ББК 22.1
Ф51
Филатов О. А.
Ф51 Шпаргалки по алгебре и геометрии. — СПб.: Издатель-
ский Дом «Литера», 2008. — 80 с. — (Серия «Средняя
школа»).
ISBN 978-5-94455-380-5
ISBN 978-5-94455-380-5
© Филатов О. А., 2005
© Издательский Дом «Литера», 2008
I-------------------------------------
1.	Линейная функция,
ее график и свойства
Зависимость между величинами х и у,
которая выражается формулой у = kx при
k * 0, называется прямо пропорциональ-
ной зависимостью.
Например, у = 0,5х, у = -1,5х, у = х
(рис. 1).
Рис. 1
Прямо пропорциональная зависимость ме-
жду переменными х и у = fe j приводит
к простейшей линейной функции у = kx.
График простейшей линейной функции
есть прямая, проходящая через начало
прямоугольной системы координат.
Угол а наклона этой прямой определя-
ется коэффициентом k (fe = tg а), кото-
рый называется угловым коэффициентом
прямой. Если k > 0, то угол а — острый,
если k < 0, то угол а — тупой.
Свойства линейной функции у = кх
Область определения функции — мно-
жество R всех действительных чисел.
Функция у = kx имеет единственный
корень х = 0.
Если k > 0, то функция у = kx возрастает
на всей числовой оси и ее график распола-
гается в I и III координатных четвертях.
Если k < 0, то функция у — kx убывает
на всей числовой оси и ее график распо-
лагается в II и IV координатных четвер-
тях.
Функция у = kx — нечетная.
Промежутки постоянного знака зависят
от k:
а)	если k > 0: у > 0 при х > 0, у < 0 при
х < 0;
б)	если k < 0: у > 0 при х < 0, у < 0 при
х > 0.
I_______________________________________
2.	Функция у = — ,
ее график и свойства
Зависимость между величинами х и у,
которая выражается формулой у = —,
где х * 0, называется обратно пропор-
циональной зависимостью.
Действительное число k, отличное от
нуля, называют коэффициентом обрат-
ной пропорциональности.
„	k
Графиком функции у = — является
кривая, состоящая из двух ветвей, сим-
метричных относительно начала коорди-
нат. Такая кривая называется гипербо-
лой.
„ .. , *
Свойства функции у = —
х
Область определения функции есть мно-
жество всех чисел, отличных от нуля,
т. е. (-°°; 0) U (0; + °°).
Функция нечетная, так как
/(-*) = —= -- = -/(*).
—X X
График функции симметричен относи-
тельно начала координат.
Если k > 0, функция убывающая. Ветви
гиперболы расположены в I и III коорди-
натных четвертях (рис. 1).

Рис. 1
Если k < 0, функция возрастающая. Вет-
ви гиперболы расположены во П и IV ко-
ординатных четвертях (рис. 2).
Рис. 2
Из рис. 1 и 2 видно, что гипербола не
имеет общих точек с осями координат, а
лишь сколь угодно близко к ним прибли-
жается.
______________________________________________I
3
Пример. Решим графически систему
уравнений
кости строим графики функций
12
Ь =—
х
</ = Зх
Решение. На одной координатной плос-
12
У=~
и у = Зх (рис. 3).
Линейная функция у = kx + Ь
Линейной функцией называется функ-
ция у = kx + b, где k и Ь — некоторые
числа.
Частный случай.
Если k = 0, то у = Ь. График данной
функции есть прямая, параллельная оси
Ох (рис. 2) и отстоящая от нее на |б| еди-
ниц (вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0).
При b = 0 графиком функции у = 0 явля-
ется ось абсцисс.
У'
12
10
123456 х
Рис. 3
Строим график первой функции по точ-
кам
X	1	2	3	4	6
У	12	6	4	3	2
График второй функции — прямая, про-
ходящая через начало координат.
Графики обеих рассматриваемых функ-
ций имеют одну общую точку: х = 2; у = 6.
Система уравнений имеет только одно
решение.
Рис. 2
Общий случай.
Если k Ф 0, то у = kx + b.
Областью определения линейной функ-
ции служит множество Я всех действи-
тельных чисел, так как выражение у — kx + Ь
имеет смысл при любых х.
График линейной функции у = kx + b
есть прямая линия (рис. 3). Для ее постро-
ения достаточно двух точек, расположен-
ных на осях Ох и Оу: А(0; Ь),
(Ь
при Ь > 0 либо Aj(O; -fc), В} I 0 I при
b < 0).
Рис. 3
График линейной функции у = kx + Ь
может быть построен с помощью парал-
лельного переноса графика функции у = kx
на |б| единиц вверх вдоль оси Оу, если
Ь > 0, или на |б| единиц вниз вдоль оси
Оу, если b < 0.
4
“1
3. Квадратичная функция,
ее график и свойства
Функция, заданная формулой
у = ах2 + Ьх + с, где х, у — переменные,
а, Ь, с — действительные числа, причем
а * 0, называется квадратичной.
График квадратичной функции назы-
вается параболой. Если а > 0, то ветви
параболы направлены вверх (рис. 1); если
а < 0, то ветви параболы направлены вниз
Свойства функций у = х2 и у = ах2 + Ьх + с
приведены в таблице.
У Уо	а < 0 „ D>0 "7Л
0	А, >0 V2 х 1 \
У	а < D < Х° ।
0	! ;
Рис. 2
Если а = 1, Ь = с = 0, то у = х2. График
этой функции изображен на рис. 3.
Свойства функции	Функция	
	У = х2	у = ах2 + Ьх + с
Область определе- ния	Множе- ство R	Множество R
Коорди- наты вершины параболы	(0; 0)	Ъ Х°= 2а’ Ь2 - 4ас 4«
Корни	х = 0	1,2 2а 4ас ±	» 2а при D > 0. Нет корней при D < 0.
Экстре- мумы	Мини- мум в вершине	Минимум в вершине при а > 0; Максимум в вершине при а < 0.
Область значений	[0; + о°]	[У0; +°°] при а > 0; |-°°;уо] при а < 0.
Четность	Четная (-х)2 = X2	Ни четная, ни нечетная
Симмет- ричность параболы	Симме- трична относи- тельно оси Оу	Симметрична относительно прямой, проведенной через точку b *0 = — 2а параллельно оси Оу
5
г
1
Пример 1. Построить график функции
у = х2 - 2х - 3, указать промежутки, в
которых функция возрастает и убывает.
Указать значения х, при которых у > 0.
Указать минимум функции.
Решение. Поскольку а > 0, то графиком
функции является парабола, ветви кото-
рой направлены вверх (см. рис. 1).
1.	Находим координаты х0 и верши-
ны параболы:
г - b - С'2) у
0 2а 2
Ь2 - 4ас	(-2)2-4(-3)
уо ---------=---------------=
4а	4
4 + 12
=-------= —4.
4
2.	Находим точку на оси Оу при х = 0:
у(0) = 02-20-3 = -3. Точка на оси Оу
(0; -3).
3.	Находим корни функции:
b \!b2 -4ас
Х1 =----+---------=
2а 2а
-2 j4-4(-3)
= £ + Л-----1—L = 1 + 2 = 3;
2	2
График функции у = ах2 + Ьх + с можно
получить из графика функции у = х2
с помощью следующих преобразований:
( Ь
•	параллельного переноса-----; 0 ;
\ 2а )
•	сжатия (или растяжения) в а раз;
•	параллельного переноса
Ф Ь2 - 4ас
4а
Пример 2. Построить график функции
2х2 + 2х + 2.
Осуществив все указанные выше преоб-
разования, получим график, приведенный
на рис. 5.
4.	Дополнительную точку рассчитаем
при х = 4: j/(4) = 16 - 2- 4- 3 = 5, получим
точку (4; 5).
5.	Осью симметрии параболы служит
прямая xq = -— = 1. Строим график функ-
2а
ции у = х2 - 2х - 3 (рис. 4).
Из рис. 4 видно:
функция убывает при - < х < 1,
функция возрастает при 1 < х < +
У > 0 при - оо < х < -1 и 3 < х < + °° ,
так как график функции при этих зна-
чениях лежит выше оси Ох. Минимум
функции yQ = -4.
I
4. Квадратное уравнение
5. Теорема Виета
Определения
Уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, где х —
переменная, а, Ь, с — действительные чис-
ла, причем а * 0, называется квадрат-
ным уравнением.
В квадратном уравнении число а назы-
вают первым коэффициентом, Ь — вто-
рым коэффициентом, с — свободным чле-
ном.
Если хотя бы один из коэффициентов Ъ
или с равен нулю, то квадратное уравне-
ние называется неполным.
Неполные квадратные уравнения быва-
ют трех	видов:
а) если	Ь = 0, с = 0, то ах2 = 0;
б) если	Ь = 0, с 0, то ах2 + с = 0;
в) если	6*0, с = 0, то ах2 + Ьх = 0.
Пример 1.
I Решим уравнение Зх2 - 48 = 0.
Решение: Зх2 = 48, х2 = 16,
xj = +V16 =4, Х2 = -V16 = -4.
Ответ: х^ = 4, х2 = - 4.
Пример 2.
Решим уравнение: 2х2 + 8 = 0.
I Решение: 2х2 = -8, х2 = -4.
Ответ: В области действительных чисел
уравнение не имеет решения.
Полное квадратное уравнение
Уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, где а, Ь,
с — действительные числа, не равные нулю,
причем а * 1, называется полным квад-
ратным уравнением.
Корни полного квадратного уравнения
I вычисляют по формуле
—Ь ± \]b2 - 4ас
XI, 2=-----’ О)
где выражение Ь2 - 4ас называется дискри-
минантом квадратного уравнения и обо-
I значается буквой D.
• Если D = 0, то существует только одно
значение переменной, удовлетворяющее
I уравнению ах2 + Ьх + с = 0. Однако усло-
вились говорить, что в этом случае квад-
ратное уравнение имеет два равных дей-
Ь
| ствительных корня, а само число ~~2а
называют корнем кратности два.
.	• Если D > 0, то квадратное уравнение
I имеет два различных действительных кор-
I ня, вычисляемых по формуле (1).
,	• Если D < 0, то квадратное уравнение
| не имеет действительных корней.
I________________________________________
Сумма корней приведенного квадратно-
го уравнения х2 + рх + q = 0 равна коэф-
фициенту при неизвестном х, взятому с
противоположным знаком, а произведе-
ние корней равно свободному члену:
*1 + *2 = -Р>
Xi Х2 = q.
Пример 1.
Уравнение х2 + 2х - 80 = 0 имеет корни
Xi = 8, х2 = -10, так как выполняются
равенства теоремы Виета:
х^ + х2 = 8 - 10 = -2,
хг • х2 = 8 (-10) = -80.
Пример 2.
Уравнение х2 + 9х + 14 = 0 имеет корни
х^ и х2, для которых, согласно теореме
Виета, выполняются следующие равенства:
хг + х2 = -9,
х^ • х2 = 14.
Решив эту систему двух уравнений с
двумя неизвестными, получим
*1 = -7,
х2 = -2.
6. Разложение квадратного
трехчлена на множители
1. Квадратный трехчлен х2 + рх + q мож-
но разложить на множители следующим
образом:
х2 + рх + q = (х - Xj) (х - х2),
где Xj и х2 - корни уравнения
х2 + рх + q = 0.
Пример.
Разложим на множители трехчлен
х2 - 14х + 48.
Решение.
Находим корни уравнения
х2 - 14х + 48 = 0 по теореме Виета:
Xj = 6, х2 = 8.
Следовательно,
х2 - 14 + 48 = (х - 6) (х - 8).
2. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с
можно разложить на множители следую-
щим образом:
ах2 + Ьх + с = а (х - хг) (х - х2),
где Xj и х2 — корни уравнения
ах2 + Ьх + с = 0.
7
В том случае, если приведенное квад-
ратное уравнение имеет действительные
корни, теорема Виета позволяет судить
как о знаках, так и о значениях корней:
если q > 0, р > 0, то оба корня отрица-
тельны;
если q > 0, р < 0, то оба корня поло-
жительны;
если q < 0, р > 0, то корни имеют раз-
ные знаки, причем
отрицательный ко-
рень по модулю боль-
ше положительного;
если q < 0, р < 0, то корни имеют раз-
ные знаки, причем
отрицательный ко-
рень по модулю мень-
ше положительного.
Пример 1.
Решим уравнение 2х2 - Зх + 1 = 0.
Решение:
3±>1з2 -4-2-1 3 ± Л
1,2	2-2	4
Так как D = 1, т. е. D > 0, то уравнение
имеет два корня:
1
Ответ: хг = 1, х2 = — .
Пример 2.
Решим уравнение 2х2 - Зх + 4 = 0.
Решение:
*1,2
3 ± >/9 - 4 - 2 - 4
2 2
Так как D = -23, т. е. D < 0, то уравне-
ние не имеет действительных корней.
Пример 3.
Решим уравнение Эх2 + 6х + 1 = 0.
Решение:
Пример.
Разложим на множители трехчлен
2х2 - Зх + 1.
Решение.
Находим корни уравнения
2х2 - Зх + 1 = 0:
1
xi - i; *i= 2 •
Следовательно,
о	1
2х2 - Зх + 1 = 2 (х - 1) (х - - ).
Л
-6 ± V36 - 4 9 1 -6	1
1,2	2 9	18	3
Так как D = 0, то уравнение имеет два
1
равных корня
О
Приведенное квадратное уравнение
Уравнение вида х2 + рх + q = 0, где р и
q — действительные числа, называется
приведенным квадратным уравнением.
Число р называют коэффициентом при
неизвестном х, a q — свободным членом.
Корни приведенного квадратного урав-
нения вычисляют по формуле
Х1,2-«•
Приведенное квадратное уравнение име-
ет два равных корня, если — - <?•
I z; J
Пример.
Решим уравнение х2 - 12х - 28 = 0.
Решение:
12	/12 А2
Xi2= — + J— +28 =
1,2 2 VI 2 J
= 6 ± V36 + 28 = 6 ± >/64 = 6 ± 8;
хг = 14, х2 = -2.
Ответ: хг = 14, х2 = -2.
Решить приведенное квадратное урав-
нение, т. е. найти его корни, можно по
теореме Виета.
____________________________________________I
8
I----------------------------------------
7.	Неравенства, их основные свойства
Определения
При сравнении двух действительных
чисел х и у возможны три случая:
1)	х = у (х равно у);
2)	х > у (х больше у);
3)	х < у (х меньше у).
Число х равно числу у, если разность
х - у равна нулю. Число х больше числа у,
если разность х - у больше нуля.
Число х меньше числа у, если разность
х - у меньше нуля.
Например, 6 > 4, т. к. 6 - 4 = 2 > О,
3 < 5, т. к. 3 - 5 = -2 < 0.
Запись х> у или у < х читается так:
♦х больше или равно у» или «р меньше
или равно х».
Запись, в которой два числа или два
выражения, содержащие переменные, со-
единены знаком >, <, > или <, называ-
ется неравенством.
Неравенства, составленные с помощью
знаков > или <, называют строгими;
неравенства, составленные с помощью
знаков < или > , называют нестрогими.
Два неравенства вида а > b и с > d назы-
ваются неравенствами одинакового смыс-
ла, а вида а > b, с < d — неравенствами
противоположного смысла. Например,
5 > 2 и -4 > -6 — неравенства одинаково-
го смысла, а неравенства 6 > 4 и 5 < 10
являются неравенствами противополож-
ного смысла.
Неравенства, содержащие только чис-
ла, называются числовыми неравенствами.
Если неравенство представляет собой
истинное высказывание, то оно называ-
ется верным.
Вместо двух неравенств х < а, а < у упот-
ребляется запись х < а < у; такое неравен-
ство называется двойным.
Если неравенство содержит буквенные
выражения, то оно является верным лишь
при определенных значениях входящих в
него переменных.
Например, неравенство (о + Ь)2 >0 вер-
но при любых значениях а и Ь, так как
квадрат любого числа есть число поло-
жительное; неравенство х2 > 0 верно при
любых значениях х, кроме нуля.
Решить неравенство — значит указать
границы, в которых должны заключать-
ся действительные значения неизвестных
величин, чтобы неравенство было верным.
Пример. Решим неравенство -2х > 4.
Ответ: Неравенство верно, если х < -2.
I________________________________________
8.	Арифметическая прогрессия
Определения
Числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен
предшествующему члену, сложенному с
одним и тем же числом, называется ариф-
метической прогрессией.
Обозначают арифметическую прогрес-
сию, употребляя знак + , т. е. пишут
-HZl,a2, ...,ап,... .
Общий член арифметической прогрессии
рассчитывается по формуле
ап = а{ + d (п - 1),	(1)
I где а} и d — любые заданные числа.
Число а называется первым членом
арифметической прогрессии, число d —
разностью арифметической прогрессии.
Разность между любым членом арифме-
тической прогрессии и ему предшествую-
. щим членом равна одному и тому же чис-
лу:
а2 - а1 ~ а3 “ а2 = — = ak - ak-l = d-
I Для того чтобы задать арифметическую
I прогрессию, достаточно знать ее первый
член аг и разность d.
Если разность арифметической прогрес-
сии — положительное число, то такая
прогрессия является возрастающей; если
разность — отрицательное число, то та-
кая прогрессия является убывающей.
Пример 1. Назвать первые пять членов
прогрессии:
J/ a) at - 2, d = 3: -2, 5, 8, 11, 14;
б) at = 12, d = - 3: -12, 9, 6, 3, 0.
Свойства арифметической прогрессии
1.	Каждый член арифметической про-
грессии, начиная со второго, равен пре-
дыдущему, сложенному с разностью d,
. т. е.
I ak+l = ak+d> а1 = a, k = 1, 2.....
2.	Каждый член арифметической про-
грессии есть среднее арифметическое двух
равноудаленных от него членов этой про-
грессии, т. е.
I	„ _ ak+m + ak-m
а^~-------2----’
где k и т — любые натуральные числа и
k > т.
3.	Любой член арифметической прогрес-
| сии, начиная со второго, является сред-
I ним арифметическим предшествующего и
последующего членов, т. е.
I	_	_ ап+ ап+2	,г
।	ап+1 -----2----’ где ле^
9
2 Шпаргалки по алгебре и геометрии
I---------------------------------------
4.	Для любой конечной арифметической
п прогрессии сумма двух членов, равноот-
1 стоящих от ее концов, есть величина по-
стоянная для данной прогрессии, равная
п сумме крайних членов:
ak + ат = а1 + ап'
где k и т — номера членов,удовлетворяю-
щие условию k + т = 1 + п.
Примечание.
Свойство 1, так же как и свойство 2,
является условием, достаточным для того,
чтобы соответствующая последователь-
ность ар а2, .... ап, ... была арифметичес-
кой прогрессией.
Сумма членов
I арифметической прогрессии
Обозначим Sn сумму п последователь-
ных членов арифметической прогрессии:
Sn = а1 + а2 + а3 + •••+ ап-1 + ап- (2)
Эта сумма вычисляется по формуле
„ (щ + ап)
Sn = V 9 ’п	(3)
А
Сумма п последовательных членов ариф-
метической прогрессии равна полусумме
ее крайних членов, умноженной на число
членов.
Иначе Sn можно вычислить по формуле
2ai+d(n-l)
I	sn =-----«-------п •	(4)
is
Пример. В арифметической прогрессии
(с„) известно, что с2 = -2, d = 3. Найдем
Cj и сумму первых пяти членов прогрес-
сии.
Решение:
с2 = С} + d, откуда
Ci = с2 - d = -2 - 3 = -5.
По формуле (1) найдем с5:
с5 = сг + d (5 - 1) = -5 + 3 • 4 = 7.
По формуле (3) найдем сумму первых пяти
членов данной арифметической прогрес-
сии:
(Ci+cs)	-5 j2
&	2	2
Можно вычислить эту же сумму и по
формуле (4):
2(-5) + 3(5-1)
Sf)------2------
= zio±^.5 = 5.
2
5 =
Свойства неравенств
1.	Если а > Ь, то b < а.
2.	Если а > b и Ь > с, то а > с.
Пример.
Если х > Зу, а Зу > 12, то х > 12.
3.	Если к обеим частям верного неравен-
ства прибавить одно и то же число, то
получится верное неравенство, т. е. если
а>Ь, гоа + с>Ь + с или а - с > b - с.
Пример.
Если к обеим частям неравенства 9 > 5
прибавить 7, то получим 16 > 12, а если
вычтем 7, то получим 2 > -2.
4.	Любой член неравенства можно пере-
нести из одной части в другую, переменив
его знак на противоположный, т. е. из
а + b > с следует, что а> с-Ь, а + b- О 0.
Например, х + 9 > 4, х > 4 - 9, х> -5.
5.	Если обе части верного неравенства
умножить на одно и то же положительное
число, то получится верное неравенство.
Например, если а > Ъ, то 5a > 5b.
6.	Если обе части верного неравенства
умножить на одно и то же отрицатель-
ное число и изменить знак неравенства
на противоположный, то получится вер-
ное неравенство.
Например, если а > Ь, то а (-1) < Ь (-1),
т. е. -а < -Ь.
7.	Так как деление можно заменить ум-
ножением на число, обратное делителю,
то аналогичные правила можно применить
и к делению.
Действия с неравенствами
1.	Неравенства одинакового смысла
можно почленно складывать.
Например, при (а > Ь) + (с > d)
а + с > Ь + d.
2.	Неравенства противоположного смыс-
ла можно почленно вычитать, оставляя
знак того неравенства, из которого про- ;
изводится вычитание.
Например, при (а > Ь) - (с < d)
а - с > b - d.
3.	Неравенства одинакового смысла с
положительными членами можно почлен-
но умножать.
Например, при а> b>0uc>d>0
ас > bd.
4.	Обе части неравенства с положитель-
ными членами можно возводить в одну и
ту же натуральную степень. Например, при
а > b
ak > bk,
где а > О, b > 0, k е N.
________________________________________I
10
I-----------------------------------------
|	9. Геометрическая прогрессия
Определения
, Числовая последовательность, первый
член которой отличен от нуля, а каж-
дый член, начиная со второго, равен пред-
шествующему члену, умноженному на
I одно и то же число, не равное нулю, на-
I зывается геометрической прогрессией:
bV ^2» ь3’ •••» ьп’ ~
Число q, не равное нулю, называется зна-
менателем геометрической прогрессии.
। Согласно определению, члены геометри-
ческой прогрессии формируются по пра-
вилу:
Ь2 = b^q-,
I *3 = ^2® = &1Ч ;
t>4 = ЬЗЧ = М3 и т- Д-
Следовательно,
I	t>2 : bi = Ь$ : t>2 = ••• =
j	= bn : bn_i = fen+1 : bn = q.
1 Формула общего члена (л-го члена) гео-
метрической прогрессии имеет вид
bn=bi-qn~1,	(1)
где n е N.
Из условия * 0, q * 0 следует, что
ни один из членов геометрической про-
грессии не может быть равен нулю.
Для того чтобы задать геометрическую
прогрессию (Ьп), достаточно знать ее пер-
| вый член Ь± и знаменатель q. Если > 0 и
I q > 1, то геометрическая прогрессия будет
* возрастающей’, если &1>0и0<д<1 —
' убывающей.
Если q < 0, то знаки членов прогрессии
будут чередоваться и она не будет моно-
тонной.
Примеры. Определим первые пять чле-
нов геометрической прогрессии:
а) = 1, q = 2
.	1, 2, 4, 8,16 — возрастающая прогрессия;
I б)^ = 24,9=1
I	3
24, 12, 6, 3,	— убывающая прогрес-
Л
сия;
в) t>j = 2, q = -3
I 2, -6, 18, -52, 156 — прогрессия не яв-
I ляется монотонной.
