ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
А. В. СКОРОХОД
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕЗАВИСИМЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964

517.8
С 44
УДК 519.21
АННОТАЦИЯ
Книга посвящена теории случайных
процессов с независимыми приращениями ~
одному из важнейших разделов теории
случайных процессов. В книге впервые собраны
многочисленные важные результаты,
полученные при изучении случайных процессов
с независимыми приращениями. Эти
результаты ранее были разбросаны по различным
статьям.
Книга представляет интерес как для
специалистов по теории вероятностей,
работающих в области случайных процессов,
так и для лиц, изучающих теорию
случайных процессов и занимающихся ее
приложениями к различным областям науки.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава 1. Независимые случайные величины 9
§ 1. Сходимость случайных величин 9
§ 2. Определение и простейшие свойства независимых
случайных величин 15
§ 3. Основные неравенства для сумм независимых
случайных величин 19
§ 4. Ряды из независимых случайных величин 24
§ 5. Сходимость случайных векторов 33
Глава 2. Процессы с независимыми приращениями.
Определение и свойства траекторий 36
§ 6. Определение случайного процесса. Процессы с
независимыми приращениями 36
§ 7. Стохастически непрерывные процессы 40
§ 8. Стохастическая эквивалентность случайных процессов 43
§ 9. Свойства регулярности процесса с независимыми
приращениями 46
§ 10. Условия непрерывности процессов с независимыми
приращениями s 51
Глава 3. Анализ стохастически непрерывных процессов
с независимыми приращениями 56
§ 11. iMepbi, построенные по скачкам процесса 56
§ 12. Независимость значений Mepbiv(^, Л) на
непересекающихся множествах 60
§ 13. Стохастический интеграл по случайной мере 65
§ 14. Распределения величин v (^, Л) и |д(0 69
§ 15. Непрерывный процесс с независимыми приращениями 74
§ 16. Строение стохастически непрерывного процесса с
независимыми приращениями 80
Глава 4. Общие свойства процессов с независимыми
приращениями 90
§ 17. Свойства процесса как функции времени 90
§ 18. Интегро-дифференциальное уравнение процесса. .« 99

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 19. Уравнения для распределений функционалов
аддитивного типа от процессов с независимыми
приращениями 107
§ 20. Вероятность пребывания процесса в некоторой
области 111
§ 21, Одно обобщение понятия стохастического интеграла 112
Глава 5. Однородные процессы с независимыми
приращениями 126
§ 22. Свойство строгой марковости 126
§ 23. Процессы, имеющие скачки лишь одного знака. . . 129
§ 24. Рост процессов на бесконечности 134
§ 25. Устойчивые процессы 145
§ 26. Однородный процесс Пуассона 164
Глава 6. Процесс броуновского движения 169
§ 27. Распределение максимума и минимума процесса
броуновского движения 169
§ 28. Распределения аддитивных функционалов 175
§ 29. Вероятность пребывания процесса в криволинейной
полосе 180
§ 30. Закон повторного логарифма 186
§ 31. Многомерное броуновское движение 191
§ 32. Метод дифференциальных уравнений для
многомерного процесса броуновского движения 194
Глава 7. Сходимость случайных процессов с
независимыми приращениями 198
§ 33. Процессы, построенные по суммам независимых
случайных величин 198
§ 34. Сходимость распределений процессов, построенных
по суммам независимых случайных величин 203
§ 35. Условия сходимости распределений стохастически
непрерывных процессов с независимыми
приращениями 210
§ 36. Одинаково распределенные случайные величины и
однородные процессы с независимыми приращениями 213
Глава 8. Предельные теоремы для функционалов от
случайных процессов с независимыми приращениями 216
§ 37. Постановка задачи 216
§ 38. Об одном виде сходимости в пространстве функций
без разрывов второго рода 218
§ 39. Необходимые и достаточные условия У-сходимости 221
§ 40. Предельные теоремы для распределений У-непрерыв-
ных функционалов 228
§ 41. Сходимость распределений функционалов при
сходимости к непрерывным процессам 235

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава 9. Меры» соответствующие процессам с
независимыми приращениями 239
§ 42. Меры на пространстве функций, соответствующие
случайным процессам 239
§ 43. Абсолютная непрерывность мер. Теорема Радона —
Никодима 240
§ 44. Вспомогательные предложения 242
§ 45. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих
гауссовским процессам 247
§ 46. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих
ступенчатым процессам 261
§ 47. Общие условия абсолютной непрерывности мер,
соответствующих стохастически непрерывным
процессам с независимыми приращениями 264
Примечания 270
Литература 275

ПРЕДИСЛОВИЕ
Процессы с независимыми приращениями являются тем
классом случайных процессов, который ранее всех начал
изучаться и в настоящее время наиболее полно изучен. Несмотря
на то, что в теории процессов с независимыми
приращениями получено большое количество сравнительно сильных
результатов, дающих методы для решения основных вопросов
этой теории, эти результаты до сих пор еще не собраны в
одной книге. Книга такого рода могла бы представлять
интерес как для специалистов по теории вероятностей,
работающих в области предельных теорем и теории случайных
процессов, так и для лиц, лишь только изучающих теорию
случайных процессов, в том числе и для тех, кто изучает ее с
целью приложений в смежных областях науки.
Предлагая эту книгу, автор преследовал следующие
цели:
1) дать специалистам в других областях, желающим
освоить теорию случайных процессов, возможность
ознакомиться с основными идеями и задачами теории на материале,
относящемся к наиболее простому классу случайных процессов;
2) дать изучающим специально теорию вероятностей
более широкое и систематическое изложение результатов и
методов, относящихся к данному разделу теории вероятностей;
3) дать лицам, творчески работающим в области теории
случайных процессов и предельных теорем, книгу,
пригодную для справок и ссылок.
Не мне судить о том, насколько эти цели достигнуты.
Для понимания книги от читателя требуется, кроме
знания обычного курса математического анализа и основ теории
вероятностей, также элементарные сведения из линейной
алгебры (поскольку теория строится для процессов с
векторными значениями) и знакомство с основными понятиями и

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
фактами теории меры (и интеграла). Относительно теории
меры следует, однако, заметить, что все используемые из нее
понятия и факты определяются и формулируются в книге.
Поэтому даже читатель, незнакомый с теорией меры, может
понять формулировку и вывод основных результатов,
относящихся к теории случайных процессов, если только примет
на веру факты из теории меры (конечно, вместо этого можно
ознакомиться с нужными фактами по какому-нибудь
руководству по теории меры). Для облегчения понимания книги нигде
не давалось определения случайного события, случайной
величины, математического ожидания, а изложение построено
таким образом, чтобы читатель, незнакомый с аксиоматикой
А. Н. Колмогорова, мог использовать более интуитивные
представления об этих основных понятиях. В то же время
математик должен иметь в виду, что всюду считается
фиксированным некоторое поле вероятностей, над которым и
рассматриваются все случайные события и величины. Выражение
« $ является случайной величиной» означает измеримость ^
относительно основного поля вероятностей, а также возможность
выражения S через уже определенные величины с помощью
арифметических операций и операции предельного перехода.
Все необходимые понятия теории случайных процессов
вводятся в самой книге, так что никаких предварительных
сведений из этой теории от читателя не требуется.
Содержание книги можно разбить на две неравные части.
Первые шесть глав посвящены собственно основам теории
процессов с независимыми приращениями. Последние три
главы содержат трактовку некоторых более специальных
вопросов.
К первому кругу вопросов относится изучение
сходимости рядов с независимыми слагаемыми (гл. 1), определение
случайного процесса, свойства траекторий процесса (гл. 2),
разложение процесса на непрерывную и разрывную
составляющие и вывод формулы для характеристической функции
распределений процесса (гл. 3). Затем проводится
дальнейшее изучение как свойств траекторий процессов, так и
методов определения различных характеристик процесса для
различных классов процессов, причем все время осуществляется
переход от более общих процессов к конкретным. Процессы
самого общего вида изучаются в главе 4, затем в главе 5
рассмотрены однородные процессы (в том числе устойчивые

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
и пуассоновский). Глава б посвящена специально процессу
броуновского движения (его называют еще винеровским).
Глава 7, содержащая предельные теоремы о сходимости
распределений для процессов с независимыми приращениями,
тесно связана с теорией суммирования независимых
случайных величин, получившей окончательное оформление в книге
Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова «Предельные теоремы
для сумм независимых случайных величин».
Главы 8 и 9 содержат в основном изложение некоторых
результатов автора. В первой из них изучаются предельные
теоремы для функционалов от последовательности сумм
независимых случайных величин, вторая же посвящена вопросу
дифференцируемости мер, соответствующих случайным
процессам с независимыми приращениями.
В конце книги помещаются примечания, содержащие
краткие указания на первоисточники и другие ссылки на
литературу, список которой приводится там же. Автор не ставил
своей целью написание исторического обзора развития
теории случайных процессов с независимыми приращениями,
поэтому в списке литературы содержатся лишь работы,
известные автору и имеющие непосредственное отношение к
содержанию книги.
Отметим основные обозначения, применяемые в книге.
Р {Щ — вероятность события 3(; М^ — математическое
ожидание величины Е, D^ — ее дисперсия. Для обозначения
объединения и пересечения множеств и событий применяются
соответственно знаки IJ и Р(. Некоторое соотношение между
случайными величинами, заключенное в фигурные
скобки ({ }), обозначает событие, состоящее в выполнении
этого соотношения. Если в фигурные скобки заключено
соотношение между некоторыми переменными, то это обозначает
множество изменения переменных, на котором выполняется
указанное соотношение. Часто будут использоваться символы
у= О (х) и и = о (г;), обозначаюи;ие ограниченность у/х и
тот факт, что lim — = О, соответственно.
v-^O
V

ГЛАВА 1
НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. Сходимость случайных величин
В этой книге нам придется сталкиваться с
последовательностями и рядами из случайных величин. Напомним
основные виды сходимости случайных величин. Пусть £i,..., £;j,... —
последовательность случайных величин. Мы будем говорить,
что эта последовательность сходится по вероятности к
случайной величине Е, если для каждого г^О
Ит Р{|е„-?|>Е} = 0.
/г-»-00
р
Этот факт мы будем обозначать так: ^п-^^-
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием
сходимости по вероятности последовательности величин
S„ является условие: для каждого е^О
ИЯ1 Р{||„-е„|>е}=0. (1.1)
/г—>оо
т-»-оо
Необходимость этого условия очевидна, так как
Доказательство достаточности условия (1.1) для сходимости
последовательности ^^ по вероятности будет проведено в этом
параграфе несколько ниже.
Рассмотрим событие, которое заключается в том, что
последовательность S^ имеет предел I. Если это событие

10 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 1
обозначить через Ш, то его можно следующим образом
выразить через события 3(^(^)^||Е^ — ^I^Tr
оо со оо
k = \ Л'=1 m = N
Из последней формулы вытекает, что имеет смысл говорить
о вероятности сходимости последовательности i^ к
некоторой величине I. Если вероятность события 31 равна 1, то мы
будем говорить, что ^^ сходится к ^ с вероятностью 1. Этот
факт мы будем записывать так: Р { lim ^„ = ^} = 1.
Пусть Шт, n(^) = {\^m — ^n\'^j]- ^оглг событие
оо оо
k = l N=\ m^N
означает, что для последовательности 1^ выполнен критерий
сходимости Коши. Если Р{33} = 1, то существует случайная
величина Е, к которой с вероятностью 1 будет сходиться
последовательность ^„.
При доказательстве теорем о сходимости
последовательностей случайных величин с вероятностью 1 будет полезной
следующая лемма.
Лемма Бореля — Кантелли. Пусть 'й^ —
последовательность событий таких, что SP{8(„}<^oo. Тогда,
п
если 33 — событие, состоящее в том, что происходит
бесконечно много событий ^^^ ^^ Р {Щ = 0> ^^^^ собы-
со
тая независимы, то условие ^ Р Щп) = ^^ влечет
оо оо
Доказательство. Легко видеть, что 53^ П U ^л-
со
Так как S3C U Sl^j, то
n = k
n = k

§П сходимость СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 11
Значит, Р{93} = 0, поскольку остаток сходящегося ряда
можно сделать сколь угодно малым.
Пусть теперь 21^. независимы. Обозначим через 33 собы-
00 ОО
тие, противоположное 33: 33= (J f^ ^k- Значит,
/1= 1 Af=»/i
ОО QQ ОО ОО
ОО ОО
так как Y[ (1 — Р {5(а}) = 0, ввиду того что ^P{^h}=^'
Лемма доказана.
р
Заметим, что если Р {ИтЕ„ = ^} = 1, то S^j-^l Действи-
тельно, для всякого s^O
ОО ОО
значит,
lim Р{ П {И«-?1<в}} = 1,
N -* со п = N
поэтому
Л^-^оо
так как
п = N
Докажем теперь достаточность условий
теоремы 1. Выберем последовательность rif^ такую, чтобы
Тогда последовательность ^„^ с вероятностью 1 имеет предел,
так как среди событий ] 15„.—^'г;^ il^2^i "^ лемме Бо-
реля—Кантелли происходит с вероятностью 1 лишь конечное
ОО
число И, значит, ряд ^^^i + 2 (^/^/+i ~ ^п) с вероятностью 1,

12 НЕЗАВИСИМЫЕ Случайные величины [ГЛ. 1
начиная с некоторого номера, мажорируется рядом У р >
А;== 1
следовательно, ряд из случайных величин сходится, L ^^
являются его частичными суммами. Пусть 1= lim L . Тогда
п, -*■ со
р{|5-^«|>И^р{Н-Ч1>т}+р{|^«-Ч1>1}-
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю, так как
Р{ lim in =i} = ^y второе же стремится к нулю по усло-
ВИЮ (1.1). Достаточность условий теоремы 1 доказана.
Иногда удобнее использовать другое определение
сходимости по вероятности: последовательность i^ сходится по
вероятности к ^, если каждая подпоследовательность
последовательности ^„ содержит подпоследовательность,
сходящуюся к ^ с вероятностью 1. Из доказательства
достаточности условий теоремы 1 легко усмотреть, что всякая
сходящаяся по вероятности в смысле первого определения
последовательность ^^ будет сходиться и в смысле второго
определения. Наоборот, если при выполненных условиях
второго определения существует такое е^О, что
п -* со
то можно было бы выбрать такую подпоследовательность /z^,,
что lim Р {I ^/гь — ^ 1 ^ е } ^ О, эта же подпоследовательность
п,-^со
не содержала бы ни одной подпоследовательности,
сходящейся с вероятностью 1 к ^.
Теорема 2. Пусть %f>y lf>y ..., i = 1,..., ^, — k
последовательностей случайных величин, причем %п —>1^^\
Пусть f(Xx, Хч, ..., х^ — борелевская функция, А —
множество точек разрыва/{х^у,,., х^) в пространстве R^^\
Если вероятность того, что вектор с координатами
%^'^\ .,., 1^^^ попадет во множество А, равна нулю, то
случайные величины У[п=/{^п\ ..., Чг) сходятся по
вероятности к случайной величине ir]=/(^ ^^\ ..., ^^^^).
Доказательство. Нам достаточно показать, что из
всякой последовательности /z^^, можно выбрать подпоследова-

§1] сходимость СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ]Н
тельность Пт' так, чтобы Р { Итт]^^, = 7]} = 1. Это будет'
достигнуто, если выбрать подпоследовательность Пт' так,
чтобы Р {lim ^я^, == ^^')} = 1 для всех L Действительно, так
как
С{ lim W = ^}U(U {^Zy^^'"})")
rifjii -->■ GO i= [
и РЦ^^'К i^^\ ..., i^^^)^A} = \, TO И
P{ li^ ^nm' = ^i} = ^'
Теорема доказана.
Следствие. Если функция f непрерывна, то
если ^!г'^ —Е^^Л 1=\, ,,:, k.
Теорема 3. Пусть последовательности %^п\ i = 1,..., k,
сходятся по вероятности к величинам 1^^\ i=l, ... , /е,
соответственно. Тогда для всех а^, «2> ...» ^л? ^-^я
которых Р IЕ^^^ = й;} = О, справедливо соотношение
lim P{^i'^<a,., i=l, ..., >^} =
/г -♦ 00
Доказательство. Пусть ср {хх, ..., Х;^.) = 1, если
Xi<^ai, i=l, ..., k, и cp(Xi, ..., Х;^) = 0 в остальных
случаях. Тогда ср удовлетворяет условиям теоремы 2, так как
функция ср разрывна лишь на гиперплоскостях х^-= й,-, а
.р{^(^')=й^} = 0. Значит,
^, = cp(Ei'\...,^L'^)^cp(S4...,^^^^) = ^.
при £ = -9' будем иметь
0= lim p{|i^„-7i|>i} =
= lim P{ifi„=l, 7j = 0}+ lim P{il = l, vi„=:0}.
*) a -/*Z> означает «a не стремится к ^». (Прим. ред.)

14 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 1
Так как
+ PK=1,7] = 0}-P{7)„=.1,71=1}-P{71„ = 0,TJ=1}K
<Р{71„=1, 71 = 0}+P{tJ=:1, ^„ = 0}-^0,
а
P{7i„ = l} = P{4"<ai, .... e<a,},
P{y,= 1} = P{$(0^«^, ..., ^'*'<а,},
TO из предыдущего соотношения и вытекает доказательство
теоремы.
Рассмотрим теперь две теоремы о поведении
математических ожиданий сходящихся по вероятности
последовательностей.
Р
Теорема 4 (Лебега). Если £^ —-^ и существует
величина Y) такая, что | ^,г I ^ "^ " М y) <^ оо, то
lim Ж%^ = Ж%.
/г -> 00
Эта теорема является перефразировкой теоремы Лебега
из теории интеграла Лебега, поэтому мы не будем проводить
здесь доказательство этой теоремы. Мы используем теорему
Лебега для доказательства еще одной предельной теоремы
для математических ожиданий.
Теорема 5. Пусть при некотором а^ 1 существует
р
число С такое, что М | ^„ 1°" ^ С и ^^^ —* S. Тогда
lim М^^ = М$.
/г -»■ оо
Доказательство. Пусть g^ (х) = 1 при | л: | ^ iV,
g^{x) = 0 при \х\уМ-\-\, gj^(x) = N-\-\—\x\ при
A^^|^:|^iV-|-1. Тогда на основании теоремы Лебега
lim М^,^^(У = М^^^(^).
/г —>■ оо
Следовательно,
/г -»■ 00
/г ->оо
дга-1 ~^- ^ М ' 1 V" S^V \^JJ I дга-
п -* со ^^ ^^
Из ЭТОГО неравенства, ввиду теоремы 4 и произвольности N,
и вытекает доказательство теоремы.

§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 15
§ 2. Определение и простейшие свойства независимых
случайных величин
Пусть даны две совокупности случайных величин: {$^},
{"^в}' ^ ^ ^1' Р G ^2 (индексы аир пробегают
соответственно множества Mi и М^). Эти совокупности называются
независимыми между собой, если для любого набора
индексов ai, ..., c^k^^i и р1> • • • > Р/ G ^2 и любых вещественных
чисел Xi, ..., Xk, j/i, ..., J/;
= p{ n {Ц<х,}}Р{ n {v.O/}}. (2.1)
i = 1 у = I ^-^
Отметим некоторые свойства независимых совокупностей
случайных величин.
Теорема 1. Для того чтобы совокупности {^«j,
а ^ Ml, и {у[Лу Р G ^2> <^ь^-^м независимы,
а) необходимо, чтобы для всех конечных наборов
индексов ai, ..., a/^^Mi*, Pi, ..., P;G^2 ^ ^ля всех
ограниченных борелевских *) функций gi {х^, ,,., х^, g^ {Xi,,,,, лг^)
выполнялось соотношение
M^i(^ap ..., Ц)^2(т^Рр ..., -4^) =
= М ^1 (^а„ ..., Ц) М ^2 (^зр ..., 1Г]рр; (2.2)
б) достаточно, чтобы для каждого набора индексов
^1, ...^ a^G^i> Рь •••^ P/G^2 ^ ^-^я всякого набора
непрерывных ограниченных функций ^\(х)у ... , ^ki^)^
Ф1(^). ..- Ф/М
ft I
= М Д Ti (5а.) • М Д ф; (Yipp. (2.3)
*) То есть функций, получающихся из непрерывных с помощью
не более чем счетного числа операций предельного перехода,

16 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 1
Доказательство пункта а) вытекает из следуюидих
замечаний: если фиксирована функция g^, то:
1) совокупность функций ^1, для которых а) имеет место,
образует линейное многообразие,
2) если \gi"Ц^a gi^'H^b ..., •^k) — gii^b ..., -^^^^k) и
(2.2) верно для g[^\ то оно будет верно и для g^.
3) (2.2) справедливо для того случая, когда g^ и ^2
являются характеристическими функциями бесконечных
полуинтервалов:
( 1, если Xi<^ai, i=l, ..., k,
gl(Xiy ... , Xk)={ ^
(Ob противном случае;
это утверждение вытекает из (2.1). Так как всякая
совокупность функций, обладаюидая свойствами 1) и 2) и содержаидая
все функции, указанные в 3), будет совпадать с
совокупностью всех ограниченных борелевских функций, то этим и
завершается доказательство пункта а).
Для доказательства пункта б) заметим, что, если (2.3)
справедливо для функций (^\'^\ ..., (^^k\ ф!'^^ ..., ^^k-i и
cpl'^)—^ср^, фу'^^—>фу для всех Ху причем суидествует такое С,
что I ср/'^^! ^ С, I фу'^^ I ^ С, тогда (2.3) имеет место и для
функций cpi, ..., ср^, ^1, ..., ф;. Так как (2.3) имеет место
для непрерывных функций, то оно будет справедливо и для
всех ограниченных борелевских функций. Пусть ср^- —
характеристическая функция (— оо, Xi)y а фу — характеристическая
функция (— оо, _уу); применяя к этим функциям (2.3),
получим (2.1), а значит, и доказательство пункта б).
Следствие. Пусть g^ (х^, ..., х^,),.,., gm {^ъ .. •, -^у^ J,
/i(jCi, ..., Xi^y ..., /„(Xi, ..., Xi) — произвольный набор
борелевских функций, а а^, ..., а.^^^ • • • > ^ть • • • > ^mk G ^i>
Pii> ...» Pui, •.. > Рль ...» ^ni G ^2> шогда две совокупности
случайных величин
{\Y ^s = gsiKsi^ •••» K,k)^ 5=1, ..., m,
и
{"hrY 'hr=fr(ri^^^. ..., \^^\ r=i, ..., n,
являются независимыми.

§2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 17
Действительно, на основании пункта а) теоремы 1
заключаем, что для всяких непрерывных ограниченных функций
Ть . . . > Тт> Фь . . . > Ф/г
т п т п
^ U ^^ ('^^'^ П *^* ^^>^=^ П ^'' (^'-^ • ^ П ^^ (^^'^
г = 1 у === I j = I / ^ 1
m
(так как функции 1 1 ср^ (^^ (лг^, ..., лгу^.)) являются борелев-
i= 1
скими функциями своих переменных). Используя теперь
пункт б) теоремы 1, получаем доказательство нашего
утверждения.
Замечание. Как легко видеть из доказательства
пункта б) теоремы 1, для независимости двух совокупностей
величин достаточно, чтобы (2.3) выполнялось лишь для
некоторого класса функций, замыкание линейной оболочки
которого в смысле ограниченной сходимости в каждой точке
содержало бы все непрерывные функции. Достаточно
потребовать, чтобы (2.3) выполнялось для функций срДх) =
= ехр { / — 1 \iX}, фу {х) = ехр { ]/ — \]XjX}, где Х,- и [Ху
пробегают все веш.ественные значения. Учитывая это
замечание и пункт а) теоремы 1, можем утверждать, что имеет
место
Теорема 2. Для того чтобы совокупности величин
{^а }> ^ G ^ь {\}у Р G ^2, были независимы, необходимо
и достаточно, чтобы для всех наборов индексов а^,
а^...., ^k^^b Рь...» P/G^2 W вещественных чисел Xj,...
...» ^k^ Ну ...» Ъ
М ехр { V"=T (2 hK^ + S т^) } =
= Мехр{К=Г12Х,|„ гМехр{1А=Л2!хЛз }•
J J ^ HyJ
Определение. Совокупности случайных величин
S' {^L}, а ^ Жд, Р ^ М независимы, если для каждого
P = Pjj совокупности [J S^ и S^^ независимы.

18 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 1
Если каждая из совокупностей S состоит из одной
случайной величины, то получаем определение независимых
случайных величин. Из теорем 1 и 2 вытекает следуюидее
утверждение.
Теорема 3. Для того чтобы совокупности величин
S'o {^а \у ^о €- ^оу Р €- ^Ч были независимыми,
р р р р ' ^
а) необходимо, чтобы для каждого набора индексов
и ограниченных борелевских функций fiixi, ..., Xk),
i=l, ..., п, выполнялось соотношение
•"Цт <н=п«л(^> %f
i=\ ^ Pi ^Н i = \ ^ Р/ Р^
б) достаточно, чтобы, каковы бы ни были р^, .
••о Р/г G Ч 4^^G Щ.у]^==^ 1,..., ki,.i= 1, ... , я, и непреры
ные функции
(1) (1) (я) (я)
выполнялось соотношение
^пп^)'1^:[.)=:п>п-^-^^^^^
в) достаточно, чтобы для любых чисел Х'/*, ...
,.., Xft ,... , Xf , ..., Х^"' выполнялось соотношение
п »i
=:Х1Мехр{К-—2xf&}.
*=1

§3] ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СУММ 19
Для независимости величин ^i, ..., ^^ необходимо и
достаточно, чтобы
п п
М ехр { /=1 2 4i } = IJ М ехр { /=Л 1.Ц ,
1 1 = 1
Из теоремы 3 вытекает, что если S' {ll }, а g М , ^ ^ N, —
независимые совокупности случайных величин, то для всяких
борелевских функций ср (xi, ..., х^) величины
будут независимы.
В этой главе мы будем иметь дело с конечными
совокупностями независимых случайных величин и с
последовательностями таких величин.
§ 3. Основные неравенства для сумм независимых
случайных величин
Рассмотрим конечную совокупность независимых
случайных величин ^1, ^2> ..-, ^п- Через S^ обозначим суммы ^i-|-
+ ^2+ ... +^/г- Обозначим 7]= sup \Skl Нас будут инте-
1 ^ л ^ W
ресовать оценки для величины P{ifj^«}, л.^0. Пусть
Xkia)=l, если
\S,\<a, ...,\Sk^,\<^a,\S,\^a, и хЛ«) = 0
в остальных случаях. Среди величин Xki^) только одна
п
может быть отлична от нуля. Событие ^if^(a)=\ означает,
1
что У1^а. Поэтому
Р{^^«} = Р{1;хИ«) = 1} = м|;хЛ«). (3.1)
I 1
Мы будем использовать (3.1) для оценок Р{У1^а}.
Теорема 1 (неравенство А. Н. Колмогорова).
Пусть М ^j- = О, D ^£ <^ со, i = 1, ..., п. Тогда при й ^ О
P{sup|5J^a}^lDS„.

20 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАРШЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 1
п
Доказательство. Так как 2Ху^(^)^Ь то
1
1 1
= М 2 (S„ - S^)\, (а) + М S SIXft (а) +
1 1
+ 2м|](5„-5,)5,х,(а). (3.2)
1
Так как величина S„ — 5^ является непрерывной функцией
от ^д.+1, ..., ^;j, а величина S^^i^ (^) является борелевской
функцией от ?1, ..., ^д, и совокупности величин ^i, ..., %j^ и
^л+ь .-•> ^/г независимы, то на основании теоремы 1 § 2
М (S„ - Sfe) S,x, (а) = М (S„ - 5,) • М S^k («) = О,
/г
поскольку M(S;j — 5;^)= 2 M^j- = 0. Отбрасывая в правой
/г + 1
п
части (3.2) неотрицательный член М ^ ('^/г — ^kfXk (^)> по-
1
лучаем
1 1
ввиду того что I 5д. I Хл (^) ^ ^Хл (^) "^ определению
величин Хд.(й). Используя соотношение (3.1), получаем
доказательство теоремы.
Теорема 2. Пусть при некотором а<^ 1
Тогда
/г
Доказательство. Оценим МХд.(« + л:):
Mx*(a + ^) = P{|Si|<a + .r, ...
...,|Vil<« + ^,15;,l^a + .r}<i-^^P{|5iKa + ^,...
••- \Sk-i\<a + x, ISJ^a + x, |S„-Sfti<a}^
^r^P{|5i|<a + ^> ..., IVil<« + ^.
|Sfc|>a + ^, |5„|^л;}.

§ 31 ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СУММ U\
Поэтому
я
k= 1
1
Теорема доказана.
Напомним, что величина I называется симметричной, если
^ и —I имеют одинаковые распределения. Очевидно, что
сумма независимых симметричных величин также симметрична.
Теорема 3. Если величины ?i, ..., ^^^ симметричны, то
k
Доказательство. В этом случае, используя
симметричность величин ^S'^г, S^ ^ S^ — S^, получаем
Mx*(a) = P{|5i|<a, ..., 15,._,|<й, \S,\^a} =
= 2P{i5il<a, ..., |S;,_i|<a, Su^a} =
= V{S,-S,^Q} ^{\^Л<а, .... |5,_,|<а,
Sk^a, 5„-5,^0}^4P{15i|<a, ..., |5;,_i|<a,
\SA^a, 5„^a} = 2P{15i|<a, ...
..., IViKa, \Sk\^a, \S^\^a},
так как P {S„ — 5;^ ^ 0 } ^ Y. Следовательно,
E Mx*(«) = 2 2 P{x*(«)=l> \Sn\^a] =
A: = l A= 1
= 2P{i] X.(«)=l, \Sn\^a}^2V{\Sn\^aY
k== 1
Теорема доказана.
Следующее важное неравенство позволяет оценить моменты
суммы Sn по вероятностям P{15;j|^x} при фиксированном

22 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. i
достаточно большом х. Обратные оценки являются следствием
неравенства Чебышева:
Р{|5„|>х}<^М|5„Г.
Оказывается, что в случае ограниченных слагаемых можно
получить равномерные по п и распределениям £,- оценки
моментов Ж\5п\"^ через Р {| S„ | > л } ид, если Р {| *S„ | > «}
достаточно мало.
Теорема 4. Пусть величины ^i, ... , ^„ независимы и
удовлетворяют условию Р {i ^/1 ^ ^ } = ^- Тогда для
каждого т существует постоянная L^ такая, что
M|5„r^I„(a+ir,
если только для а выполняется соотношение
{е — основание натуральных логарифмов).
Доказательство. Предположим сначала, что величины
^ь ..-J ^п являются симметричными. Пусть лг^О; обозначим
через 21у^ событие
Событие {I ^S'„ I ^ 2x -f-1 } влечет хотя бы одно из событий
SHj^^ k^\, ..., я, поэтому
= fi^{\Sn-S,\^x}9{Xk{x) = \]. (3.3)
Л= 1
Заметим теперь, что
Р {S,,- S,^x\^2P {S„- Su^x, 5,^0}<2Р{5„^х},
так как 2Р{5у^^0} = 1. Следовательно,
?{\S,-S,\^x\^2Y>{\Sn\^x}.
Поэтому
P{|5J^2x+l}<2P{|5„|^x}|;P{XftW=l} =
= 2P{15„|^x}P{sup|5,|^x}^4(P{15„|^x})«

§ 3] ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СУММ 23
В силу теоремы 3. Таким образом,
P{\S,\^2"4x-\-\)-\}^4iP{\S„\^2'"-\x-}-\)-\}f^
^4-4\P{\Sn\^ З""-^ (jc-f 1) — 1})* ^
Пусть X выбрано таким образом, что Р {| 5^ I ^-^} ^ 4~'
Mexp{el5„|}<.-+|:."^'"^^+"-"X
оо
где L — некоторая абсолютная постоянная.
Пусть теперь ^j, 1^, ..., ^^ имеют произвольные
распределения и удовлетворяют условиям теоремы. Введем еще
величины 1[, $2' . • •' ^'п такие, что $i, ..., ^„, ^j, ..., in независимы
и ik имеет такое же распределение, как и величина ^^^. Тогда
симметричные величины ^|=у(£^^ — ^л) будут также
удовлетворять условиям теоремы. Положим 51 = ^*-[~-••""!" ^k- Если
P{|5J^«}<^,T0
Р{|5Л^^}=^2Р{1|5И^||<4Т
Беря е= 4(д+1) ^ получим
Мехр{е|5Л}^^.
1 1 "
Так как ] 5"^' 1 ^ 2" | 5^, 1 — 2" I ^S",; 1, где Sn=^ ?л, и Sn имеет
такое же распределение, как и S^y то
М ехр {11 5„ 1} < L [М ехр {- ^-1 S„ |}]"*.
Но
Мехр{-~|5„|}^ехр{-|а}Р{|5„|^а}^

24 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. 1
Таким образом, существует постоянная /У, для которой
если а удовлетворяет условию: Р {| 5« I ^ ^} ^ о~- Д-^^^
Доказательства теоремы остается заметить, что
\Sn\
м
^^•'^-P{WT)}>
так как ехр {| л: |} ^^-—р. Значит, можно взять Lfn=J^-S^ml,
Теорема доказана.
§ 4. Ряды из независимых случайных величин
В этом параграфе будут рассматриваться условия сходи-
оо
мости ДЛЯ рядов со случайными членами ^ £/г, где If^ — не-
зависимые случайные величины. Нас будет интересовать
сходимость таких рядов с вероятностью 1. Как мы увидим, для
рядов с независимыми членами сходимость по вероятности
влечет сходимость с вероятностью 1, так что в этом случае
оба вида сходимости эквивалентны.
оо оо
Теорема 1, Пусть сходятся ряды ^lAlj^ и ^ DS^^.
оо
Тогда ряд ^ ^k сходится с вероятностью 1,
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что
оо оо
ряды 2 ^л ^ S (^^"~ ^ ^^ СХОДЯТСЯ одновременно. Поэтому
можно предположить, что М£/г = 0. Для доказательства
сходимости ряда достаточно показать, что
Р j lim sup
(.« -♦ оо m > /г
s^*
= 0=1, (4.1)
так как при условии (4.1) с вероятностью 1 будет
выполнен критерий Коши сходимости ряда. Заметим, что
достаточным условием сходимости последовательности т]^ к нулю

§4]
РЯДЫ ИЗ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
25
с вероятностью 1 является сходимость для каждого е^О
ряда
SP{h.l>4<co.
(4.2)
п=\
Действительно, если выполнено (4.2), то из леммы Бореля — Кан-
телли вытекает, что, начиная с некоторого номера п^ (вообще
говоря, случайного), события {|г|^ | ^ г} не будут происходить.
Оценим Р < sup
Ц^л
г?. Так как { sup
можно представить в виде 1^ \ sup
sup
п ^ k ^т
k
^ЧС\ sup
п ^ k ^ т -{- \
т ^ п
k
lib
k
s?.
г? и
TO
P{ sup
I m > /г
s^-^
: lim PI sup
I.^J
^ lim ^^D^j = ^,^Dlj
m->oo ^ ^
(мы воспользовались теоремой 1 § 3). Так как последова-
I ^ I
тельность rif^= sup ^ ^ft М^^^^'^^н^^^' totj^—^O, если только
т]^ —^0 для некоторой подпоследовательности п^. Выбирая rij^
°° 1
таким образом, чтобы 2^^^'^;р» получим, что
i:p{h„j>e}<cx,.
fe=i
Значит, Р {Xj^ "^ 0} = 1 и Р {т]^ —> 0}^1. Этим и завершается
доказательство теоремы.

1
26 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ГЛ. 1
Условия теоремы 1, не являющиеся необходимыми,
становятся необходимыми, если дополнительно потребовать
ограниченности слагаемых одной и той же постоянной. Это
вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть при некотором С Р {| ^^ | ^ С} = О
для всех L Тогда из сходимости по вероятности ряда
со оо со
2 ^1 вытекает сходимость рядов 2 ^ ^' " 2 ^ ^i'
I 1 1
п
Доказательство. Так как ^^i сходятся по вероят-
1
ности к некоторой случайной величине, то для всякого е^О
можно указать такое /?, что Р
ll^i
^/?/^£ для всех п.
Используя то, что Pi-;^^ll=l, и теорему 4 § 3, можем
утверждать существование не зависящей от п постоянной /У,
I п \'^ п п
для которой Ml^^J ^//. Значит, и 02$; = 2^^»^^'
\ 1 / 11
оо
так что 2^^'*^^^* ^^ основании теоремы 1 можем утвер-
1
со
ждать, что будет сходиться ряд ^ (^,. — М ^;). Поэтому ряд
I
со
2^^г должен сходиться по вероягности (как разность схо-
1
дящихся рядов), т. е. сходиться в обычном смысле, так как
М ^1 не зависят от случая. Теорема доказана.
Чтобы получить необходимые и достаточные условия
сходимости рядов из независимых случайных величин, нам будет
полезна
Лемма. Пусть существует такое С>0, что Р {| S^^ |^0}=
= Р {I ^л I ^ ^} ^-^^ ^^^^ ^> ^^^ ^k — независимые случайные
со
величины. Тогда для сходимости ряда ^ ^k необходимо и
достаточно, чтобы сходился ряд ^^ {\^k\^ Q*

§4) РЯДЫ ИЗ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 27
Доказательство. Заметим, что в нашем случае схо-
схэ
димость ряда 2 ^^ ^ вероятностью 1 эквивалентна тому, что
среди событий {I ^А; I ^ 0} с вероятностью 1 происходит лишь
конечное число. Поэтому доказательство леммы вытекает из
леммы Бореля — Кантелли (события {|?;^|^0} независимы).
Пусть $ — некоторая случайная величина. Будем
обозначать через Ч[С] величину, равную S, если |S|^C, и равную
нулю, если I^J.^C.
■Теорема ЗГ Для сходимости ряда из независимых
0Q
слагаемых 2 ^ft необходимо, чтобы для каждого С^ О
оо со оо
сходились ряды J]^^k[Cl ^DZf,[Cl ^ Р {\^k\> Q, «
Л=1 Л=1 Л=1
достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором
С>0.
Доказательство. Представим наш ряд в виде суммы
двух рядов:
00 00
I 1
Тогда достаточность условий теоремы вытекает сразу из
теоремы 1 и леммы. Докажем необходимость условий теоремы.
оо
Из СХОДИМОСТИ ряда ^^^ с вероятностью 1 вытекает, что
1
Р| lim sup |?.| = 0\ = 1.
Поэтому для всякого С^О
lim P(sup |$Л<С\ = 1.
п -^ со \i>:n )
Значит, для достаточно больших п сходится произведение
оо
П (1 — Р {I ^i I > С}), а с ним, и ряд 2 Р { Пг I > С}. Из
леммы теперь можем вывести сходимость с вероятностью 1
оо оо
ряда ^i^i — ^ilCJ), а значит, и ряда ^^Л^]- Применяя к
1 1

2Я НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. I
последнему ряду теорему 2, получаем окончательное
доказательство теоремы.
Следствие. Пусть независимые величины li с
вероятностью 1 неотрицательны. Тогда для сходимости ряда
00
2^г С вероятностью 1 достаточно сходимости рядов
I
ОО 00
21М^^ [С], Yji^ik'yC} при некотором С>а
I I
Это утверждение вытекает из неравенства DE,-[C]^
Рассмотрим теперь условие, при котором частные суммы
00
ряда 2 ^1 будут ограничены по вероятности *).
I
Теорема 4. Необходимым и достаточным условием
со
того, что частные суммы ряда V ^^ с независимцми
1
слагаемыми ограничены по вероятности, является
существование такой последовательности а^, что ряд
со п
2 (£^ — ^J сходится с вероятностью \, а 2 ^а; ограни-
чены.
Доказательство. Достаточность условий теоремы
очевидна. Для доказательства необходимости введем
величины ^k, распределенные так же, как и £^,, причем такие, чтобы
величины £i, $j, ^2, ^'ь • • • были независимы. Положим tj^- = ^i — I'l.
Величины fii независимы и симметричны. Очевидно, что част-
оо
ные суммы ряда ^'^i будут также ограничены по вероят-
1
ности. Пусть С^О. Рассмотрим величины
Из симметрии величин т],. вытекает, что совместное распре-
*) Последовательность S^ ограничена по вероятности, если
lim supP{|5^i>C}==Q.
С -* 00 п

РЯДЫ из НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
29
деление пары величин ^Н -9" » ^^ — ^^ Т '^^^^^ ^^> ^^^ ^
пар величин y]. j^-|-J,--. т],-+ ^,-[у] ^ — тг],.|у], т]^ — 7]^[^-|-j.
Поэтому
p{Si,[f]&i),|(4,-4,[f])>^} =
Значит,
Используя симметрию ^^ -^ ^н -к- и т]^, получаем, что
1:(^.-^,-[|-])|^-^}<2р{
s^.
^ . (4.3)
Используя ограниченность сумм ряда ^'^t, можем найти та-
1
кое С, что Р
I
^ 2
для всех п. Тогда на
основании теоремы 3 § 3 и (4.3) заключаем, что
i
Р{ sup
1 * /
1 1 ^
^2Р 1
4#])
^fb
?b-4fl)
«4Р{|
1^1
/г 1
1 1
^^ '|. (4.4)

30 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |ГЛ. 1
Но
'1л%Ш^'-мЩ^т]=
-{
sup hii>-^ =
1 eft^n
= .-p[^„p^j„,^|}=i-n('-p{i'.,i>f)).
n
Из (4.4) получаем неравенство fj (1 — Р 11 "^г I ^ -о-}) ^ -тт-,
оо
поэтому сходится произведение J~[(l—PlHi I^^'T'j )» ^
вместе с ним и ряд 2 ^ 1 I "^^ I ^ Т( • ^^
р{н,-|>т)=р{|^,--?;-1'>т}^р{|^'|>^?х
00
Из ограниченности по вероятности частных сумм ряда V ^.
1
вытекает ограниченность по вероятности величин ^^, поэтому
можно считать, что С выбрано таким большим, чтобы
Р11 $,• I ^ yI ^ -g-. Тогда из сходимости ряда 2 ^ 11 '^^' I ^ т}
со
будет вытекать сходимость ряда ^j^ll^'I^Q* На основа-
1 ^ ^
оо
НИИ леммы заключаем, что ряд ^ (^^- — 1^ [С]) сходится с ве-
I
со
роятностью 1. Поэтому частные суммы ряда ^^1\С]изогрг-
1
ничейных случайных величин будут ограничены по вероят-

§ 4] РЯДЫ ИЗ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 31
ности. Используя рассуждения теоремы 2, убеждаемся в
существовании такой постоянной Д для которой
Но
оо / /г \2
Следовательно, ^D^.i[C]<^oo и [^b\^i[C]j ^Д т. е. ряд
00
Yl^^/iC^] имеет ограниченные частные суммы. Возьмем
1
оо
а^ = Ж^1 [С], тогда ряд ^ (li \С] — й^) будет с вероятностью 1
1
сходиться по теореме 1, а значит, будет сходиться и ряд
S (^'" — ^i^' "Теорема доказана.
Следствие. Если ряд из независимых случайных
со
величин y^li сходится по вероятности, то он сходится
1
и с вероятностью 1.
сю
Действительно, из сходимости по вероятности ряда ^^г
I
вытекает ограниченность по вероятности его частных сумм. По-
00
этому существует последовательность ai такая, что ряд ^ ^i—^д
I
00
сходится С вероятностью!. Тогда будет сходиться ряд 2^р
1
00
как разность двух сходящихся по вероятности рядов. Ряд ^ ^i
I
будет сходиться с вероятностью 1, как сумма двух
сходящихся с вероятностью 1 рядов.
Рассмотрим влияние перестановок членов ряда на
значение его суммы. Пусть tij^ — перестановка (не случайная)
членов натурального ряда, т. е. когда >^=1, 2, ,,., п^^ прини-

32 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [ГЛ. I
мают по одному разу все натуральные значения. Пусть ^f^ —
независимые случайные величины. Рассмотрим два ряда:
оо оо
Теорема 5. Для того чтобы ряды (4.6) для каждой
перестановки п^ имели с вероятностью 1 совпадающие
суммы, необходимо, чтобы для всех С^ О сходились ряды
оо оо оо
2|М1лс]|, s^^ac]. 1]р{|^,-|>сь
1 1 1
и достаточно, чтобы эти ряды сходились хотя бы при
одном С^О.
Доказательство. Заметим, что ряд ^ (^/ — ^t [С\)
сходится абсолютно, если только он сходится, так как тогда он
имеет лишь конечное число отличных от нуля слагаемых.
Следовательно, можно считать, что величины ^^ ограничены
одной и той же постоянной. Так как тогда М ^ ^г и М ( У] ^i)
существуют (если только ряд ^^i сходится), то для выпол-
оо
нения утверждения теоремы необходимо, чтобы У^ М1^ =
1
00
= VM^^ для всякой перестановки П}^. Это возможно лишь
1 ^
00
в ТОМ случае, когда сходится ряд 2 ^ I ^л I- Необходимость
1
условий теоремы доказана. Для доказательства достаточно-
{00 00 "1
И ^Dli<^oo. Обозначим через ^^ наименьший номер, для
которого числа п^ при k^k^ содержат все числа от 1 до т.
Тогда
2
( т ^т Y 00
\ 1 1 У m+l

§ 51 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ Ш
Поэтому
/ оо оо \2
\ I 1 /
Теорема доказана.»
§ 5. Сходимость случайных векторов
В дальнейшем мы будем часто рассматривать не только
случайные величины, но и случайные векторы. Понятие
случайного вектора сводится к понятию случайной величины, и
без этого понятия можно было бы обойтись, однако введение
случайных векторов часто может облегчить формулировку
результатов и запись формул.
Пусть R^^^—евклидово /^-мерное пространство, е^ е^, ...
..., вт — фиксированный базис в R^^\ х^, х^,.,,, х^ —
координаты вектора х из 1^^^ в этом базисе. Случайный вектор |
мы будем считать заданным, если заданы т случайных
величин $\ Е'^, ..., \^, которые мы будем называть координатами
вектора \ в базисе въ ..., ^т- (При переходе к другому
базису мы будем считать, что координаты вектора \
преобразуются по известным правилам преобразования координат.)
Векторы li. Is» ..., \п называются независимыми, если
независимы группы величин
{^i, \\,.... sr}. •••. %, %i,.... ^^}.
}/|(^'')
Через III будем обозначать величину 1/ ^(^')^.
Последовательность векторов 1^ сходится по вероятности к вектору |,
р
если ||„ — S|—*0; последовательность векторов \^ сходится
с вероятностью 1 к вектору |, если
Р| lim ||-?„| = 0|=1.
(/г --* ОО J
Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность
векторов 1^ сходилась по вероятности к вектору |, необ-
ходило и достаточно, чтобы для k=\, ..., т ^п—^^^
($„—координаты вектора%п)\ ^-^я того чтобы Р| lim |^=||=
ЧИт|,=|Ь
\/г-*оо J
2 А. В. Скороход

34 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1ГЛ. I
= 1, необходимо и достаточно, чтобы для всех ^ = 1,..,, //г
Р f lim £^ = £*) = 1.
Если для всех г, k=\, 2, ..,, т, существует Mr, то
вектор с координатами (М ^\ М ^^ ..., М ^*) обозначается М^.
Используя теорему 1 и результаты § 4, можно доказать
следующую теорему о сходимости рядов из случайных векторов.
Будем, как и раньше, обозначать через ^[С] величину (теперь
векторную), для которой |[С] = ? при |||^С, |[С] = 0 при
111>с.
оо
Теорема 2. Пусть ^%i —ряд из независимых слу-
1
чайных векторов.
а) Для того чтобы этот ряд сходился с
вероятностью 1, необходимо, чтобы для всех С^О сходились ряды
со со со
2м|,[с], 1;м||лс]-м|лс]г, 1;р{ии>сь
1 1 1
а достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором
С>0.
оо
б) Для того чтобы частные суммы ряда 2^/ ^ьии
1
ограничены по вероятности, необходимо и достаточно^
чтобы существовали такие векторы ЛГ/, что частные
00 00
суммы ряда 2 Xi ограничены, а ряд ^ (|j-—Xi) сходится
1 1
с вероятностью 1.
оо
в) Чтобы сумма ряда ^l/ ^^ зависела от нереста-
1
новок его членов, необходимо и достаточно, чтобы при
С^ О сходились ряды
оо со 00
2|М|,.[С]|, l:мi|,[c]-м|,[C]|^ ^Р{\Ы>с}.
1 1 1
Пусть § — случайный вектор, для которого М|||''^<^со.
Рассмотрим билинейную форму
В{х,у) = М(1-{А1, х)(1~т,у)

§ 51 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ 35
(здесь X У1 у ^R ^^\ {Ху у) — скалярное произведение в
R^^\ Суидествует линейный оператор Л|, для которого
В{Ху y) = {AiX, д^). Этот оператор будет симметричным, и eio
матрица в базисе е^, е^, ...,^т имеет вид || М^'^^ — М^'М^^ ||,
i^ j=l^ ..., т. Этот оператор мы будем называть
дисперсионным оператором вектора |. Дисперсионные операторы
обладают свойствами, аналогичными свойствам дисперсии.
Они неотрицательны. Если | и i] независимы, то Л|^г1=^^~|-^т1.
Условия теоремы 2 для полной аналогии с теоремами § 4
можно формулировать в терминах дисперсионных операторов:
сходимость ряда 2 ^ I ^f — ^ ^« 1^ эквивалентна сходимости
ряда из операторов ^ ^1.
2*

ГЛАВА 2
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
§ 6. Определение случайного процесса.
Процессы с независимыми приращениями
Под случайным процессом мы будем понимать
совокупность случайных величин £ (t), зависящих от одного
вещественного параметра t, изменяющегося в некотором множестве
Т. Это множество мы будем называть областью определения
случайного процесса £(/). В основном будут рассматриваться
случайные процессы, определенные на замкнутых слева
конечных или бесконечных интервалах. Совместное
распределение такой совокупности случайных величин определяется
заданием совместных распределений величин £(^i), ^(t^), ...
..., £ (tf^) для всех k и произвольных наборов ti, t.2, ..., tf^ из
области определения случайного процесса. Набор функций
распределения
(6.1)
когда k пробегают все натуральные числа, а t^, t^, ..., ff^
изменяются в области определения процесса, называется
конечномерными распределениями процесса.
Определение. Процесс £ (t), определенный на
интервале [а, Ь), называется процессом с независимыми
приращениями, если для всех tQ<^ti<^.. ,<^tf^ из [а, Ь)
случайные величины I (to), I (ti) — I (to), ..., I (tf^) — ^ (/'^^_^)
независимы.
Чтобы определить конечномерные распределения процесса
с независимыми приращениями, достаточно знать
распределения величины l(t) при каждом t и величины h(t^) — $(^j)

§ Щ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 37
при ti<^t^. Действительно, функция (6.1) определяется своей
характеристической функцией
/г
, •• i vv
= 5^^=' _^г, ...,4^h,...,h ixi,...,x,) (6.2)
(здесь i = Y •—1).
Если процесс l{t) имеет независимые приращения и срДХ) =
= М^'^^ ^^\ а ср^^, ^^ (X) = М^^'^ t^ ^^2) - ^ (^i)]^ то, используя
независимость величин ^{ti), ^(t^) — ^(/"i), ..., l(tf^) — U^ft-i)>
получаем
^Mexp{/(Xi + X, + ... + X,)^(/0 + U^2 + ... + ^y^)X
X (^ (^2) - ? (^1)),+.^^. (^ (У - ^ (^.-1))} = T^i (^1 +... + ^.) X
Xt^i, /2 (>^2 +... + >^y^)... T/^^_i, ^^^ (>^^).
Ввиду удобства этой формулы конечномерные распределения
процессов с независимыми приращениями часто задаются с
помощью характеристических функций срДХ) и ср^^^ t^i^)-
Рассмотрим примеры процессов с независимыми
приращениями.
1. Пусть ^1, ^2> •••» ^п — независимые случайные величины,
а ^1 <С ^2 <С. • • <С ^/г — тр*гки из [а, Ь). Положим
Этот процесс будет иметь независимые приращения, ^(t)
будет представлять собой ступенчатую функцию, имеющую
скачки лишь в точках t^, t^, ..., t^ и непрерывную справа.
Этот пример можно обобщить следующим образом. Пусть
последовательность независимых случайных величин ?у^ та-
оо
кова, что сумма ряда ^^^ "^ зависит от порядка суммиро-
1
вания слагаемых (см. теорему 5 § 4). Тогда таким же

38 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
СВОЙСТВОМ будет обладать и любая подпоследовательность
величин £у^. Пусть, далее, t^ — некоторая последовательность
чисел из [а, Ь). Положим i(t)= ^ ^k- ^^^ сумма имеет
смысл, так как ряд сходится и его сумма не зависит от
порядка суммирования. Процесс £(/) будет иметь независимые
приращения. Так как Цд) = 0, то для определения
конечномерных распределений этого процесса достаточно знать
распределения I (f) — I (t) для всех t <^ f. Пусть ср^^ ^' (X) —
характеристическая функция ^(f) — l(t). Если У1п= 2 ^k'
то p{7]^->^(f)_^ (/)} = !, поэтому ^''^^/i-i^Aiun-eU)),
Значит, на основании теоремы Лебега (§ 3, теорема 4)
Если срд, (к) — характеристическая функция величины ?;^, то
b,t'(^)= liin Д г^^(к)
п
(из свойств сходимости ряда ^ ^k вытекает, что последнее
1
произведение не зависит от порядка сомножителей).
Процессы, рассмотренные в этом примере, называются дискретными.
2. Процесс Пуассона. Процессом Пуассона
называется случайный процесс с независимыми приращениями, у
которого %{t') — l{t) для всех t<^t' имеет пуассоновское
распределение, т. е. существует такое а (/, f), что для всех
целых k^O
Р {£ (О — l{t) = k}= ^^^ е-« (^ П,
Если процесс задан на [а, Ь), то удобно считать, что ^ {а) = О,
Тогда i{t) тоже будет иметь распределение Пуассона с
некоторым параметром \{t)\
Р{а(0 = .}=1Ш^,
■МО
Так как \{t) = bM{tl a{t, O = M[S(0 —U0]> то a{t,n==
= X(f) — X(t). Если X(t) = kt и процесс определен при

§ 61 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 39
^^0, ТО ОН называется однородным процессом Пуассона с
параметром X. Для пуассоновского процесса
<р,, ,.M = Мехр {а [$(О-40]}-=
= ехр{[Х(0-ЦО](^"-1)}.
3. Винеровский процесс. Процесс с независимыми
приращениями ^{t) называется винеровским, если l{t) и
S(0 — ^(0 имеют нормальные распределения. Пусть М^(/) =
= a{t), Dl(t) = b{t), тогда при t<^f
^(Hn~4t)) = a(f)-a(t);
Dmf)-Ht)] = bin-b(t)
(так как D^(f)=zD^{t)-\-D[l(f)—l(t)] ввиду
независимости ^{f) — l(t) и ^(t)). Значит, функция распределения
величины i(f) — l{t) будет определяться формулой
P{Hn-4i)<x} =
X
~V2n[b(n-b(t)]JJ^\ 2[b{n~b{t)] r^-
Винеровский процесс W{t), определенный tipn t^O и
обладающий свойствами М W (t) = 0, DW(t)== t, будет
называться процессом броуновского движения.
Характеристическая функция величины 1(f) — l{t) для винеровского
процесса задается формулой
Ь. f 0) = ехр {а [а (О - а (t)\ -^~{b (О -b (t)]].
Кроме случайных процессов с числовыми значениями, мы
будем рассматривать случайнью векторные процессы, т. е.
такие процессы, для которых | (t) при каждом t является
случайным вектором в R^^\ Совокупность функций
где Ai, А^, ..., Ak — всевозможные борелевс'ки^ множества
из R^^\ ti, ..., tf^ пробегают область определения процесса,
а k — все натуральные числа, называется конечномерными
распределениями процесса | (t). Эти конечномерные- распреде-

40 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
ления можно задать с помощью характеристических функций
k
bi, ....tki^b ..., 2';,) = Mexp{i2 (К^у)' ^у)} =
k
= \ exp li 2 {Zj. x>\ P^^ tu (^-^1' •..' ^-^;^)>
здесь аргументы -^i, ..., -г^^ являются векторами из /?^'"^
(«г, jc) — скалярное произведение векторов «г' и х из R^^^.
Определение случайного процесса с независимыми
приращениями для векторных процессов такое же, как и для
числовых. Примером векторного процесса с независимыми
приращениями может служить /;г-мерный винеровский процесс. Так
называется процесс, у которого \{t) и | (f) — \ (t) имеют
т-шерные нормальные распределения. Если М|(/) = а(/), а
дисперсионный оператор вектора %{t) есть B{t), то тогда
М (I (f) — I (t)) = а (f) — а (t), дисперсионный оператор
величины 1(f) — !(/) будет B{f) — B{t) и характеристическая
функция величины |(f) —1(^) задается формулой
ср^^ ^, (Z) = М e^ (^' t ^^') -1 (0) =
= ехр {i {Z, а (f) — а (t)) — ^{В (f) z — B{t) z, ^)}.
Распределение |{f) — \{t) в том случае, когда В(f) — B(t) —
обратимый оператор, определяется плотностью
распределения
т 1
Р^ f (Х) = (21Г)' "^ [det (В (О - В it))f ^ X
X ехр { -1 ([В (О - В (0]-' [л: - а (Г) + а (0],
■йЮ + «(0)}.
здесь det(С) — определитель оператора С в ортогональном
базисе.
§ 7. Стохастически непрерывные процессы
Процесс £(0 называется стохастически непрерывным в
точке to, принадлежащей области определения процесса £ (/),
если для любой последовательности t^, принадлежащей
области определения процесса и сходящейся к t^, ^ (t^) —* I ((^)-

§7] СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ 41
Это определение эквивалентно следующему: процесс l{t)
стохастически непрерывен в точке (q, если для всех е^О и
[X ^ О существует такое S > О, что Р {| £(0 — ^ (^о) I !> s} <С Р-»
как только \t — ^01 <^ ^- (Эквивалентность обоих
определений устанавливается точно таким же образом, каким
устанавливается эквивалентность определений непрерывности
функций, принадлежащих Коши и Гейне.)
Если процесс стохастически непрерывен во всех точках
некоторого множества Еу то мы будем говорить, что он
стохастически непрерывен на Е. Процессы, стохастически
непрерывные во всей области определения, будут называться
просто стохастически непрерывными. Процессы, стохастически
непрерывные на замкнутых отрезках, обладают некоторыми
свойствамиу аналогичными теМу которыми обладают функции,
непрерывные на замкнутых отрезках.
Определения. 1) Процесс £(/) называется
ограниченным по вероятности на множестве Е, если
lim sup P{|S(0|>C} = 0.
С-^оо t^E
2) Процесс l{t) называется равномерно
стохастически непрерывным на мноэюест.ве Е, если для всякого
'>^ lim sup P{|£(/i)_^(/)|>£l=:0.
\tl-t\<b
Теорема 1. Если процесс l{t) стохастически
непрерывен на замкнутом отрезке [а, Ь], то он: а)
ограничен по вероятности на этом отрезке, б) равномерно
стохастически непрерывен на этом отрезке.
Доказательство пункта а). Предположим, что
существуют £]>0 и последовательность t^^[ay b] такие, что
^ {\^(^п)\^^}^^- Не ограничивая общности, можем
считать, что t^ сходится к некоторому пределу tQ^[ayb]. Тогда,
ввиду стохастической непрерывности S (t) в точке t^, получим
P{\4h)\>x}^ lim [P{|Uyi>2x}-
П -^ СО
-P{\4tn)-Hto)\>x}]^B
ДЛЯ каждого х^О. Это же невозможно, так как
lim Р {\i{to)\^x} = 0. Пункт а) доказан.

