и.*ктк1ыкая. Г.1 .Литвинеьм
НКК'.Ёгорок-Тисмонко
Е0МЕТРИЧЕС1Ш
РИСТАЛЛОГРАФИЯ
X
?'
>

Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская,
Ю. К- Егоров-Тисменко
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего и
среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
геологических специальностей высших
учебных заведений
Издательство
Московского университета
1986

УДК 548.0
Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П., Егоров-Тисменко Ю. К. Геометри1
екая кристаллография. Изч,. 2-е. — М.: Изт-во МГУ, 1986. Ил. 168 с.
В учебнике (первое издание вышло в 1973 г.) особое внимание уделено
вопросам, отсутствующим в большинстве учебников либо изложенным не на
-.,^„ vnnrme (например? симметрия кристаллов, координатные
- *л'п«н индицирование кристаллов)
•в!»
Памяти нашего дорогого учителя
академика Николая Васильевича Белова
посвящаем
ПРЕДИСЛОВИЕ
ны развернутые Ре^хниуя™аЖнений. ,пособ преподавания кристаллограф лГятогльтета МГУ,
лее 500 разнообразных уир
!сак и I издание 1973 г., отражает те изменении, плл^^.,. ~_^
зергся по инициативе академика Н. В. Белова традиционный
способ преподавания кристаллографии на кафедре
кристаллографии и кристаллохимии геологического факультета МГУ.
Рецензенты: Зместо расплывчатых, пассивных описаний, готовых сводок,
таблиц, предполагающих формальное заучивание,— более стро-
кафедра минералогии и геохимии МГРИ им. С. ^^^щ^^ -ое, логически построенное изложение с привлечением совре-
доктор геолого-минералогических наук, профессор . • иенного математического аппарата. Однако во II, существенно
1ереработанном издании некоторые наиболее сложные части
сурса изложены более подробно; кроме того, в ряде случаев
непривычным и «пугающим» неискушенного читателя
математическим доказательствам предшествуют упрощенные
объяснения. Этой же цели служит и совершенно обновленная
иллюстративная часть. Более компактно подан материал,
касающийся законов кристаллографии: все собрано в отдельный пара-
-раф — «Основные законы кристаллографии в свете
решетчатого строения кристаллов». Введен параграф
«Кристаллографические группы антисимметрии», в котором очень кратко из-
1агаются сведения, необходимые для описания симметрии
двойников кристаллов.
Значительно переработана глава, содержащая задачи и
упражнения: изменены формулировки некоторых задач, вве-
хены новые задачи и упражнения, добавлен параграф, содер-
кащий комплексные задачи, где кроме «чистой» геометрии
гаюльзованы некоторые основные положения физической
кристаллографии.
В настоящем виде учебник полностью отвечает новой типо-
юй программе общего курса кристаллографии — его части
-.Геометрическая кристаллография». Однако авторы сочли не-
>бходимым оставить во II издании и тот материал, который
£есколько выходит за рамки общего курса (глава
«Преобразование координатных систем», большая часть задач с
'разобранными решениями), поскольку в таком виде книга может
пужить не только учебником для студентов геологических,
имических, физических и других факультетов вузов и втузов,
ю и выступать в качестве руководства-справочника для рабо-
'ающих в области физики и химии твердого тела,
а Издательство Московско Авторы выражают искреннюю благодарность всем, кто по-
университета 1986 г.' 40г ПРИ подготовке настоящего издания,— своим коллегам и
у v ' Ученикам.
1904020000--069_44_ 86
3 077(02)—86

Глава I
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ. ОПЕРАЦИИ
СИММЕТРИИ
Кристаллическими называются твердые, однородные,
анизотропные вещества, способные в подходящих условиях
самоограняться, т. е. принимать формы многогранников, хотя сейчас
можно считать общеизвестным, что основная характеристика
кристаллического состояния заключается в трехмерной
периодичности расположения материальных частиц (подробнее см.
гл. II, §6).
Идеально развитый кристалл представляет собой
многогранник, в котором грани, ребра, вершины могут быть
совмещены друг с другом путем операций симметрии — поворотов
или отражений. Геометрические образы (плоскости, прямые
линии, точки), с помощью которых задаются или
осуществляются симметрические операции, называются элементами
симметрии. Нетрудно увидеть, что элементы симметрии суть
геометрические места инвариантных точек, т. е. точек, которые
остаются неподвижными при заданной симметрической
операции.
В зависимости от характера операций различают элементы
симметрии I и II родов. Элементы симметрии I рода
«связывают» друг с другом конгруэнтно равные фигуры (или их
части), т. е. фигуры, совмещающиеся при наложении (или
«вложении»), в то время как элементы симметрии II рода
связывают зеркально равные — энантиоморфные — фигуры (или
их части). Условно назвав фигуру (или ее' часть) по какому-
нибудь признаку «правой», очевидно, следует «правыми»
называть все фигуры, конгруэнтно равные первой, а «левыми» —
энантиоморфно равные ей (рис. 1). Таким образом^ операции
элементов симметрии I рода связывают «правые» фигуры с
«правыми», «левые» с «левыми», а операции элементов
симметрии II рода — «правые» с «левыми». Обратим внимание, чго„
иллюстрируя операции симметрии, всегда следует пользоваться
асимметричным объектом, например тетраэдром или плоской
фигурой, имеющей лицевую и изнаночную стороны. Обращение
к симметричному объекту (кружок, точка) не позволит
различить операции I и II родов.
&
(И
Рис. 1. Примеры
конгруэнтного (а) и зеркального (б)
равенства фигур
Элементы симметрии I рода
Рис. 2. Действие удваивающих
элементов симметрии I (Л) и II (Б)
родов; А — горизонтальная (с) и
вертикальная (б) поворотные оси
2-го порядка; Б — вертикальная
зеркальная плоскость симметрии (в)
и центр инверсии (г)
Поворотные оси симметрии. Поворотной осью симметрии
называют прямую, при повороте вокруг которой на какой-либо
угол фигура совмещается сама с собой, т. е. совмещаются ее
равные части, и она занимает в пространстве положение,
эквивалентное исходному.
Наименьший угол поворота вокруг оси, приводящий фигуру
к самосовмещению, называют элементарным углом поворота
оси симметрии а, его величина определяет порядок оси п, т. е.
число самосовмещений фигуры при полном повороте на 360
/ 360° \
\=~~а") (Рис- 2>а>6)- Заметим, что фигура, обладающая
осью симметрии п-то порядка, может быть рассечена на п
конгруэнтных частей бесконечным числом способов (рис. 3).
4
5

етричного многогранника соответствует равноудаленная от
В геометрических фигурах возможны оси симметрии любьоРНТпа эквивалентная вершина, каждому ребру — равноуда-
)ялков. r кпиртя uttmitc^u-mv wn „„„„„^„„„„„„_. с ^ „„^л TTT,QiTttrr.o нп ттпгпчтяополож-но направлен-
—...v.r- ,v.v,m« v^jrujpaA симилны иии симметрии люоы>енТра эквивалентам всршнпа, xv«^^^^..v ,— rJ »
порядков, в кристаллических же многогранниках порядок осрРННое равное, параллельное, но противополож-но на
ограничен числом п=\, 2, 3, 4 и 6, т. е.-в кристаллических мно'.ое ребро, а каждой грани - равноудаленная, равная, анти-
{гогранниках невозможны оси симметрии 5-го и в&*-араллельная грань (рис. 4). На рис. 5 хорошо видно, что центр
» "Г »«.». .vvrnw yivc шпши1раппий.ал ниридик. UCt-рщЮе pabliUe, ua^ajirfi^.^u""^-i "" "г
ограничен числом л=1, 2, 3, 4 и 6, т. е.-в кристаллических мно.ое ребро, а каждой грани — равноудаленная,
— {гогранниках невозможны оси симметрии 5-го и в&*-араллельная грань (рис. 4). На рис. 5 хорошо bi
ше 6-го порядков: этот основной закон симметрии^рспп — это зеркальная точка, в которую
кристаллов установлен эмпирически и доказан ре-братилась («свернулась») зеркальная плос
шетчатым строением кристаллов (см. гл. II, § 6).0сть. Центр инверсии обозначают буквой С,
Оси симметрии в символике'Бравэ («учебной») графически отмечают точкой или также бук-
обозначают буквой L с цифровым индексом п, ука-ои С. Для обозначения операции инверсии слу-
зывающим на порядок оси, — Ln. Графически осилит буква и - ^^^^
симметрии разных порядков изображаются много-_____ : 7ГГ~
угольниками: О — U, □ — U А — L3 и сфе-'ис. 4. В кристалле аксинита^динственныи элемент си.«
рическим двуугольником (фюзо) Q —r L
метрии — центр инверсии
шским двуугольником (срюзо) у —-г ь2. F
Для описания операций симметрии используют фигура, имеющая центр инверсии, разделяется на две зер-
те же обозначения, что и для элементов симмет-сально равные, но антипараллельные части любой плоскостью,
рии; показатель степени соответствует в этом слу-1р0ходящей через центр- инверсии, тогда как фигура, оолада-
чае числу повторенных элементарных поворотов,ощая плоскостью симметрии, разделяется на две зеркал ьн
а минус при показателе степени — повороту в про-)авнЫе части только одной этой плоскостью. Любое сечен
тивоположном направлении. Так, если L6] — по-1ерез двойную ось симметрии даст две конгруэнтно совпадаю-
ворот на 60° по часовой стрелке, то Le^^Le5 —дие половины.
такой же поворот против часовой стрелки. Таким
образом, Ь62 = Ьз\ а L66 = Li (L\ — операция
идентичности или тождественности).
Элементы симметрии II рода
Зеркальная плоскость симметрии — плоскость,
«отражаясь» в которой как >в «двустороннем
зеркале», правая фигура (часть фигуры) совмещается с
левой; таким образом, фигуры, связанные
плоскостью симметрии, относятся друг к другу как
предмет и его зеркальное отражение (рис. 2, в). Зер-
/S7
Рис. 3. Примеры разбиения фигуры, обладающей осью 6-гс
порядка, резаком, ось которого совмещена с осью симметрии
фигуры
Рис. 5. Иллюстрация операций (эле-
!кальная плоскость симметрии (и операция отражения в плоско-ментов) симметрии II ^рода-. а —
сти) обозначается в символике Бравэ буквой Р; графически0ТРажение в зеркальной плоскости,
ПЛОСКОСТЬ изображается Жирной или ДВОЙНОЙ линией. ^"-Тл^стьСимметрии В«свер-
Центр инверсии (центр симметрии) можно представить как ' нулась» в точку
«зеркальную точку», отражаясь в которой правая фигура
(часть фигуры) совмещается с левой, т. е. фигуры, связанные =
инверсией, относятся друг к другу как предмет и его фото-
графическое изображение (рис. 2, г). Иными словами, любой рис> е. Действие зеркальной оси
точке фигуры, обладающей центром инверсии, соответствует 4-го порядка
эквивалентная точка на продолжении прямой, соединяющей „ nrrnmT мвмршять павные ча-
первую точку с центром, причем расстояния от центра до обеих Сложные оси симметрии позволяют умещать Равн*е
точек равны между собой; поэтому каждой вершине центросим-сти ФИГУРЫ путем двойной операции - поворота на у
6
7

;~V^ оси, и отражения либо
этой оси.В So^ Либ° в точке *ая зеркальная операция (отражение в точке или плоскости)
ром - инверсионной Гп%и^ называют зеркальной, во втесывается единственной и не мнимой, а действительной, т. е.
действий ^ЕяошУ86 каждое из совместны?*!?^ =Р (точнее,** - это нормаль к Р). Учитывая
поворот и отражение - мнимые (рис. 6, 7). ПоГ' МОзаменяемость зеркальных и инверсионных осей (см.
]т 8), можно записать Lx=U=C,$Li =t2 = P. Эквивалент-
юсть сложных осей 2-го порядка одному из простых
элементов симметрии (С или Р) можно непосредственно проследить
*а рис 5; так, две мнимые операции — «отражение в
плоскости» и «поворот на 180°» — эквивалентны отражению в точке,
а мнимый поворот на 180°, сопровождающийся мнимым
отражением в точке, можно заменить отражением в реальной
плоскости симметрии.
Размножая асимметричную фигурку, нетрудно убедиться,
что преобразования сложных осей 3-го и 6-го порядков
могут быть заменены сочетаниями действительных операции:
Ы**) = **Р(Р±1*)М1*)=иС. (Советуем читателю обратить
внимание на особенности сложных осей нечетных порядков.)
Оригинальной (незаменяемой) оказывается в кристаллах
лишь ось 4-го порядка, причем &4 =LA, поэтому специальное
графическое обозначение (0) необходимо в кристаллах лишь
для этой оси.
Чтобы решить, какими простыми элементами симметрии
заменяются преобразования сложных осей любых (некристалло-
г~~~ —п™ uim симметрии 4-го порядка (б) графических) порядков, можно прибегнуть к аналогии: так, для
следовательность, в которой производятся эти оп.пЯТТ « осей нечетных порядков (n=2k+l) справедливы закономерно-
различна, иными словами' ouJ^^^Z^S^^S: ™> выведенные для оси 3-го> порядка^JL *»V^!iX
Рис. 7. Многогранник с единственным элементом симметрии
зеркальной осью 4-го порядка (а); иллюстрация мнимых
операций сложной оси симметрии 4-го порядка (б)
зеркальные
ция каждой зеркальной оси с
элементарным углом поворота а может быть
заменена операцией инверсионной оси с эле
ментарным углом поворота а'=180'
Ф_, _ = L-1
360°
360е
180°_а
Р.ис. 8. Зависимость
между зеркальным и
инверсионным поворотами:
^ 360° L , 360°
иными слоВя«„Р„ ПР°ИЗВ°ДЯТСЯ эти операции, без-е™ вывеяенныГдля оси 3-го порядка, т. е. W = £<2*+ш=
иньши словами, операции коммутирую.. Обозначают I't^'l Ложные оси четных порядков (я=4*+2 и п=4*+4)
4L„ или Л инверсионные ^ или ^ под^ЯЮтся закономерностям, полученным соответственно для
SlSiS'S ™. °™Ра" осей 6-го и 4-го порядков.
Из вышеизложенного ясно, что симметрия любого
многогранника, т. е. закономерная повторяемость одинаковых его
частей, может быть описана только осями симметрии —
простыми (поворотными) и сложными (зеркальными или инверсион-
поэтому при ными), однако на практике сложные оси 1-го и 2-го порядков
удобно заменять их эквивалентами — плоскостью симметрии
_ ^хи^аллов пользу-
ются каким-либо одним видом сложныv И центР°м инверсии.
осей: инверсионными или зеокапьнн^ Записывая комплекс элементов симметрии кристалла, целе-
Для осей некоисталло^яЗ,?™™ сообразно различать неэквивалентные и эквивалентные одной-
менные элементы симметрии, понимая под последними
элементы, связанные какими-либо операциями симметрии. Так,
можно записать L22P = L2P'P" и L&P = L£P'<IP", но L33P (рис 9).
Любое симметрическое преобразование — поворот с
отражением или без него — удобно представить с помощью
координат исходной и преобразованной точек. Так, поворот вокруг
вертикальной оси на 180° запишем как xyz-^xyz, поворот
вокруг вертикальной оси 4-го порядка по часовой стрелке
xyz-^yxz, отражение в горизонтальной плоскости симметрии
xyz-^xyz, инверсию — xyz-^xyz.
-. jolt—а
описании симметрии кристаллов
пользуются каким-либо одним видом сложны
осей: инверсионными или зеркальными.
Для осей некристаллографических
порядков в приведенную формулу
вводится коэффициент q — наименьшее
целое число,
наименьшее це
. приводящее к
целочисленному значению nr\ <L gRno =£-i
„ ■• «=— -- 360°? '
вне"6 элеменТ'Г' ^ C"P™ представляют собоГГно-
(Iи Ф ГпопппСШМетрии- Так> в сложных осях 1-го попядка
(£i и fcj поворотная компонента равна нулю, по^омуТру*
9

§ 2. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ. СЕТКА ВУЛЬФА
Для графического изображения элементов симметрии, а та)
же граней и ребер кристаллов наиболее удобна стереограф\
ческая проекция, главное достоинство которой заключается
том, что угловые величины — основная морфологическая х;
рактеристика кристалла (см. «Закон постоянства углов») -
выступают в неискаженном виде.
При построении стереографической проекции — стера
граммы — кристалл помещают в центр воображаемой сфер
(сферы проекций), которую любое направление, идущее г
центра, пересечет в точке, называемой сферическим полюсо
направления (точки Л и Б на рис. 10,а). Полученная ccpepi
ческая проекция позволяет зафиксировать направление коо]
динатами <р и р. Для этого надо, приняв некоторую точку сф(
ры за полюс, нанести на нее градусную сеть и один из мер!
дианов посчитать нулевым. Из рис. 10, а очевидно, что ф отв<
чает географической долготе, ар — полярному расстояние
причем 0°<ф<360° и 0°<р<180°.
Стереографическими проекциями направлений ОА и О
ю

(рис. 10, а) будут точки а и Ъ, в которых лучи зрения SA и Щ
(SN — ось проектирования) пересекут экваториальную
плоскость — плоскость проекций. Подчеркнем, что точку зренш
для направлений с р<90° следует выбирать в южном полюс?
(S) сферы проекций, а для направлений с р>90° — в север
ном {N). Готовая стереограмма направлений О А и ОВ пока
зана на рис. 10, б, где направление, выходящее в верхней полу
сфере, отмечено кружком, а в нижней полусфере — крестиком
Нетрудно убедиться, что вертикальные направления проекти
руются в центре экваториального круга (основного круга про
екций), горизонтальные — на окружности этого круга, а на
клонные — внутри его.
На стереограмме координату <р отсчитывают по окружности
основного круга проекций от точки пересечения ее с
диаметром, принятым за нулевой меридиан (отсчет ведется по
часовой стрелке), а координату р — по радиусу от центра круга
проекций (полюс N).
Проектируемая плоскость пересечет сферу проекций по
окружности (дуга АСВС на рис. 10, в — сферическая проекция
плоскости). Если плоскость задать нормалью, то позицию
плоскости — ее «полюса» — так же, как и позицию
направления, можно зафиксировать координатами <р и р. Для
построения стереографической проекции плоскости нужно
несколько точек ее сферической проекции (дуги АСВС) соединить
лучами зрения с полюсами S и N соответственно;
геометрическим местом точек, в которых лучи зрения пересекут
плоскость проекции, будут две дуги АС В и АС В, симметрично
расположенные относительно некоторого диаметра,—
стереографические проекции «северной» и «южной» половин плоскости
АСВС (рис. 10, в). Таким образом, стереографической
проекцией плоскости, проходящей через центр сферы проекций, будет
дуга большого круга, т. е. дуга, опирающаяся на диаметр.
Стереографическая проекция горизонтальной плоскости (G на
рис. 10, г) совпадает с окружностью основного круга проекций;
при выведении плоскости из горизонтального положения (М)
получим на стереограмме две симметричные дуги («видимую»
и «невидимую» части плоскости), причем по мере увеличения
угла наклона плоскости крутизна дуг будет уменьшаться, и в
пределе, в случае вертикальной плоскости (К), эти дуги
сольются с диаметром.
Грани кристалла при стереографическом проектировании
обычно заменяют нормалями, опущенными на них из центра
тяжести кристалла, а ребра — перпендикулярными к ним
плоскостями, проходящими через центр сферы проекций. Такие
проекции называются гномостереографическими (греч.
„гномон" — перпендикуляр). Грани обеих полусфер (р<90° и р>
>90°) отмечают разными значками, например кружками и
крестиками соответственно. На рис. 11 в качестве примера
приведена стереограмма элементов симметрии и граней кристалла.
Рис. 11. Общий вид и
стереограмма кристалла
симметрии U4P=U2P'2P"
Рис. 12. Полярная сетка —
стереограмма градусной сетки на
сфере при точке зрения в
южном полюсе
Для точного проектирования пользуются не простейшей
полярной сеткой (рис. 12), а специальным транспарантом —
сеткой Вульфа (рис. 13), которая позволяет графически, без
дополнительных расчетов решать многие задачи геометрической
кристаллографии, связанные с угловыми характеристиками
кристалла. Все построения проводятся на прозрачной бумаге
с фиксированным центром — полюсом сетки, который
совпадает с истинным полюсом сферы проекций. Меридианы и
параллели сетки играют лишь вспомогательную роль как дуги
больших и малых кругов; из истинных меридианов сферы
проекций на сетке Вульфа изображаются лишь два —
вертикальный и горизонтальный диаметры сетки Вульфа, причем
последний соответствует нулевому меридиану; экватор сферы
совпадает с окружностью сетки Вульфа. Таким образом, углы <р
отсчитывают по окружности сетки Вульфа, ар — от центра по
горизонтальному или вертикальному диаметру, с концом
которого, вращая кальку, совмещают точку-зарубку, отвечающую
координате ф (рис. 14, а, б, в, г).
Для измерения на стереограмме углового расстояния между1
двумя точками надо, вращая кальку относительно сетки
Вульфа (не нарушая центрировки!), привести эги точки на один
меридиан сетки, если точки принадлежат одной полусфере.
Если точки находятся в разных полусферах (р>90° и р<90°),
то их ставят на два меридиана, симметричных относительно
12
13

Рис. 13. Сетка Вульфа — стереограмма градусной сетки на сфере при
точке зрения на экваторе сферы
Рис. 14. Проектирование направлений с заданными координатами ф и р1
v (67°, 31°) и w (287°, 113°); о — отсчет координаты q>v, б — отсчет
координаты р„, в — отсчет координаты pw, г — стереограмма направлений
v и w.
вертикального диаметра сетки, т. е. на проекции видимой й
невидимой частей одной меридиональной дуги. Отсчет
углового расстояния между точками ведется по отрезку меридиана
сетки Вульфа, заключенному между ними, причем во втором
14
глучае .__ через полюс сетки (рис. 15). Если точки
_представляют собой стереографические проекции направлении, то дуга
большого круга, проходящая через них,-это стереографиче-
екая проекция плоскости,
проходящей через эти
направления. В том случае,
если направления служат
нормалями к граням, то
плоскость, будучи
перпендикулярна к обеим граням
(она проходит через
нормали к граням!),
перпендикулярна и к ребру, по
которому эти грани пересекаются
Рис. 15. Определение углового рас-
1У1_У jw. хГ - ~~г - стояния между точками одной полу-
ИНЫМИ словами, если ТОЧКи сферы (а) и разных полусфер (б);
„пплгпомию гтпмнять <ипу = 92°, <uoj = 134
на стереограмме принять
за гномостереографические
проекции граней, то дуга, проходящая через эти точки,
окажется гномостереографической проекцией ребра, по которому
эти грани пересекаются; Переход от гномостереографической
проекции какого-либо элемента к его стереографической
проекции несложен, так как сводится к нахождению либо дуги
(экватора) к заданному полюсу, либо полюса к заданной дуге.
На рис. 16 показаны плоскости G, M, R, К, пересекающие сферу
Рис. 16. Взаимные переходы между стереографическими и гномо-
стереографическими проекциями: а - ^^тклопяиг ппоскост
(G M R К) пеоесекающие сферу проекции, и их полюсы на
сфере (g mr, k)?6 - нахождение" дуги к заданному полюсу или .
полюса к заданной дуге
проекций в ее центре, и их полюсы на сфере — g, m, r, k.
Для того чтобы на стереограмме найти проекцию дуги к
заданному полюсу, надо точку, принятую за полюс, поставить на
горизонтальный диаметр сетки Вульфа и, отсчитав по нему в
15

обе стороны по 90°, найти два симметричных меридиана —
«видимую» и «невидимую» части искомой дуги. Для решения
обратной задачи следует совместить заданную дугу с
соответствующим меридианом сетки и найти на угловом расстоянии
в 90° ее полюс (рис. 16,6).
Очевидно, что две пересекающиеся дуги на стереограмме
представляют собой проекции либо двух пересекающихся
ребер, либо двух пересекающихся граней; в первом случае точка
пересечения дуг (А) — проекция грани, параллельной этим
ребрам (тип), во втором — точка А служит проекцией ребра,
по которому пересекаются грани тип (рис. 17).
Рис. 17. Точка А —
проекция грани,
параллельной
пересекающимся ребрам тип, либо
проекция ребра, по
которому цересекаются
грани тип
Рис. 18. Построение проекции
плоскости, не проходящей через
центр сферы проекции (малой
окружности). Стереографическая
проекция малой окружности на
сфере остается малой
окружностью, однако проекция (у)
центра малого круга (У) не
совпадает с его геометрическим
центром (с)
Для измерения угла между двумя дугами (например, между
стереографическими проекциями плоскостей) строят
вспомогательную дугу, служащую экватором к полюсу, совпадающему
с точкой пересечения дуг (проекцию плоскости,
перпендикулярной заданным плоскостям, а следовательно, и к линии их
пересечения). Искомый угол отсчитывают по вспомогательной дуге»
заключенной между заданными дугами.
Можно показать (рис. 18), что стереографической
проекцией плоскости, не проходящей через центр сферы проекций,
будет дуга малого круга — окружность. Для построения этой
окружности вращением кальки помещаем стереографическую
проекцию центра (у на рис. 18) то на одну, то на другую
параллель сетки Вульфа, откладывая каждый раз по мери-
16
диану в обе стороны угловое расстояние, равное радиусу
окружности (напомним, что диаметры сетки Вульфа — тоже
меридианы!). Получив достаточное количество точек окружности,
можно, пользуясь сеткой Вульфа как лекалом, т. е. подобрав
нужную параллель, провести окружность. Не прибегая к сетке
Вульфа, окружность строят, найдя по трем точкам ее
геометрический центр (с на рис. 18).
§ 3. ГРУППЫ (КЛАССЫ) СИММЕТРИИ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
УМНОЖЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ — «ОСЕВАЯ»
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Совокупность симметрических операций, характеризующих
симметрию кристалла, представляет собой эффектный пример
замкнутой (конечной) математической группы, иными
словами, сочетания симметрических операций, следовательно, и
элементов симметрии не случайны, а подчиняются всем
положениям теории абстрактных групп. В частности, для групп
симметрии справедливо положение о том, что «произведение» двух
любых членов группы должно принадлежать этой же группе,
т. е. результат двух последовательно выполненных операций
симметрии равносилен результату третьей операции, которую
можно назвать произведением первых двух. Обычно, однако,
говорят, что взаимодействие двух элементов симметрии
порождает третий элемент симметрии, принадлежащий данной
группе, но способный в других группах играть самостоятельную,
роль, т. е. существовать без породивших его операций.
Математическая справка. Группой называется множество элементов
(чисел, геометрических объектов, физических величин, симметрических
операций и т. д.), которые подчиняются следующим условиям:
1. Определена алгебраическая операция, так называемое «групповое
умножение», позволяющее любой паре элементов а, Ъ данного множества
поставить в соответствие их произведение — третий элемент с,
принадлежащий этому множеству: ab=c, причем в общем случае аЬфЪа.
2. Групповое умножение ассоциативно: (ab)c=a(bc).
3. Группа содержит единичный элемент е, удовлетворяющий условию:
ае—еа=а.
4. Для каждого элемента группы существует обратный элемент:
аа~1=е.
Различают группы конечные (замкнутые) и бесконечные; порядок
конечной группы определяется числом ее элементов. Пример конечной
группы 4-го порядка: +1, —1, -fV^T, — f^l, бесконечной группы — ряд
натуральных чисел от —со до + <х>; в первом случае алгебраической операцией
(«групповым умножением») служит математическое умножение, во втором—
сложение; единичный элемент (е) соответственно 1 и 0.
Часть группы, которая сама по себе представляет группу, называется
подгруппой данной группы.
Группу называют циклической, если все ее элементы суть степени
одного элемента.
В группах ^симметрии групповым умножением, как было сказано,
считают взаимодействие элементов симметрии. Обратная операция — поворот
в противоположную сторону. Единичный элемент группы — операция
идентичности, которой соответствует ось 1-го порядка.
17

Зная основные правила взаимодействия элементов снимет Две <<левые>> фигурки — 1 и о — равны конгруэнтно и рас-
рии [правила умножения симметрических операций), нетрудщ положены таким образом, что могут быть совмещены друг с
вывести все возможные сочетания элементов симметрии -^другом поворотом вокруг вертикальной оси Ln на угол а=2>..
•ючечные группы симметрии (виды, или классы симметрии) Ось Ln перпендикулярна к плоскости осей 2-го порядка.
Если обе операции I рода, т. е. два простых поворота тс I- Взаимодействие двух плоскостей симметрии, пересекаю-
исходная асимметричная фигура дважды преобразуется в коц.щихся под углом %, порождает поворотную ось симметрии с
груэнтную ей и заменить эти две операции (т. е. совместит^ элементарным углом поворота а = 2% = 2'К' {%' — угол между
исходную фигуру с конечной) может лишь операция I родгособыми направлениями — нормалями к плоскостям симмет-
(простой поворот). При сочетании двух операций II рода (двухрии).
зеркальных или инверсионных поворотов) начальная фигур* Модельное доказательство. «Левая» фигурка 1 (рис. 1У,£>)
сначала преобразуется в энантиоморфную, а затем снова бу- переводится отражением в зеркальной плоскости Р' в «пра-
дет приведена к исходной форме (левая->-правая-* левая) вую» фигурку 2. Фигурка 3, полученная зеркальным отраже-
Значит, заменить эти две операции II рода сможет лишь опе-нием фигурки 2 в плоскости Р", снова «левая». Две «левые»
рация I рода (снова простой поворот). Если же совместно дей-фигурки 1 и 3 равны конгруэнтно и могут быть совмещены друг
ствуют операции разнородные, то результирующей окажется с другом поворотом на угол а = 2К вокруг оси Ln, перпендику-
операция* II рода (зеркальны! лярной плоскости чертежа. Поскольку нормаль к плоскости
или инверсионный поворот). Эт(совпаДает с L2, можно сказать, что Ьп_збо° — результат
и составляет суть «осевой» тео 2%
ремы Эйлера. . Мы ограничимс; взаимодействия двух инверсионных осей 2-го порядка, образу-
лишь разбором частного случае ющих угол % (=Х).
этой теоремы — исследуем ре HI. Взаимодействие оси 2-го порядка и плоскости симмет-
зультат взаимодействия осей 2-п Рии> пересекающихся под углом К, порождает зеркальную ось
порядка, поворотных и инверси симметрии с углом а = 2^, которая эквивалентна инверсионной
онных. Для удобства и упроще оси симметрии с углом а', равным удвоенному углу между
ния рассуждений разобьем эг особыми, направлениями (2V) — осями 2-го порядка, поворот-
теорему на три части — три тео нои и инверсионной.
ремы, причем инверсионные oci Модельное доказательство. «Левая» фигурка 1 (рис. 19, в)
2-го порядка для наглядносп переводится горизонтальной осью L2 в положение 2, поворачи-
заменим перпендикулярными }каясь к наблюдателю «изнанкой», но оставаясь при этом «ле-
ним плоскостями симметрии. вой». Фигурка 2 переводится в положение 3 отражением в
I. Взаимодействие двух ocefплоскости симметрии, т. е. фигурка 3, зеркально равная фи-
симметрии 2-го порядка, перегУРке 2> становится «правой». «Левая» и «правая» фигурки
секающихся под углом %, 'порож * и 3 могут быть совмещены друг с другом лишь действием
дает поворотную ось симметри; "ложных осей симметрии: либо зеркальной с элементарным
с элементарным углом а = 2^. углом поворота а = 2^, либо инверсионной с элементарным
Модельное доказательство!/™™ поворота а'=180°— а = 2%', где Я'=90°—Я.
Асимметричная фигурка 1 (рис во всех трех случаях порожденная ось проходит через
19, а) переводится в положение точку пересечения исходных особых направлений перпендику-
2 поворотом вокруг горизонтали ЛЯРН0 плоскости последних. Для каждой теоремы справедливы
ной оси 2-го порядка (L2')- Есл1!пеРестановки» т- е- из тРех операций за порождающие можно
фигурку / условно назвать «ле"Ринять Две любые операции, например, для. теоремы III:
вой», то «левой» следует назван 2"„== ^п» ^' ^п =^2, L2- <L„ =Р.
и фигурку 2, которая после по- Нетрудно увидеть, что три разобранные теоремы фактиче-
ворота покажет наблюдателКски составляют одну: взаимодействие двух осей симметрии
свою изнанку. Поворот фигурке"20 п°рядка, поворотных или инверсионных, приводит к^воз-
2 вокруг оси L2" переведет ее i никновению проходящей через точку их пересечения третьей оси
положение 3, оставив no-npe# симметрии с элементарным углом поворота, вдвое превышаю-
нему «левой» (к наблюдателеW(UM Угол между исходными осями; результирующая ось ока-
снова обращена «лицевая» сто-жется поворотной, если исходными будут две одинаковые оси
рона фигурки).
Рис. 19. К теоремам
взаимодействия элементов симметрии
1Н

{обе поворотные пли обе инверсионные), и инверсионной, есл
оси будут разными. Большинство остальных правил взаимодей
ствия элементов симметрии оказывается естественными след
ствиями или частными случаями этой фундаментальной теоре
мы. Так, рождение центра инверсии следует из теоремы III npi:
>, = 90о : L2-Px = <L2 =£1= центр инверсии.
Следует предостеречь от весьма распространенной ошибки
считать центр инверсии результатом взаимодействия оси чет.
ного порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии.
Воспользовавшись универсальным методом доказательства —
размножением асимметричной фигурки (рис. 20), увидим, чте
товорота осей (а, р, -у) и углами пересечения осей (а, Ь, с)
определяется из следующей формулы сферической
тригонометрии:
cos Y/2 + cos а/2 cos ft/2
cosc =
sin a/2 sin |3/2
Рис. 20. Пример Рис. 21. К осевой тео-
взаимодействия оси реме Эйлера La, Lb,
четного порядка с Lc — стереографические
перпендикулярной к проекции осей симмет-
ней плоскостью сим- рии (вершины сфериче-
метрии ского треугольника); с,
Ь, с — углы между
осями (стороны
сферического треугольника);
ау Р> У — элементарные
углы поворота осей
La, Lb, L°
соответственно
Li-Px= <L4 и запись L$-P = C (или L4-C = P) по меньшей
мере неграмотна,— ведь тогда пришлось бы считать, что
P-C = L4 (!), т. е. что L4 = L2 (!!). Правильной будет запись
L42-P± = C, Le3-PJL = C и т. п. (см. также задачу IA).
Эти правила позволяют вывести все точечные группы —
классы симметрии, за исключением классов с несколькими
осями высшего порядка. В последнем случае придется либо
обратиться к общей теореме Эйлера, либо воспользоваться
готовыми данными — известным из математики фактом, что оси
высших порядков могут сочетаться лишь так, как в
правильных многогранниках,— пяти Платоновых телах. По Эйлеру
(рис. 21), две оси La и Lb (элементарные углы поворота а и (3),
пересекающиеся под углом с, рождают ось симметрии Lc с
углом поворота у. Зависимость между элементарными ,углами
Аналогично записываются формулы для вычисления углов
a{LbLc) и b(LaLc), причем сумма углов сферического
треугольника больше 180°, но меньше 540°, т. е. 540°>(a/2+!p/2+v/2)>
>180°. Напомним, что ось Lc поворотная, если La и Lb
одинаковы (обе поворотные или обе инверсионные), в противном
случае ось Lc инверсионная.
§ 4. ВЫВОД ГРУПП СИММЕТРИИ. ОБОЗНАЧЕНИЯ ГРУПП
СИММЕТРИИ ПО ШЕНФЛИСУ
Все сочетания элементов симметрии можно разделить на
два типа: А — с одним или несколькими единичными
направлениями (Е), т. е. направлениями, не повторяющимися какими-
либо операциями симметрии; Б — без единичных направлений.
При выводе групп симметрии удобны символы Шёнфлиса,
позволяющие одной буквой с соответствующим индексом не
только охарактеризовать весь набор элементов симметрии
конкретной группы, но и представить целое семейство родственных
групп. Переход от символов Бравэ к символам Шёнфлиса и
обратно предполагает владение правилами взаимодействия
элементов симметрии.
А. Группы с единичными направлениями
По Шёнфлису группы с единственной поворотной осью
обозначают буквой С с цифровым индексом, показывающим
порядок оси (Ьз = Сз) К Для обозначения зеркальных плоскостей
симметрии вводят дополнительные индексы: v — для
плоскостей, идущих вдоль оси, и h — для плоскости,
перпендикулярной оси (L33P = C3t„ L2PC=C2h{L2-P± = центр инверсии))2. Для
плоскости «безразличной» ориентации применяют нейтральную
букву s (Spiegel — зеркало), т. е. Cv( = Ch)-**Cs = P.
Группы с побочными осями (осями 2-го порядка,
перпендикулярными главной оси) обозначают буквой D с цифровым
индексом, показывающим порядок главной поворотной оси
1 Обычная ошибка считать С обозначением не только группы симметрии,
но и оси, т. е. можно записать 3L2, но нельзя ЗС2 (!).
2 Индексы v (vertical) и h (horizontal) Шёнфлис ввел в связи с тем,
что единственную или главную ось симметрии он всегда мыслил
вертикальной. Однако символ Шёнфлиса не изменится и в том случае, если ось
окажется другой ориентации.
20
21

(LZ3L2 = DZ, .D2=L2'L2"L2'" = 3L2, так как L2'• L2" = L2'"). В rpyn
пах D, как и в группах С, дополнительный буквенный индек)
указывает на расположение плоскостей симметрии по отноше
нию к осям симметрии. Вертикальные плоскости в группах i
могут проходить двояко — либо они делят пополам угол межд;
побочными осями, либо проходят вдоль этих осей, поэтом;
индекс v в группах D теряет смысл. В первом случае эти пло.
скости-«делители» («диагональные» плоскости) обозначают
индексом d (L33L23PC (= &63L23P) —D^d), во втором случае
вместо вертикальных плоскостей фиксируют горизонтальную;
плоскость (h), которая неизбежно возникает при взаимодейст
вии вертикальной плоскости и лежащей в ней оси 2-го поряд.
ка {Ls3L23PBepPr0p( = LG3L23P)=Dsh). Обратим внимание, 4tg
цифровой индекс при D всегда указывает на порядок
поворотной составляющей сложной оси:
45°
Dm, Dzh, D2d= & fiL22P(L2^> =<L4).
Группы с единственной зеркальной осью симметрии пс
Шёнфлису называют группами Sn (S—Spiegelaxe —
зеркальная ось), если же зеркальной.оси предпочитают ее
инверсионный вариант, то записывают Cni, причем п всегда отвечает
порядку сложной оси (56 = С3/, S2 = Ci).
Пусть единичное направление Е представлено поворотной
осью симметрии. Не нарушая «единичности» заданного
направления (Ln), к нему можно добавить:
а) плоскость симметрии, идущую вдоль Е,
б) плоскость симметрии, перпендикулярную к Е,
в) ось 2-го порядка, перпендикулярную к Е,
г) любую комбинацию двух названных элементов.
Добавление центра инверсии к Е, как увидим ниже,
приведет к одному из указанных вариантов. Таким образом,
получим: -
1. Семейство групп с единственной поворотной осью —
группы Ьп=Сп.
2. Добавив плоскость симметрии, идущую вдоль оси (Pt),
придем к группам LnnP = Cnv.
3. Добавив плоскость симметрии, перпендикулярную к оси
Ln (/\l)> получим группы LnP — Cnh. Если среди операций оси
есть поворот на 180°, т. е. если в оси Ьп заключена ось 2-го
порядка, то в результате взаимодействия последней с Р±
появится центр инверсии.
4. Добавление оси 2-го порядка, перпендикулярной к оси
Ьп, приведет к группам LnnL2 — Dn.
5. Добавив сочетание двух элементов симметрии (Р\\ и Р±
или Р± и L2j_) 3, придем к группам LnnL2nPttPjL=JDnh, при этом,
3 Обратим внимание, что Рц и Z,2_l могут располагаться относительно
друг друга двумя способами, поэтому их взаимодействие с Ln приведет
либо к группам Dnh, либо к Dna (см. пункт 7).
22
если в оси Ьп заключена ось L2, группы окажутся центросим-
метричными.
Случаями 1—5 исчерпываются все семейства, в которых
единичное направление представлено поворотной осью.
6. Совмещая с единичным направлением сложные оси
симметрии, например зеркальные, получим семейство групп &ft,
однако, поскольку действия сложных осей нечетных порядков
представляют собой комбинации действительных операций —
реальных элементов симметрии, во избежание излишних
повторений целесообразно рассматривать ^группы, в которых
зеркальные оси имеют четный порядок (k = 2n), т. е. группы <LSn.
В этом семействе при четных значениях .п (для
кристаллографических групп это п = 2) получим группы с оригинальной
(незаменяемой) зеркальной осью (кристаллографическая
группа <L4); ПРИ нечетных значениях п возникнут центросимметрич-
ные группы: п=\, тогда &2п~ &2 = С, п = 3, тогдаka„=ke =L$C
и т. д.
7. К единичному направлению, представленному
зеркальной осью четного порядка, имеет смысл добавить лишь Рп либо
Ь2±, — все остальные варианты превратят зеркальную ось в
поворотную того же порядка, что приведет к уже выведенным
группам (так, Ф,4-Рх = /,4). Добавив любой из допустимых
элементов, получим &2nnL2nP=Dnd.
При любых целочисленных значениях п получим
бесконечное множество групп симметрии; ограничившись осями
кристаллографических порядков, придем к 27 кристаллографическим
группам (классам) симметрии с единичными направлениями.
Таким образом, процесс вывода групп с единичным
направлением можно записать в виде алгоритма:
'Сп
$2,
Cnv Cnh J>*
-W
Б. Группы симметрии без единичных направлений — группы
с несколькими осями симметрии высших порядков
Не прибегая к общему случаю теоремы Эйлера,
воспользуемся известными геометрическими данными: сочетания
нескольких осей высшего порядка могут быть лишь такими, как в
правильных многогранниках — пяти Платоновых телах —
тетраэдре, гексаэдре (кубе), октаэдре, правильном додекаэдре
(12 пятиугольных граней) и икосаэдре (20 треугольных
граней). Исключив из нашего рассмотрения две последние фи-
4-Осями высшего порядка в кристаллографии считают оси порядка
выше двух.
23

