А. А. Чижов

ф
: О

т

О :

Ф •.

V

>

СВЕРХРЭЛЕЕВСКОЕ

I

РАЗРЕШЕНИЕ 1

Классический взгляд на проблему
А. А. Чижов

СВЕРХРЭЛЕЕВСКОЕ
РАЗРЕШЕНИЕ

Том 1

Классический взгляд
на проблему

URSS

МОСКВА
ББК 32.84(07)

Чижов Анатолий Анатольевич

Сверхрэлеевское разрешение. Т. 1: Классический взгляд на проблему.

М.: КРАС АНД, 2010. — 96 с.

В монографии показана непротиворечивость между положениями теории
Ф. М. Вудворда и постановкой проблемы сверхрэлеевского разрешения. Обобще-
но понятие функции неопределенностей. Кратко проанализированы известные
методы оценки количества и параметров движения отдельных целей в составе
групповой сосредоточенной. Подчеркнуты особенности применения методов
спектрального оценивания к задаче разрешения групповой сосредоточенной цели,
а также их связь с теорией многоканального анализа.

Монография адресуется специалистам в области радиолокации, занимаю-
щимся проблемой сверхрэлеевского разрешения.

Рецензенты:

д-р техн, наук, проф. В. В. Абраменков',

д-р техн, наук С. И. Вексин',
канд. техн, наук, доц. Ю. И. Савинов

Исследования выполнены при поддержке
гранта Президента РФ (№ МК-6.2008.10)

Издательство «КРАСАНД».

121096, Москва, ул. 2-я Филевская, 7, корп. 6.

Формат 60x90/16. Печ. л. 6. Зак. № 3303.

Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».

117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11 А, стр. 11.

ISBN 978-5-396-00094-0

© А. А. Чижов, 2010

НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

E-mail: URSS@URSS.ru

Каталог изданий в Интернете:

http://URSS.ru

Тел./факс: 7 (499) 135-42-16

URSS Тел./факс: 7 (499) 135-42-46

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................. 4

1.	РАЗРЕШЕНИЕ ГРУППОВЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ЦЕЛЕЙ

В РАДИОЛОКАЦИОННОМ КАНАЛЕ С РАССЕЯНИЕМ.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ......................... 8

1.1.	Читая Ф. М. Вудворда... (анализ работы Ф. М. Вудворда

«Теория вероятностей и теория информации
с применениями в радиолокации»)..................... 8

1.2.	Возможности повышения разрешающей способности
радиолокаторов классическими средствами.............. 22

1.3.	Показатели разрешающей способности радиолокатора. 27

2.	МАКСИМАЛЬНО ПРАВДОПОДОБНАЯ ОЦЕНКА

ПАРАМЕТРОВ ЭХОСИГНАЛОВ В РАДИОЛОКАЦИОННОМ

КАНАЛЕ С РАССЕЯНИЕМ ПРИ ИЗВЕСТНОМ
КОЛИЧЕСТВЕННОМ СОСТАВЕ ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ................. 33

2.1.	Функционал правдоподобия для эхосигнала групповой цели. 33

2.2.	Процедура максимально правдоподобной оценки
параметров эхосигнала ГСЦ............................ 39

2.3.	Дискриминаторный способ обработки эхосигнала ГСЦ. 40

2.4.	Потенциальная точность оценивания параметров эхосигнала ГСЦ.... 42

3.	ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ГСЦ................... 45

3.1.	Методы оценки количественного состава ГСЦ........ 45

3.2.	Потенциальная эффективность обнаружения целей
из состава парной по К. Хелстрому.................... 57

4.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО
ОЦЕНИВАНИЯ ДЛЯ РАЗРЕШЕНИЯ ГСЦ.......................... 64

4.1.	Использование оценок корреляционных матриц

для разрешения сигналов на интервале когерентного
зондирования. Общее и частное в известных подходах. 64

4.2.	Компенсационный метод разрешения ГСЦ............. 77

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................. 82

ПРИЛОЖЕНИЕ

Методика исследования эффективности алгоритмов

разрешения сигналов с помощью имитационного
математического моделирования......................... 84

Методика оценки исследуемых показателей............... 85

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ........................ 87
ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях человеческой деятельности встречаются задачи об-
работки сигналов (или модулированных волн) различной физической природы
с целью извлечения полезной информации. Это системы радио- и акустолока-
ции, системы связи, передачи данных и телекоммуникаций, навигации, управ-
ления наземным, морским, воздушным и космическим движением. Бурное раз-
витие современных технологий обработки сигналов (в том числе и цифровых)
позволяет использовать при этом все более «интеллектуальные» алгоритмы,
извлекающие максимально возможное количество информации, содержащееся
в обрабатываемых сигналах.

Радиолокационные станции (РЛС) нашли широчайшее применение на
практике. В монографии, в основном, будет рассматриваться обработка сигна-
лов в активных РЛС с пассивным ответом, образующих радиоканал с рассеяни-
ем или дисперсный радиоканал. Однако большинство полученных результатов
может быть распространено и на другие виды локации, на обработку сигналов в
когерентных квантовых каналах с рассеянием, а также системах связи и т. п.

Объекты радиолокации, то есть физические тела, сведения о которых
представляют практический интерес, называются радиолокационными целями.
В зависимости от области применения радиолокации цели могут быть: аэроди-
намическими (самолеты, крылатые ракеты), баллистическими и космическими
(боеголовки, спутники), наземными и надводными (танки, корабли), естествен-
ного и искусственного происхождения (радиоконтрастные ориентиры на мест-
ности, населенные пункты, облака и т. п.).

Радиолокационная цель считается сосредоточенной, если ее протяжен-
ность в пространстве параметров (в общем случае многомерном) меньше или
сравнима с разрешаемым объемом. При этом групповая цель состоит из двух
или более одиночных целей. В монографии рассматриваются вопросы разреше-
ния именно групповых сосредоточенных целей (ГСЦ).

При первичной обработке сигналов в дисперсных радиоканалах традици-
онно выделяют следующие задачи [60]:

обнаружение целей;

измерение координат и параметров движения целей;

разрешение целей.

Каждый этап оптимизируется по своим критериям специальными мето-
дами. И если для этапов обнаружения и измерения существует достаточно
стройная теоретическая и методологическая основа, получены соответствую-
щие оптимальные или квазиоптимальные методы обработки радиолокационных
сигналов, то задачу разрешения, как правило, сводят лишь к обоснованию вы-
бора параметров зондирующего сигнала и/или антенной системы РЛС.

Вопрос о возможности оптимизации процедуры разрешения ГСЦ остает-
ся открытым и в настоящее время. Для практики разрешить ГСЦ означает оп-
ределить количество и параметры движения входящих в ее состав одиночных
целей. И если даже для одиночной цели оптимизация решения задач обнаруже-
ния и измерения параметров осуществляется по разным критериям (хотя в ка-
честве критической статистики используется один и тот же модуль корреляци-
онного интеграла), то естественным является вопрос: возможно ли использо-
вать какой-либо критерий оптимизации процедуры разрешения, который одно-
временно учитывал бы ошибки оценивания и количества и параметров эхосиг-
налов одиночных целей из состава ГСЦ? Тем более неясно, в каком соотноше-
нии должны находиться эти ошибки: какие веса назначить тем и другим ошиб-
кам, что важнее?

Можно констатировать, что в теории разрешения целей проблемы возни-
кают уже в постановочной части задачи разрешения. Поэтому широкий спектр
имеющихся в настоящее время подходов к разрешению ГСЦ затруднительно
классифицировать не только по видам исходных моделей полезных сигналов и
помех, но и по каким-либо целевым функциям. Тем более существует множест-
во подходов к разрешению ГСЦ в дисперсных радиоканалах, первоначально
синтезированных под принципиально другие задачи с заметными отличиями в
постановочной части (особенно это относится к интенсивно внедряющимся в
последнее время методам, так называемого, современного спектрального ана-
лиза (спектрального оценивания) [37,41, 74 и др.]).

Основная цель настоящей монографии представить основные извест-
ные автору направления, использующиеся при решении задачи разрешения
ГСЦ в дисперсных радиоканалах и формально схожих задачах в других пред-
метных областях.

Первые известные определения разрешающей способности оптических
приборов и спектроанализаторов приводились в статьях Рэлея о волновой тео-
рии света, опубликованных в изданиях Британской энциклопедии 1888 г. и в
[42] (Рэлей - английский физик Джон Уильям Стретт (Strutt), третий барон Рэ-
лей (Lord Rayleigh), 12.11.1842 30.06.1919, Нобелевская премия по физике,
1904 г.).

Оптические изображения двух точек по Рэлею можно наблюдать раз-
дельно, если центр дифракционного пятна каждого из них пересекается с краем
первого темного кольца другого. Анализируя данный критерий, можно заклю-
чить, что, фактически, его интерпретация применительно к разрешающей спо-
собности РЛС используется и по настоящее время. Поэтому справедливо гово-
рить о сверхрэлеевском разрешении при использовании методов обработки
сигналов, позволяющих преодолеть указанный рэлеевский предел.

Одной из первых широко известных работ, в которых дан методически и
математически строгий подход к анализу и оценке разрешающей способности
РЛС, является работа Ф. М. Вудворда «Теория вероятностей и теория инфор-
мации с применениями в радиолокации» (Р. М. Woodward «Probability and in-
formation theory, with applications to radar”, 1953) [20]. И хотя непосредственно
анализу закономерностей, определяющих разрешающую способность РЛС при
выборе того или иного зондирующего сигнала, в этой работе посвящена только
часть последней (седьмой) главы, так называемая, вудвордовская теория разре-
шения считается классической, и до сих пор, явно или неявно, является базой
при изложении вопросов разрешения радиолокационных целей практически во
всех трудах по радиолокации.

Изложению и некоторому развитию классической теории разрешения по-
священ первый раздел монографии.

Вместе с тем, практически одновременно со становлением вудвордовской
теории разрешения стали появляться работы, свидетельствующие о принципи-
альной возможности преодоления рэлеевского предела. Здесь следует выделить
работы Хелстрома (С. W. Helstrom) [51 и 67], также заслуживающие статуса
классических, в которых аналитически получены отдельные закономерности,
характеризующие предельные возможности по разрешению парной цели, эхо-
сигнал которой наблюдается в присутствии шумов. Краткий анализ указанных
закономерностей приведен также в первом разделе монографии.

В нашей стране к одним из первых известных работ, свидетельствующих
о возможности сверхрэлеевского разрешения, согласно [61] можно отнести ра-
боты 40-50-х годов Я. Д. Ширмана. В них рассмотрены, предложенные на заре
развития отечественной радиолокации, эвристические способы повышения раз-
решающей способности по дальности РЛС при простом зондирующем сигнале
с прямоугольной огибающей. Сущностью указанных способов является замена
стандартной согласованной обработки эхосигналов высокочастотным диффе-
ренцированием, что позволяет при высоком отношении сигнал-шум (OCIII)
преобразовывать наблюдаемые «длинные» радиоимпульсы, сформированные
отдельными целями, в короткие. Длительность последних определяется дли-
тельностью фронта принимаемого радиоимпульса и может быть намного
меньше рэлеевского предела, в данном случае равного длительности импульса.
Эти результаты были подтверждены лабораторным экспериментом, проведен-
ным А. Ф. Котляковым в 1956 г., и натурным экспериментом, выполненным
М. Ф. Здуровым на РЛС П-10 по реальным воздушным целям в 1957 г. [61].
Впоследствии труды Я. Д. Ширмана оказали неоценимое влияние на развитие
отечественной радиолокации в целом и теории разрешения в частности. Анализ
предложенного им оптимального разрешения (или оптимального обнаружения
полезного сигнала на фоне мешающих) приведен в третьем разделе моногра-
фии.

Значительный вклад в развитие теории разрешения ГСЦ внесла школа
многоканального анализа В. А. Варюхина [18 и др.], возглавляемая в настоящее
время В. В. Абраменковым [1-6 и др.]. Во втором разделе монографии развиты
достигнутые в работах школы результаты по максимально правдоподобной
оценке параметров эхосигнала ГСЦ, форма изложения которых позволяет со-
поставить их с аналогичными результатами, приведенными в работах
М. А. Бакута [13], С. Е. Фальковича [50 и др.], Л. Н. Коновалова [34], А. А. Ку-
рикши [36], Ю. С. Шинакова, В. С. Сперанского [56], В. И. Слюсара [44, 45],
Царькова Н. М. [52] и др.

В целом, можно указать, что задача оценки параметров эхосигнала при
известном количественном составе ГСЦ (разрешения-измерения) исследована в
большей степени, нежели задача обнаружения отдельных целей и оценки коли-
чественного состава ГСЦ (задача разрешения-обнаружения). В третьем разделе
монографии приведен сравнительный анализ основных известных методов
оценки количественного состава ГСЦ, не относящихся к, так называемым, ме-
тодам спектрального оценивания.

Последние, представляющие, по мнению автора, обособленный и, вместе
с тем, чрезвычайно широкий по охвату формулировок задач, класс методов,
описаны в четвертом разделе монографии. Теория спектрального оценивания,
сама по себе в настоящее время является бурно развивающейся областью нау-
ки, классификационная часть которой далека от завершения. Тем не менее,
часть методов этой теории можно в той или иной форме применить к решению
задачи разрешения ГСЦ в дисперсном радиоканале. Целью четвертого раздела
монографии являлась некоторая систематизация этих подходов применительно
к рассматриваемой задаче, поиск в них общего и частного, а также некоторая
сравнительная оценка их эффективности при определении количественного со-
става ГСЦ. Следует добавить, что к методам теории спектрального оценивания
автор отнес и ряд методов школы многоканального анализа: один из т. н. де-
терминистских методов В. А. Варюхина [18], метод нормирования
В. В. Абраменкова [6], а также метод фиктивного источника Ю. И. Савино-
ва [27].

Для придания монографии некоторого гностического духа, а также под-
черкивания того факта, что любые положения этой монографии не являются
«истиной в конечной инстанции», а, скорее, точкой зрения, или, может быть,
очередным шагом в выявлении более общих, фундаментальных закономерно-
стей, связывающих теорию радиолокации с теорией информации, и характер-
ных для систем обработки сигналов в целом, язык монографии ближе, скорее, к
«живому» языку научной дискуссии, чем к суховатому безапелляционному
стилю, характерному для «серьезных» научных изданий. Автор заранее прино-
сит извинения тем, кому такой формат изложения материала, может быть, по-
кажется несколько вызывающим или неполиткорректным.
Удивительное рядом,
но оно запрещено...
В. Высоцкий

Раздел 1

РАЗРЕШЕНИЕ ГРУППОВЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ЦЕЛЕЙ
В РАДИОЛОКАЦИОННОМ КАНАЛЕ С РАССЕЯНИЕМ.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

1.1 Читая Ф. М. Вудворда...

(анализ работы Ф. М. Вудворда «Теория вероятностей и теория
информации с применениями в радиолокации»)

Подход Ф. М. Вудворда к анализу разрешающей способности
радиолокаторов. Функция неопределенностей сигналов. Основные
свойства. Постоянные разрешения и принцип неопределенностей в
радиолокации

Необходимо отметить, что в связи с отсутствием, по мнению автора мо-
нографии, в настоящее время «стройной» (т. е. методически логичной, внут-
ренне непротиворечивой, математически строгой и общепризнанной) теории
разрешения радиолокационных целей, многие руководства попросту опускают
проблемы разрешения при изложении материала или сводят их к анализу
свойств тел неопределенностей различных сигналов и диаграмм направленно-
сти различных антенных систем. Также, как правило, в большинстве работ по
радиолокации отсутствует прямая связь между проблемами обнаружения, из-
мерения, разрешения и оценки портретов лоцируемых целей. Сразу оговарива-
ясь, что в первом томе монографии не будут излагаться основы или положения
какой-либо внутренне логичной теории разрешения, которая при этом имеет
вышеуказанную прямую связь с классической радиолокацией (см. том 2). Од-
нако, для становления такой теории необходимо еще раз «расставить акценты»
в известных теоретических положениях и проанализировать их с несколько
иных позиций.

Как отмечалось во введении, вудвордовская теория разрешения считается
классической, и до сих пор, явно или неявно, является базой при изложении во-
просов разрешения радиолокационных целей практически во всех трудах по
радиолокации. Основные положения этой теории и базовые аналитические со-
отношения изложены в работе Ф. М. Вудворда «Теория вероятностей и теория
информации с применениями в радиолокации» (Р. М. Woodward «Probability
and information theory, with applications to radar”, 1953) [20].
Приводимый ниже анализ работы Ф. М. Вудворда имеет целью критиче-
ское переосмысление приведенных в ней базовых математически безупречно
строгих аналитических соотношений для выявления (напрашивается «степе-
ни») их связи с закономерностями, проявляющими при разрешении радиолока-
ционных целей. Выражаясь более фигурально - т. к. автор монографии причи-
ной многих противоречий современного состояния теории разрешения считает
иногда встречающуюся несколько некорректную интерпретацию ряда общеиз-
вестных аналитических соотношений, то перед «изложением новых идей» це-
лесообразно подытожить, что же «остается в сухом остатке» при более «при-
стальном» анализе уже известных теоретических положений.

Итак, сразу следует подчеркнуть, что аналитическое описание постоян-
ных разрешения времени и частоты, а также предела для совместной разре-
шающей способности по времени и частоте Ф. М. Вудворд осуществляет в по-
следней главе своей работы, посвященной, по-сути, вопросам выбора зонди-
рующего радиолокационного сигнала. При этом изначально проблема разреше-
ния радиолокационных целей в той или иной форме, заключающаяся, с обще-
методологических позиций, в извлечении максимума информации о лоцируе-
мой, например групповой, цели, неявно подменяется лишь одной стороной этой
проблемы проблемой выбора зондирующего сигнала, а вопросы обработки
эхосигнала такой цели «по-умолчанию» остаются в стороне.

Так что же строго доказано Ф. М. Вудвордом, и что является несколько
«некорректной» интерпретацией фактов? Последовательность ответа на этот
вопрос логично выстроить в соответствии с последовательностью изложения
материала самим Ф. М. Вудвордом.

Первый подраздел «Точность, разрешение и неоднозначность сигнала»
седьмой главы Ф. М. Вудворд начинает с замечания о том, что не только энер-
гетика и эффективная ширина спектра (следует добавить и «эффективную дли-
тельность») определяют качество радиолокационного сигнала. Автор, рассуж-
дая о связи этих понятий, вполне логично замечает, что «...разрешающую спо-
собность не следует смешивать с точностью», но при этом, вообще говоря, не-
сколько необоснованно указывает на то, что неоднозначность является частью
«...вопроса о разрешающей способности», хотя неоднозначность может воз-
никнуть и при локации одиночной цели, что никак не связано с проблемами
разрешения. Но, оставляя вопросы неоднозначности «на десерт», здесь инте-
реснее проследить ход рассуждений Ф. М. Вудворда при введении им критерия
для выбора радиолокационного сигнала ф(0 с позиций повышения его разре-
шающей способности.

Абстрагируясь от структуры радиолокатора и методов обработки сигна-
лов в нем (что чрезвычайно важно и принципиально!) Ф. М. Вудворд гениально
постулирует (именно постулирует!) в той или иной степени интуитивно понят-
ное (но, вообще говоря, формально ниоткуда не следующее) положение:
«...если различные сдвиги по времени...» (для простоты и наглядности
Ф. М. Вудворд рассматривал здесь разрешение только по времени) «... должны
быть различимы в приемнике, сигнал ф(£) должен быть таким, чтобы отличать-
ся как можно больше от того сигнала ф(£ + т), который получается из него в
результате сдвига. Выражаясь математически, средний квадрат отклонения
ф(С) от ф(Г + т)

ЛФ(0 -i|/(t + T)|2dt

должен быть как можно больше для всех т ... за исключением малого интерва-
ла около нуля, где ф(Г) не может не походить на ф(Г + т)... Высказанное тре-
бование сводится к тому, что Ref	+ x)dt должно быть как можно

меньше всюду, за исключением окрестности т = 0». Далее следуют рассужде-
ния о том, что «... отрицательные значения были бы еще лучше, чем малые по-
ложительные, так как f |ф(£) — ф(Г + r)|2dt было бы еще больше. Но мы долж-
ны помнить, что Ref ф(£)ф*(£ + x)dt представляет собой осциллирующую
функцию от т... Поэтому мы должны стараться сделать модуль...» (этой функ-
ции) «... как можно меньшим. Таким образом, исходя из простого среднеквад-
ратического критерия...» (позднее - критерия Вудворда), «...мы пришли к рас-
смотрению модуля комплексной функции автокорреляции

р(т) = f u(t)u*(f + x)dt»	(1.1)

(ф(Г) = u(t)ela)t, у Вудворда функция р(т) обозначена как с(т)).

В качестве вывода из приведенных рассуждений следует рекомендация
по выбору зондирующего сигнала радиолокатора: «... форма колебания u(t)
должна быть выбрана так, чтобы |р(т)| был как можно ближе к нулю всюду,
исключая окрестности т = 0, где |р(т)| имеет максимальное значение......

Функция автокорреляции (автокорреляционная функция) и ее квадрат -
функция неопределенностей [17] - впервые были введены Виллем [83].

Следует подчеркнуть, что гениально выявленная Ф. М. Вудвордом связь
между процедурой разрешения радиолокационных целей и свойствами функ-
ции автокорреляции зондирующего сигнала означает только то, что чем больше
значение |р(т) | для заданного т, тем меньше квадрат нормы разности эхосигна-
лов отдельных целей из состава двухточечной, и при этом интуитивно кажется
естественной посылка, что разрешать такую цель сложнее. Важно также, что не
вводится каких-либо уровней |р(т)|, при которых разрешение возможно или
нет и, тем более, не дается каких-либо количественных оценок возможности
разрешения целей в зависимости от значения |р(т) |.

Далее Ф. М. Вудворд отмечает, «... что задача о разрешении двух целей
не может быть решена так просто» (как задача об измерении параметров эхо-
сигнала одиночной цели). А для сравнительной характеристики возможностей
по временному разрешению целей различными радиолокаторами предлагает
ввести постоянную разрешения времени: «... мы можем несколько произвольно
измерить ту степень неопределенности, которую сигнал дает для т, величиной

J|p(T)i2dT

н р2(0)	(Лу(/-)12#)2 ’	( '
имеющей размерность времени. Эта величина, которую мы можем назвать по-
стоянной разрешения времени, не говорит нам о том, как распределена неопре-
деленность между различными значениями т, она нс делает различия между
неопределенностью (неоднозначностью) связного и разъединенного распреде-
ления, однако она является некоторой мерой полной неопределенности, прису-
щей сигналу, независимо от шума» (индекс «н» при постоянной введен автором
монографии).

«На пальцах» постоянную разрешения времени, как правило, представ-
ляют основанием прямоугольника с высотой р2(0) (следует указать, что при
нормировке р(т) высота будет равна 1) и площадью, равной площади криволи-
нейной трапеции, ограниченной |р(т)|2.

Сам Ф. М. Вудворд указывал, что «... основание для выбора выражения
(1.2), а не какого-либо другого,... заключается в том, что оно допускает инте-
ресное обобщение понятия разрешающей способности на случай, когда необ-
ходимо разрешение и во времени и по частоте». Вторым удобным свойством
(1.2) является дополнительная возможность аналитического обоснования связи
разрешающей способности по времени и ширины спектра (частотной протя-
женности) зондирующего сигнала. Ф. М. Вудворд предлагает следующую мне-
моническую формулировку: «... (постоянная разрешения времени) х (частотная
протяженность^ 1».

Следует заметить однако, что с введением (1.2) никаких точных соотно-
шений, характеризующих достижимые в заданных условиях показатели эффек-
тивности разрешения целей не добавляется, кроме качественного «разрешение
по времени проще, если шире спектр зондирующего сигнала».

Также необходимо обратить внимание на некоторую «вольность» в об-
ращении Ф. М. Вудвордом с понятиями «неопределенность» и «разрешение»
при вводе (1.2). Ведь введенная постоянная характеризует именно степень не-
определенности той или иной функции |р(т) |, и функция, имеющая большее
значение Тн, может иметь меньшее значение |р(т)| при конкретном значении т.
Пока данный факт оставим без дальнейшего обсуждения, приведем лишь пояс-
нения В. М. Вудворда по-поводу введенной постоянной, помогающие глубже
почувствовать ее «физический смысл»: «... обычная импульсная модуляция
служит этому прекрасным примером. Спектр конечной последовательности ко-
герентных импульсов представляет собой уширенные линии или узкие полосы,
разделенные интервалами, равными частоте повторения, с огибающей, зада-
ваемой спектром единичного импульса. Ширина спектра, в том смысле, в кото-
ром ее характеризует параметр Р» (введенная в предыдущей главе эффективная
ширина спектра сигнала), «не меняется благодаря появлению линейчатой
структуры, откуда следует тот правильный вывод, что точность определения
дальности (при заданном относительном значении энергии) одинакова для оди-
ночного импульса и для последовательности импульсов. Однако значение Тн из
(1.2) будет во много раз больше для последовательности импульсов, потому что
ее частотная протяженность во много раз меньше, и это отражает неоднознач-
ность» (!!! без комментариев) «дальности, появляющуюся в периодически дей-
ствующей системе».

В следующем подразделе «Неопределенность дальности и скорости»
седьмой главы Ф. М. Вудворд вводит аналогичную постоянную разрешения
частоты: «чтобы упростить математику, мы можем выбрать масштабы так, что

flul2dt=flUI2df = l.	(1.3)

При этом упрощении имеем...

r„ = J|p(T)|2dT = /Щ(/)14#.	(1.4)

Подобным образом в частотном представлении имеем

х(ф) = fir(DU(f + <fid<p,

= Jlx(<P)l2dT = J|u(t)|4dt	(1.5)

и Гн может быть определена как постоянная разрешения частоты».

Соответственно «... (постоянная разрешения частоты)х(временная про-
тяженность^ 1».

Не лишним будет подчеркнуть, что введенные постоянные разрешения
времени (1.4) и частоты (1.5) принципиально отличаются от характеристик, оп-
ределяющих при заданном отношении сигнал-шум q2 потенциальную точность
измерения сдвигов по времени и по частоте. Речь идет о параметре 0 =
= 1/(QQT) (современное название «эффективная ширина спектра»), опреде-
ляющим среднеквадратическую ошибку от измерения времени запаздывания, и
параметре а = 1/(qof) (соответственно, «эффективная длительность сигна-
ла»), характеризующим среднеквадратическую ошибку oF измерения сдвига
частоты. Указанные параметры являются коэффициентами разложения время-
частотной функции автокорреляции р(т,Г) в ряд Маклорена и, в обозначениях
Ф. М. Вудворда, при нормировке (1.3) описываются зависимостями [46]:

р(т, F) = 1 - 0,5(a2F2 + р2т2 - 2p"xF) +...;	(1.6)

a2 = -р" = J(2n/)2l/2(/)d/;	(1.7)

Р2 = — Рр = f(2nt)2u2(t)dt;	(1.8)

где p//, pj/, p/f - значения соответствующих частных производных функции
р(т, Г) в точке (0, 0).

Формулы (1.7)—(1.8) основаны на использовании основного соотношения
Габора для сопряженных по Фурье [71]:

fx'—xdt = (2nj)n fX'f'Xdf,	(1.9)

где X(f) - Фурье-сопряженная от x(t).

Оставшаяся часть подраздела Ф. М. Вудвордом посвящена констатации
двух фундаментальных соотношений, являющихся одними из основных зако-
нов радиолокации: «соотношения неопределенностей» и зависимости для «по-
стоянной совместного разрешения времени и частоты» (кстати, и то и другое
соотношение разные авторы с одинаковым успехом называют аналитическим
выражением принципа неопределенности в радиолокации).

Первое соотношение гласит, что база сигнала В не может быть меньше п.

В = ар > и.	(1.10)

В случае, если Ф 0, то а2р2 —	> тг2 [46].

