosl4 + cosl5 + cosl6“ g2-‘
176. 1— 1^3 cos —3^1—2 cos2 + =2sin (-£—з).
sin (2 /2 + l)4-sin (2 /2 — 1)-cos f+~2 /2^
177. ----------------------------------------__Z = tg2 v 2.
cos(2 V2-|-l)+cos(2 /2-1)—sin (-y4-2 /2]
l+cos(4—2n)4-cos (4 —
178. ->—£(_ = ctg 2.
1 +cos (ji + 4) + cos f'^"+4 * )
. sin22 (1 + cosec 2 +ctg2) (1—cosec 2+ctg 2) _ «
cos2(l+sec2 + tg2) (1—sec2 + tg2) -cos2-
a
со
183.
_______1— 2 cos2 7___
2tg (7-i) sin2 (^ + 7)
184. l-|-sin2 — 2cos2 1 == У"2sin
185. 1—sin ^-—-—2^—cos ^2 —
186. 6sin2l—cos 2 — 1= — 8 cos
18/. 2 cos2 3 + 2 cos 6—3 = 8 cos
188.
=2.
1». ['ет-'в(7-')Г+[с‘гТ+с,г<”_1,]’=Я^Т
190. 2 (sin6 5 +cos6 5)—3 (sin4 5+cos4 5) +1 =0.
191. ctg-1--tgy-2tg-l--4tgy=8ctgl.
267.
192. tg 2 tg 1) 4-tg2 tg (i-1) +tg (£-1) tg 1) = 1.
193. sin (ctg 5) 4-sin (tg 5) = 2 sin cos (ctg 10).
194. 14-cos 2+cos 4+cos 6 = 4 cos 1 cos 2 cos 3.
195. sin 2+sin 4—sin 6 = 4 sin 1 sin2 sin3.
196. sin354-sin2 yr2+2sin5sin Y 2 cos (5+ Y~2) — sin2 (5+ Y 2).
1P7 cos 1 +sin 1 __ 1 +2 cos2 1 _ 2
sin 1—cos 1 cos2 1 (tg21 — 1) l-f-tgl*
Доказать справедливость следующего числового неравенства (198—244):
198. sin 1 + cos 1 > 1. 199. sin 1 + tg 1 > 2.
ЛЛЛ • 2+ Y~3 sin 2 + sin 3
200. sin —-77->-----------------•
/3 . /2
oftf /34-/2 C0S—+COS —
201. cos-^—--------->-----------£----.
202.
203.
204.
205.
/ /б\ /. /б\
sm I cos —— ) <«cos I sin——r— I .
\ 3 / \ 3 /
sin (sin V 2) < cos (cos Y 2). _
1 1 4/3
• (• i л \ . / л . \ > 3
Sin ( 1+-Q- I Sin ( — — 1 I
\ & J \ J
(in—+4 ( i’h—+4 > 34-2/2.
\ sin / 2 / \ cos /2 /
зов. уО + Г-Д- >------------1—.
sin 1 «sin Y 2 1 + / 2
Sin----2---
__ — 3
207. cos 1+cos Y 2 + cos(k — 1— Y 2) < -x-.
£
208. sin2 (л— V 2—/3) > sin 2 /2 sin2 /3.
„„„ • 1 • /2 . л—1 —/2 1
209. sin _ sin -Z—-sin---------<
210. 4sin3(34- /5)4-5 > 4cos2(34- /5)4-5sin (3-f- /б).
211. —4< cos 2 /'7-|-3sin / 7 < ^ . 212. -1 < sin« 12-f-cose 12 < 1.
213. ---+=H--------4=-H------------4=------7=^- > 6.
/2 / 3 2л— / 3— / 2
cos — cos — cos-----------------2---'------
. 2 . 3 3 1
214. arcsin < arcsin — . 215. arccos -= < arccos-тг.
о 7 7 3
216. arctgarctgу . 217. arcctg (3 /2) < arcctg 4.
218. 2 arcctg 4 +arcctg 3 >. 219. arctg-|-+arctg-|-> ~.
4 0 3 4
/ 2 \
220. arccos ( —- I < arccos
\ 3 у
_ q
> arctg /3 —
О
268
222. arccos
3 . 2
> у+arcsin — .
224. 3 arccos
g
223. arcctg (—3) < —arctg 3.
<5
2 /5 \ 2л
5 } > 3 ‘
225. arcctg у+arcctg— <
226. -7Г arccos— > arccos -=—arcsin
2 4 5 3
2 12 1л
227. arccos-g+arccos^+arcsin j. > —.
1 1 .
228. 12 cos2 |^-p7 sin — < 13. 229. sin 4-}-cos 4 > — У2.
230. ctg33+ctg23 — ctg3—1 <0.
231. cos y/'~2+ cos 2 К 2 4-cos 3 /2 <0.
232. 2 cos 1 +sin 1 > tgy. 233. tg27-|-ctg27 > 2.,
ie z ic ._________ 14\ C0S2-=- j
234. 2 cos у (cos у— Г 8 tg у J < 5. 235. -------------p- > 3 tgy.
cos2 у
2+/2-4cos’-!^- 3 3 9 3
“• —Ж----------Ж- >2'
Sin 12 C°S 1Г
238. 2 cos2 / 3—sin /3+sin3 / 3 < 1.
239. 6 cos2 Xjr-tg2 /2 <2 sin2 /2 + 3tg2 /2.
240. у/ 5—2sin-^- >6sin-^—1. 241. У*2+4 cos 2 > -^-4"3cos2.
242. prsin7+ j/cos 7 > 1.
243. У 3+2tgjCl-tg2-^>l+|tgJ<l.
244. cos 1 +cos3 > cos 2 +cos 4.
Упростить (245—262):
245. sin2(n—9)4-tg2(n—9) tg2 (4-sin f 4+9) cos (9-2л).
246. 1—sin (1—2л) cos (1 — y) — tg(n— 1) tg (-y— 1^—2cos2(n4-1).
. л . 7л ... Пл .25л . . , 29л .34л
2.47 . S1n у SIn-y4-s1n2-lrcos2-Ty4-s1n2-iy cos2—.
..о ( • 5л , . 5л \ / . 13л . 19л \ .
248. ^sin-|y4-sin-yj ^sin-g-sin-jyJ4-
. ( . Пл , . 19л \ ( 5л 5л \
+ ^n-y+smyy J (cos -y-cos у J.
249 sin (4—л) cos (4—2л) sin (2л—4)
sin (у-4^ ctg (л—4) ctg (у 4-4)
269
250.
251.
252.
254.
255.
256.
258.
260.
Z 1 \ / Зл 1 \ . Z 1 л \
sln^TJ cos^-T)tg^--y)
Z л . 1 \ Z Зл , 1 \ . ( .IV
cos (т+т)cos (т+т) tg V+т)
cos (2 V 2—2л) + cos — V~2^ sin («+ V~2)-
Si/(r5) x+ctg(^+5)tg(|-5) • 253’ mS• tgM.
COS ( “о +* ) P
\ Л J
2sin /I9«sin2 /19+ 2 cos 4 /19-cos 10 /19,
sin 3 /21+2-sin5 /21 •cos 2
sin (-y—l)*sin I>cos2. 257.
sin2 /7+tg2/7 2И
cos 2/7+ctg 2/7 *
/21.
14-tg2 /29-tg /29
ctg /29+ tg /29
sin11 +cos4 1 — 1
sin61 + cos® 1 — 1 ’
cos2 /5—sin2 /5--ctg2 / 5
л 2л
cos cos
о о
261. ctg2 10—tg2 10—8 cos 20 ctg 20.
cos3+/3sin3
О ' - - „ - - -
cos 3— / 3 sin 3
Найти наибольшее А и наименьшее В такие, что при любом Р справед-
ливо следующее двойное неравенство (263—265):
263. А sin р cos р cos 2р cos 4р В.
264. 4<sinp + 2cosP<B.
265. 4<4sin2p—3cos2p<B.
266. Доказать, что равенство (sinx)a + (cos х)а = 1 выполняется при лю-
бом х в том и только том случае, когда а=2.
Глава VI. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
При рассмотрении количественных отношений явлений реаль-
ного мира приходится иметь дело с численными значениями
различных величин, например времени, пути, скорости, ускоре-
ния, объема и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий
одни из величин имеют постоянные числовые значения, у дру-
гих—эти значения переменные. Такие величины называются соот-
ветственно постоянными и переменными. Например, при равно-
мерном движении скорость v постоянна, время t и путь S пере-
менные, причем S = vt. При свободном падении тела, брошенного
без начальной скорости, ускорение силы тяжести g постоянное,
время движения t и пройденный путь S переменные, причем
8-^-
Изучение окружающих явлений показывает, что переменные
величины изменяются не независимо друг от друга, а изменение
численных значений одних из них влечет за собой изменение
значений других. Здесь будут рассматриваться лишь пары пере-
менных, значения одной (зависимой} из которых изменяются
в зависимости от значений другой (независимой}. При этом в рас-
сматриваемую зависимость двух переменных величин кроме этих
переменных могут входить и некоторые постоянные величины,
которые обычно называют константами. В приведенных выше
примерах естественно считать t независимой переменной, S —за-
висимой переменной, а у и о —константами. Приведем другие
примеры таких пар переменных величин: площадь круга S = n7?2
(R— радиус, л— константа), где S меняется в зависимости от R\
закон Бойля—Мариотта: Р=у- (V —объем некоторого.количества
газа, р—давление этого газа, с —константа), где р меняется в
зависимости от V.
Независимая переменная может принимать не любые числовые
значения, а лишь значения, продиктованные условиями рассмат-
риваемой задачи. Например, при свободном падении тела, бро-
шенного без начальной скорости с высоты Я, время движения t
[Л~2Н~~
О, у — .
271
Подчеркнем, что в приведенных примерах каждому значению
независимой переменной соответствует только одно значение за-
висимой переменной. Ниже будет рассматриваться только такая
зависимость пар переменных.
§ 1. Определения и примеры
Понятие функции. Пусть дано некоторое множество чисел X
и пусть указано некоторое правило (закон), обозначаемое бук-
вой /, по которому каждому значению величины х (независимой
переменной) из множества X ставится в соответствие одно вполне
определенное значение величины у (зависимой переменной). Тогда
принято говорить, что дана функция y*=f(x) с областью опреде-1-
ления X, или что дана функция y = f(x), определенная на мно-
жестве X. Множество У—множество всех значений, которые
принимает при этом переменная, называется областью изменения
функции у — f (х).
В этой книге в основном будут рассматриваться такие функ-
ции, для которых закон, устанавливающий соответствия, задается
посредством формул. Такой способ задания функции называется
аналитическим.
Примеры функций.
1. Пусть « — некоторое фиксированное натуральное число,
тогда каждому действительному числу а можно поставить в соот-
ветствие (см. гл. IV) одно действительное число ап. Значит, можно
сказать, что указан закон, по которому каждому значению х из
множества всех действительных чисел ставится в соответствие одно
числовое значение х". Другими словами, задана функция у = хп
с областью определения—множеством всех действительных чисел.
2. Пусть (—«) —некоторое фиксированное целое отрицательное
число, тогда каждому отличному от нуля действительному числу а
можно поставить в соответствие (см. гл. IV) одно действительное
число а~п. Значит, этим соответствием задана функция у~х~п
с областью определения —множеством всех отличных от нуля
действительных чисел.
3. Пусть а —некоторое фиксированное положительное нецелое
число, тогда каждому неотрицательному числу а можно поставить
в соответствие (см. гл. IV) одно действительное число а“. Значит,
этим соответствием задана функция у = ха с областью определе-
ния— множеством неотрицательных чисел.
4. Пусть (—а) —некоторое фиксированное отрицательное не-
целое число, тогда каждому положительному числу а можно
поставить в соответствие (см. гл. IV) одно число а~а. Значит,
этим соответствием задана функция у = х~а с областью опреде-
ления— множеством всех положительных чисел.
5. Пусть а—некоторое фиксированное положительное, не
равное единице число, тогда каждому действительному числу b
можно поставить в соответствие (см. гл. IV) одно число аь.
272
Значит, этим соответствием задана функция у~ах с областью
определения — множеством всех действительных чисел.
6. Пусть а —некоторое фиксированное положительное, не рав-
ное единице число, тогда каждому положительному числу b
можно поставить в соответствие (см. гл. IV) одно число logafc.
Значит, этим соответствием задана функция «/ = logax с областью
определения —множеством всех положительных чисел.
7. Каждому действительному числу а (как радианной мере
угла а) можно поставить в соответствие (см. гл. V) одно число
sina. Значит, этим соответствием задана функция y = sinx с об-
ластью определения —множеством всех действительных чисел.
8. Каждому действительному числу а (как радианной мере
угла а) можно поставить в соответствие (см. гл. V) одно число
cosa. Значит, этим соответствием задана функция y — cosx с об-
ластью определения — множеством всех действительных чи-
сел.
9. Каждому действительному числу а (как радианной мере
угла а), такому, что а=^-у+л&, где k — любое целое число,
можно поставить в соответствие (см. гл. V) одно число tga.
Значит, этим соответствием задана функция y=tgx с областью
определения—множеством всех действительных чисел, кроме
чисел х = у + лЛ, где k — любое целое число.
10. Каждому действительному числу а (как радианной мере
угла а), кроме а = л/п, где т — любое целое число, можно по-
ставить в соответствие (см. гл. V) одно число ctga. Значит, этим
соответствием задана функция y = ctgx с областью определения—
множеством всех действительных чисел, кроме чисел х = шп, где
т—любое целое число.
11. Каждому действительному числу а из промежутка
—l^a^l можно поставить в соответствие (см. гл. V) одно
единственное число arcsin а. Значит, этим соответствием задана
функция у — arcsin х с областью определения —множеством всех
действительных чисел, принадлежащих отрезку [—1; 1].
12. Каждому действительному числу а из промежутка
—l^a^l можно поставить в соответствие (см. гл. V) одно
единственное число arccos а. Значит, этим соответствием задана
функция у = arccos х с областью определения — множеством всех
действительных чисел, принадлежащих отрезку [—1; 1].
13. Каждому действительному числу а можно поставить в
соответствие (см. гл. V) одно единственное число arctg а. Значит,
этим соответствием задана функция у — arctg х с областью опре-
деления—множеством всех действительных чисел.
14. Каждому действительному числу а можно поставить в со-
ответствие (см. гл. V) одно единственное число arcctg а. Значит,
этим соответствием задана функция у = arcctg х с областью опре-
деления—множеством всех действительных чисел.
273
Замечание. Функции, рассмотренные в примерах 1—14,
называются основными элементарными функциями.
15. Рассмотрим функцию, определенную для любого действи-
тельного х по правилу: «/=1, если х—рациональное число;
г/= О, если х—иррациональное число. Эта функция называется
функцией Дирихле. Коротко эту функцию записывают так:
_ Г 1, если х —рациональное число,
0, если х —иррациональное число.
16. Рассмотрим функцию, определенную для любого действи-
тельного х по правилу: у=1, если х —положительное число;
У =— 1, если х —отрицательное число; у = 0, если х = 0. Эта
функция называется знаком х и обозначается так: z/ = signx.
Определение этой функции коротко записывают так:
y = signx =
— 1, если х < О,
О, если х = О,
1, если х > 0.
17. Рассмотрим функцию, определенную для любого действи-
тельного х по правилу: у — п, если х — положительное число,
причем х = п -|-а, где «—натуральное число и 0 <1 а < 1; у = — т,
если х —отрицательное число, причем х = — т+Р, где /« — на-
туральное число и 0<Р< 1; у — 0, если 0^х< 1. Эта функция
называется целой частью х и обозначается так: у = [х]. Коротко
функцию у = [х] можно определить так: [х] —есть наибольшее
целое число, которое меньше или равно х.
18. Если всем действительным числам поставлено в соответ-
ствие одно и то же действительное число с, то говорят, что
задана функция у —с с областью определения —множеством всех
действительных чисел.
Область существования и область изменения функции. Первый
вопрос, на который надо ответить при исследовании функции,—
это вопрос об области определения й области изменения этой
функции.
Из определения функции вытекает, что функция y = f(x)
должна задаваться вместе с ее областью определения X. При
этом подчеркнем, что область определения функции может зада-
ваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыс-
лом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.
Однако часто, задавая функцию y=af(x) аналитически, не
указывают явно ее область определения. В таких случаях при-
нято рассматривать функцию на ее естественной области опре-
деления.
Естественной областью определения, или областью существо-
вания функции y = f(x), заданной аналитически, называют сово-
купность всех действительных значений независимой перемен-
ной х, для каждого из которых функция принимает действительные
значения. Итак, область существования функции определяется
274
самим- законом (формулой), задающим функцию, а область опре-
деления ее задается условиями или смыслом решаемой задачи,
т. е. областью определения функции может быть любая часть
области существования функции или они могут полностью
совпадать. Например, для функции у = ~ область существова-
ния—(— оо; +°°)> а область ее определения при падении тела
и Гл 1 / 2Я
с высоты п есть р; у —
Таким образом, всегда, когда говорят, что дана функция
t/ = f(x), считают, что уже дана область ее определения X — она
либо указана явно, либо есть область существования этой функ-
ции (и тогда ее надо предварительно найти).
Что касается области изменения функции y — f(x), то она
вычисляется по уже заданной области определения.
Примеры. 1. Пусть дана функция у = Уs'mx — З. Область
существования этой функции — пустое множество, т. е. Х — 0,
следовательно, и область изменения —пустое множество, т. е.
Y = 0. _______
2. Пусть дана функция у = Klog2 sin х. Область существования
этой функции —множество всех чисел xk=-^ -}-2л6, где k — любое
целое число, т. е. X = ^-^--f-2n&|&€ . Легко видеть, что об-
ласть изменения состоит из одного числа —точки нуль, т. е.
^ = {0}. _____
3. Пусть дана функция у=у 1— х\ Область существования
этой функции есть отрезок [—1; 1], т. е. Х = [—1; 1]. Легко
видеть, что область изменения есть отрезок [0; 1], т. е. У = [0; 1].
4. Пусть дана функция у — --_1_=г. Область существования
У 1—х2
этой функции есть интервал (—1; 1), т. е. Х = (—1; I). Легко
видеть, что область изменения есть промежуток [1; +<х>), т. е.
У = [1; 4-оо).
5. Пусть дана функция у= г__=- с областью определения
г- л-n У 1—%2
Уо 1
X = 0; , тогда легко видеть, что область изменения есть от-
резок [1; 2], т. е. У = [1; 2].
Ограниченность функций. Функция y = f(x), определенная на
множестве X, называется ограниченной снизу, если существует
число А такое, что A^Zf(x) для любого х£Х.
Пример. Функция у = ах ограничена снизу на всей области
существования, так как (см. гл. IV) 0<а* для любого дейст-
вительного х.
Функция у = f (х), определенная на множестве X, называется
ограниченной сверху, если существует число В такое, что / (х) В
для любого х£ Х.
275
Пример. Функция = -х2 ограничена сверху на всей
области существования, так как ]/1—х2<Л для любого х та-
кого, что xg[—1; 1]. .
Функция y = f(x), определенная на множестве X, называется
ограниченной, если существует число М. > 0 такое, что | f (х) М
для любого х£Х.
Пример. Функция £/ = sinx ограничена на всей области
существования, так как |sinx| 1 для любого действительного х.
Можно доказать, что функция y = f(x), определенная на мно-
жестве X, ограничена на этом множестве тогда и только тогда,
когда она одновременно ограничена и снизу и сверху на этом
множестве.
Пример. Функция у = х2 ограничена на области суще-
ствования Х = [—1; 1], так как на этом множестве она снизу
ограничена нулем, а сверху— единицей.
Четность и нечетность функций. Говорят, что множество X
симметрично относительно начала координат, если множество X
таково, что (—х)£Х для любого х^Х.
Функция y = f(x) называется четной, если область ее опре-
деления есть множество, симметричное относительно начала
координат, и если = —х) при любом х£Х.
Примеры четных функций:
у..— -......... 1 7
У = х2, y = cosx, y = v 1 — х®, y = -f+3*’ у=^х*-
О любой четной функции y = f(x) с областью определения X
говорят, что она симметрична относительно оси ординат, так
как для любого х С X точки плоскости (х, f (х)) и (— х, f (— х))
симметричны относительно оси Оу.
Функция у = f (х) называется нечетной, если область ее опре-
деления X есть множество, симметричное относительно начала
координат, и если /(—х) = — /(х) при любом х£Х.
Примеры нечетных функций:
у = х, r/ = sinx, У = ~, У = х\ г/= arctg х.
О любой нечетной функции y = f (х) с областью определения X
говорят, что она симметрична относительно начала координат,
так как для любого х € X точки плоскости (х, f (х)) и (—х, —f (х))
симметричны относительно начала координат.
Наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не
являющиеся ни теми, ни другими, например такими являются
функции у —2х, y = lgx, у = arccos х, y=Vx.
Теорема 1. Всякую функцию, определенную на множестве X,
симметричном относительно начала координат, можно предста-
вить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена
на том же множестве X и одна из которых четная, а другая
нечетная.
276
Доказательство. Пусть функция у — f(x) имеет область
определения X, симметричную относительно начала координат.
Покажем, что существуют функции г/ = ф(х) и # = ф(х), каждая
из которых определена на том же множестве X, и они такие, что
у = <р (х) + ф (х) = f (х), где у = <р (х) — четная, а у = ф (х) — нечетная
функции. Положим
л*
Ясно, что каждая из этих функций определена на множестве X
и что ф (— х) = ф (х), ф (— х) — — ф (х) и f (х) = ф (х)+ф (х). Теорема
доказана.
Пример. Функцию у = 2х можно представить в виде суммы
двух функций 1/ = ф(х), где ф(х) = -^2 *, и д/ = ф(х), где
ф (х) = 2Х~~2 > причем функция у = ф (х) — четная, а функция
у = ф (х) — нечетная.
Замечание. Наряду с понятием четной функции, т. е.
функции, симметричной относительно оси ординат, можно ввести
более общее понятие функции, симметричной относительно вер-
тикальной прямой, проходящей через точку (а, 0). Говорят, что
множество X симметрично относительно точки (а, 0), если мно-
жество X таково, что точка (2а—х)£Х для любого х£Х.
Функция y = f(x) называется симметричной относительно
вертикальной прямой, проходящей через точку с координатами
(а, 0), если область ее определения есть множество, симметричное
относительно точки (а, 0) и при любом х из области определения
f (2а — х) = f (х).
Пример. Функция у = sin х симметрична относительно вер-
тикальной прямой, проходящей через точку (л/2, 0). Действительно,
областью определения этой функции является вся числовая
прямая, следовательно, это множество, симметричное относи-
тельно любой точки, в том числе и относительно точки л/2,
а равенство sin[2(jt/2) — х] — sinx для любого действительного х
очевидно.
Возрастание и убывание функций. Функция у = /:(х), опре-
деленная на множестве X, называется возрастающей на этом
множестве, если для любой пары чисел и х2 этого множества
из неравенства хг<х2 следует, что f (х3) < /(х2).
Примеры. 1. Функция у = х возрастает в промежутке
(— °°; + °°)«
2. Функция у = х2 возрастает в промежутке [0; оо).
3. Функция у = sinx возрастает в промежутке [—л/2, л/2].
Функция y~f(x). определенная на множестве X, называется
убывающей на этом множестве, если для любой пары чисел хх
и х2 этого множества из неравенства хг < х2 следует, что
f (^1) > f (*г)*
277
Примеры. 1. Функция «/ = (1/2)* убывает в промежутке
(—оо; +оо).
2. Функция z/ = sinx убывает в промежутке [л/2; Зл/2].
Функция y = f(x), определенная на множестве X, называется
неубывающей на этом множестве, если для любой пары чисел
х, и х2 этого множества из неравенства х2 < х2 следует, что
f(XiXf(X2). ______
Пример. Функция г/ = Ух + |х| является неубывающей в
промежутке (—оо; 4-оо).
Функция y = f(x), определенная на множестве X, называется
невозрастающей на этом множестве, если для любой пары чисел
х2 и х2 этого множества из неравенства х2 < х2 следует, что
f(X1)>f(X2).
( х2, для X < О,
Пример. Функция у = \ п п является невозра-
стающей в промежутке (— оо, 4-оо).
Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие и не-
убывающие называются монотонными функциями. Функции воз-
растающие и убывающие называются строго монотонными функ-
циями.
Периодичность функций. Функция y — f(x) называется перио-
дической, если существует число Т^=0 такое, что для любого х
из области определения функции y = f(x) числа (x-f-T) и (х—Т)
также входят в область определения и для любого х из области
определения f(x + T) = f (х).
Замечание. Для периодической функции имеет место ра-
венство f (х— T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке
(х—Т) определена и f(x) = f[(x — T)-|-T] = f(х—Т).
Теорема 2. Если число Т есть период функции y = f(x), то
число Q = mT, где т —любое фиксированное отличное от нуля
целое число, будет периодом этой функции.
Доказательство. Докажем, что для любого х из обла-
сти определения функции y = f(x) и любого натурального nt
а) точки (х + пТ) и (х—пТ) принадлежат области определения
функции y = f(x\,
б) f(x) = f(x+nT) и f(x) = f(x-nT).
Пусть п=1, тогда согласно определению и замечанию:
а) точки (х + Т) и (х—Т) принадлежат области определения
функции y = f(x\,
б) f(x) = f(x + T) и f(x) = f(x—Т).
Предположим, что для n — k справедливо утверждение а).
Докажем справедливость утверждения для п — £-|-1. Действи-
тельно, по предположению точки (хЦ-kT) и (х—kT) принадлежат
области определения функции y = f(x) и Т есть ее период. Сле-
довательно, точки [(х + #7’) + 7’] и [(х — kT) — Т], т. е. точки
[х + (^+1)Т] и [х—принадлежат области ее опреде-
ления.
278
Итак, для любого х из области определения функции y = f(x)
при любом целом отличном от нуля т точка (х + тТ) принадлежит
области ее определения.
Предположим, что утверждение б) справедливо для любого
n — k, т. е. f (x) = f (x + kT) и f (x) = f(x — kT). Докажем, справед-
ливость утверждения б) для п = k +1. Действительно, так как Т
является периодом функции y = f (х), то для точки (x-\-kT) имеем
f[(x + kT)+T] = f (x-{-kT), но по предположению f (x) = f(x+kT),
следовательно, /(*) =/[* + (£+1) Г]. Аналогично для точки
(х—kT) доказывается, что f (x) = f [х —(fe+1)Т], т. е. для любого
целого отличного от нуля т утверждение б) доказано.
Итак, теорема 2 доказана.
Примеры. 1. Функция у = sin х имеет периодом число Т = 2л,
так как для любого х числа (х-|-2л) и (х —2л) входят в область
определения этой функции и sin(x-|-2n) = sinx.
2. Функция у = х — [х] имеет период Т— 1, так как она опре-
делена для любого х и (x-f-1) —[х+1] =х —[х].
3. Функция, определенная следующим образом:
( 1, если х —любое рациональное число,
” (0, если х —любое иррациональное число,
имеет периодом любое рациональное число.
4. Функция y — s\nYx не является периодической, так как,
например, для числа х = 0 число х — Т (если Т > 0) или число
х + Т (если Т < 0) не принадлежит области существования этой
функции.
Число Т называется главным периодом, если оно положительно
и является наименьшим среди всех положительных периодов.
Заметим, что функция, приведенная в примере 3, не имеет
главного периода.
Наибольшие и наименьшие значения функций. Пусть функ-
ция у = f (х) определена на множестве X. Если существует такое
х0 € X, что для любого х С X справедливо неравенство f (х) > f (х0),
то говорят, что функция y = f (x), определенная на множестве X,
принимает наименьшее значение ya = f(xt) при х = х0.
Если существует такое х0£Х, что для любого х£Х справед-
ливо неравенство f(x)^.f(xj, то говорят, что функция y = f(x),
определенная на множестве X, принимает- наибольшее значение
y0 = f(xe) при х=х0.
Примеры. 1. Функция «/ = sinx на промежутке [0, 2л] при-
нимает наибольшее значение у=1 при х=л/2 и наименьшее зна-
чение у = —1 при х=Зл/2.
2. Функция у = х2 на промежутке (—оо; + оо) принимает
наименьшее значение у = 0 при х = 0, но нет такого х из области су-
ществования функции, где она принимает наибольшее значение.
3. Функция у = 2х на промежутке (—оо; 4-оо) не принимает
ни наибольшего, ни наименьшего значения.
279
4. Функция у = 2х на промежутке [0; 1] принимает наимень-
шее значение z/=l при х = 0 и наибольшее значение у = 2 при
х = 1.
График функции. Введем на плоскости прямоугольную систему
координат хОу и рассмотрим функцию y=f(x). Придавая х по-
следовательно значения хи х2, хп, .... получим соответ-
ствующие значения уи у2, ..., уп, .... Отметим на плоскости
точки с координатами (xn у2), (х2, у2), ..., (х„, уп).
Графиком функции y = f(x) называется множество точек на
плоскости, удовлетворяющее следующим условиям:
а) всякая точка с координатами (х0, у0), где ye=f(A;e)> принад-
лежит этому множеству;
б) всякая точка, принадлежащая этому множеству точек, имеет
координаты (Xj, z/x) такие, что У1 = /(х1).
Другими словами, график функции y = f(x) — amo множество
всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию
y — f(x), и не содержащее других точек._____
Например, графиком функции у = Klog2 sinх будет множество
точек плоскости ^-у-|-2л&, 0^ , где k — любое целое число, итолько
эти точки.
Исследование функций. Если для данной функции y = f(x)
изучены все перечисленные выше свойства, то говорят, что про-
ведено исследование функции у —fix).
Итак, при исследовании функции необходимо ответить на сле-
дующие вопросы:
а) Какова область существования функции?
б) Какова область изменения функции?
в) Ограниченная ли это функция?
г) Принимает ли функция наибольшее и наименьшее зна-
чения?
д) Периодическая ли она?
е) Является ли эта функция четной или нечетной, или ни
той и ни другой?
ж) Есть ли у нее промежутки, где она монотонна?
з) Есть ли точки пересечения графика с осями координат?
и) Какой график этой функции?
Замечание. Наглядность графика является незаменимым
вспомогательным средством исследования функции, но он только
иллюстрирует свойства функции, а не доказывает их.
§ 2. Основные элементарные функции
В этом параграфе будет проведено исследование всех основных
элементарных функций.
Линейная функция _у = х. Зависимость у = х называется пря-
мой пропорциональной зависимостью. Легко проверяются следующие
свойства этой функции:
280
а) область существования: (— оо, 4- оо);
б) область изменения: (— оо, 4- оо);
в) функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не периодическая;
е) функция нечетная;
ж) функция возрастает на всем промежутке (— оо, 4- оо);
з) точка (0; 0)—единственная точка пересечения с осями
координат.
Теорема 1. График функции у = х есть прямая, проходя-
щая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого
и третьего координатных углов (рис. 95). 1
Доказательство. Пусть точка М1(х1, ух) такова, что ее
координаты удовлетворяют условию г/х = хх. Если х1 = г/1 = О, то
точка М± совпадает с началом координат.
Если x1=y1^=Q, то числа хх и уг либо оба
положительны, либо оба отрицательны, т. е.
точка Mi лежит либо в первом, либо в
третьем координатном угле. Поскольку из
условий г/х = хх следует, что jyt | = |хх|, то
точка Л4Х равноудалена от осей координат.
Следовательно, она лежит либо на биссект-
рисе первого координатного угла (если ее ко-
ординаты положительны), либо на биссектри-
се третьего координатного угла (если ее ко-
ординаты отрицательны). Итак, любая точка Л1х(хх, ух), где«/х = хх,
либо совпадает с началом координат, либо лежит на одной из
биссектрис первого или третьего координатных углов.
Очевидно, что координаты начала координат удовлетворяют
условию 0 = 0. Если точка М2(х2, у2) лежит на одной из бис-
сектрис либо г ер во го, либо третьего координатных углов, то j х21 =
= | г/21 (расстояния до осей координат равны). Так как числа х2
и у2 или оба положительны (если точка ТИ2лежит в первом коорди-
натном угле) или оба отрицательны (если точка М2 лежит в третьем
координатном угле), то из условий | у21 = | х21 следует у2 = х2, т. е.
точка М2(х2, у2) такова, что у2 = х2. Итак, начало координат и
любая точка, лежащая на одной из биссектрис либо первого, либо
третьего координатных углов, имеет координаты (х3, ys) такие,
что у3=х3.
По определению графика функции прямая, проходящая через
начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего
координатных углов, есть график функции у — х (см. рис. 95).
Теорема доказана.
Гипербола у = у. Зависимость у = — называется обратной
пропорциональной зависимостью. Легко проверяются следующие
свойства этой функции:
281
а) область существования: (—оо, 0) (J (О, + оо);
б) область изменения: (— оо, 0) U (0, + °°);
в) функция не является ограниченной на всей области суще-
ствования, но ограничена снизу (z/> 0) на промежутке (0, -j- оо)
и ограничена сверху (#<0) на промежутке (—оо, 0);
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не является периодической;'
е) функция нечетная;
ж) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования, но убывает на промежутке (0, + оо), кроме того, она
убывает на промежутке (— оо, 0);
з) точек пересечения с осями нет.
Графиком функции У = у является линия, называемая гипер-
болой (рис. 96). _
Теорема 2. График нечетной функции симметричен отно-
сительно начала координат.
Доказательство. Пусть дана нечетная функция y=f(x)
и пусть точка (х0, у0) лежит на ее графике. Тогда y9 = f(xt) и
в силу нечетности функции — y9 = f(— х0), т. е. точка (— х0, — у9),
симметричная точке (х0, у0) относительно начала координат, тоже
лежит на графике. Теорема доказана.
Замечание. Для построения графика нечетной функции
достаточно построить его для х^0. Для х<0 он получается
симметричным отображением построенной части графика относи-
тельно начала координат.
Парабола у = х2. Зависимость у = хг называется квадратич-
ной зависимостью. Легко проверяются следующие свойства этой
функции:
а) область существования: (— оо, + оо);
б) область изменения: [0, + оо);
в) функция ограничена снизу:
г) функция принимает наименьшее значение у = 0 при х = 0;
д) функция не является периодической;
е) функция четная;
ж) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования, но убывает на промежутке (— оо, 0] и возрастает на
промежутке [0, + оо);
з) точка (0; 0) — единственная точка пересечения с осями коор-
динат.
Графиком функции у — х2 является линия, называемая пара-
болой (рис. 97).
Теорема 3. График четной функции симметричен относи-
тельно оси Ох.
Доказательство. Пусть точка (х0, ув) лежит на графике
четной функции y — f(x), т. е. пусть «/<>==/(х0). В силу четности
функции уЛ = f (— х0), т. е. точка (— х0, у9), симметричная точке
282
(х0, Уо) относительно оси Оу, тоже лежит на графике функции
у = f(x). Теорема доказана.
Замечание. Для построения графика четной функции до-
статочно построить его для х 0. Для х < 0 он получается
симметричным отображением построенной части графика относи-
тельно оси Оу.
Степенные функции _у = ха. Рассмотренные выше функции
у = х, у~хг, У = у являются частными случаями этой функции.
Рассмотрим другие случаи:
1. _у = х2,л (т — некоторое фиксированное натуральное число).
Тогда
а) область существования: (— оо, оо);
б) область изменения: [0, + оо);
в) функция ограничена снизу: у^О;
г) функция принимает наименьшее значение у — 0 при х = 0;
д) функция не является периодической;
е) функция четная;
ж) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования, но убывает на промежутке (— оо, 0] и возрастает на
промежутке [0, + оо);
з) точка (0; 0) —единственная точка пересечения с осями
координат.
Графики функций у = х2, у = х*, у —Xе изображены на рис. 98.
2. 2я’-1 (т — некоторое фиксированное натуральное число).
Тогда
а) область существования: (—оо, + оо);
б) область изменения: (— оо, -f- оо);
в) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
283
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не является периодической;
е) функция нечетная;
ж) функция возрастает на всей области существования;
з) точка (0; 0) —единственная точка пересечения с осями
координат.
Графики функций у = х, у — хл, у = х'- изображены на рис. 99.
3. у = х~2т (т — некоторое фиксированное натуральное число).
Тогда
а) область существования: (—оо, 0) U (0, + оо);
б) область изменения: (0, + оо);
в) функция ограничена снизу: у > 0;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не является периодической;
е) функция четная;
ж) функция не является монотонной на всей области сущест-
вования, но возрастает на промежутке (—оо, 0) и убывает на
промежутке (0, + оо);
з) точек пересечения с осями координат нет.
Графики функций у = х~\ у — х~* изображены на рис. 100.
4. y = x~?m+l (/и —некоторое фиксированное натуральное
число). Тогда
а) область существования: (—оо, 0)U (0, + оо);
б) область изменения: (—оо, 0) (J (0, + оо);
в) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
284
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не является периодической;
е) функция нечетная:
ж) функция не является монотонной на всей области сущест-
вования, но убывает на промежутке (—оо, 0), кроме того, она
убывает на промежутке (0, + оо);
з) точек пересечения с осями координат нет.
Графики функций = «/ = х-3, у — х~ъ. изображены на
рис. 101.
5. ysssxa (а —фиксированное положительное нецелое число).
Тогда \
а) область существования: [0, + оо);
б) область изменения: [0, + оо);
в) функция ограничена снизу: «/>0;
г) функция принимает наименьшее значение у = 0 при х = 0;
д) функция не является периодической;
е) функция не является ни четной, ни нечетной;
ж) функция возрастает на всей области существования;
з) точка (0; 0) — единственная точка пересечения с осями
координат.
Графики некоторых функций изображены на рис. 102.
6. у = х~а (а—фиксированное положительное нецелое число).
Тогда
а) область существования: (0, 4- оо);
б) область изменения: (0, + оо);
в) функция ограничена снизу: у > 0;
285
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не является периодической;
е) функция не является ни четной, ни нечетной;
ж) функция убывает на всей области существования;
з) точек пересечения с осями координат нет.
Графики некоторых функций изображены на рис. 103.
Показательная функция у = ах.. Функция у = ах, где
а—фиксированное число такое, что а>0 и а^=1, называется
показательной функцией. Показательная функция обладает
следующими свойствами:
а) область существования: (— сю, 4- оо);
б) область изменения: (0, + оо);
в) функция ограничена снизу: у > 0;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
286
д) функция не является периодической;
е) функция не является ни четной, ни нечетной;
ж) если а> 1, то функция у = ах возрастает на всей области
существования; если 0<а<1, то функция у = а* убывает на
всей области существования;
з) точка (0; 1) —единственная точка пересечения с осями коор-
динат.
Графики некоторых показательных функций изображены при
а > 1 на рис. 104, при 0 < а < 1 на рис. 105.
Логарифмическая функция у = loga х. Функция t/ = log„x, где
а —фиксированное число такое, что а>0 и а=/=1, называется
логарифмической функцией. Логарифмическая функция обладает
следующими свойствами:
а) область существования: (0, + оо);
б) область изменения: (— оо, + °®);
в) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значений;
д) функция не является периодической;
е) функция не является ни четной, ни нечетной;
ж) если я> 1, то функция # = logex возрастает на всей обла-
сти существования; если 0 < а < 1, то функция z/ = log0x убывает
на всей области существования;
з) точка (1; 0)—единственная точка пересечения с осями
координат.
Графики некоторых логарифмических функций изображены
при а > 1 на рис. 106, при 0 < а < 1 на рис. 107.
Основные тригонометрические функции. Прежде чем перехо-
дить к исследованию тригонометрических функций» докажем
теорему.
287
Теорема 4. Для построения графика функции, имеющей
главный период Т, достаточно построить его на отрезке длины
Т, а затем продолжить периодически.
Доказательство вытекает из определения графика функции и
определения периодичности функции. Так, если f(x + nT) = f(x),
то вместе с точкой (х0, у9) графику принадлежат точки (х„ + Тп,
у„) при всех целых п.
Синусоида j = sinx. Используя свойства синуса угла, полу-
чим следующие свойства функции y — sinx:
а) область существования: (— со, + оо);
б) область изменения: [—1; 1];
в) функция ограничена и снизу и сверху;
г) функция принимает наименьшее значение у = — 1 при каж-
дом xk — — -^•4-2лЛ, где k — любое целое число, и наибольшее
значение у=1 при каждом хт = у + 2ят, где т — любое целое
число;
д) функция периодическая, главный период 2л;
е) функция нечетная;
ж) функция не является монотонной на всей области сущест-
вования, но функция возрастает на каждом промежутке £—4-
+ 2л&, 2n£j , где k — любое целое число, и функция убывает
на каждом промежутке £у4-2л&, -^-4~2n&j , где k — любое це-
лое число.
Покажем, например, что на отрезке Г—-у, ^функция у =
= sinx возрастает, т. е. что для любой пары чисел х* и х2 такой,
288
что —-5-< .v2 «С v > будет справедливо неравенство sinx1<
<sinx2.
Для любой пары чисел Xi и х2 по формуле разности синусов
sin Xt — sin ха = 2 sin X1~~Xi8cos - фх- . (1)
& л
Докажем, что правая часть равенства (1) отрицательна, если
— xt < х2 Условие х2 у равносильно условию — у^
— х2. Сложив это неравенство с неравенством —по-
лучим — л^хх —х2. Учитывая» что неравенство хх<ха равно-
сильно неравенству хг— х2<0, имеем —л^хх —ха < О или
— - < 0. Следовательно, sinXi~— < 0. Складывая нера-
венства—у< хх <у и —-Ь » получаем —л <хх -|-х2 < л
или — у < Х1фх* < ф. Следовательно, соз-*фх* > О.
Итак, правая часть равенства (1) меньше нуля, следовательно,
sinxj < sinx2.
Покажем, что на отрезке ^у, -у-^функция у = sin х убывает,
т. е. что для любой пары хх и ха такой, что у хх < ха -у-,
справедливо неравенство sinxx > sinx2. Прибавляя (—л) к нера-
венствам у^хх<х2^-у, имеем —у ^хх —л < х2—л s^y .
В силу того что на отрезке £— у, уфункция у = sin х моно-
тонно возрастает, то для (хх — л) и (ха—л) имеем sin(xx — л) <
< sin(xa — л). Далее справедлива цепочкаравносильных неравенств:
sin (хх — л) < sin (х2—л) ФФ sin (л — хх)] < sin [— (л — х2)] &
ФФ — sin (л — хх) < — sin (л — х2) ФФ sin (л — хх) > sin (л — х2) фф
ФФ sin хх > sin х2.
Значит, справедливо неравенство sinxx > sinx2, что и требовалось
доказать.
Аналогично доказывается» что функция у=sinx является
возрастающей на каждом промежутке —у + 2л£, у + 2л^ , где
k—любое целое число, и убывающей на каждом промежутке "
£ф + 2л&, -у^4-2л^^ , где k — любое целое-числом
з) точки пересечения с осями координат —точки (лк, 0), где
k—любое целое число.
Учитывая периодичность, можно построить график функций
i/ = sinx, называемой синусоидой (рис. 108).
10 м. И- Потапов в др.
289
Косинусоида у=cos ж. Используя свойства косинуса угла,
получим следующие свойства функции у —cosx;
а) область существования: (—оо; + оо);
б) область изменения: [—1; 1];
в) функция ограничена и снизу и сверху;
г) функция принимает наименьшее значение у =—1 при
каждом хА=л4-2л&, где k—любое целое число, и наиболь-
шее значение у=1 при каждом xm = 2ntn, где т —любое целое
число; :
д) функция периодическая, главный период 2л;
е) функция четная;
ж) функция не является монотонной на всей области сущест-
вования, но функция возрастает на каждом промежутке [2л& —л,
2лА], где k—любое целое число, и функция убывает на каждом
промежутке [2л£, 2лД,Ч-л], где k — любое целое число;
з) точка пересечения с осью Оу —(0; 1); с осью Ох точек пе-
ресечения бесконечно много, каждая из точек ^y-f-пй, 0^ , где
k — любое целое число, есть точка пересечения с осью Ох.
Учитывая периодичность, можно построить график функции
у = созх, называемый косинусоидой (рис. 109).
Тангенсоида _y = tgx. Используя свойства тангенса угла,
получим следующие свойства функции y — tgx:
а) область существования: любое х, кроме = где
k — любое целое число;
б) область изменения: (—оо, -f- оо);
в) функция не является ограниченной;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция периодическая, главный период л;
290
е) функция нечетная-; :
ж) функция не является монотонной на всей области сущест<
вования, но функция возрастает на каждом из следующих про-
межутков (nk—у, л&+у), где k—любое целое число.
з) точки пересечения с осями координат—точки (пт, 0),
где т — любое целое число.
Учитывая периодичность, можно построить график функции
у = tg х, называемый тангенсоидой (рис. ПО).
Котангенсоида у = ctg х. Используя свойства котангенса угла,
получим следующие свойства функции y = ctgx:
а) область существования: любое х, кроме хт = пт, где т —
любое целое число;
б) область изменения: (— оо, 4-оо);
в) функция не является ограниченной;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция периодическая, главный период л;
е) функция нечетная;
ж) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования, но функция убывает на каждом из следующих про-
межутков (пт, л-)-л/п), где т—любое целое число;
з) точки пересечения с осями координат—точки ^у-)-л/п, 0^ ,
где т — любое целое число.
Учитывая периодичность, можно построить график функции
y = ctgx, называемый котангенсоидой (рис. 111).
10* 291
Основные обратные тригонометрические функции. Функции
у — arcsin х, у— arccos х, у = arctgх, у = arcctg х называются
основными обратными тригонометрическими функциями.
Рис. 111.
Обратная тригонометрическая, функция у й arcsin х. Используя
свойства арксинуса числа, получим следующие свойства функции
у — arcsin х:
а) область существования: [—1; 1];
б) область изменения: I
в) функция ограничена и снизу и сверху; .
г) функция принимает наименьшее значение у =—у при
х ——1 и наибольшее "значение <у—у при
д) функция не является периодической; -•
е) функция нечетная;
ж) функция возрастает на всей, области существования.
Докажем это свойство. Для этого докажем, что если — 1
Xi < хг 1, то arcsin хг < arcsin х2. Обозначим ах = arcsin хх
и. аа=arcsin х2. Ясно, что sina1 = x1 и sina2 = x2, т. е. надо
доказать, что если sina1<sina2, то aj<aa. Доказательство
проведем от противного: пусть ax^a2. Так как на отрезке
[—Т’ т] ФУНКЦИЯ # = sinx возрастает, то из условия
следует, что sinax^sina2, что противоречит условию sinax <
<sina2. Значит, предположение неверно, т. е. функция у —
— arcsin х возрастает.
з) Точка (0; 0)—единственная точка пересечения с осями коор-
динат.
’292
График функции t/ = arcsin х изображен на рис. 112.
Обратная тригонометрическая функция у = arccos х. Исполь-
зуя свойства арккосинуса числа, получим следующие свойства
функции у = arccos х:
а) область существования: [-М; 1];
б) область изменения: [0, л];: _ ,
в) функция ограничена и сн$зу и ферху^
г) функция принимает наибольшее значений у = п при х —— 1
и наименьшее значение у=^=0 при x = i| '
Рис. 112.
Рис. 113.
д) функция не является периодической;
е) функция не является ни четной, ни нечетной;
ж) функция убывает на всей области существования;
з) точки (о, и (1; 0) —точки пересечения с осями коор-
динат.
График функции у =arccosх изображен на рис. 113.
Рис. 114.
Обратная тригонометрическая функция у = arctg х. Исполь-
зуя свойства арктангенса числа, получим следующие свойства
функции у=arctg х:
а) область существования: (—оо, 4-оо);
51
т
в) функция ограничена и снизу и сверху;
г) функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
д) функция не является периодической;
б) область изменения: (— у
293
е) функция нечетная;
ж) функция возрастает на всей области существования;
з) точка (0; 0)—единственная точка пересечения с осями
координат.
График функции «/=arctg х изображен на рис. 114.
Обратная тригонометрическая функция у=arcctg х. Исполь-
зуя свойства арккотангенса числа, получим следующие свойства
функции у=arcctg х:
а) область существования' (— оо, -f- оо);
б) область изменения: (0, л);
в) функция ограничена и сверху и снизу;
г) функция не принимает ни наименьшего, ни наибольшего
значения;
д) функция не является периодической;
е) функция не является ни четной, ни нечетной;
ж) функция убывает на всей области существования;
з) точка ^0, у j —единственная точка пересечения с осями
координат.
График функции у =arcctg х изображен на рис. 115.
§ 3. Обратные функции
Взаимно однозначное отображение. Каждая функция y = f(x)
производит отображение области существования функции на
область ее изменения так, что каждому х из области существо-
вания соответствует единственное значение у из области изме-
нения.
Рассмотрим несколько функций вместе с их областями сущест-
вования и изменения (табл. 2).
Некоторые из приведенных функций разным х из области
существования ставят в соответствие разные у. Например, для
функции у = 2* каждое значение у из области изменения полу-
чается лишь при одном значении х из области существования.
В таких случаях говорят, что функция осуществляет взаимно
однозначное отображение своей области существования на область
изменения. Заметим, что все остальные функции, приведенные
в таблице, таким свойством не обладают:
294
ТАБЛИЦА 2
Функция Область существования Область изменения
еч X 1 X II II 1 II 2b (—00, оо) I-i; 1] со;; оо) (—оо; оо)' 10; оо) [4; 1] (0; 1} (0; оо)
функция у = х2 при х — 1 и при х=— 1 принимает одно и то
же значение г/=1; '
функция у=У\— х2 при x^=j и при х = — у принимает
/ 3'
одно и то же значение у — х— ;
4 ‘ :
ж 1 О П
функция у = -гг~2 при х = 2 и при х — — 2 принимает одно
* 1 % 1 ' ‘ I
й W же значение # = -=-.
5
Итак, функции можно разделить на два класса:.
1) функции, осуществляющие взаимно однозначное отображе-
ние области существования на область изменения;
2) функции, не обладающие этим свойством.
Если функции второго класса рассматривать не на всей
области существования, то часто удается выбрать такую область
определения (часть области существования), что функция будет
отображать эту область определения на соответствующую область
изменения уже взаимно однозначно. Заметим, что любая функ-
ция у = f (х) на той части области определения X (из области
существования функции), где она является строго монотонной
(т. е. возрастающей или убывающей), принадлежит к первому
классу. Например, для функции у = х2 такой областью будет
промежуток [0, +°°) или промежуток (—оо, 0].
Рассмотрим функцию у = х2 на области определения X, =
=(— оо, 0] (соответствующая ей область изменения—Уг = [0,4- оо)).
Эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение об-
ласти Xi на область У,. При этом по каждому у из области Yi
можно однозначно восстановить х из области Хг. Действительно,
если уй € Уи то соответствующее значение хв, такое, что у9—х2,
ищется по правилу х0 = — Ууй- При_этом, если то х^
#=х^, где х, = — V у^, а хл = ~у/Гу1). Другими словами, можно
установить взаимно однозначное отображение области Yt на
область Xi по правилу х — — Уу.
295
Итак, функция у = х2- осуществляет взаимно однозначное
отображение области Хх- на область yf, а правило х =— У у осу-
ществляет взаимно однозначное отображение области Y\ на
область Х4. Правило к —— У у назовем обратным правилом для
функции г/ = х2 на области определения Xt и области изменения Yv
Функция у = х2 и правило х = — У у, если = (—оо, 0],
a + °о), выражают одну и ту же связь между пере-
менными х и у, только для любой пары (х0, у0) из рассматри-
ваемых переменных величин функция у — х2 дает возможность,
зная х0, найти у„, а правило х = — Уу — зная у0, найти х0.
Обратная функция» Если в Обратном правиле заменить х на у,
'а у на х с одновременной заменой области определения на область
Изменения и области.изменения на область определения, то полу-
чим новую функцию z/ = — Ух,'у которой область определения
Ха = [0, -f-оо) = У4 и область; изменения У2 = (—оо, 0] = Xv
Новую функцию у = — Ух с областью определения Х2 и областью
изменения У2 называют обратной функцией к функции у = х2 с
областью определения Хг й областью изменения Yt.
Для функции у — х2 с областью определения Х3 = [0; 10) и
областью изменения У3 = [0; 100) обратной функцией будет функ-
ция у = Ух с областью определения Х4 = [0; 100) и областью
изменения У4 = [0; 10).
Приведем определение обратной функции в общем случае.
Пусть область определения функции y = f(x) такова, что функ-
ция осуществляет взаимно однозначное отображение области ее
определения X на область изменения У. Тогда по каждому у
из области У можно однозначно восстановить [х из области X
следующим образом: в равенстве f(x)—y = O считают каждое
у £ У фиксированным и отыскивают х £ X, удовлетворяющее этому
равенству. Найденное каждое х£Х обозначается f~l(y). Равен-
ство x = f~l(y) называется обратным правилом., Обратной функ-
цией к функции y — f(x) (xgX, y£Y) называется функция, кото-
рая получается из. обратного правила х = f-1 (у) заменой х на у,
а у на х с одновременной заменой области определения на область
изменения, а области изменения на область определения. После
такой замены область изменения функции у = f (х) становится
областью определения обратной функции у = f"1 (х), а область опре-
деления функции y = f(x) становится областью изменения обрат-
ной функции у = }~*(х). Итак, две функции: функция y = f(x)
с областью определения X и областью значений У и функция
у==1~г\х) с областью определения У и областью значений X,
где /[/:-1(х)] = х для любого х^У и f“x[f(x)] = x для любого
х С X, такие, что одна из них является обратной к другой.
Покажем на нескольких примерах, как отыскивается обрат-
ное правило и обратная функция. Во всех ниже приведенных
примерах области определения выбраны так, что соответствующие
296
ТАБЛИЦА 3
Функция У—f (х) Область определения f (х) Область изменения y=f (х) Обратное правило xX"1 (у)
«г Ч «: ч ч II II II II II II || II j. * + _ 55 * * * о — II м И X со О^х < оо — оо < х«С 0 — 00 < X < 00 0<х<1 — 1 «С х 0 О^х < оо — оо < х < оо — 1 ^Х < 00 0 < Г/ < GO Q^y < oo 0 < у < оо 1 — 00 < у < 00 0 ^y < oo £ 1। ih’x ii и и и ii и и и X X X И X X X X
Функция y=f (х) Обратная функция У={~' (х) Область определения /X-1(x) Область изменения y=f~l W
• ч: чг ч* чг ч* «с ч: ч* II II 1 11 II II II 1Г i ± t-т г “ хи ьэ ьэ ' чг чг чг ч*. чг ч* ч; II II II II II II II II 5 JT х 1 Зя 1 5 L ? - т i *i L i “ ьэ Os^X < 00 0< x < oo 0 < x < oo 0<x<l 0<x<l 0 < x< 1 — 00 < X < 00 0<Ix < oo 1 1 1 1 1 >— 8 о к- о 8 8 о А л А /Л А а л А ч* Ч* ч; ч: Чг ч; ч: ч: л л.л АЛлДл 8 8 8 ° “ 8 ° 8
функции осуществляют взаимно однозначное отображение области
определения на область изменения (табл. 3).
Замечание. Не для всякой функции удается найти такую
область определения, которую она взаимно однозначно отобра-
жает на соответствующую область изменения. Например, функ-
ция у = 1 не отображает взаимно однозначно никакой промежу-
ток числовой прямой на соответствующую область изменения.
В качестве другого примера можно привести функцию Дирихле.
График обратной функции. Прежде всего выясним, как рас-
положены точки, координаты одной из которых получаются из
координат другой заменой х на у, а у на х.
Теорема. Любые точки Д(х0, у0) и В(у0, х0) симметричны
относительно прямой у~х.
297
Доказательство. Если x0 = y0, то точки А и В (рис. 116)
совпадают и лежат на прямой у = х, т. е. в этом случае утверж-
дение теоремы верно. Пусть х0=/=у0 и пусть точка А (х0, у0) лежит
в первой четверти и х0 > У«- Проведем из точки А параллельно
оси Ох прямую АА{, т. е. прямую у = у0; из точки В —прямую BBi
параллельно
ffk
оси Оу, т. е.
4
I
о TW
I*
I#
Рис. 1 16.
И-
прямую х = у0. Прямые ДД1 и BBt
пересекаются в точке С(у0, у0), т. е.
в точке, лежащей на прямой у — х.
Рассмотрим треугольник ВСА\ он
. прямоугольный (прямой угол ВС А)
и равнобедренный (| АС | = | ВС | —
— |х0 —у0|). Биссектриса (CD) угла
ВС А совпадает с прямой у — х. По-
я скольку треугольник ВСА равно-
бедренный, то его биссектриса (СО)
является и высотой и медианой, сле-
довательно, (CD) | (АВ) и | AD | =
= |BD|. Это означает, что точки А
и В симметричны относительно пря-
мой у==х. Аналогично проводится
доказательство теоремы в случае, когда точка А (х0, у0) лежит в
первой четверти и х0 < у0, а также в случае, когда точка А (х0, у0)
лежит не в первой четверти. Теорема доказана.
Рис. 117.
Пусть функция y = f(x) взаимно однозначно отображает
область определения X на область изменения Y. Тогда график
этой функции таков, что по любому xf однозначно находится
yi = f(Xj) и, наоборот, по любому у2 однозначно находится х2 =
= f_x(Z/2) (Рис. 117).
298
Если точка М (х0, лежит на графике функции y = f(x),
то ее координаты удовлетворяют условию ye = f(x()), а следова-
тельно, и условию х9=[~*(ул). Другими словами, все точки
(и только они) графика у =f (х) удовлетворяют условию x=f~1(y\
Так как для получения обратной функции надо в обратном пра-
виле x = f~l(y) заменить х на у, а у на х, то каждая точка гра-
фика y = f~l(x) получается из точки графика функции y = f(x)^
заменой х на у, а у на х, т. е. если точка К(х, у) — точка гра-
фика y = f(x), то точка Kt (у, х) —точка графика y = f~1(x). Из
этого рассуждения и теоремы вытекает, что график обратной
функции y = f~1(x) получается из графика функции у = f (х) сим-
метричным отображением последнего относительно прямой у — х
(см. рис. 117). —
Замечание. Часто возникает ситуация, когда вид обратной
функции получается непростым. Например, функция y = xim~1,
где т — фиксированное натуральное число, взаимно Однозначно
отображает свою область существования (всю числовую прямую)
на область изменения У = ( —оо, -|-оо). Для того чтобы найти
обратное правило, с помощью которого строится обратная функ-
ция, необходимо отыскать х, удовлетворяющее равенству x2m-i —
— у = 0. Как известно (см. гл. IV) Для неотрицательного у такое х
существует, а именно х = 2т~У у, и для отрицательного у такое х
существует, а именно х= — 1 у |. Поэтому обратное правило
ТАБЛИЦА!
Функция y=f (х) Область определения f (х) Область изменения U=f <Х) Обратное правило (у)
4 * » * .5 S ш -Э» <п 8 и II II II II k|<n к е V V V V я и я и V V V V К |<М ° ф ° 1 1 — 1 ^== у 1 — 1 у 1 — оо < у < оо — 00 < у < 00 х = arcsin у х = arccos у х = arctg// х — arcctg у
Функция y=f (х) Обратная функция (ж) Область определения y=f~lW Область изменения Ча)
Ч м И .S О 2) ОТ О -+-• и II II II II 5S> , «3) 5S> 5S> у^ arcsin х у=arccosх у = arctg х у = arcctg х — 1 <х< 1 — 1<х< 1 — 00 < X < 00 — оо < х < оо е|<м к к|ся к V V V V V V V V R |<М ° К |ся ° 1 1
299
задается следующим образом:
х = ( 2т~У~У-> если у€[0, +оо);
| — 2т~У1у1, если у€(—оо, 0).
Следовательно, и обратная функция будет иметь вид
t 1/ \ ( 2т~Ух, если хё[0, + оо);
^ = /-l(x)=J 2т-\/г-. '
( — i/ |x|, если х£(— оо, 0).
Иногда обратную функцию к степенной функции у = х2т~*
записывают с помощью одной формулы у = 2т~{/х, но мы так
поступать не будем, тай как символ р/а употребляется у нас
только для неотрицательных чисел а.
Функции, обратные к основным тригонометрическим функциям.
Для любой из основных тригонометрических функций, у = sinx,
y—cosx, y = tgx, i/ = ctgx, можно
выделить много областей определения,
каждую из которых соответствующая
тригонометрическая функция отобража-
ет взаимно однозначно на соответ-
ствующую область изменения. При этом
если рассмотреть основную тригономе-
трическую функцию на своей специ-
ально выбранной области определения,
то обратной к ней будет соответствую-
щая основная обратная тригонометри-
ческая функция (см.табл. 4 на с. 299).
Очевидно, что любая основная об-
Рис. 118.
область определения на
дой из этих функций
ратная тригонометрическая функция
отображает взаимно однозначно свою
свою область изменения. Поэтому у каж-
есть обратная функция — соответствую-
щая основная тригонометрическая функция, но рассматриваемая
только на соответствующей области определения.
Например, для функции у — arccosх обратной к ней будет
функция t/ = cosx, рассматриваемая только на отрезке [0, л];
для функции у=arctg х обратной к ней будет функция у= tgx,
(л л \
—У ’ У /'
Z^.--urcsine+r.
fy- sin®,.
В заключение найдем обратную функцию к.функции у = sinx
с областью определения X = , -уj . Легко видеть, что функ-
ция у = sinx взаимно однозначно отображает отрезок X на отре-
зок Y = [— 1; 1]. Поэтому у этой функции есть обратная функция.
Для ее нахождения возьмем произвольное уй € Y и найдем х0 g X
из равенства sinx0 — у9 — 0. Очевидно, что число х0 — я — arcsinyt
300
удовлетворяет этому равенству и принадлежит отрезку | у, -g-j .
Поэтому обратное правило будет такое: х = л — arcsiny. Значит,
обратной функцией будет функция у = л — arcsin х. Итак, для функ-
ции у = sin х с областью определения X = £ у, обратной к ней
будет функция у —— arcsinx + n с областью определения [—1; 1]
и с областью изменения у| (рис. 118).
§ 4. Суперпозиции функций и их графики
Сложная функция. Пусть функция ,ы = ф(х) определена на
множестве X и множество значений этой функции входит в область
существования функции y==F{u). Тогда любому х из области
определения X функции п = ф(х) соответствует определенное
значение переменной и, а этому значению и функция y = F(u)
ставит в соответствие определенное значение переменной у, т. е.
переменная у является функцией от х на множестве X: у =
= F[q>(x)]. Полученная функция от функции называется елоягной
функцией переменной х. Функцию и ==ф(х) называют внутренней
функцией, a y = F(u)—внешней, .Сложную функцию [<р(х)]
называют часку суперпозицией двух функций: внутренней и =
(=ф(х) и внешней y = F(u). Например, если ц — cosx И р = 2“,
то для любого действительного х определена сложная функция
z/ = 2C0SX. Сложными функциями будут, например, функции -
у = sin (2x4-4), y = log2tgx, z/ = tglog2x. ;
Функции, полученные из основных элементарных функций
с помощью конечного числа алгебраических операций и приме-
нения конечного числа суперпозиций, принято называть элемен-
тарными функциями. Элементарными функциями будут, напри-
мер, функции
t/*=tgj/'l —х2, у = log2sin 3*~4, у= ++14-2sin2(х—5).
Рассмотрим примеры, показывающие, как построить график
сложной функции у = Г[ф(х)], зная график внутренней функ-
ции ц = ф(х) и свойства внешней функции y = F(u) (из рассмот-
ренных примеров будет ясно, как построить график любой элемен-
тарной функции, зная свойства и графики основных элементарных
функций).
Построение графика функции _у =—/(х) по графику функ-
ции y=sf(x). Пусть некоторая точка Л40(х0, у0) принадлежит
графику функции y = f(x), т. е. пусть ya = f(xl)). Возьмем точку
Afx (х0, — у0), симметричную точке МЛ (х0,у0) относительно оси Ох.'
Координаты точки ЛК(х0, — у„) удовлетворяют условию ~уй =
— —f(xt), поэтому точка МДхо, —у0) принадлежит графику
функции у = — /(х).Так как точка Л10(ха, у0), принадлежащая
.301
302
графику функции y = f(x), бралась любая и функции y=f(x) и
у — — f(x) имеют одну и ту же область определения, то график
функции у — — f(x) получается из графика функции y = f(x)
симметричным отображением последнего относительно оси Ох.
Построим этим способом графики функций у~— х2- (рис. 119),
у = — --(рис. 120), у== — log2x (рис. 121).
Построение графика функции _у=/(—х) по графику функ-
ции y=f(x). Пусть некоторая точка Af0(xe, «/с) принадлежит
графику функции у — f(x), т. е. пусть yt = f(x0). Возьмем точку
Mi (— aJ0, t/0), симметричную точке Af0 (х0, «/0)'относительно оси Оу.
Координаты точки —х0, i/Д. удовлетворяют условию у0 —
= f[—(—х0)], поэтому точка .Л|д(—х0, у0) принадлежит гра-
фику функции y — fi.'T-x). Так как точка М0(х0, у0), принадле-
жащая графику функции y = f(x), бралась любая й функции -у =
— f (х) и y — f(—х) имеют области определения, симметричные
относительно начала координат, то график функции y — f(—х)
получается из графика функции «/ = f(x) симметричным отобра-
жением последнего относительно оси Оу.
Построим этим способом графики функций у = 2~х (рис. 122),
z/ = log2(—х) (рис. 123).
Построение графика функции у = Bf(x), где В=^0, по гра-
фику функции y=f(x). Функции y = f(x) и y = Bf(x) имеют
одну и ту же область определения. Следовательно, зная, как для
любого х по ординате функции y~f(x) найти ординату функции
y — Bf(x), можно по графику функции y = f(x) построить график
функции у = Bf (х). Пусть некоторая точкаМо (хв, «/^принадлежит
графику функции y = f(x), т. е. пусть t/o = f(xo). Возьмем точку
Mt (х0, В«/о). Координаты ее удовлетворяют условию By9 = Bf(x^,
поэтому точка (х0, В«/о) принадлежит графику функции у —
= Bf (х). Рассмотрим возможные случаи в зависимости от чис-
ла В:
1. В> 1. Точка Мх(х0, ByQ) получается из точки М0(х0, 1/0)
растяжением ординаты точки Мо в В раз и график функции
y = Bf(x) получается из графика функции t/ = f(x) растяжением
в В раз вдоль оси Оу графика функции y = f{x).
2. В = 1. Все точки графика y = f(x) остаются на месте.
3. 0<В<1. Поскольку В — у, то точка (ха, В«/о) полу-
~В
чается из точки M0(x0, «/0) сжатием ординаты точки 2И0 в -^раз
и график функции y = Bf(x) получается из графика функции у =
—f (х) сжатием ординат всех точек в раз, т. е. сжатием в -g
раз вдоль оси Оу графика функции y = f(x).
4. В <0. Тогда В —— | В | и построение графика функции
y = Bf(x) разбивается на 2 этапа:
303
а) построение графика функции у = j В | / (х) по графику функ-
ции z/ = f(x);
б) построение графика функции у =— |В|/(х)по графику
функции у = | В | f (х).
Построим этим способом графики функций у = 2 sinx (рис. 124),
у = — 2х2 (рис. 125), y = 1/2cosx (рис. 126).
- Рис. 124;
Построение графика-функции j?ss/(£x), где k^=0, по гра-
фику функции у =f (х). Функция y = f(kx) определена для
всех тех х, для которых число kx принадлежит области опреде-
ления функции y = f {x). Пусть некоторая точка М9(х0, у„) при-
надлежит графику функции у = f (х), т. е. пусть уа =. f (х0). Точка
Mi !/») принадлежит графику функции y = f(kx), так как
ее координаты удовлетворяют условию у0 = /. Рассмотрим
различные случаи в зависимости' от числа k. ‘ ;
1. £>.1. Точка Мг ^уХ0, получается из точки Л10 (хв, ус)
сжатием абсциссы точки Мо в k раз, и график.функции у = f(kx)
получается из графика функции y = f(x) сжатием абсцисс всех
точек в k раз, т. е. сжатием в k раз. вдоль оси Ох графика функ-
ции y = f (х). , : . ; • :
2. k~\. Все точци графика, у='f (х) остаются на месте.
3. 0<&.<1. Точка Af^^Xg, ^/0^; получается из точки
М0(х6, у9) растяжением- абсциссы тбчки Л40 в раз, и график
функции y = f(kx) получается из графика функции y~f(x) рас-
тяжением абсцисс всех точек в раз, т. е. растяжением
в (-£-J pa3 вдоль оси Ох графика функции y = f(x).
4. #<0. Тогда k = —1&| и построение графика функции у =
— r(kx) разбивается на 2 этапа: -
а) построение графика функции у = / (| k ] х) по графику функ-
цииу — f (х);
б) построение графика y = f.(—\k\x) по графику y = f(\k\x).
304'
JT. *
1.у»2х*
ЛГу*=-2хя
Рис. 125.
Построим этим способом графики функций у = sin 2х, у = 2~ix,
y=iog2 (—4х)-
Построение графика функции y=f(x—а), где а^=0, по
графику функции у =/(х). Функция у = f(x — а) определена для
всех тех х, для которых (х — а) принадлежит об-
ласти определения функции y = f(x). Пусть точка
Af0(x0, у9) принадлежит графику функции г/= / (х),
т. е. пусть yo = f(xo)- Точка у„) принад-
лежит графику функции а)У;так дак ее
координаты удовлетворяют ^доцию^/,.«/0 =
—f [(*<>+а)—й] = / (х0).- Следовйелънф а ^каждая
точка графика функции у — [\х — получа-
ется из соответствующей точки Мо графика
функции у = f (х) сдвигом этой Точки вдоль оси
Ох на величину а. При этом если а > 0, то сдвиг
производится вправо на величину а, а если
а < 0 — сдвиг производится влево на величину
| а [.Итак, график функции y — f(x—a) получается
из графика функции y = f(x) сдвигом последне-
го, как жесткого тела, вдоль оси Ох на вели-
чину а.
Построим этим способом графики функций
y = log2(x + 3),.y = (x —2)2,r/= cos(x-by) (см.рис.
130, 131, 132 на с. 30&).
Построение графика функции у=/(х) + £>, где ^=#0, по
графику функции у =/(х). Функции y = f(x)+b и y = f(x) имеют
одну и ту же область определения; Следовательно, зная, как
для любого х по ординате функции y = f(x) найти ординату
Ху=соз» '
Рис. 126.
функции y — f(x) + b, можно по графику функции у = f (х) постро-
ить график функции у — f (х) + Ь. Пусть некоторая точка Л70 (хв, у^)
принадлежит графику функции y = f(x), т. е. пусть i/e = f(x0).
Возьмем точку Му (х0, z/0 + &). Координаты ее удовлетворяют
условию уа-±Ь —f(x0)-\-b. Следовательно, чтобы получить точку
AJ,, нужно точку Л10 сдвинуть вдоль оси Оу на величину Ь. При
305
Рис. 127.
Рис. 123. Рис‘ 129,
Рис. 130. Рис- 13к
' П
Рис. 132.
306
этом если b > 0, то сдвиг производится вверх на величину &,
если b < 0 — вниз на величину | b |.
Построим этим способом графики функций у = 2х —3 (рис. 133),
у = х2-— 1 (рис.'134), y = sinx+l (рис. 135).
Построение графика функции у ss Bf [ft (х—а)] + b по графику
функции y=f(x). График функции y = Bf [k(x — а)]Ч-Ь стро-
ится по графику функции y = f(x) последовательным примене-
нием предыдущих способов.
Например, так:
9 = f (4У - f (kx) У = Bf fix) -> у =
- Bf [А (х - а)] -> у = Bf [6 (х - а)]+Ь.
Покажем применение этого способа на нескольких примерах.
Построить график функции у — ах?+6x4-с» где а+=0.
Преобразуем квадратный трехчлен дх2 + &х+с, выделив пол-
ный квадрат:
307
Итак, надо построить график функции
to—
4а
Сначала построим график функции г/ = х2, Затем растяжением его
вдоль оси Оу в |а| раз — график функции z/ = |a|x2. Если a >0,
то возьмем построенный график функции у = ах2\ если а < 0, то
отобразим график функции t/ = |a|x2 относительно оси Ох и полу-
чим график функцйи i/ = ax2. Наконец, сдвигом графика функ-
ции у=ах2 вдоль оси Ох на , а затем сдвигом получен-
ного графика- функции У—а[ x~i~2a) вдоль оси Оу на ——
получим график функции y = ax2-f-bx.-^c..
Покажем вре ЭтнСа^й построения графика квадратного трех-
члена на следующем примере: построить график функций у =
——2х2+Зх+1‘. П^еобразуей^цвадратный трехчлен 2х24-3хф1 =
= — 2 (х — -j ] 4;'^ й '’ йбст^дим по изложенной схеме график
,47 , ' "
функции у
Теорема 1. Г рафик функции у—kx+b есть прямая линия,
пересекающая ось Оу
II
4
а
1.Ц'2лг
в точке М (О, Ь) и образующая с положи-
«.тельным направлением оси Ох .угол,
. ^тангенс которого равен k.
Доказательство. Докажем,
•что график функции y — kx есть пря-
мая, проходящая через начало коорди-
нат и образующая с положительным
направлением оси Ох угол, тангенс
которого равен k.
Рассмотрим несколько случаев: .
a) k = 0. Тогда график функции у — 0
есть ось Ох —прямая линия Htga = 0.
б) k > 0. Тогда все точки графика
z $2 функции y — kx лежат в I или III чет?
вертях. Начало координат принадле-
жит графику функции у=kx. Возьмем
I , j „ - некоторую точку М0(х0, у0), отличную
Ж а от начала координат, принадлежащую
Рис. 136. графику функции y = kx, т. е. такую,
что ya = kx^. Проведем через точки
2И0(х0, у9) и 0(0, 0) прямую и покажем, что эта прямая и будет
графиком функции y = kx.
Пусть построенная прямая образует с положительным нап-
равлением оси Ох угол а, тогда tga = j-^j = = — k. Возь-
мем некоторую точку ^(Xj, г/J, отличную от. точек О и Мо на
этой прямой (пусть для определенности точка лежит в I
308
четверти). Из прямоугольного треугольника OAMi (рис. 137)
находим, что | ЛЛ411 = | ОД | tg а. Так как ,| 4Afx| = i/f, |0Л| = Х1,
tga = £, то yi = kxi. Это означает, что координаты любой точки
построенной прямой удовлетворяют условию y=kx.
