ТРУДОВАЯ ШКОЛА
С. С. ДЕРЖАВИН \
4
571
  I
Я-3*5
> ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
АЛГЕБРА
ЧАСТЬ I
\
•'лг
:	;/	Г>.<гоР	\	л
* 1S3S г.
Допущено Научно-Педагогической Секцией
Государственного Ученого Совета
Ж'
Члзгй'
кциеи -
И
►
VI
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТг/ьСТВО
:нинград /
A ЕI
1426
/

..I	**.
/	ОрЛп
;	JJomt^liCttiWo \
| ^^Т1иПОгрофыч^| \
Лсичи^оД	/
'1
4
«elUv*
f
. »/«•»* I “••• ••‘•«e**--*
". W	•>	M	*
Ленгив «N5 11267.
Ленпнгралсьий Гублит }<fi 13428.
10,000 bKd.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Предлагаемый курс Элементарной Алгебры (часть первая)
преследует две цели:
а) сообщить краткие сведения о простейших тождествен¬
ных преобразованиях применительно к решению уравнений;
б) дать понятие об элементах графической грамотности
в связи с изучением простейших функций.
В виду значительности той роли, которая на протяже¬
нии всего курса отводится геометрическим интерпретациям
алгебраических положений, в самом же начале курса (§§ 1—12)
предварительно дается пойятие о наглядном представлении
чисел и действий над ними на числовой прямой. Здесь же
впервые читатель знакомится с понятием о переменном числе
(§ 3), с построением графиков на основе опытных данных
(§ 4) и с нахождением неизвестного числа по данным усло¬
виям (§§ 12 и 12-а).-,
Вопросу о тождественных преобразованиях (формальной
стороне алгебры) уделено внимания не больше, чем эго тре¬
буется для выработки чисто технических навыков в упро¬
щении уравнений. Но так как тождественные преобразования
являются обобщением законов .арифметических действий, то
осознанные и прочные навыки* и#^бл*сти этих преобразова¬
ний обусловливаются отчетливым подставлением упомяну¬
тых законов. Поэтому, вполне естественным является то
внимание, которое уделено разнообразной проверке этих
законов с целью их уяснения §§ 14—19 и 27 — 32).
При рассмотрении сокращенных тождественных преобра¬
зований (по формулам) приведена формула бинома Ньютона
Для целого положительного показателя (§ 40). Закон составле¬
ния биномиальных коэффициентов установлен индуктивно
из рассмотрения частных примеров и с помощью таблицы
Паскаля (§ 39).
Идея функциональной зависимости, являющаяся основой
всякого уравнения, занимает в предлагаемом курсе централь¬
ное место, вследствие чего при решении и исследова! ии
Уравнений (а также систем уравнений) широко использован
1*

— 4 —
графический метод. С его помощью обнаружена необходт]
мость расширения понятия о числе (§ 52).
Сложение и вычитание относительных чисел истолкован^]
на числовой прямой.
Справедливость законов арифметических действий дл
относительных чисел доказана аналитическим путем (§§ 61
62, 64 и 65); но в виду сравнительной сложности и отвле
ченности аналитических доказательств следует предпочест^
способ числовой проверки (§§ 60 и 63).
Введение понятия об относительном числе создает в изуче^
нии тождественных преобразований буквенных выражени;
второй концерт (§§ 67 — 72;.
Дальнейшие отделы посвящены изучению функции первог<
порядка (закон прямой линии) и простейших дробны^
функций.
Изучению функции первого порядка предшествует глава!
об арифметической прогрессии, основные свойства которой!
иллюстрированы и геометрически. В этой же главе дано|
понятие об интерполировании и экстраполировании.
Так как выражение закона прямой пропорциональности
представляет один из простейших видов функции первого
порядка, то с него и начато изучение этой последней
Необходимо отметить, что изучение функции первого]
порядка при всех вариациях ее параметров сопровождается
графической иллюстрацией, тесно связанной с аналитическим!
исследованием
В качестве практического приложения указано на приме,
нение в некоторых случаях графика линейной функции]
к установлению эмпирических формул (§ 85.)
Из дробных функций более детальному изучению подверг^
лась функция, выражающая закон обратной пропорционал
ности, понятие о которой установлено из рассмотрения кои
кретных задач. При исследовании свойств этой функций
широко использован графический метод. С его помощыв
установлено понятие о бесконечно большой и бесконечно
малой величинах.
Графики дробных функций, представляющих частное о^|
деления линейных функций, получены пуггем смещения гра-1
а
Что касается приемов изложения, то последнему сообщена
с помощью графических иллюстраций и задач, взятых из
жизни и различных областей знания, возможная наглядность.
В курсе содержится свыше 170 примеров и задач и свыше
50 упражнений.
В заключение заметим, что при пользовании предлагаемым
курсом в качестве учебного руководства все напечатанное
мелким шрифтом должно быть исключено.
фика функции: у — —
сс
(преобразование начала координат
с сохранением направления осей).
В связи с изучением функции: у = -~ рассмотрена гармо-^
ническая прогрессия и указано ее применение в физике
и в построении гиперболы по точкам.
Таковы в общих чертах содержание курса и идеи, полон)
женные в его основу.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
Законы арифметических действий и основанные
на них тождественные преобразования буквенных
выражений.
ГЛАВА I.
Наглядное представление чисел.
§ I. Диаграммы.	^
Диаграммами называются чертежи, дающие возмож¬
ность наглядно сравнивать величину разных чисел.
Построения, употребляемые для этой цели, бывают разно¬
образные. Мы остановим наше внимание на двух способах:
1) на изображении сравнительных размеров величин при
помощи отрезков;
2) на изображении сравнительных размеров величин при
помощи площадей.
Указанные способы построений выясним на примерах.
Пример 1.
Изобразить при помощи вертикальных отрезков следу¬
ющую таблицу высот гор в километрах:
Везувий	1,3	килом.
Олимп	3,0	„
Монблан	4 в	„
Эверест	8,8	„
Для решения предложенной задачи нужно выбрать сначала
масштаб. Каждый километр натуры условимся при решении
настоящей задачи из бражать на чертеже отрезком в 1 см.
Тогда высоту Везувия нужно изобразить отрезком в 1 3 см.;
высоту Олимпа — в 3 см. и т. д. Отрезки, изображающие
высоту гор, можно откладывать на отдельных вертикальных
прямых (черт. 2), но можно откладывать и на одной прямой
(черт. 1).

Пример 2.
Площади, занимаемые различными частями света, выра
жаются в квадратных верстах следующими числами:
Южный Полярный материк
. 7
милл.
Австралия
8
Европа .... • . . .
Южная Америка
16
Северная Америка ....
?1
Африка
Азия ...
. 39
л
Изобразить эти числа при помощи прямоугольников одина
ковой высоты.
3.
о 1
4 я 4- Монелям
[• Олмтп
Черт 1.
ч
*
«О
•П
<0
с
*
X
Q
Т *
§
X
Q
5
о
а
й»
<3
П
<f з 3.0	&.а
Черт. 2.
Для построения выберем следующий масштаб: каждый
1 милл. квадр. верст изобразим на нашем чертеже площадью
в 1 кв. см. Тогда площадь Южного Полярного Материка
должна быть представлена 7 кв. см, площадь Австралии —
8 кв. см., площадь Европы — 9 кв. см. и т. д.
Высота прямоугольников может быть выбрана произвольно.
Для удобства вычислений и построений возьмем ее равной
]0 см.
Чтобы определить размеры оснований прямоугольников,
нужно числа, выражающие их площади, разделить на высоту,
т.-е. на 10.
Южным Полярным меъ'гернн [?тплд ле.«7
ЙЕ>С!7'Р/ЯЛИ1$Ч / 3 ГПНПП. П£Ъ е F=>C Т/
■            -=£.
Юж. пяя Дтевнн п£4бпнлл пв bJ
Се&ерняя Дмермкп^^пмллмвв!
/Ззля1
L
Черт. 3.
Ч
Таким образом, основание прямоугольника, изображающего
площадь Южного Полярного Материка, должно равняться
0-7 см.; основание прямоугольника, изображающего площадь
I Австралии, должно равняться 0,8 см., и т. д.
Требуемое построение выполнено на черт. 3.'
J2>D пппп па. aeRCTjJ

— 10 —
§2. — Ряд натуральных чисел; наглядное представле
ние чисел.
Ряд чисел: 1, 2, 3 и т. д. называется рядом натуральны^
чнсгл. Таким обраюм, каждый член этого ряда отличается
от предыдущего или следующего члена того же ряда на еди#
ницу. Не трудно убедиться, что ряд натуральных чисел
бесконечен. В самом деле, как бы велико ни было последнее
число в этом ряду, к нему всегда можно прибавить еще
единицу и, таким образом, ряд продолжить. Переходя
от меньшего числа к большему, мы перемещаемся по число#
вому ряду вправо.	*	|
Числа натурального ряда могут быть представлены на:
глядно с помощью отрезков.
С этой целью на прямой XX, называемой числовой прлг
мою или осью, отмечают некоторую точку О (черт. 4)
и откладывают вправо от нее
Черт. 4.
произвольно выбранную единицу длины (KL) столько раз^
сколько единиц заключается в данном натуральном числе^
Получится ряд точек: А, В, С и т. д., соответствующих
числам натурального ряда. В самом деле, в результате измеч
рения отретка О.-I выбранной единицей длины получим*
число 1; от измерения отрезка ОВ получим число 2; от измен
рения отрезка ОС получим число 3 и т. д.	,
Не трудно видеть, что между каждыми двумя последон
вательными числами натурального ряда заключается беско-t
нечное множество дробных чисел. Возьмем, например, числа
1 и 2. Между этими числами заключается, например, 1 ^ ■
Между числами 1 и 1 ~ заключается, например, 1^-, а межд^
\	з
числами lj и 2 заключается, например, 1^-. Между числами
,	«1	ii
1 и 1 j- заключается 1^ и т. д.
8
1;
lb
1; а Ф 1.
4; 1г; 4; Ц; ll; 111
8’ 2 ’ *8
И Т. д.
1—• 2
8 ’
Табл. 1.
— 11 —
Таким образом, между числами 1 и 2 можно помещать
все новые и новые числа и такому помещению не предви¬
дится конца.	#
Если требуется изобразить наглядно на числовой прямой
дробное число, то сначала делят выбранную единицу длины
на столько равных частей, сколько единиц заключается
в знаменателе данной дроби, а затем полученную часть еди¬
ницы длины откладывают на числовой прямой столько раз,
сколько единиц заключается в числителе данной дроби.
Полученная точка соответствует данному дробному числу.
Так, числу 14- будет соответствовать точка М, числу l4—
Z	#4
точка N (черт. 5) и т. д.
Но числа натурального ряда и помещающиеся между
ними дробные числа еще не исчерпывают собою всех ариф¬
метических чисел. Так среди упомянутых чисел мы не видели
правильных (робей. Легко видеть, что чисел, меньших еди¬
ницы, тоже бесконечное множество, и все они изображаются
К L,	О	Я га ©	d
Y . I Ч	1	W-t—I	1	~_ХГ
ri
Черт. 5.
/
отрезками, имеющими начало в точке О и расположенными
между точками О и А. Отрезок, равный половине единицы
1 ., 1
длины, изображает число -j; отрезок, равный 3 единицы
длины, изображает число | и т. д.
Таким образом, каждому числу (как целому, так и дроб¬
ному) соответствует определенная точка на числовой
прямой.
Впоследствии же мы увидим, что и, наоборот, каждой
точке числовой прямой соответствует вполне определенное
число.	,
Если числитель правильной дроби оставлять вре время
равным‘единице, а знаменатель увеличивать, то дробь будет
уменьшаться, приближаясь к нулю; соответствующие же
получаемым дробям точки на числовой прямой будут при-
бдижат! ся к точке О. Отсюда заключаем, что точка О соот¬
ветствует нулю.
§ 3. Буквенное обозначение чисел.
Если рассуждения о каких-либо величинах ведутся не только
для данных числовых значений этих величин, но для любых
значений этих величин, то говорят, что рассуждения носят
общий характер, отличаются общностью. Так, указывая

— 12 —
на то, что между числами 1 и 2 заключается множество
дробных чисел, мы вместе с тем видели, что утверждение
это справедливо для любых двух последовательных чисел
натурального ряда. Таким образом, рассуждение о числовом
промежутке от 1 до 2 применимо ко всякой другой паре
последовательных натуральных чисел и, следовательно,
имеет общий характер.
В интересах общности обыкновенно числа обозначают |
буквами. Так, рассуждая о двух последовательных числах
натурального ряда, мы могли бы обозначить меньшее из них
через п, большее — через тг —(— 1. Таблица I предыдущего
§ приняла бы следующий вид:
Табл. II.
11;
п;
п;
п;
п
■»+у;
п »
4»	'1Т2>	п^Г4>
?г+8;	?г+т
п-1-1;
я+1;
и+1;
; «Ч
и т. д.
В табл. II п может иметь значения: 0, 1, 2, 3 и т. д.
Разные числа следует обозначать разными буквами. Если
в одной и той же задаче одна и та же буква встречается
несколько раз, то она стоит вместо одного и того же числа.
Когда числа, входящие в задачу, обозначены буквами,
то задача считается решенной, если обозначены те дей¬
ствия. которые следует произвести, чтобы получить ответ.
Иногда удобно бывает обозначение чисел производить
одной какой-нибудь буквой, с разными значками вверху или
внизу с правой стороны, например, аи о2, а3, . . . или
а', а", а"', . . . Понятно, одна и та же буква, взятая с раз¬
личными значками, обозначает различные числа.
Значки, поставленные при букве, носят название индексов•
Пример 1.
Смешано два сорта товара: т килограммов по а рублей
за килограмм и п килограммов по Ъ рублей за килограмм.
Определить стоимость ■одного килограмма смеси.
Так как стоимость одного килограмма товара первого
сорта а руб., то стоимость т килограммов выразится произ¬
ведением а ■ т.
Так как стоимость одного килограмма товара второго
сорта Ъ руб., то стоимость п килограммов выразится произ¬
ведением Ъ ■ п.
— 13 —
Чтобы определить стоимость всего количества товара,
нужно первое произведение сложить со вторым:
а ■ т -f- Ъ • п
Товара было смешано т-\-п килограммов.
Следовательно, деля сумму произведений а ■ т и Ъ п на
сумму чисел т и п, мы определим стоимость 1 килограмма
смеси:
	а».
Таким образом, в ответе мы получили совокупность чисел,
выраженных буквами и соединенных между собою знаками
действий.
Такая совокупность называется буквенным выражением-
Пример 2.
т рабочих окончили некоторую работу в 10 дней. Опре¬
делить, во сколько дней могли бы окончить ту же работу
п рабочих.
Так как т рабочих исполнили работу в 10 дней, то для
одного рабочего потребовалось бы дней для исполнения
работы в т раз больше, т.-е. lOwi.
Зная время, необходимое для исполнения работы одним
рабочим, мы можем определить, сколько дней потребуется
для п рабочих; очевидно, число дней, необходимое для
п рабочих, выразится частным от деления произведения
Юто на число п:
10^> (2).
11
Таким образом, в ответе мы получили совокупность чисел
(из которых некоторые обозначены цифрами, а другие
буквами), соединенных знаками действий.
Такая совокупность называется буквенным выражением.
Итак, совокупность чисел, из которых некоторые обо¬
значены цифрами, а другие буквами, соединенных между
собою знаками действий, называется буквенным выралсе-
нием.	,	Хг
Подставив в выражение вместо букв арифметические
числа и произвели указанные в выражении действия, мы
получим численный ответ (числовое значение выражения).
Таким образом, числовым значением выражения ндзи-
вается то число, которое получится, если буквы заменить
данными числами (значениями этих букв) и npoujbeenni
над ними действия, указанных знаками.

— 14 —
Пример 3.
Какую скорость может развить данная моторная лодка,
идя по течению реки, если известно, что при той же работе
мотора ее скорость в стоячей воде равна п километров
в час, а скорость течения реки а километров в час?
Очевидно, фактическая скорость моторной лодки, движу¬
щейся по течению реки, складывается из той скорости,
какую она имеет в стоячей воде, и из скорости течения
реки.
Поэтому искомая скорость лодки выразится так:
п-\-а	(3).
Числа, данные в условиях решенных выше задач, выра¬
жены с помощью букв. Поэтому, результаты решения рас¬
смотренных задач отличают общностью. Решение какой-
нибудь новой задачи, отличающейся от рассмотренных лишь
чистовыми данными, приводится к простой подстановке этих
числовых данных в соответствующее из выражений (1), (2)
или (3).
Пример 4.
Найти числовое значение выражения:
а х±т	ю
а -|- т	v '
для следующих значений букв:
1) о = 3, х= 1, т = 2;
2) о=1, ж = 3, т =5;
3) о=7, х = 2, т — 2.
Решение.	»
1)	Найдем числовое значение выражения (4) при о = 3,
х = 1 и т = 2:
а • ж = 3 -1=3;
а • sc -|- m = 3 -[- 2 = 5;
а-\-т = 3-[-2 = 5;
а ■ х 4- т _ 5 j
о -(- ш 5
Числовое значение даиного выражения при о = 3, х = 1
и т = 2 равно 1.
— 15 —
2)	Найдем числовое значение выражения (4) при о = 3,
2Г=3 и т = Ь:	.	,	=	3.	•
а-ж-|-?и = 3-{-5 = 8;
o-f-70=l-f-5 = 6;
Числовое	значение	данного	выражения	при о=1,	х = 3
и т = 5 равно 1 у.
3)	Найдем числовое значение выражения (4) при а = 7,
#=2 и т = 2:
а ■ х = 7 -2=14;
а ■ х-(- т = 14	2	=	16;
а-\-т = 7 —f— 2 = 9;
а ■ х-\-т 16 1 7
а-\-т	У	9 ‘
Числовое	значение	данного	выражения	при о = 7,	х = 2
о	1	7
и т = 2 равно 1у.
Рассматривая выражения	(1), (2), (3)	и (4), видим, что
числовая	величина	каждого	из них изменяется, если	изме¬
нять числовые значения входящих в них букв.
В этом смысле величины выражений ^1), ^2), (3) и (4) будут
величинами переменными.
Упражнения.
1) Как записать при помощи числа п всякое четное число
подразумевая под п любое натуральное число?
2) Как записать число, которое при делении на т дает
в частном а ив остатке г?
3) Как записать при помощи числа п всякое нечетное
число, подразумевая, под п любое натуральное число?
4) Сколько всего единиц содержит число, состоящее из а
десятков и Ъ единиц?
5) Написать число, обратное числу п.
6) Написать дробь, обратную дроби
§ 4. Графики.
Графиками называются чертежи, дающие возможность
наглядно проследить за изменением одн >й из переменных
величин в соответствии с изменением другой.
Способ построения графиков выясним на следующих при¬
мерах.

— 16 —
#
Пример 1.
Известно, что темйературй различных слоев морской воды
понижается с возрастанием их расстояния от поверхности
моря. Из наблюдений в экваториальной части Тихого Океана
установлено следующее соответствие между глубиной и тем¬
пературой:
ТАБЛИЦА 111.
— 17 —
Получим ряд точек: О, Аи А2, А3 и т. д., соответствующих
числам первого столбца табл. III.
Глубина
Температура
в метр.
по Цельсию.
0
28,0о
180
21,7°
360
Ю,о°
540
7,5°
720
6,о°
900
5,о°
1080
4,2°
1260
3.5°
1440
о о
°|0
Представить графически
изменение
шературы с глу
биною.
Выберем следующий масштаб: каждые 180 метров глубины
условимся изображать 1 сантиметром, а каждые 2° темпера-e
туры — отрезком в 0,5 см.
Тогда числа таблицы III изобразятся следующими отрез
ками (табл. IV):
ТАБЛИЦА IV.
Отрезки,
Отрезки,
изо^раж.
изоб(?яж.
глубину.
темпера¬
туру.
0 см.
14,о см.
1 см.
10,8 СМ.
2 СМ.
5,о СМ.
3 См.
3.7 СМ.
4 СМ.
3,! СМ.
5 см.
2,5 см.
6 см.
2,! см.
7 см.
1,7 СМ.
8 см.
1,5 СМ.
О
X
А
е;
CJ
е;
\о
X
си
с
Проведя прямую ОХ (черт 61, отложим на ней ряд отрез^
ков, имеющих начало в точке О и изображающих глубину^
г ** ** Т
Щ or
,1м	^У7|
♦*/1
i—
P1 Pig Pi3 Pi,i' Pis PiG Pip
Черт. 6.
Восставив из полученных точек ряд перпендикуляров.
°тложим на них отрезки, изображающие соответствующую
температуру.
Элементарная алгебра,	~	4»	ч	А	р	О	Д	И	л	1	”	2

— 18 —
Соединив прямыми линиями точки М0, 1ГЬ Мг, Ms и т. д.
нолучим наглядное представление о падении температур!
с возрастанием глубины.
Пример 2.
Температура больного воспалением легких имела следую
щее колебание:
Утр.
Веч.
1-го
числа
36,,
40,г
2-го
N
39,*
40.з
3-го
V)
39,,
40,о
4-го
п
39,о
ЗЭ.д
5-го
я
39,4
40,,
6-го
VI
39,,
40,,
7-го
1»
39,*
38,4
8-го
п
37,*
35,4
9-го
т
36.о
36.4
10-го
»
36,2
37,о
Представить графически эти колебания.
Для указанной цели возьмем особо разграфленный лист
бумаги, так называемый температурный лист (черт. 7).
Вертикальный столбец чисел, стоящих с левой стороны,
указывает на температуру, а числа: 1, 2, 3 и т. д., написан¬
ные вверху температурного листа, указывают на числа
месяца.	1
Расстояние между двумя горизонтальными линиями соответ¬
ствует 0,2°, а расстояние между двумя вертикальными линиям!
соответствует 12 часам.
Точка А соответствует температуре больного 1-го числа
утром, а точка В— температуре больного того же числа
вечером.
Отметив ряд точек на температурном листе, согласно при¬
веденной выше таблице, и соединив их последовательно пря¬
мыми линиями, получим график колебания температуры боль¬
ного за время его болезни.
В последнем примере при построении графика мы пользо¬
вались разграфленным на клетки листом, и это обстоятельство
значительно облегчило построение.
Расстояние как между двумя последовательными горизон¬
тальными линиями, так и между двумя последовательными
вертикальными линиями было взято нами произвольным. |
Однако, еще удобнее пользоваться при различных построе¬
ниях так называемой миллиметровой бумагой, т.-е. такой;
расстояние между последовательными линиями которой ка*
горизонтальными, так и вертикальными, равно 1 миллиметр?1
Образец этой бумаги можно видеть на чертеже 8.
— 19 —
Каждая пятая линия такой бумаги выделена резко, а ка¬
ждая десятая — еще более резко.
Одну из горизонтальных линий при построениях выделяют
°собо и называют базисом или осью абсцисс (числовая
прямая).
„ Рассмотрим пример построения графика на миллиметровой
оумаге.

Пример 3.	I
Некоторое страховое общество в Англии выдает в случае
смерти 1000 руб. за следующие годовые взносы (табл. V И
ТАБЛИЦА V.
Возраст страхуемого ....
20
25
30
35
40
45
50
5J
60
J Взносы в рублях ... ...
21,5
23,2
25,9
29,1
33,1
38,1
75,2
56,3
7-А
Пользуясь этой таблицей представить графически зависим
мость размеров ежегодных страховых взносов от возраста
страхуемого.
Построение произведем на миллиметровой бумаге в еле!
дующем масштабе: каждые 10 лет, а также каждые 5 ру^
изобразим отрезком в 1 см.
Тогда числа табл. V представятся приблизительно (cmJ
табл. VI) следующими отрезками (в сантиметрах):
ТАБЛИЦА VI.
1 Отрезки, выряжающие возраст
I страхуемого
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Отрезки, выражающие взносы
в рублях
4,3
4,6
5,2
5,8
6,6
7,6
15.0
11,3
145
Проведя прямую ОХ (черт. 9), отложим на ней ряд отрезков
имеющих начало в точке О и изображающих возраст страх#
емого, а на перпендикулярах, восставленных из концов эти:
отрезков, отложим отрезки, изображающие взносы в рублях.
Полученные точки соединим последовательно прямыми
линиями; получим график, изображенный на черт. 9.	|
Пользуясь этим графиком, можно определить, какой стра¬
ховой взнос должно сделать лицо, застраховавшее себя
в определенном возрасте (не указанном в табл. V).
Упражнения.
1) Сделайте в течение одного дня наблюдение за колеба¬
нием температуры в вашей комнате, записывая через час
показания термометра, а затем на основании своих наблю¬
дений начертите на миллиметровой бумаге график.
2) Сделайте в течение одного месяца наблюдение за коле*
банием температуры в вашей комнате, записывая ежедневно
в один и тот же час показания термометра, а затем, на осно!
вании своих наблюдений, постройте на миллиметровой бумага
график.
ь-ни
:ггЖ!|:г
iki
i Н-"
iiku
фнтгф!
fe
itti' №
im
ЯИр...
 iffiTb-t
i±H.
-44J £Ч1ШЖШ£5
ш-
ii in нн
111	•	йН	^+-1
i i-f: т ■ н • ij i:,
ii i i / .ЦН H
,i±
1
iifilil'iti
LL;;-} И i
jffiRv
mA.
: xrш
fSH :L!
ЦОИ"!
TT!: ifi-1
!Й4н4Ш-
4+Ш-
tffi
uteri
i™i
iJ-J4 LJ-IJ I IJ-44 Ji L
Trn, i'Vn i'i i *i м ;, i 111-1—i uj-i-uxi i tTJiti 'Ж1 i ж .ц
ij tiiii+li
-ОТ
m
mii it li ч r i j~i 111 {j j -фД'4~| -й-р) I
j i i1 i I ж4ж-1±щ4ь1 н ц
-ЖЖ-Н+ЙЧЖ
;НИ!!}НЬЯ1
i:iLi.l±>i‘ ‘ ! t.i'.
hirrHH-H-tidi1:
■j • . i f . , ! Tj_l4.;
rh-f-
mm
t- - trH iiiilttff 111 i-' IM ■'
машшЗь idab- ж j+ьн
-О-Н-Ж:
Trr^rr^P^J.ii-iibii i-HIi lifriГПЖ|ёЦШ1;Г
ttfo	Д ili itiil i в'лШ.
«И» Iltwi’l-Hlll-
ж+щ-дцнцщ-О!!-!;
ill
-,,iUiij?KH
ГЛТТГ'П! Г ? М. ..
|1х!Ж
turn
jthtSMfiiH
ii-тн i ж-h ж
^T.Tri I ll'DI • - •
. . ., .	.	j JtH' 11! J i i	11 111 •	». i ■. 111 мши •	i	i.i.. i	« ■ . *	j i i j—i
j '.Шиi .щи «мьЦй±кн>:ctttttSH+i::жi-ii
.fiiEai
sssSi
fl+iibilBij.
ш'
illLI ^i.l -ITT. J
iuj. ■ ^C.T- i i i I l i 11'.T.i oi.-j - ■ i * * it гтт млн » ' »i.±
JjIT1	1	h~i Ж :	■^:'1
I.I_«_Lrr I I i I I LJ li 1 I 1 1 I I l_u.jJ

— 22 —
ГЛАВА II.
Наглядное представление арифметических
действий на числовой прямой.
§ 5. Знаки соотношений.
Знаки соотношений между числами бывают трех родовр
знак равенства = , знак „больше" > и знак „меньше* <.
Примеры.
1) Сумма чисел а и Ъ равна s; символически это записью
вают так: o-|-& = s.
2) Сумма чисел а и Ъ больше с; символически это записы*
вают так: «-|-Ь>с.
3) Сумма чисел а и Ь меньше й\ символически это записы¬
вают так: a-J-b<<7.
Если соотношение между числами выражается знаком,
равенства (=), то такое соотношение называется равенством^
Например, n-j-b = s будет равенство.
Если же соотношение между числами выражается знаком
„больше" ( >) или „меньше" (<), то такое соотношение
называется неравенством. Примеры неравенств: а-{-Ь >съ
о-(-Ь < d-
Неравенства будут имет одинаковый смысл, если знаки
соотношений в них одинаковые-, в противном случае они
будут иметь противоположный смысл. Так, неравенства:
а-|-Ь>с и м-\-п>р будут одинакового смысла, а нера¬
венства: a-j-b>c и m-\-n<q будут противоположного
смысла.
Числа, стоящие слева от знака равенства или неравенства,
составляют левую часть равенства или неравенства; числа,
стоящие справа от знака равенства или неравенства, соста¬
вляют правую часть равенства или неравенства.
Употребляются также знаки соотношений перечеркнутые
и двойные.
Перечеркнутые знаки: ф (не равно), }> (не больше).
<£ (не меньше).
Двойные знаки:	(больше или равно), sg (меньше или
равно), ^ (больше или меньше).
§ 6. Аксиомы.
Положения, не требующие доказательств вследствие своей
очевидности, называются аксиомами.
Укажем аксиомы, которыми нередко приходится пользой
еаться.
— 23 —
1) Две величины порознь равные третьей равны и между
собою.
Пусть а = т и о = т; тогда а — Ъ.
2) Если к равный величинам прибавить поровну или
отнять от них поровну, то полученные результаты будут
равны.
Пусть а = Ъ; тогда аА-т — ЪДт и о—т~Ъ — т.
Следствие.
Равенства можно складывать и вычитать почленно.
Даны два равенства: а = Ь и т — п.
Очевидно, а-{-т = Ъ-\-п и а — т — Ъ—п.
3) Если равные величины умножить или разделить на
оано и то же число, то полученные результаты будут
равны.
Пусть а = Ъш, тогда а-т — Ъ-т и а:т = Ь:т.
Следствие.
Равенства можно перемножать и делить почленно.
Даны два равенства: а = Ъ и т — п.
Очевидно, а ■ т — Ъ - п и а:т — Ъ:п.
§ 7. Сложение и вычитание чисел и отрезков на число¬
вой прямой.
1.	Сложение.
Сложить два натуральных числа значит к единицам пер
вого числа присчитать единицы второго; сложить две
дроби с одинаковыми знаменателями значит к долям одной
дроби присчитать доли другой дроби.
Таким образом, сложение чисел приводит к перемещение'
по числовому ряду вправо.
Пример.
Сложить два числа 3 и 2^-.
Результат сложения будет 5^. При сложении, присчитывая
к 3-м единицы и доли второго числа, мы перемещаемся
по числовому ряду вправо:
0;*ТГ2; 3;*4; 5; 5^; 6; 7;....
Из сказанного следует, что сложение отрезков, соответ¬
ствующих данным числам, приводит к перемещению по число¬
вой прямой в том направлении, в котором идут точки, соот¬
ветствующие увеличивающимся числам, т.-е. к перемещению
вправо.

— 24 —
Пример.
Сложение отрезков в 3 единицы длины и 2~ единицы длин J
производится так.	J
На числовой прямой отмечают точку А, соответствующую
числу 3 (черт. 10). Затем от этой точки вправо отклады*
вают 2~ единицы длины. Полученная точка В соответ-'
ствует числу 5*-.
Знак сложения: -}- (плюс). Знак этот для чисел является
символом присчитывания, а для отрезков—символом пеь*<
мегцения по числовой прямой в том направлении, в котором
следовало бы отложить на числовой прямой, считая от точки Oi
данный отрезок — слагаемое.
2. Вычитание.
Вычесть одно число из другого значит найти число, при-н
ложив которое к первому, получим второе.
к с. 0 » *-з «	>- sf
X	1—I  						——X
Черт. 10.
Таким образом, вычитание чисел приводит к перемещению
по числовому ряду вправо, сообразно с величиной уменьшае¬
мого, а затем к перемещению в обратном направлении,
сообразно с величиной вычитаемого.
Пример.
Вычесть 2— из 5 *.
Результат вычитания будет 3. При вычитании, отсчитывая
от 5у единицы и доли вычитаемого (2у), мы перемещаемся
по числовому ряду влево.
0; 1; 2; 3; 4; 5; 5±; 6; 7; . .
it)
Ч
Из сказанного следует, что вычитание отрезков приводи
к перемещению по числовой прямой:
1) на величину уменьшаемого, считая от точки 0;	,
2) на величину вычитаемого в направлении, обратном тому J
в котором идут точки, соответствующие увеличивающимся»]
числам, т.-е. к перемещению влево.	V
— 25 —
Пример.
о 1	с	1
Вычитание отрезка в 2у единицы длины из отрезка в 5~-
•единицы длины производится так.
На числовой прямой отмечают точку А, соответствующую
числу 5у (черт. 11). Затем от этой точки влево откладывают
2у единицы длины. Полученная точка В соответствует
числу 3.
Знак вычитания: — (минус). Знак этот для чисел является
символом поворота в счете, т.-е. указывает на то, что, дойдя
в счете до известного предела (например, до 5у), мы при-
гчитывание единиц или долей единицы должны заменить
отсчитыванием.
Черт. И.
Для отрезков знак этот является символом поворота
на 180° (черт. 11), т.-е. символом перемещения по числовой
прямой в направлении, обратном тому, в котором следовало бы
отложить данный отрезок, если бы он прибавлялся (взамен
вычитания).
*
§ 8. Умножение чисел и отрезков.
Умножить данное число на натуральное число значит
азять данное число слагаемым столько раз, сколько единиц
в натуральном множителе.
Умножить данное число на дробь значит разделить дан¬
ное число на знаменатель дроби и полученный результат
умножить на числитель.
Из сказанного видно, в чем должно состоять умножение
отрезков на целое или дробное число.
Знак умножения будем обозначать точкой (• ). Если сомно¬
жители буквенные, то знак умножения между ними обыкно¬
венно пропускается. Например, умножение числа т на числом
можно изобразить так:
пг.п или тп.
В числе сомножителей могут быть записанные цифрами.
например 5а или ®i.

26
Сомножитель, записанный цифрами., называется коэффщ
9
чиентом. Так, числа 5 и -g- будут коэффициентами.
1) Умножение отрезка на целое число.
Пусть отрезок в т единиц длины нужно умножит^
ка целое число п.
Отложим вправо от точки О (черт. 12) отрезок О At —т едиз
ниц длины, а затем это отложение повторим еще п—1 раз(|
получим точку АЛ, соответствующую числу тп.
К /, О Л,	/V
X  N—4			 	 		 УС
т вД-ДЛ
Черт. 12.
2) Умножение отрезка на дробное число.
Отрезок в а единиц длины нужно умножить на дробь]
—, где т^п.
п
Пусть отрезок OAt — a единиц длины (черт. 13). Чтобы
^ , т	1
умножить отрезок ОАх на —, нужно — отрезка 0At повторить
слагаемым т раз. Получим точку Ап, соответствующую
т
числу а .
п
X t.i	*•
/I
Черт. 13.
Нахождение ^ отрезка есть деление отрезка на целое)
число п. Как это сделать, узнаем ниже.
§ 9. Деление чисел.
Разделить одно число на другое значит найти число, умно¬
жив которое на второе из данных чисел, получим первое-
Деление числа а на число в обозначается так: а: в или —.
в
Сложение и умножение называются прямыми действиями
вычитание и деление — обратными.
Сложение и вычитание называются действиями первой сту¬
пени, умножение и деление — действиями второй ступени.н
i
— 27 —
§ Ю. Деление отрезка на целое число.
Пусть отрезок АВ — а единиц длины (черт. 14). Тре
буется разделить его на целое число \п.
Мы рассмотрим деление отрезка на 3. Тот прием, кото¬
рым мы воспользуемся в данном случае, можно применить
к делению отрезка на любое целое число.
Восставим в точке В перпендикуляр BY и отложим на пря¬
мой АХ, вправо от точки В. отрезки ВС = а единиц длины
и CD = a единиц длины. Вращением около точки А пере¬
ведем отрезок AD в положение ADp, тогда точки В и С
займут соответственно положения Б, и Cj. Опустив из этих
точек перпендикуляры на прямую АХ, получим три парал¬
лельных прямых: BtM, C\N и btB.
Поэтому
Z ABtM = / BtCtN = Z CtDtB.
У
В
\
л? Ы В	с
Черт. 14.
Опустив и» точек Вх и Ct
перпендикуляры на BY, по¬
дучим, что
AM || ВХЕ || CtF.
Треугольники АВгМ, В^С^Е
и CtDtF, имеющие по рав¬
ной гипотенузе и равному
острому углу, равны.
Следовательно,
AM = BtE = CtF.	в
Но BtE=MN и CtF=NB.
Поэтому
AM=MN=NB,
г.-е. отрезок АВ разделен на три равные части.
з 11. Измерение длины отрезка е помощью миллиме
тровой линейки.
Дан отрезок О А. Требуется измерить его длину с помощью
миллиметровой линейки.
С этой целью прикладываем один конец линейки с помет¬
кою 0 (нуль) к точке О, направляем линейку вдоль отрезка
ОА и смотрим, какому делению миллиметровой линейки
соответствует точка А.
Ббльшею частью, конец А отрезка не совпадает ни с одни»
делением миллиметровой линейки (черт. 15), тогда смотрят

— 28 —
между какими делениями помещается этот конец. На наше*
чертеже точка А заключена между 46 и 47 делениями мил-
лиметровой линейки.
Каждое из этих чисел измеряет отрезок, не равный 0л\
Но мы можем принять 46 или 47 за число, измеряющей
данный отрезок в миллиметрах, допуская при этом ошибк*
менее 1 миллиметра. Такое измерение носит название прщ
ближенного, а числа 46 и 47 называются приближенными
ОА-
Черт. 15.
Одно из них (46) называется приближенным числом с нед$
статном, а другое (47) — с избытком.
Следует помнить, что при опытных измерениях всегда|
по существу получаются числа приближенные.
§ 12. Примеры нахождения неизвестных чисел поддав-]
ным условиям.
Пример 1.	*
Сумма числа а и числа неизвестного равна s. Чему равно
неизвестное слагаемое?
Обозначая неизвестное число буквою х и переводя условия
задачи на математический язык, пишем:
a-J-a: = s.
Очевидно, неизвестное слагаемое выразится так:	j
х =s — a.
Упражнение.
Решить предложенную задачу на числовой прямой, полагая
о = 5 и s — 8.
Пример 2.
Если от данного числа а отнять неизвестное число, то
в остатке получится число г. Определить вычитаемое.
Обозначая неизвестное число буквою х и переводя условия
задачи на математический язык, пишем:
а — х —г.
Очевидно, вычитаемое выразится так:
х = а — г.
— 29 —
Упражнение.
Решить предложенную задачу на числовой прямой, пола¬
гая я =15 и у =- 3.
Пример 3.
Если от неизвестного числа отнять число Ъ, то в остатке
получится число г. Определить уменьшаемое.
Обозначая неизвестное число буквою у, можем записать
у — Ъ — г.
Очевидно, уменьшаемое выразится так:
у—Ъ-\-Г.
Упражнение.
Решить предложенную задачу на числовой прямой, полагая
5 = 4 и г = 3.
Пример 4.
Произведение данного числа а на неизвестное число равно 71
Определить неизвестный сомножитель.
Обозначая неизвестное число буквою х, пишем:
ах =р.
Очевидно, неизвестный сомножитель выразится так:
ж = р: а.
Упражнение.
Решить предложенную задачу на числовой прямой, полагая
a = 3 и р = 6.
Пример 5.
Частное от деления неизвестного числа на число п равно q.
Определить делимое.
Обозначая неизвестное число буквою х, пишем:
x:n = q.
Очевидно, делимое выразится так:
х = щ.
Упражнение.
Решить предложенную задачу на числовой прямой, пола¬
гая п = 3 и д=2.

Пример 6.	1
Частное от деления числа m на неизвестное число равно q.
Определить делитель.	j
Обозначая неизвестное число буквою у, можем записать,
что
т : у = q.
Очевидно, делитель выразится так:
у = т : q.
Упражнение.
Решить предложенную задачу на числовой оси, полагая
•*ч — 6 и 5 = 2.
§ 12-а. Задача.
Крестьянин продал в городе 320 килограммов пшеницы.
Возвращаясь домой, он дорогой получил от своего знакомого
5 руб. долгу и привез домой всего 53 руб. По сколько руб.|
за килограмм продавал он пшеницу?
Допустим, что крестьянин продавал пшеницу по х руб.
за килограмм. В таком случае от продажи 320 кило¬
граммов он выручил 320ж руб
А так как, кроме того, он получил 5 руб. долгу, то коли¬
чество денег, привезенное им домой, очевидно, было
320ж + б.
Согласно условиям задачи
320ж +5 = 53.
Найдем неизвестное число х.
Узнаем сначала, сколько денег привез бы крестьянин домой,
«если бы он не получил долга.
Очевидно, он привез бы 48 руб. (53 — 5 = 48), т.-е. только
то, что он выручил от продажи пшеницы.
Поэтому
320я = 48.
Определяя неизвестный сомножитель, получаем:
48	»,с
Х=320 ИЛИ Х~ ’
Таким образом, крестьянин продавал пшеницу по 0,15 руб.,
«ли по 15 коп. за килограмм.
— 31 —
ГЛАВА III.
Законы сложения и вычитания и основанные на
них тождественные преобразования буквенных
выражений.
§ 13. Скобки.
Если нужно произвести какое-либо действие над резуль¬
татом других действий, то для указания порядка действий
употребляют скобки.
Скобки бывают трех родов:
( ) круглые скобки,
[ ] квадратные скобки,
{ } фигурные скобки.
Круглые скобки обыкновенно употребляются внутри ква¬
дратных, а квадратные внутри фигурных.
Прежде всего производятся действия над числами, заклю¬
ченными в скобки, а затем над полученными результатами
производятся прочие действия.
Пример 1.
а(5-[-с).
Сначала числа Ъ и с складываются, а затем число а умно¬
жается на полученный результат.
Если отсутствие скобок не вызывает недоразумений,
то скобки опускаются.
Пример 2.
(а-ф-Ы-ф-с; опустив скобки мы не нарушим в данном слу¬
чае порядка действий.
Пример 3.
а(Ъ -Г с).
Опустив скобки, получим: «&-|- с. Порядок действий нару¬
шен; поэтому скобки опускать в данном случае нельзя.
Для уменьшения числа скобок условились:
1) действия одной и той же ступени производить в том
порядке, в котором они обозначены;
2) при выполнении действий различных ступеней про-
«зчо ить сперва действия высгией ступени, а затем уже
низшей.

Пример 4.
а—Ът.
Порядок действий в данном случае таков:
1) умножение числа Ъ на число т\
2) вычитание из числа а полученного результата.
Если требовалось бы сначала произвести вычитание и*
числа а числа Ъ, а потом умножение на т, то разность а- Ъ
следовало бы заключить в скобки:
(а — Ъ)т.
Если внутри скобок стоят еще скобки, то раньше произз;
водятся действия во внутренних скобках.
Пример 5.	а. ^	— п^ ^—cj	n
Порядок действий в данном случае таков:
1) вычитание из числа т числа п;
2) умножение полученного результата на число Ъ;
3) вычитание числа с из результата, полученного при
выполнении второго действия;
4) деление числа а на результат третьего действия.
§ 14. Законы сложения.
Сложение чисел производится в следующем порядке:
к первому слагаемому прибавляют второе слагаемое; к полу¬
ченному результату прибавляют третье слагаемое; к новому
результату прибавляют четвертое слагаемое и т. д.
Поэтому сумма не изменится, если несколько первыл
слагаемых заменить их суммой.
©
1.	Переместительный закон: а —|— Ь = b —а.
Пример 1.
Вдоль реки расположены три пристани: А, В и С. Рассто¬
яние от А до В пусть будет q километров, от В до С Ъ кило¬
метров (черт. 16).
— 33 —'
Пароход, пришедший из пристани А в пристань С с оста¬
новкой в В, прошел а-\-Ъ километров; возвращаясь же
назад в А с той же остановкой, он пройдет Ъ-\-а километров.
Ясно, что а-\-Ь — Ъ-\-си
Проверим равенство: а-{-Ъ = Ъ-\-а
1)	при а = Ъ и Ъ — 3
+3=8
6-f« = 3-|-5 = 8
следовательно, для данных значений а и Ъ
а-\-Ь — Ъ-\-а.
о,	2	*	1
2)	при а = - и ;
II.	2	I 1	8.3
а-\-Ъ—	з	-f- 4	—	J2 + 12 —
,	.	1	- 2	3,8	ii
'а~4"П 3	—	12 "Г 12	12'
11
12’
11
следовательно, для данных значений а и b
а —Ъ — Ъ -|— а.
Переместительный закон верен не только для двух сла¬
гаемых, но и для какого угодно числа слагаемых.
Таким образом, от перемены порядка слагаемых сумма
не изменяется.
2-	Сочетательный	(или	собирательный)	закон:
a -f- b	—J— с = (а —Ь) -Ц- с	a -f- (Ь	е).	.
>9	е>	с	х>
1	—	—
ТаВТ so
Черт. 17.
Пример 2.
-*■ 1-
Вдоль полотна железной дороги расположены четыре
станции: А, В, С и D, находящиеся на следующем расстоя¬
нии друг от друга (черт. 17):
АВ = 18 килом.,
ВС=15
СВ =20
Элементарная алгебра

— 34 —
do станции А на станцию D посланы два поезда оди|)
вскоре после другого. Первый поезд прошел через станцию
В без остановки, но сделал остановку на станции С. ;
Если отмечать пройденное расстояние после каждой оста:
новки, то для первого поезда нужно было бы сделать таючё
запись:
от А до С	33	килом.
от С до D	20
всего	53	килом.
Второй поезд сделал остановку на станции В, но зато
прошел через С без остановки.
Очевидно, для него должна быть сделана такая запись:
от А	В	18	килом.
от В до D	35
Всего	53	килом.
Оба поезда прошли одно и то же расстояние, равное
18 + 15 + 20 = 53 (килом.).
Поэтому
18+15 + 20 = 33-1-20 = 18 + 35
или
18 + 15 +20 = (18 + 15)+ 20= 18 + (15 + 20).
Проверим равенства: а+5 + с = (а+6) + с = а+(5 + п
1) при а = 5, 5 = 3 и с — 4;
а + Ь + с = 5 + 3 + 4=12;
(а + Ь) + с = (5 + 3) + 4 = 8 + 4=12;
в + (Ь + с) = 5 + (3 + 4) = 5 + 7=12;
следовательно, для данных значений а, Ь и с
а —Г 5 -+ с = (а—)— 5) -+ с = а —J— (Ъ —I— с).
2) при а = -|-, Ь = ~ и с=у;
„ ,	ь ,	2 I 1 I 3 _40 | 15 , 36	91	. 31
« + ь-гс — -з+Т+У — 66 + 60 + 60 = 60	бб:
<e + b) + c=(f+4)+Т = Й+У = S + S = i=::1 ёб;
+(Ь+С)=~+(■!■+ 4) = у+(1+^) = |.+g=Ц-+
,51	91	1	31.
"г 60 60 — 60 ’
si
— 35 —
следовательно, для данных значений а, Ь и с
а +- Ъ + с = (а +■ Ъ) +■ с =; а + (b + с).
Таким образом, сумма не изменится, если несколько
слагаемым заменить их суммой.
Следствие.
На основании сочетательного закона
а + 6 + с = а + (Ь + с);
следовательно, и, наоборот,
а + (б+с) = а + 5 + с,
т.-е., чтобы прибавить сумму нескольких слагаемых доста¬
точно прибавить эти слагаемые последовательно одно
за другим.
§ 15. Проверка законов сложения на числовой оси.
1.	Переместительный закон-. а + 5 = 6 + а.
На числовой прямой, принимая точку О за начало, по¬
строим сумму двух отрезков ОА и АВ; пусть первый из них
измеряется числом а, а второй—числом Ъ (черт. 18).
Черт. 18.
Отрезок ОВ является суммой отрезков ОА и АВ: ОА-\-
-\-'АВ = ОВ. Передвинем отрезок ОВ по числовой прямой
влево так, чтобы точка В совместилась с точкой О. Тогда
второй конец (О) отрезка ОВ займет положение N, а точка
А займет положение М. От такого передвижения размеры
отрезка ОВ не изменятся, а изменится лишь его положение
относительно точки О, но это в настоящей главе нас
не интересует.
Повернем отрезок N0 около точки О на 180° до совме¬
щения с отрезком ОВ. Тогда точка М займет положение Ми
Число, измеряющее отрезок ОМи будет Ъ. а число, измеря¬
ющее отрезок Mj В, будет а. Отрезок ОВ представляется
теперь в виде суммы OMt
Отсюда следует, что a + b = b + a.
Переместительный закон верен не только для двух сла¬
гаемых, но и для какого угодно числа слагаемых. •

— 36 —
Докажем это методом полной индукции.
Возьмем сумму п + 1 слагаемых:
Щ + «г + яз + -•- +	+ «„+Ои+1 . •	.	.	(lj
Пусть нам известно, что упомянутый закон верен для п слагаемы t
Докажем, что он будет верен и для числа слагаемых на 1 больше.
Построим сумму п -J-1 слагаемых на числовой прямой, подобно To-
как это показано на черт. 18.
Передвинем сумму отрезков влево, как сказано выше, и повернем эту'
сумму на 180°. Тогда сумма (1), не изменяя своей величины, примет вид '
Яи+1 ап + ап—1 "Т ■ * ■ + Я3 + Я2 + Я1
>на
I
-К
Оставляя слагаемое аг в сумме (2) на (ji-J-I)-om месте, мы согласи^
допущению справедливости переместительного закона для п слагаемых,'
можем все остальные слагаемые переставлять всеми способами, от чего
сумма и —1 слагаемых изменяться не будет.
Мы строили сумму (1) на числовой прямой. Понятно, перед построением
мы, основываясь иа допущении справедливости переместительного закона
для п слагаемых, могли бы достигнуть того, что любое из п первых сл,
гаемых могло оказаться на первом месте, а следовательно, и на (п -f- 1)-с
месте. Для каждого такого случая мы могли бы повторить предыдуцц
рассуждения.
Следовательно, если переместительный закон верен для п слагаемых;
то он дошен быть верен и для я-1- 1 слагаемых.	р
Но мы непосредственно видели, что он верен для двух слагаемых. Сле¬
довательно, он верен для 2-)- 1—3 слагаемых, для 4-х слагаемых и т. д
2)	Сочетательный (или собирательный) закон:
® + ь + с = (а + Ь) + с = a -f (Ь + с).
Согласно переместительному закону
а -|- Ъ	с = Ъ -|- с 4 се,
откуда на основании аксиомы предыдущего параграфа
а Ьс = Ьса = (Ъс)-\- а.
На основании переместительного закона получаем:
СЕ -|- Ъ -|- С = СЕ -)-(б-|-с).
Таким образом,
о + Ъ + с = (я + Ъ) + с = a -J- (Ь + с).
Легко видеть, что подобные рассуждения можно применить к каком
угодно числу слагаемых и, таким образом, доказать общность сочетатсл^
ного закона для какого уюдно числа слагаемых.
§ 16. Примеры на применение законов сложения
к упрощению арифметических вычислений.
Пример 1.
Вычислить наиболее коротким путем: 936+571 + 129.
Пользуясь законами сложения, можно произвести вычис
ление таким путем:
936 + 571 +129 = 936 + (570 -f- 1) + 129 = 936 4- 570 +
+ 1 + 129 = 936 -I- 570 + (1 +129) = 936 + 570 -f 130=
= 936 + (570 4-130) = 936 + 700 = 1 636.
— 37 —
Таким образом, чтобы сложить числа: 936, 571 и 129,
достаточно от 571 отнять 1 и прибавить ее к 129; полу¬
чим 130. Сложив 570 и 130, получим 700, а прибавив 700
к 936, получим 1 636.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 2.	*
Вычислить сумму: 687-[-874.
На основании следствия из сочетательного закона сло¬
жения (§ 14), имеем: *
687 + 874 = 687 + (13 + 861) = 687 + 13 + 861 =
= 700 + 861 = 1531.
Вычисление можно произвести устно.
§ 17. Законы вычитания.
• 1. Переместительный закон.
а)	для сложения и вычитания: й + Ь— с = о — с + Ь,
где а > с.
Пример 1.
Два лица, имеющие одинаковый месячный заработок,
получили в истекшем месяце по а руб. за нормальную
работу и по Ъ руб. за сверхурочную.
Имей одинаковый долг (по с руб.), они его уплатили,
но при этом первое лицо уплатило свой долг по получении
всего заработка, а второе лицо до получения платы за сверх¬
урочную работу.
Оба лица сделали записи в своей записной книжке.
Записи эти таковы:
у первого лица: а + Ь— с;
у второго лица: а — с + Ь. •*
Ясно, что й + Ь— с = а — с + Ь.
Проверим равенство: о + Ь— с = а— с + Ь.
1)	при о = 7, Ь = 5 и с = 3;
о + Ь — с = 7+5 — 3 = 9;
а— с + Ь = 7 — 3 + 5 = 9;
следовательно, для данных значений а, b и с
й + Ь— с = о — с + Ь.