I Свойства геометрической прогрессии
1. Каждый член геометрической прогрес-
| сии, начиная со второго, равен предыду-
I щему, умноженному на знаменатель про-
грессии, т. е.
bk+1 =bk q, где k = 1, 2, ...	(2)
I_________________________________________
10. Степенная функция
Степенной функцией называется функ-
ция вида у = хп, где п — любое действи-
тельное число (показатель степени).
Функции у = х, у = г2, у = — — част- '
X	I
ные виды степенной функции (n = 1, п = 2, ।
п = -1).	|
Свойства функции у = х2* (с четным |
положительным показателем степени), 
где k — число натуральное	।
Например, у = х2, у = х4 (рис. 1) и т. д.
I
А	х//?.
д	ч ////
А
—i	j----►
-10 1х
Рис. 1	.
1.	Область определения — множество R .
действительных чисел.	I
2.	Область значений — множество поло- |
жительных действительных чисел, т. е. .
[0;°°).
3.	Функция четная, так как (-x)2fc - х2*,
поэтому ее достаточно исследовать лишь на
полуинтервале [0; + °°). График функции
симметричен относительно оси Оу.
4.	На интервале (-°°;0] функция убы-
вает, а на интервале [0; + °°) — возрастает.
5.	Минимум функции равен нулю.
6.	Промежутки знакопостоянства: функ-
ция у = x2fc принимает положительные
значения при всех х * 0. В точке х = 0
она равна нулю. Графиком функции явля-
ется парабола, ветви которой направле-
ны вверх.
Свойства функции у = x2fc + 1 (с нечет-
ным положительным показателем степе-
ни), где k — число натуральное
Например, у = х3, у = х5 (рис. 2) и т. д.
1.	Область определения: х е R
2.	Область значений: у е R .
3.	Функция нечетная, так как
(_х)2й+1 _ _x2fc+l.
График функции симметричен относи- 1
тельно начала координат.	,
_______________________________________I
11
4.	Функция возрастает на всей число-
вой оси. В самом деле, если 0 < Xj < х2,
то х?*+1 < х?*+1 .
J	Ct
Если XJ < х2 < 0, то вновь
„2Л+1
Х1
Графики функций у = хп для п = 2k и
п = 2k + 1 называются параболами. При
п — 2 — это просто парабола, при п = 3 —
кубическая парабола.
Свойства функции у = ух
Рассмотрим функцию у = Jx, обратную
функции у = х1 2 3 (рис. 3).
1. Область определения — множество
положительных действительных чисел,
т. е. [0; + °°).
2. Область значений — множество поло-
жительных действительных чисел, т. е.
(0; + о°).
3. Функция монотонно возрастает от 0
до +°°.
График функции у = Jx может быть
получен путем зеркального отображения
относительно биссектрисы координатно-
го угла графика у = х2, соответствующего
участку х > 0.
2. Квадрат каждого члена геометричес-
кой прогрессии равен произведению двух
равноудаленных от него членов этой про-
грессии, т. е.
bk = bk-m bk+m’	(3)
где k и т — любые натуральные числа,
причем k > т.
Из формулы (2) следует, что если все чле-
ны геометрической прогрессии положи-
тельны, то можно записать
bk = ->]bk-m ' bk+m •
Каждый член геометрической прогрес-
сии есть среднее геометрическое членов,
равноудаленных от него.
3. Для любой геометрической прогрес-
сии справедливо равенство:
bk ’ bm = br ' bs>
где k, т, г, з — номера членов и k + т =
В частности, если геометрическая про-
грессия состоит из п членов, то
bk  bn-k+l = bL'bn>
где k = 1, 2, ..., п.
Произведение двух членов конечной гео-
метрической прогрессии равноотстоя-
щих от ее концов, есть величина посто-
янная, равная произведению ее крайних
членов.
Примечание. Каждое из свойств 1 и 2
является условием, необходимым и доста-
точным для того, чтобы соответствующая
последовательность fcp b2, ..., Ьп, ... была
геометрической прогрессией.
Сумма членов геометрической
прогрессии
Сумма п членов конечной геометричес-
кой прогрессии Sn = by + 63 +... + bn вы-
числяется по формуле
_М1-<7П)
(4)
1-д
Пример. Определим сумму первых деся-
ти членов геометрической прогрессии, у
которой = 5, q = 2.
Решение. Используя формулу (4), полу-
чим
к fl _ о10\
,810 =	, ,	= 5 Ю23 = 5115.
i Ct
12
11. Показательная функция
Показательной функцией называется
функция вида у = ах, где а — некоторое
положительное число, не равное единице
(основание степени).
Свойства функции у = ах при а > 1
1.	Область определения — множество R
действительных чисел.
2.	Область значений — множество поло-
жительных действительных чисел, т. е.
(0;°°).
3.	Функция — возрастающая.
4.	При х = 0 значение функции равно 1.
5.	Если х > 0, то ах > 1;
если х < 0, то 0 < ах < 1.
6.	График функции имеет единственную
асимптоту — ось абсцисс (рис. 1).
Свойства функции у = ах при 0 < а < 1
1.	Область определения — множество R.
2.	Область значений (О • °°) •
3.	Функция — убывающая.
4.	При х = 0 значение функции равно 1.
5.	Если х > 0, то 0 < у < 1;
если х < 0, то у > 1.
6.	График функции имеет единственную
асимптоту — ось абсцисс (рис. 2).

Рис. 2
Построение графиков
Построим графики следующих показа-
тельных функций:
а) у = 2х; б) у = -3 • 2х-, в) у = 2 К
а) у = 2х. Так как а > 1, то функция —
возрастающая. Рассчитав значения функ-
ции при четырех значениях аргумента:
-1; 0; 1; 2, получим четыре значения функ-
ции:	1; 2; 4.
Л
12.	Логарифмическая функция,
ее график и свойства
Построение графика логарифмической
функции
Рассмотрим показательную функцию
у = ах (где а > 0, а 1 ). Функция у = ах
является монотонной (возрастающей при
а > 1 и убывающей при 0 < а < 1). Моно-
тонная функция имеет обратную функ-
цию.
Чтобы найти обратную функцию, нуж-
но из формулы у = ах выразить х через у:
х = logay, а затем поменять обозначения х
на у и у на х, тогда получим у = logax.
Функция у = logax, где а — заданное
число, а > 1, а 1, называется логарифми-
ческой функцией.
Таким образом, показательная и лога-
рифмическая функции при одном и том
же основании являются взаимно обрат-
ными функциями.
График логарифмической функции мож-
но построить, используя график обрат-
ной ей функции у = ах.
График функции у = logax будет сим-
метричен графику у = ах относительно
прямой у = х при условии, что основание
логарифма и основание степени одинако-
вы и равны а.
На рис. 1 изображен график функции
у = logax при a > 1, а на рис. 2 — график
функции у = logax при 0 < a < 1.
Рис. 2
График логарифмической функции рас-
положен правее оси Оу и проходит через
точку (1; 0).
13
I---------------------------------------
Свойства логарифмической функции
1.	Область определения — множество
положительных действительных чисел,
т. е. (0; о»).
2.	Область значений — множество R всех
действительных чисел.
3.	Монотонность:
Если а > 1, функция является возраста-
ющей.
Если 0 < а < 1, функция является убы-
вающей.
4.	Промежутки знакопостоянства:
•	Если а > 1 (рис. 1), то
при 0 < х < 1 функция принимает отри-
цательные значения: у < 0;
при х = 1 функция равна нулю;
при х > 1 функция принимает положи-
тельные значения: у > 0.
•	Если 0 < а < 1 (рис. 2), то
при 0 < х < 1 функция принимает поло-
I жительные значения: у > 0;
при х = 1 функция равна нулю;
при х > 1 функция принимает отрица-
тельные значения: у < 0.
I 5. Функция непериодическая, ни чет-
ная, ни нечетная.
6. Единственной асимптотой графика
логарифмической функции является ось
ординат.
Нанесем полученные значения на коор-
динатную плоскость (рис. 3).
Рис. 3
б) график функции у =
ричен относительно оси Ох графику фун-
кции у = 3 • 2х. Поэтому сначала строим
график функции у = 3 • 2х, а затем получа-
ем график функции у = -3 • 2х (рис. 4).
-3 • 2х симмет-
Рис. 4
в) у = 21Х1 Построим сначала график
функции у = 2х при х > 0 . Поскольку
функция у = 21Х1 четная, то ее график
симметричен относительно оси Оу (рис. 5).
Рис. 5
14
I
13.	Корень п-й степени
из действительного числа
Определения
Корнем п-й степени ( n е N и п * 1) из
действительного числа а называется дей-
ствительное число х, п-я степень которо-
го равна а.
Корень п-й степени из числа а обознача-
ется символом 4а. Тогда по определению
{4а} = а.
Нахождение корня п-й степени из числа
а называется извлечением корня.
Число п называется показателем кор-
ня, число а — подкоренным выражением.
Заметим, что где k е N и а < О,
не существует.
Например, выражения 7—4; $-16 не
имеют смысла.
Корень нечетной степени извлекается и
из отрицательного числа:	= -2, так
как (-2)3 = -8. Чтобы устранить двузнач-
ность корня п-й степени из числа а, вво-
дится понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем п-й степени из
числа а (а>0) называется неотрицатель-
ное число Ь, п-я степень которого равна а,
где n > 1 — натуральное число, т.е. Ьп = а.
Корень второй степени из числа а назы-
вается квадратным и обозначается 4а.
Свойство арифметического корня:
= ^ = |а|,
т.е. он — всегда положителен.
Действия с арифметическими
корнями
1.	Значение корня не изменится, если
его показатель увеличить в т раз и одно-
временно возвести подкоренное выраже-
ние в степень т:
4а=пг^, а^О.
Например, $4 = 2$43 = $64.
2.	Значение корня не изменится, если
его показатель уменьшить в п раз и одно-
временно уменьшить в п раз показатель
степени подкоренного выражения
r^k=m-.n^t а^0
Например, $8 = $23 = $2.
14.	Свойства степени
с отрицательным, нулевым
и дробным показателями
Степень с нулевым показателем
Любое число а, отличное от нуля, в ну-
левой степени равно единице, т. е. а®= 1.
( к \0
Примеры: (-3)°= 1; 152°= 1; — = 1.
Степень с отрицательным показателем
Степень какого-либо числа а с целым
отрицательным показателем есть едини-
ца, деленная на степень того же числа с
положительным показателем, значение
которого равно модулю отрицательного
-п 1
показателя, т. е. а п ----
ап
„	„о 1	1
Примеры: 3 z = — = —;
З2 9
2 V2
3 J
3
2
*=21;
4	4
,-зг2=^4-
15.	Логарифмы
Логарифмом числа b (Ь > 0) по основа-
нию а, (а > 0, а *1) называют такое
число с, что ас - b :
с = logob.
Примеры: log28 = 3, так как 23 = 8;
log20,25 = -2, так как 2-2 = ^- = 0,25.
Знаком 1g без указания основания обо-
значается десятичный логарифм, т. е.
логарифм по основанию а = 10.
Если в выражение ас = b подставить
значение с = logQt>, получим основное
логарифмическое тождество:
а1о«аь > Ь.
Например, 3I083 6 = 6, 2log2 7 = 7. Из
основного логарифмического тождества
следует, что для любого х верно равенство
logaax =х.
Из определения логарифма следует, что
logol=0 и logaa = 1.
15
I----------------------------------------
Степень с дробным показателем
Степень какого-либо числа а с дробным
Р.	dI—
показателем есть корень Va?, где чис-
литель р является показателем корня, а
I знаменатель q — показателем степени под-
£
I коренного выражения. Число — раци-
ональная дробь. Если р е Z, qe N, то
1	Р
I по определению а9 =1[аР.
Примеры:
2_______ 2
273 = У 272 = (^27) = З2 = 9;
I (-8)3 = О = -2.
1	3
Выражения (-8)2 и (-8)4 смысла не
имеют.
Степень с рациональным показателем
Степень с рациональным показателем
обладает теми же свойствами, что и сте-
пень с натуральным показателем, а имен-
но: если а > 0 и п е Q, те Q, то
а) ат • ап = ат+п; б) ат : ап = ат~п;
в) (ат)п = атп; г) (abc)n = апЬпсп;
(а)П _ ап
д) I b I ~ Ьп
Примеры вычисления логарифмов
Вычислить:
а) 1о63^; б) logo,5 32;
Z1 \2+2logj 6
вЦз] 5 '
Решение, а) Логарифм — это показатель
степени, в которую нужно возвести осно-
вание 3, чтобы получилось число
о1
Обозначив показатель степени через х, по-
лучим 3х =~, 3х = З-4, т. е. х = -4.
б) log0,5 32 = х, 0,5х = 32;
Ответ: logo,5 32 = -5.
>2+2 log! 6
з 3
yogi 6
з 3
3.	Корень из произведения нескольких
сомножителей равен произведению кор-
ней той же степени этих сомножителей:
=	a>0; fc>0; с > 0.
Например,
у/а^Ь^ = у[а^у[^ = a2yjb2b = a2by[b;
>/75 = >/25 3 = >/25  >/3 = 5>/3.
Можно выполнять обратные преобразо-
вания по этому свойству:

Например, у/^2 ^/b^ = ^1а2Ьс5;
yjcr'b ylab2, = yja^b^ = a2b2.
4.	Корень из частного равен частному от
деления корня из делимого на корень из
делителя, показатели будут одинаковые:
^/a:b =rrtfa:ry[b, a > 0, b>0.
Можно выполнять обратные преобразова-
ния по этому свойству:
727^27 _ 3
Например, \ & ~ sfa =	’5*
5.	Чтобы возвести корень в какую-либо
степень, достаточно возвести в эту сте-
пень подкоренное выражение:
(^)П = ,
а > 0.
Справедливо и обратное преобразова-
ние:
= (^)П , а > 0.
Например,
{y]c2d =^/c4J2 = y[c*cd2 = cy[cd2;
>/27 = Тз3 = (>/з)3 .
в) 1 2 36
= 9 6 =Т = 4-
Ответ: 4.
16
16.	Решение
квадратных неравенств
Определения
Квадратным неравенством называет-
ся неравенство вида ах2 + Ьх + с > 0, где
а, Ь, с — действительные числа, а 0.
(Вместо знака > может стоять любой
из знаков >; <; <.)
Решить неравенство, содержащее неиз-
вестную переменную, — значит найти мно-
жество значений переменной, при кото-
рых это неравенство является верным. Эле-
менты этого множества называются
решениями неравенства.
Неполные квадратные неравенства
1.	Если с = 0, а > 0, то неравенство име-
ет вид ах2 + Ьх > 0, ах I х + — I > 0.
а I
v ' Ь
Неравенство имеет два корня: 0; —
Таким образом, неравенство решаем ме-
тодом интервалов, раскладывая левую
часть неравенства на сомножители.
Ответом будут два промежутка:
(	ь}
— OOJ--и (0.+ оо)
\	а )
2.	Если Ь = с = 0, а > 0, то неравенство
ах2 > 0 имеет множество решений: все
действительные числа, кроме нуля.
Решение неравенства ах2 + Ьх + с > 0
В зависимости от знака дискриминанта
D = Ь2 - 4ас могут иметь место три случая:
1.	Если D < 0, то график квадратного
уравнения у = ах2 + Ьх + с не пересекает
оси Ох и лежит выше этой оси при а > 0 и
ниже ее при а < 0.
В первом случае множество решений
неравенства есть вся числовая прямая
(рис. 1), а во втором оно является пустым
(рис. 2).
2. Если D > 0, то график квадратного
уравнения пересекает ось Ох в точках х}
и х2 (Xj< х2), которые являются корнями
уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
--------------------------------------!
17.	Основные свойства
логарифмов. Формула перехода ।
к новому основанию
Свойства логарифмов
1.	Логарифмы существуют только для
положительных чисел, т. е. loga N (где i
a > 0 и a * 1) существует, если N > 0.
2.	При основании a > 1 логарифмы чи-
сел N > 1 положительны, а логарифмы
чисел 0 < N < 1 отрицательны. Например,
log3 7 > 0, log3 | < 0.
3.	При основании 0 < a < 1 логарифмы
чисел N > 1 отрицательны, а логарифмы |
чисел 0 < N < 1 положительны.
Например, log] 6 < 0, logj — > 0.
3	2
4.	Равным положительным числам со-
ответствуют и равные логарифмы, т. е.
если Nj = N2, to loga N\ = loga
5.	Если a > 1, то большему числу со-
ответствует и больший логарифм, т. е.
если > N2> т0 l°£a > loga ^2-
Например, log3 9 > log2 5.
6.	Если 0 < a < 1, то большему числу
соответствует меньший логарифм, т. е.
если > N2, то logQ < loga X2.
Например, logj 9 < logj 5.
3	3
7.	Логарифм единицы по любому осно-
ванию (a > 0, а * 1 ) равен нулю, т. е.
loga 1 = 0.
8.	Логарифм самого основания равен 1,
т. е. loga a = 1.
Формула перехода от одного основания
логарифмов к новому основанию
Пусть существует logafc, т. е. a > 0, а * 1
и Ь > 0.
Тогда для любого числа с, такого, что
с > 0, с * 1, существуют logc Ь и logc а
и верно равенство
.	, logcb
log“f' = M7'	(I>
Примеры.
Вычислить: а) log j 32; б) log^^-.
* 1
Решение, а) Основание логарифма -т,
число 32. Эти числа кратны 2, поэтому
17
удобно перевести логарифм к основанию 2
по формуле (1), где а = -7; b = 32 и с = 2.
4
Получим log j32 = 1°£2 32 = JL = -2,5,
4 log2
т. к. 25 = 32; 2-2 =
4
Ответ: -2,5.
б) Переведем 1°£ч/з gj к основанию 3,
получим
, 1
1 log3 йТ 1
Ответ: -8.
Отметим простые следствия формулы
перехода:
1 1. 1
logafc = 1----;
logfc а
1 „ t_lo8ab.
loga* *	5
logx b = -logab, (k = -1).
a
Эти точки разбивают числовую прямую
на три промежутка: (-°°;xi), (хрх2),
(х2; + °°).
•	Если а > 0, то решением неравенства
будут два промежутка, где квадратный
трехчлен положителен: (-°°;xi) и
(х2; + оо) (рис. 3);
•	Если а < 0, то решением неравенства
будет промежуток (хр х2), где квадрат-
ный трехчлен положителен (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
3. Если D = 0, то график квадратного
уравнения касается оси Ох в точке Хр
являющейся единственным корнем
Ь	9
Х1 - ~~ уравнения ах£ + Ьх + с = 0.
ла
Точка Xi разбивает числовую прямую на
два промежутка: (-°°;xi)h (xi;-t-°°).
• Если а > 0, то решением неравенства
будут два промежутка: (-°°;xi) и
(xi;-t-°°). Так как неравенство строгое,
то Xi исключается из решений неравен-
ства (рис. 5).
• Если а < 0, то неравенство ах2 + Ьх + с > 0
не имеет решений (рис. 6).
V	а >0
Рис. 5
18
I----------------
18. Свойства функций
Монотонные функции
Функция f(x) называется возрастаю-
I щей на данном числовом промежутке X,
если большему значению аргумента
I хе X соответствует большее значе-
ние функции f(х), т. е. для любых Xj и х2
из промежутка X, таких, что х2 > х^,
выполняется неравенство flx2) > f(X]).
I Функция f(x) называется убывающей
на данном числовом промежутке X, если
большему значению аргумента хе X
1 соответствует меньшее значение функ-
ции f(х), т. е. для любых х^ и х2 из проме-
жутка, таких, что х2 > Хр выполняется
неравенство Дх2) < f(X]).
Функция только возрастающая или
только убывающая на данном проме-
I жутке называется монотонной на этом
промежутке.
О монотонности функции можно судить
по ее графику. Например, функция, гра-
I фик которой изображен на рис. 1, возра-
стает при всех значениях х. Функция, гра-
фик которой изображен на рис. 2, убывает
на промежутке (~°°; О] и возрастает на
 промежутке [0; + °°).
Функция у = f(x) называется нечет-
ной, если для любого х из области опреде-
ления функции выполняется равенство
Д-х) = -Дх).
Примеры нечетных функций:
у = х3, у = sin х, у = tg х, у = ctg х.
Для этих функций выполняется условие:
(-х)3 = -х3, sin (—х) = -sin х, tg (-х) =
= -tg х, ctg (—х) = -ctg х.
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат (рис. 4).
Рис. 4
Заметим, что не всякая функция явля-
ется четной или нечетной. Например, каж-
дая из функций у = 12х + 1, у = х4 + х,
у = (х + З)2 не является ни четной, ни
нечетной.
Четные и нечетные функции
Функция у = f(x) называется четной,
если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(~x) =
= f(x).
Примеры четных функций: у = х2, у = х4,
У = |х| , у = cos х.
Для этих функций выполняется усло-
вие:
(~х)2 = х2, (-х)4 = х4; |-х| = |х|;
cos (—х) = cos х.
Графики четных функций симметрич-
ны относительно оси Оу (рис. 3).
0
Рис. 3
I_________________________________
19. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия Ср с2,..., сп,....
знаменатель которой |д| < 1 и q * 0 , на-
зывается бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессией.
Сумма членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вычисляется
по формуле
S = (1)
Пример 1. Найдем сумму бесконечно
убывающей
геометрической прогрессии
2
27
2.
3 9
Решение. В данной геометрической про-
грессии q = — . Используя формулу (1),
3
получим
s=rr3'
3
19
I----------------------------------------
Периодические функции
Функция f(x) называется периодичес-
кой, если существует такое число Т * О,
что при любом х из области определения
функции числа х - Т и х + Т также
принадлежат этой области и выполня-
ется равенство f (х) = f (х - Т) = f (х + Г).
В этом случае число Т называется пери-
одом функции f (х).
Если Т — период функции, то произве-
дение Tk, где k е Z, k * 0 , также явля-
ется периодом функции. Следовательно,
всякая периодическая функция имеет бес-
конечное множество периодов. На практи-
ке обычно рассматривают наименьший по-
ложительный период.
На рис. 5 приведен график периодичес-
кой функции с наименьшим положитель-
ным периодом Т.
Пример 2. Найдем сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
2 _2 2 _2_
’ 3’9’ 27 ’
Решение. В данной геометрической про-
грессии q = - — . Используя формулу (1),
3
получим
Из рис. 5 видно, что значения периоди-
ческой функции у = Дх) через промежу-
ток, равный периоду Т, повторяются. Это
обстоятельство используется при постро-
ении графиков периодических функций.
Например, периодическими являются
тригонометрические функции у = sin х,
у = cos х с периодом Т = 2л и у = tg х,
у = ctg х с периодом Т = л .
Ограниченные и неограниченные
функции
Функция называется ограниченной,
если ее абсолютное значение при любых
значениях аргумента не превосходит
какого-либо положительного числа. Дру-
гими словами: функция у — f(x) называет-
ся ограниченной, если существует такое
положительное число А, что |/(х)| < А при
всех х.
График ограниченной функции лежит
целиком в полосе между прямыми, парал-
лельными оси Ох, проведенными на рас-
стоянии А от нее.
Например, ограниченными являются
функции у = sin х, у = cos х, так как
|sinx|<l, |cosx|<l.
Если не существует такого положитель-
ного числа А, что |/(х)| < А при всех х, то
функция Дх) называется неограниченной.
Например, функции у = х2, у = х3,
У = —, У = |х| являются неограниченны-
ми.
