? is -
4
^ГЧ
Автор известнейшего
СБОРНИКА ЗАДАЧ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
Заслуженный профессор МГУ
А.Ф. Филиппов
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
URSS
Все вопросы
программы курса
с детальным
изложением
Примеры решения
типовых задач
с подробными
пояснениями
А. Ф. Филиппов
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Президиум учебно-методического Совета по математике
и механике УМО по классическому университетскому
образованию рекомендует к изданию с грифом «Допущено
Министерством образования РФ в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений по группе
физико-математических направлений и специальностей»
Издание второе, исправленное
МОСКВА
URSS
ББК 22.161.6 22.1я73
Филиппов Алексей Федорович
Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр.
М.: КомКнига, 2007. - 240 с.
Книга содержит весь учебный материал в соответствии с программой Мин-
вуза по курсу дифференциальных уравнений для механико-математических и фи-
зико-математических специальностей университетов. Имеется также небольшое
количество дополнительного материала, связанного с техническими приложени-
ями. Это позволяет выбирать материал для лекций в зависимости от профиля
вуза. Объем книги существенно уменьшен по сравнению с имеющимися учеб-
никами за счет сокращения дополнительного материала и выбора более простых
доказательств из имеющихся в учебной литературе.
Теория излагается достаточно подробно и доступно не только для сильных, но
и для средних студентов. Приводятся с пояснениями примеры решения типовых
задач. В конце параграфов указываются номера задач для упражнений из «Сбор-
ника задач по дифференциальным уравнениям» А. Ф. Филиппова и указываются
некоторые теоретические направления, примыкающие к изложенным вопросам,
со ссылками на литературу (книги на русском языке).
Рецензенты:	>
декан факультета педагогического образования МГУ,
доктор физико-математических наук, профессор Н.Х. Розов;
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры дифференциальных уравнений
механико-математического факультета МГУ И. И. Сергеев
Издательство «КомКнига». П7312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Формат 60 x 90/16. Печ.л. 15. Зак. №655.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, д. 11А, стр. 11.
13-значный ISBN, вводимый с 2007 г.:	© КомКнига, 2007
ISBN 978-5-484-00786-8
Соотв. 10-значный ISBN, применяемый до 2007 г.:
ISBN 5-484-00786-0
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Телефакс 7 (495)135-42-16
URSS Телефакс: 7 (495) 135-42-46
4567 ID 47764
Оглавление
Предисловие............................................. 5
Глава 1
Дифференциальные уравнения и их решения................. 7
§ 1.	Понятие о дифференциальном уравнении.............. 7
§ 2.	Простейшие методы отыскания решений............... 14
§ 3.	Методы понижения порядка уравнений............... 22
Глава 2
Существование и общие свойства решений................. 27
§ 4.	Нормальный вид системы дифференциальных уравнений
и ее векторная запись................................. 27
§ 5,	Существование и единственность решения........... 34
§ б.	Продолжение решений.............................. 47
§ 7.	Непрерывная зависимость решения от начальных условий
и правой части уравнения.............................. 52
§ 8.	Уравнения, не разрешенные относительно производной ... 57
Глава 3
Линейные дифференциальные уравнения и системы.......... 67
§ 9.	Свойства линейных систем......................... 67
§ 10.	Линейные уравнения любого порядка................ 81
Г*'
3
Оглавление
§ 11.	Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .. .	\
§ 12.	Линейные уравнения второго порядка................109
§ 13.	Краевые задачи....................................115
§ 14.	Линейные системы с постоянными коэффициентами.....124
§ 15.	Показательная функция матрицы.....................137
§ 16.	Линейные системы с периодическими коэффициентами ... 145
Глава 4
Автономные системы и устойчивость.......................151
§ 17.	Автономные системы................................151
§ 18.	Понятие устойчивости..............................159
§ 19.	Исследование устойчивости с помощью
функций Ляпунова........................................167
§ 20.	Устойчивость по первому приближению...............175
§21.	Особые точки......................................181
§ 22.	Предельные циклы..................................190
Глава 5
Дифференцируемость решения по параметру
и ее применения.........................................196
§ 23.	Дифференцируемость решения	по параметру...........196
§ 24.	Асимптотические методы решения дифференциальных
уравнений...............................................202
§ 25.	Первые интегралы..................................212
§ 26.	Уравнения с частными	производными	первого порядка ... 221
Литература.............................................. 234	""
Предметный указатель....................................237
Предисловие
, Книга содержит подробное изложение всех вопросов про-
граммы курса обыкновенных дифференциальных уравнений для
механико-математических и физико-математических специаль-
ностей университетов, а также некоторые другие вопросы, акту-
альные для современной теории дифференциальных уравнений
и приложений: краевые задачи, линейные уравнения с перио-
дическими коэффициентами, асимптотические методы решения
дифференциальных уравнений; расширен материал по теории
устойчивости.
Новый материал и некоторые вопросы, традиционно вклю-
чающиеся в курс (например, теоремы о колеблющихся реше-
ниях), но не обязательные для первого знакомства с теорией
дифференциальных уравнений, даны мелким шрифтом, начало
и конец которого отделены горизонтальными стрелками. В зави-
симости от профиля вуза и направлений подготовки студентов
на кафедре остается выбор, что из этих вопросов включать в курс
лекций и программу экзамена.
Объем книги существенно меньше объема известных учеб-
ников по данному курсу за счет сокращения дополнительного
(не входящего в обязательную программу) материала и за счет
выбора более простых доказательств из имеющихся в учебной
литературе.
Материал излагается подробно и доступно для студентов со
средним уровнем подготовки. Используются лишь классические
5
Предисловие
понятия математического анализа и основные сведения из ли-
нейной алгебры, включая жорданову форму матрицы. Вводится
минимальное число новых определений. После изложения тео-
ретического материала приводятся с подробными пояснениями
примеры его применения. Указываются номера задач для упраж-
нений из «Сборника задач по дифференциальным уравнениям»
А. Ф. Филиппова.
В конце почти каждого параграфа перечисляются несколько
направлений, в которых развивались исследования по данному
вопросу, — направлений, которые можно назвать, пользуясь
уже известными .понятиями, и по которым имеется литература
на русском языке.
В каждой главе книги принята своя нумерация теорем, при-
меров, формул. Ссылки на материал других глав редки и даются
с указанием номера главы или параграфа.
ГЛАВА 1
Дифференциальные
уравнения
и их решения
§ 1. Понятие о дифференциальном
уравнении
1« Дифференциальным уравнением называется соотношение
= С>	(1)
связывающее значения независимого переменного х, искомой
функции у — у(х) и ее производных до некоторого порядка
n > 1. Порядок п старшей производной, входящей в уравне-
ние, называется порядком уравнения. Подразумевается, что в (1)
значения у, у*.у^ берутся при одном и том же х.
Решением уравнения (1) называется функция, определенная
на некотором интервале (или отрезке), имеющая производные
до порядка п и удовлетворяющая этому уравнению, то есть при
7
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
подстановке ее в уравнение обращающая его в тождество на этом
интервале.
Если искомая функция зависит от нескольких переменных,
и в уравнение входят ее частные производные, то уравнение
называется уравнением с частными производными. Такие урав-
нения здесь не рассматриваются, кроме последнего параграфа.
В отличие от них уравнение (1) называется обыкновенным диф-
ференциальным уравнением.
Примеры показывают, что дифференциальное уравнение,
вообще говоря, имеет много решений. Так, уравнению у*—2® = О
удовлетворяет функция у = х2 + с при любом постоянном с.
Если же в задаче, которая привела к дифференциальному уравне-
нию, ищется единственное решение, то должно быть задано и на-
чальное условие, то есть значение искомой функции при каком-то
значении х. Например, задание начального условия у(1) = 5
позволяет найти с, при котором решение у = х2 + с уравне-
ния у* - 2® = О удовлетворяет этому условию: у = 5 при х = 1,
то есть I2 + с = 5, с = 4.
В главе 2 будет доказано, что если /(®,у) и df/dy не-
прерывны в области D, то для любой точки (®о, уо) 6 В су-
ществует единственное решение уравнения у* = /(®,у) с на-
чальным условием у(®о) = Уо- Для уравнения n-го поряд-
ка у(п) = f(x, у, у1,..., у^п~^) нужны п начальных условий
у(®о) = Уо, у'(®о).= УЬ> •••» у(п-1)(®о) = Уо”"0-
2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Пер-
вые примеры применения дифференциальных уравнений для
решения геометрических и физических задач дали Ньютон и
Лейбниц.
8
$ 1. Понятие о дифференциальном уравнении
Рассмотрим несколько задач такого рода.
I-------------------------------------------------------1
I Задача 1. Найти кривую, любая касательная к которой пере- I
] секает ось абсцисс в точке, абсцисса которой вдвое меньше }
I абсциссы точки касания.	I
I_________________________________________________________I
Решение задачи. Запишем уравнение кривой в виде у = у(«).
Касательная в точке М(х,у) пересекает ось абсцисс в точ-
ке К. В прямоугольном треуголь-
нике МРК (рис. 1) известен ка-
тет РМ = у и tga = у' (геоме-
трический смысл производной). По-
этому КР — РМ/ tg а = у/у*. По
условию КР = ОК — ОР/2, то
есть у/у' = х/2, ху' = 2у.
Решить это уравнение можно ме-
тодом, изложенным в п. 1 § 2. Это да-
ет у = сх2, с — любое. При с = О получается прямая у = 0, она
не является решением задачи. Поэтому искомые кривые у = сх2
(с / 0) — параболы.
I---------------------------------------------------------->
I Задача 2. Написать дифференциальное уравнение движения i
1 тела с массой т по оси Ох под действием силы f(t, х, а/), 1
[ направленной по этой оси. Здесь х = x(t) — абсцисса [
I и х' = x'(t) — скорость тела в момент t.	I
I__________________________________________________________-1
Решение задачи. Согласно второму закону Ньютона имеем тх" =
f(t,x,x'). Это — дифференциальное уравнение 2-го порядка,
9
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
поэтому нужны два начальных условия: положение тела ж(<о) =
a?o и его скорость x'(to) = х$ в какой-либо момент to*
Рассмотрим подробнее частный случай, когда / — упругая
сила, по закону Гука пропорциональная отклонению тела от по-
ложения равновесия х = 0 и направленная в сторону положения
равновесия, то есть f = -кх. Тогда уравнение движения прини-
мает вид тх" = — кх и имеет решение х = q cos at + Cj sin at,
где a = y/k/m, a q и c2 — произвольные постоянные, ко-
торые можно найти, зная начальные условия (непосредственно
проверяется, что это — решение; метод его отыскания излагается
в §11).	4
Если движутся п тел, силы взаимодействия которых зависят
от положения тел и их скоростей, то написав уравнения движе-
ния для каждого тела, получаем систему п дифференциальных
уравнений. Если тела движутся не по прямой, а в пространстве,
то подобные уравнения пишутся для каждой координаты каждого
тела, и получается система из Зп уравнений.
I---------------------------------------
* Задача 3. В электрическую цепь по-
I следовательно включены источник по-
[ стоянного тока с напряжением V, ка-
| тушка самоиндукции L, сопротивле-
। ние R и выключатель, который замы-
• кает цепь при t = 0. Найти силу тока
। в цепи при t > 0 (рис. 2).
I_______________________________________
Рис. 2
Решение задачи. Согласно физическим законам ([7], § 13) при по-
следовательном соединении во всех элементах цепи сила тока I(t)
одна и та же. Сумма падений напряжения на всех элементах цепи
10
§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении
равна напряжению источника тока, то есть
di
L—+RI=V; 1(0) = 0.
at
Решить уравнение можно методом п. 1 § 2. С учетом условия
1(0) = 0 имеем
= (<>»)•
Л •
Следовательно, сила тока монотонно возрастает от 1=0 при t = 0
и стремится (на практике очень быстро) к предельному значе-
нию 1(оо) = V/R — к тому значению, которое получилось бы
по закону Ома при отсутствии самоиндукции.	◄
Некоторые области применения дифференциальных урав-
нений: системы автоматического управления; расчет движения
ракет, спутников и небесных тел; расчет токов в сложных элек-
трических цепях; динамика Механических и физических процес-
сов в технике; кинетика химических реакций; отдельные вопросы
биологии.
3» Геометрический смысл уравнения у'	Для каждой
точки (®, у) из области D, где определена функция /, уравне-
ние у' = f(x, у) определяет значение производной у' решения,
проходящего через эту точку. Но у' = tga, где а — угол наклона
касательной к кривой, проходящей через эту точку (рис. 1). Та-
ким образом, уравнение у' = f(x, у) определяет в области D пале
направлений: в каждой точке уравнение определяет направление
касательной к решению, проходящему через эту точку. Можно
наглядно изобразить это поле, если в области D взять достаточно
«густое» множество из конечного числа точек и через каждую его
точку (х, у) провести короткий отрезок под углом а к оси Ох,
11
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
где tga = /(®, у). Проводя в области D кривые, идущие везде
приблизительно по направлению ближайших отрезков, получаем
представление о ходе решений данного уравнения.
Метод изоклин помогает построить поле направлений. Изо-
клиной (линией равного наклона) для уравнения у' = f(x, у) на-
зывается геометрическое место точек, где f(x, y) = k,k — const.
Для нескольких к из множества значений функции /, в том числе
для к = 0 и к = оо (если f(x, у) принимает эти значения), строим
изоклины f(x, у) = к, стараясь не оставить на чертеже больших
областей без изоклин или хотя бы без пометок типа «здесь у' > 2».
Через многие точки каждой изоклины f(x, у) = к проводим ко-
роткие отрезки под углом a (tga = к) к оси Ох. По этому
полю направлений строим интегральные кривые — графики ре-
шений данного уравнения. Эти кривые в точках пересечения
с каждой изоклиной должны иметь касательные, параллельные
отрезкам, построенным на этой изоклине. Иногда полезно про-
водить не только изоклины, но и другие кривые — такие, которые
пересекаются полем направлений только в одну сторону.
।------------------------------------------------------------1
I Пример 1. С помощью метода изоклин приближенно постро- i
| ить несколько интегральных кривых уравнения у* = х — у2. I
I____________________________________________________________I
Решение примера. Для нескольких значений к, например, для
к — 0, ±1, ±2 проведем изоклины х - у2 = к. Это — параболы.
Каждую изоклину х - у2 = к пересечем короткими отрезками
под углом a, tga = к, к оси Ох, не доходящими до других
изоклин. Проведем интегральные кривые, например, через точки
(1,1), (0,0), (1,-1), (-1,-1), согласуясь, как указано выше,
с направлениями отрезков на изоклинах. Полученный рис. 3 дает
общее представление о решениях уравнения = х —у2.	◄
12
$ 1. Понятие о дифференциальном уравнении
Хотя рисунок приближенный, из него можно получить некоторые точ-
ные сведения о решениях. В области х < у2 имеем у' < 0, и там
решения только убывают, а в области х > у2 —- только возрастают.
На параболе х = у2 име-
ем j/ = 0 и интегральные
кривые могут пересекать
ее только слева направо,
достигая минимума в точ-
ке пересечения. Поэтому
из области х > у2 реше-
ния не выходят. В замкну-
той области х у2 + 1
имеем = х-у2 1, по-
этому все проходящие там
решения, возрастая, вхо-	рис
дят в полосу между изо-
клинами х - у2 = 1 и х - у2 = 0 и остаются там, так как поле
направлений на границах этой полосы при у > 1/2 не дает им выйти.
Метод изоклин обычно дает представление о поведении всех
решений данного уравнения. Но он обладает малой точностью
и применим только к узким классам уравнений: к уравнениям
первого порядка у9 = f(x9 у), к системам вида
^=р(х>у)>
(система сводится к уравнению dy/dx = q(x, у)/р(х, у)) и к урав-
нениям вида у" = f(y,y') (замена у* = z приводит к системе
У = z, z' = f(y, z), отсюда dzfdy = /(у, z)/z). Кроме того, если
функция f(xt у) сложная, то трудно строить изоклины.
13
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
§ 2. Простейшие методы отыскания решений
Рассматриваются основные классы дифференциальных уравне-
ний первого порядка, для которых решения могут быть найдены
с помощью тождественных преобразований данного уравнения
и замен переменных. Уравнения вида F(x,y,y') = 0 требуют
теоретического исследования и будут рассматриваться в § 8.
1«| Уравнения с разделяющимися переменными. Они могут быть
записаны в виде
у' = /(®)Р(У).	(2)
Предполагаем, что функции fug непрерывны.
Еслир(у) = 0 при у = уь у = у2,..., то функции у(х) = yi,
у(х) = уг,   являются решениями.
В окрестности каждой точки, где д(у) / 0, разделим обе
части уравнения (2) на д(у) и проинтегрируем по х обе части
уравнения
я	в
Г v'dx Г	Г du Г
I ~Г\ = / Л®) dx + c, I -yr = I f(x) dx + c.
J g(y) J	J 9(y) J
Неопределенный интеграл здесь означает любую первообразную
функцию, то есть такую функцию, производная от которой равна
подынтегральной функции. Если две функции равны, то инте-
гралы от них могут отличаться на любую постоянную, то есть
в (3) с — произвольная постоянная. Обозначив интегралы в (3)
через Н(у) и F(x), получаем решение уравнения (2) в неяв-
ном виде: Н(у) = F(x) + с. На любом интервале, где д(у) £ 0,
функция д(у) сохраняет знак, значит, функция Я (у) строго мо-
нотонна, непрерывна и имеет обратную функцию Я-1. Поэтому
решение можно записать и в виде у — H~l(F(x) 4- с).
14
§2. Простейшие методы отыскания решений
(Задачи для упражнений:
[12], §2, №51-59.
Решение, удовлетворяющее начальному условию у(хо) = уо,
в случае д(уо) = 0 есть у(х) = уо- В случае д(уо) 0 0 на интервале,
где д(у) 0 0, из (3) получаем решение у(х) в виде
»(«)
(4)
Замечание. Предположим, что д(уо) = 0, /(xq) 0 0 и что на
некотором интервале уо < у < yi (или у\ < у < уо) имеем
д(у) 0 и левый интеграл в (4) имеет конечное значение, то
есть сходится. Тогда можно показать, что на некотором отрезке
хо < х xi (или Xi х х0) формула (4) также определя-
ет решение уравнения (2). Условию у(хо) = уо удовлетворяют
и решение (4), и решение у(х) = уо.
I-----------------------------------------------------------1
>	Пример 2. Решить уравнение у1 = Зу2^.	*
I___________________________________________________________I
Решение примера. Правая часть равна нулю при у — 0, поэтому
у(х) = 0 — решение. Чтобы найти другие решения, делим обе
части уравнения на Зу2^3 и интегрируем:
у*	Г dy Г
Зу^ = J Зу2/з = J 1 dx + с’
(5)
у1/3 = X + с, у = (х + с)3.
Через любую точку (хо, 0) оси Ох проходит решение у(х) = О
и решение у = (х - хо)3, полученное из (5) (рис. 4). Имеются
15
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
также решения, составленные из двух или трех кусков названных
выше решений, например, АВх, NB3C3, АВВ2С2 и т. п.
Такие составные функции являются решениями, так как они
всюду имеют производную (в точке стыка правая производная
равна левой) и всюду удовле-
творяют данному уравнению. ◄
Уравнения вида
у' = f (ах-^Ьу +с)
приводятся к уравнениям с
разделяющимися переменны-
ми заменой z = ах + by + с,
Рис. 4
z = z(x). Тогда z* = a + brf, следовательно, z' — a+bf(z). Это —
уравнение с разделяющимися переменными.
(Задачи для упражнений:
[12], §2, №60-65.
(6)
2.	Запись уравнения в дифференциалах — это запись
М(х, у) dx + N(x, у) dy = 0,
где М и N — известные функции. Здесь считается, что любую
из величин х и у можно назвать искомой функцией, а другую —
независимым переменным. Решениями уравнения (6) называют-
ся решения хотя бы одного из уравнений
dy _ М(х, у) dx _ N(x,y)
dx N(x,y)’ dy M(x,y)‘
Например, уравнение у dx + x dy = 0 можно преобразовать
к любому из видов
£ =	(а),	** (6).
dx х dy у
16
§2. Простейшие методы отыскания решений
Решениями уравнения (а) являются функции у = cjx (q — лю-
бое число, включая нуль), а уравнения (б) — функции х = cz/y
(cj — любое). Функция у = 0 удовлетворяет только уравне-
нию (а), так как для нее символ dx/dy не имеет смысла, а функ-
ция х = 0 — только уравнению (б). Все эти функции (у = ci/x,
у — 0 и х = 0) называются решениями уравнения у dx+x dy = 0.
3.	Однородные уравнения. Это уравнения, которые можно за-
писать в виде 1/ = f(y/x) или в виде (6), где М(х, у) и N(x, у) —
однородные функции одной и той же степени. Функция М(®, у)
называется однородной функцией степени р, если для любых х, у
и любого к > 0
М(кх, ку) = к?М(х, у).
Примеры однородных функций:
2	2 ЗУ»----------г	х + 2у	2 у
ах+Ъу, ах +Ъху+су , 2®+у®3-5у3, -.......--—, х sin-.
jX “““ ^гХу	X
Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяю-
щимися переменными заменой у = xz, z = z(x); следовательно,
у' = xz' + z. Пример решения однородного уравнения см. в [12],
§4, п. 1.
Однородное уравнение не меняется при одновременной за-
мене х на кх, у на ку (к = const > 0), это следует из определения
однородного уравнения. Поэтому каждое решение однородного
уравнения при такой замене переходит в решение того же урав-
нения. Из этого следует геометрическое свойство: подобное пре-
образование х -* кх, у-* кус центром подобия (0,0) переводит
все интегральные кривые однородного уравнения в интегральные
кривые того же уравнения.
(Задачи для упражнений:
[12], §4, №101-112.
17
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
»
Об уравнениях, приводящихся к однородным, см. [12], §4, п. 2 и п.З.
Задачи там же, № 113-120 к п. 2 и № 121-129 к п. 3.
4.1 Линейные уравнения — это те, в которые у и у7 входят
линейно, то есть в первой степени. Они приводятся к виду
у' = а(х)у + Ь(х).	(7)
Чтобы решить это уравнение, сначала решаем уравнение
у1 = а(х)у.	(8)
Разделяя переменные, как в (3), получаем
— = а(х),	[ — = [ а(х) dx + ci,
у J у J
In |у| = J а(х) dx + ci, |у| = eet<p(x),
где <р(х) = efa^dx. Значит, у = ±ec,y>(®) = с<р(х) — решение
уравнения (8). Здесь с — любое. Значение с = 0 дает решение
у = 0, которое было потеряно при делении на у.
Теперь ищем решение уравнения (7) методом вариации по-
стоянных. Заменяем постоянную с на пока неизвестную функ-
цию с(х). Подставляя у = с(х)<р(х) в (7),получаем
с' <р + ар1 = а(х)ар + Ь(х).	(9)
Так как у — <р(х) — решение уравнения (8), то ср' = а(х)ар,
и из (9) имеем dp = Ъ(х). Находим d(x), затем с(х), и получаем
решение у = с(х)<р(х) уравнения (7).
I-------------------------------------------------------1
|	Пример 3. Решить уравнение ху' = 2у - 2®4.	I
I_______________________________________________________I
18
$2. Простейшие методы отыскания решений
Решение примера. Решаем сначала уравнение ху1 = 2у. Разделяя
переменные и интегрируя, получаем
1/2 Г dy Г 2
— = -,	/—= I - dx + ci, ln|y| = 21n|®|4-q.
У х J у J х
Отсюда имеем у = ±ес'х2 = сх2. Теперь ищем решение исходного
уравнения в виде у = с(х)х2. Подставляя в исходное уравнение,
получаем
®3с' + с • 2х2 = 2сх2 — 2х4, с = —2х.
Отсюда с(х) = —х2 +С2 и у = с(ж)ж2 = —ж4 + с^х2 — искомое
решение.	◄
Об уравнениях, линейных относительно х, см. [12], § 5, п. 2.
(Задачи для упражнений:
[12], §5, №136-150.
5«| Уравнения Бернулли — это те, которые можно записать в виде
у' = а(х)у + Ъ(х)уа (а / 0, а / 1);	(10)
При а = 0 и а = 1 это уравнение — линейное. Чтобы решить
уравнение (10), надо обе его части разделить на уа
у~ау' = а(х)у1~а + 6(®)
и ввести новую искомую функцию z = ух~а. Тогда
z' = (l-«)lTV,
и уравнение сводится к линейному
zf
-----= a(x)z + Ь(®).
1 - а
19
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
Это уравнение решается методом, изложенным в п. 4. Надо
помнить, что при делении на уа в случае а > 0 теряется реше-
ние у = 0.
I Задачи для упражнений:
[12], § 5, № 151-160.
6. Уравнение в полных дифференциалах — это такое уравне-
ние вида (6), левая часть которого есть полный дифференциал
от некоторой функции F(x, у). Предполагаем, что функции
М, N, My,N'x непрерывны.
Для существования такой функции F(x, у) необходимо, что-
бы Му = Nx. В самом деле, dF(x,y) = F^dx + F^dy; чтобы
это равнялось Mdx + Ndy, надо, чтобы выполнялись равенства
М = Гх, N = Гу. Но тогда М'у = F£y = F,y'x = N'x.
В курсе математического анализа доказывается, что в слу-
чае, когда функции М и N рассматриваются в односвязной
области, то есть в области без «дыр», условие Му = Nx явля-
ется и достаточным, и функция F(x, у) выражается с помощью
криволинейного интеграла.
Излагаемый ниже более простой способ отыскания функ-
ции F(x, у) можно применять в любой области, но иногда он
дает непрерывную функцию F(x, у) лишь в части области.
Проверяем, что Му = Nx. Из уравнения F>x = М получаем
F(x,y) = J M(x,y)dx + <p(y).	(И)
Производная 2^ — частная, она берется при постоянном у,
поэтому у считается постоянным при интегрировании по х.
Функция (11) удовлетворяет уравнению = М при любой
функции <р(у). Найдем <р(у), подставляя выражение (11) в урав-
нение F^ — N. (Если при отыскании <р(у) окажется, что <р'(у)
20
$2. Простейшие методы отыскания решений
зависит и от х, то или условие M'v = N'z не выполнено, или
допущена иная ошибка.)
С найденной функцией <р(у) формула (11) дает функ-
цию F(x, у). Данное уравнение (6) запишется в виде dF(x,y)=0.
Функция у(х) будет решением уравнения (6), если М(х,у) +
N(x,У)1/ = 0, то есть (так как М = F$, N = I}), если
d
—F(x, у(х)) - 0, F(x, у(х)) = с = const.
аХ
Аналогично, функция х(у) — решение уравнения (б), если
**(*(10. У) = с-
Таким образом, решения уравнения (6) — это функции у(х)
или х(у), определяемые равенством F(x, у)— с.
Например, для рассмотренного в п. 2 уравнения ydx+xdy=b
имеем F(x, у) = ху,и решения уравнения — функции у(х) или
х(у), определяемые формулой ху = с.
Пример решения уравнения изложенным методом см. [12],
§6,п.1.
(Задачи для упражнений:
[12], § б, №186-194.
Интегрирующим множителем для данного уравнения вида (6)
называется функция т(х, у), после умножения на которую дан-
ное уравнение превращается в уравнение в полных дифферен-
циалах. Задача отыскания интегрирующего множителя в общем
случае столь же трудная, как и задача решения данного урав-
нения. О приемах, позволяющих в некоторых случаях отыскать
такой множитель, см. [9], гл.2, §3, п.З и [12], §6, п.2.
Иногда в записи данного дифференциального уравнения
можно выделить такую функцию у>(х, у), которая входит в урав-
нение несколько раз, например, входит и <р(х, у), и дифференци-
21
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
ал d<p(x9 у). Тогда в уравнении можно сделать замену <р(х9 у) = z9
при этом одну из старых переменных х и у надо выразить через
другую и через z. В ряде случаев это позволяет упростить или
решить уравнение. Примеры см. [12], §6, п.З.
(Задачи для упражнений:
[12], § б, №195-220.
7. Рассмотренные выше типы уравнений не охватывают всех урав-
нений вида у9 = f(x9 у)9 решаемых элементарными методами. Много
уравнений, допускающих элементарные решения, имеется в справоч-
нике [29], часть 3, глава 1. Большинство из них или принадлежит
к рассмотренным выше типам уравнений, или сводится к ним заменами
переменных.
Однако произвольно написанное уравнение вида у9 = f(x9 у)9 если
оно не из самых простых, чаще всего не удается решить с помощью
элементарных приемов. Лиувилль показал, что даже среди простых
уравнений имеются такие, как например у9 = у2 4- х9 ни одно решение
которых не выражается через элементарные функции с помощью конеч-
ного числа элементарных действий и операций взятия неопределенного
Интеграла.
Современные вычислительные машины позволяют вычислить ре-
шение конкретного уравнения с большой точностью. Но прежде, чем
их применять, надо знать, что решение существует, и знать те свойства
решений, которые надо учитывать при вычислениях на машине.
§ 3. Методы понижения порядка уравнений
Для линейных уравнений высших порядков методы решения
рассматриваются в § 10 и § 11, для линейных систем — в § 14.
22
§3. Методы понижения порядка уравнений
Для некоторых классов нелинейных уравнений применяются
методы понижения порядка, позволяющие упростить уравнение,
а в некоторых случаях — решить его. Ниже рассматриваются
основные классы уравнений, допускающих понижение порядка.
1« В уравнение не входит искомая функция (и, возможно,
также ее производные до некоторого порядка). Уравнение имеет
вид
F(x, у™.....у(п)) =0 (n > fc > 1).
Тогда за новую искомую функцию z(x) берем низшую из произ-
водных, входящих в уравнение, то есть у^ = z. Тогда
„(*+*) _ J	„(п) — ,(”-*)
У — я.......... у —я •
Порядок уравнения понижается на k единиц.
2. В уравнение не входит явно независимое переменное. Урав-
нение имеет вид
Тогда берем за новую искомую функцию у' = р, а за независимое
переменное у. Пересчитываем производные:
Уг = Р(1/)» Угг = Рг = Ру ’ Уг ~ Ру ’ Р» • • • •
Чтобы заменить ух , надо продифференцировать по х выраже-
ние yt~1^ через p,p'v,... ,р£~2\ Для этого надо его продиффе-
ренцировать по у и затем умножить на 14, то есть на р. Получим
выражение через р, p'v,..., Порядок уравнения пони-
зится на единицу. См. пример в [12], § 10, п. 2.
(Задачи для упражнений:
[12], § 10, №421-450.
23
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
3. Уравнение однородно относительно искомой функции у
и ее производных, то есть не меняется, если каждую из этих
величин умножить на одно и то же число к > 0. Тогда дела-
ем замену у' = yz, где z = z(x) — новая искомая функция.
Производные заменяются по формулам
у' = У" = (У*)' = yz' + y'z = yz' + yz2.......
Здесь все производные берутся по х. Выражение для каждой про-
изводной получается путем дифференцирования выражения
для у(к~{) и замены у9 на yz. После подстановки этих выраже-
ний в уравнение производится сокращение на у и получается
уравнение порядка п - 1 относительно z.
(Задачи для упражнений:
[12], §10, №463-472.
4> Уравнение однородно в обобщенном смысле, то есть не меняется
от замены х на кх9 у на кау9 к — число. При этом у9 = dy/dx
заменяется на ка~ху9 9 у" — на ка~2у" и т.д. Чтобы узнать, обладает ли
данное уравнение этим свойством, и найти число а, надо приравнять
друг другу показатели степеней, в которых будет входить к в каждый член
уравнения после указанной замены. Если найдется такое а, при котором
все эти показатели равны, то делаем замену переменных х = е* (при
х > 0), у = zeat9 где z = z(t). Получаем уравнение, не содержащее явно
независимого переменного t. Порядок такого уравнения понижается
одним из предыдущих способов.
I-------------------------------------------------------------------1
I Пример 4. Понизить порядок уравнения ху" - хуу' = у2 ~ 2yf. I
I___________________________________________________________________I
Решение примера. Пусть х умножается на к, у — на ка, у9 — на ка~1,
у" — на ка~2. Тогда в уравнении член ху99 умножается на
24
§3. Методы понижения порядка уравнений
член хуу1 — на к2®, у2 — на к2®, 2у' — на к®-1. Приравнивая
показатели степеней буквы к, получаем а - I = 2а, а = -1. Делаем
замену х = е‘, у = ze~l, z = z(i). Тогда
Обозначая это выражение через А, находим
.л	е~У-/)-2е-у-х)
»«• - Л» - - е‘
= е~м(г" - 3/ + 2z).
Подставляя это в данное уравнение, получаем
e-2<(z“ - 3z' + 2z) — e-az(z' - z) — e~uz2 — 2e"2t(z* — z),
z" -z- zz' = 0.
В уравнение не входит независимое переменное t. Порядок понижается
как в п. 2, то есть заменой z' = p(z), z" = р'р. Получаем p'p-p-zp = 0,
p(jf — z — 1) — 0. Найдя решение этого уравнения и перейдя от новых
переменных к старым, получим решение исходного уравнения. ◄
(Задачи для упражнений:
[12], §10, №473-480.
4	
5.1 Порядок уравнения легко понижается, если обе части урав-
нения являются полными производными от некоторых функ-
ций. Например, уравнение у" = ху' + у можно записать в виде
(уУ = (ху)'. Производные двух функций равны, значит, эти
функции могут отличаться только на постоянную: у* = ху + с.
Порядок уравнения понижен.
Чаще бывает, что уравнение надо преобразовать, прежде чем
обе части уравнения станут полными производными.
I-------------------------------------------------------------1
I	Пример 5. Дано уравнение уу" = (у')2.	I
I______________________________________________________________I
25
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения
Решение примера. Деля обе части на уу', получаем
£ = (in |»'|)' = (in toi)',
In |j/| = In |y| + In |c|, у —cy.	◄
।---------------------------------------------------------------j
i Пример б. Дано уравнение х2у" = 2ytf - 2a?j/.	i
I_______________________________________________________________i
Решение примера. Перенося 2ху' влево, получаем
х2у" + 2ху = 2уу', (х2уУ = (у2)', х2у' = у2 + с. ◄
(Задачи для упражнений:
[12], § 10, №455-462.
 »
В М, гл. 4, § 4, приведено принадлежащее Эйлеру необходимое и до-
статочное условие для того, чтобы выражение F(x9 у, у',..., было
полной производной по х от некоторой функции, и пример отыскания
этой функции для понижения порядка уравнения F (х, у9 у',...,	= 0.
О понижении порядка системы дифференциальных уравнений с
помощью отыскания интегрируемых комбинаций и первых интегралов
см. [12], §19 или [9], гл. 7, §5.
мн
ГЛАВА 2
Существование и общие
свойства решений
В этой главе рассматриваются общие свойства решений диффе-
ренциальных уравнений и их систем, не зависящие от конкрет-
ного вида функций, входящих в дифференциальные уравнения.
§ 4. Нормальный вид системы
дифференциальных уравнений
и ее векторная запись
1. Системой нормального вида называется система
777“	• • • 9 i =	(1)
at
В такой системе число уравнений равно числу искомых функций
®,(t) (i = 1,..., п). В левой части каждого уравнения системы
27
Глава 2. Существование и общие свойства решений
стоит первая производная одной из искомых функций, в правых
частях производных нет.
Одно уравнение dx/di = f(t, х) является частным случаем
такой системы. К таким системам сводятся дифференциальные
уравнения n-го порядка
(подробнее об этом см. § 5, п. 3), многие более сложные системы
и системы, возникающие в механике, физике, технике.
Для исследования общих свойств такой системы удобно
использовать векторные обозначения
® = (®1, • • • > ®n)» f = (/1, • • • > /п)"
Тогда система записывается в виде одного векторного уравнения
$ = /(«>»)•	(2)
at
Эта запись позволяет доказывать многие теоремы для системы (1)
почти так же коротко, как для одного уравнения. Необходимые
для этого свойства вектор-функций изложены в п. 2.
Решение системы (1) есть совокупность п функций ®i(t),...,
®п(0» определенная на некотором интервале (или отрезке) и
удовлетворяющая системе. График каждого решенйя есть линия
в (п+1)-мерном пространстве с координатами t, хь..., хп. В ка-
ждой ее точке угловые коэффициенты касательной к этой линии
в силу (1) равны fi(t,xi,... ,хп),..., fn(t,xi,... ,хп). Таким
образом, система (1) определяет поле направлений (направлений
с этими угловыми коэффициентами) в пространстве t, ..., хп
или в той области этого пространства, где определены функции
а решение системы изображается линией, которая
в каждой своей точке касается направления, заданного в этой
точке.
28
S 4. Нормальный вид системы и векторная запись
Система (1), как и одно дифференциальное уравнение, во-
обще говоря, имеет много решений. Поэтому для выделения
единственного решения надо задавать помимо системы также
начальные условия Zi(to) = жю, ®n(io) = ®по для (1) или
x(io) = для (2). Задача отыскания решения данного уравнения
или системы с такими начальными условиями называется началь-
ной задачей, задачей с начальными условиями или задачей Коши.
2.| Свойства вектор-функций. В формулах п. 2 буквы /, д, х, у, z
означают векторы из Rn, а другие буквы означают числа, если
не сказано иначе.
Из линейной алгебры известны следующие действия с век-
торами: х 4- у, х - у, ау, х’у = а?1У1 4-... 4- хпуп — скалярное
произведение, |®| = ^/а:2 4-... 4-®£ — длина (или модуль) век-
тора. Известно, что |®+у| ^,|®| 4-lid (неравенство треугольника),
|®*у| |®| • |у|, то есть 1
l*ilft + --. + ®nlfol [(®i + ...4-®n)(yi 4-...4-Уп)]1/2
(неравенство Коши).
Для векторов с комплексными координатами
|®| = \/1®1124-...4-|®п|2,
в неравенстве Коши все xj и у2 заменяются на |®,-|2 и |у,-|2;
X‘y=xiyi+...+xnyn (числа ®,- комплексно сопряженные с ®<).
Можно дать два равносильных определения предельного
перехода для вектор-функции x(t) = (®i(i), • • • > zn(0):
a)	lim x(t) = ®o. если Ve>0B£>0 такое, что Vi,
|t — a| < 6 => |®(t) - ®ol <
6)	lim®(i) = (®io,..., ®n0), где ®,0 = lim®,(i), i = 1,..., n.
hi	t—>a
29
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Равносильность этих определений следует из того, что длина
вектора x(t) - х$ стремится к нулю тогда и только тогда, когда
каждая его координата стремится к нулю.
Аналогично, определения производной вектор-функции как
предела выражения (®(t + h) - x(t))/h при h -»0 и определен-
ного интеграла как предела интегральной суммы равносильны
покоординатным определениям. Многие свойства производных
и интегралов сохраняются для вектор-функций и легко доказыва-
ются с помощью покоординатного определения. Однако теоремы
о существовании промежуточной точки (теорема Ролля, теорема
Лагранжа о конечном приращении, теорема о среднем для инте-
грала) не обобщаются на вектор-функции. Например, для век-
тор-функции x(t) = (1 - cosi, sini) имеем ж(О) = ®(2ir) = (0,0),
но не существует такой точки t € (0,2тг), что x*(t) — (0,0), так как
x\t) = (sin t, cos i), |®'(i) | = у/sin21 + cos21 = 1.
Вместо этих теорем для вектор-функций будем пользоваться
оценками.
Оценка интеграла. Если вектор-функция у(Г) непрерывна на
[а, Ь], то
» »
J y(t)dt	J\y(t)\dt.	(3)
а	а
Доказательство. Пусть а < Ь. Интеграл от y(t) есть предел
интегральной суммы	~	замены у($) на
|y(i-)| модуль суммы не уменьшается и получается инте-
гральная сумма для функции |у(<)| по отрезку [а, Ь]. В пре-
деле при max(t,- - ti-i) -» 0 получается интеграл от |y(t)|.
Случай а > Ь сводится к доказанному.	
30
5 4. Нормальный вид системы и векторная запись
Оценка приращения векгор-функции. Если x(t) и y(t) = x'(t)
непрерывны и |®'(t)| < т>то в СИЛУ (3)
|®(Ь) — ®(а)| < ш|Ь — а|.	(4)
До сих пор было безразлично, записывать ли векторы в виде
строк или в виде столбцов. В формулах и рассуждениях, со-
держащих векторы вместе с матрицами, будем считать векторы
столбцами, если не сказано иначе.	/	\
I 1 1
Если А =	— матрица, х = I : I — вектор, то
‘ \®П /
у = Ах — вектор-столбец с координатами у,- =	+.. .+а,пхп
(i = 1,..., п). Тогда |Ах\ < ||Л|| • |®|, где
(»	\ 1/2
, i»i = vi»iP+• .+ы2 (5)
0=1	'
(числа Oij и xj могут быть комплексными).
Доказательство. В силу неравенства Коши имеем
|У.|2 < (|a,i I2 + • • • + lain I2) (|®1|2 + • • • + 1®п|2) =
= (|а,1|2 + ... + |<Чп|2)|®|2,
|Ла?|2 = |у|2 <	(|а,,|2 + ... + |a,n|2)|®|2 = ||Л||2 • |®|2.	◄
1=1
Число ||Л|| называется нормой матрицы А. Другие известные
нормы матрицы, кроме (5), в этой книге не используются.
Пусть x(t) и f(x) — векторы-столбцы, все ®J(t) и dfc/dxj
непрерывны. По правилу дифференцирования сложных функций
31
Глава 2, Существование и общие свойства решений
от п переменных
#<<*(<»_ «л.,,..	»л,,п
—^-te?X|(i)+-+s;x"w-	<6)
Применяя эту формулу к каждой координате /,• вектора /,
получаем, что df(x(t))/di — вектор-столбец с координатами (6).
Следовательно,
=	где матрица А = (.	(7)
3. Условие Липшица. Функция (или вектор-функция) f(t, х)
удовлетворяет условию Липшица по х на множестве D, если
существует такая постоянная Л/ что" для каждых двух точек
(t, х) € D, (t, у) € D имеем
!/(*» ®) “ Ж 101 < *1® “ У1-	(Ю
Лемма 1. Если вектор-функция f(t, х) (х 6 Rn, f 6 Rn, n > 1)
имеет в выпуклой по х области D частные производные dfa/dxj
u	i (j>3 = 1, • • • >») a D, то f(t, х) удовлетворяет
в D условию Липшица (8) с k — nl.
(Область D называется выпуклой по х, если для каждой пары
ее точек вида (t, х) и (i, х*) соединяющий их отрезок содержится
вП.)
Доказательство. Полагая z(s) = у + в • (х — у) и д(в) =
f(t,z(e)), получаем
1
f(t,y) = g(l)-g(Q) = j д'(в) de.	(9)
о
32
$ 4. Нормальный вид системы и векторная запись
Подобно (7)
д'(в) = Az'(в) = А(х -у),	А=(
\OZj /
Когда в меняется от 0 до 1, то z(a) пробегает отрезок, соеди-
няющий у и ®; на этом отрезке t — const. По условию, он со-
держится в D. Значит, на нем \dfi/dxj| < I (», j = 1,..., п),
||4|| < nl, |р'(«)1 ”11® - у|> и из (9) следует (8) с k = nl. 
Лемма 2 (о дифференциальном неравенстве). Если на отрезке
I, содержащем точку to, имеем z(t) € Rn, |z'(OI fc|«(t)l + т>
Jb > О, |z(to)l го» то на I в случае к = 0 имеем |z($)| <
го + m|t - iol» о в случае к>0
|z(t)| < roe‘|t_<o1 + y(е*1<-<о1 - 1).	(Ю)
Доказательство. Пусть ti€l, ti >*о, zGi)/0- Если z(t)£O
на (<о, <i), то возьмем t* = to. В противном случае t* —
верхняя грань таких t € [t©» М»что z(0 = 0- Тогда z(t*) = 0,
иначе t* не было бы верхней гранью. В обоих случаях
|z(f*)| то и при	имеем z(t) / 0 и существует
1«(0Г = (д/^i+... + ^).
Дифференцируя по t обе части равенства |z|2 = z • z,
имеем 2|z| * \z\' = 2z • z' < 2|z| • |z'|. Сокращая на 2|z|, по-
лучаем |z|' < |z'|, если z / 0. Обозначая |z(t)| = r(t), имеем
r(t*) < го и г' = |z|' < |z*| < kr + m при t* < t <
В случае к = 0 отсюда следует требуемое неравенство.
В случае к > 0 для функции <p(t) = e-M(r(t) + т/к) по-
лучаем <p'(t) = e“w(r' - kr - тп)< 0. Поэтому функция <p(t)
33
Глава 2. Существование и общие свойства решений
не возрастает и	то есть
«"“*	+ у) e"w* (r(f) + j).
Так как r(t*) го, то
r(h)Croe‘(t*-r) + ?(e‘(t*-r)-l).
Л
Число ti € I любое, большее to. и ti -t* ti - to, поэтому
неравенство (10) при любом t € I, t to доказано. Случай
t < to сводится к рассмотренному заменой t на -t, to на -to,
тогда в формулировке леммы |z'(t)| и |t -to| не меняются. 
§ 5. Существование и единственность
решения
В § 5 даются теорема единственности решения системы нормаль-
ного вида с начальным условием x(to) = ®о и два доказательства
существования решения: методом последовательных приближе-
ний (доказательство Пикара) и более короткое — путем перехода
к уравнению с запаздыванием (вариант доказательства Тоннели).
Достаточно прочитать любое из этих доказательств.
т
Теорема 1 (о единственности решения). Пусть в области D
вектор-функция f(t, х) и ее производные dfi/dxj (i,j = 1,... ,n)
непрерывны. Тогда для любой точки (to, ®о) € D может суще-
ствовать не более одного решения задачи
dx
— = / (t, ®),	®(to) = Xq.	(11)
34
$ 5. Существование и единственность решения
Точнее, любые два решения этой задачи совпадают на общей
части их интервалов существования.
Доказательство. Предположим, что существуют два решения
x(t) и y(t) задачи (11), x(t0) = y(i0), ®(tj) / y(ti) при неко-
тором ti > to. (Случай ti < to сводится к рассматриваемому
заменой t на -t.)
Пусть z(t) = x(t) — y(t), at* — верхняя грань таких
t € [$о> М» при которых z(t) = 0. Тогда z(t*) = 0 и z(t) # 0
для всех t € (t*, ti] (иначе число t* не было бы верхней
гранью).
Пусть S — содержащийся в D шар
(t - t*)2 + I® - ®(t*)|2 О2, h > 0.
В этом шаре все dfi/dxj непрерывны, значит, ограничены,
и функция / там удовлетворяет условию (8). Поэтому
1«'1 = I®' “ 1/1 = 1Ж ®) - Ж У)1 < *1® “ 1/1 = ф|.
Тогда из леммы 2 следует z(t) = 0 при t* t ip Это
противоречит предположению, что x(t[) 0 y(ti). 
2.
Лемма 3. Если функция f(t, х) непрерывна, то любое решение
задачи (И) удовлетворяет интегральному уравнению	V"* 1
x(t) = xo+ I /(«,«(«)) de,	х(12)
и любое непрерывное на интервале (или отрезке) I (to € 7)
решение уравнения (12) является решением задачи (11). (Если
I — отрезок, то производные в его концах — односторонние.)
35
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Доказательство. Пусть ®(t) — решение задачи (11). Ин-
тегрируя обе части равенства dx(t)/dt = f(t,x(t)) от to
до t, получаем, что интеграл в (12) равен ®(t) - ®(to). Но
®(<о) = «о, поэтому функция x(t) удовлетворяет (12).
Пусть непрерывная функция x(t) удовлетворяет (12)
на I, to в I- Тогда на I сложная функция /(в,х(в)) не-
прерывна, поэтому производная по t от правой части (12),
значит, и от левой, то есть от x(t), существует (односто-
ронняя производная в концах отрезка I) и равна f(t,x(t)).
Следовательно, x(t) удовлетворяет уравнению (11). Из (12)
при t = to получаем ®(to) = xq.	
Теорема 2 (о существовании и единственности решения).
Пусть в области D С Rn+1 вектор-функция f(t, х) и ее произ-
водные dfi/dxj (i,j = 1,..., п) непрерывны. Тогда для любой
точки (io, ®о) € D задача (И) имеет единственное решение
на отрезке JT[to - d t to + d], где d = т/у/т1 + 1 > 0, г
таково, что шар
S((t - to)2 + I® - ®0|2 т2)
содержится в D; т = max 1/1 в S.
По теореме 1 может существовать не более одного реше-
ния задачи (11), а согласно лемме 3 достаточно доказать суще-
ствование непрерывного решения интегрального уравнения (12).
Приведем два из многих известных способов доказательства
этого.
Доказательство Пикара ([9], гл. 2, § 1, гл.4, § 1 или [6], § 14). По-
строим последовательные приближения «’’(t) (р = 0,1,2,...
36
$ 5. Существование и единственность решения
— номер приближения) к решению уравнения (12). Возьмем
x°(t) = Хо,
Г	(13)
a^(t) = ®o+ / f(e,®р-1(а))ds, р=1,2,... .
to
Покажем, что на отрезке I все приближения x?(t) опре-
делены, непрерывны и |а^(0 - жо| < md. Для ®°(0 это вер-
но. Предположим, что функция ®р_,(0 на I определена,
непрерывна и |хр-1(0 — ®о| < md. Тогда при з 6 I точка
(а, ®р-1(а)) € S, в (13) функция f(s, ®(а)) определена, не-
прерывна и |/(«»®р-1(0)| т. Значит, при t G I интеграл
в (13) — непрерывная функция от t, по модулю не пре-
восходящая md. Поэтому на I функция 3^(0 определена,
непрерывна и |а^(0 — ®о| md. По индукции это верно для
всехр = 1,2,3,....
Покажем, что последовательность а^*(0 (р = 0,1,2,...)
равномерно сходится на I. Это равносильно равномерной
сходимости ряда
®°(0 + (®*(0 - я?°(0) + (®2(0 - ®‘(0) +. •.,	(14)
так как его частные суммы являются функциями ®°(0, xl(t),
x2(t),.... Оценим по индукции члены ряда на отрезке I.
Из (13) получаем согласно (4)
|«,(0-«°(0|	(15)
Покажем, что на I при некотором к для любого р > О
os»
Для р = 0 это доказано в (15). Пусть это верно для р = q -1.
Докажем, что это верно и для р = q. Напишем равенство (13)
37
Глава 2. Существование и общие свойства решений
для р = q и для р = q + 1 и вычтем из второго равенства
первое. Получим
«*»(*> - «’(0 = / (/(«. *’(•» - /(».(•») Л». (17)
to
Для всех р точки (i, xp(t)) € S при t € I. В S все dji/dij
непрерывны, значит, ограничены, и по лемме 1 функция f
в S удовлетворяет условию Липшица (8). Поэтому в (17)
«	—	(18)
Последнее неравенство вытекает из (16) при р = q - 1.
Подынтегральная функция в (17) имеет оценку (18), поэтому
в силу (3) при t € I
to
Значит, неравенство (16) верно и при р = q. По индукции
оно верно для всех р = 0,1,2.... Таким образом, члены
ряда (14), кроме первого члена, при |t - iol б по модулю
не больше членов числового ряда во + а1 + а2 + •••» где
вр+1 =	+ 1)!.
Каждая координата «<+1(0 вектора ®р+1(0 - «’’(f) не
больше его длины, поэтому тоже имеет оценку (16), то есть
|«Г'(<)!«<₽« - (и-1»| <<1. •=1..............»)•
38
§ 5. Существование и единственность решения
Ряд 23 °p+i сходится по признаку Даламбера, так как
lim = lim = о < 1.
р->00 Ор р-»оо р + 1
Следовательно, для каждого i ряд + «,• + «< + ... из
i-x координат ряда (14) сходится абсолютно и равномерно
на отрезке I по признаку Вейерштрасса. А так как члены
ряда — непрерывные функции, то его сумма — тоже. Значит,
и векторный ряд (14) на отрезке I равномерно сходится
к непрерывной векгор-функции, которую обозначим x(t). То
есть последовательность приближений x?(t), р = 0,1,2,...
на I равномерно сходится к x(t).
Покажем, что x(i) удовлетворяет интегральному урав-
нению (12). Для этого перейдем к пределу в равенстве (13).
Разность правых частей равенств (13) и (12) имеет в силу (8)
оценку
Л!®1* ’(s)-:c(e)|ds
t	t
f{8,a^~\e))-f(8,x(8))\d8 <
to	to
При p —* oo подынтегральная функция на I равномерно
стремится к нулю. Тогда интеграл стремится к нулю, и пра-
вая часть (13) стремится к правой части (12). Левая часть
тоже. Значит, предельная функция x(t) на отрезке I удовле-
творяет уравнению (12). По лемме 3 она является решением
задачи (11). Существование решения доказано. Единствен-
ность доказана в теореме 1.	
Далее излагается другое доказательство теоремы 2 при тех же
предположениях.
39
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Доказательство Тоннели ([37], т. 1, гл. 1, § б, п. 3) (благода-
ря предположению о непрерывности dji/dxj не требуется
применять теорему Арцела).
Возьмем такие г, т, d, S, как в формулировке теоремы,
тогда в шаре S имеем |/| < т и справедливо (8). Для
любого целого р > 2 возьмем h = hp = d/p и построим
приближенные решения уравнения (12). Положим yp(t) = хо
при to - hp t < to, а на отрезках [to + (*' - 1)Лр, to + »Лр],
»= 1,2,..., р, последовательно определим yp(t) равенством
t
yP(t) = xo + J f(s,yp(3-hp))d8.	(19)
to
Если i > 1 и при to - hp t to + (i - l)hp функция
yp(t) определена, непрерывна и |yp(t) - ®ol md, то это же
верно и при to t to + ihp, так как при таких t точка
(t, yp(t — hp)) € S,
VP(t) — f(t, yp(t — hp)), |pp(t)| m,
\yp(t) - ®o|< m\t -t0| < md.
По индукции получаем, что на отрезке J (to t	t0+d)
функции yp(t) и y'p(t) непрерывны и справедливо (20).
Оценим разность z(t) = yp(t) - yq(t) приближенных
решений с h = hp и с h = hq. В силу (20) и (8)
|z (t)|= |/(t,JZp(t — hp)) — f(t,yq(t — Л?))|
~ ^p) ~ yq(t — hq) | =
= fc| (yp(t - hp) - yp(t)) - (yq(t - hq) - yq(t)) + (yp(t) - yq(t)) |.
Так как |yp| m, |y,| m, то при t G J
|z*(i)| kmhp + kmhq + fc|z(t)|; z(to) = 0.
40
S 5. Существование и единственность решения
В силу леммы 2 получаем при t € J
k(t)l < т(Лр + hg) (ек|‘"‘в| - 1) m(hp + hg) (ekd - 1). (21)
Для любого е > 0 найдется такое pi, что при р > pi, q> pi,
правая часть (21) меньше е. Тогда |ур(0 - У?(01 < е на J,
то есть последовательность непрерывных функций {i/p(t)},
р = 2,3,4,..., удовлетворяет критерию Коши равномерной
сходимости на J. Значит, она сходится равномерно к непре-
рывной функции, которую обозначим x(t).
Покажем, что x(t) — решение уравнения (12). При
р > р*(б) имеем на J
|Ур(^ —^р)~Ур(0| ^т^р< -, |ур(0 — ®(t)| < j» (22)
|/(^»Ур(^“^р)) ~ /(^»®(0)|	~ ®(0|
Правая часть сколь угодно мала при малых 6. Значит, в (19)
/(«.У?(« - М) ^4 /(а, ®(а)) при р —> оо. В пределе ра-
венство (19) превращается в (12). Итак, x(t) — решение
уравнения (12), значит, и задачи (11) при to < t to +
Случай to - d t < to сводится к рассмотренному заменой t
на -t. Существование решения доказано, а единственность
следует из теоремы 1.	
(Задачи для упражнений:
[12], № 223, 225, 226, 228 д, е.
Теорема 2а. Если вектор-функция в области D С •Rn+I не-
прерывна, то для любой точки (io, ®о) € D на некотором отрезке
to — d < t < t0 + d (d > 0 то же, что в теореме 2) существует
решение задачи (11).
41
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Доказательство. Приближенные решения yP(t) строятся и оцени-
ваются как в (19) и (20). В силу оценок (20) и (3) на отрезке J
все Ур(0 равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
По теореме Арцела из них можно выбрать равномерно сходящу-
юся подпоследовательность {ук}, i = 1,2,3.......Ее предел —
непрерывная функция x(t).
Переход от (19) к (12) при р = р, -» оо проводится как
в предыдущем доказательстве, кроме оценки (22). При достаточно
малом 6 из неравенства |yw(t - hK) - ®(t)| < 6 и равномерной
непрерывности функции f в S следует, что левая часть (22) мень-
ше е. Значит, при р = р, —»оо равенство (19) превращается в (12).
Поэтому x(t) — решение задачи (11).	
Замечание. В случае, когда на функцию f(t,x) не налагается
других условий, кроме непрерывности, задача (И) может иметь
более одного решения. Например, задача dx/dt = З®2^3, ш(0) = 0
имеет решения х = 0 и х = t3, см. пример 2 § 2 и рис. 4.
з7
Теорема 3 (о существовании и единственности решения для
уравнения п*го порядка). Дано уравнение с начальными усло-
виями	, к	,
....»<"-’). (»>
s(<o)=iZo. »'(*о)=»о.	(24)
Пусть в области D С -R"+1 функция f непрерывна по сово-
купности всех своих аргументов, имеет непрерывные частные
производные 1-го порядка по у, у',..., у^п~1\ и начальная точка
(<о, Уо, Уо> • • • >Уо*"^) ле>"ит внутри D. Тогда на некотором
42
$ 5. Существование и единственность решения
отрезке to-d^t^to + d (d > 0) существует единственное
решение задачи (23), (24).
Доказательство. Переходим от уравнения (23) к системе
уравнений с помощью введения новых переменных
®i = у, х2 = у’, х3 = у",
х .-г/”-2) х -«<"-*>	(25)
.»п-1 — У 9 хп — У
Из этих равенств получаем первые п - 1 уравнений следу-
ющей системы, а n-е уравнение получаем из (23) с учетом
замены (25) и того, что у^ = х'п-.
®1 — х2» х2 — ®3»	• • • »
®п-1 = ®п, хп = /(^» ®Ь • • • > Хп)‘
Из (24) и (25) получаем начальные условия для системы (26)
®i(*o) = Jto, ®2(*о) = »о.... ®п(«о) = Уо”-0-	(27)
Таким образом, каждое решение уравнения (23) с по-
мощью замены (25) переходит в решение системы (26).
Обратно, для каждого решения системы (26) в силу за-
мены (25) у функции у = xi существует у^ = х'п =
f(t, у, у',...,	. Соответствие между начальными усло-
виями (24) и (27) очевидно.
Если задача (23), (24) удовлетворяет условиям доказы-
ваемой теоремы, то задача (26), (27) удовлетворяет усло-
виям теоремы 2 и поэтому имеет единственное решение
®i(t),... ,xn(t) (io — d t to + d). Первая координата
xi(t) этого решения в силу доказанного является решением
' задачи (23), (24).	
43
- Глава 2. Существование и общие свойства решений
Геометрическая иллюстрация теорем существования и един-
ственности. Для простоты будем предполагать, что функция /
и ее частные производные первого порядка непрерывны всюду.
Для дифференциального уравнения 1-го порядка х' = f(t, х)
или системы нормального вида теорема 1 означает, что через
любую точку (to,xo) проходит ровно одно решение, точнее,
график решения.
Для уравнения у^ = f(t,у,у',... ,у^-^) порядка п > 2
рассматриваются графики решений y(t) на плоскости t, у. В си-
лу теоремы 3 для уравнения 2-го порядка при начальных условиях
у(<о) = Уо, у1 Цо) = Уо существует единственное решение. Зна-
чит, через точку (<о,уо) проходит бесконечно много решений,
различающихся значениями у'(to) = Уо, то есть направлениями
касательной к графику решения в этой точке. Но два разных
решения не могут иметь в этой точке одну и ту же производную
у'Go), следовательно, не могут касаться друг друга.
Для уравнения 3-го порядка задаются начальные условия
y(to) = Уо, lZ(io) = Уо, У"(to) = Уо- Значит, через точку (fo,®o)
по каждому направлению (с угловым коэффициентом у'о, здесь
Уо произвольное) проходит бесконечно много решений. Они
касаются друг друга и различаются значениями у" Go)- По любому
другому направлению (с другим значением у'о) проходит тоже
бесконечно много решений.
(Задачи для упражнений:
[12], § 7, № 228 а-г, 229-234; § 21, № 13,14, 16, 18-27.
К системам нормального вида с помощью аналогичных за-
мен можно свести широкий класс систем уравнений, содержащих
производные высших порядков, а именно системы, разрешенные
относительно старших производных. В таких системах число урав-
нений равно числу искомых функций, для каждой искомой функ-
44
5 5. Существование и единственность решения
ции выделяется старшая из входящих в систему производных,
она стоит в левой части одного из уравнений системы, а в правых
частях нет этих старших производных. Например, такова система
у'" =	У> у'* у”>«')»	= <z(t У> у’> у">«»*')•
Заменой у = ®i, у' = ®2> у" — х$, z = «4, z' = х$ эта система
сводится к системе нормального вида
х\ = а:2, х\ = «з, х'з = /(«, ®i, х2, х}, ®4, х$),
®4 = ®5,	®5 = g(t, ХЬ ®2, ®з, ®4, Ж5).
4. Известны и другие теоремы о существовании решения.
Теорема Коши (о существовании решения, разлагающегося в сте-
пенной ряд). Если функция f(t,x) разлагается в сходящийся ряд
ОО
52	- <о)*(® - ®о)та в окрестности точки (t0, х9), то задача
Ь,ТП=О
х' = f(t9 х), x(tQ) = xq на некотором интервале (tQ - 6ttQ + б),
б > 0, имеет единственное решение, представимое сходящимся рядом
x(t) Xq + Qi(t — to) +	^0)2 + • • • •	(28)
Теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений.
Доказательство имеется в [6], § 17, и в [2], гл. 6, § 4. Методы
отыскания коэффициентов ряда (28) см. там же и в [12], § 18, п. 4.
Хотя полученный ряд обычно сходится только на малом интервале, он
часто используется в вычислительной математике для самого начала
вычислений.
Распространение теоремы существования решения на дифферен-
циальные уравнения с разрывными правыми частями связано с обоб-
щением понятия решения» так как функция, называемая решением,
может не всюду иметь производную. В следующей теореме решением
45
Глава 2. Существование и общие свойства решений
задачи (11) называется решение интегрального уравнения (12), интеграл
и интегрируемость понимаются в Смысле Лебега.
Теорема Каратеодори ([37], т. 2, гл. 8, § 8, п. 1). Пусть в конечной обла-
сти D С Rn+1 вектор-функция f(t9 х) непрерывна по х, интегрируема
по t при каждом х € R" ((t,«) € D), и пусть существует такая
интегрируемая функция m(t), что \f(t9 я)| m(t) в D. Тогда для
любой точки (t0, ®о) € D существует решение x(t) задачи (11). Если
функция f(t9 х) удовлетворяет условию: для любых (t9 х)9 (t9 у) ED
1Ж «) ~	У)1 *(*)!« - у|,
где k(t) интегрируема, то решение единственно.
Системы автоматического управления с переключениями описы-
ваются дифференциальными уравнениями х' = f(t9x)9 х € Rn, с раз-
рывными по х функциями f(t9 х). Для таких уравнений рассматривался
вопрос, какими должны быть решения, идущие по поверхности разры-
ва, чтобы они хотя бы приближенно описывали движения в реальной
физической системе [35], гл. 1, §3, [38], §4, §8, п. 3. Исследовались
свойства решений в таких системах.
Известно много достаточных условий единственности решения.
Ниже приводится условие, обеспечивающее единственность при t > tQ
решения задачи х' = f(t9x), x(tQ) = xq. Именно такая единственность
нужна в технических приложениях.
Пусть существует такая интегрируемая функция k(t), что для любых
точек (t9 х)9 (t9 у) области D Е Rw+I имеем
(Ж ®) - Ж у)) •(«-*)< *(01® - »12.
(произведение векторов — скалярное). Тогда для любого начального
условия x(tQ) = Xq9 (to, «о) € D при t > to может существовать не более
одного решения (точнее, любые два решения совпадают на общей части
их интервалов существования при t > to).
46
§6. Продолжение решений
§ б. Продолжение решений
В § 5 было доказано существование решения на некотором от-
резке. Здесь показывается, что решение, вообще говоря, можно
продолжить на существенно больший отрезок или интервал.
~17|
Теорема 4 (о продолжении решения в замкнутой ограниченной
области). Пусть вектор-функция f(t, х) удовлетворяет услови-
ям теорему 2 в замкнутой ограниченной области D С Rn+1.
Тогда любое решение x(t) уравнения х' = f(t, ‘х), проходящее
внутри области D, можно продолжить в обе стороны до выхода
на границу Г области D, то есть продолжить на такой отрезок
[а, Ь], что точки (а, х(а)) и (Ь, х(Ъ)) лежат на Г.
Доказательство. Найдется такое т, что \f(t, ®)| т в D.
По теореме 2 решение, проходящее через точку Ро(<о»®о)
внутри D, существует на отрезке Jo = [to - do, to 4- do],
do = го/д/лг2 +1, го = р(Ро» Г) — расстояние от точки
Ро до Г. Положим to + do = ti,®(ti) = «ь Pi — точка
(ti,xi). Если точка Pi внутри D, то беря ее за начальную
точку, по теореме 2 получаем, что решение х, проходящее
через точку Pi, существует на отрезке Ji = [ti - db ti + dj,
di = Ti/y/m1 + 1, и = p(Pi, Г). Так как x(t\) = x\= ®(ti),
то решения x и x совпадают там, где они оба определены.
Значит, функция, равная x(t) на 1о и x(t) на 1Ь является
решением — продолжением решения x(t) на отрезок [to - do,
ti + dj. Обозначим ее снова x(t). Затем берем точку Pi =
(h, х1)> где <2 = 11+di, Х2 = xfa), за начальную, продолжаем
решение дальше, и т.д.
47
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Возможны два случая: или после конечного числа таких
шагов решение будет продолжено до точки на Г, что и тре-
бовалось, или получим последовательность точек Pk(tk, зд),
к = 1,2,3,где
tk+i=tk + dk, dk =..*	, гк=р(РьГ)>0. (29)
Vт2 +1
Область D ограничена, поэтому числа tk ограничены и су-
ществует lim tk = b. Решение x(t) продолжалось на каждый
fc-*oo
отрезок [it, ifc+i], значит, оно продолжено на их объедине-
ние [io, Ъ). Так как |®'(i)| = |/(t, ®(t))| < т, то в силу (3) для
любых a, fl 6 (Ь-6,Ь) имеем |®(/3)-®(«)| т|/3-«| < тб.
Поэтому в силу критерия сходимости Коши существует
= х*. Полагаем х(Ъ) = ®*, тогда функция ®(t)
непрерывна на [to, Ь] и точки Pt(tj,®t) -* Р*(Ь, ®(Ь)) при
к —»оо.
Покажем, что Р* 6 Г. Так как it+i = ti + di + d2 4-...
4- d* —»• b при к —> оо, то ряд di 4- dz 4- •. • сходится и dk —» О
при к оо. В силу (29) р(Р*, Г) -♦ 0. Если бы Р* 0 Г,
то при некотором е > 0 Г лежала бы вне шара S^eiP*)
с центром Р* и радиусом 2е. Но Рк -> Р*, поэтому при
к > ki, точки Pt лежат в шаре Se(P*), значит, удалены от
Г на расстояние, не меньшее е. Это противоречит тому, что
р(Рк, Г) —> 0 при к оо. Значит, предположение Р* £ Г
неверно, и Р* е Г. То есть решение ®(t) продолжено вправо
до 1раницы Г области D.
Функция ®(i) — решение задачи (И) при io i < Ь,
значит, она удовлетворяет интегральному уравнению (12)
при этих t, а так как она непрерывна, то и на отрезке
[to, Ь]. Тогда по лемме 3 она имеет левую производную
48
§6. Продолжение решений
®лев(Ь) = f(b,x(b)), то есть удовлетворяет уравнению (И)
при to i < b.
При t < to решение продолжается аналогично. 
f
Следствие. Пусть D — такая замкнутая неограниченная об-
ласть пространства t,x, что при любых cud, часть
области D, где с < t d, ограничена. Пусть уравнение х' =
/(£, х) в D удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда решение
x(t), проходящее через произвольную точку (ti,x\) внутри D,
продолжается в каждую сторону или до выхода на границу
области D, или до сколь угодно больших |t|.
Доказательство. Возьмем такие с и d,- (» = 1,2,...), что
с < ti < di < di < ... —^ со. Для любого i по теореме 4
решение можно продолжить в обе стороны до точек (а, х(а))
и (bi, x(bi)), лежащих на границе области Если bi < di
при некотором », то точка (6,-,®(Ь,-)) лежит на границе
области D. Если же для каждого i имеем 6,- = d,-, то решение
продолжается вправо до сколь угодно больших t. Аналогично
продолжаем решение влево.	
I---------------------------------------------------------------1
I Пример 1. Доказать, что любое решение уравнения х1 = i
> t3 - х3 продолжается вправо до сколь угодно больших t. 1
I_______________________________________________________________I
Решение примера. Уравнение удовлетворяет условиям теоремы 2,
так как функции / = t3 - х3 и fx = -З®2 непрерывны при всех
t,x.
49
Глава 2. Существование и общие свойства решений
В области х > t решения только убывают (там х' —
t3 — х3 < 0), поэтому они достигают прямой х = t и пере-
ходят в область х < t.
В области х < t все решения только возрастают (там
х* = t3 -х3 > 0). Пусть ($ь®1) — точка на графике реше-
ния. При t > ti решение остается в области D (®i - 1 < х < t),
не выходя на ее границы (мешает по-
ле направлений, см. рис. 5). В силу
следствия теоремы 4 решение про-
должается вправо до сколь угодно
больших t.	◄
Условия непрерывности f(t,x) и
ее производных во всем пространстве
t, х недостаточны для продолжимости
решений уравнения х' = f(t, х) на бес-
конечный интервал -оо < t < оо или
<о < t < оо.
I------------------------------------------------------------1
1 Пример 2. Уравнение ®'=®2+1 имеет решения ®=tg(i+c), 1
। число с произвольно. Каждое решение существует только ।
I на интервале длины я и при приближении к его концам ।
стремится к -оо или к +оо. Такие, решения не могут быть
I продолжены.	।
I____________________________________________________________।
2.
Теорема 5 (о продолжении решения на весь заданный интер-
вал). Пусть вектор-функция f(t,x) удовлетворяет условиям
теоремы 2 в области а < t < 0, х G Rn (допускаются случаи
50
§6. Продолжение решений
а = -оо и Д = оо) и
|/(t,®)|^a(t)|x| + 6(t),	(30)
функции a(t) и b(t) непрерывны. Тогда каждое решение уравнения
х' = f(t, х), проходящее в этой области, можно продолжить
на весь интервал (а, р).
Доказательство. Покажем, что для любого отрезка [«i, /ЭД С
(а,р) любое решение x(t), заданное при t = to € (a^Pi),
можно продолжить на весь отрезок [аь /ЭД. На этом отрезке
имеем |a(t)| k, |&(t)| <m, поэтому |®'| = |/(t,®)|fc|®|+тп.
Возьмем d = |^(<о)| и R, равное максимуму правой части
в (10) на отрезке [аь/ЭД. По теореме 4 решение можно
продолжить в обе стороны до выхода на границу цилиндра
Z («1 < t < Pi, |®| R+ 1). По лемме 2 из неравенства
|®'| < Л|ж| + т следует, что |®(t)| < R на той части отрез-
ка [аь /?1], где существует решение. Поэтому решение x(t)
не может выйти на боковую поверхность |®| = Я+1 цилин-
дра Z. Тогда оно продолжается до выхода на оба основания
цилиндра, то есть на весь отрезок [аь /ЭД.
Возьмем последовательности ац > аг > аз > ... —»• а
и pi < Рг < Рз < ••• —* Р- Из доказанного следует, что
решение x(t) можно продолжить на отрезок [аь/ЭД, затем
на [aj, Рг] и т.д. Тогда решение будет продолжено на объ-
единение этих отрезков, то есть на весь интервал (а, р). 
3. Известны также односторонние оценки, при наличии которых
решение неограниченно продолжается в сторону возрастания t. Напри-
мер, если вектор-функция при t > t0 удовлетворяет условию
< a(t)|z|2 + b(t), a(t) и b(t) непрерывны, то для любого
51
Глава 2. Существование и общие свойства решений
решения x(t) при t^t9
|х(4)|2 = ~{х • х) = 2х • х' = 2х • /(t, х) < 2a(t)|z|2 + 2b(t).
dx	di
На любом отрезке [to, <i] для функции r(t) = |ar(t)|2 имеем г9 кг + т
при некоторых к и т. Тогда, как в теореме 5, доказывается продолжи-
мость решения x(t) на интервал [t0, оо).
Вместо функции |ar(t)|2 можно оценивать рост какой-либо другой
функции (p(t9x(t))9 подбираемой в зависимости от свойств функции
f(t9 х), и получать подобные результаты. Разработан метод [35] одно-
временного использования нескольких функций <pi(t9 х) вместо одной
функции <p(t9x).
Такого рода методы позволяют не только устанавливать продолжи-
мость решений, но и получать оценки решения x(t) с помощью оценок
функции /(t, х).
§ 7. Непрерывная зависимость решения
от начальных условий и правой части
уравнения
1.
Теорема б. Пусть решение х = <p(t) задачи х' = f(t, х),
®(io) = ®о существует на отрезке I = [4», 4J Э to и в окрест-
ности V(t G I, |® - ^(t)| < р) его графика вектор-функция
f(t,x) и производные dfi/dxj (i,j =	ее координат
fi непрерывны. Тогда для любого е > 0 найдется такое б > О,
что для любой другой задачи у1 = g(t, у), t/(4o) = Уо> в которой
g и dgi/dyj (i,j = 1.....п) непрерывны и \g - f \ 6 в V,
52
$ 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий
life ~ ®ol б, решение y(t) может быть продолжено на I и
\y(t) - ¥>(01 <€ на I.
Доказательство. В ограниченной замкнутой области V име-
ем |/(t,®)| < т, \dfi/dxj\ I (i,j = 1,... ,п). Тогда для
любых точек (t, х), (t,y) G V выполняется неравенство (8),
где k = nl. Из (8) и неравенства \f(t, y)—g(t, у)| < б следует,
что для решений х = (p(t) и y(t) на отрезке I] С I, пока
график y(t) проходит в V, имеем
I®' - i/l = 1№ ®) - $(*, у)1 *1® - у1 + б.
Пусть z(i) = <p(t) - y(t). Тогда |z(io)| б, |z'| fc|z| + б
на отрезке 1\. В силу (10) имеем на Д
ИО -S(i)l = |»(01 « «е“ +	°,	(3|)
8 = max{t] - <о, io _ <*};
в случае к = 0 дробь (екг - 1)/Л заменяется на а.
Возьмем любое е > 0, £] = min{p, е} и такое 6 > 0, что-
бы правая часть неравенства (31) была меньше Тогда ре-
шение y(t) с |jfo—®ol б при t — to (или при t, близких к to)
проходит внутри трубки Т (t € 1ь |® - y>(i)|	£i); Т С V.
По теореме 4 решение y(t) может быть продолжено до вы-
хода на границу трубки Т. Если бы оно вышло на боковую
границу трубки, то в точке выхода было бы \y(t) — y>(t)| = £j
в противоречии с тем, что правая часть (31) меньше Ср
Значит, решение y(t) выходит из трубки только на ее кон-
цах t = i* и t = t\, и при всех t € [t*, удовлетворяет
неравенству (31), правая часть которого меньше £i < е. 
53
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Следствие. Если f и все dfa/dxj непрерывны в окрестности
дуги	графика решения x = <p(t) и х<(0 — решения
того же уравнения х' = f(t,x) с начальными условиями х<($о) =
а,—>^(<о), то Х»(0—►уКО равномерно на отрезке
2. Рассмотрим задачу с параметром ц € М (М — область
в Rm)
х = f(t,x,p), ®(f0) = а(ц).	(32)
Если вектор-функция f и все dfe/dx, непрерывны по t, х, то при
каждом р € М существует решение х = <p(t, р). Считаем, что оно
продолжено, настолько это возможно. В следующей теореме при
определенных условиях доказывается непрерывность функции
<p(t, р) по д, а в главе 5 — дифференцируемость функции <р по д.
Теорема 7 (о непрерывной зависимости решения от параме-
тра). Пусть при р = ро решение задачи (32) существует на от-
резке I = [£*, i 1 ] и в окрестности V (t € I, |® - <p(t, до)| р)
его графика при р € М вектор-функция f(t,x,p) и произ-
водные dfi/dxj (i,j = 1,..., п) ее координат fi непрерывны
по совокупности переменных (t, х, р); а(д) непрерывно по р.
Тогда существует такое г/ > 0, что функция <p(t, р) непрерывна
по совокупности переменных при i€l, |д - до| < 1}.
Доказательство. При фиксированном д = До задача (32)
удовлетворяет условиям теоремы 6. Следовательно, для лю-
бого е > 0 найдется такое б > 0, что в случае, когда
|/(t,«, д) —/(f, до)| <5 для (t,x)EV,
|а(д) - а(до)| о,	1 '
54