42 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Для Доказательства пункта б) предположим, что для
некоторых £^0 и [А^О найдутся последовательности t^ и
tn такие, что |/„-^;|->0, а Р {| £(/J_ £(Q | >£} ^jx.
Опять можем считать, что t^ -> /q» ^'п -^ U- Тогда из
последнего соотношения будет вытекать, что в точке t^ нарушается
стохастическая непрерывность процесса I (t). Теорема доказана.
Замечание. Так как определение стохастической
непрерывности, ограниченности по вероятности, равномерной
стохастической непрерывности не зависит от размерности
пространства, то доказанная теорема справедлива и для
процессов с векторными значениями.
Легко видеть, что процесс g(^(t)) будет также
стохастически непрерывным, если стохастически непрерывен £ (/), а
g(x) — непрерывная функция. Из теорем о предельном
переходе под знаком математического ожидания (§ 1,
теоремы 4, 5) вытекает следуюш.ая теорема.
Теорема 2. Если процесс I (t) стохастически
непрерывен, то\
а) функция М^(£(/)) является непрерывной по t для
всякой непрерывной ограниченной функции g{x);
б) функция М^ (£(/)) непрерывна по t, если g{x)
непрерывна и существует а^1 такое, что
supM|^(£(0)r<co.
t
Замечание. Непрерывность М ^ (£ {t)) по t для любой
ограниченной измеримой функции g{x) необходима для
стохастической непрерывности I (t), но не достаточна, так как
N[g(^(t)) зависит лишь от распределения £(^), а
стохастическая непрерывность определяется распределениями прира-
ш.ений £ (f) — £ (t). Однако для процессов с независимыми
прираш,ениями непрерывность М^(£ (^)) для всякой
непрерывной ограниченной функции будет уже достаточна для
стохастической непрерывности £ (t). Это вытекает из следуюш.ей
теоремы.
Теорема 3. Пусть /ДХ) = Мехр {U£ (^)}, где Ц() —
процесс с независимыми приращениями. Если ft(Pj
непрерывна по t в точке t^, то \ (t) стохастически непрерЫ'
вен в точке t^.
Доказательство. Пусть t^ -> t^, t^ ^ t^. Тогда

М] СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 43
Так как /^ (}^)->АоО')у то для всех X, для которых /^^ (X) ^^ О,
М ехр {IX [£ (^„) — £ (^о)]} -^ 1. Можно указать некоторую
окрестность (—S, S) точки Х = 0, в которой f^^QCjz^O.
Значит, при U I <^S
Мехр{а[ЦУ-и^о)]}"^1.
Обозначим через F„ (л:) функцию распределения £ (/'J — S (Q,
тогда при I ^ I <^ S
^ cos XxdFnix)--> 1.
Интегрируя последнее соотношение по X в пределах от О до
8, получим на основании теоремы Лебега
^ sin Ьх ^ .
Так как sup —г <^ 1, то из последнего соотношения
I л: i > S ^^
вытекает, что Р {| £ (^„) — S (^о) I ^ ^} ~^ 0. Аналогично
доказывается, что £(^„)—^£(^о), если t^-^t^, ^/г<С^о- Теорема
доказана.
§ 8. Стохастическая эквивалентность
случайных процессов
Вернемся к примеру 1 из § 6. В этом примере процесс
$(0 определялся с помош.ью набора случайных величин $i,
^2, ... и последовательности значений параметра t^, t^^ ...
соотношением
\{t)=^\,. (8.1)
Ряд в правой части (8.1) определяет %{t) с вероятностью 1,
т. е. можно изменить значения £ {t\ если происходит
некоторое событие %1у вероятность которого О, и при этом новое
значение £* {t) можно рассматривать как сумму правой части
(8.1). Если мы изменим таким образом значения l{t) при
каждом t и получим процесс £* (О, то может оказаться, что5(^)
и ^* (О как функции t будут весьма различаться, так как
несмотря на то, что Р {31J = О, может оказаться, что (J 91^
имеет положительную вероятность или даже достоверно.

44 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Процесс же ^* (t) мы с таким же основанием должны считать
суммой ряда (8.1), как и процесс Е (/). Такие процессы для
нас в некотором смысле неразличимы, мы их будем
называть стохастически эквивалентными. Вообще, два процесса
^(0 и Е'(^) называются стохастически эквивалентными, если
области определения этих процессов совпадают и для всех t
из области определения Р Щ^) = ^'(^)} = 1. Стохастически
эквивалентные процессы будут иметь одинаковые
конечномерные распределения, однако как функции t они могут вести
себя различно. Рассмотрим следующий пример: пусть/д (5) —
характеристическая функция множества А на прямой,
имеющего лебегову меру нуль, а т — случайная величина,'
равномерно распределенная на отрезке [О, 1]; положим ^(0 =
=:y^^(t -\~z). Процесс i{t) принимает значения О и 1, причем
значение 1 он принимает с вероятностью 0. Значит, он
будет стохастически эквивалентен процессу £'(0, который
тождественно равен нулю при всех t. Процессы Е (t) и
k'(t) ведут себя по-разному как функции U ^{t) имеет
разрывы на множестве {Л-|-^}> ^ ^40 всюду непрерывен,
sup £(0=1, а sup Г (0 = 0.
/ t
Если мы можем определить случайный процесс лишь с
точностью до стохастической эквивалентности, то естественно
выбирать среди всех стохастически эквивалентных друг другу
процессов такой, который бы имел более регулярные
свойства как функция t (например, процесс ^ (t) в предыдущем
примере). Такими свойствами являются непрерывность,
отсутствие разрывов второго ряда, интегрируемость по Риману,
измеримость и др. Если процесс является непрерывным или
не имеет разрывов второго рода, то он обладает еще
одним важным свойством. В теории случайных процессов часто
приходится иметь дело с вероятностями
Р{а(0<иО<^(0. ^GK ?]}■ (8.2)
Как показывает рассмотренный выше пример, вероятности
событий такого вида не определяются конечномерными
распределениями процесса. Если же Е (t) — непрерывная
функция t с вероятностью 1, то для непрерывных a(t) и b(t)
p{a(o<S(0<MO, ^GK Р]}-=
= lim Р{а(^,)<1(^,)<й(^Д k^i, 2, .... п}, (8.3)

§ SI СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 45
если ^1, ^2, ... — всюду плотная на [а, р] последовательность.
Таким образом, конечномерные распределения в этом случае
будут определять и вероятности вида (8.2).
Оказывается, среди стохастически эквивалентных
процессов существуют процессы, обладающие свойством, которое
обеспечивает выполнение для них формулы (8.3). Это
свойство сепарабельности случайного процесса, и состоит оно
в следующем.
Определение. Процесс {с числовыми значениями) £(t)
называется сепарабельным относительно
последовательности ^1, ^2, • • • > всюду плотной в области определения
процесса, если для всех t из области определения £ {t)
lim sup ^(/J^^O^lim inf l{t^). (8.4)
Если \{t) — векторный процесс, то он называется
сепарабельным, если каждая из его компонент %\t), ^^(t),.,.y^^{t)
сепарабельна относительно одной и той же
последовательности ti, t^,... Если обозначить через N множество
значений параметра {ti, t^,...}, то процессы,
сепарабельные относительно последовательности t^, мы будем
называть N-сепарабельными.
Легко видеть, что выполнение условия (8.4) обеспечивает
справедливость формулы (8.3), если a{t) и b(t) непрерывны.
В дальнейшем мы будем рассматривать только сепарабельные
процессы. Это возможно на основании следующей теоремы.
Теорема. Если процесс Е (t) стохастически непрерывен
на [а, Ь], то для всякого счетного всюду плотного на
[а, Ь] множества N существует процесс ^'{t),
стохастически эквивалентный Е {t) и N-сепарабельный,
Доказательство. Положим
^1 (О = lim sup I (/J,
l,it)=nm inf HQ,
(Случайные величины Si (t) и $2 (0 являются обобщенными:
они могут принимать бесконечные значения определенного
знака.) Если t^^ — t, то lit^^)-^l{t). Поэтому для каждого
е^О вероятность события

46 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 1ГЛ. 2
стремится к 1 при п^ ~ со. Но
iTm ^ (tn,) < ^1 (О, Шп 5 (tn,) ^ ^2 (О,
значит, вероятность события
равна 1 для всех £ ^ 0. Обозначим Ш^ = {^\ (t) ^ S (О ^ ^2 (0}>
тогда Р {3(^ = 1. Положим ^'(/) = $(^), если происходит
событие Ш^у и E'(/)^Si(0, ^с*^^ событие 3(^ не происходит.
Легко видеть, что Р {^'(t) = i(t)} = Р {Щ = I, так что ?'(0
стохастически эквивалентен Е(^). Далее, так как при t==tf^
El (/,) = lim sup E (У ^ $ (^,) ^ lim inf E (^J = $2 (/,),
TO E (/'д.) = I' {t^) для всех tj^ ^ yv. Поэтому
lim sup Г(У=Ит sup S(/J = ei(0, (8.5)
lim inf ^'(^ = ^2(0. {Щ
Так как по построению ^i (О ^ ^'(О ^ ^2 (О» то (8.5) и (8.6)
убеждают нас в справедливости теоремы.
§ 9. Свойства регулярности процесса
с независимыми приращениями
Сейчас будет показано, что сепарабельный
стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями
с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода. Это
означает следующее: если событие S3/ заключается в том,
что существуют %{t — 0) и Е(^ + ^)> то P{P)33J = 1. При
доказательстве этого факта мы будем использовать понятие
числа £-колебаний функции. Функция x{t) имеет на множестве
Е не менее k е-колебаний, если существуют^ такие точки
^0<!^^1<^...<^^/г, принадлежащие £", что \x{t^ — -^(^/-i)|^s>
i=l,...,^. Пусть г — максимальное из чисел ^, для которых
X (t) имеет не менее k е-колебаний. Такое число г будет
называться числом е-колебаний функции x(t) на множестве Я
Если такого числа г не существует, то мы будем считать,
что x(t) имеет бесконечное число е-колебаний на множестве Е,

§9] СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ ПРОЦЕССА 47
Теорема 1. Для того лтобы функция x(t),
определенная на [а, Ь], имела в каждой точке пределы
справа и слева, необходимо и достаточно, чтобы для всех
е]^0 она имела конечное число г-колебаний на отрезке
[а, Ь].
Доказательство. Пусть t^ — точка разрыва второго
рода функции x(t). Тогда или \x{t)\—^oOy или можно
указать два предельных значения х (t) при одностороннем
стремлении t к tQ. В обоих случаях существует монотонная
последовательность /^, сходящаяся к tQy для которой
lim \x(t^) — x(t^_,i)\yO.
п-*со
Таким образом, наличие разрыва второго рода влечет
бесконечность числа е-колебаний x(t) при достаточно малыхв]>0.
С другой стороны, если x(t) имеет бесконечное число
в-колебаний, то легко убедиться в существовании такой точки t^y
что для всякого 5^0 в интервале (tQ — 5, /'о-Ь^)
функция x(t) имеет бесконечное число е-колебаний. Если бы
существовали x(tQ — 0) и X (/о -|- 0), то для достаточно малых
Ь^О на интервале (/q — ^, ^о4~^) -^(0 имела бы не
более двух е-колебаний (при |x(/o) — -^(^о — 0)|^s и
l-^(^o) — -Г (^0 + 0) |]>е). Значит, Iq будет точкой разрыва
второго рода. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть функция х(t) сепарабельна
относительно множества A^CZ[a, b\ Обозначим через v^^")
число г-колебаний x(t) на множестве Е. Тогда
ve,([a, 6])^3v3(A^)+l.
Доказательство. Пусть число е-колебаний x{t) на
N равно п и точки ^o<C^i<C-•-"^^п из Л/" таковы, что для
^ = О,..., я — 1 \х (tf^) — X (tf^^i) I ^ е. Заметим, что тогда при
^<^о, ^G^ ^(^о) —s<-r(0<x(^o) + s и при ^>^„,
t ^N x(t^)—^ <^х(t) <^xltn)-\-г (иначе x(t) имела бы
больше чем п е-колебаний). Поэтому на [а, ^о] и [^„, Ь] х (t) не имеет
бе-колебаний. Далее, для всякога 5 ^ (t^y tf^^i) f] N справедливо
одно из неравенств \x(s) — x(tf^) |<^е или \x(s) — -^(^y^+i)|<C^-
Если \x(tf^) — x(tk^i)\^3e и, значит, x(s) ^[min[x(tf^)y
^ (h+i)] — s> max [x (tk\ x (/^^^+l)] + e] при s G(^^^, t^^^) П N, то
X (s) при 5 G [tf^y tf^^i] не имеет ни одного бе-колебания. Если
I ^ (h) — ^ (h+i) 11> 3s, то существует такое и ^ (tf^, tf^^{),

48 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
ЧТО при 5<г/, s^NC](tf^, tf^_,i) \x(s) — x(tk)\<C^^ а при
s'^u, s ^N f^{tf^, tf^_^i) \x{s) — ^{h+i)\^^ (иначе нашлись
бы I очки Si < 52 ^N П {tf,, t^_^i) такие, что | x (tk+i) — x (^O | < s,
I ^(^k) — ^{^^) Кs> a значит, IX{tj,) — X(5i)I > e, \x (/;,^,) —
— л:(52)1^6, |x(5i) — х{8^\'^г\ это же противоречило бы
тому, что x{t) имеет на [й, Ь] ровно п е-колебаний).
Тогда при 5 ^ \tj^, и] X {s) ^ {х (tf^) — в, л: (tf^) -\- в), а при
^ G ["> ^y^+i] -^ G^) G [^ (h+i) — в, л: (/y^^.i) -f в] для всех 5 .^ N,
а значит, и для всех 5. Таким образом, x{t) имеет на
отрезке [tf^, tf^^i] не более двух бе-колебаний. Поэтому число
6б-колебаний л:(/)на [а, Ь] не превосходит Зп-]~1. Теорема
доказана.
Замечание 1. Из доказанной теоремы вытекает, что
если x{t) — функция с векторными значениями, то в
обозначениях теоремы
6m
где т — размерность пространства. Действительно, если
обозначить через ^^(Л) число е-колебаний функции х^ (t)
{k-й координаты X(t))y то для любого множества А будет
справедливо неравенство
т
' т т
Теперь докажем основную теорему.
Теорема 3. Пусть Н (t) — сепарабельный
стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями,
определенный при / ^ [а, Ь]. Тогда l(t) с вероятностью 1
не имеет разрывов второго рода/
Доказательство. Как следует из теоремы 1, нам
достаточно показать, что с вероятностью 1 процесс % (t) имеет
конечное число е-колебаний для всех е^О. Для этого
достаточно показать, что с вероятностью 1 процесс I (t) имеет
конечное число е-колебаний на множестве сепарабельности,
каково бы ни было s^O (ввиду теоремы 2). Пусть @у^ —
событие, заключающееся в том, что число -г-колебаний на
k
множестве N конечно. Нам достаточно показать, что для
всех k Р{@у^} = 1. Действительно, П ®/г ^^^ь событие, заклю-

§ 9] СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ ПРОЦЕССА 49
чающееся в том, что число s-колебаний x(t) на множестве Л/
конечно для всех s = y, а значит, и для всех г^О.
Заметим, наконец, что достаточно показать, что число е-колебаний
процесса £ (/) конечно для каждого множества [/, t-\~h]f]N
при достаточно малых /г^О. Этот факт мы и будем
доказывать. Так как процесс £ (t) стохастически непрерывен, то
на основании теоремы § 7 он будет равномерно
стохастически непрерывным, поэтому для всякого е^О можно найти
такое h^Oy чтобы при | f — f | <^/г
p{\Hi')-4n\^j}-
Возьмем отрезок А длины /г, и пусть точки ^i <^ ^2 <С • • •
..., <^/^„ ^ А Pi yV. Обозначим через /?^ вероятность того, что
на множестве {^i,..., ^„} £ (О будет иметь не менее т
е-колебаний. Пусть йд, — событие, заключающееся в том, что
\4t,)-Ht,)\<:j,..., iU4-i)-u^i)i<|,
и ^(t) на множестве {/д., ^^.+1,..., t^} имеет не менее //2—1
s-колебаний. Если ^{t) имеет на множестве {^i,..., t^} не
менее т s-колебаний, то обязательно произойдет хотя бы
одно из событий Ш^. Поэтому
Заметим теперь, что число s-колебаний на множестве
{^ку-> ^п] не зависит от l{ti) при i^k, так как эта
величина выражается через l{tj) — ^(/д.) при j^k. Вероятность
того, что ^ {t) на множестве {/д., tj^^^^y • • • > ^п] будет иметь не
менее т — 1 s-колебаний, не превосходит рт-\- Поэтому

50 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
значит,
Л = 2
l^(^ft)-^(^)l^y}=/''m-lP{ sup \Цt,)-Цt,)\^'Л.
Используя теорему 2 § 3 и то, что Р 1\1 (t^ — ^ (t^ I ^ тг ^ "т»
получаем
1
1—3
Следовательно, Pm^'o'Pm-i'^ -ffn' ^У^'^^ ^п —
последовательность конечных множеств, для которых Z.„_i CZ /,„ и
и^„ = АПЛ^- Тогда
л~*оо
значит,
д->оо
Из полученного неравенства вытекает, что величина Vg (А Р) TV)
конечна, так как
P{Vg(AnA^) = oo}= limP{Vg(AnA^)^/^} = 0.
т-*со
Теорема доказана.
Замечание 2. Приведенное доказательство справедливо
и для векторных процессов.
Замечание 3. Из сепарабельности процесса легко
вывести, что I (t) лежит между l(t — 0) и ^{t-{-0) в
одномерном случае, а в многомерном 1^ (t) лежит между %^ (t — 0)
и ^* (^ -f- 0)) если %^ (t) — k-я координата | (t).
Замечание 4. Пусть 31^ — событие, заключающееся
в том, что ^(t-{-0)^i (t). Тогда Р {3lJ = 0. Действительно,
обозначим через 5lj^) событие |И (^ + 0) — ИО I ^ -г|. 'Гак
как Р{ lim %{t-\-s) = l(t-{-^ = \, то p|l$(^ + 0) —
»-^0, •>0 ^

§ 10] УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПРОЦЕССОВ 51
— ^(t'\-^)\^^\ — 0 прие—>0,е>0, а значит, Ph^Xt-\-0) —
-UOI^y}^p{lU^ + o)-e(/ + s)|^l}+p{|UO-
— И^ 4" е) I ^ 2ЬI ~" ^ ввиду стохастической непрерывности
5(О, т. е. Р {3lf)} = 0, но Р {%} ^^Р Щ% так что
k
Р(51^)==0. Введем процесс l{t) = l(t-{-0). Он будет
стохастически эквивалентен процессу ^ (/), так как Р {I(t) ^l(t)} =
== Р {J( J = 0. Таким образом, существует процесс,
стохастически эквивалентный ^ (t) и непрерывный справа. Точно таким
же образом устанавливается существование процесса,
стохастически эквивалентного I (t) и непрерывнЪго слева. Мы
иногда будем использовать это обстоятельство, предполагая
заранее, что процесс обладает какой-либо односторонней
непрерывностью.
§ 10. Условия непрерывности процессов
с независимыми приращениями
В предыдущем параграфе было установлено, что
стохастически непрерывный сепарабельный процесс не имеет
разрывов второго рода. Из замечания 3 § 9 вытекает, что для
непрерывности процесса ^ (t) в точке t^ достаточно, чтобы
? (^0 -j- 0) ^ ^ (^0 — 0). Обозначим через Vg число точек t, для
которых \^{t-\-0) — l(t—0)|^£. Непрерывность ?(/)
эквивалентна утверждению: v^^O для всех е^О или, что тоже
самое, VI = О для всех натуральных k. Мы используем эти
k
соображения при нахождении ' условий непрерывности
процесса S СО-
Теорема 1. Для того чтобы сепарабельный
стохастически непрерывный процесс с независимыми
приращениями l(t) был с вероятностью 1 непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого е]>0 и
« = ^о<^1<...<^. = ^
Ит i]P{|^(^.)~4^.-i)l>s}=0. (ЮЛ)

52 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ |ГЛ. 2
Доказательство необходимости. Если процесс
с вероятностью 1 непрерывен, то он будет с вероятностью 1
и равномерно непрерывным на замкнутом отрезке [а, Ь].
Обозначим через А^ случайную величину:
Д,= sup 1^^0-4^2)1.
Из равномерной непрерывности ^ (t) вытекает, что Л/^ —* О
с вероятностью 1 при ^ -— О, значит, для всякого е ]> О
limP{A^>£}=:0. (10.2)
Пусть й = /о <С ^1 <^ • • • ^^л =^ ^- 'Тогда
Поэтому
sup \Ht,)-цt,_,)\^^,.
р{ sup |?(^*)-?(^*-01>г}^Р{Дл>4- (10-3)
Заметим, что
Р{ sup |?(/,)_e(^,_,)l>4 = P{lU^i)-U^o)l<4 +
xp{i4^«)-^(^«-i)i>^}^i;p{iu^;)-^(^y-i)i>4x
y=i

« I0| УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПРОЦЕССОВ 53
Но
= Р{ sup |и^/)-иМ1<^}^Р{Дл<4
Таким образом, учитывая (10. 3), получаем неравенство
ИЛИ
2^{\4h)-4h_o\>^}
Из этого неравенства, ввиду (10.2), вытекает доказательство
необходимости условия теоремы.
Доказательство достаточности. Как уже было
выяснено перед формулировкой теоремы, для доказательства
непрерывности i (t) с вероятностью 1 достаточно показать,
что Р {vi =0, ^= 1, 2,...} = 1, т. е. достаточно показать,
k
что P{vi=0} = l для натуральных k. Покажем, что для
Ъ
всех £>0 P{v, = 0} = l.
Пусть a = t(^^^ <^t[^) <1.. .<^t(^^=^b и max l/^^^^ —^^1J~0
1 < /г ^' л
при Я—>оо. Обозначим через v^'^) число индексов i, для
которых 11 {tf]^ j) — % {t^P''>) I ^ -у. Легко видеть, что если при
некотором ^ |^(/-|-0) — %{t — 0)|^£, то при достаточно
больших п I U^l-''^) ■—4^f| i) I > ^ > если только ^('^)</^</^(^j.
Поэтому для любой последовательности п^^—-оо
\^^\ *. (10.4)

54 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Пусть W^ (х) = 1 при I -Г I ]>у, W^ (х)=0 при |x| ^ у Тогда
п
П
A;=l
k = {
Из условия (10.1) вытекает, что для всякого S^O и k
можно выбрать такое п^у чтобы
i = \
Тогда Mv^^^gfe- Поэтому, переходя в неравенстве (10.4)
оо
к математическим ожиданиям, получим: Mvg^^ ^ = S.
k=\
Так как S^O произвольно, то Mv5 = О, значит, Р {vg=0} = l.
Теорема доказана.
Полученные в теореме 1 условия непрерывности
процессов с независимыми приращениями позволяют установить
существование всех моментов у непрерывного процесса
с независимыми приращениями.
Теорема 2. Если I(t) — непрерывный с вероятностью 1
на [й, Ь] процесс с независимыми приращениями, то для
каждого т^О М | ^(^) — 1(а)\^равномерно ограничено по t.
Доказательство. Пусть а = t\l^^ <^ ^j'^) <]... <] t^"'^ = b
и max(ft'5_i—tf^)='^n~^^- Обозначим через l^^ случайные
величины, определенные соотношениями
{%{tf))-~%{m_^l если |^(^H)_^(^Wj)|^l,
^'^'■""1 О, если |Е(^(-))-Ц^(Д^)|>1. ^^^'^^
Пусть
S«(0 = I;^«^ (10.6)

§ 10] УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПРОЦЕССОВ 55
Оценим вероятность Р {| ^„ (О — ПО + U^) I > ^ }• «Легко
видеть, что если для всех k U^jf^)—^if^k-x^"^^nky то l^{f) =
= n^j''0 —U«), где /H<^^/j'!|.i. Поэтому
Р{ИЛ0-Ч0 + ^(«)1>з}< sup P{\W)-4n\y
>s} + P{ sup |^(/Ы)_^(/(п)_^)|>1}^
^ sup P{|$(o-uoi>e} + Sp{|H4'")-
-^(eii)l>4- 00-7)
Так как ^(0 стохастически непрерывен и для него
выполняется (10.1), то Р { Ия (О — U0 + U^) I ^ ^ } может быть
сделана сколь угодно малой для всех t ^ [а, Ь\ и для всех
достаточно больших п. Используя неравенство
а также то обстоятельство, что %{t) ограничен по
вероятности, убеждаемся, что Р {| ^^ (О I ^-^} можно сделать сколь
угодно малым для всех t и достаточно больших п. Так как
\пФ представляет собой сумму ограниченных независимых
слагаемых, то на основании теоремы 4 § 3 можем заключить,
что существуют такие С^, что Ж\%^(1:)\^^С^. Доказатель-
Р
ство теоремы вытекает из того, что ^«(О^^^СО — ^ (^) па
основании (10.7).

ГЛАВА 3
АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
§ 11, Меры, построенные по скачкам процесса
Пусть I (t) — определенный на [а, Ь] стохастически
непрерывный сепарабельный процесс с независимыми
приращениями. Как вытекает из замечания 4 § 9, переходя к
стохастически эквивалентному процессу, можно достичь того,
чтобы такой процесс был с вероятностью 1 непрерывен
справа. Всюду на протяжении этой главы будут
рассматриваться лишь непрерывные справа с вероятностью 1
стохастически непрерывные процессы с независимыми приращениями.
Скачком такого процесса в точке / будет называться
величина ^(t) —1(/ — 0). Число скачков |(/), превосходящих по
абсолютной величине е, конечно, каково бы ни было £^0.
Это вытекает из отсутствия разрывов второго рода у |(/).
Пусть А — некоторое борелевское множество в пространстве
/^^'"^ значений |(^) (мы в этой главе будем в основном
рассматривать векторные процессы, так как почти все
рассуждения не будут зависеть от размерности пространства). Пусть
при некотором £^0 Л не содержит точек jc, для которых
|jc|<^e. Тогда будет лишь конечное число таких точек
t ^ [Uy b]y для которых |(^) — I(^ — 0) ^ А. Обозначим через
v(ty А) число точек s, для которых |(s) — |(s — 0) ^ Л и
s^t. При фиксированном А v (/, А) будет случайным
процессом, неубывающим и принимающим лишь целые
неотрицательные значения. Пусть (J^ — множество тех jc, для
которых I XI ^ е. Обозначим через ЗЗ^ совокупность всех боре-
левских множеств, целиком лежащих в U^.
Теорема 1. Величина v (^, А) при фиксированном
Л ^ 33, является стохастически непрерывным процессом

§ 11] МЕРЫ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СКАЧКАМ ПРОЦЕССА 57
С независимы ми приращениями, а при фиксированном
t ^ [а, Ь] V {ty А) является мерой по А на о-алгебре *) ЗЗ,
(значения этой меры случайны).
Доказательство. Второе утверждение теоремы
очевидно. Будем доказывать первое. Обозначим через Ш[8, t\
совокупность случайных величин, которые можно представить
как предел сходящейся по вероятности последовательности
вгтчш g,{Ut\-))-Us\ ... A.{t^:^)-Us)\ rjxeg.iXu...
... , Хп) — борелевская функция п аргументов (векторных),
а t["'\ ... , t^^^ — произвольные точки из [s, t].
Если ci = tQ<^ti<^. ,.<^tj^, то совокупности
величин Я)1[л_|, f] независимы. Это вытекает из того, что
величины li ^ ЭЛ[/^_1,/.] являются пределами функций от
приращений I (s) на [ti_iy ti], из независимости приращений | (s)
на непересекающихся промежутках, а также из теорем 1
§ 2 и 3 § 1. Установим теперь, что v(A,ti) — v(Л, ti_^)^
^^^\ti^\,ti\' Д'^я этого отметим следующие свойства Ш[t^_'^,tl\.
1) Если li, |2> ... > lk^^ti__x^tib то для любой боре-
левской функции g"(JCi, ... , Xf^ имеем g"(|i, ... , Ы^
2) Если ln^^[ti__^,ti] и |„->|, то и IG9)l[/,._i.//l.
Свойство 2) очевидно. Для доказательства свойства 1)
заметим, что оно справедливо для непрерывных функций g,
р
так как если т}^.'^)—>|у и tjC'^)—борелевские функции
приращений \{s) на [ti_i, ti\ то
ёН'\ ... > Ч^^)^ё(1ь ... , У и g(ri^-), ... , <-))
будет также борелевской функцией приращений |(5) на
[^i-i> и\' Из свойства 2) вытекает, что свойство 1) будет
иметь место и для функций g(Xiy ... , х^у являющихся
пределами в каждой точке для последовательностей
функций g^, для которых свойство 1) справедливо. Таким образом,
класс функций, обладающих свойством 1), содержит все
*) Совокупность множеств @ называется а-алгеброй, если: 1) все
эти множества являются подмножествами некоторого множества
^ ^ (S; 2) из Л ^ ©, В ^^ вытекает, что Л —Д Л П ^, Л ij ^
принадлежат ^\ 3) если Л^^ ^ (S, м= 1, 2, ... , то [\ А^ и U ^л ^ ®.
п п

58 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. 3
непрерывные функции и замкнут относительно сходимости
функций в каждой точке. Поэтому он содержит все боре-
левские функции.
Определим случайные величины о);^, й=1, 2, ... ,
следующим образом: если на отрезке [ti_i, ti] случайный
процесс не имеет скачков, превосходящих по абсолютной
величине £, то все о);^ = 0; если же в точках '^i<C['^2<^...
•••^'^г G [^/-ь ^i] и только в этих точках отрезка [ti_iy ti]
процесс КО имеет скачки, превосходящие по абсолютной
величине £, то 0)^- = I (т;) — I (т^- — 0) при i = 1, 2,..., г, 0)^=0
при i^r. Величины (о- принадлежат Ш[t^_l,/^].
Действительно, пусть фДл:)=1 при |x|]>£, фДл:) = 0 при |л:|^£,
ср;^(/^)=1, ср;^(х) = 0 при x^k,
^._1 = f Н < t[n) <;...< ^^'^) = ^., lim max (И^^) _ ^Ы ^) = О;
положим
(О, = lim 2 ср, (;^ Фа а (tf) - I (t(^2,))) [| (tin)) _ I (^(/г)^)] X
Тогда
оо /
<^к=^Ъ (Ц Фа (^у)) ^/ Фз (^/).
Если хл (х) — характеристическая функция множества Л,
то ХА(^г)^ЭЛ[/,-_1,^/]> ^ значит, и
оо
оо
Легко видеть, что v(t^, Л) — v (^;_i, Л)^2хл(^/)- Таким
образом, V (^j-. Л) — V {ti_i, Л) при различных i независимы.
Значит, V (t, Л) является процессом с независимыми
приращениями. То, что v(^. Л) стохастически непрерывен, вытекает
из того, что по определению v (t, А) он непрерывен справа,
а событие {v(^ — 0,A)^v(tyA)} влечет событие {|(^ — 0)^
7^1(0}) которое имеет вероятность нуль. Таким образом,
V (t, А) с вероятностью 1 непрерывен при каждом
фиксированном t, а значит, и стохастически непрерывен (сходимость

§ II] МЕРЫ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СКАЧКАМ ПРОЦЕССА 59
С вероятностью I влечет сходимость по вероятности). Теорема
доказана.
Замечание. Введем для | (t) процессы |л (О-
1(5)-1(5-0)^ л
(т. е. процесс |л (О представляет собой сумму скачков |(5),
происходящих до момента t и попадаюидих в множество Л).
Тогда процесс |л (t) будет стохастически непрерывным
процессом с независимыми приращениями. Доказательство этого
факта следует из соотношения
со
1а (ti) — и (ti-i) = Ц Хл ((^k) Щу
где (i^k — величины, введенные при доказательстве теоремы.
Теорема 2. Для всякого А ^^^ существует N[v(ty Л)==
= 11 (t, Л) и U(ty Л) является конечной числовой мерой
на 33,.
Доказательство. Существование Mv(^, А) будет
вытекать из существования Mv {t, UJ, так как при Л ^ Sg О ^
<v(/^, ^)^v(^, UJ, Пустьфр(л:) = 0 при |jc|^p, фр(л:)=1
при IJCI ^ р. Рассмотрим такую последовательность
разбиений отрезка [а, t]\ a^t^^ <^. ,,<^t^^^ = t, чтобы
lim max(^[.;j)j — Л«)) = 0. Положим
n-*Qo i
\(i> p)=i;i>p(i(to-i(e\))-
Легко видеть, что v„(^, p) убывает ери при р<^£:
Ит v„(^, P)^v(^, ф, (11.1)
а прир<^£ l\m^n(ty p)^v(t, t/g). Так как величина v(/^, (JJ
/г->оо
С вероятностью 1 конечна для всякого е^О, то v^(^, р)
ограничены по вероятности равномерно относительно п. Кроме
того, v^ (t, р) представляет собой сумму независимых
случайных величин, не превосходящих 1. Используя теорему 4 § 3,
можем утверждать, что для каждого т существует L^{p),

60 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
для которого М [v^ {t, р)]^ ^ L^ (р). Поэтому и М [lim v^{t, р)]^ ^
^Ljji(p). Отсюда вытекает, в силу (ИЛ), что при е^р
^["^(^у ^е)]'" ^ ^т (р)> т. е. величина v(/, А) имеет моменты
всех порядков при Л ^ ЗЗе- Пусть П(/, ^) = Mv(/, Л). Если
последовательности множеств Л;^. ^ ЗЗ^ и Л^ не пересекаются,
то
Ht, UA,)=J^Hi, Л,).
k=\
k=\
Следовательно,
/г /г
= MIim 2 ^(^ Лд,)=Ит М ^ ^ (^> ^k) =
п со
Переходить к пределу под знаком математического ожидания
можно, ввиду теоремы Лебега из § 1, так как
^ оо оо
гГ] ^=1 /^=1
Теорема доказана.
§ 12, Независимость значений меры v (t, А)
на непересекающихся множествах
В этом параграфе мы покажем, что мера v(/, Л)
обладает следующим свойством: для любого набора множеств Л^
Л2, ... , Л;^, из Sg, не имеющих попарно общих точек,
случайные процессы v(i, Л^, ... , v(t, Л^) будут независимы,
т. е. k совокупностей случайных величин {v(^, Л^}, ...
... , {v (^, Л;^,)} будут независимы. Для доказательства этого
факта установим некоторые свойства процесса |л (0> опреде-
ленного в замечании § И.
Теорема 1. Пусть Л ^ Ъ^. Тогда процессы |л (t) и
I (t) — |л {t) независимы.

§ 12] НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ МЕРЫ v^ Л) 61
Доказательство. Предположим сначала, что
множество Л таково, что II (^, AP\R^"^^ — Л) = 0; здесь b—
правый конец отрезка изменения t^ А — замыкание
множества Л, так что Л П R^^^ — ^ — граница множества Л; П(^, Л) —
мера, определенная в теореме 2 §11. Для доказательства
теоремы достаточно показать, что для любого набора
векторов Zu -г'2, ... у z^ и Uu и^у .,. t Ur из R^^^ и произвольных
/^1, ^2, ... , t^ из [а, Ь]
М ехр {/ 2 (1л (tjl Zj) + / i] (I {tj) - и (tjl uM =
1 1
r r
= Mexp {i 2 Ha (tj), Zj)} M exp {i ^ il (tj) - U (tj), Uj)} (12.1)
(здесь г=|/=П"). Пусть a^^W <^(«)<...</<;'' = *,
X„ = max (^^") — ;'<.")_,), lim X„ = 0. Введем величины
ft и-юо
— I (^^'^2_ i) — lir^ ^ле x^ C-^) — характеристическая функция
множества Л. Положим
Из условия II(^, Af^R^^^—A)^0 вытекает, что с
вероятностью 1 скачки |(^) не попадают на границу
множества Л. Поэтому |,г(0—"1л(0 по вероятности, а значит, и
'П/гСО—^КО — 1л(0 по вероятности, так что для
доказательства (12.1) достаточно доказать, что
lim [М ехр Н 2 [(б„ (tj), zj) + (r,„ {tj), Uj)]] -
- M exp {«2 (l« itjl г,)] M exp {^^ (Л„(^у). «/)}]= 0-

62 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Последнее соотношение будет установлено, если мы покажем,
что для всякого С^О
п
lim sup [Мехр{^2;ЩЧ 4''0 + «^ Ч'^ОЦ —
п п
-Мехр \i^(|]^«), 4"')} Мехр {1^Ы^\ чЩ = О- (12-2)
Оценим разность
М ехр {Kli"', 4"') + ^ (^i,">, и<а"')} -
— Mexp{i(|(f, 4"0}Мехр{г(л^. «f)}-
Из величин 1^") и к)^"' хотя бы одна равна нулю, значит,
(Я^, ^;(f')(ilfc'^ и^"0 = 0- Поэтому
ехр \Х {\f,z(-^) + i (л!Г^ «ir')} = 11 ji [^ (I';'. 4"') +
+t (!,(«), <))г=1+ 2; ^([Kii''\^rW)r+[j(Tiw «<f)]o=
и
IM exp {i (|(«), гМ) +1 (Ti^, ttW)} - M exp {i (|W, 4"))} X
X M exp {«(iij"), «W)} I = I Me ^^* ' * * — 1 l|Me '^* • "* ' — 11.
(12.3)
Учитывая, что пары \^^'^, x^^^ независимы при разных k^ и
используя неравенство
п п п
если I й/j I ^ I, I й;^ I ^ 1, получим из (12.3), что для
доказательства (12.2) достаточно показать справедливость соотношения
lim sup Ya\^^ ^ —1||M^^^^ '^ ^—11=0.(12.4)

§ 12] НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ МЕРЫ v(^ А) 63
Последнее равенство будет вытекать из соотношений
lim sup IM^'^'^^''^'"^—1| = 0, (12.5)
Л-+00 l^ft^n
.■(il"Ui«')
lim sup 21^^ • 'k > _ 1 |<;;oo, (12.6)
которые сейчас будут доказаны. Заметим, что для всякого
8>0
I м е'"'"*"'- "*"^> _ 1 I ^ 2Р {| Tjf I > 8} + 8С ^
^ 2Р {11 (^f) -1 (^(,«1,) I > 8} + 8С,
так как \е^"-—1|^|а1, поэтому (12.5) вытекает из
произвольности 8^0 и равномерной стохастической
непрерывности I (t). Далее, так как
e''4''k)_i\^ 2хл (I (tP) -1 (t^^l О),
то
^2|]Мхд(|(4'")-5(4"2.)).
Равномерная ограниченность правой части этого неравенства
установлена при доказательстве теоремы 2 § 11. Неравенство
(12.6) доказано, а значит, доказана теорема для множеств Л,
для которых П(й, Лр|/^И)_Л) = 0.
Для доказательства теоремы в общем случае отметим
следующие свойства совокупности g множеств Л, для которых
справедливо утверждение теоремы: 1) если Л^^ 5 и Л„С1
С.Лп+1 или Л;гЭ^«+1 для всех //, то U^/г $ 5 и П^/г6 ^^;
2) все открытые множества из R^^"^ принадлежат ^.
Доказательство свойства 1) вытекает из того, что процессы |(/) и
ц (t\ являющиеся пределами в смысле сходимости по
вероятности процессов |„(0 и %(0, независимых при каждом п,

64 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. .1
будут также независимы (если Л„С^/г+1 ^ ^ = U^/z' то
п
\а^ (О —' 1л (0)- Свойство 2) справедливо, так как всякое
открытое множество можно представить в виде суммы
счетного числа открытых сфер ^S', для которых П {Ь, SC]R^^^—S)=0.
Так как совокупность множеств, обладающая свойствами 1)
и 2), будет содержать все борелевские множества из /?^'"\
то этим и завершается доказательство теоремы.
Теорема 2. nycmb''i^{t) = %{t) — |^/Д0> ^ ^ь-^у^к —
множества из Ъг, попарно не имеющие общих точек.
Тогда процессы v (/, ^i),..., v (^, ЛД Is (О независимы.
Доказательство. Нам достаточно показать, что 1)
процесс Is (О не зависит от совокупности процессов v(^, Л^, ...
..., v(^, Af^) и что 2) процесс v (/, Ai) не зависит от
совокупности процессов V (/", i4i),..., v (/", Ai,..i), v {t, Л;^i),..., v (/", A^^.
Процессы le (^) и It/ДО независимы по теореме 1. Легко
видеть, что мера v (/", А\ построенная по процессу |^/Д0> так
же как V (/", А) построена по процессу | {t), будет совпадать
с мерой V (/", А) при Л g Se. Значит, v (/", А) при Л ^ ЗЗг
будет пределом борелевских функций от значений процесса
\и^ (О, не зависящего от процесса l^ {t). Поэтому
совокупность случайных величин v (^, Л^,..., v (^, Л;^,) не зависит от
Is {t). Для доказательства утверждения 2) рассуждаем
аналогичным образом. Процессы £лДО ^ КО —1^/(0 независимы.
При j ф 1 мера V. (t, Aj), построенная по процессу | (t) —
— |лДО> будет совпадать с v (/", /ly), а v(/'. Л;) представляет
собой число скачков процесса |лДО- Совокупности величин
{v (^, Aj), j 7^ 1} и {v (^, Ai)} построены из значений
независимых процессов 1(0 — 1лД0 ^ 1лД0> поэтому эти
совокупности будут независимы. Теорема доказана.
Следствие. Мера v(t, Л) при каждом t имеет
независимые значения на непересекающихся множествах.
Такие меры мы будем называть мерами с независимыми
значениями.
Мера V (^, Л) определена на а-алгебре Ss при любом
s^^O. Обозначим через ЗЗо кольцо множеств*), содержащее
*) Совокупность множеств Ъ называется кольцом, если из
А^^, В^Ъ вытекает А —В ^% А [\ В ^Ъ, А \j В ^'Ъ.

§ 13] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ПО СЛУЧАЙНОЙ МЕРЕ 65
множества из ЗЗг при любом г^О и множества вида [J Ak,
где Ak^'^sk ^ „
lim П(^ О Л;^)<оо.
п-^со k = I
00 п
Определим для таких множеств v (г', IJ ^y^) = limv(f, (J ЛД
k= 1 л->со k= I
Так продолженная на кольцо 5?о мера v {t^ А) будет
по-прежнему иметь независимые значения.
§ 13. Стохастический интеграл по случайной мере
Для представления случайного процесса | {t), а также
некоторых величин, связанных с процессом \{t) (например,
процесса |д {t)), нам понадобится интеграл
\^{x)^^{t, dx). (13.1)
А
Ниже дается определение этого интеграла.
Пусть Л ^Se и функция ср (jc) измерима по Борелю и
конечна. Возьмем произвольную последовательность
с^^)^ ^ = 0, ±1, ±2,..., для которой lim с^^^ = —со,
/г-> —оо
lim с^^) = -]- оо, о ^ с^^) ^ — с(^^^ ^ h. Обозначим через А^^^
/г-> + оо
подмножество множества А, для которого c^^'^^^(x)<C^c^^h-
Положим
оо % оо
ЫЛ)= S cWHt, AW) + 2 ^%4t, AW,_^). (13.2)
Если существует предел 4 (Л) в смысле сходимости по
вероятности, то этот предел обозначается \^{x)'i{t, dx). За-
А
метим, что сходимость рядов (13.2) вытекает из того
обстоятельства, что среди величин v (t, Ai ^) будет только
конечное число отличных от нуля. Если имеется другая
последовательность dk\ получающаяся из последовательности Ck
добавлением некоторых членов, и Гп{А) — величина (13.2),
построенная по последовательности di \ то легко убедиться,
''^ !//;(л)-/д(/1)|<ь(/, А).
3 А. в. Скороход

66 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. 3
Следовательно, для любых hi и h,2
|4,(^)-//>.(^)I^(^ + ^2)V(^, А),
каковы бы ни были последовательности с^^^^ и d^^\ Значит,
lim |4ДЛ)~4ЛЛ)| = 0
и предел lim 4 (^) существует всегда с вероятностью 1.
Отметим основные свойства интеграла (13.1).
1) Если множества Л^ Лз, ... , Af^ не пересекаются и
при некотором s ^ О все принадлежат Se, то
k
причем слагаемые в правой части независимы»
Это свойство является непосредственным следствием
определения интеграла.
2) Если функции cpi (л:) и срз (л:) измеримы и конечны^
А G %, /^^о
5 [acpi (л:) + ^Ъ U")] ^ (^, dx) =
л
-= а 5 cpi (х) V (г^, dx)-\-^\ ср2 (х) V (г^, dx\
А А
Доказательство этого свойства легко получить,
используя следующие свойства 3) и 4).
3) Пусть функция ср (л:) принимает лишь конечное
число значении ср^, срз,..., ^^. Если Ai — подмножество
множества А, для которого ср(л:) = ср., x^Ai, то
\^{x)^{t, ^jc)=J]cp,v(^, А,).
А I
4) Если I ср (jc) I ^ С, то
I 5 Т (л:) V {t, dx) I < Cv {t, A\
A
a при cpi<]cp2
л л
Оба этих свойства являются очевидными следствиями
определения интеграла.