Промежутки знакопостоянства
и корни функции
Числовые промежутки, на которых фун-
кция сохраняет свой знак (то есть остает-
ся положительной или отрицательной),
называются промежутками знакопостоян-
ства данной функции.
О промежутках знакопостоянства той
или иной функции легко судить по ее гра-
фику. Значение аргумента х из той обла-
сти определения функции у, при которых
она обращается в нуль, т. е. /(х) = 0, назы-
ваются корнями данной функции.
20
20. Геометрические преобразования
графиков функций
Если график функции у = /(х) известен,
то с помощью некоторых преобразований
(параллельного переноса, осевого и цент-
ральной симметричного отображения и
т. п.) можно построить графики более
сложных функций.
Растяжение и сжатие графика функции
1. График функции f(bx) получается
сжатием графика /(х) в b раз к оси Оу
1
при b > 1 или растяжением в — раз от
2. График функции af(x) получается
растяжением графика /(х) вдоль оси Оу
в а раз при а > 1 и сжатием вдоль этой
Рис. 2
Параллельный перенос
графика функции
1. График функции /(х + а) получается
параллельным переносом графика f(x) в
отрицательном направлении оси Ох на |а|,
I____________________—_______.__________
если а > 0, и в положительном направле-
нии оси Ох на |а|, если а < 0 (рис. 3).
Рис. 3
2. График функции /(х) + b получается
параллельным переносом графика f(x)
вверх по оси Оу на Ь, если b > 0, и вниз по
оси Оу на Ь, если Ь < 0 (рис. 4).
Симметричное отображение
графика функции
1.	График функции у = /(-х) получается
симметричным отображением графика
функции /(х) относительно оси Оу (рис. 5).
Рис. 5
2.	График функции у = |/(х)| получает-
ся из графика функции у = /(х) следую-
щим образом: та часть графика у = Дх),
которая лежит над осью Ох, сохраняется,
а та его часть, которая лежит под осью
Ох, отображается симметрично относи-
тельно оси Ох (рис. 6).
21
3.	График функции у = f |х| получается
из графика функции у = f(x) следующим
образом: при х > 0 график функции
у = f(x) сохраняется, а при х < 0 получен-
ная часть графика отображается симмет-
рично относительно оси Оу (рис. 7).
Рис. 10
Рис. 7
Примеры построения графиков
функции
Пример 1. Построить график функ-
ции у = |х|.
Построим график функции р = х. Часть
этого графика, лежащую над осью абс-
цисс, сохраним, а часть, лежащую под
осью абсцисс, отобразим симметрично
этой оси (рис. 8).
Рис. 11
Сохранив часть графика, лежащую над
осью абсцисс на рис. 11, а часть его, ле-
жащую под осью абсцисс, отобразив сим-
метрично этой оси, получим график функ-
ции у = ||х -1| -1| (рис. 12).
Рис. 8
Пример 2. Построить график функ-
ции у = ||х -1| -1|.
Последовательно построим графики сле-
дующих функций:
У = х - 1 (рис. 9),
у = |х -1| (рис. 10),
у = |х -1| -1 (рис. 11).
Рис. 12
22
I------------------------------------
21.	Логарифмирование
I	и потенцирование
 Теоремы логарифмов
Теорема 1. Логарифм произведения двух
положительных чисел равен сумме лога-
рифмов сомножителей.
Пусть существуют числа loga Ь и
logo с , т. е. а > 0, а * 1, b > 0 и с > 0.
Тогда существует число logo(fe • с) и вер-
но равенство:
loga (Ь' с) = logob + logec.	(1)
Теорема 2. Логарифм степени равен
произведению показателя степени на
логарифм ее основания.
Пусть существует число loga b , то есть
а > 0, а * 1 и b > 0. Тогда для любого
числа с существует число log0 bc и верно
равенство:
logobc ® с logeb- (2)
Теорема 3. Логарифм частного двух
I положительных чисел равен разности
логарифмов делимого и делителя.
| Пусть существуют числа logo Ъ и
-----------------------------------------!
22.	Производная суммы и разности
двух функций
Теорема. Если функции и(х) и v(x)
имеют производные во всех точках ин-
тервала (а; Ь), то
[u (х) ± v (лс)]/ = и'(х) + v(x)
для любого х е (а; Ь).
Доказательство. Пусть f(x) = и(х) +
+ р(х), найдем /'(х). Вычислим
Д/(х) = f (х + Дх) - f (х) =
= и (х + Дх) + v (х + Дх) - [u (х) + v (х)] =
= и (х + Дх) - и (х) + v (х + Дх) - v (х) =
= Ди + До.
Найдем отношение
Д/(х) _ Ди + До _ Ди До
Дх Дх Дх Дх'
f(x) = lim = lim
Дх—>0 Д* Дх->0
1-	Ди 1- Д^ О \ Г, ч
= lim — + lim — = и (х) + р (х).
Дх->0 Дх Дх->0 Дх
Ди Др
— + —
Дх Дх
logo с I т. е. а > 0, а *1 , Ъ > 0 и с > 0.
Тогда существует число logfl — и верно
равенство
logo Т e logob “ l°Sac-	(3)
с
Теорема 4. Если основание а логариф-
ма и число Ь, стоящее под знаком лога-
рифма, возвести в одну и ту же степень
с, отличную от нуля, то значение лога-
рифма не изменится:
logab = logaCbc,	(4)
Например, log2 4 = log23 43;
с 6
log8 64 = log23 26 = -log2 2 = 2.
Примеры. Вычислим:
a)	logi2 4 + log12 3 = log12 4 3 =
= l°gi2 12 = 1;
48
6)	Iog2 48 - log2 3 = log2 — =
О
= log2 16 = 4;
в)	lgl3-lgl30 = lg^ = -l;
loU
Г) log3 81 = log3 92 = 2 log3 9 = 22 = 4.
23. Производная частного
двух функций
Теорема. Если функции и(х) и v(x)
имеют производные во всех точках ин-
тервала (а; Ь), причем у(х)*0для лю-
бого хе (а;Ь) , то
( ц(х) 1 Ц М ~ и (х) v(x)
[v(x)J_	v2(x)
uv-uv
Короче,
и
V
Доказательство.
ei > -
Пусть
Тогда и(х) = р(х) Дх).
Найдем производную функции и(х) по
правилу дифференцирования произведе-
ния:
u'= (vf)' = v'f + vf.
Найдем из этой формулы f , подставив
вместо f его значение:
,( и
v
v
и - v
и - vf _
V
и v -v и
V2
23
I-----------------------------------------
Таким образом, (w ± v)' = u'(x) ± v'(x).
Производная алгебраической суммы
функций равна сумме производных этих
функций (правило справедливо для любо-
го количества слагаемых).
Примеры:
I (2х3 + Зх -1)' = (2х3)' + (Зх)' - (1)' =
I 2(х3)' + 3(х)' 0~ 2-Зх2 +3 = 6х2 +3;
(х3 + л/х)' = (х3)' + (Jx)' = Зх2 +	.
2Vx
Логарифмирование
Прологарифмировать алгебраическое
выражение — значит выразить его лога-
рифм через логарифмы отдельных чисел,
входящих в это выражение. Это можно
сделать, используя теоремы логарифмов.
Пример.
Прологарифмируем выражение
5а3^
*= 4,	а>0,6>0,с>0,
с’(а + Ь)
т. е. найдем 1g х .
По формуле (3) запишем:
1g х = 1g (ба3Vb2j - 1g [с4 (а + b)j.
Логарифмы произведений заменим сум-
мой логарифмов по формуле (1):
' 2'
1g х = 1g 5 + 1g а3 + 1g Ь5 -
~[lgc4 + lg(a + b)J.
Выполним преобразования по формуле
(2) и раскроем скобки:
2
1g х = 1g 5 + 31ga + - Igb -
о
-41g c - lg(a + b).
( и uv - v'u
Следовательно, I — -------5---
I v )
Пример.
( х3 _ (x3)'sinx -x3(sinx)'
l^sinxj	sin2 х
_ Зх2 sin x - x3 cos x
sin2 x
Потенцирование
Потенцирование — это преобразование,
обратное логарифмированию.
Пример. Дано:
1g х = 2 lg a -51gb + ylg с,
где a > 0, b > 0, с > 0.
Найдем выражение для х.
Решение. Используя формулы (2), (1) и
(3), получим
3
1g х = lg а2 - lg b5 + lg с7 =
= 1g а2 • с 7 - Igb5 = 1g
b5
Ответ: х =------—.
b5
24
г
“I
24. Иррациональные неравенства
Определение
Если в неравенстве присутствует ирра-
циональное выражение, то такое неравен-
ство называется иррациональным.
Иррациональное выражение имеет смысл
только в том случае, если оно положи-
тельно либо равно нулю. Рассмотрим че-
тыре неравенства:
Jx2 + х +1 > -2, Vx2 +1 > -1,
4х < О, у/х < -2.
Первые два неравенства справедливы на
множестве всех действительных чисел,
вторые два неравенства не имеют реше-
ний, так как не верны при любом значе-
нии х из области определения (х > О).
Иррациональные неравенства по теоре-
мам равносильных преобразований заме-
няют системой или совокупностью сис-
тем неравенств, и решение сводится к ре-
шению системы неравенств.
Теоремы равносильных преобразований
/(х) и g(x) — функции переменной х.
Теорема 1.
yjf(xj < g(x) tt.
f(x) > О;
gM > 0;
f(x) < g2(x).
Теорема 2.
g(x) > 0;
/(x)>*2x;
k(*) < 0;
|f(x) > 0.
Теорема 3.
/т-г гт\ fft*) > g№’
| g-(x) > 0.
Знак <=> обозначает, что выполняются
равносильные преобразования. Данные
теоремы позволяют установить область
допустимых значений неизвестного, учи-
тывая, что рассматриваются только ариф-
метические корни. Затем возводят в квад-
рат правую и левую части неравенства,
чтобы освободиться от иррациональнос-
ти.
Необходимо помнить, что при возведе-
нии в степень может получиться, что об-
ласть значений неизвестного исходного
неравенства будет только частью области
значений неизвестного полученного нера-
венства. Поэтому необходимо всегда про-
водить проверку решения.
Пример 1.
Решим неравенство Vx2 - Зх + 2 > 2 - х.
Решение. По теореме 2 неравенство заме-
ним двумя системами неравенств:
12-х >0;
х2 -Зх + 2 >(2-х)2;
2 - х < 0;	<=>
|х2 - Зх + 2 > 0.
Jx > 2;
|х<2;
Jx > 2;
t(x -1) (х - 2) > 0.
Видим, что первая система равносиль-
ной совокупности не имеет решения, а
вторая система имеет решения (рис. 1) при
х > 2.
Ответ: (2; + °°).
Пример 2. Решим неравенство
>/х2 -Зх-10 < 8 - 5х.
Решение. По теореме 1 неравенство заме-
ним системой неравенств:
х2 - Зх -10 > 0;
х2 - Зх -10 < (8 - 5х)2;
8 - 5х > 0.
х>5;
24х2 -77х + 74>0;
8
х < —•
5
Неравенство 24х2 - 77х + 74 > 0 имеет
отрицательный дискриминант (D < 0), сле-
довательно, это неравенство справедливо на
R, т. е. х — любое действительное число.
На рис. 2 показаны три решения систе-
мы неравенств.
Получим х < -2. Ответ:	- 2].
3 Шпаргалки по алгебре и геометрии
25
Пример 3. Решим неравенство
79-х2 + 7бх-х2 > 3.
Решение: 7бх -х2 > 3 - 7э - х2.
Определим область определения данного
неравенства:
6х-х2>0,	(х(6-х)>0,
9-х2>0.	[(3 -х)(3 + х) > 0.
0 < х < 6,
-3 < х < 3.	0 < х < 3.
Возведем в квадрат правую и левую ча-
сти неравенства, получим
6х — х2 > 9 — б7э - х2 + 9 - х2,
б7э -х2 > 18-6х; 7э - х2 >3-х;
9 - х2 > (3 - х)2; 9-х2 > 9 - 6х + х2,
6х - 2х2 >0, х (3 - х) > 0, откуда
1) х > 0 и 3-х>0, значит 0 < х < 3;
2) х < 0 и 3 - х < 0, не имеет решения.
В ответ запишем те решения неравен-
ства, которые входят в область определе-
ния неравенства; в данном случае все ре-
шения входят в область определения не-
равенства, это 0 < х < 3.
Ответ: (0; 3).
Решение неравенств методом интервалов
Рассмотрим неравенство /(х) > g(x) на
[а; Ь], где /(х) и g(x) — непрерывные функ-
ции на отрезке от а до Ь.
Из рис. 3 очевидно, что неравенство
/(х) > g(x) выполняется на отрезках [a; Xj)
и (х2; 6], где график функции /(х) распо-
ложен выше графика функции g(x).
У
ах, 0 х2Ь х
Рис. 3
Поэтому решение неравенства выполня-
ем по следующему алгоритму:
1.	Находим область допустимых значе-
ний неравенства: [а; й].
2.	Решаем уравнение /(х) = g(x) и нахо-
дим корни уравнения, исключив посто-
ронние.
3.	Наносим найденные корни на полу-
ченный отрезок области допустимых зна-
чений. Найденные корни разбивают отре-
зок на промежутки.
4.	Выполняем проверку неравенства на
каждом из полученных промежутков.
-----------------------------------------1
Можно выбрать любое значение из дан-
ного промежутка.
Если это значение удовлетворяет нера-
венству, то и все остальные значения со-
ответствующего промежутка ему удовлет-
воряют.
Если проверяемое значение не удовлет-
воряет неравенству, то и никакое другое
значение из проверяемого промежутка ему
также не удовлетворяет.
Пример. Решим неравенство
х710 - х2 > х2 - 6.
Решение:
1.	Находим область допустимых значе-
ний
10 - х2 > 0, (710-х) (710 +х) > 0,
-710 < х < 710.
2.	Решаем уравнение
х710 - х2 = х2 - 6,
х2 (10-х2) = (х2-6)2,
10х2 - х4 = х4 - 12х2 + 36,
х4 - Их2 + 18 = 0, х2 = 2 и х2 = 9, т. е.
уравнение имеет четыре корня:
х1,2 = ±72 и хз,4 = ±3-
Проверка по знаку левой и правой час-
тей уравнения показывает, что корни
+72 и -3 — посторонние, т. е. уравнение
имеет два решения: -72 и + 3.
3.	На отрезок [-710; + 710 J наносим
эти корни (рис. 4). Выполняем проверку
неравенства.
.______Ж&&Ж_________.
-V10 -V2	3	+7l0
Рис. 4
4.	Получены три промежутка. Для про-
верки удобно взять крайние значения про-
межутков и 0:
а)	при х = -710 получим 0 > 4, т. е.
неравенство неверно;
б)	при х = 0 получим 0 > -6, т. е.
неравенство верно;
в)	при х = 710 получим 0 > 4, т. е.
неравенство неверно.
Итак, есть лишь один интервал, в кото-
ром выполняется данное неравенство.
Ответ: (-72; 3).
26
25.	Производная произведения
двух функций
Теорема. Если функции и(х) и v(x)
имеют производные во всех точках ин
тервала (а; Ь), то
[и(х) о(х)/ = и(х) v'(x) + и'(х) v(x)
для любого хе (а; Ь).
Доказательство.
Пусть /(х) = и(х) о(х). Тогда
Д/(х) = и(х + Дх) v(x + Дх) - и(х) о(х).
Заменим и (х + Дх) = и(х) + Ди(х)
и v (х + Дх) = v (х) + Др (х). Получим
Д/(х) = (и (х) + Ди(х)) (р (х) + Др (х)) -
-и(х) р(х) = и (х)Др (х) + р (х) Ди (х) +
+Ди (х)Др (х).
Дх	Дх	Дх
Ди(х) . . .
+ -^/Др(х).
.	..	Д/(х)
/(х)= hm -^ =
Дх—>0 Дх
..	. . Дп(х) ..	. „ Ди(х)
= hm и(х)—hm р(х) / +
Дх—»0	Дх	Дх—>0	Дх
,. Ди(х) , , .
+ hm / Ди(х).
Дх—>0 Дх
По определению производной
iim^> = l/. Um^W = u'
Дх—>0 Дх ’ Дх-»0 Дх
Третье слагаемое является произведени-
ем двух переменных сомножителей, веду-
щих себя по-разному при Дх -» О:
Ди(х) ,
। hm —— = и, а Др -> О,
Дх—>0 Дх
I если Дх —> О по принципу непрерывнос-
1 ти. Таким образом, третье слагаемое при
Дх —> 0 стремится к нулю. Подставив по-
। лученные значения всех трех слагаемых,
' получим
/'(х) = и р'(х) + и' р (х).
Примеры.
[(х + 3)(х - 2)f = (х + 3)'(х - 2) +
+(х + 3)(х - 2)' = 1 (х - 2) + (х + 3) 1 =
= х- 2 + х + 3 = 2х + 1;
I [(2х - 7) х2 J = (2х - 7)'х2 + (2х - 7)(х2)' =
= 2х2 + (2х - 7) 2х = 2х2 + 4х2 - 14х =
|	= 6х2 - 14х;
I_________________________________________
--------------------------------------!
26.	Производные	|
элементарных функций	i
Производная степенной функции у = х" .
Производную степенной функции с на-
туральным показателем степени можно
получить по правилу дифференцирования .
произведения.
Найдем производную функции у = х4. I
Представим х4 как х3-х.
Тогда	|
(х4)' = (х3х)' = (х3)'х + х3(х)' =
= 3х2 х + х3 =3х2+х3 =4х3.	I
Таким образом, (х4)' = 4х3.
Общая формула'.
(хп)' = пхп~*
Примеры.	I
(х~8)' = -8х~8-1 = -8х-9.
, ( з V з 1 I
(&3) = х4 = JX4 1 = JX 4 =-^=.
'	'	4	4	4^	।
\ /
(х100)' = 100х99.
Производные показательных функций
Формулы дифференцирования
Элементарная функция при условии и = X	Сложная функция при условии и (X)
(ах)' = ах In а , а > 0, а * 1	(а“)' = аи In а и', а > 0, а * 1
(ех)' = ех	(еи)' = еи - и'
Производные логарифмических
функций
Формулы дифференцирования
Элементарная функция при условии и = X	Сложная функция при условии U =/ (X)
	“‘«""’'-ntao
(lgx)- = ^^	,	0,4343 , 1g и =	и и
	1 1 ' 1пи=—и и
27
I-------------------------------------------
Пример. Найдем производные следую-
щих функций:
I а) у = х + In х;
б)	у = 5 Igx;
в)	у = log2x.
I Решение.
(х2 sin х)' = (x2)'sin х + x2(sin х)' =
= 2х sin х + х2 cos х.
Вынесение постоянного множителя
за знак производной
Постоянный множитель можно выно-
сить за знак производной:
б) у' = (51g х)' = 5 (lg х)' =
_ 5 -0,4343 2,1715,
— ~ ,
X	X
в) У = xln2‘
Производные тригонометрических
функций
Формулы дифференцирования
[С/(х)| = С/'(х).
Применим теорему о производной про-
изведения к выражению С Дх), где С —
постоянное число. Получим
[С/(х)Г = Cf{x) + Cf\x) =
= 0- f(x) + Cf'(x)=Cf\x).
Примеры.
5
1, 2V ’ 2
=г(х ) = <*;
о о
Элементарная функция при условии и = х	Сложная функция при условии u=f(x)
(sin х)' = cos х	(sin и)' = cos и  и'
(cos х)' = - sin х	(cos u)' = - sin и  и'
(tgx)'- COSZ X	.. v 1 (tgw) =	9 и cos'5 и
(ctg X)’ = sin^ X	(ctgu)' =	и sirr и
'х^'
8
+ (2х)' =
1
= |(х3)' + 2(х)' = —+ 2.
о	о
28
27.	Уравнение касательной
к графику функции
28.	Тригонометрические функции
плоского угла
Геометрический смысл производной
Производная функции в точке х0 рав-
на тангенсу угла наклона касательной,
проведенной к графику функции в точке
с координатами [х0; /(х0)].
k = tg а = lim - f(x).
Дх—>0 Дх
В этом заключается геометрический
смысл производной.
Число A = tga называют угловым ко-
эффициентом прямой, а угол a — углом
между этой прямой и осью Ох (рис. 1).
Если А > О, то 0 < a < у (рис. 2), в этом
случае функция у = kx + b возрастает и
говорят, что прямая направлена вверх.
Если А < 0, то ~ < а < 0 (рис. 3). В
этом случае говорят, что прямая направ-
лена вниз.
Пример. Найдем угол между касатель-
ной к графику функции у = sin х в точке
(0; 0) и осью Ох (рис. 4).
Градусное измерение углов
Пусть луч, выходящий из точки О, за-
нимает исходное положение ОА. Сделав
определенный поворот из этого исходного
положения против часовой стрелки, он
займет положение ОВ (рис. 1).
Рис. 1
Лучи ОА и ОВ образуют плоский угол
АО В (обозначается ZAOB).
Фигура, состоящая из двух различных
лучей с общим началом и ограниченной
ими частями плоскости, называется
плоским углом.
Угол называется положительным, если
он образован поворотом луча против ча-
совой стрелки, и отрицательным, если
он образован поворотом луча по часовой
стрелке.
Плоские углы измеряются либо в граду-
сах, либо в радианах.
Угол, равный 1°, — это угол, равный
1
части полного оборота луча вок-
руг своей начальной точки.
1
60 часть градуса называется минутой
(обозначают 1').
1
— часть минуты называется секундой
(обозначают 1").
Если стороны угла образуют прямую, то
такой угол называется развернутым.
Значение развернутого угла равно 180°.
Если луч, вращаясь против часовой
стрелки, сделает полный оборот (т. е. зай-
мет прежнее место), то описанный им угол
называется полным.
Значение полного угла равно 360°.
При вращении от начального положе-
ния ОА до любого конечного положения
(см. рис. 1) луч может совершить несколь-
ко полных положительных или отрица-
тельных поворотов, т. е. углы по абсо-
лютной величине могут быть сколько угод-
но большими.
29
Два угла называются равными, если
равны их значения.
Радианное измерение углов
Угол, равный 1 радиану, — это угол, опи-
рающийся на дугу окружности, длина ко-
торой равна радиусу этой окружности.
Рис. 2
Радианная мера любого угла АОВ есть
отношение длины дуги АВ, описанной
произвольным радиусом R из центра О и
заключенной между сторонами угла, к ра-
диусу этой дуги (рис. 2).
Если радиус окружности совершит пол-
ный оборот, то получится угол, равный
2л рад (или 360°).
2л л
Радианная мера 1 ° равна j60=jgQ (рад)-
Если угол а задан в градусах, то его
радианная мера равна
— (1)
180•
Если угол а задан в радианах, то его
градусная мера равна
(2)
л
Пример 1. Найдем радианную меру уг-
лов 45°, 60°, -225°, 300°.
Решение. По формуле (1) рассчитаем ра-
дианную меру углов:
45л л z ч 60л л z
180 ~ 4 ^Рад^: 180 " 3 <раД);
-225л 5л
“225 = “180“ = “Т (рад):
300л 5л
180 “1Г (₽ад>’
Пример 2. Найдем градусную меру уг-
л л
Лов 18’ 9’ 15’
Решение. По формуле (2) рассчитаем гра-
дусную меру углов:
л
18
л
15
л 2л
з"‘
л 180
9
2л
“з"
18® =10°;
Л
182 = 12°;
л
----= 20°;
л
— = 120°.
Л
Решение. Найдем угловой коэффициент
касательной к кривой у = sin х в точке
(0; 0), т. е. значение производной этой
функции при х = 0.