ъ? z
'У- 1
л
^г-^
л
z
<3
X*
£Л
^У
Рис. 22. К определению старшей
кристаллографической группы симметрии — кубической
голоэдрии
гуры с осями 5-го порядка как некристаллографические,
обратимся к трем оставшимся. Симметрия куба и октаэдра одна и
та же (число и расположение вершин и граней куба соответ-
24
ствуют числу и расположению граней и вершин октаэдра),
причем она заведомо выше симметрии тетраэдра (8
треугольных граней октаэдра и 4 таких же у тетраэдра).-Общей для
двух групп симметрии этих фигур оказывается четверка осей
3-го порядка, причем их расположение (рис. 22, а) позволяет
выделить три взаимно перпендикулярных эквивалентных
направления, которые назовем координатными.
Для получения всех групп симметрии с несколькими осями
высшего порядка определим сначала полный набор элементов
симметрии куба — высшую кристаллографическую группу
симметрии. Очевидны три координатные плоскости симметрии (их
нормали совпадают с координатными направлениями, .рис. 22,6)
и 6 диагональных плоскостей симметрии, проходящих через оси
3-го порядка (нормали к этим плоскостям параллельны
диагоналям граней куба, рис. 22, в). Взаимное пересечение
координатных и диагональных плоскостей симметрии под углом 45°
определяет порядок координатных осей симметрии (3L4), а
пересечение этих плоскостей под углом 90° позволит выявить
шестерку осей 2-го порядка (диагональных), которые проходят
через середины ребер куба. Очевиден центр инверсии (L2_LPd
или L42_LPK). Таким образом,, высшая кристаллографическая
группа симметрии -^^^^L^LSPSPdOD^ис. 22, г). Остальные
группы можно получить, отбрасывая те или иные элементы
симметрии из этого полного набора и исследуя результат таких
«нарушений» группы.
Отбросив все плоскости симметрии, получим «чистый»
осевой набор 3L44L36L2. Действительно, в наших предыдущих
рассуждениях плоскости симметриисяуж1Щ1_пор.ождаюшими эле^
^iejHTaMH^_cj!iMMeTpHH, а оси — порожденными, но порожденные
элементы симметрии мотут^уществовать и независимо от
породивших их элементов; в данном случае возможность
существования этой осевой группы подтверждается взаимодействием осей
2-го порядка (L2 и L42).
Отбросив шестерку диагональных плоскостей симметрии,
понизим порядок координатных осей: 3L4->-3L2 (оставшиеся
координатные плоскости симметрии пересекаются под углом
90°). Убедившись, что центр инверсии сохранился (L2_LPK),
приходим к группе 3L24L33PKC.
В группе, лишенной координатных плоскостей симметрии,
сначала обнаруживаем на координатных позициях только оси
симметрии 2-го порядка (диагональные плоскости взаимно
перпендикулярны), однако оказывается, что эти оси лишь
поворотные составляющие сложных осей 4-го порядка (L2XP<i =
— <L4(£4)). Полученная группа — 3£44L36Pd (группа
симметрии тетраэдра).
Наконец, оставив в последних двух группах только оси
симметрии, придем к самой младшей группе — 3L24L3.
йтак'г .полУчено 5 кристаллографических групп симметрии.
По Шёнфлису, группы с несколькими осями высшего по-
25

§ 5. КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ В КРИСТАЛЛОГРАФИИ
рядка, содержащие полный набор осей симметрии,
обозначаются буквой О (осевой набор октаэдра и куба — 3L44L36L2) /добно, так как прямоугольная система с одинаковыми масш-
группы, в которых нет диагональных осей симметрии, обозна'габами по осям не позволит достаточно полно и наглядно отра-
чают буквой Т (поворотная составляющая осевого комплексашть симметрию кристаллов. Естественной кристаллографиче-
тетраэдра — 3L24L3) 5. Индексы hud указывают на коордиокой координатной системой будет такая, в которой координат-
натные и диагональные плоскости симметрии соответственно;ше оси совмещены с особыми направлениями, т. е. с осями
если имеются оба типа плоскостей, в символ записывают лишыимметрии и нормалями к плоскостям симметрии; при отсут-
координатные. угвии или недостаточном числе особых направлений коорди-
Таким образом, в символике Шёнфлиса вывод групп симчатные оси совмещают с действительными или возможными
метрии с несколькими осями высшего порядка запишется в видезебрами кристалла (если есть одно особое направление, то
алгоритма: зебра должны лежать-в плоскости, перпендикулярной этому
вправлению). Следовательно, координатные системы кристал-
юв будут различаться своими осевыми углами: a=YZ, $=XZ,
р =ХУ (рис. 23). Однако для кристаллографической
координатной системы недостаточна лишь угловая характеристика —
триходится считаться с тем, что направления, вдоль которых
зыбраны координатные оси, не обязательно эквивалентны
т-т о« /«- r-ч (анизотропия кристалла!). Степень эквивалентности можно
Полученные 32(27 + 5) группы симметрии исчерпывают все вно отразить, например, соотношением единиц измерения
возможные случаи сочетания операции (элементов) симметрии^ ь с по осям X Y Z
в кристаллических многогранниках. ' |ри возможности — афЪфс, а = Ьфс и а = Ь = с —
позволяют распределить кристаллографические координатные
системы по трем категориям — низшей, средней и высшей;
рассмотрев угловые соотношения в каждой из этих категорий, можно
тт ^ , вывести все кристаллографические реперы. Группы симметрии
Необходимость фиксировать то или иное направление, тус единым координатным репером объединяют в одно семей-
или иную плоскость заставляет вводить в кристаллах коорди-ство сингонию (системи)
натную систему. Однако пользоваться во всех случаях какой-
то единой системой, например наиболее распространенной в I. Низшая категория (афЪфс)
аналитической геометрии декартовой, в кристаллографии не-
Из условия неэквивалентности координатных осей следует,
что к низшей категории должны относиться лишь классы, не
имеющие осей симметрии высшего порядка. Число особых
направлений, как явствует из теорем взаимодействия элементов
симметрии, может быть равно лишь 3, 1 и 0.
1. Особых направлений — три. Так как особыми
направлениями в низшей категории оказываются поворотные или ин-
lT«JLJ^™Zl™T ™SBePCH0HHbie оси 2-го порядка, здесь, как очевидно из тех же
теорем, неизбежны прямые углы между координатными осями.
Сингонию с таким координатным репером — афЪфс и а = р =
=<у = 90° — называют ромбической^ (ось Z принято во всех
, группах этой сингонии совмещать с поворотной осью симмет-
Рис. 24. Установка (координат- Р )•
ная система) Миллера для кри- ^- Особое направление — одно. С этим особым направле-
сталлов тригональной подсинго-нием — осью. 2-го порядка, поворотной или инверсионной,—
нии гексагональной сингонии совмещают одну координатную ось, две другие приходится
^ыби^ать^более или менее произвольно — параллельно реб-
5 Осевой набор икосаэдра (и правильного додекаэдра) — /=615101з15Ь-
26
таллографии правая
координат
чения
Четырехгранные простые формы этой системы имеют ромбические се-
27

рам, которые должны лежать в перпендикулярной особому н« HI. Высшая категория (а—Ь—с)
правлению плоскости. Таким образом, приходим к коопдина
ному реперу с одним непрямым углом (углом между коорд, Эквивалентность координатных осей предполагает _сущест-
натнымп осями, выбранными параллельно ребрам кристалла^вание хотя бы одной оси 3-го порядка, равнонаклоннои к коор-
гг^гттттг, ™„ " » •> / _а)_а о/ \ /пллинятны\' осям, а следовательно, и равенство осевых углов
1руппы с такой координатной системой (афофс, 6(v)^90-*HHaTHbi-v ' * „ й_л,_аоп° „„/?«« — «—«, —оп°
образуют ,—ШНуРю сингонию (преч. моно-один'клиносА Р, \^^°0ГЦ^ ^„Кю 'высшего
™у'г^Г С еединственным ос°бьм направлением совмещав « "^'эквивалентные направления, вдоль которых выбра-
ось У (классическая установка), то непрямым окажется уго°p№£■» F , направлениями,
tlZ "? С б°МУ напРавлению иде* ось Z <Раииональн<сЬли S» они не образую/ с й угол, равный 90°,- перед
установка), то углом моноклинное™ будет угол у. £™ ™р„гональная подсингония гексагональной сингони/ в
6. Особые направления отсутствуют. Координатные оси прр1ами F дд
ходатся выбирать параллельно действительным или возможнн'ст|новк^ ^ЛЛД,а,ае в прямоугольной системе с эквивалент-
ние сингГии с?акой^^^Л^данЗ^^Гй^х октантов пройдут оси 3-го порядка (4L3), ра—лон-
триклинная " ^ -^ слип ше к КООрдИПатным осям, совпадающим либо с 3L4, либо с
lLi} либо с 3L2.
Таким образом, в высшей категории оказывается лишь одна
11. Средняя категория (а^Ьфс) «юрдинатная система — одна сингония — кубическая: а = Ь = с,
дует, что к средней категории относятся лишь группы с"ед£ Итак' если гРУ™ы симметрии распределять по сингониям в
ственной осью высшего порядка - главной осью группь;00тветствии с координатными системами, естественно выде-
С главной осью совмещают вертикальную координатную ось 21ЯТЪ шесть сингонии.
а оси X и Y выбирают в плоскости, перпендикулярной к глав § 6 международные ОБОЗНАЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
ному направлению по осям 2-го порядка, поворотным или ие СИММЕТРИИ (СИМВОЛЫ ГЕРМАНА-МОГЕНА)
версионным, если их нет — параллельно ребрам кристалла
Угол у между горизонтальными осями определяется порядке. г\ „ с „ „^ n„r,n*™n
т^ттоп^й ««„• on© „„„ п л ,, юно 1 . Очень простая и наглядная символика Бравэ не является,
главной оси v=yu для оси 4-го порядка и v = 120 для ocei ^ «.
п„ „ д „^ „*„т, „ т „ * » Однако, общепринятой, так как, несмотря на громоздкость,
tZlt ™ Р™пп„и„ Р ' В СРЗДНеИ категоР™ формулы Бравэ все же не отражают всех операций данной
дае сингонии координатные системы' КОТОРЫМ с°ответс™Ую:руппы (см § 7), а кроме того, их нельзя использовать для
шисания симметрии кристаллических структур.
1) тетрагональная сингония: а = Ьфс, а = (3 = у = 90°, Изящные символы Шёнфлиса используются гораздо шире,
2) гексагональная сингония7: а = Ьфс, а=р = 90°, у=120°. >днако они, как и символы Бравэ, не привязаны к координат-
nn-,,w0„n„nn. „\ — „,«„„ юй системе и, хотя их и употребляют при описании
внутренним ечания. а) по традиции для координатных горизо*1ей симметрии кристалла/в этом качестве они недостаточно
тальных осей в тетрагональной сингоншщформативны
предпочитают L2, в гексагональной - I. На позпциях международного символа (их может быть 3,
(нормали к плоскостям симметрии); . или 1} записывают обозначения неэквивалентных особых
б) гексагональную сингонию можно подраз1агтравлений _ oceft симметр ПОВОр0тных и инверсионных,
делить на две подсингонии - тригоналЮси симметрии обозначают арабскими цифрами, соответствую-
ную с главной осью L3 или U и гексагоцими порядку оси; в случае инверсионной оси над цифрой ста-
нальную с главной осью L6 и U , «ят черточку, в случае зеркальной — кружок, однако в обще-
. финятых символах фиксируют только инверсионные оси; вме-
' Особенность гексагональной сингонии - три эквивалентных направлето 2 — нормали к плоскости симметрии — записывают m (от
ния в горизонтальной плоскости — позволяет в случае надобности вводит! «г п mirmr ™-, \ т? „ «
третью горизонгальную координатную ось - и (установка Бравэ). '* miiror — зеркало). Если ось симметрии совпадает с нор-
8 Для кристаллов с единственной осью 3-го порядка иногда полъзую* bJ° K плоскости симметрии, то их следует записывать на
ся устаревшей установкой Миллера: a=b = c, a=|3=Y=^90°; при этом коор;Ян°й позиции в виде дроби: в числителе — ось, в знаменате-
динатные оси выбирают по трем ребрам кристалла, образующим равные уПе — нормаль к плоскости. Однако обозначение оси как пра-
лы с осью L& (рис. 24). - » i
28
29

7. ПОРЯДОК КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ГРУПП
СИММЕТРИИ. КВАДРАТЫ КЕЙЛИ
Таким образом, в международных символах записывают
вило, опускают, оставляя лишь букву т, если ось можно сч, Ровном порождающие элементы симметрии, предпочитая
тать порожденной элементами симметрии, записанными в си» °^Гтак0ВЫми плоскости симметрии. Если инверсионная ось
воле; нельзя опускать лишь ооозначение главной оси в сре;читать_ ^ величину симметрии9, чем совпадающая с ней
ней категории. копотная то в символе показывают именно ее, т. е. записы-
Б ромоическои системе три позиции символа связаны соо]овиР_ ' — „2 А,
ветственно с особыми направлениями вдоль координатных осеают 6, а не 3/т, Зт и тЗт вместо о — и тдт, но 4/m, a
X, Y и Z (L22JP = mm2 = m2m = 2mm). Очевидно, что символ: __
т2т и 2mm отвечают нестандартным для ромбической систре 4/m.
мы установкам: в первом случае поворотная ось идет вдоль ос
У, во втором — вдоль оси X.
Символ группы моноклинной системы имеет лишь одну пс
зицию, не отражая, с какой из координатных осей — У. ил
Z — связано единственное особое направление; чтобы показат „ „ ^гг^лттогт апп„о пйпа
это, можно на позиции, не занятые особыми направлениям, Нетрудно увидеть, что даже самая подробная форма обоз-
/ 2 2 ачения групп симметрии (система Бравэ), вполне достаточ-
поставить единицы — оси 1-го порядка tL2PC =— = 1— ая для характеристики симметрии кристалла, не отражает
2 \ \ т т олностью все симметрические операции .соответствующей груп-
или 11 — 1. На примере групп L22P(C2v) и L2PC(C2h) хорошы Так не учитываются правые и левые повороты, не запи-
видно, что ни символ Бравэ, ни символ Шёнфлиса не отражаю™310™ оси ™етРии> операции которых «перекрываются»
установки кристалла. перациями осей более высоких порядков. ц
" В триклинной системе особых направлений нет; в символ за 0б^е числ0 ^^^^^^^■J^^r^^.J^^.
писывают лишь ось 1-го порядка, поворотную или инверсно*™*CCaJ onPe*ef ет ее °°Р^ °1^ яянимаю пиТ пооиз-
о _ г » г j r Hg0 объектов (точек, фигурок, граней), занимающих произ-
ную (Li = l, ii = C=2 = l). ольное положение относительно элементов симметрии и свя-
В символах групп средней категории на 1-ю позицию стаанных операциями симметрии данной группы. Если речь идет
вят главное особое направление (ось высшего порядка), т. t гранях, то такое семейство граней называют общей простой
направление, совмещаемое с осью Z, на 2-ю позицию — побо^ормой (см. гл. III). Так, на рис. 25 изображены проекция
ное координатное направление — направление, идущее вдолрущш 4/m и фигурка, ра'зм-
•оси X = Y( = U), на 3-ю ■— особое направление, образующее оженная операциями этого
координатным побочным направлением угол а/2, где угол а -ласса. Фигурка повторяется
элементарный угол поворота главной оси. Элементы симмет раз, следовательно, число
рии, представленные этим особым направлением,— результаимметрических операций этой
взаимодействия элементов симметрии 1-й и 2-й позиций. Еслруппы — ее порядок — рав-
а/2 = 45° (главная ось 4 и~4=°4), то направление 3-й позици0 8- Обратим внимание, что в
называют диагональным; при а/2 = 30° (ось 6 или 6) это Hanpa£^f симметрии всегда Haf"
г ' v ' _ v ,ется такая операция, которая
ление принято называть апофемальным; для осей 3 и 3 ( = £вяжет две любые фигурки
угол а/2 = 60°, а так как все направления, образующие межддного «семейства»,
собой углы в 60°, в данном случае эквивалентны, 3-я позици Подгруппа данной группы
в символе вообще пустует. Таким образом, L44L2 = 422, одержит лишь часть ее опе-
L33L2 = 32, L66P = 6mm, но Ls3P = 3m. Учитывая сказанное аций, в свою очередь тоже
примечании (а) на с. 28, запишем 42т, но"бт2. оставляющих группу. ■ Так,
В кубической системе все три координатные особые шля гРУ™ы 8-го порядка 4/m
правления (X=Y=Z) занимают одну — 1-ю — позицию; ди.,днои из подгрупп 4-го порядка будет, например, zjm ^ее_опе-
гональные направления, т. е. направления, проходящие по би<1ац-ии — 2, т, 1, 1), подгруппами 2-го порядка — 2, m и 1.
сектрисам углов между координатными осями, записывают^ "
на, 3-й позиции; 2-ю позицию занимает обязательная для все 8 Величина симметрии оси определяется ее «размножающей» спосооно-
групп кубической системы четверка осей L3, обозначаемая ци<Г^ 1ак' величина симметрии равна шести у осей 6, 6 и 3, но лишь трем
рой 3 (3L44L36L2 = 432, 3L44Ls6L29PC = m~3m).
31
30
а
Рис. 25. К определению порядка
группы 4/m: а — стереограмма.
полученная размножением фигур,
имеющих лицевую и изнаночную
стороны, операциями группы 4/m;
б — «звезда симметрии» —
иллюстрация связи исходной фигуры а
со всеми остальными фигурами

Добавляя новые операции к какой-либо группе, получ
ее надгруппы. Так, для группы 4/т надгруппами бу^док вдвое (гемиэдрические группы, геми — половина) или
-~тт и тЗт = — 3"— четверо (тетартоэдрия). В тетрагональной сингонии к геми-
т тт л т О1 ппмм относятся —, 42т и другие, к тетартоэдрии — 4 и 4.
Чтобы узнать строй группы, т. е. найти произведения всДР 0THOC>11L m ^y F AF
пар симметрических операций данной группы, удобно воспоЗ гексагональной сингонии, которую принято делить на две
зоваться квадратной таблицей умножения >- построить так ьп1ГИНГонии, будут две голоэдрические группы - mm и
зываемыи квадрат Кейли. Операции симметрии, составляю^ Д m
группу, записываются в верхней горизонтальной строке и в ~т Если же не выделять подсингонии, то голоэдрией придется
вом вертикальном столбце квадрата. Произведение операц ' mmI. rnvTTTTV JLmm тогпя rnvnna Tm rwptvttht как
находится на пересечении вертикального столбца с соотв(читаТЬ ЛИШЬ РУ У m ' Д РУ выступит как
ствующей горизонтальной строкой. емиэдрия, а группа 3 окажется восьмикратно пониженной —
•гдоэдрической.
Квадрат Кейли группы — П°Д гемиморфией понимают гемиэдрию с единственной по-
т :ярной осью (см. сноску 18).
§ 8. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ АНТИСИММЕТРИИ —
ГРУППЫ ЧЕРНО-БЕЛОЙ СИММЕТРИИ
В кристаллографической практике, например при описании
;акономерных срастаний кристаллов, приходится несколько рас-
иирить представление о симметрии, обратившись к так назы-
;аемой антисимметрии.
Антисимметричными будем считать геометрически равные
зигуры (или их части), совмещаемые друг с другом операция-
ш симметрии I или II рода, если эти фигуры обладают физи-
.ески противоположными свойствами. Такими свойствами мо-
ут быть, напри'мер, разная окраска двух объектов, их поло-
кительный и отрицательный заряды, температура -И и —t,
:пособность вращать плоскость поляризации в противополож-
тые стороны и т. д., иными словами, любые свойства, способ-
ше существовать в двух энантиоморфных модификациях. Та-
шм образом, операция антисимметрии сочетает классическое
1реобразование симметрии с изменением какого-либо
двузначного свойства на противоположное. Вместо антисимметрии
иногда говорят о «плюс-минус» симметрии или о «черно-белой»
симметрии; последний термин практически наиболее удобен.
В каждой группе общая простая форма имеет максима.^ !том слУчае элементы антисимметрии называют цветными,
ное число граней, поэтому очевидно, что общая форма стре"ствие элементов антисимметрии показано на рис. 26.
1
41
2
4-1
т
о
41
I
41
41
2
4-1
1
о
41
I
41
т
2
4-1
1
41
т
41
т
о
41
4-1
1
41
2
41
т
о
41
I
т
о
41
т
41
1
41
2
4-1
о
41
Т
41
т
41
2
4-1
1
I
41
т
о
41
2
4-1
1
41
41
т
о
41
I
4-1
1
41
2
шей группы в каждой сингонии будет самой полногранной
голоэдрической (голо — весь, эдра — грань); отсюда и наз!
ние группы высшего порядка данной сингонии — голоэдр!
Так, в тетрагональной сингонии голоэдрической будет груП
1о-го порядка тт.
т
Остальные группы данной сингонии (их называют ме[
эдрическими, мерос — часть) можно получить, изъяв одну И
о
две операции 2-го порядка (2, 2 — т, 2=1), т. е. понизив '
:->£<
32
I Зак. 196
Рис. 26. Элементы антисимметрии 2-го порядка
33

Взаимодействие элементов антисимметрии друг с друге „1ТЦРГКОй группы к ее цветным надгруппам каждый раз
и с элементами классической симметрии подчиняется общй<лас^ цветНая т е удваивающая, операция
законам взаимодействия элементов симметрии, причем очевц:5В0^"^ ли апри0ри "решить, сколько черно-белых групп бу-
но, что при разнородных порождающих элементах симметрр ^„«нено той или иной точечной? Рассмотрим в качестве
возникает цветной элемент (рис. 27 а), а при однородных ^ п д ппы антисимметрии, подчиненные тетрагональной
классический (рис. 27,6). Таким образом, цветные оператлРимера у л
симметрии можно упод-олоэдрии [^ тт) ■ Порядок этих групп антисимметрии равен
бить операциям класс: поэтому порядок подгрупп классической симметрии должен
ческой симметрии II род*^ть равен 8_ Среди 32 точечных групп только для пяти групп
них юВоднТалишьСоп(^^ 4тт> 422> 42т> 4/т) ПОрЯА°К равеН 8'„пРичём каждаЯ
оацич антастеттиз них оказывается подгруппой тетрагональной голоэдрии по-
4авитГ?п1ппЭТ0му и черно-белых групп в этом случае должно быть 5.
Действительно, приняв за порождающие элементы симметрии тет-
Рис. 27. Взаимодействие элементов
антисимметрии друг с другом и с элементами
классической симметрии
т т и
тт и
т т
нельзя составить группг
символах МеЖоХ?нРа°чДешР™нальной голоэдрии три плоскости симметрии -
цветных элементов сиги md, получим для случая одной цветной плоскости
метрии снабжают штр| t .,
хами (2', т', Р и т. д.-^ т'т, для двух таких плоскостей
Покажем на нескол:~т
ких примерах, как выводятся группы антисимметрии, подчини-д ДЛя трех ^-т'т'.
ные (или, как говорят, изоморфные) той или иной классическо * * т'
точечной групле. Предлагаем читателю для каждой из
В группе ттт, в которой за порождающие элементы симгРУпп найти ее классический компонент,
метрии удобно принять три взаимно перпендикулярные плос Все группы антисимметрии такого типа, подчиненные 61
кости симметрии, антиплоскостью может быть либо одна иточеч11ЫМ классическим, могут быть выведены путем «зацве-
них, либо две, либо все три. Поскольку все три плоскости раЕчиван"я» порождающих элементов симметрии каждой группы
ноправны, получим всего три группы: mmm'( = mm'm = m'mm}BceyiVL возможными комбинациями. Полный список включает
т'т'т и т'т'т'. Развернутые символы этих групп 8-го поряд58 таких П>упп. °А1ШК0 не каждой группе класс™скои сим-
/ 2' 2' 2 2' 2' 2 2 2 2 vieTPHn изоморфна группа антисимметрии (черно-белая груп-
„п 1™™™'— «,'«,#«,_ _#_/_# 7—па). Любая группа антисимметрии, как говорилось, имеет клас-
пяти черно-белых
к а I ттт —
\ mm
т т т=-
т mm
т т
„й.,,,,^ „пп тт п „ т w « „m m т'сическую подгруппу вдвое меньшего порядка, поэтому возмож-
убеждают нас, что в каждой из них число операции антисияяы цветные группы лишь четного порядка. Так, из рис. 28 оче-
метрии равно числу операции классической, симметрии: да^Д Р%ытаясъ поставить
группы ттт, например, это 2'х, 2fy, m'ZjL Г и тх, ту, 2г, 1Себе действие цветной оси 3-го по-
для т'т'т — 2'х, 2'у, т'х, т\ и 2Z, mz, l, 1, иными словам? рязка, увидим наложение черных и
группы антисимметрии имеют подгруппы классической симмй белых фигур друг на друга. Таким
рии, порядок которых в два раза ниже порядка групп антисим образом, получим ось, которая
метрии. Для выведенных черно-белых групп 8-го порядка эт предполагает как классический по-
единственные три группы низшей категории 4-го порядк' В0Р°т на 120°, так и антиповорот на
тт2, 2\т, 222. Действительно, взаимодействие некоторой оп< Т0Ти Же угол. Такую ось называют
рации антисимметрии с каждой из операций заданной класс) митральной или серой.
ческой группы породит новые операции антисимметрии в колг „Группы, в которых все операции
честве, равном числу классических операций этой группы. Tai неитРальные (серые), составляют
добавив к операциям группы тт2 цветной центр инвереш втоРое семейство групп антисим-
получим тхХ\' = 2'х, mvX~V = 2'v, 2гХ1' = т'г, 1хР=Р, т. ■ ^Т£Ш' В таких гРУппах каждой
2' 9' 2 оиурации классической симметрии
тт2х\ = г = ттт'. соответствует аналогичная ей one-
Очевидно!",™ выявленная закономерность справедлива д* м^™ IZZ^e^nuTZlaT^
всех групп антисимметрии, так как при переходе от точечно 1 р Dl d dKd ыве7
Рис. 28. Ось 3-го порядка
не может быть осью
антисимметрии
(цвета) оставляет фигуру на ме-
34
35

Глава II
СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ И РЕБЕР КРИСТАЛЛОВ.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
КРИСТАЛЛОГРАФИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ
сте, поэтому эту операцию можно назвать антитождестве
(1')- Очевидно, что число точечных нейтральных (серых) груг
должно быть равно 32, порядок каждой из них вдвое вьц
порядка соответствующей классической группы; так, поряд,
серой группы 3_( = 3-1') равен 6, серой группы 32( = 32-Г) р
вей 12, группы Зт-Г — 24.
Обратим внимание, что и точечной группе четного поряд;
не обязательно будут изоморфны группы антисимметрии. Таю
оказывается группа 23, так как не только оси 3-го порядк
но и оси 2-го порядка в данном случае не могут быть ант
осями. Действительно, любая из трех осей 2-го порядка ее
результат взаимодействия двух других, и, посчитав, например j ИНДИЦИРОВАНИЕ ГРАНЕЙ КРИСТАЛЛА -
обе оси цветными, результирующую получим одноцветной, ч- ' СИМВОЛОВ. ЗАКОН ГАЮИ
абсурдно, так как оси, будучи эквивалентными (связаны ось
3.), не могут оказаться разноименными. Если обратим вним фикСирование граней кристалла сферическими координа-
^oL™,°TCyTCTBHe в гРУппе 23 подгруппы вдвое меньшего (6-т(-ами ф и р> несмотря на простоту и наглядность, не позволяет
порядка, придем к тому же выводу. Подобное рассуждение пастан0*ИТь закономерность в расположении всех граней кри-
ию! -|?ШИТЬ' -Т° каждои из кубических групп 24-го порадталла. Кроме того, ■ пользуясь сферическими координатами,
(432, 43т и тЗ) будет изоморфно лишь по одной цветнаельзя решить, может ли некоторая плоскость оказаться гранью
группе (4/32/, 4,3т/ и т'3'= —З7), а голоэдрической (полн^исталла> Инфицирование, т. е. присвоение каждой грани чис-
т' * ювого символа, свободно от этих недостатков,
симметричной) группе — т\ри(т'3'т=-^-3' —, тЗт'=—3- ВыбРав в кристалле координатную систему, мы сможем
_ \ т' т' т определить те отрезки (параметры), которые грань кристалла,
и т'3'т'= — 3' — ).
т' т')
Иногда, рассматривая группы антисимметрии, к их числ
относят и те 32 точечные группы, в которых операция перем(
ны знака отсутствует; в черно-белой терминологии это одне
цветные группы — их называют также полярными. Тогда т
58 групп, в которых наряду с операциями антисимметрии cj
ществуют и несовпадающие с ними операции классической син
метрии, считают группами смешанной полярности.
О A i OB ■■ ОС =а -Ь -с
OAeiOBe-OC6 = ае- Ье-се
Рис. 30. К определению символа
грани
Рис. 29. Грань п «малого» и
«большого» кристаллов пересекает коорди-
атные оси в одинаковом
отношении: OA-.OB-.OC^OAi-.OBi-.OCi
продолженная до пересечения с координатными осями, отсечет
do ЭТ/пл°СЯХ ^РИС' 29^' Однако абсолютная величина парамет-
Р в \ОА, ОВ, ОС) — слишком неустойчивая характеристика
37

Рвиничная грань 12. Символы граней одной простой
грани, так как кристаллы могут изменять свои размеры, тзвание - е^"4" ^ены из одних и тех же индексов и от-
коль скоро при этом грани «перемещаются» параллельно О0рмы (см.. с. W) с°с™^!?ыиипер^становкой индексов. Напри-
мим себе, позицию грани кристалла относительно заданной даются знаками ад ^ четырехгранной пирами-
ординатнои системы может выразить отношение ее парамиео для граней некошрии Liya°n _ „ ,
ров - ОА:ОВ:ОС = ОА':ОВ':ОС. Для изображенных »ы получим: (123), (213), (123), (213); символ всей формы -
рис. 30 плоскостей ABC и АаВеСе эти отношения равны сом 23) ^ т™^
ветственно а:Ь:с и ае:Ье:се. Однако кристаллографическ В гексагональной системе удобно вводить вспомогательную
координатные оси в общем случае неэквивалентны друг дру^ь U, эквивалентную осям Х= У поэтому в символе появляет-
поэтому единый масштаб измерения по всем осям не пригодш дополнительный индекс (tikii), ^ причем, как оч
Наиболее разумно воспользоваться тем, что дает сам кристал3 рис. 31, h+k = i13. Пользуясь такой системой координат,
и принять за единицы измерения по каждой оси соответству.-егко получить круговой перестановкой индексов hki символы
щие параметры некоторой реальной грани этого кристалл
Если такой «законодательной» гранью выбрать грань АеВе(
то позиция грани ABC выразится двойным отношением пар
а Ъ с a b с
метров : — :—, при этом величины —, —, — д,
ае be ce ae be ce
геометрических фигур могут принимать любые значения, тог,
как для кристаллов в кристаллографической координатной с
стеме они обязательно окажутся рациональными10, а значг
их отношение можно привести к отношению целых взаим
простых чисел — р: q:r = — : — : —. Эта особенное
ае ье се
огранки кристаллов, отмеченная еще в 1783 г. Р. Ж- Гаюи, и
вестна как закон Гаюи, закон целых чисел, или закон раци
нальности отношений параметров: двойные отношения пар
метров двух любых граней кристалла равны отношению к
лых небольших взаимно простых чисел. В свете современнь
знаний этот закон оказался лишь следствием особенности в ну
реннего строения кристаллов — трехмерной периодичности
расположении материальных частиц.
Индексы р : q: г (индексы Вейса) оказались для криста.
лографической практики неудачными, так как для грани, п>
раллельной какой-нибудь координатной оси, соответствуют!:
индекс будет равен сю, что неудобно при расчетах; это поб;
дило перейти к предложенным в 1839 г. Миллером индекса
h\k:l=— : — : — = —L : _i- : _£l_ Индексы Миллера h, k,
р q r a b с
заключенные в круглые скобки без знаков отношения (котор1
подразумеваются!), называются символом грани — (hkl). _
1 3
В нашем примере на рис. 30 р: q \r = — : — : 3 — 1:3:
h- k-i= — • — • —
* "~ 1 ' з " 6
что символ параметрической грани, т. е. грани, задающей отн
Рис. 31. К теореме h+k=i.
АВ — линия пересечения
грани (hkil) с плоскостью
осей X, Y, U. По
построению BLWOU AABL~
~ AANO, откуда
р+д _ я . р+д _ я .
X
Рис^ 32. Поворот грани
(3251) вертикальной осьюЗ-
го порядка_(показано в
плане): 1._ (3251)^-2. (5321)-^
->3. (2531) или _ (32-1)-^
->(53-1)-Ч25-1)
Р
РЧ
nq
+ —
или
q
1
р
+
р
1
-»•
я
)
—
ч
1
-*■
п
h + k= i
тогда
12 Координатные оси и единичная грань задают так называемые геомет-
ические константы, или элементы (параметры), кристалла: а, |3, у и
6:2:1, т.е. (hkl) = (621) ". Очевидч: бе: Се = ^:,: ^. = йо:, ;Со(ш также , 6)
ОпРеделяя символы граней кристаллов гексагональной сингонии, ре-
сительный масштаб ае:Ъе:се, будет (111), отсюда ее втор1°мендУется сначала не обращать внимание на «лишнюю» ось U, тем более
то она мешает при аналитических расчетах (см., например, с. 47). Однако,
тобы не путать четырехосную установку Бравэ с трехосной Миллера, в
10 Обратим внимание, что а:Ь:с или ае:Ье'-се могут быть иррациональИКОнчательный ответ следует вставлять недостающий индекс по этой оси
11 Читается шесть—два—один, но не шестьсот двадцать один. ли точку: (hkl) = (hk(h+k)l) или (hk-l).
38
39

граней, связанных поворотом вокруг оси L3.- Например, п
граней пирамид,,{3251} (рис, 32), не прибегая к /ертежу, U ^^„^^"^Т^^^го*^.
пишем: (3251), (5321) и (2531). Изъяв же «лишний» ™тт^средней категории поворотом вокруг главной оси симмет-
нолучили бы для граней одной простой формы — (321), (53 связаны лишь горизонтальные координатные оси, поэтому
и (251). ш^ЬефСс} и запись (111) или (1Ы) говорит о равенстве
На основании закона Гаюи можно не только выявить за^щь* двух первых параметров; На стереограмме единичная
номерности в расположении любых граней кристалла, но и раНь располагается на биссектрисе угла между горизонталь-
реальным граням получать возможные грани кристалла: выми координатными осями. Введение дополнительной горизон-
альной оси позволяет выбирать единичную грань в гексаго-
альной сингонии двумя способами: она должна отсекать рав-
ые отрезки либо на осях XY, либо на осях XU: символ грани
первом случае (1121), во втором — (1011).
В сингониях низшей категории координатные оси не экви-
алентны друг другу, поэтому . параметры единичной грани
:о всем трем осям различны {аефЬефсе), и за единичную
десь можно принять любую грань, пересекающую все три
юординатные оси.
Таким образом, запись (111) в общем случае отнюдь не
(значает равенства параметров единичной грани: единицы в
.имволе указывают лишь на то, что параметры именно этой
рани выбраны за относительные единицы измерения парамет-
)ов всех остальных граней (и ребер) данного кристалла. Оче-
шдно, что относительные единицы измерения по координат-
1ым осям нужны лишь для индицирования тех граней, которые
юресекают разномасштабные оси.
Координатные грани не нуждаются в относительном мас-
цтабе, так как, пересекая лишь по одной координатной оси,
>ни независимо от величин параметров получают символы
[100), (010) и (001). Само собой разумеется, что координат-
.. тые грани, не нуждаясь в относительном масштабе, не спо-
орав по трем некомпланарным ребрам кристалла координации и задавать его
ные оси и пересекающую эти оси грань (рис.'33), получим т; В кубической системе координатные оси эквивалентны,
показываемый «тетраэдр Гаюи» (три координатные грани, т. этому для индицирования кристалла единичная грань не нуж-
1рани (1UU), (010), (001), и параметрическая грань (lll)-ia,— параметры грани (111) не «входят» в значения символов
пользуясь которым можно найти позиции возможных гранлртя^„ „ , . \ ае ье(=ае) се(=ае) _ I 1.1
данного кристалла — ими будут лишь плоскости с рациона: ЬНЫХ гРанеи: h :„«'■1 = — '• ъ : ~ : Y ' Т'
ными символами (hkl). Таким образом, для определения символа грани кубического
кристалла надо лишь в любых единицах измерить параметры
к о рпнишшАг ™»„. „ »,..„„ „„ этой гРани по всем трем осям и взять отношение обратных
§ 2. ЕДИНИЧНАЯ ГРАНЬ В КРИСТАЛЛАХ РАЗНЫХ СИНГОНИЙ.величин этих параметров
пЛп™™^ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ В сРед*™ категории сравнивать между собой можно лишь
ПО КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЕДИНИЧНОЙ параметры по горизонтальным (эквивалентным) осям, иными
ГРАНИ словами, поступать так, как в кубической системе, можно толь-
D ко для гРаней типа (МО), т. е. для граней, параллельных оси
ь куоическои сингонии координатные оси связаны paBfZ, где h-.k^^L.- be (== <**)
Рис. 33. Тетраэдр Гаюи
образован тремя
координатными и единичной
гранями
Рис. 34. К определению
ае( = Ье):се в кристаллах
средней категории, не
имеющих единичной грани:
ABC — исходная грань
(hkl), AeBcCe —
выведенная единичная грань
наклонной к ним осью 3-го порядка, поэтому они равномас.
Ь : а. Для определения символов
табны и три единицы измерения одинаковы: ае = Ье = се, т°"альных граней нужно одну из них, пересекающую верти-
грань (111) отсекает равные отрезки по всем трем координ£сальнУю °сь и хотя бы одну из горизонтальных, принять за
Дную, придав ей максимально простой символ.
41