§ 13] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ПО СЛУЧАЙНОЙ МЕРЕ 67
В ТОМ случае, когда функция ср(х) непрерывна, а
множество А ограничено, удобнее определять интеграл следующим
п
образом. Пусть А^= \J А^, где А^ попарно не имеют общих
точек. Обозначим через X максимальный из диаметров
множеств А^. Выберем в каждом из множеств А^ по точке х^.
Тогда п
5 ср (л:) V (t, dx) = lim 2; Т {X,) V (/, А,). (13.3)
Эта формула вытекает из 4) и 3).
Отметим еще условие, при котором можно переходить к
пределу под знаком стохастического интеграла.
5) Пусть ср^ {х) — измеримые по Борелю конечные
функции, ср„ {х) -> ср [х) для всех X. Тогда
\ Т/г W ^ (ty dx) -^ 5 ^ (JC) V (t, dx) при п->со.
А А
Доказательство. Возьмем разбиение {с^^"^] интервала
(—ОС, со) и построим величину /д(Л) для функции ф(л:) =
= sup I ср^ (jc) |. Из построения и свойства 4) вытекает, что
п
\h{A)-\^{x)^{t, dx)\^bit, А).
А
Обозначим через т максимальную из величин с^^"^ таких, что
V (^, В^^^)^0, где В^^"» — множество тех л:, для которых
с^^^ ^^{x)<^cf},y Тогда, если BdA, то
\^{x)^{t, dx)^niv(t, B)-\-hv(t, А),
в
Пусть теперь В^^ обозначает множество, для которого
оо
sup I срд^ — ср I > 5. Тогда В^ 15 ^/г+1 и П ^/г "Усто. Поэтому
V (t, Вп) -^ о при п^-сю,
I \ [? (X) ~ ср, (л:)] V (^, dx) I ^ Ь, (t, А) +
А
-\-2\ ф (д;) V {t, dx) < (S + 2/г) v {t, A) + 2otv (t, B„).
3*

68 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Доказательство утверждения 5) вытекает из произвольности
8>0и/г>0и того, что ^{t, BJ — 0.
Наконец, последнее свойство:
6) Если 51 ср (jc) I П {U dx) < ос, то
А
М 5 ср (jc) V {t, dx) = 5 ср (jc) П {U dx),
A A
Доказательство получается из определения, если учесть,
что П(^, /l) = Mv(^, А).
Покажем, что процесс |л(0 можно записать в виде
стохастического интеграла по мере v {t, А).
Теорема. Если А ^ Фе, то
lA{t) = \x^{t, dx). (13.4)
А
Доказательство. Покажем сначала, что (13.4) имеет
место для того случая, когда множество А ограничено. Пусть
п
л = у Лд,, множества А^ не имеют общих точек и Л^г^Фе.
k = \
Тогда
п
^ jcv {t, dx) =2 5-^^ (^' ^•^)-
А /г = 1 Лд,
Выберем в каждом из множеств Лд, по точке Xj^. Обозначим
через \ максимальный из диаметров множеств А^. Легко
видеть, что \\Aj^{t)~Xk^{t, Ak)\^^(t, Ak). Поэтому
\x^{t, dx) — lA(t) к 21 5 XHt, dx)~lA^{t)\^
A k=] A^
n
2 ( I \ x-^ (t, dx) - x,v {t, Aft) I + I |л^ (0 - ATftV (t, A,)\)^
г
n
^2X 2 Hi. Ak)= 2b {t, A).
fe=i
fe=i
Так как X можно выбрать сколь угодно малым, то из
последнего неравенства вытекает (13.4) для ограниченных А.
В общем случае выберем последовательность ограниченных

§ И] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН v(/. Л) и |^{/) 69
борелевских множеств Л„, для которых А^а^п^х ^
\J Ап = А. Тогда
п
Переходя в этом равенстве к пределу и используя то
обстоятельство, что |д (/')== Ит|л^(^) с вероятностью 1, а также
п-^со
свойство 5) стохастических интегралов, получим
доказательство теоремы.
§ 14. Распределения величин v(f, Л) и |д(^)
Так как процесс v (^, А) является процессом с
независимыми приращениями, то для определения конечномерных
распределений V {t, А) достаточно знать распределения величин
^(^2> ^) — ^(^ь ^) при tx<^t<^, так как v (л, Л)==.0.
Теорема 1. Если А ^ ЗЗе, t^ <^ t^, то для всех
неотрицательных целых k
_[П(^„ Л)-П(^, Л)]^ -[ii(/,. Л)_п(^ьЛ)1 /14 П
//7. ^. V (^2> ^'^) — "^ (^ь ^) имеет распределение Пуассона
с параметром П(^2> ^) — II(^i, Л).
Доказательство. Предположим сначала, что для
множества Л выполняется условие П (Ь, А П /^^'"^ — Л) = О
(аналогичное тому, которое накладывалось на Л при
доказательстве теоремы 1 § 12). Пусть ti^t^o^^<^, ,,<^t^r!^^ = t^,
\^ = тах \tf^ — ^)-i|> li"^ ^/г^^> X^ W — характеристиче-
/ n-*oo
екая функция множества Л, ?|"^ ^ )^д (K/'f ^)—К^'!! i)). Как
уже отмечалось при доказательстве теоремы 1 § 12,
п
2 ^Г^ будет сходиться по вероятности к v (t^, Л) — v (t^^ Л).
i = \
Поэтому
п
P{4h, A) — ^iti, A) = k\= limP|2]?l"'=4 (14.2)
n-*co ^

70 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Так как величины l^P'^ независимы и принимают лишь
значения О и 1, то
' ',<'s<---<'ft
Учитывая, что P [W^ =1= 0} ^- 1 равномерно no i при n^^oo
ввиду равномерной стохастической непрерывности | (г'),
убеждаемся, что для доказательства формулы (14.1) достаточно
установить равенства:
п
lim П P{lf = 0} = ехр{—П(^2. ^) + П(/„ Л)}, (14.4)
k
lim У rf Р {i<?' = 1} = i [П {U, Л) - П (^1, Л)]*.
(14.5)
Существование пределов в формулах (14.4) и (14.5) вытекает
из
формулы (14.2). Отметим, что lim \\ Р {^Г^ = 0}7^0,
Действительно, так как
2 \1^{^х=цЩ1^{^г=ц
■^ш («2 Й-' )•
И правая часть последнего неравенства ограничена
равномерно по п (это установлено при доказательстве теоремы 2 § 11),

§ 141 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН v(f.A) и |д(Л 71
п
ТО В случае lim Q Р {1^Р^ = 0\ = 0 из (14.3) вытекало бы,
что для всех k
P{v(^2, Л) —v(^i, Л) = ;^} = 0,
это же невозможно. Обозначим
Л= lim fj P{$^f =0}.
Тогда
|;(P{^f = i} + inP{^l.'^) = o}) =
\l-supP {5l">=l} .4', /
/г
так как sup P {^1-''^= 1}-^0, a сумма ^ P{^/''^ = 1} ограни-
i r = 1
чена, как уже отмечалось выше. Поэтому
lim 2 P{^i-''^ = 4=—Ит 2 lnP{Ef^ = 0}=—1пЛ.
Рассмотрим разность
(14.6)
В этой разности останутся лишь члены вида
„.,' „. ,р{^1-:=1Г'...р 1^*^'-,=if''*-'.
'^q'^ia' ••• '^ik-
где a^ +. ..Н-а^д,_ j = ^. Таким образом, среди чисел а^
будет хотя бы одно, превосходяш.ее 1. Вынося из каждого члена
сомножитель Р{5/'*^=1}, если он первый входит в степени,

72 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОЗ [ГЛ. 3
Превосходящей I, получим такую оценку для разности (14.6):
п
i — \
Поэтому Л^ -> о при п->оо. Значит,
k
lim
2 11^1^^:^=^!
(/г)_11_( —1пА)*
«\ < . . . < /к 5 = 1
Таким образом, P{v(^2» ^) — "^(hy A) = k}=A- ~—^—,
т. е. V (^2> Л) — V (^1, Л) имеет распределение Пуассона с
параметром — In Л, так что
с другой стороны, М [v (t^, Л) — V (^1, Л)] = П (t^, Л) —
— П(^1, Л). Отсюда и вытекают формулы (14.4) и (14.5),
а значит, и доказательство теоремы для того случая, когда
Л{Ь, А f] R^"^^ — Л) = 0. При доказательстве теоремы 1
§ 12 уже было показано, что класс множеств, содержащий
множества Л ^ 33s, для которых П (^, Л П ^^^^ — Л) ^ О,
и замкнутый относительно операций счетного сложения и
счетного пересечения множеств, содержит все множества из
33s. Поэтому, чтобы убедиться в справедливости теоремы
в общем случае, достаточно заметить, что предел в смысле
сходимости по вероятности случайных величин, имеющих
распределения Пуассона, тоже будет иметь распределение
Пуассона.
Используем теперь теорему 1 и представление (13.4)
для нахождения характеристической функции величины ^д (t).
Теорема 2. Для всякого А ^Ье и z ^ R^"^^
Mexp{i(^, 1аШ =ехр {\(e^^^^'') — l)Jl{t, dx)}. (\АЛ)
А
Доказательство. Рассмотрим сначала случай ограни-
п
ченного множества Л. Пусть А= \J Лу, где Aj — борелев-
ские множества без общих точек, I — максимальный из диа-

§ 141 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН v(t,A) и |д(/) 73
метров множеств Aj. Если Xj^Aj, то поскольку функция л:
непрерывна, используя (13.Э), получим
lAit)= lim^-^XjHt, Aj).
Поэтому
Х->0у_1
^ti^.tAit))^ lim exp{i2 (^' A:y)v(/, Лу)},
X-^O y_,
и no теореме Лебега § 1
X-.0 y_i
lim "Q Mexp {(г, Xj)v(t, Aj)} (14.8)
x-*o
. = 1
(так как величины v (t, Aj) независимы). Величина v (/, Aj)
имеет пуассоновское распределение с параметром П(^, Лу),
значит, м.'>^(''^> = ехр{(.'>-1)П(/, Л,-)}.
Итак, из (14.8) вытекает соотношение
M^'I^.I.aW) = lim exp {2 (e'^^V - 1)П(/, Aj)} =
X-O ^.„i
=:exp{lim 2 (^'''■'*/'—1)П(^ Лу)}.
л — о .■ _
/=1
Но
2 [5(е''^-^' -1)П(^, й;с)-(.'<^''/-1)П(^, Aj)]\
< S I ^ [^' *^' '* — ^' '^' ■"'■'] П (/, йд;) к I г I ХП (/, Л).
Следовательно,
lim У (е' <^- '.л) — 1) П (t, Aj) = \ (е' (^' *) — 1) П (t, dx).

74 АНАЛИЗ СТОХАСГИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Теорема доказана для ограниченного А. В общем случае
можно указать последовательность ограниченных множеств Д„,
для которых Л„ С ^/г+1 ^ U ^/г = ^- Тогда ^л (О = 1^^ ёл ^ (О
/г -»■ оо
с вероятностью 1, следовательно,
/г -»■ ОО
= Ит ехр {\ (е^ (^' •*^) — 1) П (t, dx)} =
п —*■ со д
= ехр { 5 (е^ U. •^) — 1) П (/, ofjc) |.
А
Теорема доказана.
Замечание. Применяя теорему 2 к процессу |(t) — '^(^j),
рассматриваемому на [^i, ftj, получаем
Мехр{К1л(0-|л(^1), ^)} =
= ехр { 5 (^' (^' •*^) — 1) (П (t, dx) — П (fi, dx))}. (14.9)
§ 15. Непрерывный процесс с независимыми
приращениями
В этом параграфе будет установлено, что класс
непрерывных с вероятностью 1 процессов совпадает с классом
процессов с независимыми прираидениями, стохастически
непрерывных и обладаюидих нормально распределенными
приращениями.
Теорема 1. Если | (/) — непрерывный с
вероятностью 1 процесс с независимыми приращениями, то для
всех ti и t^^ [а, Ь] величина | (t^) — | (^i) имеет
нормальное распределение.
Доказательство. Из теоремы 2 § 10 вытекает, что
М||(/) —1(«)|* для каждого ^^0 ограничено равномерно
. по t Пусть I, (t) = l(t)~l(a)-^ [I (t) -1 (a)l I, (t) будет
с вероятностью 1 непрерывным процессом (непрерывность
М[|(/) — ^(а)] вытекает из непрерывности |(/) с
вероятностью 1, равномерной ограниченности М||(^) — |(«) | ^ и
теоремы 2 § 7). Все абсолютные моменты процесса |i (t)

I 151 ПРОЦЕСС С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 75
будут равномерно ограничены по t. Покажем, что |i (t) имеет
нормально распределенные приращения. Предположим сначала,
что ^1 (t) — числовой процесс. Прежде всего установим
некоторые вспомогательные предложения. Пусть
^1 = ^0 < ^1 <... < ^^ = ^2; ^ = max (tj'j^ 1 — tj);
J
n
1) М(2](ДУ')'<М[а1(^2) —^iC^i)]*- Действительно,
учитывая, что MA^j^O, и независимость Д|,-, получаем
м [$1 (td - \, {h)f=м (2 да,]*=м {|] (де,)* +
+ 6 s (Ау^Аа/ди=м{|;(д$,)*+
2) lim M sup(A?^,)2 = 0. (15.1)
Для доказательства (15.1) выберем функцию в (К) так, чтобы
п
Ит V Р {1 А^У I ^ в (X)} = О и £ (X) -> 0. Возможность такого
выбора обеспечивает теорема 1 § 10. Пусть ф(;(/г)=1 при
/г < С, фс (/г) = 0 при /г ^ С. Тогда
sup(Ay^^s^(X)^3(X)(sup|A^^|) +
k k
+ 1](ДУМ1-фмх)(8ир|Да,|)]. (15.2)
1 *
Поэтому, учитывая, что | <j)f (Х) | =^ 1, и применяя неравенство

76 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЩ^ССОВ [ГЛ. 3
Коши — Буняковского, получим
М sup (ДУ' ^ (е (Х))^ + М |] (ДУ [ 1 - ф. (X) (sup | Д?, 1)] <
k I k
^ S (Х)^ + l/ М ( 1^ (А^*)')' |/М 11 ~ t, ,х) (sup I Д|, I) Г^ <
<: в (Kf + |/М ($, (f,) - $, it,)f Р { sup I Д|, I > е (X)} <
^ /г
^sW' + i/m($i(^,)-S,(^,))* S^P{|A^.I>s(X)} .
Из последующего неравенства ввиду свойств г (к) и
получаем (15.1).
п
3) lim V М|Д?4р = 0. (15.3)
Действительно,
п
,2.
2M|Af,f^ = M 2|A^*P<Msup|A$,|2(Ay'
ft =1 ft = i * 1
|/"Msup|A$, Г 1/м(|;(Ду)'^
Для доказательства (15.3) остается применить результаты
пунктов 1) и 2).
Рассмотрим характеристическую функцию В'еличины Ei (^2) —
— ?1 (^i). Имеем
п
М ехр {is [Si (t,) - I, (t,)]} = M exp {i5 2 ^^^Л =
1
n n
= ГТ M exp {is Llfj} ^ lim ГТ M exp {is A^y^}.
Так как для всех вещественных а \e^'' — 1 — ia -)- у
то
Мехр{[5А^,}-1 + ?М(ДЦ<^'^^МА^;^
6 '

§ 15] ПРОЦЕСС С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Поэтому
77
J[lЖexp{lsM,}~ll(l-'^h^i^l,)
k=\
k=]
|S|3
(мы опять использовали неравенство ХТ^/г~Г1^у^ I ^2j I ^k—^k\
при \а^\^1у \bf^\^\, которое применялось при
доказательстве теоремы 1 § 12). Учитывая (15.3), получим
Mexp{/5[^i(^,)-^i(^0]} = limn(l-jM(Ay^). (15.4)
Из (15.1) вытекает, что lim sup М (А^у^)^ ==:: 0. Так как
то
п '
1/г=1
■Ml
(Ау^)-ехр{-^ S^(^^4
*=1
= о ( 2 (М (Д^,)^)^) = о (sup М (Д^,)^ S М (Д$,)Л.
Следовательно, для всех s
М ехр {is [^1 (t,) - ii (t,)]} = exp { - ^ lim 2 M (Ду4 =
= exp{-'4M[$,(^0-5i(^i)f}.
Последнее соотношение доказывает теорему для
одномерных процессов.
Для доказательства теоремы в общем случае заметим,
что процесс (li (t), z) будет с вероятностью 1 непрерывным
процессом с независимыми приращениями, принимающим
числовые значения. Поэтому
Мехр {U|,(^,)-1,(^0. г)] =
= ехр {-1М (I. {t,) - li {t,), zf] = ехр { - \ {At,, t, z, z)],

78 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
где Л^1,/2 —дисперсионный оператор случайного вектора
It (^2) — li(^i) (см. § 5). Это доказывает теорему в общем
случае.
Замечание 1. Пусть |(а) = 0. Введем функции а(t)
с векторными значениями: a{t) = N{^ (/), и А (/), значениями
которой является дисперсионный оператор | (t). Эти две
функции в нашем случае полностью определяют распределения
|(^) и приращений процесса |(/):
Mexp{i(|(^,)-|(^i), г)} =
= ехр {г (а (t,) - а (t^), г)-~(А (t,) z-A {h) z, z)]. (15.5)
Функции a{t) и A (t) являются непрерывными. Для того чтобы
установить это, достаточно показать, что {а (/), -2") и {А {t) z, z)
являются непрерывными, т. е. задача сводится к
доказательству того, что для числового процесса, непрерывного с
вероятностью 1, будут непрерывны МЦ/) и D^(t).
Непрерывность М ^ (/) установлена при доказательстве теоремы, а
непрерывность Dl{t) вытекает из (15.1).
Теорема 2. Пусть |(t) — сепарабельный процесс с
независимыми приращениями, распределения приращений
которого определяются формулой (15.5). Для того чтобы
процесс \{t) был с вероятностью 1 непрерывен, необходимо и
достаточно, чтобы функции a{t) и A{t) были непрерывны.
Доказательство. Необходимость условия теоремы
вытекает из теоремы 1 и замечания 1. Для доказательства
достаточности будет использована теорема 1 § 10. Не
ограничивая общности, можно считать, что a(t) = 0. Пусть ^i,
^ъ ...» ^т — ортонормированный базис в R^'"^\ Тогда
т
I
Известно, что для нормально распределенной величины |
М(| —М 1)^=3 [D|p. Поэтому
M(|(^,)-|(^i), z,r=3[Da(t,)-lit,l z,)r =
= ^i.A{t,)z,-~Ait,)Zk. Zk)\

§ 15] ПРОЦЕСС С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 79
Используя эту оценку, получаем
т
м 1 fe {h) - ■ it{) Г=м( 2 (I (t,) -1 ih). z,ff <
m
1
m
= 3m^(A (t,)z,~A (toz,, z,f. (15.6)
I
Пусть a=^U<^t^<^.,,<^t^ = b, \=.m^\{tj^^y~tj^). Для
k
всякого £^ 0
SP{ii(0)-^(o-i)i>^}^ii;Mii(o)-i(Mr^
y=l 1
m n
^ 1? 2 S (-4 (0) ^k-A itj_0 z„ z,f. (15.7)
/г = I У = I
Так как (Л {t,) z,-A {tj_,) z„ z,) = M (| {tj) - % {tj_,), z.f^O.
TO из (15.7) получаем
X{A{b)z,-A{a)z„z,).
Из непрерывности (Л(^)2', z) вытекает равномерная
непрерывность этой функции, значит, для всякого е^О
Применяя теорему 1 § 10, получаем доказательство теоремы.
Замечание 2. Для того чтобы сепарабельный процесс
%{t) с независимыми нормально распределенными
приращениями был с вероятностью 1 непрерывным, необходимо и
достаточно, чтобы он был стохастически непрерывным. Можно
опять предположить, что |(а) = 0, а характеристическая
функция ^(^) определяется формулой (15.5). Тогда нужно

80 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
установить, что стохастическая непрерывность процесса
эквивалентна непрерывности a(t) и A(t). Из непрерывности a{t)
и А (t) по теореме 2 вытекает непрерывность | (t) с
вероятностью 1, а значит, и стохастическая непрерывность | (^).
Для доказательства непрерывности a{t) и А (t) в случае
стохастической непрерывности |(/) заметим, что при \z\ = \y
00 у2
Р{(1(^)-1(0, ±^)>e} = -L^ J Г"^\/г..
^ е-(а(5)-а(0. ± г)
(Л (5) г —Л (О г, г-)
Если при некотором z iA{s)z — A(t)Zy z) не стремится
к нулю при 5" — ^->0, то, выбирая знак z так, чтобы
(а{s) — a(t\ z)^0, убеждаемся, что Р {(|(s)—l(/),-г')>е}-/^О.
Аналогично в случае разрыва a(t) можем подобрать такие
Zy ty Sy г^О, чтобы е — (a(s) — а(/), z)<^Oy s — t-^0;
стохастическая непрерывность |(^) опять нарушается. Наше
утверждение доказано.
Замечание 3. Если | (а) ^ О, то, полагая
а (О = М (I (О - I (а)), (Л (О ZyZ) = Ж {i (t) - | (а), ;гу^
cp^(2') = Mexp{i(2:, 1(a))},
можем записать характеристическую функцию процесса | (t)
в виде
срДг) = Мехр{/(г, 1(0)} =
= ср, (г) ехр { U^, а (0) --{Zy А (t) z)}. (15.8)
Эта формула позволяет определить все конечномерные
распределения процесса.
§ 16. Строение стохастически непрерывного процесса
с независимыми приращениями
Цель этого параграфа — установить, что если у
стохастически непрерывного процесса с независимыми прираш,е-
ниями I (t) выбросить все скачки, то получится непрерывный
с вероятностью 1 и, следовательно, имеюш,ий нормально
распределенные прираш,ения процесс. Таким образом, такие
процессы 1(0 будут определяться своей непрерывной компо-

§ 16] СТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 81
вентой и мерой v {t, Л), характеризующей скачки
процесса 1(0-
Докажем некоторые вспомогательные предложения.
Лемма 1. Пусть U^ — множество тех х, для
которых I JC I ]> е. Положим Ig (t) = 1(0 — It/e (О- Тогда при
в^О процесс |g(0 имеет моменты всех порядков.
Доказательство. Предположим, что для е]^0
П(й, rj=:0,
где Гз — множество тех х, для которых | л: | = е. Тогда, если
a = t^<^...<C,tn = U Х = тах(^,.,л —^,), то
i
I, (О = lim 2 [\ (f,) - I (^,_0] [1 - Xt/з (^ (^i)-^ (^i-i))]
Х-*0
i = \
(предел в смысле сходимости по вероятности). Слагаемые
не превосходят по абсолютной величине 1, поэтому на
основании теоремы 4 § 3 для всех k
м I i; [I {td -1 (^,_,)] [ 1 - z^, (I Hi) -1 (^,--,))] I"
i= 1
равномерно ограничены относительно п. Лемма доказана,
если П(^, Гз) = 0. В общем случае доказательство леммы
вытекает из того, что разность |si (О — ls2(0 имеет все
моменты при 0<^в1<^в2, так как
||.,(0-1зЛ01=^^2^(^, Us,)-
Лемма 2. Мера П (Ь, А) удовлетворяет, условию
lim \ \х\^Л(Ь, dx)<^oo.
Доказательство. Заметим, что для ограниченного
множества А из Ъ^
}A\lA(b)f= \\x\^J[(b, dx)~^\\xJl(b, dx)^, (16.1)
л A
Действительно, если A = \J A^y где A^ не имеет общих
к

82 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. 3
точек, X — максимальный из диаметров множеств Aj^, х^ G ^k^
ТО
М||л(^)-2^(А„ ^)л:,r^X^Mv(Л, Ь)\
k
поэтому
М I |л {Ь) ? = lim М (2 V (Л„ Ь) х„ 2 V (А,, Ь) х,) =
= lim (21 л:, Г М V (Ь, А,Г + ^(а:,-, л^;■)Mv(^ А,Щ,{Ь, Л;))=
= lim 2 I л:, Г П (^ А,) + lim (^l л:.П (^, ЛД ^l л^.П (^, аЛ
Аналогично устанавливается, что М|д(^)= \л:П(/, dx).
А
Пусть теперь А—множество л:, для которых е<^|л:|^1.
Тогда l^(t)=zlA(t)~{-lAt). Поэтому для всех z
D (ёл (О, ^) ^ D а, (О, ;г) ^ I ;г Г М 11^ (t) \\
Если Ziy ..., <г^ — ортонормированный базис в R^^\ то
^^ 11Л (О - М|л (О Г ^ Ц М (|л (О - М^,л (О, ;^,) =
1
т
^-^DiUit), z,)^mm\l,it)\'
1
или
м||л(0Г-|м|л(0Г^^м||Л0Г.
Но
л
Значит, для всякого в^О
\ \x\^Tl{b,dx)^mN[\^i{t)\\
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть е^ ->- О монотонно, А^ — множество
тех X, для которых e„^i <С I -^ I ^ ^я- Тогда ряд
2[|д (0-М|, (01 (16.2)

§ 16] СТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 83
сходится при каждом t с вероятностью 1. Если же г^
выбраны так, что
2 \ \x\^U{b, dx)<^oo, (16.3)
/г = I 1 дг i :< 6^
то ряд (16.2) сходится с вероятностью 1 равномерно.
Доказательство. Сходимость ряда (16.2) с
вероятностью 1 вытекает из теоремы 1 § 4. Для доказательства
равномерной сходимости ряда при условии (16.3) оценим
вероятность
Р {sup sup 1 2 [1д^ (О - М| (0J1 ^ с}.
Так как процессы |д {t) — М|д {t) с вероятностью 1 не
п п
имеют разрывов второго рода, то с вероятностью 1
sup I 2; [i,{t)-iAi,(t)]\=
= lim sup I 2 [l,itk)-m,Xt,)]\
QCRVi a = tQ<^ti<^. .^<^t^ = b, \= max (tj^ — ^y^_i). Поэтому
для всякого ортонормированного базиса Zi, z^^ . ..у z^ в Fi^^^
I
<Ti^p{ sup \y[l,{t,)-bKl,{t,)]\^^\-.
m I
< ЙЙ У p {sup I у a, {t,) - Ml, (t,i zd I
\ I jc 1^ П (^, dx).
'2m)'
4m^

84 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Если ri^=zsnp sup I у\ [|д (t) — М|д (^)] 1, то для всякого
e^O ^P {Tj^^e} <^oo ввиду (16.3). Поэтому среди собы-
п
тий {f'in'^-^} с вероятностью 1 происходит только конечное
число, значит, с вероятностью 1 существует такой номер N^
(случайный), что при n^N^ ^/г<С^' т, е. Р {lim 7|„ = 0} = 1.
Лемма доказана.
Следствие. Процесс
оо
g(o=Ss,(o~- 1;(1л (o-Mi, (0),
если последовательность ej^ удовлетворяет условию (16.3),
будет с вероятностью 1 непрерывным процессом, не
зависящим от \а{^), каково бы ни было А ^"^^ и s^O.
п
Действительно, процесс l^^ (^— 2 (^д (^) — ^^д (0) =
k= 1
k "л
= ^^(^) не имеет с вероятностью 1 скачков, превосходящих s,
если только e^^i<^e. Поэтому на основании теоремы 2 § 12
^^(0 не зависит от |л (О- '^зк как l^{t) является с
вероятностью 1 равномерным пределом функций, не имеющих
разрывов, превосходящих е, то и g(^) не будет иметь скачков,
превосходящих е, каково бы ни было s^O. А из
независимости ^^{t) от |л(0 при всех достаточно больших п будет
вытекать независимость g {t) и |д {t).
Для представления процесса \{t) введем обозначение:
\ t(a:)[v(^, rfjc)~n(^, dx)\
1 JKTJ^C
Этот интеграл определяется для функций ср (jc), для которых
\ \^{x)fll(t, rfjc)<oo,
\х\^С
по формуле
\ Т {X) [v {t, dx) — П {t, dx)] =
= lim [ \ cp(jc) V{t, dx)— \ cp (л:)П(t, dx)],
предел понимается в смысле сходимости по вероятности.

§ 16] - СТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 85
Существование этого предела вытекает из того, что при
М 1 \ ср (л:) V {t, dx)— \ ср (JC) П {t, dx) +
-f \ ? W П {t, dX)~~ \ ср (JC) V {t, dx) р :=:
= \ I ср (jc) 1^ П (t, dx) ^^ 5 IТ {X) {' П (t, dx) -^ о
при е^-^0.
Теорема 1. Если |(^) — сепарабельный стохастически
непрерывный процесс с независимыми приращениями, то
существует с вероятностью 1 непрерывный процесс |о(0>
не зависящий от меры v(^. А), такой, что
|(0 = |о(0+ \ x[^^{t,dx)~-ll{Udx)\-\- \ xHt,dx).
\х\^\ \х\>\
(16.4)
Доказательство. Пусть последовательность е^^ -^ О
монотонна и ei = l. Тогда
оо
1 к k
оо
-Е(1л,(0-М5д^(0), (16.5)
здесь обозначения такие же, как в леммах 1 и 3. Если для
множеств А;^ выполнено условие (16.3), то процесс
оо
?o(0=li(0-E(^A (0-м|д (0)
J k к
будет с вероятностью 1 непрерывным и не будет зависеть
от v(f. А). Из теоремы § 13 вытекает, что
l^i(0= \ x^(t,dx),
\х\>\
1л/0-мЦ(0= ^ (16.6)
= 5 xv {t, dx) — 5 ^П (t, dx). I
•ft+.-<l^l«^ft =A+l<l*l«^ft

86 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Следовательно,
оо п
2[1д (0-М| (0]=lim 2 [^д (0-MI, (/)] =
1 « « /г->.оо j^^\ k k
= lim [ \ XV(t, dx)— \ xn(t, dx)\ =
= \ x[v (t, dx) — П (/, dx)]. (16.7)
\x\^\
Подставляя (16.6) и (16.7) в (16.5), получим доказательство
теоремы.
Теорема 2. Для всякого стохастически
непрерывного процесса с независимыми приращениями % (t) со
значениями из R'-^^' существуют непрерывные по t функции
а (t), Л (t\ П (/", А), удовлетворяющие условиям:
а) a{t) принимает значения из R^^\-
б) значениями А (t) служат неотрицательные
симметричные линейные операторы в R^^\' А (t^) — А (ti) — также
неотрицательный оператор, если t^ <^ t^;
в) П {t, А) при каждом t является мерой на ЗЗо, для
которой \ I л: 1^ П (t, dx) <^оо и \\ {t^, А) —- II (t^, А) ^ О,
если ti <^ t^y
и такие, что для t^ <^ ^2 характеристическая функция
величины 1(4) — l(^i) имеет вид
MexplU^, |(4)-|(4))} =
= ехр {Ц^, а it,) - а {t,)) - ^ (Л (4) z-A (t,) z, z)]^
j^ ^ (^/(^, ^) - 1) [П (4, dx) — П (^1, dx)] +
_^ ^ (^i(^, ЛГ) _ 1 _ i (^^ X)) [П (/^2, dx) — П (^1, ^jc)]. (16.8)
Доказательство. Так как стохастическая
эквивалентность влечет совпадение распределений, то можно
считать, что I (t) — сепарабельный процесс. Тогда на основании
теоремы 1
|(0 = ?^о(0+ \ xb(t,dx)-ll(t,dx)]Y \ xv{t,dx\

§ 16] СТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 87
где 1о(0 не зависит от v(^, А) и является с вероятностью 1
непрерывным процессом. Так как мера v (t, А) имеет
независимые значения, а |о (t) не зависит от v (^, Л), то |о (0>
^ jc [v (Z', rfjc) — П (t, dx)\ и \ X"* (^ ^•^) независимы.
Поэтому
М exp {i (^, I (^2) - I (Ш = M exp {i (^, |o (^2) - lo (Ш X
X M exp {i ^2', 5 JC [v (/^2, ^•^) — V (^1, d->c) — П (/^2, dx) +
+ n(/^i,^A:)])}Mexp{i(2', ^ x[v{t^^ dx) — v(t^, dx)\)}. (16.9)
Пусть а(0 = М(|о(0-1о(«)), (^. A(t)z) = IA(^o(t)~lo(alz)\
тогда Мехр {i(2', |o(^2) — lo(^i))} запишется no формуле (15.5).
Характеристическая функция ^ jcv (t, dx) определяется
\x\>\
формулой (14.8), где A—множество тех jc, для которых
|jc 1^ 1. Наконец,
М exp {l(^z, 5 л: [v (t^, dx) — v (t^, dx) — П (t^, dx) -f
4-n(z^i,^^:)])}=limMexp{i ^ {z,x)['^{t24x) — '*(ti,dx)]-~
— i \ {Z, X) [11 (/^2, ^JC) — П (t,, dx)]} :=
= lim exp{ \ [e^i^>^)—\—l(z,x)][ll(t^,dx)--lI(tudx)]}
(мы воспользовались формулой (14.8)). Так как
то, переходя к пределу при в —>► О, получим выражение
ехр { ] [е^^^' ^)—l—l{z, х)\ [П (^2, dx) — П {t^, dx)].
Подставляя в (16.9) найденные характеристические функции,
получим (16.8). Непрерывность a(t) и А (t) вытекает из
теоремы 2 § 15. То, что П(/', А) является мерой на ЗЗо,
установлено в § 11, существование ^ \x[^U{ty dx) вытекает

88 АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЛ. 3
ИЗ леммы 2, неотрицательность ll(t^, Л) — ГЦ/^, Л) вытекает
из формулы П (/^2, Л) — П (/^ь Л) = М (V (t^. Л) — v (t^, А))
и монотонности V (/", Л), а непрерывность П (/, Л) по t
вытекает из стохастической непрерывности v(^, Л). Теорема
доказана.
Замечание. Неудобство формулы (16.8) заключается
в том, что мера П в окрестности точки^ О может становиться
бесконечной. Вместо меры П (/, Л) часто удобнее
пользоваться мерой
А
конечность которой является следствием существования
\ I jc 1^ П (^, ^лг). Формула (16.8) может быть переписана
|лг|<1
следующим образом:
Мехр {l(z,l(f,)-~l(m =
= ехр |i (Z, a(t^) — a(h)) — -^(Л (t^) z — А (t^) z, z) +
(16.11)
где
a(0 = a(0+ J ^ -^^^^ ll{t,dx)— ^ xG{t,dx). (16.12)
Следствие. Пусть $(^) — одномерный стохастически
непрерывный процесс с независимыми приращениями. Тогда
существуют непрерывная функция ^(t), непрерывная
неубывающая функция a^(t) и непрерывная по t и
монотонная ограниченная функция от х, G{t, х), для которой
при ti<^t^ G{t^y х)—G{tiy х) также монотонна, такие,
что
Mexp{a(U^2)-^(^ =
= ехр {а [т ih) - т {h)] - ^ [а2 {t,) ~ а' (t,)] +
оо
f J (е'-'- '^ - 1 - j4p^) ^ d, [ Git,, X) - Gih, X)]]. (16.13)

§ 161 CTPOEHHF ПРОЦЕССА 89
Определение. Процесс с,(i) называется однородным,
если он определен при t^O и распределение |(^2) — I(Л)
зависит лишь от t^ — t^.
Теорема 2. Для того чтобы процесс был однородным,
необходимо и достаточно, чтобы в представлении его
характеристической функции по формуле (16.8) a(t) = ta,
а ^ R^^\ А (t) = tA, где А — симметричный
неотрицательный оператор в 1^^\ П(^, Л) = Ш(Л), П(Л) — мера
на Ъ^, для которой
\ |A:pn(rfjc)<oo.
\х\^\
Доказательство. Достаточность этих условий
очевидна. Для доказательства их необходимости заметим, что
для однородного процесса \ (t) будут однородными процессы
|о(0 и v(t, А) в представлении (16.4). Значит, при ti<^t<i
М [V (^2, А) - V (t,, А)] = Mv (^2 - tu А),
ll(t,, A)~Jl(t,, A) = Jl(t,-t„ А),
М [ъо (Q - |о (^i)] = М [|о (t, ~ h) ~ |о (0)],
D do (Q-: о (^i), ^) = D do ih - h) - lo (0), zl
A(t,)-A{t,) = A(t,^t,).
Используя непрерывность a{t), A{t), Tl(t, A), делаем вывод,
что они будут линейными функциями от ty т. е. a{t)==ta(l),
A{t) = tA(l)y Jl{ty А) = Ш(\, А). Теорема доказана.

ГЛАВА 4
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ С НЕЗАВИСИМЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ
§ 17. Свойства процесса как функции времени
В главе 2 было доказано, что всякий сепарабельный
стохастически непрерывный процесс с независимыми
приращениями не имеет разрывов второго рода. В этом параграфе,
используя представления процесса |(0, полученные в § 16,
мы исследуем дальнейшие свойства процесса | (t) в
зависимости от свойств, определяющих его распределение функций
а (О, A(t), Jl(tA).
Функцию x(t) мы будем называть ступенчатой или
кусочно-постоянной, если ее область определения можно
разложить на конечное число интервалов, на каждом из
которых функция x(t) постоянна.
Теорема 1. Для того чтобы сепарабельный
стохастически непрерывный процесс с независимыми
приращениями 1(0 был с вероятностью 1 ступенчатым на
отрезке [а, Ь], необходимо а достаточно, чтобы при
Мехр {i{z, W)—Hp))\ =ехр {^(^'^^'^^ — 1)П(^, dx)}, (17.1)
где мера И(Ь, А) такова, что lim П (й, U^<C^co (мно-
жество и^ — совокупность тех х, для которых \х\^е).
Доказательство. Необходимость условия
limIl(Z^, ад<сю
вытекает из того, что для ступенчатого процесса %(t)
величина V (й, и J имеет предел с вероятностью 1 при ^-^0; этот

§ 171 СВОЙСТВА ПРОЦЕССА КАК ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ 91
Предел v(^) есть число скачков процесса %(t). Так как
V (by и^ имеет распределение Пуассона с параметром П (Ь, U^,
то и величина v (b) будет иметь распределение Пуассона,
причем
М V (^) = lim М V (Ь, и,) = lim П (Ь, U,).
Необходимость формулы (17.1) вытекает из того, что для
ступенчатого процесса \(t) с вероятностью 1 выполняется
соотнопдение \(t) = \\m\u (t). На основании формулы (14.8)
М ехр {i (Z, lu^ (Щ = ехр { \ (^'Ч^. ^) - 1) П (t, dx)}.
Переходя в этой формуле к пределу при £->0, получаем
(17.1).
Докажем достаточность условия теоремы. Обозначим
lim П(^, б^з) = X(^); \(t) — монотонная функция. Из (17.1)
вытекает, что характеристическую функцию величины
K^'i) — \>(h) можно записать в виде
-xuoiiM<iI=Ab)li J ед., *)u,(rfjc),
где 1^0 — функция распределения величины, равной нулю с
вероятностью 1, а тт^, ..., тг^^ определяются соотношениями
... U{t^,dx)-~ l\{t^,dx)
' ^^^ ^ —ч^,)-ч^)—'
\ r.j,(dx)e^^^'^) = [\ r.y(dx)e^<^^'^)]\
т. е. r,f^(dx) является распределением суммы k независимых
случайных величин, каждая из которых имеет
распределение 1^1 (dx). Таким образом, распределение величины ^(t^)—^(t{j
совпадает с распределением величины S„ где S;^ = |i-j-
+ ^2 + • • • Ч" ^ife> ^0 = 0^ 1ь ^2^ • • • — независимые одинаково
распределенные случайные величины с распределением i^i(^JC),
а V — не зависящая от них пуассоновская случайная величина
с параметром X(t^) — ^(^i). Поэтому
^U(^2)-|(^i)=-0}^F{v = 0}=e-iM/2)-Au,
)1

92 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Так как
Р{ sup \i(s)~l(t,)\^0] =
= limPJ sup klt,-{-^(f,-t,))~l(tM = Q} =
n
TO
P{ sup \l{s)~l(ti)\ = 0}^e-i^(^^)~^i^i)\
Пусть h= , tj^ = a-\-kh, k = 0, ..., n. Оценим вероят^
ность того, что среди отрезков [t,^, ti^_^{\ найдется не менее
/ отрезков, для которых sup \^{s) — |(^а.)|^0. Обозна-
чая эту вероятность через Pi, можем записать
^ S П (1 - exp { X (^,.) - A (^, .^0}) <
=^ 7Г ( 2(1 - ''""' "■ '*^''))' =^ 7Г ["f (^ (^-) - ^ (^*)) f -
= J_[X(^)-X(a))'.
Обозначим через v^ число отрезков [^;^, tf^^i], для которых
sup 1 КО — I (h) I > 0- Тогда v^ ^ V;^. Пусть v = lim v^.
Для V также будет справедливо неравенство
Событие v = / означает, что процесс |(0 будет постоянным
на /-J-1 смежном интервале. Так как P{v:=-[-co} = 0, то
процесс I (t) будет с вероятностью 1 ступенчатым. Теорема
доказана.

§ 171 СВОЙСТВА ПРОЦЕССА КАК ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ 93
Теорема 2. Для того чтобы сепарабельный
стохастически непрерывный процесс ^ (t) с независимыми
приращениями и числовыми значениями был с вероятностью 1
неубывающей функцией времени, необходимо и достаточно,
чтобы
оо
М ехр {а [% (О — 5 (а)]} = ехр { tXf {t) + \ {е''"" — 1) II {t, dx)},
о
(17.2)
где ^(t) — неубывающая функция, а 1Т(/, Л) таково, что
1
\xJ\{b, dx) <^ GO.
о
Доказательство. Необходимость. Если ^{t) не
убывает, то Ц^-f- 0) — %{t — 0)^ 0. Поэтому мера П (^, А) будет
равна нулю на полупрямой (—оо, 0). Процесс l{t) — ^и {t)
е
будет также монотонным, так как выбрасывание скачков не
нарушает монотонности функций. Величина $ (t) — ^и (t)
убывает при £-> О, кроме того, ^{t) — 1ц {()^Ца) — ^ц {а) = ^{а).
Значит, с вероятностью 1 существует предел lim Ш() — ^ц (t)],
который будет с вероятностью 1 непрерывным и
монотонным (как предел монотонных процессов) процессом. Пусть
lQ{t) = \im[l{t)~~lu (Щ- Тогда величина ^о(0-~^о(^) будет
иметь нормальное распределение, а так как $о(0 — ^о(^)^0,
то D[^o(0 —^о(^)] = 0. Таким образом, ^о (О = So («) + Т (0>
где -^(t) = N[ (^0 (О — ^0 (^))- Из монотонности Iq (t) вытекает
монотонность т(t). Так как lim ^ц (t) =:l(t) — Sq(t), то
s->0 ^
оо
М ехр { а [^ (О — ^0 (0]} = Ит ехр | \ (е'^"" — 1) П (t, dx)].
S->0 ^ 5 '
Формула (17.2) установлена. Наконец, величина ^t)—^Uii'^)—S(^)
будет иметь все моменты по лемме 1 § 16. В частности,
будет существовать М [$ (t) — ^ц^ (t) — ^ (а)]. Так как
^и^ (О - ^с/. (О = U0 - ^щ (О - [5 (О - ^и, (0]
и ^(t) — ^ц (t) — неубывающий с вероятностью 1 процесс, то
\ {Ь) - ^иг {Ь) < Ч*) - £ {а) - 5с/, (Ь),
М [In (b) - 1щ (b)] < М m&) -1 (а) - 5с/, (й)]. ^ ^- ^

94 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Но
1
^1^и^{Ь)~~ ^щ т =\хЛ{Ь, dx). (17.4)
Из (17.3) и (17.4) вытекает конечность предела \\m\xTi{b,dx).
Необходимость условий теоремы доказана.
Достаточность. Учитывая сепарабельность процесса, нам
нужно лишь доказать, что при tx<^t^ Р{П^2) — £(^i)^0}=l.
Для этого достаточно показать, что величина ? с
характеристической функцией
оо
М е'^^ = ехр{ \ (е'^'' ~\)dF (х)}.
где F — неубывающая ограниченная функция, будет
неотрицательной. Как вытекает из доказательства теоремы 1,
распределение величины ^ будет совпадать с распределением 5*^
суммы V независимых случайных величин %i — с
распределениями
[о, x<s,
[ F(+oo)~F(e)' •^-^^'
само V — не зависящая от £^ величина с пуассоновским
распределением. Неотрицательность величины 5"^ является
следствием неотрицательности величины £^-. Теорема доказана.
Напомним одно определение из математического анализа.
Пусть x{t) определена на [а, Ь\ и принимает значения из R^^^\
Выражение
sup J^\x (//,+0 — X (tf,) I = var л: (t)
называется вариацией функции x(t) на [a, b]. Если a<^c<^b,
TO var X (t) = var x (t) -f var x (t).
[a,b] [a,c] [c,b]
Теорема 3. Для того чтобы сепарабельный
стохастически непрерывный процесс с независимыми
приращениями I {t), определенный на [а, Ь\, с вероятностью 1 имел
на промежутке [а, Ь\ конечную вариацию, необходимо и

§ 171 СВОЙСТВА ПРОЦЕССА КАК ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ 95
достаточно, чтобы характеристическая функция
приращения \(t) — \{а) при t^[a,b\ имела вид
Ь^^x^{i{zЛ(t)-Ua))} =
= ехр I i {Z, а (0) + ^(^'^^' ^) — 1) П (^, dx)], (17.5)
где а (t) имеет ограниченную вариацию, а \ |jc| П {dx)<^co.
При выполнении этих условий процесс var |(5) = С (О будет
также процессом с независимыми приращениями с
характеристической функцией
оо
М ехр { ас (0} = ехр {% (О + \ (е''^^ — 1) G{t, dy)], (17.6)
о
где 7 (О = var а (5), G{t, (с, d]) = П (^, U(c, ^]), U{c, d] — мно-
жество тех и, для которых c<^\u\^d.
Доказательство. Необходимость. Если |{t) имеет
с вероятностью 1 ограниченную вариацию, то и вариация
КО — 1^ (О будет конечна, причем при е<^1
var [I (s) — lu {s)\ ^ var [ • {s) — lu, Ш
[a,t\ ' [a,t\
Точно так же
var [lu {s) - lu, (s)] < var [| (s) - lu, (s)l
[a,t] ' [a,t]
Пусть Ci (0 = var [I (s) — lu, (s)]. Процесс Ci (0 будет стоха-
стически непрерывным (так как вариация разрывна лишь
в точках разрыва самой функции) процессом с независимыми
прираш,ениями. Последнее вытекает из того, что при ti<^t^
Ci(^2)~Ci(/0= y^r[l{s)-lv,{s)l
и значит, Ci (^2) — ^1 (^1) зависит лишь от прираш,ений | (s)
на [^1, t<^]. Процесс Ci (О будет непрерывен в точках
непрерывности l{t) — li/i (0> а в точках разрыва
Ci(^ + 0)- Ci(^-0)^11(^ + 0)-1(^-0)-

96 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ |ГЛ. 4
Таким образом, скачки Ci (О не превосходят 1. Поэтому на
основании леммы 1 § 16 N[(,i(t)<^oo. Заметим, что
var [iu (О - lu, (t)] = \ \x\Hb, dx).
Следовательно,
М Ci (b) ^ М var [St/ {b) - lu, {b)] = \ j л: | II (ft, dxl
откуда
lim \ I a: IП (ft, ^л:)<CO. (17.7)
Из (17.7) вытекает существование в смысле сходимости по
вероятности предела Игл [|(^) — %и (0]> '^^к как при Si<^s2>
s->0 '
Р{|Ц {t)-lu^ (^)|>с}<-1м|Ь (t)~lu^ (OK
^ -1 ^ I jc IП (ft, ^jc) -> 0.
Если обозначить этот предел через |о(0> то |о(0 будет
с вероятностью 1 непрерывным процессом, причем
var |о (5) ^ var [| (5) — l^/i (5)],
[а./] [а,/1
так как var |о С^) "= 1^^ var [| (5) — \а {s)\. Характеристическая
[a,t] е-*0 ^
функция процесса | (О — 1о (О будет определяться формулой
М ехр {i (^, I (О - |о (0)} = ехр { 5 (^^Ч-. -) - 1) П (^,^л:)}, (17.8)
а для процесса |о (О ^удут существовать такие a(t) и Л (О,
что
М ехр {i (^,1о (О-1о («))} =
= ехр I i (^, а (0) - -\ {А it) z,z)], (17.9)
Используя то обстоятельство, что М var |о (О <С ^^' покажем,
что |о (О = 1о (^) + ^ (0> гДб ^(0 — функция ограниченной

§ 17) СВОЙСТВА ПРОЦЕССА КАК ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ 97
вариации. Совместно с (17.8) это даст формулу (17.5). Пусть
« = ^0 < ^1 <... < ^п = ^- Т^огда
М 2 I |о itj) - £о {tj^,) I < М var |о (0>
1 [а,Ь\
п
^М I |о (^/) - 1о (0-0, ;^) I ^ I ;^ I М var |о (О-
I \а,Ь\
Величины (|о (О") — lo(^y-i)^-s*) имеют нормальное
распределение с дисперсией (Л {tj) z — А {tj_i) z, z). Легко подсчитать,
что для нормальной величины ^ М|||^1/ уОЩ. Поэтому
п
Уу ^{A{tj)z-~A{tj_,)z,z)^\z\^M^xl,{t),
;=l ^ "^ ' [а,Ь\
Из непрерывности {A{t)z,z) вытекает, что для всякого е^О
существует 5^0 такое, что \{A{tj)z — A{tj_i)z, z)\<^b,
как только I tj — tj_i I <^5. Пусть max | /y_i — O' I <C ^- Тогда
^'
{A (b)z,z) = ^(A (tj)z-A (tj_,) z, z)^
к T 2 V T (^ (0) ^ - -4 {tj_,) z, z) <
^|^r|l/^Mvar£„(s)
Значит, {A(b)z, z)^=0 для всех z^R^^\ Необходимость
формулы (17.5) установлена.
Чтобы установить формулу (17.6), заметим, что
1о(0 = 1.о(а) + «(0.
var [|(s) —|o(s)]-=lim^ \x\^{t,dx).
la./1 ''-^v
S
Из последнего соотношения легко вывести, что
М ехр{а var[|(5)-|o(5)]} =
= ехр {5(^'"^l^i —1)П(^,^/л:)|. (17.10)
4 А. в. Скороход
;-1

98 ПРОЦРХСЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЯ. 4
Так как
var I (s) = var [| (s) — 1о (s)] -f var Sq (s),
[a,i] [aj] [a, Л
TO ДЛЯ вывода (17.6) остается заметить, что
var lo (s) = var a (5),
[a,t] [aj]
И В формуле (17.10) заменить \х\ на у viU(t, dx) на Q(t,dy),
где G(^, Л)= 5 П(/, б/л:).
|дг! 6^
Достаточность. Покажем, что сепарабельный процесс
\{t) с характеристической функцией (17.5) будет иметь
с вероятностью 1 ограниченную вариацию. Так как вариация
a{t) конечна, то можно считать, что a{t) = 0. Для
ограниченности вариации процесса {i) достаточно, чтобы процесс
(I (^), z) при любом Z ^ R^^"^ имел ограниченную вариацию,
поэтому можно ограничиться доказательством теоремы для
одномерных процессов. Пусть характеристическая функция
приращений числового процесса l(t) будет
оо
Мехр {а[ЦО —На)]} = ехр(5(е'^"—1)П(^, ^н)},
—ОО
Для доказательства достаточности условий теоремы нам доста-
п
точно доказать, что величины ^ | % {tj) — % (^y-i) |; где
1
« = ^0 < ^1 <... < ^п = *> X = max (^У — ^;_i),
j
ограничены по вероятности равномерно относительно X.
(Легко убедиться, что для функций x{t) без разрывов
второго рода, для которых var jc(/)<^со, имеет место соотно-
шение
var ^(0 == lim 2 I ^ {tj) - X {tj.d 1.)
[а, b] Х-^0 J

I IS] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 09
Пусть Si, $2. ..., S;j, 5'i, S'2>... > 5'rt — независимые величины,
характеристические функции которых будут
Me'^^ft = ехр { 5 (е'^« - 1) [П {t^, du) - П {t^,„ du)]\
О
о
Эти величины неотрицательны (это было установлено при
доказательстве теоремы 2). Величина ^^^ — ^^ имеет такое же
распределение, как и ^ (^/г+О — ^ (^^.). Поэтому
p{i]i4vo-uyi>c}=p{i]is,-$;i>c}<
1 I
где т] — случайная величина с характеристической функцией
о 00
ехр { \ {е-^^^ — 1) П (Ь, du) + \ (^'*^«— 1) П (й, им) ].
— 00 о
Таким образом, равномерно по всем разбиениям
lim P{i]l4^,^.)-^(^ft)|>C}=0.
С ->оо 1
Из ЭТОГО соотношения, как уже отмечалось, вытекает
ограниченность вариации ^{t). Теорема доказана.
§ 18. Интегро-дифференциальное уравнение процесса
Рассмотрим процесс \{t)y определенный на [а, й], для
которого 1(a) = О и
Mexp{i(^, |(0)} = exp{i(^, a{t)) — ]^{z, A{t)z)-\-
j^ ^ (еП^,х)_1_1(^^ X))J{{t, rfx) +
^[_ ^ (^'t^'^) —1)П(^, dx)\,
\x\>i
4*

100 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Причем
t - t t
a{t) = \a''{s)ds, A{t) = \A''{s)ds, П(/, Л) = 5П*(5, A)ds,
a a a
(18.1)
где a* (5) — непрерывная функция со значениями из R^^\
Л* (5) — непрерывная функция, значениями которой являются
неотрицательные симметричные линейные операторы в F(^^\
П* (5, А) является непрерывной функцией по 5, мерой как
функция А при А 6 23о, для которой lim ^ I -^ i^ П* (^> ^^)
существует равномерно относительно t.
Пусть g{,x) — дважды непрерывно дифференцируемая
функция, ограниченная вместе со своими производными до
второго порядка включительно. Положим Ф {t, X)=b\g{x-\-\{t)),
Теорема. Если а (t), А (t), П (t, А) удовлетворяют
перечисленным условиям, то Ф (t, х) будет решением ин-
тегро'дифференциального уравнения
^^^) = (а* (О, V Ф (t, X)) + j (Л * (О V, УФ (^, л:)) +
+ \ [Ф (^ х~{-у)-Ф (t, X)] Т1>' (t, dy)+ 5 [Ф (t, X -\-у) -
\у\>\ O'l^l
— Ф(^, jc) —(УФ(^ jc), y)]T\'^(t, dy), (18.2)
где V — оператор с векторными значениями: в ортонор-
мированном базисе, в котором координаты вектора х
будут х\
^~\дх'' дх'' '" ' дх^]'
если же элементы матрицы А^ в этом базисе будут
o^ijy то
Доказательство. Заметим, что функция Ф(t, х)
дифференцируема по х столько раз, сколько и ^(л:). Имеем

I 181 . ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ . УРАВНЕНИЕ 101
Поэтому ДЛЯ нахождения интересующего нас предела
достаточно найти предел lim м ^(^ + ^(^+ ^)~^(^))--^(^) , Пусть
|(0 = |о(0+ \ x[Ht. dx)~n(t, dx)]-{- \ X^{Udxl
\x\<i\ \x\>\
где |o(0 — непрерывный с вероятностью 1 процесс. Тогда
м^{z + l(t■^^)-l{t))-g{z)_
А
= 1-MI^(^ + Io(^ + A)-|o(0 + 1a)-
-^(^ + ?а)] + 1{М^(^ + Ы-^(^)Ь (18.4)
где
|л = |(/+А)-1(0-1о(^ + А)+1о(0.
Выберем в R^^"^ ортонормированный базис Zi, z^, ,.,, z^,
будем через х^ обозначать координаты вектора х в этом
базисе, а через ^' — координаты вектора |. Используя
формулу Тейлора, получаем
т
т
г, /г = 1
X [^i (^ + Д) - %\ (0] [S* (^ + А) - $J(0] =
= 1 2 м£(гг+|д)М[$К^ + А)-^5(^)] +
»■ = 1
X М ($i (^ + А) - ^Ш « (/ + А) - е* (0) + т*.

102 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
где 0<е<1 и
^д=м ^д- у [o^g^z+|д ч-е, (|„ (/ + д) -1„т -
Применяя неравенство Коши, можем записать
iz+l,+чut+^)-hm-^j~-kg{^+l^)
X
X
Далее,
М
5да^(г + ?А + е(1о(^ + А)-|о(0))
так как величина, стоящая под знаком математического
ожидания, ограничена и сходится по вероятности к нулю при
Д —<■ 0. Поскольку величина Ц (^ -|- Д) — £j (t) имеет нормальное
распределение, М {Ц (/ + Д) — Ц (t)) = {а{1-\-\) — а (t), z-^,
а так как D (Sj (t-\-^)- Ц (t)) = (Л (^ -f Д) z, - А (О г^, г,-), то
М (Ц (< + Д) - Ц (Of = 3 (Л (^ + Д) гг; - л (О Zi, z,f +
+ 6 (Л (^ + Д) г,- - л (О г,, zi) (а (^ + Д) - а {t\ z-^f +
+ (а(^ + Д)-а(/), ^.)4,
И, значит, как вытекает из условий (18.1),
Поэтому -(д^-^О при А-—О,

§ 181 ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИЛЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 103
Обозначим через af (t) координаты вектора а* (t), а через
dij (t) — элементы матрицы оператора А * {t) в базисе
Zi, ... , Zm. Тогда
i^[giz-i~h(t + ^)-lo(t)-\-Ь)-giz + h)] =
т ^ + А
• * ' 1, /г=1
Х\ \ а,П5)йг5 + ТА+0(Д).
Переходя к пределу при A-—*О, получим
\_
а"
т т
= 1^^&^ + 1 1 ««(О^(^), (18.5)
i = \ /. /г=1
и j-ig{z) по теореме Лебега.
Рассмотрим теперь выражение г [bhg {z-\-'^^) — g {z)].
Для краткости обозначим
Т1(е, А)= \ a:[v(/^4-A, dx) — ^{t,dx)'-'Ti{t~\-^,dx)-\-
|(£, А)= 5 ^h(^+A, б/х) —v(^, dx)l
!д;|>£
6 (е, А) = 5 л: [П (t -f А, г/д:) — П {U dx)].
Тогда
\^[g{z-\-W-g{z)] =
= \Щg{г + Ы-g{z-\~l^-y\(в, Д))14-

104
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАШ,ЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Опять применяя формулу Тейлора, получаем
i М [giz + |д) - 5-(г + |л - т] (г, Д))] ]
к=\
2А ^ дх^дх^
А)
здесь О<^0<^1, 7]'(е, А) — координаты г|(в, А). Так как
Mt/(s, А) = 0 и 7]'(в, А) не зависит от |д — 11(6, А), а ^
ограничены, то существует такое С, что
дх^дх^
■ М (^(^ + |л) - ^(^ + |л -- т] (в, А)))
СдМ|т1(в,А)
= С^ f |хПП(г: + ^ dx) — ll{t, dx)] =
Таким образом, выбором достаточно малого s^ О выражение
д- М [^ (2' -f- |д) — ^ ('2' -(- |д — 11 (sj А))] можно сделать сколь
угодно малым, т. е.
lim 5ир||м[^(^ + ^д)~-^(^ + |д-Т1(г, A))j| = 0. (18.6)
Рассмотрим теперь
1м[^(г+|(е,Д)-6(Е,Д))-^(г)]=1 [g{z-b{z, ^))-g{z)] -Ь
+ {м[§-(гг + |(Е, Д)-6(£, Д))_^(г_б(Е, A))J.
Если Ь'* (г, Д) — координата вектора Ь (s, Д), то
т
Ит ^ [^(г - 6 (S, ^))-g{2)] = -У^, {Z) lim -^^ibA) =
Д -♦ О ^ ,^ '^'^ Д — о ^
«= 1
m
k^\
i<,\x\^t

§ 18) ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 105
Подсчитаем теперь М (^(<г -f-1^ (А) — b (е, А)) — g(z ~ ^(в,А))).
Пусть множества А^ попарно не пересекаются, \ —
максимальный из диаметров множеств Л^, х^^^А^^ и \j A^^={J^.
k
Обозначим через фд случайную величину, равную 1, если
V (^ -|- ^' ^е) — ^ (^» ^е) = 1, и равную О В остальных
случаях. Тогда
b\[g{z-\-l (в, ^)~b (в,А)) -g{z-b(z, А))] =
оо
— g{z — b(t, Д))}= lim b\\g[z — b{t, Д) +
+ |]^Л^(^ + ^ A,)-~v(^, Л,)])-^(^_г,(в,А))1фд + ад,
где
оо
ал= \\mJA[g{z-b{t, t.)-i^ ^x,b{t-ir^, A,)-^{t, А,)\)-
-giz-biB, Д))}(1-фл).
Легко видеть, что
|a4|<2sup|^(x)|P{v(^ + A, Щ — Ht, Щyl} = 0{^%
так что -д ад --* 0. Далее,
оо
ит ж { giz^b (г, ^)-{- 2^Л^(^ + А, A,)~Ht, А,)])-
Х->0
k=\
--g{z-b{B, Д))}фд= lim 2 [gin-biz, Д) + ^,)-
- ^(^ - 6 (е, Д))] (П {t + Д, Л,) - П {t, Л,)) X
Хехр{П(^, ^/,)-П(^ + Д, ед} =
/ + д
= \ [g{2 - 6 (е, Д) + X) - ^(2 - 6 (S, Д))] \ П* (S, ^д;) ds X
Хехр{11(^, ^/,)_П(^4-Д, ОД}.