Пусть теперь х2 и у2 таковы, что y2 = kx2 (пусть для опре-
деленности х2 > 0 и, следовательно, у2 > 0). Построим точку
Af2 (х2, у2). Точка М2 должна оказаться на построенной прямой, ибо
если точка М2 не попадает на
эту прямую, то через начало
координат будут проведены две различные прямые, образующие
один и тот же угол а с положительным направлением оси Ох,
что невозможно.
Итак, точки построенной прямой и только они удовлетво-
ряют условию y=kx, т. е. график функции y=kx есть постро-
енная прямая.
в) £<0. Тогда график функции у — |Л|х есть прямая, про-
ходящая через начало координат и образующая с положитель-
ным направлением оси Ох угол, тангенс которого равен |£|.
График функции у — — | £| х получается из этого графика сим-
метричным отображением относительно оси Ох, поэтому этот гра-
фик есть прямая, образующая с положительным направлением
оси Ох угол, тангенс которого равен —1£|=&.
Для завершения доказательства остается сказать, что график
функции у — kx+b получается из прямой у=kxсдвигом вдоль оси
Оу, как жёсткого тела, навеличину Ь. Приэтом точка 0(0,0) графика
функции y = kx перейдет в точку Л(0, Ь\ графика функции у =
= kx+b. Теорема доказана.
Построим этим способом графики функций у=ух+3(рис. 138,1),
у —— 2х-4-2 (рис. 138,11).
Построение графика функции у = |/(х) | по графику функ>
ции ^=/(х). Прежде всего напомним определение:
Ш-м — J /W тех х, где /(х)>0,
' W I — f(x) для тех х, где f(x)<0.
309
Пусть некоторая точка Л10(х0, у0) принадлежит графику функ-;
ции y — f(x), т. е. пусть — Рассмотрим два случая:
a) t/0>0. Тогда, поскольку lf(x0)| = f(xe) = (/0, точка Л40(хв,«/,)
принадлежит графику функции y = \f(x)\.
б) < 0. Тогда, поскольку |/(х0)|= — f(x0) = — уй, точка
Mi(x0, — t/о) принадлежит графику функции t/ = |f(x)|. Следова-
тельно, график функции y=]f (х) | получается из графика функ-
ции у = f (х) следующим образом:
все точки графика y=f(x), лежащие на оси Ох и выше ее,
остаются на месте;
Рис. 141.
все точки графика y=f(x), лежащие ниже оси Ох, симмет-
рично отображаются относительно оси Ох.
Заметим, что график функции у = | / (х) | не имеет точек ниже
оси Ох.
Построим этим способом графики функций г/ = |х2 — 11 (рис. 139),
t/ = [2*| (см. рис. 104, II),(/ = |log2x|(pHc. 140), у =}sinx (рис. 141).
Построение графика функции yssf(\x\) по графику функ-
ции y=f (х). Заметим, что функция у = f (| х |) четная функ-
ция, так как f(|—х|)=/(|х|). График четной функции строится
так: строится график этой функции для всех х^О; для пост-
Sio
роения графика этой функции для х < 0 построенная часть
отображается симметрично относительно оси Оу. Поскольку | х | =
= х для х^О, то для х>0 график функции y = f (|х|) сов-
падает с графиком функции y = f(x). Для построения графика
функции i/ = f([x|) для х<0 надо часть графика функции у =
= /(|х|), Уже построенного для х2>0, симметрично отобразить
относительно оси Оу. Для построения графика функции у =
= Н|х|) существенную роль играют точки, графика функции
y = f(x), лежащие на оси Оу или справа от нее; точки графика,
Рис. 144.-
лежащие слева от оси Оу, никакой роли не играют, следова-
тельно, для построения графика функции у — f (| х |) надо:
а) стереть все точки графика функции y = f(x), лежащие слева
от оси Оу;
б) оставить на месте все точки графика функции, лежащие
на оси Оу и справа от нее;
в) отобразить правую часть графика симметрично относительно
оси Оу.
Построим этим способом графики функций у — 21 х । (рис. 142),
«/ = log2|x| (рис. 143), z/ = sin|x| (рис. 144).
Построение графика функции y = F(f(x)) по графику функ-
ции у =f{x). В случаях, более сложных, чем рассмотренные
выше, график функции y = F(f(x)) строят, используя график
y = f(x) и свойства функции y — F(x). Не давая общих рекомен-
даций, покажем как это делать, на нескольких примерах.
311
Используя график функции # = sinx (см. рис. 108), постро-
ить графики функций:
0 = 2sinjc .«/ = log2sinx
а) область определения функ- а) область определения функ-
ции у = 2sta х — все действитель- ции у = log2 sin х — все те х, для
ные х; ’ ' которых sinx> 0, т. е. все те х,
* где график функции у = sin х ле-
./' жит выше беи Ох;
б) поскольку функция У = б) поскольку функция У —
= sin х — периодическая с Глав- = sin х — периодическая с глав-
ным периодом 2л, то фу'нйция ным периодом 2л, то функция
t/ = 2sin* тоже периодическая, ; </ = log2 sin х тоже периодиче-
с главным периодом 2л; екая с главным периодом 2л;
Поэтому будем ’ сТрбить графики обеих функций только на
отрезке [0, 2л], а потом продолжим графики периодически.
в) поскольку на промежутке
[о, функция у\= sin х. воз-
растает ОТ 10 до 1;.то функция
t/ = 2’in* н^ этом (промежутке
возрастает от 1 до 2; на‘про-
[л Зл 1 ,
-у, -у] функция
z/ = sinx убывает от 1 до (—1),
а функция у = 2’1П х убывает от
J * Г *1
2 до у; на промежутке у-, 2л
функция у у sin х возрастает от
(—1)до0, а функция y=2*inx
возрастает от у до 1.
в) поскольку на промежутке
^0, yj функция i/ = sinx воз-
растает от 0 до 1, то функция
у= log2 sin х на этом промежут-
ке возрастает от (—оо) до 0;
на промежутке [у > ‘ функ-
ция у — sinx убывает от:1 до 0,
а функция i/ = log2sinx убывает
от 0 до (—• оо); на промежутке
[л, 2л] функция у=sin х непо-
ложительна, поэтому на этом
промежутке функция • у =
=?= log2 sinx не определена (и то-
чек графика этой функции здесь
нет).
Перечисленные свойства позволяют нам построить требуемые
графики на промежутке [0, 2л] и_ продолжить их периодически
(рис. 145, 146).
Предыдущие рассуждения показывают, как график функции
помогает выбрать необходимые промежутки для исследования
свойств сложных функций и тем самым помогает построить гра-
фик сложной функции.
Сложение графиков. Пусть даны функции y = f(x) и y = g(x).
Тогда на общей части их областей существования определена
функция y = f(x) + g(x). Пусть точка Л11(х0, у J принадлежит
графику функции y = f(x), а точка А42(хв, у2) принадлежит гра-
фику функции y = g(x), причем число х0 принадлежит общей
части областей существования функций y = f(x) и ff=g(x). Тогда
точка Л43 (х0, уг+у2) принадлежит графику функции y=f (x)+g(x).
Значит, для построения графика функции y = f (x) + g(x) надо:
312
а) оставить те точки графиков у = f (х) и у=g (х), у которых х
входит в общую часть областей существования этих функций;
б) для каждого такого х произвести алгебраическое сложение
ординат (соответствующих данному х) этих двух графиков.
Рис. 145.
Рис. 146.
Построим этим методом график функции i/ = x-|-sinx (рис. 147).
Умножение графиков. Пусть даны функции y — f(x) и y = g(x).
Тогда на общей части их областей существования определена
функция у = / (х) g (х). Пусть точка Л41(х0, у,) принадлежит гра-
фику функции y = f(x), а точка 7Иа(х0, у2) принадлежит графику
функции y = g(x). Ясно, что число х0 принадлежит общей части
областей существования функции y = f(x) и y = g(x). Тогда точка
М8(х0, у2у2) принадлежит графику функции y = f(x)g(x). Значит,
для построения графика функции y = f(x)g(x) надо:
а) оставить те точки графиков y = f (x) и y = g(x), у которых х
входит в общую часть областей существования этих функций;
313
б) для каждого такого х произвести умножение ординат (соот-
ветствующих данному х) этих двух графиков.
Построим этим методом график функции i/=xsinx (рис. 148).
УПРАЖНЕНИЯ
Найти область определения и область изменения функции (1—6):
1.у=Гх-1. ^У = —9- 3.«-=у=.
4. у = У~х- б. K.£g±.!>. 6.
Совпадают ли области определения функций (если нет, то-найти общую
часть областей определений сравниваемых функций) (7—14):
7. у — х и у — — ; 8. ^ = sinirx и # —tgxv;
9. у —cosnx и f/ = ctg^x; 10. t/ = igx и e/ = ctgx;
И. уarcsinх и у — arctgх; 12. #=arcsinx и у — arccosх;
13. ^ = arcsinx и # = arcctgx; 14.= arccos хи у —Arcctg х?
15. Что значит:-—функция ограничена сверху (снизу);
—функция не является ограниченной сверху (снизу);
—функция ограничена; *
—функция не является ограниченной?
16. Показать что функция У=~ не является ограниченной ни сверху,
ни снизу.
17. Показать, что функция у — х2 не является ограниченной сверху.
18. Показать, что функция у = х? не является ограниченной.
19. Приведите пример функции, которая не является ни четной, ни не-
четной. /' .
20. Всякая ли функция может быть представлена в виде суммы четной и
нечетной функций?
Рассмотреть примеры: 1) у= У г, 2) #=log2x.
Доказать монотонность функций (21—24):
21. у = logj,^2x; 22. # = 2Х; 23. у= У х; 24. ц — х5.
Является ли монотонной функция (если нет, то найти интервалы моно-
тонности) (25—43):
25. £ = —!— ; 26. у — х—[х]; 27. # = signlgx;
28. y=f/х2; 29. у = log1/2 arccos х; 30. у — arctg х2;
31. t/= У5—4х; 32. у — sinarccosх; 33. #=fg^x;
34. y=signx; 35. у — Ig cosx; 36. у — V"ctgx;
37. ^ = arcrtg|x|; 38. у = 39- jr=f**-3*+*k
40. у=У\—x2; 41. у — [sinx]; 42. y — 2igx\.
315
44. Может ли сумма двух монотонных функций быть немонотонной функ-
цией?
45. Всегда ли произведение монотонно возрастающих функций есть моно-
тонно возрастающая функция?
46. Пусть на промежутке [0; 2] дана функция
( х2, если 0 «С х < 1,
у — 4 5, если х== 1,
( х + 3, если 1 < х«с2.
Представить ее в виде разности двух, монотонно возрастающих функций.
47. Можно ли немонотонную функцию представить в виде" разности двух
монотонных функций?
48. Доказать, что функция у = {х} (дробная часть х) является периоди-
ческой функцией. Найти ее! период и построить график этой функции.
49. Привести пример функции, не являющейся постоянной, периодом
которой является любое рациональное число.
50. Найти период функций # = cos (sinx) и у= J^sin х.
51. Дана периодическая функция с периодом Т =2л, которая задается на
отрезке [— л, л} следующим образом:
f 0, если — л х 0,
у — S
I х, если 0 < х л.
Построить ее график.
52. Периодическая функция с
[— 1; 1] следующим образом:
периодом Т=2 определяется на отрезке
х + 1,
х,
если —1 ^х«С0,
если 0 < х < 1*
Построить ее график.
53. Периодическая функция с периодом Т = 3 задана следующим образом:
у=2 — х, если 0 < х<3. Построить ее график.
54. Показать, что любое число Т такое, что 0 < Т < 2л, не является
периодом функции у = sinx.
55. Показать, что число Т = л является наименьшим периодом для функ-
ции i/ = tgx.
56. Показать, что любое число Т такое, что 0 < Т < л, не является пе-
риодом функции t/ = ctgx.
57. Показать, что число Т — 2л является наименьшим периодом для функ-
ции # = cosx.
58. Доказать, что для любого х справедливо неравенство | sin х | «С | х |.
(л л \
— -% , I справедливо
• неравенство | tg х | ^ | х |.
В одной и той же системе координат построить графики указанных групп
функций и выяснить их взаимное расположение (60—65):
60. у~х, у — х2, у~х3> у = х\ у — х3.
61. у — х9 t/ = arcsinx.
316
62. y~xt у = arcctg x.
63. у — х, У= V х, у = у xt у — у х, у=у X,
64. у = — х+у» i/^cosx.
65. t/= —%+j, # = ctgx.
Построить график следующей функции (66—143): _
66. y=]/cosx. 67. y==ytgx. 68. «/= 1/ — .
69. у=У~2\ 70. г/= sin2 х. 71. у = ctg2 х.
72. r/ = cos3x. 73. !/ = Iogix. 74. у — arcsin x2.
75. i/ = arctg-i-. 76. # = [sinx]. 77. у =
78. у— [2х]. 79. # = [log2x]. 80. y = [arcsin x].
81. у = [arctg x]. 82. у = [arccos xj. 83. #= [arcctg x].
84. y = sign arccos x. 85. у = sign arctg x. 86. # = signcosx.
87. у — signx2. 88. # = [x2]. 89. y-sign i.
90. y = sign Igx. 91. £/ = [Kx]- 92‘ [(д)*] ’
93. */ = log2 [tgx]. 94. y==log1/2![sinxj. 95. i/= arcsincosx.
— > если x<—1,
(тУ ’ ?сли —1 < х<1,
arctg x, если 1 < x.
2х, если
1
—, если
x
x2, если
97. y =
96; y-
98. у =
. • _ оЛ .
signx, если х<:—
cos х, если < х^0#
arcctg х, если 0 < х < 1,
log2 х, если 1 х.
{х2, если х^—2,
-4, если —2 < х < 0э
х_
х, если 0<х<4,
log2 х, если 4 < х.
[sinx], если
tgx, если
X < —л,
2л
— Л SCX^--д-,
100. у =
ctg х, если----г- х < 0,
5л
sin х, если 0 < х < ,
о
sign cos х, если ^х.
317
L
если х=С—2,
если —2 < х < — 11
если —1 «С х < 2,
если 2^х,
{2х, если х^—1,
arccosx, если —1 < х^О,-
arcsinx, если 0 <х<?Ц
~, если 1 < X.
х
103. jr= / arcctgx, если arcsinx, если arccosx, если 1, М < х < 0, 0<х<у,.
104. «/ = к / logi/a*» если ctg x, если sinx, если 2х, если log1/2x, если 1 2 <Х- _ 5л х<—т-; 4 5л _ 1 < X lf — 1 <х<0, 0 < *
к У х, если 1
[arctgx], если я х< б ,
cosx, если — < х< о Л Т ’
105. у = < tgx, если л < X < Л, 4
sinx, если Зл я<х<-^- >
ctgx, если Зл ~2<к-
106. у = х 2+5|х_1| + 1. 107. у = |- 3x42] —|2х—3-|.
108. z/= | х2—3x4-21 — | 2х — 3 |. 109. 0 = (х41) (| х |—2).
11Л 2*-М 111 1 1 по 2*~6 in ( 1 V2*+1
,10-*'=-2—• ,П^=1-|7Г- П2- ^=Тз=Л- ,,3-у=Ы
114. 0 = 2«3*+1 —1. 115. 0=10-1*1.
116. 0 = | log х х6 j. 117. 0= У 1g sin x.
118, 0 —sin2 x+cos2 x. 119. 0 = sin2x—cos2x.
120. 0= У 3 sin 2x4 cos 2x. 121. 0 = arcsintgx.
122. 0 = arcicosf—4—123. 0 = —sinx.
sin X у X
124. 0 = coslgx. 125. 0 = 2sin|2x|.
318
126. arotg(x—•!). 127. £/ = yarccos(x—1)4-1.
128. y = — 2cos 129. r/ = arcsin (x4-1)—L
.130. p = 2tgf~2x+^ . 131. f/ = -cos2f
\ 4 J \ ® J
132. y=log1/aj-lp. 133. y = tgl.
134. y = sin2arccosx. 135.
136. r/ —arccos cos %. 137. # = arctgtgx.
138. jr = cos2x—У1—sin2x. 138. У =
л x -
a cos— 1
140. i/=34-2 141. t/ = arotg^-.
142. y=hj=lL. 143. y=sinl.
Найти обратные функции и построить их графики для функции с задан-
ной областью определения (144—153):
Функция Область определения
144. ? 145. 146. 147. 148. 149. 150. 151. 152. 153? <si ч; ч: ч: II II II II II II II II 11 ЬЭ I to — о 1 Ч* 1 S? Jo » + -.£1 Til+^| * « *1 f + м ° + 'Fl* ~ к «|а + |“ ьэ (— оо; со) (- оо; -1) 0; «о) [2; «) [-2; 0] (—1; оо) (—оо;01 Г 5л л 1 L 6 : “6 J {0; л) / л л \ \ Т *’ 2 )
319
Глава VII. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Т1усть даны две функции: функция. y = f(x) с областью суще-
ствования Р и функция y = g(x) с областью существования L.
Пусть область М. естьпересечение областей существования этих
функций, т. е. Л1 = РП£ (в частности, область М может быть
пустым множеством).
Пусть стоит задача: найти все числа а из области.М, длй
каждого из которых справедливо числовое равенство f(a) = g(a).
В таких случаях говорят, что стоит задача решить уравнение
f(x) = g(x) с одним неизвестным х нлм. что дано уравнение f(x)~
=g(x) с одним неизвестным.х.
В этой главе рассматриваются некоторые способы решения
только таких уравнений, поэтому дальше вместо слов «уравнение
f(x)=g(x) с одним неизвестным х» будем говорить просто «урав-
нение f(x) = g(x)». •
§ 1. Основные определения и утверждения
равносильности уравнений
Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x)—g(x)
называется общая часть (пересечение) областей существования
функций у = f (х) и y = g(x), т. е. множество всех числовых зна-
чений неизвестного х, при каждом из которых имеют смысл
(определены) и левая, и правая части уравнения. Всякое число х
из ОДЗ уравнения называется допустимым значением для данного
уравнения.
Число а из ОДЗ уравнения называется решением (или корнем)
уравнения f(x) = g(x), если при подстановке его вместо неизвест-
ного х уравнение превращается в верное числовое равенство
f(a)=g(a).
Решить уравнение / (x) = g(x) —это значит найти множество
всех его корней. Отметим, что это множество может оказаться:
и пустым множеством, что возможно только в двух случаях:
а) .если ОДЗ уравнения / (x) = g(x) есть пустое множество; б) если
ОДЗ уравнения /(x) = g(x) есть непустое множество М, но ни
для одного числа а£М не выполняется числовое равенство
f(a)=g(a)- Если множество всех корней уравнения f(x)=g(x)—
пуетое множество, то обычно говорят, что уравнение f(x) = g(x)
320
не имеет корней, поэтому иногда говорят так: решить уравнение
f(x) = g(x)— это значит найти все его корни или доказать, что
это уравнение не имеет корней. Если множество всех корней
уравнения f (x) = g(x) состоит из k чисел хх, х8, ..хк, то гово-
рят, что уравнение f(x) = g(x) имеет только k корней: хх, х2,...
..., хк, т. е. множество всех его корней есть множество \х},
х2, . ..,хк). Если множество всех корней уравнения f(x) — g(x)
состоит из одного числа xit то говорят еще, что уравнение
f(x) = g(x) имеет единственный корень xt. 4
Пусть даны два уравнения: f(x) — g(x) и р(х) = <р(х). Если
любой корень первого уравнения является корнем второго урав-
нения, то второе уравнение называется следствием первого.
Отсюда следует, в частности, что если первое уравнение не
имеет корней, то второе уравнение есть его следствие. Другими
словами, все это можно сказать так: если множество всех корней
первого уравнения есть часть (подмножество) множества всех
корней второго уравнения, то второе уравнение является след-
ствием первого.
Пусть даны два уравнения: f(x) = g(x) и р(х) = <р(х). Если
любой корень первого уравнения является корнем второго урав-
нения, а любой корень второго уравнения является корнем пер-
вого уравнения, то такие два уравнения называются равносиль-
ными (или эквивалентными). Другими словами, два уравнения
равносильны, если каждое из них является следствием другого.
При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из этих
уравнений не имеет корней, то такие два уравнения равносильны.
Замена одного уравнения другим уравнением)ему равносильным,
называется равносильным переходом от одного уравнения к другому.
Пусть даны уравнения f(x) = g (x) и р(хУ==<р(х) и пусть дано
некоторое множество М значений неизвестного х. Если любой
корень первого уравнения, принадлежащийГмножеству М, является
корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения,
принадлежащий множеству Af, является корнем первого уравне-
ния, то такие два уравнения называются равносильными на
множестве М. При этом,в частности, подразумевается, что если
каждое из этих уравнений не имеет корней на множестве М, то
такие два уравнения равносильны на множестве М.
Замена одного уравнения другим уравнением, равносильным
ему на множестве Af, называется равносильным переходом на
множестве М от одного уравнения к другому.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих введенные
понятия. Пусть дано уравнение
Ki—x = log2 (х—1).
Область допустимых значений этого уравнения есть пустое
множество. Действительно, область существования функции
У — К1 — х есть множество Х, = (—оо; 1], а ОблаСТЬ СуЩеСТВО-
11 М. К. Потавев и др. 321
вания функции t/ = log2(x—1) —множество Х2 = (1; + «>), Общая '
часть (пересечение) этих областей —пустое множество. ।
В данном примере, после того как найдена ОДЗ уравнения,
оно уже решено, ибо установлено, что уравнение не имеет корней.
Пусть дано уравнение
Ух2 — 4 = У 4—х2.
Область допустимых значений этого уравнения есть множе-
ство, состоящее из двух чисел: —2 и 2. Действительно, область
существования функции у —Ух2 —4 есть множество —
= (—оо, —2] U [2, +оо), а область существования функции
у = ]/ 4 — — множество Х2 = [—2; 2]. Общая часть (пересечение)
этих областей —множество Х = Х1ПХ2 = {—2; 2}. Подстановкой
числа (—2) и числа 2 в данное уравнение убеждаемся, что оба
эти числа являются его корнями. Следовательно, данное урав-
нение имеет только два корня xt = —2 и хг — 2. Значит, и в этом
примере, после того как найдена ОДЗ уравнения, оно уже решено.
Приведенные примеры показывают, что при решении уравнения
бывает полезно знать ОДЗ этого уравнения.
Однако можно привести примеры уравнений, для решения *
которых he обязательно знать их ОДЗ.
Например, пусть дано уравнение 5 i
)/log2(x + sin2x)=—1.
Это уравнение не имеет корней, так как при любом значении х
из ОДЗ уравнения имеем неверное числовое равенство. В то же
время вычисление ОДЗ этого уравнения было бы непростой за-
дачей.
Два уравнения *4-4 = 0 и (х8+ l)(x-f-4) = O равносильны на
множестве всех действительных чисел, ибо каждое из этих урав-
нений имеет только один корень—число (—4).
Рассмотрим два уравнения: У~х— 1 и х2= 1. Первое уравнение
имеет только один корень —число 1, которое является и корнем :
второго уравнения. Поэтому уравнение № = 1 есть следствие урав- .
нения Ух= 1. Но уравнение х2 = 1 имеет еще корень—число (—1), <
которое не только не является корнем уравнения Ух — 1, но
даже не входит в его ОДЗ. Таким образом, данные уравнения
не являются равносильными на множестве всех действительных
чисел. Но эти уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения
(т. е. на множестве неотрицательных чисел), ибо на этом множе-
стве каждое из них имеет только один корень —число 1.
Приведем некоторые утверждения равносильности урав-
нений.
1. Уравнения f(x) — g(x) и f(x)—g(x) = 0 равносильны.
2. Уравнения f(x) = g(x) и f(x)+a = g(x)+a равносильны для
любого действительного числа а.
322 ' з
3. Уравнения f(x)—g(x) и a/(x)=ag(x) равносильны для лю-
бого действительного отличного от нуля числа а.
4. Уравнения f(x)=g(x) и afix, = agM равносильны для любого
фиксированного положительного и не равного единице числа а.
Доказательства справедливости этих утверждений сходны между
собой, поэтому докажем, например, утверждение 4.
Пусть число хх является некоторым корнем уравнения
=aglx\ т. е. пусть существуют числа f(xx) и g(xx), для ко-
торых справедливо числовое равенство = Поскольку
фиксированное число а удовлетворяет условиям а > 0 и а 1,
то из справедливости числового равенства = вытекает
справедливость числового равенства f(x1) = g(x1). Следовательно,
число хх является корнем уравнения f(x) = g(x). Такое рассуж-
дение можно провести для любого корня уравнения а/<лс) —а*
Значит, любой корень уравнения является корнем
уравнения f (х) = g (х).
Покажем теперь обратное. Пусть число х2 является некоторым
решением уравнения f(x)=g(x), т. е. пусть существуют числа
/ (х2) и g(x2), для которых справедливо числовое равенство f (х2) =
— g(x2). Тогда' на основании свойства числовых равенств для
:любого фиксированного числа а такого, что а>0и а=И=1, спра-
ведливо равенство af^ — ag{x^. Следовательно, число х2 является
корнем уравнения Такое рассуждение можно
провести для любого корня уравнения f(x) = g(x). Значит,
любой корень уравнения f (x)=g(x) является корнем уравнения
Итакк если каждое из уравнений f(x) = g(x) и a/U) =а£(*)
(a > 0, а 1) имеет корни, то эти уравнения равносильны.
Заметим, что из доказанного вытекает, в частности, что если
одно из этих уравнений не имеет корней, то и другое не имеет
корней, т. е. и в этом случае уравнения f (x)=g(x) и а/<х) = аг(х)
(а>0, а¥=1) равносильны. Утверждение 4 тем самум доказано
полностью.
Приведем некоторые утверждения, когда одно уравнение
является следствием другого.
5. Пусть п—натуральное число, тогда уравнение [f(x)]n =
= [g (x)]n — следствие уравнения f(x) = g (х).
Доказательство. Согласно утверждению 1 уравнение
[/ (*)]" = [£(*)]“
равносильно уравнению
[f WF-[£(*)]“ = о»
которое на основании формул сокращенного умножения равно-
сильно уравнению (см. гл. II)
[/(-О—WF’J + [fW2£(x)+ • • • + fe(*)F-1} = °- (О
11* 323
Пусть число х0 является некоторым корнем уравнения f (х) =
= g(x), т. е. пусть существуют числа f (х0) и g(x9), для которых
справедливо равенство f (x0) = g(x0). Но тогда справедливо и чис-
ловое равенство
1Ж)-£(*о)Ш(Xo)]"-l + [f (x0)p-2g(x0)+ . .. +fe(x0)p-*} = 0.
Следовательно, число х0 является корнем уравнения (1), которое
равносильно уравнению [f(x)]" = [g(x)]n, а потому число х0 явля-
ется его корнем. Такое рассуждение можно провести для
любого корня первоначального уравнения. Значит, любой корень
уравнения f(x) = g(x) есть корень уравнения [f (x)]n = [g(x)]n, т. е.
в этом случае, действительно, уравнение [/ (х)]" = [g (х)]п есть след-
ствие уравнения f(x)=g(x). Если же уравнение f(x)=g(x) не
имеет корней, то тогда очевидно, что уравнение [/(x)]" = [g(x)]'’
есть его следствие. Утверждение 5 доказано полностью.
6. Уравнение f(x) = g(x) —следствие уравнения logaf(x) =
~logag(x), где a>0 и a#=l.
Доказательство. Пусть число х0 — некоторый корень
уравнения logaf (x) = logag(x), т. е. существуют числа logaf(xe)
и logag(x0), для которых справедливо числовое равенство
logaf(x0) = logag(x0). Из равенства логарифмов двух чисел по
одному и тому же основанию следует равенство самих этих чи-
сел, т. е. f (x0) = g(x„), следовательно, число х0 является корнем
уравнения f(x) = g(x). Такое рассуждение можно провести для
любого корня уравнения logaf(x) = logag(x). Значит, любой ко-
рень уравнения loga f (х) — loga g (х) является корнем уравнения
f (х) = g (х), т. е. в этом случае, действительно, уравнение f (х) = g (х)
есть следствие уравнения logaf(x) = logag(x). Если же уравнение
k>gaf(x) = \ogag(x) не имеет корней, то тогда очевидно, что урав-
нение f(x) = g(x) есть его следствие. Утверждение 6 тем самым
доказано полностью.
Приведем несколько утверждений о равносильности урав-
нений на множестве.
7. Пусть п—натуральное число и пусть на некотором мно-
жестве М функции y = f(x) и y = g(x) неотрицательны. Тогда
на этом множестве уравнения f(x) = g(x) и [/(x)]" = [g(x)]" рав-
носильны.
Доказательство. Выше уже доказано (см. утвержде-
ние 5), что уравнение [f(^)]" = [g(x)]n есть следствие уравнения
f(x)=g(x).
Докажем теперь обратное. Пусть число х0 £ М есть некоторый
корень уравнения [f (x)]" = [g(x)]", т. е. пусть существуют неот-
рицательные числа f(x„) и g(x0), для которых справедливо чис-
ловое равенство
1Ж)]" = [£(*о)]п- (2)
Предположим, что число х0 таково, что одно из чисел f(xe) или
g(x0) равно нулю. Тогда из равенства (2) следует, что и другое
из этих чисел равно нулю, т. е. в этом случае /(xe)=g(xc). Сле-
324
довательно, в этом случае число х0 является корнем уравнения
f(x)=g(x). Предположим теперь, что число х0 таково, что одно
из чисел f(x0) или g(x0) не равно нулю. Тогда из числового ра-
венства (2) следует, что и другое из этих чисел также не равно
нулю, и согласно условию утверждения 7 оба числа f (х0) и g (х0)
положительны. Числовое равенство (2) равносильно числовому
равенству
[/ W~ g С*Ъ)] {[f (Хо)]п-Х + [/ (*о)]""? g (*<>) +•••+[£ (хо)]"-1} = 0. (3)
Поскольку любая натуральная степень некоторого положитель-
ного числа есть положительное число, произведение и сумма по-
ложительных чисел есть положительное число, то число {[/ (хв)]п“Ч-
+ [f (xe)]n-?g(xe) + • •. +[g(x0)]"-1} положительно, следовательно,
числовое равенство (3) равносильно числовому равенству f (х0) —
— g(xo) = O или равенству f(x0) = g(x0). Последнее числовое ра-
венство означает, что число х0 является корнем уравнения
f (x) = g(x). Такое рассуждение можно провести для любого корня,
принадлежащего множеству М, уравнения [f (х)]“ = [g (х)]в. Значит,
любой принадлежащий множеству М корень уравнения [f(x)]'’=
= [g(x)]" является корнем уравнения f(x) = g(x), т. е. на мно-
жестве М уравнение f(x) — g(x) есть следствие уравнения [/(х)]п=
= [g(x)]n.
Если же уравнение [f (х)]л = [g(x)]n не имеет корней, то тогда
очевидно, что уравнение /(x) = g(x) есть его следствие в силу
определения.
Итак, доказано, что в условиях утверждения 7 уравнение
f(x) = g(x) есть следствие уравнения [f (х)]“ = [g (х)]", чем и за-
вершается доказательство утверждения 7.
8. Пусть фиксированное число а таково, что а > 0 и а=£ 1, и пусть
на некотором множестве М функции y = f(x) и у — g(x) положи-
тельны. Тогда на множестве М уравнения f (х) — g (х) и loga f (х) =
= logeg(x) равносильны.
Доказательство. Выше уже доказано (см. утверждение 6),
что уравнение f(x) = g(x) есть следствие уравнения logaf(x)==
= logag(x).
Докажем теперь обратное. Пусть число x„£M является не-
которым корнем уравнения f(x) = g(x), т. е. пусть f(xo)>O,
g(xe) > 0 и f (xe) = g (х0). Но тогда равны и логарифмы этих чисел
по одному и .тому же основанию, т. е. тогда справедливо числовое
равенство log0f (xe) = logag(x0). Следовательно, число х0 является
корнем уравнения logef (x) = logog(x). Такое рассуждение можно
провести для любого из множества М корня уравнения f (x) = g(x).
Итак,-любой из множества М корень уравнения f(x) = g(x)
является корнем уравнения logef(x) = logeg(x), т. е. в этом слу-
чае, действительно, уравнение logef (x) = logeg(x) есть следствие
уравнения f(x) = g(x). Если же уравнение f(x) = g(x) не имеет
корней, то тогда очевидно, что уравнение loge/(x) = logcg(x)
есть его следствие в силу определения.
325
Итак, доказано, что в условиях утверждения 8 уравнение
loge7(x) = logeg(x) есть следствие уравнения f(x) = g(x), чем
и завершается доказательство утверждения 8.
9. Пусть на некотором множестве М, принадлежащем ОДЗ
уравнения f(x) = g(x), функция у = у(х) определена и при любом
х£М ф(х)=/=0. Тогда на множестве М уравнения f(x)=g(x)
и f(x)<p(x)=g(x)<f(x) равносильны.
Доказательство. Пусть число xt С М является некоторым
корнем уравнения f(x) = g(x), т. е. пусть существуют числа f{x1)
и g(x2), для которых справедливо числовое равенство f(x1)—
— g(xi) = 0- Так как по условию существует число ф(х^
и <p(Xj)^=O, то справедливо и числовое равенство ф(х1)[/(х1)—
—g(xi)]=0» которое равносильно числовому равенству <p(Xi)f(x!) =
= <р (х,) g (xj. Последнее числовое равенство означает, что число xt
является корнем уравнения /(х)ф(х) = ^(х)ф(х). Такое рассуж-
дение можно провести для любого корня из. множества М урав-
нения f(x) = g(x). Значит, любой корень из множества М. урав-
нения f (х) = g (х) является корнем уравнения f (х) ф (х) = g (х) ф (х).
Докажем обратное. Пусть число х2$М и является некоторым
корнем уравнения f (х)ф(х)=^(х)ф(х), т. е. пусть существуют
числа /(х2), g(x2) и ф(х2), для которых справедливо числовое
равенство f(x2)<p(x2) = g(x2)q(x2), равносильное числовому равен-
ству ф(х2)[/(х2)—g(x2)] = 0. По условию число ф(х2)у=0, следо-
вательно, последнее числовое равенство равносильно числовому
равенству f(x2) —g(x2) = 0, которое равносильно равенству
f (x2)=g(x2). Последнее числовое равенство.означает, что число х2,—
корень уравнения /'(х) = g(x). Такое рассуждение можно провести
для любого корня из множества М уравнения f (х) ф (х) = g (х) ф (х).
Значит, любой из множества М корень уравнения f (х)ф(х)=§(х)ф(х)
является корнем уравнения f(x)=g(x). Итак, если каждое из
уравнений f (x)~g(x) и f (х)ф (х) — g (х) ф (х) имеет корни на мно-
жестве М, то эти уравнения равносильны на этом множестве.
Заметим, что из доказанного вытекает, в частности, что если
одно из этих уравнений не имеет корней на множестве М, то
и другое не имеет корней на этом множестве, т. е. и в этом слу-
чае уравнения f(x)=g(x) и Их)ф(х) = £(х)ф(х) равносильны на
множестве М. Утверждение 9 тем самым доказано полностью.
Пусть дано п уравнений Д (х) = (х), f2 (х) = g2 (х), ..., fn (х) =
= g„(x). Обозначим через Q область, являющуюся пересечением
областей допустимых значений всех этих уравнений. Если стоит
задача найти все числа а из области Q, каждое из которых яв-
ляется корнем хотя бы одного из этих уравнений, то говорят,
что дана совокупность п уравнений
fi(x) = gl(x), f2{x) = g2(x), ..., f„(x)=g„(x) (4)
и область Q называется областью допустимых значений (ОДЗ)
этой совокупности.
Отметим, что обычно уравнения совокупности записываются
323
в строчку. Может оказаться, что в совокупности уравнений (4)
содержится бесконечно много уравнений.
Число а из ОДЗ совокупности (4) называется решением (или
корнем} этой совокупности, если оно является корнем хотя бы
одного уравнения из совокупности.
Решить совокупность уравнений (4) —это значит найти мно-
жество всех его корней. Если это множество оказывается пустым
множеством, то говорят, что совокупность уравнений (4) не имеет
корней.
Совокупность уравнений (4) обычно решают следующим обра-
зом. Сначала решают каждое уравнение на ОДЗ этой совокуп-
ности, т. е. находят множества Мг, М2, ..., Мп, где М,— мно-
жество всех корней уравнения f/(x)=g1(x), принадлежащих ОДЗ
этой совокупности. Затем находят множество Л10, являющееся
объединением всех этих множеств Мг, Л42, .... М„, т. е. М„ —
= Mt (J М2 (J ... и 7И„. Это множество и будет множеством всех
корней совокупности уравнений (4). Если множество Ма состоит
из k чисел: Л40 = (х1, х2, ..., xft}, то говорят, что совокупность
уравнений (4) имеет только k корней хх, х2, ..., хк.
Говорят, что уравнение
р(х)==ф(х) (5)
равносильно совокупности уравнений (4), если любой корень урав-
нения (5) является корнем совокупности (4), а любой корень
совокупности (4) является корнем уравнения (5).
При этом, в частности, подразумевается, что если уравнение (5)
не имеет корней и совокупность уравнений (4) не имеет корней,
то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений (4). Замена
уравнения (5) равносильной ему совокупностью (4) называется
равносильным переходом от уравнения (5) к совокупности (4).
Иногда возникает необходимость совершить равносильный
переход от уравнения к совокупности уравнений на некотором
множестве М.
Говорят, что уравнение (5) равносильно на множестве М со-
вокупности уравнений (4), если любой корень уравнения (5),
принадлежащий множеству М, является корнем совокупности (4),
а любой корень совокупности (4), принадлежащий множеству М,
является корнем уравнения (5).
Замена уравнения другим уравнением или совокупностью
уравнений будет в дальнейшем называться преобразованием урав-
нения.
, § 2. Простейшие уравнения
Пусть у = f(x) — основная элементарная функция, Ь — некото-
рое фиксированное действительное число. Тогда уравнение
f(x) = 6
принято называть простейшим уравнением.
327
Очевидно, что ОДЗ простейшего уравнения совпадает с об-
ластью существования основной элементарной функции y — f(x).
Рассмотрим простейшее уравнение f(x) = b на некотором мно-
жестве X, принадлежащем ОДЗ, причем в качестве множества X
будем брать либо отрезок [хх, х2], либо интервал (хх, х2), либо
полуинтервалы (хх, х2], [хх, х2), либо лучи [хх, + оо), (хх, + оо),
(—ОО, Хх), (—00, хх], либо всю числовую прямую (—оо, + оо).
Через Y обозначим область значений функции y = f(x), опреде-
ленной на множестве X. Пусть основная элементарная функция
t/ = f(x) строго монотонна на множестве X; тогда если b£Y, то
уравнение f(x) = b имеет единственный корень на множестве X,
а если b^Y, то уравнение f(x)=b не имеет корней на множе-
стве X, так как /(х0)€У при любом х0£Х и, следовательно,
/(х0)^=6 при любом х0£Х. В дальнейшем, решая простейшие
уравнения, будем применять это утверждение.
Алгебраическое уравнение. Пусть п — некоторое фиксированное
натуральное число, тогда уравнение
х» = 6 (1)
принято называть простейшим алгебраическим уравнением.
Функция у = хп определена на всей числовой прямой, поэтому
ОДЗ уравнения (1) есть множество Х = (—оо, 4-оо). Поскольку
свойства функции y = f(x), используемые при решении уравне-
ния (1), различны при нечетном и четном п, то рассмотрим два
случая:
I. Пусть п = 2т — 1, где т — некоторое фиксированное нату-
ральное число, тогда уравнение (1) принимает вид
x^m~1 = b. (1а)
Функция y = xim~l на всей числовой прямой является строго
возрастающей функцией, и область ее значений Y также есть
вся числовая прямая Y = (—оо, 4-оо). Поэтому при каждом b
уравнение (1а) имеет единственный корень, который обозначим
через хх. Согласно определению корня уравнения справедливо
числовое равенство х^~1 = Ь. Это числовое равенство равносильно:
числовому равенству xl — 2m~\/rb, если b — положительное
число;
числовому равенству Xj^ — 0, если 6 = 0;
числовому равенству хх =— 2,п_^/|6|, если Ь — отрицательное
число.
Итак, при каждом b множество всех корней уравнения (1а)
состоит из единственного числа хх, другими словами, уравнение (1а)
имеет единственный корень хх, причем хх = 2'”“у/ГТ, если b > 0,
хх = 0, если 6 = 0, хх = — 2'”“-J/|6|, если 6<0.
2. Пусть п — 2т, где т — некоторое фиксированное натураль-
ное число, тогда уравнение (1) принимает вид
х*т = Ь. (16)
328
Разобьем ОДЗ уравнения (16) на два множества: Хх = [0, + оо)
и Х2 = (—0), и решим уравнение (16) на каждом из них.
На множестве Хх функция у = хгт является строго возраста-
ющей функцией и областью ее значений является луч Y = [0, + оо).
Следовательно, если Ь — отрицательное число, то на множестве Xt
уравнение (16) не имеет корней, а если Ь — неотрицательное число,
то на множестве уравнение (16) имеет единственный корень,
который обозначим через хх. Согласно определению корня урав-
нения справедливо числовое равенство xlm = b. Это равенство
равносильно:
числовому равенству хх = 0, если 6 = 0;
числовому равенству хх = Ь, если b — положительное число.
На множестве Х2 функция у—х^т является строго убывающей
функцией и областью ее значений является луч Y — (0, + оо).
Следовательно, если 6 —отрицательное число или куль, то на
множестве Х2 уравнение (16) не имеет решений, если Ь — поло-
жительное число, то на множестве Х2 уравнение (16) имеет един-
ственный корень, который обозначим через х2. Так как функция
y — xim на всей ОДЗ является четной функцией, то х2 =— хх,
т.е. х2 = -V&.
Итак, при каждом отрицательном b уравнение (16) не имеет
корней, при 6 = 0 уравнение (16) имеет единственный кореньхх =0,
а при каждом положительном 6 множество всех корней уравне-
ния (16) состоит из двух чисел хх = 2р/ 6 и х2 =— 2'{%6.
В табл. 5 приведены итоги решения уравнения (1).
ТАБЛИЦА 5
6 > 0 6=0 b < 0
х21Я~1 = Ь 2 m—1 х1== у ь %1 = 0
х2т~Ь 2tn 2т/"— Xj= у Ь, х2 = — у b *1 = 0 нет решений
Дробное уравнение. Пусть « — некоторое фиксированное на-
туральное число, тогда уравнение
х-" = 6 (2)
принято называть простейшим дробным уравнением.
Функция у = х~" определена на множестве всех отличных от
нуля действительных чисел, поэтому ОДЗ уравнения (2) есть
множество X = (— оо, 0) и (0, + °°). Поскольку свойства функции
у = х~п, используемые при решении уравнения (2), различны при
нечетном и четном п, то рассмотрим два случая:
329
1. Пусть n = 2/n—1, где tn—некоторое фиксированное нату-
ральное число, тогда уравнение (2) принимает вид
х-'2'®-1’=&. (2а)
Разобьем ОДЗ уравнения (2а) на два множества: Х2 = (—оо, 0)
и Х2 = (0, + оо) и решим уравнение (2а) на каждом из них. На
множестве Х2 функция y = x~2m+l является строго убывающей
функцией и областью ее значений является луч Yr = (—оо, 0).
Следовательно, если b — неотрицательное число, то на множестве Хх
уравнение (2а) не имеет корней, а если Ь — отрицательное число,
: то на множестве Хх уравнение (2а) имеет единственный корень,
который обозначим через хг. Согласно определению корня урав-
нения справедливо числовое равенство хг2т+1 = &, которое, учи-
тывая, что Ь — отрицательное число, равносильно числовому
2т-1 / j
равенству х2 = — у -j-jj .
На множестве Х2 функция у = х~2т+1 является строго убы-
вающей функцией и областью ее значений является луч У2
= (0, + °0). Следовательно, если Ь —-отрицательное число или
нуль, то на множестве Х2 уравнение (2а) не имеет корней, а если
Ь — положительное число, то на множестве Х2 уравнение (2а)
имеет единственный корень, который обозначим через хг. Поскольку
X! —корень уравнения (2а), то справедливо' числовое равенство
xf2m+1—Ь, которое, учитывая, что Ь — положительное число, рав-
2m-1 /'“р
посильно числовому равенству хх = 1/ у .
Итак, если Ь = 0, то уравнение (2а) не имеет корней, а при
каждом отличном от нуля b уравнение (2а) имеет единственный
2т -1 /—j 2т -1 / j~
корень хп причем х2 = — у '[yj'» если & < 0, и xt = у ,
если b > 0.
2. Пусть п = 2т, где т — некоторое фиксированное натураль-
ное число, тогда уравнение (2) принимает вид
х~2гл = Ь. (26)
Разобьем ОДЗ уравнения (26) на два множества: Xj — (— оо, 0)
и Х2 = (0, + оо), и решим уравнение (26) на каждом из них.
На множестве Х2 функция у = х~2т является строго убываю-
щей функцией и областью ее значений является луч Y = (0, 4- оо).
Следовательно, если Ь — отрицательное число или нуль, то на
множестве Х2 уравнение (26) не имеет корней, а если Ь — поло-
жительное число, то на множестве Х2 уравнение (26) имеет един-
ственный корень, который обозначим х2. Поскольку хг—корень
уравнения (26), то справедливо следующее числовое равенство:
Xi2m = b, которое, учитывая, что Ь — положительное число, рав-
2/п /—j”
посильно равенству хг = 1/ у .
330
На множестве функция y — x~iia является строго возра-!
стающей функцией и областью ее значений также является луч
у = (0, + оо). Следовательно, если Ь — отрицательное число или
нуль, то на множестве уравнение (26) не имеет корней, а если
b — положительное число, то и на множестве уравнение (26)
имеет единственный корень, который обозначим х2. Так как функ-
ция у — х~?т на всей ОДЗ является четной функцией, то х2 =— х1(
гт г~
т. е. х2 — . 1
Итак, при каждом неположительном b уравнение (26) не имеет
корней, при каждом положительном b множество всех корней
2m г~ 2т г~
уравнения (26) состоит из двух чисел хх = 1/ уих2 =— 1/ у.
В табл. 6 приведены итоги решения уравнения (2).
ТАБЛИЦА«
Ь>0 6=0 ь < 0
2 m -1 V ~b нет решений 2m-1 / i *1=_ ГрТ
= Ь 2т Х1== V ~ь' *2=- j/ у нет решений нет решений
Степенные уравнения. Пусть а —некоторое фиксированное
положительное нецелое число, тогда уравнения
х“ = &, (3)
х-“ = 6 , (4)
принято называть простейшими степенными уравнениями.
Естественной областью определения функции у = х“ является
множество всех неотрицательных чисел. Значит, ОДЗ уравнения (3)
есть множество Х = [0, + оо). Функция у — х“ на множестве X
является строго возрастающей функцией, и областью ее значений
является луч Y = [0, + оо). Поэтому уравнение (3) при каждом
отрицательном b не имеет корней, а при каждом неотрицатель-
ном b имеет единственный корень, который обозначим через xt.
Согласно определению корня уравнения справедливо числовое
равенство х“ = &. Это числовое равенство равносильно:
числовому равенству хх = 0, если Ь = 0;
1
числовому равенству х1~Ьа9 если b — положительное число.
Итак, при каждом отрицательном b уравнение (3) не имеет
корней, а при каждом неотрицательном Ь уравнение (3) имеет
1
единственный корень xlt причем х^ — О, если & = 0;х1 = &а, если
&>0.
Естественной областью определения функции у = х~а является
множество всех положительных чисел. Значит, ОДЗ уравнения (4)
является множество Х = (0, + оо). Функция у = х~а на множе-
стве X является строго убывающей функцией и областью ее зна-
чений является луч Y = (0, -|- оо). Поэтому уравнение (4) при
каждом неположительном b не имеет корней, а при каждом по-
ложительном b имеет единственный корень, который обозначим
через xv Поскольку Xj —корень уравнения (4), то справедливо
следующее числовое равенство xf“ = b, которое равносильно чис-
ловому равенству х± — ®.
Итак, при каждом неположительном b уравнение (4) не имеет
корней, а при каждом положительном b уравнение (4) имеет
единственный корень xi = (4')a •
В табл. 7 приведены итоги решения уравнений (3) и (4).
ТАБЛИЦА 7
Ь>0 ь=о ь < 0
—Ь 1 х1=Ьа нет решений
х~<* = Ь нет решений нет решений
Показательное уравнение. Пусть а—некоторое фиксированное
положительное и не равное единице число, тогда уравнение
ах = b (5)
принято называть простейшим показательным уравнением.
Естественной областью определения функции у = ах является
множество всех действительных чисел. Значит, ОДЗ уравнения (5)
есть множество Х = (— со, + оо). Функция у = ах на множестве X
является строго монотонной функцией, и областью ее значений
является луч Y = (0, + оо). Следовательно, при каждом неполо-
жительном числе b уравнение (5) не имеет корней, а при каж-
дом положительном Ь уравнение (5) имеет единственный корень,
который обозначим через хР Поскольку Xi —корень уравнения (5),
то справедливо числовое равенство ax^ — b, которое равносильно
числовому равенству Xi=loga&.
332
Итак, при каждом неположительном b уравнение (5) не имеет
корней, а при каждом положительном b единственный корень
Xf = logeb.
В табл. 8 приведены итоги решения уравнения (5).
ТАБЛИЦА 8
ь > 0 ь < 0
ах=Ь *l = l°ga t> нет решений нет решений
Логарифмическое уравнение. Пусть а — некоторое фиксиро-
ванное положительное и не равное единице число, тогда урав-
нение
logox = 6 (6)
принято называть простейшим логарифмическим уравнением.
Естественной областью определения функции p = log0x явля-
ется множество всех положительных чисел. Значит, ОДЗ урав-
нения (6) есть множество X = (0, -f- оо).
Функция y — \ogax на множестве X является строго монотон-
ной функцией, и областью ее значений является вся числовая
прямая У==( —оо, -j-оо).
Поэтому при каждом b уравнение (6) имеет единственный
корень, который обозначим через хг. Поскольку хх —корень урав-
нения (6), то справедливо следующее числовое равенство logexx=b,
которое равносильно числовому равенству хх = аь. Следовательно,
при каждом b уравнение (6) имеет единственный корень х1 = аь.
В табл. 9 приведены итоги решения уравнения (6).
ТАБЛИЦА 9
b> 0 6=0 6<0
logex = & Х! = аь *1=1 х± = аь
Тригонометрические уравнения. Уравнения cosx = b, sinx = b,
tgx=&, ctgx = & принято называть простейшими тригономет-
рическими уравнениями. •
Сделаем несколько общих замечаний. Пусть надо решить про-
стейшее уравнение f(x) = &, где y=f (х) — основная элементарная
тригонометрическая функция. Будем говорить, что простейшее урав-
нение f (х) — Ь имеет главный период Т, если функция y = f(x)
имеет главный период Т. Очевидно, что если для некоторого
простейшего тригонометрического уравнения с главным периодом
333
Т найдено некоторое решение ха, то любое число xk = xt-\-kT
при любом целом k также является решением этого уравнения.
При этом множество всех решений вида xfc = x0 + &7\ где k про-
бегает все целые числа, называется серией решений этого урав-
нения и в дальнейшем будет записываться в виде
xk — xa-\-.kT, k£Z.
Чтобы найти множество всех решений данного простейшего три-
гонометрического уравнения f(x) = b с главным периодом Т,
надо найти все решения этого уравнения на промежутке длиной
в Т, затем для каждого найденного решения выписать соответ-
ствующую серию решений. Если получается п серий решений
простейшего тригонометрического уравнения f(x) = b, то говорят,
что множеством всех решений уравнения f(x) = b являются п се-
рий решений и затем выписывают все эти серии.
При решении простейшего тригонометрического уравнения
промежуток длиной в главный период Т следует выбирать таким,
чтобы он содержал промежуток, на котором для функции y = f(x)
определена обратная тригонометрическая функция, и таким,
чтобы все решения уравнения на этом промежутке можно было
легко найти.
Заметим еще, что если простейшее тригонометрическое урав-
нение f(x) — b на промежутке длиной в главный период Т не
имеет решения, то оно не имеет решений и на всей числовой
прямой.
Пусть дано простейшее тригонометрическое уравнение
cosx=&. (7)
Естественной областью определения функции y = cosx является
вся числовая прямая. Значит, ОДЗ уравнения (7) есть множество
Х = (—оо, +оо). Поскольку функция t/ = cosx на этом множе-
стве X является периодической функцией с главным периодом
2л, то найдем сначала все решения уравнения (7) на полуин-
тервале (— л, л] длиной в главный период. Разобьем этот полу-
интервал на два множества: %i = (—л; 0) и Х2 = [0, л] и решим
уравнение (7) на каждом из них.
На множестве Х2 функция i/ = cosx является строго убываю-
щей функцией и областью ее значений является отрезок Y2—
= [—1; 1]. Следовательно, если число b такое, что |6|> 1, то
на множестве Х2 уравнение (7) не имеет корней, а если число b
такое, что |Ь|^ 1, то на множестве Х2 уравнение (7) имеет един-
ственный корень, который обозначим через х0. Поскольку х0 €
£[0; л] и число & —1; 1], то справедлива следующая цепочка
равносильных числовых равенств:
cos х0 = b arccos (cos xfl) = arccos b ФФ x0 = arccos b.
На множестве Хг функция i/ = cosx является строго возра-
стающей функцией и областью ее значений является интервал
334
у1==(—1; 1). Следовательно, если число b такое, что 1, то
на множестве Xj уравнение (7) не имеет корней, а если число Ь
такое, что |Ь| < 1, то на множестве X, уравнение (7) имеет един-
ственный корень, который обозначим через х'о. Учитывая, что
функция y — cosx на всей числовой прямой является четной
функцией, получаем, что х'л = — х„, т. е. х„ =— агссоэй.
Итак, на полуинтервале (—л, л] уравнение (7) при каждом
b таком, что |&| > 1, не имеет решений; при Ь=1 имеет един-
ственное решение x0 = arccosl, т. е. хо = О; при Ь = —1 имеет
единственное решение x0 = arccos(—1), т. е. х0 = л; при каждом
b таком, что |&|<1, имеет только два решения x0 = arccosb и
х'0 =— arccosft.
Каждое из этих решений дает серию решений уравнения (7)
на всей числовой прямой. Значит, множеством всех решений
уравнения (7) является:
при каждом b таком, что |b| > 1, пустое множество (другими
словами, при |Ь|> 1 уравнение (7) не имеет решений);
при 6=1— одна серия решений: хй=2л£, k£Z\
при —1 — одна серия решений: хп = л4-2ли, n£Z;
при каждом b таком, что |&|< 1, две серии решений: хт =
= arccos& + 2n/n, m£Z, и х/) = — агссозЬ-|-2лр, p^Z.
Заметим, что иногда две серии решений уравнения (7) записы-
ваются с помощью одной формулы xq = ±arccosb-|-2n<7, q^Z.
В табл. 10 приведены итоги решения уравнения (7).
т а б л и ц а ю
&<-1 д=-1 ь=\ b> 1
cosx = b нет реше- ний = = (2п+1)л, n£Z хт = arccos b + 2шп, m£Z Хр — ~ arocos b+2np, хк = 2л&, k£Z нет реше- НИЙ
Пусть дано простейшее тригонометрическое уравнение
sinx = &. (8)
Естественной областью определения функции t/ = sinx явля-
ется множество всех действительных чисел. Значит, ОДЗ урав-
нения (8) есть множество Х = (—оо, -|-оо). Поскольку функция
у = sinx на этом множестве X является периодической функцией
с главным периодом 2л, то сначала найдем все решения урав-
нения (8) на полуинтервале £—у, у-) длиной в главный пе-
риод. Разобьем этот полуинтервал на два множества: Х1 ~
335
= у, т] и ^2 = (у> т) и Решим уравнение (8) на каждом
из них.
На множестве Xt функция у = sinx является строго возра-
стающей функцией и областью ее значений является отрезок
У! = [—1; 1]. Следовательно, если число Ь такое, что |Ь|> 1» то
на множестве Хг уравнение (8) не имеет корней, а если число b
такое, что | b j I, то уравнение (7) на множестве Xf имеет
единственное решение, которое обозначим через хв. Поскольку
х0 £ £—у, yj , и число b € [—1; 1], то справедлива следующая це-
почка равносильных числовых равенств:
sin xe = b о arcsin (sin xe) = arcsin b ФФ х0 = arcsin b.
На множестве Х2 функция у = sinx является строго убываю-
щей функцией и областью ее значений является интервал ¥2=-
— 1; 1). Следовательно, если число b таково, что |h|^l, то
на множестве Х2 уравнение (8) не имеет корней, а если число Ь
таково, что&€(—1; 1). то уравнение (8) на множестве Х2 имеет
единственное решение, которое обозначим через х'л. Учитывая,
что функция у = sinx на всей числовой прямой является функ-
цией симметричной относительно вертикальной прямой, прохо-
дящей через точку ^у, 0^, получаем, что х^ — л — хв, т. е.
х, = я — artsinb. Итак, на полуинтервале Г—у, —'l уравне-
ние (8): L 1
при каждом Ь таком, что |Ь|> 1, не имеет решений;
при b = 1 имеет единственное решение х0 = arcsin 1, т. е. х0 — у;
при Ь —— 1 имеет единственное решение х0 = arcsin (—1), т. е.
л
xt— у;
при каждом b таком, что |6| < 1, имеет только два решения
x0=arcsinZ> и xj = л —arcsinb. Каждое из этих решений дает
серию решений уравнения (8) на всей числовой прямой. Значит,
множеством всех решений уравнения (8) является:
при каждом b таком, что |b| > 1,— пустое множество (дру-
гими словами, при |d|> 1 уравнение (8) не имеет решений);
при b = 1 — одна серия решений: хк = у + 2л£, k £ Z\
при b = — 1—одна серия решений: х„ = —у + 2лп, n$Z-,
при каждом b таком, что |b|< 1—две серии решений: хр =
= arcsin& + 2лр, p£Z и хт = л — arcsinд + 2л/п, m£Z.
Заметим, что иногда две серии решений уравнения (8) запи-
сываются с помощью одной формулы: хв = (—1)« arcsin b 4- nq,
q^Z.
В табл. 11 приведены итоги решения уравнения (8).
336
ТАБЛИЦА 11
ъ<-\ ь=-1 -1 <ь<\ *=1 Ь>1
sinx= b нет реше- ний st + К |<N И 1 Si II хр~arcsin 6 + 2лр, = —arcsin 6+ 2л/я, =у +2л£, k£Z нет реше- ний
Пусть дано простейшее тригонометрическое уравнение
tgx = 6. (9)
Естественной областью определения функции у = tg х является
множество всех действительных чисел, кроме чисел где
А —любое целое число. Значит, ОДЗ уравнения (9) есть множе-
ство X, состоящее из всех действительных чисел, не равных
у-|-л&, где k—целое число. Поскольку функция t/ = tgx на этом
множестве X является периодической функцией с главным перио-
дом л, то сначала найдем все решения уравнения (9) на интер-
вале (—у, у), длиной в главный период. На интервале
(—Т’ т) функция у = tg х является строго возрастающей функ-
цией и областью ее значений является вся числовая прямая
У = (—оо, -1- оо). Следовательно, при каждом Ь уравнение (9) на
интервале —у, у) имеет единственное решение, которое обозна-
чим через х0. Так как хв—решение уравнения (9) и х0 € (—у» у) ,
то справедлива следующая цепочка равносильных числовых ра-
венств: tg xe = b arctg (tg х0) = arctg b & х0 = arctg b.
Итак, при каждом b уравнение (9) на интервале (—у, у)
имеет единственное решение х0 = arctg b. Это решение дает серию
решений уравнения (9) на всей его ОДЗ.
Значит, при каждом b множеством всех решений уравнения (9)
является серия решений х„ = arctg b + лп, n£Z.
В табл. 12 приведены итоги решения уравнения (9).
ТАБЛИЦА 12
— ОО < Ъ < о©
хп = arctg b-J-лп, n£Z
337
Пусть дано простейшее тригонометрическое уравнение
ctgx = b. (Ю)
Функция y = ctgx определена на всей числовой оси, кроме
точек x = nk, где k — любое целое число. Значит, ОДЗ уравне-
ния (10) есть множество X, состоящее из всех действительных,
не равных nk чисел, где k — любое целое число. Поскольку
функция i/ = ctgx на этом множестве X является периодической
функцией с главным периодом л, то сначала найдем все реше-
ния уравнения (10) на интервале (0, л), длиной в главный период.
Функция г/= ctg хна интервале (0, л) является строго убывающей
функцией и областью ее значений является вся числовая прямая
Y = (—оо, + оо). Следовательно, при каждом b уравнение (10)
на интервале (0, л) имеет единственное решение, которое обо-
значим через х0. Так как х0 —решение уравнения (10) и х0 С (0, л),
то справедлива следующая цепочка, равносильных числовых ра-
венств:
ctg х0 = b & arcctg (ctg х„) = arcctg b «Ф х0 = arcctg b.
Итак, при каждом b уравнение (10) на интервале (0, л) имеет
единственное решение х0 = arcctg b. Это решение дает серию реше-
ний уравнения (10) на всей ОДЗ.
Значит, при каждом b множеством всех решений уравнения (10)
является серия решений х,, = arcctg & 4-яр, p£Z.
В табл. 13 приведены итоги решения уравнения (10).
ТАБЛИЦА 13
— 90 < Ь < 90
ctg х — b хр = arcctg b + яр, p£Z
Рассмотрим еще простейшие уравнения, содержащие основ-
ные обратные тригонометрические функции, т. е. уравнения
arccos x = b, arcsinx = 6, arctgx = 6, arcctg x — b.
Пусть дано простейшее уравнение
arccos х = Ь. (11)
Естественной областью определения функции г/= arccosх
является отрезок Х = [—1; 1]. Значит, ОДЗ уравнения (11) есть
множество Х = [—1; 1]. Функция p = arccosx на множестве X
является строго убывающей функцией, и областью ее значений
является отрезок Y = [0, л]. Следовательно, для каждого b такого,
что &<0 или &>л, уравнение (11) не имеет корней; если же
число b таково, что 0^6^ л, то уравнение (11) имеет единст-
зрз
венный корень, который обозначим через х0. Поскольку х0—
корень уравнения (11), х0£[—1; 1} и b € [0, л], то справедлива
цепочка равносильных числовых равенств:
arccos х0 = b ФФ cos (arccos xe) = cos b ФФ х0 = cos b.
Итак, при каждом b таком, что уравнение (11) имеет
единственный корень x0=cos&, а при каждом b таком, что b <0
и b > л, уравнение (11) не имеет корней.
В табл. 14 приведены итоги решения уравнения (11).
ТАБЛИЦА 14
Ь<0 6=0 0 <Ь< Л Ь=л Ь> Л
arocos х= b нет решений х, = 1 х± = cos b Х1 = — 1 нет решений
Пусть дано простейшее уравнение
arcsin х=&. (12)
•Естественной областью определения функции у = arcsin х явля-
ется отрезок [—1; 1]. Значит, ОДЗ уравнения (12) есть множество
X = [—1; 1]. Функция у — arcsin х на множестве X является
строго возрастающей функцией, и областью ее значений является
отрезок Y = —у» у]- Следовательно, для каждого b такого,
что Ь< —у или &>у, уравнение (12) не имеет решений; если
же b таково, что —то уравнение (12) имеет един-
ственный корень, который обозначим через хх. Поскольку хг—
корень уравнения (12), ххС[—1, 1] и —у, уJ, то справед-
лива следующая цепочка равносильных числовых равенств:
arcsin хх = b ФФ sin (arcsin хх) = sin b ФФ хх = sin b.
Итак, при каждом b таком, что — y^6s^ у, уравнение (12)
имеет единственный корень xx = sin&, а при каждом b таком, что
Ь<—у или > у, уравнение (12) не имеет корней.
В табл. 15 приведены итоги решения уравнения (12).
Пусть дано простейшее уравнение
arctg x = b. (13)
Естественной областью определения функции у = arctg х явля-
ется множество всех действительных чисел. Значит, ОДЗ урав-
нения (13) есть множество Х = (—оо, -(-об). Функция y=arctgx
ЗЗЭ
ТАБЛИЦА 15
ь<-1 Ч Л ... л 2 <Ь< 2 Ч Ч
arcsinx = £ нет решений Хх — — 1 x1 = sin b jq — 1 нет решений
на этом множестве X является строго возрастающей функцией
и областью ее значений является интервал Y = (—-у, у).
Следовательно, для каждого b такого, что у или
уравнение (13) не имеет решений; если же b таково, что
— то уравнение (13) имеет единственный корень,
который обозначим через х^ Поскольку Xj —корень уравнения (13),
xt^(—оо, 4-оо) и —Т* т) ’ то справедлива следующая
цепочка равносильных числовых равенств:
arctg Xj = b Ф» tg (arctg xj = tg b ФФ Xi = tg b.
Итак, при каждом b таком, что <_b <у, уравнение (13)
имеет единственный корень xt = tgb, а при каждом b таком, что
Ь у или , уравнение (13) не имеет корней.
В табл. 16 приведены итоги решения уравнения (13).
ТАБЛИЦА 16
_2£<г><1£ 2^2 Ч
arctg х = b нет решений Xi = tgZ> нет. решений
Пусть дано простейшее уравнение
* arcctg x = b. (14)
Естественной областью определения функции у = arcctg х явля-
ется множество всех действительных чисел. Значит, ОДЗ урав-
нения (14) есть множество Х = (—оо, -|-оо). Функция у = arcctgх
на этом множестве X является строго убывающей функцией,., и.
областью ее значений является интервал Y = (0, л). Следовательно,
для каждого b такого, что Ь^.0 или Ь^п, уравнение (14) не
340
имеет решений; если же о таково, что 0 < & < л, то уравнение (14)
имеет единственный корень, который обозначим через xt. По-
скольку Xj —корень уравнения (14), Xi€(—оо, 4-00) и & £(0, л),
то справедлива следующая цепочка равносильных числовых ра-
венств:
arcctg хх = b фф ctg (arcctg xj = ctg b ФФ xx = ctg b.
Итак, при каждом b таком, что 0 < b < л, уравнение (14)
имеет единственный корень x^ctgft, а при каждом b таком,
что или Ь^л, уравнение (14) не имеет корней.
В табл. 17 приведены итоги решения уравнения (14).
ТАБЛИЦА 17
Ь<0 0 <Ь< л Ъ> л
arcctg х — b нет решений Xi = ctgd нет решений
§ 3. Равносильные преобразования уравнений
В этом и следующем параграфах обсуждаются некоторые пре-
образования уравнений, с помощью которых данное, не являю-
щееся простейшим, уравнение может быть сведено к одному или
совокупности нескольких простейших уравнений.
Решая уравнение, не являющееся простейшим, обычно при-
ходится проводить довольно много преобразований. При этом
каждый раз уравнение заменяется на какое-то новое, а у нового
уравнения, естественно, могут быть и другие корни. Данное урав-
нение будет решено верно, если, проводя преобразование уравне-
ний, каждый раз уравнение заменять новым уравнением, имеющим
все корни предыдущего и только их, т. е. чтобы не произошло
потери или приобретения корней. Еслй каждый раз заменять
уравнение на ему равносильное уравнение, то корни последнего
уравнения и будут корнями исходного.
В этом параграфе рассматриваются только равносильные пре-
образования уравнений. Неравносильные преобразования уравне-
ний будут рассмотрены в следующем параграфе.
Как уже отмечалось в § 1, утверждения 1—4 дают примеры
равносильных преобразований. Приведем еще несколько приме-
ров равносильных преобразований уравнений.
Преобразования, связанные с применением тождественных
равенств. Пусть дано уравнение
f(x)=g(x) (1)
и пусть для любого действительного х справедливо тождественное
равенство g(x) = <p(x), тогда уравнение (1) равносильно уравнению
/(х) = ф(х). (2)
341
Эго утверждение позволяет использовать различные тождест-
венные равенства, т. е. формулы, справедливые при всех дейст-
вительных значениях для проведения равносильных преобразо-
ваний уравнений. Примерами таких тождественных равенств
являются формулы сокращенного умножения многочленов, основ-
ное тригонометрическое тождество и некоторые другие формулы.
Отметим, что, проводя равносильные преобразования уравне-
ний с помощью формул сокращенного умножения многочленов,
в гл. III были решены квадратные и некоторые другие алгебраи-
ческие уравнения. Приведем еще примеры, в которых проводятся
равносильные преобразования уравнений при помощи тождест-
венных равенств.
Пусть дано уравнение
cos3 2х = I — 2 cos2 х. (3)
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу
косинуса двойного угла, можно написать тождественное равенство
1—2cos2x =— cos2x,
справедливое для любого действительного х. Значит, уравнение (3)
равносильно уравнению
cos3 2х = — cos 2х.
Применяя утверждение 1 § 1 и делая группировку членов левой
части последнего уравнения, получим, что уравнение (3) равно-
сильно уравнению
cos 2х (cos2 2х -|-1) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности двух простей-
ших тригонометрических уравнений: '
cos 2х = 0, cos2 2х 4-1 = 0.
Множеством всех решений первого уравнения этой совокуп-
ности является серия решений xk = ^-t-~, k^Z, а второе урав-
нение этой совокупности решений не имеет.
Следовательно, множество всех решений уравнения (3) состоит
из серии xft = ^ + ^, k£Z.
Рассмотрим теперь уравнение
a sinx+ 6 cos х —с. (4)
В случае, когда либо а = 0, либо 6 = 0, это уравнение при
помощи утверждений 2 и 3 § I сводится:
если а = 0, 6=/=0, к простейшему уравнению cosx = -|-;
если а=/=0, 6 = 0, к простейшему уравнению sinx=-^-.
342
Пусть теперь с=#0 и 6=#0. Значит, «2+Ь2=/=0. Применяя
утверждение 3, получаем, что уравнение (4) равносильно урав-
нению
r а sinx+-7=^—cos х = —7 с =. (5)
Ка2+*2 K«2 + *2 /а2+д2 ' '
1. Пусть о —положительное число. Рассмотрим два случая:
b > 0 и b < 0.
Пусть b > 0. Построим прямоугольный треугольник с кате-
тами длиной а и Ь. Угол, лежащий против катета длиной Ь,
обозначим <рх. Тогда имеем числовые равенства
. Ъ а
Sin ф, — г____, COS Ф1 = ... =,
Уа2-Н2 / а2+ 62
. Ь а
из которых следует, что фг = arcsin -р=== = arccos у .
Теперь уравнение (5) примет вид
cos ф! sin х + sin ф! cos х=
с
Va* + b*'
По формуле синуса суммы двух углов имеем тождественное
равенство
cos ф! sin х + sin ф1 cos х — sin (х + ф^.
Применяя теперь сформулированное выше утверждение, получаем,
что уравнение (4) равносильно уравнению
8ш(х + ф1) = >. с г,
v ' /а2+ Ь2
которое является простейшим уравнением.
Пусть Ь < 0. Построим прямоугольный треугольник с кате-
тами а и |Ь|. Угол, лежащий против катета длиной |6|, обозна-
чим ф2. Тогда имеем числовые равенства
1*1 «
Т2 уа2.+ д2 Т2 /а3+&2
I b I а
из которых следует, что ф2 = arcsin —======.= arccos ,
у а24-£>2 у а2+ Ь*
Теперь, так как 6 = —16|, то уравнение (5) примет вид
cos ф2 sin х—sin ф2 cos х —
С
Уа?+ Ь*
По формуле синуса разности двух углов имеем тождественное
равенство
cos ф2 sin х—sin ф2 cos х = sin (х—ф2у.
343
Применяя теперь сформулированное выше утверждение, получаем,
что уравнение (4) равносильно уравнению
sin (х — го») = , с .,
которое является простейшим уравнением.
Если обозначить ф = агс!§-^-, то легко видеть, что Ф = Ф1
для Ь > О и ф = — ф2 для b < 0. Поэтому можно написать, что
при а > 0 уравнение (4) равносильно уравнению
sin ( х 4-arctg — ) = ->-f.-j,
которое также является простейшим уравнением.
2. Случай а < 0 сводится к рассмотренному выше умножением
обеих частей уравнения (4) на (—1).
Пример. Решить уравнение
cos х 4-'КЗ sinx 4-1 =0. (6)
Поскольку уравнение (6) таково, что а=Уз, Ь=1, Уа2+Ь2=2,
то оно равносильно уравнению
Уз . . 1 1
sin х 4-2 c°s х= —-g .
1 21
Найдем угол ф: ф = arctg =-g-. Значит, уравнение (6) равно-
сильно уравнению
• ( I я \ 1
Sln(x+_J=__.
Решая это простейшее уравнение, получаем две серии решений:
хй =— у4-2л&, k£Z и xm — n-l-2nm, mgZ.
Следовательно, множеством всех решений уравнения (6) являются
две серии решений:
хк = — -j4-2n&, k£Z, и хт = л4-2л/и, m£Z.
Преобразования, связанные с суперпозициями функций. Пусть
функция y = f(x) есть сложная функция y = P[g(х)], являющаяся
суперпозицией двух функций: внутренней u — g(x) — основной
элементарной функции, и внешней у = Р(и), где Р(и) — квадрат-
ный трехчлен Р(и) = аи2-\-Ьи + с. В таких случаях уравнение
f(x) = O записывают в виде
a[gW]2 + bgf(x)4-c = 0 (7)
и называют квадратным уравнением относительно g(x).
344
Уравнение (7) решается следующим образом. Сначала решают
квадратное уравнение
a?+bt+c = b. (8)
Находят дискриминант D=b2 — 4«с уравнения (8). Если D < О,
то уравнение (8) не имеет решений, следовательно, и уравнение
(7) не имеет решений. Если D = 0, то уравнение (8) имеет един-
ственный корень: число (—. Следовательно, в этом случае
уравнение (7) равносильно уравнению
gW=-a- О)
Затем решают уравнение (9). В силу равносильности уравнений
(7) и (9) множество всех решений уравнения (9) является мно-
жеством всех решений уравнения (7).
Если D > 0, то уравнение (8) имеет только два действитель-
ных корня, которые обозначим t1 и t2. Следовательно, в этом
случае уравнение (7) равносильно совокупности уравнений
g<x) = tlt g(x) = t2. (10)
>
Затем решают совокупность уравнений (10). В силу равно-
сильности уравнения (7) и совокупности уравнений (10) множе-
ство всех решений совокупности уравнений (10) является мно-
жеством всех решений уравнения (7).