42
Если исходная грань пересекает лишь одну из горизонталь-
,«v пгей то поскольк\ Ое( = Ъе)фсе, ей присваивают символ
101) (или (011)). Так^я грань сразу дает необходимый
масштаб: ае( = ^е) : се.
Ее пи исходная грань пересекает оое горизонтальные оси, ее
тростейшим символом будет (Ш), где h: k = b: а. Так, для
■рани ABC на рис. 34 h : £=1,5 : 1=3 : 2, т. е. символ этой
■рани — (321). Необходимо обратить внимание, что в этом
•чучае индекс /=1 следует вписывать в символ лишь после
^ "ого, как отношение h с k будет сведено к отношению целых
ззаимно простых чисел, иначе символ исходной (первой) грани
жажется неоправданно усложненным: в нашем примере полу-
1им А:й:1-1,5: 1 : 1 = 3: 2 : 2-Ц322).
Зная символ первой грани (Ш) и ее параметры, нетрудно
гайти относительные единицы измерения по координатным
эсям: h:k:\=^-:^-C^^r, откуда ае( = Ье) : се =
а Ъ с (= се)
= h-a( = k-b) :с По рис. 34 находим ав( = Ье) =3-а( = 2-1,5а)
три се = с. Если для определения относительного масштаба
(ав( = Ье) : се) приходится пользоваться гранью (hkl) с изве-
зтными параметра-ми а ; Ъ : с, то ae( = be) : ce=h-a( = k-b) : 1-е.
В сингониях низшей категории масштабными могут быть
пишь грани, пересекающие по две координатные оси: грани
гипа (hkO), (hOl), {Okl); каждая из них дает относительные
единицы измерения лиш& по двум соответствующим осям,
поэтику му, чтобы получить полный масштаб — ае:Ье:се (возможную
единичную грань), две любые грани такого типа принимают за
двуединнчные (ПО) и (011), (ПО) и (101) или (101) и (011).
Мы имеем право так поступать, поскольку в сингониях низшей
категории аефЬеФсе. Пусть за двуединнчные приняты грани
|(П0). и (011) (рис. 353, тогДа первая грань пересекает в.
таком же отношении, к#к возможная единичная, оси X и Y, а
'{вторая — оси У и Z, т. е. ах : Ьх = ае :Ье и b2: c2=be: се. Сведя
рти два заданных отношения в одно (ае:Ье:се), получим
относительные масштабы по всем трем осям. Эту операцию удобно
■проследить на^ рис. 35, а, б, е. Действительно, параллельный
.перенос граней, не менздя их символов, позволяет уравнять
отрезки по той оси, которую пересекают обе грани, и получить
таким образом относительные единицы измерения по всем трем
осям. Естественно, что для определения символов граней, па-
Сэ раллельных тем же осим, что и двуединнчные, получать
возможную единичную гра*$ь нет необходимости.
§ 3. СИМВОЛЫ РЕБЕР КРИСТАЛЛОВ
с
Любая прямая однозначно определяется двумя точками,
*пепр' ТаК КЙК В кРис*алле всякое направление всегда можно
ренести параллельно самому себе в начало координат, это
43

начало принимают за одну из точек. Отношение координат fl к0 переход от четырехчленных индексов ребер к трех-
«°ИЛ™™Й^0ЧКИ* измеРенных параметрами единичной гра;^н°^ КОторыми приходится пользоваться при расчетах (см.,
граней,
первых трех индексов, как это
2/3 ае
4Ь„
2с„
Се 3
и [rst] обозначают одно и то же ребро
по соответствующим осям, называют символом направления^6™*' с 47) несколько сложнее, чем в случае
[rst], т. е. — : -f-: — =r:s:t-+[rst]. Как и в случае гран,Жгое вычеркивание одного из первых трех
<ь Ь се 1 у Р !f я„я погии с гранями часто делают начинающие, изменит на-
индексы г, s, t, если они относятся к ребру кристалла, бул "р„ие ребра Из рис. 37 видно, что изъять лишний индекс
целыми обычно небольшими числами. На рис. 36 г: s: if™^ если величину, обращающую его в нуль, добавить ко
-4- :4:2 = 1:6:3->-[163]. Очевидно, что \rlceli трем первым индексам символа: \rswt]=[r—w s—w
v—zo i]=[r—w s—w 0 t] = [r—w s—w-t] =[rs-t\.
Проиллюстрируем сказанное неконкретном примере
графически (рис. 38). Пусть [rswf\ = [\453\, тогда [1453] = [1_+5 4 + 5
й-5 31 = [6903] =[69-3] -[23-1]. Таким образом, [1453]=[23-1]
(рис. 38, а), но [1453М14-3] (рис. 38,6)
Обратный переход: [rrs,-f\ =
= \r'+f s'+f f t']\ в нашем
примере: [23-l] = [2 + f 3 + ffl],
где f — любое число, поэтому
одному и тому же
трехзначному символу [r's'-f] будет
отвечать бесконечное множество
^четырехзначных, и чтобы
сделать такой символ
определенным, приходится вводить
какое-либо дополнительное
условие. По аналогии с гранями
сумму первых трех индексов
принято приравнивать к
нулю, хотя в данном случае
геометрически это и не
оправдано. Следовательно, в
приведенном выше примере (2 + f) +
+ (3 + f) + f=0 и f=—5/3,
откуда
Рис. 36. К определению символа
ребра [rst]
Рис. 37. Переход от
четырехчленного символа ребра к
трехчленному: а — аксонометрия, б —
план
IrstvtJ'fr'sW'frWtJ
з-А
1
-L-LJL
3 3 3
[1453].
Следует отметить, что
отбрасывание знаменателя приво-
Часто предпочитают говорить не о символе отдельно) ?"* к ™.му> чт0 инДексы сим-
ребра, а о символе оси зоны, (или просто о символе зоны Kooni,S,t пеРеста.от быть
Зоной, или поясом, кристалла называют совокупность гране' ки "к 1 Избраннои Т0Ч~
пересекающихся по параллельным ребрам. Грани одной зоЯ вдоль nefinf ??/ сме™тся
можно называть, таутозональными. Шс оо 1 ^ v ^м и м на
Для обозначения ребер гексагональных кристаллов, так X не изменит°п*К° СЙМ° рббр°
как и для граней, обычно используют четырехчленные симве ния L своего напр-авле-
Рис. 38. Взаимные переходы между
[rswt] и [r's'-f] на конкретном
примере
44
45

Рис. 39. Поворот ребра
(точки) [1453] = [2301]
вертикальной осью 3-го порядка:
1. [2301] ^2. [0_231]^3. [3021]
или [23-1]-»-[31-1]-^[12-1]
w/ у? зида £„«« пчоскости От начала координат, не может быть в
Уи 4У Расст° Де зХксТрован, поэтому его можно приравнять нулю.
тР«^м образом, коэффициенты Л, В, С в уравнении плоскости
f гпвида не что иное, как миллеровские индексы символа
° „„ рсли текущие координаты взяты в кристаллографической
координатной системе. Отсюда следует, что представлять воз-
S грань кристалла способна лишь такая плоскость, в
уравнении которой коэффициенты при текущих координатах
выражены рациональными числами.
о - решая совместно два уравнения
можно определить символ ребра пересечения двух граней
(Mi/i) и {h2k2l2). Такие системы удобно решать способом пе-
щенным, где f=0, т. е. [23-1] = [2301]
"(hMi) \i\h2k2l2). Таки
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ЕГО КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЕ рекрестного умножения:
ПРОЧТЕНИЕ. ЗАКОН ЗОН (ПОЯСОВ) - ЗАКОН ВРИГА Л.
§4.
Грань кристалла, как всякая плоскость, может быть пред
ставлена уравнением первой степени относительно текущи
координат (т. е. координат точки на плоскости).
Запишем известное из аналитической геометрии уравнен»
плоскости в отрезках:
h.
/N/N/N
kn In lla /So
w
r: s
: t = (Ve—*Л): {Kh-Kh): (ЛА—MO.
a b с
(1
Для плоскости, параллельной данной, но проходящей через на
чало координат, получим
Таким же образом можно вычислить символ грани (hkl),
параллельной двум ребрам [fis^i] и [r2s2t2\:
(5)
у
— +
а Ъ
+ ~ = 0.
с
(2
hr1 + ks1 + lt1=0,
hr2+ks2 + lt2 = 0.
Найдем, например, символ ребра, по которому пересекаются
грани (111) и (111) в октаэдре:
Если некоторая прямая лежит на этой плоскости, то коор-
НаТЫ ЛЮбОЙ ТОЧКИ ЭТОЙ ппямпн пгчтг^ттгт ..—
1111
Ti lT
= [202] = [Ю1] или [101].
динаты любой точки э^ой прямой должны у™в^ть ZI * '1 l l l' 1
и6пппмпГГИ плоскости- Перейдем от абстрактных плоскости Графически (рис. 40, а) дуга большого круга, проходящая через
прямой к грани кристалла (hkl) и ребру [rst]. Из определе гномостереографические проекции граней (111) и (111),
представляет собой гномостереографическую проекцию ребра
пересечения этих граней. Построив стереографическую проекцию
ребпа (тгтгпт ргп пнтля ня гтепеогоамме). убеждаемся, что сим-,
k
ния символа грани и ребра следует, что а '• Ь ь ' ъ ' 1
и х:у iz—r-cte'. s-be'.t-Ce, поэтому уравнение (2) в кристаЛ
лографической системе координат примет вид
hr+ks + lt=Q. {6
Это фундаментальное уравнение, выведенное Вейсом, свя
зывает символы грани и ребра, параллельного этой грани, или
ребра (точку его выхода на стереограмме), убеждаемся,
вол этого ребра как биссектрисы XZ действительно — [1011.
(3 В кубическом кристалле это одна из диагональных осей 2-го по-
рядка.
Таким же образом плоскость, параллельная двум пересекаю-
46 47

„™Р пюбой грани, параллельной координатной оси,
ь В символе любой гран , р Например, в
символе 40 К определен™ ПОЗИ111.ндекс^ ^лТн^'о^^; ^0 Действительно, сим
а - ребра (оси 2„), по которых rPf"f'_ Ъоо], следовательно, ft- l + fc-0-Н -О--U 'откуд
пересекаются грани (Ш) „ пТ.'зол оси A I J g параллельна одной из координат
б - грани, параллельной о S = 0- Так, н рис. 41 гра^ь 1 соответствующий индекс ра-
[101] -2J, „ [ОТ,] _% ',ых осей, поэтому в символе гр ^ каК0Й.Нибудь коор-
зен нулю. °fPHaT?3'на содержит координатную грань), то в сим-
цшатнои f^"* ™ ра^ны соответственно первый,
щимся осям 2-го порядка - [101] и roll] - окажется гванкВ0Ле ^™ тоГтий'индексы. Так, для любой зоны, включающей
октаэдра (111) (рис.40, б). Напомнимчтов «SS^I^Pf гай) 0^+1-*+0-<=0, следовательно, д=0.
вебес нГл П°ДОбНЫХ раСЧ6Тах тРади«ионные символы граней РТ Для символов таутозональных граней (Ш) (ЬЩи
РебйтГ- ГР=~° перевести в трехчленные. (^ТГ^^Г+пГ^Г^ ^^ W+-
: + „(МАНИЛИ^ЛЫ)^ ^ло сложения). Действительно
бра- пересечения граней (n,Hih) и
к-л пс пересекаются по параллельным ребрам, или по четьгое^Гь/ \' то h.r+hs+l^O и h2r+k2s+'kt=0. Умножив каждое
ребрам, три из которых не-лежат в одной плоскости ЭтГХ ( „I' Хвнений на целые числа m и « и найдя их почленную
жение отражает сущность закона Вейса (1804) или закон-И3 Э УСлучим (тй, + п/>2К+ (т*,+л*2)з+ md+nfj^O,
«олсое (з0н): всякая плоскость, параллельнадв™^пересек" Хп^тавлС собой уравнение плоскости, принадлежащей зо-
ющимся ребрам кристалла (принадлежащая „ЛУ1"Tl™ ЧТОЖ*^ГГ „„„л „™ гпань. символ которой получен прос-
ющимся ребрам кристалле (принял ^адмда^^'Я ™г^^И ^ ^ ^Г^ сТ^п ко'торой nor*. _
пр^вТенГ'папя^ В03М0ЖНУЮ гР*нь кристалла' а всякое " ™i«L™ S.JU индексов двух других граней (т. е.
правление, параллелыгор пннни гг0л0л0„лм.,„ „ '_ . „ iW'Wr . .... „^„a ^пнупйтнпр положе
представляет риТ^й"»™""" ^^"пад1Сла1Да« Дьум его зонам) не \rst]. Отсюда ясно, что грань, символ которой
пЕ^™,т£ возможную грань кристалла, а всякое на ™i почленным сложением индексов двух други.. .
грани этого тетраэдра диктуют координатные оси четвептяя гпячрй пня павнонаклонна к ним. Так, символ грани ч
параметрическую грань. Возможные грани и ребра кристалле (см оис 41) притупляющей ребро, по которому пересекаются
^лиымИиП°инУ;ГяТ;ГДаВаКЯ -ПЛ0СК0С™ И напРаРвлеРнияРс рашю рани формы I можно получить суммируя символы этих гра-
лельны"„„"ндексами. "о Веису - задавая плоскости, парал- ней например- (WM= (ft.JMi) + (Mid) - .рис. 41, а или
лельные лвС ^2%*™»™* ребрам' и напР^ления парал- (М,0) = ?/Xd) + (W.) - №■ «. «•
нГс^атТ^метГскиГто ГтоГвеЧсГ СП°С°б ГЭЮИ М°Ж" Та™ жс образом ребра [«Я Л^А] и М,« лежат в од-
причем систем* урав^ний' (Ги^'ГкГзыТаГсГ^гГГб-' ^3Х^^1ГК^^ грань (001), кро-
вРпа^== р-Г^алл—| I.^едорГ ™*£™ В^Ь^^^^=^
необходимо опп^лрлитт. РИМП«„ ^„лл„„^ F раммии. ьели откуда h:k:l = nhl:nkl:{m + tin)' т- е> ITk
необходимо определить символ какой-либо грани данного
кристалла, нужно нанести на стереограмму эту грань, а также Те-
тыре грани с заданными символами, а затемР проводить дуг'
больших кругов через проекции граней с известными символ
ми до тех пор, пока искомая грань не окажется на пересете™
двух дуг. Однако нет нужды каждый раз'прибегать к промежу
точному определению символов зон (ребер) и граней So
ГнГДЬьЛК=О0ОРЬШИ П°ЛеЗНЫМИ ™™ -сооГ
То же можно проиллюстрировать рисунком 41, а: грани
принадлежащие той же зоне, что и грань (001), пересекают
плоскости осей XY по параллельным прямым, следовательно,
отношение их параметров, а значит, и индексов h/k постоянно.
Таким же образом легко показать, что для граней зон,
проходящих через грань (010), постоянно отношение hjl, а через
гРань (100) — k/l (см. рис. 41, б, в).
49

,\\ = и
ЧЬ = h2/k2 * const Л,//, = hz/lz = const
/WO)
1 •■■-.
/ s
1 •■■-.
1 —^
I z
b\
1 1 y
^ -Д/ J *
W
*/A =Аг/г2 = const
Рис. 41. Иллюстрация закона зон (поясов) на кристалле
ромбической серы
Следствия 2 и 3 можно получить также, пользуясь
известными в аналитической геометрии условиями таутозональности
граней и компланарности ребер:
h k I
"i &i *i
/z2 /e2 /2
14
= 0,
r s t
r± % к
ГЪ S2 *2
14
-0.
§ 5. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНДИЦИРОВАНИЯ ГРАНЕЙ
КРИСТАЛЛОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КОНСТАНТ
А. Метод развития зон (поясов)
Опираясь на полученные в § 4 следствия из уравнения
hr+ks-\-tt=0 и взяв в качестве исходного основной тетраэдр
14 Правило вычисления определителя матрицы
иА vA wA
ив vB wB
ur vr w,
= u,
vB wB
vc ®c
— v,
uB wB
llr W,
+
+ Ш,
uB vB
uc vc
= UA iP&>c - vC™B) - vA (Ubwc - ucwB) + wA (uBvc - ucvB).
50
(три координатных и единичную грани) 15, можно существенно»
упростить процесс вывода возможных граней кристалла
(рис. 42). (Во избежание ошибок рекомендуется каждую новую
зону проводить через две грани с минимальной суммой
индексов.) Таким образом решается и конкретная задача: зная
позицию (ср и р) некоторой грани, можно, последовательно
развивая зоны, прийти к ее символу.
Обратная задача — определение положения грани с извест-
Рис. 42. Получение возможных граней кристалла развитием зон
(поясов). Зоны рекомендуется проводить в такой последовательности:
1) через координатные грани — получим зоны координатных осей;
2) через единичную и координатные грани — получим двуединичные
грани (011), (101), (ПО) (сокращенно (011) "±>, где "Sd — знак
круговой перестановки); 3) через двуединичные грани — получим (112),
021), (211) (или (112) ■$}); 4) через грани (112) ^ и координатные
грани получим (012) *э и (021) ±>, (212) S, (312) ±> и (321)13, (412)*>'
и (421)-Ь; 5) через двуединичные грани и (120)!э3 (210)"S3 и т. д.
Если исходный тетраэдр не является основным, удобнее изменить ко-
'Динатцую систему (см. задачу XII).
51

му различных пар
^(ВДг'), m3(h3k3l3) и
грани (hkl) двумя способ
pa) — [mi(h\k\h) и
- (mi) (on)
а*:Ьв:се =
ONe
cos ve cos %e cos V-t
cosve
л а
ньш символом (hkl) на стереограмме по-четырем исходным гр.
TavTo^H^Tl РГ6На' еСЛИ соотн°шение, связывающ^едует «• •". ■ -~ cos^ " Cos^ cosv, cos/,, сое и* соь-v,
таутозональные грани (правило сложения), применить в «по итп w другой грани АХВХСХ того же кристалл
тивоположном» направлении, т. е. воспользоваться правш&^П0> ЧТ? Д 1ДРУ 1 Р папныР
расщепления. Действительно (Ш) можно представить ZTZ^ сх --^Г : ~~ : — • где U ^ v, - ее полярные
" тЛ№пг* «WW), m2(h2k2ll\u Тогда для грани*ЛАС символ (МЛ) определится сле-
MVW) и т. д. Расщепив симв^'ш образом (см.также задачу IV): hx:kx:lx =
особами, найдем две такие зоны (два per* а Ъе . _££_ =
nx(h\'kiW)\ и [m2(h2k2l2) и n2(fi2'k242')\^-^:~^' сх
cos^ «^ . ioiv, _ ИСХоднУю взята не
на пересечении которых Л( „ничная а некоторая другая грань (Ш), очевидно, что
жит искомая грань. Таку.еДИ ' fc cos ^ . , совц* . , cosv* ^ u, v —полярные уг-
операцию повторяют до те hx: К '• l*==n~^a coSfi ' cosv '
пор, пока не приходят ни (hkl) .
символами, со(ЛЬ1пРолярнЫе углы определяют, пользуясь сеткой Вульфа, из-
1 меняя на стереограмме (см. рис. 44) дуги между полюсами гра-
г.ппгпп опоеделения выли-
"1Яи%ьходами ксорд^натнйх осей. Способ определения выхо-
Неи и вылидаш v* „,„„„« „ гт-ппамт/гольнои систе-
граням с
тавленными лишь из
О (см. задачу II).
При решении задач Ме ** коордматныГ осей "в" кристалле с непрямоугольной систе-
тодом развития зон удобн *"* к00рдинат разобран в задаче IV.
пользоваться готовой сте Из ДВУХ графических методов зональный более универсален,
реограммой (см. рис. 42] тяк как i позволяет определить не только символ грани по ее
ния нр чяпирс г, - так >как 30нальные отноше 'п^шии но и позицию грани по ее символу. Процесс определе-
В задач, niJ, кооРдинатной системы (сингонии) (рис. 43] ^„символов методом развития зон проще, но если он оказы-
гран^Г^ —з-о индицирован*! ™ Тишком длительным (что говорит о сложности симво
Рис. 43. Позиции основных граней в
кристаллах с прямоугольной (а) и
косоугольной (б) системами координат
ния не зависят от координатной
В задаче III на конкретных пра
граней кристаллов развитием зон
Б. Метод косинусов Вульфа
На рис. 44, а АеВеСе — единичная
мигтг,™ J НИЯ СИМВОЛОВ Ме'ШДим иаовшик ^14 iiK^_„, .._
индицировани /
и o^rrnt вается слишком длительным (что говорит о сложности
символа) и поэтому неточным, целесообразно переходить к методу
косинусов Вульфа.
осями x'v^f об***°*гн™е'нормалью ON. с координатным
осями А, Г, Z (полярные углы). Из AONeAe, AONeBe и ACW.C
грань, ONe±AeBeC£
эординатным
еАе> AONeBe И AONeC
В. Определение геометрических констант кристалла
16
Определив графически полярные углы единичной грани (ке,
\ ^ ill
\ie, -Ve), можно из соотношения ае: о : се = : :
COS Ке COS \le COS Ve
получить геометрические константы (элементы) ■ кристалла
Се __ COSJie . "«■«-
1:60 = ^-:1:
грань (Ш), то ао '• 1
cosjae
cos ft,e " cos ve
flCOS(X
bo =
1
Если взять за исходную
/ COS (Л
Рис. 44. К методу косинусов Вул
52
ьфа
^cos^ -^cosv • Осевые углы а, р,
У измеряют по стереограмме (см. задачу V).
Получение по элементам кристалла координатных и
единичной граней, а также грани (hkl) разбирается в задаче VI.
§ 6. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА КРИСТАЛЛА. ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ В СВЕТЕ РЕШЕТЧАТОГО
СТРОЕНИЯ КРИСТАЛЛОВ
Классическое определение кристалла как однородного твер-
55£Р_анизотропного тела, способного самоограняться, сформули-
См. сноску 12.
53

рованное еще в те времена, когда о внутреннем строении этих
удивительных природных многогранников строились лишь гипо-
тезы, не потеряло своей значимости и в каши дни. Так, лишь
одно из основных свойств кристалла — его однородность, если
ее рассматривать с современных позиций, т. е. с учетом дискрет,
ности строения материи, позволяет достаточно просто прийти
к заключению о решетчатой
О Та 1
5
природе строения кристалла-
■ ческого вещества. Однородным
должно считаться тело, в
котором на конечных
расстояниях от любой его точки
найдутся другие, эквивалентные
ей не только в физическом
отношении, но и
геометрически, т. е. находящиеся в
таком же окружении, как и
исходная. Остановим на одной
из них свое внимание и,
назвав ее «нулевой» (рис. 45, а).
найдем на кратчайшем
расстоянии а = аМИц от нее точку I,
во всех отношениях
эквивалентную выбранной. Из усло-
.вия эквивалентности точек О
и I следует, что на
расстоянии а от точки 1 в
направлении вектора х — 01 должна
находиться точка 2, не
отличимая от первых двух. Продолжая рассуждение (0-М->-2--*-3...)..
приходим к прямолинейному ряду (шеренге) эквивалентных
точек (узлов), находящихся на одинаковых расстояниях друг от
друга; причем из построения (а = аия„) следует, что между
членами этого ряда невозможны дополнительные аналогичные точ-
«и. В некотором другом направлении (Ть на рис. 45,6), не
параллельном вектору Та, эквивалентные точки также выстроятся
в шеренгу с межузловым расстоянием Ь>-а, и эти два
пересекающихся узловых ряда определят собой бесконечную плоскую
сетку — узловую сетку. Можно доказать, что внутри петли
сетки невозможна еще одна эквивалентная точка. Приняв во вни-
^ание и^ третье некомпланарное направление — вектор
*с \Та •< Ть <С Тс), получим трехмерную узловую сетку —
пространственную решетку — также с пустыми ячейками (рис. 45, в).
Таким образом, главная особенность однородного тела
(кристалла) заключается в трехмерной периодичности расположения
эквивалентных материальных частиц. Заметим, что все
остальные характеристики кристалла — твердость, анизотропность,
Рис. 45. Узловой ряд (а); узловая
сетка (б); пространственная
решетка и ее ячейка (в)
54
о о
О
о
О о
9
Q
О О
омываются лишь следствием его решет-
ССгоТрНоТ™. Рис°463иВ47° показывают, что решетке
подчиняется всякий бесконечный %0 - -~
закономерный узор — одно- Q
мерный, двумерный, трехмер-
Пространственная решет-
__ это своеобразный
элемент симметрии, задающий и
осуществляющий повторяе-
м0€ть эквивалентных точек «^
кристаллического пространства 0 w ,^ ^ -
в трех некомпланарных на- ^<>Ж О О О
правлениях; симметрической о,^^^^^^--^^
операцией, приводящей всю ^ .Q - Q ; g 0 e, О
©
v
о\ /о-/оо /о
кристаллическую структуру в
самосовмещение, служит
перенос (поступание, трансляция).
На межузловых
промежутках решетки, называемых пе-'
риодами идентичности, или
повторяемости, можно
построить бесконечное множество
ячеек, каждая из которых
способна представить
(воссоздать) данную решетку. Для
однозначного представленияРис. 46. Бесконечные закономерные узо-
решетки выбирают ячейку,ры: а — одномерный узор и его «ре-
кптппяя fWnvnw пппчтшеняшетка>> — узловой ряд; б — двумерный
которая, О/дучи подчинена и его шетка __ узЛ0вая сетка
координатной системе
кристалла, имеет минимальный объем. Эту — характеристичен
кую — ячейку называют элементарной ячейкой, или ячейкой
Бравэ. Ее векторы а, Ъ, с не обязательно окажутся
кратчайшими, иными словами, ячейка Бравэ не для каждой пространст-
—*
венной решетки будет пустой (примитивной). Параметры \а\,
\Ь\, \с\ и осевые углы a(YZ), р(XZ) и y{XY), служащие
константами решетки, ее репером, определяются при структурных
исследованиях кристаллов. Параметрам \а\, \Ь\ и |с| будут
пропорциональны геометрические константы кристалла aQ: 1 : с0,
полученные при его гониометрическом изучении, если установка
кристалла (выбор координатных осей и единичной грани)
оказалась удачной.
Пространственная решетка позволяет достаточно просто
объяснить такие давно признанные принципы кристаллографии, как
закон постоянства углов (закон Стенона—Ломоносова—Ромэ-
Делиля), закон симметрии, закон рациональности отношений
параметров (закон Гаюи).
55

Закон постоянства углов. Поскольку размещением матери,
альных частиц в кристаллическом пространстве «управляет)
Рис. 47. Трехмерная периодичность в структурах алмаза (а),
хлористого натрия (б) и хлорплатината калия K^PtCb (e)
описывается одной и той же решеткой (г)
пространственная решетка, можно считать, что грань
кристалла — это материализованная узловая сетка, а ребро —
материализованный узловой ряд. В настоящее время установлено,
что хорошо развитые грани кристалла определяются узловыми
сетками с наибольшей ретикулярной плотностью —
наибольшей густотой расположения узлов; следовательно, ребрам
кристаллов должны соответствовать наиболее плотные узловые
ряды решетки. Взаимное расположение граней и ребер кристалла
таким образом соответствует взаимному расположению
узловых сеток и рядов пространственной решетки, а значит,
постоянно для данного вещества, т. ё. угловые величины не зависят от
случайных изменений условий кристаллизации (рис. 48).
Закон симметрии — отсутствие в кристаллах осей симметрии
5-го и выше 6-го порядков — также хорошо объясняется
«решетчатым» строением кристалла. Не повторяя общеизвестных
56
Рис. 48. Иллюстрация закона посто- Рис. 49. К закону симметрии
янства углов
доказательств этого положения, приводим здесь
доказательство предложенное Н. В. Беловым, выгодно отличающееся от
других своей общностью и тем, что оно выявляет и
подчеркивает некоторые интересные и важные особенности
кристаллической пространственной решетки.
Для доказательства сначала установим минимальный угол
между эквивалентными узловыми рядами и максимальный
порядок оси симметрии, перпендикулярной узловой сетке.
Пусть два пересекающихся в точке А узловых ряда (рис. 49)
определяются одним и тем же межузловым расстоянием,
минимальным для данной пространственной решетки (а = ашш).
Тогда в треугольнике АА^А2 сторона А\А2 должна быть либо
равна а, либо больше a(AlA2>-a)J а следовательно, а>60°. Значит,
если мы узел А берем на оси Ln, перпендикулярной к узловой
сетке, построенной на рядах АА^... и АА2..., то порядок оси не
может превышать шести (жб).
Решим, все ли оси этих порядков возможны в кристаллах.
Любая узловая сетка всякой пространственной решетки
представляет собой параллелограмматическую сетку, а
следовательно, как в этом нетрудно убедиться по рис. 45, б, обладает
осевой симметрией 2-го порядка. Если в кристалле есть ось
нечетного порядка (Lfi=2/e+i), то узловая сетка такого кристалла,
перпендикулярная к этой оси, будет иметь симметрию четного
(вдвое большего) порядка как результат взаимодействия оси
£п=2ач-1 с параллельной ей осью 2-го порядка, присущей каждой
сетке: Ln==2h+iX L2-A=: L2n=Ah+2-
Следовательно, если предположить, что в кристалле имеется
ось симметрии 5-го порядка (я<6!), то окажется, что узловая
сетка, перпендикулярная к этой оси, должна иметь симметрию
Ю-го порядка, что противоречит доказанному (/г<6).
Таким образом, пространственная решетка кристалла, 'а
следовательно, и кристаллический многогранник, допускает оси
симметрии лишь следующих порядков: л=1, 2, 3, 4, 6.
Закон рациональности отношений параметров (закон Гаюи).
*Ри индицировании кристаллов мы оперируем относительны-
57

ми величинами — отношениями параметров граней, отношен];
ем координат точки на ребре кристалла, т. е. фактически имее-
дело не с материальными плоскостями — гранями или дейст
вительными ребрами кристалла, а с их схемами — узловым
сетками и узловыми рядами, точнее, с целыми семействами щ
раллельных сеток и рядов пространственной решетки. Коорди
натными осями, выбираемыми не по случайным, а по особы?;
направлениям или в общем случае параллельно ребрам
кристалла, оказываются узловые ряды, причем в таких
координатных осях уже «заложены» естественные масштабные единицы,—
это межузловые расстояния а, Ь, с (периоды идентичности), кг\
правило, короткие, хотя и не обязательно кратчайшие. Нетруд,
но убедиться, что любая узловая сетка пространственной
решетки отсечет на узловых рядах, представляющих
координатные оси, целое или рациональное число периодов идентичности.
\Ф
^
-&£■
уУ / /.у ,
Я Л A-ffY~/-a
h*6&%4^
sZ////
;r
Рис. 50. К доказательству
рациональности параметров узловых сеток
Рис. 51. Рассечение ячейки Бравэ
двумерной сетки на h+k частей;
сетки 230 рассекают ребро а на
h—2 части, ребро b на /г = 3
части, а всю ячейку (ее
диагональ) — на 2 + 3=5 частей;
сетки ПО рассекают ячейку на
1 + 1=2 части
На рис. 50 показан след узловой сетки, пересекающей оси
X и Y и параллельной оси Z (узловой ряд I). На оси X сетка 1
отсекает целое число (тп) периодов идентичности (а), т. е. она
проходит через узел на этой оси, а параметр этой сетки по оси
Y выразится дробным числом (п) периодов идентичности (Ь) —4
сетка прошла между узлами. Найдем еще один узел (С),
определяющий узловой ряд I. По закону решетки через узел С
пройдет узловой ряд, параллельный ряду ОБ, эквивалентный ему
во всех отношениях, т. е. с теми же периодами идентичности
(Ь) и с узлом (D) на оси ОХ; иными словами, AD = ka и
DC=fb, где k n f — целые числа. Из подобия треугольников
или
ka
т. е.
АОВ и ADC следует: i*L = i£_
Поскольку три члена этой пропорции tf*m, Щ~ целые числ",
58
4-й член {п) должен быть рациональным числом, т. е. сетка 1
отсечет на оси У рациональное число периодов идентичности.
Поскольку параметры узловых сеток, измеренные
соответствующими периодами идентичности вдоль координатных осей,
выражаются рациональными числами, отношения параметров двух
аюбых узловых сеток также рациональны, что и составляет
сущность закона рациональности отношений параметров
{законна Гаюи) и лежит в основе математической характеристики
расположения граней и ребер кристалла — его индицирования.
Если единичная грань кристалла выбрана удачно, т. е.
отношение ее параметров пропорционально параметрам ячейки
Бравэ, то, как правило, наиболее хорошо развитые и часто
встречающиеся грани кристалла, "т. е. грани, определяющиеся
наиболее плотными узловыми сетками, характеризуются простыми
символами с малыми индексами h, k, I. Поясним сказанное.
Узловая плоскость hkl, как вытекает из ее определения,
проходит через узлы решетки, т. е. через точки с целыми
значениями координат, которые являются целыми кратными от
периодов идентичности: x — ma, y = nb, z = pc. Поэтому в уравнении
узловой плоскости hx-{-ky + lz — D свободный член должен быть
целым числом. Наименьшему целому числу — единице —
отвечает сетка, ближайшая к началу координат: hx + ky + lz=l.
Записав это уравнение иначе, получим уравнение плоскости (в
данном случае — узловой сетки) в отрезках: —— Л ~Л г— *•
l//i \\k 1/Z
г 111
Следовательно, —, -—, -—- — это отрезки, отсекаемые на осях
hkl
координат ближайшей к началу узловой сеткой, измеренные
периодами идентичности a, b и с, иными словами, семейство
узловых сеток hkl рассекает ребро а ячейки Бравэ на h частей,
ребро Ь — на k частей, ребро с — на / частей, а всю ячейку
(вдоль ее диагонали, идущей из начала координат) — на /г +
+ k+l частей. На рис. 51 показано разделение ячейки узловыми
плоскостями семейств 230, ПО и 100.
Чем сложнее символ сетки, т. е. чем большими числами
выражены его индексы
тем больше будет их сумма, т. е.
тем большее число узловых сеток рассечет ячейку
пространственной решетки. Каждое семейство узловых сеток охватывает
все узлы пространственной решетки, поэтому чем больше
число сеток в данном семействе, тем меньшее количество узлов
приходится на долю каждой сетки, т. е. сетки со сложными
индексами должны быть разреженными (обладать меньшей
ретикулярной плотностью). Как было упомянуто выше, хорошо раз-
витые грани кристалла отвечают наиболее плотным сеткам,
значит, такие грани характеризуются простыми символами.
Таким образом, все основные «законы» кристаллографии
Нашлн свое объяснение в главной особенности кристаллов,
отличающей их от аморфных тел, — решетчатом строении кри-
Сталлического вещества.
59

§ 7. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СРОСТКИ. СИММЕТРИЯ И
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДВОЙНИКОВ
Реальные кристаллы нередко встречаются не в виде отделу
ных монокристаллов, а образуют сростки (агрегаты) — незакс
номерные, т. е. со случайной ориентацией индивидов относи
тельно друг друга, и закономерные, в которых составляющц
сросток индивиды расположены вполне определенно. Среди за
кономерных сростков различают параллельные (и субпарал
лельные) и непараллельные. К параллельным сросткам,
относятся разнообразные кристаллические щетки, нарастания по
бочных кристаллов у одного конца основного (скипетровидньц
кристаллы) и др. Группы из двух или нескольких закономерно
но непараллельно ориентированных относительно друг друг*
кристаллов называют кристаллическими двойниками, тройника,
ми, четверниками и т. д. В двойниках либо один кристалл
повернут относительно другого на 180° вокруг некоторой
воображаемой прямой, либо индивиды двойника связаны отражением
в зеркальной плоскости или точке. Таким образом,
элементами симметрии, связывающими два индивида двойникового
сростка — их называют двойниковыми, или двойникующими, ~
оказываются оси 2-го порядка, поворотные и сложные: 2,
2( = т), 2(1). Двойникующие элементы симметрии не могут
совпадать с такими же элементами симметрии
монокристалла — в противном случае образуется параллельный сросток.
Для двойников характерны, хотя и не обязательны, входящие
углы, отсутствующие в монокристаллах.
Двойниковые элементы симметрии связывают два как бы
«независимых» индивида — два «разноцветных» кристалла,
поэтому для описания симметрии таких (сдвойникованных)
кристаллов удобно обратиться к группам антисимметрии —
группам черно-белой симметрии, воспользовавшись для
обозначения двойникующих элементов симметрии обозначениями,
принятыми в этих группах: 2 дв.=2', 2 дв.( = т дв.) = 2'( = т/) и
2дв.( = Гдв.)=2/(=Т).
о
Взаимодействие двойникующих элементов (27, 2\ 2') с
элементами группы симметрии кристалла порождает новую группу
симметрии — двойниковую, соответствующую данному закону
двойникования (расположению двойникующего элемента
симметрии кристалла). В двойниковую группу могут переходить
лишь те элементы симметрии индивида (они образуют так
называемую сохранившуюся подгруппу), которые по своему
типу и расположению кристаллографически совместимы с двой-
никующим элементом симметрии, при этом нужно иметь в
виду, что порядок сохранившейся подгруппы должен быть в двй
раза ниже порядка возникающей двойниковой группы.
Пусть, например, в индивиде класса 422 двойникующая ось
2' занимает позицию с ф = 90° и р = 45° (рис. 52,а)] Тогда со-
60
хранившаяся подгруппа — 222 = 2x2^2^ (рис. 52, б).
Взаимодействие элементов сохранившейся подгруппы с двойниковой осью
2' приведет к следующему: 2.х- • 2' = 2Z • 2' = 4/, т. е. двойниковая
группа — 4'22/ = 4t/2x=z2/ (рис. 52,в). Ее порядок в два раза
превышает порядок сохранившейся подгруппы.
а
Рис. 52. Определение группы симметрии двойника: а — группа симметрии
монокристалла 422 и позиция двойникующей оси 2' (ср=90°, р=45°); б —
стереограмма сохранившейся подгруппы — 222; е — группа симметрии
двойника — 4'22'
Если предположить по аналогии, что в классе 4 при таком
же положении двойникующей оси сохранится 2Z, то снова
возникнет двойниковая группа 4/22' = 4/2%(4/ = 2г-2'), порядок
рис. 53. Наиболее распространенные двойники некоторых кристаллов:
а — двойник гипса «ласточкин хвост», б — карлсбадский двойник
полевого шпата, в — двойник пирита «железный крест», г — двой-
Ник флюорита по «шпинелевому закону», д — дофинейский двойник
кварца, е — бразильский двойник кварца, ж — коленчатый тройник
рутила
61

которой (8) окажется в четыре раза выше порядка сохрани*
шейся подгруппы (2). Следовательно, в этом случае ось 2Z ц.
переходит в двойниковую группу, т. е. сохранившаяся подгруц
па — 1, двойниковая — 2' (см. также задачу VII).
В двойниковом сростке индивиды могут как бы проникац
один в другой (двойники прорастания) либо только «соприка.
саться» друг с другом (двойники срастания). В последнем еду.
чае двойникующий элемент симметрии не проходит через цент-
кристалла, поэтому в двойниковую группу двойника срастанщ
перейдет меньше элементов симметрии, чем в случае двойнике
прорастания, и порядок группы симметрии двойника срастанщ
будет ниже, чем для полной двойниковой группы — группы сим-
метрии двойника прорастания.
Исследуя в каждой группе симметрии различные позиции
двоиникующих элементов, можно вывести все законы двойни-
кования. При этом целесообразно пользоваться
стереографической проекцией.
Некоторые особенно характерные и распространенные
законы двойникования получили собственные имена: «шпинеле-
вый» — двойникование кубических кристаллов по (111) или
[111], «бразильский» и «дофинейский» — срастание двух энан-
тиоморфных или однотипных кристаллов кварца
соответственно, в первом случае двойникующий элемент — (1120), во
втором — [0001];
«коленчатый» двойник рутила или
касситерита — двойня-
кование но (011), «карле-
бадский» закон —
двойникование полевых
шпатов по оси [001] и др.
(рис. 53).
При проектировании
двойников следует иметь
в виду, что в случае
двойникования по оси (2')
нормали к исходной
грани и ее двойниковому
аналогу должны
оказаться в одной плоскости с
двойникующей осью
(рис. 54, а), а если
двойниковым элементом сЛУ'
жит плоскость т', то ойЗ
должна быть перпендикУ'
лярна к плоскости, проведенной через нормали к обеим
граням — грани заданной и ее двойниковому аналогу (рис. 54,6);
см. также задачу VIII.
Рис. 54. Получение двойникового аналога
Р_ некоторой грани Р: а — двойникование
по оси А, б — двойникование по
плоскости Q
Глава III
ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Простой формой кристалла называют семейство граней,
взаимосвязанных симметрическими операциями данной группы
симметрии (данного класса). Легко видеть, что число граней
простой формы и ее облик определяются расположением
исходной грани относительно элементов симметрии класса.
Различают частное и общее положения грани: грань частного
положения либо перпендикулярна какому-нибудь особому
направлению, либо параллельна единичному особому направлению,
либо образует равные углы с эквивалентными особыми
направлениями; все остальные положения граней общие. Простые
формы, образованные гранями первого типа, называют частными,
второго — общими. Грань общего положения подвергается
действию всех операций симметрии данной группы, поэтому число
граней общей формы равно числу операций, составляющих эту
группу, т. е. равно ее порядку; число граней частной формы
может быть и меньше порядка группы, так как элементы
симметрии, перпендикулярные к грани, не размножают ее. Так, грань,
перпендикулярная к Ъъ даст форму, число граней которой вдвое
меньше порядка группы; грань, перпендикулярная к L3, —
втрое меньше и т. п. Грань, перпендикулярная к нескольким
элементам симметрии, порождает простую форму, число граней
которой уменьшено в соответствии с порядком группы,
составленной операциями этих элементов симметрии. Так, если грань
перпендикулярна к двум плоскостям симметрии, т. е.
плоскостная симметрия и грани описывается группой 4-го порядка mm2,
то число граней данной частной формы будет в четыре раза
меньше по сравнению с числом граней общей простой формы.
Заметим, что группа, описывающая плоскостную симметрию
грани, — сохранившаяся группа — должна быть подгруппой
гРУппы симметрии кристалла; порядок этой подгруппы принято
называть величиной симметрии грани. Очевидно, что в каждом
^эссе.произведение числа граней простой формы на величину
ч На реальном кристалле плоскостной симметрии граней кристалла под-
'яется геометрия их скульптуры — штриховок, бугорков роста, donrvp
давления и т. п.
63

