/
Text
Рятівник
Серія «Рятівник» заснована в 1998 р.
Рецензенти:
В. Я. Жихарев. доктор техн. наук, проф.;
А. С. Савєлєв. канд. техн. наук, доцент;
Т. О. Міхалін, канд. фіз.-мат. наук
Видано за ліцензією ТОВ Видавництво «Ранок»
Дергачов В. А.
Д36 Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий
посібник для учнів 7—11 класів.— X.: Веста: Видавництво «Ранок»,
2006,- 96 с.
Носібник містить основні положення шкільного курсу геометрії.
Наочна форма викладення матеріалу допоможе школярам в
узагальненні та систематизації знань з геометрії, скоротить час на
повторення вивченого напередодні контрольної роботи.
Нризначено для учнів 7—11 класів загальноосвітніх шкіл, гімназій,
ліцеїв, а також для абітурієнтів.
Навчальне видання
Серія «Рятівник»
ДЕРГАЧОВ Володимир Андрійович
ГЕОМЕТРІЯ У ВИЗНАЧЕННЯХ, ФОРМУЛАХ
І ТАБЛИЦЯХ
Довідковий носібник для учнів 7 — 11 класів
Редактор М. Т. Читова
Технічний редактор Б. І. Труфен
Коре ктор О. Г. Неро
ТОВ «Веста». Свідоцтво ДК№ 2540 від 26.06.2006 р. 61064 Харків, вул. Бакуніна, 8А
З питаннями та пропозиціями звертатися зател. (057) 719-48-65, тел./факс (057) 719-58-67.
Для листів: 61045 Харків, а/с 3355, «Ранок». E-mail: office@ranok.kharkov.ua
Адреса редакції: 61145 Харків, вул. Космічна, 21а.
З питань реалізації звертатися зател.: у Харкові — (057) 712-91-44,712-91-46,712-91-47,
712-90-87; Києві - (044) 495-14-53,417-20-80; Донецьку - (062) 304-67-02:
Житомирі—(0412) 41-27-95; Дніпропетровську—(0562) 43-46-95; Львові — (032) 233-53-39;
Сімферополі — (0652) 29-94-14; Тернополі — (0352) 43-42-72,25-16-00.
e-mail: commerce@ranok.kharkov.ua
www.ranok.com.ua
© В. А. Дергачов, 2006
© ТОВ Видавництво «Ранок», 2006
© ТОВ «Веста», 2006
Зміст
Кути і прямі на площині 8
Кути 8
Властивості кутів 9
Кути, утворені нри неретині двох нрямих січною 10
Паралельні та перпендикулярні прямі 11
Паралельні нрямі 11
Ознаки паралельності нрямих 11
Властивості паралельних нрямих 11
Перпендикулярні нрямі 12
Перпендикуляр і нохила 12
Перетворення простору 13
Рух 13
Властивості руху 13
Паралельне перенесення 13
Поворот 14
Подібність 15
Властивості подібних фігур 15
Перетворення подібності 15
Трикутники 16
Основні означення 16
Властивості кутів і сторін трикутника 18
Рівність трикутників 19
Ознаки рівності трикутників 19
Властивості рівних трикутників 19
Подібність трикутників 20
Ознаки подібності трикутників 20
Властивості подібних трикутників 20
Медіани, бісектриси, висоти і середні лінії трикутника 21
Властивості медіан трикутника 21
Властивості бісектрис трикутника 22
Властивості висот трикутника 23
Властивості серединних перпендикулярів 23
Внисане й описане кола 24
Площа трикутника 25
З
Рівнобедрений трикутник 26
Властивості рівнобедреного трикутника 26
Основні формули для рівнобедреного трикутника 27
Рівносторонній трикутник 27
Властивості рівностороннього трикутника 27
Основні сніввідношення для рівностороннього
трикутника 28
Прямокутний трикутник 29
Ознаки рівності прямокутних трикутників 29
Ознаки подібності прямокутних трикутників 29
Теорема Піфагора ЗО
Сніввідношення між елементами сторін
прямокутного трикутника ЗО
Формули зв’язку між тригонометричними
функціями 31
Властивості катетів, медіан і висот прямокутного трикутника
31
Коло, внисане у прямокутний трикутник 32
Коло, онисане навколо прямокутного трикутника 32
Площа прямокутного трикутника 32
Розв’язання трикутників 33
Чотирикутники 34
Основні означення і властивості 34
Описані чотирикутники 35
Коло, онисане навкоко чотирикутника 36
Паралелограм 37
Властивості паралелограма 37
Ознаки паралелограма 39
Висота паралелограма 39
Площа паралелограма 39
Ромб 40
Властивості ромба 40
Площа ромба 41
Коло, внисане в ромб 41
4
Прямокутник 42
Властивості прямокутника 42
Квадрат 43
Властивості квадрата 43
Транеція 45
Основні означення 45
Властивості транеції 46
Многокутники 48
Основні означення 48
Онуклі многокутники 49
Правильні многокутники 50
Коло 51
Основні означення 51
Властивості хорд, дотичних і січних 52
Дотична до кола 52
Властивості дотичної до кола 53
Січна кола і її властивості 53
Дотик двох кіл 54
Кути у колі 54
Кутова величина дуги 54
Кругове (радіанне) вимірювання кутів 54
Внисанікути 55
Кут, утворений двома січними 55
Довжина кола і дуги 56
Площа круга і його частин 56
Прямі і площини у просторі 57
Сносіб задання площини 57
Паралельність нрямих і нлощин 57
Взаємне розміщення нрямої і нлощини у просторі 58
Взаємне розміщення нлощин у нросторі 58
Ознаки паралельності нрямих і нлощин у нросторі 59
Ознака паралельності двох нлощин 59
Властивості паралельних нрямих у нросторі 59
5
Паралельне проектування 60
Властивості паралельних нроекцій 61
Перпендикулярність нрямих і нлощин 61
Перпендикуляр і нохила до нлощини 61
Ознака нернендикулярності нрямої і нлощини 62
Теорема нро три перпендикуляри 62
Відстань від точки до нлощини 62
Властивості нернендикулярів до нлощини 63
Відстань між мимобіжними прямими 63
Кути у просторі 64
Кут між нрямою і площиною 64
Двогранні кути 65
Кут між площинами. Перпендикулярні нлощини 66
Многогранники 67
Основні означення 67
Призма і наралеленінед 67
Паралеленінед 68
Прямокутний наралеленінед 69
Площа поверхні і об’єм нризми 69
Площа поверхні та об’єм наралеленінеда 70
Правильні многогранники 70
Основні формули 70
Піраміда 71
Зрізана піраміда 71
Правильна піраміда 72
Тіла обернення 73
Циліндр 73
Конус 74
Прямий круговий конус 74
Зрізаний конус 75
Сфера і куля 76
Взаємне розміщення двох сфер 78
Декартова система координат 79
Декартові координати на нлощині й у нросторі 79
Основні координатні формули 80
6
Відстань між точками 80
Координати точки ділення відрізка
у даному відношенні 80
Координати середини відрізка 81
Рівняння нрямої 81
Окремі винадки рівняння нрямої 82
Умова паралельності нрямих 83
Умова нернендикулярності нрямих 83
Перетин нрямих 83
Рівняння кола 84
Рівняння сфери 85
Рівняння нлощини 85
Окремі винадки положення нлощини відносно
системи координат 86
Взаємне розміщення двох нлощин 87
Вектори 88
Основні означення 88
Координати вектора 89
Обчислення координат і модуля вектора 89
Лінійні операції над векторами 90
Сума векторів 90
Різниця векторів 91
Множення вектора на число 91
Кут між векторами 92
Скалярний добуток векторів 92
Умова колінеарності векторів 93
Координатні вектори 93
Розкладання вектора но координатних осях 94
Література 94
Предметний покажчик 95
Кути і прямі на площині
lu і иіЛ»
Кути
Кут — геометрична фігура,
що складається з двох різнома¬
нітних променів, що виходять з
однієї точки.
Промені називаються сторо¬
нами кута, а їх спільний поча¬
ток — вершиною кута
Два кути називаються рівни¬
ми, якщо вони можуть бути су¬
міщені так, що збігатимуться їх
відповідні сторони і вершини
Кути, що мають спільну вер¬
шину й одну спільну сторону, на¬
зиваються прилеглими
Два кути називаються суміж¬
ними, якщо у них спільні верши¬
на й одна сторона, а дві інші ут¬
ворюють пряму. Сума суміжних
кутів дорівнює 180"
Кути називаються вертикаль¬
ними, якщо сторони одного
є продовженнями за вершину
сторін другого. Вертикальні кути
рівні між собою
Кут, у якого сторони утворюють
пряму, називається розгорнутим.
а + Р = 180
ОС /К \
8
Кут, що дорівнює своєму суміж¬
ному, називається прямим
~І
Кут, менший від прямого, на- s'
зивається гострим У'
Кут, більший прямого, нази-
вається тупим
Бісектриса кута — промінь,
що виходить з вершини кута, \.PjS-^JllP.uca
проходить між його сторонами
і ділить кут пополам
Властивості кутів
Кути з відповідно паралельними сторонами
Або рівні або їх сума дорівнює 180
Кути з відповідно перпендикулярними сторонами
Або рівні або їх сума дорівнює 180
9
10
Паралельні та перпендикулярні прямі
Паралельні прямі
Прямі, що лежать в одній пло¬
щині і не перетинаються, нази¬
ваються паралельними
Паралельні та
перпендику¬
лярні прямі
Властивості паралельних прямих
Дві прямі, що паралельні тре¬
тій, паралельні
а 11 b; а 11 с =^> b 11 с
11
Паралельні та
перпендику¬
лярні прямі
Теорема Фалеса
Якщо паралельні прямі, які пе-
ретинають сторони кута, відсіка¬
ють на одній його стороні рівні
відрізки, то вони відсікають рівні т
відрізки і на другій його стороні 4-
і —
Паралельні прямі, що перети¬
нають сторони кута, відсікають \ с
від сторін кута пропорційні V V,
відрізки А'
7 = Т V
Перпендикулярні прямі
Дві прямі називаються перпен- а
дикулярними, якщо вони пере-
тинаються під прямим кутом
a _L b
□
ь
Перпендикуляр і похила
Перпендикуляром до даної
прямої називається відрізок
прямої, перпендикулярної до
даної, від заданої точки до точ¬
ки перетину цих прямих.