§ 7. Непрерывная зависимость решения от начальных условий
решение <p(t, р) при t € I существует и
М*» д) - до) | < е (t € Г).	(34)
В силу равномерной непрерывности функций р) и
а(д) при (t,x) 6 V, д 6 Afo С М (Мо — некоторая за-
мкнутая окрестность точки До) найдется такое г] > 0, что
при |д - до| q имеем д € Л/Ь и выполняются неравен-
ства (33). Тогда по теореме 6 решение <p(t, р) на I существует
и удовлетворяет (34), то есть <p(t, р) непрерывна по д при
Д = До-
Далее, при (t,x) eV, |д - До| q функция / не-
прерывна, значит, ограничена, то есть |/| q. Поэтому
М.| = 1/1 < ?> и для любых t, т € I при |t - т| s/q имеем
И*. /О -	д)|	- т| < Е.
Отсюда и из (34) при |д - до| q, |т -1| < s/q следует
|^(т, д) — <p(t, до) | < 2е, то есть решение tp(t, р) непрерывно
по совокупности переменных при д = До, t GI.
Возьмем е € (0, р). Тогда для некоторого ip 6 (0, ту)
при любом таком Д1, что |дi — До| < qi, по доказанному,
решение <p(t,pi) на I существует и удовлетворяет (34).
Тогда его окрестность Vi (t € I, |® - <p(t, дi)| р - е) со-
держится в V, значит, в V{ выполнены условия теоремы 7,
но с Д1 вместо до> Следовательно, решение <p(t, р) не-
прерывно по совокупности переменных (t, д) при д = дь
|Д1 - До1 < t е	
3. Теорема 6 позволяет в прикладных задачах пользоваться дифферен-
циальными уравнениями, в которых некоторые константы и функции
определялись из опытов, значит, известны лишь приближенно. Если
55
Глава 2. Существование и общие свойства решений
это приближение достаточно хорошее, то и решения таких приближен-
ных уравнений на конечном отрезке времени будут мало отличаться
от решений точных уравнений.
Оценка (31) разности решений двух близких уравнений, получен-
ная в теореме 6, может быть использована, в частности, для оценки
ошибки приближенного решения. Она очень груба, но в вычислитель-
ной математике есть возможности получения менее грубых оценок.
Существенное обобщение теоремы 7 имеется в [31]. Условие не-
прерывности функций / по р заменяется условием
t у	t
J f(s9x9p) ds	/ /(з,«, До) ds	(35)
«о	«о
при д до, До фиксированно; f и dfi/dxj ограниченыв V, /
непрерывна по t9 х. Доказывается, что д) =4 р(*»До) при д —► д0
равномерно по t € Ro» *i]-
I--------------------------------------------------------------1
I Пример 3. Рассмотрим задачу х* = f(t9 а?,д), «(0,д) = 0, где I
[ при 0 t 1, |я?| < 2	[
I /(^,х,д)=х2 +4(l-a?)sin2- (д#0), /($,я,0)=я2-2а:+2. I
I______________________________________________________________I

