/
Text
А. Л. Фельдштейн, Л. Р, Явим
СИНТЕЗ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
И ВОСЬМИПОЛЮСНИКОВ
НА СВЧ
ИЗДАНИЕ 2-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
1971 г.
УДК 621.372.852 1
УДК 621.372.852.1
Синтез четырехполюсников и восьмиполюсников ,на свч
(второе издание, переработанное и дополненное)
А. Л. Фельдштейн, Л. Р. Явич
Год выпуска ’1971
В монографии рассмотрены актуальные вопросы анализа и син-
теза (по заданным частотным характеристикам) различных узлов
волноводного тракта — фильтров, направленных ответвителей, сту-
леячатых и плавных переходов. Развиваются четыре направления:
теория четырехполюсников и восьмиполюсников с использованием
волновых матриц, синтез ступенчатых и плавных переходов, синтез
направленных ответвителей (в том числе синтез многоступенчатых
ответвителей), синтез фильтров овч.
Материал, изложенный в книге, рассчитан на инженерно-
технических работников, занимающихся проблемами свч трактов.
Книга также представляет интерес для студентов радиотехнических
факультетов и аспирантов.
Таблиц 29, иллюстраций 192, библиографий 146.
3-4-1
21—71
СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И ВОСЬМИПОЛЮСНИКОВ НА свч
Александр Львович Фельдштейн, Лев Рафаэлович Явич
Отв. редактор Н. И. Прохорова Техн, редактор К. Г. Маркоч
Редактор В. Л. Черняк Корректор М. Я- Могильнер
Сдано в набор 24/XI 1970 г. Подписано в new. 10/Ш 197,1 г.
Форм. бум. 60X90/18 24,25 печ. л. 24,25 усл.-п. л. 23,01 уч.-изд. л.
T-Q1897 Тираж 6300 экз. Бумага кн.-журн. Зак. изд. 13022. Цена 1 р. 62 к.
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2 ’
Типография издательства «Связь» Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Москвачцентр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 488
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во втором издании книги полностью перер.аботаны
главы о фильтрах, направленных ответвителях и ступенчатых
переходах. Заново написаны главы 6, 8 и 10, относящиеся к
теории связанных линий, ступенчатым направленным ответ-
вителям, фильтрам с непосредственными связями. В осталь-
ные главы внесены методические изменения.
Главы 2, 4 и 7 написаны А. Л. Фельдштейном, главы 3 и
5—Л. Р. Явичем. Глава 1 написана А. Л. Фельдштейном
и Л. Р. Явичем. Главы 6, 9 и 10 написаны А. Л. Фельдштей-
ном и Н. И. Прохоровой. Глава 8 написана А. Л. Фельд-
тптейном, Н. И. Прохоровой и О. И. Мазеповой. Раздел 10.3
написан О. И. Мдзеповой.
Замечания по книге следует направлять в издательство
«Связь» (Москва-центр, Чистопрудный бульвар, д. 2).
ВВЕДЕНИЕ
Энергия сверхвысоких частот (свч) передаётся от генера-
тора к антенне по фидеру, который может быть выполнен в виде
волноводной, коаксиальной, полосковой и других типов линий.
В фидере сигнал обрабатывается встроенными в него устройства-
ми: фильтрами, согласователями, направленными ответвителями,
мостами и т. и. До недавнего времени система фидер-антенна рас-
сматривалась как единый комплекс (антенно-фидерные устрой-
ства). В настоящее время, ввиду усложнения требований к обра-
ботке сигнала, необходимо выделить фидерные устройства в от-
дельный объект изучения.
Настоящая работа посвящена синтезу фидерных устройств ти-
па четырехполюсников и восьмиполюсников.
При проектировании фидерных устройств одной из основных
задач является формирование их частотных характеристик. Опре-
деление конструктивных параметров устройства по его заданной
частотной характеристике называют синтезом. При анализе ре-
шается обратная задача. Синтез и анализ систем тесно связаны
между собой, и во многих случаях задачи синтеза решаются прос-
тым обобщением результатов анализа.
Синтез устройств по заданным частотным характеристикам про-
водится не только в технике свч. Аналогичные задачи возникали
в оптике, акустике, телеграфии и телефонии, т. е. во .всех областях
техники, имеющих дело с волновыми процессами. Наибольшее
развитие получил синтез в технике электрических цепей с сосре-
доточенными (LCR) постоянными; основные проблемы здесь ши-
роко исследуются уже около пятидесяти лет. В настоящее время
их решения достигли определенной завершенности. Были предло-
жены весьма совершенные расчетные методы [1, 2, 3] и проведена
значительная вычислительная работа по созданию серии справоч-
ных материалов [4, 5, 6 и др.]; эта работа продолжается и в нас-
тоящее время.
Теория синтеза £С/?-цепей по заданным частотным характери-
стикам получила развитие в работах А. Ф. Белецкого [7] и В. А.
Тафта [8]. Результаты, достигнутые в технике LCR-цепей, имеют
значение, далеко выходящее за рамки этой области, так как раз-
работанные на низких частотах методы допускают весьма широ-
кие аналогии в других частотных диапазонах и, в частности, в тех-
нике свч.
4
Данная работа развивает указанное направление применитель-
но к цепям с распределенными параметрами. Следует отметить,
что для цепей свч возникают определенные трудности. В низко-
частотных цепях всего четыре элемента' (L, С, М и R), опраделяют-
структуру цепи, и соответственно частотная характеристика любой
системы представляет дробно-линейную функцию частоты; это оп-
ределяет единство и стройность метода.
В цепях свч 'количество элементов, которые можно принять за
«первообразные», вообще говоря, неограничено; выбор их и исполь-
зование связаны с опытом разработчика.
При решении задач синтеза свч устройств использование пря-
мых электродинамических методов чрезвычайно затруднительно.
Поэтому на практике используется приближенный компромиссный
метод, дающий достаточно хорошие результаты.
Компромиссный метод состоит в том, что исходные позиции
ограничиваются определенным кругом изученных простейших фи-
дерных элементов, например, отрезков линий, диафрагм,- штырей
и др., обладающих некоторыми известными конструктивными и
электрическими параметрами. Параметры этих элементов опреде-
ляются методами электродинамики. Сложное соединение таких
элементов рассчитывается с помощью матричного аппарата теории
цепей в предположении, что матрицы, описывающие эти элемен-
ты, остаются неизменными при любом сложном соединении эле-
ментов. При этом предполагается, что зона возмущенного поля
вблизи неоднородности в фидере локализована в непосредственной
близости от элемента, а взаимодействие элементов осуществляет-
ся лишь на основном типе волны.
Цепь свч с заданной частотной характеристикой строится из
заранее выбранных звеньев. Особым типом звена является отре-
зок однородного фидера. Каскадное соединение таких отрезков с
различными волновыми сопротивлениями широко применяется при
синтезе.
Таким образом, синтез включает в себя два эта^а: на первом
выбирается удобная структура свч элементов и табулируются их
параметры, например, — элементы их матриц (методами электро-
динамики или с помощью эксперимента). На втором этапе эле-
менты схемы соединяются так, чтобы обеспечить требуемую ча-
стотную характеристику системы, — эта задача решается мето-
дами классической теории цепей.
Такой подход в свое время вызывал ряд возражений (9, 10] с
позиций «чистой» электродинамики. В дальнейшем, однако, эти
высказывания не получили поддержки, главным образом потому,
что они не сопровождались созданием альтернативного метода
синтеза, сравнимого по эффективности с указанным выше.
Использование теории цепей привело к существенным практи-
ческим достижениям и в настоящее время является базой инже-
нерного проектирования фильтров, согласователей, направленных
ответвителей и других фидерных устройств свч [13, 14, 15 и др.].
5
Имеются также достижения и в теоретическом обосновании
указанной методики [11, 12].
В данной работе задачи синтеза рассматриваются при следую-
щих ограничениях:
а) система является каскадным соединением четырехполюсных
или восьмиполюсных звеньев;
б) система симметрична или антиметрична;
в) звенья обратимы и реактивны;
г) рассматриваются характеристики, описываемые полиномами
Чебышева или Баттерворса.
Методические особенности работы определяются тем, что в ней
основное внимание уделяется синтезу по рабочим параметрам,
в котором важную роль играет табулирование сложных математи-
ческих операций. Эта задача, представляющая самостоятельный
интерес, решалась авторами в течение последних десяти лет; ре-
зультаты ее изложены в Справочнике [15], который следует рас-
сматривать как дополнение к данной книге.
Литература
1. Дарлингтон. Synthesis of Reactance 4—Poles, Journal of mathematics
and Physics, 1939, Sept., vol. XVIII, p. 275—353. z
2. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью.
Изд-во иностр, лит., 1948.
3. Ф а и о Р. М. Теоретические ограничения полосы согласования произвольных
импедансов, перевод с англ, под редакцией И. Г. Слободенюка. Изд-во «Со-
ветское радио», М., 1965.
4. Glowazki. Katalogisierte Filter, NTZ, November, 1956, 508—513.
5. Weinberg L. Network design by use of modern synthesis technigues and
tables. Proc. National Electronics Conf. v. 12, 1957, 794—817.
6. Weinberg L. Additional tables for design of optimum ladder networks.
J. Franklin Inst, 1957, VII, v. 264, № il, 7—23.
7. Белецкий А. Ф. Теоретические основы электропроводной связи. Ч. Ill,
Свявьиэдат, 1959.
8. Т а ф т В. А. Основы методики расчета электрических цепей по заданным
их частотным характеристикам. Изд-во АН СССР, 1954.
9. Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. Изд-во ВКАС, 1949.
10. В а й н ш т е й н Л. А. Электромагнитные волны. Изд-во «Советское радио»,
1957.
11. Нейман М. С. Обобщение теории цепей на волновые системы. Энерго-
издат, 1955.
12. Машковцев Б. М., Цибизов К. Н., Емелин Б. Ф. Теория волново-
дов. Изд-во «Наука», М.-Л., 1966.
13. Mumford W. Maximally-flat filters in Waveguide, B.S.T.J., 4948, v, 27, № 4.
14. Matthaei G., Young L., Jones E. Microwave filters, impedance-mat-
ching networks and coupling structures. New York, 1964.
15. Фельдштейи А. Л., Явич Л. P., Смирнов В. И. Справочник по эле-
ментам волноводной те>хники, изд. 2-е. Изд-во «Советское радио», 1967.
J. Четырехполюсники
1.1. Исходные определения
Рис. .LI
(Понятие четырехполюсника возникло как удобное обобще-
ние характерных свойств линейных электрических схем. Четырех-
полюсником называется устройство, имеющее четыре зажима (по-
люса). Предполагается, что полюса разделены на две группы —
входную и выходную, и токи в зажимах четырехполюсника попар-
но равны и противоположны по направлению. Аналогом четырех-
полюсника на свч является так
называемое двухплечное устрой-
ство. Этим термином обозначает-
ся замкнутый металлический
объем, имеющий вход и выход в
виде отрезков регулярной пере-
дающей линии (рис. 1.1); пред-
полагается, что в них может рас-
пространяться лишь один тип
волны.
Если в передающих линиях выбрать контрольные сечения до-
статочно отстоящими от области возмущенного поля и записать
уравнения, связывающие одинаковые
Рис. 1.2
эти закономерности неизменны во
чить их можно в том диапазоне и
по смыслу величины в этих
сечениях (напр. поле Е ли-
бо Я в некоторых фиксиро-
ванных точках), то эти
уравнения по форме тожде-
ственны уравнениям четы-
рехполюсника. Причина та-
кого сходства в том, что
уравнения четырехполюсни-
ка описывают общие физи-
ческие закономерности, свя-
занные с процессами про-
хождения, отражения и по-
глощения энергии в направ-
ляющих линейных системах;
всех диапазонах частот и изу-
в тех терминах, которые пред-
7
ставляются более удобными. Мы начнем это изучение с классиче-
ской теории четырехполюсников, в которых понятия тока и напря-
жения имеют однозначный канонический смысл.
Принятые за положительные направления токов при прямой
(слева—направо) и обратной (справа — налево) передачах пока-
заны соответственно на рис. 1.2а и 1.26.
Зажимы, к которым присоединен генератор, называют входны-
ми зажимами четырехполюсника, а зажимы, к которым присоеди-
нен приемник (нагрузка)—выходными. Пассивными называются
четырехполюсники, в которых отсутствуют внутренние независимые
источники тока или напряжения.
Линейными называются четырехполюсники, в которых токи и
напряжения на полюсах (£7j, U2, Ц, /2) связаны линейной зависи-
мостью. Получили распространение три вида записи этой зависи-
мости:
t/i — #11^2+ #12^2
А = #21 U 2 + #22 Л
^i = 2’ii Л +
t^2 = ?21 А + ?22 Ц I
Il ~ у 11 4 1 Ч~ у 12 U2
I2 = У2141 + У22 4 2
(1.1)
(1.2)
(1-3)
Здесь ап, а22 — безразмерны, а\2, гц, Z12, 221, z22 имеют размер-
ность сопротивлений, a2i, ylt, у12, У21, У22 — размерность проводи-
мостей.
В данной работе рассматриваются только пассивные и линей-
ные 'четырехполюсники.
Современная теория многополюсников и, в частности, четырех-
полюсников строится на основе использования математического
аппарата теории матриц [1]. В матричной записи [2] ур-ния (1.1) —
(1.3) приобретают вид
'4г #11 ai2 X 42 = [а]Х '42
Ji . .#21 а22. .I2 .^2
4г — г11 ?12 X h = [г] X h
.4 2 _г21 ?22. .Л
К' .Л = Уп .1/21 У12 У22_ х '4г 42. = МХ
(1-4)
(1-5)
(1-6)
где [а] — матрица передачи;
[z] — матрица сопротивлений;
(//] — матрица проводимостей.
8
Связь между элементами различных матриц имеет вид:
1
Оц а12
_o2i а22.
гц г12
Z21Z22 .
Уп
Уп
У12
Уп.
ги
г21
_ *21
" «11
«21
- «21
г22
14
«22
«12
Zii
И
Уп
У11
Уп
Уп
12/1
(1-7)
(1-8)
гП
1*1
гп
И _
L а12
Уп
1У| -
_Л/
«12
«и
«12 _
1
1
где
1 G.
\у\ = —-=УпУп—У12Уп=-------(1-Ю)
lz| flja
Izl = ——- = 2ц Z22—Z12Z21= — > (1.11)
|0| «21
|а] = 011022 — 012 021= —~
*21 Уп
(1-12)
Уравнения (1.4—1.6) соответствуют передаче энергии слева на-
право (рис. 1.2а). При передаче в обратном направлении (рис.
1.2б) меняются местами входные и выходные зажимы (т. е. ин-
дексы 1 и 2), учитывается изменение направления токов и, нако-
нец, в отличие от случая прямой передачи всем величинам при-
дается значок «штрих».
Производя (в (1.4) 4-i( 1.6) указанные подстановки
U'2^Ur, U'^U2, -I'2^Ir, -Ц-+1,
и выполняя затем преобразования, необходимые для того, чтобы
форма записи уравнений отличилась от (1.4)—(1.6) только знач-
ком «штрих», получаем матричные уравнения, соответствующие
обратному направлению передачи энергии:
РЯ 1 Огг Ой
i«i Ог! а11
гп '—г ’22 —Z2i ря
гп — -12 — Zu. kJ
р; *—1 /22 — У 21 Ц1
— У12 —у 11 kJ
(1-13)
(1.14)
(1-15)
9
1.2. Соединения четырехполюсников
3 различных условиях работы четырехполюсники могут
быть соединены друг с другом сколь угодно сложно. Наибольшее
распространение получили три способа соединения: каскадное или
Рис. 1.3
Рис. 1.5
цепочечное (рис. 1.3), парал-
лельное (рис. 1.4) и после-
довательное (рис. 1.5). На
свч в большинстве случаев,
используется каскадное сое-
динение четырехполюсников.
При каскадном соедине-
нии двух четырехполюсников
(рис. 1.3), описываемых
матричными уравнениями:
fY Л. = [ahX 7^ , (1.16>
1^2 7« и* Jb - . (1.17>
соотношения для результи-
рующего четырехполюсника
определяются подстановкой
матрицы-столбца
(1.17) в (1.16)
Ui
Ji.
=!а]1ХИгХ
из
(1.18>
Обобщая эту закономерность, видим, что при каскадном сое-
динении к четырехполюсников матрица [а] системы равна произ-
ведению матриц [а] составляющих четырехполюсников:
К
[а]=ГНаЬ (119>
i=l
10
причем матрицы-сомножители должны располагаться в том же
-порядке, в каком соответствующие четырехполюсники включены
в цепь по направлению передачи энергии (произведение матриц не
Подчиняется переместительному закону [1]).
При параллельном соединении (рис. 1.4) двух четырехполюс-
ников, характеризумых соответственно матричными уравнениями:
(1-20)
Г Д1’ и
= Ij/JiX 1
до
L 2 J L 2 J
Г Д2) 1 гдел
1 = [у]гХ 1
/<2) и™
(1-21)
напряжения на одноименных зажимах равны .между собой
= ^}2)== и ^21) = ^22) = ^2)> а токи на входе и выходе си-
стемы равны сумме соответствующих токов, составляющих четы-
рехполюсников, следовательно,
| = (l*/h+h/h)x
-2 J
или для л четырехполюсников
к
lyl =V(i/h.
(1-22)
(1-23)
Наконец, при последовательном включении четырехполюсни-
ков (рис. 1.5), используются уравнения:
't/р' ЦО = 12]! X -/р- (1.24)
-Ц2)- Ц2> = k]8 х /(2)' L (1.25)
Так как напряжения на входе и выходе системы при последо-
вательном соединении четырехполюсников суммируются, то, скла-
дывая матричные равенства типа (1.24) и (1.25), заключаем, что
для системы из к последовательно соединенных четырехполюсни-
ков справедливо равенство
К
[г] =У(г];. (1.26)
i=i
Следует заметить, что ф-лы (1.23) и (1.26) справедливы при
определенных ограничениях. Последние рассмотрены, например,
в [2, 3].
11
1.3. Входное сопротивление четырехполюсника.
Режим холостого хода и короткого замыкания
Входное сопротивление zBX четырехполюсника определяет-
ся как отношение напряжения к току на входных зажимах. При
прямой передаче (рис. 1.2а) согласно (1.1) имеем
гвх = -i- = -аВгн + а^_ , (1,27>
I 1 a2i zH -h агг
С/,
где —-----сопротивление нагрузки.
1»
При обратном направлении передачи (рис. 1.26), используя
(1.13), получаем
Z' = (1.28>
I1 а21 гн + а11
где гн=—-— сопротивление нагрузки при обратной передаче.
^2
В частном случае, когда zH->oo (режим холостого хода) либо
zH=0 (режим короткого замыкания), из (1.27) следует, что
гхх=^; гкз = ^-. (1.29)
а21 а22
При обратной передаче имеем в соответствии с (1.28)
Сравнивая (1.29) и (1.30), легко заметить, что параметры zxx,
2кз, z'KS связаны между собой ’) соотношением
гХх_____гкз __ а11
4 “22
(1-31)
что далее будет учтено при определении понятия симметрии че-
тырехполюсников. Кроме того, из (1.29) и (1.30) следует
“21
В таком виде связь между параметрами будет использована
для определения понятия анти метрик четырехполюсников.
йЯВрЛрименяя режим холостого хода и короткого замыкания че-
тырехполюсника, установим физический смысл элементов матриц
[а], [г] и [у]. При прямой передаче (рис. 1.2а) выходные зажимы
‘) Таким образом, система параметров zxx, zxx, zK.,, zK3 непригодна, на-
пример, для описания необратимого четырехполюсника.
12
разомкнуты (/2 =0, режим холостого хода). Тогда согласно (1.1)
и (1.2) имеем
б\ К b\ U2 оох
Оц — , °21 г11-----------~— > ?21- — • (1-32)
u2 U2 ‘1 li
Следовательно, коэффициенты alh a2i, zn, z2t определяют свой-
ства четырехполюсника, работающего в режиме холостого хода
при прямом направлении передачи.
Коэффициент z,, — входное сопротивление четырехполюсника
в указанном режиме (т. е. гц = гхх), а коэффициенты 0ц, a2i, z2i
характеризуют в тех же условиях передаточные свойства системы:
ап— передачу по напряжению; г2) = '—отношение напряжения
а21
I U >
на выходе к току на входе; параметры такого типа [ —либо
Ц
Л
ф (Полагая выходные зажимы замкнутыми накоротко (£/2 = 0)
(режим короткого замыкания), получаем из (1.1) и (1.3)
называют сопротивлениями связи четырехполюсника.
ai2----", п-22 —!/и—ту-, Угг—уу-• (1.33)
/2 /2 Ui
Таким образом, коэффициент Ун — входная проводимость си-
1
стемы при короткозамкнутых выходных полюсах (т. е.— = гкз);
. Ни
I
при тех же условиях а22 определяет передачу по току; z/21 = ——
^1-2
проводимость связи.
ф^^Для выяснения смысла остальных коэффициентов необходимо
привлечь опыт холостого хода и короткого замыкания при обрат-
ном направлении передачи (рис. 1.26). Полагая в уравнениях, со-
ответствующих (1.14) /2=0, находим
{/, и„
2’22= —~ 1 212— — , (1-34)
Л 1\
т. е. z22 представляет собой входное сопротивление четырехполюс-
ника (с обратным знаком), работающего в режиме холостого хода
при обратном направлении передачи, z22 = —z'xx, a zt2 — сопротив-
ление связи (с обратным знаком) при тех же условиях.
0 Наконец, при U'2=Q из (1.15) следует, что
4/22 = 7 ’, J/l2 = 7-, (1.35)
т. е. у22 — это входная проводимость (с обратным знаком) четы-
рехполюсника, используемого в режиме короткого замыкания при
обратном направлении передачи =—гД, у]2 — проводимость
' У22 /
связи при тех же условиях.
13
1.4. Обратимые (взаимные) четырехполюсники
’ Среди пассивных линейных четырехполюсников различают
две основные группы, — обратимые и необратимые устройства.
Обратимые устройства подчиняются принципу взаимности: «если
некоторая эдс, находящаяся в
какой-либо цепи, вызывает ток
в другой цепи, то та же эдс, по-
мещенная во вторую цепь, вызы-
вает в первой цепи ток той же
силы, что и в первом случае» [4].
Если применить этот принцип
к четырехполюснику, выходные
зажимы которого замкнуты на-
коротко (рис. 1.6), то очевидно,
что отношение напряжения на
входе четырехполюсника к току
на его короткозамкнутом выходе будет одинаковым для обоих на-
правлений передачи. Согласно определению, это означает равен-
ство проводимостей связи z/21 и —z/12, см. (1.33) и (1.35). С другой
стороны из (1.9) следует, что равенство z/2i =—У12 требует условия
|а| = 1; последнее же сразу определяет в (1.8) 221 = -—Z12.
Таким образом, условие обратимости четырехполюсника
но записать в трех вариантах:
У21 = —1/12, |а| = 1, г2х = —г12,
из которых следуют также и другие — энергетические и
вне формулировки обратимости четырехполюсника; к ним мы вер-
немся в дальнейшем.
Необходимо отметить, что любой необратимый четырехполюс-
ник можно представить в виде каскадного соединения обратимой
и необратимой части. Действительно, если
мож-
(1.36)
фазо-
[а] =
(1-37)
Й21 а22.
— матрица необратимого четырехполюсника (| а| =/= 1), то эту же
матрицу можно записать в виде
ап
и=
ГМ
а12
aat
Vi«i о 1
о /рГ J ’
(1.38)
а22
непосредственным умножением матриц. Пер-
_ Kiel
что легко проверить
вый множитель в (1.38) описывает обратимую часть четырехпо-
люсника (детерминат матрицы равен
второй — необратимую (детерминат матрицы У |а| У |а| =
— - 1),
-= |а|=И=1). Элемент цели, соответствующий второму сомножите-
лю, называют идеальным преобразователем мощности [5], можно
доказать, что он не влияет на входное сопротивление системы и
сос'ре1доточи1вает в себе лишь ее вентильные свойства.
1.5. Симметричные и антиметричные четырехполюсники
В группе обратимых четырехполюсников важными для
практики подгруппами являются устройства симметричной и анти-
метричной структуры. Четырехполюсник называется симметрич-
ным, если при изменении направления передачи энергии, напря-
жения и токи в его внешних цепях не изменяются.
При выполнении этого требования, как следует из (1.13) —
(1.15), соблюдаются следующие равенства:
|а|=1, ап = а22, (1-39)
Z12= Zsi, Z11 = Z22', (1-40)
Z/12= t/21, t/ll— 1/22- (1-41)
Таким образом, симметричным может быть только обратимый
четырехполюсник. Электрическая симметрия четырехполюсника,
определяемая соотношениями (1.39) — (1.41), не требует геомет-
рической симметрии схемы устройства. Если, однако (в обрати-
мом четырёхполюснике), последняя имеет место, то одновременно
существует и электрическая симметрия.
На основе равенств (1.39) — (1.41) можно дать другие опреде-
ления симметрии четырехполюсника. Например, выражение (1.39)
можно истолковать так, что четырехполюсник симметричен,- если
его «коэффициент асимметрии» 1/ равен единице. Смысл та-
’ а22
кой терминологии ниже будет пояснен.
Из (1.40), (1.41) и (1.31) следует также, что симметричным
называется четырехполюсник, у которого сопротивление холостого
хода (короткого замыкания) при прямой и обратной передаче рав-
ны друг другу.
Антиметричным называется четырехполюсник, у которого со-
противления холостого хода при прямой (обратной) передаче об-
ратно пропорциональны сопротивлению короткого замыкания при
обратной (прямой) передаче. Из приведенного выше определения
следует, что отношение (1.31а) равно постоянной:
^<3 = z;xzK3=-^ = /^ (1.42)
<?21
гхх гкз гхх гкз _ |
R R R R
где R — постоянная, имеющая размерность сопротивления; выбор
этой величины целесообразно произвести, познакомившись с поня-
тием рабочего затухания. Из определения аптиметричного четы-
15
рехполюсника (1.42) и матричных равенств (1.7) — (1.9) легко за-
писать соответствующие связи между элементами матриц:
(1.43)
К
~- = y22R; (1.44)
К
~ = yuR- (1-45)
А
Выражение (1.42) позволяет также определить антиметричный
четырехполюсник как такой четырехполюсник, у которого норми-
рованное (по R) сопротивление холостого хода (короткого замы-
кания) при прямой передаче равно нормированной проводимости
короткого замыкания (холостого хода) при обратной передаче.
ЛПокажем также, что любой обратимый несимметричный (в том
числе и антиметричный) четырехполюсник можно представить в
виде каскадного соединения симметричного и несимметричного
четырехполюсников. Действительно, пусть
[а]
ан
a2i
012
а22
(1-46)
— матрица несимметричного четырехполюсника (ац=/=а22).
Однако эту же матрицу можно записать ,в .виде
42ц О22
"К Оц а22
(1.47)
что доказывается непосредственным умножением матриц. Первая
матрица в (1.47) соответствует симметричному четырехполюснику
(элементы главной диагонали матрицы равны друг другу), вторая
же — несимметричному. Структура последней матрицы сходна с
матрицей идеального трансформатора [см. далее (1.56)], но вместо
вещественного коэффициента трансформации N содержит ком-
плексный (в общем, случае) коэффициент асимметрии V й\\1а22-
Четырехполюсник такого тина называют идеальным преобразова-
телем [2]; его можно рассматривать как каскадное включение
трансформатора1) и фазового контура:
(1.48)
где ____ ____________________
ф = arg . (1.49)
I ’ аи I ’ аи
*) При этом коэффициент трансформации зависит от частоты.
16
1.6. Реактивные четырехполюсники
В понятии реактивного четырехполюсника идеализирова-
ны свойства применяемых на практике четырехполюсников с ма-
лыми потерями; эта идеализация существенно упрощает теорию
и во многих случаях не оказывает заметного влияния на точность
окончательных результатов.
В реактивном четырехполюснике поглощения мощности нет и,
1 кроме того, четырехполюсник, работающий в режиме короткого
замыкания или холостого хода, передачи мощности не осущест-
вляет. Следовательно, все сопротивления в указанных режимах
должны быть чисто реактивными. Иными словами, должны быть
реактивными все элементы матрицы [z]:
Zll=iXn, Z22=iX22, Z12 = 1-^12, ^21 = 1X21.
Учитывая эти соотношения в ф-лах (1.7)—/(1.12), легко прийти
к выводу, что в реактивном четырехполюснике элементы матри-
цы {а] обладают следующими свойствами: alt и агг представляю^
собой вещественные величины, a ai2 и 021 — мнимые. Заметим,
что для реактивного четырехполюсника |a|=aHa22—O12O21 — ве-
щественная величина.
1.7. Матрицы некоторых простейших четырехполюсников
Ниже приводятся матрицы некоторых часто встречающихся
на практике четырехполюсников.
Двухполюсник (у левых клемм) (рис. 1.7)
2. Двухполюсник у правых клемм (рис. 1.8)
О О'
о ~У.
3. Последовательное сопротивление (рис. 1.9)
(1.50)
(.1.51)
Рис. 1.7
Рис. 1.8
Рис. 1.9
17
Параллельное сопротивление (рис. 1.10)
1 о
У 1 ’
Г-образная схема
[а] =
и=
г —г
z —z
(1.52)
[а] =
I
1г) =
У1
Zi
.Zl
У1 + Уз
У2
(рис. 1.11)
2,
1 + Z2 Ух
— 21
(1.53)
6.
— Уъ
~Уг.
Рис. 1.10
Рис. 1.11
Рис. 1.12
П-образная
схема
[а] =
И =
1
Гу] =
(рис. 1.12)
1 + z2 Уз
_У1 + Уз + У122у3
Г Zi (z2 -|- г3)
L 2гг3
'У1+У2
. У2
г2
1 + У122
—21 г3
23(2i~]-Z2)
— У2
(Уг + Уз).
1
(1.54)
Т-образная схема (рис. 1.13)
1 + zi у2
У2
[а] =
И =
УЧ^ Уг + Уз
. Z2
У1 (У-2 + Уз)
У1Уз
21 + ?з + 21 у2 23
1 + У2 2з
—г2
(z2 + z3)
— У1У3 1
— Уз(У1+Уг\
(1.55)
18
ж
Идеальный трансформатор (рис. 1.14)
Г+ — °1
[а] = “ ATJ -
О + N
(1.56)
У
ai>.2
где N= —-----коэффициент трансформации,
ОД
wt и w2 — число витков первичной и вторичной обмоток. Знак
плюс — для встречного соединения
согласованного.
обмоток, знак минус — для
Рис. 1.43
Рис. 1.14
Отрезок однородной .передающей линии
с волновым сопротивлением,р) (рис. 1.15):
без потерь (длиной I,
[[а] =
M =
2 Л
где m= ——,
Л
cos ml
i sin ml
i psin ml
cos ml
— i p,ctgm/
‘P
sin ml
ctg ml
>Р
1
i p sin ml
‘P
sin ml
i p ctg ml
1
i p sin ml
___ctg ml
ip -
Л — длина волны в передающей линии.
t
е>——и
0—0
•0
-0
Рис. 1.15
Рис. 1.16
(1.57)
19
12. Непосредственное соединение (рис. 1.16) (длина соединитель-
ной линии равна нулю)
1 01
(1.58)
0
1.8 . Согласование четырехполюсников на максимум активной
мощности на выходе
Большинство четырехполюсников на свч предназначается
для передачи активной мощности. Эффективность такой передачи
определяется не только собственными параметрами четырехполюс-
ника, т. е. элементами матриц [a], [z], [z/], но также и свойствами
оконечных устройств — сопротивлением нагрузки и внутренним
сопротивлением генератора.
Для эффективной передачи необходимо, чтобы параметры вход-
ной и выходной цепей были бы определенным образом связаны с
внутренними параметрами четырехполюсника.
Включение четырехполюсника между такими специально по-
добранными концевыми устройствами называют согласовав
н ы м. Согласование четырехполюсника на максимум активной
мощности на выходе требует такой зависимости между оконечны-
ми сопротивлениями и внутренними параметрами четырехполюс-
ника, при которой уровень активной мощности на выходе системы
оказывается максимально возможным по отношению к максималь-
ной мощности генератора1), равной
Z72
——, где Z?r=Re(zr).
4 Я,.
Для анализа условий такого согласования воспользуемся из-
вестным правилом, согласно которому генератор отдает макси-
мальную мощность во внешнюю цепь лишь в том случае, если со-
противление нагрузки и внутреннее сопротивление генератора яв-
ляются комплексно сопряженными величинами. Применив это
правило сначала ко входной цепи четырехполюсника (рис. 1.17),
находим, что наибольшая мощность поступает в него в случае,
когда
z; = zBX. (1.59)
Выходную цепь четырехполюсника (рис. 1.17), согласно теоре-
ме Тевенина [4], можно рассматривать как эквивалентный гене-
ратор с некоторым внутренним сопротивлением гВЫх (внутреннее
сопротивление эквивалентного генератора представляет собой
входное сопротивление четырехполюсника при обратном направле-
*) Подразумевается, что преобразование сопротивления нагрузки и внутрен-
него сопротивления генератора производится преобразователями без потерь, и
максимальная мощность генератора неизменна .при трансформациях его заут-
реннего сопротивления.
20
нии передачи и неизменных сопротивлениях на концах). Отсюда
следует, что наибольшая мощность, поступающая из четырехпо-
люсника в нагрузку, будет при условии
•гвых = <,- (i-60>
Знак «*» отмечает комплексно-сопряженные величины.
Если соотношения
(1.69) и (1.60) выполня-
ются одновременно, то
активная мощность в на-
грузке будет наиболь-
шей. Таким образом, не-
обходимо совместно ре-
шить ур-ния (1.59) и
(1.60) относительно со-
противлений zH и zT.
Выражая zBX и гВЫх
через элементы матрицы
[а], см. (1.27) и (1.28), получаем в соответствии с (1.59) и
уравнения
Q11 2Н а12 2*. °22 Zf Q12 Z= Z*
°21 ZH 4" °22 Г °21 2Г 4" Р11
решение которых и определяет оптимальные сопротивления на-
грузки и генератора zHO и zro.
Решение это имеет вид
^но
|g22a12| cos (<р22 — <р12) е' ч’но
|°11 «211 COS (фц — ф21)
i(Tro
е
г = 1/ |°п Ди) cos (фи — <р12)
Г0 ’ |а22 а211 COS (ф22 — Ч>21)
. (1.62>
(1.63).
где
Fl F3
sin <р„о = —7 ; sin <pr0=—- ,
1Лно1
p 1 ]all a2g( sin (фи — ф22) 4~ Igl2 °21) sin (ф12 ~ У21)
2 ]all °21V COS (фп Ф21)
p _ 1 |°nO221 sin (фп — фг2) 4-1°12 o2il sin (ф12 — фщ)
2 |°22 «211 COS (ф22 ф21)
Применение этих соотношений к согласованию длинных линий
с потерями рассмотрено в [6].
(1.64>
(1.65)
(1.66>
1.9. Согласование четырехполюсников на отсутствие
отражений от нагрузки и генератора
Рассмотренный в предыдущем параграфе метод согласова-
ния хотя и решает задачу оптимального энергетического режима;
четырехполюсника, но построенная в соответствии с этим методом
21
1
«система обладает определенными недостатками: уз'кополосностью
и, следовательно, неустойчивостью режима при согласовании.
Значительное распространение получил иной метод согласова-
ния четырехполюсников, основанный на попарном равенстве со-
противлений во входной и вы-
ходной цепях системы (рис.
1.18). Этот метод свободен от
указанных выше недостатков,
однако не обеспечивает, вооб-
ще говоря, полного отбора
мощности в системе генера-
Рис- 1-18 тор — четырехполюсник — на-
грузка. Физические основы
метода состоят в том, что четырехполюсник, по аналогии с длин-
ными линиями, рассматривается как некоторая однородная на-
правляющая система.
На границах системы возможны отражения. Если согласно
рис. 1.18 одновременно выполняются равенства:
2Г 2ВХ>
%Я 2вых>
то отражения отсутствуют:
р 2г 2вх Q р 2ВЫХ---------------2Н
2г-Е 2вх 2*вых + 2Н
(1.67)
(1.68)
(1.69)
Передача мощности приобретает при этом большую, чем в пре-
дыдущем случае, широкополооность и устойчивость, а расчетные
соотношения значительно упрощаются.
Выражая zBX и zBbIX через элементы матрицы [а], получаем из
(1.67) и (1.68) уравнения относительно zH и zr:
(1-70)
°и 2н аи
°21 2Н + °22
°22 2Г ~Ь °12
°21 2Г + °11
Рис. 1.19
22
решение которых дает оптимальные (с точки зрения отсутствия’
отражений на обоих концах системы) сопротивления:
= (1-71)'
г °11 аи
Zr = zcl=j/^. (1.72>
’ агга»
Полученные оптимальные значения сопротивлений называют
характеристическими; они играют большую роль в теории четы-
рехполюсников. Можно показать (3], что характеристические со-
противления имеют физический смысл входных сопротивлений бес-
конечной цепочки одинаковых четырехполюсников [включенных
«навстречу» друг другу (рис. 1.19а и 1.196)]. Характеристическое'
сопротивление четырехполюсника имеет смысл, аналогичный вол-
новому сопротивлению длинной линии.
1.10. Собственная постоянная передачи
Развивая аналогию между четырехполюсником и длиной’
линией, рассмотрим собственную постоянную передачи четыряс-
полюсника.
В однородной согласованной длинной линии распространяются
падающие волны напряжения и тока, определяемые комплексами:
U = U еух I ^1еух
v пад v с > 1 пад 1 с »
(1.73>
здесь х — координата, отсчитываемая от нагрузки;
+ — постоянная распространения;
Р — постоянная затухания;
2 л
т =------ — волновое число.
А, >
Образуя произведение комплексов падающих волн напряжения
и тока в начале линии (% = /) и на ее конце (х = 0), а затем, лога-
рифмируя отношение этих произведений, имеем
, 1 , (^пад ^пад)зг=!
у I =---1П----:,
2 (^пад Л1ад)л=о
т. е. величина у/, имеющая смысл постоянной передачи
линии может быть определена как половина логарифма
шения произведений комплексов напряжения и тока на
выходе согласованной линии.
i постоянной передачи четырехполюсника!