Производная функции f(x) = sin х равна
cos х. tg а = /'(0) = cos 0 = 1,
откуда а = arctg 1 = —.
я
Ответ: а = -г.
4
Выведем уравнение касательной к графи-
ку дифференцируемой функции f(x) в точ-
ке М (см. рис. 1).
Если y = kx + b — искомое уравнение, то
k = tga = f'(xQ), т. е. уравнение каса-
тельной имеет вид у = /’(xq)+ Так как
касательная проходит через точку М с ко-
ординатами [х0; /(xq)], можно записать
равенство
f(x0} = f'(x0)x0 + Ь,
откуда b = f(х0 ) - f'(х0 )х0.
Итак, уравнение касательной
У = f\x0)x + f(xo) - f'(x0) х0
или
У = f(xo) + f(х0)(х - х0).	(1)
Пример. Найдем уравнение касательной
к графику функции у = cos х в точке с
л
абсциссой xq = —.
Решение. Найдем значения функции и
л
ее производной в точке xq = —.
Дх0) = cos х0 = cos - = —,
. л 1
f (xfc) = -sinx0 = -sm6 =-2"
Подставив найденные значения в фор-
мулу (1), получим
У 2	2
ИЛИ
Л
х~6
1
У=~2Х+
2 12 Г
Ответ. Уравнение касательной
1
У = ~2
2	12 Г
30
I-------------------------------------
29. Тригонометрические функции
острого угла
Определения тригонометрических
функций
Рассмотрим единичную окружность, т. е.
окружность с центром в начале коорди-
нат и радиусом, равным 1. Осями коорди-
нат плоскость и окружность делятся на
четыре четверти (см. рисунок).
Точка А имеет координаты (1; 0). При
повороте на угол а радиус единичной
окружности переходит из положения ОА
в положение ОВ.
В зависимости от того, в какой коор-
динатной четверти окажется радиус ОВ,
угол а называют углом этой четверти.
Так, если 0° < а < 90°,
то а — угол I четверти;
если 90° < а < 180°,
то а — угол II четверти;
если 180° < а < 270°,
то а — угол III четверти;
если 270° < а < 360°,
то а — угол IV четверти.
Очевидно, что при прибавлении к углу
целого числа оборотов получается угол той
же четверти.
Например, угол 410° является углом
I четверти, так как 410° = 360° + 50° и
0° < 50° < 90°.
Углы 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°, ... не
относятся ни к какой четверти.
Пусть при повороте вокруг точки О на
угол а начальный радиус ОА перешел в
положение ОВ (см. рисунок).
Точка В имеет следующие координаты:
х = |ОС|, i/=|BC|.
Синусом угла а называется отноше-
ние ординаты точки В к радиусу единич-
ной окружности.
Косинусом угла а называется отноше-
ние абсциссы точки В к радиусу единич-
ной окружности.
I_______________________________________
!
30. Свойства функций у = sin х, |
у = cos х и их графики	।
Свойства функции у = sin х	
и ее график	I
График функции у = sin х называют
синусоидой (рис. 1).
Рис. 1
1.	Область определения — множество R
всех действительных чисел.
2.	Область изменения (множество зна-
чений) — промежуток [-1; 1], значит,
sin х — функция ограниченная.
3.	Функция нечетная: sin (~х) = - sin х
для всех хе R.
4.	Функция периодическая с наимень-
шим положительным периодом 2л:
sin (х + 2л/г) = sin х,
где ke Z для всех х е R .
5.	Нули функции:
sin х = 0 при х = лй, k е Z.
6.	Промежутки знакопостоянства:
sin х > 0 при х е (2л/г; л + 2лЛ), k е Z,
sin х < 0 при х е (л + 2л/г; 2л + 2лЛ),
ke Z.
7.	Монотонность функции:
Функция возрастает от -1 до 1 на про-
межутках
-£ + 2лЛ; £ + 2лй , ke Z.
Функция убывает от 1 до -1 на проме-
жутках
тс г* 1 Зтс л 	> п
— + 2тс/г; —- + 2л/г , k е Z.
и z
8.	Наибольшее значение функции:
sin х = 1 в точках х = ^ + 2лЛ, ke Z.
Наименьшее значение функции:
Зл _ ,
sin х = -1 в точках х = —+ 2лЛ,
keZ.
9.	Функция непрерывна и имеет произ-
водную при любом значении аргумента:
(sin х)' = cos х.
31
I------------------------------------------
Свойства функции у = cos х
и ее график
График функции у = cos х называют
I косинусоидой (рис. 2).
Рис. 2
1.	Область определения — множество R
всех действительных чисел.
2.	Область изменения (множество
значений) — промежуток [-1; 1], значит,
cos х — функция ограниченная.
3.	Функция четная: cos (-х) = cos х для
всех х е R.
График функции симметричен отно-
сительно оси Оу.
4.	Функция периодическая с наимень-
шим положительным периодом 2л:
cos (х + 2лЛ) = cos х, k е Z.
5.	Нули функции:
ТС _	_	__
cos х = 0 при х = — + лЛ, к е Z.
6.	Промежутки знакопостоянства:
cos х > 0 для всех
I 71 л _	ТС-..]	_	_
х е - — + 2лЛ; — + 2лЛ , k е Z,
I "	J
cos х < 0 для всех
х е I + 2лЛ;	+ 2лЛ ]; k е Z.
^2	2	)
7.	Монотонность функции:
Функция возрастает от -1 до 1 на про-
межутках [- л + 2лЛ; 2лЛ], k е Z .
Функция убывает от 1 до -1 на проме-
жутках [2лЛ;л + 2лЛ], Ле Z.
8.	Наибольшее значение функции:
cos х = 1 в точках х = 2лЛ, Л е Z.
Наименьшее значение функции:
cos х = - 1 в точках х = л + 2лЛ, Л е Z.
9.	Функция непрерывна и имеет произ-
водную при любом значении аргумента:
(cos х)' = -sinx.
Тангенсом угла а называется отно
шение ординаты точки В к ее абсциссе.
Котангенсом угла а называется отна
шение абсциссы точки В к ее ординате.
Таким образом,
у	х
sin а = ~ = у, cos а = — = х,
п	R
у sin а	х cos а
tg а = — =----, ctg а = — - —----.
х cos а	у	sin а
Каждому углу а соответствует един-
ственная точка В (х; у) и, следовательно,
единственное значение синуса и косинуса
этого угла. Таким образом, sin а и cos а ,
tga и ctg а являются функциями чис-
лового аргумента.
Функция tga имеет смысл при любом
a , кроме значений ±90°, ±270°, ±450°, ....
_ У
так как для этих углов дробь ~ не имеет
смысла.
Функция ctg а имеет смысл при любом
а, кроме значений 0°, ±180°, ±360°, ...,
х
так как для этих углов дробь ~ не имеет
смысла.
Каждому допустимому значению а со-
ответствует единственное значение триго-
нометрической функции.
Значения тригонометрических
функций
Функция	Аргумент a				
	0°	30°	45°	60°	90°
	0	Л 6	л 4	л 3	л 2
sin a	0	1. 2	s/2 2	Уз 2	1
cos a	1	Уз 2	>/2 2	К>| 1-	0
tga	0	>/з 3	1	л/з	—
ctg a	—	>/з	1	л/з 3	0
Для нахождения значений тригономет-
рических функций углов, кратных 90°,
например 180°, 270°, 450° и т. д., можно
использовать единичную окружность (см.
рисунок).
32
31. Свойства функций у = tg х,
у = ctg х и их графики
Свойства функции у = tg х и ее график
График функции у = tgx называют тан-
генсоидой (рис. 1).
Рис. 1
множество
1.	Область определения —
всех действительных чисел, кроме чисел
вида х = + nk, ke Z.
2.	Область изменения — множество R
всех действительных чисел, значит, tg х —
функция неограниченная.
3.	Функция нечетная: tg(-x) = -tgx
для всех х из области определения функ-
ции.
4.	Функция периодическая с
шим положительным периодом
tg (х + лЛ) = tg х, k е Z для
области определения функции.
5.	Нули функции: tg х = 0 при х = л/г,
ke Z-,
6.	Промежутки знакопостоянства:
наимень-
л:
всех х из
л
tg х > 0 при х е лЛ; — + лЛ I, k е Z;
2
tg X
Опри хе l-j + nk;nk , keZ.
7.	Монотонность функции:
Функция возрастает на промежутках
( л , л ,
-- +л/г;- +л/г , ke Z.
II £	J
8.	Функция непрерывна и имеет произ-
водную при любом значении аргумента из
области определения функции:
(tgx)' = —
COSZ X
32. Соотношения между
тригонометрическими функциями
одного и того же угла
Основные тригонометрические
тождества
Единичная окружность осями коорди-
нат Ох и Оу делится на четыре части, ко-
торые называют четвертями (или квад-
рантами) и нумеруют их так же, как и
четверти плоскости. Пусть при повороте
радиуса ОА вокруг точки О на угол а
получен радиус ОВ (см. рисунок).
В единичной окружности sin а = у,
cos а = х , где х — абсцисса точки В, у —
ее ордината.
Так как точка В принадлежит окруж-
ности с центром в начале координат, ра-
диус R которой равен 1, то ее координа-
ты удовлетворяют уравнению х2 + у2 =
R2. Подставив значения х и у, получим
sin2 а + cos2 а = 1.	(1)
Полученное равенство называется основ-
ным тригонометрическим тождеством.
Тождество справедливо при любых зна-
чениях а . В единичной окружности
У +	_х
tg а = — , ctg а - — . Подставив значения
х ул у, получим
sin а
tga =------;
cos а
cos а
ctga = —---,
sina
(2)
(3)
tg а = -3— ; tg a • ctg a = 1. (4)
ctg a
Равенство (2) верно при всех значениях
a , при которых cos a * 0, а равенство
(3) верно при всех значениях a , при ко-
торых sin a * 0.
33
I------------------------------------------
Равенство (4) показывает, как связаны
I между собой тангенс и котангенс угла а.
I Оно верно при всех значениях а, при ко-
торых tg а и ctg а имеют смысл.
 Выведем формулы, выражающие соот-
ношения между тангенсом и косинусом, а
также между котангенсом и синусом од-
ного и того же угла.
Разделив обе части равенства (1) на
cos2 а , получим
sin2 а ,	1
2	*” 1—	2 ’
cosz а cosz а
т. е.
l + tg2a = —.	(5)
cosz а
Теперь разделим обе части равенства (1)
на sin2 a . Получим
, cos2 a 1
1+ . 2 “	2 ’ т-е-
sinz a sinz a
,	, 2	1
1 + ctgza = —z—.
sinz a
(6)
Равенства (2)—(6) также являются ос-
новными тригонометрическими тожде-
ствами.
Свойства функции у = ctg х
и ее график
График функции у = ctg х называют
котангенсоидой (рис. 2).
1.	Область определения — множество
всех действительных чисел, кроме чисел
вида х = nfe, k е Z.
2.	Область изменения — множество R
всех действительных чисел, значит, ctg х —
функция неограниченная.
3.	Функция нечетная', ctg (-х) = - ctg х
для всех х из области определения функ-
ции.
4.	Функция периодическая с наимень-
шим положительным периодом Л, т. е.
ctg (х + nfe) = ctg х , k е Z для всех х из
области определения функции.
5.	Нули функции:
л ,	,	„
tg х = 0 при х = — + ля, k е Z.
£
6.	Промежутки знакопостоянства:
ctg х
ke Z\
г.	I , л , 1
О для всех х е ля; — + ля I,
I л ||
ctg х < 0 для всех х е - — + nfe; nfe ,
II Li	I
fee Z;
7. Монотонность функции:
Функция убывает на каждом из проме-
жутков
(nfe; л + nfe), fe е Z.
8. Функция непрерывна и имеет произ-
водную при любом значении аргумента из
области определения функции:
. . 1
(ctg х) =—г-5—.
siir х
34
33. Тригонометрические функции
половинного угла
Формулы для тригонометрических фун-
кций половинного угла легко получаются
из формул двойного угла:
. а
мп2
1 - сов а а , 1 + cos а
--------; cos — = ±.---------
2	2 V 2
1-сова
т-----, а * л (2k +1); k е Z;
1 + cos а
35. Формулы приведения
Тригонометрические функции углов
л ,	Зл ,
— ±а, л±а, — ±а и 2л±а могут
АЛ
быть выражены через функции угла а с
помощью формул, которые называют фор-
мулами приведения.
. (л	(л
sin — + a I = cos a cos — + a I = - sin a
I Z I	I Z ||
. а , 1 + cosa „ ,	, „
ctg—= ±. -------, а*2лЛ, keZ.
2 V1 - cos а
В этих формулах знак перед корнем оп-
ределяется по знаку четверти, которой
a
2 ‘
принадлежит угол
а _ sin а
& 2 1 + cos а ’
L а 1 - cos а
tg-=- =—:----.
2 sin а
в левой части а * л (2k +1);
в правой части а * 2л/г, где Ле Z.
а 1 + cos а
ctg- =—:-----’
2 sin а
в левой части а * 2лЛ,
в правой части а * лЛ, Л е Z.
а#л(2Л + 1); ke Z.
(л	]	I Л	]	.
— -a l=cosa cos —-a =sina
Z	I	I Z	|
sin (л - a) = sin a , cos (л - a) = - cos a
sin	ГЗл 'I <T + aj	1	(Зл 'i = - cos a^os — + a 1= sma 1	J
sin	f Зл 'I	= - cos a
cos	(Зл ? 1 2 aJ	= - sin a
sin (2л + a) = sin a , cos (2л + a) = cos a
sin (2л - a) = - sin a , cos (2л - a) = cos a
sin
cos a
—-----= - ctg a
-sin a
34. Тангенс и котангенс суммы
и разности двух углов
Выведем формулу тангенса суммы двух
углов:
. . sin(a + P)
te<“tp,’ZS^7p)
_ sin a cos p + cos a sin p * 1
cos a cos P - sin a sin p ’
Разделим числитель и знаменатель этой
дроби на произведение cosacosP, предпо-
лагая, что cosa^O и cosP^O.
sin a cos Р cos a sin p
, . cosacosp cosacosP
tg (a + P) =----£---:=
cos a cos p sin a sin p
cos a cos P cos a cos P
tga + tgp
1 - tg a tg p ‘
Итак,
а*|(2Л + 1), р*|(2Л + 1),
tg atg P * 1; k e Z.
,	, cos (л + a) -cos a
ctg (л + a) =	;---= ctg a.
sin (л + a) - sin a
Все формулы приведения сведем в две
таблицы, поместив в таблице 1 формулы
для углов л±а и 2л±а,ав таблице 2 —
л ,	Зл
для углов и — ±а.
Z	Z
Таблица 1
Функ- ЦИЯ	Аргумент x			
	я + a	я - a	2л + a	2л -a
sin x	-sin a	sin a	sin a	-sin a
COS X	-cos a	-cos a	cos a	cos a
tg X	tga	-tga	tga	-tga
ctg X	ctg a	-ctg a	ctg a	-Ctg a
Таблица 2
Функ- ция	Аргумента			
	я + p	a i К |CN	3л 2 +“	3л 2 “
sin x	cos a	cos a	-cos a	-cos a
COS X	-sin a	sin a	sin a	-sin a
tg X	-ctg a	ctg a	-ctg a	ctg a
ctg X	-tga	tga	-tga	tga
35
Правила записи формул приведения
По табл. 1 и 2 легко проследить законо-
мерности, имеющие место для формул при-
ведения. Эти закономерности позволяют
сформулировать правила, с помощью ко-
торых можно записать любую формулу
приведения, не прибегая к таблицам:
1. Функция в правой части равенства
берется с тем же знаком, какой имеет
исходная функция, если считать, что угол
Ct является углом I четверти;
2. Для углов д ± а и 2л ± а название
исходной функции сохраняется; для уг-
л	Зл
лов ± а и ± а название исходной
И	Z
функции изменяется (синус на косинус,
косинус на синус, тангенс на котангенс,
котангенс на тангенс).
Пример 1.
Упростим выражение
Решение.
| Зл ]
Угол \~2 ~а лежит в III четверти
окружности, тангенс угла этой четверти
положителен, поэтому результат берется
со знаком «плюс». Согласно второму пра-
вилу, название функции изменяется с тан-
генса на котангенс. Следовательно,
, (Зл
tg —-a = ctga.
I	jl
Пример 2.
Упростим выражение cos (л-а).
Решение.
Угол (л-а) лежит во II четверти. Ко-
синус угла второй четверти отрицателен,
поэтому результат берется со знаком «ми-
нус». Согласно второму правилу, назва-
ние функции сохраняется. Следовательно,
cos (л - a) = - cos a.
.a sin a „ ,	, „
ctg — =  ------, a * 2лА, k e Z .
2 1 - cos a
В формулах знак перед корнем берется
_	. а
так, чтобы он совпадал со знаком tg —,
a
ставится знак «плюс», если —
__ &
угол I или Ш четверти, и знак «минус»,
a
если — угол II или IV четверти.
Тригонометрические функции угла мож-
но выразить через тангенс половинного
угла:
т. е.
2tg^
sina =-------—, a * л(2Л + 1), AeZ;
1 + tg2?
£
1	4. 2 a
i-tg2-
cosa =-----а* л(2Л + 1), ke Z;
1 + tg 2
2tg“
tga =-------—, a * л(2k + 1), ke Z;
- , о CL
J-tg 2
1 x 2 CL
ctga =-----а*лА, keZ.
2tg^
Аналогично можно доказать, что
a#J(2fc + l), р^^(2Л + 1),
tg atg Р * 1; k е Z .
Выполнив преобразования, аналогичные
приведенным выше, получим формулы для
котангенса суммы и котангенса разности
двух углов:
ctg a ctg р -1
ctg (a + Р) = —,
ctg a + ctg p
ctg(a + P) =
ctg a ctg p -1
ctg a + ctg p
a * nfe, р*лЛ, а*-Р + лА, ke Z.
a* itk, P * л/г, a * p + Ttk, k e Z.
36
36. Арксинус и арккосинус
Пусть функция f монотонно возрастает
(или убывает) на промежутке L, а число с —
любое из значений, принимаемых функ-
цией на этом промежутке. Тогда уравне-
ние f(x) = с имеет единственный корень на
промежутке L.
Свойства функции у = arcsin х
и ее график
График функции у = arcsin х приведен
на рис. 2.
Функция у = arcsin х
Сократим область изменения функции
л. л
2;2 •
у — sin х до отрезка
Функция у = sin х монотонно возраста-
л. л
2:2
ет на отрезке
значения от -1 до 1 (рис. 1),
и принимает все
2.	Область изменения: уе	.
И Л
3.	Функция монотонно возрастает от
л л
- -х до -х , принимая при этом все проме-
жуточные значения.
4.	Функция нечетная, т. е.
arcsin (-х) = - arcsin х.
Таким образом, для любого числа с, та-
кого, что -1 < с < 1 , на промежутке
л л
2:2
существует единственный корень
37. Тригонометрические функции
двойного угла
х уравнения sin х = с, его называют аркси-
нусом числа с и обозначают х = arcsin с.
Арксинусом числа с, если -1 < с < 1, на-
зывается угол х, лежащий на отрезке
л . л
2’2
, синус которого равен с.
Формулы сложения позволяют выразить
sin 2а, cos 2а, tg 2а и ctg 2 а через три-
гонометрические функции угла а.
Примем в формулах
sin(a + Р) = sinacosp + cosasinp;
Математическая запись данного опреде-
ления такова: arcsin с = х, если sin х = с,
cos (а + Р) = cos a cos Р - sin a sin Р;
где <х<—, -1 < с < 1. Запись arcsin с
£1
читается так: угол, синус которого равен с.
Значения арксинуса можно найти по
таблицам или пользуясь калькулятором.
Функция у = sin х, хе
л. л
2’2
имеет
обратную функцию х = arcsin у. Обозна-
чив, как это принято, аргумент через х, по-
меняем местами х и у. Получим у — arcsin х.
Таким образом, функцией у = arcsin х
называется переменная величина, лежащая
1-tgatgP
угол Р равным углу а.
Тогда получим тождества
sin 2a = 2sin a cos a;	(1)
cos 2a = cos2 a - sin2 a. (2)
Из последней формулы легко получают-
ся следующие соотношения:
cos 2a = 1 - 2 sin2 a;
cos 2a = 2 cos2 a - 1.
на отрезке
Л. л
2: 2
, синус которой ра-
вен х.
37
5.	График функции пересекает оси Ох и
Оу в начале координат.
Функция у = arccos х
Сократим область изменения функции
у = cos х до отрезка [0; л].
На этом отрезке функция у = cos х мо-
нотонно убывает и принимает все значе-
ния от - 1 до 1 (рис. 3). Таким образом,
для любого числа с, такого, что -1 < с < 1,
на отрезке [0; тс] существует единствен-
ный корень х уравнения cos х = с; его на-
зывают арккосинусом числа с и обозна-
чают х = arccos с.
Математическая запись данного опреде-
ления такова: arccos с = х, если cos х = с, где
0 < х < л, -1 < с < 1. Запись arccos с чи-
тается так: угол, косинус которого равен с.
Используя формулы (1) и (2), получим
tg2a= 2tg” ,	(3)
1 - tgz a
2ctga
Эти тождества называют формулами
двойного угла.
Значения арккосинуса можно найти по
таблицам или пользуясь калькулятором.
Свойства функции у = arccos х
и ее график
На отрезке [0; л] функция у = cos х мо-
нотонно убывает от 1 до -1 и принимает
при этом все промежуточные значения.
Следовательно, существует обратная од-
нозначная функция, определенная на от-
резке -1 < j/ < 1 и монотонно убывающая
на нем от л до 0. Эта обратная функция
обозначается символом х = arccos у (чита-
ется: «х равен арккосинусу у»). Если не-
зависимую переменную обозначить через
х, то у =arccos х.
Таким образом, функцией у = arccos х
называется переменная величина, лежа-
щая на отрезке [0; л], косинус которой
равен х.
Из этого определения следует, что
cos (arccos х) = х, если -1 < х < 1;
arccos (cos х) = х, если 0 < х < л .
График функции у = arccos х приведен
на рис. 4.
На рис. 4 наглядно отражены все свой-
ства функции у = arccos х:
1.	Область определения: хе [-1;1].
2.	Область изменения: i/e [О; л].
3.	Функция монотонно убывает от л
до 0, принимая при этом все промежуточ-
ные значения.
Заметим, что функция у = arccos х не
является ни четной, ни нечетной.
4.	График функции пересекает ось Оу
л
в точке у = -х, а ось Ох — в точке х = 1.
38
38.	Арктангенс и арккотангенс
Функция у = arctg х
Сократим область определения функции
( 71 71
у = tg х до интервала 1^ ’	•
На этом интервале функция у = tg х
монотонно возрастает и принимает все
действительные значения. Поэтому для лю-
( 71 71 1
бого числа с в интервале | "2 ’"2 суще-
ствует единственный корень х уравнения
tg х — с, его называют арктангенсом чис-
ла с (рис. 1).
Арктангенсом числа с называется угол
[ л л)
х, лежащий в интервале ~ "2 ’ "2 >
гене которого равен с.
Свойства функции у = arctg х
и ее график
Функция у = tg х при - -z < х < — имеет
обратную функцию х = arctg у или
у = arctg х, если аргумент обозначать че-
рез х.
Таким образом, функцией у = arctg х
называется переменная величина у, ле-
( 71 71
жащая в интервале ’‘”2’2' > тангенс
которой равен х.
Из определения следует, что
tg (arctg х) = х, хе R;
л л
arctg (tgx) = х, - g < х < g .