ОА — перпендикуляр до Ь.
0
ПЬ
А — основа перпендикуляра А
Похилою до даної прямої а на- о
зивається відрізок прямої, що пе¬
ретинає дану під кутом, відмінним
від прямого, від заданої точки до
точки перетину цих прямих.
Перпендикуляр коротший від по¬
хилої, яка проведена з тієї ж точки.
ОВ — похила А
\ь
□ 1
в
12
Перетворення простор
Рух
Рух — це перетворення простору, що зберігає відстань між
точками.
Приклади руху: паралельне перенесення, поворот
Властивості руху
Перетворення
простору
1. Два рухи, що виконуються послідовно, дають новий рух.
2. Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять
у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок
їх взаємного розміщення.
3. Під час руху зберігаються кути між півпрямими
Паралельне перенесення
Паралельне перенесення —
перетворення простору, при
якому всі точки зміщуються в
одному й тому ж напрямі на
одну й ту ж відстань.
При паралельному перене¬
сенні пряма переходить у пара¬
лельну пряму (або у себе).
Для будь-яких двох точок М
і М' існує одне і лише одне пара¬
лельне перенесення, при якому
точка М переходить у точку М'
13
Поворот
Поворот (обертання) — вид руху, при якому принаймні
одна точка простору залишається нерухомою
Перетворення
простору
При повертанні на площині на¬
вколо даної точки (центра обер¬
тання) кожний промінь, що ви¬
ходить з даної точки, повертаєть¬
ся на один і той же кут в одному
й тому ж напрямі.
Повертання навколо точки О
на кут 180 називається цент¬
ральною симетрією відносно
точки О (центра симетрії)
Поворот навколо осі на
кут <р — це перетворення, при
якому:
1) є єдина пряма І, всі точки
якої переходять самі в себе (вісь
обертання);
2) будь-яка точка А, що не на¬
лежить І, переходить у таку точ¬
ку А', причому точки А и А' ле¬
жать у площині ех, яка перпенди¬
кулярна до І, і ZAOA' = <р є ста¬
лим за величиною і напрямом
Поворот навколо осі на кут
<р= 180 називається симетрією
відносно прямої, вісь обертання
— віссю симетрії, а фігура, яку
отримали при перетворенні,—
дзеркальним відбиттям
14
Подібність
Дві фігури Ft і F2 називаються
А В
подібними, якщо між їх точка¬
ми можна встановити взаємно
однозначну відповідність, при
якій відношення відстаней між
будь-якими парами відповід-
\ \ А В'
\ /С \ \
Л \ \
них точок дорівнює тій же
сталій k, що зветься коефіцієн¬
том подібності
АВ . \ ХС
А В у/
D'
Властивості подібних фігур
1. Кути між відповідними променями рівні.
2. Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх лі¬
нійних розмірів.
3. Об’єми подібних фігур відносяться як куби їх лінійних
розмірів
Перетворення подібності
Будь-яке перетворення подібності — результат послідов¬
ного виконання гомотетії і руху.
Гомотетія — перетворення
простору, що ставить у відпо¬
відність кожній точці М точ¬
ку М', яка лежить на прямій
ОМ за правилом ОМ' = k ■ ОМ,
де k — стале, відмінне від нуля
число, що називається коефіц¬
ієнтом гомотетії, О — фіксова¬
на точка, що називається цен¬
тром гомотетії
О
15
Трикутники
Основні означення
ики
Трикутник — це фігура, що
складається з трьох точок, які
не лежать на одній прямій
(вершин трикутника), і трьох
відрізків з кінцями у цих точ¬
ках (сторін трикутника)
Кутами (внутрішніми кута¬
ми) трикутника називаються три
кути, кожний з яких утворений
двома променями, що виходять з
вершини трикутника і проходять
через дві інші вершини
Зовнішнім кутом трикутни¬
ка називається кут, суміжний
внутрішньому куту трикутника
а, Р, Y — кути трикутника
Висотою трикутника називається перпендикуляр, опуще¬
ний з будь-якої вершини трикутника на протилежну сторо¬
ну або на продовження сторони
BD = Л — висота, проведена
на продовження сторони АС
16
Медіаною трикутника нази¬
вається відрізок прямої, що
з’єднує вершину трикутника з
серединою протилежної сторони
Бісектрисою трикутника на¬
зивається відрізок бісектриси
внутрішнього кута трикутника,
що з’єднує дану вершину з точ¬
кою на протилежній стороні
Середньою лінією трикутни¬
ка називається відрізок, що
з’єднує середини двох сторін
трикутника
Коло називається вписаним
у трикутник, якщо воно доти¬
кається до всіх його сторін
Описаним колом трикутника
називається коло, що проходить
через вершини трикутника
а
та — медіана сторони а
Іь — бісектриса кута В три¬
кутника
Трикутники
КМ — середня лінія
17
Властивості кутів І сторін трикутника
Сума кутів трикутника дорів¬
нює 180
а + Р + у = 180
Трикутники
Зовнішній кут дорівнює сумі
двох внутрішніх кутів, з ним не
суміжних, і більший, ніж будь-
який внутрішній кут, не суміж¬
ний з ним.
8 = Р + у;8>Р;8>у
Нерівність трикутника
Довжина кожної сторони менша,
ніж сума, і більша, ніж різниця
довжин двох інших сторін
І а — b\<c<a + b
У трикутнику проти більшої
сторони лежить більший кут
(і навпаки)
АВ > Z.C =^> b > с
Середня лінія трикутника пара¬
лельна одній з його сторін і до¬
рівнює її половині
КМ\\АС;
КМ =
АС
2
18
Рівність трикутників
Трикутники називаються рів
ними, якщо у них відповідні сто
рони і кути рівні
NABC = \А'В'С
Ознаки рівності трикутників
1. Якщо дві сторони і кут між
ними одного трикутника дорів¬
нюють відповідно двом сторонам
і куту між ними іншого трикут¬
ника, то такі трикутники рівні
2. Якщо сторона і прилеглі до
неї кути одного трикутника
дорівнюють відповідно стороні
і прилеглим до неї кутам іншого
трикутника, то такі трикутники
рівні
3. Якщо три сторони одного
трикутника дорівнюють від¬
повідно трьом сторонам іншого
трикутника, то такі трикутники
рівні
Трикутники
Властивості рівних трикутників
У рівних трикутників усі відповідні елементи рівні (сторо¬
ни, кути, висоти, медіани, бісектриси).
У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні
кути, а проти рівних кутів лежать рівні сторони
19
Подібність трикутників
Трикутники
Подібними називаються три¬
кутники, у яких відповідні сто¬
рони пропорційні.
Коефіцієнт пропорційності на¬
зивається коефіцієнтом подіб¬
ності
АВ _ ВС _ АС _ k
А1В1 ВІС1 А1С1
Ознаки подібності трикутників
Два трикутники подібні, якщо
1. Два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам
іншого трикутника.
2. Дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторо¬
нам іншого трикутника, і кути, утворені цими сторона¬
ми, рівні.
3. Сторони одного трикутника пропорційні сторонам іншо¬
го трикутника
Властивості подібних трикутників
У подібних трикутників відповідні кути рівні, а відповідні
відрізки пропорційні
ZA= ZA,; ZB = ZB,; ZC = ZC,;
\ _ lle _ _ K ,
— — — — ... = — = K .
h hh Л in I
"i 6i ci °i q
Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює
коефіцієнту подібності.
Відношення ПЛОЩ подібних трикутників дорівнює квадра¬
ту коефіцієнта подібності
20
Пряма, що паралельна одній із
сторін трикутника, відсікає три¬
кутник, подібний до даного
KL 11 AC; A ABC оо Л KBL
Три середні лінії трикутника
ділять його на чотири рівні три¬
кутники, подібні до даного з ко¬
ефіцієнтом подібності —
/-L
Медіани, бісектриси, висоти І середні лінії
трикутника
Трикутники
Властивості медіан трикутника
Три медіани трикутника пере¬
тинаються в одній точці, що
ділить медіани у відношенні
2:1, рахуючи від вершини.
BE : EM = 2
Медіани ділять трикутник на
рівновеликі трикутники
® Давк = ® Аквс
Довжина медіан до відповід¬
них сторін трикутника:
та = — J2b* 2 + 2с2 - а2;
° 2 *
ть = — ^2а2 + 2с2 - Ь2 ;
2
т = — -ha2 + 2Ь2 - с2
с 2 v
21
Властивості бісектрис трикутника
Бісектриси внутрішніх кутів
трикутника перетинаються в
одній точці, що знаходиться все¬
редині трикутника, рівновідда-
лена від трьох його сторін і є цен¬
тром вписаного кола
Трикутники
Бісектриса внутрішнього кута
трикутника ділить протилежну
куту сторону на відрізки, про¬
порційні двом іншим сторонам
АР _ _АВ
DC ~ ВС
Бісектриси внутрішнього і су¬
міжного з ним зовнішнього кутів
перпендикулярні.