________ ______ _ ... : (1-74). Полагая при передаче слева —
(1.74>
длинной
от отно-
входе и
Понятие собственной :
^•^Ьводится по аналогии с
‘ направо
It Ui Л
£ci=—In——-
2 U2/2
и принимая, что (см. 1.71)
(1.75)<
~ 7 — 1/ °22 °1»
ZH zc2 — у „ о ,
' “11 “21
23
подставим значения th и Ц из основных уравнений передачи (1.1)
в (1.75). После преобразований приходим к соотношению
ёс1 — ^cl Н- i °cl — In (l^Оц 022 ~F V#12 fl21), (1 -76)
тде ЬС1 — собственное затухание четырехполюсника;
aci — собственная фазовая постоянная.
Собственное затухание равно отношению кажущихся мощно-
стей на входе и выходе четырехполюсника:
.а собственная фазовая постоянная
ас1 = "“~(Ф1 + ф1*—Фг — фг), (1.78)
где ф и q> — аргументы комплексных .величин Uh It,* U2, У-
Й^^При обратном направлении передачи, рассуждая аналогично,
^получим
1 , U'i'i
gc2 = —In-L-L, (1.79)
2 u212
причем
г«=г-‘=
Подставляя значения U, и из (1.13) в (1.79) и учитывая
.(1.80), приходим*к выводу, что
gc2 = bc2 4- i ас2 = In Л- 1 .= • (1.81)
Вычитая §с2 из g‘ci, находим .из (1-76) и (1.81)
&1—^с2=1п |а|. (1.82)
Таким образом, логарифм определителя матрицы [а] численно
равен разности собственных постоянных передачи при прямом и
•обратном направлении распространения энергии. Величину (1.82)
будем называть мерой невзаимности четырехполюсника.
Для обратимых систем |о| = 1 и из (1.82) следует, что
gci = gc2, (1-83)
т. е. в обратимом четырехполюснике собственные постоянные пе-
редачи равны друг другу. Это свойство в некоторых случаях при-
нимается за определение обратимого четырехполюсника.
1.11. Система характеристических параметров
четырехполюсника и ее связь с матрицей [а]
Четыре характеристических Дили собственных) параметра
четырехполюсника (zCi, zc2, gci, ga) полностью определяют свой-
ства пассивного линейного четырехполюсника. Решая уравнения:
.24
Vаи а22 + V а12 fl-21 = eScl; Уа11а22—Уа12а21=&
Оц а12
°22 °21
° 22 Я12 ___ -
------?с2,
«11 «21
установим связь между элементами матрицы [а] и характеристи-
ческими параметрами четырехполюсника
[a] =
gel ^С2
е 2 ehgcl^gc2
^С1 ^С2
Угс1гйе 2
, Sa -Ь §С2
sh г-
^С1 ^С2
—- - р 2 sh §С1_+1ёс2
_/^2 6 2
^С1 ^С2
2
е
, Sc.l -b &С2
ch—----------_
(1.84>
В частном случае обратимого
четырехполюсника gct=gc2=gc
[а] =
-~chgc Vzcizc2shgc
(1.85>
_ V2С1 гС2
ehgc
Если обратимый четырехполюсник симметричен, то ац=а22,
Zcl = Zc2= Zc,
[а] =
'chge
— shg,
zcshgc'
chg-,
. (1.86>
а если антиметричен, то
zclzc2 = tf2,
g2i
гс #shg(
[а] =
4~shg,
]/-|^Chgc
' 2С1 J
(1-87>
/j-chg.
Для произвольного четырехполюсника, заданного характери-
стическими параметрами в матрице (1.84), легко выделить мат-
рицы обратимой и симметричной частей в соответствии с прави-
лами, изложенными в предыдущих разделах [см. (1.38) и (1.41)]г
[о]
25
ch ±gc*.
2
__Lshg-“+-gcii.
" - ^ci 2
2с15Ь<«±1£?-
Chgci-hgca.
2
(1.88)
Здесь первая слева матрица произведения определяет идеаль-
ный преобразователь мощности, вторая — обобщенный идеальный
трансформатор, а третья — симметричный четырехполюсник.
В цепочке четырехполюсников, согласованных по принципу ра-
венства характеристических сопротивлений (рис. 1.19), имеют мес-
то следующие закономерности:
а) характеристическая (собственная) постоянная передачи це-
почки четырехполюсников равна сумме собственных постоянных,
передачи составляющих четырехполюсников;
б) характеристические сопротивления цепочки равны характе-
ристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников со сто-
роны их внешних зажимов.
Эти свойства (обусловливающие простоту определения пара-
метров цепочки согласованно включенных четырехполюсников)
способствовали на определенном этапе развития теории широкому
использованию характеристических параметров для синтеза цепей
(С заданными частотными свойствами (фильтрующие, согласующие
и др. цепи). Действительно, если подробно изучить собственные
характеристики затухания и фазы простейших четырехполюсни-
ков, то возможно подобрать любую требуемую характеристику си-
стемы простым суммированием характеристик составляющих, счи-
тая, что в реальной цепи они будут включены согласованно.
Однако практически последнее требование неизбежно нару-
шается1). Кроме того, выполнение его приводит к неэкономному
расходованию элементов. По этим причинам в последние годы
получает значительное распространение синтез цепей по их рабо-
чим или эксплуатационным параметрам. К ним относятся рабочая,
вносимая и действующая постоянные передачи, а также тесно свя-
занный с этими понятиями аппарат волновых матриц.
1.12. Рабочие параметры четырехполюсника
Рабочие или эксплуатационные параметры четырехполюс-
ника учитывают не только внутренние его свойства, но и свойства
входной и выходной цепей.
В _основе_в'ведения_1всех эксплуатационньщ параметров заложен
один i£ тот же принцип: эффект .передачи в реальной схеме вклю-
чения четырехполюсника сравнивается с эффектом передачи через
*) Хотя бы по той причине, что оконечные нагрузки (поскольку они состоят
из конечного числа элементов) не могут быть в точности равны характеристи-
ческим сопротивлениям.
26
некоторую стандартную систему, включенную между тем же ге-
нератором и приемником1).
Рабочая постоянная передачи определяется как по-
ловина натурального логарифма (или десятикратное значение де-
'сятичного логарифма) от “отношения мощности, которую отдает
генератор в согласованную (в смътсл^^авенствТТимплекснТГх^сщ
противлений) нагрузку, к“той~'мощнбстй, которая пбс^угГаетТт’этщ*
го генератора через чет"ыр^ЖОТ^Й11Г^'*^ЮГЙИйуЯГ^а1^уЖу (рис?
1.20). Как и ранее, под мощностью'пбнимаТйт'”1Гр0й^’?5дайтеПсом-
Рис. 1.20
плексов напряжения и тока, что позволяет, оценивать как ампли-
тудные, так и фазовые соотношения. Итак, при прямой передаче
(индекс «1») рабочая постоянная передачи2)
. । . 1 . £2/4гг
где 6pi — рабочее затухание;
ар)—фаза рабочей постоянной передачи.
Величина Ьр[ определяется отношением кажущихся мощностей:
, 1 , |£2/4zrl
o„i = — 1 п ——-—— , неп.
Р 2 |£/2/2|
или
&pi= 101g дб,
а величина аРь равная:
аР1 = -^[агЯ^р + 2лЦ , (1.89)
характеризует фазовые соотношения в четырехполюснике. Если
^учесть уравнения
Ui=E~ Цг.
, • (1.90)
— <2ц U2 -|- <212 I2
/1 = G21 "Т “22 ^2
*) На свч это называют метадом замещения.
2) Используется также и другой термин — рабочая мера передачи.
то выражение для рабочей постоянной передачи приводится к
виду " ~ ~
ffpi = -9- In (“о” (ап 14~~ + / 12 ' + flax гг 4~ Q221/^"Т-)} - (1 -91)
Рабочее затухание, выраженное в децибелах, записывается как
10 lg = 1 0 lg 14- («И + «2! У^Г + «22 1Л^ ) 2 ,
где функция рабочего затухания
^р1=- |-2-(ai1 ./ 18 ~ba2i V2*!zr + O221/-у-) • (1-92)
I 2 \ т гг у 2а 2Г т 2н /
При синтезе по рабочим параметрам функция рабочего затуха-
ния является заданной величиной.
При обратном направлении передачи и неизменных сопротив-
лениях па концах индексы «н» и «г» в (1.91) меняются местами,
.а элементы матрицы [а] преобразуются в соответствии с (1.13).
В итоге
ёрг — “2* In (—р “2*(«22 У+«21 V2цгг~ЬаиУ/')} >
2 t |“1 2 ' ' гн у гн zr ' 2г J)
(1.93)
-откуда следует
gpi—gp2=ln|al (1.94)
как и в случае собственной постоянной передачи см. (1.82). Для
обратимых четырехполюсников (|а|=1)
£fpl =S^p2-
Вносимая постоянная передачи определяется как
половина натурального логарифма (или десятикратное значение
десятичного логарифма) от отношения мощности, которую отдает
геисрадор, в заданную нагрузку при непосредственном соединении
(рис. 1.21), к мощности, которая поступает от этого генедатора в
ту. же_нагрузку через четырехполюсник (рис. 1.22). Под мощнб-
СтьюДТочгрежнему подразумевается произведение комплексов на-
28
пряжения и тока. При прямой передаче согласно определению
&
gBi = ^i + iaBi = -yln(2r+^)2ZH , (1.95)
где 6в1 и aBi называются соответственно вносимыми затуханием и
- фазой. Вносимое затухание определяет отношение кажущихся мощ-
ностей при указанной постановке опыта.
Как следует из определений, рабочая и вносимая постоянные
передачи совпадают друг с другом, если равны сопротивления на-
грузки и генератора. Из ур-ний (1.90) и определения (1.95) мож-
но показать, что
gBi= ту |ан —-------F fli2 — -h O21 —7-^—F °22 —~1 . (1 -96)
2 ( z„ + Zr z„ -р гг г„ +- гг г„ + 2Г J
При изменении направления передачи и неизменных сопротив-
лениях на концах индексы «н» и «г» меняются местами, а внутри
матрицы [а] происходят перестановки, определяемые соотноше-
ниями (1.13). В результате получаем по-прежнему
Яв1—Яв2=1п|а|. , (1.97)
В заключение следует напомнить, что энергетические оценки
эффекта передачи с помощью всех рассмотренных выше парамет-
ров (собственное затухание, рабочее затухание, вносимое затуха-
ние) на свч неполноценны по самому своему определению, по-
скольку они оперируют с отношением кажущихся мощностей, а
полезный эффект связан с активной мощностью.
Действующее затухание определяется как половина
натурального логарифма (или десятикратное значение дёсятично-
*ТО логарифма) от отношения максимально возможной активной
мощности, которую может отдать генератор, к той активной мощ-
ности, которая поступает от этого'генератора через четырехполюс-
ник в заданную нагрузку: ' '
2 ° Re(t/2/;)
(1.98)
Действующее затухание не является аналитической функцией
параметра ico, что крайне затрудняет синтез цепи по заданной ча-
стотной характеристике действующего затухания.
При zH=Rs и zr=RT действующее затухание совпадает с рабо-
чим затуханием.
Сопротивление передачи и л и приведенное со против -
ление определяется как отношение эдс на входе четырехполюсни-
И1, Потоку в нагрузке
F
zn=~- (1.99)
*2
29
Связь этого параметра с параметрами четырехполюсника и со-
противлениями zH и zr выводится из ур-ний (1.90):
Zn = Оц ZH -f- 012 + О21ZH Zr + O22 zr. (1.100)
Из сравнения последнего выражения с (1.92) следует связь
между сопротивлением передачи и функцией рабочего затухания
для обратимого четырехполюсника
L ~ j___Zn 12
Р I 2/zHzr
(1.101)
Если сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление ге-
нератора вещественны, то, как уже указывалось, действующее и
рабочее затухание совпадают и, следовательно, совпадают усло-
вия наибольшей эффективности .передачи и наибольших расчетных
удобств. Поэтому при современном методе синтеза устройств с
заданными частотными свойствами стремятся к включению четы-
рехполюсников между активными (а если возможно, то и одина-
ковыми) сопротивлениями.
Если оконечные активные сопротивления равны соответственно
RH и Rr, то формула для функции рабочего затухания (1.92) при-
обретает вид
М 4 (“>• I710 '°2>
1.13. Волновые матрицы. Исходные соотношения
Произвольное линейное пассивное устройство, имеющее
входы и выходы в виде однородных передающих линий (рис. 1.1),
в которых распространяется лишь один тип волны, полностью опи-
сывается линейными алгебраическими уравнениями, связывающи-
ми падающие и отраженные волны в некоторых (заранее оговорен-
ных) сечениях плеч.
Если рассматриваемое устройство имеет один вход и один вы-
ход, то при соответствующей нормировке уравнений, последние со-
держат не более четырех независимых комплексных коэффициен-
тов. Простыми преобразованиями эти уравнения могут быть при-
ведены к любой из канонических форм (1.1), (1.2) и (1.3) урав-
нений четырехполюсника и подчинены обычным условиям, (взаим-
ность, реактивность, симметрия, антиметрия и т. д.), применяемым
в теории цепей.
Система, изображенная на рис. 1.1, могла бы исследоваться,
вообще говоря, методами классической теории линейных цепей.
Оказалось, однако, удобным провести некоторую модификацию
аппарата исследования для лучшей его связи с понятиями, свой-
ственными диапазону свч.
На свч практика измерений оперирует с величинами, харак-
теризующими волновой процесс — коэффициентами отражения и
30
'.пропускания. Теорию свч многополюсников, построенную на осно-
ве этих понятий, легко сравнивать с экспериментом.
; Выше волновые представления уже использовались при обсуж-
дении физического смысла характеристических параметров. Пос-
Рис. 1.23
ледние, как указывалось, являются Обобщением известных Из
теории длинных линий понятий волнового сопротивления и посто-
янной распространения.
Характеристические параметры связаны, таким образом, с не-
которым условным волновым процессом внутри длинной линии,
эквивалентной данному четырехполюснику.
Параметры, которые будут рассмотрены ниже, описывают вол-
новой процесс вне четырехполюсника и, в отличие от внутренних
волновых (характеристических) параметров, могут быть названы
внешними волновыми параметрами четырехполюсника [7]. За пос-
ледние годы этот аппарат значительно развился и оформился; его
называют также волновыми матрицами четырехполюсника. [8, 9].
Система, состоящая из четырехполюсника и двух однородных
длинных линий (рис. 1.23), описывается уравнениями:
1А —= пад 4“ Ul отр
Л=--------(^1 пад U1 отр)
Р1
1^2 б/г пад 4“ ^2 отр
^2= (172 пад ^2 отр)
Рг
U1 = Оц U2 4~ ^12 ^2 1
Л = #21 ^2 4- Я22 ^2 J
(1.103)
(1.104)
(1.105)
где U2, Ii, /2 — комплексные амплитуды напряжений и токов
в некоторых заранее выбранных сечениях под-
иодящих линий|;|
171 пад, 1^2 пад, 1Д отр, 172 отр — комплексные амплитуды падаю-
щих и отраженных волн в тех
же сечениях;
Рь р2 — волновые сопротивления входной и выходной линий.
31
Подставляя первые две пары ур-ний (1.103) и (1.104) в пос-
леднюю (1.105), после преобразований получаем1)
«1 пад <11 «2 пад <12 «2 отр
U1 отр = <21 «2 пад 4“ <22 «2 отр
где коэффициенты имеют вид:
j • 1 / . Gj2 I t Pi \
<11 — —- I <2ц Н---1- Й21 Р1 4~ а22-)
> 2 \ р2 Р2 /
. 1 / ^12 t Pl
• <12 = — Пи-----~ + 021 Pl —О22 -£1-
2 \ Р2 Р2
1 / . Ojq Pl
/21= " (Иц 4------- o2i pi—а22----
2 - \ р2 р2
. 1 / 012 I Р1
<22 = _Т_(а11 — O21 Р14“О22----
2 \ р2 Р2
( 1.106)
(1.107)
Уравнения (1.106) определяют линейную связь между падаю-
щими и отраженными йолнами на входе и выходе четырехполюс-
ника (рис. 1.23)_й, следовательно (подобно ур-ниям (1.1) клайси-
ческой теории), могут быть приняты за исходные в теории внеш-
них волновых параметров четырехполюсника. Так же, как и
ур-ния (1.1), ур-ния (1.106) допускают запись шестью различны-
ми способами, каждый из которых может оказаться удобным для
определенных частных случаев.
В отличие от классической теории, в которой широко исполь-
зуются, по крайней мере, три типа записи (1.1), (1.2) и (1.3), в
волновой теории получили распространение лишь две формы за-
писи, а именно, — ур-ния (1.106) и одна их модификация, имею-
щая вид:
«1 отр 8ц «1 над 4~si2«2 отр
<4 2 пад = S2i Uj пад S22 U2 отр
(1.108)
и построенная по следующему правилу: в_ левой части ур-ний
(L108) стоят амплитуды волн, расходящихся от четырехполюсни-
ка, в правой — сходящихся к четырехполюснику.
В матричной записи ур-ния (1.106) и (1.108) приобретают вид:
пад <11 <12 ^А пад
_ отр j .<21 <22. , отр _
^А отр S11 812 " ^А пад
_ пад , . S21 s22 отр .
(1.109)
*) Волновые матрицы «по току» вводятся по аналогии с (,1.106). Соотно-
шения между матрицами по току и по напряжению даиы в первом издании
книги.
32
Здесь [<] = ^12 —jieHop мированная волновая матрица передачи;
.<21 <22
г 1 ^11 512
[$]= — ненорми£рваш1ая волновая матрица рассея-
S21S22. ' —
ищи
Название матрицы [<] («волновая матрица передачи») не тре-
бует пояснений. Матрица рассеяния^связывает сходящиеся и рас-
ходящиеся (рассеянные- по отношению к четырехполюснику)
волны.
* "Связь между элементами матриц [<] и [s] имеет вид:
где
<11 <12
<21 <22
Sil s12
S2I S22
1
S21
_ S21
<21
<11
1
- <11
S22
S21
H
S21 —
_1<L’
<11
<12
<11 _
|<l — <11 <22‘ <12 <21 — —
S21 P2
|5| = ShS22 S1252i =---------------p- .
<11
(1.110)
(1.111)
(1.112)
(1.113)
Соотношения (1.106) и (1.108) описывают передачу слева на-
право. При изменении направления передачи меняются местами
входные и выходные зажимы (т. е. индексы 1 и 2), меняются так-
же местами индексы «пад» и «отр», и наконец, в отличие от случая
прямой передачи всем величинам придается знак «штрих».
Производя в (1.106), (1.108) подстановки
^1пад“''^2отр’’ отр пад; ^2 пад ~-“>’^1 отр5 отр пад
и выполняя преобразования, необходимые для того, чтобы в ле-
вой части уравнений стояли те же величины, что и при прямой
передаче, получаем уравнения для обратной передачи. Ниже при-
водятся соотношения между элементами матриц, соответствующих
Прямой и обратной переда’че:
г<х 1
1 пад
1 отр
<21
^12
^2 пад
.^2 отр _
1
1<1
<11
---<12
<21
<22
^2 пад 1
-^2 отр J
(1.114)
2—488
ш; 1
1 отр
L 2 пад J
S11 S12
S21 S22
. 1 пад
KJ
822
521
S12
5ц
IX
пад
2 отр
. (1.115)
33
1.14. Принципы, нормирования уравнений
четырехполюсника
Нормирование ур-ний (1.106) имеет существенное значе-
ние. Это объясняется тем, что на свч понятия напряжения, тока и
волнового сопротивления в передающих линиях (осуществляющих
ввод -и вывод энергии в устройстве, изображенном на <рис. 1.1) не-
однозначны [10, 11, 18]. Для того чтобы и в этом случае продол-
жать пользоваться уравнениями передачи [в форме, например,
(1.106) или (1.1)], можно было бы заранее оговорить те опреде-
ления U, I, р в волноводе, которые представляются нам предпоч-
тительными, и затем строго их придерживаться. Такой метод прак-
тически неудобен. Более радикальное решение вопроса' состоит в
том, что в' основных уравнениях исключаются величины, смысл
которых на свч неоднозначен, и вводится новая переменная, при-
годная для любого диапазона частот и независящая от типа пе-
редающей линии.
В качестве такой переменной целесообразно выбрать мощность
в плечах четырехполюсника. Действительно, мощность, поступаю-
щая в плечо, однозначна и легко измеряется на всех частотах.
Для того чтобы учесть фаговые свойства системы, необходимо, как
это делалось и ранее, понимать под мощностью произведение ком-
плексов напряжения и тока; если р действительно, то мощность
(72
(в указанном смысле) равна — либо /2р. Эти величины вводим в
уравнения передачи (1.106). Выполняя для этого в последних
тождественные преобразования, переписываем их в виде:
и замечаем, что в новой записи уравнения передачи связывают
между собой уже не волны напряжения (либо тока), а некоторые
(1.116)
новые переменные, имеющие размерность корня из мощности, пе-
реносимой падающей либо отраженной волной в соответствующих
линиях передачи, включенных на входе и выходе четырехполюс-
ника. Эти переменные принято называть нормированными ампли-
тудами волн напряжения:
тун пад уу„ __ Ui отр Uг паД уун ^2 отр
1 пад у~ - 1отр у- > 2 пад -у- ’ 2 отр у~
(1.U7)
Таблица коэффициентов ур-ний (1.116) .называется jiODMHpo-
ваниой волновой матрицей передачи [Г] или просто волновой мат-
рицеи передачи:____
IT]= , (1.118)
Pl t'21 ^22
34
Таким образом, ур-иия (1.116) приобретают вид:
^пад=7,П^пад+Т12^отр1
^отр^^^пад + ^^отр)
’или в матричной форме
Тц Тц
Т21 Т22
в (1.119) перегруппировку
в иной форме:
+ 5i2 (/" отр 1
+ S22^OTp I
г U" 1
2 пад
ия
2 OTP-
= {Т]Х
rt/«
1 пад
£/«
1 отр
Произведя
>ти уравнения
U» = 8^"
1 отр 11 1 пад
и* = s21t/«
2 пад 1 пад
' U"
и2 пад
IIя
отр .
слагаемых,
(1.120)
записываем
(1-121)
где
U«
1 отр
2 пад
5ц
S2i
S12
522
rt/« 1
1 пад
Un
_ 2 отр _
£7« 1
1 пад
U*
2 отр
(1.122)
S11
S12
[5]-
(1.123)
(1.119)
^жи
$21
S22
°12
(1.124)
называется нормированной матрицей рассеяния или просто матри-
цей рассеяния. Нормировку легко распространить на уравнения
передачи в их классической форме. Например, переписывая
ур-ния (1.1) в виде
1/-^) +
/Р1 ' г р1/1Рз \/р1Рз '
MZf’l = («21 Vpl р2 ) 4 («22 1
/Рз V Г
назовем нормированными напряжениями и токами следующие ве-
личины:
Йг’ ^н=;йг’ (1-125)
Таблица коэффициентов нормированных ур-ний (1.124) состав-
*яет нормирован1ную классическую матрицу передачи
«11
2‘
1Л] =
«21 V pi Ра
°12
У Р1 Рз
«22 У
' р2 J
(1.126)
35
В матричной записи ур-ния (1.124) классической теории, свя-
зывающие нормированные величины, приобретают вид
I/;'
'1.
Дц Ди"] Г ^2
X 2
Дг1 Л22
(1.127)
, Заметим также, что из (1.92) и (1.126) следует
^-р— — (Ди + Д12 + Д21 + Д22) | • (1.128)
Тем же способом нормируются уравнения, определяющие мат-
рицы [г] и [г/]. Все элементы нормированных матриц безразмерны.
Таким образом, нормирование уравнений, описывающих пере-
дачу энергии,- удобно с. неоко'ЛЬ'Кйх точек зре1нйя':'~вочпёрвыХ' оно
лреобразует напряжения и токи в корень из мощности, во-вторых,
элементы матриц ^становятся безразмерными. Кроме того, из
(1.103), (1.Д04) и (1.125) следует, что нормированные напряжения
я токи связаны с нормированными падающими и отраженными
волнами напряжения зависимостями:
U« = U«
1 1 пад 1 1 отр
I"=U" ~ин
1 1 1 пад 1 отр
2 2падЛ^^2отр
---U"
2 2 пад 2 отр
(1.129)
в которых, в отличие от (1.103) и (1.104), волновые сопротивления
pi и рг уже не участвуют.
(Квадрат нормированного напряжения (либо тока) падающей
волны в выходной цепи (^2Пад)2= (/£пад )2 определяет мощность,
выделяющуюся в нагрузке, равной рг-
Квадрат нормированного напряжения (либо тока) падающей
волны во входной цепи (б'”пад)2 = (^Гпад У определяет максималь-
ную мощность, которую способен выделить генератор на согла-
сованную (с внутренним сопротивлением генератора) нагрузку рь
^|(П|ри обратном направлении передачи соотношения для норми-
рованных уравнений формально не отличаются от ненормирован-
ных, см. (1.114), (1.115), (1.13)—(1.15). Так, например:
(1.130)
и т. д.
36
1.15. Связь между элементами различных матриц
Ниже дана сводка основных соотношений, связывающих
- элементы различных матриц. Вывод этих связей легко получить
иа основе принципов, изложенных в предыдущих разделах.
Связь между нормированными матрицами волновой теории:
~ 1 *->22
Т’и Т’хг S21 S21 (1.131)
L 21 7 22 $u ISI
- S21 S21 _
Г т« |Л -1
^11 S12 Гц Л1 , (1.132)
S21 S22 1 Л*
L тп Ти J
где
|Т| =7’117’22- 7’12 7’21 = ^12 _ Рг $21 Pl -И = |а|, (1.133Х
= 5ц S22 ^12 ^21 — 7 22 Tu * (1.134)
Связь между нор миров энными матрицами классической
теории: 2ц _ |Z| - 1^22 1 "
Tin Л21 А12 А22_ — Z21 1 Z21 ^22 Г21 Г21 Гц , .(1.135)
^21 Z21J _ V21 Г21 J
Ли _ И1 п V 22 V12
N N ГО 1-* 1-» г* N N М> W to to — Л21 1 Л21 Д22 |Г| Т21 IV 1 Ги , (1.136)
_ ^21 ^21 _ L in |Г] J
Z22 Z12 з 22 И1 П
[Гц L^i ^12 г22 —- и Z21 А Zu — ^12 1 Д12 71ц . (1.137)
L \z\ И J _ ^12 ^12 _
ИШгде У| = Г11Г2 Y viY 21 = Д21 \у\ pl р2,
2 Д21
Z| = 1 __ IV1 Z11 Z22 Zi2 Z21 7112 ^21 _ |2| Pl р2
А| = А и Aj 2~ А12 А21 = ^12 _ Z2i
37
3. Связь между нормированными и ненормированными матри-
цами одного и того же типа:
Л11 . Л21 Ли Л22 п |/ Р» 011 И 7Г й211^ Р1 Рг °12 /Р1 рг V Рг J (1.138)
Яц _а21 Я12 O22 = Рг Л 21 _/рГрг 412 Pi Рг (1.139)
Zu Z21 Z12 Z22 = ги Pi 1 Z21 _/Р1Рг г12 ЛР1Рг г22 Рг _ * (1.140)
ри |_г21 Z12 ^22. = Zii Pi Z^21 V Р1 р2 ^12^ Р1 Рг Z22P2 (1.141)
Гц .1^21 Г12 У22 У11Р1 . У 21 V Р1 Рг Ун V Pi Рг 1 Угг'рг J (1.142)
!/и .1/21 У и {/22 = "In Pi 21 -/рГрг /Р1Рг У22 Рг _ 1 (1.143)
ГЛ1 1Л1 Тн — г Р1 til .tn /12 /22. > (1.144)
/11 til /12 ti-2. = /_Р£ Г р« Гц Гц Тц Т22. * (1.145)
-$11 $21 >$12 >$22. = S11 _V^S21 V Pi Pl 812 822 t (1.146)
812 S22. Su К1 Pl $12
•>11 S21 1/5 г Р1 $21 $22 (1-147)
38
4» Связь между нормированным^ матрицами волновой и клас-
^ической теории: '
[j. j _ 1 Г Лц + Л12 + Л21 + Л22
2 —^21—Л22
.у. __ 1 Г Z^i2 Z21—(Z11+1) (Z22— 1)
2Z21 [ Z12 Z2I-(Z11-1 ) (Z22-1 )
Лц Л12 + А21—Л-23
Л и—Л и—Ац 4- Л22.
(Z11+ 1)(222-Ь 1)~12 У21)1
(£11-1) (Z22 + 1)-Z12 Z21) J
(1.148)
(1.149)
ш=—
2У21
(1 + Л1) ( 1 -Г22) + Г12У21-( 1 +У11Х 1 +У22) + У12У'21'
( 1 _Г11) ( 1 -y^J-y^l-( 1-FuX 1 +У22)-У!2У21.
(1.150)
[S]
И 1 -- (-^11 "Ь ^21) (^21 + ^22)
|Л| (Лц Л21)(Л22 +Л2Х) 2|Л|Л21
. 2 Л21 |Л| (Л22—Л21)(Лц + Л21)
♦ 1
IS] =
(Zu+l)(Z22-l)-Zl2Z2i
у, (Zll 1)(Z22 1)~Z12Z21 2Z12
. — 2Z2i (Z22 1 Х^и 1)—Z12Z21
[Sj-------------!----------
(1+Ги) (1-У,2) + У12П1
1Л1 = Т
’( 1 - Гц) ( 1 -У22)- У12 У21 - 2712 ’
.2721 (1 +7ц)(1 + 72г) 71г721.
1 7ц-r72i X 7i2+722 Т’и+Т’г! У12 У22
f~p> 'Т' 'Т' ' Т1 'Т* Т4 Т1 I 'Р
* 11 * 21 V * 12“ * 22 *11 * 21“ * 12 "Г * 22.
[Z] =
1_______
т 21—Т114-Т22—Т12
—(Т’и+Тм+Т’и+Т'гг) 2]Т'|
—2 Тц — Т21 Аг+Угг.
(1.151)
(1.152)
(1.153)
(1.154)
(1.155)
[7] =
______1_______
Т’и+Т'г!——Т22
Тц—Т21—Т\2-\-Т22 2171
2 (7ц4- 7\i+ 712 + Т22)
(1.156)
М1 = -1-
2$21
S12 $21-( 1 +S11) (S22-1)
(1 —s22) (1 —5ц)—Si2 S21
(1+5ц) (1 + S22)—SX2 S2X
(1 —Su) (1 S22)+S12 S2i
(1.157)
[Z] =
(1 Stl) (S22 1)+S12 S2i
[7]
(1+Sn) (1+S22) S12S21
(1 ~r Sn) {$22— 1)—Si-2 S2i 2Si2
—2Si2 (1+522)(1—Su)-|-Si2 S2i
(1—Sii)(1+S22)-|-Si2S2i —2Si2
2S2i (1-J-Su) (S22—1)—S12S2i
(1.158)
. (1.159)
Запишем также некоторые дополнительные соотношения, опре-
деляющие связь между [Г] и [Л]:
[Г] =
1
1
Г
— 1
1 X [Л] х
’1 г
1 —1
(1.160)
39
Г1 11 Г1 И-1
хих j -j
Матричные равенства (1.160) и (I.1I6I)
некоторых свойств [Г] и [А]. В частности,
|Т| = |А|=|а],
(1.161)
показывают общность
(1.162)
С другой стороны, ИЗ (1.160) И (11.1161)
риц [А] следует
[Т]=Пт
ка'к и в случае мат-
(1.163)
соединения к раэлич-
Таким образом, матрица [Г] каскадного
ных четырехполюсников раина произведению матриц [Т] отдельных
каскадов.
Нетрудно видеть, что матрица [Г] каскадного соединения к оди-
наковых четырехполюсников:
1
1
ГГ=Г1
Ц-*
1 -1
[А]к
Г
— 1
(1164)
in !
Рис. 1.24
тимы, то согласно (1.162) | Т | = [ Гп | = 1)
(1.163) запишем1)
Г т\
Рассмотрим также четырехполюс-
ник, обладающий симметрией относи-
тельно вертикальной оси. Очевидно, что
его (рис. 1.24) можно представить в
виде каскадного соединения двух оди-
наковых четырехполюсников, отличаю-
щихся направлением передачи энергии.
Пусть результирующий четырехпо-
люсник описывается матрицей [Г], а
его левая половина — матрицей [Тп]
(поскольку все четырехполюсники обра-
а потому в соответствии с (1.130) и
1Л =
1 21
7*11
1 12
фП
‘22
X
фП фП __ фП фП
41 41 1 22 J 12
фП
‘ 11
“ 1 12
фП
7 21 _
фП
1 22 .
___ 'Г’П 'Г’П । фП фП
1 11 41 1" 1 12 1 22
( фП \2 к / фП \2
(1.165)
Таким образом, для четырехполюсника -с симметрией относительно верти-
кальной оси результирующая матрица [Г] определяется матрицей его поло-
вины [Гп].
Таким образом в случае симметричного относительно вертикальной оси че-
тырехполюсника
^ = 1(^1)2-(^2)Т. (1-166) _
В заключение заметим, что из (1.128) и (1.148) следует равенство
£₽= I 7\i I 2, (1.167)
широко используемое в последующих главах при синтезе четырехполюсников.
*) Следует помнить, что правая половина четырехполюсника является зер-
кальным изображением левой, т. е. ее матрица равна матрице левой половины
при обратном направлении передачи.
40
1,16. Входной коэффициент отражения четырехполюсника.
Физический смысл элементов волновых матриц
Входной коэффициент отражения Гвх четырехполюсника
фаределяется как отношение отраженной волны к падающей на
Входных зажимах четырехполюсника.
При прямой передаче согласно (1.119) имеем
^1 отр __ Т22 Гн
7/и
V1 пад
Гвх
(1.168)
Тц Ч* Tlt Гн
^2 отр
УДе Гн=—-
и2 пад
— коэффициент отражения от нагрузки в выходной
линии.
При обратном направлении передачи, используя (1.130), по-
ймаем
— T’ssI'h
(1.169)
^вх ,
Тц — Г21Гн
еде Г'- — коэффициент отражения от нагрузки в выходной линии
при обратном направлении передачи.
Запишем последние соотношения в терминах матрицы [S]. За-
Йеняя элементы матрицы [Т] элементами [S] в соответствии с
(1.131), находим:
Гах = ^11 +
Г’х —S224
Sia S21 Гн
1 S22 Гн
Sl2S21 Гн
i-sur;
'(1.170)
(1.171)
В классической теории (см. 1.3) физический смысл параметров
четырехполюсника связывался с режимами холостого хода и ко-
роткого замыкания.
В волновой теории роль такого «характерного» режима играет
режим, при котором Гн=0 или, иначе говоря, (7“,^ =0. Тогда из
(1.119) и (1.121) имеем
г/И Г/Н г/Н Г/Н
гг1==_1^; su = -^, S21 = ^i . (1.172)
Г/Н riH ,,H Г/Н
u2 пад ^2 пад 171 пад и 1 над
Таким образом, коэффициенты Тц, Т21, Sii и S2i определяют
свойства четырехполюсника, нагруженного на согласованную ли-
Ддю'при прямом направлении передачи. Коэффициент *j~n оиреде-
отношение нормированных напряжени^Т~этблГ;рёжймГеТ1 на7
Зйывается коэффициентом передачи. Коэффициент S21 представляет
®обой обратную величину!-----) коэффициента передачи, однако
\ Ти /
41
для него принято отдельное название пропус-
каш1я»ГТКоэффициёнт S~n, очевидно, есть “коэффициент отражения
"во входной линии при согласовании “выходной.
Менее очевиден смысл коэффициента 77i, он связывает отра-
женную волну во входной цепи с падающей волной в выходной
цепи.
Меняя направление передачи и полагая снова Г^ = 0, т. е.
U'2отр =0, выясняем смысл других коэффициентов волновых мат-
риц:
г/н' UB' т и^’
е 1 отр о 2 пад . ‘ 12 1 отр
22“ ^“’ 12“^Л~ ’ VT"
и1 пад °1пад 11 ^2 пад
т. е. S22 представляет коэффициент отражения во входной линии
при обратном наиравлении передачи и Г' = 0; Si2 — коэффициент
пропускания при тех же условиях.
~ Следует подчеркнуть особое положение матрицы рассеяния [S]
среди.других матриц четырехполюсников и многополюсников. Дей-
ствительно, в ней все коэффициенты имеют простой физический
смысл и связаны непосредственно с рабочим режимом четырехпо-
люсника. При изменении направления передачи в матрице [S] ме-
няются соответственно только индексы (Si2-->-S2i и Зп-э-Згг), но не
происходит (как это имеет место в других типах матриц) изме-
нения величины и знаков элементов. Таким образом, матрица [S]
фактически не связана с каким-либо заданным направлением пе-
редачи^ это весьма удобно при решении ряда задач на свч, в част-
ности, — в случае многополюсников, соединенных произвольным
образом.
1.17. Связь волновых матриц с рабочими параметрами
четырехполюсника
Нормированные матрицы тесно связаны с рабочими пара- .
метрами четырехполюсника. Действительно, в выражении для
квадрата коэффициента передачи 7\i:
и2
^1 пад
(zzh \2
-2^5- при а2отр=0, (1.173)
/ и2
пад / ° 2 пад
Ра
знаменатель представляет произведение комплексов напряжения
и тока в нагрузочном сопротивлении рг (рис. 1.25), а числитель
приводится к произведению комплексов напряжения и тока в со-
противлении рь включенном непосредственно на выходе генерато-
ра (рис. 1.26). В самом деле, для падающей волны пад входное
сопротивление линии равно ее волновому сопротивлению рь
42
В соответствии со схемой рис. 1.26
U _____
•А пад g
и, следовательно, числитель определяет максимальную мощность,
.которую может отдать генератор с внутренним сопротивлением pi
;и эд.с Е:
I/? пап №
. (1.174)
Pi 4 Pj
Сравнивая полученные результаты с определением рабочей
постоянной передачи gp (см. разд. 1.12), находим, что коэффи-
А
Рис. 1.26
Рис. 1.26
циент передачи Гц непосредственно связан с gp. Для обратимого
четырехполюсника
gp= -A-lnT^p+iflp; Tu=eЭ) * SP,
следовательно,
bp = In[Tu|2, неп или bp = 101g|Tu|2,d6, (1.175)
что согласуется с (1.167).