Сам Ф. М. Вудворд так комментирует (1.10): «... никакое колебание не
может занимать сразу очень короткий интервал времени и очень узкую полосу
частот. Можно поэтому при поспешном суждении предположить, что сдвиг по
времени и сдвиг по частоте не могут быть измерены одновременно с большой
точностью...» (как в квантовой механике, где измерению подлежат параметры
частиц-волн без внутренней модуляции, и всегда ар = тг) «... однако это невер-
но. Для точного измерения т необходим не импульсный характер функции u(t),
а широкий спектр. Это не одно и то же. Подобно этому, для точного измерения
F требуется, чтобы колебание имело большую длительность во времени. Не
существует несовместимости очень больших интервалов по времени и частоте:
обычное соотношение неопределенностей работает в противоположном на-
правлении».

Таким образом, (1.10) характеризует «наихудшую» точность совместного
измерения сдвига по времени и сдвига по частоте.

Далее Ф. М. Вудворд отмечает, что, однако, «...имеется... предел для со-
вместной разрешающей способности по частоте и времени». Он отмечает, что
двумерная функция автокорреляции р(т, F) может использоваться для характе-
ристики возможностей по время-частотному разрешению. При этом интересно
замечание «... если p(r,F) приблизительно равна единице, разрешение трудно-
достижимо. Это, конечно, довольно расплывчатое утверждение, однако точная
трактовка задачи о разрешении была бы гораздо сложнее».

Итак, важнейшее свойство функции неопределенностей, формулируемое
сейчас как инвариантность объема тела неопределенности, Ф. М. Вудворд рас-
сматривал как постоянную, обобщающую (1.4) и (1.5), на двумерный случай:
«... по аналогии с постоянными разрешения времени и частоты, определенны-
ми через р(т, 0) и p(O,F), мы можем образовать с помощью p(r,F) некоторую
постоянную совместного разрешения времени и частоты. Она получается путем
интегрирования |р|2 по времени и частоте, и нетрудно показать... следующий
результат:

jJ|p(T,F)|2drdF = 1.	(1.11)

Эффективная «площадь неопределенности» на плоскости время-частота
не зависит от формы зондирующего сигнала и равна единице. Термин площадь
использован намеренно. Выражение (1.11) измеряет объем под некоторой по-
верхностью, но так как полная неопределенность наступает при р, равном еди-
нице, вся неопределенность, поскольку она измеряется величиной (1.11), такова
же, какой обладала бы на плоскости т, F единица площади, на которой неопре-
деленность была бы полной. Выраженный такими словами результат не зависит
от нормировки u(t)».

Не используемый сейчас термин «площадь неопределенности» является
обобщением толкования одномерных постоянных разрешения как оснований
«эквивалентных» прямоугольников на двумерный случай, при этом, соответст-
венно, длина основания прямоугольника «становится» площадью основания
«эквивалентного» параллелепипеда.

Хотя сам Ф. М. Вудворд посчитал доказательство (1.11) очевидным и не
привел его, все-же, учитывая высказывание Ларошфуко: «иногда важнее не са-
мо открытие, а метод его получения», целесообразно остановиться на одном из
вариантов доказательства (1.11), близком к изложенному в [17].

В обозначениях монографии:

Я1р(т,F)|2drdF = fff f u(t)u*(t + т)е'2яИ x

x u*(s)u(s + i)e“l2irF5dtdsdxdF.

Интегрируя no F, с учетом того, что f e,2TrF(t-s) dF = 6(t — s), а также
используя фильтрующее свойство функции Дирака получаем

ff |p(T,F)|2drdF = ff u2(t)u2(t + x)dxdt = f u2(t) f u2(t + x)dxdt. (1.12)

Внутренний интеграл по т в (1.12) при каждом t равен единице, так как
энергия сигнала (1.3) инвариантна к временному сдвигу, внешний равен едини-
це в силу (1.3) непосредственно, что и доказывает (1.11).

В двух оставшихся подразделах седьмой главы Ф. М. Вудворд приводит
хорошо известные сейчас примеры анализа тел неопределенностей простейших
радиолокационных сигналов: одиночного импульса, когерентной пачки и им-
пульса с линейной частотной модуляцией. Заключение по седьмой главе целе-
сообразно процитировать дословно: «Читатель может почувствовать некоторое
разочарование - не чуждое и автору - в связи с тем, что основной вопрос о том,
какой же сигнал следует посылать, остается по существу нерешенным...»
(кстати, нерешенным он остается и по сей день). «... Можно было надеяться,
что удастся отобразить практические требования к разрешению по дальности и
по скорости для каждой частной задачи на диаграмме т, F, а затем вычислить
форму сигнала u(t) так, чтобы эти требования удовлетворялись. Но, по-
видимому, это невозможно, так как и помимо ограничения, накладываемого
тем, что неопределенность равна единице, функция |р|2 не может быть выбрана
произвольно. Точная природа ограничений, которые должны быть наложены на
|р|2, полностью еще не исследована» (что, вообще говоря, справедливо и для
современного этапа развития радиолокации).

После оригинального описания всех соотношений приведем ряд сообра-
жений относительно основных понятий, фигурирующих при их интерпретации
и часто использующихся в классической теории радиолокации, а также относи-
тельно их связи с проблемой разрешения ГСЦ. И, повторно констатируя опре-
деленные вольности, допущенные Ф. М. Вудвордом, при использовании терми-
нов «неопределенность», «разрешение» и «неоднозначность» радиолокацион-
ных сигналов (что нельзя сказать об однозначности использования им термина
«точность»), попробуем, пока не используя каких-либо новых соотношении,
проанализировать в какой взаимосвязи находятся эти понятия, и как они связа-
ны с характеристиками р.

Итак, факт первый (в принципе, для многих очевидный, но, тем не менее,
заслуживающий некоторой своеобразной фиксации): рассуждения Ф. М. Вуд-
ворда направлены именно на поиск критериев выбора того или иного зонди-
рующего сигнала, придающего радиолокатору более высокие возможности по
разрешению целей, однако вопросы повышения эффективности (разрешающей
способности) обработки эхосигналов групповых целей, да и сами показатели
эффективности процедур разрешения им не рассматривались. Т. е. вопрос о
том, что тракт обработки, оптимизированный под задачи обнаружения и изме-
рения параметров сигнала одиночной цели, может быть не оптимален для зада-
чи разрешения, и каковой же должна быть обработка эхосигнала ГСЦ, не воз-
никал. Поэтому более поздние высказывания многих, даже очень авторитетных
ученых о том, что «... Вудворд создал единую теорию разрешающей способно-
сти РЛС...» [17, 61 и др.], выражаясь дипломатично, и при этом, нисколько не
умаляя заслуг Ф. М. Вудворда, несколько преувеличены. Кто-то может возра-
зить, что за последующие пятьдесят с лишним лет идеи Ф. М. Вудворда полу-
чили существенное развитие, и в настоящее время нет смысла их детально ана-
лизировать. На что можно заметить, что, во-первых, за прошедшие годы ника-
ких принципиальных изменений в базовых соотношениях (1.1)-(1.11), рассмот-
ренных Ф. М. Вудвордом, и их понимании не произошло; во-вторых, все из-
вестные автору методы сверхрэлеевского разрешения развиваются как бы в от-
рыве от вудвордовской теории и «стараются с ней не пересекаться». Может
быть поэтому многие исследователи, начинающие заниматься вопросами раз-
решения испытывают определенный методический дискомфорт: с одной сторо-
ны - стройная классическая вудвордовская радиолокация с универсальной,
дающей ответы на все вопросы функцией неопределенностей, с другой - вы-
глядящие эвристическими методы обработки сигналов, которые, тем не менее,
позволяют в определенной степени преодолеть рэлеевский, а также, похоже, и
вудвордовский предел (хотя, как мы видели, однозначно определить последний
достаточно проблематично).

Здесь логично указать на второй факт, следующий из выполненного ана-
лиза: никаких пределов или потенциальных возможностей по разрешению сиг-
налов (целей) радиолокаторами среднеквадратический критерий Ф. М. Вудвор-
да не устанавливает - он лишь констатирует, что в случаях, когда величина
1 — |р|2 больше, разрешать сигнал парной цели проще. Поэтому такой крите-
рий связан в большей степени именно с условиями разрешения, а не с показате-
лями его эффективности. Причем, что важно, помимо того, что сам среднеквад-
ратический критерий постулирован в большей степени интуитивно, но, более
того, и строгого формального перехода между ним и требованием максимиза-
ции 1 — |р|2 нет (см. рассуждения перед (1.1) о том, что «...отрицательные зна-
чения Refф(£:)ф*(£ + x)dt были бы еще лучше, чем малые положитель-
ные...»). Выражаясь более грубо, такой критерий больше похож на попытку
более или менее «приличной» формализации, столь же интуитивно естествен-
ного, как и сам критерий, требования о минимизации |р| при заданных т для
повышения разрешающей способности радиолокатора.

Следующим принципиальным моментом для предложенного Ф. М. Вуд-
вордом среднеквадратического критерия является тот факт (третий), что как бы,
по-умолчанию, рассматривается задача разрешения двух сигналов: присутст-
вующая при этом негласная посылка гласит - что хорошо для разрешения двух
сигналов, то хорошо для трех и большего их количества. Последнее, кстати,
также формально не доказано.

И, наконец, перед тем как мы начнем «развивать» взгляды Ф. М. Вудвор-
да, сделаем еще несколько замечаний относительно введенных им постоянных
(1.4), (1.5) и (1.11).

Их традиционная трактовка как некоторых эквивалентных интервалов (в
одномерном случае) или площадей (в двумерном) полной неопределенности
сигнала не единственна. Так, приняв в (1.4), (1.5) и (1.11) конечные пределы
интегрирования, а также отнормировав значения новых постоянных по длине
(площади) соответствующего отрезка (области) интегрирования, таким посто-
янным можно придать несколько иной, по-мнению автора монографии, более
понятный физический смысл. Полученная постоянная будет являться средним
(интегральным) значением р2 в рассматриваемой области.

Таким образом, намеренно изменяя традиционный ход рассуждений, мы
можем заключить, что среднеквадратический критерий возник как попытка
обоснования требования о минимизации |р| или, что то же самое, о минимиза-
ции р2 для конкретных значений т и/или F из рассматриваемой области, а вве-
денные несколько модифицированные постоянные выражают требование о ми-
нимизации р2 в среднем в рассматриваемой области сдвигов по времени и по
частоте эхосигналов парной цели.

Прежде чем продолжить рассуждения о том, что же такого «магического»
в функции р2, и почему именно эта функция принята сейчас за функцию неоп-
ределенностей, сделаем несколько замечаний о соотношении понятий «неопре-
деленность», «разрешение» и «неоднозначность».

Напомним, что Ф. М. Вудворд достаточно определенно использовал по-
нятие «точность», флюктуационные ошибки в среднеквадратическом смысле
при этом характеризовались параметрами (1.7) и (1.8). Однако точность изме-
рений характеризуется не только флюктуационными ошибками, но и, напри-
мер, систематическими, к которым в некотором смысле можно отнести ошибки,
связанные с однозначностью измерений. Естественно, что если значения р2 бу-
дут близки при существенно различных значениях сдвигов по времени т и/или
частоте F, то об однозначных измерениях и высокой их точности даже при вы-
соких аир, строго говоря, не может быть и речи. Т. е. понятия «точность» и
«однозначность» связаны между собой через функцию неопределенностей и
являются составляющими более общего понятия «неопределенность».
Далее, когда Ф. М. Вудворд говорил о некотором пределе при совместном
разрешении по времени и частоте, характеризуемом (1.11), то в термин «разре-
шение» он как бы включил понятие «однозначность». Ведь, естественно, что
совместное разрешение по времени и частоте «близко расположенных» целей
возможно повышать сколько угодно, сужая сечение основного пика р2 за счет
удлинения зондирующего сигнала при одновременном неограниченном расши-
рении его спектра модуляцией. Однако неизбежной платой (см. 1.11) за такое
повышение разрешающей способности будет возникновение некоторой «неод-
нозначности» измерений для существенных значений т и F (появление боковых
лепестков р2 и даже дифракционных максимумов, характерных для регулярных
пачек импульсов). Поэтому понятия «разрешающая способность» и «однознач-
ность» измерений также целесообразно рассматривать как частные проявления
неопределенности в радиолокации, характеризуемые для парной цели также
поведением р\

Итак, видимо следует несколько конкретнее позиционировать понятие
«неопределенность» в радиолокации как более общее по отношению к поняти-
ям «точность», «разрешающая способность» и «однозначность». В принципе,
такая трактовка встречается в ряде источников, и здесь мы просто акцентируем
на этом внимание. Естественно, что указанные частные проявления неопреде-
ленности характеризуются соответствующими параметрами функции неопре-
деленностей р2, что и обуславливает фундаментальную роль функции неопре-
деленностей в радиолокации. Не лишним будет подчеркнуть, что, строго гово-
ря, существующая трактовка понятия функции неопределенностей в виде р2
соответствует ситуации парной цели.

Сейчас мы попробуем несколько обобщить, действуя пока только посту-
лятивно, понятие функции неопределенностей на ситуацию, когда разрешению
подлежит групповая цель, состоящая из и одиночных целей.

Пусть s(oq), s(oq), ... s(ocn) - нормированные (||s(ocf)|| = 1) комплекс-
ные огибающие эхосигналов одиночных целей из состава групповой, ос-
(i = 1 ...п) вектор информативных параметров - точка, в общем случае мно-
гомерного поля параметров П, на котором определены s(oq). В качестве со-
ставляющих вектора информативных параметров могут быть сдвиги по време-
ни, частоте, пеленги, их высшие производные и др. В случае многоканального
приема эхосигналов (с помощью антенных решеток) комплексные огибающие
эхосигналов одиночных целей являются вектор-функциями.

Функцией неопределенностей Ф будем называть величину, обратную к
определителю и х и матрицы Грама (определителю Грама) системы эхосигна-
лов одиночных целей:

<s(«i),s(oc1)> (sCoQ.sC0^))

ф= <s(«2),s(«l)) <s(«2),s(«2)>

<s(«2).S(«n))

= |(S,S)|-1, (1.13)



<S(«n).S(«2)>


где 5 = [-s(°Ci) s(oc2) ••• s(an)]; <•/) - скалярное произведение в простран-
стве наблюдения, в общем случае, определяемое корреляционными характери-
стиками шумовых помех (см. подраздел 2.1).

Замечая, что	, (1.13) можно переписать в виде

Ф =

1
Р12

Pin

Р12
1

Р2и

(1.14)

Рассмотрим связь (1.13) с классической функцией неопределенностей.

Из (1.14) видно, что Ф сохраняет существенную зависимость от функции
автокорреляции р. В частном случае для ситуации парной цели, при и = 2
Ф = 1/(1 — р2), т. е. с точностью до постоянных соответствует классической
функции неопределенностей р2. Как и р2, для обеспечения более выгодных ус-
ловий для обработки сигналов Ф требуется минимизировать.

Геометрический смысл Ф - величина, обратная квадрату объема системы
нормированных эхосигналов отдельных целей из состава групповой. Макси-
мальное значение такого квадрата объема равно единице в том и только в том
случае, если эхосигналы отдельных целей ортогональны друг другу. И наобо-
рот, в случае линейной зависимости эхосигналов отдельных целей соответст-
вующий квадрат объема равен нулю. Таким образом, для любой линейно зави-
симой системы эхосигналов одиночных целей значение Ф равно бесконечности.

Заметим, что Ф имеет в качестве аргументов не только сдвиги по пара-
метрам между двумя (условно первыми) целями, но и сдвиги между всеми ос-
тальными, и характеризует совокупную неопределенность, заключенную во
всей системе эхосигналов целей в составе групповой.

Итак, рассмотрим, как изменятся основные положения вудвордовской
теории при обобщении понятия функции неопределенностей (1.13) и какие но-
вые положения могут возникнуть.

Среднеквадратический критерий, который как мы выяснили, и в исход-
ном варианте мог быть с легкостью заменен равностепенно очевидным и фор-
мально более строгим требованием о минимизации р2, в обобщенном варианте
выглядит как требование о минимизации Ф.

Если мы говорим о задаче выбора зондирующего сигнала, то с введением
(1.13) эта задача может быть сформулирована в несколько более общем виде:
какой сигнал обеспечит лучшие условия разрешения трех, четырех и большего
количества целей? Будет ли сигнал, обеспечивающий лучшие условия для раз-
решения двух целей, обеспечивать и лучшие условия для разрешения трех це-
лей и более? Ответы на эти вопросы можно получить, исследуя поведение Ф
для указанных случаев. Т. е. Ф является тем инструментом в руках исследова-
теля, который может дать в той или иной степени обоснованный ответ для мно-
гоцелевых ситуаций, для которых классическая р2 формально строгого ответа
не давала.
Рассуждая о составляющих неопределенности, доставляемой эхосигналом
ГСЦ, и их связи с Ф, можно отметить следующее.

Характеризуя точность измерений, флюктуационные составляющие кото-
рых в одноцелевой время-частотной ситуации описывались (1.7), (1.8) и (1.10),
следует указать на то, что для получения каких-либо более общих выражений
следует проанализировать зависимости для максимально правдоподобных оце-
нок параметров эхосигнала ГСЦ и границы Рао-Крамера корреляционных мат-
риц этих оценок, после чего можно будет выявить связь нижней границы точ-
ности этих оценок с Ф. Частично эти вопросы будут отражены во втором разде-
ле первого тома монографии и во втором томе, хотя объем неисследованных
вопросов в этом направлении, видимо, может в разы превысить те положения,
которые будут приведены в первом и втором томе монографии.

Что касается однозначности измерений, то аналогично исходному вуд-
вордовскому случаю (когда однозначность измерений была невозможна при
значениях р2, близких к единице): если для каких-либо «существенно отли-
чающихся» значений параметров эхосигналов целей значение Ф будет устрем-
ляться в бесконечность, то такие измерения однозначно выполнить невозможно
(часть эхосигналов целей «накладывается» друг на друга с точностью до ком-
плексной амплитуды и их система становится линейно зависимой).

Рассмотрим связь функции неопределенностей Ф с проблемой разреше-
ния.

Основные закономерности, связывающие Ф с показателями эффективно-
сти разрешения ГСЦ, планируется рассмотреть во втором томе монографии,
здесь мы лишь остановимся над обобщением классических зависимостей.

Сам Ф. М. Вудворд обосновывал введение функции неопределенностей в
виде р2 лишь тем, что оно приводит к «... интересному обобщению..., когда
необходимо разрешение по времени и частоте ...» - выражению (1.11), природа
которого остается загадкой и по сей день. И, несмотря на формальную доказан-
ность, вопрос, почему именно время и частота и только лишь время и частота в
качестве параметров приводят к такому свойству, видимо, общего ответа пока
не имеет (является ли это проявлением каких-либо фундаментальных свойств
сопряженных по Фурье функций? Наверное. Четкая формулировка сущности
этих свойств автору монографии неизвестна, но «что-то в этом есть...»).

Вместе с тем, обобщения постоянных (1.4), (1.5) и (1.11) в их нормиро-
ванной к «площади» интегрирования вышеописанной интерпретации возможны
и имеют ясный физический смысл.

Если сам Ф. М. Вудворд называл постоянные (1.4), (1.5) и (1.11) постоян-
ными разрешения, вышеприведенные рассуждения свидетельствуют о том, что
их более целесообразно называть постоянными неопределенностей.

Таким образом, в более общем виде, выражение для постоянной неопре-
деленностей можно предложить в виде:
N =

J Oda

Sa____

J da

Qa

(1.15)

где - интересуемая область поля параметров И, соответственно J da - «пло-
щадь» или - если размерность а более двух - «объем» этой области.

Постоянную N, также как и нормированные (1.4), (1.5) и (1.11) логично
интерпретировать как среднее (интегральное) значение Ф или как среднюю не-
определенность в области £а. Причем «хуже», когда значение N велико (неоп-
ределенность высока) и «лучше», когда N близко к единице (неопределенность
мала).

Новой по отношению к классическим и важной с теоретической точки
зрения является закономерность, заключающаяся в том, что при ограниченной
области

lim^oo ф = оо и lim^oo N = оо.

(1-16)

Зависимости (1.16) означают, что с увеличением количества разрешаемых
эхосигналов в рассматриваемой области пространства параметров одновремен-
но повышающаяся неопределенность ситуации постепенно исключает какую
либо возможность извлечения информации о наблюдаемых целях.

На первый взгляд, в силу эрмитовой сопряженности матрицы Грама в
(1.14) может показаться, что с устремлением п -> оо (т. к. след этой матрицы,
равный и, и одновременно с ним сумма собственных чисел этой матрицы -
действительных и положительных - будут стремиться к бесконечности), и об-
ратное Ф произведение собственных чисел (и определитель) этой матрицы бу-
дет стремиться к бесконечности. Однако это не так.

С целью доказательства (1.16) заметим, что для нормированных s(oct) и
s(oc;) их функция автокорреляции (^(осД sfotj)} = pi; , являющаяся их скаляр-
ным произведением, равна косинусу угла между этими сигналами: = cos у у,
соответствующему расстоянию между точками сигналов в £а. В случае ограни-
ченной области при увеличении количества сигналов одиночных целей рас-
стояния между такими точками и соответствующие углы у у будут стремить-
ся к нулю, а их косинусы будут стремиться к единице:

limpf. = limcosYj. -> 1.

n-*oo 7	И->0О	7

T. e. матрица Грама такой системы эхосигналов будет стремиться к вы-
рожденной матрице с единичными элементами, определитель которой в преде-
ле равен нулю.

Закономерности (1.16) пока оставим без дальнейшего анализа, однако во
втором томе монографии мы к ней еще вернемся.
Таким образом, основной вывод, строго следующий из вудвордовской
теории разрешения: подбирая зондирующий сигнал (параметры антенной сис-
темы) радиолокатора мы можем упростить условия разрешения ГСЦ, снижая
неопределенность в рассматриваемой области $а. Чем определяется потенци-
альная эффективность разрешения ГСЦ, и каким образом организовать проце-
дуру разрешения - на эти вопросы данная теория ответа не дает.
1.2 Возможности повышения разрешающей способности
радиолокаторов классическими средствами

Некоторые комментарии, вытекающие из анализа возможностей
повышения разрешающей способности радиолокаторов
классическими средствами. Многочастотные многопериодные
сигналы

Сложилось так, что метода получения закона модуляции зондирующего
сигнала по заданной функции неопределенностей пока не существует. Обычно
идут как раз противоположным путем: варьируя закон модуляции зондирующе-
го сигнала и его параметры, анализируют получающуюся в результате функ-
цию неопределенностей и, в случае, «если она удовлетворяет» исследователя
(или разработчика РЛС), то останавливаются на достигнутом.

При этом основными инженерными правилами анализа разрешающей
способности радиолокатора являются следующие:

интервал разрешения по временному сдвигу является величиной, обрат-
ной ширине спектра сигнала;

интервал разрешения по частотному сдвигу является величиной, обрат-
ной длительности сигнала;

интервал разрешения по угловым координатам равен отношению длины
волны к геометрическим размерам антенны радиолокатора в соответствующей
плоскости.

Претендуя на некоторую общность в наших рассуждениях, мы не будем
останавливаться на тех или иных условиях какой-либо конкретной практиче-
ской задачи, ограничивающих снизу вышеуказанные интервалы: это и ограни-
чения на общий временной ресурс, конечное время когерентности эхосигналов
реальных целей, технические и внетехнические ограничения на располагаемую
полосу частот, на максимальные габариты антенны и др. Для радиолокаторов
специального назначения следует отметить также проблемы создания систем
помехозащиты для широкополосных систем. Можно констатировать, что в ка-
ждом конкретном случае указанные ограничения есть, и в ряде случаев достиг-
нутые характеристики по разрешающей способности не удовлетворяют разра-
ботчиков и, в той или иной степени, ограничивают функциональные возможно-
сти радиолокационной системы.

Существует множество научных работ, учебных и справочных изданий, в
которых приведены разнообразные радиолокационные сигналы и их авто- и
взаимокорреляционные функции в различных формах. Следует отметить, что
исследования свойств различных модулирующих функций активно продолжа-
ются и в настоящее время. В данном подразделе не ставилось цели выполнить
обзор всего обширного арсенала радиолокационных сигналов, их классифика-
ции, а также каких-либо рекомендаций по выбору того или иного сигнала для
той или иной задачи или режима работы радиолокатора. Ниже лишь приведе-
ны, в той или иной степени, оригинальные соображения относительно принци-
пов модуляции зондирующего сигнала совмещенного радиолокатора, прибли-
жающих его время-частотную автокорреляционную функцию к «идеальной» с
классической точки зрения.

В качестве отправной точки рассуждений можно взять простой радиоим-
пульс. Ширина основного лепестка его время-частотной автокорреляционной
функции вдоль оси времени определяется его длительностью, а вдоль оси час-
тот - обратно пропорциональна длительности. Для сужения основного лепестка
вдоль оси времени применяют ту или иную внутриимпульсную модуляцию (как
правило, частотную или фазовую для реализации максимальной импульсной
мощности). Сузить основной лепесток автокорреляционной функции вдоль оси
частот возможно лишь увеличивая длительность сигнала. Рассматривая класси-
ческую схему совмещенного радиолокатора, будем исходить из того, что при-
емный тракт открывается после прекращения работы передатчика на излуче-
ние. При этом от близко расположенных целей будут приниматься эхосигналы
с «укороченным» значением длительности импульса, которые, в принципе,
можно подвергать согласованной обработке, что при определенных условиях
исключает эффект «слепой» зоны радиолокатора по дальности. Мы не будем
вдаваться сейчас в анализ изменения при такой обработке уровня боковых ле-
пестков откликов эхосигналов близко расположенных целей, заметим лишь, что
при определенном значении длительности такого «удлиненного» зондирующе-
го импульса энергии укороченных эхосигналов удаленных целей может не хва-
тить для реализации требуемой дальности обнаружения. Т. е. для дальнейшего
сужения основного лепестка автокорреляционной функции вдоль оси частот
приходится переходить к зондированию пространства пачками когерентных
радиоимпульсов. При этом возникают ограничения на интервалы однозначного
измерения временных и частотных сдвигов.

В настоящее время в радиолокаторах применяются когерентные пачки с
высокой, средней или низкой частотами повторения импульсов. Общая законо-
мерность при этом - чем выше частота повторения, тем больше диапазон одно-
значного измерения частоты Доплера и меньше диапазон однозначного измере-
ния времени запаздывания по результатам первичной обработки, и наоборот.

Помимо введенной в предыдущем подразделе постоянной неопределен-
ности иногда бывает удобно ввести некоторый индекс однозначности сигнала £
как произведение протяженности диапазона однозначно измеряемого времени
запаздывания Ат на протяженность диапазона однозначно измеряемых частот
Доплера AF:

£ = ДгДр-	(1.17)

Для пачек с фиксированной частотой следования импульсов этот индекс
всегда равен единице.

Возможно ли повысить индекс однозначности?

Для борьбы с неоднозначностями используют различные приемы с изме-
нением тех или иных параметров сигналов в соседних пачках. Эффективность
таких способов частично удовлетворяет потребности практики, вместе с тем не
до конца решает проблему неоднозначности, что снижает функциональные
возможности и помехоустойчивость радиолокаторов.