Бісектриса зовнішнього кута
трикутника ділить (зовнішньо)
протилежну сторону на відрізки,
пропорційні двом іншим сторо¬
нам.
BD — бісектриса кута В;
BE — бісектриса зовнішнього
кута
BD1BE;
АЕ _ _АВ_
СЕ ~ ВС
A DC
Довжина бісектриси кута А
„, А
2 ос ■ cos
І =
“ Ь + с
І = —-—Jbc (а+ b + с) (Ь+ с-а)
“ b + с ¥
22
Властивості висот трикутника
Висоти трикутника перетина¬
ються в одній точці, яка нази¬
вається ортоцентром трикутника
Висоти трикутника обернено
пропорційні його сторонам
Довжина висоти до сторони а
ha = b sin С = с sinB =
Трикутники
де R — радіус описаного кола;
S — площа трикутника
Властивості серединних перпендикулярів
Серединний перпендикуляр — це пряма, що проходить
через середину сторони трикутника перпендикулярно до неї
Три серединних перпендику¬
ляри трикутника перетинаються
в одній точці, що називається
центром описаного кола
Точка перетину бісектриси кута
трикутника з серединним перпен¬
дикуляром протилежної сторони
лежить на колі, що описане навко¬
ло даного трикутника
23
Вписане й описане кола
Трикутники
Радіус вписаного у трикутник
кола — відстань від центра до
сторін трикутника
S ad ■ А ■ В ■ С
Г = = 4:Н sin sin sin =
р 2 2 2
(р-а)(р-Ь)(р-с)
Р
Точки дотику вписаного кола
до сторін трикутника відсікають
три пари рівних між собою від¬
різків
= (p-a)tg —=
У залежності від вигляду трикутника
центр описаного кола може знаходитися:
всередині
зовні
на середині
трикутника
трикутника
його сторони
в
в^
\ / ' ° \1
А\ 7 с
А \ ’ С
АГ —с
\ ° /
Гострокутний
Тупокутний
Прямокутний
трикутник
трикутник
трикутник
24
Площа трикутника
За стороною і висотою, опуще¬
ною на цю сторону,
„ 1 ,
S = — aha
За двома сторонами і кутом
між ними
о 1 . ■
8 =—aosiny
2 '
Трикутники
За трьома сторонами (формула
Герона)
S = Jp(p-а)(р- Ь) (р - с),
а + Ь + с
де р = -
За півпериметром (р) і радіусом
вписаного кола
S =р - г
За трьома сторонами і радіусом
описаного кола
ІВ
За трьома кутами і радіусом
описаного кола
S = 2R2 sin а ■ sin 0 • sin у
25
РІвнобедрений трикутник
Трикутники
Трикутник називається
рівнобедреним, якщо в нього
дві сторони рівні. Рівні сторо¬
ни називають бічними сторона¬
ми, а третю — основою рівно¬
бедреного трикутника
26
Основні формули для рівнобедреного трикутника
Ь2 = 2а2 (1 - cos0); а =
2 cos а
S = (p-a) Jp(p-b), где р = а + —.
РІвностороннІй трикутник
Трикутник, у якого всі сторо¬
ни рівні, називається рівносто-
роннім або правильним трикут¬
ником
Трикутники
Властивості рівностороннього трикутника
Всі кути рівні
Кожна медіана збігається з
бісектрисою і висотою, що про¬
ведені з тієї ж вершини
т,
Центри вписаного і описаного
кіл збігаються
27
Трикутники
Основні співвідношення для рівностороннього трикутника
Позначення:
а сторона, h висота, Р — периметр, р — півпери-
метр, R радіус описаного кола, г— радіус вписаного
кола, S — площа
а
h
Р
Р
R
S
2/іу/з
3
Р_
З
ауЗ
У
За
ауЗ
"У
ауЗ
~~6~
Рд/3~
6
7іТз
2h
З
З
~з
2р
Р
—-—
2
~~9~~
РуІЗ~
~18~~
rJs
ЗР
2
зрТз
зя-УГ
2
2руІЗ~
9
36
Рд/3~
9
2г7з
3r
6г7з
2г
Т~~~
з
а
2
А
з
Р
2
^-7sV3
7&Уз
З
28
Прямокутний трикутник
Трикутник називається прямо-
в
кутним, якщо він має прямий
кут.
S
\%
Сторони, прилеглі до прямого
s
кута, називаються катетами.
Сторона, протилежна прямому
куту, називається гіпотенузою.
□ \
А
Катет С
Ознаки рівності прямокутних трикутників
Трикутники
Аавс = Аа1в1сі
За двома катетами
За катетом і гіпотенузою
За катетом і прилеглим гострим кутом
За катетом і протилежним гострим кутом
За гіпотенузою і гострим кутом
Ознаки подібності прямокутних трикутників
лавс^лаівісі
За одним гострим кутом
За пропорційністю двох катетів
За пропорційністю катета і гіпотенузи
29
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику
сума квадратів катетів дорівнює
квадрату гіпотенузи
2 „2 , Лі2
с = а +о
Трикутники
Висновки теореми Піфагора
У прямокутному трикутнику будь-який з катетів менший,
ніж гіпотенуза
Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр
і похила, то похила більша, ніж перпендикуляр
Рівні похилі мають рівні проекції
З двох похилих більша та, проекція якої більша
Співвідношення між елементами сторін
прямокутного трикутника
Косинусом гострого кута пря¬
мокутного трикутника нази¬
вається відношення прилеглого
катета до гіпотенузи.
Синусом гострого кута нази¬
вається відношення протилеж¬
ного катета до гіпотенузи.
Тангенсом гострого кута нази¬
вається відношення протилеж¬
ного катета до прилеглого.
Котангенсом гострого кута на¬
зивається відношення прилегло¬
го катета до протилежного
ЗО
Формули зв'язку між тригонометричними функціями
sin2 а + cos2 а = 1;
t sin а cos а
tga = ; ctg a = — ;
cos a sln a
2 1 2 1
1 + tg2 а = 5; 1 + ctg a = —
cos a sin a
Властивості катетів, медіан і висот прямокутного трикутника
Катет прямокутного трикут¬
ника є середнє пропорційне між
гіпотенузою й проекцією цього
катета на гіпотенузу
Висота прямокутного три¬
кутника, проведена з вершини
прямого кута, є середнє про¬
порційне між проекціями ка¬
тетів на гіпотенузу
hc = y]acbr. .
Висота може бути визначена
через катети та їх проекції на
гіпотенузу
, ab
h. =
ас + Ьс ’
Медіана, проведена з вершини
прямого кута, дорівнює поло¬
вині гіпотенузи
1
т. = — с .
с 2
Висота, проведена з вершини
прямого кута трикутника,
ділить його на два трикутники,
подібні до даного
ЛАВЕ азААЕС <л^ААВС
ас = ЕВ;
bc = АЕ;
ас + Ьс = с
Трикутники
31
Трикутники
Коло, описане навколо прямокутного трикутника
Центр описаного кола збігаєть¬
ся з серединою гіпотенузи.
Радіус описаного кола
R =
с
ЇЇ
= тс
Площа прямокутного трикутника
Площу можна визначити:
— через катети
S = — ab;
2
— через катет і гострий кут
11
S = — a2 tg р = — a2 ctg а;
— через гіпотенузу і гострий
кут
а \
\ с
S = —— с2 sin 2 а = —с2 sin 2 Р
4 4 н
а
32
Розв’язання трикутників
Теорема косинусів
Квадрат будь-якої сторони
трикутника дорівнює сумі квад¬
ратів двох інших сторін без по¬
двоєного добутку цих сторін на
косинус кута між ними
с2 = а2 + Ь2 - 2 ab cos у
Трикутники
Висновки:
1. Якщо с2 > а2 + Ь2 , то кут у — тупий (cos у < 0).
2. Якщо с2 < а2 + Ь2 , то кут у — гострий (cos у > 0).
3. Якщо с2 = а2 + Ь2 , то кут у — прямий.
4. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторо¬
на, проти більшої сторони лежить більший кут
Теорема синусів
Сторони трикутника про¬
порційні синусам протилежних
кутів.
Коефіцієнт пропорційності до¬
рівнює діаметру описаного кола.
-2— = —*— = —C— = 2R
sin a sin р sin у
33
Чотирикутники
Основні означення і властивості
Чотирикут¬
ники
Чотирикутником назива¬
ється фігура, яка складається
з чотирьох точок (вершин) і чо¬
тирьох відрізків (сторін), що по¬
слідовно сполучають вершини.
При цьому ніякі три з даних то¬
чок не повинні лежати на одній
прямій, а відрізки, що їх сполу¬
чають, не повинні перетинатися
Чотирикутник називається
опуклим, якщо він розміщуєть¬
ся в одній півплощині відносно
прямої, що містить будь-яку
його сторону
Коло, яке дотикається до всіх
сторін чотирикутника, нази¬
вається вписаним у цей чотири¬
кутник. (Чотирикутник описа¬
ний навколо кола)
Коло, що містить усі вершини
чотирикутника, називається
описаним навколо цього чотири¬
кутника. (Чотирикутник вписа¬
но в коло)
А, В, С, D — вершини;
АВ, ВС, CD, DA — сторони
ABCD — опуклий чотири¬
кутник
34
Чотирикут¬
ники
Описані чотирикутники
Якщо в чотирикутнику суми
довжин протилежних сторін
рівні, то в нього можна вписа¬
ти коло
а + с = b + d
І
с
У
а
Центр вписаного у чотири¬
кутник кола є точкою перети¬
ну всіх чотирьох бісектрис
кутів цього чотирикутника.