, Итак, нормированная волновая матрица передачи обладает
тем замечательным свойством, что один из ее элементов непосред-
ственно определяет рабочую постоянную передачи четырехполюс-
ника.
Следует отметить, что аппарат волновых матриц удобно при-
менять не только на свч, но и в любом другом диапазоне частот.
В этом случае волновые матрицы следует трактовать с иной точки
зрения, — как систему параметров, описывающую рабочий режим
^четырехполюсника, включенного между активными сопротивле-
ниями /?1 и /?2, заменяющими волновые сопротивления pi и рг во
входной и выходной линиях передачи на свч.
1.18. Условия обратимости, симметрии, антиметрии
и реактивности в терминах волновых матриц
Э) Обратимость,
Ранее,”см. (1.36), было показано, что для обратимого четырех-
полюсника |а| = 1.
43
(1.176)
Из (1.133) и (1.132) устанавливаем, что:
|У|= 1
я -.........о -
S12-S21. - (1.177)
В теории волновых параметров условие (1.477) часто прини-
мается как определение обратимого четырехполюсника. Оно экви-
валентно условию (1.94), определяющему равенство рабочей по-
стоянной передачи при прямом и обратном направлениях передачи.
По аналогии с классической теорией, см. (1.38), волновая мат-
рица передачи произвольного необратимого четырехполюсника
может быть представлена произведением двух матриц, соответст-
вующих обратимой и необратимой его частям. Действительно, если
задано
Т и Т12
Т21 Т22
[У1 =
И |У|+1,
(1.178)
в котором первая матрица соответствует обратимому четырехпо-
( Тц Л* Т12 Тц . \
люснику I .........г—-----у==- -?=- = 1 ,
\К IT| v 1Г| К |Т| V171 }
а вторая — необратимому (ЮЛ У1Л + 1),
6) Симметрия..
Передаточные матрицы симметричного четырехполюсника неиз-
менны при перемене направления передачи. Ранее это правило
было применено к матрице (а] и привело к условиям симметрии
в виде (1.39).
Применяя теперь это же правило к матрице [Г], получаем сра-
зу же из (1.130)
1Л=1 )
У21 = Лг!
(1.180)
и, следовательно, матрица (У] симметричного четырехполюсника
имеет вид
[У]= Г Ти 712 ’ .
.--У12 Уг2.
Условие |У| =1 следует непосредственно из |а|=4.
Далее из равенства T2i =—Т12 следует (см. 1.148)
У 21+ У12= +1--^22 — ап 1/" --а22 1/ = 0
' Р1 ' Р2
(1.181)
(1.182)
44
откуда .получаем соотношение
= -Ь- . (1.183)
а22 Рг
у Из (1.183) видно, что если четырехполюсник симметричен
(ац=«22), то система (состоящая из четырехполюсника и двух на-
грузочных сопротивлений pi и -р2) будет симметричной при pi = pi-
Если четырехполюсник несимметричен или неодинаковы его иа-
трузочные сопротивления (pi#=p2), то система в целом все же
может быть симметричной. Для этого необходимо выполнение ус-
ловия (1.183), связывающего параметры четырехполюсника и его
, нагрузочные сопротивления.
Используя связи между [S] и [7], см. (1.132), находим из- (1.180),
-что для симметричного четырехполюсника
Sl2 = S21 (1.184)
и
= S22.
Следовательно, матрица рассеяния симметричного четырехпо-
люсника имеет вид
Su S12
S12 Su
(1.185)
Днтиметрия.
Антиметричный четырехполюсник, как уже указывалось в
(1-42), подчиняется условию
где R — постоянная, имеющая размерность сопротивления. Эту
постоянную удобно отождествить с соответствующим нормирую-
щим множителем в матрице (А], см. (.1.138). Полагаем
(1.186)
и тогда условие антиметрии приобретает вид
A12=A21. (1.187)
После этого перейдем -к волновым матрицам. Используя пере-
ходные соотношения (1.148), находим, что в антиметричном че-
тырехполюснике
7i2=T21, (1.188)
И его волновые матрицы имеют вид1):
_________
*) Понятие симметрии и антиметрии четырехполюсника можно также ввести
более общим способом — с помощью матричных операторов [11].
45
(1.189)
(1.190)
Т22
S12
--Su
Tj Реактивность.
Используя волновые матрицы, можно рассмотреть вопрос о
свойствах реактив1ных 'четырехполюсников способом более 'общим,
чем в разд. 1.6. Разность активных' мощностей, переносимых вол-
нами, сходящимися и расходящимися от четырехполюсника, со-
ставляет
Р1 - Р. пад и«*пая+и« отр t/2H-oTp) - (t/"OTp +и»пая
(1.191
где знак «*» означает комплексно сопряженную величину.
Если в четырехполюснике имеются потери, то эта разность
больше нуля; для реактивного четырехполюсника она равна нулю.
Таким образом, выражение (1..191) является мерой поглощения
энергии.
Учитывая связь падающих и отраженных волн, выраженную
через элементы матрицы рассеяния, см. (1.122), можно перепи-
сать (1.191) в виде
где [1] =
Мпа/СгрИП]- [S1JS]}
1 пад
UH
2 отр
(1.192)
О'
1
единичная матрица.
^22.
—эрмитово-сопряженная с [5] матрица.
Для реактивных четырехполюсников Pi—Р2 = ®, откуда
ISL [$] = [!].
(1.193)
Для рбр.ати.мого четырехполюсника (1.193) принимает вид
[S) [$],= [!]. , (1.193а)
Это условие называют условием унитарности, а удовлетворяю-
щую ему матрицу — унитарной. Условие унитарности — наиболее
общий критерий реактивности четырехполюсника; в развернутом
виде (1.193) записывается:
|ShI2+|S21|2= 1,
iS12|2-F |S22|2= 1,
S*, S22-= 0
(1.194)
(1.195)
(1.196)
mu. в с<ое-Тб .
46
a (1.193a)—следующим образом:
|Sh|2+V12|2= i,
|S21|2+IV=1.
^11 ^21 *^^22 = О-
Си i lx. «и. о 6
(1.194а)
(1.195а)
(1.196а)
Таким образом,'реактивность четырехполюсника накладывает
Определенные связи на элементы матрицы рассеяния четырехпо-
люсника.
Условия (1.194) и (1.195) связывают модули элементов и вы-
ражают закон сохранения энергии при прямой и 'обратной пере-
дачах. Условие (1.196) разбивается на амплитудную и фазовую
г)части:
|S22| "lS12| ’ . ( ’
Фи+<Р22==<р12 + <р21±я1 (1.198)
рДе-фц, ф22. <pi2, <p2i — аргументы соответствующих элементов [SJ.
Решая совместно (1.194), (1.195) и (1.196), находим:
l^ii| = 1^11
|S12| = |$21|!
(1.199)
е. для реактивного (обратимого или необратимого) четырехпо-
люсника коэффициент бегущей волны и рабочее затухание не за-
висят от направления передачи. Таким образом, реактивный не-
обратимый четырехполюсник не может быть вентилем, а лишь
невзаимным фазовращателем.
Матрицы рассеяния и передачи, удовлетворяющие условиям
(1.194) — (1.199), имеют вид:
[S] = |Sn LV1 е‘ <г“ -|Su|2e“*. у 1- |SU|2 е1 l^iil е* <₽11+я) , (1.200)
[Г] = VI -1 е-'^- - 1«ша ISnl р—i (q>n—фи I'SllI ei (4>1г—4>п) У1 - |S»I2 ) 1 е> Ч>1« . (1.201)
LV1 - (W
Следовательно, элементы матриц [S] и (Г] реактивного необра-
тимого четырехполюсника полностью определяются четырьмя ве-
щественными коэффициентами <рц, <p2i, <pi2, |5И|. Для обратимого
реактивного четырехполюсника S12=S21 и, следовательно, ф12=ф21,
Уогда из (1.198) получаем • . . -------
фп + <р22 = 2 фо, 4 Л. (З^тДгёраТ. (! .202)
47
Таким образом, матрицы [S] и [Г] реактивного обратимого че-
тырехполюсника имеют вид: " z
[5] =
|Su|ei<p"
т/1___ic.js J ч>«.
S11|2ei<₽'1
|Su|ei4)”_
(1.203)
1 g- Ч>21
У1 - 1$н1а
1^111 (<Pxi—Фх1)
f ‘~7~ с
L/i -isui2
l-Sii I e— i (<Pn—<Pu)
yi-lSnl2
1 e' <p»l
Vi~ W
(1.204)
Диагональные элементы матрицы (Г], как видно из (1.204),
комплексно сопряжены:
Т12 = 7’;1, (1.205)
и для обратимого (Т’цТ’гг—Т12Тц = 1) реактивного четырехполюс-
ника имеем '
1 + м= 1-+ |т21|2. (1.206)
Отсюда функция рабочего затухания
L = —— = |Л1|2 =-------5---
1W ' 1-1W
а
l^iil2 = • (1.207)
I/ ii| L
Заметим также, что для симметричных четырехполюсников
<рп=<Р22, а для антиметричных фц = ф22±л, см. (1.185) и (1.190).
Формулы (1.206) и (1.207) широко применяются при решении
практических задач.
1.19. Волновые матрицы некоторых простейших
четырехполюсников
Матрицы классической теории линейных электрических
схем для простейших четырехполюсников приводились в разд. 1.7.
Ниже даны волновые матрицы для тех же четырехполюсников.
Л Двухполюсник у левых клемм (рис. 1.27):
(1.208)
где
Pi.
Z г
48
(31 =
jochhik у (правых клемм (рис. 1.28):
\ 01
\' 1 — У >
о V--------
(1.209)
- где
1 __ Ра
Z
Z
Рио, 1.28
0-
•0
0
Рис, 1.27
Рис, 1.29
Последовательное сопротивление
(рис. 1.29):
(31=
__Z
2->Z
2
2-bZ
2
_2^Z
(1.210)
0
0
z
0
0
Z
2 + Z _
Z
P
P
0
]Л =
z_~
2
(1-2П)
где Z= .
Р
^Параллельное сопротивление (рис. 1.30):
’ 2 + Z
£
2
2 —Z
2
2
(31 =
(1.212)
где
(Л =
(1.213)
2
1 = _Р_
Z z
2
2
— У
2
2 —У
2
49
s)t-образная схема (рис. 1.31): '
|S] =-------------i----------- X
Z2(Z1 + 1)X(Z3 + /?)(Z1+Z2+ 1)
, 'Z2(Z1-1) + (Z3+/?)(Z1+Z2-1) 2/#Z2
.2 VRZ2 Z2(Zx + 1)+(Z3-/?)(Z1J-Z2+ 1)
(1.214)
Рис. 1.31
РИс. 1.32
Рис. 1.30
Элементы матрицы [Г]:
(R-Z^^Z^Z^^-Z^ (Zt + 1)
2//?Z2
(1.215)
' X 712 Tgl
Tu
б)Идеальный трансформатор (рис. 1.32):
[S] =
~\—N2
1 +№
±2V
_1
Г1 =
+ 1-b^
“ 2W
, 1—№
л-----
— 2N
±2N "
1 -}-№
1 — N2
1 + №_
. 1 — N2
± 2^
, i-piv2
— 2^
(1.216)
(1.217)
где Af= ——коэффициент трансформации (см. также 1.56).
Т) Отрезок однородной, передающей линии без потерь (дли-
ной I с волновым сопротивлением р) (рис. 1.33):
О
[S] =
о
(1.218)-
50
о
e-,e
Ге'6
[Т] =
[о
о 2л/ .
Где о=-----, Л — длина .волны ib передающей линии.
Л
(1.219)
^Непосредственное соединение линий с различным волновым
сопротивлением (скачок волнового сопротивления) (рис. 1.34):
Р-1 2/р "
о Я+ 1 Р-> 1
[S] = (1.220)
2/Р Р-1
Lp+i Р-М J
ГР + 1 Р-1 “I
%Vr
[Т] = (1.221)
р-1 Р+ 1
_ 2/Р 2/Р J
1.20. Схемы замещения обратимых четырехполюсников
Любой обратимый четырехполюсник можно представить
схемой, состоящей из минимально необходимого 'числа элементов
(полных сопротивлений). Поскольку обратимый четырехполюсник
определяется тремя комплексными параметрами, то естественно
выбрать схему, состоящую из трех элементов (Т и П-образные
схемы, рис. 1.35 й рис. 1.36).
Рис. 1.35
Рис. 1.36
Вопросы физической реализуемости при ее построении не учи-
тываются и величины сопротивлений, индуктивностей и емкостей,
входящих в схему замещения, могут получать даже отрицатель-
ные значения.
51
Если задана матрица [г] Т-образной схемы, то сопротивления
Zi, 23 продольных плеч и г2 поперечного плеча (рис. 1.35), как лег-
ко видеть из (1.55), выражаются через элементы матрицы сле-
дующим образом:
21 — Zn --- z12
2 2 = Zj.2
?3 = 212 222
(1.222)
Для П-образной схемы удобно использовать матрицу [р], см.
(1.54), в этом случае связи между проводимостями имеют вид:
У1 — Уи + У12
У 2 = У12
Уз — У12 У 22
(1.223)
На свч удобно задавать элементы матрицы рассеяния. Ниже
даны значения нормированных сопротивлений Т и П-образных
схем, выраженные через элементы матрицы i[S] для случая сим-
метричного четырехполюсника и одинаковых подводящих линий
(pi=P2 = p):
(1.224)
(1.225)
(1.226)
(1.227)
1.21. О минимальном числе параметров, определяющем
свойства четырехполюсника
Число параметров (частотных характеристик), которые
требуется воспроизвести при синтезе, определяет сложность син-
теза.
- Наиболее простым, естественно, является синтез по одному ве-
щественному параметру. Такой синтез оказывается возможным,
если ограничить класс четырехполюсников условиями обратимо-
сти, реактивности, симметрии, либо антиметрии и, наконец, усло-
вием минимальной фазы *).
Произвольный четырехполюсник определяется четырьмя ком-
плексными параметрами (восемью вещественными параметрами).
На обратимый четырехполюсник накладывается условие: ТцТ22—
7'127’21= 1 и, следовательно, число независимых комплексных пара-
*) См. далее разд. 1.30.
52
Метров снижается до трех (шесть вещественных параметров).
8 реактивном четырехполюснике существуют дополнительные свя-
зи [см.'(1.205) и (1.206)]:
Л1=Г2-2; Г12 = Г;,; |Ги|i 2= 1 + |Г12|2
И поэтому он определяется тремя вещественными параметрами.
В случае симметрии либо антиметрии накладываются условия
соответственно
Г12=-Г21, (1.228)
ТИ=Т21, (1.229)
которые снижают число независимых комплексных параметров до
одного (т. е. двух вещественных параметров).
Наконец, если четырехполюсник принадлежит к типу мини-
мально фазовых, то существует жесткая связь между модулем и
фазой комплексного коэффициента передачи. Число независи-
мых вещественных параметров снижается до од-
ного.
Волновая матрица передачи обратимого, реактивного симмет-
ричного либо антиметричного четырехполюсника может быть вы-
ражена через комплексный коэффициент передачи Гц (элемент
Матрицы [Г]) в соответствии с записанными выше дополнительны-
ми связями.
Для симметричного четырехполюсника имеем
Ггп ж1| Й3!'
Li, i/|ru|2-1 rn J’
а для антиметричного
[Ti=fru _
[(+У|Л1|2-1 ТП. '
(1.230)
(1.231)
Используя переходные соотношения’ (1.139) и (1.154), можно
записать соответствующие выражения для матрицы {а], которая
в дальнейшем будет применяться при синтезе ступенчатых уст-
ройств. Для симметричного четырехполюсника при pi = p2 = p
ре Гц 1р(1тГц+/|Гц|2-1)’
[al = i-L(imTu-/|ru|2-l) ReГц ’
L р J
а для антиметричного (для любого соотношения между pi
1а]
" l/-PL(Reru + /|Гц|2- 1) i VP1 р2 Im Гц
г Рг
i 1^1тГц l/jk(Reru-VM-l)
L FpiPi г pi
(1.232)
и р2)
(1.233)
Для синтеза фильтров лестничной структуры используются
нормированные сопротивления (либо проводимости) холостого хо-
53
да либо короткого замыкания. Их легко найти из(1.29), (.130) и
последних выражений. -Симметричный четырехполюсник:
7 — 7' — i(Im7u+ VW-1) (1.234)
^КЗ КЗ Re Гц
7 = Z' =- Re Гц • (1.235)
XX j (Im^u-V W-l) ‘
где
7 ^*КЗ _ гкз . р (1.236)
7 ^хх ZXX р (1.237)
Антиметричный четырехполюсник:
2 i Im 7'u (1.238)
^КЗ Re 'Гц
7 Re Гц + Пгп12-1 (1.239)
^*ХХ ilmTu
где
7 ^*кэ ZK3 Р1 (1.240)
7 ^хх ?ХХ Pl (1.241)
а при обратном направлении передачи:
ZK3 i Im Tn (1.242)
Re Гп
Z' XX _ Re 7Ц -VlW-1 ilmTu (1.243)
где
ZK3 Р2 (1.244)
Zxx zxx Рг (1.245)
Более .подробные сведения по этому вопросу см. в {12].
1.22. Условия физической реализуемости четырехполюсника.
Выше были найдены связи между' элементами волновой
матрицы передачи четырехполюсника и показано, что для опреде-
ленного класса четырехполюсников элементы матрицы жестко свя-
заны друг с другом, — достаточно-задать модуль одного ее эле-
мента [i’ll], чтобы полностью определить ®сю матрицу.
54
В этом и в следующих параграфах будет показано, что указан-
ный независимый параметр нельзя задавать произвольно; его ча-
стотная характеристика должна удовлетворять определенным ог-
раничениям. Эти ограничения (накладываемые на характер частот-
ной зависимости параметров че-
тырехполюсника) называют ус-
ловиями физической реализуемо-
сти. Нас будут интересовать ус-
ловия физической реализуемости,
^относящиеся к коэффициенту пе-
редачи и квадрату его модуля —
^функции рабочего затухания.
Исследование условий физи-
^ческой реализуемости удобно
Провести для цепей с сосредото- р|ИС ,j 37
чениыми (LCR) постоянными,
ймея в виду обобщить далее результаты на обратимые системы с
р асп ределе нн ы м и п ост о я нн ы ми.
Рассмотрим сколь угодно сложную разветвленную цепь, имею-
щую два входных и два выходных зажима (рис. 1.37).
Воспользовавшись методом контурных токов [2], разобьем си-
стему на п замкнутых контуров, включая контуры входа и выхо-
да. Для каждого контура на основе второго закона Кирхгофа за-
писываем известную систему интегро-дифференциальных урав-
-’’нений:
Хи '* - + Яц11+ ^u pidi-\-.. . Ц-Lin—7-Ц-7?(-nin ) D/nCindf — e,
at J at J
Lai —— 1- T?21 il+ ^21 pl dt~r . . . -4- L2« —7 Jr Rin ^2nPn dt = 0,
' at J dt J
Lni + Rniii + Dni pidt-'-. .. + Lnn-j- + Rnnin + Dnn[indt—O,
\ at J dt J
1 (1.246)
где L KK—индуктивность в /с-м контуре, по которому протекает
ток того же контура (собственная„индуктивность кон-
тура),
LKS—индуктивность в к-м контуре, по которому протекает
ток s-ro контура (индуктивность связи).
Аналогичный смысл имеют индексы сопротивления R и вели-
чины D= — .
С
В результате решения ур-ний (1.246) должны быть определены
’Токи <1, 1*2, ..., in как функции времени t. Искомые токи представ-
ляют собой сумму двух составляющих:
<к=«в + «с (1.247)
55
где i’b — вынужденный ток, или ток установившегося режима,
1С — свободный ток, или ток неустановившегося режима.
Вычисление вынужденных токов в цепи, возбуждаемой синусо-
идальной эдс, сводится к решению системы неоднородных алге-
браических уравнений; свободные токи определяются решением си-
стемы однородных алгебраических уравнений, соответствующих ис-
ходной системе неоднородных уравнений.
Условия физической реализуемости четырехполюсника непо-
средственно вытекают из анализа обоих режимов цепи: устано-
вившегося и неустаповившегося. Поэтому перейдем к более под-
робному их исследованию.
1.23. Первое условие физической реализуемости
Пользуясь известными приемами символического метода,
полагаем, что эдс на входе четырехполюсника задано в виде
Ezla>t . Токи установившегося режима ищем в той же форме
iB = Ze,m/=/ep/, (1-248)
где p=i(o.
Подставляя (1.248) в систему ур-ний (1.246) и сокращая об-
щий множитель ер/, получаем систему алгебраических уравнений
относительно комплексных амплитуд токов:
Z11 Z1+ Z12 • • • + 21п 1п~ Е
. • • 4-?2nZ„ —О
гП1Л + 2л2^24-. . .—0 )
Здесь
z=/?-|-pL-1 — . (1.250)
Р
Величины 2ц, Z22, -Znn называют собственными полными со-
противлениями соответствующих (1, 2, ..., п) контуров, zlf=zsi—
взаимными сопротивлениями или сопротивлениями связи между
контурами1).
Для того чтобы привести ур-ния (1.249) к каноническому виду
уравнений четырехполюсника, требуется предварительно несколь-
ко изменить способ их записи, выделяя напряжение U\ на входе
четырехполюсника и напряжение Un на нагрузке zH. С этой целью
падение напряжения во входном контуре (соответствующее току
Ц) и в выходном контуре (соответствующее току 1п) представим
*) Здесь анализируются только обратимые системы.
56
в
виде
2ц Л= (2ц zr) Л' 2r/i = Zjj /1+ Е иг
%пп At = (2пп ~~~ 2ц) At + 2Н Iп = Znn In + Un
(1.251)
где 2(I = Zii zr; znn = znn—zs.
Подставляя последние выражения в ур-ния (1.249) и вынося
Е—Ui и Un в столбец свободных членов, перепиюы'ваем уравнения
(1.249) в виде
221/1+ 222 А + • • -22л/Я“ О
(1.252)
гп1 А + zn2 h + • • • + гпп At —
Поскольку мы рассматриваем систему как четырехполюсник,
нас будет интересовать только входной ток /1 и выходной /п;
они определяются выражениями
А, А
4-—, /„= —.
1 А А'
Д' — определитель системы (1.252)
то
где
(1.253)
Д' =
2ц 2 ц . . .Zin
Z21 Z22 • • • 22я
(1.254)
2Я1 2я2 • • • 2лл
Д1 и Дя —определители, полученные из Д' заменой соответствую-
щего столбца (1-го и /i-го) на столбец свободных членов:
Д
t
+1212 • • • 21д
О Z22 • • • 22л
—Unzn2...z'nn
• • t/1
Д' = 22 1 222 . . 0
п 2я12я2 . • .-ип
(1.255)
Разлагая Д i и Д я соответственно, по элементам первого и п-го
^толбца имеем:
г Д]' = +1Д \-ип д;,
(1.256)
^(порядок расстановки индексов в последних выражениях опреде-
ляет вычеркнутые при построении алгебраического дополнения
Строки и столбцы. Например, ДЯ1—алгебраическое дополнение,
'полученное из Д' вычеркиванием n-й строки и 1-го столбца).
57
Подставляя значения Aj и Д„ в (1.253), получаем уравнения
четырехполюсника в -одной -из канонических форм (см. 1.3):
А А
А' А”
А А
Таким образом, матрица [у]«четырехполюсника,
через определитель системы и его миноры, имеет вид
(1.257)
выраженная
1у\ =
Аи
А'
Аы
А'
А'
А11
А'
(1.258)
(Отсутствие 2Г и zH в схеме отмечено знаком штрих.
Пользуясь связями между матрицами различных типов [см.
(1.7) — (1.9)], легко найти аналогичные выражения для всех ос-
тальных (классических и волновых) матриц четырехполюсника.
В этом, однако, нет необходимости, поскольку нам достаточно
качественного вывода о том, что элемент всякой матрицы, в том
числе и волновой матрицы, представляет собой дробно-рациональ-
ную функцию от определителя Д' и его алгебраических дополне-
ний. Каждый определитель и его алгебраические дополнения пред-
ставляют собой сумму произведений различных z, определяемых
по ф-ле (1.2'50), т. е. представляющих рациональную функцию р.
Из общего выражения для рациональных функций р
a9-^aiP^ алРп
Ь0 + Ь1Р4- • • .Ьт рт
(1.259)
следует, что любые их арифметические сочетания будут снова ра-
циональными функциями р.
Таким образом, элементы матрицы [у], а следовательно, и мат-
pnixja], [Г], {S] и других являются рациона*льной функцией пере-
менной р= ко. Коэффициенты этих функций всегда вещественны,
поскольку вещественны образующие их величины L, С, М, R.
Итак, для того, чтобы четырехполюсник, состоящий из сосре-
доточенных элементов, мог быть физически реализован, необходи-
‘мо, чтобы элементы любой его матрицы представляли собой ра7
‘цйональную функцию с вещественными коэффициентами перемен-
ной p = ico. Это" требование, полученное из анализа установивше-
гося режима четырехполюсника, будем называть первым условием
физической реализуемости.
58
^.24. Некоторые следствия из первого условия физической
реализуемости
Исходя из первого условия физической реализуемости, най-
мем ограничения, накладываемые на составляющие элементов лю-
|бой матрицы (на их модуль и фазу, либо на вещественную и мин-
утую части). Подставляя в (1.249) p = ico, выделяем действитель-
ную и мнимую части в числителе и знаменателе:
о0 — cz2 со2 4- • • -Н (c?i со — д3 м3 4- • )
— &2 со2 -4 . . . 4 i (&i со — &3 со3 + . . .)
= (L26o)
С (со) 4 i D (Cd)
1де /(со) —любой элемент матрицы,
-4 (со), С(со)—четные полиномы,
В (со), О(®)—нечетные полиномы.
Из (1.260) следует, что квадрат модуля элемента матрицы
||меет вид
I/ ((0)12 = -Д2_И 4- g2 (g) (1.261)
1/v ’ С2 (со) 4- Di (со) ' ’
УИ является, следовательно, рациональной функцией от со2. Дейст-
вительно, квадрат полинома есть сумма квадратов его слагаемых,
^йлюс все возможные удвоенные произведения. Таким образом, для
-Квадрата четного полинома степень любого члена равна сумме
|двух четных чисел, т. е. четному числу. В квадрате нечетного по-
линома степень любого члена равна сумме двух нечетных чисел,
т. е. также четному числу.
• Итак, квадрат модуля любого элемента матрицы четырехпог
люсника представляет сооой рациональную функцию по перемен--
ной со2 с вещественными коэффициентами, т.'е. четную функцию со~
(1.262)
и мни-
(1.263)
и v 71 Q (со3)
где М и Q — полиномы с вещественными коэффициентами.
Далее, разделяя в выражении (1.260) действительную
мую части, находим
? f ((0) = Л (со) С (со) 4 В (со) О (со) . Д (со) С (со) — 4 (со) D (со)
|- V С2 (со) + Я2 (ед) С2 (со) + D2 (со)
ь Откуда, учитывая четность полиномов А(со) и С(со) и нечет-
кость полиномов В (со) и О (со), легко заключить, что действитель-
ная часть /(со)—четная функция со, а мнимая — нечетная. —
У.Ш ‘ ----- ' - t ' I- ЧП- ' -
Составив выражение arctg ——- , можно также найти, что
f Re f (со)
разовая характеристика рациональной функции (1.260) представ-
Ииётсобой нечетную функцию частоты.
59
Относя все изложенные выше заключения к элементу Гц мат-
рицы [Л и, учитывая, что всегда
1 + |Т21|2> 1, (1.264)
перепишем (1.262) в виде, подчеркивающем последнее обстоятель-
ство:
17'“1'=1+^Г- <1-265)
где
P(<o2) = M((o2)-Q(®2)>0.
Выражение (1.265) является канонической формой, в которой
следует задавать функцию рабочего затухания |Тц |2 при синтезе.
Ниже показано, что для некоторых частных случаев каноническая
форма допускает упрощения.
1.25. Каноническая форма функции рабочего затухания
для симметричных и антиметричных*
четырехполюсников
Ранее было показано, что для симметричного четырехпо-
_люсника элемент матрицы [Т] представляет собой чисто мни-
мую величину (1.228), для антиметричного же четырехполюсника
Т21 вещественно [(1.2-29)Г
С другой стороны, в предыдущем разделе показано, что веще-
ственные элементы матрицы являются четной функцией частоты,
а мнимые — нечетной.
Таким образом, можно заключить, что величина Т2\ является
четной функцией частоты для антиметричного четырехполюсника
и нечетной для симметричного. Эти обстоятельства дают возмож-
ность упростить запись (1.265).
Легко видеть, что функции Р и Q, от квадрата частоты могут
быть в случае антиметричного четырехполюсника заменены квад-
ратом некоторых четных (нечетных) полиномов Fi (to) и /^(ю):
[Гп|2 = 1 + . (1.266)
Г2(ш)
Для случая симметричного четырехполюсника, рассуждая ана-
логично, получаем
ф? (щ)
|Л1|2=1 + —' (1.267)
ф2 (а)
где Ф1(<о)—нечетный (четный), а
Ф2(<о)—четный (нечетный) полиномы.
Для систем с полиноминальной частотной характеристикой со-
отношения (1.266) и (1.267) допускают дальнейшие упрощения.
В этом случае /г2(ы) = 1, Ф2(ю) = 1 и для сохранения сформулиро-
60
Канных выше закономерностей необходимо, чтобы Fi(w) было чет-
Е'ным полиномом, а ФДсо) —нечетным.
Г Итак, для того чтобы полиноминалыная функция рабочего за-
?тухания мог.Д быть физически реализована в виде симметричного”
^антиметричного) четырехполюсника, ее следует задавать в виде
единицы, 'плюс квадрат нечетного (четного) полинома.
1.26. Условия физической реализуемости четырехполюсника.
Неустановившийся режим четырехполюсника
Для определения токов неустановившегося режима и свя-
занных с ним условий физической реализуемости возвращаемся к
? системе ур-ний (1.246), полагая, что в цепи отсутствует внешняя
эдс (т. е. что правые части всех уравнений равны нулю). В ре-
зультате решения этой системы однородных уравнений необходи-
i мо получить комплексные частоты свободных колебаний системы;
'амплитуды этих колебаний (определяемые начальными условия-
» ми) не влияют на формулировку условий физической реализуемо-
1 сти и, следовательно, нас интересовать не будут.
Свободные токи в-контурах предполагаются в виде
/ер< (1.268)
где р— искомая комплексная частота собственных колебаний.
После подстановки (1.268) в (1.246) при условии £=0 полу-
чаем систему однородных алгебраических уравнений:
ги А+г12 АД • • • Д zin = О
zni АД zn2 А Д • • • I- А О
где
г R Д pL .
Р
Система ур-ний (1.269) формально сходна с системой (1.249),
"отличаясь от нее лишь столбцом свободных членов. Следует пом-
-Ннть, однако, что смысл величины р в (1.269) иной.
g . Действительно, в установившемся режиме p = ico. Здесь , со —
'Заданная частота колебаний внешней эдс и, следовательно, р яв-
ляется чисто мнимой величиной. В режиме свободных колебаний
р — искомая комплексная величина; ее вещественная часть опре-
деляет скорость затухания свободных колебаний. Несмотря на это
'существенное различие по смыслу, левые части ур-ний (1.269) и
(1.249) одинаковы: это далее будет использовано.
Известно, что система п линейных однородных уравнений с п
61
Относя все изложенные выше заключения к элементу Гц мат-
рицы [7J и, учитывая, что всегда
М=1 + Ы2> 1, (1.264)
перепишем (1.262) в виде, подчеркивающем последнее обстоятель-
ство:
|7'“|,='+^ь (|265>
где
Р(й)2) = М(<о2)—Q((o2)>0.
Выражение (1.265) является канонической формой, в которой
следует задавать функцию рабочего затухания | Тир.при синтезе.
Ниже показано, что для некоторых частных случаев каноническая
форма допускает упрощения.
1.25.
Каноническая форма функции рабочего затухания
для .симметричных и антиметричных
четырехполюсников
Ранее было показано, что для симметричного четырехпо-
люсника элемент T2i матрицы [Г] представляет собой чисто мни-
"мую величину (1.228), для_антиметричного же четырехполюсника
T?i вещественно [(1.229)17’
С другой стороны, в предыдущем разделе показано, что веще-
ственные элементы матрицы являются четной функцией частоты,
а мнимые — нечетной.
Таким образом, можно заключить, что величина Т2\ является
четной функцией частоты для антиметричного четырехполюсника
и нечетной для симметричного. Эти обстоятельства дают возмож-
ность упростить запись (1.265).
Легко видеть, что функции Р и Q.ot квадрата частоты могут
быть в случае антиметричного четырехполюсника заменены квад-
ратом некоторых четных (нечетных) полиномов (со) и /-Дю):
|ТП|2 = 1 -l fl.(co) . . (1.266)
Для случая симметричного четырехполюсника, рассуждая ана-
логично, получаем
Ф? (щ)
|ТЦ|2=1+ .-3 ' (1.267)
Ф£(ю)
где Ф|(ы) —нечетный (четный), а
Ф2(<о)—четный (нечетный) полиномы.
Для систем с полиноминальной частотной характеристикой со-
отношения (1.266) и (1.267) допускают дальнейшие упрощения.
В этом случае f2(c)) = l, Фг(со) = 1 и для сохранения сформулиро-
60
W ванных выше закономерностей необходимо, чтобы АДсо) было чет-
Ж- ным полиномом, а ФДсо) —нечетным.
Ж. Итак, для того чтобы полиноминалыная функция рабочего за-
£ тухания моглаПэьпъ физически реализована в виде симметричного
Ч '(антиметричного) четырехполюсника, ее следует задавать в виде
единицы, плюс квадрат нечетного (четного) полинома.
1.26. Условия физической реализуемости четырехполюсника.
Неустановившийся режим четырехполюсника
Для определения токов неустановившегося режима и свя-
занных с ним условий физической реализуемости возвращаемся к
- системе ур-ний (1.246), полагая, что в цепи отсутствует внешняя
эдс (т. е. что правые части всех уравнений равны нулю). В ре-
зультате решения этой системы однородных уравнений необходи-
мо получить комплексные частоты свободных колебаний системы;
амплитуды этих колебаний (определяемые начальными условия-
ми) не влияют на формулировку условий физической реализуемо-
сти и, следовательно, нас интересовать не будут.
Свободные токи в-контурах предполагаются в виде
/ер' (1.268)
где р — искомая комплексная частота собственных колебаний.
После подстановки (1.268) в (1.246) три условии Д=0 полу-
чаем систему однородных алгебраических уравнений:
г11 А ~Г ?12 А Д • г1я 1п = 0 j
%nl А I ?п2 ^2 • : ?пп I п О
где
7 А> pl. п .
р
Система ур-ний (1.269) формально сходна с системой (1.249),
отличаясь от нее лишь столбцом свободных членов. Следует пом-
нить, однако, что смысл величины р в (1.269) иной.
Действительно, в установившемся режиме р = 'цо. Здесь со —
заданная частота колебаний внешней эдс и, следовательно, р яв-
ляется чисто мнимой величиной. В режиме свободных колебаний
р—искомая комплексная величина; ее вещественная часть опре-
деляет скорость затухания свободных колебаний. Несмотря на это
существенное различие по смыслу, левые части ур-ний (1.269) и
(1.249) одинаковы: это далее будет использовано.
Известно, что система п линейных однородных уравнений с п
61
неизвестными обладает решениями, отличными от нулевого, если
определитель этой системы равен нулю.
Таким образом, частоты собственных колебаний определяются
из условия
zll z12 . . . Zin
Z2l Z22 • • Z2n
(1.270)
z«2 • • • %пп
раскрывая которое получаем так называемое характеристическое
уравнение для собственных частот:
ао г ai P L ^2 р2 4* • 4* ~ б. (1.271)
Отсюда следует, что свободные 'колебания могут существовать
лишь на определенных связанных со структурой цени частотах:
Pi, Рг, рк. (1.272)
Пассивная система будет 'физически реализуемой только в том
случае, если все свободные колебания затухающие, т. е.
Repz< 0. (1.273)
Полиномы, обладающие такими корнями, называются устой-
чивыми, или полиномами Гурвица.
1.27. Второе условие физической реализуемости
Выше было показано, что определитель системы уравнений,
описывающих сложно разветвленную цепь, должен иметь корни с
отрицательной вещественной частью1), при этом обеспечивается
устойчивость системы в переходном режиме. Для удобства исполь-
зования этого условия необходимо определить связь между А и
элементами матрицы четырехполюсника. Установим связь меж-
ду А и элементом 7И матрицы [Г].
Ранее было показано [см. (1.99) и (1.101)], что коэффициент
передачи Гц связан с сопротивлением передачи zn= — соотно-
'2
шением:
/JP _ 1
1г 2 ко; ’
где Е — эдс на входе четырехполюсника,
/2— ток в его нагрузке,
/?н и R,— сопротивления нагрузки и генератора соответственно.
*) Целесообразно напомнить, что речь идет об определителе системы, вклю-
чающей в себя нагрузочные сопротивления /?я и Rr на ее входе и выходе.
62
Из системы ур-ний (1.249) находим ток на выходе сложно раз-
ветвленной цепи
(1.274)
|Ьде Д — определитель системы (1.249),
Ди— определитель, полученный из Д заменой м-го столбца на
столбец свободных членов
д = 2ц 212 . г21 222 . -г1л . 22л 2ц212 . z21 Z22 . ,Е . .0 , (1.275)
• -znn znlzn2 . .0
Раскрывая Ап по элементам последнего столбца, получаем
Д„=ЕД1Л, (1.276)
3₽де Дщ — алгебраическое дополнение, полученное из Д вычерки-
ванием первой строки и п столбца.
Тогда из (1.274) следует, что
= и-27?)
гжли, заменяя индекс п на индекс 2, получаем окончательно
гп=-^ = -^- (1.278)
*2 ^12
и, следовательно,
Таким образом, коэффициент передачи Тц прямо пропорцио-
нален определителю системы А. В отношении же последнего уже
^Выло выяснено, что все его корни pi должны иметь отрицательную
вещественную часть.
Итак, элемент Тц матрицы [Г] физически реализуемого четы-
рехполюсника должен иметь корни р^ у которых вещественные
'Т>5сти отрицательны. Указанное свойство и является вторым
же л о в и е м ~ф и'з й ч е с к о й реализуемости пассивного че-
тырехполюсника. Ниже оно формулируется несколько иначе, с
привлечением понятий плоскости комплексной частоты.