106 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Учитывая, что b (г, А) —> О при А—>0, получаем
lim |м[^(2Г+|(е, Д)-6(е, ^))-g{z)] =
= \ [g{z^x)-~g{z)]n^{t,dx)-
т
-Ъш^^^ \ ^''^4t,dx) =
k=\ е<|лг1 < 1
= \ [g{^^-x)-g{z)]m{t,dx)-\^
\х\>\
т
+ '^ [g{z4- X) - ^(2г) - 2 S (^^•^*] П*{t,dx). (18.7)
е < I л; I ^ 1 /г = I
Из формул (18.5), (18.6) и (18.7), переходя к пределу при
S ■—> О, получаем
т
^1ш 1м[^(г + |(^ + А)-|(0)-^(гг)]= 2 wlkiz)a%{t) +
m
+ -^ 2 wb;*(0+ J [^(гг+^с)-^(гг)]П*(МА:)+
i,/г=1 |л:|>1
m
+ J \^g^z-{-x)-g{z)-^^{z)x']n^{t, dx). (18.8)
Применяя (18.8) к
3im^M[^(|(0 + ^: + |(^ + A)-l(0)-^(^ + |(0)ll(0]
И учитывая, что
Мд^^(л: + |(0) = д^Ф(^, X);
d^g(x + l(OI_ д^ ^)
получаем, что правая производная Ф {t, х) по t, -^ Ф {t, х),
равна правой части равенства (18.2). Следовательно, зтФ(^, X)
^+ ^
непрерывна. Поэтому 37Ф(^, •^)^='§7^(^' •^) ^ имеет место
d+
(18.2). (Чтобы убедиться, что если v{t) и ^^ "^ (О "^прерывны,

§19] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ АДДИТИВНОГО ТИПА V07
ТО -r-v{t)= Y V (t), достаточно показать, что ср (t) =
t
= v(t)— \-T-v(s)ds постоянна. Так как -—ср(/) = 0, то,
а
ВЗЯВ произвольное е^О, для каждого t ^ [а, Ь) найдем такое
hf, что при O^h^h^ \^{t-\-h) — ср (^) | ^ eh. Покажем,
например, что ср (а) = ср (Ь), Пусть а — порядковые числа,
а последовательность t^ определяется соотношениями t^ == а,
t^ = t^_x-\-^t V ^^^^ существует а—1, и ^^= sup t если
не существует ос—1. ^^^ образуют не более чем счетное
множество, причем sup t^ = b. Поэтому ср (^) — ср (а) =
= V[cp(^^^i) — ф(^], сходимость ряда вытекает из нера-
а
венства | 9 (^a+i) ~ Т (U I ^ ^^/ " сходимости ряда ^/г^ =
а
= ^ — а. Таким образом, | ср (^) — ср (а) | ^ 2 I ? (^a+i) —
— cp(Q|^e|^ — '^ I- Значит, ввиду произвольности в]^0
|ср(^)-~ср(а)| =0.)
Замечание. Функция Ф{t, х) удовлетворяет условию
ИтФ(^, л:) = ^(л:), которое можно рассматривать как на-
t -* а
чальное условие для (18.2).
§ 19. Уравнения для распределений функционалов
аддитивного типа от процессов
с независимыми приращениями
Уравнения, полученные в предыдущем параграфе, вряд ли
смогут пригодиться для нахождения распределений §(/).
Для I {t) мы нашли явный вид характеристической функции,
по которой можно восстановить распределение \{t). Однако
аналогичные уравнения помогают изучать распределения
некоторых функционалов от случайного процесса. В этом
параграфе мы будем рассматривать случайные величины вида
b
\i/{l{s))ds, (19.1)
t
где ф (JC) — дважды непрерывно дифференцируемая функция,
ограниченная вместе со своими производными до второго

108 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ (ГЛ. 4
порядка включительно, а |(^) — процесс с независимыми
приращениями, удовлетворяющий условиям предыдущего
параграфа. Для нахождения распределения величины (19.1)
достаточно определить ее характеристическую функцию. Пусть
b
v^ {t, jc) = М exp { a ^ф (jc +1 (s) — I (t)) ds}. (19.2)
t
Теорема. Пусть оператор L обозначает оператор,
стояшдй в правой части уравнения (18.2). Тогда
~ ^-^^^^ = ^^х {U X) + 1Ц {X) V, (t, X) (19.3)
и lim V'^(t, x)= 1.
Доказательство. Имеем
^[х;^(^ —А, x) — v^it,x)] =
b
t — ^
b
-exp{iX5t(A:+|(s)_|(0)is}] =
t
=.i-M[exp{a \ if{x^l{s)~l{t-^ds]-
t — A
b
-expli\\^ix +lis)-lit-A))ds}]-{-
-^±m[exp{iX\<^ix-\-lis)-lit-A))ds}-
b
-exp{iX\^ix -l^Us)-lit))ds}] =
t
1 f r
= д-Мехр{а5ф(х+|(5)-
t
t
-|(^-A))c?s}[exp{/X \ ^(x+|(s)_|(f_A))rf5}-
- l]+^[Mt»,(^, л: +|(0-|(^-Д))-г-,(<, л:)].

§ 191 РАСПРЕД-ЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ АДДИТИВНОГО ТИПА 109
Заметим теперь, что функция Vi{t, х) дважды непрерывно
дифференцируема по JC, так как (19.2) можно
дифференцировать под знаком математического ожидания, причем
полученные производные будут непрерывны и ограничены.
Поэтому к функции v-^^ty х) применима формула (18.8). Значит,
lim 1 [Ш,(t, x+m-lii-^))~^х(i, X)l = Lv^(t, X).
Заметим, далее, что
b
|ехр{а5ф(л:+|(5)-|(Г-Д))^5}|<1,
t
^-A
ехр(Д5ф(л: + |(5)-|(^-А))б^5}-^ехр{^Х5ф(л:+|(5)^
t t
~Ut))dsY
1[ехр(Д \ i^{x^Us)-Ut-^))ds}-\]^l■ki^{x)
t-\
при A—>0. Поэтому, переходя к пределу при А —О под
знаком математического ожидания, получим
Ит|Мехр{а5 ^i^X^Us)-Ut-^))ds]X
t
Х[ехр{а \ ф(д^+|(5)-|(^- A))cf5}-l] =
^ ~ д
b
= Мехр{а5ф(^ + 1(^)-|(0)«^5}(^^Ф(л:)) =
t
= iU{x)v^{U X).
Формула (19.3) установлена. То, что lim v-^(t, jc)=l, оче-
видно. Теорема доказана.

по ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ (ГЛ.4
b
Замечание 1. Для того чтобы найти М ехр { i^ \ ф (К^^)) ds},
нужно взять М v-^ (ty I (t)); если p^ (dx) — распределение
величины КО, то
b
М ехр { а 5 ф (I (s)) ds} = \vy^ {t, x)pt (dx).
t
Замечание 2. Проведенное доказательство справедливо
и для того случая, когда
b
v^{t, л:) = Мехр{а5ф(5, lis)-{~x-lit))ds}.
t
где ф(5, л:) — непрерывная по совокупности переменных
функция, удовлетворяющая при фиксированном 5 условиям
теоремы. Уравнение для Vy^ (t, х) в этом случае будет иметь вид
Замечание 3. Из ограниченности ф (t^ х) вытекает,
что v-^{t, х) будет целой аналитической функцией X и что
уравнение (19.4) справедливо при всех К Беря чисто мнимые
X, можем найти преобразование Лапласа величины
b
^ф(5, lis))ds.
t
Замечание 4. Пусть
b
g^ (ty л:) = М (5 ф (5, л: + g (^) - I (0) dsT.
t
Разлагая Vx(t, X) по степеням iX, из (19.4) находим
следующие уравнения для gm(ty х);
g^(ty л:)=1,
^S-|lA) = Lg^ (ty X) + ф (ty X) gm-, (t. X)y g^ (by X) = 0,
/72 >0,
ЭТИ уравнения такие же, как и (18.2), только неоднородные.

§20] ВЕРОЯТНОСТЬ ПРЕБЫВАНИЯ ПРОЦЕССА В ОБЛАСТИ Щ
§ 20. Вероятность пребывания процесса
в некоторой области
Пусть |(^) — процесс, удовлетворяющий условиям § 18,
а Г(^) — семейство замкнутых поверхностей в R^'^\
непрерывно зависящих от параметра t при t (] [а, Ь], Рассмотрим
вероятность события, заключающегося в том, что | (t) для
всех t^ [а, Ь] будет находиться в области D{t\
ограниченной поверхностью Г(^):
Р{|(0 6 D(t), a^t^b}, (20.1)
Определение таких вероятностей — одна из важных задач
теории случайных процессов. Для отыскания такой
вероятности введем функцию
ii(t^ x) = P{l(s)—^{t)-{-x^ D(s), t^s^b}. (20.2)
Интересующая нас вероятность (20.1) будет равна и (а, 0).
Пусть ф(^, х) — произвольная дважды непрерывно
дифференцируемая по X ограниченная вместе со своими
производными до второго порядка функция, для которой ^{t, л:) = 0
при х^ D(t) и ф(/, л:)^0 при х^ D{t). Положим
ь
С(л:, t)^\^{s, l{s)^Ut)-\-x)ds,
t
Очевидно, что ii(t, л:) = Р{С(л:, 0 = 0}-
Распределение величины С (л:, t) определяется ее
преобразованием Лапласа
v^{i, л:) = М^-'^^^''\
а функцию х^х (^> •^) можно найти из уравнения (19.4),
подставляя в него вместо ik величину — \, Зная Vy^(t, л:), можем
найти ii{t, х). Заметим, что при х^ D{t) u{t, л:) = 0 и
ii(b^ х)=\ при t^ D{b). Для нахождения ii(t, л:) при х^
^ D (t) достаточно знать т;^ (^> •^) "Р^ X ^ D (t). Так как
ф(г', л:)==0 при х^ D(t), то из (19.4) получаем
-^^х(^, x) = Lv,it, XI (20.3)
где L — оператор, введенный в § 19. Поскольку
lim ^"^'^•^•^^ = 1 ^' ^^^^ ^-^•^' ^^ = ^»
х-*оо I О, если С (л:, 0>0>

112 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ.4
ТО u{t, х)= \\mvx{t, х). Находя решение (19.4) и пере-
Х-)-оо
ходя к пределу при X -> сю, определим и (^, л:).
Иногда для нахождения предела ii{t, х) можно перейти
к пределу в самом уравнении (20. 3) до его решения. Это
возможно, если не только i^x(^> -^)> но и производные v-^ijt, л:),
участвующие в (20.3), будут сходиться к соответствующим
производным и (^, х). Тогда, переходя к пределу в (20. 3) и
учитывая, что u{t, х)==0 при jc ^ D(О, получим такое
уравнение для u{t, х)\
т т
дп (t, X) \ ^^ ... ди (t, X) ,1 \ .. д'а (t, х) ,
k = \ k, j=\
+ \ [п (t, X ~\-у) - и (^, л:)] П*(^, dy) +
1у1>1
т
+ J \ii (t^ X -\-у) - и (t, ^) - 2 ^-^^j^y'\ X
x^y^D{t) k = \
X П* {t, dy), (20.4)
§ 21. Одно обобщение понятия стохастического
интеграла
Пусть \{t) — стохастически непрерывный процесс с
независимыми приращениями, определенный на \а, Ь\ а
функция ср(^, X) определена при t ^ [а, Ь\ х ^ R^'^\ где 7?^""^ —
пространство значений | (^), ср(^, х) является борелевской
функцией по X при фиксированном t.
Рассмотрим суммы
1]Т(^.. l{tu,,)-l{h)l (21.1)
где a^tQ-<^tY<^.,.<^tj^=ib. Обозначим Х = max(/';^+1 — tj^).
k
Если существует предел в смысле сходимости по
вероятности сумм (21.1) при Х->0, то этот предел мы будем
обозначать b
5ср(5, dlis)). (21.2)
а

§21] ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 113
В ЭТОМ параграфе будут изучаться условия существования
подобных интегралов и при некоторых условиях будут
найдены их характеристические функции.
Заметим, что функция ср {t, х) не обязана быть числовой,
она может принимать значения из некоторого конечномерного
евклидова пространства R^^\ Однако в этом случае вопрос
существования интеграла (21.2) сводится к вопросу о
существовании интегралов для координат ср (z', jc), а вычисление
характеристической функции интеграла (21.2) сводится к
вычислению характеристических функций величин
а
ДЛЯ всех у ^ R^^\ Поэтому мы будем рассматривать
интегралы (21.2) только от функций с числовыми значениями.
Теорема 1. Если процесс \{t) с вероятностью 1
кус очно-постоянный у а функция ср(/', х) непрерывна по t,
измерима по х и удовлетворяет условию (^ (t, 0) = 0, то
интеграл (21.2) существует.
Доказательство. Для кусочно-постоянного процесса
\{t) можно указать такие точки т^, Т2, ...т^, что на каждом
из интервалов (т^-, т-^^) ^ (^) = |(т^-]-0). Если взять
настолько маленькое X, чтобы \ <^ min (т^^^ — т^.), то тогда
В каждом из отрезков [tj^, t^^^i] будет по одной точке т-
(возможно, что и ни одной). Так как процесс стохастически
непрерывный, то вероятность того, что фиксированная точка
будет точкой разрыва процесса, равна нулю. Следовательно,
точки разрыва попадут с вероятностью 1 внутрь интервалов
[4> h^il Тогда, если /'/^.<т^</';,.+ь то
п-\ г—\
S Т {h, fe (^,,0 - I (4)) = S 'Р (^*,- I (^' + 0) - ^ (T; - 0».
Из непрерывности ср {t, x) no t вытекает, что при X -^ О
предел этой суммы существует и равен
\'f{s,d lis)) = 2 Т (^<. t (^.- + 0) -1 {■'i - 0))- (21.3)
а i=\
Замечание 1. Теорема и формула (21.3) справедливы
и для того случая, когда функция ср (/, х) непрерывна по t для

114 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
каждого X, за исключением точек множества Ах на \а, Ь\
для которого вероятность того, что точки разрыва т^.
попадают во множество Ах^ равна нулю. Это условие можно
сформулировать в терминах
\(t) = \\m П(^, ад,
е->0
(см. § 17). Для любого отрезка- [а, р] величина Х(Р)-~Х(а)
означает математическое ожидание числа скачков |(/) на
[а, р]. Используя этот факт, легко установить, что для
всякого борелевского множества Т математическое ожидание
числа скачков процесса, происходящих на множестве Г, равно
\ d\ (t). Таким образом, теорема 1 справедлива в том слу-
т
чае, когда ср (^, х) измерима по Борелю при каждом t,
непрерывна по t, если t^ Тху \^dX{t) = ^y и ср(^, 0) = 0.
^•^
Теорема 2. Пусть |{t) — непрерывный с
вероятностью 1 процесс с независимыми приращениями, а функция
ср(^, х) при фиксированном t является борелевской
функцией X и
lim sup |ср(/', л:) 1 = 0.
I a:|<s
Для существования интеграла (21.2) необходимо и
достаточно, чтобы существовали в смысле сходимости по
вероятности пределы.
1) lim 2 Мер (^„ l{h,,)-Ut,)l
п-\
2) lim 2 (^^(^^^> h^i)4(h. ЧЛ 4ifk> h^i))
и, кроме того,
3) lim "^ (Ms(^„ t,^^f-m\B(t„ t,^,)цit„ 1,^г)\') = 0,
где г (t„ t,,,) = ср {t„ I {t,^,) -1 {t,)) - Мер {t„ | {t,^,) - | (/,)),
i_
n {tk, Ы^) = [A {t,, ,)-A m "2- (I it,^,) _ (^,) _

§21] ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 115
_ i_
а оператор \А (/"/г+О — А (t^\ ^ определяется следующим
образом', если ei, е^,.,., в^ — ортонормированная система
собственных векторов А (/'/г+О — А (tf^) с ненулевыми
собственными значениями ^i^^^^- • • ^К^^^ тогда
[^(tf^^i) —A(tf^)] ^ej=Y'k- ^Р ^ ^^^ ^^^^ ^у ^^^
которых \А (^/г+i) — А {t^\ jc = О, полагаем \А (t^ ^0 —
- л (/,)]"" ^ л: = 0.
Доказательство. Достаточность условий теоремы
вытекает из соотношений
п-\
п-\
+ Ц [^(^/^> ^,^0-(Ме(^д, ^,^0Л(^^> ^;^ыХ Л(^/е, ^.+0)]
= 0
и
-2М|г(^„ 4+0 Л (4, 4+01' + |Мг(^„ 4+0 Л (4, 4+01'^
<Ме(^„ ^,^0'-М|е(^„ 4+1) Л (4, 4+0 Г.
так как для всякого Z, принадлежащего линейной оболочке
векторов ^ь...,^п ^К-г^, Л(^/г, ^/^+0) Г = I-г^ Г-
Необходимость, Если сумма 2j Т (^/г, I (^/г+i) — \ (h))
имеет предел в смысле сходимости по вероятности, то она
будет ограничена по вероятности, а слагаемые, входящие в
эту сумму, независимы, причем ввиду непрерывности процесса
и условия (21.4) их можно считать ограниченными сколь
угодно малой постоянной. Поэтому на основании теоремы 4
§ 3 Zj?(hy К^/г+О — lih)) будет иметь равномерно
ограниченными все моменты. Из существования предела суммы
Zj^ih^ ^(.h+i) — 1(^/г)) будет вытекать существование

11б ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
предела для ее математического ожидания. Необходимость
условия 1) установлена. Необходимость условия 2) будет
вытекать из необходимости условия 3), которую мы сейчас и
будем устанавливать.
Покажем, что для всех t ^ [а, Ь] существует предел й
смысле сходимости по вероятности
Действительно, если a = t^<^.. .<^tn = t и a^tl<^,..<^
<:^t'i = t — два разбиения [а, t], для которых max (t^ — t^^^) <^
<^Х и тах(/}—t)_x)<^\ то, дополняя эти разбиения
одинаковым образом до разбиения [а, Ь] точками t = t^=:t'i<^
< ^/г+1 = ^/-ь1 < • • • < ^/г+р = ^/+р = ^ так, чтобы X не
увеличилось, можем для всякого Ь^О записать
р {I"ц е i^k, i^) ~ Е' (^''' ^ivi) I > s}=
п-\-р-\ 1-\-р~\
= Р{| S e(^.>Vi)- S в(4^м) >8}.
/г-f-p-l
Так как из сходимости по вероятности ^ е (t^^^ tj^^i) при
k = 0
X -> О вытекает, что последняя вероятность стремится к нулю
п-\
при Х->0, то для суммы 2 е(^д,, tf^_^i) будет выполнено не-
обходимое и достаточное условие сходимости по вероятности
(см. § 3), откуда и вытекает существование предела (21.5).
Используя соотношения (21.4) и (21.5) и независимость
пар е(^д,, tf^^i), |(^/г+0 — К^А»), можно точно таким же
образом, как при доказательстве теоремы 1 § 15, установить,
что t,{t) и I (t) имеют совместное нормальное
распределение. Обзначим через L(fi, ^2,•••, ^п) множество случайных
величин, являющихся линейными комбинациями величин
п
I (t^) — М| (^^.)> i = 1,... /г, т. е. величин вида ^ (| (t-) —
— M|(f;\ ZiX где Zi^R^^K Через L обозначим замыкание
объединения множеств L{ti, t^^.. .,t^) в смысле среднеквадра-

§21] ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 117
тичной сходимости, Т. е. т] ^ I, если можно указать
величины Цп^ ^ (^i'^^ • • •» ^^п'^)у ^^^ которых М I т) — Цп\^ ~^^-
Наконец, через L* обозначим совокупность величин, являющихся
линейными комбинациями величин из L и С,(Ь). Все
указанные совокупности случайных величин являются
гильбертовыми пространствами, если считать скалярным произведением
двух величин математическое ожидание их произведения.
Пусть a = tQ<^ti<^.. ,<^t^=^b; обозначим через (о (^ь..., ^„)
проекцию (ортогональную) величины ^ (Ь) на L ((q, ^i,..., ^Д а
через (О обозначим проекцию t,(b) на L. Если max (tj^^^ —
k
— f^^)->0, то М|(о — со(^о> ^ь-.-, ^J|^-> 0. Легко проверить
что п-\
со(^о, ^ь..., U=i; (Т1(^., ^.-ы), Mg(^)Ti(^„ ^,^,)).
Захметим, что величина t,{b) — (о будет ортогональна всем
величинам L, а так как совместное распределение величин g (^)
и величин из L нормально и все эти величины имеют своим
математическим ожиданием нуль, то ^{Ь) — (о будет
величиною, не зависящей от процесса | (t). Поэтому для всякой
борелевской функции g{Xb Х2, • • •, -^J
если только M^(|(^i),..., ^(^^j)) существует. Но величина,
t,{b) — (О является пределом борелевских функций от
значений процесса |(^). Выбирая g^ и tf^ таким образом, чтобы
^п (I (^i)> • • • > I i^n)) сходилась к ^{Ь) — (О, получим, что
M|g(^) — (О 1^ = 0, т. е. g(^) = a). Поэтому
или
мЦвС^у, ^у^1)л(^., ^.+1)Л=-о.
у=0
Чтобы получить доказательство условия 3), достаточно
заметить, что Ms(^y, tjj^i)'x\{ti^y tf^^i) = Of если ^ 17^у. Теорема
доказана.

118 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ.4
Замечание 1. Если выполнены условия 1) и 3), то
для проверки условия 2) нужно уметь исследовать лишь тот
случай, когда ср(^, л:) линейно зависит от л:, но может
меняться от разбиения к разбиению. Другими словами, нужно
исследовать вопрос о существовании предела для выражения
/г-1
k = 0
где ф„(0 — функции, определенные на [а, Ь], постоянные на
[^л» h+i] ^ принимающие значения из R^"^\ Так как С^ имеют
нормальные распределения, то для существования предела
величин Сд в смысле сходимости по вероятности
необходимо и достаточно, чтобы Ит М | С^^ — с^ |^ = О, где
С/ = S [% (Q, I (4^i) -1 (t'k) - M (I (tk,,) -1 (f,))j,
Й = Z^o < • • • < ^i = ^> max (4+1 — t'k) < к
k
Ho
b
M1 c„ - c, r=^ (Фя (0 - % (0, dA (0 [ф„ (0 - ъ m,
a
где
\ {^ (0, dA it) ^ (0) = H ^ f (0 Ф' (0 ^a,y (0,
Ф' — координаты вектора if, a a^y (Z') — элементы матрицы
оператора A (t) в некотором ортонормированном базисе. Это
условие эквивалентно существованию векторной функции
ф(^), для которой
\ (Ф„ (О - ф (О, ^^ (О [фя (О - Ф (01) ^ 0;
а
при этом величина 1^ будет сходиться к интегралу
ь
5(Ф(0, ^1о(0), где |о(0 = 1(0~М|(0.
а
Такие интегралы будут рассмотрены в § 45.
Замечание 2. Пусть ср(^, л:) — непрерывная функция,
ср(/, 0) = 0 и существуют непрерывные производные

§21] ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 119
"d^' дШ^^ 'd^j (х^ — координаты векторах в некотором
ортонормированном базисе). Убедимся, что в этом случае
выполняются условия предыдущей теоремы и существует
интеграл (21.2), если только М|(^) = 0. Обозначим
P.(0 = g,-(^, 0), hj{t) = ^{t,0).
Тогда
т
1
+ T 2 P.7(y[^''(Vi)-^4^*)][e'(^*+i)-S'(y] +
где ос (л:) — величина, стремящаяся к нулю при jc—^0. Поэтому
п— \ т п— \
/г = о I = 1 /г = О
п — \ т
+т 2 2 p'v ^^*) t^'' (^*+') ~ ^'' ^^*^^ 1^' ^^'^+') - ^' ^^-^^J+
/г-1
Легко видеть, что
п-\
при X—*0. Далее,
A = 0

120 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
при X —^ О, как было установлено при доказательстве
теоремы 1 § 15. Кроме того,
А;=0 .
а
где Sx-- О при X—>0. Таким образом,
= ^[Ыb)'i.^{b)-\'i^m\{f)dt\Jr
i= \ а
т b
i, у = 1 а
где а^у (^) — элементы матрицы А (t) в том базисе, в
котором I (i) имеет координаты ^' (t).
Для формулировки дальнейших результатов нам
понадобится некоторое обобщение интеграла, определенного в § 13.
Пусть [а, ^]Х^^'"^ обозначает совокупность пар точек (^; JC),
для которых t ^ [а, Ь], х ^ R^"^\ Для всякого борелевского
множества Л* из [а, ^]Х^^'^\ лежащего на положительном
расстоянии от точек, для которых jc = 0, определим
случайную величину v*(Л*) — число точек ^, для которых
(t; 1(< + 0)-|(^-0))ел*.
Если множество Л* имеет вид [t^, ^2] X ^» то v*(Л*) =
= v(^2, ^) — "^(^ь А), где v(/. Л) — мера, построенная в § И.

§ 21] ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 121
Используя ТО, ЧТО мера v является мерой с независимыми
значениями, процесс | (t) является процессом с независимыми
приращениями, и то, что v (/, Л) имеет пуассоновские
распределения, можно установить, что мера v*(^*) будет мерой
с независимыми значениями и что распределения v*(^*) будут
пуассоновскими. Точно таким же образом, как в § 13, можно
определить интеграл по мере v*, который мы будем
обозначать 5 ср (^, jc) V* (^^, dx). Пусть П^(Л*) = Mv*(Л). Если
л*
Л*п=:[^ь /2lX^, ТО П:,(Л*) = П(^2, Л) —П(^1, А),
Аналогично тому, как в § 16, определяем
\ cp(f, jc)[v*(rf^, dx) — U^{dt, dx)l.
A*
Этот интеграл существует, если
\\9(t. x)\'U^idt, dx)<Coo.
A*
Эти интегралы мы используем для представления интегралов
(21.2). Легко убедиться с помощью формулы (21.3), что
в условиях теоремы 1
b Ь
\^{t, dl{t))=:\ \ ^^(t, x)v4dt. dx), (21.6)
a a f^^m)
Введем следующие обозначения:
[ 0 при
г 0 при
\х\->^,
|л:|^г,
1 л: 1 < £,
\х\>г.
b
Отметим для дальнейшего, что интегралы \^^{t, d%{t)) й
а
b
\?g(^> ^t)(0) независимы, если только они существуют.

122 ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Теорема 3. Пусть функция ср{t, х) ограничена,
измерима по Борелю при каждом t и непрерывна по t при
каждом X, причем lim sup |ср(^, jc)| = 0, а процесс
S -^0 t^[a, b]
^{t) имеет вид
КО = 1о (^) -f- \ jc IV {t, dx) — П (t, dx)\-\- \ JCv (t, dx\
\x\^\ |дг|>1
где lo (0 — непрерывный с вероятностью 1 процесс, для
которого М|о(0 = 0, М(г, \^(f)f=:^(z, A(t)z\
Тогда для существования интеграла (21.2) необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а) суш^ествует
п
7-= limM 2 9{h. U4,x)-lit,)))
б) если
ч ih, t^)=ъ ih, I ih^i) -1 (t,)) - M срг (t,, I (t,^,) -1 it,)),
mo
lim lim 2; (Me,(^„ ^,,1У^-|Мее(^„ ^,,0X
X [A (t.^i) - A (t,)]' ^ do ih^i) - So (tu)) Г) = 0
и существует такая величина т], что
п-1
Jim lim mU- 2 (§o(^y^+i)-|o(y, Мее(^„ ^,^0 X
X 1/1 (^ft+.) - А it,)] 2 (I, (^^^j) _ £„ (i^))) ]^ = 0;
B)

§21J ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 123
При выполнении этих условий
b b
\ ? (t, dc, (t)) = 73 + т + ^ \ cp (^, ^) [v^ (dt, dx) - ri^ {dt, dx)]
a a ^(W)
(21.7)
{существование интеграла no мере v* вытекает из
условия в).
Доказательство. Необходимость условия а)
вытекает из того, что все моменты суммы ограниченных незави-
п- 1
симых слагаемых 2 Т(^/г^ 1(^/^+0 — К^/?)) ^^ теореме 4 § 3
будут ограничены относительно п, так что из сходимости
по вероятности этой суммы к некоторому пределу будет
вытекать сходимость моментов этой суммы к соответствующим
моментам предельной величины. Из формулы (21.6) вытекает,
что для всякого S]^0
b b
\ ъ (^, dl (0) = \ \ ? (^, л:) V* {dt, dx). (21.8)
а а 1 л: I > 5
b
Поэтому будет существовать и интеграл ^ ср5 (^) di (/)), и он
а
будет независим от интеграла (21.8), так что
0[5тб(^, cf|(0)]^D[(cp(^, dl{i))\
а а
Учитывая (21.8), получаем
b b
а j^^fni а
Установлена необходимость условия в). Доказательство
необходимости условия б) проводится точно таким же образом,
как и доказательство необходимости условий б) и в) в
теореме 2.

124. ПРОЦЕССЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Достатояность. Имеем
/1-1
п — 1
= S [^а (4, I (^ft+i) - I (У) - М ^8 {tb % {tk-A) - I ih)) 1 +
/г- 1
= ^ + T+ S (lo(^.,i)~loO, Ms,(^„^,+i)X
fe = 0
_ 1
X [^ (^.+a) - A {Щ "2 |(|„ (4^0 - |„ (У) - ^] +
/г- 1
+ S [^5 (^*> tk^x) - (?. 0 (4+i) - lo (4).
-. J-
M e, (4, 4^,) [Л (4^0 - A (4)] 2 (|„ (^^^,) _ 1^ (^^))) ] _|_
ft
+ 5 5 ?it,JC) [V* (flf^, «!д:) - П^ {dt, dx)] +
n— \ b
+ [ S T8 (^., I (^.+1) -1 ih)) - \ срз (t, dl (0)1 -
n — \ b
- M [ 2 Тб {t,, I {t,^,) - I (/,)) - \ cp, (/, t^g (0)1 -
— 5 5 T (^, ^) [^* («^^, o^a:) — n^ (dt, dx)\
a\x\^b
Из этого равенства, используя условия теоремы, легко найти,
что
п- 1
lim lim М Г 2 ? (4> I (4+i) - I (4)) - v] - т -
S-*OX->oo ^-^, q
\ \ ^(t. X)[V* (^^, йл:) — П^ (dt, dx)\ ]^ = 0.
Теорема доказана.

§211 ОБОБЩЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 125
Перейдем к вычислению характеристической функции
интеграла (21.2) в условиях теоремы 3. Так как величина -ц
в формуле (21.7) имеет нормальное распределение и не
зависит от V* {dt, dx)y то мы найдем лишь характеристическую
функцию выражения
b
\ \ 9(^^ X) V* (dt, dx\
Если Л*, А^, ,.,, Л% — множества из [й, ^] X ^^'^^ не
имеющие общих точек, а с^, с^, ..., с^ — произвольные числа, то,
поскольку величины v* (Л*) будут независимы и
распределены по закону Пуассона с параметром П^ (Л*),
k k
М exp { а 2] ^v* (л *) I = exp { 2 {e"'j - 1) П^ (ЛJ)}.
Поэтому, учитывая определение стохастического интеграла
(см. § 13), без труда получаем
b
Д J J 9 (/, л:) V* {dt, dx)
1Ае ^ =
b
= ехр 15 \ [e^^^ (^' •^) — 1 ] П^ (dt dx) }. (21.9)
Из этой формулы и (21.7) находим, что в условиях теоремы 3
М ехр {^Х ^ ср (/, dl (t)) J = exp | ik^ —' 2~ +
a
^ I ^ [ei^f (t, x)_i_ ix^ (^^ x^i n^ (dt, dx)},
где a^ = M7]^

ГЛАВА 5
ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
§ 22, Свойство строгой марковости
Пусть l{t) — однородный процесс с независимыми
приращениями, распределения которого определяются
характеристической функцией
М ехр {iX^ (О } = ехр I ^ \iX^ — -^ а^Х^ +
+ ^|,/лс_1„_1^^^П(^х)]}, (22Л)
Y и а — вещественные числа, а Ц — мера на вещественной
прямой (в этой главе мы будем рассматривать лишь
процессы, принимающие числовые значения). Распределение
l{t-\-h) — l{t) в этом случае не зависит от ^ и значений
процесса при s^t. Это, конечно, может оказаться неверным,
если величина t случайна. (Например, если S(0 — непрерывный
с вероятностью 1 процесс, то можно подобрать так
случайный момент т, что с вероятностью 1 l{z-\-h) — ^(т) = 0.)
Однако есть целый класс случайных величин т, для которых
Цт-f-/г) — Е (т) не будет зависеть от т и от значений
процесса при 5^ т.
Пусть Э}{^ — совокупность, случайных величин, которые
являются пределами в смысле сходимости по вероятности
величин вида gniH^iX •••» UU)> "'Д^ ^k^^y ^ S—борелев-
ская функция п переменных. Мы будем говорить, что
случайная величина т не зависит от будущего процесса ^ (t), если
величина фДт), равная 1 при t^z и равная О при ^<^т,
принадлежит ЭЛ^. Это означает, что о наступлении или
ненаступлении события {'^^t} можно судить по поведению про-

§ 22] СВОЙСТВО СТРОГОЙ МАРКОВОСТИ 127
цесса ^(s) до момента 5 = ^. Для таких величин £(т-|-/г) —
— ^ (т) не будет зависеть от т и ^(s) при s^z и
конечномерные распределения процесса ^^ (t) = I (t-^ х) — £(т) будут
совпадать с конечномерными распределениями процесса ^ (t).
Если для процесса i{t) выполнено это свойство, то говорят,
что процесс обладает свойством строгой марковости. Мы
докажем лишь выполнение условия строгой марковости по
отношению к величинам, являюш.имся временами первого
выхода процесса из некоторой криволинейной полосы.
Теорема. Пусть 5 (t) — непрерывный справа однородный
процесс с независимыми приращениями, а gi (t) и g<2 (t) —
непрерывные функции, определенные при t^O и удовле-
творяюище условиям gi (t) <^g^ (t), gi(0)<^0<^g^(0).
Обозначим через т случайную величину, для которой gi (t) ^
^ £ (О ^ ^2 (О ^Р^ ^ <С "^j ^ ^ каждом интервале (т, т -|- Ю
существует точка s, в которой ^ (s) ~^ [g^ (5), ^2 (^)]- (Эту
величину т мы будем называть моментом первого выхода из
полосы [gi(t), ^2(0]-) Тогда, каковы бы ни были t и h,
события {Е (^i) <^ ^1, ..., £ (tf^) <^Xf^, '^ G [^' ^ + ^]} '^
{^5i ~{~ т) — ^ (т) < j/i, ... J (5; -f т) — £ (т) < J/;} при и, ^2,...
•'•уЧ^^^^ъ ^ъ • • • » "^z ^ О независимы и совместное
распределение величин
совпадает с совместным распределением величин I {s^, ,,.
...,^(5^), другими словами,
(22.2)
Доказательство. Пусть z^"'^ — максимальная точка
вида -, для которой £ ^^-j ^ ^g^ ^~-j , <^2 (^-j J Для всех
m<^k. Очевидно, т^'^^—>т и т^'^^ ^ т. Обозначим, далее, через
t][^^ наименьшее число вида —, превосходящее //, а через
^/'^^ — наименьшее число вида —, превосходящее ь\. Из
непрерывности i{t) справа вытекает, что ^т^'^^) —^(т), £ (/'['^^)-—
—^и^Д $ (т ^'^^-|-б^Г^) —> $ (т-|-5^) с вероятностью 1. Поэтому,

128 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
используя теорему 3 § 1, можем утверждать, что для всех
t, h, Xj^ и J/., за исключением, быть может, счетного числа
этих точек,
^(,._^,)__|(,)<;_у., у=1, ..., /} =
= lim P{4^h<^p ^=1, ..., ^;
п-*со
(22.3)
= lira Р{|(4''')<л;;, t=l,..., A; ^s=;t("> <;* + /?}, (22.4)
n -* CO
P{4si)<Cyi,i=l,...,l} = limP{S(.9h<j/,,i=l,...,/}.
/г —>■ oo
(22.5)
Ho
^(sf+ т«)-Нт<"о<л-. ;--i. •■•. n =
!(^)е[^,Ш,.,Ш])х
XP|E(<')0„; = i /) = Р|Е(»;"')<л,;=1 flX

§ 23] ПРОЦЕССЫ СО СКАЧКАхМИ ОДНОГО ЗНАКА 129
Переходя в этом соотношении к пределу при n—*oovi
учитывая (22.3), (22.4) и (22.5), полу-чаем (22.2) для всюду
плотных в областях своего изменения значений аргументов
t, /г, Xi, у1. Учитывая непрерывность вероятностей по
аргументам Xi, yj, h слева, а по t справа, убеждаемся в
справедливости (22.2) для всех значений аргументов.
§ 23. Процессы, имеющие скачки лишь одного знака
Рассмотрим в этом параграфе однородные процессы
с независимыми приращениями, имеющие только
отрицательные скачки. Характеристические функции таких процессов l{t)
будут иметь вид
М е'-^^'^) = ехр [t \1Ц - 4^ + ([е^^ ~ 1 - yf^) Щdx)\ ],
— ОО
(23.1)
где ^ ]А а — вещественные числа, а П — мера на полупрямой
(— сю, 0).
Введем случайную величину т^ — время первого выхода
из полосы (— сю, а]. Мы будем предполагать, что эта
величина конечна для всех а. Изучение условий, при которых
это будет выполняться, отложим до § 24. Рассмотрим
свойства величины т^ как функции а.
Заметим, что ^{t) может пересекать прямую х = а в
плоскости (t, х) снизу вверх только непрерывным образом.
Поэтому ^Tj = a с вероятностью 1. Как вытекает из
теоремы предыдущего параграфа, процесс ^{t ~\-1^ — % (т J не
зависит от £ (s) при 5 ^ т^ и т^. Обозначим через т^ время
первого выхода процесса ^(^-[-ij — а из полосы (—оо, Ь],
Легко видеть, что т^ ~|- т^ = т^^^,. Так как процесс £ (^ -f- т J — а
не зависит от т^, то и т^, не зависит от т^, т. е. т^.^^, — т^
не зависит от т^. Аналогичным рассуждением убеждаемся, что
при О < ai < Д.2 < ... < ^я величины т«^, т^^ — т^,^, ...
...,'^а —'^а независимы. Следовательно, т^ как функция а
является процессом с независимыми приращениями. Из
совпадения распределений процессов Ц^) и ^ (^ ~|- т^) — а вытекает
совпадение распределений величин т^ и т^,. Процесс т^
является однородным процессом. Из определения величин т^
очевидна монотонность процесса т^ по а\ т^^ ^ t«2 "Р*^ ^i ^ ^2-
5 А. в. Скороход

130 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Покажем, что процесс т^ будет стохастически непрерывным.
Для этого достаточно доказать, что 'Сд —^ О по вероятности
при а —* 0. Из монотонности процесса т^ вытекает
существование с вероятностью 1 предела lim т^, поэтому с вероят-
ностью 1 zai—T^as—^0 при й^, а^—>0. Значит, т«2—'^ai—^0
по вероятности при Ui, а<2 —^ 0. Остается заметить, что ввиду
однородности процесса т^ распределение величины т^^—т^^
совпадает с распределением величины t^^-oi "Р^ ai<^^^-
Таким образом, т^ является однородным стохастически
непрерывным с вероятностью 1 монотонным процессом с
независимыми приращениями. Поэтому на основании теоремы 1
§ 17 характеристическая функция этого процесса будет
иметь вид
оо
М /^'« = ехр I а [а^ + 5 (^''^" — 1)dN (w) ] }, (23.2)
о
где 7^^» 3 N{n) — неубывающая функция, имеющая
конечный предел при w —> со (можно считать, что этот предел
равен нулю).
Изучение распределений процесса т^ эквивалентно
изучению распределения sup l(t), так как
Р{ sup e(s)>a} = P{T^^^}. (23.3)
Найдем связь между характеристиками процессов i(t)
и т^. Обозначим через P(t, dy) и Ф(а, dt) функции
распределения величин Е {t) и т^ соответственно:
- 00 о
Покажем, что для всякого s]^0
limipj sup £(5)>£} = 0. (23.4)
Предположим, что можно указать последовательность tj^ —* О,
для которой
]V{ sup £(5)>е}^а}>0. (23.5)

§23] ПРОЦЕССЫ СО СКАЧКАМИ ОДНОГО ЗНАКА 131
Тогда
Р { sup S (5) ^ е } ^ 1 — dtk.
Поэтому для достаточно больших k
Р { sup sup [I (s + ntf,) - l(nt,)]^^}^{\ ^ аф^е-^<^ 1,
значит,
P{ sup [£(^-]-0) —£(^ —0)]^е}<^^<1.
Ho процесс £ (t) имеет с вероятностью 1 лишь отрицательные
скачки, так что
Р{ sup [^(^-j-O) —£(^ —0)]^0} = 1.
о<^< 1
Таким образом, предположение (23.5) приводит к
противоречию. Это убеждает нас в справедливости (23.4).
Используя соотношение (23.4), можем записать
Р{ sup i(5)>a} = P{ sup £(5)>а} +
-|-Р{ sup £(5)^а, sup £(5)>а}=о(/г)-Ь
а
+ \ Р{ sup %{s)^a, l{h)^dy\X
XP{ sup [lis)-\Qi)\ya~y] =
= o(A)+ \ Pmh)^dy}P{ sup Цз)Уа-у}-
-oo 0^S^<
a
— \ P{ sup Hs)^a, Hh)^dy}P{ sup Ц8)Уа—у} =
a
= \ P{\{h)^dy\P{ sup |(5)>а-^;}+о(/г>
_ OO 0 ^ 5 < OO
Учитывая (23.4), получаем
t^h OO t
\ Ф(а, ds)=: \ \\ф{а—у, ds)'\p(h, dy)-{-o{h),
0 — 00 0
5*

132 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Умножим это соотношение на е~^^ и проинтегрируем по t.
Получим
h h
у [ С Ф (й, ds) + e^^vy^ {а) — е"^ ^ ^'^"Ф {а, di) 1 =
со
= 15 v-,{a-y)P{h, ф;) + о(/г),
где
00
о
Так как
h
\ф(й, Qf5) = P{ sup \(s)^a\ = o(h\
то
со
е%,(а)= \ T»,(a-j')P(ft, ф;) + о(/г). (23.6)
— 00
Для нахождения величины г;^^ (а), равной М ^ ^, заметим, что
V)^(a) является аналитической при ReX^O и непрерывной
в замкнутой полуплоскости ReX^O и при ReX^O
совпадает с функцией
со
ехр { «(- Хт + 5 (^-'" - 1) dN(u))},
которая также аналитична при ReX^O и непрерывна при
ReX^O. Поэтому
где
со
ф (X) = 7^ + 5 (1 ■— ^-^") dN (и),
о
Подставляя выражение для V)^ (а) в (23.6) и сокраидая на
ехр { — аф (X)}, приходим к соотношению
а
^лл^ ^ e>^W P^h, dy)-\-o{h), (23.7)

§ 23] ПРОЦЕССЫ СО СКАЧКАМИ ОДНОГО ЗНАКА 133
которое выполняется при всяком фиксированном X и при
всех й^О, причем для всех л^^о^^ равномерно, каково
бы ни было а^. Учитывая, что при а^^О
со
\P(h,dy) = Pmh)::>ao}^P{ sup i(s)::>ao\=o(h\
можем записать
\ Z{y)P{K dy)-\-o{h\
где Z(y) — дважды непрерывно дифференцируемая функция,
ограниченная и непрерывная вместе со своими производными,
совпадающая с ^>"^^^^ при у<^а^. Так как
Z(0)=1, Z'(0) = tW, Г(0) = {<^(К)]\
то, применяя формулу (18.8), получим
.0 '
ИтД[ J 2(з;)Р(/г, ф;)-2(0)] = т1>М + т[ФМГ +
— оэ
о
+ \ [zCy)-Z(0)-Z'(0)y^,]n(^;)= Ит^
— СО
Таким образом,
— со
Решая это уравнение относительно ф(Х), можем найти
характеристическую функцию величины т^.
Этот результат можно получить и другим способом. Так
как o{h) в (23.7) является величиной более высокого
порядка, чем /г, равномерно относительно всех достаточно
больших а, то, переходя к пределу при а~->оо, получим
оо

134 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
оо
Таким образом, существует \ e^^P{h, dy), если k^O яв-
— оо
ляется одним из значений ф(Х). Если обозначить
оо
5 е'УРф, dy) = <?{k, К),
— со
то легко видеть, что
оо
<f{k>h, + K)= \ e'ypihi + h^, dy) =
— оо
= М ^^^ (^2) М ^^^ (^1) = р (^, /^i)cp(^, h.2)
Используя это обстоятельство и непрерывность ср (k, h) при
достаточно малых h (если k <^ sup ф (X), то при некотором
X
а ^ 1 М [^^^ ^^Ц"^ <^ оо, поэтому непрерывность ср (^, /г) =
^^^kiih) вытекает из теоремы 2 § 7), убеждаемся, что
ср (ky h) = exp {/гср (^)}.
Таким образом,
^ХЛ ^ ^Лср (ф (X)) _|_ ^ (/^) ^ ^ (^ф (^^) ^ ^^
где ср(^)=: Y^"^^^^^^^- ■^^'^^ существует функция ср~^,
обратная к ср, то t|> (к) = ср"^ (к),
§ 24. Рост процессов на бесконечности
Исследуем характер изменения однородного процесса
с независимыми приращениями при t-~>co. Для этого нам
понадобится теорема об усиленном законе больших чисел.
Теорема А. Н. Колмогорова. Пусть случайные
величины ?1, ?2> •.. одинаково распределены и независимы и
существует М?,-. Тогда
р{-^2^^-^Ч=^-
fe = 1
Доказательство этой теоремы содержится в учебниках
по теории вероятностей (см., например, книгу Б. В, Гне-

§ 24] РОСТ ПРОЦЕССОВ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 135
денко [16], стр. 205), поэтому здесь это доказательство не
будет проводиться.
Следующая теорема является естественным обобщением
теоремы А. Н. Колмогорова на непрерывный случай.
Теорема 1. Если процесс l(t) является однородным
процессом с независимыми приращениями и существует
М£ (1), то
PJlim i-£(0 = M5(l)|=l. (24.1)
V->oo ^ J
Доказательство. Величины 1{п) — 1{п—1)
независимы и одинаково распределены, поэтому по теореме
Колмогорова
Р| lim U{n)^ liffl ^ У [Цк)-Цк-\)] = ШЦ\)\^\.
k = 1
(24.2)
Чтобы доказать (24.1), достаточно показать, что
Р I lim 1 sup I £ (О — £ (« — 1) i = О 1 = 1-
Используя теорему 2 § 3 и сепарабельность £ {t\ можно
установить, что
Р ( sup IS (О — £ (« — 1) I > «4 =
= Р| sup |£(01>^4^2Р{1И1)|>//в-С},
если только sup Р { ЩО I ^ Q ^ ^ • Заметим, что для схо-
0^/^1 ^
димости последовательности величин у\^ с вероятностью 1 к
нулю достаточно, чтобы для всякого s^O сходился ряд
со
2 Р {I 7]„ I ^ е}, так как в этом случае из событий {| iq« | ^ s}
будет происходить (по лемме Бореля — Кантелли) лишь
конечное число. Положим
7i„ = i sup \%{t)-^n-\)\.

136 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Тогда
со со
S P{h«l>4^2 2 Р{|$(1)|>„г-С} =
2 ^ р j)imi±i-> , j rf, = 2 M^iJii+C <
CO.
Значит, P i lim 'г]^^ = 01=1. Теорема доказана.
\л -> oo J
Из теоремы 1 вытекает, что, каково бы ни было е^О,
процесс ^(t) будет для всех достаточно больших t лежать
между Ш^(1) +в^ и (ЖЦ\) — е(.
Исследуем теперь рост процесса Е(0, если он с
вероятностью 1 монотонно возрастает, но N[i(t) не суш.ествует.
Теорема 2. Пусть ^(t) — однородный с
вероятностью 1 монотонно возрастающий процесс с независимыми
приращениями, для которого М£ (1) = -|-схэ. Если
монотонная функция g{x) удовлетворяет условиям:
О §{^)^^у g{x)—^oo при х'^аЭу
2) при х>0 и ууо g(x-]-y)^,g(x)-^g(yl
3) М^(£(1))<сх),
то
P|^llrn^i^(?(0) = 0|=l. (24.3)
Доказательство. Подберем функцию g^ (х) так, чтобы
для нее выполнялись условия 1)—3) и, кроме того,
lim S(^)_ = 0, (24.4)
Тогда
g(Hn)) ^ g(Hn)) g, (е (п))
п gi{^{n)) п
На основании теоремы А. Н. Колмогорова
Р{£(я)-> + оо, я —оо} = 1,

§ 24] РОСТ ПРОЦЕССОВ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 137
а из условия 2) вытекает неравенство
правая часть которого ограничена опять же на основании
усиленного закона больших чисел. Поэтому
р/ lim _Ж1М_ = 0\=1, (24.5)
U -^ оо П )
так как р| /g/ и —>0[:^=^ 1 на основании (24.4). Поскольку
при i ^[п — 1, п]
g{^{n-\)) ^g{^{t)) ^gm))
£(Ш)_ lim g{Hn-\))\^y
>| iTm CM= lim liil^LnllLJ
TO, используя (24.5), получаем доказательство теоремы.
Теорема 3. Пусть однородный процесс с
независимыми приращениями £ {t) имеет характеристическую
функцию
IV\^^(0 = expU^(^'^"— ^)^М{и)У (24.6)
где N(u)—неубывающая фзункция, для которой yV(-)-co)=0.
Если непрерывная монотонно возрастающая функция g(t)
такова, что g(ty-\-t^^g{t^)-l-g{t^ при ^i>0 и tc^^O
Иш К(Щ^^Ш1=^ + оо, (24.7)
^^со If^in^
то
•{,'!!
т ^M)l = -f-oo\=l. (24.8)
Доказательство. Обозначим через ср (t) функцию,
обратную к g{t). Эта функция будет также возрастать. Для
доказательства (24.8) достаточно показать, что

138 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Пусть последовательность t^ выбрана таким образом, что
ср(у = 2^ т. е. tn = g{'^''). Так как при t,,^t^t^^,
е(0^ Htn) _ ^{t^)
то для доказательства (24.9) достаточно показать, что
•| lir
m ;;^UU = + ^}-=l. (24.10)
Последнее соотношение будет выполняться, если для всякого
целого ^^0
i:/{,ib-'(^«>^^K-'
так как тогда по лемме Бореля—Кантелли с вероятностью 1,
начиная с некоторого я, события 1-77^ ^^[ происходить не
будут. Но
p{^(u=s^T(a^p{n^«. [^?(u. 00»=0},
где V {ty [йу оэ)) обозначает число скачков процесса % (t) за
время [О, t]y попавших в [л, оо). Величина v {ty [л, оо)) имеет
оо
распределение Пуассона с параметром t\^dN{u) = —tN{a).
а
Значит,
P{v(^, [йу оо)) = 0} = ехр{/А^(а)}.
Поэтому
Р {^ (U < k^ i^n)] ^ ехр {tr,N{k^ 0}=ехр {g{2-)N{k • 2'^)}^.=
Из условий, наложенных на ^у вытекает, что }f^\ ^ 5 / ; ^= -.-
,. g(k-2^)N{k-2n)
и Jim 1 , ri, o/ii—-^^ — <^> поэтому для достаточно боль-
„ ^ 00 In In [й • 2'»]
ших я
Р{с(и<'^Т(а<[«1п2 + 1пАГ.