BO, CO, DO,AO — бісектри¬
си кутів
в
с
А
D
35
Точки дотику вписаного кола
відсікають рівні відрізки від
кутів чотирикутника
ВК = BL; LC = CM;
MD = DN;KA=AN
Чотирикут¬
ники
Площа описаного чотири¬
кутника
S=pr,
д,е г — радіус вписаного кола;
а + b + с + d
Коло, описане навкоко чотирикутника
Якщо сума протилежних
кутів чотирикутника дорів¬
нює 180", то навколо нього
можна описати коло
ZA + ZC = ZB + ZD = 180°
Центр описаного навколо чо¬
тирикутника кола є точкою
перетину всіх чотирьох сере¬
динних перпендикулярів
сторін цього чотирикутника
36
Теорема Птолемея:
Сума добутку протилежних
сторін вписаного у коло чоти¬
рикутника дорівнює добутку
його діагоналей
ас + bd' = ef
Площа вписаного чотирикут¬
ника
S = J(p- а) (р -b)(p- с) (р - d),
а + b + с + d
Де р =
Чотирикут¬
ники
Паралелограм
Чотирикутник, протилежні
сторони якого попарно пара¬
лельні, називається парале¬
лограмом
AB\\CD; BC\\AD
37
Протилежні кути рівні
Сума кутів, прилеглих до до¬
вільної сторони, дорівнює 180 .
ZA+ZB=ZB+ZC=
= ZC +ZD = ZD +ZA = 180°
Чотирикут¬
ники
Діагоналі паралелограма пере¬
тинаються і точкою перетину
діляться навпіл:
BO = OD; АО = ОС
Кожна діагональ ділить пара¬
лелограм на два рівних трикут¬
ники
AABD = A BDC
Дві діагоналі паралелограма
ділять його на чотири рівновели¬
ких трикутники
q
°ЛАВО
— ч — ч — ч
°ЛОВС °AOCD ЛЛОІ)
Сума квадратів діагоналей па¬
ралелограма дорівнює сумі квад¬
ратів усіх його сторін
е2 + f2 = 2 (а2 + Ь2)
38
Ознаки паралелограма
Якщо у чотирикутнику протилежні сторони попарно
рівні, то цей чотирикутник — паралелограм
Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні і па¬
ралельні, то цей чотирикутник — паралелограм
Чотирикутник, діагоналі якого у точці перетину
діляться навпіл,— паралелограм
Висота паралелограма
Домовимося висотою пара-
лелограма називати перпен- /
/
дикуляр, проведений із вер- /
/
шини цього паралелограма до /
неприлеглої сторони /V
J /
ha = b sin ех
а
Площа паралелограма
ики
Площу паралелограма можна визначити:
через сторону паралелогра¬
ма і проведену до неї висоту
S = aha
через дві сторони паралело¬
грама і кут між ними
S = ab sin а
через діагоналі паралелогра¬
ма і кут між ними
g _ ef sin <р
2
39
Ромб
Чотирикут¬
ники
40
Площа ромба
Площу ромба можна визначити:
— через діагоналі
s.^;
2
— через сторону і кут ромба
S = a2 sin а;
— через сторону і висоту
S = ah;
— через сторону і радіус вписаного кола S = 2аг
Чотирикут¬
ники
Коло, вписане в ромб
Радіус кола, вписаного у ромб, можна обчислити:
— через відрізки, на які ділить сторону ромба точка дотику
г = BE ■ EC
41
Прямокутник
Прямокутник — паралело¬
грам, у якого всі кути прямі
Властивості прямокутника
Чотирикут¬
ники
Діагоналі прямокутника рівні і
точкою перетину діляться навпіл
Прямокутник має дві осі си¬
метрії, які збігаються з середин¬
ними перпендикулярами до його
сторін
Павколо будь-якого прямо¬
кутника можна описати коло з
центром у точці перетину діаго¬
налей і радіусом, що дорівнює
половині діагоналі
АС = 2R
Площу прямокутника можна
визначити:
— через його сторони
S = ab;
— через діагоналі і кут між ними
d2 sin у
b
42
Квадрат
Квадрат — це прямокутник,
у якого всі сторони рівні
АВ = ВС = CD = AD
Властивості квадрата
У квадрата всі кути прямі
Діагоналі квадрата рівні і пе¬
ретинаються під прямим кутом
Квадрат має чотири осі симет¬
рії — прямі, що проходять:
— через його діагоналі;
— через середини протилеж¬
них сторін
Квадрат має поворотну симет¬
рію. Центр симетрії — точка пе¬
ретину діагоналей, кут повер¬
тання 90
Чотирикут¬
ники
43
Чотирикут¬
ники
У квадраті центри вписаного
і описаного кіл збігаються і роз¬
ташовуються у точці перетину
його діагоналей. .
Радіус описаного кола /
Радіус вписаного кола
а
г =
2
/Г а
/\я /\
—
Площа квадрата
S = а2 =
2
а
\ d
Послідовно з’єднані відрізка¬
ми середини сусідніх сторін
квадрата утворюють квадрат
44
Трапеція
Основні означення
Трапеція — це чотирикутник,
у якого дві сторони паралельні,
а дві інші не паралельні.
Паралельні сторони назива¬
ються основами трапеції.
Пепаралельні сторони назива¬
ються бічними сторонами.
ВС, AD — основа;
AB, CD — бічні сторони;
h — висота
Домовимося висотою трапеції
називати перпендикуляр, опу¬
щений з довільної точки основи
трапеції на другу основу
Чотирикут¬
ники
Середня лінія трапеції —
це відрізок, що з’єднує середини
бічних сторін
АК = KB; CL = LD;
KL — середня лінія трапеції
Рівнобічна (рівнобедрена)
трапеція — трапеція, у якої
бічні сторони рівні
AB = CD
Прямокутною називається
трапеція, у якої одна бічна сто¬
рона перпендикулярна основам
45
Властивості трапеції
Чотирикут¬
ники
Коло можна вписати у трапе¬
цію, якщо сума її бічних сторін
дорівнює сумі основ
AB + CD = ВС + AD
Центр вписаного у трапецію
кола — точка перетину бісект¬
рис внутрішніх кутів.
Радіус вписаного кола дорів¬
нює половині висоти
При продовженні бічних
сторін трапеції утворюються два
по-дібних трикутники
ABECcjAAED
Е
Трикутники, утворені основа¬
ми і відрізками діагоналей,—
подібні. Коефіцієнт подібності
дорівнює відношенню основ
А ВЕС co A DEA;
46
Середня лінія трапеції пара¬
лельна основам і дорівнює їх
півсумі
KL11 ВС; KL11 AD;
BC + AD
—
2
У рівнобічній трапеції:
— кути при основі рівні,
ZA = ZD; ZB = ZC;
— діагоналі рівні
BD = CA
Чотирикут¬
ники
Площу трапеції можна визна¬
чити:
— через півсуму основ (серед¬
ню лінію трапеції) і висоту
S = -i±Lh,
2
— через діагоналі і кут між
ними
S = —J— drd2 sin <р
2
Павколо будь-якої рівнобічної
трапеції можна описати коло.
Якщо трапеція вписана у коло,
то вона рівнобічна
47
Многокутники
Основні означення
Многокут¬
ники
Многокутник — замкнена
ламана лінія, яка утворюється,
якщо взяти п будь-яких точок
А ,А , ...,Аи і з’єднати прямол¬
інійним відрізком кожну з них
з наступною, а останню — з пер¬
шою.
Точки Ар А , ...,А називають¬
ся вершинами многокутника, а
відрізки АхА2, А^, ..., АД —
його сторонами
Плоским многокутником, або
многокутною областю називаєть¬
ся скінченна частина площини,
обмежена многокутником
Коло, що дотикається до всіх
сторін многокутника, називаєть¬
ся вписаним у цей многокутник
Коло, що містить усі вершини
многокутника, називається опи¬
саним навколо цього многокут¬
ника
48
Опуклі многокутники
Многокутник називається
опуклим, якщо він лежить в
одній півплощині відносно будь-
якої прямої, що містить його сто¬
рону
Кутом опуклого многокутника
при даній вершині називається
кут, утворений його сторонами,
що збігаються у цій вершині.
Сума кутів опуклого п-кутни-
ка дорівнює 180 (п — 2)
Зовнішнім кутом опуклого
многокутника при даній вер¬
шині називається кут, суміжний
внутрішньому куту многокутни¬
ка при даній вершині.
Сума зовнішніх кутів будь-
якого опуклого п-кутника
дорів-нює 360
Кількість діагоналей опуклого
п-кутника дорівнює
п (п - 3)
2
ZA + ZB + ZC + ZD +
+ ZE + ZF = 4-180°
Многокут¬
ники
49
Правильні многокутники
Опуклий многокутник нази¬
вається правильним, якщо всі
його сторони рівні і всі його
внутрішні кути рівні.
Внутрішній кут правильного
п-кутника дорівнює
а„ = П~* 2 • 180°
п
Многокут¬
ники
Центри вписаного у правиль¬
ний многокутник кола і кола,
описаного навколо нього, збіга¬
ються.
Радіуси описаного і вписаного
кіл:
а
~ Ї8СГ
2 sin
п
а
“ 180°
2tg
п
Площу правильного п-кутника можна визначити:
„ па2 , 180°
— через сторону многокутника о = ctg ;
4 п
о nR2 . 360Р
— через радіус описаного кола о = sm ;
2 п
а 2. 180?