— 38 —
2)	при а = 6-’-, 6 = 2§ и с = з|.
a+(,-c=6l+2|-3l=6^+2f2-31|=5|l;
следовательно, для данных значений а, Ъ и с
а + 5 — с. —а — с+ 6.
Обыкновенно действия первой ступени (сложение м вычи¬
тание) выполняются в той последовательности, в какой они
указаны; но, как видно из предыдущего, порядок этих дей¬
ствий можно изменить.
б) для вычитания: а — 6 — с = о— с—Ъ.
I
Пример 2.
Каждое из двух лиц, имеющих по одинаковому количеств^
денег (по а руб.), сделало по две покупки: одну в магазине
В на 6 руб., другую в магазине С на с руб.
Первое лицо сначала приходило в магазин В, а затем в С,
а второе, наоборот, сначала в магазин С, а потом в В.
Выходя из магазина, каждое из упомянутых лиц записы¬
вало в своей книжке оставшуюся после покупки сумму
денег.
В книжке первого лица должна быть такая запись:
1) а — Ъ;
2) а — Ъ — с,
а в книжке второго:
1) а — с;
2) а — с — Ъ.
Ясно, что, придя домой, оба лица имели в остатке одина¬
ковую сумму денег:
а — Ь — с = а — с — 6.
Проверим равенство: а — Ъ — с = а— с—6.
1)	при а— 10, 6 = 5 и с = 3;
а — 6 — е= 10 — 5 — 3 = 2;
а — с — 6 = 10 — 3 — 5 = 2;
следовательно, для данных значений а, Ъ и с
а—6—с—а—с—6.
— 39 —
12 1
2)	при o = 6j, Ь = 2у ис = 3^-;
следовательно, для данных значений а, Ъ и с
а — 6 — с —а — с — 6.
Таким образом, при последовательном вычитании не¬
скольких чисел порядок вычитания этих чисел можно
изменять.
2. Сочетательный (или собирательный) закон для сложения
и вычитания:
т— (а + Ь) = т — а — Ь;
т + (а — Ь) = т + а — Ь;
т — (а — Ь) = т — а+ Ь.
Пример 3.
Два лица, имевшие по одинаковому количеству денег
(по т руб.), купили по паре ботинок и по одному костюму.
Каждая пара ботинок стоила а руб., а каждый костюм
b руб.
Первое лицо купило ботинки и костюм одновременно,
заплатив а-\-Ь руб.
Второе лицо сначала купило ботинки, а через день
из оставшейся суммы т — а руб. издержало 6 руб. на
костюм.
Оба лица записали свои денежные остатки, при чем пер¬
вое записало так:
т — (а + 6),
а второе так:
т — а — 6.
Ясно, что m — (а + b) = m — а — Ь.
Проверим равенство:
т — (а + 6) = т — а — 6 при ?и = 7-^, а— 3 ^ и Ь = 2-^5;
m-(„ + b) = 7i— (3 4 + 2i) = 7l-5U =
Ь V 1	о	2	01_76
т а Ъ — 72 З3 24	7	12

— 40 —
следовательно, для данных значений т, а и Ъ
т — {а-\-Ъ) — т — а — Ъ.
Таким образом, чтобы отнять сумму нескольких сла¬
гаемых, достаточно отнять эти слагаемые последовательно
одно за другим.
Пример 4.
Л Одно лицо М, имея т руб., условилось встретиться
с двумя своими знакомыми А и В, из коих А был его долж--
ником, а В—кредитором.
Так как А был должен М а руб., а М был должен В
д Руб., то М по возвращении домой должен был иметь
т \-(а - Ъ) руб.
Но встретивши А, М не встретил В, почему по возвра-1
щении домой он имел т-\-а руб., из коих на следующий}
день отдал своему кредитору Ъ руб. После этого у М осталось
т-\-а — Ь руб.
Ясно, что m-|-(a — b) = m-|-a —Ь.
Проверим равенство:
т-\-(а — Ъ)=т-\-а — Ь при т — 7^, а = 3-|и Ъ= 2^-5;
— 41 —
7Х-А- 1——
2 ' 12
принимает вид:
(а — Ъ) -|- т = т -j- a, — Ъ.
w + (« — Ь) = 7\ + (з 4 - 2|)
 7 _i 1 Р  .
12 “Г* J12	12'	.
» + «-Ь = 71+4-4=7^+з£-4=8Й; j
следовательно, для данных значений т, а	и Ъ	*
т —|— (о — Ъ) — тА-а — Ь.
Таким образом, чтобы прибавить разность двух чисел,
достаточно прибавить уменьшаемое и от полученного
результата отнять вычитаемое.
Следствие 1.
В равенстве: т-\-[а— Ъ) = т-\-а — Ь, положим Ъ — а.
Равенство примет вид:
т -|- (а — а) = ?п-{-а — а = т.
Так как а — а —о, то т-\-о—т.
На основании переместительного закона равенство:
т-\-{а — Ъ) — т-\- а—(Ь
При & = й получаем: о-\-т~т.
Итак,
т -J- о = о -|~ я* = ш-
Пример 5-
Некто М, имея т руб. в наличности, рассчитал, что его
наличный капитал при оплате векселя в а руб. уменьшится
лишь на а — Ъ руб., так как часть его векселя, в размере
Ь руб., должна быть оплачена его должником.
Однако расчеты М не оправдались: оплатить вексель
в а руб. ему пришлось одному, и лишь спустя некоторое
время он получил от своего должника Ъ руб.
Как предполагаемые, так и действительные расчеты были
записаны лицом М.
Запись была такова:
предполагаемый расчет: т — (а — Ъ),
действительный расчет: т — а-\-Ъ.
Очевидно, m—(а—b)=m—a-f-b.
Проверим равенство:
12 1
т — (а — Ъ~)—т — а-\-Ъ при т = 7 ^, о— З-g- и h = 2 —5;
■-(а-Ь) = 7-1-- (з*-2|) = 7±-1* =
6
т-
7 12 J12 612;
т
— а-\- Ь —3-|+ 2Т — 7Г2—312+212 — 612»
следовательно, для данных значений т, а и Ъ
т — (я — й) = т —й + б.
Таким образом, чтобы отнять разность двух чисел,
достаточно отнять уменьшаемое и к полученному резуль¬
тату прибавить вычитаемое.
Следствие 2.
В равенстве: т — (а — Ъ) = т — а-\-Ь положим Ъ = а.
Равенство примет вид:
т — (а — а) — т — а -(- а =■ т.
Так как а — а = о, то
m — о = т.

— 42 —
• s 18. Проверка законов вычитания на числовой оси
1.	Переместительный закон:
а)	для сложения и вычитания: а-{-Ъ — с~а — c-j-b,
где а > с.
Принимая а, Ъ и с за числа, измеряющие некоторые
отрезки, произведем соответствующие выражению: а-\-Ъ—с
построения на числовой прямой.
Пусть отрезок ОМ содержит а единиц длины (черт. 19),
отрезок MN = b единиц длины и PN — c единиц длины. Число,
измеряющее отрезок ОР, очевидно, будет а-\-Ь — с.
Q	Л?	/=*.?.
 *
Черт. 19.
£
О	///.•'■’	п
*	 ,3^4	~	X
Черт. 19-а.
Произведя построения, соответствующие выражению
а — c-j-fr, получим^ (черт. 19-а), что отрезок OtMi = а единиц
длины, NlMl~c единиц длины и NlPl = b единиц длины.
Число, измеряющее 01Р1, очевидно, будет а — с-\-Ъ.
Так как Ny= AIN, a NiMi — PN, то МД^ — МР. По по¬
строению OiMi = OM. Следовательно, 0Р=01Р1.
Из равенства отрезков ОР и 0,Pi следует равенство -изме¬
ряющих их чисел.
Таким образом, а —Ь — с = а — с —Ь.
Черт. 20.
Мы доказали справедливость упомянутого закона, предпо¬
лагая с < а и с < Ъ.
Таким же образом можно было бы доказать справедли¬
вость этого закона и для того случая, когда с < а и с > Ъ-
6) для вычитания: а — Ъ — с = а — с — Ь.
Пусть а, Ъ и с будут числа, соответственно измеряющие
отрезки О А, В А и СВ (черт. 20).
Отрезок ОС, очевидно, будет измеряться числом а — Ь— с~
— 43 —
Повернем отрезок С А на 180° около точки А; получим
отрезок ACt. Переместим этот отрезок по числовой прямой
влево так, чтобы точка Ct совпала с А, а второй конец
отрезка (А) совпал с С.
Таким образом, последовательное вычитание из отрезка ОА
отрезков PiCi и ABi приводит к тем же результатам, как
последовательное вычитание из того же отрезка ВА и СВ.
Следовательно, а — Ь — с = а — с — Ь.
Упражнение.
Проверить на числовой оси равенство:
а-\-Ъ — Ь = а — Ъ-\-Ъ = а.
Ч
2.	Сочетательный (или собирательный) закон для сложения и вы¬
читания:
m -— (a-j-b) = m — а — b;
т-(-(а — Ь) = т а — Ь;
т — (а — Ь) = т — а —(— Ь.
я) Доказать,	что т — (а-\-Ъ) — т — а — Ь,	где	т^>а-\-Ь
Пусть	ОА = т	единиц длины (черт 21),	ВА = а	единиц
длины и СВ = Ъ единиц длины. Очевидно, отрезок С А —
~ (о -J- й) единиц длины.
А	-
о	с	.А.	в	.-'
Черт. 21.
Из чертежа видно, что вычитание из отрезка О А отрезка СА
приводит к тому же результату, как последовательное вычи¬
тание отрезков ВА и СВ.
Отсюда следует, что m — (а -}- b) = m — а — Ь.
б)	Доказать, что т-\-[а — Ъ) = т -(- а — Ъ, где а > Ъ.
Пусть ОА — т единиц длины, АВ — а единиц длины
и СВ=Ь единиц длины (черт. 22). Очевидно, АС = (а—fc)
Единиц длины.
о	*=>	с. -в в>
X 	 X
Черт. 22.
^Прибавляя к отрезку ОА = т единиц длины отрезок АС —
-—(а — Ь) единиц длины, получим отрезок ОС.

44 —
Прибавляя же к отрезку ОА = т единиц длины отрезсн
АВ — а единиц длины, а затем вычитая из полученного
результата отрезок СВ=Ъ единиц длины, получим отрезок ОС
Следовательно, m —(а — b) = m + а — Ь.	|
в)	Доказать, что т — (а — Ъ) = т— а — 6, где т > о >^
Пусть ОА = т единиц длины, ВА = а единиц длину
и ВС=Ъ единиц длины (черт. 23). Очевидно, СА—(а— 6|
единиц длины.
е>.


с
Ч—:
Черт. 23.
Отнимая от отрезка ОА = т единиц длины отрезок СА-=.
= {а — V) единиц длины, получим отрезок ОС.
Отнимая же от отрезка ОА = т единиц длины отрезок
ВА = а единиц длины, а затем прибавляя к полученному
результату отрезок ВС = Ь единиц длины, получим отре¬
зок ОС.
Следовательно, m — (а — b) — m — а + Ь.
§ 19. Примеры на применение гаконов вычитания
к упрощению арифметических вычислений.
Пример 1.
Вычислить: 7 826 -J- 369 — 2 826.
На основании переместительного закона для сложения
и вычитания мы можем сначала от 7 826 отнять 2 826; полу¬
чим 5 000. Прибавив 369 к 5 000, получим: 5 369.
Пример 2.
Вычислить: 9 325 — 483 — 5 325.
На основании переместительного закона для вычитания,
мы можем порядок вычитания чисел 483 и 5 325 изменить.
Вычитая 5 325 из 9 325, получим 4 000. Остается отнять 483
от 4000.
Пользуясь сочетательным законом для вычитания, можем
сделать это так:
4 000 — 483 = 4 000 — (500 — 17) = 4 000 — 500 +17 = 3 500 -г
+ 17 = 3517.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 3.
Вычислить: 752 — 463.
— 45 —
Ла основании сочетательного закона для сложения и вычи¬
тания имеем:
752 — 463 = 752 — (452 +11)=752— 452—11 =300 —11 = 289.
Вычисление легко произвести устно.
\
Пример 4.
Вычислить: 856 + 789.
На основании законов сложения и вычитания имеем:
856 + 789 = 856 + (800 — 11) = 856 + 800 —11= 856 —11 +
+ 800 = 845 + 800 = 1 645.
«
Таким образом, для сложения чисел 856 и 789 нужно было
ко второму числу прибавить 11, а от первого отнять 11
и полученные результаты сложить.
Вычисление легко произвести устно.
Рекомендуем учащимся во всех представляющихся случаях
арифметических вычислений производить их устно, пользуясь
законами действий.
§ 20. Возведение в степень.
Возведением в степень называется умножение равных
сомножителей.
Произведение равных сомножителей называется степенью;
число же которое возводится в степень, называется показа¬
телем степени.
Возведение в степень обозначается так:
п ряз
ааа а = а ,
где «“ (произведение п равных сомножителей) будет степенью,
о — основанием степени, а п—показателем степени.
Символ: а” читается так: .а в степени п“.
Вторую степень числа принято называть квадратом этого
числа, а третью степень — кубом числа.
Так, а2 называется квадратом числа а, а а3 —кубом числа а.
Названия эти даны потому, что а2 выражает собою пло¬
щадь квадрата со стороной о, a as выражает объем куба
с Ребром а.
Возведение в степень есть действие третьей ступени.
Упражнения.
П Написать	разность квадратов чисел	а	и	Ъ.
2) Написать	квадрат суммы чисел а и	Ъ.
3) Написать	квадрат разности чисел а	и	Ъ.

— 40 —
§ 21. Одночлен и многочлен; значение коэффициента!
Буквенное выражение называется одночленом, если после*
ним действием при отыскании его числового значения oxai
зывается действие второй или третьей ступени; если .ке
последним действием оказывается действие первой ступени
то буквенное выражение называется многочленом или поли¬
номом.
Таким образом, многочлен есть совокупность одночленов
соединенных между собою 'знаками -|- или —.
Одночлены, составляющие многочлен, называются его чле¬
нами.
Одночлены называются целыми, если не содержат в своеи
составе буквенных делителей; многочлен называется целы*\
если он состоит из целых одночленов.
Примеры.
з
1) Выражение: уй2(й + Ь) будет целый одночлен, так как
не содержит в своем составе буквенных делителей.
?П ~ | ft
2) Выражение: —^— будет дробный одночлен, так к&|
содержит в своем составе буквенный делитель.
Число буквенных множителей в целом одночлене назы!
вается его измерением.
Примеры.
1. Выражение: 2аЪс будет одночленом 3-го измерения, так
как в его составе заключается три буквенных сомножителя
2
2. Выражение: уа3Ь будет одночленом 4-го измерения, так
как заключает в своем составе четыре буквенных множителя.
Многочлен, состоящий из одночленов одинакового измере¬
ния, называется однородным.
Пример.
Выражение: а2-(-2йЬ-(-Ь2 будет однородным многочленом
так как все члены этого многочлена представляют собов
одночлены одинакового измерения (второго измерения).
Выше мы видели (§ 8), что коэффициентом называете*
сомножитель, записанный цифрами. Коэффициентом може'
быть целое или дробное число.
Если коэффициент целое число, то он, согласно определе¬
нию понятия об умножении на целое число, показываем
сколько раз слагаемым нужно взять буквенное выражение
перед которым он стоит.
Если коэффициент дробное число, то он, согласно опре
делению' понятия об умножении на дробь, показывает, каку18
— 47 -
часть буквенного выражения нужно повторить слагаемым
л сколько раз.
Примеры.
1) 5яЬ = йЬ + йЬ + йЬ + йЬ + йЬ.
„	3	,	аЪ	,	аЪ	,	аЪ
2) т^Т+Ч+Т-
Введение понятия о коэффициенте позволяет значительно
упрощать вид буквенного выражения.
Поясним сказанное на примерах.
Примеры.
Написать возможно короче следующие выражения:
1) am+am +am +am; сокращенная запись: 4а»г.
2)	Л'Щ'Л'Щ-,	сокращенная	запись:	уху.
§ 22. Тождественные выражения; понятие о тожде¬
ственном преобразовании.
Тождественными выражениями называются такие выражения,
которые состоят из одинаковых букв и при всяких про¬
извольно взятых числовых значениях этих букв имеют оди¬
наковую числовую величину.
Равенство двух тождественных выражений называется
тождеством.
Рассмотрим примеры тождественных выражений.
Пример 1.
Доказать тождественность выражений:
(й + Ь)3 и й3 + Зя2Ь + ЗяЬ2 + Ь3.
Определим числовую величину данных выражений для
произвольно выбранных числовых значений букв.
а) Положим а = 3 и Ь = 2.
Тогда:
(й + Ь)3 = (3 + 2)3 = 53 = 5 • 5 .5 = 125;
а* +Зя2Ь + ЗйЬ2 + Ь3 = З3 + 3 ■ З2 • 2 + 3 • 3 ■ 22 + 23 = 27 +
+ 3* д. 2+3 -3.4+ 8 = 27 + 54 + 36 + 8 = 125.
Для данных значений букв числовая величина выражений
°Динакова.
б) Положим а = 1 и Ь = 3.

— 48 —
Тогда:
(« + б)3 = (1 + 3)3 = 43 = 4 • 4-4 = 64;
а3 + Зя26 + Зяб2 + 63 = I8 + 3 • 12.3 + 3. 1 .32 + 33 =
= 1+3 • 1 -3 + 3- 1 -9 + 27=1 + 9 + 27 + 27 = 64.
Для данных значений букв числовая величина выражеип,
одинакова.
Так как данные выражения состоят из одинаковых бум
и, очевидно, имеют одинаковую числовую величину при вся¬
ких значениях букв, то они тождественны.	у	I
Отсюда равенство:
(а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3	(1
Пример 2.
Доказать тождественность выражений:
(а — 6)3 и а3 — 3а26 + 3аЪ2 — Ь3.
Определим числовую величину данных выражений для
произвольно выбранных числовых значений букв.
а) Положим а = 6 и Ь = 2.
Тогда:
(я — 6)3 = (6 — 2)3 = 43 = 4 - 4 - 4 = 64;
а3 —За2Ь + ЗяЬ2 —Ь3 = 63 —3 ■ & -2 + 3 - 6 • 22 — 23 =
= 216-3-36-2 + 3-6 • 4 — 8 = 216 — 216 + 72 — 8 = 64.
Для данных значений букв числовая величина выражений
одинакова.
б) Положим а — 8 и 5 = 2.
Тогда:
(в — 6)3 = (8 — 2)3 = 63 = 6 • 6 ■ 6 = 216;
а3 — 3я26 + 3я62 —63 = 83 —3 . 82 • 2 + 3 ■ 8 - 22 — 23 =
= 512 —3 ■ 64 -2 + 3 - 8 ■ 4 + 8 = 512 — 384 + 96—8 = 216.
Для данных значений букв числовая величина выражений
одинакова.
Так как данные выражения состоят из одинаковых букв
и, очевидно, имеют одинаковую числовую величину при
всяких значениях букв, то они тождественны.
Отсюда равенство:
^ (a — b)3 = a3— 3a2b + 3ab2 — b3	(.2)
— 49 —
упражнения.
Доказать тождественность выражений:
• п я3 + 63 и (а + 6)(я2 — я& + 62);
2)	а3—Ъ3 и (а — 6)(я2 + аЪ + 62).
Пример 3.	,
Даны два выражения:
2а(а—6) + 362 и я2 + 36(я— Ъ).
Спрашивается, будут они тождественны или нет.
Определим числовую величину данных выражений для
каких-нибудь числовых значений букв.
а) Положим в = 6 и 6 = 2.
Тогда:
2а[а — 6) + ЗЬ2 = 2 ■ 6 • (6 —2) + 3 • 22 = 12 -4 + 3-4 = '
= 48+12 = 60;
аг + ЪЪ{а — 6) = 62 + 3 - 2 • (6 —2) = 36 + 6 . 4 = 36 + 24=60.
б) Положим и = 10 и 6 = 5.
Тогда:
2я(а—6) + 362 = 2- 10- (10 — 5) + 3 • 52 = 20 • 5+3 • 25 =
= 100 + 75 = 175;
о2 + 36(а — 6) = 102 + 3 ■ 5 • (10 — 5) = 100+15 • 5 =
= 100+75=175.
Мы могли бы сделать еще очень много подстановок,
например, положив а — 3,6 = 1, или: о = 2, 6=1, или:
а = 8, 6 = 4, и т.д., и во всех этих случаях данные выра¬
жения будут иметь одинаковую численную величину.
Так как данные выражения, кроме того, состоят из оди¬
наковых букв, то, казалось бы, мы имеем достаточное осно¬
вание считать их тождественными. Однако, подстановка
а = 5 и 6 = 2 убеждает нас в обратном.
В самом деле, при о = 5 и 6 = 2
2й(й — 6) + 362 = 2 ■ 5 • (5 — 2) + 3 ■ 22= 10 • 3 + 3 • 4 =
= 30+12 = 42;
а2+3б(а — 6) = 52 + 3 ■ 2 ■ (5 — 2) = 25 + 6 - 3 = 25 + 18=43.
Данные выражения; хотя и состоят из одинаковых букв,
® не при всяких числовых значениях букв имеют одина-
стве ЧисленнУю величину. Поэтому они не будут тожде-
^пементарная алгебра.	^

— 50 —
Упражнение.
Проверить многократными подстановками, не ошиблись д»
■мы в первых двух примерах, устанавливая тождественное^
данных выражений.
Из третьего примера мы можем сделать следующий выво:
Суждение о тождественности буквенных выражений д.
должно основываться исключительно на числовой проверк»
Чтобы судить о том, тождественны данные выражения и*
нет, нужно знать законы получения из одного выражеед
другого, ему тождественного.
Нахождение по правилам математики выражения, тожд^
ственного данному выражению, называется тождественны
преобразованием данного выражения.
Нужно твердо помнить, что тождественное преобразовб
ние не изменяет числовой величины выраэюения.	(
В настоящем § мы установим лишь факт тождествен
ности выражений: (а-\-Ь)3 и а3-|-За2Ь-|-Зай2-j-Ъ3, а так»>
(а — Ъу и а3 — За2Ъ-\-ЗаЪ2 — Tfi. Но на-* каких математик
ских законах основано преобразование одного выраженш
в другое, мы в настоящем § не видели. Впоследствии путь
проведший нас от одного выражения к другому, станет д.г
нас ясным.
§ 23. Применение переместительного и сочетательной
гаконов для сложения и вычитания к многочлену.
В § 21 мы видели, что многочлен есть совокупность одно
членов, соединенных между собою знаками -j- или —.
Подставляя вместо букв определенные числовые значения
мы можем найти для каждого члена многочлена его числовуь
величину.
Таким образом, по существу многочлен представляв
собою совокупность чисел, соединенных между собою з№
ками -j- или —. А ко всяким числам, соединенным меж^
собою знаками -f- или —, применимы переместительны
и сочетательный законы. Следовательно, применимы of*
и ко всякому многочлену.
Примеры на применение этих законов будут даны ниже-
§ 24. Подобные одночлены и их приведение.
Подобными одночленами называются такие одночлен^
которые имеют в своем составе совершенно одинаковые of
венные части.
Например, одночлены 2а2х и За2х будут подобными, а од^
члены 2а2х и Зах2 не будут подобными, так как буквенй**
части их (а2х и ах2) различны.
— 51 —
Чтобы легче было определять подобие одночленов, при¬
нято буквенные множители, входящие в состав одночленов,
располагать в каждом одночлене в алфавитном порядке,
основываясь на переместительном законе для умножения
(см- ниже).
Приведение подобных одночленов, входящих в состав много¬
члена, состоит в соединении нескольких одночленов в один
й основывается на переместительном и сочетательном свой¬
ствах многочлена.
Пример 1.
Упростить выражение:
Юг/ — 8 т — 3 т — 6а -j-12 т.
Пользуясь переместительным и сочетательным законами
для сложения и вычитания (применительно к многочлену),
имеем:
10а— 8т — 3т — 6а -(- 12т— 10а — 6а-|- 12?// — 8т — 3?и =
(10а — 6а) -|- (12 т — 8?н — 3 т) — 4а-\- т.
Пример 2.
Упростить выражение:
Ь-^а — Ъ-^-Ъ -(- 6 Ь — 3 -g- а -j- 7 с — 1 -^с.
Пользуясь переместительным и сочетательным законами
для сложения и вычитания, имеем:
5\а~ Зу» + 6й-3уя + 7с —1-1с =
= 5 а 3 a -j- 6Ъ — 3 Ъ -(- 7 с — 1 — с =
= (5-je-3-i-a) + (6fi —3^5) + (7с-1-1с) =
= 1 Ая+2^б + 5-1с.
Приведение подобных одночленов—преобразование тожде-
ЧЛе^ное> т--е. не изменяющее численного значения много-
§ 25. Раскрытие скобок.	4
р
скобпСК°^Ками можно производить два действия: раскрытие
р к и заключение в скобки.
е сног?Ытием скобок называется опущение их-, заключением
ки называется введение новых скобок.

• <
— 52 —
Рассмотрим следующие случаи, могущие представить^
при раскрытии скобок. ^
1. Перед скобками стоит знан + (плюс).
В этом случае пользуются:
а) следствием из сочетательного закона сложения (см. § 14,
выражаемым равенством:	’
а, (Ъ -|- с) = а + Ъ -|— с;
б) сочетательным законом для сложения и вычитан,
(см. § 17), выражаемым равенством:
»г + (я— Ъ) = т-\-а— Ъ.
Пример 1.
Раскрыть скобки в выражении:
Ъах— 7Ъх-\-{9ах—15Ьж)	\
и упростить полученный результат.
Решение.
Ъах — 7Ьж+(9аж— \ЪЪх) = Ъах—7Ъх-\-9ах — \ЪЬх —
= Ъах + 9ах— 7bx — 1 ЪЪх = 14ах — 22 Ъх.
Пример 2.
Раскрыть скобки в выражении:
Ъат — 3 ап-f- (4 ат-\- Ъап)
и упростить полученный результат.
Решение.
6 am — Ъап+(4 am + Ъап) = Ъат — Ъап + 4 am + 5яю =
= 6 am + 4 ат-\- Ъап — Зяи = 1 Оат+2 ап.
Упражнение.
На основании примеров 1 и 2 формулируйте правило рас¬
крытия скобок, перед которым стоит знак + (плюс).
2. Перед скобками стоит знак — (минус).
В этом случае пользуются сочетательным законом Д-*
сложения и вычитания (см. § 17), выражаемым равенствам!1
т — (а+/;) = т — я— Ъ\
т — (а — 6) = т — а+5.
Пример 3.
Раскрыть скобки в выражении:
7тх —4 пу — (2 тх + 6 пу)
и упростить полученный результат.
- 53 -
решение.
jmx—4 пу — (2тх + Ъпу) = 7 тх — Any — 2 тх—6 ш/ =
:: 7тх — Ъпх — Any — 6пу = 5 тх — 10пу.
Пример 4.
Раскрыть скобки в выражении:
1 ОаЪ — (АаЪ — ЪЪх)
а упростить полученный результат.
Решение.
10яб — (4яб — ЪЪх) = 1 ОаЬ — АаЪ + ЪЪх — ЪаЪ + ЪЪх.
Упражнение.
На основании примеров 3 и 4 формулируйте правило рас¬
крытия скобок, перед которыми стоит знак — (минус).
До сих пор мы говорили о раскрытии круглых скобок.
Но бывают случаи, когда в выражении есть скобки различ¬
ных видов и их нужно раскрыть.
В этом случае раскрытие скобок производится в таком
порядке: сначала раскрывают круглые скобки, затем ква¬
дратные и, наконец, фигурные.
Возможен и обратный порядок раскрытия скобок.
Пример .5.
Раскрыть скобки в выражении:
7а*— {2йт + [ап—Зат — (5ат — 2я") — 4ят] + 2я"}.
Решение.
7сГ — {2ят + [йп - За” — (5ат — 2я”) — 4ят] +2я"} =
= 7ат -{2ат + [«" - Зйт- 5ат + 2й" — 4ят| + 2я“} =
= 7 я” — {2ат + а” — Зят — 5ят + 2я” — 4ят + 2я") -
= 7с™ _ 2ат — я”+Зя“ + 5ят — 2а" + 4ат — 2а" =
-	=17ят	—5я".
Раскрытие скобок можно произвести и в другом порядке.
7я“ - {2ят + [я" — 3«т — (5ят — 2а") — Аат] + 2я"} -
= 7 я* — 2ят — [а” — Зят — (5я”“ — 2я”) — 4ят] — 2а" =
= 7ят — 2 аГ — я" + Зя“ + (5ят — 2я") + Аап — 2я" =
7ят — 2а" — я” + Зят + 5ят — 2а" + 4ят — 2я” =
17ят — 5я”.
J

— 54 —
I
§ 26. Заключение в скобки членов многочлена.
При заключении в скобки членов многочлена следует paj,
личать два случая:
а) в скобки заключается несколько первых членов много¬
члена; в этом случае никаких других изменений во внешней
виде многочлена не происходит;
б) в скобки заключается несколько средних членов миогоу
члена.
На последнем случае остановим особое внимание.	I
Заключение в скобки нескольких средних членов много¬
члена есть выражение одього из следующих законов дей¬
ствий :
a -j- Ъ —Г с а (Z) —с);
т -f- а — Ь = т -|- (а — Ь);
т — а — I) = in — (a -f- Ъ) ;
т —а-\-Ъ = т— (а — 6).
При заключении в скобки будем ставить перед скобкам^
знак, стоящий перед первым заключаемым в скобки членом '
Тогда:	\
1) если этот знак будет -f- (плюс), то знаки действа
между заключенными в скобки членами многочлена остагст
прежние;
2) если упомянутый знак будет — (минус), то знаки дей¬
ствий между заключенными в скобки членами многочлена
заменяются обратными.
Примеры.
1) a1 -f- 2ах — 3а2х -j- а3 = а2 + (2ах — За гх -J- а3).
2) ах-—Ьхсх— d2 = ax— (Ьх — сх-|- d2).
ГЛАВА IV.
Законы умножения и деления и основанные на
них тождественные преобразования буквенных
выражений.
§ 27. Законы умножения.
Умножение чисел производится в следующем порядку
первое число умножается на второе; полученный результат!
умножается на третье число; новый результат умножаете^
на четвертое число и т. д.
Поэтому произведение не изменится, если несколько п-р\
вых сомножителей заменить их произведением.
\ш Переместительный закон: ab = ba.
Проверим равенство для произвольно взятых числовых
значений а и Ь, например, при а = 5 и Ъ = Ъ:
— Л	Л	с
аЪ
Ьа-
= 5-3
= 3- 5:
15;
: 15.
Следовательно, ab.— Ъа.
Переместительный закон верен не только для двух сомно¬
жителей, но и для какого угодно числа сомножителей.
Таким образом, от перемены порядка сомножителей про¬
изведение не' изменяется.
Следствие 1.
Распространяя переместительный закон на произведение
] - а —а, получим:
7 . а —а ■ 1 — а.
Так как 1 - а = а, то согласно определению понятия о де¬
лении:
а: 1 = а.
Таким образом, единица является числом, умножение
и деление на которое не изменяет числа.
2.	Сочетательный (или собирательный) закон формулируется так:
Произведение не изменится, если любую группу сомножи¬
телей заменить их произведением.
Проверим равенство:
abede = ab(cd)e
при а = 3, Ъ — 2, с~ 5, d = 6 и е = 4:
abede — 3 • 2 - 5 - 6 - 4 = 720;
ah{cd)e = 3 . 2 - 30 - 4 = 720,
где 30 произведение 5 на 6.
Следовательно, 3-2-5-6-4 = 3- 2-30-4.
Следствие 2.
Так как т ■ (аумгз) = (а^Яз) • т — ащ^а^т = та,а->аъ, то
т - (ауага3) = та^аз,
т-"е-. чтобы умножить на произведение нескольких сомно-
^ителей, достаточно умножить на первый сомножитель,
п°лУченный результат умножить на второй сомножитель,
н°вый результат умножить на третий сомножитель, и т. д.

Следствие 3.
Найдем, например, произведение: а5 ■ а3.
Так как а5 = ааааа и а3 = ааа, то
а® • а3 = (ааааа) (ааа) = аааааааа = Ф.
Итак, Ф . Ф . — а8,
т.-е. при умножении степеней одного и того же числа пока. 1
затели их складываются.
Из сказанного следует, что данную степень числа можш
представить в виде произведения степеней того же числа
показатели которых в сумме равны показателю данной
степени.
Упражнение.	j
Показать на числовых примерах, что a,rt-|-a”=f=am+,,.
Распределительный закон:
(а Ь) • m = am -|- bm;
(а — b)m = am — bm.
а) Проверим первое равенство при а = 5, 6 = 3 и «г=4:
(а+Ь)?га = (5 + 3)- 4 = 8- 4 = 32;
am -f- Ът = 5 • 4 -|- 3 • 4 = 20 -}-12 = 32.
Следовательно, для значений а, Ъ и т, произвольно вы¬
бранных,
(а Ъ)т = am+Ът.
Таким образом, чтобы умножить сумму на какое-нибудь
число, достаточно умножить на это число каждое слагаф
мое отдельно и полученные результаты сложить.
б) Проверим второе равенство при тех же значениях букв:
(а—Ъ)т — (Ъ — 3)- 4 = 2 ■ 4 = 8;
am— Ът — 5-4 — 3-4 = 20— 12 = 8:
Следовательно, для значений а, Ъ, и т, произвольно вьн
бранных,
(а — Ъ)т = am — Ът.
Таким образом, чтобы умножить разность на какое
нибудь число, достаточно умножить на это число умень
шаемое и вычитаемое отдельно и из первого полученном
результата вычесть второй.
— 57 —
Следствие 4.
Так как
(а — Ъ)т = am—Ът	(1).
то вследствие переместительного закона:
т(а— Ъ) = ат — Ът	(2).
Полагая в равенствах (1) и (2) Ъ = а, получим:
(а — а)т = am — am, .	0 • m = 0
т(а —a) — am — am, или:	т- 0 = 0
пПпячом.
§ 28 Проверка законов умножения при помощи площа¬
дей и объемов.
1.	Переместительный закон:
а)	для двух сомножителей: аЪ — Ъа.
Пусть ОС—а единиц длины и О А = Ъ единиц длины
Тогда ab выражает площадь прямоугольника АВСО (черт. 24
6/
Я
Г---•
1
(
•
1
1
1
1
•
1
I
1
\ •
1
1
<?/
1
$
о
с я,
X
Черт. 24.
Отложив на прямой ОХ отрезок 0.<41 = Ь единиц длины,
а на прямой OY отрезок ОС'1=а единиц длины, получим
прямоугольник AiBiCiO. Площадь его выражается произве¬
дением Ъа.
" Вращая прямоугольник AiBiCtO около точки О на 90е,
	 	 лп.п.п	ripnpTTRWHVR	послед-

— 58 —
ний прямоугольник до совмещения с прямоугольником АВС'О
•получим, что иЪ = Ъа.	(
б)	для трех сомножителей: аЪс — Ъас = сЬа = ....
Пусть О А = а единиц длины, ОВ — Ъ единиц длинц
и ОС = с единиц длины. Тогда аЬс выражает объем прямо
угольного параллелепипеда OG (черт. 25).	f
Отложив на прямой ОХ отрезок ОВу = Ъ единиц длины}
на прямой OY отрезок ОАх — а единиц длины и на прямой 07
отрезок ОС=с единиц длины, получим прямоугольный парад?
X
лелепипед OGt. Объем его выражается произведением Ъас
Вращением с^коло OZ и последующим передвижением мы.
можем совместить его с параллелепипедом OG.	||
Таким образом, аЪс = Ъас.	Г
Продолжая наши рассуждения, мы могли бы доказать, что
и другие перестановки множителей не изменяют произведения,
в) для любого числа сомножителей.
Докажем справедливость переместительного закона для любого числа
сомножителей методом полной индукции.
Пусть переместительный закон верен для п сомножителей. Требуете^
доказать, что он будет верен и для п -J- 1 сомножителей.
Возьмем произведение:
°i(ha3 . . . ап_х ап ап+1
О/
Произведение не изменится, если п — 1 первых сомножителей мы за;
ключим в скобки:	(
пга«<И. . . а„_, а„ Яя+1 =	3.	.	.	а„_,)	а„	a„+1
I
-Т 5У
будем полученное выражение рассматривать, как произведение трех со-
множителей: (й1Й2а3 .	.	.	an_t),	ап	н	ая+1.
По предыдущему ап и , можно поменять местами и произвести затем
возможные перестановки множителей, стоящих на п первых местах.
ВС чего в виду допущения справедливости переместительного закона для п
°поизводителей. произведение п-j-1 сомножителей не изменится. У нас
на +" 1)-°м месте оказалось бы ап .
Не трудно сообразить, что на это место может быть помещен любой
из п первых производителей выражения (1): стоит лишь до заключения
в скобки п — 1 производителей произвести предварительную перестановку v
первых сомножителей с переводом любого из них на гг-ое место.
Конечно, после перевода любого из сомножителей вышеуказанным спо¬
собом на (»-1- 1)-ое место мы остальные сомножители можем подвергнуть
всевозможным перемещениям на п первых местах.
Таким образом, переместительный закон остается верным н для m-J- 1
сомножителей.
Мы непосредственно видели, что он верен для трех сомножителей; сле¬
довательно, он должен быть верен и для четырех сомножителей (4 = 3-[ 1);
будучи верен для 4 сомножителей, он должен быть верен и для 5 и т. д.
2. Сочетательный (или собирательный) закон.
Сочетательный закон для умножения состоит в том, что
любую группу множителей можно заменить их произве¬
дением.
Прием доказательства справедливости этого закона со¬
стоит в следующем:
1) пользуясь переместительным законом, можно любую
группу множителей поместить в начале произведения, а затем
заключить в скобки;	*
2) пользуясь переместительным законом, можно заключен¬
ную в скобки группу множителей поместить на любом месте,
рассматривая ее как один сомножитель, и тем доказать
справедливость сочетательного закона, j
3. Распределительный закон:
(а -|- b) m = am + bm,
(а — b) m — am — bm.
я) Доказать, что (a -j- Ь) т = am -j- bm.
Пусть О А = а единиц длины, АВ = Ъ единиц длины и ОЕ
= т единиц длины. Тогда, очевидно, ОВ=(а~\-Ь) единиц
Длины (черт. 26).
Произведение (я + Ь) т выражает площадь прямоугольника
°СЕО, а произведения am и Ът выражают соответственно
Площадн прямоугольников ADEO и ABCD.
а У3 чертежа видно, что сумма площадей прямоугольников
ЛЕ>ЕО ц ABCI) составляет площадь прямоугольника ВСЕО
Следовательно, (a -f- Ъ) т = am -|- Ът.

— 60
б)	Доказать, что (а — Ъ)т = ат — Ът, где Ъ <а.
Пусть О А =а единиц длины, ВА = Ъ единиц длины и
= т единиц длины. Тогда, очевидно, ОВ — (а— Ъ) единиц
длины (черт. 27).
Произведение (а — Ъ)т выражает площадь прямоугольника
ВСЕО, а произведения: am и Ът выражают соответственно
площади прямоугольников АВЕО и ADCB.
У
г
«у
/7
с _z>
т. |
УП
I
сх-4 В
ъ
о
сг.
Черт. 27.
Из чертежа видно, что площадь прямоугольника ВСЕО
■является разностью площадей прямоугольников АВЕО
и ADCB.
Следовательно, (а — Ъ)т — ат — Ът.
Примечание.
Мы обнаружили справедливость распределительного закона
для двух слагаемых. Не трудно заметить, что тем же приемом
мы могли бы доказать его справедливость для любого числа
слагаемых.
61 —
зная его основание
Пример.
Определить площадь треугольника,
й высоту.
решение.
Пусть числа, измеряющие основание и высоту треугольника
будут соответственно а и h (черт. 28).
Так как площадь прямоугольника AMBN измеряется
числом: Ш, а площадь прямоугольника АМСР — числом: ch,
то число S, измеряющее площадь треугольника ABC, равно
S = ±m+±ch,
или, на основании распределительного закона,
5 = |(й + с)Л.
N	>9	^
Но й-f-с = о; поэтому
Черт. 28.
т--е. число, измеряющее площадь треугольника, равно
половине произведения чисел, измеряющих его основание
и высоту.
§ 29. Примеры на применение законов умножения
к упрощению арифметических вычислений.
Пример 1.
Вычислить: 8-73-125.
На
основании переместительного и сочетательного законов
Умножим сначала 8 на 125 (получим 1000), а затем получен¬
ный результат на 73. Окончательный результат будет 73 ООО.
вычисление легко произвести устно.

— 62 —
Пример 2.
Вычислить 25 • 32.
На основании сочетательного закона умножения и сле^
ствия из него имеем:
25 - 32 = 25 ■ (4 • 8) = 25 - 4 • 8 = 100 ■ 8 = 800.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 3.
Вычислить 73 .7.
На основании распределительного закона умножения имеец|
73-7 = (70 + 3)-7 = 70-7 + 3-7 = 490 + 21 =511.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 4.
Вычислить 75 ■ 39.
На основании распределительного закона умножения имеем
75- 39 = 75- (40—1) = 75 ■ 40-75 = 75-4 -10 — 75 =
= 3 000 — 75 = 2 925.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 5.
Вычислить: 384 • 37 + 116 • 37.
На основании распределцз>€льного закона умножения имеем
384 - 37 + 116 - 37 = (384 + 116) • 37 = 500 • 37 = 18 500.
Вычисление легко произвести устно.
1. Сочетательный
м деления:
§ 30. Законы деления.
(или собирательный) закон для умножения
а • (Ь: с) = (ab): с;
а: (Ьс) = (а: Ь): с;
а: (Ь: с) = (а: Ь) - с.
а)	Проверим первое равенство при й = 72, Ь=12ис = 2
а- (й: с) = 72 • (12:2) =72 . 6 = 432;
(аЪ)	: с = (72 • 12): 2 = 864:2 = 432.
Следовательно, для данных значений а, Ъ и с
а - (Ъ: с) = (яЬ): с.
— 63 —
Таким образом, чтобы умножить данное число на част¬
ное, нужно умножить данное число на делимое и получен¬
ный результат разделить на делитель.
Так как а ■ (Ь: с) =(аЬ): с, то и, наоборот,
(яЬ): с = а ■ (Ь: с),
т.-е., чтобы разделить произведение на данное число, доста¬
точно разделить на это число один производитель,
б)	Проверим второе равенство при тех же значениях букв:
о:(6с) = 72: (12 -2) = 72: 24 = 3;
(а : Ь): с = (72:12):2 = 6:2 = 3.
Следовательно, для данных значений а, Ь и с
а: (Ьс) — (а:Ь): с.
Таким образом, чтобы разделить данное число на про¬
изведение достаточно разделить это число на первый про¬
изводитель, полученный результат разделить на второй
производитель и т. д.
Следствие 1.
Требуется, например, найти частное: а8:я5.
На основании следствия из сочетательного закона умно¬
жения имеем:
о8 = аь ■ а*.
Согласно определению понятия о делении получаем:
а8: а5 = а3
или я8: аь = о8~5.
Таким образом, при делении степеней одного и того же
числа из показателя делимого нужно вычесть показатель
делителя.
Упражнение.
Показать на числовых примерах, что ат — а" + я”’~”.
®) Проверим при тех же значениях букв третье равенство.
й:(&:е) = 72: (12: 2) = 72:6 = 12;
(а:Ъ) -с = (72:12) -2 = 6- 2=12.
Следовательно, при данных значениях а, Ъ и с
о: (Ь: с) = (а: Ъ) • с.

Таким образом, чтобы разделить данное число на чагрЛ 3
ное, достаточно разделить это число на делимое и полу
ченный результат умножить на делитель.
Упражнения.
1) Показать на числовых примерах, что следующее
равенство было бы неверным:
(а5):с=(а:с) • (5:с).
2) Показать	на числовых	примерах, что	следующее	равем
ство было бы	неверным:	'	I
(о: Ъ): с = (а: с): (5: с).	I
3) Показать	на числовых	примерах, что	следующее	равен,
ство было бы	неверным:
(а: 5) • с = (а ■ с): (5 ■ с).
2.	Переместительный закон для умножения и деления:
(а: Ь) • с = (ас):Ь,
(а: Ь). (с: d) = (ас): (bd).
а) Проверим первое равенство при а = 72, 5=12 и с = 8.
(а: 5) • с = (72: 12) ■ 8 = 6 ■ 8 = 48;
(ас): 5 =(72 • 8): 12 = 576:12 = 48.
Следовательно, для данных значений а, Ъ и с
(а: 5) • с = (ас): 5.
Обыкновенно действия второй ступени (умножение и де¬
ление) выполняются в той последовательности, в какой он»
указаны; но, как видно из предыдущего, порядок этих дей¬
ствий можно изменять.
б) Проверим второе равенство при а = 72, 5=12, с = 8
и d — i.
(а:Ъ) ■ (c:d) — (72:12) ■ (8:4) = 6 • 2 = 12;
(ac):(bd) = (72 • 8): (12 • 4) = 576:48 = 12.
Следовательно, для данных значений а, 5, с и d
(а:Ъ) ■ (c:d) — (ас): (bd).
Таким образом, чтобы пере.иножить два частных, нужнф
перемножить делимые и перемножить делители и первый •
результат разделить на второй.
3 распределительным закон для деления:
(a + b):m = a:m + b:m;
(а — b): m = а: m — b : m.
1
а) Проверим первое равенство при а = 20, 5=12 и то = 4.
(а + Ь):то = (20+12):4 = 32:4 = 8;
а : ТО+ 5: то = 20: 4 + 12:4 = 5 + 3 = 8.
Следовательно, для данных значений а, Ь и т
(iа + 5): т = а: то -L- 5: то.
Таким образом, чтобы, разделить сумму на какое-нибудь
число, достаточно разделить на это число каждое слагае¬
мое отдельно и полученные результаты сложить.
б) Проверим второе равенство при тех же значениях букв.
(я — 6): то = (20— 12) : 4 = 8 : 4 = 2;
а: т - Ъ: то = 20:4— 12:4 = 5 — 3 = 2.
Следовательно, для данных значений а, 5 и то
(а — 5): то- = а: то — Ь : то.
Таким образом, чтобы разоелить разность на какое-
нибудь число, достаточно разделить на это число умень¬
шаемое и вычитаемое отдельно и из первого полученного
результата вычесть второй.
Следствие 2.
В равенстве: (а — 5): т = а: то — Ь: то, положим Ъ — а\
получим:
(а — а): т = а:т — а: то или 0: m = 0.
Следствие 3.
Подразумевая в равенствах:
(а + 5): то = а: то + 5 : то
и (а — 5) : то = а : то — 5: то
П°Д а, Ъ и то целые числа и вводя другое обозначение
Деления, получим:
а+Ь а Ъ а—Ь а Ъ
!—= -+— и 	=	>
то то т то то т
сткуда
а Ъ а+Ь а Ь а—Ь
:	 И	=	•
hi то т то
то то
■Элементарннн алгебра.