’ 'Понятие комплексной частоты призвано в одном термине объе-
динить как частоту, так и затухание свободных токов. Корни коэф-
фициента передачи являются комплексными частотами свободных
токов системы.
63
Комплексные величины, как известно, удобно изображать на
плоскости в декартовой или полярной системе координат.
Существуют два варианта введения («плоскости комплексной
частоты». В первом из них (рассматривается величина р = 1ю, во
втором со. В соответствии с этим мы будем говорить о «плоскости
р» и «плоскости ю». На плоскости р по вещественной осн откла-
дывается Rep, на мнимой оси Imp (рис. 1.38). На плоскости <о по
вещественной и мнимой осям откладывается соответственно Reto
и Im со (рис. 1.39).
Легко найти связь между обеими плоскостями, поскольку ум-
1 "Т
ножение <о на i = e означает поворот вектора против часовой
л
стрелки на,—
Таким образом плоскость р представляет собой
повернутую на 90° плоскость и. При этом Reto превращается в
Imp, a Im со — в —Reр; левая полуплоскость р соответствует верх-
ней полуплоскости ы. Мы будем пользоваться обеими плоскостя-
ми в зависимости от удобства.
С помощью указанных выше понятий второе условие физиче-
ской реализуемости можно сформулировать следующим образом:
корни коэффи циента пер едачи Гц физически реализуемого четы -
рехполюсника лежат в левой полуплоскости р или соответственно
в верхней полуплоскости ю.
Первое 1г второе~условие физической реализуемости необходи-
мы для выбора правильного вида частотной зависимости коэффи-
циента передачи Гц при синтезе.
1.28. Расположение нулей и полюсов передаточных
функций на плоскости комплексной частоты
Выше было показано (см. 1.259), что коэффициент пере-
дачи является рациональной функцией переменной р:
т = а0 4- Qi Р 4- аг Р2 + i ап р"
b0 4s- 61 Р + Ьг р2 + . . . 4- Ьт рт
64
Б параметры а0, а^,...,ап и bo, bi,...,bm вещественны.. Известно
, что если коэффициенты полинома вещественны, то его корни
ийлёксно сопряжены, либо вещественны'. Таким образом, нули
и полюсы коэффициента передачи комплексно сопряжены либо
^вещественны в пл ос кости р.
Согласно второму условию физической реализуемости необхо-
димо, чтобы нули коэффициента передачи располагались в левой
полуплоскости р. Итак, нули физически реализуемого коэффициен-
та передачи составляют комплексно сопряженные пары или ве-
щественны в левой полуплоскости. Примерное расположение ну-
лей показано на рис. 1.38. Здесь pi и pi, а также р2 и рг—ком-
плексно сопряженные корни, а рз—вещественный1 корень.
Повернув плоскость р на 90° по часовой стрелке, получаем то-
же в плоскости и. Расположение корней показано на рис. 1.39.
Пары^ корней, симметричные в плоскости р относительно осн ве-
щественных величин, становятся в плоскости со сопряженными
относительно оси мнимых величин («ц и он <о2 и иг). Полюса
функции Тц могут, вообще говоря, располагаться на всей плоско-
сти р либо <о; далее будет показано, однако, что для весьма рас-
пространенной группы цепей минимально фазового типа располо-
жение полюсов также ограничено левой полуплоскостью р.
Переходим к определению расположения нулей и полюсов
функции рабочего затухания |7'п|2. Эту величину можно запи-
сать в виде
' Гн (Ю) ?;,((»),
после чего сразу же можно использовать предыдущие рассужде-
ния. Действительно, если имеются
два комплексно сопряженных поли-
нома с вещественными коэффициен-
тами, то их корни также комплекс-
йо сопряжены. Таким образом, для
того, чтобы получить картину рас-
положения нулей и полюсов функ-
ции рабочего затухания [ЛДи) |2,
достаточно дополнить корни функ-
ции Тц группой комплексно сопря-
'Женных корней (рис. 1.40). Из пос-
леднего рисунка 'видно, что нули
(полюса) функции рабочего затуха-
ния расположены симметрично как
относительно действительной, так и
мнимой осн <о. Это относится и к плоскости р. Таким образом, до-
статочно вычислить нули и полюса для одного квадранта, чтобы
Иметь далее полную картину.
3^488 - 65
о D, о (О,*
Ыз
Рис. 1.40
где
а в
1.29. Сводка, условии физической' реализуемости
коэффициента передачи
^Коэффициент передачи Тц должен представлять собой ра-
циональную функцию переменной p = i<a с вещественными коэф-
фициентами.
Отсюда следует:
%) вещественная часть и модуль функции Тц являются четной
функцией <в, а мнимая часть и фаза — нечетной;
функция рабочего затухания |Тн(<в)|2 может быть пред-
ставлена как рациональная функция переменной <о2:
где Р и Q — полиномы с вещественными коэффициентами:
в) функция |Тц((о) |2 для симметричного четырехполюсника
может быть представлена в виде
14 - 1+Км)
Ф(<о) —нечетный (четный) полином.,
Фг(й)) —четный (нечетный) полином,
случае антиметрии
где
Л(щ) I , X
} — нечетные (четные) полиномы;
Л(®) I
г) функция |7’11(<о)|2 полиномиального типа может быть пред-
ставлена в виде:
|Гн|2= Н{/»}2
где Р(<л)—нечетный полином для симметричного четырехполюс-
ника и четный — для антиметричного.
2. Коэффициент передачи Тц должен иметь корни, лежащие
только в левой полуплоскости р или соответственно в верхней по-
луплоскости о. .Нули и полюсы |Т\\|2 должны составлять двойные
Лары, сопряженные относительно обеих координатных осей.
1.30. Некоторые сведения о цепях минимально фазового типа
Четырехполюсник относится к типу минимально фазовых,
если полюса его коэффициента передачи расположены в левой псь
луплоскости (включая ось вещественных частот) переменной р.
.Если это условие выполняется, то" четырехполюсник обладает
следующими свойствами: модуль и фаза (либо действительная и
мнимая части) коэффициента передачи Гц между собой связаны;
достаточно задать одну из компонент, чтобы определить другую.
66
Переходя к • доказательству этого свойства, предположим сна-
чала, что задан квадрат модуля коэффициента передачи и тре-
буется определить его фазу. Записываем |Тц («>) |2 в виде произ-
ведения двух комплексно сопряженных множителей
|ГЦ|2=ГЦГ^
[(“-“/ ) (и-а7/)...(а>—<j>m)j [(о>—6J*) (ш-а^)...(®-
где «и, юг, ..., (On —нули функции Г1Ь расположенные в верхней
полуплоскости (О,
аил, ..., (От — полюсы функции Гц, расположенные в верх-
ней ПОЛУПЛОСКОСТИ (О.
Для того чтобы найти Тц необходимо в выражении (1.280)
отобрать соответствующие сомножители. Второе условие физиче-
ской реализуемости и условие минимальной фазы дают возмож-
' ность произвести этот выбор однозначно. Действительно, согласно
.указанным условиям мы должны отобрать нули и полюса, распо-
ложенные только в левой полуплоскости р и, следоватедьно, сво-
боды в формировании Гц не остается:
Гп = к Г( 1.281)
(a —az)(a —Щ/Д (<а —<ат) л '
Таким образом, по заданному квадрату модуля найдена вся
комплексная функция Гц, после чего не составляет труда опреде-
лить ее фазу.
Предположим теперь, что задана фазовая характеристика ко-
эффициента передачи arg Гц и требуется определить его модуль.
Рассматривая частное
Тп Ме1ф ei 2 <р __ 1 Ч* i tg ф
Л1е~i<p 1—Ибф
•Д1-282)
приходим к заключению, что если задана фазовая характеристика
ф((о), то, составив функцию —’*g<p , мы должны отобрать в ее
1 — i tg д>
числителе и знаменателе сомножители, соответствующие Гц, от-
бросив комплексно сопряженные сомножители, образующие Гц.
Как и в предыдущем случае, этот отбор производится однозначно
«а основании второго условия физической реализуемости и усло-
вия минимальной фазы.
Определив корни уравнений:
14-itg<p = 01
1 — i tg <р = 0J ’
запишем (1.282) в виде
Гц _ 1(й>—М!)((о——(Вд)][(ю—<и1)((о—<и17)...(<и—<и^)]
Гц [(а-<о/ )(«o-Wn)...(w-<om)][(to-<oD(“-“D - (®-“!)]
(1.283)
(1.284)
3*
67
(1.285)
и отождествим первый сомножитель числителя и знаменателя с
Гц, а второй — с —. Таким образом, имеем
Гц
т = (to —<а1)(<а-~<аг)..(<а —ад)
11 (а— а, )(щ_(й//)...(<а — шт)
с точностью до постоянного множителя.
Таким образом, если задана фазовая характеристика реактив-
ного четырехполюсника, то можно определить всю комплексную
функцию Тц и, следовательно, ее модуль.
Итак, доказано, что модуль и фаза реактивного четырехполюс-
ника минимально фазового типа жестко связаны между собой.
Следует отметить, что существуют н иные методы определения
связи между компонентами коэффициента передачи в цепях ми-
нимально фазового типа, например, метод Боде [14], основанный
на применении к Ти интеграла Коши. Вычисляя последний по кон-
туру, включающему дугу в правой полуплоскости р и часть осн
вещественных частот, удается получить (в пределе) связь между
составляющими функции передачи на всей оси вещественных ча-
стот. Полученные таким способом связи не являются алгебраиче-
ской зависимостью. В большинстве случаев — это интегральные
соотношения.
Часто бывает желательным определить по внешнему виду за-
данной функции Гц, является ли соответствующий четырехполюс-
ник минимально фазовым. Простых общих критериев для этой це-
ли не существует. Наиболее надежным, но и наиболее трудоемким
способом является, естественно, проверка определения, т. е. вы-
числение полюсов функции; если в результате такого вычисления
оказывается, что в правой полуплоскости р полюса отсутствуют,
то цепь — минимально фазовая.
Следует отметить важный для практики случай, при котором
можно сразу же утверждать, что цепь минимально фазовая — это
случай цепей, описываемых полиномиальной зависимостью Ги от
частоты:
Ти — До Ч di Р Ч- • • •+- ап Рп- (1 • 286)
Поскольку эта функция не имеет знаменателя, то она не имеет
и полюсов при конечных частотах, следовательно, не имеет их в
правой полуплоскости, что соответствует определению цепи мини-
мально фазового типа. Коэффициент передачи вида (1.286) может
быть реализован, например, в виде лестничной схемы (рис. 1.41).
Рис. 1.41
Рис. 11.42
68
Также отметим простой физический критерий для цепей мини-
мально фазового типа [3]: если ток в нагрузку поступает только по
одному пути, то цепь минимально "фазовая, если же одновременно
несколькими путями, то цепь не минимально фазовая.
Исходя из этого критерия, легко, например, убедиться в лом,
что четырехполюсник с лестничной структурой принадлежит к ми-
нимально фазовым. Действительно, ток в нагрузке такой схемы
обращается в нуль при разрыве последовательного сопротивле-
ния, либо замыкании параллельного. Иначе говоря, канал может
быть полностью перекрыт деформацией одного его элемента; об-
ходного пути для тока не существует. Иначе обстоит дело в схе-
мах рис. 1.42, где при перекрытии одного канала тока в нагрузку
продолжает поступать по другим каналам.
. Название «минимально фазовая» цепь связано со следующими
представлениями. Можно показать (см., например (3]), что произ-
вольный четырехполюсник, включенный между активными сопро-
тивлениями, можно представить в виде каскадного включения
трех более простых четырехполюсников (рис. 1.43). Первый из
них является так называемым фазовым контуром; его амплитудная
характеристика на всех частотах равна единице, а фазоно-частот-
ная характеристика в общем случае нелинейна. Полюса коэффи-
циента передачи такого контура расположены в правой полуплос-
кости.
Второй четырехполюсник вносит только постоянное затухание
на всех частотах.
Третий «остаточный» четырехполюсник называется четырехпо-
люсником типа минимальной фазы и минимального затухания. Эти
названия указывают на то обстоятельство, что из одного четырех-
полюсника уже нельзя выделить ни фазового контура, ни контура,
вносящего постоянное, затухание.
1.31. Условия физической реализуемости ступенчатых линий
Выше были изложены условия физической реализуемости
систем, состоящих из сосредоточенных индуктивностей, емкостей н
сопротивлений. Эти условия дают возможность проводить точный
синтез устройств по их заданной частотной характеристике. Дол-
69
гое время эти схемы являлись единственными устройствами, до-
пускающими точный синтез.
Недавно предложены методы
[16, 19, 20], позволяющие расши-
рить область применения син-
теза на новый класс систем —
— так называемые ступенчатые
________________________________ линии.
Ступенчатой линией назы-
Рис j 44 вается цепочка ' однородных
линий одинаковой "электриче-
ской длины и различного вол-
нового 'сопротивления (рис. 1.44);, эти системы применяются в свч
фильтрах, согласующих устройствах и др.
Матрица [а] m-го звена ступенчатой линии при отсутствии по-
терь в соответствии с (1.57) имеет вид
cos©
i Pm sin©
COS©
1а1т — i sin 0
(1.287)
_ Pm
где
0=
pm — волновое сопротивление т-й ступени,
2л/
-----электрическая длина ступени.
Матрица [а] всей линии (рис. 1.44) представляет собой произве-
дение п матриц вида (1.287), отличающихся только величиной
волнового сопротивления рт. Легко видеть, что элементы резуль-
тирующей матрицы есть полиномы по cos 0 и i sin 0. Отсюда сле-
дует, что коэффициент передачи Тц является полиномом того же
типа, а функция рабочего затухания | Тц |2 представляет собой по-
лином по cos20 либо по sin20 [15]. Таким образом, первое условие
физической реализуемости ступенчатой линии состоит в том, что
ее функция рабочего затухания | Т, 112 должна* представлять собой
полином по cos2© либо по sin2©:
|ТИ|2 = а0+«2 cos2 0 + а4 cos4 0 + . • . + а-гп © =
= 5o+52sin20 + 54sin4©+ ... + 62п sin2" 0. (1.288)
Для обратимого, реактивного и симметричного четырехполюсни-
ка последнее соотношение следует конкретизировать в виде
|ru|2=I + {Fi(sin©)}2, (1.289)
где Fi(sin0) — нечетный полином по sin©, т. е. нечетная функ-
ция «частоты» 0.
В случае антиметричного, обратимого и реактивного четырех-
полюсника функцию рабочего затухания следует задавать в виде
\Т |2=/ 1 + {^2 (cos ©)}2,
111 ] 14-{Л(sin©)}2,
где /-Дсоэ©)—четный либо нечетный, a TMsin©)—четный по-
лином, т. е. F2 и F\ — четные функции «частоты» 0.
(1.290)
70
Второе условие физической .реализуемости является обобще-
нием соответствующих результатов, полученных ранее для LC-це-
пей. Отрезок длинной линии является предельным случаем LC-це-
почки и отличается от последней лишь периодичностью своих ча-
стотных характеристик. Переменная Q в выражении (1.288) экви-
валентна частоте <о; таким образом, для устойчивости полинома
Гц достаточно, чтобы корни 0К уравнения |Тц|2=О располага-
лись в верхней полуплоскости 0 (т. е. Im0K>O). Поскольку таких
корней бесконечное количество, то операции с ними неудобны.
' Это затруднение можно было бы обойти введением частотной
переменной cos 0 либо sin 0, однако оказывается, что такие пере-
менные непригодны для отбора устойчивых корней. Действительно,
пусть корень равен
и, следовательно,
хк = sin 0К = sin 01 ch 02 + i cos 01 sh 02.
Если в последнем выражении положить 02>О, то ни RexK ни
Imx к не приобретают определенного знака; последний зависит от
знаков sin 0J и cos0i, а они произвольны. Таким образом, условие
устойчивости корней 0 к (Im 0 к >0) не связано определенным об-
разом со свойствами корней переменной sin 0К . Аналогичные вы-
воды получаются для переменной cos 0К.
Иначе обстоит дело, если ввести переменную [16]
Полагая 0K=0i + i02, имеем
— sh 02 ch 02 — i sin 0г cos 0г
sin2 0! ch2 02cos2 0j sh2 02
и при 02>O всегда Rep<0.
Таким образом, устойчивым корням 0 к соответствуют корни рю
расположенные в левой полуплоскости р; в этом отношении пере-
менная сходна с переменной по, применяемой в ТС-цепях.
После отбора устойчивого полинома Тц следует снова возвра-
титься к прежним переменным cos 0 и i sin 0.
1.32. Методы задания частотных характеристик при синтезе
Подытоживая изложенные ранее сведения, условимся за-
давать функцию рабочего затухания в виде
|Гц|2= , (1.292)
где F I — | — четный либо нечетный полином,
I С ( 1
71
h и 5 — амплитудный и масштабный коэффициенты,
т] — частотная переменная.
При синтезе стремятся выбрать оптимальный вид функции F.
Понятие оптимальности функции F в значительной мере условно,
поскольку всевозможные полезные свойства системы не могут быть
воспроизведены одновременно.
Обязательным во всех случаях является реализация заданных
электрических параметров системы. Кроме того, желательно удов-
летворить дополнительным требованиям: а) малые габариты си-
стемы1 (минимальное число ее элементов); б) определенная форма
амплитудно-частотных характеристик (монотонные, осциллирую-
щие и др.); в) линейность фазо-частотных характеристик; г) про-
стота конструкции; д) величина активных потерь; е) критичность
изготовления и настройки и др. Указанные требования часто бы-
вают противоречивыми. Существует ряд компромиссных методов,
позволяющих выполнить одновременно некоторые поставленные
требования. Соответствующие частотные характеристики называют
оптимальными.
Наибольшее распространение на свч получили два типа таких
' характеристик: чебышевская и максимально плоская (Баттервор-
са). Первая из них, связанная с именем выдающегося русского
математика П. Л. Чебышева, является так называемой изоэкстре-
мальной кривой; применение ее при синтезе обусловливает малые
габариты системы. Максимально плоская характеристика рабочего
затухания (а также ее предельный случай —• вероятностная или
гауссова) обеспечивает монотонность изменения рабочего зату-
хания и приемлемую, во многих случаях, линейность фазовых ха-
рактеристик.
Функция рабочего затухания системы с чебышевской характе-
ристикой имеет вид
1л,;2= 1 + h2Ti(^j , (1.293)
где Тп — полином Чебышева 1-го рода, ц-го порядка1),
п — число звеньев в цепочке.
Среди всех полиномов степени п, имеющих одинаковые коэф-
фициенты при хп, полином Тп(х) наименее уклоняется от нуля в
интервале (—1,1). Это свойство окажется полезным при решении
задач согласования.
Среди всех полиномов, абсолютные значения которых в интер-
вале (—1,1) не превышают некоторой заданной величины, полином
Тп(х) вне этого интервала принимает наибольшее по абсолютной
величине значение. На границе основного интервала (—1 х1)
полином Т„(х) имеет крутизну ската:
Г;(1)=ц\ (1.294)
*) Основные сведения по полиномам Чебышева, см. [17].
72
которая, по-видимому, является предельной для полиномов задан-
ного порядка, если они уклоняются от нуля в основном интервале
не более чем на заданную величину. Последние два свойства пред-
определяют широкое применение полиномов Чебышева при синте-
зе фильтров.
Функция рабочего затухания, известная под названием макси-
мально плоской (максимально гладкой), либо функция Баттер-
ворса, имеет вид
|Л1|2 = 1+/г2 l+Q2Vn. (1-295)
где Q =— .
О
Среди всех полиномов степени п только полином hxn при
х = 0 обращается в нуль со всеми своими производными (за исклю-
чением, разумеется, последней). Этим и объясняется название
функции (1.295). Фазо-частотная характеристика систем, описы-
ваемых выражением (1.295), более линейна, чем у чебышевских
систем.
1.33. Выделение устойчивого полинома Тц из заданной
функции |7'ц|2
Выделение устойчивого полинома Тц из заданной функции
] Тj, |2 является одним из основных этапов синтеза полиномиаль-
ных четырехполюсников.
Пусть функция рабочего затухания |Тц|2 четырехполюсника
задана в форме
|Ти|2= 1 + h2F2 [iV ' (1.296)
где т] — частотная переменная.
Требуется восстановить комплексную функцию Тц.
Поскольку она должна быть устойчивым полиномом, то необ-
ходимо найти корни уравнения
1+№ (у) = °
и отобрать из них те, которые находятся в верхней полуплоско-
сти т|. После этого функцию |Тц|2 можно представить в виде
1Л1|2 = Л1Тн=а2„{(п—Т|1)(т1—Пг) • • (Л—Пл)} X
Х{(п — Т]*) (п—Пр • • (9—п„)}- (1.297)
где т|1, т]2, , т|2?г —корни | Г] 112, расположенные в верхней полу-
плоскости т];
Ль Л2--..> Л2"—сопряженные, т. е. расположенные в нижней
полуплоскости ц корни.
73
Разложение (1.297), вообще говоря, неоднозначно, так как мо-
жет быть записано в четырех видах:
W=(Tu) (Гп)=(-Тц) (-г;,)=(i Tu) (- i т;,)=(- i тц) а т;2)
(1.298)
Неоднозначность эта, однако, несущественна. Действительно,
из указанных четырех вариантов следует выбрать такой, в кото-
ром функция Тц имела бы вещественными все члены с четными
степенями ц и мнимыми — с нечетными (согласно условиям фи-
зической реализуемости). После такого выбора остается лишь
произвол в знаке «плюс» либо «минус», который можно рассмат-
ривать как «переполюсовку» клемм четырехполюсника.
Несколько сложнее восстанавливается Тц в случае ступенча-
той системы. Пусть функции рабочего затухания ступенчатого че-
тырехполюсника задана в форме (1.296) и
T] = sin0. (1.299)
В первую очередь необходимо найти корни уравнения
l + = Со + с^+ +с2пХ2п = 0> (1.300)
после чего для отбора устойчивого полинома вводится перемен-
cos 0
ная р= ------; последняя связана соотношениями:
i sin 0
sin2 6=-=—— ; cos2 6=-'^— . (1.301)
1 - p2 p2 -1 ’
Используя их, находим:
& _ sin2 0 = 1/S2
S2 1 — р2 ’
. sin40_ 1/S4
S‘ ~ (1-р2)2 (1.302)
2n_sin2”0_ 1/52л
S2" (1— р2)л ’
откуда
IT |2 = г л с | с. l'S* I , _1/^л _
' U| 2 1 —р2 (1—Р2)2 + • • (1 _ р2)«
= /I 1 {ао + а2р2 + а4Р4+ • • . + а2пр*п}. (1.303)
(1 — р2)”
Выражение в скобках разлагаем на сомножители:
। ’’“Г—Ф
74
и отделяем те из них, которые расположены в левой полуплос-
кости комплексной переменной р. Одновременно разделяем на два
одинаковых и вещественных сомножителя выражение, стоящее пе-
ред скобками:
_ Уа^_________
(1-р2)" к(1-р2)л /(1-р2)" '
В итоге имеем следующее выражение для устойчивого коэф-
фициента передачи ступенчатой линии:
Ац=—===д(р—Р/)(р—p//j • • .(Р—Рп).
/(1-р2)"
(1.304)
где pi, pa, рп — корни ур-ния (1.300), расположенные в левой
полуплоскости. Теперь можно вернуться к прежним переменным
cos© и i sin 0; при этом убеждаемся, что знаменатель в (1.304)
устраняется. Приведенные рассуждения относились к случаю, ког-
да T] = sin0. К тому же Тц (1.304) приходим, если r]=cos0.
1.34. Замечания о синтезе, цепей с распределенными
постоянными
Многие системы с распределенными постоянными можно
рассматривать как предельный случай каскадного соединения
АС-четырехполюсников, а матрицы систем с распределенными пос-
тоянными являются предельным случаем соответствующих матриц
АС-цепей. Это обстоятельство является основой общности главных
свойств цепей с сосредоточенными и распределенными постоянны-
ми, а также соответствующих им матриц. Проследим эту общность
на следующих примерах (табл. 1.1):
1) ступенька в однородной линии передачи (элемент ступен-
чатого перехода либо ступенчатого фильтра);
2) отрезок однородной линии передачи, ограниченный одинако-
выми реактивными сопротивлениями (резонатор свч фильтра);
3) экспоненциальный плавный переход.
-Анализируя структуру матриц в табл. 1.1, замечаем, что отсут-
ствие потерь в четырехполюснике с распределенными постоянными
проявляется (как и в АС-цепях), в комплексной сопряженности
диагональных элементов матрицы (см., например, матрицу сту-
пеньки). Симметрия четырехполюсника (см., например, контур
фильтра) вызывает, как и обычно, Ti2 =—T2i.
Антиметричный четырехполюсник (экспоненциальный переход
<в табл. 1.4) имеет Ti2=T2i. На примерах четырехполюсников
табл. 1.1 легко убедиться также, что соотношение взаимности
Т\\Т22—Т12Т21 = 1 всюду выполняется.
Таким образом, имеем полное совпадение со свойствами АС-че-
тырехполюсников. Остановимся теперь на минимально фазовых
75
НЕКОТОРЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
I ' четырехполюсниках с распределенными постоянными. Минимально
фазовые свойства системы определяются видом функций, описы-
вающих частотную зависимость элемента матрицы Тц. В АСчце-
пях — это рациональные функции, в цепях с распределенными
1 постоянными — мероморфные трансцендентные функции1)- Сох-
раняем данное ранее определение (см. разд. 1.31): четырехполюс-
ник относится к типу минимально фазового, если его коэффициент
передачи не имеет полюсов в правой полуплоскости переменной р.
Ввиду трансцендентности функций, описывающих частотную за-
висимость систем с распределенными постоянными, число нулей и
полюсов здесь бесконечно. Это обстоятельство не препятствует
сохранению определения тем более, что специальным - выбором
частотной переменной можно, как выше показано (см. разд. 1.32),
ограничить число нулей и полюсов.
Таким образом, обратимые, реактивные, симметричные (анти-
метричные) минимально фазового типа четырехполюсники с рас-
пределенными постоянными будут синтезироваться по одному ве-
щественному параметру, подобно тому, как это делается в АС-
цепях.
Отметим также отличия между обоими рассматриваемыми ти-
пами четырехполюсников:
— во-первых, частотные характеристики систем с распределен-
ными постоянными, как уже указывалось, большей частью перио-
дичны. Периодичность характеристики обычно не препятствует
синтезу, поскольку последний проводится в пределах одного перио-
да изменения частотной характеристики;
— во-вторых, фазовый контур (или как его иначе называют,
«контур, пропускающий все частоты») в АС-цепях, как известно
[3], реализуется в виде скрещенной схемы со взаимно обратными
импедансами в плечах. Полюса коэффициента передачи такой
схемы расположены как в правой, так и в левой полуплоскости
p = i(o. Скрещенная схема имеет амплитудную характеристику,
равную единице на всех частотах, и фазовую характеристику в
виде некоторой рациональной функции частоты; последнее обстоя-
тельство позволяет синтезировать фазовую характеристику скре-
щенной схемы в соответствии с заданными требованиями. Точный
аналог фазового контура на свч неизвестен. Приближенное воспро-
‘ изведение его свойств возможно в ограниченном диапазоне частот
j . мостовой или кольцевой схемой с объемными резонаторами в
плечах.
1 Широко известен на свч фазовый контур другого типа (отсут-
; ствующий в АС-цепях) — согласованный отрезок однородной
, длинной линии без потерь. Коэффициент передачи такого отрезка
однородной длинной линии Ти = е iml, очевидно, не имеет полюсов
76
*) Последнее обстоятельство определяет также свойство периодичности мно-
гих частотных характеристик систем с распределенными постоянными (.в преде-
лах применимости «одноволновой-» теории).
77
и, следовательно, с точки зрения данного выше формального опре-
деления, отрезок линии должен быть отнесен к цепям минимально
фазового типа. С другой стороны, известно, что отрезок длинной
линии пропускает все частоты и имеет независимую линейную фа-
зовую характеристику, т. е. он ближе к фазовым контурам, хотя и
ие тождествен им ((поскольку линейная фазовая характеристика
исключает синтез фазо-частотной характеристики). Причина про-
тиворечия заключается, по-видимому, в том, что отрезок однородной
длинной линии является предельным случаем лестничного фильт-
ра нижних частот; область заграждения этого фильтра вследствие
специфики предельного перехода сдвинулась в область бесконеч-
ных частот, однако свойства исходной лестничной схемы (отсут-
ствие полюсов Тц) сохранились.
В практике синтеза фидерных устройств применяются фазовые
контуры обоих типов, — как с нелинейной, так и линейной фазо-
частотной характеристикой. Контуры с линейной фазовой харак-
теристикой следует, в частности, учитывать при выборе сечений
отсчета в передающих линиях на входе и выходе свч многополюс-
ника. При изменении положения плоскостей, ограничивающих пле-
чи системы, меняется ее матрица, могут также измениться свой-
ства симметрии системы и даже порядок матрицы (если сдвигать
плоскость отсчета в «золу возмущения» неоднородностей). Поэто-
му, после того как плоскости отсчета выбраны и записаны соот-
ветствующие им матрицы, никакие изменения положения указан-
ных сечений недопустимы.
- Литература
I. Мальцев А. И. Ооновы линейной алгебры. Гостехиздат, 1956.
2. Зел я к Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем. Изд. АН
СССР, 1951.
3. Гарновский Н. Н. Теоретические основы электропроводной связи, ч. I.
Связьиздат, 1956.
4. Акул ьш ин П. К. и др. Теория связи по проводам. Связьиздат, 1940.
5. 3 е л я х Э. В. Идеальный преобразователь мощности — новый элемент
электрической цени. Электросвязь, 1957, № 1.
6. Фельдштейи А. Л. Согласование передающих линий. Радиотехника, '
1950, т. 5, № 3.
7. Фельдштейи А. Л. Неоднородные линии. Радиотехника, 1951, т. 6, № 5.
8. Я'вич Л. Р. Волновые матрицы четырехполюсника. Радиотехника и элек-
троника, 1957, № 7.
9. Carlin Н. The Scattering Matrix in Network Theory, IRE Trans., 1956,
CT—3, № 2.
10. Справочник по волноводам. Перевод с англ. Изд-во «Советское радио», 1952.
11. Теория линий передачи сверхвысоких частот, ч. I, II. Изд-ibo «Советское
радио», 1951.
12. Ф е л ь д ш т е й н А. Л. О минимальном числе параметров, определяющем
пассивный четырехполюсник. «Радиотехника и электроника», 1959, № 5.
13. Кур ош А. Г. Курс высшей алгебры. Гостехиздат, 1946.
14. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью.
Изд-во иностранной литературы, 1948.
78
15. Ко л лен Р. Теория и расчет широкополосных многосекционных четверть-
волновых трансформаторов. «Вопросы радиолокационной техники», 1955,
№ 5 (29).
16. Richards Р. Resistor—transmission line circuits. Proc. IRE, 1948, t. 36,
№ 2.
17. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. Гос-
текиздат, 1954.
18 Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. Изд-во «Советское радио»,
1957.
19. Фел ьд штейн А. Л. Синтез систем с распределенными постоянными ме-
тодами теории цепей. «Радиотехника», 1960, т. 15, № 1.
20. Рибле Р. Н. Общий синтез четвертьволновых трансформаторов полного
сопротивления. Вопросы радиолокационной техники, 1957, 4 (40).
2. Цепочки четырехполюсников.
Неоднородные линии
2.1. Общие сведения. Разностные уравнения
Цепочкой (каскадным соединением) четырехполюсников
называется способ их соединения, при котором выходные зажимы
предыдущего звена соединены со входными зажимами последую-
щего1) (рис. 1.3). Указанный способ соединения занимает особое
место в теории четырехполюсников, благодаря своему практическо-
му распространению и теоретическому значению. Цепочка четы-
рехполюсников является исходной схемой при предельном перехо-
де к другому, также весьма широкому, классу свч устройств, —
к так называемым неоднородным линиям (линиям с непрерывно
изменяющимися погонными параметрами).
Исследование цепочек можно производить двумя способами:
при помощи уравнений в конечных разностях — они дают точное
решение для некоторых частных случаев и, с помощью сумматор-
ных уравнений, — они удобны для приближенного, итерационного
I-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------!
Рис. 2.1
решения. Неоднородные линии, как предельный случай цепочки,
описывается соответственно дифференциальными и интегральными
уравнениями.
Переходя к исследованию разностных уравнений, рассмотрим
цепочку четырехполюсников (рис. 2.1). Ее можно трактовать как
*) См, также главу 1.
80
‘fSW-
каскадное соединение двух четырехполюсников — последнего2)
(к-го) и системы из всех предыдущих (к—1). Таким образом, мат-
рицу цепочки
ГЛ
можно записать в виде
Л]
D,
Ак_ 1
К.
__ й-кАк— 1 + ЬКС,
с кА к—1 d/fix—i
произведения:
А-1 _
DK_ 1
aA-i + bA-i
^кВк—\ dKDK~i
(2.1)
к
ак bK
Тк dK
где строчными буквами (а, b, с, d) обозначены элементы матрицы
передачи одиночного четырехполюсника, а прописными (А, В, С,
D) — элементы матрицы передачи каскадного соединения (цепоч-
ки) четырехполюсников. Напомним, что под матрицей передачи
понимается любая из четырех матриц — [а], [/], [Л], [Т].
Рекуррентные ф-лы (2.1) связаны между собой попарно:
Ак = ЯкЛ—1 + ЬкСК—\
Ск = ckAk—i dKCK~i
В к — акВк— 1 + bKDK^
DK = скВк—1 dfj^ ч—1
Разделим в этих выражениях переменные, например, определим
из первого уравнения выражение
Z-. -ак^к—1
ъ~к ’
(2.2)
к— 1
откуда
Л+1 ак+1^к
и подставим их во второе уравнение
Л-н а«+1Л _ . , Л—акЛ-1
- 1 4" “к
ЬК-Н
— а,
Ьк
к
После приведения подобных членов имеем
Л+> = ^+,-WK+A Ак^{аЛ_ы . (2.3)
Аналогично находим уравнения для остальных элементов мат-
рицы передачи:
С«+1 = ск—C-±tL M'-b'fiJCK_It ' (2.4)
СК LK
= a K+xbK + b.+ldK Вк_Ь±1_ (аА-Ь^)вк-ь (2.5)
°к °к
£>к+, = с«+1а« + 5+^ DK-~^- (aA-b^D^ . (2.6)
‘-к
2) По направлению распространения энергии этот четырехполюсник является
входным (первым).
81
Уравнения (2.3) — (2.6) представляют собой рекуррентные со-
отношения. Будем их использовать как уравнения в конечных раз-
ностях [1].
Граничные условия к ур-ниям (2.3)—<(2.6) состоят в том, что
цепочка с нулевым индексом характеризуется единичной матрицей,
т. е. при к=0
Во _ 1 0 (2 71
Со D0J [О 1] ’
а цепочка с индексом «1» тождественна четырехполюснику с ин-
дексом «1», т. е. при «= 1
Ai Bi Oj bi
Ci Di Ci di
(2.8)
2.2. Цепочка одинаковых обратимых четырехполюсников
Рассмотрим цепочку одинаковых обратимых четырехполюс-
ников, для которой:
। j —г Пк — п, b ।, — b/Q — ь
"+1 к «+1 (2.9)
i — ск = с; dK-n — dK = d
В этом случае ур-ния (2.3)-—(2.6) упрощаются:
Лк-1-i = (а~Ь d) Ак— Ак—1
Ск-|_1 = (а-}- d)CK CK—i (2 10)
~\~d) Вк—Вк—\
Dk-1-i = (я-|- d)DK DK—i
Таким образом, вид всех уравнений одинаков; отличаются толь-
ко граничные условия. Коэффициенты уравнений не зависят от к.
Применим к ур-нию (2.10) методику решения линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; ин-
декс к (к=0, 1, 2,...) будет эквивалентен непрерывной перемен-
ной х.
Решение первого ур-ния (2.10) ищем в виде
= (2.11)
и из (2.10) находим характеристическое уравнение
ev^a + d~ e“v.
Отсюда следует
chv = ^±^ (2.12)
и возможны два частных решения, соответствующих положитель-
ному и отрицательному значению v. Общее решение есть сумма
частных решений:
82
Ак = Л1 ew + A e-vK. (2.13)
Используя граничные условия (2.7) и (2.8), получаем:
« = 0, 1=M+N 1 (214)
« = 1, а = М ev + Me v J ’
откуда
22И—1 = Q~ch'- . - (2.15)
sh >
Далее из (2.12) и (2.13) имеем
АК = (2М—l)shv к-J-chv к. (2.16)
Подставляя значение 2М—1 из (2.15) и учитывая (см. 2.12),
что а—chv= ------, получаем окончательно
AK = chv к-\-
а — d sh v к
2 sh,
(2.17)
Остальные ур-ния (2.10) при соответствующих им граничных
условиях решаются аналогично. В результате имеем следующее
выражение для результирующей матрицы передачи каскадного
соединения к одинаковых четырехполюсников:
b р
d
Л Га
Ск [с
< , а — d sh / к , sh n к
СП v к Н----------- Ь----------
2 sht sh n
(2.18)
где
v = Аг ch .
2
(2.19)
С математической точки зрения выражение (2.18) определяет
простой способ возведения квадратной матрицы в к-ю степень.
Отметим [2], что множитель sh 'к
sh N
представляет собой полином
Чебышева второго рода (к—1) порядка
sh N к
sh-*
, . . a&d.
sh к Ar ch —-—
sh Ar ch--
2
(2.20)
a chvK — полином Чебышева первого рода к-го порядка
ch v к = ch к Аг ch = Тк (2.21)
и, следовательно, выражение (2.18) можно переписать в виде
83
a
с
Последняя запись в некоторых случаях более удобна для .вы-
числений по сравнению с (2Л8), так как содержит степенные поли-
„ a -J- d
номы по переменной ; это устраняет громоздкие тригономет-
рические преобразования в случае комплексных а и d.
Соотношения (2.18)—i(2.22)[ относятся к любому типу квадрат-
ных матриц второго порядка, подчиняющихся правилу умножения
(например, [а], [Д], [/], [7]). В зависимости от типа рассматривае-
мой матрицы элементам а, b, с, d придается соответствующий
смысл, например, для матрицы [7] имеем
'а Ь1 [ 7ц
с d _ Т' а
для матрицы [а]
а б] Гап
с d] [a2i
Т12
Т'гг
«12
звена,
^22 звена
И Т. Д.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Матрица [Г] цепочки одинаковых реактивных четырехполюс-
ников.