симметрии ее грани постоянно и равно порядку группы, а кс
личество граней двух форм в любом классе обратно пропорцис
нально величинам симметрии граней этих простых форм.
Покажем на конкретном примере, как можно использовац
выведенные закономерности в кристаллографической практике
Пусть симметрия кристалла 43т (рис. 55). Грань А, образую
щая шестигранную простую форму (куб), унаследовала от пол.
ной симметрии кристалла лишь дв(
взаимно перпендикулярные плоско
сти симметрии, а следовательно, ;
ось 2-го порядка (а не 4!), совпада.
ющую с линией пересечения этщ
плоскостей. Порядок
сохранившейся группы тт2 равен четырем,
поэтому число граней общей простой
формы, а следовательно, и
порядок группы симметрии кристалла-
24 ( = 6 гр.Х4). Отсюда легко
рассчитать и число граней других
простых форм такого кристалла. Так,
грань В, перпендикулярная лишь
одной плоскости симметрии
(плоскостная симметрия грани — т, величина симметрии — 2),
создает 12-гранную форму, а грань С, перпендикулярная оси
3-го порядка, вдоль которой пересекаются три плоскости
симметрии (плоскостная симметрия — Зт, величина симметрии -
6),— четырехгранную форму.
В любом выпуклом многограннике число вершин (в), граней
(г) и ребер (р) подчиняется формуле Эйлера: в + г = р + 2.
В огранке кристалла могут участвовать грани либо одной
Рис. 55. К расчету
граней простой формы
числа
Рис. 56. Искажение очертания граней простой формы в-
комбинационном кристалле
простой формы, либо нескольких (комбинационные многограН'
ники). Несмотря на бесконечное разнообразие типов комбин3'
ционных огранений, число простых форм конечно, поскольку к0'
нечно как число групп симметрии, так и число различных fl°'
64
тюжений граней в каждой группе. Очевидно, что в одном-
классе (группе) может быть несколько частных положений и
только одно общее, поэтому общая простая форма способна
служить характеристикой данного класса, в частности давать ему
сВое название. В названиях кристаллографических форм часто
отражены число граней и их форма. Однако на то иметь в виду,
что в комбинационных кристаллах очертание грани простой
формы может сильно исказиться (рис. 56).
Простые формы отражают особенности не только отдельных
классов, но и целых семейств родственных классов; так,
появление на кристалле только открытых форм предопределяет
классы с единичным полярным 1б направлением; возникновение лишь
закрытых форм говорит о классах без единичных направлений,
а сосуществование открытых и закрытых форм 19
характеризует классы с биполярными особыми направлениями.
Ниже будет показано, что число кристаллографических
простых форм равно 47.
§ 2. ВЫВОД ПРОСТЫХ ФОРМ В КЛАССАХ С ЕДИНИЧНЫМ
НАПРАВЛЕНИЕМ (НИЗШАЯ И СРЕДНЯЯ КАТЕГОРИИ)
Распределим эти классы по двум семействам:
а) есть только одно особое направление: Сп, Cnh, 52«;
б) есть особые направления (2 или 2), перпендикулярные к
главному единичному
направлению: Cnv, Dn, Dnh, Dnd.
В классах первого
семейства грань может занимать
три различные позиции,
порождая три типа простых
форм: грани,
перпендикулярные или параллельные,
особому направлению, создают
частные формы, наклонные
грани — общие формы.
В классах второго
семейства боковые особые
направления, пересекающиеся под
Углом а/2, могут быть либо
эквивалентными (порядок
главной оси нечетный), либо неэквивалентными (порядок четный).
Ч первом случае (п — нечетное) грань может занимать семь
б
Рис. 57. Различные позиции граней
в классах с боковыми особыми
направлениями на примере классов
Dn: а — n-нечетное, класс £>3=
=L33L2; б — n-четное, класс £>4 =
= Li2L,'2L-//.
18 Полярным называется направление, «концы» которого
кристаллографически неэквивалентны, т. е. не могут быть совмещены друг с другом
симметрическими операциями класса (например, ось 3 в классе Зт); «концы»
биполярного направления эквивалентны (например, ось 4 в классе 4/т).
19 Грани закрытой простой формы полностью замыкают заключенное
Между ними пространство, а открытой — не замыкают; например, куб —
акрытая форма, пирамида — открытая.
"* Зак. 196
65

ДХу1
разных позиций (рис. 57, о): при четном порядке главной о
число различных позиций сократится до пяти, так как позиц
4 и 6, а также 5 и 7 оказываются идентичными (рис. 57,6).
I. Простые формы в классах Сп
1. Грань, перпендикулярная единственной поворотной о.
Ln, не размножается этой осью, и такие одногранные формы к.
зависимо от порядка оси называют моноэдрами (педионащ'
2. Г-рань, параллельная оси Ln, размножая
этой осью, создаст простую форму, грани ко?
рой пересекаются по параллельным ребрам,
призму с правильным я-угольником в сечещ
перпендикулярном главной оси,— л-гоналы-iv
призму (рис. 58, с). Кристаллографические п-\-
нальные призмы могут быть гекса-, тетра-, тр-
и дигональными. У дигональной призмы сеч;
ние незамкнутое — две параллельные пряму;
такую «вырожденную» призму принято наз1
вать пинакоидом (рис. 59,а).
3. Грань, расположенная под косым углом
оси Ln> размножаясь ею, образует форму, вс
грани которой пересекают ось в одной точке,-
пирамиду (рис. 58,6). Так же, как и призм*
пирамиды различаются своими сечениями, пе:
пендикулярными главной оси (пирамида тр>,
тональная, гексагональная и т. п.). Если Ln = i
пирамида «вырождается» в форму из двух пе
ресекающихся граней; такую дигональную пирс
Рис. 58. Примеры n-гональных форм: а — тетрагональш
призма; б — тетрагональная пирамида
миду (косую «крышу») обычно называют диэдром осевым (сфе
ноидом) (рис. 59, б).
Очевидно, что в этом семействе классов первые два типа
м — частные, а третьего.,*— общие, поэтому классы Сп на-
ыва*°т я-гонально-пйрамида'льными (например, С3 — триго-
нально-пирамидальный, С2 — сфеноидальный, или дизцрпче-
пшй осевой, класс)'! В классе С{ каждая грань — независимый
(оноэдр, и этот класс называют моноэдрическим.
\\. Простые формы в классах Cnv
Часть* позиций приведет к формам, выведенным в
предыдущих классах; так, грань, перпендикулярная единственной
поворотной оси, принадлежит моноэдру, грани, параллельные этой
оси, дадут призматические формы, а грани наклонные —
пирамиды. Однако помимо призм и пирамид с я-гональными
сечениями, которые получаются размножением грани, равнонаклон-
ной к эквивалентным боковым особым направлениям, в классах
Ст окажутся и такие, грани которых образуют разные углы с
эквивалентными плоскостями симметрии; в главных сечениях
таких форм при равных сторонах углы равны через один
(рис.60), — это так называемые ди-л-гональные сечения.
Отсюда и названия форм — ди-я-гональные призмы и ди-я-гональ-
ные пирамиды. «Удвоенное» сечение, перпендикулярное к оси
1Ъ — дидигональное сечение — имеет форму ромба (рис-61),
Рис. 59
ид); б —
Двугранные формы: а — дигональная призма ( = гашако-
дигональная пирамида = осевой диэдр (сфеноид); в —
плоскостной диэдр (дома)
66
" "0. Призмы и пирамиды в клас- Рис. 61. Дигональное (а) и дидиго-
се С3ь и их главные сечения нальное (=ромбическое) (б) сече-
3*
67

и соответствующие простые формы называются ромбическщ.
ромбическая призма, ромбическая пирамида.
В классе Cs грани размножаются лишь отражением в ед{.
ственной плоскости симметрии. Здесь форма, кажущаяся ц
вой, получается только из грани общего положения; она сое,
ит из двух пересекающихся граней, образующих «прямую кр
шу», — диэдр плоскостной (или дома) — рис. 59, в. Однако с(
ственная симметрия20 такого диэдра (mm2) не отличается
собственной симметрии диэдра осевого (сфеноида), поэтому э-
две формы чаще считают одной, придавая ей «нейтральное» ц
звание — диэдр.
Классы Cnv по их общим формам называют ди-я-гональц
пирамидальными.
Ш. Простые формы в классах Cnh и Dnh
Неизменными останутся в этих классах лишь призматщ
ские формы — «-тональные и ди-л-гональные призмы. Моноэ
ры из классов Сп и Cnv превратятся в иинакоиды; пирамид
удваиваясь горизонтальной плс
костью симметрии, создадут к
вые, уже закрытые формы ■
бипирамиды («-тональные и д-
я-гональные) (рис. 62). Дик
нальная бипирамида (класс С:
представляет собой форму, о.
стоящую из четырех попарно ш
ргллельных граней, пересекай
щихся по параллельным ребра:,
т. е. призму с ромбическим с.
ченнем — ромбическую призу;
геометрически подобную выв*
денной ранее дидигональн:
призме.
Бипирамиды как общие фо,
мы дадут названия класса:'
Cnh — я-гонально-бипирамидаль
ные, Dnh — ди-я-гонально-бип-
рамидальные (например, Сш ',
тригонально - бипирамидальны"
класс, D3h — дитригонально-б"'
пирамидальный класс, Ся'
(р о м бо -) п р из м атический кла<^
D2h — ромбо-бипирамидальнь'-
класс).
Рис. 62. Тригональная (а) и
дитригональная (б) бипирамиды;
их собственная симметрия (в)
20 Под собственной симметрией понимают симметрию отдельно взя
простой формы, т. е. формы в «чистом» виде.
68
IV. Простые формы в классах Dn
Без изменения из бипирамидальных классов сюда переходят
такие формы, грани которых либо перпендикулярны, либо
параллельны главной оси симметрии, i— это пинакоиды и призмы
(позиции 1, 2, 6 и 4 на рис. 57, а и.1, 2, 4 на рис. 57, б). Грани в
позиции 3 также дадут уже выведенные ранее формы —
я-гональные бипирамиды. Серию новых простых форм дадут
грани общего положения — это трапецоэдры (трапёца —
четырехугольник, составленный из двух треугольников — полярного
равнобедренного и экваториального разностороннего) В
трапецоэдрах верхняя и нижняя пирамиды («головки кристалла»),
связанные поворотом вокруг горизонтальной побочной оси 2-го
порядка, повернуты относительно друг друга на угол, не
фиксированный симметрическими операциями, — признак,
облегчающий распознавание трапецоэдрнческих форм в
комбинационных кристаллах (рис.63). Дигональный трапецоэдр
(«вырожденный») принято называть ромбическим тетраэдром.
Рис. 63. Трапецоэдры — общие формы классов Dn: a ■—
правый и левый тригональные трапецоэдры; б — правый и
левый дигональные трапецоэдры ( = ромбические тетраэдры)
Трапецоэдры могут быть «правыми» и «левыми» (в первом
случае верхняя головка многогранника повернута относительно
нижней по часовой стрелке, во втором — в противоположном
направлении). Такие формы — энантиоморфные — встречаются
лишь в классах, не содержащих операций симметрии 2-го рода.
В классах Dn при нечетном порядке главной оси новые
формы создает и грань, наклонная к главной оси и равнонаклонная
к эквивалентным побочным осям, составляющим друг с другом
Уг°л а/2 (грань 7, рис. 57, а). В отличие от бипирамид и
трапецоэдров в формах данного типа верхняя и нижняя головки по-
еРнуты относительно друг друга на определенный угол, равный
69

половине элементарного угла поворота главной оси, т. е. вер*,
няя грань расположена симметрично относительно двух ни^.
них. Стоит отметить, что во всех таких фигурах верхняя пира,
мидка повернута относительно нижней на 180°. Кристаллогра.
фическую форму такого типа можно получить лишь при я=3
т. е. в классе Dz; этот «снмметризованный трапецоэдр» носи-
название ромбоэдра, так как его грани имеют форму ромбсц
(рис. 64, а).
Рис. 64. Общие формы классов Szn:
а — ромбоэдр (класс So), б —
тетрагональный тетраэдр (класс 54),
в — собственная симметрия этих
форм
а б
Рис. 65. Скаленоэдры — общие фо;
мы классов Dnd'- а — тригональны!
скаленоэдр (класс D3d), б — тетра
тональный скаленоэдр (класс Da)
В соответствии с общими формами классы Dn называют тра-
пецоэдрическими.
V. Простые формы в классах S.
2п
Напомним, что оригинальными, т. е. не повторяющими
предыдущих комбинаций элементов симметрии, будут лишь
классы Sk = S2n. Кристаллографическими классами этого типа оКа'
зываются 52, 54, 56.
Нетрудно убедиться, что интересной в таких классах буДе'
лишь общая позиция исходной грани. Зеркальный поворот раС'
полагает верхние грани симметрично относительно нижних ■""
верхняя пирамида (я-гональная!) располагается симметрнчнС .. . шв1.„жмк. „w„^„„ .^„^
относительно такой же нижней. В классе 56 это не что иное; 2 _^ни/[ Грани основных форм:
как ромбоэдр («снмметризованный трапецоэдр»), выведен^" "■"*■ ЩП: гпани производных
уже как частная форма в классе D3. В классе 54 пирамида i
рождается в двускатную крышу, и шестигранный ромбоэдр из
класса 56 превращается в четырехгранную форму —
тетрагональный тетраэдр (снмметризованный дигональный
трапецоэдр)» ег0 гРаыи — равнобедренные треугольники (рис. 64, б).
В классе 52 «пирамида» становится моногональной (моноэдр!)',
а сама форма — две параллельные грани — пинакоидом.
Очевидно, что класс 56 должен называться ромбоэдрическим,
54 — тетрагонально-тетраэдрическим, а 52 — пинакоидальным.
VI. Простые формы в классах Dnd
Новые формы — скаленоэдры — образуются лишь из
граней общего положения. В скаленоэдр ах верхняя и нижняя ди- п-
гональные пирамиды повернуты относительно друг друга на
угол, равный половине элементарного угла поворота главной
поворотной оси (пара верхних граней расположена
симметрично относительно двух пар нижних граней).
В кристаллах возможны лишь две скаленоэдрические
формы (рис.65): тригональный скаленоэдр (преломленный ромбо-
о
эдр) с главной осью 3 = 6 (в классе D3d) и тетрагональный
скаленоэдр (преломленный тетрагональный тетраэдр) с главной
о
осью 4 = 4 (в классе D2d) ■
Классы Dnd называют скаленоздрическими.
В итоге мы получили 32 простые формы низшей и средней
категорий.
СП
§ 3. ВЫВОД ПРОСТЫХ ФОРМ В КЛАССАХ БЕЗ ЕДИНИЧНЫХ
НАПРАВЛЕНИЙ (ВЫСШАЯ КАТЕГОРИЯ — КУБИЧЕСКАЯ
СИНГОНИЯ)
Простые формы кубической сингонии можно вывести
размножением «первой» грани, занимающей различные положения
относительно элементов симметрии соответствующих классов
(рис. 66). Однако здесь из-за большого числа симметрических
операций такой путь очень громоздок;
более изящен и прост способ,
предложенный Н. В. Беловым (индуктивный
способ): простые формы кубической
синении выводятся как производные из
основных форм путем «наращивания»
На их гранях «пирамидок» — двух-, трех-
Ри
с- 66. Различные позиции граней в кубической
(hkft\ К111)'г гРани производных
{hhl}, 3 — (ПО), III
{Ш} {h>k>l)
1 — (100)
форм: I
— {Ml}, IV
70
71

и четырехскатных «крыш», допускаемых плоскостной симмет
рией граней.
Основные формы кубической сингонии — это простейши
кристаллографические фигуры с несколькими осями симметри
высшего порядка — правильные многогранники, не имеющи
осей 5-го порядка: куб (гексаэдр), октаэдр и тетраэдр. Гран
основных форм занимают строго фиксированное положение, ка
бы подчеркивая основные направления кубической сингонии -
три координатные оси симметрии и четыре оси 3-го порядка
Перпендикулярно координатным осям располагаются грани ку
ба {100}, перпендикулярно биполярным осям 3-го порядка -
грани октаэдра {111}, полярным тройным-осям — грани тетра
эдров {111} и {111},
I. Простые формы {hkQ} — производные куба (гексаэдра)
Если грань перевести из положения (100) в положение
(hkO), то ее симметрия понизится либо в четыре раза (в
классах тЗт, 432 и 43т), либо в два раза (в классах тЗ, 23)
соответственно увеличится число граней формы, т. е.
«пирамида», заменившая грань куба, окажется либо четырехгранно:!
либо вырожденной — двугранной, а сами формы 24- и
12-гранными. Двадцатичетырехгранная форма {hkO} называется тет-
рагексаэдром, или тригон-тетрагексаэдром (учетверенный
гексаэдр с треугольными гранями). Очень выразительно и
классическое его название — пирамидальный куб (рис. 67, А, а—е).
Двенадцатигранная форма может быть названа
соответственно пеитагои-днгексаэдром — грани имеют форму неправиль
ных пятиугольников (рис. 67, Б, а—е), но обычно ее называю:
пентагон-додекаэдром.
Четырех- и двускатные «крыши» (пирамиды), «выросшие»
на грани куба, будут менять свою крутизну в зависимости от
соотношения индексов h и k; при h^>ky например (hkO) = (910),
пирамиды будут очень пологими, и облик всей формы окажется
кубическим; при сближении значений h и k — (910)-»-(920)-*
-> (940)-»-(980) — пирамиды будут становиться круче и пр"
(hkO) = (110) возникнет новая форма — предельно крутой «тет-
рагексаэдр» или соответственно предельно крутой «пентагон-Д0'
декаэдр». В первом случае две грани соседних пирамидок
сольются в одну ромбовидную грань: (980)-»-(ПО)-«-(890)
(рис. 67, Л, ж), во втором — пятиугольники превратятся Б
ромбы (рис. 67, Б, ж), но число граней сохранится. В получен
ном двенадцатиграннике — его называют ромбододекаэдром ^
четко выражены четыре зоны, причем ось каждой зоны пара-1
лельна одной из осей 3-го порядка (отсюда его второе назв3'
ние зоноэдр); как видно из символа {ПО}, грани ромбодоДе'
каэдра равнонаклонкы к двум координатным осям и
параллельны третьей оси, т. е. занимают строго фиксированное поло#е
72
ие Таким образом, ромбододекаэдр оказался четвертой
постойной формой кубической сингонии. У этой постоянной фигуры
! постоянный острый угол, .равный arccos 1/3 = 70°29'.
100 a б в г
Рис. 67. Простые формы {Ш)} — производные куба: А — тетрагекса-
эдр и его генезис; Б — пентагон-додекаэдр и его генезис
П. Простые формы {hhl} (h>l) — производные октаэдра
(тетраэдра)
Смещение грани (111) в положение {hhl) увеличит число
гРаней в три раза. В классах тЗт, 432 и тЗ вместо грани ок-
Таэдра возникнет трехгранная пирамидка — трехскатная
«крыша» — и форма будет называться либо тригон-триоктаэдром,
Лнбо пирамидальным октаэдром (рис. 68, Л, а—д). Вместо гра-
**н тетраэдра (классы 43т и 23) образуется пирамидка из че-
ыРехугсльных граней, отсюда обычное название формы — тет-
73

рагон-тритетраэдр, но ее называют также 12-гранным дельто
эдром, так как грань ее как бы состоит из двух «дельт
{рис. 68, Б, а—е).
а 5 8 г
а 6 В г
Рис. 68. Простые формы {hhl}, где h>l: А — производные октаэдра—
тригон-триоктаэдр; Б — производные тетраэдра — тетрагон-тритетра-
эдр
Предельное увеличение крутизны «пирамидок» этих
производных форм (lJh-+0, (hhl)-^(WO)) приведет к знакомому нам
ромбододекаэдру.
III. Простые формы {hit) (h>l) — производные как
октаэдра (тетраэдра), так и куба
Переводя грань (111) в положение (fill), где h>l, получив
вместо грани октаэдра трехгранную пирамидку из
четырехугольных граней (рис. 69, А, ж—в). Соответственно форма
называется тетрагон-триоктаэдром, или 24-гранным дельтоэдром.
74
В случае тетраэдра придем к тригон-тритетраэдру, назы-
,аемому также пирамидальным тетраэдром (рис. 69, Б, ж—в).
Те же формы можно получить и как производные куба
100 a S б *
100 а б б г
Рис. 69. Простые формы {hit}, где h>l: A — тетрагон-триоктаэдр и
его генезис от октаэдра и куба; Б — тригон-тритетраэдр и его
генезис от тетраэдра и куба
{100} (рис. 69, А, а—е). В классах тЪт, 432, тЗ вместо грани
куба возникнет четырехскатная крыша. Образовавшийся 24-
гранный дельтоэдр в этом случае естественно называть тетра-
гон-тетратексаэдром, особенно если в символе {hit} отношение
V^-vO, например, {Ml} равно {922}, {911}, ... Точно так же
24-гранный дельтоэдр с l/h-*-l, например {hit} = {988}, логичнее
называть тетрагон-триоктаэдром.
В классах 43т и 23 вместо грани куба образуется
двускатная «крыша» (рис. 69, Б, а—е) и возникшую в этом случае фор-
МУ можно было бы называть тригон-дигексаэдром, особенно
если в ее символе l/h-^Q. Ее наиболее распространенное назва-
75

ние — тригон-тритетраэдр — по существу оправдывается лишь
в том случае, когда в {fill} l/h-^l.
IV. Общие простые формы кубической сингонии
Класс тЗт. Смещение грани октаэдра (111) в общее
положение понизит ее плоскостную симметрию (Зт—И), что
уменьшит в шесть раз величину симметрии грани, поэтому
полученная форма окажется 48-гранной (рис.70). К сорокавосьмигран-
нику можно прийти и от грани куба (4 mm->-l).
Рис. 70. Общая форма класса тЪт — сорокавосьмигранник=гексаок-
таэдр = октагексаэдр и его генезис
Встречающийся в кристаллах сорокавосьмигранник имеет,
как правило, октаэдрический габитус (h~k~l), поэтому
общепринятое название этой формы — гексаоктаэдр, хотя при {hkl},
где (&~/)<сЛ предпочтительнее было бы называть эту форму
октагексаэдром.
. Общая форма класса 43т — гексатетраэдр и его генезис
76
Голоэдрический (старший) класс тЪт называют классом
с0рокавось_мигранника, или гексаоктаэдрическим.
Класс 43т, Грань тетраэдра (111), переведенная в общее
гттожение, ушестерится, отсюда наиболее распространенное
«язвание общей формы этого класса — гексатетраэдр (рис /1),
хотя ту же форму можно считать производной куба и называть
тригон-тетрагексаэдром, особенно при (& — /)<&.
Класс 43т называют гексатетраэдрическим.
Класс т 3. Общую форму этого класса можно рассматривать
как «вторичную» производную куба. Грань дигексаэдра
{hkO} — пентагон-додекаэдра — удвоится координатной
плоскостью и получится двадцатичетырехгранник — дидигексаэдр,
который обычно называют дидодекаэдром, или преломленным
об 6
Рис. 72 Общие формы осевых классов и их генезис: А — пентагон-
триоктаэдр=24-гранный осевик; Б — пентагон-трнтетраэдр = 12-гранныи
осевик
77

Рис. 73. Общая форма класса тЗ — дидодекаэдр и его генезис
пентагон-додекаэдром (рис. 73). Эту же форму можно считать
производной октаэдра.
Класс тЪ называют дидодекаэдрическим.
Классы 432 и 23. Общие формы этих классов можно
называть осевиками, или гироэдрами, 24-гранным и 12-гранным
соответственно (.рис. 72, А, Б). В их обычных названиях — пента-
гон-триоктаэдр и пентагон-тритетраэдр — отражено их
«происхождение» ог октаэдра или тетраэдра. Как производные куба
{k~l)<ch их можно было бы называть пентагон-тетрагексаэд-
ром и несимметричным пентагон-дигексаэдром. *
Классы 432 и 23 называют пентагон-триоктаэдрическим и
пентагон-тритетраэдрическим соответственно.
Таким образом, оказались выведенными все 15 форм
кубической сингонии.
Глава IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ
Решение многих кристаллографических вопросов нередко
связано с переходом от одной установки кристаллического
многогранника к другой, однако способы .преобразования
координатных систем, применяемые в рентгеновской кристаллографии,
как будет показано, не могут быть безоговорочно
использованы при работе с кристаллическими многогранниками.
При переходе от одной координатной системы к другой
удобен аппарат матричной алгебры, и в настоящем учебнике
даются некоторые практические советы по работе с матрицами.
§ 1. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СТАРОЙ (XYZ) И НОВОЙ {X'Y'Z')
КООРДИНАТНЫМИ СИСТЕМАМИ, А ТАКЖЕ МЕЖДУ СТАРЫМИ
{(Ш), [rst]} И НОВЫМИ {(HKL), [RST]} СИМВОЛАМИ
ГРАНЕЙ И РЕБЕР
Преобразование координатных осей
Заменим грани кристалла узловыми сетками, а ребра (и
координатные оси) — узловыми рядами. Если а;Ь : с —
отношение параметров старой единичной грани, а А : В : С i— новой, то
а, Ь, с и А, В, С — периоды идентичности (элементарные
единицы) вдоль соответствующих координатных осей. Очевидно,
что параметры вдоль новых (X', У, Z') координатных осей
можно вычислить как векторные суммы параметров вдоль осей
старых (X, Y, Z).
Для конкретного случая (рис.74) А = 2а+Ь, В = 2а + 36.
Поскольку характер каждого частного преобразования опреде-
ляется лишь коэффициентами при а и Ь, систему этих
уравнений можно записать сокращенно в виде матрицы преобразо-
вания осей, составленной из коэффициентов при а, Ь:
(М)=,(2Г
\2 3
79

Приведенный на рис. 74 пример можно рассматривать п g
трехмерном аспекте, считая, что новый параметр по оси Z сов.
падает со старым, т. е. что С —с. Тогда матрица преобразования
/ 2 1 0N
координатных осей (М) =12 3 0
\0 0 \,
В общем виде для трехмерного случая
-*-*-»■
А = иАа + vAb
на va wa
и (M)=[uBvBwB
WAC
В = ива + vBb + wBc
-*> -> -»• -♦ ■
С — uca + vcb + wcc )
ИЛИ UaVaWa/UbVbWb/UcVcWc.
Матрицу обратного преобразования (М-1) — от новых осей
к старым — можно получить либо графически (рис.74), либо
решив систему уравнений относительно a, b к с.
В нашем случае
(М-1) =
—-i-0
4 4
2
0 1
34-4а-й=0*
из a 0ST:
2АН$-2В-0
Рис. 74. К преобразованию
координатных систем
В общем случае
a = uaA+vaB+waC
b = ubA-j-vbB + wbC
c = ucA + vcB + wcC
(иа va w«
и (M )=\Ub vb wb
\uc vc wCi
или uavawjubvbwbiucvcwc. I ":;; г;Ц
Взаимно-обратные матрицы (М) и (М~1) при перемножений
/100\
должны дать единичную матрицу 0 10] При перемножении
\0 0 \]
матриц член t-той строки /-того столбца
матрицы-произведения получают, суммируя результаты перемножения каждого
члена i-тои строки 1-й матрицы на соответствующий член /-то-
80
о столбца 2-й матрицы, что графически можно
проиллюстрировать схемой (рис.75). Для нашего примера:
/2 1 0
(М)-(М_1)= 2 3 0
\оо ь
v
.1.10
4 4
X_L0
2 2
0 0 1
В общем случае (Mi)-
.(М2)¥=(М2).(М1).
Закон
преобразования, при котором
матрица (М) используется для
прямого преобразования
осей (от старых к
новым), а обратная
матрица (М-1) — для
обратного преобразования (от
новых к старым), носит
название ковариантного.
Чтобы вычислить
соотношение осевых единиц
в данной системе
координат, нужно матрицу
соответствующего
преобразования умножить
на одностолбцовую мат-
ш
ш
х
ш
;;•■■«
■•: ■:■'■'•
—
щ
_____
_____
щ
•
ш
X
:■•■■•■
ш
S
_
_
X
М
m
Ж
■■-"|-|
Ш_
Рис. 75. Графическая иллюстрация
правил перемножения матриц
'pVyTТоставГенную шГосевых единиц другой системы:
ив vb Wb
aic Vc wc
fua va w,
"ь vb Щ
Kuc vc wc
Абсолютные
ила + vAb 4- wac
-» ■? "* ='
= u£a + ^в» + wBc
«c« + vcb + aycc
1=Л:В:С,
=a:b: с
A', B', C'{A'=p-At
uaA+vaB+waC
= ubA+vbB+wbC =
ucA + vcB + wcC
значения векторов
Я =p-B, С —р-С) найдем скалярным умножением каждого
вектора на самого себя:Л'. А! = p{uAa + vAb*+wAc)-p {uAa+vAb-\-wA^
или (Л') =
= ]/"р2 (и^<22+^62 +ш^с2 -\r2abuAvAQ.osy-\- 2ocuaWacos$ + 26c^£UCOS а),
гДе а, р, у — осевые углы в старой системе координат.
81

"Вычислив таким же образом В' и С, получим
Л:В:С=А':В':С' = — : 1 : —
В' В' '
Для вычисления новых осевых углов
;(а' = ВС, {3' — АС, у'=АВ) следует воспользоваться зависимостью
cos (АВ) = —— ■ — —— (ила + vAb + WAc)(uBa + i>56 + швс) =
= -тт^г (илиЕа2 + luitefc2 + адг^с8 + (иЛив + vAuB) ab cos у +
+ («л^в + Waub) ас cos р + (vawb .+ ЮдСв) be cos a).
Таким же образом определяем а = ВС и 6'=ЛС (см.
задачу XIII).
Нетрудно показать, что если (Ма) — матрица
преобразования осей от установки I к II, а (Мь) — то же от установки II к
III, то (Мь) • (Ма) = (Мс) — матрица преобразования от I к III.
Преобразование индексов граней кристалл;
сеток
узловых
Пусть h, k, I — индексы
некоторой узловой сетки в
старой установке; Н, К, L —
индексы в новой установке.
Так как семейство
параллельных узловых сеток (hkl)
разбивает элементарные единицы
(ребра старой ячейки) а, Ь,
с соответственно на h, k и /
частей (§ 6, гл. II), то для
вычисления новых индексов
Н, К, L нужно определить
лишь, на сколько частей
разбивают те же сетки новые
элементарные единицы А,
В, С.
Из рис.76 для двумерного случая, где h = 2, k = 3 и
А = 2а+Ь, В = 2а+ ЗЬ, очевидно, что H=2h + k = 7 и К=
= 2h + 3k=l3. Таким образом, каждый из векторов (А, В)"раз-
бит на столько же частей, на сколько разбита ломаная,
соединяющая его концы.
_ Для трехмерного случая А = ила + vrf + wA7, значит Я=
■—иАп+ илк+ ы>л1. По аналогии
Рис. 76. К преобразованию
индексов граней кристалла
82
K=uBh-\-vBk + wBl,
L=uch + vck + Wcl.
Таким образом, матрицы преобразования индексов узловых
сеток (граней) кристалла совпадают с матрицами
преобразования осей, т. е. преобразование символов граней тоже идет по
ковариантному закону:
«)-«>{*)-(;)-^-(j)
Преобразование индексов ребер кристалла — узловых
рядов
Пусть [rst] — старый
символ некоторого ребра, а
[RST] — новый (рис. 77).
Заменим ребро узловым рядом,
-> ->■ —» -»-»-*■
тогда ar, bs, ct и AR, BS, СТ—
координаты некоторой точки
ребра (узла ряда). Очевидно,
что
~AR + lBS + CT = ar + bs +ct.
Из системы
Рис. 77. К преобразованию индексов
ребер кристалла (координат точки)
2=uaA + vaB + waC>
b = ubA + vbB + wbC,
^ыД + исВ + в^С
следует, чго
-AR + BS+CT = r(u~A+vaB + waC) +
+ s (щА + vbB + wfi) +1 (иА + v?B + wcC) =
= \uar + ubs + uct) + £р,+*# + *А + СШ + °>* + "^
Таким образом,
R = uar + ubs + uct,
T = war + wbs + wJ,
83

a Ub Uc
т. е. матрица преобразования индексов ребер j va vb vc
,wa wb wc
Следовательно, индексы ребер преобразуются с помощью
юбратной транспонированной матрицы (Л!-1)'. При
транспонировании строки и столбцы матрицы меняют местами..
Такой закон носит название контравариантного.
Очевидно, что для обратного преобразования индексов
ребер (от новых к старым) нужно пользоваться
транспонированной прямой матрицей {М)':
= (М)'
Разумеется, что то же справедливо для координат точек.
Пусть в нашем примере (см. рис. 74) символ ребра 0L
определяется координатами точки М. Тогда в старой системе
координат [rst] = [650]. Для вычисления символа этого ребра в
новой системе координат транспонируем полученную ранее
обратную матрицу:
(М-')
i\ —
4
]_
2
о
-L о
4
-L о
+ Щ-1)'=
j
(м-1)
IV
~ -- 0
1
! з
4
Г
4
-^- о
о
1
I
о
т. е. [RST] = [210], что очевидно и из рисунка.
Преобразуя индексы граней и ребер гексагональных
кристаллов в установке Бравэ, целесообразнее всего переходить к
трехчленным символам, записывая (hk-l) . вместо (hkil) и
[г w s—w-t] вместо [rswt]. Это даст возможность поступать
при преобразованиях обычным путем. К сожалению, в
литературе для гексагональных кристаллов чаще приводятся матрицы
преобразования осей вида aKWbaJfofaMdyiWwJeibM*
о подооных случаях рекомендуется перейти к матрице обычного
типа: а!--а8 а2~а3 а4/|3,-|33 р2-р3 {Уб,-63 б2-б3 б4.
84
§2-
ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕЙ ПРИ
РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАНИЯХ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
1 Координатные оси в новой установке направлены по
ребрам '[riSi*iL [^2*2], [rsssts]; (EFG) -новый символ грани
W); Е, F, ОфО.
Допустим, что матрица преобразования осей
(АО
Нетрудно заметить (рис. 78),
что числа, записанные в 1-й
строке матрицы (М),—
координаты первого от начала узла
(jVi) на оси X', измеренные
элементарными единицами вдоль
координатных осей X, Y, Z
старой системы, числа 2-й строки
соответствуют подобным
координатам первого узла (Pi) на оси
У 3-й строки — то же для оси
Z'. Взяв отношения этих чисел и
исключив общий множитель,
получим старые символы новых
координатных осей Xf, Yr, Z'.
Рис. 78. Члены 1-й строки
матрицы преобразования осей
пропорциональны индексам ребра
(узлового ряда), принятого за
ось X'
uA\vA\ шл = л1г1 : niSi : nxtx =r{ : sx: ^[ns^i],
uB : vB : wB = n2r2: n2s2 :n2t2 = r2 : s2 : t2-+[r2s2t2],
uc:vc: wc = nBr3: n3s3: n3t3 = rs: s3 : h-^[r3szt3].
Тройки чисел riS\t\t r2s2t2, rsSsU — координаты некоторых
точек на осях X', Yr, Z'\ в общем случае, если пф\, эти точки
не совпадают с узлами, ближайшими к началу координат
{Ni, Pi,...). Следовательно, чтобы по старым символам новых
координатных осей составить матрицу преобразования, нужно
индексы этих символов записать в соответствующие строки
матрицы (1-я строка — индексы символа оси X', 2-я — оси Y',
3-я — Z') и ввести для каждой строки поправки — множители:
(М)
пггг
ПоГо
Wa\
wB I-
Wcl
Поправки могут быть найдены из соотношения старого и но-
в°го символов некоторой грани.
85

Действительно,
Ep = euA-\-fvA + gwA = enirl + fnlsl + gnltl:
=ni{eri + fsi-]-gti).
Отсюда
По аналогии
Ер
егг + /si + gtj
Fp Gp
где p — некоторый коэффициент пропорциональности, которым
следует пренебречь, так как матрица (М) служит в дальнейшем
для определения символов (т. е. отношений индексов) граней и
ребер кристаллического многогранника.
Если направления координатных осей в новой установке
сохраняются, а выбирается лишь другая единичная грань, матри-
/пг О О
ца преобразования осей примет вид: (^)=J0 п2 О J, где из
\0 О
предыдущего П\ = Е\е, n2 = F/f и n^=Gfg. Тогда
H;K:L = h— :k—:/ —.
е f g
В этом частном случае несложным должно быть и
традиционно кристаллографическое решение Пусть параметры старой
единичной грани — ае, Ъе, се, новой — Ае, Ве, Се. Параметры
грани (efg), или (EFG), — а, Ъ, с; грани (likl), или (HKL), —
аХ) Ъх> сх.
Из определения понятия «символ грани» следует
е • f • g — — ■ — • -^- Е • F * G = • ' ^е
а Ъ с а Ь с
и
h:k:l=---^-:-^-:-^-, Н : К : L = — : — : —
ar by cr av bv cv
Откуда
е f
2. Новые координатные оси заданы новыми символами
четырех граней, причем три из них в старой системе —
координатные грани; {НхКхЦ) — новый символ грани (100), (H2K2L2) -
грани (010), (Яз/СзЬз) — грани (001), (EFG) — грани (efg)-
Допустим, что матрица преобразования осей
86
'ua Va Ш^
(М) = \ив vB Wb
Л1с VC WC;
тогда новый символ грани (100) можно получить умножением
матриц с последующим исключением общего множителя:
fuA vА wA\ ( 1
ив vB wb\\ 0
кис vc wcJ \0
uA:uB: Uc^riiHi \fi1K1: ri\L\ = H\: K\ : L\-+(HiK\L\).
Аналогично, для грани (010)
vA : vB: vc = n2H2: П2К2 '• n2L2^H2: K2: L2->{H2K2L2)
и для грани (001)
wA : wB : wc = n3Hs: пгКъ: пъ1ъ = Нъ: /С3: Ьъ-+(НъКъЬъ).
Таким образом, чтобы составить матрицу преобразования
осей, нужно новые символы старых координатных граней
записать! в соответствующие столбцы матрицы, умножив при этом
члены каждого столбца на поправки — множители п\, п2, пъ,
которые можно получить, решив систему уравнений, выведенную
из соотношения между старым {efg) и новым (EFG) символами
некоторой четвертой грани.,
Действительно,
pE = uAe-\-vAf+wAg,
pF = uBe+vBf+wBg,
pG = uce-\-vcf+Wcg,
где р —; коэффициент пропорциональности, которым .в
дальнейшем пренебрегаем.
Поэтому
£ = «i #ie + n2H2f + n3H3g,
F = ti\K\e-\-n2K2f+tisKsg,
G=niLie+n2L2f+n3Lbg
(см. также задачу XII).
3. Новые координатные оси заданы символами четырех
граней кристалла, три из) которых не лежат в одной зоне:
{HlKlLl)y (H2K2L2), (ЯзКз^з) и (HiKiLi) — новые символы
граней (hikih), (h2k2l2), {hshh), (Щ).
Элементы искомой матрицы можно вычислить по
формулам21, представляющим собой сокращенную запись решения
системы из 12 уравнений (см. также задачу XIV):
21 Acta Crystallographica, 1949, vol. 2, p. 322.
87

ub
' VA =
к-г1г \p1H1-t
«3/3
Vi
3'3
I » 1РД1+ I »
I » I P1L1+ I »
1Л
l3h3 1
№ +
h2k2
h3k3
»
I »
3,l3
1 РД1+ I »
I ЯА+ I »
1 Мз
I Р1Я1+1
I PiL!+ I
P*H2 +
1РЛ +
|P2L2+ I
|р2я2 +
|P-2^2 +
|P^2+-
Р2Я2 +
Р3Я3,
» 1 P3^3>
»
kK
где
» |P2K2 +
» |P2L2 +
H3K3L3
l.2h2
»
»
hxkx
2 2
^3'
Р3Я3,
Р3Кз>.
i Рз^з>
Рз^з,
! ЗДз,
I Рз^з,
hsk3l3
^4^4* 4
h-Ji-^к
h3k3l3
Khh
Рз =
нгк\.и
H2K2L-2
Ильи
111
h2k.2l.2
Этими общими формулами можно пользоваться и при
решении частных случаев. При решении жшсрокристаллографи-
ческих задач исходными данными всегда служат
четыре грани (тетраэдр, Вейса или Гаюи); три из них определяют
координатные оси, а четвертая — относительные единицы
измерения по этим осям. В лш/срокристаллографии надобность в
четвертой грани отпадает, так как единицы измерения «заложены»
в самих осях. Ясно, что если для преобразования узловых сеток
и рядов достаточно задать три соотношения индексов граней
(или ребер) в старой и новой системах координат, то в случае
кристаллических многогранников нужны 4 таких соотношения.
При переходе от отдельной узловой сетки к грани (а во всех
рассуждениях мы сначала заменяли грань — систему узловых
сеток — узловой сеткой)' теряется тот общий множитель,
который и отличает грань от узловой сетки. «Лишняя», четве;ртая,
грань (контрольная) позволяет вновь ©вести- эти множители.
Необходимо подчеркнуть, что попытки механически
применить правила, выведенные для сеток пространственной решетки,
■граням ведут к досадным недоразумениям. Их не избежал Я
• м. oyprejp в «Рентгеновской кристаллографии» (1948).
88
§ 3. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ
ОПЕРАЦИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО МНОГОГРАННИКА
Симметрическое
преобразование (вращение с отражением
или без него) можно
представить как преобразование
координатной системы. Для
прямого преобразования (M) = uaVa4>aI
JubVbWbIucVcWc, Для обратного
(М-1) = UaVaWalubVbWblucVcWc.
Так, "поворот фигуры вокруг
вертикальной оси на 90° по часовой-
стрелке (42г) может быть
представлен поворотом координатного
репера в противоположную
сторону. Из (рис. 79, а
Риг 79 Повороты координатно-
Нис. /у- * i 90о пп0тИВ ча-
го репера: а -па ьи
сапой стрелки, о — на 1^.' t
тив часовой стрелки
в = —а>
С = с*,
Для 3J (рис. 79, б)
откуда (М) --
/0 1 0\
Т о о и (М-1)
\0 0 1/
2 = -л-в
шч-oio/iTo/ooi, (м-)-ТГо/100/оо1« (М-Г-
следовательно, (M)-uiu/""'
=Tl0/i00'001. „„«гтячпографический коордиьат-
' При операциях.симметрии кристалл°П> Ч> ы аптет-
„ый репер преобразуется сам в свояпоэт J ^^ a
^ЬеГс^Г^^Гко 0 . ±1 («-ь, «*-«-
Матрицы симметрически.^-^Я
Г'матрица (,W), во =^оГпо »«^*«- "«°Т* " с.Гв "
(M^V22. Очевидно и обратное м> подобным си-мво
разова*шой грани можно полнить №>
лам ребра (координатам точек) I £ьной координатной си-
Следует отметить,, что при ^
„ ion0 по часовой стрел-
"~^Гпр„ повороте вокруг вертикальной оси на (=точка
.jct/г) - в ребро (s-r r t) (=ioik> У
89