Отметим, что в гл. III этим способом решались трехчленные
уравнения, которые можно назвать квадратными уравнениями
относительно хп, где « — натуральное число и п^2,
Приведем примеры.
Пусть дано уравнение
4х —3-2х + 2 = 0. (11)
Так как справедливо тождественное равенство 4х = (2х)2, то
уравнение (11) равносильно уравнению
(2х)? —3-2х+ 2 = 0.
Это уравнение есть квадратное уравнение относительно 2х. Решая
квадратное уравнение
/?-3f + 2 = 0.
получим, что оно имеет только два корня /4=2, /8=1. Следо-
вательно, уравнение (И) равносильно совокупности двух урав-
нений:
2х =2, 2х = 1.
Решая каждое простейшее показательное уравнение этой сово-
купности, получаем, что эта совокупность имеет только два
корня: Х! — 1 и х2 = 0.
345
Следовательно, уравнение (11) имеет только два корня: д= 1
и х2 = 0.
Не всегда данное уравнение удается сразу преобразовать
к виду (7). Часто для этого надо проделать дополнительные рав-
носильные преобразования.
Например, для решения уравнения
sin2x—12 (sinx—cosx)+12=0 (12)
в качестве g(x) можно взять (sinx—cosx). Чтобы представить
уравнение (12) в виде (7), воспользуемся тригонометрическими
формулами
sin2x = 2 cos х sinx, 1 = sin2 * * * &x+cos2x,
затем тождественным равенством
sin2 х—2 sin х cos x+cos2 x = (sin x — cos x)2.
Получим, что уравнение (12) равносильно уравнению
— (sinx—cosx)2—12 (sinx—cosx)-}-13=0. (13)
Уравнение (13) является квадратным уравнением относительно
(sinx —cosx). Решая квадратное уравнение
-f2-12/+ 13 = 0,
получаем, что оно имеет только два корня: /х = 1 и /2 =—13.
Следовательно, уравнение (13) равносильно совокупности
уравнений
sinx—cosx = l, sinx—cosx =—13. (14)
Воспользовавшись тождеством sinx—cosx = pr2sin ^x—, по-
лучим, что совокупность уравнений (14) равносильна совокуп-
йости простейших уравнений
Множеством всех решений первого уравнения совокупности (15)
являются две серии решений:
х*=у + 2л£, k£Z и xm = n + 2ntn, m£Z.
Второе уравнение совокупности (15) не имеет решений, так как
2
Следовательно, множеством всех решений уравнения (12) явля-
ются две серии решений:
хЛ=-£ + 2л&, k£Z и хт = л + 2шп, m£Z.
&
346
Пусть функция y = f(x) есть сложная функция, являющаяся
суперпозицией нескольких основных элементарных функций.
Пусть, например, функция y=f[x) есть суперпозиция трех основ-
ных элементарных функций У = §{ф[н(х)]}.
В таких случаях уравнение f(x) = O записывают в виде
g{<P [«(*)]} = ° (16)
и решают следующим образом.
Сначала решают простейшее уравнение
Я(0=0. (17)
Уравнение (17) может не иметь решений, тогда уравнение (16)
не имеет решений.
Уравнение (17) может иметь конечное или бесконечное число
корней. Пусть множество всех корней уравнения (17) состоит из
чисел tlt t.,, t3, ..., tn, .... Тогда уравнение (16) равносильно
совокупности уравнений
ф[«(*)] = ^. ф [« 001 =ф[«(х)] = *з.......Ф [«(*)] = *»....
(18)
Теперь решают совокупность простейших уравнений
Ф(1») = Л, ф(у) = /2, <р(ц) = /3, ..., ф(1>) = /„, ... . (19)
Совокупность уравнений (19) может не иметь решений, тогда
совокупность уравнений (18) не имеет решений, а следовательно,
и уравнение (16) не имеет решений.
Совокупность уравнений (19) может иметь конечное или бес-
конечное число корней.
Пусть множество всех корней совокупности (19) состоит из
чисел »х, v2, v8, ..., vk, .... Тогда совокупность уравнений (18)
равносильна совокупности уравнений
н(х) = цх, и(х) = и2, ц(х) = 1»3, ..., u(x) = vk, .... (20)
Множество всех корней совокупности простейших уравнений
(20) является множеством всех корней уравнения (16).
Рассмотрим, например, уравнение
2’*»г*=1. (21)
Решая простейшее уравнение 2f — 1, получаем его единственное
решение /х = 0. Значит, уравнение (21) равносильно уравнению
sin'Kx =0. (22)
Решая простейшее уравнение
sin v — О,
получаем, что множеством всех решений является серия реше-
ний vk — nk, k^Z.
347
Значит, уравнение (21) равносильно бесконечной совокупно-
сти уравнений
У~х—kn, (23)
где k — любое целое число.
Каждое уравнение совокупности (23), в котором & —отрица-
тельно, не имеет корней, а каждое уравнение, в котором k — не-
отрицательно, имеет единственный корень хА = (по-
следовательно, множество всех корней уравнения (21) есть
множество {(лО | k € Zo}.
§ 4. Неравносильные преобразования уравнений
В предыдущем параграфе рассматривались лишь равносильные
преобразования уравнений. Однако не любое уравнение удается
решить при помощи лишь равносильных преобразований, гораздо
чаще при решении уравнений приходится применять неравносиль-
ные преобразования. При этом надо помнить, что из-за неравно-
сильности преобразований, вообще говоря, можно потерять не-
которые корни исходного уравнения или приобрести так назы-
ваемые «посторонние» корни (всякий корень последующего урав-
нения, не являющийся корнем исходного уравнения, будем
называть посторонним корнем).
Ниже приводятся примеры неравносильных преобразований,
приводящих как к потере корней исходного уравнения, так и к
•приобретению посторонних корней.
Преобразования, связанные с логарифмическими формулами.
Пусть фиксированное число а таково, что а>0 и а^1. Рас-
смотрим следующие логарифмические формулы:
f(x) = aiog«/w, (1)
logjf (*)F = 21ogJ(x), (2)
log» [f (x)]2 = 2 logo [ — f (x)], (3)
loge [f W g (*)] = loge f (*) + loge g (*)» (4)
loge [/ (x) g (x) J = loge [ - f (X)] + loge [ - g (x)], (5)
lOge = lOge / (X) - 10go g (X), (6)
lQge^ = lQge[-f(X)]-10g«[-^(x)]. (7)
Если при решении уравнения <p(x) = /i(x) формально приме-
нить к левой или правой части этого уравнения любую из рас-
сматриваемых формул так, что левая часть этой формулы будет
заменена правой частью, то возможна потеря корней исходного
уравнения, поэтому такие преобразования недопустимы.
Если к левой или правой части уравнения <р(х) = Л(х) фор-
мально применить любую из рассматриваемых формул так, что
правая часть формулы будет заменена левой, то корни уравие-
348
ния ф(х)~h(x) теряться не будут; любой корень уравнения
<р(х) = й(х) будет корнем последующего уравнения, но, вообще
говоря, не всякий корень последующего уравнения будет являться
корнем исходного уравнения, и поэтому, если такие преобразова-
ния применялись, то в конце решения обязательно необходима
проверка, т. е. необходимо каждый из найденных корней послед-
ней совокупности простейших уравнений или последнего прос-
тейшего уравнения подставить в исходное уравнение и убедиться,
какие из них обращают исходное уравнение в верное числовое
равенство. Те из них, при каждом из которых исходное уравне-
ние превращается в неверное числовое равенство, нужно отбро-
сить.
Ниже приводятся примеры, показывающие, что формаль-
ное применение этих формул приводит как к потере корней
исходного уравнения, так и к приобретению посторонних корней.
Пусть дано уравнение
log2(x + 2)2 = 6.
Формально применяя формулу (2), получим уравнение
log2 (Х-Ь2) = 3,
которое имеет единственный корень хх = 6.
Поскольку в процессе решения исходного уравнения прово-
дилось такое преобразование, в результате которого могли поте-
ряться корни, то нельзя считать, что исходное уравнение решено.
И, действительно, корень исходного уравнения —число (—10) —
был потерян при этом преобразовании.
Пусть дано уравнение
31og3 (№-4х+3) =х—3#
Формально применяя формулу (1), получаем уравнение
х2 —4х4-3 = х—3,
которое имеет только два корня: хх = 2 и х2 = 3.
Поскольку в процессе решения исходного уравнения было
проведено преобразование, в результате которого можно было
Приобрести посторонние корни, то необходима проверка. Проверка
показывает, что ни число 2, ни число 3 не являются корнями
исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Эти примеры показывают, что при решении уравнений при-
менять логарифмические формулы надо очень внимательно, помня
о том, что формальное их применение может привести и к по-
тере и к приобретению посторонних корней.
Этого не может случиться, если применять каждую из фор-
мул (1)—(7).на том множестве из ОДЗ решаемого уравнения,
349
на котором имеет смысл правая часть соответствующей формулы.
Тогда такое преобразование приведет к уравнению, равносиль-
ному исходному на множестве Mt.
Найдя корни полученного уравнения и отобрав из них те,
которые принадлежат множеству найдем все корни исходного
уравнения на этом множестве Мг.
При этом надо помнить, что таким образом исходное урав-
нение решено не на всей ОДЗ, а только на множестве Afx. По-
этому надо найти еще его решения на той части ОДЗ, которая
останется после выделения множества Мх.
Следовательно, если в процессе решения уравнения возникает
необходимость провести преобразования с помощью некоторой
логарифмической формулы, то такое уравнение можно решать по
следующей схеме:
1. Найти ОДЗ уравнения.
2. Разбить ОДЗ на два множества: Мг и М3 (М1— вся та
часть ОДЗ, где одновременно имеют смысл обе части используе-
мой формулы, Мг — та часть ОДЗ, которая остается после выде-
ления множества AfJ.
3. Решить уравнение на множестве (учитывая, что пре-
образование уравнения с помощью этой формулы есть равносиль-
ное преобразование на множестве AfJ.
4. Решить уравнение на М2.
5. Объединить множества корней, найденные на и М2.
Решим по этой схеме рассмотренные выше уравнения.
Пусть дано уравнение
log2(x + 2)2 = 6.
ОДЗ этого уравнения есть множество всех действительных
чисел, кроме х = —2. Разобьем ОДЗ на два множества: =
= (—2,+оо) и Л12 = ( —оо, —2).
На множестве справедливо тождественное равенство
log2 (* + 2)2 = 2 log2 (х + 2).
Значит, на множестве Л1Х исходное уравнение равносильно урав-
нению
log2 (х + 2) = 3,
которое равносильно на множестве Afx уравнению х + 2 = 8.
Последнее уравнение имеет единственный корень хх = 6. Так как
этот корень входит в множество Aft, то и исходное уравнение
на множестве Мг имеет единственный корень хх = 6.
На множестве М2 справедливо тождественное равенство
log2 (х + 2)2 = 2 log2 [ — (х + 2)].
350
Значит, на множестве М2 исходное уравнение равносильно
уравнению
log2 (— х — 2) = 3,
которое в свою очередь равносильно на множестве Л12 уравнению
— х —2 = 8.
Последнее уравнение имеет единственный корень х2 = —10. Так как
этот корень принадлежит множеству Л12, то и исходное уравне-
ние на множестве Л42 имеет единственный корень х2 = —10.
Объединяя множество корней, найденное на Aft и Л12, получаем,
что множество всех корней исходного уравнения состоит из двух
чисел: хх = 6 и х2 = —10.
Пусть дано уравнение 3,og«<х’-4х+3) =х —3.
ОДЗ этого уравнения есть множество всех тех х, для каж-
дого из которых х2 — 4х + 3 > 0, т. е. ОДЗ есть множество
М—( — оо, 1)U(3, +°°). Поскольку на этом множестве спра-
ведливо тождественное равенство
3ioe. (** - 4х+3) = хг _ 4Х з,
то исходное уравнение равносильно на множестве Л1 уравнению
х2 —4х + 3 = х —3,
которое имеет только два корня: хх — 2 и х2 = 3.
Так как ни один из этих корней не входит в ОДЗ исходного
уравнения, а последнее и исходное уравнения равносильны на
ОДЗ исходного, то отсюда вытекает, что исходное уравнение не
имеет корней.
Итак, решить уравнения с помощью некоторой логарифмиче-
ской формулы можно двумя способами.
Первый способ. Совершить переход к уравнению, кото-
рое является следствием данного уравнения. Найти все корни
полученного уравнения. Сделать проверку и установить, какие
корни являются посторонними. Тогда все найденные корни без
всех посторонних корней составят множество всех корней исход-
ного уравнения.
Второй способ. Совершить равносильный переход на
множестве (Мг — вся часть ОДЗ исходного уравнения, где
логарифмическая формула есть тождественное равенство). Найти
все корни полученного уравнения на Затем найти все корни
исходного уравнения на множестве Л42 (всей оставшейся части
ОДЗ исходного уравнения после выделения множества AfJ. На-
конец, объединить множества всех корней данного уравнения,
найденные на Л4Х и Л42, и тем самым получить множество всех
корней исходного уравнения.
351
Преобразования, связанные с тригонометрическими форму-
лами, Рассмотрим следующие тригонометрические формулы:
ctgx = 1 tgx ’ (8)
sin2x = 2tgx 1 +tg2 X 9 (9)
cos 2x = 1 —tg2 X l-J- tg2* ’ (10)
tg (*-₽) = tgx—tgp i + tgxtgp' (И)
Если при решении уравнения <p(x) — h(x) формально приме-
нить к левой или правой части этого уравнения любую из рас-
сматриваемых формул так, что левая часть этой формулы будет
заменена правой частью, то возможна потеря корней исходного
уравнения, поэтому такие преобразования недопустимы.
Если к левой или правой части этого уравнения <p(x) = /i(x) j
формально применить любую из рассматриваемых формул так, что i
правая часть этой формулы будет заменена левой, то можно I
приобрести посторонние корни, а поэтому в конце решения не-
обходима проверка.
Приведем примеры, показывающие, что формальное приме-
нение этих формул при решении уравнения может приводить
как к потере корней исходного уравнения, так и к приобрете-
нию посторонних корней.
Пусть дано уравнение
sin2x— 3cos2x = 3. J
Формально применяя формулы (9) и (10), получим уравнение j
2 tg х 3(1— tg2x)_o I
1 + tg2 X l+tg2x ' I
Перепишем это уравнение в виде
2(tgx-3)._0
l+tg2x U- j
Отсюда очевидно, что множеством всех корней этого уравнения
будет серия решений хр — arctg3-|-лр, p£Z.
Однако нельзя утверждать, что найдены все корни исходного
уравнения, ибо преобразования были такими, что корни могли
быть потеряны. Действительно, при этих преобразованиях была
потеряна целая серия решений хт = ^-\-пт, m£Z.
Пусть дано уравнение
tgx—1 _!
tgx+1-1*
‘«I
352
Поскольку 1 = tg-j, то уравнение можно переписать так:
tgjf—tg-2-
1 + tgxtg-j
Формально применяя формулу (11), получаем уравнение
tg (»-?)-!.
откуда очевидно, что множеством всех корней этого уравнения
будет серия решений хг=-^-4-л/, l£Z.
Поскольку преобразование было таким, при котором могли
появиться Посторонние корни, то необходима проверка. Проверка
показывает, что ни один из этих корней не будет корнем исход-
ного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Эти примеры показывают, что при решении уравнений приме-
нять тригонометрические формулы надо внимательно, помня о
том, что формальное их применение может привести и к потере и к
приобретению корней.
Этого ,не может случиться, если применять каждую из фор-
мул (8)—(11) на том множестве Alj из ОДЗ решаемого уравне-
ния, на котором имеет смысл правая часть соответствующей
формулы. Тогда такое преобразование приведет к уравнению,
равносильному исходному на множестве М2.
Найдя корни полученного уравнения и отобрав из них те,
которые принадлежат множеству Mit найдем все корни исходного
уравнения на этом множестве М2. При этом надо помнить, что
таким образом исходное уравнение решено не на всей ОДЗ, а
только на множестве Afp Поэтому надо найти еще его решение
на той части ОДЗ, которая остается после выделения мно-
жества
Поэтому уравнения, при решении которых применимы эти
тригонометрические формулы, часто решаются по той же схеме,
которая приведена при рассмотрении логарифмических формул:
1. Найти ОДЗ уравнения.
2. Разбить ОДЗ на две части Mi и М3 (М3 — вся та часть
ОДЗ, где одновременно имеют смысл обе части используемой
формулы, М2 — та часть ОДЗ, которая остается после выделения
множества Мг).
3. Решить уравнение на Mt (учитывая, что преобразование
уравнения с помощью этой формулы есть равносильное преобра-
зование на множестве Мх).
4. Решить уравнение на множестве М2.
5. Объединить множества корней, найденные на Mt и М2.
12 М. К. Потапо» и др. 353
Решим по это! схеме рассмотренные выше уравнения.
Пусть дано уравнение
sin 2х—3 cos 2х = 3.
ОДЗ этого уравнения есть множество всех действительных чисел.
Разобьем ОДЗ данного уравнения на два множества: —мно-
жество всех действительных чисел, кроме чисел xk=-^--f-nk, где
k — любое целое число, Мг — множество чисел xk = ^ + nk, где
k — любое целое число.
На множестве формулы (9) и (10) являются тождествен-
ными равенствами, поэтому на множестве исходное уравне-
ние равносильно уравнению
2tgx 3(l-tgM_o
l+tg?x l+tg2x
Множеством всех корней последнего уравнения является серия
решений xOT = arctg34-nj??, m£Z. Каждый корень этой серии
принадлежит множеству Mit поэтому множеством всех корней
исходного уравнения на множестве является серия хт —
= arctg3 + nm, m£Z.
Решим исходное уравнение на Мг. Подставляя каждое число
= + &£Z, в исходное уравнение, убеждаемся, что оно
обращается в верное числовое равенство.
Следовательно, множеством всех корней исходного уравнения
на множестве М2 является серия xk=^-}-nk, k£Z.
Объединяя множества корней, найденные на и М2, полу-
чаем, что множеством всех корней исходного уравнения являются
две серии; xm—a.rctg3-i-ntii, m^Z, a xk = ^ + nk, k^Z.
Пусть дано уравнение
tgx—1 _. '
tgx+1 '
ОДЗ этого уравнения есть множество всех действительных
чисел, кроме чисел хт — -—у4~ят, где tn—любое целое число,
и кроме чисел у 4-я/,, где I —любое целое число. Так как
на ОДЗ формула ;(П) есть тождественное равенство, то на ОДЗ
исходное уравнение равносильно уравнению
Множеством всех корней последнего уравнения на ОДЗ
является серия хр = я12-^яр, где р — любое целое число. Оче-
видно, -что эта серия не входит в ОДЗ исходного уравнения.
35<
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Итак, решить уравнение с помощью некоторой тригонометри-
ческой формулы можно двумя способами.
Первый-способ. Совершить переход к уравнению, кото-
рое является следствием данного уравнения. Найти все корни
полученного уравнения, сделать проверку и установить, какие
корни являются посторонними. Тогда все найденные корни без
всех посторонних корней составят множество всех корней исход-
ного уравнения.
Второй способ. Совершить равносильный переход на мно-
жестве Mi (Mi — вся та часть ОДЗ исходного уравнения, где
тригонометрическая формула есть тождественное равенство).
Найти все корни полученного уравнения на Mj. Затем найти
все„ корни исходного уравнения на множестве М2 (всей остав-
шейся части ОДЗ данного уравнения после выделения Л!,). На-
конец, объединить множества всех корней данного уравнения,
найденные на Mt и Мг, и тем самым получить множество всех
корней исходного уравнения.
Преобразования, связанные с возведением в натуральную
степень. Пусть п—фиксированное натуральное число и пусть
п2>2. Пусть дано уравнение
f(x) = g(x).
Замена этого уравнения уравнением
[/(*)]" = [£(*)]“
называется возведением уравнения в натуральную степень п.
Как следует из утверждения 5 §1, при возведении в нату-
ральную степень уравнения нельзя потерять корни, а можно
лишь приобрести посторонние корни. Поэтому, если применять
такое преобразование, то в конце необходима проверка найден-
ных корней.
Приведем пример, показывающий, что применение этого
преобразования действительно может привести к приобретению
посторонних корней.
Пусть дано уравнение
2cosx = 3sinx—2.
Возведя в квадрат это уравнение и используя основное три-
гонометрическое тождество, получим уравнение
4 (1 — sin3 х) = 9 sin2 х — 12sinx-}-4,
которое равносильно совокупности двух уравнений:
sinx = 0, sinx = ||.
Io
Множеством всех корней первого уравнения этой, совокупности
являются две серии: хт=2пт, m£Z, и х? = я+2^, у£Z. Мно-
жеством всех корней второго уравнения также являются две
серии: хр = arcsin ^4-2лр, p£Z, и хк = л — arcsin ^ + 2л^, k£Z.
Поскольку в процессе решения исходного уравнения проводилось
возведение уравнения в квадрат, то возможно, что среди найден-
ных корней есть посторонние корни, следовательно, необходима
проверка. Проверка показывает, что каждый корень серии
хт = 2лт, m£Z, является посторонним корнем, а каждый корень
серии xq = л + 2nq, q£Z, — есть корень исходного уравнения.
Кроме того, проверка показывает, что каждый корень серии
12
xk = л — arcsin ^-|-2л&, k£Z, является посторонним корнем, а
12
каждый корень серии = arcsin ^ + 2лр, p£Zt есть корень
исходного уравнения.
Поэтому множеством всех корней исходного уравнения явля-
ются две серии: xq==n + 2nqf q£Z, и хр = arcsin^| + 2лр, p^Z.
Заметим еще, что часто проводя возведение уравнения в на-
туральную степень, используют следующую формулу
Ясно, что если при решении уравнения заменить (y^f(x))"
на f(x), то можно приобрести посторонние корни, и поэтому в
конце решения необходима проверка.
Приведем пример такого преобразования уравнения.
Пусть дано уравнение
><х2 + х-5 = /х-1.
Возводя это уравнение в квадрат и заменяя (Ух2 + х — 5)2
на (х2+х—5), а (]/х—1)2 на (х— 1), получаем уравнение
х? + х—5 = х— 1.
Множество всех корней последнего уравнения состоит из двух
чисел: х1 — 2 и х2 =—2. Поскольку в процессе решения исход-
ного уравнения проводилось возведение уравнения в квадрат
и проводилась замена f (х))л на f (х), то могли появиться посто-
ронние корни, поэтому необходима проверка. Проверка показы-
вает, что корень х2 =—2 не является корнем исходного урав-
нения, а корень хх = 2 является корней исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный ко-
рень Xj = 2. ____
Заметим, что обычно замена (y^f(x))n на f (х) при возведении
уравнения в натуральную степень п не оговаривается.
Вместо этого способа решения можно предложить и другой,
основанный на применении утверждения 7 §1.
356
При этом способе уравнение можно решать по следующей
схеме:
1. Найти ОДЗ уравнения.
2. Разбить ОДЗ на два множества: Mt и М2 (Mj — вся та
часть ОДЗ, на которой одновременно обе части уравнения либо
неотрицательны, либо неположительны, М2 — вся та часть ОДЗ,
на которой правая и левая части уравнения имеют разные знаки).
Тогда очевидно, что на М2 уравнение не имеет корней, сле-
довательно, множество всех корней исходного уравнения содер-
жится в Mt.
3. Решить уравнение на множестве М2. Множество всех кор-
ней, найденное на Mit будет множеством всех корней исходного
уравнения (здесь учитывается то, что возведение в натуральную
степень исходного уравнения приводит к равносильному ему на
множестве М2 уравнению).
Решим по этой схеме уравнение
V*2x4-29 = 3 —х.
[29 \
--у, 4-00 ) .
Г 29 1
Разобьем ОДЗ на два множества М2 = —-%, 3 и М2 =
= (3, 4-°°). На множестве М2 исходное уравнение не имеет
корней, ибо для каждого х^М2 левая часть уравнения поло-
жительна, а правая — отрицательна. Решим уравнение на мно-
жестве М2. Так как на этом множестве обе части исходного
уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат исход-
ного уравнения получим равносильное ему уравнение
2x4-29 = (3-х)2.
Множеством всех корней последнего уравнения являются
два числа х£ = —2 и х2=10. Так как число х2=10 не принад-
лежит множеству Mit то оно не является корнем исходного
уравнения.
Так как число Xj =—2 принадлежит множеству М2, оно
является корнем исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный ко-
рень Xi~—2.
Итак, решить уравнение, возводя его в натуральную степень,
можно двумя способами:
Первый способ. Совершить переход к уравнению, кото-
рое является следствием исходного уравнения. Найти все корни
полученного уравнения. Сделать проверку и установить, какие
корни являются посторонними. Из множества всех найденных
корней те корни, которые не являются посторонними, и состав-
ляют множество всех корней уравнения.
Второй способ. Совершить равносильный переход на
множестве (Mi — вся та часть ОДЗ исходного уравнения, где
357
обе части исходного уравнения -одновременно или неотрица-
тельны, или одновременно неположительны). Найти все корни
полученного уравнения на Мг. Все эти корни и составляют
множество всех корней исходного уравнения.
Преобразование, связанное с освобождением от знаменателя.
Пусть дано уравнение
= <р (х).
g (х) т '
Замена этого уравнения на уравнение
f(x) = g(x)<p(x)
называется освобождением уравнения от знаменателя.
Ясно, что при таком преобразовании уравнения возможно
появление посторонних корней. Поэтому, если в процессе реше-
ния некоторого уравнения проводилось освобождение уравнения
от знаменателя, то необходима проверка всех найденных корней.
Приведем пример применения этого преобразования.
Пусть дано уравнение
2(х—7) .
х2—6х—7 .
Освобождаясь от знаменателя, получим уравнение
2х—14 = х2—6х—7.
Множество всех корней последнего уравнения состоит из двух
чисел: Х; = 1 и х8 = 7.
Так как в процессе решения исходного уравнения проводи-
лось преобразование, в результате которого могли появиться
посторонние корни, то необходима проверка. Проверка показы-
вает, что число х2 = 7 не является корнем исходного уравнения,
а число Xi =?= 1 есть корень исходного уравнения. Итак, исходное
уравнение имеет единственный корень Xi=l.
, Заметим, что согласно утверждению 9 § 1 уравнение
f(x) . .
ц-4=<р(х)
g(x) ’
равносильно на своей ОДЗ уравнению
f(x)=g(x)<p(x).
Поэтому решать такие уравнения можно по следующей схеме:
1. Найти ОДЗ уравнения
2. Решить на ОДЗ данного уравнения равносильное ему урав-
нение f (х)=g(x)<f> (х).
Поскольку уравнения = и f (x) = g(x) ф(х) равно-
сильны на ОДЗ первого уравнения, то все корни уравнения
358
входящие в ОДЗ первого уравнения, составят
множество всех корней уравнения ^-^ = <р(х).
Решим по этой схеме уравнение
. sin4x—1 ।
COS4 X ~* *
ОДЗ этого уравнения есть множества М—множество всех
действительных чисел, кроме чисел хт — -^--\-лт, где т—любое
целое число. На множестве М исходное уравнение равносильно
уравнению
sin4x — 1 = cos4x.
Поскольку на множестве всех действительных чисел спра-
ведливы следующие тождественные равенства:
cos4 х—sin4x = (cos2 х + sin2 x) (cos2 x—sin2 x),
cos2 x sin2 x = J, cos2 x—sin2 x = cos 2x,
то на множестве всех действительных чисел справедливо и тож-
дественное равенство
cos4 х—sin4 х = cos 2х.
Поэтому исходное уравнение равносильно на множестве М урав-
нению
cos2x=— 1.
Множество всех решений последнего уравнения есть серия хк —
— у-|-nk, k£Z. Так как эта серия не принадлежит множеству Ми
то уравнение не имеет корней.
Итак, решить уравнение, освобождаясь от знаменателя, можно
двумя способами:
Первый способ. Совершить переход к уравнению, которое
является следствием исходного уравнения. Найти все корни полу-
ченного уравнения, сделать проверку и установить, какие корни
являются посторонними. Из множества всех найденных корней
те корни, которые не являются посторонними, и составляют
множество всех корней уравнения.
Второй способ. Совершить равносильный переход на ОДЗ
исходного уравнения. Найти все корни полученного уравнения.
Все эти найденные корни составят множество всех корней ис-
ходного уравнения.
Преобразования, связанные с потенцированием уравнения.
Пусть а—любое фиксированное положительное и неравное еди-
нице число. Пусть дано уравнение
logj(x) = logeg(x).
359
Замена этого уравнения уравнением
f(x) = g(x)
называется потенцированием уравнения.
Как следует из утверждения 6 § 1, при потенцировании урав-
нения потерять корни нельзя, а можно лишь приобрести посто-
ронние. Поэтому, если при решении уравнения пришлось его
потенцировать, то в конце решения необходима проверка.
Решим таким способом уравнение
log2 (*2 — 4) = log2 (4х — 7).
Потенцируя данное уравнение, получим уравнение
х2 — 4 — 4х — 7.
Множество всех корней последнего уравнения состоит из
двух чисел Xj ~ 3 и х2 = 1.
Поскольку в процессе решения исходного уравнения приме-
нялось потенцирование уравнения, то могли появиться посто-
ронние корни, поэтому необходима проверка. Проверка показы-
вает, что число х2 — 1 не является корнем исходного уравнения,
а число х1 — 3 является корнем исходного уравнения. Поэтому
исходное уравнение имеет единственный корень хг = 3.
Заметим, что согласно утверждению 8 § 1 уравнение
log0f(x) = logeg(x)
равносильно на своей ОДЗ уравнению
f(x) = g(x).
Поэтому уравнение loge / (х) = loga g (х) можно решить по сле-
дующей схеме:
1. Найти ОДЗ уравнения logaf(x) = logag(x).
2. Решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему урав-
нение f(x) — g(x).
Все корни последнего уравнения и будут составлять мно-
жество всех корней уравнения loga/:(x) = logag(x).
Решим по этой схеме рассмотренный выше пример.
Пусть дано уравнение
log2 (х2 — 4) = log2 (4х — 7).
ОДЗ этого уравнения есть множество Л4 = (2, 4-оо). На мно-
жестве М данное уравнение равносильно уравнению х2 —4 =
= 4х — 7.
Множество всех решений последнего уравнения состоит из
двух чисел: Xj = 3 и х2 = 1. Поскольку число х2 = 1 не принад-
лежит множеству М, а число Xj = 3 принадлежит множеству М,
то последнее уравнение на множестве М имеет только один
корень х1 = 3. Так как последнее и исходное уравнения равно-
360
сильны на множестве М, то отсюда вытекает, что исходное урав-
нение имеет единственный корень х^З.
Итак, решить уравнение, применяя потенцирование уравнения,
можно двумя способами.
Первый способ. Совершить переход к уравнению, кото-
рое является следствием исходного уравнения. Найти все корни
полученного уравнения. Сделать проверку и установить, какие
корни являются посторонними. Из множества всех найденных
корней те корни, которые не являются посторонними, и состав-
ляют множество всех корней уравнения.
Второй способ. Совершить равносильный переход на ОДЗ
исходного уравнения, найти все корни полученного уравнения
на ОДЗ исходного уравнения. Все эти корни и составляют мно-
жество всех корней исходного уравнения.
Преобразование, связанное с логарифмированием уравнения.
Пусть а—фиксированное положительное и неравное единице
число. Пусть дано уравнение
f(x)=g(x).
Замена этого уравнения на уравнение
logaf(x) = logag(x)
называется логарифмированием уравнения.
Как следует из утверждения 6 § 1, при логарифмировании
уравнения возможна потеря корней; Поэтому формальное при-
менение этого преобразования запрещается.
Заметим, что логарифмировать уравнение /(x) = g(x) можно
только на множестве М — всей той части ОДЗ, где обе части
этого уравнения положительны. При этом, как следует из утверж-
дения 6 § 1, на множестве М уравнения f(x) = g(x) Hlogof(x) =
= logeg(x) равносильны.
Поэтому решить уравнение /(x) = g(x), применяя логариф-
мирование уравнения, можно только по следующей схеме:
[. Найти ОДЗ данного уравнения.
2. Разбить ОДЗ на два множества: и М2 (Afj —вся та
часть ОДЗ, на которой обе части данного уравнения положи-
тельны, 7Иа —вся та часть ОДЗ, которая остается после выде-
ления множества MJ.
3. Решить уравнение на М± (учитывая, что на Aff уравнение
f(x) = g(x) равносильно уравнению logef (x) = logog(x))_
4. Решить уравнение на М2.
5. Объединить множества всех корней, найденные на и М2.
Решим по этой схеме уравнение
3%2-х — 31-(^Г)2
ОДЗ этого уравнения есть множество Л4 = [0, +°о). Поскольку
на множестве М обе части данного уравнения положительны,
361
то данное уравнение равносильно на множестве М уравнению
х2 — х = 1 — (У х)2.
Полученное уравнение в свою очередь на множестве М равно-
сильно уравнению
х2 = 1.
Последнее уравнение имеет только два корня: хх = 1 и х2 =—1.
Корень х2 = 1 принадлежит множеству М, а корень х2 =—1 не
принадлежит множеству М. Следовательно, последнее уравнение
имеет на множестве М единственный корень хх=1. Так как
исходное уравнение равносильно последнему уравнению на мно-
жестве М — всей ОДЗ исходного уравнения, то исходное урав-
нение имеет единственный корень х, = 1.
Преобразования, связанные с сокращением уравнения на об-
щий множитель. Пусть дано уравнение
Ф(х)/(х) = ф(х)#(х).
Часто это уравнение заменяют уравнением
f(x) = g(x),
т. е. сокращают исходное уравнение на общий множитель ф(х).
Это грубая ошибка, которая может привести как к потере кор-
ней исходного уравнения, так и к приобретению посторонних
корней.
Рассмотрим пример. Пусть дано уравнение
Vx=2 (х2 + 3) = 4хУх^2 .
Сокращая это уравнение на общий множитель ]/х—2 , прихо-
дим к уравнению
х« + 3 = 4х.
Множество всех корней последнего уравнения состоит из двух
чисел: х2=1 и х2 = 3.
Однако легко видеть, что число х2 = 1 не является корнем
исходного уравнения, т. е. это число является посторонним кор-
нем для исходного уравнения. В то же время легко видеть, что
число х3 = 2 является корнем исходного уравнения и этот ко-
рень был потерян при проведенном преобразовании.
Значит, действительно, при сокращении уравнения на общий
множитель <р(х) можно и потерять корни исходного уравнения,
и приобрести посторонние корни.
Подобные уравнения надо решать только следующим образом.
1. Найти ОДЗ уравнения ф(х)/(х) = ф(х)^ (х).
2. Записать равносильное ему уравнение ф(х)[/(х)—g(x)] = 0.
3. Перейти от этого уравнения к равносильной ему на ОДЗ
362
исходного уравнения совокупности уравнений
ф(х) = О, f(x) —g(x) = O.
4. Решить эту совокупность уравнений на ОДЗ исходного
уравнения. Тогда множество всех тех корней этой.совокупности,
каждый из которых принадлежит ОДЗ исходного уравнения, и
составят множество всех корней исходного уравнения.
Решим этим способом уравнение
Vx=2 (х? + 3) = 4хУх^2 .
ОДЗ этого уравнения —множество Л4 = [2, Ч-оо). Запишем
равносильное исходному уравнение
Кх^2"(х2-4х4-3) = 0.
Это уравнение на множестве равносильно совокупности урав-
нений
Ух— 2 =0, х2 —4х -|-3 = 0.
Первое уравнение этой совокупности имеет единственный корень
х2 = 2. Второе уравнение имеет только два корня: х2 = 3, х3 = 1.
Значит, множество всех корней этой совокупности уравнений
состоит из трех чисел: xt = 2, х2 = 3, х3 = 1. Корни х^ и х2 вхо-
дят в множество М, а корень х3 не входит в множество М.
Следовательно, исходное уравнение имеет только два корня:
Xi = 2, х2 = 3. .
Преобразования, связанные с освобождением от знака абсо-
лютной величины. Пусть дано уравнение
I/1WI + IAWI+-- - +|f(BM|-|fOT+iW|-...-|fft(x)|=g(x),
(12)
где Л(х), /2(х), ..., fk(х) — многочлены, целые относительно х.
Для решения таких уравнений обычно необходимо избавиться от
знаков абсолютных величин. Отметим, что формальное освобожде-
ние от знаков абсолютных величин может привести как к потере
корней исходного уравнения, так и к приобретению посторонних
корней. Покажем это.
Пусть дано уравнение
|х —1] = 2х4-4.
Если формально освободиться от знака абсолютной величины,
то получим уравнение
х—1 =2x4-4, .
которое имеет единственный корень хх = — 5. Однако легко ви-
деть, что этот корень не является корнем исходного ‘уравнения,
т. е. является для исходного уравнения посторонним корнем.
363
В то же время легко видеть, что число х2 =—1 является корнем
исходного уравнения и этот корень был потерян при проведен-
ном преобразовании. Значит, действительно, при формальном
освобождении от знаков абсолютной величины возможно и поте-
рять корни исходного уравнения и приобрести посторонние корни.
Для решения таких уравнений наиболее часто употребляется
тар называемый метод интервалов. Суть этого метода состоит
в следующем.
Пусть дано уравнение (12). Сначала решается совокупность
уравнений
Мх) = 0, f2(x) = 0....fM(x) = O, ..., fk(x) = O, (13)
затем на числовой прямой отмечаются все корни этой совокуп-
ности уравнений.
Таким образом, вся числовая прямая разбивается на неко-
торое число промежутков, затем на каждом таком промежутке
уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее зна-
ков абсолютной величины и равносильное исходному уравнению
на этом промежутке. На каждом таком промежутке отыскиваются
корни того уравнения, которое на этом промежутке получается,
и затем отбираются из них те, которые попадают в данный про-
межуток. Они и будут корнями исходного уравнения на рас-
сматриваемом промежутке. Наконец, для того чтобы выписать
все корни исходного уравнения, собирают вместе (объединяют)
все его корни, найденные на всех промежутках.
Продемонстрируем этот метод на нескольких примерах.
Пусть дано уравнение
|х—1 | = 2х-(-4. (14)
В этом случае совокупность уравнений (13) состоит из одного
уравнения
х—1 = 0,
имеющего единственный корень—число 1. Значит, числовая пря-
мая разбивается на два промежутка: (—оо, 1) и [1, Н-оо).
Рассмотрим решение уравнения (14) на каждом из этих про-
межутков.
1. На промежутке (—оо, 1) по определению абсолютной ве-
личины
|Х-1| = -(Х-1).
Поэтому на этом промежутке уравнение (14) равносильно урав-
нению
— (х — 1) = 2х+4,
имеющему единственный корень xt = —1. Этот корень попадает
в промежуток (—оо, 1). Значит, на этом промежутке уравнение (14)
имеет единственный корень Xj =— 1.
364
2. На промежутке [1, 4-со) по определению абсолютной ве-
личины
|х— 1| = х —1.
Поэтому на этом промежутке уравнение (14) равносильно урав-
нению
х — 1=2х + 4,
имеющему единственный корень х2 —— 5. Этот корень не по-
падает в промежуток [1, 4-оо). Значит, на этом промежутке
уравнение (14) не имеет корней.
Подводя итог, получаем, что исходное уравнение (14) имеет
единственный корень Xj =—1.
Пусть дано уравнение > ш
|х® — 11-|х| + |2х + 3| = 4х-6. (15)
Рассмотрим совокупность уравнений
х2—1=0, х = 0, 2х+3 = 0.
Множество всех корней этой совокупности уравнений состоит
из четырех чисел: 1; — 1; 0; —у- Значит, числовая прямая раз-
(3 х r 3 \
—оо; —у 1 , —у-; — 11,
[-1; 0), (О; 1), LU +оо). .
Рассмотрим решение уравнения (15) на каждом из этих про-
межутков.
1. На промежутке (—оо, —у) по определению абсолютной
величины
| х2 — 11 = (№ — 1), |х| = — х, 12х 4-31 = — (2x4-3).
Поэтому на этом промежутке уравнение (15) равносильно
уравнению
(х2-1)-(— х)-(2х4-3) = 4х-6,
которое имеет только два корня:
Ни один из этих корней не входит в рассматриваемый проме-
жуток, поэтому уравнение (15) не имеет корней на этом про-
межутке.
2. На промежутке [— у; — 1) по определению абсолютной
величины
|х2-1 | = (х2-1), |х| = — х, |2х4тЗ| = (2x4-3).
865
Поэтому на этом промежутке уравнение (15) равносильно урав-
нению
(х2 — 1) — (— х) + (2х+3) = 4х-6.
Это квадратное уравнение ие имеет действительных корней.
Значит, уравнение (15) не имеет корней на этом промежутке.
3. На промежутке [—1; 0) по определению абсолютной ве-
личины
(х2-1) = —(х2-1), |х| = —х, |2х+3| = (2х + 3).
Поэтому на этом промежутке уравнение (15) равносильно урав-
нению
-(х2-1)-(— х) + (2х + 3) = 4х-6,
которое имеет только два корня:
v__l_/4T ~__1+1/4Г
*з— 2 ’ Х*~~ 2 *
Ни один из этих корней не входит в рассматриваемый промежу-
ток, поэтому уравнение (15) не имеет корней на этом промежутке.
4, На промежутке [0; 1) по определению абсолютной величины
|х2—1| =— (х2—1), |х| = х, |2х4-3| = 2хЧ-3.
Поэтому на этом промежутке уравнение (15) равносильно
уравнению
— (х2— 1)—x-t-(2x-]-3) = 4x—6,
которое имеет только два корня: х5 = — 5, хв = 2. Ни один из
этих корней не входит в рассматриваемый промежуток, поэтому
уравнение (15) не имеет корней на этом промежутке.
5. На промежутке [1; +<») по определению абсолютной ве-
личины
|х®—1 | = (х2—1), |х| = х, |2х + 31 -- (2х-ЬЗ).
Поэтому на этом промежутке уравнение (15) равносильно урав-
нению
(х2—1) —х + (2х-|-3) = 4х—6.
Это. квадратное уравнение не имеет действительных корней,
поэтому уравнение (15) не имеет корней на этом промежутке.
Подводя итог, получаем, что уравнение (15) не имеет корней
на всей числовой прямой.
В заключение отметим, что в этом параграфе рассмотрены
не все возможные преобразования, а лишь наиболее часто упот-
ребляемые. Конечно, можно привести примеры и других неравно-
сильных преобразований, как, например, уничтожение подобных
членов, переход к новому основанию логарифмов, содержащему
366
неизвестную величину и другие. Не будем останавливаться на
этом подробно, а сформулируем лишь общее правило.
При решении уравнений надо пользоваться одним из двух
следующих способов:
1. Замена данного уравнения на уравнение, равносильное
ему на некотором множестве; при этом явно указывается и само
множество и то, что уравнения равносильны именно на этом
множестве (в этом случае надо рассмотреть все множества, на
которые разбивается ОДЗ).
2. Замена данного уравнения на уравнение, являющееся его
следствием; при этом указывается, почему новое уравнение есть
следствие предыдущего, и в конце решения обязательно де-
лается проверка.
УПРАЖНЕНИЯ
Является ли число 2 корнем следующего уравнения (1—15):
' 3+т=т{1['Ч<27-'’+у
Зх—4 (8х—11) (х+1) _ (6х—1)(2х—3)
3 4 “ 12 :
3. 4х2+5х—2 /3№—5х+2 = х(15—2х);
4. У14+25% — /1 + 4х = У 9x4-7 ;
5. |х— 1 | + |2х—6| = 3; 6. 12—| 1 —|х111 = 1;
7. 32х+1+9=28-Зж; 8. 27х+31 + %+31-% + 27^*=^^^.;
9. (12 — УЗ )х+(/2+ уТ )* = 4;
Ю. (К4-/15’Г = (2 /2)д:-(К4+/Т5 Г}
. 11. 2'°^ 3.x1~loga(~T~) = 1; .
12. logj_ j/l + ^ + 31og Jl-^) = log Л1-^)г+2;
2 4 V ' 16 '
1 / 1 Г X . X
13.1/ log_x у у Uog2^-=1;
Г 4
< л 9 x r ,2x ft . 9 л x
14. sm2—pcos——2 sin2-3-cos—=-4;—;
я я 8 л 2
15. 2 arccos = arccos (3—x)?
Равносильны ли уравнение x=2 си следующее уравнение (46—30):
16. 3{10—2[3х—2(х—5)] + 7х}=Зх—4;
17. К4х2+8л—28 —х=2 — У3х2+8х—24 ;
18. (х2—5х—7)2—(х—2)(х—3)=1;
19. x8+4- = 15f4+—^-174-;
' х2 у 2 1 х / 2
20. 15х—х2—6| = х2—5x4-6; 21. ^х2—5х+9 =(х—3>2;
22. 2Л+2=15+22-*; 23. 2х+5х-1=5ж—2*+2;
24. 52jc-*+5«+i=250; 25. 3«|/8*"=3&;
367
27. log, {2 log, [1 + log, (1+3 log2 x)j} = 1.
28. 1g 2 + 1g (4* ~ 2+ 9) = 1 — ]g (2* _ 2+ 1);
29. log, (9x-i+7)=2 + log, (3*~1+ I)2;
30. _£osM-i
/(l-x)(x+3)..
Равносильны ли следующие два уравнения (31—66):
31. х+1=0 и (х+1)(х+4) = 0;
32. (х—1) = 0и (/7+1)(х—1) = 0;
ко о Л X2 2—х
34. х4-4 = 0 и -г - ' * ^ ^0;
х2—2x4-9
7 7
35. х—4 = 8—х и х—44----~ = 8 — х4----
' v--Н 1 V__К
36. 2х—6 = 9+х и 2х—6+ /х2+1 =9+х+ /х2+ 1 ;
х(х4-4) х4-4
log2(l-x2) “ log2(l—х?) ;
37. х(х4-4) = х4*4 и
38. (х—3)=£х+1 и (х-3)/х+4 =(2х+1)/Т++;
39. х2—2=0 и х4 —4=0;
40. х2—4х+3=0 и ,4х+3 =0;
х—1
41. х2+3 = 4х и (х2+3) (х—1) = 4х (х—1);
43- 3<«+3)+«-+3=3rt
44.------х2-|--4-—_- = 2х и х2=2х;
х—2 х—2
г2_ок
45. 14 и х—5 = — 14;
х+5
у2_ОК
46. -4-- = - 10 и х-5=- 10;
х+5
47. (х+3)(х— 1) = 2(х— 1) и х+3 = 2;
48. (х+2) (х—1) = 3(х—1) и х+2 = 3;
49. х2—2х = 8 и (х2—2х)2*/х =8-2/*;
50. (2х—3) = 3х—2 и (2х—3)2 = (Зх-2)2;
51. /х2—2 = /х2+2х—4 и х2—2 = х2+2х—4;
52. /х+Т• /7+7 = 0 и /(1 + х)(х+2) =0;
53. /7+2 /7=3'= /7 и /(х+2)(х—3) = /6 1
54. х2—7 = 3loga ix и х2—7 = 6х;
55. У (х+2)2 =1 и х+2=1;
56. /(х2—4х+4)2 =4 и х2—4х+4 = 4;
57. ^/(х+1)4 =2 и Iх+11=2;
58. log, (х—1Р = 0 и 2 log, (х—1)=0;
368
59. iog5x4 = 0 и 4 log5 | x | = 0;
60. log7x5 = 0 и 51og,x==0;
61- 1og(x+2)»(A:+l)-2=0 и logx+2 (x4-l) = 0;
62. log j (x—1)(х4-3) = 0 и log । (x—l)4-log1 (x-f-3) = 0;
T T v
63. ctg x+tg 2x = 0 и —r™—H 2t>g9 =0;
s tgx ' 1—tg2x ’
64. ctg x-j- tg 2x = 0 и sin3x = 0;
65. sin x cos x == cos2 x и ctg x = ctg2 %;
66. sin x cos x = cos2 x и tgx=l?
Указать, какое из двух следующих уравнений является следствием*-дру-
гого (67—92):
67. (х+2)(х+1)2 = 3 (х+1)2 и х+2 = 3.
68. х24-4х4-3 = 0 и (x24-4x4-3)-2vTfT=0.
70.
4х(х4-2) 4х2.
69.--------х3------'н" 1 = 0 и х3--= °
х + 2 х
X2 4 9 Л
----;г=----77 И Х2=4.
X —2 X —2
71. Xs—7х = 8 и /4—х2 (х2—7х) = 8 /4—х2
72. х2=16 и x2log2(x—5) = 16-log2 (х—5).
х2—6 5х
73. х2—6 = 5х и ../-= --о7“ -.г?-0-‘ •
У 5—х2 У 5—х2
Л л I Q X------4 2Х 3
74. х—4 = 2x4-3 и —= = —-4— .
1g х 1g х
75.------х2----уЦ-Н-4. + зх = о и х2+Зх = 0.
х+3 х + 3
2х2
76. х3—2х = 0 и х3—— =0.
х •;
77. Кх+З-/х—4 =/30 и /(х4-3)(х—4) =/ЗО".
78. Кх2—5х—6 =4 и х2—5х—6 = 16.
79. log2 (х-Ь 1)2=2 и log2x4-l = l.
80. log2(x4-2)4-log2(x—3)=1 и log2 (x-f-2) (х—3)= 1.
81. 1^3 «sinxcosx=cos2x и |/"3tgx=l.
о_ sinx cosx cosx
........— ~
Kx—1 /x—1
и sinx— 1.
83.
84.
85.
86.
cos2x«'K4—x2 =sin4x-1^4—x2 и cos2x = sin4x.
tgx + -r~---i---= tg2x и tgx=l.
6 Mog2x log2x
cos x-log5(x—l) = sin xJog5(x —1) и cosx = sinx.
9 л
arcsin x2 = -£- и
arcsin x2
log3 (— x)
л
2 logs (— x) ’
87.
88.
arccos x — n и
|x2— 1 | = x+ 1
arccos x л
Ух Ух
и х2— 1 =х+1.
89. |х2—4| = х+2 и 4—х2 = х + 2.
90. | х+ 1 | +1 х—1 | = 6 и х = 3.
91. | х + 11 +1 х—1 | = — х2+3 и 2х = — х2+3.
92. | х4-1 1+|х—1 | = —х2~{-2 и 2х = —х24-2.
Й9-
Равносильны ли уравнение и совокупность уравнений (93—124):
Уравнение Совокупность уравнений
93. (х2—1)(х+2)=0 ’ 94. 2х4—Зх3—4х2+Зх4-2=0 5(6—х) 10(5—х) 11 (6—х) II + II • R CO ц 6Г . ci 1 Is II . II еч H ci co * .- । ci || -h || *“ - 4- « A- -I<N W ci I 11. 1 - . .. 1 ’ II II co <o II II ci 1 ' ci II II cT _ || co cm cb" <5^ ci Я * II " II II II * и II II * II * * II ® « H || II и II II II * ~ „ 4 R x U1 X К ^-Г ХоОх^Х - X X X X X Хор | ,4 ь* |сч 5о -4 <э I | —Г ci 1 с& 1 1 ci 00 Iе41 ci т~> ф ci ’-< 1 Il II и II II и и II и и и и II' и и II и II И II И 11 и II и ЧНХИНЦЦЦНИЧ X Н И Ч X Н Н Н X 8й и ц я н .
м*— «М W-. Н-. М © о о о о о 0 00*<<0<Х>С©фС 41 <55 СП Л W К5 J- р С0 00 С5 pl WtO^gCOQ>^p5C bit':* * । । । + * q । v * *i* <= и 1'' ?S ? I <1 1 1 х|« Г + X + 1 I + + ^ т-р Л s|4”i? - ? A-l+i t -g»7; 17^ ) 15-+ ifr- t 4=+i L 1 »т1т4л J I. ~ 1 ;r« i g » .Ц • If” ' ' ± 1 ~ T § + ,« “1 i I. -i-^ 31 i? a - * 75 1 II 4- N0| 7Г * 1 II co[ x *3 1 X ) CO X 1 1 - fjQ м| X CO 1 T L? X ~ i to I 1 Ci x i A 1 CO * 1 ? 1 -1- °ч — | ' Д- + 1 ?. и го *4^ . О >< II *
370
Продолжение
Уравнение Сетону ПН0€ТЬ~УР авне ний
| у2__у 1 | 118. 1g 2, * =0 | х24~х—2 j !х 1 х_ Гб . 2’2’ 2 '
,119. 4 cos3 *4-3 cos (л—х) — 0
5 120. sin4 *4*cos* х~ "о" о
я । яп2 тС7-
б+ 2 ’ m^Z’
121. ctg х sin Зя (cos*—2) = 0 х~~~2 х=*=4"^л,
4* 122. arccos х=л-j-arcsin — <5 сч |со 1 II СО |ю 1 II н
123. cos (4 arccos x) = —~ /3 1 х~ 2 У’
* II ю|- к II
124. arcsin *-rarcsin— х —— 1, *=0, х— 1?
/3 * Л —arcsin— = 0
Решить следующее уравнение (125-7-326):
125. (2*4-1 (з*-~-) = (*—1,125)£2*—1,25).
126.
128.
130.
132.
134.
136.
137.
138.
«4-1 I 4 _1 JO7 х~5 1 2х— >_ 5х— 1 2
х4-Зфх4-7 ‘ 2 ”|‘2+Зх— 10 5‘
6х—5 3x4-3 3—5х х—11
4х—3 —2x4-5 • x-J-2 + х-|-4 '
_J_ . 4_____2 13. 7_________6
х—1 ‘ х-|-2 х ’ " х24-х—12 х24-2х—8
х—3 _ х—1 л2—7x4-10 х24-3х —10
х2—Зх—4 —х2—х—2 ' х2—7x4-12 — х24-3х—8. *
7 Q 7 А
^+^-7ТйГь5=Е ,35- ТГТЪ+2=-СТ-
1 ,1 ,1 ,1л
1 , I- 1 + 1 + ——o=k
х—8 1 х-6 1 *4-6 1 *4-8
2 5 2 5 _
х—14 X—13 х—9 X—П ’
1 4 । 4 _!_=_L «за х* ! 2 _5(2—х2)
х—1 х—2 1 х—3 х—4 30 • 2 тх2 2*
140. X3—х2—100 = 0. 141. х2 —7х24-14х—8=0.
142. 2х*—5х3 —5х24-18 = 0. 143. 6х4—2х3 — 17х24-2х-|-11=0.
144. 3x2—5х3 4-2 = 0. 145. х’—6х«+ 13х5—12х44-4х3=0.
371
146. 1—|х|=у- И7- I— *+21 = 2x4-1.
148. —х = -13-~51 . 149. |х—1 |4-|х—2| = 1.
150. |х-1|4-|х4-2|-|х-3| = 4. 151. |4(1—х)| = |5х-4|-|-х.
152. |1— х2 | = 1 — х2. 153. |х2— 11 = 1— |х|.
154. |х2-9|4-|х2—41=5. 155. |ух2
156. |х2—Зх4-2| = 4—х2+|х|. 157.
|х2—Зх|4~5 ,
158. —г“1-ГоТ—ь
х24-|х4-3|
160. I 3 — I Х4-211 =4. 161.
7
162.
Л 64.
166.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
|+||,2_3x+4|=|.
|x—11—3 =I*+2I-
x2—5x-P4|
x2 4-5x4-41 *
x2-6|x| + 7| t
x24-6x4-7 I *
/Гн = /5x+20 —2. 163. /ТГТ— /Г- /ГТ.
/х—10 —/4—x 4-x = 4. 165. /б—4х—х2 =х+4.
Х2-3=/4х2—4х+1 . 167. /ГТ—/2ГТ = 34-х2.
/ГТ— V 2х—3 = /4х—1 .
/х24-х—6 + /2х-|-3 = /ТТ .
/9_f_4x2_i2x 4- / 10х—х2—21 = 2х+ 3,5.
/х2—8x4-7“ + / 5х—х2—4 = — 11 —х21.
/4х24-25—10х — 7 = | х—2| — Зх.
(х4-1) / 10х—21—х2 =х2—11x4-24,
177. K1+* /х2 + 24 =x+l.
178 * + 2 i *+2
,78- /ГТт1 /гт-i '
181.
182.
183.
184.
j/“x2_4x + 4— Vx2 —6x4-9= /х2 — 2x4-1.
x24-4x —16 рл2х+20=0.
х2—х—42.
y/<512 = 83'v21“x. 185. 1252“3x
/ 5 \2x-7 3 Г( 5 \1-зх
2 —ЗХ ,----3 Z-----
188 . 9* =/27-v / 81Х+3.
,r(t :) 8*+6 _______
189 .3 2 —9 /243=0.
(ТГТ8
372‘
190. [(/О)*+2]3~* = 0,001331.
7 1 \X4-5 !
191. \32*_,J =[КО,0625 (2. /409б)* + 1’]*~з.
192. 32+I°^2-/^9 = 2
/ X+l \
193. 2-5*+2 — 5*+s = 375. 194 . 3-4*-2=2 \256—16 2 ) .
195. 6*—2*-l-3*-2 = 2V5log> 289.
196. 3 /S*^—5 /2*^33—32=0.
197. З^+З-З1^*1—3Г*?-‘=68. 198. 2(3*> = 3<2*).
199. 5* (3x4-5*)=4 (Зх-]-4). 200. 14.7*-2 = 3.5x+2.
201. 3-13*4-13*+1—2*+2 = 5-2*+1.'
202. 2-5*+1—~4*+2—~5*+2 = 3-4*_*.
5 3
203. 3 (10*—6*+2)4-4-10*+1 = 5 (10*-24-6*-2).
204. 9*—8-3*4-7 = 0. 205. 4—2*+2=3.
206. 2* (7—2*) = 2-710g’3. 207. 42*-i= 13-4*-2—21.
X-3
208. 2* = 264-3-2 2 . 209. 2 (9*4-4*)—5-6* = 0.
__i_ __i_ _j_
210. 3-16*4-36* = 2-81*. 211. 4 *4-6 * =9 *.
x‘ +—
212. 4S*2+*—8 = 2-8 3. 213. 22*+e4-4(42*—8*+’) = 0.
214. j/25*— р/э*— p/15* = 0.
215. 72*4-7"2*—7*+x—71-*4-8 = 0.
/ 1 Г / 1 V 1
216. \ 2J L2 (2 ) +1J=2X+1-
1 ЛО_ 1 QQ , КX
217. 2* (23*—2* + 2) = 2-8x—1. 218. 5*~32==-
219.
220.
221.
222.
223.
(2+ /3)
№-2X + l
4-(2- / 3)**-?*-» =
loga (x4-4) = loga 4 (1og2 7—log2 5).
log, x=2 log7 (2x—15).
logj_ (x 4-1)—log_i_ (x—3)= 1.
~ 2
21ogjt (x— l)4-log« (x—30)2 = 4.
224. Iog3x4-log3(x4-2) = l.
225. logs logs loga (x4-5) = logs2—l.
226. logs (2 logs О + l°g2 0 4"3 l°ga х)))="з •
101
10(2— /3)
227. 14-lg (14-x24-2x)—lg (x24-6)=2 lg (x-|-1).
228. lg(2x—3)2—lg(3x— 2)2=2.
229. log t (4—x) = logj 2—log x (x—1).
V a a
230. 2—loga (x24"3x)=0.
373
231. log, (x«--1)--log* (x—1)2 = log4 /(2-x)2.
232. log, (x2+2x—3) = log, .
233. log, (x+ l) = log6 (I —x)-f- log, (2x-|-3).
Ig2+lg(4-5x-6x2)
23 log(2x—1) .
/ | v2 y — 1 I
235- log^|
236. log* (x — Q + log* (x-f-l)—log * (7—x) = l.
T ~ 'vi'
237. 1g /r+^+31g/r=x = lg
238. /log, x4+41og, |Лу = 2.
239. /1 + log, x-f- /4 log*x—2 = 4.
240. V log, (9x3) • log, (9x) = log, x2.
241. j/2^1og2^—1 j(2+log4(8x)) = log,(2x).
5-41g(x+l) l + lg(x + l)‘
243. log, (4*4-4) =x-|-log, (2*+1—3).
244. logsx-l-logj^—x-f-log* x=6.
245. logx2-logx 2= log*. 2.
Тб 64
246. log5xy + log|x=l.
247. lg(3r7rn—24-V4x+1)=2—Kx+0^51g4 + ^^-.
248. 1g V75 + 5Гзх~5 =-|-.
249. 2 log, (log, x) + log1/2 (log, (2 V 2x)) = l.
250. logi-ax (6x2—5x+ 1)—logt_3x (4xs—4x+ 1)=2.
251. logsx-i (10x2—7x+ l)4 = 2 + log,x_1(25x2—lOet-f-1).
252. log(x-e>’ (x^ 5x-f-9)=^-.
253. logu_i)« (4—4xH-x2) =2-|-iog(x_ni (x+5)2.
254. logx+i (x2-|-x—6)2 = 4. 255. Iog4[(x-f);,<«»^-i>t]=2.
256. log3(3*— l).log3(3*+1 —3)=6.
257. x+lg(14-2x) = xlg5-|-lg6.
258. log* log, x+ log, log4 x = 2. 259. | log, (x 11=2.
X 1 /• - . -
260. siny = —2"- 26L F 100 — x2-sin2x = 0.
262. cos(4x+2)=—-^2-. 263.—^J^=-=O.
2 /81—x2
264. tg/^±l)=- 10. 265. ctg?ii3 = ll /2.
374
266. /4x4-77—xMgx = O. 267. г---;.€?g2/--sr=O..
6 1о& (14+5x—x2)
1Г3 1
268. 4cos x4-5sin x=-i—. 269. 2 sin x—3 cos x= ——
270. tgx2= — V~3. 271. ctg /7 = — 1.
272. /sin x=cos x. 273. У 5 —2 sin x = 6 sin x—1.
274. У9—4 /1—(16—8 /3)sin x=4 sin x—3.
275. sin ^2x4—3 cos ^x—= 1 +2sinx.
276. sirix-|-sin3x+4cos3x = 0.
277. tg2x—4sinxcosx4-l=4sin2x.
278. 4 + sin2x = (3+ /3) sin 2x—2(2 — /3)cos2x.
279. sin 2x — 1 V 2 cos x + cos 2x.
280. sin2x + sin3x —2.
281. 4 (sin 3x sin x)2—sin 3x = 5.
282. cos40 2x—sin40 2x=l.
283. /14-sin2x— /1—sin2x = 1.
284< tg2xtg3x=l. 285. sin'3 x—cos4 x = sin2x.
286. tgx=tg’(y—j).
287. sin2x—12(sinx—cosx) + 12 = 0.
288. tgx+ctgx = sinx ^14-tgxtgy^ .
. • cos 2x
289. cosx + sinx=^--
1 1 — sin 2x
290. tg2xcos4x(4—sin27x) = 0.
291. 8 cos4 x = 3-)-5 cos 4x.
292. 2 (ctgx—tgx) = sin4x.
293. sin 4x sin 6x=2 (sin x4* sin 5x).
294. 1 —tg2x = 4sin22x.
295. sin 5x sin 4x = — cos 6x cos 3x.
296. cos x=cos 3x4-2 sin 2x.
297. sin4 x4-5 cos 2x4-4 = 0.
298. tg2x4-B cos 2x ctg 2x = ctg2x.
299. cos 7x—sin 5x= У~3 (cos 5x—sin 7x).
300. (cos x—sinx) ^14--^-sin2x^4-sinx=2 cos2x.
5
301. 2 sin22x4~ sin2 4x=—.
ллл x Зх n . 9 x
302. cos-g—cos-^- = 3 sin2—.
303. sin x—2 sin 2x 4- sin 3x = ] 1 —2 cos x4- cos 2x ].
, r-z (x л \ • /х л \ ‘ . l x , 2л \
304. /2c°s 12/ (-jr—2s,n (5”^ 3
n . . fЗх . л \
-2sin(-5+-6j*
375
305. tg cos ctg (л sin х) =0.
306 . 2 sin ^Зх+у^ = /1 + 8 sin 2x cos2 2x.
307. 2—V* 3 cos 2x-{-sin 2x = 4 cos23x.
308. 5^lo£»x+l°£e 9> l°Ss3 ~3}/l°gx.i»84
309. sin22Tf”x=y. 310. log j sinx=y .
8 COS2 X
. 9 3 . 1
sm2 x----sinx+— ' . * ,
311. |cosx| 2 2 =1. 312. 81sln lr+81cos x=30.
. —b— sin! — x
313. 4tg x + 2cos x—80 = 0. 314. 21+2COS5*4-16 2 =9.
315 81<sin 2Л~1) cos 3*_9<sin x -cosx)2 __q
316 3s*n 2X+2 cos2 x-кЗ1-8*11 2X+2 sin2 x = 28
317. x2 log3x2—(2x24-3) log, (2x4-3) =3 log, .
318. х2Зл-«4-3Гх+2=3*4-х2.3Гх.
319. /7(9Г*^-3Г*^) = 32Г*^+1-3Г~3 + 14-6 Kx—18.
320. x2log6 /5х2—2x—3—xlog1/6 (5x2—2x—3) = x24~2x.
i it- 1 i
---------+loge sm x----+ log2 cos x
321. 3 2 +6 2 =2 2
322. 4ts^-4Ti:^log 3 4 = -log8inJ~C°s2jC.
2 V 2
4 V 2 COS (—x') . 1
32 3.4-2 —16.5.4COSJC+*ta* = -4-log3z_16.
d у
324. sin лх~р sin (log^x3^) —cos лх—cos/log 3 z—хях\ .
\ V x J
325. cos2x4-log4^-^sinx)+2‘cosx,logi/2sin x = 2cos x4-sin2x«log2sin2x.
326. 21og25(52 smx—-4) = 2&in x+sin.
376
Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пусть даны две функции: функция y = f (х) с областью сущест-
вования Р и функция y = g(x) с областью существования L. Пусть
область М есть пересечение областей существования этих функ-
ций, т. е. Л4 = РГ)£ (в частности, область М может быть пустым
множеством).
Пусть стоит задача: найти все числа а, из области М, для
каждого из которых справедливо числовое неравенство/(а) > g(a).
В таких случаях говорят, что стоит задача: решить неравенство
f(x)>g (х) с одним неизвестным х или что дано неравенство
f (х) > g (х) с одним неизвестным х.
В этой главе рассматриваются некоторые способы решения
только неравенств с одним неизвестным х. Поэтому дальше вместо
слов «неравенство f (х) > g (х) с одним неизвестным х» будем го-
ворить просто «неравенство /(x)>g(x)», Аналогично формули-
руются и понимаются задачи: решить неравенство f(x)<g(x)\
решить неравенство /(x)^g(x); решить неравенство f(x)^g(x).
§ 1. Основные понятия и утверждения равносильности
неравенств
Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства f(x)>g (х)
называется общая часть (пересечение) областей существования
функций y — f(x) и y = g(x), т. е. множество всех числовых зна-
чений неизвестного х, при каждом из которых имеют смысл
(определены) левая и правая части неравенства.
Число а из ОДЗ неравенства называется решением неравен-
ства f(x) > g(x), если при подстановке его вместо неизвестного х
неравенство превращается в верное числовое неравенство
/(«) > gr(«)-
Решить неравенство f(x)>g (х) — это значит найти множество
всех его решений. Отметим, что это множество может оказаться
и пустым множеством, что возможно только в двух случаях:
а) если ОДЗ данного неравенства есть пустое множество,
б) если ОДЗ данного неравенства есть непустое множество Q,
но ни для одного числаa^Q не выполняется числовое неравен-
ство f(a)>g(a).
377
Если множество всех решений данного неравенства есть пу-
стое множество, то обычно говорят, что данное неравенство не
имеет решений. Поэтому иногда говорят так: решить неравен-
ство f (х) > g (х) — это значит найти все его решения или дока-
зать, что это неравенство не имеет решений.
Пусть даны два неравенства: f(x)>g(x) и р(х)> <р(х). Если
любое решение первого неравенства является решением второго
неравенства, а любое решение второго неравенства является ре-
шением первого неравенства, то такие два неравенства называются
равносильными.
При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из
этих неравенств не имеет решений, то такие два неравенства
равносильны. Замена одного неравенства другим неравенством,
ему равносильным, называется равносильным переходом от одного
неравенства к другому.
Пусть даны два неравенства f (х) > g(x) и р (х) > <р (х) и пусть
дано некоторое множество М значений неизвестного х. Если
любое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М,
является решением второго неравенства, а любое решение второго
неравенства, принадлежащее множеству М, является решением
первого неравенства, то такие два неравенства называются рав-
носильными на множестве М.
При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из
этих неравенств не имеет решений на множестве М, то такие
два неравенства равносильны на множестве М.
Замена одного неравенства другим неравенством, равносиль-
ным ему на множестве М, называется равносильным переходом
на множестве М от одного неравенства к другому.
Отметим, что аналогично формулируются задачи решения
неравенств f(x)<g(x), /(x)^g(x) и f(x)^g(x) и основные
определения для них.
Замечания. 1. В случае неравенств, в отличие от уравне-
ний, термин «корень» не употребляется.
2. Так как множеством решений неравенства обычно является
некоторый промежуток, а сделать проверку для всех чисел дан-
ного промежутка практически невозможно, то понятие следствия
при решении неравенств не используется.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих введенные
понятия.
Пусть дано неравенство
W+2 + /х^5 > /Г^х.
ОДЗ этого неравенства есть множество М, являющееся пересе-
чением областей существования функций у = Ух +2, y = V х —5
и у = 1^3—х, т. е. М есть пересечение множеств [—2, + оо),
[5, + оо) и (— оо, 3]. Это пересечение пусто. Следовательно,
неравенство решено, так как нет ни одного значения неизвест-
•378
ного, при которой все функции, входящие в данное неравенство
имели бы смысл. Таким образом, данное неравенство не имеет
решений.
Пусть дано неравенство
Fx<-5.
Так как при подстановке в данное неравенство любого числового
значения из ОДЗ этого неравенства оно становится неверным
числовым неравенством, то, следовательно, данное неравенство
не имеет решений. ,
Неравенства х + 5>0 и (х4 +1) (х + 5) > 0 равносильны на
множестве всех действительных чисел; неравенства У х > 1
и х2 > 1 не являются равносильными на множестве всех дейст-
вительных чисел, но равносильны, например, на множестве по-
ложительных чисел.
Приведем некоторые утверждения равносильности нера-
венств:
1. Неравенства f(x)>g(x) и f(x)—g(x)>0 равносильны.
2. Неравенства f(x)>g(x) и f(x)+a > g(x)-j-a равносильны
при любом действительном а.
За. Неравенства f(x)>g (х) и af (х) > ag (х) равносильны для
любого положительного числа а.
36. Неравенства f(x)>g(x) и af(x) < ag(x) равносильны для
любого отрицательного числа а.
4а. Неравенства aflxi > а^м и f(x)>g(x) равносильны для
любого фиксированного числа а такого, что a> 1.
46. Неравенства af{xy > и f(x)<.g(x) равносильны для
любого фиксированного числа а такого, что 0 < а < 1.
Справедливость этих утверждений доказывается сходным об-
разом, поэтому приведем доказательство лишь утвержде-
ния За.
Пусть число Xi есть некоторое решение неравенства f (х) > g(x),
т. е. пусть существуют числа f(x,) и g(xx), для которых спра-
ведливо числовое неравенство f (хх) > g(xx). Умножив это числовое
неравенство на положительное число а, получим, что справедливо
числовое неравенство af (хх) > ag(x7), а это означает, что число хх
есть решение йеравенства af (х) > ag(x). Такое рассуждение можно
провести для любого решения неравенства f(x) > g(x). Значит,
любое решение неравенства f(x)>g(x) является решением не-
равенства af (х) > ag(x).
Покажем теперь обратное. Пусть число х2 есть некоторое
решение неравенства af (x)>ag(x), т. е. пусть существуют числа
f(x2) и g(x2), для которых справедливо числовое неравенство
af(xs)>ag(x2). Из справедливости этого неравенства на основа-
нии свойств числовых неравенств вытекает справедливость чис-
лового неравенства f(x2)>g(x2), а это означает, что число ха
есть решение неравенства f (х) > g(x). Такое рассуждение можно
379
провести для любого решения неравенства af (х)*> ag (х). Значит,
любое решение неравенства af(x)>ag(x) является решением
неравенства f (х) > g(x).
Итак, если каждое из неравенств f(x)>g(x) и af (х) > ag (х)
имеет решения, то эти неравенства равносильны. Заметим, что
из доказанного вытекает, в частности, что если одно из этих
неравенств не имеет решений, то и другое не имеет решений, 1. е.
и в этом случае неравенства f(x)>g(x) и a/(x)>ag(x) равно-
сильны.
Утверждение За тем самым доказано полностью.
Приведем теперь несколько утверждений равносильности
неравенств на множествах.
5. Пусть п—натуральное число и пусть на некотором мно-
жестве М одновременно обе функции у = f (х) и у = g(x\ неотри-
цательны, тогда на этом множестве равносильны неравенства
f(x)>g (х) и [/ (х)]» > [g (х)]».
6а. Пусть а—любое фиксированное число такое, что а>],
и пусть на некотором множестве М одновременно обе функции
у = [(х) и y = g(x) положительны, тогда на этом множестве рав-
носильны неравенства f(x)>g(x) и log0f(x) > logag(x).
66. Пусть а—любое фиксированное число такое, что 0 < а < 1,
и пусть на некотором множестве М одновременно обе функции
y~f(x) и y = g(x) положительны, тогда на этом множестве рав-
носильны неравенства f(x)>g (х) и loga f (х) < loga g (х).
7а. Пусть на некотором множестве М функция у = <р(х) по-
ложительна, тогда на этом множестве равносильны неравенства
f(x)>g(x) и f(x)q>(x)>g(x)<p(x).
76. Пусть на некотором множестве М функция у~<р(х) от-
рицательна, тогда на этом множестве равносильны неравенства
f(x)>g(x) и f(x)q>(x)<g(x)<p(x).
Приведем доказательство утверждения 5.
Если п = 1, то утверждение 5 верно.