Вследствие реактивности a=d* и Ь = с*, следовательно,
а + d n а — d . .
------- Re а; ------= i Im а
2 2
и выражение (2.22) приобретает вид
‘^K(Rea)-i-iImaC/K_i(Rea) bU^ (Re a)
cUK_i (Rea) 7\(Rea)— i Imat\_i (Rea)
Вследствие обратимости
IM2=i-- |T21|2
и, подставляя значение T2i из (2-23) имеем
|W= 1 +|с|2^_! (Rea).
(2.23)
(2.24)
Последнее соотношение полезно при анализе некоторых типов
фильтров и направленных ответвителей. Если звено симметрично,
то Ь = —с и, как легко видеть, в матрице цепочки (2.23) имеем
7’12 = —7’21.
б) Матрица [а] цепочки одинаковых обратимых, реактивных и
симметричных четырехполюсников.
84
Если звенья реактивны, то а и d — вещественны, Ь и с — мни-
мы. Из (2.22) видно, что этими же свойствами будут обладать
соответствующие элементы матрицы цепочки. Более существенное
упрощение получается в случае симметрии звена (а = с?). Тогда,
из (2.22) и (2.18) имеем
[аГ =
chv к
Ь V,
— sh v к
sh v
ch v к
где
v = Аг ch а.
Используя условия обратимости [см. (1.39)], запишем а2—Ьс = \„
shv= ]/ be, а потому
(2.25)
в) Матрицы [7] и [а] цепочки четырехполюсников, обладающих
симметрией относительно вертикальной оси.
. При вычислении коэффициентов
а -4- d а — d
— и ——
2 2
волновой матрицы передачи [Г] четырехполюсника можно ограни-
читься знанием матрицы левой половины четырехполюсника [Г11].
При этом
tw-пт-nr -ь ra2i
Tinr-nn пу-пп
(2.26)
где Т и, Т"2, Т21, Т22 — элементы [7'п].
Соответственно, если воспользоваться матрицей [а] четырехпо-.
люсника, обладающего симметрией относительно вертикальной
оси, то элемент матррцы
а = Оц — 1 2оу2 а”| , (2.27)
где ani2, a2i — элементы [ап] левой половины четырехполюсника.
2.3. Цепочка одинаковых необратимых четырехполюсников
Эта задача сводится к предыдущей, если в каждом звене
выделить обратимую и необратимую части [см. (1.38) и (1J179)] и
затем, пользуясь коммутативностью матрицы идеального преобра-
85
зователя мощности (ЙПМ), проделать раздельное возведение в
степень обеих частей.
В результате имеем
а
с
др
d
'р I цт~_ '
Д2/Д ) ' 2/Д
с 77 / а-Тс
_./Д 'С-1 к 2 /Д
(W о
. о (Уа)к
-7=U‘
/А
2/Д ’
(2.28)
к
где
\=ad—be-—детерминант матрицы.
Таким образом, каскадное соединение из к одинаковых необра-
тимых четырехполюсников сводится к каскадному соединению из
к обратимых четырехполюсников и идеального преобразователя
мощности с коэффициентом преобразования (l/<A)K (при прямой
передаче), либо (при обратной передаче).
Соотношение (2.28), как и ранее, может быть применено к мат-
рицам [а] и [Г].
Рассмотрим также частный случай каскадного соединения из
одинаковых необратимых четырехполюсников, описываемых осо-
бенной матрицей, для которой
А = ad—Ьс = О.
При этом
ad
С = —
Ь
(2.29)
Следовательно,
' а
И = ad
_ Ь
матрица передачи имеет вид
d
Для
а
ad
Ь
случая двух четырехполюсников
d 1
а
ad
. ь
_ a(a+d) rb(a + d)'
c(a+d) d(a-\-d)
~(a + d)
1П0
d
d
а
с
Ь~
d ’
(2.29а)
индукции можно записать результирующую матрицу кас-
кадного соединения к 'одинаковых четырехполюсников, матрицы
которых удовлетворяют условию (2.29).
а д'
с d
а
с
(2.30)
•86
2.4. Цепочки неодинаковых четырехполюсников
х Точное решение разностных уравнений возможно не только
для случая одинаковых четырехполюсников, но и для некоторых
частных законов распределения параметров неодинаковых четы-
рехполюсников в цепочке. Ниже рассмотрен один из таких слу-
чаев. Полагаем, что элементы матрицы а к и dK не меняются от
звена к звену, а элементы Ьк и скменяются в некоторое постоян-
ное число раз:
ак^1 = аЛ = а, dK_^1 = dK — d- (2-31)
?5+L (2.32)
Ьк " Ск
Принимая также aKdK — ^« = 1’), получаем из (2.3) — (2.6):
Лк+i = (а+т] d) Ак—т] Лк-1
Gc-i-i = (о a -j- d) Ск—(тСя_1 (2 33)
= (а + т] d) Вк—т] Вк-1
Dk^-i — {о a -\-d)DK <т Dk—i
Записывая первое ур-ние в виде
Ak+i = рАк—г) Лк—1,
где
р — a-{-rid, (2-34)
преобразуем его следующим образом:
Лк+1 еэ = р еэ Лк- е~э Лк-ь (2.35)
где
е“э = 1/т].
Решение уравнения в конечных разностях (2.35) ищем в виде
Лк = Ме'"с (2.35а)
и из (2.35) и (2.35а) получаем:
о рР
= —0 + Аг ch = —0 + у
v2=—0—у
' Лк = Af eV1K Ц-eV!K = e^₽K (A4eVK Ц-Д( е-у,с)
учитывая в последнем выражении граничные условия (при к=0,
') Это не ограничивает общности, поскольку можно предположить, что ИПМ
(ом. 1.38) уже выделены во всех звеньях и операции с ними производятся от-
дельно.
87
А = 1 и при к=1, А = ах), находим после преобразований
(2Ж}
где р и т] определяются из соотношений (2.32) и (2.34). Поль- >
зуясь тем же методом, получаем элемент DK матрицы:
DK=(i а)Чтк(-^)—(2.37)
( \2 у а / уа \ 2 у <т /J
где
Pi = ffa+d.
Аналогично решаются уравнения для В и С:
В* =(1 ТГ'1 MA-i (-^=) , (2.38)
(2.39) V
\ 2 у а /
Рис. 2.2
На рис. 2.2, 2.3 показаны примеры цепочек неодинаковых че-
тырехполюсников, удовлетворяющих (в системе матрицы [а]) ус-
ловиям (2.31), (2.32).
Рис. 2.3
Действительно, для цепочки рис. 2.2 матрица [а] звена имеет
вид:
88
'cos©
lal = i sin 0
i pK sin 0
cos©
(2.40)
Рк
и, следовательно, если
Pk+1
ПОЛОЖИТЬ -7-- = </, TO
Рк
fyc+l - ck Рк-1-l
ьк c,
= 4
Рк
aK+i — aK — a:.
^к+i —
и
что соответствует (2.31) и (2.32).
Второй пример приведен на рис. 2.3. Здесь матрица [а] звена
состоящего из двух ступенек ср* и
[а]
cos2©——sin2 0
Р"
i (—+—1 sin ©cos©
\ p' P" /
i (p' + p") sin 0 cos 0
cos2©—— sin2 0
p'
(2.41)
и. следовательно, отношения:
&к+1 _ P«+i
Ьк Рк
14" '
Рк-pi
Рк
, 1 + •
ск-|-1 Pit Pic
Ск Рк-f-l , , Рк+1
1 т »
Р«+1
не зависят от к, если принять, что «перепад внутри звена» ——
Рк
рд I 1
и «перепад между звеньями» —постоянны. При этих же усло-
Рк
виях, очевидно, имеет место независимость от к элементов and
в матрице (2.41).
Системы рис. 2.2, 2.3 могут применяться для согласования и
фильтрации. Как показано выше, они поддаются анализу при лю-
бом числе звеньев; их частотные характеристики, однако, весьма
несовершенны. Таким образом, разностные уравнения для эле-
89
ментов матрицы цепочки дают точные решения для отдельных
частных случаев^ однако последние не всегда могут быть исполь-
зованы на практике.
Очевидно, что отдельные точные решения не могут удовлетво-
рить все потребности практики. Поэтому перейдем к аппарату бо-
лее гибкому, хотя и менее точному, к так называемым сумматор-
ным уравнениям.
2.5. Сумматорные ураваения
(Возвращаясь к общему исследованию цепочки произволь-
ных четырехполюсников, рис. 2.1, трактуем1 ее по-прежнему как
соединение двух четырехполюсников — последнего (кчго) и систе-
мы ив всех предыдущих (к—1). При этом, как уже было показа-
но, параметры всей цепочки .и ее отдельных звеньев связаны ре-
куррентными соотношениями (2.2).
Рассмотрим, например, первую из этих формул
Ак ~ я* Ас—14~ ЬкСк—1
и запишем ее значения для убывающей последовательности зна-
чений индекса к:
Л-1 = ак-1Л—2 + ^к-1Л-2
Л—2 = 2-Л—2 гЛ—3 /О ДО\
А = а1Д> 4-
Подставляя последующие значения в предыдущие, получаем
А = акАк—14" ЬцСк—I — —1 Ак—2 4~ —iCk—2 т ЬкСк—^=
— (^кР-к~\(1к—2Ак—3 4" О,кРк—\Ьк—£к—& 4" —\Ск—2 4" b/fi/c-l =
— . ChfllAf) 4- btfix—l + 1CK—2 4"
4" ОкРк—Фк—гСк—З 4" 2^«—З^К—4 +...4-
±акак-1йк-2 . . .аз^Сд. (2.43)
Учитывая, что в цепочке имеют место граничные условия
_До=А)=1 и В0=С0=4, и анализируя закономерности построения
выражения (2.43), приходим к выводу, что его можно записать
более кратко
Ак = П ai 4* I~] (2.44)
;=1 m«=l
Аналогично «сворачиваются» остальные формулы умножения
матриц (2.2).
90
В результате получаем следующие уравнения для элементов;
матрицы передачи:
К К к
а*=п+ 2 ЬтСт-х П (2-45)
1=1 т=* 1 £=т4-1
ск = 2 с-‘Ат~1 п dit (2.46)'
m=I
вк = 2 * п <2-47>
m= 1 f=*'”+1
DK = П d(+ 2 сЛ-1 П 4- (2.48)
/=1 т=1 i=m+l
Первая пара является системой уравнений относительно А и
С, вторая — относительно В и D. Уравнения связывают граничные
(Лк, Вк, Ск, DK) и внутренние (Лт-ь Вт-Ь Ст_ь Dm-i) значения
элементов матрицы передачи через конечные произведения и сум-
мы, включающие параметры всех четырехполюсников цепочки.
Эти уравнения будем называть сумматорными. В предельном слу-
чае они превращаются в. интегральные.
2.6. Первое приближение
Решение сумматорных уравнений представляет собой быст-
ро сходящийся ряд последовательных приближений; это и опреде-
ляет удобство применения указанных уравнений.
Начнем итерационный процесс с простейшего случая; пусть
все четырехполюсники в цепочке описываются диагональной мат-
рицей передачи
°т - Ьт ] Г ат О
Cm dm _ _ 0 dm
(2.49)
(Подставляя эти значения в (2.45) — (2.48), находим нулевое
приближение
Ак Вк
_СК DK
ТЬ о
г=1
о П4
(2.50)
91
Подставляя (2.50) снова
лучаем первое приближение
в исходные ур-ния (2.45) —(2.48), по-
лУ’
с'1’
в*1’ ’
Pi1’.
— ic к т—1 к
П at 2 bm п di П «г
(=1 m=»l 4=1
к т—1 к к
2 с"> п ai П dt П d.t
_ i=l £0in-H г==1
(2.51)
Подставляя первое приближение в исходные уравнения, полу-
пим второе приближение -и т. д. Результат таких последовательных
подстановок — хорошо сходящийся функциональный ряд; для пре-
дельного случая (интегральных уравнений) сходимость ряда ис-
следуется далее. Придавая выражениям (2.51) значение волновых
матриц передачи [Г], перейдем к матрице рассеяния, элементы ко-
торой имеют простой физический смысл. Пользуясь соотношения-
ми (1.132), находим
7’(1)
в}Р=^-
г<;>
к т— 1 к
2 Ст п ai П
m=l
П <ч
i=l
к к
VTCm rn
11 at ’
m=l 4-=m+l
(2.52)
учитывая, что (см. 1.132)
(2.53)
ц вводя обозначения для фазового множителя
— = det [5]/ = Я., (2.54)
ai
цмеем окончательно
sT=isu. П н>- <2-56>
m=l
где det(5]i — определитель матрицы [S].
Таким образом, в первом приближении результирующий соб-
ственный коэффициент отражения цепочки четырехполюсников
есть сумма всех собственных коэффициентов отражения состав-
ляющих четырехполюсников, приведенных к входу системы с по-
т—1
мощью произведения фазовых множителей 7/г.
;=1
Аналогично определяем остальные элементы матрицы. В ре-
зультате имеем в первом приближении следующее выражение для
матрицы рассеяния цепочки обратимых четырехполюсников
92
2 5и"> n Ht n 5i2m
m=l m=l
к к m—1
n si2m 2 522тП Ht
_m=l zn=l (=1
(2.56)
Последующие приближения
учитывают взаимодействие волн,
отраженных от неоднородностей («многократные отражения»).
Применения первого приближения весьма разнообразны. В
гл. 4 оно применяется в интеграль-
ном виде для синтеза оптимальных
плавных переходов. В работе [3]
с помощью первого приближения
определяется ожидаемый кбв на
входе статистически неоднородной
линии передачи и др.
Погрешность первого приближе- Рис- 2-4
ния анализируется в разд. 2.9; при
определенных условиях она невелика.
В заключение рассмотрим еще один весьма распространенный
в технике свч случай: звено цепочки представляет собой отрезок
однородной длинной линии с некоторой малой неоднородностью
в центре (рис. 2.4). Выражение (2.56) приобретает при этом вид
2^,
е—2у(к—m) Д х
^—ЧкЬх
[$1 =
т=1
-2у(я1-1)Дх
(2-57)
Здесь 5цт, S22m, S12m— элементы матрицы рассеяния /п-ной
неоднородности в передающей линии, у — постоянная распростра-
нения отрезков передающей линии длиной Ах (рис. 2.4); в общем
случае y=a + ip.
Выражение (2.57) дает возможность, при переходе к пределу,
сразу же получить приближенное значение для матрицы рассея-
ния неоднородной линии. Это выполняется далее, исходя из более
широких предпосылок.
2.7. Неоднородные линии. Общие сведения
Неоднородные линии рассматриваем как предельный слу-
чай ступенчатой цепочки. Практическое значение этого случая ве-
лико, так как на свч существует ряд устройств, основанных на
использовании отрезков линий с непрерывно изменяющимися па-
раметрами. Так, например, обратимые неоднородные линии с пре-
93
небрежимо малыми потерями используются в качестве согласова-
телей, фильтров, преобразователей формы импульса и др.
Неоднородные линии с распределенными потерями являются
при соответствующем расчете широкополосными оконечными пог-
лотителями. Класс необратимых неоднородных линий служит про-
тотипом некоторых видов вентилей и невзаимных фазовращателей.
Связанные неоднородные линии используются в качестве ши-
рокополосных направленных ответвителей и мостов.
Преимуществом систем на неоднородных линиях является их
широкополосность, а также, (при определенных условиях) аперио-
дичность частотных характеристик. К недостаткам их можно от-
нести трудности формирования систем с крутыми окатами частот-
ных характеристик и большими абсолютными значениями рабоче-
го затухания. Кроме того, сложные неоднородные линии не допус-
кают, по-видимому, поэлементной отработки, как это, например,
делается в сложных резонаторных фильтрах, а также требуют
жесткой системы допусков.
Отметим, что при использовании на свч теории неоднородных
линий подразумевается распространение одного типа волны, а эф-
фекты, связанные с нераспространяющимися высшими типами,
считаются достаточно малыми.
В 30 и 40-х годах появилось большое число работ по неодно-
родным линиям: основой исследований служили дифференциаль-
ные уравнения для тока и напряжения:
dU =
dx
~=у^)и
dx
(2.58)
где Z{(x), Y{(x)—сопротивление и проводимость неоднородного
участка на единицу длины. Уравнения (2.58) в общем случае не
имеют решения в замкнутом виде, однако для некоторых частных
законов изменения погонных параметров замкнутое решение су-
ществует. Большой класс таких решений был предложен и иссле-
дован А. Р. Вольпертом [4].
Подстановка =Z(x) приводит телеграфные уравнения к
‘ \х)
одному уравнению типа Риккати относительно входного сопро-
тивления [5]:
— + Z2Yi~ Zx = 0.
dx
Следующая подстановка: Г(х)= PW~~преобразует (2.59)
Р (х) + Z (х)
к виду уравнения Риккати для коэффициента отражения [6, 8]:
d Г
^+2уГ—А/(1 — Г2) = 0,
dx
(2.59)*
(2.60)
94
где
A(x) = -J--^-lnp(x)1), Р(Х)=)^7Д7)- y(x) = /Zi(x)Fi(x).
(2.61)
Последнее уравнение удобно для приближенного решения; по-
лагая |Г|2< 1, получаем из (2.60)
i
I —2 [ f(x)dx
Г (х) = J N(x) е х dx (2.62)
о
— простое и важное соотношение.
Оно было получено в 1950 г., независимо, А. Л. Фельдштейном
и Ф. Болиндером.
Болиндер [6] исходил из дифференциального уравнения (2.60),
полагая в нем Г2<С1.
Фельдштейн [7, 8, 9] использовал предельный переход от сту-
пенчатой линии к плавной. В результате были получены интеграль-
ные уравнения типа Вольтёрра, которые решались методом ите-
раций; последние приводили к функциональным .рядам с хорошей
сходимостью. Эти ряды описывали четыре внешних параметра2)
неоднородной линии как четырехполюсника, выражение
/
I —2 (у (х) dx
J А(х)е х dx
о
являлось лишь первым слагаемым в одном из рядов. Мажориро-
ванные (при |А(х) | <^М) ряды сходились к функциям shM/ и
chM/; отсюда легко определялись максимальные погрешности пер-
вого и последующих приближений [8, 9]. Эта методика изложена
ииже в разд. 2.8 и 2.9.
Выражение (2.62) является основой ряда приближенных ме-
тодов анализа и синтеза неоднородных линий [10, 11, 12, 13, 14].
В дальнейшем О. Н. Литвиненко и В. И. Сошников предложи-
ли иное направление в синтезе неоднородных линий, связанное с
точными решениями дифференциальных уравнений. Эта методика
здесь не рассматривается; подробное ее изложение дано в моно-
графиях [15, 16].
*) Функция местных отражений N(x) дает закон изменения коэффициента
отражения (на бесконечно малых участках неоднородной линии) в зависимости
ОТ X.
2) В современной терминологии — четыре элемента матрицы [Г] неодно-
родной линии.
95
2.8. Интегральные уравнения для элементов матрицы
неоднородной линии
В предыдущих разделах были записаны ур-ния (2.45) —
(2.48), определяющие матрицу передачи цепочки произвольных
четырехполюсников. Здесь этот аппарат будет использован для ис-
следования частного случая такой цепочки — плавно-неоднород-
ных линий, у которых вдоль координаты х непрерывно изменяется
Рис. 2.7
1волно1вое сопротивление р(х) и постоян-
ная распространения у(х) (рис. 2.5).
Рассмотрим, плавно-неоднородную ли-
нию, в которую вписана ступенчатая ли-
ния (рис. 2.6); звено последней представ-
ляет собой скачок волнового сопротив-
ления с прилегающими к нему отрезка-
(Ми однородной линии (рис. 2.7). Матри-
ца {Т] такого звена имеет вид
(2.63)
Ступенчатая линия, состоящая из этих звеньев, совпадает с
плавно-неоднородной линией в к точках, отстоящих друг от дру-
га на расстоянии Ах. Если положить Ах->0, то число точек совпа-
дения стремится к бесконечности (к=——>о°); ступенчатая линия
Дх
в пределе превращается- в плавную, а ур-ния (2.45)—(2.48) — в
нижеследующие интегральные уравнения:
i i
J y(x)dx I J y(x)dx
A(l)= е° 4-J#(x)C(x) е* '
о
I
I - f y(x)dx
C(l) = J А/(х)Д(х)е * dx,
(2.64>
96
I
I $ y(x)dx
B(/)= J 2V(x)D(x)e* dx
0
I I
— J y(x)dx I — J y(x)dx
D(l) = e 0 + J N (x) B(x) e x dx.
о
(2.65)
Путем разделения переменных эти уравнения могут быть све-
дены к четырем уравнениям типа Вольтёрра 2-го рода:
A(/) = Ai(/)+jK(/,/)A(/)d/. (2.66)
О
Последнее преобразование далее непосредственно не приме-
няется, но имеет существенное значение с другой точки зрения.
Дело в том, что интегральные уравнения Вольтёрра 2-го рода —
хорошо изученный класс интегральных уравнений и их решение
методом итераций — быстро сходящийся процесс с удобной оцен-
кой погрешности каждого приближения [9]. Это обстоятельство
весьма наглядно проявляется при решении ур-ний (2.64), (2.65),
которое дано ниже.
2.9. Итерации. Оценка погрешности
Итерационный процесс начинаем с диагональной матрицы,
соответствующей случаю ;V(x)=0 (т. е. описывающей отрезок од-
нородной линии)
[Г](0)
Подставляя это (нулевое) приближение
получаем первое приближение
(2.67)
в исходные уравнения,
y(x)dx
J y{x)dx
е°
I
-J y(x)dx I
е 0 J A/(x)
о
I
I -2 J y(x)dx
J A/(x)e * dx
0
i
2 J y(x)dx
e x dx
i
— f y(x)dx
e ®
(2.68)
97
I
f yix'ldx
Тем же способом находим второе приближение
X
I х -2 J V(t) dt
1 + < dt
о о
I I
I'lW’l -2Ntt)dt
C(l)l2) = e° $M(x)e t
0
I I
— J y(x)dx I 2 J f(x)dx
B(l)t2} = e ° §N(x)ex dx
0
x
I X 2 J 4(1) dt
1+ jW(x)dxjw(/)e * dt
0.0
(2.69)
- f
D(/)(2, = e °
и последующие приближения. Закономерность состоит в том, что
все элементы матрицы выражаются функциональными рядами; в
А и D каждое слагаемое содержит четное число повторных инте-
гралов, в Си В — нечетное. Полагая, что N(x) ограничено:
\N(x)\^M, (2.70)
составляем мажорантные ряды, заменяя N(x) на Л! и полагая все
экспоненты равными единице. Тогда получаем [9]:
Лы = 0ы=1+® + в-+ . . ,=СЬЖ (2.71)
Си = Ви = Ж + -®- + в-+ . . , = shM/. (2.72)
31 51
Таким образом, мажорантные ряды, а следовательно, и исход-
ные ряды последовательных итераций сходятся абсолютно и рав-
номерно в любом конечном промежутке. Заметим, что это являет-
ся общим свойством решений уравнений Вольтёрра 2-го рода.
Оценим погрешность первого приближения. Если в мажорант-
ных фйдах (2.71), (2.72) вычесть их первые члены, то остатки
будут больше соответствующих остатков истинных рядов. Таким
образом, погрешность первого приближения для элементов волно-
вой матрицы передачи [Г] имеет следующую оценку [9]:
ДЛ<сЬЛ4/—1; AB^shMl—Ml, (2.73)
AC<shM/—Ml-, AD^chMl— 1.
(2-74)
Диалогично строится оценка погрешности последующих приб-
лижений.
98
Переходя от приближенного значения матрицы передачи (2.68)
к соответствующей матрице рассеяния, находим
(2.75)
Во многих случаях можно считать, что постоянная распростра-
нения у от х не зависит и потери в системе отсутствуют, тогда
предыдущее выражение упрощается
j N(x)e~>2m(l~x> dx e~lmZ
О
e-lm/ —N(x)e~l 2mx dx
(2.76)
2л
где m= —
Заметим, что матрица (2.76) может быть получена из (2.67)
непосредственно, — путем предельного перехода.
Физический смысл матрицы (2.76) связан с представлениями
о геометрическом сложении собственных коэффициентов отраже-
ния малых неоднородностей. Последующие приближения учиты-
вают многократные отражения, возникающие между элементар-
ными неоднородностями (dV = N(x)dx) в линии с плавно изменяю-
щимися параметрами.
2.10. Дифференциальные уравнения
Если функция N(x) и у(х) таковы, что возможно точное
решение, то целесообразно перейти от интегральных уравнений к
соответствующим дифференциальным. Дифференцируя ур-ния
(2.64), (2.65) по верхнему пределу I получаем нижеследующие
дифференциальные уравнения:
A'~yA = NC
C' + yC^NA
B'—yB = ND
D'-\ у D=NB
Граничные условия
' Л(0) В(0)] Г1 0
_ С(0) D(0) ] [о 1.
(2.77)
(2.78)
4
99
Разделяя переменные в ур-ниях (2.77}, получаем дифферен-
циальные уравнения для элементов матрицы [7] в виде:
Л" А'- [(у* + №) + (у'-у О А = О
W ( \ N )]
С" “7Г C'-{(Y2 +^2)-(*'-* f)} С - 0
b"-Yb'~{(y2+;v2)+(y'_yv)}b=0
0"-^^-{(y2+^2)-(y'-y^)}o=o
(2.79)
Напомним, что 101^|Л (I) |2 имеет смысл рабочего затухания
неоднородной линии.
Полученные дифференциальные уравнения описывают обрати-
мую систему. Действительно, вводя функцию
Q(x) = A(x)D(x)—В(х)С(х),
дифференцируя ее по х и подставляя значения А', В', С', D' из
(2.77), убеждаемся, что
Q'(x)=0, т. е. Q= const.
(2.80)
Далее, из граничных условий (2.78), следует, что Q(0) = l, пос-
тоянная в (2.80) должна быть единицей. Таким образом, имеем
A(x)D(x)—В(х)С(х) = 1, как и следовало ожидать, для обрати-
мого -четырехполюсника.
В заключение остановимся на связи дифференциальных ур-ний
(77) с уравнением Риккати.
Из (1.168) следует, что входной коэффициент отражения лю-
бого четырехполюсника (в том числе и неоднородной линии) вы-
ражается через элементы матрицы (Г] следующим образом:
Г (х) = С(х) + Д(х)Гн , (2.81)
' А (х) 4- В (х) Гн к
т. е. представляет собой дробно-линейную функцию постоянной
Гн — коэффициента отражения нагрузки. Известна теорема «Если
общее решение уравнения есть дробно-линейная функция произ-
вольной постоянной, то соответствующее дифференциальное урав-
нение есть уравнение Риккати» [17]. Действительно, такое урав-
нение для входного коэффициента отражения существует и имеет
вид [8]
—+ 2уГ + АГГг—АГ = О. (2.82)
dx
100
Итак, выражение (2.81) представляет собой решение ур-ния
(2.82), а функции А(х), В(х), С(х), D(x) в дробно-линейном их
сочетании формируют это решение.
Таким образом, с математической стороны изложенный метод
определения элементов волновой матрицы передачи с помощью
интегральных ур-ний (2.64), (2.65) можно рассматривать как ме-
тод решения уравнения Риккати. Отличительной чертой этого ме-
тода является то, что общее решение расчленяется на четыре бо-
лее простые функции. Каждая из них определяется из системы
уравнений; последние тесно связаны с интегральным уравнением
Вольтёрра 2-го рода, т. е. с хорошо изученным классом интеграль-
ных уравнений, решение которых может быть получено методом
последовательных приближений с любой степенью точности. При
необходимости задача сводится к четырем дифференциальным
уравнениям для четырех элементов матрицы.
2.11. Необратимые неоднородные линии
Длинную линию с непрерывно изменяющимися вдоль на-
правления распространения необратимыми (невзаимными) пара-
метрами называем необратимой неоднородной длинной линией;
затухание и фазовый сдвиг такой линии зависят от направления
передачи. Необратимая неоднородная линия является моделью
многих анизотрапных устройств (ферритовых, плазменных и др.).
Разделяя в цепочке необратимых четырехполюсников обрати-
мую и небратимую части в соответствии с данными гл. 1 [см.
(1.38) и (1.179)] и производя затем в обоих частях предельный
переход, можно построить теорию необратимых неоднородных ли-
ний простым обобщением результатов предыдущих параграфов.
При этом обратимая часть звена характеризуется полусуммой
фактических постоянных распространения уДх) (передача слева
направо) и уг(х) (передача справа налево)
Действительно, рассматривая произвольное .невзаимное звено
и записывая его матрицу передачи
[о] =
Оц
й12
®21
Огг
|о| ¥= 1 >
переходим далее к характеристическим параметрам Zcl, ZC2, gci в
соответствии с данными гл. 1, разд. 1.11 *). Матрица [а] звена, вы-
раженная через эти параметры, имеет вид:
*) Имеется в виду, что характеристические параметры четырехполюсников
далее дадут возможность перейти к волновому сопротивлению и постоянной
распространения элемента невзаимной линии.
101
[a] =
Yi + Ye .
—r~ Ax
shYi + v?Ax
2
|/ZclZc2sh ^r^Ax
1 . Yi + Ya .
V^ch~T-^,
1
_ V 2d Zc2
Г у*—v« •
~~&x
X e
0
где
YiAx=gcl Y2b=fe (2.84)
Ax — длина элементарного отрезка невзаимной линии.
Первый сомножитель в (2.83) отображает обратимый четырех-
полюсник (поскольку детерминант его матрицы равен единице),
второй (ИПМ) —необратимый (детерминант матрицы равен
ехр(Яс1—Яс2)#='1).
Вследствие коммутативности второго сомножителя (2.83) ум-
ножение матриц для цепочки из произвольных звеньев удобно
производить в два приема: сначала перемножаются матрицы об-
ратимых составляющих всех звеньев, затем необратимых. Резуль-
таты этих операций снова перемножаются, что и дает искомые
сотоношения для необратимой неоднородной линии. Очевидно, что
такой порядок исследования сводит задачу к двум более простым
и уже решенным задачам:
а) к задаче о взаимной неоднородной линии, в которой
постоянная распространения звена равна среднему арифметическо-
му от у, и Y2:
Yep =-14г?-
(2.85)
б) к перемножению комплексных чисел вида:
е 2 =eAvAx.
ch Yep A x
— sh YcpA x
Полагая, что обратимая часть звена симметрична
2cl — zc2 = Р>
получаем матрицу обратимой части звена в виде
р sh Yep А х"
chYepAx
L Р J
(2.86)
(2.87)
(2.88)
Ниже мы будем пользоваться волновыми матрицами,
дя по известным правилам (см. гл. 1) от матрицы (а] к
[Г], для обратимой части
* е W*
[TU =
0
e“vcpAx
Перехо-
матрице
(2.89)
0
102
а для необратимой по-прежнему
1^]необр —
о '
О е ЛуЛх
(2.90)
где
Ду=*~* .
’ 2
(2.91)
Следуя методике предыдущих разделов, примем в качестве
звена обратимой части цепочки отрезок линии, включенный кас-
кадно со скачком волнового сопротивления (рис. 2.7). Матрица
такого звена получается из (2.63) заменой обозначения у на уСр:
/j I Pm \ e vcp fl — P”* \ e Vcp Л
1 \ Pm-H / \ Pm+1 /
2 . n . v(m»Ax , „ , -v(m,Ax ‘
(1-----Pa\evcpAx /i + _Pm_ e -cp
-\ Pm4-1 / \ Pm 4-1 /
(2.92)
Интегральные (а также и дифференциальные) уравнения обра-
тимой части цепочки могут быть получены из (2.64), (2.65) и
(2.77) простой заменой у на уСр, т. е.
i i
f Ycp(x)dx I j* Ycp(*)dx
Д(/)= е° -j-J N(x)C(x)ex dx
о
i
l -J YcpWrf*
C (/) = J Af(x)4(x)e x dx
0
I
I J Vcp<x,dX
B(l) = j N(x)D(x)ex dx
0
I I
- f Vcp(*M« I -fvcp‘xWx
D(/) = e ° + ^N(x)B (x)e x dx
о I
A'-y^NC
С' + усрС=ЛМ
B'-YCpB = ^D
D’+ycpD = NB
с граничными условиями:
Л(0) = Г(0)=1; B(0) = C(0)^0.
(2.93)
(2.94)
103
Для необратимой части цепочки (цепочки, состоящей из ИПМ)
предельный переход приводит к более простым соотношениям.
Здесь матрица (Г] т-го звена имеет вид (2.90) и легко видеть, что
произведение матриц к таких звеньев при к-+оо и Дх-Ч) приобре-
тает вид:
К
lim П(ИПМ)т
Дх-оо т=1
(2.95)
Результирующая матрица необратимой неоднородной линии
равна произведению матрицы обратимой части, найденной из
ур-ний (2.93) либо (2.94), на матрицу необратимой части, опре-
деляемую выражением (2.95). В связи с последним выражением
заметим, что если мера невзаимности звена в соответствии с гл. 1
равна
In | a |зв = (£С1—£с2)зв = (Y1—Ya) А х,
(2.96)
то из (2.95) легко определить меру невзаимности всей цепочки:
i
1п| а|цеп== J{Y1W—K(x)}dx=(gel—§С2)цеп. (2.97)
о
Действительно, матрицу (2.95) по определению [см. (1.179)],
можно записать в виде
]/|Г| _0
0 /|тТ
и, кроме того, |а| = |Г|, см. (1.133), откуда легко найти (2.97).
Для некоторых частных случаев распределения парамет-
ров р, yi и у2 в линии дифференциальные ур-ния (2.94) могут
быть решены точно. В большинстве же случаев следует удовлетво-
риться приближенным решением, которое с любой степенью точ-
ности можно получить из интегральных ур-ний (2.93). Методика
приближенного решения аналогична изложенной в разд. 2.9. Ну-
левое приближение для обратимой части цепочки имеет вид
[Т](0)
Tcp(x)dx
О
I
-f Vcp(*Mx
(2.98)
104
Подставляя нулевое приближение в (2.93), находим первое
приближение
[TJ1
е о
i
— I {Vt(jc)+v»(} dx I
2 J р
е »
zV(x)e
б
— у J {ViW+y,(*)}<b: I J{Vxl
! 0 J N(x) ex
0
I I
— J {V4(*)+Vi(*)}<** — -i-J
x dx e 0
dx
(2.99)
Перейдем к результирующим соотношениям. Умножая матри-
цу (2.98) иа (2.95), получаем матрицу необратимой неоднородной
линии в нулевом приближении
О
i
— j* Vl(x)dX
(2.100)
Умножая (2.99) на (2.95), получаем результирующую матри-
цу [Т] необратимой неоднородной линии в первом приближении
J — j y2(x)dx I j {
e0 e 0 (N(x) ex dx
0
I I I
J tAx)dx Z —J —J v,(x) rfx
e° N(x)e x dx e 0
6
Переходя от матрицы [Г] к матрице [S], получаем
z z . •
I — J {Vi(*)+V4(*))d* — j* Vi(x)dx
J zV(x) е х dx е 0
о
I X
е 0 —^У(х)е 0 dx
о
(2.101)
(2.102)
Выражение (2.102) имеет простой физический смысл; коэффи-
циенты пропускания S12 и S21 определяются интегралами от пос-
тоянных распространения yi(x) и уг(^) соответственно. Величины
105
[Г](1) =
e
yi(x)dx и y2(x)dx определяют затухание и фазовый сдвиг в каж-
дом бесконечно малом элементе цепочки.
Коэффициенты отражения 5ц и S22 представляют собой инте-
грал всех местных коэффициентов отражения N(x)dx, пересчитан-
ных к соответствующему входу системы с помощью суммы
Yi (*) +Yz(*). Поскольку в вентильных устройствах у2 имеет зна-
чительную вещественную часть, то SH и S22 будут малы даже при
больших N(x)\ иначе говоря, вентильные свойства системы суще-
ственно снижают «вес» неоднородностей, удаленных от входа си-
стемы, физически это также очевидно.
Иначе получается, если невзаимная система реактивна, т. е.
является невзаимным фазовращателем; в этом случае Sn и S22
могут быть большими и определяются, как видно из (2.102), вы-
ражениями типа интеграла Фурье, как и в обычной неоднородной
линии.
Связь р(х), уг(х) и у2(х) с геометрическими и материальными
константами малого элемента линии (т. е. матрица этого элемента,
выраженная через указанные константы) определяется либо из
решения электродинамической задачи, либо экспериментально.
В обратимой части цепочки можно использовать эквивалентные
схемы, что часто облегчает исследование.
2.12. Замечания об умножении нормированных матриц
Результирующая матрица передачи цепочки четырехполюс-
ников равна произведению матриц элементов цепочки. Это прави-
ло не вызывает никаких затруднений, если мы оперируем матри-
цей [а]; ее элементы не связаны с нагрузочными сопротивлениями
четырехполюсника и, следовательно, величина последних не влия-
ет на результат умножения. Иное положение мы имеем при ис-
пользовании матриц [/], [Л] и (Г]. Элементы этих матриц зависят
не только от внутренней структуры четырехполюсника, но и от
его оконечных сопротивлений; в цепочке эти сопротивления вклю-
чены лишь на ее входе и выходе, однако учитывать их необходи-
мо и для всех промежуточных звеньев, не имеющих таких сопро-
тивлений. Иначе говоря, для средних звеньев цепочки нагрузочные
сопротивления имеют вспомогательный условный характер; их
можно рассматривать как некоторые «нормирующие» величины.
Возникает вопрос — как выбирать эти величины? Оказывается,
что здесь необходимо придерживаться следующего правила: при
перемножении матриц [/], (Л] и [Г] матрицы можно связывать с
любыми сопротивлениями, но при обязательном условии равен-
ства этих сопротивлений на выходе предыдущего и входе после-
дующего четырехполюсников. При нормировании матриц крайних
четырехполюсников обязательно в нормировке учитывается сопро-
тивление на входе цепочки Ri или сопротивление на выходе це-
почки R2.
106
Напомним также, что следует различать «нормированные» и
«приведенные» сопротивления. Нормированными сопротивлениями
называют сопротивления, преобразованные в соответствии с пра-
вилами нормирования матриц, например
7 — гЧ
12 /ЯЛ’
и т. д. (см. гл. 1).