Условие (35) выполнено, так как при д —► О
t	t
/2 sin2	—	ds	/	1 ds = t (0 t 1).
M	J
о	о
Поэтому решение данной задачи х = <p(t9 р) при д 0 равномерно
по t € [0,1] стремится к функции <p(t9 0) = 2 tgi/(tgf + 1), являющейся
решением при д = 0.
О Для простоты изложения здесь приводятся менее общие условия, чем в [31].
>1Л
56
$ 8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Еще более общие результаты получены чехословацкими математи-
ками, главным образом, Я. Курцвейлем.
§ 8.	Уравнения, не разрешенные
относительно производной
1.	Основные свойства уравнений вида F(x, у, у') = 0 отлича-
ются от свойств ранее рассмотренных уравнений у' = f(x, у).
।------------------------------------------------------------1
| Пример 4. Уравнение (у')2 - 4®2 = 0 можно свести к двум i
•	уравнениям: у'=2® и у' = -2®.	•
I____________________________________________________________I
Их решения
2	2
У = Х + С И у = С-X
(рис. 6). Через каждую точку плос-
кости х, у проходит не менее двух
решений: по одному из каждого
семейства решений. Имеются так-
же решения, составленные из кус-
ков решений этих семейств. Такие
составные функции являются ре-
шениями только тогда, когда они
всюду имеют производную, то есть
когда в точке стыка два соединяе-
мых куска имеют общую касатель-
ную. Например, на рис. 6 функция
Рис. б
57
Глава 2. Существование и общие свойства решений
АВОК — не решение, так как не имеет производной в точке В,
а функции АВСМ и ABCN — решения.
Для того чтобы выделить единственное решение уравне-
ния F(x,y,y')=0, вообще говоря, надо задавать не только
точку (®о> Уо), но и значение у'о (не произвольно, а так, что-
бы тройка чисел ®о, Уо.Уо удовлетворяла данному уравнению:
F(x0, уо, у'о) = 0). Для уравнения (у1)2 - 4х2 = 0 через точку
В(жо = -1, Уо = 1) проходят два решения: у = ®2 (DBO, рис. 6)
и у = 2 - х2 (АВС, рис. 6); если задать еще Уо = -2 или Уо = 2,
получаем одно из этих решений.
Точки касания решений — точки нарушения единственности
(точки оси Оу на рис. 6). Решение, пришедшее в такую точку,
можно продолжить за нее более, чем одним способом.
Теорема 8. Рассмотрим уравнение
F(x, у, у1) = 0.	(36)
Пусть F G С1 в области Due точке (х^, уо, уд) € D имеем
F = 0, dF/dy' / 0.
Тогда на любом достаточно малом отрезке [®о -d,xg +d] суще-
ствует единственное решение уравнения (36), удовлетворяющее
условиям
у(®о) = Уо, у'(жо) = Уо-	(37)
Доказательство. По теореме о неявной функции в некото-
рой окрестности U точки (®о, Уо) существует единственная
непрерывная функция f(x,y), удовлетворяющая условиям
F(x, у, f(x, у)) = 0, f(x0, уо) = у'о, (38)
при этом f € С1. По теореме 2 § 5 уравненйе у' = f(x, у)
на некотором отрезке [®q — db ®о + di], > 0, имеет един-
58
§ 8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
ственное решение у(х), удовлетворяющее начальному усло-
вию у(жо) = Ifo- Так как у'(®) = f(x, у(х)), то из (38) следует
F(x, у(х), у'(®)) = 0, у'(®0) = /(®о, Уо) = Уо-
То есть у(х) удовлетворяет уравнению (36) и условиям (37). 
Докажем единственность решения. Так как 9F(x,y,p)/dp # 0 в точке
(®о, 1Ль Уо)»то 9F/9p сохраняет знак в некоторой окрестности этой точ-
ки, то есть при (®, у) € V С U, |p-yj| < е. Здесь V — окрестность точки
(«о. Уо)» е > 0. Значит, при (х, у) € V функция F(x, у, р) монотонна по
р на интервале |р - j/ol < е- и там F(x, у,р) = 0 только при р = f(x, у).
Уменьшим окрестность V, чтобы в V было |/(®, у) - yj| < е/2. Тогда
для (х,у) € V значения р, для которых F(x, у,р) = 0, распадаются
на два такие множества Ан В (В может быть пустым), что
Р = /(«»У). |Р“Уь1<^ (₽€А);
Р#/(®»У)» 1р-Уо1>« (р£В).
Для любого решения у(х) задачи (36), (37) при х = х0 имеем
tf(x) = Уо = /(«о» Уо) € А. Пока (х, у(х)) G V, производная у'(х) не мо-
жет перейти из А в В, так как по теореме анализа производная прини-
мает все промежуточные значения, а в силу (39) она не может принимать
значений р, для которых е/2 < |р - t/J| < е. Значит, при малых |® - ®ol
производная у?(х) остается в А и tf(x) — f(x,y(x)). А это уравнение,
так как / € С*, при условии у(®о) — у0 имеет единственное решение.
Следствие. Пусть в (36) F G С1 ив точке (®о,Уо) урав-
нение F(xo,yo,p)=O имеет ровно т различных корней pi
(i = l,...,m) и для каждого из них dF(xetyo,Pi)/dpi # 0.
Тогда через точку (®о, Уо) 8 ее окрестности проходит ровно
т решений уравнения (36), у них в этой точке производные
у'(хо) = pi (» = 1,..., т) все различны.
59
Глава 2. Существование и общие свойства решений
Например, для уравнения (у1)2 - 4а? = 0 таковы точки
(®о, Уо) с ж0 # 0. Уравнение р2 - 4х% = 0 имеет два различных
корня pi,2 = ±2жо, для обоих dF/dpt = 2р,- / 0 и через такую
точку в ее окрестности проходят ровно два решения (рис. 6).
Если же через точку (жо, уо) в сколь угодно малой ее окрест-
ности проходит более одного решения и хотя бы два из них
имеют в этой точке одну и ту же производную !/(жо), то говорят,
что в такой точке нарушается единственность. Для уравнения
(У*)2 “ 4ж2 = 0 таковы точки (жо, уо) с жо = 0.
2, Дискриминантная кривая. Из сказанного вытекает, что если
для уравнения (36) с F G С1 в точке (жо, Уо) нарушается един-
ственность, то при некотором у'о выполняются два условия
^«,й.Л = 0,	(40)
"Уо
Так как Уо заранее не известно, то для отыскания точки (жо, уо)
надо из уравнений (40) исключить у'о. Получим уравнение
у>(®о.Уо) — 0, определяющее некоторое множество на плоско-
сти ж, у. Это множество называется дискриминантной кривой.
Дискриминантная кривая содержит все точки нарушения един-
ственности, но может содержать и некоторые другие точки.
I-------------------------------------------------------------1
I Пример 5. Найдем дискриминантную кривую для уравнения I
!	(у')2 - 4у3(1 - у) = 0.	|
I_____________________________________________________________I
Решение примера. Для этого пишем два уравнения (40):
F = (у')2 - 4у3(1 - у) = 0,	= 2у = 0.
сгу
60
§ 8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Из второго уравнения имеем у1 = 0. Подставляя в первое, находим
дискриминантную кривую 4у3(1 —у) = 0. Имеем две ветви: у = 0
и у = 1. В нашем случае они обе являются решениями данного
дифференциального уравнения.
Чтобы выяснить, где нарушается единственность, найдем дру-
гие решения. Из данного уравнения имеем у' = ±2уу/у(\ - у).
Решая эти уравнения с разделяющимися переменными, получаем
решения (рис. 7)
1 v“
У (ж + с)2 + Г «*
!Z = 0, y=L	_
На прямой у = 0 не	°	х
нарушается единствен-
ность, а на прямой у = 1	Рмс 7
— нарушается. ◄
В отличие от рассмотренного примера далеко не всегда
дискриминантная кривая является решением.
i-------------------------------------------------------1
I Пример б. Найдем дискриминантную кривую для уравнения i
‘	Г = (у-1)(!/)2 + 21/-1=0.	I
I_______________________________________________________I
Решение примера. Здесь DF/Dy' = 2(у — \)у' + 2 = 0. Ис-
ключая у', получаем дискриминантную кривую у = 0. Она не явля-
ется решением данного уравнения.
Найдем другие решения. Из данного уравнения, как из ква-
дратного, получаем у1 =	. Так как 1 -у = (1 -^/у)(1+
то j/ = Решая это уравнение с разделяющимися перемен-
61
Глава 2. Существование и общие свойства решений
ними, находим у ± jy3^2 = х + с (рис. 8). Дискриминантная
кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения
интегральных кривых.	<4
Особым решением называется такое решение, в каждой точ-
ке которого его касается другое решение, отличное от рассма-
триваемого решения в сколь угодно малой окрестности этой
точки. В примере 5 особым
является решение у = 1,
в примерах 4 и 6 особых
решений нет.
Так как в каждой точ-
ке особого решения нару-
шается единственность, то
особое решение, если оно
есть, содержится в дискри-
минантной кривой. Поэтому для отыскания особого решения
уравнения F(x, у, у1) = 0 (с функцией F класса С1) сначала
надо найти дискриминантную кривую. Но она не всегда является
особым решением, даже если является решением, см. пример 5.
Поэтому каждую ветвь дискриминантной кривой надо проверить:
1) является ли она решением, то есть удовлетворяет ли она
данному уравнению;
2) касаются ли ее в каждой точке другие решения.
Если на оба вопроса ответы положительные, то рассматри-
ваемая ветвь является особым решением.
Проверка того, касаются ли две кривые у = <р(х) ну = ф(х),
проводится с помощью условия касания: кривые касаются друг
друга в некоторой точке, если в этой точке
= ^(®), <р'(х) =	(41)
62
S В. Уравнения, не разрешенные относительно производной
(Задачи для упражнений:
[12], §8, №241-266.
Огибающая. Понятие особого решения связано с известным
из дифференциальной геометрии понятием огибающей.
Огибающей семейства кривых <р(х, у, с) = 0 называется кри-
вая К, в каждой своей точке касающаяся кривой семейства,
отличной от кривой К в любой окрестности этой точки.
Теорема 9. Линия у = J>(x) является особым решением уравне-
ния F(x, у, у') = 0 тогда и только тогда, когда она является
огибающей семейства решений этого уравнения.
Доказательство. Пусть линия у = ф(х) — особое решение.
Тогда в каждой своей точке она касается другого решения.
Следовательно, эта линия — огибающая семейства решений.
Пусть линия у = $(х) — огибающая семейства реше-
ний. Тогда в каждой своей точке (х, у) она касается какого-
либо решения. Значит, в этой точке числа х, у, для линии
у = те же, что для этого решения. Но решение удо-
влетворяет уравнению F(x, у, у1) = 0, поэтому и огибающая
тоже удовлетворяет этому уравнению в точке (®, у). Эта точ-
ка — произвольная на огибающей, значит, огибающая есть
решение уравнения. Это решение в каждой своей точке ка-
сается другого решения, следовательно, является особым. 
Для отыскания огибающей семейства линий (р(х, у, с) = О
(<р € С1), как известно из дифференциальной геометрии, надо
исключить с из уравнений
/	\ л д(Р(х> У’с) Л
У, с) = 0, ----—-----= О,
63
Глава 2. Существование и общие свойства решений
и проверить, касается ли полученная линия в каждой своей точке
какой-либо линии семейства (например, с помощью условия
касания (41)).
(Задачи для упражнений:
[12], §8, №297 а-г.
3» Методы решения уравнений вида F(x, у, у') = 0.
А. Разрешить уравнение относительно у', то есть из дан-
ного уравнения выразить у* через хну. Получается одно или
несколько уравнений вида у' = f(x,y). Каждое из них надо
решить. Этим методом решались уравнения в примерах 4-6.
Б. Метод введения параметра. Он позволяет свести урав-
нение F(x, у, у') = 0 к уравнению, разрешенному относительно
производной. Излагаемый ниже простейший вариант этого ме-
тода применим в случае, когда уравнение F(x, у,у') = 0 удается
разрешить относительно у или относительно х, то есть записать
в виде у = /(ж, у') или в виде х = /(у, у').
В уравнение у = f(x, у') вводим параметр р = dy/dx и по-
лучаем
» = /(«.?)•	(42)
Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и, чтобы
исключить у, заменяем dy на pdx (так как р = dy/dx).
dy = fgdx + fp dp; pdx = fadx + fp dp.
Последнее уравнение можно разрешить относительно dx/dp или
относительно dp/dx. Если решение этого уравнения найдено
в виде х = <р(р), то, подставляя это в (42), получаем реше-
ние исходного уравнения в параметрической записи: х = р(р),
у =
Этим же методом решаются уравнения вида х = /(у, у').
64
§ 8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
I--------------------------------------------------------------1
|	Пример 7. Решить уравнение у = ху' + (у')2.	i
I______________________________________________________________I
Решение примера. Вводя параметр р = у*, получаем
у = хр + р2.	(43)
Берем полный дифференциал от обеих частей равенства. Получа- 
ем dy = р dx + х dp + 2р dp. Так как dy — р dx, то имеем
pdx = pdx + xdp + 2pdp; (х + 2р) dp = 0.
Надо рассмотреть два случая: х + 2р = 0 или dp = 0. '
Если х+2р = 0, то ж = -2р.
Подставляя это в (43), получаем
решение в параметрическом виде:
х = —2р, у = —р2. Исключая р,
имеем у = —ж2/4.
Если dp = 0, то р = с
(произвольная постоянная). Под-
ставляя в (43), получаем решение
у = сх + с1 — семейство непа-
раллельных прямых (для каждой
прямой угловой коэффициент с —
свой).
Исследуем, является ли ре-
шение у = -ж2/4 особым. Пи-
шем для решений у = — ж2/4 и
у = сж+с2 условия касания (41):
ж2	2
-~=сх+г
ж
2
Подставляя с = -ж/2 в первое равенство, получаем — ж2/4 =
-ж2/2+ж2/4 —тождество. Значит, решение у = —ж2/4 в каждой
65
Глава 2. Существование и общие свойства решений
точке х касается одного из решений у = сая-с2. Следовательно,
решение у = —®2/4 — особое (рис. 9).	◄

Другие варианты метода введения параметра изложены в [9], гл. 3, § 2,
пример 5 и §3, п. 1 — введение двух параметров; также [13], гл. 1, §8;
[2], гл. 1, §7.
Уравнения Клеро имеют вид
у = ху+^(у).
Они решаются методом введения параметра. Этому классу при-
надлежит уравнение примера 7. Общее решение уравнения Кле-
ро — семейство непараллельных прямых. Если функция ЕС2
и нелинейна, то уравнение Клеро имеет особое решение — кри-
вую, которой касаются эти прямые. Если же функция линейна,
то прямые проходят через одну точку и особого решения нет.
(Задачи для упражнений:
[12], §8, №267-296.
4. В общем случае дискриминантная кривая разбивает плоскость х9 у
на области. В такой области выполняются условия следствия теоре-
мы 8 и через каждую точку проходит одно и то же число решений.
Расположение решений вблизи дискриминантной кривой может быть
различным. Известно ([18], гл. 1, §4), что типичным является случай,
когда дискриминантная кривая состоит из точек возврата интегральных
кривых, как на рис. 8. Кроме того, на дискриминантной кривой могут
быть особые точки, вблизи которых интегральные кривые идут иначе,
чем вблизи других точек дискриминантной кривой, см. [19], гл. 1, §7.
Глубокие исследования таких особенностей провел А. А. Давыдов.
ГЛАВА
Линейные
дифференциальные
уравнения и системы
Изучение линейных дифференциальных уравнений составляет
отдельное теоретическое направление потому, что они обладают
рядом свойств, позволяющих глубже их изучить. Основное свой-
ство состоит в том, что все решения линейного уравнения или
системы выражаются через конечное число решений.
§ 9.	Свойства линейных систем
1.	Рассмотрим линейную систему нормального вида
или, в векторной записи,
67
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
(2)
Всегда предполагается, что на рассматриваемом конечном или
бесконечном интервале а < t < /3 функции ву(<) и /,•(<) непре-
рывны, а,; (0 вещественны.
Так как в главе 3 иногда будут рассматриваться комплексные
решения, в частности, содержащие функции ею<, то необходимо
распространить некоторые теоремы главы 2 на линейные системы
с комплексными решениями.
Лемма 1. Если матрица A(t) вещественная, то
а)	вещественная и мнимая части любого комплексного решения
системы х' = A(t)x являются вещественными решениями
этой системы;
б)	вещественная и мнимая части решения x = u+iv системы
(2) с f(t) = g(t) + ih(t) (g и h вещественны) являются
решениями систем
и' = A(t)u + g(t), v' = A(t)v 4- h(t);	(3)
в)	обратно, если uuv — решения систем (3), то х- = u+iv —
решение системы (2) с f(t) = g(t) + ih(t).
Доказательство. Докажем б). Пусть функции и, v,g, h ве-
щественны и
(ц + iv)' = A(t)(u + iv) + g(t) + ih(t).
68

§ 9. Свойства линейных систем
Отделяя вещественную и мнимую части, получаем (3).
При д = h = 0 из утверждения б) следует а).
Умножая на i второе уравнение в (3) и складывая
с первым, получаем в).	
Теорема 1. При любом начальном условии x(to) = ®о система
(2) имеет единственное решение. Все ее решения продолжаются
на весь интервал (а, /3).
Доказательство. Если х$ и f(t) вещественны, то по теореме 2
§ 5 задача
х' = A(t)x + /(t), ®(t0) = ®о,	(4)
имеет единственное решение. Так как функции a(f) = ||.4(t)||
и 6(f) = |/(f)| непрерывный |.4(t)®+/(t)| < a(t)|®|+b(t),то
по теореме 5 § б каждое вещественное решение системы (4)
продолжается на интервал (а, /3).
Если же ®о = «о + *®о» /(f) = р(0 + *М0» то» по дока-
занному, системы (3) с «(fo) = «о, v(fo) = «о имеют решения
на интервале (а, Д). Тогда х = и 4- iv при а < f < Д —
решение задачи (4).
Если у = и* + iv* — другое решение этой задачи, то
и - и* и v - v* — вещественные решения задачи z' = A(t)z,
z(to) = 0. Но z(t) = 0 тоже решение, а других вещественных
решений нет по теореме 1 §9. Значит и — и* = v — v* = 0,
и решение х = и + iv единственно.	
В главе 3 всегда будем считать, что все решения продолжены
на весь интервал а < t < Д.
69

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
2» Общие свойства линейных уравнений и систем. Система (1)
или (2) называется линейной однородной, если все /,(0 = О,
и линейной неоднородной в противном случае.
В системе (2) перенесем A(t)x влево и запишем эту систему
в виде Lx = f. Здесь f и х — элементы линейного пространства
непрерывных (для х — непрерывно дифференцируемых) п-
мерных вектор-функций на интервале а < t < fl, L — линейный с
оператор, то есть такой, что	?
Z(u 4- v) = Lt* + Lv, L(yu) = yLu
для любых и и v из линейного пространства, на котором опре-
делен оператор L, и любого числа 7.
Из этих свойств следует, что если ®*,...,®* — реше-
ния линейного однородного уравнения Lx = 0 (верхний ин-
декс — номер решения), 71, • • •, 7* — числа, то хх + ®2, ж1 - х2,
71®* +... + 7*®* — тоже решения того же уравнения. Следова-
тельно, множество решений линейного однородного уравнения
(или системы) есть линейное пространство.
Если же ® *,..., ®* — решения линейных неоднородных
уравнений Lx1 = (i = 1,...,к), 71,..., 7* — числа, то х =
71®* +... + 7ь®* — решение уравнения Lx = 71/* + ••• +7k/fc.
В частности, если Lu = 0, Lv = f, то L(u + v) = f; если
Zv* = f, Lv2 = f, to Z(v* - v2) = 0. To есть сумма решений
линейного однородного и линейного неоднородного уравнений
(с тем же L) есть решение того же неоднородного уравнения;
разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть
решение линейного однородного уравнения.
Линейная зависимость вектор-функций. Вектор-функции
®*(t),... ,®*(i) называются линейно зависимыми на интервале
(или на множестве) М, если найдутся такие постоянные чи-
сла ci,...,с*, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при

70


§ 9. Свойства линейных систем
всех t G М имеем
+... + ctxk(t) = 0.	(5)
Вектор-функции линейно независимы на М, если они не явля-
ются линейно зависимыми на М, то есть если равенство (5)
(при всех t € М одновременно) возможно лишь в случае
С] = ... = cjt = 0.
' Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном
множестве М, содержащем более одной точки, отличается от из-
вестного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.
Если вектор-функции xl(t),..., xk(t) линейно зависимы на М,
то при каждом t € М их значения являются линейно зависимыми
векторами, это следует из (5). Обратное неверно.
I-----------------------------------------------------------------1
I Пример 1. Вектор-функции (}) и ®2(0= (J) [
1 при любом t являются линейно зависимыми векторами
। (при любом t = имеем cias^ti) + CiX2(£i) = 0, если
1 С] = tit С2 = -1). Но как вектор-функции, они на любом
। интервале (а,/3) линейно независимы, так как при посто-
1 янных С],С2 равенство ci • 1 + cit = 0 на всем интервале
। (а, /3) возможно лишь при q = с2 = 0.
I_________________________________________________________________I
Детерминант Вронского или вронскиан для п-мерных век-
ор-функций xl(t),... ,xn(t) — это детерминант п-го порядка,
' толбцы которого состоят из координат этих вектор-функций, то
<сть
71
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Лемма 2. Если вектор-функции х1,... ,хп линейно зависимы, то
их вронскиан W(t) = 0.
Доказательство. В этом случае столбцы детерминанта ли-
нейно зависимы, а тогда, как известно, он равен нулю. 
Следствие. Если вронскиан W(t) 0, то вектор-функции х1,
... ,хп линейно независимы.
Лемма 3. Если вектор-функции х1,... ,хп являются решениями
системы х* = A(t)x с непрерывной матрицей A(t), и их врон-
скиан W равен нулю хотя бы при одном значении t, то эти
вектор-функции линейно зависимы, и W(t) = 0.
Доказательство. Пусть i) = 0. Из алгебры известно, что
тогда столбцы детерминанта, то есть векторы ...,
x"(ti) линейно зависимы. Значит, существуют такие числа
ci,..., Сп, из которых хоть одно не равно нулю, что
c1®1(ii) + ... + cn®n(ti) = 0.	(6)
С этими ci,..., Сп рассмотрим вектор-функцию
x(t) = ci®’(t) +... + CnXn(i).	(7)
Она является решением системы х' = A(t)x. В силу (6) *
®(ti) = 0. Функция z(t) = 0 удовлетворяет той же системе
и начальному условию z(ti) = 0. По теореме единственности
имеем x(t) = z(t) = 0. Итак, функция (7) всюду равна нулю,
и решения xl(t)....xn(t) линейно зависимы.	
s
S
§ 9. Свойства линейных систем
Для вектор-функций, не являющихся1 решениями, утвер-
ждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций
примера 1 имеем W(t) = 0, а они линейно независимы.
3. Далее рассматриваются решения линейной системы
х' = A(t)x, х € R”.
Фундаментальной системой решений называется любая систе-
ма п линейно независимых решений.
Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возь-
мем <о € (а>/3) и любые п линейно независимых векторов
Ь1 Ьп € R”. Пусть ®*(0 ®n(t) — решения системы
х' = A(t)x с начальными условиями ar’(to) — V, j = 1,... ,n.
Эти решения линейно независимы, так как при t — to их значе-
ния — линейно независимые векторы Ь1,..., Ьп и равенство (5)
возможно только при q = ... = Сп = 0.
Общим решением системы дифференциальных уравнений на-
зывают множество функций, содержащее все решения этой си-
стемы и только их (или формулу, представляющую это множество
при всевозможных значениях произвольных постоянных).
Теорема 2 (об общем решении). Пусть xl(t),..., xn(t) — ка-
кие-нибудь п линейно независимых решений системы х' = A(t)x.
Общее решение системы есть
x(t) = q®1 (t) 4-... + q,®n(t),	(8)
где q.....q, — произвольные постоянные.
Доказательство. В силу свойств линейных уравнений функ-
ция (8) при любых q......Сп является решением. Покажем,
73
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
что любое решение x(t) системы выражается формулой (8).
Возьмем to €	Решения ж1 (О ®n{t) линейно неза-
висимы. Из леммы 3 следует, что их вронскиан W(to) # О*
Расписав покоординатно равенство (8) при t = to, получаем
систему
' ®1(*о) = Cl®}(to) +.. • + Cn®?(to),
◄ ............................
®п(^о) = с1®п(^о) + • • • + Сп®п(^о)*
Из этой системы неизвестные q,..., Сп определяются од-
нозначно, так как детерминант системы есть
.., = W(W#O.
С этими ci,..., Сп для решения ж(<) при t = to справедливо
равенство (8). Обе части этого равенства — решения нашей
системы. По теореме единственности они должны совпадать
при всех t. Итак, любое решение представимо в виде (8). 
Доказанная теорема означает, что множество решений си-
стемы ж' = A(t)x (х € R”) есть n-мерное линейное пространство.
Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная си-
стема решений. Равенство (8) есть представление любого элемен-
та этого пространства в виде линейной комбинации элементов
базиса.
. Фундаментальной матрицей системы ж' = A(t)x называется
матрица X(t), столбцы которой составляют фундаментальную
систему решений. Из леммы 3 следует, что detX(f) = W(t) £ 0.
С помощью фундаментальной матрицы X(t) общее решение (8)
записывается в виде x(t) = X(t)c, где с — вектор-столбец с про-
извольными координатами сь..., Сп (так как X(t)c — линейная
комбинация столбцов матрицы X(t), равная правой части (8)
с коэффициентами ci......с«).
74
§ 9. Свойства линейных систем
I--------------------------------------------------------------1
 Пример 2. Найти линейно независимые решения и фунда- ।
| ментальную матрицу для системы х' = у,у* — Q.	I
I______________________________________________________________I
Решение примера. Из второго уравнения имеем у = (произ-
вольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем
х' = q. Отсюда х = c\t + С2. Общее решение есть х = c\t + а,
у = С\. Полагая q = 1, cj = 0, находим частное решение х^ = t,
Ух = 1, а полагая ci = 0, с2 = 1, находим другое решение х^ = 1,
у2 = 0. Их вронскиан

t
1
1
о
®1
У1
®2
У1
= -1/0,
и в силу следствия леммы 2 эти решения линейно независимы.
Поэтому фундаментальной является матрица
X(i) =
Уг)
(t
V
1\
Фундаментальная матрица Х(<) удовлетворяет матричному
уравнению X' = A(t)X. В самом деле, пусть x*(t) — j-й столбец
матрицы X(t). Тогда (х*)' и A(t)x? — J-e столбцы матриц X'
и A(t)X. Эти столбцы равны, так как х>(1) — решение системы
х' = A(t)x.
Теорема 3 (переход от одной фундаментальной матрицы к дру-
гой). Пусть X(t) — фундаментальная матрица, С — неособая
(det С / 0) постоянная матрица пхп. Тогда Y(t) = X(t)C —
фундаментальная матрица той же системы. По этой форму-
ле из данной фундаментальной матрицы X(t) можно получить
любую фундаментальную матрицу Y(t), подбирая матрицу С.
75
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Доказательство. Пусть с* и y'(t) — i-e столбцы матриц С
и Y(t). Из равенства Y(t) = X(t)C и правила перемно-
жения матриц следует, что у’(0 — X(t)<j
Значит, у‘(0 — решение той же системы х' = A(t)x. Да-
лее, dety(t) = det X(t) • det С £ 0, поэтому решения y*(t)
(i = 1,..., п) линейно независимы и матрица У(<) — фун-
даментальная.
Пусть X(t) и Y(i) — фундаментальные матрицы си-
стемы х' = A(t)x. Подберем такую матрицу С, чтобы
Y(t) = X(t)C. Для этого умножим обе части равенства на
X-1(t) слева и положим t = t0. Получим Х“*(<о)У(<о) = С.
Столбцы матрицы Z(t) = X(t)C = X(t)X~l(to)Y(t(j) — ре-
шения той же. системы; Z(to) = Y(to). По теореме единствен-
ности каждый столбец матрицы Z(t) совпадает со столбцом
матрицы Y(t). Таким образом, Y(t) = Z(t) = X(i)C, где
С = X-1(MrGo), det С = det X-1(t0) det У(<о) #0.	
4?
Лемма 4 (правило дифференцирования детерминанта). Пусть
D — детерминант порядка п. Тогда D' = Di +... + Dn, где
Di получается из D заменой всех злементов i-й строки на их
производные.
Доказательство. По определению детерминанта
0 = ^)^,^...^,	(9)
где bij — элемент i-й строки и j-го столбца детерминанта D,
сумма берется по всем п! перестановкам ji.jn чисел
1,..., п; берется знак + (или -), если перестановка четная
76
§ 9. Свойства линейных систем
(нечетная). Так как
(ь1ь2...М' = ь'1ь2...ьп+М2...ьп + ... + ь1ь2...ь;>
то производная каждого члена в (9) равна сумме п слагаемых,
в t-м слагаемом только заменяется на (by,.)1. Так как
bij. — элемент t-й строки в D, то собирая вместе *-е
слагаемые, получаем детерминант Di указанного в лемме
вида. Поэтому D = Di +... + Dn.	
Теорема 4 (формула Лиувилля и Остроградского). Пусть W(t)
— вронскиан любых п решений системы
^i=an(t)xi + ... + ain(t)xn, »=1,...,п.	(10)
Тогда для любых to, t € (а, /3)
W(t) = W(to) exp
Доказательство. Столбцы детерминанта W(t) — решения
системы (10). По лемме 4 W'(i) = Pi + ... + Рп, где Р,-
получается из W заменой всех элементов х% »-й строки
на их производные («{у. Так как xj — »-я координата У-го
решения системы (10), то *-я строка в Р,- есть
п	п
' aikxk,
k=l	t=l
а остальные строки остаются те же, что в IF(i). Вычитаем
из этой строки первую, умноженную на а.ц, вторую, умно-
женную на ац, и т.д. до (* - 1)-й; далее (* + 1)-ю строку,
77
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
умноженную на ,..., n-ю, умноженную на а,-п. От это-
го величина детерминанта D, не меняется. Тогда i-я строка
принимает вид
•
Вынося множитель а,,, находим, что D, = auW(t). Тогда
TF'(t) = auW(t) + a22W(i) +... +*n„W(t) =
e(t) то же, что в (11). Из уравнения W'(t) =	по-
лучаем следующее, учитывая лемму 3. Если TF(io) = 0, то
W(t) = 0; если W(t0) ? 0, то W(t) * 0,	= а(0.
Интегрируя обе части равенства от to ДО t и освобождаясь
от логарифмов, получаем (11).	
5?
Теорема 5. Общее решение линейной неоднородной системы (2)
есть сумма ее частного решения и общего решения линейной
однородной системы и' = A(t)u, то есть
®общ. неодн. = ®частн. неодн. + «общ. одн.	(12)
Доказательство. Сумма решений неоднородной и однород-
ной линейных систем есть решение неоднородной системы.
Поэтому формула (12) представляет только решения неод-
нородной системы (2). Покажем, что эта формула содержит
все решения. Пусть v — любое решение системы (2), aw —
ее частное решение, входящее в формулу (12). Тогда v - w
есть решение однородной системы, значит v—w содержится
В «общ.одн.- ПОЭТОМУ V СОДерЖИТСЯ В Сумме W + «общ.одн.,
стоящей в правой части (12).	
78
§ 9. Свойства линейных систем
Метод вариации постоянных позволяет найти решение ли-
нейной неоднородной системы (2), если известно общее реше-
ние (8) линейной однородной системы х' = A(t)x. Для этого
в формуле (8) надо заменить постоянные с1(...,с„ на неиз-
вестные пока функции ci(0,...,Cn(t), подставить полученное
выражение х = С](0®’ 4-... 4- Cn(t)xn в систему (2) и найти
функции Ci(t),..., Cn(t).
Доказательство возможности отыскания этих функций про-
ще провести, записав общее решение системы х' = A(t)x в виде
х = X(t)c, где X(t) — фундаментальная матрица этой систе-
мы (ее столбцы — линейно независимые решения — векторы
ж1,..., хп), а с — вектор-столбец из постоянных сь..., Сп. Заме-
няем с на с(0 и подставляем х = X(t)c(t) в систему (2). Получаем
*'(040 + *(0с'(0 = Л(0Х(0с(0 4- /(0.
Так как X'(t) = A(t)X(t) (см. п. 3), то остается равенство
Х(0</(0 = /(0. Умножая слева на обратную матрицу Х~ *(0
(она существует, так как det Х(0 # 0), получаем
t >
с'(0 = Х-1(0/(0, с(0 = c° + J X~l(s)f(s) ds,
to
с° — произвольный постоянный вектор. Получаем решение
t
®(0 = Х(0с(0 = Х(0с° 4-Х(0 J X~l(s)f(s)d8.
<0
При решении конкретных систем, чтобы избежать лишних
выкладок (не выписывать члены, которые должны взаимно уни-
чтожаться), можно применить следующий прием.
Решение однородной системы есть X(t)c (Х(0 — фундамен-
тальная матрица, с — постоянный вектор), а неоднородной —
79
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
X(t)c(t). Надо найти X(t) и затем координаты вектора cf(t)
определить йз системы X(t)d(t) = f(t).
।--------------------------_
 Пример 3. Зная общее решение
(х \	( sm t \	(	cos	t
I = Cl	I , I	+ c2	I	. ,
у J	\ cos i /	\	- sm t
(13)
i однородной системы x' = y,y' = —x, найти общее решение •
। системы x' = у, y‘ = -x +	(0 < t < ir).	[
I_______________________________________~__________________I
Решение примера. Заменяем в (13) су ci на 4» Cj и полученную
сумму приравниваем неоднородной части системы
I ( sin t \ t ( cos t X
C] i . I + Cj I . , I —
\ cos t J \ - sin i j
0
1/sin t
Отсюда находим с, = c2 = -1. Следовательно, ci =
In sint + сц, c2 = -t + cjp Подставляя эти ci,cj в (13), полу-
чаем общее решение неоднородной системы
(sint-Insint-tcost\	/sint\ / cost
cost'lnsint+tsint/ n\cost/ 21 sint
..... »
б» Для линейных систем x' = A(t)x (x € R") при различных пред-
положениях о матрице A(t) исследовалось поведение решений при
t —* оо. Устанавливались достаточные условия для ограниченности ре-
шений на интервале (t0, оо) для стремления к нулю всех решений при
t -»оо. В случае, когда A(t) = Ао +1“* Ai +1~2Аг +... при t > t1 и соб-
ственные значения матрицы Ао простые, доказывалось существование
80
$ 10. Линейные уравнения любого порядка
фундаментальной системы, состоящей из решений вида
£*(t) = (ем +1	+1	+ •••),	0, a^ € Rn,
:= 1,2,..., k = l,...,n [23], гл.2, n.7-9.
При более общих условиях (ограниченность и непрерывность A(t))
исследовались свойства характеристических показателей решений (чи-
сел, сравнивающих скорости роста или убывания решений при t —► оо
с функцией еы) [26].
К системам применялись методы аналитической теории дифферен-
циальных уравнений, когда независимое переменное t — комплексное,
а элементы a#(t) матрицы A(t) — аналитические функции. Это по-
зволяет изучать поведение решений вблизи точек, в которых функции
имеют особенности [30], главы 4 и 5.
§ 10. Линейные уравнения любого порядка
1. На интервале а < t < р рассматривается уравнение
ao(0»(n) + ai (0у(п-,) + ... + On(t)y = /(0.	(14)
Считаем, что при а < t < р все функции a,-(0 (i = 0,1,..., п) и
/(0 непрерывны и ао(0 # 0.
Ниже доказывается, что решения этого уравнения облада-
ют свойствами, подобными свойствам решений Линейных си-
стем, рассмотренным в § 9. Для этого уравнение (14) приводится
к системе нормального вида с помощью замены (25) § 5, т. е.
с помощью введения новых неизвестных функций	.
= У, ®2 = У, = у",
®п-1=У(П-2), Хп=У(П~1).	05)
81
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Как в § 5 показывается, что в силу замены (15) и уравнения (14)
функции ®ь..., хп удовлетворяют системе уравнений
®1=®2,	®2 = ®з,	х'п_1=Хп,
! ап ®П-1	/	(16)
=-----XI-------Х2 - ...---хп + —,
во во	во во
и обратно, каждому решению ...,хп системы (16) в силу
замены (15) соответствует решение уравнения (14).
Так как система (16) линейна и функции в,/во и //во не-
прерывны при а < t < р, то система (16) обладает свойствами,
рассмотренными в §9. В частности, каждое решение уравне-
ния (14) может быть продолжено на интервал («, /3), и при
любых начальных условиях для to € (о, Р)	>
l/(W = So. s'(io) = S6......	=	О7)
уравнение (14) на интервале (a, Д) имеет единственное решение.
Далее, если yit..., yi — решения линейного однородного урав-
нения, 71,7k — числа, то 7iyi +...+т*У* — решения того же
уравнения. Если и — решение однородного уравнения Lu = 0, 
г>1 и г>2 — решения неоднородного уравнения Lv = /, то u+«i —
решение того же неоднородного уравнения, a »i - v2 — реше- ,
ние однородного уравнения Lu = 0. (Левая часть уравнения (14)
кратко обозначается Ly.)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
во(О1/п)4-в1(0!/п_,) + -” + М0У = 0	(18) ;
с непрерывными коэффициентами в,(0 и во(0 # 0.
Лемма 5. При замене (15) линейно зависимые решения урав-
нения (18) переходят в линейно зависимые решения системы,
и наоборот.
82
§ 10. Линейные уравнения любого порядка
Доказательство. Пусть решения yi,...,yk, уравнения (18)
линейно зависимы, то есть найдутся такие постоянные
сь... ,ск, из которых хоть одно не равно нулю, что
ciin +... + Cfcjfe = 0.	(19)
Дифференцируя это равенство п - 1 раз, получаем
ciy'i + • • • +	= 0,
.................................. (20)
+ • • • + с*УкП1) = 0.
При замене (15) решение у, уравнения переходит в реше-
ние х* системы; здесь «• = {$»•••> ®п)Г, т- е« х* — вектор-
столбец с координатами х\,...,х1п (для удобства записи
координаты записаны в строку и поставлен знак транспони-
. рования Т).
Таким образом, после замены (15) равенства (19) и (20)
можно записать в виде одного векторного равенства
С1х1+... + скхк = 0 (3q/0).	(21)
Следовательно, решения х1,..., хк системы линейно зави-
симы.
/Обратно, пусть решения х*,...,хк системы линейно
зависимы. Тогда имеет место (21). Беря от каждого вектора х*
первую координату х*! и переходя от нее к решению yt в
силу (15), получаем (19). То есть решения ..., ук линейно
зависимы.	
Из леммы следует, что линейно независимые решения пе-
реходят в линейно независимые.
2, Линейное однородное уравнение (18) при замене (15) пе-
реходит в линейную однородную систему (16) с f = 0. Такая
83
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
система (см. § 9, в частности, теорему 2) имеет п линейно незави-
симых решений х1,..., хп и общее решение х = qa?+.. .+спхп.
Следовательно, и уравнение (18) имеет п линейно независимых
решений у\,..., уп (то есть фундаментальную систему решений)
и справедлива следующая теорема об общем решении.
Теорема б. Пусть yi,... ,уп — какие-либо линейно независимые
решения уравнения (18), q,..., Сп — произвольные постоянные.
Тогда общее решение уравнения есть
У = см + ... + Спуп.
Следствие. Любые т (где тп > п) решений уравнения (18)
линейно зависимы. (Если бы ..., ут были бы линейно незави-
симы, то у\....уя — тоже. А тогда 2/n+i выражалось бы через
yi,..., уя формулой (22). Это противоречит предположению.)
Детерминантом Вронского (вронскианом) для п функций
Ух,..., уп класса Сп-1 называется детерминант
yi	... Уп
»I	!!.
(23)
Если функции у\.....Уп линейно зависимы, то столбцы
детерминанта линейно зависимы, и он тождественно равен
нулю.
84

§10. Линейные уравнения любого порядка
При замене (15) детерминант (23) переходит в детерминант
Вронского для п вектор-функций (§ 9). По лемме 5 эта замена
сохраняет линейную зависимость (или независимость) решений,
поэтому из свойств решений системы (пункты 2-4 § 9) следуют
подобные свойства решений уравнения (18).
Если для решений у\,..., уп уравнения (18) вронскиан W
равен нулю хотя бы при одном значении t, то решения линейно
зависимы и W(i) = 0.
Замечание. Если же функции yi,..., уп не являются решениями
такого уравнения или их число меньше порядка уравнения, то из
W(ii) = 0 не следует линейная зависимость функций.
I-------------------------------------------------------1
* Пример 4. Для функций t/i = t3, У2 = |i3| при всех t имеем *

У1 Уг _ « И I
1/1 Уг 3i2 3i|t|
= 0.
। Однако для любого а > 0 на интервале -2а < t < 2а 1
। эти функции линейно независимы, так как из равенства (
I C[t3+c2|i3| = 0 при t = а следует ct +с2 = 0, а при t = -а 
। следует -q + с2 = 0. Поэтому С] = с2 = 0, и функции ।
| линейно независимы.	I
!__________________________________________________;_______I
I----------------------------------------------------------1
1 Пример 5. Для решений у\ = t, У2 = t2 уравнения j/ff = 0 1
। вронскиан W(f) = t2 равен нулю при t = 0, но эти решения [
I линейно независимы (так как W(t) 0 на любом интервале). ।
I__________________________________________________________I
(Задачи для упражнений:
[12], §12, №664-669.
85
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Формула Лиувилля и Остроградского для решений уравне-
ния (18):
W(f) = W(t0)exp< - J
J ' to
dr >.
(24)
Доказательство. Вронскиан JF(i) для решений уравнения
(18) тот же, что для решений системы (16) с /(<) = 0, а для
системы справедлива формула (11). В системе (16) имеем
а,-,* ~ 0 (» = 1,... ,п - 1), апп = -ai/во. Поэтому в (И)
теперь а(т) = -а\(т)/ай(т), и из (11) следует (24).	
3. Построение линейного однородного уравнения по фундамен-
тальной системе решений. Пусть «1,...,^ — функции класса
С1, и их вронскиан W(t) 0 при а < t < ft. Тогда требуемое
уравнение можно написать в виде
«1 «1	... ttn 1 ... <4		У У	= 0.	(25)
«Г0	... 4-	1)> 1	в1""1’		
и1	... «?’	* 1 1	в1"’		
Покажем это. Здесь функции uj,..., «п известны, у — неиз-
вестная функция. Разлагая детерминант по элементам последнего
столбца, получаем
ао(О1/п) + ai(i)p(n-,) +... + On(t)y = О
— линейное однородное уравнение. Коэффициенты a,(t) не-
прерывны, так как выражаются через непрерывные функции
(j = l,...,n; k = 0, l,...,n); ао(О = Wjt) 0 0 на ин-
тервале Функции ut,...,ttn являются решениями этого
86
§10. Линейные уравнения любого порядка
уравнения, так как при y(t) = u,(t) детерминант имеет два оди-
наковых столбца, поэтому равен нулю.
(Задачи для упражнений:
[12], § 12, № 674-680; § 22, № 52.
Понижение порядка линейного однородного уравнения при
известном частном решении.
Пусть для уравнения (18) известно частное решение yx(t) 0
(а < t < fl). Покажем, что тогда уравнение можно свести к ли-
нейному уравнению (п- 1)-го порядка. Для этого сделаем замену
искомой функции у = yxz. Производные выражаются по форму-
ле Лейбница
y{k} = (yxz)(k} =(%yxz(k}+С^	k— 1......п.
Подставляем эти выражения в уравнение (18). Так как z,z',
,z^ войдут только в первой степени, то получится линейное
однородное уравнение относительно z,	I
МО*00 + bx{t)z{n~i} +... + bn(t)z = 0.	(26)
Уравнение (18) имело частное решение у = ух. При замене
у = yxz оно переходит в функцию z = 1, которая должна быть
решением уравнения (26). Следовательно, bn(t) = 0. А тогда новая
замена д' = v приводит (26) к уравнению (п - 1)-го порядка
bo(t)v{n-l) + Ь, (t)t/n“2) +... + Vi (i)v = 0.	(27)
Если у уравнения (18) были известны два или более линейно
независимых частных решения, то из них с помощью указанных
выше замен можно получить одно (или более) частных реше-
ний уравнения (27). С их помощью порядок уравнения можно
понижать и далее.
87