§ 21] РОСТ ПРОЦЕССОВ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 139
где г ^ о — сколь угодно большое число. Таким образом,
ряд 2^1—ifr^^] с^ЗД^тся для всех ^, так что
выполняются соотношения (24.10) и (24.8). Теорема доказана.
Теорема 4. Для всякого однородного процесса с
независимыми приращениями £ (^), не равного нулю
тождественно,
Р| sup |£(5)1=4-00|=1.
Доказательство. Рассмотрим два случая.
Случай а). Скачки процесса Е {t) по абсолютной
величине не превосходят некоторой постоянной С. Тогда процесс
Е {t) будет иметь все моменты. Если ME {t) ф О, то на
основании теоремы 1 либо Р | lim £(^) = -|-оо1= 1, либо
Р {£ (О —* — ОС, ^ —> оо} ^ 1. Покажем, что в случае ME (t) = О
для всех X
lim P{E(0>J^} = 4.
Действительно, характеристическая функция будет
при t~-^oo сходиться к характеристической функции
нормального закона со средним О и дисперсией 1, так как
М ехр ПК —7^=^1 = ^хр <
"^ I /Щ7Г) / "^ I
U^V'
2De(o
с
+'_и-(7ет)-'-?ш]"Ц-'^"-
Поэтому
lim Р{^(0>Х}= lim p/-iiu=.>—^=\ =
со — М2
К2^ J 2

140
ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. 5
Выберем настолько большое t^, что при t^t^ Р{НО^0}<С
<^^-{~г. Тогда
п
Р] sup l{kU)yx\ = ^V\ sup £(yg^xj(^g>4^
^ 2 P| sup I (A) *£ ^, I (Д;^„) > X, i («/o) - I (kt,) > 0» X
r^ = та; i; P i sup ^ (>^o) < ^, ^ (^^o) > ^,
ft=l
X
l(«/o)>H^^o)l
p{U«g>^+M
f — 1 + 2.
n-l
*=l
+ 2.
[P {I (/z^o) > ^+M - y> I«(^o) I*] .
Возьмем _y ^ /г ^ . Тогда
I («<o)
/nD$(<„)
>
X -\- n
Y~n Ym(t,)
a -4 = я
0. Значит, для всех х
\\т Р| sup £ (^/^о) > Д ^ 1 19 -
Так как е сколь угодно мало, то этим и завершается
доказательство теоремы в случае а).
Случай б). Процесс £ {t) с положительной вероятностью
имеет сколь угодно большие по абсолютной величине скачки.
Обозначим через v (/, х) число скачков, превосходяидих по
абсолютной величине х и произошедших на отрезке [О, t].
Тогда
Pi sup \^{s)\
\ sup |£(5)|>x|^P(v(^, 2х)>0Ь
|v(^, 2x)>0J =
\ Q- M7 {t, 2лг) -_- 1 Q— ШТ (1, 2лг) __^ ]
при ^-->~f oo. Теорема доказана.

§24] РОСТ ПРОЦЕССОВ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 141
Используем результат, полученный в пункте а), для
исследования поведения процесса ^(t) со средним значением нуль,
имеющего лишь скачки определенного знака. Установим
предварительно две леммы.
Лемма 1. Пусть характеристическая функция
процесса ? {t) имеет вид
]V\^r'x^U),^exp \t \ {e^''~\~ikx)dG{x)Y (24.11)
где Q{x) — ограниченная неубывающая функция, для
которой G{~\-Q)=:Q. Тогда
р( sup Е(0 = + ^1 = 1-
\0 ^ ^ ^ оо J
Доказательство. Процесс ^{t) будет иметь на
каждом конечном временном отрезке с вероятностью 1 конечное
число скачков, причем скачки его будут неотрицательны.
Обозначим
Ср(х)=:Р1 sup Ч0>4
оо оо (24.12)
7= \xdG{x\ €=== \ dQ{x).
о о
Число скачков процесса i(t) распределено по закону
Пуассона с параметром C^, число скачков, попадающих в отрезок
[jc, х~\~^х] за время [/", t~{-h], распределено по закону
Пуассона с параметром h[G{x-\- ^х)—G(x)]; вероятность
того, что за время h произойдет более одного скачка, есть
0(h). Используя формулу полной вероятности, получим
ср (х) = Р f sup ЦО > -^l + Р i sup Е (О ^ X, sup Е (0>Д=
л:
= o{h)-4-h[C—Gix)]A- \ Pf sup 1(0^х, 4ih)Gdy\X
-.\h b^t^h J
X <p (X-j;) = о (ft) + ft [С-G(x)] + P {I (ft) = - т/г} X
X ? (X + T^) + Й 5 cp (X - J/) iG О).

142 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Так как Р {i (h) = — '^h} = e~^^= 1 — Ch-\-o (h), то
X
? (X + ih) - cp (X) + /г [С- G(x)] + /г 5 cp (X ~J/) dQ{y) -^
0
— С/гср (л; -f ^/г) = о (/г)
Из последнего соотношения вытекает существование cp'(jc)
при л*^0 и уравнение
X
тер' (х) + с— G(-r) + 5 ср (JC —у) dG(y).— Сер (-Г) = 0. (24.13)
о
Умножая (24.13) на е~^^ и интегрируя по л: от О до со,
получим
ср(+0) + Х ^^-^•^ср(х)й^-г +у С— \e-^'dG(x)
1
+
+ \ е'^'^ср (JC)^-г5 е-'"-'dQ(x) ~~ С \ ^"^^ср (jc) ^jc = 0.
0 0 о
Учитывая далее (24.12), можем записать
Со
X 5 ^"^^ 9 W ^^ ==^
\1^
-XV _
\ + lx]dG(x) + li[,fi+0)-l]
о
и^
-Хх.
1х] dG (х)
Заметим, что
lim 1 [ е-^"" ср (х) dx = lim \ е~^ ср (^ ) du =
х^о
: lim ср(л;)^0,
л: -> -f- оо
Х-^0
lim I \ [^-^^—1+Хл:]^0(х)=\л;йа(х) +
. л А J J
V .
X-^O

§ 24] РОСТ ПРОЦЕССОВ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 143
Поэтому ср(-}-0)=1, так как в противном случае не
существовал бы предел
оо
lim X \ е~^^(^ (х) dx.
оо
Но тогда 1 \^е~^^ (^{x)dx=ly так что ср(л-) = 1 для всех
о
х^О. Лемма доказана.
Лемма 2. Если характеристическая функция процесса
l{t) имеет вид
о
]V\^/xe(О = ехр {^ \ {e^'^''—\-~ilx)dG{x)]^ (24.14)
— оо
где 0{х) — ограниченная неубывающая функция, то
Р{ sup ^(/) = + оо} = 1.
О ^ ^ < ОО
Доказательство. Обозначим через ?* {t) процесс,
полученный из S (t) выбрасыванием всех скачков,
превосходящих по абсолютной величине z-\-x (2^^ О, jc^O). Тогда до
выхода из полосы (— z, х) ? (t) и ?* \t) совпадают. Совпадают
у них и моменты первого выходы из этой полосы; обозначим
их через т. Поскольку оба процесса растут вверх непрерывно,
то I (т) и S* (т) не могут превосходить х и равны х
одновременно. Так как
со
?*(т)= lim j;,^{kh)j^,^,{l{kh-\-h)-~l{kh)l
где cp(/)=l при т^^, ср(/) = 0 при т^/, а Xai^O = ^^ при
м^ — а, 5(o(w)^0 при и<^ — й, и
п О
— 2z — x^J^^{kx)Xx+z^h-\-h)—i(kh))^x — h \ udQ{u\
/г=0 —00
TO по теореме Лебега из § 1
00
М£*(т)= lim 2%(^^)Х.+Л^(^/г + /г)-?(^/г))^0,
/г-*0
/г-=0

144 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
так как ср (kh) не зависит от i {kh -j- h) — Q (kh) и
Щх-^z (^ i^h ~{-h) — k (kh)) ^ M (? (kh -f /г) — E (kh)) = 0.
Значит,
так что
Р{^*(т) = х} = Р{ sup ^(0^^}^—f—,
0 < / < CO ^ "1" '^
каково бы ни было z^O. Переходим к пределу при z—^oo,
получаем, что для всех х^О V { sup ^(t)^x} ==1. Лемма
доказана. о < ^ < оо
Теорема 5. Пусть процесс I (t) имеет
характеристическую функцию
со
М^^'^^^^)=ехр 1—^X2 + ^ \ {e''''''—\~ikx)U{dx)\{2^,\b)
(т. е, процесс \ (t) имеет отрицательные скачки, лишь не
превосходящие по абсолютной величине N). Если этот
процесс не тождественный нуль, то
р {sup ? (/) = -f со} = Р {inf ^ (^) = — оо} =:^ 1.
t t
Доказательство. Представим процесс I(t) в виде
суммы двух независимых процессов: i(t) = ii(t)-{-^^{t), для
которых
N 2
д\^д^1 (О = ехр it \ {e^^'' — 1 — Ах) П (dx) ~ X^},
оо
д\^ДЕ. it) = expit\ (e^^^'' ~ 1 — Их) П {dx)\.
Пусть т — момент первого выхода процесса ^2 (О из полосы
(—оо, х]. На основании леммы 1 Р{т<^оо} = 1. Поэтому
Р {sup ^ (О > -г} ^ Р {т: < со} Р {^1 (т) > 0}.
t
Так как при возрастании х т->^-)-оо, а Р {?i (0^^}-> у
при ^->оо, как было установлено при доказательстве
случая а) теоремы 4, то, ввиду независимости Е^ (t) от т,

§ 25] УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 145
Р {?i(/)^0}-> ^ И, значит, Р {svipi{t) = ~\-OD}^ ,j. Заме-
тим, что если т^ — время первого выхода из полосы (— оо, х]
для процесса i {t\ то, используя результат § 22, можем
записать
/'{sup^(0 = + cxD} = PK<c»}P{ sup [а(0-Н^ж)] =
= + oo} = P{.,<oo}P{supa(0 = + co}.
Сокращая на отличную от нуля величину Р {sup ^ (/) = -|-^^^}j
t
получим Р{т^<[со}=1 для всех х. Значит,
P{sup?(0 = +c>o} = l.
t
Меняя у процесса I (t) знак и используя лемму 2, точно
таким же образом можем доказать, что
P{inf?(0 = —со} = 1.
Замечание. Утверждение теоремы справедливо, когда
скачки процесса ^ (t) ограничены сверху, так как теорема
тогда применима к — ^ (t).
§ 25. Устойчивые процессы
Однородный процесс с независимыми приращениями ^(t)
называется устойчивым, если характеристическая функция
этого процесса имеет вид
о
М ехр {W (0} = ехр [t [iyX + Q J (e'''^- - 1 - ^^) X
— oo
oo
Xj^ + C.i(e-'~^~^)-Sr-]]. (25..,
0
Другими словами, процесс Z(t) будет устойчивым, если в
формуле (16.13) а2 = 0, а
Л ^ (— 00, 0) А ^ (О,
^Х
А ^ (О, оо)

146 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Из СВОЙСТВ меры П вытекает, что показатель а может
изменяться от О до 2, так как должны существовать
\ Jl{dx) и \ x^'Jlidx).
Преобразуем формулу (25.1) к более удобному виду. Для
этого мы рассмотрим отдельно случаи а<^1, а^1, а=1.
Пусть а<^1. Тогда существуют
А' dx
- от О
поэтому формулу (25.'1) можно записать в виде
Мехр{а^(0} =
о
+ C.j(.'^'-1)-^]}.
Интегрируя по частям, получаем
о
— со о
оо со
О О
Пусть Х^О; положим Xx=v, тогда
ОС оо
а J Х'^ « J "'' '
Для подсчета \ ^ '" -ir рассмотрим контур в комплексной
о
области и, состоящий из отрезков прямых O^w^/V, 0^
^iu^N и дуги l^^l^iV, лежащей в четвертой четверти.

§ 25] УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 147
Так как интеграл по замкнутому контуру равен нулю, а
интеграл
тс/2
I и \ = N О
О :< — arg и =^ -2"
71/^ 2 '-^2
7г/2 2 °° 2
б
при N-^cOy то
0 0 о
ia --
= —i^ 2 г(1 — а).
Таким образом, при Х^О
оо . тг
J (^- ''^ - 1) J^ = - 7 ^Ч- г^'" ^" г (1 - а)) :::^
О
Г(1 —а) , . ,^ [. т:)
Переходя к сопряженным величинам, получим
00 . ТГ
О
Поэтому при положительных X
М ^"^ (^' = ехр [t [af - ^5^ibz^) 1Х|" (Qe" ^ + С,Г " ^)]} =.
= ехр {/[Дт - ^^^^^Q + Q) cos |-а IX Г X
x(H-^i^tg|a)J}.
Обозначим ^ = J~7r^^ , С=:=--^—^^^(Q-j-Сз) cos ~ а.
С>2 ~Т" ^-'1 ^ '''

148 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Тогда
Мехр{Щ(0} =
= exp{^[aT-C|Xr(l-^^ptg|-^)]} (25.2)
(значение характеристической функции для отрицательных X
можем найти, переходя к сопряженному выражению);
Пусть 1<^а<^2. Тогда существуют интегралы
оо — I
с dx с dx ,
\ ^ д-а+1 J \ ^ I у- ja+1 »
I — С50 '
поэтому характеристическую функцию процесса \{t) можно
представить в виде
о
д^ ^ г.ля-/^ч1 {±\:\- . г> ( /ас л -л .4 dx
ехр Щ (0} = ехр \t I а^ + Q J (с^^'^^ - 1 ~ Wx) j ^ ,,_^,
оо
оо
о
о
— ОО б
Так как 1<^а<^2, то, используя проведенное раньше
вычисление интегралов
о
\ (^'''^-1)Д и J(e'^--l)
dx
при 0<^а<^1, убеждаемся, что и в этом случае
характеристическую функцию процесса можно записать в виде (25.2).
Рассмотрим теперь случай а^1. Характеристическая
функция процесса может быть записана в виде
М ехр Щ (0} = ехр [t \ц\ + Q^ (— ik) + Сзф (iX)]},
где
I ОО
ф (а) = J (е'^- - 1 - i\x) ^4 + J (е'^- - 1) ^ .

§ 25] УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 149
Интегрируя по частям, получим
Ф0Х) = (.'--1-м(-1)|; + (.'^--1)(-±)|~ +
I 00
* о 1
1 со
=:z.a+a f [COSX— 1]^ + '-^ f [^'^''— COS X] ^+
(J ' d
CO 1 00
, .> С COS л: , .>|" , f cos.\:—1 , i Г cos л- , "I ,
-f-iX \ —--dx=iK\ 1 -\~ \ dx-\~ \ axM-
0
'^ i sin Xx , , .. С . . Ч dx
dx~\-tk \ (cos KX — cos X) —
0~ ' 0
, -kK dx
e '^^ —:
X
с другой стороны,
OO CX)
\ [cos Xx—COS x] — = lira i [cos Xjc—cos л:] e""**^ — =
X OO
= lim \ dii J- \ [cos их—cos x]
X OO
= lim \ б/г? I — sin uxe"^"^ dx
X
__lim Г tida
Поэтому
1 00
^(a) = a[l + J(cosx~l)^+J ~^dx]-
= -lnU|.
J I X I — iX In 1 X j.
Значит,
Mexp{iXe(0} =
==exp{^[i7X + [Q-Q]ain|X|--J[Ci + C,]|X|]}.

150 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Обозначая р=.-Л-г-7^, -^ (Q ~{-С^) = Q получим
М
ехр Щ (0} -= ехр \t \l\\ _ С| X I (1 - I i --^ In I X l)]}. (25.3)
Таким образом, имеет место
Теорема 1. Лля каждого устойчивого процесса \ (t)
существуют такие вещественные числа -f, С^ О, О <^ а <^ 2,
— 1 ^Р^ 1, что
Мехр{ае(0} =
= ехр|фт>^—С|Х|^^1—ф^со(Х, ^)Ш, (25.4)
где
т:
^(^ а)— , 2
1п I X I при а:= 1.
Особенно интересны случаи, когда ^ = 0, ^ = 0-
М ехр Щ (0} = ехр {—tC\l Г}, (25.5)
^ {t) будет иметь симметричное распределение, и случаи, когда
Р = ±:1, процесс будет иметь скачки лишь того знака, что
и р, а характеристическая функция процесса при (хф \
будет иметь вид
]Vi^Ae(0^expjHiYX ^— \1\''е^\^\'^%. (25.6)
cos у ос
Замечание 1. Из формулы (25.4) вытекает, что
процесс ^{kt) при ^^0 будет устойчивым с тем же
показателем ос и значением параметра р, изменятся лишь ^ и С. Если
ос 7^ 1 и ^=^0, то из формулы (25.4) вытекает, что процесс
? {kt) будет иметь такие же распределения, как и процесс
I
k"" ^ (t). Можно доказать, что процесс с независимыми
приращениями, обладаюш,ий этим свойством, будет обязательно
устойчивым. Это вытекает из определения и свойств
устойчивых распределений (т. е. распределений, соответствуюш,их
устойчивым процессам), изложенных в книге Б. В. Г н е-
денко и А. Н. Ко л м о г ор ов а [17].

§ 251 УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 151
Замечание 2. Всякий устойчивый процесс может быть
представлен в виде 1^ {t) — ^2 (0> ^Д^ процессы ^^ (t) и ^2 (О
независимы и имеют один и тот же показатель а и р = ±1.
Это вытекает из формулы (25.1).
Исследуем вопрос о существовании моментов у
устойчивого процесса.
Теорема 2. У устойчивого процесса ^ (t) с
показателем а существуют моменты порядка а — г при О <^
<^в<^а, но не существует моментов порядка а.
Доказательство. Как вытекает из замечания 2,
достаточно установить существование моментов для процессов
^(/) с р=1, т. е. имеющих только положительные скачки.
Пусть ^у^ {t) представляет собой сумму скачков процесса за
время ty попавших в интервал [2^, 2^^^). Так как процесс
00
^{t) — 2 ^у^ {t) имеет все моменты ввиду ограниченности его
k=^ 1
00
скачков, то нам достаточно доказать, что М | ^ ^j^{t) I"'~ ' <^
k= I
<^оо. Пусть Vy^(/) — число скачков процесса ^k{^) на
промежутке [О, t]. V;^ if) имеет распределение Пуассона с
параметром
2^+1
rt{ J^^ — cti-^ __L_^<r^_^
2^
Очевидно, 2 ^ЛО^ 2 ^^'^'^^^(О- Если а^1, то
00 00 со
ft=l
Поэтому
00
м[2 wo]-
k=\ k^\
CO
k = 1
CO 00
^^ 2C2^ VI 2/^ (a-e) 2-/га ^Co^ VI
2 2-*^<оэ.

152 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Пусть теперь а^1. Тогда при 1<^а'<^а, используя
неравенство Гельдера, будем иметь
оо оо
/г= 1 k=\
оо оо а' а' — 1 оо 1
= 2 2 2N. (О =^ 2 ( 2 (i)"^)"^ ( 2 ^'■'2*-^* ("Г'У.
k=\ k=\ k=\
так что
оо оо а'
/г= 1 k=:=\
!■'
оо
/г= 1
оо
где С—некоторая постоянная. Так как
то
оо оо
где
с, = с| « + («)■].
Чтобы доказать, что для процесса с показателем а не
существует момента порядка а, достаточно опять рассмотреть
лишь случай р=1,таккак из соотношения М | q — ^2Г<^сю
в случае независимых ^i и ^2 вытекает, что M|^i|°'<^co и
оо
M|^2i°'<C^^- Величина ^{t)— ^ ^и^^) имеет все моменты,
k= 1
00 00 оо
2 2 ^^ *^^) неотрицательна и 2 ^^ (^) ^ S ^^^^ *^^)* ^^^то-
00
му нам достаточно доказать, что М f ^ 2^^^ {t)^' = со.

§25] УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 153
При а^ 1
со со оо
м( S 2*v,(or^M 2 2"*К(0Г^м 2 2^4(0 =
/г = I А! = I /г = 1
оо со
= 2 2"*Mv,(0 = "/^ 2 2'*2i = c«.
/г= 1 /г= 1
При а<^1, используя неравенство Гельдера, получаем
неравенство
оо 00 1 оо
(2-2'..(o)-(2(i)'^)'""s=2;=-i'.wr.
k = \ /г= 1 /г-= I
Поэтому
00 оо 1
м(2 2'..('))-^(2[;-1"^)-'х
/г= 1 /г= 1 '
оо со
хм 2 -l2*Mv*(0r^c 2 -i-2*"PK(0>0}--
/г- I /г=- I
оо GO
Теорема доказана.
Используя вид характеристической функции устойчивых
процессов, предыдущую теорему и теоремы 2 и 3 § 24,
исследуем поведение процесса при t-^cx^.
Теорема 3. Пусть ^{t)—устойчивый процесс с
показателем а<^1 и параметром р=1. Тогда для всякого
е>0
р] lim _J Ч0 = 0|
V -^ оо - i

154 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Доказательств о. Применим теорему 2 § 24, взяв
функцию g{x) = x''~^. Так как ЬА^ (ty"^<^оо, то
ilim Ll^ = ol=l, так что Р | lim -Щ1. = о\=1
Мы получим первое утверждение теоремы, беря S = -y-£—.
Заметим, далее, что для нашего процесса функция N{u)y с
помощью которой мы можем представить
характеристическую функцию процесса по формуле (24.6), будет иметь вид
М(и) = 1-. Если возьмем ^(/) = /°''[In In/]^"^', то
условия теоремы 3 § 24 будут выполнены, поэтому
р|ит Щ1 = со\=\,
а значит, и
pjlim Ш-^^ = сх>} = 1.
г [Inln^]
Теорема доказана.
Исследуем теперь, используя результаты § 23,
распределение величины sup ? (/), если ? (t) — устойчивый процесс
с Р = —1. Для этого нам понадобится знать преобразование
Лапласа величины ?(/), т. е. М^^^^^^ Если Е —
отрицательная случайная величина, то М^^*^ суш.ествует и непрерывно
при ReX^O и является аналитической функцией при ReX^O.
Если X принимает чисто мнимые значения, то М^^^
выражается через характеристическую функцию, так что в этом
случае можно найти преобразование Лапласа величины ?,
продолжая аналитически характеристическую функцию этой
величины в верхнюю полуплоскость и заменяя аргумент IX
характеристической функции на X. Заметим, далее, что для
процессов (однородных), у которых скачки не превосходят 1,
М^^'^^^ является целой аналитической функцией X. Чтобы
убедиться в этом, достаточно показать, что для всех X

§ 25] УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 155
Но
2к:-')-ч--^'
-sh(i')-(^')i ,x,|.(i)|
Пусть %[ (t) представляет собой сумму всех скачков I (^),
происходящих на [О, t] и превосходящих по абсолютной
величине е, а E;^'(0 = ?(0~^s'40- Поскольку |^s'40K^s(0, то
М^'^' i ^""'^ > ^ М .'" ^^ ^'^ = ехр {(^'М _ 1) м v,(0},
где Vg (^) — число скачков Es^^ (^). С другой стороны,
используя теорему 4 § 3, можем утверждать, что если п
таково, что Р ]~ hs^ \~-) Р> ^г <С 8~» то, поскольку скачки
— ?L — не превосходят 1,
Значит, и
Mexp{ijll^'(Ol}<oo.
Выбирая £ для каждого X так, чтобы |Х|<^.^-, убеждаемся.
что
Мехр{1Х||Е(0|}^
<Мехр {I X 11 Е;^^ (О I} Мехр {I X 11 ^^ (t) |} <оо.
Из сказанного выше вытекает, что для процессов, имеющих
лишь отрицательные скачки, М ^^" ^^^ будет аналитической
функцией при Re X ^ О и непрерывной при Re X ^ 0. В этом
случае можно получить N[e^^^\ аналитически продолжая
М ^'^^ ^^^ в полуплоскость Re й ^ О и заменяя ik на X.
Используя этот прием, легко убедиться, что имеет место

156 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Теорема 4. Пусть %(t)—устойчивый процесс с
показателем а и р^—1, тогда его преобразование
Лапласа будет иметь вид
М
^х= (О ^ ехр [t U\ ~—^^' 1} mi а 7^ 1, (25.7)
COS ту а
М
^хио^ехрИ^^—^Х1пХ|| п/7гга=1. (25.8)
У многозначных функций У' и In X выбираются те ветви,
для которых \п\ вещественный, а V' положительно при
Х>0.
Теорема 5. Пусть Е(0—устойчивый процесс с а,^\,
Р = —1, Y^0> ^ "^а — момент первого выхода процесса
^{t) из полосы (—оо, а\ а^О, тогда для 5^0 Же~^'^^ =
-_^—аФ(5)^ г^^ ф(5) является решением уравнения
S = Ui) (S) ^ [ф(5)]'' I. (25.9)
COS туа
Доказательство этой теоремы будет вытекать из
результатов § 23, если только мы установим, что для всех а
Р{т^<^оо}=1. При а ^ 1 существует М$(^). Легко видеть,
что и
в нашем случае
кМ'[^^ 5^'■11 =
*- COS К-а
=4т —^ ^^"' I ехр {^ Гт^ —^ ^^1} м (О=т^.
COS гт а - COS ^ а
Поэтому на основании теоремы 5 § 24 можно утверждать,
что Р{ lim sup Е(^)^-|-со}= 1 и, значит, Р{т^<^сх)} = 1
для всех а^О.
Заметим^ что при ^^0 функция
COS ,^а

§ 25] УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 157
будет монотонна, ср (0) = О, lim ср (к) = оо; поэтому при каж-
Х->(Х>
ДОМ 5^0 уравнение (25.9) будет иметь единственное
решение, которое неотрицательно, монотонно возрастает с 5,
причем ф(0) = 0, lim ^(s) = <x).
Замечание 3. Если ^ = О, то уравнение (25.9) решается
в конечном виде:
cos ^ а
7^ •?? 1
Из этого соотношения вытекает, что при ^ = 0 процесс т^
будет устойчивым, как функция а, причем для этого
устойчивого процесса
Г ^
, cos гл а
1 п -, ^г п ,\ Z
а' = -, 8=1, C'=cos;5a'
3
Уравнение (25.9) решается явно еш.е в случае а = у, тогда
оно сводится к кубическому уравнению.
В том случае, когда ^^=0, а^1, р = —1, можно
выразить Р{ sup 1(5)^ а} через распределения самого процесса.
Теорема 6. Если для устойчивого процесса y = 0>
a^l, р = —1, то для а^О
Доказательство. В нашем случае распределение ^{kt)
совпадает с распределением ^"Е(0, поэтому для всех ^^0
Р {Е(0]>0} = Р {Ul)!>0}- Используя это обстоятельство,
можем записать
P{E(0>a} = P{l(0-UxJ>0, х,<^} =
= P{U1)>0}P{t,<^} = P{|(0>0}P{ sup \{s)^a].
Мы воспользовались тем, что ?(т^) = а, так как процесс не
имеет положительных скачков, а также результатами § 22.
Теорема доказана.

158 ОДНОРОДНЬШ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Рассмотрим теперь распределение величины sup ^(5) для
некоторых случаев. Конечность этой величины можно
гарантировать в следующих трех случаях: а) если а^1 и
МЕ(^)<^0, б) если а<^1, ^ = —1, ^ произвольно, в) если
а=1, р = —1, Y произвольно. Конечность sup Ц5) в слу-
чае а) вытекает из теоремы 1 § 24. Конечность sup ^ (s) в
случае б) вытекает из теоремы 3, так как при -^ = 0
Р j-j-^ ' — 00) = 1; значит, беря г^О такое, чтобы
г^1у будем иметь
Plnmif+i^=Hm4^=-ooWl.
Рассмотрим случай в). Пусть характеристическая функция
процесса имеет вид
Мехр{аЕ(0} =
= ехр [t [qX + Q \ (^^•^^•- i)g+ Q \ (^^''^-l-^^^)g]}.
— со —1
Возьмем настолько большое Л, чтобы
-А ^
И представим процесс ^{t) в виде суммы независимых
процессов ^i(0 + ^2(0> Д'^я которых
о
М^^->^^1(^) = ехр{/^[ат —aCiln Л + Ci \ (^''^''—l —Ajc)^]}
-А ' ■
]У\^Щ2(^) = ехр{г^ 5 (^''''—!)§}•
— со
Для процесса Ej (О существует MEj (^) = [^ — Ci\n A]t<^ О,
поэтому Р{ lim \^{t)z=—со} = 1, а процесс ?2(0 с вероят-
НОСТЬЮ 1 принимает лишь отрицательные значения. Значит,

§ 251 УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 159
Р [Q(t)^l^(t)} = \. Мы будем рассматривать случаи, когда
Р = ±1.
Теорема 7. Пусть ^{t)—устойчивый процесс, для
которого ^ = —1, а ^<С^^ при а^1, ^ произвольно при
а = 1 и Y ^ ^ f^P^ а <^ 1. Тогда
Р{ sup Е(0>«} = ехр{^й},
0:</<ОО
где
k =
I
^тгт при а :^ 1,
— ^^р]"^^| ^Р^ а= 1.
Доказательство. Так как процесс Е{t) не имеет
положительных скачков, то он впервые пересекает уровень а ^ О
непрерывным образом. Пусть а^О, ^^0. Тогда
P{supU0^^ + M=P{^a<Oo}P{sup[U0-U'^a)]^^} =
= Р {sup % (t) ^a}P {sup I (0 ^ ^}.
t t
Если обозначить cp (a) = P {sup E (f) ^ a}, то cp (a) будет моно-
t
тонной функцией, для которой справедливо соотношение
ср (а -f- ^) = Т (^) Т Ф) для всех а ^ О и ^ ^ 0. Поэтому су-
ш.ествует такое k, что ср(а) = ехр {^а}. Для определения k
заметим, что
P{supE(0>a} =
= Р{ sup U5)>^}4-P{ sup \{s)^a, sup E(^-f-/г) >a}.
Так как процесс E(^) не имеет положительных скачков, то
для всякого й^О на основании (23.4) Р{ sup i(5)^a} =
= о (h). Поэтому
Я {sup ^, (О > а}--

160 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Подставляя в это соотношение е^^ вместо Р {sup ?(0^<з;},
получим
а
— 00
00
оо —оо
так как { е~^'^ Р {^ (1г) ^ dy} = о (h). Таким образом,
а
оо
1 = \ е-"У Р {$ (/2) G 4v} + о (/г) = М ехр {— k% Щ + о (h).
— ОО
Используя теорему 4, предыдуш,ий результат можем
переписать в виде
1=ехр(/гГ-т/^ ~i-kr
COS ^^ а
-\-o(h\ если а :^ 1,
I
1=ехр|/г[—т>^-|-^(—/;)1п(—>^)|}-|-о(/г), если а--1.
Поэтому
С
— ^k (— ky = О, если а :7^ 1,
COSh а
— 7^ -| (— k) In (— k) = о, если а = 1.
Теорема доказана.
Исследуем теперь распределение sup ^(t) для устойчи-
0</<оо
ВОГО процесса, для которого а^1, ^ = -\-\^ N[l(t)<^0.
Пусть cp(a) = P{sup UO^^}- 'Тогда для всякого /г^О
0</<оо
ср(а) = Р{ sup UO>«} + P{ sup Ut)^a, sup ?(0>a} =
= P{ sup e(0>a|+ ^ P{ sup l(0^a,
^ S(ft)^4y}P{sup ?(0>a —;/} = ?{ sup ?(0>a} +
4- 5 P{ sup e(0<«. и/г) 6'(y}?!"-J')-

§ 251 УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ 161
Применим выведенное соотношение к процессу l^(t) =
= К (О — ^К (О + ^^ (0> ГД^ К (О ■— сумма всех скачков I (t)
на [О, t], превосходящих е. Тогда, если ср, (а)^
= P{sup \(0>«Ь то
0</<оо
<рЛа) = Р{ sup !до>а}+ 5 Р1 «ЧР 1(0<
Так как
Р{ sup l(0>a}-P{l(ft)>a} =
= Р { sup !, (О > а, I (h) < а} <Р а (Л) G [« - ^s'', а]},
где L,/J = — М1д/г)-f М?, (/г), то при a^L.h
P{sup UO>«}-P{lW>a}^e-«^''ftQ 5 4^ +
со
в
(мы пользуемся формулой (25.1) для характеристической
функции процесса, считая Ci = 0). Точно так же находим, что
— CO
Значит,
Ta(«) = PRW>4+ I P{iih)edy]9Aa-y)-^oih),
— oo
a так как l^ (h) ^ — L^/z, то
0
0
+ \ ^{l{h)^dy]<^,{a~y)^o{h).
6 A. B. Скороход

162 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ |ГЛ. 5
Заметим теперь, что для достаточно малых h при
а при y<^e — L^h Р {I (h) ^ dy} = О, если — LJi^dy^
и Р {f{h) ^ dy} = ?{^,(h)= — LJi], если — LJi ^ ^j;.
Поэтому
\ Р{ I(/г) G «f;^} Т. (й - J^) = ?. (а + ^.й) ^""^'^.
Окончательно получаем для срДа) следующее уравнение:
B-LJi
J^^^{a^L,h)e~"'" -\-o{h),
где Xs('^)^=^ "P^^ й<в, Xe(^)'=^ "P^ a ^e. Из этого
соотношения вытекает, что ср^ дифференцируема по а при а^О
и удовлетворяет уравнению
а
H.^9{a)=^^^+\ cp^a-j;)^^rfj;+£,cp'(a).(25.11)
О
Положим
о
Тогда
оо оо
J ср, (а) е-^« rfa = Z, (Х), J ^-^•'' ^j0 dy = КМ
О а
оо
5ср;(а)е-^''сга = ХгЛХ)-<рЛ + 0).
О
Умножая (25.11) на ^ ^ и интегрируя от О до сю, получим
1
X
/^в^в (>0 = I [^в - КХ^)] + ^eW ^в(^) + L, 1>^^в(>0 - ?s (+0)J,

-251
УСТОЙЧИВЫЕ ПРОЦЕССЫ
163
Т. е.
гЛХ)
_1 /-Л'-уЛ + О)!
Заметим, что
с^х)-/у. + ^-.^=5[^-'^- 1 +^y]-yh-dy-4^=U^).
к.
Так как
00
lim Iz. (к) = lim X \ ср^ (а) e-^"" da =
Х->0
то
Х->0
оо
= lim \ (p(j]e-''da= lim срЛа) = 0,
Ит-
'^^^вС-УЛ + О))
С.
1 + Щ -y+s- dy
- 7Х + J [e-^J--
S
И, значит, 4(1 — ср^(-)-0))= — 7, поскольку
ос
lim 1 \\е''-\Л-Щ-ф^^У =
S
оо
= lim Х^-1 f (^~^--~1+г)
Х->0 J
Из только что найденного соотношения и формулы (25.7)
вытекает, что
л-*о
C.dz
Итг, (Х)= V-
I Г
еч-О
1
71;
COS ^ а
.Х«-1
Заметим, наконец, что на основании теоремы 1 § 3
Р{ sup ||(0-Тз(0|>*}= ИтР{ sup |?(^') -
0^^:<Г гг->оо Ч^к^п \ ^ I
>»)^£li(Z>ziLffll=,|J,._^,,^o
б*

164 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
при S -> о, поэтому ср^ (а) -> ср (а) и, значит.
[ГЛ. 5
со
J ср (а) (
-Ха
б/а:
1
С
71
COS ^ а
1С 1
Разлагая в ряд при
оо
сх«-
<^ 1, получаем
e-^'^da:
2с
I)'
ft=0
Y cos
Так как при 5^0 j,. , ^. \ ^V
S ^—ак
da-.
I
71 -|^
ls+1
-, то имеет место
Теорема 8. ^c^w S(t) —устойчивый процесс, для
которого а^1, Р = 1, Т<С^' ^^
Р{ sup Ht):>a}= У
'Г[ка — к+\)
(25.12)
§ 26. Однородный процесс Пуассона
Пусть £ (t) — числовой однородный процесс с
независимыми приращениями, кусочно-постоянный и имеющий лишь
скачки, равные единице. Характеристическая функция такого
процесса будет иметь вид
со
М ехр {/X [S (^ + /г) — S (0]} = ехр {h \ (е''У — 1) П (dy)},
— 00
где мера П сосредоточена в точке у=1. Если П ({!})=:«,
то тогда
М ехр {а [? (^ + /г) — ^ (Щ = ехр {ah (е'^ ~ 1)} (26.1)
P{^{t+h)-^it) = k}==^f-e~-\
(26.2)
Процесс с независимыми приращениями, для которого
выполняется соотношение (26.1), а значит и (26.2), мы будем

§ 26] ОДНОРОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПУАССОНА 165
называть однородным пуассоновским процессом с параметром а.
В этом параграфе мы будем рассматр^^вать несколько более
общий процесс ^^ (t) ^ ^t-j-^ (t), где ^(t) — однородный пуас-
соновский процесс с параметром а. Из теоремы 5 § 24
вытекает следующее утверждение.
Т еор ем 2i, Если ^^ — а, то Р { sup L{t) = -\-(X)} = I;
0</<оо
если 7<С — ^^ ^^ Р{ ^^Р ^у(^)<^^^}=^'у ^^-^^ Т^ — ^у
о </ <оо
то Р{ inf L{t)=:z — (Х)}=\] если ^'^ — а, то
0^/<оо
Р{ inf L(0>—оо} = 1.
0</<оо
Найдем распределения некоторых характеристик
процесса Ц (t).
1. Пусть 0^^^ — а, найдем распределение inf^(^).
Точно таким же образом, как и при доказательстве теоремы 7
§ 25, убеждаемся, что при х<^0 и у<^0
p{infS^(0<^ + y} = P{inf?,(0<^}P{inf^,(0O}.
Значит, Р {mf^{t)<^x} = e^''' при х<^0. Для нахождения
постоянной k используем соотношение
p{mi^^(t)<:x}=p{',,{h)=ih}p{infi^it)<:x~-ih\-{-
t ^ t
Поэтому
^kx^ ^-ah^k{x~'ih) _!_ ahe-'^^e^^'-'^^-^^ + ^ФУ
Значит, — а — ^т ~Ь ^^~^ = ^^
i = -r-- (26.3)
^-*— 1
Так как функция —-— при возрастании k возрастает от
— 1 до О, а — 1 <^ ^ <^ О, то уравнение (26.3) имеет
единственное положительное решение.

166 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
2. Пусть 7 <С — ^- Найдем распределение sup S^ (t).
Положим cp(j^) = P{ sup L(t)^x}, Тогда при JC^ 1
0:S^<oo
cp (^) = P {e^ (ft) = Yft } cp (X - тй) + P {e, (й) =
= Yft+l}cp(x-Yft-l)4-o(ft),
a при 0<[jc<^ 1
<p (X) = P {e, (ft) = Yft } c? (д; —rft) + P {^^ (ft) = Y/г + 1} + о (Й),
или
^-^1, [(26.4)
Из соотношений (26.4) вытекает, что cp (лг) —
дифференцируемая функция и она удовлетворяет уравнениям
а^{х) = — ^^'{х)-\~а^{х—\\ х^1, \
аср(j^) = — 7ср(J^) + а, 0<x< 1. J
Умножая эти уравнения на е~^^, интегрируя первое в
пределах от 1 до оо, а второе от О до 1 и складывая
результаты, получим
00 со
а ^ ср (л:) е'^^ dx= — 7 \ ?' W ^~^^ ^^ +
о о
00 1
+ ае-^ \^{х—\) ^-^(-^'-1) dx-{-a\ е-^"" dx,
I о
00
Обозначим z(k)^\ (^{х)е'~^^ dx. Тогда
о
оо
\ ср'(х)(?-~^-^dx = lz(k) — ^(-{-0).
о
Следовательно,
.(Х)=1-|-%:Х(+ад.
Опять воспользовавшись тем, что lim Хг(к) = 0, так же,
х->о

§ 26] ОДНОРОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПУАССОНА 167
как и при доказательстве теоремы 8 § 2.5, находим, что
^[1—^ (-\-^)] = ^ ~\~ ^- Значит, для достаточно больших X
^(Х) = 1 1±-^= L_JL±f L__:^
1
4-(т+'^)1
Заметим теперь, что
' ^''^^^^^^o[x + fp^^
^^ а
Поэтому, если ^q(x) = ——~—, то
\k
или
P{sup^(0>x} =
[л:]
а
3. Рассмотрим теперь вероятность Р (Л, Л) того, что
процесс Е(0 достигнет прямой ^ = Л раньше, чем попадет
в полосу [В, -f"*^^)» ^<С^> В^О. Для вычисления этой
вероятности введем функцию
ср (JC) = Р (Л—JC, Л —JC), -Г^[Л, 5].
Эта функция будет удовлетворять соотношениям
ср(х) = Р{^^(/г) = 7^}Р{Л—-г —7^, Л —X —7^} +
-{-Р{Е^(/г)=1+т/г}Р{ Л—-г—1 —7^, Л —х —
— 1 — 7^} + ^(^^Х если х^[А, В—\];
ср (JC) = Р Щ/г) == 7^ } Р (^ — -^ — Т^> 5 — JC ~ 7^) + ^ (^)>
если X ^{В— 1, В),

168 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 5
Следовательно,
ср (X) = e-""^ ср (л: 4- Т^) + ^^^~''^ Т (-^ + 1 + Т^О + ^ ФХ ]
(26.7)
х^[А, В—11
^ix) = e'^^^{x~^^h)-^o{hl х^{В~\, В),
Из (26.7) вытекает существование производной у функции
cp(x) при х^[А, Б) и, кроме того, вытекает, что ср(л:)
удовлетворяет уравнениям
аср (х) = ^^'{х)-\-а^(х-^\Х А^х^В ~ \,
а^{х) = ^^'{хХ В~\^х<С^В, ' ^ '^
Решая (26.8) на отрезке [В—1, В), находим, что ср(л:) =
= Се^ . Подставляя найденное решение в первое
уравнение (26.8), можем решить его на [В — 2, В—1]:
ср(х)=&т Ч\ -\-~ел (В~ \—х)
Продолжая в том же духе, найдем, что
ка
Для нахождения постоянной С воспользуемся соотношением
<Р(Л)=1:
k = 0
Так как Р (Л, В) = ^{0), то
т ^ ka
?iA,B)=^^^ ^-^ (26.9)
'' 1 (j)ieUB-A-k)>'
k = О
Так как процесс ^^{t) не имеет отрицательных скачков,
то, пользуясь методами § 23, можно вычислить
распределение величины sup (— ^ (/)) = — inf L (t).

ГЛАВА 6
ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 27. Распределение максимума и минимума процесса
броуновского движения
Пусть w(t) — одномерный процесс броуновского
движения, т. е. однородный процесс с независимыми прирап1ениями,
для которого
Р{г.(0<^} = ^ J e-^du.
— 00
Процесс w{t) будет с вероятностью 1 непрерывен.
Обозначим через 7] (Г) максимум w(t) на [О, Г], а через С (Г) —
минимум w{t) на [О, Т]. Так как w(0) = 0, то
Р{7](7)^0} = 1 и Р{С(Г)^0} = 1.
Цель этого параграфа — найти совместное распределение
величин ri{T\ С (Г) и w(T).
Теорема. Пусть «i <^ О <^ а^у [с, d] CZ [«ь а^]- Тогда
Р{^(Т)<а,у ЦТ)Уа,, ^(ПеК d]} =
d
с k = — co
оо
+ exp{-^^-^'-- + g^'^'-''-»^})]a^^. (27.1)

170 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. б
Доказательство. Введем события Щ' и Шк\ ^ = О,
1, ... ; 2(i^^ — событие, заключающееся в том, что w(t) на
[О, Т] достигнет точки Ui раньше, чем точки ^у, J ф г,
пересечет не менее k раз полосу [а^, а^ и, наконец, в момент
времени Т попадет в промежуток {с, d\. Интересующая нас
вероятность может быть записана в виде
Р{^(7-)<й2, С(7-)>«ь w(T)^\c, d\] =
Для подсчета Р { Щ'^} найдем
Так как события 31//^ и ^и\-\ несовместимы, то
Событие Щ^ и ^f^^-f-1 заключается в том, что процесс w (t)
на [О, Т] достигнет точки а^, пересечет полосу [а^, а^] не
менее k раз и затем в момент времени Т попадет в [с, d].
Введем случайные величины: tq — момент первого достижения
процессом w(t) точки ai, tj — момент первого достижения
процессом w(t -\~zq) — w (tq) точки a^ — a^, z^ — момент
первого достижения процессом ^ (^ -f~ "^о + "^i) — '^ ("^о -\- "^О точки
а^ — «2, т^J — момент первого достижения процессом w (^-j-tq-j-
+ ^i+.: .+ ^y^-i) —^ (t^o+^i +.. '-{-Ч^О точки (ai —аО (— 1)^
Через ту, У= 1, 2,..., ^, обозначим момент первого достижения
процессом "2^ (^ + '^0 -j- '^* + ... + V*- О — "2^ (т^о + '^* +... +
-f-'cy-i) точки «1 — а^. Заметим, что величины tq, т^,..., Ту^
независимы и величины tq, т*, ..., т| независимы, т^, Т2,..., т^>
одинаково распределены и xf, т|, ..., т| одинаково
распределены, процессы w(t-\-ZQ-\-. .,-\-Zj) — ze; (tq -j-... + "^y),
^(^ + '^0 + . .• + '^y) — '^('^0 + . .. + '^1) и w(t) одинаково
распределены (эти свойства вытекают из результатов § 22).
Кроме того, процессы w(t) и —w(t) одинаково
распределены, так как процесс w(t) симметричен. Значит, величины

§ 27] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 171
Tj и т* одинаково распределены. Легко видеть, что
P{^' + 8r^^^i}=P{T„ + T^ + ... + T,<7-,tiy(7-)GKflf]} =
= ip{4+4 + ...^4edt}P{wiT~t-\-z, + ...+ ■,,)-
о
2
О
T
0
-\-"-^+"-^i-ire[c, d]]=
=\p{-,,-^...^^tedt}p{{-ir'w(T-t)~^
0
Мы воспользовались симметрией величины w(t) и тем, что
величины То, xi, ... , т;^ и То, xf, ... , т| имеют одинаковые
совместные распределения. Так как
= р|(_1)*-1[^(Г_^+т„ + т* + ... + т|)~

172 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ |ГЛ. б
а и» (то -f- Tf 4- • • • + 'I) = «1 -г ^ («1 — Ы то
Р{Щ" + Щ^1} =
о
L / \1 I "l + "» I
— ai — k(ai — а^)] + ^ " +
+ (-i)*^J^Gf^. rf]bo + Tf+ ... + ,!=/} =
= P{To + xf + -.. + ^l<7^, (_1)*-1[гг,(Г)-а1-
-k(a,-a,)]-{-"-^ + (-\r''-^e[c,d\}.
Событие {lo + '^f+ •. . + '^1<С ^ } совпадает с событием
{ inf W (t) ^ ui-\-k (ai — а^)}. Поэтому событие
{(-1)*-Ч^ (7) - «1 - ^ («1 - «9)] + Ц^ +
при ;^ нечетном влечет событие { w (Т) ~\~ (k-{-I) {а<^ — ^i)<C^}>
которое влечет событие { inf w{t)^ai-{-k{ai — ^2)}. Точно
так же при k четном событие
I (_ 1)*-1 [^ (7) - а, -/fe (а, - а,)]+£Ц^ +
влечет событие {w(T)^ — c-\-2ai-{- k{ai — а^)}, которое
влечет событие { inf w(t)^ ai-\-k(a^ — a^]. Если собы-
тие SI влечет событие 33, то Р { 3( П ®} ^^Р {51 }• Значит,
для всех k
+ ^^+(-l)*^^G[f. d]] =
d
^yfef $ ^^P (~ 2T (-^ ~ ^~ ')* ["1 + ^ («1 — a^) 4-

§27) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 1?3
Аналогичный подсчет дает
d
= ykf J'""Р { "~ 2Т (-^ + (-1)* [-^^2 +-^ («1 - «^) +
Заметим теперь, что из непрерывности процесса w (t)
вытекает, что он пересекает полосу [«i, ^2] с вероятностью 1
конечное число раз. Поэтому Р {Шп'} ~-> О и Р { 31^'} -> О при
п~>оэ. Значит,
P{a,<t:inrii^<a„wir)^[c,d]\=^P{w{T)^[c,d]}-
-P{Ш^,^'}-P{Wr} = P{wiT)Q[c,d]}--
- S {-lf[Pm'[jm'+i} + P{W{JW,\i\] =
d 00
=7SfSH(-ft)-2(-'>*x
' С /г = 0
X [exp {-l,{y - (- D* [a, + ^(«. - Ц-^4^)} +
Х(_а, + ?Ш(а,-а.))_^)}]} dy
Суммируя отдельно положительные и отрицательные слагае
мые (четные и нечетные k), получим доказательство теоремы.
Следствие 1.
Р{ sup \w{t)\<^a\ =
00 а
= 2 ^~ ^>* yhf- J ^""Р {- 2Т о - ^kaf} dy. (27.2)

174 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВР1ЖЕИИЯ (ГЛ. 6
Следствие 2.
а у2
Р{ sup w{t)<^a} = -~^ \ e'^dy —
— 00
= ( y^^^dv = -4^{e-'^dy. (27.3)
Эта формула получается из (27.1), если [с, d]==[aiy a^l
а^ = — ос.
Следствие 3. Совместное распределение величин
sup \w{t)\ и W {Т) определяется формулой
Р{ sup \wit)\<:^a, w{T)^[c, d]} =
00
[с> d] Г) l — ci, а] ft=r-oo
Следствие 4. Пусть (j^al, «2(^) обозначает
вероятность того, что процесс w(t) на промежутке [О, Т]
выйдет из полосы [^1, ^2] ^ ^ момент выхода w(t) будет
равен й^. Тогда
<',а.(7-)=Р{910)Ь
где 9(^^) w 91^^) — события такие же, как и при
доказательстве теоремы, только [с, d] = { — со, со).
Так как
= PN + tr + ... + T|<n = P{ inf w{t)<:a,+
oo _ >^
и аналогично
*^ t^^^A Vj ^^/г+1|
oo j2
2 f /^Vv

аз 4-(2/г 4-1) («2-01)
со «2
2
§ 28] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 17Г)
то
оо
Ср-, ,ДГ)= 2 [Р 1^^2^^ и 3I2IV1} - Р {?^2l4l и 3I2V+2}] =
00 00 3^2
^ Y2izrl J
/г = 0 ^ —ai-\-2k{a2—ai)
00 V2
4-l)(a2 — oi)
- ^27r 2 J exp {- 2^ (j; + (2^ + 1)(a^ - a,))^}dy.
Чтобы получить cpai, a2(^)> нужно всюду заменить «1 на — а^,
а ^2 на —«1.
§ 28. Распределения аддитивных функционалов
Пусть g(x) — непрерывная дважды непрерывно
дифференцируемая функция, ограниченная вместе со своими
производными. Рассмотрим случайную величину
t
z{t) = \g{w{s))ds. (28.1)
о
Для нахождения распределений величин подобного рода
в § 19 были выведены общие уравнения. Пусть
т
vx(лг, о = Мехр {ik\g{X'\-w(5) — W(i))ds. (28.2)
t
Тогда по теореме § 19
- Т^= i jS ^х (х, о + ^^^ W ^х (X, t); V, (X, Г) = 1.
(28.3)
Заметим, что в нашем случае естественно вместо функции
'^'х(-^> О рассматривать функцию
t
vt {X, о = М ехр {а \g{x-\-w (s)) ds}. (28.4)

176 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 6
Так как vt(Xy t) = v-^{Xy Т—t), то vt(Xy t) будет
удовлетворять уравнению
I vt {X, 0=1^. VI {X, t) + llgix) vl {X, t) (28.5)
при /^0 и начальному условию vf {х, 0)^1.
Уравнение (28.5) удобно решать, применяя
преобразование Лапласа по t. Обозначим
и (ку Sy х) = ^ е~^^ v't (Ху t) dt.
о
Умножая (28.5) на е"^^ и интегрируя по частям, приходим
к соотношению
1 д^
SU (ку Sy х) — 1 == у ^ и (X, 5, х) 4- i^g(x) и (ку Sy х)
или
I д^
~2 5Р ^ <^^' ^' -^^ + [^^^С-^) -~s]u(ky Sy лг) = — 1. (28.6)
Заметим, что уравнение (28.6) можно использовать для
нахождения распределений аддитивных функционалов (28.1)
и в том случае, когда функция ^{х) ограничена и измерима.
Тогда можно построить последовательность функций g^ (лг),
удовлетворяющих условиям, сформулированным в начале
параграфа, для которых sup sup \gn{x)\<^C и для всякого
П X
\ \g(x)-g„(x)\dx->0.
Тогда, каковы бы ни были 0<^ti<^t<i,
^\\gni^(^))dt~-\g(w(t))dt\^
\ \-у^^е ''\g,(x)~-g{x)\dxdt->^.
Y2nt
t'l — 00

§2S1 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 177
Поэтому, если
оо t
а^(к, 5, х) =^ е~^^ М ехр {il^g^(х-(- w(т))dz} dt,
о 6
то ?/д (X, 5, х) -^ И (X, 5, jc). Как вытекает из уравнегшя (28.6)
для и^,
1 д '
так как \Un\^'~ ^ Поэтому функции -т- м„ (X, 5, jc) образую]
компактное по отношению к равномерной сходимости на
любом конечном интервале множество. Если воспользоваться
сходимостью гг^ (X, s, х) к и (X, 5, ^), то легко обнаружить,
что и (к, Sy х) будет иметь непрерывную производную -т- и
что -ч~ будет сходиться к ^ равномерно на каждом
конечном интервале. Значит, и п^ (X, 5, х) будет сходиться к
и (к, Sy х) равномерно на каждом конечном интервале.
Перепишем соотношение (28.6) для и^ (X, 5, х) в форме
11^(ку Sy х) = и^(\ Sy 0) + -^(Х, Sy 0)х —
X
— \(x — v)[2-\- i2lkg(v) — 2s) и^ {\ 5, v)] dv.
о
Переходя в этом соотношении к пределу при я -> оо,
получим
11(1, S, х) = и{Х, S, 0) + ^(Х, S, 0)-
X
^\(х ~ v)[2 -\- (2lkg{v) — 2s)u(k, Sy v)]dv. (28.7)
о
Это соотношение можно дифференцировать дважды во всех
точках X, являюш,ихся точками непрерывности g{x)y при этом
мы получим уравнение (28.6). Этот результат справедлив и
в том случае, когда функция g(x) ограничена на каждом

178 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ.6
конечном интервале и измерима. Тогда сходимость м„ (X, s, х)
к и(ку 5, х) вытекает из неравенства
P{l5 gn(w{s)-\-x)ds-\g{w{s)^x)ds\^z\^
^ P { sup I ze; (0 I > Я} +
^6 [^1.^2]
h
+ P{|5 ^Л-^ + ^(5))Х//(А^ + ^(5))^5-~"
h
— \ g{x-\-w{s))xH{x~{-w{s))ds\'^z},
где /я W — характеристическая функция интервала (— Д Н).
Вероятность Р { sup \w{t)\'^Н\ может быть сделана сколь
угодно малой выбором Д а g{х) у^н {-^с) является
ограниченной функцией.
Таким образом, имеет место
Теорема. Пусть g(x) — ограниченная на каждом
конечном интервале измеримая функция, а
оо t
и (X, 5, х) = \^ е~^^ М ехр {i^\g{x -\- w {у)) dy} dt.
о о
Тогда функция и (к, 5, х) имеет непрерывную производную
по X и удовлетворяет уравнению (28.7), а во всех точках
непрерывности функции g(x)—уравнению (28.6).
Рассмотрим следующий пример. Пусть g{x)= ,^^" ^ .
z{t) является временем, которое процесс w{t) провел на
полупрямой (О, со) до момента t. Используя теорему, получаем:
Yj~2^^(K ^у х) — su(k, 5, х) = —1 при^^<^0,
-у J-2 гг (X, 5, х) -\- (iX — s)u (X, 5, х)== — 1 при х'^О.
Решая эти уравнения, получим:
и (X, S, х) = ~-{- Ci^>^25.v _|_ с^^- V2SX при Jt: < О,
и (X, 5, х) = ^—-^ + Сз^^^^-2^^'-^ -f de V2s-2ix^ при j^> 0.