Приведенными сопротивлениями называются сопротивления,
отнесенные к любому выбранному сопротивлению /?; оно прини-
мается за единицу измерения, например pi=£i. , Р2= § и т. д.
R R
В качестве R обычно принимается одно из нагрузочных сопротив-
лений (см. гл. 5).
Литература
1. Гельфанд А. О. Исчисление конечных разностей. Физматгнз, 1959.
2» Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. Гос-
техиздат, 1964.
3. Moore R. The Effects of Reflections from Randomby Spaced Discontinuities
in Transmission Line. «IRE Trans.», 1957, MTT—-5, № 2, p. 121—126.
4. Вольперт A. P. Линин с неравномерно распределенными параметрами.
«Электросвязь», 1940, № 2.
5. Ильин В. А. Длинные линии с изменяющимися по длине параметрами.
«Электричество». 1950, № 2.
6. В о 1 i n d е г F. Fourier transforms in the theory of inhomogeneous transmis-
sion lines. «Proc. IRE», 1950, v. 38, № LI.
7. Фельдштейн А. Л. Неоднородности в передающих линиях. Вестник
НИИ МПСС, 3 (10), 1950.
8. Фельдштейн А. Л. Неоднородные линии, ч. 1. Вестник НИИ МПСС,
2(17), 1951.
9. Фел ьд штейн А. Л. Неоднородные линии. «Радиотехника», 1951, т. 6,
№ 5.
10. Фе л ьд штейн А. Л. Синтез неоднородных линий по заданным частотным
характеристикам. «Радиотехника», 1952, т. 7, № 6.
11. Фельдштейн А. Л. Некоторые задачи синтеза неоднородных линий.
«Радиотехника», 1958, т. 13, № 8.
12. Фел ьд штейн А. Л. К расчету оптимального плавного перехода. «Радио-
техника», 1959, т. 14, № 3.
13. Klopfenstein R. A transmission line tape of improved design. «Proc.
IRE», 1956, v. 44, № 1.
14. Орлов С. И. К теории неоднородных линий. «Техн, физ.», 1956, 26.
15. Л и т в и и ен к о О. Н., С о шин к о в В. И. Расчет формирующих линий.
Киев, Гостехиздат, УССР, 1962.
16. Л и тв и н е нк о О. Н., Сошников В. И. Теория неоднородных линий
и их применение в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1964.
17. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат, 1950.
1*7
3. Ступенчатые переходы
3.1. Исходные сведения
Ступенчатым переходом (рис. 3.1) называется каскадное
соединение (цепочка) из п отрезков передающих линий («ступе-
нек»), имеющих одинаковую длину I и различные волновые сопро-
тивления р,. Ступенчатый переход предназначен для согласования
между собой сопротивлений р0 и г, включенных на входе и вы-
ходе такого соединения. Число ступенек в переходе п на единицу
меньше числа скачков волнового сопротивления. Предполагается,
что система не имеет активных по-
терь.
В настоящее время теория сту-
пенчатых переходов используется в
самых различных целях. Первона-
чально назначением ступенчатых
переходов было согласование двух
активных сопротивлений (подводя-
щих линий). Дальнейшие исследо-
вания в этой области показали, что
синтез ступенчатых переходов подчиняется строгим законам того
же типа, что и синтез лестничных систем с сосредоточенными пос-
тоянными. Отличие заключается лишь в выборе частотной пере-
менной (см. гл. 1).
Ступенчатый переход оказался одной из первых систем с рас-
пределенными постоянными, для которой классические методы
синтеза по рабочим параметрам оказались непосредственно при-
менимыми. Это обстоятельство сыграло важную роль в возникно-
вении новых и порою неожиданных приложений теории ступенча-
тых переходов. Так, например, в настоящее время на основе про-
тотипных ступенчатых переходов освоен синтез некоторых направ-
ленных ответвителей [1, 2], фильтров с непосредственными связя-
ми [1, 2, 3], в частности, фильтров на связанных полосковых [4]
линиях.
В трех последних задачах ступенчатый переход рассматривает-
ся как прототипная схема, имитирующая процессы, сходные с те-
ми, которые возникают в реальных синтезируемых устройствах.
108
Аналогичные соображения широко используются при решении за-
дач синтеза (см. [2]), когда прототипными являются схемы лест-
ничной структуры из LC-элементов.
Ступенчатый переход, как прототип, обладает определенными
преимуществами перед прототипной ЛС-схемой. Более подробно
эти вопросы освещены в главах 8 и 9. Данная глава посвящена
лишь наиболее известной области применения теории ступенчатых
переходов, а именно переходам, используемым в качестве согла-
сующих устройств, включенных между двумя различными по ве-
личине активными сопротивлениями р0 и г (подводящими ли-
ниями).
При дальнейшем изложении используются следующая термино-
логия и обозначения.
Абсолютные значения волновых сопротивлений ступенек обоз-
начаются значками тильда «~»:
РЪ Р2,........., Рп- (3.1)
Приведенными волновыми сопротивлениями ступенек называют
их волновые сопротивления, отнесенные к волновому сопротивле-
нию ро левой подводящей линии (рис. 3.1):
Ро= 1; Р1=4; р2=4 . . . рп=4- (3.2)
Ро Ро Ро
Отношение волновых сопротивлений подводящих линий (нагру-
зочных сопротивлений) называют перепадом волнового сопротив-
ления:
R = ~ = — • (3-3)
Ро Р»
Частотной характеристикой ступенчатого перехода называют
зависимость функции рабочего затухания L от частоты, эта функ-
ция всегда полиномиальна:
£= 14- Р2 (cos©), (3.4)
где P(cos0) —полином четный либо нечетный;
6 , (3.5)
А — длина волны в передающей линии,
I — длина ступеньки.
Обычно применяются ступенчатые переходы двух типов — с
чебышевской и максимально плоской частотной характеристикой;
далее они будут рассмотрены подробно, а пока остановимся на
некоторых общих параметрах.
109
Полоса пропускания ступенчатого перехода может быть опре-
делена в виде
W _ 2 в” п _ £ п
Ч" в— п Л—п Ч*
(3.6)
Если в отрезках линий, из кото-
рых составлен переход, нет диспер-
сии (Л=?,), то выражение (3.6)
принимает вид
^П=2^П~;~П ° — • (3-7)
/п + /_п Д,
Используется также коэффици-
ент перекрытия диапазона
Полоса пропускания ступенчатого перехода связана с допусти-
мым уровнем рассогласования в этой полосе. Уровень рассогла-
сования характеризуется допустимым максимальным модулем ко-
эффициента отражения |Г|Макс в полосе пропускания либо допу-
стимым рабочим затуханием (вследствие отражения)
101g 1-.Г12 • <3-9)
1 I11макс
В ряде случаев интересуются полосой заграждения ступенча-
того перехода
1Е3 = 2
в3 — в Л — Л3
а —з Q —з о
% -£ з Л_3 -f- Л3
(3.10)
и уровнем заграждения
&3=101gL3. (3.11)
Обозначения ясны из рис. 3.2.
Если ступенчатый переход применяется для согласования двух
передающих линий, то обычно заданы перепад волнового сопро-
тивления R, полоса пропускания Wn (либо коэффициент перекры-
тия диапазона и допуск на рассогласование |Г|Макс- Иско-
Лп /
мыми являются: число ступенек п, их длина I и волновые сопро-
тивления ступенек р».
При использовании ступенчатых переходов как прототипов
фильтров задаются полосой пропускания ТГц, допуском на раосог-
110
ласование |Г|Макс (или Ьп—максимальным допустимым затуха-
нием в полосе пропускания), полосой заграждения 1Г3, затуханием
в полосе заграждения Ь3. В случае такого использования ступен-
чатых переходов искомыми являются число ступенек п и перепа-
ды волновых сопротивлений соседних ступенек:
Конструированию ступенчатых переходов между двумя пере-
дающими линиями посвящено множество работ. Развитие теории
шло от приближенных представлений (см. [5, 6]) к более точным.
В точной теории ступенчатых переходов различают два направ-
ления: метод неопределенных коэффициентов и классический ме-
тод синтеза.
Метод неопределенных коэффициентов [7, 8, 9] приводит к до-
статочно простым соотношениям, позволяющим непосредственно
рассчитывать волновые сопротивления ступенек и другие величи-
ны, а потому даёт возможность с помощью простейших вычисле-
ний получить результаты, обладающие высокой точностью. Между
тем он пригоден лишь для систем, содержащих не более четырех
ступенек. При большем числе ступенек громоздкость получаемых
выражений является препятствием для использования метода.
Классический метод синтеза [10, 11, 12] пригоден для исследо-
вания переходов с произвольным числом ступенек, однако требует
большой точности вычислений в промежуточных расчетах, а по-
тому хорошо сочетается с использованием электронно-счетных
машин.
3.2. Точные методы расчета ступенчатых переходов
с чебышевской частотной характеристикой
А. Синтез методом неопределенных коэффициентов.
Как указывалось выше, функция рабочего затухания ступен-
чатого перехода является полиномом от cos 0 (3.4).
Для перехода с чебышевской частотной характеристикой функ-
ция рабочего затухания описывается следующим выражением:
£ = [Ги|2 = 1+Л2Г2(х)= 1Д-Л2Г2(— ) , (3.12)
где L — функция рабочего затухания,
п — число ступенек, Тп(х)—полином Чебышева первого ро-
да га-го порядка, h и S—амплитудный и масштабный множители.
Коэффициент h связан с допуском на рассогласование |Г| макс со-
отношением
_ ____1Г|макс__
У 1 _ |Г|2 ’
еСЛИ 1Г1 макс ТО
Л = |Г|такс.
(3.13)
111
Частотная характеристика, соответствующая (3.12), изображе-
на на рис. 3.3.
В соответствии со свойствами полиномов Чебышева ступенча-
тый переход с чебышевск-ой характеристикой является в опреде-
ленном смысле оптимальным.
Например, при заданных пе-
репаде волнового сопротивления
УТ?, допуске на рассогласование
|Г|макс и фиксированной полосе
пропускания чебышевский сту-
пенчатый переход обладает ми-
нимальной длиной по сравнению
с переходами других типов.
При исследовании чебышев-
ских ступенчатых переходов, а
также и ступенчатых переходов
д с максимально плоской характ.е-
оистикой будут приняты некото-
2 рые предварительные ограниче-
ние. 3.3 ния. Эти ограничения следующие:
переход предполагается обра-
тимым, реактивным и антнметричным четырехпо-
люсником. Первые два условия представляются естественными,
последнее же (антиметрия) не является обязательным, однако су-
щественно упрощает синтез, не вызывая при этом ущерба в общ-
ности результатов. Напомним, что обратимость, реактивность и
антиметрия четырехполюсника (см. гл. 1) приводят к следующим
связям между его параметрами:
реактивность:
^=Га, (3-14)
(3.15)
обратимость
T12T21= 1, откуда |Тц|* 2 * * * * * В= 1 + IT^al2, (3.16)
антиметрия
Т12=Т21, (3-17)
причем из (3.15) и (3.17) следует
Im Т12 = 0 (3.18)
— условия антиметрии реактивного четырехполюсника; ниже это
условие будет неоднократно использоваться.
В гл. 1 было показано, что для реактивного четырехполюсника
4ц, А22 — вещественны и Л|2, Л2| — мнимы.
112
т. е.
Связь между элементом Та и элементами матрицы [4] опреде-
ляется равенством
Т12 = Re Т12 -т- i Im Tl2 = {А — D—i (В—С)} (3.20)
и таким образом для антиметричного четырехполюсника
В = С, (3.21)
и
T12=-l-(4-D). (3.22)
Сравнивая (3.12) с (3.16) с учетом (3.18) и (3.22), получаем
соотношение, необходимое для синтеза чебышевских ступенчатых
переходов:
J_(4-D) = /Ir„(x). (3.23)
Исследование чебышевских переходов начнем с простейшего
случая, — двухступенчатого перехода (рис. 3.4).
Рис. 3.4
Матрица [а] двухступенчатого перехода равна произведен'ию
матриц его ступенек, т. е. отрезков линий с различными волновы-
ми сопротивлениями:
cos© ipisin© cos© ip2sjn©
lal = . sin О . sin 0
1 COS © 1 cos ©
Pi J L Ps
113
(Перемножая матрицы ,и производя нормировку, ом. (1.138),по-
лучаем
(cos2 0 — — sin2 01 ]/7?
\ Pi I
i (— + —) VR sin 0 cos0
\ Pi Pi /
j Pi + Pi. sjn Q cos 0
VR
(cos2© — — sin2 ©^ -7=
\ Pi /VR J
(3-24)
где Pi=^r. Pi=^-«
Р» Po Л
Требуя в (3.24) выполнения условия антиметрии (3.21), на-
ходим
р ^_£2 sin 0 cos 0 = (-1-]/ /? sin 0 cos ©,
V R \ Pi Pi /
откуда
PiPi = /?. (3.25)
Равенство (3.25) является таким образом условием антиметрии
двуступенчатого перехода. Это же условие сохраняется при лю-
бом числе звеньев. Итак, общее условие антиметрии ступенчатого
перехода имеет вид [10]
P/P„+1_z =R (i=l,2...n). (3.26)
Отсюда следует также и другая форма условия антиметрии
Гг=Г„+2_., (3.27)
которая формулируется так: коэффициенты отражения на стыках
ступенек, равноотстоящих от центра перехода, равны друг другу.
Перейдем к определению соотношений между волновыми со-
противлениями ступенек. Для двуступенчатого перехода (п = 2)
выражение (3.23) записывается в виде
_L(4—Д) = й(2х2— 1) = й (А-! ) cos2©—A sin2 0. (3.28)
Из (3.24) следует, что
тИ-о>=т((^-йНв-(^ Й=)5'"*в)-
(3.29)
Сравнивая (3.28) и (3.29), находим:
— (Уя—7=}=h (А—1) -
2 V VR) \S2 )
— ^-Ц = /г-
2 \ Pi Pi ПГ/
(3.30)
(3.31)
114
Из ур-ния (3.30) определяем масштабный множитель
S у 2 \ ‘ 2hVR)
Выражение для масштабного множителя
числе ступенек будет получено далее.
Решая (3.31) с учетом (3.25), получим
Рг=Кh v^ + и^+Т
и
(3.32)
при произвольном
(3.33)
Р2 =
(3.34)
на этом синтез двуступенчатого перехода заканчивается.
Метод неопределенных коэффициентов, проиллюстрированный
выше на примере двуступенчатого перехода, может быть приме-
нен также к трехступенчатому и четырехступенчатому переходам;
естественно, что при этом соответствующие выкладки значительно
усложняются. Ниже без доказательства приведены основные рас-
четные соотношения для случаев п=3 и п=4.
Уравнение для определения pi трехступенчатого чебышевского
перехода (п=3) имеет вид
— = р2 + 2Р1]/^-4— (3.35)
tg1 2e0 Pi Р1
где
cos©0 = S,
©о — определяет положение двух крайних нулей частотной харак-
теристики. Кроме того (см. (3.26)],
Р2=и R
R
Рз= —
Pi
(3.36)
Для четырехступенчатото перехода (п=4) выражение для при-
веденного волнового сопротивления первой ступеньки
Р1 = /Г (3.37)
где
£ ( 2/а (а — R)
2 I (/У+Я)2
а2 — /?*
R (/5> /г)2
(tg20!+tg2©2) +
1 /2 /?)
4 I (/а -> /?)2
И5
'I
При этом
{R-1)R_ тЛ^^-ip - ?
a 2tg201tg262^ V 4tg*01tg«02 ’
а .нули полинома Чебышева определяются равенствами: '
cos ©i = S cos — ,
8
Волновые сопротивления остальных ступенек рассчитываются
с учетом (3.26)
R
р2 = —
Рз
»
Рз = -^- L (3.38)
При п>4 вывод формул для волновых сопротивлений ступенек
становится достаточно громоздким, а потому в этих случаях сле-
дует использовать иные методы синтеза, описанные далее.
Вернемся к (3.12) и установим для переходов исследуемого
типа некоторые общие соотношения, вытекающие из свойств по-
линомов Чебышева.
При значении переменной
cos©=+l = 0, —, 1
\ X 2 )
можно считать (например, когда >оо), что вместо ступенчатого
перехода имеется скачок волнового сопротивления с перепадом
/?= — .
Ро
Таким образом, при 0=0 ур-ние (3.12) надо приравнять квад-
рату модуля Гц скачка волнового сопротивления [см. (1.221)]:
L = = 1 + (-L) = , (3.39)
следовательно,
откуда
S=-TT-5-------<3-41)
ch | — Ar ch С |
\ п /
116
Ar ch С
Аг ch“
S
(3-42)
Другие свойства полиномов Чебышева определяют максималь-
ное значение функции рабочего затухания ЛмаКс на краю полосы
пропускания, где
cos6M _ , .
Ли - ------- I 1 .
S
согласно (3.12), (3.39) и (3.43) имеем
(3.43)
L = 1 _|_ /j2 = 1 _]_ d£____________1)1
макг + + 4R п \ S )
(3.44)
С другой стороны (см. рис. 3.3), очевидно, что
cos 0_п =5
COS 0П — COS (л— 0_п)
2л1 Q 2л1
(3.45)
Из (3.45) определяем граничные длины волн Лп и Л-п и поло-
су пропускания чебышевского ступенчатого перехода
. 2л I
л — arc cos S
2л I
arc cos S
Подставляя (3.46) в (3.6), получим:
lFn = — arc sin S,
(3.46)
(3.47)
(3.48)
Теперь установим связь между общей длиной lQ = nl ступенча-
того перехода и другими его параметрами. Согласно (3.46) длина
ступеньки
откуда с учетом (3.41) длина перехода, отнесенная к граничной
длине волны
I
= — п arc cos
ch I — Аг ch С
(3.50)
। \ п
Основываясь на свойствах полиномов Чебышева [см. (3.13), и
(3.40)], можно утверждать, что (3.50) определяет минимальную
117
достижимую длину монотонного ступенчатого перехода при задан-
ных п, |Г I макс* R, Л-п и Лп.
Заметим [см. (3.49)], что длина ступеньки всегда равна четвер-
ти средней длины волны Ло, определенной в линии передачи. При
отсутствии дисперсии.
Ло = Хо
и представляет собой среднюю длину волны рабочего диапазона
частот, соответствующую
откуда
1 — 2^п^—п
При наличии, дисперсии Ло вводится по аналогии, как некоторая
средняя величина между Лп и Л_п.
Б. Классический метод синтеза
В предыдущем разделе отмечалось, что применимость ме-
тода неопределенных коэффициентов для синтеза ступенчатых
переходов ограничивается числом ступенек п=4. При большем
числе ступенек применяется метод весьма сходный с известным в
теории /.С-цепей методом синтеза по рабочему затуханию. В даль-
нейшем мы будем называть его классическим.
Рассматриваемые ступенчатые переходы по-прежнему пред-
ставляют собой антиметричные реактивные четырехполюсники,
волновая матрица передачи которых имеет вид
m^[ReT11+ilmTu ]• |7\i|2 1 (3 51)
L/IW-l ReTu-ilmTn J ’
В классическом методе синтеза первый этап задачи состоит в
отыскании комплексной величины
Тц — Re Тц -|- i Im Ти (3.52)
по известному ее модулю [Tuf; тем самым определяется и вся
матрица (3.51).
На следующем этапе — этапе реализации ступенчатого перехо-
да — удобнее перейти от матрицы [7] к матрице [а]. Пользуясь
переходными соотношениями (см. гл. 1), находим матрицу ,[а]:
(а]
—^(ReTn+ Та) i, /?1тТи
V К
i Im Ти VR (Re Ти-Та)
(3.53)
118
После этих общих замечаний проследим метод синтеза
подробно:
' j) Записываем функцию рабочего затухания
L = |ТХ1|а = 1 + Й2Т2 = 1 + Л27^(х),
где 7\(x) = cos(narccos х) (л=1, 2, 3 . . .)
2) Определяем корни уравнения l+h2T2n (х)=0:
/ 1 - г----TT~ys ч
л (4/4-1) . 1п
х„ = cos —L— - ch —
* 2n
п
п
n(4v-M) 1П\Л
+ i sin---2Й----sh--------
(v= 1, 2, . . ., 2л)
3) Из найденных 2п корней
Х1, х2, . . ., х2„
выбираем п устойчивых. Для этого необходимо ввести
ременную (11, 13]
cos О
р = -----
i sin 0
Поскольку
COS0V
~ S ’
1
более
(3.54}
(3.55}
новую пе-
(3.56)
Р? =
Если представить х v в виде
1 .. 1
то
Ру
Ф lb 1
cos -t i sin , (3.57)
где
. i ( sin 2tpv \
= arc tg I------------------- .
Yv 6\ S21 Xv |2 — cos 2?v ) I
Устойчивыми будут те из корней, которые располагаются в ле-
вой полуплоскости р. Обозначим их через
Pi, рг, . . ., Рп-
119
4) Устойчивый коэффициент передачи
V1 4 h?T2 (1/S)
Ти(р)=-----г п _- (р-Pi) (р~Рг) . . .(Р~Рп) (3.58)
Г(Р2 -1)"
определяется согласно (1.304) и метода индукции.
5) Подставляя (3.56) в (3.58), выражаем элемент матрицы пе-
редачи Т) 1 через основные переменные cos© и sin©. Выделяя ве-
щественную и мнимую части (см. (3.52)], определяем классическую
матрицу передачи [я] [см. (3.53)].
6) Завершающим этапом синтеза является выделение из ре-
зультирующей матрицы передачи [а] составляющих, — матриц —
сомножителей, соответствующих ступенькам перехода. С этой
целью матрицу перехода [а] умножаем слева на обратную матрицу
одиночного отрезка передающей линии (ail-1- Следуя матрице пе-
редачи отрезка линии [см. (1.57)] и правилам матричной ал-
гебры, записываем
'cos 0
— i psin0‘
. sin 0
— 1 ----
P
(3.59)
COS 6
Требуя, чтобы степень полиномов, описывающих элементы мат-
рицы, полученной после такого умножения, .понизилась бы на еди-
ницу, решаем уравнения относительно неизвестного волнового со-
противления р. Повторяя умножение слева на (3.59) столько раз,
сколько ступенек в переходе и, решая уравнения понижающейся
степени, определяем волновые сопротивления ступенек всего пе-
рехода.
Пример. Определить приведенные волновые сопротивления пятиступен-
чатого (п=5) чебышевского перехода, у которого перепад волнового сопротив-
ления " '"'
1.
/?=10, а допуск на рассогласование | Г| макс =0,02.
Вычисляем масштабный множитель S, пользуясь (3.13), (3.40) и (3.41):
S — 0,65223.
В соответствии с (3.55) вычисляем корни v=l, 2,... 10. При этом, если
вести расчеты корней с точностью до пятого знака после запятой, то волновые
сопротивления ступенек будут определены с гарантированной точностью до
третьего знака после запятой:
X! = 0,00000 i 1,05686,
х2 = - 1,38376-^10,32659,
х3 = 0,85521 + i 0,85502,
х4 = 1,38376 -М 0,32659,
х6= — 0,85521’4-1 0,85502,
хв = 0,00000—1 1,05686,
х7 = — 1,38376—i 0,32659,
xs = 0.85521 —i 0,85502,
хв = 1,38376 —i 0,32659,
Л]о = —0,85521 —i 0,85502.
2.
120
Корни Xi, хг, ..., Хю расположены на эллипсе [см. .рис. 3.5].
3. Пользуясь (3.57), переходим к корням, определенным по переменной р.
Устойчивые корни расположены в левой полуплоскости:
Pi = — 0,56755 4- i 0,00000,
р2 ==— 0,94073 —i 1,01617,
Рз = —0,63534 — 1 0,35306,
р4 = —0,94073 4. i 1,01617,
р6 = — 0,63534 + i 0,35306,
4. Элемент волновой матрицы передачи — устойчивый коэффициент пере-
дачи равен [см. 3.58]
/1 4-A2Tf (1/S)
Л1 = -----. ------- --- (Р — Р1) (р — Р2) (Р — Рз) (р — Pi) (Р — Рб) .
V(P2-!)6
после преобразований получим
(р) = (Сзр5+Cipl Сзр3 + Сарг ~ С1Р с«)
где
С5= 1,739250; С4=6,469457; С3 =41,523557; С2= 10,740909;
<4=5,148333; С0=4,0.
5. Возвращаясь к старым переменным cos 9 и i sin 0 [см. (3.56)] получим:
I'll = (Сх + С3 + С6) cos3 0 - (С3 + 2Cj) cos3 0 -=
4- Cj cos 0 4- i sin 0 [(C4 4- C2 4- Co) cos4 0 —
— (C2 + 2Cq) cos2 0 + Co) =
= 18,41114 cos3 0 — 21,82022 cos2 0 4-
+ 5,14833 cos 0+
4- i sin 0 (18,21037 cos4 0 — 12,74091 cos2 0 1);
-j- , /cos0\ 16ft 20ft 5ft
T21 = ЛГ6 I I = — cos3 0 — — cos3 0 + — cos 0 =
\ S ] S* S3 S
= 2,71159cos3 0 — 1,44191 cos2 0 4-0,15335 cos0;
121
6. Определяем элементы матрицы [а], используя матричное равенство (3.53).
Дри этом можно ограничиться вычислением численных значений двух элементов:
au = —(Re Гц + Ти) = 6,67959 cos» 0 -
V К
— 7,35613 cos» 0 + 1,67654 cos 0;
a21 = i —l— Im Гц = 1 sin 0 (5,75862;cos* 0 — 4,02903 cos* 0 > 0,31623).
V R
7. Умножая обратную матрицу ступеньки (3.59) на матрицу перехода (3.53),
в которую входят полученные элементы an и ан, получим численные выраже-
ния для элементов матрицы передачи оставшейся части перехода:
au = cos» 0 (6,67959 — pi 5,75862) —
— cos» 0 (7,35613 — Pj 4,02903) > P10,31623;
— 6,67959W
Pi /
atl = i sin 0
В
меиты
пенью
равен
> cos» 0 (4,02903 — — 7,35613 |>
\ Pi /
>cos 0 (o,31623 — — 1,67654^1 .
\ Pi /J
результате перемножения должна получиться матрица передачи [а], эле-
которой представляют собой полиномы с поиижеииой на единицу сте-
старшего члена. Иными словами, коэффициент при cos» 0 должен быть
нулю, а потому
6,67959 ,
Р1~ 5,75862 "" ’
Подставляя полученное численное значение pi в выражения для an и 021,
приходим к полиномам:
ац = 3,99684cos» 0 — 3,36365 cos2 0 > 0,36680;
a21 = i sin 0(2,31285 cos» 0— 1,12915 cos 0).
Умножая матрицу (3.59) иа [a], содержащую найденные выше элементы an
И 021, получим выражения:
au = cos» 0 (3,99684 — р2 2,31285) >
-Ь cos» 0 (3,36365 — р2 1,12915 — р2 2,31285) >
> cos 0 (0,36680 —ps 1.12915);
a21 = i sin 0 [cos4 0 (2,31285—:—3,99684^>
L \ P2 /
> cos* 0 (1,12915 — — 3,36365^— —0,366801 , .
\ P* / Р» J
откуда
3,99684
р2 = = 1,72810.
Н2 2,31285
Действуя аналогичным образом, получаем
ps = 3,16228; р* = 5,78669; р» = 8,62122,
1 00
Проверка численных значений волновых сопротивлений ступенек, найден-
ных в результате синтеза чебышевского ступенчатого перехода, осуществляется
по оценке величины входного коэффициента отражения |Г|вх при 0=
I г I _ J ~ ^DX
|Г|“" 1+Яах •
Для четного п
D Р1Р3 - - р£—1
— 2 2 2
Р2Р4 • • Рп
I г I вх = I Г I макс
Для нечетного п
рЫ • • Рп
р^р2 . . '.р2-!* ’
I г I вх = 0
В частности, используя (3.6Й), оценим точность проведенных вычислений
численных значений волновых сопротивлений ступенек
1,162- 3,1622-8,6212
1,7282-5,7872-10
и соответственно
I Г |вх = 0,000045,
что свидетельствует о точности расчетов.
RbX -
= 0,99991
n
~2
(3.60)
(3.61)
(3.62)
3.3. Точные методы расчета ступенчатых переходов
с максимально плоской частотной характеристикой
А. Синтез методом неопределенных коэффициентов
Ступенчатым переходом с максимально плоской частотной
характеристикой называется переход, функция рабочего затухания
которого описывается выражением
L = ITnl2 = 1 Q2« cos2" 0, (3.63)
где п — число ступенек, Q — доброт-
ность перехода, определенная по уров-
ню рабочего затухания, 3 дб.
Примерный вид частотной харак-
теристики, рассчитанной с помощью
(3.63), показан на рис. 3.6. Свойства
переходов с максимально плоской ча-
стотной характеристикой определяют-
ся двумя параметрами (Q и п), что
обусловливает жесткую связь между
допуском на рассогласование и пере-
крытием диапазона (полосой пропу-
123
скания). Напомним [см. (3.12)], что чебышевская частотная харак-
теристика вносимого затухания определяется тремя свободными
параметрами (h, S и п), а потому допуск на рассогласование и по-
лоса пропускания могут задаваться независимо.
Ступенчатый переход с максимально плоской частотной харак-
теристикой подобно чебышевскому переходу можно использовать
в качестве прототипной схемы фильтра. При этом выражение
(3.63) преобразуется к виду
L = 1 + й2 • (3-64)
где Л и S — амплитудный и масштабный множители; они имеют
тот же смысл, как в случае чебышевского ступенчатого перехода
[см. (3.12)].
Множители h и S связаны с добротностью Q выражением:
Q = LA (3.65)
s
Введение этих множителей позволяет унифицировать методику
расчета переходов двух типов.
Если сравнивать чебышевский переход с переходом, обладаю-
щим максимально плоской частотной характеристикой, то послед-
ний при одинаковых значениях R, |Г|Макс и И7П имеет большую
длину и реализует технические требования менее экономным обра-
зом. Однако можно показать, что переход с максимально плоской
частотной характеристикой имеет более линейную (по сравнению
с чебышевским) фазо-частотную характеристику.
Перейдем к определению соотношений между волновыми сопро-
тивлениями переходов с максимально плоской частотной характе-
ристикой. Заметим, что свойства этих переходов описываются той
же матрицей передачи (3.19), что и чебышевские ступенчатые пе-
реходы. При этом сохраняется условие
В = С,
а равенство (3.23) принимает вид
~(А—£>) = Q«cosn0 = i (]/Я—-^=jcosn0. (3.66)
Справедливость последнего выражения будет показана ниже
[см. (3.73)].
Рассмотрим предварительно случай двуступенчатого перехода
(п = 2), для которого справедлива матрица (3.24). Как и раньше,
условие (3.21) приводит к равенству (3.25), обобщаемому на слу-
чай перехода с п ступеньками [см. (3.26)].
Сравнивая (3.29) с (3.66), приходим к выводу, что
Pl -L- = o
Ра Pi VR
124
о.
пере-
(3.67)
тр ex-
(3.68)
Pi
сопротивления то формулам [см.
(3.69)
то
и, таким образом, устанавливаем, что для двуступенчатого
хода справедливы соотношения
Pi = УI
P2=t Я5 I ’
Действуя подобным же образом, можно показать, что для
ступенчатого перехода (n=3) pi определяется из уравнения
р;+2р1/й_£_^
Р1
а оставшиеся два волновых
(3.26)]
р2=/₽
R
Рз = —
Pi
Можно показать, что (3.68) может быть получено и непосред-
ственно из (3.35), если положить 0о= действительно, посколь-
ку нули чебышевской частотной характеристики
@ _ 2л/ _ я
° АО’2»' 2 Л<‘’2> ’
при 8о= — должно существовать равенство
A„ —Л<*)= Л<2) .
Отметим, что чебышевский ступенчатый переход преобразуется
в переход с максимально плоской частотной характеристикой в
том случае, если все нули частотной характеристики стягиваются
в одну точку.
Исследование четырехступенчатого перехода (п = 4) показы-
вает, что волновые сопротивления ступенек определяются соот-
ношениями
рх = А \rR , р2 = pi /7?
P3-P2^f, р4 = -^-
Д2 р!
где коэффициент А вычисляется из уравнения
J---А2=2 .
л2 VR+1
Выражения (3.70) и (3.71) являются частным случаем урав-
нений (3.37) и (3.38) при 01 = 02=-£-•
(3.70)
(3-71)
125
Формулы (3.67)—1(3.71) отличаются от соответствующих вы-
ражений для чебышевских переходов тем, что определяемые ими
волновые сопротивления ступенек не зависят от допуска на рас-
согласование. Отмеченная особенность объясняется однозначно-
стью зависимости между допуском на рассогласование и полосой
пропускания в переходах с максимально плоской частотной харак-
теристикой.
При п>4 вывод точных формул для волновых сопротивлений
ступенек методом неопределенных коэффициентов затруднителен.
В этих случаях пользуются другими методами синтеза, о которых
скажем ниже.
Установим теперь некоторые общие соотношения для перехо-
дов с максимально плоской частотной характеристикой. Исполь-
зуем для этого ур-ние (3.63).
Полагая cos0=±l (например, при 7.->оо) и действуя по ана-
логии с (3.39), получим
L = LR = 1 + Q2n = = 1 - , (3.72)
4Я 4R
следовательно,
Qn=-^L=—/V#-----------У- (3.73)
2/7? 2 \ VRJ
На границе полосы пропускания ступенчатого перехода, когда
0 == 0_п, рабочее затухание принимает наибольшее значение
, Ю 1g Т-макс
где j _ 1
ЬМакс- .2
1 I1 1макс
(3.74)
С учетом сделанных замечаний и (3.73) выражение (3.63) при-
нимает вид
7макс=1^—^-COS2«0.
макс 4/?
откуда
Сх = |cos 0_п|" = 2
следовательно,
0_п = arc cos
2|Г|макс
7? —1
R
1-|Г£акс
Разрешая ур-ние (3.76) относительно п, получаем
п =__________tea_______
lg(|cos0_n|) ’
(3.75)
7?
1 — 1Г12
1 I11макс
(3.76)
(3.77)
(3.78)
126
где Ci связано с допуском на рассогласование | Г | макс и перепа-
дом волнового сопротивления R соотношением (3.76).
Можно убедиться в том, что (рнс. 3.6)
где
вп = л—в_п,
(3.79)
2а I
(3.80)
откуда
2а I
(3.81)
Подставляя (3.79) в (3.6), получим
Fn=2(i- —е_п')
\ a ]
(3.82)
и соответственно
(3.83)
Перекрытие диапазона [см. (3.79), (3.81) и (3.83)]
(3.84)
Полоса пропускания ступенчатого перехода с максимально
плоской частотной характеристикой определяется равенствами
(3.82) и (3.77)
Длина перехода [см. (3.81) и (3.77)]
/0 = nl — п arc cos
Число ступенек [см .(3.78) и (3.83)] рассчитывается по фор-
муле
где Ci определяется согласно (3.76).
127
Выражения (3.74) — (3.87) использовались при составлении рас-
четных таблиц в [3].
Б. Классический метод синтеза
Этот метод используется для синтеза ступенчатых перехо-
дов с максимально плоской частотной характеристикой в тех слу-
чаях, когда необходимо получить точные значения волновых со-
противлений ступенек, число которых превышает четыре (п>4).
При проведении операций синтеза функцию рабочего затуха-
ния перехода с максимально плоской частотной характеристикой
[по аналогии с (3.54)] удобнее записать в виде
L = |TU|2= 1+й2 j2"= 1+й2хЧ (3.88)
Можно убедиться в том [см. (3.65) и (3.72)], что
S" =^? , (3.89)
К — 1
I г I
где по-прежнему [см. 3.13] h= ^=-_.мак— = .
К1 -нс...
Приравнивая нулю (3.88), получим уравнение
1 + Л2х2« = 0. (3.90)
Общее выражение для корней (3.90) записывается в виде
1 Г (27 — 1) л , . . (2> —1).т|
v-r- -cos~sr-±ls'nSr- <3-9»
У « -*
(v= 1, 2, . . ., 2n)
переход от корней ху к корням pv осуществляется с помощью
(3.57), как и прежде, отбираются устойчивые корни
Р1, Р2, . Рп,
расположенные в левой полуплоскости р.
По аналогии с (3.58) комплексное значение элемента волновой
матрицы передачи имеет вид
1/ 1 —
У * + С2Л
Л1(Р) = -у={р2__ 1)Я (Р~Р») (Р—Р2) • • .(р—Рп), (3.92)
! h2
где коэффициент при старшем члене д/ 1 _|_---- определен по
V s2n
методу индукции.
Выражение (3.92) может быть представлено в ваде комплекс-
ной величины (3.52), определяющей матрицу передачи (3.51), и
служит для синтеза ступенчатого перехода, частотная характери-
стика которого описывается выражением (3.64).
128
Остальные этапы, синтеза такие же, как в случае чебышевских
ступенчатых переходов.
Как отмечалось выше, соотношения между волновыми сопро-
тивлениями переходов с максимально плоской частотной характе-
ристикой не зависят от допуска на рассогласование |Г|макс или Л
(см. разд. 3.3). В качестве одного из методов проверки правиль-
ности численных значений волновых сопротивлений ступенек мож-
но проводить повторные вычисления при различных величинах
|Г|макс. С другой стороны, можно использовать проверочные
ф-лы (3.61) и (3.62). Однако как в случае четного, так и нечет-
ного п, выражение (3.60) даст одинаковый результат |Г|Вх=0
Пример. Необходимо определить волновые сопротивления ступенчатого
перехода с максимально плоской частотной характеристикой, для которого из-
вестно число ступенек п=4 .и перепад волнов'ого сопротивления /?=б.
1. Для определенности расчета выбираем |Г|макс=0,05. Как отмечалось
выше, эта величина может иметь достаточно произвольное значение.
С помощью (3.89) и (3.13) находим: 1/гох
4 = 0,050063,
S4 = 0,055972. /Д | /X
2. Пользуясь (3.91), вычисляем корни , / \ I / \х4
х1 = — 1,953151 4- i 0,809023, /^\ \ /
х2 = — 0,809023 + i 1,953151, '*££1_______________________1_2Л
х3 = 0,809023 + 1 1,953151, /
х4 = 1,953151 4- 1 0,809023, / \
х6= 1,953151 — 1 0,809023, X. / j \ /
хв = 0,809023 — i 1.953151, , \/
х7 = —0,809023 — 1 1,953151,
х8 = — 1,953151 — 1 0,809023. ♦’1тх
Рис. 3.7
Корни Xi, хг, хз, х8 располагаются по окружности рис. 3.7.