— 66 —
т.-е. при сложении и вычитании дробей с одинаковъ
знаменателями нужно выполнить эти действия над
телями дробей, а знаменатель подписать прежний.
§ 31. Проверка законов деления при помощи площадё#
и объемов.
Приступая к проверке законов деления при помощи щ»
щадей и объемов, необходимо помнить следующие по%
жения:
1) Площадь прямоугольника равна произведению дву*
сходящихся сторон; поэтому, если разделить ее на одш
из этих сторон, то получится другая сторона прямоугольника
2) Если одну из Г сходящихся сторон прямоугольника уве¬
личить в несколько раз, то, согласно законам умножени|
увеличится во столько же раз и его площадь.
3)	Объем прямоугольного параллелепипеда выражается
или произведением трех сходящихся его ребер или произве¬
дением площади какой-либо его грани на длину перпенди¬
кулярного к ней ребра.
Отсюда следует, что
а) разделив объем прямоугольного параллелепипеда к*
длину какого-нибудь ребра, получим площадь перпендику¬
лярной к этому ребру грани;
б) разделив объем прямоугольного параллелепипеда на
площадь какой-нибудь его грани, получим длину ребра
перпендикулярного к этой грани.
Переходя теперь к проверке законов деления, условии*?
в следующем:
а) полагая, что делимое выражает объем, необходимо при
нять, что делитель выражает площадь, линию или отвлечен
ное число;
б) полагая, что делимое выражает площадь, необходимо при
нять, что делитель выражает линию или отвлеченное чис-п*
— 67 —
. л полагая, что делимое выражает линию, необходимо
ринять делитель за отвлеченное число.
1 Сочетательный били собирательный), закон для умножения
и АеЛВИ	а	• (Ь: с) = (ab): с;
а: (Ьс) = (а: Ь): с;
а: (Ь : с) = (а : Ь) - с.
а)	Проверим равенство: а-ф:с) — (аЪ):с.
Примем а и с за числа, измеряющие ребра прямоуголь¬
ного параллелепипеда, а Ъ за число, измеряющее площадь
грани, перпендикулярной к ребру а (черт. 29):
АВ = ВС = а единиц длины,
AA1BJB = CClBlB = b квадратных единиц.
Не трудна понять, что Ъ: с равно числу у, измеряющему
ребро АВ:
АВ = у единиц длины = ф: с) единиц длины.
Поэтому произведение:
а ■ ф: с) = ау
выражает число, измеряющее площадь грани АВСВ (или
площадь АВСВ —а ■ ф: с) квадратных единиц.
Легко также заметить, что произведение ab измеряет
объем прямоугольного параллелепипеда АСр.
Объем АСх = аЪ кубических единиц.
Деля объем параллелепипеда на длину ребра ВВ}, полу¬
чим площадь основания:
площадь АВСВ = фЪ): с квадратных единиц.
Таким образом, а ■ ф: с) и фЪ): с, выражая одно и то же,
Д0Л*НЫ быть равны:
а • ф: с) = (ab): с.
Проверим равенство:
а: фс) — (о: Ъ): г.
РебпИНИмая ^ и с 33 числа> измеряющие два сходящихся
Ра прямоугольного параллелепипеда, мы должны Ьс при¬

- 68 —
нять за число, измеряющее площадь грани, а га за чис,
измеряющее объем параллелепипеда (черт. 30):
АВ==Ъ единиц длины,
BBi=c „
Объем ACi—a кубических единиц.
Так как площадь ААуВуВ — Ьс квадратных единиц, то час
ное от деления объема параллелепипеда на площадь гра
АА\ВХВ выражает длину ребра ВС:
ВС=х единиц длины = га: (Ьс) единиц длины..
Частное от деления объема параллелепипеда на длину pefr
АВ выразит площадь грани ВВХСХС:	' ^
площадь ВВхСхС=а:Ъ квадратных единиц.
в,
С,
С*
Разделив же площадь грани ВВ{С\С на длину ребра $
получим длину ребра ВС:
ВС = (а:Ь):с единиц длины.
Таким образом, га:(Ьс) и (га:Ь):с выражают одно и то»
а потому равны:
а : (Ьс) = (га: Ь): с.
в)	Проверим равенство: га: (Ь:с) = (га:Ь) ■ с.
Принимая с за число, измеряющее, ребро прямоугольна
параллелепипеда, примем Ь за площадь грани, заключаю!-
ребро с, а г/ за объем параллелепипеда (черт. 31):
ВВх — с единиц длины,
площадь AAiBlB = b квадратных единиц,
объем АС\ = га кубических единиц.
- 69 —
Тогда Ъ:с выразит собою число у, измеряющее ребро
4^ а а:ф:с)—площадь грани ВВХСХС:
площадь BBiClC = a:(b:c) квадратных единиц.
Частное от деления а на Ь выражает длину ребра ВС:
цС=х единиц длины = а:Ъ единиц длины.
произведение числа, измеряющего длину ребра ВС, на число
(- выразит площадь грани ВВХСХС:
площадь BBiCxC—cx квадратных единиц =
= (га: Ь) • с квадратных единиц.
Таким образом, а: (Ь: с) и (а : Ь) ■ с выражают одно и то же,
а потому
п: (Ь: с) = (га : Ь) • с.
2.	Переместительный закон для умножения и деления:
(а : Ь) - с = (ас): Ь;
(а: Ь) ■ (с: d) = (ас): (bd).
а1 Проверим равенство: (га:Ь) ■ с — (ас):Ь.
Принимая Ь и с за числа, измеряющие ребра прямоуголь¬
но параллелепипеда, примем га за площадь грани, перпен¬
дикулярной к ребру с, а гас за объем параллелепипеда
(черт. 32):
АВ — Ь единиц длины.
BBi = с
площадь ABCf) = a квадратных единиц.
«

— 70 —
Частное от деления а на Ъ выражает собою число х, из*,
ряющее ребро ВС:
ВС=х единиц длины = а:Ъ единиц длины.
Произведение же числа х на число с выражает площа.
грани 'ВВХССХ:	^
площадь ВВхСхС — сх квадратных единиц =
= (а:Ь)с квадратных единиц.
Так как ас выражает объем параллелепипеда, то (ас):Ъ вир,
жает площадь грани, перпендикулярной к ребру Ь:
площадь ВВ,СхС = (ас):Ъ квадратных единиц.
Таким образом, (а:Ь) • с и (ас):Ь выражают одно и го ж
(площадь грани BBxCiC)\ поэтому
(а:Ъ)- с — (ас): Ъ.
б)	Проверим равенство: (а:Ъ) ■ (c:d) — (ac):(bd).
Примем Ъ и с за числа, измеряющие два сходящихся ребр
прямоугольного параллелепипеда, а число а за площад1
грани, перпендикулярной к ребру с (черт. 33):
АВ = Ь единиц длины,
ВВх = с „	,	,
площадь ABCD — a квадратных единиц.
Частное а: Ъ, очевидно, выражает число х, измеряю^
ребро ВС:
ВС= х единиц длины = а:Ь единиц длины.
Пусть ВК= с : d единиц длины.
— 71 —
Тогда х - (с :d) или (а: Ъ) ■ (с: й) выразит площадь прямо¬
угольника BKLC.
площадь BKLC — (a:b) (c:d) квадратных единиц.
Построим на прямоугольнике BKLC прямоугольной парал¬
лелепипед MBCNMxKLNl} ребро которого МБ пусть содер¬
жит Ы единиц длины.
Объем этого параллелепипеда выразится так:
Объем ML = x- (c :d). bd кубических единиц =
. [(с: d) • d~\ - Ъ кубических единиц=5са; кубических единиц.
Объем параллелепипеда ABCDAxBxCxDx выразится так:
Объем ACi=bcx кубических единиц или ас кубических единиц.
Следовательно, объем ML —ас кубических единиц. Разделив
его на длину ребра MB, получим площадь грани BKLC:
площадь ВК1Ю= (ac):(bd) квадратных единиц.
Таким образом, (а:Ь) ■ (c :d) и (ac) :(bd) выражают площадь
одной и той же грани BKLC, а потому
(а: Ь) ■ (с: d) = (ас): (bd)
Следствие 1.
Положив в равенстве:
(а: Ь) ■ (с: d) = (ас) : (bd)
с и d равными числу т, получим:
(а :Ъ) ■ (т:т) = (am): (bm).
По т : ад = 1; поэтому
Илц.	(а: Ь) ■ 1 = (aw): (bm)
a:b — (am): (bm).

Вводя в полученном равенстве другое обозначение деленщ
будем иметь:
а am
Ь Ьт
Дробь получается из дроби ^ умножением ее член^
а am
на одно и то же число т; при этом = — •
Ъ Ьт
а пт
Ь Ьт'
то и, наоборот.
am	а
Ьт	Ъ
п *	а	ч	ат	■	I
Дробь	^	получается	из	дроби	—	делением	ее	членов	t,]
am а
одно и то же число т\ при этом =- = —•
Ът о
Таким образом, если оба члена дроби умножить или рш
делить	на	одно	и	то	же	число,	то	челичина	&
не шм-енптся.
3. Распределительный закон для деления:
(а —|- b"): m = а: m —J- b : т,
(а — b): т = а : т—b : jn.
а) Проверить равенство: (а-\-Ь):т = а:т-\-Т>:т.
Примем а и Ь за числа, измеряющие площади прямоуго^
ников: ABCD и CDEF (черт. 34), а т за число, измеряюШЧ
общую высоту прямоугольников:
площадь ABCD — a квадратных единиц
*	„ CDEF= Ъ
ЛИ — CD — EF = т единиц длины.
Обозначая числа, измеряющие AD и DF, соответствен^
через а; и у, получим: х = а:т и у — Ъ.т, а потому х-,-У
— а:т-{-Ъ: т.
Так как %-\-у является числом, измеряющим отрез1’
„4.F, и так как площадь ABEF=(a-\-b) квадратных единии>|'
х-|- у — (a -J- Ь): т.
- ?3-
Отсюда следует, что
"*	(«	-(-	b): т — а: т + Ъ: т.
б) Проверим равенство: (а — Ъ)]: т = а : т — Ь: т.
Примем а и ft за числа, измеряющие площади прямо¬
угольников (черт. 35) ABCD и CDEF:
площадь ABCD — a квадратных единиц
CDEF — Ъ
AB = CD = EF — m единиц длины. #
С. _
т oo-'S 'т
■4
Я
Черт. 35.
Г
г*
Площадь прямоугольника ABEF, очевидно, содержит
п — Ъ квадратных единиц.
Разделив а — b на т, получим число, измеряющее AF\
х — у— (а — Ъ):т.
Числа х и у можно определить, если площади прямоуголь¬
ников A BCD и CDEF разделить на т:
а потому
Следовательно,
х — а'. т и У — Ъ: т,
х — у — а'.т — Ь'.т.
(а — Ь) :т = а : т — Ь:т.

— 74 —
§ 82. Примеры на применение законов
и деления к упрощению арифметических
. Пример 1.
Вычислить: 19.25.
К вычислению можно применить следующий закон:
а ■ (Ъ: с) = (аЪ) : с.
Будем иметь:
19.25= 19 • (100: 4) = (19 - 100): 4 = 1 900:4 = 475.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 2.
Вычислить: 3100:25.	»
К вычислению можно применить следующий закон:
(ab) :с — а■ (Ъ : с).
Будем иметь:
3 100:25 = (31 100) : 25 = 31 • (100:25) = 31 4 = 124.
Вычисление легко произвести устно.
Пример 3.
Вычислить 6 750: 125.
К вычислению можно применить следующий закон:
(а + Ь): т = п:т-\-Ь: т.
Будем иметь:
6 750: 125 = (6 000 + 750): 125 = 6 000: 125 + 750: 125 =
= 48 + 6 = 54.
Вычисление легко произвести устно.
§ 33. Умножение и деление дробей, как выражение
законов деления.
В § 30 мы видели, что
а ■ (Ъ: с) = (аЪ): с,
(а: Ъ) ■ с = (ас): Ъ,
(а :Ъ) • (с: (I) = (ас): (bd),
или, вводя другое обозначение деления:
а ш с_ ас
b d bd
— 75 —
Таким образом,
1) Чтобы умножить целое выражение на дробь, доста¬
точно данное выражение умножить на числитель дроби
и полученный результат разделить на знаменатель дроби;
2) Чтобы умножить дробь на целое выражение, доста¬
точно умножить на данное выражение числитель дроби
и полученный результат разделить на знаменатель дроби;
3) Чтобы умножить дробь на дробь, достаточно произ-
дедение числителей разделить на произведение зналчена-
Iпелей.
В § 30 мы видели, что
а:(Ь:с) = (а:Ь) ■ с
или, вводя частично другое обозначение деления:
Ъ а
а: - = т с.
с Ъ
а ас
Но так как, согласно сказанному выше, ■ с= то
b ас
а: — —
с Ъ
т.-е., чтобы разделить целое выражение на дробь, доста¬
точно умножить данное выражение на знаменатель дроби,
полученный результат сдемчть числителем, а числитель
данной дроби сделать знаменателе.м.
В § 30 мы видели, что
а: (Ьс) = (я: Ь): с.
Вводя частично другое обозначение деления, получаем:
а а
Ъ "С Ьс
т.- е., чтобы разделишь дробь на целое выражение, доста¬
точно умножить на данное целое выражение знаменатель
дроби.
г,	.	cid	с
Перемножая две дроби:	и	находим:
ad с acd
be d bed
Основываясь на следствии 1 § 31, разделим числитель
и знаменатель дроби:	на	cd; получим:
acd а	1
bed b’
умноженця
вычислений
т

а потому
— 76
ad с _
Ъс d~
а
Ъ'
Т
Таким образом, дробь ^ можно рассматривать, как произ-
Ъ
с ad
ведение двух дробей:	и
Разделив произведение на один из сомножителей, по¬
лучим другой сомножитель.
Поэтому
а с ad
Ъ ' dj~ Ьс
т.-е., чтобы разослать дробь на дробь, достаточно числи¬
тель первой дроби умножить на знаменатель второй, а зна¬
менатель первой дроби у.иножить на числитель второй-,
первое произведение сделать числителем, а 'второе знате-
нателем результата.
§ 34. Раскрытие скобок.
Рассмотрим следующие случаи раскрытия скобок:
1.	Перед скобками, заключающими многочлен, или после скобок
стоит знак умножения.
В этом случае пользуются распределительным законом для
умножения, выражаемым равенствами:
(а -f- Ь)т = am + Ът,
(а — Ъ)т = am — Ът,
Пример 1.
Раскрыть скобки в выражении:
(Sax -|- 2Ъу — 5гг) ■ т.
Решение.
(3ах -{- 2Ъу - bcz)m = 3ахт -|- 2Ьут — 5егт =
= 3 атх -j- 2bmy — 5 ciiis.
Пример 2.
Раскрыть скобки в выражении:
т (За.т 2Ьу — 5г~).
Решение.
т(3ах -f- 2 Ъу — 5 сз)= (Зпх-\- 2Ьу — Ъсг)т —
— Затх -}- 2 Ъту — 5 cmz.
— 77 —
Пример 3.
раскрыть скобки в выражении
(2а3 — 4a2 -j- «) • За2
Решение.
(2а3 — 4а- -(- а) • За2 = 2а3 ■ За2 — 4а2 • За2 -|- а ■ За- —
= 6а5 — 12«‘ -(- За3.
Упражнение.
На основании рассмотренных примеров формулируйте
правило раскрытия скобок, перед которыми или после кото¬
рых стоит знак умножения.
•Пример 4.
’ Раскрыть скобки в выражении:
(а 6 — с) • (/и — п).
Решение.
(а -|- 6 — с) • (ш — и) = а[ш — n) -j- Ъ(ш — и) — с(ш — п) —
— am — ап-\-Ът — Ъп — ет-\-сп.
2.	После скобок стоит знак деления.
В этом случае пользуются распределительным законом
для деления, выражаемым равенствами:
(а -)- Ь): т — а: т -j- Ъ: ш,
(а — Ъ):т = а: ш — Ъ: т.
Пример 5.
Раскрыть скобки в выражении:
(6а5 — 12а4 4" За3): (За2).
Решение.
(6а5 — 12а4 -f За3): (За2) = 6а5: За2 — 12а4: За2 + За3: За2 =
= 2а3 — 4а2 -)- а.
Пример 6.
Раскрыть скобки в выражении:
(За — 26 + 4c):(5w).
Решение.
(За — 2Ъ~\~ 4г): Ът = За: Ът — 26: Ът -f- 4с: 5?н =
За
Ът
26 , 4с
Ът ' Ът'

-
3. В скобках стоит произведение, возводимое в некоторую степень. 1
Пример 7.	’	*
(абс)4 = абс ■ аЪс • аЪс ■ аЪс
или, на основании законов умножения:
(абс)4 = (аааа) ■ (ЬЪЪЬ) ■ (сссс).
Вводя сокращенную запись при помощи показателя, полу¬
чаем :
(абс)4 = а4б4с4.
Таким образом, чтобы возвести в степень произведет4,
достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель
отдельно.
Пример 8.
Раскрыть скобки в выражении;
(Ъах)2.
Решение.
(Ъах)2 — Ъга2х2 = 2Ъа2х2.
4. В скобках стоит дробь (частное), возводимая в некоторую
степень.
Пример 9.
(а\3 а а а ааа Ф
[bj ~ Ь ' Ъ ' Ъ~б3'
Таким, образом, чтобы возвести в степень дробь, доста¬
точно возвести в эту степень числитель и знамснате.1ь
отдельно.
Пример 10.
Раскрыть скобки в выражении:
За\3
ЪЬJ '
Решение.
/За\3 (За)3 33а:;  27а3
^56) ~(Щ3~~ Ъ3Ъ3~ 125б3‘
5 В скобках стоит степень, возводимая в некоторую другу10
степень.	(
Пример 11.	•	*
(а4)3 = а4а4а4 = а4+4+* = а4 ’3 = а12.
— 79 —
Таким образом, чтобы возвести степень в другую степень
достаточно перемножить показатели степеней.
Пример 12-	\
Раскрыть скобки в выражении:	*
(5а2б3ж)2.
рвение.
(Ъа2Ъ3х)2 = 52(а2)2(б3)2ге2 = 25а4бвге2.
Пример 13.
Раскрыть скобки в выражении:
/ За6б3\3
\2х4у’1) '
Решение.	^
/За5б3\3 _ (ЗаБб3)3 _ 27а16б®
\2х4уу (2х4у7)3	8	х12у21'
,	ГЛАВА	V.
Тождественные преобразования по формулам.
§ 35. Тождества:	I
(a-J- Ь) (а - Ь) = а2 — Ь2;
(а —}— Ь)2 = а2 2 ab —Ь2;
(а — Ь)2 = а2 — 2 ab —[— Ь2.
1)	Доказать тождественность выражении:
(а-\-Ъ)(а — Ь) и а2 — Ъ2.
Доказательство.
(а-\-Ъ)(а — Ъ) — а(а — б)-|-б(а— б) =
— а2-аЪ-\-аЪ — Ъ2 — а2 — б2.	|
Таким образом,
(a -J- Ь) (а — Ь) = а2 — б2,
1 Т
pQ пРоизведение суммы двух чисел на их разность равно
3ности квадратов этих чисел.

— 80
Пример.
(5а2й -f 1 aft2) • (5я2й — J ай2) = (5я2й)2 -
— (* ай2)2 = 25о<й2 — -i- a2ft*.
2) Доказать тождественность выражении:
(a-\-bjl и a--\-2ab -f-й2.
Доказательство.
(а ф й)2 = (в -|- й)	=	M (os —|— />) —|— ^ (о-|-й) =
= a'1 -J- ah	ab -\-Ь- — а'1 ф 2ай -j- й2.
Таким образом,
(a -f- й)2 = а2 -{- ?чй 4- й'2,
т.-е. квадрат суммы двух чисел равняется квадрату перв^
числа, плюс удвоенное произведение первого числа на omojw
плюс квадрат второго числа.
Пример.
(Зях4~ 2йх)2 = (ЗяаЛ2 -f- 2 ■ 3ах ■ 2йх |-
4- (2йх)2 =9я2х2 +12abx‘ 4- 4й2ж2.
■й) =
3) Доказать тождественность выражений:
(а — Ър и а2 — 2яй -f- й2.
Доказательство.
(а — й)2 = (а й) (а — й) — а (а — й) — й (я -
— а1 — ей — ой 4~1)2 — а‘- —2«й 4- й2.
Таким образом,
(о — й)2 = а- — 2 ой 4- й2,
т.-е. квадрат разности двух чисел равняется квадро?1
первого числа, минус удвоенное произведение первого чие-%
на второе, плюс квадрат второго числа.
Пример.
(0,2ж3 — Зх')2 = (0,2x4'- — 2 ■ 0,2ж3 • Зх2 -f
4- (Зх2)2 = 0,04х« - 1,2xs ф 9x4.
Упражнения.
1) Показать на числовых примерах, что (я4-й)2фа2	^
2) Показать на числовых примерах, что (о — й)2фа-
81 —
§ 38. Геометрический вывод Формул:
(а 4- Ь) (а — Ь) = а2 — Ь2;
(а -]- Ь)2 — а2 4~ 2аЬ -|- Ь2;
(а —Ь)2 = а2 —2аЬфЬ2.
1) Построим прямоугольник ABCD (черт. 36) со сторонами
др^(а-\-Ъ) единиц длины, и AD=(a— й) единиц длины.
Тогда произведение: (а4~й)(а — й) выразит площадь этого
прямоугольника.
Построим квадрат AAXMXN и прямоугольник АХВММХ.
Легко видеть, что прямоугольники АХВММХ и CXDNMX равны.
Поэтому площадь фигуры ABMMXCXD будет равна площади
квадрата AAXMXN. В самом деле, переместив прямоуголь¬
ник АХВММХ в положении CXDNMU мы фигуру ABMMXCXD
В ct-в С? &
4
Я/
4 4
CL-*#
<4*
ее ct
*	i
1
А?
2>
Черт. 36.
N
4
4\
со
•
»
со
со
	?...
9
Черт. 37.
е
//
СО
дгм™м в квадРат AAXMXN. Таким образом, площадь фигуры
dBMMxCxD выражается числом о2. Огняв от этой фигуры
вадрат ССХМХМ, площадь которого выражается числом й2,
лучим прямоугольник ABCD Следовательно, площадь
Рямоугольника ABCD равняется разности площадей ква-
ДРДтов: AAXMXN и ССХМХМ.
Отсюда формула:
(а Ь) (а — Ь) = а2 — Ь2.
Ша^Ц] 1?ОСтРоим квадрат ABCD (черт. 37) со стороной, содер-
Так4е(и + й) единиц длины. Площадь его выразится
НццТл°Жив на сторонах этого квадрата AM=AQ = a еди-
Ллины и проведя через точки MuQ линии,параллельные
Элементарная алгебра.	6

— 82 —
сторонам квадрата АВСВ, получим два квадрата:
и CNEP и два равных прямоугольника: ВМЕР и BNEQ.
Из чертежа видно, что квадрат АВСВ состоит из квад*
тов AMEQ и CNEP и прямоугольников ВМЕР и BNEQ. '
Так как площадь квадрата AMEQ измеряется числом „
площадь квадрата CNEP измеряется числом Ъ2, а площ^
каждого из прямоугольников ВМЕР и BNEQ измеряет
произведением аЪ, то
(a -f- b)2 = а2 + 2аЬ -\- Ь2.
3) Построим квадрат АВСВ со стороной, содержащ;
(а — Ь) единиц длины (черт. 38). Площадь этого квадра;
выразится так: (я — Ъ)2.
4
\е
-В п
'2\
а
.... -г
в
Q.-S
С?
V
1
1
d
в
CL--В
4
4
я,
к
1
d
N
.....
4
Продолжив его стороны А
и СВ и отложив AAl = CCl=z
единиц длины, построим кв
драты AAiMN и ClBNMl. О*
видно, площадь первого к&
драта будет измеряться чц
лом а2, а площадь второг
квадрата числом Ъ2.	Прямс
угольники АВВХМ и ВДСр
будут равны. Площадь кавд
го из них измеряется произв:
дением аЪ.
ПлощадьфигурыА4,МД/,Сг1
состоит из суммы плошаде>"
двух квадратов: со сторонв
в а единиц длины (квадр
AMXMN) и со стороной в Ь ej
ниц длины (квадрат СхВХМ
Если от этой фигуры отделить прямоугольники АхВЬ'
и ВхССхМи то получится квадрат со стороной (а — Ъ) е?
ниц длины.
Отсюда формула (й— Ъ)2 = а2 — 2аЪ-\-Ъ2.
§ 37. Задача.
Нзйти числовую зависимость между сторонами прямоугольного j
угольника.
Решение.
Дан треугольник (черт. 39), катеты и гипотенуза которого измер;
соответственно числами а, Ъ и с.
Возьмем еще три таких же треугольника и расположим все данные Ч
треугольники так, как показано на черт. 40.	1|
Вместе с квадратом MNPQ они образуют фигуру ABCD.
Легко убедиться, что ABCD будет квадрат со стороной в с
длины.
*
с, -ем,
Черт. 38.
— 83 —
D	„—, 	 -	уГа	лиии,	пак видно из чертежа,
„эвен а + 3. Но а ^ — острые углы прямоугольного треугольника и потому
в сумме составляют прямой угол.
Сторона квадрата MNPQ, как видно из чертежа, ртвна (а— й) единиц
длины.
Сумма площадей всех взятых треугольников и квадрата MNPQ соста¬
вляет п ющадь квадрата АВСВ.
Поэтому
‘/гай ‘/гай + ‘/гай 4- ‘/=ай 4-(а — й)2 = с2
или
Черт. 39.
Черт. 40.
или
Раскрывая скобки, находим:
2ай 4* а3 — 2ай -f й! = с3
а2 4“ й2 = е2,
т--е. сумма квадратов чисел, измеряющих катеты треугольника
равна квадрату числа, из.иеряющего гипотенузу (теорема Шфигора)
§ 38. Тождества:
(а + Ь)з = а3 + За=Ь 4- ЗаЬ2 + Ь3;
(а — Ь)3 = а3 — За2Ь 4- ЗаЬ2 — Ь3;
(a -f- b) (а2 — ab 4- Ь2) = а3 4~ Ь3;
(а —Ь) (а2 4- ab -)- Ь'-) = а3 — Ь3.
0 Доказать тождественность выражений:
(а4-Ь)3 и йз4-з«2ь4-з«ь24-ьз.

— 84 —
Доказательство.
(я4 Ь)3 = Га4-Ь)2 (а~{-Ъ) = (а2-\-2аЪ-\-Ъ2) (я-|-Ь) =
= й- (а 4- й) + 2чЪ (а + й) -(- й2 (a -j- й) = а3 4 а2й4~
-)- 2я2й + 2мй2 + ah- -f- й3 = о3 -j- 3fi2fc 4* 3иЬг + ьз-
Таким образом,
(a -f й)3 = я3 + Зя2й 4- Зяй2 4- й3,
т.-е. куб суммы, двух чисел равен кубу первого числа, пл**
утроенное произведение квадрата первого числа на вто}мь
плюс утроенное произведение первого числа на квадрст
второго, плюс куб второго числа.
2)	Доказать тождественность выражений:
(а — й)3 и я,3 — Ъа-Ъ 4- Зяй'2 — й3.
Доказательство.
(Я_й)з = (л — й)2(я — й) = (я2 — 2яй4-й2) ■ (а—й) =
= я2(я— й) — 2яй (я, — й)4-й2 (я й) = я3 я-й
— 2а2й 4- 2«й2 4- яй2 — й3 = я3 — За2й 4- Зяй2 — й3.
Таким образом,
(а — й)3 = я3 — За2й + Зяй2—й3,
т.-е. куб разности двух чисел равен кубу первого чаем
минус утроенное произв< дение квадрата первого чисЛ
на второе, плюс утроенное произведение первого чис»
на квадрат второго, минус куб второго числа.
3) Доказать тождественность выражений-
(а4-й) (ws — ab \- b-j и а3-)-®3
Доказательство.
(в+ 6) (а*-аЪ+Ь?) = аЧа + Ъ)-аЦа + Ь +8Я(а + В) =
= а3 4" я-й — ab" — яВ2 4 яй2 4 В3 = я3 4- йя-
Таким образом
(а 4-й) (а2 —яй + й3)г=о34-й-’,
т.-е. произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их 1>а
ности равняется сумме куочв этих чисел. _
4) Доказать тождественность выражений-.
(я — 6) (а24 яВ 4 В2) и а3— В3.
Доказательство.
(а — 6) (а2 4 яй 4 й") = я2 (а — й) 4 аЪ (а - В) 4 й2 (я — В) —
= а3 — я2В 4 а2В — аВ2 4-°В2 - й3 = а3 — й3.
Таким образом,
(я — й) (я2 4 яб 4 В2) = я3 — В3,
т.-е. произведение разности двух чисел на неполный квадраи•
суммы равняется разности кубов этих чисел.
№№
— 85 —

— 86 —
§ 39. Таблица Паскаля-
т
Таблица Паск&ля имеет следующее простое устройство.
Вертикальными линиями она разделена на столбцы, а гори¬
зонтальными на строки.
В табл VII, состоящей из 11 строк, числа нулевой строки
записаны в нечетных столбцах, числа первой строки в чет¬
ных столбцах, числа второй строки — опять в нечетных столб¬
цах и т. д.
Диагонали указаны стрелками и обозначены буквами: 40,
Аи Л2 и т. д.
Таблица Паскаля составлена из чисел, обладающих тем
свойством, что сумма двух последовательных чисел какой-
нибудь строки равна числу, стоящему в промежуточном
столбце строкой ниже.
Таблица Паскаля обладает следующими интересными свой¬
ствами:
1) Число членов в каждой строке (не считая нулей) на еди¬
ницу больше номера строки.
Число членов каждой строки, очевидно, на единицу больше числа членов
предшествующей строки.
В самом деле, пусть в некоторой строке таблицы содержится то чисел.
Припишем два нуля (один в начале строки, другой — в конце).
Между всеми этими числами имеется то-f-1 промежутков, что соответ¬
ствует числу чисел следующей строки.
Таким обр 'зом ес ш в какой-нибудь строке содержится т чисел,
то в следующей строке будет то-f-1 чисел.
В пуле но I строке содержищя один член, т.-е. на единицу больше ее
номера. С дмьнейшим повышением номеров на единицу, на столько ж
будут возрастать и числа членов в соответствующих строках.
Следовательно, так как в нулевой строке один член, то в m-ой строке
будет /72•+ 1 членов.
2) Каждое число, находящееся на диагонали А о, равно
единице.
3) Если номера строк таблицы Паскаля начать с нуля, то
каждое число, находящееся на диагонали равно номеру
той строки, в которой оно находится.
4) Каждое число таблицы Паскаля равно предшествующему
числу той же строки, умноженному на число членов, следую¬
щих за этим предшествующим числом, и разделенному начисл°
членов, предшествующих данному числу.1
Справедливость этого правила для первых 11-ти строь
таблицы Паскаля мы видим непосредственно.
Докажем, что оно справедливо и
применим метод полной индукции.
для любой строки. К доказател
ьс^
1 Нули в расчет не принимаются.
— 87 —
пусть вышеуказанное правило справедливо для m-ой строки; тогда числа
 .Л^и ИЫПЯЧИТЛС так-	г	’	чии,а
той сгроКИ» выразятся так:
Ло=1;
At=:m;
т (т — 1)
Ао —-
А,=
1 ■
т (т-
1) On — 2)
1 - 2
И т.д.
Обозначим числа, входящие в (то-|-1)-ую строку через А\
и т, д. и докажем, чю
А'о—1;
А‘, = т-J-1;
(т 1) т
Г~~2	'
A'i, А\. А'з
А'а=-
  (т + 1)т (то — 1)
и т.д.
Так как А'1.^_1. принадлежит таблице Паскаля, то
~АкА- Ак+1 =
_ то (то — 1) (то — 2).
~	Г-	2	-з.
то (то—1) (?п — 2) . .
+	1-2-3.
_то (то— 1) (то—2).
• - (то — *-}- 1)
. . *
(то —*+1) (то — *)_
+
1 • 2 ■ 3- . .
_ (то-)- 1) то (то — 1) .
Г- 2 - 3 . .
к (*-}-!)
(то — * -}-1)
то-)- 1
к
k+ 1
(то+ 1 — *)
Полагая
.(* + 1)
в равенстве:
*+1 —
(то-(-1) т(т — 1).
П 2^3. .
. (то-f 1 —*)
(*+1) ~
*«0. 1, 2,
Зит. д., получим:
А\ — ТО-)- 1;
_ (тА~ Пто
Л О —
А'-
<\>*ом.
I • 2
(то-)-1) то (то—1)
1-2 - 3
и т. д.
.... если вышеупомянутое правило верно для чисел т-ой
Но "Л То оно будет верно и для чисел (то-f- 1)-ой строки.
непосредственно видели, что правило справедливо для то =10;
e*=-]j льно, оно справедливо и для то =11. Будучи справедливо для
’ 040 будет справедливо и для то = 12 и т. д.

- 88
§ 40. Бином Ньютона.
Биномом Ньютона называется выражение вида: (ж-Ц
Дадим т последовательно значения: 1, 2, 3, 4 и 5. Получу
1) {х-{-аУ — х-\- а;
2) (ж 4-а)2 = х2-\-2ах-\-а2м,
3) {x-\-a)7i = xi-\-2>ax2-\-2>а2х-\-а?\
4) (x-\-a)4={x-{-af(ж4-я)=(ж34-Зяж24-Зя2ж4-«з).^ж.1_„
= ж14~ Ъах? 4- Зя2ж2 4~ а3'х + ах3 Ч- Зя2ж2 -f-
4- 3 я3ж 4~ а4 = я4 4“ 4яж3 4~ 6о2ж2 4~ 4о3ж 4- я4;
5) (ж 4~ а)5 = (ж 4- я)4 ■ (ж 4- о) = (ж4 4- 4ЯЖ3 4- 6я2ж2 -ф-
4- 4я3ж 4- а4) (ж 4~ я) = ж5 4~ 4яж‘ 4- 6я2ж3 ф- 4я3ж2 ф-
4~ а4х 4- яж4 4~ 4я2ж3 4- 6я3ж2 4- 4я4ж 4- я5 = ж5 4~ 5ож4
. 4~ 10я2ж3 4- 10я3ж2 4- 5я4ж 4- я5.
Рассматривая полученные формулы, видим:
1) Правые части формул представляют собою однород»
многочлены, измерение которых равно показателю бинок^
2) Число членов в каждом таком многочлене на едииь
больше показателя бинома;
3) Биномиальные коэффициенты представляют собою чд:
входящие в состав той строки таблицы Паскаля, номер ко;
рой равен показателю бинома.
Не трудно убедиться, что указанные свойства разложения бинома с-
ведливы для любого целого т.
В самом деле, пусть
(ж + а)™ = Д0®™ + +axm~1 + 43cft*:”'_2 + ...- + Дт_1ат-1ж + Дя;'
где Aq, Аи Л2, А3 и т. д. — числа, составляющие ?я-ую строку таба
Паскаля.
Увеличим показатель бинома на 1; тогда:
(ж4-аГ+Ч- (Atixm+A1axm-1 + A,a?xm-2-}-.... + Am_1an- V
+ Апат) • (ж + а) = А„хт +1 + Ахахш + А^аГ~х + ....
.... + Ат_гат-1ж2 + Ататж+Д „аж*» + Ага2хт+
 +Лт_2ат~1х2 + Ат_1атх + Атат+Х = А0хт+4 + (Д0+Д,) at
+ (Д, + Д2)а2жт 1 +. •.. 4" (Ат_2 4 Am—i) а х2 +
+ Um-1 + Am)amx+Amam+1.
Но	f
-I© = A'q — 1; До“р А, =■ А p. А\ 4- Д.2 — А ■ ■ ■ -, Ащ —А + Ат —-11
+	А'о,	A'u	 А'т,	А’ш+1	-	ЧИСЛЗ,	СОСТ^
щие (ж + 1)-ую строку таблицы Паскаля.
— 89 —
Таким образом,
(ж + a)m+1 = Д'0ж,п+1 + A\axm + А'2а?хт~х +. ...
■ m-fl 1
■ + А'патх+А'„ • -"*+■
Формула разложения бинома будет справедлива и для показателя м + 1,
ес1и она верна дяя показ теля т
Мы непосредственно видея i. что упомянутая формула верна дщ пока¬
зателя 5; сюдовательно, она верна для 5+1=6, для 6+1=7 и т. д.
В § 39 мы видели, что числа, составляющие m-ую строку таблицы
Паскаля, выражаются так:	<
т(т — 1) т (иг —1) (т — 2)
1: т:	:		-	—	-	•	т	•	1
1-2	1-2-3
Поэтому
t - .in in I	in— 1 . W (ш—1)	m	g
(ж+ a) = x +»шж -|	-—~ - a?x +
, m m — 1) (m — 2)	„	,
I	Г	\	f	~	m—a .	.	m—1	,	m.
1.2-3	 ’	 +	rna X + a •
Следствие.
Полагая в последнем равенстве ж = а = 1, получим:
2™ = Г +tn - 1 - 1т~1 + in(,w+j) . р . Iй-1 I
1-2 *
mini — Щда — 2)	,
+ ~ t 2-3	 •	14	+-■ + “■ 1	•	»	+	Г
ИЛИ
0т - .	,	т(т	—	1)	т(т — 1) (т — 2)
2 ='+« + -ГТТ-+	1.2.3
г.-е. сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2т ■
Пример.
Найти разложение бинома: (ж4 «)10.
Решение.
(ж -f а)'» = ж19 4-10ог® 4- 45а2ж8 4-120а3ж- ф-
4- 210а4ж6 4- 252о6ж5 ф- 210авж4 -j-120я7ж3 ф-
4~ 45а8ж2 4- 10а9ж 4- о10.
Коэффициенты выписаны из таблицы Паскаля.
® 41. Простейшие случаи разложения на множители.
1)	Вынесение общего множителя за скобку.
Дан многочлен: ат-\-Ът — ст. Нужно разложить его
а множители, т.-е. представить в виде произведения
Скольких выражений.

— 90 —
Все члены данного многочлена имеют одинаковый дели¬
тель т. Поэтому, согласно распределительному закону дл»
умножения:
am + Ът — ст = (а-\-Ъ — с) т.
I
Пп
Данный многочлен представлен в виде произведения двух
множителей: а + 6— с и т.
2)	Вынесение общего множителя за скобку с предвари¬
тельной группировкой.
Дан многочлен: ат-\-Ът — ап — Ъп.
Согласно сочетательному закону для сложения и вычита¬
ния имеем:
am + Ът — ап — Ъп — (am + bm) — (an -j- bn).
Ho
am-(- bm = (a+b)m и ап-\-Ъп — (а-\- Ъ)п.
Поэтому
am + Ът — an — Ъп — (а-\-Ъ)т — (a -j- b) n.
Выражение (a-f-Ь) является общим множителем; вынесем
его за скобку:
am + Ът — ап — Ъп — (a + Ъ) (т — п).
Данный многочлен мы представили в виде произведения
двух множителей: а-\-Ъ и т — п.
Примеры.
1) am -|- За 4-2/m+66—(ат-\- За)+(2Zm+66)=а(т+3)+
+ 26 (т + 3) = (а + 26) (т + 3).
2) ж2 + 5ж + 6 = ж2 + 2ж 4- Зж + 6 = (ж2 + 2х) + (Зж + 6) =
= ж (ж+ 2) + 3 (х + 2) = (ж + 2) (ж + 3).
3) ж2 — Зж—10 = ж2 — 5ж + 2ж 10 = (ж2—5ж)+(2ж—10)=
= ж (ж—5)+ 2 (ж — 5) = (ж-|-2) (ж —5).
3)	Разложение на множители по формулам.
Так как
(а + 6) (а — 6) = а2 — 62,
(а + 6)2 = а2 + 2а6 + 62,
(а — 6)2 = а2 — 2а6 -(- Ь2,
то
а2 — 62 = (а + 6) (а — 6),
а2 + 2аЪ + 62 = (а + Ъ)2 = (а + 6) (а + 6),
а2 — 2 ab + Ъ2 = (а — Ъ)2 = (а — 6) (а — 6).
— 91
Примеры.
1) X
3 _ 16 = ж2 — 42 = (ж + 4)(ж — 4);
2)	я2 + 6ж + 9 = ж2 + 2.ж-3 + 32;=(ж + 3)2 =
"if J ?-(4ж — 4 = ж2 — 2 - ж ■ 2 + 22 = (ж — 2)2 =
2)	- (ж —2).
ГЛАВА VI.
Тождественные преобразования дробных
выражений.
§ 42. Сокращение дробей.
Сократить дробь значит разделить ее члены (числитель
и знаменатель) на одно и то же число или выражение.
Такое преобразование не изменяет величины дроби (см. § 31»
следств. 1).
Рассмотрим несколько примеров на сокращение дробей.
Пример 1.
Дана дробь:
8аЪ
126с
Числитель и знаменатель ее делятся на 46.
Сокращая данную дробь на 46, получаем:
Пример 2.
Дана дробь:
8аЬ
126с:
2а
Зс
10а2ж3
16а4ж2
Числитель и знаменатель ее делятся на 2о2ж2
Сокращая данную дробь на 2«2ж2, получаем:
10а2ж3
лРимер 3.
Дана дробь:
16а4ж2
5ж
8а2
I
аж+ Ъх
ау-\-Ъу

— 92 —
ч
Разложим числитель и знаменатель дроби на множит^
.получим:
ах -f- Ьх (a-f- b)v
ay + Ъу~ (a + b)y
Сокращая полученную дробь на а-\-Ь, будем иметь:
ах -f- Ьх х
ау + 1>У~У
Пример 4.
Дана дробь:
ах -f- ау
Ьх2 — by2
Разложим числитель и знаменатель дроби на множител*
получим:
ах-\-ау а(х-\-у) __	а(х-\-у)
Ьх2 —■ by2	Ъ(х2—у2)	Цх-\-у)(х	—	у)
Сокращая полученную дробь на х-\-у, будем иметь:
ах -f- ау
Ьх2 — by2 Ъ(х— у)'
§ 43. Преобразование суммы и разности дробных
выражений.
Сложение (вычитание) двух дробей с одинаковыми знамь
нателями заключается, как мы видели выше (§ 30, следствие 3
в составлении такой дроби, числитель которой равен су«*
(разности) числителей данных дробей, а знаменатель paas
знаменателю этих дробей.
Если дроби имеют разных знаменателей, то их сначал-
приводят к общему наименьшему знаменателю, а затем у®
указанным способом производят преобразование их сум*»
или разности.
В чем заключается приведение дробей к общему наимень
шему знаменателю, видно из следующих примеров.
Пример 1.
Дано выражение:
1
1
1
б а2х	8 ах3	12 а4
Найдем простейшее выражение, делящееся на каждый
знаменателей. Коэффициент этого выражения, очевиД1^
должен быть общим наименьшим кратным коэффициент
— 93
-членов, служащих знаменателями дробей; он должен
одни
равняться 24.
В составе искомого выражения должны быть все буквы,
з которых состоят данные одночлены, и при том с наиболь¬
шим из тех показателей, с которыми они встречаются в дан-
ых одночленах. В противном случае искомое выражение
не будет делиться на каждый из знаменателей.
Таким образом, простейшее выражение, делящееся на
каждый из знаменателей (общий наименьший знаменатель),
будет:
24а4ж3.
Разделим полученное выражение на каждый из знамена¬
телей данных дробей:	^
24а4ж3:6 а2х = 4 а2х2;
24а4ж3:8 ах3 = За3;
24а*х:>: 12а4 = 2х3.
Умножая оба члена каждой дроби на соответственные
частные, будем иметь:
1	1 • 4а2х2	4	а2х2
6а2х	6а2х - 4а2х2 24«4ж3 ’
1	1 • За3	За3
8 ах3
_1
12а4:
8аж3 ■ За3	24а4ж3’
1 • 2х3	2ж3
12а4■2х3	24а*х2
Такое преобразование не изменяет величины дробей (см. § 31,.
следствие 1).
Поэтому
_1_
6 а2х
1
<+19
1
4а2ж2
За3
2х3
или
8ах3 1 12а4	24а1 ж3	24а4ж3 ' 24а'ж3
1	1	I	1	4а2ж2	—	За3	-)-	2ж3
6а2ж 8аж3
Пример 2.
Дано выражение:
2ж
12а4
24а4ж3
ж-
-а-
В
ж+а ж—а
Знаменатель первой дроби делится на каждый из знамена-
^•чей остальных дробей. Очевидно, он и будет общим
’нименьшим знаменателем.