Поэтому будем дальше считать, что п~^2. Пусть число Xj
принадлежит множеству М и является некоторым решением не-
равенства f(x)>g(x), т. е. пусть существуют неотрицательные
числа f(Xj) и g(Xi) такие, для которых справедливо числовое
неравенство f(x1)>g(x1). Из справедливости этого неравенства
следует, в частности, что число f(Xj) положительно. Но тогда
для любого натурального числа k число [/ (xx)]fe положительно,
а число [g (х^)]^ “ неотрицательно. Значит, сумма
[f + [f €*i)]" “? g (*х) +-F f (xt) [g to)?-* 4- [g (Xi)?-1
положительна, так как первое ее слагаемое—положительно,
а остальные — неотрицательны. Из числового неравенства
>g(Xi) вытекает еще, что число f(x1)—g(x1) положительно.
Так как произведение положительных чисел пШ^й'гёлЬнб, то
380
положительно и число
+ [f (Хх)]”--2g(хг) + . . . + f (xj [g (x,)]"-? + [g (Xx)]”-»}.
Применяя теперь формулу сокращенного умножения (см. гл. II),
приходим к справедливости числового неравенства
[f(Xi)]”-[g(x1)]”>0,
откуда вытекает справедливость числового неравенства
1Ж)]”>[£(Хх)]”-
Итак, показано, что для любого числа хх из множества М из
справедливости числового неравенства f(x1)>g(x1) следует спра-
ведливость числового неравенства [/(xx)]" > [g(xx)]”. Значит, лю-
бое решение неравенства f (х) > g(x), принадлежащее множеству М,
является решением неравенства [/ (х)]" > [g (х)]п.
Покажем теперь обратное. Пусть теперь число х2 принадлежит
множеству М и есть некоторое решение неравенства [f(x)]”>[g(x)]n,
т. е. пусть существуют неотрицательные числа f (х2) и g(x2), для
которых справедливо числовое неравенство [f(x2)]n > [g(x2)]“. По-
кажем, что число f(x2) положительно. Предположим, что f(x2)
равно нулю, тогда из неравенства [f (х2)]" > [g (х2)]” вытекает, что
число [g(x2)p отрицательно. Но так как число g(x2) неотрица-
тельно, то неотрицательно и число [g(x2)]n. Полученное противо-
речие означает^ что число f(x2) положительно. Но тогда положи-
тельна сумма
[f(x2)]"-x + [f (x2)]”-?g(x2)+ ... +f(x2)[g(x2)]B-2-j-[g(x2)]»-1.
Кроме того, из справедливости Неравенства [f (x2)]n > [g(x2)]n
следует, что число [f (х2)]” — [g (х2)]п положительно. Рассмотрим
теперь числовое равенство • i
[f (х2)]” - [g (х2)]" = (Ж) - g (х2)] х
х {[/ (х2)]"-х + [/ (х2)]"-? g (х2) + ••+/ (Х2) [g (х2)]”-2 + [g (х,)]"-1}.
В этом равенстве слева стоит положительное число, а справа —
произведение двух чисел, одно из которых положительно, значит,
и второе число положительно, т. е. справедливо числовое нера-
венство f(x2)—g(x2) > 0. Из справедливости этого числового
неравенства вытекает справедливость неравенства f (х2) > g (х2).
Итак, показано, что для любого числа х2 из множества М из
справедливости числового неравенства [f(x2)]n > [g(x2)]n следует
справедливость числового неравенства f (х2) > g(x2). Значит, любое
решение неравенства [f (х)]“ > [g (х)]л, принадлежащее множе-
ству М, является решением неравенства f (х) > g(x).
Итак, если каждое из неравенств f (х) > g(x) и [/ (х)]в > [g (х)]п •
имеет решения на множестве М, то эти неравенства равносильны.
381'
Заметим, что из доказанного вытекает, в. частности, что если
одно из этих неравенств не имеет решений на множестве Af, то
и другое не имеет решений на этом множестве, т. е. и в этом
случае неравенства /(х)> g(x) и [/(*)]"> [g(x)]n равносильны,
чем и завершается доказательство утверждения 5. Справедливость
утверждений 6а, 66, 7а, 76 доказывается аналогично.
Пусть дано т неравенств /г (x)>gj (х), /2(x)>g2(x), ..., fm(x) >
>Sm(x). Обозначим через М область, являющуюся пересечением
областей допустимых значений всех этих неравенств. Если стоит
задача: найти все числа а из области М, каждое из которых
является решением каждого из этих неравенств, то говорят, что
дана система т неравенств
f1(x)>g2(x)t
fm(x)>ga(x)
и область Af называется областью допустимых значений (ОДЗ)
этой системы. Отметим, что обычно неравенства системы записы-
вают в столбик и объединяют фигурной скобкой.
Число а из ОДЗ системы неравенств (1) называется решением
этой системы,- если оно является решением каждого из неравенств.
Решить систему неравенств (1)—это значит найти множество
всех ее решений. Если это множество оказывается пустым мно-
жеством, то говорят, что система неравенств (1) не имеет решений.
Систему неравенств (1) обычно решают следующим образом. Сна-
чала решают каждое неравенство на ОДЗ этой системы, т. е.
находят множества Nit N2, ..., где Nj—множество всех
решений неравенства f; (х) > gt (х), принадлежащих ОДЗ этой
системы. Затем находят множество ЛГ0, являющееся пересечением
всех этих множеств Nit N2, .... Nm, т. е. Nt — №f Л N2 fl... f) Nm.
Множество N2 и будет множеством всех решений системы нера-
венств (1).
Пусть числа а и b таковы, что а<Ь и пусть дана система
неравенств
f(x)>a.
(2).
В этом случае иногда говорят, что дано двойное неравенство
a<f(x)<b. (3)
Отметим, что если y = f(x)—основная элементарная функция,
то часто проще решить двойное йеравенство (3), йем систему
неравенств (2).
382-
Пустъ теперь дано k систем неравенств
fit (•*•) 5*
х fn (•*•) > Sti 00»
f 12 00 > 812 ОО»
/22 00 §22 00» •••
fuAx)>glk(x),
f2k(X)>82k(X), (4)
fni(x)>gni(x),
> f m2 W > 8 m2 (x),
fM > Stk(X).
Обозначим через Q область, являющуюся пересечением областей
допустимых значений всех этих систем неравенств.
Если стоит задача: найти в области Q все числа а, каждое
из которых является решением хотя бы одной из этих систем,
то говорят, что дана совокупность k систем неравенств и область Q
называется областью допустимых значений (ОДЗ) этой совокуп-
ности. Отметим, что обычно системы неравенств из совокупности
систем неравенств записывают в строчку (см. (4)).
Число а из ОДЗ совокупности систем неравенств (4) назы-
вается решением этой совокупности, если оно является решением
хотя бы одной системы неравенств из совокупности (4).
Решить совокупность систем неравенств (4) —это значит найти
множество всех ее решений. Если это множество оказывается
пустым множеством, то. говорят, что совокупность систем нера-
венств (4) не имеет решений..
Совокупность систем неравенств (4) обычно решают следующим
образом. Сначала решают каждую систему неравенств на ОДЗ
совокупности (4), т, е. находят множества Mit М2, ..., Мп, где
М,—множество всех решений системы
fu(x)>gli(x),
, J f2i(x)>g2f(x),
. fpi(x)>gpi^,
на ОДЗ . этой совокупности. Затем находят множество Л10, явля-
ющееся объединением всех этих множеств Afj, Мг, ..., Mk, т. е.
~ Mi иЛ42уЛ13 U ... U Мк. Множество Мв и будет множеством
всех решений совокупности систем неравенств (4).
Заметим, что если каждая из k систем совокупности (4) со-
держит только одно неравенство, то говорят, что дана совокупность k
неравенств.
Если k = 1, то совокупность (4) является системой неравенств.
Гоъо^т, что неравенство
f(x)>g(x) (5)
равносильно совокупности систем неравенств (4), если любое ре-
шение неравенства (5) является решением совокупности (4),
а любое .решение совокупности (4) является решением неравен-
ства (5).
383
При этом, в частности, подразумевается, что если неравенство (5)
не имеет решений и совокупность систем неравенств (4) не имеет
решений, то неравенство (5) равносильно совокупности (4).
В случае если в совокупности систем неравенств (4) п = т=*
=... = р — ... =й/=1, то говорят,, что. неравенство (5) равно-
сильно совокупности неравенств (4).
В случае если в совокупности систем неравенств (4) k— 1,
то говорят, что неравенство (5) равносильно системе нера-
венств (4).
Замена неравенства (5) равносильной ему совокупностью (4)
называется равносильным переходом от неравенства (5) к сово-
купности (4).
Иногда возникает необходимость совершить равносильный
переход от неравенства к совокупности систем неравенств на
множестве М. -s
Говорят, что неравенство (5) равносильно на множестве М
совокупности неравенств (4), если любое решение неравенства (5),
принадлежащее множеству М, является решением совокуп-
ности (4), а любое, принадлежащее множеству М, решение сово-
купности (4) является решением неравенства (5).
Отметим, что в совокупности систем (4) может оказаться
бесконечно много систем неравенств.
Замена неравенства другим неравенством или совокупностью
систем неравенств будет дальше называться преобразованием не-
равенства. .
Наконец, приведем понятие смешанной совокупности — сово-
купности уравнений и неравенств.
Пусть дано k уравнений (x) = gi (х), f2 (х) =g2 (х),.... /Л(х)=
=Ял (х) и т неравенств fk+i (х) > gk+i (х), fk+2 (х) > gk+2 (х), ...
..., fk+m (х) > gk+m (х). Обозначим, через Q область, являющуюся
пересечением областей допустимых значений этих уравнений и
всех этих неравенств.
Если стоит задача: найти в области Q все числа а, каждое
из которых является решением хотя бы одного из этих k урав-
нений или хотя бы одного из этих т неравенств, то говорят,
что дана смешанная совокупность
ft (х) = (х), f2 (х) = g2 (х), ..., fk (х) = gk (х),
fft+l (*) > gk+i (х), fk+2 (х) > gk+2 (X), .... fk+m (х) > gk+m (х), \
и область Q называется областью допустимых значений (ОДЗ)
этой совокупности.
Отметим, что обычно уравнения и неравенства смешанной
совокупности записываются в строчку.
Число а из ОДЗ смешанной совокупности (6) называется
решением этой совокупности, если оно является решением хотя
бы одного из k уравнений или хотя бы одного из т неравенств
ЭТОЙ: совокупности.
384
Решить смешанную совокупность (6) —это значит найти мно-
жество всех ее решений. Если это множество оказывается пустым
множеством, то говорят, что смешанная совокупность (6) не имеет
решений.
Смешанную совокупность (6) обычно решают следующим об-
разом. Сначала решают каждое уравнение и каждое неравенство
на ОДЗ этой совокупности, т. е. находят множества М2, ...
.... Mk, где Mi (t = 1, 2, ..., k) — множество всех решений
уравнения f,(x) = g(-(х), принадлежащих ОДЗ этой совокупности,
и множества Мк+2, ..., где (j = 1, 2, ..., т)~
множество всех решений неравенства fk+/(x) > gk+j (х), принад-
лежащих ОДЗ этой совокупности. Затем находят множество Л40,
являющееся объединением всех этих множеств Л1Х, Л12, ..., Mk,
Мк+1, ...,Мк+т, т. е. M0 = M1uM2u.^.UMkuMk+1u...UMk+m.
Множество Л10 и будет множеством всех решений смешанной
совокупности (6).
Будем говорить, что неравенство
f(x)^g(x) (7)
равносильно смешанной совокупности (6), если любое решение
неравенства (7) является решением смешанной совокупности (6),
а любое решение смешанной совокупности (6) является решением
неравенства (7).
При этом, в частности, подразумевается, что если неравен-
ство (7) не имеет решений и смешанная совокупность (6) не имеет
решений, то неравенство (7) равносильно смешанной совокуп-
ности (6).
Из вышесказанного вытекает, что нестрогое неравенство
f(x)^g(x) (8)
равносильно смешанной совокупности
f(x)=g(x), /(x)>g(x). (9)
В связи с этим обычно рассматриваются лишь строгие нера-
венства, ибо решение нестрогого неравенства есть объединение
решений соответствующего уравнения и соответствующего стро-
гого неравенства.
§ 2. Простейшие неравенства
Пусть y = f(x) —-основная элементарная функция, Ь —некото-
рое фиксированное действительное число. Тогда неравенства
f(x)>b, (1)
f(x)<& (2)
принято называть простейшими неравенствами.
.^3 м. ц, Потапов и др. 385
Очевидно, что ОДЗ простейшего неравенства совпадает с об-
ластью существования основной элементарной функции y = f(x).
Как отмечалось выше, нестрогое неравенство f (х) b равно-
сильно совокупности строгого неравенства f(x) >Ь и уравнения
f(x) = fc, а нестрогое неравенство f (х)^.Ь равносильно совокуп-
ности строгого неравенства f (x)<b и уравнения f(x) = b.
Поэтому в этом параграфе будет рассмотрено решение лишь
простейших неравенств (1) и (2).
Прежде всего следует сказать, что при решении неравенства
нельзя формально записать решение соответствующего уравнение
и затем заменить знак равенства на знак неравенства. Как бу-
дет показано ниже, для решения простейших неравенств (1) и
(2) надо хорошо знать свойства основной элементарной функции
y = f(x) и уметь пользоваться ими.
Часто решение простейшего неравенства сопровождается гра-
фиками функций y = f(x) и у = Ъ. При этом пользуются следую-
щим очевидным утверждением: если надо решить неравенство
/(х)>Ь или f(x)<&, где функция y = f(x) даже не обязательно
основная элементарная функция, то строят на одном рисунке
графики функций y = f(x) и у = Ь. Тогда решением неравенства
f (х) > & будут те значения х, для каждого из которых точка
(х, /(х)) графика функции y = f(x) лежит выше прямой у = Ь
(рис. 149), а решением неравенства f (х) < b будут те значения х,
для каждого из которых точка (х, f (х)) графика функции у —f (х)
лежит ниже прямой у = Ь (рис. 150).
Поэтому такой рисунок сразу подсказывает, какое множе-
ство является решением неравенства f (х) > Ь, а какое множе-
ство является решением неравенства f (х) < Ь. Однако подчерк-
нем, что наглядность графиков является лишь вспомогательным
средством при решении неравенств. Эти графики только под-
сказывают ответ, а тот факт, что очевидное из рисунка множе-
386
ство является решением того или иного неравенства, обязательно
надо доказать.
Отметим еще, что рисунок часто подсказывает, на какие
множества надо разбить область существования функции y=f(x)
и какие свойства этой функции надо использовать для проведе-
ния этого доказательства. Поэтому дальше перед решением не-
которых простейших неравенств будет проводиться анализ гра-
фиков функций y = f(x) и у = Ь.
Алгебраические неравенства. Пусть « — некоторое фиксиро-
ванное натуральное число, тогда неравенства
х”>Ь, (3)
хп<Ь (4)
принято называть простейшими алгебраическими неравенствами.
Функция у — хп определена на всей числовой прямой, поэтому
ОДЗ неравенств (3) и (4) есть множество X— (—оо, -|-оо).
Поскольку свойства функции у = ха, используемые при реше-
нии неравенств (3) и (4), различны при нечетном и четном п,
то рассмотрим два случая:
I. Пусть п — 2т— 1, где т — некоторое фиксированное нату-
ральное число, тогда неравенства (3) и (4) принимают вид
xim~^>b, (За)
x2m~l (4а)
Областью значений функции у = хгт~* на множестве X является
множество Y— (—оо, +оо). Вследствие того что функция-
^_Х2я»-1 возрастает на множестве X, каждое численное значе-
ние из Y она принимает лишь один раз. Поэтому, если при
х — х0 она принимает значение Ь, то при каждом х>х0 она при-
13*
387
нимает значение большее, чем число Ь, а при каждом х < х0 она
принимает значение меньшее, чем число Ь.
Значит, множеством всех решений неравенства (За) является
промежуток (х0, Н-оо), а множеством всех решений неравенства
(4а) является промежуток (—оо, х0), где, как показано в § 2
гл. VII,
2т~^/Ь , при положительном ft;
О, при b = 0;
1 b |, при отрицательном Ь.
—
Рис. 151.
Рис. 151 хорошо иллюстрирует проведенные выше рассуждения.
II. Пусть п = 2пг, где т — некоторое фиксированное натураль-
, ное число, тогда неравенства (3) и (4) принимают вид
х2я > Ъ, (36)
хгт<Ь. (46)
Функция у = х2т на всей числовой прямой является неотри-
цательной. Поэтому, если ft —отрицательное число, то неравен-
ство (36) справедливо при любом значении х, а неравенство (46)
не справедливо ни при одном
значении х. Значит, в этом
случае множеством всех реше-
ний неравенства (Зб) является вся
числовая прямая (—сю, +оо),
а неравенство (46) не имеет
решений. Рис. 152 хорошо ил-
люстрирует проведенное выше
рассуждение.
Если же ft = 0, то при х = 0
функция у — х2т принимает зна-
чение— нуль, а для всех осталь-
ных х эта функция положитель-
на, поэтому неравенство (36) в
этом случае будет справедливо
при любом значении х, кроме
х = 0; а неравенство (46) не
справедливо ни при одном зна-
чении х. Значит, в этом случае
множеством всех решений нера-
венства (Зб) является объединение двух лучей (— оо, 0)и(0,4-оо)
(рис. 153), а неравенство (46) не имеет решений.
Пусть, наконец, ft —положительное число. Построим графики
функций y — xtm и у = Ь (рис. 154). Прямая у — Ь пересекает
график функции у = х2т в двух точках (х0, ft) и (—х0, ft), где
х0 = Vft“. При этом график функции у = х?т лежит ниже пря-
мой у = Ь на множестве (—х0, х0) и выше на множестве
(— оо, — х0) U (х0, + оо). Следовательно, эти множества и должны
388
быть множествами всех решений неравенств (46) и (36). Однако
это утверждение надо доказать. Рис. 154 показывает, что для
доказательства надо воспользоваться тем, что на промежутке
Х>-[0, 4-оо) функция у = х2т возрастает, а затем воспользо-
ваться четностью этой функции.
Разобьем область существования функции у=х2т на два
множества Хх = [0, -|-оо) и Х2 = (—оо, 0) и рассмотрим решение
неравенств (36) и (46) на каждом из этих множеств.
£ О ((О) J д?
Рис. 152.
Д
(1>0)
о (ха,о) я
1,д‘Зг*гИе те Hi
JLy-t.ede i>0i
Рис. 153. Рис. 154.
J *1 и
J___
-
На множестве Х2 функция у = х2т имеет область значений
У = [0, + оо) и возрастает, поэтому каждое численное значение
из У она принимает лишь один раз. Значит, если при x = x0£Xi
она принимает значение Ь, то при каждом х > х0 таком, что
x£Xlt она принимает значение, большее чем Ь, а при каждом
х < х0 таком, что х£Х±, она принимает значение, меньшее
чем Ь. Следовательно, на множество всех решений неравен-
ства (36) есть промежуток (х0, + оо), а множество всех решений
неравенства (46) есть промежуток [0, х0). Так как функция у = х2л*
является четной функцией, то на Х2 множество всех решений
неравенства (36) есть промежуток (—оо,—х0), а множество
всех решений неравенства (46) —промежуток (—х0, 0). Объеди-
няя решения, найденные на Х± и Х2, получаем, что в этом слу-
чае множество всех решений неравенства (36) есть объединение
двух лучей (—оо,—х0) и (х0,+оо), а множество всех решений
неравенства (46) — интервал (—х0, х0), где x0 = 2/j/b .
Итак, множество всех решений неравенства (36) есть:
1. при каждом отрицательном b — числовая прямая (— оо, -|-оо);
2. при Ь — 0 — множество (—оо, 0)и(0, +<»);
3. при каждом положительном b — множество (— оо, —2 у/b) U
и(2У^+~)-
Множество всех решений неравенства (46) есть:
1. при каждом неположительном Ь — пустое множество:
2. при каждом положительном Ь — интервал (—гуУь,
389
В табл. 18 приведены итоги решения неравенств (3) и (4):
ТАБЛИЦА 18
Ь> 0 6=0 Ь < 0
Ь х2т > b х2т < b г г тл 8 8 ^1 с 1 3 ' >= я — 3 хг \ о 8 ° (0; оо) (-о»; 0) (—оо; 0)Ц(0; оо) нет решений (— 00; — гт~У1П) (— оо; оо) нет решений
Дробные неравенства. Пусть п — некоторое фиксированное
натуральное число, тогда неравенства
х~п > Ь, (5)
х~п < b (6)
принято называть простейшими дробными неравенствами.
Функция у — х~п определена на всей числовой прямой, кроме
одной точки —нуля, поэтому ОДЗ неравенств (5) и (6) есть мно-
жество X = Xi(jX2, где Xj = (0, 4-со), а Х2 = (—со, 0).
Поскольку свойства функции у — х~п, используемые при ре-
шении неравенств (5) и (6), различны при нечетном и четном п,
то рассмотрим два случая:
I. Пусть п = 2т— 1, где /и—некоторое фиксированное нату-
ральное число, тогда неравенства (5) и (6) принимают вид
Д.-2Я+1 > у, (5а)
Д.-21В+1 < у (6а)
Областью значений функции у — х~?л,+1 на множестве Х^
является луч Ух=(0, -|-оо), а на множестве Х2—луч У2=(— со, 0).
Если b = Q, то, учитывая, что функция y = x~-m+l на множе-
стве Xt положительная, а на множестве Х2 отрицательная, по-
лучаем, что Xt —множество всех решений неравенства (5а),
а Х2 —множество всех решений неравенства (6а) (рис. 155).
Пусть Ь—положительное число. Построим графики функций
y = x~-m+l и у=Ь (рис. 156). Прямая у=Ь пересекает график
2Я1-1 Г~
функции у,=х“?и+1 в одной точке (х0, д), где х0 = У ~ь • При
этом график функции у = х~?т+1 лежит выше прямой на мно-
жестве (0, х0) и ниже прямой на множестве (— оо, 0) и (хв, 4-оо).
Следовательно, эти множества и должны быть множествами всех
решений неравенств (5а) и (6а). Однако это утверждение надо
390
доказать. Рисунок подсказывает, что для доказательства надо
рассмотреть решение неравенства отдельно на каждом множестве
Xi и Ха и воспользоваться тем, что функция y = x~*m+l на мно-
жестве Х2 — отрицательна, а на множестве Хх —убывает.
Рассмотрим решение неравенств (5а) и (6а) на множестве Х2.
На этом множестве функция y = x~?m+i отрицательна, поэтому
на множестве Х2 нет решений не-
равенства (5а), но все множество
Х2 содержится в множестве всех
решений неравенства (6а).
На множестве Xf функция
y = x-2'»+i убывает, поэтому каж-
дое численное значение из Ух она
принимает лишь один раз. Значит,
если при х = хй она принимает зна-
чение Ь, то при каждом х < х0 и
таком, что х£Хх, она принимает
значение большее, чем Ь, а при
каждом х > х0 и таком, что х € Xw
она принимает значение мень-
шее, чем Ь. Следовательно, на Xt
множество всех решений нера-
венства (5а) есть интервал (0, х0),
а множество всех решений неравенства (6а) —луч (х0,4-со).
Объединяя решения, найденные на X, и Ха, получаем, что
в этом случае множество всех решений неравенства (5а) есть
интервал (0, х0), а множество всех решений неравенства (6а) —
объединение двух лучей (—оо, О)и(хо, 4-оо).
Если Ь — отрицательное число, то, рассуждая аналогично
(рис. 157), приходим к .выводу, что в этом случае множество
391
всех решений неравенства (5а) есть объединение двух лучей
(— оо, х0) и (0, + оо), а множество всех решений неравенства (6а) —
2/П-1 /-j
интервал (х0, 0), где х0 = — р
Итак, множество всех решений неравенства (5а) есть
(sm-i г~Г~\
0, Г ~b~ J ’
2. при Ь — 0 — множество (0, 4-оо);
3. при каждом отрицательном Ь — множество — оо,
2W-1 /-i \
- Угп)ч(О,+~).
Множество всех решений неравенства (6а) есть
1. при каждом положительном Ь — множество (—оо, 0)U
(21П-1 /"Г \
V т- +“)•
2. при Ь = 0 — множество (—оо, 0);
(2М-1 — \
— г TH ’ v •
II. Пусть п = 2т, где т—некоторое фиксированное натураль-
ное число, тогда неравенства (5) и (6) принимают вид
х-2яг > Ь,
х~*т < Ь.
(56)
(66)
Областью значений функции у = х~?т на множестве X = Хх и Х2,
где Х1 = (0, + оо), а Ха —(—оо, 0), является луч У = (0,-|-оо).
Ж.уЬ,гЗе 6~0:
Рис. 158.
Рис. 159.
Если b — неположительное число, то, учитывая, что функция
у — х~^т на множестве X положительна, получаем, что X — мно-
392
жество всех решений неравенства (56), а неравенство (66) не
имеет решений (рис. 158).
Пусть Ь — положительное число. Построим графики функций
у = х~2т и у = Ь (рис. 159). Прямая у — Ь пересекает график
функции^ у — х~2т в двух точках (х0, Ь) и (—х0, Ь), где х0 =
2ГП Г |
= 1/ у. При этом график функции у — х~2т лежит выше пря-
мой у = Ь на множестве (—х0, 0) и (0, х0) и ниже на множестве
(— оо, —х0) U (х0, 4-оо). Следовательно, эти множества и должны
быть множествами всех решений неравенств (56) и (66). Однако
это утверждение надо доказать. Рисунок подсказывает, что для
доказательства надо воспользоваться тем, что на множестве
функция у = х~2т убывает, а затем использовать четность этой
функции.
Рассмотрим решение неравенств (56) и (66) на множестве Л\.
На множестве функция у = х~2т имеет область значений
Y = (0, + сю) и убывает, поэтому каждое численное значение из
Y она принимает лишь один раз. Значит, если при x = x0^Xi
она принимает значение Ь, то при каждом х < х0 и таком, что
x€%i, она принимает значение большее, чем Ь, а при каждом
х > х0 и таком, что хЕХ1( она принимает значение меньшее,
чем Ь. Следовательно, на Хг множество всех решений неравен-
ства (56) есть интервал (0, х0), а множество всех решений нера-
венства (66) —луч (х0, +оо).
Так как функция у = х~2т является четной функцией, то на
Х2 множество всех решений неравенства (56) есть интервал
(—х,, 0), а множество всех решений неравенства (66) —луч
(—оо, — х0).
Объединяя решения, найденные на Хг и Xt, получаем, что
в этом случае множество всех решений неравенства (56) есть
объединение двух интервалов (—х0, 0)1) (0, х0), а множество всех
решений неравенства (66) есть объединение двух лучей
(—оо, — х0)и(х0, +оо).
Итак, множество всех решений неравенства (56) есть
(2Ш \
— У ~ь ’ 0 J U
/ 2т /"Т~\
и (°’ /I)’
2. при каждом неположительном Ь — множество (—оо, 0)(J
U (0, +оо).
Множество всех решений неравенства (66) есть
/ 2m /"Т“\
1. при каждом положительном &—множество^—оо,— 1/ y)U
(2m /—Г" \
Ут’+°°Л’
2. при каждом неположительном Ь — пустое множество.
В табл. 19 приведены итоги решения неравенств (5) и (6).
393
ТАБЛИЦА 1»
Ь> 0 ь=о Ь < 0
х~2т+\> ь х-2да+1 < Х~2т > fy L < Ъ / 2m-1 Г~ \ . •* V т ) (-«;0)U /2т-1 /"Т“ \ и\ V т ;о°/ / 2m <“7“ \ (- /4’°)и / 2m /—Г\ и(0: п) / 2m /“"Г\ V /2т /”Г~ \ и( V ~Ь' *) (0; ») (— <»; 0) (—<»;0)и U (0; оо) нет решений / 2m-1 Г Г^\ U (0; / 2/П-1 / i X С V ГЯ ’°/ (— оо; 0) и (0; оо) нет решений
Степенные неравенства. Пусть а—некоторое фиксированное
нецелое действительное число, тогда неравенства
х* > Ь, (7)
ха < b (8)
принято называть простейшими степенными неравенствами.
Поскольку свойства функции у — ха, используемые при реше-
нии неравенств (7) и (8), различны при положительном и отри- ё
нательном нецелом числе а, то рассмотрим два случая:
I. Пусть а—положительное нецелое число. Областью сущест-
вования функции у = ха является множество всех неотрицатель-
ных чисел, поэтому ОДЗ неравенств (7) и (8) есть множество
Х = [0, +°°). Областью значений функции у = ха навеем мно-
жестве X есть луч Y = [0, + оо). <.
Если Ь — отрицательное число, то учитывая, что на множе-
стве X функция у = ха — неотрицательна, получаем, что X —
множество всех решений неравенства (7), а неравенство (8) не
имеет решений (рис. 160).
Если fe = 0, то при х = 0 функция у==ха принимает значение
нуль, а для всех остальных х£Х эта функция положительна,
поэтому неравенство (7) в этом случае справедливо при любом
значении х£Х, кроме х = 0, а неравенство (8): не справедливо ни
при одном значении х£Х.
Значит, в этом случае множество всех решений неравенства (7)
есть луч (0, Ч-со), а неравенство (8) не имеет решений (рис. 161).
394
• I
Пусть, наконец, b — положительное число. На множестве X
функция у = х“ возрастает, поэтому каждое численное значение
из Y она принимает лишь один раз. Значит, если при х=х,£Х
она принимает значение Ь, то при каждом х > хв и таком,’ что
Рис. 160.
Л,д-Ь, site
Рис. 161.
Рис. 162.
х£Х, она принимает значение большее, чем Ь, а при каждом
х < х0 и таком, что х£ X, она принимает значение меньшее, чем Ь.
Следовательно, в этом случае множество всех решений нера-
венства (7) есть луч (х0, Ч-°°)> а множество всех решений не-
равенства (8) есть промежуток
1
[О, х0), где хв=6“ (рис. 162).
Итак, если а>0, то мно-
жество всех решений неравен-
ства (7) есть
1. при каждом положитель-
ном b — множество (б“, Ч-оо) ;
2. при b =0—множество
(О, ч-оо);
3. при каждом отрицатель-
ном b — множество [О, Ч-°°); а
множество всех решений нера-
венства (8) есть
1. при каждом положитель-
О, b а ) ;
2. при каждом неположительном Ь — пустое множество.
II. Пусть а—отрицательное нецелое число.
Область существования функции у — ха есть множество всех
положительных чисел, поэтому ОДЗ неравенств (7) и (8) есть
395
множество X = (О, 4-оо). Областью значений функции у = ха на
всем множестве X есть луч Y = (0, + оо).
Если Ь — неположительное число, то, учитывая, что на мно-
жестве X функция у = ха положительна, получаем, что X — мно-
жество всех решений неравенства (7), а неравенство (8) не имеет
решений (рис. 163).
Пусть Ь — положительное число. На множестве X функция
у=ха убывает, поэтому каждое численное значение из У она
принимает лишь один раз. Значит, если при х = х0ЕХ она при-
нимает значение Ь, то при каждом х<х0 и таком, что х£Х,
она принимает значение большее, чем Ь, а при каждом х > х0 и
таком, что хЕХ, она принимает значение меньшее, чем Ь. Сле-
довательно, в этом случае множество всех решений неравен-
ства (7) есть интервал (0, х0), а множество всех решений нера-
1
венства (8) есть луч (х0, +<»), гдех0 = 6“ (рис. 164).
Итак, если а < 0, то множество всех решений неравенства (7)
есть
1. при каждом положительном Ь — множество (о, ;
2. при каждом неположительном b — множество (0, +оо);
а множество всех решений неравенства (8) есть
7 1 \
1. при каждом положительном ft —множество \6“, 4-ооу ;
2. при каждом неположительном Ь — пустое множество.
В табл. 20 приведены итоги решения неравенств (7) и (8).
Показательные неравенства. Пусть а — некоторое фиксирован-
ное положительное и не равное единице число, тогда неравен-
ства
ах > Ь,
ах <Ь
(9)
(Ю)
396
ТАБЛИЦА 20
ь> 0 b=Q Ь < 0
О А £ о А % (*“•, «>) (0; оо) (0; оо)
ха < Ь (а > 0) [о; Ъ*} нет решений нет решений
ха > b (а < 0) \0; Ьа } (0; оо) (°; оо)
ха < b (а < 0) (б*®; оо) нет решений нет решений
принято называть простейшими показательными неравенствами.
Областью существования функции у = ах является множество
всех действительных чисел, поэтому ОДЗ неравенств (9) и (10)
есть множество Х = (—оо, оо). Областью значений функции
у = ах на всем множестве X является луч У = (0, 4-оо).
Если ^ — неположительное число, то, учитывая, что на мно-
жестве X функция у = ах положительна, получаем, что X —мно-
жество всех решений неравенства (9), а неравенство (10) не имеет
решений.
Если Ь — положительное число, то рассмотрим два случая:
1. Пусть а>1. На всей числовой прямой —множестве X —
функция у = ах возрастает, поэтому каждое численное значение
из Y она принимает лишь один раз. Значит, если при х = х0£Х
она принимает значение Ь, то при каждом х > х0 она принимает
значение большее, чем Ь, а при каждом х < х0 она принимает
значение меньшее, чем Ь. Следовательно, в этом случае множе-
.397
ство всех решений неравенства (9) есть луч (х0, 4- со), а множе-
ство всех решений неравенства (10)—луч (— со, хв), где x0=loge6
(рис. 165).
2. Пусть 0<а<1. На множестве X—всей числовой пря-
мой—функция у = ах убывает. Поэтому, рассуждая аналогично,
получим, что в этом случае множество всех решений неравен-
ства (9) есть луч (— со, х0), а множество всех решений нера-
венства (10)—луч (х0, —1~ оо), где x0 = logefe (рис. 166).
Итак, если а> 1, то множество всех решений неравенства (9)
есть
1. при каждом положительном Ь — множество (loge&, 4-оо);
2. при каждом неположительном Ь — множество (—оо, 4-°°);
а множество всех решений неравенства (10) есть
1. при каждом положительном Ь — множество (—со, loge&);
2. при каждом неположительном Ь — пустое множество.
Если 0<а<1, то множество всех решений неравенства (9)
есть
1. при каждом положительном Ь — множество (—оо, log^ft)^
2. при каждом неположительном Ь—множество (—оо, 4- оо);
а множество всех решений неравенства (10) есть
1. при каждом положительном Ь — множество (loge&, 4- °0);
2. при каждом неположительном Ь — пустое множество.
В табл. 21 приведены итоги решения неравенств (9) и (10).
ТАБЛИЦА 21
_ Ъ > о b=0 b < о
ах > b (а > 1) (loga bi ») (—oo; oo) (—oo; oo)
а* < b (а > 1) (—<»; loga b) нет решений нет решений
ах > Ъ (0 < а < 1) (—oo; loga b) (—oo; oo) (—oo; co)
а* < b (0 < а < 1) (loga b; oo) нет решений нет решений
Логарифмические неравенства. Пусть а —некоторое фиксиро-
ванное положительное и не равное единице число, тогда нера-
венства
log0x>6, (11)
loga х < b (12)
принято называть простейшими логарифмическими неравенствами.
Областью существования функции z/ = logex является мно-
жество всех положительных чисел, поэтому ОДЗ неравенств (11)
и (12) есть множество Х = (0, 4- со).
Областью значений функции у — logex на всем множестве X
является вся числовая ось У = (—оо, 4-°°).
398
Поскольку используемые при решении неравенств (11) и (12)
свойства функции у = logex различны при а > 1 и 0 <а < 1, то
рассмотрим два случая:
1. Пусть а>1. На множестве X функция y = logax возрас-
тает, поэтому каждое численное значение она принимает лишь
один раз. Значит, если прих = х0£Х она принимает значение Ь,
то при каждом х>хв и таком, что х£Х, она принимает зна-
чение большее, чем Ь, а при каждом х<х0 и таком, что х£Х,
она принимает значение меньшее, чем Ь. Следовательно, в этом
случае множество всех решений неравенства (11) есть луч (х0,
+ оо), а множество всех решений неравенства (12) есть интервал
(О, х0), где х0=а6 (рис. 167).
2. Пусть 0<а< 1. На множестве X функция t/ = logax убы-
вает. Поэтому рассуждая аналогично, получим, что в этом слу-
чае множество всех решений неравенства (11) есть интервал
(О, х0), а множество всех решений неравенства (12) есть луч (х0,
+<эо), где х„—аь (рис. 168).
Итак, если о> 1, то при каждом b множество всех решений
неравенства (11) есть множество (а6, 4-оо), а множество всех
решений неравенства (12) есть множество (0, аь); если
0<а< 1, то при каждом b множество всех решений неравен-
ства (11) есть множество (0, а6), а множество всех решений не-
равенства (12) есть множество (аь, +<»).
В табл. 22 приведены итоги решения неравенств (И) и (12).
Тригонометрические неравенства. Неравенства
cos х > b, sin х > b, tg х > ft, ctg х > b,
cosx<fe, sinx<b, tgx<6, ctgx<6
399
ТАБЛИЦА 22
— ОО < b < ОО
log0x > ь (а > 1) log0 х < b (а > 1) loga X > b (0 < а < 1) logo х < Ь (0 < а < 1) (aft; оо) (0; a6) (0; a6) (ab; оо)
принято называть простейшими тригонометрическими неравен-
ствами.
Сделаем несколько общих замечаний.
Пусть y = f(x) — некоторая основная элементарная тригоно-
метрическая функция с главным периодом Т, и пусть дано не-
равенство
f (х) > b (или f (х) < Ь). (13)
Выберем промежуток длиной Т и найдем решение неравен-
ства (13) на этом промежутке. Пусть множество всех решений
неравенства (13) на этом промежутке есть интервал Х0 = (а, Р),
где а<0 и Р—а^Т. Тогда, используя периодичность функции
«/ = /(х), получим, что множество всех решений неравенства (13)
есть объединение бесконечного множества всех интервалов
Xk—(a. + kT, р+АТ), где k — любое целое число. Это бесконеч-
ное объединение будем называть серией интервалов и в даль-
нейшем будем записывать в виде: Xfc=(a-|-&7\ Р4-&Т), k£Z.
Таким образом, будем в дальнейшем говорить, что множество
всех решений неравенства (13) есть серия интервалов Хк = (a-[-kT,
р + *Т), k£Z.
Заметим еще, что интервал длиной в главный период Т
можно взять любым, но обычно его выбирают таким, чтобы он
удовлетворял двум условиям: он должен содержать промежу-
ток, на котором для данной функции y = f(x) определена обрат-
ная тригонометрическая функция и, чтобы множество всех реше-
ний данного неравенства на этом промежутке представляло
собой один интервал.
Пусть дано простейшее тригонометрическое неравенство
cosx>&. (14)
Функция y = cosx определена на всей числовой прямой, поэтому
ОДЗ неравенства (14) есть множество Х = (—оо, +00). Областью
значений функции y — cosx на множестве X является отрезок
Г=[-1; 1].
Поэтому при b <—1 неравенство (14) справедливо при любом
значении х, а при 1 оно не справедливо ни при одном значе-
нии х. Значит, при b <—1 множество всех решений неравенства
400
(14) есть вся числовая прямая, т. е. множество (—оо, 4-оо),
а при неравенство (14) не имеет решений.
Если b = — 1, то очевидно, что неравенство (14) справедливо
при любом значении х, кроме тех, при которых cosx =—1.
Значит, при Ь =—1 множество всех решений неравенства (14)
есть вся числовая прямая, за исключением точек хй = л4-2л£,
где k — любое целое число. Это множество можно записать в
виде серии интервалов: Хк = (—л4-2л&, л+ 2 л 6), k£Z.
Пусть &£(— 1; 1), для решения неравенства (14) в этом слу-
чае надо выбрать промежуток, длиной в главный период функ-
ции y — cosx, т. е. длиной в 2л. В качестве промежутка длиной
в 2л здесь можно взять либо промежуток [0; 2л), либо проме-
жуток (—л, л]. Эти промежутки длиной в главный период функ-
ции y = cosx полностью содержат отрезок [0, л], на котором
определена обратная функция у = arccos х.
Построим графики функций i/ = cosx и у = Ь (рис. 169).
Из рисунка видно, что лучше взять промежуток (—л, л], чем
промежуток [0, 2л), так как в первом случае множество всех
решений неравенства (14) представляет собой один интервал,
а во втором случае — объединение двух интервалов. Рисунок
подсказывает еще, что промежуток (—л, л] надо разбить на два
промежутка: MY = [0, л] и М2 = (—л, 0), а потом воспользоваться
четностью этой функции.
На отрезке л] функция t/ = cosx имеет область зна-
чений У==[—1; 1] и убывает, поэтому каждое численное значе-
ние из Y она принимает лишь один раз. Значит, если при
х = ха С Afj она принимает значение &, то при каждом х < х0 и та-
ком, что x£Af1( она принимает значение, большее, чем Ь, а при
каждом х>х0 и таком, что х£Мг, она принимает значение,
меньшее, чем Ь. Следовательно, на Afx множество всех решений
неравенства (14) есть промежуток [0, х0). Так как на промежут-
ке (—л, л) функция y = cosx является четной функцией, то на
А12 = (—л, 0) множество всех решений неравенства (14) есть ин-
тервал (—х0, 0).
Объединяя решения, найденные на А1Х и М2 получаем, что
на промежутке (—л, л] множество всех решений неравенства
401
(14) есть интервал (—хв, х0), где, как показано в § 2 гл. VII,
х, = arccos b.
Используя периодичность функции у = cosx, получим, что
множество всех решений неравенства (14) есть серия интервалов:
Хк = (—arccos b 4- 2nk, arccos b 4- 2л. k), k£Z.
Итак, множество всех решений неравенства (14) есть
1. при каждом b£(—оо,—1) —множество (—оо, 4-°°)‘.
2. при Ь =—1—серия интервалов Х* = (—л4-2л£, л4-2л£),
k Z\
3. прикаждомЬ£(—1; 1) —серия интерваловХк = (—arccosb+
4-2л&, arccos b 4- 2nk), k£Z;
4. при каждом 6(Е[1, 4-°°) — пустое множество.
Пусть дано неравенство
cosx<&. (15)
ОДЗ неравенства (15) есть множество Х — (—оо, 4-оо).
Областью значений функции у = cosx на множестве X является
отрезок Y = [— 1; 1].
Поэтому при b > 1 неравенство (15) справедливо при любом
значении х, а при —1 оно не справедливо ни при одном
Z^cosa?;
^-upggos^»
Рис. 170.
значении х. Значит, при b > 1 множество всех решений нера-
венства (15) есть множество (—оо, 4-°°)» а при —1 неравен-
ство (15) не имеет решений.
Если &=1, тб очевидно, что неравенство (15) справедливо при
любом значении х, кроме тех, при которых cos х = 1. Значит,
при Ь = 1 множество всех решений неравенства (15) есть вся
числовая прямая, за исключением точек хй = 2л&, где k — любое
целое число. Это множество можно записать в виде серии интер-
валов: Xft = (2n&, 2л4-2л&), k^Z.
Пусть bg(—1; 1). Построим графики функций у = cosx и у = Ь
(рис. 170). Из рисунка видно, что в качестве промежутка длиной
в 2л здесь лучше выбрать промежуток [0, 2л), так как в этом
случае множество всех решений неравенства (15) представляет
собой один интервал. Рисунок подсказывает еще, что промежуток
[О, 2л) надо разбить на два промежутка = [0, л] и УИ2 = (л, 2л),
потом воспользоваться убыванием функции у —cosx на проме-
402
жутке [0, л], а затем симметрией функции у = cosх относительно
вертикальной прямой, проходящей через точку (л, 0).
Рассуждая аналогично предыдущему, получаем, что на
множество всех решений неравенства (15) есть промежуток (хс, л].
Учитывая, что функция y = cosx симметрична относительно вер-
тикальной прямой, проходящей через точку (л, 0), приходим к
выводу, что на Мг множество всех решений неравенства (15) есть
интервал (л, 2л —х0).
Объединяя решения, найденные на Мг и получаем, что
на промежутке [0, 2л) множество всех решений неравенства (15)
есть интервал (х0, 2л —х0), где, как показано в § 2 гл. VII,
х0 = arccos b.
Используя периодичность функции y = cosx, получим, что
множество всех решений неравенства (15) есть серия интервалов:
= (arccos 6 4-2 л*, 2л—arccosb4-2nk), k£Z.
Итак, множество всех решений неравенства (15) есть
1. при каждом Ь£(—оо,—1] —пустое множество;
2. при каждом Ь£(—1; 1) —серия интервалов
Xfe = (arccos 6 4-2 л*, 2л—arccos 6 4-2л*), k £Z;
3. при 6=1 — серия интервалов
Хй = (2л*, 2л 4-2л*), k^Z',
4. при каждом &€(1, 4-°°) — множество (—со, 4-00).
В табл. 23 приведены итоги решения неравенств (14) и (15).
ТАБЛИЦА 23
ь<-х Z?=-i -1<Ь<1 b=l b> 1
cos х > b (— оо; оо) (—л+2л&; л+2л£) k^Z (—arccos b + 2nk; arccos b 4- 2nk) k^Z нет ре- шении нет ре- шений
COS X < 6 нет решений нет решений (arccos b + 2л£; 2л—arccos b ~^2nk) k£Z (2лЛ; 2л+ 2л&) k£Z (—оо; оо)
Пусть даны простейшие тригонометрические неравенства
sinx >6, (16)
sinx <6. (17)
Проведя аналогичные рассуждения получим, что множество
всех решении неравенства (16) есть
1. при каждом б£(—сю, —1) —множество (—сю, 4-°°)»
2. при 6 = —1, серия интервалов
Х*=(—у+2л*, ^4-2л*), A£Z;
403
3. при каждом б€(— 1; 1) (рис. 171) —серия интервалов
Хк~(arcsin6 + 2л&, л —arcsin& + 2л&), k£Z;
4. при каждом b С [1, 4-оо)— пустое множество; а множество
всех решений неравенства (17) есть
1. при каждом Ь£(—оо, —1] —пустое множество;
2. при каждом Ь£ (—1; 1) (рис. 172) серия неравенств
Хк = (—л —arcsin Ь-|-2л&, arcsin Ь + 2л£), A£Z;
3. при 6=1—серия интервалов
Хк = ^-4-2лЛ), k^Z;
4. при каждом Ь£(1, Ц-оо)—множество (—оо, +оо).
41 t
г / &дА)яГ\ге\.зя Ля
* (я-^,^2
* I. y=si>o;
][.y=b,sde
Рис. 171.
4
В табл. 24 приведены итоги решения неравенств (16) и (17).
ТАБЛИЦА 24
b<-i &=-l -i<£<i b—1 b> 1
sin х > b sin x < b (—oo; oo) нет реше- ний у+2лЛ; ^Ц-2лй) k£Z нет решений (arcsin b -|-2л&; л—arcsin 64-2л&) k£Z (— л—arcsin b-\-2nk\ arcsin 64-2л/?) k£Z нет решений (-у+2лй; ^-+2лй) k£Z нет реше- ний (—оо; оо)
Пусть даны простейшие тригонометрические неравенства
tgx>6, (18)
tgx<6. (19)
404
Областью существования функции j/ = tgx является вся чис-
ловая прямая, за исключением точек x* = y-t-nfe, где k — любое
целое число. Поэтому ОДЗ неравенств (18) и (19) есть множе-
ство X, состоящее из всех действительных чисел, кроме чисел
xft = y+nfc, где k — любое целое число. Областью значений функ-
ции i/=tgx на множестве X является множество Y = (—оо, оо).
Построим графики функций у = tg х пу = Ь (рис. 173). Из ри-
сунка видно, что надо сначала рассмотреть рещение неравенств
(18) и (19) на промежутке (—у, -у), длиной в главный период
функции y=tgx. Рисунок подсказывает еще, что на этом про-
межутке надо воспользоваться возрастанием функции у = tg х.
На промежутке (—у , -у) функция y = tgx имеет область
значений У = (—оо, +оо) и возрастает, поэтому каждое числен-
ное значение из У она принимает лишь один раз. Значит, если
405
при r = xoc(—'Г’т) она пРинимает значение Ь, то при каж-
дом X > х0 и таком, что х € (— у-. -у) , она принимает значение
большее, чем Ь, а при каждом х < х0 и таком, что х £ (— у, у),
Рис. 174.
Z#-otg4?;
Рис. 175.
она принимает значение меньшее, чем Ь. Следовательно, на
(— Т ’ т) множество всех решений неравенства (18) (см. рис. 173)
406
есть интервал (xt, -у у, а множество всех решений неравенства
(19) (рис. 174) есть интервал (—4-, ), где, как показано в §2
гл. VII, х0 = arctgb. ' '
Используя периодичность функции y = tgx, получим, что при
каждом b множество всех решений неравенства (18) есть серия
интервалов: Xfc= ^arctg& +л&, -у+лб) , k£Z, а множество всех
решений неравенства (19) есть серия интервалов ХА= (—-у4-л&,
arctgb+nk^, k£Z.
В табл. 25 приведены итоги решения неравенств (18) и (19).
Пусть даны простейшие тригонометрические неравенства
ctg х > b, (20)
ctgx<t>. (21)
Проведя аналогичные рассуждения, получим, что при каж-
дом b множество всех решений неравенства (20) (рис. 175) есть
серия интервалов Xk=(nk, arcctg 6-|-л£), k£Z, а множество всех
ТАБЛИЦА 25
— ОО < b < ОО
: tgx > Ь tgx < Ь arctg» k£Z arctg Jk(~Z
решений неравенства (21) (рис. 176) есть серия интервалов
Хк = (arcctg х + ilk, л + nk), k € Z.
В табл. 26 приведены итоги решения неравенств (20) и (21).
ТАБЛИЦА 26
— CO < b co
. ctg х > b ; ctg x < ь (nk\ arcctg -f-rcfc), k£Z (arcctgл4-л&), k£Z
Рассмотрим еще простейшие неравенства, содержащие основ-
ные обратные тригонометрические функции.
407
Пусть даны простейшие неравенства
arccosx>6, (22)
arccos х<&. (23)
Областью существования функции у = arccos х является отре-
зок [—1; 1]. Значит, ОДЗ неравенств (22) и (23) есть множество
Х = [—1; 1]. Областью значений функции у = arccosх на всем
множестве X является отрезок Y — [0, л].
Поэтому при Ъ отрицательном неравенство (22) справедливо
при любом значении х Е X, а неравенство (23) не справедливо ни
при одном значении х£Х; если же &>л, то неравенство (22)
не справедливо ни при одном значении х € X, а неравенство (23)
справедливо при любом значении х£Х.
Значит, при b отрицательном множество всех решений нера-
венства (22) есть множество [—1; 1], а неравенство (23) не имеет
решений; при b > л неравенство (22) не имеет решений, а мно-
жество всех решений неравенства (23) есть множество [—1; 1].
Если Ь = 0, то неравенство (22) справедливо при любом зна-
чении х£Х, кроме х=1, а неравенство (23) не справедливо ни
при одном значении х € X. Значит, при Ь = 0 множество всех ре-
шений неравенства (22) есть множество [—1; 1), а неравенство
(23) не имеет решений.
Если Ь = п, то неравенство (22) не справедливо ни при одном
значении х£Х, а неравенство (23) справедливо при любом зна-
чении х£Х, кроме х = —1. Значит, при Ь = л неравенство (22)
не имеет решений, а множество всех решений неравенства (23)
есть множество (—1; 1].
Пусть b £ (0, л). Функция у = arccos х на множестве X убы-
вает, поэтому каждое значение из Y она принимает лишь один
408
раз. Значит, если при х = хв$Х она принимает значение Ь, то
при каждом х<х0 и таком, что х£Х, она принимает значение
большее, чем Ь, а при каждом [х > х0 и таком, что х € X, она
принимает значение, меньшее, чем Ь. Следовательно, в этом слу-
чае множество всех решений неравенства (22) (рис. 177,а) есть
промежуток [—1,х0), а множество всех решений неравенства (23)
(рис. 177, б) промежуток (х0, 1], где как показано в § 2 гл. VII,
x0 = cos&.
Z^arccos т; х. ^=Qrccos<?,*
1.у~Ь,где й<й<гг;
а)
Рис. 177.
Итак, множество всех решений неравенства (22) есть
1. при каждом & С(—°0. 0) — есть множество [—1; 1];
2. при Ь — 0 — множество [—1; 1);
3. при каждом b € (0, л) — множество [—1, cos6);
4. при каждом &6[л, + оо) —пустое множество;
а множество всех решений неравенства (23) есть
1. при каждом —оо, 0] —пустое множество;
2. при каждом Ь£(0, л) —множество (cos/?, 1];
3. при b = л — множество (—1; 1];
4. при каждом Ь€(п, 4-оо) —множество [—1; 1].
В табл. 27 приведены итоги решения неравенств (22) и (23).
ТАБЛИЦА 27
b<o ь=о о < b< л b=n Ь> л
arccos x > b (-1; И [-1; О [—1; cos b) нет решений нет решений
arccos x < b нет решений нет решений (cos 1] C-i; i] L-i; И
Пусть даны простейшие неравенства
arcsinx>&,
arcsin х < b.
(24)
(25)
409
Проведя аналогичные рассуждения, получим, что множество
всех решений неравенства (24) (рис. 178, а) есть
1. при каждом (—оо,—у)—множество [—1; 1];
2. при Ь = ——множество (—1; 1];
3. при каждом Ь^(— —множество (sinh, 1];
А
JT (O,b)
'7$
—5?
Х^Ш’ваЫ,*
a (to) s
x)
ff)
Рис. 178.
4. при каждом °0)—пустое множество; а множест-
во всех решений неравенства (25) (рис. 178,6) есть
1. при каждом hC(— 00, —тг. \ & —пустое множество;
2. при каждом hg(— -множество [—1, sinh);
3. при Ь — -^—множество [—1; 1);
4. при каждом Ьб(-у,4-оо) — множество [—1; 1].
В табл. 28 приведены итоги решения неравенств (24) и (25).
ТАБЛИЦА 28
»<-т 6=-". 2 2 2 »т
arcsin х > b [-1; 1] (-1; 1] (sin 6; 1] нет решений нет решений
arcsin х < b нет решений нет решений [—1; sin b) [-1; О [-1; 1]
Пусть даны простейшие неравенства
arctgx>h, (26)
arctg х < b. (27)
Областью существования функции у = arctg х является вся
числовая прямая. Значит, ОДЗ неравенств (26) и (27) есть мно-
410
жество Х = (—оо, -{-оо). Областью значений функции у = arctgх
на множестве X является интервал V = —у» у) . Поэтому при
—-у неравенство (26) справедливо при любом значении х £ X,
а неравенство (27) не справедливо ни при одном значении х£Х,
если же Ъ -у, то неравенство (26) не справедливо ни при одном
Рис. 179.
i’-f
ft?
(O.b\(XoM
ra»*-
0
(0,-f)
I. ^-шчЛдг;
I. у~Ь,вдв
Рис. 180.
значении x£X, а неравенство (27) справедливо при любом зна-
чении х&Х.
Значит, при 6^—-у множество всех решений неравенства
'(26) есть вся числовая прямая, а неравенство (27) не имеет ре-
шений; при &^-у неравенство (26) не имеет решений, а множе-
ство всех решений неравенства (27) есть вся числовая прямая.
Пусть & —-у, у) . Функция у = arctg х на всей числовой
прямой возрастает, поэтому каждое значение из Y она принимает
лишь один раз. Значит, если при х = хв£Х она принимает зна-
чение Ь, то при каждом х > хй она принимает значение большее,
чем Ь, а при каждом х < ха она принимает значение меньшее,
чем Ь. Следовательно, в этом случае множество всех решений
неравенства (26) (рис. 179) есть луч (х0, +оо), а множество всех
решений неравенства (27) (рис. 180) есть луч (—оо, х0), где как
показано в § 2 гл. VII, x0 = tg6.
411
Итак, множество всех решений неравенства (26) есть
1. при каждом —оо,—-у]—множество (—оо, -f-oo);
2. при каждом Ь£(—-5-,-?-)—множество (tgb, 4-оо);
3. при каждом + —пустое множество;
а множество всех решений неравенства (27) есть
1. при каждом &€(—00,—2- —пустое множество;
2. при каждом —F’dr)—множество (—оо, tgfe);
3. при каждом b£ + —множество (—оо, 4-оо)..
В табл. 29 приведены итоги решения неравенств (26) и (27).
ТАБЛИЦА 29
6<-Т < b < i 2 2 2
arctg х > b (—оо; оо) (tg Ь; оо) нет решений
arctg х < b нет решений (— оо; tg Ь) (—оо.Н-оо)
Пусть даны простейшие неравенства
arcctg х > b, (28)
arcctg х < b. (29)
Проведя аналогичные рассуждения, получим, что множество
всех решений неравенства (28) (рис. 181) есть
о о <Ь<л b^n
arcctg х > b (—оо; оо) (—оо; ctg6) нет решений
arcctg х < b нет решений (ctg b; со) (—оо; оо)
412
1. при каждом &€(—00, 0] —множество (—оо, -{-оо);
2. при каждом л) —множество (—оо, ctg б);
3. при каждом Ь£[л, Н-оо) —пустое множество;
а множество всех решений неравенства (29) (рис. 182) есть
(Orf___g-ff
i.---
1 т
I —— т
....... »—Э*
. О Я
I. у-arcctg г
I.y^brfe 0<b<it
&q— Gt 2 h
Рис. 182.
1. при каждом b£(—oo, 0] — пустое множество;
2. при каждом b£(0, л) —множество (ctg б, +оо);
3. при каждом Ь€[л, +°°) — множество (—оо, 4-о°).
В табл. 30 приведены итоги решения неравенств (28) и (29).
§ 3. Преобразования неравенств
В третьем и четвертом параграфах главы VII рассматривались
соответственно равносильные и неравносильные преобразования
уравнений. Причем в случае неравносильных преобразований
отмечалось, что возможны два способа решения уравнения. Пер-
вый способ —это совершать равносильные переходы на множе-
стве, принадлежащем области допустимых значений, но не обя-
зательно совпадающем с ней. Второй способ —это переходы к
уравнению, являющемуся следствием предыдущего, с обязатель-
ной проверкой полученных решений.
При решении неравенств второй способ на самом деле невоз-
можен, так как множество всех решений неравенства чаще всего
бесконечно и в связи с этим проверка решений практически не-
осуществима. Поэтому при решении неравенств надо совершать
только равносильные переходы и при этом, в основном, переходы,
равносильные на множестве. При этом необходимо каждый раз
отмечать на каком множестве совершается равносильный переход.
Ниже приводятся примеры равносильных и неравносильных
преобразований неравенств.
Преобразования, связанные с применением тождеств. Пусть
дано неравенство
f (*)>§№ (1)
и пусть для любого действительного х справедливо тождествен-
ное равенство <p(x) = g(x), тогда неравенство (1) равносильно
413
неравенству
f(x)>y(x).
(2)
Это утверждение позволяет использовать для решения неравенств
различные формулы, справедливые для всех действительных х.
Примерами таких тождественных равенств являются формулы
сокращенного умножения многочленов, основное тригонометри-
ческое тождество и ряд других формул. В гл. III с помощью
формул сокращенного умножения многочленов уже были решены
некоторые алгебраические неравенства.
Приведем еще пример равносильного преобразования нера-
венств при помощи тождественных равенств.
Пусть дано неравенство
sin4 х > cos4 х. (3)
Применяя утверждение 1 § 1, получим неравенство
cos4x—sin4x < О, - (4)
равносильное неравенству (3). Используя формулу разности квад-
ратов, основное тригонометрическое тождество и формулу коси-
нуса двойного угла, можно написать следующую цепочку тож-
деовенных равенств, справедливых для любого действительного х:
cos4 х—sin4 х = (cos2 х+sin2 x) (cos2 x—sin2 x) = cos 2x.
Значит, неравенство (4) равносильно неравенству
cos 2х < 0.
Множество всех решений последнего неравенства есть серия ин-
тервалов Х*= (-y-f-JtA, k£Z.
Поскольку последнее неравенство равносильно исходному, то
множество всех решений неравенства (3) есть серия интервалов
*а=(т+яА:’.т+я*)’ k^Z'
Преобразования, связанные с суперпозициями функций. Пусть
функция у = f (х) есть сложная функция у = Р [g (х)], являющая-
ся суперпозицией двух функций: у = Р[м], где Р[м] — квадрат-
ный трехчлен (т. е. Р[и] = аи2 + Ьи + с), и и = g(x) — основной
элементарной функции. В таких случаях неравенство /(х) > 0
записывают в виде
a[g(*)]2 + Hg(4l+c>0 (5)
и называют квадратным неравенством относительно g(x).
Неравенство (5) решается следующим образом.
Сначала рассматривают квадратное неравенство
ai2 + bt + c>0, (6)
414
находят его дискриминант D = № — Ьас. В зависимости от дискри-
минанта D и коэффициента а, возможны следующие четыре
случая.
1. Если а<0 и 0^0, то неравенство (6) не имеет решений.
Следовательно, и неравенство (5) не имеет решений.
2. Если а < 0 и D > 0, то множество всех решений неравен-
ства (6) есть интервал t2), где t2 и t2 корни квадратного
трехчлена at2-j-bt + c, причем < t2.
В этом случае неравенство (5) равносильно системе неравенств
S(x)<t2,
Следовательно, множество всех решений системы и будет в этом
случае множеством всех решений неравенства (5).
3. Если а > О и Z) О, то множество всех решений неравен-
ства (6) есть объединение двух лучей (—оо, и (t2, +оо), где
t2 и t2 корни квадратного трехчлена at2 -\-bt + c, причем t2
(если 0 = 0, то /1 = /2).
В этом случае неравенство (5) равносильно совокупности
неравенств
gfxXtu g(x)>t2.
Следовательно, множество всех решений этой совокупности и
будет в этом случае множеством всех решений неравенства (5).
4. Если а > 0 и D < 0, то множество всех решений неравен-
ства (6) есть вся числовая прямая.
В этом случае множество всех решений неравенства (5) есть
ОДЗ неравенства (5), т. е. область существования функции
y = g(x).
Приведем примеры.
Пусть дано неравенство
4cos22x-f-8cos2x —5 < 0. (7)
Это неравенство есть квадратное неравенство относительно cos2x.
Решая неравенство
4/2 + 8f-5 < О,
получаем, что множество всех его решений есть интервал
(—Следовательно, неравенство (7) равносильно системе
неравенств
cos2x> —
cos 2x < у .
Множество всех решений первого неравенства этой системы
есть вся числовая прямая.
415
Множество всех решений второго неравенства есть серия ин- |
тервалов Хк — (-у+ ,, k£Z.
Значит, множество всех решений исходного неравенства (7) ।
есть серия интервалов Хк = , k^Z. *
Пусть дано неравенство
4* —3-2* + 2>0. (8)
Это неравенство есть квадратное неравенство относительно 2*.
Решая неравенство |
f2-3Z + 2>0,
получаем, что множество всех его решений есть объединение двух
лучей (—оо, 1) и (2, Н-оо). Следовательно, неравенство (8) рав-
носильно совокупности неравенств
2*<1, 2х >2.
Множество всех решений первого неравенства этой совокуп- |
ности есть промежуток (—оо, 0). ' . :
Множество всех решений второго неравенства — промежуток
(1> +00)- I
Значит, множество всех решений исходного неравенства (8) ;
есть множество (—оо,0)и(1, Н-оо). , *
Отметим, что приведенное выше утверждение о решении квад-
ратного неравенства относительно g(x) остается справедливым и
в том случае, когда функция u — g(x) не является основной
элементарной функцией.
Преобразования, связанные с логарифмическими и тригоно-
метрическими формулами. Поскольку формулы, отмеченные в
§ 4 гл. VII, можно применять при решении неравенств лишь на
том множестве изменения неизвестной, на котором одновременно
имеют смысл и левая и правая части применяемой формулы, то
неравенства, при решении которых хотят воспользоваться той
или иной формулой, обычно решают по такой схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства.
2. Разбивают ОДЗ на два множества М1 и М2 (М± — вся та
часть ОДЗ, где одновременно имеют смысл и левая и правая
части применяемой формулы, 2И2 —вся та часть ОДЗ, которая
остается после выделения множества MJ.
3. Решают неравенство на (учитывая, что преобразование
неравенства с помощью этой формулы есть равносильное преоб-
разование на множестве MJ.
4. Решают неравенство на М2.
5. Объединяют множества решений, найденные на М1 и Мг,
и тем самым, получают множество всех решений исходного не-
равенства.
416
Решим по этой схеме неравенство
log2 (*2) + log, (х4) > 3. (9)
ОДЗ этого неравенства есть множество (— оо, 0) (J (0, 4-со). Ра-
зобьем ОДЗ на два множества: Afx = (O, -f-oo) и Л12 = (—оо, 0) и
решим неравенство (9) на каждом из этих множеств.
На множестве Мг справедливы тождественные равенства
log2 (х2) = 2 log2x, log2 (х4) = 4 log2 х.
Значит, на Л4Х неравенство (9) равносильно неравенству
log2x> 1/2.
Решая это простейшее неравенство, получаем, что множество всех
его решений есть промежуток (К2, +<»). Поскольку этот про-
межуток содержится в множестве Л4Х, то множество всех реше-
ний неравенства (9) на Л4Х есть промежуток (У 2, +оо).
На множестве справедливы тождественные равенства
log2 (х2) = 2 log2 (—х), log2 (х4) = 4 log2 (—х).
Значит, на М2 неравенство (9) равносильно неравенству
log2(—х) > 1/2.
Решая это простейшее неравенство, получаем, что множество всех
его решений есть промежуток (—оо,—У 2). Поскольку этот
промежуток содержится в множестве /И2, то множество всех ре-
шений неравенства (9) на Л42 есть промежуток (—оо, —У2).
Объединяя множества решений, найденные на /Их и /И2, по-
лучаем, что множество всех решений неравенства (9) есть мно-
жество (—оо,—У 2) U (У 2, 4~оо).
Преобразования, связанные с возведением в натуральную
степень. Пусть дано неравенство
f(x)>g(x). (10)
Замена этого неравенства неравенством
[/(*)]">[£(*)]” (И)
(где п — фиксированное натуральное число ип^2) называется
возведением неравенства в натуральную степень п.
На основании утверждения 5 § 1 неравенства (10) и (11)
равносильны только на том множестве, на котором одновременно
обе функции y = f(x) и y = g(x) неотрицательны. Поэтому возве-
дением в натуральную степень неравенства обычно решают по
такой схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства, которое надо решить.
2. Разбивают ОДЗ на два множества и М2 (Л4Х —вся та
часть ОДЗ, на которой одновременно обе части неравенства
14 м. К. Потапов и др. 417
неотрицательны, М2 — вся та часть ОДЗ, которая остается после
выделения множества Mj).
3. Решают неравенство на (учитывая, что возведение
в степень п есть равносильное преобразование на этом множе-
стве).
4. Решают неравенство на М2.
5. Объединяют множества решений, найденные на и М2,
и тем самым получают множество всех решений исходного нера-
венства.
Решим по эток схеме неравенство
|х—4|>6+х. (12)
ОДЗ этого неравенства—вся числовая прямая. Разобьем ОДЗ
на два множества: Л1£ = [—6, 4-°°) и М2 = (—оо, —6) и решим
неравенство (12) на каждом из этих множеств.
На множестве обе части неравенства (12) неотрицательны,
поэтому по утверждению 5 § 1 на этом множестве неравенство
(12) равносильно неравенству
(х- 4)2 > (6 4-х)2.
Множество всех решений последнего’ неравенства есть промежу-
ток (— оо, —1). Из этого промежутка в множестве Л/11 содер-
жится лишь промежуток [—6, —1). Поэтому множество всех
решений неравенства (12) на есть промежуток [—6; —1).
Очевидно, что на множестве М2 левая часть неравенства (12)
положительна, а правая—отрицательна. Поэтому множество всех
решений неравенства (12) на М2 есть все множество М2.
Объединяя множества всех решений, найденные на и ТИ2
получаем, что множество всех решений неравенства (12) есть
промежуток (—оо, —1).
Наиболее часто возведение в натуральную степень применяется
при решении следующих неравенств.
Пусть /и—фиксированное натуральное число и пусть даны
неравенства ____
Т/(*)>Ф(Д (13)
Ф7М<Ф(*)- (14)
Наревенства типа (13) обычно решают по такой схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства.
2. Разбивают ОДЗ на два множества и М2 (Л^ —вся та
часть ОДЗ, где функция у = ф(х) неотрицательна; М2 — вся та
часть ОДЗ, где функция г/ = <р(х) отрицательна).
3. Решают на Mt неравенство f (х) > [<р (x)]2“, равносильное
на этом множестве неравенству (13).
4. Отмечают, что на М2 множество всех решений неравен-
ство (13) совпадает с множеством М2.
418
5. Объединяют множество всех решений неравенства f (х) >
>[<p(x)]2m на М, и множество М2 и тем самым, получают мно-
жество всех решений неравенства (13).
Неравенства типа (14) обычно решают по такой схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства.
2. Разбивают ОДЗ на два множества Mi и Mt (Mi — вся та
часть ОДЗ, где функция у = ф(х) положительна, Afa —вся та
часть ОДЗ, где функция у = <р(х) неположительна.)
3. Решают на множестве М, неравенство f (х) < [<р (х)]2п,
равносильное на этом множестве неравенству (14).
4. Отмечают, что на множестве М2 нет решений неравен-
ства (14).
5. Выписывают множество всех решений неравенства f (х) <
<[ф(х)]2и на Мг‘, это множество и будет множеством всех ре-
шений неравенства (14).
Покажем теперь на конкретных примерах, как решать нера-
венства по этим схемам.
Пусть дано неравенство
Vx + 2 > х. (15)
ОДЗ этого неравенства есть промежуток [—2, 4-оо). Разобьем
ОДЗ на два множества Мг и М2: Л41 = [0, -f-oo) и Л4а = [—2; 0)
и решим неравенство (15) на каждом из этих множеств.
На множестве Mt обе части неравенства (15) —неотрицательны,
поэтому по утверждению 5 § 1 на этом множестве неравенство (15)
равносильно неравенству
х + 2>х?.
Применяя теперь утверждение 1 § 1 получаем, что на множестве
Mi неравенство (15) равносильно неравенству
х? — х — 2 < 0.
Множество всех решений последнего неравенства есть интервал
(—1; 2). Из этого интервала в множестве М2 содержатся лишь
промежуток [0; 2). Поэтому множество всех решений неравен-
ства (15) на есть промежуток [0; 2). Очевидно, что на мно-
жестве М2 левая часть неравенства (15) неотрицательна, а пра-
вая—отрицательна, поэтому множество всех решений неравен-
ства (15) на М 2 есть все множество Л4г.
Объединяя множества всех решений, найденные на Mt и Afa,
получаем, что множество всех решений неравенства (15) есть
промежуток [—2; 2).
Пусть дано неравенство
х+1>/7+3. (16)
ОДЗ этого неравенства есть промежуток [—3, 4-оо). Разобьем
ОДЗ на два множества: М± — (—1, -|-оо) и Л4а = [—3; —1] и ре-
шим неравенство (16) на каждом из этих множеств,
14* 419
На множестве Mt обе части неравенства (16) неотрицательны,
поэтому по утверждению 5 § 1 на этом множестве неравенство
(16) равносильно неравенству
(x+D2>* + 3.
Применяя теперь утверждение 1 § 1, получаем, что на множе-
стве Mi неравенство (16) равносильно неравенству
х2-{-х —2 > 0.
Множество всех решений последнего неравенства есть множество
(—оо,—2)и(1, 4-оо). Поэтому множество всех решений нера-
венства (16) на Mi есть интервал (1, +оо).
Очевидно, что на множестве М2 левая часть неравенства (16)
неположительна, а правая — неотрицательна, поэтому на М2 нера-
венство (16) не имеет решений.
Итак, множество всех решений неравенства (16) есть проме-
жуток (1, + оо).
Преобразования, связанные с освобождением от знаменателя.
Пусть дано неравенство
<17>
Такие неравенства решают по следующей схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства.
2. Разбивают ОДЗ на два множества М2 и М2 (М2 — вся та
часть ОДЗ, где функция г/ = <р(х) положительна, М2 — вся та
часть ОДЗ, где функция у = <р(х) отрицательна).
3. Решают на множестве Мг неравенство f (х) > g (х) <р (х),
равносильное на этом множестве неравенству (17) (см. § 1,
утверждение 7а).
4. Решают на множестве М2 неравенство f(x)<g (х) <р (х),
равносильное на этом множестве неравенству (17) (см. § 1, ут-
верждение 76).
5. Объединяют множества всех решений, найденные на
и М2, и, тем самым, получают множество всех решений неравен-
ства (17).
Решим по этой схеме неравенство
—<l-log8X. (18)
ОДЗ этого неравенства есть множество (0; 1) и (1, Н-оо). Разобьем
ОДЗ на два множества: Л12 = (0; 1) и Л11 = (1; -j-оо). На мно-
жестве функция t/ = log3x положительна, поэтому (см. § 1,
утверждение 7а) на этом множестве неравенство (18) равносильно
неравенству
2 — (logs х)2 < logs X (1 — logs х),
420
которое можно записать в виде log3 х > 2. Множество всех реше-
ний этого простейшего неравенства есть промежуток (9, +оо).
Поскольку этот промежуток содержится в множестве 7ИГ, то
множество всех решений неравенства (18) на Мг есть промежу-
ток (9, + оо). На множестве М2 функция y = log3x отрицательна,
поэтому (см. § 1, утверждение 76) на этом множестве неравен-
ство (18) равносильно неравенству
2—(logs х)2 > logs X (1 — logs х),
которое можно записать в виде log$ х < 2. Множество всех реше-
ний этого простейшего неравенства есть интервал (0; 9). Из этого
интервала в множестве Л12 содержится лишь интервал (0; 1).
Поэтому, множество всех решений неравенства (18) на Л12 есть
интервал (0; 1).
Объединяя множества всех решений, найденные на Мг и М2,
получаем, что множество всех решений неравенства (18) есть
множество (0; 1) и (9; + оо).
Метод интервалов. Решение неравенства
Im
в случае, если f(x), g(x) и ф(х) будут многочленами, можно
провести иначе, а именно, неравенство (17) надо сначала пере-
писать в равносильном виде
f (х)—<p(x)g(x) Q _ <19.
Ф w 1 7
Затем воспользоваться утверждением 7 § 1, умножить неравен-
ство (19) на ф2(х) и записать неравенство
Ф (х) [f (х) — ф (х) g (х)] > 0, (20)
равносильное неравенству (19) на его ОДЗ. Наконец, неравен-
ство (20) решить методом интервалов (см. § 2 гл. III). Множе-
ство всех решений неравенства (20) и будет множеством всех
решений неравенства (17).