3. С помощью соотношений (3.57) переходим к переменной р. Отбирая ус-
тойчивые корни, расположенные в левой полуплоскости, получим:
= — 0,983546 + 1 0,610406,
р2= —0,732261 +i 0,141144,
р3 = —0,983546 — 10,610406,
р4= —0,732261 —i 0,141144.
Как и в случае чебышевских ступенчатых переходов, расчеты корней про-
водим с точностью до пятого знака после запятой, что обеспечивает гаранти-
рованную точность вычисления волновых сопротивлений ступенек с точностью
до третьего знака после запятой.
4. Находим устойчивый коэффициент передачи [ом. (3.92)]
1,3416
Т = /(р2_ 1)4 & “ (Р — ₽*> (Р — Рз) (Р — Л) •
5—488
129
5. Переходя к основным .переменным [ом. (3.56)], получим:
7’ц = 8,750594 cos4 О — 8,408953 cos2 О +
-4- 1 + i sin,0 [8,704556 cos’ в — 4,100561 cos 0];
7'2i ~ — cos4 0 = 0,894429 cos4 0 .
6. Определяем элементы классической матрицы передачи [см. (3.53)]:
1
Оц = (Re Тц + 7'2i) = 4,313385 cos4 0 —
Г
— 3,760598 cos2 0 +0,447214;
«21 — i Im 7'ц =
= i sin 0 (3,892796 cos3 0 — 1,833827 cos 0).
7. Умножая обратную матрицу ступеньки (3.59) на матрицу передачи [а]
перехода, содержащую элементы Дп и a2i, получаем новую матрицу передачи
оставшейся части перехода, элементы которой соответственно равны:
au = cos3 0 [4,313385 —pi3,892796] —
— cos3 0 [3,760598 — Pi 5,726622] +
4- cos 0 [0,447214 —pj 1,833827];
о21 = i sin 0 17 3,892796 —— 4,313385 1 cos4 0 +
1Л Pi /
( 1,833827 — — 3,760598) cos2 0 —— 0,447214
\ Pi / Pi
Как и в случае чебышевского ступенчатого перехода, ожидается получение
элемента матрицы передачи ап в виде полинома пониженной степени
4,313385
р, = —---------= 1,108043.
Р1 3,892796
Подставляя численное значение pi в выражения, описывающие Оц и
получаем
Оц = cos4 0 [2,584746 — р2 1,560083] —
— cos2 0 [ 1,584745 — р2 1,963690] — р2 0,403607;
ап = i sin 0 17 1,560083 — — 2,58474б) cos3 0 —
L\ Р2 /
—0,403607
откуда;
₽2 —
2,584746
Т2——— = 1,656800. ’
1,560083
130
Действуя аналогичным образом, вычисляем
р3 = 3,018062; р4 = 4,513348-.
Проверку полученных результатов произведем с ислользова.нием (3.60) я
(3.61). При этом
1,10804^-3,0180622- 5 ппппЛ1
RBX = —------- = —------------------= 1,000004.
вх О2О2 1,6568002-4,5133482
"2 "4
и соответственно
1 — Rb-x
1Г 1вх = , , D = 0,000002.
1 ^вх
Как и следовало ожидать, в рассматриваемом случае
|Г|вх-»0 .
в отличие от результата использования тех же формул при исследовании чебы-
шевских переходов с четным числом п ступенек, когда
| Г I вх ~* I Г | макс •
Произведем сравнительную оценку параметров чебышевских
переходов и переходов с максимально плоской частотной характе-
ристикой. С этой целью приравняем (3.44) и (3.76). Получим
cos 0_п = п , (3.93)
/ Tn(l/S)
откуда
S =—п-----------------j------- . (3.94)
л । ,. A”h [(Jsezyjl
Полученное выражение связывает параметр 0-п, а следова-
тельно, полосу пропускания Wn [см. (3.82)] перехода с максималь-
но плоской частотной характеристикой с параметром S, опреде-
ляющим полосу пропускания перехода с чебышевской частотной
характеристикой [см. (3.47)].
Запишем полосу пропускания чебышевского ступенчатого пе-
рехода
№п1= — arc sin S (3.95)
и соответственно полосу пропуюкания перехода с максимально
плоской частотной характеристикой
№п2 = 2 (3.96)
На рис. 3.8 показана зависимость =7(№п2), построенная
П2
с помощью (3.94), (3.95) и (3.96). При малых значениях W^, со-
ответствующих большим перепадам волнового сопротивления, рас-
сматриваемое отношение полос пропускания, даже если ограни-
5* • 131
читься п=4, может превысить 1,5, и на эту величину чебышевский
ступенчатый переход оказывается широкополосней перехода с
максимально плоской ча-
стотной характеристикой.
На рис. 3.9 дается со-
поставление обобщенных
частотных характеристик
двух типов [см. (3.12) и
(3.63)]. Следует отметить,
что общий вид частотных
характеристик чебышев-
ского перехода (пунктир-
ные линии) зависит от
допуска на рассогласова-
ние |Г|макс. В то же вре-
мя при синтезе переходов
с максимально плоской
частотной характеристи-
кой используется одна и
та же кривая независимо
от выбранного допуска на
рассогласование. Сказан-
ное объясняется отмечен-
ными выше свойствами
Рис- 38 переходов двух типов —
жесткой связью между
допуском на рассогласование и полосой пропускания в переходах
с максимально плоской частотной характеристикой и свободой вы-
бора этих параметров в чебышевских переходах. Приближенная
теория ступенчатых переходов изложена в [3] и первом издании
настоящей книги.
132
Литература
1 Young L. Stepped—impedance Transformers and Filters prototypes. Trans.
IRE, v. MTT—HO, Sept., 1962.
2. M a 11 h a e i G. L., Young L., Jones E. Microwave filters, impedance mat-
ching networks and coupling structure, me Graw—Hill book Company, 1964.
3. Фельдштейи А. Л., Явич Л. P., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники. Изд-во «Советское радио», 1967.
4. Прохорова Н, И., Фел ьд штейн А. Л. Фильтры с непосредственными
связями. Сб. «Антенны» № 2. Изд-во «Связь», 1967.
5. Туровер Я. М., Струтинский Н. Н. Применение полиномов Чебы-
шева для расчета ступенчатых переходов. «Радиотехника и электроника»,
1956, т. 1, № 2.
6. Кон С. Оптимальная конструкция ступенчатого трансформатора из линии
передачи. «Вестник информации», 1965, № 2Й.
7. К о л л е н Р. Теория и расчет широкополосных многосекционных четверть-
волновых трансформаторов. «Вопросы радиолокационной техники», 1955,
№ 5(29).
8. Фе л ьд штейн А. Л., Явич Л. Р. Инженерный расчет чебышевских сту-
пенчатых переходов. «Радиотехника*, 1960, т. 15, № 1.
9. Фел ьд штейн А. Л., Явич Л. Р. К расчету ступенчатых переходов с
максимально плоской характеристикой. «Радиотехника и электроника», 1960,
т. 5, № 5.
10. Рибле Р. Н. Общий синтез четвертьволновых трансформаторов полного со-
противления. Вопросы радиолокационной техники, 1957, 4 (40).
11. Фельдштейн А. Л. Синтез систем с распределенными постоянными ме-
тодами теории цепей. «Радиотехника», 1960, т. 15, № 11.
12. Явич Л. Р. Синтез ступенчатых переходов с максимально плоской частот-
ной характеристикой. «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7, № 1.
13. Richards Р. Resistor—transmission line circuits. Proc. IRE, 1948, v. 36,
№ 2.
14. Заезд ный A. M. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи.
Госэнергоиздат, 1961.
4. Плавные переходы
4.1. Введение
Плавным переходом (рис. 4.1) называется неоднородная
линия с непрерывно изменяющимися параметрами, соединяющая
две однородных линии и предназначенная для согласования меж-
ду собой их волновых сопротивлений; последние предполагаются
действительными и независящими от
е
рМ
Р(0
частоты.
Методам расчета плавных перехо-
дов посвящена обширная литература,
у/х) /ДО Первые работы в этой области осно-
ваны на решении телеграфных управ-
лений с переменными коэффициента-
ми для некоторых частных случаев
распределения погонных параметров
по длине линии [1, 2]; наиболее про-
стой результат получается для так на-
зываемой экспоненциальной линии
х
Рис. 4.1
(она рассматривается в разд. 4.2). Переходы, рассчитанные ука-
занным точным1) методом, не обладают оптимальными частот-
ными характеристиками. Менее точное, но значительно более ши-
рокое исследование плавных переходов было предпринято после
того, как выяснилось [3, 4], что собственный коэффициент отраже-
ния неоднородной линии может быть приближенно представлен
в виде преобразования Фурье, либо преобразования Лапласа от
функции местных отражений — N (х) = — — In р (х); здесь р (х) —
аХ
зависимость волнового сопротивления от координаты.
Использование указанных приближенных методов позволило
не только существенно расширить класс анализируемых типов пе-
реходов, но и решить ряд задач по синтезу переходов, обладаю-
щих заданными оптимальными свойствами [5, 6, 7], — вероятно-
стных, чебышевских н др. (см. разд. 4.3, 4.4 н 4.5). Следует под-
*) В пределах точности телеграфных уравнений.
134
черкнуть, что при .расчетах монотонных1) плавных переходов точ-
ность приближенных соотношений (при определенной методике
расчета) достаточна даже при больших перепадах волнового со-
противления (7? =С30).
. Монотонные плавные переходы имеют частотные характеристи-
ки, сходные с характеристиками фильтров верхних частот. Если на
длину монотонного перехода не накладывается никаких ограниче-
ний, то любой уровень согласования может быть достигнут в лю-
бом диапазоне частот увеличением длины перехода. На практике
стремятся, однако, при заданных электрических параметрах иметь
минимальную или близкую к минимальной длину перехода. Пос-
леднее требование накладывает жесткие связи на все характери-
стики монотонного перехода' (8]. Эти вопросы подробно рассмот-
рены в разд. 3., 4, 5 данной главы.
Последнее время некоторое внимание уделяется также немо-
нотонным плавным переходам [9], частотная характеристика кото-
рых имеет сходство с характеристиками полосовых фильтров. Не-
монотонные переходы, вообще говоря, могут быть короче моно-
тонных, но при этом резко возрастает сложность их конфигурации;
последняя осложняет технологию, а также ставит под сомнение
применимость приближенной теории и предположение о малом
влиянии местных возмущенных зон. Исследование немонотонных
плавных переходов дано в разд. 8 данной главы.
Вопросы, связанные с многоволнистостью перехода, частично
рассмотрены в работе [10]; в ней показано, что вероятностный пе-
реход обладает дополнительными оптимальными свойствами в
смысле малости местных возмущений поля в волноводе с плавно
изменяющимся сечением. Волноводные плавные переходы, в ко-
торых распространяются несколько типов волн, рассмотрены в
[П] и др.
В данной главе основное внимание уделяется теории и расчету
четырех типов монотонных плавных переходов — экспоненциаль-
ному вероятностному, чебышевскому н компенсированному пере-
ходам.
4.2. Экспоненциальный плавный переход
Экспоненциальным плавным переходом называется пере-
ход, у которого волновое сопротивление изменяется по экспонен-
циальному закону вдоль координаты х; функция местных отра-
жений постоянная величина. Таким образом, для экспоненциаль-
ного перехода имеем
N (х) = No — const, т. е. р (х) = р (0) e2W°x . (4.1)
Если принять также, что постоянная распространения
Y (х) — Y — const,
*) Монотонными называем плавные переходы, в которых изменение волно-
вого сопротивления по длине происходит монотонно.
135
то все дифференциальные уравнения для элементов матрицы [Г]
(2.79) приобретают одинаковый и простой вид:
Л"—(у2 + ^)Л=0
С"-(у2 + Уо2)С = О
В" — (у2 + Л/2)В= О | V ’ 7
D" — (у2 + У2)О = 0
при граничных условиях:
4(0) = D(0) = l; Л'(0) = у; D'(0) = -y1 (4 3)
С(0) = В(0)=0; C'(6) = B'(0) = tf )’
Уравнения (4.2) имеют постоянные коэффициенты и решение
их можно искать в виде
Л = Л1е“х. (4.4)
Подставляя (4.4) в первое из ур-ний (4.2), имеем
— ± /Sf+v (4.5)
и
A = Mi&ax+ . (4.6)
Учет граничных условий приводит к уравнениям:
Л41+М2 = 1
из которых определяются Мг и М2. Подставляя последние в (4.6),
получаем
Л =cha х+—shax. (4.8)
Аналогично решаем остальные три ур-ния (4.2). В результате
определяем элементы волновой матрицы передачи плавного экс-
поненциального перехода
ch a / + — sh a / — sh a /
a I al
— sha/ ch al—— sha/
a I al
(4-9)
136
а также Матрицу рассеяния
Ntl . ,
—- sh a I
a I________
yl
ch a 1 -4 — sh a I
al
[S]=
_________1
YI
ch a 14- —~ sh a I
— r-d
'Для линий без .потерь
__________1_________
V I
ch a I 4- —7 sh a I
al
N«l и ,
—- sha. I
a I___________
V 1
ch a I 4- —' sh a I
al
(4.Ю)
aZ = ]/(ВД—(m/)2 ,
где
пГ=~-, Л7=_11пЖ = — In/?.
Л ’ 0 2 p(0) 2
Структура матриц (4.9) и (4.10) свидетельствует о том, что
экспоненциальный переход относится к классу антиметричных че-
тырехполюсников (7'21 = 7'12). Благодаря простоте описывающих
его соотношений экспоненциальный плавный переход был первым
типом переходов, применявшимся для согласования длинных ли-
ний с различным волновым сопротивлением. Конфигурация его
проста; в коаксиальном варианте профиль внутреннего проводни-
ка практически является линейным конусом, т. е. легко вытачи-
вается.
Как видно из изложенного, закон изменения волнового сопро-
тивления экспоненциального перехода описывается формулой
PW__e(ln7?) ' , (4.11)
Р(0) ~е
что в случае коаксиальной линии приводит к следующему соотно-
шению для переменного по х диаметра внутреннего проводни-
ка d(x)
-2.303 ig -9—\
d(x)~De bo) - л (0)1 , (4.12)
где D — внутренний диаметр внешней трубы,
d(0) —начальный диаметр внутренней трубы.
В волноводном варианте расчетная формула приобретает вид
I In W)| X.
НД = е1 0(0)/ z (413
НО) v ’
где Ь(х) — высота узкой стенки волновода.
Частотная характеристика коэффициента отражения описывает-
ся элементом Sn матрицы [S] (4.10). Эта характеристика весьма
несовершенна (см. рис. 4.2a, сплошные линии).
137
Рис. 4.2
138
Можно показать, что при перепаде волновых сопротивлений
/? = е* 2 * * допуск на рассогласование1) |Г|макс^0,03 достигается
лишь после пятого «всплеска» характеристики, т. е. в этом случае
длина перехода должна быть порядка
— >2,5, (4.14)
Aj
где Лг — длинноволновая граница рабочего диапазона.
Далее будет показано, что соответствующая длина оптимально- '
го монотонного перехода примерно в 34-4 раза короче. Таким об-
разом, экспоненциальный переход неэкономен. Однако Представ-
ляет интерес другое его свойство — наличие точного решения
(4.9) либо (4.10), что дает возможность оценить погрешность пер-
вого приближения в теории монотонных плавных переходов2).,
Выполняя в (2.76) интегрирование, записываем в первом приб-
лижении выражения для элементов матрицы [S] экспоненциального
перехода
sin ml —imi
ml 6
g— Iml
sin ml
ml
(4.15)
и сравниваем его с точным выражением (4.10). Сначала сравним
по модулю и фазе выражения для Sn, определяемые матрицами
(4.10) и (4.45), т. е.
— dial
Su =--------------- и = е“1(т'+л) • (4.16)
ch а I -Ь sh а I
al
Соответствующая серия кривых 15ц| =f(ml) и argSn=<p(m/)
при изменении параметра R от 1 до 50 дана на рис. 4.2а, б-, на
первом из них сплошные кривые — точные, пунктирные — прибли-
женные. Максимум погрешности модуля и фазы приближенного
значения Sn находятся в области заграждения плавного перехо-
да. В области пропускания погрешность резко уменьшается. Ко-
личественные критерии, полученные из анализа кривых рис. 4.2а
сведены в зависимости, изображенные на рис. 4.3, 4.4, 4.5, 4.6. Из
их рассмотрения следует:
а) в полосе заграждения монотонного плавного перехода мак-
симум погрешности Д|5ц|(0 находится в точке ml=Q. На рис. 4.3
*) Допуском на рассогласование называем, как и в предыдущей главе, мак-
симальное значение коэффициента отражения Г в полосе пропускания перехода.
2) Напомним, что погрешность первого приближения в теории монотонных
ступенчатых переходов оценивалась аналогично, путем сравнения точного и
приближенного решения для чебышевских ступенчатых переходов [14].
139
по оси ординат отложена максимальная абсолютная погрешность
модуля в зависимости от перепада /?. Например, при /? = е2
A |Su|(1) = 0,25;
б) в полосе пропускания перехода (т/Х^л) максимум погреш-
ности А |Si 11 (0 расположен в области длинных волн. На рис. 4.4 да-
на зависимость максимальной погрешности в полосе пропускания
(т. е. при определении первого «всплеска») от /?. Например при
£ = 50 погрешность А|£ц|<1><0,04. Таким образом, можно утверж-
дать, что в полосе пропускания результаты приближенной и точ-
ной теории достаточно хорошо совпадают для весьма широкой
области перепадов /?;
в) характерной особенностью точных кривых [5ц| по сравне-
нию с приближенными является сдвиг нулей вправо от оси ml и
140
соответствующий сдвиг вправо всей кривой. Зависимость этого
сдвига от R .изображена на рис. 4.5. Например, при /?=е2 сдвиг
первого нуля составляет 7°. Этот эффект можно компенсировать
удлинением перехода на 54-10%;
г) абсолютная погрешность фазы собственного коэффициента
отражения (argSn) (рис. 4.6) в области заграждения значительно
больше, чем в области пропускания. Так, например, при R = e2
максимум погрешности в полосе заграждения составляет 16°, а в
полосе пропускания только 6°.
Общий вывод состоит в том, что при перепадах /?^30, пост-
роенное определенным образом первое приближение в теории мо-
нотонных плавных переходов дает достаточную точность не толь-
ко при расчете модуля, но даже и при расчете фазы.
4.3. Чебышевский плавный переход
Ранее было показано, что среди монотонных ступенчатых
переходов минимальную длину имеет, при прочих равных условиях,
переход с частотной характеристикой, описываемой полиномами
Чебышева.
Среди монотонных плавных переходов наименьшую длину бу-
дет иметь предельный случай ступенчатого чебышевского перехо-
да— предельный (плавный) чебышевский переход. ' Рассмотрим
функцию рабочего затухания ступенчатого чебышевского перехода
1Л1|2 = 1+Л2Т2р—) , (4.17)
\ 5 /
где масштабный множитель S, длина ступени I и общая длина /0
соответственно равны:
— = ch (— Ar ch ? /= —arccosS, (4-18)
S I п 2hVR ) 2л v
l0 = nl.
Зафиксировав Л2, R и | Г|макс и неограниченно увеличивая чис-
ло ступеней п, имеем следующие предельные соотношения:
которые и определяют параметры плавного чебышевского перехо-
да. Соответствующие кривые даны на рис. 4.7, 4.8. Частотные ха-
141
рактеристики на рис. 4.7 и 4.8,ч вычисленные по ф-ле (4.17) и ее
предельной форме (4.19), показывают, что ступенчатый чебышев-
ский переход сходен с полосовым фильтром, а предельный его
случай —с фильтром верхних частот. Методика расчета зависимо-
Рис. 4.7
сти волновых сопротивлений от координаты плавного перехода
основана на соотношениях первого приближения.
Для реактивного четырехполюсника
| Тц I2 =----------= 14- |5ц|2,
1 - l-Siil2 1 1
и из сравнения с (4.19)
С другой стороны, см. (2.76)
Su=p(x)e-i2ffl'(Z-x)dx.
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
о
Таким образом, структура предельного чебышевского перехо-
да определяется из следующего интегрального уравнения:
где искомой является функция местных отражений
2 dx
Решение удобно искать среди функций, обеспечивающих анти-
метрию перехода. Можно показать, что для этого необходимо ра-
венство эквидистантных, по отношению к центру перехода, мест-
ных коэффициентов отражения N(x)dx или, иными словами, чет-
142
ность функции местных отражений N^y), где у — координата,
отсчитываемая от центра перехода. Полагая соответственно
получаем из (4.24) уравнение
Л,/2 Г 2л I /------
Ni(y) e~i2my dy = h cos —- 1 / 1 -
-/U Л V
(4.25)
(4.26)
Прямое его решение с помощью обращения интеграла Фурье
приводит к весьма громоздким выражениям; целесообразно при-
менить косвенный метод, основанный на том обстоятельстве, что
предельный чебышевский переход практически тождественен сту-
пенчатому чебышевскому переходу с весьма большим (практиче-
ски 204-30) числом ступеней. В последнем же случае имеются об-
щие выражения для местных коэффициентов отражения [см. ф-лы
(3.121) и (3.122)].
По этим формулам в [12] подсчитаны таблицы до п=20. Ха-
рактерной особенностью предельных чебышевских переходов яв-
ляются ступеньки на концах перехода (рис. 4.9а), остающиеся ко-
Рис. 4.9
143
нечными при п-»-оо. Взаимодействие волн, отраженных от этих не-
однородностей, и создает незатухающую осцилляцию чебышевской
характеристики (рис. 4.8) *). Графическая иллюстрация предель-
ных соотношений в чебышевском ступенчатом, переходе дана
рис. 4.96.
4.4. Компенсированный экспоненциальный переход
Характеристика, близкая к чебышевской, может быть сфор-
мирована более простыми средствами. Рассмотрим плавный пере-
ход, структура которого определяется выражениями
2V(x) =
-y-+Oi cos 2л ~ (0^х</),
О (х < 0, х > I),
(4.27)
где I — длина перехода. Покажем, что при определенном соотно-
шении коэффициентов а0 и аь этот переход приближается к чебы-
шевскому. Подставляя принятое выражение для N(x) в интеграл
(4.23) и выполняя интегрирование, получаем
s gin^, z _m<sinm< |
I 2 ml (ml)2 — (л)2) V ’
Учитывая, что
^-= f N(x) dx = ~ in = — in/?,
2 J 2 p(0) 2
0
записываем 5ц в виде:
Su = — In /? -mlsin-/nZ- I e-im/ (4 29)
2 I ml a0 (ml)2 —(л)2 j V ’
В этом выражении первое слагаемое — основное (частотная
характеристика экспоненциальной линии), второе — компенсирую-
щее; его необходимо выбрать таким образом, чтобы свести к ми-
нимуму «всплески» частотной характеристики. Искомая минимиза-
ция может быть достигнута подбором отношения — . Меняя ве-
со
личину этого параметра в пределах 04н(—1) и анализируя (чис-
ленно) полученные из (4.29) кривые |5ц|, определяем зависи-
|Г|
мость относительной величины максимума первого выброса - -акс
*) Отсюда легко заключить, что перепад волновых сопротивлений в одном
оконечном скачке составляет /?1 = ехр |Г|макс.
144
и - соответствующую длину перехода Z/Лг-
рис. 4.10а и 4.106. Из них видно, что при
Эти кривые даны на
— 0,840 (4.30)
ао
максимум первого выброса, отнесенного к — 1п7?, составляет
|Г|^-== 0,005. - (4.31)
145
Таблица 4.1
СВОДКА РАСЧЕТНЫХ COOT НОШЕНИИ ДЛЯ КОМПЕНСИРОВАННОГО ПЕРЕХОДА
Нормированный допуск на 1г/макс рассогласование — -j- In R 0,005 0,03
Длина плавного перехода Лг 0,75 Л2
Волновое сопротивление Р (х) Р (0) (, р (0 exp In—— Ч р(0) —0,133 sin 2 X X 11 л J I JI (, P (0Г x exp< In ч p(O)L i —0,100 sin 2n-y-j|
Диаметр внутреннего проводника коаксиального перехода d(x) D exp 2,303—~ 1g } ч р(0) To же
Высота узкой стенки волноводного перехода Ь(*) 40) /, * (01 х ехр { и-— — — 1 6(0)1 / — 0,133 sin 2 л -—- j / , b (l) Г x exp 1 In •— — Pl 6(0)1 1 — 0.100 sin 2л ~ j j-
Модуль коэффициента отражения 1 . р (1) (sin ml — In { — 2 р (0) I ml ml sin ml] — 0,840 (ml)2—л2 J 1 P (/) ( sin ml — In { 2 p (0) 1 ml -0,632 (ml)2 — л2)
Частотная характеристика перехода, соответствующая усло-
виям (4.30) и (4.31), изображена на рис. 4.11. При выполнении
условия (4.31) длина перехода приобретает характерное значение
т,“'- <432'
При смягчении допуска на рассогласование длина компенси-
рованного перехода заметно уменьшается. Например, представ-
ляет практический интерес следующий вариант:
,.1Г|”?кс — 0,03; — -0,75; ^ = —0,632, /433)
-Lin/? Лг
определяемый непосредственно из графиков рис. 4.10а, б. Таким
образом, компенсирующее слагаемое в экспоненциальной линии
весьма эффективно; оно уменьшает длину этой линии ,при одина-
ковом допуске на рассогласование примерно в 3 .раза. Компенси-
146
рованный переход незначительно уступает чебышевскому, что под-
тверждается нижеследующими численными примерами:
,При Р=е2=ё 7,389 и |Г|макс = 0,005 имеем длину чебышевского
перехода
I 1 . , R—1
— = — Arch —=.
Л, 2я 2A/R 6,28
7,389 — 1
— Ar ch —' ,v,7- r_г—, ~ 0,98,
2-0,005 /7,389
что на 2% короче соответствую-
щей длины компенсированного
перехода (см-. 4.31 и 4.32). При
/? = 7,389 и |Г|Макс=0,03 чебы-
шевский переход имеет длину
I
А,
— Ar ch 39,3^0,70,
6,28
что на 6% короче компенсирован-
ного перехода (см. 4.33). Расчет-
ные формулы для компенсиро-
ванного перехода сведены в
табл. 4.1.
Рис. 4.11
4.5. Вероятностный плавный переход
Ранее было показано, что среди ступенчатых переходов с
монотонным изменением волнового сопротивления только переход
с максимально плоской характеристикой не имеет осцилляций в
полосе пропускания. Этим же свойством обладает и предельный
случай такого перехода. Рассмотрим предельные соотношения, вы-
текающие из определения функции рабочего затухания ступенча-
того перехода с максимально плоской характеристикой:
(4-31)
где
0 = /=-^+arccosS, S=^Ci;
из последних выражений следует 0= — arc cos или, обозна-
Л
чая = Q, получаем
cos й arc cos у Cj
S
Теперь необходимо найти
lim {cos Q arc cos j/Ci
П—>oo
2n
I =1+|T21|2.
17^ = 1+Й2
147
Раскрывая последнюю неопределенность по Лопиталю, полу-
чаем
lim 1 cos Q arc cos
(4.35)
и функция рабочего затухания
|ГП|2 = I 4 ft2
(4.36)
Оказалось, таким образом, что максимально плоская частотная
зависимость рабочего затухания в пределе переходит в вероятно-
стную (гауссову, колокольную) функцию. Также находим предель-
ные значения масштабного коэффициента (S), длины ступени (I)
и общей длины перехода (10):
5пр= lim j/Ci= 1; /пр= lim arccos S| =0, (4.37)
/г-* со I 2л J '
/0= lim I— п arc cos у сЛ -»оо. (4.38)
Из выражения для общей длины перехода (Z0-»-oo) видно, что
в отличие от чебышевского плавного перехода переход с макси-
мально плоской характеристикой требует для точной реализации
бесконечной длины. Иначе говоря, точная реализация плавного
перехода с максимально плоской характеристикой невозможна;
необходимость ограничить его длину приводит к некоторым выбро-
сам в полосе пропускания. При достаточной длине перехода их
можно свести к любой малой величине.
При определении волновых сопротивлений вероятностного пе-
рехода, действуя так же, как и в случае предельного чебышевско-
го перехода, получаем1) из (4.23) и (4.35) интегральное уравнение
относительно N(x):
f 7V(x)e-'i2m('»-x,dx
b
(4.39)
которое после симметрирования пределов интегрирования и нало-
жения на четырехполюсник условия антиметрии (N^y)—четная
функция) приводится к виду
%2 к -(^-j2ln-L
^(y)e-i2^dy = Ae 1 л > с*. (4.40)
—А>/2 1
Однако для перехода с максимально плоской характеристикой
согласно (4.38) при предельном переходе получаем 10-^оо. Таким
*) При этом используется приближенное равенство (4.21).
148
образом, после упрощения обозначений и умножения обеих частей-
на — интегральное уравнение приобретает вид
2л
00
~ J N^^dy-UrT4'*,
—оо
где
о 4л
а = 2m = — ;
Л
1 1
<? = —1п —;
“1 С,
(4.41У
(4.42)1
U —
2л Cj
- 4л
Ct!= —-
Л3
Уравнение (4.41) представляет собой табличное преобразова-
ние Фурье; обращение его имеет вид
^(У) = П
У*
4<г
(4.43)1
Учитывая, что Nt (у) —— — 1пр(у), находим после преобразо-
2 dy
ваний
• ВТ
1ПЖ = Л JL f е-'* dt~ A-erffB (4.44)?
р(0) С, /я J С, \ AJ
О
или
= exp I R h erf (в —U . (4.45>
р (0) ( 2 К/? \ Л2/1
где
В =; erf(x)=-^ f е dt. (4.46>
1/, 1 м J v
V 1п с? 0
Таким образом, закон изменения волнового сопротивления пре-
дельного перехода с максимально плоской характеристикой полно-
стью определяется его заданными параметрами: перепадом волно-
вого сопротивления R, границей полосы пропускания Лг и допус-
ком на рассогласование h (последняя величина входит в пара-
метр В). Выражение (4.45) следует несколько модифицировать с
целью увеличения его точности. В [14] было показано, что при оп-
ределенной системе построения первого приближения точность
его значительно увеличивается. Проводя те же рассуждения для
149
:ние для В должно иметь ©ид
нашего случая, приходим к выводу, что выражение для С\ долж-
но быть записано в виде--------/ вместо %hVR \ , а вы,раЖ€.
-L шя *-1 J
2 л о л
— (вместо --------- — .
4-1П/? yf
1П —£— V 2 Л/К
.Итак, окончательное выражение для структуры вероятностного пе-
рехода имеет вид
р(У)
Р(О)
2л_______у_\
~ Л. I •
т1п/?
In —----- )
h
.На рис. 4.12 относительная длина перехода ~ = —=/(7?) да-
Л2 Л2
= ехр -у In R erf
Рис. 4.12
(4.47)
на в виде графика при допустимой относительной погрешности по
•перепаду волнового сопротивления А = 0,1 % и 1%.
4.6. Некоторые расчетные и экспериментальные данные
Ниже для иллюстрации общих закономерностей определе-
на структура трех рассмотренных типов переходов при R=е2^7,389,
|Г| макс=0,005*).
*) Необходимо отметить, что практически реализация такого допуска лими-
тируется точностью изготовления, нераопространяющимися высшими типами
волн, точностью измерений и др. Таким образом, принятая величина |Г|макс
относится к идеализированному случаю, в котором отсутствует «рои» рассог-
ласования.
.150
Рис. 4.13
Для этих условий зависимости изображены на рис. 4.13;
р(0)
здесь кривая I — вероятностный переход, // — чебышевский, III —
компенсированный. Из графиков
видно, что вероятностный пере-
ход в 1,54-2 раза длиннее чебы-
шевского, а ’ компенсированный
практически тождественен чебы-
шевскому. Отметим, что плавный
переход требует достаточно точ-
ного изготовления; опыт показы-
вает, что их постоянный «фон»
рассогласования, определяемый •
ста тистически взаимодействую-
щими погрешностями изготовле-
ния, составляет в среднем ]Г| =
=0,02. Уменьшение уровня рас-
согласования до |Г|—0,01 (кбв=0,98) требует существенного
повышения класса механических и токарных работ. Указанные-,
обстоятельства иллюстрируются кривыми рис. 4.14, 4.15.
Рис. 4.14 относится к случаю вол но водного перехода; погреш-
и измерения приводят к величи-
ности расчета, изготовления
не |Г| макс =0,014-0,02 вместо
идеализированной расчетной
величины 0,005.
Рис. 4.45 относится* к.коак-
сиальному переходу; статисти-
ческая погрешность здесь воз-
растает ДО веЛИЧИНЫ |Г|макс =
=0,03.
-Пример. Рассчитать плавный переход, соединяющий волновод сечением.
72X34 мм с волноводом сечением 72X10 мм. Граничная длина волны полосы,
пропускания: А.г=12 см, уровень рассогласования | Г| макс =0,005.
151.
1. Перепад волновых сопротивлений
Pj/) = H/)==.34_
р(0) Ь(0) ю
2. Выбираем компенсированный переход (см. разд. 4.4), габариты которого
практически не уступают чебышевскому. Длина перехода в соответствии с (4.32)
I = Л2 = 217 мм,
так как
3. Зависимость высоты волновода Ь(х) от координаты определяется фор-
мулой из табл. 4.1:
i(x)
b(0)
b (х) f b (1) х х "])
——- — ехр (1п ——- — — 0,133sin 2л — 1 .
b (0) Ч b (0) I I JJ
„ А ь<!) ь(х)
Подставляя в последнюю формулу ——- =3,4, рассчитываем --------------для зна-
о (0) b (0)
х
чений -у- =04-1; результаты сведены в таблицу 4.2.
РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ
Таблица 4.2
х/1 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
t(x)/b(0) 1,000 1,011 1,027 1,052 1,094 1,154 1,237
ч
х/1 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65
6(х)/Ь(0) 1,344 1,483 1,650 1,844 2,061 2,293 2,529
х/1 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
<&(х)/Ь(0) 2,748 2,948 3,105 3,228 3,310 3,364 3,400
4. Умножая найденную величину &(х)/6(0) на Ь(0) = 10 мм, а величину х/1
на /=217 мм, строим профиль волноводного перехода (рис. 4.16).
Пример. Рассчитать плавный переход, соединяющий коаксиальную линию
сечением 30/20 ММ с коаксиальной линией сечением 30/9 мм. Граничная длина
волны полосы пропускания: Х.г=82 мм, уровень рассогласования |Г|макс=0,005.
152
1. Перепад волновых сопротивлений:
D 30
Р (0) = 138 1g — = 138 1g — = 24,3 ом,
а (0) 20
D 30
Р (0 = 1381g = 138 1g —— = 72 ом,
d (0 9
72
перепад R= —— S3.
24,3
2. Выбираем снова компенсированный экопоиенциальный переход; длина
его при допуске |Г|макс=0,005 составляет 1=Л,ДП—82 мм.
Р (•*)
3. Зависимость -- находим по формулам табл. 4.1. Далее определяем
Р(0)
диаметр внутреннего проводника по формуле, приведенной в гр. 4 табл. 4.1:
i{X^------(----р W ,01-
ехр(2.жш.,8—j
Расчет по этой формуле дает профиль внутреннего проводника коаксиаль-
ной ли/ии рис. 4.17.
4.7. Об оптимальности плавных переходов с вероятностной
и чебышевской характеристиками
Выше показано, что максимально плоская частотная зави-
симость рабочего затухания ступенчатого перехода в пределе пе-
реходит в вероятностную или 'колокольную функцию. Последняя
хорошо исследована, например, в импульсной технике и обладает
определенными оптимальными свойствами (см. [13]).
Остановимся на сведениях из импульсной техники, имея в ви-
ду, что задачи об оптимальной форме импульса и об оптимальной
форме плавного перехода исследуются с помощью одного и того
же аппарата — преобразования Фурье. Каждая задача имеет,
однако, специфический подход, приводящий, в (конце 'концов, к
различным результатам.
В современной импульсной технике необходимо создавать ко-
роткие и очень мощные импульсы. Иначе говоря, в импульсе боль-
шая энергия должна быть сосредоточена в малом интервале вре-
мени.
С другой стороны, требуется, чтобы спектр импульса был сосре-
доточен в низкочастотной области, поскольку широкий спектр вы-
153
зывает ряд серьезных трудностей в устройстве импульсной аппа-
ратуры. Таким образом, с одной стороны мы требуем малого А/,
а с другой — малого Af. Эти требования противоречивы. Выход
находят .в создании импульса, для которого произведение AfAt
имеет наименьшее значение; при этом под величинами At и Af
понимаются интервалы времени и частоты, в которых сосредото-
чена большая часть энергии импульса.
С этих позиций в [13] предложено считать универсальным оп-
ределением At и Af величину радиуса инерции графика импульса
и его спектра (относительно главной оси, проходящей через центр
тяжести данной площади).
Применение такой методики приводит к выводу, что вероят-
ностный или колокольный импульс, для которого, как известно,
временная и спектральная функция имеют вид:
л— _ т*
а(ш) = 7-е
является оптимальным в оговоренном смысле.
Если непосредственно воспользоваться изложенными резуль-
татами, то оптимальным плавным переходом будет рассмотренный
выше вероятностный или колокольный переход, у которого (в уп-
рощенных обозначениях):
__ т*
W)=e-M, 511(/п)=1^е"4Л
г z
где i
По аналогии с решением задачи об оптимальной форме им-
пульса можно заключить, что вероятностный переход будет наи-
более коротким среди всех переходов, в которых основная часть
отраженной энергии сосредоточена в низкочастотной части спект-
ра1). Однако это свойство для плавных переходов в отличие от
импульсов не является обязательным; целесообразно поэтому за-
дачу об оптимальном переходе формулировать отдельно. Она ста-
вится следующим образом: коэффициент отражения плавного пе-
рехода должен удовлетворять заданному допуску |Г|макс, начи-
ная с заданной частоты (соответствующей т2), и использование
этого допуска должно быть возможно более полным на всех ча-
стотах в интервале (т2, оо).