График функции у = arctg х приведен
на рис. 2.
Свойства функции у = arctg х:
1.	Область определения: х е R 
2.	Функция монотонно возрастает от
л л
-х до ту , принимая при этом все проме-
жуточные значения.
3.	Функция нечетная, т. е.
arctg (-х) = - arctg х.
4.	Функция непериодическая, ограни-
ченная.
5.	График функции пересекает оси Ох и
Оу в начале координат и имеет две асим-
л л
39.	Основные тригонометрические
тождества
Для прямых и обратных тригономет
\i рических функций
X ства:
I	sin (arcsin х) = х
при х е [-1; 1] ;
I tg (aretgx) = х и
при хе R ;
справедливы тожде-
и cos (arccos х) = х
ctg (arcctg х) = х
arcsin( sin х) = х при х е
л л
2’2
arccos (cos х) = х при х е [0; л];
arctg(tgх) = х при хе - —; —
I Z Z
arctg (ctg х) = х при х е (0; л) .
Эти формулы непосредственно следуют
из определений обратных функций.
Приведем еще несколько формул, отно-
сящихся к обратным функциям.
Для любого числа с е [-1; 1] справедли-
вы тождества:
arcsin с = - arcsin (-с) = — - arccos с -
= arctg . С ;
Vl-c2
39
Функция у = arcctg х
Сократим область определения функции
у = ctg х до интервала (0;л) . На этом
интервале функция монотонно убывает от
4-00 до -оо и принимает все действи-
тельные значения. Поэтому для любого
числа с из интервала (0;л) существует
единственный корень х уравнения ctg х = с,
его называют арккотангенсом числа с
(рис. 3).
arccos с = л - arccos (-с) =
л
— - arcsin с = arctg
Л
71
arctg с = -arctg (-с) = — - arcctg с =
= arcsin
Арккотангенсом числа с называется
такой угол х из интервала (0; л), ко-
тангенс которого равен с.
Свойства функции у = arcctg х
и ее график
Функцией у = arcctg х называется пере-
менная величина, лежащая в интервале
(О; л), котангенс которой равен х.
График функции у = arcctg х приведен
на рис. 4.
Функция у = arcctg х имеет следующие
свойства:
1)	определена и однозначна на всей чис-
ловой прямой;
2)	монотонно убывает от л до 0, прини-
мая при этом все промежуточные значе-
ния;
3)	не является ни четной, ни нечетной,
так как arcctg 1 = ^ , a arcctg (-1) =	;
4)	непериодическая, ограниченная.
График функции у = arcctg х пересекает
л
ось Оу в точке у = и имеет две асимп-
тоты: у = 0 и у - л .
arcctg с = л - arcctg (-с) = arctg с =
= arccos
л
arcsin с + arccos с - —;
z
л
arctg с + arctg с = —.
Для вычисления значений обратных
тригонометрических функций при отри-
цательных значениях аргумента исполь-
зуют следующие тождества:
arcsin (-с) = - arcsin с;
arccos (-с) = л - arccos с;
arctg (-с) = -arctg с;
arctg (-с) = л - arctg с.
40
40. Простейшие
тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими
уравнениями называют уравнения
sin х = с, cos х = с, tg х = с и ctg х = с.
Решение уравнения sin х = с
1.	Функция у = sin х — ограниченная,
так как область ее изменения — проме-
жуток [-1; 1], поэтому если |с| > 1 , то урав-
нение sin х = с решений не имеет.
2.	Прямая у = с пересекает синусоиду
бесконечное количество раз (рис. 1).
Рис. 1
Это означает, что при |с| < 1 уравнение
sin х = с имеет бесконечное количество кор-
ней. Так как функция у = sin х имеет
период 2л, то достаточно найти все реше-
ния в пределах этого периода. Из рис. 1
видно, что при |с| <1 на отрезке [0; 2л]
есть два числа, синус которых равен с,
это а = arcsin сил-а = л- arcsin с. Все
другие решения уравнения sin х = с при
|с| < 1 получаются из двух найденных уг-
лов прибавлением периода.
Итак, пусть а — arcsin с— какое-либо
решение уравнения sin х = с при |с| < 1.
Тогда все решения этого уравнения полу-
чаются по формулам
х = arcsin с + 2лЛ,
х = л - arcsin с + 2лЛ, где k е Z.
Эти две формулы можно объединить в
одну:
х = (-1)* arcsin с + 2лЛ, ke Z. (1)
3.	Рассмотрим частные случаи уравне-
ния sin х = с:
a)	sin х = 1. Прямая у = 1 и синусоида
имеют бесконечное количество общих то-
чек (см. рис. 1).
л
В пределах одного периода х = ~ . Учи-
тывая периодичность синуса, запишем все
решения уравнения sin х = 1:
х = ^ + 2лЛ, k е Z.	(2)
б)	sin х = -1. Прямая у = -1 и синусоида
имеют бесконечное количество общих то-
чек (см. рис. 1). В пределах одного периода
Зл
х =	. Учитывая периодичность синуса,
&
запишем все решения уравнения sin х = -1:
х = — + 2лЛ , k е Z. (3)
в)	sin х = 0. Прямая у = 0 и синусоида
имеют бесконечное количество общих то-
чек (см. рис. 1).
Решениями уравнения будут 0, л , 2л ,
Зл , ... общая формула которых
х = лЛ, k е Z.	(4)
Пример. Решим уравнения:
a) sin3x = -^; б) sin2x = 0;
в) sin^-l = 0.
Решение.
а)	По формуле (1)
Зх = (-l)ft arcsinl-i ]+лЛ, Ле Z.
_	. f 1
Так как arcsin - — = - — , то
|| I о
Зх = (-l)fc [	1+ nk ke Z;
I bl *
x = (-l)ft +—, ke Z.
I 1O I 0
Учитывая, что
(-D* (-тЙ= (-D*(-D^ = (-Dft+l Л’
I lo I	lo	lo
получаем x = (-l)ft+l	ke Z;
18	3
б)	по формуле (4)
2x = лЛ , ke Z;
nk
ke Z;
• x 1
в)	преобразуем уравнение к виду sin — = 1
и воспользуемся формулой (2):
X л „ ,
- = —+ 2лЛ , kez;
х = л + 4лЛ , Л е Z.
Решение уравнения cos х = с
1. Функция у = cos х — ограниченная.
Так же как и в предыдущем случае, полу-
чаем, что при |с| > 1 уравнение cos х = с
решения не имеет.
2. При |с| < 1 уравнение имеет беско-
нечное количество решений. Из рис. 2 вид-
но, что в пределах одного периода уравне-
ние cos х = а имеет два корня: а и а.
41
- CO8X P — 1
2 -------------
Рис. 2
Все решения уравнения у = cosx запи-
сываются двумя формулами:
х = а + 2itk , х = -а + 2л/г , k е Z.
Их объединяют в одну формулу, учиты-
вая, что а = arccos с, т. е.
х = ±а + 2л/г = ±arccosс + 2nk, ke Z.
Таким образом, все решения уравнения
cos х = с записываются формулой
х = ±arccosс + 2л/г, ke Z.	(5)
3. Расмотрим частные случаи уравнения
cos х = с:
a)	cos х = 1. Прямая у = 1 и косинусоида
имеют бесконечное количество общих то-
чек (см. рис. 2). В пределах одного перио-
да х = 0 и х = 2л. С учетом периодичности
косинуса запишем все решения уравнения
cos х - 1. Получим
х = 2л/г, keZ.	(6)
б)	cos х = -1. Прямая у = -1 и косинусо-
ида имеют бесконечное количество общих
точек (см. рис. 2). В пределах одного пе-
риода х = л. С учетом периодичности ко-
синуса запишем все решения уравнения
cos х = -1. Получим
х = л + 2л/г, k е Z. (7)
в)	cos х = 0. Прямая у = 0 (ось Ох) и
косинусоида имеют бесконечное количе-
ство общих точек (см. рис. 2).
Все решения уравнения cos х = 0 с уче-
том периодичности косинуса записывают-
ся так:
x = ± + 2nk
Л
ИЛИ x = - + nk ,(ke Z)-	(8)
Пример. Решим уравнения
,	„	1	x ,
a) cos 2x = - —; 6) cos — = 1;
Л	Э
в) cos8x = -1; r) cos|4x- — 1=0.
I 4 I
Решение.
а)	Корни уравнения cos 2x = - i най-
дем по формуле (5):
1
2
2х = ± arccos
+ 2л/г t keZ.
Вычислив
( 1А	1	л 2л
arccos - — = л - arccos — = л-— = —
I z I	z	О	о ’
2п
получим 2х=± —+ 2л/г, keZ,
О
. п .
откуда х = ±—+ л/г, keZ;
О
б)	по формуле (6)
-^ = 2лЛ, keZ,
о
откуда х = 10л/г , ke Z;
в)	по формуле (7)
8х = л + 2л/г, k е Z;
л л/г , „
«-5 + Т. *SZ;
г)	по формуле (8)
(.	лА л	, , „
4х-— = — + л/г , ke Z;
II	4 I Z
4х =	+ л/г, k е Z,
Зл лЛ , „
откуда х = — +—, ke Z.
Решение уравнений tg х = с и ctg х = с
Область изменения тангенса и котанген-
са — множество R действительных чисел.
Поэтому уравнения tg х - с и ctg х = с
имеют решения при любом с.
Рис. 3	Рис. 4
В пределах одного периода (у тангенса и
котангенса он равен л) прямая у = с пересе-
кает тангенсоиду и котангенсоиду только
один раз, т. е. уравнения tg х = с, ctg х = с
имеют одно решение в пределах одного
периода. Это угол а = arctg с для уравне-
ния tg х = с (рис. 3) и угол = arcctg с
для уравнения ctg х = с (рис. 4). Все ос-
тальные решения получаются прибавле-
нием периода:
х = arctg с + л/г , k е Z ;	(9)
х = arcctg с + л/г keZ .	(10)
42
41.	Косинус и синус
суммы и разности двух углов
Формулы сложения
Выведем формулы, выражающие триго-
нометрические функции суммы и разно-
сти двух углов через тригонометрические
функции этих углов.
Косинус разности двух углов
Повернем радиус ОА единичной окруж-
ности вокруг точки О на угол а и на
угол Р (см. рисунок). Получим радиусы
ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение
векторов О В и ОС  Координаты точки
В равны хг и координаты точки С
равны х2 и у2- Векторы ОВ и ОС имеют
такие же координаты, как и координа-
ты точек В и С.
По определению скалярного произведе-
ния векторов, заданных координатами
векторов,
ОВ ОС = хух2 + угу2.
Из определения тригонометрических функ-
ций в единичной окружности, имеем:
x2=cosP; y2=sinP;
Ху = cos a; У1 = sin a.
Скалярное произведение векторов опре-
деляется формулой
ОВ • ОС = |бв|  |бс|  cos ZBOC .
Так как длина радиуса единичной окруж-
ности равна единице, а ЛВОС = а - Р, по-
лучим
cos (а - Р) = cos а cos Р + sin a sin р. (1)
Косинус разности двух углов равен про-
изведению косинусов этих углов плюс
произведение синусов этих углов.
Косинус суммы двух углов
Из формулы (1) легко получить формулу
косинуса суммы двух углов:
cos (а + Р) = [cos а - (—Р)] =
= cos а cos (-Р) + sin a sin(-P) =
= cos а cos Р - sin a sin Р.
I_________________________________________
42.	Свойства точек, равноудаленных
от концов отрезка
Прямая, перпендикулярная к отрезку и
проходящая через его середину, называет-
ся серединным перпендикуляром к нему.
(На рис. 1 и 2 обозначен С. П.)
Рис. 1
Теорема 1. Если точка лежит на сере-
динном перпендикуляре к отрезку, то
она равноудалена от его концов.
43.	Теорема Фалеса
Теорема. Если на одной прямой отло-
жить несколько равных отрезков и че-
рез их концы провести параллельные пря-
мые, то эти прямые отсекут на второй
прямой равные между собой отрезки.
Таким образом, если АВ = ВС = CD и
ААг || ВВ! || CQ || DI\ , то А1В1 = В^ -
CjBj (рис. 1).
Отрезки называются пропорциональны-
ми, если пропорциональны их длины.
Теоремы о пропорциональных отрезках
Определение. Отрезки называют про-
порциональными, если пропорциональны
их длины.
43
Возьмем произвольную точку М на сере-
динном перпендикуляре (рис. 2) и соеди-
ним ее с концами отрезка АВ. Середин-
ный перпендикуляр пересекает отрезок АВ
в точке О; а АОМ равен д ВОМ по перво-
му признаку равенства треугольников
(ОА = ОВ, ОМ — общая сторона, ZAOM =
= ЛБОМ = 90°). Из равенства треугольни-
ков следует, что МА = МВ.
Теорема 2. Если точка равноудалена
от концов отрезка, то она лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
По условию теоремы МА = МВ (см.
рис. 2). Поэтому треугольник АМВ — рав-
нобедренный. Отрезок МО является меди-
аной. По свойствам равнобедренного тре-
угольника медиана является также и его
высотой. Следовательно, прямая ОМ сов-
падает с серединным перпендикуляром. А
это означает, что точка М лежит на сере-
динном перпендикуляре.
Теорема. Параллельные прямые, пере
секающие стороны угла, отсекают на
них пропорциональные отрезки.
На рис. 2 прямые АА] и ВВ^ параллель-
ны. По сформулированной теореме
М= ОА[
IOBJ ов| •
Итак,
cos (а + Р) = cos а cos Р~ sin а sin р. (2)
Косинус суммы двух углов равен произ-
ведению косинусов этих углов минус про-
изведение синусов этих углов.
Синус суммы и синус разности
двух углов
Формулы синуса суммы и синуса разно-
сти двух углов получим, используя фор-
мулы приведения и формулу (1):
sin(a + P) = cos —-(a + p) =
I	JI
л
| Л	I	n . I Л	| . л
= cos I — - a cos p + sin I — - a sin p =
I £	I	12	I
2
= sin a cos P + cos a sin P.
Итак,
sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin P. (3)
Синус суммы двух углов равен произве-
дению синуса первого угла на косинус
второго плюс произведение косинуса пер-
вого угла на синус второго.
sin (а - Р) = sin [(а + (- Р)] =
= sin a cos (- Р) + cos a sin (- Р) =
= sin a cos р - cos a sin p
Итак,
sin (a - P) = sin a cos P - cos a sin p. (4)
Синус разности двух углов равен про-
изведению синуса первого угла на коси-
нус второго минус произведение косину-
са первого угла на синус второго.
Формулы (1)—(4) называют формулами
сложения для синуса и косинуса.
Приведем примеры использования фор-
мул сложения.
Пример. Вычислим cos 75° и sin 75°.
Решение. Представим 75° в виде суммы
30° + 45°.
cos 75° = cos (30° + 45°) =
= cos 30°  cos 45° - sin 30° • sin 45° =
Рис. 2
Обратная теорема. Если отрезки ОА^ и
ОВ] пропорциональны отрезкам ОА и ОВ
и лежат соответственно на лучах ОА] и
ОА, то прямые А4] и ВВ] параллельны
(см. рис. 2).
Уз 42
2	2
1 .^ = ДУЗ-1);
2 2	4
sin 75° = sin (30° + 45°) =
= sin 30°  cos 45° + cos 30°  sin 45° =
1 ^ = ^(1 + 7§)
2 2	2	2	4
44
44.	Признаки параллельности прямых
Определение. Две прямые на плоско-
сти называются параллельными, если
они не пересекаются.
Параллельность прямых а и Ь обознача-
ют так: а || Ь. На рис. 1 изображены пря-
мые а и Ь, перпендикулярные к прямой с.
Если прямые а и Ь не пересекаются и пер-
пендикулярны к третьей прямой с, то они
параллельны.
с| а	1/2 Ь
3	4/з
—I	b 5/6 л
S/7
Рис. 1	Рис. 2
Прямая с называется секущей по отно-
шению к прямым а и Ь, если она пересека-
ет их в двух точках (рис. 2). При пересече-
нии прямых а и Ь секущей с образуются
восемь углов, которые на рис. 2 обозначе-
ны цифрами. Пары этих углов имеют спе-
циальные названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8,
2 и 6, 3 и 7.
Рассмотрим три признака параллельно-
сти двух прямых, связанные с этими па-
рами углов.
Теорема 1. Если при пересечении двух
прямых секущей накрест лежащие углы
равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении
прямых а и b секущей АВ накрест лежа-
щие углы равны: Z1 = Z2 (рис. 3). Дока-
жем, что а || Ь.
45. Основные свойства
треугольника
Треугольником называется многоуголь-
ник с тремя углами (и с тремя сторона-
ми). Стороны и углы треугольника счита-
ются основными элементами треугольни-
ка.
Рис. 1
На рис. 1 в треугольнике АВС сторона а
лежит против угла а и, наоборот, против
стороны а лежит угол а. Аналогично b
лежит против 0, с против у.
Неравенства треугольника
Для существования треугольника, зада-
ваемого тремя сторонами а, Ь, с, необхо-
димо и достаточно выполнение неравенств
треугольника:
а + Ь > с,
а + с > Ь,
Ь + о а.
Каждая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон.
Любой треугольник считается заданным
(т. е. можно его построить) по следующим
трем элементам:
-	по одной стороне и двум углам;
-	по двум сторонам и углу между ними;
-	по трем сторонам.
Треугольник однозначно неопределен по
трем углам, так как с одинаковыми угла-
ми а, 0, У можно построить сколь угод-
но много не равных треугольников. Полу-
ченные треугольники будут подобными,
но не равными.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
1.	Против большей стороны лежит
больший угол.
2.	Против большего угла лежит боль-
шая сторона.
3.	Против равных сторон лежат рав-
ные углы, и, обратно, против равных
углов лежат равные стороны.
45
Соотношения между внутренними
и внешними углами треугольника
1.	Сумма внутренних углов треуголь-
ника равна 180°.
Za+Zp + ZY=18O°.
2.	Сумма двух любых внутренних уг-
лов равна внешнему углу треугольника,
смежному с третьим углом.
Например, на рис. 2 Z DCA = Z1 + Z 2.
3.	Стороны и углы треугольника свя-
заны между собой также соотношения-
ми, называемыми теоремой синусов и
косинусов.
Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4), то пря-
мые а и b перпендикулярны к прямой АВ
и, следовательно, параллельны. Рассмот-
рим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины О отрезка АВ проведем пер-
пендикуляр ОН к прямой а (рис. 5). На
прямой b от точки В отложим отрезок
BHi равный отрезку AH', и проведем от-
резок OHj. Треугольники ОНА и ОН\В
равны по двум сторонам и углу между
ними (АО = ВО, АН = ВН\, Z 1 = Z 2),
поэтому Z3 = Z4hZ5 = Z6. Из равен-
ства Z 3 = = Z 4 следует, что точка Н\
лежит на продолжении луча ОН, т. е. точ-
ки Н, О и Hi лежат на одной прямой, а из
равенства Z 5 = Z 6 следует, что угол 6 —
прямой (так как угол 5 — прямой). Зна-
чит, прямые а и Ъ перпендикулярны к пря-
мой НН\, поэтому они параллельны.
Теорема 2. Если при пересечении двух
прямых секущей соответственные углы
равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересече-
нии прямых а и b секущей с соответствен-
ные углы равны, например Z 1 = Z 2
(рис. 6). Так как углы 2 и 3 — вертикаль-
ные, то Z2 = Z3. Из этих двух равенств
следует, что Z 1 = Z 3. Но углы 1 и 3 —
накрест лежащие, поэтому прямые а и b
параллельны.
Теорема 3. Если при пересечении двух
прямых секущей сумма односторонних
углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении
прямых а и b секущей с сумма односто-
ронних углов равна 180°, например
Z 1 + Z 4 = 180° (см. рис. 6). Так как углы
3 и 4 — смежные, то Z 3 + Z 4 = 180°. Из
этих двух равенств следует, что накрест
лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому пря-
мые а и Ъ параллельны.
46
46. Свойства линий треугольника
Медианы
Медианой треугольника называется от-
резок, соединяющий вершину треуголь-
ника с серединой противоположной сто-
роны.
Рис. 1
На рис. 1 отрезки AD, BE aCF — медиа-
ны треугольника АВС, т. е. BD = DC,
АЕ = EC,AF = FB.
Медианы пересекаются в одной точке
О, лежащей внутри треугольника и явля-
ющейся центром масс треугольника.
Основные свойства медиан треугольни-
ка:
1. Медианы треугольника точкой пере-
сечения делятся в отношении 2 :1 (считая
от вершин треугольника):
СО АО ВО 2
OF ~ OD ~ ОЕ ~ Г
2. Медиана делит треугольник на два тре-
угольника, равных по площади.
Например,
SlCAD = SbDAB'> S&EAB = S*CEB‘>
SlAFC = S*FBC-
Длина ma медианы треугольника, про-
веденной к стороне а, вычисляется через
стороны а,Ь,с треугольника по формуле
та = ^~>/2Ь2 + 2с2 -а2.
Л
Высоты
Рассмотрим некоторый тупоугольный
треугольник АВС (рис. 2).
А
лежащую этой вершине, или на ее про-
должение. Отрезок AD перпендикуляра,
опущенного из вершины А на продолже-
ние стороны ВС, называют высотой тре-
угольника АВС, сторону ВС называют при
этом основанием треугольника АВС, а точ-
ка D называется основанием перпенди-
куляра.
В тупоугольном треугольнике АВС —
три высоты: две высоты AD и BF опуще-
ны на продолжение сторон треугольника
и лежат вне треугольника, третья высота
СЕ пересекает сторону треугольника АВ.
Рассмотрим некоторый остроугольный
треугольник (рис. 3). В остроугольном
треугольнике АВС все три высоты — AD,
BF и СЕ — опущены на стороны треуголь-
ника и лежат внутри треугольника.
Рис. 3
47. Свойства прямоугольного
треугольника
Если один из углов треугольника явля-
ется прямым, то такой треугольник назы-
вается прямоугольным. Сторона, лежа-
щая против прямого угла, называется ги-
потенузой, а две остальные стороны —
катетами.
Из каждой вершины треугольника опу-
стим перпендикуляр на сторону, противо-
I_____________________________________
Катеты а, b и гипотенуза с (см. рису-
нок) связаны между собой соотношением,
называемым теоремой Пифагора:
а2 + Ь2 = с2.
47
В прямоугольном треугольнике катеты
являются также и высотами. Три прямые,
содержащие разные высоты треугольни-
ка, всегда пересекаются в одной точке,
называемой ортоцентром треугольника.
В тупоугольном треугольнике ортоцентр
лежит вне треугольника; в остроуголь-
ном — внутри; в прямоугольном треуголь-
нике ортоцентр совпадает с вершиной
прямого угла. Высота треугольника, опу-
щенная на сторону а треугольника, обыч-
но обозначается ha.
Высота ha треугольника вычисляется
через стороны а, Ь, с треугольника по фор-
муле
Л _ bjp(p-a)(p-b)(p-c)
a
1 , L X
где р = ~(а + о + с) — полупериметр тре-
угольника.
Биссектрисы
Отрезок биссектрисы внутреннего угла
треугольника от его вершины до точки
пересечения с противоположной стороной
называется биссектрисой треугольника.
Центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, лежит на
середине гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов:
S = —ab.
2
Три биссектрисы CF, AD, BE треуголь-
ника ABC пересекаются в одной точке О,
лежащей внутри треугольника и являю-
щейся центром вписанной в треугольник
окружности (рис. 4).