Вышеописанный закон Ф. М. Вудворда, свидетельствующий о невозмож-
ности изменения «... эффективной площади неопределенностей» или объема
тела неопределенностей на плоскости время-частота, заставляет задуматься о
возможностях перераспределения этого объема. Мы не будем повторять обще-
известных рассуждения по поводу возможных критериев такого перераспреде-
ления, укажем лишь, что для многих приложений «идеальным» с точки зрения
предельно достижимых точности, разрешающей способности и однозначности
измерений является зондирующий сигнал, тело неопределенности которого
имеет «кнопочный» вид. Наличие ненулевого «основания» кнопки вытекает из
неизменности объема тела неопределенности. Вместе с тем форма автокорре-
ляционных функций и тел неопределенности когерентных пачек с фиксирован-
ными частотами повторения далека от «идеальной» и представляет скорее мно-
гошереножный строй кнопок, проранжированный по закону арочного синуса.
Такой вид тела неопределенности не только убивает возможность однозначного
измерения радиальных дальности и скорости цели, но и приводит к значитель-
ному повышению уровня отражений от пассивных помех в точке цели, т. к.
уровень «боковых» лепестков в точке цели от помех, соответствующих каждо-
му элементу строя близок к единице.

В большинстве наставлений по радиолокации считается, что приближе-
ние к кнопочной функции неопределенности характерно для одиночных радио-
импульсов. Однако можно предложить и полиимпульсный сигнал, «телосложе-
ние» которого близко к заветной кнопке. Итак, «рассыпать» дифракционные
максимумы «тела», обусловленные «множителем пачки», можно за счет внут-
рипачечной вобуляции периода следования импульсов. Такой подход можно
считать обобщением способа, когда для устранения неоднозначности измере-
ния дальности и «слепых» дальностей используют несколько пачек с разными
периодами следования импульсов. Кстати в радиолокаторах с низкой частотой
повторения импульсов часто используют вобуляцию периода следования им-
пульсов для борьбы со «слепыми» скоростями.

Так как в ближайшей перспективе широкое распространение получат
многочастотные сигналы (пачки с поимпульсной перестройкой несущей с по-
вышенной разрешающей способностью по дальности), то, ориентируясь на
данный факт, можно предложить следующую структуру зондирующего сигнала
имеющего «близкое к идеальному телосложение»: это пачка импульсов с пере-
менным периодом их следования и, по-возможности, с переменной несущей
частотой (вариант комплексной огибающей представлен на рисунке 1.1). Та-
кой сигнал можно назвать многочастотным многопериодным (МЧМПС), при
этом каждый импульс может иметь какую-либо, в общем случае различную,
внутриимпульсную модуляцию.
Рисунок 1.1- Комплексная огибающая МЧМПС (вариант)

Пример автокорреляционной функции многочастотного многопериодного
сигнала представлен на рисунке 1.2. Основные характеристики «кнопки» сле-
дующие: протяженность «острия» вдоль оси времени обратно пропорциональна
девиации частоты несущей по пачке; протяженность «острия» вдоль оси частот
обратно пропорциональна длительности пачки; высота основания «кнопки» об-
ратно пропорциональна количеству импульсов в пачке.

Рисунок 1.2 Модуль функции автокорреляции МЧМПС,
количество импульсов 100 (вариант)

Основные «плюсы» и «минусы» МЧМПС можно разбить на три группы:
свойства, аналогичные свойствам пачек с фиксированными частотами; досто-
инства МЧМПС по отношению к таким сигналам и недостатки.

Основные свойства МЧМПС сигнала, аналогичные соответствующим
свойствам пачек с фиксированными частотами повторения:

-	энергия сигнала приблизительно равна энергии сигнала с КНИ с экви-
валентной (достаточно низкой) скважностью;

-	слепая зона определяется длительностью импульса (может быть доста-
точно мала, а, в принципе, на малых дальностях можно работать и по «хвостам»
эхосигнала, «торчащим» из-за строба включения передатчика на излучение и,
соответственно, бланкирования приемника);
-	ширина основного лепестка вдоль оси частот определяется длительно-
стью пачки и при длительном когерентном накоплении может быть достаточно
высока;

-	ширина основного лепестка вдоль оси времени определяется девиацией
несущей частоты за пачку и также может принимать сколь угодно высокие зна-
чения (на этот параметр влияет также закон внутриимпульсной модуляции).

Достоинства МЧМПС сигнала по отношению к пачкам с фиксированной
частотой следования импульсов:

-	диапазон однозначного измерения дальности определяется длительно-
стью пачки, т. е. может существенно превышать и не ограничивать энергетиче-
скую дальность действия радиолокатора;

-	диапазон однозначного измерения скорости ограничен лишь частотой
дискретизации сигнала в аналого-цифровых преобразователях приемника ра-
диолокатора, т. е. в любых условиях уже на этапе первичной обработки изме-
ряются дальности, радиальные скорости целей;

-	практически отсутствуют «слепая» дальность и «укорочение» приня-
тых импульсов;

-	селекция пассивных помех осуществляется не только по частоте, но и
по времени запаздывания, что позволяет снизить уровень помех в частотных
каналах.

Недостатки МЧМПС сигнала по отношению к пачкам с фиксированной
частотой следования импульсов:

-	относительно высокий уровень боковых лепестков при малых времен-
ных сдвигах, но этот уровень возможно снижать взвешиванием и подбором па-
раметров сигнала;

-	повышаются вычислительные затраты на согласованную обработку.

Таким образом, МЧМПС может стать универсальным сигналом, исполь-
зующимся во всех режимах работы радиолокаторов с соответствующим изме-
нением основных параметров.
1.3 Показатели разрешающей способности радиолокатора

Постановка задачи разрешения ГСЦ. Краткое описание
показателей эффективности процедур разрешения ГСЦ как
обобщение классических показателей эффективности процедур
обнаружения и измерения. Расширение критерия Неймана-
Пирсона и понятия интервала разрешения

Изложение методов обнаружения и измерения параметров эхосигналов
одиночных целей начинается с введения показателей эффективности решения
указанных задач. При изложении вопросов разрешения целей зачастую не уде-
ляется достаточно внимания даже минимальной систематизации этих показате-
лей. Вместе с тем, судить о сравнительной эффективности тех или иных мето-
дов разрешения невозможно без приведения их результатов к «единой шкале».
Естественно, у каждого метода обработки сигналов имеются свои внутренние
характеристики устойчивости тех или иных параметров и свои внутренние за-
кономерности, определяющие качество обработки. Здесь мы попытаемся дать
некоторую систематизацию ряда инвариантных к процедуре обработки показа-
телей разрешающей способности, позволяющих сравнивать различные методы
разрешения как бы по конечному эффекту.

Перед рассмотрением тех или иных показателей эффективности решения
задачи следует более предметно остановиться на ее постановочной части, опре-
делить границы рассматриваемых вопросов.

В первом томе монографии постановка задачи разрешения ГСЦ будет
приведена в, более или менее, традиционном варианте. Причем, ограничивая
рассмотрение задачи случаем разрешения ГСЦ в дисперсном радиоканале, це-
лесообразно зафиксировать ее отличительные условия.

Итак, в основной части монографии принято, что разрешение ГСЦ осу-
ществляется на интервале когерентного зондирования, т. е. как зондирующий
сигнал является когерентным, так и эхосигнал каждой одиночной цели из со-
става ГСЦ является когерентным (хотя результирующий эхосигнал ГСЦ в це-
лом можно классифицировать как некогерентный с когерентными неортого-
нальными составляющими). Когерентность эхосигнала каждой одиночной цели
предполагает неизменность комплексной амплитуды и оцениваемых парамет-
ров этого сигнала на интервале наблюдения. Такую ГСЦ можно назвать ста-
ционарной, а обработку ее эхосигнала - первичной. Во втором разделе моно-
графии будет уделено некоторое внимание также и вопросам вторичной обра-
ботки эхосигнала нестационарной ГСЦ - вопросам фильтрации оценок, полу-
ченных на интервале наблюдения, превышающем интервал когерентного зон-
дирования, когда изменением параметров эхосигналов одиночных целей во
времени пренебрегать уже нецелесообразно. При этом зависимости временных
изменений этих параметров аппроксимированы марковскими процессами, во-
просы оценивания состояния которых хорошо исследованы.
Также следует оговорить случай с несколько особенной постановочной
частью. Речь идет о четвертом разделе монографии, в котором приводятся не-
которые соображения относительно возможности использования методов спек-
трального оценивания (или анализа спектральных свойств корреляционной
матрицы наблюдаемого сигнала) для решения задачи разрешения ГСЦ в дис-
персном радиоканале на интервале когерентного зондирования.

Как уже указывалось выше, строго говоря, методы спектрального оцени-
вания в большей степени обоснованы для оценивания некоторых неслучайных
параметров случайных сигналов (одной из наиболее системных работ по таким
методам и сегодня остается ставшая классической книга С. Л. Марпла-мл. [37]).
Однако некоторые из этих методов используются и для разрешения эхосигна-
лов ГСЦ с когерентной структурой отдельных составляющих. При этом явно
или неявно предполагается, что имеется несколько интервалов наблюдения, на
которых информативные параметры сигналов остаются неизменными, а их
комплексные амплитуды имеют различные (случайные) значения (иногда та-
кую обработку называют некогерентной). Так как постановочная часть такой
задачи несколько отличается, то и вопросы оценки эффективности ее решения
требуют отдельного рассмотрения.

Следует, однако, указать на следующее важное обстоятельство. Отдель-
ные методы спектрального оценивания можно использовать и для обработки
эхосигнала ГСЦ на интервале когерентного зондирования, при этом он разби-
вается на некоторое количество подынтервалов, в том числе и перекрывающих-
ся между собой. Такую обработку, конечно нельзя считать когерентной, т. е.
полностью учитывающей структуру составляющих эхосигнала ГСЦ, однако в
ряде приложений, особенно при нестабильностях и искажениях в каналах
приема она может показывать более высокую эффективность, чем согласован-
ная (когерентная) обработка. И формально с помощью приводимых ниже пока-
зателей эффективности разрешения мы можем сравнить разрешающую способ-
ность такой обработки с другими методами сверхразрешения на этапе первич-
ной обработки.

Итак, под задачей разрешения ГСЦ в дисперсном радиоканале на интер-
вале когерентного зондирования (в стационарном случае) будем понимать за-
дачу обнаружения и измерения параметров эхосигналов каждой одиночной це-
ли из состава ГСЦ. При этом иногда целесообразно выделять задачу оценки ко-
личественного состава ГСЦ и ее простейший вариант - определение факта на-
личия групповой цели.

Подчеркивая связь этой задачи с ее тривиальным случаем - обнаружени-
ем и измерением параметров эхосигнала одиночной цели - мы можем перене-
сти, обобщая там, где необходимо, все известные «одноцелевые» показатели
эффективности на «многоцелевой» случай.

Так, в качестве частных показателей эффективности разрешения ГСЦ мо-
гут выступать вероятности правильного обнаружения отдельных целей в ее со-
ставе. Естественно, при этом следует ограничивать сверху вероятность ложной
тревоги по каждой цели. Критерием эффективности здесь может выступать из-
вестный критерий Неймана-Пирсона, а графическим выражением быть соот-
ветствующие кривые обнаружения (зависимости вероятностей правильного об-
наружения от ОСШ при заданном уровне ложных тревог).

Важной особенностью данного показателя эффективности является то,
что он, судя по всему, может быть оценен только аналитически. Однако имея
аналитические оценки этого показателя, мы можем аналитически оценить и
описанный ниже показатель эффективности определения количественного со-
става ГСЦ, который уже можно сравнить с его оценками, полученными по ре-
зультатам имитационного моделирования или эксперимента.

Эффективность оценивания количественного состава ГСЦ может быть
оценена матрицей вероятностей разрешения (матрицей разрешения).

Матрицей разрешения будем называть матрицу Р, в которой Р/у- - вероят-
ность принятия решения о наличии j сигналов в присутствии i сигналов. Раз-
мерность Р определяется, исходя из практической целесообразности. Элементы
главной диагонали матрицы Р соответствуют вероятностям принятия правиль-
ных решений о количестве целей в составе ГСЦ и подлежат исследованию в
первую очередь. Элементы, находящиеся слева от главной диагонали, соответ-
ствуют вероятностям неполного разрешения, а справа - вероятностям ’’ложных
тревог” или вероятностям превышений (принятия решений о количестве целей,
большем, чем в действительности).

Вероятности превышений следует ограничивать на оговариваемом уров-
не. В качестве критерия эффективности разрешения может выступать расши-
ренный критерий Неймана-Пирсона.

Расширенный критерий Неймана-Пирсона', эффективная процедура раз-
решения должна при ограниченных сверху вероятностях превышений максими-
зировать вероятности принятия правильных решений о количестве целей.

Расширенный критерий Неймана-Пирсона несколько менее однозначен,
чем исходный. Так, например, для одного метода разрешения Р22 может ока-
заться больше, а Р33 меньше соответствующих значений для другого метода.
Такие случаи либо следует специально оговаривать, либо вводить модифика-
цию критерия, когда максимизации подлежит сумма элементов на главной диа-
гонали матрицы разрешения.

Диагональные элементы матрицы разрешения можно назвать вероятно-
стями разрешения цели соответствующего состава (парной и т. д.), а их зависи-
мости от ОСШ можно назвать кривыми разрешения. Следует обратить внима-
ние, что вероятность правильного определения состава парной цели Рг2=0,5 со-
ответствует вероятностям обнаружения каждой цели из состава пары, равным
Р1(2) = 7^2 ~ 0,7. Для многоцелевой ситуации падение вероятности правильно-
го определения количественного состава ГСЦ по отношению к вероятности
правильного обнаружения каждой цели еще заметнее, поэтому задача опреде-
ления количественного состава ГСЦ с ростом числа целей осложняется не
только снижением показателей их раздельного обнаружения, но и снижением
при этом вероятности их «одновременного» обнаружения.
Переходя к показателям эффективности разрешения, характеризующим
точность измерения (оценивания) параметров эхосигналов, следует подчерк-
нуть, что помимо флюктуационных ошибок измерения, различные методы раз-
решения могут характеризоваться также характерными для них методическими
или систематическими ошибками. Естественно, исчерпывающей характеристи-
кой ошибок измерения является их совместное распределение. Однако для
практики можно ограничиться отдельными его параметрами.

Флюктуационные составляющие ошибок измерения (оценивания) пара-
метров эхосигналов целей из состава ГСЦ целесообразно оценивать корреляци-
онной матрицей ошибок оценивания вектора параметров полезных сигналов.
Наиболее интересными для практики здесь являются диагональные элементы
корреляционной матрицы, равные дисперсиям ошибок соответствующих пара-
метров.

Методические (систематические) составляющие ошибок измерения пара-
метров эхосигналов целей из состава ГСЦ оценивать по их непосредственным
значениям.

Характер изменения приведенных показателей эффективности для каж-
дого метода разрешения будет определяться своими закономерностями, однако
можно указать некоторые общие факторы или условия разрешения, которые
будут определять эффективность любого метода разрешения, и влияние кото-
рых необходимо исследовать в первую очередь.

К одной из основных характеристик условий разрешения, от которых бу-
дет зависеть возможность разрешения ГСЦ и энергетические требования к зон-
дирующему сигналу является значение функции неопределенностей Ф (1.13).

Именно значение Ф будет во многом определять потребное отношение
сигнал-шум (ОСШ) по эхосигналу каждой одиночной цели для ее обнаружения.
Кстати, ОСШ является важнейшим фактором, обуславливающим значения по-
казателей эффективности для данных условий при заданной величине Ф.

Само значение Ф, как следует из (1.14), зависит от значений автокорреля-
ционных функций при заданных параметрах ГСЦ. Т. е. определяющими здесь
являются, во-первых, вид автокорреляционной функции зондирующего сигнала
и/или (антенной системы радиолокатора), а, во-вторых, сдвиги по информатив-
ным параметрам между отдельными целями в составе ГСЦ. Физически ясно,
что, чем «ближе» цели друг к другу, чем ближе матрица Грама их эхосигналов
к единичной, чем больше значение Ф, тем сложнее разрешать такие цели, тем
«хуже» значения соответствующих показателей эффективности.

Оценки вероятностных показателей эффективности разрешения, очевид-
но, будут зависеть от распределений амплитуд и начальных фаз отдельных це-
лей, от соотношения средних значений амплитуд и других случайных факторов,
характерных для каждой конкретной задачи. На показатели эффективности раз-
решения будут влиять факторы, искажающие форму зондирующего, эхосигнала
а также сигнала на выходе АЦП (конечные полосы и неидеальные АЧХ и ФЧХ
передатчика и приемника, первичный и вторичный эффекты Доплера целей,
отличие реальных целей от точечного источника со стационарными параметра-
ми, турбовинтовой эффект и т. п.

Однако основной зависимостью, характеризующей, по крайней мере, по-
тенциальную эффективность метода разрешения, является зависимость между
максимальным значением Ф и минимальным ОСШ, требуемым для достижения
требуемых показателей эффективности разрешения. Поэтому мы можем ввести
понятие некоторого предельно достижимого для каждого метода обобщенного
интервала разрешения, в качестве которого и будет использоваться максималь-
но допустимое для заданных значений показателей эффективности разрешения
в заданных условиях значение Ф. При этом основной зависимостью может счи-
таться зависимость обобщенного интервала разрешения от ОСШ.

Введенное выше понятие обобщенного интервала разрешения удобно в
теоретических исследованиях эффективности различных методов разрешения.
Для практических задач может оказаться удобнее понятие интервала разреше-
ния по параметру, под которым будем понимать такое минимальное расстоя-
ние между целями по рассматриваемому параметру, при котором достигаются
требуемые значения показателей эффективности разрешения (вероятности
и/или точности). С радиолокационной точки зрения целесообразно переходить
к относительному интервалу разрешения по параметру (ОИР), т. е. нормиро-
вать введенный выше интервал к рэлеевскому интервалу разрешения по соот-
ветствующему параметру - ширине соответствующего сечения функции авто-
корреляции по выбранному уровню (0,5, 0,1, 0 или др.). Типичной зависимо-
стью также является зависимость ОИР от ОСШ.

При построении кривых разрешения и ОИР в качестве ОСШ целесооб-
разно задавать значение ОСШ по эхосигналу с минимальной энергией (по цели,
с меньшей эффективной поверхностью рассеивания). ОСШ по другим целям
задавать пропорционально, т. е. принимать равным или задавать некоторое
превышение. Вопрос определения ОСШ при проведении натурного имитаци-
онного моделирования требует отдельного рассмотрения.

Вариант методики оценки эффективности алгоритмов разрешения сигна-
лов с помощью имитационного математического моделирования приведен в
приложении А.

Несколько слов об оптимизации процедуры разрешения ГСЦ. Если есть
показатели эффективности, то естественным кажется желание сформулировать
задачу разрешения ГСЦ в некотором оптимизационном ключе и потребовать
экстремального значения какого-либо обобщенного показателя эффективности.

Однако, даже для одиночной цели оптимизация решения задач обнаруже-
ния и измерения параметров осуществляется по разным критериям, хотя в каче-
стве критической статистики используется один и тот же модуль корреляцион-
ного интеграла. Использовать какой-либо критерий оптимизации, который од-
новременно учитывал бы ошибки оценивания и количества и параметров оди-
ночных целей из состава ГСЦ, было бы, видимо математически очень громозд-
ко, тем более непонятно, в каком соотношении должны находиться эти ошибки:
какие веса назначить тем и другим ошибкам, что важнее?
Более того. Следующий вопрос, который возникает после того, как опти-
мальное решение какой-либо задачи найдено - это, насколько оптимален сам
критерий оптимизации. Попытка ответить на этот вопрос приводит к очередной
оптимизационной задаче и последующему «зацикливанию» исследований.

Поэтому, судя по всему, «абсолютно оптимального» решения задачи раз-
решения ГСЦ не существует, хотя это просто точка зрения. Вместе с тем, от-
дельные элементы решения этой задачи могут оптимизироваться по своим ка-
ким-либо критериям, например, общепризнанным в математическом смысле.

В заключение хотелось бы подчеркнуть, что разрешающая способность
радиолокатора - это качественное понятие, которое характеризуется рядом ко-
личественных показателей эффективности. Поэтому фраза «разрешающая спо-
собность радиолокатора по дальности 100 м» при более строгом изложении
может означать лишь то, что интервал разрешения по дальности составляет
100 м. При этом мы должны понимать, что это значение интервала соответству-
ет вполне конкретным требованиям к показателям эффективности как по обна-
ружению целей из состава групповой, так и по точности измерения параметров
их движения. Более того, значение интервала разрешения существенно зависит
от отражательных характеристик целей и, соответственно, энергии их эхосиг-
налов, а также множества других факторов. Поэтому без дополнительных усло-
вий и ограничений фраза «разрешающая способность радиолокатора по даль-
ности 100 м» практически бессмысленна и может относится к радиолокаторам с
существенно различной разрешающей способностью по дальности.
Раздел 2

МАКСИМАЛЬНО ПРАВДОПОДОБНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
ЭХОСИГНАЛОВ В РАДИОЛОКАЦИОННОМ КАНАЛЕ

С РАССЕЯНИЕМ ПРИ ИЗВЕСТНОМ КОЛИЧЕСТВЕННОМ СОСТАВЕ
ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ

2.1	Функционал правдоподобия для эхосигнала групповой цели

Аналитическое описание функционала правдоподобия для случая
приема эхосигнала групповой сосредоточенной цели

В разделе в сжатом виде рассмотрены вопросы оценивания параметров
эхосигнала ГСЦ как обобщение классических байесовских процедур оценива-
ния параметров эхосигнала одиночной цели. В настоящее время данная про-
блематика считается в достаточной степени исследованной [1, 13, 18, 34, 36, 50,
52, 56 и др.], однако для определенной самодостаточности и системности моно-
графии автор посчитал целесообразным еще раз остановиться на этой теме, а
также привести ряд новых результатов, отсутствующих в известных работах.

Мы не будем здесь останавливаться на общеизвестных принципах байе-
совского оценивания параметров сигналов, а также соответствия различных
функций стоимости ошибок критериям минимума дисперсии, максимума, моды
или математического ожидания апостериорной плотности вероятности. Отме-
тим лишь, что базовым моментом в байесовской методологии оценивания явля-
ется аналитическое описание функции (в общем случае функционала) правдо-
подобия (ФП) для рассматриваемой задачи. Поэтому данному вопросу, несмот-
ря на его достаточно глубокую проработанность в настоящее время (см., на-
пример, [50]), все же уделим некоторое внимание.

Поскольку значение несущей частоты радиолокатора не несет полезной
информации, а также исходя из технической реализации радиолокационных
систем в аналитических исследованиях удобно перейти к описанию в виде ком-
плексных огибающих (КО), которое в информационном смысле эквивалентно
описанию в виде мгновенных значений сигналов.

Пусть эхосигнал каждой одиночной (i-й) цели характеризуется вектором
параметров az (в типовом случае az = [0Z ez tz 7<]т, где 0., 8,, т., Ft - ази-
мут, угол места направления прихода, время запаздывания, частота Доплера
эхосигнала), а также комплексной амплитудой Et. Следует подчеркнуть, что
размерность и конкретная совокупность оцениваемых параметров для каждой
конкретной практической задачи может варьироваться.

При наличии п одиночных целей (Ць Цг, - • Ц,) в интересуемой области
лоцируемого пространства (рисунок 2.1) описание ФП базируется на модели
принимаемого на интервале наблюдения [О, Т] при наличии аддитивных гаус-
совских шумов v с произвольной корреляцией некогерентного сигнала х с коге-
рентными (и возможно неортогональными) составляющими:

y(t) = x(t) + v(t) = 5(а, t)E + v(t), t G [0, T],	(2.1)

где y(t) - комплексная огибающая (КО) наблюдаемого сигнала, принятого т-
канальной антенной решеткой (АР) радиолокатора (комплексная вектор-
функция размерности ш);5(а,0 = [s(aj,t) s(a2,t)...$(«„,£)] матрица разме-
ра тхп нормированных (||s|| — 1) КО эхосигналов одиночных целей s(aif t); t -
текущее время; Е = [Ех Е2 ... £п]т и a = [a} a2 — “n] _ постоянные на интерва-
ле наблюдения неизвестные векторы; v(t) - КО гауссовских шумовых помех,
характеризующихся известным (без ограничения общности нулевым) матема-
тическим ожиданием и корреляционной функцией 0(t, t ) = M{v(t)vH(t )}
произвольного вида; М{ } - оператор математического ожидания; Н - оператор
эрмитова сопряжения.

Рисунок 2.1- Формирование эхосигнала ГСЦ (некогерентного сигнала
с когерентными неортогоналъными составляющими)

Гауссовость шумовой помехи v является непринципиальным ограничени-
ем, которое, с одной стороны, традиционно используется в радиолокации и во
многих случаях оправдано, с другой, - значительно упрощает математический
аппарат. Последнее связано с тем, что в гауссовом случае корреляционная
функция 0(t,t) является исчерпывающей характеристикой помехи и, в основ-
ном, определяет аналитическое описание ФП, его вычисление, а также выте-
кающие из этого описания схемы помехозащиты.
Пространство наблюдения является комплексным гильбертовым про-
странством вектор-функций у, интегрируемых с квадратом на интервале [О, Г],
с нормой, определяемой скалярным произведением: ||-|| = (т)1^2. Для анализа
различных закономерностей в таких пространствах удобно использовать раз-
ложения исследуемых функций в некотором базисе т^:

оо

y = x + v= +vfc)l]b

к-1

где хк и vk - коэффициенты разложения полезной и шумовой составляющих
наблюдаемого сигнала. Без ограничения общности в дальнейшем рассматрива-
ется нормированный базис: ihdl = 1.

Если в качестве базиса выбрано множество собственных функций кор-
реляционного оператора, то базис является счетным ортогональным. Действи-
тельно, корреляционный оператор Su =	0(t,	(интегральный опе-

ратор Гильберта-Шмидта с ядром 0(t, t )) в силу 0(t, t ) = 0H(t ,t) является
компактным самосопряженным (Е = Е*) или эрмитовым оператором с вещест-
венными положительными собственными числами и ортогональными собст-
венными функциями, соответствующими различным собственным числам, [33]:

= <ПъSt1/> =	=»	= О,

где ок и о2 - собственные числа, соответствующие г\к и тц.

Удобство использования ортонормированного базиса проявляется, на-
пример, в том, что хк = {х,r\k), vk = (y,v\k), а коэффициенты разложения vk
шума v могут быть заданы некоррелированными случайными величинами с
дисперсиями ок. Для такого базиса ядро корреляционного оператора допускает
разложение

оо

0(t, t') = M{(y(t) - X(t))(y(t') - x(t'))H) = O2k T]k(t)Tlfc(t').

В ортонормированием базисе корреляционный оператор S и оператор
Е-1, обратный корреляционному, имеют достаточно простой вид, из которого в
частности следует их положительная определенность:

оо

k=l

И
оо
к=1

Положительно определенный оператор Е-1 задает энергетическое про-
странство [8] с энергетической нормой, определяемой энергетическим скаляр-
ним произведением (E-1 •,•), обозначаемом в дальнейшем как (v)v> ПРИ этом
{u,u)v является энергией и. Величину (v,v)v можно трактовать как нормиро-
ванную энергию реализации шума v, при этом поверхности {и, u)v — const со-
ответствуют бесконечномерным эллипсоидам реализаций с одинаковыми энер-
гиями.

Гауссовость помехи v означает, что значение ФП (условной плотности
вероятности реализации у) зависит только от нормированной энергии (или
квадрата энергетической нормы) реализации шума (при этом реализации с
большими энергиями менее вероятны):

Р(У/х) = q ехр(—|(v, v)v) = q ехр(-|((у - х), (у - x))v),
где q = П”=1(2яа^)-1^2 - нормирующий множитель, положительный вследст-
вие положительности и ограниченный вследствие компактности Е: ||Е|| <
)dtdt <о°-

После несложных преобразований последнее выражение можно записать
в виде

lnp(y/x) = Re(x,y)v-\{x,x)v + с2,	(2.2)

где с2 = InCi — - {у, y)v постоянная после приема у величина.

Выражение (2.2) указывает, что для вычисления ФП необходимо найти
значения двух энергетических произведений: энергетического отношения сиг-
нал-шум Qo = {x,x)v — (Е-1х,х) (часто называемого параметром обнаружения)
и корреляционного интеграла {x,y)v = (Е-1х,у). Весовая вектор-функция
д = Е-1х, которая при этом используется, является решением уравнения Фред-
гольма первого рода:

sg = х,	(2.3)

или в интегральной записи

т

Q(t,t )g(t )dt = x(t).