стеме символы граней и ребер размножаются по одному и тому
же закону. Дейсгвительно, прямая матрица равна >в этом случае
обратной транспонированной: (М)=(М~1у.
То же имеем и в случае .неортогональных систем для опера-
о
ций.всех осей 2-го порядка (2, 2=1 и 2 = т), прямая матрица
которых эквивалентна как обратной транспонированной, так и
обратной матрице: (М) = (М-1)'= (Л1-1).
Составляя матрицу симметрического преобразования по
символам грани (или (М~1У — по символам реб|ра), мы
фактически совершенно отвлекаемся от конкретного геометрического
смысла ее1 членов, однако надо иметь .в виду, что при
ортогональной координатной системе члены матрицы (М) = (М~1)/
представляют собой косинусы углов между новым и старым
координатными реперами, т. е.
''cos x'x cos x'y cos x'z>
cos y'x cos y'y cos y'z
4cos z'x cos z'y cos z'Zj
Представление кристаллографических операций такими
таблицами направляющих косинусов во всех сингониях, как это
делается, например, в кристаллофизической практике, неудобно, так
как искусственное введение ортогонального координатного
репера значительно усложнит матрицы; так, матрица поворота
вокруг вертикальной оси на 120° (З^1) примет , вид
1 /Г 0 /_/Г _J_ 0/00 L
иА
Ub
ис
vA
Vb
vc
WA\
WB\ =
wcj
(Ma
= k
\Wa
ub
Vb
wh
uc\
»,=
wcJ
2 2/2 2
Весьма существенно и то, что подобные матрицы нельзя
использовать непосредственно для расчета символов граней и ребер,
записанных в обычной кристаллографической системе.
В пекристаллографических группах симметрии отсутствует
тройка направлений, преобразующаяся в себя при -всех
операциях группы, и, следовательно* естественная 'Координатная
система не даст каких-либо преимуществ, поэтому .в таких
случаях удобнее вводить прямоугольную систему и пользоваться
таблицами косинусов.
Итак, каждому симметрическому преобразованию
кристаллического многогранника можно поставить -в соответствие! свою
«ноль, один»-матрицу, сохраняя во всех случаях
кристаллографическую систему координат, причем матриць^ с определителем
А=1 представляют операции первого рода, а с Д = — 1 —
второго.
Матрицы, соответствующие преобразованиям одной точечной
группы, также составляют математическую замкнутую группу
со всеми ее свойствами, в частности произведение двух матриц
даст третью, представляющую симметрическое преобразование
=?МЛпе Пм^п^" При некоммутирующих операциях (Mi) ■ (Мг)^
ч 2) кт1) (см. также задачу XV*.
Г л ав а V
РАЗБОР НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача I
Теоремы взаимодействия элементов симметрии,
обозначения классов симметрии, размножение точек
А Пользуясь теоремами взаимодействия элементов
симметрии, решить, какой класс (группа) симметрии изображен на
стереограмме (рис. 80, а).
Рис. 80. К задаче I
- Б Записать обозначения полученной группы симметрии по
Бравэ, Герману — Могену и Шёнфлису. ц
В Записать координаты точек, связанных с точкой
общего положения (xyz) всеми операциями симметрии полученной
группы.
А. Взаимное расположение оси 4-го порядка и плоскости
91

симметрии говорит об единственности этой оси, т. е. о том, что
заданная группа относится к средней категории. Поэтому
целесообразно повернуть заданный .комплекс, элементов
симметрии таким образом, чтобы единственная ось 4-го порядка
оказалась вертикальной '(рис. 80,6). Взаимодействие плоскости
симметрии и-оси 4-го порядка, лежащей в этой плоскости,
порождает новую плоскость симметрии, образующую с исходной
угол 45° (P'-LA = P", где Р/Л^" = 45°) — см. теорему II.
Каждая из плоскостей повернется осью L$ на 90° (аксиома!), т. е.
P'->2Pf и Р"->2Р" (рис. 80, в). Далее можно идти разными
путями.
- I. 1. Pf-C = L2 {Lo A-Pf) — см. частный случай теоремы III.
Очевидно, что полученная ось L2 лежит в плоскости,
эквивалентной данной, т. е. в плоскости Р'.
2. U-U = L2", где L2V\b// = 45°, •— см. теорему I. Само
собой разумеется, что каждая из неэквивалентных осей (L2 и
L2") окажется удвоенной осью 4-го порядка (L2-+2L2, L2"->-
^2L2").
3. Взаимодействие плоскости симметрии и оси 2-го
порядка, лежащей в этой плоскости, породит новую плоскость
симметрии, перпендикулярную к исходной, т. е. плоскость
горизонтальную — P'-L'^w (или P".L"2|1) = P'".
Убедившись, что любые другие сочетания полученных
элементов симметрии приводят лишь к выведенным ранее (L2'X
XL<?" = LA, PrxP" = Li и т. д.), записываем полученную группу
симметрии в символике Бравэ: U2U2U'2P'2PnP"fC (рис. 80, г).
II. 1. Взаимодействие оси 2-го порядка, заключенной в Ц,
с центром инверсии (частный случай теоремы III) даст
плоскость симметрии, перпендикулярную к этой L2, т. е.
горизонтальную плоскость P'":L2(b L4) -C = P"/(P/"±L2) или,
записывая операции симметрии, — L42-C = P/ff(PXL4); показатель
степени указывает на число повторенных операций, т. е. два
поворота на 90° соответствуют одному повороту на 180°, или
L£ = L2. Обратим внимание, что ЬА-СФР{\) —
распространенная ошибка начинающих (см. с. 20).
2. Вертикальные плоскости 2Р' (и 2Р"), взаимодействуя с
горизонтальной {Р"'), дадут 2L2 (и 2L2"). Таким образом,
■снова пришли к той же группе, что и в случае I. Проекция
полученной группы L&L22L2'2Pr2P"P'"C в установке,
предложенной в условии задачи («нестандартной»), представлена на
рис. 80, а.
Б. Для построения международного символа (по
Герману — Могену) привязываем полученную группу к координат*
•ной системе (а = Ьфс,- а= (3=-у = 90°). Развернутый символ
Германа Могеиа удобно представить в виде таблицы:
. 92
Особые направления
по Z
по X = V
по диагонали
(под углом
а/2 к Х=У)
В общепринятом символе обозначения осей 2-го порядка
опускают, так как каждая из них порождена взаимодействием
вертикальной и горизонтальной плоскостей симметрии, запи-
4
санных в символе: —тт.
т
По Шёнфлису, группы симметрии с побочными осями
(осями L2, перпендикулярными главной оси) — группы Dn; в
данном случае осевой комплекс полученной группы L&L22L2 —
= 422 = Z)4. Фиксация в символе вертикальных плоскостей
буквой v не даст однозначного обозначения, так как осевой
комплекс Dn допускает двоякое расположение вертикальных
плоскостей относительно побочных осей L2, поэтому в подобных
случаях указывают плоскость,
перпендикулярную главной оси, т. е.
горизонтальную плоскость симметрии,
записывая Dnh, или в нашем случае — D4h.
В. Семейство точек, связанных
между собой операциями симметрии
выведенного класса, можно получить,
используя лишь порождающие элементы
симметрии, например 4z-mx-mz либо 4г-2х-
*т2, либо 42«2эс« 1 и т. д.
Рис. 81. Размножение-
точки xyz операциями
4
класса — m m
_ т
Остановимся на комплексе Аг-.2х-\\ действуя на точку xyz-
сначала элементами симметрии 1-го рода, получим все
«конгруэнтные точки» (рис. 81):
xyz(\)x\
41 I
42( = 22)= |
4з
yxz{2) xyz{\)
— yxz{2)
х^(3) xyz(S)
{ yxz{4) , yxz{4)
X2,
'xy_zJ5)
y_xz (6)
xyz (J)
'yxz{8)
Добавив инверсию, которая изменит знаки всех координат
на противоположные, получим вторую, энаптиоморфную,
половину точек:
93

xyz (l)-+xyz (Г)
yxz (2)-+yxz (2')
yxz (8)-^yxz (8') .
Число точек общего положения соответствует порядку
группы симметрии (см. § 7, гл. I); таким образом, разбираемая
нами группа — группа 16-го порядка.
Задача II
Определение позиции грани методом развития зон
А. Определить сферические координаты грани (hkl) = (738)
б ромбическом кристалле, если q>(in>=62°, рап) = 490.
Координатная система кристалла известна, поэтому
положение координатных граней фиксировано и их вместе с
единичной следует принять за исходные.
По правилу сложения можем записать:
/ (212) и 010) при т = 4 и п = — \; 4(212)+1(110) = (738),
1 Ч (213) и (101) при т = Ъ и п = — \\ 3(213) + 1 (101) = (738),
/(111) и (011) т-2ия=1,
Vl6> \ (001) и (212) т = я=1,
/ (111) и (101)
<212) \ (211) и (001) ™-»-1>
(100) и (111)
(101) и (ПО)
т = п--
(211) {
Нанеся на стереограмму исходные грани, найдем двуеди-
:ничные и затем, развивая зоны, последовательно получим
грани (211), (212), (213) и, наконец, (738). По стереограмме на-
-ходим координаты этой грани.
Б. Определить сферические координаты единичной грани
ромбического кристалла, если фо23) = 42°, р(12з) = 560.
Для определения позиции единичной грани в кристалле
иметьИппаТеГ°рИИ помимо <р и р координатных граней удобно
позиции и двух любых двуединичных граней. Так как
94
позиции координатных граней в кристалле с известной
системой координат фиксированы, задача сводится лишь к
определению положения двух двуединичных граней, например (НО)
и (101). Очевидно, что их положение могут задать грани;
(hhl) и (hkh):
к (hhl) »~ (110)
(hkl), (100), (010), (001)
(Ш)
(hkh) »-(Щ)'
На первом этапе можем определить лишь позиции граней
(023), (103) и (120); каждая из них, будучи параллельна
одной из координатных осей (X, У и Z), параллельна
соответствующему ребру [(100) и (123)], [(010) и (123)] и [(001) и-
(123)].
Позиция грани (hhl) = (223), которая параллельна ребрам,
[(120) и (103)] и [(023) и 2(100)], позволит найти
сферические координаты грани (ПО).
Для определения позиции грани (hkh) находим сначала
грань (203), параллельную оси У и ребру [(023) и 2(110)].
Пересечение зон [(203) и (120)] и [3(100) и (023)] даст грань-
(hkh) = (323), которая однозначно покажет- позицию грани.
(101). По двум двуединичным и координатным граням
получим позицию искомой единичной грани.
Отметим, что если исходные грани имеют-очень сложные
символы, то приходится сначала преобразовывать
координатную систему (см. задачу XII).
Задача III
Определение символов граней кристалла методом развития
зон
А. Кристалл симметрии 2/т (роговая обманка) — рис. 82
I. В классической установке единственное особое
направление совмещают с осью У, располагаемой на чертеже
горизонтально; совместив ось Z с осью зоны, образуемой гранями
форм 2 и 1, а ось X — с осью зоны форм 2 и 4, спроектируем
кристалл, используя зональное расположение граней
(рис. 82, а). Легко убедиться, что при таком выборе
координатных осей отсутствует грань, пересекающая все три
координатные оси, т. е. грань, которую можно принять за
единичную, поэтому придадим двум из трех граней, каждая из
которых пересекает по две координатные грани, простейшие
символы, т. е. посчитаем их двуединичными. Пусть такими будут
грани 1 — (ПО) и 4—(011). Чтобы вычислить символ грани 3
95

(эта грань параллельна оси У, что позволяет записать ее
символ в общем виде как (М)/)), надо определить символ оси
зоны граней 1 и 4 — второго направления, которому
параллельна искомая грань: [rs/] = [(110) и (011)] =[111]. Из
соотношения hr+ks + lt = 0 получим для грани 0}01), что h = —/.
Таким образом, грань 3 — (101), а 3' — (101).
В этом простейшем случае пригоден и метод суммирования
индексов символов граней 4 и Г, что даст (011) + (110) = (101);
нулевое значение индекса k указывает на то, что второй
зоной, которой эта грань принадлежит, служит зона оси У.
Таким образом, найденный символ (101) принадлежит именно
грани 3. Символ (010) для грани 2 очевиден.
П. В другой установке (новой, или рациональной)
единственное особое направление совмещают с осью Z, которую
располагают вертикалыно (перпендикулярно плоскости чертежа); '
осью У новой установки служит ось Z классической, а оси X
обеих установок совпадают. Таким образом, совместив
горизонтальную ось У с осью зоны граней форм 1 и 2 и выбрав
ось X так же, как и в классической установке, спроектируем
кристалл (рис. 82,6). За исходные снова возьмем грани тех же
форм: 4//(011) и Г'(101). Вычитание индексов (011) —(101)= -
= (■110) даст грань той же зоны, причем параллельную оси Z,
т. е. грань 3. Символ грани 2' — (001).
III. Если совместить ось X с осью зоны граней 2 и 3, то
грань 3 получит в классической установке символ (001), грань
2' — (010) — рис. 82, е; в рациональной установке (рис. 82, г)
символ грани 3 — (010), грани 2 — (001). При таком выборе
осей в обеих установках грань формы 4 может быть принята
за единичную, таким образом, искомой станет грань 1, В
классической установке символ грани 4" — (Ш); коль скоро
зона граней форм 4—1 проходит через грань (001), —- = — =
__ h kA
=const и в данном случае равно 1:1. Будучи параллельной оси
2, грань V" определяется однозначно как (ПО). _
В рациональной установке символ грани 4 — (Hl)t
грани 3 — (010), поэтому ~г=-Г при £ = 0, т. е. символ грани
Б. Кристалл симметрии Зт (гематит)
Облик кристалла, как и его проекция (рис. 83), убеждает
Нас, что за единичную грань можно принять либо грань
одного из двух ромбоэдров (г или k), либо грань бипирамиды
> так как каждая из этих граней, отсекая равные отрезки на
^вУх горизонтальных осях, пересекает ось Z. Грань призмы (а)
Зек. 196
97

Рис. 83. Кристалл гематита: а — общий вид, б — полная сте-
реограмма, в — «рабочая» часть стереограммы
параллельна оси Z, поэтому ее символ (2110) не зависит от
выбора единичной грани.
I способ индицирования граней кристалла гематита.
Пусть единичной^ гранью будет грань бипирамиды d, тогда
df (1121), a d" (2111). Символ грани ромбоэдра г\
притупляющей ребро бипирамиды d, можно легко поручить
суммированием символов^ граней бипирамиды, т. е. (1121 )+_(2111) = (3032).
Если г' (3032), то грань той же формы г" (3302), поэтому
грань k снова можно получить суммированием: (3032) +
+ (3302) = (0334).
Менее изящен путь, по которому сначала определяют
символ зоны граней г'—а: а-(2П0)~^(2\-0), гг-(3032)— (30-2);
[rst]=[(2l-0) и (30-2)] =[243]. Символ гр^ни k в общем
виде (0Ш)-^(0/г/), следовательно, 2-0+4/г +3/ = 0, откуда
(0Ш) = (0334).
II способ индицирования граней кристалла гематита.
За единичную примем грань г'. Представив символы двух
граней бипирамиды d, притуплённой гранями ромбоэдра_ г в
общем виде — d'(hfi2hl) и d"{2hhhl)t запишем: d'{hh2hl)Jr
+ d"(2hhhl)=y'(101l), откуда (ЗМШ2/) = (1011) и /=2М, т. е.
(hh2hl) = (2243). Определив грань формы k по предыдущему.
получим (0112).
III способ индицирования граней кристалла гематита.
За единичную грань примем грань ромбоэдра k. ТогДа
г'(ШЕ1) и r"(hhQl) при суммировании должны дать k (Шч<
откуда /1 = 2/, т. е^ (Я07г/) = (2021). Очевидно, что d"{2hhhl)*
+ d'(hh2Fil)=r'(202l), поэтому символ d' — (4483). Провер^
убеждает нас в правильности расчета: (4483) + (8443) -"
-(12 0 12 6) = (2021).
Из сводной таблицы видно, что независимо от пути расчет
символы граней правильно отражают их взаимное располо#е*
ние в кристалле г
98
d
г
k
I
(1121)
(3032)=(10Т 2/3)
(0334) =(0Н 4/3)
II
(2243)=(112 3/2)
(1011)
(0112)
Ш
(4483)=(112 3/4)
(2021)=(ЮТ 1/2)
(OiTi)
3 ад ач а IV
Определение выходов координатных осей триклинного
кристалла и символов его граней методом косинусов
Вульфа
По сферическим координатам основных граней триклинно-
то кристалла халькантита найти выходы его координатных
осей. Определить символы граней р и q кристалла методом
косинусов Вульфа.
р(ф=127°, р = 90°) и <7(Ф = 31,5°, р = 68,5°).
а (100)—Ф= 101°, р=90°; с (001)i—Ф=76°, р=18°;
Ъ (010)— ф = 0°, р=90°; е (111)— <р = 71°, р = 55°.
Построив стереограмму кристалла, прежде всего
определяют выходы координатных осей — в кристалле с
непрямоугольной системой координат они в общем случае не
совпадают с полюсами координатных граней.
Координатные оси представляют собой линии пересечения
координатных граней: X — (010) и (001), Y — (100) и (001),
I — (010) и (100). Поэтому стереографическими проекциями
этих осей будут точки пересечения стереографических
проекций KoqpAHHaTHUx граней, т. е. дуг («экваторов»), полюсами
которых служат гномостереографичеекие проекции
координатных граней (рис. 84,а). Из этого рисунка очевиден и другой
путь нахождения выходов осей. Дуга, проходящая через
гномостереографичеекие проекции граней (100) и (010), есть гно-
мостереографическая проекция ребра пересечения этих граней,
II полюс такой дуги — стереографическая проекция оси Z.
Таким же образом Y — полюс дуги [(100) и (001)], a X —
1(001) и (010)].
Промерив по стереограмме (рис. 84,6) полярные углы
единичной грани (Яе, jiic, ve) и некоторой искомой грани
'**■ М*. \>х), решаем уравнение
cos Я,
/*-v • **v • 'v ~~
^ля грани р:
cos Я,
COSf^ . COSVx
COS Це COS V«
h'.kr
'p=
[cos 40° cos 116,5°
cos 56°
cos 90°
cos 71,5° cos 54,5°
4»
99

hp:kp:lp=\,37: —1,35:0^1 : 1 :0->(110).
Для грани q:
h • k ■ I = cos69° • cos35.5° cos68,5°
Q ' q ' q cos 56° ' cos 71,5° " cos 54,5° '
/1^:^:^-0,641:— 2,50:0,631->1:4:1-^(141),
a(WO)
Рис. 84. К задаче IV: a — определение выходов координатных осей; б —
измерение полярных углов К, Не, ve и кх, [ix, vx
3 ад ач а V
Определение элементов (геометрических'констант)
кристалла
Определить осевые углы и отношение осевых отрезков
(геометрические константы, или элементы кристалла) для халь-
кантита по его основным граням (данные см. в предыдущей
задаче).
Воспользовавшись построенной в задаче IV стереограммой
халькантита (см. рис. 84,а), измерим осевые углы (рис. 85,а),
причем углы между одноименными выходами осей (YZ или
Y2 и т. д.) соответствуют углам а, (3, у, а между, разноимен*
ными — (180°—а), (180°—Р), (180°—у).
Углы а, р, у можно получить и по гномостереографическим
проекциям осей как углы между двумя дугами.
■ Отношение осевых отрезков определяется уравнением
1 :
COS Це
cosKP
1
COS|J.e
cos v£
о о cos ке cos ve
Другой графический способ определения а/b и с/b,
позволяющий решать и обратную задачу (задача VI),— метод тре-
100
Рис. 85. К задаче V: а —
измерение осевых углов; б —
построение основного тетраэдра; в —
измерение углов аь, ас, pV pc и
Уа, уь (пунктиром показаны
вспомогательные дуги)
угольников. При пересечении единичной и координатных
граней (рис. 85, б) образуется основной тетраэдр, позволяющий
выделить треугольники АОВ, АОС и БОС, из которых следует:
SinYa
smY6
sin ac
sinaf,
Углы уа и уь, ас и аь, Pa и рс измеряют по стереограмме
(рис. 85, е) как углы между дугами — пномостереографиче-
скими проекциями координатных осей и линий пересечения
единичной и координатных граней.
В данном случае уа = 32,25°, <у6 = 70,50° и ас = 27,25°, аь =
= 54,75°. Откуда а/Ь = 0,568, ф = 0,561.
t
101

Задача VI (обратная к задаче V)
Определение позиций основных граней кристалла
по его элементам
Даеы элементы кристалла халькантита:
_£-: !:_£. =0,5715: 1:0,5575,
ъ ь
а = 97° 44', р=107°26', <у = 77°20'.
Построить стереограмму основных граней: (100), (010), (001)
и (111).
Построение проекций координатных граней
1. Определение выходов координатных осей. Ось Z
располагаем вертикально, тогда плоскости осей ZX и ZY будут
также вертикальными (рис. 86, а).
Ось X направляем на наблюдателя, причем ее положитель-
Рис. 86; К задаче VI: а —
определение выходов
координатных осей и координатных
граней; б, в — определение
позиции единичной грани
=*-..
103
ный выход окажется под плоскостью проекций, так как угол
р>90°. Невидимый выход оси X можно найти, отсчитав от
выхода оси Z — центра круга проекций — угол р=107°26'.
Видимый выход отрицательного направления оси X определится
углом 180°— р = 180°— 107° 26' = 72° 34'.
Ось F образует угол 180°—а=180°—97°44, = 82° 16' с осью
Z и у = 77° 20х — с осью X, поэтому выход оси У есть точка
пересечения двух дуг: все точки первой находятся на угловом
расстоянии 180°—а от оси Z, точки второй — на расстоянии
у от X.
2. Определение положения граней (100), (010) и (001).
Гномостереографические проекции координагаых_граней__(100),
(010) и (001) находятся как полюсы дуг 7Z, XI и ХУ, т. е.
дуг, проходящих через выходы координатных осей (рис. 86,а).
Определение положения единичной грани
Чтобы найти положение единичной грани, надо по
элементам кристалла построить вспомогательные треугольники AOBt
ВОС и АОС — «развертку» основного тетраэдра (рис. 85,6).
Для этого (рис. 86,6) еа некоторой прямой, как на оси OY,
отложим .слева направо произвольный отрезок ОВ, приняв
его за единицу {be = bjb = l). Затем построим угол YOZ = a и
на оси OZ отложим отрезок ОС = ce = clb = 0,5575. Построив
угол ZOX=$, отложим на оси ОХ отрезок ОА = ае = а/Ь =
= 0,5715. И наконец, на луче ОХ', составляющем с осью OY
угол у, на расстоянии ае = 0,5715 отметим точку А'. Соединив
точки А к С, С и В, В я А', получим искомые треугольники.
Для решения задачи достаточно воспользоваться какими-
либо двумя треугольниками, например АОС и ВОС. Измерив
углы АСО = $а и ВСО = аь, из точек (100) и (010) на стерео-
грамме (рис. 86, в) проведем дуги больших кругов,
образующие с окружностью основного круга (проекцией оси OZ) углы
есь и ра соответственно. Точка пересечения этих дуг (е) и есть
проекция единичной грани.
Задача VII
Определение симметрии двойника
Определить симметрию (двойниковую группу) двойника
прорастания кристалла класса тЗ при двойниковании по 2'[7i2>
То же для двойника срастания. __
Построив стереограмму группы тЗ, отмечаем выход двой-
никующей оси 2'[7i2]- В общем .случае для этого надо, пользуясь
соотношением hr+ks+lt=0, подобрать две грани с
простейшими символами, параллельные этой оси. Дуга, проходящая
через гномостереографические проекции этих граней, даст гно-
103

мостереографическую проекцию искомой оси, поэтому полюс
этой дуги — стереографическая проекция заданной оси;
положение граней легко получить методом расщепления символов.
В данной задаче решение упрощается, так как в кубическом
кристалле направление [rst] перпендикулярно к плоскости
(rst), позицию которой также можно получить
«расщеплением» символов.
Из стереограммы очевидно, что единственным элементом
симметрии, который может перейти в двойниковую группу,
оказывается в данном случае ось 3z/JL2'rTi2]23. Тогда
предполагаемая сохранившаяся подгруппа — 3 (рис. 87).
Рис. 87. К задаче VII: 1 —
элементы симметрии монокристалла,
2 — двойникующая ось, 3 —
элементы симметрии
сохранившейся подгруппы, 4 —
порожденные элементы симметрии
Взаимодействие элементов этой подгруппы с осью 2' при-
— , — 2'
ведет к полной двойниковой группе Зт — 3 .Ее порядок
т'
(12) вдвое превышает порядок сохранившейся подгруппы, что
и подтверждает правильность нашего предположения.
В двойнике срастания в сохранившуюся подгруппу
перейдет лишь ось 3 = 3г/, поэтому симметрия двойника
срастания — 32'.
Задача VIII
Определение позиций двойниковых аналогов граней
Определить в тетрагональном кристалле ■ положение
двойникового аналога грани Р (211), если р(Ш)=48^_а
двойникующая ось А совпадает с нормалью к грани А (112). То же при
двойниковании по плоскости Q(011).
23 Если Зу («[lTi])J_[Il2], то в кубическом кристалле (Ш) должна
быть параллельна [П2], что подтверждается соотношением hr+ks+lt^O,
104
Двойиикующий элемент — ось [112]
Полюсы граней Р и А находим .на пересечениях следующих
зон (рис. 88, а):
_£211)=[(101) и (ПО)] и [(100) и (Ш)1,
(112) = [(П0)'и (001)] и [(011) и (101)].
Поставив полюсы обеих граней на один меридиан сетки
Вульфа (рис. 88,6), отсчитываем по этому меридиану от
полюса (112) в сторону, противоположную грани (211), угол, рав-
(100)
а б - б
Рис. 88; К задаче VIII. Определение положения двойникового
аналога грани: а — определение полюсов граней (211), (112) и (011):
<р<2Н)=63,5о,Р(211)=60,5°, ф("п2).=225°, р(112)=29°, р«>и)=380; б — двой-
ннкующий элемент — ось; в — двойиикующий элемент — плоскость
ный углу между этими полюсами [АР^АР). Искомая грань
Р(211) занимает положение P(q> = 242,5°, р=117°). Следует
обратить внимание на то, что на стереограмме невидимым
продолжением меридиана служит меридиан, симметричный
данному.
Двойиикующий элемент — плоскость (011)
Воспользовавшись стереограммой (рис. 88,а), находим
полюс двойникующей плоскости Q (011) и строим ее
стереографическую проекцию — меридиан сетки Вульфа. Угловое
расстояние между полюсом грани Р (211) и стереографической
проекцией двойникующей плоскости Q (011) находим но
параллели сетки Вульфа (напомним, что параллели сетки
Вульфа перпендикулярны се меридианам) — рис. 88, в — и
откладываем этот угол по-той же параллели по другую сторону
меридиана Q, т. е. ^Рт=^Рт, Полученная грань Р (211) —
Двойниковый аналог грани Р (211) — занимает положение Р_
(Ф=П6°, р = 119,5°).
Следует помнить, что невидимое продолжение параллели
совпадает с ее видимым следом.
Определяя положение двойникового аналога грани Р,
можно для наглядности поставить двойникующую ось
(соответственно двойиикующуго плоскость) вертикально, для чего
следует повернуть стереограмму вокруг горизонтальной оси. Эта
5 Зак. 106
105

горизонтальная ось совпадет с вертикальным диаметром сет.
ки Вульфа, если стереографическую проекцию двойникующей
оси поставить на экватор этой сетки (соответственно
проекцию двойникующей плоскости — на ее меридиан). При
повороте вокруг горизонтальной оси все точки стереограммы будут
перемещаться по параллелям сетки Вульфа.
Задача IX
Преобразование координатной системы тетрагонального
кристалла
Новая, €труктур«ая, установка для хиолита (класс DAh)
отличается от морфологической поворотом координатной
системы вокруг оси Z. Определить: 1) новые символы граней (012),
(111), (011) и (010); 2) старый символ новой единичной
грани; 3) новый символ меридионального ребра бипирамиды,
обозначенной в старой установке {021}.
1. Для тетрагонального кристалла с боковыми особыми
направлениями оси X и Y можно выбрать двояко, причем
соответствующие реперы будут повернуты относительно друг
друга на 45° вокруг оси Z. Очевидно, что структурное
исследование позволит совместить оси X и Y с теми особыми
направлениями, элементарные единицы А, В и С (периоды
.идентичности) вдоль которых кратчайшие.
Рис. 89. К задаче IX
Из рис. 89:
Рис. 90. К задаче X
2 = —!+А
2 2
(1)
106
Следовательно, матрица преобразования осей (и индексов
граней) .
(m) = J__Lo/i-i-o/ooi.
V ' 2 2/22/
Новый символ (ЯВД. грани (012) найдем, перемножив
матрицы
<Н *
/С
\*-i
i i_
2
т_
2
г 0
0
0
1
•
1
0
1
l2 j
=
'
Г 1 }
2
I
2
2,
(114).
Таким же образом находим, что грани (1П-), (011) и (010)
получат соответственно символы (101), (П2) и (ПО).
2. Для определения старого символа (Ш) новой
единичной грани следует вывести обратную матрицу, что можно
сделать либо непосредственно по чертежу, либо решая систему
уравнений (1) относительно а и Ь:
а=А—В
Для проверки:
'1
следовательно, (М-1) =( 1
.0
( 1
2
т_
2
0
-S- -1- О
0
1
1 1 0
1 (
1 0 0
Таким образом, (Ш) = (110/110/001) • (111) = (021).
3. Вычислив еимвол меридионального ребра бипирамиды
{021}, преобразуем этот символ к новой установке, для чего
используем _ транспонированную матрицу (М~1 )' : \rst] =
-[(021) и (201] = [П2],
1)-Н;КЧ1ШК1,~№
5* 107

Задача X
Преобразование координатного репера от четырехосной
установки гексагонального кристалла к установке Миллера
Какой символ в установке Миллера получит грань
отрицательного ромбоэдра кристалла кварца, если за координатные
оси принять ребра положительного ромбоэдра? Определить
угол между координатными осями (угол а). (Положительным
считают ромбоэдр {1011}, отрицательным —■ {0111}.)
Матрицу прямого преобразования (M) = UaVaWAIubVbWb/ucvcwc
можно составить, если известны, например, старые символы
новых координатных осей и старый (efg) и новый (EFG)
символы некоторой контрольной грани.
Так как в новой установке ребра ромбоэдра служат
координатными осями, то его грани окажутся координатными
гранями. Нанеся на стереограмму (рис. 90) грани _ ромбоэдра
{hxkv h) =-(1011)->(10-1), {h2k2-l2) = {UQl)-+{U-l) и
{hzkz-h) = (0111)->(01-1), придадим им символы
координатных граней: (10-1 )*-»■( 100)*, (1Ы)я->(010)я и (ОЫ)д-*-
-*(001)я. Выходы новых координатных осей на стереограм-
ме нетрудно получить, зная позицию координатных граней.
Измерив угол между выходами осей, получим а = 94°.
В соответствии с изложенным в § 2 главы IV старыми
символами новых координатных осей будут:
для оси_ " XR— [rlsltl] = [(010)R и (001)*] =
= [(1Ы)яИ (0Ы)я]-[211]; "
для оси YR-[r2s2t2) =[(100)R и (001 )в] ==[(10-1)ни (0Г-1)я]=
= [111];
_для ос_и_ ZR—[r3s3t3] =[(100)л и (010)л]=[(10-1)н и
(1Ы)н]=[121].
В качестве контрольной грани удобно использовать грань
пинакоида, т. е. (efg)H= (0001)-> (00-1), a {EFG)R = (111), при
этом п\ = щ — пъ~ 1, т. е. _
{М)=п\гх tiiSi n\Uln2r2 n2s2 п4фгъгъ Яз$з «з^з = 211/111/121.
Искомый символ грани отрицательного "ромбоэдра (0111)-*'
->(0Ы) получим, используя найденную матрицу:
(Ш)л=(211/Т11/Т21)-(011)-^(22Т).
Можно решить эту задачу, получив сначала обратную
матрицу:
Ч Va Wa\ (1ЧК _ -
{M-*)=[Uu_Vu wA=\n.k, пЛ„ nJk- 1 (см. задачу XII),
\nxlx
n2h2
n2k2
n3h3s
n3l3J
где h, k, I — старые символы новых координатных граней:
(hikili) = (10-1), (h2k2l2) = (Tl • 1) и (Msfe) = (Ob 1).
Поскольку в нашем случае окажется, что П\ = п2 = п^=1/з,
получим
(м-1)=4-
1 1 0
0 1 I
1 1 1
-±- 0
з
Иногда в такую матрицу вводят дополнительную строку,
соответствующую .индексу i = — (h + k). Из
= ~{p—q), k=-j{q—r), откуда i = ^P + Yr'
Следовательно, {М~*)= ±~\-о/о±.±. j±0 ± j±±
Тогда (М) =211/111/121 надо записать как 2101/1101/1201.
Обратим внимание, что полученные матрицы {MH^.R) и
(•Mj?-//) отличаются от структурных общим множителем (см.
с 143 в книге 10. Г. Загальской, Г. П. Литвинской
«Геометрическая микрокристаллография». М., 1976), что несущественно,
так как определяются не абсолютные значения индексов
символов ребер и граней (или параметров решетки), а лишь их
отношения.
Примечание. Для того чтобы найти правильную позицию
грани заданного символа в установке Миллера или правильно
расставить знаки индексов при графическом определении
символов граней, надо иметь в виду, что дуги, представляющие
собой гномостереографические проекции координатных осей X,
s Z (на них проектируются грани типа {Okl), (hOl) и (hkO)
соответственно), разбивают стереограмму на 7 областей:
I {hkl) + {hkl), II {hkl), HI {hkl), IV {hkl), V (hkl), VI (Ш1
II VII {hkl). Позиция грани в той или иной области диктует
Знаки ее индексов j(pnc. 90).
108

3 а д а ч а XI
4
Определение символа направления, перпендикулярного
заданной грани, и символа плоскости, перпендикулярной
заданному ребру
I. Определение [r's'f] _L (hkl)
I. Нанесем точку а — гномостереографическую проекцию
грани (hkl) 24, совпадающую со стереографической проекцией
направления [r's'f].
2. На экваторе к полюсу а
(рис. 91), т. е. на дуге, которая
представляет собой
стереографическую проекцию грани (hkl)t
а следовательно,
гномостереографическую проекцию [r's'f],
выбираем две любые точки (Ь и с);
Jffi Y эти точки будут гномостереогра-
^фическими проекциями граней,
линией пересечения которых
является искомое направление.
Определив методом косинусов
(или зон) символы граней Ь и с,
вычислим символ направления
[r's't'].
Рис. 91. К задаче XI
II. Определение (h'k'V) L\rsf\
Для решения задачи надо получить точку, представляющую
собой стереографическую проекцию заданного ребра [rst], a
следовательно, и гномостереографическую проекцию плоскости
{h'k'V). Для этого по символу ребра, используя соотношение
hr+ks + lt=0, находим символы двух любых
плоскостей,"пересекающихся вдоль этого ребра. По символам этих плоскостей
находим методом зон (см. рис. 91) их гномостереографические
проекции (точки), а следовательно, и гномостереографическую
проекцию линии пересечения плоскостей (дугу). Полюсом этой
дуги и будет гномостереографическая проекция плоскости
(h'k'V), перпендикулярной заданному ребру [rst]; ее символ
определяем методом косинусов или зон.
Конкретные примеры.
I. Определить символ направления, перпендикулярного
•грани спайного ромбоэдра кальцита {10Т4}; установка
структурная; р(1оТ4) = 44036'.
пли'ппп^" известны лишь сферические координаты основных граней, т0
для определения позиции грани (hkl) пользуемся методом развития зон.
ПО
На экваторе к полюсу а (1014) — рис. 91 — выбираем две
очки — две проекции граней, символы которых _можно опре-
1елить наиболее просто: Ь(1210)-*(12-.0) и с_(0112)-Ч0Ь2).
рогда символ искомого направления [r's'f] =[(12-0) и (01-2)] =
[42-1] =[2021"J.
Аналитически эту же задачу можно решить,
воспользовавшись формулой, приведенной в Приложении: rr:s,:f =
*{2h+k):{h+2k)'M2{alc)4, где а=4,99 А, с= 17,06 А;
/-':s':f = 4:2:l,026«4:2: 1;
[r's'f] = [42-1] =[2021].
Незначительное расхождение результатов графического и
налитического решений объясняется пределом точности, допус-
<аемым сеткой Вульфа при построении экватора к заданному
олюсу и полюса к заданному экватору.
II. Определить символ плоскости, перпендикулярной ребру
•пайного ромбоэдра — [0441] — кристалла кальцита.
Найдем символы двух любых граней, пересекающихся вдоль
зебра [0441] =[48-1], причем выберем такие грани,
гномостереографические проекции которых легко найти на
стереограмме: a (10l4) = (10-4) и d(2il0) = (2b0). Полюсом дуги,
проходящей через точки а и d, т. е. гномостереографической
проекцией искомой плоскости, окажется точка с. Символ плоскости
; легко определить, учитывая, что плоскость с параллельна
зси X и таутозональна с_гранями_(10-4) и (12-0), т. е.
V:k':l' = 0'A:2, {h'k'-V) = (01-2) = (0112).
Для аналитического решения воспользуемся формулой, при-
зеденной в Приложении: h'\k':l'^(r—xks)\(s—ll2r):{cla)2ty
где а = 4,99 А, с =17,06 А, р(10Т4) = 44о36/;
h':k':l' = 0: —1,026:2«0: Г 2;
.(Л'£Т) = (0Г-2) = (0П2).
(О причине неполного совпадения результатов графического
и аналитического решения см. выше.)
Задача XII
Определение позиций основных граней кристалла по
четырем граням (h^^), (h^k^), (h3k3l3)n (Л4&4/4),
заданным своими сферическими координатами
По сферическим координатам граней (201), (021),; (131) и
(041) определить положение на стереограмме основных граней
этого кристалла — (100), (010), (001) и (111).
Преобразуем координатную систему таким образом, чтобы
^сходные грани оказались основными:
111 '