Пусть дано неравенство
хй—2х— 1
(х+1)
(21)
Перенося х в левую часть неравенства, перепишем это нера-
венство в равносильном виде
Пользуясь утверждением 7 § 1 получаем неравенство*
-~3 (х -|- 1) (х < 0,
равносильное неравенству (21) на его ОДЗ. Решая это неравен-
ство методом интервалов, получаем ответ: множество всех реше-
ний неравенства (21) есть множество (—со, —1)11^—4"’”^ °0) '
Преобразования, связанные с сокращением неравенства на
общий множитель. Пусть дано неравенство
<t>(x)f(x)><p(x)g(x).
Часто это неравенство заменяют неравенством
f(x)>g(x),
т. е. сокращают исходное неравенство на общий множитель ф (х).
Это грубая ошибка. Подобные неравенства надо решать только
следующим образом:
1. Найти ОДЗ неравенства <p(x)f(x) > q>(x)g(x).
2. Переписать неравенство в равносильном виде
<₽(*)[/(*)-£(*)]> °-,.
3. Перейти к совокупности двух систем неравенств
( <р (х) > 0, | <р (х) < О,
I f(x)—g(x)>0, I Z(x)-g(x)<0,
которая равносильна неравенству ф (x)f (х) > ф (x)g(x) на его ОДЗ.
4. Решить эту совокупность на ОДЗ исходного неравенства.
Множество всех решений и будет множеством всех решений
неравенства ф (х) f (х) > ф (х) g (х).
Решим этим способом неравенство
4х log5 х > (х2 + 3) log5 х. (22)
ОДЗ этого неравенства — множество Л4 = (0, 4-со). Перепишем
неравенство (22) в равносильном виде
(4х —х2 —3)log6x > О
и решим на множестве М совокупность двух систем неравенств:
( 4х—х2 —3>0, ( 4х—х2 —3<0,
tlog5x>0, (log5x<0.
Множество всех решений первой системы есть интервал (1; 3),
а множество всех решений второй системы есть интервал (0; 1).
Поскольку и интервал (1; 3) и интервал (0; 1) содержатся в ОДЗ
исходного неравенства, то получаем, что множество всех реше-
ний неравенства (22) есть множество (0; 1)U (1; 3).
Преобразования, связанные с логарифмированием неравенств.
Пусть а—фиксированное положительное и не равное единице
число.
422
Пусть даио неравенство
f(x)<g(x). (23)
Замена этого неравенства неравенством
l°gaf(x)<logag(x), (24)
или неравенством
loga/(x)>logag(x) (25)
называется логарифмированием неравенства.
На основании утверждения 6 § 1 при а > 1 неравенства (23)
и (24) [а при 0 < а < 1 неравенства (23) и (25)] равносильны
только на том множестве, на котором одновременно обе функ-
ции y = f\x) и y = g(x) положительны. Поэтому, применением
логарифмирования неравенства обычно решают по такой схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства.
2. Разбивают ОДЗ на два множества М± и М2 (Afx —вся та
часть ОДЗ, на которой положительны обе части данного нера-
венства, М2~вся та часть ОДЗ, которая остается после, выде-
ления множества Мг).
3. Решают неравенство на Мг (учитывая, что логарифмиро-
вание есть равносильное преобразование на этом множестве).
4. Решают неравенство на М2.
5. Объединяют множества решений, найденные на и М2,
и, тем самым, получают множество всех решений исходного
неравенства.
Решим по этой схеме несколько неравенств.
Пусть дано неравенство
3%2-х (26)
ОДЗ этого неравенства есть множество М = [0, + оо). Поскольку
на множестве М обе части неравенства (26) положительны, то
на основании утверждения 6а § 1 неравенство (26) равносильно
на М неравенству
log3(3^-)<log3(21--),
которое равносильно на М неравенству
х2 — х < (1 — х) log32.
Множество всех решений последнего неравенства есть интервал
(—log32; 1). Из этого интервала в множестве М содержится
лишь промежуток [0; 1). Значит, множество всех решений нера-
венства (26) есть промежуток [0; 1).
Пусть дано неравенство
(х2 + х+1)*<1. (27)
• 453
ОДЗ неравенства (27) есть вся числовая прямая, так как квад-
ратный трехчлен х2 + х-|-1 положителен для любого действи-
тельного х.
Логарифмируя неравенство (27) по любому основанию, напри-
мер, по основанию 10, получим на основании утверждения
ба § 1, что неравенство (27) равносильно неравенству
lg(x2 + x + l)* < lg 1.
Используя свойства логарифмов, перепишем это неравенство
в виде
xlg(x2+x+l)<0.
Это неравенство равносильно совокупности двух систем нера-
венств:
| х > 0, ( х < 0,
1 lg(x2 + x+1) < 0, t lg(x2+x+1) > 0,
которая, в свою очередь, равносильна следующей совокупности
двух систем неравенств:
( х > 0, ( х < 0,
(х24-х+1<1, ( х2 + х+1 > 1.
Решая сначала первую систему, приходим к выводу, что она не
имеет решений, так как множество всех ее решений есть пере-
сечение двух множеств: (0,-|-оо) — множества всех решений пер-
вого неравенства и (—1; 0)—множества всех решений второго
неравенства, а это пересечение пусто.
Множество всех решений второй системы есть промежуток
(—оо,—1). Следовательно, множество всех решений неравен-
ства (27) есть промежуток (— оо, —1).
Отметим, что аналогично решаются неравенства более общего
вида
[f(x)]«>w <b, (28)
где Ь — данное положительное число. А именно, сначала ищут
ОДЗ неравенства, затем выбирают любое число а> 1. Тогда на
ОДЗ неравенство (28) равносильно неравенству
<p(x)logaf(x)<loga&.
Далее остается решить последнее неравенство на ОДЗ исходного
неравенства (28).
Заметим еще, что простейшее показательное неравенство
ах>Ь при помощи логарифмирования неравенств можно заме-
нить равносильным ему алгебраическим неравенством первой
степени:
1) при а> 1 неравенством х> loge&,
2) при 0<а< 1 неравенством х<logeb,
424
для которых легко выписываются множества всех их решений.
Аналогично можно поступить и с неравенством ах < Ь.
Преобразования, связанные с потенцированием неравенств.
Пусть а—некоторое фиксированное положительное, не равное
единице число.
Пусть дано неравенство
IogJ(x)<logag(x). (29)
Замена этого неравенства неравенством
f(x)<g(x)
или неравенством
f(x)>g(x)
называется потенцированием неравенства.
Учитывая утверждения 6а и 66 § 1, неравенства вида (29)
обычно решают по такой схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства. '
2. Решают неравенство на ОДЗ (учитывая, что потенциро-
вание есть равносильное преобразование на этом множестве).
Решим по этой схеме неравенство
logj_ (х2 - 4) > log^ (4х - 7). (30)
2 2
ОДЗ этого неравенства определяется условиями:
( 4х—7>0,
( х2 — 4 > 0,
т. е. для нахождения ОДЗ надо решить эту систему неравенств.
Решая ее получим, что ОДЗ есть промежуток (2, +«>). Учитывая
утверждение 66, получаем, что на ОДЗ неравенство (30) равно-
сильно неравенству
х2 —4 < 4х —7.
Решая это квадратное неравенство, находим множество всех его
решений — интервал (1; 3). Из этого интервала в ОДЗ неравен-
ства (30) содержится лишь интервал (2; 3). Значит, множество
всех решений неравенства (30) есть интервал (2; 3).
Рассмотрим еще некоторые частные случаи потенцирования
неравенств.
Легко видеть справедливость следующих утверждений:
1. Пусть а — некоторое фиксированное число такое, что а > 1,
тогда неравенство loga f (х) > b равносильно неравенству f (х) > аь,
а неравенство loga f (х) < b равносильно системе неравенств
J f(x)<ab,
I f(x)>0,
или, что то же самое, двойному неравенству 0 < f (х) < аь.
425
2. Пусть а—некоторое фиксированное число, такое, что
0<а<1, тогда неравенство logaf(x)<b равносильно неравен-
ству f(x)>ab, а неравенство loga f (х) > b равносильно системе
неравенств
( f (х) < аь,
UW>0.
или, что то же самое, двойному неравенству 0< f(x)<ab.
Рассмотрим примеры.
Пусть дано неравенство
log_i_ (х? — Зх 4- 5) <—1.
%
На основании только что приведенного утверждения это неравен-
ство равносильно неравенству
х2— Зх + 5 > f-s-'j *»
\ • /
которое равносильно неравенству
х2 —3x4-2 >0.
Множество всех решений последнего неравенства, а значит и
исходного неравенства, есть множество (—оо, l.)U(2, 4-°°).
Пусть дано неравенство
log2sinx < — у.
На основании только что приведенного утверждения это неравен-
ство равносильно системе неравенств
[ sin х > 0,
< . , К2~
I Sinx < -Sy- ,
или, что тоже самое, двойному неравенству
п , . . У"2
О < sinx < iy-.
Множество всех решений этого двойного неравенства (рис. 183),
а значит и исходного неравенства, есть две серии интервалов;
Xk=(2nk, у4-2лй), k^Z;
= ^•у-4-2лт, л 4-2л/и^ , т £Z.
Отметим, что потенцирование неравенств часто применяется
и в более сложных ситуациях, чем рассмотренные выше.
Пусть дано неравенство
logx* (2 4~ х) < 1. (31)
426
ОДЗ этого неравенства определяется условиями
2 -|- х О,
хг > О,
х2 Ф 1,
т. е. для нахождения ОДЗ надо решить эту систему неравенств.
Решая ее, находим, что ОДЗ есть множество М =.(—2; —1)U
U(—1; 0) и (0; 1)U(1; 4-оо). Разобьем ОДЗ на два множества:
Ml = (-2; - 1)U(1, + оо) и Л12 = (-1; 0)и(0; 1).
Рис. 183.
На множестве АТ, х2> 1, поэтому на множестве Mi неравен-
ство (31) по утверждению 6а § 1 равносильно неравенству
2 + х < х2.
Решая это квадратное неравенство, находим, что множество всех
его решений есть множество (—оо, —1) и (2, 4-оо). Из этого
множества в содержится лишь множество (—2;—1)и(2,4-оо).
Следовательно, множество всех решений неравенства (31) на Mt
есть множество (—2; —1) и (2; +оо).
На множестве М2 0 < х2 < 1, поэтому на множестве М2 нера-
венство (31) по утверждению 66 § 1 равносильно неравенству
2+*>*2-
Решая это квадратное неравенство, находим, что множество всех
его решений есть интервал (—1; 2). Из этого интервала в Ма
содержится лишь множество (—1; 0) (J (0; 1). Следовательно,
множество всех решений неравенства (31) на ТИ2 есть множество
(-1; 0)U(0; 1).
Объединяя множества решений, найденные на и Л12, полу-
чаем, что множество всех решений исходного неравенства (31)
есть множество (—2; —1) и (—1; 0)и(0; 1) и (2; +°°).
Аналогично решается и неравенство вида
1о£ф wg(x)<b, (32)
где Ь — данное число. А именно, сначала ищется ОДЗ неравен-
ства. Затем ОДЗ делится на два множества: Alt —всю ту часть
427
1
ОДЗ, где <р (х) > 1, и М2 — всю ту часть ОДЗ, где 0 < <р (х) < 1. »
Тогда неравенство (32) на множестве М1 равносильно неравенству '
£(х)<[ф(х)Р, (33)
а на множестве М2 неравенство (23) равносильно неравенству ?
g(x)>[<p(x)]6. (34)
Далее остается решить неравенства (33) и (34) на соответст-
вующих множествах и объединить получившиеся решения. Заме-
тим, что простейшее логарифмическое неравенство logex>6,
при помощи потенцирования неравенств, можно заменить при
а > 1 равносильным ему алгебраическим неравенством первой j
степени х > аь, а при 0 < а < 1 равносильным ему двойным нера-
венством 0 < х < аь, для которых легко выписываются множе-
ства всех их решений.
Аналогично можно поступить и с неравенством log0x<6. f
Преобразования, связанные с освобождением от знака абсо-
лютной величины. Пусть дано неравенство
lfi(x)| + lf2(x)|+...+|fm(x)|-|fra+1(x)|-...-|f„(x)|>g(x),
(35)
где fi(x), f2(x), .... f„(x), g(х) — многочлены, целые относи-
тельно х.
Для решения таких неравенств обычно употребляется метод
интервалов. Описание этого метода для неравенств практически
полностью повторяет описание этого метода для уравнений (см. ।
§ 4 гл. VII), а именно, пусть дано неравенство (35). Сначала j
решается совокупность уравнений
f1(x)=Q, .... L(x)=0, .... f„(x) = O. (36)
Затем на числовой прямой отмечаются все корни этой совокуп-
ности уравнений.
Таким образом, вся числовая прямая разбивается на некоторое
число промежутков, затем на каждом таком промежутке нера-
венство заменяется на другое неравенство, не содержащее зна-
ков абсолютной величины и равносильное исходному неравенству
на этом промежутке. На каждом таком промежутке отыскивают
все решения того неравенства, которое на этом промежутке
получается, и затем отбираются из них те, которые попадают
в данный промежуток. Они и есть множество всех решений
исходного неравенства на рассматриваемом промежутке. Нако-
нец, для того чтобы выписать множество всех решений исход-
ного неравенства, собирают вместе (объединяют) все его решения,
найденные на всех промежутках.
Продемонстрируем применение метода интервалов на примере
решения неравенства <
х2 + |х+1|~3>0. (37)
428
В этом случае совокупность уравнений (36) состоит из одного
уравнения
х+ 1 =0
имеющего единственный корень хх =—1. Значит, числовая пря-
мая разбивается на два промежутка: (—оо; —1) и [—1; 4-оо).
Рассмотрим решение неравенства (37) на каждом из этих проме-
жутков.
1. На промежутке (— оо; — 1) по определению абсолютной вели-
чины
|х+1| =—(х-}-1).
Поэтому на этом промежутке неравенство (37) равносильно
неравенству
х2 — (Х-М) — 3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество всех
. ( 1— К17\../1+ /17 , \
его решении есть множество ( — оо; ---— 1 и ( -1—£—; 4-оо I.
Из этого множества в рассматриваемом промежутке содержится
лишь промежуток ( — оо; ---—). Следовательно, множество
всех решений неравенства (37) на промежутке (—оо; —1) есть
/ 1— /17 \
промежуток ( — оо; ---—I.
2. На промежутке [— 1; -j- оо) по определению абсолютной
величины
| х-Ь 11 — (х-|-1).
Поэтому на этом промежутке неравенство (37) равносильно нера-
венству
x2 + (x+D — 3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество
всех его решений есть множество (— оо; —2) и (1; + оо). Из этого
множества в рассматриваемом промежутке содержится лишь про-
межуток (1; 4-о°). Следовательно, множество всех решений нера-
венства (37) на промежутке [—1; + оо) есть промежуток (1; 4-оо).
Объединяя множества решений, найденные на рассмотренных
промежутках, получаем, что множество всех решений неравен-
(I______________________________ V~17\
— °°; —f—) U (1; + оо).
В заключение отметим, что выше рассмотрены не все преоб-
разования неравенств, а лишь наиболее часто используемые.
Кроме того, отметим, что при решении неравенств часто прихо-
дится применять не одно, а несколько преобразований.
Проиллюстрируем это на двух следующих примерах.
Пусть дано неравенство
41'9^_6. 2^9^75 + 8 < 0. (38)
129
Это неравенство является квадратным неравенством относительно
2V 9 ~х‘. Решая неравенство
I2—6/4-8 < О,
получаем, что множество всех его решений есть интервал (2; 4).
Следовательно, неравенство (38) равносильно системе неравенств
( OV9-X2 s' Л
{ > 2. (39)
Решим сначала первое неравенство этой системы
2Г9Т^ < 4. (40)
ОДЗ этого неравенства есть множество М = [— 3; 3]. На этом
множестве обе части неравенства (40) положительны, поэтому
логарифмируя неравенство (40) по основанию 2, получим нера-
венство
]/9Z^<2, (41)
равносильное неравенству (40) на множестве М. На множестве М
обе части неравенства (41) неотрицательны, поэтому возводя
в квадрат это неравенство, получим неравенство
9-х2 <4,
равносильное неравенству (41) на множестве М. Решая это простей-
шее неравенство, получаем, что множество его решений есть
множество (—оо, — ]/5) и (И5, +°°). Из этого множества в М
содержится лишь множество [—3; — V 5)и(/б; 3]. Значит, мно-
жество всех решений неравенства (40) есть множество
[-3;-/5)и(/5; 3].
Решая аналогично второе неравенство системы (39), получим,
что множество всех его решений есть интервал (—2"|/~2; 2 V2).
Следовательно, множество всех решений системы (39), а значит,
и равносильного ей неравенства (38) есть множество (—2]/~2;
-/5) и (Кб; 2/2).
Пусть дано неравенство
1гп4>1. (42)
Функция y = tg-j-r—2 есть суперпозиция двух функций: простей-
1 -f- Л
шей элементарной функции у = tgv и функции у = . , 2.
Решим сначала простейшее неравенство
tgv>l.
430
Множество всех решений этого неравенства (рис. 184) есть серия
интервалов + k^Z.
Значит, исходное неравенство (42) равносильно бесконечной
совокупности систем неравенств
1 < — -I- nk
Г+,Х 2 (43)
где k —любое целое число. (Проведенное преобразование нера-
венства есть пример преобразования, не рассмотренного ранее
вида).
Рассмотрим все системы в бесконечной совокупности (43).
При любом положительном k ни одна из этих систем не имеет
решения, так как 4- nk > 1 при любом натуральном k, а
v-iC 1 при любом действительном х и поэтому второе нера-
1 -f- X
венство в системе (43) не имеет решений.
Рис. 184.
При отрицательном k ни одна из систем также не имеет реше-
ния, так как --% > О при любом действительном х, а у + л&<
< 0 при любом отрицательном целом k и поэтому первое нера-
венство в системе (43) не имеет решений. *
При k = 0 имеем систему
f 1 л
Г+*5- 2"’
1 . л
1+х2 > Т’
(44)
431
1 л
Поскольку j 1 < у при любом действительном х, мно-
жеством всех решений первого уравнения этой системы явля-
ется вся числовая прямая. Для всех действительных х функция
г/=1 + х2 положительна, поэтому, освобождаясь от знаменателя,
получим неравенство
_4
л *
1-|-х2 <
равносильное второму неравенству системы (44). Множество всех
решений этого простейшего неравенства есть интервал
(— 1/ Д — 1, I/ Д — 1 ). Значит, множество всех решений
\ т п гл/
системы (44) есть этот интервал.
Подводя итог, получаем, что множество всех решений исход-
ного неравенства (42) есть интервал — У(4—я)л, У (4—л)л\ .
УПРАЖНЕНИЯ
Является ли число (—4) решением следующего неравенства (1—48):
, х(2х+1)(х—5) , (х—1)2(—х—5) (3+х)3 п.
(х+3)(3х—4) ’ (х+2)(—х2+х—3) ’
х«+3Лз+Зх2+Зх4-2 (5х2—8х—13)3 (х—2)2 (1 — х)
х3+6х2+5х—12 ’ ' (—Зх2+5х—2х)(х+3)3 (х—2)4 ’
- х—2 х+2 . (х—2)(х—7)
Зх-1^=2х+1’ (х-6)(х—5)" ’
7 _____2.8. 8 1 । 2 < 3 •
х— 1 х+1'^х2-1’ х"гх+2 х+1’
9. |9—2x|Ss|4—Зх| + |х—5|; 10. | х+ 11 + |2—х|— |х+31>4;
I х2—5х+4| |х2—2х| + 4
I х2—4 Р1’ х2+|х+2| > *’
13. Ух+5>х+1; 14.x—6<Ух2—7х+8;
15. Уб—5х—х2^х+2; 16. У7—х—У—3—2х< У2^х;
17. У25— х2 > 3— Ух2+7х; 18. У—1—х— jZ-^Д < У2=х;
19 (6+х) У?+6+(7-х) У~х ^.7 .
‘ (6+х) У7—х+(7—х) Ух+6 " 6 ’
20. j/5(x+8) + 7 У2(8+х)+^/5(х+8)—7 У2(х+8^4;
21. 4X-1SS17.2*-3—1; 22. ^l^xe-2x’+i)1/2 < *.
23. । х+1 у-5х/2+з/2> 1; 24-Др^-1---1;
5"Ы ‘+(т)
25. 3-4-* + 4-92-*>6«41-*—Д 94-х;
О л
432
26. (4х—l)2+2x+l (4х—1) < 8-4х;
/ 1 \х+3/х I j \х+1 / 1 \2х+3 / 1 \х+1/2
27 • (Д/ \4/ \3/ ’
28. х2- 2r-v—x-j-25= 21 +^-х+х2— Х‘2^~х;
29. lg2+lg(4-x-l+9)S3l + lg(2-x-1+D;
30. lg (х2—1)< lg (х—1)2+lg | х—2 |;
31. (_x)lg’(-x)+31g(-x)+3 >--------2-----.
VT^c—l~ v~x+1
32. log1/3log6(y7qn + x) > log3log1/5(KJqri-x);
33. logs logs jzp < log1/210g1/3 ;
34. J°g4(—*)-~4log4<—*) + 3
logf( — x) + log4(—x) "
21og_x3 1
d6‘ l+log-x3'Sel 2—log3(—x)’
36. 1g У (x+ I)2 < V21g(-x-l);
37. 3 sin2x— 1 > sin x-}-cos x; 38. | tgx+ctgx | < 4 V~3't
39. 4 (x3 — 2x+ 1) (sin x+2 cos x) 91 x3—2x+ 11;
40. 2— Y 3 cos x+ sin x^ 1; 41. —— X ^2;
r F 1 sinx—cos 2x 9
42. 4 sin x sin 2x sin 3x < sin 4x;
43. K3+2 tgx—ctg-2x^y+y tgx;
44. cos x«sin (sin x) +sin x« cos (sin x) > 0;
4 л Ats . 3 л
45. arccos y ; 46. arcs.n > T;
47. arctg2 x —4 arctg x+3^0; 48. 5 arcctg x—arcctg2 x—4 0?
3
Является ли число решением следующей системы неравенств (49—59):
»• »•! т-Д-Д2)<
( 5х+2 > дх , | ||х|-2|<1;
t 5х<4+х2, 52 | х+1> /4x^3,
51’ I I /4+^-4 < /7+6}
(3 /х+6—х2 > 2—4х,
I /16— X2 > 2 — V7х— X2;
/ х2—2х—35 < 0,
54.1 /37+1+ V 16х—Зх2^0,
( Vх+ V 6х—9+ VX—У 6х—9 < / 6;
( lx2-! |<|1-,хЬ
55 • 1 1
551 Зх+х_!&Г=3^’
. log2 (9—2х) > 3—х;
'433
2*+3 > 2*+3+ 1 ’
|%+1 |-хЗа2|х—1|, 57'
ч logy2-log2y 2 > log4y2;
' х+4^ V х+ 16,
х2+| х-51 < | х2-4х+3|,
logs»log! х < 1;
| X2—Зх+ 21 —4 < I х ] — х2>
9*<3*+2,
logssx^-Hog*/^ /1 < 2;
59.
1 <6
logy3"t” iog3x—2’
/б7+Т+ /47+2js /17+ /27+3,
, , 4х—2
1 < log* —g— ,
о
17=51=3^ I*-2 ‘?
Равносильны ли следующие два неравенства (60—104):
*(*+2) n u v n- fit > 0 и х > 0;
W’-TF2
82. у <0
х2
63. — <с0 и х<0;
64. x+2 > 4 и И-2 + ^pj > 4+ A, ;
65. x+2 > 4 и x+2 + ^-Lq > 4+ГИ0
66. Зх—1 < 2x+3 и (Зх— 1) (x+1) < (2x+3)(x+I);
67. Зх—1 < 2x+3 и (Зх— 1) (x+1) > (2x+3) (x+ 1);
68. x2+1 > x и (x2+ 1) (| x| + 2) > x(| x| + 2);
69. x2+1 > x и (х2+1)(/х+1)>х(/x+2);
70. > 2 и x-4-2(x-3) > 0.
X~"v X"~u
71. и x+4>3(x+3);
72. ^44 > 3 и M-4 < 3(x+3);
73. > О и (x+4) (x-1) > 0;
74. и (x+4)(x—1)^0;
75.
76.
77.
78.
(x-2) (x+3)2
x+5
(x—2) (x—3)2
(x+5)
/7*+5(x+l)
x+2
/977^5 (*+1)
x+2-
x—2
x+5
x—2
x+2
> о и ^44 > °;
434
е&<(8-*)(£+х)гЗо[ H 0< (8-х)гЭ01+(х + х)*§01 С01
!0 < I х I S3°I 5 « 0 < 5^3°! ’301
20 < (х—) г3о[ z и о < s*s3oi -101
tO < ^301 z и О < г^3о[ "001
‘О > и I > г+г^+О '66
fr+X
*0 > ^7 и I > ,_у(гУ+1) -86
fr + X
7 I Ь — X I \
•0>6—и ——7------ ’76
б-г*\ fr /
!0>6—г* и Й ’96
в-г*\ f J
‘•О >тй и I > 9+x(Ixu!sI + 3) ’S6
I Л ---
1-х
‘•о > Й? и I > 9+& °!s +г) "Ю
I * --
1-Х
•О > тй и I > 9+y(xu!s,+^ '£6
I X --
1-Х
!б > l + zx « £ > 1+гУД ’36
Q > х и е > x_J_ Чв
<гЧ <,(,+«« !fcta<sa-M
!o^-xnis(8y—001) Д и реехщаД гх—001 Д ‘68
О < (£—У) (г+У) Д и о < £—У Д з+уД ’88
‘° < (у~»)(31—у)Л и о < у—» Д 31—У Д ’£8
€ л — - L I _... l I "
~0< (fr4-y)(l—у)Д И 0<7+уД I—уД
;0<(Г+у)(1-у)Д И0<
1+у
»+уД I—у Д
:0>|±^и о>
л 6
£ + у
у—5
£-Ьу
(у—г)
г\ I /
£ + у
(у—5)е(8+у)
?0 > и о >
л 6
£+у
(у—3) (^--х}
ъ \ I /
•98
•£8
в€8
‘Z8
и o^fe--x+5x)^I —sx4 18
‘° < s+x И 0 < (gX — fr+хз) (s4-x) 08
S4-x И 0< (54-x+sx£)(s4-r) 6£
1ЛЛ log2 (*+7) + logs (x—8) log2(x+7) (x—8) ,
Являются ли равносильными неравенство и система неравенств (105—149):
106. 2х+—- > х+4+—и { 2х > x_|_4;
107. (Зх—1) (х + 1) < (2х+3) (х+1) и | (з^1ц<2х+3;
108. (Зх-1)(х+1)< (2x4-3) (х+1) и | ^1^>(2д.+3)
109. (х»4-1) (К^+3) >ж(Г*+3) и /
I Л “J" * х’’ Л,
ПО х + 4 о I х+3 > 0,
П0, х4-3 > | (x-H)>3(x4-3);
,11 £±* >3 и J х4-3 < 0,
1П,х4-3> I х+4 <3 (х+3);
112 и J
1I2, 7=2^ 1 (x4-2)(x-2)<0;
х#—2,
— <(
х+5
(х-2)(х4-2р
-----7+5 <0
Ш. /9-^+0 >(,
х+2
|«+|<|(«-6) >0
х+5
116. /х+2 Ух—3 > О
х> 3,
/(х+2) (х-3) > 0;
1 1 ( х—2 > О,
117, х—2 > 2х2 И ( 2х2 > х—2;
1 1 ( Х °’
\ 2х£ < х—2;
1 1 (х °’
1|9- -S?>5+5? ” ’*7+ 3je.
120. /х <3 и {*^9;
х+5 # О,
5-; >*
х+1 > О,
6—х>0,
х—1 >0;
,21 |£±5ух-7).>о и
*+.1
/х+7 Ув^х л
122. -—-Е—--->0 и
х—1
436
,м.М==£>0 н
*4-2 > О,
5—х < О,
х—2 О;
124.
125.
у25-хЦх+4)^п
Ух2—1 (х— 2)2 "
*4-5
(х2+1)х~4 < 1 И
( 25—х2$г О,
1 х2— 1 > О,
( х—2 5*0;
( х+5
1 ^4 ‘
V х ф 0;
126. х-2 (l + cos2x)x+3 > 1 И | *4-3 > °*
у cos х ф 0;
х-2 ( cos х # 0,
127. (l + cos2x)x + 3^ 1 и
х-1 С sin х — 1
128. (24-sinx)*+10< 1 и
129. 7 3 V2-® . 1 X 0,
\34-х2У ( х2—9<0;
130.
131
___3___>
3 + |х+2|/
х~р-4
1 у-1
1+И )
И j x-j-2^0;
(х О,
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
j и
х*2-4*-45 > |
д-№-4*-45^ j
Х*2-4х-45<1
log2x2 >0 И
( sin х О,
х > 1,
х2—4х—45 > 0;
О < X < 1,
х2—4х—45 < 0;
О < х < 1,
х2 — 4х—45 *С0;
х > 1,
х2—4х—45 0;
х > О,
2 log2 х > 0;
( х О
1о^2>0 и j 2|og2’(_x)>0;
*39- l0W-)(x+7) (х+8) > ° “ { (х?°7Нх4-8) > 1;
140. log , (х+1)(х-7)<0 и { *Дц(ж_7)>1.
24-V х
141. logx«_4 (х24-6х4-8) > 0 и
437
142. logx»-i(x2 +6х+8) > 0 и 0 < х2_|_6х_|_8 < 1;
(х—8 > О,
х4-7 > О,
logs (* *+7) («—8) > О;
( х>0,
144. logx’(x | I)2 > I и •! х?=1,
I logx(x4-l)> 1;
145. logx» (х-|-1)2 > I и
146. logx.(x+l)s> 1 И
147. log*» (x-f-1)2 > 1 и
148. logx>(*+ О2 > 1 и | (x+l)’2 > x2;
149. Iogr_lx+H>logr_(x4-1)2 и | ^ц>(х+1)2?
Решить следующее неравенство (150—298):
7
150. x2H-2x+cos5 < 0. 151. x2-f-2x+sin у <:0.
5 3
152. tgy+6x—x2 > 0. 153. cos y — 4x—x2^ 0.
154.
156.
158.
160.
162.
164.
165.
Vx+7(x4-5)(x-1)2
(3—x2)(x—6)(x—5)
155. (x+2)(x + l)2-<0>
(x+lj(x-l)2/6-X
/100-X2 (x-f-4) (X + 3)2 0 157 (x+5)(x2-l) > 0
x2(x—2) ' ‘ x(x4-3)2/49—x2
x—2 2x—3 x2— 2x4-3
7+2&4x=T- I&9, x2—4x4-3 > •
3 J- 7 -< 6 let *2-* + l о
x+T+x4-2^x-l ’ x24-x4-l<
* 2^8 laq I । I । 1- । _ 1 n
7-1 x4-l > x* — 1 ’ • x—8*x— 6’t'x4-8-rx4-65su*
2x—1 , 3x—1 . x—7
x-f-l + x-f-2 V+x—1 ’
1____4____4____L_<1
x—1 x—2+x-3 x—4~"30‘
166,. 4|x-f-21 < 2x4-10. 167. 3|x—1 |<x-|-3.
168. 2|x4-l | > x4-4. 169. 3|x4-l |^x4-5.
170. |x—2(<2x2—9x4-9. 171. 3x2—|x—3| > 9x—2.
172. x24-4^|3x+2|—7x. 173. x2—15x—31—x < 2.
174. x-f-l |—|3x4-7| > 0. 175. 113—2x4^| 4x—9 [.
176. x|4-|x—1|<1. 177. |x4-2|—3 < |X—1|.
178. x24-2x—3|^3—2x—x2.
4 4-3x—x2 [ < x2—3x—4.
179.
180.
x2-5x-4 | , , [x2-3x4-2/
x2—4 I < L 181‘ |x24-3x4-2| >
438
6£fr
**г£*£ т+yj 3-xs& <
x д+t^"'- х+г_дЗ’£ > xf 633
’я^д-хЗ~Ь з/хе^ < г-х-т^'Е &ZZ
• л л , л . I—z+xZ £~r*3 ,ft__
e-r Л E + iS > g-*9*fr ?-%д ё-от-xsS £33 । < । №>Z
. t-r+>£^g±yg. .SZg -Х8_,е+9 > (-у-Ъе 433
I I *8-3\ I /
•0< Z + ( v)-IS—T+xs5 'SZZ 'n-xC-H^e 'ZZZ
s+*g\ I /
•£®Si+*z—xt 'izz т > *£-s—*6 ’ozz
’Syt SSI s ’613 -g(V‘O) > I g+yi(»‘O) '8IZ
T +xl 4 —Л- |s~*l
g/r9‘2^^6*6—*£•£ ’£13 j.
18=^1+гд£ ’913
f 's,z w«!,™'s 're
’3 Л > ( — SOO ) -gig • [ -§- §| ) ^ ( — ins ) -ZIZ
e/i+x\u J bl° e-^A^ / 9-xz\u J
. z_
se
—F* бог "i >
xz
г^8 —14~I
•803
X—7
’ ([+*)g > l+*S/t 'дог ,уг~т~Л —y~8 4 < y—8 4 ’90г
ti—yg4 —n+*4 > i+*4 ’soz • у < i+*4 —^ — 4 wz
•z+y 4 —i > £+yz4 ’eoz i—x < g—у—гхД 'ZOZ
x < e—yg+вхл -юг -x—z > 1 + хэ+гХб4 ‘ooz
•f+x^z+xfr+;X3 4 '661 -£+x>£+x9—гу£Л '861
•oi 4-X3 > 9l+x9l+g*fr4 461 'Z—x < 01 —X£—гх4 *961
'gx—xg+t4 > Z—x ’S6l 'гх— yf—94 >» + x Ш
I— x < 8x— 94 -ggi 4—х^гх—yf+i 4 -gel
•9+x4 f > i+* i6i -g+x < g+x4 g -061
lz+x|+gx
1 t + |xg—gX I
•681 'К
IS—х|+гх
£ + |xj>—гх|
•891
•|xg—Zl + |g—x[ > |x—9 | -Д81
/О! < I I—x|4-| l+x| + |z+x| -981
1z+x[ > -Lzl£±£L .S8I -|S—x| > g~* *~У| -j-ai
о О
•Ig+xK-^1»-*! -C8l •|I-y|^g~lJ~l~y| -g8I
Д F
— 2-3
237
Ц.З*-1 31 2*+34-11
QQ1 1 1 °_O1 С OQO * 1 1 о
4.9л —ц.зх-1—5^°- zo^‘ 22*4-14-2*—5^
233 4~7‘5* 2 234 15-2-13*+1
хоо‘ 52*+1—12-5*4-4"- 3 * 6-132*—13*+1 + 6
У— 3 У X 3 у/" j£
235. 2V х—21_Гл>1. 236. 9
^Х+* > (1)Гх2+зх+4. 238. 51 ix~6 13s 25s*-4.
239. 31 s*"4 I <92*"2. 240. 2511-2* I < 54-«*.
241. 91s*-11 > 38*-2. 242. ll»*-«4- 133*-2Ss 13s*-X — H3*-1.
243. 52*+14-6*+1 > 30 + 5*-30*.
244. |x|*2-*~2< 1. 245. (x24-x-|- 1)*< 1.
246. log1/2 (2x4-3) > 0.
247. logo.s (*2+ О < logo.s (2*—5).
248. logs (x2—5x-|-4) > 0. 249. loga(x24-3x) < 2.
250. 21og2 (x—1)—logs (2x—4) > 1.
251. logs *+logs (2x—l) < logs (2x4-2).
252. logsx—3 logs x 4-2^0.
253. logs (*+2) (x—3)< 4 log, (2x+1)—logr- 7.
254. Iog4(2x24-3x4-l)^ log, (2x4-2).
255. logs ( x-3-)4-log1/3 ( x—— I < 2-
256. logs (x2—4x-|-3) > tg-2-.
___ t 2x2— 4x—6 . 3л f 2x—1 2л
257. log1/a 4x_n - <ctg — . 258. log*-j-j-j- < cos -3- .
пел 1 x2------4*4-3 o . 3л
259. logy—----< 2 ctg -j- .
260. I3"261. —1—<----------------------—= .
У log1/3 31 x I logs x logs v x4-2
2fi2 logsX logzj/ 14-2x
log3(14-2x) logsx
2x2—3x4-3 , . , 2x2—3x4-3
log*----2~E-+ > °g2---------2~^~ ‘
264. logx > 1. 265. log(2jc+s>x2 < 1.
266. log(*+sx-№) g"2" ’ l°2(x+i) (x24-x—6)2^4.
268. log,X3(64-2x—x2)<~. 269. logu_3)(x2—4x)2 < 4.
270. log{Jf_ep (x2—5x4-9) > i •
271. log(1_2x) (6x2—5x4- О—logi-зх (4x2—4x-|- l)Ss2.
272. log(2*;+i) (54-8x—4x2)4-log(5_sx) (14-4x-f-4x2) < 4.
273. log<5je_n(10x2—7x4-1)4—log2jc_i(25x—10x4-1) > 2.
274. logsx+7(94- 12x4-4x2)4-logs*+s (6x24-23x4-21) < 4.
440
logs (х2—2х—7)5—logs (х2—Зх—7)8
275, Зх2—13x4-4
logs (х2-2х-14)»—log2 (х2—2х—14)*
276’ ---------2х2—9х—5------------- < °
о77 log7 (х2—4х—4)8—log2 (х2—4х—4)3
£И' 34-х—2х2
07й logs (х2-4x4- 11)2 + loglJ (х2-4x4-11)3 .
278, ' 2—5х—Зх2 "
ст. з+1»8„
*О&32 % *•
logv-(x-4/7)4-2 log3 (х 4-4/5)
281' loge | х-3/514-1/3^ °' 282' log, (x2-2x4-7/16) < °'
283. logi/s —3 logU-D 1/3 > 2 | log1/3 (x—1) |.
284. (у)1081/9 <X*"3* + 1> < 1- 285. lg1/r-(6«+l—36*)^—2.
286. 3-9,oe<*—10.3log‘*4-log28Sa0.
287. 25,oe‘x—6-5log2*4-5 2 ‘^‘cO.
288. 4x4-8 /2=7x2 > 44-(x2—x)-2*4-2*+1-x /x—x2.
289. 4х24-3Г"*+14-х.ЗГ x < 2х2-3Г x4-2x4-6.
6 14-lofe(x4-2) ,91 6-3*+* 10
x x 2x— 1*
24-logsX 6 2*+1—7 10
x—1 ^2x—1 • x—1 < 3—2x *
(x—2)21 cosx|«Сcosx. 295. sinx-|-(x—4)21 sin x |^0..
296. cosx < | cos x | (x+3/2)2. 297. (x+ 1/2)21 sin x |-f-sin x > 0.
298. >^49—x2 Vlog2 sin2 x^ 0.
290.
292.
294.
Глава IX. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 1. Числовые последовательности
Если каждому натуральному числу п поставлено в соответ-
ствие число х„, то говорят, что дана числовая последователь-
ность xlt х3, хп,или, короче, последовательность {хл}.
Чтобы задать числовую последовательность, надо задать закон
(правило), по которому каждому натуральному числу ставится
в соответствие некоторое число, т. е. каждая числовая последо-
вательность может рассматриваться как функция, область опре-
деления которой — множество всех натуральных чисел.
Если функция y = f(x) такова, что множество всех натураль-
ных чисел содержится в области ее существования, тогда с по-
мощью функции у — f (х) с областью определения — множеством
всех натуральных чисел — можно задать числовую последователь-
ность /(1). /(2). • • . или {/(«)}. Например, множество
всех натуральных чисел содержится в области существования
каждой из следующих функций:
1. t/ = x; 2. (М1-*; 3. // = — 2-3(х- 1);
4. у — т+ir) ’ 5* У = соз(2лх); 6. у = ;
7. У =------------• 7 8- У = 9- У = ^~^ 10- У = х\
На области определения — множестве всех натуральных чи-
сел—эти функции задают соответственно следующие числовые
п ос ледов ател ьности .*
1. 1, 2, .... п, ... ;
9 1 2, ... (If*
- ’ 2 ’ ’ \ 2 ) ’ • • • ’
з. —2, -5, ..., — 2 —3(n—1), ... ;
4. 1, -1, .... (- 1)»-\ ... ;
5. 1, 1, ..., 1", ... ;
6. 2,
7. 0,
3 Л-Р1
2 ’ ’ ‘ ’ п > * ”
(1 + ЫГ] ~
ь •••> -----
442.
9. 1,2, ...» 2»-1, ;
10. 1, 4......пг, ... .
Наиболее удобно задавать числовую последовательность ait
а2, ..., ап, ... при помощи формулы для ее общего члена.
Запишем, например, формулы общих членов последовательностей
1—10:
1. а„ = п; 2. (1 V1 • ~\ 2/
3. 1. СО 1 OJ II с 4. ап = (-1)»-*;
5. 6. п-\-1 п ’
7. п п ’ 8i ап _2. л ’
9. 10. ап = П2.
Нередко последовательность задают рекуррентным соотноше-
нием, т. е. формулой, выражающей ап через некоторые пред-
шествующие ему члены последовательности, например:
11. Последовательность чисел Фибоначчи 1, 1,2, 3,
задается формулой ап = я„_1+ап_2 для п>2 и условием at —
= а2 = 1.
Последовательности могут задаваться и другими способами,
например:
12. Последовательность десятичных приближений числа л
с недостатком 3; 3,1; 3,14; 3,141; ....
13. Последовательность где ап = -т-^=г ([а] — целая часть
L V п j
числа а, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее а).
Поскольку всякая числовая последовательность может рас-
сматриваться как функция натурального аргумента, то на чис-
ловые последовательности переносятся понятия монотонности и
ограниченности функций.
Числовая последовательность {а„} называется возрастающей,
если для любых натуральных чисел щ и пг из условия п, < иа
следует, что ani < ап,. Возрастающими являются, например, по-
следовательности 1, 9, 10, 12.
Числовая последовательность {ап} называется неубывающей,
если для любых натуральных чисел пг и п2 из условия п1 < п2
следует, что аЛ1^а„г. Неубывающими являются, например, по-
следовательности 5 и И.
Числовая последовательность называется убывающей, если
для любых натуральных чисел пг и п2 из условия щ < п2 сле-
дует, что ап, > ап,. Убывающими последовательностями являются,
например, последовательности 2, 3, 6, 8.
Числовая последовательность {а„} называется невозрастающей,
если для любых натуральных чисел щ и п2 из условия п2 < пг
443
следует, что ап, ^аПг. Например, последовательность 13 яв-
ляется невозрастающей, так как (^=1, аа=1, й,= 1, at = ^
и т. д.
Числовая последовательность называется монотонной, если
она убывает, или возрастает, или не убывает, или не возрастает.
Монотонными являются все вышеприведенные последовательности,
кроме последовательностей 4 и 7.
Последовательность {ап} называется ограниченной сверху, если
существует число В такое, что для любого натурального числа п
справедливо неравенство ап В. Ограниченными сверху являются,
например, последовательности 2,' 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12 и 13.
Последовательность {ап} называется ограниченной снизу, если
существует число А такое, что для любого натурального числа п
справедливо неравенство Л. Ограниченными снизу являются,
например, последовательности 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13.
Последовательность {«„} называется ограниченной, если она
ограничена и снизу и сверху. Ограниченными являются, напри-
мер, последовательности 2, 4, 5, 6, 7, 8.
Из всевозможных числовых последовательностей ниже под-
робно будут рассмотрены лишь последовательности, называемые
арифметической и геометрической прогрессиями.
Арифметической прогрессией называется последовательность
чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен преды-
дущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной
последовательности числом, т. е. такая числовая последователь-
ность {ап}, что для любого натурального п an+1 = an+d, где
d—некоторое постоянное для данной последовательности число,
называемое разностью прогрессии.
Например, последовательности
1, 2, 3, 4, .. , (1)
3, 1, -1, -3, ... (2)
— арифметические прогрессии. У арифметической прогрессии (1)
разность d = 1, а у прогрессии (2) разность d = — 2. Для любой
арифметической прогрессии член, стоящий на n-м месте, всегда
можно выразить через первый член и разность данной прогрессии
a„ = fli + (n—1)</. (3)
Эта формула называется формулой общего члена арифметической
прогрессии.
Доказательство ее проводится методом математической
индукции.
Для п=1 формула (3) запишется в виде a1 = a1 + 0.d, т. е.
оказывается справедливой. Предположим, что формула (3) спра-
ведлива для n = k, т. е. предположим, что k-й член арифмети-
ческой прогрессии вычисляется по формуле
= + (4)
444
Докажем, что формула (3) справедлива для n=k-\-\, т. е. дока-
жем справедливость формулы
ak+i ~а1 + [(^ +1)~ (5)
Действительно, по определению арифметической прогрессии ak+i =
= ak + d. Следовательно, используя формулу (4), можно написать,
что aft+1 = a1 + (^— l)d+d = a1 + [(A + l) — l]d, т. е. получить
справедливость формулы (5). Тем самым доказана справедливость
формулы (3) для любого натурального числа п.
Используя формулу (3) и свойства действий над числами,
легко проверить справедливость следующего утверждения: для
любой арифметической прогрессии {а„} при /п + п = & 4-/ спра-
ведливо равенство
+ = (6)
Действительно,
ая+а„=а1+с/(/п—-|-d(n—l) =
= 2a1+d (т + п — 2) — 2a1+d{k + l~ 2)==
= 4“ — 1) d 4* Qi 4“ (I ~~ 1) d—ak 4- Gp
Число, равное сумме первых п членов арифметической прог-
рессии, обозначается S„, т. е.
S„ = 014*as4~ • • • 4-a„-i4-oB;
члены О1 и ап называются крайними членами для суммы S„.
Используя свойство (6) и свойства действий над числами, полу-
чим следующую формулу для S„:
Действительно,
25„=SB4-S„ = (ai4-a24-... 4-on)4-(Oi4-o24- • • • 4-о„) =
= («14-a„)4-(a24-an-i)4- • • • 4-(a„4-aJ = («i4-an)«,
т. e. сумма первых n членов арифметической прогрессии равна
произведению полусуммы крайних членов на число суммируемых
членов.
Сумму S„ арифметической прогрессии {ап} можно выразить
через первый член и разность данной прогрессии.
q —1)] п
2 •
Пример. Найти сумму двузначных натуральных чисел, не
делящихся ни на 2, ни на 3.
Очевидно, что все двузначные натуральные числа образуют
арифметическую прогрессию с первым членом аг = 10 и разностью
d=l, т. е. следующую последовательность чисел: 10, 11, 12,
13, ...» 97, 98, 99. Используя формулу (7), легко найти сумму
445
(104- 99V 90
SU) всех этих чисел: S<x) = -—. Двузначные числа, деля-
щиеся на 2, составляют арифметическую прогрессию 10, 12,
14, ..., 96, 98 с суммой = .
Аналогично числа, делящиеся на 3, образуют арифметическую
прогрессию 12, 15, 18, 96, 99 с суммой S<3) = 30 .
Легко заметить, что последние две арифметические прогрессии
имеют общие члены 12, 18, 24, ..., 96 —числа, делящиеся одно-
временно и на 2 и на 3, т. е. делящиеся на 6. Сумма <$ всех
двузначных натуральных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3,
находится следующим образом: S = SU) — St2) — S<3) + S(e), где Sw—
сумма всех двузначных чисел, делящихся и на 2, и на 3, т. е.
делящихся на 6. Сумму Ste) нужно прибавить потому, что при
вычитании сумм S<2) и Sl3> сумма чисел, делящихся на 6, вычи-
тается дважды. Используя (3), найдем чйсло членов арифметиче-
ской прогрессии, составленной из таких чисел (очевидно, что
разность этой прогрессии равна 6): 96= 12 +(п—1)6, откуда
п — 15.Следовательно, St6) = (12+96Н5. и ^ — -^-(109-6— 108-3 —
— 111 • 2 +108) = 1620, т. е. S = 1620.
Геометрической прогрессией называется последовательность
чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен преды-
дущему, умноженному на некоторое отличное от нуля, постоян-
ное для данной последовательности число, т. е. такая числовая
последовательность {ап}, что для любого натурального п an+i —
= anq, где q — некоторое постоянное для данной последователь-
ности и отличное от нуля число, называемое знаменателем прог-
рессии.
Например, последовательности
2, 4, 8, 16, 32, ...;
1, -1, 1, -1, ... ;
1 _ 1 1 _ 1
7 ’ 21 ’ 63 * 189 ’
— геометрические прогрессии соответственно со знаменателями
2- И '> (—г)
Общий член геометрической прогрессии вычисляется по формуле
= (8)
Доказательство справедливости этой формулы для каж-
дого натурального, числа п проводится методом математической
индукции. Для п = 1 формула (8) запишется в виде ai = alqa,
т. е. оказывается справедливой. Предположим, что формула (8)
справедлива для n = k, т. е. предположим, что справедлива
формула
ак = а^~\ (9)
446
Докажем, что формула (8) справедлива для n = k-\-1, т. е. до-
кажем справедливость формулы
ak+i = aiq^~\ (10)
Действительно, по определению геометрической прогрессии дА+1 =
= akq. Следовательно, используя формулу (9), можно написать,
что
ak+i = (alqf‘-1)q = a1q^-\
т. е. получить справедливость формулы (10). Тем самым доказана
справедливость формулы (8) для любого натурального числа п.
С помощью формулы общего члена найдем формулу для суммы
первых п членов геометрической прогрессии:
'^л==а1 + аа + аз + • • +й«-1+ал-
Если 0=1, то S,, = nai.
Если 0=#=1, то рассмотрим выражение
Sn-Snq = ai + alq + ... + щ"-1 - atq-arf—... — а^п~1—arqn
= «! —а10п = д1(1 —0").
Следовательно, Sn(\—q) — al(\~qn). Так как Q=#l, то
о _ <7")
1— q *
§ 2. Предел числовой последовательности
Пусть дана числовая последовательность {«„}•
Число а называется пределом числовой последовательности {а„|,
если для любого положительного числа 8 найдется номер N такой,
что для любого п> N справедливо неравенство
|а„-а|<8.
Например, очевидно, что пределом последовательности {а„}, где
а„=с, является число с.
Тот факт, что число а является пределом последовательности
{ап}, записывают так: lim ап—а или ап—»-а при п—*оо.
п -*+»
Примеры. 1. Доказать, что hm а„ = 0, если a„=qn и
п ->4-оо
Возьмем произвольное число 8 > 0.
а) Если ё < 1, то положим N = [log| q । в] 4-1. Ясно, что N >
> log|«1 в И для любого n> N |(/n — 0| = \ q |n <|</|w< |0|1ов|«| 6 = в.
б) Если в^1, то положим # = 1. Легко видеть, что для
любого n > 1 | qn —01 = | q |n < 1 <2 е.
Итак, для любого 8>0 существует номер N такой, что для
любого n>W справедливо неравенство |— 01 < е, т. е. дока-
зано, что lint а„ = 0.
П —► + <»
447
2. Доказать, что lim а„—1, если ап — - .
Л-*+~ п
Возьмем произвольное число в > 0. Положим ЛГ=£-|-] + 1»
тогда N > — и для любого п > N 1 -^i-1— 11 = —
fi I fl I fl /V 1
T
что и требовалось доказать.
3. Доказать, что lim а„ = 0, если а„ = —.
Возьмем произвольное число в>0. Положим W=£yj + 1.
Тогда для любого п> N I -— о|=4’<'хг<4_ = е» чт0 и тре-
бовалось доказать.
Будем говорить, что последовательность {а„} имеет пределом
(4-оо), и писать lim ап — 4-ос или ап—>4-°° при п—>оо, если
Л ->4-оо
для любого сколь угодно большого положительного числа А
найдется номер N такой, что для любого п > N справедливо
неравенство а„ > А.
Примеры. 1. Доказать, что lim а„ = 4-оо, если а„ = п^.
П ->4- ОО .
Для любого положительного числа А положим N=([КЛ+1]4-1) •
Тогда для любого п> N
ап~п*>№ = ([/Л+Т]4- О2 > (VA+ТУ = Л 4-1 > Л,
т. е. lim ап=+<х>.
П-^ + оо
2. Доказать, что lim ап = 4-°°, если ап — п.
п —>4- оо
Для любого положительного числа А положим W = ([Л 4-1]4-1).
Тогда для любого п > N а'п — п > У = [Л 4- 1]+1 > Л 4- 1 > Л,
т. е. lim ал = 4-оо.
П ->4-00
3. Доказать, что lim а9=4-°°, если ап = 2'1-1.
П ->+<*>
Для любого положительного числа Л положим W = [log2 (Л +
4-1)]4~2. Тогда для любого п> N
ап = 2п~1 > 2N~l = 2[,og* <л + 1)]+г > 21о5*<л+1> = Л 4- 1 > Л,
т. е. lim а„ = 4-оо.
П ->4- Q0
Будем говорить, что последовательность {аД имеет своим
пределом (—оо), и писать lim ап = —оо или ап—► — оо, при
П —> 4- <ю
п—> со, если для любого отрицательного числа В такого, что
|В | — сколь угодно большое число, найдется номер N такой,
что для любого п> N справедливо неравенство а„ < В.
448
Примеры. 1. Доказать, что lim ап — — оо, еслиа„ = — 2 —
П —> +оо
— 3(n—1).
Для любого отрицательного В положим N — *•] + 1 •
Тогда для любого п> N
ап = — 2 - 3 (п-1) < - 2 -3(У-1) = — <
< - 2 - 3 (l -^1- - 1) = — 2 - 3 (- 1) ='
= —2 —(1— В-3) = В,
что и требовалось доказать.
2. Доказать, что lim ап — —оо, если ап = — 2“.
Л “>+ оо - х
Для любого отрицательного числа В положим N =±= [log2|B| +1].
Тогда для любого n > N
ап = — 2п < — 2N = — 2П<«* l£l+U <— 2’^1В1=— |В[ = В,
что и требовалось доказать.
3. Доказать^ что lim п„==—оо, если nn = logi п-
п->+“ Т-
Для любого отрицательного числа В положим #==[2Гв1+1].
Тогда для любого n > N
ап == log^ n < log± N = log^ [21в । +1] < logj_ 21в 1 == -1В ] = В,
2 2.2 2
что и требовалось доказать.
Отметим, что' существуют последовательности, не имеющие
предела. Такой последовательностью является, например,“после-
довательность {ап}, где а„=(—1)".
Теоремы о пределах числовых последовательностей. В этом
пункте будем рассматривать только те последовательности, кото-
рые имеют конечный предел.
Теорема 1. Если последовательность {«„} имеет предел А
и число р < А, то найдется номер N такой, что для любого
п> N справедливо неравенство р < ап.
Доказательство. Поскольку А есть предел последова-
тельности {а„}, то для любого е>0 найдется номер N такой,
что для любого n> N справедливо неравенство
|а„-Л|<е.
Перепишем это неравенство в форме
А — е<а„<Л + 8. (1)
Положим, е = А — р > 0. Для этого е > 0 найдется номер N та-
кой, что для любого n>AZ будет справедливо двойное нера-
венство (1). Подставляя в левую часть неравенства (1) е = А~ р,
получаем, что р<а„, что и требовалось доказать.
'5 м. К. Потапов и др. 449
Теорема 2. Если последовательность {а„} имеет предел А ,
и число q> А, то найдется номер N такой, что для любого 1
п > АГ- справедливо неравенство q> а„. ~
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству тео-
ремы 1 и поэтому опускается. , ,
Замечания. 1. Если lim а„ = А и А>0, то найдется
Л->4-оо
номер N такой, что ап > 0 для любого n > N.
2. Если lim ап = А и А <0, то найдется номер Af такой, •
п->4-оо
что ап < 0 для любого п > АС
Теорема 3. Если последовательность имеет'предел А,
то найдется положительное число М такое, что |a„|^Af, т. е.
последовательность, имеющая предел, ограничена.
Доказательство. Выберем число так, чтобы оно было
больше | А |, т. е. чтобы было справедливо неравенство —.<'
< А < Mt. Обозначив р = — Mt, q = Ml, получим, что А>р
и А < q. По теореме 1 существует номер Nr такой, что для
любого п > Ni справедливо неравенство р < ап. По теореме 2
существует номер Af2 такой, что для любого п > N2 справедливо
неравенство q > а„. Выберем номер N = тах(Л\, Л^2). Тогда для
любого п> N справедливо двойное неравенство р <ап <q, или
— ЛТ1<ая<М1, т. е. |a„|<Afx. Неравенство выпол- •
няется для любого п > N, т. е. для n — N-[-l,n = N + 2,n = N-\-3,
n = N 4-4 и т. д. Значит, неравенство | ап | < Мг может не выпол-
няться лишь для первых N членов последовательности. <
Выберем среди, чисел |Ох|, |а2|, | а31, .... |«ЛГ|» .
наибольшее число и обозначим его через М. Тогда ясно, что для
любого п будет справедливо неравенство |ая|^М, что и требо-
валось доказать. i
Теорема 4. Если последовательность {ая} имеет предел,
то этот предел единственный. ' ;
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть;
одновременно ап—*А и ап—> В и пусть А < В. Возьмем между '
А н В любое число С, т. е. А < С < В. Поскольку ап-^А и
А < С, то по теореме 2 найдется такой номер Aft, что для лю- ;
бого п > Ni будет выполняться неравенство а„ < С. Поскольку j
ап->-В и С<В, то по теореме 1 найдется такой номер N2,
что для любого п > Nt будет выполняться неравенство а„ > С. .]
Выберем номер N = max(A\, N2). Тогда член последовательности |
aNодновременно удовлетворяет двум неравенствам aN> С и aN<C, %
что невозможно. Следовательно, предположение неверно, а верно |
утверждение теоремы 4. }
Теорема 5. Если lim a„ = A, то lim |a„| = |A|. 'j
П -> 4- oo n->+oo
Доказательство. Пусть А — 0. Тогда условие lim an = 0 |
П -> 4- 00 i
означает, что для любого е>0 найдется номер N такой, что!
для любого n > N справедливо неравенство | ап — 0| <-е. Поскольку I
:<5о z I
это неравенство можно переписать так: ||а„| —0|<е, то полу-
чаем, что lim |а„| = 0.
п —>+ СО
Пусть А=Н=О. Тогда условие lim ап= А означает, что для
п ->+ ОО
: любого е>0 найдется номер такой, что для любого n>JVj
справедливо неравенство |а„ —А|<е.
Если А > О, то по замечанию 1 к теореме 2 найдется номер N2
такой, что при n>N2, ап > 0. Взяв номер N = тах(У1, У2),.
получим, что для любого n>N справедливо' неравенство ||ап| —•
— | А11 < е, что и означает, что lim |а„] = |А|. Если же А <0,
' _ «->+<»
то по замечанию 2 к теореме 2 найдется номер У3 такой, что
«„<0. Взяв номер W = max(ATi, N3) ц учитывая, что а„ — — |ап |
и А — — | А |, получим, что для любого n>N справедливо ле*
равенство | — (| ап | — j А |) | < е, которое можно записать так!
| |аа |~| А 11 < 8, а это означает, что lim |ап| = |Л|.
/1->+00
Арифметические операций над последовательностямй {ап} ~ й
{Ьп} и сравнение последовательностей {а„} и {&„} производятся
так же, как и над функциями, т. е. при одинаковых значениях
аргумента, другими словами, почленно.
Теорема 6. Если последовательности {а„} и {Ьп} таковы,
что ап = Ьп для любого п и ап->- А, аЬ„—+В, то А~В, т. в.
если а„ = Ьп для любого п, mo lim ап= lim bn.
- п -*4-00 П->+сО
Доказательство. Условие ап = Ъп для любого и означает,
что на самом деле имеется только одна последовательность, а по
теореме -4 она не может иметь двух пределов; значит, Л = В и
теорема 6 доказана.
Теорема 7. Если последовательности {ап} и {&„} таковы,
что а„^Ьп для любого п, ап—+ А и Ьп—>- В, то Л В, т. е. если
ап^Ь„ для любого п, то lim ап^ lim bn.
п ->+<»
Доказательство. Предположим противное. Пусть Л < В.
Выберем число С такое, что Л < С < В. Так как а„ —> Л и Л < С,
то по теореме 2 найдется номер такой, что для любого н>У,
справедливо неравенство ап < С. Так как Ьп —► В и В > С, то
по теореме I найдется номер N2 такой, что для любого п > Nt
справедливо неравенство Ьп > С. Выберем номер N = max (Nlt N2).
Тогда для любого n > N будут одновременно выполняться нера-
венства ап<.С и С < Ьп. Из них следует, что ап<Ьп, что про-
тиворечит условию теоремы. Значит, наше предположение неверное
и теорема 7 справедлива.
Замечание. Теорему 7 нельзя усилить, т. е. из строгого
неравенства ап > Ьп для членов последовательностей не обяза-
тельно вытекает строгое неравенство для пределов, например,
если ап = ~, bn = — -^-, то а„>Ьп для любого п, но lim a„=s
= lim &„= 0. .
п ->4- ОС
15* . 451
Теорема 8. Если последовательности {а„}, {&„} и {с„} та-
ковы, что ап^Ьп^сп для любогоп и ап->-а, и сп~^а, mobn—+a.
я Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Поскольку
ап—*а, то найдется номер Л\ такой, что для любого n> Nt
справедливо неравенство а —е<а„<а+е. Поскольку сп—+а,
то найдется номер N2 такой, что для любого и > N2 справедливо
неравенство а—8<с„<а + 8. Выберем номер JV^maxfATi, N2).
Тогда для любого и > N будут одновременно выполняться нера-
венства а—е<а„<а4-8, а—е<си<а + е. Добавим к этим
неравенствам неравенство ап^Ьп^.сп, верное для любого п.
По свойству транзитивности неравенств для любого п> N будет
справедливо неравенство а—е<Ь„<а + е, которое можно за-
писать как |6„—а| < 8. Итак, для произвольно выбранного е > 0
существует номер N такой, что для любого n > N справедливо
неравенство |6Л —а|<е, а это означает, что lim bn = а. Теорема
4 «->+<»
доказана.
Замечание. Если а^.Ьп^сп для любого п и сп—>-а, то
Ьп-+а.-
Теорема 9. Если последовательности {а„} и {Ьп} таковы,
что lim ап — А и Ит Ьп = В, то последовательность {a„-f-6n}
«-►+<» «-> + <30
такова, что lim (a„+&„)== Д + В, т. е. если ап—+А, Ь„—+В,
П-*-+°о
то (ап + Ьп)-^(А + В).
Доказательство. Поскольку lim а„ = А и lim Ьп — В,
' . »->+«> /!-» + «>
то для любого е, > 0 найдется номер А\ такой, что для любого
п > ATX справедливо неравенство А — Sj <_ ап < А + 8f и найдется
номер А\ такой, что для любого п > Nt справедливо неравенство
В — 8f < Ьп < В + 8^. Выберем номер yV = max(yV1, N2). Тогда для
выбранного произвольно е, > О существует номер N такой, что
для любого n > N одновременно справедливы неравенства А — 8, <
< ап < А + 81 и В~е1<_Ь„< В + е<. На основании свойств не-
равенств справедливо неравенство
(Д + В) — 2в1 < (а„ + 6„) < (Д + В) + 2ej.
Возьмем произвольное е > 0 и обозначим 8i = e/2. Тогда, как
следует из предыдущего, найдется номер N такой/ что для лю-
бого n>N будет справедливо неравенство (А + В)—е < (ап + Ьп) <
< (Д + В) + е, т. е. по определению предела lim (ап+Ьп) = (Д + В).
П ->+ ОО
Теорема доказана.
Те'орема 10. Если ап-^ А, Ь„-»-В, то(ап — Ьп)—>-(А~В).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству тео-
. ремы 9 и поэтому опускается.
Теорема 11. Если ап—+ А, Ьп-+В, то (апЬп)-^- АВ.
Доказательство. Поскольку lim ап — А, то для любого
п -> + оо
наперед заданного числа 8Х > 0 найдется номер такой, что
452
для любого n>Nx будет справедливо неравенство
1а„~ Л|<бр - (2)
Поскольку lim Ьп — В, то для любого наперед заданного числа
е2 > 0 найдется номер Na такой, что для любого n>JV2 будет
справедливо-неравенство
\Ьп В | < е2. • (3)
Рассмотрим неравенство - '
|«Л-лв1 = 1аЛ-а„5 + а„В-ЯВК
<|а„||&я-В|4-|ВЦа„-Д|. (4)
Оно справедливо для любого п. Поскольку по теореме 3 сущест-
вует положительное число М такое, что | ап | М для любого п,
то, обозначая d=|B|+1 (d > 0), из неравенства (4) получаем
неравенство
\алЬп-ЛВ|<М|Ь„-B| + d|a„-А |, (5)
• справедливое для любого п. Теперь берем произвольное е>0
и обозначим 8i = -^- и 82 = '^'« Тогда для выбранного сущест- .
-вует номер Nt такой, что для любого n>Ni справедливо нера-
венство (2), а для выбранного е2 существует номер jV2 такой,
что для любого п > N2 справедливо неравенство (3). Выберем
номер N = max (Nit Ns). Тогда для любого n> N одновременно
справедливы неравенства (2), (3) и (5). Подставляя в (5) оценкй
.,(2) и (3), получаем, что для любого п> N справедлив!) неравенство
|апЬ„-ЛВ|<б. / (6)
Итак, для’ произвольного е>0 найден номер N такой, что .
для любого п > N справедливо неравенство (6), т. е. по опреде-
лению предела lim (а„Ь„) = ЛВ= lim а„- lim b„. Теорема до-
. П->+<Ю П-> + 00
казана.
Теорема 12. Если последовательность {а„} имеет предел
Д =/=(), то найдется номер N такой, что для любого n> 7V спра-
ведливо неравенство | ап | > .
11 а г
Доказательство. Возьмем 8 = Так как последова-
тельность имеет предел, то по определению-предела для
этого е > 0 найдется номер N такой, что для любого n > N спра-
। а | г
ведливо неравенство |а„ — А |
Поскольку |а„ — А |^| А | — |а„|, то получим, что для любого
п > N справедливо неравенство | А | — | ап | < -Ц-L, откуда. <
<|а„|. Теорема доказана.
•453>
Теорема 13. Если. ап—+А, Ьп^-В, где bn=j^O для любого
п и В =/= О, то —►4.
“п i В
Доказательство. Поскольку Нша„ = Л, то для любого
Л->+оо
8f > 0 найдется номер такой, что для любого п > справед-
ливо' неравенство .
|а„-Л|<в1. (7)
Поскольку lirti&n = B, то для любого е2>0 найдется номер Мг
Л->+<Х>
такой, что для любого n >Af2 справедливо неравенство
,|&„-В|<е2. (8)
По теореме 3 существует положительное число М такое, что для
любого п
|ап|<М. (0)
По теореме 12 существует номер Ns такой, что для любого n > ATS
справедливо неравенство
- . 1М> '.(10)
Для любого п справедливо неравенство
J Од А I I ОдВ —6дА I I ДдВ Дд^д4~Дп^П Л&„| •
|5;—в|- .рпВ| ~
|впС®—Ьп) | +1 Ьп (ап—А) | | ад 11 &п В | . | Дд А | ЛИ
IMIBI 1*»ЦВ| + ГВ| • k ’
Возьмем теперь произвольное е>0 и обозначим е2=Д!-^-и
е2 = е^~ Тогда для выбранного ef существует номер такой,
что для любого п > А\ справедливо неравенство (7), а для выбран-
ного е2 существует номер N2 тарой, что для любого п > ЛГ2 спра-
ведливо неравенство (8). Выберем номер N = тах(А^, JV2, N3).
Тогда для любого п > N одновременно справедливы неравенства
(7), (8), (9), (10) и (11).. Подставляя оценки (7), (8), (9) и (10) в
правую часть неравенства (11), получаем, что для любого n> N
справедливо неравенство . . '
Итак, для произвольного г > 0 найден номер N такой, что для
любого п> АГ справедливо неравенство (12), а этой означает
справедливость теоремы 13.
454
Теорема 14. Если ап—+ А, Ь—фиксированное положитель-
ное не равное единице число, то бап —* ЬА.
Доказательство. Поскольку ап —>Л, то для любого
> 0 найдется Номер N такой, что для любого п> N справед-
ливо неравенство
Л-е1<а„< Л + 8Р .
(13)
Пусть'Ь>1. Поскольку функция у = Ьх возрастающая, то из
неравенства (13) вытекает, что <6а«<6л+е», т. е. для лю-
бого £1 > 0 найдется номер N такой, что для любого п> N спра-
ведливо неравенство ЬА~^ < Ьап < ЬА+е‘. Возьмем произвольное
положительное число е и обозначим ех = log6 (1 + —. Тогда для
выбранного ех существует номер N такой/что для любого п > N
справедливо неравенство
qa “Ь°п ЬА+81
Ясно, что ’
ьА
ЬА Ь2А Ь2А—е2 , .
_____ _______ ________ __JjA . . g*
;_8_\ И4-8 (6л + е) ’
^bA)
frA+г, = 1 + — ) = &л + 8.
\ ЬА)
Итак, показано, что для любого положительного е найдется но-
мер N такой, что для любого п> N справедливо.неравенство
ЬА— 6 < ban< bA-j-e, т. е. limban = bA.
ч + оо
В случае- 0 < b < 1 доказательство теоремы проводится ана- *
логично.
Теорема 15. Возрастающая и ограниченная сверху последо-
вательность {ая} имеет предел.
Теорема 16. Убывающая и ограниченная снизу последова-
тельность {ап\ имеет предел.
Доказательство этих теорем опустим.'
Примеры применения теорем о пределах числовых после-
довательностей.
1. Найти предел последовательности {а.}, еслиа„= л? ♦
д » гм «* (n-f-O)lrt “TV
Перепишем формулу для общего члена в виде а„ —
= -7----------Т\ • Применяя последовательно теоремы о пределе
' ('+4)0+4)
455
частного, произведения и суммы, получаем
lim
л->4- <ю
lim
«->4- оо
lim
«-* + с
lim
«->4-00
lim
«->+ со
1+ lim ( Пт
«->4-<ю / \«->+оо'
1 + Пт 3 \ f Пт
«->4-<ю Л / \«->4-<Ю
lim
л—>4-оо
1+. Пт —)
п;_(1+о)(1+о)_.
1+ ит ±\“(‘+0)(1+0)
2. Найти предел последовательности dn, евли dn =
_ 0 и + + для любого п).
а2а** I ^2^ 1 ^2
Разделив числитель и знаменатель в выражении для dn на п2
и применив те же теоремы, что и .в предыдущем примере, пр-
лучим
ai + ьЛ+с^ n^{ai+bl^+C^
lim dn = hm --------,-----г =--------------j---p- =
n-+’° л-+«а2+6 _|_c lim la2-|-&2 —+c2-5
n n V 71 n /
v
lim + lim . — -|- Hm
«->+co___«->+oo п n-++*x>n а^ 4~ 0 0 ai
i i- ^2 » i- ^2 "j-’O~J~0 ^2
hm a2+ hm hm
«->4-co «->4-oo n «->4-00 n
3. Выяснить, есть ли предел у последовательности {а„}, если
/1 , 1 V
а"~~ 4 "4»/ ’
При изучении бинома Ньютона была показана справедливость
неравенства 114-—) < » т. е. показано, что после-
довательность {а„} такова, что а„ < ап+1 для любого п. Из усло-
вия ап < ап+1 легко получить, что аП1 < aht для любых < п2,
т. е. последовательность {ап} — возрастающая. Покажем теперь,
что для любого и справедливо неравенство а„ < 3, т. е. что
последовательность {ап} ограничена сверху.
456
Действительно,
j_iy=l + n.l + M2zz2)
‘ п ) П п 2!
, n(n—1) (а—2) /IV.
3!
п п—\
п * п
п—1
п ’ п
1 , П И—1
1 -2 ‘ п * /Г"
рг—(п —1)1
' п
п (п — 1).. .[п — (п — 1)]
п!
п —2 1
“п"" ‘ Ь2Гз
1
1.1 1
1-2.3....-п
п/2 3^'*-
л п—1 х 1 2. ± • j.
Л п J ' 2 ' 3 ‘ 4 п <
2 "г" • 2<2 + т + 5^: + ^+•• ’
. _|____ I 1 ] * I • _ з
~ 2п ~1 > 2п' 2п+1 ’ ‘ ‘ ' — °"
По теореме 15 возрастающая и ограниченная сверху последо-
вательность имеет предел. Этот предел принято обозначать бук-
вой е. Итак,
lira./1Ч-Д" = е.
п~> + «> V а /
Определение числа е позволяет вычислить его с любой степенью
точности. В курсе математического анализа показывается, что
число е—иррациональное число.
. 4. Выяснить, есть ли предел у последовательности {ап}, ко-
торая задана рекуррентным соотношением аг=)/~2 и ап = j/2-|-an_1
для любого п^2.
Прежде всего выясним, ограничена ли эта последовательность.
Докажем, что а„ < 2. Доказательство проведем методом матема-
тической индукции.
а) Для п = 1 неравенство а, < 2 справедливо, поскольку
ах = К2. '
* б) Предположим, что неравенство справедливо для n = k,
т. е. ак <2.
в) Покажем, что из этого вытекает справедливость неравен-
ства для n = k+l. Действительно, ah+i = V2 + aft<V2 + 2 = 2.
Итак, неравенство а„ < 2 справедливо для любого п.
Покажем, что последовательность {«„} возрастающая. Для
этого достаточно показать, что ап < ап+1, т. е._ доказать нера-
венство ап < К2 + ап-
Это неравенство равносильно неравенству а’<24-а„, кото-
рое можно переписать так: (an+U(an — 2) < 0. Поскольку
0<а„<2, то последнее неравенство очевидно, а значит, спра-
ведливо и равносильное ему неравенство ап an+j. Итак, после-
457
довательность {а„} возрастает и ограничена сверху; значит, она
имеет предел, который обозначим через с. Покажем, что с = 2.