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Линейное уравнение 2-го порядка с известным частным ре-
шением y(t) / 0 изложенным выше методом приводится к урав-
нению bo(O«'+bi(0v = 0, которое легко решается. Другой способ
решения (с разобранным примером) линейного уравнения 2-го
порядка при известном решении yi(t) / О см. [12], § 12, п. 2.
(Задачи для упражнений:
[12], § 12, №681-701, 704, 705; § 22, № 55, 61, 62.
4.
Линейное неоднородное уравнение n-го порядка исследуется
аналогично линейной неоднородной системе.
Теорема 7. Общее решение линейного неоднородного уравнения
(14) есть сумма его частного решения и общего решения линей-
ного однородного уравнения (18), то есть
Уобщ. неоди. — 2/частн. неодн. 4* «общ.одн.
(28)
Доказательство проводится подобно доказательству теоре-
мы 5.
।---------------------------------------------------------।
| Пример б (использование свойств решений линейных 
] уравнений). Даны три решения yi = $ + 2, 3/2 = $2 - 1, }
। y3 = t2 +1 линейного неоднородного уравнения 2-го поряд- i
J ка. а) Найти общее решение этого уравнения, б) Написать j
I это уравнение.	I
I_________________________________________________________I
Решение примера, а) Для общего решения неоднородного уравне-
ния имеем равенство (28). Общее решение однородного уравнения
88
§10. Линейные уравнения любого порядка
по теореме б есть «обш-одн. = ci«i + с2«2, где «1 и и2 — линей-
но независимые решения однородного уравнения. В силу общих
свойств линейных уравнений можно взять щ = уз — уг = t + 1,
u2 = уз - yi = t2 - 2. Решения «1 и «2 линейно независимы, так
как их вронскиан
W =	=*2 + 2* + 2#0.
1 2л
Следовательно, «общ.адн. = ci“i + с2«2 = ct(i +1) + сг(<2 - 2), а
Уобщ. неодн. = £ + 2 + Cj(t + 1) + с2(<2 ~ 2).
б) Однородное уравнение, имеющее решения «1 = t + 1,
«2 = t2 - 2, дается формулой (25), то есть
(t2+2t+2)и" - (2t+2)«*+2и = 0.
Чтобы получить неоднородное уравнение с той же левой частью
и частным решением у\ = t+2, подставим и = t+2 в левую часть
уравнения. Получим, что она равна 2. Значит, искомое уравнение
есть (t2 + 2t + 2)y"-(2t + 2)y' + 2y = 2.	◄
(Задачи для упражнений:
[12], §22, №57-60.
Метод вариации постоянных позволяет найти решение ли-
нейного неоднородного уравнения (14), если известно общее
решение
У = С1У1 +.. + с„Уп	(29)
однородного уравнения (18). Здесь yi,..., у» — линейно неза-
висимые решения уравнения (18), ci.....— произвольные
постоянные.
89
Глава 3. Линейные дифференциальные уравненили системы
Решение неоднородного уравнения (14) получается из (29),
если заменить с\,...,с„ на функции от t, которые надо найти.
Так как уравнение (14) заменой (15) сводится к системе (16),
то можно воспользоваться результатом, полученным в § 9 для
системы, т.е. искать производные <4(0,... ,<4(0 из линейной
алгебраической системы
Х(0с'(0 = /°(0.	(30)
Здесь Х(0 — фундаментальная матрица однородной (с / = 0)
системы (16). Для i = 1,...,п i-й столбец матрицы Х(0 в
силу (15) состоит из функций yi, y'i.y!""l) (yi см. в (29));
векторы-столбцы
<='W = MW......<4W)r. /°W= (о........
\ аом1/
Найдя из системы (30) функции <4(0, проинтегрировав и затем
подставив Ci(t) в (29), получим решение уравнения (14).
I------------------------------
I Пример 7. Решить уравнение
(i2 + 1)у' - 2ty' + 2у = 6(t2 + I)2,
। зная общее решение у = cxt + c2(t2 — 1) однородного урав- ]
I нения.	I
I____________________________________________________________I
Решение примера. Здесь у\ = t, у2 = i2 - 1, поэтому у\ = 1,
t/2 = 2i. Пишем систему (30)
St t2- 1\ /сЦ _ / ’ 0	\
\1	2t )	~ \6(f2 + I)/ ’
Отсюда получаем <4=6-6/2, <4=6t. Значит, ci(0=6i-2t3+cn,
с2(0 = 3t2+c2r, Сц и с21 — произвольные постоянные. Получаем
90
§10. Линейные уравнения любого порядка
искомое решение
y = ci(t)t + ci(t)(t2-l) =
= (6t - 2t3 + cn)t + (3t2 + C2i)(t2 - 1) =
= + 342 + Сц4 + Cn(t2 — 1).
(Задачи для упражнений:
[12], §12, №702, 703.
5» Линейное уравнение n-го порядка заменой (15) сводится к системе
уравнений, поэтому многие свойства уравнений следуют из аналогичных
свойств систем. В частности, для уравнения (18) с коэффициентами вида
а#) = а,0 +	+ ацГ2 +... (t=l,...,n), а0=1,
утверждение о поведении решений при t —► оо следует из аналогичного
утверждения для системы, см. п. 6 §9.
Методами аналитической теории дифференциальных уравнений
исследовано ([30], гл. 4, §8) поведение при t 0 решений уравнения
f<io(t)pw +	+... + a„(t)y = 0,
где функции at(t) аналитические, ao(O) / 0.
Для линейного неоднородного уравнения (14) с a0 = 1 известно
([9], гл. 5, §4, п. 5) представление частного решения формулой Коши
t
3/(0 = j K(t,s)f(s)ds, (»(*o) = »'(*o) = .-- = S("_|)(*o) = O).
<0
Как функция ar t, функция Коши K(t, s) удовлетворяет уравнению (18)
с начальными условиями при t = s
К = 0, к1 = о, л£72I 2) = о,
I-----------------------------------------------------------------Л
I Пример 8. Найти частное решение уравнения уп + у = f(t). I
91
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Решение примера. Сначала найдем функцию Коши. Уравнению jf+y = О
и условиям у(0) = 0, у’(0) = 1 удовлетворяет функция у = sin
а условиям у(з) = 0, j4(s) = 1 — «сдвинутая» на з функция, т.е.
y(t) = sin(t - з). Беря K(t,s) = sin (t - з), получаем представление
искомого решения формулой Коши
t
y(t) = j sin (t — s)/(«) ds.	◄
0
§ 11. Линейные уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами — важ-
ный класс дифференциальных уравнений. Их решения выра-
жаются через элементарные функции или через элементарные
функции и неопределенные интегралы. К таким уравнениям сво-
дится ряд задач из теоретической механики и электротехники,
см. примеры в конце § 11.
1. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициен-
тами имеет вид
во1/п) + в1У(п-1) +• • • + апУ = 0,	(31)
где ао...ап — любые числа. Будем считать, что а0 0 0, так как
всегда можно начать записывать уравнение с первого отличного
от нуля коэффициента, и что все а,- вещественны. Левую часть
уравнения обозначим Цу).
Ищем решение уравнения (31) в виде у = еА*. Подставляя
в уравнение и сокращая на eM, получаем характеристическое
92
§11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
уравнение
воА” + aiA” * + ...+ ап — 0,	(32)
короче, М(А) = 0. Следовательно, функция у = еА1 удовлетво-
ряет уравнению (31) тогда и только тогда, когда А — корень
уравнения (32). Из алгебры известно, что уравнение (32) имеет
п корней, среди которых могут быть кратные и комплексные.
Если все корни различные, то есть простые, то уравнение (31)
имеет п решений yj = eXit(j = 1,...,п). Покажем, что эти
решения линейно независимы. Их вронскиан равен
w =	eAlt	eKt Х^'* ... Апв^		1	... 1 Ai	... An	•
	А"-1еА,< ... АГ‘еМ		>n-l	\П-1 Л1	... лп	
Последний детерминант в алгебре называется детерминантом
Вандермонда. Он не равен нулю тогда и только тогда, когда все
числа Xj различные. Значит, если все Ау различные, то реше-
ния еА,‘,..., ех** уравнения (31) линейно независимы, и общее
решение имеет вид
y = qeA't + ... + c„eA’<	(33)
(теоремы 2 и б об общем решении и используемая в доказа-
тельствах теорема единственности справедливы и для линейных
систем с комплексными решениями в силу леммы 1 §9).
Если все корни Ау вещественны, то формула (33) с произ-
вольными вещественными су дает вещественное общее решение.
Пусть теперь среди корней Ау есть комплексные. Тогда для
каждого комплексного корня, например, Ai = а 4- /Я, р / 0,
имеется сопряженный корень Аг = а — pi. Им соответствуют
93
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
комплексные решения
Vi = e(e+/J,)t = tt, + iu2, у2 = е(а~^ = u, - :u2,
(34)
«1 = е" cos fit,	u2 = е sin pt.
Функции «ь «2 — решения, так как гц = (t/i + у2)/2, «2 =
(У1 ~ Уг)/(2*)- Заменим в фундаментальной системе уь--.,Уп
каждую пару комплексно сопряженных решений вида yi, У2
парой вещественных решений вида «1, и2, а для вещественных
решений у$ = ех’* положим Uj = yj.
Покажем, что полученные вещественные решения щ,..., йп
линейно независимы на любом интервале (ti, t2). Предположим,
что для некоторых (вещественных или комплексных) Ь1(..., Ь„
имеем biUi + ... 4- Ьпип = 0 при t[ < t < t2. Выразив здесь
через уь-.-,Уп получим diin + • • • + 416» = 0, где
di = (bi - »Ьг)/2, d2 = (bi + ib2)/2 и аналогично для коэффици-
ентом d2p-i, d2p всех комплексных пар У2Р~1, Узр', для веществен-
ных у, имеем «г = уТ, dr = Ьг. Если хоть одно bj-ji 0, то найдется
d* / 0, и функции yi,....yn будут линейно зависимыми. Это
противоречит доказанному ранее. Значит, все bj = 0, и решения
«1....ип линейно независимы.
Итак, в случае простых корней А/ существует веществен-
ная фундаментальная система решений, состоящая из функций
еА,< для каждого вещественного корня А,- и функций е** cos pt,
sin pt для каждой пары комплексных корней А = а ± pi,
Р*0-
I-------------------------------------------------------1
I Пример 9. Решить уравнение у'" + Зу" + 9у' - 13у = 0. i
I_______________________________________________________I
Решение примера. Характеристическое уравнение А3 + ЗА2 +
9А - 13 = 0 имеет корни Ai = 1 (отыскивается подбором).
94
§11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Л23 = —2 ± 3». Корню Ai = 1 соответствует частное реше-
ние у\ = е1, а паре комплексно сопряженных корней Л23 =
-2 ± 3i соответствуют два частных решения у?, = е-2< cos 3i
и уз = e-2<sin3t. Получаем вещественное общее решение
у = С1в* + С2в-2< cos 3t + cje-2* sin 3t.	◄
2» Случай кратных корней
Выясним, во что обращается левая часть L(y) уравнения (31)
при подстановке у = t'e7*, где в > 0 целое.
Лемма б. Если А = 7 — не корень уравнения (32), то пусть
к = 0, а если Х = у — корень, то к — его кратность. Тогда
(здесь L(y) —левая часть уравнения (31))
если
если
з^к— 1,
з> к.
(35)
Доказательство ([39]). Обозначая	’ имеем для
целых О О
Умножая левую и правую части на ап-р и суммируя по р от
О до п, получаем
то есть
95
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Дифференцируя произведение по правилу Лейбница, нахо-
дим
Ь(ее^ = е* [f М(?) + С,Ч'"1М'(7) +' ...
... +	+ C',t°M (,)(7)] •	(36)
Если А = 7 — корень многочлена М(Х) кратности к, то
Af (7) = Af'(?) = • • • = М^к~1\у) = 0,	0. Тогда для
всех в к - 1 сумма в (36) равна нулю.
Если же А = 7 не корень или корень кратности к в,
то.М^(7) / 0 и в сумме (36) высшая степень t содержится
в члене Ск1*~кМ^к\у). Это дает в (35) старший член dotm,
где / 0, т = в - к.	
Теорема 8. Для каждого корня А кратности k 1 многочлена
М(Х) функции
еА‘, teA<,...,i‘-1eA‘	(37)
являются решениями уравнения (31). Написав такие функции для
всех корней характеристического многочлена М(Х), получаем
фундаментальную систему решений уравнения (31).
Доказательство. В силу леммы 6 такие функции являются
решениями. Для каждого корня многочлена М(Х) число
таких решений равно кратности корня. Так как сумма крат-
ностей всех корней равна п, то всего имеем п решений вида
1*ем. Покажем, что эти п решений линейно независимы
на любом интервале а < t < 0.
Предположим противное. Тогда найдутся такие числа,
из которых хоть одно не равно нулю, что умножив наши
решения на эти числа, сложив и вынеся одинаковые
96
$11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
за скобки, получим
(а«<Д),	(38)
/
где числа Аь...,Ат все различны, р\,-..,рт — алгебра-
ические многочлены. Пусть нумерация такова, что много-
член рт содержит ненулевой коэффициент.
Чтобы упростить равенство (38), делим его на eA,t.
Получаем
Р1(0 + р2(0е(Аг-А1)< +... + pm(i)e(A--A1)< = 0.
Дифференцируем обе части равенства по t на один раз
больше, чем степень многочлена pi(t). Первый член сум-
мы исчезает, а в остальных многочлены заменятся другими
тех же степеней. (В самом деле, пусть а 0 0. Тогда
[(ai* + bt‘~x + • • .Je7*] = (yai* + sei*-1 + ybt*~l +.. .Je7*;
точками обозначены члены низших степеней. Так как во всех
членах 7 = А,- - Ai 0 (i = 2,..., m), то степень многочлена
сохраняется.)
Получается равенство, подобное (38), но содержащее
на один член меньше. С ним поступаем так же, как с (38).
Продолжаем так до тех пор, пока не получим равенство
с одним членом гт(1)е^~х,л-'^ = 0. Многочлен rm(t) той же
степени, что pm(t), значит, он содержит ненулевой коэффи-
циент. Поэтому rm(t) 0 на интервале а < t < Д, и по-
следнее равенство невозможно. Следовательно, найденные п
решений линейно независимы и образуют фундаментальную
систему.
При наличии комплексного корня Ai = а + pi, fl / 0
уравнение (32) с вещественными коэффициентами имеет
и сопряженный корень А = а - fli; эти корни имеют одну
97
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
и ту же кратность Ль Тогда, как в случае простых корней,
каждые два комплексно сопряженных решения
1*е<а~Р*У (0 < а < fc] - 1) можно заменить вещественными
решениями
t'e"* cos>, t'e"* sin pt, (0 < s < k - 1).
Все такого рода решения вместе с решениями вида (37) для
вещественных корней Л образуют фундаментальную сис-
тему.	
I----------------------:-------------------------------1
I Пример 10. Решить уравнение j/w + 2j/' - 4у' - Ну = 0. I
I_____________________________________________________I
Решение примера. Характеристическое уравнение Л3 + 2А2 -
4А-8 = 0. Группируя члены, получаем (А+2)(А2—4) = 0. Корни:
Ai = +2, Aj,3 = -2. Фундаментальная система решений у\ = е2‘,
У2 = e~2t, уз = te~2t. Общее решение у = С1еа+(с2+сз0е-2<. ◄
г   ---------------------------------------------------1
I Пример 11. Решить уравнение уУ1 - 16у"' + 64у = 0. i
I______________________________________________________I
Решение примера. Характеристическое уравнение А6 - 16А3 +
64 = О, (А3 - 8)2 = 0, (А - 2)2(А2 + 2А + 4)2 = 0. Корни
Л1.2 = 2, Азд = -1 + As,б = -1 - iy/З. Общее решение
у = (ci + саОе21 + (сз + с^е-4 cos t>/3 + (<% + sin tV3.
Было бы ошибкой из двух последних членов выносить за скобку
сумму вида (а + Ы). Это можно было бы делать, только если
сз, с*, с5, Сб пропорциональны. Но эти постоянные произвольны,
значит, могут быть и не пропорциональными.	-4
98
§11» Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
(Задачи для упражнений:
[12], §11, №511-532.
3. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффици-
ентами ------------
L(y) = аоу(п) + в1У<п-1) +.. • + апУ = /(0	(39)
при любой непрерывной функции /(0 можно решить методом
вариации постоянных (§ 10), так как для линейного однородного
уравнения с теми же коэффициентами общее решение можно
найти изложенными выше приемами. Однако при отыскании
решения уравнения (39) надо брать интегралы. В случаях, когда
функция /(0 выражается через суммы и произведения функ-
ций вида tm, е^, со&Ы, sintt (m 0 целое) можно решение
найти без интегрирования с помощью излагаемого ниже метода
неопределенных коэффициентов.
Учитывая, что решение уравнения L(y) = fi + f 2 равно сум-
ме решений уравнений L(y\) = /1 и Ь(рг) = /2 и что синусы
и косинусы можно по формулам Эйлера выразить через показа-
тельные функции, достаточно рассмотреть случай, когда в (39)
p(t) = wm + bltm-, + ...+bm,	(40)
m > 0 целое.
Теорема 9. В случае (40) имеется частное решение вида
y = tk (goim + qxtm~' + ... + qm)elt, (41)
где k = 0, если у — не корень характеристического уравнения
(32), и к равно кратности корня у, если у — корень.
1
Доказательство. Взяв yi =	имеем по лемме 6
b(y1) = (9odotra+r(0)e7‘, do#O.
99
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Если т = 0, то r(t) = 0, а если т 1, то r(t) — многочлен
степени не больше т -1. Чтобы получить botm, возьмем qo =
Тогда в случае т = 0 имеем решение yi =
Пусть т 1. Предположим, что теорема верна, когда
в (40) степень многочлена ниже т, то есть Ьо = 0, и докажем,
что она верна и при о.
В левой части (39) полагаем у = у\+ z, yi то же, что
выше. Получаем
L(y) = Z(yi) + L(z) = (Мх +	+'L(z).
Надо, чтобы это равнялось (40), то есть (botm +p1(t))e‘r<, где
Pi(t) — многочлен степени m - 1. Следовательно,
ь(^)= (p.(O-r(Q)e-^.	(42)
Здесь pi(<) - r(i) — многочлен степени ниже ш. По предпо-
ложению индукции, уравнение (42) имеет частное решение
вида z = ^^(Ое1*» 9*(О — многочлен степени ниже т.
Поэтому, как и требуется,
У = l/i + z = tfc(bod^4m + «*(О)ет<ч	
Чтобы применить эту теорему к конкретному уравнению ви-
да (39), (40) с числовыми коэффициентами, надо по виду правой
части /(£) в данном уравнении определить числа у, к, т в (41).
Чтобы найти коэффициенты qo,qi,... ,qm, надо подставить вы-
ражение (41) в данное уравнение и приравнять коэффициенты
при подобных членах в левой и правой частях уравнения. Полу-
чается система алгебраических уравнений. Из нее определяются
коэффициенты до, 91,• • •, 9m-
I---------------------------------------------------1
I	Пример 12. Решить уравнение	t
I	s" + 2S"-4S'-8S = e-a+le'.	I
I___________________________________________________I
100
§11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Решение примера. Левая часть уравнения та же, что в примере 10.
Корни характеристического уравнения Ai = 2, А23 = —2. Общее
решение однородного уравнения уо = с,е2/ + (cj + c^tye"2*.
Для каждого члена правой части данного уравнения опреде-
ляем число 7. Для е-2< имеем 7 = -2, а для te* имеем 7=1.
Так как эти числа различны, то надо искать отдельно частные
решения уравнений
у"' + 2у" -4у' - 8у = е-и,	(а)
у" + 2у" - 4у' -Иу = te*.	(б)
Для уравнения (а) имеем 7 = -2, к = 2, т = 0. Согласно (41)
пишем ух = t2 • ас-2*. Подставляя ух в (а), получаем -8ае-24 =
е-и. Значит, -8а = 1, а = -1/8.
Для уравнения (б) имеем 7 = 1, к = 0, т = 1. Согласно (41)
у2 = (6t+c)e*. Подставляя у2 в (б), получаем е‘(—964+36—9с) =
te*. Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой
и правой частях равенства, получаем -96 = 1, 36 — 9с = 0.
Отсюда находим 6 = -1/9, с = -1/27.
Общее решение исходного уравнения есть
У = Уо + 1/1+У2 =
= qe2‘ + (сг + с30е~2<" |*2в’2< “	е<-	*
Замечание. Если в уравнении (39) коэффициенты вещественны
и
/(t) =	(P(t) cos pt + Q(t) sin pt),	,	(43)
где P(t) и Q(t) — вещественные многочлены степеней mx и m2,
то существует вещественное частное решение вида
у =	(Я(0 cos pt + S(t) sin pt),	(44)
101
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
где число к есть кратность корня А = а + pi уравнения (32),
к = 0, если ct+fii не корень; R(t) и S(t) — многочлены степени
т = max{mp m2}.
Доказательство. Так как
еИ* + е-И*
cos pt =----------, sin pt  ----------’
то в (43) / = Д + /2, где Д и /2 — функции вида (40) с
7 = «+Д»и7 = а-/?» соответственно. Решение уравнения
Цу) = fi + Д равно + у2, где L(yx) = Д, L(y2) = f2.
Существуют частные решения ух и у2 вида (41) с одним
и тем же к (корни а ± pi имеют одну и ту же кратность).
Переходя от е^в±^‘ к eat cos pt и е®* sin pt, получаем (44). 
На практике для отыскания решения (44) можно пользо-
ваться любым из двух способов.
1.	Написав в (44) многочлены R(t) и S(t) с буквенными ко-
эффициентами, подставить это выражение в дифференциальное
уравнение. Приравняв коэффициенты при подобных членах сле-
ва и справа, можно найти эти коэффициенты без использования
комплексных чисел.
Например, для уравнения у" + у = 2cost - 8tsint имеем
7 = i = Ap к = 1, m — 1, поэтому частное решение можно
искать в виде у = t [(at + Ь) cos t + (ct+ d) sin t].
2.	В этом способе неизвестных коэффициентов вдвое мень-
ше, но они комплексные. Так как
cos pt — Re е’^, sin pt = Im = - Re (te*^),
то в(43)
/(t) = Re 5(t), 5(f) = (P(t) - i(?(t))e<®+^.
102
§11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Ищем решение z уравнения L(z) = 5(f) в виде (41), где 7 =
а + Для этого подставляем такое z в уравнение и находим
комплексные коэффициенты qQ, q{,..., qm. Получаем
z = tkN(t)e(a+pi)t, N(t) = qotm 4-	4-... + qm.
Так как линейное уравнение n-го порядка сводится к линей-
ной системе, то в силу леммы 1 § 9 данное уравнение L(y) = f
с функцией /(i) = Re<?(t) имеет частное решение у — Re z. Ком-
плексные числа д0,..., qm уже найдены, а е^а+^* = (cos pt 4-
i sin pt), поэтому найти Re z теперь нетрудно.
I--------------------------------------------------------------1
1	Пример 13. Решить уравнение	i
1	у" 4- у = 2 cos t - 8t sin t.	(45) t
1______________________________________________________________1
Решение примера. Характеристическое уравнение Л2 4-1 = 0 име-
ет корни А, =», Л2 = -i. Общее решение однородного уравне-
ния у0 = С! cos 14- Cj sint.
Для каждого слагаемого правой части в (45) определяем
числа а = 0, р = 1, 7 = а + pi = ». Для обоих слагаемых
они одинаковы, поэтому надо искать частное решение сразу
для данного уравнения, не разбивая его правую часть. Так как
2 cos t - 8t sin t = Re (2 4- 8it)e'(, то вместо (45) пишем
у = Re z, z” 4- z = (2 4- 8tt)eu,	(46)
число 7 = i равно корню A( кратности k = 1, степень многочлена
2 + 8»i есть т = 1. По теореме 9 ищем решение в виде
z = t(at 4- Ь)ег*. Подставляя это z в уравнение (46), получаем
[2a4-*(4at4-26)]e,< = (24-8»t)e‘*. Значит, 4а» = 8», 2а+2Ы = 2.
Отсюда а = 2, b = i и z = (2t2 4- it)elt. Частное решение
103
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
у, = Re z = 2t2 cos i -t sin t. Общее решение уравнения (45)
у = yQ + у( = q cos t + Cj sin t + 2t2 cos t -1 sint.
(Задачи для упражнений:
[12], § 11, № 533-574, 607-608; § 23, № 68-73, 78-85, 87-90.
4.	Физические примеры
।------------------------------------------------------------------)
। Пример 14. Уравнение упругих колебаний (без сопротивле- *
। ния) под действием синусоидальной внешней силы имеет ।
•вид	I
।	х" + а2® = b siniirt (а, Ь, ш > 0).	(47) ।
I__________________________________________________________________I
Решение примера. Характеристическое уравнение А2 + а2 = 0
имеет корни А12 = ±а:. Общее решение однородного уравнения
®0 = С] cos at+Cj sin at — это колебания при отсутствии внешней
силы, они называются собственными колебаниями.
Для функции siniirt имеем 7 = wi. В случае ш # а уравне-
ние (47) имеет частное решение вида = ccoswf + dsinwi.
Подставляя это в (47), получаем
(a2 — w2)c cos wt 4- (а2 — w2)d sin wt = b sin wt.
Так как |w|	|a|, то c = 0, d = Ь/(а2 - w2). Общее решение
уравнения (47)
b
x = ®0 4- Zj = ct cos at 4- Cj sin at 4-	sin wt.
Случай w = а, когда частота внешней силы совпадает с ча-
стотой собственных колебаний, называется резонансным. В этом
случае согласно (44) надо искать частное решение в виде
104
§11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
= t(c cos wt + d sin wt). Подставляя это в уравнение (47)
и учитывая, что ш = а, получаем
Hyid cos иЛ-шс sin wt) = bsinwt; отсюда d = 0, с = ——.
Общее решение
Ы
X = ®0 +	= С( COSUt + С? sin art - — cos wt
представляет собой колебания с неограниченно возрастающей
амплитудой.
В реальных физических системах колебания никогда не мо-
гут расти неограниченно, так как колебания большого размаха
или сдерживаются сопротивлением, или приводят к разрушению
системы.	◄
Обобщая этот пример, в математике называют резонансным
любой случай, когда определяемое по правой части уравнения
число 7 совпадает с корнем Л характеристического уравнения,
независимо от того, имеет ли правая часть
уравнения колебательный характер.
При наличии сопротивления, пропор-
ционального скорости, уравнение упругих
колебаний имеет вид, отличающийся лишь
обозначениями от уравнения, рассмотрен-
ного в следующем примере.
I-------------------------------------------------------------1
I Пример 15. Пусть в электрической цепи (рис. 10) последо-
[ вательно включены катушка самоиндукции L, конденсатор
I емкости С, сопротивление R и источник переменного тока
J с напряжением Vsinwt; L, С, R, V, ы > 0. Найти силу
I тока в цепи при установившемся режиме.
I_____________________________________________________________I
105
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Решение примера. Уравнения для силы тока I(t) и заряда кон-
денсатора q(t):
di q	da
L—+RI+^ = Vsm<ut,
ил	ил
(о получении этих уравнений и применяемых физических зако-
нах см. [12], §11, п. 5 или [7], §13). Дифференцируя первое
уравнение, получаем
Lf + Я/ + -^/ = wVcoswt	(48)
Характеристическое уравнение LX2 + 1?А + 1/С = 0 имеет
или комплексные сопряженные корни АРА2 с вещественной
частью -R/(2L) < 0, или вещественные отрицательные «орни,
так как At • А2 = \/CL, А, + А2 = -R/L < 0. Поэтому решение
однородного уравнения J0(t) — схех'* + стремится к нулю
при t —»• оо.
Чтобы найти частное решение I{(t) уравнения (48), заметим,
что coswt = Ree’"*, поэтому I, = Rez, где Lz"+Rz'+z/C=
шУе**4. Было показано, что ReA12<0. Поэтому 7 = to» /
А12 и частное решение ищем в виде z = Aetut. Подставляя
в уравнение получаем
A(-w2£+*wfl+^)e^=wVe‘*w‘, А
\	С /
V
Полагая А = |Л|е***, получаем
z = | A|e^‘rf+*’\ /ДО = Re z = |A| cos (wt + ф).
Общее решение уравнения (48) есть I(t) —	Так
как J0(t) —► 0 при t —> 00, то при любых начальных условиях
через некоторое время I0(t) будет близко нулю и I(t) будет очень
106
§ 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
мало отличаться от периодического решения не зависящего
от начальных условий. Такое решение называется установив-
шемся режимом, а процесс от начального момента до момента,^
когда слагаемым J0(t) можно будет пренебречь — переходным
процессом.	◄
В электротехнике важно знать наибольшее значение !,(<),
достигаемое на каждом периоде. Оно равно |А|,
у/R2 + (Ъш -
Графики |4| в зависимости от ш при разных R изображены
на рис. 11. Линия 1 — при R = 0, линия 2 — при малых R,
линия 3 — при больших R. Максимум
Zw = то есть при ш = ы0, ш0 = J
|А| достигается при
Рассматриваемая электри-
ческая цепь в случае мало-
го R хорошо пропускает толь-
ко ток определенной частоты
ы0 и близких к ней частот.
Подобное устройство приме-
няется в радиоприемниках (на-
стройка приемника на опреде-
ленную частоту с помощью из-
менения параметров L, С, R).
Уточнение. Для функции
It(t) = |А| cos(wt + <р) период
равен 2ir/w, а частота в обыч-
Рис. 11
ном смысле, т. е. число колебаний в единицу времени, равна
ол/2-зг; число ш называется круговой частотой.
107
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
 — »
5.	Уравнение Эйлера
«©«"у00 +	+... + a,_i®y' + апу = /(®)
(at- — постоянные)
сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами
заменой независимого переменного х = е* при х > 0 (или х = -е* при
х < 0). Докажем это. Имеем при х > 0
I _ У* __ -г/ _ л. п _	__ е 1Уи ~ е __ -2ь п _ к
Уж — е Vt — Ужж ~ I •“	4 е \Уи Уи*
По индукции докажем, что
Ух^ = е Ы^{у}^ ^(у) = Ь*оУ^+... + Ь*>-1У«,	(50)
где все Ьи — постоянные числа. Предположим, что (50) верно для
некоторого к. Обозначая e“w£(y) через В 9 имеем '
у(»+1) = д' = = e'“(£(y)X-fce~“^(y) = e-<‘+,>%(v),
х^е
где Ь1(у) — сумма производных	., у{ с постоянными ко-
эффициентами. По индукции формула (50) доказана. Подставляя (50)
для к = 1,2,..., п в (49), получаем линейное уравнение с постоянными
коэффициентами.
Для этого уравнения характеристическое уравнение можно на-
писать, не пересчитывая производные. Характеристическое уравнение
для линейного уравнения с постоянными коэффициентами получается,
если подставить у = ext в левую часть уравнения и сократить на общий
множитель ел, см. (31), (32). У нас е1 = х, ем = х\ поэтому надо
подставить у = хх в левую часть (49) и сократить на хх. Получается
характеристическое уравнение
aQX(X — 1) ... (А — п + 1) + ajА(А — 1)... (А — п + 2) 4-... + on-iA + an = 0.
Таким образом, в (49) каждое произведение хку^ заменяется на произ-
ведение к убывающих на 1 чисел: А(А - 1)... (А - к + 1).
108
S12. Линейные уравнения второго порядка
Пример решения уравнения Эйлера с подробными пояснениями
см. [12], § 11, п. 4.
 Задачи для упражнений:
[12], §11, №589-598, 606, 609, 610.
6. Для линейных уравнений с постоянными коэффициентами деталь-
но исследовалось поведение решений в случаях, интересных для прило-
жений, например, в [4], гл. 2, § 10; [9], гл. б, § 1, п. 2, примеры 2,9, 10.
Разрабатывались различные методы решения линейных уравнений
с постоянными коэффициентами. Об отыскании решений с помощью
рядов Фурье см. [9], гл. б, §1, п. 3; [5], §18, п. 3*. Операционный
метод, основанный на преобразовании Лапласа, позволяет находить
решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, не находя
общего решения. Доступное изложение этого метода и примеры его
применения см. в [5], §24, с. 205-211.
§ 12. Линейные уравнения второго порядка
Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид
Po(0/+pi(i)»'+ft(0y = 0-	(51)
У многих таких уравнений (например, у уравнения у" + t*y = 0,
а = const > 0) решения не выражаются через элементарные функ-
ции и неопределенные интегралы. Ниже излагаются некоторые методы
исследования свойств решений уравнений вида (51) без отыскания самих
решений.
1» Уравнение (51) можно привести к простейшему виду
/+«(*)»“ 0	(52)
многими способами, из которых два основных.
109
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
А. Линейная замена искомой функции. Подставляя у — a(t)u
в. (51), получаем (предполагается, что po.Pi € С1)
Роаи" + Ip^ald +ров"и + P\^v! + P\du +pjau = 0.
Чтобы уничтожить члены с и', полагаем 2роа'+р}а — 0. Отсюда получаем
a(t) = с*	берем с # 0.
Б. Замена независимого переменного. Считая х = находим
= &(?02 + УгРи- Подставляя в (51), получаем
PoyL&t)2 +PW*<Pu +PWPt +Р1У = 0.
Чтобы уничтожить члены с у'х, полагаем + Pi$ = 0. Понижая
порядок заменой	находим сначала	(берем
с 0), затем <p(t).
Другие способы приведения к виду (52) являются комбинациями
этих двух. Например, можно сделать в (51) замену вида х = ^(0
с какой-либо функцией р € С2,	# 0, а затем в полученном уравнении
уничтожить член с у£. заменой у = а(х)и.
2* Исследование выпуклости графиков решений и нулей решений. Если
в уравнении (52) q(t) < 0 на интервале а < t < Д, то в области у > 0,
а < t < fl имеем уп = —qtyy > 0. Поэтому там графики всех решений
выпуклы вниз, а в области у < 0, a <t < fl имеем у" < 0, и графики
выпуклы вверх. В обеих областях графики выпуклы в сторону оси Ot.
Если же q(t) > 0 при 7 < t < £, то на интервале (7,0) имеем
у" = -ду < 0 при у > 0 и у” > 0 при у < О.чПоэтому при 7 < t < б
графики решений обращены вогнутостью к оси Ot.
Нулями решения y(t) называются такие t, при которых y(t) = 0.
Лемма 7. Если у($) £ 0 — решение уравнения (51), у($о) = 0, то
!/'(М # о.
Доказательство. Если бы y(t0) = 1/(М = 0, то при этих началь-
ных условиях существовало бы два решения: данное решение y(t)
110
§ 12. Линейные уравнения второго порядка
и нулевое решение З/i (О = 0. Это противоречит теореме единствен-
ности.	
Лемма 8. Ненулевое решение y(t) £ 0 уравнения (51) не может иметь
бесконечно много нулей на конечном отрезке.
Доказательство. Пусть на отрезке [а,Ь] решение y(t) 0 имеет
бесконечное множество нулей. Выберем из них сходящуюся по-
следовательность ... -♦ tQ. Тогда to G [а,Ь] и из у(^) = 0
(fc = 1,2,...) и непрерывности y(t) следует y(tQ) = 0. Решение y(t)
имеет производную y'(t). Следовательно, существует
lim
fc-юо
у(**) - у(<о)
t* — tfl
= У'(*о)-
Числитель равен нулю, значит, j/(t0) = 0. Это противоречит
лемме 7.	
Теорема 10. На отрезке, где q(t) 0, любое решение y(t) & 0 уравне-
ния (52) не может обращаться в нуль более, чем в одной точке.
Доказательство. Предположим, что p(tt) = 0, y(t2) = 0, t| < t2.
На отрезке [tt, t2] по лемме 8 может быть только конечное число
нулей. Возьмем два соседних нуля t = ant = b>a. При
а < t < b y(t) не меняет знак, например, y(t) > 0 (если там
y(t) < 0, то рассмотрим вместо y(t) решение yi(t) = — y(t) > 0).
Тогда у(а) = у(Ъ) = 0 и по лемме 7 j/(a) # 0. Так как y(t) > 0
на (а, б), то у*(а) > 0 и у" = -q(t)y > 0 Ha (а, б). Значит, y'(t)
не убывает и из у'(а) > 0 следует y'(t) > 0 на (а, б). Тоща y(t)
возрастает на [а, б] и из у(а) = 0 следует у(б) > 0 в противоречии
с выбором точки б.	
111
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Теорема 11 (о чередовании нулей). Нули двух любых линейно независи-
мых решений уравнения (51) строго чередуются. То есть в промежутке
между любыми двумя соседними нулями любого из этих решений содер-
жится ровно один нуль другого решения.
Доказательство. У этих решений нет общих нулей (в точке , где
— Уз(М = 0 вронскиан = 0, а тогда решения были бы
линейно зависимы по лемме 3). Предположим, что в промежутке
(ti, t2) между двумя соседними нулями одного из решений, на-
пример у2, нет нулей решения t/|. Тогда на отрезке [1|,<г] имеем
j/i(t) # 0, W(t) £ 0, производная
£ (У2 \ _ У1У2 - У1У2 _ W
Л \У1/ У? У?
сохраняет знак и функция Уз (О/У 1(0 строго монотонна. Но это
невозможно, так как y2(ti) = Уг(Ь) = 0.
Значит, в промежутке (fj,t2) есть нули решения у\. Их —
конечное число по лемме 8. Если их более одного, то в промежут-
ках между ними не было бы ни одного нуля решения у2, а это
невозможно по доказанному. Следовательно, в (fbf2) есть ровно
один нуль решения yi.	
Теорема 12 (теорема сравнения). Рассмотрим два уравнения
y" + g(t)y = O,	(а)
z" + Q(t)z = 0,	(б)
где Q(t) q(t), функция q и Q непрерывны. Тогда в промежутке
между двумя соседними нулями t = а и t = Ъ любого решения у 0
уравнения (а) имеется по меньшей мере один нуль любого решения z £ 0
уравнения (б), или же z(a) = z(b) = 0, Q(t) = q(t) на [а, Ь].
Доказательство. Предположим, что для решений у и z имеем
у(в) = у(Ь) = 0, y(t) # 0, x(t) #0 (в < t < b).
112
§ 12. Линейные уравнения второго порядка
Будем считать, что на (а, Ъ) имеем yty) > 0, zty) > 0 (если не так,
то вместо у и z можно рассмотреть решения = —у, z, = —z).
Умножая уравнение (а) на z, (б) — на у и вычитая, имеем
y"z-zny + (q-Q)yz = 0.	(53)
Так как y?z - z"y = (j/z - yz')', то интегрируя (53) от t = а до
i = Ь, получаем
ь
(У* - УА=* - («Л “ P*')t=. = j (Q(t)-q(t))yzdt. (54)
а
Имеем у(а) = у(6) = 0, поэтому левая часть равна i/zj^ -
Учитывая лемму 7 и неравенство yty) > 0 на (а, Ь), имеем р'(а) > О,
у'(Ь) < 0. Так как zty) > 0 на (а, б), то в силу непрерывности
функции z имеем z(a) > 0, z(b) > 0. Значит, левая часть в (54)
неположительна.
В правой части Q > q, yz > 0 на (a, Ь), поэтому она неотри-
цательна.
Если хотя бы одно из равенств z(a) = 0, z(b) = 0, Qty) s qty)
на (a,b) не выполняется, получаем противоречие. Теорема до-
казана.	
।-------------------------------------------------------------1
I Пример 16. Оценить сверху и снизу расстояние между соседними I.
j нулями для решений уравнения	j
•	y"+q(t)y = o	(55) ।
I на таком отрезке, на котором 0 < тг < qty) < Мг.	I
I_____________________________________________________________I
Решение примера. Сравниваем уравнение (55) с уравнением
z" + M2z = 0,
имеющим решения
z = с, cos Mt + с2 sin Mt = d, sin Mty + d2),	(56)
113
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
где с., d. (« = 1,2) — произвольные постоянные. Пусть tv t, — соседние
нули решения Беря в (56) d2 = -t0, имеем z(tQ) = 0. Из теоремы 12
получаем, что следующий нуль t2 решения z лежит на полуинтервале
(t0, t, ]. Так как в силу (56) t2 = t0 + it IM, то -10 > t2 -10 = яг/М.
Сравниваем уравнение (55) с уравнением u" + m2u = 0, имеющим
решения
u = Cj cos mt + c2 sin mt = d3 sin m(t + d4).	(57)
Беря d4 = -tQ, получаем из (57) соседние нули tQ и t} = t0 + я/m.
Так как q(t) > m2, то из теоремы 12 следует, что нуль 1, решения y(t)
лежит в полуинтервале (t9, 13]. Значит, t, -10 < х/т.
Итак, получена оценка яг/М < я/m.	◄
Из теоремы 10 следует, что в случае q(t) < 0 при t, t < оо любое
ненулевое решение уравнения (52) имеет на интервале (tp оо) не более
одного нуля, то есть является неколеблющимся. В случае g(t) > m2 > 0
(tj < t < оо) из теоремы 12 и примера 16 следует, что любое решение
уравнения (52) имеет на интервале (tp оо) бесконечно много нулей, т.е.
является колеблющимся.
3. Линейные уравнения 2-го порядка давно исследовались, см., на-
пример, [23], гл. 6; [39], гл. 11; [37], т. 1, гл. 3. Получены достаточные
условия ограниченности всех решений уравнения (52) на интервале
(tpoo), например, q(t) -* оо монотонно или q(t) = а2 + у>(0 + ^(0,
а > 0,	—» 0 (1 -» оо), интеграл от |у>| +1^'| сходится, условия
колеблемости ,(g(t) > (1/4 + e2)/t2) и неколеблемости (q(t) < l/(4t2))
решений на интервале (0, оо).
Изучалось асимптотическое поведение решений при t -» оо. Для
этого уравнение у", + q(x)y = 0 (q(x) > 0) с помощью преобразования
Лиувилля
t = t(x) = J y/q(x)dx, u(t) = q~l,*y(x),
приводится к уравнению
Ч , (. h2_.l\ _п К 9<(Ж(0)
ий + (1-Л hJu-0, h —
114