Так как
и
то
и
(ж2 — а2): (ж -f- а) = ж—а
(ж2 — а2): (ж — а) — х-\-а,
1		 1 • (ж — а)   ж — а
ж+а	(ж -f- а) (ж—а)	ж2 — а2
1		 1-(ж+а)	__ х-\-а
ж — а	(ж — а) (ж+а)	ж2 — а2
Поэтому
2ж	1	1		 2ж ж — а ж-j-a s
ж2 — а2 + ж + а	х — а ж2 — а2 + ж2 — а2 ж2 — а2
или
2ж	1	1 2ж + (ж — а) — (ж -\-а)
ж3 — а2'х-\-а	х — а	ж2-— а1
_2ж+ж — а — ж — а 2ж—2 а 	2 (ж — а)  	2
ж2 — а2	'	х2 — а2 (ж-)-а)(ж— а) ж-f-V
Пример 3.
Дано выражение:
х	а	х — а
ах -j- а2 ' ж2 — ах ах
Разложим знаменатели первых двух дробей на множител!|
ах -\-а2 — а{х +а);
ж2 — ах = ж (ж — а).
Простейшее выражение, делящееся на каждый из знамена¬
телей, очевидно, будет
ах (ж -f- а) (ж — а).
Действительно, последнее выражение содержит все мно¬
жители каждого из знаменателей, а потому и делится на
каждый из них:
[ах (ж -|- а) (ж — а)\
[аж (ж-j-а) (ж- а)}
[ах (ж -f- а) (ж — а)]
[а (ж-j-a)] = ж (ж — а);
[ж (ж — а)] = а (ж + а);
(аж) = (ж + а) (ж — а).
Умножая оба члена каждой дроби на соответственна
частные, будем иметь:
%	  ж	  ж	■	ж (ж — а)	  ж2 (ж — а)
Та2	а(х-\-а) а(ж + а) - ж(ж — а) аж(х-)-а)(ж - а)’
а   а   а ■ а(ж + а)	_ а2 (ж + а)
^Г+яж ж (ж—а)	ж(ж — а) а(х + а) — аж(ж-)-а) (ж — а)
Такое преобразование не изменяет величины дробей.
Поэтому
>	.	a	_	ж	— а  ж2 (ж — а)
аж + а2 '"ж2 —аж ах	аж (ж -f- а) (ж — а)
а2 (ж -f- а)	(ж2	—	а2) (ж — а)
или
1 аж(ж + а)(ж—-а)	аж(ж + а)(ж — а)
ж , а	аж
аж + а2 ж2 — аж а — ж
ж3— аж2 + а2ж + а3 — ж3 +а2ж + аж2 — а3
аж (ж -|- а) (ж — а)
2а2ж	2а
аж (ж -}- а) (ж—а)	ж2 — а2
§ 44. Преобразование произведения и частного дробных
выражений.
Пример 1.
Дано выражение:
аж + a2 ж2 -— 2аж -j- а2
ж2 — аж	а2ж + а3
Разложим оба члена каждой дроби на множители:
аж -j- а2 = а (ж + а),	ж2 — 2аж + а2 = (ж — а)2,
ж2 — ах = ж (ж — а) и	а2ж -J- а3 = а2 (ж -}- а).
Таким образом,
аж + a2 ж2 — 2аж + а2 а(ж+а) (ж —а)2
ж2 — ах’ и2х 4- «3	ж (ж — а) а’’ (ж + а)
или
аж 4- а2 ж2 — 2аж + а2	а (ж + а) (ж — а)2 __ ж — а
ж2 — аж а2ж 4~ а3	а 'ж (ж + а) (ж— а) аж
Пример 2.
Дано выражение:
ж2 + Зж + 2 _ пх 4- 2п
х2-\-2х — 3 ‘ мх -{- 3 т

— 96 —
Разложим оба члена каждой дроби на множители:
ж2 -j- За; 2 = ж2 -}- 2ж -)- ж 2 = (.г2	2ж) —(гс -|— 2) =
= ж (ж + 2) 4- (ж+2) = (ж -f 1) (ж 4- 2);
ж2 -|— 2ж — 3 = ж2 — ж -)- Зж — 3 = (ж2 — ж) -|- (Зл— 3) =
= ж(ж—1) + 3(ж - I) —(ж—1)(ж-{-3);
пх -j- 2п = п (ж -{- 2);
тх -f- 3?« = тге (ж -f- 3).
Таким образом,
х2-\-Ъх-\-Ч wa:-f-2» (ж+1)(ж-}-2) и(ж-{-1)
х1-\-2х — 3 ' тх-\-Ът	(ж— 1) (ж —}- 3j
или
т (ж-]-3)
ж2-|-3.ж-|-2 пх-[-2п (ж-f- 1)(ж + 2) • т(х-\-Ъ)
х2-\-2х— 3 ’тх-\-Ът	(ж— 1)(ж-}-3) ■ п(х-\-\)
Пример 3.
Дано выражение:
т_(х-\-ц
п(х~\)
ж
ах-\-а2'х2
ах
ж —а
2ож
Выполняя преобразование выражения, стоящего в скобк
будем иметь (см. § 43, пример 3):
ж
+
ах-]-а2
Таким образом,
ж  а
ах а2 х2 — ах
а
х2 — ах
х — а
ах
ж — а
ах
2а(х—а)
\
ж — а
2 ах
2 а
х2 — а2
2 а
— 97 —
Не трудно заметить, что в таком случае в указанных выраже-
. на числовые значения ж налагаются известные условия.
самом деле, давать ж произвольные числовые значения
, уЖе не можем, а должны выбирать их так, чтобы равен-
Г в0 дэнных выражений осуществлялось.
f Для данного случая ж = 2. Всякое другое числовое зна¬
чение ж нарушает равенство данных выражений, так как
„еловые значения их равны лишь при ж = 2, а при всяких
других значениях х они будут различны.
Равенство:
2х-\-1 = 8ж — 5
кудет уравнением.
Из сказанного следует, что уравнение есть такое равенство,
котором обе части получают одинаковую числовую вели-
|шн? не при всяких значениях букв, а лишь при некоторых
|Ьлрёделенных числовых значениях букв.
Числовые значения букв, при которых осуществляется
равенство левой и правой частей уравнения, называются
ктрнями уравнения. Так, число 2 будет корнем вышепри¬
веденного уравнения.
Обыкновенно корни уравнения бывают неизвестны, и их
приходится находить.
Нахождение корней уравнения называется его ‘решением.
Если в уравнении имеется одно неизвестное, степень кото¬
рого равна единице, то уравнение называется уравнением
первой степени с одним неизвестным.	»
Бывают уравнения и высших степеней. Например, уравнение:
ж — а
х а2 2 ах
Уравнения
2ах (ж -]-а) (х — а) ж (ж а)
ГЛАВА VII.	I
первой степени с одним неизвестным-
§ 45. Понятие об уравнении.
Возьмем два выражения:
2ж 7 и 8ж — 5
и соединим их знаком равенства:
2ж ~Т 7 = 8ж — 5.
ж-
-Зж=2ж — 4
1
оудет уравнением 2-ой степени (или квадратным), так как выс¬
шая степень, в которой имеется неизвестное, вторая.
*
§46. Примеры на составление и решение уравнений
Задача 1.
С Двух станций железной дороги, находящихся на рас-
оянии п километров выходят одновременно два поезда
идут по одному направлению со скоростью а километров
„километров в час. Определить, через сколько часов иду-
Ии сзади поезд догонит передний (а > Ъ).
Решение.
^означая искомое число часов через ж, составим уравнение.
СчСТавление УРавнения заключается в переводе условий
на математический язык.
б-геиептар:
нам алгеора.
$

— 98 —
Скорости поездов нам известны; следовательно, уадц0>]
их на время движения, получим расстояния, пройдецГ]
каждым поездом в отдельности.	Ч
Станции отправления поездов, согласно условиям зада,,
находятся на расстоянии п километров. Следователь,
первый поезд до встречи пройдет на п километров бодц,
второго.
Переводя все сказанное на условный математический ягь
получим следующее уравнение:
ах — Ъх = п.
Согласно распределительному закону для умножения, ур,.
нение может быть представлено так:
(а — Ъ)х = п.
Определяем неизвестный сомножитель ж:
п
Упражнение.
Решить предложенную задачу, полагая о = 30, ft = 24
п= 18.
Исследование.
Полагая в равенстве (1) а-—Ъ, получим
п	п
X =	 или	ж = —
а — а	о
Деление на нуль не имеет смысла; следовательно, ег
скорости поездов считать равными, то задача теряет смыт
В самом деле, в случае равенства скоростей поездов пер№
поезд никогда не догонит второй.
Задача 2.
За п метров сукна двух сортов заплачено всего s рГ
Метр первого сорта стоит а руб., а метр второго Ь ю
Сколько куплено ^етров того и другого сорта?
Решение.
Пусть первого сорта куплено х метров; тогда втор0'
сорта куплено п — х метров.
Стоимость одного метра сукна каждого сорта извес**'
следовательно, умножая ее на соответствующее число метр"
получим стоимость сукна каждого сорта в отдельно0.
Сложив же результаты умножения, получим стоимость
покупки:
ах , Ъ(п — х).
«
— 99 —
цо стоимость всей покупки равна s. Отсюда уравнение:
ах -f- Ъ (п — х) — s.
раскрывая скобки, находим:
ах -f- Ън — bx — .V,
или
ах — bx-\- Ъп — s.
Заключим в скобки ах — Ъх-, на это мы имеем право, так
каК заключение в скобки в данном случае не изменяет
порядка действий.
Получим:
{ах — Ъх) -j- bn = s
или, на основании распределительного закона для умножения:
(а — Ъ) х -|-Ъп — в.
Левая часть последнего уравнения представляет собою
сумму двух произведений: {а — Ъ)х и Ъп. Первое слагаемое
неизвестно; определим его:
(а — b)x = s— Ъп.
Найдем неизвестный сомножитель ж:
s — Ъп
х=
а — Ъ
Задача 3.
Работник за каждый рабочий день получает по а руб.,
а за каждый пропущенный день с него вычитают по Ъ руб.
По прошествии п дней чистая выручка рабочего была равна
* рублям. Сколько было рабочих дней и сколько пропу¬
щенных?
Решение.
Если число рабочих дней обозначить через х, то число
пропущенных дней будет п — ж.
За х рабочих дней работник получит ах руб., а за п—ж
пропущенных дней с него вычтут Ъ (п -ж) руб.
Таким образом, чистая выручка рабочего выразится так:
ах — Ъуп — х).
Отсюда уравнение:
ах — Ъ (н — ж) = s.
^скрывая скобки, находим:
их — bn-\-bx — s.

— 100 -
На основании переместительного закона получаем:
ах -\-Ъх — Ъп — s.
Заключим ах-\-Ьх в скобки и вынесем х общим мно;
телем за скобку; получим:
(а -J- Ъ) х — Ъп = s.
Рассматривая s, как разность двух произведений:
и Ъп, определим известное уменьшаемое:
откуда
(a + 6)a;=s+b??,
s + bn
х '
a + b
Задача 4.
На некотором расстоянии размещаются телеграфные столбы
Если их ставить на расстоянии п метров один от другого
то не хватило бы а столбов; если же их ставить на расстоя
нии т метров, то Ъ столбов оказались бы лишними. Опре
делить, сколько изготовлено столбов.
Решение.
Искомое число столбов обозначим через х.
Если столбы ставить на расстоянии п метров один от дру¬
гого, то число столбов, потребных для всего данного рас¬
стояния, будет х-\-а, а расстояние выразится так:
п (ж + а).
Если столбы ставить на расстоянии ш метров один or дру¬
гого, то число столбов, потребных для всего данного рас¬
стояния, будет х — Ь, а расстояние выразится так:
т (х — Ь).
Таким образом, для расстояния, на котором ставятся столбы
мы имеем двоякое выражение:
т(х — Ь) и п(х-\-а).
Отсюда уравнение:
/м (ж — Ъ) = п (ж + а).
Раскрывая скобки, находим:
тх — Ът ~пх-\- ап.
Прибавим к обеим частям равенства по Ът\ получим
тх — Ът + Ът = пж + ап -J- Ът
— 101 —
шх = их + а и + Ът.
рь1чтем из обеих частей уравнения по пх:
тх — пх = пх + ап + Ът — пх
или, и3 основании переместительного закона,
тх — пх = ап + Ът + пх — пх:
тх — пх = ап + Ът.
Выносим ж общим множителем за скобку:
(щ — п) ж = an 4~ bin,
откуда
х =
т — п
Упражнение.
Решить предложенную задачу при а—150, Ъ = 75, т — 60
и я = 50.
§47. Правила, которые полезно помнить при решении
уравнений
t
Возьмем уравнение:
Бах —	—	4а	+	Знж
(!)•
Или
где буквою ж обозначено неизвестное.
К	обеим	его частям мы можем прибавлять	поровну,
а также и отнимать от них поровну (см. § 6, акс. 2).
Прибавим к обеим частям по 2п; получим:
5аж - - 2п 2п = 4а + Зпх + 2п
оах = 4а + Зпх -f- 2п.
Отнимем от обеих частей этого уравнения по Знж; получим:
5аж - Зпж = 4а + Зпх + 2п — 3пх
5 ах — Зпх = 4а \-2п	(2)
Сравнивая	уравнение (2) с уравнением (1)	видим,	что
нлены последнего уравнения 2п и Зпх перешли в противо¬
положные его части, при чем знаки действий перед ними
Изменились на обратные.
Или

— 102 —
Отсюда
Правило 1. Уничтожая члени в одной части уравненщ
можно записывать их в другой части с обратными пгр,„
мши знаками действий.
Применим это правило к уравнению:
Ътх — 5а = 6т — 5 а	(3;
Перенося его член 5а, стоящий в левой части, с обратно
знаком действия в правую часть, будем иметь:
3 тх — 6 Vi — Ъа-\-5а
или
3?пх — б т.
Одинаковые члены уравнения (3), находившиеся в различ
ных его частях и имевшие перед собою одинаковые знай,
действий, исчезли.
Отсюда
Правило 2. Лели в обеих частях уравнения содержант
одинаковые члены, имеющие перед собою одинаковые знаки
действий, то их можно уничтожить (.зачеркиванием).
Кроме упомянутых правил при решении уравнений полезно
также пользоваться еще следующими двумя.
'Л
Правило 3. Если все члены уравнения содержат общее
множителя, то на него качедый член уравнения .чожне
раздели?п ь.
Дано, например, уравнение:
10 ах -}- 4 о = бах -f-16а.
Деля каждый его член на 2а (на основании § 6. акт. Зь
получаем:
5х-\-2—3ж-)- 8.
Правило 4. Если уравнение содержит дроби, то ег>
можно освободить от них путем умножения обеих чаен*>
уравнения на одно и то же число, делящееся на каж<’*&
из знаменателей.
Рассмотрим два примера.
Пример 1.
Освободить от дробей уравнение:
Я
— 103 —
для освобождения от дробей обе части этого уравнения
ожно умножить на 12 или на 24 или на какое-нибудь дру¬
гое число, делящееся на каждый из знаменателей.
Г Для облегчения вычислений лучше всего умножить обе
части уравнения на наименьшее число, делящееся на каждый
!3 знаменателей.
Умножим данное уравнение на 12; получим:
§я- 12-f Ц • 12 = 2* а; - 12 — 4^г • 12
т	103:4-18 = 27^ — 50.
Пример 2.
Освободить от дробей уравнение:
50 4- х 7х — 5 . 0
4	~~5	*"
Умножим обе части этого уравнения на 20:
“±£.20=^---5 20 + 2.20;
(50 4-ж) ■ 20	(7х — 5) • 20 ,
= ■L 5	^
5 (50 4-я) = 4 (7т — 5) -|- 40.
§ 48. Понятие о Функции и ее графическом изображении.
Возьмем уравнение:
2х —1 = 0
и прпытаемся найти его решение, подставляя вместо х в ле¬
вую часть уравнения произвольно выбранные числовые зна¬
чения. То числовое значение х, при котором левая часть
Уравнения обращается в нуль, и будет корнем уравнения;
вообще же при различных числовых подстановках левая часть
Данного уравнения получает значения, отличные от нуля.
Действительно, обозначая выражение: 2ж—1 для кратко-
сти через у, будем иметь:
если х = 1, то # = 1,
п а: = 2, „ у 3,
„ ж = 3, „ у = 5 и т. д.
Таким образом, с изменением числовых значений х изме-
”ется и числовое значение выражения у = 2х — 1; поэтому
ачение данного выражения, так же как и х, будет пере¬
чным числом.

— 104 —
Однако, между изменениями ж и у есть существенное ра3.
личие.
В то время как ж получает числовые значения по нашем.,
выбору, числовое значение у зависит не от нашего произвола
а от тех числовых значений, какие подставляются в вырансе1
ние 2ж — 1 вместо ж.
Переменное число ж принято называть независимым пер^.
менным или аргументом, а число у (у — 2ж—1) зависимо^
переменной или функцией переменного числа ж.
Имея функцию, мы всегда можем составить таблицу зна¬
чений ее для данных значений аргумента.
Так, полагая ж = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0; 1,25 и т. д. и вычисляв
соответствующие значения у, получим следующую таблица
(табл. VIII).
ТАБЛИЦА VIII.
X
0.5
—1
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
2.25
2.5
И T.J
У
0
0,5
1,0
!,5
2,0
2,5
3.0
3,5
4,0
1
| и Т. д
Мы дали ж ряд значений, отличающихся на 0,25 и вычис¬
лили соответствующие значения функции у = 2ж — 1.
Не трудно понять, что вместо табл. VIII можно составить
и другую таблицу; для этого нужно лишь дать ж ряд зна¬
чений, отличающихся не на 0,25, а на какое-нибудь другое
число.
Изменение данной функции в связи с изменением ее аргу¬
мента можно представить наглядно с помощью графика.
Имея таблицу значений функции, можно на горизонталь¬
ной прямой от некоторой ее точки отложить в каком-нибудь
масштабе ряд отрезков, соответствующих значениям ж, а на
перпендикулярах к горизонтальной прямой, восставленных
из концов отрезков, отложить соответствующие значения
функции. Соединив полученные таким образом отдельные
точки, найдем график функции.
§ 49. Прямоугольные Декартовы координаты
Пусть в вашей комнате на потолке нужно повесить ламп)
над тем местом, где вы предполагаете поставить стол. Работ)' i
эту должно выполнить другое лицо и при том в вашем отсут"
ствии.
Желая, чтобы работающее у вас лицо в точности осуШе"
ствило ваше желание, вы должны указать, на каких расстоя'
ниях от двух каких-нибудь сходящихся стен следует поведи14
— 105 —
лампу. Задав эти расстояния, вы можете быть уверены, что
лампа будет повешена, где следует.
Таким образом, положение лампы в точности определяется
двумя числами, выражающими расстояния места прикрепления
0т двух каких-либо сходящихся стен.
Если на плоскости дана точка М, то положение ее, подобно
предыдущему, вполне может быть охарактеризовано расстоя¬
ниями от двух каких-нибудь взаимно перпендикулярных
прямых ОХ и OY (черт. 41). Число, измеряющее отрезок ВМ,
равный ОА, называется абсциссой точки М, а число, изме¬
ряющее отрезок А Л/, равный ОБ, называется ординатой
точки М. Абсцисса и ордината называются координатами
точки М и обозначаются: абсцисса — через ж, а ордината —
через //.
У
Таким образом, абсцисса выражает расстояние точки.
до прямой OY, а ордината — до прямой ОХ.
Прямые ОХ и OY называются осями координат: первая
из них называется осью абсцисс, вторая — осью ординат.
Точка пересечения осей координат называется началом
координат. Координаты начала, очевидно, будут (0,0).
Всякая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет ординату,
равную нулю, а всякая точка, лежащая на оси ординат,
имеет абсциссу, равную нулю.
Если на плоскости отмечена некоторая точка, например, М,
то координаты' ее легко определить, измерив отрезки ОА
и ОБ (или АЖ).
Наоборот, если даны координаты точки, то последнюю
легко на плоскости построить.
Пусть требуется, например, построить точку Р с коорди¬
натами а и Ъ:
Р{а, Ъ).

— 106 —
Отложив на оси абсцисс отрезок ОА = а единиц длины,
(черт 42), проведем через точку А прямую У^У1 || YY. Точкц|
лежащие на прямой ГТ‘, имея одинаковую абсциссу (q)J
отличаются только ординатами.
Отложив на оси ординат отрезок О В — Ь единиц длины, про¬
ведем #ерез точку В прямую Х’Х1 || XX. Точки, лежащие
на прямой Х1Х1, имея одинаковую ординату (Ъ), отличаются
только абсциссами.
Из сказанного следует, что прямые У1!1 и .Y’X1 соответ¬
ствен по служат графиками функций:
X '■
:а и у = Ъ,
а точка их пересечения и является искомой точкой Р.
Пользуясь осями координат, можно производить построение
графиков функций.
Черт. 42.
Пример 1. I
Построить график функции: у — х.
Так как при ж=о равняется нулю и у, то график функции
у—х должен пройти через начало координат.
При построении графика функции у = х следует помнить,
что для любой точки графика абсцисса и ордината должны
быть равными.
Отложив на оси ОХ произвольные отрезки: ОА, OAi, ОАг
и т. д., мы должны на оси OY отложить соответственно
равные им отрезки: OB, ОВи ОВ2 и т. д.
Проведем через точки А, Аи А3 и т. д. (Черт. 43) ряд
линий, параллельных оси OY, а через точки: В, Ви ТВг
и т. д. ряд линий, параллельных оси ОХ.
Для каждой из точек М, Ми М2 и т. д., образовавшихся
от пересечения соответственно следующих пар прямых:
— 107 —
4У/ и ВМ, АЛ Ж, и Д, Ми А2 М-i и Д> М2 и т. д., абсцисса
й" ордината будут одинаковыми. Следовательно, точки
il, М, М2 и т. д. принадлежат искомому графику.
Если эти точки соединить с началом координат, то пря¬
мые ЛЮ, Mi О, М2 О и т. д., как диагонали квадратов,
должны делить координатный угол XOY пополам, и, следо¬
вательно, точки О, Ж, Ми М-> и т. д. лежат на одной
прямой.
.У
Таким образом, график функции: у — х представляет
совою биссектрису координатного угла.
Пример 2.	\
Построить график функции:
V	у~х	+	а.
Возьмем график функции: у = х (черт. 44) и предположим,
что все линии чертежа, кроме ОХ, неразрывно связаны
с плоскостью чертежа, а прямая ОХ может перемещаться
в этой плоскости параллельно самой себе.
Переместим ее вниз на расстояние «t от этого ординаты
всех точек графика функции у=х увеличатся на а,
э абсциссы останутся без изменения.
Таким образом, если до вышеуказанного перемещения ОХ
ордината некоторой точки М равнялась х, то после переме¬
щения ОХ она будет равна x-j-a.
Параллельное перенесение ОХ можно заменить параллель¬
ным перенесением прямой OW (черт. 45).

Отложив на оси ординат отрезок, равный и, проведем
прямую BW, || OW. Ордината некоторой точки Ж] прямой BWSt
очевидно, представляет собою сумму числа а и ординаты
точки Ж прямой OW.
У
Из сказанного следует, что график (функции: у — х-\-п
представляет собою прямую, параллельную биссектрисе
координатного угла, и отсекающую на оси орданиМ
отрезана.
— 109 —
§ 60. Построение графика Функции: y = kx + n
по точкам.
Дана функция:
y = kx-f- п	(1).
Составим таблицу ее значений для последовательных зна¬
чений аргумента, отличающихся на 1 (табл. IX).
ТАБЛИЦА IX.
X
0
1
2
3
4
5
в
и т. д.
У
II
к-\-п
2к-1- п
Зк -|-и
4к-\- п
5к-(-и
6к -)- и
и т. д.
Откладывая значения х на оси абсцисс, а соответствую¬
щие значения*?/ на оси ординат, получим на плоскости ряд
точек. Соединив последовательно точки: Ж, N, Р, Q и т. д.
(черт. 46) прямыми линиями, получим график функции:
у = 1сх~\-п.
Полученный график представляет собою прямую линию.
У
В самом деле, треугольники MNNt. NPP,, PQQ^ и т. д., имеющие по дна
Ответственно равных катета, равны. Катеты: MNt, NPit PQi и т. д.
Равны, как разности последовательных значений абсциссы, а катеты NXN.
^QiQ и т. д. равны, как последовательные разности соответствующих
Значений ординаты.
Из равенства треугольников следует, что углы а. 3. н т. д. равны.

110
Докажем, что точка Р лежит на прямой, проходящей через ю
ЛиЛ
Допустим, что линия NP не является продолжением линии Ж/У, и пусть
продолжением этой линии (черт. 47) будет NE. Тогда ,3, = а, как yrflbl
соответственные прн параллельных линиях
/\ Но мы уже видели, что р = з- Следовательно
т.-с. прямая проходящая через точки
f-| М и N должна пройти и через точку Р
(**&' '' ‘(—4	Таким же образом можно доказать, что	1
*§	прямая MN пройдет и через остальные
гочкн.
t	Так	как положение прямой вполн^
Черт. 47.	определяется двумя точками, то
для построения графика функции: [
у = кх-\-п достаточно определить две пары значений ж и ц. I
§ 51. Графическое решение уравнения первой степени
с одним неизвестным.
Пример 1.	0
Дано уравнение: 2ж — 3 = о. Найти графическим путем его
корень.
Решение.
Возьмем функцию: у — 2ж—3 и по точкам построим
ее график.
Положим х — 2\ тогда у~\. Если ж = 3, то у — 3.
Приняв 1 см. за единицу масштаба, построим точки,
соответствующие найденным координатам. Пусть это будут'
точки JV/, и М2 (черт. 48). Проведем через них прямую
линию.	I
Как видно из условий задачи, нам нужно найти такое зна¬
чение ж, при котором 2ж—3, т.-е. у, равно нулю.
Таким значением х является, очевидно, абсцисса точки Д/0-
Таким образом, чтобы решить графически уравнение
вида-. 1(х-\-п — о, нужно построить график функции
у — кх \- и: абсцисса точки пересечения этого графика
с осью X и будет корнем данного уравнения.
Упражнения.
1) Решить графически уравнение: Зж — 2 — о.
2) Решить графически уравнение: 5 — 2ж — о.
Пример 2.
Дано ург
его корень
Дано уравнение: Зж-)-2 = 3-' . Найти графическим путем
— 111 —
решение.
Возьмем функцию: у — Зж + 2 и по точкам построим
66Положим х — о; тогда у = 2. Если х=1, то # = 5.
Приняв 1 см. за единицу масштаба, построим точки,
тветствующие найденным координатам. Пусть это будут
5очки Мг и М2 (черт. 49).
Проведем через них прямую ZZ.
Черт. 48.
Черт. 49.
Как видно из условий задачи, нам нужно найти такое
значение ж, при котором Зж-(-2, т.-е. || у, равно З-^.
С этой целью проведем прямую FF1 || ОХ на расстоянии 3 2
от оси абсцисс.
Всякая точка, лежащая на прямой FF, имеет ординату З-^-
Поэтому абсцисса точки пересечения прямых FF' и ZZ
и Даст искомое решение.
Упражнение.
Решить графически уравнение:
4ж —3 = 2.

Пример 3.
Решить графически уравнение:
3 \х — 2 — 2л-\-\.
Черт. 50.
Решение.
Возьмем две функции:
?t = 3	— 2 и с = 2ас —1.
и построим их графики. Пусть это будут прямые
(черт. 50).
- 113 -
На черт. 50 построение выполнено в масштабе: 1 см. = 1.
Как видно из условий задачи, нам нужно найти такое
зВачение х, при котором функции:
ЗуЖ—2 и 2ж-|- 1
мели бы одинаковые числовые значения.
Так как значения рассматриваемых функций предста¬
вляются на графиках ординатами, то нам нужно, иными
словами, найти такое чистовое значение ж, при котором
ординаты обеих прямых: UU' и VV имели бы одинаковое
числовое значение. Ясно, что абсцисса точки пересечения
прямых UU' и VV и даст искомое решение.
Упражнение.
Решить графически уравнение:
6ж — 5 = Зж-(-1.
Графический способ решения уравнения особенно бывает
удобен тогда, когда уравнение, содержит дробные члены
с довольно большими знаменателями и когда требуется
найти приближенное значение неизвестного.
Упражнение.
Выбрав подходящий масштаб, решить графическим спо¬
собом уравнение:
0,235ж+ 1,79= 1,23ж — 0,175.
Вл!мест»риая алгебра.
8

ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
Относительные числа.
ГЛАВА I.
Понятие об относительном числе.
§ 52. О необходимости введения в математику понятия
об относительном числе.
Задача 1.
Возраст брата 7 лет, а возраст сестры 3 года. Определить,
через сколько лет брат будет вдвое старше сестры.
Решение.
Пусть брат будет вдвое старше сестры через х лет. Воз¬
раст брата через х лет будет 7 —}-гс лет, а возраст сестры
З-f-* лет.
Согласно условиям задачи
2(3 -\-х) — 7-\-х.
Решим полученное уравнение:
6-|-2ж = 7-[-ж;	N
2ж—х — 1 — 6;
х=1.
j Таким образом, брат будет вдвое старше сестры через
Решим теперь предложенную задачу графически.
С этой целью выполним следующее построение,
оозьмем прямую XX (черт. 51), изображающую течение
емени. Огмегим на ней точку N. соответствующую моменту
*Кае.«ия брата, а через 4 единицы масштаба отметим вто-
сРг т°чку, точку G, соответствующую моменту рождения
1тры.

— 116 —
Построение условимся выполнить в масштабе:
1см. = 1 году.
т
— 117
Отметим также на прямой XX точку О, соответствующую
тому моменту, когда мы с вами ведем этот разговор; пусть
это будет тот момент, когда брату исполнилось 7 Лет
а сестре 3 года.
Черт. 51.
Очевидно, все точки, расположенные вправо отточки О, соб7'
ветсгеуют будуще чу, а все точки, находящиеся влево от точк*
О, соответствуют прошлому. Будущее и прошлое,
мы видим., характеризуются противоположными направ^
ниями на прямой XX.
Приняв точку О за начало координат и проведя через нее
0y-j_XX, построим графики функций:
и = 2(3 4-ж)
й	V	= 7 + ж.
Пусть это будут соответственно прямые:
UU' и VV.
Заметим, что функция: u = 2(3-j-x) выражает удвоенный
возраст сестры через ж лет, а функция: г; = 7-Гж возраст
брага, относящийся к тому же моменту.
В точке пересечения прямые VU' и VV имеют общую
ординату (число, измеряющее отрезок AM), а это свидетель¬
ствует о том, что для соответствующего значения ж функции
и к v имеют одинаковое числовое значение.
Число, измеряющее отрезок О А. и есть то числовое зна¬
чение ж, при котором 2(3 -|- ж) = 7 -f-ж.
Из чертежа мы видим, что оно равно 1.
Таким образом, графическое решение задачи находится
в согласии с указанным выше результатом арифметического
решения: оно показывает, что брат будет вдвое старше сестры
через 1 год.
Задача 2.
Возраст брата 5 лет, а возраст сестры 3 года. Через
сколько лет брат будет вдвое старше сестры?
Решение.
Пусть брат будет вдвое старше сестры через ж лет. Воз¬
раст брата через ж лет будет 5-j-ж, а возраст сестры
3-|~ж лет.
Согласно условиям задачи:
2(3 -j- ж) = 5-}- ж.
Решим полученное уравнение:
6 -ф- 2х = 5 -j- ж
6 -j- 2ж — ж — 5
2х — ж = 5 — 6
ж = 5 — 6.
В арифметическом смысле задача оказывается невозмож¬
ной, так как от 5 мы не можем отнять 6.
Попытаемся решить предложенную задачу графически.

— 118 —
Подобно предыдущему возьмем прямую XX (черт. 5,
изображающую течение времени.
Отметим па ней точку N, соответствующую моменту ро»^|
кия брата, а через две единицы масштаба отметим вторк
точку, точку G, соответствующую моменту рождения сестм|
Построение, попрежнему, условимся выполнить в масшт«.1
1 см. = 1 году.	I
Отметив па прямой XX точку О, соответствующую tg*|
момен 1 у, когда возраст брата достиг 5 лет, а возраст сестр-Г
3 лет, примем ее за начало координат. Будем при эт<,|
помнить, что изменения величины ж выражающей предполЛ
гаемый прирост возраста, происходит относительно этод|
момента.
Проведя через точку О прямую ОУ XXX, построим гр=
фики функций:
и = 2(3-|-ж) и v = 5-{-x.
Пусть это будут прямые W и VV.
Заметим, что функция: и — 2(3-(-ж) выражает удвоенный
возраст сестцы через ж лет, а функция и — 5-)-ж возраст|
брата, относящийся к тому же моменту.
В точке пересечения прямые UU' и VV' имеют общую
ординату (число, измеряюние отрезок AM), а это свиде¬
тельствует о том,что для соответствующею значения ж функц-
ции и vi v имеют одинаковое численное значение.
Таким образом, уравнение, составленное на основании!
предложенной задачи, допускает вполне определенный графи¬
чески выраженный корень. Измерив отр| зок ОА с помощью
етипицы масштаба, мы и получим, повидимому, численное1
решение.
Но прежде, чем приступить к измерению результата графи¬
ческого решения, посмотрим, что он, собственно говоря,
собой выражает. Такой вопрос является вполне уместным,
так как выше мы видели, что в арифметическом смысле
задача оказывается невозможной.
Смысл полученного графического результата обнаружить,
весьма просто, если обратить внимание на то, что точки,
расположенные вправо от начала координат, соответствуют
будущему. а точки, расположенные влево — прошлому.
Очевидно, точка А соответствует тому моменту, когда
брату было 4 года, а сестре — 2 года, а в этот момент брат,
именно, и был вдвое старше своей сестры.
Следовательно, графическое решение дает нам ясный
ответ: сно показывает, что не в будущем, а в прошлом еле*
дует искать ответ на поставленный в задаче вопрос: го»
т<‘му назад брат уже был вдвое старше своей сестры.
Таким образом, направление отрезка ОА, представля¬
ющего собою результат графического решения, имеет сущес*%
119 —
мое значение и должно бить принято во внимание при
в#0 измерении.
ОЦ-rt'J'-' -
ю измерении.
Выше мы видели, что в результате арифметического реше¬
ния получилось равенство:
ж = 5 — 6.
Черт. 52.
Таким образом, перед нами была поставлена невозможная
ь арифметическом смысле задача: от 5 единиц отнять (отсчи-
тать обратно) 6 единиц.
Но если в эту отвлеченную арифметическую формулу
дожить конкретное содержание, то как показал графический
пРием решения, она имеет смысл. Не нужно только забывать,

120
12 i
что изменение х по существу должно быть относительны^
так как от данного момента время можно считать и вперг.‘
и назад. Разнос ь 5 — 6 как раз и соответствует обратном
счету времени от данного момента; об этом свидетельствуе!
р1зультат графического решения.
Таким образом, разность 5—6 можно считать равное
единице, но с одной оговоркой, что эта единица соответ.
ствует обратному счету.
В § 7 мы виаели, что обратный счет есть вычитание-
поэтому вполне целесообразно поставить перед вышеупомяну!
той единицей знак—(минус), характеризуя тем самым напра.
вление ее счета.
Само собой понятно, что разность 6 — 5 должна быть
в таком случае изображена единицей со знаком-(-(плюс),
так как соответствует прямому счету.
Таким образом, число, измеряющее отрезок ОА, в первой
задаче будет —J— 1, а во второй —1.
Числа : -(-1 и—1 называюich относительными.
Более подробно во ipoc об относительных числах рассмо¬
трим в следующих §§.
Упражнения.
1)	Два курьера отправляются одновременно из мест А и В
(черт. 53) и едут по одному направлению через место С, рас-
ом
"с/х
-
JО
Черт. 53.
положенное за местом В. Расстояние АС=30 километрам,
расстояние ВС — 20 километрам. Первый курьер проезжает
в час 10 километров, второй 6 километров. На каком рас¬
стоянии за местом С первый догонит второго?
2)	Два игрока А и В играют в карты. Игрок А имел
в начале игры 25 руб., а игрок В — пять руб. Сколько руб¬
лей должен выиграть игрок А, чтобы у него стало денег
вдвое больше, чем у В?
§ 53. Об измерении направленных отрезков.
В § 11 мы вели речь об измерении отрезков, не обратная
внимания ни на их направление, ни на направление единии11
длины. Получавшиеся в результате измерения числа (изме¬
ряющие числа) характеризовали лишь длины отрезков,
не характеризовали их направление.
j)a черт. 54 изображены два отрезка АВ и CD одинаковой
пины, но противоположного направления. Очевидно, если
^ принимать во внимание их направление, а также и напря¬
жение единицы длины KL, то число, измеряющее длину
®аЖдого из этих отрезков, будет одно и то же. Пусть это
будет число т.
/э	 /Э	„с
К I
Черт. 54.
В настоящем § мы будем принимать во внимание и напра¬
вление единицы длины и направление измеряемого отрезка.
При измерении направленных отрезков может представиться
два случая:
а) когда единица длины и измеряемый отрезок одинаково
направлены;
б) когда единица длины и измеряемый отрезок противо¬
положно направлены.
1.	Если единица длины и измеряемый отрезок одинаково
направлены, то измеряющее число должно быть обыкновенным
арифметическим числом.
Пусть число, измеряющее АВ (черт. 55) с помощью KL
будет арифметическое число т, а число, измеряющее А\ВХ
с помощью KiLi (черт. 55-а) будет тх.
П	'‘Э	i-	_	Q
X 	1*	 ь	JC
Черт. 55.
X
J<>
Черт. 55-а.
Тогда АВ = КЬ т и AiBx = KxLl ■ тх, что вполне пра¬
вильно, так как KL имеет такое же направление, как АВ;
а K)L, имеет такое же направление, как AtBx.
2. Если единица длины и из меряемый отрезок противопо¬
ложно направлены, то измеряющим числом не может быть
обыкновенное арифметическое число.
а)	Единица длины направлена вправо, а изме¬
ряемый отрезок направлен влево (черт. 56).
Пусть арифметическое число т измеряет отрезок АВХ, рав-
£Ь'Й по длине, но противоположно направленный отрезку АВ.
Сращивается, будет ли число т измерять также отрезок АВ.

— 122 —
Егли бы число т измеряло также и отрезок АВ, то ^
было бы равно KL ■ т. Но KL ш есть отрезок, направ.^
ный в ту сторону, в какую направлена единица длины, т,
вправо, между тем как отрезок А В направлен влево. След'
вательно, арифметическо' число т не может измеря
отрезка АВ с помощью KL.
Повернем единицу длины KL окою точки К на 180° и под,
ченным отрезком KLU совпадающим по направлению сотрс',
ком АВ, измерим этот последний. Тигда измеряющим числ^
будет арифметическое число т.
-т.
х
X
к
w—
&
Черт. 56.
Таким образом, измерение отрезка АВ с помощью KL
должно сопровождаться предварительным вращением единицы
длины, и эту операцию вращения на 180° нужно отметить
при получении измеряющего числа. Обозначая символ вра¬
щения на 180°, попрежнему, знаком — (минус), мы должны
этот знак поставить перед полученным числом т.
Следовательно,
AB — KL ■ { — т).
Знак — (минус), поставленный перед числом т, есть сим
волическое обозначение операции, предшествующей изме¬
рению.
Число —т называется отрицательным числом и характе¬
ризует собою и длину отрезка и операцию, предшествуют)'!’'
измерению.
^ к	^	а
V*   -vy-
х -
Черт. 57.
б) Если единица длины направлена влево, а изм6"
ряемый отрезок вправо, то, рассуждая по предыдущем^
получим в результате измерения отрицательное число (черт- Ьп
Измерение отрезков, одинаково направленных по отноШе'
нию к единице длины, не сопровождается вращением еДи’
ницы длины. Это обстоятельство отмечают тем, что перед изме'
ряющим числом ставят знак -|- (плюс). Таким образо*1-
— 123 —
сЛо, измеряющее отрезок, изображенный на чертеже 55
!\и 55-а, будет +да.
Число + т называется положительным числом и, характе-
изуя длину отрезка, указывает вместе с тем на отсутствие
Рращения при измерении.
Си тема чисел, в которую входят положительные и отри¬
цательные числа, называется системой относительных чш ел.
В дальнейшем изложении мы условимся всегда принимать
за единицу длины отрезок, направленный вправо.
Принимая это к сведению и переходя к из; бражению отно-
сителъных чисел на числовой прямой, найдем, что положи¬
тельным числам должны соответствовать на числовой пря¬
мой точки, расположенные вправо от начала О (черт. 58),
а отрицательным числам — точки, расположенные влево
от начала О.
В самом деле, отрезки, направленные вправо от начала О,
совпадают по своему направлению с единицей длины, а потому
измеряются положительными числами; отрезки же, напра-
-з -& -1
м
О
-т
  1
•X
L
Черт. 58.
вленные влево от начала О, имеют противоположное напра¬
вление по отношению к единице длины, а потому измеряются
отрицательными числа м и.
На этом основании направление по числовой прямой вправо
считается положительным, а обратное направление (влево)
считается отрицательным.
В настоящем § при измерении отрезков мы принимали
внимание и направление единицы длины и направления
самих отрезков. Между тем, в § II направление отрезков
Нас не интересовало, а интересовали нас лишь их размеры.
В первом случае мы получали в результате измерения
числа. связанные с направлением отрезков (относительные
числа); во втором случае получались числа обыкновенные
аРифметические, характеризующие лишь размеры отрезков.
Число, характеризующее лишь размер направленного
°тРезка, называется абсолютный, значением относительного
Исла, измеряющего данный отрезок.
Таким образом, абсолютное значение чисел-]-?» и — т
У Дет число т.
При Всех операциях с направленными отрезками нужно
^нить следующие три очевидных положения:

- 124 —
— 125 —
1. Никакое передвижение направленного отрезка Вд0
числовой прямой не может изменить ни его величины ни
направления.	'
2. Противоположное направление данный отрезок
получить лишь от поворота на 180°.
3 Если данный направленный отрезок изменяет свое напп
вление в противоположное, то соответствующее его
и направлению число наменяет свой знак.
Остановим наше внимание на последнем положении.
Пусть на числовой прямой (чет. 59) мы имеем направлен
ный отрезок ОМ,, измеряемый числом -\-т.
к к4 значение разности Ь —с для любых ариФмети-
s	чеоких значений b и о.
г £ § 52 мы встретились с необходимостью из меньшего
’ ифметического числа вычесть большее.
настоящем § рассмотрим все случаи, какие могут пред-
виться при вычитании из числа Ъ числа с.
Возьмем разность Ь — с, где Ъ и с арифметические числа,
принимая Ъ и с за числа, измеряющие некоторые отрезки,
n0C1poHM на числовой прямой отрезок, соответствующий
разности Ь — с.
Построение выполним так, как это указано в § /.
X
о
Черт 59.
-т
■X
Повернем его около точки О на 180°; получим отрезок
ОМ,, измеряемый числом — т.
ОМ, = — ОМ,
где — (минус) символ поворота отрезка ОМ на 180°.
Отсюда получаем, что
— m = — (-j- m).
Возьмем теперь отрезок ОМ, измеряемый числом—и
(черт. 60).
Повернем его около точки О на 180°; получим отрезо*
ОМ,, измеряемый числом-j-«г:
ОМ, — — ОМ,
где — (минус) символ поворота отрезка ОМ на 180°.
Отсюда получаем, что
+ m = —(—т).
X
о_
—I—
.а
—<—
Черт. 61.
При построении могут представиться три случая:
1. 6>с.
Пусть ОВ = Ъ единиц длины, и СВ = с единиц длины
(черт. 61). Тогда отрезок ОС, представляющий разность
отрезков ОБ и (В и направленный вправо от начала О.
будет измеряться положительным числом-(-«г.
Следовательно,
Ъ — с — -\-т, если Ь>с.
2. Ъ = с.
Если Ъ = с, то отрезок ОС обращается в точку О.
Следовательно,
Ь — с = о, если Ъ = с.
3-	Ъ < с.
Пусть ОВ = Ь единиц длины и СВ=с единиц длины
(черт. 62) Тогда отрезок СО, представляющий разность
отрезков ОВ и СВ и направленный влево от начала О,
будет измеряться отрицательным числом — т, где т — с— Ъ.
-О
Следовательно,
Черт. 62.
Ъ — с = — т, если Ъ < с.
/
Таким образом, разность меэкду двумя арифметическими
*1с‘Юми равна избытку большего числа над меньшим, взя-
со знаком —J- (плюс), если уменьшаемое больше вычи-
'Пемого, и со знаком — (минус), если уменьшаемое меньше
*и'Ъпшемого.

- 126 —
— \17 —
§ 55. Координаты положительные и отрицательные
В § 53 мы видели, что на числовой прямой различаю!
два направления: положительное и отрицательное. Те же напра.
вления следует различать и на осях координат.
За положительное направление на оси абсцисс принимаю]
направление вправо or начала координат, на оси ординат-,
направление вверх\ противоположные направления приняв
считать отрицательными.
Введение правила знаков для координат вызывается необ-
ходимостью.
В самом деле, если бы координаты выражались арифме¬
тическими числами, то положение точки на плоскости не опре-
делилось бы координатами вполне точно, так как каждой
паре значений координат соответствовала бы не одза,
а четыре точки (черт. 63).
Введение же правила знаков для координат устраняет
эту неопределенность.
Если точка Мх имеет координаты (а. 6), то точки М2, М3,
будут иметь соо!ветственно следующие координаты:
(—а, Ь); (— а, — Ъ); (а, — Ь),
где а и Ъ арифметические числа.
Упражнение.
Сделайте в течение одного зимнего месяца наблюдение
за килебанием температуры на открытом воздухе, записывая
ежедневно в один и тот же час показания термометра, а затем
на основании своих наблюдений начертите на координатной
бумаге график.
ГЛАВА II.
Действия над относительными числами.
§ 56. Сложение относительных чи»-ел-
Сложение напоавленнык отрезков на числовой прямой
гтоит в последовательных перемещениях на величины
С даемых отрезков в направлениях этих отрезков.
^результат сложения направленных отрезков сумма) выра¬
жается по величине и направлению отрезком, представтяю-
щим расстояние между исходным и конечным пунктами пере-
ме1дения.
Рассмотрим различные случаи сложения относительных
чисел, сопр >вождая его сложением соответствующих напра¬
вленных отрезков.
1.	Сложение положительного числа с положительным.
Пусть требуется найти сумму двух положительных чисел:
(+*») + (+»)•
Построим на числовой прямой (черт. 64) отрезок ОА,
соответствующий числу -\-т, и отрезок АВ, соответствующий
числу -(- п.
I	о	. /э	.	£>
 *>.  >
X	 '	—!	—т	'-С
   ,		 	 -fr
1	Черт.	64.
Результат перемещения ОА-\-АВ выражается отрезком ОВ.
Этот отрезок, как видно из чертежа, измеряется числом
-Rm+и)-
Таким образом,
(-Г ш) -J- ( -)- п) — -}- {т -J- я),
гДе т. и п — абсолютные значения данных относительных
чисел.
2- Сложение отрицательного числа с отрицательным.
Требуется найти сумму двух отриц стельных чисел:
п	(	—	»!)	+	(	—л).
CRTP0I1M на числовой прямой Гчерт. 65) отрезок ОА, соответ¬
чику11^ числу —т и отрезок АВ. соответствующий
(dtp.;	Результат перемещения ОА -j- АВ выражается
'<°м ОВ. Этот отрезок измеряется числом ~{т-\-п).
II

— 128 —
Таким образом,
( — ?»)+( — п) = — (in -f п),
где тип абсолютные значения данных относительных чис^ j
Правило. Чтобы, сложить два относительных числа одц Ш
пакового знака, нужно сложить их абсолютные велгьчцщ
и перед полученным результатом поставить их общий зщ
в	р»	о
Ч	н
Черт. 65.
3.	Сложение положительного числа с отрицательным.
Пусть требуется найти сумму двух относительных чисел
разного знака:
( + «*)+( — «).
где т и п — абсолютные значения данных относительных
чисел.
Рассмотрим два случая: когда т > п и когда т < п.
а)	П у с т ь ту-п.
Построим на числовой прямой (черт. 66) отрезок ОА,
соответствующий числу -\-т, а затем, согласно определению
сложения направленных отрезков, отрезок АВ, соответствую-
о	а	О
X		 —- I *	■	I	X
Черт. 66.
щий числу — п. Результат перемещения ОА-\-АВ выра¬
жается отрезком ОВ. Абсолютное значение числа, изме¬
ряющего этот отрезок, очевидно, будет т — п, а так №
отрезок ОВ имеет положительное направление, то измеряю¬
щее его число должно быть положительным.
Отсюда следует, что
( -f ?«)-)-(— п) = -\-(т— п)> гДе »*>«■
б) Пу сть т < п.	.
Построим на числовой прямой (черт. 67) отрезок
соответствующий числу-}-иг, а затем, согласно определен1"
сложения направленных отрезков, отрезок АВ, соответствую
щий числу —п.
Результат перемещения О А -\-АВ выржается отрезком^.
Абсолютное значение числа, измеряющего этот отрезок, °ч(:
— 129 —
о будет п — т, а так как отрезок ОВ имеет отрицатель-
е направление, то измеряющее его число должно быть
Порицательным.
Отсюда следует, что
(+?«) + (— «) = — (п — т), гДе *»<».
4 Сложение отрицательного числа с положительным.
Применяя те же рассуждения, как в предыдущем случае
получим:
(_ти)и) = — (иг — п), когда т>п,
и	(-7И)-}-(-}-«) = -}-(» —«О» когда то<«,
где т и п абсолютные значения относительных чисел — т
■ + »• \
Pi	°	г	^
 Ч
Черт. 67.
Правило. Чтобы сложить два относительных числа раз¬
ного знака, нужно из большего абсолютного значения вычесть
меньшее и перед полученным результатом поставить знак
того относительного числа, у которого абсолютное значе¬
ние больше.
Следствие.
Если относительные числа имеют одинаковое абсолют¬
ное значение, но противоположны по знаку, то сумма их
равна нулю
( -}- m) -j- (— т) — т — т = 0,
гДе т абсолютное значение относительного числа.
Так как число-}-»» считается больше нуля, а в сумме
е—т оно дает нуль, то, очевидно, число — т будет меньше
нуля и при том на столько, на сколько -J-m больше нуля.
Так как с возрастанием абсолютных значений положитель¬
ные числа возрастают, то, очевидно, отрицательные числа
с возрастанием их абсолютных значений уменьшаются.
Следовательно, из двух отрицательных чисел то больше,
У которого абсолютное значение меньше.
Элементарная алгебра.
9

130 —
§ 57. Вычитание относительных чисел.
1
Вычитание направленного отрезка на числовой прямой
состоит в изменении направления вычитаемого отрезка
на обратное.
Поэтому вычитание направленных отрезков на числовой
прямой состоит из следующих операций:
а) перемещением из начала О в направлении, показанном
направлением уменьшаемого, образуют отрезок ОА, служа¬
щий уменьшаемым;
б) перемещением из конца А отрезка ОА в направлении,
обратном направлению вычитаемого отрезка, выполняют
вычитание.
Таким образом, результат вычитания направленного
отрезка выражается по величине и направлению отрезком,
представляющим расстояние между исходным и конечным
пунктами перемещения.
Рассмотрим различные случаи вычитания направленны]!
отрезков, а вместе с тем, и различные случаи сопровождаю-i
щих их операций с измеряющими числами.
1.	Уменьшаемое и вычитаемое положительные числа.
Пусть требуется найти разность:
( + »*) — ( + »»).
где тип абсолютные значения данных относительных чисел.
Черт. 68.
Рассмотрим два случая: когда т>« и когда ж < и. j
а)	Г1 у сть т > п.	I
Построим на числовой прямой (черт. 68) отрезок ОА,
соответствующий числу+ ?и, и отрезок АВи соответствую¬
щий числу-}-п. Так как отрезок АВ, нужно вычесть из от¬
резка ОА, то необходимо изменить направление отрезка АВ\
поворотом на 180°. Отрезок ОБ представит собою искомую
разность.
Не трудно убедиться, что абсолютное значение числа, изме¬
ряющего отрезок ОБ, будет равно т — п. А так как отре¬
зок ОВ имеет положительное направление, то измеряют#
его число должно быть положительным.
Отсюда следует, что
( + «*) — ( + ») = + (*» — »)•
— 131 —
<5) Пусть т<п-
Построим на ^ числовой прямой (черт. 69) отрезок О А,
-)0тветствующий числу -\-т и отрезок АВи соответствующий
йслУ —I" ■
1 Так как отрезок ABt нужно вычесть из отрезка С/А, то
^обходимо изменить направление отрезка АВг поворотом1
«а 180°- ОтРезок ОБ представит собою искомую разность,
рак как абсолютное значение числа, измеряющего отрезок ОБ,
Черт. 69.
будет равно п — т и так как отрезок ОВ имеет отрицатель¬
ное направление, то измеряющее его число, очевидно, пред¬
ставится так:
—(п — т).
Таким образом, получаем, что
(+«») — (+»)=—(»—Щ-
2.	Уменьшаемое и вычитаемое отрицательные числа.
Пусть требуется найти разность:
( —ш) —( —п),
“'Де тип абсолютные значения данных относительных чисел.
Рассмотрим два случая: когда т>п и когда ?п<п.
[ а) П у с т ь т > п.	^
^Построим на числовой прямой (черт. 70) отрезок ОА,
рответствующий числу — т, и отрезок АВи соответствующий
| *чСД V —— эд
Черт. 70.
Так
то
1е0(Г как отРезок АВ1 нужно вычесть из отрезка ОА
*Ч8(УДИМО изменить направление отрезка А Вг поворотом
3% врезок ОВ представит искомую разность. Не трудно
ЬРезТЬСЯ’ ЧТО абсолютное значение числа, измеряющего
du,.^ будет равно т — п. А так как отрезок ОВ имеет
Рицательное направление, то измеряющее его число должно
0грицательным.