Действительно, воспользовавшись рекуррентным соотношением
an — V2 + an_1, имеем lim ап— lim K2 + an-i-
n-* + oo n->+oo
Воспользуемся теоремой (доказательство ее опускается): если
последовательность {£„} такова, что Ьп^0, и она имеет предел,
то lim У bn = т/ limftn. Получаем lima„= lim ]/2 + an_l==
n-»+ оо________г /г->оо /2->оо л->+<ю‘
=-1/ lim 2+ lim ап_х. Поскольку, lim a„= lim а„_£, то полу-
r fl-++<X> n->+X> . + W Л~>+<Ю
чаем, что с надо искать из условия с —У 2-{-с. Возводя это
равенство в квадрат, получаем, что с = 2.
5. Пусть о >1 и а—положительное иррациональное число.
Вспомним определение а“. Поскольку любое иррациональное
число есть бесконечная десятичная дробь, то, обрывая эту дробь
на каком-то шаге, получаем приближенное значение этого числа
с. недостатком, а прибавляя к последней цифре единицу, полу-
чаем приближенное значение этого числа с избытком. Значит,
для приближения числа а, равного р, q^^q^.. ,qa..получаем
две последовательности ,
/>. *+»• F+ft+ft. ....F+S+..'.+>......................
!>+'. Я+Ч2- Р + га+тет2’
Обозначим общий член первой последовательности через Ьп, а
общий член второй —через сп. Тогда очевидно, что последова-
• тельность {/?„} возрастающая и ограниченная сверху (хотя бы
числом (р+1)), а последовательность сп убывающая и ограни-
ченная снизу (хотя бы числом р). Рассмотрим последователь-
ность аь». Так как a> 1, то из условия bn<Zbn+l вытекает, что
aft»-<a6n+». Поскольку последовательность возрастающая, то
последнее неравенство означает, что последовательность (а6»}
возрастающая. Кроме того, ai’«<a/,+1, т. е. последовательность
аь» ограничена сверху. По теореме 15 последовательность а6»
имеет предел, который обозначим А. Аналогично показывается,
что последовательность аСп имеет предел, который обозначим В.
Докажем, что А = В.
Рассмотрим последовательность {ас»~а*»} и покажем, что
lim (аСп —аь") = 0. Действительно, применяя теоремы о преде-
П->+СО
лах, имеем
lim (ar« — abn) = lim [ah (ofп “bn — 1)]
«->+»" Я->+«
/ Нт \
lim a6”- lim (ao>-fen—1) = lim abn-(an^+,x — lim 1 )=a
/2—>+co Л—>+co"r /2—>+oo * n—> + ce •
— A(a°—1)=0,
4=?8
так как lim (сп bn) — lim = 0, Далее, -• из условия
lim (ас«—аь«) = 0 получаем, что lim ас«— lim а&«=0, т. е.
«->+<» п->+оо' П->+00
А = В.
Итак, обё'последовательности имеют один предел, который и
называется числом о“.
В случае а > 1 и а, < 0 или 0 <^г < 1 и а—любое иррацио-
нальное число рассуждения аналогичны.
6. Пусть задана последовательность {aj. Тогда можно по-
строить другую последовательность {SJ по правилу
= ах, S2 = ах+Oj, ..., Sn =? + а2 + ... + ап, .... •
Формально можно написать бесконечную сумму
ai + at + аз + • • • +ап + • •»
которую называют рядом. Последовательность {S„^ называется
последовательностью частичных сумм этого ряда. В некоторых
случаях последовательность {£„} может иметь конечный • предел S.
В таких случаях говорят, что ряд сходится, а число S назы-
вается суммой ряда^ Приведём несколько примеров.
6.1. Пусть задана геометрическая прогрессия {а„} с первым
членом ах и со знаменателем q таким, что 0<|^| < 1. Рассмот-
рим ряд a1+a1fl'+a1fl's+ ... +а19п-1 + ..'. и составим последова-
тельность {SJ частичных сумм этого ряда. Формула для вычис-
ления S„ для любого п следующая:
Применяя теоремы о пределах и учитывая, что 0 < | q | < 1, полу-
чаем, что lim S„= lim • <7"1 гЬ lim ?"•
- ' «->+<30 «->+«> L1 Ч 1 Ч J 1 Ч * Чп-->а
Поскольку lim qn—0 , для 0 < |</[< 1, то. получаем, что
«->+ 30
lim S„ — т. ё. по определению суммой написанного ряда
я->+» 4 Ч
будет число . Следовательно, сумма геометрической'прогрессии
при 0 < | q | < 1 равна первому члену, поделенному на разность
единицы и знаменателя прогрессии, т. е. S = pz^.
6.2. Пользуясь определением суммы ряда, можно дать другое
определение иррационального числа а.
Пусть положительное иррациональное число а равно
Р, . Тогда
„ „ I 4t п I Я1Я2
Р, Р +10* Р о 10’’"ПЙ)
4i t 1 1 Яп
10* 100 ’~*~ 10« ’ • • •
459
— последовательность десятичных приближений числа а с недо-
статком, а
__1_ 1 „ । <71+ * , п_ц Qi । <72 +4 _ > Qi । Qi t । Qn~\-1
р+I» P+ JO » p+ jo+ 100 ’•••»• 10 +100 ‘ " • •'T- 10« ’
— последовательность десятичных приближений числа а с избыт-
ком. Эти последовательности имеют один предел, который назы- •
вается числом а. Поэтому можно определить а как сумму ряда
Заметим, что если а есть бесконечная периодическая дробь
а = р, <7i<72...?A(pip2...pm),
то а тоже можно определить как сумму ряда
п — п 1 S1Ч I I <7* ] Pi i Pj [ I Pn> I
a ~ P 10 -r 100 fio* ’“lo^+i "Г ю*+а *” T lo*+»»T
I Pm+l i
' 10* + »» + ! I*
6.3. Докажем правило перевода периодической десятичной
дроби в обыкновенную. Пусть дана положительная периодическая
десятичная дробь, целая часть. которой, для простоты, равна
нулю. Тогда эта десятичная дробь равна обыкновенной, у кото-
рой: числитель есть числб, равное разности чисел, составленных
цифрами, стоящими до второго периода, и цифрами, стоящими
до первого периода; знаменатель есть число, в изображении ко-
торого цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в пе-
риоде, а затем после девяток нуль повторяется столько раз,
'сколько цифр от запятой до периода.
Примеры.
п 0/14' —314—3 —311 • О 1971ЧП— 12731 — 127—12604 — 3151
U,<i(lft) — 99Q — 990 , 0,12/(о1) ддодо 99000 24750-
Доказательство. Пусть дробь а имеет вид
' . а = 0, ••?»)•
Запишем эту дробь в виде суммы ряда
а __ £1 I I I Qk | Pi I - | ''Pm 1 Pm + t I
10 * 100 ‘ 10*+1~Г • • • iQ&+m ' ’ *
। Pzm t
' * ] o^ + 2m * *
460
Сделаем очевидные преобразования этого ряда:
а == +• ••+?*)+
10я
+т^(10И!-1^+10я”2^+ •• • +р»)+
.+55Д=а«'-‘й+'о-’л+-+р?)+-
В этом ряде члены, начиная со второго, образуют геометри-
ческую прогрессию со знаменателем у^. Применяя формулу для
суммы геометрической прогрессии со знаменателем q таким, что
О < IЯ | < 1, получаем,
1ик
—. +рт)
IQfc + m
+-----------ТГТ------------------
1 10* >
=^(10*-‘«1+ю*-ч,+• • +,»)+ -
_(10”-l)(10*-^f+10ft-2^+.i.+^) + 10,”-iw+10”-%+_
104(10» — 1)
__ 10«+4-»?i-|- 10»+4-2g2-f-,,, 4- 10»^-|- 10ст-1Р1+ 10»-2p2+ ... +pfl,_
‘ ' 10й (10” — 1) - '
. _ Я1Я2- • WiPa- • -Pm—<h<?2- -4k'
104(10»» — 1) 999...9 000...0 *
'ТГраз^ Ч'&"*раз"Х
и правило перёвода доказано.
- § 3. Предел функции
Пусть задана функция y = f(x). Точка а (а—конечное число)
называется точкой сгущения области существования функции
y = f(x), если в любом сколь угодно малом промежутке оси Ох,
содержащем точку а, есть хотя бы одна точка области сущест-
вования этой функции, отличная от точки а. Заметим, что сама
точка а может и не принадлежать области- определения функции.
Пр и меры. 1. Для функции у = 2* любая точка оси Ох есть
точкй сгущения этой функции, и все точки сгущения принадле-
жат области существования функции.
461 •
2. Для функции </ = у любая точка оси Ох есть точка сгу-
щения этой функции. Точка х=0 также есть точка сгу^
щения, но она не принадлежит области существования функции.
3. Пусть задана функция у = Klog2 sin х; область существо-
вания этой функции есть хА = -у4-2л&, где k—любое целое
число. У этой функции нет точек сгущения.
Часто определение точки сгущения дается в несколько дру-
гих терминах. Для любого 6>0 промежуток а—6<х<а4-6
оси Ох называетсй 6 (целъта)-окрестностью точки а.
Точка а (а—конечное число) называется точкой сгущения обла-
сти существования функции y = f(x), если в каждой 6-окрестно-
сти точки а содержится хотя бы одно, отличное от а, значение х
из области существования функции.
1 Если точка а есть точка сгущения области существования
функции y = f(x), то найдется, притом бесконечно много, после-
довательностей {х„}, хп^=а, из области существования функции
y — f(x), имеющих своим пределом точку а.
Ц римеры. 1. Пусть задана функция у —2х и точка
точка сгущения области существования этой функции. Последо-
вательности точек {х„}, например, такие:
. . 1 1,2 I,1.
1-Ья’ Хп~ ^7п' Хп~ 1-гя2’
хп~ l?’ х« —!+ п ’ Хп~1 п(л+1) И Т’ Д‘
— последовательности точек из области существования этой функ-
ции, причем в каждом случае lim хп—1.
П->+ао
- 2. Пусть задана функция У — -^ и точка а — 0— точка сгуще-
ния области существования этой функции.’ Последовательности
точек {%„}, например, такие:
' -!• -!• — 1
Х"~ п' Х»~2П’ Ха 4Я4-П’
1 1 (—1)*
— последовательности точек из области существования этой функ-
ции, причем lim х„ = 0. *
га-> + <ю
Покажем, что для любой функции y = f (х) и любой точки
сгущения а области существования этой функции можно по-
строить хотя бы одну последовательность точек {х„} из области
существования такую, что хв=/=а и limx„=/z. _ '
П-*<Ж>
Выберем положительное число 6$ и возьмем окрестность
точки а, соответствующую’ числу б,,. и в ней возьмем любую
точку Xj^a из области существования этой функции. Возьмем
.462
Lsawmseis- ...,
I
теперь положительное число 82 такое, что 82 < 8* и 32 < | а—х± |.
В окрестности точки а, соответствующей числу 62, возьмем лю-
бую точку х2^а из области существования этой функции и
т. д. В результате получим последовательность точек:
^2» ^3» * ' М •
Последовательность положительных чисел {8П} берется такой,
что кроме указанных условий она ^удовлетворяет условию
Пт 8„ = 0. Покажем, что lim хп — а. Действительно, для лю-
п-* + оо
бого е>0 можно найти номер N такой, что 6лг<е. Для любого
и > Af при указанном способе выбора 6„ и хп имеем < 6# и
|х„—а|<6„. Итак, для произвольно выбранного 8 > 0 можно •
найти N такой, что для любого п> N |х„—а| < 8, -а это озна-
чает, что lim хп = а.
п-+<х> .
Из построения видно, что для любой функции y~f(x) и любой
точки сгущения а области существования этой функции можно
-построить бесконечно много последовательностей точек из области
существования таких, что lim 'хп — а.
П-^+с/з-
Заметим, что каждой такой последовательности хп х2, ...
.,., х„, ... соответствует последовательность f (хг), f (х2), ...
.... f(xft), ...
Пусть точка а—точка сгущения области существования функ-
ции y = f(x). Число А называется пределом этой функции при
стремлении х к а, если для любой последовательности точек из
области существования функции {х„}, хп=£а, имеющей пределом
число а, последовательность (х,г)} Имеет пределом число А.. При
. этом пишут lirnf (х) = Л.
Пределом функции может являться как конечное число А,
так и (-ф оо) или (—-оо): lim f (х) = +оо (lim f (х) = —оо}, если для
х-+а х-+а
каждой последовательности {х„} такой, что х„—»а, f(x„Y~>-4-оо
— °0)- .
Примеры. 1. Доказать, что lim2* = 2.
Для этого покажем, что lim 2Х« = 2 для любой последова-
П^-4-оо '• *
тельности точек из области существования функции {xn}, 1,
такой, что - lim = 1; т. е. что для любой такой последова-
тельности и любого 8 > 0 найдется номер N такой, что для лю-
бого п> АГ справедливы неравенства 2—8<2*«<2 4-8. Заме-
тим, что условие lim х„ — 1 означает, что для любого числа
4- оо
ef>0 найдется номер такой, что для любого n>Afs спра-
ведливы неравенства 1 —ef < хп < 1 +ег
Пусть теперь дано положительное число е. Выберем число
ei==log2 ^1. Ясно, что > 0. Возьмем теперь любую по-
463
следовательность точек из области_существования функции {хп},
хп=^1, такую, что lim х„=1. Тогда для этой последовательно-
П-+ + ОО
сти {хп} существует номер4 такой, что для любого п > Nt
справедливы неравенства 1—81<хп<14-е1, а следовательно, и
неравенства '
2Х« < 21+8» = 2-28»= 2-2,og ' ' =2 (1 +'у) = 2 + е;
2х» > 21-81 = —
2е»
2 _ 2 4 4—е3_
2М-*тГ'+|~2+‘ 2+’“
2—е.
Итак, для любой последовательности точек' из области существо-
вания этой функции {хп}, х„=/=1, такой, что lim х„ = 1, и для
fl—► + ОО
любого е > О найден номер N — такой, что для любого п~> N
справедливо неравенство 12Х« — 21 < е, т. е. показано, что
lim 2х» =2 для любой последовательности из области сущест-
71—> + оо
вования функции {хп}, хп^1, такой, Что lim хп—1. Следова- ,
тельно, lim 2Х« = 2.
Хп-H j *
2. ‘Доказать, что lim-r-г= 4-оо.
Iх । •
Пусть {%„}, хп 0, — дюбая последовательность точек из обла-
сти существования функции такая, что lim х„ = 0. Это озна-
И-> + <ю
чает, что для любого числа ег > 0 найдется номер N такой, что
для любого n> N справедливы7 неравенства 0<|х„|<е1. Возь-
D 4Г 1
мем произвольное положительное число В и обозначим ег = ^.
Тогда для любой последовательности {х^, х„У=0, такой, что
lim х„ = 0, найдется номер N. такой, что для любого п> ДО
И->4-оо j ’ 4"
справедливы неравенства 0 < | хп | < -g-, т. е. справедливо нера-
венетво -j—г > В.
I хп I
Итак, для любого В > 0 нашелся номер ДО такой, что для
любого п > ДО справедливо неравенство -Д-г > В, т. е.
I хп I
lim т-Ц-= +00 Для любой последовательности точек из обла-
«-> 4. оо I ХП I •
сти существования функции {хп}, х„=^0, такой, что lim ха~0.
П->+оо
Следовательно, lim jjy = + оо.
Будем говорить, что ( + °о) является точкой сгущения для
области существования функции y = f(x), если для любого боль-
шого положительного числа В найдется хотя бы одно значение х,
464
принадлежащее области существования функции »«^(л), такое,
Будем говорить, что (—оо) является точкой сгущения для
области существования функции у = если для любого отри-
цательного числа В такого, что | В | — сколь угодно большое
число, найдется хотя бы одно значение х, принадлежащее обла-
сти существования функции y — f(x) такое, что х<В.
В случаях, когда (Н-оо) или (— оо) являются точками сгу-
щения для области существования функции у = f (х), также легко
показать, что можно построить последовательность точек {хл} из
области существования функции y = f(x), которая будет иметь
своим, пределом (4-оо) или (— оо) соответственно, и определение
предела функции у = f (х) можно распространить на случаи таких
точек сгущения.
Пример. Для функции у=1+у и ( + <») и ( — оо) явля-
ются точками сгущения и lim (1+ — lim (1+ —
Пользоваться приведенным определением предела функции для
его отыскания трудно. Поэтому чаще пользуются другим, экви-
валентным ему, определением на так называемом языке «е, ,6».
Пусть точка а есть точка сгущения области существования
функции y — f(x) и а—конечное .число. Число А называется пре-
делом функции y = f (x) при стремлении х к а, если для любого
8>0 найдется 6>0 такое,хчто для любого х из области суще-
ствования этой функции и такого, что 0< |х—а | < 6, выпол-
няется неравенство |f(x) —А|<е, При этом пишут limf (х) = А.
х-+а
Пусть ( + <») есть точка сгущения области существования
функции y = f(x). Число ^ называется пределом функции y — f(x)
при стремлении х к (+^о), если для любого е>0 найдется
число М > 0 такое, что для любого х из области существования
функции y = f(x), и такого, что М < х, выполняется неравенство
|/(х) — Л|<8. При этом пишут lim f(x) = A.
Х-> + ОО
Пусть (— оо) есть точка сгущения области существования
функции y = f (х). Число А называется пределом функции y = f(x)
при стремлении х к ( — со), если для любого е>0 найдется
М < 0 такое, что для любого, х из области существования функ-
ции y = f(x)l и такого, что х<М, выполняется неравенство
|f(x) —Д|<е. При этом пишут lim f(x) = A.
Аналогично можно дать определения: limf(x) = —со,
X—
limf(х)=. + оо, lim f(x)—— оо и т. д. В качестве примера
х-+а х->- - оо' . • •
приведем одно из таких определений.
Пусть а есть точка сгущения области существования функции
y = f(x) и.а— конечное число. Будем говорить, что функция
y = f(x) имеет пределом ( + °°) пРи стремлении х к а, если для
465
любого числа В > 0 найдется число 6 > 0 такое, что для любого
х из области существования функции и такого, что 0 < | х—а| < 6,
будет выполняться неравенство f(x)>B. При 'этом пишут
. lim f (х) — 4- оо.
х-*а
Найдем'пределы некоторых функций, используя определение
предела на языке «8, б».
Примеры. 1. Дана функция у = 2х и точка м = 1 — точка сгу-
щения области существования этой функции. Доказать, что
lim2x = 2.
х-*1
Возьмем произвольное положительное число 8 и выберем
число б > Q; Выберем, например, .6 = log4 (1 + у) ясно, что
б > 0. Возьмем теперь-любое х, такое, что 0 < | х — 11 < б, т. е.
любое х=/= 1 из промежутка 1 — б < х < 14-6.
Ясно, что
2x<21+e=2-2?=2.2Iog2(1+‘^=2 (1 + у) = 2 + е.
2-> 2-» = 2-:2-«= 2-2”'°е‘ ('‘т) =4т=24; > =
1 ‘2
Эти неравенства означают, - что (2х —2|<s. Итак, для любого
е>0 нашлось 6 > 0, такое, что (2х—2(<е для любого х из
области существования функции, и такого, что 0<|х—1|<6.
По определению это и означает, что lim 2х = 2.
2. Дана функция ,# = -—г и точка а = 0 — точка сгущения
|Х|
области существования этой функции. Доказать, что lim-j—г=
х->-0 1*1
Возьмем произвольное число В > 0 и выберем число б > 0,
например 6 = g-. Ясно, что как только 0<|х —0| = |х| <&, то
-Дт >. i = = В. Итак, для любого В > 0 нашлось число 6 > 0,
В
такое, что -j-ц- > В для любого х из области существования
этой функции и такого, что 0<|х —0|<6. По определению
это и означает, что lim-Д-г = 4-°°-
х-0 1*1
Выше даны два разных определения предела функции: одно
на языке последовательностей, другое—на языке «8, б». Эти
определения равносильны, т. е. если функция имеет предел в
смысле определения на языке последовательностей, то она имеет
тот же предел в смысле определения на языке «в, б» ц наоборот.
466
Покажем равносильность двух определений предела функции в
случае, когда х~ а—конечная точка сгущения и когда функция
имеет конечный предел А.
1. Пусть А —предел функции y = f(x) при х,, стремящемся к
точке а в. смысле определения на языке «в, 6».
Возьмем произвольное е > 0. Тогда найдется число 6 > 0,
такое, что для любого х, принадлежащего .области существова-
ния функции и удовлетворяющего неравенствам 0<|х—а) <6,
выполняется неравенство |/ (х)—А | < е.
Рассмотрим любую последовательность {х„}‘, сходящуюся к а,
и такую, что х„^а и х„ принадлежит области существования
функции y — f(x) при любом п. Тогда для указанного числа
б>0, зависящего от е, существует число N такое, что для лю-
бого n>N выполняются неравенства 0 < | х„ — а [< 6.'Следова-
тельно, при любом п > N будет "выполняться неравенство
|f(xn)—~ А | < е. Но так как е>0 выбиралось произвольно, то
это и означает, что f(x„)—»-А, т. е. для любой последователь-
ности (из области существования функции У—?(х)), сходя-
щейся к а, последовательность f(x„) сходится к А; это и есть
определение предела функции на языке последовательностей.
2. Пусть limf(x) = A в' смысле определения- на языке после-
х-*а
довательностей. Покажем, что limf(x) = A в смысле определения
х-+а
на языке «е, 6».
Доказательство проведем от противного. Пусть / (хп) —» А для
любой последовательности {х„} точек из области существования
функции такой, что х„—>а, причем х„#=а. Предположим, что
для f(x) число А не является пределом при х—>-а в смысле
определения на языке «е, 6», т. е. существует такое положитель-
ное число в, что для любого положительного б найдется хотя
бы одно число х такое, что 0< )х—а| < 6, но |f(xj — A|^s.
Возьмем теперь последовательность {§„} такую, что 6Я—<-0.
По предположению для любого существует число хя такое, что
0 <]х„ — а] < 6п, но |/ (х„) — А]в. рассмотрим последователь-
ность хх, х2, ...,. х„, ... . Ясно, что х„ —► а, но f (хл) не стремит-
ся к А, так как |/(х„) —A|i>8 для всех п.
Следовательно, нашлась последовательность (х„}, х„=#а, из
области существования функции • у =/ (х) такая-; что limx„ = a,
но последовательность {/(х„)} не стремится к А. Это противоре-
чит условию, что для любой последовательности точек из области
существования функции {х„}, х„#=а, такой, что limx„ = a, обя-
зательно lim f (хп) = А, т. е. наше предположение неверно, а верно
утверждение, что из сходимости на языке последовательностей
следует сходимость, на языке «в, 6».
467
Равносильность двух определений предела функции доказана
в случае, когда точка сгущения а и lim f (х) — конечные числа. I
х->а Л
В остальных случаях равносильность определений доказывается Я
аналогично. jp
Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные |
свойствам пределов последовательностей. Заметим, что их прак- I
тически не надо доказывать, ибо из определения предела функ- I
ции при помощи последовательностей вытекает, что все теоремы, I
доказанные для последовательностей, справедливы и для функ- |
цйй. Сформулируем некоторые из них. |
Теорема 1. Пусть точка а есть точка сгущения общей 1
части областей существования функций y = f(x) и y=g(x) и i
пусть существуют оба конечных предела lim f (х) = A, lim g(х) = В. ''
Тогда функции y = f(x)+g(x), y = f(x)—g(x), y = f(x)g(x),
y = L& также имеют конечные пределы, соответственно равные
А-]-В, А —В, АВ, -^-(В^О в случае частного). '
Теорема 2. Пусть точка а (а —конечное число) есть точка
сгущения области существования функции y = f(x), и если
limf(x) = A, где А > 0, то существует 8-окрестность точки а
х-*а
такая, что для любого хфа из области'существования и при-
надлежащего этой окрестности, функция y = f(x) положительна.
Аналогичное свойство справедливо, если А < 0.
Теорема 3. Если точка а {а —конечное число) есть точка
сгущения области существования функции y—f(x)u если limf (х)=А,
х-+а
где А — конечное число, то существует такая 8-окрестность точ-
ки а, что для любого хфа из области существования и принад-
лежащего этой окрестности функция у = Цх) будет ограничен- '
ной, т. е. найдется такое число Af > 0 и такое 8 > 0, что для I
любого х из области существования । функции, такого, что
0 < | х—а | < 6, будет справедливо неравенство | f (х) | М.
Теорема 4. Пусть точка а есть точка сгущения общей
части областей существования функций y = f (х), у = р(х) и
y=g(x) и для любого х=/=а, принадлежащего некоторой 8-окре-
стности точки а и общей части областей существования этих
функций, справедливы неравенства f (х) Р (х) g (х); Если
limf (x) = limg(x) = А, тогда и \imp(x) = A:
х-+а х-+а х-+а
Пример. Используя теорему 4, докажем, что lim^^=l.
лг^-0 х
- sin х
Функция у — четная, поэтому рассмотрим ее на интер-
вале (0, л/2). Докажем, что на этом интервале имеет место двой-
ное неравенство
sin х 1
COS X < — < 1 •
(1)
468
Возьмем дугу AM единичной окружности, соответствующую
углу, радианная мера которого равна х (рис. 185). Тогда
|ОЛ| = 1, |AfAT| = sinx, |CW| = cosx. Из подобия треугольников
ОАТ и ОЛШ находим | АТ |»= -™- = tgx. Так
как площадь треугольника ONМ меньше площади сектора ОАМ,
а площадь этого сектора меньше пло-
щади треугольника О АТ, то имеем
двойное неравенство
110 A11 АГАТ] < у IО A IAM <
<^\ОА |.| ЛТ|
или
sin х < х < tg х.
Разделим это двойное неравенство на
sin х. Поскольку sin х > 0, то знаки-
неравенства не изменятся и получим
справедливость двойного неравенства
1 <- х 1
sinx cos х ’
Рис. 185.
Так как рассматривается интервал (о» у) и на нем х>0,
cosx>0, sinx>0, то имеем равносильные неравенства
1 sinх . , х . 1 ,, sinх <
sinx х < ’ sinx < cosх x >COSX,
что и доказывает неравенство (1).
В силу четности функций y = cosx и у = ^~ двойное нера-
венство (1) будет иметь место и на интервале (—-5-, 0 ). Дей-
ствителыю, если х£ (—у , о) , то 0 <(—х) < у и неравенство
(1) имеет вид
cos(-x)<5ifc^.<l.
г V > (_ X)
. sin (—х) —sinx sinx Л
Но cos (—х) = cos х, —_х ’ = . Следовательно, не-
равенство (1) справедливо и при х£ (—у, о). Итак, для лю-
бого х€^—у. О) U (о, у) имеем cosx<^-^<l. Для того
чтобы теперь воспользоваться теоремой 4, необходимо доказать,
что limcosx=l. Воспользуемся определением предела функции
Х->0
на языке «8, б», т.. е. докажем, что для любого е > 0 найдется
469
такое б>0, что как только 0 < | х| < 6, тр |1—cosx|<8.
В качестве 6 возьмем величину тогда |1—cosx| = l—cosx=
X ( | X I \ / I X I \ 2
= 2 sinS2-=,2 ( sin*^2 у -у1) •< e> чт0 и требовалось дока-
зать.
Итак, функция у = 3—^- при х£^—у, oj U ^0, у) заклю-
чена между 1 и cos х, и поскольку lim cos х = 1, то по теореме 4
Х->0
.. sin х ,
получим lim——=-1.
Х->-0 х
В определении предела функции у = f (х) в точке а (точ-
ке сгущения области существования функции) х может прибли-
жаться к а по любому закону.
Иногда приходится рассматривать предел функции y = f(x),
когда х (из области существования функции), стремясь к а,
остается все время справа от точки а. Тогда говорят, что функ-
ция y = f(x) имеет предел справа, и записывают lim f(x) = A,
х->а+о
где lim f(x)—либо конечное число, либо (+«>), либо (—оо).
х->ан- о
Аналогично-определяется предел слева lim f(x)=A.
x->a-0
Примеры. 1. lim signx=l, lim signx =—1 (рис. 186).
X->0 + 0 X->0-0
2. Mm 7Z75- = +<», Mm —Ц- = —oo (рис. 187).
3. Функция y=x2 имеет в любой точке а предел и справа и
слева, при этом lim х?= lim х? = а?.
' х->а4-о х->а-о »
Пусть дана функция у = f (х) и ее график. Если существуют
точка М (х0, f (х0)) и прямая, такая, что хотя бы при одном из
условий х—>-а, х—>а + 0, х—>-а—0, х—* 4-оо, х-*—оо начи-
ная с точки М расстояние между точками графика и прямой
неограниченно уменьшается, то эта прямая называется асимпто-
той функции y = f(x).
Если выполняется хотя бы одно из условий:
limf(x)=,Ч-oo, lim f(x) = 4-oo, lim f(x) = 4-°°»
x-*a x->a+o x->a-o
limf(x) = —ob, lim f(x) = — oo, lim /(x) = — oo,
x->-a x-»a+o x->a-o
то асимптота x — a называется вертикальной.
Примеры. 1. Функция г/ = log2 (х4~3) имеет вертикальную
асимптоту х — —3, так как lim log2 (х 4-3) = —о© (рис. 188).
х->-3 + в
2. Функция у= , з.. имеет вертикальную асимптоту х——1.
1 I x-f- 1 I
^-так как lim | х_|_1.|- = 4~°° (рис. 189).
‘470
Если выполняется хотя бы одно из условий lira 7 (*) = £, »
- Х->+оо
lim f(x) = b, то асимптота у — Ь называется горизонтальной.
Х-*-~ <ю ,
Примеры. Г. Функция у = 2 + 3* имеет горизонтальную
асимптоту у = 2, так как lim (2 +3х) = 2 (рис. 190).
Х-> — оо
2. Функция У — -^- имеет горизонтальную асимптоту у = 0,
так как lim — = 0 и lim — = 0.
X-»-—«> Х х->+<х> Х
Если выполняется хотя бы одно из условий lim [f (х)—
X—>+ оо
— (kx+&)] = 0 или lim [/ (х) — (kx + £>)] = 0, то асимптота y=kx^-b
Х~± — оо ,
называется наклонной.
Пример. Функция г/ = х+у — 1 имеет наклонную асимптоту
у — х — 1 (рис. 191).
§ 4. Непрерывность функции
Функция y = f(x) непрерывна в точке х0, если:
1) х0 —точка сгущения области существования функции
y = f(x)\
2) х0 принадлежит области существования- функции y = f(x)\
3) существует lim f(x);
4) lim f(x) = f(x0) (т. e. lim f(x) = t/0, где «/0 = f(x0)).'
x-+x0 x->x0
Примеры. 1. Функция у —2х непрерывна, например, в точ-
ке хв= 1.
Действительно,. х0 = 1—точка сгущения области существова-
ния функции; точка х0 = 1 принадлежит области существования
функции, значит уЛ = 2х — 2; существует lira2х = 2; наконец,
lim 2х = 2 = уа.
1
2. Функция i/ = log3x непрерывна, -например, в точке х0 = 3.
Действительно, х0 —3 — точка сгущения области существова-
ния функции; х0 = 3 принадлежит области существования функ-
ции, значит у„ = log33 = 1; существует limlog3x=l; наконец,
limlog3x= 1 = уд.
Х->3
3. Функция у = -^2 в точке х0 = 2 не является непрерывной,
так как нарушено, например, условие 2, т. е. точка х0 = 2 не
входит в область существования функции.
4. Функция z/ = signx в точке хо = Оне является непрерывной,
так как нарушено, например, условие 3, т. е. не существует
lim sign х.
472
5. Легко проверить, что каждая основная элементарная функ-
ция является непрерывной в л_юбрй точке ее области существо-
вания.
Учитывая вышеприведенные эквивалентные между собой опре-
деления предела функции в точке, приведем еще два определения
непрерывности функции в точке.
Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х^, если
для любого числа е>0 найдется такое число б > 0, что для
любого х из области существования, удовлетворяющего нера-
венству | х—х01 < 6, выполняется неравенство | f (х) — f (х0) | < е.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если
для любой последовательности {хп} значений аргумента из об-
ласти существования, сходящейся к точке х0, соответствующая
последовательность значений функции {f (хл)} сходится к значе-
нию f(x0).
Используя второе определение непрерывности функции в точке,
покажем, например, что функция у = 2х является непрерывной,
например, в точке х0 = 1 (т. е. покажем, что для любого е > О
найдется такое б > 0,, что для любого х, удовлетворяющего
неравенству |х—11 < б, будет выполняться неравенство |2Х—21|<е).
Действительно, для любого числа е > 0 возьмем, например,
число 6 = log2 (1 + у) • Тогда для любого числа х, удовлетво-
ряющего условию |х — 11 < б, т. е. для любого х из промежутка
(1—6; 14-6), будут справедливы неравенства
2*<21+е = 21-2в = 2-2,°в2^1+'Т^=2(1 + -|-) = 2 + е;
2х > 2х-6 = 2-2_е = 2- [2log‘(1+~)] =
_ 2 _ 4 4—еа _»
• ~ , е ~24-е > 24-е 6-
J+y
Эти неравенства означают, что | 2* —2Х| <е для любого х такого,
что |х— 11 < б, т. е. согласно .второму определению непрерыв-
ности функции в точке, функция у — 2х непрерывна в точке х0=1.
Используя третье ойределение непрерывности функции в точ-
ке, покажем, например, что функция z/ = [x] не является непре-
. рывной в точке х — 2, т; е. укажем хотя бы одну последовательность
значений аргумента {хл} такую, что lim х„ = 2, но соответст-
’ оо
вующая последовательность значений функции {[хл]}. такова, что
lim [х„]тЦ2]. Такова, например, последовательность значений
4- оо "
аргумента- с общим членом х„ = 2 — —. Действительно,
lim (2—-'\ = 2, но lim [2—-1 = 1 и, . следовательно,
/1-> + оо \ П J П ->4- оо L П J
lim |2-—= 1 =£2 — [2], что требовалось доказать. ,
«->4-00 L П J
473
Теорема 1. Пусть функции у = f (#) и у = g(x^ непрерывны
в'точке х0. Тогда в той же точке будут непрерывными и функ-
ции y = f(x)+g(x), y=f(x)-g{x), y — f(x)g(x), y = ^j (по-
следняя при условии, ЧТО g(Xft)=/=0).
Эта теорема является следствием теорем о пределе функций
в точке.
Например, согласно теореме 1 функция у — sinx4-х2 является
непрерывной, скажем, в точке х0 = 1. Действительно, точка х0=1
принадлежит области существования и функции у — sin х и функ-
ции z/ = x2. Так как любая основная элементарная функция не-
прерывна в каждой точке ее области существования, то и функ-
ция у — sinx и функция t/ = x2 непрерывны/в точке х0=1. Тогда
согласно теореме 1 и функция z/ = sinx-|-x? непрерывна в точке
х®== 1 •
Наряду с уже рассмотренной непрерывностью функции в
точке часто рассматривается так называемая односторонняя не-
прерывность функции в точке. Приведём соответствующие опре-
деления.
Функция y = f(x) непрерывна справа в точке х0, если:
1) х0 — точка сгущения области существования функции y=f (х);
2) х0 входит в область существования функции y = f(x); ,
3) существует lim f(x), обозначаемый /(х04~0);
4) f(xo+O) = f(xe).
4 Аналогично определяется непрерывность функции слева в
точке xft. Ясно, что если функция у = /(х) непрерывна в точке х0,
то она в этой точке одновременно непрерывна и справа и слева
и f(xo4-0) = f(xe) = f(xo — 0).
.Примеры. 1. Функция z/ = [x] в точке хв==1 непрерывна
справа, так как lim [х] = 1 = [1].
X-j-l + O
2, Функция i/ = signx в точке хо = О не является непрерыв-
ной ни справа, ни слева. Действительно, хотя функция z/ = signx
в точке хо = 0 имеет и предел справа ( lim signx=l\ и пре-
дел слева ( Пт si^i^ =—1А, но ни один из этих пределов
\Х->0 —О /
не совпадает со значением функции y = signx в точке хо = О
(sign 0 — 0).
3. Функция у = 2х в любой точке х непрерывна и справа и
слева.
Функция y = f(x) имеет в точке хе разрыв, если не выпол-
няется хотя бы одно из условий 1—4 определения непрерывности
функции в точке ха.
Пр и м е р. Функция »/ = signx имеет в точке ха=0 разрыв.
Действительно, равенство lim sign х=sign 0 не выполняется, так
Х->0
как не существует предела функции i/ = signx в точке хв = 0-(хотя
и существуют односторонние пределы, но они не равны “друг
474
другу и ни один из них не равен значению функции в точке
хв = 0).
Пусть функция у = [(х) имеет разрыв в точке хв. По опреде-
лению точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в
этой точке функция y = f(x) имеет конечный предел как справа,
так и слева. Во всех остальных случаях разрыва точка х0 назы-
вается точкой разрыва второго рода.
Примеры. 1. Для функции г/ = [х] точка х0 = 1 является
точкой разрыва первого рода. Действительно, функция у = [х]
имеет в точке х0=1 разрыв, так как функция у = [х] в точке
х0 = 1 не имеет предела, но имеет конечный предел и справа
/ lim '[х] = 1\ и слева ( lim [х] = 0у
2. Для функции У = — точка х0 = О являемся точкой разрыва
-^1
второго рода. Действительно, функция у =—з точке хо = Оимеет
разрыв, так как точка хо = О не принадлежит области существо-
вания функции. Кроме того, функция У = у в точке хо = О не
имеет конечного предела справа ( ши — =-|-оо). -
. \*-*о+о х /
3. Для функции i/ = sin^y^ точка хо = О является точкой
(I \
у! в точ-
ке хо = О имеет разрыв, так как точка х9 = 0 не' принадлежит
области существования функции. Кроме того, функция «/=sin^-ij
в точке хо = О не имеет предела справа, так как можно , указать
две последовательности значений аргумента справа {х„} и {х„},
такие, что lim х„ = 0 и , lim х„ = 0, но соответствующие после-
/г->4-00 Л->+оо
доватедьности значений функции -{sin и |sin |таковы,
что lim sinf—lim sin f-V) • Такими, например,' будут после-
Л_>+ОО \Хп/ Л->+«> \Хп/
* 1
довательность с общим членом хп =-------и последовательность
у+2лп
, , 1
с общим членом х„ = —.
Функция y = f(x) называется непрерывной на некотором про-
межутке (а,Ь), если она непрерывна в каждой точке этого про-
межутка. Другими словами, функция у = f (х) непрерывна на
промежутке (а, 6), если:
1) весь промежуток входит в область существования функции
y = f(x\,
2) любая точка х0 этого промежутка есть точка сгущения ,
области существования функции y = f(x\,
475
3) в любой точке х0 этого промежутка существует lim f(x);
х~^х0
4) в любой точке х0 этого промежутка справедливо равенство
lim f (х) = f (х0), т. е. lim f(x) = y0, где y0 = f(x0). .
Л»Х0 х->дг0
Примеры. 1. Функция y = ct>sx непрерывна на промежутке
(—оо, 4-оо). ' ,
2. Функция y = log3x непрерывна на промежутке (0, 4-оо)..
3. Функция у — -^-Г непрерывна на промежутке (1; 4-°°);
кроме того, она непрерывна на промежутке (—оо, 1), но она не
является непрерывной, например, ни на промежутке (—оо, 4-°°).
ни на промежутке [1, 4-оо), ни на промежутке (0, 4-°°).
§ 5. ‘ Производная функции
Рассмотрим функцию y = f(x). Пусть х—некоторая точка сгу-
щения функции, принадлежащая ее области существования, Дх)—
значение функции в этой точке. От значения х переходим к дру-.
тому значению аргумента xt=/=x, которое также принадлежит
области существования. Разность х1—х (обозначим ее через Дх)
называется приращением аргумента в точке х. Значение функ-
ции, соответствующее значению аргумента Xj = x-|-Ax, обозначим
/(х-}-Дх).
Разность f (х-f- Дх) — Д(х) называется приращением функции
в точке х, соответствующим приращению аргумента Дх в этой
точке, и обозначается Ау или Д/(х):
Ду=Д/(х) = f (х 4-Дх)—/(х).
В зависимости от вида функции, ее приращение Ду может быть
равно нулю, быть положительным или отрицательным числом.
Приращение аргумента Дх также может быть положительным или
отрицательным, но Дх=£О.
Примеры. 1. Найти приращения функции у = |х| в точках
х = 0, х= 1 и х ——1, считая, что |Дх| < 1. '
а) Если х = 0, то
( Дх, если Дх > О,
, Ду = |04-Дх| —10| = |Дх| = < . . .
' » । । । । । । (—Дх, есди Дх < 0.
б) Если х = 1, то
Ду = 114~Дх| — 111 = 14"Дх—1 = Дх, если |Дх|< 1.
- в) Если х — — 1, то^ , -
Ду — |—14-Дх| — | —1| = 1 —Ах—1 = —Дх, если |Дх|< 1.
2. Найти приращейия функции у = sin х в точках х = 0, х = у,
x = -^-j и в произвольной точке х. '
476
а) Если x = 0, то Ду = sin (0 + Aq — sTuO^sin Дх.
б) Если то
Ду =Sin L-3-4- Дх 1 —sin у= 2 sin cos I у + у ).
в) Если х= —то
и
.. . / л . А \ . / л\ о . Ах ( л . Ах
Ду = sin ( —-у +Дх1—sin ( — yj = 2 sin у cos I — y + y
г) Если x —любая точка, то.
д • / । а \ . Ах Z . Ах
Ду = sin (х 4- Дх) — sin х = 2 sin -у cos ( х + -у
3. Найти приращения функции у = j/x в точках х = 0, х = 1 и
любой точке х£(0, +оо).
а) Если х = 0, то приращение Дх > 0 (в силу области суще-
ствования функции у = ]/х), поэтому
Ду = V0 + Дх —1^0 =)/Дх.
б) Если х = 1, то
Ду=]/'14-Дх—/1 =
(КТ+Д^- 1)(П+Ах+1)
(Л+д^+1)
Дх
У 14-Дж-Е 1 *
где | Дх | < 1.
в) Если х —любая точка (х>0), то
Ду =Кх + Дх —У'х =
(Ух+Дх— У~х)(У*+Лх-{- У~х)
Ух4-Дх+ V~x
где | Дх | < х.
Пусть функция y — f(x) определена в некоторой окрестности
точки х. ДаДим аргументу х приращение Дх (при этом предпо-
лагается, что точка х-|-Дх принадлежит области существования
функции). Тогда функция получит приращение Ду = f (х + Дх)—Дх).
Производной функции y — f(x) в точке х называется предел
отношения приращения этой функции к приращению аргумента
в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю,
если такой предел существует и конечен. j
Производная функции y = f(x) в точке х обозначается у'
(читается «игрек штрих»), или (читается «де игрек по де икс»),
или (читается «де эф по де икс»). Нахождение производной
от функции называется дифференцированием.
477
Итак, по определению:
Нт Пга
. дх->оА* дх->о Дх
т. е.
Г(х)= lim
Дж-со ДХ
Из определения следует, что производная~$ункции y = f(x) в
точке х есть число, зависящее от рассматриваемого значения х,
но не зависящее от Дх. Кроме того, производная функции y=f(x)
может существовать не во всех дочках области существования
этой функции. Рассмотрим множество М всех точек области су»
ществования функции y — f(x), в которых эта функция имеет
производную. Вычйсляя производную функции y — f(x) в любой
точке х 6 М, получаем, что каждому числу х С М ставится в со-
ответствие одно число f (х). Другими словами, этим соответст»
вием задана функция, обозначаемая у' = f'(x), с областью опре»
деления —множеством М.
Найдем производные некоторых элементарных функций.
1. Пусть на некотором интервале (а; Ь) функция y = f(x)
имеет постоянное значение с,-т. е. у —с на (а\Ь). Тогда у' = (с') — О
для любогб х из (а; Ь).
Действительно,’для любого х из (а; Ь): ку = с—с=0, следо-,
вательно,- = 0, откуда у' = lim = lim 0 = 0.
дх дхч-оах Дх—*0
2. Пусть у = х, тогда у' = 1 для любого х.
Действительно, для любого х Ду = (х4 Дх)—х = Дх и
lim^= lim т^-= lim 1^=1.
Дх->0 &Х ДХ->0 &Х Дх->0 —
3. Пусть у = хп'(п —фиксированное натуральное число), тогда.
у’ = пх2~1 для любого х.
Действительно, для любого х по формуле бинома Ньютона
(см. гл. II) - .
Ду=(х+Дх)” — х" = пхп~г Дх + х”-? (Дх)2 4» *.. 4- (Дх)в,
откуда
^=nx"-l+-Ax [п(”Т-^хп~2+Дх”(пТ 9 ~2) . ..+Дх"-?1
и, следовательно, у' = lim ^ = nxn-1, т. е. (xn)'=nx"_J.
Дх->о лх
4. Пусть у = sinx, тогда у' = eosx для любого х. Действитель-
но, для любого х .
Ду = sin (х + Дх) — sin х = 2 sin cos ^х + 4г)
478
•И, следовательно,
. Дх •
s,n^-
У
lim -Л = litn —т—*cos
Д* Дх->» \
\ 2 .
Ош 2
Ранее было доказано, что lim ——=1. Докажем, х что
Ах->0 SJ
2
lim cos(x-f-^г) = cosx, т. е. докажем, что для любого е>0
Ал-^О \ * /
I/ \ I
cos (х + -^-)—cosx <е, как'только
Для доказательства возьмем 6 = в'и получим следую-
щую цепочку неравенств:
- |cos + —cosx| = J?sin + sin—<21 <е!
. следовательно,' (sin х)' = cos х.
5. Пусть у =icosx, тогда у'==— sinx для любого х. Дейст-
вительно, для любого х
Ду = cos (х + Дх) —cosx = —2sin sin^x 4- 4г
Тогда
. Дх
1п 2 , 1Ч . [ : Дх\
^-’(-l)s‘n(x + TJ
2
w'= lim liml
У J “ д* Дх+о1
И поскольку lim 2 = 1 и lim sin(x+^£) = sinx (доказа-
Дх->о _ Дх-*>о \ /
2
тельство такое же, какие предыдущем примере), то у'——sinx,
т. е. (cosx)' — — sinx.
Если нужно найти производную функции y = f(x) в некото-
рой фиксированной точке х = х0, то обычно сначала находят
производную этой функции в любой точке х, где она существу-
ет, т. е. находят у' = f (х), а затем вместо произвольного х под-
ставляют х = х0. Производную в фиксированной точке х0 обоз-
начают f'(x0), у'(х0), или Л*=ж,, /|х=х0,^|х=х;
Пример. Найти производную функции у = sinx в точках
479
Так как у' = cosx, то
У ) ==22-’ у (n)=cosn =—1, у [—2j =
= cos^—^Q=0.
Решение примерев на нахождение производных значительно
упрощается, если использовать правила дифференцирования, ко-
торые вытекают из теорем для пределов. Рассмотрим некоторые
из них.
В дальнейшем предполагается, что аргумент х изменяется в
общей части областей существования функций, участвующих в
следующих утверждениях.
1. Если в точке х существуют конечные производные функ-
- ции y — v(x) и функции у' = и (х), то в точке х производная суммы
этих функций существует и равна сумме производных этих функ-
ций, т. е. (о (х) + и (х))' = v' (х) 4- и' (х).
Действительно, дадим х приращение Дх._ Тогда функции
t/ = v(x) и у = и(х) получат приращения, соответственно равные
Ду(х) и Ди(х), и функция у — о(х)Ц-и(х) получит приращение
Ду == [(у (х) + Ду (х)) + {и (х) + Ди (х))]—(о (х) 4- и (х))=Ди(х) 4- Ди(х).
Поскольку
Ду _ До (х) . д« (х)
Дх Дхь "г” Дх ’
ТО
/=. lim lim (^4-^) = p'(x)4-»'W.
Ax->-0aX Дх->0 \ AX ДХ /
так как предел каждого слагаемого существует и конечен.
Пример. (x2H-sinx)'=(х2)'4-(sin х)'= 2х4-со§х.
2. Если в точке х существуют конечные производные функции
у = и(х) и функции у — и(х), то в точке х производная разности
этих функций существует и равна разности производных этих
функций, пи е. (и(х)—и(х))' = о'(х)—и'(х).
- Доказательство утверждения 2 аналогично доказательству
предыдущего утверждения и поэтому опускается.
Пример, (х*—cosx)' = (х4)'—(cosx)' = 4х*4-sinx.
Используя формулы нахождения производной в точке дЛй
суммы и разности двух слагаемых, легко получить формулу для
нахождения производной в точке для алгебраической суммы лю-
бого числа 'слагаемых. Напишем, например, эти формулы для
алгебраической суммы пяти слагаемых:
(и 4- о—р 4- g— t)' = и' 4- v' — р’ +g' — f.
Пример. (х4-х5—x84-sinx—cosx)' = 14-5x4—8x’4-cosx4-sinx.
3. Если в точке х существуют конечные производные функции
у — о(х) и функции у — и(х),_ то в этой точке существует
производная функции y — v(x)u(x), при этом
у' = (V (х) и (х))' = о' (х) и (х) 4- о (х) и' (х).
Действительно, дадим х приращение Дх. Тогда функции y=v(x)
и у=и(х) получат приращения, при этом
Д«/ = (о (х) 4- До (х)) (и (х) 4- Д« (х)) — v (х) и (х) =
=v (х) Ди (х) 4- и (х) Д а(х) 4- Дк (х) Д« (*),
Применяя теоремы о пределе суммы и произведения, имеем
Дх->0 Длг-*О \ ЛХ / Дх->0 \ /
4- lim (^й^Д«(х)) = «(х) lim ^£>4-v(x) lim ^^4-
Дя->0 * ' Дх->0 Дх->0
4- lim lim (Ди(х)).
Дх->0 Дх->0
Учитывая, что lim ЭД— — v' (х), lim^7^ = u'(х), lim Ди(х)=0,
Дх->0 &Х Дл»О &Х Дх—>0
получим у' = (и(х)и(х))' =vr (x)u(x)4-v(x)u' (х), что и требова-
лось доказать.
В частности, если y = v(x) = c (с—константа), то (<?и(х))'=
=с'и(х)4-си' (х)—си' (х), т. е. постоянный множитель можно вы-
нести за знак производной: у' =(си(х))' =си’ (х).
Пример. t/ = 5xs4-7x?—4.
у' =(5х34-7х2—4)' ==5(х3)'4-7(х2)'—(4)' = 15х’4- Их.
Используя формулу нахождения производной в точке для
двух сомножителей, легко получить формулу для случая про-
изведения нескольких сомножителей.
4. Если в точке х существуют конечные производные функций
y = v(x) и у — и(х) и функция у = и(х) отлична от нуля в этой
точке, то в этой точке существует и производная функции
,v to «пи чтпм и' ~(V^X — ^Ии(х)—и’(х)и(х)
у-щ$’при этому ~ те;-----------------та
Действительно, дадим х приращение Дх. Тогда функции
y = v(x) и у — и(х) получат приращения, при этом
д __ у (х)+Ду (х)_у (х) __ и (х) Ду (х)—и (х) Azz (х)
У — и (х) + &U (х) и (х) ““ и (х) (и (х) 4- Дм (х)) •
. чДу(х) . чДм(х)
« (*) -Г” — у (х) —г1-2
х 7 Дх v ' Дх
У Д.Мдх 2^0 И(х)(и(х)4-Ли(л))
Применяя теоремы о пределах частного й произведения и учи-
тывая непрерывность функции у — и (х) в точке х, получим, что
, _ v' (х) .и (х)—и' (х) V (х)
у ~ и2(х)
16 М. К. Потапов и др.
481
Примеры. 1. i/ —tgx.
г ,, У /sin х у (sin x)'cos к—(cos x)f sin г cos2x+sin2x 1
У ( & ) \cos x) COS2 X COS2 X cos2*
t. e. (tg xY = —U-.
2. y = ctgx.
/ = (ctgx)
/sinx—(sin x)f cosx —sin2x—cos2x
sin2 x ~ sin2 x
___ 1
sin2x 9
t. e. (Ctgx)'^--^.
Используя формулы производных основных элементарных функ-
ций и правила дифференцирования, можно найти производную
любой функции, которая является суперпозицией основных эле-
ментарных функций. Приведем таблицу 31 производных элемен-
тарных функций:
ТАБЛИЦА 31
у'=/'(*) y—f(x) J/’=f(x)
у=с (с—const) У=х y—xi у=хп («—натуральное число) у=х~п (п—натуральное число) t/=x« (а > 0) у—х~а (а > 0) у = а* (а > 0, а 1) у—ех у=Ло&ах (а > 0. я?6 О <55 <55 <5j <55 <55 <$* <55 <55 <55 <55 1' 11' и' и' 11' 11' 11' 11' 11' 11' H Ъ 1 £ 1 g S’- 0 □ - - 5- g » B ° i " i “ J- <55 <55 <£j <55 <55 <45 <45 Ц5 II II II II II II II II II 03 03 03 0 2 w CT *4 *1 *1 uQ О Si* Э О О 0 О 04 ° 2 « x * x x QQ О К* OQ C cn 3- X X X X H I x 1 X ч с 14- в- 1 7 1 |"н I"k , »«- и « c k* - + 1 + -1^31 Is I* I* u 11- 11 и и 11 j ji ji ji ji «Ъ й}
УПРАЖНЕНИЯ
Выписать десять первых членов последовательности, если ее общий член
задается формулой (1—6):
- * 1
I. fln=sm—, где хп-
1
481
, 1 1
2. <j„=sin —, где х„=— -----.
Я I п
—2-4-2лп
.1 1
3. fl„=sin— , где *„= —-----.
*п л ।_____________
уЧ-ЛП
( п-\-2\п . /Зп + П» _ /1— 2п\а
4- ап=\Т) • 5- Л“_(“л") • •• ап~\~~2п~) •
Написать формулу общего члена последовательности, для которой заданы
восемь первых ее членов (7—12):
,1 2. 1 1 1 1 1
7. 1, у, 6,24> 12о’ 720 ’ 5040 ’ 40320’ ***
1 _i_ 2. 2. 2. 1 2. 1
4’ 5’ б’ 7’ 8’ 9’ю’**’
9 12 1 12, о, -12, _1 -12, о ..
10. 1, 2, 1 4, 4. 6, 4. 8. •••
3 5 7
11. 1, -1, 1, 5, 1, —5, 1, 9, ...
' 19 1 3 1 1 1 1 1 1
12‘ ’ 2 * IP 4 ’ 5 ’ 2 ’ 7 ’ 8 ?
13. Последовательность {сп} задана формулой общего члена: =
Найти с^ + 4.
14. Является ли число (—21) членом последовательности {дл}, заданной
формулой общего члена 6„==я2 —10п? В случае утвердительного ответа найти
его номер. .
Выяснить, является ли монотонной последовательность, заданная следую-
щей формулой общего члена (15—23):
15. а„=п2+2п. 16.
17. an—CQsn. 18. ап= п2~{~п—п.
п у п
21. tz„=2n2—2п. 22. аи = |10—2л2|.
23. р/я4-1—р/л?
Выяснить, является ли ограниченной последовательность, заданная сле-
дующей формулой общего члена (24—29):
24. ви=(1+1)"-
ОЛ „ n2+3n—1 П п+2п2
26. ап = —--------. 27. -----—.
28. «„=(-1)")ЛГ 29. в„=2±^|2.
Zn-f-o
Привести пример последовательности (30—35):
30. Ограниченной сверху, но не ограниченной снизу.
31. Ограниченной снизу, но не ограниченной сверху.
32. Не ограниченной ни сверху, ни снизу.
16»
\ 483
33. Ограниченной, но не имеющей предела.
34. Которая не является возрастающей.
35. Которая не является убывающей.
36. Существует ли числовой промежуток вида [а, 6], которому принад-
лежат все члены последовательности {dw}, заданной формулой_общего члена
5 + 4ft
2 + «
? В случае утвердительного ответа укажите такой промежуток.
37. Найти 5-й член арифметической прогрессии {г„}, если = — 50 и d = 1,2.
38. Найти сумму 30 первых членов арифметической прогрессии {ап}> если
ях = —2,5 и d = 3.
39. Известны два члена арифметической прогрессии {Ьп}: Ь7~ 4,9 и 617 = 10,9.
Каково число членов прогрессии, каждый из которых меньше 20?
40. Является ли число 35 членом арифметической прогрессии —47, —44,
—41, ...? В случае утвердительного ответа найти его номер.
41. Доказать, что если а, b и с есть три последовательных члена ариф-
метической прогрессии, то а2+86с= (2& + с)2.
42. Найти 15-й член геометрической прогрессии {ал}, если а1 = — 0,001 и
q = 10.
43. Известны 8-й член и знаменатель геометрической прогрессии (Ьп}:
58 = 2,56 и # = 2. Найти сумму 16 первых членов прогрессии.
44. Известны два члена геометрической прогрессии {/?„}: di = 0,1 и />3 = 2,5.
Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью?
45. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии {ап}:
ах — — 81 и d = — 4". Является ли эта прогрессия монотонной последователь-
о
ностью?
46. Доказать, что произведение п первых членов геометрической прогрев
сии равно dlq 2 , где «1—первый член прогрессии, a q—ее знаменатель.
47. Доказать, что если ab, Ь\с*—последовательные члены арифметической
прогрессии, то 6, с и (26—а)—последовательные члены геометрической про-
грессии.
48. Последовательности {ап}, {6Л} и {сп} таковы, чю
ai=l, on+i = 0,la„+14;
61 = 5, 6n+f = 6„ + 4;
fi = 5, ол+1= Зол.
Какая из этих последовательностей является: 1) арифметической прогрес-
сией; /2) геометрической прогрессией?
49. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом
Oi = |/~ 2 и знаменателем
Доказать, используя
равенства (50—55):
определение предела последовательности, следующие
50. lim
П->+оо
___1
ft+ft
-2=0.
51. lim
' П->оо
3ft—2
4ft+5
3
4 ‘
г ft—3ft2 __
п —>+ оо (2п + 1)(п+1)“"
г ft
53. lim 73-7 = 0.
«+1
3
2 ‘
484
54.
lim
n(n —1)_
(na—4) ““
1, 55. nm ?in2.n + 1.==o,
П-^+9» W
Вычислить (56—76):
1—2/i
2+6,5л*
57.
lim
П-^+оо
5n—4
1 — 7n
n—3
5 + 2/z*
58.
lim
«->+<»
]/3n + l
5—0,9/i
59. lim
3n
2n —1
Л2 \
4n2 —1/
62.
66.
2/l-n2+n«
Ь 2n—l + 3n2 ’
61. Um (/n2—2n—n).
n->+oo
lim
/&-► + «>
3/i+lV
4n+5/
63. lim
Zn-iy
\«+2/
,, n(n+3) / n2—1 \»
fan 7—ГТГ7—тяг • 65. lim ----rr-.—-=. I .
(n+1 (»4-2) \(n—1)(»+5)/
lim
3«+n
3n—2/Г
67.
lim
X ->
sin4x
0 3x ’
68. lim-^Цг-. 69. lim cosfx+^-Y
x 0 sin 9x л \ 1 3 j
70. lim tgx. 71. lim (sin5xcosx—sinx cos 5x).
я я
x">“ 3 2
72. lim Xy~'t-. 73. lim /7+1.
v2_l_v • 1
ж2—5x+4
74. lim --A/ , a- .
x-+i(X—l)(x + 6)
76. lim (sin 3x ctg 4x).
x -+ о
75.
Um
л 1—tg»x
c"’"6
Найти производную следующей функции (77—90):
77. y=tgx+ctg(l— х). 78. y=2sin (х )+cos(2x+l).
\ о у
7., ,п(3.+5). Ж
81. y=log1/2 у2х—1- 82. j/=log3(2JC2—Зх+1).
83. y=ldg10cosx. 84. у=х~^ 3— 3.
85. у=(2 —х)*,«. 86. у=.
' ' 9 sinx
87. y=e2*tgx. 88.i/=-^—.
cos х
89.у=еСМХ\ 90. у=(/2х*—з/”3)^*.
Глава X. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В гл. III уже рассматривались системы алгебраических- урав-
нений с несколькими переменными. В этой главе рассматривается
общая теория решения систем линейных уравнений с несколь-
кими переменными.
Отметим, что алгебраическое уравнение Р(х, у?, .... /)—О
(см. гл. III) называется линейным, если Р(х, у, ..., t) есть
многочлен степени не выше первой, целый относительно пере-
менных х, у, ..., t.
§ 1. Матрицы
Матрицей размеров ту.п называется совокупность тп. чисел,
расположенных в виде прямоугольной таблицы из т строк и п
столбцов.
Например, прямоугольная таблица чисел
/ 1 3 /2\
\—5 7 1/
есть матрица размеров 2x3; прямоугольная таблица чисел
/04%
( —2 3/4 )
\ 0 7 /
есть матрица размеров 3x2.
Матрица размеров Кхп, т. е. состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой. Например, матрица (1 3 4 5) есть
матрица-строка.
Матрица размеров тхТ, т. е. матрица, состоящая из одного
* столбца, называется матрицей-столбцом. Например, матрица
/ 2\
( 1 ) есть матрица-столбец.
\—з/
Матрица размеров пхп называется квадратной матрицей,
а число п называется ее порядком. Например, матрица
/1 2 3\
(О 7 3 1
\4 5 5/
есть квадратная матрица третьего порядка.
486
Квадратная матрица порядка 1 есть просто число.
Числа, из которых состоит матрица, называются элементами,
матрицы.
Для записи матрицы в общем виде элементы матрицы обо-
значаются буквами с двумя индексами, нацример при этом
первый индекс указывает номер строки, а второй индекс—номер
столбца, в которых содержится этот элемент.
Например, матрица размеров 3x4 записывается в общем виде
так:
< Дц Л12 #L3 #1<\
#21 #22 #23 #24 )•
^#31 #32 #33 #34'
(1)
Часто матрицу, элементами которой являются, например,
числа biJt обозначают одной заглавной буквой В и для записи
этого факта употребляют знак равенства. Нацример, матрицу
с элементами ait принято обозначать буквой А и записывать
этот факт так:
/#!< #12 #13 #14\
А =4 #21 #22 #23 #24 |
К#31 #32 #33 <#»И
Пусть дана матрица С размером mxn:
/ cli #12 #13
| С21 #22 #23
С I #3i #82 #33
#1п \
С2п 1
#3«
cmt ст2 стЗ
Стп*
Индексы I и / называются допустимыми для матрицы разме-
ров mxn, если i —индекс строк есть любое из чисел 1, 2,..., т\
/—индекс столбца есть любое из чисел 1,2, .. ., п.
Часто у матрицы-столбца и матрицы-строки их элементы
обозначаются одним индексом. Например,
f*i\
X=U , F=^ fa f3 /4).
\Х3/
Матрицы А к В, каждая из которых размеров тхп, назы-
ваются равными, если равны их соответствующие элементы, т» е.
если aii=bij для любых допустимых индексов i и /. В таких
случаях пишут А = В. Например,
/3 4 / 2\ [ r V 2
ко 1 2J-1 0 1 Ю
487
Для любых матриц знаки сравнения >, < или «С лишены
смысла, а для матриц разных размеров, кроме того, лишен смысла
знак равенства.
Суммой матриц А и В, каждая из которых размеров тхп,.
называется матрица С тех же размеров тхп, каждый элемент
которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В,
т. е. С = Л + В, если c,7 = a/74-fe,7 для любых допустимых ин-
дексов i и /. Например,
2 3 \ /1 —2\ / 3 1\
-1 1/2 ) + ( 0 3/2 1 = 1-1 2 ).
О 4 J \1 —1/ \ 1 3/
Для матриц А и В с разными размерами операция сложения
лишена смысла.
Легко видеть, что для любых матриц А, В, С, каждая из
которых размеров тхп, справедливы следующие утверждения:
а) сложение матриц коммутативно'. Л 4-5 = В 4-^1
б) сложение матриц ассоциативно'. Л 4-(В4-С) = (Л 4-В)4-С.
Из этих утверждений следует, что в любой сумме конечного
числа матриц, каждая из которых размеров тхп, слагаемые
можно писать в любом порядке и скобки, указывающие порядок
сложения, можно расставлять произвольно. Например,
[Л 4~ (С 4- В)] 4- D — [(Л 4- С) 4- BJ -|- D ='Л 4- В -J- С 4- D.
Матрица размеров тхп, у которой каждый элемент равен
нулю: * /ООО. /ООО . 0=10 оо . О 0^0
\о 0 0 . . 0/
называется нулевой матрицей размеров (тхп) или нуль-матри-
цей размеров пгхп. Эта матрица обладает тем свойством, что
для каждой матрицы Л размеров тхп справедливы равенства
Л4-0 = 04-Л = Л.
Например, матрица 0= К 0 oj есть нуль-матрица размеров ;
2x3, матрица 0=^ q) есть квадратная нуль-матрица второго
порядка.
Среди всех матриц, каждая из которых размеров тхп, су-
ществует единственная нуль-матрица. Нуль-матрицы разных раз-
меров принято обозначать одним и тем же символом 0, что не
приводит к недоразумениям, ибо из контекста ясно, какие раз-
меры имеет нуль-матрица в рассматриваемом случае. -7
Пусть дана матрица Л размеров тхп. Матрица (—Л) тех же ;
размеров, каждый элеме-нт которой есть элемент матрицы А, |
488 I
взятый с противоположным знаком, обладает тем свойством, что
Л+(—Л) = (—Л) + Л=0. Матрица (—А) называется противо-
положной матрицей к матрице А. Например, матрица ПР°-
тивоположная к матрице матРица о ~i —2) пР0ТИВ0‘
/5 ''б —1\
положная к матрице ( 0 __j 2 ).
Можно показать, что для любой матрицы А существует един-
ственная противоположная матрица, т. е. для матрицы А только
матрица (—Л) такова, что Л + (—Л) = (—Л)4-Л = 0.
Сложение матриц обладает обратной операцией — вычитанием.
Это значит, что для любых двух матриц Л и В, каждая из ко-
торых размеров тхп, существует единственная матрица С тех же
размеров и такая, что А-\-С = В. Матрица С называется разностью
матриц А и В и обозначается Л— В. Например,
/4 о iXf 2 1 1\_ /2 -1 о\
\3 5 7/ \-6 1 —l)~ \9 4 8J'
П роизведением матрицы Л размеров тхп на некоторое число а
называется матрица С тех же размеров тхп, элементы которой
получаются из соответствующих элементов матрицы Л умноже-
нием на это число а, т. е. С — аА, если с{]=аац для любых
допустимых индексов i и /. Например,
0/3 4\_/б 8\. о/-1\/3\
2/—Д2 4/’ 0/
Из определения умножения матрицы на число следует, что
для любых матриц А и В, каждая из которых размеров тхп,
и любых чисел а и Р справедливы равенства:
а) (а+р)Л=аЛ+М;
б) (а₽)Л=афЛ);
в) а(Л+ В)=аЛ + аВ.
Заметим, что противоположная матрица (—Л) к матрице Л
равна (—1) Л, т. е. (—Л) = (—1)Л.
Пусть дана матрица-строка F размеров 1 х г, т. е.
и матрица-столбец X размеров rxl, т. е.
/Х1 \
I Xi\
*=( : •
Произведением матрицы-строки F размеров 1 х г на матрицу-
столбец X размеров rxl называется матрица, обозначаемая FX,
размеров 1x1, т. е. число, которое равно сумме произведений
. 489
соответствующих элементов этих матриц, т. е. по определению
7’'X=/1Xi+/2ra+/3X3 + • • • +fr-ixr-i ~t~frxr
или
(fi ff -fr) ( ) = fixi+fzx2 +... +frXr.
'xr
Примеры. 1. (1 2)(“2) = M—4) + 2-2=0;
(2\
3 \ j !
-7 1 = 1.2+|.3+0.(-7)+1.Ц-3.(-1Н
-1/
= — 1. С помощью произведения матрицы-строки размеров 1 х г
и матрицы-столбца размеров гх1 определяется произведение
матрицы А размеров туг и матрицы В размеров гхп, т. е.
таких матриц, что первый сомножитель, матрица А, имеет столько
столбцов, сколько второй сомножитель, матрица В, имеет строк.
По определению произведением матрицы А размеров туг на
матрицу В размеров гуп называется матрица С размеров туп,
обозначаемая АВ, у которой элемент равен произведению i-й.
строки первого сомножителя, матрицы А, на /-й столбец второго
сомножителя, матрицы В, т. е. С —АВ, если с,7 = +-Д/ + а(-2^2/+
+ • • •+а/,г-А-1,/+сгА/ Для любых индексов i и / матрицы С.
Примеры.
/О 1\.
1 . (3 2 —1)( 1 о )=(3-04-2 1 — 1-1 3-1+20 — 11) =
\1 1/
= (12).
/0 1\ , ,0-3+1-(-ЗЛ /-3\
2 .(1 о ){_,)=( 1-3+0-(-3) =( 3 .
\i i/k \1-з+1-(-3)7 \ о/
3 0 0\
2 О 0) =
0 11/
3 .3+1-2 + 4-0 3-0+1-0+4-1 3-0+1-0+4.1\
2-3 + 0-2+5-0 2-0+0.0+5.1 2-0+0-0+5.1/
/3 I 4\/|
U о 5Д0
3-1 + Ы+4-0
2-1 +0-1 +5-0
Итак, операция умножения двух прямоугольных матриц вы-
полнима только в том случае, когда число столбцов в первом
множителе равно числу строк во втором множителе, в остальных
случаях произведение матриц не определяется. В частности, если
матрицы А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка,
то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке сле-
дования сомножителей.
490
Однако заметим, что даже в этом частном
АВ=ВА. Например, пусть Л = Г* ®), B =
случае не всегда
J), тогда
1 °W° IX-fl-O+O-O l-l+0-l\ /0 1\
1 оДо 1/ —ц.о+о*О i-i+o-i/-\о 1/’
/О 1\/1 о\_/о*1 + ы о*о+ьо\_/1 0\
<о 1Д1 о/"До-1+ы о-о+ьо/ \i о;
т. е. АВ^ВА.
Итак, умножение матриц некоммутативно, т. е. в общем слу-
чае АВ^=ВА. Поэтому при перемножении матриц во избежание
ошибок следует строго придерживаться заданного порядка следо-
вания множителей.
Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановоч-
ными, или коммутирующими, между собой.
(1 9\ /_3 2\
_2 0 } и В = ( _2 _4 } перестано-
вочны между собой, так как АВ=(~7& = ’
т. е. АВ = ВА.
Операция умножения матриц является ассоциативной, а также
дистрибутивной относительно сложения, т. е. для любых пря-
моугольных матриц А, В, С, для которых имеют смысл соответ-
ствующие произведения, справедливы равенства:
а) (ЛВ)С = Л(ВС);
б) (А + В)С = АС + ВС, С(А + В) = СА + СВ.
Доказательство этих равенств опускается.
Операция умножения матриц соответствующим образом расп-
ространяется на случай нескольких сомножителей. В силу опре-
деления произведения матриц умножать матрицу А на себя можно
только в том случае, если это квадратная матрица.
Пусть дана квадратная матрица А порядка п и натуральное
число р > 1. Матрица А А... А называется р-й степенью матри-
р раз
цы А и обозначается Ар,т. е. для р>1 по определению Ар=А А... А.
р раз
Кроме того, по определению А'=А.
Пример. Найти куб матрицы Л » (.
л.2-лд-Г 1 °W 1 1
л — лм — ]Д_! 1у| —^_2 1Д
1 0W 1 0\_/ 1 0\
Л—ЛЛ — ^_2 1J —^_з 1J*
Из ассоциативного свойства умножения матриц следует, что
АрАч = Ap+<i, где р и q—произвольные натуральные числа.
Отметим, что для любой матрицы А размеров тхг произве-
дение матрицы А на нуль-матрицу 0 размеров гхп есть нуль-
491
матрица размеров тхп и произведение нуль-матрицы 0 размеров
1хт на матрицу А размеров тхг есть нуль-матрица 0 разме-
ров 1хг. Например,
/о о /о 0\,
\° 0 °/ \1 2/ '° °/ ’
О
О
о 0\
о о)
/О о
о о
\о о
О 0\
о о)<
о о/
т. е. в тех случаях, когда произведение матриц имеет смысл,
для любой матрицы А справедливы равенства ЛО = О и 0Л=0.
В частности, для любой квадратной матрицы А порядка п и квад-
ратной нуль-матрицы 0 порядка п Л0 = 0Л=0.
Известно, что произведение двух чисел равно нулю тогда и
только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
В отличие от чисел, произведение двух матриц может быть равно
нулю даже тогда, когда каждый из сомножителей не является
нуль-матрицей, т. е. существуют матрицы Л#=0 и В^О такие,
что АВ = 0.
Например, матрицы Л = о)^(о о) иВ==(1 1)^(о о)
таковы, что произведение АВ есть нуль-матрица. Действительно,
лп_Л °\(° 0\_/1.0+0-1 ьо+о.1\_/о 0\_п
o)\i 1/ \o-o4-o.i o-o+o-i;-о/“и-
Заметим, что деление матриц не рассматривается, т. е. символ
В
для матриц не существует.
Квадратная матрица порядка п
'1 0 0 ... 0 0\
0 1 0 ... 0 0
ЕЧ II 0 0 1 ... 0 0
0 0 0 ... 1 0
ч0 0 0 ... 0 V
у которой элементы ati = 1 для всех i = 1, 2, ..., п, а остальные
элементы равны нулю, обладает следующим свойством: ЕА — А
для каждой матрицы А размеров пхт и АЕ = А для каждой
матрицы А размеров тхп. В частности. АЕ = ЕА =± А для каж-
дой квадратной матрицы А порядка n; FE = F для каждой мат-
рицы-строки F размеров 1 Х/г; ЕХ = Х для каждой матрицы-
столбца X размеров nxl. Матрица Е в произведении матриц
играет ту же роль, что число 1 в произведении чисел, поэтому
матрицу Е принято называть единичной матрицей порядка п.
Транспонированием матрицы А называется перемена ролями
строк и столбцов с сохранением их номеров. Таким образом,
строки данной матрицы А будут в той же последовательности
492
1\
5 ).
6/
(1 4 Ч \
. . ), то Ат=
— 1 о о/
столбцами транспонированной матрицы, обозначаемой Ат, а столб-
цы матрицы А будут в той же последовательности строками
транспонированной матрицы Ат.