о

Описание (2.2) и (2.3) носит достаточно универсальный характер. Не ос-
танавливаясь на достаточно глубоко исследованных вопросах разрешимости
(2.3) ([16] и др.), рассмотрим отличительные особенности весовой функции д
для ситуации локации ГСЦ (2.1): x(t) = 5(а, t)E.

В этом случае решение уравнения (2.3) целесообразно искать в следую-
щем виде

g(a,E,t) = /?(а,0Е,	(2.4)

где R(a, t) = [г(а1я t) r(a2, t) ... t)]T - матрица-функция размерности /ихи;
r(at, t) - весовой вектор, удовлетворяющий уравнению

Er(cQ, t) = s(at, t).	(2.5)
Описание ФП (2.2) при этом приобретает вид:

In р(у/а,Е) = Re(EHZ(a)) - |ян<2(а)Е + с2,	(2.6)

где Z(a) = {R,y) = {S,y)v - векторный корреляционный интеграл; Q(a) =
{R,S) = {S,S)V - матрица Грама системы нормированных эхосигналов одиноч-
ных целей в энергетическом пространстве наблюдения.

Анализ выражения (2.5) показывает, что для модели эхосигнала (2.1) оп-
ределение весового вектора г сводится к решению уравнений, идентичных по
форме уравнениям для весового вектора при одноточечной модели цели [60].
Это свидетельствует о том, что модель эхосигнала (2.1) не усложняет задачу
нахождения весового вектора. Последний определяется характером шумовых
помех, построением антенной решетки и параметрами зондирующего сигнала.

Так, пренебрегая запаздыванием КО эхосигнала точечной неманеври-
рующей цели по раскрыву АР (в случае, если размеры АР много меньше глуби-
ны импульсного объема РЛС), можно записать

s(a-, f)=5-(t-T,.)ei2',f'7(P/, £,.),	(2.7)

где 5(f) - нормированная скалярная комплексная функция времени, описывающая
законы амплитудной и фазовой модуляции зондирующего сигнала (ЗС);
/’(Р?Е) = [б'1(Р,Е) б72(Р,Е)е]Д2(р £) ... 6ш(Р,Е)е*Дт(р’£)]Т - множитель АР - век-
тор-функция, размерность которой определяется количеством т, а вид - диа-
граммами направленности СДР, б) и взаимным расположением элементов АР,
обуславливающим определенную разность фаз Acpz(P,e) между опорным пер-
вым и некоторым /-м элементом.

С учетом модели (2.7) уравнение (2.5) приобретает вид

г

|0(f, t')r(az, t') df' =s(t - Tz)ej2nF/V(Pz, ez) .

о

Откуда следует, что

r(az, О = A(tz , Fi, t )/(Pz, ez ),	(2.8)

где m x ти-матрица-функция h определяется из уравнения

т

Je(t,t')A(T/,F,f')dt'=^(f-T/)e,2’'F'7 ;	(2.9)

о

I - единичная матрица размера m х тп.

Конкретизировать выражения (2.8) и (2.9) можно учитывая специальный
вид корреляционной функции помех в типовых ситуациях.

Обычно помеховый фон создается взаимно-некоррелированными источ-
никами- независимыми внешними постановщиками шумовых помех и собст-
венными шумами элементов АР (приведенными ко входу шумами приемных ка-
налов). При непродолжительном времени наблюдения Т помеховый фон можно
считать стационарным. Более того, учитывая тот факт, что собственные шумы
приемных каналов соответствуют модели белого шума, а также то, что в боль-
шинстве случаев работе РЛС противодействуют внешние постановщики загра-
дительных шумовых помех, корреляционная матрица 0(t, t ) имеет вид

0(f,f') = 018(f-f'),	(2.10)

где - постоянная матрица; 8(r -f) - функция Дирака.

Подстановка зависимости (2.10) в соотношения (2.8) и (2.9) в силу фильт-
рующего свойства функции Дирака приводит к следующему выражению для
весового вектора г:

г(а,, t) = s(t - ту)ерп/?0Г'Л₽,, е,)-	(2.11)

В отсутствие внешних постановщиков помех и некоррелированных шу-
мах приемных каналов (при стационарных некоррелированных помехах)

N

0j =	, а весовой вектор г имеет вид

=	- T/)e12’,f'V(p,., г,).	(2.12)

Таким образом, приведенные выше выражения составляют аналитическое
описание ФП для случая приема на фоне типовых помех эхосигнала ГСЦ.
2.2	Процедура максимально правдоподобной оценки параметров
эхосигнала ГСЦ

Приведены выражения для точечных статистик, являющихся
максимально правдоподобными оценками параметров эхосигнала
ГСЦ

Непосредственно используя (2.6), можно заключить, что нахождение
максимально правдоподобных оценок а и Ё параметров эхосигнала ГСЦ сво-
дится к нахождению таких а и Е, при которых функция
L(a,E) = Re(EHZ(a)) — ^EHQ(a)E достигает своего максимума:

а,Ё = arg max L (а, Е).	(2.13)

а,Е

Многопиковость и нерегулярный характер L при типовых ОСШ не позво-
ляет использовать аналитические выражения а и Ё через Z, полученные напри-
мер, приравниванием нулю градиентов L по а и Е. И если в практических зада-
чах для а, как правило, можно указать достаточно ограниченную область поис-
ка, то «размеры» области изменения Е с точки зрения вычислительных затрат
недопустимо велики.

Однако, используя квадратичную зависимость L от Е, можно показать,
что для поиска а вместо функции L можно исследовать на экстремум имеющую
меньшую размерность аргумента (зависящую только от а и не зависящую от Е)
функцию Ai(a) = ZH(a)Q-1(a)Z(a):

а = arg max Lr (а).	(214)

а

Действительно, квадратичная форма

W(a,E) = (Z(a) - Q(a)E)"Q~\a)(Z(si) - Q(d)E)

при любом фиксированном а имеет глобальный минимум по Е при Е =
Q-Hayz^a).

Вместе с тем,

lV(a,E) = ZH(a)Q-1(a)Z(a) - EHZ(a) - ZH(a)E + EHQ(a)E =
= ZH (a)Q-1 (a)Z(a) - 2L(a, E),

откуда непосредственно следует, что

Ё = Q-1(a)Z(a) = arg max L(a, E),

E

при том, что argmaxaZH(a)Q-1(a)Z(a) = argmaxa L(a,E). Последнее свиде-
тельствует о справедливости выражения (2.14).

Для математической строгости приведенного доказательства следует до-
бавить, что матрица Грама эхосигналов одиночных целей является эрмитово
сопряженной (Q = QH), также рассматривается случай, когда значение введен-
ной в первом разделе функции неопределенностей Ф ограничено и Q является
невырожденной.

Таким образом, выражения (2.14) и (2.15) позволяют организовать проце-
дуру максимально правдоподобного оценивания параметров эхосигнала ГСЦ.
Из этих выражений следует, что для получения оценок необходимо в интере-
суемой области изменения а выполнить согласованную обработку (вычислить
Z) принятого эхосигнала у, после чего, подставляя результаты этой обработки в
функцию Ai(a) = ZH(a)Q(a)Z(a), необходимо зафиксировать точку а ее экс-
тремума. При этом Ё = Q-1(a)Z(a).

2.3	Днскриминаторный способ обработки эхосишала ГСЦ

Дано описание дискриминаторного подхода к обработке
эхосигнала ГСЦ как обобщение аналогичного подхода для
одиночных целей, применяющегося в «следящих» радиолокаторах

Ввиду возможной достаточно высокой размерности функции поиск ее
точного экстремума все же связан с определенными вычислительными затрата-
ми. На этапе первичной обработки информации при технически достижимых
отношениях сигнал-шум погрешности в определении экстремума ФП на фоне
флюктуационных ошибок не так существенны (что значительно снижает требо-
вания к вычислительному устройству). Однако на этапе вторичной обработки
на фоне точностей, достигаемых с помощью оптимальных фильтров траекторий
целей, погрешности в определении экстремума ФП могут сделать РЛС элемен-
том, существенно ухудшающим качество вторичной обработки. И напротив -
повышение точности поиска экстремума ФП может привести к чрезвычайному
увеличению объема вычислений и значительному возрастанию времени на об-
работку сигналов, что несовместимо с осуществлением фильтрации траекторий
в реальном масштабе времени.

Поэтому на этапе вторичной обработки (а именно при осуществлении
фильтрации траекторий целей) в ряде случаев может оказаться более выгодным
использование дискриминаторного способа обработки эхосигнала ГСЦ, не тре-
бующего исследования на экстремум ФП и зачастую позволяющего значитель-
но сократить требуемый объем вычислений. Данный способ является разновид-
ностью общего известного дискриминаторного подхода, как правило, исполь-
зующегося для одиночных целей [13, 60 и др.].

Сущность способа удобно пояснить на примере вторичной обработки, ко-
гда фильтрация траекторий движения целей осуществляется с помощью обоб-
щенного рекуррентного фильтра Калмана Бьюси (ОРФКБ) [47].

Обозначив известную функциональную связь между вектором парамет-
ров эхосигнала ГСЦ а и вектором параметров траекторий их движения (век-
тором состояния фильтруемого процесса) детерминированной вектор-функцией
a = h(£), несложно показать, что в качестве вектора наблюдения = h(Q + р
(где р - шумы наблюдения) в ОРФКБ в этом случае следует использовать век-
тор < = arg maxa Lr (a).

Следует оговориться, что при наличии в следящей системе и нерадиоло-
кационных датчиков, вектор будет являться субвектором вектора наблюдения
более высокой размерности. Следующей особенностью может являться то, что
в состав вектора состояния фильтруемого процесса может входить и вектор
комплексных амплитуд эхосигналов целей из состава ГСЦ Е. В последнем слу-
чае в качестве вектора наблюдения следует выбрать = argmaxa F L(a,E). Од-
нако, указанные оговорки не носят принципиального характера и могут быть
соответствующим образом учтены.

Принципиальные выводы следуют из анализа включения вектора наблю-
дения в алгоритм ОРФКБ при формировании оптимальной оценки вектора
состояния $>к на к-м шаге. А именно - вектор наблюдения используется в
следующем контексте:

lt = -xV&-fc(C(Li))),	(2.16)

где Vk - корреляционная матрица ошибок измерения параметров эхосигналов
целей на k-м шаге; С(-) - известная вектор-функция, описывающая априорное
поведение фильтруемого процесса.

Значение С&-1), являющееся по сути априорной оценкой вектора со-
стояния на к-м шаге, определяет на этом шаге некоторую априорную оценку
вектора параметров эхосигналов целей a| = h(C(^-i)), которая при соответ-
ствующем выборе интервала дискретизации ОРФКБ находится в регулярной
окрестности точки экстремума = argmaxa Ai(a).

Вместе с тем, использование разложения функции Lr (а) в ряд Тейлора в
регулярной окрестности точки экстремума, с точностью до членов второго по-
рядка малости, делает корректной использование следующих выражений:

1 Td2Li(O

к (а) = 2 (“ “ О дга («-<) + const-

gL/ag) 3^(0

да ~ д2а (к °’

(2.17)

(2.18)

Следующим используемым фактом является тот факт, что корреляцион-
ная матрица ошибок измерения параметров эхосигнала ГСЦ с известной степе-
нью точности аппроксимируется матрицей, обратной к взятой с отрицательным
знаком матрице Гессе в точке экстремума натурального логарифма ФП (более
подробно об этом в следующем подразделе):

Vk = {

д2а J

(2.19)

Совместный анализ выражений (2.16)-(2.19) позволяет придти к важному
выводу о том, что на этапе вторичной обработки для обеспечения функциони-
рования ОРФКБ нет необходимости в нахождении экстремума ФП - на к-м ша-
ге достаточно лишь вычислять, так называемый, дискриминаторный эффект
вектор

дЬЛак) .	с

д= —= КГ* «к -	(2.20)

То есть исследование на экстремум функции (а) заменяется вычисле-
нием градиента этой функции в точке а£. Естественно, что при вычислении
градиента (в том числе и численным способом) требуется гораздо меньшее ко-
личество вычислительных операций, чем при полном исследовании функции на
экстремум.

Следует добавить, что алгоритм ОРФКБ подразумевает также вычисле-
ние корреляционной матрицы ошибок фильтрации, для чего в соответствующее
уравнение необходимо подставлять корреляционную матрицу шумов наблюде-
ния. В рассматриваемом случае корреляционной матрицей шумов наблюдения
является корреляционная матрица ошибок измерения параметров эхосигналов
Vk. Поэтому для обеспечения функционирования ОРФКБ при обработке сигна-
лов требуется также вычислять матрицу Гессе функции Li(a) в точке ак (при
гауссовской аппроксимации ФП принимаем постоянство матрицы Гессе функ-
ции Lr (а) в регулярной окрестности точки экстремума). Проведенные автором
исследования на предмет возможности снижения при этом вычислительных за-
трат показывают, что качество фильтрации заметно не снижается, если вычис-
лять только главную диагональ матрицы Гессе, а остальные ее элементы при-
нимать равными нулю. Об этом, кстати, упоминается также в [13].

Плодотворным направлением, связанным с определением текущего зна-
чения корреляционной матрицы шумов наблюдения, например, для использо-
вания в том же алгоритме ОРФКБ является вычисление ее оценки по оценкам
параметров эхосигнала ГСЦ. При этом мотуг быть использованы зависимости,
приведенные в следующем подразделе.

2.4	Потенциальная точность оценивания параметров эхосигнала ГСЦ

Приведены аналитические зависимости, позволяющие оценить
границу Крамера-Рао для среднего квадрата ошибки оценивания
параметров эхосигнала ГСЦ

Несмещенность максимально правдоподобных оценок (2.14), (2.15) озна-
чает равенство их математического ожидания истинному значению параметров
эхосигнала ГСЦ.

Описание корреляционных характеристик формируемых оценок можно
получить, вычислив границу Крамера-Рао для среднего квадрата ошибки оце-
нивания параметров эхосигнала ГСЦ.
Поскольку вычисление производных от функционала правдоподобия
рСу/а^Е) по комплексным Е, не имеет смысла (так как не выполнены условия
Коши-Римана), то целесообразно разложить их на амплитудные е$ и фазовые
составляющие: Е = [Ei expjTpi E2expj<p2  £пехР1Фи]т- Таким обра-
зом, все неизвестные параметры ГСЦ образуют три действительных вектора:
£ = [Ё! е2 ... Еп]Т, ф = [<Р1 Ф2 - фп]Т И а = [«1 «2 ... Оп]Т.

При объединении их для удобства обозначений единым вектором
Л = [ет <рт ат]т, зависимость для нижней границы корреляционной матрицы
ошибок оценивания параметров эхосигнала ГСЦ V = М{(Х — Л)(Л — Л)т} может
быть представлена блочно-симметричной матрицей, обратной информационной
матрице Фишера /. С учетом введенных обозначений и того, что 1пр(у/Л) =
= Г(Л) + const, справедлива следующая зависимость для нижней границы V:

г
ьЕа

^<ра

v=j-\

(2.21)

где / = —М ’

Лае

г

ФФ

4₽

Т. е. информационная матрица Фишера равна взятому с отрицательным
знаком математическому ожиданию матрицы Гессе натурального логарифма
ФП (2.6) в точке его экстремума.

Для получения аналитических выражений для математических ожиданий
соответствующих производных следует использовать тот факт, что M{Z} =
= Q(ac)Ec, где ас и Ес - истинные параметры эхосигнала ГСЦ.

Опуская здесь несколько громоздкие преобразования, связанные с полу-
чением зависимостей для блоков рассматриваемой информационной матрицы
Фишера, приведем лишь соответствующие конечные выражения. При этом для
сокращения объема формул опустим индекс «с», появляющийся в аргументах
функций после подстановки в них истинных параметров эхосигнала ГСЦ, оп-
ределяющих математическое ожидание точки экстремума ФП.

Итак, заметив, что порядок дифференцирования не меняет значения сме-
шанной производной, и, например, = (1фЕ)т, запишем выражения для от-
личных блоков (2.11):

4 =	—Re(4,HQ4’);

4р = Im(VHQ Ф)Е;
Z.'w =-ERe(VHQ Ф)Е;

4 =	-Re(4’HQ' Ф)Е;

4а = —Е 1т(Фн() Ф)Е;
£"а = Е Re(vPHQ"vP)E,

(2.22)

где Ф = diag([expj<p! ехр]ф2 ... ехр)фп]); Е = diag([£i £2 ••• £п]);
diag(’) - операция диагонализации (формирование диагональной матрицы с
элементами, равными элементам вектора-аргумента); Q - матрица с элсмснта-
' dQij ryff	" d^Qij

ми qtj — Q - матрица с элементами = д^д^.-

Поверхностный анализ (2.22) указывает на существенную зависимость
корреляционной матрицы ошибок оценивания параметров эхосигнала ГСЦ от
амплитуд эхосигналов отдельных целей, соотношении их начальных фаз, а
также от свойств матрицы Грама их эхосигналов Q, определитель которой, на-
помним, обратен функции неопределенностей для эхосигнала ГСЦ.

Детальному анализу закономерностей, заложенных в (2.21) и (2.22), необ-
ходимо посвящать отдельное исследование. Некоторая важная часть этих зако-
номерностей будет обсуждена во втором томе данной монографии.
Раздел 3

ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВЕННОГО СОСТАВА ГСЦ

3.1 Методы оценки количественного состава ГСЦ

Краткий обзор характерных представителей известных методов
оценки количественного состава ГСЦ, не относящихся к классу
методов спектрального оценивания. Дано описание принципов
обработки сигналов в таких методах, а также приведены оценки
их эффективности, заимствованные из соответствующих
публикаций

В разделе представлены процедуры, «похожие» на процедуру максималь-
ноправдоподобной оценки количественного состава ГСЦ. «Похожесть» и не
более обусловлена тем, что, как отмечено еще в [36], максимально правдопо-
добная оценка количественного состава ГСЦ в обычной форме невозможна,
т. к. значение ФП монотонно растет с увеличением размерности «ожидаемой»
модели эхосигнала ГСЦ вследствие того, что ошибка аппроксимации наблю-
даемого сигнала такой моделью при этом монотонно уменьшается.

Представленный обзор не претендует на исчерпывающий характер, т. к. с
каждым годом появляется все большее число публикаций по данной тематике.
Однако выборочно представленные здесь методы автор считает наиболее ха-
рактерными представителями соответствующих направлений.

Также следует оговорить, что в данном разделе проанализированы те по-
зволяющие оценить количественный состав ГСЦ методы, которые не относятся
к спектральным (им посвящен следующий раздел). Хотя данное разграничение
достаточно условно, к неспектральным методам можно отнести те, которые
осуществляют согласованную обработку, полностью учитывая когерентную
структуру эхосигналов отдельных целей, при этом обработка осуществляется
на временном интервале, когда комплексная амплитуда эхосигналов остается
постоянной. Напротив, как только к обработке привлекаются несколько реали-
заций эхосигналов отдельных целей (хотя бы две), на которых хотя бы фор-
мально комплексные амплитуды изменились, то можно говорить о спектраль-
ном оценивании. Подчеркнем, что формально эти выборки могут быть получе-
ны и из одной, на которой комплексные амплитуды оставались постоянными,
т. е. модели наблюдаемого сигнала в спектральных и неспектральных методах
могут даже формально совпадать, что, кстати, иногда позволяет осуществить
сравнительную оценку их эффективности. Поэтому к неспектральным методам
сверхразрешения можно отнести строго когерентные, а методы сверхразреше-
ния с «квазикогерентной» и некогерентной обработкой можно отнести к спек-
тральным. В то же время нсспектральные методы, наверное, можно рассматри-
вать как некоторый вырожденный случай спектральных.

Однако от названия и классификационных признаков эффективность ме-
тода не меняется, единственное, на что автор призывает читателей обращать
пристальное внимание - это на модель наблюдаемого сигнала - если модели
одинаковы, то эффективность методов можно сравнивать, если модели отлич-
ны, то, естественно, о сравнительной оценке эффективности следует рассуж-
дать очень аккуратно.

Итак, в начале обзорной части раздела следует выделить процедуру, так
называемого, «оптимального разрешения» целей или обнаружения целей на
фоне мешающих сигналов [40, 17, 59, 60, 61, 63, 58 и др.]. Хотя эта процедура
непосредственно не направлена на оценивание количественного состава ГСЦ, а
лишь рассматривает возможность обнаружения отдельной цели из группы, при
этом не совсем понятным образом «... любой из разрешаемых сигналов может
поочередно выступать как полезный или как мешающий» [60], все же такой
подход целесообразно проанализировать в этом разделе, т. к. он не относится к
методам спектрального оценивания, а его авторы позиционируют его как раз-
витие классической вудвордовской теории.

Как указано в [61], рассматриваемая «... теория была разработана
Я. Д. Ширманом ... в 1958 г. ... и опубликована в [58]». Там же утверждается,
что «... оказалось возможным достичь тех же статистических показателей каче-
ства обнаружения, что и в отсутствие мешающих сигналов. Достаточным для
этого является увеличение энергии полезного сигнала в 1 /ки раз, где ки - ко-
эффициент использования энергии полезного сигнала, аналог коэффициента
полезного действия.

На фоне только одного мешающего сигнала

где р - комплексный коэффициент корреляции напряжений полезного и ме-
шающего сигналов; Эм - энергия мешающего сигнала; Nq спектральная плот-
ность мощности шума.

Даже при Эм/М0 -» оо потенциальный коэффициент использования энер-
гии остается конечным:

ки = 1-|р|2.

При ортогональных сигналах, когда р = 0, их взаимное мешающее дейст-
вие потенциально устраняется и коэффициент использования энергии достигает
единицы.
Полученные результаты охватывали вудвордовскую теорию как частный
случай (р — 0 или Эм = 0)...».

Каким же образом предлагается достигнуть столь «впечатляющих» ре-
зультатов?

Задача разрешения по очевидной аналогии с задачей обнаружения цели
на фоне маскирующих пассивных помех формулируется как задача «... обна-
ружения когерентного сигнала x(t, а0) одиночной цели на фоне гауссовского
белого шума и п мешающих сигналов ^х^а^ехрЩф,) с равновероятными
независимыми начальными фазами cpj и распределенными по релеевскому за-
кону амплитудными множителями hf...» [40]. Т. е. все присутствующие в эхо-
сигнале ГСЦ сигналы, кроме x(t,a0) предлагается отнести к помеховому воз-
действию. При этом сумму сигналов, отраженных от «мешающих» целей, мож-
но рассматривать как выборочную функцию гауссова шумового процесса. А
результирующая «... корреляционная матрица шума и мешающих сигналов ха-
рактеризуется суммой соответствующих корреляционных матриц...» и имеет
вид:

п

= N0IS(t - t') +^Tb?x(t,ai)xH(t', a;),	(3.1)

i=l

где bt = М{Д}.

Формально для решения этой задачи в качестве сравниваемой с порогом
критической статистики требуется вычислить значение отношения правдопо-
добия, описывающееся (2.2), для чего, в свою очередь необходимо найти весо-
вую функцию из уравнения (2.3), где в правой части стоит обнаруживаемый
сигнал x(t,a0), а в качестве ядра - корреляционная функция (3.1). Решением
(2.3) в этом случае, естественно, является весовая функция вида

п

Wor(O = x(t, a0) -	а$х(1, a,),	(3.2)

i=l

с коэффициентами — {x(at),r).

Отмечая неявный вид (3.2) (коэффициенты at зависят от г), для записи
окончательного решения (2.3) предлагается выразить at через параметры раз-
решаемых сигналов (при фиксированных и r(t) действительно явля-
ются постоянными величинами). Это возможно сделать, например, путем со-
ставления системы из п линейных уравнений, спроецировав (3.2) на п опорных
функций x(t,ay-):

п

N0{x(Oj),r) = (x(a,),x(«o)> -	а;Ь?(хЦ),х(^)).	(3.3)

1=1
Учитывая, что (х(аДг) = а?, а также используя обозначения
{x(Oj),x(aQ)) = р7о и {x(aj),x(ai)) = р;7 для коэффициентов корреляции раз-
решаемых сигналов, перепишем (3.3) в более компактном виде

п

Noa> +	= Р/0-	<34)

i=l

ИЛИ

п

^(W05y + bfpj^at - pj0.

i=l

Система n линейных уравнений (3.4) содержит п неизвестных aL, которые
известным образом находятся при фиксированных Бг2 ру£ и р; 0.

В работах [17, 60, 61, 63 и др.] приводятся также аналитические выраже-
ния и расчеты эффективности такого подхода в зависимости от форм автокор-
реляционных функций р(’) и других факторов.

Перейдем к обсуждению рассматриваемого подхода.

Поверхностный анализ математически безупречных выражений (3.1)-
(3.4) может привести к выводу: задача разрешения решена, причем оптималь-
ным образом! Все выглядит вполне логично: для всех точек Оо из рассматри-
ваемой области параметров выполняется вышеописанная процедура обнаруже-
ния цели и там, где цели действительно присутствуют при определенном отно-
шении сигнал-шум принимаются решения об их наличии.

Однако, рассмотрим предлагаемый подход более подробно.

Заметим, что в задаче обнаружения цели на фоне маскирующих пассив-
ных помех во многом аналогичной обсуждаемому подходу, как, впрочем, и в
задаче обнаружения в общей постановке, корреляционная функция помехи счи-
тается известной. Лишь в этом случае процедуры определения весового вектора
и вычисления отношения правдоподобия имеют смысл.

Процедуры оценки корреляционных функций помехи являются самостоя-
тельными задачами: в простейшем случае некоррелированных шумов - это
схемы шумовой автоматической регулировки усиления, в более сложных слу-
чаях, например, при наличии активных шумовых помех - это автоматические
корреляционные компенсаторы и т. п. Для маскирующих пассивных помех их
корреляционная функция считается известной: в простейшем случае, например,
спектр пассивной помехи повторяет спектр зондирующего сигнала.

В рассматриваемом случае о помехе, состоящей из окружающих обнару-
живаемую цель эхосигналов «мешающих» целей, неизвестно ничего, даже ее
наличие. Сколько таких мешающих целей, каковы их параметры оц и bf - неиз-
вестно, соответственно неизвестны и p;i и ру0! Последний факт, кстати, делает
бессмысленной систему (3.4).

Никаких процедур, устраняющих указанную неопределенность авторами
этого подхода не предлагается. Наверное можно задаться наихудшей ситуаци-
ей, когда интересующую нас цель окружает множество мощных мешающих це-
лей. При этом мы придем непосредственно к модели маскирующей пассивной
помехи, и предлагаемая система обработки сигналов выродится в систему по-
давления пассивных помех, в которой ни о каком сверхразрешении речи не
идет. Известно, что если обнаруживаемая цель не разрешается с пассивной по-
мехой по какому-либо параметру (частоте Доплера или пеленгу), то выделить
цель на фоне мощной помехи невозможно.

Таким образом, рассмотренная процедура работоспособна при известных
коэффициентах корреляции мешающих сигналов, однако в практических зада-
чах разрешения ГСЦ такая информация отсутствует. Вероятно поэтому на на-
стоящий момент отсутствуют результаты имитационного моделирования (ма-
тематического, полунатурного или натурного), подтверждающие работоспо-
собность рассматриваемого подхода. Здесь необходимо отмстить, что в работах
[61 и 63] есть ссылки на экспериментальные исследования, подтверждающие
работоспособность «оптимального разрешения». Однако при этом рассматри-
ваются либо опыты по, так называемому, высокочастотному дифференцирова-
нию, либо опыты по пространственной компенсации активных шумовых помех.
Ни те, ни другие нс являются реализацией предлагаемой обработки эхосигнала
ГСЦ и подтверждают лишь возможность сверхразрешения в принципе, но не
работоспособность вышерассмотренных процедур разрешения ГСЦ.