— 132 —
Отсюда следует, что
(—т) — ( — «) = — (т — п).
б) Пусть т < п.
Построим на числовой прямой (черт. 71) отрезок ш
соответствующий числу — т, и отрезок АВи соответствую^
числу —11.
Так как отрезок АВг нужно вычесть из отрезка 0.4, Тг
нобходимо изменить направление отрезка АВХ поворотов
не 180°. Отрезок ОВ представит собою искомую разность
Не трудно убедиться, что абсолютное значение числа
измеряющего отрезок ОВ, будет равно п — т. А так ка/
отрезок ОВ имеет положительное направление, то измеряю-
щее его число должно быть положительным.
Черт. 71.
Отсюда следует, что
Правило. Чтобы найти разность двух относительны
чисел одинакового знака, нужно из большего абсолютное
значения вычесть меньшее и перед полученным результат
том	сохранить знак уменьшаемого, если оно	по	абсолют¬
ному	значению	больше вычитаемого, или поставить	знд«
противоположный, если по абсолютному значению <№
меньше вычитаемого.
Следствие.
Если относительные числа имеют одинаковые знак*
и одинаковые абсолютные значения, то разность их
нулю.
( + w) — (-\-т) = т — т = 0,
( — т) — ( — т) = т — т = 0.
3.	Уменьшаемое—положительное число; вычитаемое—отрмчг
тельное число.
Пусть требуется найти разность:
( + т) — ( — я),
где тип абсолютные значения данных относительных чис^
Рассмотрим два случая: когда т>п и когда т < «•
— 133 —
а) ПУСТЬ т > п-
Построим на числовой прямой (черт. 72) отрезок ОА,
тветствующий числу-\-т, и отрезок АВи соответствующий
с°слу—w-
4 -рак как отрезок АВХ нужно вычесть из отрезка О А,
необходимо изменить направление отрезка ABi поворотом
I lgO°. Отрезок ОВ представляет собою искомую разность.
Не трудно убедиться, что абсолютное значение числа,
измеряющего отрезок ОВ, будет равно т-\-п. А так как
отрезок ОВ имеет положительное направление, то измеряю¬
щее его число должно быть положительным.
Поэтому
•	(-}- т\— (— п) = + (т -j- ii).
б) Пусть т<п.
Не трудно убедиться, что предыдущий вывод остается
I силе и для того случая, когда т < п. Построения черт. 72
о е>,	^	е>
X 1-	I	-—-у)—л:
Черт. 72.
остаются для данного случая в силе с тем лишь различием,
что для т < п точка Вх будет находиться не справа, а слева
от точки О.
Таким образом, получаем, что попрежнему
(-)- ш) — (— п) — -(- (т -j- п).
Проверка.
Вычитая из числа -\-т число—и,мы получили число-}-(?и-]-«).
Согласно определению понятия о вычитании, уменьшаемое
должно являться суммой вычитаемого и разности. Действи¬
тельно, складывая —пи -j- {т п), получаем:
(— «) -)- [ -|- (?п + п)] = -)- (ж -j- и — п) = -\-т.
Уменьшаемое — отрицательное число; вычитаемое — положи¬
тельное число.
Пусть требуется найти разность: (—т) — (+«)> где тип
“Солютные значения данных относительных чисел.
Рассмотрим два случая: когда т > п и когда т<^п.
Пусть т> п.
построим на числовой прямой (черт. 73) отрезок ОА,
отвегсгвующий числу —т, и отрезок АВи соответствую-
и числу -[-п.

Так как отрезок А Б, нужно вычесть из отрезка
то необходимо изменить направление отрезка АВХ поворот
на 180°. Отрезок ОВ представляет собою искомую развод'
Не трудно убедиться, что абсолютное значение чисд
измеряющего отрезок ОВ, будет равно (т-\-п). А так i'
отрезок ОВ имеет отрицательное направление, то измерь
щее его число должно быть отрицательным.
Поэтому
(— ?«) — (+») = — {т -}- п).
б)	Пусть от < я.	I
Не трудно убедиться, что предыдущий вывод остаетс-
в силе и для того случая, когда т < п. Построения чЗрт. 7
для данного случая остаются в силе с тем лишь различие*
Черт. 73.
что для от < га точка Вх будет находиться не слева, а серо?.
от точки О.
Поэтому
(— т) — (-}-га) = — (от -j- п).
Проверка.
Складывая -{-пн —(т-\-п), находим:
(-)- п) — (т-\-п)] =—[(от -j- п) — п] — — т.
Правило. Чтобы найти разность двух относительна
чисел разного знака, нужно сложить их абсолютные зна¬
чения и перед полученным результатом сохранить знт
уменьшаемого.
§ 58. Знак кисла и знак действия.
В § 56 мы вывели следующие формулы сложения от*1
сительных чисел:
(+?и)-{-(+«) = + (»» + «)	(|
(—»») + (—п) — —	 ■(*
(-}- т) -)- (— я) = 4 (от — п), если	т > п 1	р
(—{— /»г.) —j— (—п) — — (п— т), если	от<га/
(—яг) 4~ (+«) = — (т — п)> если	т>п\	(4;
(—т) —(—}- ?г) = 4(га— т), если	от<я1
135 -
Для вычитания же относительных чисел в § 57 нами были
выведены следующие формулы:
(-{-от)— (+ п) = -|- (от— п), еслиот>я1
(4 яг)— (-}-«)—- — (га— яг), если т < п /
(—т) — (—ri) — — (т — п),	если	т>п \	/2'у
(— т) — (—га) = 4 (га — т),	если	яг < га | ' '	'
(+яг) — (— га) = -}- (от 4- я)	(3')
(— от) — (4- п) = — On 4- п)		(4')
Сравнивая формулы (Г) с формулами (3), а также фор¬
мулу (3') с формулой (1), находим:
(+«») —Н-я) = Н-*я)-М—я)1	/сч
(+яг) — (—я) = (4-*и) 4- (4"«) 1
Сравнивая формулы (2') с формулами (4) и формулу (4')
с формулой (2), получим:
(— т) — (4-и) = (— от)4-(— п) \
(— т) — (— п) — (—ги)4(4-я)/
Знаки поставленные в скобках перед чистам отняв фор¬
мулах (5) и (6), называются знаками чисел-, они указывают
на род относительного числа.
Знаки 4- или —, поставленные между двумя парами ско¬
бок, указывают, какие действия нужно произвести с относи¬
тельными числами, и называются знаками действий.
Из формул (5) и (6) следует:
1. Числовое значение выражения не изменится, если знак
числа и знак действия поменять местами;
2. Числовое значение выражения не изменится, если знак
числа и знак действия заменить обратными.
На этом основании выражения можно подвергать следую¬
щему преобразованию.
Если выражение, кроме сложения и вычитания положи¬
тельных чисел, содержит сложение и вычитание отрицатель¬
ных чисел, то заменяя (на основании 1 следствия) при¬
бавление отрицательного числа вычитанием положительного,
а вычитание отрицательного числа (на основании 2-го след¬
ствия) прибавлением положительного, мы получим выраже¬
ние, в котором действия совершаются лишь над положи¬
тельными числами; пропуская знаки чисел (но не действий!)
У всех членов выражения, мы можем удержанные знаки
(знаки действий) писать перед числами, к которым они
°тносятся.
Всякий такой знак можно рассматривать и как знсп
Чг1сла и как знак действия.

В самом деле, восстановив пропущенные знаки -J-,
наложим на имевшиеся знаки роль знаков действий, а поме.
няв эти знаки действий местами со знаками чисел, мы обрд.
тим их в знаки чисел.
Пример 1.
(_ 3) + (- 6) - (- 4) - (+ 2) = (- 3) + (- 6) +
+ (+4) — (+ 2) = - (+ 3) — (+6) + (+4) -(+2) =
= — 3 — 6 + 4 —2.
Знаки в последнем выражении можно рассматривать и как
•наки действий и как знаки чисел.
Восстановив пропущенные знаки +, получим:
— 3 — 6 + 4 — 2 = — (+ 3) — (+ 6) + (+ 4)	(+	2).
Поменяв местами знаки действий и знаки чисел, получим:
—3—6 + 4 — 2 = (—3) + (—6)-|-(+4) +(-2).
Последнее выражение представляет собою алгебраическую
сумму, т.-е. такую сумму, в которой слагаемыми служат
не только положительные, но и отрицательные числа.
Пример 2.
(— т) — (+«) + (—р) — (— q) = ( т) — (+п) + (— р) +
+ С+8) = — (+*») — (+«) — (+ Р)-И+в) =
= — т — п —р + q.
Знаки в последнем выражении можно рассматривать и как
знаки действий и как знаки чисел.
Восстановив пропущенные знаки +, получим:
— т—п — р + д = — (+7»)— (+») — (+Р)+ (+«)•
Поменяв местами знаки действий и знаки чисел, получим:
— m —w—_p + g= (—7W)+ (-«) + (— р) + (+е).
Последнее выражение представляет собою алгебраическую
сумму.
Следствие.
Всякий многочлен можно рассматривать, как а-ягебраШ
ческую сумму одночленов.	Я
Пример.
%а-х — 2а х2 — 5 ах* + 7ж3 = (+ За2х) — (+ 2ах2) — (+ 5 ах*) ^
+ (+ 7х3) = (+ 3 а2х) + (— 2 ах2) + (— 5 ах*) + (+ 7а+
— 137 —
“Таким образом, нужно твердо помнить, что во всем даль-
ейшем изложении мы имеем полное основание знаки, стоя¬
щие перед членами многочлена, понимать или как знаки
®сел или как знаки действий, смотря по тому, что для нас
будет удобнее.
§ 59. Умножение и деление относительных чисел.
Для умножения относительных чисел принято следующее
определение:
1) умножить на положительное число значит умножить
на его абсолютное значение.
Так, например,
(+4)-(+3) = (+4) + (+4) + (+4) = +12;
(—4) - (+3)= (—4) + (—4) + (—4) = —12;
2) умножить на отрицательное число значит умножить
на его абсолютное значение и у полученного произведения
переменить знак на обратный.
Так, например,
(+4) - (— 3) = — [(+ 4) + (+ 4) + (+ 4)1 == — (+ 12) = — 12;
(—4)-(—3) = —[(—3) + (—3) + (—3)] = —(—12) = +12.
Таким образом, чтобы перемножить два относительных
чист, достаточно перемножить их абсолютные значения
и перед полученным результатом поставить знак + (плюс),
относительные числа имеют одинаковые знаки,
и знак — (минус), если относительные числа имеют
Противоположные знаки.
Правило это можно выразить следующими формулами:
(+*») • (+я) = + (»ия);'
(— т) • (— я) = + (|ия);
(+ж) (—п) = — (мш);	11
. (—*»)■(+») = — («»)■.
*» и п — абсолютные значения относительных чисел
*”• +п, —т, —п; или формулами:
(+*»)-(+я) = +р;'
(— т) ■(—я) = + р;1
(+«')■(—п) — — р, 	t1 )•
г».	(—«*)■(+»*) = —Р-
Р=тп.

— 138 —
Следствие 1.
Пусть требуется перемножить не два, а несколько 0тн
сительных чисел. -Произведение будет положительно. ес'‘
среди данных множителей число отрицательных множит^
четное, и произведение будет отрицательным, если ср<.
данных множителей число отрицательных множьте^
нечетное.
Если все множители положительны, то, каково бы ни бы-
их число, произведение их всегда положительно.
Если все множители отрицательны, то знак произведем
зависит от числа множителей.
В самом деле, перемножая первые два отрицатель^
множителя, мы получим в результате положительное чио
Умножая полученный результат на третий отрицатепьнь;
множитель, мы получим в результате отрицательное чис;.
Умножая это число на четвертый отрицательный множитед
мы получим опять в результате положительное число и т. я
Одним словом, четное число отрицательных множителр
образует положительное произведение, а нечетное чш„
отрицательных множителей образует отрицательное произве¬
дение.
Очевидно, если часть множителей будет положительные
числа, а другая часть множителей — отрицательные числ;
то знак произведения будет зависеть от числа отрица¬
тельных множителей.
Следствие 2.
Полагая в формулах (Г) w=l, получим:
(+»*) ‘ (+ 1) = + т;
(- т) ■ (+ 1) = — т;
(4-w) - (—1 ) — — т;
(—т) ■ (— 1 ) = -\-т.
Таким образом, от умножения на -\-1 относителен
число не изменяется, а от умножения на —1 изменяв'
свой знак на обратный.
Из формул (1"), на основании определения понятия о aeJIt
нии, имеем:
(+Р) :(+♦») = + я.'
(+Р) : (—«?) = — П,	-	£
(—P):(+w) = —п, '
(—Р) '• (— «О = + «
— 139 —
(+Р)
(+Р)
(— Р)
(-Р)
(+«)=+(!>
(-да)=-(т)
(+«)=-(|)
(-«)= + (£).
(2")
in
гак как р — тп и п, очевидно, равно
Таким образом, чтобы разделить одно относительнее
число на другое, нужно абсолютное значение первого числа
разделить на абсолютное значение второго и перед полу¬
ченным результатом поставить знак -|- (плюс), если отно¬
сительные числа одинакового знака, и знак — (минус), если
относительные числа разного знака.
Следствие 3.
Полагая в формулах (2") т—\, получим:
(+Р):(+1) =+А
{—Р):(+1) = — Р>
(+Р): (—1» = — Р.
(— Р)Ч— 1) = +Р-
Таким образом, от деления на -\-1 относительное число
не изменяется, а от деления на —1 изменяет свой знак
на обратный.
§ 59-а. Графическая иллюстрация умножения и деле¬
ния относительных чисел.
Возьмем уравнение:
ах-^Ъ — асх-^-Ъ^	(1)
Решая его, находим:
(а — al)x = bl —Ъ.
bi — Ъ
или
х-
(2).
Сравнение (1) можно решить также графически. Для этого
нУЖно построить две прямые, соответствующие функциям:
ь = пх-\-Ъ и V — а,хЦ-Ь,

— 140 —
и найти точку их пересечения. Абсцисса этой точки и бу
корнем уравнения (1).
Рассмотрим некоторые частные случаи, могущие предел
виться при решении уравнения (1).
а) а > а! и b < bj.	j	1
Пусть, например, а — 5,	= 3,	6 = 1 и Ьг = 4.	I
Подставляя эти значения в уравнение (1), а также в фор.
мулу (2), получим:
5х -J-1 = Зж—|—4
и *= J+] = (+3):(+2)	(2*).
Решим уравнение (1а) графически.
Построим две прямые 17'17' и W (черт. 74), соответ¬
ствующие функциям:
«1 = 5ж+1 и = Зж —|— 4.
Построение выполним в масштабе: 1 = 1 см.
Абсцисса точки пересечения (ЛГ) прямых U'U' Ш FT
и будет корнем уравнения (1а).
Так как отрезок ON' измеряется числом: —1,5, то
£ = +1,5 или (-\-3): (+2) = + 7,5,
откуда	,
(+ 1&) ‘ (+ 2) = ~\-3.
б) а < aj и b > bj.
Пусть, например, а = 3, а, = 5, 6 = 4 и 6[ = 1.
Подставляя эти значения в уравнение (1), а также в фор¬
мулу (2), получим:
3* + 4 = 5Ж+1. . . 7	(I4)
и ж = -
1—4
3 — 5
(— 3): (— 2) ...... .(2е).
Сравнивая уравнения (1 ) и П ), видим, что второе урав¬
нение может быть получено из первого, если роли частей
уравнения (Г) переменить.
Отсюда следует, что корень уравнения (1*) графически
выражается тем же отрезком, как и корень уравнения (l")"
Поэтому и для уравнения (1б)
® = + 1,5,
откуда
(-3j:(—2) = + l&
— 141 —
t следовательно,
(+!/>).(-2) =-3.
Черт. 74.
*0 а > а* и b > b!
Пусть, например,
0 = 5, аi = 3, 6 = 4 и &i = 1.

142
Подставляя эти значения в уравнение (1) и в формулу о
|лучим:
5х-\-4 — Зх-{-\
получим:
и
X —
1—4
5 — 3
(—3) : (+2)	,2*
12’),
Черт. 75.
Решим уравнение (1") графически.
Построим две прямые U"U" и V"Y" (черт. 75), соответ¬
ствующие функциям:
м2 = 5^4-4 и ®2 = Зж4-1.
- 143 -
flocTPoeHMe ВЫП0ЛНИМ в масштабе:
*	1	=	1	см.
дбсЦисса точки пересечения (М“) прямых: = V"V" и VV'
, дет корнем уравнения (1°)-
ИХак как отрезок ON" измеряется числом: —1,5, то
ж =—1,5
или
<гкуДа ®
(-3):(-\-2) = -1,5,
(-1,о).(+2) = -3.
г) a<ai и Ь < Ьр
Пусть, например, я = 3, й! = 5, 6=1, 6t = 4.
Подставляя эти значения в уравнение (1) и в формулу (2),
получим:
F 3	Зж-|-1=5ж4-4	(1г)
X =
4—	1
(4-3) : (—2)	(2).
3 — 5
Сравнивая уравнения (Г) и (Г)» видим, что второе урав-
вение может быть получено из первого, если роли частей
уравнения (Г) переменить.
Отсюда следует, что корень уравнения (Г) графически
выражается тем же отрезком, как и корень уравнения (.Г)-
| Поэтому для уравнения (1г)
х = — 1,5,
| откуда
(4-3):(-2) = -1,о,
5 следовательно,
(-1,5). (-2) = + 3.
Рас
ГЛАВА III.
пространение законов действий на относитель¬
ные числа.
§ 60. Упражнения.
Проверить справедливость равенств:
1) a-\-b — b-\-a;
2) я--6-)-с = (й-Ь6)4-с = а4-(Ь4_с);
3) а-|-Ь — с —а — c-J-6;
4) а — 6 — с=а — с — 6;

— 144 —
5) т— (a-\-b) = m — а — Ъ;
6) т -{- (а — 6) = т -|~ а — Ъ;
7) т — (а — Ь) = ш —a -f- Ъ.
для следующих числовых значений букв:
.
+ 5
+ 4
— 7
-15
+!т
— 0,51+0,01
— 3
+ U
+3,
б
— 3
— 9
+ 10
— 4
1
3
+ 2,7
— 2,75
+ 0,1
К
с
— 4
+ 2
— 9
+ 16
1
— 4
+ 0,8
— 3,27
-2,5
1-0,1
-1
т
+ 8
— 3
+ 6
— 7
3
4
— 1
+ 0,2
-4
+ 3,5
-
§ 61. Распространение гаконов сложения на относи¬
тельные числа.
Сложение относительных чисел производится в следующем поряди,
к 1-му слагяемому прибавляют второе слагаемое; к полученному резул*
тату прибавляют 3-ье слагаемое; к новому результату прибавляют 4-1
слагаемое и т. д.
Поэтому сумма не изменится, если несколько первых слагаем^
заменить их суммой.
1)	Переместительный закон: a-J-b =Ь-)-а, где а и Ь относительные чисм.
Пусть тип будут соответственно абсолютными значениями чисе.
о и б.
Тогда:
а) если а и б положительны, то а + 6 = + (т + п) и Ъ + а = +(»-(-я)
откуда а + б = б + а, так как ?«. + и = w + w;
б) если а и б отрицательны, то а + б —— (m-j-w) и Ъ-\-а =—
откуда а + б:=6 + «;
в) если о положительно и б отрицательно, то:
при т^>п
а + б = -j- fm — я),
Ь + а = 4- {т — п),	I
ели
при т<^п
а + Ь = — (п — т),
Ь + о = — (и — ту,
следовательно, о + б = Ъ -}- а.
г) если а отрицательно и б положительно, то
при
а -4- б = — (т—п),
б + а = — (т — и),
или
при
а + 6 = + (м — in),
б + а = -j- (n — т);
следовательно, a + 6 = 6+o.
— 145 —
n е„естительный закон верен не только для двух слагаемых, но и для
г'о-угодно числа слагаемых.
^Покажем это методом полной индукции.
дапа сумма:
д, + Я2 + аЗ +	+	а*-1	+	а* + а*-)-1+ +	°m — l+am = *т.
а С?, «з и Т- Д- относительные числа.
Обозначим сумму к — 1 первых слагаемых через s*_j, а сумму к + 1
„ервых слагаемых через sft+1:
а1 + «2 + °з +	+ ак—1 — **—V
а1 + а2 + «3 +	+	1 4 ак + °к+1 = Sfc-f 1-
Тогда
**-)-1 = sk—l + ак + «д+1-
Докажем сначала, что величина суммы sk ^ не изменится, если порядок
слагаемых ак и	переменить.
Построим на некоторой числовой прямой последовательно отрезки, изме¬
ряемые числами: Sk_j, ак и ак^г; точки соответствующие числам: sk_lt
hи sk И на30вем А, Б и С. Таким образом, отрезок О А измеряется
числом £*_!■ отрезок ОВ — числом -|- ак и отрезок ОС—числом
*t_i+a* + a*-)-i •
Пусть наибольшая из абсолютных величин чисел ак и ак_^г будет р,
а наименьшая q.
Складывая отрезок О А с отрезками, измеряемыми числами ак и ak+lj
мы совершаем перемещение из точки А на величины этих последних.
Легко видеть, что независимо от порядка перемещения абсолютное значение
числа, измеряющего отрезок АС (результат перемещений), будет p-\-q.
если числа ак и а,.^ имеют одинаковые знаки, и р — q, если числа пк
а имеют разные знаки. Что касается направления отрезка АС, то онс»
зависит или от знака чисел ак и ак_^1 (если эти числа имеют одинаковый
знак) или от знака того из них, которое имеет большее абсолютное зна¬
чение (если числа имеют разные знаки).
Таким образом, независимо от порядка перемещений из точки А на вели¬
чины отрезков, измеряемых числами ак и ak^_v мы приходим в точку С.
Следовательно, величина суммы:
s*+i = **-1 + ак + "*4-1
Ве зависит от порядка слагаемых ак и afc+1.
О
-4—
АЗ
—t—
С -7 0
Черт. 76.
ер.
flpHMi
^сть ак = -\-р, ofc+1 = — Я и > О (т.-е. число положительное).
, Остроим на числовой прямой (черт. 76) отрезок ОА, измеряемый числом
гГ1
^ Рибавпм
к отрезку 0-4 последовательно отрезки: АВ, измеряемый
°м ак = +Р, и ВС, измеряемый числом ак^_, = — д. При сложении
Элементарная алгебра.
10

— 146 —
указанных отрезков в указанном порядке совершается перемещение
в В и из В в С. Результат перемещения (сумма) выражается отрезке,»/3 4
измеряемым числом 4 (р — q).	М'
Так как сумма двух слагаемых ак 4 ак )_1 обладает переместителЬ(.
свойством, то перемещения по числовой прямой из точки А, соотьетстг'*111
щие обратной последовательности чисел ак и akJL1, приводят в
точку С.	*	**
Следовательно,
Sk— 1 + ак 4* я*+1 = sk_t -f-	4	ак	.
Из вышесказанного следует, что
1) два любых последовательных слагаемых суммы относительных чИс,
можно переменить местами,	‘	м
2) последовательными перестановками любое слагаемое суммы можяо
переместить на любое место
Таким образом, от тремены порядка слагаемых сумма относи¬
тельных чисел не изменяется.
2. Сочетательный (или собирательный) закон:
а 4 Ь 4 с = (а 4 b) -1- с = а -(- (Ь4 с),
где о, б и с — относительные числа.
Так как сумма не изменится, если несколько первых слагаемых заменить
их суммой, то
а 4 б + с = (а 4 б) 4 с.
Изменяя на основании переместительного закона сложения порядок сла¬
гаемых в выражении: о-|-6 + с и заключая в полученном выражении два
первых слагаемых в скобки, будем иметь:
а —|— б -j— с = б —|— с —|— а — (б -j— с) -(■ а.
Принимая же 64е за одно слагаемое и пользуясь переместительвы«
законом сложения, получаем:
а + 6 4 е = в + (6 + с).
Таким образом,
а -|- б с — (а -|- б) -j— с = а -|- (б -|- с),
т.-е. сумма относительных чисел не изменится, если несколько сла¬
гаемых за-менить их суммой.
Следствие 1.
На основании сочетательного закона
а -\- Ь 4 с = а 4 (б 4 о))
следовательно, и наоборот,
я + (& + с) = а + & + с>
т.-е. чтобы прибавить сумму нескольких относительных +
достаточно прибавить эти числа последовательно ооно за дрУгН
Следствие 2.
Пусть a-\-b-\-c — s будет суммой нескольких относительных чисел-
Построим эту сумму на числовой прямой и пусть она изобрэ#3
отрезком ОМ (черт. 77).
— 147 —
Повертывая этот отрезок на 180° около точки О, увидим, что
1.	направления отрезков, от суммирования которых получается ОМ
неяятся на обратные;
2) направление самого отрезка ОМ также изменяется на обратное.
Поэтому	(_a) + (_fi)+(_c)==_e.
Таким образом, если у каждого слагаемого алгебраической суммы
переменить знак на обратный, то знак суммы изменится на
кратный.
рассматривая многочлен, как алгебраическую сумму его членов, при¬
ходим к заключению, что если n/pip каждым членом многочлена пере¬
ценить знак на противоположный, то получится новый много¬
член, численная величина которого противоположна численной
величине первого многочлена.
X
Пример.
Дан многочлен:
ГО,	<"5	60
Черт. 77.
3 а?х — 2 ах2 — 5 ах* 4 7гс3	(1).
Переменив перед всеми его членами знаки иа обратные, получим новый
многочлен:
— Зсйг 4 2«ж= 4 бяж4 — 7ж3	(2)
Определим числовую величину обоих многочленов.
Помнимая знаки, стоящие перед членами многочленов, за знаки чисел,
яайдем числовую величину каждого одночлена при а = 3 и х = 2.
а) для первого многочлена:
За?х = 3 • З2 • 2 = 54;
— 2а£С2 = —2- 3- 22 = —24;
— 5ах* = - 5 • 3 • 2« = — 240;
7з? =7 ■ 23 = 56.
б) для второго многочлена:
— Зах* = _ з . 32 . 2 = — 54;
2ах2 = 2 - 3 • 22 = 24
Ьа& = 5 • 3 - 2* = 240;
— "1а? = — 7 • 23= —56.
Численная величина первого многочлена определяется так;
(+ 54) 4 (- 24) 4 (- 240) 4 (4 56) = - 154.
Численная величина второго многочлена определяется так:
(_ 54) + (+ 24) 4 (4 240) 4 (- 56) = 4 154.
Таким образом, численная величина второго многочлена (4 154) протнво-
п°ложна численной величине первого многочлена (—154).

— 148 —
§ 62. Распространение законов вычитания на относи,
тельные числа.
1.	Переместительный закон,
а)	лля сложения и вычитания:
а-\-Ъ — с = я — с 6,
где а, Ъ и с какие угодно относительные числа.
Напишем выражение: о 4-6— с так: (+«)-(-(+— Н-с), где (4 а>
(4-6) и (4- с) могут быть и отрицательными числами:
а 4- 6 - с = (4- о) 4- (+ 6) - (4- с).
В правой части равенства поменяем местами поставленные в скобках знаки
со знаками действий; тогда
я + 6 — с = (И" я) + (+ + (— с)-
Применяя к последним двум слагаемым правой части переместительные
закон, находим:	Я
я + 6_?==(+а) + (_с) + (+й).	|
Меняя местами знаки действий и знаки, поставленные в скобках, получим™
а 4_ ъ _ r=(4_ а) _ (+ с) 4_ (+ S),
откуда
а-\-Ь — с = а — с-\-Ъ.
б)	для вычитания:
а — 6 — <■ = а — с—Ь,
где а, Ъ и с какие угодно относительные числа.
Прием доказательства тот же.
2.	Сочетательный (или собирательный) закон:
ш 4- (а — b) = m 4- а — Ь;
m — (а 4- b) = m — а — Ь;
m — (а — b) = m — а 4~ Ь|
где т, а и 6 какие угодно относительные числа,
а)	Доказать, что	—	6)	=	т4-о — 6.
Напишем выражение т4- (а — 6) так: (4"ш) + [(+я) — (-f-Ъ)), где Ш,
а и 6 могут быть и отрицательными числами:
т 4- (а - Б) = (+ ш) +- [(4- а) - (4- 6)].
В правой части равенства поменяем местами поставленные в кругла*
скобках знаки со знаками действий; тогда
т 4- (а — 6) = (4- т) 4- [(4- о) 4- (— 6)1,
откуда
т 4- {а — Ъ) = (4- да) + (4- а) 4- (- 6).
— 149 —
меняя в правой части равенства местами знаки действий со знаками,
„ставленными в скобках, получим:
?n4-(o-6)=(4-m>H4-a)—(4-6),
°тк^'па	т	4- (я — 6) = т-\-а — 6.
Следовательно, чтобы прибавить разность двух относительных
сел, достаточно прибавить уменьшаемое и от полученного резуль¬
тата отнять вычитаемое.
Следствие.
Б равенстве: да + (о — Ъ) = т-\-а — Ъ положим Ъ = а.
Равенство примет вид:
т 4- (я — я) = т + а — а.
откуда
m-f-o = т-
На основании переместительного закона формула:
т-\-(а—Ъ)=т—а—6
принимает вид:
(о—ъу\-т=т-[-а—6.
При 6==о получаем:
о -(- т = т.
Итак,
m4-o = o4-H' = Bi,
где т относительное число,
б)	Доказать, что т — (о -f- 6) = да — a — 6.
Напишем выражение да —(a-f-6) так: (4-т) — [(+ и) 4-(4- 6)1,	где	4-т
4-о и -(-6 могут быть и отрицательными^числами:
т — (о 4- Ъ) = (4- т) — [(4- о) -f (4- 6)1,
- (a-f-6) = (4- т) 4- { - [(4- о)4- (4- 6)1}.
Изменяя у слагаемых + а и -\-Ь знаки на обратные и меняя	в	то	же
время знак перед суммой на обратный, получим:
или
т
или
г - (о 4- Ъ) = (4- т) 4- { 4- [(- О) 4- (- 6)]},
т — (а 4~ 6) — (-(- т) -f- [(— а) -)-( — В)],
откуда
т (о -f- 6) = (4- т) 4- (— а) + (— Ъ).
Меняя в правой части равенства местами знаки действий со знаками,
вставленными в скобках, получим:
т — (о -|- 6) = (4~ т) — (+ я) — (+ &)•
откуда
т — (о -J- 6) = т — а — 6.
Следовательно, чтобы отнять сумму нескольких относитель¬
ных чисел, достаточно отнять эти числа последовательно одно
Ja другим.

— 150 —
в)	Доказать, что т — (я—б) = т— а — Ь,
Прием доказательства тот же.	*
Таким образом, чтобы отнять разность двух относительных чиге.
достаточно отнять уменьшаемое и к полученному результату при
Савить вычитаемое.	'
Следствие.
В формуле: т— (а — Ь) — т — а + Ъ положим 6 = а.
Формула примет вид:
т — {а — а) = т — я + я,
откуда
m — о = m,
где т — относительное число.
§ 63. Упражнения.
Проверить справедливость равенств:
1) аЪ = Ьа ;
2) аЪс — (об) с —а (Ьс);
.	Ъ) (а-\-Ъ)т — am-f-Ът;
4) (а— Ь)т~ат-\-Ьт]
5) а ■ (Ь: с) = (ab): с;
6) а: (Ьс) = (а: Ъ): с;
7) а: (Ъ:с) — (а:Ь) ■ с;
8) (а :6) • с — (ас):Ь;
9) (а: Ь) ■ (с: d) — (ас): (bd);
10) (а-\~Ъ):т — а:т-\-Ъ:т;
11) (а — Ъ):т = а:т — Ъ:т,
для следующих числовых значений букв:
I
1 °
II
+ 5
+ 4
1
— 7
— 15
— 4
+ 16
'+4
— 0,5
+0,01
1
— 3
+ ы
+3,1
1 ъ
— 3
—	9
+ 2
—	4
+ 10
— 9
1
3
+ 2,7
-2,75
+ 0,1
— 6
+ 4.2
— 10
-1,5
— 2
1 с
— 4
f I 1
о>[~ | *.|~ |
+ 0,8
-3,27
-2,5
+ 0,1
+ 1
j a
+ 2
— 1
+ 3
+ 2,5
— 1,13
— 2
1 т
+ 8
— 3
+ 6
— 7
3
4
— 1
+ 0,2|
— 4
+ 3,5
— 151 —
. __распространение законов умножения на отноеи-
‘ ь	тельные	числа.
умножение относительных чисел производится в следующем порядке:
чйсло умножается на 2-е; полученный результат умножается на третье
^ о" новый результат умножается иа 4-е число, и т. д.
‘"поэтому произведение не изменится, если несколько первых сомно¬
жителей заменить их произведением.
1. Переместительный закон.
а) для двух сомножителей: яб = Ъа. где а и Ъ — относительные
доСЛЯ*
Пусть абсолютное значение относительного числа а будет тп, а абсолют-
вое значение числа Ь пусть будет п.
Тогда
ab = -f- (тп), если числа а к Ь одинакового знака,.
"	яб=—(тп), если числа я и б разного знака.
Переменив порядок множителей а и б, получим:
ба=+(ит), если числа о и б одинакового знака,
я
Ъа=—(пт), если числа а и б разного знака.
Но тп — пт.
Следовательно,
ыб = бя.
б) для трех сомножителей: аЪс = б ас = сЪа =	,	где а, б и с
относительные числа.
Пусть абсолютные значения относительных чисел а, б и е будут соот¬
ветственно т, пир.
Тогда:
1) ябс = -f- (тпр), если сомножители а. б и с положительны или один
из сомножителей положителен, а два другие отрицательны;
2) яос =— (тнр), если сомножи ели я, б и с отрицательны или один
из сомножителей отрицателен, а два других положительны.
Легко видеть, что перестановка множителей я. б и с не может изменить
знак произведения, а влечет за собою ли пь перестановку чисел т, п н р,
что в свою очередь не изменяет произведения.
Таким образом, произведение трех сомножителей я, б и с не изменяется
°т перемены их порядка.
в) для любого числа сомножителей.
Справедливость переместительного закона для любого числа сомножителей
в Случае относительных чисел доказывается методом полной индукции
«к, как это было изложено для арифметических чисел в § 15.
2.	Сочетательный (или собирательный) закон.
Прием доказательства справедливости этого закона состоит в следующем:
1) пользуясь переместительным законом, можно любую г уппу множи-
Гелей поместить в начале про зведения, а затем з ключнть в скобки;
2) пользуясь переместительным законом, можно заключенную в скобки
Туппу множителей поместить на любом месте, рассматривая ес, как один
Умножитель, и тем доказать справедливость сочетательного закона.

Следствие.
Чтобы умножить на произведение нескольких 07Пносшпель^.
чисел, достаточно умножить на первый сомножитель, пслучР)Д**
результат умножить на второй сомножитель, новый резу'п#^
умноокить на третий сомножитель, и т. д.
3.	Распределительный заной:
(а + Ь) с = ас Ьс,
(а — Ь) с = ас — Ьс.
А) Доказать, что
(а + Ь) с =з ас 4- Ьс,
где а, Ь и с относительные числа.
Пусть т, пир будут абсолютными значениями чисел а, бис.
Рассмотрим следующие случаи:
1)	Пусть числа а и Ь одинакового знака.
Тогда
а + Ъ = 4- [in -f-«), если а и Ъ положительны,
или
a 4- Ъ = — (т -{- п), если а и b отрицательны,
а)	Пусть с — -\-р.
Тогда:
если а и б положительны, то
(а -}- Ь) с = -j- \{т + п)р\ — -f- (тр -)- пр)
и
ас + Ъс = (-]-т) (+ р) п) (+р)= + (тр-\- пр)
если а и Ь отрицательны, то
(а 4~ Ъ) с = — l(m -f- п) р] — — (тр 4~ пр)
и
ас + Ьс = (— т) (4-р) + (— n) (4-р) = — (тр) +
+1— (ПР)] = — (тр + пр).
Таким образом, если а и b одинакового знака и с положительно, то
(а 4- Ь) с = ас 4- Ьс.
б)	Пусть с = —р.
Тогда:
если о и & положительны, то
(а 4- Ъ) с = — ((т 4- п)р] = — (тр 4- пр)
и
ас 4- Ъс = (4- т) (— р) 4- (4- п) (—р) — — (тр) 4-
+ (— (« Р)1 = — (тр 4- пр);
если о и Ъ отрицательны, то
"	(«4-Ь)с	=	4-f(n*4-	п)р\	=	4-(,ир	+	пр)
и
ас 4- Ьс = (— т) (— р) 4- (— п) (— р)— + (тр) 4-
4-14- (пр)1 = + (тр 4- пр).
— 153 -
Гдкнм образом, если а и Ъ одинакового знака и с отрицательно, то
(о 4- Ъ) с — ас 4- Ьс.
2)	Пусть числа а и Ъ разного знака.
Тогда:
fl_|_{i = 4-(m — п), где т>п, если а положительно и Ь отрицательно;
или
—(т—и), где т>», если а отрицательно и Ь положительно
а)	Пусть с ==4-р.
Тогда
если а положительно и Ь отрицательно, то
(а4-б)с = 4"— »)р] = 4-(тр — пр), где т>и,
" ас 4- Ьс = (4- т) (4-р) 4- (- п) (4-р) = 4- (тр) + [— (пр)] =
= 4- {тр — пр), где т > п;
если а отрицательно и Ь положительно, то
(а 4- Ъ) с — — \(т — п) р\ = — (тр — пр), где т > п,
и
ас + Ьс = (— ш) (4-р) 4- (4- п) (4-р) — —(тр)4- [4- (пр)] —
= — (тр — пр), где т > п.
Таким образом, если а и & разного знака и с положительно, то
(а-{-Ъ)с = ас-\-Ъс.
б)	Пусть с = — р.
Тогда:
если а положительно и Ь отрицательно, то
, (а 4~ Ь) с = — [(«г —п) р] = — (тр — пр), где т>и,
и
ас 4- Ъс = (4- т) (— р) 4-(— и) • (— р) = — (тр) 4- [4-(яр)] =
= — (тр — пр), где тД>п;
Или а отрицательно и Ь положительно, то
(а 4- Ь)с = 4- [(m — п)р\ = 4-(wp — ир), где т>и,
ас 4- Ьс = (— т) (—р) 4- (4- п) (— р) = 4- (тр) 4- [- (пр)] =
= 4- (тр — пр), где т )> п.
Таким образом, если а и Ь разного знака и с отрицательно, то
(а 4- Ь) с = ас 4- Ьс.
„ Доказать, что (а — Ь) с = ас — бс, где а, 6 и с относительные
числа:
Представим выражение (а — Ь)с так:
(а — б) с = [а 4* (— Ь)1 с
применим к нему доказанную выше формулу; получим:
(° — Ь)с = ос 4- (— б) с = ас 4- [— (бс)] = ас — [ 4- (бс)] — ас— Ъс.
н

— 154 —
Таким образом,
(а — Ъ) с = ас — Ьс.
Следствие:
Полагая в равенстве: (а—b)c = ac— Ьс Ь=а, получим:
о • с = о,
где с — относительное число.
Так как (о — Ъ) с = с (о — Ь), то с (а — Ь) = ас — Ьс.
Полагая в последнем равенстве Ъ = а, получим:
с • 0 = 0.
Таким образом,
о • с — с ■ о ~ о.
§ 65. — Распространение законов деления на относитель¬
ные числа.
1.	Сочетательный (или собирательный) закон для умножения и деления,
а • (Ь : с) = (ab): с,
а : (Ьс) = (а: Ь): с,
а : (Ь : с) = (а: Ь) • с,
где а, Ъ и с — относительные числа.
а) Доказать, что a-(b:c) = (ab): с.
Пусть Ь:с = т; тогда Ъ — ст.
Умножая обе части последнего равенства на а, получаем:
аЪ = аст,	(,
или, на основании переместительного и сочетательного закона для умно¬
жения:	•
ab = (ат) • с.
Согласно определению деления имеем:
(ab): с = ат.
a-(b:c) = ат.
а-(Ь:с) = (аЪ): с.
Но
Следовательно,
откуда
б)	Доказать, что а ■■ (Ьс) = (а:Ь):с.
Пусть а: (Ьс) = да-, тогда согласно определению понятия о делении:
а = (Ьс) ■ т,
а = Ьст = Ъ ■ (cm).
На основании определения понятия о делении
а: 6 = еда
(а:Ь):с = т.
во
федовательно,
Пусть
— 155 —
I
а : (Ьс) ~ т.
а: (Ьс) = (а: Ъ): с.
в)	Доказать, что а:(Ъ:с) = (а-Ь) ■ с.
а:Ь = т.
умножим обе части этого равенства на с; получим:
(о: Ь) с = ст.
Так как
а : Ь = т,
10	а	=	Ът.
Разделим обе части последнего равенства на с; получим
а: с = (Ът): с
или
откуда
Поэтому
Но
Следовательно,
а: с — (Ь: с) ■ т,
а = [(6: с) • да] • с = (Ь:с) ■ т - с = (6: с) ■ (тс)
а:(Ь:с) = ст.
(а :Ь)с — ст.
а:(Ь:с)=(а:Ь) • с.
2.	Переместительный закон для умножения и деления:
(а: Ь) • с = ( ас ) :Ь,
(а : Ь) • (с: d) = (ас): (bd).
а)	Доказать, что (а:Ь) - с = (ас): Ъ.
а:Ь = т,
/	а = Ът.
Умножим обе части последнего равенства на с; получим:
ас = Ьст
ас=Ъ (cm),
cm = (ас) ■ Ь.
т = а:Ь.
(а-.Ь) с = (ас): Ь.
Пусть
гогда
или
откуда
Но
Сле
довательно.
Пусть
б)	Доказать, что (а:Ь) • (с: d) = (ас): (bd).
а'.Ъ — т и c:cf=n;

— 156 —
тогда
а - - bm и с = dn.
Перемножим два последних равенства:
ас = (Ът) • (dn)
Применяя переместительный и сочетательный законы умножения, полу^
ас — bmdn = bdmn
или
ас = (bd) (тп),
откуда
тп = (ас): (bd).
Но
т = а:Ь и n = c:d.
Следовательно,
(а:Ь) ■ (с: d) = (ас): (bd).
3.	Распределительный закон для деления:
(а -f- b): m = а: m + b: т,
(а — b): т = а : т — b: т,
а) Доказать, что (а Ь): т — а: т -f- Ъ: т.
На основании распределительного закона для умножения имеем:
(О! -\-Ъу)т = сцт + Ъгт,
откуда
а,т -f- bjm = (ai-\-bi)m
Согласно определению понятия о делении имеем:
(аут -|- Ъут): тп = -f- Ъг.
Пусть
а,т = а и Ь,т = Ъ;
тогда
ai = a: 7п и b, = b: тп
Подставляя находим:
(a -f- Ъ): т = а: т + b: тп.
б) Доказать, что (а —Ъ): т = а: т — Ъ-.т.
Прием доказательства тот же.
Следствие.
Полагая
Ь = а в равенстве: (а — Ь): т = а: т — Ъ : тп,
получим:
(а — а): т = а: т — а: тп
или
О: m = о,
где тп — относительное число.
— 157 —
§ 66. Общий вывод.
Так как законы действий над арифметическими чис-
ми и следствия из них распространяются и на относи-
л°'1Ьцые числа, то все вытекающие отсюда законы тожде-
Й^венных преобразований буквенных выражений (как целых,
и дробных) остаются в силе и для того случая, когда
выражениях под буквами подразумеваются любые отно¬
сительные числа.
ГЛАВА IV.
Тождественные преобразования алгебраических
выражений.
§ 67. Действия над одночленами.
1.	Сложение одночленов.
Сложение одночленов состоит в указании действия над
ними, т.-е. в том, что между одночленами ставят знак-[-(плюс).
Дальнейшие преобразования состоят в следующем:
а) если второй одночлен (прибавляемый одночлен) имеет
знак — (минус), то на основании § 58 знак действия и знак
одночлена меняются местами, после чего знак второго одно¬
члена пропускается;
б) если одночлены подобны, то делают их приведение.
Пример 1.
Сложить одночлены:
3ах и — 2ау.
3 ах + (— 2 ау) — 3 ах — (-f- 2 ау) = 3 ах — 2 ау.
Пример 2.„
Сложить одночлены:
— 8а3ху- и 6 “ а3ху2.
1 1
— 8а3ху3 Г 6 у а^хгр- = — 1 у ху-.
.Правило 1. Чтобы сложить два одночлена, достаточно
!к Первому одночлену приписать второй одночлен с его
\'^о.ком, после чего сделать приведете одночленов, если они
^обны.
v

— 158 —	\
Правило сложения одночленов распространяется на кя
угодно число одночленов.	к°«
2. Вычитание одночленов.
Вычитание одночленов состоит в указании действия
ними, т.-е., в том, что между одночленами ставят знак — (минум
Дальнейшие преобразования состоят в следующем:	'
а) если второй одночлен (вычитаемый одночлен) Ицее-
знак —(минус), то на основании § 58 знак действия и знГ
одночлена изменяются на обратные, после чего знак второй
одночлена пропускается;	f
б) если одночлены подобны, то делают их приведение.
Пример 3.
Из одночлена 3ах вычесть одночлен — 2ау.
3 ах — ( - 2 ау) = 3 ах + (-f 2 ау) — 3 ах -f- 2 ау.
Пример 4.
Из одночлена—8а3хуг вычесть одночлен 6 у а3ху2
— 8а3ху2 — 6 у а3ху2 = —14 ~ а3ху2
Правило 2. Чтобы из первого отоплена вычесть вто¬
рой, достаточно к первому одночлену приписать второй
одночлен с обратным знаком, после чего сделать приведение
одночленов, если они подобны.
3. Умножение одночленов.
Рассматривая целый одночлен как произведение несколь¬
ких сомножителей, можно умножение одночленов произвести
на основании переместительного и сочетательного законов
умножения.
Пример 5.
Перемножить одночлены:
— 3«4йяс5 и 5«2й4.
Будем рассматривать первый одночлен, как произведен^
четырех сомножителей:
— 3, а4, Ъ3 и с5,
а второй одночлен, как произведение трех сомножителей:
5, а2 и й4.
— 159 —
На основании переместительного и сочетательного законов
умножения будем иметь:
— За4й3с5 - (5л2й‘) — — 3я4й3с5 ■ 5 • а? ■ й4 =
__(_ 3). 5 . а*а2Ъ3Ъ1с3 = [(— 3) • 5] • (а1а2) ■ (й3й4) • с3 =
= — 15а6й7с5.
Правило 3. Чтобы перемножить одночлены, нужно
перемножить их коэффициенты и сложить показатели
одинаковых букв, а те буквы, которые входят в один из
одночленов, перенести в произведение с их показателями.
Пример 6.
' Перемножить одночлены:
— 7а3Ъ- и — 2я5с.
Перемножая по правилу, находим:
(— 7а3Ъ2). (— 2а5е) = 14я8й2с.
4.	Деление одночленов.
Рассматривая целый одночлен, как произведение несколь¬
ких сомножителей, и пользуясь сочетательным законом для
умножения и деления, можно производить деление одно¬
членов.
Пример 7.
20я7й5е3: ( — 5aW) = 20аЧРс3: (— 5): я4: й* =
[20: (— 5)] • (а1: а4) • (й5 : Ъ3) - с3 = — 4а3Ъ2с3.
/
Правило 4. Чтобы разделить одночлен на одночлен,
нужно коэффициент делимого разделить на коэффициент
делителя, из показателей букв делимого вычесть ?юказа-
Шли тех же букв делителя и перенести без изменения
Указателей те буквы делимого, которых нет в делителе.
Пример 8.
Разделить
— 36я9й5 на — 9я8й2.
Деля по правилу, получим:
(— 36я9й5): ( — 9я8Ь2) = 4яй3.
5-	Возведение в степень одночленов.
Пример 9.
( — 2а3Ъ&*)3 = (— 2)з - («5)з. (ьз)з. (Ж4)з =
= — 8 Сб3Ъ*Х™.