Рис. 4
Основные свойства биссектрис тре-
угольника:
1. Биссектриса делит противоположную
сторону на части, пропорциональные при-
лежащим сторонам. Так, на рис. 4
|АЕ| _ |АВ . М = |АВ|. ВГ| _ |ВС
]ёс[_|вс"’ |£>С| |АС| ’ ТЩ“|АС ‘
2. Биссектриса делит площадь треуголь-
ника в отношении, пропорциональном
прилежащим сторонам:
S*ABE _
S*BCE |ВС
Средние линии
Средней линией треугольника называ-
ется отрезок, соединяющий середины двух
сторон треугольника.
Рис. 5
На рис. 5 DE, EF и FD — средние ли-
нии.
Средняя линия треугольника равна по-
ловине его третьей стороны и отсекает от
исходного подобный треугольник, пло-
щадь которого относится к площади ис-
ходного треугольника как 1:4.
48
48. Соотношения между сторонами
и углами в прямоугольном
треугольнике
Определения
Пусть АВС — прямоугольный треуголь-
ник с прямым углом В и острым углом
при вершине А, равным а (рис. 1).
Рис. 1
Синусом угла а называется отноше-
ние противолежащего катета ВС к ги-
потенузе АС:
ВС
sin a =-
AC ‘
Косинусом угла а называется отно-
шение прилежащего катета к гипоте-
нузе:
АВ
cos a --
AC •
Тангенсом угла а называется отноше-
ние противолежащего катета к приле-
жащему:
ВС
tga =---
АВ
Котангенсом угла а называется от-
ношение прилежащего катета к про-
тиволежащему:
АВ
ctg a =--
ВС •
Значения синуса, косинуса, тангенса и
котангенса для углов 30°, 45° и 60°
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС с прямым углом С, у которого
Z А = 30°, Z В = 60° (рис. 2).
49. Свойства равнобедренного
и равностороннего треугольников
Треугольник называется равнобедрен-
ным, если две его стороны равны. Равные
стороны называются боковыми сторона-
ми, а третья сторона — основанием рав-
нобедренного треугольника (рис. 1). До-
кажем две теоремы о свойствах равнобед-
ренного треугольника.
Теорема 1. В равнобедренном треу-
гольнике углы при основании равны.
Доказательство. Рассмотрим равнобед-
ренный треугольник АВС с основанием ВС
и докажем, что Z В = Z С. Пусть AD —
биссектриса треугольника АВС (рис. 2).
Рис. 2
Треугольники ABD и ACD равны по пер-
вому признаку равенства треугольников
(АВ = АС по условию, AD — общая сто-
рона, Z 1 = Z 2, так как АО — биссект-
риса). Из равенства этих треугольников
следует, что Z В = Z С. Теорема доказа-
на.
Теорема 2. В равнобедренном треу-
гольнике биссектриса, проведенная к ос-
нованию, является его медианой и высо-
той.
Доказательство. Рассмотрим рис. 2. Из
равенства треугольников ABD и ACD сле-
дует, что BD = DC и Z 3 = Z 4. Равенство
BD = DC означает, что точка D — середи-
на стороны ВС; следовательно, AD — ме-
диана треугольника АВС. Так как углы 3
и 4 смежные и равны друг другу, то они
49
прямые. Поэтому биссектриса AD являет-
ся также и высотой треугольника АВС.
Так как биссектриса, медиана и высо-
та равнобедренного треугольника, прове-
денные из вершины угла к основанию, сов-
падают, справедливы следующие утверж-
дения:
1. Высота равнобедренного треуголь-
ника, проведенная из вершины угла к
основанию, одновременно является его
медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треуголь-
ника, проведенная из вершины, угла к
основанию, одновременно является его
высотой и биссектрисой.
Треугольник называется равносторон-
ним (или правильным), если все его сто-
роны равны.
Свойства равностороннего треугольни-
ка:
а)	все углы равны (каждый из углов
равен 60°);
б)	каждая из трех высот является так-
же медианой и биссектрисой;
в)	центр окружности, описанной около
треугольника, совпадает с центром ок-
ружности, вписанной в него.
Катет, лежащий против угла 30°, равен
ВС 1
половине гипотенузы, т. е. = %, но
= sin А = sin 30°.
АВ
С другой стороны, по определению ко-
вс
синуса, —г= = cos В = cos 60°. Итак,
АВ
sin 30° = , cos 60° = ^. Из основного
тригонометрического тождества sin2a +
+ cos2 a = 1 получаем
cos 30° = Vl - sin2 30'
2 ’
sin 60° = V1 - cos2 60° = - -i- =	.
Значения тангенса и котангенса угла
можно получить, зная значения синуса и
косинуса этого угла:
Рассмотрим равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник АВС (рис. 3).
Рис. 3
По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2 =
АВ
= 2АС2 = 2JBC2, откуда АС = ВС = -j=-
Следовательно,
...	 л ВС
sin 45 = sin А = ——
,_о	. АС 1 V2
cos 45 = cos А - —— =	= ——
ВС
tg45° = tgA= —— = 1, ctg 45° = 1.
AC
a	30°	45°	60°
sin a	1 2	У2 2	у!з 2
cos a	у/З 2	y/2 2	1 2
tga	Уз 3	1	Уз
ctg a	Уз	1	Уз 3
50
I
I--------------------------------------
50.	Равенство треугольников
Определение. Два треугольника назы-
ваются равными, если при наложении друг
на друга они совместятся.
I Если треугольники АВС и А]В1С1равны,
то их соответственные стороны и соот-
| ветственные углы равны (рис. 1).
То есть АВ =AiBi; ВС = В\С\; АС=А\С\
и г.А = ЛА1; AB = ABl-, АС = АС1.
Признаки равенства треугольников
Теорема 1. Если две стороны и угол меж-
ду ними одного треугольника равны соот-
ветственно двум сторонам и углу между
ними другого треугольника, то такие тре-
угольники равны. На рис. 1
АС = АхСу, А А = А Ах.
Теорема 2. Если сторона и прилежащие
к ней углы одного треугольника равны
соответственно стороне и прилежащим к
ней углам другого треугольника, то та-
кие треугольники равны. На рис. 1
AC=AiCi; ZA = ZAx; ZC = ZQ.
Теорема 3. Если три стороны одного
треугольника равны соответственно трем
сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны. На рис. 1
АВ = AiBi; AC=AiCi; ВС = B]Ci.
Признаки равенства треугольников до-
казываются наложением одного треуголь-
ника на другой.
Признаки равенства прямоугольных
Рис. 2
' Прямоугольные треугольники АВС и
AiBiCi (рис. 2) равны, если выполняется
I любое из приведенных ниже четырех ус-
I ловий:
I__________________________________
51.	Сумма углов треугольника.
Сумма внутренних углов выпуклого
многоугольника
Сумма углов треугольника
Теорема. Сумма углов треугольника
равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произ-
вольный треугольник АВС и докажем, что
ZA + ZB+ ZC = 180°.
Проведем через вершину В прямую а, па-
раллельную стороне АС (рис. 1). Углы 1 и 4
являются накрест лежащими углами при
пересечении параллельных прямых а иАС
секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежа-
щими углами при пересечении тех же па-
раллельных прямых секущей ВС. Поэтому
Z4-Z1.Z5-Z3.	(1)
Сумма углов 4, 2 и 5 равна развернуто-
му углу с вершиной В, т. е. Z 4 + Z 2 +
52.	Окружность, описанная около
треугольника
Определения. Если все вершины много-
угольника лежат на окружности, то ок-
ружность называется описанной около
многоугольника, а многоугольник — впи-
санным в эту окружность. На рис. 1 че-
тырехугольник ABCD вписан в окруж-
ность с центром О, а четырехугольник
AECD не является вписанным в эту ок-
ружность, так как его вершина Е не ле-
жит на данной окружности. Треугольник
АВС на рис. 2 вписан в окружность с цен-
тром О.
Рис. 1
Теорема. Около любого треугольника
можно описать окружность.
51
I---------------------------------------
+ Z 5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства
I (1), получаем: Zl+Z2+Z3 = 180°, или
I Z А + Z В + Z С = 180°.
| Сумма внутренних углов выпуклого
। многоугольника
Теорема. Сумма внутренних углов вы-
пуклого п-уголъника равна 180° • (п - 2).
Рассмотрим выпуклый n-угольник (на
рис. 2 п = 5). Внутри него возьмем произ-
вольную точку О и соединим ее с верши-
нами n-угольника. Получим п треуголь-
ников с общей вершиной О.
Сумма углов этих п треугольников равна
180° • п. Если из этой суммы вычесть сумму
углов треугольников при вершине О, а она
равна 360°, то получим сумму внутренних
углов выпуклого n-угольника. Эта сумма
равна 180° • п - 360°, т. е. 180° • (п - 2).
Доказательство. Рассмотрим произ-
вольный треугольник АВС. Обозначим
буквой О точку пересечения серединных
перпендикуляров к его сторонам и прове-
дем отрезки ОА, ОВ и ОС (рис. 2). Так
как точка О равноудалена от вершин тре-
угольника АВС, то ОА = ОВ = ОС. Поэто-
му окружность с центром О радиуса ОА
проходит через все три вершины треуголь-
ника и, значит, является описанной око-
ло треугольника АВС.
----------------1
1.	Катеты одного треугольника рав-
ны катетам другого треугольника:	।
AB=AiBi и AC — А1С1.
2.	Катет и острый угол одного треу-
гольника равны катету и соответ-
ственному углу другого треугольника:	।
AC=AlCln'ZC = ZC1.	.
3.	Гипотенуза и острый угол одного 1
треугольника равны гипотенузе и остро- |
му углу другого треугольника:	।
ВС = В1С1И ZC = ZCx.	|
4.	Катет и гипотенуза одного треу- !
гольника равны катету и гипотенузе
другого треугольника:	|
ВС = BiCi и АС = AiCi.
Свойства прямоугольного треугольника
Катет прямоугольного треугольника
есть среднее пропорциональное между
гипотенузой и проекцией этого катета
на гипотенузу.
Рис. 3
В прямоугольном треугольнике АВС
(рис. 3) опустим перпендикуляр СН на ги-
потенузу АВ. Тогда Ьс — проекция катета
b на гипотенузу с; ас — проекция катета а
на гипотенузу с.
b^ . b b . с, Uf. . а а . с
или
Ь% = Ьсс, = асс.
Высота прямоугольного треугольника,
проведенная из вершины прямого угла,
есть среднее пропорциональное между
проекциями катетов на гипотенузу:
Ьс: h = h : ас
или
Рис. 2
Примечание. Около треугольника мож-
но описать только одну окружность.
52
53. Свойства средних линий
треугольника и трапеции
Определение. Средней линией треу-
гольника называется отрезок, соединяю-
щий середины двух сторон треугольника.
Для доказательства приведенных ниже
теорем используем теорему Фалеса:
«Если параллельные прямые, пересека-
ющие стороны угла, отсекают на одной
его стороне равные отрезки, то они отсе-
кают равные отрезки и на другой его сто-
роне».
Теорема 1. Средняя линия треугольни-
ка:
1) параллельна третьей стороне;
2) равна половине длины этой сторо-
ны.
1. На рис. 1 через точку М — середину
стороны АВ треугольника АВС — прове-
дена прямая, параллельная АС. Она пересе-
кает сторону ВС в точке N и, по теореме
Фалеса, делит сторону ВС пополам. По-
этому MN || АС.
2. Через точку N, середину стороны ВС,
проведем прямую, параллельную стороне
АВ. Она, по теореме Фалеса, разделит сто-
рону ВС пополам, т. е. пройдет через точ-
ку F — середину стороны АС. Значит,
1
AF = FC = „АС.
Л
Но MN = AF (т. к. AMNF — параллело-
1
грамм). Следовательно, MN = ~ АС.
Теорема 2. Средняя линия трапеции:
1) параллельна основанию;
2) равна полусумме длин оснований.
Рис. 2
I_____________________________
54. Осевая и центральная симметрии
Осевая симметрия
Две точки В и Bj называются симмет-
ричными относительно прямой а, если эта
прямая проходит через середину отрезка
ВВ\ и перпендикулярна к нему (рис.1).
Каждая точка прямой а считается сим-
метричной самой себе, точки М и М\, N и
7V1 симметричны относительно прямой с,
а точка Р симметрична самой себе отно-
сительно этой прямой (рис. 2).
Рис. 2
В.
"_______Е
Рис. 1.
Фигура называется симметричной от-
носительно прямой, если для каждой
точки фигуры симметричная ей точка
относительно этой прямой также при-
надлежит этой фигуре.
Такая прямая называется осью симмет-
рии фигуры. Говорят также, что фигура
обладает осевой симметрией.
Рис. 3
На рис. 3 приведены фигуры, обладаю-
щие осевой симметрией.
У неразвернутого угла одна ось симмет-
рии — биссектриса угла. Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии, а
равносторонний треугольник — три оси
симметрии. Прямоугольник и ромб име-
ют две оси симметрии, а квадрат имеет
четыре оси симметрии. У окружности их
бесконечно много: любая прямая, прохо-
дящая через ее центр, является осью сим-
метрии. Имеются фигуры, у которых нет
ни одной оси симметрии. К таким фигу-
рам можно отнести параллелограмм и раз-
носторонний треугольник.
53
I-------------------------
Центральная симметрия
Две точки А и А\ называются симмет-
ричными относительно точки О, если О
середина отрезка АА\ (рис. 4). Точка О
считается симметричной самой себе.
О
Рис. 4
На рис. 5 точки С и Cj, В и В\ симмет-
ричны относительно точки О, а точки Р
и Q не симметричны относительно этой
точки.
1. Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 2).
Пусть М — середина стороны АВ, &N —
середина стороны CD. Разобьем трапецию
диагональю BD на два треугольника. Че-
рез точку М проведем прямую, параллель-
ную стороне AD. Она пересечет диагональ
BD в точке Т — середине BD, по теореме
Фалеса. По той же теореме прямая прой-
дет через середину CD, т.е. через точку N.
Следовательно, средняя линия MN трапе-
ции параллельна основанию AD, т. к. ле-
жит на прямой, параллельной AD.
2. Согласно свойству средней линии тре-
1 1
угольника TN = ~ ВС, МТ = AD.
Л
Следовательно,
1	1
MN = MT+TN = -AD+ - ВС, т. е.
Л	л
1
= - (AD+BC).
£
Рис. 5
Фигура называется симметричной от-
носительно точки О, если для каждой
точки фигуры симметричная ей точка
относительно точки О также принад-
лежит этой фигуре.
Например, центральной симметрией об-
ладают окружность и параллелограмм
(рис. 6). Центром симметрии окружности
является ее центр, а центром симметрии
параллелограмма — точка пересечения его
диагоналей.
Рис. 6
Изображения на плоскости многих пред-
метов окружающего нас мира имеют ось
симметрии или центр симметрии.
54
55. Признаки параллелограмма
Рассмотрим три признака параллело-
грамма.
1. Если в четырехугольнике две сторо-
ны равны и параллельны, то этот че-
тырехугольник — параллелограмм.
Пусть в четырехугольнике ABCD
(рис. 1) стороны АВ и CD параллельны и
АВ = CD. Проведем диагональ АС, разде-
ляющую данный четырехугольник на два
треугольника: АВС и CD А. Эти треуголь-
ники равны по двум сторонам и углу
между ними (АС — общая сторона,
АВ = CD по условию, Z 1 = Z 2 как на-
крест лежащие углы при пересечении па-
раллельных прямых АВ и CD секущей
АС), поэтому Z 3 = Z 4. Но углы 3 и 4 —
накрест лежащие при пересечении пря-
мых AD и ВС секущей АС, следователь-
но, AD || ВС.
Таким образом, в четырехугольнике
ABCD противоположные стороны попар-
но параллельны; следовательно, четырех-
угольник ABCD — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противопо-
ложные стороны попарно равны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
Проведем диагональ АС четырехуголь-
ника ABCD, разделяющую его на треуголь-
ники АВС и CDA (см. рис. 1).
Эти треугольники равны по трем сто-
ронам (АС — общая сторона, АВ = CD и
ВС = DA по условию), поэтому Z 1 = Z 2.
Отсюда следует, что АВ || CD. Так как
АВ = CD и АВ || CD, то по признаку 1
четырехугольник ABCD — параллело-
грамм.
56. Окружность, вписанная
в треугольник
Определения. Если все стороны много-
угольника касаются окружности, то ок-
ружность называется вписанной в много-
угольник, а многоугольник — описанным
около окружности. На рис. 1 четырех-
угольник EFMN описан около окружнос-
ти с центром О, а четырехугольник DKMN
не является описанным около этой окруж-
ности, так как сторона DK не касается
окружности. На рис. 2 треугольник АВС
описан около окружности с центром О.
57. Касательная к окружности
и ее свойства
Определение. Прямая, имеющая с ок-
ружностью только одну общую точку,
называется касательной к окружности,
а их общая точка называется точкой
касания прямой и окружности. На рис. 1
прямая р — касательная к окружности с
центром О, А — точка касания.
Теорема. Касательная к окружности
перпендикулярна к радиусу, проведенно-
му в точку касания.
Доказательство. Пусть р — касатель-
ная к окружности с центром О, А—точка
касания (см. рис. 1). Докажем, что каса-
тельная р перпендикулярна к радиусу ОА.
55
Теорема. В любой треугольник можно
вписать окружность.
Доказательство. Рассмотрим произволь-
ный треугольник АВС и обозначим бук-
вой О точку пересечения его биссектрис.
Проведем из точки О перпендикуляры ОК,
OL и ОМ соответственно к сторонам АВ,
ВС и СА (см. рис. 2). Так как точка О
равноудалена от сторон треугольника АВС,
то ОК = OL — ОМ. Поэтому окружность с
центром О радиуса ОК проходит через точ-
ки К, L и М. Стороны треугольника АВС
касаются этой окружности в точках К, L,
М, так как они перпендикулярны к ради-
усам OK, OL и ОМ. Значит, окружность с
центром О радиуса ОК является вписан-
ной в треугольник АВС.
Примечание. В треугольник можно впи-
сать только одну окружность.
3. Если в четырехугольнике диагонали
пересекаются и точкой их пересечения
делятся пополам, то этот четырехуголь-
ник — параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в
котором диагонали АС и BD пересекают-
ся в точке О и делятся этой точкой попо-
лам (рис. 2). Треугольники АОВ и COD
равны по двум сторонам и углу между
ними (АО = ОС, ВО = OD по условию,
Z АОВ = Z COD как вертикальные углы),
поэтому АВ = CD и Z 1 = Z 2.
Из равенства углов 1 и 2 следует, что
АВ || CD.
Итак, в четырехугольнике ABCD сторо-
ны АВ и CD равны и параллельны, зна-
чит, по признаку 1 четырехугольник
ABCD — параллелограмм.
Предположим, что это не так. Тогда
радиус ОА является наклонной к прямой
р. Так как перпендикуляр, проведенный
из точки О к прямой р, меньше наклон-
ной ОА, то расстояние от центра О ок-
ружности до прямой р меньше радиуса.
Следовательно, прямая р и окружность
имеют две общие точки. Но это противо-
речит условию, что прямая р — касатель-
ная. Таким образом, прямая р перпенди-
кулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.
Обратная теорема. Если прямая прохо-
дит через конец радиуса, лежащий на ок-
ружности, и перпендикулярна к этому
радиусу, то она является касательной.
Доказательство. Из условия теоремы
следует, что данный радиус является пер-
пендикуляром, проведенным из центра
окружности к данной прямой. Поэтому
расстояние от центра окружности до пря-
мой равно радиусу, и, следовательно, пря-
мая и окружность имеют только одну
общую точку. Но это означает, что дан-
ная прямая является касательной к ок-
ружности. Теорема доказана.
56
58. Измерение угла, вписанного
59. Признаки подобия треугольников
в окружность
Угол с вершиной в центре окружности
называется ее центральным углом. Пусть
стороны центрального угла окружности с
центром О пересекают ее в точках А и В.
Центральному углу АОВ соответствуют две
дуги с концами А и В (рис. 1). Дугу ок-
ружности можно измерять в градусах.
Градусная мера дуги ALB считается рав-
ной градусной мере центрального угла
АОВ. Таким образом, центральный угол
измеряется градусной мерой дуги, на ко-
торую он опирается.
Угол, вершина которого лежит на ок-
ружности, а стороны пересекают окруж-
ность, называется вписанным углом.
На рис. 2 угол АВС — вписанный, дуга
АМС расположена внутри этого угла. В
таком случае говорят, что вписанный угол
АВС опирается на дугу АМС.
Теорема. Вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опира-
ется.
Доказательство. Пусть Z АВС — впи-
санный угол окружности с центром О,
опирающийся на дугу АС (рис. 3—5).
'	Рис. 5
I_________________________________
Первый признак
Теорема. Если два угла одного тре-
угольника соответственно равны двум
углам другого, то такие треугольники
подобны.
Доказательство. Пусть АВС и A^BjCi
— два треугольника, у которых Z А =
= Z Ai, Z В = Z Bi (рис. 1). Докажем, что
д АВС и д AiBiCi подобны.
По теореме о сумме углов треугольника
ZC = 180° - Z А - Z В. Следовательно,
Z С = 180° — Z Ai - Z Bi и, значит, ZC =
= Z Ci. Таким образом, углы треугольни-
ка АВС соответственно равны углам тре-
угольника AiBiCi.
Докажем, что сходственные стороны тре-
угольников АВС hAiBiCi пропорциональ-
ны. Так как ZA = Z A\n ZC = Z Ci, то
S&ABC _ АВ' А@ _ СА ’ СВ
^A^Ci 4^ ' А1С1 С1А1 ’ Cl^l ’
потому что площади таких треугольни-
ков относятся как произведения сторон,
заключающих равные углы.
АВ ВС
Из этих равенств следует	~ BjCi •
Аналогично, используя равенства
Z А = Z Ai, ZB = Z Bi, получаем
ВС _ АС
Alci •
Итак, сходственные стороны треуголь-
ников АВС и AiBiCi пропорциональны.
Следовательно, эти треугольники подоб-
ны. Теорема доказана.
Второй признак
Теорема. Если две стороны одного тре-
угольника пропорциональны двум сторо-
нам другого треугольника и углы, за-
ключенные между этими стеронами, рав-
ны, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Рассмотрим тре-
угольники АВС и AiBiCi, у которых
АВ _ АС
А& ’	“ Z А1 <₽ис* 2)’ Д^-
жем, что д АВС и д AiBiCi подобны.
57
Для этого достаточно доказать, что
ZB = ZBp
Рассмотрим треугольник АВС2, У кото-
рого Z 1= Z Aj, Z 2 = Z Bi. Треугольники
АВС2 и AjBiCi подобны по первому при-
знаку подобия треугольников, поэтому
АВ АС2
AlBi AjQ
С другой стороны, по условию теоремы
АВ _ АС
AjBi Al (4 ’ И3 этих двух равенств по-
лучаем АС = АС2- Треугольники АВС и
АВС2 равны по двум сторонам и углу меж-
ду ними. Отсюда следует, что Z В = Z 2, а
так как Z 2 = Z Вр то Z В = Z By
Теорема доказана.
Третий признак
Теорема. Если три стороны одного
треугольника пропорциональны трем
сторонам другого, то такие треуголь-
ники подобны.