— через радіус вписаного кола о = nr tg ——
50
Коло
Основні означення
Колом називається замкнена
плоска крива, всі точки якої од¬
наково віддалені від даної точки
(центра кола), що лежить у тій
же площині, що й крива.
Відрізок R, що з’єднує центр
кола з будь-якою його точкою (а
також довжина цього від-різка),
називається радіусом
Відрізок, що з’єднує дві точки
кола, називається хордою. Хор¬
да, що проходить через центр
кола, називається діаметром.
Діаметр — найбільша із хорд
Дуга — частина кола, розмі¬
щена між двома його точками.
Вписаним кутом називається
кут, утворений двома хордами,
що мають спільний кінець.
Центральним кутом нази¬
вається кут, утворений двома
радіусами
Коло
51
Властивості хорд, дотичних І січних
Коло
7
Рівні хорди стягують рівні дуги 1
AB = СВ => О АВ = О СВ \
1
Б
с
D
Діаметр, що проходить через
середину хорди, перпендикуляр- L
ний до неї \
.О п
А
В
С
„ ... А
Паралельні хорди відсікають
на колі рівні дуги
АВІ | CD ‘U АС =‘U BD С
f \ В
° \
• 1
У J D
Хорди, рівновіддалені від цеп-
тра кола, рівні.
Більша з двох хорд знаходить¬
ся ближче до центра кола
У/ \ В
[ or \
\ D
к
Дотична до кола
Пряма, що лежить в одній пло¬
щині з колом і має з ним тільки
одну спільну точку, називається
дотичною до цього кола
52
Властивості дотичної до кола
Пряма, що перпендикулярна
до діаметра кола й проходить
через його кінець, є дотичною
до цього кола
Дотична до кола перпендику¬
лярна до діаметра, що проходить
через точку дотику
Кути, утворені дотичними, про¬
веденими з однієї точки, і пря¬
мою, що проходить через центр
кола і цю точку, рівні
ZBAO = ZOAC
Відрізки дотичних, проведе¬
них з однієї точки, рівні:
АВ=АС
Січна кола І її властивості
Пряма, що перетинає коло у
двох різних точках, називається
січною
Якщо з точки М поза колом
проведена січна до нього, то до¬
буток відстаней від точки М до
точок перетину з колом дорівнює
квадрату довжини відрізка до¬
тичної з точки М до кола.
MB ■ ВС = МА2
Коло
53
Дотик ДВОХ кіл
Кути у колі
Коло
Кутова величина дуги
Кутовою величиною дуги називається величина відпові¬
дного їй центрального кута
Кутова величина дуги має такі властивості.
1. Кутова величина дуги невід’ємна.
2. Рівні дуги мають однакову кутову величину.
3. Якщо дві дуги одного кола (або двох рівних кіл) мають
однакову кутову величину, то вони рівні
Кругове (радіанне) вимірювання кутів
Радіан — кут, що відповідає дузі, довжина якої дорівнює
її радіусу, містить приблизно 57 17'44,8".
Радіан приймається за одиницю вимірювання кутів при так
званому круговому, чи радіанному, вимірюванні кутів.
а . . .180
Якщо кругова міра кута дорівнює а, то кут містить а
пп л
градусів; навпаки, кут в п має кругову міру ^gg •
Наприклад, кутам у ЗО", 45", 60", 90°, 180 відповідають
ляля
кути, що Містять — , я радіан.
54
Вписані кути
Вписаний кут вимірюється по¬
ловиною дуги, на яку він спи¬
рається, і дорівнює половині
центрального кута, що спираєть¬
ся на ту ж дугу:
ZABC = — о АС
2
Вписані кути, що спираються
на одну дугу, рівні
Za = Zp
Коло
Вписаний кут, що спирається
на діаметр (півколо),— прямий
ZABC = 90°
Кут, утворений двома січними
Кут, утворений двома січними,
вимірюється піврізницею дуг,
що містяться між двома його сто¬
ронами
ZBAE = uCD - uBE)
55
Довжина кола І дуги
Довжиною кола називається
загальна границя периметрів
вписаних і описаних правильних
многокутників при необмежено¬
му подвоєнні числа їх сторін.
Відношення довжини кола до
його діаметра однакове для всіх
кіл і позначається я.
Я = 3,14159....
Довжина кола радіуса R дорів¬
нює 2л2?
Коло
Довжина дуги, виражена в ра-
діанній мірі, дорівнює добутку
числа її радіанів на радіус кола
І = a-R
(а — кут у радіанах, який
спирається на цю дугу)
І = 2nR
Площа круга І його частин
Площа круга
R /
1 2
Площа сектора <8 = —— aR
Сі
(а - кут у радіанах)
Площа сегмента
8 = -і- (а - sin а) 7Ї2
СФ
56
Прямі і площини у просторі
Спосіб задання площини
Паралельність прямих І площин
Прямі І
ПЛОЩИНИ
у просторі
Взаємне розміщення прямих у просторі
Дві прямі у просторі перетина¬
ються, якщо вони мають лише
одну спільну точку
plq = C
Дві прямі у просторі назива¬
ються паралельними, якщо
вони лежать в одній площині
і не мають спільних точок
57
Дві прямі у просторі назива¬
ються мимобіжними, якщо
не існує площина, що містить ці
прямі
Взаємне розміщення прямої і ПЛОЩИНИ у просторі
Пряма і площина перетина¬
ються, якщо вони мають одну
спільну точку:
(А називається слідом прямої р
на площині а)
Пряма називається паралель¬
ною площині, якщо вона лежить
у цій площині або не має з нею
спільних точок
Прямі І
площини у
просторі
58
Ознаки паралельності прямих і площин у просторі
Для того щоб пряма р була па¬
ралельна площині сх, достатньо,
щоб ця пряма була паралельна
хоча б одній прямій q, що лежить
у площині сх.
Якщо прямар паралельна пло¬
щині сх, то вона паралельна лінії
перетину а з будь-якою площи¬
ною р, що проходить через р
Пряма р, яка паралельна
кожній з двох площин сх і р, що
перетинаються, паралельна їх
лінії перетину q
Ознака паралельності двох площин
Якщо дві прямі, що перетина¬
ються і лежать у площині сх,
відповідно паралельні двом пря¬
мим, які перетинаються і лежать
у площині р, то ці площини па¬
ралельні
Прямі І
площини
у просторі
Властивості паралельних прямих у просторі
Прямі, одержані при перетині
двох паралельних площин тре¬
тьою, паралельні між собою
сх 11 Р; с/1 Ір
59
Паралельне проектування
При паралельному проектуванні задаються:
— площина проектування а,
— напрям проектування (пряма І)
Прямі І
площини у
просторі
Паралельною проекцією точки
А на площину а називається точ¬
ка перетину прямоїр, що прохо¬
дить через точку А і паралельна
напряму проектування, з пло¬
щиною проектування а
А1 = пРосА
Паралельна проекція на пло¬
щину а всіх точок фігури Ф ут¬
ворює фігуру Фр яка називаєть¬
ся паралельною проекцією фігу¬
ри Ф на площину а
Фі = ПР«Ф
60
Властивості паралельних проекцій
1. Паралельна проекція прямої — це або точка, або
пряма.
2. Паралельні проекції паралельних прямих р і q, що не
паралельні напряму проектування І, паралельні.
3. Відношення довжин відрізків прямої дорівнює відно¬
шенню довжин їх проекцій
Перпендикулярність прямих І ПЛОЩИН
Перпендикуляр і похила до площини
Перпендикуляром, опуще¬
ним з даної точки на дану пло¬
щину, називається відрізок,
що з’єднує дану точку з точ¬
кою площини і лежить на
прямій, яка перпендикулярна
до площини.
АВ — перпендикуляр до пло¬
щини а
АС — похила до площини а
Прямі і
ПЛОЩИНИ
у просторі
Похилою, проведеною з даної точки до даної площи¬
ни, називається будь-який відрізок, що з’єднує дану точ¬
ку з точкою площини і не є перпендикуляром до цієї пло¬
щини
61
Ознака перпендикулярності прямої і площини
Для того щоб пряма була пер¬
пендикулярна до площини, до¬
статньо, щоб вона була перпен¬
дикулярна до двох будь-яких
прямих, що перетинаються і ле¬
жать у цій площині
Теорема про три перпендикуляри
Прямі І
площини у
просторі
Пряма теорема
Пряма, що проведена на пло¬
щині перпендикулярно до про¬
екції певної похилої, перпенди¬
кулярна і до самої похилої
Обернена теорема
Пряма, що проведена на пло¬
щині перпендикулярно до похи¬
лої, перпендикулярна і до орто¬
гональної проекції цієї похилої
Відстань від точки до площини
Якщо з точки А, що лежить
поза площиною а, провести до
неї перпендикуляр і похилу, то:
1) перпендикуляр коротший за
будь-яку похилу;
2) рівні похилі мають рівні про¬
екції і рівним проекціям
відповідають рівні похилі;
62
3) з двох похилих, що мають нерівні проекції, довша та,
проекція якої довша
Відстань від точки до площини, що не містить цю точку,
дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точ¬
ки на дану площину
Властивості перпендикулярів до площини
Площина, що перпендикуляр¬
на до однієї з двох паралельних
прямих, перпендикулярна і до
другої прямої
Прямі, що перпендикулярні до
однієї площини, паралельні між
собою
Прямі І
ПЛОЩИНИ
у просторі
Відстань між мимобіжними прямими
Відстань між мимобіжними
прямими дорівнює довжині пер¬
пендикуляра, опущеного з будь-
якої точки однієї прямої на пло¬
щину, що проходить через дру¬
гу пряму паралельно першій
63
Кути у просторі
Кут між прямою І площиною
Кутом між похилою АС і пло¬
щиною а називається величи¬
на кута між похилою та її орто¬
гональною проекцією (ВС) на
цю площину
Кут між похилою та її ортого¬
нальною проекцією менший, ніж
кут між похилою і будь-якою
іншою прямою, що проведена
у цій площині через основу похи¬
лої
Кути у
просторі
Пряма, перпендикулярна
до однієї з двох паралельних пло¬
щин, перпендикулярна і до дру¬
гої
Площини а і р, перпендику¬
лярні до однієї й тієї ж пря¬
мої р, паралельні між собою
Похила до двох паралельних
площин утворює з ними рівні
кути
р
8
/а
/ в
А
АВі
X
64
Двогранні кути
Двогранним кутом нази¬
вається фігура, утворена двома
півплощинами ос і Р із спільною
прямою MN, що їх обмежує.