— 160 —
Правило 5. Чтобы возвести в какую-нибудь степещ
одночлен, достаточно возвести в эту степень коэффициент
а показатели букв умножить на показатель степени.
Пример 10.
(— 5 а36ж5)2 = 25а6Ь2ж10.
§ 68. Действия над многочленами.
на сочетательной
1. Сложение многочленов.
Сложение многочленов основывается
законе для сложения и вычитания:
я —|— (& —|— с) = ft —{— Ь —1— с \
и
т-\-(Ь — с) = т-\-Ъ — с.
Пример 1.
Сложить одночлен: Ъа-Ъ и многочлен: —4а3-|-За26—2оу
Ъа-Ъ (— 4а3 -|- Ъа-Ъ — 2а2) = 5 а2Ъ -f-
-f (— 4а-») + За2Ь — 2 а2 = 5а2Ь — 4а3 +
+ За26 — 2 а2 = 8а26 — 4а3 — 2а2.
При решении этого примера знак перед первым членом,
а также и перед всеми остальными членами многочлена при¬
нимались за знаки чисел, а не действий; следовательно,
прибавление многочлена приводилось к прибавлению суммы
(алгебраической).
Правило 1. Чтобы прибавить к какому-нибудь выра¬
жению многочлен, достаточно приписать к этому выраже¬
нию последовательно все члены многочлена с их знаками,
после чего сделать приведение подобных членов, если от
окажутся.
Пример 2.
Сложить многочлены:
х2-Г3а2 — ах, Ъх2 — Ъах-f-2а2 и — ж2 -f-ах—а2.
х2 -(- За2 — ах -f- (Зж2 — Ъах-\- 2а2) -{- (— х2-\-ах—а2) =
= х2 -(- За2 — ах -Г Зж2 — Загс -J- 2а2 — х2-\-ах — а2 =
= 2гс2 -(- 4а2 — Загс.
— 161 —
Пример 3.
0ч одночлена 5а26 вычесть многочлен: —4а3-)-Ъа2Ъ — 2а2.
5 а2Ъ — (— 4а3 -|- Ъа2Ъ ■— 2а2) = 5а26 —(— 4а3) — За2Ь-|-
2а2 = Ъа2Ъ -)- 4'ы3 — Ъа2Ъ -)- 2а2 —= 2 а2Ъ -)- 4а3 2а2.
Правило 2. Чтобы вычесть многочлен из какого-нибудь
шпаокения, достаточно приписать к этому выражению
_ члены многочлена с обратными знаками, после чего
Делать приведение подобных членов, если они окажутся.
Пример 4.
0з многочлена х2-\-Ъа2 — ах вычесть многочлены:
Зж2 — Заж -J- 2а2 и ■— х2-\-ах — а2.
х2 -Г За2 — ах — (Зж2 — Заж -}- 2а2) — (— ж2 -{- ах — а2) =
= ж2 -Г За2 — ах — Зж2 -f- Ъах — 2а2 -\-х2 — аж -f- а2 =
=— ж2 + 2а2 -(- аж.
многочлена на одночлен и многочлена на много-
основывается
3. Умножение
член.
а) Умножение многочлена ни одночлен
на распределительном законе для умножения:
(а-(-6) т = ат-\-Ът,
(а—Ъ) т = ат — Ът.
Пример 5.
(—За2ж-|-4а3ж3 — 7ах2) ■ (—2а3ж2) =(—За2ж) • (— 2а3ж2)-|-
4а3ж3) ■ ( — 2а3ж2)-|-(—7ах2) • (—2а3ж2) =
= 6а5ж3 — 8а6ж5 -f- 14а4ж4.
При решении этого примера мы рассматривали знаки,
стоящие перед ч ченами многочлена, как знаки чисел.
; Правило 3. Чтобы умножить многочлен на одночлен,
Щмсно умножить на этот о)ноч.лен каждый член много-
l-'wa и взять алгебраическую сумму полученных произве-
^ний.
Пример 6.
(7а3
2. Вычитание многочленов.
Вычитание многочленов основывается на сочетательно»1
законе для сложения и вычитания:
т — («—(— Ъ) = т — а — Ь
и
т — (а — Ъ) = т — а -(- Ъ.
I
I
- За2 — 5а) • (— 4а2) = — 28а5 + 12а4 -J- 20а3.
, Умножение многочлена на многочлен основывается
. к*е на распределительном законе для умножения.
Пример 7.
‘Ребуется перемножить многочлены:
(гг —[— & -|— с) и (т-\-п-\-р).
<$Лб]
иелтарная алгебра.
11

— 162 —
Применяя к произведению (а-\-Ъ-\-с) (т-\-п-\-р) расц.,
делительный закон, получаем:	к
(a + b-f-c) (т-\-п-\-р) = (а-\-Ъ-\-с)т-\-
(а■ \- Ъ -f- с)п -}- (а + Ъ с)р,
откуда
(a-f-b-f-c) (т-\-п-\-р) = ат-\-Ът-\-ст-\-
-\-ап-\-Ъп-\-сп-\-ар-\-Ър-\-ср.
Таким образом, результат умножения многочлена на мноп
член представляет собою алгебраическую сумму произв,
дений каждого члена множимого на каждый член мно&
теля.
Правило 4. Чтобы умножить многочлен на многочл^
нужно каждый член множимого умнолсить на каэ/dd
член множителя и взять алгебраическую су яму получение
произведений.
Пример 8.
Перемножить многочлены:
х2-\-ху-\-у2 и х2 — ху-\-у2.
Перемножая по правилу, находим:
(х2 -f- ху -(- у2) (х2 — ху -\- у2) = х* -f- х3у -|- х2у2—х3у -
— х2у2 — ху3 + х2у2 -|- ху3 -(- г/4 — х^-\- х2у2 -[- у*.
Определим число членов произведения многочлена на многочлен до пр?
ведения подобных.
Пусть во множим м будет т членов, а во множителе п членов; тог.'
число членов пр изведеиия до приведения подобных выразится произвел
нием чисел т и п.
В самом деле, группа членов произведения, полученная от умножен*
всех членов множимого на какой-либо член множителя, содержит т чле о
(т.-е. столько, сколько их во множимом): число же таких групп будя •
(оио равно числу членов во множителе).
Таким образом, число всех членов произведения (до приведения под^'
ных) будет тп.
4.	Деление многочлена на одночлен.
Деление многочлена на одночлен основывается на распрс
делительном законе деления:	V
(а-\-Ъ):т — а:т-\-Ъ-.т,	Н
(о — Ъ):т = а:т — Ъ: т.	Я
Пример 9.	Г
(Sa3b2 — 15а2Ь* — 12аЪЧ): (— 3ab2)=	I
= (+ 3„3£,2) ; (_ 3f,fc2) _J_ (_ ! 5^4) . (_ ^ПЬ2) +	I
+ (— 12ab6c): (— Sab2) = — а2 + 5я62 + 4Ъ2с.	|
— 163 —
рравило 5. Чтобы разделить многочлен- на одночлен,
рно разделить на этот одночлен каждый член много-
qutia и взять алгебраическую сумму полученных частных.
Пример 10.
(24а4 — 18а® — 30а2): (—6а2) = — 4а2 + За + 5.
Примечание.
Деление одночлена на многочлен нацело невозможно, так
как при умножении многочлена (делителя) на любое целое
сражение не может получиться одночлен (делимое).
§ 69. Действия со скобками.
Со скобками можно производить, как уже было сказано
выше, два действия: раскрытие скобок и заключение
в скобки.
Раскрытием скобок называется опущение их; заключением
6 скобки называется введение новых скобок.
Знак -j- (плюс), стоящий перед скобками, указывает
на сложение; знак — (минус) на вычитание.
Поэтому раскрытие скобок, перед которыми стоит знак
заключается:
а) в опущении скобок и стоящего перед ними знака;
б) в приписывании членов, стоящих в раскрываемых
скобках, с их знаками.
Раскрытие скобок, перед которыми сгоит—, заключается:
а) в опущении скобок и стоящего перед ними знака,
б) в приписывании членов, стоящих в раскрываемых
“кобках, с обратными знаками.
Если некоторые члены многочлена заключаются в скобки
;о знаком -f- перед скобками, то знаки у заключаемых членов
ie изменяются; если же перед скобками ставят —, то знаки
членов, заключаемых в скобки, меняются на обратные.
§70. Умножение и деление расположенных много¬
членов
^зсположить многочлен по степеням какой-нибудь буквы значит написать
|ц,ь Ч;1е|,ы в таком порядке, 4тобы показ 1тели этой буквы к последова-
^ Ых чле ах многочлена юстененно увеличивались или уменьшались.
tr° 6Кук• по степеням которой располагается многочлен, называется гнаоной
1 С?И 11 'казатели главной буквы постепенно уменьшаются, то говорят,
I ^ЧарКОГочлен Расположен по у'Ынанщпм стене ям; в противном же
Ч говорят, что многочлен расположен по вчзрнстакщпм степеням
соДеожащий глтвную букву с наибольшим показа1елем называется
n‘4t пленом многочлена; член, содержпций главную бую у с наимень-
га*гоч°Казателем или вовсе ее не содержащий, называется низшим членом

— 164 —
— 165 —
1.	Умножение расположенных многочленов.
При умножении расположенных многочленов множимое и множите*
располагают одинаково.	^
Рассмотрим примеры на умножение расположенных многочленов.
Пример 1.
(Зж4 — бж3 -j- 4ж2 — 2ж) - е4ж3 -|- 2ж2 — Зж -|- 5)
Произведение
МНОЖИМОГО:
i
12ж7 — 20ж® -}- 1бж5 — 8х*	на	1-й	чл.	множите-
-j-бж6 — Юж5-}- вес4 — 4ж3	иа	2-й	чл.	множить,
— 9ж5 -j- 15.x4 — 12ж3 -}-	бж3	на	3-й	чл.	множите.,
15Ж4 — 25ж3-}-20ж3 — 10ж	. . иа	4-й	чл.	множите^
12ж7 — 14ж® — Зж5 -j- ЗОж4 — 41Ж3 -j- 26ж2 — 10ж
Множимое и множитель в этом примере расположены по убывающие
степеням ж.
Пии умножении подобные члены подписаны под подобными для уцобсте;
приведения.
Высший член произведения (12ж7) получен от перемножения высшее
члена множимого (Зс4) и высшего члена множителя (4х3).
Низший член произведения (—Юж) получен от пеоемножеиия нязшн
члена множимого 1—1х) и низшего члена множителя (5).
Первый член каждой строки представляет собою произведение выспг
члена множимого на тот член множителя, номеру которого соотьетствуЧ
номер строки.
Пример 2.
Перемножить многочлены: а2 — аж-}-ж2 и а-j-ж.
(а2 — аж -}- ж2) (a-j- ж)
а3 — а2х -|- аж2
-|- (fix — аж2 -}- ж3
а3-}-ж3
Наименьшее число членов произведения после приведения подобных о»^
зялось 2: высший и низший члены произведения, не имея подобных, исче
нугь из произведения не могли.
2.	Деление расположенных многочленов.
Деление расположенных многочленов для большей ясности будем с
ставлять с умножением.
В настоящем §-е рассмотрим деление многочленов, расположенных по)1
вающим степеням.	^
Выше мы видели, что высший член произветения получается от
женин высшего чюна множимого и высшего ч юна множителя. <- ,е
тельно, же тая получить высший ч 1ен частного, мы должны разделить вы
член делимого на высший член делителя (см. пример 3).
Умножив найденный член частного на де штель, мы получим т • .
при умножении ртсположенных многочленов составляег первую
(см. ниже).	nB,i
Вычтя этот результат умножения из делимого, мы получим совоку
всех строк произведения, кроме переой; следовательно, первый чЛ ,,
вого остатка есть произведение высшего члена делителя иа втор0
тНого. Поэтому, деля первый член остатка на высший член делителя,
ь! получ|Ш второй член частного (см. пример).
у„ножив н 1Йденный член частного на де штель, мы получим то, что
и умножении расположенных многочленов составляет вторую строку
0ь1чтя этот результат умножения из первого остатка, мы получим сово-
,, ,ность всех строк произведения, кроме двух первых-, следовательно,
первый ччен второго остатка есть произведение высшего члена делителя
а ,прет"й член ч жтного. Потому, де ш первый член второго остатка
ва высший член делителя, мы получим третий член частного (см. при¬
пер). 11 т- д‘
Действие продолжают до тех пор. пока деление нацело высших членов
получаемых бстатков представляется возможным. В противном случае дей-
етвие приостанавливчют, рассматривая полученный остаток, как остаток
С1 деления многочленов.
Если деление многочленов не выполнимо без остатка, то. обозначая де¬
лимое через Л, делитель через В, частное через Q и остаток от деления
через В, по .учим следующую формулу соотношения между этими вели¬
чинами : А = В • Q -j- R.
Пример 3.
(Зх* -
Умножение.
-5ж3-{-4ж2—2ж) ■ (4ж3-{-2ж2—Зж-}-5)
12ж7 — 20Ж6 -j- 16ж6 — ваз4	1-я	строка
-j-бж6—10ж5-}-8ж4 — 4Ж3	2-я	строка
— 9жь-{- (бж4 — 12ж3-}-6ж2	.....	.3-я	строка
-}- \5х* — 25ж3-}-20ж2—Юж	.	.	.4-я	строка
12ж7 — 14Ж6 — Зж5 + ЗОж4 — 41ж3 + 26ж2 — Юж
Деление.
_ 12ж" — 14ж« — Зж5 + ЗОж4 — 41 ж3 + 26ж2
+ 12а?7 + 20жв + 16ж6 + 8х*
- Юж
Зж4 — бж3-}- 4ж2 — 2ж
4ж3 -}- 2ж2 -
	  ,	Зж + 5
бж6- 19ж5-}-38ж4 —41ж3-}-26ж3 — Юж	1-й	остаток
+ бж6 + Юж5 + вж4 + 4ж3
—	Эж5 -}- ЗОж4 — 37ж3 -}- 26Ж2 — Юж	2-й	остаток
+	9ж5 + 15ж4 + 12Ж3 + бж2
1 бж4 — 25ж3 -(- 20.;;2 — 1 Ож	3-й	остаток
+ 15ж4 + 25ж3 + 20ж2 + Юж
О • -	4-й	остаток
§ 71. Некоторые замечания о тождественном пре¬
образовании дробей.
Возьмем дробь: — , где под а и Ъ подразумеваются какие
Уг°Дно числа.
Обозначая эту дробь через q, будем иметь:
а
°ТкУДа а =
= 9,
bq.

— 166
■
Так как перемена знака перед одним из сомножителей,
или q влечет за собою перемену знака и перед пропзВе.
нием а. а перемена знака перед обоими сомножителями saj-
произведения не изменяет, то
Поэтому
— « = ( — 6). q,
а = Ъ. ( — q),
а = ( —6). ( — q).
(-а)
(-6)
(—а)
Ъ
а
или:
{-Ь)
(-а)
(-6)
(—о)
Ъ '
а
— ъ
а
'Ъ'
а
~~Ь’
а
(-b) ь ’
т.-е. перемена знаков на обратные перед обоими членами
дроби не изменяет вемчини дроби; тремена же знай
перед одним членом дроби равносильна перемене знака пер#
самой дробью.
Это свойство алгебраической дроби нередко приходится
применять на практике при тождественных преобразования*
дробных выражений.
Пример.
Пусть требуется преобразовать разность двух дробей:
х	а
167
от0 обстоятельство наводит нас на мысль переменить знак
- второй дробью и перед ее знаменателем до разложе-
на множители. Выполняя эго преобразование, получим:
х
а
х
+
а
х
ах а2	а2 — х2
Разлагая на множители знаменатели дробей, будем иметЬ
ах — а2 =а(х — а),
а2 — х2 = (о -J- ж) (а — ж).
Сравнивая эти разложения, замечаем, что множители os
и а — ж отличаются знаком, так как
ж — а = — (а — ж).
аХ—а2 а2 — ж2	ах — а2 гж2 — а2 я (ж—а)
а   х(х-\-а)-\- а2   ж2 -|- ах 4 а2
"^(ж -}-а)(х— ci)~ а(х-\-а)(х — о)	а (ж-)-а) (ж — а)
8 72 Исключение целого выражения из алгебраической
9 '	дроби-
Пример 1.
Дана дробь:
ж2 — 3
ж — 2
Представим ее в таком виде:
ж2 — 3 ж2 — 4 - {— 1 (ж2 — 4)-f 1
ж — 2 ж — 2	ж	— 2
Деля х2 — 4 и 1 на ж — 2, получим:
ж2 —3	.	_	,	1
 ^ = ж + 2
ж— 2
ж—2
Пример 2.
Дана дробь:
(а— Ъ)2
а-\-Ъ
Представим ее в таком виде:
(n-bp _ «г _ 2 пЬ + Ъ2 _ а2 4- 2г/Ь + 62 — 4аЬ _ (а +6)2—4аЬ
а-\-Ь	а-\-Ъ	а-\-Ь
Деля (й-|—б)2 и 4ab на а-\-Ь, получим:
(а — Ь)2	.	,	4ah
-—=	 п:'
а-\-Ъ	а	+	б
пРимер з.
Сказать тождество:
а — 1
.Ь = Ъ — 1 +-—ъ	О)-
а	а

Представим выражение, стоящее в левой части равенсг
в таком виде:
а —1 р аЬ—Ъ_аЪ -а-\-а — Ь а{Ъ— 1) + (я —
а	а	а	а	~
Деля а(Ь — 1) и а — Ъ на а, получим:
а~Л.ъ=ъ-i+i=f-
а	1 а
Формулой (1) иногда удобно бывает пользоваться при нахо-
ждении приближенного результата вычислений.
Пусть, например, о = 7 530 и 6 = 7 528.
Тогда
7529	7530 — 7528
ГЙО-752^^028-1^—7530	=
= 7527+г1о = 7527+3^65
Таким образом, принимая 7 527 за приближенное значение
7 520	,,	1
произведения • 7528, мы допускаем ошибку, равную
Пример 4.
Доказать тождество:
,L - ч,?.	 й
Представим	дробь,	стоящую в левой части	равенства, в таком
виде:
1	  1	—	а2-|_а2	(1 — а2) _}_ а2
1 —}— а	—	1+а — Т —|—	а	'
Деля	1—а2 и а2	на 1 —|— а, получим:
1 I- '	“2
1+а	^	1	—{— а
Если а мало, то формулой (2) удобно бывает пользоваться
для нахождения приближенного результата вычислений.
Пусть, например, а = 0.001.
Тогда
1	-1	0 001 4- 0,0012 о 999-1-0,000001 ■—
l.ool -1 ~ °’001+Т00Г - °’999+Тбо1
= 0 999 4-	-
’ + 1001000
— 169 —
Так как
18 1001000 > 1000000,
тш{ш<0-000001'
а потому, принимая 0,999 за приближенное значение дроби:
1
1,001’
мы допускаем ошибку менее 0,000001.
Пример 5.
Доказать тождество:
-,&. = *+•+ 7^-а 	 №
Подставим дробь, стоящую в левой части равенства, в та¬
ком виде:
1	1—а2-}-а2	1—а2-^'2	(1—а)2-}-а2
1 — а	1 — а	1 — а ~	1	—	а
Деля 1—а2 и «2 на 1—а, получим:
1 _i_L ■ а2
 	 	—	—— 1 - j- GC ■
1 —а	1	—	а
Если а мало, то формулой (3) удобно бывает пользоваться
Для нахождения приближенного результата вычислений.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
Закон прямой линии.
ГЛАВА I.
Арифметическая прогрессия.
■з 73. Арифметическая прогрессия.
Арифметической прогрессией называется ряд чисел,
в котором разность между последующим и предыдущим
числом постоянная. Разность эта называется разностью про¬
грессии, а числа, составляющие прогрессию, называются ее
членами.
Для обозначения арифметической прогрессии перед первым
ее членом ставят знак -ч-, а остальные ее члены отделяют
Друг от друга точкой с запятой (;).
Таким образом, ряд:
-*-1;3;5;7;9
будет арифметической прогрессией.
Пусть дана прогрессия:
»i; «2; «з;	«„	(1)-
Обозначая ее разность через г, будем иметь:
<*2 —а! = «з — «2 = 04 — аз =	=	ап — яи_1 = г . .(2).
Если разность прогрессии положительное число, то про-
гРессия называется возраст акмцей-, если же разность про¬
фессии отрицательное число, то прогрессия называется
бывающей.
Разность прогрессии характеризует собою скорость возра-
Тания (или убывания) членов прогрессии в связи с измене-
Чием их номеров.

— 172 -
Из равенств (2) следует, что
«2 = «1
—- 0,2 —j— Т
к — 1 строк.
173 —
того,
Кроме	=	^
a* = °*-i + r
Складывая эти равенства, получим:
a2-f-°3_l- ai ~hab~h' ■ • •	—	1)
или
—в, = в4 —e, + r(ft— 1),
откуда
•(3).
т.-е. всякий член арифметической прогрессии равен первому
ее члену, сложенному с произведением разности прогрессии
на число предыдущих чмнов.
§ 74. Геометрическая иллюстрация арифметической
прогрессии.
На оси абсцисс (черт. 78) построим ряд точек, соответ¬
ствующих числам натурального ряда, и восставим в них ряд ^
перпендикуляров.
Пусть нам дана возрастающая прогрессия:
 0).
-±-а1;а2-,а3-,.
■ ап — 2 > ап — 1 ' ап • ■ ■ ■
все члены которой пусть будут положительными.
Числа, измеряющие отрезки ОАи ОЛ2, ОЛ3, , ОЛп, со¬
ответствуют номерам членов прогрессии. На перпендику¬
лярах АХМХ, А2М2, А3М3 и т. д. отложены отрезки, изме¬
ряемые членами данной прогрессии.
Докажем, что точки Мх, М2, М3 и т. д. расположены на одной
прямой.
Проведем линии МхСи М2С2, М3С3 и т. д. параллельно
оси ОХ. Полученные прямоугольные треугольники МХА1
М2М3С2, М3МХС3 и т. д. равны, так как катеты их соответ¬
ственно равны.
В самом деле,
Мхсх — АхА2, М2С2 — А2А3, M3C3 = A3At и т. д.
а так как
то
как разности последовательных значений ординаты (т.-е
членов прогрессии).
t:nv^ --j г	/-
Из равенства же треугольников следует, что
< м2мх сх=< м3м2с2=< ъим3с3=....
Спрашивается, будут ли точки Ми М2, М3 и т. д. лежать
на общей прямой.
У
/V.
Пу
АхА2 — А2А3 — A3Ai =	,
МХСХ = М2С2 = М3С3 =....
Допустим, что линия М2М3 не является продолжением линии
МхМ->, и пусть продолжение’м этой последней (черт. 78-а) бу¬
дет ll,L. Тогда углы ЬМ2С2 и М2МхСх, как соответственные
при параллельных линиях, будут равны:
Но
Следовательно,
< LM2C2 = < MtMxCt.
< М3М2 С, = < М2Му Сх.
< LM2 С2 = < М3М2С2.
fl
Поэтому линии М2М3 и М2Ь совпадают, т.-е. М>М3 служит
пР‘>должением линии МХМ2, и точки Мх, М2, М3 располо¬
жены на отной прямой.
Применяя те же рассуждения к точкам М2, М3, Мл, увидим,
Чт° они также лежат на одной прямой.
Вообще все точки, полученные от построения членов про¬
фессии, будут расположены на одной прямой.

. — 174 —
Таким образом, изменение членов арифметической прсгрег ^
сии в зависимости от изменения их номеров подчиняютс*
закону прямой линии.	я
Упражнения.
1) Построить график для убывающей арифметической про.
грессии, все члены которой положительны.
2) Построить график для прогрессии, все члены которой
отрицательны.
3) Дана прогрессия, члены которой представляют собою
нечетные числа натурального ряда. Найти выражение для
«.-ого нечетного числа.
4) Дана пр )грессия, члены которой представляют собою
четные числа натурального ряда. Найти выражение для л-ого
четного числа.
§ 75. Сумма членов арифметической прогрессии.
Дана прогрессия:
*	,	7^2, ^Iз ,....х,*...у,	0-п	2, ап 1, ап . . . (1),
где х пусть будет ?л-ый член от начала (т < п), а у ги-ый
член от конца.
Пусть разность прогрессии будет г; тогда
x = ai-\-r[in—1)	(2’)
Перепишем члены прогрессии (1) в обратном порядке; полу¬
чим новую прогрессию:
•	;	ап ^; ап_2,....у,.. • • х,.... «з, «з у - • - (4 Ь
в которой ап будет первым членом и разность которой бу¬
дет—г.
На основании § 73 имеем:
или
У = <*и+(—г) - О»—1)
у — ап — г (in — 1)	)
Складывая равенства (2) и (2'), получаем:
х-{-у = ах-\- ап.
Таким образом, сумлт членов арифметической прогрессШЬ
одинаково отстоящих от концов ее, равна сумме крайни
ее членов.
Эгим свойством прогрессии воспользуемся для опргДеЛ
ния суммы всех ее членов.
— 175 —
Обозначая сумму п членов прогрессии через Sn, будем
иметь:
iS„ = ai + «2+ <*з +	+	a«-2+an—1 + °« • ■ - • (3)-
fla основании переместительного закона сложения получаем:
/S'n = a„-{-a„-i + a„_2H- Т-яз-Ьог+«1 • • ■ (3')-
Складывая равенства 3) и (3 ), находим:
2 S„= (Ol + вп) +(«2 + йп_1) + («3+Оп_2) +	+	(а«_2+аз)-}-
+	аг)	+ (°„ + &i).
Так как в скобках суммируются члены одинаково удаленные
от концов прогрессии, то
п ■ раз
25, = («1 +«»)+• «1+я „Ж«1+а „) + .... +(«!+« я HKflrf «„ Ж«1+«Г)
или
Откуда
2 Sn = (й! -f «„) п,
S„ = = (ai + aJ п,
(4),
т.-е. сумма членов арифметической прогрессии равна поло¬
вине произведения суммы крайних ее членов на число всех
членов.
Пусть Й! и ап будут числа, измеряющие основания тра¬
пеции. а п число, измеряющее ее высоту. Тогда формула (4)
выразит собою площадь трапеции.
Подставляя в формулу (4) вместо ап выражение:
находим:
Oi-fr(w—1),
S„ = Л>[2а, —|— г (п — 1)] п
(41).
/I
§ 76. Задачи.
Задача 1.
Дана прогрессия, члены которой представляют собою нечет¬
ные числа натуральною ряда. Найти суммы двух, трех,
четырех и т. д. членов этой прогрессии и построить диа-
гРамму для сравнения этих сумм, пользуясь площадями
квадратов.
Решение.
Дана
прогрессия:
-г-1 ;3;5;7;9;...

— 176 —
Сумму первых двух ее членов обозначим через £2:
S2=l+3 —4 = 22.
Сумму первых трех ее членов обозначим через £3:
£3=1 + 3 + 5 = 9 = 32.
Точно так же найдем:
£4 = 1+3 + 5 + 7=16 = 42,
£6=1+3 + 5 + 7 + 9 = 25:=5г и т. д.
J/
£.
3
я,
</3
а
в
/9Г
р
5
К
^6
Черт. 79.
Общее выражение для «-го члена данной прогрессии будет,
очевидно, таково:
ап — 2п— I.
Найдем выражение для суммы п членов.
£в = -I (1 + 2n— 1) - п = пК
Таким образом, последовательные суммы членов донное
прогрессии представляют собою квадраты чисел натурой'
наго ряда.
Пользуясь этим свойством сумм, можно для их сравнен
построить диаграмму следующим образом.	.
На сторонах прямого угла откладываем несколько Р
единицу длины и на полученных отрезках (черт. 79), счвт
— 177 —
длину от точки О, построим квадраты. Очевидно, пло-
i,x й этих квадратов будут соответствовать последователь-
суммам членов данной прогрессии.
‘Отделяя разности последовательных сумм, получим:
£2 — Si== (1ъ
£3 — £2 = <73,
S4 — tfs = «t,
Таким образой, разности последовательных квадратов пред¬
ставят нам наглядно члены данной прогрессии.
Упражнение.
Дана прогрессия, члены которой представляют собою чет¬
ные числа натурального ряда. Найти последовательные
суммы членов этой прогрессии.
Задача 2.
Известно, что при свободном падении в пустоте тело про¬
ходит в первую секунду 4,9 метра, а в каждую следующую
секунду на 9,8 метра больше, чем в предшествующую. Опре¬
делить расстояние, пройденное телом за t секунд.
Решение.
Очевидно расстояния, проходимые падающим телом в ка-
дую секунду в отдельности, составят арифметическую про¬
грессию с первым членом «1 = 4,9 (метр.) и разностью про¬
грессии г = 9,8 (метр.). Число секунд падения выражает
число членов этой прогрессии.
Расстояние, пройденное телом за t секунд, равно сумме
членов прогрессии. Обозначая его через 8, получим:
£=i [2«i+rif— 1)11=~[2 ■ 4,9 + 9,8 (t— 1)] 7 =
= - J (9,8 + 9,8* — 9,8) = 4,9*2.
Итак,
S = 4,9*2.
?7. Некоторые свойства членов арифметической про--^
греесии.
°озьмем три члена арифметической прогрессии:
+ —in’ ak И а/с + т-
-ны пк т ц ак+п, очевидно, одинаково отстоят от ак.
Элементарная алгебра.	12

щ
178
179 —
На основании § 73 имеем:
ак_т = а1-\-г{1с — т — 1)
а1с+т = «1 + Г (к + Ш — 1).
Складывая эти равенства, находим:
«*-»+«*+*. = 2°1 + 2г {к— 1)
i.«e я*-»» и afc+m~ числа, измеряющие соответственно
врезки AAU MMU BBi.
рише мы показали, что если три числа составляют ариф¬
метическую прогрессию, то второе из них является средним
или
'рифметическим двух остальных.
I Не трудно убедиться, что, наоборот, если одно из трех
\ чисел является средним арифметическим двух остальных,
Й10 такие три числа составляют арифметическую про¬
фессию.
I g самом деле, пусть
a + с
Но
Поэтому
«* =
a1-\-r(k—\) = a]c.
а'к — т ~f~ ак + т
•0),
т.-е. каждый член арифметической прогрессии равен полу-
сумме членов, одинаково от него отстоящих.
Полагая в равенстве (1) т — 1, получим:
_ ak-i-hak
+i
Число ah, связанное с числами а
к — м И ак + т
 (!')• !
соотношением (1'),
называется средним арифметичсскили
Понятие о среднем арифметическом, обыкновенно, расши¬
ряют, называя средним арифлютическим частное от деления
суммы каких-нибудь чисел на число их.
Так, среднее арифметическое чисел: 8, 4, 3, 5, 12 будет
-X
8 + 4 + 3 + 5+12	32
5	-	5
Формулу (1) легко вывести геометрически.
Пусть числа, измеряющие отрезки: ОАи OMi и OBt (черт.80).
будут соответственно:
к — т, к и fc + ги.
Тогда MMi будет средней линией трапеции AAtBiB, а потому
1
Отнимая от обеих частей этого“равенства по « + Ь, получи!
2 Ъ — (о + Ъ) = а + с — (а + Ъ)
2 Ъ — а — Ъ — а-\-с — а — Ъ,
Ъ — а = с — Ъ.
или
откуда
^Обозначая каждую из разностей Ь — а и с — Ъ через г,
или
= 2 (АА i + ВВ,)
ак~Ъ (°fc — т“Ь 4-m)>
иметь:’ &
Ъ — a = r и с— Ъ — r.
^еДовательно,
Ь = о + г и с — Ъ-\-г,
к
т..е
ckyjo числа а, Ъ и с действительно составляют арифметиче-
прогрессию.

§ 78. Определение разности прогрессии.
Возьмем два каких-либо члена арифметической прогресс
Ии
На основании § 73 имеем:
о* = аЛ + г(Л —1),
- ат = ai + »■(»» —1),
Вычитая из первого равенства второе, получим:
откуда
г — .
ат = г(к — т),
а,.— «...
h— т
(1),
т.-е. разность арифметической прогрессии равняется част¬
ному от деления разности двух каких-либо членов прогрес¬
сии на разность их номеров.
Формулу (1) легко вывести геометрически.
Пусть отрезки АА, и ВВ, (черт. 81) изображают соответ¬
ственно члены прогрессии: ат и ар, отрезок ВС, очевидна
изобразит их разность аь — ат. Отрезки ОА, и ОВ, должны
измеряться соответственно числами т и 1с.
Разделив А,В[ на к — т равных частей, восставим из т°не*
деления перпендикуляры к ОХ до пересечения с АВ-
перпендикуляры, очевидно, соответствуют последовательны^
членам прогрессии, заключенным между ат и а,., а пото^
— 181 —
трезки M,N,, M2N2, M3N3 и т. д. измеряются разностью
регрессии.
Опустив из точек: И,, Ah, М3 и т. д. перпендикуляры
вз ВС, мы разделим эту линию на к — т равных частей;
каждая из этих частей равняется разности прогрессии.
Так как ВС измеряется числом ак—ат, то разность про¬
грессии г, очевидно, равна
к—т
Легко заметить, что величина наклона линии KL к оси ОХ
черт. 82) зависит от величины разности прогрессии.
В самом деле, пусть АМ = а, единиц длины, BN~a3
«диниц-длины и PN=r единиц длины.
Увеличивая разность прогрессии, мы перемещаем точку N
вверх, а в связи с этим изменяется и наклон линии KL.
§ 79. Задача.
Между числами а и Ъ вставить т таких чисел, кото¬
рое вместе с числами а и Ъ составляли бы арифметиче-
скУю прогрессию.
Рассмотрим сначала частный пример.
Возьмем прогрессию, состоящую из шести членов:
-=-3; 5,4; 7,ь; 10,2; 12,с) 15	(1).
Разность ее г = 2,4.
. Построим на прямой ОХ ряд отрезков: ОА,, 0А2, 0А3,
^ т- д., соответствующих номерам членов прогрессии,
На перпендикулярах к этой прямой в точках А,, А2, А3
,,т- Д. отложим отрезки, соответствующие членам прогрес-
(черт. 83).
\

— 182 —
Соединив точки: Ми М2, М3 и т. д., получим прямую
Разделим отрезок АХА2 на 4 равные части и в точк,
деления восставим перпендикуляры к ОХ до пересечения c.g>
Так как между Ах и А2 помещаются три точки делещ*
то упомянутых перпендикуляров будет три.
Легко показать, что числа, измеряющие длины этих пеп
пендикуляров в принятой единице масштаба, вместе с чис
лами 3 и 5,4 составляют арифметическую прогрессию.
Действительно из равенства треугольников:
1
AMJiN, &NCP, APBQ и AQM2E
следует, что
PN = CP = DQ = ЕМг.
л 5,4 — 3	2,4	„
— "5^Т	’
Черт. 83.
сии (1) мы поместили три
но¬
вых числа, составляющих вместе с числами 3 и 5,4 арйфме'
тическую прогрессию.
Само собой разумеется, что подобную же операцию
могли бы совершить и для каждых двух последовательны*
членов прогрессии (1), и, следовательно, между крайни*1®
членами этой прогрессии можно поместить 19 чисел, сост*'
вляющих вместе с ними новую прогрессию, разность к°т°’
рой d = 0,6.
А так как отрезки PN, СР, Щ
и ЕМ2 показывают, на сколько
каждый из отрезков: NXN, Р,Р.
QiQ, А2М2 отличается от пред¬
шествующего ему, то числа, из¬
меряющие отрезки: AXMU NX,
QiQ и А2М2, составляют
арифметическую прогрессию.
Чтобы определить разность
этой прогрессии, нужно, соглас¬
но § 78, разность крайних чле¬
нов прогрессии разделить на
разность их номеров:
где через d обозначена раз¬
ность полученной прогрессии-
Зная же разность прогрессив
и ее первый член, легко опре¬
делить и все остальные члены-
Таким образом, между пер¬
выми двумя членами прогрес-
— 1S3 —
Прогрессия (1) обращается в такую:
-^3; 3,6; 4,2; 4,8; 5,4; 6,0; 6,6; 7,2; 7,8;..
  ; 12,6; 13,2; 13,3; 14,4; 15 ... .
(2)
у поместили между последовательными членами прогрес¬
сии (1) новые члены, составляющие новую прогрессию, но при
jtom не выходили за пределы крайних членов прогрессии (1).
Такая операция носит название интерполирования.
Не трудно заметить, что прогрессию (2), так же как и вся¬
кую, можно продолжить за пределы крайних ее членов.
Такая операция носит название экстраполирования.
Рассматривая прогрессию (1) и производя соответственное
построение, мы числа, измеряющие расстояния между двумя
последовательными перпендикулярами к оси абсцисс, прини¬
мали равными единице, а потому числа, измеряющие рас¬
стояния этих перпендикуляров от начала координат (абсциссы
точек: Ми М2, М3 и т. д.), соответствовали номерам членов
прогрессии.
Таким образом, целое значение абсциссы какой-либо точки
прямой KL выражает номер некоторого члена прогрессии (1).
Не трудно сообразить, что дробное значение абсциссы ука¬
зывает:
1) на каком участке прямой KL расположена точка, имею¬
щая данную абсциссу;
2) сколько на этом участке расположено точек, соответ¬
ствующих интерполированным членам;
3) которому по порядку интерполированному члену соответ¬
ствует данная точка.
Пусть, например, абсцисса некоторой точки Z, находя¬
щейся на прямой KL, будет 3^-.
Так как
3<3^<4
и так как ОА3 = 3 единицам длины, а ОА4 = 4 единицам
J
Длины, то точка Z расположена на участке М3М4. Участок
Этот, очевидно, разделен на 7 равных частей. Число всех
интерполированных членов будет 6; точка же Z соответствует
5-ому из них по порядку.
Возвращаясь к решению предложенной задачи, видим, что
если требуется вставить между произвольно взятыми
Числами а и Ъ т таких чисел, которые вместе с ними соста-
вляли бы арифметическую прогрессию, то разность последней
°пределится по формуле:
Ъ — а
й =
т-f- Г

184
где Ъ — а разность крайних членов этой прогрессии, а
разность их номеров.	"•	1
В частном случае, когда а и Ъ являются последовать v
ними членами некоторой прогрессии, то
Ъ — а, —г и d =	—	.
» »»-И
ГЛАВА II.
Прямая пропорциональность.
§ 80. Понятие о прямой пропорциональности
Каждый из нас наблюдал, что проволока, натянутая между
двумя столбами (например, телеграфная проволока), не имеет
вида совершенно прямой линии, а отвисает. Это отвисание
сильнее летом и слабее зимой. Происходит оно вследствие
изменения длины проволоки, а последнее зависит от расши¬
рения вещества при нагревании и от сжатия его при охла¬
ждении.
Наблюдая отвисание телеграфной проволоки при различ¬
ных температурах, можно заметить, что удлинение или уко¬
рочение ее находится в зависимости от температуры внеш¬
него воздуха. Да и сама длина проволоки влияет на вели¬
чину ее удлинения или укорочения. Так, более длинная
проволока при тех же температурных условиях удлиняется
или укорачивается сильнее.
Чтобы установить, как влияет изменение температуры
на изменение длины проволоки, нужно удлинение прово
локи относить к единице ее длины.
Пусть при о° длина проволоки будет 1о, а при t° будет
Тогда удлинение проволоки, приходящееся на единиц)
первоначальной ее длины, выразится так:
1—1
Опыт показывает, что —j ° будет величиной перем£
иной-
изменяющейся в зависимости от температуры t.
— 185
Так,
(1)-
и т. д.
Из опыта установлено, что а для каждого вещества есть
величина постоянная. Так, для железа а =0,000012, для
леди а =0,000017, для цинка а = 0,000029.
Величина а назцвается коэффициентом линейного расши¬
рения.
Из таблицы (1) мы видим, что
1)	для последовательных значений t, отличающихся на 1,
значения величины
грессию;
I
составляют арифметическую про-
2)	последовательные значения величины
L — L
I
равны со¬
ответственным числовым значениям переменной величины t,
умноженным на одно и то же постоянное, но произвольно
выбранное (в зависимости от выбора материала для прово¬
локи) число а.
Таким образом, между двумя переменными величинами
lt—l
~-j~— и t устанавливается следующая числовая зависимость
L—1
I
(2‘)
_ _	1. — 1
Обозначая для краткости —через у, получим:
у = at
(2).
р.
1
Формула (2) показывает, что с увеличением (с уменьшением)
°Дной из переменных величин у или t в несколько раз, уве¬
личивается (уменьшается) во столько же раз и другая.
Такие величины называются прямо пропорциональными,
а зависимость между ними, устанавливаемая формулой (2),
взывается прямой пропорциональностью.

— 1S6 —
187 —
Постоянное, но произвольно выбранное число а, цаз
вается коэффициентом пропорциональности. В рассматп
ваемом случае коэффициент пропорциональности равен kov
фициенту линейного расширения.	*
При t~o у —о.
ной
Выше было указано, что если у и t находятся в прямой ноопорциодал
|й зависимости, то с изменением t в несколько раз (в сторону возраст^
пропорциональной зависимости.
Черт. 84.
t—n, то S — па,
ДЗ)-
точк<
где через s ооозначено расстояние, пройденное
а через t — время движения.
Из таблицы (3) видим:	и
1)	Для последовательных значений t, отличающихся на ед
ницу, значения величины s составляют арифметическую
грессию;
ния или в сторону убывания) изменяется во столько же раз и в т0ц „
направлении и у	с
В самом деле, дадим в формуле (2) t последовательно два значения t
a t2 = ntx. Тогда
Ух = atx и у2 = at2 = antx-
Деля второе равенство на первое, получаем:
У 2 ■ Ух = Иг») '• (*f i) = п,
откуда
У2 = пух,
т.-е. с увеличением tx Ъ п раз увеличивается во столько же раз н yt.
Рассмотрим еще пример величин, находящихся в пряыок
По некоторому пути (траектории) равномерно движется
точка М, выходя из своего начального положения Мо (черт.84).
Равномерное движение характеризуется тем, что в равные
промежутки времени движущаяся точка (или тело) проходит
одинаковые расстояния.
Следовательно, скорость равномерно движущейся точки,
т.-е. расстояние, проходимое в единицу времени, будет вели¬
чиной постоянной.
Пусть для данной точки М скорость будет а см в секунду-
Тогда
если г = 1, то s = а,
„ t = 2, то s = 2a,
„ t~ 3, то s = 3a,
:ой
2)	Последовательные значения величины s равны соответ-
сТВенным числовым значениям t, умноженным на одно и то же
пОстоянное, но произвольно выоранное число а.
Отсюда следует, что между переменными величинами s и
устанавливается следующая числовая зависимость:
s = at	(4).
Таким образом, величины s и 1 будут величинами прямо
пропорциональными. Коэффициент пропорциональности в дан¬
ном случае будет а, т.-е. скорость равномерного движения.
При t = o s — o.
В настоящем § мы вели речь о переменных величинах,
находящихся в прямой пропорциональной зависимости.
Но не нужно думать, что между двумя одновременно воз¬
растающими (или убывающими) переменными величинами
всегда существует такая зависимость. Для примера укажем
на связь между ростом ребенка и его возрастом.
Рост ребенка зависит от его возраста и увеличивается
с возрастом, но не пропорционально последнему. .
Так как ребенок при рождении уже обладает известным
ростом, то рассматриваемые величины (рост ребенка и его воз¬
раст) не обращаются одновременно в нуль.
Кроме того, с увеличением возраста в несколько раз рост
не увеличивается во столько же раз.
4 81. Графическое изображение закона прямой пропор¬
циональности.
Возьмем функцию:
у = кх,
№ к постоянное, но произвольно выбранное положительное
число.
Так как с увеличением (с уменьшением) х в несколько
Раз увеличивается (уменьшается) во столько же раз и у, то
Равенство:
y = ltx	(1>
есТь выражение закона прямой пропорциональности,
“^личина к служит коэффициентом пропорциональности.
Полагая в равенстве (1) последовательно
I
х— 1; 2; 3 и т. д.,
0о,1Учим следующие соответственные значения у:
у —к\ 2к; 3к и т. д.

— 188 —
Таким образом для последовательных значений х, отлича^
щихся на единицу, значения функции у составляют ариф^“
тическую прогрессию. А так как закон изменения членп
прогрессии выражается прямой линией ( см. § 74), то граф,,*
рассматриваемой функции будет прямая LL' (черт* 85).
Что касается дробных значений абсциссы, то, согласно §70
соответствующие значения у, определяемые из уравнения (ь
могут быть рассматриваемы, как интерполированные члены
прогрессии, а потому точки, им соответствующие, должны
также лежать на прямой LL'.
Из равенства (1) видим, что при х — о у = о. Следова¬
тельно, прямая LL' проходит через начало координат.
т
№
j
р*/<
! 1 1
1
а
в/ f~i fijt	^	^5*
Черт. 85.
Таким образом, закон прямой пропорциональности сыро _
жается прямой линией, проходящей через начало координат
Выясним теперь графическое значение коэффициента про
порциональности к.
Пусть по прямой LL' равномерно движется точка Л
(черт. 86), исходя из своего начального положения О. ТогД*
проекции ее на оси координат будут тоже перемешатьС
равномерно, исходя из того же начального положения 0■
Пусть движение точки М таково, что проекция ее на ось
имеет скорость, равную единице. В таком случае скоро^
проекции точки М на ось У будет равна к. Отсюда следУ^
что к выражает собою скорость изменения ординаты, т-
скорость подъема точки М в вертикальном направлении-
Обозначая эту скорость через у', будем иметь:
у' = к	•	Л"
— 189 -
из равенства (1) видно, что
к = *~.
х
Следовательно,
У =г
Возьмем еще функцию
(24-
у = кхх,
где к.\>к, и построим прямую, ей соответствующую.
С этой целью продолжим перпендикуляр Ах21х (черт. 86
и отложим на нем отрезок AXNX = кЛ единиц длины. Соединяя
точки О и Ni, получим прямую СС1, соответствующую функции:
у — кхх.
/гол р, образованный этой прямой с осью X, больше угла,
°°разованного прямой LL'. Следовательно, если кЛ > к, то
и Р> а.
Таким образом, угол наклонения прямой, проходящей через
качало координат, к оси абсцисс зависит от величины коэф¬
фициента пропорциональности. В этом смысле коэффициент
пропорциональности к называется угловым коэффициентом
Рямой, выражаемой уравнением:
По
у — кх.
строим теперь график функции:
У = — кх . .
4е ь „
Р положительное
сравнивая
(3),
число.
Тр 	  равенства	(1)	и	(2),	видим,	что	при	одном
же значении х функции (1) и (3) принимают одина¬

— 190 —
191 —
ковые по абсолютной величине значения, но противоположна
по знаку.
Отсюда заключаем, что график функции у =— кх бубщ
прямой линией, симметричной графику функции у=^уЛ
относительно оси абсцисс, а следовательно, и относительна
оси ординат.
Таким образом, прямая, соответствующая функции
y — — lix,
является как бы зеркальным отображением прямой:
и —Jcx.
Упражнение.
Построить графики функций:
у = 3х и у -
■■ — Зх.
ГЛАВА III.
Функция y=kx + n и ее график.
§ 82. Перенесение начала координат.
Возьмем на плоскости точку М (черт. 87), координаты
которой относительно осей I и F пусть будут х и у.
У
I
Выбрав на плоскости точку О' (а, Ъ), примем ее за начал
новой системы осей X' и Y', соответственно параллельны
одноименным осям старой системы.	-
Обозначая координаты точки М по новой системе чер
х', у', найдем соотношение между ее старыми и новы
координатами.
то
Так как
ON= О A -f- AN = О A -J- O'N' = (ж* + а) ед. дл.
I
NM= ШГ + ХМ= АО' + 1ГМ= {у' + Ъ) ед. дл.,
х = х'-|-а и у = у' —|— Ь,
т_е. каждая из старых координат представляет собою
ицЛ-Щ/ одноименной новой координаты и координаты нового
начала по старой системе.
Упражнение
Построить точку Р (— 3; 5), а затем перенести начало
координат: а) в точку (2; —5), б) в точку ( — 7; 4) и опре¬
делить новые координаты данной точки.
§ 83. График функции: у = кх + п.
Рассматривая функцию:
y = Jcx-\-n
мы можем предположить, что
(Г).
1) fc> о	и	п	>	о,
2) fc > о	и	п	<	о,
3) к < о	и	п	>	о,
4) Л < о	и	п	<	о.
Построим графики рассматриваемой функции для всех
этих случаев.
1. к > о и п > о.
Пусть, например, дана функция:
У = Зж-f 2
(1)-
_ Полагая последовательно ж=1, 2, 3 и т. д., получим
^ответственные значения у:
5, 8, 11 и т. д.
Таким образом, для последовательных значений х, отли-
а!°Щихся на 1, значения, у составляют арифметическую
Рогрессию с первым членом 5 и разностью 3.
^ так как закон изменения членов прогрессии выражается
йРям
"Рям
ои линией, то график рассматриваемой функции будет
^мая LL (черт. 88).
а ак как при х = о у — 2, то прямая LL пересекает ось Y
°чке, ордината которой равна 2.