1 —
4
3
Ясно, что при транспонировании матрица А размеров тхп
переходит в матрицу Ат размеров пхт. Если А—квадратная
матрица порядка п, то и транспонированная матрица Ат является
квадратной матрицей порядка п. Заметим, что единичная матрица
не меняется при транспонировании. Легко проверяется, что транс-
понирование матриц обладает следующими свойствами:
а) (АТ)Т = А-,
б) (А + В)Т=АТ + ВТ, (А — В)Т = АТ— Вт;
в) (ХД)Г=ХДТ (X—число);
г) (АВ)Т=ВТАТ.
§ 2. Определители
Пусть дана квадратная матрица второго порядка
д _ f <41 .
\“21 а28/ ’
0)
Определителем второго порядка,, соответствующем матрице (1),
называют число alla2i—а21а12. Обозначается этот определитель
символом
Р11 “1а| (2)
| a2i а221 ' '
или одной буквой А, или символом |Д|. Таким образом, по оп-
ределению
j ДI = А = | {— йийаз—fl2i°ia« (3)
Например,
[_1 _g| =2-(—5)—(—1)-4 = —6.
Элементы матрицы (1) принято называть элементами опреде-
лителя (2), строки и столбцы матрицы (1)—строками и столб-
цами определителя (2).
Рассмотрим простейшие свойства определителей второго по-
рядка.
1. Определитель квадратной матрицы (1) равен определителю
ее транспонированной матрицы. Действительно, пусть
Д _. I аИ °12 I ДТ — | 6111 °21 I
I Й21 #22 I * I #12 #22 I
Так как Д =6Z116Z22—^21^12» а Дг = я1]/122 ^12^21, то Д~ДЛ
493
л ^121,тоД = 0-e22—0 а12 = 0. Если
и «22 I
Замена определителя матрицы (1) на определитель транспони-
рованной матрицы называется транспонированием, определите-
ля (2). Поэтому свойство 1 можно сформулировать так: опреде-
литель (2) не меняется при его транспонировании.
Замечание. Так как по свойству 1 все строки определи-
теля можно, не меняя его значения, заменить соответствующими
столбцами, то, если доказана справедливость некоторого утверж-
дения для столбцов определителя, тем самым будет доказана
справедливость этого утверждения и для строк. Исходя из этого
рассматриваемые ниже свойства определителей будут устанавли-
ваться только для столбцов определителя.
2. При перестановке столбцов (строк) определитель меняет
только знак.
Действительно, пусть Д = 1Си а*2|, Д1 = 1Й12 Тогда
7 [ ^21 #22 I I #22 #21 I
A==6l|14Z22-#21^12» Д1 === ^12^21 “'“‘^'22^'11 == (^11^22 ^21^12}>
A1== — А.
3. Если все элементы хотя бы одного столбца (строки) опре-
делителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Действительно, если Д==
Д1== Iй11 21 , то по свойству 2 Дг = —Д, и поэтому Д^О.
I #21 " I
4. Определитель* имеющий два одинаковых столбца (строки),
равен нулю.
Действительно, если Д = |а“ то Д=опл!21—е21сп=0.
Если Дх = I “и “121, то Дх = alsa22— а22а12 = 0.
I #22 #22 I '
5. Если все элементы некоторого столбца (строки) определи-
теля умножить на одно и то же число а, то определитель умно-
жится на это число.
Действительно, пусть, например, Д = |а*‘ й’2|.,
Тогда Д1 = Hjj (с^22)~”^2i (0^12) ” ®(®и®22 ^21^12) ссД.
Свойство 5 иногда формулируется следующим образом: если
все элементы какого-либо столбца (строки} определителя содер-
жат общий множитель а, то его можно вынести за знак опре-
делителя.
Так, например, подсказанному
выражает правило умножения определителя на некоторое число.
6. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк)
соответственно пропорциональны, равен нулю.
Действительно, пусть Д = “22| и пусть, например, a„=fta12,
a2i = Pa22- Тогда на основании свойств 5 и 4 определителя имеем
Д -1 Р°12 0121 = В16,2 0121 = 0
| fa22 J [ а22 а2г I
#11 ©^#12
«21 ##22
aii “"«UaH1 М. Свойство 5
#21 ##22] |#21 #22 |
494
7. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) опре-
делителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сум-
ме двух определителей, у одного из которых элементами соот-
ветствующего столбца (строки) являются первые слагаемые, у дру-
гого—вторые, а остальные элементы этих двух определителей
те же, что и у данного.
Действительно, . пусть, например, Д=и11Ть11 С1®1»
Нх 21-Н* :"|-тоглал=(»11+(’и)"..-(о!1+би^.-=
=(flna22—а21а12)+(&11а22—^21°12)=Д1+Д2- Свойство 7 выражает
правило сложения определителей.
8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо
столбца (строки) .прибавить соответствующие элементы другого
столбца (строки), умноженные на одно и то же число.
Действительно, пусть, например,
Д11 а121 Д _ | Oil + 0^12 й12
Й21 й221 * * I ^2j-|-CCiZg2 й22
Покажем, что А = Ах. На оснований свойств 7 и 6 определителей
имеем
д 1«11 «и| . (««и о12|==Д_|_0 = Л.
Iaai «22I |аД22 йаг1
Пусть дана матрица третьего порядка
/0Ц 0j2 Л1з\
А = ( 021 й22 023 I > (4)
\#31 032 033'
Определителем третьего порядка, соответствующим матрице
(4), называется число
| ®22 0231 п | 012 0131 । Л | 012 0131 /К\
11|Оз2 «S3! 21 1йзг «331 1а22 «азГ '
Обозначается этот определитель символом
011 012 013
021 022 023
031 032 033
(6)
или одной буквой Д, или символом | Д|. Таким образом, по оп-
ределению
| Л ] =Д =
0ii
021
031
012
022
032
Например,
013 I
023]
(7)
?|-о|
JI+2I
* -J| = 2(l+0)-
2 4
О i
2 —3
—1
О
1
= 2
1
—3
4
—3
—0(4—3)4-2 (0+1) = 4.
495
Элементы матрицы (4) называются элементами определителя
(6), строки и столбцы матрицы (4)—строками и столбцами опре-
делителя (6).
Для изучения свойств определителя третьего порядка введем
некоторые новые понятия.
Минором любого элемента определителя третьего порядка (6)
называется определитель второго порядка, соответствующий мат-
рице, полученной из данной матрицы (4) вычеркиванием столбца
и строки, в которых содержится взятый элемент. Минор элемента
аи принято обозначать Мц. Например, минор элемента ati обоз-
начают Мп, элемента а3] — Л/31 и т. д. Таким образом, по оп-
ределению
Алгебраическим дополнением любого элемента а/7 определителя
третьего порядка (4) называют минор этого элемента Му, умно-
женный на (—1)‘+/. Алгебраическое дополнение элемента а{;
обозначают заглавной буквой того же наименования и с теми
же двумя индексами, что и у данного элемента.
Например, алгебраическое дополнение элемента a2i обозначают
Л21, элемента а23—Л23 и т. д. Таким образом, по определению
Л1 = (-1)1+1Л*п = (-1)1+1Ь’
I “32 “33 I
. Л,,-(-!)««,, = (-1)-«|£
Л„ = (-1)>«М,. = (-!)« “» £ ,
Л33=(- 1)3«Л133=(-^|.
Теорема 1. Определитель (6) равен сумме произведений
элементов любого его столбца (строки) на соответствующие им
алгебраические дополнения, т. е.
Д =а11А11-{-й!21А21п31А.31, A = u11.A1i-4-e12Aj2-|-Oi3.Als,
А == Hj2Aj2 "j-П22“Ь ^*32^32» А ^21^21 *4~ ^22Аг2 ^23 А23, (8)
A=== П|3 Aj3 -j- п23 А 2з *4~ ^зз ^зэ» А ^з1 A3i -4- п32А32 -4- н33 А33.
496'
Докажем, например, четвертое из равенств (8). Для этого
преобразуем правую часть этого равенства:
^li^ii “И ®1з^18 =
—
““ «23Ь (_1)1 + ?|а21 “23 h_fl / П1 + з|«21 «22 =
«32 «зз| 1 12 v 7 I «31 «33 Г v 7 I «31 «321
“ Яц (#22^33 Яз2#2з) ^12 (^21^33 #31^2з) 4“ ^13 (^21^32 ^31^22) :=S
= ^11^22^33 ^11^32^23 ^12^21^33 4“ ^12^31^23 4“ ^13^21^32 ^13^31^22
= (#22^33 &32^2з) ^21 (^12^33 ^32^1з) 4" ^31 (^12^23 ^22^1з) ~
___ Л I «22 «23 I п I «12 «13 I f „ I «12 «131
Ui 11 I t*.ii I I I **Q1 I I •
1 I «32 «33 I 1 I «32 «33 I 1 I «22 «23 I
Сравнивая полученное выражение с выражением (5) определите-
ля Д, заключаем, что «11^114-^12^12 + ^13^13 = А. Аналогично
устанавливается справедливость остальных равенств (8).
Запись определителя (6) по любой из указанных формул (8)
называется разложением этого определителя по элементам соот-
ветствующего столбца или строки. Эти разложения удобно ис-
пользовать для вычисления определителей третьего порядка.
Например, разложив определитель
2 3
к = 1 О
4 1
Г
—2
2
по элементам второй строки, получим
Д = 1(-1)2+1|3 1| + 0(_1)2+2|2 1| + (_2)(_1)2+з|2 3| =
= —(6 —1) + 2(2—12) = —25.
Для определителей третьего порядка остаются справедливыми
свойства 1—8, рассмотренные для определителей второго порядка.
Доказательство этих свойств непосредственно следует из теоремы
1 о разложении определителя третьего порядка по элементам
строки (столбца) и соответствующих свойств определителей вто-
рого порядка. Так, свойство 1, заключающееся в том, что опре-
делитель не изменится, если его строки заменить столбцами,
можно доказать следующим образом. Пусть
Д =
«и
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23 , Д7 = «12
«11 «21
«13 «23
«31
«32
«33
Разлагая определитель Дг по элементам первой строки, имеем
АГ___ zy I «22 «32 I п |«12 «32 I I I «12 «22 I
дд tw-j 1 I I ^*91 I I I I I •
11 I «23 «33 I 1«13 «33 । 31 I «13 «23 I
Учитывая, что определитель второго порядка от замены строк
столбцами не меняется, получим
ДГ___п I °22 a23l п I «12 «13 I I «12 «13 I
II I ’ Uni I I *+ l*oi I I •
11 I «32 «33 I I «32 «33 I 31 | «22 «23 |
17 М. К. Потапов и др.
497
Сравнивая полученное выражение с выражением (5) определите-
ля А, заключаем, что ДГ = Д.
Аналогично'устанавливается справедливость свойств 2—8.
Свойства 1—8 определителей в сочетании с теоремой 1 о раз-
ложении определителя по элементам строк и столбцов часто по-
зволяют упростить вычисления определителя третьего порядка.
Пример. Вычислить определитель
Д =
5 20 15
2 4 8
1 4 7
По свойству 5 определителей третьего порядка, вынося за
знак определителя общий множитель 5 первой строки и общий
множитель 4 второго столбца, имеем
1 1
Д=5-4- 2 1
3
8
7
1 1
Прибавим теперь к элементам второго столбца элементы первого
столбца, умноженные на (—1), а к элементам третьего столбца—
элементы первого столбца, умноженные на (—3). По свойству 7
определитель не изменится и равен
1 о 0
Д = 20-
2—12
1 0 4
Разложив полученный определитель по элементам первой строки,
имеем
Д = 20-1-(— 2| = 20(—4 —0)=—80.
С помощью определителей третьего порядка можно квадратной
матрице четвертого порядка поставить в соответствие число—оп-
ределитель четвертого порядка. Затем с помощью определителей
четвертого порядка ввести определители пятого порядка и т. д.
Таким образом, для введения определителей л-го порядка надо
иметь определители (л—1)-го порядка. Такое введение определи-
телей называется введением определителей по индукции. При-
ведем теперь введение определителей л-го порядка индукцией по л.
Пусть /1=1; определителем квадратной матрицы порядка 1
(г. е. числа аи) считается само число Будем считать, что
определители квадратных матриц порядка (л— 1) уже введены и
доказана справедливость их основных свойств (свойств типа 1—8,
доказанных выше для определителей порядка 2). Рассмотрим
498
квадратную матрицу о-го порядка
’aii #12 а1з • • * ain
а21 #22 #23 • • • а2п
#31 #32 #33 • • • #3п
к#П1 #Л2 апЗ ••• #пп-
(9)
Если в этой матрице вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, а по-
рядок элементов оставить прежним, то получится квадратная
матрица порядка (п—1):
'ац ац • #f,/-i #1/+1 • • • #fn
ац ^22 • • • аъ,}+1 • • • #2n
#/ — 1,2 •• • aiai-iJ + i • • • #/-!,»
#/ + 1,2 •• • #/ + !,/-1 #l+l,/ + l ••• #/+!,«
ч#и! #Я2 • #n,/-i #rt«;+i ••• ann J
Определитель этой матрицы обозначается М,у и называется ми-
нором элемента aif матрицы (9).
Определителем матрицы (9) называется число
ацМц-a21M2i+a31M3i-a4iM«+-------Н(— l)n+4iM»i- U°)
Определитель матрицы (9) обозначается символом
#11 #12 #13 ... aln
#21 #22 #23 • • • #2«
#31 #32 #33 • • • аЗП
• • •
#nf #«2 #«з . • • ann
(П)
или одной буквой Д, или символом |Л|. Таким образом, по оп-
ределению
|Л|=Д =
#11 #12 • • • #1«
#21 #22 • • • #2Я
ап1 #«2 • • • апп
= «нЛ1ц-а21МЯ1+ ... +(— l)n+1a„1Afnl.
(12)
Элементы матрицы (9) называются элементами определителя (11),
строки и столбцы матрицы (9) называются строками и столбцами
определителя (11). Миноры элемента al7 матрицы (9) называются
минорами элемента ai} определителя (11), Отметим, что опреде-
лители второго порядка, введенные по формуле (3) и введенные
по формуле (10), будут одинаковыми. Определитель, получаемый
из определителя (11) заменой строк на столбцы, а столбцов на
строки, называется определителем, транспонированным с опреде-
лителем Д, и обозначается Дг, а замена определителя Д на оп-
ределитель Дг называется транспонированием определителя Д.
17* 499
Алгебраическим дополнением любого элемента aif определителя
п-порядка (11) называют минор Л4,у этого элемента, умноженный
на (—1)/+4 Алгебраическое дополнение элемента обозначают
заглавной буквой того же наименования и с теми же двумя ин-
дексами, что и у данного элемента, т. е. по определению Azy —
=(-D/+W
Теорема 2. Определитель п-го порядка (11) равен сумме
произведений элементов любого его столбца (строки) на соответ-
ствующие им алгебраические дополнения, т. е.
Д 4-а2'уА2/ + ... + anjAn) для любого j = 1,2,
A = azlAzi + aZgAZ2 +... 4-az„Az„ для любого i= 1, 2,
(,з>
Доказательство теоремы 2 опускается.
С помощью теоремы 2 о разложении определителя п-го по-
рядка по элементам столбца (строки) и свойств 1—8 для опреде-
лителей (и —1)-го порядка доказываются свойства 1—8 определи-
телей п-го порядка.
Не останавливаясь на доказательстве, перечислим эти свой-
ства:
1. При транспонировании определителя его значение не изме-
няется, т. е. Д = ДГ.
2. От перестановки двух столбцов (двух строк) определитель
меняет знак.
3. Если все элементы хотя бы одного столбца (строки) опре-
делителя равны нулю, то определитель равен нулю.
4. Определитель, имеющий два одинаковых столбца (строки),
равен нулю.
5. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определи-
теля умножить на одно и то же число а, то определитель умно-
жится на это число (т. е. общий множитель элементов какого-
либо столбца (строки) можно выносить за знак определителя).
6. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк)
соответственно пропорциональны, равен нулю.
7. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) опре-
делителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме
двух определителей, у одного из которых элементами соответст-
вующего столбца (строки) являются первые слагаемые, у друго-
го—вторые, а остальные элементы этих двух определителей те же,
что и у данного.
8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо
столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого
столбца (строки), умноженные на одно и то же число.
Сформулируем и докажем еще одно свойство определителей.
9. Сумма элементов некоторого столбца (строки) определителя
порядка п, п 2, умноженных на алгебраические дополнения
соответствующих элементов другого столбца (строки), равна нулю,
500
n / n X
t. e. 2 = O ( или 2 а/И/* = 0 ) Для любого п>2 и лю-
й=1 \ Z?=l /
бого i Ф j.
Доказательство. Пусть для определенности j>i, тогда,
разложив определитель по элементам /-го столбца, получим
flli 012. . , .0П- . • -ai ,/-i an . .0f„
п °21 «22-- . .02/ • a2i (h,j+i* • *Й2П
2 aki^kJ ~ Й31 032. . ..03! • a3i 03,/+!• i -03П (14)
fc=l • . . . . . • •
ani 0И2 • ..0П/.. ani an,/ + l* • *ann
У определителя, стоящего в правой части равенства (14), эле-
менты i-ro и /-го столбцов соответственно равны. По свойству 4
определитель (14) равен нулю, следовательно,
п
К — 1
Для i > / доказательство аналогично. Свойство 9 доказано.
Пользуясь свойствами 1—8, вычислим определитель единич-
ной матрицы. Единичную матрицу порядка k обозначим Ек. Пусть
дана матрица Еп. Разлагая определитель этой матрицы по пер-
вому столбцу, получаем
1 о о
о 1 о
|Е„|= 0 0 1
= 1 .£n+0.£gi+... +0-E„i =|Е„_1|.
О 0 0...1
Повторяя это рассуждение для определителя | Еп.г |, затем для
|Е„_г| и т. д., приходим к выводу, что |Е„| = 1. Итак, опреде-
литель единичной матрицы любого порядка п равен 1.
§ 3. Обратная матрица. Ранг матрицы
Если две квадратные матрицы А и В одного и того же по-
рядка п таковы, что АВ — В А = Е (где Е — единичная матрица
порядка п), то говорят, что матрицы А и В являются обратными
друг другу и используют обозначение В — А~1 и А=В~1. На-
пример, матрицы
/4 0 5\ / 4 0 — 5\
Л=(0 1 -6) и В = (-18 1 24)
\3 0 4/ \— 3 О 4/
являются обратными друг другу,' поскольку АВ = ВА = Е, где
/1 0 °\
Е= 0 1 о), т. е. А = В-\ В = Л-*.
\0 0 1/
501
По определению обратной матрицей для данной квадратной
матрицы А порядка п называется квадратная матрица А~1 по-
рядка п, обладающая свойствами АА~1 = А~1А=Е, где Е—еди-
ничная матрица порядка п.
Для каждой матрицы А порядка п, имеющей обратную матри-
цу Л-», обратная матрица Д-х единственна.
„ Действительно, пусть некоторая матрица А порядка п имеет
обратную матрицу Д-1. Пусть существует матрица С порядка п,
такая, что СА = АС=Е, тогда
С=ЕС = (Д-ХД)С = Д~1(ДС) = Д-»Е = Д-«.
♦
Обратные матрицы обладают следующими свойствами:
а) (Д-1)-1 = Д, б) (ДВ)-* = В-*Д-\ в) (4г)-1 = (Д-у.
Доказательство этих свойств опускается.
Выясним, какие матрицы имеют обратные матрицы и если
матрица А имеет обратную Д-1, то как ее находить.
Пусть дана квадратная матрица А порядка п (п^2)
/Ян #12 «13- • *ат
/ Й21 «22 £23- • *^2»
Д=1 «31 #32 «33*
• ‘Опп
Составим квадратную матрицу А порядка п следующим образом:
на место каждого элемента матрицы А поставим алгебраическое
дополнение этого элемента, т. е.
Транспонируем матрицу А:
(Лц • •^ni
Ли Л 22 Лз2---ЛЯ2
Л18 Л23 Л3з...Лпз
Лщ Лгп Лзп...Лпя
Матрица Лг называется присоединенной матрицей. Например, найдем
присоединенную матрицу Дг, если
/1 0 0\
Д = ( 6 2 0 ),
\5 4 3/
502
Так как
Ai=(~l)1+1
Аз = (-1)1+3
Ai=(-i)3+1
Лз=(-1)3+3
2
4
6
5
1
5
О
2
1
6
= 6, Д12 = (—1>1+а|| з| = -18,
= 14, = з| = 0,
= 3, Лм = (-1)2+з|’ $| = -4,
= 0, Л32 = (- 1Г?|* °| = 0,
то
/6 -18 14\ / 6 0 0\
Л = (0 3 -4] и Ат =(-18 3 0 ).
\0 0'2/ \ 14 —4 2/
Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной),
если ее определитель равен нулю (|Л|=0), и невырожденной,
если | А |=/=0.
Теорема 3. Для любой невырожденной матрицы А (|Л )=И= 0)
существует обратная матрица Л-1.
Доказательство. Рассмотрим невырожденную матрицу
первого порядка, т. е. число аи, отличное от нуля; обратная
матрица к этой матрице есть число . -
Пусть дана некоторая невырожденная матрица Л второго по-
рядка. Найдем произведение матриц ААТ и АТА, где йг —при-
соединенная матрица. Так как сумма произведений элементов
некоторого столбца (строки) матрицы Л на алгебраические допол-
нения этих элементов равна определителю | Л | (см. теорему 2),
а сумма произведений элементов некоторого столбца (строки)
матрицы Л на алгебраические дополнения элементов другого
столбца (строки) (по свойству 9 определителей) равна нулю, то
аИ f Ali _ f allA 214-^12^22'
а21 й22/ \^12 А22у \а21-4ц-|-«22Л12 a2lA2i-^-a22-^22j
/Ml 0 \
k о Ml/’
Afi A2i\f<*ii ai2\ _ /-^п^ц-ЬA2ia2i Лиаи-|-Л21^22'
•412 А22/ \a2i а22/ \-412all + 422a2X ^12a12 + Л22a22.
_/MI 0 \
—\ О |ЛI/
Каждый элемент полученных матриц имеет общим множителем
число | А |, следовательно,
ЛЛГ = |Л|^ ?) = |Л|£; ЛТЛ = |Л|^ ?) = |Л|£.
503
Отсюда, в силу невырожденности матрицы А (|Л|^=0), имеем
л(птЯг)=‘Е=(йтЛг)Л-
Следовательно, для невырожденной матрицы А второго по-
рядка матрица, элементами которой являются соответствующие
элементы присоединенной матрицы Ат, деленные на определитель
|Л|, является обратной матрицей Л~х:
Л"х =
1
Ml
/ -^li
Ат = ( I
I -^12
\MI
4 21 \
Ml I.
^22 /
Ml/
Итак, для невырожденной матрицы Л второго порядка не только
доказано существование обратной матрицы Л, но и указан спо-
соб ее построения.
Аналогично доказывается, что для любой невырожденной мат-
рицы Л порядка п, где п 3, матрица, элементами которой яв-
ляются соответствующие элементы присоединенной матрицы Ат,
деленные на определитель |Л|, является обратной матрицей А~1:
Л~х = г лх1 Ml ^21 Ml Л12 мг‘ ^22 Ml" A,n 4 'Ml ^2П •Pf T Ml ^12 Ml ^21 Ml • ^22 Ml " ^ni "Ml ^П2 - |Л| •
Ant Ans ^nn Ain ^2П ^nn
I Ml МГ "Ml / I Ml Ml ’Ml J
/’ 0 °\
Л= 6 2 0 )
\5 4 3/
Теорема доказана.
Пример. Матрица
невырожденная, так как |Л| = 6#=0. Ее присоединенная матрица
/6 о 0\
Дт = 1 -18 3 0 ),
\ 14 —4 2/
следовательно,
/ 1 0 0 \
Л-1=(-3 1/2 О ).
X 7/3 —2/3 1/3/
Теорема 4. Определитель произведения двух квадратных
матриц А и В порядка п равен произведению их определителей,
т. е. |ЛВ) = |Л||В| (аналогичное свойство справедливо и для
любого конечного числа сомножителей).
504
Доказательство теоремы' 4 опускается.
Так как определитель единичной матрицы Е порядка п ра-
вен 1, то определители двух взаимно-обратных матриц являются
числами взаимно-обратными, т. е. | А 11А ~11 = 1.
Любая вырожденная матрица А порядка п не имеет обратной,
так как по теореме 4 произведение вырожденной матрицы А на
любую матрицу порядка п будет снова вырожденной матрицей.
Обратные матрицы часто применяются для решения матричных
уравнений.
Пусть даны матрицы А, В и С. Если поставлена задача найти
матрицу X такую, что справедливо матричное равенство АХ = В,
то говорят, что дано матричное уравнение
АХ = В (1)
с неизвестной матрицей X. Матрицу X, удовлетворяющую урав-
нению (1), называют решением уравнения (1).
Если поставлена задача найти матрицу Y такую, что спра-
ведливо матричное равенство YА = С, то говорят, что дано мат-
ричное уравнение
YA = C (2)
с неизвестной матрицей Y. Матрицу У, удовлетворяющую урав-
нению (2), называют решением уравнения (2).
Рассмотрим частный случай решения матричных уравнений
(1) и (2). Пусть матрица А невырожденная, квадратная матрица
порядка п; В —матрица размеров пхт; С—матрица размеров
£хп, где п, т, k — любые натуральные числа. В этом случае
уравнения (1) и (2) имеют решения.
Действительно, умножим обе части первого уравнения слева
на матрицу А-*, что можно сделать в силу выбранных размеров
матрицы В. Проделав соответствующие действия:
А-1АХ = А-1В, ЕХ=А~1В, Х = А~1В,
получим, что существует матрица Х~ А~1В размеров пх/п,
удовлетворяющая уравнению (1).
Умножим обе части второго уравнения справа на матрицу А-1,
что можно сделать в силу выбранных размеров матрицы С, про-
делав соответствующие действия:
УАА-1 = СА-\ YE=CA~i, Y = CA~\
получим, что существует матрица Y = СА~г, размеров kx.n, удов-
летворяющая уравнению (2).
Отметим, что даже если В = С, но матрица А-х и В не пе-
рестановочны, то X^=Y, т. е. для одних и тех же матриц А и
В = С уравнения (1) и (2) имеют, вообще говоря, разные решения.
Пример. Пусть
А_Н 3\ В — С— Р
л— \2 1/’ G~\0 — l)'
505
Решим уравнения (1) и (2). Прежде всего найдем
Тогда
v_A-*B__( 1 —3\/1
А —А В—\_2 7Д0 _iy— ^_2 _nJ.
т. е. Х#=У.
Ранее (см. § 2) было дано понятие минора элемента % квад-
ратной матрицы п-го порядка. В общем случае матрицы разме-
ров /и хи понятие минора элементов матрицы не вводится, а
вводится понятие минора порядка k данной матрицы, где число k
может принимать значения от единицы до наименьшего из чисел
т и п, т. е. п).
Пусть дана матрица А размеров тхп и пусть k—натураль-
ное число такое, что 1 k <1 min (m, п). Выберем произвольно
k строк и k столбцов матрицы А. Из элементов, стоящих на пе-
ресечениях этих строк и столбцов (не меняя их порядка), обра-
зуем квадратную матрицу М порядка k. Определитель матрицы М
называется минором порядка k матрицы А.
Пример. Пусть.дана матрица
/ I 3\
Л= з 4 )
\-з о/
размеров 3x2. Тогда миноры первого порядка матрицы есть эле-
менты этой матрицы, т. е. числа 1, 3, 3, 4, —3, 0. Миноры вто-
рого порядка есть определители
11 31 | 1 3| I 3 41
|з 4Г [-3 о|’ 1-3 0Г
Миноров более высоких порядков эта матрица не имеет.
Если дана квадратная матрица А порядка п, то ее минор
порядка п есть определитель | А |, миноры порядка (п—I) есть
миноры соответствующих Элементов этой матрицы, миноры по-
рядка 1 есть элементы этой матрицы. Кроме того, эта матрица
имеет миноры порядка k, где 1<&<п—1.
Рангом матрицы А размеров тхп называется наивысший
порядок отличных от нуля миноров матрицы А.
Если все элементы матрицы А есть нули, то говорят, что ранг
матрицы равен нулю.
Ранг невырожденной квадратной матрицы А порядка п равен п.
л /I 2 0 4\
Например, ранг матрицы A = l2 4 0 8j равен единице, так
как миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в силу
пропорциональности строк матрицы), но есть миноры первого по-
рядка—элементы матрицы А—отличные от нуля.
506
Пусть дана матрица А размеров тхп и пусть дано нату-
ральное число I <min(/n, п). Если все миноры порядка I мат-
рицы А равны нулю, то и все миноры этой матрицы порядка
(Z + U также равны нулю.
Действительно, возьмем любой минор этой матрицы порядка
(I +1) и разложим его по элементам некоторой строки. Каждое
слагаемое разложения содержит множителем некоторый определи-
тель порядка Z —минор порядка I соответствующего элемента
выбранной строки определителя порядка (/-+-1). Поскольку каж-
дый минор порядка I равен нулю, то и сумма разложения тоже
равна нулю, поэтому выбранный минор порядка (/+1) равен
нулю. Следовательно, если все миноры порядка I равны нулю,
то и все миноры порядка, большего чем I, также равны нулю.
Таким образом, для определения ранга матрицы размеров
тхп надо сначала найти хотя бы один отличный от нуля минор
первого порядка, т. е. надо выяснить, есть ли среди, элементов
матрицы хотя бы один, отличный от нуля. Если такого элемента
нет, то ранг матрицы равен нулю. Если у матрицы есть элемент,
отличный от нуля, то надо найти хотя бы один отличный от
нуля минор второго порядка. Если такого минора нет, то ранг
матрицы равен 1. Если есть отличный от нуля минор второго
порядка, то надо искать отличный от нуля минор третьего по-
рядка и т. д. до тех пор пока не найдется отличный от нуля
минор г-го порядка; но либо все миноры порядка г-j-l равны
нулю, либо г = min (т, и). Тогда ранг матрицы равен г.
Для нахождения ранга матрицы размеров тхп часто посту-
пают так. Берут любой отличный от нуля элемент матрицы.
Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отлич-
ные от тех, где лежит элемент, образуют всевозможные миноры
второго порядка до тех пор пока не найдется минор второго по-
рядка, отличный от нуля. Затеи, дописывая некоторую строку и
некоторый столбец, отличный от тех, где лежит найденный минор
второго порядка, образуют всевозможные миноры третьего порядка
до тех пор пока не найдется минор третьего порядка, отличный
от нуля. Продолжают этот процесс до тех пор пока не найдется
минор порядка г, отличный от нуля, для которого все миноры
порядка (г 4-1), построенные указанным образом, равны нулю,
либо таких миноров вообще не будет (если матрица содержит г
строк или г столбцов). Тогда ранг матрицы равен г.
Доказательство справедливости этого способа определения ранга
матрицы опускается.
Пример. Найти ранг матрицы
/1 2 3 4\
( 3 5 7 9 ).
\4 7 10 13/
Минор первого порядка (число 1), лежащий на пересечении
первого столбца и первой строки, отличен от нуля. Минор вто-
507
рого порядка, лежащий на пересечении первых двух столбцов и
первых двух строк, || ^| =—1 также отличен от нуля. Все
миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Значит,
ранг матрицы равен двум.
§ 4. Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными:
«11*1 4“ «12*2 4“ • • • 4“ &1пХП ^1» '
«21*14- «22*2 4- ... 4-а2„х„— Ь2,
(1)
. 4" • • • ~\~О'тпХп
где хь х2, ..., хп — неизвестные, (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ...
..., п) —коэффициенты, bu b2, ..., Ьт — свободные члены системы
уравнений (1). Напомним, что числовой набор (ап а2, ..., а„),
соответствующий набору неизвестных (xit х2, ..., х„), называется
решением системы (1), если при подстановке в каждое уравнение
системы (1) соответствующих чисел вместо неизвестных полу-
чается т верных числовых равенств. Решить систему (1) —это
значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
Система линейных уравнений называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение, и несовместной (противоречи-
вой), если она не имеет решений. Совместная система называется
определенной, если она имеет единственное решение, и неопреде-
ленной, если она имеет более одного решения. Можно показать,
что неопределенная система линейных уравнений всегда имеет
бесконечное множество решений.
Примеры. Линейное уравнение с одним неизвестным
ацХ1 = 61 при ац^О имеет единственное решение х = ^-.
Линейное уравнение с двумя неизвестными
«h*i4~«12*2 =^г ПРИ а11^^ и при а12=/=0
имеет бесконечно много решений.
Действительно, пусть, например, ai2^0, тогда уравнение
а11х1 4-«12*2 = Oi равносильно уравнению
„ _
которое имеет решением (^а,
вительное число.
508
---—h— ), где а—любое дейст-
#12 #12 /
Система двух линейных уравнений с одним неизвестным
йцХ — bi (^11=7^0),
^21*^ = ^2 (^гх2^®)»
z ^2
такая, что—у= —, несовместна.
ап f a2i
Действительно, пусть число а —решение уравнения а11х = 61,
т. е. пусть справедливо числовое равенство а11а = &1. Тогда а=
=—. Если бы а = — было решением уравнения а21х = Ь2, то
0ц’ а11
было бы справедливо числовое равенство йг1&1-=&2 или, в силу
того что a2i#=0, числовое равенство что противоречит
условию. Итак, решение а уравнения апх = Ь2 не является реше-
нием уравнения а21х = 62, а это значит, что система двух урав-
нений с одним неизвестным, такая, что — — , несовместна.
Оц a2f
Основной матрицей системы (1) называется матрица А разме-
ров тхп, элементами которой являются коэффициенты при не-
известных системы уравнений (1), т. е.
/ Л11 а12 • • •
[ ^21 а22 • • •
\О/д1 dm2 • • • атп.
Матрицей неизвестных системы (1) называется матрица-столбец X,
элементами которой являются неизвестные системы, т. е.
Матрицей свободных членов системы (1) называется матрица-
столбец В, элементами которой являются свободные члены систе-
мы, т. е.
Матричное уравнение
«и
а21
fimi
509
или
АХ —В
называется матричным уравнением системы (1), если матрицы А,
X и В — соответствующие матрицы системы (1).
Поскольку любой числовой набор (а2, а2, ..., а„), являю-
щийся решением системы (1), записанный в виде матрицы-столбца
является решением матричного уравнения (2), а любая числовая
матрица-столбец
являющаяся решением матричного уравнения (2) системы (1), за-
писанная в виде числового набора (0Х, Р2, ..., 0„), является
решением системы (1), то говорят, что система линейных уравне-
ний (1) равносильна матричному уравнению (2) системы (1).
Рассмотрим частный случай системы (1). Пусть дана система п
уравнений с п неизвестными
ад+«12*2 + • • • + ainxn — Ь±,
^21*^1 4“ ®22-^2 4" • • • 4” ^2пХп ~
,**4**«>t«t>l***>*
4- ап2х2 + . • • 4- ап„хп = Ьп
и соответствующее матричное уравнение этой системы
«п
«21
««1
«12
«22
«П2
или
АХ = В.
(4)
Определитель матрицы А системы (3) будем называть основным
определителем и обозначать через Д, т. е. Д = |Л|. Предположим,
что основная матрица А (являющаяся квадратной матрицей по-
рядка п) системы (3) невырожденная, т. е. пусть Д = | А1=/= 0.
Тогда, как показано в § 3, существует единственная обратная
матрица А~1. Умножив левую и правую части матричного урав-
510
нения (4) системы (3) слева на обратную матрицу А~1, получим,
что Х = А~1В, причем матрица X —матрица размеров их 1, т.е.
матрица-столбец. Итак, матричное уравнение (4) системы (3) в
силу единственности обратной матрицы Л-1 имеет единственное
решение—матрицу-столбец Х = А~1В.
Так как матричное уравнение (4) равносильно системе (3), то,
если определитель основной матрицы А линейной системы (3) не
равен нулю (т. е. | А | =# 0), тогда система (3) совместна и опре-
делена, т.е. имеет единственное решение.
Найти это единственное решение системы (3) можно по пра-
вилу Крамера, формулировка которого будет приведена ниже.
Если в основной матрице А системы (3) п линейных уравне-
ний с п неизвестными вместо /-го столбца коэффициентов систе-
мы (3) поставить столбец свободных членов этой системы, то по-
лученную матрицу называют дополнительной матрицей системы
(3) и обозначают ее А, т. е.
«it ait ••• ... «in
a2t a22 ... a2,/-£ b2 a2,/+i ... a2n
ani am ••• an,j-i bn an,j+i ... ann
Определитель матрицы к обозначают обычно Ду, т.е. Ду = | Л |.
Перейдем теперь к решению системы уравнений (3).
Пусть п=1, т.е. система (3) состоит из одного уравнения
с одним неизвестным: a11x=b1, и пусть au^=0. Ясно, что это
уравнение имеет единственное решение — число
Пусть теперь п = 2. Рассмотрим систему двух уравнений с
двумя неизвестными:
ацХ1 + #12х2 = bt, -
a21xt+a22x2=b2. 1 '
1 2
Основной матрицей Д, дополнительными матрицами Д и Д этой
системы являются соответственно матрицы
Пусть определитель основной матрицы А не равен нулю (Д =
=| А |=#0). Тогда существует единственная обратная матрица
и справедлива цепочка матричных равенств
( Xl — —1— ( ^21 \ ( bi \ = 1 ( + __ / |Д|
\Х2 / |Д1 ^22/ \^2/ 1 Д | Х&1Д12 +^аД22/ I ^M124"^2^22
\ |Д| .
511
откуда
I bi Oja I ' i
y _Mif+M4f_M-l)1 + W + M-l)2+xAf2i_ Ri o221 _ | A I Ai
1 mi : mi mi "mi~д’
I aii b^ I 2
.. Mij + Mi* M-l)t+aM12 + M-l)2+iWM I«21 b2| Ml Al
2“ Ml Ml Ml -'Ml-'Д’
т. e. компоненты решения (xit x2) системы (6) находятся по фор-
мулам
*=%’ *>=£- Р)
где A, Ait Д2 — определители матриц А, А, А системы (6).
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неиз-
вестными:
«ii*i + «12*2+«13X3 = bit
«21*1 ”Ь «22*2 ~Ь «23*3 = Ь%, (8)
«31*1 “1“ «32*2 ”1“ «33*3 = Ь& •
123
Основной матрицей А и дополнительными матрицами А, А, А
системы (8) являются соответственно матрицы
/ац
А = ( Oji
\aSf
1 (bl 012 Ojs\ 2 / ali
A == ( ^2 ®23 023 j , A = ( a2f
\6з O32 О33/ \Сз1
012 а13\
a22 ^23 j f
Я32 Л33/
&i <Чз\ з / aH ai2 bf
b^ a23 j, A = ( a2i a22 b2
b3 а33/ a32 b3
Пусть определитель основной матрицы А не равен нулю (Д=
=|4|=/=0). Тогда существует единственная обратная матрица
। / ^11 -^21 ^31\
Л~* = | л . I ^12 Л32 )
'^13 Л2з Л33/
и справедлива цепочка матричных равенств
хг
х3.
1 (а11
"Гт1 Л12
Л | \ л
’ \^13
Л 21
^22
^23
^31\ /bi
^32 Н Ь2
Азз'
^Mii + b2A2i + b3A3i
biAi2 + b2A 22 + ^3^32
1
"•“•j । i i •'z'*zz 1 ’'□'•az
’• I \Ь1Л1з~|-^2^23"|“^3^33
f ^i^ii4~^2^2i~H^3^3i
Ml
^1^12+^2^22 + b3A 32
Ml
bi Л13 4- b2A 23 + b3A33
Ml
512
откуда
Mii+Mai+МзГ М-1)1М^1,+М-1)2+1А121 + 6з (-l)3 + 1M3i
xi ~~ IAI IЛI
•^2
_X3
Й- О СО to Н & й а СО ГО (* ЬО ГО й Й й W К Н gA ~MI_Af
^1^12 4~ ^2^22 + ЬзЛ32 (—1)1+ 2М12 + Ь2(г Ml Ml д’ -1)2+2Л122 + 63(-1р + 2Л132_
Ml со со со ‘«и еч со «3 <3 Q »ч сч со >й -й »й Н N « О <3 й 2 _ Ml
^1Л1з +&2Л23+ ^зЛзз bi (—1 )1+3Л^1з + Ь2 (- Ml Ml д’ -1)2+»Л12з+М-1)3+3Мзз_
Ml Й й Й к w го р Й й Й со to м to со to Й* Й* О со м м 3 . Ml _ .Дз
Ml Ml Д ’
т. е. компоненты решения (xf, х2, х3) системы (8) находятся по
формулам
у _Д1 у _Да у __Да
*1—д» хи~ д’» хз~ д’»
1 2 3
где Д, Дх, Д2, Д3 —определители матриц А, А, А, А системы (8).
Докажем, что если определитель основной матрицы А систе-
мы (3) не равен нулю, то /-я компонента Ху(/ = 1, 2, и)
единственного решения (хп х2, .... х„) системы (4) находится по
формуле
^'=МТ=^ (/=1>2.....«)>
/ /
где |Д| = Ду —определитель дополнительной матрицы А системы
(3), а | А | = Д — определитель основной матрицы А системы (3).
Рассмотрим /-ю компоненту матрицы-столбца Л-1В, являюще-
гося единственным Чтением матричного уравнения (4) системы (3).
Имеем
Ху —
^1Л1/ + ^аЛ2у + ... -\-bnAnf
Ml -
" bl (-l)i+/M,y+»g (-1)2Ч-/М?у+ ...+ьп
HI
#12 • - bi ai,J + i •• • «in
«21 #22 •« • ^2,7-1 bz a2,/ + l •• • a2n
ani #й2 • • bn an,j+i •• • Gnn
что и требовалось доказать.
Ml
1^1 A
Ml “д ’
513
Правило, по которому находится решение системы (3), назы-
вается правилом Крамера. Сформулируем его.
Правило Крамера. Если система (3) п уравнений с п
неизвестными такова, что определитель ее основной матрицы не
равен нулю (Д^О), то система имеет единственное решение
(хх, х2, ,.., хп), каждая компонента которого находится по фор-
мулам Крамера, т.е. Xj = ~(j =1, 2, ...» п), где Kj—определи-
i
тель дополнительной матрицы А, полученной из основной мат-
рицы А системы. (3) заменой j-го столбца на столбец свободных
членов системы.
Пример. Решить систему уравнений
(7хх + Зх2 4- 2х3 — 1,
Зхх4-х2 + 2х3 = 2,
10хх+ 12х24-8х3==4.
Определитель основной матрицы
Д =
7
3
10
3 2
1 2
12 8
= — 72^=0.
Следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера:
1 3 2 7 1 2
Д1= 2 1 2 =о, Д2 = 3 2 2 =36,
4 12 8 10 4 8
7 3 1
Д3= 3 12 =—90.
| 10- 12 4
Следовательно, х1=^ = °> x3=v = —х3 = ^г = -т> т.е.
Д е а -2 ’ д 4’
(1 5 \
О, '—2*’ у) •
ь случае, когда определитель | А | основной матрицы А систе-
мы (3) равен нулю, правило Крамера неприменимо.
Перейдем к изучению систем т линейных уравнений с п не-
известными.
Расширенной матрицей системы уравнений (1) называется
матрица, получаемая' добавлением к основной матрице А системы
(1) столбца свободных членов, располагая его последним столб-
цом и отделяя его вертикальной чертой, т.е. матрица
(а11 й12
а21 а22
ami ат2
<hn
а2п
атп
5U
Отметим, что ранг расширенной матрицы В не меньше ранга ос-
новной матрицы А системы (1). Точнее, если ранг основной мат-
рицы равен г, а ранг расширенной — /?, to r^R. В то же время
очевидно, что R r+1.
Вопрос о совместности системы (1) решает критерий Кро-
не кера—Капелл и: система (1) т линейных уравнений с п
неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг рас-
ширенной матрицы В равен рангу основной матрицы А системы (1).
Доказательство этой теоремы опускается.
Пусть ранг основной матрицы системы (1) равен г, причем
1 г min (т, п). В этом случае любой отличный от нуля минор
порядка г основной матрицы системы (1) называют главным мино-
ром системы.
Решение системы линейных уравнений состоит в следующем.
Вычисляем ранг основной матрицы А системы (1) и расширенной
матрицы В.
Если ранг основной матрицы А системы (1) не равен рангу
расширенной матрицы В, то согласно критерию Кронекера—Ка-
пелли система несовместна, т. е. система (1) не имеет ни одного
решения. На этом решение системы (1) заканчивается.
Если ранги основной и расширенной матрицы равны между
собой и равны г, т. е. система (1) совместна, то берут любой
отличный от нуля минор основной матрицы порядка г и рассмат-
ривают г уравнений, коэффициенты которых входят в этот глав-
ный минор, а остальные уравнения системы отбрасывают. Неиз-
вестные, коэффициенты которых входят в этот главный минор,
объявляют главными, а остальные неизвестные—свободными. Но-
вую систему переписывают так, что в левых частях всех урав-
нений остаются только члены, содержащие г главных неизвестных,
а все остальные члены уравнений, содержащие (п — г) неизвестных,
переносятся в правые части уравнений. Затем по правилу Кра-
мера находят главные неизвестные. Легко видеть, что при этом
главные неизвестные выражаются через свободные неизвестные,
каждое из которых может принимать любое числовое значение.
Полученные решения новой системы с г главными неизвестными
называются общим решением системы (1).
Придавая всем свободным неизвестным некоторые числовые
значения, из общего решения находят соответствующие числовые
значения главных неизвестных и. тем самым находят решение ис-
ходной системы уравнений (1), которое называется часщным ре-
шением при данных числовых значениях свободных неизвестных.
Указанным путем можно получить любое решение системы (1).
Примеры. 1. Рассмотрим систему
'5xj— ха4-2х34- х4 = 7,
< 2Xj 4-х2 +4х3 — 2х4 = 1,
„ х1-Зх2-6х8+5х4 = 0.
515
Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как
существует отличный от нуля минор второго порядка этой мат-
рицы, например
а все миноры третьего порядка равны нулю.
Ранг расширенной матрицы этой системы равен трем, так как
существует отличный от нуля минор третьего порядка этой мат-
рицы, например
7
5 —1
2 1
1 —3
1
О
= —35.
Согласно критерию Кронекера—Капелли система несовместна,
т. е. не имеет решений.
2. Рассмотрим систему
(7хх-|-Зх2 — 2х3 = 2,
хх —2х24- Зх3=0,
4х1 + 9х2 — 11х3 = 2.
Ранг основной матрицы этой системы равен двум и ранг расши-
ренной матрицы тоже равен двум, так как, например, минор вто-
рого порядка
II 4|—7
основной матрицы отличен от нуля, а все миноры третьего порядка
основной и расширенной матрицы равны нулю.
Значит, система совместна. Возьмем за главный минор, напри-
мер, минор |j _3|. Так как третье уравнение системы не содер-
жит элементов этого главного минора, то третье уравнение отбра-
сываем. Неизвестные хх и х2 объявляем главными, ибо их коэффи-
циенты входят в главный минор, неизвестную х3 объявляем
свободной.
Получаем систему, равносильную исходной:
7хх -j- Зх2 = 2х3 -|- 2,
хх—2х2 = —Зх3.
Решаем ее по правилу Крамера:
|2х3+2 3
__ | —Зх3 —2 —4х3—4|-9х3 5х3—4 5 ,4
xi ~ _17 — —17 — —17 — 17 х» ’ 17’
17 2х3+2
„ _|1 —Зх3 _ —21х3—2х3 — 2 _ —23х3—2 _23 v , 2
х» — —и — —17 — —17 17х» '17*
516
Итак, общим решением исходной системы является бесконечное
множество наборов (хй х2, х3) вида + + ’ где
t—любое действительное число. Частным решением исходного
уравнения будет, например, числовой набор 77» 0)» полу-
чающийся при / = 0.
3. При каких k совместна система уравнений
( x-\-ky — 3,
( £x + 4i/ = 6.
Поскольку г #= 0, то эта система совместна в двух случаях: когда
Д#=0 и когда # = г=1. Поэтому рассмотрим два случая.
II ъ I
k 4 ^0, т. е. если 62=/=4, то по
правилу Крамера система имеет единственное решение.
Значит, для любого k, кроме k = 2 и k =—2, система имеет
единственное решение.
б) Если 7? = г=1, т. е. если
I1 *1 —I3 *|_I1 3| —п
|Л 4|“'|б 4| —I* б| и’
т. е. если k = 2, то система совместна.
Подводя итог, получаем, что исходная система совместна при
любых k, кроме k = —2.
Используя критерий Кронекера — Капелли, проведем исследова-
ние системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у.
(а1х + Ь1у = с1,
\а2х + Ь2у = с2. ' '
Основная матрица этой системы
/01 6А
\«2 b2J
имеет ранг г, причем 0^г^2.
Расширенная матрица
/«t &1I ciA
6 2 I C2J
имеет ранг R, причем 0 Очевидно, что
.Имеет место следующее утверждение.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неиз-
вестными (9). Тогда:
1. если r — R = 0, т.е. если все коэффициенты aL, а2, 1ц, b2, с2, с2
равны нулю, то любая пара действительных чисел является реше-
нием системы (9);
517
2. если r = 0, R = l, m.e. al=a2 = b1 = b2 = 0 и Ci + c^O, то
система (9) не имеет решений;
3. если г — 1, R = 1, то система (9) имеет бесконечно много ре-
шений, но не любая пара действительных чисел есть ее решение;
4. если г = 1, R = 2, то система (9) не имеет решений;
5. если г=2, R = 2, то система (9) имеет единственное реше-
ние, которое можно найти по правилу Крамера.
Справедливой обратное утверждение.
1. Если система (9) имеет единственное решение, то r = R = 2;
2. если система (9) не имеет решений, то r=^=R, т. е. либо
г = 0 и R = 1, либо г = 1 и R = 2;
3. если любая пара действительных чисел является решением
системы (9), то r = R — Q;
. 4. если система (9) имеет бесконечно много решений, но не
любая пара действительных чисел является ее решением, то г —
= R = \.
Приведем доказательство этих утверждений только в том
случае, когда оба уравнения системы (9) являются уравнениями
первой степени, т. е. когда выполняются условия
4-61=5^0. В этом случае каждое уравнение этой системы в от-
дельности определяет прямую на плоскости, где задана система
координат хОу (см. гл. III). Это дает возможность придать гео-
метрический характер дальнейшим рассуждениям при исследова-
нии системы (9).
Теорема. Пусть две прямые заданы уравнениями
Oix+biy—c^b, .10)
с2=0, ' ’
где af+bi^O и а^+Ь|^=0.
1. Для того чтобы две прямые пересекались, необходимо и доста-
точно, чтобы R = r — 2.
2. Для того чтобы две прямые были параллельными, но не совпа-
дали, необходимо и достаточно, чтобы г = 1, R = 2.
3. Для того чтобы две прямые совпадали, необходимо и доста-
точно, чтобы г — R = 1.
Доказательство. Сначала докажем достаточность
условий.
1. Если r = R = 2, то система (10) имеет единственное реше-
ние, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает,
что прямые имеют одну общую точку, т. е. пересекаются.
2. Если г=1, R=2, то система (10) несовместна, и поэтому
прямые не имеют общих точек, т. е. параллельны и не совпадают.
3. Если r = R = l, то все миноры второго порядка основной и
расширенной матриц равны нулю, т. е.
Iai N = 0, |C1 N = 0, |ai С1| = 0.
| #2 ^2 I I ^2 ^2 I |^2 ^2 I
518
Эти условия можно переписать так:
== 6,П2, (И)
Сх62 == 6jC2, (12)
«А = «2^1- О3)
Рассмотрим теперь все возможные случаи.
а) Если ах = 0, то Ьг Ф0, т. к. a? + 6i#=0. Тогда из (11) сле-
дует, что а2 = 0, а так как а2+Ь2=^0, то Ь2=£0. Тогда из (12)
находим, что у-=-^- = а и при этом уравнения прямых примут
вид
&1(0-а) = О, Ь2(у — а) = 0. ’
Поскольку bi^O и &2=/=‘О, то отсюда вытекает, что эти прямые е
совпадают с прямой у—а = 0.
б) Если 6х = 0, то ах^0, а из (11) тогда следует, что 62=0
(причем а2=#0). Тогда из (13) имеем -^-=-^-=р, и поэтому урав-
нения прямых примут вид а,(х—Р) = 0, аа(х—Р) = 0. Поскольку
то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с I'!
прямой х—р=0. * Ji'
в) Если о,^0и 6j=£0, то из (11) вытекает, что -^-=-Ь- = у, |
а из (12) и (13) вытекает, что с2 = ^ с1 — ^с1. Таким образом, j
получаем, что a2 = Tai> 62 = y&i, c2 = Tci, и поэтому уравнения
прямых примут вид
OiX+610—Ci = 0, у(а1х+Ъ1у—с1) = 0.
Поскольку 7=5^0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.
Теперь докажем необходимость условий. Доказательство
проведем методом от противного. j
1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что г = /? = 2. Если
бы оказалось, что r=l, R = 2, то по доказанному прямые были i’
бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что г = R = 1, !'
то по доказанному прямые оказались бы совпавшими. i
Следовательно, r = R = 2. j
2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r=l, R = 2.
Если бы оказалось, что г = R — 2, то по доказанному прямые ока-
зались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что г = /?=!, то I
по доказанному прямые оказались бы совпавшими. !
Следовательно, r=l, R=2. 1
3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что г = /?=!. Если бы ;
оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы
пересекающимися. Если бы оказалось, что г = 1, R = 2, то по дока-
занному прямые были бы параллельны.
Следовательно, г = /?=!. Теорема доказана полностью. j
519
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть A = Q ° ~2), В=(_{ 1 g)- Haft™ Л-f-B, А-В,
2А+ЗВ, ЗА—2В.
/1 2
2. Найти матрицу С, если 4= О 1
\2 3
1\ / 0 2 1х\
О ), —1 О 3 I и А+2С=ЗВ.
\ О, 3 4/
3. Найти произведения АВ и ВА, если А =
1 О
2 1
О\
2 ).
1/
4. Дана матрица Л = ^ qJ • Найти все матрицы X, перестановочные
Л, т. е. те, для которых ЛХ = ХЛ.
5. Матрица S — aE, где Е — единичная матрица порядка п, а а—число,
называется скалярной. Показать, что скалярная матрица S перестановочна
с каждой матрицей порядка л, т. е. если Л —матрица порядка п, то 5Л = Л5.
о о л /cosa — sina\ n / cos Р —sinpX
6. Показать, что матрицы Л— . и В= . о □
г \sina cos a/ \smp cosp/
перестановочны. Найти их произведение.
7. Найти все квадратные матрицы В, для которых АВ = 0, если Л == Q J
8. Найти общий вид матрицы А третьего порядка, для которой
/О 1 0\
( 0 0 1 ) Л = 0.
\0 0 0/
9. Пусть о) ’ ^=(о 1) ’ ^оказать» чт0 = — Е2 = Е.
10. Дан многочлен Р (х) = х2—5*+6 и матрица Л = [) . Найти
Р(Л) = Л2-5Л + 6£. ~
Написать транспонированные матрицы для матриц (11—14):
А /о п ? 0 2\
11. А = (2 1 3); 12. В= 1 ; 13. С=(” . ; 14. О= 1 1,1).
\3/ 4' \2 —1 1/
15. Проверить выполнение свойства транспонирования на примере матриц
/0 1 0\
16. Показать, что при умножении матрицы В = [ 1 0 0 j слева на про-
\0 0 1/
извольную матрицу Л третьего порядка меняются местами первые две строки
матрицы Л. Установить, что произойдет при умножении справа.
/1 0 0\
17. Показать, что при умножении матрицы D = l 0 a 0) слева на про-
\0 0 1/
извольную матрицу Л третьего порядка 2-я строка матрицы Л умножается
на а. Установить, что происходит при умножении справа.
520
/\ 0 а\
18. Показать, что при умножении матрицы С — 1 0 1. О ) на произволь-
но 0 1/
ную матрицу А третьего порядка справа к первому столбцу матрицы А добав-
ляется 3-й столбец, умноженный на а. Установить, что происходит при умно-
жении слева.
Вычислить определители (19—25):
19.
23.
2
5
1
а
О
а
3 4
—2 1
2 3
1 а
—а —1
1 —а
20.
1 2
3 —4
—3 12
24. а
5
7
-15
—а
а ,
—а
21.
25.
а 22. 1
1 ; 0
а b
2 —1 3
1 1 —2
2 -1
5 —2 1
b 1
b 0
О b
—1
4
3
—2
а 1
—1 а
а —1
а
Найти ранг матрицы (26—28):
26. /2 —1 5 6\ 27.
А = ( 1 13 5 ) .
\1 -5 1 —3/
/1 0 -12\
В = [5 -1 —17 1
\2 -1 13/
/1 2\
28. С=( 4 8 J.
\3 6/
29. Убедиться, что для А = , если | А | — ad—cb 0, то =
1 / d — ZA
ad—be с а)'
/3 4 1\
30. Найти обратную матрицу А-1, если А =4 2 3 1 ).
\5 2 2/
31. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то перестановочны
и обратные матрицы А~* и В”* 1.
32. Убедиться, что (АВ)-1 = А-1#-*, если А=^ и В =
Решить систему уравнений (33—40):
1
2 \) '
«л (5х14-2х24-Зхз4-7— 0,
|5х1+2х2+Зх3-4.
— <^14“2х2“}~ Зх3=0,
Xi •“• 4x2 — 1 Зх3 - 0,
—Зх^—р 5x2 ~}“ 4х3 = 0.
( x4-2«/4“3z=l,
37. “I 2x4“ У— 2 = 3,
( 3x4-3t/4-2z= 10.
( х4- 2^4-3z — 4,
39. ] 2x4-4//4-6z = 3,
V3x4-t/—г=1.
(5xi—3x2 —- 7,
—2xi4“9x2 = 4,
2x14-4x2 = -—2.
f 2x—4^4“ 2=1,
36. { x—2y4-4z = 3,
^3x— i/4-5z = 2.
/ 4xi4“5x3 = 6,
38. I x2—6x3 = —2,
3xi 4“ — 3.
(2x—3y4-z—2 = 0,
x4~5j/—4z 4-5 = 0,
4x4“!/—3z4“4 = 0‘
Глава XI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что в мно-
жестве действительных чисел нельзя, например, найти число,
квадрат которого равен (—1). Чтобы подобные задачи были раз-
решимы, понятие числа расширяется с помощью введения комплекс-
ных чисел.
§ 1. Понятие комплексного числа
Пусть даны выражения вида а+Ы, где а и Ь—действительные
числа, i—некоторый символ, смысл и связь которого с действи- I
тельным числом Ь, а также смысл знака «+», соединяющего а и |
Ь, будут выяснены позже. Введем определения равенства, суммы I
и произведения таких выражений.
Выражения а+Ы и c+di считаются равными в том и только
в том случае, если одновременно а=с ab = d. Равенство выраже-
ний а+Ы и c+di принято записывать в виде а+Ы —c+di.
Из определения равенства вытекает, что два выражения а 4- Ы
и c+di различны, т.е. a+.bi^c+di, если выполнено хотя бы
одно из неравенств а=/=с или b=/=d.
Замечание. Из всех знаков неравенств >
для выражений вида а + Ы употребляется только знак
Суммой выражений а+Ы и c+di называется выражение s
(a-|-c)4-(b+d) i. Сумму выражений а+Ы и c+di принято обозна-
чать через (а+Ы)+(c+di), т. е. по определению (a+bi)+(c+di)=
=(а 4- с) 4* (b -j- d) i.
Произведением выражений а 4- Ы и с 4- di называется выражение '
(ас—bd) + (ad+bc)i. Произведение выражений а+Ы и c+di
принято обозначать через (а4-Ы)(с4-di), т.е. по определению
(a+bi)(c+di) = (ac—bd) + (ad+bc)i.
Множество всех выражений вида а+Ы, которые различают,
складывают и перемножают по только что сформулированным
определениям, называется множеством комплексных чисел, а каж-
дый элемент этого множества, т.е. выражение а4-Ы, называется
комплексным числом. J
Часто комплексное число а4-Ы обозначают одной буквой, на- |
пример буквой г. В таких случаях пишут z=a + bi. |
522
Пусть даны комплексные числа г1 = а1 + Ь11, z2 = aa4-b2i, z3 =
=«з4~М> •••> zn = an + b„i. Для того чтобы найти сумму ком-
плексных чисел zn za, z3, ...r z„, надо найти сумму первых двух
чисел, затем к полученной сумме прибавить третье число, к полу-
ченной сумме прибавить четвертое и т. д., пока не переберем все
слагаемые.
Аналогично определяется и произведение нескольких комплекс-
ных чисел.
Если комплексное число г взято сомножителем п раз (п^2),
то произведение гг...г называют n-й степенью (ni>2) числа z и
п раз
обозначают г", т. е. по определению
п раз
Кроме того, по определению г1=г.
Приведем основные законы сложения и умножения комп-
лексных чисел:
a) Zx 4-г2 — г2 + Zj (коммутативность сложения);
б) Oi4-z2)4-z» = z14-(z34-z9) (ассоциативность сложения);
в) гхг2 = гагх (коммутативность умножения);
г) (zjz2) z3 = zx (z2zs) (ассоциативность умножения);
д) (zx4-z2)z3 = zxz34-zaz3 (дистрибутивность умножения относи-
тельно сложения).
Справедливость этих законов следует из определения суммы и
произведения комплексных чисел и из справедливости аналогичных
законов для сложения и умножения действительных чисел (про-
верка их справедливости опускается).
Для действий сложения и умножения комплексных чисел вво-
дятся действия, обратные им.
Разностью комплексных чисел zt и г2 называется такое комп-
лексное число г3, которое в сумме с г2 дает гх.
Покажем, что для любых комплексных чисел z1 = ai+b1i и
z2 = a2+&2t их разность г3 = гх—га существует, единственна и
вычисляется по правилу г3=(ах—а2) + ф1—^г)г« т. е. существует
единственное комплексное число г3 = х4-yi, которое в сумме с г2
дает zt. По определению суммы комплексных чисел г2 + г3 =
= (а2 4- х) 4-(63 4- y)i. По определению равенства комплексных
чисел числа zx и г3 4- г3 равны тогда и только тогда, когда одно-
временно справедливы равенства
а2-\-х = а1, b2+y=bi-
Из этих равенств числа х и у всегда определяются и притом
единственным образом: х = ах—а2, у — Ь±—Ь2, т. е. существует и
притом единственное комплексное число z^fa—o»)4-(^i—b2)i,
которое и является разностью zt и z2.
523
Частным от деления комплексного числа на комплексное
число г2 такое, что г2=/=0+0г, называется такое комплексное
число г3, которое при умножении на г2 дает
Можно показать, что для любых комплексных чисел г± = аг + bti,
z2 = а2 + b2i (z2 #= 0 + Oi) их частное г3 = — существует, единственно
и вычисляется по правилу
, ___ । i>j«2 — агЬ3 .
3~ al+bl Ф * •’ 1'
4+*>2
Доказательство этого факта опускается.
Рассмотрим комплексные числа вида a+Oi. Каждое такое число
принято рассматривать как действительное число а, т. е. каждое
число вида a+ 0i отождествляется с действительным числом а.
Обычно числа а и а+ 01 не различаются, и даже принято писать
равенство a + 0i = a. В частности, числа 0 и О+Oi не различают;
число О + Oi также называют нулем и пишут 0 + 0i = 0.
Рассмотрим теперь комплексные числа вида 0+W. Принято
такие числа обозначать просто Ы и писать равенство 0+Ы = Ы.
В частности, комплексное число 0 + li принято обозначать просто i
и писать равенство 0+li = i. Комплексное число i называется
мнимой единицей. Покажем, что мнимая единица обладает свой-
ством i? =—1. Действительно, на основании принятых соглаше-
ний справедливы следующие равенства: i® = (0+li)? = (0+1 i)-
•(0 +li) = (0-0— Ы)4-(0-1+ l-0)i = — 1 -|-0i = — 1.
Комплексные числа вида О + fti называют чисто мнимыми
числами.
Согласно принятым соглашениям любое чисто мнимое число bi
представляет собой произведение двух комплексных чисел: числа b
и мнимой единицы i. Действительно,
(& + 0i)(0 + lt)=(b-O—0-!) + (&• 1+0-0) i = O + bi = bi.
Любое комплексное число а + Ы представляет собой сумму двух
комплексных чисел: числа а и чисто мнимого числа Ы. Действи-
тельно, (а + Oi) + (0 + Ы) = (а + 0) + (0 + ft) i = а + Ы.
Из определения действий сложения, вычитания и умножения
комплексных чисел вытекает, что эти действия можно проводить
по правилам действий над многочленами (см. гл. II), заменяя i?
на —1 и объединяя затем члены, содержащие и не содержащие i.
Примеры: (2 + 3i) — 4 + (7 — 13i) + 4i = (2 — 4 + 7) +
+ (3—13 + 4) t = 5—6i;
(4 + 5i) + (x + yi)—{a2—bi) = (4 + x — a2) + (5 + у + b) i;
(a + bi) (x + yi) = ax + ayi+bxi + byi2 ={ax—by) + {ay + bx) i;
(2 + 4i) (7—i) = 14—2i + 28i —4i? = 18 + 26 i.
Пусть zf и z2—любые комплексные числа, n—любое натураль-
ное число. Пользуясь правилами действий над комплексными
524
числами, легко доказать справедливость формул сокращенного
умножения:
(г, + zi)" = zf+C1n z"-1z2 + С2 г? "М + . • • + С%~;
(zj—z"=(Z1 —z2) (zf^ + zr^ + zf-MH- • • • +г1гГ2 + ?Г1);
и в частности формул
(21 + ?г)2 = z? + 2zrz2 + z|; z{—z| = (Zi + z2) (zt—z2).
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Пусть на
плоскости дана прямоугольная система координат. Каждому комп-
лексному числу z = a+bi поставим в соответствие точку на пло-
скости с координатами а и Ь, т. е. точку М(а, Ь) (рис. 192).
Легко видеть, что тем самым между множеством комплексных
чисел и множеством точек плоскости установлено такое соответ-
ствие, что каждому числу соответствует только одна точка и раз-
ным числам соответствуют разные точки. При этом на плоскости
нет ни одной точки, которая бы не соответствовала какому-ни-
будь комплексному числу. Значит, между множеством комплек-
сных чисел и множеством точек на плоскости установлено взаимно
однозначное соответствие и поэтому можно считать, что комп-
лексное число г — а-\-Ы есть точка на плоскости с координатами
(а, &).
Модулем комплексного числа г = а-\-Ы называется действи-
тельное число г = | z ] = Vа2 + Ь2.
Поскольку, комплексному числу z —a-j-ftt можно поставить
в соответствие точку М плоскости с координатами а и Ь, то
модулю комплексного числа можно придать следующий геоме-
трический смысл: | z |—расстояние соответствующей точки М (а, Ь)
до начала координат. Рассмотрим следующие задачи.
1. Найти множество точек плоскости, соответствующих комп-
лексным числам z таким, что | z | = 1.
Согласно геометрическому смыслу модуля комплексного числа
это будут точки, находящиеся от начала координат на расстоя-
нии единица, т. е. точки, которые лежат на окружности радиуса,
равного единице, и с центром в начале координат (рис. 193).
2. Найти множество точек плоскости, соответствующих комп-
лексным числам z таким, что 2 | г | < 3.
Согласно геометрическому смыслу модуля комплексного числа
это будут точки, расположенные внутри кольца, образованного
окружностями с радиусами 2 и 3, и с центром в начале коор-
динат, включая окружность радиуса 2 (рис. 194).
Комплексное число г = а+Ы можно рассматривать как вектор z,
начало которого находится в начале координат, а конец—в точ-
ке М(а, Ь), изображающей это число (см. рис. 192). Далее, го-
воря о векторах, изображающих комплексные числа, будем под-
разумевать, что начало этих векторов находится в начале коор-
динат.
525
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию сложения и вычи-
тания двух комплексных чисел zt = a-}-bi и z2 = e-\-di в том
случае, когда три точки О (0, 0), М2 (а, Ь) и М2 (с, d) не лежат
на одной прямой.
Пусть даны числа zt = а-\-Ы, z2 = c+di и z3 = (a+c)+(b+d)i.
Рассмотрим вектор zit конец которого находится в точке (а, Ь),
вектор z3, конец которого—точка М2(с, d), и вектор z3, конец
которого—точка М3(а+с, b+d). Вектор z3 является диагональю
параллелограмма РЛ!1ЛГ3Л<2 (рис. 195). Поскольку число z3 есть
сумма чисел zf и г2, то отсюда вытекает, что сложение двух
комплексных чисел можно геометрически интерпретировать как
сложение по правилу параллелограмма векторов z1 и г2, начала
Рис. 195.
которых находятся в начале координат, а концы—в точках
(а, Ь) и М2(с, d), изображающих эти числа.
Векторы, изображающие комплексные числа z=а 4- Ы и
(—г)=— а—bi, расположены симметрично относительно начала
координат, поскольку концы этих векторов^ точки М(а, Ь) и.
526
N(--a, — b), симметричны относительно начала координат
(рис. 196).
Пусть даны числа Zi — a-^-bi и га = c+di. Рассмотрим вектор zlt
конец которого находится в точке М1(а, Ь), и вектор г2, конец
которого находится в точке М2(с, d) (рис. 197). На этих векто-
рах построим параллелограмм OAfjMjAfj. Рассмотрим вектор (— г2),
конец которого находится в точке М4(—с, —d). Складывая
векторы zt и (—za) по правилу параллелограмма, получаем их
сумму—вектор z4, конец которого находится в точке М6(а—с,
b—d). Очевидно, что длина вектора z4 равна длине отрезка
Поскольку длина вектора z4 равна |z4| = |Zf—г2], то отсюда вы-
текает, что длина диагонали MjAfg равна \г^—z2| я модуль раз-
ности двух комплексных чисел zt и z2 представляет собой рас-
стояние между точками и М2, изображающими эти числа.
Такое геометрическое толкование суммы и модуля разности
двух комплексных чисел часто применяется при решении задач.
Примеры 1. Найти множество точек плоскости, соответст-
вующих комплексным числам г таким, что |г—i| = |z + 2[.
527
Расстояния от искомых точек до точек, соответствующих ком-
плексным числам i и (—2), равны. Значит, искомое множество
состоит из точек прямой, перпендикулярной к отрезку, соединяю-
щему точки (0; 1) и (— 2; 0), и проходящей через середину этог<
отрезка (рис. 198).
2. Найти точки г, удовлетворяющие условию | г— 11 = | г—21 =
= |z—i|.
Точки, соответствующие числам 1, 2 и i, образуют треуголь-
ник. Условию задачи удовлетворяет единственная точка—центр
описанной окружности этого треугольника. Так как она равно-
з
удалена от точек (1; 0) и (2; 0), то ее координата х = у, а так
з
как она равноудалена от точек (1; 0) и (0; 1), то у = х = -^, т.е.
3 3
условию задачи удовлетворяет единственное число
(рис. 199).
Аргументом комплексного числа г = а-\-Ы, отличного от нуля,
называется любое из чисел <р, являющихся решением системы
уравнений
, / а
COS ф = г—.......— ,
' b
Sin ф = -7==- .
Для числа г = 0 аргумент не определяется. Данная система имеет
бесконечное множество решений (так как на координатной плос-
(а Ь \
р====-; -y====j определяет точку единич-
ной окружности), причем если ф0 есть одно из ее решений, то все
остальные решения получаются из него по формуле Ф = Фв +
+ 2л£, где k—любое целое число. Таким образом, любое комп-
лексное число 2=^0 имеет бесконечно много аргументов, отли-
чающихся друг от друга на число, кратное 2л.
Главным аргументом комплексного числа г = а + Ы Ф 0 при-
нято называть его аргумент из интервала [0; 2л) и обозначать
этот аргумент arg г.
Аргумент комплексного числа 2 имеет следующий геометри-
ческий смысл. Если комплексное число г=а + Ы=£0 рассматри-
вать как вектор г, конец которого—точка М(а, Ь), то величина
угла ф, на который нужно повернуть против часовой стрелки
положительную ось Ох до первого совмещения ее с вектором г,
является главным аргументом комплексного числа г (см. рис. 192).
Величина любого угла, отличающегося от главного аргумента
arg г на целое число полных углов, является также аргументом
рассматриваемого числа г.
Пример. Найти на плоскости точки г, удовлетворяющие
л_________ _ . 5л
условию < arg г < —.
528
Все точки, расположенные на каком-либо луче, выходящем
1 из начала координат, имеют один и тот же главный аргумент,
поэтому условию задачи удовлетворяют все точки той части плоско-
f. сти, которая расположена между лучами, выходящими из начала ко-
л 5л
ординат под углами и -у, атак-
же точки, лежащие на первом луче
. (рис. 200).
Сопряженные комплексные числа<
Комплексное число г = а—Ы называ-
ют числом, сопряженным комплекс-
ному числу г = а-\-Ы.
По формулам сокращенного ум-
ножения
zz = (а bi) х (а—Ы) = а2—(Ы)2 —
= а2+Ь2.
Это свойство сопряженных комп-
лексных чисел позволяет деление-
комплексного числа Zi на комплекс-
ное число z2(z2#=0) свести к умно- рис. 200.
жению комплексных чисел z2 и z2.
Действительно, пусть z1 = a14-Z>1t, z2 = a2 + &2»‘ и г2#=0, тогда
zt г,г2 («1+&10 (flg—«1^2—flifrgt'+Мг»—bib2i2
z2z2 a2-j-b2 o2-j-b2
__aia2-j-b2b2 . bta2—агЬ2,
„2 i 1.2 “Г „2 । .2 1
0-2 "T" 02 0,2 । 02
Пример.
2 + t _ (2+0 (4 + Q 8+2t+4»+ t2 = J. , £,•
4—i (4 + 0(4—») 16+1 17' 17
По определению, если г=+0, то z° = l; если z+=0 и п—нату-
„ 1
ральное число, то г~а = — .
Примеры. 1. (2 + i)° = l;
3. (2 + 0 - (2 + 0* 4 + 4»+»2 3+4»
“ 25 251‘
1 (3—40 _ 3- 41
(3+40(3—40 “9+16—
Легко видеть, что число, сопряженное к числу г, есть число г,
т. е. z = z, и поэтому числа z и г называются взаимно сопря-
женными. В геометрической интерпретации комплексных чисел
взаимно сопряженные комплексные числа представляют собой
точки, симметричные относительно действительной оси Ох (рис. 201).