(кгШ = (201)-*(100) = {HiKiLi),
(h2k2l2) = (021)-*(010) = (H2K2L2),
(Ws) = (Г31)-*(001) = (H3K3U),
(efe) = (041)->(lll) = (£PG).
Зависимость между старыми и новыми символами четырех
граней позволит составить матрицу преобразования одних осей
в другие, что даст возможность решить, какие символы получат
в новой системе искомые грани. Положение грани с заданным
символом нетрудно определить по стереограмме, если
положение четырех основных граней будет известно (см., например,
задачу II).
Поскольку известны старые символы новых координатных
граней, проще сначала составить матрицу обратного
преобразования (М-1). Действительно, члены столбцов такой
матрицы пропорциональны старым индексам координатных
граней:
ЛЛ fuavawa
К 1=1 ч ч К
к J W vc wc
т. е. h\\k\\l\ — ua\Ub\uc и т. д.
Поэтому
njij^ n2h2 n3h3
fi-ifc-i ГЪпН,п '^g/vg
ftj/l ^2^2 %^3
В нашем случае
Определив позицию, этих граней на стереограмме, дадим
окончательный ответ.
Задача XIII
Вычисление новых констант кристалла по заданной
матрице преобразования осей
Для кристаллов реальгара матрица преобразования
координатных осей от стар_ой установки Гольдшмидта к структурной
установке Бюргера — 101/010/001.
Определить геометрические константы для второй
установки, если для первой ао = 0,7203; со=0,4858; рг =113° 55'.
1. Вычисление А : В : С:
«a Va Wa
ub vb wb
Uc V; WCi
(Al-i).
nx • 2 n2 • 0 n3 • 1
(AM-) = ( nx-0 n2-2 n8-S
nx-\ /г2 • 1 n3 • 1
Множители rt\, n2, n3 можно найти из зависимости между {efg)
и (EFG), так как e:f:g^(nihiE-^n2h2F-\~ri3hsG):(nikiE-\-
+ n2k2F'+ nsk3G): (tiiliE + n2l2F'+tiskG).
Опустив коэффициент пропорциональности, получим
0 = /г1-2-1 + /г2-0-1 + /1з-Г-1=2/11—/г3,
4 = 2п2 + 3пз, l=fti—п2-гпъ, т. е. щ = п2=1/2, /гз=1. Таким обра-
{M-i)=io\/o\3J±-Li.
663/22 / 6 6 3 ' ^
■которая позволит рассчитать, что в новой системе (100)—^-(531)
(010)^(131), (001)-^(1-31) и (Ш).
зом,
По (М-1) найдем
(М)
(401).
Откуда
Л' =рА= р (—0,7203—0,4858),
Ъ' = рВ=р{— Т),
С' =рС=р (0,4858).
Получим
(Л^>) = (ЛT = P(-0J™^-0'^)•^(_0'720^~0'485^
=р2 (0J2032+0,48582+2 • 0,7203 • 0,4858 • cos 113° 55') =
=р2- 0,4711;
А'=р- 0,6864; Я' = р; С' = р-0,4858.
Следовательно,
Л:5:С =Л':Я':С' = -~ • 1 :-£- =0,6864:1:0,4858.
2. Вычисление Рб= АС:
cos {А-С) =
Xjc_ _А'-~С' _(—0,7203—0,4858)-0,4858 _
112
А-С А'-С 0,6864-0,4858
_ (—0,7203-0,4858-cosll3c55')—0,4858a_ 0,1938
~ 0,6864-0,4858 ~ 0,6864 "
Откуда рБ=— 73° 36х, или рБ =180°—73° 36х =106° 24'.
из

Задача XIV
Составление матрицы преобразования осей по четырем
элементам огранения кристалла
Определить для кристаллов гипса матрицу преобразования
осей от установки Гольдшмидта к установке Терпстра, если
граням (010), (01_1) и (111) в первой установке отвечают
(0Ш), (Г2~2) и (011) во второй, а ребру [121] — ребро [ill].
Чтобы получить матрицу
преобразования координатных осей, надо исходить
из четырех однородных элементов
огранения кристалла: либо из четырех гра-
1£ ней, три из которых не лежат в одном
у] поясе, либо из четырех ребер, два из
которых не параллельны друг другу.
Для этого, отметив на стереограмме
(в произвольном положении) 3 грани
L, М, N и ребро К (рис. 92), получим
Рис. 92. К задаче XIV возможные ребра LM, LN, MN и
возможные грани Р, Q и R. _
Пусть грани (010) отвечает грань L, (011) —М, (111) — N
и ребру [121] — ребро К. \
I способ. Исходными элементами служат 4 грани, например
заданные L (010), М (011) и возможные R и Р (см. рис. 92).
Определим старые и иовые символы граней R и Р (гл. II,
§4). Грань R параллельна заданному ребру К и ребру LN,
Р — ребрам К и MN, поэтому символ грани R:
(Ш) = (.[1"21] и [(010) и (Tll)]) = ([l21] и [101]) = (llT),
{НКЬ) = ([Ш] и [(6Т0) и (0ll)]) = ([lTl] и [Г00]) = (0ГГ)25;
символ грани Р: __ _
(Ш) = ([1211и [(011) и (111)]) = ([121] и [0П]) =(311);
(Ша) = ([П1] и [(122) и (0Tl)]) = ([lfl] и [011]) = (2П).
Итак,*
(hifci/i) = (010), (h2k2l2) = (011), (/г3Ыз) = (1Й),
{hJnU) = (311) и (H.KiU) = (010), {H2K2L2) = ("122),
(ВДз^з) = (Oil), {H4KaU) = (2l 1).
Далее пользуемся формулами, приведенными на с. 88 (см.
также сноску 14):
ua =
k2l2
k3k\
РЛ +
k3k
р2я2+
k2i2
P3tf 3 и т. д.,
где Рг
Н2 К2 L2
Н3 Кз ь3
1 2 2
0 Г I
2 I 1
h2 k% l%
я4 kt U
0 1 1
1 1 Г
з 1 1
= 1.
25 При перекрестном умножении необходимо для (HKL) соблюдать ту
же последовательность, что и для (hkl). To же для [RST] и [rst].
Так, если
Ы
ч/ ч/ ч/
/ч /ч /ч
к П
и
'я Гъ
то обязательно
#i
Я„
Кг U Hi /Ci
ч/ ч/ ч/
/ч /ч /ч
/Сг ^2 Я2 /Сг
W Ri
и
^2 °2
Si h Гх Sx
ч/ \/ \/
/Ч /Ч /Ч
Sg ^2 r2 S2
Si Tx Ri Si
Ч/ ч/ ч/
/Ч /Ч /Ч
Og /2 *\2 "2
'l
П
иначе вместо (HKL) и ДОГ] получим (ЯДХ) и [ftST]-
114
Таким же образом Рг = 72 и Рз-1- _
Откуда ил-юл»1/., ^ = «0 = ^ = ^ = ^ = 0, »в«1, *с=1.
Таким образом, _ -,-Л,ЛЛ,ч
(Af) = (UAvAwJuBvBwBlucvcWc) = (WWOlQ/OOl).
II способ. Исходными элементами служат не тыр^ ре бра
например заданное К и возможяые LW, Ш и MN 1см.
^Определим старые и новые символы возможных ребер. Сим-
вол ребра LN
[rst] = [(010) и (111)1 =[1011,
дотЖОТО) и (011)]=[Ю0].
Символ ребра Ш[Ы]^[{т) и (011)]= [100],
[tfST] = [(0T0) и (Г22)]=[201].
Символ ребра MN __ -
[rst] =[(011) и (111)]=[011],
[^ST]=[(122) и (0П)] = [0И].
115

Итак,
[risiti] =[T21], [r2s2t2] =[101] ,[r3s3t3] =[100], [r4s4t4] = [Oil] и
L/?iS,7,1] = [lTl], [R2S2T2] = [l00], [^з5зГ3] = [201], [R4SJ4] =[011],
Для получения матрицы преобразования.следует
использовать те же формулы, заменив всюду hn, kn, ln и Нп, Кп, Ln на
Гп> sn, tn и Rn, Sn, Tn. Следует, однако, иметь в виду, что
вместо матрицы прямого преобразования индексов граней (М)
соответствующие члены должны образовать матрицу
прямого преобразования индексов ребер, т. е. обратную
транспонированную матрицу (Mr1)'. В данном примере
Pl = P2=U PS=l/2,
Ua = 2, Ub = Uc = Va = Vc = Wb = Oi Vb=Wa=\, Wc=l,
Таким образом,
(М-1) ' = UaUbUplVaVbVclWaWbWc = 200/0l0/T01.
Откуда
(М-1) = 201/010/001 и (Ж) = — 0 —/010/001.
Задача XV
Матричное представление операций заданной группы
симметрии
Дать простейшее матричное представление операций
класса (группы) в/т.
Все операции этого класса нетрудно перечислить,
воспользовавшись стереограммой на'рис. 93,а. Матрицы,
представляющие каждую из этих операций, можно вывести либо по
векторной зависимости между исходным (а, Ъ, с) и преобра-
Зованным (А, В, С) координатными реперами, либо "по
зависимости между исходными и преобразованными индексами
грани или ребра (координатами точки). Проще, однако, вы-
М к О
К ^ /#-> а С-6Ч-+ г
и" бФ^вф^д
/ 1 \
^ i e
Рис. 93. К задаче XV
116
целить одним из этих способов матрицы лишь двух порож-
ающих операций, например (М^) и (Мт), а все остальные
юлучить как произведения и степени этих исходных матриц.
Поворот координатного репера вокруг вертикальной оси на
0° против часовой стрелки (рис. 93,6) выразится следующей
екторной зависимостью:
А = а + Ь
—> —>■
В =—а
С=с
1 1 0
откуда (Мб0 = ( 10 0
0 0 1
1ри отражении этого же репера в горизонтальной плоскости
-имметрии
2= а 1 /loo
следовательно, (Мш) = 1 0 1 0
\0 0 1
в=ь
С=—cj
То же получим по символам граней или координатам то-
,ек. Действительно, при повороте вокруг вертикальной оси на
30° по часовой стрелке грань (hkl) преобразуется в (h+k Л /)*,
1 точка xyz — в у х-\-у z (рис. 32 и 39), что дает (М&) =
= 110/100/001 или (Me"1 )' = 010/110/001. Отражение в
горизонтальной плоскости преобразует (hkl) в (hkl), a xyz в xyz, что
ювторит полученный выше результат для (Мт) — (Мт-1)'.
Гаким образом,
/1 1 0
(М61)2=(Мз.)=( "10 0
\0 0 1
/0 10
I I о
0 0 1
(м61)з=(лд=
Таким же образом
(Afe»)4 = (Afs-i)=l_10/100/001>
(Мб05=(^в^) = б10/110/001-
(М^) = {Мп).(М») = ПО/100/001,
(Mg-i)=(Mm)-(M3.)=oio/rio/oor,
(Мг) = (М/?г)-(М2)=100Д)10/00Г,
(Af5L) = CAf,») - <Afe-0 = 1Ю/100/001,
(Afg, )=(Mm)-(Me-i) =010/110/001,
(M1) = {Mm)-(Mm) = 100/010/001.
Порядок сомножителей в данном случае безразличен, так как все
операции коммутируют друг с другом.

Глава VI
УПРАЖНЕНИЯ
§ 1. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ26
1*. Построить стереографические проекции направлений,
заданных своими сферическими координатами: а) Л (60°, 75°),
Б(125°, 48°); б) Л(305°, 120°), Б(285°, 165°); в) Л(90°, 90°),
£(..., 0°).
2*. Определить угол между двумя направлениями,
заданными своими сферическими координатами: а) Л (95°, 35°) t
£(320°, 48°); б) Л(132°, 67°), Б(25°, 125°); в) Л(180°, 90°),
В (180°, 35°).
3*. Построить гномостереографические проекции
направлений: а) Л(0°, 90°), Б(..., 0°); б) Л(45°, 45°), 5(135°, 45°).
4*. Определить двумя способами угол между гранями,
заданными своими сферическими координатами: а) Л(90°, 45°),
Б (180°, 45°); б) Л(75°, 90°), Б (120°, 90°); в) Л (48°, 24°),
Б(80°, 130°).
5*. Построить проекцию экватора к заданному полюсу
Л(..., 0°); то же для полюсов В (17°, 90°), С (47°, 34°) и
£(229°, 134°).
6*. Определить сферические координаты ребра пересечения
граней Л (37°, 43°) и В (244°, 68°), а также граней Л и
С (297°, 124°).
7*. Определить сферические координаты грани,
параллельной ребрам Л(17°, 61°) и Б(11Г, 78°), а также грани,
параллельной ребрам Л и С(211°, 118°).
8*. Построить по сферическим координатам граней
Л (108°, 37°) и Б (189°, 124°) их стереографические проекции.
9*. Построить по сферическим координатам ребер Л(19°,.
44°) и В (118°, 141°) их гномостереографические проекции.
10* Построить по гониометрическим данным стереограмму
кристалла, определить его симметрию, дать набросок общего
вида кристалла:
26 Решение упражнений, помеченных звездочкой, требует знакомства со
стереографической проекцией и с сеткой Вульфа (см. рис. 13). Сферические
координаты некоторой точки принято записывать не в развернутой форме —-
А (ср=60°, р=93°), а сокращенно — А (60°, 93е).
а) Ш ф° р° в) № ф° р» г) N° ф° р°
1 52 52 1 32 32 1 102 90
2 172 52 2 85 32 2 192 90
3 292 52 3 212 32 3 282 90
4 ... 180 4 265 32 4 12 90
5 32 148 5 57 45
б) № ф° р° 6 85 148 6 147 45
, ос Ао 7 212 148 7 237 45
2 65 138 8 265 l48 8 327 45
4 f£ m 1° ::: 18°
И*. Определить симметрию следующих "кристаллов по их
стереограммам:
а) №
1
2
з
А
5
6
Ф°
45
165
285
45
165
285
12*. Отразить
а) № ф°
1 28
2 208
3 118
4 298
б) № ф°
1 26
2 86
3 146
4 206
5 266
6 326
Р°
65
65 и
115
115
Р°
49
131 „
49 и
131
49
131
Р°
33
33
33
147
147
147
б) №
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
П
12
13
14
разницу е
№
1
2
3
4
№
1
2
3
4
5
6
Ф°
42
222
98
278
Ф°
40
160
280
85
205
325
! ф°
35
125
215
305
35
125
215
305
35
125
215
305
...
Р°
90
90
90
90
65
65
65
65
48
48
48
48
0
180
5 симметрии
Р° !
48
48
132
132
Р°
57
57
57
123
123
123
в) №
1
2
3
4
5
6
7
8
в
) №
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ф°
93
183
273
3
48
138
228
318
48
138
228
318
Р°
0
180
90
90
90
90
38
38
38
38
142
142
142
142
следующих кристаллов:
Ф°
30
120
210
300
45
135
225
315
Р°
50
50
50
50
130
130
130
130
и
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Ф°
25
205
115
295
32
212
122
302
Р°
43
43
137
137
55
55
125
125
13. Размножить грань, перпендикулярную L2,
параллельную L2, и грань общего положения27: а) ось L2 вертикальна,
б) ось L2 горизонтальна. То же, заменив грань асимметричной
фигуркой.
14. Размножить грань, перпендикулярную плоскости сим-
27 Грань общего положения не перпендикулярна ни одному элементу
симметрии, не параллельна единичному элементу и не равнонаклонна к
эквивалентным элементам симметрии. Грани частного положения не
удовлетворяют ни одному из этих условий (см. § 1, гл. III).
119

метрии (Р), параллельную Р, и грань общего положения:
а) плоскость Р вертикальна, б) плоскость Р горизонтальна.
15. Размножая грань общего положения и асимметричную
фигурку, сравнить действие: а) горизонтальной L2 и центра
инверсии (С), б) вертикальной L2 и С, в) горизонтальной L2
и вертикальной Р.
16. Действием двух пересекающихся под прямым углом
вертикальных плоскостей симметрии и оси 2-го порядка,
совпадающей с линией их пересечения, размножить следующие
грани: а) грань, перпендикулярную к оси L2, б) грань,
параллельную оси L2 и перпендикулярную к плоскости
симметрии, в) грань общего положения. Сколько граней имеет
каждая простая форма? Закрытая она или открытая?28
17. Три взаимно перпендикулярные оси симметрии 2-го
порядка расположены так, что одна из них вертикальна.
Действием этих осей размножить следующие грани и дать
характеристику каждой из полученных форм (число граней, закрытая
или открытая форма): а) вертикальная грань,
перпендикулярная одной из горизонтальных осей 12) б) вертикальная грань,
не перпендикулярная ни к одной из горизонтальных осей L2,
в) грань общего положения.
18. Дана вертикальная ось 4-го порядка и
перпендикулярная к ней плоскость симметрии. Размножить грани,
занимающие различные положения, и дать характеристику каждой из
полученных форм (число граней, закрытая или открытая
форма, частная или общая).
19. Вертикальная ось 3-го порядка совпадает с линией
пересечения трех плоскостей симметрии, образующих друг с
другом углы в 60°. Размножить грани, занимающие различные
положения, и дать характеристику каждой из полученных
форм.
20. Размножая асимметричную фигурку или две
произвольно расположенные грани общего положения, сравнить
действие следующих сложных осей симметрии: 4,2, £2, &ii £ь
Можно ли заменить эти оси простыми элементами симметрии?
Какими? То же для осей £з, &з> & б, £б-
21. Размножая асимметричную фигурку, показать
принципиальную разницу между осями -Зи, &б и <L3. To же для осей
£4, £б и £3. Распространить выявленные закономерности на оси
некристаллографических порядков.
22. Пользуясь асимметричной фигуркой, показать, какая
существует зависимость между элементарными углами
поворота зеркальной оси и ее инверсионного эквивалента.
23. Размножая грани различного положения вертикальной
Простой формой кристалла называется комплекс граней, связанных
симметрическими операциями класса, т. е. «выводящихся» из одной грани
!!Г^1^СИАМетрИческих опеРаЦий. Грань общего положения создает общук>
простую форму, частного положения — частную (см. также сноску 19).
.120
осью £4, получить все возможные простые формы и дать их
характеристику. То же для £3.
24. Найти_ зеркальные эквиваленты следующих
инверсионных осей: 3, 5, 7, 9. Какими простыми элементами
симметрии можно заменить эти оси?29
25. Найти инверсионные эквиваленты зеркальных осей:
о о о о о о
3, 4, 5, 6, 7 и 8.
о
26. Действие каких из перечисленных сложных осей — 7У
о о о о о
8, 9, 10, 11, 12 и 7, 8, 9, 10, 11, 12 — нельзя заменить
действием простых элементов симметрии?
27. Объяснить, чем отличаются друг от друга нечетные и.
четные сложные оси.
28. Доказать, что число плоскостей симметрии,
пересекающихся вдоль поворотных осей симметрии Ln, равно
порядку оси п.
29. Доказать, что общее число осей 2-го порядка,
перпендикулярных к оси Ln (побочных осей), равно порядку оси я.
30. Доказать, что последовательные действия поворотной
оси 2-го порядка и перпендикулярной к ней плоскости
симметрии равносильны отражению в точке, расположенной на
пересечении оси с плоскостью симметрии.
31. Доказать, что общее число плоскостей симметрии,
пересекающихся вдоль зеркальной оси <Ln, равно /г/2 и что общее-
число порожденных побочных осей L2 также равно я/2.
32. Используя асимметричную фигурку, показать, чему
равно действие поворотной оси 4-го порядка и плоскости,
перпендикулярной к этой оси.
33. Показать, размножая асимметричную фигурку, к
какому результату приведет поворот вокруг оси 4 и инверсия в
точке, расположенной на этой оси.
34. Оси 4 и 4 совпадают. Найти результирующий элемент
симметрии.
о
35. Оси 6 и 6 совпадают. Найти результирующий элемент
симметрии.
36. Записать результирующие элементы симметрии (во всех
случаях оси 3-го и 2-го порядков совпадают):
3-2= 3-2= 3~2= 3-2 =
о о о о
3-2- 3-2= 3-2= 3-2-
37. Получить результирующие элементы симметрии, считая:
исходные оси совпадающими:
оо о о о
4-2= 5-2= 6-2= 8-2=
4~-2^= 5-2= "6-2= 8-2 =
о
29 Здесь и далее вместо Ln пишем п, вместо ф^«—п и вместо £п—п
(см. § 6, гл. I).
121

38. Найти произведения следующих операций: 2z-2* = >
4х-2г= , 2*-4г = . Угол между осями равен 90°.
39. Чему эквивалентен трехкратный поворот вокруг оси
о
. 6(б3)? Чему равно б3 и б3?
40. Записать эквиваленты следующих операций: а) б3 и
З3, б) 44 и 55, в) 55 и 55.
О О
41. Найти показатель степени: 6*=1, 3*=1, 6*=1, Зх=\}
5*=1, 5*=1.
42. Вывести классы симметрии, приняв следующие
операции симметрии за порождающие (указать, какие из классов
некристаллографичны): а) отражения в двух плоскостях,
пересекающихся под углом 90, 12, 30, 36°; б) два поворота
вокруг двух взаимно перпендикулярных поворотных осей
симметрии 4-го и 2-го порядков; в) два поворота вокруг двух осей
2-го порядка, образующих угол 30°; г) два поворота вокруг
двух взаимно перпендикулярных осей 6-го и 2-го порядков.
43. Какие классы симметрии получим, взяв за
порождающие операции отражения в трех плоскостях; две из них
пересекаются под углом а, а третья перпендикулярна к «им: а) а =
= 45°, б) а = 30°, в) а = 60°, г) а = 36°, д) а=15°? Отметить
некристаллографические классы.
44. Какой класс будет получен, если к операциям класса
222 добавить инверсию?
45. Записать формулу симметрии полученного класса, по-_
казав результат на стереограмме: а) 422_^1, б) 432-1, в) 32-1,
г) 6/т-2х6, д) 4/т-тх, е) 43т-1, ж) 42т-1.
46. Указаны порождающие операции симметрии. Записать
обозначения классов симметрии по Бравэ и Герману — Моге-
ну. Нарисовать стереограммы этих классов: а) отражения в
двух плоскостях симметрии, пересекающихся под углом 30°,
и инверсия; б) отражения в двух плоскостях симметрии,
пересекающихся под углом 60°, и инверсия; в) отражения в двух
плоскостях симметрии, пересекающихся под углом' 36°, и
инверсия; г) отражения в двух плоскостях, пересекающихся под
углом 20°, и инверсия.
47. Нарисовать стереограммы классов по следующим
порождающим операциям, обозначить классы по Герману — Мо-
гену и Шёнфлису: а) отражения в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях симметрии и поворот вокруг оси L2,
перпендикулярной к одной из плоскостей и лежащей в плоскости
другой; б) поворот вокруг двух осей симметрии 2-го порядка,
пересекающихся под углом 30°, и отражение в плоскости
симметрии, совпадающей с плоскостью обеих осей; в) поворот
вокруг двух осей 2-го порядка, пересекающихся под углом 60°,
и отражение в точке, расположенной на пересечении осей.
48. Обозначить международными символами и символами
122
L44L25PC; в) L33L2, L33P> L33L23PC, U6L24i", г; i^7ir, ^Bw- ,
д) L77L28P, L77L27PC; е^ЗМ^бР, 3L44L36L29PC.
49. Какие классы симметрии получатся при взаимодействии
следующих элементов симметрии? Для обозначения классов-
использовать символику Бравэ, Шёнфлиса и Германа — Моге-
на. Какие классы невозможны в кристаллах? a) La и Рх; Ls.
и Рх; U, Рх и Р,,30; б) U L2± и Pj.; L3, L2x и Р±; в) Р и <LX
(угол 60°), 12 и <Li (угол 60°); L6, L2± и &2; г) Lw, L2jh и <L 2;
L8, P± и Р„; д) L9, L2j_ и Р±.
50. Расшифровать (записать по Бравэ) обозначения
следующих классов. Отметить некристаллографические классы:
а) 2/т, 32, 23, от, тЗ, Зт;
б) D2h, D3d, D2d, DAh,
Td, 7Y,
Q
в) —mm, 11m, 22m2, 16 2 m;
tn
Г) Dj, C\Qh, Cgh, D\3d, D/j,d.
51. Пользуясь общей теоремой Эйлера об осях, определить*
под каким углом пересекаются две оси 3-го порядка, если их
равнодействующей будет ось 2-го порядка.
52. Показать, используя осевую теорему Эйлера, что в
кристаллах не может быть двух осей 6-го порядка.
53. Определить по теореме Эйлера результирующую
поворотов вокруг осей 3-го и 4-го порядков. Каков угол между
исходными осями?
54. Дано: 2-3 = 4. Определить угол, образованный этими
осями.
55. Какие из записанных равенств справедливы?
2-3 = 5; 4-4 = 6; 2-3 = 6.
3-4 = 5; 3-6 = 6;
56. Доказать с помощью теоремы Эйлера, что
a) mi-m2=6 (miAm2=30°), б) mi-m2=4 (miAm2=45°)r
в) тгт2=3 (miAm2 = 60°), г) mi-m2 = 2 (miA^2=90°).
57. Чем отличаются друг от друга операции 1-го и 2-го
родов?
58. Могут ли операции одного рода составить группу
симметрии? Какого? Почему?
59 Пользуясь правилами взаимодействия элементов
симметрии, дополнить проекции классов (рис. 94) и записать их
обозначения всеми способами.
30 Р j_ — плоскость симметрии, перпендикулярная к главной оси
симметрии; Р,] — плоскость симметрии, проходящая вдоль оси симметрии;
Li 1 — ось 2-го порядка, перпендикулярная к главной оси симметрии
(«побочная ОСЬ»). 1
123 \

60. Определить порядок групп mm 2, 222 и 2/т. Построить
квадраты Кейли для этих групп. _ _
61. Построить квадраты Кейли для классов 3 и 3, 4 и 4; 3V
4 и 6.
62. Построить квадраты Кейли для классов 32 и Зт. __
_63. Построить квадраты Кейли для классов 4/т и 6/т, 42т
.и 6т2. _
64. Определить порядок групп ттт, 4/т; 6т2.
Перечислить операции симметрии. То же для групп 2/ш, 42т, 23.
65. Перечислить классы симметрии (точечные .группы)
низшей категории, являющиеся подклассами (подгруппами)
следующих классов: ттт, 4/т, Зт, 622; то же для йън и D&.
66. Выписать подклассы гексагональной сингонии для
классов Dbd и D6h.
67. Выписать подклассы тетрагональной сингонии для
классов D4h, О и Та-
68. Перечислить подклассы для классов 222, 422, 32, 622,,
432.
69. Перечислить надклассы для классов: 3m, mmm, mm2P
422, тЗ, "Зт.
70. Пользуясь теоремами взаимодействия элементов симмет-*
рии, показать, какие подгруппы возникнут, если из
преобразований некоторой группы исключить одну операцию:
г- Исключаемая - Исключаемая
ГРУппа операция ГРУппа операция
mmm
I2
) m
\ г
43 т
_
6
mm
m
4
mm
m
f f
1 6
f 2
J «,
< m
1 T
тЪт
m
2
3m (2
3
71. Получить надгруппы удвоенного порядка к группе 4~То
же для групп 6, 222 и mm2.
72. Перечислить надклассы высшей категории для классов:
Зт, Зт, тЗ, 432, 422, 42т.
73. Перечислить надклассы средней категории для классов:
mm2 mmm, 3m. Показать решение на стереограмме
^I'ZirnZZZrгруппы не входят ни в ,одну из дру-
ло ?грушТаЯ ГРУППЗ ВХОДИТ ПОДГРУППОЙ в максимальное чис-
126
76. Вывести все центросимметричные точечные группы
симметрии
77. Вывести группы симметрии, операции которых суть
простые повороты.
78. Вывести полярные группы симметрии.
79. Определить собственную симметрию (см. сноску 20)
простой формы, заданной гранью общего положения в каждом из
следующих классов: а) 2/т, б) 4/т, в) С3, г) С6, д) 3, е) 4,
ж) 6, з) С4, и) Cav.
80. Определить кажущуюся (ложную) симметрию
комбинационного многогранника, простые формы которого в каждом
из классов заданы следующими гранями:
Класс симметрии
1) 6/т
2) 23
3) 32
4) 42т
5) 422
432
6) 3
7) тЗ
Позиция исходных граней
■ II L6 и a. L6
| _L L2 и _i_ L3
_L Li и _L L2
| 1 Li и jl L.2
I J. Lg И || Lg
1 _L Lg И /Lg
_L L2 и ± L3
81. Какие координаты приобретет точка xyz при повороте
вокруг оси L2, проходящей через начало координат и
совпадающей с осью Z? С осью X? С осью У?
82. Какие координаты приобретет точка xyz при повороте
вокруг оси Li, совпадающей с координатной осью Z? С осью
X? С осью У?
83. Какие операции связывают две точки со следующими
координатами:
a) xyz и xyz, б) xyz и xyz, в) xyz и xyz, г) xyz и yxz?
84. Какие координаты получит точка xyz после двух
симметрических операций: поворота вокруг оси 2-го порядка,
совпадающей с координатной осью X, и отражения в плоскости
симметрии, перпендикулярной к оси X?
85. Какие координаты получит точка xyz после трех
симметрических операций: поворота вокруг вертикальной оси Lz,
поворота вокруг оси Li, совпадающей с осью X, и отражения
в плоскости симметрии, перпендикулярной к L3?
86. Какие координаты получит точка xyz после отражения
в плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью
координатных осей XZ, и поворота вокруг горизонтальной оси L2,
пересекающей плоскость симметрии под углом 45°?
127

87. Какие координаты получит точка xyz в результате двух
поворотов вокруг оси 4Z и инверсии?
88. Какие координаты получит точка xyz после отражения
в плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью
координатных осей YZ, и поворота (по часовой стрелке) вокруг оси
L4, совпадающей с осью У?
89. Записать координаты всех точек, полученных
размножением- точки xyz операциями классов 222, 4/т, 42т.
f90. /Вывести группы антисимметрии, изоморфные следующим
классическим группам симметрии: а) — , б) — , в) — mm,
_ т т т
г) 432, д) тЗт. В каждом случае выделить сохранившуюся
классическую подгруппу.
91. Объяснить, почему порядок сохранившейся
классической подгруппы в два раза ниже порядка группы
антисимметрии, включающей эту подгруппу.
92. Объяснить, почему не существует группы
антисимметрии, изоморфной точечной группе 23.
93. Объяснить, почему точечной группе ттт изоморфны
три группы антисимметрии, а точечной группе 222 — лишь
одна.
94. Показать, что группа 2 является классической
подгруппой пяти групп антисимметрии, а группа 222 — трех.
95. Вывести группы антисимметрии, классическими
подгруппами которых будут все группы 2-го порядка. То же для групг
4-го порядка.
96. Объяснить, почему невозможна группа, составленная
лишь из операций антисимметрии.
97. Вывести группы антисимметрии кубической сингонии,,
для которых классической подгруппой является группа 12-го
порядка.
98. Вывести группы антисимметрии 48-го порядка.
99. Почему нейтральные группы антисимметрии называют
серыми?
100. Вывести группы антисимметрии средней категории-
классические подгруппы которых имеют порядок 6. То же для
подгрупп 12-го порядка.
101. Для каждой из перечисленных классических групп
указать на стереограмме возможную позицию элемента
антисимметрии, преобразующего эту группу в группу
антисимметрии: а) 222, б)' ттт, в) 3/п, г) 2/т, д) 32, е) 6, ж) 23.
а-^ о>
§ 2. СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ
1 ЛО Т7- ^ Г ■ *
102. Как выбирают единичную грань в кристаллах разных
сингонии? Показать на проекции.
103. Какой символ может иметь единичная грань в
гексагональной сингонии? Показать «а проекции.
12В
104. Перечислить сингонии с прямоугольной системой
координат. Чем отличаются друг от друга координатные системы
этих сингонии?
105. Объяснить, почему в кубической сингонии для
определения символа любой грани не нужна единичная грань?
106. В кристалле средней категории нет грани,
пересекающей все три координатные оси. Какая из граней может в этом
случае играть роль масштабной?
107. Объяснить, почему для определения положения грани
(210) в тетрагональной сингонии не нужно знать параметры
единичной грани, а в ромбической — нужно?
108. Объяснить, почему для определения положения грани
(320) в тетрагональной сингонии не нужно знать параметры
единичной грани, а в моноклинной (рациональная
установка) — нужно?
109. Почему в тетрагональной сингонии грань (101)
может заменить*единичную, а в ромбической — нет?
110. Почему в моноклинной сингонии грань (110) может
принадлежать общей форме, а (101) — не может
(классическая установка)?
111. Почему грань (011) в тетрагональной сингонии может-
заменить единичную, а (110) — не может?
112. Почему в моноклинной сингонии (установка
классическая) грань (ПО) может принадлежать общей простой
форме, а в ромбической — не может?
113. В какой сингонии единичная грань может быть
выбрана строго однозначно?
114. Как выбрать координатные оси в кристаллическом
многограннике класса 4? То же для класса 2. Объяснить, чем
определяется различие. *"
115. В кристалле класса D^h выбраны координатные оси и
единичная грань. Обязательно ли эта установка будет
соответствовать «истинной» (структурной)? Какие возможны в
этом случае расхождения? То же для кристалла
класса C4/i.
^ \ 16. Единичная грань кристалла отсекает на координатных
осях X, Y и Z отрезки, равные соответственно 1, 2 и 3 см.
Определить символ грани, отсекающей на тех же осях
отрезки 2, 2- и 3 см. К какой сингонии может относиться этот
кристалл? Можно ли вторую грань принять за единичную? То же,
но параметры первой грани 3, 3 и 4 см, второй —
3, 6 и 6 см.
VI17. Грани ромбического кристалла отсекают на координат-
7шх осях следующие отрезки: грань А — 1, 2 и 3 см, грань
В — 2, 1 и 3 см. Определить символы граней, если: 1)
единичной гранью служит грань А, 2) единичной гранью служит
грань В.
118. Параметры граней моноклинного кристалла
следующие: для грани А — 2, 3 и 4 см, для грани В — 1, 3 и 2 см.
129

Определить символы граней, приняв за единичную сначала
первую грань,' а затем — вторую.
М19. В кристалле средней категории единичная грань
отсекает на оси X отрезок 2 см, на оси Z — 3 см. Предположив
этот кристалл а) тетрагональным, б) гексагональным,
определить символ грани, отсекающей на осях X, У и Z
соответственно отрезки 3, 2 и 3 см.
V120. В кристалле класса тЗ параметры некоторой грани —
2, 3 и 4 см. Каков символ этой грани? Записать символы
остальных граней этой простой формы.
121. В кристалле класса 432 одна из граней отсекает на
координатных осях 1, 2 и 3 см. Определить символы всех
граней этой простой формы, имеющих положительные индексы по
осям X и У.
122. В кристалле класса 43т одну из граней определяют
параметры, равные 2, 2 и 1 см. Определить символы граней
этой простой формы, имеющих положительные индексы по
оси X.
123. В кристалле класса 23 одна из граней отсекает на
координатных осях 5, 5 и 6 см. Определить символы всех граней
этой простой формы, имеющих положительные индексы по
оси У.
V124. В кристалле средней категории грань А отсекает на
осях X, Y и Z отрезки, равные соответственно 2, 1 и 0,5 см;
грань В отсекает на тех же осях 4, 6 и 2 см. Проиндицировать
грани кристалла, считая его: а) тетрагональным, б)
гексагональным.
^ 125. В кристалле тетрагональной сингонии грань А
отсекает на осях X, Y и Z отрезки, равные 2, 1 и 3 см, грань Б —
4, 3 и 2 см. Проиндицировать грани кристалла, считая
исходной: 1) грань Л, 2) грань Б. Сравнить результаты.
126. Параметры двух граней гексагонального кристалла по
осям X, Y и Z равны соответственно 2, 4, 3 см и 3, —1,5, 6 см.
Проиндицировать грани, считая исходной сначала первую
грань, затем — вторую.
Щ27^> Одна грань кристалла отсекает на координатных осях
X, YTZ отрезки, равные 1, 2 и 3 см, другая грань того же
кристалла — 2, 3 и 3 см. Проиндицировать эти грани, считая
кристалл: а) ромбическим, б) тетрагональным, в) кубическим.
^128. Параметры одной грани равны 2, 3 и 4 см, другой
грани того же кристалла — 1, 3 и 2 см. Проиндицировать эти
грани, считая кристалл: а) моноклинным, б) гексагональным1
в) кубическим. (
v 129. Одна грань ромбического кристалла параллельна оси
X и отсекает на осях Y и Z отрезки 1 и 2 см; другая грань
того же кристалла, параллельная оси У, отсекает на осях X
и Z 2 и 3 см; третья грань, параллельная оси Z, отсекает на
осях X и Y 4 и 6 см. Проиндицировать эти грани всеми
возможными способами.
130
17130. Одна грань моноклинного кристалла параллельна оси
X и отсекает на осях У и Z отрезки 1 и 3 см; другая грань,
параллельная оси Z, отсекает на осях X и У соответственно
.2 и 4 см; третья грань, параллельная оси У, отсекает на осях
X и Z 3 и 2 см. Проиндицировать эти грани (три варианта).
131. Грани кристалла имеют следующие параметры по осям
X, У и Z: А — оо, 2 и 3 см, Б — 1, оо и 2 см, В — 1, 3 и
оо см. Проиндицировать эти грани, считая кристалл: а)
ромбическим, б) тетрагональным, в) кубическим.
V5_32.^Грани кристалла имеют следующие параметры по осям
Xt 7TZ: I — 1, 4 оо см, II — 3, оо, 2 см, III — оо, 2, 1 см.
Проиндицировать эти грани, считая кристалл: а) моноклинным,
6) гексагональным, в) кубическим.
133. В тетрагональном кристалле грань, параллельная од-
■ной из горизонтальных осей, отсекает на другой отрезок 2 см;
другая грань отсекает на осях X и У соответственно 2 и 3 см.
Проиндицировать эти грани двумя способами при условии, что
Параметры обеих граней по оси Z равны. Сравнить
результаты. Объяснить, как можно проиндицировать этот же кристалл,
если считать его ромбическим.
134. Параметры грани А — 2, 2 и 1 см, грани Б — 3, 4 и
2 см. Каков символ грани Б, если символ А — (321)?
135. В ромбическом кристалле грань (110) отсекает на
осях 2 и 3 см. Какие отрезки на оси У отсекают грани (120) и
(210), если параметр по" оси X в обоих случаях принять
равным 1 см?
136. В моноклинном кристалле грань (101) отсекает на
координатных осях X Yl Z отрезки 1 и 2 см. Какие отрезки на оси
Z отсекают грани (203) и (302), если параметр по оси X в
обоих случаях принять равным 2 см?
137. В триклинном кристалле грань (011) отсекает на
координатных осях отрезки 2 и 9 см. Какие отрезки на оси У
отсекают грани (031) и (013), если параметр по оси Z в обоих
случаях принять равным 3 см?
138. Единичная грань тетрагонального кристалла отсекает
на оси X 2 см, на оси Z 3 см. Если грань с символом (123)
отсекает на оси X отрезок 4 см, каковы параметры этой
грани по осям У и Z?
139. Единичная грань гексагонального кристалла отсекает
ша оси X 1 см, на оси Z — 2 см. Каковы параметры грани
(3251) по осям X и Z, если она отсекает на оси У 3 см?
140. В классе 422 проиндицировать все грани простой
формы {111}. То же для {231}. Дать характеристику полученных
простых форм.
141. Дать сравнительную характеристику указанных
простых форм в следующих классах (ответ иллюстрировать сте-
реограммой):