— 192 —
Таким образом, параметр 2 в уравнении (1) выражае
число, измеряющее отрезок, отсекаемый прямою на 0си
ординат, и называется начальной ординатой.
Прямую LL можно построить следующим образом:
Положив х = 1, вычисляют значение у. Построив затея
на оси Y отрезок, равный начальной ординате, проводят
через его конец и через точку (1;5) прямую. Это и будет
прямая LL.
2. к > о и п < о.
Пусть, например, дана функция:
у — За; — 2
0/
£
\
(2)
Черт.
Полагая последовательно
соответственные значения у:
х
'=1, 4, 7 и т. д.
Таким образом, для последовательных значений х, отли¬
чающихся на 1, значения у составляют арифметическую
прогрессию с первым членом 1 и разностью 3. Поэтом'-
график рассматриваемой функции будет прямая Т*
(черт. 88).
Начальная ордината этой прямой — 2.
Способ построения прямой L'L' подобен рассматриваемом)
п. 1.
3. к < о и п > о.
1, 2, 3 и т. д., получи»
— 193 —
Пусть, например, дана функция:
у — — Зх -f- 2
х — 1, 2,
Полагая последовательно
соответственные значения у:
у— 1,-4, —7 и т. д.
Зит. д.,
. . . (3)
получим
Таким образом, для последовательных значений х, отли-
чаюшихся на значения у составляют арифметическую
прогрессию с первым членом—1 и разностью — 3. Поэтому
график рассматриваемой
(черт. 88)
Начальная ордината этой прямой 2.
функции будет прямая L"U
4. к < о и п < о.
Пусть, например, дана функция:
у = — Зх — 2
Полагая последовательно
соответственные значения у:
х -
1, 2, 3 и
	(4).
т. д., получим
У =— 5, — 8, — 11 и т. д.
Таким образом, для последовательных значений х, отли¬
чающихся на 1, значения у составляют арифметическую
прогрессию с первым членом — 5 и разностью 3.
Поэтому график рассматриваемой функции будет пря¬
мая L'”L'" (черт. 88).
Начачьная ордината этой прямой — 2.
Таким образом, при всевоз¬
можных комбинациях знаьов
Щтм< трое к и п функция
У=кх-\~п выражает прямую
■Пшпю, отсекающую на оси
Ч'винат отрезок, измеряемый
'1(слом п.
• Р’фик функции : у = кх-\- п может
’ Ть также получен из графика функ-
, 11 У = кх перенесением начала ко-
Р-^'Нит.
Па
ясним сказанное на примере.
При:
1
3Яна функция: у=Ззо-\-2. Требуется
троить ее график.
мер.
Черт. 89.
°стРоим график функции: у = 3х. Пусгь это будет прямая ZZ (черт. 89).
Элементарная алгебра.	13

— 194 —
195 —
Перенесем нашло координат в точку А (а,о). Обозначая новые коопл
наты через х', у', будем иметь:	и'
х = х' + а.
Заменяя в уравнении: у — Зх старые координаты новыми, получим:
у' = 3 (ж1 + а)
у' — Зх' -f- За.
или
Выберем а так, чтобы За — 2. Определяя из этого условия а, нахо¬
дим: a = 2is-
Уравнение: у = Зх принимает вид:
у' = Зх' + 2.
Таким образом, чтобы получить график функции: J/ = Зге —2, достаточно
построить график функции: у — Зх, а затем перенести начало координат
в точку (2,з, о).
К тому же результату можно было бы притти. перенося начало координат
в точку (о, — 2).
Перенесение начала координат можно заменить параллельным смещением
прямой в сторону, обратную той, в которую переносится начало.
§ 84. Значение параметра к Функции: y = kx-)-n.
Если дана функция: у=кх, то параметр к, как мы видели
выше, характеризует угол наклонения соответствующей
прямой к оси абсцисс, а также скорость изменения ординаты
(функции).
Легко убедиться, что такое же значение имеет к и для
функции
у = кх  	(!)•
Пусть прямая LL' (черт. 90) будет графиком рассматри¬
ваемой функции.
Проведя ВХ' I) ОХ и приняв точку В за начало коорДина ’
получим:
у — п = 1сх
. е у—п будет ординатой некоторой точки if прямой LL по
|2вой системе.
Таким образом, параметр /с, характеризуя угол наклонения
[ ,яМой LL к ВХ', а следовательно, и к ОХ, будет угловым
^эффициентом.
Характеризуя подъем прямой, параметр /с характеризует
Ucre с тем и скорость изменения ордина)ы (функции).
Средняя скорость возрастания или убывания ординаты
■функции) определяется как частное от деления прирашения
|.т0й послетней на соответствующее приращение абсциссы.
I Пусть изменению абсциссы на х2—дт соответствует изме¬
нение ординаты на у2—у\ (черт. 91).
У
Тогда частное:
У-1 — У1
Х2 Хх
"Редставит среднюю скорость изменения данной функции
“ри изменении аргумента от xt до х2.
Так как точки Мх и М-> лежат на прямой LL, то
>1ткУда
у1 = кх1-\-п
у2 — кх2 -(- и,
У2 — yl = k(x2 — Xi)
У2 — ?h
х2 — Xt
■ = t.
г
ta _ аким образом, средняя скорость изменения функции:
71 пе зпви,‘ит 0,11 & 11 еппь величина постоянная,
■ ая угловому коэффициенту (параметру 1с).

— 196 —
§ 85. Эмпирические Формулы.
Эмпирическими называются такие формулы, которые уСт
навтиваюгся на основе опытных данных.	а'
Имея дело с такими формулами, несбходимо помнить, Чт
результаты опытных измерений, положенные в основу j,1
всегда по сциу-тву величины, приближенные.
Поэтому, эмпирические формулы выражают законы явлений
лишь приблизительно.
Приведем пример применения графиков к установлению
эмпирических формул.
Пример.
При помощи ручной лебедки поднимали груз А. При
этом на рукоятку действовала сила В, направленная под
прямым углом к рукоятке. Эту силу измеряли и нашли
следующие значения (табл. X).
ТАБЛИЦА X.
А
0
50
100
150
200
250
300
350
400
В
6,2
7,4
8,3
9,5
10,3
11,6
12,4
13,6
14,5
Спрашивается, какой формулой связаны величины А и Б.
Решение.
Нанесем на миллиметровую бумагу данные, содержащиеся
в таблице X.
Будем откладывать на оси абсцисс отрезки, изображающие
величину груза А, а на перпендикулярах, восставленных
к оси абсцисс из концов этих отрезков, — отрезки, соответ-
ству<шие действующей силе В. При этом выберем сле¬
дующий масштаб: каждые 50 единиц первий строки табл. X
будем изображать 1 сантиметром и каждую единицу второй
строки изобразим также 1 сантиметром.
Тогда между абсциссами и ординатами поручим следуют^
числовое соответствие (табл. XI):
ТАБЛИЦА XI.
| Х
0
1
2
3
4
5
6
7
8,
7
6,2
7,4
8,3
9,5
10,3
11,6
12,4
13,6
14,5
1
Заметим при этом, что х — ^ А — 0,02.4 и у = В.
— 197 —
m т~гт 1 т m г

— 198 —
Построив точки, соответствующие табл. XI. замечаем <
они располагаются почти на прямой линии. Проведем ме#.Т°'
ними прямую так, чтобы она проходила возможно бли
к ним. П>сть это будет прямая LL (черт. 92), пересекают**
ось ординат в некоторой точке В.	?
Между х и у, очевидно, должно существовать соотн
шение:
у — кх-\-п.
В этом соотношении параметры /си п нам пока нещ
вестны. Определим их следующим образом.
Так как при х = о у — 6,2 (см. табл. XI), то
6.2	= 0. к-\-п,
откуда
п = 6,2.
Остается определить к.
Из уравнения: у = кх-\-п имеем:
у—п
к=-
х
или
У-6,2
к-
х
Подставляя вместо х и у из таблицы XI их частные зна- ■
чеиия, получим для к ряд таких значений:
7,4	—6,2
кг = j =1,2;
8,3 —6,2	2,1
1,05;
2 ~ 2
9,5 —6,2	3,3
к3 =——^	=	-3- =1,1;
10,3-6,2	4,1
+ =	-А	= т	=1,025;
11.6 — 6,2	5,4
къ —	g	= -g-	=1,08;
12.4 - 6,2	6,2
*• = ■	— = т=1,03;
13.6 - 6,2	7,4
 т   = -у	=1,06;
14.5 — 6,2	8,3
— 199 —
Таким образом, мы получили для к разные значения,
мало отличающиеся друг от друга. Возьмем среднее
Учение:
1,2 +1,05 +1,1 +1,025+1,08 +1,03+1,06 + 1,04
к—	8	—
8,585
= -g—=1,073.
Подставляя найденные значения к и п в уравнение:
у = lex + п,
получим:
у= 1,073ж + 6,2.
Заменяя в последнем уравнении х через 0,02Л и у через
Д найдем формулу, связывающую величины А и В:
В= 1,073. 0,02^4 + 6,2
или
Б = 0,02146Л + 6,2.
ГЛАВА IV.
Составление и решение системы двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными.
§ 86. Одно уравнение о двумя неизвестными.
Задача 1.
Звук выстрела из пушки проходит 344 метра в секунду
по ветру. Определить скорость звука и скорость ветра
(в секунду).
Решение.
В задаче два искомых числа: скорость звука и скорость
петра.
Пусть скорость звука в неподвижном воздухе будет
У метров в секунду, а скорость ветра х метров в секунду.
Скорость звука по ветру слагается из скорости звука
в неподвижном воздухе и из скорости ветра. Отсюда
Уравнение:
х -\-у = 344.
Нетрудно заметить, что, решая полученное уравнение,
не можем дать на вопрос задачи определенный ответ.

— 200 —
— 201 —
В самом деле, подразумевая, например, под х любые чисда
и вычитая их из 344, мы получим целый ряд соответствую
щих значений для у.
Задача 2
Звук выстрела из пушки проходит 325 метров в секунду
против ветра. Определить скорость звука и скорость ветпа
(в секунду).
Решение.
Пусть скорость звука в неподвижном воздухе будет у
метров в секунду, а скорость ветра х метров в секунду.
Скорость звука против ветра получится, если из скорости
звука в неподвижном воздухе вычесть скорость ветра.
Отсюда уравнение:
у — х = 325.
Решая полученное уравнение, мы не можем дать на вопрос
задачи определенный ответ.
В самом деле, подразумевая, например, под х произволь¬
ные числа и прикладывая их к 325, получим целый ряд
соответствующих значений для у.
Вывод: одно уравнение с двумя неизвестными допускает
бесчисленное множество решений.
§ 87. Система двух уравнений с двумя неизвестными.
Задача 1.
Звук выстрела из пушки проходит 344 метра в секунду
по ветру и 325 метров в секунду против ветра. Определить
скорость звука и скорость ветра.
Решение.
В задаче два искомых числа: скорость звука и скорость
ветра.
Пусть скорость звука в неподвижном воздухе будет У
метров в секунду, а скорость ветра х метров в секунду.
Согласно условиям задачи:
у х = 344 	(I)
- х = 325 	-(2)
У-
В уравнениях (1) и (2), по смыслу задачи у должен имеТЬ
одинаковое числовое значение; то же следует сказать
и об т.
Такая совокупность двух уравнений с двумя неизвестный
называется системой.
решим, эту систему, т.-е. найдем такие числовые значения
дЛя у и для х, которые удовлетворяли бы двум данным
уравнениям.
Складывая уравнения (1) и (2), получим:
2^ = 344 + 325
2 у = 669,
у=334,5.
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), найдем:
ИЛИ
откуда
или
откуда
2а: = 344 — 325
2а; = 19,
а: = 9,5.
J
Итак, скорость звука 334,5 метра, а скорость ветра
9,5	метра в секунду.
Способ, который мы применили к решению системы урав¬
нений ^1) и (2), называется способом сложения и вычитания.
Он применяется тогда, когда в обоих уравнениях коэффи¬
циенты, по крайней мере, при одном из неизвестных будут
одинаковы.
В данной задаче мы имеем	два условия,	послужившие
к составлению уравнений:
1) скорость звука по ветру равна 344 метрам в секунду;
2) скорость	звука	против	ветра	равна	325	метрам
в секунду.
На основании этпх условий мы составили два уравнения,
решили систему и получили на вопрос задачи вполне опре¬
деленный ответ. Но если бы одно из этих условий отсут¬
ствовало, то, как мы видели в предыдущем §, мы не могли
бы дать определенного ответа.
Задача 2.
За 5 метров	сукна	первого	сорта	и 6 метров	второго
сорта заплачено 49 рублей; если же купить 3 метра первого
с°рта и 8 метров второго, то придется заплатить 47 рублей.
Определить стоимость метра сукна каждого сорта.
Решение.
Пусть стоимость метра сукна первого сорта будет х руб-
'1ей, а стоимость метра второго сорта у рублей.
Согласно условиям задачи будем иметь:
5ж-(-6?/ = 49	(1)
З.с + 8 i/ = 47	(2),

где Ъх и Зж выражают стоимость первого сорта соответ¬
ственно в первом и во втором случае, а 6у и 8// выражав
стоимость второго сорта соответственно в первом и во вто
ром случае.
Применить	способ вычитания непосредственно	к	систем
уравнений	(1)	и	(2)	нельзя, так как коэффициенты	при однсц,
и том же неизвестном в обоих уравнениях различны.
Уравняем коэффициенты при у в обоих уравнениях.
С этой целью, найдя общее наименьшее кратное коэффи.
циентов при у, умножим уравнения (1) и (2) на соответ-
ствующие этим коэффициентам дополнительные множители
получим:
20ж+24у=196	(р).
9ж + 24^ = 141	(2i)‘
Из уравнения (I1) вычитаем уравнение (21):
20ж — 9х = 196 — 141
11ж = 55,
х=5.
го-1
или
откуда
Подставляя, например, в уравнение (1) найденное значе¬
ние х, получим уравнение с одним неизвестным у:
25 + Ъу = 49.
Решим это уравнение:
Ьу = 49 - 25,
6у = 24,
У = 4.
Итак, метр сукна первого сорта стоит 5 руб., метр вто¬
рого 4 руб.
Задача 3.
Если два тела, находящиеся на расстоянии d метров,
будут двигаться навстречу одно другому, то столкнуто0
через п секунд; если же второе тело будет догонять первое,
то столкновение произойдет через т секунд. Определить
скорость каждого тела (в секунду).
Решение.
Пусть скорость первого тела будет х метров, а второго У
метров в секунду.
Еслп тела, находящиеся на расстоянии d метров, будут
двигаться навстречу друг другу, то, согласно условиям
задачи,
nx-\-ny — d	(1),
и пу расстояния, соответственно пройденные до встречи
первым и вторым телом в отдельности.
Если тела будут двигаться по одному направлению, то,
согласно условиям задачи:
тх — ту = d
(2),
где тх и ту расстояния, соответственно пройденные до
встречи первым и вторым телом в отдельности.
Систему уравнений (1) и (2) можно было бы решить спо¬
собом сложения и вычитания, уравняв предварительно
коэффициенты при одном из неизвестных.
Но мы применим к решению данной системы другой
способ.
Принимая у за величину известную, перенесем в уравне¬
ниях (1) и (2) члены, содержащие у, в правую часть с обрат¬
ными знаками; получим:
nx = d — пу,
mx = d-\-my,
откуда
х
х
=йицу	(П),
п
= d±mM	(20-
т
I
Отсюда следует, что
d — пу d-\-my
п	т
Получим уравнение с одним неизвестным. Решим его
md — тпу nd + тпу
пт	тп	’
md — тпу = пй -J- тпу,
md — nd — 2 тпу;
(т — п) d
У —
2тп
(3).

— 204 —
Подставляя полученное для у значение в формулу (In
или (21), найдем значение для х	'
х
d~ny d	 d	(т — n)d 2 md — md -f - nd
?i У n 2 mn	2///И
n
,  md-f-nd  {m-\-4i)d
2mn	2md
или
x
 d-\-my t? ,	 d	(m — n) d __ 2nd -f- md—nd
m	2	mn	—	2	mn ~
 md-\-nd (m-\-n)d
2 mn	2	mn
Прием, которым мы воспользовались при решении данной
системы уравнений, называется способом сравнения.
Задача 4-.
Сумма цифр искомого двузначного числа равна s. Если
цифры этого числа переставить, то полученное число будет
больше искомого на г. Чему равно искомое число?
Решение.
Пусть искомое двузначное число содержит х десятков
и у единиц. Обозначая его через п, получим для него
следующую формулу:
п — \9x-\-y.
Согласно условиям задачи
x-\-y — s
(D-
Если цифры искомого числа переставить, то полученное
число щ выразится так:
ni = \0y-\-x.
Согласно условиям задачи разность Wi — п равна г. Отсюда
уравнение:
10 у-\-х—(10а7-\-у) — г.
В последнем уравнении раскрываем скобки и делаем при*
ведение подобных членов:
Юг/-fa; — 10а; — у = г;
9у — 9х = г . . .
(2)-
— 205 —
Таким образом, мы получили следующую систему урав¬
нений:
ar-f y = s	(1),
9 у — 9a: = r	(2).
решим эту систему.
Принимая х за величину известную, перенесем в уравне¬
нии (1) х в правую часть t обратным знаком:
y = s — х
и полученное выражение для у подставим в уравнение (2):
9(s — х) — 9х — г.
Получим уравнение с одним неизвестным. Решим его:
9s — 9а: — 9а: = г;
9s— 18а: = г;
— 18х — — 9s -|- г;
18а: = 9s — г;
9s — г
х =
18
п = \0x-\-y-
Подставляя полученное для х значение в равенство:
y — s — х, найдем значение для у:
9s — г 18s—9s 4-г 9s + г
у = S — х = s	=	■	—— = — — •
у	18	18 18
Таким образом, искомое число п выразится так:
10(9s — г) . 9s + r 90s — 1 Or -f 9s -\-r _
18 18~ “ 18 _
99s — 9?-	11s—r
~ 18 _ 2
Прием, которым мы воспользовались при решении данной
системы уравнений, называется способом, подстановки.
Рассмотренные примеры приводят нас к следующему
выводу: каждое уравнение первой степени с двумя неизвест-
ньши путем постепенных преобразований может быть при¬
едено к виду:
ах-\-Ьу = с.
Преобразования эти состоят в следующем:
1)	если в уравнении есть скобки, то их раскрывают;

— 206 —
2) все члены уравнения приводят к общему наименьщеь.
знаменателю и отбрасывают его;	^
3) члены, содержащие неизвестные, собирают в одн0й
какой нибудь части уравнения, а члены не содержащий
неизвестных, собирают в другой части;
4) в каждой части уравнения делают приведение подобны»
членов.
Если после всех упомянутых преобразований уравнение
содержит не только члены нулевого и первого измерения
относительно неизвестных х и у, но также и члены высшего
измерения, то оно будет уравнением степени выше первой
Степень уравнения определяется тем его членом, который
имеет высшее измерение.
Так, уравнение:
аху -\-Ъх су = d
будет уравнением второй степени, потому что высшее изме¬
рение относительно х и у имеет член аху, т.-е. член второго
измерения.
§ 88. Графическое изображение зависимости между
У их, выражаемой уравнением: ах + Ьу = с.
Дано уравнение:
ах-\-Ъу — с
(1).
Если в этом уравнении рассматривать х, как независимую
переменную, то у будет функцией х, так как каждому
произвольно взятому числовому значению х соответствует
вполне определенное числовое значение у.
Полагая последовательно в данном уравнении ж = 0; 1;
2; 3 и т. д. и вычисляя соответствующие значения для у,
получим:
II
о
о
У — —
У Ъ’
•3
II
с — а
у —
у Ъ
II
5 J43
с — 2 а
у —
Ъ
с — За
X = 6,
| Л
II
%
(2).
х = к, у —
и т. д.
с — ка
Ъ
— 207 —
"Таким образом, для последовательных значений х, отли¬
вшихся на 1, значения у составляют арифметическую про¬
грессию.
Поэтому зависимость между у и х, данная в форме
ф1вн(ним: ах-\-Ъу = с, графически выражается прямой,
uiHueii (черт. 93).
' Согласно § 79 каждое значение у, заключающееся в одном
йз промежутков табл. (2) и удовлетворяющее л равнению (1),
ложно рассматривать, как один из интерполированных чле¬
нов арифметической прогрессии. Поэтому, каждому произ-
нольно взятому значению х и соответствующему значению у,
определяемому из уравнения (1), должна соответствовать
точка на прямой LL'.
Выясним значение коэффициентов а, Ъ и с в уравнении (1).
Если в данном уравнении положить у — о, то соответствую¬
щее знач ние х выразит чисто, измеряющее отрезок, отсе¬
каемый прямою на оси абсцисс; если же в данном уравнении
положить х~о. то соответствующее значение у выразит
чисто, измеряющее отрезок, отсекаемый прямой на оси
ординат.
Поэтому, обозначая чиста, измеряющие отрезки, образуе¬
те на оси абсцисс и ординат соответственно через т и п,
будем иметь:
С	с
т = — и п — т--
а	Ъ
Таким образом, частное от деления свободного члена (г)
Уравнения на коэффициент при каком-нибудь п>ременном
вЩ>а.)н си т число, изюряюиуе отрезок на соответствен-
ч осн.
ПотьзуяСЬ этим свойством, легко построить прямую, соот-
Ветствующую данному уравнению.

— 208 —
Пример.
Построить прямую, соответствующую уравнению:
2х-\-Зу = 6.
Найдем отрезки, образуемые ею на осях координат;
т = 6:2 = 3 и п — 6: 3 = 2.
Зная отрезки, легко построить прямую.
Решая уравнение (1) относительно у получим:
а . с
Ч=~ъх+ъ■
Следовательно, — ^ выражает угловой коэффициент прц.
мой, соответствующей уравнению (1).
Обозначая его через /с, будем иметь:
Тс — -
А- ъ.
§ 89. Графическое решение системы двух уравнений
первой степени.
Дана система уравнений:
ах = by = с	(1),
«1» + buij = ci	(2).
Решить	эту систему значит найти такие	числовые	значения
для	х	к	у,	которые	удовлетворили	бы	обоим	уравнениям
одновременно.
Вообще говоря, при одном и том же значении х, у имеет
различные значения для обоих у:авнений.
Принимая значения х за абсциссы точек прямых, соответ¬
ствующих уравнениям (1) и (2), и решая систему этих
уравнений, мы должны, следовательно, найти одинаковые
значения абсциссы и ординаты дня обеих прямых.
Отсюда следует, что реииния системы, уравнений (1) и (2)
представляют собою коороинаты, точки пересечения пря¬
мых (1) и (2).
Поэтому, графическое решение данной системы привод^
к построению прямых (1) и (2) и нахождению координаг
точки их пересечения.
Пример.	м
Решим графически систему уравнений:	i-
Зх - 5// = 4,
х-\-2у — 5.
1
решение.
Построим прямые, соответствующие данным уравнениям.
Полагая в обоих уравнениях последовательно х = 0
йя=1, получим для у следующие значения:
при х = 0 при х = 1
Из первого уравнения у = — 0,8; у — — 0,2;
Из второго уравнения у= 2,5; у = 2.
Таким образом, для проведения прямых, соответствующих
данным уравнениям, мы имеем две пары точек:
для первой прямой: (0; — 0,8) и (1; — 0,2);
для второй прямой: (0: 2,5) и (1; 2).
Черг. 94.
I
Проведя через первые две точки прямую КК' (черт. 94),
а через последние две прямую LL', получим точку пересе¬
чения их М, координаты которой и будут решениями данной
системы уравнений.
f 90. Исследование системы уравнений первой степени
с двумя неизвестными
Возьмем систему двух уравнений с буквенными коэф¬
фициентами:
ах-\-Ъу = с \	ш
а1х-\-Ъ1у~с1 /	v '
ь
Найдем общую формулу решений.
Элементарная алгебра.
14

-г,о-
Умножим первое из уравнений системы на Ьи а второе!
на Ъ; получим:
abxx-\-bbxy — bxc 1
aibx-\-bbty — bci }
— 211 —
В самом деле, из условия :abt—aj) = 0 имеем:
Вычитая из первого уравнения второе, находим:
(abl — я ib) х = Ъхс — Ъси
Ь,с — Ьсх
Откуда
х —
abx—Oib
(2).
Умножим первое из уравнений системы (1) на аи а вто¬
рое— на а; получим:	I
aa1x-j-alby = aic 1
аахх-\-abxy — aci j
Вычитая из второго уравнения первое, находим:
(abi — «1Щ У = асх — ахс,
асх — ахс
{
откуда
У =
аЪх — ахЪ
(3).
abi = aib;
abi __ atb
bbx bbi’
a
b
a
b
<h_
bi;
«i
V
Выше мы видели, что решения системы (1) выражают
координаты точки пересечения прямых:
ах-\-Ьу = с и aiX-\-bxy = Ci.
a	q,
Но — — есть угловой коэффициент первой прямой, а
о	bi
угловой коэффициент второй прямой.
Из равенства угловых коэффициентов следует параллель¬
ность прямых.
Таким образом, если коэффициенты при переменных
в уравнениях (1) пропорциональны, то система (1) не имеет
решений; графически это выражается тем, что прямые,
соответствующие уравнениям (1), как параллельные, не
пресекаются.
Допустим теперь, что при abi — atb = 0 обращается в нуль
и один из числителей дробей (2) или (3).
Пусть, например, biC — bci = 0.
Не трудно показать, что в таком случае и асх — aiC = 0.
В самом деле, из равенства abi—ахЪ — 0 следует, что
Й!= [м и bi — ;j.b, где коэффициент пропорциональности,
j А так как Ь,с — Ьсх — 0, то jj.be - bci = 0, откуда Ci = jic.
Замени ai и fi в выражении: aci— ахс соответственно
через jia и jj-c, получим:
aci — aiC = jxac — jiac = 0.
Таким образом формулы (2) и (3) принимают вид:
Исследуем полученные формулы решений.	!
Допустим, что коэффициенты а, Ъ, ах и Ъх выбраны так,
что abi—ахЪ — 0; для этого, очевидно, достаточно положить
ах — \ш и bi = jj-Ь,
где jj. коэффициент пропорциональности.
Пусть при этом aci — а,гф0 и Ъсх — btc ф0.
Тогда формулы (2) и (б) примут вид:
[
f
biC — bci
х = Q и у-
ас 1 — ахс
0 Г
х ■
0
о
J Выражение:	будет	неопределенным,	так	как	может рав-
Ияться любому числу.
Следовательно, данная система уравнений не имеет опре-
I Пленной пары решений, а допускает оесчисленное множество
Решений.
( Легко убедиться, что в рассматриваемом случае прямые,
Соответствующие уравнениям (1), совпадают.
Действительно, из условий:
Так как деление на нуль не имеет смысла, то система (	|	следуй	что
не имеет решений.	е
Легко убедиться, что в рассматриваемом случае прямы •
соответствующие уравнениям (1), будут параллельны.
ai = fJY7, bt
а,  а
bi	b	bi
jib и Ci = jj-c
Cl с

— 212 —
Прямые имеют одинаковую начальную ординату в одод!
новый угловой коэффициент, т.-е. совпадают.
Таким образом, если коэффициенты одного из уравцеНщ
системы (1) пропоргцюнальны соответственным каэффцщ
ентам другого уравнения, то система (1) допускает ад
численное множество решений', графически это выражаем
тем, что прямые соответствующие уравнениям (1),
дают и, следовательно, люСую их точку моэюно приняпц
за точку их пересечения.
Решим следующую задачу.
Задача.
Два курьера едут по одному направлению со скоростям
а и Ъ километров в час. В некоторый момент первый
курьер находится в месте А, а второй — в месте В, на рас-
стоянии О А —с километров и OB — d километров от неко¬
торого места О. Узнать, на каком расстоянии от места О
и через сколько часов от вышеуказанного момента про-
изойдет встреча.
Решение.
Пусть встреча произошла через у часов после указанного]
в задаче момента на расстоянии х километров от места Ot
Черт. 95.
Обозначая место встречи через С, выразим, как функцию а!]
его расстояние от А и В (черт. 95).
Из чертежа видно, что
АС— ОС—0.4 = {х — с) километров,
и ВС = ОС — ОВ = (х — d) километров.
Так как встреча произошла через у часов, считая от тог?
момента, когда первый курьер проезжал через место 2
а второй через место В, то зная скорости курьеров,
определить пройденные ими расстояния за у часов:
АС=ау километров и ВС=Ъу километров.
Отсюда система уравнений:
х — с — пу 1	х ау — с )	...(*■
х — d — by j или- x-by = dj
— 213 —
Решим эту систему:
as — ay-j-c I ay-{-c = by-\-d I (a — b)y — d — c
x=by-\-d j ay—Ъу — d—с |
d — с
У =
■	d — с .
x^=.ay-\-c=za	—1— с -
a — b
Итак,
a — b’
ad -ac-\-ac — be ad — be
a — b	a	—	b
x -
ad— be
V
a — b
_d — с
a — h
(5)
(6)
Черт. 96.
При исследовании полученных решений следует рассмо-
тРе?ь следующие случаи:
1) а > Ъ; d>c\
2) «>&; й<с; ad>bc;
3) а >6; й<с; ad<bc;
4) я<Ь; <2>с; ad^>bc;
5) o<6; d>c; al<.bc;
6) a < b\ d<c;
7) a = b; d— c;
8) a = &; d=}= c.

— 214 —
Найдем решение данний системы, полагая
о = 5, 6 = 4, с = 2 и d = 3.
Уравнения (4) для этого случая примут вид:
х—5у = 2;
х — 4 у
=1!}
(4')
Построив прямые КК' и LL' (черт. 96), соответствующе
уравнениям (4'), найдем координаты точки их пересечения:
х = 7 и у= 1.
Подставляя числовые значения коэффициентов аи Ьи е и
в формулы (2) и (3), получим тот же результат.
Упражнение.
Исследовать формулы (5) и (6) для следующих значений
букв (табл. XII), сопровождая каждый раз аналитическое
решение графическим.
Выяснить смысл полученных решений.
Табл. XII.
a
6
6
5
5
5
5
6 1
1
1 Ъ
5
5
6
6
6
5
6 1
с
7
7
4
6
7
4
4
d
6
4
7
7
4
4
7 1
§ 81. Система трех уравнений с тремя неизвестными
Пример.
Решить систему уравнений:
Ъх—2 у -f- 2z = 14.
2х-\-4у— Зг= 1.
4ж-|-6^— 2z — 16.
С
.(2)
.(3).
Решение.
Систему трех уравнений с тремя неизвестными привеДУ-
к системе двух уравнений с двумя неизвестными х и у-
Для этого нужно исключить z.
— 215 —
Складывая уравнения (1) и (3), получим:
9ж-Иг/ = 30	(4).
Уравняем	коэффициент при z в уравнениях	(1)	и	(2).	Для
этого первое уравнение умножим на	3, а	второе	на	2:
15х— 6г/-}-6г=42;
4х-\-8 у — 6г = 2.
Складывая эти уравнения, находим:
19х +2^ = 44.	. -	(5).
Решим систему уравнений (4) и (5):
9х 4у = 30,
19ж-|- 2у = 44.
Умножим второе уразиение на 2 и из полученного уравне¬
ния вычтем первое:
38ж —(— 4jу — (9х -J- 4 у) = 88 — 30;
38ж -f - 4 у — 9х — 4у = 58;
29ж = 58;
ж =58:29 = 2.
Полученное значение х подставляем в уравнение (4):
9 -2-\- 4у = 30;
18	4	г/	=	30;
4г/ = 30 —18;
’ 4у— 12;
у= 12:4 = 3.
Полученные значения х и у подставляем в уравнение (1):
5-2 — 2 • 3 + 22= 14;
Ю— 6 + 2s = 14;
4 —}— 2s = 14;
2г= 14 — 4;
2^= 10;
s = 5.

ГЛАВА V.
Уравнение прямой.
§ 92. Замечание.
До сих пор нам приходилось производить графические
построения по данному уравнению.
Мы видели, что уравнения вида;
у — кх-\-п и ах-\-Ъу — с
при геометрическом толковании выражают прямую линию,
расположение которой относительно координзтных осей нахо¬
дится в зависимости от абсолютной величины и знаков пара¬
метров к и 71 или а, Ъ и с.
Таким образом, получавшиеся графики являлись конкрет¬
ным содержанием, которое вкладывалось в данную алгебраи¬
ческую форму.
В настоящей главе мы ставим себе обратную задачу, именно,
имея график (прямую линию), будем искать соответствующее
ему уравнение.
§ 98. Уравнение прямой, пересекающей оси координат.
Дана прямая LL', пересекающая оси координат и обра¬
зующая на них отрезки:
ОА — т единиц длины
и
ОВ = п единиц длины.
Требуется найти соответствующее ей уравнение.
Возможны четыре случая взаимного расположения прямой
и осей координат.
1.	Прямая LL', пересекая оси координат, образует на них положи¬
тельно направленные отрезки.
Возьмем на прямой LL' какую-нибудь точку Ы (х, у)-
Координаты точки, произвольно выбранной на прямой,
изменяются в связи с переменой положения точки, почему
называются текущими координатами.
Соотношение между текущими координатами прямой спра¬
ведливо для всех точек данной прямой и называется уравне¬
нием данной прямой.
— 217 —
установим это соотношение для данной прямой.
Тачка М расположена между 7почками Ли В (черт. 97).
Площади трапеции BOMiM, треугольника AM Mi и тре¬
угольника АОВ выражаются так:
пл. BOMiM — ^(у-{-п)х кв. единиц.
пл. AMMi = ^(т — х) у кв. единиц.
пл. А0В = ~7ПП кв. единиц.
•V*
•Л.
Гак как
то
или
откуда
Черт. 97.
ал. BOMMi -Г пл. AMMi = пл. АОВ,
\{у-\-п) + \{т — х) у — Шп,
ху-\-пх-\-ту — ху—тп,
пх -{- ту = тп.
Деля обе части последнего равенства на тп, получим:
ПХ	7пу _7ПП
тп тп тп
или
*+» = !.   (1).
т 1 п
б)	Точка М расположена за точкой В. (черт. 98).
Пусть х = — Xi, где хх существенно положительное число.
Расстояние между точками А и Ми очевидно будет
m-\-Xi единиц длины.
Из чертежа видим, что
ггтт Л ММ.— пл ММ.ОТ} —пл. АОВ

218
или
откуда
или
Так как
то
\(m-\-Xi)y — 1 (п -\-у)хх = y тп,
ту -j- Х1У — пхг — хл у = тп
— пх j -f- ту = тп.
х — — хи
хг = —х
Поэтому
или
откуда
■п(—х)-\-ту = тп
пх-\-ту — тп,
*4^=1.
т 1 п
Таким образом, соотношение (1) остается в силе и для
точек прямой LL', расположенных на участке BL',
в)	Точка М расположена за точкой А (черт. 99).
Пусть у=. — уи где уг существенно положительное число-
Построим треугольник AM'Mi, равный треугольнику АММу
Тогда
пл. ВОМ'Му пл. AM'Mi = пл. ЛОВ.
или
откуда
или
у (2Л+«) (2 те—®)4-у (x — m)tji=~mn,
2tmji -f- 2 mn — хуг — пх -\- хуг — myx — mn
— nx-\- myx -j- 2mn — mn;
— nx -|- myx — — mn;
nx — m?ji — mn.
— 219 —
Так как
го
a потому
V = — Уи
VI = — У>
пх — т• (— у) — тп;
пх-\-ту — тп;
— 4-^ = 1.
т п
Соотношение (1) остается в силе и для точек прямой LL\
расположенных на участке AL.
Таким образом, если прямая LL', пересекающая оси коор¬
динат, образует на них положительно направленные отрезки,
то для всех ее точек существует соотношение:
-4-1 = 1
m п
(1).
2.	Прямая LL', пересекая оси координат, образует на них отрица¬
тельно направленные отрезки (черт. 100).
Пусть числа, измеряющие отрезки ОА и ОВ, будут соот¬
ветственно:
т— — nii
1:
п — — щ,
где т, и щ числа существенно положительные.
Так как
пл. MMxOB-\-\in. AM Mi = пл. АОВ,

— 220 —
то
у Wi + Щ) ХЛ + у (пц — хх)ух — ~ тхпъ
где .щ и yt абсолютные значения координат точки
Упростим полученное равенство:
Х1У1 + nxxt +	—xvyx = тхпх,
п1х1Агт1у1=т1п1.
Так как
х — — х1г	т — — ггн,
У — — У\	п = — «1,
т*
М
Поэтому
(— п) (—X)
или
откуда
Черт. 100.
}- ( т) ( у) = (-
«ж 4“ тУ — тп<
* + »=!.
т 1 и
-?»)(—»)
I
Мы брали точку М на участке АВ.
Не трудно убедиться, что полученное соотношение оста¬
нется справедливым и для точек, находящихся на участка*
BL' и АВ.
3. Прямая LL', пересекая оси координат, образует на оси абсцисс
отрицательно направленный отрезок, а на оси ординат положительн®
направленный отрезок (черт. 101).
Пусть числа, измеряющие отрезки ОА и ОВ, будут соот¬
ветственно т — — mi и п, где тл и п числа существенно
положительные.
— 221 —
Так как
«л. ММхОВ-\-пп. АММг = пл. ЛОВ,
\ (у + я) хх + \ (тх — хх) у = Y^hn,
где *i абсолютное значение абсциссы точки М.
, Упростим полученное равенство:
Так как
то
Поэтому г
или
Отсюда
ж,у -j- пхх -j- тху — a?iу = тхщ
nxi-\-mxy = min.
У
т——тх и х=—хъ
тх——т и Ху ——х.
«
п(—as) —J—(—т )у = (—т)п
—пх—ту = — тп\
пх-\-ту—тп.
*+^1.
т 1 п
м
Мы брали точку М на участке АВ. Не трудно убедиться,
что полученное соотношение останется справедливым и для
т°чек, находящихся на участках BL' и AL.

222
4. Прямая LL', пересекая оси координат, образует на оси абсцисс
положительно направленный отрезок, а на оси ординат отрицательно
направленный отрезок (черт. 102).
Пусть числа, измеряющие отрезки ОА и ОВ, будут т
и ” = — пи где т и «1 числа существенно положительные
1<1к как
пл. ММ1ОВ->гпл. АММ1 = пл. АОВ,
то
у (^i+»i)® + х) yi = Ymnu
Черт. 102.
Упростим полученное равенство:
Так как
то
Поэтому
или
Отсюда
Щ)\ + П\Х -Т ту 1 — хух = тпи
п1х-\-ту1=тп1.
п — — щ и у = — уи
п , = —п и у1 = —у.
(— 7!)z-fffl (— у) = т (— п)
— пх — ту — — тп
пх -f- ту = тп.
г
J
— 223 —
брали точку М на участке АВ. Не трудно убедиться,
'т0 полученное соотношение остается справедливым и для
4 чек, находящихся на участках BL' и AL.
Т обобщая все сказанное, видим, что для любого положения
1рЯмой, пересекающей оси координат, существует следующая
зависимость между ее текущими координатами:
- + 1 = 1.
ш 1 п
где тип числа (относительные), измеряющие отрезки, обра¬
зованные прямой на осях координат.
Эта зависимость будет уравнением прямой.
Следствия.
1) Освобождая уравнение:
- + £=1.
т т
от знаменателей, будем иметь:
пх-\-ту = тп	(2')
Таким образом, уравнение прямой, пересекающей оси коор¬
динат, может быть представлено в виде:
ах-\-Ьу = с	(2).
2) Перенося	в	уравнении (2') пх в правую	часть	с	обрат¬
ным знаком	и	деля	обе части уравнения	на	да,	получим:
л?
у —	х~{~п	(3'),
а	т ‘
или
у — кх-\-п	(3).
где к =— — будет угловым коэффициентом.
Пример.
Напишем уравнение прямой, образующей на осях коорди¬
нат отрезки:
да = 3 и п — —12.
Решение.
Уравнение прямой будет следующее:
-А	-— = 1
3	(- 12)
или
1
3	12“

Освобождая последнее уравнение от знаменателей, монщ,
представить его в таком виде:
4х—у— 12.
Наконец, перенося 4х в правую часть с обратным знаке*
и изменяя перед всеми членами уравнения знаки на обрат
пые, получим:
у—4х—12.
Угловой коэффициент прямой будет равен 4
s 93-а. Уравнение прямой, параллельной одной из осей
координат.
Пусть КК' (черт. 103) будет прямая, параллельная ос»
ординат и находящаяся от нее на расстоянии т.
Для любой точки этой прямой абсцисса, независимо от вели¬
чины ординаты, должна равняться т.
У
L
к
	Jj
В
т.
п
п. -п
А
о\
К'
Черт. 103-
Следовательно, х = т будет уравнением прямой, парал¬
лельной оси Y.
В частном случае т может равняться нулю, и тогда х=®
будет уравнением оси ординат.
Пусть LL' будет прямая, параллельная оси абсцисс и нахо¬
дящаяся от нее на расстоянии п.
Для любой точки этой прямой ордината, независимо от вели¬
чины абсциссы, должна равняться п.
Следовательно, у — п будет уравнением прямой, парал"
лельной оси X
В частном случае п может равняться нулю, и тогда ?/=* ^
будет уравнением оси абсцисс.
— 225 —
8 84. Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей через две
даНные точки.
решение.
Даны две точки: А(х1г у,) и В(х2, 1/2).
Возьмем уравнение прямой, решенное относительно орди-
|’атЫ'	y — ltx-\-n	(1).
В этом уравнении коэффициенты /с и п нам пока неизвестны.
Так как прямая проходит через точки А и В, то коорди¬
наты этих точек должны удовлетворить уравнению прямой:
Vi = lex 1 -j- п	 . (2).
у 2= кх% п	 ... (3).
Вычтем равенство (3) последовательно из равенств (1)
ч (2); получим:
у — у2 — 1с (х—х2),
У\ — Уг = Ъ (Хг—Хг).
Первое из последних двух равенств разделим на второе:
У—	Ь х —х2	..
Yl — у2 X! — Хо *
Полученное уравнение и будет уравнением прямой, про-
«одящей через точки А и В, так как координаты точек
4 и В удовлетворяют этому уравнению.
В частном случае, когда точка (х2, у2) представляет начало
координат, ж, = 0 и у2 — 0, а потому уравнение (4) прини¬
мает вид:
У\
Уравнение (4) можно представить в другом виде.
Для этого сделаем следующие преобразования:
У\ —1/2	,	.
И—У2 — “	~ *	(ж	Яг);
У1 — У2	' ,	У\—Ш	„
х -J- у2 —-	—	•	х2.
Xi — Х2	Я'1—х2
Уг — У’Л | Я\У2 — -Г2У2 + х2у2
U ■—	•	Х-\~-	;
.x'j СС2	*^2

Xj — Хг	X,—х2
1ЙЯ алгебра

Таким образом, угловой коэффициент к прямой, проход
щей через точки (хи ух) и (ж2, у2) и начальная ее ордййа”*
и представляются соответственно так:	а
«с У1 У2
Xi — хг	 *	$')
	(5')
Если положить ж2 = 0 и у2 = 0, то формулы (5') и (5*)
принимают вид:
7с = — и п = 0.
хх
ГЛАВА VI.
Геометрическая пропорция.
§ 95. Пропорция; основное свойство ее членов.
Равенство вида:
7/ Я?	г
—= — (1) или у.ух=х:х! . . .	(П-
Уг
называется геометрической пропорцией.
Принимая х и у за переменные величины и сравнивая
равенство (1) с уравнением прямой, проходящей через начало
координат и точку (хи ух), видим, что равенство (1) выра¬
жает прямую пропорциональную зависимость между у » х-
Обозначая — через к	(откуда ух = 7c.r0, найдем	я
хг	Я
у = 1(Х.
Величина к будет коэффициентом Пропорциональности-
Выражения:	составляющие	пропорцию,	назы»3
ются отношениями.	цйц,
Числа: у и хх называются крайними членами пропор
а числа ух и х — средними ее членами.
— 227 —
Перемножая равенства: у = кх и кхх=ух и сокращая
я0лученный результат на к, найдем что
*1У —
ь.е. во всякой пропорции произведение крайних членов
равно произведению средних.
Во всякой пропорции, очевидно, можно переставлять:
[) средние члены, 2) крайние члены и 3) крайние на место
средних, так как такая перестановка не нарушает равенства
между произведением крайних членов и произведением
средних.
Пример.
Дана пропорция:
12:4 = 21:7.
Переставляя средние члены, получим:
12:21 =4:7.
Переставляя крайние члены в обеих пропорциях, найдем:
7: 4 = 21:12,
7:21= 4:12,
Наконец, переставляя крайние члены на место средних
и наоборот, во всех полученных пропорциях и в данной
будем иметь:
4:12= 7:21,
21:12= 7:4;
4: 7 = 12:21,
21: 7=12: 4.
Так как произведение крайних и произведение средних
во всех полученных пропорциях выражается одним и тем же
числом, то полученные пропорции верны.
Пропорция, в которой средние или крайние члены оди¬
наковы, называется непрерывной, а общий двум отношениям
Член называется средним геометрическим или средним про¬
порциональным.
Так, пропорция:	^
а х
будет непрерывной, а член а — средним пропорциональным.
Если в этой пропорции взять произведение крайних членов
й произведение средних, то
а2 = ху,
,-~е. квадрат среднего пропорционального равен произведе-
чию неравных членов пропорции.

й 96. Свойство равных отношений.
Пусть нам дано несколько равных отношений:
У4__Уг_Ш__У4 _?/Б
00 у	С&2 Хз 0С\
Обозначая каждое из данных отношений через 4. буде»,
иметь:
Ух — кхи
У 2 — 1СХ2,
Уз = кхз,
У4 =
уъ=кхъ.
Складывая полученные равенства, найдем:
Vi -f-УгЧ-Уз-f-У4-j-Уъ = к(#i -\-X2-\-xa-\-X4-J- яг4),
откуда
Уг Ч~ Уг Н~ Уз -\-У4~\~Уь
flJj -j- Х2 -)— Х2 —j- Х4 -|— х$
а следовательно,
У\ -\~У7-\-Уз-\-у4,-\-Уъ th_	Уг^	ш	Уь	t
Х\ I Х2 —J- х2 -J- Ж4 —|— х$	Х\	Х2	х-з	Х4	Х{,
Таким образом, сумма предыдущих членов равных отно¬
шений так относится к сумме последующих, как один
из предыдущих членов относится к своему последующему^ш
§ 97. Производные пропорции.
Дана пропорция:
^- = — . ... (1)
Уг
Пусть к будет коэффициентом пропорциональности
Тогда
У4 = fcci	ll	I
и
у2 — кх2	С1	г
Сложив равенства (Г) и (Г) и разделив полученный
результат на равенство (Г), найдем: '
Уг + Уг кхг + кх.
т _е. сумма членов одного отношения так относится
О предыдущему члену, как сумма членов второго отноше¬
ния относится к своему предыдущему.
Сложив равенства (Г) и (Г) и разделив полученное
равенство на равенство (Г), найдем:
У1-\-У2_ кхг-\-кх2
у2	кх2
ил к
У4 ~Г Уг Х\ —|—Д?2	ygv
Уг	х2	h
r.-е. сумма членов одного отношения так относится
к последующему члену, как сумма членов второго отноше¬
ния относится к своему последующему.
Вычитая из равенства (Г) равенство (Г) и деля получен¬
ный результат на равенство (Г), найдем:
У1—Уг_^1 — кх2
Уг	kxi
или
У4 — Уг_Я\—Яг
xt
.... (4),
г.-е. разность членов одного отношения так относится
• предыдущему члену, как разность членов второго отно¬
шения относится к своему предыдущему.
Вычитая из равенства (Г) равенство (Г) и деля получен¬
ное равенство на (1"), найдем:
ух — у2 кхх — кх2
Уг	кх	2
нли
Уг Уг 3^1 Хг
Уг ~ Х2 '	*
г--е. разность членов одного отношения так относится
*" последующему члену, как разность членов второго отно¬
шения относится к, своему последующему.