Рассмотренный подход, судя по всему, наиболее целесообразно исполь-
зовать для оценки потенциальных возможностей автокомпенсаторов помехо-
вых сигналов, что, в принципе, и делается в [60].

Следующим, рассматриваемым здесь и выделенным многими исследова-
телями, методом сверхрэлеевского разрешения является предложенный
А. А. Курикшей в [36] подход к оптимизации процедуры разрешения по крите-
рию минимума среднего риска при несимметричной функции потерь w: штра-
фы за ошибки оценивания количественного состава ГСЦ в большую сторону
больше, чем в меньшую:

71—1

w(?2, Еп, (Хд |??17 Ет, CLfn) 1 $тп fm	^rn) + &	($-5)

i=0

где т - истинное количество одиночных целей в составе ГСЦ; п - оценка этого
количества; Ет,ат и Ёп,^ - истинные параметры эхосигнала ГСЦ и их оцен-
ки; fm (0,0) = 1 и быстро спадает при увеличении норм аргументов.

Первые два члена (3.5) представляют собой простую функцию потерь,
последний - «добавку», включающуюся при п > т.

Идеология такого подхода снизить риск принятия решений о количест-
ве целей в составе ГСЦ, превышающем истинное количество.

Далее в [36] А. А. Курикша показывает, что процедура поиска оценок,
оптимальных по критерию среднего риска при функции потерь (3.5), приводит
к следующим неравенствам для отношений правдоподобия соответствующих
гипотез:


dEmda™),	(3.5)

p(y/gn.ttn) > ^n-1 Л + a f pty/E^.a^^)

Р(у/4-1Д-1) шп \ Yn-lJ p(y/£„-!,
P(y/£n+l.«n+l) < Ып (1+^_f

Pi.y/En.&n) "n+A YnJ p(y/£‘n,«n)

где (л)п - априорная вероятность попадания п в область допустимых ошибок;
Yn = f fn (£п> <*п) dE^On - эффективная площадь области допустимых ошибок.

Далее в [36] предлагается ограничиться проверкой условий (3.5) последо-
вательно для п = 1,2,... и принимать в качестве оценки первое же и, для кото-
рого условия выполняются.

Что можно сказать о рассмотренном подходе? Он вполне логичен: если
непосредственное применение метода максимального правдоподобия (опти-
мального по критерию минимума среднего риска при простой функции потерь)
невозможно в силу указанных в начале раздела причин, то естественно перейти
к функции потерь, снижающей риск ложных тревог.

К сожалению, автору монографии не известны работы А. А. Курикши, где
бы он приводил рекомендации по выбору вида f и параметра а, а также резуль-
таты исследований влияния различных факторов на эффективность предлагае-
мого подхода. Поэтому судить о работоспособности этого метода проблема-
тично и для формулировки каких-либо однозначных выводов по ситуациям, в
которых возможно его применение, требуется проведение достаточно объем-
ных исследований. Вместе с тем, так как в качестве критической статистики в
данном методе используются значения ФП для гипотез различной размерности,
то косвенно об эффективности такого подхода можно судить по результатам,
представленным Шинаковым Ю. С. и Сперанским В. С. в [56, 57]. Сам
А. А. Курикша указывает: «... в одном критерий совпадает с предложенным в
[56, 57]: решение принимается по приращениям мер правдоподобия числа ком-
понент, однако в данном случае в качестве меры правдоподобия фигурирует
обычная функция правдоподобия».

Предложенный в [57], по мнению самого автора, «...эвристический...»
метод сверхрэлеевского разрешения ГСЦ также предполагает для принятия ре-
шения о количественном составе ГСЦ использовать значения ФП (точнее инте-
гралы от них по некоторым областям) для гипотез с различной размерностью
модели эхосигнала ГСЦ. Непосредственно в качестве критической статистики
используется приращение при увеличении размерности модели эхосигнала ГСЦ
на единицу вероятности попадания наблюдаемого сигнала в область реализа-
ций, менее вероятных, чем наблюдаемая.

В работе [57] приведены оценки эффективности такого подхода, полу-
ченные методом имитационного математического моделирования. Моделиро-
валась угловое разрешение парной цели с равными отражательными характери-
стиками при приеме его трехканальной АР. Полученные оценки зависимостей
вероятности принятия правильного решения о количественном составе ГСЦ от
относительного углового расстояния для разных отношений сигнал-шум при-
ведены на рисунке 3.1. К сожалению, данные о вероятностях превышений от-
сутствуют.

ОСШ.

—*
— -
----ад

Рисунок 3.1 Зависимости вероятности принятия правильного решения о
количественном составе парной цели от относительного углового расстояния для
разных отношений сигнал-шум

Анализ рисунка 3.1 показывает, что с помощью предлагаемого подхода
потенциально возможно достигнуть превышения релеевского предела в 2-2,5
раза при ОСШ 23 -30 дБ для вероятности правильного разрешения порядка 0,8
(вероятности ложных тревог в работе [57] не приведены). Таким образом, рас-
сматриваемый подход требует достаточно высоких ОСШ (превышающих
23 дБ) для примерно двукратного превышения рэлеевского предела.

Несколько позже вышерассмотренных публикаций вышли работы
Л. Н. Коновалова [34, 35]. В первой описана процедура максимально правдопо-
добной оценки угловых параметров эхосигнала ГСЦ со сравнительной оценкой
и доказательством ее более высокой эффективности относительно такого из-
вестного метода спектрального оценивания как метод Прони. Во второй -
предложен метод оценки количественного состава ГСЦ с помощью проверки
сложных гипотез против сложных альтернатив по критерию отношения прав-
доподобия совместно с оценкой по методу максимального правдоподобия па-
раметров эхосигнала ГСЦ.

Так же, как и в [36] количественный состав ГСЦ и в соответствии с про-
веряемой гипотезой последовательно увеличивается (и = ОД, 2,...). Однако в
отличие от [36], где с порогами сравниваются отношения правдоподобия «по
обе стороны» от проверяемой гипотезы в соответствии с (3.5), в [35] с порогом,
задаваемым интересуемым уровнем значимости критерия, сравнивается только
отношение правдоподобия p(y/Fn,an)/p(y/Fn+1,an+1). При этом, с помощью
монотонного преобразования Л. Н. Коновалов предлагает перейти от статисти-
ки в виде отношения правдоподобия к хорошо табулированной статистике,
имеющей F-распределение, что позволяет легко управлять уровнем значимости
критерия.

В работе [32] приведены результаты имитационного математического
моделирования, позволяющие оценить эффективность оценивания количест-
венного состава ГСЦ при рассматриваемом подходе. Моделировалось угловое
разрешение ГСЦ, состоящей из одной, двух или трех одиночных целей. Каж-
дый статистический эксперимент повторялся при 100 независимых испытаниях.
Результаты (количество реализаций, в которых принято решение о количест-
венном составе ГСЦ, равном п) для соответствующих ОСШ и относительных
угловых расстояний между целями представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 - Результаты математического моделирования по оценке
эффективности рассматриваемого метода при различном истинном количестве
одиночных целей в составе ГСЦ п и относительном угловом расстоянии между
целями Ду

ОСШ, дБ	Количество реализаций, соответствующих оценке п					
	0	1	2 I	3 1	4 I	5
п = 1, уровень значимости критерия 0,025						
0	13	85	2	0	0	0
7	0	99	1	0	0	0
10	0	100	0	0	0	0
17	0	100	0	0	0	0
20	0	100	0	0	0	0
п = 2, Ду = 0,5, уровень значимости критерия 0,025						
10	0	7	86	7	0	0
13	0	0	98	2	0	0
17	0	0	99	2	0	0
20	0	0	100	0	0	0
30	0	0	100	0	0	0
п = 2, Д'		у = 0,14, уровень значимости критерия 0,05				
17	0	84	12	4	0	0
20	0	72	22	6	0	0
23	0	50	46	4	0	0
27	0	5	91	4	0	0
30	0	2	95	3	0	0
п = 2, Д'		у = 0,14, уровень значимости критерия 0,01				
17	0	97	3	0	0	0
20	0	80	19	1	0	0
23	0	52	46	2	0	0
27	0	9	90	1	0	0
30	0	3	96	1	0	0
ОСШ, дБ	Количество реализаций, соответствующих оценке Я					
	0	1	2 1	1	3	|	1	4	|	1 5
п = 3, А		f = 0,5, уровень значимости критерия 0,025				
13	0	0	65	31	4	0
17	0	0	26	72	2	0
20	0	0	10	89	1	0
23	0	0	3	97	0	0
27	0	0	0	100	0	0

Представленные результаты (таблица 3.1) свидетельствуют о достаточно
высокой разрешающей способности рассматриваемого метода. Так, например,
при пеленгации парной цели с относительной угловой протяженностью 0,14
достигается вероятность правильного определения количественного состава
порядка 0,5 при уровне ложных тревог 0,05 и ОСШ 23 дБ. Однако, следует от-
метить одно важное обстоятельство. Хотя сам автор говорит об отношении
сигнал-шум как об «...отношении энергии каждого из сигналов к спектральной
мощности шума...», зависимость для ОСШ он определяет как |£j2/o2, где
|FJ амплитуда эхосигнала цели, о2 дисперсия входного белого гауссовского
шума. Вместе с тем важно, что если за ОСШ принимается традиционно исполь-
зуемое в радиолокации отношение энергии сигнала к спектральной мощности
шума, то его значение определяется величиной \Et\2k/o2, где к - количество
отсчетов в наблюдаемом сигнале (данные о последнем в работе [35] отсутству-
ют). Таким образом, декларированные в [35] значения ОСШ занижены в неиз-
вестное количество раз. Грубо степень занижения можно оценить по значениям
ОСШ для приведенных оценок вероятностей обнаружения одиночной цели, ко-
торые ниже потенциально достижимых для заданного уровня значимости кри-
терия, приблизительно на 8 дБ (по приведенным данным цель обнаруживается с
вероятностью 0,85 при нулевом ОСШ, хотя при уровне ложных тревог 0,025
для этого требуется минимум 8 дБ). Таким образом, возможно, значения ОСШ,
приведенные в таблице 3.1 требуется увеличить на 8 дБ, что естественно явля-
ется отнюдь не достоинством рассматриваемого подхода.

В 1992 году вышли работы М. И. Сычёва [48, 49], которые, вообще гово-
ря, сочетают в себе как статистический подход, использующий проверку гипо-
тез о количественном составе ГСЦ с критической статистикой, связанной
функционально со значением ФП, так и спектральный подход к оценке пара-
метров эхосигнала ГСЦ. Особенностью постановочной части проблемы разре-
шения в этих работах является возможная временная некогерентность разре-
шаемых сигналов. Т. е. эффективность использования такого подхода к реше-
нию задачи разрешения ГСЦ на интервале когерентного зондирования несколь-
ко иная, чем его эффективность, например, для пространственного разрешения
шумоподобных по времени сигналов (пеленгации постановщиков АШП). Кста-
ти, в работе [49] приведены оценки эффективности такого подхода для обоих
указанных случаев.
Не останавливаясь здесь на спектральной составляющей подхода
М. И. Сычёва (см. четвертый раздел), рассмотрим сущность предложенной
процедуры оценки количественного состава ГСЦ. Так же как и в рассмотрен-
ных выше работах в [49] предлагается проверять гипотезы о количественном
составе ГСЦ, последовательно его увеличивая: п = 0,1,2,... В качестве сравни-
ваемой с порогом критической статистики предлагается использовать следую-
щее отношение правдоподобия: отношение значения ФП при гипотезе, что ис-
тинное количество целей больше п к значению ФП при гипотезе п.

В [49] отмечается, что значение числителя такого отношения при некоге-
рентных сигналах (сигналах с различной комплексной амплитудой в каждый
момент времени) равно константе. Отметим, что причины, по которым это
справедливо для когерентного и некогерентного случаев различны. В первом
случае значение ФП стремится к константе при увеличении размерности моде-
ли (п оо), во втором - за счет подбора оценок комплексных амплитуд в каж-
дый момент времени при гипотезе, соответствующей истинному количествен-
ному составу ГСЦ. Тем не менее, в любом случае, в конечном итоге в качестве
значения критической статистики принимается непосредственно значение
lnp(y/£n,a„).

В [49] указано, что для истинной гипотезы при высокой точности оцени-
вания (фактически при совпадении оценок параметров сигналов с их истинны-
ми значениями) предлагаемая статистика (как сумма нормально распределен-
ных величин - шумов наблюдения) имеет распределение х2 с соответствующей
степенью свободы. Также в [49] утверждается, что отличия распределения вы-
бранной статистики от х2, вызванные неточностями в оценке параметров и со-
ответствующими «... некомпенсированными остатками...» сигналов, влияют
на эффективность метода при низких ОСШ (для представленных в [49] резуль-
татов - это 17-20 дБ), однако с увеличением ОСШ это влияние уменьшается.

Эффективность оценки количественного состава ГСЦ на интервале коге-
рентного зондирования с помощью такого подхода характеризуется табли-
цей 3.2 (по результатам имитационного математического моделирования, при-
веденным в [49]). Следует указать, что в самой работе [49] значение ОСШ оп-
ределялось по одному каналу приема. В таблице 3.2 ОСШ пересчитано, с уче-
том того, что моделировалось угловое разрешение парной цели при десятиэле-
ментной АР (увеличено на 10 дБ).

Сравнение таблиц 3.1 и 3.2 показывает, что в целом эффективность мето-
да М. И. Сычёва несколько ниже, чем метода Л. Н. Коновалова. Следует доба-
вить, что представленные в таблицах 3.1 и 3.2 оценки получены для несколько
различных уровней значимости. Более того, для более объективной оценки эф-
фективности предложенного в [49] метода, необходим также и анализ результа-
тов обработки эхосигнала одиночной цели, однако в работе [49] такие сведения
отсутствуют.
Таблица 3.2 - Результаты математического моделирования по оценке
эффективности рассматриваемого метода при разрешении парной ГСЦ и
относительном угловом расстоянии между целями Ду = 0,5
(уровень значимости критерия 10'2)

ОСШ, дБ	Разность начальных фаз эхосиг- налов	Вероятность появления оценки ft					
		0	1	2	3	4	5
17	0	0	0,56	0,44	0	0	0
	1,5	0	0,60	0,40	0	0	0
	3	0	0,36	0,64	0	0	0
20	0	0	0,11	0,88	0	0	0
	1,5	0	0,23	0,77	0	0	0
	3	0	0,05	0,95	0	0	0

К рассмотренным выше работам примыкает публикация Л. Г. Лганина
[7]. В [7] предлагается использовать в целом аналогичную вышеуказанным об-
щую схему проверки статистических гипотез. При этом указываются два вари-
анта выбора критической статистики. Первый вариант эквивалентен подходу
М. И. Сычёва, второй - JI. Н. Коновалова, который и берется за основной вари-
ант. Таким образом, работу [7], в которой достаточно подробно изложена мето-
дика и результаты имитационного математического моделирования по оценке
эффективности метода, можно рассматривать как дополнительную информа-
цию об эффективности подхода, предложенного еще Л. Н. Коноваловым в [35].

В [7] моделировался процесс разрешения до четырех целей в составе
ГСЦ, однако рассмотрены только двухальтернативные варианты: одна-две,
две три, три четыре. И если для задачи разрешения парной цели первый вари-
ант такого моделирования позволяет получить исчерпывающие характеристики
разрешения, то при большем возможном количестве целей в составе ГСЦ для
оценки конечных характеристик разрешения требуются значения вероятностей
появления промежуточных решений, которые как раз и отсутствуют в [7]. Т. е.
если присутствуют четыре цели, то до того как будет проверяться альтернатива
«три-четыре», должны быть проверены альтернативы «одна-две» и «две-три»,
а эффективность последних процедур в условиях наличия четырех целей в [7]
не оценивалась. Поэтому здесь приведем лишь результаты оценки эффективно-
сти только для ситуации «одна две цели» в составе ГСЦ.

Также в работе [7] помимо случаев разрешения эхосигналов целей с фик-
сированными амплитудами рассматривался случай случайных амплитуд, рас-
пределенных по Рэлею. Так как эффективность рассматриваемых выше методов
оценивалась только по фиксированным амплитудам, то и сейчас ограничимся
этой ситуацией.

На рисунке 3.2 представлены полученные А. Г. Аганиным для случая
проверки альтернатив «одна-две цели» зависимости потребного для разреше-
ния ОСШ по каждому сигналу от относительного расстояния по частоте между
эхосигналами целей при различных допустимых вероятностях ошибочных ре-
шений.

вердотаооь
овшбяи

-—Oil

— az

-оз

*••**♦*- ад

Рисунок 3.2 - Зависимости потребного ОСШ от частотной расстройки эхосигналов парной
цели при заданных уровнях вероятностей ошибок

Анализ рисунка 3.2 и таблицы 3.1 (если прибавить 8 дБ к указанным в по-
следней значениям ОСШ) показывает, что в целом оценки эффективности рас-
сматриваемого подхода, полученные Л. Н. Коноваловым и А. Г. Аганиным сов-
падают. Также можно констатировать, что из всех рассмотренных подходов та-
кая процедура оценки количественного состава ГСЦ наиболее эффективна.

Среди более поздних работ, в которых предложена «близкая по духу» к
рассмотренным выше процедура разрешения ГСЦ можно также отметить пуб-
ликации [53—55]. Эффективность предложенного в [54] подхода оценивалась в
несколько других условиях [55], но в целом также достаточно высока.

Возникает вопрос - какова же предельная эффективность (потенциальные
возможности) по разрешению ГСЦ с точки зрения оценки ее количественного
состава или обнаружения отдельных целей из ее состава? В какой-то степени
ответ на этот вопрос дают аналитические оценки, полученные К. Хелстромом
[67, 51], которые легли в основу следующего подраздела, наряду с работами
[19] и [23], в которых при изложении также использовались материалы из [51].
3.1 Потенциальная эффективность обнаружения целей
из состава парной по К. Хелстрому

Приведены некоторые оценки, характеризующие потенциальные
возможности по обнаружению отдельных целей из состава ГСЦ,
полученные по методике К. Хелстрома

Исходя из общего принципа чем больше априорной информации ис-
пользуется при обработке сигналов, тем эффективнее обработка - для оценки
потенциальных возможностей по разрешению сигналов К. Хелстром предло-
жил рассмотреть задачу обнаружения при наличии двух детерминированных
сигналов Si и s2 с неизвестными действительными амплитудами Ег иЕ2:

y(t) - Ег5А (t) + E2s2(t) + v(t),	(3.6)

где v(t) - белый гауссовский шум наблюдения со спектральной плотностью
N0/2; без ограничения общности || = ||s2 II = 1-

Натуральный логарифм ФП при этом с точностью до константы описыва-
ется выражением

lnp(y/Ei ,Е2) = -2- J(у - EtSi - E2s2)2dt

= - 2- (J y2dt- 2E} J ysj dt - 2E2 J ys2dt +	(3.7)

4-Ej JSjdt + E2 Js2dt + 2EjE2 Js1s2dt') =

= “^"(j y2(it ~ 2E1 J ySldt ~ 2E2 J ys2dt + E1 + E2 + 2£1£,2P)<

где p = f sxs2dt коэффициент корреляции сигналов и s2.

Взяв производные (3.7) по Ег и Е2 (в отличие от описания (2.6), где Е -
комплексный вектор и не выполнены условия Коши-Римана, мы можем сво-
бодно это сделать, т. к. Ег и Е2 - действительны), приравняв их нулю, и решив
соответствующие уравнения, мы можем получить выражения для максималь-
ноправдоподобных оценок Ех и Е2:

= 1n2(f ysldt ~ Р f ys2dty>

;	(з.8)

^2 = j-T^2 (j yS2dt “ P J ySldt).

Заметим, что при p = 0 (сигналы и s2 ортогональны), обработка (3.8)
вырождается в стандартные процедуры согласованной фильтрации сигналов
и$2.

Нетрудно убедиться, что оценки (3.8) являются несмещенными:

Мра} = Е, и М{Ё2} = Е2.	(3.9)
Действительно, подстановка (3.6) в (3.8) позволяет разложить (3.8) на де-
терминированные и случайные составляющие (на примере Ё19 для Ё2 аналогич-
но):

1

(J (Е^! + E2s2 + v)Sidt - р J (Ei Si + E2s2 + v)s2dt) =

1 - p2

(Et + E2p + J vs^t — p2Ei — pE2 — p J vs2dt) =
p2) + J vs^dt - p J vs2dt} = Er + -—J v(st -

С учетом M{v} = 0, можно констатировать, что (3.9) верно.

Дисперсия случайной составляющей = f v(st — ps2)dt /(1 — р2) опре-
деляется зависимостью

м{бВ = м[ 1

((1 -

| v(sj - ps2)dt | v(Si - ps2)dt'

Nn f	- Nr\

= 2(1 - p2)2 J (S1 “ pS2) dt = (1 - p2)’

(3.10)

Следует заметить, что дисперсия Ё2 также определяется выражением
(3.10).

Таким образом, оценки (3.8) для рассматриваемой задачи обнаружения
детерминированных сигналов имеют независимые гауссовские распределения с
математическими ожиданиями (3.9) и дисперсиями (3.10). При этом в отсутст-
вии целей соответствующие математические ожидания равны нулю. Стандарт-
ный подход к обнаружению по критерию Неймана-Пирсона, заключающийся в
сравнении Et и Ё2 с порогом т|, определяемым требуемым уровнем ложных
тревог позволяет записать выражения для вероятности ложной тревоги F и ве-
роятности правильного обнаружения D по каждой цели:

(ЗЛО

1 + Фл ( 1(1 - p2)(F2/N0) ) - Фл (Vd-pW/AW).

где Фд(р) = ^|= ехр(—х2/2) dx - функция Лапласа.

Анализ (3.11) показывает, что кривые обнаружения в данном случае со-
ответствуют кривым обнаружения одиночного сигнала с детерминированными
параметрами при эквивалентном ОСШ по каждой цели, равном исходному
ОСШ, умноженному на величину 1 — р2. Т. е. для того, чтобы каждая цель из
состава парной обнаруживалась с теми же показателями качества, что и оди-
ночная цель, требуется повышение отношения сигнал-шум в 1/(1 — р2) раз. В
частном случае ортогональных сигналов и р = 0 получаем известные кривые
обнаружения для детерминированных сигналов.

Рассмотрим более сложный, но более интересный для практики случай,
когда обнаружению подлежат два сигнала с гармоническим заполнением,
имеющие помимо неизвестных действительных амплитуд случайные равно-
мерно распределенные начальные фазы. В этом случае входное воздействие
может быть выражено через комплексные огибающие сигналов:

y(t) = E1Re[51(t)e>,D«t+i<i,i] + E2Re[S2(t)e'“ot+»<i>2] + v(t),	(3.12)

где Si(t) и 52(0 ~ нормированные комплексные огибающие сигналов; щ0 -
круговая частота гармонического заполнения; (pi и <р2 - их начальные фазы.

Обозначим через У(Г) комплексную огибающую наблюдаемого сигнала
у, а фу его начальную фазу.

С учетом того, что 2 f ystdt = Re[J Y*SidtexpQcpj — j(py)], выражение
(3.7) приобретает вид:

InpCy/Ej, E2, <Pi, <p2) = -	(0,5 J Y2dt -

-Re[Ei J Y*Stdt expQcpj - j<pr) + E2 J y’52dtexp(j<p2 - j<Pr) “

—E1E2ecosE'(kp2 — <pi)] + Ff + E2),	(3.13)

где p = f S{S2dt коэффициент корреляции комплексных огибающих сигна-
лов.

Усредняя (3.13) по неинформативным случайным начальным фазам <р2 и
<Р2^

2п

р(у/Е1,Е2) =	p(y/₽i ,E2,<pi,<p2)d<p1d<p2,	(3.14)

о

можно получить зависимость для ФП только от амплитуд Ег и Е2. При этом
можно использовать известное соотношение /02к еХСО5^ф“ф0^(р/2п =/0(х), а
также удобное в рассматриваемом случае свойство модифицированной функ-
ции Бесселя нулевого порядка /0 (х) заключающееся в том, что 1п/0 (х) ~ х —
const при х > 2.

Не приводя здесь подробных объемных выкладок, заметим лишь, что
способом аналогичным рассмотренному можно получить выражения для иско-
мых оценок амплитуд сигналов [19]:

= lT^I/	K*52dt|;

е2 =	1/ Y’szdt ~ е J у ’-S dt| :
Сравнение (3.15) и (3.8) позволяет констатировать непринципиальные и
естественные с радиотехнической точки зрения отличия в технической органи-
зации способа вычислении оценок амплитуд в рассматриваемых случаях.

Можно показать [19], что распределения оценок (3.15) в случаях отсутст-
вия и наличия сигнала с фиксированной амплитудой являются рэлеевским и
обобщенным рэлеевским соответственно:

pfFi/Fj = 0) = Дехр(-

аш \ 2ош/ ~	(3.16)

* 0) =ТЗ-ехР------JT2—

иш \ ^иш / иш

где Ощ = Оо/(1 ~ Q2) “ параметр закона распределения Рэлея при разрешении
парной цели; - параметр закона распределения Рэлея при отсутствии целей,
равный аналогичному параметру для случая обнаружения сигнала одиночной
цели со случайной начальной фазой.

Таким образом, и в случае обнаружения сигналов со случайными началь-
ными фазами кривые обнаружения будут соответствовать кривым обнаружения
ч*	2

одиночной цели, рассчитанным с учетом того, что параметр Ощ увеличивается
на величину 1/(1 — Q2), т. е. сдвинуты вправо на 1/(1 — р2).

Следует отметить, что последнее распределение может иметь и «более
экзотический» вид в случае, если рассматривается задача обнаружения сигна-
лов со случайными амплитудами. Однако это не имеет принципиального значе-
ния и для сравнительной оценки эффективности различных методов разреше-
ния на первом этапе можно использовать модели сигналов с фиксированными
амплитудами.

Из анализа (3.16) следует важнейший вывод о том, что для парной цели
потенциальные возможности по ее разрешению определяются значением
1/(1 — р2). Заметим, что это значение равно значению функции неопределен-
ностей, введенной нами в первом разделе. Во втором томе монографии мы по-
лучим более общую закономерность, характеризующую связь функции неопре-
деленностей с потенциальной разрешающей способностью радиолокатора.

Т. к. значение |р| для парной цели полностью определяет значение функ-
ции неопределенностей, то рассчитаем зависимости предельно возможной веро-
ятности правильного обнаружения цели из состава парной от отношения сигнал-
шум для различных значений |р|, т. е. построим кривые обнаружения отдельных
целей из состава парной для различных |р| при допустимых уровнях ложных
тревог F (рисунки 3.3-3.4). Уровни ложных тревог выбраны 510'5, КГ4 и 0,05.
Первые два уровня соответствуют расчетным характеристикам, приведенным в
[23] и [19], последний - более характерен для практических задач (в отличие от
задачи обнаружения для задачи разрешения требования к уровням ложных тре-
вог можно несколько ослабить). Обсуждение последнего тезиса оставим без про-
должения, отметим лишь, что большинство исследователей в области сверхрэле-
евского разрешения также принимают этот уровень в диапазоне 0,01-0,1.
Вероятность правильного обнаружения	Вероятность правильного обнаружения

Рисунок 33 Кривые обнаружения отдельных целей из состава парной для различных |р|
при допустимых уровнях ложных тревог F
Рисунок 3.4 - Кривые обнаружения отдельных целей из состава парной для различных |р|
при допустимых уровнях ложных тревог F=0,05

Таким образом, рисунки 3.3-3.4 характеризует предельные возможности
радиолокатора по разрешению парной цели при фиксированных эффективных
поверхностях рассеяния отдельных целей (последнее непринципиально).