Доказательство. Пусть стороны д АВС
и д AiBiCi пропорциональны:
АВ ВС	СА
А^ ~ BiCi CjAi	С1*
Докажем, что дАВСи д A(BjC] подоб-
ны. Для этого, учитывая второй признак
подобия треугольников, достаточно дока-
зать, что Z А = Z Ау Рассмотрим треу-
гольник АВС2, у которого Z 1= Z Ai,
Z 2 = Z Bi (рис. 2, б). Треугольники АВС2
и AiBiCi подобны по первому признаку
подобия треугольников, поэтому
АВ ВС2 С2А
А^В^ DiCi ^-i-Ai
Сравнивая эти равенства с равенствами
(1), получаем:
1
Докажем, что Z АВС = ~ <иАС. Рассмот-
рим три возможных случая расположения
луча ВО относительно угла АВС:
1.	Луч ВО совпадает с одной из сторон
угла АВС, например со стороной ВС
(рис. 3). В этом случае угол АОС является
центральным и его значение равно гра-
дусной мере дуги AC (Z АОС = и АС). Так
как угол АОС — внешний угол равнобед-
ренного треугольника АВО, а углы 1 и 2
при основании равнобедренного треуголь-
ника равны, то Z АОС = Z 1+ Z 2 или
удвоенному значению угла 1. Отсюда сле-
дует, что 2 Z 1 = U АС или Z АВС = Z 1 =
= g и АС.
2.	Луч ВО делит угол АВС на два угла.
В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в
некоторой точке D (рис. 4). Точка D раз-
деляет дугу АС на две дуги: АО и DC.
Как доказано выше,
1	1
Z ABD = - uAD и Z ОВС - «= т о DC.
<и	£
Складывая эти равенства почленно, по-
лучаем
1 1
Z АВО+ Z DBC = т и AD + о DC, или
1
ZABC= - и АС.
3.	Луч ВО не делит угол АВС на два угла
и не совпадает со сторонами этого угла.
Из рис. 5 видно, что
Z АВС = Z ABD - Z DBC.
Как доказано выше,
1	1
Z ABD = - и AD и Z DBC = ~ u DC.
Л	&
Вычитая эти равенства почленно, получа-
ем
1	1
Z ABD - Z ОВС = - и АО - ~ о ОС, или
Л	л
1
ZABC= - о АС.
Следствие 1. Вписанные углы, опира-
ющиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие 2. Вписанный угол, опира-
ющийся на полуокружность, — прямой.
ВС = ВС2, СА = С2А.
Следовательно, треугольники АВС и
АВС2 равны по трем сторонам. Поэтому
Z А = Z 1, а так как Z 1 = Z Ai, то Z А =
= Z Ау Теорема доказана.
58
I-------------------------------------
60. Формулы площади поверхности
и объема призмы
Определения
Рассмотрим два равных многоугольни-
ка АрАг ... Ап и BjB2 ... Вп, расположен-
ные в параллельных плоскостях аир так,
что отрезки AiBi, А2В2, ... АпВп, соеди-
няющие соответственные вершины много-
угольников, параллельны. Каждый из п
четырехугольников
AiA2B2Blt А2А3В3В2, AnAiBiBn (1)
является параллелограммом, так как
имеет попарно параллельные противопо-
ложные стороны. Например, в четырех-
угольнике А1А2В2В1 стороны AjBj и
А2В2 параллельны по условию, а сторо-
ны А1А2 и В1В2 — по свойству параллель-
ных плоскостей, пересеченных третьей
плоскостью.
Многогранник, составленный из двух
равных многоугольников А1А2 ... Ап и
В1В2 ... Вп, расположенных в параллель-
ных плоскостях, и п параллелограммов (1),
называется призмой (рис. 1).
Рис. 1
Многоугольники А1А2 ... Ап и В1В2 ...
Вп называются основаниями, а паралле-
лограммы (1) — боковыми гранями при-
змы. Отрезки A^Bi, А2В2,...,АпВп назы-
ваются боковыми ребрами призмы. Эти
ребра как противоположные стороны па-
раллелограммов (1), последовательно при-
ложенных друг к другу, равны и парал-
лельны. Призму с основаниями АрАг ...
Ап и В1В2 ... Вп обозначают АуАг ...
AnB]B2 ... Вп и называют п угольной при-
змой.
Перпендикуляр, проведенный из какой-
либо точки одного основания к плоско-
сти другого основания, называется высо-
той призмы.
Если боковые ребра призмы перпенди-
кулярны к основаниям, то призма назы-
вается прямой, в противном случае —
наклонной. Высота прямой призмы равна
ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной,
если ее основания — правильные много-
угольники. У такой призмы все боковые
грани — равные прямоугольники. На
рис. 2 изображена правильная шестиуголь-
ная призма.
Площадь поверхности призмы
Площадью полной поверхности призмы
называется сумма площадей всех ее гра-
ней, а площадью боковой поверхности
призмы — сумма площадей ее боковых
граней.
Площадь Яполн полной поверхности вы-
ражается через площадь Вбок боковой по-
верхности и площадь 80СН основания при-
змы формулой
вполн = ^бок + 28ОСН.
Теорема. Площадь боковой поверхнос-
ти прямой призмы равна произведению
периметра ее основания на высоту.
61. Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квад-
рат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
Доказательство. Рассмотрим прямоу-
гольный треугольник с катетами а, Ь и
гипотенузой с (рис. 1).
Докажем, что с2 = а2 + Ь2.
Достроим данный прямоугольный треу-
гольник до квадрата со стороной а + b
так, как показано на рис. 2. Площадь 8
этого квадрата равна (а + Ь)2.
Нетрудно видеть, что квадрат со сторо-
ной (а + Ь), показанный на рис. 2, состав-
лен из четырех равных прямоугольных
59
I--------------------------------------
Доказательство. Боковые грани пря-
мой призмы — прямоугольники, основа-
ния которых — стороны основания при-
змы, а высоты равны высоте h призмы.
Площадь боковой поверхности призмы
равна сумме площадей указанных прямо-
угольников, т. е. сумме произведений сто-
. рон основания на высоту й. Вынося мно-
I житель й за скобки, получим в скобках
I сумму сторон основания призмы, т. е. его
периметр Р. Итак, SgoK = Ph. Теорема до-
казана.'
Объем прямой призмы
Теорема. Объем прямой призмы равен
произведению площади ее основания на
высоту.
Доказательство. Сначала докажем те-
орему для треугольной прямой призмы, а
затем — для произвольной прямой при-
змы.
Рис. 2
1. Рассмотрим прямую треугольную при-
зму ABCAiBiCi (рис. 2). Проведем высоту
треугольника АВС (отрезок BD), которая
разделит этот треугольник на два треу-
гольника: ABD и DBC. Плоскость
BBiDiD делит данную призму на две при-
змы, основаниями которых являются пря-
моугольные треугольники ABD и DBC. По-
этому объемы Vi и V2 этих призм равны
&ABD h и &DBC й соответственно. Так как
данная призма составлена из двух призм,
то ее объем равен сумме объемов V\ и V%,
т. е.
v = SaBD h + Sdbc Л = (SabD + SDBC) Л.
Таким образом,
У=ВОСНЙ.	(1)
2. Докажем теперь теорему для произ-
вольной прямой призмы с высотой й и
площадью основания В. Такую призму
можно разбить на прямые треугольные
призмы с высотой й. Например, на рис. 3
изображена пятиугольная призма, кото-
рая разбита на три прямые треугольные
призмы.
Выразим объем каждой треугольной
призмы по формуле (1) и сложим эти объе-
мы. Вынося за скобки общий множитель
й, получим в скобках сумму площадей ос-
нований треугольных призм, т. е. площадь
основания исходной призмы. Таким об-
разом, объем исходной призмы вычисля-
ется по формуле
У=80Снй.
треугольников со сторонами а, 6 и с, пло-
1
щадь Si каждого из которых равна т ab,
и квадрата со стороной с, площадь кото-
рого равна 82- Поэтому
1
S = 4Si + S2= 4 — ab + с2 = 2аЬ + с2.
Л
Зная 8, получим,
(а + Ъ)2 = 2аЬ + с2,
откуда
с2 = а2 + ft2.
Теорема доказана.
60
62. Формулы площади
параллелограмма, треугольника,
трапеции
1. Площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.
Рассмотрим параллелограмм ABCD. По-
строим прямоугольник BCFT так, как это
сделано на рис. 1. Треугольник ВТ А равен
треугольнику CFD по катету и гипотену-
зе. Следовательно, SabCD = ^BCFT>
т. к. SabcD = SBTA + &BCDT-
a SBCFT = SCFD + SbCDT-
Но &BCPT = ВС ' ВТ. Значит,
SabCD = BC  ВТ или, в обычных обозна-
чениях, Snap = ah, где a =AD = ВС, ВТ = й.
Аналогично рассматриваются случаи,
изображенные на рис. 2 и 3.
2. Площадь треугольника равна поло-
вине произведения его стороны на высо-
ту, проведенную к этой стороне.
64. Формула расстояния
между двумя точками.
Уравнение окружности
1. Пусть на плоскости хОу заданы две
произвольные точки Afi(xi;yi) и М2(Х2‘,
у 2) (рис. 1). Будем считать, что jq * Х2
и У1 *У2- Найдем d — расстояние меж-
ду точками Mi и М2- Рассмотрим треу-
гольник М1АМ2- В нем
MiA = X2~Xi,AM2 = У2~У1, MiM2 = d.
По теореме Пифагора находим
d2 = (х2 - xi)2 + (у2 - У1)2.
Отсюда
d = 7(х1 - *2)2 + (У1 ~ У2)2 • П)
Полученная формула расстояния между
двумя точками справедлива при любом
расположении точек Mi и М2. В частно-
сти, если = Х2, то
d = Jo2 +(У1 ~У2>2 = у1<.У2~У1)2 =
L	=|У2-!/1|.
X т-е- d = |i/2-W |-
|	2. Составим уравнение окружности.
Напомним, что уравнением линии на плос-
кости называется уравнение с двумя не-
известными, которому удовлетворяют ко-
ординаты любой точки линии.
63. Правильные многогранники
Многогранник называется правильным,
если все его грани представляют собой
правильные многоугольники. Все ребра а
правильного многоугольника — равные
отрезки. Существует пять видов правиль-
ных многогранников: куб, тетраэдр, ок-
таэдр, додокаэдр, икосаэдр.
Куб. Все шесть его граней — равные
квадраты.
8 = 6а2, У=а3.
Тетраэдр. Все четыре его грани — рав-
носторонние равные треугольники.
S = a2^, V = ^.
61
Окружностью называется множество
всех точек плоскости, находящихся на
заданном расстоянии от некоторой точки
' плоскости, называемой центром окруж-
ности.
Радиусом окружности называется отре-
I зок, соединяющий центр окружности с
, любой ее точкой.
Отрезок, соединяющий две точки ок-
| ружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окруж-
ности, называется диаметром. Диаметр
равен удвоенному радиусу окружности.
Возьмем на окружности с центром в точ-
ке А (а; Ь) произвольную точку М(х; у) и
соединим ее с центром А окружности
(рис. 2). По определению радиуса окруж-
ности AM = г. Расстояние AM найдем, ис-
пользуя формулу (1):
AM = г = 7(х-а)2 +(</ -Ь)2.
Возводя обе части этого равенства в
квадрат, получим искомое уравнение ок-
ружности:
г2 = (х - а)2 + (у - Ь)2 .
Отметим, что если центром окружности
служит начало координат, то ее уравне-
ние имеет вид
х2 + у2 = г2 .
Рассмотрим треугольник АВС.
Достроим его до параллелограмма ABDC
(рис. 4). Треугольник АВС равен треуголь-
нику BCD, по трем сторонам. Следова-
тельно, S. = — Snfln = — АС  h . Посколь-
д 2	2
ку АС = Ь, то Sb = bh.
3. Площадь трапеции равна произведе-
нию полусуммы ее оснований на высоту.
Рис. 5
Рассмотрим трапецию ABCD. Диагона-
лью BD разобьем ее на два треугольника,
ABD и BCD (рис. 5).
Тогда
SABCD = S *ABD + SBCD =
= —ah + — bh= — (a + b)h,
2	2	2
где а и b — основания трапеции, h — вы-
сота трапеции.
Итак:
ч -a + bh
‘-’трап — g п-
Октаэдр. Все восемь его граней — рав-
носторонние равные треугольники.
Икосаэдр. Все двадцать его граней —
равносторонние равные треугольники.
S = 2a2>/3, V=^^-.
3
Додекаэдр. Все двенадцать его граней —
правильные равные пятиугольники.
5a3(3 + V5)
12
S = 3a2 75(5 + 2^5), у = fl3(15 + 7^)
4
62
65.	Длины и площади в окружности
и круге
I
66.	Правильные многоугольники
Определения и свойства
Длина окружности, длина дуги
Чтобы получить наглядное представле-
ние о длине окружности, представим себе,
что окружность сделана из тонкой нерас-
тяжимой нити. Если мы разрежем нить в
какой-нибудь точке А и распрямим ее, то
получим отрезок AAi, длина которого и
есть длина окружности (рис. 1).
Периметр любого правильного вписан-
ного в окружность многоугольника явля-
ется приближенным значением длины ок-
ружности (рис. 2).
Рис. 3
Рис. 2
L
Чем больше количество сторон такого
многоугольника, тем точнее зто прибли-
женное значение, так как многоугольник
при увеличении количества сторон все
ближе и ближе «прилегает» к окружнос-
ти (рис. 3).
Точное значение длины окружности —
это предел, к которому стремится пери-
метр правильного вписанного в окруж-
ность многоугольника при неограничен-
ном увеличении количества его сторон.
Длина окружности вычисляется по фор-
муле
L = 2nR, или L = nD,
где л ~ 3,14 — постоянная, R — радиус
окружности, D— диаметр окружности.
Длина дуги окружности с угловым зна-
чением, равным а, вычисляется по форму-
ле
_ KRa
1 ~180’
где а — градусная мера угла, R — радиус
окружности.
Правильным многоугольником называ-
ется выпуклый многоугольник, у которо-
го все углы равны и все стороны равны.
Примерами правильных многоугольни-
ков являются равносторонний треуголь-
ник и квадрат. На рис. 1 изображены пра-
вильные пятиугольник, семиугольник и
восьмиугольник.
Рис. 1
Сумма всех углов правильного п-уголь-
ника равна (и - 2) • 180°. Так как все его
углы равны, то каждый из углов правиль-
ного n-угольника вычисляется по форму-
ле
п — 2
ап =------ 180°.
п
Вписанные и описанные
многоугольники
Многоугольник, все вершины которого
принадлежат окружности, называется
вписанным в эту окружность.
Многоугольник, все стороны которого
касаются окружности, называется опи-
санным около этой окружности.
На рис. 2 изображен правильный шес-
тиугольник, вписанный в окружность.
OAi = ОА% = ОА3 = ...= ОАп = R, где R —
радиус описанной около шестиугольни-
ка окружности.
На рис. 3 изображен правильный шес-
тиугольник, описанный около окружно-
сти с радиусом г.
OHi = ОН2 = — = ОНп = г, где г —
радиус вписанной в шестиугольник ок-
ружности.
Рис. 2	Рис. 3
Около всякого правильного многоуголь-
ника можно описать окружность, и во
всякий правильный многоугольник мож-
но вписать окружность.
63
I-----------------------------------------р
Центр вписанной в правильный много-
I угольник окружности совпадает с центром
описанной около правильного многоуголь- .
। ника окружности; эта точка называется
 центром правильного многоугольника. На
I рис. 2 и 3 точка О — центр правильного
I шестиугольника. Отрезок перпендикуляра,
проведенного из центра правильного много-
угольника к его стороне, называется апо- .
фемой правильного многоугольника.
На рис. 3 OHi, ОН2,... ОН в— апофемы I
। правильного шестиугольника.	i
Вычисление радиусов вписанной
и описанной окружностей	1
В правильном n-угольнике со стороной
а радиус R описанной окружности и ра-
диус г вписанной окружности вычисля-
ются по формулам
_ а	_ а	w
" . 180°’ Г~ 180° ’	4
I	2 sin----	2 tg----	П
п	п	.
Используя эти формулы, получим следу-
ющие выражения.
Для правильного равностороннего треу-
гольника со стороной а:	I
а _
7з ’	2>/з
Для правильного четырехугольника
(квадрата) со стороной а:
а
¥
Для правильного шестиугольника со
стороной а:
R = а,
Площадь правильного многоугольника
Площадь правильного n-угольника рав-
на половине произведения его периметра
на радиус вписанной в него окружности:
S = ^Pr.
Площадь правильного n-угольника мож-
но вычислить и через радиус R описанной
около него окружности:
Площадь круга, сектора, сегмента
Площадь круга с радиусом R вычисля-
ется по формуле
S = nR2.
Круговым сектором называется часть
круга, лежащая внутри соответствующе-
го центрального угла (рис. 4).
Рис. 4
Площадь кругового сектора вычисляет-
ся по формуле
с
S= 360°
где а — градусная мера угла, R — радиус
круга.
Круговым сегментом называется общая
часть круга и полуплоскости, граница
которой содержит хорду этого круга
(рис. 5 и 6).
Рис. 5
Рис. 6
Площадь кругового сегмента, не равно-
го полукругу, вычисляется по формуле
S = ^“±SA’
где а — градусная мера центрального
угла, который содержит дугу этого кру-
гового сегмента, а 5д — площадь треу-
гольника с вершинами в центре круга и
концах радиусов, ограничивающих соот-
ветствующий круговой сектор. Знак «-»
надо брать, когда а < 180° (рис. 5), а знак
«+» — когда а > 180° (рис. 6).
с 1 _2 • 360°
S = — R^n sin---
2	п
64
67.	Параллельность плоскостей
По аксиоме стереометрии мы знаем, что
если две плоскости имеют общую точку,
то они пересекаются по прямой. Отсюда
следует, что две плоскости либо пересека-
ются по прямой (рис. 1), либо не пересека-
ются, т. е. не имеют ни одной общей точ-
ки (рис. 2).
Определение. Две плоскости называ-
ются параллельными, если они не пере-
секаются.
Представление о параллельных плоско-
стях дают пол и потолок комнаты, поверх-
ность стола и плоскость пола.
Параллельность плоскостей а и 0 обо-
значается так: а||р. Рассмотрим признак
параллельности двух плоскостей.
Теорема. Если две пересекающиеся пря-
мые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плос-
кости, то эти плоскости параллельны.
Рис. 3
Доказательство. Рассмотрим две плос-
кости а и Р (рис. 3). В плоскости а ле-
I жат пересекающиеся в точке М прямые
' а и Ъ, в плоскости Р — прямые aj и Ь±,
I причем а II ai и b || by. Докажем, что а||р.
Прежде всего отметим, что по признаку
параллельности прямой и плоскости a||a
и Ь||р.
Допустим, что плоскости а и Р не па-
раллельны. Тогда они пересекаются по не-
которой прямой с. Мы получили, что плос-
I кость а проходит через прямую а, парал-
лельную плоскости Р, и пересекает
плоскость Р по прямой с. Теперь восполь-
зуемся следующим свойством: если плос-
кость проходит через данную прямую,
I_______________________________________
68.	Параллельность
прямой и плоскости
Плоскость и прямая, не принадлежа-
щая этой плоскости, называются парал-
лельными, если они не имеют ни одной
общей точки.
Теорема. Если прямая, не лежащая в
данной плоскости, параллельна какой-
нибудь прямой, лежащей в этой плоско-
сти, то она параллельна данной плоско-
сти.
Доказательство. Для доказательства
воспользуемся леммой: если одна из двух
параллельных прямых пересекает плос-
кость, то и другая прямая тоже пересека-
ет эту плоскость.
Рассмотрим плоскость а и две парал-
лельные прямые с и Ь, расположенные так,
что прямая Ъ лежит в плоскости а, а пря-
мая с не лежит в этой плоскости (см. ри-
сунок).
С
69.	Теорема о трех
перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости че-
рез основание наклонной перпендикуляр-
но к ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной.
Доказательство. Обратимся к рисунку,
на котором отрезок АН — перпендикуляр
к плоскости а, AM — наклонная, а — пря-
мая, проведенная в плоскости а через точ-
ку М перпендикулярно к проекции НМ
наклонной. Докажем, что а ± AM.
Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а
перпендикулярна к этой плоскости, так
как она перпендикулярна к двум пересе-
кающимся прямым АН и МН (а1НМ по
условию и а1АН, так как АН ±а). Отсю-
65
Докажем, что с||а.
Допустим, что это не так. Тогда прямая
с пересекает плоскость а, а из леммы о
пересечении плоскости параллельными
прямыми следует, что прямая b также пе-
ресекает плоскость а. Но это невозможно,
поскольку прямая b лежит в плоскости а.
Итак, прямая с не пересекает плоскость
а, поэтому она параллельна этой плоско-
сти. Теорема доказана.
Приведем еще две теоремы:
1. Если плоскость проведена через пря-
мую, параллельную другой плоскости, и
пересекает эту плоскость, то линия
пересечения плоскостей параллельна дан-
ной прямой.
2. Если через каждую из двух парал-
лельных прямых проведена произвольная
плоскость и эти плоскости пересекают-
ся, то линия их пересечения параллельна
каждой из данных прямых.
параллельную другой плоскости, и пере-
секает эту плоскость, то линия пересе-
чения плоскостей параллельна данной
прямой.
Отсюда следует, что а||с.
Но плоскость а проходит также через
прямую Ь, параллельную плоскости р. По-
этому Ь||с. Таким образом, через точку М
проходят две прямые а и Ъ, параллельные
прямой с. Но это невозможно, так как по
теореме о параллельных прямых через точ-
ку М проходит только одна прямая, па-
раллельная данной прямой. Значит, наше
допущение неверно и а||р. Теорема доказа-
на.
Приведем еще три теоремы:
1.	Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пере-
сечения параллельны.
2.	Через данную точку, не принадле-
жащую данной плоскости, можно про-
вести только одну плоскость, параллель-
ную данной плоскости.
3.	Если каждая из двух данных плоско-
стей параллельна третьей плоскости, то
данные две плоскости параллельны меж-
ду собой.
да следует, что прямая а перпендикуляр-
на к любой прямой, лежащей в плоскости
АМН, в частности а1АМ. Теорема доказа-
на.
Эта теорема называется теоремой о
трех перпендикулярах, так как в ней го-
ворится о связи между тремя перпендику-
лярами — АН, НМ и AM.
Справедлива также обратная теорема:
прямая, проведенная в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно
к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
_1
66
70. Перпендикулярность
прямой и плоскости
71. Признак перпендикулярности
двух плоскостей
Как проверить, перпендикулярна ли
данная прямая к данной плоскости? Этот
вопрос имеет практическое значение, на-
пример, при установке мачт, колонн зда-
ний и т. д., которые нужно поставить
прямо, т. е. перпендикулярно к той плос-
кости, на которую они ставятся. Оказы-
вается, что для этого нет надобности про-
верять перпендикулярность по отношению
к любой прямой, как о том говорится в
определении, а достаточно проверить пер-
пендикулярность лишь к двум пересекаю-
щимся прямым, лежащим в плоскости.
Это вытекает из следующей теоремы, вы-
ражающей признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая перпендикуляр-
на к двум пересекающимся прямым, ле-
жащим в плоскости, то она перпенди-
кулярна к этой плоскости.
В
Рис. 1
Доказательство. Рассмотрим прямую а,
которая перпендикулярна к прямым р и q,
лежащим в плоскости а и пересекающим-
ся в точке О (рис. 1). Докажем, что а±а.
Для этого нужно доказать, что прямая а
перпендикулярна к произвольной прямой
т, лежащей в плоскости а.
Рассмотрим сначала случай, когда пря-
мая а проходит через точку О (см. рис. 1).