— 230 —
Сложив равенства (Г) и (1"), а затем вычитая из рав
ства (Г) равенство (1") и деля первое из получелн
равенств на второе, найдем:
Vi + lh __кя\-\~1*х2
г/i — 2/г Лях — кх2
или
Уг + Уг _SCi-\-X2
У1—У2	Х\—Х2
(6).
т.-е. су.м.на членов одного отношения так относится к ад
разности, как сумма членов второго отношения относится
к их разности.
§ 98. Примеры геометрического приложения произвол
них пропорций.	■
Дан прямоугольный треугольник ABC (черт. 104).
Пусть ВС = а единиц длины, АС=Ъ единиц длины, BD =*е е/ят>‘о
длины и AD = n единиц длины (m-j-n = с).
Черт. 104.
Применяя теорему Пифагора к треугольникам BCD и АСЬ, получим:
а2 — тп2 4~ ft2,
Ь" = п?-\-
где ft — число, измеряющее перпендикуляр CD.
Вычитая из первого равенства второе, находим:
а2 — Ъ2 = т? — и3 . .
Так как а2-\-Ъ2 = с3 и так как с = т-{-п, то
«ли
а2 + Ь2 = (тп 4- и)2
а2 -\-Ъ2 — т2 -f- 2тпи и2 .
Деля равенство (2) на равенство (1), получаем:
а2 -f- ft2	тп2 + 2тпп -f- п2
.(И
.{2-
а2— б2
тп2 — п2
— 231 -
ришем производную пропорцию:
(а* + Ь2) + (а2 — Ь3) _ (тп2 + Ъпп + я2) + (тп2 — п2)
7а3 + ft3) — (о2 — ft2) — (тп2 + Ъпп + я2) — (тп2 — г*2)
,ir	2а2 2тп2 + 2тпп
2Ь2	2Tnn4-2n3’
с2 тп (тп 4- я)
Ь3 — п (т 4- и)
откуда
Сокращая находим
«2 тп
ft3 = т?
если «з вершины прямого угла треугольника опустить перпепоиг
«иляр на гипотенузу, то квадраты чисел, измеряющих катеты, будут
относиться, как числа, измеряющие соответственные отрезки ее.
Напишем производные пропорции для последней пропорции:
Но
Поэтому
«куда
а24-Ь2_тп4-я _ о24-Ь2_тп + к
а2 ~~— тГ Ъ2 — п
а24-Ь3—с2 и т-\-п — с.
с2	с	с2	с
а2	т	Ь2	п
а2с = с2т 'и Ь-с = с2п
ми
а2 —cm	 •	•	■	t“>
IP — 	(41
Деля первое из двух последних равенств на ас, а второе на Ъс получаем
а	т	Ъ	п
с	а	с	Ъ
нам
с	а	с	Ъ
а	т	Ъ	п
Перемножим равенства (3) и (4):
а?Ъ2 = с2тпя.
Обе части этого равенства умножим на Л2:
аПРЬР = c2h2mn .	 (5)
тах как ab = ch (двоякое выражение двойной площади треугольника
*£C), то
а2Ъ2 = с3Л2
* потому, сокращая равенство (5), находим:

— 232 —
Деля обе части этого равенства на mh, получим:
h	п	т	h
— — — или	= —.
т	h	h	п
Га ким образом, перпендикуляр, опущенный из вершины прямого j/йлЯ
на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезкалш
гипотенузы, а каждый из катетов есть средняя пропорцгюнсигщ^ i
между всей гипотенузой и прилежащим отрезком ее.	j
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
Простейшие дробные функции.
ГЛАВА I.
Обратная пропорциональность и ее графическое
изображение.
5 ЭЭ. Понятие обратной пропорциональности.
Если две переменные величины находятся между собою
8 такой зависимости, что с увеличением в несколько раз
одной из них другая уменьшается во столько же раз
то такие величины называются обратно пропорциональными
Пример 1.
Построить прямоугольник, площадь которого равнялась бы
постоянной величине S.
Обозначая основание прямоугольника через х, а высоту
его через у, получим следующее соотношение между х и ?/;
xy = S .  	(1)
«ли
У = ^	(2)
Очевидно, прямоугольников, имеющих данную плещадь .4
можно построить сколько угодно.
В самом деле, пусть АОВМ (черт. 105) будет прямоуголь¬
ником, имеющим данную площадь S.
Увеличивая его основание вдвое, мы должны вместе с тем
уменьшить вдвое его высоту. Получится прямоугольник
A.\OBiM\, имеющий площадь S.
Уменьшая основание прямоугольника АОВМ вдвое, мы
должны увеличить вдвое его высоту. Получится прямо
угольник А?ОВ2М2, имеющий площадь S.

— 234 —
Если основание прямоугольника АОВМ уменьшить втро
а высоту увеличить втрое, то получится прямоугольник
A3OB3Ms, имеющий ту же площадь S.
Вообще, если мы желаем сохранить площадь прямоуголь¬
ника равной S, то, увеличивая (уменьшая) его основание
в п раз, мы во столько же раз должны уменьшить (увели¬
чить) его высоту.
Таким образом, рассматривая основание и высоту прямо¬
угольника, имеющего постоянную площадь S, как величины
переменные, видим, что они находятся между собою в обрат¬
ной пропорциональной зависимости.
Зависимость эта алгебраически выражается уравнением (1)
или (2).
Пример 2.
Пусть- нам дана определенная масса газа при определен¬
ной температуре, находящаяся под давлением в 1 атмосферу-
Опыт показывает, что, увеличивая давление на газ в п
раз, мы заметим уменьшение объема газа во столько же
раз.
Следовательно, давление на газ и объем его нахоДЯ'гсЯ
в обратной пропорциональной зависимости.
Обозначая давление на газ через р, а объем газа через а.
„случим;
pv = c		(Г)
«ли
 (2' ■
V
где с некоторая постоянная величина, арии величины
переменные.
Таким образом, обратная пропорциональная зависимость
нежду переменными хну выражается уравнением:
а
И — —
J х
В простейшем случае, когда а= 1, функция у = — прини-
сс
«ает вид:	^
У=х'
1
§ ЮО. ГраФик Функции у:=^ и его свойства.
График функции	.
у = —	 .	.	. (Ц
а х
построим по точкам.
С этой целью составим таблицу значений функции (1)
Давая х последовательно значения:
1; 2; 3; 4; 5; и т. д.
пли
, 1111
1; 2; Г’ V " т- д->
получим соответствующие значения для у:
, liii
1; 2;
«Я»
1; 2; 3; 4; 5 и т. д.
Значения у нами указаны для положительных значений ж.
Легко заметить, что х может получать и отрицательные
качения, для которых у также будет отрицательным.
Таким образом, точки, принадлежащие графику функции:
; должны быть расположены в первом и третьем
Г°°Рдинатных углах.

— 236 —
— 237
Нанесем на координатную бумагу найденные значения
и у и соединим полученные точки плавной кривой.
Кривая эта состоит из двух отдельных ветвей и назц-
вается гиперболой.
Укажем некоторые свойства рассматриваемого графика.
1. Всякая хорда графика функции у:
1 »
—, проходящая
мере»
чачало координат, делится зтой точкой пополам.
Возьмем на ветвях гиперболы две каких-нибудь точки,
абсциссы которых равны по абсолютной величине, но про¬
тивоположны по знаку.
сУ
Черт. 106.
Пусть это будут точки (черт. 106) М (хи у{) и Mi (®i* УА
Соединив эти точки с началом координат, получим Два
треугольника: ААОМ и Д^СШ).
Эти треугольники равны, так как абсолютные величины
их катетов равны.
Следовательно, MiO—OM.
А так как, кроме того, £тАОМ = £-А1ОМи то линии
МгО и ОМ составляют одну прямую.
Точку О называют центром графика функции: У — ^-
I.	Биссектрисы координатных углов являются осями симметрии длт
графика функции: у =
Выберем на графике (черт. 107) две точки М и Ми абс¬
циссы которых пусть будут соответственно: пи—.
7Ь
Определяя ординаты выбранных точек из уравнения гра
фика. получим:
1
для точки М у = —,
* п
ДЛЯ ТОЧКИ Ж! у—п.
Соединим точки М и Мх прямой линией и проведем бис¬
сектрису ZZ первого и третьего координатных углов.
Так как согласно построению
О Ni = NM и NiMi — ON,
то треугольники MxONi и MON равны, и потому
i, GMiNi = /_ MON и ОМi = ОМ.
х,:
2ч
Ч
ч
ч
ч
ч
a*J
I	Z-
\ /
W /
К /
II	Vp
.4.1—-' 7i
	А
/ г/

А /
/ ч
/ V
\
\
z' 1
ч
\Z'
'
я
Черт. 107.
х
Углы OMiNi и MiOY равны, как вертикальные. Следовэ-
т€льно,
/ МОХ=/ MiOY.
Так как
l_XOZ=. l_YOZ

— 238 —
и так как
I_МОР= /JXOZ—1_ МОХ
и
L МхОР= L YOZ—l_ MxOY,
то
/_МОР=/_МхОР,
т.-е. линия ОР служит биссектрисой угла при вершине
равнобедренного треугольника МОМи а следовательно, пер-
пендикулярна к основанию ММХ и делит его пополам.
Таким образом, точки графика М и Мх находятся на одном
перпендикуляре к линии ZZ и одинаково от нее удалены.
Следовательно, ZZ будет осью симметрии данного графика.
Легко показать, что прямая Z'Z' перпендикулярная к ZZ
и служащая биссектрисой второго и четвертого координат¬
ных углов, также будет осью симметрии.
Продолжим ОМ\ до пересечения со второй ветвью графика:
тогда ОМх — ОМи а следовательно, ОМх' = ОМ.
Так как
L Мх'ОУх = l_ MxOY =1_ MON,
то ZZ будет биссектрисой угла МОМх, а потому
OP’	и МР'^МхР'.
Таким образом, точки М и Мх симметричны относи¬
тельно Z'Z'.
3.	График функции У = ~ — незамкнутая кривая, ветви которой
простираются в бесконечность, неограниченно приближаясь к осяи
«оординат.
В самом деле,
при х = 0,1,	«/ = 10
„ х = 0,01,	=	100
„ ж-=0,001,	«/=1000
* ж = 0,000 1,	«/=10000
„ ж = 0.00001, «/=100000
. ж = 0,000 001, у =1000 000
и т. д.
Если при построении графика функции «/ = - единицу изо-
*2/
бражать одним сантиметром, то длину перпендикуляра, выр3-
жающего расстояние соответствующей точки графика до оси
абсцисс, следовало бы изображать при ж = 0,000 001 отре0'
ком в 10 километров, при ж = 0,000 0001 в 100 километре3
« т. д.
— 239 —
Каждая из вышеуказанных дробей, выражающих ж, больше
нуля. При дальнейшем уменьшении ж ординаты продолжают
увеличиваться, и увеличение их может продолжаться беспре¬
дельно, по мере неограниченного приближения ж к нулю.
Символически это записывают так:
1
0=°°’
где со —символ бесконечности.
Понятно, деление на нуль не имеет смысла, и выражение:
1 следует понимать условно, т.-е. ж можно дать такое малое
по абсолютной величине значение, что значение у по абсо¬
лютной величине может стать больше сколь угодно большого
постоянного числа.
При	ж=10,	у — 0,1,
„	ж=100,	«/	=	0,01,
.	ж = 1 000,	«/	=	0,001,
„	ж =10 000,	«/	=	0,0001
и т. д.
Таким образом, ж по своей абсолютной величине может
возрастать беспредельно, а вместе с тем значение у будет
неограниченно убывать, стремясь к нулю.
Это символически записывается так:
— = 0.
со
Все высказанное справедливо для обеих ветвей графика.
Таким образом, оси координат являются как бы касатель¬
ными в бесконечно удаленных точках графика; такие каса¬
тельные называются асимптотами.
4.	Площадь прямоугольника, построенного на координатах какой-
нибудь точки графика функции:
1
» = ?
равна 1.
В самом деле, представляя уравнение графика функции:
1
v==x
в виде жу = 1, убеждаемся в справедливости высказанного
положения.

— 240 -
ч lOi. Среднее геометрическое и его графическое
истолкование.
Если в пропорции средние или крайние члены одинаковы
то, как мы видели выше, она называется непрерывной, а повт*
ряющийся член ее называется средним геометрическим.
Пусть нам дана пропорция:
У__т
т х’
где т среднее геометрическое.
Из данной пропорции имеем:
ху — т2	.	.	.	(1)
Если рассматривать х и у, как переменные величины
а величину т, как постоянную, то уравнение (1) выразит
гиперболу.
Соотношение: ху = т2 выражает ту мысль, что площади
прямоугольников, построенных на координатах любой точки
гиперболы, имеют постоянное значение, равное площади ква¬
драта со стороной т.
Числом т выражается абсцисса и ордината той точки
гиперболы, которая лежит на биссектрисе координатного
угла.
§ Ю2. Касательная к графику Функции. у=—
Возьмем на графике функции: у = —(черт. 108) две точки
00
М(х,у) и Мг (хъуг) и положим X! = x-}-h.
Тогда
1
У1~х-^К
Определим угловой коэффициент к секущей, проходящей
через точки М и Мх.
Согласно § 94 он выразится так:
к=^гЛ
Xi — X
Так как
Xi — х = п
И
1	1	х — х — h	h
У* ^	x-\-h	х x(x-\-h)	х(х-рЩ'
— 241 —
тс
1
х(х + пу
Начальную ординату секущей можно определить так:
х
rl = xiV — xyl_ /:
Xi — х ■ I
x-\-h
x
x-\-h
:h =
 (x-)-h)2 — x2 (2x-\-h)h   2x-\-h
x(x-j~ h) h	x(x-\-h)li	x[x-\-Л)"
Таким образом, уравнение секущей, проходящей черев
точки М и Mi, должно иметь вид:
* Y= г4гтт • Х+ -^Гп	(1)’
x(x-\~h)	x(x-\-h)
r-ie через X, У обозначены текущие координаты секущей
отличие от текущих координат графика функции: у =
Пусть h по абсолютной величине неограниченно умень¬
шается, стремясь к нулю. Тогда точка Mi будет неограни-
^Ино приближаться к точке М. При 6 = о, Мх совпадает с М,
г секущая обращается в касательную.
16
Элементарная алгебра*

Следовательно, уравнение касательной к графику функцци
У—— можно получить из уравнения секущей, если положить
в нем /г = о.
Таким образом, уравнение касательной может быть пред¬
ставлено в следующем виде:
r=-i-x+'	«>
или
Y= —	 (2).
где X и Y текущие координаты касательной, ахну коорди¬
наты точки касания.
Из уравнения (2') следует, что начальная ордината каса¬
тельной равна удвоенной ординате точки касания.
Отсюда следует простой способ построения касательной
к графику функции: У-~-
Отложив на оси ординат отрезок, равный двойной орди¬
нате точки касания, соединим последнюю с полученной точкой.
Построенная таким образом прямая и будет касательной
1
§ 103. Скорость изменения «пункции; у =—•
Средняя скорость изменения функции характеризуется
отношением разности двух каких-либо значений функции
к разности соответствующих значений аргумента.
Так как с возрастанием х функция: у = — убывает, то
СО
средняя скорость ее изменения будет отрицательной.
Покажем, что средняя скорость изменения функции у-гс
для различных промежутков изменения х будет различной-
В табл. XIII указаны промежутки изменения х, а также
средние скорости изменения функци у = — для данных про-
сс
межутков.
Изменение х взято вблизи его частного значения.
Рассматривая табл. XIII, видим, что средняя скорость измене'
пия функции у = — есть величина переменная, зависят*111
СО
от величины границ изменения независимой переменной-
— 243 —
ТАБЛИЦА XIII.
1
Область
изменения
X.
Скорость изменении
функции
1
г/ = —•
X
II
1 Область
изменения
X.
Скорость изменения
функции
1
от 2 до 6
= — ^ = —0,08333
,от 6 до 10
i
(то-т):(10-6) =
от 3 до6
(1-уМ6-з)=
= — jg- = — 0,05556
от 6 до 9
(у-тМ»-»)-
= -^=-0,01852
Jot 4 до 6
<т-тНМ-
= -^ = -0,04167
от 6 до 8
(у-4Н»-*Ь
= -- = -0,02083
|от 5 до 6
й—гМ6-5)-
= - ^ = — 0,03333
[от 6 до 7
(у-т)=(7-6) =
= -^ = -0,02381
от5-^до6
= — i = —0.03030
ог 6 до 6-^
= -i=—ВД5«
, 2 „
отбудоб
= -- = -0,02941
отбдоб^
(4 =
— i —00:632
от 5-“-до 6
4
= — Д = —0,02896
69
от 6 до 6^
4
= - ^ = — 0,02667 J
от5-|-до6
= -^ = -0,02874
от б но 6^
»-А = _о,02688

Действительно, изменяя х в пределе от х до х-{-ft, полу¬
чим для средней скорости следующее выражение:
Уг —
Хх
х—х — h ,	1	m
г-:h =	;—г-	U)-
х(х-\-ft) ‘	ж(ж-|-h)
Таким образом, величина средней скорости зависит от ж и от
ж -f-ft, а следовательно, и от h.
Сопоставляя выражение средней скорости с выражением
углового коэффициента секущей, видим, что они одинаковы.
Если в выражении (1) k неограниченно уменьшать, при¬
ближая его к нулю, то выражение средней скорости будет
стремиться к определенному пределу, который мы будем
называть скоростью изменения функции для данного зна¬
чения аргумента.
Обозначая этот предел (при h = o) через у', будет иметь:
Выше мы видели, что последнее выражение является также
угловым коэффициентом касательной в точке (ж, —) к гра-
00
фику функции: у = ^.
§ 104. Функция у = — —и ее график.
При одном и том же значении ж значения функций:
1	1
у = и у = —
X	X
отличаются только знаком.
Принимая значения ж за абсциссы графиков этих функций,
видим, что соответствующие значения ординат равны по абсо¬
лютной величине, но противоположны по знаку.
Отсюда заключаем, что график функции: У — - симме-
00
тричен графику функции: ?/ = — относительно оси абсцисс
и имеет вид, изображенный на чертеже 109.
— 245 —
Упражнение.
Определить угловой коэффициент касательной к графику
1
функции: у = — — , а также скорость изменения этой
00
последней.
Черт. 109.
а
§ 105. График Функции: у = —.
Легко заметить, что график функции: у= — будет равно-
•2/
сторонней гиперболой и может быть получен изменением
масштаба ординат из графика функции: у = — , если а>о,
*2/
или из графика функции: у = — —, если о<о.
00
В самом деле, умножая на а ординаты точек графика
Функции: у=—, мы получим ординаты точек графика
00
Функции: у = — , соответствующие тем же значением ж.
ОС
Поэтому, график функции: у — — обладает всеми свой-
00
ствами, присущими графику функции: у—— , если а > о, или
00
графику функции: у = —- , если а < о.

— 246 —
Таким образом:
а
1. Всякая хорда графика функции: У— . преходяща
SO
через начало координат, делится этой точкой пополам.
2. Биссектрисы координатных углов являются осями сим-1
метрии для графика функции: У=~ •
J0
3. График функции: у~— — незамкнутая кривая, ветви
СО
которой простираются в бесконечность, неограниченно при¬
ближаясь к осям координат.
4. Площадь прямоугольника, построенного на координатах
а
какой-нибудь точки графика функции: у — ~, равна а.
“ 00
Упражнение.
Определить угловой коэффициент касательной к графика
функции: у = — , а также скорость изменения этой по¬
следней.
§ 106. Умножение и деление графиков.
Пример 1.
Лана функция:
»=? (1)-
Эту функцию можно рассматривать, как произведение?
двух функций:	I
Уг=а	(Г)
и	= ^	■	О1)-
а потому ординату любой точки ее графика можно получить
умножением соответственных ординат графиков функций,
(1') и (1").
Пусть UU и VT (черт. 110) будут соответственно графи-_
ками функций:
= и у-г	.
Для любого значения х имеет место соотношение:
У = У1Уг
или
у• 1=1/1 -У2,
— 247 ~
откуда
1 У2
1/1 У	 К	'
Пользуясь этой пропорцией, выполним следующее по¬
строение.
Восставив перпендикуляр AN до пересечения с UU и, отло¬
жив вправо АА, = 1 единице длины, соединим точки Ах и N
Отложив AM, = AM, проведем М,Р || A,N.
Точка Р должна принадлежать графику функции:
а
*=х'
Черт. 110.
Действительно, из подобия треугольников А,AM и М. АР
получаем:
.4Р: AN —AM,: АЛ,
или
У-У1 — У2-1.
откуда
У = УМ2-
Мы предполагали, что ж>о. Выполним теперь построение
Для х< о.

Восставив перпендикуляр A'N' до пересечения с Т]ц
и отложив от точки А' вправо А! Ах = 1 единице длины
соединим точки А\ и JV.
Отложив A'Mi = А'М' влево от точки А! (так как для
отрицательных значений х значения функции у2 при а > о
отрицательны), проведем МХР || AXN'.
Точка Р должна принадлежать графику функции:
а
у=х'
Действительно, из подобия треугольников Ах A'N1 и А'Мх'Р
имеем:
A'F:A'N' = A'Mx':A'Ax'
или
У-Уг—Уг-1.
откуда
У-УгУг-
Указанным способом, конечно, можно построить любое
число точек, принадлежащих графику функции:
а
У- — -
у х
Пример 2.
Функцию:
У=х
а 	 (3)
можно рассматривать так же, как частное от деления
функции: Ух—а (3') на функцию: у$=х (3"), а потому орди¬
нату любой точки ее графика можно получить делением
соответственной ординаты графика функции (3') на соответ¬
ствующую ординату графика функции (3').
Пусть UU и VV (черт. 111) будут соответственно графи¬
ками функций:
Ух—а и у2 — X.
Для любого значения х имеет место соотношение:
— 249 —
Пользуясь этой пропорцией, выполним следующее по¬
строение.
Восставив перпендикуляр AN до пересечения с JJU
л отложив вправо AAt = l единице длины и AMt = AM,
соединим точки Мх и N и проведем AXP || MxN.
Точка Р должна принадлежать графику функции:
а
У
X
Действительно, из подобия треугольников AAtP и AMxN
получаем:
АР: ААх = .A2V: AMt
«ли
У;1 =Уг-Уг,
откуда
У=^-
J Уг
Мы предполагали, что х > о. Выполним теперь построение
Для х<о.
Восставив перпендикуляр A'N' до пересечения с UU
и отложив от точки А' влево АМх = А'М\ соединим точки
Мх и N'.

— 250 —
Отложив от точки А' вправо А'АХ — 1 единице длины,
проведем Ai'P || Mi'N'.
Точка F должна принадлежать графику функции:
а
У — — -
J х
Действительно, из подобия треугольников: A'Mi'N' и А' Ах’р
имеем:
AP:A'Ax'=A'jY:A'Mx
или
у: 1 =У1-Уг,
откуда
Уз
ГЛАВА И.
Гармоническая прогрессия.
§ 107. Понятие о гармонической прогрессии
Если в уравнение:
1	л.
у 	 «...	.	...	1
X
ИЛИ
б	021
!/ =    1
X
подставить вместо х последовательно числа, составляющие
арифметическую прогрессию, то получится ряд чисел, назы¬
ваемый гармонической прогрессией.
Пример.
Подставляя в уравнение (1) вместо х следующий
чисел:
-4-1; 2; 3;	(п—1);
получим простейшую гармоническую прогрессию-
II	11
	(п—	1)'	п	'
1 а
Таким образом, ординаты гиперболы: У—— или у—х ■
соответствующие значениям х, отличающимся на некотор}*^
постоянную величину, составляют гармоническую прогресс»
— 251 —
*> 108. Понятие о среднем гармоническом.
Средним гармоническим двух каких-нибудь чисел назы¬
вается такое число, обратная величина которого будет сред¬
ним арифметическим обратных величин данных чисел.
Пусть даны два числа а и Ъ. Найдем их среднее гармо¬
ническое.
Обозначая его через у, будем иметь:
или
откуда
-=-•(-+М - •
у 2 Va V
1   1 а-\-Ъ a-j-b
у 2 аЪ	2аЪ ’
2аЬ
ГП
, .	 Ui-
а 4- b
Таким образом, среднее гармоническое двух данных чисел
равно частному от деления удвоенного произведения этих
чисел на сумму их.
Не трудно убедиться, что, наоборот, если числа а, Ъ н у
связаны соотношением-.
2 аЬ
то они еоетавляют гармоническую прогрессию.
Освободим равенство (1) от знаменателя:
(a -J- Ъ)у = 2db,
ау-\-Ъу— ЧаЬ.
Последнее равенство можно представить так:
Ъг/—аЪ — аЪ — ау.
Деля обе части этого равенства на аЪу, получим:
Ъу	db   ab	ау
аЪу	аЪу	аЪу	пЪу
или
1	2___i
« V ~ У Ъ~г'

Следовательно,
— 252 —
1 1
У
+ г,
Числа:
1 1 1
а у
и ц- составляют арифметическую прогрессию
а потому, числа: а, у и Ъ составляют гармоническую про¬
грессию.
Умножая равенство (Г) на 2, получим следующее соотно¬
шение между числами а и Ъ и их средним гармоническим у:
-+~
а ^ Ь
(2).
Равенства (1) и (2) имеют применение в элементарной
оптике.
При отражении от небольшого сферического зеркала
предмет, изображение и центр кривизны зеркала располо¬
жены в точках, расстояния которых от самого зеркала обра¬
зуют гармоническую прогрессию.
Докажем теперь, что каждый член гармонической про¬
грессии есть среднее гармоническое членов, одинаково от него
отстоящих.
Пусть а, у и Ъ будут членами гармонической прогрессии,
при чем а и Ь одинаково отстоят от члена у.
Возьмем обратные величины этих членов; получим члены
арифметической прогрессии:
J_ JL J-
« ; У' Ът
1	1	1
Так как— и -г- одинаково отстоят от —,
а	о	у
то
откуда
2аЪ
а-\-Ъ'
т.-е. у будет средним гармоническим чисел а я Ъ.
- 253
6109. Геометрическая иллюстрация среднего гармо¬
нического.
Возьмем трапецию A BCD (черт. 112).
Пусть AD || ВС и пусть AD = a единиц длины и ВС—Ь
единиц длины.
Определим число, измеряющее линию, проходящую через
точку пересечения диагоналей трапеции.
Из подобия треугольников ВМС и AMD имеем:
AM DM
см~Ш'~
а
Т
Так кап
AM
см
a DM
Ь и вм:
Ь
иль
Икуда
Л.М —СМ d —(— Ь DM —|— ВМ а —|— Ь
АМ ~ а " DM ~~Ц~
АС _а + Ъ BD
АМ а И DM'
AC BD
AM~DM'
Из подобия треугольников ЛВС и АЕМ, я также тре-
^ольников BCD и DFM имеем:
ВС
Hr-
1
ЕМ'
АС ВС
' АМ И FM'
BD
'DM
АС
АМ'
BD
DM

Следовательно,
— 254 -
ВС ВС
откуда
ЕМ FM
ЕМ=FM,
т.-е. в точке пересечения диагоналей EF делится пополам.
Поэтому, полагая EF—y единиц длины, будем иметь:
*'У
ЕМ = FM = единиц длины.
Из подобия треугольников ABC и А ЕМ мы имели:
ВС _ АС
ЕМ AM'
V
Но ВС—Ь единиц длины, ЕМ=~ единиц длины
АС _а + Ъ
AM а
Поэтому
Следовательно,
откуда
ab
:а+Ъ'
2 аЪ
+ Ъ'
т.-е. число, тмсрякпцее линию, проходящую через точку
пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям-
есть среднее гармоническое чисел, измеряющих основания
трапеции.
§ но. Задача.
Зная, что точки М и N принадлежат некоторой гиперболе,
а X и Y ее асимптоты, построить ряд точек, принадлежат!14
той же гиперболе.
Решение.
Соединив точки М и N, получим трапецию (черт. 1* ■
MMxNiN. Диагонали ее пересекаются в точке С. ПровеД
через эту точку EEiXOY, получим отрезок EEit измеряемы
средним гармоническим ординат точек М и N.
— 255 —
Согласно § 108, перпендикуляр, измеряемый средним гармо-
яическим ординат точек М и N и соответствующий неко¬
торой точке гиперболы, должен делить Л/,ЛГ, пополам.
Поэтому, восставляя из точки Pt (средина АДЛ",) перпенди¬
куляр до пересечения с линией EL, проведенной через точку Е
параллельно ОХ, получим точку Р, ордината которой будет
средним гармоническим ординат точек М и N.
Таким же способом можно найти и точку Q.
Соединяя М и Р прямой линией и проводя диагонали
трапеции ММЛ Р,Р, получим точку D. Число, измеряющее
перпендикуляр FFi, проходящий через эту точку, будет сред¬
ним гармоническим ординат точек М и Р.
Черт. ИЗ.
Согласно § 108, перпендикуляр, измеряемый средним гармо¬
ническим точек М и Р и соответствующий некоторой точке
гиперболы, должен делить MiPi пополам.
Поэтому, восставляя из точки Qt (средина MiPi) перпенди¬
куляр до пересечения с линией FK, проведенной через
точку F параллельно ОХ, получим точку Q, ордината кото¬
рой будет средним гармоническим ординат точек М и Р.
Указанным приемом можно найти сколько угодно точек
гиперболы.

— 256 —
ГЛАВА III.
Смещение гиперболы: у =
а
а	&
§ 111. ГраФики Функций: у - х4_п и у == д при п>0.
Возьмем гиперболу: у — —.
х
Перенося н чало координат (черт. 114) в точку (я, о), мы уменьшаем
абсциссы точек гиперболы на постоянную величину я.
Нетрудно соо'фазить, что такое перенесение начала равносильно смеще¬
нию самой гиперболы на расстояние п от начального ее положения в сто¬
рону, обратную тому на .равлеиию, в котором переносится начало.
Обозначая абсциссы гиперболы при новом ее положении попрежнемт
через х, получим ее уравнение в таком виде:
х-\-п
(1)
Перенося начало координат (черт. 114) в точку (—я, о), мы увеличиваем
абсциссы точ^к гиперболы на постоянную величину я.
Нетрудно сообразить, что такое перенесение начала, подобпо предыду¬
щему, также равносильно смещению самой гиперболы на расстояние я
от начапьного ее положения в сторону обратную тому направлению, в кото¬
ром переносится начало.
Обозначая абсцассы гиперболы при новом ее положении попрежиему
через х, получим ее уравнение в таком виде:
 (2)
— 257 -
Пример.
Построить график функций: у-
х-\-2
График рассматриваемой функции, очевидно, может быть получен от сме¬
щения. графика функций: у — г/х на 2 влеио.
Поэтому построение графика данной функции выполняется следующим
образом.
Принимая две взаимно перпендикулярные прямые XX и УУ за оси
координат, проводят прямую У'У, отстоящую от оси ординат на 2 влево,
и строят относшельно осей XX и У'У гиперболу: у—я1х.
Эта гипербола, очевидно, служит вместе с тем и графиком функции
3
у — —4^2"’ если 38 оси К00РДинат принять прямые XX и У У.
а 4- шх	а	—	гпх
§ 112. ГраФики Функций: у  	и	у	=	-
при т>о.
Возьмем гиперболу:
Перенесем начало координат (черт. 115) в точку (о, — т). Такое пере¬
несение начала увеличивает ординаты точек гиперболы на постоянную
величину т и равносильно смещению самой гиперболы на расстояние т
от начального ее поюжения в сторону, обратную тому направлению,
в котором переносится начало.
Обозначая ординаты гиперболы при новом ее положении попрежиему
через у, получим уравнение ее в таком виде:
“ I
У—~+т
X
Ялементаоп&я алгебра.
17

258 —
а
V = —
тх
1
U)
х
VKa3aHH0e смещение гиперболы мо*ет быть рассматриваемо так же как
результат сложения графиков функций:
а
У = — и у = т
х
Перенесем теперь начало координат в точку (о. т)
Тлкое не'внесение начала уменьшает ощичагы го'ВД гиперболы на по¬
стоянную величину m и равносильно смещению самой (нперболы на рас¬
стояние т от н1ч.1льчого ее положения в сторону, обратную тому напра¬
влению. в котором п*реносится начало.
Обозначая ординаты ги >ербо 1Ы при новом ее положении через у, полу¬
чим уравнение ее в таком виде:
у = т или у =
х
- тх
х
(2)
Указанное смещение гиперболы может быть рассматриваемо, как резуль¬
тат сложения графиков функций:
У = — н у ——т.
х
Пример.
Построить график функции:
У — '
■ 4х
X
График рассматриваемой функц-ш, очевидно, может быть получен от сме¬
щения графика функции:
3
У=—
х
на 4 вниз.
Поэтому построение графика данной функции выполняется следующим
Обр 'ЗИМ.
Принимая две взаимно перпендикулярные прямые XX и УУ за оси
ко рдннат, проводят прямую Х"Х", отстоящую от оси абсцисс на 4 вниз,
и строит ■ тно-чте 1ыю осей Х"Х" и УУ гиперболу: у = ‘/ас.
3ia ruiiej бола, очевидно, служит вместе с тем и графиком функции:
3 — 4®
у = —-—, если за оси координат принять прямые XX и УУ.
х
§ 113. ГраФик Функций: у =
а + Ьх
8| -{- ЬгХ
Даиа функция:
У =
я -)- Ъх
a, -j- bjX
■ 0)-
Требуется построить ее график
Перенесем начало координат в точку (га, п), при чем числа т и п пз!>
иока неизвестны .
Л
— 259 —
Обозначая текущие координаты графика функции (1) по новой системе
через сит], будем иметь:
ж = с + «г и у — т] -{- и.
Уравнение (1) примет вид:
-rj +п =
a-j-Ы? 4-*и)
или
о, + б, (? + »«)
а 4- Ь;	Ът — п,п — b,nZ — Ъутп
0[ -{-	-f-	btm
Упрощая полученное уравнение, находим:
(а Ът — ауг — Ъутп) -f- (b — Ьу?г) f
T] =
(a, + bxm) + byl
(!')■
Выберем тип так, чтобы b — 6,и — о и at -f- bym = о.
Для этого нужно положить:
я,	Ъ
т — —— и п = - —.
Ьу	Ьу
Уравнение (У) примет вид:
Т] =
ab, — я,б 1
б,2	с
Таким образом, чтобы получить график функции:
«+ Ьх
.(2).
у =
я, -f- Ъ\Х
нужно, не изменяя направления осей перенести начало координат в точку
(-Ъ ъл
I ъ, ’ Ъх)'
а затем относительно новых осей построить график функций:
aby — я, Ъ	I
б,2	'	Т"
У = ■
Полученная кривая (гипербола) будет также и графиком функции:
а-\~Ьх
У'.
Gy ЬуХ
относительно старой системы осей.
Пример.
Построить график функции:
У-
5—3®
®-|-2
I
Перенесем начало координат в точку (—2, —3) и построим график
функции:	5.1-2.(-3)	1	И
7] = 	   •	—	ИЛИ	т,	=	—	.
I2
относительно новой системы осей.

Полученная кривая (гипербола) и будет графиком функции:
5 —Зж
У== х + 2
относительно старой системы осей.
§ 114. Разложение дробных Функций на элементарны©
дроби и построение их графиков.
Пример 1.
Дана функция:
У^-^=Г 	W
Разложим ее на элементарные дроби вида:
л в
Ж—1^Ж+1’
где х — 1 иж-fl множители, на которые разлагается знаменатель данной
функции.
Числа А и В нам пока неизвестны. Определим их из равенства:
А	В	6
1 ^ х + 1 ж3 — Г
А (ж
Ах
1) + В( х— 1) =6;
А Ьх — В = 6;
(Д + В)ж + (Л-В)=6.
Так как в правой части последнего равенства нет члена, содержа¬
щего х, то
А В — О, а А — В = б,
откуда
Д = ЗиВ = — 3.
Таким образом,
_	6	_	3	3
У х" — 1 х — 1 х + 1
а потому график данной функции:
6
У =
ж3 — 1
может быть получен сложением ординат графиков функций:
3
У-
х — 1
3
х -J- 1
Пусть UU (вторая ветвь ITU') и VV (вторая ветвь V V) будут графи¬
ками этих функций (черт. 116).
На оси аб^ци«'С отметим ряд произвольных точек и восстановим из ни
перпендикуляры, на которых и отложим части равные суммам соотве
ствующих ординат.
— 261 —
Для точки А, например, имеем:
AM -(- AN = AM — NA = AM — PM = AP.
Поступая таким образом, получим график функци1/.
6
Он будет состоять из трех отдельных ветвей: ТVW, W'W', W'W“.
При ж = 1 и х = — 1 происходит разрыв кривой.
Прямые: ж = 1 и ж= — 1 будут асимптотами графика данной функции.
Пример 2.
Дана функция:
sr =
7(ж+1)
2ж* + 5ж —3
. . (2).
Разложим ее знаменатель на линейные множители:
2ж3+5ж — 3 = 2ж2 + 6ж —ж 3 = 2ж(ж + 3) — (ж + 3) = (ж + 3) (2ж — 1\
Представим данную функцию в виде суммы элементарных дробей.
7(ж+1)
А
1 + 5ж -
ж + 3	2ж—	Г
где числа А к В нам пока неизвестны. Определим их:
А (2ж — 1)-|-В(ж + 3) = 7ж+1;
2Ах — A -f- Вж -{- ЗВ = 7 ж 7;

— 262 —
263 —
следовательно,
откуда
Таким образом,
0 =
2А + В = 7 и 3В-А=--7,
В — 7 — 2А;
3(7 — 2Д) - А = 7;
21 -6,1 -А = 7;
7 А = 14;
Л =2;
В = 3.
7(а?+1) =	2	3_
2as2 + 5a; —3 сс + 3+2ж —Г
График функции
У =
7(<с + 1)
2ж2 -f- 5ж — 3
может быть получен сложением ординат графиков функций;
ж + 3
и у-
2х— 1
ГЛАВА IV.
Графическое решение системы двух уравнений
с двумя неизвестными, в состав которой входит
уравнение, содержащее произведение неизвестных.
§ 115. Задача.
Два работника кончили вместе некоторую работу в 3 часа.
Если бы сначала первый сделал половину этой работы,
а потом второй остальную часть, то они употребили бы
вместе 8 часов. Во сколько часов каждый отдельно мог бы
окончить эту работу?
Решение.
Пусть первый работник, работая один, мог бы окончить
работу в х часов, а второй в у часов
Тогда в 1 час первый может сделать — часть всей работы,
•2?
. 1
а второй —-
Работая вместе, они сделают в час
G+i)
часть работы,
что составляет согласно условиям задачи -д-
Отсюда уравнение:
А+А=т
х ' у л
-(!)-
В задаче сказано, что если сначала первый сделает поло¬
вину данной работы, а з*тем другой остальную ее часть,
то они употребят вместе 8 часов.
Так как на совершение половины работы первому, оче-
Яу	?/
видно, требуется - чзсов, а второму то
я , У
2 2
:8
(2>
Упрощая это уравнение, находим:
х + У=16
Разделив уравнение (3) на ху, получим:
J_ • !=Лб
X у ху
Принимая же во внимание уравнение (1), будем иметь:
16—1
яу~~ 3’
(3).
откуда
ху = 48
(4).
Таким образом, chctcmv уравнений (1) и (2) можно заме¬
нить следующей системой:
х-\-у
ху— 48 \
= 16/
(5).
Г
А
Решим эту систему графически.
Первое из уравнений системы (5) выражает гиперболу,
а второе прямую линию. Координаты точек пересечения
48
гиперболы: у = — и прямой: х-\-у=\Ь ибудут решениями
£С
системы (5).
Построим сначала график функции:
48
а х
Давая х ряд произвольных значений, получим соответ¬
ствующие значения у, помещенные в табл. XIV.

— 264 -
Табл. XIV.
ж
2
3
4
5
6
8
1
10 j
12
15
16
У
24
,6
12
9,6
8
6
4,8 |
4
3,2
3
Нанеся на координатную бумагу точки, соответствующие
этой таблице и проведя через них плавную кривую (черт. 117),
получим график функции:
48
У =
х
Черт. 117.
— 265 —
Построение выполним в масштабе:
1 = 0,5 см.
Построим теперь прямую, соответствующую уравнению:
х-\-у = 16.
Так как при ж = 0 у— 16 и при у = 0 X— 16, то прямая
отсекает на осях координат равные отрезки:
О А = ОВ = 8 см.
Прямая W (черт. 117) и будет искомой прямой.
Точками пересечения построенных графиков будут Mj и Мг-
Так как
0/11 = 6 см и AyMi =2 см,
то обозначая координаты точки Мг через хх и уи будем
иметь:
Х\ = 12 и 7/i = 4
(помните масштаб).
Так как ОЛ2 — 2 см и А2М2 — 6 см, то, обозначая коорди¬
наты точки М2 через х2, у2, получим:
жг = 4 и ?/2= 12.
Таким образом, система (5) имеет две пары решений.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ОТДЕЛ I.
Законы арифметических действий и основ иные на. них тождествен¬
ные преобразования буквенных выражений.
ГЛАВА I. Наглядное представление чисел.
Стр.
§	1.	Диаграммы			 7
§	2.	Рлд натуральных	чисел;	наглядное представление чисел ...	10
§	3.	Буквенное обо шачение	чисел	 11
§	4.	Графики	 15
ГЛАВА II. Наглядное представление арифметических
действий на числовой прямой.
§ 5. Знаки соотношений	 22
§ 6 Аксиомы	-	 —
§ 7.	Сложение и вычитание чисел и отрезков	на	числовой прямой	.	23
§ 8	Умножение чисел и огрез*ов	 25
§ 9.	Деление чисе i	 26
§ 10.	Дешние отрезка на целое число	 27
§11. Неимение длины отрезка с	ноиощью миллиметровой линейки.	—
§ 12.	Приме чл нахождения неизвестных	ч	сел	по	данным	усло¬
вием 	 28
§ 12-а. Задача.	30
ГЛАВА III. Законы сложения и вычитания и основан¬
ные на них тождественные преобразования буквенных
выражений.
§ 13.	Скобки	 31
§ 14	3 шины сложения	 32
§ 15.	. 1рпвеока заковов сложения на числочой оси	 35
§ 16.	Приме ел на применение законов сложения	к	упрощению
арифиггич -ских вычислений	 36
§ 17.	Закон .1 вычитании	 37
§ 18. 'роверка 31 конов вычитания на числовой оси	 42
§ 19.	Прим -ры на применение зткпнов вычитания	к	упрощению
ар -фметических вычислений	 44
§ 20. Возведение в степень	 .	45
§ 21.	Одночлен и многочлен; значение коэффициента	 46
§ 22.	Тождественные выражения; понятие о тождественном	преобра¬
зовании 	 47

268 —
Стр.
§ 23.	Применение переместительного и сочетательного законов для
сложения и вычитания к многочлену	 50
§ 24.	Подобные одночлены и их приведение . .	  —
§ 25.	Раскрытие скобок	   51
§ 26.	Заключение в скобки членов многочл.на	 54
ГЛАВА IV. Законы умножения и деления и основан¬
ные на них тождественные преобразования буквенных
выражений.
§ 27.	Законы умножения	 54
§ 28.	11роверка законов умножения при помощи площадей и объемов.	57
§ 29.	Примеры на применение законов умножения к упрощению
арифметических вычислений	  61
§ 30.	Законы деления	 62
§ 31.	Проверка законов деления при помощи площадей и объемов .	66
§ 32.	Примеры hi применение законов умножения и деления к упро¬
щению арифметических вычислений	 74
§ 33.	Умножение и деление дробей, как выражение законов деления.	—
§ 34.	Раскрытие скобок.	76
ГЛАВА V. Тождественные преобразования по формулам.
§ 35.	Тождества: (а+б) (а — 61 = а3 — б2; (а+6)2 = о2-)-2ад + й2;
(я — 6)2 = о2 — 2пЪ + 62	 79
§ 36.	Геометрический вывод предыдущих формул	 81
Й 37.	Задача (теорема Пифагора)	 82
§ 38.	Тождества: (я + й)3 = a3(+3я2б-|- Зяб2 +б3;	(Я — й)3 = я3 —
— ЗгРЙ + Зой2 — б3: о + й) (я2 — об + б-) = я3 + б3;
(п — б) (я2 + яб + б2) = о3 — б3	 83
§ 39.	Таблица Паскаля	  86
§ 40.	Б ihom Ньютона	 88
§ 41.	Простейшие случаи разложения на множители	 89
ГЛАВА VI. Тождественные преобразования дробных
выражений.
§ 42.	Сокращение дробей	 91
§ 43	Преобразование суммы и разности дробных выражений ...	92
§ 44.	Преобразование произведения и частного дробных выражений.	95
ГЛАВА VII. Уравнения первой степени с одним неиз¬
вестным.
§ 45. Понятие об уравнении
§ 46. Примеры на составление и решение уравнений
§ 47. Правила, которые полезно помнить при решении уравнений
§ 48. Понятие о функции и ее графическом изображении ....
§ 49. Прямоугольные Декартовы координаты
§ 50. Построение графика функции: у= кх + n по точкам ....
•§ 51. Графическое решение уравнения первой степени с одним не'
известным
96
97
101
103
104
109
110
— 269 —
ОТДЕЛ И.
Относительные числа.
ГЛАВА I. Понятия об относительном числе.	Стр.
§ 52.	О необходимости введения в математику понятия об относитель¬
ном числе	 115
§ 53.	Об измерении направленных отрезков	 120
§ 54.	Значение разности б — с для любых арифметических значений
бис	   125
§ 55.	Координаты положительные и отрицательные .... .....	126
ГЛАВА II. Действия над относительными числами.
§ 56.	Сложение относительных чисел	 127
§ 57.	Вычитание относительных чисел	 13С
§ 58. Знак числа и знак действия	■	 134
8 59.	Умножение и деление относительных чисел	 137
§ 59-а. Графическая иллюстрация умножения и деления относитель¬
ных чисел	 139
ГЛАВА III. Распространение законов арифметических дей¬
ствий на относительные числа.
8 60.	Упражнения	 143
§ 61.	Распространение	законов	сложения на относительные числа .	.	144
§ 62.	Распространение	законов	вычтания на относительные числа	.	148
8 63.	Упражнения	 150
§ 64.	Распространение	законов	умножения на относительные числа	.	151
§ 65.	Распространение	законов	деления на относительные числа .	.	154
$3 66.	Общий вывод	 157
ГЛАВА IV. Тождественные преобразования алгебраических
выражений.
§ 67. Действия над одночленами	 157
8 68. Действия над многочленами	 160
§ 69. Действия со скобками	 163
§ 70. Умножение и деление расположенных многочленов	 —
8 71. Некоторые замечания о тождественном преобразовании дробей	.	165
§ 72. Исключение целого выражения из алгебраической дроби	.	.	.	167

ОТДЕЛ III.
Закон прямой линии.
ГЛАВА I. Арифметическая прогрессия.
§ 73. Арифметическая прогрессия
§ 74. Геометрическая иллюсгрщии арифметической прогрессии . . .
§ 75. Сумма чл нив арифметической прогрессии
§ 76. Задачи
§ 77. Некоторые свойств! членов арифметической прогрессии . . .
§ 78. Оноеделение разности прогрессии
§ 79. Задача
ГЛАВА II. Прямая пропорциональность.
§ 80. Понятие о прямой пропорциональности
§81. Графическое изображение закона прямой пропорциональности .
ГЛАВА III. Функция: у = кх-{-п и ее график.
8 82. Перенесение начала координат
§ 83. График функц и: у = кх-\-п
§ 84. Значение параметра к функции: у — кх-\-п
§ 85. Эмпирические формулы
ГЛАВА IV. Составление и решение системы двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными.
§ 86. Одно уравнение с двумя неизвестными	 ....
§ 87. Система двух урявне ий с двумя не звсстными
§ 88. Графическое изображение зависимости между у и ж, выражае¬
мой уравнением: аз-\-Ъу = е
§ 84. Грпфиче кое решение системы двух уравнений первой стет ни.
§ 90. Исследование системы уравнений первой степени с двумя не¬
известными 	■	...
§ 91- Система трех уравнений с тремя неизвестными
ГЛАЗА V. Уравнение прямой.
S 92. Замечание
8 93. Уртвн'-ние прямой пересек ющей оси координат
§ 9!-а. Уравнение прямой нараллелы ой одной из осей координат . .
§ 94. Задача
ГЛАВА VI. Геометрическая пропорция.
§ 95. Пропорция; основное свойство ее членов
§ 96. Свойство равных отношений
8 97. Про 13вотные пэопорции
§ 9S Примеры геометрического приложения производных пропорций.
— 271 —
ОТДЕЛ IV.
Простейшие дробные функции.
ГЛАВА I Обратная пропорциональность и ее графическое
изображение.
§ 99. Понятие об обратной пропорциональности . .
§ 100. График функции: у = — и его свойства
х
§ 101. Среднее геометрическое и его графическое истолкование .
1
§ 102. Касательная к графику функции: у — —
х
§ 103. Скорость изменения функции: у = —
х
§ 104. Функция: у= и ее график
х
а
§ 105. График функции: у = — . .	.	.
(V
§ 106. Умножение и деление графиков
ГЛАВА II. Гармоническая прогрессия.
§ 107. Понятие о гармонической прогрессии
§ 108. Понятие о среднем гармоническом
§ 109. Геометрическая иллюстрация среднего гармонического ....
§ 110. Задача
а
ГЛАВА III. Смещение гиперболы: у = —.
п	а
§ III. Графики функций: у =	-	 и i/ = при п>0	.	.
cc-f-п	х — п
a -J- тх	а	—	тх
§ 112. Графики функций: у =	 и	у	=	  при	?и>о.
х	х
а-\-Ъх
§ 113. График функции: у=	——
0\ -р о^сс
§ 114. Разложение дробных функций на элементарные дроби и по¬
строение их графиков
ГЛАВА IV. Графическое решение системы двух уравнений
с двумя неизвесгными, в состав которой входит уравне¬
ние, содержащее произведение неизвестных.
Стр.
233
235
240
242
244
245
246
250
251
253
254
256
257
258
260
§ 115. Задача
262