Из рисунка 3.4 следует важный вывод, что сверхрэлеевское разрешение
может быть достаточно эффективно и не обязательно должно требовать «за-
предельных» отношений сигнал-шум.

Для конкретизации полученных результатов здесь следует сделать неко-
торую оговорку. При проведении расчетов для рисунков 3.3- 3.4 для сходимо-
сти результатов к результатам, приведенным в [19] под отношением сигнал-
шум как ив [19] понималось отношение квадрата пика отклика схемы согласо-
ванной обработки на сигнал одиночной цели к параметру Ощ (который, кстати,
строго говоря, не равен дисперсии шума при его рэлеевском распределении).
Как известно, что при этом пик отклика на сигнал цели пропорционален ампли-
туде сигнала с гармоническим заполнением, а физически энергия сигнала с
гармоническим заполнением пропорциональна половине квадрата амплитуды.
Поэтому часто [60 и др.] при построении кривых обнаружения делят исполь-
зуемое выше отношение сигнал-шум на два, что эквивалентно смещению полу-
ченных кривых «влево» на 3 дБ.

В заключение следует отметить, что в [19] рассмотрены также характери-
стики линейных фильтров, реализующих (3.8) и (3.15), однако при ориентации
на современную цифровую обработку сигналов в радиолокаторах, данные во-
просы несколько теряют свою актуальность и здесь не рассматриваются. Отме-
тим лишь, что из (3.8) и (3.15) следует, что все математические операции для
получения оценок могут быть организованы по выходу стандартной согласо-
ванной обработки.

И, наконец, основной вопрос, возникающий при сравнении рисунков 3.3-
3.4 и данных по заметно более низкой эффективности методов сверхразреше-
ния, приведенных в предыдущем подразделе насколько реальная разрешаю-
щая способность радиолокатора может приблизиться к потенциальной? Какие
факторы и закономерности обуславливают степень этого приближения? Час-
тично ответ на эти вопросы будет дан во втором томе монографии.
Раздел 4

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
ДЛЯ РАЗРЕШЕНИЯ ГСЦ

4.1 Использование оценок корреляционных матриц для
разрешения сигналов на интервале когерентного зондирования.

Общее и частное в известных подходах

Кратко проанализированы принципы, сущность, общие и
отличительные стороны основных методов спектрального
оценивания. Отмечены особенности их применения к задаче
разрешения ГСЦ. Подчеркнуто основное отличие методов
спектрального оценивания от когерентных методов, «похожих на
метод максимального правдоподобия», рассмотренных в
предыдущих разделах

Чрезвычайно сложно охватить все стороны, особенности и нюансы такой
обширной теории как теория спектрального оценивания, тем более, что бук-
вально за последние десятилетия рост количества публикаций по данной тема-
тике принимает лавинообразный характер [например, 3-6, 9-12, 14, 21-22, 28-
29, 43, 48—49, 64-70, 72-75, 78-82]. Каждый исследователь, пытаясь внести
свой вклад в развитие методов обработки сигналов, используя авторские обо-
значения для фигурирующих в его, часто сугубо прикладном, исследовании ве-
личин, зачастую не утруждает себя анализом возможности обобщения рассмат-
риваемой им задачи до уже решенной и предлагает определенный подход к ее
решению, четко не объяснив, чем отличается постановка его проблемы от из-
вестных, и как соотносится предлагаемый подход с более общими методами,
наличествующими в науке. Вместе с тем, напротив, своего рода «объединяю-
щих» работ, которые бы вскрывали базовые принципы и закономерности спек-
трального оценивания, их связь с другими теориями и методами оценивания
сигналов и систем, в настоящее время катастрофически не хватает. Можно кон-
статировать, что на современном этапе, отсутствует общепризнанная трактовка
всех методов теории спектрального оценивания с каких-либо единых позиций.
Каждый специалист, занимающийся этой тематикой имеет свое, зачастую не-
примиримо отличающееся от других видение внутри- и внетеоретических свя-
зей в данной области и смежных областях науки.
Автор монографии, излагая некоторые свои взгляды на данную пробле-
матику, также не претендует на их полноту и, тем более, что эти взгляды будут
являться истиной в последней инстанции. Целью данного раздела не являлось
изложение некоторого руководства по спектральному оцениванию. Предлагае-
мая в данном разделе некоторая систематизация известных направлений спек-
трального оценивания больше ориентирована на фиксацию основных принци-
пов обработки, чем на алгоритмическую завершенность приводимых аналити-
ческих выражений, описывающих эту обработку. В связи с этим в разделе
умышленно опущено описание алгоритмов обработки, позволяющих сократить
вычислительные затраты при реализации того или иного подхода.

Можно сказать, что целью раздела является выявление теоретической
связи (или теоретических отличий) основных методов спектрального оценива-
ния с задачей разрешения ГСЦ и «подобными» максимально правдоподобным
процедурами, изложенными в предыдущих разделах.

Предлагается не останавливаться здесь на истории развития теории спек-
трального оценивания и на соответствующей библиографии в связи чрезвычай-
ным ее объемом (к сожалению, в основном, это будут зарубежные ученые).
Фамилии исследователей, предложивших рассматриваемые подходы, мы будем
упоминать по мере продвижения нашего анализа (естественно при этом, не
претендуя на охват всех ученых, занимавшихся тем или иным вопросом).

Интересный экскурс в историю вопроса, по мнению автора монографии,
читатель может найти в известной статье Э. А. Робинсона [41].

Естественно, что как исторические аспекты, так и детальное описание
различных методов, способов и алгоритмов рассматриваемой теории можно
найти в ставшей классической работе С. Л. Марпла-мл. «Цифровой спектраль-
ный анализ и его приложения» [37].

Среди более поздних обзорных отечественных публикаций можно выде-
лить работы группы авторов [21] и [30].

К каждому из указанных изданий прилагается обширный список ссылок
на оригинальные источники, в которых можно разобрать тот или иной подход в
терминологии и обозначениях автора.

Кстати, несколько слов о термине «спектр». В рассматриваемой теории
он понимается в самом общем смысле: как совокупность собственных значений
линейного оператора или матрицы. В основном это спектральные свойства кор-
реляционной функции (матрицы) наблюдаемого сигнала или ее оценки. Но, как
мы увидим ниже, для методов теории спектрального оценивания важны не
только и не столько собственные числа, сколько собственные функции или век-
торы.

Начнем свой анализ спектральных принципов обработки сигналов с про-
стого примера оценки параметров синусоиды, наблюдаемой на фоне белого
шума. Так как принципы извлечения информации на простых примерах имеют
простой вид, а формальное усложнение задачи, не меняя принципов, приводит
лишь к более громоздкой аналитике, то такой прием кажется автору моногра-
фии наиболее логичным.
Итак, пусть наблюдаемый сигнал у представляет собой синусоиду (точ-
нее экспоненту) с неизвестными комплексной амплитудой Е и круговой часто-
той со: y(t) = Eexpjoot + v(t). Шум наблюдения v на данном этапе рассмотре-
ния вопроса можно принять белым гауссовским.

Попробуем проследить основные принципы двух возможных подходов к
оценке неизвестных Е и оо: первый - байесовский, который в отсутствие апри-
орной информации вырождается в максимально правдоподобные процедуры;
второй - подход, использующий современные принципы спектрального оцени-
вания.

Пусть наблюдению подлежат к отсчетов сигнала y(tj = Eexpjootj +
+v(tj, где i = 1... к, взятых с интервалом At.

Первый подход к оцениванию приведет к процедуре вычисления корре-
ляционного интеграла (в данном случае - суммы), где в качестве опорного сиг-
нала послужит экспонента expjooonti с переменной частотой оооп:

1Д.

z(won) =-^у(^) ехр(-jaw,)-	(4Л)

1=1

Естественно, что процедуру (4.1) можно организовать с помощью дис-
кретного преобразования Фурье или быстрого преобразования Фурье с допол-
нением нулями наблюдаемой последовательности (т. е. в данном случае (4.1)
можно выполнить с помощью классического спектрального анализа).

При этом в качестве оценки частоты выступит значение оооп, соответст-
вующее максимуму модуля z:

й = argmax|z(a)on)|,	(4.2)

ш оп

а в качестве оценки комплексной амплитуды выступит само значение z:

Ё = z(to).	(4.3)

Кстати, при организации процедуры обнаружения экспоненты в шуме
модуль (4.3) будет сравниваться с порогом, определяемым уровнем ложных
тревог.

Т. е. процедура (4.1)-(4.3) является простейшим примером стандартной
процедуры обнаружения и измерения параметров эхосигнала одиночной цели,
применяемым в радиолокаторах. При этом хорошо известными являются сле-
дующие факты:

а)	обеспечивается состоятельность, несмещенность и эффективность оце-
нок (4.2) и (4.3);

б)	отношение сигнал-шум на выходе схемы (4.1) в точке максимума или
соотношение сигнальной и шумовой составляющей в оценке (4.3) является
максимальным для всех возможных процедур обработки сигналов;

в)	при сравнении модуля (4.3) с порогом обеспечивается максимально
возможная вероятность правильного обнаружения при ограниченном сверху
уровне ложных тревог.
О разрешающей способности (4.1)-(4.3) говорить бессмысленно, т. к. за-
дача разрешения при организации (4.1)-(4.3) не ставилась и не использовались
подходы, описанные во втором и третьем разделах.

Вместе с тем оценку параметров экспоненты можно организовать не-
сколько иначе, основывая обработку наблюдаемого сигнала на методах совре-
менного спектрального оценивания.

Ориентируясь, как и прежде, на обработку одной экспоненты в шуме,
спектральное оценивание ее параметров можно осуществить на основе оценки,
например, корреляционной матрицы соседних отсчетов наблюдаемого сигнала
размера 2x2: Ryy = М{УТН}, где Y = [yfo) y(ti+i)]T-

Для повышения наглядности вначале рассмотрим вид такой корреляци-
онной матрицы в отсутствие шума наблюдения:

Луу=я4 1 ехрНф)]
™ Lexpjcp 1 J
где <р = wAt - введенный для сокращения обозначений фазовый сдвиг между
соседними отсчетами, зависящий от частоты экспоненты.

Так как в наблюдаемом сигнале присутствует только одна экспонента и
соседние отсчеты линейно зависимы (размерность сигнального пространства
равна единице), то матрица Ryy является вырожденной (ее ранг равен единице,
а определитель равен нулю) и имеет только одно отличное от нуля собственное
число 2Е2. Соответствующий этому собственному числу собственный вектор
V = [ехр(—j(p) 1]т (напомним, что шумом наблюдения пока мы пренебрега-
ем).

Итак, мы видим, что в корреляционной матрице (4.4) содержится инфор-
мация о параметрах наблюдаемой экспоненты, или, иначе - характеристические
свойства R^ определяются параметрами интересуемой нас экспоненты.

Какие же основные приемы извлечения полезной информации из оценок
корреляционных матриц используются в теории спектрального оценивания?

В процедурах оценки частоты или получения так называемых псевдо-
спектров [37 и др.] часто используется следующее очевидное с геометрической
точки зрения свойство корреляционных матриц. Если мы возьмем какой-либо
вектор V1, ортогональный сигнальному пространству, натянутому на сигналь-
ные собственные вектора Ryy, т. е. принадлежащий, так называемому, шумово-
му пространству (которое, как и сигнальное, является подпространством про-
странства наблюдения), то он будет ортогонален (с точностью до шума наблю-
дения):

а)	наблюдаемому сигналу -

(ГЛ1) = ^“И1 = 0;	(4.5)

б)	опорному вектору son(a)on) = expja)nn^ с переменной частотой О)оп, в
случае, если оооп — оо -

(SonC^.K1) = [expjwtf expjwti+1]H7± = 0;	(4.6)
в)	самой корреляционной матрице (4.4) -

(RyyfV1)=RyyV1 = 0.	(4.7)

Кстати, немного обгоняя события, укажем, что последнее уравнение (т. н.
уравнение Юла-Уолкера) в теории спектрального оценивания играет фунда-
ментальную роль.

В рассматриваемом примере, где размерность пространства наблюдения
равна двум и размерность сигнального пространства равна единице, размер-
ность шумового пространства также равна единице, и в нем существует единст-
венный вектор, ортогональный V, ((Г,Г1) = 0) это вектор
V1 = [—ехр(—j<p) 1]т. Непосредственной подстановкой этого вектора в вы-
ражения (4.5)-(4.7) можно убедиться в их справедливости.

Если первые два свойства (4.5) и (4.6) непосредственно следуют из орто-
гональности V1 сигнальному пространству, то последнее свойство (4.7) также
становится очевидным после разложения Ryy в ортогональном базисе собст-
венных векторов (сигнального V и шумового V1), где она имеет диагональный
вид:

»|[Е	»][“Н1

Напомним, что наличие шумов наблюдения приведет к приближенным
равенствам в формулах (4.5)-(4.7), но все же их можно использовать для полу-
чения спектральных оценок, что, в общем-то, и делается в спектральном оцени-
вании. Свойства (4.5) и (4.7) иногда используют для нахождения векторов шу-
мового подпространства, а свойство (4.6) используют для получения оценок
параметров (в данном случае - частоты). Иногда (4.6) записывают с использо-
ванием z-преобразованных величин, и оценку частоты находят, решая, так на-
зываемый, характеристический полином.

В ряде методов для оценки частоты используется установление факта по-
падания опорного вектора son(a)on) = [expja)onti expjo)onti+1]T в сигнальное
подпространство без использования векторов шумового. Так в ряде методов
данный факт устанавливают по близости к нулю величины (son,Ryyson) =
son^yyson‘ Без шумов наблюдения Ryy в (4.4) вырождена и мы не будем сецчас
пояснять «физику» такого подхода (ниже при более общем изложении вопроса
мы к этому вернемся).

Известны также подходы, где для определения факта попадания опорного
вектора в сигнальное пространство просто используют близость к нулю объема
системы векторов, составленных из наблюдаемых сигналов и опорного вектора.
Так, для рассматриваемого примера для оценки частоты экспоненты может ис-
пользоваться	величина	det [У son]	или

det([T son], [У son]) = detL'jJK $ОП]Н[У sOn])« Последняя величина равна
квадрату указанного объема.

Для определения размерности сигнального пространства корреляционной
матрицы наблюдаемого сигнала (с точки зрения задачи разрешения ГСЦ эта
величина определяется количеством целей, с точки зрения авторегрессионных
методов спектрального оценивания - это порядок соответствующего авторег-
рессионного фильтра) используются различные кратко указанные ниже крите-
рии, как основанные на анализе собственных чисел Ryy, так и некоторых дру-
гих величин, например (4.5). На последнем подходе мы остановимся ниже бо-
лее подробно.

Так как основными отличиями возможных наблюдаемых ситуаций от
рассмотренного примера будут размерности сигнального и шумового про-
странств, а также конкретный вид сигнальных функций (или импульсных ха-
рактеристик формирующих фильтров в авторегрессионных подходах), то ос-
новные закономерности, присутствующие в рассмотренном примере можно
обобщить и на всю теорию спектрального оценивания.

Сейчас мы сделаем одно важное замечание по рассмотренному примеру,
которое остается в силе для любых методов спектрального оценивания. Речь
идет о точностных характеристиках получаемых оценок в случае, когда обра-
ботке подлежит эхосигнал в дисперсном радиоканале на интервале когерентно-
го зондирования (простейший вариант этого случая и рассмотрен нами в опи-
санном выше примере).

Итак, важно, что оценки (4.2) и (4.3) в силу их несмещенности и эффек-
тивности обладают максимально возможными точностными характеристиками.
Вместе с тем, оценки, которые можно получить из анализа корреляционной
матрицы (4.4), а точнее из анализа матрицы данных, полученной по наблюдае-
мой выборке входного сигнала, такими свойствами не обладают. И это принци-
пиально.

Конечно, если бы мы знали точно вид (4.4), то мы бы знали точно и пара-
метры оцениваемого сигнала (вопрос об однозначности измерений пока опус-
каем). Однако нам доступна только оценка Ryy, которая в простейшем случае
получается путем усреднения произведений соответствующих отсчетов наблю-
даемого сигнала (что сродни некогерентному накоплению в радиолокации).
При этом наблюдаемый сигнал разбивают на выборки, которые часто делают
даже перекрывающимися, видимо пытаясь извлечь максимум информации из
одних и тех же отсчетов. В любом случае, шум наблюдения входит в оценку
Ryy в «нежелательном» виде - сочетая в себе мультипликативные и аддитивные
составляющие и приобретая зачастую достаточно «причудливые» формы, что
приводит как к появлению смещенности, так и к падению эффективности оце-
нок [1, 4]. К тому же и шум наблюдения в общем случае является коррелиро-
ванным или окрашенным, что еще более затрудняет положение [37, 75].

С учетом того, что даже сам С. Л. Марпл-мл. в своей книге [37] не пре-
тендовал «... на глубокий статистический анализ излагаемого материала...», то
мы здесь также нс будем получать никаких аналитических соотношений, харак-
теризующих снижение точности спектрального оценивания относительно мак-
симально правдоподобного в задаче разрешения ГСЦ. Здесь читателю можно
порекомендовать работы С. М. Кея, а также публикации [4, 43 и др.]. Отметим
лишь некоторые принципы, позволяющие повысить качество оценок при фор-
мировании матрицы наблюдаемых данных. И еще раз подчеркнем, что именно
способ формирования матрицы данных для получения оценки корреляционной
матрицы во многом определяет эффективность спектрального оценивания (мо-
жет быть, даже в большей степени, чем используемый метод).

Так как точностные и им соответствующие энергетические потери (по-
вышение требований к ОСШ) при спектральном оценивании сродни потерям
при некогерентном накоплении по сравнению с когерентным, то для задачи
разрешения ГСЦ они будут менее значительны при меньшем количестве отсче-
тов наблюдаемых данных. Снижения количества отсчетов при сохранении вре-
менной протяженности и энергетических характеристик выборки можно дос-
тигнуть, например, используя предварительную когерентную обработку с про-
реживанием данных выборки [см. 43].

Кстати, такая обработка может также позволить факторизовать сигналь-
ное пространство на ортогональные подпространства меньшей размерности,
что также повышает эффективность спектрального оценивания. Речь идет о си-
туациях, когда в наблюдаемом сигнале присутствуют ортогональные группы
неортогональных сигналов, т. е. несколько групп целей, прекрасно разрешае-
мых между собой и стандартной обработкой, но трудноразрешаемых внутри
групп. За счет предварительной их когерентной «расфильтровки» задачу можно
свести к нескольким независимым задачам разрешения в каждой группе, а за-
одно и отстроиться, например, от маскирующих пассивных помех.

Также не стоит неоправданно завышать размерность формируемой кор-
реляционной матрицы. Конечно, матрица более высокого порядка позволяет
разрешить большее количество целей, однако при этом могут резко возрастать
требования к ОСШ.

Конечно, для строгого обоснования приведенных выше и других правил
формирования матриц данных при спектральном оценивании требуются серь-
езные дополнительные исследования вероятностных характеристик получае-
мых при этом оценок.

Заметим, что мы не говорили сейчас о разрешающей способности рас-
сматриваемых подходов, так как в случае, например, наблюдения нескольких
синусоид (или каких-либо других типов сигналов) первый подход требовал бы
для организации обработки наблюдаемого сигнала привлечения методов, опи-
санных во втором и третьем разделах монографии, или подхода, который будет
предложен во втором томе монографии. Вместе с тем, вопрос о полноценном
или максимально эффективном разрешении ГСЦ методами спектрального оце-
нивания в настоящее время также остается открытым. В следующем подразделе
приводятся некоторые оценки разрешающей способности отдельных, по мне-
нию автора монографии, наиболее эффективных для решения указанной задачи
методов спектрального оценивания. Хотя, вообще говоря, указанный вопрос
требует более глубоких и объемных исследований.

Рассмотрим несколько более общее описание, а также общие и частные
стороны различных известных методов спектрального оценивания, а также не-
которых методов теории многоканального анализа.
Модель наблюдения у в достаточно общем виде можно записать анало-
гично (2.1):

у = 5(a)F + v,	(4.8)

где, также как и в (2.1), S(a) = [s(«i) s(a2) ...$(0^)] - матрица функций (или
всктор-функций s) известного вида, зависящих от вектора a — [a{ a2 ...
неизвестных фиксированных на интервале наблюдения параметров.

Отличием (4.8) от (2.1) будет то, шумы наблюдения v некоррелированы:
0(t, t') = M{v(t)vH(t')} = N05(t - t').

Несколько замечаний по поводу наблюдения у и вектора Е. Вид модели
наблюдения в форме линейного преобразования (4.8), в основном охватываю-
щий все методы спектрального оценивания, выбран для удобства пояснения
особенностей применения того или иного подхода к задаче разрешения ГСЦ.
Однако, естественно, что постановочная часть некоторых методов имеет неко-
торые свои отличительные особенности, которые мы будем оговаривать от-
дельно по ходу изложения материала.

Так наблюдение у может быть скалярной, вектор-функцией времени, а
может быть и вектором. При этом, в более общем случае, вектор Е состоит из
случайных во времени взаимнонекоррелированных стационарных функций с
корреляционной матрицей M{E(t)FH(t )} = Р диагонального вида с элемента-
ми Pt(t — t ), а может представлять собой просто вектор, состоящий из фикси-
рованных неизвестных комплексных величин, либо отсчетов дискретного бело-
го гауссовского шума и корреляционной диагональной матрицей М{£’£н} = Р,
где Pi = const.

Корреляционная матрица (4.8) в силу невырожденности 0 также невыро-
ждена и имеет вид

Ryy = S(a)P5(a)H + 0 = ИАУН,	(4.9)

где V - матрица ортонормированных собственных функций (векторов) Ryy, а
А - диагональная матрица положительных собственных чисел At- (спектр) Ryy.

В дальнейшем для сокращения частных оговорок функцию в гильберто-
вом бесконечномерном пространстве также как и в случае конечномерного ли-
нейного пространства будем называть вектором.

Всю совокупность собственных векторов разделяют на сигнальные Vts
(принадлежащие подпространству, натянутому на s(at) s(a2) •s(an)) и шумо-
вые V? (принадлежащие шумовому подпространству, которое ортогонально к
сигнальному). Первые образуют матрицу Vs, вторые - V\ И если собственные
числа, соответствующие шумовым собственным векторам, обозначить через
Av , то сигнальным собственным векторам будут соответствовать собственные
числа Af + Av , где Af - составляющая собственного числа, обусловленная нали-
чием полезного сигнала.

Таким образом, (4.9) можно переписать в виде
Ryy = ysAs+v(ys)H + Xv yv(yv)H?	(4,10)

где As+v - диагональная матрица с элементами Af + Av .

Закономерности (4.5)-(4.7) при этом сохраняют свою форму. Так, ес-
ли V1- любой вектор, принадлежащий шумовому подпространству, то:

а)	он ортогонален наблюдаемому сигналу (опять же, в пренебрежении
шумами наблюдения) -

(У/у1) = 0;	(4.11)

б)	он ортогонален вектору son = s(aon), в случае, если последний, при-
надлежит сигнальному подпространству (в частности, для «хороших» s, это
выполняется только при аоп = cq, аоп = а2... аоп = ап)-

(son, И1) = 0;	(4.12)

в)	найти множество таких векторов можно, решив уравнение Юла-
Уолкера:

{Ryy/V1) = 0,	(4.13)

хотя в последнем случае выгоднее решать уравнение (VsAs+v(Hs)H, V1) = 0 или
просто (УЛ V1) = 0, так как при этом шумы наблюдения окажут меньшее влия-
ние на результат. Действительно, из (4.10) следует, что строгой принадлежно-
сти решения (4.13) шумовому подпространству можно достигнуть только убрав
из (4.10) второе слагаемое (и, естественно, ошибки оценивания Ryy).

Обсудим несколько более подробно отмечавшуюся выше близость к ну-
лю величины {son,Ryy son), в случае, если son попадает в сигнальное подпро-
странство.

Ортонормированность базиса собственных векторов позволяет достаточ-
но просто записать выражение для матрицы, обратной к корреляционной:

Ryy = VsQV+v)"1(^s)H + VV(VV)H/AV .	(4.14)

В случае, если son попадает в сигнальное подпространство, второе сла-
гаемое (4.14) обнуляется автоматически. Вместе с тем, если son, в основном,
имеет составляющие, коллинеарные с каким-либо сигнальным собственным
вектором Vf, то первое слагаемое близко к значению УДЦ5)Н/(А? + Av ), что
при Af » Av будет устремляться вниз и давать пики при построении псевдо-
спектра l/{son,Ryyson). Следует повторить, что для «хороших» s условие попа-
дания son в сигнальное подпространство выполняется только при аоп = а1?
аоп = а2 • • • аоп = ап • В данной монографии анализу влияния вида s на одно-
значность спектральных оценок мы не будем уделять больше внимания. Ука-
жем лишь, что для конкретной задачи неопределенность оценивания в широком
смысле можно проанализировать в т. ч. и по поведению введенной в первом
разделе функции неопределенностей 1/|(5,5)|.
Перейдем к краткому анализу общих и отличительных черт различных
методов спектрального оценивания и «примкнувших к ним» методов теории
многоканального анализа.

К первой анализируемой группе методов спектрального оценивания отне-
сем авторегрессионные методы, основанные на решении уравнения Юла-
Уолкера (4.13) [84, 37]. При этом постановочная часть задачи, на решение кото-
рой направлены эти методы, прямо увязывает решение V1 уравнения (4.13) с
искомыми параметрами.

Наблюдение у для данной группы методов представляет собой вектор,
составленный из отсчетов сигнала на выходе формирующего авторегрессион-
ного фильтра, на вход которого подан дискретный белый гауссовский шум.

Если в (4.8) вектор Е составить из отсчетов такого шума, векторы в
матрице S принять равными первым отсчетам импульсной характеристики
формирующего фильтра, сдвинутой на i отсчетов, то модель наблюдения (4.8)
будет соответствовать выходу дискретного (повально называемого цифровым)
фильтра с импульсной характеристикой s = [So s2 — ]т:

гУ°]	ро	0	0	0	...I	rF°l
У1	S1	So	0	0 ...	Ei
У2	= s2	Si	So	0	E2 + v,	(4.15)
Уз	S3	S2	51	s0	Ез

В данном случае параметр ап соответствует известному временному
сдвигу s на один отсчет, однако подчеркнем, что сама импульсная характери-
стика фильтра s является неизвестной величиной, подлежащей оцениванию.

Естественно, что в случае формирующего фильтра с бесконечной им-
пульсной характеристикой задача ее оценки в общем случае требует стремяще-
гося к бесконечности наблюдения и, судя по всему, неразрешима. Однако для
известного класса фильтров, описывающихся конечными разностными уравне-
ниями

Р	я

аоУп = - Ч1Уп-1 + biEn-t	(4.16)

i=l	i=0

решение упрощают, что можно пояснить, используя выражения (4.11)-(4.13).

Задаваясь некоторым порядком р авторегрессионной части формирующе-
го фильтра, можно заметить, что вектор V1, составленный из авторегрессион-
ных параметров at модели формирующего фильтра, удовлетворяет (4.11). Дей-
ствительно, условно обнулив q + 1 последних отсчетов входного сигнала в
уравнении (4.16), получим (4.11):
р

= 0.
Обнуление входного сигнала допустимо, т. к. (4.16) справделиво для лю-
бого входного сигнала, в т. ч. и равного нулю на некотором временном интер-
вале. При этом выполнение (4.11) для любого у гарантирует принадлежность
У1 шумовому подпространству, а в случае, если размерность корреляционной
матрицы выбрана соответствующей порядку авторегрессионной части фильтра,
то решение базового для рассматриваемых методов уравнения Юла-Уолкера
(4.13) гарантирует и его единственность.

Данный подход в несколько иной постановке охватывает так называемые
методы линейного предсказания, во многом связанные с именем ученика Нор-
берта Винера Н. Левинсона [76, 77], а также при не очень обременительных до-
пущениях и метод максимальной энтропии Дж. Берга [66], что достаточно де-
тально рассмотрено С. Л. Марплом-мл. в [37].