Проведем через точку О прямую I, парал-
лельную прямой т (если прямая т прохо-
дит через точку О, то в качестве I возьмем
саму прямую т). Отметим на прямой а
точки А и В так, чтобы точка О была
серединой отрезка АВ, и проведем в плос-
кости а прямую, пересекающую прямые р,
q и I в точках Р, Q и L соответственно.
Будем считать для определенности, что
точка Q лежит между точками Р и L.
Так как прямые р и q — серединные
перпендикуляры к отрезку АВ, то АР =
= ВР и AQ = BQ. Следовательно, д APQ
равен д BPQ по трем сторонам. Поэтому
ZAPQ= ZBPQ.

Рис. 1
Две пересекающиеся плоскости образу-
ют четыре двугранных угла с общим реб-
ром (рис. 1). Если один из этих двугран-
ных углов равен <р, то другие три угла
равны 180° - <р, <р и 180° - <р. В частности,
если один из углов прямой (ср = 90°), то и
остальные три угла прямые. В общем слу-
чае 0°< <р < 90°.
Дее пересекающиеся плоскости назы-
ваются перпендикулярными (взаимно
перпендикулярными), если угол между
ними равен 90° (рис. 2).
Рис. 2
Определим признак перпендикулярнос-
ти двух плоскостей.
Теорема. Если одна из двух плоскостей
проходит через прямую, перпендикуляр-
ную к другой плоскости, то такие плос-
кости перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим плоско-
сти а и р. Плоскость а проходит через
прямую АВ, перпендикулярную к плоско-
I--------------------------------------
сти P и пересекающуюся с ней в точке А
I (рис. 3). Докажем, что а± р. Плоскости а
и Р пересекаются по некоторой прямой
АС, причем АВ ± АС, так как по условию
АВ ± Р, и, значит, прямая АВ перпендику-
лярна к любой прямой, лежащей в плос-
I кости р.
Проведем в плоскости Р прямую АО, пер-
пендикулярную к прямой АС. Тогда угол
BAD — линейный угол двугранного угла,
образованного при пересечении плоскостей
а и р. Но Z BAD = 90° (так как АВ±Р).
Следовательно, угол между плоскостями
а и Р равен 90°, т. е. а ± р. Теорема дока-
зана.
Следствие. Плоскость у, перпендикуляр-
ная к прямой а, по которой пересека
ются две данные плоскости а и р, пер-
пендикулярна к каждой из этих плоско-
стей (рис. 4).
Сравним теперь треугольники APL и
BPL. Они равны по двум сторонам и углу
между ними (АР = BP, PL — общая сторо-
на, Z APL = Z BPL), поэтому AL = BL. Но
это означает, что треугольник ABL рав-
нобедренный и его медиана LO является
высотой, т. е. I ±а. Так как 11| т и I ±а,
то т ± а (по лемме о перпендикулярности
двух параллельных прямых к третьей).
Таким образом, прямая а перпендикуляр-
на к любой прямой т, лежащей в плоско-
сти а, т. е. а±а.
Рассмотрим теперь случай, когда пря-
мая а не проходит через точку О (рис. 2).
Проведем через точку О прямую а\, парал-
лельную прямой а. По упомянутой выше
лемме ai-Lp и ai±g, поэтому по доказан-
ному в первом случае aj ± а. Отсюда сле-
дует, что а ± а. Теорема доказана.
Приведем еще четыре теоремы:
1.	Два различных перпендикуляра к
плоскости параллельны.
2.	Если одна из двух параллельных пря-
мых перпендикулярна к плоскости, то и
другая является перпендикуляром к этой
плоскости.
3.	Прямая, перпендикулярная к одной
из двух параллельных плоскостей, пер-
пендикулярна и к другой плоскости.
4.	Две плоскости, перпендикулярные к
одной и той же прямой, параллельны.
68
72.	Формулы объема шара
и площади сферы
Объем шара
Теорема. Объем шара радиуса R равен
О
Доказательство. Рассмотрим шар ра-
диуса R с центром в точке О и выберем
ось Ох произвольным образом (рисунок).
Сечение шара плоскостью, перпендикуляр-
ной к оси Ох и проходящей через точку М
этой оси, является кругом с центром в
точке М. Обозначим радиус этого круга
через г, а его площадь через S (х), где х -
абсцисса точки М. Выразим S (х) через х
и R. Из прямоугольного треугольника
ОМС находим:
г = ^ОС2-ОМ2 = V/?2 -х2 .
Так как S(x) = nr2 , то S(x) = л(Я2 -х2).
Заметим, что эта формула верна для
любого положения точки М на диаметре
АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих ус-
ловию - R < х < R. Применяя основную
формулу для вычисления объемов тел при
а= - R, Ь = R, получим
R	R
V = J л(Я2 - x2)dx = nR2 J dx-
-R	-R
J	л = 3”r8-
-R
Теорема доказана.
Площадь сферы
Выведем формулу для вычисления пло-
щади сферы радиуса R, пользуясь форму-
лой для объема шара. Рассмотрим сферу
радиуса R с центром в точке О и описан-
ный около нее многогранник, имеющий п
граней. Пронумеруем грани в произволь-
ном порядке и обозначим через S, пло-
щадь i-й грани (i = 1, 2, ..., п). Соединив
73.	Теоремы о параллельности
и перпендикулярности двух
плоскостей
Теорема 1. Если две параллельные
плоскости пересекаются третьей, то
прямые их пересечения параллельны.
Рис. 1
Пусть а||р, упа = a, yr>P = b (рис. 1).
Докажем, что а||Ь.
Прямые а и б лежат в одной плоскости
у и не пересекаются, так как не пересека-
ются плоскости, их содержащие (а и Р).
Значит, а||Ь по определению параллельных
прямых.
74.	Параллелепипед. Куб
Параллелепипедом называется призма,
основаниями и боковыми гранями кото-
рой служат параллелограммы (рис. 1).
Если боковые ребра параллелепипеда пер-
пендикулярны плоскости основания, то
такой параллелепипед называется пря-
мым (рис. 2).
69
Теорема 2. Если в одной из двух пер-
пендикулярных плоскостей провести пря-
мую, перпендикулярную к прямой их пе-
ресечения, то она будет перпендикуляр-
на и к другой плоскости.
Пустьа±р, ап р = с, ago, а 1 с (рис. 2).
Докажем, что а ± р.
Пусть апс = D. Через точку D в плоско-
сти р проведем прямую Ъ ± с. Через пря-
мые а и b проведем плоскость у. Так как
с ± а и с ± Ь,то с ± у. И так как а ± р, то
а ± Ъ по определению. Поэтому прямая а
перпендикулярна к плоскости р.
Прямой параллелепипед, основаниями
которого служат прямоугольники, назы-
вается прямоугольным.
Отрезки, соединяющие вершины парал-
лелепипеда, не принадлежащие одной и
той же грани, называются диагоналями.
В прямоугольном параллелепипеде все ди-
агонали равны.
Кубом называется параллелепипед, все
грани которого представляют собой рав-
ные квадраты. Поскольку параллелепи-
пед есть частный случаи призмы, то пло-
щадь его поверхности и объем вычисля-
ются по формулам площади поверхности
и объема призмы.
центр О сферы со всеми вершинами мно-
гогранника, получим п пирамид с общей
вершиной О, основаниями которых явля-
ются грани многогранника, а высотами —
радиусы сферы, проведенные в точки ка-
сания граней многогранника со сферой.
Следовательно, объем i-й пирамиды ра-
вен х StR , а объем Vn всего описанного
о
многогранника равен:
=|ярп.
п
Р = V Q.
где п 1 — площадь поверхности
i=l
многогранника. Отсюда получаем
р А
п~ R
(1)
1 0 Будем теперь неограниченно увеличивать
п таким образом, чтобы наибольший раз-
мер каждой грани описанного многогран-
ника стремился к нулю. При этом объем
Vn описанного многогранника будет стре-
миться к объему шара. В самом деле, если
наибольший размер каждой грани опи-
санного многогранника не превосходит d,
то описанный многогранник содержится
в шаре радиуса R + d с центром в точке О.
С другой стороны, описанный многогран-
ник содержит исходный шар радиуса R.
Поэтому
|nR3<Vn<|n(R + 8)3.
О	«5
Так как ~ n(R + 6)3 -> лЯ3 при d —> О,
о	о
то и
Vn —> лЯ3 при d —» 0 (и —* «а),
о
Переходя к пределу в равенстве (1), по-
лучим
lim = Рп = Um	lim V„ =
= T7^JtR3 = 4nR2.
R 3
По определению площади сферы
~	• следовательно.
S = 4itR2 -
70
I---------------------------------------------
I
75.	Формулы площади поверхности
и объема пирамиды
Определения
Рассмотрим многоугольник А]А2 Ап
и точку Р, ие лежащую в плоскости этого
многоугольника. Соединив точку Р отрез-
ками с вершинами многоугольника, по-
лучим п треугольников (рис. 1):
РА1А2, РА2А3, .... PA^Ai.	(1)
Многогранник, составленный из п-уголь-
ника А]А2 ... Ап и п треугольников (1),
называется пирамидой. Многоугольник
А]А2 ... Ап называется основанием, а тре-
угольники (1) — боковыми гранями пи-
рамиды. Точка Р называется вершиной
пирамиды, а отрезки PAi, РА2,...»РАП —
ее боковыми ребрами. Пирамиду с осно-
ванием А1А2 ... Ап и вершиной Р обозна-
чают так: РА1А2 ... Ап — и называют п-
угольной пирамидой.
Перпендикуляр, проведенный из верши-
ны пирамиды к плоскости основания, на-
зывается высотой пирамиды. На рис. 1
отрезок PH — высота пирамиды.
Пирамида называется правильной, если
ее основание — правильный многоуголь-
ник, а отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с центром основания, является
ее высотой (рис. 2).
Р
Рис. 2
(Центром правильного многоугольника
называется центр вписанной или описан-
ной окружности.)
Докажем, что все боковые ребра пра-
вильной пирамиды равны, а боковые гра-
ни являются равными равнобедренными
треугольниками.
Рассмотрим правильную пирамиду
РА1А2 ... Ап (рис. 2). Сначала докажем,
что все боковые ребра этой пирамиды
равны.
Любое боковое ребро представляет со-
бой гипотенузу прямоугольного треуголь-
ника, одним катетом которого служит
высота PH пирамиды, а другим — радиус
описанной около основания окружности
(например, боковое ребро РА2, РА]— ги-
потенуза треугольника НРАу в котором
HP = h,HA1 = R).
По теореме Пифагора любое боковое реб-
ро равно	, поэтому РА] —
= РА2 = ... = РА*.
Мы доказали, что боковые ребра пра-
вильной пирамиды РА1А2 ... Ап равны
друг другу, поэтому боковые грани — рав-
нобедренные треугольники. Основания
этих треугольников также равны друг
другу, так как А1А2 ... Ап — правильный
многоугольник. Следовательно, боковые
грани равны по третьему признаку равен-
ства треугольников, что и требовалось до-
казать.
Высота боковой грани правильной пира-
миды, проведенная из ее вершины, называ-
ется апофемой. На рис. 2 отрезок РЕ — одна
из апофем. Ясно, что все апофемы правиль-
ной пирамиды равны друг другу.
Площадь поверхности пирамиды
Площадью полной поверхности пира-
миды называется сумма площадей всех ее
граней (т. е. основания и боковых гра-
ней), а площадью боковой поверхности
пирамиды — сумма площадей ее боковых
граней. Очевидно, что
^ПОЛК ~ *®бок *®ОСН’
Теорема. Площадь боковой поверхнос-
ти правильной пирамиды равна полови-
не произведения периметра ее основания
на апофему.
Доказательство. Боковые грани пра-
вильной пирамиды — равные равнобед-
ренные треугольники, основания кото-
рых — стороны основания пирамиды, а
высоты равны апофеме. Площадь боко-
вой поверхности пирамиды равна сумме
произведений сторон ее основания на по-
ловину апофемы d. Вынося множитель -х d
71
I----------------------------------
I за скобки, получим в скобках сумму сто-
I рон основания пирамиды, т. е. его пери-
I метр. Следовательно,
SeoK=|dR
Объем пирамиды
Теорема. Объем пирамиды равен одной
трети произведения площади ее основа-
। ния на высоту.
Доказательство. Сначала докажем тео-
рему для треугольной пирамиды, а затем —
для произвольной пирамиды.
1. Рассмотрим треугольную пирамиду
I РАВС с объемом V, площадью основания
Soch и высотой й. Проведем ось Ру (рис. 3,
где PH— высота пирамиды) и рассмот-
I рим сечение А1В1С1 пирамиды плоско-
 стью, перпендикулярной к оси Ру и, зна-
чит, параллельной плоскости основания.
Обозначим через j/i координату точки М\
пересечения этой плоскости с осью Ру, а
через S (ух) — площадь сечения. Выразим
S (уi) через В, й и i/i- Заметим, что треу-
гольники AiBiCi и АВС подобны. В са-
мом деле, А1В1||АВ,поэтому д PA^Bj по-
добен д РАВ. Следовательно,
АхВх _ РАх
. Прямоугольные треугол ьни-
। ки РАхМх и РАН также подобны (они
имеют общий острый угол с вершиной Р).
РАх _ РМх _ УХ
I Поэтому—-^----
А1В> ух
Таким образом,	- = —. Аналогич-
АС1 _ У1
но доказывается, что - “Т- и
DC П
Применяя теперь основную формулу для
вычисления объемов тел при а — О, b = й,
получаем
= J S(y)dx = J y2dy = A J y2dy =
О	ОЛ	й О
=<Мяй.
й2з'° з
2. Докажем теперь теорему для произ-
вольной пирамиды с высотой й и площа-
дью основания Воен. Такую пирамиду
можно разбить на треугольные пирамиды
с общей высотой й (на рис. 4 показано
разбиение для пятиугольной пирамиды).
Выразим объем каждой треугольной пи-
рамиды по выведенной формуле и сложим
эти объемы. Вынося за скобки общий
множитель х h , получим в скобках сум-
О
му площадей оснований треугольных пи-
рамид, т. е. площадь В основания исход-
ной пирамиды. Таким образом, объем
исходной пирамиды равен Воснй .
Следствие. Объем V усеченной пирами-
ды, высота которой равна й, а площади
оснований равны В и Si, вычисляется по
формуле
V =^h(S + Sx+y/SSi) .
О
CjAj ух
- — • Итак, треугольники AiBjCi
C/1 П
и АВС подобны с коэффициентом подо-
, У1 „	S(yx) (j/if
бия , • Следовательно, —-— = — ,
й	S I й J
2	v '
или <S(j/i) = S-Л- .
й*2
72
76. Формулы площади поверхности
и объема цилиндра
Определения
Тело, ограниченное цилиндрической, по
верхностью и двумя кругами, называет-
ся цилиндром (рис. 1). Цилиндрическая
поверхность называется боковой поверх-
ностью цилиндра. Круги называются ос
нованиями цилиндра, образующие цилин-
дрической поверхности — образующими
цилиндра, прямая OO\t соединяющая цен-
тры кругов, — осью цилиндра.
ли таким образом, что все образующие
оказались расположенными в некоторой
плоскости а (рис. 4). В результате в плос-
кости а получится прямоугольник АВВ'А'.
Стороны АВ и А'В' прямоугольника пред-
ставляют собой два края разреза боковой
поверхности цилиндра по образующей АВ.
Этот прямоугольник называется разверт
кой боковой поверхности цилиндра. Ос-
нование А4' прямоугольника является
разверткой окружности основания цилин-
дра, а высота АВ — образующей цилинд-
ра, поэтому АЛ' = 2лг, АВ = Л, где г —
радиус цилиндра, Л — его высота.
Рис. 1
Рис. 3
Все образующие цилиндра параллельны
и равны друг другу. Длина образующей
называется высотой цилиндра, а радиус
основания — радиусом цилиндра.
77. Теорема синусов
Стороны треугольника пропорционалъ-
1 ны синусам противолежащих углов.
U Доказательство. Пусть в треугольни-
X ке АВС (рисунок) АВ = с, ВС = а,
| СА = b, Z. А = a, Z В = Р, Z А = а.
Рис. 2
Цилиндр может быть получен вращени-
ем прямоугольника вокруг одной из его
сторон. На рис. 2 изображен цилиндр,
полученный вращением прямоугольника
ABCD вокруг стороны АВ. При этом боко-
вая поверхность цилиндра образуется вра-
щением стороны CD, а основания — вра-
щением сторон ВС и AD.
Докажем, что
b
с
а
sin a sin Р sin у '
По теореме о площади треугольника
S= ab sin у, S = be sin а,
А
Площадь поверхности цилиндра
На рис. 3 изображен цилиндр. Пред-
ставим себе, что его боковую поверхность
разрезали по образующей АВ и разверну-
S = -х са sin р.
Л
Из первых двух равенств получаем
4 ab sin у = 4 be sin а, откуда
Л	Л
73
Рис. 4
За площадь боковой поверхности ци-
линдра принимается площадь ее разверт-
ки. Так как площадь прямоугольника
АВВ'А' равна 2nrh, то для вычисления пло-
щади боковой поверхности цилиндра ра-
диуса г и высоты h получается формула
®бок = 2лгй.
Итак, площадь боковой поверхности
цилиндра равна произведению длины ок-
ружности основания на высоту цилинд-
ра.
Площадью полной поверхности цилин-
дра называется сумма площади боковой
поверхности и площади двух оснований.
а с
sin a sin у
Точно так же из второго и третьего ра-
венств следует
а _ Ъ
sin a sin Р
Итак - —
sin а
b _ с
sin Р sin у
Теорема доказана.
Так как площадь каждого основания рав-
о
на Л/ , то для вычисления площади пол-
ной поверхности цилиндра получаем
^полн ~ 2лг(г + Й) .
Объем цилиндра
Теорема. Объем цилиндра равен произве-
дению площади его основания на высоту.
Доказательство. Впишем в данный ци-
линдр Р радиуса г и высоты й правиль-
ную n-угольную призму Fn (рис. 5), а в эту
призму впишем цилиндр Рп. Обозначим
через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, а
через гп — радиус цилиндра Рп. Так как
объем призмы Fn равен Snh , где Sn —
площадь основания призмы, а цилиндр Р
содержит призму Fn, которая, в свою оче-
редь, содержит цилиндр Рп, то
Vn<Snh<V.	(1)
Будем неограниченно увеличивать чис-
ло п. При этом радиус гп цилиндра Рп
будет стремиться к радиусу г цилиндра Р
180°
( Г„ = Г COS---> Г при п —>°°). Поэтому
п
объем цилиндра Рп стремится к объему
цилиндра Р: lim Vn = V . Из неравенств
П—
(1) следует, что и lim Snh = V . Но
п—>°°
lim Sn = nr2 . Таким образом,
п—>°°
V=nr2h.	(2)
Обозначив площадь w 2 основания
цилиндра через SOCH, из формулы (2) по-
лучаем
F = SOCH h.
Итак, объем цилиндра равен произведе-
нию площади его основания на высоту.
74
78. Формулы площади поверхности
и объема конуса
Рассмотрим окружность L с центром О
и прямую ОР, перпендикулярную к плос-
кости этой окружности. Каждую точку
окружности соединим отрезком с точкой
Р. Поверхность, образованная этими от-
резками, называется конической поверх-
ностью, а сами отрезки —образующими
конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверх-
ностью и кругом с границей L, называет-
ся конусом (рис. 1).
Коническая поверхность называется бо-
ковой поверхностью конуса, а круг —
основанием конуса. Точка Р называется
вершиной конуса, а образующие коничес-
кой поверхности—образующими конуса
(на рис. 2 изображены образующие РА,
РВ и др.). Все образующие конуса равны
друг другу.
Рис. 2
Прямая ОР, проходящая через центр ос-
нования и вершину, называется осью ко-
нуса. Ось конуса перпендикулярна к плос-
кости основания. Отрезок ОР называется
высотой конуса.
Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса можно раз-
вернуть на плоскость, разрезав ее по од-
ной из образующих, например РА (рис. 3).
Разверткой боковой поверхности конуса
является круговой сектор (рис. 4), радиус
которого равен длине образующей кону-
са, а длина дуги — длине окружности ос-
нования конуса.
Рис. 3	Рис. 4
За площадь боковой поверхности ко-
нуса принимается площадь ее разверт-
ки.
Выразим площадь боковой поверхнос-
ти конуса через длину Z его образующей и
радиус г основания. Площадь кругового
сектора — развертки боковой поверхнос-
ти конуса (см. рис. 4) — равна , где
360
а — градусная мера дуги АА, поэтому
л/2
,5бок = збоа‘ (1)
79. Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сто-
рон на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть в треугольни-
ке АВС АВ = с, ВС=а, СА= b, Z А = а.
Докажем, например, что
а2 = &2+с2 - 2Ьс  cos а. (1)
Введем систему координат с началом в
вершине А треугольника так, как пока-
зано на рисунке.
Точка В имеет координаты (с; 0), а точ-
ка С — координаты (Ь  cos а; Ь • sin а). По
формуле расстояния между двумя точка-
ми получаем:
75
Выразим а через /иг. Так как длина
дуги АА равна 2лг (длине окружности
. о л/2
основания конуса), то 2лг = —— а , от-
*	360
360г
куда а = —— .
Подставив это выражение в формулу (1),
получим
5бок = ^Г/ •	(2)
Таким образом, площадь боковой па
верхности конуса равна произведению
половины длины окружности основания
на длину образующей.
Площадью полной поверхности кону-
са называется сумма площади боковой по-
верхности и площади основания. Площадь
полной поверхности конуса вычисляется
по формуле
«полн = лг(/ + г).	(3)
Объем конуса
Теорема. Объем конуса равен одной
трети произведения площади его основа-
ния на высоту.
Доказательство. Рассмотрим конус с
радиусом R основания, высотой h и вер-
шиной в точке О. Введем ось Ох так, как
показано на рис. 5 (ОМ — ось конуса).
Произвольное сечение конуса плоско-
стью, перпендикулярной к оси Ох, являет-
ся кругом с центром в точке Мi пересече-
ния этой плоскости с осью Ох . Обозначим
радиус этого круга через Hi, а площадь
сечения через S (х), где х — абсцисса точки
Mi. Из подобия прямоугольных треуголь-
ников ОМi-Ai и ОМА следует, что
ОМх _ Ri
ОМ ~ R
а2 = (с - Ъ cosa)2 + b2 sin2a =
= с2 - 2Ъс  cosa + b2 cos2a + b2 sin2a =
с2 + b2 - 2bc cosa.
Теорема доказана.
Теорему косинусов иногда называют
обобщенной теоремой Пифагора. Такое
название объясняется тем, что в теореме
косинусов содержится как частный слу-
чай теорема Пифагора. В самом деле, если
в треугольнике АВС угол a — прямой, то
cos a = cos 90° = 0 и по формуле (1) полу-
чаем а2 = Ь2 + с2, т. е. квадрат гипотену-
зы равен сумме квадратов катетов.
или
х _ R\
h~~R
г, xR
откуда Bi =—— .
h
ттр2
Так как S(x) = nR^ , то S(x) = —— х2 .
h2
Применяя основную формулу для вычис-
ления объемов тел при а = 0, Ъ = й, полу-
чаем
гл/?2 2 itR2
V = \-tfxdx = -rfTx}dx =
о л п	о
nR2 X3 |й 1	2
= —X—X- =-itR2h.
h2 3 Io 3
Площадь S основания конуса равна I
nR2 , поэтому V = i Sh .	'
О
Теорема доказана.	।
Следствие. Объем V усеченного конуса,
высота которого равна h, а площади ос- .
нований равны S и Si, вычисляется по
формуле
V=^h(S + Si+ylsSi).	I
______________________________________I
76