§13. Краевые задачи
Во многих случаях, например, когда q ^сх*, р > —2, или когда q — е*“,
fc > 0, при х -+ оо имеем t -+ оо и |h2 + Л[|	ct-1-", а = const > 0.
Тогда имеем решения
у, =g-,/4[cos(t(a!)) + O(t(a!))-0],	+
Об асимптотике решений см. также [11], гл. 7.
Для некоторых дифференциальных уравнений 2-го порядка, име-
ющих важное значение для теории и приложений (уравнения Бесселя,
Эйри, Матье, гипергеометрические уравнения и другие) детально изу-
чены свойства решений ([5], § 18, п. 2*; [9], гл. 6, § 2, п. 2; [37], т. 1, гл. 3,
§4, §6) и составлены их таблицы — таблицы специальных функций.
§ 13. Краевые задачи
1.1 В предыдущих параграфах для уравнения n-го порядка рас-
сматривалась задача с начальными условиями, в которой все п
условий задаются при одном и том же значении t = i0. В краевой
задаче задаются условия при двух (или более) значениях t. Та-
кие условия называются краевыми. Здесь будут ^рассматриваться
только линейные краевые, задачи, в которых дифференциальное
уравнение и краевые условия линейны. Левые части краевых
условий — линейные комбинации значений искомой функции
и ее производных в заданных точках tit а правые части — задан-
ные постоянные числа.
Примеры линейных краевых условий:
a) y(t,) = а;
б)^) = Ь;
в)	= с (а и Д заданы, |а| + |Д| / 0);
115
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
г)	У(*о) - У(*1) = d‘>
д)	уЧМ ~ y'^i) = Л; возможны и другие виды условий.
Если постоянная в правой части краевого условия равна
нулю, то условие называется однородным, если не равна нулю —
неоднородным.
Для уравнения n-го порядка задаются п условий. В разных
точках tj условия могут быть одного типа или разных типов.
Краевая задача называется однородной, если дифференциальное
уравнение и краевые условия линейны и однородны.
В отличие от задачи с начальными условиями краевая задача
может иметь одно или много решений, а может и не иметь
решений. Например, задача у" + у = 0, у(0) = 0, у(х/2) = а
имеет единственное решение у = esint, а задача у" + у = О,
у(0) = 0, у(к) = Ь в случае Ь 0 0 не имеет решений (так как все
решения уравнения, для которых р(0) = 0, имеют вид у = с sin t
и при t = х они равны нулю), а в случае Ь = О имеет бесконечно
много решений у = с sin t, с — любое.
Теорема 13 (об альтернативе). Рассмотрим уравнение
ао(0У(п) + «1(ОУ(п"1) + --- + МОУ = /(О (п>2) (58)
(все a,-(f) и f(t) непрерывны, a0(t) ^0)сп линейными краевыми
условиями. Возможны только два случая: или 1) задача имеет
единственное решение при любых правых частях в уравнении
и краевых условиях, или 2) однородная задача (левые части
те же, а правые заменяются нулями) имеет бесконечно много
решений, а неоднородная задача при некоторых правых частях
имеет бесконечно много решений, а при всех других — не имеет
решений.
116
§13. Краевые задачи
Доказательство. Общее решение уравнения (58) имеет вид
У = с1У1 + ... + спуп+о,	(59)
где уР...,у„ — линейно независимые решения однород-
ного уравнения, v — частное решение уравнения (58),
с(....сп — произвольные постоянные. Подставляя (59)
в краевые условия и перенося v в правую часть, получаем си-
стему п линейных алгебраических уравнений относительно
ср... ,ся. Коэффициенты системы зависят только от зна-
чений у, ... в заданных точках t и не зависят от правых
частей уравнения и краевых условий. Если данная зада-
ча однородна, то правые части алгебраических уравнений
равны нулю.
Возможны только два следующих случая.
1)	Если детерминант системы не равен нулю, то си-
стема имеет единственное решение ср...,ся при любых
правых частях. Подставляя эти ср...,сп в (59), получаем
единственное решение краевой задачи.
2)	Если детерминант системы равен нулю, то однород-
ная система (т. е. при правых частях, равных нулю) имеет
бесконечно много решений относительно ср...,ся, а не-
однородная система имеет решение не при любых правых
частях. Если она имеет решение, то она имеет бесконечно
много решений, так как к этому решению можно прибавить
любое решение однородной системы, умноженное на лю-
бую постоянную. Для любого набора постоянных ср..., ся,
удовлетворяющего системе, формула (59) дает решение кра-
евой задачи. Для разных наборов ср...,ся эти решения
различны, так как функции yv..., уп линейно независимы.
Из 1) и 2) следует утверждение теоремы.	
117
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
I-----------------------------------------------------------1
| Пример 17. Найти наименьшее из таких чисел Ь > 0, что i
। задача
!	у" + Ь2у = О, у(0) = 5, у(1) = -5,	(60) ]
। не имеет решений.	i
I___________________________________________________________I
. Решение примера. По теореме 13 задача (60) не имеет решений
тогда, когда однородная задача у* + Ъ2у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0
имеет ненулевое решение. Функции, для которых у" + Ь2у = 0,
у(0) — 0, имеют вид у = csinЫ. Чтобы при с / 0 было у(1) = 0,
надо sin Ь = 0, то есть Ъ = тг, 2т, Зт,.... При этих Ъ имеем 2-й
случай альтернативы, значит, при этих Ъ задача (60) или не имеет
решений, или имеет бесконечно много решений. Какая из этих
возможностей осуществится, надо проверить.
При Ъ = зг общее решение уравнения есть у = ct cos irt +
Cj sinxi. Значит, y(0) = с,, y(l) = -ct. При с, = 5 и любом Cj
функция y(t) — решение задачи (60). Но требуется, чтобы реше-
ние не существовало. При Ь = 2тг общее решение у = с, cos 2зг<+
% sin 2зг$. Тогда у(0) = ср у(1) = с, и удовлетворить обоим усло-
виям у(0) = 5, у(1) = -5 невозможно. Значит, решений нет.
Ответ: Ъ = 2х.	◄
(Задачи для упражнений:
[12], §22, №63, 65-67.
2.	Далее рассматривается краевая задача на отрезке 0 t С <2
Ь» — a0(t)y" + «1(0»' + «2(0» = /(0,
«»'(0) + Р»(0) = О,	(61)
?у'(0) + <5»(0) = 0,
118
§13. Краевые задачи
где |а| +|/7| # О, I7I +|6| # 0. Частными случаями таких краевых
условий являются условия вида у(1{) = 0 и = 0.
Функцией Грина этой задачи называется такая функция
G(t,s), t €	t2], в € (tpi2), что
Г Для каждого в = const функция y(t) = G(t, а) при t £ з
удовлетворяет уравнению Ly = 0.
2* При t = и t = i2 функция y(t) = G(t, в) удовлетворяет
краевым условиям из (61).
3° При t = 8 она непрерывна по t, а ее производная по t имеет
скачок, равный 1/а0(а), то есть
®1<=«+о = ^lt=*-o’ ®<lt=«+o = ^L=,-o + „ (8у	(62)
ао\8/
Следующая теорема устанавливает условия существования
функции Грина и дает способ ее построения.
Теорема 14. Если на отрезке [ipi2] функции а0, ара2 непре-
рывны, а0 0 0, и если при f(t) = О'краевая задача (61) имеет
только нулевое решение, то функция Грина существует и имеет
вид
G((.,) = /“s.W	(Ы)
где у{ и у2 — ненулевые решения уравнения Ly = 0, удовлетво-
ряющие соответственно первому и второму краевым условиям из
(61), множители аиЬ зависят от з и определяются из требова-
ния, чтобы функция (63) удовлетворяла условиям (62), то есть
аУх(в) = Ьу2(з), Ьу2(з) = ау{(8) + -^-г.	(64)
ао\8)
119
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Доказательство. Пусть у{, у2 — решения уравнения Ly = О,
для которых
У1(«1) = а, =	У2(*2) = Ъ y2(t2) = ~6’
Они удовлетворяют соответственно первому и второму кра-
евым условиям в (61). Если бы у{ и у2 были линейно
зависимы, то y{(t) = cy2(t), и решение y2(t) (у2	0, так
как 111 +1^1 # 0) удовлетворяло бы обоим краевым условиям
в (61), что противоречит условию теоремы. Значит, у, и у2
линейно независимы, и любое решение уравнения Ly = 0
имеет вид у = qpj + <^у2. Так как первому из краевых усло-
вий в (61) удовлетворяет только у{, а второму — только у2,
то из требований Г и 2° вытекает, что функция G должна
иметь вид (63). Из требования 3° вытекают уравнения (64).
Система (64) разрешима относительно а и Ь, так как ее
детерминант равен
У1(«) “%(«)
-!/!(«)	У2(з)
= W(s) 0
(решения ух, у2 линейно независимы). Итак, при выполне-
нии условий теоремы найдутся а и Ъ, удовлетворяющие (64),
а тогда функция (63) удовлетворяет требованиям Г-3е. 
Замечание. При выполнении условий теоремы функция Грина
определяется однозначно. Хотя решения у, и у2 можно заме-
нить решениями cyt и dy2, но с учетом (64) это не изменит
произведений ауг и Ъу2 в (63).
Теорема 15. Если выполнены условия теоремы 14 и f(t) не-
прерывна при < t t2, то решение краевой задачи (61)
-------------------------------------------------------- j
120
i
’ -=i
§13. Краевые задачи
выражается формулой
h .
1/(0 = J G(t, 8)f(e)de.
«I
(65)
Доказательство. Разбиваем интеграл на части < в < t и
t < в < t2. Учитывая (63), имеем
t	h
y'(t) = 14(0 У &(«)/(«)dg+?{(*) У «(•)/(•)	С66)
ti	t
(образующиеся при дифференцировании члены b(t)y2 (0 и
-a(0j/|(0 взаимно уничтожаются в силу (64)). Подставляем
выражения для y(t) и у'(0 в краевые условия. Так как yt
удовлетворяет первому, а у2 — второму краевому условию,
то y(t) удовлетворяет обоим условиям. Дифференцируя (66)
еще раз, получаем
t
1/"(0 = Уг (0 У Ь(а)/(а) de + b(t)y2(t)f(t) +
«1
«2
+ у"(0 У <*(«)/(«) <*«-<»(01/'i (0/(0-
t
Сумма внеинтегральных членов в силу (64) равна /(0/ао(0.
Умножая полученные выражения для у",у',у на а0,ара2
и складывая, находим, что Ly = аоу" + а{у' + а2у равно
t
(аоу2 + aly2 + а2у2) J b(e)f(e)ds +
ti
121
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
«2
+ Ы! +	+ e2»i) f +/(О-
Так как Ъуг = О, Ly{ = О, то Ly = f(t). Итак y(t) — решение
задачи (61).	
I------------------------------------------------------------1
I	Пример 18. Найти функцию Грина краевой задачи	।
।	У*+ У = f О), У(°) = °, »'(*) = О- (67) |
I____________________________________________________________I
Решение примера. Из однородного уравнения у" + у = 0 при
у(0) = 0 получаем у = csint. Так как у'(я) = —с, то при /($) = О
задача (67) имеет только нулевое решение, то есть выполне-
но условие существования функции Грина. Функции ух = sint,
у2 = cos t удовлетворяют уравнению у" + у = 0 и условиям
у((0) = 0, з^(тг) = 0. Поэтому согласно (63)
G(t, в) = a sin t (0 < t < в),
G(t, з) = Ь cos t (л < t ir).
Теперь из условия (62) или, что то же самое, (64) имеем
a sin л = Ь cos л, -bsins = acoss + 1.
Из этой системы находим а = — cos л, Ъ = - sin л. Теперь из (68)
G(t, л) = - cos л sin t (0 t < л),
Cr(t, л) = - sin л cos t (л < t it).	◄
Задачи для упражнений:
[12], §13, №764-771.
3.	Рассмотрим краевую задачу для уравнения с параметром Л
£у-Ау=0, ау'(^1)+/3У(<1) = °> 7У(<2)+М^)=0’ (69)
122
§13. Краевые задачи
где Ly,a.,p,'>i,6 те же, что в (61). Значения А,' при которых
задача (69) имеет ненулевое решение, называются собственными
значениями этой задачи, а сами ненулевые решения — собствен-
ными функциями. При тех А, которые являются собственными
значениями, имеет место второй случай альтернативы, а при
остальных — первый.
I-------------------------------------------------------1
) Пример 19. Найти собственные значения и собственные I
[ функции задачи	]
]	у"-Ау = 0, у(0) = 0, y(d) = 0.	|
I_______________________________________________________I
Решение примера. В силу теоремы 10 ненулевые решения этой
задачи могут существовать только при А < 0. Полагаем А = —а2,
а > 0. Из уравнения и условия у(0) = 0 получаем у = с sin at.
Из условия y(d) = 0 следует с sin ad = 0. Чтобы было у £ 0,
надо с Ф 0, ad = irk, k= 1,2,.... Поэтому
_*k л _	2
a — ak — —, Afc — -ak
Числа At — собственные значения, а функции у = с sin ™ —
собственные функции.	◄
(Задачи для упражнений:
[12], §13, №782-785.
4.	Для различных краевых задач исследовались условия, при которых
задача имеет единственное решение.
Важное направление теории краевых задач — спектральная теория,
изучающая свойства собственных значений и собственных функций. Вы-
делен класс «самосопряженных» краевых задач, у которых собственные
123
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
функции ортогональны в пространстве L2 на данном отрезке и дока-
зано, что любую гладкую функцию на этом отрезке, удовлетворяющую
краевым условиям этой задачи, можно разложить в сходящийся ряд
по собственным функциям такой задачи» аналогичный ряду Фурье [30],
гл. 7. Такие разложения используются, в частности, при решении различ-
ных задач для уравнений с частными производными методом разделения
переменных.
§ 14. ^Линейные системы
с постоянными коэффициентами
1. Рассматриваются линейные системы нормального вида
{®1=вп«1 + —+в1ж®я+Л(0»
................................... (70)
®п = ап1®1 + '-'+аппхп + А(*>»
где ац — любые числа, а /,(0 — известные функции. В векторной
записи х' = Ax+f(t), где x(t) — неизвестная, а /(<) — известная
вектор-функции, А — любая постоянная матрица.
Такие системы часто встречаются и в теории дифферен-
циальных уравнений, и в приложениях. Общее решение такой
системы в случае f(t) = 0 всегда выражается через элементарные
функции. Поэтому такие системы часто применяются для иссле-
дования более сложных систем вблизи положения равновесия.
В приложениях они появляются, например, при изучении движе-
ний в механических системах с несколькими степенями свободы
и при описании токов в разветвленных электрических цепях.
Путем исключения неизвестных систему можно свести к од-
ному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией
124
§14. Линейные системы с постоянными коэффициентами
в каждом. Для этого из какого-либо уравнения выражаем одно
неизвестное через остальные и подставляем в остальные уравне-
ния системы. Получаем систему с меньшим числом неизвестных.
С ней можно поступить аналогично. Этот способ удобен для
решения лишь несложных систем.
I----------------------------------------------------------------1
I Пример 20. Решить систему х' = у +1, у' = х — 2е‘.	•
I________________________________________________________________I
Решение примера. Исключаем у. Из первого уравнения имеем
y = x' — t. Подставляя во второе уравнение, получаем х" - 1 =
х — 2е*. Решаем это уравнение методом § 11. Находим х = с,е*4-
- tet -1. Значит, у = х' -1 = с, е* - <^е_< - (t + 1)е‘—t. ◄
2. Решение системы х' = Ах (х € R”) в случае, когда матрица А
порядка п имеет п линейно независимых собственных векторов.
Так будет в случаях, когда или уравнение det (А—ХЕ) = 0 не имеет
кратных корней А, или для каждого кратного корня А ранг г
матрицы А - ХЕ равен п - к, где к — кратность этого корня
(так как уравнение (А — XE)v = 0 для собственных векторов v
шлесг п —г линейно независимых решений).
Пусть А — собственное значение, a v — собственный век-
тор матрицы А. Тогда х = e*v — частное решение уравне-
ния х' = Ах, так как хг = eMXv, Av = Av. Если собствен-
ные векторы v1,..., vn линейно независимы, то имеем решения
еА,<«*,..., e***vn. Они линейно независимы, так как их вронскиан
W 0 при t = 0 (его столбцы v1,..., v” линейно независимы).
Следовательно, общее решение системы х* = Ах имеет вид
х = cleA,<v1 +... + cneA,tvn,
где ср..., сп — произвольные постоянные.
125
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Лемма 9. Если At = а + fli (fi 0) — собственное значение
вещественной матрицы A, a v1 = (vf,...»v*)T — собствен-
ный вектор для А,, то А2 = Aj = а - /3» — собственное
значение, a v2 = vx — (v},...,v„)T — собственный вектор
для А2. Для вещественных А? собственный вектор можно взять
вещественным.
Доказательство. Имеем Av1 = А,«'. Равенство не нарушит-
ся, еслй в нем А, и координаты вектора v1 заменить сопря-
женными: Av[ = Ajt»1, то есть Av2 = A2v2.
Для вещественного Ар координаты собственного векто-
ра определяются из системы
(A-ApE)v = 0 с det (А - АрЯ) = 0
и вещественными коэффициентами, поэтому вектор v мож-
но взять вещественным и v 0.	
Общее решение системы х' = Ах с вещественной матрицей
А можно выразить через вещественные функции. Для этого надо
взять такие собственные векторы, как в лемме 9, и затем заменить
каждую пару комплексных сопряженных решений х1 = еЛ|<«*,
®2 _ e^tv2 парол вещественных решений
12	12
. X1 +Х* п .	®* - ®2 w .
и = —-— = Rex , и, = ——— = Im® ,
2	2	2:
как в п. 1 § 11. Получим вещественную фундаментальную систему
решений и через нее выразим общее решение.
।----------------------------------------------------------------!
| Пример 21. Решить систему х* = 3® - 2у, у' = х + у. i
126
$ 14, Линейные системы с постоянными коэффициентами
Решение примера. Составляем и решаем характеристическое урав-
нение
3”А “2 =0, А2-4А + 5 = О, А = 2 ±».
1	1 "* А
Для А = 2 + i находим собственный вектор
( (1 - i)a - 2Ь = 0,
| Ьв-(1 + *)Ь = 0.
Можно взять Ъ = 1, а = 1 +». Получаем частное решение
® = (1+»)е(2+<)‘, у = е(2+,)‘.
Решениями данной системы являются вещественная и мнимая
части этого частного решения:
х = e“(cos i - sin t), x — e“(cos t + sin t),
и и
у = e cos i	у — e sin t.	<4
3.1 Решение в общем случае. Упростим систему, приведя мат-
рицу А к простейшей форме — жордановой. Известно, что для
любой квадратной матрицы А существует такая неособая мат-
рица С, что матрица В = С~1АС — жорданова, то есть
о\
или К{=
ко
0\
1
/
(71)
127
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Клетки Kf могут быть любых размеров; в каждой клетке на всей
диагонали стоит одно и то же число А,., а в разных клетках А,,
могут быть различны или одинаковы. Так как С~1АС — ХЕ =
С~1(А - ХЕ)С и det С-1 • detC = 1, то
det [С-1 (Л-АЕ)С] = detC-1-det(A-АЕ)-detC = det(4-ХЕ).
Поэтому матрицы С~1АС и А имеют одно и то же характери-
стическое уравнение, значит, одни и те же корни А,- с теми же
кратностями.
К системе х1 = Ах применяем линейное преобразование
координат х = Су, то есть
xi = с»1»1 + --- + с«пУп (* = 1, •••,»),	(72)
где матрица С та же, что выше. Получаем Су* = АСу. Умножая
слева на С-1, имеем у' = С~хАСу, то есть у' = By, где матрица
В — жорданова. Если первая клетка имеет размер к х к, вто-
рая — I х I и т.д., то в первые к уравнений системы у' — By
входят только неизвестные УучУк, в следующие I уравне-
ний — только неизвестные yi+1,...»yi+t, и т.д. Значит, система
распадается на подсистемы, каждую из которых можно решать
отдельно. Первая подсистема имеет вид (где А = А()
у'1
У2 =	+ %’
.............................. (73)
»L1 = A%_1+%,
Уь = ХУк-
Другие подсистемы отличаются только числами А и к. Сделав
в (73) замену у{ = eA‘z,. (i = 1.к),	получаем
zl ~ Z2’ z2 = Z3’	• • • ’ Zk-1 = Zk> zk ~ O’ (74)
128
§14. Линейные системы с постоянными коэффициентами
Решая эту систему, начиная с последнего уравнения, находим
zk = сь»
zk-l = ск* + ск-1’
...........?-*...........i‘-2...........t.....
z'" c‘  (THji+ c‘~' 	+• •  +Сгй + °'-
Умножая на eA,/, получаем решение первой подсистемы
Ул = скеЛ|<»
Ук-l = (ск^ + ск-1)вА|<>
/ tk~l	t \ A(t
= Lc‘ (ГП)!+ - + с2п + С1Г ’
Это решение — общее, так как получается из уравнений (73)
с помощью тождественных преобразований.
Решения других подсистем имеют подобный же вид, лишь
числа Ар к = к* и произвольные постоянные с,- будут другими
(Ау — число А в J-й клетке, kj — ее размер). Собрав вместе
решения всех подсистем, получаем общее решение всей системы
у* = By. Возвращаясь от у к х в силу (72) получаем такой
результат.
Теорема 16. Общее решение системы х* = Ах есть вектор-
функция, у которой каждая координата х{ имеет вид
+ ... +	(» = 1.....n),	(75)
где А,,..., Am — различные собственные значения матрицы А,
— алгебраический многочлен, степень которого на 1 мень-
ше размера наибольшей из жордановых клеток, содержащих Х,.
129
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Коэффициентымногочленов (t = 1,..., n; j = 1,..., m)
зависят от п произвольных постоянных.
Решение конкретной системы х' = Ах можно получить
и без приведения матрицы А к жордановой форме. Для этого
надо найти все собственные значения Л матрицы А из уравнения
det (А — ХЕ) = 0. Для каждого Л надо найти число т линейно
независимых собственных векторов по формуле т = п - г, где
п — порядок матрицы А - ХЕ, г — ее ранг.
В случае т = к, где к — кратность корня А, этому корню
соответствует решение
х = с{е о + ... + ске о ,
где Ь*,...,Ьк — линейно независимые собственные векторы.
Если матрица А — вещественная, то надо воспользоваться лем-
мой 9 и сказанным после нее.
В случае т < к надо искать решение х = (®,,..., ®я)т
в виде
= (а + Ы + •.. + <й*)ем,
= (р + qt + • • • + rt*)eA‘,
где в = к - т. Подставляя эти выражения с буквенными коэф-
фициентами а, Ъ,... в данную систему, сокращая на и при-
равнивая коэффициенты при подобных членах, получаем систе-
му линейных алгебраических уравнений для отыскания чисел
а, Ь,.... Надо найти общее решение этой системы, зависящее
от к произвольных постоянных. (Заметим, что в случае к 4
все старшие коэффициенты в многочленах иногда оказываются
равными нулю, но это не мешает найти решение.) Проделав это
для каждого А и сложив найденные решения, получим общее
решение системы.
130
§ 14, Линейные системы с постоянными коэффициентами
Если матрица А вещественная, то достаточно проделать опи-
санное только для вещественных корней и для одного из каждой
пары комплексных сопряженных корней А = а ± fii (/3^0),
и от полученного решения взять вещественную и мнимую части.
Например, из решения х1 — (с, +c2Z)e,t получаются два решения:
it1 = Re х1 = (q + Cjt) cos £ и u2 = (c3 + c4t) sin t с новыми посто-
янными Cj,c4. (Обоснование такого метода требует детального
анализа и изложено в [7], § 34.)
I-------------------------------------------------------------------1
 Пример 22. Решить систему	i
1 , , , |
।	х = 2® - 2у, У —z — y, z = 2х - г.	।
I___________________________________________________________________I
Решение примера. Составляем и решаем характеристическое урав-
нение
2-А	-2	0	
0	-1-А	1	= -А3 + ЗА - 2 = 0,
2	0	-1-А	
At = -2, Л23 = 1.
Для простого корня А=-2 находим собственный вектор (a, (i, 7)
4а - 2/3 = О,
/3 + 7 = 0,
2а + 7 = 0.
Можно взять а = 1, /3 = 2,7 = -2. Имеем частное решение
х = е"*, у = 2e~2t, z = -2е-и.	(76)
131
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Для кратного корня Л2>3 = 1 находим ранг матрицы А — ХЕ,
число т собственна векторов и степень в многочлена:
(1 -2	0\
0-2	1 ),
2	0-2/
г = 2,
т = п — т = 3 — 2= 1,
в = к — т = 1.
Ищем решение в виде
® = (a + bt)e\ у = (с + <й)е<, z = (f + gt)e. (77)
Подставляем это в данную систему и сокращаем на е*. Приравни-
ваем коэффициенты при подобных членах, начиная со старших:
b = 2d, 2d = g, 2g = 2b,
-а 4* b — —2с,	2с + d —- /,	2f 4* g —- 2a.
Надо найти общее решение этой системы. Кратность корня А = 1
равна 2, поэтому все неизвестные а,Ь,... должны выразиться
через два из них (пока не знаем, через какие). Из первых трех
уравнений имеем b = g = 2d. Подставляя в остальные уравнения,
получаем
a-2c=2d, 2c-/ = -d, 2a-2/ = 2d.
Все неизвестные можно выразить через с и d. Имеем а — 2c+2d,
f = 2с + d. Полагая d = ct, с = с^, получаем b = g = 2 с,,
a = 2с, 4- 2cj, / = с, + 2Cj. Подставляя это в (77) и прибавляя
частное решение (76), умноженное на су, получаем общее решение
системы:
х = (2c,t 4- 2с, 4- 2cj)e* 4- с3е-2*,
у - (cxt 4- cje* 4- 2cjC-2*,
z = (2c, £ 4- ct 4- icjje* - 2с3е-2*.	◄
132
§14. Линейные системы с постоянными коэффициентами
(Задачи для упражнений:
[12], § 14, № 786-812; § 23, № 96-98,105.
4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффици-
ентами. Решение такой системы всегда можно получить методом
вариации постоянных (п. 5 § 9). При этом используется интегри-
рование.
Однако в случае, когда неоднородности /,(<) в системе
(70) выражаются только через суммы и произведения функций
atm, е1*, cos pt, sin pt, частное решение системы можно найти без
интегрирования — методам неопределенных коэффициентов, как
показывается ниже.
Так как решение системы х' = Ах + /*(4) +... 4- /г(4) равно
сумме решений систем (а^)' = Ах? + /J(t) (j = 1,..., г), а сину-
сы и Косинусы по формулам Эйлера выражаются через показа-
тельные функции, то достаточно указать вид частного решения
системы ®' = Ах + pity?, гае p(t) = amtm + ат_^т~1 +... + а0;
а0,..., ат — векторы.
Сделав с этой системой те же преобразования, что в п. 3
с системой = Ах, получаем вместо (74) систему
где p*(t) — многочлены степени не выше т. Из этой системы
последовательно находим zfe, ... ,z{. Возможны два случая.
Если 7 - А / 0, то
г, = Р:(0е<’-А*<В = ЙЮе<’-д*,
133
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
где — многочлен той же степени, что ?*(<)• Здесь и далее
постоянные интегрирования полагаем равными нулю, так как
ищется частное решение. Аналогично отыскиваются zk_v ...,zv
Получаем	*
2(=g;(i)e<’-4', i=l.......к,
где д,*(<) — многочлены степени не выше т.
Если же 7-А = 0, то е^7-А^ = 1, и каждый раз интегрируется
только многочлен. От этого его степень повышается на 1. После к
интегрирований степень повышается на к. Значит, в этом случае
Zj = Qi (t), i — 1,..., Л,
где (i) — многочлены степени не выше т + к.
Возвращаясь От функций zf к у{ и затем к xif получаем, что
система имеет частное решение вида
= «<(0^ (» = 1,..., п),	(78)
где д,(0 — многочлен степени не выше т, если 7 не совпадает
ни с одним из корней Ау и степени не выше т + к^, если 7
совпадает с корнем Ау*, число к-, равно размеру наибольшей
из жордановых клеток, содержащих Ау. Следовательно, Луна 1
больше наибольшей степени многочленов, умножаемых на еА>*
в общем решении однородной системы.
i------------------------------------------------------1
I	Пример	23.	Решить систему	t
1	х' = Зх - 2у + ie2*,	1
1	у' = х + у + 4с2* cos t.	1
1______ ________________________________________________1
Решение примера.	Общее решение однородной системы получено
в примере 21, здесь А( 2 = 2 ± t. Для неоднородностей te2t и
134
§14. Линейные системы с постоянными коэффициентами
4еа cost числа 7 = 2 и 7 = 2+» различны, поэтому надо решить
две системы
х =3х-2у + te*, у' = х + у;	(79)
х'= 3х-2у, y—x + y + Ae^cost —
= х 4- у + Re 4е^2+‘^.	(80)
Для системы (79) 7 = 2# А;-, поэтому частное решение
= (at 4- b)e*, yl=(ct + d)e2t.
Подставляя в (79), находим a = Ь = с = 1, d = 0. Значит
= (i 4- 1)е2<, у{ = te2/.
В системе (80) заменяем 4e2tcosi на 4е<2+‘^. Число 4
рассматриваем как многочлен степени 0. Так как 7 = 2 4-»= А,,
Л = 1, то степень многочлена увеличивается на 1 и
®2 = (pt + «)е(2+<)‘, у2 = (rt 4- s)e(2+0<.
Подставляя в систему с отброшенным "Re ", получаем
(1 - i)p = 2r, (14- i)r = р;
p=(l-i)q-2s, r + (l + i)s = q + 4.
Уравнения зависимы, решений много. Берем частное решение,
например з = 0, q = 2* - 2, г = 2* 4- 2, р = 4*. Тогда
= (4Й 4- 2» — 2)e(2+i)‘,
у2’= (2»4-2)te(2+,)‘,
а;2 = Re ®2 = в2* [-2 cos t — (4t 4- 2) sin t],
y2 = Re y2 = e2<(2t cos t - 2t sin i).
Общее решение системы x = x0 + xl + x2,y = y0 + yl + у2, где
®0, уй — решение однородной системы (пример 21), а х{, ух, х2,
у2 найдены здесь.	<4
135
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
(Задачи для упражнений:
[12], §14, №826-845 и №846-850.
5.
Системы уравнений, не приведенные к нормальному виду
{а0®(т> +	. + атх + Ьоу(п) +	+... + Ь„у = 0,
сох^ +	. + срх + doy(,) +	. + dfy = 0,
обладают свойствами, отличными от свойств систем вида (70). Согласно
[7], § 11 все решения являются линейными комбинациями решений вида
х = r(t)ext, у = а(0ем, где А — любой корень характеристического
уравнения ЛГ(А) = 0, r(t) и s(t) — многочлены, степень которых
меньше кратности к корня А (если Л= 1,тог и з - числа),
аЛт + a1Aw“l +.... + а	Ь0А" + Ь .А"-1 +... + Ъ
1 )= с0А,, + с1А₽-* + ... + с}(	d0A’+d,A’-*+...+dg
Многочлены r(t) и s(t) могут быть найдены методом неопределенных
коэффициентов. Аналогично решаются системы трех и более уравнений.
См. задачи в [12], § 14, №813-825.
6» Известно много способов решения линейных систем с постоянны-
ми коэффициентами.
Если известны не только числа А, но и базис, в котором матрица А
имеет жорданову форму, то решение системы х9 = Ах пишется в явном
виде ([7], теорема 11; [12], § 14, п. 3).
Операционный метод решения линейных уравнений и систем с по-
стоянными коэффициентами изложен в [5], §24.
Известны условия существования периодического решения систе-
мы х9 = Ах 4- /($) с периодической вектор-функцией f(t) ([2], гл. 4,
§7, п. 3).
136
’ л
§ 15. Показательная функция матрицы
§ 15. Показательная функция матрицы
Показательная функция матрицы используется при изучении ре-
шений линейных систем с постоянными и с периодическими
коэффициентами. Здесь рассматриваются свойства этой функ-
ции, а также некоторых других функций матриц.
1» Пусть А и В — квадратные матрицы порядка п, Е —
единичная матрица, a,-, bif с — постоянные числа. Из линейной
алгебры известны следующие действия над матрицами:
А + В,сА, АВ, А2, А3,...;
А"1, А-2 = А-1А-1,... (если detA/0).
Поэтому для каждого алгебраического многочлена р(х) = а0 +
а{х +... + akxk можно определить матрицу
р(А) = OqE + в, А 4-... 4- efcA*.
Если q(x) = Ьо + Ъох + ... + bmxm, f(x) = p(x)/q(x) (q(x) # 0), то
в случае det q(A) / 0 можно определить
/(А) = НА)(д(А))-‘ = («(А))-‘р(А).
Последнее равенство получается путем умножения очевидного равенства
g(A)p(A) = p(A)q(A) слева и справа на (д(А))-1.
Операции предельного перехода, дифференцирования, ин-
тегрирования производятся с каждым элементом матрицы от-
дельно. Например,
Л(0 = (ao.(0)iJ=1„.„n, A'(t) =
137
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Другие функции матриц можно определить с помощью ря-
дов. Ряд матриц .4(0+Лр)+... называется сходящимся к матрице
S, если для любых i,j = 1,...,п ряд а(1)у 4- а(2^ +... из ij-x
элементов этих матриц сходится к у-му элементу матрицы S.
Аналогично определяется абсолютная сходимость ряда матриц,
а также равномерная сходимость, если элементы матрицы явля-
ются функциями.
Теоремы о непрерывности суммы ряда и о почленном диф-
ференцировании и интегрировании рядов остаются справедливы-
ми и для рядов матриц. Это следует из предыдущих определений
и из того, что для рядов, составленных из ij -х элементов матриц,
эти теоремы справедливы.
Лемма 10. Если || A^(t)|| < ат, т = 1,2,... (i € D), и число-
вой ряд «,+«2-1-... сходится, то ряд матриц A0j(t)+A^(i)+...
сходится абсолютно и равномерно на множестве D.
Доказательство. Для любых i, j имеем
IW‘>I < IIA->WIH
Поэтому для всех *, j ряды в(1)у(0+в(2)ц(0+. • • сходятся аб-
солютно и равномерно на D, значит, ряд матриц — тоже. 
Лемма 11. Для любой квадратной матрицы А и любого £, > О
сходится абсолютно и равномерно в круге |t| комплексной
плоскости.
138
515. Показательная функция матрицы
Доказательство. При m > 1
тп!
5.
ml
т9
=	- 1 < оо,
и доказываемое утверждение следует из леммы 10.
2. Показательной функцией еА матрицы А называется сумма
ряда
е*=Б+1л4-^Л2 + ^Л3 + ...,	(82)
следовательно, сумма ряда (81) равна etA.
Свойства показательной функции матрицы.
Г Если АВ = В А, то еА+в = еА • ев. В самом деле
е<г=(я+1л+1л2+...)(я+^В+^В!+...) =
00
= Е	(«)
fc,m=0
еЛ+в=^+1(Л+В)+1(Л+В)2+...)= £ ^теЛ‘Вга, (84)
'	*	*	fc,m=0
так как (А + В)(А + В) = А2 + АВ + ВА + В2 = А2 + 2АВ + В2
и т. п. Если А и В — числа, то еА • ев = еА+в. Одна и та же
функция не может разлагаться в два разных степенных ряда,
поэтому cim = для всех кит. Если А и В — матрицы, то
cfcTO и dkm те же, поэтому выражения (83) и (84) также равны.
139
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
2° Имеем £etA = AetA. В самом деле, дифференцируя по-
членно ряд (81), получаем
А + —А2 + —А3 +... = А^Е + jjA + —А2 +...) = АеА.
Левый ряд равномерно сходится в любом круге |t| < tv так как
—Am+l
m!
< im|aTO,
£ ПЛП«т < 00
m=l
m = 1,2,...;
в силу оценок в лемме 11. Поэтому почленное дифференцирова-
ние законно.
Следствие 1. Матрица X(t) = etA удовлетворяет дифференци-
альному уравнению и начальному условию
dm
— = АХ, Х(0) — Е.
at
Следовательно, etA — фундаментальная матрица системы
х' = Ах.
Следствие 2. Чтобы найти матрицу etA надо найти п таких
решений ®*(t) (fc = 1,..., п) системы х' = Ах, что у k-го реше-
ния начальное условие ®*(0) совпадает с к-м столбцом единич-
ной матрицы. Эти решения являются столбцами матрицы eiA.
Следствие 3. det etA = е'{, в = au + а22 + ... + апп — след
матрицы А.
140
S15. Показательная функция матрицы'
Это следует из формулы Лиувилля (11), так как столбцы де-
терминанта — решения и deteM есть вронскиан W(t), а
W(0) = detB = 1.
।-----------------------------------------------,
1	tA	/4	-3\	1
I Пример 24. Найти е, если А = I „	, I.	I
I	\2	“*/	I
I_______________________________________________I
Решение примера. Найдем два решения системы х'—Ах (хе R2)
/1\
с начальными условиями I 1 и I 1 соответственно, и соста-
вим из них матрицу еи. Составляем и решаем характеристическое
уравнение
4-А -3
2	-1-А
= А2-ЗА + 2 = 0, Aj = 1, А2 = 2.
Находим собственные векторы
,	И	-3\ (а\ _ (0\
А-1,	\2	-2/ " Vo/ ’	«-z3-1»
А = 2.	Л	-3\М_М	7 = 3,
V2 -з/V/ \°/ g = 2' '
(1 \	/ з \
। j + Cje2* ( 2 ) ’ Начальное условие
®‘(0) = дает
ИА L /3\ _ /1\	_ _	_.
С1”~ Cj — 1>
x1(0 = -2e‘(Q+eaQ).
141
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Начальное условие ж2(0) = । у дает
/1\	/0\
Cl^iy+C2^2y-yly’ С1 — С2~ 1’
г2«) = 3е-([)-»*(’).
Из найденных решений составляем матрицу
и _ / -2е* + Зе2* Зе* - Зе2* \
е -Д-ге' + ге2* Зе*-2е*)'
3.| Функции диагональной и жордановой матриц.
Пусть матрица В имеет жорданову форму
или К{ имеет размер 1 х 1 и состоит из одного числа А,-.
При определении функции /(В) сходящимся степенным
рядом (рядом (81) или рядом с другими коэффициентами) все
142
§ 15. Показательная функция матрицы
действия с В проводятся с каждой клеткой Kt отдельно, поэто-
му матрица /(В) состоит из клеток f(K^,..., /(ЛГ,), располо-
женных на главной диагонали, а остальные элементы матрицы
/(В) — нули. Короче,
/(B) = diag{/(K,)...../(^)};
e‘B=diag{e‘jr',...,e<jr’}.	(86)
В частности, если каждая клетка К( состоит только из одного
числа А,-, матрица В называется диагональной. Тогда /(В) тоже
диагональна:
f(B) = diag{/(A,),... ,/(An)};
etB = diag{e<A',... ,e<A*}.	(87)
Найдем etK, где К — жорданова клетка размера к х к, к 2,
то есть К = ХЕ + F, F определено в (85). Имеем
JJT _ JXE+tF tXE JF
в = в =е • е ,
с помощью (87) или (81) получаем
е‘АЕ = diag {е‘А,..., е‘А} = е‘АВ.
Матрицы F2,F3,... имеют вид, сходный с F, но у каждой
следующей косой ряд из единиц сдвигается на одно место вправо.
При m > Л имеем = 0. Поэтому ряд (81) для А = tF
обрывается,
# #2
е" = в + Бг + И + - + (Г^^‘ =
143
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
/ t t2	\
1 Н 2!	(к -1)!
t tk~2
1	1!	(Л-2)!
1 ...
<0	1 >
(88)
Матрица etK = etxetF получается умножением всех элементов
найденной матрицы etF на число е<А. Из клеток etjr< составляется
матрица etB, см. (86).
Замечание. Для треугольной матрицы собственными значениями
являются числа, стоящие на главной диагонали, и только они.
Поэтому для матрицы etB (значит, и для е<л) собственными зна-
чениями являются числа еА,<, где Л4 — собственные значения
матрицы А.
Пусть для матрицы А известная матрица С, приводящая А
к жордановой матрице В = С~1АС. Тогда
А = СВС~1, А2 = СВС~1 • СВС~1 = СВ2С~1,
..., Ат = СВтС~'.
Подставляя это в (81) и вынося слева С, а справа С~1, получаем
eiA = С ( Е + yjB + -В2 +... J С-1 = CetBC~l.
Эта формула и (86), (88) дают еще один способ отыскания etA.
Пример см. [8], §22.
______________________________________________!________
144
$16. Линейные системы с периодическими коэффициентами
4. Другие функции матриц (доказательства имеются в [2], гл. 4, §4).
Пусть функция f(z) определена степенным рядом
1(г) = % + ахг + а2гг + ...,
сходящимся в круге |z| < г. Тогда для любой квадратной матрицы А,
у которой все собственные значения лежат внутри круга |Л| < г, ряд
а^Е + atA +	+ •..
сходится и его сумма принимается за f(A).
Если матрица А = СВС~1, то /(Л) = Cf(B)C~l. Для жордановой
матрицы В = diag .......Kt} имеем /(В) = diag {f(Kt),....	.
Для жордановой клетки К = ХЕ + F (F см. в (85)) размера k х к
	Г/(А)	Г(А) 1!	Г(А) 2!	(*-1)!
/до =		7(A)	Г(А) * 1! /(А) ...	Л2(А) (fc-2)!
	<0.		•'	/(А) )
§ 16. Линейные системы
с периодическими коэффициентами
Линейные системы и линейные уравнения n-го порядка с периодичес-
кими коэффициентами — важный для приложений класс дифференци-
альных уравнений и систем. Решения уравнений и систем этого класса
145
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
могут быть исследованы известными методами. При таком исследовании
используется понятие логарифма матрицы.
1» Логарифм матрицы. Логарифмом вещественного или комплексного
числа z называется такое число w = Inz, что ew = z. Так как ea+/,t =
e*(cos р + i sin ft), то для числа z = r(cos <p + i sin (p) имеем ea+^ = z
тогда, когда ea = r, p = <p + 2irfc, к — любое целое. Поэтому
Inz = Inr+ i(p + 2irfc), где г = |z|, ^? = aigz.
Таким образом, Inz — многозначная функция. Если z # 0, то Inz
существует.
Логарифмом квадратной матрицы А называется такая матрица £,
что eL = А.
Теорема 17. Для любой квадратной матрицы А, имеющей det 4/0,
существует In А.
Доказательство. Сначала найдем логарифм жордановой клетки
К = XE+F = Х(Е+Н), где А / О, Н = X~'F9 матрицу F см. в (85).
Покажем, что ln(E + H) =N, где N = Н - Я2/2 + Н3/3 - ....
По определению логарифма, для этого надо показать, что eN =
Е + Н илй, учитывая (82), что S = Н9 где
(8,)
1=1	' J=1 J	'
Если Н — число, |Я| < 1, то S = eto<l+H> -1 = Н. Так как ряд (89)
остается сходящимся и после замены всех членов их модулями, то
в ряде можно переставить члены и объединить члены с одинаковы-
ми степенями Я, то есть S = с, Я + с2Я2 + с3Я3 +.... Каждое ст
получается из конечного числа коэффициентов в (89) и не зависит
от Я. Так как S = Н при |Я| < 1, то с, = 1, ст = 0 (т > 2).
Пусть теперь Я — матрица kxk, Н = A-1F, тогда Я" = 0 при
m > ft. Ряды в (89) превращаются в конечные суммы, перестановка
146
$10. Линейные системы с периодическими коэффициентами
и группировка членов законны, и S = с,Я + с2Н2 +... + с4_1Я>“*.
Коэффициенты ст получаются с помощью тех же действий, что
и в случае, когда Я — число, поэтому ст те же самые: с, = 1,
ст = 0 (т > 2). Значит, и в случае Я = A_,F имеем S = Я, то
есть In (Е + Я) = N.
Рассматривая данную жорданову клетку берем всегда одну
и ту же ветвь логарифма. При А О
еЯ1пА+ЛГ = е«1пл. е* = AF • (Я + Я) = ЛЯ + F.
Поэтому при А # О для жордановой клетки К = ХЕ + F имеем
1пЯ = Я1пА + Я =
= Е1"Л+Хр-^,'1 + ^“-+(^тг*’'
Если жорданова матрица В состоит из клеток Ki9...,Kl9
и все Af. # 0, то In В есть матрица D, состоящая из клеток 1пКр
i 1,... ,{,таккакер состоит из клеток etoX<, то есть из клеток
значит, eD = В.
Для любой матрицы А с det А # 0 существует такая матри-
ца С, что матрица В = С”1 АС жорданова, и det В # 0. Тогда
А - СВС-1 = СеывС~х = ec(ln W"1}
то есть In Л = C(lnB)Cvl. Существование матрицы In А дока-
зано.	
Логарифм вещественной матрицы А может быть комплексным.
Однако если матрица А с det А # 0 равна квадрату вещественной
матрицы, то существует вещественный In А [7], § 33.
2. Рассмотрим линейную систему в векторной записи
х9 = A(t)x (х € R").	(90)
Предполагается, что матрица A(t) — непрерывная функция от t с пе-
риодом Т.
147
Глава 3. Линейньц дифференциальные уравнения и системы
Пусть X(t) — любая фундаментальная матрица системы (90). Тогда
матрица Y(t) = X(t + T) — тоже фундаментальная, так как det Y(t) 0
и
Y'(t) = X'(t + Т) = A(t + T)X(t + Т) = A(t)Y(t).
По теореме 3 (§9) существует такая неособая матрица М, что Y(t) =
X(t)M, то есть
X(t + T) = X(t)M.	(91)
Матрица М называется матрицей монодромии, а ее собственные значе-
ния — мультипликаторами.
Из (91) следует, что для любого целого к
X(t + kT) = X(t)Mk.	(92)
Лемма 12. Для другой фундаментальной матрицы Z(t) имеем другую
матрицу вместо М, подобную матрице М, то есть = С~1МС.
Поэтому все матрицы монодромии имеют одну и ту же жорданону форму
и одни и те же мультипликаторы.
Доказательство. Если Z(t) — другая фундаментальная матрица, то
по теореме 3 найдется такая неособая постоянная матрица С, что
Z(t) = X(t)C. Тогда аналогично (91)
Z(t + T) = Z(t)Mv
Мх = Z~'(t)Z(t + Т)= C~lX~l(t)X(t + Т)С = С~'МС. ' '
Геометрический смысл матрицы монодромии и мультипликаторов.
Пусть X(t) — фундаментальная матрица с Х(0) = Е. Для любого
х0 € R” функция x(t) = X(t)xQ есть решение системы (90) с начальным
условием «(0) = s0. В силу (91) х(Т) = X(T)xQ = Af«0. То есть сдвиг
по интегральным кривым системы за промежуток времени 0 t Т
148
§16. Линейные системы с периодическими коэффициентами
есть линейное преобразование х(Т) — Мх(0) с матрицей М. Вслед-
ствие периодичности системы (90) сдвиг за время следующего периода
Т < t < 2Т есть такое же преобразование: х(2Т) — Мх(Т) и т.д.
Пусть v — собственный вектор для М и Mv = pv. Тогда x(t) =
X(t)v — решение с ®(0) = v. В силу (91)
x(t + Г) = X(t + T)v = X(t)Mv = X(t)pv = px(t).
To есть за каждый промежуток времени длины Т это решение увеличи-
вается в р раз (если р > 1), точнее, умножается на р.
з7
Теорема 18 (теорема Флоке—Ляпунова). Для системы (90) любая
фундаментальная матрица может быть представлена в виде
X(t) = K(t)etB,	(94)
где матрица K(t) непрерывна и имеет период Т, а В — постоянная
матрица, В = Т-1 In М.
Доказательство. Пусть X(t) — любая фундаментальная матрица.
В силу (91) имеется такая неособая матрица М, что X(t + Т) =
X(t)M. По теореме 17 существует такая матрица В9 что етв = М.
Возьмем матрицу K(t) = X(t)e~tB. Она непрерывна, K'(t) тоже.
Покажем, что она имеет период Т. Имеем
K(t + Т) = X(t + Т)е“(т+()В = Х(0Ме"тве"<в. (95)
Так как Ме~тв = Е,то выражение (95) равно X(t)e~tB = K(t). То
есть K(t + Т) = K(t), и теорема доказана.* 4	
4. Изложенные результаты позволяют исследовать решения системы
(90) на бесконечном интервале. Если на отрезке длины Т найдены
(например, на ЭВМ) п линейно независимых решений системы (90), то
есть известна матрица X(t) на этом отрезке, то можно найти матрицу М.
Тогда формулы (92) и (94) позволяют судить о поведении всех решений
149
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
системы на бесконечном интервале. Например, для стремления всех
решений к нулю при t —» оо необходимо и достаточно, чтобы модули
всех мультипликаторов были меньше единицы (тогда в (92) Мк —*0 при
к —»оо).
В случае, когда система (90) получена из уравнения у" +p(t)y = 0
с периодической функцией p(t), А. М. Ляпунов получил условия огра-
ниченности всех решений при -оо < t < оо ([2], гл. 7, §2, п. 2).
ГЛАВА
Автономные системы
и устойчивость
Эти вопросы соединены в одну тему, так как при изложении во-
просов устойчивости используются понятия и результаты теории
автономных систем, а при исследовании особых точек нужны
методы теории устойчивости. Разумеется, вопросы устойчивости
излагаются не только для автономных систем.
§ 17.	Автономные системы
1.	Система дифференциальных уравнений называется авто-
номной, если в нее не входит явно независимое переменное.
Например,
dx*
”77 = /<(«!» —»«„)»	(1)
ил
или, в векторной записи,
dx
—	x = (xl,...,xn)	(2)
ОЛ
151
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
— автономная система нормального вида. Автономность систе-
мы приводит к тому, что решения системы можно изображать
линиями в пространстве меньшей размерности. Это облегчает
исследование решений.
'о Фазовым пространством автономной системы (1) называется
множество, на котором определены координаты ..., хп и за-
дана система (1). Фазовое пространство может быть, например,
областью в Rn или гладкой поверхностью, например, боковой
поверхностью цилиндра.
Далее считаем, что в (1) функции Д и определены
и непрерывны в области G С R”. Тогда G — фазовое простран-
ство. Каждое решение системы (1) ®j = xx(t), ..., хп = xn(t)
определяет в фазовом пространстве линию (или точку, если все
функции Xj(t) постоянны). Эта линия или точка называется тра-
екторией (иногда фазовой траекторией). Точка х = а является
траекторией тогда и только тогда, когда в этой точке все функции
fi равны нулю, то есть в (2) /(а) = 0. Такая точка называется
особой или стационарной, или положением равновесия.
I-------------------------------------------------------------1
1 Пример 1. Автономная система х\ = х2, d2 = -х{ имеет 1
। решения	i
I	«] = с( sin (t + Cj), х2 = ct cos (i 4- cj. (3) i
1 В пространстве t, x{, x2 функции (3) изображаются винто- 1
। выми линиями, а в фазовом пространстве (здесь оно является ।
* плоскостью ху х2) — окружностями х* + Каждая ]
। окружность изображает бесконечно много решений, отлича- ।
* ющихся только значениями Cj. Точка ж, — х2 = 0 тоже *
। является траекторией (особая точка).	i
I____________________________________________________________|
152
§17. Автономные системы
Система (1) или (2) в каждой точке х = (®,,..., хп) фазового
пространства определяет вектор
/(®) = (/,(«),... ,хя),... ,/п(®р... ,жп)).
В особой точке f(x) = 0. Если линия х = x(t) является траекто-
рией системы, то в каждой своей точке, где x'(t) Ф 0, она касается
вектора /(х), так как вектор х'(0 = (xj(0,... , х'п(0) касается
линии, параметрически заданной уравнениями хх = xt(t), ...,
хп = xn(t), а х'{1) = /(х(0) в силу (1) или (2). Таким образом, ав-
тономная система задает векторное поле в фазовом пространстве,
а траектории — линии, которые во всех точках, где f(x) 0,
касаются векторов этого поля. На траекториях принято ставить
стрелки, указывающие направление движения точки х(0 при
возрастании I.
2.	Следующие утверждения описывают свойства траекторий.
Г Если x(t) — решение системы (2), то для любого с Е R
функция y(t) = x(t + с) — тоже решение, и все эти решения
имеют одну и ту же траекторию.
Доказательство. Так как x(t) — решение, то x'(t) = /(х(0).
Заменяя t на t + с, имеем x'(t + с) = f(x(t + с)), то есть
у'(0 = Значит, y(i) — решение. Эти решения имеют
одну и ту же траекторию, так как через любую точку х* =
x(i*) первого решения решение у(0 = х(< + с) проходит при
t = t* — с. Таким образом, каждая траектория, не являющаяся
точкой, изображает бесконечно много решений.	
2° Две любые траектории или не имеют общих точек, или
совпадают.
153
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Доказательство. Пусть траектории решений x(t) и y(t) име-
ют общую точку Ь. Тогда существуют такие и i2, что
Ъ = «(<,) = y(t2). Функция z(t) = y(t 4-t2 -— тоже ре-
шение, и z(t{) = y(t2) = x(tx). По теореме единственности
z(t) = x(t), To есть y(t +12 -1,) = x(t), и решения x(t) и
y(t) имеют одну и ту же траекторию.	
Следствие. Решение автономной системы не может войти в осо-
бую точку за конечное время.
Доказательство. Пусть а — особая точка, то есть x*(t) = а —
решение. Если траектории решений x(t) и x*(t) не совпа-
дают, то они не имеют общих точек. Значит, x(t) # а при
всех t.
Решение x(t) может приближаться к особой точке толь-
ко при t —► 4-оо или при t —» —оо.	
3° Если x(t) — решение, х^) = x(t2), t2 > t,, и x(t) £ const,
то решение — периодическое, у него есть наименьший положи-
тельный период, а траектория — замкнутая кривая без самопе-
ресечений.
Доказательство. Функция y(t) = x(t + t2~	— тоже ре-
шение по свойству Г, у(4,) = x(t2) = «(tj. По теореме
единственности y(t) = x(t), то есть x(t + d) = x(t), период
d = t2 -t, > 0. Могут быть и другие периоды.
Так как x(t) const, то найдется такое <*, что x(t*) /
«(ti), то есть - ®(tj)| = г > 0. В силу непрерывности
x(t) найдется такое Л > 0, что |®(0 - ®(^)| < г при f, - Л <
t <	4- h. Значит, ®(i)	®(i*) при этих t. Но за время,
154
$17. Автономные системы
равное периоду, решение x(t) должно пройти через все точки
своей траектории. Поэтому длина любого положительного
периода не меньше, чем 2h, и нижняя грань их длин р
2h. Если р не есть период, то имеется последовательность
периодов р,- -»р + 0, ®(t + р,) = ®(i). При р,- -♦ р получаем
+р) = «(<), то есть р — период.
Траектория x(t) (0 <4 Ср) — замкнутая кривая, так
как х(р) = ®(0). Если она имеет самопересечения, то
xfty) = x(t2) при некоторых 4р42 Е [0,р], |4, — 42| < р.
В силу доказанного выше, тогда решение x(t) имело бы
период d = |4, - 42| < р. Это невозможно, так как р —
наименьший положительный период.	
4° Каждая траектория автономной системы является или
точкой или замкнутой кривой без самопересечений, или незам-
кнутой кривой без самопересечений.
Доказательство. Если решение x(t) = const, то траектория —
точка. Если ®(4t)	x(t2) при любых и 42 # 4,, то тра-
ектория — незамкнутая кривая без самопересечений. Если
x(t) const и x(tx) = x(t2) при некоторых 4t и 42 4Р то
траектория — замкнутая кривая в силу 3°.	
5° Предельные множества траекторий. Для траектории Т(х =
<p(t), —оо < t < оо) или для ее положительной полутраектории
Т+(® = р(4), 4* С 4 < оо) w-предельной точкой называется такая
точка р, что существует последовательность 4Р 42,... —> оо,неко-
торой у>(4,) —► р при i —► оо. Множество П(Т) всех ш-предельных
точек траектории Т называется ее ш-предельным множеством.
Аналогично, но при 4,- —> —оо, определяются а-пределъные точки
и множества.
155
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Например, для траектории х = t (х G R1) множество П(Т)
пусто; длд полутраектории Т*(х = е“*, 0 t < оо) множество
П(Т+) — точка х = 0; для траектории Xj = e*cost/(l + e*), х2 =
e*sint/(l + e*) а-предельное множество есть точка х^х^О,
ш-предельное множество — окружность х2{ + х\ = 1.
Теорема 1. Если полутраектория Т+(х = <p(t) € Rn, t < оо)
ограничена и вместе со своей е-окрестностью содержится в области
G, в которой все f- и df./dx. непрерывны, то множество П(Т+)
непусто, ограничено, замкнуто, связно и состоит из целых траекторий.
Доказательство. Для любой последовательности t. -* оо последова-
тельность <p(tj)9 г = 1,2,..., ограничена, значит, имеет предельные
точки и (2(Т+) непусто. Из ограниченности Т+ следует ограничен-
ность П(Т+).
Замкнутость. Если р. € П(Т+), р. -*р, i = 1,2,..., то для
ff = 2“* найдется такое р., что [pf. — р| < ц. Для этого pi существует
последовательность t.., j = 1,2,...,такая,что ;.) -♦ pt- (j-♦ оо),
поэтому найдется такое j = j(i)9 что t. .^ > t, “Pt| < Ч-
Тогда |p(*u(0) ~p| < 2,7 = 21*4, *u(0 > i -* оо. Значит, p € (2(T+).
Докажем, что (2(Т+) состоит из целых траекторий, то есть
что через любую точку а € П(Т+) проходит траектория Та(х =
z(t)9 —оо < t < оо), содержащаяся в (2(Т+). По определению
(2(Т+) существует такая последовательность tvt29... -♦ оо, что
-+ a (t -* оо). Функции х<(0 = ^(*, + 0 (* = 1»2,...) —
решения по свойству 1, хДО) -* а (t -♦ оо). Обозначим через z(t)
решение с z(0) = а, а через F — замкнутую (е/2)-окрестность
полутраектории Т+. Точка t = 0, х = а лежит внутри замкнутой
неограниченной области D(-oo < t < оо, х € F). В силу следствия
теоремы 4 §6 решение z(t) продолжается в каждую сторону или
до выхода на границу области D, или до^сколь угодно больших
156
§17. Автономные системы
|t|. Предположим, что z(t) выходит на границу области D в точке
t = t*, х = z(t*) = Ъ. Тогда b лежит на границе множества F,
следовательно,
р(Ь,Т+) = |.	(4)
Согласно следствию теоремы 6 § 7 из х<(0) —► а = z(0) следует:
%(**)“»«(О = Ь («-♦оо).	(5)
Так как х/Г) =	+ Г) € Т+ при > t{ - Г, то (5) противоре-
чит (4).
Поэтому решение z(t) не может выйти на границу области
D, следовательно, продолжается на интервал (-оо, оо). А тогда,
как выше, имеем для любого t (p(t. +1) = хДО “* z(0 ”* 00)•
Следовательно, z(t) € (2(Т+) при всех t.
Связность не доказываем, она ниже нигде не используется. 
Изучены и другие свойства предельных множеств автономных си-
стем в R2.
Теорема Бендиксона. Ограниченное w-предельное множество на плос-
кости, не содержащее особых точек, является замкнутой траекторией
([7], § 28, теорема 21).
В пространстве Rn, п > 3, структура предельных множеств может быть
значительно более сложной и мало изучена.
«.... 
6° Цвупповое свойство автономной системы. Обозначим через
p(t, р) решение системы (2) с начальным условием ^(0, р) = р.
Тогда
=	+ t,p)	(6)
на любом интервале, на котором определены обе части этого
равенства.
157
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Доказательство. Обе части равенства — решения (правая —
по свойству Г). Оба решения при t = 0 проходят через
одну точку q = <p(t{9p). По теореме единственности они
совпадают при всех t.	
7° Функция <p(t,p) непрерывна по совокупности переменных
(это следует из теоремы 7 § 7).
8° Пусть все решения системы (2) определены при -оо < t < оо
и их значения x(t) заполняют множество Р. Тогда при любом постоян-
ном р € Р и переменном t точка х = <p(t9p) пробегает траекторию. При
любом постоянном t € R1 и переменном р функция <p(t9p) определяет
непрерывное отображение множества Р на себя, зависящее от параметра
t € R1. Это отображение называется сдвигом по траекториям за время t.
Семейство таких отображений сдвига составляет однопараметри-
ческую коммутативную группу с групповой операцией, определяемой
левой частью равенства (6) (последовательное выполнение двух отобра-
жений из данного семейства есть также отображение, принадлежащее
семейству).
Доказательство. Коммутативность и ассоциативность групповой
операции следует из (6). Единица группы есть тождественное ото-
бражение ^(09р) = р, а обратное отображение для <p(t9p) есть
р).	
3.	Группа отображений множества Р на себя, обладающая свойства-
ми 6°-8°, называется динамической системой. Динамические системы
могут изучаться и вне связи с конкретным видом дифференциальных
уравнений (1), то есть только на основе этих свойств (например, [36],
главы 5 и 6). Результаты, полученные такими абстрактными методами,
развивались с привлечением понятий из других отделов математики
и применялись к конкретным задачам.
158
§18. Понятие устойчивости
§ 18.	Понятие устойчивости
1.1 Математическая теория устойчивости изучает поведение
решений системы дифференциальных уравнений при t -+ оо.
Основной вопрос: в каких случаях можно утверждать, что реше-
ние мало меняется на всем бесконечном интервале i0 < t < оо
при любых достаточно малых изменениях начальных условий
и функций, входящих в уравнения рассматриваемой системы.
Теория устойчивости имеет большое значение в технике, так как
в реальных задачах исходные данные, а часто и уравнения движе-
ния (например, из-за неучитываемых помех) известны лишь при-
ближенно. Для создания машины, способной выполнить опреде-
ленную работу, не всегда достаточно качественных физических
соображений, во многих случаях нужен математический анализ.
Первым важным техническим вопросом, решенным с по-
мощью теории устойчивости, был вопрос об условиях работы
регулятора Уатта. В изобретенной Уаттом паровой машине име-
ется механизм — центробежный регулятор, который должен
поддерживать постоянную скорость работы машины. Но ког-
да стали строить большие паровые машины, регулятор Уатта
часто не справлялся с работой. Русский инженер Вышнеград-
ский, чтобы найти причины плохой работы регулятора, составил
систему дифференциальных уравнений, описывающую работу
паровой машины вместе с регулятором, и исследовал эту систему
на устойчивость (см. [7], § 27). Он получил условия устойчивости
в виде ограничений на конструктивные параметры регулятора.
Регуляторы, изготовленные с учетом этих ограничений, работали
хорошо.
В настоящее время в связи с автоматизацией производства
все шире применяются системы автоматического управления, ко-
торые должны обеспечить работу управляемого объекта в задан-
159
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
ном режиме. Математическое исследование устойчивости таких
систем еще на стадии их проектирования ускоряет и удешевля-
ет создание таких систем, позволяя заранее отбросить многие
негодные варианты.
Важная роль в создании и развитии теории устойчивости
принадлежит советским и российским ученым, начиная с осно-
воположника этой теории А. М. Ляпунова.
2» Основные определения. Рассматривается система в векторной,
записи
% = №>*)> х =	:	,	(7)
аг	I I
\®п/
и ее частное решение х = <p(t) (i0 i < оо). Вектор-функция
f(t, х) и все dfi/dXj определены и непрерывны при	< р,
<оо.
Решение х = <p(t) с начальным условием <p(tQ) = х0 называ-
ется устойчивым (или устойчивым по Ляпунову), если для любого
е > 0 найдется такое 6 > 0, что для каждого такого х0, что
|®0 — ®0| < 6, решение x(t) с начальным условием x(t0) = х0 при
i0 < t < оо существует и
|®(i)-p(OI <е (t0^i<oo).	(8)
Это значит, что каждое решение с начальным условием из
^-окрестности точки х0 при t0 t < оо существует и не выходит
из £-трубки, ось которой — решение х = <p(t) (рис. 12).
Решение х = <p(t). называется асимптотически устойчивым,
если 1) оно устойчиво по Ляпунову, 2) все решения x(t) с на-
чальными условиями x(t0) из некоторой -окрестности точки
®0 неограничено сближаются с решением х = <p(t) при t -♦ +оо,
то есть x(t) — <p(t) —> 0 (t —> 4-оо).
160
§18. Понятие устойчивости
Требования 1) и 2) независимы. Из 1) не следует 2), так
как из неравенства (8) не следует, что x(t) - <p(t) —> 0, а из 2)
не следует 1), см. следующий пример.
I----------------------------------------------------------- 1
I	Пример 2. Пусть линии на рис. 13 изображают траектории I
]	системы	[
I	I
>	Си	at	
I____________________________________________________________I
Пусть функции р, q непрерывны; р(0,0) = д(0,0) = 0, значит,
x(t) = y(t) = 0 — «нулевое» решение. На одной из кривых,
идущих из точки 0(0,0) влево, возьмем точки В и D. Возьмем
числа 0 < е < |OD| и сколь угодно малое 6 > 0. Решение x(t),
y(t) с начальным условием в точке В, лежащей на дуге OD в
6-окрестности точки О, идет по дуге OBD. В точке D имеем
|OD| > е. Нельзя подобрать такого 6 > 0, чтобы решение из точ-
ки В оставалось в e-окрестности нулевого решения. Поэтому
нулевое решение неустойчиво.
161
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Наличие или отсут-
ствие устойчивости не за-
висит от выбора началь-
ного момента t0. В самом
деле, пусть при началь-
ном моменте t0 решение
х = <p(t) устойчиво, то
есть из |®(t0)-	<6
следует неравенство (8).
Пусть начальный момент
tj > tQ (или < <0) и
< rj. Если
достаточно мало, то из этого неравенства в силу непрерывной
зависимости решения от начальных условий следует неравенство
|®(i) - y>(i)| < 6 на отрезке с концами tQ и ty а отсюда —
неравенство (8). То есть и при начальном моменте решение
х = <p(t) устойчиво.	◄
Исследование устойчивости любого решения х = <p(t) систе-
мы (7) можно привести к исследованию устойчивости нулевого
решения другой системы. Для этого в (7) делается замена иско-
мой функции х = <p(t) + у. Получается система p'(t) + j/(t) =
f(t, y>(t) + у). Так как х =	— решение системы (7), то
— /(t, и мы имеем
у'= №,?(*) +У)-/&<?(*))•	(9)
Решение х = <р(1) системы (7) при такой замене переходит
в решение у = 0 системы (9). Устойчивость (или неустойчивость)
решения при этом сохраняется, так как разность x(t) - <p(t)
переходит в равную ей разность y(f) - 0.
162
§18. Понятие устойчивости
Устойчивость нулевого решения системы (9) означает, что
из |у(40)| < 6 следует |у(0| < е при t0 < t < оо.
3» Исследовать устойчивость, пользуясь лишь определения-
ми, можно только тогда, когда удается найти в том или ином
виде общее решение данной системы или когда удается выяс-
нить такие свойства решений, как ограниченность, возрастание
и убывание.
।------------------------------------------------------
I Пример 3. Устойчиво ли нулевое решение уравнения
п
I
I
I
I
J
Решение примера. Общее решение у = 1/(4 + с), с = const;
у = 0 — тоже решение. Из того, что у(4) —» 0 при t -» +оо,
ошибочно было бы делать вы-
вод об устойчивости нулевого ре-
шения. Для устойчивости нуле-
вого решения надо, чтобы из
|у(0)| < & следовало бы
< Е
при 0 < t < оо.
При 1/(0) > 0 решения убы-
вают и стремятся к нулю. При
у(0) < 0 решения убывают и име-
ют вертикальные асимптоты (рис. 14), то есть не удовлетворяют
условию (10). Поэтому нулевое решение неустойчиво.
Другой способ. Для решения с у(0) = у^ из формулы у =
1/(4 + с) получаем с = 1/у0, y(f) = y0/(ty0 + 1). Для любого
163
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
у0 < 0 имеем iy0+l = О при t = -1/у0 > О, поэтому y(t) —► -оо
при t -+ — 1/у0 - 0. Нулевое решение неустойчиво.	◄
г
।
L
I
I
|_
Пример 4. Устойчиво ли нулевое решение системы
dx
а = ~4у'
di
I
I
I
I
J
Решение примера. Деля второе уравнение на первое, получаем
dy/dx = -х/(4у). Общее решение х* 2 + Ау2 = с > 0. Эти ли-
нии — эллипсы. Если ®2(0) + у2(0) < б2, то при t > 0 решение
®(<), y(t) находится внутри эллипса х2 + 4у2 = 4<52, описанного
около круга х2 + у2 = б2. Так
как кривые, изображающие ре-
шения, не пересекаются, то ре-
шение x(t), y(t) остается внутри
этого эллипса (рис. 15), значит,
2	2	2
и внутри круга х + у = е ,
е = 26, описанного около элли-
пса. Нулевое решение устойчи-
во. Асимптотической устойчивости нет, так как каждое решение
остается на своем эллипсе х2 + 4у2 = с и не стремится к нулю
при t —» оо.	◄
(Задачи для упражнений:
[12], §15, №884-888, 890-892; § 24, № 140-147.
4. Условия устойчивости для линейной системы с постоянными
коэффициентами. Пусть в системе dx/di = Ах матрица А имеет
собственные значения Ар..., Ап.
164
§18. Понятие устойчивости
Теорема 2.
1)	Если все Re Ау < 0, то нулевое решение асимптотически
устойчиво.
2)	Если все Re Ау < 0 и для тех Xj, у которых Re Ау = О,
всежордановы клетки размера 1, то нулевое решение устой-
чиво.
3)	Если имеется Xj, у которого Re Ау > 0, или у которого
Re Ау = О и жорданова клетка размера 2, то нулевое
решение неустойчиво.
Доказательство. По теореме 16 § 14 любое решение имеет
вид (75) § 14, то есть в векторной записи
х =	(4)еЛ1< +... +	(И)
где ^.(4) — многочлен степени не выше fcy - 1, fcy — размер
наибольшей из жордановых клеток, содержащих Ау; коэф-
фициенты многочленов — векторы из При А = а + pi
tP(t)eM = ^(tje^fcos pt + i sin pt),	| cos pt + i sin Д4| = 1.
Если a < 0, to eat —»• 0 (t —»• оо) и, как известно из курса
математического анализа, ^*(4)6°* —> 0. Поэтому4^ случае
1) каждое решение стремится к нулю при t —»• оо, значит,
ограничено при 0 < 4 < оо. Тогда и фундаментальная ма-
трица АГ (4), столбцы которой — решения, и АГ(О) = Е,
тоже ограничена, ||АГ(4)|| т (0 < t < оо), и ||АГ(4)|| -» 0
(4 —► оо). Для любого решения имеем x(t) = X(t)x(0). По-
этому из |®(0)| < 6 = е/тп следует |®(4)| < ||АГ(4)|| • |®(0)| < е
(0 < 4 < оо), кроме того, ®(4) —» 0 при 4 —> оо. Нулевое
решение асимптотически устойчиво.
В случае 2) те слагаемые в (11), в которых ReAy < 0,
ограничены при 0 < 4 < оо, как в случае 1). Слагаемые
165
1
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
с ReAj = 0 имеют многочлены нулевой степени, то есть
константы, и тоже ограничены. Опять все решения ограни-
чены, и в силу тех же оценок, что выше, нулевое решение
устойчиво.
В случае 3) при наличии хотя бы одного Ay = а + 0i
с а > 0 имеется решение вида x(t) =	где v —
собственный вектор для этого Ау. Так как е“‘ —► оо (t —» оо),
|е,/3<| = 1, то это решение неограниченно при 0 < t < оо.
Если матрица А вещественная и /3 # 0, то решение x(f)
комплексное, но Re x(t) и Im x(t) — вещественные решения,
из которых хотя, бы одно неограниченно. Пусть 6 > 0 любое
и с = б/(2|х(0)|). Тогда для решения xx(t) = cx(t) имеем
|®j(0)| = 6/2; x{(t) неограниченно при 0 < t < оо. Нулевое
решение неустойчиво.
Если же нет Ay с ReAy > 0, но есть А с Re А = О
и жордановой клеткой размера к 2, то из формул, дающих
решение системы (73) § 14 с жордановой клеткой, следу-
ет, что существует решение вида у =	где £^(i) —
многочлен степени к - 1 > 1 со старшим коэффициентом,
не равным нулю. Так как здесь [еЛ‘| = 1, то это решение не-
ограниченно, и нулевое решение неустойчиво, как выше. 
Замечание. Здесь доказана достаточность условий теоремы 2.
Нетрудно доказать также их необходимость.
(Задачи для упражнений:
[12], § 24, № 156, 157.
5. Кроме понятий устойчивости и асимптотической устойчивости,
о которых говорилось выше, для приложений важно понятие устой-
чивости при постоянно действующих возмущениях. Такая устойчивость
166
§ 19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова
означает, что при tQ t < оо решение мало меняется не только из-за
малых изменений начальных условий, но и из-за любых достаточно
малых внешних воздействий, например, помех, действующих все время
([34], §70).
Решение х = <р(£) системы (7) с начальным условием ^(t0) = х0
называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если
для любого е > 0 найдутся такие 6 > 0 и ц > 0, что при любых х0 и
h(t9x) € С таких, что |«0 - «0| < б, \h(t9 s)| < q при t > tQ9 |x| < £,
каждое решение x(t) задачи
dx
д = /(*» х) + Л(*> *)> x(t0) = ®0
при t < оо существует и удовлетворяет неравенству (8).
Условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость, часто
обеспечивают и устойчивость при постоянно действующих возмущени-
ях. Таким является, в частности, условие 1) теоремы 2.
§ 19. Исследование устойчивости
с помощью функций Ляпунова
1. Производной функции v(t, х) в силу данной системы
= f(t,x) (® G Rn, / € Rn),	(12)
at
называется функция
dv _ dv dv	dv	. .
It (n}~~dt+'dxx’^ + '' +dx'n’^n'
где v и ,/п зависятmt,xlt... ,хп. Формула (13) позволяет
найти производную сложной функции
v(t,x(t)) = v(t,x^t),xn(t)),
167
Глава 4. Автономные системы и устойчивость 
где x(f) — любое решение системы (12), не зная решений
системы. По теореме о производной сложной функции
d ,	...	.,.х dv dv dx. dv dx„ , .
-v(i,®1(t),...,®n(0) = —+ —(14)
ttC	CJt	ut	tKCji dt
Так как x(t) = (x^t),..., xn(t)) — решение системы (12), то
dxjdt = /,-(t, ®,,..., ®n) и сумма в (14) равна (13).
2.
Теорема 3 (теорема Ляпунова об устойчивости).
Пусть x(t) = 0 — решение системы (12), и пусть при |а?| р
(р > 0) существует функция v(x) 6 С1, удовлетворяющая
условиям и(0) = 0, v(x) > 0 при х # 0,	< 0. Тогда
нулевое решение x(t) = 0 устойчиво.
Доказательство. Возьмем любое £ > 0 и е, = min{e,p}.
Непрерывная функция v(x) на множестве S(|®| = е,) дости-
гает в некоторой точке х* 6 S своего наименьшего значения
nunv(®) = t>(®*). Так как v(x) > 0 на S, то v(®*) = т > 0.
Функция v(x) непрерывна, о(0) = 0, поэтому найдется такое
6 > 0, что v(®) < m при |®| < б.
Предположим, что решение x(t) с |®(t0)| < б или су-
ществует не на всем интервале i0 t < оо, или не остается
в области |®| < Тогда в силу следствия теоремы 4 §6
найдется такое f, > t0, что 1®^)! =	|®(t)l < «i при
<о t < Тогда v(®(t0)) < т, v(®(t,)) > т в силу выбора
т и б. Это невозможно, так как
dv(x(t)) _ dv
= di
<0
(12)
168
§19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова
и v(x(t)) не возрастает. Итак, предположение неверно, и те-
орема доказана.	
Теорема 4 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчиво-
сти). Пусть выполнены условия теоремы 3 с заменой последнего
неравенства на dv/dt |ц2^ — w(x) < 0 при 0 < |гс| р;
функция w(x) непрерывна при |®| < р. Тогда нулевое решение
асимптотически устойчиво.
Доказательство. Из предыдущей теоремы и ее доказатель-
ства следует, что нулевое решение устойчиво и что любое
решение x(t) с |®($0)| < 6 остается в шаре |ас| < при
t0 t < оо. Докажем, что ®(t) —»0 при t —> оо.
В противном случае нашлись бы такие числа г) > О
и tpi2,... —► оо, что |®(i,)| Т] (* = 1,2,...). В замкну-
той области т] |х|	£( имеем v(x) р > 0, поэтому
v(®(i,)) > р > 0 (» = 1,2,...). Так как dv/<tt|^12)	0, то
не возрастает; поэтому v(x(t)) р при всех f > f0.
(Если бы было v(x(V)) < р при некотором t, то при всех tif
ббльших этого t, тоже было бы v(x(ti)) < р,в это противо-
речит предположению.)
Возьмем такое > 0, что v(x) < д в области |®| < б,.
Решение x(t) не может войти в эту область, поэтому остается
в замкнутой области < |®| Там ш(х) > Д > О,
<й>/<й|(12) < -Д < 0, поэтому
t
1>(®(0)-ф(<о))= /dv^T^dT^-p(t-t0)-^-<x> (t-*oo),
j а/т
169
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
но v(z) > 0. Противоречие показывает, что предположение
0 неверно.	
Замечание. При выполнении условий этой теоремы нулевое ре-
шение будет также устойчивым при постоянно действующих воз-
мущениях ([34], § 70).
А. М. Ляпунов доказал более общие теоремы — с функ-
цией v(t, х) вместо v(x), удовлетворяющей некоторым другим
ограничениям.
Функция v(x) или v(t, х), применяемая при доказательстве
устойчивости, называется функцией Ляпунова. Для конкретных
систем дифференциальных уравнений ее подбирать нелегко. Для
несложных систем иногда можно брать функцию v(x\ равной
квадрату расстояния точки х от положения равновесия. Более
сложные приемы подбора функции Ляпунова обычно не включа-
ются в программу курса дифференциальных уравнений.
I---------------------------------------------------------'------------1
|	Пример 5. Устойчиво ли нулевое решение уравнения	i
I	I
I	х' = sin х - х?	I
I____________________________________________________________________I
Решение примера. Возьмем v = ®2. Тогда
~ = 2хх' = 2x(sin х - х) < 0 (х / 0).
at
По теореме 4 нулевое решение асимптотически устойчиво.
I------------------------------------------------------------1
I	Пример б. Устойчиво ли нулевое решение системы	i
I	х = у - х, у = -®3?	(15) I
I____________________________________________________________I
170
§19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова
Решение примера. Линейная часть системы имеет матрицу
А=(~1
\ 0 0/
Для нее А, = 0, А2 = -1, собственные векторы v1 = ( J ),
,	/1\	V/
v — I I лежат на прямых у - х = 0 и у = 0. Возьмем
v = (у - х)2 + у2. Тоща
dv
И
= 2(1/ - х)(у' - х1) + 2уу' =
(15)
= 2(у - х)(х -у-х3)- 2ух3.
Это — многочлен 2-й степени относительно у. Чтобы судить о его
знаке, выделяем полный квадрат
dv
di
= —2(у - х + z3)2 - 2z4(1 - х2).
(15)
Это меньше нуля в области |z| < 1, кроме точки (0,0). По теоре-
ме 4 нулевое решение асимптотически устойчиво.	◄
Для систем вида dx/dt = /(as) (х € Rn) часто бывает удобнее
вместо теоремы 4 пользоваться следующей теоремой.
Теорема 5 (Е. А. Барбашин, Н. Н. Красовский [20], теорема
5.2). Пусть в (2) f 6 С1, /(0) = 0 и пусть при |z| < р
(р > 0) существует такая функция v(x) 6 С1, что v(0) = 0,
v(x) > 0 (х # 0), dv/dt 0, а множество N тех х, при
которых dv/dt = 0, не содержит целых траекторий, кроме
х = 0. Тогда нулевое решение асимптотически устойчиво.
171

Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Доказательство. При данных условиях выполнены также условия
теоремы 3, поэтому нулевое решение устойчиво и все решения с
|х(0)| < б остаются в шаре S(|x|	е). У любого такого решения
x(t) по теореме 1 существует а?-предельное множество (2 С S,
состоящее из целых траекторий. Функция не возрастает
и существует limv(x(t)) = I. Любая точка Ъ € П есть limx(L)
t-*00	*
для некоторой последовательности t. -♦ оо. В силу непрерывности
функции v из х^) -♦ Ъ следует v(b) = limv(x(t.)) = I. Точка
b € П произвольна, поэтому на О всюду v(x) = I. В силу теоре-
мы 1 существует решение z(t) € П с z(0) = Ъ. Тогда v(z(0) = 1,
и на траектории z(t)
dv = dv(z(t)) =
di (2) dt " ’
Значит, траектория z(t) содержится в множестве N. Так как N
не содержит целых траекторий, кроме точки х = 0, то z(t) = О,
Ъ = 0. Так как b — любая точка из (2, то множество (2 состоит
из одной точки х = 0. Значит, все решения с |«(0)| < б стре-
мятся к нулю при t —► оо, и нулевое решение асимптотически
устойчиво.	
I--------------------------------------------------------------------।
1 Пример 7. Уравнение х" + ах' + х3 = 0 сводится к системе 1
*	я' = У» У1 =	- ау.	(16) ।
I Исследуем, устойчиво ли нулевое решение системы.	|
I____________________________________________________________________I
Решение примера. В случае а = 0 из (16) следует dy/dx = -х3/у,
2у2 + х4 = с. Беря v = 2у2 + ®4, получаем dv/dt = 0. По теореме 3
нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, так как
для любого ненулевого решения x(t), y(t) имеем 2y2(t) + x4(t) =
const 0 при t —► oo.
172
i
I
§19. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова
В случае а > 0 берем тоже v = 2у2 + х4. Тогда
dv
И
— -4ау2 0.
(16)
Равенство достигается только на прямой у = 0. На этой прямой имеем
— -х3 / 0 при х / 0. Следовательно, все решения, проходящие
через точки прямой у = 0, кроме нулевого решения, тут же сходят с нее.
По теореме 5 нулевое решение асимптотически устойчиво.
В случае а < 0 система (16) заменой t и у на -t и — у сводится
к системе х' = у, = -х3 + ау, отличающейся от (16) только знаком
перед а. По доказанному, все решения этой новой системы из некоторой
области х2 + у2 < р2 стремятся к нулю при t —» оо. Значит, для
системы (16) решения стремятся к нулю при t -» -оо. В примере 2 было
показано, что при наличии хотя бы одного решения, стремящегося к нулю
при t -» -оо, нулевое решение неустойчиво.	◄
3.
Теорема б (теорема Четаева об неустойчивости).
Пусть x(t) = 0 — решение системы (12). Пусть область D
пространства х лежит в шаре S(|®| < е), а ее граница Г =
Го U Гр 0 е Го, |ж| < е на Го, |®| = е на Гр множество Г,
может быть пустым. Пусть в D U Г существует непрерывная
функция v(x), v(x) = 0 на Го, а в D имеем v € С1, v(x) > 0,
> w(x) > 0, w непрерывна в D П Г. Тогда нулевое
решение системы (12) неустойчиво.
Доказательство. Предположим, что нулевое решение устой-
чиво. Тогда найдется такое 6 > 0, что любое решение x(t)
с начальным условием x(t0) G D, |®(i0) | < 6, остается в шаре
S при i0 < t < оо. Пока x(t) € D, имеем dv(x(t))/dt > О,
значит, v(®(0) возрастает и v(x(t)) > v(x(t0)) = v0 > 0.
173
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Та часть 2>0 множества D U Г, где v(x) > v0 — ограничен*
ное замкнутое множество (в его предельных точках имеем
тоже х € D U Г, е(х) > v0 вследствие непрерывности v(x)).
Решение x(i) не может выйти из Do, ибо на Го v(x) — О,
а на Г, решение не попадает, так как |x(t)| < е. На Do
имеем ш(х) > /3 > О,
d
^»(х(0) > w(x(0) > 0, v(x(0) - t>(x(t0)) > /3(t -10) -> оо
(i->oo).
Это противоречит ограниченности функции ®(х) в Do. Сле-
довательно, нулевое решение неустойчиво.	
।----------------------------------------------------1
I Пример 8. Устойчиво ли нулевое решение системы	I
I	х' = ах+ Ъу-у2, у' = cx + dy-x2	I
j	(а, Ь, с, d>0)?	{7) ]
I____________________________________________________I
Решение примера. При малых х, у в 1-й четверти имеем х' > О,
у' > О, значит, там решения удаляются от точки (0,0). Возьмем
v = ху в области D (х > 0, у > 0, х2 + у2 < е2). Тоща
dv
И
= х'у+ху' = оху+Ьу2-у3+ст2+4ху-х3 = w(x,y).
(П)
При малом е и 0 < ® < е, 0<у <е сумма подчеркнутых членов
положительна, поэтому в D ш(х, у) > 0. По теореме б нулевое
решение неустойчиво.	◄
(Задачи для упражнений:
[12], §15, №923-930.
174
$ 20. Устойчивость по первому приближению
4» Вследствие трудностей при подборе функции Ляпунова возникает
вопрос о ее существовании — вопрос, когда можно пытаться подбирать
функцию v(x) или v(t9x)9 удовлетворяющую условиям теорем 3 и 4
(или подобных теорем), а когда нет. Массера доказал, что для систем
вида я' = /(«), х € Rn, в окрестности асимптотически устойчивого
положения равновесия всегда существует функция Ляпунова v(x), а для
систем х' = f(t9 х) с периодической по t функцией / — периодическая
функция Ляпунова v(t,x) ([34], §73). Для устойчивого положения
равновесия системы х' = /(t, х) существует функция Ляпунова v(t9 х)
([28], гл. 4, § 9), а функция v(x) может не существовать даже для системы
x' = f(x) ([32], стр. 57).
Однако не существует общих методов построения функции Ляпуно-
ва в случаях, когда решения системы неизвестны. Для нужд приложений
разрабатывались методы построения функций Ляпунова для отдельных
классов систем, например, в [2Г].
§ 20. Устойчивость по первому приближению
1. В теореме 2 были получены условия асимптотической устой-
чивости и условия неустойчивости для линейной системы с по-
стоянными коэффициентами х* = Ах. Следующая теорема 7
утверждает, что в случае max Re А,- / 0 эти условия пригодны
и для нелинейной системы х1 = Ах + <p(t, х), где А — постоян-
ная матрица, |p(t, х)| < ф*(х) = <KW) ПРИ ® ~* 0-
К такому виду приводятся и многие другие системы. Пусть
х=ж0 = (ж10,..., ®п0) — положение равновесия системы х' = f(x)
(® 6 R”), то есть /(®0) = 0. Разлагая /(®) вблизи точки х = ж0
по формуле Тейлора до членов первого порядка малости, полу-
175
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
чаем систему
xi = <*« (®i - ®ю) + • • • + л.»(®п “ жпо) +	t = 1,..., п,
где av = 0/,/0®у|в=вв, ¥><(«) = о(1® - ®01) при х -> х0. Перенося
начало координат в точку х0 заменой х = х0 + у, получаем
(в векторной записи)
у' = Ау + <рй(у), ¥>О(У) = °(Ы) при у-* О,
матрица А — (ву)<ив1„..,п, «у см. выше. В более общем случае,
когда матрица А зависит от t, теорема 7 не применима.
т
Теорема 7 (об устойчивости по первому приближению). Рас-
смотрим систему
х' = Ах + <p(t, х), х 6 R”.	(18)
Пусть при t > 0, |®| < р0 функция <р G С1, \<p(t, ж)| < 7(®)|®|,
?(®) —»• 0 (х —»0).
. 1) Если матрица А имеет все Re Ay < 0, то нулевое решение
асимптотически устойчиво.
2) Если матрица А имеет хотя бы одно А с Re Л > 0, то
нулевое решение неустойчиво.
3) В «критическом» случае, то есть когда max Re Ay = 0, на-
личие устойчивости или неустойчивости зависит не только
от матрицы А, но и от функции <p(t, х).
Доказательство. Докажем теорему в случае, когда все
ReAy <0.
Оценим столбцы матрицы еи. Эта матрица — фун-
даментальная для системы у* = Ау, ее столбцы
176
5 20. Устойчивость по первому приближению
— решения этой системы. Каждое решение имеет
вид (11). Пусть а > 0 такое, что все ReA; < -а < 0. Тогда
Re Aj + а -ц < 0 для всех /; 0^(0 — многочлен, по-
этому |^(0е^+“><| С |^(0/e/rf| —»• 0 при t —>• оо, значит,
|^(0e(A,+e)<| Су (0 < t < оо), и
|^(0е**| = |^(0e<A>+e)‘|e-e< < суе-“‘.
Поэтому при некотором с = const имеем оценку
ГЛОКсе”* (fc=l,...,n).	(19)
Функцию Ляпунова возьмем в виде
v(x) = J 1егЛх12 dr.	(20)
о
Решение системы у' = Ау с начальным условием у(0) = х =
(®р..., хп)т есть
y(t) = etAx = x^l(0 +... + ®„^n(0,
так как ^*(0 — решение, у которого ^*(0) есть Л-й столбец
единичной матрицы. Поэтому
|егЛ®|2 = |у(т)|2=уу= 22 dij(T)xixj> dij(T)=^(T^<T)‘
М=1
В силу (19) Ну(т)| с1е~2ат. Пользуясь этим, из (20) полу-
чаем
п	°?
«(®) = 52 bijxixi> b»j = j da^dT=bn’ <21>
177
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
В силу оценки функций d^fr) интегралы от них, а значит
и интеграл в (20), сходятся.
Найдем dv/dt в силу системы у' = Ау. Имеем
dv(x) I _ dv(y(t))
t=o
f \erAy(t)f dr
о
. (22)
t=0
где y(t) — решение системы у' = Ay с начальным условием
у(0) = х, то есть y(t) = etAx. Подынтегральное выражение
равно |егЛеых|2 = |е<т+‘>лх|2. Переходя от т к в = т +1,
получаем, что выражение (22) равно
(23)
Теперь найдем dv/dt в силу системы (18)
dv(x)
dt
— (grad v(x)) • (Ax + <p(t, x)) =
(18)
= (grad ®(x)) • Ax + (grad ®(x)) • <p(t, x).
Первое слагаемое в силу (13) есть ^®/<й|в,=Аг, значит, равно
выражению (22) и (23).
Оценим второе. Из (21) получаем, пользуясь неравен-
ством Коши (§ 4) и считая	b,», j = 1,..., п,
/ dv \2
\,dxf/
< 4 bij S ®J 4Ь2п|х|2.
/=1 j=i
п / А \2
|grad ®(х)|2 = 52 ( 7~ )	4Ь2п2|х|2; \<p(t, х)| < ?(х)|х|.
Т"Т \ о®.* J
178
§20. Устойчивость по первому приближению
Поэтому
dv(x)
di
-|®2| + 26п|®| • 7(®)|®| < -||®|2
(•8)	2
в той области, где у(х) < 1/(4дп). Кроме того, из (20)
имеем v(0) = 0, v(x) > 0 при х # 0. Следовательно, v(x) —
функция Ляпунова для системы (18), и нулевое решение
асимптотически устойчиво по теореме 4.
Доказательство утверждения 2) (о неустойчивости) не
входит в программу курса. Оно имеется, например, в [28],
стр. 262-264.
Утверждение 3) о критических случаях подтверждается
примером 10.	
3.
---1(--------------------------------------------------------।
। Пример 9. При каких значениях параметра а 6 R нулевое
। решение системы
[	х = х + (2 - а)у,
I	•	77	(24)
।	у = ах —Зу +(а2 -2а- З)®2
। асимптотически устойчиво? устойчиво? неустойчиво?
I__________________________________________________________I
Решение примера. Составляем характеристическое уравнение для
линейной части системы
1-А	=°> А2 + 2А + а2 -2а-3 = 0.
а —3 — А
По теореме Виета
А( + А2 = -2 < 0, А, • А2 = а2 - 2а - 3 = (а - 3)(а + 1).
179
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
В зависимости от значения параметра а получаем
1)	-1 < а < 3, тогда At • А2 < 0, существует корень А > 0.
По теореме 7 нулевое решение неустойчиво.
2)	а<-1 или а>3, тогда Aj*A2>0. Учитывая, что At4-A2 =
-2, получаем два случая. Если Ар А2 вещественные, то
Aj<0, А2<0; если А12 = «±/3»,то ReAi 2=a=-l. В обо-
их случаях нулевое решение асимптотически устойчиво по те-
ореме 7.
3)	а=-1 или а = 3, тогда А24-2А=0, А,=0, А2 = -2. Корни
простые, а система (24) линейная. В силу теоремы 2 нуле-
вое решение устойчиво, но не асимптотически из-за наличия
корня А] =0.	
I--------------------------------------------------------------  1
I	Пример 10. Устойчиво ли нулевое решение системы	
I	х = у - сх3, у = -Ъх3 - су3? (25) I
I________________________________________________________________I
Решение примера. При Ь = с = 0 система линейна, А12 = 0,
жорданова клетка размера 2. По теореме 2 нулевое решение не-
устойчиво. При других бис имеем критический случай, возможна
как устойчивость, так и неустойчивость.	(
При Ь > 0 возьмем v = 2уг + Ъх\ как в примере 7. Тогда
= —АЬсх6 — Асу*.
(И)
Если с > 0, то dv/dt < 0 (|®| + |у| # 0). По теореме 4 —
асимптотическая устойчивость. Если же с = 0, то dv/dt = 0.
По теореме 3 устойчивость, но не асимптотическая, так как
v(®(0, у(0) = const 0.
При Ь 0, с 0 неустойчивость — как в примере 8,
v = ху.	◄
dv
И
180
§21. Особые точки
4.	А. М. Ляпунов дал методы исследования устойчивости в основных
критических случаях, см. [34], гл. 4. Об исследованиях других критичес-
ких случаев см. [19], гл. 3.
Теорема об устойчивости по первому приближению обобщалась
в разных направлениях, в частности, на случай, когда система первого
приближения имеет не постоянные, а периодические коэффициенты
([28], гл.4, § 12).
В различных работах оценивалась область устойчивости — область
возможных начальных возмущений, для которой отклонение решения
x(t) от см. (8), при всех t > t0 остается ограниченным (или стре-
мится к нулю при t -♦ оо).
О частотных методах исследования устойчивости см. [27]. Список
более поздних работ по теории устойчивости имеется в [35].
§ 21. Особые точки
Изучается расположение траекторий системы
х\ = ах{ + bx2, x'2 = cxl + dx2 (а, Ъ,с, d € R1),	(26)
вблизи особой точки (0,0). Рассматривается также нелинейная
система двух уравнений.
1. Для исследования системы (26) сначала надо найти соб-
ственные значения Ар Л2 и собственные векторы матрицы А —
(а	п
, I. Возможны следующие случаи.
с a J
А. Числа Ар Л2 вещественны, различны и отличны от нуля.
В базисе из собственных векторов матрица диагональна, систе-
ма (26) приводится к виду
Jfj = Уг — ^2%»	(27)
181
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
и имее^ общее решение у{ = с1еА,<, у2 = CjCA2<; с, и Cj —
произвольные постоянные. Исключая t, получаем уравнение
траекторий
/	\ j*
У2 = с2\~) ' (при с1^°) и У1=о (ПРИ ci=0)- (28)
\С1 /
Если А, и Л2 одного знака, то траектории сходны с дугами
парабол, касающимися оси Оуг в точке (0,0) (если |Л2| > IAJ,
рис. 16 и 17), или оси Оу2 (если |Л2| < IAJ); координатные
полуоси тоже являются траекториями. Особая точка называет-
ся узлом. По всем траекториям происходит движение к точке
(0,0), если Ар А2 < 0 (устойчивый узел, рис. 16), и от нее, если
Ар Л2 > 0 (неустойчивый узел, рис. 17). Направление движения
указывается, стрелками на траекториях.
182
§21. Особые точки
Если же Ар А2 раз-
ных знаков, то траектории
(кроме идущих по коор-
динатным полуосям) по-
хожи на гиперболы, так
как в силу (28) |у2| —► оо
при у, —► 0 и у2 —> О при
|l/( | —> оо (рис. 18). Особая
точка называется седлом.
Седло всегда неустойчиво,
так как одно из А{ > 0.
Если А, < О, А2 > О,
то по обеим половинам
оси Оух движение напра-
влено к точке О, так как
ух = с1еА,< —> 0 (i —> оо), а по обеим половинам оси Оу2 —
от точки О, так как у2 = с^е*2*, |j/2| —> оо (i —> оо).
Б. Если А( = А2 / 0, то матрица в жордановой форме мо-
жет быть диагональной или нет. В первом случае система имеет
вид (27) с Ai = А2 и траектории (28) — по-
лупрямые с концом в точке (0,0) (рис. 19)
в случае А, = А2 < 0. Если А, = А2 > О,
то стрелки — в другую сторону. Особая
точка называется дикритическим узлом.
Во втором случае система имеет вид
у\ = M/i + Уг, Уг = ^Уг- Общее решение
у2 = CjC*4, yt = Суе* + Cjte*. Уравнения
траекторий
с.	1 . Уг
У^Т-Уг + тУг^Т-
*1	А *1
и у2 = 0.
183
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Особая точка называется вырожденным узлом (рис. 20 в случае
Л < 0). Узлы двух последних типов, как и рассмотренные выше
узлы с А, # А2, являются устойчивыми, если А,,А2 < 0, и не-
-*	устойчивыми, если АРА2 > 0.
В соответствии с этим ставятся
f f	стрелки на траекториях.
r	В. Если A12=a±/3i, 05*0,
У	то собственные векторы ком-
—-‘ J J	плексные, линейно независи-
мые (так как А, # А2). Пусть
w — собственный вектор для
рис.2о	А, = а + /W, то есть Aw =
(а + pi)w. Заменяя все числа,
включая координаты вектора ш, на сопряженные, получаем
Aw = (a-fli)w, то есть w — собственный вектор для А2 = a-fii.
Пусть w = « + iv, где векторы и и v — вещественные. Тогда
w = и — iv. Векторы « = (w 4- w)/2 и v = (w - w)/(2t) линей-
но независимы, так как получаются из w и w невырожденным
линейным преобразованием.
Вектор-функция х = ce^a+^w, где с — любое число, явля-
ется решением системы (26). Подставляя с = ре*9, w = и 4- iv,
получаем
« = ре^^Хи 4- iv) = (yx(t) 4- й/2 (*))(« + iv),	.
yx(0 = Pe<rf cos (Pt + #)> УгСО = Pe<rf sin (Pt + 9).
Матрица A — вещественная, поэтому решением системы (26)
является также Re® = uyx(t) - vy2(t). Вещественное решение
Re® в вещественном базисе и, —v имеет координаты yx(t),
y2(t), см. (29). Переходя к полярным координатам г, <р, то есть
полагая у, = г cos у2 = г sin <р, получаем
r = peat, <p = flt + e,	(30).
184
§21. Особые точки
где р 0 и 9 — произвольные постоянные. Формула (30) дает
все вещественные решения, так как начальная точка решения
у ДО) = peas9, у2(0) = psintf
есть произвольная точка плос-
кости у{,у2.
В случае а = 0, то есть
Л12 = ±/Зг, траектории (30) —
окружности г = const (рис. 21).
Особая точка называется цен-
тром.
В случае а / 0 траекто-
рии (30) — логарифмические
спирали
<р = — In - 4- 0 (0 < г < оо),
« р
делающие бесконечно много оборотов вокруг начала координат
(рис. 22). Особая точка называется фокусом. Фокус устойчивый,
как на рис. 22, если а < 0, и неустойчивый, если а > 0.
Г. Если матрица А имеет одно или два собственных значе-
ния, равных нулю, то ее жорданова форма имеет один из трех
видов
/0 0\	/0	1\	/0	0\
\0 х)	’ \0	0/	’ \о	о)	•
Так как det А = 0, то система ах{ + Ъх2 = 0, с®,+ d®2 = 0 имеет
бесконечно много решений, значит, особых точек у системы (26)
бесконечно много.
Система с такой матрицей легко решается. Рисунки здесь
не приводятся, так как при добавлении в такую систему слага-
емых, малых по сравнению с линейными, картина траекторий
обычно резко меняется.
185
Глсца 4. Автономные системы и устойчивость
2, Рисунки 16-22 изображают траектории в координатах ух, у2.
Они связаны со старыми .координатами х{,х2 линейным пре-
образованием. На плоскости траектории могут иметь, на-
186
$21. Особые точки
пример, такой вид, как на рис. 23. Стрелки могут быть направле-
ны в ту или другую сторону в зависимости от данной системы.
Чтобы выяснить расположение траекторий в координатах
®2, не нужно находить это преобразование. Тип особой точки
и ее устойчивость или неустойчивость определяются по собствен-
ным значениям А,, А2 матрицы А. Прямолинейные траектории
всегда идут по направлениям собственных векторов, а кривые
в случае узла с Л, / Л2 касаются в точке (0,0) того собственного
вектора, у которого |Л| меньше. В случае фокуса надо в точке
х{ = 1, х2 = 0 (или = 0, ®2 = 1) построить вектор скорости
(х\, х2). Траектория, проходящая через эту точку, касается в ней
этого вектора. Далее она делает обороты вокруг особой точки,
приближаясь к ней в случае устойчивости и удаляясь в случае
неустойчивости.
I-------------------------------------------------------------1
I Пример 11. При каких значениях параметра а особая точка
। системы
I	х = 2х - 4у, у =ах — бу,
* только одна и является седлом? узлом? фокусом? Дать чертеж
t траекторий при а = 8.
I_____________________________________________________________I
Решение примера. Пишем уравнение для А,, Л2 и его дискрими-
нант.
2-А -4
а —6 — А
= А2+4А + 4а- 12 = 0,
дискриминант D = 64 — 16а. По теореме Виета
{< 0 при а < 3,
= 0 при а = 3,
> 0 при а > 3.
187
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
' >0 при а<4,
р= =0 при а=4,
<0 при а >4,
А,,А2 — вещественные различные,
А^=А2 = -2,
АрА2 — комплексные.
Следовательно, при а < 3 имеем А, - Д2 < 0, особая точка
седло; при а = 3 имеем At = 0, А2 = -4, особых точек много;
при 3 < а 4 корни вещественные, А] • А2 > 0 узел (при
а = 4 вырожденный, А, = А2 = -2), узлы устойчивые, так
как А, +А2 = -4 < 0; при а > 4 корни АрА2 комплексные,
Re А = -2 < 0 — устойчивый фокус.
При а = 8 имеем х' = 2® - 4у,
у' = 8® — бу, особая точка — устой-
чивый фокус* В точке ® = 1, у = 0
имеем ®' = 2, у' = 8, значит, траектория
из точки (1,0) идет сначала в область
у > 0, совершает обороты против Расо-
вой стрелки, приближаясь к точке (0,0)
вследствие устойчивости (рис. 24).	◄
Замечание. Интегральные кривые уравнения
dy _ cx + dy
dx ах + by
являются траекториями системы (26). Чтобы исследовать это урав-
нение, надо исследовать систему (26) и не включать в окончатель-
ные выводы заключения об устойчивости (или неустойчивости)
и о направлении движения по траекториям.
(Задачи для упражнений:
[12], §16, №961-980; § 25, № 161-173.
3. Для автономной системы
®, — Д(®р ®2),
Х2 ~ Л(®1>®2)
(31)
188
§21. Особые точки
координаты особых точек определяются из уравнений
/1(Р1»Р2) = 0, /2(Рр Рз) = °-
Для исследования особой точки (рРр2) наД0 перенести в нее
начало координат заменой xt = р( + yls х2 = р2 + у2 и выде-
лить линейные по у{, у2 члены, например, с помощью формулы
Тейлора. Получается система
Г»5=в1Г1+Ь1>2+*>1(Ур»2),
| у'2 = epi+*у2+^2(»1. У2)«
А=(а =
\с dJ YdxJij^
«2=Р2
(32)
?Рр2 = о(г) при Г = у/у1 + у1~^О.
Матрицу А можно найти из (32), не пользуясь заменой х,=р,+Ур
а условие на выполнено, если /2 € С2 в (31).
Теорема 8. Если для матрицы А имеем Re А,- / 0, i = 1,2
(а в случае At = Л2 еще <ру<р2 = О(г1+е), е > 0, или в (31)
/р /2 € С2), то особая точка (0,0) системы (32) имеет тот же
тип, что для системы (26) с теми же a, b, с, d. При этом
сохраняются направления подхода траекторий к особой точке
(но прямолинейные траектории могут замениться кривыми),
направления закручивания и устойчивость.
Доказательство непростое, см. [7], §30, оно в программу
не входит.
(Задачи для упражнений:
[12], §16, №981-992; §25, №175, 176,182, 183.
189
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
4> Известны методы, позволяющие исследовать особые точки более
сложных систем, в частности, систем вида х9 = Р(х9 у), у' = Q(z,y),
где Р, Q — алгебраические многочлены или сходящиеся в окрестности
особой точки (0,0) степенные ряды ([14]; [19], гл. 5; [16], §20-22).
Изучены условия, при которых систему вида (32) в окрестности
особой точки (0,0) можно привести к линейной системе с помощью
дифференцируемого преобразования координат (см., в частности, [2],
гл. 6, § 8). Изучались нормальные формы, к которым можно привести
систему в тех случаях, когда она не приводится к линейной системе
([19], гл. 5; [2], гл. 8).
Для особых точек систем х9 = Ах + ^(«), х € Rn, п > 2,
<р(х) = О(|«|2) (х -♦ 0) изучались множества решений, стремящихся
к особой точке при t -♦ оо или при t —► -оо. Имеются методы, позво-
ляющие получить приближенные представления таких решений [25].
§ 22. Предельные циклы
1. Замкнутые траектории автономных систем на плоскости
чаще всего бывают двух типов.
А. Имеется бесконечное множество замкнутых траекторий,
вложенных друг в друга и заполняющих некоторую область.
Пример: траектории вблизи особой точки типа центр.
Б. Отдельные замкнутые траектории, к которым все близ-
кие траектории неограниченно приближаются (необязательно
монотонно) при t -+ +оо или при t —» -оо. Такие замкнутые
траектории называются предельными циклами.
Предельные циклы бывают устойчивые — к которым все
близкие траектории приближаются при t —> +оо (рис. 25), не-
устойчивые — к которым траектории приближаются при t -* -оо
190
§ 22. Предельные циклы
(рис. 26), и полуустойчивые — когда с одной стороны от цикла тра-
ектории приближаются при t —► 4-00, а с другой — при t -+ -00
(рис. 27). Таким образом, здесь устойчивость понимается в ином
смысле, чем в § 18.
I------------------------------------------------
 Пример 12. Система (в полярных координатах)
г’ = сг(1 - гI 2), <р — 1 (т Е N)
। имеет замкнутую траекторию г = 1. В случае с > 0 и не-
• четного m > 1 в области 0 < г < 1 имеем г' > 0, r(t)
1 возрастает, а в области г > 1, напротив, г* < 0, r(t)
1_________________________________________________________________1
191
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
I----------------------------------------------------------------1
• убывает. При t -» +оо траектории с обеих сторон при- 
] ближаются к окружности г = 1. Она является устойчивым j
I предельным циклом. Аналогично показывается, что в случае I
j с < 0 и нечетного т 1 цикл г = 1 неустойчивый. В случае !
I с 0 0 и четного m > 2 цикл полуустойчивый.	।
I----------------------------------------------------------------1
2. Предельные циклы были обнаружены Пуанкаре при ис-
следовании некоторых дифференциальных уравнений. Позднее
физики обнаружили фи-
зические системы, в ко-
торых устойчивые пери-
одические движения воз-
никают без воздействия
периодической внешней
силы. Эти движения на-
зываются автоколебания-
ми. А. А. Андронов пока-
зал, что такие системы
описываются дифферен-
циальными уравнениями, имеющими устойчивые предельные
циклы. Примеры таких систем: часы, генераторы электрических
колебаний высокой частоты, имеющиеся в радиопередатчиках.
Простейший ламповый генератор (рис. 28) состоит из радио-
лампы с нитью накала, анодом и сеткой, колебательного контура
LCR, связанного индуктивностью М с сеткой, анодной батареи
и батареи накала. Сила тока I, проходящего через сопротивление
R и катушку самоиндукции L, удовлетворяет уравнению
LCf + ВС/ - /(М/) + 1 = 0
(33)
192
§ 22. Предельные циклы
где f(v) — характеристика лам-
пы (рис. 29), выражающая зави-
симость силы анодного тока 1а
от напряжения v на сетке. Функ-
ция f(y) € С1, возрастает при
V, < V < V2, f(v) = О (V < Vj),
f(y) =Il= const (v t>2).
Замена tVLC = r, I(t) —
/(0) = ®(т) приводит уравне-
ние (33)к виду
х" 4- F(x') 4- х = 0 (а/ = —
х" 4- F(x') + х = 0 ( х' = — ),
\	<*т /
г(у) =	+ КУ-
V Ь \vCZ/ /
(34)
Здесь F(0) = 0. От уравнения (34) переходим к системе
®' = у, у1 = -х- F(y).
(35)
Положение равновесия только одно: х = у = 0, то есть I(t) =
/(0) = const. С помощью теоремы 7 получаем, что в случае
F'(0) > 0 оно асимптотически устойчиво, а в случае F*(0) < 0
неустойчиво.
Теорема 9. Если F е С1, Г(0) = 0, F'(0) < °' Р(у) < k
(у —Ь), F(y) т> к (у	Ь > 0), то система (35) имеет
периодическое решение х(т)	const, у(т) const. (В случае
> RC функция F в (34) удовлетворяет этим условиям,
так как функция f ограничена.)
193
Глава 4. Автономные системы и устойчивость
Доказательство. На плоскости х, у построим замкнутую кольцевую
область К без особых точек, из которой не выходят решения
системы (35).
Внутренняя граница кольца К — окружность х2+у2 = г2, где
г такое, что yF(y) < 0 при 0 < |у| г. Так как при |у| г в силу
системы (35) £(х2 + у2) = -2yF(y) > 0, то решения системы (35)
не могут выходить из К внутрь круга х2 + у2 < г2.
Наружная граница кольца состоит из нескольких частей. В по-
луплоскости у > Ь граница — дуга окружности (х + т)2 + у2 = R2,
R выберем позже. Тогда в силу (35)
£-[(х + т)2 + у2] = 2у(т - F(y)) < О,
ат
так как F(y) > т при у > Ь. Аналогично, при у -Ь берем дугу
(х + к)2 + у2 = Я2, рис.30. На вертикальных отрезках АН и CD
имеем соответственно х' = у > 0 и х' = у < 0, поэтому через них
траектории входят в К.
Угловые коэффициенты отрезков ВС и ЕН равны
а на траекториях, пересекающих
1/м
Рис. 30
эти отрезки,
Здесь |у| Ь, F(y) ограни-
чено. Выбирая R достаточ-
но большим, мы увеличива-
ем |х| и делаем & <
Тогда траектории через эти
отрезки будут входить в К.
Таким образом, из за-
мкнутой кольцевой области
К без особых точек не вы-
ходит ни одна траектория
системы (35). Из теоремы
Бендиксона (§ 17, п. 2, 5°)
следует, что в К имеется за-
мкнутая траектория систе-
194
§ 22. Предельные циклы
мы. Так как доказательство теоремы Бендиксона не приводилось,
дадим для данного случая короткое доказательство.
Рассматривая знак х' при у<0иу>0и знак на полуосях
оси Ох, видим, что траектория из любой точки (х9 0) отрезка МС
при возрастании t делает оборот вокруг точки (0,0) и возвращается
на МС в точку (р(я),0). Так как F € С1, то различные траекто-
рии не имеют общих точек, поэтому функция <р(х) возрастающая,
и в каждую точку отрезка [^(«м), ^?(«с)] (ям — абсцисса точки
Мит. п.) приходит одна траектория из какой-то точки отрезка
МС. Значит, функция <р(х) возрастает и не имеет скачков, поэтому
непрерывна. Так как <р(х) - х > 0 при х = хм и <р(х) - х < 0 при
х = хС9 то найдется такая точка х} €	что ^(ж,) =
Траектория, выходящая из точки («р 0), — замкнутая линия. Ре-
шение системы (35) с начальными условиями х(0) = х{,	= 0 —
периодическое.	
4. Более подробно о предельных циклах см. [7], § 28. Другие физиче-
ские задачи с автоколебаниями разобраны в [15], главы 3, 8. Известны
различные достаточные условия существования замкнутых траекторий
и предельных циклов, а также условия их единственности.
Разработаны методы, позволяющие во многих случаях исследовать
особенности расположения траекторий автономных систем на плоскости
(особые точки, предельные циклы, сепаратрисы) и их качественные
изменения (бифуркации) при малом изменении данной системы ([15],
[16], [17], [19], главы 5, 6, [22]). Траектории в Rn, п > 3, изучены
значительно меньше.
ГЛАВА 5
Дифференцируемость
решения по параметру
и ее применения
§ 23. Дифференцируемость решения
по параметру
1. Рассматривается система уравнений с параметром д
= f(t, х, р), x(t0) = а(д);
х = (®р ••• ’®n)’ f = (Д> ••• » /»)•
При каждом д система имеет решение. Оно зависит не толь-
ко от t, но и от выбранного значения параметра д, поэтому
обозначается x(t,p).
Теорема 1. Пусть при (t, х) € D, р G М, (D — область в
Rn+1, М — интервал в R1) все функции fit djjdx-, dfjdp,
196
S 23. Дифференцируемость решения по параметру
а'(д) непрерывны. Пусть при всех рЕ М на отрезке [4Р 42] Э t0
решение x(t,p) задачи (1) существует и проходит в области
D. Тогда это решение имеет производные dxjdp, непрерывные
по (4, д). Функции uf = dxjdp (» =	удовлетворяют
системе уравнений в вариациях
du, п
/ ~dt
«,(и = <(д) (» = 1,...,п). (2)
’ В (2) производные от /f зависят от аргументов t, ®, (4, д),...,
®п(4, д),д, где ж,(4,д) — координаты решения x(t, р) при том
значении д, при котором разыскивается дх/др.
Если решение x(t, р) известно хотя бы при одном значении
д, то система (2) позволяет найти дх/др при этом д. Систему (2)
можно не запоминать, она получается посредством дифференци-
рования обеих частей системы (1) по д; при этом считаем, что
х = ®(4, д), и dxjdp обозначаем ttf.
I-----------------------------------------------------------------1
| Пример 1. Найти дх/др при д = 0 от решения задачи i
j	= х2 + 4pt 4- д2, ®(1) = 2д - 1.	(3) j
I_________________________________________________________________I
Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функ-
ции f = х2 + 4pt + д2 и а(д) = 2д - 1 непрерывны и имеют
непрерывные производные по х и д. Дифференцируя (3) по д
и обозначая х'? = и, получаем
= 2®u + 44 4- 2д, «(1) = 2.	(4)
at
197
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Здесь ц = 0, а х — решение задачи (3) при ц = О, то есть
задачи dx/dt = ®2, ®(1) = —1. Отсюда х — -\/t. Теперь (4)
принимает вид
du	2и
- = --+4t, u(l) = 2.
dt	t
Решая это линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем
и = t2 + ct~2. Из начального условия находим с = 1. Итак,
u = t2 + t~2.	◄
Доказательство теоремы. Зафиксируем ц 6 М. Имеем
дх х — х
— = lim —------------------------,
дц р-v ц - ц
где х = x(t,p} — решение задачи (1), но с д вместо ц, то
есть	_
= ЖД). ЭД = а(д)-	(6)
аг
Обозначим дробь в (5) через v(t, р). Идея доказатель-
ства теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для
v(t, р) при д / д. Его правая часть при д —> д стремится
к правой части уравнения (2). Поэтому и решение v(t,p)
при д —»• д, то есть дробь в (5), стремится к решению урав-
нения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/дц, существует
и удовлетворяет уравнению (2).
Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на д - д,
получаем
dv(t,p) _ f(t, x,Ji)- f(t, x, р)
dt	fi-n ’	(7}
198
§ 23. Дифференцируемость решения по параметру
Преобразуем первую дробь в (7). Положим
F(s) = f(t, ®*,д*),
X* = х + s(x — х), р* = д + а(д - д).
Тогда
1
Ж х, р) - f(t, х, р) = F(l) - F(0) = J F'(a) ds,
0
ox	a/jr
(Of	(д/Д	\
есть матрица 1^4) I.
\®®	...n/
Поэтому из (7) имеем
i
о
df(t,x*,p*)
----z-:----<w
дх*
х — х
р-р
Так как df/dx, df/dp непрерывны по совокупности пере-
менных, то подынтегральные функции непрерывны по t, х,
х,р,р,8, а интегралы — по t,x, х,р,р. Из (1) х = x(t,p)
непрерывно по I. Из (6) по теореме 7 §7 х непрерывно
по (t, д) — по совокупности переменных. Поэтому послед-
ние два интеграла в (8) — непрерывные функции от (t, д),
включая значение д = д. Обозначая их H(t,p) и h(t,p),
получаем
dv
+	(9)
199
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Функция v(t, р) была определена при р / р. Доопределяем
ее при р = р как решение уравнения (9) с начальным усло-
вием v(t0, р) = а\р), полученным из начального условия (7)
при /х -+ р. По теореме 7 § 7 функция v(t, д) непрерывна
по р, включая р = р. При р = р имеем ®* = х = x(t, р),
р* = р, подынтегральные выражения в (8) не зависят от в.
Тогда в (9) матрица Н и вектор h принимают значения
дх	\OXj /	op
Таким образом, для v(t, р) уравнение (9) и начальное усло-
вие v(t0, р) = а'(д) совпадают с (2), то есть v(t,p) удо-
влетворяет (2). В силу непрерывности v(t,p) существует
р) = v(t,p). То есть в (5) существует производная
дх/др = v(t, р) и координаты вектора v(t, р) удовлетво-
ряют системе уравнений и начальным условиям (2).
Теперь пусть р меняется на интервале М. Тогда правые
части системы (2) (и производные д/ди- от них) непрерывны
по (t,p). По теореме 7 §7 решение системы (2), то есть
производные dxjdp, тоже непрерывны по (t, р).	
2» Дифференцируемость решения по начальным условиям (след-
ствие теоремы 1). Рассмотрим начальную задачу
=	>®п)’ ®j(^o) = ®|‘О (<=!>•••>»)•	(10)
at
Пусть при (t,x) € D все функции /,• и d/Jdx- непрерывны,
и на отрезке [ip t2] Э t0 решение задачи (10) существует и прохо-
дит в области D. Тогда при ij t t2 существуют непрерывные
производные решения ®,(i)(» = 1,...,п) по начальным усло-
виям хм (к = 1,..., п). Функции = dxjdx^ (» = 1,...»п)
200
1
§ 23. Дифференцируемость решения по параметру
(11)
удовлетворяют системе
du-	Д д/.	(° **>’
Л	^9xj3	( 1 (» = Л).
Здесь = /,(t,, ®n(i)), где »,(<),..., xn(t) — решение
задачи (10).
Доказательство. Пусть = д, а при i / k xi0 не зависит
от д. Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1.
Следовательно, производные дх{/дхкй = д®,/#д = и,- суще-
ствуют, непрерывны и удовлетворяют системе (2), которая
в этом случае превращается в (11).	
(Задачи для упражнений:
[12], §18, №1064-1073 и § 26, № 186-194, 196-199.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме то-
го, функции fit имеют непрерывные производные по
®р... ,®п, д до порядка т 2 включительно, в том числе
смешанные производные. Тогда решение x(t, ц) имеет непрерыв-
ные по t, д производные по ft до порядка т включительно.
Доказательство производится с помощью индукции по т.
Для т — 1 утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1.
Пусть утверждение верно для производных до порядка
т -1 > 1. Докажем, что оно верно и для производных
порядка т. Так как dmxi/dpm = дт~{ и^/дд"1-1, а функции
щ = dxjdp. (i = 1,...,п) удовлетворяют системе (2), то
надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные
производные по , д до порядка т — 1 включительно.
201
/
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
По условию, /, G Ст по хи... ,хп,р, значит, в (2)
dfi/dXj и д/,/дд принадлежат С*"-1 по аргументам xv...t
хп,ц. Но каждое хк = хк(£,д) есть координата вектора
x(t, р), являющегося решением задачи (1), где / и а(д) при-
надлежат С™, значит, принадлежат и С"*-1 по ..хп, р.
По предположению индукции, все xk(t, р) G Ст-1 по р.
Значйт.в (2) сложная функция
(*• (*• /*)»•••» хп& ?)> /О
принадлежит С"*-1 по д; аналогично dfjdp; также а'(д) €
С”*-1. По предположению индукции, примененному к си-
стеме (2), решение и(,..., un системы (2) принадлежит С"*-1
по р. Так как и,- = dxjdp, то x^t, р) G С* по р. 
§ 24. Асимптотические методы решения
дифференциальных уравнений
1. Асимптотические методы позволяют отыскивать прибли-
женные решения дифференциальных уравнений (или систем),
близких к таким уравнениям (или системам), решения которых
известны. В прикладных задачах часто бывает, что на течение
рассматриваемого физического процесса влияют как основные
факторы, определяющие ход процесса, так и другие факторы,
оказывающие меньшее влияние и меняющие количественные
характеристики процесса. При учете только основных факторов
можно получить точное решение системы уравнений, а при учете
всех известных факторов система становится сложной и не реша-
ется. В таких случаях асимптотические методы часто позволяют
найти решение с нужной точностью.
202
§ 24. Асимптотические методы решения
2.
Разложение решения по степеням малого параметра — один
из наиболее употребительных асимптотических методов.
Следствие теоремы 2. Пусть при (t, х) € D, |д| < д, выпол-
нены условия теоремы 2, и при д — 0,0 t t2 решение
задачи (1) проходит в области D; t0 G [0,i2]. Тогда решение
x(t,p} задачи (1) при t t2 разлагается по формуле
Тейлора по степеням параметра ц до цт включительно:
=«о(О+М®1(О+/*Ч(0 +.• •+д"Ч,(0 + о(дт). (12)
Здесь x(t, ц) и v,-(t) — n-мерные вектор-функции, v0(t) =
x(i,0) есть решение системы (1) при д = О, оно считается из-
вестным. Чтобы найти v^t),надо подставить разложе-
ние (12) в систему (1) и начальные условия, и разложить правые
части по степеням д до дт включительно. Далее надо прирав-
нять коэффициенты при одинаковых степенях д. Получается
для ..., vm система дифференциальных уравнений с началь-
ными условиями. Последовательно решая уравнения системы
и пользуясь начальными условиями, находим v((0.vm(i).
।---------------------------------------------------------------1
| Пример 2. Найти разложение решения задачи
i	*О = '-5 + Т <13>
*	2
। по степеням параметра д до д включительно.
I_______________________________________________________________I
Решение примера. Правая часть уравнения в области х > 0 име-
ет производные любого порядка по х,ц. Условия теоремы 2
203
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
выполнены для любого т, пока решение задачи (13) с д = О
проходит в области х > 0. При ц = 0 задача (13) принимает
вид dx/tit = t/x, £с(1) = 1, и имеет решение x(t) = t, оно
проходит в области х > 0 при i > 0. Поэтому v0(i) = t (t > 0).
Разложение х = t+nvi +д2«2 + о(д2) подставляем в уравнение
и начальные условия (13), члены порядка о(ц2) не пишем.
1 + pv\ + д2»2 + .. • = 7?-----Ц---------г	- 2д£2,	(14)
1	2	(1 + д«1 + д2«2 + ...)	' '
1 + д«,(1) + Л2(1) + • • • = 1 " г - v-	<15>
Z О
Разлагаем дробь в (14) по степеням д, члены с д*, к > 2,
не пишем.
t_______________________1_______________
t + дг>1 + д2«2 +...	1 + д^1»! + д2<-1«2 +...
/	2	\	/	\ 2
(U,	\	(Д	\
-1-(7t’» + Tt'2 + ” ) + Ut',+ -) “•••”
Подставляем это в (14) и приравниваем коэффициенты слева
и справа при одинаковых степенях параметра д:
при д’: v, = -у - 2t2, W1(l) = -i;	(16)
2
при д2: г>' = -^ + ^-, v2(l) = |.	(17)
V	V	О
Здесь начальные условия получены из (15). Все дифференциаль-
ные уравнения для vp..., vm всегда линейные. Из (16) получаем
204
§ 24. Асимптотические методы решения
v, = -у. Подставляя это в (17), находим v2 =	Итак,
#3	/ 1	#5 \
x(Z) = «-д- + д2( —+ —)+о(/х2).	(18)
Так как условия теоремы 2 выполнены для любого m > 2, то
следующий член разложения имеет вид p3v3(i) и, не находя v},
в (18) вместо о(р2) можно написать О(д3).	◄
II Задачи для упражнений:
I [12], §18, №1074-1078.
3. Отыскание периодических решений. Нижеследующие лемма 2
и теорема 3 дают условия существования периодических решений
соответственно для линейной системы с периодической правой
частью и для нелинейной системы, близкой к линейной, и ука-
зывают методы отыскания таких решений.
Лемма 1. Пусть при	вектор-функция x(t) — решение
уравнения х' = /(4,®), где вектор-функция f и все dfjdxj
непрерывный f(t+p, х) = /($, х). Если х(р) = ®(0), то решение
x(t) продолжается на интервал (-оо, оо) с периодом р.
Доказательство. Так как
х'лМ = /(?’ ®(Р» = /(°’ »(°)) = ®прав(°)’
то продолженная с периодом р функция x(t) € С1. Она
всюду удовлетворяет данному уравнению, ибо для любого
k 6 Z имеем
x'(t + кр) = x'(t) = f(t, x(t)) = f(t + kp, x(t + ftp)).	
205
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Лемма 2. Если для всех собственных значений матрицы А имеем
Irk
Л = 0, ±1,±2,...,	(19)
то система х' = Ах + f(t) для каждой непрерывной функции
f(t) с периодом р имеет (и только одно) решение с периодом р.
Условие (19) называется условием отсутствия резонанса.
Доказательство. Пусть v(t) — частное решение данной си-
стемы с v(0) = 0. В силу теоремы 5 § 9 и следствия 1 § 15
общее решение имеет вид х = etAb + v(t), где Ь — произ-
вольный вектор из Rn. Чтобы это решение имело период р,
по лемме 1 надо, чтобы х(р) = х(0). То есть
е?АЪ 4- v(p) = b + v(0), (е?А - E)b = -v(p).
Это — линейная алгебраическая система относительно не-
известных координат вектора Ь. Для существования един-
ственного решения достаточно, чтобы det (ерЛ — 1 • Е) # 0,
то есть чтобы матрица е?А не имела собственных значений,
равных 1.
Если А]....Ап — собственные значения матрицы А,
то согласно замечанию в § 15 ерЛ имеет собственные зна-
чения epAi, » = 1,...,п. Для X = а + fli имеем е?х =
^(cosp/J + t sinp/З). Это число равно 1 только в случае
а = 0, рр = 2г к, к = 0, ±1,±2,.... Поэтому при усло-
вии (19) имеем ерЛ # 1.	
Теорема 3. Пусть функции f(t), g(t, х, р) непрерывны при х €
Rn, (t, х) € D, |д| < имеют период р по t; g € С"1 по
206
$ 24. Асимптотические методы решения
х, р, где m > 1. Пусть выполнено условие (19) и решение x°(t)
с периодом р уравнения х' = Ах + f(t) содержится в области
D. Тогда при всех достаточно малых |д| система
х' = Ах + f(t) + pg(t, х, р)	(20)
имеет решение периода р по t, стремящееся к x°(t) при д —► 0.
Такое решение единственно и принадлежит классу С* по р.
----,-----------------------------------------------------
Доказательство. Пусть x(t;b, р) — решение системы (20)
с начальным условием х(0; д) = Ь. По лемме 1 оно будет
иметь период р, если
®(р; Ъ, р) - Ъ = 0.	(21)
Докажем, что при малых д существует b € R”, удовлетво-
ряющее уравнению (21). Функция x(p,b, р) G Сго по Ь, р
в силу теоремы 2. При д = 0 уравнение (20) линейное, как
в лемме 2, уравнение (21) принимает вид
(е^ - Е)Ь = —v(p), det (ерА -E)^Q	(22)
и имеет единственное решение Ь. Далее, якобиан левой части
равенства (21) по координатам bl,...,bn вектора Ь при д = 0
совпадает с детерминантом (22), значит, не равен нулю.
Тогда по теореме о неявных функциях уравнение (21) при
достаточно малых д имеет решение Ь = Ь(р), стремящееся
к Ь° при д —> 0, такое решение единственно и Ь(д) € С”*.
Тогда решение ®(i; Ь(д), д) € С" по д, и в силу (21)
и леммы 1 имеет период р.	
Следствие. При условиях теоремы 3 названное периодическое