Построение псевдоспектра в таких методах, как правило, осуществляют
на основе (4.12) и приравнивают псевдоспектр величине, обратно пропорцио-
нальной (son, V1)2.

Следует отметить, что С. Л. Марплом-мл. в [37], ссылаясь на [75], отме-
чает, что шум наблюдения «... приводит к ухудшению характеристик разреше-
ния авторегрессионных спектральных оценок» и преодоление возникающих
при этом противоречий не всегда сопровождается успехом.

Для трансверсального формирующего фильтра, когда в (4.16) авторегрес-
сионные параметры равны нулю (с^ = а2 = ••• = Ор = 0), импульсная характе-
ристика s = [b0 bi ... bq]T конечна и задача ее нахождения в существенно
большей степени соответствует задаче разрешения ГСЦ. Анализ рассматривае-
мой модели наблюдения позволяет заключить, что признаком для оценивания
такой импульсной характеристики является ее принадлежность сигнальному
пространству.

Одним из наиболее известных методов оценки коэффициентов форми-
рующего трансверсального фильтра при дополнительных ограничениях являет-
ся метод высокого разрешения Дж. Кейпона (называемый также методом ми-
нимальной дисперсии или максимального правдоподобия) [31, 32]. Ограниче-
ниями является то, что коэффициенты фильтра при этом оптимизируют так,
чтобы фильтр не ослаблял сигнал с заданными параметрами (в качестве которо-
го, часто принимают экспоненту) и минимизировал выходной шум. Вообще го-
воря, такие ограничения несколько не соответствуют задаче разрешения, и мно-
гие исследователи отмечают относительно низкую разрешающую способность
данного метода [30, 37 и др.]. Псевдоспектр по Дж. Кейпону обратно пропор-
ционален величине (sOII, RyySou), близость к нулю которой уже обсуждалась.

К одним наиболее эффективных представителей спектрального оценива-
ния относят широко известные методы, максимально опирающиеся на разло-
жение (4.14). Это группа методов MUSIC (multiple signal classification), ROOT-
MUSIC, EV (eigenvector) и т. п. [30, 37 и др.].

В этих методах псевдоспектр строится обратно пропорционально взве-
шенной сумме квадратов (4.12) для всех собственных векторов шумового под-
пространства. Причем, если для метода MUSIC все веса равны (единице), то
для EV они обратно пропорциональны соответствующим собственным числам,
что по мнению ряда авторов способствует снижению «...ложных спектральных
пиков...» [73].

В случае, если размерность пространства наблюдения лишь на единицу
превышает размерность сигнального подпространства (размерность шумового
подпространства равна единице), можно говорить о группе методов, типичным
представителем которых является известный с 1795 года метод Гаспара Рише
(барона де Прони) [37].

В рассматриваемом случае существует только один вектор шумового
подпространства, который в зависимости от модификации метода находят либо
из нескольких (4.11), либо из (4.13). Для оценки параметров разрешаемых сиг-
налов находят решение (4.12). Уравнение (4.12) при этом в ряде случаев (на-
пример, когда наблюдаются экспоненты) имеет аналитическое решение.

К последней группе методов вплотную примыкает метод гармонического
разложения В. Ф. Писаренко [81], а также современные методы теории много-
канального анализа: так называемый, метод нормирования сигнала к амплиту-
дам его компонент, предложенный В. В. Абраменковым [6], в более общем ви-
де изложенный Ю. И. Савиновым как обобщенный метод Прони или метод
фиктивного источника [27].

Особенностью методов теории многоканального анализа является то, что
в модели наблюдения матрица 5 состоит не из нормированных комплексных
огибающих эхосигналов целей, а из значений функций отклика многоканально-
го анализатора, например, системы согласованной или когерентной обработки,
что, в принципе, не меняет модель наблюдения (4.8). В остальном общая схема
оценивания соответствует вышеописанной схеме, характерной для группы
Прони.

Рядом авторов [3, 5 и др.] отмечалась низкая относительная эффектив-
ность методов Прони, однако однозначный вывод на этот счет делать прежде-
временно. Как отмечалось в начале раздела, существенное влияние на эффек-
тивность методов спектрального оценивания оказывает способ формирования
матрицы данных-оценки корреляционной матрицы. Данные вопросы более глу-
боко исследованы в работах Ю. И. Савинова [см., например, 43].

Необходимо добавить, что принимаемая в различных методах спектраль-
ного оценивания размерность сигнального пространства (порядка модели) мо-
жет и не совпадать с истинной его размерностью, что требует отдельных крите-
риев уточнения порядка моделей (для задачи разрешения - количества целей).
Детальный анализ принципов и критериев выбора порядка модели в методах
спектрального оценивания требует отдельного обсуждения. С. Л. Марпл-мл. к
основным таким критериям относит: критерии Акаике - окончательная ошибка
предсказания [64—65] и информационный критерий [74]; их модификация Дж.
Риссаненом - длина минимального описания [82] и критерий Парзена. Сам
С. Л. Марпл-мл. отмечает, что на практике эффективность данных критериев
мало отличается друг от друга и не один из них не обладает приемлемой разре-
шающей способностью [37].

Исследованию данных вопросов, а также других статистических законо-
мерностей, присутствующих при спектральном оценивании посвящена класси-
ческая монография Пристли [41].

Здесь также можно отметить возможность использования известных кри-
териев: Кайзера, критерия каменистой осыпи Кеттела и других, используемых в
статистических методах факторного анализа, по многим позициям, пересекаю-
щихся с методами спектрального оценивания.

Как показали проведенные исследования, одним из практически эффек-
тивных подходов к определению размерности сигнального пространства явля-
ется, так называемый, компенсационный метод, предложенный
В. В. Абраменковым, который основан на использовании (4.11). Описанию и
сравнительной оценке эффективности этого подхода посвящен следующий
подраздел.
4.2 Компенсационный метод разрешения ГСЦ

Кратко описан характеризующийся высокой практической
эффективностью и устойчивостью компенсационный метод
разрешения ГСЦ, предложенный В. В. Абраменковым. Приведены
некоторые сравнительные оценки его разрешающей способности

Теория многоканального анализа, заложенная В. А. Варюхиным [18], как
указывалось в предыдущем подразделе, в качестве одной из отличительных
особенностей имеет то, что в модели наблюдения (2.1) или (4.8) матрица 5, как
правило, состоит не из нормированных комплексных огибающих эхосигналов
целей, а из значений функций отклика многоканального анализатора, например,
системы согласованной или когерентной обработки. Естественно, что с матема-
тической точки зрения это принципиально не меняет модель наблюдения, од-
нако с точки зрения технической реализации такой подход позволяет использо-
вать методы спектрального оценивания «по выходу» стандартной когерентной
обработки. При этом сигнальное подпространство оказывается натянутым не на
векторы $(00 s(a2) ...s(an), соответствующие нормированным комплексным
огибающим эхосигналов отдельных целей, а на векторы /(cti)/(a2) ...f (а„),
соответствующие откликам этих сигналов в многоканальном анализаторе (ко-
торым могут быть, например, многоканальный коррелятор, алгоритм БПФ или
выход пространственной многоканальной обработки). Конечно, от замены обо-
значения s на f формально ничего не меняется, но чтобы подчеркнуть принад-
лежность описанных ниже подходов к теории многоканального анализа пере-
обозначим 5(a) = [s(at) s(a2) ...^(ап)] на F(a) = [/"(«т) /(«2) — /(On)] в мо-
дели (4.8):

y = F(a)E + v.	(4.17)

Основные методы теории многоканального анализа также как и методы
теории спектрального оценивания используют свойства (4.11)-(4.13) рассмат-
риваемой модели наблюдения.

Так, метод нормирования сигнала к амплитудам его компонент и метод
фиктивного источника основаны на поиске ортогонального сигнальному под-
пространству V1, для чего используется система линейных уравнений, состав-
ленных из (4.11) для разных реализаций наблюдения у, что в отдельных случа-
ях соответствует уравнению Юла-Уолкера (4.13). После чего, используя (4.12)
осуществляется оценка параметров af.

Самим В. А. Варюхиным в [18] также рассматривался несколько иной ме-
тод определения принадлежности son (или в новых обозначениях /оп) сигналь-
ному подпространству, работоспособный однако только при точно известной
размерности сигнального подпространства. Так, если п - известная размерность
сигнального пространства, то при дискретном наблюдении определитель
(и + 1) х (и + 1)-матрицы, составленной из п наблюдаемых сигналов и одного
т. н. фиктивного источника /оп равен с точностью до шумов наблюдения нулю
только при попадании /оп в сигнальное подпространство. Такой подход имеет в
основе известное свойство, что в n-мерном пространстве существует только п
линейно независимых векторов. При «хороших» f это означало равенство аоп
параметров эхосигналов одиночных целей а^.

При непрерывном наблюдении это условие преобразуется в равенство
нулю определителя матрицы Грама системы п наблюдаемых сигналов и одного
фиктивного источника fon.

Основной проблемой, как и для методов спектрального оценивания, в
теории многоканального анализа являлась проблема определения размерности
сигнального пространства (определения количества целей в составе ГСЦ).

В. В. Абраменковым был предложен подход, называемый далее компен-
сационным, позволяющий достаточно эффективно решить эту проблему.

Компенсационный метод, центральным выражением для которого явля-
ется формула (4.11):

(у,К±) = 0,	(4.18)

основан на том факте, что если размерность сигнального пространства равна п,
то для достижения строгого равенства в (4.18) достаточно того, чтобы размер-
ность пространства наблюдения равнялась п + 1. При этом обеспечивается на-
личие вектора V1, ортогонального сигнальному пространству.

Процедуру оценки размерности сигнального пространства при компенса-
ционном подходе предлагается организовывать следующим образом.

Вначале размерность пространства наблюдения принимается равной
двум. Если величина (4.18) не превышает порога, определяемого мощностью
шумов наблюдения и уровнем ложных тревог, то принимается решение о ра-
венства размерности сигнального пространства единице (наличии одной цели в
составе ГСЦ). В противном случае размерность пространства наблюдения по-
следовательно увеличивается на единицу до того момента, когда величина
(4.18) окажется меньше соответствующего порогового значения.

Принципиальным достоинством компенсационного метода является его
устойчивость к характерным для практических задач искажениям f «формы»
базисных векторов Эта устойчивость обусловлена тем, что оценка V1 орто-
гональна подпространству, натянутому на искаженные /(ot1)/(a2) ••f(an) и
выражение (4.18) верно при любых искажениях базисных векторов.

Важным достоинством компенсационного метода также является то, что
при малом количестве отдельных целей в составе ГСЦ он вырождается в доста-
точно простые в вычислительном отношении и технической реализации проце-
дуры. Некоторые из них защищены патентами [24-26].

В настоящее время данное направление является интенсивно развиваю-
щимся, и научное сообщество ждет новых результатов от школы многоканаль-
ного анализа, возглавляемой В. В. Абраменковым.

Ниже приведены некоторые сравнительные оценки эффективности опре-
деления количественного состава парной ГСЦ компенсационным методом
(КМ). Оценки были получены методом имитационного математического моде-
лирования А. В. Таракановым и Ю. И. Савиновым по методике автора (прило-
жение А).

Рассматривался случай разрешения двухточечной цели на фоне белого
гауссовского шума наблюдения для автокорреляционной функции вида
р(А) = sine А (рисунок 4.1) и автокорреляционной функции вида р(А) = 1 — |А|
(IА| < 1) (рисунок 4.2), где А - расстояние между эхосигналами целей по соот-
ветствующему параметру. Фактически моделировались следующие ситуации:
рисунок 4.1 - разрешение неизвестного количества синусоид с неизвестными
параметрами (А - частота), а также (рисунок 4.2) - разрешение неизвестного
количества импульсов с прямоугольной огибающей также с неизвестными вре-
менами запаздывания и комплексными амплитудами (А - время запаздывания).
Амплитуды эхосигналов полагались одинаковыми, начальные фазы - случай-
ными.

При моделировании первой ситуации оценки выполнены в сравнении со
стандартной одноцелевой согласованной обработкой (БПФ с дополнением ну-
лями исходной последовательности в 64 раза), а также методом MUSIC и, наи-
более эффективным из группы методов Прони, методом Прони с квазикоге-
рентным прореживанием Ю. И. Савинова [43].

При моделировании второй ситуации (рисунок 4.2) в качестве альтерна-
тивного метода разрешения выступала стандартная одноцелевая корреляцион-
ная обработка (СтО).

На рисунках 4.1 и 4.2 приведены зависимости от отношения сигнал-шум
относительных интервалов разрешения (ОИР) для вероятностей правильного
разрешения (правильного определения факта, что цель парная) Р = 0,5 и
Р = 0,8 при вероятности ложных тревог F = 0,05. Напомним, что под интерва-
лом разрешения по параметру называется такое минимальное расстояние меж-
ду эхосигналами целей по данному параметру, при котором достигаются задан-
ные показатели качества разрешения (в данном случае вероятности принятия
решений о количественном составе ГСЦ). Относительный интервал разрешения
нормируется к рэлеевскому интервалу разрешения по соответствующему пара-
метру (при р(А) = sine А и р(А) = 1 — | А| рэлеевский интервал равен единице).

Также на рисунках 4.1 и 4.2 приведены зависимости от ОСШ потенци-
альных ОИР (ПОИР), рассчитанные по методике К. Хелстрома. Внимательный
читатель может сравнить представленные результаты с данными на рисун-
ке 3.4. Для уточнения результатов укажем, что ОСШ на рисунках 4.1 и 4.2 от-
личается от ОСШ на рисунке 3.4 на 3 дБ в меньшую сторону (о причинах см.
пояснения к рисунку 3.4).

Следует напомнить, что вероятность правильного определения состава
парной цели Р=0,5 соответствует вероятности обнаружения каждой цели из со-
става пары, равной Р1(2) = *J~P « 0,7, а Р=0,8 соответствует Р1(2) « 0,9.

Анализ рисунков 4.1 и 4.2 показывает, что из рассматриваемых методов
компенсационный метод обладает максимальной эффективностью. И при
р(А) = sine А его эффективность близка к потенциально возможной.
Рисунок 4.1 — Зависимости от отношения сигнал-шум относительных интервалов разрешения
парной пели для рассматриваемых методов при р(Д) = sine Д

Рисунок 4.2 - Зависимости от отношения сигнал-шум относительных интервалов разрешения
парной цели для рассматриваемых методов при р(Д) = 1 — |Д| (|Д| < 1)
Несколько неожиданным оказалось падение эффективности компенсаци-
онного метода в случае р(А) = 1 — |Д| (|Д| < 1), при том, что потенциальные
возможности для данной автокорреляционной функции существенно возраста-
ют. Объяснение данного эффекта на данный момент отсутствует. Здесь можно
лишь указать на в принципе характерную для теории спектрального оценивания
несимметричность, выражающуюся, с одной стороны, изобилием различных
методов и алгоритмов и, с другой стороны, отсутствием, по большому счету,
теоретических закономерностей, описывающих влияние различных факторов
на эффективность того или иного подхода.

Общий вывод, который можно сделать из представленных результатов:
компенсационный метод - один из наиболее эффективных методов теории мно-
гоканального анализа и спектрального оценивания в целом, позволяющий на
порядок повысить разрешающую способность современных радиолокаторов. С
учетом простоты его технической реализации, устойчивости к искажениям па-
раметров антенных систем и приемных трактов данный метод, видимо, можно
считать лучшим в своем классе.

Как отмечал его автор: «Этот метод отличается от других тем, что он дей-
ствительно работает...».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения, которые автор хотел осветить в данной моногра-
фии, кратко можно сформулировать следующим образом.

Следует более четко позиционировать понятие «неопределенность» в ра-
диолокации - как более общее по отношению к понятиям «точность», «разре-
шающая способность» и «однозначность».

Теория Ф. М. Вудворда, основной целью которой было лишь обоснование
выбора того или иного зондирующего сигнала радиолокаторов, не накладывает
принципиальных ограничений на разрешающую способность последних (чего
нельзя сказать о полной неопределенности первичной обработки, например,
время-частотной).

Критерий разрешения, введенный Ф. М. Вудвордом, позволяет лишь оце-
нить на уровне «хуже лучше» возможность разрешения парной цели, а также
более или менее обоснованно ввести понятие функции неопределенностей для
парной цели.

Понятие функции неопределенностей, введенное Ф. М. Вудвордом, мож-
но обобщить и характеризовать неопределенность величиной, обратной к зна-
чению определителя матрицы Грама системы нормированных эхосигналов
группы целей.

Вудвордовские постоянные разрешения, которые более точно следует на-
зывать постоянными неопределенности (так как они характеризуют среднюю
неопределенность для рассматриваемой области пространства параметров),
также поддаются обобщению, позволяющему более полно исследовать вопросы
эффективности обработки сигналов групповых целей.

Обобщение понятия функции неопределенностей, например, позволяет
доказать, что с увеличением количества эхосигналов (целей) в рассматриваемой
области параметров неопределенность ситуации стремится к бесконечности,
что принципиально перечеркивает возможность извлечения информации из ра-
диолокационного сигнала даже при незначительных шумах наблюдения.

Классические способы повышения разрешающей способности приводят к
синтезу сигналов с время-частотной автокорреляционной функцией кнопочного
вида. Для импульсно-доплеровских РЛС добиться такого вида автокорреляци-
онной функции можно, например, используя в качестве зондирующего много-
частотный многопериодный сигнал.

В качестве показателей разрешающей способности радиолокатора можно
использовать: вероятности обнаружения отдельных целей в составе групповой;
вероятности принятия различных решений о количественном составе группо-
вой цели (образующие матрицу разрешения); характеристики распределений
ошибок измерения параметров эхосигналов отдельных целей в составе группо-
вой, а также характеристики их совместного распределения, например, корре-
ляционную матрицу ошибок.

При сравнении эффективности различных подходов к разрешению удоб-
но использовать расширенный критерий Неймана-Пирсона, а также такие по-
казатели как обобщенный интервал разрешения и интервал разрешения по па-
раметру, отнесенный к рэлеевскому пределу.

Способы байесовского оценивания параметров эхосигналов отдельных
целей из состава ГСЦ с известным количественным составом на этапе первич-
ной и вторичной обработки в настоящее время в существенной степени прора-
ботаны. Потенциальная точность такого оценивания определяется свойствами
матрицы Грама этих эхосигналов, а также значением введенной функции неоп-
ределенностей.

Потенциальные возможности по обнаружению целей из состава пары
можно оценить по методике К. Хелстрома. Приведенные в монографии оценки
показывают, что разрешающая способность современных радиолокаторов да-
лека от потенциально достижимой.

Среди известных автору байесовских подходов к оцениванию количест-
венного состава ГСЦ наибольшей эффективностью обладает подход, предло-
женный Л. Н. Коноваловым [35] и развитый А. Г. Аганиным [7], выливающий-
ся, в конечном счете, в процедуру сравнения с порогами значений отношений
правдоподобия для соседних гипотез о количестве целей при последовательном
увеличении размерности последних.

Использование методов спектрального оценивания в задаче разрешения
ГСЦ, большинство из которых тем или иным образом связаны с уравнением
Юла-Уолкера (которое, однако лучше записывать, исключая шумовые собст-
венные вектора корреляционной матрицы наблюдаемого сигнала), имеющим
фундаментальное значение для всей теории спектрального оценивания, также
представляется достаточно эффективным.

Основная мысль, которая выделялась в монографии при анализе различ-
ных методов спектрального оценивания, следующая. Качество спектральных
оценок связано не столько с используемым методом (так как все эти методы
используют несколько базовых соотношений), сколько со способом формиро-
вания матрицы данных, которую следует рассматривать как оценку корреляци-
онной матрицы наблюдения в уравнении Юла-Уолкера.

Проведенные исследования [24-26], а также некоторые приведенные в
монографии оценки показывают, что одним из наиболее эффективных методов
спектрального оценивания является, так называемый, компенсационный метод.
Данный метод, позволяет синтезировать простые в технической реализации и,
вместе с тем, робастные алгоритмы первичной обработки сигналов, характери-
зующиеся высокой разрешающей способностью, приближающейся к потенци-
ально возможной.
Приложение А

МЕТОДИКА
исследования эффективности алгоритмов разрешения сигналов
с помощью имитационного математического моделирования

Цель', оценка и исследование разрешающей способности (возможностей
по разрешению сигналов) различных алгоритмов обработки сигналов.

Исследуемые показатели эффективности'.

-	матрица вероятностей разрешения Р, в которой Р/у- - вероятность приня-
тия решения о наличии j сигналов в присутствии i сигналов. Размерность Р оп-
ределяется, исходя из практической целесообразности. Элементы главной диа-
гонали матрицы Р соответствуют вероятностям принятия правильных решений
о количестве сигналов и подлежат исследованию в первую очередь. Элементы,
находящиеся слева от главной диагонали, соответствуют вероятностям ’’непол-
ного” разрешения сигналов, а справа - вероятностям "ложного” разрешения или
вероятностям превышений (принятия решений о количестве сигналов, боль-
шем, чем присутствует в обрабатываемом сигнале). Вероятности превышений
следует ограничивать на оговариваемом уровне (101 ШГ3);

-	корреляционная матрица ошибок оценивания вектора параметров по-
лезных сигналов aT=[ai  an] (оценка последней осуществляется традици-
онными методами и ниже не рассматривается);

-	интервал разрешения по рассматриваемому параметру а (в общем слу-
чае векторному). Под интервалом разрешения по параметру а понимается такое
минимальное отстояние сигналов по этому параметру, при котором обеспечи-
ваются заданные матрица вероятностей разрешения и (в определенных прило-
жениях) корреляционная матрица ошибок оценивания параметров. Практиче-
ски следует задавать определенный уровень вероятностей превышений и веро-
ятности правильного разрешения (на уровне 0,5 или 0,8).

Основные исследуемые факторы, влияющие на эффективность процеду-
ры разрешения:

-	вид автокорреляционной функции по рассматриваемому параметру

-	ОСШ по каждому сигналу q2=A2k/(2D>), где А - амплитуда отдельного
сигнала; к - общее количество отсчетов полезного сигнала на интервале коге-
рентного накопления; D - дисперсия каждой квадратуры шума в отсчете вход-
ного сигнала (в частности, исследованию подлежит влияние на показатели эф-
фективности соотношения энергий разрешаемых сигналов Э^/Эу);

-	Ааотн= Ла/ба - относительное отстояние сигналов по рассматриваемому
параметру а; Ла - абсолютное отстояние сигналов по параметру а; ба - реле-
евский интервал разрешения по параметру а;

-	факторы, искажающие форму зондирующего, эхосигнала и сигнала на
выходе АЦП (конечные полосы и неидеальные АЧХ и ФЧХ трактов передачи и
приема, первичный и вторичный эффекты Доплера, отличие реальных целей от
точечного источника со стационарными параметрами, в т. ч. турбовинтовой
эффект, и т. п.).
МЕТОДИКА
оценки исследуемых показателей

Подготовительный этап

1.	Выбор типа зондирующего сигнала (параметров антенной системы)
радиолокатора.

2.	Синтез моделей смеси эхосигналов нескольких целей на фоне шума
наблюдения с возможностью задания пользователем:

а)	вектора информативных параметров каждого сигнала;

б)	ОСШ по каждому сигналу;

в)	возможности многократного повторения обработки реализаций
принятого сигнала со случайными в каждой реализации:

-	помехового фона;

-	начальных фаз эхосигналов;

-	флюктуаций параметров сигналов относительно точек, для которых
осуществляется согласованная обработка;

-	других исследуемых искажающих факторов.

1	этап

Оценка зависимости вероятности правильного разрешения от ОСШ
для различных относительных отстояний по исследуемому параметру
(построение кривых разрешения)

1.1.	Установка и контроль уровня вероятностей превышений
(уровень равен 0,1)

1.1.1.	Для каждого из ОСШ в диапазоне 10-30 дБ формируется по 500-1000
реализаций сигнала одиночной цели со случайной начальной фазой и
флюктуациями параметров сигналов относительно точек, для которых
осуществляется согласованная обработка. Установкой порогов и других
параметров алгоритма уровень вероятности превышений устанавливается
равным 0,1.

1.1.2.	То же самое повторяется для двух, трех и последующего количества це-
лей (в зависимости от максимального исследуемого числа целей).

1.2.	Оценка вероятностей правильного разрешения

1.2.1.	Для различных относительных отстояний (в диапазоне от 0 до 1) и для
каждого из ОСШ в диапазоне 10—30 дБ формируется по 500-1000 реали-
заций сигнала парной цели с равными амплитудами и со случайными на-
чальными фазами и флюктуациями параметров сигналов относительно
точек, для которых осуществляется согласованная обработка. Фиксиру-
ются вероятности правильного определения количества целей.

1.2.2.	То же самое повторяется для двух, трех и последующего количества це-
лей (в зависимости от максимального исследуемого числа целей).

1.2.3.	На диаграмме строятся зависимости вероятностей правильного разреше-
ния от ОСШ для исследуемых относительных отстояний сигналов.

1.2.4.	Пункты 1.2.1-1.2.3 повторяются при соотношениях энергий эхосигналов
3, 10, 20 дБ. ОСШ определяется по сигналу с меньшей амплитудой.

1.3.	Пункты 1.1 -1.2 повторяются при уровне вероятностей превышений 0,01
по 10000 реализаций на каждую оценку.

2	этап
Оценка относительного интервала разрешения (ОИР)
по исследуемому параметру от ОСШ

Используя графические зависимости с кривыми разрешения для выбран-
ных уровня вероятности правильного разрешения (0,5 или 0,8) и уровня веро-
ятностей превышений строится зависимость ОИР от ОСШ при различных ко-
личестве целей и соотношениях энергий разрешаемых сигналов.

3	этап

Оценка влияния исследуемого дестабилизирующего фактора
на эффективность алгоритма разрешения

Повторить этапы 1 и 2 при различных уровнях флюктуаций дестабилизи-
рующего фактора.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ источников

1.	Абраменков В. В. Измерение координат радиолокационных целей мето-
дами многосигнальной радиолокации. Смоленск: ВУ ВПВО ВС РФ, 2002. 87 с.

2.	Абраменков В. В., Климов С. А., Савинов Ю. И. Измерение дальности
до М источников вторичного излучения по перекрывающимся во времени сиг-
налам// Радиотехника, 2002. № 1. С. 32-38.

3.	Абраменков В. В. Метод Прони в задаче измерения координат источни-
ков излучения с близкими параметрами// Радиотехника, 2002. № 3. С. 37-41.

4.	Абраменков В. В. Накопление сигнала при использовании современных
методов цифрового спектрального оценивания// Радиотехника, 2002. № 12.
С. 88-91.

5.	Абраменков В. В., Жибуртович Н. Ю., Климов С. А., Савинов Ю. И.,
Чижов А. А. Оценка влияния искажений характеристик направленности эле-
ментов антенных решеток на эффективность измерения угловых координат ме-
тодом Прони// Информационно-измерительные и управляющие системы, 2005.
Т. 3. №6. С. 36-41.

6.	Абраменков В. В. Измерение угловых координат М источников излуче-
ния методом нормирования сигнала к амплитудам образовавших его источни-
ков// Авионика 2002-2004. Сб. статей / Под ред. А. И. Канащенкова. - М.: Ра-
диотехника, 2005. С. 218-221.

7.	Аганин А. Г. Разрешение сигналов по доплеровской частоте на основе
проверки статистических гипотез// Радиотехника, 2001. № 1. С. 24-29.

8.	Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряженных урав-
нений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003. 256 с.

9.	Аджемов С. С., Бокк Г. О., Зайцев А. Г., Миненко П. В., Струев А. В.
Модифицированный алгоритм пространственного разрешения источников ра-
диоизлучения SDS-MUSIC, работающий при многолучевом распространении
сигналов// Радиотехника, 2003. № 11. С. 80-82.