Півплощини ос і Р називаються
гранями, а пряма MN — ребром
двогранного кута
Перетинання двогранного кута
з площиною, перпендикулярною
до його ребра, називається ліній¬
ним кутом двогранного кута
Усі лінійні кути двогранного кута рівні
За величину двогранного кута приймають величину його
лінійного кута
Кутьі
Лінійні кути, що відповідають
рівним двогранним кутам, рівні,
і навпаки, рівним лінійним ку¬
там відповідають рівні двогранні
кути
65
Кут між площинами.
Перпендикулярні площини
Кутом між двома площинами, що перетинаються, нази¬
вається найменша з величин двогранних кутів, утворених
цими площинами.
Площини а і р, кут між якими дорівнює 9(Г, називаються
перпендикулярними (а ± |3). Якщо дві площини паралельні,
то кут між ними вважається рівним 0
0°„ (<х,р).. 90°(
Кути у
просторі
Площина а, що проходить че¬
рез перпендикуляр р до другої
площини р, перпендикулярна до
ПЛОЩИНИ р
Якщо дві площини сх і Р взаєм¬
но перпендикулярні, то прямар,
проведена в одній з цих площин
перпендикулярно до їх лінії пе¬
ретину, перпендикулярна і до
другої площини
Якщо сх і Р — дві взаємно пер¬
пендикулярні площини і з точки
А площини а опущений перпен¬
дикуляр р на площину р, то він
лежить у ПЛОЩИНІ (X
66
Многогранники
Основні означення
Многогранником називається
геометричне тіло, поверхня яко¬
го складається із скінченного
числа плоских многокутників
Многогранник називається
опуклим, якщо він міститься по
одну сторону площини кожного
плоского многокутника на його
поверхні
Многокутники, з яких складе¬
на многогранна поверхня, нази¬
ваються її гранями; сторони
многокутників — ребрами, а вер¬
шини — вершинами многогран-
ника
Відрізок, що з’єднує дві вер¬
шини многогранника, які не ле¬
жать на одній грані, називаєть¬
ся діагоналлю многогранника
Многогран¬
ники
Призма І паралелепіпед
Призмою називається многогранник, поверхня якого
є об’єднання двох рівних багатокутників, розміщених у па¬
ралельних площинах (основ призми), і паралелограмів
(бічних граней), число яких дорівнює числу сторін основи
67
Об’єднання граней, що не є ос¬
новами призми, називається її
бічною поверхнею
Призма називається прямою,
якщо її бічні ребра перпендику¬
лярні до площин основ. Бічні
грані прямої призми — прямо¬
кутники
Пепряма призма називається
похилою
Висотою будь- якої призми на¬
зивається перпендикуляр, опу¬
щений з будь-якої точки верх¬
ньої основи на площину нижньої
основи
Паралелепіпед
Многогран¬
ники
Призма, в основі якої лежить
паралелограм, називається па¬
ралелепіпедом
Середина будь-якої діагоналі
паралелепіпеда є центром його
симетрії
Протилежні грані паралелепі¬
педа рівні і паралельні
Усі діагоналі паралелепіпеда
перетинаються в одній точці
і діляться нею навпіл
О — центр симетрії
68
Прямокутний паралелепіпед
Прямий паралелепіпед, в ос¬
нові якого лежить прямокутник,
називається прямокутним
Довжини трьох ребер прямо¬
кутного паралелепіпеда, що ви¬
ходять з однієї вершини, назива¬
ються його вимірами
Прямокутний паралелепіпед,
у якого всі три виміри рівні, на¬
зивається кубом
У прямокутному паралелепі¬
педі квадрат довжини діагоналі
дорівнює сумі квадратів трьох
його вимірів
d2 = а2 + Ь2 + с2
Площа поверхні і об’єм призми
Бічна поверхня S6 = pl.
М
\С
&ер — периметр перпендикуляр-
а /LL——-
D
ного перерізу (для прямої при-
1 1
зми — периметр основи);
/В і
і м /
1 — довжина бічного ребра.
в иту—
Повна поверхня
/ і 4
"Тд N
S п = S б + 2S 0,
і СІ
де So — площа основи.
/
1
Об’єм V=S l,
де S — площа перпендикулярно¬
го перерізу (для прямої призми —
Аі І— '
D,
площа основи);
KLMN — перпендикуляр
ний переріз,
1 — довжина бічного ребра
ВР — висота
Многогран¬
ники
69
Площа поверхні та об’єм прямокутного паралелепіпеда
Бічна поверхня
S,-, = 2с (а + Ь).
Повна поверхня
Sn = 2 (ас + be + ab).
Об’єм V = abc
Правильні многогранники
Опуклі многогранники, всі грані яких правильні много¬
кутники, називаються правильними многогранниками
Тетраедр Куб Октаедр
Додекаедр
Многогран¬
ники
Основні формули
Правильні
многогранники
Радіус опи¬
саної сфери
Радіус впи¬
саної сфери
Об’єм
Тетраедр
а-/б~
a-jfT
а3-УіГ
4
12
12
Куб
ау[з~
а
з
2
2
а
Октаедр
а^2~
а^/б~
а3у/2~
2
6
3
а — довжина ребра многогранника
70
Піраміда
Пірамідою називається много¬
гранник, однією з граней якого
є многокутник (основа пірамі¬
ди), а інші грані (бічні грані) -
трикутники із спільною верши¬
ною (вершина піраміди)
Перпендикуляр, опущений з
вершини піраміди на площину
її основи, називається висотою
піраміди
Об’єм піраміди
V = -Soh,
З
де So — площа основи;
h — висота
SO — висота
Повна поверхня піраміди
де S6 — площа бічних граней,
So — площа основи
Зрізана піраміда
Многогран
ники
Площина, що перетинає піраміду і паралельна її основі,
ділить її на дві частини: піраміду, подібну до даної
і так звану зрізану піраміду (А1В1С1Д>1АВСП).
Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники, а бічні
грані
71
Висота зрізаної піраміди — це
відстань між площинами її основ.
Об’єм зрізаної піраміди
v = (Si + Тад + s2),
о
де Sx І S2 — площі основ,
h — висота
Повна поверхня зрізаної піраміди
Sn = Si + S2 +
де Si і S2 — площі основ,
— площа бічних граней
Правильна піраміда
Многогран¬
ники
Піраміда називається пра¬
вильною, якщо в її основі ле¬
жить правильний многокутник і
висота піраміди проходить через
центр основи
Бічні грані правильної
пірамі-ди — рівні між собою
рівнобедрені трикутники, висо¬
та кожного з цих трикутників
називається апофемою
Бічна поверхня правильної
піраміди дорівнює добутку півпе-
риметра основи на апофему
Зрізана піраміда, яка утво¬
рюється з правильної піраміди,
також називається правильною
72
Тіла обернення
Циліндр
Циліндрична поверхня — це
множина прямих (твірних) про¬
стору, паралельних заданому на¬
прямку і таких, що проходять
через певну лінію (напрямну).
Циліндр — це тіло, обмежене
замкнутою циліндричною по¬
верхнею і двома паралельними
площинами, що перетинають
її,— основами циліндра
Циліндр, у якого основи пер¬
пендикулярні до твірної і явля¬
ють собою круги, називається
прямим круговим циліндром
(часто називають просто цилін¬
дром).
Об’єм такого циліндра
V = itrh;
бічна поверхня
S= 2nrh,
АВ — твірна,
Fr і F2 — основи,
AKNLA — напрямна
Тіла
обернення
цег — радіус основи,
h — висота циліндра
73
Конус
Конічна поверхня — це мно¬
жина прямих (твірних) просто¬
ру, що з’єднують всі точки пев¬
ної лінії (напрямної) з даною точ¬
кою (вершиною) простору, що не
лежить у площині напрямної.
Конус — це тіло, обмежене
замкненою конічною поверхнею
і площиною, що містить напрям¬
ну (площину основи).
S — вершина,
F — основа,
ABCDA — напрямна,
SA, SB, SC, SD — твірні,
SO — висота
Перпендикуляр, опущений
з вершини конуса на площину
основи, називається висотою
конуса.
Частина конічної поверхні, що розташована між верши¬
ною і площиною основи, називається бічною поверхнею
конуса
обернення
Прямий круговий конус
S
Конус називається прямим
круговим, якщо його напрямна —
коло, а вершина ортогонально
проектується в його центр.
(У курсі елементарної геометрії
його називають просто конус)
д
■.. А А
о А
74
Основні властивості і формули
Прямий круговий конус можна утворити обертанням пря¬
мокутного трикутника навколо одного з його катетів. При
цьому обертанні другий катет опише основу конуса, а гіпо¬
тенуза — бічну поверхню конуса
Довжина твірної І = фі2 + г2.