Отметим ряд свойств взаимно сопряженных чисел.
18 М. К. Потапов и др.
529
Действительно, |z | = "Ка24-Ь2, |г| = ]/а24-(—Ь)2-Уа2-)-Ь2,
•б) Если г = а,
где а—действительное число, то г=±г, arg г =
— arg г.
в) Если z=H=z, то arg z = 2л—arg г.
Действительно, если ф есть решение сис-
темы уравнений
✓ я
cos ф = —•==•,
т /а2 + 62
< . ь
то число <p! = 2n —<р есть решение системы
уравнений
а
cos ср — -г- .....:
Е / а24- Ь2
— Ь
Sin ф =
/ а2+ Ь2
так как [z[—]Sa2-l-b2 и так как zz =
Действительно,
= (а+Ы)(a—bi) = а2 +Ь2, то | г,| = Vzz.
д) Сумма и произведение взаимно сопряженных комплексных
чисел есть действительное число.
Действительно, если z — a-{-bi, то z + z = 2a (действительное
число) и zz = a2-\-b2 (действительное число).
е) Число, сопряженное к сумме двух любых комплексных чи-
сел, равно сумме чисел, сопряженных к слагаемым, т. е. Zj-t-z2 =
= +
Действительно, если zt — a-{-bi, z2 = c-{-di, то Zf 4-га = (а —&0+
4- (с—di) = (a + c)—(b+d)i = [(а 4-с) + (b+d) i] = zt 4- г2.
ж) Число, сопряженное к произведению двух комплексных
чисел, равно произведению чисел, сопряженных к сомножителям,
т. е. z^—ZiZ2.
Действительно, если zt — а4-bi, z2 = с -{-di, то zxz2 = (ас—bd) 4-
4- (ad 4- be) i и (г^2) — (ас—bd)—(ad 4- be) i, a zxz2 = (a—bi) x
X(c—di)=(ac—bd)-{-(—ad—bc)i=(ac—bd)—(ad + bc)i, t. e.
z2z2= ztz2.
з) Число, сопряженное к разности двух комплексных чисел,
равно разности сопряженных чисел, т. е. (zt—z2) = Zi—z2.
Свойство з) доказывается так же, как и свойство е).
и) Если z2=£0, то ( — ) = -^-.
\ Zg / г2
530
Свойство и) доказывается так же, как и свойство ж).
к) Число, сопряженное n-й степени комплексного числа г,
равно n-й степени числа, сопряженного к числу г, т. е. (г") = (г)”,
где п—натуральное число.
Докажем это свойство методом математической индукции. Для
п = 1 теорема очевидна. Предположим, что она справедлива для
n = k, т. е. предположим, что справедливо равенство (z*) = (г)*,
и докажем, что (гй+1) = (г)*+1. Действительно, (гА+1) = (г*-г). По
свойству ж) сопряженных чисел (z*z) = (z*)z. Используя теперь
предположение для n — k, получаем (zfc) г = (г)* z — (z)*+l и свойство
к) доказано.
В качестве следствия доказанных выше свойств (е, з, к) по-
лучаем справедливость следующего утверждения.
Если, число z выражено через комплексное число а при помощи
суммы и разности натуральных степеней этого числа, то заменяя
в этом выражении число а на ему сопряженное число а, получим
число г, сопряженное с числом г.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
Пусть г — а-}-Ы—некоторое комплексное число, отличное от
нуля. Обозначим через г его модуль, а через <р—один из его
аргументов. Тогда число z можно записать в виде
z = r (cos<p + isin<p). (1)
Правая часть равенства (1) называется тригонометрической фор-
мой комплексного числа z.
Тригонометрическая форма комплексного числа, отличного от
нуля, определена однозначно: это запись комплексного числа z
в виде (1), где г—положительное число, равное модулю числа z,
косинус и синус берутся от одного и того же угла <р, равного
аргументу числа г, при этом между косинусом и синусом стоит
знак плюс. '
Ясно, что следующие комплексные числа записаны не в три-
гонометрической форме:
ф . . . / ф \ Л ... Л \
гх = cos 1 sin л—v ; z2 = — 2 cos-x- + i sin-x- ;
Z у Z у \ и
z. = sin -т- 4-1 cos -g-; гЛ = со5-.— isin-г
3 6 ‘ 6 4 4 4
Тригонометрическая форма этих комплексных чисел следующая*
= cos у + i sin ~ ; z3 = cos у + i sin у ;
z2 = 2 ( cos у +1 sin — j ; z± = cos у +t sin у .
18* 5M
Действия умножения, деления, возведения в целую степень
над любыми комплексными числами удобнее производить, если
они записаны в тригонометрической форме.
Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел
равен произведению их модулей, а аргумент равен сумме аргу-
ментов.
Доказательство. Пусть даны комплексные числа гх =
= rt (cos фх 4- i sin фх) и z2 = r2 (cos <p2 4-i sin <p2). Рассмотрим число
zs = zxz2. Применяя правила действия над комплексными числами
и формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, имеем
г3 = zxz2 = (cos фх + i sin фх)] [r2 (cos <p2 4- i sin <p2)] =
= rir2 [(cos Ф1 +1 Sin Ф1) (cos Фг +1 sin Фг)] =
=rxr2 [(cos фх cos ф2—sin Ф1 sin ф2) 4-(sin фх cos ф2 4-cos <px sin ф2) i]=
= rxr2 [cos (Ф14-Фг) 4- i sin (фх 4-фг)]-
Итак, г3 = rxr2 [cos (фх 4-ф2) 4-i sin (фх 4~ф2)]> т. е. число за-
писано в тригонометрической форме и его модуль равен гхг2,
а аргумент равен (ф14~Фг)> что и доказывает теорему.
Теорема 2. Модуль частного двух комплексных чисел zt и
z2(z2#=0) равен частному их модулей, а аргумент равен разности
аргументов.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказа-
тельству теоремы 1, надо только предварительно умножить чи-
слитель и знаменатель частного -^на(созф2—/зшф2).
*2
Теорема 3 (формула Муавра). Пусть г—любое, от-
личное от нуля, комплексное число, п—любое целое число, тогда
гп = [г (cos ф 4- i sin ф)]" = rn (cos пф 4- i sin пер). (2)
Доказательство. 1. Для любого натурального п докажем
эту формулу методом математической индукции.
Для и=1 формула верна. Предположим, что формула (2)
верна для n — k, т. е. предположим, что справедливо равенство
zft = [г (cos ф 4- i sin ф)]* = г* (cos £ф 4- i sin kep). (3)
Докажем, что из справедливости равенства (3) вытекает, что фор-
мула (2) справедлива и для п = &4-1- Применяя формулу (3),
правила действия над комплексными числами, формулы для си-
нуса и косинуса суммы двух углов, имеем
2й+1 _ zkz _ p-ft (cos i sin p. (cos ф 4-1 sin ф)] =
= гй+х[(созАфСОЗф—sin &ф sin ф) 4-«(8т£фсозф4-соз£фзт ф)] =
— rk+i [cos (& 4-1) ф 4- i sin (k 4-1) ф].
т. e. формула (2) доказана для n =£4-l. Следовательно, по ме-
тоду математической индукции формула (2) справедлива для лю-
бого натурального п.
582
2. Если п = 0 и z=/=0, то по определению г° = 1, поэтому
г° = 1 -(cosOtp-H sin 0<р), т. е. формула (2) верна для п = 0.
3. Пусть п = — 1. Применяя определение степени с целым
отрицательным показателем и теорему 2, получим, что
, cos 04-г sin 0 1 Г , , , . . .
г*= —------—г- = — [cos (— ф)4-1 sm (— ф)1,
г (cos ф-Н sin ф) г L ' 1 ' T'J’
т. е. для п = —1 формула (2) верна.
4. Пусть п—любое целое отрицательное число, тогда п = —т,
где /и = |п|—натуральное число. Применяя сначала определение
степени с целым показателем, затем справедливость формулы (2)
сначала для п =—1, затем для любого натурального т, имеем
= = J
\zj ( Г[СО8(+ф) + « 31П(+ф)] J
= [cos (— ф) + i Sin (— ф)] 1“ =!
= [cos (— /Иф) + i sin (— /пф)] = г" (cos Пф + i sin Пф).
^так, формула (2) верна для любого целого п. Теорема доказана.
Приведем пример на применение формулы Муавра. Вычислим
sin3x и cos3x через sinx и cosx. По формуле Муавра
(cos х + i sin x)s = cos Зх + i sin 3x.
В то же время по формуле бинома Ньютона
(cos х + i sin х)3 = cos3 x+i 3 cos2 x sin x+3 cos x (i sin x)2+(i sin x)3=
= (cos3 x—3 cos x sin2 x) + i (3 cos? x sin x—sin3 x).
Итак, по правилу равенства комплексных чисел имеем
sin Зх = 3 cos2 х sin х—sin3 х, cos Зх = cos3 х—3 cos х sin2 х.
Применяя основное тригонометрическое тождество, эти формулы
можно переписать так:
sin Зх = 3 sin х—4 sin3 х, cos Зх = 4 cos3 х—3 cos х.
Замечание. Эти же формулы были получены в гл. Vдру-
гим способом. Используя формулы Муавра и бинома Ньютона,
можно вычислить cos их и sinnx для любого натурального числа п.
Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет до-
казать свойства модулей комплексных чисел:
а) ххг21 = [гж||г8|;
б)
в)
г)
Д)
е)
—1 = ВЦ-, если г2 =£ 0;
*2 I I ?21 2
?i + г21 < | z£ | + | z21;
г2|<|21| + |г2|;
12i|—|z2||<|Zi + z21;
|2X|—|z2||<|zi—z2|.
.-533
Докажем эти свойства. Свойство а) доказано в теореме 1, а свой-
ство б)—в теореме 2.
Докажем свойство в). Пусть z1 = r1(cosfp14-isi'n<p1), z2 =
= r2(cos<p2 + * sin<p2)- Поскольку
(za + z2) = (g cos <Pi + rt cos <p2) + i (л sin ф2 4- r2 sin ф2),
TO
1 Zi + z21 = (rf cos2 (J).! + 2rxr2 cos Ф, cosxp2 4-
4- rf cos2 ф2 + rf .sin2 <рх + 2r1r2sin ф4 sin ф2 4- rf sin2 ф2)г/2 —
= V rf-hrf +2ггг2 cos^ —ф2).
Поскольку соз(ф£—<p2)^l, to |z14-z2|^'Krf + r|4-2r1r2 =
= G + G = |zil + |z21- Свойство в) доказано.
Свойство г) доказывается аналогично.
Свойство д) вытекает из свойства г). Действительно, 1^1.1 =
= l(Zi + z2)—zJCK + zJ + lzJ, откуда
|zj — IzJdZi + z^. (4)
Аналогично | z2 \ =ф(г24-Е1) — 1 |га-4-zu-|-+-!1 М> откуда а
I (5)
Из справедливости неравенств (4) и (5) и вытекает справедли-
вость свойства д).
Свойство е) доказывается аналогично.
‘Корни из комплексных чисел и их свойства. В главе IV ре-
шалась задача: для любою данного числа а и любого данного
натурального числа п найти число Ь такое, что &" = а. Такие
числа Ь принято называть корнями степени п из числа а. Там
было показано, что если число а—действительное положительное
число, а п—четное натуральное число, то существуют два дей-
ствительных числа и Ь2 таких, что и Ь% = а; если а—
действительное число, а п—нечетное натуральное число, то су-
ществует одно действительное число b такое, что Ьп=а.
Однако найти число, четная степень которого была бы равна
отрицательному числу, в области действительных чисел уже
нельзя. В области комплексных чисел это сделать можно. Спра-
ведливо более общее утверждение: в множестве комплексных чисел
можно найти корень любой натуральной степени из любого комп-
лексного числа. Это утверждение является следствием следующей
теоремы.
Теорема 4. Пусть z—комплексное число, г^О, п—нату-
ральное число. Существует п различных комплексных чисел ап а2,
а8, .... а„ таких, что а" = г, где i = l, 2, .., п.
Эти числа называются корнями степени п из комплексного
числа г. Для обозначения этих корней нет специальных симво-
лов, подобных символу, которым обозначается арифметический
корень.
Доказательство. Для п = 1 теорема очевидна. Пусть
п 2 и пусть z = г (cos ф + i sin ср) (z #= 0). Будем искать комплекс-
ное число а = р (cos ф 4-i simp) такое,, что —z. Покажем, что
такое число а существует. Более того, покажем, что таких чисел
бесконечно много, но различных между собой их только и.
По формуле Муавра
г == ап = pn (cos пф 4- i sin МО*
По определению модуля комплексного числа | z |.•= р*, т. е.
г = р”, откуда р={/г (по определению модуля комплексного
числа z у= 0 числа риг положительны, поэтому символ арифме-
тического корня здесь употреблен правильно).
Применяя определение равенства двух комплексных чисел,
получаем, что одновременно справедливы равенства
{cos mp = cos(p,
sin mp = simp.
Эти равенства одновременно выполнены тогда и только тогда,
когда пф= ф4-2л&, где k—любое целое число, т. е. для ф =
— , Где k—любое целое число. Значит, числа а такие,
что каждое из них удовлетворяет равенству an = r(cos<p4-isinq)),
существуют и могут быть записаны в виде
a=i/r-^os(S^)+fsta(S±^)}, (6)
где k—любое целое число. Обозначая через ар корень, вычисля-
емый по формуле (6) для k = p, получаем:
“• = jZ7{cos(i)+isin(i)},
«.-^{cos^ + isin^)},
а, = /F {cos + i sin ,
= У' {«ns + < sin .
«,= У~г {cos +isin >«.,
«.«= i/r‘{cos (<F+2"„("~k ')) +<sin (Ф + ^М»_Н))|=ад,
«2П = ««•
ct-i =a„_j,
a_2 = a„_2,
a-„ = ae
' Й5
Отсюда легко видеть, что для любого целого р справедливы ра-
венства Oto ^Lpni ai ^pn+if C&2 ®^jpw+2> •••» ®n—1 G^pn+n—l’
Итак, различных корней ровно п: а0, ах, а2, ап_£. Они
могут быть вычислены по формуле
п/—I /ф + 2л£\ . . . /ф-4-2л&\)
ak= л/ г < cos — -Н sm — У »
* к ( \ п J \ п J }
(7)
где k — Q, 1, 2, .... (п—1).
Заметим, что из формулы (7) можно получить все п различ-
ных корней, если вместо k подставлять в нее любые п целых
чисел, идущих подряд. _
Пример. Найти корни третьей степени из числа г = КЗ-г«.
л - ( ( ~-Е2л*\
^Поскольку г = 2, a <p = -g-. то ай=£/2 Icos^--$—у4~
( -2—(-2nzA|
4-i sin у-о---/| » гДе k—1, 2, 3, т. е.
з/п ( ( 13л \ , . . ( 13л \ 1
а1 = у2 -{cos (-j8~)+isin(-i8~)p
а2 = У 2 {cos -Н sin },
а3 = У 2 {cos (у|)+i sin ({§) {.
Рассмотрим частный случай: отыскание корня n-й степени из
единицы, т. е. найдем числа ак такие, что с$ = 1. Поскольку
г = 1 и ф = 0, то
/ 2л£ \ . . . / 2nk \
aft = cos(^—j4-isin,
(8)
где fe = 0, 1, 2, ..., n—1.
Если п = 2т (четное число), то среди этих корней существует
два действительных корня а0 = 1 и ат — —1. Если п = 2/п4~1
(нечетное число), то существует один действительный корень
а0 = 1.
Приведем еще и другие свойства корней n-й степени из еди-
ницы:
а) Ы = 1;
б) =
в)
г) a™ = afcm, где т—любое целое число (корень а„ находится
по формуле (8), где вместо k следует взять п).
Докажем эти свойства. Свойство а) вытекает из определения
модуля комплексного числа.
536
I Для доказательства свойства б) воспользуемся теоремой о
4 произведении комплексных чисел в тригонометрической форме:
( 2л£ . 2лт \ . f 2nk , 2пт \ м
afeam = cos ----И-----Нsin--------------= аЛ+ш.
л /» \ п ‘ я / ‘ \ п 1 п J R m
*
< Свойство в) доказывается аналогично.
; Докажем свойство г). По формуле Муавра
a*1 = cos "i] 4-tsin mj =акт.
Рассмотрим теперь геометрическую интерпретацию n-й степени
из единицы:
a0= 1,
а1=соЦ—)+isinbJ’
/ 4л \ , . . / 4л \
а2 = cos — +1 sin — ,
\ п J \ п }
f 6л \ . . . / 6л \
a3=cos —H-iSin — , ....
3 \ п J \nJ
Очевидно, что точки^z0, ап ...» аЛ2_1 будут вершинами пра-
вильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, одна
из вершин которого —точка Ло(1; 0).
Примеры. 1. Пусть и = 3, тогда a0 = l, ai = cos^j +
1 s^n('Т') » a2 = cos (-у-) -Нsin (-у-) • Точки Ло(1; 0),
л ( 1 /3 \ л ( 1 /3 \
Л11—у. •^2“J, Л2 (—у,---) являются вершинами правиль-
537
ного треугольника Л0Л1Л2, вписанного в единичную окружность
(рис. 202).
2. Пусть я = 4, тогда а0=1, а1 = г, а2 =— 1, а3 =—i. Точки
Ло(1; 0), Лх (0; 1), Л2 = (—1; 0) и Л3(0; —1) являются верши-
нами квадрата Л0ЛхЛ2Л3, вписанного в единичную окружность
(рис. 203).
’Приведем формулу для корня и-й степени из числа (—1).
Поскольку г = 1 и ф = л, то aft = cos (—) + i sin t где
£ = 0, 1, 2, .... и—1. ”
Отсюда видно, что если n = 2m (четное число), то среди ак
нет ни одного действительного числа. Если о = 2огЧ-1 (нечетное
число), то существует одно действительное число &„ =— 1.
Вообще для любого положительного числа а и любого четного
натурального числа п существует только два действительных
числа bf и Ь2 таких, что Ь? = Ь? = а.
Действительно, поскольку для любого положительного числа
a = |a|(cosO + isinO), то все корни n-й степени из этого числа
вычисляются по формуле bk= 1«| -{cos + t (^г)} •
Если п — 2т, то среди этих чисел будут только два действи-
тельных числа 60=у^|а| и Ьт = — что и утверждалось
выше.
Аналогично можно доказать справедливость следующих ут-
верждений:
Для любого положительного числа а и любого нечетного нату-
рального числа п существует только одно действительное число
Ь= т/а такое, что Ьп = а.
Для любого отрицательного числа а и любого нечетного нату-
рального числа п существует только одно действительное число
Ь = —)/|а| такое, что Ьп = а.
Для любого отрицательного числа а и любого четного нату-
рального числа п не существует, ни одного действительного числа b
такого, что Ьп = а. <
§ 3., Числовые поля и кольца
В этом параграфе рассматриваются множества чисел, причем
под множеством чисел понимаются либо все комплексные числа,
либо какая-нибудь их часть.
Ниже под операцией понимается одно из четырех арифмети-
ческих действий: сложение, умножение, вычитание и деление.
Некоторое множество называется замкнутым относительно
данной операции, если применение этой операции к любой паре
чисел из этого множества дает число из этого же множества.
Примеры. 1. Множество натуральных чисел замкнуто отно-
сительно операции сложения, так как сумма любых двух нату-
ральных чисел есть натуральное число.
538
2. Множество натуральных чисел не замкнуто относительно
операции вычитания, так как разность двух натуральных чисел
не всегда есть натуральное число, например 2 — 3 =—1(—1— не
натуральное число).
3. Множество, состоящее из чисел 0, 1 и —1, замкнуто отно-
сительно операции умножения.
4. Множество целых чисел замкнуто относительно операции
вычитания, но не замкнуто относительно операции деления.
Множество чисел, замкнутое относительно операций сложения,
умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), на-
зывается числовым полем.
Примеры. 1. Множество всех комплексных чисел образует
поле, называемое полем комплексных чисел.
2. Множество всех действительных чисел образует поле, назы-
ваемое полем действительных чисел.
3. Множество всех рациональных чисел образует поле, назы-
ваемое полем рациональных чисел.
4. Множество целых чисел не образует числового поля, так
как оно не замкнуто относительно операции деления.
5. Множество чисел вида (р + ^]/2), где р и q — любые ра-
циональные числа, образует числовое поле.
Доказательство, а) Поскольку
(Pi + 71К2) + (р2 + 72 /2) = (pr + р2) + (7i + V2.
а (Р1 + Р2) и (7i + 72)-рациональные числа, то замкнутость этого
множества относительно операции сложения доказана.
Аналогично доказывается замкнутость относительно вычитания.
б) Поскольку
(Pi + 7i /2) (р2 + 72У2) = (ргр2 + 2^) + (ptq2 + р^г) У1,
a (PiPa 2<7j/72) и (р^ + р^) —рациональные числа, то доказана
замкнутость этого множества относительно операции умножения.
в) Поскольку
(Р1 + Я1 /~2) _ (.Pl+71 У~2)(рг—7г уу) — PiPa—2717г 71Рг~ Р17г т/ 2
(Рг+72 1^2) (Рг + 7г 1^2 )(р2—7г }^2 ) рг—2q% pl—2ql
и Pi —27i#=0, то замкнутость относительно операции деления
очевидна.
Итак, множество чисел вида (p + ^j/lz), где р, 7 —любые ра-
циональные числа, является полем.
6. Множество чисел вида (P + 7J/2), где р, q — любые нату-
ральные числа, не является полем, так как множество натураль-
ных чисел не замкнуто относительно операции вычитания.
Множество чисел, замкнутое относительно операций сложения,
вычитания и умножения, называется числовым кольцом.
Примеры. 1. Любое числовое поле есть числовое кольцо.
539
2. Множество целых чисел является числовым кольцом, так
как это множество замкнуто относительно операций сложения,
вычитания и умножения.
3. Множество четных чисел является числовым кольцом, так
как при сложении, вычитании и умножении четных чисел вновь
получается четное число.
4. Множество нечетных чисел не будет кольцом, так как уже
при сложении нечетных чисел получается четное число, т. е. такое
числовое множество не является замкнутым относительно опера-
ции сложения.
5. Множество чисел вида (p + qV^), где р и q—любые целые
числа, является числовым кольцом, но не является числовым
полем. Действительно, так как множество целых чисел замкнуто
относительно операций сложения, вычитания и умножения, то
(Pi + 911^2) + (Ра + 9а 1^2) — (pl + Р2) + (91 + 9а) 1^2,
(Pi + qi /2) - (р2 + q2 /2) = (рх - р2) 4- (91 ~ 9г)
(pi + 9i /2) (pa + 9а /2) = (РхР2 + 2q1qi) + (р& + p2q,) /2,
где (рх+р2). (91+9a)> (Pl—Ра)» (91~9а). (PiPa+29x9a). (Р19а+Ра91) ~
целые числа. Следовательно, множество чисел вида (p + q]/^2)
замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умно-
жения, то есть является числовым кольцом.
Рассмотрим операцию деления. Поскольку
__ Ptp2-t Я1Р2 — Р1Я2 l/T)
p2"h^2 p2 2q2 p2 — %<]2
и множество целых чисел не замкнуто относительно операции де-
Р1Р2—
ления, то при целых рх, р2, qu q2 числовые выражения ,
Р2—2<?2
^iPi—МОГуТ принимать и нецелые значения. Следовательно,
Р2 — 2(72 _
множество чисел вида (p + qV2) не замкнуто относительно опе-
рации деления, т.е. не является числовым полем.
§ 4. Многочлены над полем комплексных чисел
Многочленом степени и (я —данное некоторое неотрицательное
целое число) от переменного х над числовым полем К называется
выражение вида
aoxn+a1xB-14-a2x’»-2+...+an_1x+a„, 1
где коэффициенты а0, at, а2, .... an_lt ап — данные числа из
поля К, причем ao=#O.
Из этого определения, в частности, вытекает, что многочлены 1
нулевой степени —это отличные от нуля числа из поля /С. Число
540
нуль считается многочленом, причем это единственный многочлен,
степень которого не определена.
Для сокращенной записи многочленов обычно употребляют
следующие символы: Р(х), Q(x), Т (х), Р(х), р(х), q(x), г(х) и
другие; при этом если хотят подчеркнуть, что многочлен Р(х)
степени п, то пишут Рп(х). В § 5 гл. II многочлены рассматри-
вались над полем действительных чисел.
В этом параграфе многочлены рассматриваются в основном
над полем комплексных чисел, поэтому дальше под многочленом
понимается многочлен над полем комплексных чисел. В тех случа-
ях, когда многочлены рассматриваются над другими числовыми
полями, об этом будет сказано особо.
Два многочлена Р(х) и Q(x) считаются тождественно рав-
ными (иногда говорят кратко—равными) тогда и только тогда, когда
равны их степени и равны коэффициенты при х в одинаковых
степенях. Для записи тождественного равенства многочленов
употребляется знак равенства, если многочлены Р(х) и Q(x) тож-
дественно равны, то пишут P(x) = Q(x). Значит, если
Рп (х) = аохп + а^-1 + а2хп~* + ... + а^х^- а„,
(х)==Ь0хя’ + М““1 + М'я“2+ • • +am-ix + am,
то Pn(x) — Qm(x) тогда и только тогда, когда п = т и a„_( =bm_z
для всех i = 0, 1, 2, ..., п— 1, п.
Суммой двух многочленов
Pn(x) = aoxn+alxn-1 + a2xn~i+ ... -{-а^х + а,,,
Qm(x) = &ex'"+Mm“1'+M""2+ • • • +ат-1х+ат,
где п^т, называется многочлен 7’(х) = с0хп+с1хп-1+с2х"~?+...
... +c„-ix+c„ такой, что с^ — а^+Ь,^ для каждого i = 0,
1,2, ..., п, причем Ьт-/ = 0 для каждого i =m + l, т+2....п,
т. е. суммой многочленов Р„ (х) и Qm (х) называется многочлен
Т (х), коэффициенты которого при каждой степени переменного х
равны сумме коэффициентов при той же степени х в многочленах
Р„(х) и QM(x), причем если n>m, то коэффициенты Ьт+1,
Ьт+г, . • •, bn следует считать равными нулю. Для нахождения
суммы многочленов Р„(х) и Qm(x) нужно записать подряд все
члены этих двух многочленов и затем сделать приведение подоб-
ных членов.
Произведением двух многочленов
' Р„(х) = а0хп+а1Хи-х4-а2хи-2+ ... Ч-а^х+а,,,
(х) = Ь0х'»+61х’в-х-ЬЬ2х“-2+ ... 4-Ья,_1х + Ьт
называется многочлен
7?(x) = d0x'B+n-|-d1x“+n-1 + d2xB’+n-2+ ... +4+zs_iX+4+w
такой, что dt— 2 ап-^>т-я Для каждого г—0, 1, 2, ..., п+т,
p+q=i
! т.е. произведением многочленов Р„(х) и Qm(x) называется мно-
541
гочлен R (х), коэффициент которого dt есть результат сложения
всех произведений, в каждом из которых перемножаются такие
коэффициенты ак и bt многочленов Р„(х) и Qm(x), сумма индек-
сов k-^-l которых равна Для нахождения произведения
многочленов Рп (х) и Qm (х) нужно каждый член многочлена Р„ (х)
умножить на каждый член многочлена Qm(x), сложить получен-
ные произведения и привести подобные члены.
Нетрудно проверить, что справедливы следующие основные
законы сложения и умножения многочленов:
1. Р (х) + Q (х) = Q (х) + Р (х) (коммутативность сложения);
2. [Р (х)+Q (х)] + Т (х) = Р (х) + [Q (х)+ Т (х)} (ассоциатив-
ность сложения);
3. Р (х) Q (х) = Q (х) Р (х) (коммутативность умножения);
4. [Р (х) Q (х)] Т (х) = Р (х) [Q (х) Т (х)] (ассоциативность умно-
жения);
5. [Р (х) + Q (х)] Т (х) = Р (х) Т (х)+Q (х) Т (х) (дистрибутивность
сложения относительно умножения).
Вычесть из многочлена Р(х) многочлен Т(х) —это значит
найти такой многочлен Q(x), что Р(х) —T(x) + Q(x).
Нетрудно проверить, что для любых двух многочленов Р (х)
и Т(х) такой многочлен Q(x) существует и единствен, он назы-
вается разностью многочленов Р (х) и Т (х) и обозначается Q (х)=
=Р(х)-Т(х).
Если Т(х) = а0хп4-а1х'г-1 + а2хп_?4-...-|-й„_1Х4-а„ и
Т*(х) = —Т(х) =
= (—a0)x"+(—«!) хп-1 + (—а2)х«-2+ ... +(—a„_i) x + (—а„),
то Q(x) = P(x) + T*(x). Значит, в множестве многочленов всегда
выполнена операция вычитания, обратная к операции сложения.
Разделить нацело многочлен Р(х) на многочлен Т (х), отлич-
ный от нуля,— это значит найти многочлен Q(x) такой, что
Р(х) = Т (х) Q(x). Если такой многочлен Q(x) существует, то го-
ворят, что многочлен Т (х) является делителем многочлена Р (х),
а многочлен Q(x) называется частным от деления многочлена
Р(х) на многочлен Т (х).
Не любой многочлен Р(х) можно разделить нацело на мно-
гочлен Т (х). Например, многочлен х?-Н’ не делится нацело на
многочлен х-{-1. Значит, в множестве многочленов не всегда
выполнена операция деления нацело, обратная к операции умно-
жения. Зато в множестве многочленов всегда выполнена операция
деления с остатком.
Разделить с остатком многочлен Р(х) на многочлен Т (х),
отличный от нуля,— это значит найти два многочлена <?(х) и
г (х) такие, что
P(x)==T(x)<7(x) + r(x), (1)
причем либо степень многочлена г (х) строго меньше степени мно-
гочлена Т (х), либо г (х) есть нуль.
542
В случае, если выполнено равенство (1), говорят, что много-
член Р (х) делится на многочлен Т (х) с остатком г (х) и частным
q(x). В частности, если г(х) = 0, то говорят, что многочлен Р(х)
делится на многочлен Т (х) с остатком нуль или многочлен Р (х)
делится нацело на многочлен Т (х)'.
Аналогично теореме 5 из § 5 гл. II доказывается теорема о
делимости многочленов, заданных над полем комплексных чисел.
Теорема 1. Для любых двух многочленов Р(х) и Т (х), где
T(x)=£Q, существует и притом единственная пара многочленов
q(x) и г(х) таких, что Р (х) = Т (x)q (х) + г(х), причем либо сте-
пень многочлена г(х) строго меньше степени многочлена Т (х),
либо г(х) есть нуль.
Для определения коэффициентов многочленов q(x) и г(х) су-
ществует несколько способов. Наиболее распространенным среди
них является метод неопределенных коэффициентов, рассмотрен-
ный в § 5 гл. II. Там же был детально рассмотрен вопрос о де-
лении многочлена на двучлен (х —а), где а —действительное
число. Все результаты, полученные в § 5 гл. II, остаются вер-
ными и в том случае, когда коэффициенты многочлена и число
а являются любыми комплексными числами.
В частности справедливы следующие теоремы.
Теорема 2 (теорема Безу). Остаток от деления мно-
гочлена Р{х) на двучлен (х—а) равен значению многочлена Р (х)
при х = а, т. е. г = Р(а).
Теорема 3. Многочлен Р (х) делится нацело на двучлен
(х—ос) тогда и только тогда, когда значение многочлена при
х = а равно нулю, т.е. Р(а) = 0.
Число а называется корнем многочлена Р(х), если Р(а) = 0.
Сформулируем теорему 3, используя определение корня много-
члена.
Теорема 4. Число а является корнем многочлена Р(х) тогда
и только тогда, когда многочлен Р (х) делится нацело на двучлен
(х —а).
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Ответ
на этот вопрос дает основная теорема алгебры.
Теорема (Основная теорема ал гебры). Любой мно-
гочлен степени п (п 1) над полем комплексных чисел имеет хотя
бы один корень.
Эта теорема принимается здесь без доказательств. Докажем
в качестве следствия этой теоремы такую теорему.
Теорема 5. Любой многочлен Рп(х) = а^хп + а1х“~1 + ...
...+ап(ао^=О) степени п(л^1) над полем комплексных чисел
разлагается в произведение п линейных множителей, т.е.
Рп(х) = а9(х — а1)(х — а2)(х — а3) ... (х—а„). (2)
Доказательство. Пусть Рп — многочлен степени п. Тогда
по основной теореме алгебры у него есть корень. Обозначим его
«!. Тогда по теореме 4 Р„(х) = (х — <xl)q1{x), где ^(х) —много-
543
член степени (n — 1). Для многочлена qt(x) опять применима
основная теорема алгебры, поэтому gf(x) имеет корень а2. Тогда
по теореме 4 <h(x) = (x—а2)<?2(х), где q2(x) есть многочлен сте-
пени (и — 2). Продолжая этот процесс, получим, что qn-i(x) =
—(х —an-i)qn(x), где qn(x) есть многочлен первой степени, т. е.
qa(x) — b9(x—а„) (Ьо=£О). Из этих рассуждений вытекает, что
Pn(x) = b9(x — «i)(x—а2)(х—а8).. .(х—а„). (3)
Раскрыв скобки в произведении, стоящем в правой части равен-
ства (3), получим, что у многочлена Р„(х) коэффициент при х"
будет Ь9, но в то же время этот коэффициент равен а0, поэтому
Ьо= ®о-
Итак, показано, что Р„ (х) = ав (х — а,) (х — а2) (х — а3)...
. ..(х —а„). Теорема доказана.
Заметим, что в равенстве (3) некоторые из чисел а1( а2, ...
.... а„ могут быть равны между собой. Объединяя вместе оди-
наковые линейные множители, равенство (2) можно переписать
в виде
Pn(x) = a0(x-a^(x-ai)^(x-a3)k> ... (х —ат)Ч (4)
где + • • Л-кт = п, при этом предполагается, что среди
чисел а„ а2, а8, ..., ат уже нет равных. Можно показать, что
в равенстве (4) число az является корнем кратности kt многочлена
Рп(х).
Из теоремы 2 вытекают следующие теоремы.
Теорема 6. Любой многочлен степени п над полем комп-
лексных чисел имеет п корней, если каждый из корней считать
столько раз, какова его кратность.
Теорема 7 (формула Виета). Если Рп(х) = хп+
+ aiXn-14-...+on> tn. е. если старший коэффициент многочлена
равен единице (a0= 1), а числа an a2, a3, ..., a„—его корни, то
справедливы равенства
Oi = — (<Х1 + а2+аз+ • • • +ап)>
а2 = а1а2+а1а3 + ... +а1а„+а2Оз + ... +а2а„+ ... -|-a„_ia„,
an-i = (— I)»"1 («А ••• Vi + aft ••• а„_2а„+...+а2аз...ап),
а„ = (—••• “„-Л)-
Доказательство. По теореме 5
Рп(х) = (х—0С1)(х — а2)(х — а3)(х — а4) ... (х —а„).
Раскрывая скобки и пользуясь правилом равенства многочле-
нов, получим справедливость этих равенств, которые называются
формулами Виета.
Теорема 8. Если многочлен
,Рп (х) = о0х" + ацх"-1 + a2xn~? + ...-j- an_xx+a„ (a0 =/= 0)
544
с действительными коэффициентами а0, alt ..., ап имеет комплекс-
ный корень а-\-Ы, то он обязательно имеет и корень а —Ы, т.е.
число, сопряженное к корню многочлена с действительными коэф-
фициентами, также является корнем этого многочлена.
Доказательство. Пусть число а + Ы — корень многочлена
Рп(х) = алхп+а1хп-1 + а2хп~* + ... +ап_1х-^а„ (ло¥=О).
Тогда Рп(а-}-Ы) = 0, т.е. справедливо равенство
aQ (а+Ы)п 4- а2 (а+Ы)п~1 + а2 (а + W)"-? + ...
• • (а + &0+«я = 0.
Применяя формулу бинома Ньютона, левую часть этого равен-
ства можно записать в виде А + Bi, откуда по правилу равенства
нулю комплексного числа получаем, что А —0 и В = 0.
Теперь рассмотрим
Р„(а — Ы) = а0(а—Ы)п + а1 (a—bi)”-1 + o8 (а —6i)n-?+ • •
+ ап^1(а—Ы)+ап.
Выше было доказано, что произведение, степень и алгебраиче-
ская сумма чисел, сопряженных с данными комплексными числами,
есть комплексное число, сопряженное соответственно к произве-
дению, степени и алгебраической сумме данных чисел, поэтому
Pn(a—bi) = A — Bi (здесь еще учтено, что коэффициенты ав, ах, ...
..., ап—действительные числа), но так как А = В = 0, то
Рп(а — £>i) = 0, а это значит, что число (а—Ы) является корнем
многочлена Рп(х). Теорема доказана.
Теорема 9. Если многочлен с действительными коэффициен-
тами имеет комплексный корень а-\-Ы, то он делится нацело на
квадратный трехчлен x2-\-px-\-q, где р = —2а, q — a2-\-&.
Доказательство. Если число x1 = a+bi — корень много-
члена Р(х), то согласно теореме 8 число х2 = а—Ы — также корень
этого многочлена. Тогда Р(х) делится нацело и на двучлен (х—хх)
и на двучлен (х — хг), значит, он делится на их произведение
(х—хх)(х—х2) = (х — а — Ы)(х — а+Ы) =
— х? — 2ах+а2+6? = х2+рх 4- q,
что и требовалось доказать.
Теорема 10. Всякий многочлен с действительными коэффи-
циентами разлагается на произведение либо двучленов (х—ай), либо
трехчленов x^ + pmx-\-qm, либо двучленов (х—аА) и трехчленов
x2 + pmx + 'qm, где ak, рт, qm — действительные числа, а трехчлены
х24~ Pmx+qm не имеют действительных корней.
Теорема 10 есть следствие теоремы 5 и 9.
Пример. Известно, что многочлен Р(х) = х4 —2х34-4х—4
имеет корень х2 = 14- i. Разложить его на произведение двучленов
и трехчленов с действительными коэффициентами.
545
Поскольку многочлен Р(х) имеет корень x = l + i, то по тео-
реме 9 он делится на трехчлен х2— 2х + 2. Разделив многочлен Р (х)
на этот трехчлен, получим х4—2х34-4х—4 = (х2 —2х4-2)(х2 —2).
Разлагая теперь многочлен х2-— 2 на линейные множители,
получаем ответ:
Р (х) = (х2 - 2х4- 2) (х— /2) (х + /2).
Пусть дан многочлен
Рп (х) = а1)хп+а1х'”1+а2хп-2 4- ... + а„ (<*»=/= 0). (5)
Выше было показана:
1. Многочлен (5) над полем комплексных чисел может быть
записан в виде
Pn(x)=aa^-a1)(x-a2i(x-a3).. .(х-ай),
где числа а0, а», а2, а3, ..., а„ из этого же поля.
2. Многочлен (5) над полем действительных чисел может быть
записан в виде
Р„ (X) =а9(х- а») (х—сс2)... (х — aft) (х2+р.х + ?,)...
№ + РтХ + (Гт)< (6)
где k+2m = n, числа аа, а», с^, ..., ай, р», qt, ..., рт, ^—дей-
ствительные числа. При этом в разложении (6} квадратные трех-
члены. нельзя представить как произведение двух множителей
(х—az)(x—аД с действительными а* и а^.
Перейдем теперь к вычислению корней многочленов.
Начнем с многочлена первой степени
Л (х)=а„х+(а„ #= О).
В любом числовом поле этот многочлен имеет один корень
Xi~—Рассмотрим многочлен второй степени
Р2 (х)=аох2 + О1Х + а2 (а0 =/= 0).
Как следует из теоремы 6, многочлен Р2(х) над полем комплекс-
ных чисел имеет два корня. Для нахождения этих корней пре-
образуем многочлен Р2(х), выделив полный квадрат:
РМ -а. [^ + 2^+ + =
Г/ , «1 V D 1
= ап f f х-|—— f---------5- ,
2й0./
где D=a2 — 4а0а2. Найдем комплексное число р такое, что р^ =
Тогда
р,(х) = ао (х + ^-f») (* + -^+₽) ,
546
откуда очевидно, что. многочлен Р2 (х) имеет два корня:
*<=-%+*>
Заметим, что если D =+ 0, то существует два комплексных числа
0! и 02 таких, что 01 = 0! = -^-. Так как 01 = — 02, то для нахож-
4а0
дения корней многочлена Р2(х) все равно, какой из них принять
за 0. Если D = 0, то х± = х2 = —в многочлен Р2(х) имеет один
корень кратности два.
В случае, если коэффициенты а„, alt а2 — действительные числа,
то D также действительное число и поэтому:
а) если D > 0, то многочлен Р2{х) имеет два действительных
............-«14- /о „ — «1— У D
неравных корня: xt =------------—, х2 = —1~-—;
б) если D = 0, то многочлен Р2(х) имеет один действительный
корень кратности два: х1 — х2=—-Ц-;
в) если D < 0, то многочлен Р2(х) имеет два комплексных
«1 1 V 1^1 • «t Hoi .
корня: X1 = -—+-±-h, х2=-^--------
Для любого многочлена третьей или четвертой степени над
полем комплексных чисел существуют способы нахождения его
корней. Эти способы здесь не приводятся, так как они весьма
трудоемки.
Что касается многочленов степени пять и выше, то для них
нет общих способов нахождения корней.
В частных случаях, пользуясь теоремами о целых и рациональ-
ных корнях многочлена (см. § 5 гл. II), удается представить дан-
ный многочлен в виде произведения многочленов первого и второго
порядков и, таким образом, найти все его корни.
Пример. Найти корни многочлена Р3(х)=х8+ух2+ух—у •
Рассмотрим многочлен Q3 (х) = 8Р3 (х) = (2х)8 Ц- (2х)2 4- 2 (2х) —4
или T3(l) = t3 + P-\-2t — 4, где t = 2x. Делители свободного члена
многочлена Т3(/): 4-1> —1. 4-2, —2, 4-4, —4.
Найдем значения многочлена T3(t) в этих точках:
Т3(1) =14-1+2-4=0,
Т3 (—1) = —14-1—2-4 = —6#=0,
Т3(2) =8 + 44-4 — 4 = 12=^0,
Т3(—2) = —84-4-4-4 = —12#= О,
Т3(4) =644-16 + 8-4 = 84^=0,
Т3 (—4) = —64 +16—8 - 4 = —60 =/= 0.
• По теореме о целом корне (§ 5 гл. II) многочлен Ta(f) имеет
один целый корень 1. Поэтому его можно представить в виде
547
произведения двучлена (t — I) и квадратного трехчлена. Для на-
хождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему
Горнера:
Итак, Т3(0 = (/-1)(/2 + 2/ + 4).
Квадратный трехчлен t2- 4-2^4- 4 имеет комплексные корни 12 —
==—1 4- Из», t3 = —1—Кз«. Следовательно, исходный многочлен
Р3 (х) = х8 + 4- х? 4- х—4г имеет один рациональный корень Xt =
£ £ £
i i . 1^3 . —1 Уз .
= -х- и два комплексных корня х2 =—у 4—», х8 = —5-----»•
£ II £ л
В заключение рассмотрим вопрос о нахождении корней много-
члена, заданного над другими числовыми полями. Если многочлен
задан над полем действительных чисел, то из теоремы'6 следует,
что число действительных корней меньше или равно степени дан-
ного многочлена. О нахождении действительных корней можно
сказать то же самое, что было сказано выше о нахождении комп-
лексных корней. Если многочлен задан над полем рациональных
чисел, то используя теорему 9 (§ 5 гл. II), можно найти все рацио-
нальные корни данного многочлена. Аналогично, если многочлен
задан над кольцом целых чисел, то все целые корни данного много-
члена можно найти, используя теорему 8 из § 5 гл. II.
§ 5. Кольца, поля, группы
В предыдущих параграфах и главах наряду с числами рассмат-
ривались и более сложные объекты: многочлены, матрицы, функ-
ции и т. д.
Над этими объектами производились некоторые действия или
операции, аналогичные арифметическим операциям над числами.
Например, рассматривались сложение матриц, деление многочлена
на многочлен и т. д. Поэтому естественно расширить понятия
числовых полей, колец на множества, состоящие из более сложных
объектов или элементов. Но для этого надо определить операции
над элементами данного множества.
Пусть дано некоторое непустое множество элементов. Будем
говорить, что в этом множестве определена алгебраическая опера-
ция, если указан закон, по которому любой паре элементов а и
Ъ этого множества однозначным образом ставится в соответствие
некоторый элемент с, также принадлежащий этому множеству.
548
Если эта операция называется сложением, то элемент с будет
называться суммой а и b и обозначаться с = а + Ь.
Если эта операция называется умножением, то элемент с будет
называться произведением элементов а и ft и обозначаться c = ab.
Кольца. Непустое множество элементов называется кольцом,
если в нем определены две операции — сложение и умножение,
обладающие свойствами:
1. Сложение коммутативно: a-\-b — b+a\
2. Сложение ассоциативно: а+(& + с) = (а + 6)4-с;
3. Сложение и умножение связаны левым и правым законом
дистрибутивности: c(a-\-b) — ca-\-cb, (a-\-b)c = ac-}-bc\
4. Существует такой элемент этого множества, что прибавление
его к любому элементу этого множества не меняет последнего.
Этот элемент называется нулем кольца и обозначается символом 0:
другими словами, существует элемент 0 такой, что а+0 = 0-Ь« =
= а;
5. Для любого элемента а этого множества существует так
называемый противоположный элемент, принадлежащий этому же
множеству, и такой, что сумма а и этого элемента равна нулю
кольца; обозначая этот элемент через (— а), запишем это свойство
в виде а + (—а) = 0.
Заметим, что из приведенного определения вытекают следую-
щие свойства кольца:
1. Любое кольцо имеет единственный нуль.
2. В любом кольце для каждого элемента а существует един-
ственный противоположный элемент.
3. Для любого элемента а кольца справедливы равенства
0-a = a-Q — 0.
Если в данном кольце операция умножения обладает еще свой-
ством коммутативности, т. е. если для любых двух элементов
кольца а и b справедливо равенство ab = ba, то кольцо называется
комм утативным.
Если в данном кольце операция умножения обладает еще свой-
ством ассоциативности, т. е. если для любых трех элементов кольца
а, Ь и с справедливо равенство (ab)c = a(bc), то кольцо называется
ассоциативным.
Числовые кольца, рассмотренные в § 3, представляют собой
простейшие примеры коммутативных и ассоциативных колец.
Приведем другие примеры колец.
1. Множество многочленов, целых относительно одной буквы х,
с коэффициентами из данного числового поля, образует коммута-
тивное и ассоциативное кольцо, которое называется кольцом много-
членов над данным полем.
Действительно, как указано в § 4, сумма и произведение много-
членов есть многочлен, т. е. в множестве многочленов определены
две операции: сложение и умножение. Причем в § 4 указано, чтс
обе эти операции коммутативны, ассоциативны и связаны законом
дистрибутивности. Нулем этого кольца является многочлен, все
549
коэффициенты которого равны нулю. Противоположный элемент
для каждого многочлена есть многочлен, который получается
умножением этого многочлена на число (—1).
2. Множество всех функций, непрерывных на данном отрезке
[а; &], также образует коммутативное и ассоциативное кольцо.
Действительно, в гл. IX дано определение непрерывной на
данном отрезке функции и указано, что сумма и произведение
двух непрерывных функций есть непрерывная функция. Легко
проверить, что операции сложения и умножения непрерывных
функций коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистри-
бутивности. Нулем этого кольца является функция, тождественно
равная нулю, противоположным элементом для функции f(x) яв-
ляется функция {—f(x)].
3. Множество всех квадратных матриц данного порядка п обра-
зует кольцо. Действительно, в гл. X показано, что сумма и произ-
ведение квадратных матриц данного порядка есть квадратная
матрица того же порядка. Нулем этого кольца является квадрат-
ная матрица порядка и, все элементы которой есть нули. Проти-
воположным элементом для данной матрицы является матрица,
все элементы которой получены из элементов данной матрицы
умножением на число (—1).
В гл. X указано, что. операция умножения матриц является
ассоциативной, но не является коммутативной. Поэтому кольцо
квадратных матриц данного порядка п будет ассоциативным, но
не коммутативным кольцом.
Поля. Множество элементов называется полем, если это множе-
ство состоит не менее чем из двух элементов, и является комму-
тативным и ассоциативным кольцом и если в нем существует
элемент (называемый единицей поля) такой, что произведение лю-
бого элемента а поля на эту единицу равно этому элементу а, и
если в нем для любого элемента а, отличного от нуля, существует
элемент (называемый обратным элементом) такой, что произведе-
ние любого элемента а на его обратный элемент равно единице
поля.
Примерами полей могут служить все числовые поля, рассмот-
ренные в § 3.
Приведем другие примеры полей и колец.
1. Множество матриц вида
U0 о»
где числа а и й —любые числа из некоторого числового кольца,
образует коммутативное и ассоциативное кольцо относительно
обычных операций сложения и умножения матриц. Действительно,
рассмотрим сумму и произведение матриц вида (1). Ясно., что
/ a b\^f с d\_________________/ b-}-d\
\2b a)'\2d cj\2(b + d) 9
7 а b\ f с ( ac-\-2bd ad-\-bc \ .
\26 a) \2d с J ~\2(ad-[-be) ac-\-2bd)
55D
Поскольку числа, являющиеся элементами матриц, стоящих в пра-
вых частях этих равенств, есть числа из данного кольца, то это
означает, что сумма и произведение матриц вида (1) есть матрицы
вида (1). Другими словами, показано, что на множестве матриц
вида (1) определены операции сложения и умножения.
Столь же легко показывается, что справедливы свойства ком-
мутативности, ассоциативности и дистрибутивности сложения и
умножения матриц вида (1).
Матрица f2°Q является нулем этого кольца, а матрица
/ — а — /А
I 26 _а) является противоположным элементом для матрицы
/ а Ь\
\2Ь а) *
Таким образом, показано, что множество матриц вида (1), где
числа а и fe —любые числа из данного числового кольца, образует
коммутативное и ассоциативное кольцо.
2. Множество матриц вида
а Ь\
2Ь а) 9
.09
(2)
где а и & —рациональные числа, образуют поле.
Так как множество рациональных чисел есть числовое кольцо,
то, как показано выше, множество матриц вида (2} с рациональ-
ными а и b образует коммутативное и ассоциативное кольцо.
Единицей этого кольца является матрица (2*0
7 а Ь\
Пусть теперь матрица I \ не является нулем кольца, т. е.
хотя бы одно из чисел а и b отлично от нуля. Покажем, что для
любой матрицы найдется матрица вида (2), т. е. матрица
такая, что
/ а Ь\ ( х у\_ / ! 0\ ,о\
\2Ь а)\2у х)~\2-0 1/’
т. е. покажем, что у любого элемента этого кольца, отличного от
нуля, есть обратный элемент. Применяя правило перемножения
матриц, получаем, что справедливость равенства (3) равносильна
справедливости равенства
/ ах-\-2Ьу Ьх-\-ау\(\ 0\ /м
\2(ay-{-bx) ах-\-2Ьу) “\0 1/* ''
Равенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда система
уравнений
( ax + 2by=i,
\bx + ay = Q ' *
551
имеет решения. Вычислим определитель системы (5)
|" 2^|=аг —2Ь®. (6)
Поскольку а и Ь — рациональные числа, то выражение а2 — 2&2=#0.
Значит, для данных рациональных чисел а и b существует един-
ственная пара чисел х и у, удовлетворяющая системе (5).
Таким образом, показано, что существует и притом только
одна матрица вида (2), удовлетворяющая условиям (3). Другими
словами, показано, что отличный от нуля элемент имеет единствен-
ный обратный элемент.
Значит, действительно, множество матриц вида (2) с рацио-
нальными а и b образует поле.
Замечание. Множество матриц вида (2) с действительными
а и b поля не образует, так как для действительных чисел опре-
делитель (6) может обращаться в нуль, например, если 0 = 6^2, и
тогда у элемента, отлййного от нуля, нет обратного элемента.
3. Рассмотрим множество элементов, где каждый элемент —
упорядоченная пара целых чисел (п, т). Введем следующие опре-
деления.
Два элемента (п, т) и (р, q) равны тогда и только тогда, когда
п — р и m = q.
Суммой двух элементов (п, т) и (k, I) называется элемент
(n-И, т + 1), т.е. (п, /п) + (£. /) = («+*, т + 1).
Произведением двух элементов (п, т) и (k, I) называется эле-
мент (nk, ml), т. е. (п, т) (k, I) = (nk, ml).
Покажем, что так введенное множество есть коммутативное и
ассоциативное кольцо. Будем обозначать элемент этого множества
одной буквой А, т.е. А — (п, т). Проверим, что операции сложе-
ния и умножения обладают следующими свойствами:
1. Л + В = В + Л;
2. (Л+В) + С = Л + (В + С);
3. АВ = ВА\
4. (ЛВ)С = Л(ВС);
5. (Л +В)С = АСА-ВС.
Действительно, пусть Л = (и, т), B = (k, I), C=(p,q). Тогда,
используя свойства коммутативности, ассоциативности и дистри-
бутивности сложения и умножения целых чисел, получаем, что
А + В=(п, m) + (k, l) = (n+k, m + l),
B + A = (k, /) + («> m) = (k + n,l + m) = (n + k, m + l),
откуда и вытекает, что Л + В = В + Л, т. e. свойство 1 доказано.
552
Докажем свойство 5. По определению
(A-f-В) С = (« + £, m + l) (ptq) = (np + kp, tnq + lq),
АС = (п, tn) (p, q) = (np, mq),
BC = (k, I) (p, q) = (kp, Iq),
AC-{-BC — (np, mq)-\-(kp, lq)-(np-[-kp, mq-\-lq)i
т. e. (A + В) С = AC + BC. Остальные свойства доказываются
аналогично.
Нулем этого кольца является элемент (0; 0). Для элемента
(п, т) противоположным элементом является элемент (—п, —т).
Покажем, что это кольцо не является полем. Легко видеть, что
единицей является элемент (1; 1). Рассмотрим, например, элемент
(3; 2) и покажем, что для него нет обратного элемента.
Предположим противное: такой элемент есть. Пусть это будет
элемент (х, у). Тогда должно быть справедливо равенство (3; 2)х
Х(х, у) = (1; 1)> откуда следует, что должны быть справедливы
равенства Зх = 1 и 2у = 1. Но в множестве целых чисел эти ра-
венства не выполняются. Значит, наше предположение было невер-
ным, а это и означает, что рассматриваемое кольцо не является
полем.
4. Рассмотрим множество, состоящее из трех элементов Ао,
Ai, Д2. Под элементом Ао понимается класс всех целых чисел, деля-
щихся нацело на число 3; под элементом Ах- понимается класс
всех целых чисел, которые при делении на 3 дают остаток, рав-
ный 1; под элементом Д2 понимается класс всех целых чисел, которые
при делении на 3 дают остаток, равный 2.
Определим в множестве {А„, Ап Д2} операции сложения и
умножения следующими правилами:
л I л = Mft+o если k + КЗ, . . = (Ак1, если kl < 3,
+ |Aft+z_s, если £-j-/^3; 1 (AftZ_s, если £/>3.
Можно показать, что операция сложения элементов Ак и Аг озна-
чает сложение любых чисел из классов Ак и Аг и отнесение их
суммы в соответствующий класс Am(k, I, т = 0, 1, 2); операция
умножения элементов Ак и At означает умножение любых чисел
из классов Ак и Аг и отнесение их произведения в соответствую-
щий класс Am(k, I, т — 0, 1, 2).
Легко также проверить, что операции сложения и умножения
элементов Ак и At обладают свойствами коммутативности, ассо-
циативности и дистрибутивности.
Нулем в этом множестве является класс Ао. Противополож-
ным элементом для элемента Ак является элемент А3_к.
Единицей в этом множестве является класс Ах. Для элемента
Af обратным элементом будет он сам, т. е. Ах, для элемента Д2
обратным элементом будет он сам, т. е. Д2. Значит, у любого,
553
отличного от нуля, элемента этого множества есть обратный
элемент. Все эти свойства легко проверяются на основании правил
сложения и умножения этих классов. Значит, это множество есть
поле.
Замечание. Если рассмотреть множество, состоящее из k
элементов (6^2): Лх, Л2, ..., Ak-it где под элементом At
понимается класс всех целых чисел, которые при делении на k
дают остаток, равный /(где / = 0, 1, 2, ..., k— 1), то в каждом
таком множестве можно определить операции сложения и умно-
жения аналогично рассмотренному примеру. Для любого нату-
рального k{k^2) множество элементов Ло, Аи А2, ..., е
операциями сложения и умножения элементов, определенными ука-
занным образом, является кольцом, а если число k будет простым
числом, то такое множество будет полем.
5. Рассмотрим множество упорядоченных пар натуральных чисел
(и, т). Разобьем это множество на классы, относя в один класс
Л те и только те пары (п, т) и (k, I), которые обладают свойством
n-|-Z — m+k. По определению пары, принадлежащие одному и
тому же классу А, называются равными и считается, что каж-
дая пара определяет класс А. В множестве, элементами которо-
го будут классы равных пар, определим операции сложения и
умножения по следующим правилам.
Сложить два элемента А и В —значит сложить любую пару
(п, т) из класса А и любую пару (р, q) из класса В по правилу
(и, т) + (Р> q) — (n+p, m + q). Каждая такая пара (n-f-p, tn+q)
попадает в некоторый класс С, который я называется суммой
элементов А и В и обозначается Л-|-В, т. е. С = А-^В.
Умножить два элемента А и В —это значит умножить любую
пару (и, т) из класса А и любую пару (р, q) из класса В по
правилу (п, т) (р, q) = (np-}-mq, nqA-mp). Каждая такая пара
(rip + mg,' nq-\-mp) попадает в некоторый класс D, который и на-
зывается произведением элементов А я В и обозначается АВ,
т. е. D — AB.
Введенное множество классов пар есть коммутативное и ассо-
циативное кольцо. Действительно, легко проверить, что операции
сложения и умножения обладают свойствами коммутативности,
ассоциативности и дистрибутивности.
Докажем, например, свойство дистрибутивности: (А-}-В)М =
— АМ + ВМ. Пусть пара (п, т) £ А, пара (fe, I) £ В, пара
(р, q)£M. Если Д-|-В = С, то класс С определяется парой
Если CM — D, то класс D определяется парой
(npA-kp-}-mqA-lq> nq + kq + mp + lp)- Если AM = Nit то класс
Ni определяется парой (np + tnq, nq + tnp). Если BM = N2, то
класс N2 определяется парой (kp-^-lq, kqA-lp). Если Ni-\-N2 — N,
то класс N определяется парой (np-]-tnq-}-kp-[-lq, nq-^-mpA-
A-kq + lp).
Теперь очевидно, что классы D и N определяются одной парой,
т. е. это один класс; таким образом показано, что (А + В) М = AM +
554
~{-ВМ. Аналогично доказываются и другие свойства сложения и
умножения.
Нулем в этом множестве является класс пар вида (k, k).
Покажем, что у каждого класса А, определяемого парой
(я, т), имеется противоположный класс. Выберем натуральное
число р такое, что р>п и р>т. Тогда числа х — р—п и у —
= р —т есть натуральные числа. Покажем, что класс В, опре-
деляемый парой (х, у), и есть класс, противоположный классу
А. Действительно А + В = С, где класс С определяется парой
(р, р). Но пара (р, р) как раз и определяет класс, являющийся
нулем этого множества. Итак, у каждого элемента этого мно-
жества есть противоположный элемент. Значит, рассматриваемое
множество есть коммутативное и ассоциативное кольцо.
Замечание. При построении этого кольца были использо-
ваны только свойства натуральных чисел. Это кольцо можно
использовать для конструктивного построения кольца целых чи-
сел на базе натуральных чисел. Делается это так: класс А,
определяемый парой (я, т), отождествляется:
а) с натуральным числом k, если и> пг и п—tn = k;
б) с числом нуль, если п = т;
в) с отрицательным числом (—k), если я < Я1 и т—n = k.
Полученное множество и будет кольцом целых чисел.
6. Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел
[а, й] таких, что й#=0. Разобьем это множество на классы, от-
нося в один класс а те и только те пары [а, й] и [с, d], которые
обладают свойством ad = bc. По определению пары, принадлежа-
щие одному и тому же классу, называются равными и считается,
что каждая такая пара определяет класс а. В множестве, эле-
ментами которого будут классы разных пар, определим операции
сложения и умножения по следующим правилам.
Сложить два элемента а и р—значит сложить любую пару
[а, й] из класса а и любую пару [с, d] из класса 0 по правилу
[а, й] + [с, d] = [adA-bc, bd]. Каждая такая пара [ad-j-bc, bd]
попадет в некоторый класс у, который и называется суммой эле-
ментов а и р и обозначается а+р, т. е. у = а+р.
Умножить два элемента а и р—значит умножить любую йару
[а, й] из чисел класса а и любую пару [с, d] из класса р по
правилу [a, b] [с, d] = [ae, bd]. Пара [ас, bd] попадет в некото-
рый класс 6, который и называется произведением элементов
а и р и обозначается ар т. е. 6 = сер.
Введенное множество классов пар есть поле. Действительно,
легко проверить, что операции сложения и умножения обладают
свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Докажем, например, свойство дистрибутивности: (а + Р)р =
= ар-|-Рр,. Пусть пара [а, й]^а, пара [с, d]$P. пара [/,
Если а-йр = у, то класс у определяется парой [ad-j-bc, bd], если
yp = v, то класс v определяется парой [adl+bcl, bdf]. Если
то класс 6* определяется парой [al, й[], если Рр. = б2, то
555
класс 6а определяется парой [cl, df]. Если 61-j-6a = S, то класс
6 определяется парой [aldf+bfcl, bfdf]. Так как пары [aldf+
+ bfcl, bfdf] и [adl+bcl, bdf] удовлетворяют условию равенства
пар, то они относятся к одному и тому же классу, т. е. класс v
и класс 6 есть один и тот же класс. Таким образом, показано,
что (а+Р)р = ар+Рр- Аналогично доказываются и другие свой-
ства сложения и умножения. Нулем в этом множестве является
класс ув, определяемый парой [0, 1].
Покажем, что для любого класса а имеется противоположный
класс р, т. е. такой, что а+р = у0. Пусть пара [а, ft]£ct, тогда
пара [—а, ft] определяет класс р, который и является противо-
положным классу а. Действительно, если а+р — а, то класс а
определяется парой [О, ft2], где ft2^=0. Так как пары [О, Ь2] и
[О, 1] удовлетворяют условию равенства пар, то они относятся
к одному и тому же классу, т. е. класс о и класс у есть один
и тот же класс, что и означает, чтоа + р = у0.
Итак, у каждого элемента рассматриваемого множества есть
противоположный элемент. Значит, рассматриваемое множество
есть коммутативное и ассоциативное кольцо. Единицей в этом
кольце является класс Е, определяемый парой [1; 1].
Покажем, что у каждого класса а, отличного от нуля, есть
обратный класс р, т. е. такой, что ар = Е. Пусть пара [а, ft]£a
и а не нуль кольца, т. е. пусть а=^=0 и Ь=£0. Рассмотрим класс
р, определяемый парой [ft, а]. Если оф = р, то класс р определяется
парой [aft, aft]. Так как пары [aft, aft] и [1; 1] удовлетворяют
условию равенства пар, то они относятся к одному и тому же
классу. Значит, класс р совпадает с классом Е, т. е. аР = Е.
Итак, у любого отличного от нуля элемента рассматриваемого
множества есть обратный элемент. Значит, это множество есть
поле.
Замечание. При построении этого поля были использованы
только свойства целых чисел. Это поле можно использовать для
конструктивного построения поля рациональных чисел на базе
целых чисел. Делается это так: класс т, определяемый парой
[a, ft], отождествляется с рациональным числом у; при этом если
а — Ьп, где п—целое число, то класс, определяемый парой [Ьп, 6],
отождествляется с целым числом п. Полученное множество и
будет полем рациональных чисел.
7. Рассмотрим множество упорядоченных пар действительных
чисел {a, ft}. Будем считать, что два элемента этого множества
{a, ft} и {с, d} равны тогда и только тогда, когда а —с и b = d.
Введем в этом множестве пар действительных чисел опера-
ции сложения и умножения: {a, ft} + {c, d} = {a4-c, b-\-d},
{a, ft} {c, d} — {ac—bd, ad + bc}.
Можно показать, что это множество является полем. Если
отождествить пару {a, ft} с комплексным числом a+fti, то полу-
чится поле комплексных чиселш рассмотренное выше в этой главе.
556
Группы. Рассмотрим теперь множества, в которых определена
лишь одна операция. Если эта операция обладает некоторыми
определенными свойствами, то это множество принято называть
группой. А именно, имеет место следующее определение.
Непустое множество элементов называется группой, если в нем
определена операция, обозначаемая * и обладающая свойствами:
а) ассоциативностью (а*6)*с = а*(6*с);
б) в этом множестве существует так называемый нейтральный
элемент, обозначаемый символом е, такой, что а*е = е*а = а для
любого элемента а этого множества;
в) для любого элемента а из этого множества существует эле-
мент b из этого же множества, такой, что a*b = b»a — e.
Поскольку наиболее распространены две операции—сложение
и умножение, то наряду с этим общим определением приведем
еще два частных случая —определение группы по сложению и
группы по умножению.
Множество элементов называется группой по сложению, если
в нем определена операция, называемая сложением и обладающая
свойствами:
б) ассоциативностью сложения: (a-|-b)+c = a + (ft+c);
б) в этом множестве существует элемент, называемый нулем
и обозначаемый символом 0, такой, что для любого элемента а
этого множества 0+«=Д + 0 = а;
в) для любого элемента а из этого множества существует эле-
мент b из этого же множества такой, что Ь+а=а+Ь = б.
Элемент b называется противоположным для элемента а и
обозначается через (—а).
Множество элементов называется группой по умножению, если
в нем определена операция, называемая умножением и обладаю-
щая свойствами:
а) ассоциативностью умножения: (ab)c = a(bc);
б) в этом множестве существует элемент, называемый едини-
цей группы и обозначаемый символом е, такой, что для любого
элемента а этого множества ае—еа — а',
в) для любого элемента а из этого множества существует эле-
мент с из этого же множества такой, что ас — са=е.
Элемент с называется обратным для элемента а и обозначает-
ся через а-х.
Если операция, определенная в группе, будет коммутативной,
то группа называется коммутативной группой.
Приведем примеры групп.
1. Отметим, что каждое кольцо является коммутативной груп-
пой по сложению, каждое поле является коммутативной группой
по сложению.
Любое кольцо или любое поле не является группой по умно-
жению, однако если рассмотреть любое поле, исключив из него
нулевой элемент, то это новое множество уже является комму-
тативной группой по умножению.
557
2. Рассмотрим множество, состоящее из числа нуль и всех
многочленов, целых относительно одной буквы х степени не вы-
ше чем п, с коэффициентами из данного числового поля.
На этом множестве определена лишь одна операция—сложе-
ние многочленов (операция умножения многочленов выводит про-
изведение за пределы этого множества). Легко видеть, что в этом мно-
жестве операция сложения многочленов является коммутативной
и ассоциативной, нулевой элемент множества—многочлен, все
коэффициенты которого равны нулю, и у любого многочлена есть
противоположный элемент.
Значит, рассматриваемое множество образует коммутативную
группу по сложению.
3. Рассмотрим множество матриц, имеющих п строк и т столб-
цов, причем n=#m. Легко видеть, что в этом множестве опреде-
лена лишь одна операция—сложения матриц (операция умноже-
ния для таких матриц не определена). Легко видеть, что в этом
множестве: а) операция сложения является коммутативной и
ассоциативной; б) существует нулевой элемент—матрица, у кото-
рой все элементы равны нулю; в) у любой матрицы есть проти-
воположный элемент—матрица, все элементы которой получены
из элементов данной матрицы умножением на число (—1).
Значит, множество таких матриц образует коммутативную
группу по сложению.
4. Рассмотрим множество, состоящее из всех чисел вида 2й,
где k—любое целое число. Очевидно, что операция умножения
этих чисел не выводит за пределы этого множества, другими
словами, на этом множестве определена операция умножения
элементов (обычная операция умножения чисел). Ясно также,
что эта операция является коммутативной и ассоциативной.
Единичным элементом является число 1, принадлежащее этому
множеству, так как 1=2°; у каждого элемента 2* есть обратный
элемент 2~*. Значит, это множество образует коммутативную группу
по умножению.
5. Рассмотрим множество всех положительных рациональных
чисел. На этом множестве определена операция умножения. При-
чем эта операция является коммутативной и ассоциативной.
Число единица является нейтральным элементом этого множества;
у каждого элемента — этого множества есть обратный элемент у .
Значит, множество всех положительных рациональных чисел
образует коммутативную группу по умножению.
6. Рассмотрим множество всех положительных рациональных
чисел и выясним, образует ли это множество группу относительно
операции *, где *—деление рациональных чисел. Хотя операция
* не выводит за пределы этого множества и в этом множестве
есть нейтральный элемент — число 1, ибо у каждого элемента
п Р о Р Р
— есть элемент — такой, что — =1, это множество относитель-
q q q q
558
но введенной операции * не является группой, так как легко
проверить, что операция * не будет ассоциативной.
7. Рассмотрим множество всех решений уравнения хп= 1, или,
другими словами, рассмотрим множество всех комплексных кор-
ней n-й степени из числа единица. Как показано выше в этой
главе, произведение любых двух корней степени п из числа единица
есть также корень степени п из числа единица, причем эта опе-
рация является коммутативной и ассоциативной. Единичным эле-
ментом является элемент а0 = 1, обратным элементом для элемента
ак—элемент oc_ft. Значит, это множество образует коммутативную
группу относительно операции умножения.
8. Рассмотрим множество вращений правильного треугольника
вокруг его центра, совмещающих треугольник с самим собой. Если
за умножение двух вращений принять их последовательное выпол-
нение, то это множество образует коммутативную группу отно-
сительно этой операции. Можно проверить, что выполнены все
свойства, определяющие коммутативную группу.
9. Рассмотрим множество вращений шара вокруг его центра.
В качестве произведения вращений естественно взять последова-
тельное выполнение двух вращений. Можно показать, что это
множество относительно введенной операции образует некомму-
тативную группу.
УПРАЖНЕНИЯ
Выполнить указанные действия (1—4):
1. (24-30 (3-20 +(2-3?) (3+20- 2. •
3 1 1 л 0 + 0 (3 + 0 (1-П (3-0
1 + 4/ 4 — 1 ‘ 3—/ 3+t
5. Построить на плоскости точки, изображающие следующие комплексные
числа: 3+2/; 3;"2+4/; 3/; — 1 + 2/; —4; —2 — 3/; —4/.
6. Концы отрезка заданы некоторыми комплексными числами zx и z2.
Найти комплексные числа, соответствующие: а) середине отрезка; б) точке,
делящей отрезок в отношении 1:3, считая от точки zx.
7. Вершинами треугольника являются некоторые комплексные числа zX5
z2, z3. Найти все комплексные числа z, дополняющие этот треугольник до
параллелограмма. ’ _
8. Вычислить модули комплексных чисел/; 1 + /; —/; —h V3—/; 1 + 2/.
9. Определить аргументы комплексных чисел 1 + /; КЗ—/; /; 1; —/; —1.
10. Дана точка z = a+&/. Где расположена точка z—2 + /?
11. Пусть | z | == 1. Где расположены точки, изображающие комплексные
числа l + 2z?
12. Пусть |z|—5. Где расположены точки, изображающие комплексные
числа 1—2/ + 3z?
Указать, где расположена точка, изображающая комплексное число z, для
которого выполняется следующее условие (13 —18):
13. |i-z| = l. 14. I z+1 - 2i | = /7. 15. argz = -^-.
16. | г— i |=| г+2 |. 17. —л < arg г < л. 18. 1 < | г+2—3» | < 2.
559
Записать в тригонометрической форме следующее число (19—21):
/ 1Ц-1 Уз Л 2
19. z= I ~ Г—\ . 20. z=ctga+g где а £ (л, 2л).
21. z= 1 + cos 40°+ i sin 40°.
Найти все z, удовлетворяющие следующему равенству (22—24):
22. (? 4- i)s +(2-»)»=1. 23. г*=1Р. 24. 0±|.у=1.
25. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию | z-j-3i | <1,
найти число, имеющее наименьший главный аргумент.
26. Найти необходимое и достаточное условие того, что сумма двух комп-
лексных чисел а-\-Ы и с-}-di была бы действительным числом.
Доказать, что каждое из следующих множеств является кольцом (27—31):
27. Все целые числа, кратные данному натуральному числу п,
28. Все числа вида a-\-bit где а, b — целые числа.
29. Все числа вида а+Ь}Гз, где а, Ь—целые числа.
30. Матрицы порядка п с целыми элементами (относительно сложения и
умножения матриц).
31. Многочлены от одного неизвестного с целыми коэффициентами.
Доказать, что каждое из следующих множеств образует поле (32—34):
32. Числа вида а-\-Ь }4з, -где а, b—рациональные числа;
33. Числа вида а-\-Ы, где а, b — рациональные числа;
34. Множество из двух элементов аире операциями ф и О, задаваемы-
ми следующими правилами:
афа = а, а0а = а,
а®Р = РФа=₽» а©р = РОа=а,
₽®₽=Р, ро₽=р.
35. Образуют ли кольцо или поле множество пар (а, Ь) целых чисел а и
Ъ с операциями ® и 0, задаваемыми следующими правилами:
(а, 6)ф(с, d) = (a-J-c, b-^-d); (а, b) О (с, d) = (act bd)?
Выяснить, образует ли группу каждое из следующих множеств при ука-
занной операции над элементами (36—44):
36. Четные числа относительно сложения.
37. Целые числа$ кратные данному натуральному числу п относительно
сложения.
38. Нечетные целые числа относительно сложения.
39. Целые числа относительно вычитания.
40. Рациональные числа, отличные от нуля, относительно умножения.
41. Невырожденные матрицы порядка п с действительными элементами
относительно умножения.
42. Матрицы порядка п с целыми элементами и определителем, равным
единице, относительно умножения.
43. Положительные действительные числа, если операция определяется
так: а@Ь^аь.
44. Действительные многочлены степени п от неизвестного х относительно
сложения.
45. Образуют ли группу вращения квадрата вокруг своего центра на 0°,
90°, 180% 270°?
1рЛ0к.