решение имеет разложение по степеням р вида (12) с функциями
v{(t), имеющими период р.
207
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Доказательство. Решение x(t,b(p),p) € С* по д, поэтому
имеет разложение вида (12). Следовательно,
»(i + р, Ь(д), р) - х((, Ь(р), р) =
= d<, + d1it + ... + d„p"‘ + o(pm), (23)
где = Vi(t+p)-Vi(t), i = 0,1,..., т. В силу периодичности
решения левая часть в (23) равна нулю, поэтому все dt. = 0,
то есть + р) = Vi(t)-	
Замечание. Пусть дано уравнение
у(п} + вУ""0 + ... + апу = /(0 + pg(t, у, р) (24)
с постоянными коэффициентами и непрерывными функциями
/, д периода р по t и д € С"* по у, р, а корни А характе-
ристического уравнения удовлетворяют условию (19). Тогда для
отыскания решения периода р не нужно переходить от уравне-
ния (24) к системе, можно сразу отыскать решение в виде (12),
где теперь v,-(t) — скалярные функции с периодом р.
I------------------------------------------------------------1
1 Пример 3. Найти с точностью о(д2) периодическое решение 1
] уравнения	[
I	х" + 3® = 2 sin t + рх2.	(25) ।
I____________________________________________________________I
Решение примера. Здесь р = 2тг, А2 + 3 — 0, А = ±*\/3 /
2icki/p = ki (k G Z), условие (19) выпдлнено. Ищем периоди-
ческое решение в виде х = v0 + pvx + д2«2 + • • • • Подставляя
в уравнение (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях р, получаем систему уравнений
vo + 3v0 = 2 sin i, v" + 3V, = v%, v" 4- 3v2 = 2v0v,,....
208
§24. Асимптотические методы решения
Надо найти решения v0, v2 с периодом 2т. Для каждого из этих
уравнений надо найти лишь частное решение (методом неопре-
деленных коэффициентов), так как по теореме 3 при выполнении
условия (19) решение с периодом р единственно. Последова-
тельно находим v0 = sin 2; г// + 3v, = sin21 = 1/2— 1/2 cos 2t,
= 1/6 + 1/2 cos 2L Подставляя v0 и в уравнение для v2,
имеем
гк + 3v, = 2 sin £ f I + |cos2t j = -7sin< + |sin3i.
22	\6 2 J 6	2
Отсюда находим
v, = -7- sini - -7 sin3t.
2	12	12
Следовательно,
(11 \	,/ 1	1 \ ,
-+~cos2i +u Isint-—sin3i 1+о(д ).
6 2	/	\ 12	12	/	' '
Как в примере 2, вместо о(д2) можно написать О(д3).	-4
4. К системе вида (20) сводится задача о вынужденных ко-
лебаниях автономной системы вблизи положения равновесия,
вызываемых периодическим малым внешним воздействием. Рас-
смотрим систему
х‘ = F(x) + nf(t), +	=	® = (®1.....xnf. (26)
Пусть хй — положение равновесия при д = 0, то есть
Г(®°) = 0; д — малое число, функция /(<) непрерывна, F(x) 6
Cm+1 (пг 1) в окрестности точки ®°. Замена х = ®° + ду дает
ду' = р(®° + ду) + д/(0. Так как F(®°) = 0, то по формуле
Тейлора
+ Д10 = М» + Кд, У), ^ = (д^,о ))
V dxj /м=1,....п
209
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Остаточный член г G Cm+1 (ибо другие члены в равенстве при-
надлежат Сго+1), г = р2д(у, д). Получаем систему вида (20)
у'^Ау + ^ + рд^р), дЕСт.	(27)
Если собственные значения матрицы А удовлетворяют усло-
вию (19) (нет резонанса), то по теореме 3 система (27) при
достаточно малых |д| имеет решение с периодом р.
I-------------------------------------------------------------  1
।	Пример 4. Рассмотрим уравнение	i
I	х" + 2®' + х2 - 1 = д sin t (® € R*).	(28) |
I_______________________________________________________________I
Решение примера. При д = 0 положения равновесия хх = 1 и
х2 = -1. Найдем периодическое решение, близкое к х = 1.
Замена х = 1 4- ру дает
у" 4- 2у' 4- 2у = sin i - ру2.	(29)
Здесь р = 2т, А = — 1 ± i / Inki/p (к € Z), условие (19)
выполнено. Поэтому при малых д уравнение (29) имеет решение
периода 2т и вида у = v0(i) 4- Д«1(0 4-..где все «{(0 имеют
период 2тг. Подставляя это в (29), получаем, как в примере 3,
«о 4- 2«о 4- 2v0 = sin t, v" 4- 2v{ 4- 2vx =	....
Отсюда находим v0 = a cos t 4- b sin t, a = -2/5; b = 1/5;
= 1/10 4-3/50 cos 2$-2/25 sin 2f, v, = ft4-ccos2$4-<isin2t
h = -1/20, c = -1/100, d = -1/50 и т. д. Следовательно,
/2	1	\
х = 1 4- ру = 1 4- д! -- cosi 4- 5 sini I 4-
+ (“" ТБп cos 24 “ sin 20 + °^'
\ £ЛЭ k\j\J	/
210
$ 24. Асимптотические методы решения
Уравнение (28) при малых д имеет и другое решение с пе-
риодом 2тг. Оно близко к неустойчивому положению равновесия
х2 = -1 и отыскивается аналогичным способом. Можно доказать,
что оно неустойчиво.	«4
(Задачи для упражнений:
[12], §18, №1079-1083.
........
5» Естественно возникает вопрос, в каких случаях разложения по сте-
пеням параметра р, полученные в следствиях теорем 2 и 3, можно
продолжить до бесконечного ряда Тейлора, сходящегося к искомому
решению при малых д. Этот вопрос решается с помощью теоремы Пу-
анкаре об аналитической зависимости решения от параметра, см. [13],
гл. 1, §6, теорема 1.3 и [2], гл. 6, §2, теорема 6.2.1' и §3, п. 1.	।
О методах исследования устойчивости периодических решений,
получаемых методом малого параметра, см. [2], гл. 7, §3 и [33], гл. 3,
§ 10-15. В частности, при условиях теоремы 3 асимптотическая устой-
чивость периодического решения при достаточно малых |д| обеспечена,
если для матрицы А все собственные значения X. имеют Re А. < 0, а не-
устойчивость — если есть хотя бы одно Re At. > 0. Поэтому в примере 4
при малых д решение (30) асимптотически устойчиво, а периодическое
решение, близкое к х = -1 (для него А = -1 ± л/3), — неустойчиво.
Метод отыскания периодических решений при резонансе, то есть
когда условие (19) не выполнено, изложен в [13], гл. 2, §8, пункты 2 и 3;
примеры там же; в [2], гл. 5, §3, п. 2 и в [33], гл. 2, §6, 7.
Об отыскании периодических решений автономной системы х' =
Ах + д/(х, д) в случае, когда при д = 0 периодическое решение из-
вестно, см. [13], гл. 2, §8, пункт 4; [2], гл. 5, §3, п. 3 и [33], гл. 2,
§11-13.
Метод малого параметра применялся к широкому кругу задач,
в частности, в [33], главы 4-8. Методы последовательных приближений
для уравнений с малым параметром разработаны в [24].
211
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Существенно отличным от предыдущих является случай, когда
малый параметр является множителем при производной, например,
= у' = з(®,у).
Здесь нет непрерывной зависимости от р при р -♦ 0, и решения имеют
другие свойства, см., например, [13], гл.4, §6 и [15], гл. 10, §3,4.
Известно много работ, в которых подробно исследуются такие случаи.
§ 25. Первые интегралы
Первые интегралы применяются при исследовании и решении
систем дифференциальных уравнений. Знание одного перво-
го интеграла позволяет уменьшить число неизвестных функций
в данной системе. Знание п независимых первых интегралов
системы
=	»хп)> » = 1, ...,п
((i, Ху,..., хп) € /j...f„ € С )
позволяет получить решение этой системы без интегрирования.
В прикладных задачах первые интегралы часто имеют фи-
зический смысл: закон сохранения энергии, закон сохранения
количества движения — это первые интегралы уравнений дви-
жения механической системы.
1. Первым интегралом системы (31) в области D С Ро назы-
вается функция v(t,Xy,... ,хп) € С1, сохраняющая постоянное
значение вдоль каждой проходящей в D интегральной кривой
системы. (Иногда первым интегралом называют не функцию
v(t, Ху,..., хп), а соотношение v(t, Ху,..., ®п) = с, где с — про-
извольная постоянная.)
212
$ 25. Первые интегралы
Геометрический смысл первого интеграла. Пусть dv/dxi # О
для некоторого * и с — любое из значений, принимаемых
функцией v в области D. Тогда равенство v(<,zp... ,хп) = с
определяет в пространстве t,xlf...,xn n-мерную поверхность,
целиком состоящую из интегральных кривых системы (31). То
есть через каждую точку поверхности проходит интегральная
кривая, лежащая на поверхности.
Докажем это. Пусть точка р лежит на поверхности v = с.
Тогда в этой точке v = с. На интегральной кривой, проходящей
через эту точку, первый интеграл v сохраняет постоянное зна-
чение — значение с. Значит, эта кривая лежит на поверхности
v = с.
Требование, чтобы функция v класса С1, сохраняла посто-
янные значения вдоль интегральных кривых системы (31), рав-
носильно тому, что ее полная производная в силу системы (31)
равна нулю, то есть
dv dv ,	dv
й +	....*"> + ••+ ^п(‘. ......=0. (32)
Любой первый интеграл системы (31) удовлетворяет уравне-
нию (32).
Знание первого интеграла, у которого dv/d®f Ф 0 для како-
го-нибудь t, позволяет свести систему (31) к системе с меньшим
числом неизвестных функций. Для этого разрешаем равенство
v(i, ..., ®п) = с (возможно, в меньшей области) относитель-
но х{ и подставляем полученное выражение х{ через остальные
переменные в уравнения системы (31), кроме t-го уравнения.
2. Для любой функции <р € С1 и первого интеграла v (или
нескольких первых интегралов v,,...,vk) сложная функция
<p(y(t,xt,... ,®п)) (соответственно, <р(у{,..., vt)) тоже посто-
213
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
янна вдоль каждой интегральной кривой системы, значит, явля-
ется первым интегралом. Поэтому первых интегралов бесконечно
много.
Первые интегралы	системы (31) называются неза-
висимыми (или функционально независимыми) в области D, если
в каждой точке этой области ранг матрицы	j=i,. ,»
равен к.
Функциональная независимость отличается от линейной.
Из линейной зависимости функций ..., vk следует их функ-
циональная зависимость (тогда строки матрицы, см. выше, ли-
нейно зависимы и ее ранг меньше к). Обратное неверно, на-
пример, функции v, = t - я, и v2 = (t - ж,)2 функционально
зависимы, но линейно независимы в любой области. ч
Следующая известная теорема неоднократно применяется
в §§25, 26.
Теорема о неявных функциях. Дана система уравнений
Z) = Q> *=l,...,n (z€Rm, т>1). (33)
Функции <pt Е С1 в окрестности точки М(ух = у10,..., уп =
yn0, z = г0), а в этой точке равенства (33) выполняются
и якобиан det	# 0* Лево в некоторой окрест-
ности точки z0 систему (33) можно разрешить относительно
Ур...,уп, точнее, существуют такие непрерывные функции
yx(z)....Уя(х), что для i = 1..п
Pi(lG(3)»--->Mz)’z)-°» у№ = Ую> » = 1,•••,».
Такая система функций yt(z),..., yn(z) единственна и yt € С1,
i = 1,... , п.
214
§25. Первые интегралы
Теорема 4. В окрестности любой точки M(t9, ж10,..., ®п0)
области Do существуют п независимых первых интегралов
системы (31).
Доказательство. Для любой точки (tQ, ср..., cn) G Do по те-
ореме 2 § 5 существует единственное проходящее через эту
точку решение системы (31)
= ¥><(*» ct,..., cn), i = 1..n. (34)
В силу следствия теоремы 1 §23 <р( € С1. Так как
¥><(i0,c1,...,cn) = ci, t=l,...,n,
то при t = tQ матрица (dy>l/dcJ-)jj_1 >п — единичная и ее
детерминант — якобиан функций	— равен 1.
По теореме о неявных функциях, где теперь надо взять
у, = с,-, » = 1,..., n, z = (t,	., хп), систему (34) можно
разрешить относительно с,,..., сп в некоторой окрестности
точки М
ci = vi(t,xl,...,xn), *=1,...,п.	(35)
Покажем, что функции о,- — независимые первые инте-
гралы системы (31). По теореме о неявных функциях о,- € С1.
Числа с,,..., сп — одни и те же во всех точках интеграль-
ной кривой, проходящей через точку (t0, с,....ся). Значит,
функции vt- постоянны вдоль интегральных кривых и явля-
ются первыми интегралами. При любом фиксированном I
(вблизи i0) системы функций (34) и (35) взаимно обратны,
поэтому произведение их якобианов равно единице:
А,Аг=1,
А, = det
ij=l,...,n
Д2 = det
dv( \
215
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Значит, Д2 / О, ранг матрицы (dvJdXj) равен п, и первые
интегралы vv...,vn независимы.	
Теорема 5 (о получении решения с помощью первых интегра-
лов). Пусть vp...,vn — независимые первые интегралы си-
стемы (31) в области D. Пусть точка M(t0, ж10,..., ®п0) € D
и с4 = i = 1,... ,п. Тогда решение системы (31) с на-
чальными условиями z,(t0) = хю, i = 1,... ,п, определяется,
как неявная функция, системой уравнений
vi(t,xl,...,xn) = ci, * = 1,...,п.	(36)
Доказательство. Эти уравнения удовлетворяются в точке М,
и в этой точке det (dt>,/d®j),-j_1( ^Ов силу независимо-
сти первых интегралов. По теореме о неявных функциях
систему (36) в некоторой окрестности точки М можно раз-
решить относительно ®,,..., хп:
= Р,(*, q.....cn), j = 1,.... n. (37)
Функции (37) удовлетворяют системе (36), так как получены
из нее. С другой стороны, решение системы (31) удовлетво-
ряет (36) при t = i0 в силу выбора постоянных с,..........сп.
Оно удовлетворяет (36) и при других t, так как первые ин-
тегралы постоянны вдоль решения. Вследствие единствен-
ности неявной функции это решение имеет координаты х{,
совпадающие с функциями (37).	
(Задачи для упражнений:
[12], § 19, № 1061-1064, 1066.
Теорема 6. Если vp...,vn — независимые первые интегра-
лы системы (31) в окрестности U точки M*(t0,x*,... ,®*),
216
§ 25. Первые интегралы
то любой первый интеграл w системы (31) в некоторой
окрестности точки М* является функцией от них, то есть
w = F(vp..., vn), FeC1.
Доказательство. Пусть точка M(t0, ®10,.., ®n0) € U и с4 =
i = 1,..., п. Тогда, как в доказательстве теоремы 5,
система (36) определяет решение (37) системы (31). Такие
решения заполняют некоторую окрестность Ц С U точки
М*. Вдоль каждого из этих решений имеем w = const, то есть
Ц*. с„..., cn),..., <pn(t, q,..., cn)) =
= w(i0, ¥>,(«0, Ср ..., cn),..., y>n(t0, Ср ..., cn)).
Обозначим правую часть через F(ct,... ,сп), тогда F ЕС1.
Переходя от ср..., сп к .....хп и к ..., vn согласно
(37) и (36), получаем
«(i,®,....®„) =
3» Первые интегралы автономной системы. Система
....*.). ‘=1......." (/.......Лес1) (38)
удовлетворяет условиям теоремы 4 и поэтому в окрестности
любой точки имеет п независимых первых интегралов вида (35).
Так как в системе (38) функции /, не зависят от t, то часто
бывают нужны первые интегралы, не содержащие t.
Теорема 7. В окрестности любой неособой точки система (38)
имеет п - 1 независимых первых интегралов, не содержащих t,
то есть имеющих вид »,(®р..., х„).
217
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
Доказательство. Пусть точка В(х10,...»®п0) — неособая, то
есть в ней хотя бы одно 0, например, /п(®10, • • • >
Тогда /л 0 и в некоторой окрестности U этой точки.
Деля на n-ое уравнение остальные уравнения системы (38),
получаем в U
^Xi _ fj(xi>'“ >хп) . _ ,
fn(xi’-’Xn)'
По теореме 4 эта система в некоторой окрестности точки В
имеет п - 1 независимых первых интегралов vt(zp... ,хп),
i = 1,..., n— 1. Они постоянны вдоль решений системы (39),
то есть вдоль траекторий системы (38). Значит, они являются
первыми интегралами системы (38). Независимость первых
интегралов vt- системы (39) означает, что ранг матрицы
(д«,./д®л),. у=1 равен п - 1. Отсюда следует, что и для
системы (38) эти первые интегралы независимы. 
Замечание. В теореме 7 нельзя отбросить условие «в окрестно-
сти неособой точки». Например, при п = 2 в окрестности особой
точки типа узла или фокуса не существует ни одного первого инте-
грала вида v(Z], ®2). В самом деле, у такой точки Р есть окрест-
ность W С R2, через каждую точку которой проходит траектория,
стремящаяся к Р при t -+ оо (или при t —► -оо). Предположим,
что в некоторой окрестности U С W существует первый интеграл
v(xl,x2). Тогда v(xl,x2) = с = const на траектории, стремя-
щейся к точке Р. По непрерывности, v(P) = с. Значит, на всех
траекториях, стремящихся к Р, имеем v(xux2) = с = v(P), то
есть v = с в окрестности точки Р. Тогда dv/dxj = 0 (j = 1,2),
ранг матрицы (dv/dxv dv/dx^ = rang(0,0) = 0 < 1, и первый
интеграл v = с не является независимым.
218
§ 25. Первые интегралы
|4. | Симметричная форма системы дифференциальных уравне-
ний — это такая запись системы, в которой ни одно из перемен-
ных не взято за независимое переменное, поэтому в уравнения
входят не производные, а дифференциалы. Например,
i&Cq	dx ।	<ten
/о(®О> ®1’1 • • ’ ®n)	»®n)	/п(®0» ®1’• • • ’ ®n)
(40)
— система в симметричной форме. Если обозначить общую
величину всех дробей через dt, то система (40) приведется к ав-
тономной системе
= Л(®о» «и--->®п)« » = 0,1,...,п.
В области, где какая-либо из функций /,• не равна нулю, си-
стема (40) равносильна системе dXjfdxi = fj/ff, j = 0,1,..., n;
j / i (i фиксировано, / 0).
Обратно, систему (31) нормального вида можно записать
в симметричной форме (40), взяв ж0 = t, f0 = 1.
Симметричная запись системы часто облегчает отыскание
первых интегралов.
5. О решении нелинейных систем. Отыскать решение с помо-
щью конечного числа действий удается лишь для некоторых не-
сложных систем. При исключении неизвестных непосредственно
из данной системы получается уравнение с производными более
высокого порядка, решать которое бывает не легче, чем данную
систему.
Чаще удается решить систему путем отыскания интегрируе-
мых комбинаций. Интегрируемая комбинация — это или комби-
нация уравнений системы, содержащая только две переменные
219
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
величины и представляющая собой дифференциальное уравне-
ние, которое можно решить, или такая комбинация, обе части
которой являются полными дифференциалами. Из каждой ин-
тегрируемой комбинации получается первый интеграл данной
системы. При исключении неизвестных из данной системы с по-
мощью первых интегралов порядок производных не повышается.
I---------------------------------------------------------------1
। Пример 5. Найти решения системы	i
; _ dz (41) ।
I	х у х2 4- у2 4- z ’	I
I_______________________________________________________________I
Решение примера. Две первые дроби дают интегрируемую ком-
бинацию dxfx = dy/y. Отсюда у = ctx. Далее можно или
исключить у из системы, подставив у = с{х, или искать вторую
интегрируемую комбинацию. Первый путь дает
dx dz	dz .	2. z
x x2 + cf ®2 + z dx	1 x
Это уравнение — линейное относительно z. Решая его, получаем
z = q® 4- (1 4- с,)®2. Это равенство вместе с у = с,® дает
решения системы, не лежащие в плоскости ® = 0. Если же ® = 0,
то из равенства двух последних дробей в (41) имеем
dz z	л
m=y+й, г = с1У + У (® = 0)-	(42)
Если же искать вторую интегрируемую комбинацию, то удобно
использовать известное свойство равных дробей:
а.	а,	а	а.+а2 + ... + ап	а.
если -! =	= ... = -^, то	-------г2- = -г1-
Ь1	Ъ2	Ъп	6, 4- Ъ2 4- • •. 4- Ъп	6,
(величины а,- и можно умножить на одно и то же kJ.
220
§ 26. Уравнения с частными производными первого порядка
В данном примере можно написать, стараясь получить полный
дифференциал,
dx _ 2х dx _ 2у dy dz _dz — 2xdx — 2y dy
x 2x2	2y2 ' z + ®2 + у2 z — х2 — у2
Последняя дробь есть полный дифференциал. Она равна первой
дроби dxfx. Это — интегрируемая комбинация. Из нее получаем
еще один первый интеграл
Z-^-=e2.	(43)
X
Этот первый интеграл и ранее полученный у]х = с1 незави-
симы, так как в (43) входит z, а в ранее полученный — не входит.
Формулы (43) и yfx = с, дают решение системы (41) при х # 0.
При ж = 0 имеем еще решение (42).	◄
Задачи для упражнений:
[12], §19, №1146-1160.
§ 26. Уравнения с частными производными
первого порядка
Такие уравнения рассматриваются в курсе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений потому, что их решение сводится к ре-
шению систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнения с частными производными более высокого порядка
рассматриваются в отдельном курсе.
1. Рассмотрим линейное однородное уравнение
dz	dz Л
(44>
221
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
где z(®p..., жп) — искомая функция, а ар..., ап — известные
функции от ®р...,®п. Считаем, что а{ € С* (» = 1, ...,п),
a2t +... + а2 # 0.
Г _____________________________________________________
Теорема 8. Функция z € С1 является решением уравнения (44)
тогда и только тогда, когда она является не содержащим t
первым интегралом системы (здесь х\ = dxjdt)
®i = а1(ж1» ••• »жп)»	•••» хп = ®п(®Р •••	05)
Доказательство. Любой первый интеграл v системы (45) удо-
влетворяет уравнению (32), где теперь /,• = ai (* = 1,..., п).
По условию dv/dt = 0, поэтому (32) совпадает с (44).
Обратно, если функция z Е С1 удовлетворяет уравне-
нию (44), то полная производная от z в силу системы (45)
равна левой части (44), значит, равна нулю. Тогда функция z
постоянна вдоль решений системы (45) и является ее первым
интегралом.	
Лемма 3. Пусть вД«р..., хп) € С1, а{^0,и первые интегра-
лы vt(xlf, хп) (» = 1,...,п - 1) системы (45) независимы
в области D. Тогда эта система сводится к системе
и те же v{ — независимые первые интегралы и для нее.
Доказательство. Функции и,- постоянны вдоль траекторий
системы (45), то есть вдоль решений системы (46). По-
этому V,- — первые интегралы для (46). Первые интегралы
222
§26. Уравнения с частными производными первого порядка
удовлетворяют уравнению (32), то есть в нашем случае
dVf
а. * +... + а 1 * = 0.
‘д®, пдхп
(47)
Первые интегралы системы (46) независимы, если ранг
матрицы А = (dvjdx,)l=i...n-i, равен n - 1, а для систе-
У=2..п
мы (45) независимы, если ранг матрицы равен п - 1.
Матрица получается добавлением к А столбца dvjdx^
(i = 1,..., n -1). Так как а, / 0, то в силу (47) этот столбец
есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы А.
Поэтому ранги матриц А и совпадают (ранг матрицы —
число линейно независимых столбцов), и из независимости
vp..., vn для системы (45) следует их независимость и для
системы (46).	
Теорема 9. Если о,(а?р..., хп) (» = 1,..., п - 1) — независи-
мые первые интегралы системы (45) в области D, то в окрест-
ности любой точки М € D общее решение уравнения (44)
имеет вид
z =	..., хп),.... vn_,(a;p..., ®п)),	(48)
где F — произвольная функция класса С1. То есть в этой
окрестности формула (48) содержит все решения уравнения
(44) и только их.
Доказательство. При любой F € С1 функция (48) постоянна
вдоль решения системы (45), поэтому является ее первым
интегралом. По теореме 8 функция z — решение уравне-
ния (44).
Обратно, если функция z — решение уравнения (44) и
а((М) £ 0, то по теореме 8 она является первым интегралом
223
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
систем (45) и (46). Тогда по теореме 6, примененной к систе-
ме (46), найдется такая функция F ЕС1, что в окрестности
точки М имеем равенство (48), где и(,..., vn_( — независи-
мые первые интегралы системы (46) или (45), это все равно
по лемме 3. Если же а,(М) = 0, ак(М) # 0, то изменим
нумерацию так, чтобы аДМ) 00.	
(49)
2.1 Квазилинейным называется уравнение
dz	dz
. • + А_ ... — О,
‘frEj	ndXn
где a,,... ,ап,Ь — функции класса С1 от переменных ., хп, z
в области JD; считаем, что aJ+...+a„0O в D.
Уравнение (49) связано с автономной системой уравнений
z1 = b(xl,...,xn,z).
(50)
Здесь х\ = dxjdt и т. п. Траектории системы (50) в пространстве
®р..., хп, z — это линии, называемые характеристиками урав-
нения (49), а решение уравнения (49) изображается п-мерной
поверхностью z = /(®р..., жп). Считаем, что / € С* в области
Do С R", а точки (®р..., хп, z) С D С R”+l.
Теорема 10. Поверхность z = /(жр..., хп) является решением
уравнения (49) тогда и только тогда, когда она целиком состоит
из характеристик. То есть через каждую точку поверхности
проходит характеристика, целиком лежащая на поверхности.
Доказательство. Если линия — характеристика, лежащая на
поверхности, то в каждой точке линии вектор (/'t , “ 0
нормали к поверхности ортогонален касательному к этой
224
§26. Уравнения с частными производными первого порядка
линии вектору (at....an, b). Их скалярное произведение
равно нулю:
»>/;,+...+«л-ь-1=о.	(я»
Если через каждую точку поверхности проходит такая линия,
то это равенство выполнено на всей поверхности, то есть по-
верхность z — f(x{хп) удовлетворяет уравнению (49).
Обратно, если поверхность P(z = f(xl,...,xn)) удо-
влетворяет уравнению (49), то в каждой точке поверхности
выполнено (51), то есть вектор (ap...,an,b) ортогонален
нормали к поверхности, значит, касается поверхности. Та-
ким образом, на поверхности Р определено поле каса-
тельных векторов. Покажем, что через произвольную точку
М(®10,..., ®n0, z0) G Р проходит лежащая на Р траектория
этого векторного поля. В области G — проекции поверхно-
сти Р на плоскость хр..., хп — рассмотрим систему
= a,.(®p...,®n,/(®p...,®n)), *=1,...,п.	(52)
Через точку (®10,..., ®n0) G G проходит решение xt = xt(t),
..., хп = xn(t) этой системы. Линия L
®i = ®1(0» • • •»= ®п(0» f = /(®1(0» • • •»®я(0)
лежит на поверхности P(z = f(x{......®п)) и проходит
через точку М. Покажем, что L — характеристика. Первым
п уравнениям системы (50) она удовлетворяет в силу (52)
и равенства z = /(®р..., ®п) на Р. Далее,
*'(0 = S	• ’ xn>)
i=l • t=l	1
Поверхность z = /(xp... , ®„) удовлетворяет уравнению
(49), поэтому последняя сумма равна Ь(®р..., хп, z). Итак,
225
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
линия L удовлетворяет и последнему уравнению системы
(50), то есть является характеристикой.	
Теорема 11. Если о(х{,... ,xn,z) — первый интеграл системы
(50) в облаети D, и в точке MED имеем о = с, dv/dz 0,
то равенство «(«,,...,xn,z) = с в окрестности точки М
определяет неявную функцию z(xlf...,хя), удовлетворяющую
уравнению (49).
до
Доказательство. По свойству первого интеграла —
от (50)
то есть
= 0,
(53)
до	до , до
Л----ь ••• + впд---
1 dx{	" да;я dz
Для неявной функции z(xlt..., хя) в окрестности точки М
dz	до /до
— ~~рг~ /	»=1, ...,п.
dxt	dxt I dz
Поэтому, деля равенство (53) на -dv/dz, получаем, что эта
неявная функция удовлетворяет уравнению (49).	
Теорема 12 (об общем решении квазилинейного уравнения).
Пусть о^х{,..., хя, z), i = 1,..., п, — какие-либо независимые
первые интегралы системы (50). Функция z(x{....хя) явля-
ется решением уравнения (49) в окрестности точки М своего
графика, тогда и только тогда она удовлетворяет равенству
F(ol(xl,...,xn,z),...,on(xl,...,xn,z)) =0	(54)
при какой-либо функции F Е С1 такой, что F = 0, F^ / 0
в точке М.
226
§26. Уравнения с частными производными первого порядка
Доказательство. Левая часть в (54) при любой функции F € С1
постоянна вдоль траекторий системы (50), значит, является ее пер-
вым интегралом. При F^M) # 0 равенство (54) определяет вблизи
точки М неявную функцию z(x{,..., хп), удовлетворяющую по те-
ореме 11 уравнению (49).
Покажем, что формула (54) содержит все решения уравне-
ния (49). Пусть, например, а{(М)	0. Тогда вблизи точки М
характеристики уравнения (49) удовлетворяют системе
dx.
dxl at
(i = 2,
n).
dz b
(55)
Пусть z =	....xn) € С* — любое решение уравне-
ния (49), М(«10,... ,«n0,z0) — точка на его графике. Решение
системы (55) С начальными условиями
«,(«„) = «, (, = 2.....я).
г(®ю) — /(®ю> С2» • • • ’С») + Сп+1
обозначим
х,. = ^(®рС2,...,сп+1) (i = 2,
г = *’п+1(®РС2’---«Сп+1)-
При х{ = «10, с. = (i = 2,...,п), сп+1 = 0 в (57) получаем
точку М. В этой точке якобиан 6et(d(p./dc.)..=2 п = 1 в силу
(56). В некоторой окрестности точки М систему (57) по теореме
о неявных функциях можно разрешить относительно с2,..., сп+1:
с. = wt.(«p..., хп9 z), i = 2,..., п + 1.	(58)
Как в доказательстве теоремы 4 показывается, что функции
w. — первые интегралы системы (55). Поверхность wn+1(®,,...,
хп, z) = 0 совпадает с данной поверхностью z = f(xv..., ®п), так
как они обе состоят из характеристик — решений системы (55)
с начальными условиями (56), где сп+1 = 0. По теореме б найдется
такая функция F € Сх, что wn+1 = F(vp..., vn). Здесь vp..., vn —
227
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру
независимые первые интегралы системы (55) или (50), это все
равно по лемме 3 (лемму применять можно, ибо системы (50)
и (55) сводятся к (45) и (46), если положить z = ®n+1, Ъ = ая+1).
Покажем, что dwn+Jdz # 0 в точке М. В этой точке х. = х№
(* = !,... ,4t) и в силу (58) и (56)
Wn+l(«10..®»0’ z> = Cn+1 = Z - /(«10’ • • •» «по)-
Следовательно, #wn+1/dz = 1 # 0 в точке М.	
Замечание. В случае, когда z входит только в один из первых
интегралов, например, только в vn, вместо (54) можно написать
vn(®i, ...,®n,z) =
=	,жп),...,• • •,®п))»	(59)
где Н € С1 — произвольная функция. Разрешая, если воз-
можно, это уравнение относительно z, получим общее решение
уравнения (49) в явном виде.
(Задачи для упражнений:
[12], §20, №1167-1188, 1211, 1213, 1215, 1216.
3. Задача Коши для квазилинейного уравнения. Чтобы упро-
стить формулировки, ограничимся случаем, когда искомая функ-
ция z зависит только от двух переменных х и у.
Требуется найти поверхность z = f(x, у), удовлетворяющую
уравнению
dz
дх
и проходящую через линию L
х = ^i(a), У = ф2(в), z = ф3(в).
.	. dz ,.	.
+ а2(®, у, z)— = Ь(®, у, z)
ду
аЛх, у, z)
228
$ 26. Уравнения с частными производными первого порядка
Предполагаем, что данные
функции ар а2, Ь, У»2, ip3
принадлежат С1.
Пользуясь геометрическим
смыслом характеристик, мож-
но предложить такой способ
построения решения задачи
Коши. Через каждую точку ли-
нии L надо провести характе-
ристику. Если из этих характе-
ристик составится гладкая по-
верхность z = /(ж, у) ЕС1, то
она и будет решением задачи
Коши (рис. 31).
Теорема 13. Пусть на дуге (в1 в в2) линии L
Тогда в некоторой окрестности каждой точки дуги существу-
ет единственное решение задачи Коши.
Доказательство. Так как а1га2,Ь ЕС1 и в, + в2 / 0, то
через каждую точку (^!(в), ^2(в),^з(в)) дуги Lx проходит
единственная характеристика
® = y>1(t,a), y = y>2(t, в), z — <p3{t, в).	(61)
Функции (61) удовлетворяют системе уравнений вида (50)
(где теперь п = 2, х2 = у) и начальным условиям
®J = ap y't = a2, z't = b;	(62)
229
Глава 5, Дифференцируемость решения по параметру
=	<р2(в,з)=ф2(з), у>3(0,«)=^з(в).	(63)
Поверхность, состоящая из таких характеристик, выражается
формулами (61), где < t < t2,	< в < в2. Таким образом,
(61)	есть параметрическое задание искомой поверхности.
Покажем, что в окрестности любой точки дуги Lx эту
поверхность можно записать в виде z = Для этого
надо разрешить первые два уравнения в (61) относительно
t, в и подставить в третье. Функции (р{ Е С1 по теореме 1
§23. Уравнения (61) удовлетворяются в любой точке на дуге
Ll в силу (62). В этой точке согласно (62)	= ар = а2,
а в силу (63)	»(фгУ, = поэтому якобиан
Mt М, = ai Ф\ ,0
Mt М, «2 й
по условию (60). Значит, в окрестности этой точки по те-
ореме о неявных функциях первые два уравнения в (61)
можно разрешить относительно t,s и получить функции
t = t(x,y) ЕС1, a = з(х, у) G С1. Подставляя их в тре-
тье уравнение (61), получаем искомое решение в виде z =
<p3(t(x, у), з(х, у)) € С1. Существование решения доказано.
Его единственность следует из того, что любое реше-
ние есть поверхность, состоящая из характеристик, значит,
имеющая вид (61). Вблизи любой точки дуги Lx функции
t(x, у), з(х, у), см. выше, определяются однозначно, поэтому
решение z — тоже.	
Геометрический смысл условия (60). Вектор (ар а2, Ь) касает-
ся характеристики, а вектор (ф{, ф2, ф3) — линии L. Условие (60)
означает, что проекции (ар а2) и (ф\, ф2) этих векторов на плос-
кость х, у не коллинеарны. Следовательно, проекции линии L
и пересекающих ее характеристик не должны касаться друг друга.
230
$ 26. Уравнения с частными производными первого порядка
I---------------------------------------------1
 Пример б. Найти общее решение уравнения
1	dz dz	2	2
I	Xta+I'^=2-1-»	<м>
I а также поверхность z = <р(х, у), удовлетворяющую этому
уравнению и проходящую через линию
I	z + x2 = 2x, х + у=1.	(65)
I_____________________________________________I
Решение примера. Пишем в симметричной форме систему урав-
нений, определяющую характеристики
dx dy dz
х у z-x2 — у2'
Находим независимые первые интегралы (подобно примеру 5)
Z + X2 + у2
= С2-
(66)
У I _____	-.2	.,2 , л (У\
— I, z =-х -у + ж/1 — ),
® У	\ 35 /
X *	X
Согласно (59), общее решение уравнения (64) можно написать
в виде
Z + X2 + у2
X
где / 6 С1 — произвольная функция.
Чтобы найти поверхность, проходящую через линию (65), на-
до сначала из уравнений (65) и (66) исключить х, у, z и получить
равенство, которое может содержать только с, и Cj. Для этого
можно, например, из уравнений (65) выразить у и z через х
и подставить эти выражения в (66)
.	„	2	1 ~х
у = 1 -х, z = 2x — х ; -------= с.,
х 1
Vx2 _
231
Глава 5, Дифференцируемость решения по параметру
Исключая х из последних двух равенств, получаем
1
Подставляя сюда вместо ср Cj первые интегралы (бб), после упро-
щений получаем искомое решение:
ж2
z = -ж2 - у2 + х + у + —— (х + у > 0).	◄
I Задачи для упражнений:
[12], §20, №1189-1210,1212,1214.
.......
14. | О нелинейных уравнениях с частными производными первого
порядка и методах их решения см. [6], §65; [9], гл. 9; [18], §8.
Ударные волны. В задаче Коши для квазилинейного уравнения
с частными производными бывает, что решение класса С1 существует
только в некоторой окрестности линии L, а в большей области может
не существовать.
I-------------------------------------------------------------------1
I Пример 7. Рассмотрим задачу Коши	I
!	S + z£=0’ *(0.®) = -«*««♦	(67) '
>	at ox	i
I___________________________________________________________________I
Решение примера. Характеристики удовлетворяют системе уравнений
(50), то есть в данном случае = 1, х'Т = z, z'T = 0. Поэтому
z = си dx/dt = z = c{,x = Cjf+с2. Значит, характеристики — прямые
линии. Вдоль каждой из них z постоянно — то же, что в начальной точке
х = с2, t = 0 характеристики. В этой точке z = - arctg х = - arctg с2,
|z| < ir/2. Поэтому на всей характеристике имеем
® = tz-tgz, И < у-	(68)
232
§ 26. Уравнения с частными производными первого порядка
При любом постоянном t < 1 функция = tz-tgz монотонно
убывает с ростом z, поэтому уравнение (68) определяет непрерывную
функцию z(t9x) (-оо < я < оо, t 1) — решение задачи (67).	◄
При любом постоянном t > 1 функция x(z) = tz-tgz на интер-
вале |z| < ж/2 сначала убывает, затем возрастает, далее опять убывает.
В точке zx = - arccos (t~1/2) она имеет локальный минимум, равный
x(z{) = -^(t), где ifrft) = t arccos (Г1/2) - Vi- 1, а в точке z2 = -z, —
локальный максимум, равный x(z2) =	> 0. Следовательно, при
любом t = const > 1 не существует однозначной непрерывной функции
z(t9 х) (-оо < х < оо), удовлетворяющей равенству (68). Это значит, что
решение задачи (67) нельзя непрерывно продолжить на область t > 1,
В некоторых физических задачах, например, в задачах о движе-
нии газов с большими скоростями, тоже встречаются подобные явления
(несуществование непрерывного решения). В таких случаях возникают
разрывные решения — ударные волны, существование которых подтвер-
ждается опытами и наблюдениями. Для расчета движения ударных волн
используются не только дифференциальные уравнения, но и физические
соображения — закон сохранения массы и т. п.
Подробнее о разрывных решениях см. [6], § 64; [10], гл. 8.
Литература
Учебники и учебные пособия
1.	Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1984. 240 с.
2.	Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
М.: Высшая школа, 1991. 303 с.
3.	Еругин Н. П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Киев: Вища школа, 1974.472 с.
4.	Карташев А. П, Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференци-
альные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука,
1986. 272 с.
5.	Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обык-
новенным дифференциальным уравнениям. М.: Высшая школа,
1978. 287 с.; 5-е изд. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры
с подробными решениями. М.: КомКнига/URSS, 2005. 256 с.
6.	Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.; 6-е изд. М: УРСС,
2003. 272 с.
7.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1974.
8.	Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные
уравнения. Примеры и задачи. Киев: Вища школа, 1984.408 с.
9.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз,
1959,468 с.; 9-е изд. М.: КомКнига/URSS, 2006.472 с.
10.	Тихонов А. И., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1985.
234
Литература
11.	Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1985.
12.	Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
М.; Ижевск: Изд-во РХД, 2000. 175 с.
13.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис-
числение. М.: Наука, 1969. 424 с.; 6-е изд. Эльсгольц Л. Э. Диффе-
ренциальные уравнения. М: КомКнига/URSS, 2006. 312 с.
Другая литература
14.	Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск:
Выш. школа, 1979.136 с.
15.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физ-
матгиз, 1959. 915 с.
16.	Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная
теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.568 с.
17.	Андронов А. А., Леонтович Е.А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория би-
фуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.487 с.
18.	Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
19.	Арнольд В. И., Илъяшенко Ю. С Обыкновенные дифференциальные
уравнения // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления». Том 1. М.: ВИНИТИ,
1985. с. 7-149.
20.	Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1971.
223 с.
21.	Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.
22.	Баутин Н.Н., Леонтович Е.А, Методы и приемы качественного ис-
следования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.
23.	Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных урав-
нений. М.: УРСС, 2003. 216 с.
24.	Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
235
Литература
25.	Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциаль-
ных уравнений. М.: Наука, 1979.
26.	Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория
показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.
М.: Наука, 1966. 576 с.
27.	Гелиг А. К, Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных
систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.
400 с.
28.	Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.
М.: Наука, 1967.472 с.
29.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав-
нениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
30.	Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференци-
альных уравнений. М.: Изд-во иностр, лит., 1958.474 с.
31.	Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелиней-
ной механике // Успехи матем. наук. 1955. Т. 10. № 3. С. 147-152.
32.	Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.
М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
33.	Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.:
Гостехиздат, 1956. 491 с.; 2-е изд. М.: УРСС, 2004.
34.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966; 2-е
изд. М.: УРСС, 2004.
35.	Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Под
ред. Воронова А. А., Матросова В.М. М.: Наука, 1987. 312 с.
36.	Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифферен-
циальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. 550 с.; 3-е изд.
М.: УРСС, 2004.
37.	Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-
во иностр, лит. Т. 1. 1953; Т. 2. 1954.
38.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
39.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир,
1970. 720 с.
Предметный указатель
Автоколебания 192
автономная система 151
альтернатива 116
асимптотическая устойчивость
160
Вариация постоянных 18, 79, 89
вектор-функции 29
векторная запись системы 27
векторное поле 153
вронскиан 71, 84
вынужденные колебания 104,209
выпуклость 32, 110
вырожденный узел 184
Групповое свойство 157
Детерминант Вандермонда 93
— Вронского 71, 84
дикритический узел 183
динамическая система 158
дискриминантная кривая 60
дифференциальное неравенство
33
— уравнение 7
дифференцирование детерми-
нанта 76
длина вектора 29, 30
Единственность решения 34,42,
46, 59
Жорданова форма 127, 142
Задача Коши 29, 228
замена переменных 17,19,22,43,
108
запись в дифференциалах 16
Изоклина 12
интегральная кривая 12
интегральное уравнение 35
интегрируемая комбинация 219
интегрирующий множитель 21
искомая функция 7
Квазилинейное уравнение 224
колеблющиеся решения 114
комплексные решения 68,93
критический случай 176
237
Предметный указатель
Ламповый генератор 192
линейная зависимость 70
— комбинация 74
линейные системы 67
—- уравнения 1-го порядка 18
----любого порядка 81
логарифм матрицы 146
Малые колебания 209
малый параметр 203, 211
матрица монодромии 148
метод вариации постоянных 18,
79, 89
—	введения параметра 64
—	неопределенных коэффици-
ентов 99, 133
модуль вектора 29
мультипликатор 148
Начальная задача 29
начальные условия 8, 29, 42
независимые первые интегралы
214
неравенство Коши 29
неявные функции 58, 214
норма матрицы 31
нормальный вид системы 27
нули решений 110
Общее решение 73, 78, 84, 88,
119
огибающая 63
Однородные уравнения 17, 24
—	функции 17
односторонняя производная 16,
35
особая точка 152, 181
особое решение 62
оценка интеграла 30
Первые интегралы 212
переходный процесс 107
периодические решения 205
показательная функция матрицы
139
покоординатное определение 30
поле направлений 11, 28
полная производная 25
положение равновесия 152
полутраектория 155
понижение порядка 23, 87
порядок дифференциального
уравнения 7
последовательные приближения
36
предельная точка 155
предельное множество 155
предельный цикл 190
продолжение решений 47, 50
производная в силу системы 167
Разложение по степеням пара-
метра 203
разрывные решения 233
238
Предметный указатель
резонанс 104, 105
решение 7, 28
ряды матриц 138
Сдвиг по траекториям 158
седло 183
симметричная форма системы
219
система, разрешенная относи-
тельно старших производ-
ных 44
собственные значения краевой
задачи 123
—	колебания 104
—	функции 123
стационарная точка 152
существование решения 36, 41,
42, 58
Траектория 152
Ударные волны 232, 233
узел 182
уравнения Бернулли 19
—	в вариациях 197
—	в полных дифференциалах 20
—	Клеро 66
—	с разделяющимися перемен-
ными 14
---частными производными 8,
221
—	Эйлера 108
условие касания 62
—	Липшица 32
—	отсутствия резонанса 206
установившийся режим 107
устойчивость по Ляпунову 160
— при постоянно действующих
возмущениях 166
Фазовая траектория 152
фазовое пространство 152
фокус 185
формула Коши 91
—	Лиувилля 77, 86
фундаментальная матрица 74
—	система решений 73, 84, 96
функция Грина 119
—	Ляпунова 170
—	Коши 91
Характеристики 224
характеристическое уравнение 92
Центр 185
Электрическая цепь 10, 105

Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Россий-
ской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономи-
ческих условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.
И1
URSS

Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
Сикорский Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1
л
Sb
Эльсгольц Л. 3. Дифференциальные уравнения.
Эльсгольц Л, Э. Вариационное исчисление.
Филипс Г. Дифференциальные уравнения.
Амелькин В. В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения.
Амелькин В. В., Калитин Б. С. Изохронные н импульсные колебания двумерных
динамических систем.
Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных диф. уравнений.
Петровский И. Г, Лекции ио теории интегральных уравнений.
Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения.
Краснов М. Л, Интегральные уравнения. Введение в теорию.

ГвО
Гайшун И. В, Введение в теорию линейных нестационарных систем.
Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. *
Малкин И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний.
Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.
Малкин И. Г, Теория устойчивости движения.
Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-7.
Краснов М.Л. и др. Сборники задач «Вся высшая математика» с подроби, решениями.
10Э
Т. 3: Линейная алгебра; Т. 4: Вероятность, информация, статистика;
Т. 5: Функциональный анализ; Т. 6: От Диофанта до ТЬюринга; Т. 7: Оптимизация.
Серия «Классический университетский учебник»
Колмогоров А. Я, Драгалин А. Г. Математическая логика.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс(А»Б) 135-42-16, 135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ra
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература
а
в пнтернет-магазине: впр://иквв.гн	ш
amsK=imS^«ss;riii^iiPi8sSW^UB8's!i^
Алексей Федорович
ФИЛИППОВ
Доктор физико-математических
наук (1976). Профессор (1980).
Участник Великой
Отечественной войны.
Награжден медалью
«За победу над Германией
в Великой Отечественной
войне 1941-1945 гг.».
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
• -41-
Окончил механико-
математический
факультет МГУ (1950). С 1978 г.
является профессором
кафедры дифференциальных
уравнений механико-
математического факультета.
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
р E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
д' http://URSS.ru
j Тел./факс: 7 (495) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (495) 135-42-46
Награжден также медалями
«Ветеран труда»,
«За доблестный труд.
В ознаменование
100-летия со дня рождения
В. И. Ленина» и юбилейными.
4567 ID 47764
Лауреат премии
им. М. В. Ломоносова
за педагогическую деятельность
(МГУ, 1993). В 1996 г. удостоен
звания «Заслуженный
профессор МГУ».
785484

В


Любые отзывы о настоящем издании,
а также обнаруженные опечатки
присылайте по адресу
URSS@URSS.ru. Ваши замечания
и предложения будут учтены
и отражены на web-странице
этой книги в нашем
интернет-магазине http://URSS.ru
Область научных интересов:

дифференциальные уравнения,
теория дифракции,
дифференциальные уравнения
с разрывной правой частью,
дифференциальные включения.