§28) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 179
Так как функция и (X, 5, х) ограничена, то С^ = Сз = 0.
Постоянные Ci и d определяем из условий
п{\ 5, +0) = гг(Х, 5, -0), |^w(X, S, +0) = |^.гКХ,5,-0).
Получаем такую систему уравнений:
откуда
Значит,
со
п nv 1 1 'V/- i4fcb3...(2fe—1)/ a\ft
s]/l-f *=о
СО
Используя соотношение i e~^H^dt = -^, получаем;
t
i\\g{w{s))ds ^
М р о — \ 1 ■3...(2/г--1) (iXOf
~ Zj 2.4,..(2/е) /е! •
/г = 0
Так как
1.3...(2^—1) 2 Г . ,;, ,
то
Д J §^ (гг; (5)) ^5 ^
2 ^ _
2 (* ^д/ sin2 9 ^ 2 С ;х^ , ' -ш гV

180 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. б
Таким образом,
( О, г;<0
Р{^(0<х^} = | -^-arcsin "{/"у, О^г;^^,
I 1, v:>t.
Полученный нами результат носит название закона арксинуса.
§ 29. Вероятность пребывания процесса
в криволинейной полосе
Рассмотрим следующую задачу. Пусть g^{t) и ^2(0 —
кусочно-непрерывные функции, определенные на [О, Г], для
которых ^i(0)<0<^2(0), ^i(0<^2(0, а [с, d]^[g,{n
^2(7^)]. Какова вероятность того, что для всех/<^ Г gi(t)<^
<^w{t)<^g^(t\ а w{T)^[c, d\? Если g^ и ^2 постоянны,
то решение этой задачи дает формула (27.1). В общем
случае нахождение интересующей нас вероятности сводится
к решению некоторого уравнения с частными производными.
Положим
и (t, x) = P{gi (sX^wis) — W (О + ^^<^2 (SX
s^[t, n w{T)-wit)-}-x^[c, d]}.
Кам нужно определить w(0, 0).
Теорема. Функция и {t, х) дифференцируема по t один,
а по X два раза при / ^ (О, Г), х^ {gi {t\ g^ (t)) и
удовлетворяет в указанной области изменения переменных
duit, х) 1 d^uit, х) J. fj. \ ^
уравнению -^—■ = у —з^-з—- - Кроме того, и (г, х)
удовлетворяет граничным условиям
1 при X ^ {с, d)y
lim u{t, х)^\ ^
t-.T ( О при х^ [с, rf]
и для тех точек t, для которых существует о.^-^^ для
которого lim -г-^ | g-^t + Щ—g^ (t) \ = О, lim и (t, х) = 0.
Доказательство. Пусть е| ^ О, е2^0, h^O.
Обозначим через ^['^\^ (df) вероятность того, что процесс w{t)

§29] ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОЦЕССА В ПОЛОСЕ 181
впервые выйдет из полосы [— в^, £2] между t и t-\-dt и
в момент выхода будет находиться в точке (—1)^£;^, а через
Рв1,£2. hidy) обозначим вероятность того, что процесс 'П^(^)за
время h ни разу не выйдет из полосы [— е^, г^] и w (h)
будет принадлежать dy. Тогда при х ^ (Xq — £1, Xq ~\~ £3),
to + h-t
и (t, Х) = \ Cpiy_|_ д:_ д:,, 324-Л'о -Л^(^^) ^^ (^ — ^у «^0 — ^l) +
О
to + h-t
+ \ 9ч+х~Хо, e2 + Xo'~xids) и {t — 5, Xq + ^2) +
О
i-\-X~XQ, 52+^^0—-^. tQ-\-h — t {dy)u{U^h,y\ (29.1)
— £1
если при t^[t^, ^0 + ^] ^i(0<-^o — Si<Xo + s2<^2СО-
Слагаемые в формуле (29.1) имеют следующий смысл:
первое — вероятность того, что процесс w{s) — w {t^ -\- х
достигнет до момента t^-^-h — t точки х^ — £i раньше, чем
точки Xq -\- £2, а затем будет находиться между gi {s) и ^2 {^)
и в момент s=T попадет в [с, d]] второе — вероятность
аналогичного события, только с первоначальным попаданием
в точку Xq -\- г^] третье — вероятность того, что процесс
w{s) — W (to) -f- X при 5 ^ [^0, h + Щ будет находиться в
полосе [—£i, £2], в момент ^^^o-f-^ попадет в некоторую
точку J/ отрезка [—£i, £2], а затем до момента s^T будет
находиться между gi{s) и ^2('^) и при s^T попадет в
отрезок [с, d]. Для доказательства дифференцируемости и (t, х)
по X достаточно заметить, что Pbi,b2,h(dy) дифференцируема
по £i и £2 сколько угодно раз (это вытекает из формулы
(27.1)) и ср^^)^ (Й5) дифференцируемы по г^ и £2 сколько
угодно раз (это вытекает из следствия 4 § 27). При этом
производные по х будут непрерывными функциями своих
переменных.
На основании следствия 2 § 27 для всякого £^0
Р{ sup \w{t)\'^e}^2P { sup w{t)^e} =
©о у2
^ ^ - '^^dy = o{h), (29.2)
/27с/г

182 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 6
Поэтому при ^^0
u{t — K x) = P{g,{s)<:^w{s)~w(t~h)^x<ig^{sl
gi{s)<C^w{s)-~w{t)~^x-\-w{t) — w{t — h)<:ig^{sl
w{T)~w{t)-^x-~Yw{t)~w{t~-h)^[c, ^1} =
= \ ^{gx{s)<:w{s)-w(t-h)-\-x<:g,{s\s^[t~hji
w{t) — w{t — h)^ dy] и {t, X -\~y) =
OO j2
= yhh Ь "'nit,x+y)dy + oih),
— OO
так как
5-2(0
\ [P{wit)-w(t-h)-{-x^dy}-P{g,(s)<:w(s)-
glit)
— w{t — h)-\-x<:ig^{s),
w(t)--w{t — h)-\-x^dy}]ii{t, x-\-y)\-\-
y^{gl{t)-X,g2{t)-x\
<2P{ sup \w{s)~w{t — h)\^z\,
где e удовлетворяет соотношению gi(s)<^x — e<^x-|-e<^
<^^2('^) при "^ G [^ — ^y ^]- Рззлагая ii(t^ -^-^-y) no формуле
Тейлора:
a(t, x-\-y) = uit, ^) + ~(^, ^)^+tS (^' ^)y' + 0{y%
И используя соотношения:
00 V2
' — OO ' _ OO
00 V2 OO V2

29] ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОЦЕССА В ПОЛОСЕ 183
h д'
можем
записать: u(t — /г, x) = u(t, ^) -|- у 5-3 ^ (^> ^) ~\~ ^(^)-
Значит, существует lim —^ j^ -, причем этот
предел существует равномерно в каждом достаточно малом
промежутке изменения t. Поэтому существует -^ и
да 1 д^^и
~~~di~'2dx^'
Соотношения lim ii(ty х)=\ при х ^ (с, d) и lim ii(t, х) =
= 0 при X ^[Су d] являются простыми следствиями формулы
(29.2). Пусть, далее, при некотором а^у \gi(s) — ^f(OI =
= 0(1 5 — ^1^). Тогда
и(/, x)^P{w(s) — w(t)^g^(s) — лг, s^[t, t-\-h]} <
^P{ sup 'W{s)~w{t)<:^g^(t)-~x-\-
+ sup (^2(5) —^2(0)}^
t^s^t + h
<P{ sup w(s) — wit)<:^Oih')-^g,(t) — x}.
Поэтому
0 ^ Tim iiity x)^P { sup w (s) < о (/г^)} =
1
0(f) _J2 ^ '[\ ^) _у2
_.f , ^^dy=-4^ { e 'dy.
Y2nh J -^ УЪ
Так как lim и (t, x) не зависит от /г, то, переходя в послед-
X-~-g2 it)
нем соотношении к пределу при h->0, получим lim и (t,x) = О
X-*g2{0
Теорема доказана.
Определим, используя эту теорему, вероятность
Pki(0<^(0<^2(0, О^^^Г}, где g, = a-^kt,
g^ = b-\-kt, й<0<й.
Пусть и {t, X) = Р {^1 (S) <^w{s) — w{t)-\-x<C^g^ {si s^[tj]}.
Легко видеть, что u{t, х) совпадает с
P{«<za;(5) —Ь-|-^^ + х<й, 5^[0, Т—Щ.

184 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 6
Положим
v{t, x) = P{a<iw{s) — ks-\-x<C,b, 5^[0, ^1}.
Тогда u(t, x) = v(T—t, X-\-kt) и, значит,
^^=~'iiT-t, x + kt) + k%iT~t,xA-kt);
Поэтому v{t, х) будет удовлетворять уравнению
при X ^ (а, Ь), t^O и граничным условиям
v(t, a) = v(t, b) = 0, v(0, x)=l, x^{a, b).
Умножая (29.3) на e"^^ и интегрируя по ^ от О до
бесконечности, получим
оо
где Zx (х) = \ е~^^ v {t, х) dt. Значит,
о
^х W = Т + ''"^ ['^ (^> "^ iVk'-\-2lx) 4-
-}-В{Х)8Ъ(У"Ж^р2\х)]
здесь shjc= г^—, chx=—^—1. Постоянные А (к)
и В (к) определяются из соотношений:
1 _j_ ^-^« [А (X) ch (/F4^a) + В (к) sh (]/'"F+yXa)] = О,
^ ^ е-^^ [А (X) ch (\/k^-\-2\b) + i5 (X) sh (/F+УХ^)] = О,
. _ exp {kb + aY k^^ 21 ) — exp (ka + ^ /fe' + 21)
^ ^ ~~ 2X sh [{a — b) Yk' + 2X ]
„,.. exp (^fl — г? / ^2 _|_ 2X) — exp (kb — a yW+2X)
^ ^ 2lshl{a — b) /Aj2 + 2X]

§ 291 ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОЦЕССА В ПОЛОСЕ 185
Поэтому
1 , е^^ sh [а Yk'' + 2Х] е-^^ sh [b Yk^ + 2Х]
"Х ' \ й\[(b — a)Yk^Л-Щ ^ ^\\[(b~a)Yk^Л'Щ
00
Г^Ь //г2 + 2А ^ - г? //г2 + 2^)1 V е~ ^'^"' + 1) (^ - «) /^MF^
X
Пусть ср (t) — функция, для которой ^ е- ^^^ср (^) dt = е~ ^^^,
о
тогда при с/^0 '
00 k2
-j-'^JTMi
k2
L^^~dVk2 + 2X^\ ^^U\l_^l^]e 2 ^sdt
Поэтому
P{a-^kt<^w(t)^b + kt, t^[0, T]} =
, X f -'^tb{l(2n+l)ib-a) + aV
= l-2^]e dt[ [i2n-\-\){b-a)-\-aY
n = 00
'^([(2r+\)(b-a)-bf) '^[i(bIT\)(b~-a)-aY
I [{2n +\){b--a) — bY [{2n +\)(b^a) — a^
'f[[(2n + \)(b-a)-fbf
l(2n+\)(b~a) + bY
Остается найти cp(^). При a = — oo, b=ly k = 0 z(k)-.
= r- — :r e~ ^^^^ значит,
A Л
«2 I
^ ^ ^ dt /271/^ ^J (^^ J у 2Tit

186 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 6
Значит,
оо _(2/г+1)(6 —а) + г> ^2 {2п-\-\){Ь-'а)~а ^о
п = 0 {2п-^\){Ь — а)~Ъ (2n-\-t){b-a)-\-a
^ Т f,2 {2n-{-\){b~a) + b ^2
^ /г = 00 '^ {2n-[-\){b~a)—b
(2/i-f-l)(& —a) —a у2
4~ f e^'^^yldt.
(2/i-f-l)(& —a) —a
§ 30. Закон повторного логарифма
В этом параграфе мы исследуем поведение процесса
броуновского движения при ^->оо и при t-^0.
Теорема 1 (закон повторного логарифма).
Если w(t) — процесс броуновского движения, то
Р/ lim sup—^i£==ll==l, (ЗОЛ)
w{t)
Y2t]
P I lim sup ^ ^'^ = Ч = ^- (^0-2)
'■-' ]/2Пп1п-
Доказательство. Чтобы установить (30.1), достаточно
показать, что для всякого е^О
р/ limsup-^^-^^>l+e| = 0, 1
p/limsup^-.^iL^>l-el=l.
Покажем, что для всякого е]^0 с вероятностью 1 для всех
достаточно больших t выполняется неравенство
W
(0<(1 +в)|/2Пп1п/^ .

30]
ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
187
Пусть а^1. Обозначим через 3(д, событие, заключающееся
в том, что
I sup Х0(()у(1-\-1]у2аЧп\па^ \.
Тогда на основании (27.3)
ОО V-
2 Г
Р{%
2а«
У 271^^
dy-^
^+т) /2«^lnln«^
ос
ye
2а^
-,/—fe ь I 1 + о /2а^ In In flfe
(1 + e) У 2a^ In in a^ \ ^ 2/ '^
-dy =
1 +^ "j/7lln(^ + lnfl)
(^ + In a)
14-^y
Следовательно, ряд 2 ^ 1 ^^fe 1 сходится, и по лемме Бореля —
Кантелли события 3(д, с вероятностью 1 не происходят для
всех достаточно больших k. Поэтому для всех достаточно
больших k
In In a^
In In fl^-^ ■
In a
In Aj + In 1 +
\nk + ln{l
In a-
Y2t\n\nt
при t^[a^~^, a% Выбирая a так, чтобы f 1-[-^j"|/й<^s,
убеждаемся, что с вероятностью 1 будет существовать такое
ky что при t^a^
w{t)<^(\-\-z)Y2t\n\nt
Этим соотношения (30.3) установлены.
Заметим сразу, что, беря а<^1, с помощью наших
рассуждений можно показать, что
w(t)
'/ lim
sup
Y2t In In t
>l+s} = 0.

188 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 6
Для доказательства соотношения
P/Iimsup ^^f) >l-e\=l
рассмотрим события 33^, заключающиеся в том, что
События 33fe независимы:
оо
P{jjjft}= ^ ' fexpl /' ^ \dy
^ -7=^ exp J —
1 ^
Поэтому
21/2 In In a^ + 1
-r^
i-^
lim Р{дЗ;^})^\ «/ =oo,
ft -> 00
так что при a]>- ряд ^ P {23;^} расходится, поэтому по
лемме Бореля — Кантелли с вероятностью 1 происходит
бесконечное число событий 53fe. Но из (30.3) вытекает, что
для всякого Ь^О с вероятностью 1 для всех достаточно
больших k
— W (а*-^) ^ (1 + S) К2а^-1 In In а^-^
(мы пользуемся симметрией процесса w{t)\ так что
существует бесконечная последовательность чисел k, для которых
W (а^) > 1 — У У^^^ In In а^ — (1 + ^) l/Sa^-i In In а^"^ >
^ 1^1 __ ^ _ i±^J ]/-2аМп In a^

§301 ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА 189
Выбирая а настолько большим, чтобы --^<^-, убеждаемся,
У а 2
что с вероятностью 1 выполнено соотношение
I у^ -^ оо /2а^ In Хпа^""^ )
Тем более
Р/ ИШ sup—^Е=>1~в\=:=1.
Если снова взять а<^1, то подобным же приемом установим,
что
p/limsup ,_^L=>l-el=l.
1/-0 /2^0110^1-^ /
Теорема доказана.
Замечание. Так как процесс w(t) симметричен, то
Р/ Иш inf-—^iu= = —l\=l, (30.4)
P/ lim inf—z^iiL:. = —l\=l. (30.5)
Объединяя вместе утверждения (30.1) и (30.4), (30.2) и (30.5),
получим
р| Иш sup J^iiL=l\=l, (30.6)
Р/ lim sup '^^^^1 =- 1 1 = 1. (30.7)
Очевидно, что поведение w (t) в точке О совпадает с
поведением w(t-\-h) — w(t) при h-^0 и фиксированном t.
Исследуем теперь модуль непрерывности процесса w{t). Положим
А. (Г)= sup 1^(0 — w(s)\,
o^t^ т
Так как процесс w{t) с вероятностью 1 непрерывен, то
А^ (Г) ->- О с вероятностью 1 при h-^0. Нас будет
интересовать скорость этой сходимости.
Теорема 2.
pf lim sup-4^£L=r<oo|=l. (30.8)
//^inl

190 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ i^^» 6
Доказательство. Так как
^/г(Л<2 sup sup \w(s)~w(kh)\
kh^T khrS:S^kh-\-2h
И при /^GUhT» 2^ \(^^^^ 1 (Д '^^ "2^ достаточно
доказать, что
P{ lim 7j^<oo} = l,
/г -»■ oo
где
1 I f b ^
^(7.2"+l)[p{ sup^ щ;(5)>х]/^2^1п2«} +
-|.p{ sup ^ (-^(s))>^|Ailn2«}] =
2/1-1
.liZ::^:!+il ]_ expl-2-VKJ^^-^^^^^X
У'^'^^^Тп^^^
^.п2« /o('-f)\
-T- "1^ /2
х^^шг" ^ >^
/;
Если x^2, TO ряд. 2 P {'^/г<С-^}<С^^- Поэтому на осно-
п = 1
вании леммы Бореля — Кантелли можно утверждать, что,
начиная с некоторого п, %<^х. Теорема доказана.

§31] МНОГОМЕРНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 191
Следствие. Существует случайная величина у\, для
которой при всех t^, t^ ^ [О, Т]
\w(t,)-^w(t,)\^riY \t,-t,\\njj-^^. (30.9)
Из этого неравенства вытекает, что процесс w(t) с
вероятностью 1 удовлетворяет условию Липшица с любым
показателем a<^Y- ^^у ^^то w(t) не удовлетворяет условию Лип-
1
шица с показателем а = -р-, вытекает из теоремы 1.
§ 31. Многомерное броуновское движение
Процесс |(^) со значениями из/?^^^ называется т-шернъш
броуновским движением, если | (t) — однородный с
вероятностью 1 непрерывный процесс с независимыми приращениями,
для которого числовой процесс (г, |(^)) является процессом
броуновского движения для всех z ^ R^^\ для которых
\z\=l. Для такого процесса M.{z, |(ф = 0, N[{z, l(t)f==
= t\z\'^. Распределение величины |(^) определяется плотностью
распределения
т
p,ix) = i2^t)"^'exp{~^\x\'}, (31.1)
так что для всякого борелевского множества Л
т
Р{1(0е^} = (2^0~^$ехр{-1|л:р}йд; (31.2)
А
(интеграл по множеству А по мере Лебега в /?^^^).
Формула (31.2) принимает более простой вид, если множество А
имеет вид А = {х^ ^[а^, ^i], ..., х"^ ^[а^, Ь^\}, где
х^у ..., х^ — координаты вектора х в некотором ортонор-
мированном базисе. В этом случае
_^ т h -1 у2
Последняя формула показывает, что в любом ортонорми-
рованном базисе процессы ^ЧО»*»-) ^'^ (0> являющиеся

192 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. е
координатами процесса |(^), будут независимыми процессами
броуновского движения. Поэтому, если U— ортогональное
преобразование R^^\ то процесс U\{t) также будет
процессом броуновского движения. Этот факт мы используем
для доказательства следующей теоремы.
Обозначим через S^ сферу в R^^^'' с центром в начале
координат, через Г^ поверхность этой сферы, а через
[x^_i(r) т—1-мерную лебегову меру множества Г на Г
Теорема 1. Если т — момент первого выхода
процесса \ (t) из сферы 5р, то (т) равномерно распределен
на Ту т, е, для борелевского множества Г ^ V^
РВМ€Г}=£^.. (31.4)
Доказательство. Пусть (J — произвольное
ортогональное преобразование R^^\ оставляющее неподвижным
центр сферы. Тогда ^/|(т) имеет такое же распределение,
как и I (т):
Р [Ul(X) G Г} = Р{!(.) G Г} = Р{I(т) е и-'Ц.
Таким образом, мера Р {|(т) ^ Г} обладает тем свойством,
что она не меняется при движениях Г на Гр. Кроме того,
так как из теоремы 4 § 24 вытекает, что Р{т<^оо}=1,
то Р{|(т)^Гр} = 1. Единственная мера, обладающая двумя
этими свойствами, стоит в правой части (31.4). Теорема
доказана.
Свойство строгой марковости по отношению к моментам
первого выхода из полосы было установлено в § 22 для
одномерных процессов. Приведенное там доказательство
почти без изменений переносится на многомерный случай,
если рассматривать моменты первого выхода процесса из
некоторой сферы. В дальнейшем мы будем использовать
свойство строгой марковости процесса броуновского
движения по отношению к моментам первого выхода из сферы.
Теорема 2. Для всякого С^О
Р{ sup |Н(0]>С}<2Р{|?(Г)|>С}.
Доказательство. Пусть т — момент первого выхода
процесса | (t) из сферы S^. Процесс t(t-\-z) — | (т) при
^^0 будет иметь такие же конечномерные распределения,
как и процесс | (t), каково бы ни было значение ^ (т).

§311 МНОГОМЕРНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 19.S
Поэтому
Р{11(Г)1>С} = Р{х<Г, ||(Г)-|(т) + |(,)|>с} =
= (p{||(r)-|(T) + |(t)|>C|t = ^}P{TG^^} =
о
= {p{\l(T)-l(t) + z\:>C}P{.edt},
6
где Z — произвольный вектор, для которого \z\=C. Но
Р{|1(7-)-|(0 + гг|>С}^Р{(|(Г)_|(0, гг)>0} = 1,
так что
т
p{\icn\>c}^Up{.edt}=-^p{ sup ii(oi>c}.
Теорема доказана.
Используя оценки
Р{|1(Л1>С}^Р{ sup |?(0|>С}<2Р{||(0|>СЬ
оо _ г2 m — 2
С
VY
можем вывести соотношения: для всякого е^О
lim Р{ sup \lit)\yC}e^^ '-^ ^=оо,
П _ 1 С2
lim Р{ sup \lit)\:>C}e^' " ^=0,
С помощью которых точно таким же образом, как и в § 30,
можно установить закон повторного логарифма для
многомерного процесса броуновского движения.
7 А. в. Скороход

194 Процесс броуновского движения [гл. 6
Теорема 3. Если | {t) — т-мерный процесс
броуновского движения, то
Р/ limsup-^LL==ll=l,
Ь^оо /2Пп1п^ /
р |ит sup —:йШ=^ = 11 = 1.
Из этой теоремы вытекает довольно неожиданное
следствие: модуль непрерывности процесса броуновского
движения в нуле не завысит от размерности пространства.
§ 32. Метод дифференциальных уравнений
для многомерного процесса броуновского движения
Рассмотрим в этом параграфе уравнения для некоторых
характеристик, зависящих от поведения процесса на
бесконечном промежутке времени. Мы будем считать, что
фиксирован некоторый ортонормированный базис, и координаты
вектора х будем обозначать через х^, х^ ..., х^.
Теорема 1. Пусть G — область R^^\ ограниченная
поверхностью Т, а z^ — момент первого выхода процесса
I {t)-\-x из области О. Пусть ср — ограниченная
измеримая функция, определенная на G, а
и(^) = Мср(|Ы + л:).
Тогда внутри G функция и{х) удовлетворяет уравнению
1
д^^и _^
{dxk)
и для всех точек .JCo G ^> ^-^^ которых Г имеет в
точке Хо касательную гиперплоскость и ср (л:) непрерывна
в точке лго,
lim ;7(л:) = ср(л:о).
Доказательство. Пусть т? — момент первого выхода
из сферы ^Sg. Если сфера с центром х радиуса е целиком
лежит в О, то
? (I Ы + ЛГ) == ср (IЫ ~ I (Tf) + I (хГ) + X).

§321 МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 195
Процесс |(^ -f-1?) — fei'^t) не зависит от zf и | (т^*) и
является также процессом броуновского движения. Тогда
Мт (IЫ -1 (т?) +1 (xf) + л:) =
= ММср(I(т,)-1(X*) +1(.?) + д: II(xf)) ==
= 5 М<? (I (Х.+*) + гг + л:) Р {I (т?) G rf^} =
г
г
(мы воспользовались обозначениями и теоремой 1 § 31).
Следовательно, функция и {х)у удовлетворяя соотношению
Г
£
является гармонической функцией внутри области G, поэтому
т
dhi
/г=1
, = 0.
Пусть функция cp(jc) непрерывна в точке х^ и Г имеет
в точке JCo касательную гиперплоскость, нормаль к
которой, внешняя по отношению к G, имеет орт п. Для
доказательства соотношения lim м (jc) = ср (jCq) достаточно пока-
зать, что Тд^—^0 с вероятностью 1, если x—^X^.V[2i
основании теоремы 1 § 30 и теоремы 3 § 31 (так как (|(0, п)
является одномерным процессом броуновского движения)
можно указать такую последовательность tj^, что tf^—>0
и при достаточно малом tf^
аШ n)>(l-e)lA2^,lnInp,
а 1_
11(^*)1<(1+Юу 2/,1п1п1.
Можно указать такое В^О, что при \z — Хо\<^Ь из
соотношения (z — Хо, n)'^-^\z — Хо\ вытекает г ^ О. Так как
то ^(tf^)-\~Xo не принадлежит Q, значит, и 'i^(tf^)-\-x для
достаточно малых \х — Хо\ не принадлежит G. Очевидно,

196 ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. 6
что для таких х 'Сдг<С^/г- Поэтому для всех k lim '^х<С^'^ь
а так как /д.—О, то Р { lim ':д; = 0} = 1. Теорема доказана.
дг-^дго
Замечание. Если функция ср(х) непрерывна, а Г имеет
всюду касательную гиперплоскость, то для нахождения
функции и {х) нужно решить классическую задачу Дирихле.
Из результатов § 30 вытекает, что для одномерного
процесса с вероятностью 1 sup хг; (^ =-|-со, а inf w(t)=—со,
t ^-^оо
поэтому процесс с вероятностью 1 попадает в любую точку
прямой. Используем теперь метод дифференциальных
уравнений для исследования вероятностей попадания процесса \ {t)
в некоторое множество G хотя бы раз за бесконечный
промежуток времени.
Теорема 2. Пусть
u{x)=\—P{l{t)~\~x'^Q, 0<^<оо},
тогда и {х) является гармонической функцией при X ^G\
если Г, граница G, имеет в точке х^ касательную
гиперплоскость, то ^(л:)—^1 при х—^Х^.
Доказательство. Если т^ определено так, как
в теореме 1, и jc лежит на расстоянии большем, чем в,
от Г, то тогда
Используя то обстоятельство, что процесс \{'z^-\-t) — |(tJ
распределен так же, как | {t\ не зависит от % (tJ и т^,
а Kig) распределен равномерно на Г^ точно так же, как
в предыдуш,ей теореме, получаем
«{X) = -—^тгТ ( " (-^ + ^) ^гп-1 {dz),
Г
г
Значит, и {х) — гармоническая функция. При доказательстве
теоремы 1 было показано, что Р { lim Тд^ = 0} = 1, если
Тд.— момент первого достижения процессом \{t)-^x
границы Г и Г имеет касательную гиперплоскость в точке Xq.
Поэтому ^.^ р ^^ ^^^ j^jc^O, t^ [О, СО)} = 0.
Теорема доказана.

§ 32] МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 197
Замечание. Если т^2 и G — ограниченная область,
то и {х) —> О при I л: I —* со. Действительно*, если т — момент
первого достижения G, а Gi — множество точек, расстояния
которых от G не превосходят 1, то
P{/e^T^/e + l}P{ sup i|(x+s)-|(x)l^l}
^ ' ^ Р{ sup 11(5)1^1}
Р{А:^х^А: + 1, sup Ц (х + s)-| (т) |^ 1}
0^5^ 1 ^
Р{ sup 11(5)1^1}
^ P{|(^ + l)gGi}
^Р{ sup||(s)|^l}-
Поэтому
оо
м(л:) = Р{т<со} = 2 Р{^<^<^ + 1}<
/г=0
оо _ |Л? —у|2
<(Р{ sup||(.)|^l})-i\ ! ^Се ^'*+"rfy.
Из последнего соотношения и вытекает требуемое.
Следствие 1. Учитывая свойства гармонических
функций, можем утверждать, что вероятность
попадания процесса \{t)-\-x в сферу S^{z) радиуса е с центром
в Z равна ^1 ^_ ^1
\\z-x\
Следствие 2. При т'^2
Р{ lim ||(0| = оо} = 1. (32.1)
^-н.0О
Пусть т^;, — момент первого достижения процессом | {t)
сферы радиуса 2^ с центром в нуле, а 31^^= { inf ||(/)|^А/'}.
Тогда
p{9U = p{ inf \Ut-\-4)-U4)-\-U4)\^N} =
m — 2
Из сходимости ряда 2]Р{Э1*} для всех N и вытекает (32.1)

ГЛАВА 7
СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
с НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
§ 33. процессы, построенные по суммам независимых
случайных величин
В этой и следующей главах мы будем иметь дело в
основном с последовательностями процессов специального вида.
Пусть i^["'\ ^^^\ ..., I^'^^ — независимые случайные величины,
п
0=:^[,'^)<^^(^'^)<^. ..<^^(J^)= Т—последовательность разбиений
п
отрезка [О, Т]. Положим
ln(i)= S li"\ (33.1)
Такой процесс мы будем называть процессом, построенным
по суммам величин |(^Ч Нас будут интересовать условия,
при которых распределение величины |,i(r') —1^(0 Д-^^^
всех f <^i" из [О, Т] будет сходиться к распределению
величины I {t") — I {f), где I {t) — стохастически непрерывный
процесс с независимыми приращениями, определенный
на [О, Т]. В этом параграфе будут рассмотрены условия
ограниченности последовательности |^ {t) по вероятности;
эти условия будут использованы при доказатетьстве
предельных теорем для процессов S^ СО-
Теорем а. Для того чтобы последовательность
процессов \,nif) ^wda (33.1) была ограничена по вероятности
равномерно относительно п, необходимо и достаточно,
чтобы для некоторого е^О выполнялись условия:

§ 33] ПРОЦЕССЫ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СУММАМ 199
1) существует постоянная L, для которой
sup21 D(|[.'^)(e), z)^L^\z\\ (33.2)
к
sup sup I V М i^^f) (e), z)\^L\z\, (33.3)
sup^P{||(-)|>e}^I; (33.4)
Здесь lf(e) = lf^ при Ц^Ц^г и |[.'^)(s) = 0 при ||Н|>в;
2) lim sup 21 P {I W^ I > <^} = 0. (33.5)
с ~* oo n i^{
Доказательство. Установим необходимость
условия (33.5). Так как
P{lL(71-l«(0l>2C}<2supP{|^„(0l>C},
t
то, учитывая ограниченность |„ (t) по вероятности и
теорему 2 § 3, можем утверждать, что для всех достаточно
больших С
2supP{|l„(0i>C}
РЦиИ1Л^)1>4С}^ l-2supP{||.(OI>C|-
Но
Р{ sup llf |>8С}<Р{ sup ||„(s)|>4C}^
2 sup P { |1„ (0 I > C}
l-2supP{||„(OI>C}
Значит,
_*« 2supP{||„(OI>C}
г = 1 /

200 СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 1ГЛ. 7
Используя неравенство е^"^! -{-х^ из предыдущего
соотношения получаем
'п 2supP{||„(OI>C}
exp{-2Pmi-M>8C}}^l- 1_2'зирР{||Л01>С} '
(33.6)
Так как правая часть (33.6) стремится к 1 равномерно
относительно п при С -> ОС, то и левая часть стремится к 1
равномерно относительно //, т. е. выполняется (33.5).
Для доказательства необходимости условия 1)
рассмотрим величины lf(R) и г\^/^НН) = Щ^^— l^/"^ (R). Пусть R
таково, что
sup2pmi'^M>M<oo
П 1
(существование такого R вытекает из условия 2),
необходимость которого доказана). Покажем, что
k
lim sup sup Р 11 V Л!''^ (R) 1 > С"! = 0- (33.7)
C-*oo n k и Y^ ' I J
Если sup 2^11 W''^ I ^ ^ } =^ Д 3 Ш1 — событие, заклю-
n
чающееся в том, что среди величин ri^/^HR) ровно / величин
отлично от нуля, то
Поэтому
Р {2 "if (R)>C}^^P {Э1„ sup I r^!^) (R) I > ^}.
00
^rp{sup|r,(.«)(;?)|>|} + 2?
r+\
C]
«=1 r+l

§33] ПРОЦЕССЫ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СУММАМ 201
Из последнего неравенства вытекает (33.7). Пусть процесс
|^(/) определяется формулой (33.1), если в этой формуле
заменить ^^^'^ на 1>^^HR). Из ограниченности |„(0 по
вероятности и (33.7) вытекает, что
limsupsupP{||^(0|>C} = 0.
С->оо п t
Так как величины |^(^) ограничены по вероятности и
являются суммами независимых случайных величин, не
превосходящих /?, то на основании теоремы 4 § 3 существует не
зависящая от /Z и ^ постоянная Q, для которой М(|^(^), zf ^
^Cx\z 1^, значит,
supl 2 D(|H(/?),^)j^Q|^r
п
И
к
sup sup I 2; М (If) (/?), z)\^Vc,\z |.
Мы установили необходимость условия 1).
Достаточность. Если выполняются условия (33.4) и
(33.5), то будет иметь место и (33.7). Из (33.2) и (33.3)
вытекает, что при |<г|^1
м1(2|(.«)(в),гг)Г^21*|гр.
k
Значит, М I 2 If'^ (^) 1^ ^ 2^^^ и
1
/г
1
Так как
k k
Т 1
k
+ p{|2r,W(^)i>|}.
1
то, учитывая (33.7) и (33,8), получаем доказательство
теоремы.

202 сходимость случайных процессов 1ГЛ. 7
Определение. Велияины \^Р^ называются
равномерно бесконеяно малыми, если для всякого в]^0
lim sup Р{|^Н|>в} = 0. (33.9)
п
Замечание. Если величины |(^) в (33.1) равномерно
бесконечно малы, то условие 1) теоремы выполняется для
всех в^О, если только оно выполняется при некотором
ej ^ 0. Если sj <^ в, то
I М {If) (sO, г) - М ilf) (в), г) I ^ S I г I Р {I If) I > si}, (33.10)
I D {If) (eO, z) - D {If) (s), z)\^ЪгЦz\'V{\ If) I > ej, (33.11)
так что выполнение условия 1) вытекает из (33.5).
Пусть теперь si^e. Мы видели при доказательстве
теоремы, что из (33.2) и (33.3) вытекает неравенство
Из (33.9) вытекает, что lim sup | М|Н (sj) | = 0. Взяв настоль-
/г->оо /
КО большое п, чтобы sup | Mll'^) (sj) | <^-у, будем иметь
Р{!1<-"М>^}^р{|1^'"Ы-м|('')(еО|>|-}=
т
= р {2 {If {ч) - м If) (вО, zj)' > '^} ^
т т
^2 р [^^f' (^0 - ^ ^[•'^^ (^i)' ^у)' ^ ^} <^2 ^ ^^f' ^'^^^ ^^
/=1 У=1
где Zi, z^y ..., <г^ — ортонормированный базис в 1^^^). Зна-
ЧИТ,
/=1
Меняя в (33.10) и (33.11) е и Si местами и используя
преды дуидее неравенство, убеждаемся, что выполняется условие 1).

§ 34] СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОЦЕССОВ 203
§ 34. Сходимость распределений процессов, построенных
по суммам независимых случайных величин
Нас будут интересовать условия, при которых для
последовательности процессов ^п(^) ^идз (33.1) распределение
1/г (^'0 — 1/г (О будет сходиться К распределению | (Г) — | (f),
где !(/) — стохастически непрерывный процесс с
независимыми приращениями для всех f <^f' из [О, Т]. Эта задача
будет решена при естественном ограничении: слагаемые IS^\
из которых построены процессы 1„(0, будут предполагаться
равномерно бесконечно малыми (так сказать, дискретный
аналог условия стохастической непрерывности).
Теорема. Пусть |„(0 — процесс вида (33.1), причем
для всех е^О
lim supP{||(^'^)|>e} = 0, (34.1)
Л->0О k
а \{t) — стохастически непрерывный процесс с
независимыми приращениями, для которого
М ехр {i (г, I (0)} = ехр {1 (г, а (t)) ~~{А (t) г, z) +
+ J (,.•(.. «) _ 1 _ ^1|?^) П (^, da)}. (34.2)
Для того чтобы распределение |„ {t") — |^ (f) при всех
f<^t" из [О, 7] сходилось к распределению \(t'') —1(0>
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) для всякой ограниченной непрерывной функции ср(й),
равной нулю ,в некоторой окрестности точки и = Оу и
для всех t ^ [О, Т]
п-^со ( )^
:И.
-г^^Ч-)
«--оо (п) ^, \ ^-T\lk \ >
(т)
3) для всех Z ^R
lim 1 hn I 2 D (|(-)(г), г) - (Л (О ^, ^) 1 = 0.
S-+0 п-^со
<t

204 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 7
Доказательство. Установим сначала достаточность
этих условий. Покажем, что в условиях теоремы
lim М ^' ^^''/г (^"^ - ^п (^')) = м ^'' (^' ^ (^") - i (^'))-
Так как {z, 1^,") (е)) (г, !<,")-'§("» (s)) = О, то
М e^ <^' ^^"*> = М .'■ ''• ^*"' <^Ч М е''" ^*"*" ^ '*' *^'' - 1
м.'''■ ^*"'* = м.^ <^'^'^ <'" м .'■ <'• ^^^ -^^^ <^» -
_ (1 _ м .'■ <^- ^*"' <^») (1 _ м.' <^' ^*'" - ^*'" <^»).
Заметим, что
||l_M/<^-^r-ii'"(.))|^2|p|||H,>3};
ограниченность последней суммы вытекает из условия 1).
Из (34.1) вытекает соотношение
lim sup|l—М^'^^'^^''^^'^^|=а
п-*со k
Поэтому
хм.'<^'^*"^-^*"' <^" I^ihii sup I 1 -М.'"^^-^i»" '^» 1 X
/г—>-ао /г
Х22р{1|("М>^} = о
(при ia,i^i, |^'Л^1 1№-№л<Е 1«г-*/1)-
Покажем, что
существует и совпадает с правой частью (34.2). Так как по
условию 2)
t'^t^^Kv
м(^^—!^ I и.)(з)
^ i + ilL'^^r ^^^ ^

§ 341 СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОЦЕССОВ 205
СХОДИТСЯ К а (О ~~ ^ (0> ^^ ^^^ остается доказать, что
П М ехр {i {г, |(«) (S) - М -;W (е))} X
X М ехр {^ (^, 1(«) -1(«) (S) - М Y^r^S^')}
сходится к М ехр{£(г, |(П —ко —«(^') + a(0)}•
Ho
J|M.'-'^'^^"* <^'-'«^'*"' ^^" =П(1 - f D(., |(")(в)))х
X (1 + 0(e)) = Г -^ 2 ^^ (^*'' (^'-"' + О (е) 1 ^ f.
А тогда
П М ехр ^ (^, |<«) -1(«) (S)) - М '''':} =
= П ехр { - ^ (., М ^'f-f^ ^) } I \ еП^. ^) Р ||W е
= П ехр{-.(., М )}|1 +
1*1 >=
li''*-li"'(^)\
Xfexpl \ (^'(-■*)-l)P{li"'G«fJf}} + 0(Pm<ft"M>4')]=
1*1 >^
= ехр{ 2 ^(^''^■*'-1-ГГТ7?)Р{1Ге«?4}Н-
<'«4"'«" '"^'^^
+ 0(supP{l|(«)l>E}2]P{|-gri>s}).

206 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 7
Учитывая условия 1) и 3), убеждаемся, что
lim 1 М е' *"• ^п <'") - 5„ tn) _щ,1 (-. I (П -1 (/')) I ^
/г-->оо
=<; 0(s) + ihn 0(supP {||(«) |>е} 2;Р { Hi"'|>4) +
/г->оо k j^
.-f I М e^ (^' i (^")-i (^')) — exp {i {z, a (Г) — a (Г)) ~
-1(Л(Г)^-Л(0г,г)+ J (,.•(-,«)-I^^^JX
Х[П(Г, ^^)-n(f, r/«)]}|
Переходя к пределу при в -^ О в обеих частях последнего
неравенства, получаем доказательство достаточности условий
теоремы.
Необходимость. Пусть для величин |^") выполняется
(34.1) и распределение |„(0 сходится к распределению
величины %{t) с характеристической функцией (34.2). Тогда на
основании теоремы и замечания § 33 можем утверждать, что
для всякого в^О будут выполняться соотношения (33.2) —
(33.5). Используя эти соотношения, получаем точно так же,
как при доказательстве достаточности,
lim (МехрЩг, 2 l^k^)]-
/И<^
•М
ехр{/(г, 2 11'^Чв))}мехр{К^, 2 (11'^^-?1'^ЧЮ))}=0-
4")<^ ■t^^^<t
Мы уже видели, что произведение
можно преобразовать к виду
где limp(e) = 0, lima„ = 0.
e~>0 «-^00

§ 34] сходимость РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОЦЕССОВ 207
Введем меру
П(«) (Л) = ^Р {|W е А].
Для всех множеств Л, лежащих на положительном
расстоянии от нуля, П^'^^ (А) равномерно ограничены, т. е. меры П^'^^,
рассматриваемые на борелевских множествах из [/^
(внешней части сферы радиуса в с центром в нуле), образуют
компактное семейство мер (ввиду условия (33.5)); поэтому
можно выбрать такую подпоследовательность Дд,, чтобы
\ ср (X) пС^л) (dx) -> \ ср (л:)П (dx)
для любой ограниченной непрерывной функции ср, обращаю-
ш,ейся в нуль в некоторой окрестности начала координат.
Эту подпоследовательность п^ можно считать выбранной
таким образом, чтобы для некоторой последовательности
вд.-^0, для которой П(Г^^) = 0, где Г^ — граница t/^, суш.е-
ствовали пределы
'<(
t^^-^^hny
Иш__ 1]м(|К)(в.)+ " , .„. J = a,,
^^-^^Ап)^. ' ^ + \lk
tr<t
Тогда
i(a.^, ^)-j(A.^^,^)+ J (^en^.^)-l-.I^^U(dx)-
\x\>e^
- Ka(0, г) +1 (Л (0^, 2) + J (e'(-.^) - 1 - 1^1^) X
X П (t, dx)
■■.Нч)\г\
Подставляя в это соотношение \z вместо z и устремляя X
к бесконечности, получаем
I (Аф Z) - (А (О г,г)\^^ (е,) | z \\ (34.3)
Это соотношение доказывает необходимость условия 3), так
как оно выполняется на некоторой подпоследовательности ttf^

208 сходимость случайных процессов (ГЛ. 7
каждой последовательности натуральных чисел п. Теперь мы
можем записать
I i(а.^, z)-i{a(О, Z) + J (е'(-.*)- 1 -^i|£^jП(^д:)-
где
lim pi(s;,) = 0, (34.4)
ввиду (34.3) и соотношения
Пусть ф(г) = -^^ \ ^-'('2''•*^^ср(л:)б/л:, где 9 (л:) —дважды
непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль
в некоторой окрестности начала координат и абсолютно
интегрируемая вместе со своими производными. Тогда
Легко проверить, что в наших условиях
^ ф {Z) dz = 0, \ z^ (z) dz = 0.
Поэтому, умножая на ф (z) разность, стоящую под знаком
модуля в левой части (34.4), и интегрируя по Zy получим
\ ^(x)Il(tydx)- \ ^(x)U(dx) = ^,(B,l
где lim ^2 (^k) = ^- Переходя к пределу при в -> О, убе-
ждаемся, что
\^(x)ll(t, dx) = \^(x)ll(dx)
для всех достаточно гладких функций ср {х\ интегрируемых
вместе со своими производными и обращающихся в нуль

§ 34] СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОЦЕССОВ 209
В окрестности начала координат. Значит, П {t, Л) = П (Л).
Поэтому и I (а,., Z) -^ (а(О, z)\^^, (s,)(\z\'-\-\z|). Таким
образом, из любой последовательности натуральных чисел /z^,
Hf^ -> оо, можно выбрать подпоследовательность n'ky для
которой ^ ,, (', .
для всех ограниченных непрерывных функций ср,
обращающихся в нуль в окрестности начала координат, и
\ш Ш \(Ait)z,z)~ 2 Daf>'\Bi),z)\ = 0,
fe('^A.)__o(/z^.)
'^ nk-^co Uj^^^
lim lim
a{t)- У UlJ'^^He.O+M
i;^^~i74^/)
/>^</
i+ii,
(^^й) I
= 0.
Отсюда и вытекает необходимость условий теоремы.
Замечание. Доказывая теорему, мы установили
одновременно следующее предложение: если для независимых
величин li'^^ ...,|л^^ выполнено условие lim 8ирР{||15Г^1^в} = 0,
^ п-*со k
а Sn = ^\^k\ то для существования предельного распреде-
I
ления у величины S^ необходимо и достаточно, чтобы
существовали такие вектор а ^ R^^\ неотрицательный
симметричный линейный оператор А в R^^^ и мера П, определенная
на борелевских множествах из R^^\ конечная для всех
множеств, расположенных на положительном расстоянии от нуля,
и удовлетворяющая соотношению ^ |л:|^П(б/л:)<]со, что
s-^O /г-^оо I ^J L 1 + life М J
для всех Z ^ R^^^
_ 'п
lim lim I (Az, z) — ^D (tk^ (e), z)\ = 0,
s-*0 n~*o? I
■0,

210 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 7
и для всякой непрерывной ограниченной функции, равной
нулю в некоторой окрестности начала координат,
lim Ц 5^(X)Р {tk^ ^dx} = \^{X)IT{dx).
n-^co J
Если эти условия выполнены, то характеристическая
функция предельного закона задается формулой
ехр [i (а, Z) - i {Az, гг) + J [е^(-. -) - 1 - ^f^^ П {dx)].
§ 35, Условия сходимости распределений стохастически
непрерывных процессов с независимыми приращениями
Используем результаты предыдущего параграфа для
исследования условий сходимости распределений стохастически
непрерывных процессов с независимыми приращениями ^^i^)
к распределениям стохастически непрерывного процесса |о(0-
Теорема. Пусть стохастически непрерывные
процессы с независимыми приращениями I^^CO, ^ = 0, 1, 2, ...,
определены при t ^ [О, Г], §„ (0) = О w
М ехр {i (Z, 1^ (0} = ехр ji (а^ (О, ^) — у (Л^ (О ^, ^) +
+ J (.^•(...) - 1 __ ^i|^) п, (^, ^х)}. (35.1)
Для того чтобы для всех f <^t" из [О, Т] распределение
In (О — 1/г (О сходилось К распределению |о (О — 1о (0^
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а) для всех t ^ [О, Т] и для всякой непрерывной
ограниченной функции cp(x), обращающейся в нуль в
некоторой окрестности начала координат,
lim \ср(х)П„(/, dx) = \^{X)По(/, йТх);
/г->оо
б) ^ля /?d:^x ^^[0, Т] ао(()= lim a„(0;
/г->оо
в) для всех t ^ [О, Т] и z^ /?*"'
lim ll^ \(Ао (t) z, z) — (A„ (0z, z)~ \ (z, xf П„(А dx)\=0.
e -*0 /г->-оо
1ДГ1 =

§35] УСЛОВИЯ сходимости РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 211
Доказательство. Достаточность этих условий
вытекает из того, что они влекут сходимость \пЖе^ '^г^^^
к In М^^'^^'^о^^)), а значит, и сходимость
lnMexp{i(^, |„(П —L(0)} = lnM^''^^'^«^^"^^ —lnM^''^^'^/г^^'))
к
InMexpjU^, |o(0-So(0)}-
Докажем необходимость. Пусть
последовательность делений отрезка [О, t], для которой
lim max (4^+1—А ^) = 0. Положим
Ы, k = %n Vk + l) ~ fe/г Vk )•
Так как Jl 1^^2 = 1Л0и lim sup Р {||i^i | >s} = 0
для каждого е^О (ввиду стохастической непрерывности
%п (0)> ТО на основании замечания § 34 для всякой
ограниченной непрерывной функции, обраидающейся в нуль в
некоторой окрестности начала координат,
N~-\
Ит S W(•^) Р i^M ^dx} = \^(X) П,(t, dx).
Выберем теперь последовательность ЛА„, для которой
lim supP{||;f^»'l>e}-0
п-*оо k
N„-\
п
2 f 'Р W Р l^S' € «'•^l - J Т W n„ (A о?л:)
TVT 1
Так как тогда распределение ^ |^ «^ сходится к распре-
делению |о(0> ^о, опять используя замечание § 34, можем
утверждать, что

212 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 7
так что условие а) имеет место. Возьмем такое в]>0, что
|„ (/) не имеет скачков, равных по абсолютной величине е.
Положим liV{e) = liV_ при \l[Vis)\^s, |{Г(е) = 0 при
\lnV\^^- Тогда 2 InVi^) сходится с вероятностью 1
К %n\t), где ln\t) — процесс, полученный из процесса 1;^ (О
выбрасыванием всех скачков, превосходящих по абсолютной
величине s:
М е'^"' ^п ^^)) = ехр {/ (а, (О, ;^) - ^ (Л, (О ^, z) -
На основании леммы 1 § 16 |i (О имеет все моменты, а
y]lnk\^) имеет равномерно ограниченные моменты на
основании теоремы 4 § 3, так что, используя теорему 5 § 1,
можем утверждать, что
Нш 2 D aiV (е), Z) = \ {Z, xf П„ {t, dx) + (Л„ (О гг, Z).
N-^oo '
\х\
Опять выбирая последовательность 7V^, для которой
N„' 1
И учитывая сходимость распределения ^ §1 ^^ ^ распреде-
лению |о(0 и замечание § 34, получаем необходимость
условия в).
Для доказательства необходимости условия б) заметим,
что из условия в) вытекает, что для всех е ^ О, для
которых По (^, Tg) = 0 (Fg — совокупность х с | л: | = s).
J (е'-(-)-1--^)По(^,«?«).
!«!>«

§36j ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 213
Поэтому, учитывая сходимость In М ехр {1 (z, |„ (t)} к
InMexp {i(2', ^о(О)} и условие в), можем записать
lim йт I i (а„ (О, z) ~~ i (щ (О, z) +
s->0 п-^оо
= 0.
(35.2)
Так как
^ei\z\-}-\z\') \ \u\'n,{t,dn)
И lim \ |и|^П^(^, du) <^оо на основании условия в), то
из (35.2) получаем условие б). Теорема доказана.
§ 36. Одинаково распределенные случайные величины
и однородные процессы
с независимыми приращениями
Пусть |„(0» ^ = 0, 1, ..., — последовательность
однородных процессов с независимыми приращениями, распределения
которых определяются характеристической функцией
Мехр{К2',|„(0)}=ехр{/^[Ка;г, z)—-^{A^z, 2') +
Из теоремы предыдущего параграфа вытекает
Теорема 1. Если распределения процессов |„(0
определяются формулой (36.1), то для сходимости
распределений 1„(0 л: распределениям |о(.0 необходимо и
достаточно, чтобы:
а) lim an==aQy
п-»- со
б) lim lim \(А^2,г)^ \ (г, л:)'n„(rfj£:) — (Ло^, г)[==0;
е-»-0 п-кх> [лг|^е

214 сходимость СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [Гл. 7
в) для всякой непрерывной ограниченной функции ср (л:),
обращающейся в нуль в некоторой окрестности начала
координат,
lim \ ср (л:) П^ {dx) = ^ ср (л:) По {dx).
«->00
Замечание. Для сходимости распределений |^(t) к
распределениям |о(0 Д-^я всех t в случае однородных
процессов достаточно сходимости распределения |^ {t) к
распределению |о(0 при каком-нибудь одном значении t
Рассмотрим теперь процесс |^ {t\ построенный по суммам
одинаково распределенных независимых случайных величин li^l
В этом случае естественно брать равноотстоящие точки t^k\
t^b^ = 7- Т. Положим
in{t)= i; ii"'= s i;
Теорема 2. Для того чтобы распределение \^ {t^ —
— \п^\) сходилось к распределению \^{t^ — lo(^iX ^^^
1о (О — однородный процесс с независимыми
приращениями, характеристическая функция которого задается
формулой (36.1) при п==0, необходимо и достаточно,
чтобы:
а) для всякой непрерывной ограниченной функции ^{Х\
обращающейся в нуль в некоторой окрестности начала
координат,
lim k^\^ {X) Р {if ^dx} = T\^ {X) По {dx)\
п~*со
б) ПтШ \KD(|1"> (е), z)-TiAoZ, z)\ = 0;
s->0 n-^oo
в) lim lim
£-*0 n-*co
= 0.
Для доказательства теоремы нужно только показать, что
1^^' сходится по вероятности к нулю. Для этого достаточно

§36] ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 215
показать, что для всех z ^ /?^^' М ехр {/ (г, ^['^О} -^ ^ при
п->со. Так как
[М ехр {I {Z, ■*"')}]*« = М ехр [i (z, |„ (Г))}
имеет отличный от нуля предел при п->сЮу то
J.
[М ехр {i {Z, %„{T))}f = М ехр {1 (г, |(«))}
будет сходиться к 1 при д-^оо.

ГЛАВА 8
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ
ОТ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
§ 37. Постановка задачи
В предыдущей главе исследовался вопрос о сходимости
распределений процессов с независимыми приращениями к
распределениям стохастически непрерывных процессов. Как
следствие мы получили условия сходимости распределения
суммы независимых случайных величин и нашли вид
предельного распределения. Можно рассматривать задачу о
нахождении предельных распределений для величин, более сложно
выражающихся через последовательность сумм независимых
случайных величин. Пусть Ц"'\ l^'^), ..., |Н — независимые
п
случайные величины, 5^;^ ^ |И-|-...-]-|(j^). Часто приходится
иметь дело с величинами
и др. Заметим, что все эти величины можно выразить через
процесс ln(t):
Действительно,
max \S^k\ = max 11„ {t) |, max S^^ = max |„ (0,
k t k t
S ^nk? (Snk) = S gn is) cp (L (5)) ds,
k=\ 0
если g„(^) =-,(„/%) при ^e [tUi"4,).

§371 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 217
Поэтому естественно изучать предельные распределения
для случайных величин вида f (§„(0)> ^Д^
^(-^(0)—некоторый функционал, определенный на функциях x(t\
заданных на [О, Т] и принимающих значения из R^^\ Конечно,
функционал F(x(t)) должен быть таким, чтобы F(|„(/))
имела смысл как случайная величина. Мы ограничимся лишь
случаем, когда распределения процесса |^ (t) сходятся к
распределениям некоторого стохастически непрерывного
процесса с независимыми приращениями ^о(0- Тогда естественно
ожидать, что предельное распределение F(|^(/)) будет
совпадать с распределением F (|о (0)- Так по крайней мере будет
в том случае, когда предельное распределение не зависит от
распределений отдельных слагаемых. Мы будем рассматривать
в дальнейшем только такой случай. Отметим, что даже для
приведенных выше функционалов сходимость
распределений 1^ (t) к распределению |о (О не влечет сходимости
распределений этих функционалов. Легко построить пример,
когда.|^(/) сходится при каждом t к нулю по вероятности,
но тах|^(/') не сходится к нулю по вероятности (можно
взять величины ^^^\ с вероятностью I принимающие
значения x^k\такие, что функциих^(0= 2j -^/Г^ сходятся к нулю
неравномерно). Можно построить пример функционала F(|(/)),
для которого распределение F(|^(/)) не будет сходиться к
распределению F(|o(0) Д-^^^ любой последовательности
рассматриваемого вида 1^ (/), сходящейся к данному процессу |о(0-
Если |о(0 с вероятностью 1 не является ступенчатой
функцией, то таким функционалом будет функционал, равный
нулю на ступенчатых функциях и единице на остальных.
Поэтому условия, при которых распределение F(|^(^)) будет
сходиться к распределению F(|o(0)> распадаются на две
группы: условия на F и условия на процессы |„(0. Так
как 1^(0 в определенном смысле сходятся к процессу |о(0>
то естественно требовать от F какой-то непрерывности.
В следующем параграфе будет рассмотрена некоторая
сходимость в пространстве функций без разрывов второго рода,
являющаяся обобщением равномерной сходимости в
пространстве непрерывных функций. Все интересные с точки
зрения теории вероятностей функционалы будут
непрерывны (или с вероятностью 1 непрерывны) относительно этой

218 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ (ГЛ. 8
СХОДИМОСТИ. Кроме того, такие функционалы будут обладать
свойством измеримости в том смысле, что F(^(t)) будет
случайной величиной (это не всегда верно в случае
функционалов, непрерывных относительно равномерной
сходимости). Мы будем рассматривать непрерывные (или с
вероятностью 1 непрерывные, смысл последнего выяснится позже)
функционалы. Ограничившись классом функционалов, будем
находить условия, обеспечивающие выполнение предельной
теоремы для всех функционалов из рассматриваемого класса.
Окажется, что эти условия будут весьма простыми: они
сведутся к требованию в некотором смысле равномерной
стохастической непрерывности последовательности |^ (t).
Аналогичная задача будет рассмотрена и для того случая, когда
1^ (t) — последовательность стохастически непрерывных
процессов с независимыми приращениями.
§ 38. Об одном виде сходимости в пространстве функций
без разрывов второго рода
Обозначим через D[^L пространство функций X{t),
определенных при t^[0, Т], принимающих значения из R^^\ не
имеющих разрывов второго рода, непрерывных справа и
непрерывных в точке t= Т. Свяжем с каждой функцией x{t)
из D^^^^^j.^ функцию L^x{t)\
L.X{t)= 2 (л:(5)-л:(5-0)).
\X{S)-X{S~^)\^B
Обозначим через '^^[x{t)] число скачков функции L^x(t).
Определение 1. Мы будем говорить, что
последовательность х^ (t) ^сходится к х(t), если для всех г^О,
для которых x(t) не имеет разрывов, по абсолютной
величине равных е, v^ [л:„ (0]-> ^'е [л: (0], ^е-^/г (О-^ ^s-^ (О
почти для всех t и
lim iTm m^\x^{t)~L,Xn{t) — x(t)-{-L^X{t)\=:^. (38.1)
Тот факт, что Xn(t) /-сходится к X(t), будет обозначаться
так:
^п (О -> X (О, X (О = y-lim Хп (0.

§38] ОБ ОДНОМ ВИДЕ СХОДИМОСТИ 219
Иногда удобнее пользоваться другим определением
/-сходимости.
Определение 2. Последовательность х^,(О ^^-схо-
дится к X (t), если существует последовательность таких
монотонных непрерывных функций ^„(0^ отображающих
отрезок [О, Т\ на самого себя, для которых
Ит8ир(|л:„(0-л:(Х„(0)1 + и-^Л0|) = 0.
п~*со t
Докажем эквивалентность этих определений. Пусть для
последовательности функций х^ (t) выполнены условия
определения 1. Возьмем такое е, что \x(t) — x{t — {))\z^t ни
при одном t. Так как L^X^ (t) -> L^X (t) и функции L^x^ (t)
и L^x{t) ступенчатые, имеющие для достаточно больших п
одинаковое число скачков, то, выбирая для таких п Х^"^) (t) так,
чтобы точки скачков L^x^it) и L^xQy^{t)) совпали и № (/)
были кусочно-линейными функциями, для которых Х(^)(0) = 0,
ХН (Т)= Ту получим
lim sup I L^x (ХН (0) - L,Xn (О I = 0. (38.2)
n-*co t
Так как точки скачков L^X^ (t) сходятся к точкам
скачков L^x{t), то
lim sup \\^^) (t)-~t\ = 0.
п-*со t
Заметим, далее, что
Thi; sup I л: (О - L,x (t)—x (ii:^ (0)+^e^ Q^n^ (0) i <
/г-» 00 t
< lim sup I X (0 — L^x (0 — X (П + Lx (Г) I < e,
(38.3)
так как в противном случае функция x{t) — L^x{t) имела
бы в некоторой точке скачок, по абсолютной величине
превосходящий е. Выберем последовательность е^ —>► О так, чтобы
lim sup I L л: {X^ (t)) - L {х„ (t)) \ == 0,
ra-^co t " "
lim sup\ky{t) — i[^0
n-^co t

220 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦРЮНАЛОВ 1ГЛ. 8
И
lim sup \Хп (О — 4„^п (О -X{t) + L,^X (01 = 0
п-^со t
(последнее возможно ввиду (38.1)). Тогда
Иш sup {\Xn{t)~-X {\У (0)1 + I ^ - Х>^ (О i) <
/г-+оо t
^ lInT sup I L X (X>' (0) - L X^ (t) I 4- llm sup |/ -
- ly (t) I + iim sup \X(t)- Lx (t) - X (X>* (0) +
+ K,X (X>' (0) I + lim sup IX, (0 - L X^ it) -
-X(t)-^L,^X(t)\.
Таким образом, если взять \^(t) = \fi"' {t), то условия
определения 2 будут выполнены.
Пусть теперь выполняются условия определения 2.
Обозначим через [А;г(0 функцию, обратную к Х^(0* [J^/г (^/г (0) = ^•
Так как Хп{]^п\Н) равномерно сходится к X{t)y то для
всякого S ^ О, для которого \x{t) — X{t — 0) I 7^ s ни при
одном t, L^Xn{]^n{^)) будет также равномерно сходиться к
Agjc (О, значит, для всех достаточно больших п v^ [х^^ ([^^ (0)]=
= ^а[-^ЛО] = ^а[^(0]- Так как
sup I L,Xn (О — L,X (К (0) I = sup I L^x^ (fx^(O) — L^X it)\->0
t t
и L^X{\n{t))-^ L^x{t) почти для всех t (ведь \^{t)-^t), то
L^Xn{t)-> L^X{t) почти при всех t. Далее, из равномерной
сходимости Хп{]^п{^)) ^ X{t) и L^Xn{]^n{^)) ^ L^X{t)
вытекает равномерная сходимость Х^ {^п (0) ^-е-^л ([^/г (0) ^
X (О — L^X (t). Поэтому
Шп sup I л: (Х„ (0) ~ L,x (In (0) - Xr, (t) + L,x^ (t)\ = 0
n-^co t
и
iTm sup \x{t)~- L^X it) — Xr, it) + L,X^ (01^
n-^QO t
^ lim sup I JC„ (0 — Kx^ (0 — л: (X„ (0) + L,x (X„ (0) | +
n-^QO t
~\ lim sup 1л: (0 - L,x (t) - X (X„ (0) + L,x (k„ (t)) \ ^ s
n-*oo t

§ 39] УСЛОВИЯ /-СХОДИМОСТИ 221
на основании (38.1). Значит, выполняются условия
определения 1. Эквивалентность определений 1 и 2 доказана.
Рассмотрим функционал F{x(t)), определенный на
функциях x{t) из Z){o^V].
Определение 3. Функционал F(x(t)) называется
непрерывным на функции JCo(OGAo^ Л' ^^-^^^ ^-^^ всякой
последовательности X^it), ]'СХодящейся к JCo(0>
F{x,{t)) = \\mF{xAt)\
п-^со
функционал непрерывен на множестве AdD^\], если он
непрерывен на всех x(t) из А.
Теорема. Пусть | (t)—случайный процесс, определенный
на [О, Т], с вероятностью 1 обладающий свойствами: \ (t)
непрерывен в точках О и Т, не имеет разрывов второго
рода и непрерывен справа. Если F(x{t)) — непрерывный на
Ao^V] функционал, то F(|(^)) будет случайной величиной.
(kT\
Доказательство. Пусть S^ [х{t)] =Х — при
А r</<A±i т, S,[x{T)] = x[^TJ. Тогда х {t) =
= J-limS„[x(t)]. Поэтому F(|(0) = limF(5„[|(0]) с веро-
ятностью 1. Заметим, что F{S^['i^{t)]) является непрерывной
функцией от I (0), I (1 г), .... ё (^^^ г). Значит, F (5„[|(0])
будет случайной величиной. Поэтому и F(|(/)), как предел
случайных величин, будет случайной величиной.
Замечание. Если F(х(t)) == lim F„(х(t)) для всех х(t)
п~^со
и Fn(x(t)) — непрерывные функционалы, то F(|(/)), если
I (t) удовлетворяет условиям теоремы, будет также случайной
величиной. То же самое можно сказать о любых повторных
пределах непрерывных функционалов.
§ 39. Необходимые и достаточные условия У-сходимости
Пусть JC(OGA^o!V]. Положим для с^О
Mx{t)]= sup [\x{h)~x(0)\-}-\x(T-^h)-x(T)\] +
-Н sup [mm{\x{t)-xiti)\;\x{t)-x(t,)\\].
(39.1)

222 ' ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 8
Теорема 1. Если X (0G Ao'^V], fno lim А^ [х (t)] = 0.
с->0
Если lim ^^[x(t)] = 0, то x{t) непрерывна в точках О и Т,
с ->0
не имеет разрывов второго рода и д:(^-|~ ^)GA^o^^т
Дoкaзaтeльcтвo. Пусть X{t)^D[Q^\]. Из
непрерывности x{t) в точках О и Г вытекает
lim sup [\x{h)—x{0)\-\-\x{T~-h) — x{T)\] = 0.
Очевидно, что
sup [min {\x{t)-~x {t{) I, I л: (0 —- ^ (^2)!}]^
Q^t—c<ti<t<:t2<t-{-c^T
< A, [L,x (01 + sup I д: (0 - L,x {f) - X {П + L,x (O |.
\t' — t"\^c
Как вытекает из (38.3),
lim sup I X (0 — L^X (f)~-x (Г) -\- L^x (П ! <s.
c->0 \t'—t"\<c
Если с меньше расстояния между точками скачков L^x{t)
и между точками О и Г, то А^ (L^x (/)) = 0. Поэтому
lim А^ {х (0) ^ £, где £ ^ О сколь угодно мало. Значит,
lim A,(jc(0) = 0.
Пусть теперь lim А^{х(t)) = 0. Очевидна непрерыв-
ность x(t) в точках О и 7\ Если бы x(i) не имела предела
слева (справа) в точке t^, то можно было бы указать такое
6^0 и монотонно возрастающую (убывающую)
последовательность t^~>tQ, что \x(tj — x(t^^i)\^e и \X(t^^^) —
— JC(^J|^e. Тогда ^c(x{t))^e для всех с. Если функция
непрерывна в точках О и Г и не имеет разрывов второго
рода, то x(t-\-0)^Dio^\]. Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства второй половины
теоремы вытекает следующее утверждение: пусть x{t)
определена на множестве /V, всюду плотном на [О, Т], и величина
A^(jc(/)) определена по формуле (39.1), если /г, Т — h, t^, t,
t^^N. Тогда из условия lim А^ [д: (/)]=:= О вытекает существо-
вание функции X(t), не имеющей разрывов второго рода,
непрерывной в точках О и Г и совпадающей с X {^) на
множестве N.

§ 39] УСЛОВИЯ У-СХОДИМОСТИ 223
/
Теорема 2. Для того чтобы х^(О-^X(t),
необходимо и достаточно, чтобы X^it) сходилась к x(t) для
некоторого всюду плотного множества значений t и
выполнялось условие
lim iTm AJjc^(0] = 0. (39.2)
с->0 л->оо
Доказательство. Необходимость. Заметим сначала,
что
\xAt)-x{t)\^\xAt)~x{K{m + \x{K{t))~x{t)\,
где Х„(0 удовлетворяют условиям определения 2 § 38,
поэтому Хп (О ~^ -^ (О Д-^я ж^у. точек непрерывности х {t).
Положим, далее, ^^ =^ ^^^Р I ^/г (О — ^1- Тогда
t
I л^ЛО - ^ЛО) I ^ 2 sup I л: (XЛО) ~ а:ЛО I+
t
+\x{K{t))-xm.
Значит,
sup \ХЛЩ — Х„{Щ\^
^2sup|A:(X„(0) —х„(ОЦ- sup \x{h) — xiO)\.
Аналогично
sup \x„{r-h)-xAT)\^'^sup\x{K{t))~Xn{t)\^
+ sup \x{T — h)~x{T)\,
sup [min {I Xn (t) — Xn {(') I;
0=S/ —c<r<(</"</ + csr
1X, (0 - л:„ (Г) I}] < 2 sup I л: (X„ (0) - л:„ (01 +
t
-[- sup [min { \x (t) — X (0 I;
|л:(0-л:(П1}].
Поэтому
Д, [X, (0] < 6 sup I л: (X„ (0) - x„ (t) I + Д,^г„ [X (0].
Из этого соотношения вытекает (39.1), так как по определе-

224 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ \1'Я. Н
нию 2 § 38 sup|jc(X„(/)) —JC(0|->0, S„->0, так что
t
остается воспользоваться теоремой 1.
Достаточность. Пусть в ^ О таково, что
\X(t)--x{t — 0)\:^e
для всех t. Покажем, что тогда L^Xn (О -^ ^s-^ (О ^ "^е f-^« (0] -^
-^Vg[A:(0]. Пусть h<Ch<^' .-<^^k — точки, для которых
\x{ti — 0) — X(ti)\^e, k = v^[x(t)]. Из условия теоремы
вытекает, что можно указать последовательности t^^<^Sn\
сходящиеся к t^, такие, что Хп (4'^) -> X (t^ — 0), л:„ (sli^)->X(ti).
Так как при s^[t^n\ Sn^]
min {\Хп (s) — Хп (^^'01; I Хп (s) — Xn (^'OI }< A М) ad (Xn (0),
n n
TO для достаточно больших n в интервале (г'^'), 5^')) найдется
точка т^'), для которой
I Хп {S) - X, (4''') I < Д ,(/) _ ,(,•) (Л^„ (0) при S е (4''', 4''),
п п
1 л;« (5) - Х„ (4") I ^А ,(.•) _ /.-) [Jf„ (0] при S G (4", si").
/г '/г
Поэтому л:„ (т^;^) — Хп i'^n] — 0)->х (ti) — X {ti — 0) при
п -> схэ, так как 5^'^ — t^n -> 0. Следовательно, v^ [Хп (0] ^
^Vg[A:(0] для достаточно больших пик каждой точке
разрыва X (t) сходится некоторая точка разрыва Хп (t),
причем и величины скачков в этих точках сходятся к величинам
скачков x(t) в соответствующих точках. Если мы покажем,
что для всех достаточно больших п ^АХп(Щ = ^в[Х(^)]у то
тем самым установим сходимость L^Xnit)] к L^xit)] для
всех точек непрерывности L^xit)],
Заметим, что если \Xn(Sn)—-Xn(Sn — 0)\^e и \Хп(^п) —
— Хп(^п — ^) I^^> то lim \t^ — Snl'^^y так как в против-
ном случае при s^ < t^ либо | х^ (Sn) — х^ (tn) I > у » -^ибо
I Хп (s) — Хп (tn — ^) I ^ 2 » ^^^ "^^^ можно будет найти три
точки tn<^t'n<^t'ny для которых

§ 391 УСЛОВИЯ /СХОДИМОСТИ 225
а это противоречит (39.2). Поэтому при v Jjc^ (^)] ^ v^ [л: (^)]
для некоторой подпоследовательности п можно будет найти
сколь угодно малый интервал [^о — ^ь ^о Ч" h^] и
подпоследовательность п так, чтобы на [^о—^ь ^о-Ь^з] У X(t) не
было разрывов, превосходящих s, а л:^(^) имела один скачок,
превосходящий е, в точке t^, t^ -^ t^. Можно сказать, что h^
и h^ выбраны так, что Хп {U — hi)->x (t^ — hi), х^ (^о Ч~ ^2) -^
—>X{tQ-]~h.2), ^ также, что hi и h^ выбраны настолько
малыми, что \x{tQ — /^i) —л:(^о + ^2)'| <С^ и
2\im^,,J^^^(xAt))-i-\X{to-hl)-X(t,-\-hl)\<:e (39.3)
/г->оо
(это возможно, так как предел левой части (39.3) при
^1 ~f- /^2 -> О равен I л: (^0 — ^i) — л: (^0 + ^h) I )• Д'^я достаточно
больших п
[Хп (t, ~ Л.) - Х, it„ - 0) I ^ min {1 л:„ (t-h^) - х„ (tn- 0) I,
1 Хп (tn — 0) — JC„ (У I } ^ Aft, + ft, {Х„ (0),
i л:„ (^0 + h) — Хп (tn) I < Дл,+ла (л;„ (0)-
Поэтому
1 JC (^0 — /21) — JC (^0 + hd I = lim I X„ (to — /г,) — X„ {^ + /г2)|2г
Я ->00
Ss iTm I JC„ (Q — Xnitn~0)\~2 \hn An, + h, (Xn (0) ^ s —
~2]hn^h, + h,{Xnit)).
n -* ОЭ
Это же противоречит (39.3). Значит, vДл:^ (^)) = vДл: (ф и
L^Xn(t) сходится к L^x(t) во всех точках непрерывности
L^X (О- Поэтому и Хп (t) — L^Xn (О будет сходиться к x{t) —
— L^X (О на некотором всюду плотном множестве. Легко
убедиться, что
K[xit)]^\[X{t)-L,X(t)].
Поэтому
lim iTm K[Xn{t) — L,Xn{t)]^0.
с—>0 л-*оо
Если функция не имеет скачков, превосходящих в, и
Mxit)\<^, то при |f_r|<c
\х{П-х(П\^2в-^ААх{т.
i/gS А. в. Скороход

226 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 8
Действительно, пусть f <^f^ и 5 — такая точка из (t\ f),
что IX (f) ~ л: (5 ~ 0) I < s, I л: (О ■— X (s) \ ^ s. Тогда
в ^ I л: (О — Л^ (5) I ^ 2s,
поэтому \x(s) — л:(Г) | ^ А^ [л: (t)], так что
\x(f) — X(r)\^\x(f)~x(s)\ + \x(s) — x(r)\^2e-\-
+ АЛл:(0].
Разобьем [О, Т] на отрезки длины меньшей, чем с, где с
таково, что
п-*оо
Выберем в каждом из отрезков по такой точке f^, что
Хп (У — /-г^/г (h) -> X (У — L^X (t,). Тогда
sup I Хп it) — L,Xn it) — л: (0 + КХ (t) I <
^ sup sup I X^ it) — L^Xn it) ~x{t)-\- L^x (t) I <
k \tj^-t\^C
< sup \X^ (У — L,X^ (tk) — X (t,) + £,Х (У I +
+ 48 + АЛл:Л0] + АЛл:(01.
Поэтому йт sup | Хп (О — ^е-^/г (О ~ ^ (О -\- к'^ (О I < 5s. Из
/г->оо /
последнего неравенства вытекает (38.1). Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть для последовательности Хп (О
функций из D\^\. выполнены условия:
а) существует постоянная И, для которой \Xn{t)\^H
при t^[0,J], /7=1, 2,...;
б) lim iTm АДл:„(0) = 0.
с -> о /г -> оо
Гогдд из последовательности Хп (О можно выбрать
подпоследовательность Xm^if)^ J-сходящуюся к некоторой
функции X (О G ^[o"V]-
Доказательство. Пусть TV = {^^^} — некоторое
счетное множество, всюду плотное на [О, Т]. Можно выбрать
подпоследовательность Xnj^ (О так, чтобы Хп^ ih) имела предел
при t-^N. Если x(t) — предельная функция, определенная
на Л^, то, так как
АЛД^(0)^"Й^АЛл:(0),

§ 39] УСЛОВИЯ /-СХОДИМОСТИ 227
функцию x(t) можно в силу замечания к теореме 1
продолжить до функции x(t), определенной на [О, 7] и не имеющей
разрывов второго рода. Тогда последовательность функций
Xfif^{t) будет сходиться к x{t) по теореме 2.
Следствие 2. Пусть s,^ -> О г^ S„ -> 0. Обозначим через
К {И; si, §1, S2> ^2>...) совокупность функций X{t) из DJ^U,
для которых \x{t)\^Hи Ag^{х(t))^s„. Пусть F(х{t)j—
непрерывный функционал. Обозначим
?h {X (О, у (0) = sup inf I X (t) —у (t) |.
h
Тогда для всякого s^O существует такое S^O, что,
как только р^ {х(t), у (t)) <^Ь и X(t),
y{t)eK{H\ si, Ь,, г„ §2,...),
то
\FiXit))-Fiyif))\<:^.
Доказательство. Предположим, что для некоторого
8^0 можно указать последовательность /г„-> О и
последовательности Xni^) и Уп(() из К(П] si, §1, S2> ^2>...) такие,
что
. iF(jr„(0)-fCy„(0)l=3=s, (39.4)
lim Рй„(л;„(0, 3'ЛО) = 0. (39.5)
Для последовательностей л:„ (t) и д;,^ (z^) выполняются условия
следствия 1. Значит, можно выбрать подпоследовательность/z^^,,
для которой Хп^{^)~Хо((), y^^(t)^yQ(t). Из (39.5)
вытекает, что Хо (t) и yQ (t) совпадают на некотором всюду
плотном множестве, так что л:о(0=Д^о(0- Поэтому
lim F(Xn,it))==F(Xo(t)) = F(yo{t))= lim F(y,^it)),
/г, --» oo п.-* со
последнее соотношение противоречит (39.4). Таким образом,
отвергая утверждение, сформулированное в следствии, мы
приходим к противоречию.
Замечание. Множество /С(Я; вь Ь^, г^, Ь.^,...) обладает
свойством компактности относительно J-сходимости. Можно
показать, что всякое компактное относительно J-сходимости
множество принадлежит некоторому К (FT, е^, 8^, е.^, §2> •. •)•
1 ,8*

228 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ 1ГЛ. 8
§ 40. Предельные теоремы для распределений
/непрерывных функционалов
Установим предварительно некоторые вспомогательные
предложения.
Лемма I. Пусть |i, |2>..., \п — независимые
случайные величины и Sf^ = || -|-12 -]-..."!- \k- Если для некото-
/о.'ог>0 P{15,~S,| >|-}<а<1 при ^=1, 2,...
...,//— 1,//го Р{ sup min {| 5у--5у^|; | *^^ — *^/1 }> 4 =^
Доказательство. Обозначим через ?{^ событие,
заключающееся в том, что I 5| I ^-^ ,..., I S^^_x I ^ -.V , 1 S;^ 1 ^
^ -у ; sup I S^ — ^k\^ 9 • ^ огда событие
{ sup min{|5,-S,|; 15,.-5,|}>s}
влечет одно из событий Ш}^. Поэтому
Р{ sup niin[lS,-5,.USy-SJ]>s}^|]P{8(,} =
XP{ sup iS„-5,l>|}<pfsuplS„l>|}x
XP{sup|S,|>4-}.
Для доказательства остается использовать теорему"^2 § 3.
Лемма 2. Пусть % (t) — процесс с независимыми
приращениями, определенный на [О, Т] и с вероятностью 1
принадлежащий Di^^y Если при некотором е^О
Р{|1(0 —ЧО|>]^}<а<1, как только |Г-~ГК4С,
то
Р {д, (I (0) > S} ^ ^[ 2 Р {11 ih) -1 it,__,) I > зУ4-1
k^\

§ 40} РАСПРЕДЕЛЕНИЕ /НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 229
каковы бы ни были О = /q <^ /i <^... <^ /"^ = 1\
удовлетворяющие соотношениям 2C<^\tj^ — /^_i | ^^ 4С.
Доказательство. Пусть О = s^^"» <^ 5^") <^... <^ ,9^'^)= Т
и lirn max (5Н — si"^^) = 0. Тогда
п-*оо i
Аса(0) =
= lim [ sup 11(4"')-I(0)1+ sup ||(7-)-|(s(.«))H-
+ sup min[||(s(«)) —|(s(«))|;
||(5)«))-.?(4«))|]].
Будем считать, что точки t^^ входят в число точек .sH. Из
предыдущего соотношения получаем
Р{Д^ (I (0) > s} < lim Р ( sup 11 {si-)) -I (0) I >
л ^ CO \ , ^(n) I ^ (,
> U + iim P { sup II(4"^) -KD I>|} +
r-2
+ lim 2p{ sup min[||(sW) —
-l(4"')l; ll(f>)-l(4"*)l]>|}-
Применяя лемму 1 и теорему 2 § 3, можем записать
Р {Д ,(| (0) > S} :^ -j^^ + ^^ 2 Р{| '^ (^*+'^) - ^ (^*) I >
Из последнего соотношения и вытекает доказательство леммы.
Теорема 1. Пусть |^^ (t) — последовательность
стохастически непрерывных процессов с независимыми при-
ращетшми, с вероятностью 1 принадлежащих D^^\y Если
для любого набора точек t^<^t^<^,. .<^/'^, из [О, Т]
совместное распределение величин |;j(^i),..., \n{^k) сходится
8 А. в. Скороход

230 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. S
К совместному распределению величин |(^i),..., i{^k)' ^^^
\ (О — также стохастически непрерывный процесс с
независимыми приращениями, и для всякого е ^ О
lim li^ sup Р{|£ЛО-1ЛП1>в} = 0, (40.1)
то для всякого непрерывного функционала F (x(t))
распределение F(|„(0) будет сходиться к распределению F \X{t)).
Доказательство. Так как для любой
последовательности делений отрезка [О, Т]\ О = /(^") </(")<;.. .<;^(^«)г=г Г,
для которой lim max {t^^") — ^Н^^) = 0, выполняется равен-
п -* со k
ство lim sup Р {||/z (d"^)-~ l„(4''~i)|>£} =0 для каждого
п ->схэ k
п
в>0 на основании (40.1), а ^ (L (4'^) - L(^i'-i))
ограда =i
ничены по вероятности, то, используя замечание § 33 и
условие (33.4), убеждаемся, что существует не зависящая от
выбора точек t^^"» постоянная L(e), для которой
sup sup HPUL (^^"')-1Л^1"-^1)1>4<
"■ о=/(«'<4'"<...<4"' = г''=|
Обозначим
а (г, C) = sup sup Р {i £„ (0~1«(П 1>4-
На основании леммы 2
2се 1 АС
P{A,(|„(0)>^}-S,- '-- TT2-(MS9)+1
Так как а(е, С)-> О при С->0, то можно выбрать такие
^к и Q, монотонно стремящиеся к нулю, чтобы
т+^]<1
Обозначим через Я*** множество тех jc(0 из £><™> для

§ 40] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ /-НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 231
которых Ас [х (t)] ^ Sf^ при т ^ k. Тогда
p{i.(OG/^'*'}< 2
со
1
2т 2^-1 •
Пусть Qilx{t)] ДЛЯ всякой функции jc(О обозначает
функцию, определенную соотношением Gi[x(t)] = x(Tj-{-0) для
^G /» /~~'^)» y = Oj...j ^—Ь Легко видеть, что
^^(Gi [X (t)]) ^ ^^(x (0). Поэтому
На основании следствия 2 § 39 для всякого k и е^О
г
можно указать такое ^^0, что при — <^S и x{t)^H^^^^
\Fixit))-F(G,[xm\<::e
т
(так как р/, (JC(0, О;[л:(0]) = О, если -j <^Н). Поэтому
р {| F а, (0) - F (G, (I, (0)) \>щ^р{1, (t) е н^'^} ^ -^.
(40.2)
Заметим, что F(Qi(ini^))) является непрерывной функцией от
|„ I -у- г], у = О,..., / — 1. Так как совместное распределение
величин ^п[ у ^ сходится к совместному распределению
величин My г), то распределение F{Gi (с^ (0)) будет сходиться
к распределению F{Gi(i{t))). Р1з (40.2) вытекает, что для
всякого а
Р {^ (Q (1« (0))< « - 8} --2^ < Р {f (1я (ОХ «} <
< Р {FiOi (In т < « -1- 8} + ^. (40.3)
Переходя к пределу при п-^оо и учитывая сходимость
распределения f(G^(|^(^))) к распределению F{Gi {%{())),
В*

232 • ПРЕДЕЛЬНЫЕ TEOPEiMbI ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 8
ИЗ (40.3) получаем
Р {F (О, (I (0)) < а - 28} - ^ ^ lim Р {F (|„ (ОХ а} <
д->оо
^ ihn Р {F(|„(ОХ =^1 ^Р {/^(Q(I(0))< =4-28} + ^.
(40.4)
Но при /->оо G;(&(0)~*|(0 с вероятностью 1. Переходя
в (40.4) к пределу при /->оо, затем при ^-^со, а затем
при £ -> О, получим доказательство теоремы.
Теорема 2. Пусть |«(0 — последовательность
процессов вида \^{t)= 2 ^^^, г^^ 1^; — независимые при
каждом п случайные величины, для которых для всех г^О
lim sup P{||,,|>s} = 0, (40.5)
/г->оо i
« О = ^ло < ^/г! < . •. < ^пд = ^> Пт max {t^^ ,.^i ■— ^„,.) = 0.
Пусть распределение \n_(t^ — In(^i) ^/^^ п-^оз сходится
к распределению стохастически непрерывного процесса с
независимыми приращениями \(t^—\{h) '^ ^ля всякого
lim lim sup Р {11, {П ~ l^ (0 I > e } = 0. (40.6)
C-*0 «->cDO \t' — t"\^C
Тогда распределение F(l^(t)) будет сходиться к
распределению F(^{t)) для всякого J-непрерывного функционала F,
Доказательство этого утверждения проводится аналогично
доказательству теоремы 1. Используя (40.6) и замечание § 33,
устанавливаем существование постоянной L(e), для которой
2 р т„ (^о - 1л^-.) I > и =^ i (ю
для всех п и разбиений 0 = /о<СЛ <С • •• <С^й='^- Если
а, (С, е) = sup Р { 11, {П - I, (О I > 8 },
то
^'^-<"<'»>-'"[,!i:^)j(^te)+')-

§ 401 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ /-НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 233
Нам достаточно показать, что из любой последовательности
целых чисел п\ п^—^оо, можно выбрать
подпоследовательность riky для которой распределение Fi^nj^iO) сходилось бы
к распределению F(|(^)). Пусть в^—>0. Выберем
последовательности п^—^оо и С^ — О таким образом, чтобы при п^п^п
г V е \-р МЙ +0<2»- (40.7)
И при п'^п^ m2ix{t^. — /„^^„i)<^C;;j_i-Тогда, используя обо-
i
значения доказательства теоремы, можем записать
5= k
р {§,^^ (/) G и^''} ^ S Р {Ас, Ип^ (0) > ^} ^
о, ^</;г,
п
л 25 "^ "2^ ' ^ ^^''
Г
так как ^c (!« (0) = ^ "ри s'^ т. Значит, всегда
Дальнейшее доказательство повторяет доказательство
теоремы 1.
Эту теорему мы используем для доказательства
следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть ^^ь 1пъ • • •, inn — независимые
при каждом п случайные величины, О <^ ^,^1 <^ ^„2 <С • • • <С
<^ t^^ = Г, |„ (t) = 2 1^^.. Если выполняются условия:
а) для каждого е^О lim sup Р {||^^ j ^ г } = О,
п -у со i
б) lim max I/„,. — ^„^ ,._11 = О,
п->оо i
в) распределения процессов |„(0 сходятся к
распределениям стохастически непрерывного процесса с
независимыми приращениями |(^),

234 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. S
г) при некотором в^О
lim lim sup Jl P {ll/n'1>И = 0,
lim Hni sup I 2 ^2«/(-)| ^=^>
lim Tim sup ^ D§nt(^ =0,
для всякого J-непрерывного срункционала F (X (/))
распределение F(l,n(t)) будет сходиться к распределению F{t^{t)).
Для доказательства теоремы, если принять во внимание
теорему 2, достаточно показать, что услов[1е г) влечет (40.6).
Но при ^<^i" — f <^h для достаточно больших п имеем
Р{!1„(П-1„(01>4-Р{| S %А>-^]^
ni
-S S P{||„,l>s}+P{| 2 %ntm>^]^
ni ni
=^sup x; p{|i,,i>s} +
sup 2 D|,ne)+ sup ( 2 ^'Unf(B))'
Из последнего соотношения вытекает (40.6), а значит, и
доказательство теоремы.
Теорема 4. Пусть последовательность случайных