Класс
I. 222
2. 32
3. 4mm
4. "mm2
Символы форм
{101} и {111}
{1011}, (1121), {1231}
{Ш} и {121}
{111} и {110}
Класс Символы форм
{Ш} и {110}
2
1—1
т
П~ {111} и {110}
т
7. тЪ {110} и {120}
142. Сравнить следующие формы: а) {П2} — класс тЗт
и {221} — класс 43т; б) {112} в классах {тЗт} и {43т}. Ответ
иллюстрировать стереограммами.
143. Сравнить формы {111} в следующих классах: а) тт2
и 4mm; б) 2/т, тт2, 222 и ттт; в) D2h, DAh и 0/г; г) 222,
42т, 43т.
144. В классе Зт дать характеристику формы, одна из
граней которой имеет координаты ф = 90°, р = 60°. Записать
символы всех граней этой простой формы.
145. В классе 622 охарактеризовать форму, заданную гранью
Л(0°, ~47°). Проиидицировать все грани этой простой формы
(■проекцией пользоваться лишь для проверки). То же для
формы £( — 15°, 90°).
146. Проиидицировать 12-гранную форму класса втт (рФ
=7^=90°), используя проекцию лишь для проверки.
147. Не обращаясь к проекции, записать символы всех
граней общей простой формы класса 6т2.
148. Дать сравнительную характеристику форм, заданных
гранями А (90°, —30°), 5(45°, —40°) и С ( — 40°, 45°) в классе
42т. Записать символы этих форм.
149. Дать сравнительную характеристику форм, которые в
классе тЗ заданы гранями А(45°, 90°) и £(90°, —40°). Про-'
индицировать их.
150. Символы двух форм {111} и {113}. Каким станет символ
первой формы, если за единичную принять грань второй
формы?
151. Символы простых форм кристалла следующие: {111},
{112}, {231}. Проиидицировать этот же кристалл, приняв за
единичную грань последней формы.
152. В кристалле выбрана новая единичная грань, при этом
грань (123) получает символ (212). Определить новый символ
грани (331). Какой символ получит старая единичная грань
и каков старый символ новой единичной грани? Решение
предварительно записать в общем виде.
153. Ромбический кристалл проиндицирован следующим
образом: {111}, {112}, {102}, {120}, {100} и {010}. Проиидицировать
тот же кристалл, приняв за исходные третью и четвертую
грани.
154. Для кристаллов некоторого 'Соединения приняты две
установки. Геометрические константы в первом случае -—
132
йо =1,44, Со = 0,97, (5=114°; во втором — а0 = 0,72, с0=0,486, р =
= 114°. Какой символ получит во второй установке грань,
принятая в первой за единичную?
155. В ромбическом кристалле а0= 1,379, со = 0,427. Как
изменятся геометрические константы, если единичная грань по^-
лучит символ (221)?
§ 3. ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ31
156. В классе mm2 простая форма задана гранью Л(35°,
90°). Как называется эта форма и какова ее собственная сим- -
метрия?
157. В классе 4/т получить простую форму, размножив
грань А (40°, 50°). Как называется эта форма и какова ее
собственная симметрия?
158. Назвать общую простую форму класса 4. ;Как
определить, в каких классах эта же форма окажется частной? То же
для формы из класса 2. " _ _
159. Назвать общие простые формы в классах 4 и 3 и дать
их сравнительную характеристику. В каких классах каждая
из них будет частной?
160. Вывести общие формы в классах Dn и дать их
сравнительную характеристику.
161. Дать сравнительную характеристику следующих
простых форм: тригоналы-юй бипирамиды, тригонального
трапецоэдра и ромбоэдра. В каких классах эти формы общие? Какие
из них могут быть частными? В каких классах?
162. Назвать и дать описание открытых форм
тетрагональной сингонии.
163. Вывести закрытые простые формы ромбической
сингонии; описать и назвать их. __
\4jB4. Вывести закрытые простые формы в классах 3 и 32;
описать и назвать их.
165. Вывести общие простые формы всех классов
ромбической сингонии. Сравнить эти формы и назвать их.
166. Дать сравнительную характеристику общих простых
форм классов Сп, Спн и Dnh.
167. Какое минимальное число простых форм может иметь
многогранник, относящийся к классу 3? 3? 1?
168. В каких классах могут быть только открытые формы?
А только закрытые?
169. Почему формы типа ромбоэдра (симметризованного
трапецоэдра) невозможны в кристаллах с главной поворотной
осью 4-го или 6-го порядков?
31 Задачи этого параграфа составлены с учетом того, что раздел
«Символы граней и ребер кристаллов» в учебной программе иногда следует за
разделом «Простые формы кристаллов».
133

170. Описать общую простую форму класса 5. Определить
•ее собственную симметрию.
171. Почему ромбический тетраэдр не может быть частной
■ формой, а тетрагональный — может? .
172. Какие формы называются энантиоморфными? Дать
характеристику классов, в которых они могут встречаться.
Привести примеры энантиоморфных простых форм низшей,
средней и высшей категорий.
173. Дать сравнительную характеристику всех закрытых
8-гранных простых форм. То же для 6-гранных.
174. Дать сравнительную характеристику всех 12-гранников
кубической сингонии. То же для 24-гранников.
175. Пользуясь предложенной в § 2 гл. III .схемой, вывести
простые формы в классах с «главной осью» L\. Какие
названия этих форм отражают их происхождение? Дать
общепринятые названия выведенных форм.
176. Чем отличается сфеноид от дбмы? Почему обе эти
формы можно считать разновидностями одной простой формы?
177. Вывести в разных классах пинакоид, указав в каждом
случае название, отражающее происхождение этой формы. То
же для ромбической призмы.
178. Какое другое название ромбической пирамиды
отражает способ вывода этой простой формы?
179. В каком классе ромбической сингонии в огранке
кристалла могут одновременно участвовать три пинакоида?
180. Какое другое название можно присвоить
ромбическому тетраэдру? Объяснить.
181. Какую простую форму можно считать промежуточной
между кубом и ромбододекаэдром в каждом классе
кубической сингонии? То же для форм, промежуточных между
ромбододекаэдром и октаэдром, между ромбододекаэдром и
тетраэдром.
182. Какая простая форма получится, если грань октаэдра
из класса Тн (или тетраэдра из класса Т) вывести в общее
положение? Как целесообразно назвать те же формы, если за
исходную принять грань куба? Привести нейтральные
названия полученных форм. То же для грани октаэдра из класса О.
183. Какая простая форма получится, если на каждой
грани куба из класса тЗ образуется двускатная «крыша»? А
четырехскатная?
184. Какая простая форма получится, если грань куба из
класса 43т вывести в общее положение?
185. Дать сравнительную характеристику тетраэдров из
низшей, средней и высшей категорий.
186. Сопоставить следующие простые формы: а) пентагон-
,додекаэдр и ромбододекаэдр, б) тетрагон-триоктаэдр -и
дидодекаэдр.
187. В огранке кристаллов каких классов могут участвовать
134
тригональные пирамиды? Показать штриховкой разницу
между пирамидами из разных классов.
188. Показать штриховкой разницу между призмами из
классов mm2, 222 и 2/т. То же для призм из классов 4/т, 4
и 42т.
189. В каких классах могут возникнуть ромбоэдры?
Показать штриховкой разницу между ромбоэдрами из разных
классов.
190. Пометить штриховкой разные призмы из классов 32 и
6т2.
191. Пометить штриховкой кубы из всех классов
кубической сингонии. То же для октаэдров и тетраэдров.
192. Показать штриховкой разницу между тетраэдрами из
разных классов тетрагональной сингонии.
193. Пометить штриховкой 24-гранные дельтоэдры из
разных классов. То же для 12-гранных дельтоэдров.
194. Показать штриховкой разницу между
ромбододекаэдрами из разных классов.
195. В каких классах в огранке кристалла может
участвовать лишь один пинакоид? Два пинакоида? Три пинакоида?
Неограниченное число пинакоидов?
196. Какие простые формы кубической сингонии могут
встречаться на кристалле в единственном числе?.
\yl97! КакШа~симметрия кристалла, представляющего собой
комбинацию: а) двух ромбоэдров, б) ромбоэдра и тригонально-
го скалеиоэдра?
V198. Какой может быть симметрия кристалла,
представляющего собой комбинацию: а) тригональной призмы,
тригональной пирамиды и двух моноэдров, б) тригональной бипирамиды
и дитригональной призмы?
v'199. К какому классу относится кристалл, представляющий
собой комбинацию: а) ромбической призмы . и ромбического
тетраэдра, б) ромбической призмы, ромбической пирамиды и
диэдра?
200. К какому классу может быть отнесен кристалл,
представляющий собой комбинацию: а) тетрагональной призмы и
тетрагонального тетраэдра, б) тетрагональной призмы,
тетрагональной пирамиды и двух моноэдров, в) тетрагональной би«
пирамиды и тетрагонального трапецоэдра?
,^201. К какому классу симметрии относится кристалл,
представляющий собой комбинацию: а) куба и ромбододекаэдра,
б) ромбододекаэдра и пентагон-додекаэдра, в) пентагон-доде-
каэдра и тетраэдра?
202. Определить симметрию кристалла, представляющего
собой комбинацию: а) куба и октаэдра, б) октаэдра и
пентагон-додекаэдра, в) ромбододекаэдра и тетраэдра?
203. Определить симметрию кристалла, представляющего
135

собой комбинацию: а) сфеноида, пинакоида и моноэдра, б) дб-
мы, пинакоида и моноэдра.
204. К какому классу симметрии относится кристалл,
представляющий собой комбинацию: а) куба и 24-граиного дель-
тоэдра, б) пентагон-додекаэдра и 24-гранного дельтоэдра?
205. К какому классу симметрии относится кристалл,
представляющий собой комбинацию: а) 12-гранного дельтоэдра и
двух тетраэдров, б) 12-гранного дельтоэдра и
пентагон-додекаэдра?
206. Определить симметрию кристалла, представляющего
собой комбинацию: а) пирамидального октаэдра и
пентагон-додекаэдра, б) пирамидального октаэдра и пирамидального куба.
207. Кристалл огранен тремя пииакоидами. Каким классам
он может принадлежать? -£'
208. В каком классе тетрагональной сингонии кристалл
может быть 4-гранным? То же в гексагональной сингонии.
209. Шестигранный кристалл относится к классу 222. Каким
простым формам принадлежат его грани?
2К). Все грани ромбического кристалла принадлежат одной
простой форме. В каких классах это возможно? Какие это
формы?
211. К какому классу может относиться 6-гранный
тетрагональный кристалл?
212. Двеиадцатигранный ромбический кристалл состоит из
двух простых форм. К какому классу относится этот кристалл?
213. Почему 12-гранный кубический кристалл не может быть
комбинацией нескольких простых форм?
214. Чему равно минимальное число граней] кубического
кристалла, представляющего собой комбинацию трех форм? Двух
форм? К каким классам относятся такие\ кристаллы?
215. К какому классу симметрии относится 4-гранный
кубический кристалл? 8-гранный? 10-гранный? •
216. Каким простым формам принадлежат грани 4-гранного
кристалла из класса 2? То же для класса т. Привести стерео-
граммы.
217. Объяснить, почему есть кристаллографические классы
Czvj Csv, Cav, Cqv и классы D2a и Dsd, .но нет классов D4d и ZW
'218. Перечислить гемиэдрические группы для сингонии,
голоэдрическая группа которой D6h. Какая из этих групп является
гемиморфной?
219. Назвать голоэдрическую и гемиморфную группу для
сингонии, одна из гемиэдрических групп которой — 422.
220. Перечислить гемиморфные группы средней категории.
221. Перечислить гемиэдрические) группы высшей категории.
222. Плоскостная симметрия грани куба — L2. Определить
порядок группы симметрии этого кристалла и назвать общую
форму.
223. Грани тригональной призмы имеют параллелограмма-
тическую форму. Как в этом случае называется общая форма?
136
224. Объяснить, почему из четырех постоянных форм
кубической, системы грань только одной из .них (какой?) может
иметь асимметричную конфигурацию.
225. Грани тетрагональной призмы асимметричны. Как в
таком кристалле называется общая простая форма?
226. Грани ромбододекаэдра асимметричны. Каков! порядок
группы симметрии в этом случае?
227. Какой должна быть минимальная плоскостная
симметрия грани куба в классе m3m? То же для октаэдра и
ромбододекаэдра. Какой станет плоскостная симметрия граней этих же
форм в классах 432 и тЗ?
§ 4. СИМВОЛЫ ПРОСТЫХ ФОРМ
228. Указать примерное расположение на проекции
следующих граней кристалла низшей категории: (001), (111), (П2),
(101), (ПО), (ИЗ), (331). Назвать простые формы, которым
принадлежат эти грани: а) в классе ттт, б) в классе 222.
229. Получить простые формы, размножив в'классе 3 грани
(1011), (1010) и (0001). Назвать эти формы. Определить
собственную симметрию двух первых форм.
^230. Указать (приблизительно) взаимное расположение
граней следующих простых- форм: {111}, {311}, {ИЗ}, {001} и {101}.
Назвать их: а) в классе 42т, б) в классе 422. Определить
собственную симметрию формы {101}.
231. Разместить (приблизительно) на проекции грани
(1011), (10l2), (1122), (1232) в классе Зт. Назвать простые
формы, полученные/ размножением этих граней. Дать словесное
название класса симметрии.
232. Как называется простая форма {112} в классе 23?
Какова ее собственная симметрия? То же для класса 432.
233. В классе 4/т получить простую форму, заданную
гранью А (~60°, ~250).). Назвать эту простую форму и
записать символы всех ее граней. Определить собственную
симметрию этой формы. _
234. Какой простой форме принадлежит в классе 42т
грань А (45°, 35°)? Каков ее символ?
235. Размножив в классе DSh грань А (90°, ~35°), назвать
полученную форм}^ Каков ее символ и собственная симметрия?
236. В классе 6т2 назвать простую форму, для одной из
граней которой ф~45°, р~ 35°. Записать символы всех граней
этой формы, используя проекцию лишь для1, проверки.
237. В каких классах тетрагональной сингонии общая
форма может иметь символ {111}? Объяснить.
<6 Зак. 196 137

238. В каком классе симметрии ромбоэдр может иметь сим*
вол {1231}? Объяснить.
239. В каком из классов тетрагональной сингонии тетраэдр
может иметь символ {121}? Показать «а проекции.
.240. Назвать формы, имеющие в классе 42т символы {/Ю/}
и {Ш}.
241. Перечислить формы гексагональной сингонии, которые
могут иметь символ {0001}. То же для {1010}.
242. Объяснить, воспользовавшись 'проекцией, какой символ
могут иметь трапецоэдры при п = 2, 3, 4, 6. _
243. Начертить стереограммы трапецоэдров {1231} и {2131}.
Чем они различаются?
244. Каким может быть символ тетрагонального скаленоэд-
ра? Тригонального? Объяснить, воспользовавшись проекцией.
245. Показать, каким может быть символ моноэдра в
гексагональной и тетрагональной сингониях? В 'моноклинной? Три-
клинной?
246. В каких классах тетрагональной сингонии 4-гранная
форма может иметь символ {120}?
247. Символ тригоналыюй призмы {1230}. В каких классах
это возможно?
248. Какими могут быть символы граней ромбоэдров из
классов 3, 32, Зт. Объяснить, воспользовавшись проекцией.
249. Символ ромбоэдра {2351}. Какую простую форму
образует © этом случае грань, параллельная главной' оси? Записать
ее символ в общем виде.
250. Определить возможную симметрию кристалла,
представляющего собой комбинацию пинакоидов {100}, {010}, {001}.
251. К какому классу относится кристалл, представляющий
собой комбинацию тетрагональной призмы {110} и
тетрагонального тетраэдра {Ш}? Двух тетрагональных тетраэдров — {Ш}
и {112}? Двух тетрагональных тетраэдров — {Ш} и {211}?
252. К какому классу относится кристалл, представляющий
собой комбинацию тетрагональной пирамиды {111},
тетрагональной призмы {310} и моноэдра {001}? То же для комбинации
тетрагональной пирамиды {111}, тетрагональной призмы {100} и
моноэдра {001}.
253. Определить симметрию тетрагонального кристалла,
представляющего собой комбинацию 4-гранной формы {120} и
8-гранной {111}. Назвать эти формы.
254. Кристалл представляет собой комбинацию ромбоэдра и
призмы {1120}. Определить симметрию кристалла^ и назвать
призму, если символ ромбоэдра: а) {1011}, б) {1231}. Будет ли
ответ в: обоих случаях однозначен?
255. Определить симметрию кристалла, представляющего
собой комбинацию трехгранных форм {1230}, {112"l} и {1Ш}.
Назвать эти формы.
138
256. Кристалл представляет собой комбинацию ромбоэдра и
призмы {1120}. Определить симметрию кристалла и символ
ромбоэдра, если: а) призма тригональная, б) призма
гексагональная.
257. Шестигранный кристалл представляет собой
комбинацию форм {1011} и {1231}. Определить симметрию кристалла и
назвать формы.
258. В 6-гранном ромбическом кристалле две простые
формы — {111} и {101}, Какова симметрия этого кристалла? Какие
это формы?
259. Определить симметрию кристалла, 6-гранная форма
которого имеет символ {1121}, а 3-гранная — {1120}. Назвать
формы.
260. Проиндицировать 4-гранный тетрагональный кристалл.
261. Предположив минимально возможное число граней,
проиндицировать в общем виде многогранник класса 4.
Предусмотреть различные варианты. То же для многогранников
классов 3 и. 3.
262. Проиндицировать ромбический кристалл — комбинацию
трех пинакоидов. Какой класс симметрии?
263. Указать все возможные случаи индицирования
6-гранного кристалла симметрии 222.
264. Проиндицировать 16-гранную простую форму.
265. Проиндицировать 5-гранный ромбический кристалл.
Перечислить возможные варианты. Записать в общем виде
символы 2-гранных форм этого класса.
266. Записать символы граней 5-гранного тетрагонального
кристалла.
267. Каким может быть минимальное число граней в
ромбическом кристалле? Для веек возможных вариантов определить
■симметрию и записать^символы простых форм.
268. Проиндицировать 4-гранный кристалл .гексагональной
сингонии.
269. Построить стереограмму комбинационного
многогранника гексагональной, сингонии, для определения символов
граней которого не нужна единичная грань. Назвать простые
формы. То же для моноклинной сингонии. В каждом случае
предусмотреть несколько вариантов.
270. Начертить стереограммы простейших энантноморфных
кристаллических многогранников классов 222 ю 422. В обоих
случаях проиндицировать изображенные кристаллы, назвать
простые формы. Перечислить классы симметрии, допускающие
энантиоморфные многогранники.
271. Показать на проекции позиции постоянных форм
класса 43т. Назвать их и записать символы.
6* • 139

272. Показать на проекции соответствующего класса
расположение граней гексатетраэдра и записать возможные символы
граней первого квадранта.
273. Описать возможные 12-гранные кристаллы
кубической сингонии. Проиндицировать их.
274. Какой симметрией обладает кристалл, ограненный-
двенадцатью'гранями формы {120} и четырьмя {111}?
275. Как связать символы граней ромбододекаэдра и
Пентагон-додекаэдр а с положением их относительно координатных
осей?
276. Перечислить формы кубической сингонии с символами
{hkl}.
277. Проиндицировать 12-гранный кристалл симметрии 23.
278. Какие постоянные формы можно использовать для
вывода гексатетраэдра? Показать, пользуясь символами,
происхождение формы. Предложить для каждого случая название.
279. Отразить символами разницу между тригон-тритетра-
эдром — производным «уба и тригон-тритетраэдром —
производным тетраэдра. Какие названия можно присвоить каждой
из этих разновидностей?
280. Отразить названиями разницу между сорокавосьми-
гранниками {219}, {879} и {718}. То же для формы {119} и {889} в
классах 23 и 432. Решение иллюстрировать проекцией.
281. Назвать форму, одна из граней которой в классе 23
занимает .позицию (123). Начертить полную стереограмму этой
простой формы и записать символы граней первого квадранта.
282. Кубический кристалл представляет собой комбинацию
4-гранной формы {111} и формы {ПО}. Какова симметрия этого
многогранника?
283. Многогранник кубической сингонии огранен двумя
формами —г 12-гранной {120} и 24-гранной {123}. Какова симметрия
этого многогранника? Назвать формы.
284. Кристалл кубической сингонии представляет собой
комбинацию форм {111} и {120}. Какой может быть симметрия
этого кристалла, если одна из форм 4-гранная? Назвать формы.
285. Символ 12-гранной формы кубического кристалла —
{hhl}. Определив возможные классы симметрии, назвать формы
{111} и {Ш}.
286. В кристалле кубической сингонии форма {hkfy — 24-
гранная. Сколько может быть граней в форме {hhl}? Назвать
формы.
287. В форме {111} кубического кристалла 4 грани. Как
называются! :В этом случае 24-гранные формы?
288. Одна из граней 12-гранного кубического кристалла
отсекает неравные отрезки по всем трем координатным осям.
Чему равно1 в этом случае число простых форм? Записать символы
всех граней в общем виде.
289. Проиндицировать кубический кристалл, имеющий 10
граней.
140
290. Проиндицировать возможные -восьмигранники
кубической сингонии.
291. В 12-гранном кристалле одна >из граней имеет символ
(123), другая — (123). Назвать класс и форму.
292. В 24-гранном кристалле определить простую форму,
заданную символами двух граней: а) (123) и (123), б) (123) и
(213), в) (123) и (213). Привести ход рассуждения.
§ 5. СИМВОЛЫ РЕБЕР. ЗАКОН ЗОН
293. Записать символы координатных осей в кристалле
моноклинной сингонии. Изменятся ли они при переходе к триклин-
ной или ромбической сингониям?
294. Записать символы осей 3-го порядка кубической
сингонии.
295. Показать, что [3251]^[32-1]. Вычислить трехчленный
символ ребра [3251] ,.и четырехчленный для [32-1].
296. Показать, что [12-1]^[1231]. Вычислить;
четырехчленный символ ребра [12-1] и трехчленный для [1231].
297. Записать символы трех любых граней, параллельных
ребру-[12-3]. То же для [1231].
298. Записать символы трех любых ребер, параллельных
грани (211). То же для грани (2352).
299. Записать символы осей 2-го порядка в классах 222,
422, 32 и 432.
300. Привести трех- и четырехчленные символы
координатных осей в гексагональном кристалле.
301. Какому направлению в гексагональной сингонии
отвечает символ [2110]?
302. Записать символы (трех- и четырехчленные) всех
ребер, связанных с ребром [12-1] поворотом вокруг оси 3. То же
для оси 6.
303. В тетрагональном кристалле определить символ и
координаты ребра пересечения граней А (..., 0°) и В (45°, ~25°).
304. Определить символ и координаты ребра пересечения
Двух граней ромбического кристалла: А (90°, ~30°) и В (0°,
-40°).
305. Определить символы ребер формы {111} в кристалле
класса тЗт. То же для класса 43т.
306. Проиндицировав тетрагональный кристалл, заданный
гранями А (26,5°, 90°), Б (63,5°, 90°), В (...,0°), Г (90°, 90°),
Д (45°, 60°) и Е (45°, 120°), определить символы и координаты
ребер пересечения граней А и Б, В и Г, Д и Et
307. В ромбическом кристалле ф(Ш) = 51°, раю = 44,5°.
Определить символы ребер пересечения этой грани с гранями / (0°,
32°) и т (51°, 90°).
141

308. В огранке кристалла класса Зт участвуют формы т ц
п. Определить символы ребер пересечения грани п' (60°, 25е)"1 .с
гранями т' (30°, 90°) и т'' (90°, 90°). Назвать формы тип.
309. Назвать класс симметрии и
изображенные простые формы (рис. 95).
Проиндицировать все грани этих форм.
Найти символ ребра пересечения двух
любых граней формы 2. Чем
замечательно это ребро? То же для ребра
пересечения граней формы 1.
310. В ромбическом кристалле
каждая простая форма представлена одной
гранью (Л, Б, В, Г), причем грани
заданы сферическими координатами двух
ребер:
Рис
95. К
упражнению 309
л /ф = 90°, р = 90°,
(ф = 0°, р = 90°,
г Гер = 90°, р = 90°,
Ь 4=-, Р = 0°,
R ,Ф = 268°? р = 42°, г /Ф=160°, р = 90°,
15 1ф = 207,5°р = 49,5°, l Up=160°, р = 30°.
Проиндицировать этот кристалл.
311. В кристалле класса тЗ определить символы ребер
формы {120}, пересекающих положительный конец оси 3. То же
для положительного конца оси Зу. Назвать простую форму32.
312. Определить зависимость между индексами символа
грани кубического кристалла, параллельной оси 3 (то же для осей
Зх, Зу, Зг) .
313. Определить в кристалле кубической сингонии символы
граней, параллельных оси 3 и равнояаклонных к координатным
осям X -и Y. То же для граней, параллельных оси^Зх и
отсекающих на оси Z отрезок, вдвое больший, чем на оси У. Показать
на проекции32.
314. В ромбическом кристалле ф(Ш) = 51°, р(ш) = 72°.
Определить сферические координаты граней (011), (101) и (ПО).
315. В моноклинном кристалле (-у=П0°) ф(ш) = 63°, Р(ш) =
= 48°. Определить сферические координаты двуединичных и
координатных граней. (Угол у отсчитывают от выхода оси У,
расположенной слева направо.)
316. Найти положение" единичной грани ромбического
кристалла, если p(oii) = 62°, а ф(по) = 43°.
317. В кристалле класса C2h Р=П8°, Ф(Ш) = 62°, р(Ш) = 51 ■
Определить сферические координаты двуединичных и
координатных граней, а также точки выхода оси X.
32 Обозначения осей 3-го порядка в кубической сингонии см. на рис. 97.
142
318. Найти положение единичной грани, если р(оц) = 28°,
<р(по) = 49°, 7=130°. (Об отсчете угла у см. задачу 315.)
319. Найти положение единичной грани ромбического
кристалла, если p(ioi) = 30°, p(oii) = 60°.
320. Найти положение граней (112), (122), (211) и (221)
ромбического кристалла,, если P(ion = 40°, Ф(по) = 60°.
321. Найти символ грани тетрагон-триоктаэдра, если ее
полюс образует с полюсом грани куба угол 35°.
322. Угол между полюсами граней тетраэдра и тетрагон-три-
тетраэдра равен 16°. Определить символ последнего.
323. Определить положение граней (101) и (111) в
тетрагональном кристалле, если Р(юз) = 41,5°.
324. Определить положение граней (1011), (1121), а также
координатных граней, если рооТ2) = 39°.
J325. В ромбическом кристалле (110)Л(1Ш) = 102°, (113) Л
Л (ИЗ) =90°. Определить^ положение единичной грани33.
326. В кристалле класса Сгл Ф(оп) = 33°, р(011) = 47°. Определить
положение граней (ПО), (001) и угол- (3, если Ф(Ш) = 62°.
Назвать, формы {ПО}, {111} и {001}.
327. В кристалле моноклинной сингонии угол (3=127°.
Определить положение координатных и единичной граней, если
полярные расстояния граней (011) и (101) равны соответственно
42 и 49°.
328. В тетрагональном кристалле (232) Д (232) =82°.
Определить положение единичной грани и назвать простые формы,
к; которым относятся эти грани, предположив класс 4/тзя.
329. Определить положение единичной грани и угол р в
моноклинном кристалле, если (310) Д (310) = 140°, (310)Д(001) =
= 76°, (001)/\(011)=63°53.
330. Определить положение единичной и координатных
граней, если позиции граней с£(оп)(89°, 5°), m(no)(480, 90°),
&uoi)(85°, 4Г) и Ь(ою")= (0°, 90°). К какой сингонии относится
кристалл?
331. Объединить грани ромбододекаэдра в зоны. Сколько их?
Чем они замечательны? Показать на проекции.
332. Зона проведена через грани (132) и (231) формы {123}
класса тЗт. Какие еще грани! той же простой формы поладут
в эту зону? Показать на проекции.
333. Определив символ ребра формы {1231} из класса 3,
записать, не прибегая к проекции, трехзначные символы всех
ребер. То же для классов 6 и 6mm, _
334. В тригональном трапецоэдре {3251} определить символы
ребер, не связанных друг с другом операциями симметрии.
33 Указаны, как принято, углы между нормалями к граням.
143

335^Определив символ «экваториального», ребра скаленоэд-
ра {1341}, записать, не прибегая к графику, символы всех эк
ваториальных ребер.
336. Найти в кубическом' кристалле сферические координату
ребер [111], [121] и [122].
337. В кристалле класса тЗ за ось проекций выбрана одна
из осей 3-го порядка. Показать на стереограмме *все грани
форм {111}, {100} и {110}.
338. Для кристалла класса Ът использована установка
Миллера (см.задачу X). Определить положение граней (211),
(112), (001) и (211), если ф(юо) = 90°, р(то) = 62°.
339. Определить сферические координаты граней (1Q0),
(213) и (011) в установке Миллера (см. задачу X), если для
точки выхода оси X ф = 90°, р = 74°.
£40. Определить сферические координаты граней (011),
(231) и (221) в установке Миллера (см.задачу X), если
а = 77° (ось X направлена на наблюдателя).
341. Найти сферические координаты ребра [212]
тетрагонального кристалла, если р(322) = 62°.
342. Определить сферические координаты ребра [112]
моноклинного кристалла, если P(ioi) = 46°, p(0oi)=16,5° и Ф(по) = 56,5°.
343. В' кристалле гексагональной сингонии p(oiTi) = 44°.
Определить координаты ребра [0111].
344. В тетрагональном кристалле р(Ш) = 40°. Определить
символ и полярное расстояние (р) грани, параллельной ребру
[111], если ее азимут (ф) равен 63,5°.
345. В ромбическом кристалле p(oii) = 62°,, paoi) = 67°.
Определить символ грани, параллельной ребру [211], если азимут (ф)
этой грани равен 22,25°.
2
346. В кристалле симметрии 1 — 1 ф(оп) = 29,5°, Р(оп) = 31,5°,
Ф(по) = 56,5°. Определить символ грани, параллельной ребру
[113], если ф этой грани равен 47°. _
347. Определить символ грани, параллельной ребру [1123],
если ее азимут (ф) равен 16°, a P(ioTi>=69°.
348. В ромбическом кристалле ф(Ц2) = 5Г, p(ii2) = 56,5°.
Найти символ грани, лежащей в зоне [013], если полюсы этой
грани и грани (113) образуют угол 66°. _
349. В тетрагональном кристалле (113) Д (113) =76°.
Определить угол между ребрами [123]' и [201] 33. _
350. Определить угол между ребрами [1126] и [2243], если
р(01П) = 40°.
351. Определить символы ребер одной из граней
тетрагонального скаленоэдра {231}. Чему равны углы между этими
ребрами, если р(зз2) = 42°.
352. В моноклинном кристалле определить угол между на-
144
правлениями [111] и [123], если p(ioi) = 46°, p(ooi)= 16,5°, а
'(120)Л(1"20)=74,5°33.
353. Определить угол между ребрами грани (102) пентагон-
додекаэдра.
354. Определить в кристалле кубической сингонии положение
граней (324) и (257).
355. В тетрагональном кристалле p(ioi) = 69°. Определить
сферические координаты граней (231) и (378).
356. В кристалле класса тт2 ф<ио) = 62°, Р(оп) = 42°.
Определить сферические координаты грани (432). Каким простым
формам принадлежат упомянутые грани?
357. В кристалле_симметри_и С6/г p(ioTi)=45°. Определить
положение граней (3251) и (2132). Назвать обе простые формы.
358. В ромбическое кристалле (011)Л (011) =67°, (ПО) Л
Л (ПО)-134°. Определить (347) Л (738) 33. __
359. Определить положение граней (1342) и (3473), если
(1Г21)Л(Н20)=30°33.
360. Найти положение граней (136) и (611) в кристалле,
для которого a = Y = 90°, (3 = 99°, фаiо = 38°, роп) = 60°.
361. Найти сферические координаты грани, (321) кристалла,
если для (101) ф = 79°, р = 47°, для (011) Ф = 83°, р = 7°, для
(ПО) ф = 52°, р = 90°. Грань (010) занимает, как обычно,
позицию ф = 0° и р = 90°.
§ 6. МЕТОД КОСИНУСОВ ВУЛЬФА. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ (ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КОНСТАНТ) КРИСТАЛЛА
362. Определить по стереограмме выходы 'координатных
осей, измерить осевые углы. Указать сингонию.*
а) (001)
(010)
(100)
в) (001)
(011)
(100)
(ПО)
ф°
73
0
74
4
179
82,75
47,75
Р°
20
90
90
5,75
25,75
90
90
б)
г)
(010)
(100)
(011)
(101)
(010)
(011)
(111)
(ПО)
ф°
0
80
23
77
0
25„75
71
69,75
Р°
0
90
29
51,5
90
36
54,75
90
363. Определить позицию координатных граней, указав в
каждом случае сиигонию:
Ф° р° Ф° р°
а) (010) 0 90 б) (010) 0 90
(111) 46,75 51,5 (111) 40,5 70
(211) 64,75 63,75 (211) 55 74,5
(120) 28 90 (120) 16 90
364. В ромбическом кристалле Фцп) = 59,75°, р(ш) = 62,5°.
Определить символы граней п (49°, 90°) и /(29,75°, 90°). ■
145

365. В ромбическом кристалле ф(2п) = 64,75°, P(2ii) = 63,75°.
Определить символы граней #(90°, 70°), р(46,75°, 51,5°) и z(58°"
58,25°).
366. Основные грани занимают в кристалле следующие
положения: а(юо> (110,25°, 90°), Ь(т)(0°, 90°), ст)( 19,75°, 22°),
в(\и) (5.3,5°, 54,25°). Определить символы граней т(53,5°, 54,25°)t
п(4°, 63,5°) и р(65,5°, 90°).
367. Определить символы граней т(0°, 55°), п(0°, 35,5°) и
р(П°, 47,5°), если cpcoiTi> = 30°, p(ofi> = 39,5°.
368. Как обозначены грани t(U°, 33°), т(30°, 75,75е) и
п (-16°,, 74,25°), если ф(3251) = 6,5°, p(325i) = 77°.
369. Определить геометрические константы ромбического
кристалла, если ф(1ц) = 46,5, р(ш) = 44,75°.
370. В ромбическом кристалле ф(по) = 63,5°, p(ioi) = 42,5°.
Определить геометрические константы кристалла.
371. Вычислить геометрические константы кристалла,
пользуясь следующими данными: а(юо)(90°, 90°), Ь(ою)(0°, 90°),
с(оо1)(90с, 26,75е), rf(110) (47,75°, 90°), f(Toi)(-90°, 59,25°).
372. По основным граням триклинного. кристалла определить
его геометрические константы: а(10о)( 110,25°, 90°), Ь(ою)(0°, 90°),
C(ooi)(19,75°, 22°), е(Ш)(53,5°, 54,25°).
373. В тетрагональном кристалле р(оп) = 51,5°. Вычислить
его элементы.
374. Определить элементы кристалла, если рсюН) — 43,5°.
375. Вычислить геометрические, константы кристалла, если
Pd i2i) = 43,5°.
376. Определить полярное расстояние единичной грани
тетрагонального кристалла, если со=1,97.
377. Нанести на стереограмму основные грани, если а:с=
= 1 :0,79; *у=120°.
378. Построить стереограммы основных граней кристалла,
если а/Ь = 0,819; с/Ь = 0,624; а = |3=у = 90°-
379. Определить позицию основных граней кристалла, для
которого а\Ь\ с=1,77 : 1 : 1,54; (3-102,5°.
380. Определить сферические» координаты основных граней,
если а0 = 0,725; с0 = 0,703; а=112°, р = 97,75°, у = 68,25°.
§ 7. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ — ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
381. К. операциям класса C4v добавить отражение в
горизонтальной плоскости. Записать полученный класс всеми
способами. Получить простые формы, размножив грани (111) и (210);
назвать формы. Определить ф и р для грани (211), если
p(iii) = 35°. Какую форму имеет оптическая индикатриса такого
кристалла? Как она ориентирована в кристалле?
382. К операциям класса т2т добавить инверсию.
Определить позицию граней (213) и (312) в полученном классе, если
<p(i2i) = 24°, P(i2i)7=42°. Назвать формы. Какую форму имеет оп-
146
тическая индикатриса такого кристалла и как она
ориентирована?
383. Для кристалла оливина известна позиция одной из
граней 8-гранной закрытой, формы {111} (ф = 65°, р = 54°). Пользуясь
зональными соотношениями, расположить на стереограмме
грани (ПО), (021) и (201). Определить ф и р грани (021). К
какому классу симметрии относится оливин? Как называются
перечисленные формы? Можно ли ожидать, что оливин будет
проявлять пьезоэффект? Какой формы его оптическая индикатриса?
384. В огранке кристалла участвуют тетрагональные бипи-
1рамиды {111} и {011} и тетрагональная призма {100}. Какую
форму имеет оптическая индикатриса такого кристалла и как она
ориентирована? Можно ли ожидать от такого кристалла
проявления пьезоэффекта? Оптической активности? Какие изменения
физических свойств следует ожидать, если будет установлено,
что формы, {111} и {011} имеют по 4 грани?
385. Расположить на стереограмме методом развития-поясов
следующие грани тетрагонального кристалла, у которого
P(iii) = 30°: (ПО), (011), (210). К какому классу относится
кристалл (И каким простым формам принадлежат упомянутые
грани, если известно,, что форма {210} — 4-гранная, {111} —
8-гранная? Способен ли такой кристалл проявлять пьезоэффект?
386. Одна из граней пентагон-додекаэдра отсекает на оси
X 4 см, а на оси У 6 см. Определить символ грани и ее
сферические координаты. К какому классу относится кристалл, если
другая его форма — {121} — имеет 12 граней? Как называется
эта форма? Что можно сказать об оптических свойствах такого
кристалла?
387. Известно, что в кристалле халькопирита форма {101}
имеет 8 граней; грань (112) покрыта штриховкой, а грань
(112) — блестящая. Назвать класс симметрии халькопирита и
все упомянутые в задаче формы. Определить рот, если Р(П2) =
= 54°. Что можно сказать о пиро- и пьезосвойствах
халькопирита?
388. Определив симметрию кристалла, представляющего
собой комбинацию трехгранных форм {1230}, {1121} и {1121},
решить, может ли такой кристалл обладать пьезоэффектом? Пи-
роэффектом? Оптической активностью? Назвать формы.
389. Определив симметрию кристалла, шестигранная форма
которого имеет символ {1121}, а трехгранная — {1120}, решить,
может ли такой кристалл проявлять оптическую активность?
Назвать формы.
390. Кристалл представляет собой комбинацию ромбоэдра
и призмы {1120}. Определить симметрию кристалла и символ
ромбоэдра, если: а) призма тригональная, б) призма
гексагональная: В каком случае кристалл способен проявлять пиро-
или пьезоэффект? В каком из рассмотренных случаев кристалл,
не обладающий пьезоэффектом, имеет 6-гранную общую форму?
*. 147

391. Шестигранный кристалл представляет собой комбина»
цию форм {1011} и {1231}. Может ли такой кристалл проявлять
пироэффект? Оптическую активность? Изменятся ли свойства,
если считать рассматриваемый кристал 9-гранным? В обоих
случаях записать формулу симметрии и назвать простые формы.
392. В огранке кристалла турмалина участвуют следующие
грани: (10П), (ЮТГ), .(1120), (1230), 21 ГО). Формы {1120} и
{1230} — 6-гранные. Какова симметрия кристалла, если
известно, что турмалин — пироэлектрик, но не проявляет оптической
активности?
393. В огранке кристалла кварца участвуют грани
ромбоэдра и тригональной бипирамиды, а на кристаллах кальцита
ромбоэдр сопровождается 12-гранной формой {1231}. Что можно
сказать об электрических свойствах (пиро- и пьезосвойствах)
этих кристаллов? Дать их стереограммы и назвать форму
{1231} кальцита и форму с таким же символом для кварца.
394. В кристалле гемиэдричсского класса с одной полярной
осью 3-го порядка одна из граней занимает позицию с ф~50°,
р~-20о. Проиндицировать и назвать простую форму, заданную
этой гранью. Что можно сказать об оптических свойствах
такого кристалла?
395. К симметрии минерала гемиморфита можно прийти,
изъяв из операций класса ромбической голоэдрии инверсию.
Назвать общую простую форму такого кристалла. Может ли
гемиморфнт обладать пироэффектом?
396. Группу симметрии эпсомйта можно представить как
подгруппу ромбической голоэдрии, полученную изъятием из
голоэдрической группы одной из операций 2-го рода. Определить
симметрию эпсомйта, если известно, что его кристаллы могут
обладать оптической активностью. Какой получится класс
симметрии, если из группы ромбической голоэдрии будет изъята
одна из операций 1-го рода?
397. Из комплекса элементов симметрии голоэдрической
группы тетрагональной сингонии изъять ось 2-го порядка. Что
можно сказать о пьезо- и пироэлектрических свойствах таких
гемиэдрических кристаллов?
398. Убрав из голоэдрической группы тригональной подсинго-
нии гексагональной сингонии операцию инверсии, назвать
общую простую форму оптически активного кристалла из
полученного класса. То же для кристалла-пироэлектрика.
399. К какому классу придем, лишив удваивающей
операции гемиэдрический класс, в котором форма {112} имеет 12
граней? Назвать эту форму. Что можно сказать об оптических
свойствах такого кристалла?
400. Из группы 48-го порядка изъята удваивающая операция
1-го рода. Назвать полученный класс по общей форме. Может
ли такой кристалл обладать пьезо- или пироэффектом?
401. Для тетрагонального кристалла рутила известна пози-
148 .
ция грани (111) — р(ш) = 420. Определить сферические
координаты граней (011) и (120). К какому классу относится кристалл
рутила и как называются формы {011}, {111} и {120}, если
известно, что последняя форма имеет 8 граней, общая форма —
закрытая, а рутил не проявляет оптической активности?
402. В тетрагональном кристалле грань, параллельная
одной из'горизонтальных координатных осей, отсекает на другой
отрезок 4 см. Другая грань того же кристалла отсекает на осях
X и У отрезки 2 и 3 см соответственно. Проиндицировать эти
грани при условии, что параметры обеих граней по оси Z
равны. Назвать формы, если одна из них 4-гранная, другая
8-гранная, а кристалл проявляет пироэффект. Может ли в этом
случае наблюдаться оптическая активность?
403. Грань А отсекает на осях X, Y, Z отрезки 1, 2, 3 см.
Грань Б на тех же осях имеет параметры 3, 4, 2 см. Каков
символ грани А, если символ грани Б — (123)? К какой категории
относится кристалл? Назвать простые формы А и Б, если
известно, что кристалл — пироэлектрик, а число граней в каждой
форме больше двух.
404. Кристалл представляет собой комбинацию форм {111}
и {210}. Какова симметрия этого кристалла, если одна из этих
форм 12-гранная, а кристалл оптически активен?
405. В оптически активном кристалле одна из граней
закрытой простой формы занимает позицию с <р = 90°, р = 30°.
Определить симметрию кристалла, если форма {1231} — 6-гранная.
Назвать формы и определить ф и р грани (3121).
406. В оптически активном кристалле разместить на
проекции грани 12-гранной формы {210}. Определить ф п р для
граней (122) и (321). Назвать формы.
§ 8. СИММЕТРИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДВОЙНИКОВ
407. Найти на стереограмме класса 222
кристаллографически допустимые позиции для 2' и га'. Показать в каждом
случае, какие элементы симметрии индивида переходят в полную
двойниковую группу. То же для класса 2.
408. Указать для каждого случая, при каких положениях
двойниковых элементов вместо двойников образуются
параллельные срастания кристаллов: а) 2/т, б) тт2, в)'Зт, г) 42т,
д) тЗ.
409. В каких классах оригинальным (незаменимым) двойни-
кующим элементом может служить центр инверсии?
410. Объяснить, почему не может существовать двойниковых
групп 3 и 23?
411. Кристаллы каких классов могут образовать двойник
симметрии тЗга?
НЭ