Об’єм V = -і- п r2 h.
О
Бічна поверхня S6 = nrl.
Повна поверхня Sn = nr (І + г),
де і— радіус кола основи,
h — висота конуса
Зрізаний конус
При перетині конуса площи¬
ною, що паралельна його основі,
утворюється фігура, гомотетич-
на основі, причому центром
гомотетії служить вершина ко¬
нуса.
Частина конуса, обмежена
його основою і січною площи¬
ною, паралельною основі, нази¬
вається зрізаним конусом.
Висотою зрізаного конуса нази¬
вається відрізок перпендикуля¬
ра, опущеного з будь-якої точки
верхньої основи на нижню
Тіла
обернення
75
Основні властивості і формули
Площі паралельних перетинів конуса відносяться до площі
його основи, як квадрати їх відстаней до вершини конуса.
Довжина твірної / =Л/(Д-Г)2 + h2 ;
об’єм V = — я/г (R2 + г2 + 7?г);
О
бічна поверхня Sfi = я (R + r) І,
де т радіус кола верхньої основи,
R — радіус кола нижньої основи,
h — висота зрізаного конуса
Сфера і куля
Тіла
обернення
Сфера — це замкнена поверх¬
ня, що складається з усіх точок,
однаково віддалених від однієї
точки (центра сфери).
Відрізок, що з’єднує центр сфе¬
ри з будь-якою її точкою, нази¬
вається радіусом сфери.
Площа поверхні сфери
S = 4яД2
Частина простору, що обмеже¬
на сферою і містить її центр, на¬
зивається кулею.
4 з
Об’єм кулі V = яй
76
Площина, що має з кулею
(сферою) тільки одну спільну
точку, називається дотичною до
кулі (сх), а та, що має більше,
ніж одну спільну точку,—
січною площиною
Кульовий сегмент — це час¬
тина кулі, що відтинається
січною площиною.
Об’єм кульового сегмента
V = -L л/і2 (ЗД - /і);
бічна поверхня
S = 2nRh,
де R — радіус кулі,
h — висота кульового сегмента
Кульовий шар — це частина
кулі, що міститься між двома па¬
ралельними площинами, які
проходять через кулю.
Об’єм кульового шару
у = Л_кГг. (За2 + зь2 + /і2);
бічна поверхня
S = 2л2?Л,
де R — радіус кулі,
h — відстань між площинами
основ,
а і b — радіуси основ
Тіла
обернення
77
Кульовий сектор — це геомет¬
ричне тіло, що утворюється при
обертанні кругового сектора
навколо одного з радіусів, який
обмежує круговий сектор.
Об’єм кульового сектора
2 о
V = nR2h ;
З
поверхня кульового сектора
S = nR (2h + а),
де R — радіус сектора,
h — проекція хорди, що стягує
дугу сектора, на вісь обертання;
а — відстань від кінців хорди
до осі
Тіла
обернення
Взаємне розміщення двох сфер
Пехай є дві сфери з центрами відповідно Оі і О2 і радіусами
Д, і R2. Тоді:
1) якщо ОіО2 > R, + R2 або ОіО2 < I Ri — R21, то ці сфери не
мають спільних точок;
2) якщо ОіО2 = Ri + R2 або ОіО2 = | Ri — R21, то вони дотика¬
ються;
3) якщо І Д — R2 і < ОіО2 < Ri + R2, то вони перетинаються по
колу
78
Декартова система координат
Вісь — пряма лінія із зазна¬
ченим на ній напрямом
Вісь координат — вісь, на
якій задано початок відліку,
одиниця масштабу, і кожному
дійсному числу відповідає пев¬
на точка
О А(2)
• 1 ♦ 1 F
\\ 1 2 3 4
Початок відлітку
Декартові координати на площині
й у просторі
На площині
Дві взаємно перпендику¬
лярні осі координат (вісь аб¬
сцис Ох, вісь ординат Оу)
із спільним початком від¬
ліку.
Кожній точці площини
ставиться у відповідність
пара чисел (хА, у , гА) —
координати проекцій точки
на відповідні осі координат
У просторі
Три взаємно перпендику¬
лярні осі координат (вісь абс¬
цис Ох, вісь ординат Оу, вісь
аплікат Ог) із спільним почат¬
ком відліку.
Кожній точці простору ста¬
виться у відповідність трійка
чисел (.Та, Уа, 2а) — координа¬
ти проекцій точки на від¬
повідні осі координат
Декартова
система
координат
79
Основні координатні формули
Декартова
система
координат
80
Координати середини відрізка
На площипі У просторі
х = + Х2 . х = хг + Х2 . = У1 + у 2 .
2 ’ 2 ’ у 2
У1 + У2 „ _ 2І + г2
У 2 2
Рівняння прямої
!/1
Загальне рівняння прямої
ах + by + с = 0,
де а / 0 або b Ф 0 —
X
Рівняння прямої з кутовим У
коефіцієнтом
у = кх + Ь,
де ft = tg а °/
S ' X
Рівняння прямої у відрізках у
х у 1 b
+ -У— = 1
а Ь
(а/0,Ь/0) О
її* X
Рівняння прямої, що прохо- У
дить через дві задані точки
У ~ Уі = х- хг
У2 ~ Уі х2-х± °
( »>; ys)
(хг, уО
X
Декартова
система
координат
81
Декартова
система
координат
82
Умова паралельності прямих
т^. а±х + Ь±у + сх = 0;
т2: а2х + Ь2у + с2 = 0;
«і Ь ; с±
а2 Ь2 с2
k±x + &х:
т2. к2х + Ь2,
= k2, (Ьг Ф Ь2)
Декартова
система
координат
83
Умова
перетину
прямих
%
J -
е е
/гх Ф k2
Координати
точки пере¬
тину
х &1С2 - b2ct
аіЬ2 — а2Ьу
doC-t d-tCo
У А = А А
Я1&2 а2^1
Ь2 - &!
XA ~ і і
*1 - *2
k}b2 - k2br
У A - , ,
*1 - *2
Кут між пря¬
мими, що пе¬
ретинаються
d-t Ь9 dob-\
tg a =——
axa2 + bxb2
ft2 - *1
tg a = — —
1 +
Декартова
система
координат
Рівняння кола
уі
3 центром на початку коорди- /
нат І О
\ X
2 2 ^2 \
х + у = R \
У1
3 центром у точці (х0; у0) Уо
. .2 . .2 ^2
(х - Хо) + (у - Уо) = в
ОІ
Хо х
84
Рівняння площини
Загальне рівняння площини
ах + by + CZ + d = 0,
де коефіцієнти а, Ь, с дорівню¬
ють координатам вектора
п (а; Ь-, с), перпендикулярного
до даної площини (а, Ь, с не дор¬
івнюють нулю одночасно)
Рівняння площини, що про¬
ходить через точку Мо (х0; у0;
20) і перпендикулярна до векто¬
ра її (а; Ь; с)
а (х - х0) + b (у - уо) + с (z - z0) = 0
або
ах + by + С2 + d = 0,
де d = - (ах0 + by0 + cz0)
Декартова
система
координат
85
Рівняння площини у відрізках
а b с
де а, Ь, с — відрізки, що відти¬
наються площиною на коорди¬
натних осях
(а Ф 0; b Ф 0; с Ф 0)
Окремі випадки положення площини відносно
системи координат
Площина проходить через по¬
чаток координат
ах + by + cz = 0
Площина паралельна коорди¬
натній осі
Oz ах + by + d = 0
Оу ах + cz + d = 0
Ox by + cz + d' = 0
Декартова
система
координат
Площина проходить через ко¬
ординатну вісь
Ox by + cz = 0
Оу ах + cz = 0
Oz ах + by = 0
Площина паралельна коорди¬
натній площині
ху cz + d' = 0
xz by + d' = 0
yz ax + d = 0
86
Декартова
система
координат
87
Вектори
Основні означення
Скаляр (скалярна величина) —
величина, кожне значення якої
можна виразити дійсним
числом
f — довжина;
Скаляри: J — площа;
— об’єм
Вектор — напрямлений від¬
різок прямої, у якого один кінець
(точка А) називається початком
вектора, другий кінець (точ¬
ка В) — кінцем вектора.
Позначення вектора:
—>
AB, АВ, а, а, а
в
АВ^^
А«^^
Модуль вектора — скалярна
величина, що дорівнює відстані
між початком і кінцем вектора
(довжині вектора).
Позначення модуля вектора:
А В
|АВ\=4
Нульовий вектор — вектор, по¬
чаток і кінець якого збігаються
А ->
. АВ = 0
Два вектори називаються
рівними, якщо вони мають рівні
модулі й однаково напрямлені
II
te
te
Вектори
Два вектори називаються колі¬
неарними, якщо вони лежать на
одній або на паралельних пря¬
мих
88
Два однаково напрямлених
колінеарних вектори назива¬
ються співнапрямленими
Два неоднаково напрямлених
колінеарних вектори називають¬
ся протилежно напрямленими
Координати вектора
У .