процессов удовлетворяет условиям теоремы 1 или
теоремы 3, а функционал F(x(t)) таков, что:
а) F(|;i(0) является случайной величиной при любом п^
б) существуют две последовательности непрерывных
функционалов Ff(x(t)) и Ff^ (х (t)), удовлетворяющих
соотношениям Ff {x(t))^F(x(t))^Ff'^ (x(t)) для всех
натуральных I и x(t) из Z)[^V), причем Ff{l^{t)) и Ff* (|(0)
сходятся по вероятности к F (| (t)) при / ■—> сю. Тогда
распределение F{^p(t)) сходится к распределению f (|(0)-

§ 411 СХОДИМОСТЬ РЛСПРЕДЕЛЕНИП ФУНКЦИОНАЛОВ 235
Доказательство. Из теорехм I и 3 вытекает, что для
всех S>0
Р{РГа(0)<^-Ь}^ пт_р{РГ(L(ОХС'.},
п ~* со
так что, используя неравенство
Р { РГ (In(0)<o.}^P{Fil„(/))<а } ^ Р { Ft (L(0)<У-],
можем записать
Р { РГ а (0)<« - 8 } =sSJIim_ Р { F(|„ (/))<а } <
Я -> ОО
ri -> оо
Так как /^f (I (0) ^^ /^f*(?^(0) сходятся к /^(К/")) по
вероятности, то, переходя к пределу при / —* со, получаем
доказательство теоремы.
§ 41. Сходимость распределений функционалов
при сходимости к непрерывным процессам
В том случае, когда предельный процесс является с
вероятностью 1 непрерывным, можно расширить класс
функционалов, для которых выполняются предельные теоремы
предыдущего параграфа.
1' е о р е м а 1. Если процессы с„ (/) удовлетворяют
условиям теоремы 1 или теоремы 3 § 40, процесс | (t) с
вероятностью 1 непрерывен на [О, 7], а функционал F{x(t))
определен на D[o^\] и удовлетворяет условиям:
а) F(i,^(t)) является случайной величиной при /2=1,
2, ...,
б) для всякой непрерывной функции x(t) и JC;-, (/) ^
^d[o^t] lim ^ (л:^ (0) = ^ (-^ (0)> ^^-^^ только sup \x,,{t) —
п —* со t
— JcCOl —о,
то распределение F (|„ (t)) сходится к распределению F (| {t)).
Доказательство. Заметим, что для всякого
непрерывного с вероятностью 1 процесса \{t) F{^{t)) является
случайной величиной, так как Р { F (| (0) = Ит F {Sf, [% (t)])} = 1,

236 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 8
если S,[x{t)\ = x[{T)-\-\^i-j)x(^-±^T) при
k ^^ ^ /г '
а Р{Sf^ [| {t)\) — непрерывная функция от | (j- т\, j==0,.,,, k.
Свяжем с каждой функцией х (t) из D[^V] функцию/r[jc(^)J,
совпадающую с X(t), если x(i) непрерывна, и равную
в остальных случаях
fClXif)]=^y~^ \ x{s)e" '^Р ds,
' - (X)
где p = max\x(t)~x(t-~0)\, x{s) = x(0) при s<^0,
X(s) = X{T) при .v>7; a:(v) = X(6^) при 5^ [О, 7]. Если
л:ЛО —^(0, то
snp\K[xAt)]~-K[x{t)]\~^0,
t
Поэтому функционал F"^ {х {t)) = F {К [Х {t)\) будет
./-непрерывным. Следовательно, распределение F* (1^^ {t)) будет
сходиться к распределению F* (К/')). Так как F* (1(0) =/^(1(0),
то для доказательства теоремы достаточно показать, что
/^*(1,г(0)--^(1я(0) —О по вероятности. Пусть Я^^^
обозначает то же множество функций, что и в § 40. Покажем,
что для всякого k и 8^0 можно найти такое р^О, что
как только x(t)^H^^'\ snp\x{t) — X(t — 0)\<^p, то
\F^(X(t))~F(x(t))\<:b, (41.1)
В противном случае мы можем указать последовательность
Хп(^) из Н^^^ (на основании следствия 1 § 39 эту последо-
эательность можно считать 7-сходяш.ейся), У-сходящуюся
к некоторому пределу, причем sup | х^ (О — -^ni^ — 0) | —^ О,
t
а |F* (Хп (0) — Р (-^п (0) I > ^- Тогда предельная функция Хо (t)
для этой последовательности будет непрерывна и, значит,
Хп (О будет сходиться равномерно к Хо (t). Значит, и
F(JC„(0) и F'^XniO) сходятся к F{Xo(t)) ввиду условия б)
и непрерывности функционала F'^{x(t)), а это противоре-
ч|1т [шрвоначальному предноложсшпо. При доказательству

§ 41] сходимость РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛОВ 237
теоремы 1 и теоремы 2 § 40 мы видели, что для достаточно
больших п
Используя (41.1) и (41.2), получаем
Р{|^*(1«(0)-/^(1Л0)1>М<2^1 +
+ P{sup|L(0-L(^-0)|2sp}=^.-l-P{v„(p)>0},
где v^ (р) — число скачков |„ (/), превосходяш,их по
абсолютной величине р. Из теорем §§ 34 и 35, замечая, что в нашем
случае для р^О ^ П(7', dx) = 0, убеждаемся, что
lim Р { v„(p)^0 } = 0. Поэтому для всех S^O и /е
lim P{lF*(|„(0)-/^(i«(0)l>M
9fe ~l •
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть |^i, %^ ..., '|„^ — независимые
случайные величины 0 = ^„o<^/'^i <^ ... <^/'„,^= Г,
Если:
П-.СО г t^,^t
^) Ьля всех г^^ lim 2Р{||„П>^} = 0,
/г -> сю ; = 1
б) существуют непрерывные функции a(t) с
векторными значениями и А (t), значениями которой служат
неотрицательные линейные операторы в R^^\ для
которых при некотором g^O w всех z^R^^^
lim sup I 2 М|„,.(г)—a(0| = 0,
lim supl S D(S,,(s), г)-(Л(0^,;^)| = 0,

238 ПРЕДЕЛЬЬ1ЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 8
а функционал F удовлетворяет условиям теоремы . 1,
то распределение F (|„ (t)) сходится к распределению F (? {t)).
Доказательство вытекает из того, что условия а) и в)
влекут условие г) теоремы 3 § 40.
Замечание. Условие б) теоремы 1 можно заменить
условием: существуют две последовательности функционалов,
удовлетворяющие условиям а) и б) теоремы 1, неравенству
Ff^F^f** и предельным соотношениям
Ff{i{t))^F{Ui)),
/ТЧ1(0)-/'(1(0)-

ГЛАВА 9
МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ
С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
§ 42. Меры на пространстве функций, соответствующие
случайным процессам
Пусть на отрезке [О, Т\ определен случайный процесс
|(^) со зна'е{И1ями из R^'^^K Обозначим через Ffo^*^/]
пространство всех функций x{t), определенных на [О, Т] и
принимающих значения из R^^\ Через С/^ (Л), где z'o G t^» Л> ^ —
борелевское множество из R^'^\ будем обозначать
совокупность функций x(t), для которых jc(^o)G^- Множество
CCZF[o!\\ будем называть цилиндрическим, если оно
представ имо в виде
С=^Q^Q.i^,), где i„ t„ ..., t,^[0, Т], Л„ ..., А,-
борелевские множества из R^^K Обозначим через gj'")
совокупность множеств, представимых в виде конечных сумм
цилиндрических множеств, g^'^) является алгеброй множеств,
т. е. %\1^^ содержит все пространство F[^o"V] и замкнуто
относительно операций сложения, пересечения и вычитания
множеств. Определим на gW меру (л- формулой
1^( и г\ c^ij)iAi))= i;р{|(Фе4,А=1,...,ил,(42Л)
;= 1 ^= 1 4i j^ I
"у
если множества (] Сп){А{) не пересекаются при разных /.
k^=r{ hi
ролее просто эта мера определяется так: для всех G из g^'^)

240 МЕРЫ. СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
имеет смысл событие {1(0 G ^ } ^
[x(G)==P{|(0GO}. (42.2)
Мера (А может быть однозначно продолжена на а-алгебру
^(f^) — минимальную а-алгебру, содержащую 5о.
Действительно, если 0^С1^/г+1 и {e(OG^«} является событием, то
со 00
.и {l(OG и G«}= и {l(OGG„} будет событием и
/1=1 П = \
СО
!4{I(0G и G„])= lim t^({i(OGG„l).
/г = 1 п -* оо
Используя ЭТО соотношение и формулу (42.2), мы можем
распространить меру (л- на g^'^^ Эту меру на ?у^'"^ мы будем
называть мерой, соответствующей процессу | (t). Как вытекает
из определения этой меры, она зависит лишь от
конечномерных распределений процесса, т. е. меры, соответствующие
стохастически эквивалентным .процессам, совпадают.
§ 43. Абсолютная непрерывность мер.
Теорема Радона — Никодима
Пусть в некотором пространстве X выделена а-алгебра
подмножеств 33 и на этой а-алгебре заданы две меры: [i^ и
(л-2. Говорят, что мера (л-2 абсолютно непрерывна относительно
меры p-i, если для всех А из 33, для которых iiy(A) = 0,
также и (л-2(Л) = 0. Если меры [i.^ и (л-^ конечны, то
необходимым и достаточным условием абсолютной непрерывности
меры (А.2 относительно (Ji-i является существование измеримой
относительно 33 функции f{x) такой, что для всех Л ^ 33
\>-2iA) = \fix)[^,idx). (43.1)
А
Это утверждение и есть теорема Радона — Никодима
(см. Халмош [81], стр. 128). Функция f(x) называется
плотностью или производной меры [Л2 относительно меры jij
и обозначается так:
В дальнейшем мы будем рассматривать меры [л.2 и (Ji-i,
соответствующие случайным процессам I2 (О ^ |i (t). В
предположении, что li (О и 12(0 являются стохастически непрерып-

§ 43 1 ТЕОРПМА РАДОНА - НИКОДПМА 241
ными процессами с независимыми приращениями, мы найдем
условия абсолютной непрерывности меры (л<2 относительно
меры [j-i и выражения для -J^.
Вопрос об абсолютной непрерывности мер,
соответствующих случайным процессам, может представлять интерес в
следующих случаях:
а) При изучении свойств процесса la (О ^^^ функции
времени можно использовать то обстоятельство, что в случае
абсолютной непрерывности меры [х^, соответствующей
процессу \<i{t\ относительно меры \х^, соответствующей процессу
li(^), процесс |2(0 обладает с вероятностью 1 теми
свойствами, которыми с вероятностью 1 обладает процесс %^ (О-
б) Зная -^ и умея вычислять средние значения для
функционалов от процесса |i (t\ можем вычислять средние
значения для функционалов от процесса 1^ (О ^ помощью формулы
м ^(1, (0) = м ^(li (0) 1^ (I, (0)- (43.2)
Чтобы убедиться в справедливости этой формулы, отметим,
что для всякого измеримого относительно g^'"^
функционала /, для которого существует M/(|i(/')), имеет место
соотношение M/(|i(^)) = ^/(A:)(Xi(flfA:) (оно очевидно в том
случае, когда функционал / принимает конечное число
различных значений, а значит, справедливо и в общем случае).
Если g—характеристическая функция некоторого множества
О из Щ^^\ то (43.2) вытекает из соотношений
Q
= \ -Jf; (х) VI (dx) =^gix) J^- (л:)fx, (dx) =
Значит, формула (43.2) справедлива для конечнозначных
функций, но тогда она справедлива и для всех функций, для
которых существует М g (I2 (0)-
в) Величина J^ может быть использована для решения
некоторых задач статистики случайных процессов с незави-

242 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ |ГЛ. *)
симыми приращениями: выбор между двумя гипотезами
относительно распределений процесса, а также определение
параметров процесса по наблюдаемой траектории с помощью
метода максимального правдоподобия.
Функция "- является g^'^^^-измеримой, определенной с точ-
ностью до множеств, имеющих меру [j-i, равную нулю. Поэтому
-7"-(КО) определено с вероятностью 1. Как показывает фор-
мула (43.2), для вычислений достаточно знать именно эту
величину. В дальнейшем мы будем определять поэтому
|;(1(0).
§ 44. Вспомогательные предложения
Основной метод, с помощью которого мы будем
доказывать абсолютную непрерывность мер, соответствующих
случайным процессам, и подсчитывать плотность одной меры
относительно другой, заключается в следуюпдем. Построим
последовательность более простых процессов §«40 ^ 1^*40
меры, соответствующие процессам Ъ^Ц^ (t). Естественно
ожидать, что в том случае, когда процессы 1,^ (О сходятся
^ ^И^^' /Ь *^^i''^ *^^)^ ^У^^'^ сходиться к ^4li(0)-
Обоснование такого подхода дает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть процессы %n\t), /=1, 2; п==1,
2, ..., определены на отрезке [О, Т] и при п—>сю сходятся
по вероятности соответственно к процессам |^ (^), i= 1, 2.
Предположим, что меры [j-j'^) и \i.[^\ соответствующие
процессам Ъ^п^ (t) и %Т (Л, абсолютно непрерывны одна
относительно другой. Если величины
при п-~>со сходятся по вероятности к некоторым
случайным величинам pi2 и p2j соответственно, то меры p-j
и (л-2, соответствующие процессам |i {t) и 1^ (0^ абсолютно
так, чтобы можно было подсчитать "^(|яЧО)> ^Д^ V-f

§ 44] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 243
непрерывны одна относительно другой, причем
ы=In |-' (h (0), p^i ^ in 1^ (I, (0).
Доказательство. Установим абсолютную
непрерывность [Х2 относительно [Xj. Если G ^^^^\ то
+ J [^ W - ^- ^1 iJ^l") (flfA:) ^ е- лг j,(«) (О) -I-
+ f (|р(А:)-е-лг|^(«)(^д;)^е-л'^(«)(0)_
-»}
— ^-^Pllln ,
.-^p{|ln^(|H(0)|>N}.
Значит,
fx<«) (G) ^ e>(«) (G) + P {I In ^ (IW (0) I >A/}.
Если Q таково, что p.^"* (Q~*N(G) " K"'(Q)^^I^i C^» '''O
N(G)<e'^[Xi(C?) + P{|pi,|^A^}. . (44.1)
Соотношение (44.1) сохраняется при предельном переходе по
О и справедливо для тех G из Щ^\ для которых множества
Ak из R^^"*, участвуюидие в представлении
0=и f\ СпАА{), (44.2)
обладают свойством
Р {I (4^') € ^i П ^?""' - Л{} = 0. (44.3)
Значит, (44.1) выполняется для всех множеств из Щ"^\ з
следовательно, и для всех множеств из g^'"^ Пусть 0^5^^^
и [Xi (G) = 0. Тогда
[^2(0)^P{|Pi2|^/V|.

244 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Ввиду произвольности /V [x.2(G) = 0. Значит, (л-2 абсолютно
непрерывна относительно (л^. Меняя индексы 1 и 2 местами,
получаем абсолютную непрерывность (Jt-j относительно (л-2.
Покажем теперь, что p2i = In --- (|i (t)). Пусть G — мно-
жество из '^["^\ для которого 6^ (| J^'*) (^))-> ф^ (4. (0) ^^ ^^-
роя'шости, где фо — характеристическая функция множества О.
Это будет выполняться для множеств G вида (44.2), если
для них справедливо (44.3). Тогда
Мфо(?2(0)= Ит ^А^о(1пЧ^)) =
п-^ со
(мы воспользовались соотношением (43.2) и теоремой Фату:
если ^;г ^ О и ^^ ->- J по вероятности, то М £ :^ lim М ^^,
п -^ <х>
так как на основании теоремы Лебега М$ =
= lim M[min(^ У], а М min [£, £;^K^U- Т^ак как
/г ~* оо
м фо (I, (0) = м фо (§1 (0) J (I, (0),
ТО
М to (li (0) [J; (li (O)-^P^' ] ^ 0. (44.4)
Используя операцию предельного перехода по G,
устанавливаем, что (44.4) имеет место для всех G из %^"^\ Значит,
Р 15 (1.(0) --^-2. о}:
поэтому для доказательства соотношения
достаточно доказать, что M^psi^I, так как
м|^(1.(0)=р{|2(ое^^[о%}=1.
Пусть gj^r(t) = t при 0</<yV, g;^{t) = N при ^>М Тогда
Дт^ М ^iv (^ (II"' (0)J = М ^л' (^Р'О,

§ 44] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 245
значит,
1 ~ М ^^:il 5^ 1 М ^Л^ (^Р21) :
\ —f^ (л:) > лгу
d\L{n)
^ Гш^P { I In ^(|-'(0)|> In Л/} < P {I p„ I > In M
(мы воспользовались соотношением --- (jc) = (^~ (jc) ] ).
Переходя к пределу при N-^co, получим: 1—M^p^i^O.
Значит, In ~ (li (t)) к= P21. Теорема доказана.
"[-''1
При вычислении ^--(1(0) мы будем также использовать
следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть |i (t) и |q (t) — случайные
процессы на [О, Г], [Xi и (i-2 — соответствующие этим
процессам меры и р-2 абсолютно непрерывна относительно [j-i.
Пусть S — отображение P\^\^ в Fi^'^y определенное
относительно меры (j-i почти для всех x{t) из Р\^\у
причем прообраз каждого множества из ?^^^ ' является
множеством из %^^\ Положим 'x\i{t)=:zS'ii{t), обозначим
через V; меру, соответствующую процессу к]; {t). Тогда v^
абсолютно непрерывна относительно v^ и
£:(П'«) = м(|^(|,(0)|г1.(0) (44.5)
(имеется в виду математическое ожидание при условии,
что T]i {t) фиксировано при всех t).
Доказательство. Будем обозначать через 5~^ (Q)
полный прообраз множества О из g^'" К Тогда v^- (О) = (л,^ {S'^ (О)).
Отсюда вытекает абсолютная непрерывность v^ относительно V|.
Пусть G ^ %^^'\ а фа — его характеристическая функция. Тогда
м Фо (Til (0) м (^ (I, (0) IЛ1 (о) = м 4-0 (т1, (0) I; (I, (0) =
= М ф^-: (О) (li (0) ^^^ (I, (0) - М ф5-. (О) (12 (0) ==

246 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Так как на основании (43.2)
м фо (11, (0)=м фо (Т1, (0) J^; (т), (0),
то
м Фо (Г], (0) [J; (Tii(O) -- м [^ ih (0) I ^1 (о)] = 0.
Последнее соотношение выполняется для всех О из %^'^'\
Это возможно лишь в том случае, когда
р{£-;(г1,(о)=м(|;(|.(0)|л>(о)}=1.
ц^ (t)) := у^^ (li (^)), так что в этом случае
Теорема доказана.
Замечание 1. Если отображение 5 обратимо, то
м(|~;(|, (0)
^4%(0)=^J-f(li(0).
Замечание 2. Теорема справедлива, если
отображение 5 действует из t^l^\^ в конечномерное пространство
R^^^'. Тогда меры v- являются распределениями величин
•^[1/(0] н^ а-алгебре борелевских множеств из R^^K
Замечание 3. Отображение 5 может являться
пределом отображений 5„, удовлетворяющих условиям теоремы 2,
в следующем смысле: 5 [|i (t)] является пределом 5„ f|i (t)] в
смысле сходимости по вероятности. Тогда будет
существовать предел последовательности S^[b,^{t)] в смысле
сходимости по вероятности, и если его обозначить через S[|2(0]>
то опять будет справедлива теорема 2.
Теорема 3. Пусть l[^) (t) и |(^') (О, i=l, 2, ..., k,—
независимые процессы со значениями из R"^^ у а (л-[') и
(А^'*) — меры, соответствующие этим процессам на g^'"/^
Обозначим через |у(0 процесс со значениями из R^^\
m=^mi-\-, ..А- т^, координата которого с номером mi -\-
-f- m^i -]-... -|- m-i \-\-s, 6-= 1, ... , /Я-, совпадает с s-u
координатой процесса |^/Ч0> ^=Ь 2, ..., k. Если меры (л-[/)
абсолютно непрерывны относительно мер \х^^\ i=l, 2, ...
..., k^ то мера [u^, соответствуюшдя процессу I2 (0^
будет абсолютно непрерывна относительно меры tt,,

5 451 ГАУССОВСКМЕ ПРОЦЕССЫ 247
соответствующей процессу |i {t), причем
;(^^(^»=11Й)®'(^»-
/ = 1
Доказательство. Рассмотрим цилиндрические
множества С вида C^=(^Ct {Ar)y где А^ — множества тех х
из R^"^\ координаты которых х^ принадлежат некоторым
интервалам А^, /=1, ..., т. Тогда, если Л^^^ — множество
тех точек у из R}^i\ координаты которых у^
принадлежат интервалу А^^ + ... _f_^._^_f_5, а Q = Р| Q^ (Л^^*)), то,
обозначая через ф^ характеристическую функцию множества G,
ввиду независимости процессов |(^*) {t) получаем
k k
М фс (I. (0) = М П Фс,, (|('> (0) = П Щс, (|1'> (0) =
i---\ 1=1
ft (.
/г
(О
= Мфс(|1(0)П-^(11^'Ч0).
Используя операции сложения и предельного перехода,
убеждаемся, что для всякого цилиндрического множества С
справедливо соотношение
k
М фс (12 (0) = М фс (li (0) П 7Ж ^^^'^ (^))-
£=1
Теорема доказана.
§ 45. Абсолютная непрерывность мер,
соответствующих гауссовским процессам
Для формулировки результатов этого параграфа нам
понадобится определение стохастического интеграла по
гауссовским процессам с независимыми приращениями. Рассмотрим
стохастически непрерывной гауссовский процесс с
независимыми приращениями 1о(0> определенный на [О, 7],

248 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
принимающий значения из R^^\ для которого |о(0) = 0,
М|о(0 = 0, М(^о(0, zf = iAit)z, Z).
Пусть a{t) — измеримая векторная функция,
определенная на [О, Т] и принимающая значения из R^^^\ Мы будем
определять интеграл
т
\(a(t), dl,{t)). (45.1)
О
Выберем в R^^^ ортонормированный базис Хъ Х^, ..., Х^
и будем обозначать через а^, (t) координаты а (^), а через
0Lij{t) элементы матрицы оператора А (t) в этом базисе.
Если а (t) — ступенчатая функция, т. е. существуют точки
0 = ^о<^^1<^.. .<^^^= 7 такие, что a{t) постоянна на
интервалах {t-^ ^i+i)y то полагаем
\ {а (О, du (0) - 2 («(^i+0). ^ (^i+i) - ^ (^i))-
в этом случае
т
О
о
= 2М(а(^,. + 0), Ш,г)-1т'
1=0
= 2 ([Aiti^i)~A{ti)]a{t,-j-Ol а(^,. + 0)) =
}(45.2)
=\^a,it)ajit)da,jit).
О А-, У
Если a(t) — векторная функция, удовлетворяющая
соотношению
т
S^a,(t)aj(t)da,j(t)<:oo, (45.3)
Ok, J
то можно построить последовательность ступенчатых
функций а^"^^ (О такую, чтобы

§ 45] ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 249
(й^'^) (t) — координаты вектора а^'^^ (t)). Следовательно, и
Пт Ц [^^^ (О - «Г) (0] [af (О - « f ^ (0] ^^,у (О = 0.
Но
7 Т
М[5(а("»(0, fi?|o(0)-5(«*""'(0. й?1о(0)Г-
О о
т
=S Е «^ (О - «Г' (0) («)"' (О - «Г' (^)) '^^,/ (^)
о /г, У
(так как a^"'\t) — a^^\t) — ступенчатая функция, то можно
воспользоваться соотношениями (45.2)). Значит, случайные
т
величины \{а^"^^ {t), d%Q{t)) сходятся по вероятности к неко-
0
торому пределу. Этот предел мы и будем называть
интегралом (45.1). Этот интеграл будет обладать свойствами:
г 2 2 т
U 2 «г «"■* (0. dh (О) = 2 «; 5 ('*"* (^)' ^^0 (^))' (45.4)
О Г == 1 i = 1 О
\ (а (О, оГ|„ (0) = ( (а (О, о!|« (0) + S (а (0. «?§о (0)
О О /i
при 0<^1<Г, (45.5)
т
N[\(a(tl dlo(t)) = 0, (45.6)
о
Ш[\(а (О, fi?lo (0)]' = i Е «* (О «/ (О '^aw (О- (45.7)
О о /г, у
Частным случаем только что определенного интеграла
является интеграл
г
\ а (О с1у1 (О, (45.8)
о
где Т|(^) — одномерный процесс, а а(^) — числовая измеримая
функция. Интеграл (45.8) определен, если
т
о
9 А. В. Скороход

27)0 МЕРЫ. СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
где ^(^) = M[7j(^) — ^(0)]"^ (мы считаем, что М tj (^) = 0). Для
векторной функции a{t) полагаем
т т г
О /г = 1 и
{а^^ (t) — координаты а (t) в базисе Хь . - , Х^)- Этот
интеграл существует, если
т
. \\a(t)\4b(t)<:^oo.
С помощью стохастических интегралов можно представить
гауссовские процессы в R^^^ через одномерные независимые
гауссовские процессы. Пусть |о(0 обладает свойствами, ука-
т
занными в начале параграфа. Положим X(t)= ^ ^ц(^)- Из
i= 1
положительной определенности оператора A(t-\-h) — A{t)
вытекает, что а^ (t) — неубывающие функции и что
<1[Х(^ + й)-х(0].
Поэтому существуют борелевские функции cf^fj(t) такие, что
t
o.a(t) = \atjis)dX(s)
О
(так как функции а^-у(0 абсолютно непрерывны*)
относительно функции lit)). Оператор Л* (О с матрицей ct.fj{t) в
базисе Xi, ..., Х^ будет симметричным неотрицательно
определенным оператором. Пусть ei(t), ..., efn(t) — ортонор-
*) Функция а (t) абсолютно непрерывна относительно
монотонной функции 1 (^), если для любого £ > О существует 5 > О такое, что
^ \oL{t'.)~a{t'.')\<^, если только ^ \'^(t'i)~l{t'i)\<b и
i i
t[<^i'i ^ ^2 < ^2 ^... По теореме Радона — Никодима тогда
t

§451 ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 251
мированная система собственных векторов оператора /4*(0,
а р1 (t) ^ р2 (О ^ • • • "^ 9т (О — соответствующие им
собственные значения. Рассмотрим такие независимые гауссовские про-
иессы с независимыми приращениями 7ji (t), ..., ri^ (t),
принимающие числовые значения, что М7|Д^) = 0, Dyii{t) = X{i).
Построим процесс
т t
to (0=1] \ Ч (5) V^) d-nk is)- (45.9)
/г = 1 О
Так как процессы tj;^ {t) независимы, то
т t
М(|о(0. zf=Y, М[$(е,(5). 2Г)1/рй^)Й7),(5)]'-
/г= 1 О
т t t
= 2 $ (е, (5), ^)^ р, (S) о?Х (S) ^ \ (Л* (5) гг, гг) d\ (s) =
fe=- 10 о
= {A(t)z. z).
Кроме того, М^о(0 = ^» значит, процессы ~\^(t) и |о(0 имеют
одинаковые конечномерные распределения. Из (45.9)
.вытекает, что
71, (О = f (-^7=-. 4« (о) + \ to (р* (0) ^^* (О,
где фо(0)=1 и фо(5) = 0 при 5 7^0. Таким образом, имеет
место
Теорема 1. Если 1о(0 — стохастически
непрерывный гауссовский процесс с независимыми приращениями,
для которого М |о (О = О w ei (t), ..., е^ (t), pi (t\ ..., p^^i^)
определены так, как выше, то существуют независимые
одномерные гауссовские процессы с независимыми
приращениями Tji (/), ..., Tj^ {t), такие, что
т t
/г= 1 О
Рассмотрим теперь два процесса: \^ (t) и \^ (t) -f- а (t), где
а(^) — некоторая векторная функция со значениями из R^^K
Пусть [Xq — мера, соответствующая процессу |о (О? ^ P-i —
мера, соответствующая процессу %о (t) ~\-а (t).

252 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Теорема 2. Для того чтобы мера [х^ была
абсолютно непрерывна относительно меры [j-q^ необходимо и
достаточно, чтобы существовали такие функции Ь^ {t),...
т Т
ft=l о
...,8^(0, ято ^ \bl(t)dX(t)<^суэ
а (О - S S ^* (') Vpk (S) е, (S) dX (S); (45.10)
k=\0
если при этом считать, что Ь^^ (s) = О для тех s, для
которых Pk (s) = О, то
т Т Т
^^1 а, (0) = ехр { 2 [ J ^. (S) аъ (^) - i J ^1 (^) ^^ (')]}.
(45.11)
k = \ б
Докажем сначала достаточность условий теоремы и
формулу (45.11). Так как процессы |q(^) и 1о (0 + ^(0 пО"
лучаются с помощью одного и того же преобразования из
///-мерных процессов |о(0 и |f(0, координатами которых
служат соответственно процессы tji (t), ..., i^^ti (О ^ Ъ (О Н~
4-^ ^1 (5) ^Х (5), ..., У1т(^)-\~\^т(^)^^(^)у ТО ДЛЯ ДОКаЗЗ-
0 о
тельства достаточности можно показать абсолютную
непрерывность меры [Af, соответствующей процессу |f(0,
относительно меры ii'§, соответствующей |о(0' ^ вычислить
Используя теорему 3 § 44, мы сведем задачу к
доказательству абсолютной непрерывности меры [х[*),
соответствующей процессу Tj;^ (t) -\-\^k (^) d^ W» относительно меры jx(^),
о
соответствующей процессу г\^ (t), и вычислению ^ (т);^ (t)).
Для дальнейшего доказательства понадобится
Лемма. Пусть tjq (О — одномерный гауссовский
процесс с независимыми приращениями, определенный на [О, 7J,
Tjo(0) = 0, M7jo(^) = 0, Dtjo (0 = ^(0 ^ ^(0 — непрерывная

§ 45] ГЛУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 253
срунщия. Если
о
т
где Ь (t) таково, что \ Ь^ (t) d\ (t) <^ оо, то мера [х^, соот-
0
ветствующан процессу у\^ (t), будет абсолютно непрерывна
относительно меры [Xq, соответствующей процессу irjo(0>
и
т т
Ji(щ(0) = exp{^b(t)dyi,(О - ~ J 8'^(ОdX(0}. (45.12)
Доказательство. Пусть 0 = t[^) <^,, ,<:^ t^^) z=T —
последовательность разбиений отрезка [О, Г], для которой
lim m?Lx{t^^^ —t^^))z=:0. Положим yfp) (t) = ri,(t(^)) при
^G(^ir^' ^k^O- Очевидно, что irjW(0 сходится по
вероятности к Tjj. (t). Обозначим через [хН меру, соответствующую
процессу rfp^t). Покажем, что
ft = о дп)
ft + i^-'^(^r)
4"V.
Для ЭТОГО построим взаимно однозначное отображение irjH (t)
в /^^'^Ь.
Вычисляя совместные плотности распределения величин
^^"^ (^i% i) — ^f^ {^^k^) (это будут произведения плотностей,
так как величины независимы) и разделив плотность при
i==l на плотность при i = 0, получим формулу (45.13).

254 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Заметим, что можно подобрать t^P-^ таким образом, чтобы
lim
п -* со
An) An)
п-\ ^k+l ^Л 4- 1
Х^Ч^) = о,
Лп)
п~\ h-\-\ Т
—-—^ J— ГС ьт di (t) f ={ь^ (t) d\ (t).
lim
n -* oo ^___
' k
(Эти соотношения эквивалентны и выполняются очевидным
образом для ступенчатых функций. Используя неравенства
Коши и Шварца, можем записать:
Лп)
л - 1 ^ k-\-\
1
{[j 8 (О а (О J-
[ J 8(0flfX(0j}
k
t{n)
n-\ ^k-\- 1
M4'V,)-Ma(I (H')-5(0)<iX(o)*x
ftTo -^^'ft+i^--^^'*
4"'
An)
я - I 'ft + 1
—n—^^ -^ \ (S(0 + 40)<^>^(0
\{b{t)-b{t)fd\{t)x
Y^ ^
X f l/ 5 [S {t)f di (0 +1/ (t^ (0]' di it) j.
Итак, наше утверждение выполняется и для любой
функции 8 (t), для которой существует такая последовательность

§ 45] ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 255
7
ступенчатых функций В,Д/), что lim \{b{t) — §^(/))^rfX(^)=0.
Это же справедливо для всякой измеримой функции b(t), для
т
которой ^52(^)^Х(0<со.)
о
При таком выборе t^^^ (45.13) будет сходиться по
вероятности к (45.12). Аналогичный подсчет показывает, что
.,(«, (^1 (0) - exp { - 1, ( \^^ Ь it) dX it) ^ ^^^^^^^ _ ^ ^^,„,^ +
(k
4"-^.
^ 2[X(^('!),)-X(^f)] \-^^, ^' ^^iJ'
При тех же условиях это выражение сходится по
вероятности к величине
ехр {- \ ь it) ащ (О - 4 i ^' (^) ^^ (^)}-
о о
Для доказательства леммы остается применить теорему 1 § 44.
Вернемся к доказательству достаточности условий теоремы.
На основании теоремы 3 § 44
£ (£о^ (0) = ехр (2 [\ h (Оаъ (О - .[ \ Ч (Оdx (О]}.
Поэтому, используя формулу (44.5), получаем:
т 7 7 I
|i ($0 (0) = М (ехр { 2 [5 S, (О dri, (О - i 5 SI (О dl it)]} S„ (O).
Таким образом, для доказательства (45.11) достаточно
показать, что процесс ^о(0 полностью определяет выражение
т Т
^\^k (О dyik (О- Действительно, считая, что при р^ (t) = О

256 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ 1ГЛ. 9
И S^ (t)=0 будет и —/ = о, можем записать:
У 9k (О
т т
к (О «f% (О=^ f-r?= ^* (О, d Ut)
о о\ КРлЮ
Достаточность условий теоремы и формула (45.11)
установлены.
Приступим теперь к доказательству необходимости.
Из абсолютной непрерывности меры [х^ относительно
меры [j-o вытекает, что мера i).[^\ соответствующая процессу
?(*) (О = \ (е, is), da (s)) + \ (е, (s), dl, (s)),
О О
будет абсолютно непрерывна относительно меры [х^Д
соответствующей процессу
^1*>(0 = ^(еЛ4 dl,{s)).
и
Обозначим
a,(0=DS(*)(0, 4{t)=\{e,{s), dais)).
О
Покажем, что а^^(/) имеет ограниченную вариацию.
Действительно, если бы можно было указал такие t[^'^<C ••• <С^2л\
п
чтобы 2 [°^(^2г^) — ^-(^2?-i)] ~'^^ "Р^ AZ—>со, тогда для
/•=1
процесса ?(,^)(0 выражение ^ [^i^K^^';:^) —^i^44?_i)]
сходиЛОСЬ бы к со по вероятности, а величины 2 ^^о^^ (^2г^) —
/•=1
— ^0^^ (^^^Li)] были бы ограничены по вероятности, что
противоречило бы абсолютной непрерывности меры [^[^^
относительно ii[^\ Значит, ад.(^) имеет ограниченную вариацию.
Рассмотрим обобщенную меру на [О, Т], определяемую для бо-
релевских множеств Е по формуле
Ч (^) = \ ^Ч (О,

§ 45] ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 257
И меру
а, (Я) = 5 «fa, (О-
Е
Мера c^ki^) абсолютно непрерывна относительно меры <з^(ё)\
если ад,(^) = 0, то, обозначая через ^^(0 характеристическую
функцию множества /, заключаем, что
значит, и Р{^ф£(0б/Е1^)(0 = 0} = 1, так что а^,{Е) = 0. По
теореме Радона—Никодима существует такое S|(/), что
Е
или
Так как
t т т t
«(0 = 52 i^k {s\ da {s)) e, (s) = Ц ^ Ч {s) e, {s) do, (s) =
0 k=\ fe=l 0
m t
^\b%{s)^,(s)ek{s)do,{s) =
fe=l 0
m t
2 \ Ц (s) УШ V^) e, (s) do, (s).
k=\ 0
TO можно взять ^A>(5) = S|(5)"j/p^,(5) И ДЛЯ доказатбльства
необходимости условий теоремы остается показать, что
т т
\ [П is) Ун {s)f d\ (s) = \ ib%is)fdo,is)<:oo.
о и
Рассмотрим величину
(п)
у {Ь% itf)) [$(^) (tf^;) - ^f) (tf))] - I S| {tf)) J SI is) da, is)},
y=0 An)

258 МЕРЫ. СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Эта величина имеет дисперсию ^ [SU^fO]4^*(^j$i)---^fe(^fO)>
математическое ожидание ее при i = 0 равно
(п)
-уЦ^И^О П is) do, (si
>=0 An)
ч
п-\ 0+1
а при 1^ 1 равно
г
/=0 An)
7
кроме того, она нормально распределена. Можно подобрать
tj так, чтобы
;=0 An)
7
Г
если только \ [S|(5)]^rfa^,(5)^co. Тогда величина
о
tin)
п-\ 0+1
rctg(2(^H^fO[?4^j$i)-W"0]-ySH^.^^^ J b%{s)da,{s)))
будет сходиться по вероятности к — у при i = О и к |-
при /^1 (так как для последовательности нормально
распределенных случайных величин ?„, для которой М^„ = 0,
D^„ -—> оо, ^гг — у ^^п —* =t: со по вероятности в силу того, что
а величины —~г ограничены по вероятности). Но это про-
а

§45] ГАУССОЗСКИЕ ПРОЦЕССЫ 259
тиворечит абсолютной непрерывности меры [л^ относительно
меры |Ло (см. замечание 3 § 44). Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть |i {t) и ^2 (О — ^^^ стохастически
непрерывных гауссовских процесса с независимыми
приращениями. Если мера (л-2, соответствующая процессу t,^{t),
абсолютно непрерывна относительно меры (л-ь
соответствующей процессу li (/), то для каждого z ^ Z?^'"^
D {I, (t) ~ I, (0), ^) = D (12 (О - ^.2 (0), Z).
Доказательство. Если (а,- — мера, соответствующая
процессу \ (t) = (1^ (/), 2') — М (li (/), 2г), то из теоремы 2
§ 44 вытекает, что мера |Л2 абсолютно непрерывна
относительно p^i. Точно таким же образом, как при доказательстве
необходимости в теореме 2, убеждаемся, что функция
т(0 = М7|2(0 = м(|2(0> ^)-M(|i(0, Z)
будет иметь ограниченную вариацию. Так как ^{t) еще и
непрерывна, то при 0<^t\l^)<^ ... <^/(")=Г
SlT(«$,)--rmi'-o,
если только max{t(J^^ — ^Н)—>0. Поэтому
i '
S [^у (^1-$,) - V (if)? - D (irj/ (О - i^y (0)).
если max (^W, — ^(")) —* 0, так как
i
M 2 h/(^a)-^/(«">)f=
A«)<<
[D(Tii(0-%(0)) при/=1,
^ ID (71, (0 - Ti, (0)) + 2 [t (^(:^,) - T (^H)]^ при у = 2,
4«)</

260 ЛАЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
~ М (rij (%) - nj m)f = Е 3 {D (71,. (^W,) - T,j (^|.«'))}-^ ^
^ Згаах D [tj,- (^W,) - -qj (^H)] D [tj,- (Г) - tj^ (0)] -» 0
i
(так как для нормальной величины £, для котор'ой МЕ = 0,
М£^ = 3 (MS^)^). Но из абсолютной непрерывности меры (л,^
относительно меры (Jt-j и теоремы 2 § 44 вытекает, что
выражения 2 hy (^i'f i) — ^у (^i"0]^ приу=1=:1 и 7 = 2 должны
иметь один и тот же предел. Значит, D (tji (t) — tji (0)) =
= D(ri^(t) — ri^iO)). Теорема доказана.
Из теорем 2 и 3 вытекает следующая общая теорема.
Теорема 4. Пусть |i {t) и %^ (t) — два
стохастически непрерывных гауссовских процесса с независимыми
приращениями, |i (0) = 1^ (0) = О, а,- (t) = М|^ (О, D (|^ (t), z) ==
= (A(t) z, z). Если (A/ — мера, соответствующая процессу
|j (t), то [jLg абсолютно непрерывна относительно \^^ тогда
и только тогда, когда выполняются условия:
1) л,(0 = л,(0,
t
2) если Ai(t) = '^A*(s)d\{s), е^ ..., е^п — ортонорми-
0
рованная система собственных векторов Л* (5), а
р1 (s\ ..., р^ (5) — соответствующие им собственные
значения, Х(5) — неубывающая функция, то существуют
функции bj^{s), для которых
т
\bl(s)dX(s)<:cyD
а, (/) - а, (О = 'S \ ^^ ('^ VPk (S) ей {s) d\ {s),
и^\ о

§ 46] СТУПЕНЧАТЫЕ ПРОЦЕССЫ 261
Если эти условия выполнены и Ь^ (s) = О при р^^ (s) = О,
то
|;(мо)=
т Т J
=.. ехр { 2 [ J (-7#Г ^-^ ^'^' '^^о (^)) - И ^^ ^'^ "^^ ^'^]} •
где |o(0 = li(0-«i(0.
§ 46. Абсолютная непрерывность мер,
соответствующих ступенчатым процессам
Рассмотрим два стохастически непрерывных процесса с
независимыми приращениями |у (О, 7=1, 2, определенных
на [О, Т] и имеющих характеристические функции
М^'* (^. I/ (0) = ехр {\ {е^ (^- •^) — 1) Пу (^, ofx)}, 7=1, 2,
где Пу(Г,/?^^^)<^со. Введем меры 7Гу(б/^, dx) на борелевских
множествах пространства [О, Т] X /?^^\ определенные на
множествах вида [^1, ^2] X ^, [^ь ^2] си [О, Г], Л — борелевское
множество из R^^\ формулой
^у ([^1, U] ХА) = Пу (^2, ^) - Пу (fi, Л).
Обозначим через (л-у меру, соответствующую процессу |у СО-
Теорем а. Для абсолютной непрерывности меры (л-2
относительно меры \х^ необходимо и достаточно, чтобы
мера 7Г2 была абсолютно непрерывна относительно меры тг^.
Доказательство. Необходимость. Пусть А —
измеримое множество в пространстве [О, Г] X-R^^^ "^j(A) — мера
со случайными значениями, равная числу тех точек t, для
которых пара {t\ %j{t) — |у(^ — 0)) попадает в А. Тогда
распределение величины V2(i4) должно быть абсолютно
непрерывным относительно распределения величины Vj (А), Так как
обе эти величины имеют пуассоновские распределения с
параметрами 7Г2(Л) и 'к^(А) соответственно, то 7Г2(Л)^0, лишь
только 7:i(^) = 0. Необходимость условия теоремы доказана.
Достаточность. Пусть

2ГУ2 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Покажем, что тогда
т
J; (li (0) = ехр {\ \ In р {t, X) ь (dt, dx) -
п^сг, ;?<'"')-^ni(r, /?('"')}. (46.1)
о р^т)
Будем обозначать ф (21), где 2J — некоторое случайное
событие, величину, равную 1, если 21 происходит, и равную О,
если 21 не происходит. Тогда для всякого измеримого А из
M6(vi(.4)=l)exp{5lnp(^, x)^x{dt dx)}==
A
= Щ (у, (Л) = 1) 5 P {t. X) ь (dt, dx) =
A
= \p{t, X) Щ (vi (A) = l) ь (dt, dx) =
A
= \p(t, X) TTi (dt, dx) ^-^1 (^) = 7Г2 (A) e~^i (^),
A
Мы воспользовались в цепочке этих равенств тем
обстоятельством, что при Vi(^)=l мера v^ (б/^, dx)y рассматриваемая
на множестве Л, будет сосредоточена в одной точке, поэтому
для всякой измеримой функции ср
ср (^ In р (^, X) vi (dt, dx)) = ^ ср (In р (ty X)) Vi (dty dx),
A A
кроме того, если Леи Л, то
Щ(^^(А)=\)^,(В)=Р{^,(В)==1, v,(A ~ B)=0}=7z,(B)e~^i(^^^
Таким образом,
Мф (vi (А) = 1) ехр {^ In р (t, X) ь (dt, dx)} = тг^ (А) ^"^^ ^^1
л (46.2)
Пусть множества А^ ..., А^ из [О, Г] X-R^^^ попарно не

§ 46] СТУПЕНЧАТЫЕ ПРОЦЕССЫ 2СЗ
пересекаются "и [J Aj = A, Тогда
Мф (vi (Л) =/) ехр 15 1пр(^, x)b{dt, dx)] =
А
I
== lim М 2] П "^^^'^^^-^""^^^
maxTTiH .)-0 ;1<у2<...<у, ^'=1
J *
Хехр{2 5 1пр(^, x)Mdt. dx)} Д ^(vi(i,)===0).
Используя соотношения (46.2) и
Мф (vi (Л О = 0) ехр [ 5 In р {t, X) Vi {dt, dx)] = е- ^i (^7,
^£
a также независимость v^ (ЛД получаем
M^(vi(^) = /)exp{5lnp(^, X)^^{dt, dx)] =
A
(сравни с доказательством теоремы 1 § 14).
Поэтому для любых попарно не пересекаюш,ихся
измеримых множеств Аху А^, ..., А^ из [О, TWR^^\ для кото-
п
рых 1J Лу = [0, T]y^R^^\ справедливо соотношение
/=1
P{v,(^y) = /y, 7=1, 2, ..., n] = \Y{j^^.z,{Aj)4e —Т
п
= nW(^i(^y) = /y)X
;=1
X ехр [ ^ In р (t, л:)vi (of^, ofx) — тгз (iy) + ^i (/fy)] =
^•
= Mn^(v,ay) = /y)X
г
X exp |5 5 In p (^, X) ь (dt, dx) - Щ (Г, /?(^")) -f itj (Г, /?^^))|,
0^(m)

264 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
ИЗ которого вытекает, что для любого цилиндрического
множества SI ^ %^J^^ имеет место формула
т
M^5((l^i(0) = M^5((li(0)exp{5 \ \n^(t, X)Mdt. dx)-
(^5l(-^(0) — характеристическая функция множества St).
Значит, эта формула справедлива и для всякого 31 из %^^\
Теорема доказана.
§ 47. Общие условия абсолютной непрерывности мер,
соответствующих стохастически непрерывным процессам
с независимыми приращениями
Рассмотрим два стохастически непрерывных процесса
с независимыми приращениями |i (t) и I2 (0> определенных
на [О, 7], принимающих значения из R^^^K Пусть
характеристические функции этих процессов определяются
формулой
М ехр {I (0, Ij (0)} = ехр [i (aj (t) 0) - -1 (Aj (t) 0, z) +
Построим no мерам Ilj{t, A) меры тгу на [О, T]\R^^^
таким же образом, как в предыдущем параграфе. Обозначим
через [ij меру, соответствующую процессу |у СО-
Теорем а. Для абсолютной непрерывности мер ]х^
и [J-1 относительно друг друга необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия'.
а) A^{t)=A^(t) для всех t ^[0, Г];
б) '^2 (^) абсолютно непрерывна относительно тг^ (Л),
и наоборот, т. е. существуют функции p2i (t, JC) и
^ {U X) = ы it. Х\ J^ (t, X) = ы it. X) =
^^^ V^, ^j r.I К^. -.> ^^^ V", ^J — ,V. V^, ^J — p^^ (^^ ^) ,
в) \ П — P21 (ty X) I 111 (dt, dx) =
\ I 1 — P12 (ty X) I ^2 (dt, dx) <; со;
ilnpi2(/, X) l^lnis

§ 47] УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ МЕР 265
д) если
t
о ;^(m)
а Ai{t)^= A^{t)==:\^A'^ (s)d\(s), \(f) — неубывающая функ-
0
циЯу ei (t),..., e^ni^) — ортонор миро ванная система
собственных векторов Л* (О, pi (0> .-., 9т (О — соответствующие
им собственные значения Л* (О, f^^o существуют
измеримые функции §1 (О, ..., ^т (0> ^-^>^ которых
Т т
О k=\
и
t т
A^i (О = 5 Ц 8* (5) КрЙ^ е* (5) flfX (S).
О А?=1
Если случайная мера Vy (Л) определена так, как в § 46, й
то
Т т
;;«,(0)=e.p{J2(itfL..(0,^ir(0
О й= 1
Т т
+ J jlпp,(^,■.)[v,(.^^,.rд:)-^^-}„(^;;^У^^^,]}. (47.1)
О ;^(т)

266 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
Формула для —^ (I2 (t)) получается из предыдущей переста-
новкой индексов 1 и 2 и заменой S^, на — S^,.
Доказательство необходимости условий теоремы.
Необходимость условий а) и д). Положим
т
1Г (О = Ij (О - а, (О - f $ ^ [W^> ^-^^^ TTRf-] •
Если [Ху^' — мера, соответствующая процессу |/^' (t), то на
основании теоремы 2 § 44 меры [х)^' будут абсол'ютно
непрерывны одна относительно другой. Процессы t,f' (О
будут гауссовскими процессами, причем
ЖехрЩ^, |-(0)} = ехр{-|(Л1(0^, ^)},
М
ехр {I (^, |Г (0)} = ехр [l (А21 (О, ^) -1 (^2 (О ^, ^)} .
Необходимость условий а) и д) вытекает из теоремы 4 § 45.
Необходимость условия б) вытекает из того, что при
любом е^О меры, соответствующие процессам
i
о |дг|>6
будут абсолютно непрерывны одна относительно другой,
и теоремы § 46.
Необходимость условия в). Обозначим через G^
множество тех пар {t, х)у для которых P2i (z', л:)^2. Покажем,
что ^'^i(dt, dx)<^co. Пусть v^^') = ^^ v,(^^, dx). Вели-
{t;x)eGi
ЧИНЫ vs'^ имеют пуассоновские распределения с параметром
^ ^ TZi (dty dx). Заметим, что
(^•дг)6С?1
Mv^^^= \\ K^(clt, dx)^2 \\ ^(dt, б/л:) = 2М^б^'.
|X|>6 \X\^l
it;x)^Gi {r,x)^Gi

§ 471 УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ МЕР 267
Если бы Mvs^* —> со при S —> о, то и Mv^^' —^ оо при S —^ О,
поэтому тогда ^гг-^—^1, а тгтг;7^1*) по вероятности.
Это противоречило бы предположению о том, что
меры [J-1 и [J-2 абсолютно непрерывны относительно друг
друга. Аналогично можно установить, что
\ \ 7Г.2 (dt, dx) <^ ОС, ^ ^ TTi (dt, dx) <i со,
P21 If. •'^)-^~2
^ ^ -31:2 {dt, dx) <^ CO.
Необходимость условия в) доказана.
Необходимость условия г). Обозначим через G
множество пар (f, X), для которых -2-^p2i(^, Х)^2. Введем
случайные величины
%'^ = ^ ^ [р21 (t, JC) — 1 ] Vi (б/^, ^JC),
G
0f = ^5 [p2i(^, JC)— l]V2(rf^, dx).
G
Тогда
Ме^^' — М9^^' = 5 5 [p2i (t, X)—\] P21 (^, X) TTi (rf^, rfjc) -
G
- \\[p,i(t,X)-\]^idt,dx)= \\ [Pn(t.X)-\f7z,(dt,dxl
G G, \x\>h
1дг|:>6
De^^^ = \\ [P21 {t, x)~\fTci{dt, dx),
G, |дг|>6
Df)r = \ \ [pn (ty X) — 11'-^ ТГ2 (dt, dx) ^ 4D0'i\
G, |дг|>о
Поэтому если ^ ^ (p2i (^, jc) — 1)'^ '^i (dt, dx) = cx), то
*) См. сноску на стр. 13.

268 МЕРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕССАМ [ГЛ. 9
О по вероятности, а —^WT) " ^ "^ вероят-
ности. Это же противоречит абсолютной непрерывности
мер (JI-1 и (л<2. Так как при -н- ^ P2i ^ 2 величина -Ц^
ограничена, то существует ^ ^ [1п p^i (^, x)f'Ki{dty dx). Суще-
Q
ствование
3 3 i + iinp.^^^)]^^^^'^^^ '^''^
вытекает из условия в). Необходимость условий теоремы
доказана.
Перейдем к доказательству достаточности условий
теоремы, а также формулы (47.1). Рассмотрим 2/;2-мерные
процессы с ///-мерными компонентами
t
0 1дг1>е
\ \ XVi{dty dx)\
0 |дг|>е
t
11^' (o = (ir (0 + «1 (0 + A^i (0 - J j r+w ""' ^'^^' '^•*'^'
0 |дг|>е
t
\ \ A:v2(rf/, ^л:)1
0 |л:Г>е
Так как компоненты у пар независимы и первые
компоненты имеют меры, абсолютно непрерывные одна
относительно другой на основании теоремы 4 § 45, а вторые
компоненты имеют меры, абсолютно непрерывные одна
относительно другой на основании теоремы § 46, то меры (л^^)
и [л<(^), соответствующие этим процессам, будут также
абсолютно непрерывны одна относительно другой на основании
теоремы 3 § 44. Если учесть выражения для плотностей мер

§ 47] УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ МЕР 269
В теореме 4 § 45 и формуле (46.1), то можно записать
_ т т
(Г(0) = ехр{52(^-.(0.^1Г(0)-
О /г=1
Т т Т
-yJ2 ^И0«^Ч0+5 J lnp2i(^, X)Mdt. dx)-
0 k=\ 0 f^{m)
T
~- \ \ Ы (^, Х)-1]щ m dx)V (47.2)
0 I X \ >e
Пусть теперь \^p (t) является суммой компонент
процесса 1}^^ (t). Так как |у^^ (t) восстанавливается по |j'^ (t)
однозначно, то
будет также выражаться правой частью (47.2) на основании
теоремы 2 и замечания 1 § 44. Заметим теперь, что
ПО вероятности. Поэтому можно воспользоваться
теоремой 1 § 44, если заметить, что правая часть (47.2) сходится
к правой части (47.1) и что аналогичное утверждение
справедливо и при перестановке индексов 1 и 2. Теорема
доказана.

ПРИМЕЧАНИЯ
Глава 1
§ 3. Теорема 1 содержится в работе А. Н.
Колмогорова [41]. Теоремы, сходные с теоремами 2 и 3, встречаются
у разных авторов, см., например, И то [31], Лев и [51].
§ 4. Основные теоремы о сходимости рядов с
независимыми слагаемыми принадлежат Хинчину и
Колмогорову [77], [41]. Несколько другие методы при решении этих
задач используются в книгах Дуба [24] (гл. 3, § 2) и
Лоэва [56] (§§ 16, 17).
Глава 2
§ 6. Процессы с независимыми приращениями
рассматривались впервые Баше лье [1] (непрерывный гауссовский
процесс). В строгой математической форме такой процесс
был изучен Н. Винером [7, 8]. Процессы более общего
вида рассматривались Ф и н е т т и [72], Колмогоровым [45],
Лев и [50].
§ 9. Отсутствие разрывов второго рода у процессов
с независимыми приращениями установлено Леви [50],
приведенное доказательство использует идею К и н н и [40].
§ 10. Условия непрерывности процессов с независимыми
приращениями принадлежат Леви [53].
Глава 3
§§ 11, 12. Меры, построенные по скачкам процесса, были
введены И то [30, 31], ему же принадлежит теорема о
независимости значений этой меры.

ПРИМЕЧАНИЯ 271
§ 13. Интегралы по пуассоновской мере рассматривались
И т о в тех же работах. Интегралы по общим мерам с
независимыми значениями изучал Прекопа [60].
§ 14. Процессы с конечным числом скачков (такими
являются процессы ?д (t)) под названием обобщенных процессов
Пуассона рассмотрены Хинчиным в [74], гл. 2. Им
получена функция распределения для таких процессов.
§ 15. Нормальность непрерывного процесса с
независимыми приращениями доказана Хинчиным в [74], гл. 1, § 2.
§ 16. Вывод формулы для характеристической функции
однородного процесса в случае конечной дисперсии
принадлежит Колмогорову [45], а в общем случае — Леви [50].
Идея разложения процесса на непрерывную и
скачкообразную составляющие также принадлежит Леви [50], хотя ее
осуи;ествление не строго. Строго это проделано в работе
И то [30].
Глава 4
§ 18. Интегро-дифференциальные уравнения этого
параграфа получены впервые для непрерывных марковских
процессов (частным видом которых являются процессы с
независимыми приращениями) Колмогоровым [43] и обобщены
Феллером [71] для того случая, когда процесс имеет
конечное число скачков.
§ 19. Уравнения для характеристической функции
функционала аддитивного типа от процесса броуновского
движения получены Кацем [35, 36], а для однородных
процессов Маркова, включающих однородные процессы с
независимыми приращениями, Д ы н к и н ы м [26]. Вопрос о
способах определения распределений аддитивных функционалов
исследовался Дарлингом в [19].
§ 20. Уравнения для процессов с границами в случае
непрерывных процессов Маркова получены Хинчиным
в [74].
Глава б
§ 22. Понятие строгой марковости процесса вводится,
например, в статье Дынкина и Юшкевича [27].
Доказанная в этом параграфе теорема вытекает из теоремы той же
статьи.
§ 23, Распределение максимума однородного процесса
с независимыми приращениями изучалось Крамером [48]

272 ПРИМЕЧАНИЯ
для некоторых процессов, имеющих конечное число скачков.
При некоторых аналитических ограничениях на
характеристическую функцию процесса Бакстер и Донскер в [3J
нашли двойное преобразование Лапласа (по t и а)
вероятности Р{ sup ?(s)^^}.
§ 24. Рост однородных процессов с независимыми
приращениями изучался Хинчиным [76], Гнеденко [14, 15],
Сирао Тунекити [63].
§ 25. Устойчивые распределения введены Л е в и [49].
Общий вид таких распределений установлен Лев и [49, 51]
и Хинчиным [75]. Относительно свойств устойчивых
законов см. также книгу Гнеденко и Колмогорова [17].
Исследование совместного распределения максимума и
минимума для симметричных устойчивых процессов проводилось
Дарлингом [18] и Кацем [38, 39]. Блюмменталь и
Джетур в [4, 5] изучали локальные свойства устойчивых
процессов и геометрические свойства траектории процесса
как кривой на плоскости {t, ?). В [6] они продолжали эти
исследования для некоторых классов однородных процессов
с независимыми приращениями.
§ 26. Вероятность для пребывания пуассоновского
процесса в полосе, ограниченной параллельными прямыми,
получена Пайком в [59].
Глава 6
Процесс броуновского движения впервые рассмотрен
Башелье [1]. Строгое построение этого процесса и
изучение свойств его траекторий было проведено Винером [7].
§ 27. Формула (27.1) получена Лев и в [54]. Формула
(27.3) принадлежит Башелье [1].
§ 28. Закон арксинуса для процесса броуновского
движения установил Л е в и в [52]. Обобщение этого результата
(распределение времени пребывания процесса выше
некоторой наклонной прямой) получено Бакстером [2]. Н и с и-
да [58] рассматривал среднее время пребывания в
некоторых областях. Предельные теоремы для функционалов
т
\^f{w(s))ds при 7^-^оо изучали Каллианпур и
Робби не [32].

ПРИМЕЧАНИЯ 273
§ 29. Уравнения для вероятности того, что процесс не
выйдет из некоторой полосы, рассматривали X и н ч и н [74]
(гл. 4) и Леви [54].
§ 30. Закон повторного логарифма был установлен для
сумм независимых случайных величин Колмогоровым [42],
а для процесса броуновского движения Хинчиным [74],
гл. 5.
§ 31. Рост двумерного процесса при t-^oo изучал
С питцер [68].
§ 32. Время достижения процессом границы области
изучалось с помощью гармонических функций Хаитом [73].
Следует отметить работы Леви [55], Тейлора [69, 70],
Дворецкого, Эрдеша и Какутани [21, 22], Мак-
К и н а [57], посвященные вопросам самопересечения и
размерности Хаусдорфа траекторий процесса броуновского
движения.
Процесс броуновского движения применяется в некоторых
работах по анализу. См. по этому поводу статьи К а ц а
[36, 37], Камерона и Мартина [33, 34], Гельфанда
и Яглома [10]. Нелинейные преобразования процесса
броуновского движения и их применения рассмотрел Винер в [9].
Глава 7
Результаты этой главы могут быть получены как
простые следствия предельных теорем для сумм независимых
случайных величин, см. по этому поводу книги Леви [51],
Хинчина [75], Гнеденко и Колмогорова [17].
Глава 8
§ 37. Предельные теоремы для различных конкретных
функционалов от последовательности сумм независимых
случайных величин в случае сходимости к процессу
броуновского движения рассматривали Колмогоров [44, 46],
Эрдеш и Кац [28, 29], Чжун [78]. Общая предельная
теорема в случае сходимости сумм одинаково
распределенных величин получена Донскером [23] и обобщена
Прохоровым в [61] на случай слагаемых с различным
распределением. Результаты этого рода собраны в обзоре К о л-
могорова и Прохорова [47]. Сходимость к разрывным

274 - ПРИМЕЧАНИЯ
процессам впервые рассмотрена в работе Гихмана [11].
Предельная теорема для величины первого перескока через
некоторый уровень (это первый функционал, существенно
зависящий от разрывности процесса) получена Д ы н к и-
н ы м [25].
§§ 38, 39. Сходимость, рассмотренная в этих
параграфах, подробно изучалась в моей работе [64].
§ 40. Теоремы о предельном поведении функционалов
от последовательности процессов с независимыми
приращениями имеются в статье Прохорова [62] и моей статье [65].
§ 41. Относительно сходимости к непрерывным
процессам уже говорилось выше.
Следует отметить ряд работ, в которых рассматриваются
предельные теоремы, не укладывающиеся в приведенную
в главе 8 схему. Это предельные теоремы для числа
пересечений последовательностью сумм некоторой кривой и для
других нерегулярных аддитивных функционалов,
содержащиеся в работах Чжуна и Ханта [80], Чжуна [79],
Гихмана [12, 13] и моей [67].
Глава 9
Эта глава содержит в переработанной форме результаты
моей статьи [66]. Случай, когда ^^(t) = w(t), ^^ (t) = w (t) ~\~
-)- Y (t), где w (t) — процесс броуновского движения,
рассмотрен Камероном и Мартином [33].

ЛИТЕРАТУРА
1. В ache lie г P., Theorie de la speculation, Ann. Ecol. norm. 17
(1900), 21—86.
2. В a X t e r G., Wiener process distributions of the «arcsine law»
type, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 730—741.
3. Baxter G., Donsker M., On distribution of supremum
functional of process with independent increments, Trans. Amer. Math.
Soc. 85 (1957), 73.
4. Blummenthal R. M., G e t о о r R. К., A dimension theorem
for sample functions of stable process, 111. J. Math. 4 (I960),
370-375.
5. В 1 u m m e n t h a 1 R. M., G e t о о r R. K., Some theorems on
stable process, Trans. Amer. Math. Soc. 95 (1960), 263—273.
6. В 1 u m m e n t h a 1 R. M., Getoor R. K., Sample functions of
stochastic process with stationary independent increments, J. Math,
and Mech. 10 (1961), 493—516.
7. W i e n e r N., Differential space, J. Math. Phys. Mass. Inst, of
Technology 2 (1923;, 131—174.
8. Wiener N., Generalised harmonic analysis. Acta Math. 55 (1930),
117—258.
9. В и H e p H., Нелинейные задачи в теории случайных
процессов, ИЛ, 1961.
10. Гельфанд И. М., Я г лом А. М., Интегрирование в
функциональном пространстве и его применение в квантовой
механике. Успехи матем. наук 11 (1956), № 1, 77—114.
И. Г1хман И. И., Об одной теореме А. Н. Колмогорова, Научн.
зап. Киевск. ун-та, 12:6, Матем. сб. 7 (1953), 75—94.
12. Гихман I. I., Деяк1 граничн1 теореми для к1лькост1 перетин1в
випадковою функшею гранищ даноТ област1. Наук. зап. КиТвск.
ун-ту, 16, Матем. зб. 10 (1957), 149—163.
13. Г1хман I. I., Асимптотичн! розпод1ли числа перетин1в
випадковою функшбю границ1 даноТ област1, BicH. КиТв. ун-ту, сер.
астрон., матем., механ., 1, в. 1 (1958), 25—46.
14. Гн еден ко Б. В., О росте однородных случайных процессов
с независимыми приращениями. Изв. АН СССР, сер. матем., 7
(1943), 89—110.
15. Гн еден ко Б. В., К теории роста однородных случайных
процессов с независимыми приращениями, Сб. тр. Ин-та матем.
АН УССР 10 (1948), 60—82.

276 ЛИТЕРАТУРА
16. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, изд. 3, Физмат-
гиз, 1961.
17. Гнеденко Б. В., К о л м о г о р о в А. Н., Предельные теоремы
для сумм независимых случайных величин, Гостехиздат, 1949.
18. D а г 1 i п g D. А., The maximum of sums of stable random
variables, Trans. Amer. Math. Soc. 83 (1956), 164-169.
19. D a r 1 i n g D. A., Etude des fonctionnelles additives des
processes markovienes, Calcul. prob. et. appL, Paris, 1959, 69—80.
20. D a r 1 i n g D.' A., E r d 6 s P., A limit theorem for the maximum
of normalised sums of independent random variables, Duke Math. J.
23 (1956), 143-155.
21. Dvoretzky A., Erdos P., К a к u t a n i, Multiple points of
path of Brownian motion. Bull. Res. Council. Israel 3 (1954),
364—371.
22. D V 0 r e t z к у A., Erdos P., К a к u t a n i. Triple points of
Brownian path in 3-йрасе, Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (1957),
4, 856—862.
23. D 0 n s к e r M., An invariance principle for certain probability
limit theorems, Mem. Amer. Math. Soc. 6 (1951), 1—12.
24. Дуб Дж., Вероятностные процессы, ИЛ, 1956.
25. Дынкин Е. В., Некоторые предельные теоремы для сумм
независимых случайных величин с бесконечными математическими
ожиданиями. Изв. АН СССР, сер. матем., 19 (1955), 247—266.
26. Д ы н к и н Е. В., Функционалы от траекторий марковских
случайных процессов. Докл. АН СССР 104 (1955), 691—694.
27. Д ы н к и н Е. Б., Юшкевич А. А., Строго марковские
процессы. Теория вероятностей и ее применения 1 (1956), 149—155.
28. Erdos Р., Кае М., On certain limit theorems on the theory of
probability. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1946), 292—302.
29. E r d о s P., К a с M., On the number of positive sums of
independent random variables. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1946), 1011—1020.
30. 11 0 K., On stochastic processes, Japan J. Math. 18 (1942), 261—301.
31. И TO K., Вероятностные процессы, вып. 1., ИЛ, 1960.
32. К а 1 1 i а n р u г G., R о b b i п s R., Ergodic property of the
Brownian motion process, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39 (1953), 525—533.
33. С a m e r о n R. H., Martin W. Т., Transformation of Wiener
integrales under translation, Ann. Math. 45 (1944), 386—396.
34. Cameron R. H., Martin W. Т., Transformation of Wiener
integrales by nonlinear transformation. Trans. Amer. Math. Soc. 66
(1949), 253—283.
35. К a с M., On distribution of certain Wiener functional. Trans.
Amer. Math. Soc. 65 (1949), 1—13.
36. К a с M., On some connections between probability theory and
differential and integral equations, Proc. 2-nd Berkley Symp. Math.
Stat, and Prob., 1951, 189—21-5.
37. К a с M., An application of probability theory to the study of
Laplace's equation, Roczn. Polsk. towarz. mat. 25(1952), 122—130.
38. К a с M., Some remarks on stable processes, Publ. Inst. Stat. Univ.
Press. 6 (1957), 4, 303—306.
39. К a с M., Some remarks on stable processes with independent
increments, Probability and Statistics, 1959, 130—138.

ЛИТЕРАТУРА 277
40. К i n n е у R., Continuity properties of sample functions of Mar-
koff processes, Trans. Amer. Math. Soc. 74 (1953), 280—302.
41. К о 1 m о g о r о f f A. N., Ueber die Summen durch den Zufall
bestimmter unabhangiger Grossen, Math. Ann. 99 (1928), 309—319;
Math. Ann. 102 (1929), 484—488.
42. Kolmogoroff A. N., Ueber das Gesetze des iterierten Logari-
thmus. Math. Ann. 101 (1929), 126—135.
43. К о л M о г о p о в А. Н., Об аналитических методах в теории
вероятностей. Успехи матем. наук 5 (1938), стр. 5—41.
44. К о 1 m о g о г о f f А. N., Eine Verallgemeinerung des Laplace-
Liapunoffschen Satzes, Изв. AH СССР, Отд. матем. естественных
наук, 1931, 959—962.
45. К о 1 m о g о г о f f А. N., Sulla forma generale di un processo
stocastico omogeneo, Atti Accad. naz. Lincei 15 (1932), 805—808,
866—869.
46. К о 1 m о g о r of f A. N., Ueber die Grenzwertsatze der Wahr-
scheinlichkeitrechnung. Изв. AH СССР, Отд. матем. естественных
наук, 1933, 363—372.
47. К о 1 m о g о г о V А. N., Р г о с h о г о v J. V., Zufalige functionen
und Grenzverteilungssatze, Bericht Tagungswahrchein. math. Stat.,
Berlin, 1954, 113—126.
48. Cramer H., Collektive Risk Theory, Stockholm, 1955.
49. Levy P., Calcul des probabilies, Paris, 1925.
50. Levy P., Sur les integrales dont les elements sont des variables
aleatoires independentes, Ann. Scuola norm, super. Pisa, Sei. fis.
e mat. 2 (1934), 337—366; 4 (1935), 217—218.
51. Levy P., Theorie de {'addition des variables aleatoires, Paris,
1937.
52. Levy P., Sur certain processes stochastiques homogenes, Compo-
sitio math. 7 (1939), 283—339.
53. Lev у P., La mouvement Brownien plan, Amer. J. Math. 62 (1940),
487—550.
54. Levy P., Processes stochastiques et mouvement Brownien, Paris,
1948.
55. Levy P., La mesure de Hausdorff de la courbe de mouvement
Brownien, Giorn. Inst. Ital. Attuari 16 (1953), 1—37.
56. Лоэв M., Теория вероятностей, ИЛ, 1962.
57. McKean Н., Hausdorff-Besicovitch dimension of Brownian
motion path, Duke Math. J. 22 (1925), 229—234.
58. Нисида, О среднем времени пребывания броуновского
движения, Сугаку (Япония) 6 (1954), 23—30.
59. Руке R., The supremum and infimum of the Poisson process,
Ann. Math. Statistics 30 (1959), 568—576.
60. P r e к о p a A., On stochastic set function. Acta math. Acad, scient.
hung. 7 (1956), 215—263; 8 (1957), 337—400.
61. Прохоров Ю. В., Распределение вероятностей в
функциональных пространствах. Успехи матем. наук 8:3 (1953), 165—
167.
62. Прохоров Ю. В., Сходимость случайных процессов и
предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей и
ее применения 1 (1956), 177—238.

278 ЛИТЕРАТУРА
63. S i г а о Т U п е к i t i, On some asymptotic properties concerning
homogeneous differential processes, Nagoya Math. J. 6 (1956),
64. С к о p о X 0 Д A. В., Предельные теоремы для случайных
процессов, Теория вероятностей и ее применения 1 (1956), 289—319.
65. С к о р о X о д А. В., Предельные теоремы для случайных
процессов с независимыми приращениями, Теория вероятностей и
ее применения 2 (1957), 145—177.
66. Скороход А. В., Об абсолютной непрерывности мер,
соответствующих случайным процессам I, Теория вероятностей и ее
применения 2 (1957), 418—444.
67. С к о р о X о д А. В., Предельные теоремы для аддитивных
функционалов от последовательности сумм независимых случайных
величин, Укр. матем. ж. 13:4 (1961), 67—78.
68. S р 11 Z е г F., Some theorems concerning 2-dimensional Brownian
motion. Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), 187—197.
69. Taylor S. J., The Hausdorff a-dimensional measure of Brownian
paths in «-space, Proc. Cambridge Philos. Soc. 49 (1953), 1, 31—39.
70. T a у 1 о r S. J., The a-dimensional measure of the graph and set
of zeros of a Brownian path, Proc. Cambridge Philos. Soc. 51
(1955), 2, 265—274.
71. Feller W., On the integro-differential equations of purely
discontinuous Markoff processes, Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940),
488—518.
72. F i n e 11 i В., Sulla funzioni a incremento aleatorio, Rend. Accad.
Naz. Lincei, CI. Sci. Fis. Math. Natur (6), 10 (1929), 163—168.
73. Hunt G. A., Some theorems concerning Brownian motion. Trans.
Amer. Math. Soc. 81 (1956), 294—319.
74. X и H Ч и H A. Я., Асимптотические законы теории вероятностей,
ОНТИ, 1936.
75. X и н ч и н А. Я., Предельные законы для сумм независимых
случайных величин, ГОНТИ, 1938.
76. X и н ч и н А. Я., О локальном росте однородных
стохастических процессов без последействия. Изв. АН СССР, сер. матем.,
1939, 487—505.
77. К h i п t S с h i п А., К о 1 m о g о г о f f А., Ueber Konvergenz von
Reihen deren Glieder durch den Zufalle bestimmt werden, Матем.
сб. 32 (1925) 668—677.
78. С h u n g K. L., On the maximum of partial sums of independent
random variables. Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 205—233.
79. С h u n g K. L., Fluctuations of sums of independent random
variables. Acta Math. 51 (Ю50), 697—706.
n
80. с h u n g K. L., H u n t G. A., On the zeros of ^ ± 1, Ann. Math.
1
50 (1949), 385—400.
81. Халмош П., Теория меры, ИЛ, 1953.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
ИМЕЮТСЯ в ПРОДАЖЕ:
Б ер ж К., Общая теория игр нескольких лиц, перев. с
франц., Физматгиз, 1961, 126 стр. 30 коп.
Б у с л е н к о Н. П. и др.. Метод статистических
испытаний (Монте-Карло) и его реализация на цифровых
вычислительных машинах, Физматгиз, 1961, 226 стр., 54 коп.
Буш Р. и Мостеллер Ф., Стохастические модели
обучаемости, перев. с англ., Физматгиз, 1962, 484 стр., 1 р. 37 к.
Гутер Р. С. и О в чи некий Б. В., Элементы
численного анализа и математической обработки результатов
опыта, Физматгиз, 1962, 356 стр., 1 р. 07 к.
К о у д е н Д., Статистические методы контроля
качества, перев. с англ., Физматгиз, 1961, 624 стр., 2 р. 88 к.
Л и н н и к Ю. В., Метод наименьших квадратов и
основы математико-статистической теории обработки
наблюдений, Физматгиз, 1962, 350 стр., 1 р. 24 к.
Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957.
Биобиблиография, Физматгиз, 1959, 820 стр., 4 р. 47 к.
Митропольский А. К., Техника статистических
вычислений, Физматгиз, 1961, 480 стр. 1 р. 78 к.
Романовский В. И., Дискретные цепи Маркова,
Гостехиздат, 1949, 436 стр., 1 р. 38 к.
Хованский А. Н., Приложение цепных дробей и их
обобщений к вопросам приближенного анализа, Гостехиздат,
1956, 203 стр., 53 коп.
Книги продаются в книжных магазинах и высылаются
также почтой наложенным платежом без задатка всеми
республиканскими, краевыми и областными отделениями
^Книга — почтой».

Анатолий Владимирович Скороход.
Случайные процессы
с независимыми приращениями.
М., 1964 г. 280 стр.
Редактор В. В. Данченко.
Техн. редактор К. Ф. Брудно.
Корректор Т. С. Плетнева.
Сдано в набор 5/Х 1963 г. Подписано к
печати 6/II 1964 г. Бумага 84Х1087з2. Физ.
печ л. 8,75. Условн. печ. л. 14,35. Уч.-изд.
л. 13,01. Тираж 9000 экз. Т-00945.
Цена книги 85 к. Заказ № 639.
Издательство «Наука».
Редакция прикладной
и вычислительной математики.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 1 «Печатный
Двор» им. А. М. Горького «Главполиграф-
прома» Государственного комитета Совета
Министров СССР по печати. Гатчинская, 26.