412. Даны кристаллы классов 622 и 422. Двойникующая ось
2' образует угол 45° с главной осью и перпендикулярна одной
из побочных осей 2. Определить в каждом случае
сохранившуюся подгруппу и полную двойниковую группу.
413. Какие элементы симметрии кристалла из класса тЗт
переходят в полную двойниковую группу при двоиниковании по
[111]? -По (112)? То же для двойников срастания.
414. Определить сохранившуюся подгруппу индивида в
двойнике прорастания по [112], если монокристалл относится к
классу тЗт, То же для класса 432.
415. Определить сохранившуюся подгруппу индивида в
двойнике прорастания кристалла из класса 23, если двойникующий
элемент задан следующими сферическими координатами:
а) ф = 0°, р = 45°; б) Ф = 45°, р = 30°; в) Ф = 45°, р = 35,25°.
416. Какие элементы симметрии кристалла из класса Зт
переходят в полную .двойниковую группу, если позиция
двойниковой оси (2') следующая: а) 2'(30°, 90°), б) 2'(30°, 60°),
в) 2' (30°, 30°).
417. Какие элементы симметрии кристалла из класса D4n
переходят в полную двойниковую группу, если двойниковая ось
совпадает с нормалью к грани (011)? То же для двойников
срастания. Записать двойниковые группы. »
418. Определить полную двойниковую группу кристалла из
класса ттт, если двойникующий элемент: а) перпендикулярен
к грани {hoi), б) занимает общее положение.
419. Определить полную двойниковую группу кристалла из
2
класса 11— при двоиниковании: а) по [100], б) по (hkO).
То же для двойника срастания.
420. Определить симметрию двойника прорастания
кристалла из класса 32, если двойникующий элемент задай
следующими сферическими координатами: а) ф = 30°, р = 90°; б) ф = 40°,
р = 35°.
421. Определить группу симметрии двойника прорастания из
класса 4/т при двоиниковании по [rsO]. To же по [rst].
422. Определить двойниковую группу для кристалла из
класса тЗт при двоиниковании по [rsO]. To же по (hhl) и [rst].
423. Определить полную двойниковую группу для кристалла
из класса 43 т три двоиниковании по [112] и [rsO].
424. Дополнив стереограммы классов симметрии, показать
(рис.96) для каждой из перечисленных позиций
сохранившуюся подгруппу и полную двойниковую группу (цифры на
чертежах обозначают стереографические проекции 2' или 2').
425. Записать возможные двойниковые группы и показать
положение двойникующих элементов, если известна сохранив-
150
Рис. 96. К упражнению 424 -
шаяся подгруппа индивида: а) 222, б) ттт, в) Зт, г) 2,т,
Д> ^Оиоеяелить возможные положения двойникующих эле-
Двойниковая
группа
А. а) тт'т'
б) т'тт
в) т'т'т'
г) тт'т'
Б. а) —т'т'
т
б) — т'т'
т'
4'
в) —~тт
т
4'
г) — mm
т
4
д) — mm
т
В. а) 6'22'
б) Ъ'т'2
в) 32'
г) т'т'2
Класс
индивида
_2_
т
тт2
222
6
mm
т
4
т
422
42т
тЪт
Атт
32
Двойниковая
группа
Г. а) — mm
т
4'
б) mm
т
4 , ,
в) — т т f
т. '
Д.
т
а) тт'т'
б) Зт''
в) 22'2'
Класс
индивида
тЪт
тЪт
Зт
тЗт
Зт
432
32
151

427. Определить положение двойникового аналога грани
(221) в двойнике кристалла из класса 222 при двойниковании
по (012), если ф(по) = 300, р(101) = 40о.
428. Определить положение двойникового аналога грани
(121) в двойнике кристалла из класса тт2 при двойниковании
по [011], если ф(111) = 40°, р(Ш) = 35°.
429. Определить положение двойникового аналога грани
(ПО) в двойнике кристалла из класса DAh по нормали к грани
(011); р(ш) = 40°. Какова симметрия образовавшегося двойника?
430. Определить положение двойникового аналога грани
(212) в двойнике кристалла из классов: а) т 3 по [102],
б) 23 по [111].
431. Определить положение двойниковой оси в кристалле
класса 432, если грань (100) имеет следующие координаты:
Ф = 300°, р=120°. Определить полную двойниковую группу.
432. Определить угол между главными осями индивидов в
двойнике кристалла из класса 422 по [011], если р(Ш) = 35°.
433. Определить положение двойниковой плоскости в
кристалле из класса 23, если грань (ПО) имеет следующие
координаты: ф= 135°, р = 30°. _
434. В кристалле класса тЗт для грани (111) ф = 359,5° и
р = 89°. Определить координаты двойниковой оси и симметрию
двойника.
435. Определить положение двойниковых аналогов граней
(Г00) и (010) в двойнике флюорита (класс тЗт) по [111] (шпи-
нелевый закон). К какому классу симметрии относится
двойник?
436. Определить положение и символ двойниковой плоскости
в моноклинном кристалле, если координаты граней (111) и
(1П) следующие: фот = 48°, р(Ш) = 590, ф<т)=132°, р(ш) = 300°,
p(iii) = 110°.
437. В кристалле корунда (класс 3m) P(022i) = 72,5°.
Определить положение двойникового аналога' грани (0221) и- угол
между осями 3-го порядка в двойнике по (1011). Напомним, что
грани (1011) притупляют (см. § 5, гл.2) ребра формы {0221}.
438. Определить положение двойникового аналога грани
(210) в кристалле пирита (симметрия тЗ) в двойнике по
(011) — «железный крест».
439. Определить координаты двойниковых аналогов граней
(112) и (012) в двойнике кристалла меди по шпинелевому
закону (см. упражнение 435).
440. В. кристалле ромбической серы ф(ип = 51°, р(Ш) = 71,5°.
Определить положение двойниковых аналогов: а) граней (111),
(011) и (001) в двойнике по (101); б) граней (111), (101), (001)
в двойнике по (011).
441. Для кристалла халькопирита (класс 42т) Р(0П) = 63о.
Определить положение двойниковых аналогов граней: а) (112)
152
и '(HI)' в двойнике по [001]; б) (111) и (124)" в двойнике по
.(012). -
442. Кристаллы тетраэдрита относятся к классу 43т.
В двойнике по шпинелевому закону (см. упражнение 435)
определить положение двойниковых аналогов всех граней формы
{111}, а также граней (012) и (122).
443. В кристалле рутила (класс DAh) р(0ц) = 32,75о.
Определить координаты двойниковых аналогов граней (101), (111) и
(230) при двойниковании по (011) — коленчатый двойник.
Какова симметрия образовавшегося двойника?
444. Определить угол между главными осями индивидов
кварца .(класс 32) при двойниковании по (1122) (японский
двойник), если p<ioTi) = 51,750.
445. В бразильском двойнике кварца (класс 32) двойникую-
щая плоскость (1120). Определить симметрию двойника и угол
между гранями (1012) и (1012) (см. упражнение 444). Как
можно назвать в двойнике форму {5161}?
446. Определить угол между гранями (1011) и (1011) в до-
финейском двойнике кварца (двойникованис по [0001]; см.
упражнение 444 и рис.53). Какова симметрия образовавшегося
двойника и как можно назвать упомянутую простую форму?
447. В кристалле анортита (класс 1) основные грани
занимают следующие положения: для (001) ф = 80°4Г, р = 26°12';
для (100) Ф = 58°02', р=90°00'; для (010) ф = 0°00', р = 90°00',
для (111) ф = 320° 00', р = 37°00'. Найти угол между (001) и
(001) в двойнике по нормали к грани (021) — бавенский
закон двойникования.
44834. Для кристаллов кальцита (класс Зт) характерны
двойники по: а) пинакоиду (0001), б) ромбоэдру спайности ■—
основному ромбоэдру (1011), в) острому ромбоэдру (0221),
г) тупому ромбоэдру (0112). Найти взаимное расположение
тройных осей в двойниках по каждому из этих законов, если
p(ioTi) = 44,5°.
§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ. МАТРИЧНОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
449. Для ромбических кристаллов веберита известны три
установки*
I a b с
II b а с
III с a b
Записать (Mi_h), (ЛГц-*.ш), (Ммп).
34 Приведены данные для морфологической установки кальцита (см.
задачу X).
153

450. Для кристаллов дурангита матрица преобразования
старых осей в новые (М) =001/010/101. Прочесть,
воспользовавшись соответствующими матрицами, старые символы новых
координатных граней и осей, а также новые символы старых
координатных граней и осей.
451. Матрицы преобразования координатных осей для
некоторого кристалла (Af,) =010/001/100 и (М2) = 100/0 — 0/002.
Дать.геометрическую интерпретацию каждого из этих
преобразований. Какую сингонию можно предположить?
452. Какую сингонию можно предположить для минерала,
если матрица _перехода к новой морфологической установке
(М) = 101/010/101?
453. Для кристаллов малахита матрица преобразования
- Т о
' осей к новой установке (М) = 10—/010/00—. Определить
О О
старые символы единичной и координатных граней.
454. Для акантита матрица преобразования осей от морфологи-
11 3 1
ческой установки к структурной (М) ~ — 0 — /010/ -— 0 — •
Определить старый символ грани (123) и новый ребра [011J.
455. Доказать, что если (Ма) — матрица преобразования
осей от установки I к II, а (М&) — то же от установки II к III,
то (М) = {Мь) X {Ма) — матрица преобразования от I к III.
456. Для кристаллов реальгара известны 3 установки;
переход от I к II описывается (М)= 100/0—0/001, от II к III
(Af) = 101/020/001. Какой символ в установке JII получат
грани, обозначенные в установке I как (001), (111) и (021)?
457. Для лорандита известны установки Пикока, Гофманна
и' Креннера, связанные следующими матрицами
преобразования: (Мп->г) = Ю2/0Ш/001, (Мк_>п) =202/020/101. Какие символы
получат в установке Гофманна грани, обозначенные у
Креннера (111), (101) и (ПО)? Как обозначены Креннером ребра,
лринятые Гофманном за оси координат?
458. Определить новый символ старой единичной грани и
старый символ новой, если при преобразовании, связанном лишь
с выбором новой единичной грани, (112) получит символ (114).
Вычислить матрицу преобразования осей.
459. При переходе к новой установке ромбический кристалл
поворачивают на 90° вокруг оси X по часовой стрелке, а затем
на 90° вокруг оси Z на себя. Определить новые символы для
(212) и [ПО], а также старые для (210) и [101], если в новой
установке единичной станет грань (112).
460. В кристаллах висмутина при переходе к новой
установке сохраняются направления координатных осей, но ребро [121]
154
получает символ [123]. Какой символ станет у грани j[lllj и
как изменятся геометрические константы кристалла?
461. Определить матрицу преобразования осей для
кристалла класса 422, если при переходе к структурной установке
единичная грань получит символ (102).
462. Для маухерита (класс 422) преобразование осей к
структурной установке задано (М) = —■ 0/ 0/001. Дать
геометрическую интерпретацию этого преобразования.
463. Для ретгерсита (класс 422) преобразование осей к
структурной установке описывается {М) =110/110/001. Дать
геометрическую интерпретацию этого преобразования.
464. В кристалле_класса бтт при переходе к структурной
установке грань (1121) получает символ (0112). Вычислить
матрицы прямого и обратного преобразования.
465. Записать символы спайного, тупого и двух острых
ромбоэдров кристаллов кальцита в структурных реперах, если в
морфологической установке эти символы — {1011}, {0112},
{0221} и {4041}.
Матрицы перехода к структурной установке: в
гексагональной системе (М) =—00/0 — 0/001; в ромбоэдрической —
4 4
(М) =211/111/721.
466. Для пенфильдита (класс DQh) матрица преобразования
1 Г" 12
к осям структурной установки {М) = 0/ 0/001.
О О О О
Дать 'геометрическую интерпретацию этого преобразования.
467. Новая, структурная, установка для некоторого
тетрагонального минерала отличается от морфологической лишь
поворотом координатной системы вокруг оси Z на 26,5°. Определить
старые символы новых координатных осей и новой единичной
грани. Какие классы симметрии можно предположить?
468. Структурная установка некоторого гексагонального
минерала отличается от морфологической лишь поворотом
координатной системы вокруг оси Z на 30°. Получить матрицы
прямого и обратного преобразования.
469. В установке Миллера за координатные оси принимают
обычно ребра положительного ромбоэдра {1011}. Вычислить
матрицу преобразования от установки Бравэ к установке
Миллера, если за координатные оси приняты ребра отрицательного
ромбоэдра {0111}.
470. Матрица перехода от установки Бравэ к установке
Миллера (М) =211/111/121. Расположить на стереограмме
координатные оси и основные грани для обеих систем.
471. Для гексагональных кристаллов изредка употребляют
установку Шрауфа, матрица перехода к которой от установки
155

Бравэ (М) —210/010/001. Расположить на стереограмме
координатные оси и основные грани для обеих систем.
472. Определить недостающие символы граней полигалита,
если
(Ш) (HKL) (hkl) (HKL)
(ПО) (12l) (Til) (121)
(120) (14l) (T31) ?
(T01) (101) ? ' (ЮТ)
473. Определить для аксинита матрицу преобразования
юсей, если [112],_J0_01], [ПО] и (131) получают соответственно
символы [001], [112], [ТТ2] и (001). Как обозначены в старой
установке ребра, принятые в новой за оси координат?
474. При переходе к новой морфологической установке
сильванита оси X, Y и Z получили соответственно символы
[101], [010] и [101], а грань (112) —(311). Определить
матрицу преобразования к осям новой установки.
475. Определить для кристаллов гипса матрицу
преобразования осей от установки Гольдшмидта к установке Терпстра,
-если ребрам [011], [101] и [100] в первой установке отвечают
[011], [ТОО] и [20Т] — во второй, а грани (ИЗ) — грань (1ГЗ).
476. Определить матрицу перехода к системе, в которой за
координатные оси X, Y и Z приняты соответственно оси Зу, 3 и
Зг. Почему в задаче 475 помимо старых и новых символов трех
ребер приводится старый и новый символ некоторой грани,
здесь же ограничиваются лишь сопоставлением символов трех
ребер?
477. Какие символы получат в кубическом кристалле грани
(100), (111), (120), (123), если за координатные оси принять
ребра тетраэдра?
478. При преобразовании координатных осей марказита к
новой установке единичная грань остается прежней, а грани
(100), (010) и (001) получают соответственно символы (001),
(100) и (010). Определить старые геометрические константы,
если для новой установки а: Ь : с = 0,8194 : 1 : 0,6245.
479. Определить матрицу преобразования для кристаллов
-реальгара от установки, при которой а : Ь : с= 1,4403 : 1 : 0,9729
и (3=113°55', к установке с а : Ь : с = 0,7203: 1:0,4858 и р=113°55'.
480. В ромбическом кристалле а0= 1,3790, с0 = 0,4273. Как
изменятся геометрические константы, если в новой установке
направление осей координат сохранится, а единичная грань
получит символ (221) ?
481. Для кристаллов некоторого соединения приняты две
установки; геометрические константы в первом случае —■
д0=1,4403, с0 = 0 9729, р=113055', во втором — а0 = 0,7203,
Со = 0,4858, р = 113°55'. Какой символ получит во второй
установке грань, принятая в первой за единичную?
156
482. Для корунда (класс Зт) с:а = 2,734. Определить
константы для корунда в тригональной установке, если_матрица
преобразования к осям этой установки (М) =211/111/121.
483. Преобразование осей для лорандита от установки
Гольдшмидта к установке Пикока описывается {М) = 202/020/001, для
преобразования от установки Креннера к установке Пикока
(М) =202/020/101. Определить геометрические константы
лорандита в установке Креннера, если по Гольдшмидту а : b : с —
= 1,087: 1 : 1,078; р = 104°16'.
484. Для гипса переход от минералогической установки к
одной из структурных описывается (М) = -— 0 —- /010/ —- 0 —.
Определить геометрические константы для второй установки,
если в первом случае а : Ъ : с = 0,6779 : 1 : 0,4145, (3 = 99,5°.
485. Определить положение основных граней ратита, если
заданы сферические координаты следующих граней: .
Ф° р° Ф° р°
(010) 0 90 (310) 44 90
(101) 90 26,5 (211) —26,5 50
К какой сингонии относятся кристаллы этого минерала?
486. Определить позиции граней (211), (051) и (302), если
известны сферические координаты следующих граней:
Ф° р° Ф° р°
' (113) 58,5 25 (102) 90 30,5
(121) 39,5 62 (130) 28,5 90
487. Определить геометрические константы триклинного
кристалла, если известны сферические координаты следующих
граней:
Ф° р° Ф° Р°
(121) —141 48,5 (201) 97,5 67
(Oil) 147,5 30,5 (210) 85 90
488. Моноклинный кристалл считали триклинным. При
исправлении ошибки оси X и У получили соответственно символы
[201] и [021], направление оси Z и положение единичной
грани не были изменены. Какие ребра приняты в правильной
установке за оси координат?
489. Ромбический кристалл был принят за моноклинный.
При исправлении ошибки у граней (100) и (010)
символы-сохранились, грань (Г01) стала (001), а (011) — единичной.
Каким стал символ бывшей оси X и символ грани (121)?
490. Моноклинный акантит считали ромбическим.
Исправляя ошибку, новую ось Z совместили с ребром [101], при этом
грань (111) получила символ (212). Впоследствии была
предложена структурная установка, при которой грани (103), (010)
157

и (101) «ромбической» установки стали координатными, а
ребро [211] получило символ [521]. Получить матрицу
преобразования от морфологической моноклинной установки к
структурной.
491.35 Найти _ произведения следующих операций:
a) 41-wJ.= ..., б) 4М = ..., в) 3-тх= ... .
492. Вычислить произведения следующих
О О г,
а) 4г-2=.,:, б) 4,
е) 6z-2 = ..., ж) 8,
493. Доказать
операций:
в) 5г-2г=..., г) 5-2=..., д) 62-2г
•2г =
•2г= ..., з) 82-2= ....
ЧТО Ог ' £Х = ^ц • Oz == ^л;' Ог == Ог ' •**«■
494. Доказать, что 22-3 = 3y (см. рис.97).
495. Доказать, что повороты вокруг осей 2-го и 3-го
порядков не коммутируют друг с другом.
496. Операцию какого рода, I или II, представляет каждая
из перечисленных матриц: 010/100/001, 010/Г00/00Т, ГОО/ООТ/ОШ
и 100/001/010?
497. Доказать, воспользовавшись матричным
представлением операций симметрии, на примере трупы 422 осевую теорему
Эйлера.
498. Перечислить операции, для которых справедливо
равенство (М) = (М-1) = {М~1)'.
499. Определить порядок группы по матричному
представлению операции, задающей эту группу: а) 010/100/001^
б) ИО/ГОО/OOI, в) ТТо/100/001.
500. Какие из перечисленных групп являются циклическими:
3, 6, Зт, 32 и 6? _
501. Группа задана следующими операциями: 010/100/001 и
100/010/001. Дать матричное представление всех остальных
операций этой группы.
502. Известны две операции группы: 010/110/001 к
010/100/001. Выписать ее подгруппы
503. Дать матричное представление порождающих операций
^504. какую операцию представляет каждая из перечисленных
матр-иц? Образуют ли они группу? .
а) Т00/0Т_0/001, 100/0_ШЛШ, JOO/010/001,
б) 100/010/001, 100/010/001, JOO/010/ООЬ
в) _100/010/001, 100/010/001, JOO/010/001^
г) 100/010/001, 100/010/00J, 100/010/001,
д) 010/100/001, 010/100/001, 100/010/001;
~£).. ПО/100/001, 010/110/001, 100/010/001.
505.^ Дать матричное представление поворота вокруг
вертикальной оси 8-го порядка. Найти способ проверки полученного
результата.
100/010/001
100/010/001
100/010/001
100/010/001
158 у
506.35 Размножить грань (Ш)
и ребро [rst] осью 6Z-
507. Размножить грань (hkl)
осью 3.x36. ■*
508. Какой символ будет иметь
грань (hkl), если после
поворота на 120° вокруг оси Зх по
часовой стрелке отразить эту грань
в плоскости т/36?
509. Определить, какой
символ получит грань (123), если
после отражения в плоскости
т/36 повернуть ее вокруг оси 4Х
на 90° против часовой стрелки?
Рис. 97. Обозначение
элементов симметрии в ку-
ПРИЛОЖЕНИЕ
бической сингонии
(ось Зд=[П1])
I. Определение символа направления [r's'V] 37,
перпендикулярного к грани {hkl), и символа плоскости (h'k'U),
нормальной к ребру [rst].
Общий случай — триклинная сингония:
f : sf :f= [62с2(1—cos2a)fr + abc2(cosacos р—cosy)& +
-{■ab2c (cos a cos у—cos p)/] : [abe2(cos acos p—cos,y)^ +
+ a2c2(l—cos2 §)k + a?bc(cos pcos-y—cos a)/] : [ab2c(cos a cosy—
—cos p)/i + a26c(cos (3 cosy—cosa)k-\-a?b2(\—cos2 y)l]; .
h': k': l' = a(ra + sbcosy+tccosp) : b(racosy + sb +
+ tc cos a) : с (racos p -±sb cos a + tc).
Моноклинная сингония (классическая установка):
r'\s'\t' = (he2 — lac cos $):k -^— sin2 p:(/a2—hac cos P);
h'-.k':/' = a (ra -h tc cos P) :b2s:c (ra cos p + tc).
Моноклинная сингония (рациональная установка):
a2b2
r':s':f =(hb2—hab cos y) :(ka?—hab cosy):l sin2^;
c2
h' :k':lr = a(ra+ sb cos y):b (ra cos у + sb) :c4.
Ромбическая сингония:
г': s': t' = b2c2h : a2c2k : a262/;
h':k' :l' = a2r+b2s + c4.
35 При решении задач 491—495 и 506—509 воспользоваться
матричными представлениями операций симметрии.
36 Обозначения элементов симметрии в кубической сингонии очевидны
из рис. 97.
37 [r's'f] и {h'k'V) не обязательно окажутся составленными из
рациональных индексов, поэтому они могут и не быть возможным ребром
(соответственно гранью) кристалла.
159

Гексагональная сингония:
а) гексагональная установка38 —
r':s':t' =(2h + k):{h+2k):— [— )*/;
A^-(r-4-.):(.--i-r):(f)V.
б) ромбоэдрическая установка —
г' :s':f=[ (—h + k + t) cos a—h] : [ (h—k+l) cos a—k] :
[(h + k—l) cosa—/];
h': /г7: l'=r+ (s + 0 cos a : 5+ (r+^) cos a : ^+ (r+s)'cos a.
Тетрагональная сингония:
r':s':t'=h:k:(—)"/;
h':k':l=r:s:(—Yf.-
Кубическая сингония: у
г': s': f' = & : /е: / и Л': /г' : /' = /-: s : t.
II. Определение угла между двумя направлениями,
заданными своими сферическими координатами:
cos (1,2) =cospi cosps + sinpi sinp2cos^i—фг).
38 Символы граней и ребер должны быть трехчленными.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия 4, 27, 55
Антисимметрия (=черно-белая
симметрия) 33
Антитождество 36
Бипирамида дигональная
(=ромбическая призма) 68
— ди-п-гональная 68
— п-гональная 68
Биполярное направление 65
Величина симметрии 31, 63
Вершина кристалла 4
Вид симметрии ( = класс симмет-
рии=точечная группа) 18
Высшая категория сингоний 29
Гексагональная пирамида 66
— призма 66
— сингония 28
Гексаоктаэдр (=октагексаэдр=со-
рокавосьмигранник) 76
Гексатетраэдр 77
Гексаэдр (=куб) 72
Гемиморфия 33
Гемиэдрия 33
Геометрические константы кристалла
( = элементы кристалла) 39, 53
Гироэдр (осевик) 24-гранный ( = пен-
тагон-триоктаэдр) 77
— — 12-гранный ( = пентагон-три-
тетраэдр) 77
Гпомостереографическая проекция 12
Голоэдрия ( = голоэдрическая группа
симметрии) 32
Грани таутозональные 44
Грань кристалла 4
возможная 43, 51
двуединичная 43
единичная 39
масштабная 43
общего положения 63
параметрическая 38
частного положения 63
притупляющая 49
Группа антисимметрии
(=черно-белой симметрии)
— бесконечная 17
— замкнутая (конечная) 17
— математическая 17
— симметрии 17
— — нейтральная 35
точечная ( — класс симметрии=
= вид симметрии) 18
— циклическая 17
Двойник кристалла 60
— прорастания 60
— срастания 60
Двойниковая группа 60
Двойниковая (=двойникующая) ось
60
■ плоскость 60
Двойниковые (—двойникующие)
элементы симметрии 60
Дельтоэдр 12-гранный (=тетрагон-
тритетраэдр) 74
— 24-гранный ( = тетрагон-триокта-
эдр) 75
Ди-/г-гональная бипирамида 68
— пирамида 67
— призма 67
Дигональная бипирамида ( =
ромбическая призма) 68
— пирамида ( = диэдр осевой) 66
— призма ( = пинакоид) 66
Днгоиальный трапецоэдр
(=ромбический тетраэдр) 69
Дидигональная ( = ромбическая)
призма 67
Дидодекаэдр 77
Дитригональная пирамида 67
— призма 66
Диэдр осевой (=сфеноид) 66
— плоскостной ( = дома) 68
Дома ( = диэдр плоскостной) 68
Дуги больших кругов 12
— малых кругов 16
Единичная грань 39
Единичное направление 21
Единичный элемент группы 17
Закон Гаюи (=закон
рациональности двойных отношений
параметров) 38, 58
— зон (поясов) 48
— Вейса 48
161

— постоянства углов 56
— поясов (зон) 48
— преобразования ковариантный 81
контравариантный 81
— симметрии 6, 56
Законы двойникования 62
Зеркальная ось симметрии 8
Зеркальная плоскость симметрии 6
Зеркальное (энантиоморфоное)
равенство 4
Зона (пояс) кристалла 44
Зоноэдр ( = ромбододекаэдр) 72
Инверсионная ось симметрии 8
Индексы грани Вейса 38
Миллера 38
— ребра 49
Индицирование 37
Категории сингоний 27
Категория сингоний высшая 29
низшая 27
средняя 28
Квадраты Кейли 32
Класс (=группа=вид) симметрии
18
■ гексаоктаэдрический 76
— — — — гексатетраэдрический 77
дидодекаэдрический 77
— — — — пеитагон-триоктаэдриче-
ский 77
— — пентагон-тритетраэдриче-
ский 77
■ пинакоидальпый 70
ромбоэдрический 71
— — — — тетрагонально-тетраэдри-
ческий-70
Классы (=группы = виды)
симметрии
— — — — ди-п-тонально-бипирами-
дальные 68
пирамидальные 68
п-гонально-бипирамидаль-
ные 68
■ ■ пирамидальные 67
— ■— «симметризоваиных
трапецоэдров» (пинакоида,
ромбоэдра, тетрагонального тетраэдра) 71
скаленоэдрические 71
трапецоэдрические 69
Ковариантное преобразование 81
Комбинационный многогранник 64
Конгруэнтное равенство 4
Константы- (параметры)
пространственной решетки 53, 55, 39
Контравариантное преобразование 81
Координатные системы кристаллов 26
Миллера 28, 39
Бравэ 39
Кристалл 4
Кристаллический многогранник 4
Кристаллические сростки 60
Кристаллическое вещество 4
Круг проекций (основной) 12
Куб (гексаэдр) 23, 72
Кубическая сингония 29
Кубический (правильный) тетраэдр
7, 25
Матрица обратная 80
— преобразования индексов граней
83
ребер 84
координатных осей 79
— прямая 79
— симметрической операции 89
— транспонированная 84
Мероэдрия 32
Метод косинусов Вульфа 52
— перекрестного умножения 47
— развития зон (поясов) 50
— треугольников 100
Моноклинная сингония 28
Моноэдр (педион) 66
Многогранник комбинационный 64
— кристаллический 4
Направление биполярное 65
— единичное 21
— особое 26
— полярное 65
Направляющие косинусы 90
п-гональная бипирамида 68
— пирамида 66
— призма 66
Низшая категория сингоний 27
Обозначение точечных групп
(классов, видов) симметрии по Бравэ 6
Герману — Мо-
гену (международные) 29
— ■— — — — Шёнфлису 21,
25
Огдоэдрия 33
Октаэдр 23, 72
Октагексаэдр (= гексаоктаэдр=со-
рокавосьмигранник) 76
Операции антисимметрии 33
— коммутирующие 8
— некоммутирующие 8
— симметрии 4
нейтральные («серые») 35
Операция идентичности
(тождественности) 6
Осевик (гироэдр) 24-гранный ( = пен-
тагон-триоктаэдр) 77
— — 12-гранный ( = пентагон-три-
тетраэдр) 77
Осевые углы 26
Основной круг проекций 12
162
Особое направления кристалла 26
— — — эквивалентные,
неэквивалентные 29
Ось двойниковая (двойникующая) 60.
— зоны (пояса) 44
— координатная 26
— проектирования 12
— симметрии зеркальная 8
инверсионная 8
поворотная 5
сложная 7
Параметры грани 37
— Вейса 38
— (константы) пространственной
решетки 55, 53, 39
Педион (моноэдр) 66
Пентагон-додекаэдр 72
Пентагон-триоктаэдр (=осевик, или
гироэдр, 24-гранный) 77
Пентагон-тритетраэдр ( — осевик, или
гироэдр, 12-гранный) 77
Период повторяемости
(идентичности) 55
Пинакоид 66
Пирамида гексагональная 66
— дигональная (=диэдр осевой, или
сфеноид) 66
— ди-п-гональная 67
— дитригональная 67
— п-гональная 66
— тригональная 67
Пирамидальный куб (=тетрагекса-
эдр) 72
— октаэдр ( = тригон-триоктаэдр) 73
— тетраэдр (=тригон-тритетраэдр)
75
Плоскостная симметрия грани 60
Плоскость двойниковая
(двойникующая) 60
— проекций 12
— симметрии зеркальная 6
Поворотная ось симметрии 5
Подгруппа 31
Полярная сетка 13
Полярное направление 65 .
Полярные углы 99
Порядок группы 31, 63
— оси симметрии 5
Пояс (зона) кристалла 44
Правило расщепления индексов 52
— сложения индексов 49
Преобразование ковариантное 81
— контравариантное 84
Призма гексагональная 66
— дигональная ( = пинакоид) 66
— дидигональная ( = ромбическая)
67
— ди-п-гональная 67
— дитригональная 67
— п-гональная 66
— тетрагональная 66
— тригональная 66
Проекция гномостереографическая 12
— стереографическая 10
Простая форма кристалла 63
закрытая 65
общая 31, 63
открытая 65
частная 63
Простые формы кристалла основные
71
постоянные 73
производные 72
Пространственная решетка
кристалла 54
Равенство зеркальное (энантиоморф-
ное) 4
— конгруэнтное 4
Ребро кристалла 4
• возможное 28 ,
Ромбическая ( = дидигональная)
призма 67
— сингония 27
Ромбический тетраэдр (=дигональ-
ный трапецоэдр) 69
Ромбододекаэдр (зоноэдр) 72
Ромбоэдр 70
Сетка Вульфа 12
Символ грани кристалла 38
четырехчленный (Бравэ) 39
— Миллера 38
— ребра кристалла 44
четырехчленный (Бравэ) 45
Симметрия 4
Симметрия грани (плоскостная) 63
— простой формы кристалла
(собственная) 68
Сингония 27
— гексагональная 28
— кубическая 29
— моноклинная 28
— ромбическая 27
— тетрагональная 28
— тригональная (подсингония) 28
— триклинная 28
Скаленоэдр 71
— тетрагональный 71
— тригональный 71
Сложные оси симметрии 7
Собственная симметрия простой
формы 68
Сорокавосьмигранник (=
гексаоктаэдр =октагексаэдр) 76
Сохранившаяся подгруппа двойника
60
Средняя категория сингоний 28
Сростки кристаллов 60
закономерные 60
незакономерные 60
163

Стереографическая проекция 10
направления 10
плоскости 11
Сфеноид (=диэдр осевой) 66
Сфера проекций 10
Сферическая проекция 10
направления 10
плоскости 12
Сферические координаты (<р, р) 10
Таутозональные грани 44, 50
Тетартоэдрня 33
Тетрагексаэдр (= пирамидальный
куб) 72
Тетрагон-триоктаэдр (=дельтоэдр
24-гранный) 75,
Тетрагон-трнтетраэдр (=дельтоэдр
12-гранный) 74
Тетрагональная призма 66
Тетрагональная сингоння 28
Тетрагональный скаленоэдр 71
— тетраэдр 71
Тетраэдр ( = тетраэдр кубический,
или правильный) 25, 72
Тетраэдр Гаюи 40
— ромбический (—дигональный
трапецоэдр) 69
— кубический (правильный) 25
— тетрагональный 71
Точечная группа 18
Точка зрения проектирования 12
Трапецоэдр 69
— дигональный ( = ромбический
тетраэдр) 69
— тригональный 69
Трансляция 55
Тригональная бипирамида 68
— пирамида 67
— призма 66
Тригональный скаленоэдр 71
— трапецоэдр 69
Тригон-триоктаэдр (==
пирамидальный октаэдр) 73
Тригон-тритетраэдр
(—пирамидальный тетраэдр) 75
Триклинпая сингоння 28
Углы осезые 26
— полярные 99
Узловая сетка пространственной
решетки 54
Узловой ряд пространственной
решетки 54
Умножение симметрических операций
17
Фигуры травления 63
Центр инверсии (симметрии) 6
Черно-белая симметрия 33
Штриховка на гранях кристалла 63
Элементарная ячейка
пространственной решетки (ячейка Бравэ) 55
Элементарный угол поворота оси 5
Элементы антисимметрии
(черно-белой симметрии) 33
Элементы (геометрические
константы) кристалла 39, 53
— симметрии 4
— — двойниковые (двойникующие)
60
— — неэквивалентные 9
— — I рода 5
-II рода 6
эквивалентные 9
Эйлера формулы 21, 64
Энаитиоморфное (зеркальное)
равенство 4
Энантиоморфные формы 4, 69
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3-'
Глава I. Симметрия кристаллов 4
§ 1. Элементы симметрии кристаллов. Операции симметрии . , 4
§ 2. Стереографические проекции. Сетка Вульфа 10
§ 3. Группы (классы) симметрии. Основная теорема умножения
симметрических операций — «осевая» теорема Эйлера . . 17
§ 4. Вывод групп симметрии. Обозначения групп симметрии по
Шёнфлису 21
§ 5. Координатные системы в кристаллографии 26
§ 6. Международные обозначения точечных групп симметрии
(символы Германа—Могена) 29
§ 7. Порядок кристаллографических групп симметрии. Квадраты
Кейли . * 31
§ 8. Кристаллографические группы антисимметрии — группы
черно-белой симметрии 33
Глава II. Символы граней и ребер кристаллов. Основные законы
геометрической кристаллографии ....,,., 37
§ 1. Индицирование граней кристалла — определение их
символов. Закон Гаюи 37
§ 2. Единичная грань в кристаллах разных еннгоний. Определение
относительных единиц измерения по координатным осям при
отсутствии единичной грани 40
§ 3. Символы ребер кристаллов 43
§ 4. Уравнение плоскости, его кристаллографическое прочтение.
Закон зон (поясов) — закон Вейса 46
§ 5. Графические методы индицирования граней кристаллов и
определение их геометрических констант 50
§ 6. Пространственная решетка кристалла. Основные законы
кристаллографии в свете решетчатого строения кристаллов 53
§ 7. Кристаллические сростки. Симметрия и проектирование
двойников 60
Глава III. Простые формы кристаллов 63
§ 1. Общие представления 63
§ 2. Вывод простых форм в классах с единичным направлением
(низшая и средняя категории) 65-
§ 3. Вывод простых форм в классах без единичных направлений
(высшая категория — кубическая сингония) .... 71
Глава IV. Преобразование координатных систем кристаллических
многогранников ■ 79-
§ 1. Зависимость между старой (XYZ) и новой (X'Y'Z')
координатными системами, а также между старыми {(hkl), [rst]} и
новыми {(HKL), [RST]} символами граней и ребер . . 79
§ 2. Вычисление матриц преобразования осей при различных
заданиях координатных систем 85
§ 3. Матричное представление симметрических операций
кристаллического многогранника , 89,
165

Глава V. Разбор некоторых типовых задач ......<
Задача I. ■ Теоремы взаимодействия элементов симметрии,
обозначения классов симметрии, размножение точек
Задача II. Определение позиции грани - методом развития зон
Задача III. Определение символов граней кристалла методом
развития зон
Задача IV. Определение выходов координатных осей триклинного
кристалла и символов его граней методом косинусов
Вульфа
Задача V. Определение элементов (геометрических констант)
кристалла '
Задача VI. Определение позиций основных граней кристалла по
его элементам
Задача VII. Определение симметрии двойника
Задача VIII. Определение позиции двойниковых аналогов граней
Задача IX. Преобразование координатной системы
тетрагонального кристалла ■....,
Задача X. Преобразование координатного репера от
четырехосной установки гексагонального кристалла к
установке Миллера
Задача XI. Определение символа направления, перпендикулярного
заданной грани, и символа плоскости,
перпендикулярной заданному ребру
Задача XII. Определение позиций основных граней кристалла по
четырем граням ({цк^х), (h2k2l2), (Н3к31з) и (hik^U),
заданным своими сферическими координатами
Задача XIII. Вычисление новых констант кристалла по заданной
матрице преобразования осей
Задача XIV. Составление матрицы преобразования осей по
четырем элементам огранения кристалла ....
Задача XV. Матричное представление операций заданной группы
симметрии
Глава VI. Упражнения
§ 1. Симметрия кристаллических многогранников
§ 2. Символы граней
§ 3. Простые формы кристаллов
§ 4. Символы простых форм
§ 5. Символы ребер. Закон зон
§ 6. Метод косинусов Вульфа. Графическое определение элементов
(геометрических констант) кристалла
§ 7. Симметрия кристаллов — физические свойства ....
§ 8. Симметрия и проектирование двойников -. .
§ 9. Преобразование координатных систем кристаллических
многогранников. Матричное представление симметрических операций
Приложение
Предметный указатель
Герцевна Загальская, Галина Петровна Литвинская*
Юрий Клавдиевич Егоров-Тисменко
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
ИЗД. 2-е
Зав. редакцией И. И. Щехура
Редактор Н. В. Баранова
Обложка художника О. Н. Гребенюк
Художественный редактор Е. М. Дёмина
Технический редактор Г. Д. Колоскова
Корректоры М. И. Эльмус, Н. И. Коновалова

.. 3 к.
ГКОМКТга'Ш'КЛН ШКТШОГ ФШ1
Л/1\Л
ш