10.	Акимцев В. В., Гниденко И. Ю. Алгоритм разрешения-обнаружения це-
лей по дальности в обзорных РЛС// Радиотехника, 2002. № 1. С. 61-66.

11.	Акимцев В. В., Гниденко И. Ю. Вычислительные затраты алгоритма
разрешения-обнаружения целей по дальности в обзорных РЛС// Радиотехника,
2003. №4. С. 21-25.

12.	Акимцев В. В. Разрешающая способность по дальности при цифровой
обработке сигналов// Радиотехника, 2004. № 1. С. 3-11.

13.	Бакут М. А., Большаков И. А., Герасимов Б. М., Курикша А. А. и др. Во-
просы статистической теории радиолокации. Т. 2. М.: Сов. радио, 1964. 1079 с.

14.	Бондаренко Б. Ф., Платонов С. Ю., Тимчук В. Ю. Алгоритмы обработ-
ки, обеспечивающие высокое разрешение когерентных сигналов// Радиоэлек-
троника, 2003. Т. 46. № 4. С. 61-66.

15.	Босс В. Лекции по математике. Т. 11. Уравнения математической физи-
ки: Учебн. пособ. М.: Книжный дом «Либроком»/1Ж88, 2009. 224 с.
16.	Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 1. Теория об-
наружения, оценок и линейной модуляции. Нью-Йорк, 1968. Пер. с англ, под
ред. проф. В. И. Тихонова. М.: Сов. радио, 1972. 744 с.

17.	Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 3. Обработка
сигналов в радио- и гидролокации и прием случайных гауссовых сигналов на
фоне помех. Нью-Йорк, 1971. Пер. с англ, под ред. проф. В. Т. Горяйнова. М.:
Сов. радио, 1977. 664 с.

18.	Варюхин В. А. Основы теории многоканального анализа. - Киев: ВЛ
ПВО СВ им. Маршала Советского Союза А. М. Василевского, 1993. 171 с.

19.	Васин В. В., Власов О. В., Григорин-Рябов В. В., Дудник П. И., Степа-
нов Б. М. Радиолокационные устройства (теория и принципы построения). М.:
Сов. радио, 1970. 680 с.

20.	Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене-
ниями в радиолокации. М.: Советское радио, 1955. 128 с.

21.	Дрогалин В. В., Татарский Б. Г., Чернов М. В. Алгоритмы пространст-
венно-временной обработки сигналов при одновременной пеленгации. неиз-
вестного изменяющегося во времени числа постановщиков помех. Уч. пособие.
ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1997. 84 с.

22.	Дрогалин В. В., Меркулов В. И., Чернов М. В. Модифицированный ал-
горитм совместного оценивания угловых координат, мощности и числа источ-
ников излучений на основе метода Прони и алгоритма Берлекэмпа// Радиотех-
ника, 2001. №8. С. 99 103.

23.	Дудник П. И., Кондратенков Г. С., Татарский Б. Г., Ильчук А. Р., Гера-
симов А. А. Авиационные радиолокационные комплексы и системы: учебник
для слушателей и курсантов вузов ВВС / Под ред. П. И. Дудника. М.: Изд-во
ВВИА им. Жуковского, 2006. 1112 с.

24.	Гуськов Ю. Н., Жибуртович Н. Ю., Абраменков В. В., Климов С. А., Са-
винов Ю. И., Чижов А. А. Способ обнаружения групповой цели. Патент на изо-
бретение № 2293349 по заявке № 2005115054. Приоритет от 18.05.05. Опубли-
ковано 10.02.2007.

25.	Гуськов Ю. Н., Жибуртович Н. Ю., Абраменков В. В., Климов С. А., Са-
винов Ю. И., Чижов А. А. Способ обнаружения групповой цели. Патент на изо-
бретение № 2298806 по заявке № 2005131215. Приоритет от 10.10.05. Опубли-
ковано 10.05.2007.

26.	Гуськов Ю. Н., Жибуртович Н. Ю., Абраменков В. В., Климов С. А., Са-
винов Ю. И., Чижов А. А. Способ обнаружения групповой цели. Патент на изо-
бретение №2316788 по заявке №2006128804. Приоритет от 09.08.06. Опубли-
ковано 10.02.2008.

27.	Гуськов Ю. Н., Жибуртович Н. Ю., Абраменков В. В., Чижов А. А., Са-
винов Ю. И., Климов С. А. Общий подход к оценке координат и параметров
движения групповой радиолокационной цели// Радиоэлектронные комплексы,
2004. №4. С. 25 27.
28.	Зайцев А. Г., Степанов Ф. П., Шевчук В. И., Ягольников С. В. Модифи-
цированный алгоритм пространственного разделения узкополосных сигналов
источников излучения// Радиотехника, 2001. № 5. С. 87-91.

29.	Зайцев А. Г., Мачулин В. М., Шепеть И. П., Ягольников С. В. Алгоритм
пространственного разделения коррелированных сигналов источников излуче-
ния// Радиотехника, 2001. № 5. С. 92-95.

30.	Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции
развития/ Под ред. А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова. М.: Радиотехника,
2003.416 с.

31.	Кейпон Дж., Гринфилд Р. Дж., Колкер Р. Дж. Обработка данных боль-
шой сейсмической группы способом многомерного максимального правдопо-
добия// ТИИЭР, 1967. Т. 55. № 2. С. 66-83.

32.	Кейпон Дж. Простарнственно-временной спектральный анализ с высо
ким разрешением// ТИИЭР, 1969 Т. 57. № 8. С. 69-75.

33.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
нального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

34.	Коновалов Л. Н., Меркуленко И. Д. Определение параметров сигналов
по одной выборке наблюдений с выхода эквидистантной антенной решетки //
Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1987. Т. 30. № 3. С. 51-58.

35.	Коновалов Л. Н. Определение числа сигналов методом проверки слож-
ных гипотез по критерию отношения правдоподобия// Изв. вузов. Радиоэлек-
троника, 1988. Т. 31. № 7. С. 18-25.

36.	Курикша А. А. Оценка числа и параметров компонент сигнала при на-
личии шума// Радиотехника и электроника, 1984. № 9. С. 1740-1744.

37.	Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер.
с англ. - М.: Мир, 1990. - 584 с.

38.	Монаков А. А., Мишура Т. П. Потенциальная разрешающая способ-
ность РЛС по дальности// Успехи современной радиоэлектроники, 2008. №12.

39.	Проскурин В. И. Потенциальная разрешающая способность радиолока-
ционной станции// Радиотехника, 2001. № 5. С. 67-70.

40.	Радиоэлектронные системы. Основы построения и теория. Справочник.
Изд. 2-е, пер. и доп./ Под ред. Я. Д. Ширмана. М.: Радиотехника, 2007. 512 с.

41.	Робинсон Э. А. История развития теории спектрального оценивания//
ТИИЭР, 1982. Т. 70. № 9. С. 6-32.

42.	Рэлей (Дж. Стретт) Волновая теория света. Изд. 2. М.: URSS, 2004.

43.	Савинов Ю. И. Метод Прони. Смоленск: В А ВПВО ВС РФ
им. А. М. Василевского, 2008. 87 с.

44.	Слюсар В. И., Уткин Ю. В. Уплотнение каналов связи на основе сверх-
релеевского разрешения сигналов по времени прихода // Изв. вузов. Радиоэлек-
троника, 2003. Т. 46. № 5. С. 40-48.

45.	Слюсар В. И., Смоляр В. Г. Частотное уплотнение каналов связи на ос-
нове сверхрелеевского разрешения сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника,
2003. Т. 46. № 7. С. 30-38.
46.	Справочник по радиолокации. Под ред. М. Сколника. Нью-Йорк, 1970.
Пер. с англ, (в четырех томах) под общей ред. К. Н. Трофимова. Т. I. Основы
радиолокации. Под ред. Я. С. Ицхоки. М.: Сов. радио, 1976. 456 с.

47.	Справочник по теории автоматического управления. Под ред.
А. А. Красовского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 712 с.

48.	Сычев М. И. Оценивание угловых координат близко расположенных
источников излучения по пространственно-временной выборке// Изв. вузов. Ра-
диоэлектроника, 1992. № 5. С. 33-39.

49.	Сычев М. И. Оценивание числа близко расположенных источников из-
лучения по пространственно-временной выборке // Радиотехника и электрони-
ка, 1992. №10. С. 1807-1815.

50.	Фалькович С. Е., Пономарев В. И., Шкварко Ю. В. Оптимальный прием
пространственно-временных сигналов в радиоканалах с рассеянием / Под ред.
С. Е. Фальковича. М.: Радио и связь, 1989. 296 с.

51.	Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. М.: Изд-во
иностранной литературы, 1963. 432 с.

52.	Царьков Н. М. Многоканальные радиолокационные измерители. М.:
Сов. радио, 1980. 192 с.

53.	Чижов А. А., Авласёнок А. В. Аналитическое описание функционала
правдоподобия при формировании эхосигнала групповой радиолокационной
целью // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 2002. Т. 45. № 6. С. 27-34.

54.	Чижов А. А., Авласёнок А. В. Оценивание количества и параметров
движения одиночных радиолокационных целей из состава групповой сосредо-
точенной//Изв. вузов. Радиоэлектроника, 2003. Т. 46. № 12. С. 20 29.

55.	Чижов А. А., Авласёнок А. В. Эффективность оценивания количества и
параметров движения одиночных радиолокационных целей из состава группо-
вой сосредоточенной // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 2006. Т. 49. № 3. С. 9 17.

56.	Шинаков Ю. С., Сперанский В. С. Совместное обнаружение, разрешение
и измерение параметров сигналов на фоне помехи на выходе антенной решетки.
Синтез алгоритмов // Радиотехника и электроника, 1982. № 11. С. 2179-2184.

57.	Шинаков Ю. С. Совместное обнаружение и разрешение неизвестного
числа сигналов // Радиотехника и электроника, 1985. № 6. С. 1131-1138.

58.	Ширман Я. Д. Теория обнаружения полезного сигнала на фоне гауссо-
вых шумов и произвольного числа мешающих сигналов // Радиотехника и элек-
троника, 1959. Т. 4. № 12.

59.	Ширман Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов. М.: Сов. радио, 1974. 360 с.

60.	Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокаци-
онной информации на фоне помех. М., Радио и связь, 1981.416 с.

61.	Ширман Я. Д., Манжос В. Н., Леховицкий Д. И. Некоторые этапы раз-
вития и проблемы теории и техники разрешения радиолокационных сигналов //
Радиотехника, 1997. № 1. С. 31-42.

62.	Ширман Я. Д., Орленко В. М. Тенденции повышения радиолокационно-
го разрешения // Космическая радиофизика, 1998. Вып. 3. С. 44 52.
63.	Ширман Я. Д. О некоторых результатах работ по развитию вудвордов-
ской теории радиолокационного разрешения // Вестник МГТУ. Сер. Приборо-
строение, 2000. № 4. С. 41-50.

64.	Akaike Н. Power Spectrum Estimation trough Autoregression Model Fitting.
Ann. Inst. Stat. Math., 1969. V. 21. PP. 407^19.

65.	Akaike H. A new Look at the Statistical Model Identification. IEEE Trans.
Autom. Control., 1974. V. AC-19. PP. 716-723.

66.	Burg J. P. Maximum Entropy Spectral Analysis, Ph. D. dissertation. Depart-
ment of Geophysics, Stanford University, Stanford, Calif., 1975.

67.	Helstrom C. W. The resolution of signals in white Gaussian noise. - IRE
Proc., 1955. V. 43. N 9. Sept. PP. 1111-1118.

68.	Dickey F. M., Romero L. A., Doerry A. W. Superresolution and Synthetic
Aperture Radar. Albuquerque: Sandia National Laboratories, 2001.

69.	Dijk J. et al. Superresolution reconstruction for moving point target detec-
tion// Optical Engineering, 2008. V. 47. N 9.

70.	Dobre O. A., Radoi E. Advances in Subspace Eigen analysis Based Algo-
rithms: from ID toward 3D Superresolution Techniques // IEEE, 2001. PP. 547-554.

71.	Gabor D. Theory of Communication// J.IEE, 1946. V. 93. PP. 429^157.

72.	Fienup J. R., Kosek M. R., Stankwitz H. C. Application of Superresolution
Algorithm to Optical Coherent Imaging // SPIE. V. 2827. PP. 80-87.

73.	Johnson D. H. The Application of Spectral Estimation Methods in Bearing
Estimation Problems// Proc. IEEE, 1982. V. 70. PP. 1018-1028.

74.	Kay S. M. Modem Spectral Estimation. Prentice-Hall, Inc., N. J., 1987.

75.	Kay S. M. The Effect of Noise on Autoregressive Spectral Estimator. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process, 1979. V. ASSP-27. PP. 478^185.

76.	Levinson N. A heuristic exposition of Wiener’s mathematical theory of pre-
diction and filtering// J. of Math, and Phis., 1947. V. 26. PP. 110-119.

77.	Levinson N. The Wiener RMS (root mean square) error criterion in filter dis-
ign and prediction// J. of Math, and Phis., 1947. V. 26. PP. 261-278.

78.	Lane R. O. Bayesian super-resolution with application to radar target recog-
nition. London: Communications Engineering Doctorate Centre, 2008.

79.	Li G., Yan G., Ning L. A novel super-resolution beamforming algorithm//
Journal of electronics (China), 2007. V. 24. N 3. PP. 56-59.

80.	Liao X., Bao Z. Radar Target Recognition Using Superresolution Range Pro-
files as Features// SPIE. V. 3545. PP. 397^00.

81.	Pisarenko V. F. The Retrieval of Harmonic from a Covariance Function.
Geophys. J. R. Astron. Soc., 1973. V. 33. PP. 347-366.

82.	Rissanen J. A Universal Prior for the Integers and Estimation by Minimum
Description Length. Ann. Stat., 1983. V. 11. PP. 417^131.

83.	Ville J. Theorie et application de la notion de signal analytique. Cables et
Transmission, 1948. V. 2. N 1. PP. 61-74.

84.	Yule G. U. On a method of investigating periodicities in disturbed series,
with special reference to Wolfer’s sunspot numbers// Phil. Trans. Roy Soc. London,
1927. V. 226. PP. 267-298.
-Hl

,iH8S:FU^ -liitsslrig^:. URSS.ru

Другие книги нашего издательства:	
Серия «НАУКУ — ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы»	
Харкевич А. А. Автоколебания.	
Тарасов Л. В., Тарасова А. Н. Беседы о преломлении света.	unss

FuRSslrg |fru»ssira11fcURS8.rub;&ga«ss.cii&St;,UBSSiriia^

Каганов M. И. Электроны, фононы, магноны.

Каганов М. И., Цукерник В. М. Природа магнетизма.

Ланге В. Н. Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи: Механика.

Молекулярная физика. Термодинамика.

Ланге В. Н. Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи: Электричество
и магнетизм. Колебания и волны. Оптика. Атомная н вдерная физика.

Точидловский И. Я. Что можно в школе сделать и показать по физике.

Гарднер М. Теория относительности для миллионов.

Гарднер М. Этот правый, левый мир.

Сазанов А. А. Четырехмериая модель мира по Минковскому.

Хвольсон О.Д. Теория относительности А. Эйнштейна и новое миропонимание.

Владимиров Ю. С. Пространство-время: явные и скрытые размерности.

Перельман Я. И. Занимательная астрономия.

Кононович Э. В. Солнце — дневная звезда.

Липунов В. М. В мире двойных звезд.

Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия.

Гнеденко Б. В. Беседы о математической статистике.

Гнеденко Б. В. Беседы о теории массового обслуживания.

Мизес Р. Вероятность и статистика.

Стинрод Н.у Чинн У. Первые понятия топологии.

Калягин Ю. М.у Саркисян А. А. Познакомьтесь с топологией: На подступах к топологии.

Волъберг О. А. Основные идеи проективной геометрии.

Меннхен Ф. Некоторые тайны артистов-вычислителей.

Вильямс Дж. Д. Совершенный стратег, или Букварь по теории стратегических игр.

Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского.

Юдин Д. Б., Юдин А.Д. Математики измеряют сложность.

Ашкинази Л. А. Электронные лампы: Из прошлого в будущее.

Шейд К. Опыты по химии для начинающих.

Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры.

Гампсон В., Шеффер К Парадоксы природы.

Серия «Наука в СССР: Через тернии к звездам»

Сарданашвили Г А. Дмитрий Иваненко — суперзвезда советской физики.

Шноль С. Э. Герои, злодеи, конформисты отечественной науки.

Горобец Б. С. Советские физики шутят... Хотя бывало не до шуток.

Серия «Классики науки»

Ньютон И. Математические начала натуральной философии.

Гейзенберг В. Избранные труды.

Смородинский Я. А. Избранные труды.

Тодхантер И. История математических теорий притяжения и фигуры Земли.

Циолковский К. Э. Т^уды по ракетной технике.

URSS.ru URSS ru .... : URSS.ru URSS.ru , BRSS.ru iURSS.ru
jiURSSlrr^.—URSlCTi^^

URSS.ruURSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru

Другие книги нашего издательства:

Серия «Классика инженерной мысли»

Харкевич А. А. Спектры и анализ.

Харкевич А. А. Борьба с помехами.

Крендалл И. Б. Акустика.

Вуд А. Звуковые волны и их применения.

Беляев С. В. Акустика помещений.

Цытович Н. А. Механика грунтов: Краткий курс.

Цытович Н. А. Механика мерзлых грунтов: Общая и прикладная.

Чеботарев Г. П. Механика грунтов, основания и земляные сооружения.

Лермит Р. Проблемы технологии бетона.

Гуревич Д. Ф. Расчет и конструирование трубопроводной арматуры. В 2 кн

Сопротивление материалов и механика разрушения

Работное Ю. Н. Введение в механику разрушения.

Морозов Е. М., Муйземнек А. Ю., Шадский А. С. ANSYS в руках инженера: Механика
разрушения.

Каплун А. Б., Морозов Е. М., Олферьева М. A. ANSYS в руках инженера: Практическое
руководство.

Партон В. 3. Механика разрушения: От теории к практике.

Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. В 2 кн.

Морозов Е. М., Зернин М. В. Контактные задачи механики разрушения.

Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения.

Колесников Ю. В., Морозов Е. М. Механика контактного разрушения.

Морозов Е. М., Солнцев С. С. Разрушение стекла.

Солнцев С. С. Защитные покрытия металлов при иагреве: Справочное пособие.

Сапунов В. Т Прочность поврежденных трубопроводов.

Сапунов В. Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач.

Плювинаж Г, Сапунов В. Т. Статистическое прогнозирование деформационно-
прочностных характеристик конструкционных материалов.

Манаева М. М. Общие сведения о железобетоне.

Фролов К В. (ред.) Современная трибология: Итоги и перспективы.

Maxymoe Н.А. (ред.) Прочность, ресурс, живучесть и безопасность машин.

Москвитин Г. В. (ред.) Методы упрочнения поверхностей деталей машин.

Тимошенко С. П История науки о сопротивлении материалов.

Тимошенко С. П Колебания в инженерном деле.

Серия «Физико-математическое наследие: физика (механика)»

Тимошенко С. П, Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.

Вебстер А. Г. Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел. В 2 т.

Билля А. Теория вихрей.

Сокольников И. С. Тензорный анализ.

Кирпичев В. Л. Беседы о механике.

Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры.

Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике.

IIRSS.ru URSS.ru URSSru

URSS.ru

lURSSUMlg URR&ru ; URSS.ru 1 URSSru /HIRSS.ru URSS.ru
ru URSS.ru URSSru

urss^il

МЮМЮЯ11 ! WMMMWWBto?. М—МИИК1ЙММИМI FilttSsMM

Другие книги нашего издательства:

Колебания и волны

Кабисов К. С., Камалов Т. Ф., Лурье В. А. Колебания и волновые процессы.
Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны.

09
09

URSS

Ланда П. С, Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы.

Ланда П. С. Автоколебания в распределенных системах.

Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы.

Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.

Неймарк Ю. И. Распознавание образов и задачи медицинской диагностики.

Кравченко И. Г. Теория волновых процессов.

Гончаренко А. М., Карпенко В. А. Основы теории оптических волноводов.

Абурджаниа ГД. Самоорганизация нелинейных вихревых структур и вихревой
турбулентности в диспергирующих средах.

Бардзокас Д. И. и др. Распространение волн в электромагнитоупругих средах.

Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара.

Пановко Я. Г, Губанова И. И. Устойчивость н колебания упругих систем.

Блехман И. И., Мышкис А.Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика.

Малкин И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний.

Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.

Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.

Пфейффер П. Колебания упругих тел.

Геккелер И. В. Статика упругого тела.

Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.

Ляпунов А. М. Работы но теории потенциала.

Добролюбов А. И. Бегущие волны деформации.

Добролюбов А. И. Скольжение, качение, волна.

Добролюбов А. И. Волновой перенос вещества.

Иванов Б. Н. Мир физической гидродинамики.

Астапенко В. А. Поляризационные и интерференционные эффекты
в излучательных процессах.

Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея—Беиара. Структуры и динамика.

Шмыглевский Ю.Д. Рмллиттескме исследования динамики газа и жидкости.

Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле.

Тимошенко С. П. История пауки о сопротивлении материалов.

Оптика

Раутиан С. Г. Введение в физическую оптику.

Саржевский А. М. Оптика. Полный курс.

Майкельсон А. А. Исследование по оптике.

Майзель С. О. Основы учения о цветах.

Майзель С. О. Трансформация лучистой энергии в сетчатке человеческого глаза.

Шепелев А. В. Оптика. Готовимся к экзаменам, зачетам, коллоквиумам.

Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред.

Панов Е. А. Познание цвета: Равнозначность цвета в цифровых системах.

Шутов А. М. Методы оптической астроноляриметрии.

JIRMIitu^eilRSS^U

____________________________________________,.,.v.. ......_________________________________________i=s
«RSS.ru URSS.ru IIRSS.ru URSS.ru

URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru

Другие книги нашего издательства:

Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»

Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении
и законах физики. Пер. с англ.	URSS

Майнцер К. Сложносистемное мышление: Материя, разум, человечество.

Новый синтез. Пер. с англ.

ТрубецковД. И. Введение в синергетику. В 2 кн.: Колебания и волны; Хаос и структуры.
Климонтпович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса.

Пеймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.

Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах.

Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой.

Арнольд В. И. Теория катастроф.

Алексеев Ю. К., Сухоруков А. П. Введение в теорию катастроф.

Хакен Г. Информация и самоорганизация. Пер. с англ.

Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики.

Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия.

Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика.

Безручко Б. П. и др. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях.

Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.

Редько В. Г. Эволюция, нейронные сети, интеллект.

Васильков Г. В. Эволюционная теория жизненного цикла механических систем.
Долгоносое Б. М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов.
Олемской А. И. Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория.
Чумаченко Е. П. и др. Сверхпластичностъ: материалы, теория, технологии.

Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации).
Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании.

Баранцев Р. Г. и др. Асимптотическая математика и синергетика.

Пригожин И. Неравновесная статистическая механика.

Пригожин И., Стенгере И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.

Пригожин И., Стенгере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.

Пригожин И., Пиколис Г. Познание сложного. Введение.

Пригожин И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости
и флуктуаций.

Суздалев И. П. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур
и наноматериалов.

hJ'SSUUT nJSSUU nJSSiin < nj'SSUU UJSSUU UJ'SSUU

Тел./факс: (499) 135-42-46, (499) 135-42-16,  E-mail: URSS@URSS.ru http://URSS.ru	Наши книги можно приобрести в магазинах:  «Библио-Глобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. (495) 625-2457) «Московский дом книга» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242) «Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001, 780-3370) «Дом научно-технической книга» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)  «Дом книга на Ладожской» (м. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр. 1. Тел. 267-0302) «Гнозис» (м. Университет, 1 гум. корпус МГУ, комн. 141. Тел. (495) 939-4713) «У Кентавра» (РГГУ) (м. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (499) 973-4301) «СПб. дом книга» (Невский пр., 28. Тел. (812) 448-2355)

URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
URSSzru w .. ::U»SS>BiiW^U»SSFlfub^llWSS.ril .

Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!	р

Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Россий-
ской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных по]!/
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономи- 'Sir
ческих условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке	1

издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования	v

и распространения.	URSS

Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:

Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн.

Яковлев О. И., Якубов В. П, Урядов В. П, Павельев А. Г. Распространение радиоволн.

Стрэтт (Рэлей) Дж. В. Волновая теория света.

Быховский М. А. (ред.) Создание современных систем радиосвязи и телерадиовещания
в России. В 2 ки.

Быховский М. А. Развитие телекоммуникации: па пути к информационному обществу.

Баскаков С. И. Лекции по теории цепей.

Конопелька В. К, Липницкий В. А. Теория норм синдромов и перестановочное
декодирование помехоустойчивых кодов.

Вайсбурд Ф. И., Панаев Г. А., Савельев Б. Н. Электронные приборы н усилители.

Самойлович А. Г. Термоэлектрические н термомагнитные методы превращения энергии.

Панкратов Г. П. Сборник задач но теплотехнике.

Ерохин В. Г., Махонько М. Г. Основы термодинамики и теплотехники.

Ерохин В. Г., Махонько М. Г. Сборник задач по основам гидравлики и теплотехники.

Прудковский Б. А. Зачем металлургу математические модели?

Манюк В. И. и др. Наладка н эксплуатация водяных тепловых сетей: Справочник.

Гуревич Д. Ф. Трубопроводная арматура: Справочное пособие.

Мышелов Е. П Введение в метрологию, стандартизацию и сертификацию качества.

Моисеев Ю.А., Челышев С. В. Технологическая надежность сложного изделия
и ее отработка.

Зверев Г. Я. Оценка надежности изделия в процессе эксплуатации.

Калошин А. М. и др. Наземная отработка космических аппаратов.

Филин В. М. и др. Оптимизация диагностики космического разгонного блока.

Панов Е. А. Познание цвета: Равнозначность цвета в цифровых системах.

Иванова А. II., Чердинцева О. И., Гунько В. В. Неразъемные и разъемные соединения.

Иванова А. II., Межуева Л. В. Моделирование геометрических поверхностей
для вибросмесителей.

Касаткин Р. Г. Система морской транспортировки сжиженного природного
газа из Арктики.

Судо М. М., Судо Р. М. Нефть и углеводородные газы в современном мире.

Стефанов С. И. Полиграфия от А до Я: Энциклопедия.

Стефанов С. И. Полиграфия и технологии печати.

Иванов Б. И., Чешев В. В. Становление и развитие технических наук.

l UffsS'iru Жв8881Ви WiliWSiiBBjMuilSSgMUuilgisMM ^uwsslru

По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс (499) 135-42-16, 135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru

Научная и учебная
литература

^^ii^^URSS.pu^;SU|lS|S!nu'

HJ'SSHn t 1Ы'ЯЯНП ^ ПЗ'ййИП	’ п гссмп v: n rcoan


Об авторе

Анатолий Анатольевич ЧИЖОВ

(род. в 1974 г.)

Кандидат технических наук, доцент кафедры
радиолокационного вооружения Военной
академии войсковой противовоздушной обороны
ВС РФ им. Маршала Советского Союза

А. М. Василевского (г. Смоленск). Область
научных интересов — сверхрэлеевское
разрешение, оптимизация стохастических
информационно-управляющих систем.

Автор более 100 научных публикаций, а также
четырех запатентованных изобретенйй.

Представляем другие книги нашего издательства:

НАНОТЕХНОЛОГИЯ

МЕТ0ДЬГ*-*У -
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

МОЛЕКУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ

НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

E-mail:

URSS@URSS.ru

Каталог изданий
в Интернете:
http://URSS.ru

Тел./факс: 7 (499) 135-42-16

Тел./факс: 7 (499) 135-42-46

URSS



Любые отзывы о настоящем издании, а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru. Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги в нашем интернет-магазине http://URSS.ru