Координатами вектора на¬
зиваються координати кінця
рівного йому вектора, відкладе- '
ного від початку координат у ■
ч а = ОА
А (6; 2)
О
1 2 3 4 5 6 х
Обчислення координат і модуля вектора
У нросторі
У
Ув
Z
Уа
На площині
В (хв; ув)
а (ах; ау)
В( xB;yB;zB)
? ®z)
А (хА; уА; zA)
А (х^; уА)
У
О
хА
хв
X
х /
ах — Хв —
ах =
Хв -
ХА,
av = Ув УА’
=
У В -
Уа,
*в- *А>
+ ау
ах + аи +
Вектори
89
Лінійні операції над векторами
Сума векторів
Правило трикутника
Сумою а + b векторів а і Ь
називається вектор, проведений
з початку а у кінець b , якщо
кінець а і початок b суміщені
Правило паралелограма
Якщо вектори а і b прикла¬
дені до спільного початку, то їх
сума є вектор, що збігається з
діагоналлю паралелограма, по¬
будованого на векторах а і b
Правило многокутника
Якщо до кінця кожного додан¬
ка прикласти початок наступно¬
го, то вектор, що йде з початку
першого в кінець останнього до¬
данка, і є сумою всіх цих до¬
данків
d(ax;ay) + b(bx;by) =
= с(ах + Ьх;ау + Ьу)
Правило паралелепіпеда
Вектори
90
Властивості операції додаваппя векторів
1- а + b = Ь + а (переставний закон).
2. (а + Ь) + с = а + (І> + с)(сполучний закон).
3. а + 6 = а (наявність нульового елемента).
4. а + (- а) = 0 (наявність протилежного елемента)
Різниця векторів
Різницею а - b векторів а і Ь - - -
/ с = а - b
називається вектор С такий, що д /
с + b = а /
На площині:
d(ax;ay) - b (bx;by) = с(ах - Ьх;ау - Ьу).
У просторі:
а(ах; ау; аД - b(bx; Ьу; ЬД = с(ах - Ьх; ау - Ьу; аг - ЬД
Множення вектора на число
Добутком, /Д вектора а на
число X у разі Х^О, а 0 нази¬
вається вектор, колінеарний а ,
модуль якого дорівнює I А11 а |
який спрямований у той же бік,
що й вектор а , якщо А > 0, і у
протилежний, якщо А < 0.
Якщо А = 0 або а - 6, то Аа = 0.
На площині: А ■ (ах; ау) = (Azix; Хау) •
У просторі: Х (ах; ау; аД = (Хах; Хау; 7мД
Вектори
91
Властивості операції мпожеппя вектора па число
1- Л(а + Ь) = Ха + ХЬ (розподільний закон відносно скла¬
дання векторів).
2. (Л + |1)а = Ха + |1й (розподільний закон відносно скла¬
дання чисел).
3. Х(ца) = (А.ц) а (сполучний закон).
4. 1 а = а (множення на одиницю)
Кут між векторами
Кутом між векторами нази-
.D
вається кут між векторами, Г У
рівними даним і такими, що
мають спільний початок А • -—
а = Z(d,b) = (а; Ь)
X \ а
а
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком ненульо-
вих векторів d і b називається
число, що дорівнює добутку дов¬
жин цих векторів на косинус
кута між ними.
Вектори
На площині: а b = ах ■ Ьх + ау ■ Ьу .
У просторі: а b = ах Ьх + ау Ьу + аг Ь2
92
Властивості скалярпого добутку
1. а а = І а І 2
2. a b = b а
3. (xd)b = х(а Ь)
4. (а + c) b = d b + с b
Умова колінеарності векторів
Вектори а і b колінеарні,
якщо їх відповідні координати
пропорційні.
b = kd
Т Т • ”х У ,
На площині: —— = —— = к.
ах ау
„ ■ Ьх ьу ьг ,
У просторі: —— = = = к
ах ау аг
Координатні вектори
Вектор називається одиничним, якщо його абсолютна ве¬
личина дорівнює одиниці. Одиничні вектори, що мають на¬
прямлення додатних координатних півосей, називаються
координатними векторами, або ортами. Координатні век¬
тори осей Ох, Оу, Oz позначають і, j,k або ех, е2, е3, відпо¬
відно:
На площині:
У просторі:
Вектори
93
Розкладання вектора по координатних осях
У просторі:
Література
1. Математический знциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред.
кол.: С. И. Адян и др.— М.: Сов. Знцпклопедия, 1988.— 847 с.
2. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7—11 кл. сред. шк.— М.: Просве-
щенпе, 1992—1997.
3. Погорелов А. В. Геометрия. 10—11 кл.: Решение задач из учебнпка Погорелова
А. В. «Геометрия. 7—11».— М.: Дрофа, 1996.—112 с.
4. Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. —
Львів: ВПТЛ, 1977,— Ч. II,— 78 с.
5. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рьіжик В. И. Пачала стереометрпи —М.:
Просвещение, 1981.— 224 с.
6. Бородин А. И., Евдокимов Д. К., Каменская М. В., Палант Ю. А.
Математика.— К.: Вища школа, 1974.— 256 с.
7. Пелин Е. П. Геометрия в таблицях. — Харьков: Мир детства, 1997.
8. Каченовский М. И., Колягин Ю. М., Луканкпн Г. Л., Яковлев Г. П.
Геометрия. — М.: Паука, 1978.— Ч. 1 — 176 с.
9. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ, материальї.— М.:
Просвещение, 1988.— 416 с.
Предметний покажчик
Б
Бісектриса
— кута 9
— трикутника 17
Бічна новерхня
— конуса 75
— ніраміди 71
— нризми 69
— циліндра 73
В
Вектор 88
— нульовий 88
— одиничний 93
Вектора
— координати 89
— модуль 88
Вектори
— колінеарні 88
— протилежно нанрямлені 89
— рівні 88
— снінанрямлені 89
Висота трикутника 16
Вісь 79
— координат 79
— обертання 14
— симетрії 14
Властивість
— бісектриси трикутника 22
— вертикальних кутів 8
— висоти трикутника 23
— медіани трикутника 21
— середньої лінії трикутника 17
Властивості
— зовнішнього кута трикутника 18
— кутів, внисаних у коло 55
— нар внутрішніх різносторонніх і внут¬
рішніх односторонніх кутів 11
— нернендикуляра і нохилих 14
— руху 13
— скалярного добутку векторів 93
Г
Гіпотенуза 29
Гомотетія 15
Грань многогранника 67
д
Декартові координати
— на площині 79
— у нросторі 79
Дзеркальне відбиття 14
Діагональ многокутника 49
Діаметр кола 51
Довжина кола 56
Дотик двох кіл 54
Дотична нряма до кола 52
Дуга кола 51
К
Катет 31
Квадрат 43
Коефіцієнт подібності 15
Коло
— внисане у трикутник 17
— онисане навколо трикутника 17
Конус 74
— зрізаний 75
— нрямий 74
Координати вектора 88
Косинус ЗО
Кульовий
— сегмент 77
— сектор 78
— шар 77
Куля 76
Кут
— внисаний у коло 51
— гострий 9
— двогранний 65
— зовнішній 16
— між векторами 92
— між площинами 66
— нрямий 9
— розгорнутий 8
— туний 9
— центральний 51
Кути
— вертикальні 8
— відповідні 11
— внутрішні односторонні
і внутрішні різн©сторонні 10
— прилеглі 8
— суміжні 8
Кутова величина дуги кіл 54
Л
Ламана 48
М
Медіана трикутника 17
Многогранник
— онуклий 67
— правильний 70
Множення вектора на число 92
Многокутник 48
— внисаний у коло 48
— онуклий 49
— онисаний навколо кола 48
— правильний 50
Н
Нерівність трикутника 18
О
Об’єм
— конуса 76
— кулі 76
95
— кульового
сегмента 77
сектора 78
шару 77
— наралеленінеда 70
— ніраміди 71
— нризми 69
— прямокутного наралеленінеда 70
— циліндра 73
Обертання навколо осі 14
Об’єми подібних тіл 15
Ознака
— паралельності
нлощин 59
нрямої і нлощини 59
— перпендикулярності
нлощин 66
нрямої і нлощини 62
Ознаки
— паралельності нрямих 11
— подібності трикутників 20
— рівності трикутників 19
Орт 93
Основа нернендикуляра 12
Н
Наралеленінед 68
— прямокутний 69
Паралелограм 37
Паралельне перенесення 13
Паралельність
— нлощин 59
— нрямих 57
— нрямої і нлощини 58
Перетворення подібності 15
Перетворення нростору 13
Нернендикуляр 12
— до нлощини 61
— до нрямої 12
Перпендикулярність
— нлощин 66
— нрямої і нлощини 62
Піраміда 71
— зрізана 72
Площа
— круга 56
— паралелограма 39
— прямокутника 42
— новерхні сфери 76
— транеції 47
— трикутника 25
Площі подібних фігур 15
Поворот 14
Подібність 15
Нохила 12
Правило
— многокутника 90
— паралелограма 90
— наралеленінеда 90
— трикутника 90
Призма 67
— нохила 68
— нряма 68
Проекція вектора на вісь 89
Нромінь 8
Нряма 11
Нрямі
— паралельні 11
— нерехресні 58
— нернендикулярні 12
Прямокутник 42
Р
Радіан 54
Радіус
— кола 51
— кулі 76
Рівність трикутників 19
Рівняння
— кола 84
— нрямої 81
Різниця векторів 91
Ромб 40
Рух 13
С
Середня лінія
— транеції 45
— трикутника 17
Симетрія 14
Синус ЗО
Січна 53
Скалярний добуток векторів 92
Сума векторів 90
Сфера 76
Т
Тангенс ЗО
Теорема
— косинусів 33
— Ніфагора ЗО
— нро три нернендикуляри 62
— синусів 33
— Фалеса 13
Тіло обертання 73
Транеція 45
— рівнобедрена 45
— нрямокутна 45
Трикутник
— прямокутний 29
— рівнобедрений 26
— рівносторонній 27
Ф
Фігури нодібні 15
Формула Герона 25
X
Хорда 51
Ц
Центр
— гомотетії 15
— кола 51
— симетрії 14
Циліндр 85
Ч
Чотирикутник 34
96