Соответствующий этим требованиям плавный переход описан в
разд. 4.2 и называется чебышевским. Он короче вероятностного,
*) При этом допуск на рассогласование достигается лишь при m = mz, а во
всем остальном диапазоне (m2, оо) имеется значительный запас; иначе говоря,
допуск на рассогласование полностью не используется.
1 пл
1 UT
| поскольку лучше использует допуск на рассогласование в полосе
<, пропускания.
Условие типа AfAf=min в чебышевском переходе принципиаль-
но невыполнимо, поскольку «радиус инерции» его частотной ха-
ра'ктеристики равен бесконечности.
Таким образом, плавный переход с вероятностной частотной
характеристикой удовлетворяет двум требованиям:
•у а) допуску на рассогласование |Г|макс при m>m2;
б) энергетическому условию zn/o = niin (соответствующему
для импульсов).
| (Плавный переход с чебышевской характеристикой удовлетворяет
лишь первому (а) условию и использует заданный допуск более
« рационально (изоэкстремальные осцилляции).
Поскольку вероятностная характеристика является предельным
случаем максимально плоской характеристики, то возможно, что
; условия (а) и (б) являются определениями оптимальности не толь-
i ко систем с вероятностной частотной характеристикой, но и с ха-
j рактеристикой максимально плоской. Это имеет значение для тео-
г. рии ступенчатых переходов, фильтров и других систем с характе-
ристикой Баттерворса.
£ 4.8. Замечания о немонотонных плавных переходах
Рассмотренные в предыдущих разделах плавные переходы
’ имеют монотонный характер изменения волнового сопротивления
и соответственно частотную характеристику, свойственную фильт-
ру верхних частот. Возникает вопрос, можно ли уменьшить длину
плавного перехода, если ограничить его полосу пропускания не
только со стороны нижних, но и со стороны вержних частот, до-
пустив соответственно немонотонную структуру плавного перехода?
При исследовании этой задачи (имеющей некоторое сходство с
проблемой «сверхнаправленных» антенн) будет использоваться
метод парциальных функций N(x), как это делалось при исследо-
' вании компенсированного экспоненциального перехода (разд. 4.3).
Рассмотрим плавный переход, у которого произвольная функция
местных отражений представлена в виде ряда Фурье:
W(x) =
ап ХЛ / 2л , , 2л \ ... . .
f+ 2j(a«cosaTx+&«sinaT-x) (0<х</).
Отсчет х производится от конца плавного перехода, I — пол-
ная длина неоднородного участка. Подставляя '(4.48) в выраже-
ние для собственного коэффициента отражения перехода
Su= jMx)e-,2ffl</-x) dx,
155-
производя интегрирование и учитывая, что
— = f Af (x)dx = — 1пр-^(
2 J 2 р(0)
О
гполучаем
{п \
e~Imt’ (4-49)
а=1 '
.где обозначено
, п ml sin ml . ,, ал sin m2 .. en.
ф„ (/»() =-------- i Ф„("^) =------------ • (4.50)
а (m/)8 — (ал)8 “ (т/)8 — (ал)8
.Первое слагаемое в выражении (4.49)
J_ln Р (Л sin mZ
2 р (0) ml
-целиком определяется заданным перепадом волновых сопротивле-
ний; таким образом, это слагаемое не может быть регулируемо.
Остальные слагаемые можно регулировать, поскольку коэффи-
циенты при <ра и фа не определены. Эти коэффициенты должны
>быть выбраны так, чтобы выражение (4.49) обеспечивало харак-
теристику типа полосового фильтра с наименьшими и изоэкстре-
-мальными «всплесками» в полосе пропускания. С этой точки зре-
ния очевидно, что все слагаемые, содержащие iipa (tnl), необходи-
156
мо отбросить, 'поскольку они мнимы и, следовательно, не могут
„ , sitiml „
компенсировать действительную функцию -------— . 1аким образом,
ml
полагаем
Ьа=0 (4.51)
и приводим (4.49) ,в виду
|Su| sin ml ,
4^SCa<Pa(/7lZ)’ (4-52)
а=1
где
Р(0)
(4.53)
Выбор коэффициентов са,
соответствующих поставлен-
ной задаче, производился
путем численных вариа-
ций ca-j для некоторых част-
ных случаев выражения (4.52) и последующего графического
анализа. Найденные этим способом оптимальные кривые показаны
на рис. 4.18, 4.19, 4.20. Здесь же даны соответствующие кривые
для волнового сопротивления немонотонного плавного перехода.
Численные данные по каждому рассмотренному случаю сведены
в табл. 4.3.
Из рассмотрения данных табл. 4.3 и рис. 4.18, 4.19 и 4.20 мож-
но сделать следующие выводы:
1. При немонотонной структуре плавного перехода можно дос-
тигнуть укорочения его по сравнению с чебышевским на величину
порядка 104-20%.
2. Уменьшение длины перехода сопровождается значительным
усложнением его структуры, что весьма снижает практическую
ценность немонотонных плавных переходов.
3. Если монотонный плавный переход может быть рассчитан
для любого заданного комплекса технических требований (/?,
|Г|макс, полоса пропускания), то немонотонный переход, по-види-
мому, требует специального сочетания указанных выше требо-
ваний.
Приведенные соображения в основном сходятся с общими по-
ложениями, выдвинутыми недавно Солимаром [9].
157
Таблица 4.3
ПАРАМЕТРЫ НЕМОНОТОННЫХ ПЛАВНЫХ ПЕРЕХОДОВ
Параметр Формулы и численные значения
для рис. 4.18 для рис. 4.19 | для рис. 4.20
Частотная характе- ристика iSul sin ml - + 2.97Х ml sin mt 4" 2,85 X ml sin ml — 4-2,85 x ml ml sin ml
4- In R 2 ml sin ml ml sin ml X (ml)2 — (4л)2 ~
Л («Z)2— (Зл)г л (ml)2 — (4л>г ml sin ml + 4 (ml)2 — (5л)2
Волновое сопротивле- ние р(х) Р(0) / X exp /2 -у- + x \ -4 0,315 sin 6x— 1 exp ^2 — + + 0,227 sin 8 л-7-] I / exp^2-p^0,227x л X X sin 8л — 4* 4- 0,225 sin 10л
Относительный до- пуск на рассогласова- ние 1Г1макс Y Ш R 0,07 0,133 0,075
Полоса пропускания - по уровню Юманс In R 40% 57% 56%
Длина немонотонно- го плавного перехода 1 0,45 0,43 0,45
Длина монотонного чебышевского плавного / перехода — л2 0,56 0,46 0,56
4.9. Сравнение ступенчатых и плавных переходов
При сравнении .плавных переходов со ступенчатыми огра-
ничимся рассмотрением переходов с монотонным изменением вол-
нового сопротивления (поскольку выше было показано, что немо-
нотонные переходы имеют ряд недостатков).
158
Рассмотрим предварительно некоторые качественные законо-
мерности в частотных характеристиках ступенчатых и плавных пе-
реходов. Эти закономерности наиболее просто обнаруживаются с
помощью соотношений первого приближения (2.56) и (2.76), опре-
деляющих соответственно волновую матрицу рассеяния ступенча-
той и плавной неоднородной линии. Будем пользоваться входным
собственным .коэффициентом отражения 5ц, модуль которого пол-
ностью определяет рабочее затухание системы. В гл. 2 показано,
что в первом приближении каскадное включение произвольных че-
тырехполюсников характеризуется следующим коэффициентом
отражения:
П Hi-
ct=l i=a+l
Учитывая, что для ступенчатой линии
где т = ~^ > — длина ступеньки, к — число ступенек, имеем
(4.54)
a=i
В случае плавно неоднородной линии предельное выражение
для 5ц, имеет вид:
Su = J N(x) dx. (4.54а)
О
Очевидно, что 5ц для ступенчатой линии представляет собой
ряд Фурье, а для плавной — интеграл Фурье; это обстоятельство
и определяет основные свойства частотных характеристик. Для их
выявления рассмотрим простейший случай — экспоненциальную
линию. Полагая соответственно для ступенчатого перехода S^ =
=S0=const, а для плавного N(x) =/V0='const и подставляя эти
значения в (4.54) и (4.54а), выполняя суммирование и интегриро-
вание, получаем для ступенчатого перехода
sin кт К х ;(к-1 и д х
11 0 sin m Ах (4.55)
и для плавного
е 1 . p(/)sinmZ ~imi .. __ .
sn = —-1п^—— е . (4.55а)
2 р (0) ml '
Диализ этих (сходных по характеру) зависимостей приводит к
следующим качественным закономерностям:
1. Частотная характеристика монотонного ступенчатого пере-
хода представляет собой периодическую функцию частоты: полосы
159
пропускания и заграждения чередуются. Таким образом, ступен-
чатый переход — это полосовой фильтр с периодически повторяю-
щейся характеристикой. При увеличении числа ступеней и постоян-
ной длине каждой ступени, а также неизменном общем перепаде
волновых сопротивлений, полоса пропускания «фильтра» будет
расширяться как в сторону низких частот, так и высоких (рис.
4.21); /максимумы затухания будут сохранять свое положение на
шкале частот. Общая длина перехода будет в этом случае увели-
чиваться.
2. Частотная характеристика монотонного плавного перехода
представляет собой непериодическую затухающую функцию. Поло-
са заграждения находится в области нижних частот, полоса про-
пускания, начинаясь от некоторой частоты /п, простирается до
f->oo. Таким образом, в этом случае полоса пропускания ограни-
чена лишь со стороны нижних частот, т. е. плавный переход пред-
ставляет собой фильтр .верхних частот. Полоса пропускания его
тем шире, чем больше длина перехода I.
a f.
Рис. 4.22
3. Для сравнения полосы пропускания ступенчатого и плавного
переходов необходимо совместить их нижние граничные частоты
пропускания. Это обстоятельство приводит к тому, что становится
возможным предельное преобразование ступенчатого перехода в
плавный. При фиксированном перепаде R, допуске на рассогласо-
вание | Г|макс и граничной длине волны Л2 уменьшение длины сту-
пеньки (Дх->0) приводит к неограниченному увеличению интер-
вала между соседними пиками (рис. 4.22). Это естественно, так
как длина ступеньки Дх определяет среднюю частоту fo полосы
пропускания при Дх->0, f0->oo.
160
Переходя к количественным закономерностям, рассмотрим дли-
ну чебышевского ступенчатого перехода и его предельного слу-
чая— чебышевского плавного перехода. Ранее было показано (см.
4.18), что общая длина ступенчатого чебышевского перехода
4s-= — л arc cos S, (4.56)
Л2 2л
где
с 1 К"1
5=-----7< = arccos^y-.
cos —
п
Необходимо найти предел , 1
10 1 / 1 \ — = lim — п arc cos / ) Л2 п-*оо 2л I К 1 cos — \ nJ arc cos / I К . 1 cos / 1 \ n / . = lim П—► co 2я 1 n
При и—>оо получаем неопределенность; раскрывая ее по Ло-
питалю, находим
_L=_LArchil .
Л2 2л 2Л VR
(4.57)
На рис. 4.23, 4.124 и 4.25 даны зависимости, подсчитанные по
ф-лам (4.56) и (4.57), позволяющие провести сравнение длины
ступенчатых и предельных ступенчатых переходов. Кривые рис.
Рис. 4.23
4.23 и 4.24 дают зависимость длины ступенчатого и предельного
чебышевского перехода от R при | Г | макс=О,02 и 0,2. Рис. 4,25
иллюстрирует зависимость длины предельного чебышевского пе-
рехода от R и |Г|маКс. Из анализа указанных кривых следует:
6—488 . lei
а) при одинаковых допуске на рассогласование, перепаде вол-
«ового сопротивления и граничной длине волны Аг длина плавного
перехода всегда больше, чем ступенчатого. Основой этой законо-
мерности является то обстоятельство, что с помощью ступенчатого
перехода заданные требования выполняются более экономно, чем
Рис. 4.25
с помощью плавного перехода. Действительно, в практических
задачах требуемая полоса согласования, как правило, ограничена
с двух сторон и нет нужды превышать эти требования. В случае
монотонного плавного перехода запас по полосе неизбежен; уве-
162
личение длины и является следствием этих неиспользованных ре-
зервов;
б) при повышенных требованиях ,к электрической прочности
плавный переход предпочтительней, чем ступенчатый. Кроме того,
если в системе осуществляется перекрытие в несколько октав (на-
пример, генератор стандартных сигналов), то соответствующий
ступенчатый переход содержит 10—16 ступенек; практически — это
уже плавный переход;
в) все сформулированные положения найдены из анализа че-
бышевских переходов, обладающих наименьшей длиной. Тот же
результат может быть получен для других типов переходов.
Дополнительно отметим, что при выборе типа перехода следует
учитывать, что ступенчатый переход может быть выполнен с вы-
сокой степенью точности, в то время как выполнить плавную кри-
вую с той же точностью значительно сложнее; поэтому электриче-
ские параметры ступенчатого перехода часто оказываются не-
сколько выше за счет точности изготовления.
Литература
1. Нейман М. С. Неоднородные линии с распределенными постоянными.
И.ЭСТ, 1938, № И.
2. В о л ь п е р т А. Р. Линии с неравномерно распределенными параметрами.
«Электросвязь», 1940, № 2.
3. Фельдштейн А. Л. Неоднородные линии. «Радиотехника», 1951, т. 6, №6.
4. В о 1 i n d е г F. Fourier transforms in the theory of inhomogeneous transmis-
sion lines. «Proc. IRE», 1950, v. 38, № 11.
5. Klopfenstein. A transmission line tape of improved designe, «Proc. IRE»,
1956, v. 44, № 1.
6. Фельдштейн А. Л. К расчету оптимального плавного перехода. «Радио-
техника», 1959, т. 14, № 3.
7. Collin R. The optimum tapered transmission line matching sections, «Proc.
IRE», 1956, v. 44, № 4.
8. Фел ьд штейн А. Л., Явич Л. Р. Наименьшая возможная длина плав-
ного перехода. «Радиотехника и электроника», 1959, т. IV, № 9.
9. С о л и м а р Л. Об оптимальном расчете неоднородных линий передачи.
«Proc. IRE», 1959, November.
10. Герценштейн М. Е. К теории плавных переходов с «гарантированным
согласованием». «Радиотехника и электроника», 1959, т. 4, № 9.
11. К а ц е н е л е н б а у м Б. 3. Теория нерегулярных волноводов с медленно
меняющимися параметрами. Изд-во АН СССР, 1961.
,12. Фельдштейн А. Л„ Явич Л. Р. Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники. Изд-во «Советское радио», 1967.
13. Харкевич А. А. Спектры и анализ. Гостехиздат, 1952.
14. Фел ьд штейн А. Л., Явич Л. Р. Синтез четырехполюсников и восьми-
полюсников на свч. Изд-во «Связь», 1965.
6*
5. Сведения из теории восьмиполюсников
5.1. Классификация восьмиполюсников
Электрическое устройство, имеющее несколько выходных
передающих линий с распространяющимися в них одним (основ-
ным) или несколькими типами колебаний, можно рассматривать
как многополюсную систему — многополюсник (6, 7]. Полюса (за-
жимы) такого многополюсника естест-
£____________________.j, венным образом разбиваются на пары
4 (плечи), в которых сумма токов равна
нулю.
Такие многополюсники относятся к
а . группе 2п-полюсников.
4 Если полюса 2и-полюсника разби-
ваются на две группы, в одной из кото-
рых mi пар полюсов, а в другой т2,
то такой многополюсник называется
2 (ггц + тэ,) — полюсником.
, Если число пар полюсов в обеих группах равно (mi = m2 = m),
то такие многополюсники относятся к 4т-полюсникам. 4т-полюс-
ники могут соединяться каскадно.
Восьмиполюсником называется электрическое устройство, об-
ладающее восемью полюсами (зажимами).
Многие восьмиполюсные устройства свч, такие как направлен-
ные ответвители, направленные фильтры, квадратные и щелевые
мосты, резонаторы бегущей волны и др., плечи которых разделены
йа две одинаковые группы (входные и выходные) относятся к
4т-полюспикам (т = 2) (рис. 5.1). Поэтому ниже будут рассмат-
риваться основные свойства пассивных линейных обратимых (вза-
имных) восьмиполюсников, принадлежащих к 4т-полюсникам.
5.2. Матрицы восьмиполюсников
Рассмотрим восьмиполюсник, у которого полюса разбиты
на пары (плечи)' и разделены на две одинаковые группы — левую
н правую (рис. 5.1).
Принятые направления токов и напряжений на зажимах вось-
ми1полюсника (/ь 12, 1з, Ц, U\, П2, и Н4) показаны на рис. 5.1.
164
Волновые процессы в восьмиполюснике определяются! (падаю-
щими и отраженными волнами напряжений или токов. На рис. 5.2
падающие волны напряжений обозначены А1Пад, А2пад, АЗПад и
LA пад, отраженные волны напряжений £Аотр> А2отр, А3отр и LAotp-
Волновые сопротивления подводящих линий в соответствии с
принятой нумерацией плеч обозна-
чены pi, р2, рз и р4. Пунктиром оп-
ределены граничные 1плоскости1вось-
миполюсника.
Связь между токами и напря-
жениями и волнами напряжения оп-
ределяется равенствами
UI= UI пад 4“ отр
1 , (5-1)
А = —(Цпад-^отр)
Pi
'-"^Рзлад
^У^Зотр
и^пад'-г
а!
I а----------------------------------------------------j---------------------------------------а
“у-Ui, ото
~ъ~
Рис. 5.2
Uinad*—ч*.
£
1
2
4}
3
4
где 1 = 1, 2, 3 и 4.
Токи и напряжения в восьмиполюснике связаны между собой
соотношениями классической теории многополюсников:
Ai= 2и АA2i2 А+21з АA2i4 А
А2 = 221 А А 222 А А 223 А А 224 А
Аз = 231 А А 232 А А 233 А+234 А
А< = 24i A -u 242 А А 243 А А244 А
А — У и Ai|- pi2 A2L yl3 U3-{-yu
А = Ун Аг u у22 А2 А У-2,3 А3 Al/24 А4
А = Уз1 Ai -+- у32 А2 АУзз А3 АУз4 А4
А =241 А14-Р42 А24 1/43 А3-|-1/44 А4
А\ = Оц U3 А ^12 А4 А 013 А 4 014 А
А2 = 0-21А3 4- о22 А4 4 а23 A A O24 А
А = O31А3А о32ко3зААо34А
А = ан А3 у о42 А4 - а4313 А о44 А
(5-4)
Соотношения волновой теории восьмиполюсников имеют вид:
А1 пад Al А3 пад А Аз ^4 пад А Аз ^3 отр A Al А4 0Тр
А2 пад Ai А3 пад А Аэ А4 пад 4- /23 U3 0Тр А А4 А4 Отр [
U1 отр Al &3 пад А Аг А4 пад А Аз ^3 отр Ь А4 ^4 отр
U2 отр Ai U3 пад А Аз ТА пад А Аз U3 0Тр A Ai А\ 0Тр
^1 отр Ац (у 1 пад А ^13 U2 пад А ^13 &3 отр А ^14 ^4 0Тр
и-2 отр = *S21 и± пад А- *$3 2 U2 пад A *S23 U3 отр 1 - S24 LA отр ( г .
Уз пад = *^31 ^1 пад А *^32 U2 пад А *^33 U3 отр А ^34 LA отр
^4 пад А41 Ui пад А *^42 U2 пад А Аз А3 ОТр A Al А4 ОТр
165
Коэффициенты ур-ний (5.2) —(5.6) удобно записывать в виде
матриц. Названия матриц такие же, как у четырехполюсников
(см. гл. 1). Матрицы восьмиполюсников можно делить на матри-
цы. — клетки, о которых речь пойдет ниже |(разд. 5.12)
а11 ^12^13 C114 laaa] 1а66]
[а] = Яз1 ^зг^зз . аа а^а^з °34 a44_ — (5.7)
И— матрица передачи;
и= 211 Z12jZ13 Z14 £21 Z22]^23_ __^24 Z31 232|2зз 234 241 z42lz4s .244_ = l^aal (5.8)
м- матрица сопротивлений;
м = У и У1г|У1з У21_ _J/22]J/23_ Уз1 l/32jl/33 _J/4i Уа\У1з J/14 J/24 J/34 Уи _ = 1Уы>] (5.9)
матрица проводимостей;
in in | tis ^21 £22_Р23_ Gi ^32 ] ^зз /41 ti2 ] ^43 ^14 _^24 ^34 /44 _ = (5.Ю)
И—ненормированная волновая матрица передачи;
Sil S21_ Sj.2 ' S13 ^14 S22 1 S23 S24 1 —. (5.H)
S31 S32 । S33 S34
S41 S42 ] s43 S44_
[s] — ненормированная матрица рас-
сеяния.
Заметим, что волновые матрицы
передачи [/] и рассеяния [s] примени-
мы не только в том случае, когда
восьмиполюсник оказывается включен-
ным между подводящими линиями с
волновыми сопротивлениями pi, рг, рз
и р4 (см. рис. 5.2). Все соотношения
данной главы справедливы и в том
случае, когда восьмиполюсник включен между активными сопро-
тивлениями pi, рг, рз и р4 (рис. 5.3).
166
5.3. Нормированные матрицы
Нормирование матриц восьмиполюсников вводится анало-
гично тому, как это делалось в теории четырехполюсников (см.
гл. 1). Нормирование дает определенные преимущества при ис-
пользовании матричных уравнений на свч. При этом можно упро-
стить конечные соотношения и пользоваться приведенными сопро-
тивлениями и проводимостями.
Связь между нормированными и ненормированными напряже-
ниями, токами и волнами напряжений определяется равенствами
/н=Л/р/
I ]н — пад []н __ ОТР
4пад ур. ’ /отр
(5.12)
где i= 1, 2, 3 и 4.
Все величины в (5.12), помеченные индексом «н», имеют раз-
мерность корня квадратного из мощности и называются соответ-
ственно нормированными напряжениями, токами и волнами на-
пряжений.
Соотношения между нормированными 'величинами напряжений
и токов, а также нормированными величинами волн напряжения
имеют тот же вид, что и для ненормированных величин.
В дальнейшем матрицы, определяющие связи между нормиро-
ванными величинами, и их элементы будут обозначаться пропис-
ными буквами алфавита {4], {Z], (У], [Г] и (S] в отличие от ненор-
мированных матриц и их элементов, обозначенных строчными бук-
вами (см. выше).
Нормированные матрицы, а также связи между элементами
нормированных и ненормированных матриц имеют вид:
М] =
«31 V pl рз
°41 Р2 Рз
° 32 V" Р1 р4
а42 VР2 Р4
°13 а14
/pip’s VpTpI
Д23
V Рг Рз
°24
/(ым
(5.13)
167
г11 Р1 Z21 Z12 Z13 Z14 FpTpi z24
КрГр^ КрГрз
Z22 22з
[Z] = KpTF г31 /рГр! Z41 _/p7pi Рг V Рг Рз z32 гзз VРз Рг Рз г42 г43 /pTS КрГрз FFF z34 F/FF Z44 Р4 - » (5-14)
Ун Pi У и PFi Рг £/1з P^Pi Рз £/14 V Pi р4
1И = У 21 V Рг Уз1Рз _г/и V Р4 Pi 1/22 Рг Р1 У 32 Р^ Рз Рг Р1 £/12 1 р4 р2 £/23 Р^ Рг Рз £/24 V Р2Р4 Узз Рз £/з4 V Рз Р4 £/43 Р^ р4 Рз £/44 Р4 - , (5.15)
/t'»
1Л = pf'» p"ft (5.16)
Kir'-
jZ-^/4! — r P2 VI1» Pt 4
S11 -PF
IS] = S22 (5.17)
s" 1 "ft s»’ V-^ S33 s.. ]/f
543 V "p? S44
5.4. Связь между элементами различных матриц
восьмиполюсников
Применяя правила матричной алгебры, запишем соотно-
шения между элементами матриц рассеяния и передачи:
168
— ^21 ^32 ^*22 ^31 712 73i — 7ц Т32
и11 712 721 7ц Т22 012 712 7г1 — 7ц Т22
S13 = Т31 *$зз + Т32 *$43 + Тзз, *$14 = Т31 *$34 + Т32 *$44 + ^34
*$21 721 742 Т22 Т 1\2T2i — 7 ц Т22 *$22 712 741 - 7ц 742 ^12 ^21 ^11 ^22
$23 = Т41 *$33 + Т42 *S48 + Т^з, *$24 = 74i*$34-l-
s„ — — Т'гг С 712 . (5.18)
°31 7\2Т21 — Тц Т22 O32 - 712 72i — Гц Т22
S, — 71з 722 — Т12 Т23 с 7ц 722 — 742 7'24
° 33 712 72i — 7ц Т22 о34 — 712 72i — 7ц Т22
*$41 T'il 712 72i — Гц 722 S42 — -7ц 712 72i — 7ц 722
s„„- 7ц 723 — Т13 Т21 7ц 724 7i4 721
°43 Тц 72i — 7ц Т22 °44 712 72i — 7ц Т22
Соответственно обратные соотношения имеют вид:
т — $42 S32 1
л 11 $41 $32 $42 $31 1 12 *^41 *$32 *$42 *$31
Лз = $42 $33 $43 $32 Т $34 *$42 —~ *$32 $44
$41 $32 $42 $31 1 14 *^41 *$32 — $ 42 *$31
Л1 = $41 Т $31
$11 $32 $42 $31 i 22 *$41 *^32 *$42 *$31
Л3- $31 $4з — $зз S4i . $41 $32 $42 S3I Тц = $31 $44 $41 $34 •$41 S32 — $42 $31 • (.5.19)
Т . — S12 $41 $11 $42 . Т32 $11 $32 $12 $31
7 31 $42 $32 $42 S3I $41 $32 $42 $31
Т^зз “ Т13 ^11 + Т23 *$12 *^13» T3i = Т14 *$Ц -i- Т24 *S12 +$14
Т., — S41 S22 — S21 S42 в т.п $21 $32 $22 $31
* 41 S4I S32 S42 $31 1 42 •$41 *$32 $42 $31
Т1з~ Т13 *$21 “I" Т23 *S22 + *$2з; 7^44 = Т14 *$21 7*24 *S22-|- *$24
Связь между элементами волновых и классических матриц
имеет вид:
hi — —— (an + Аз1 Pj + й1з---к Озз —
2 \ Рз Рз !
, 1 I , 1 Р1 >
‘13 — ~ I а11 + «31 Р1-д13---а33 ---
2 \ Рз Рз )
4 1 / ,1 Р1
^31_ ~I а11 ’a31Pl + fl13----а33----
2 \ Рз Рз
^33 ~ ~ («11 «31 Р1--«13----И «33
2 \ Рз Рз ,
169
, 1 / , 1 Pl '
/12 — — I 012 + Яз2 P1+ al4-------------Г" Я34 ----
2 \ P4 P4 .
, 1 ( 1 Pi \
414 — ~Z~ Я12 ~T O32 Pl <214 O34----- I
2 \ P4 P4 /
, 1 / 1 pi \
/32 — —- Д12 O32 Pl “Г <214----------<234----
2 \ Pi Pi/
, 1 •/ 1 , ~ Pl \
/34------012--------O32 Pl-----014--------Г O34 ---- I
2 \ Р» Pi J
. 1 / , I 1 . P2 \
/21 = I O21 + O41 P2 + fl.23-------------F O43 ----- j
2 \ Рз Рз /
, 1 ( * I
423-- ~ 021+ O41 P2 O23---------------
2 \ Рз
, 1
O41 P2 + O23 —
Рз
1
/41 —
. 1 / 1 I P2
/43= ——( Я21 О41 p2 O23-----F O43
2 \ Рз Рз ,
. 1 / I . 1 I Pa
/22 ~ “ I O22 + O42 p2 + O24-Г O44
2 \ P4 P4
, 1 ( 1 p2
/24 — IO22 n a42 P2 O24-------a44 —
2 \ P4 P<
, 1 t ,1 Рз
442 = “г" IO22—a42 p2-+- o24--044 —
2 \ Pt Pi
/44= — |O22 042 Рг O24-----F O44
2 \ P4 P4
(5.20)
Более подробные сведения о связях между классическими и
волновыми матрицами см. [1].
5.5. Соединения восьмиполюсников
Самым распространенным на свч видом соединения восьми-
полюсников является каскадное соединение (рис. 5.4). При кас-
кадном соединении восьмиполюсников их матрицы передачи ([о],
И], И, 1Г1) перемножаются. Например, (а] каскадного соединения
к восьмиполюсников рав-
Рис. 5.4
на произведению к мат-
риц отдельных восьмипо-
люсников
к
[а] = П (5-21)
4-1
соответственно
170
к
(Л = П[П- (5-22)
Заметим, что волновая матрица передачи (Г] имеет много об-
щих свойств с классическими, матрицами передачи [А] и [а].
При каскадном соединении к одинаковых восьмиполюсников
матрицы передачи восьмиполюсников возводятся в к-ю степень,
соответствующую числу каскадов (общие методы возведения квад-
ратных матриц в степень даны в [2]). В частном случае, когда
Рис. 5.5
Рис. 5.6
восьмиполюсники симметричны, можно использовать упрощенные
формулы [8]. Если каскадное соединение состоит из идеально на-
правленных и согласованных восьмиполюсников, то формулы для
возведения матрицы в степень можно получить в замкнутом виде
(см. гл. 7).
При параллельном соединении восьмиполюсника (рис. 5.5) их
матрицы проводимости складываются
К
(5-23)
г=1
При последовательном соединении восьмиполюсников (рис. 5.6)
складываются их матрицы сопротивления
К
и=2[2ь- (5-24)
5.6. Условия обратимости
Обратимые (взаимные) -восьмиполюсники подчиняются
принципу взаимности (см. гл. 1).
Условия обратимости записываются в виде соотношений меж-
ду элементами матриц.
171
Для 'ненормированных матриц [a], [z], [z/] и нормированных мат-
риц [S] и [Г] имеем:
Oil азз"+ °21 °43 °1з O31 о23 о41 = 1
012 O34 4“ O22 O44 014 O32 О24О42=- 1
Оц О34 -|- Й21 O44 014 О31 024 O41 = О
012 O33 -+- O22 O43 013 O32 О2з О42 = О
а13 а34 Ч" 02g O44 014 O33 024 O43 = О
012 Оз1 Ч" 022 O41 Оц О32 - 021 О42 — О
212 = 22ь 213= г31! Z14 ~ гИ
223=—z32; z24= z42; 234 = 243
У12 — У21; Z/13— У31, Ум — Ун
Узз — Узз, Ум — УУз* — У и
S12 = s2i; S13 = S31; S14 = S411
S23 = S32; S24—S42; ^31=54з1
или [S] = [S]f,
Тц Т зз Ч~ Тц T3i ТцТя1 7ц7з2 = 1
Тц Т43 Ч- Тц Т44 Т3зТц ТцТц= 1
Тц Т43 Ч- Тц Тц Тц Тц 7'14 7’43= О
ТцТз3^г T33T3i—1 2s73i T3iT32 — О
T3i Ti3Ч- 732 744 Т33Тц T3i Ti3 = Q
Tig 721Ч- 714722 7ц723 7 12 7г4= О
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.29)
(5.30)
5.7. Условия симметрии
1. Симметрия относительно вертикальной оси.
Восьмиполюсник называется симметричным относительно вер-
тикальной оси (ось bb на рис. 5.2), если падающие и отраженные
волны во внешних цепях не изменяются при повороте восьмипо-
люсника относительно вертикальной оси на 180° (при этом пред-
полагается, что внешние цепи остаются неизменными).
Это условие приводит к следующим связям между элементами
матрицы рассеяния:
$11 = *^33",
S2i — S43;
*^1з = 53i;
^23=
S12 = S34
S22 = *844
514 = 5за
S24 = 542
(5.31)
172
При выполнении условия обратимости матрица рассеяния сим-
метричного относительно вертикальной оси восьмиполюсника име-
ет вид:
5ц 512 513 S14
[5] = 512 522 5ц <S24 51з 514 5ц S12 (5.32)
_5ц <S24 5j2 5-22 _
и соответственно .волновая матрица передачи см. (5.19)
т12 т13 Ти
[Т] = Т12 Т22 Т23 T2i (5.33)
— Т1з Т23 Т^эз Т34
,~Ти — T3i Т^44_
2. Симметрия относительно горизонтальной оси.
Восьмиполюсник является симметричным относительно гори-
зонтальной оси (ось аа на рис. 5.2), если падающие и отраженные
волны во внешних цепях остаются неизменными при повороте
восьмиполюсника вокруг горизонтальной оси на 180° (при неиз-
менных -внешних цепях).
Наличие симметрии относительно горизонтальной оси восьми-
полюсника приводит к следующим .равенствам:
5ц — S22; Su
= 524; S33
В этом случае матрица рассеяния обратимого восьмиполюсни-
ка имеет вид:
S31 — S42
534 = 543
— 5гз; 512 — S2i;
= 544; S32 = S41;
(5.34)
5 ц 5ц 51з 5ц
[5] = 512 5ц 5ц 513
51з 5ц 53з 534
5ц 51з 534 533_
(5.35)
соответствующая волновая матрица передачи:
"Л1 7^12 т13 Ти~
[Л = т12 Тп Ти т13
Т31 Т32 Т^зз T3i
_^32 тл Т"34 7^зз_
(5.36)
Объединяя (5.31) и (5.34), получим условия полной симметрии
обратимого .восьмиполюсника относительно двух осей (оси аа и
ЬЬ на рис. 5.2):
5ц — S22 — 533 — S44
512 = 52i == S34 - S13
513 — 524 — Ssl — S42
514 = 5гз — 582 = 5ц
(5.36а)
173
В этом случае матрица рассеяния записывается в виде
Sh S42 S13 Si4
[S] = S12 Sh S14 S13 (5.37)
S13 S14 Sh S12
_S14 S13 S12 S11_
Волновая матрица передачи
' Tn T12 т13 Тц
[T] = T12 . Tn Тц Т13 (5.38)
-T13 — Тц Т33 Т34
^-Tlt -7^13 ТЯ4 Тзз .
Матрицы (5.37) и (5.38) определяются четырьмя заданными
комплексными элементами (если учесть условия обратимости, нак-
ладываемые на элементы [Г]). Условия симметрии плеч 1—4 и
2—3, (рис. 5.2), записанные с учетом условий обратимости, имеют
вид:
5ц — S44
S22 ~ $33
S12 = S21 = S34 = S43
Si3 = S31 = S24 = S42
(5.39)
6.8.
ников
или в
Условия отсутствия потерь
Для восьмиполюсников, составленных из реактивных эле-
ментов, как и для четырехполюсников, справедливо равенство
[S]Z[S] = [1]. (5.40)
Для обратимых восьмиполюсников дополнительно (см. 5.29)
[S]=[S]<. (5.41)
Отсюда следует, что для обратимых реактивных восьмиполюс-
выражение (5.40) можно записать также в другом виде
[3]1Я=[1]
развернутой форме:
|Su|24-|S12l2+|513|2+iSi4|2= 1
|S2i|2 + |S22|2 + |52з|2 -!- |S24|2 = 1
|5з1|2+15з2|2+ |S33|24 |S34|2 = 1
IM4|s42nis43|2 + IW=>
(5.42)
5ц s*2 + Si2 S22 4- S13 S32 4- S14 S42 — 0 ,
Sh 5‘3 4- S12 S*3 4- Sls S‘3 4- S14 S‘3 = 0
Sh s;4 4- s12 s:4 4 s13 s; 4 s14 s; 0
S21 S’3 4 S22 S^3 4 S23 S33 4 s24 S43 = 0
S21 si4 4 S22 S24 4 S23 S34 4- S24 s44 = 0
S3i S14 + S32 S24 4 S33 S34 4 s3i s44 = 0
(5.43)
терминах других матриц эти соотношения более сложные.
В
174
5.9. Направленность восьмиполюсников
Восьмиполюсник называется идеально направленным, если
при возбуждении какого-либо из его плеч, одно из трех оставших-
ся плеч остается невозбужденным.
Различают три типа восьмипо-
люсников, удовлетворяющих этому
определению (рис. 5.7). Соответст-
вующие условия направленности
имеют вид:
1-й тип
Si2=S21=0 (5.44)
2-й тип
Si4=S41=O (5.45)
3-й тип
S13 = S31=O (5.46)
Сочетая каждое из соотношений
(5.44) — (5.46) с выражениями Рис. 5.7
(5.43), вытекающими из условия
унитарности матрицы рассеяния для восьмиполюсника без потерь
и с условиями полной или частичной симметрии, можно пока-
зать, что
|5ц| — |S22| — | S33| — |S44| — 0.
(5.47)
При этом нетрудно установить связь между типом направлен-
ности и видом симметрии восьмиполюсника (см. табл. 5.1).
Таблица 5.1
ТИПЫ НАПРАВЛЕННОСТИ И СИММЕТРИИ
Типы направленности
1-й тип 2-й тип З-й тип
Полная симметрия Полная симметрия Полная симметрия
Симметрия относительно оси вв (рис. 5.2) Симметрия относительно оси вв Симметрия относительно оси аа
Симметрия относительно оси аа
Остановимся на выводе фазовых соотношений, определяющих
связь между аргументами элементов матрицы рассеяния идеально
175
направленного восьмиполюсника. Подставляя (5.44) в (5.37), по-
лучим для случая направленности 1-го типа следующие равенства:
542 = S2i = S34 = S43 = О, (5.48)
подставляя (5.48) в (5.43), перепишем условия унитарности в ви-
де трех уравнений:
Sis S*4 + S*3 SM = Re (Sis S*4) = 0, (5.49)
sus;3+s;iS13=Re(Sus;3)=o, (5.5o)
SuS^-f-Sij Su= Re(SuS|4) = 0. (5.51)
Найдем отношение
Sls $18$ц Re (S13 Si4)-Ф* • Jm (S13 SI4)
$14 |$14>2 l$l*l
или с учетом (5.49), получим
Ji3=i2H^4) (5 52)
$14 1$14|2
откуда следует, что
фи—Ф14=~(2п+1), (5.53)
где n=0, 1, 2, т. е. S13 и Sj4 находятся в квадратуре.
При наличии первого типа направленности у восьмиполюсни-
ка симметричного относительно оси bb имеем
stes;4+sMs;4=o. (5.54)
Из условия унитарности следует, что
|Sis|=|S24|, (5.55)
а потому
Ф13+Ф24—2ф14 = я(2«+ 1), (5.56)
где л=0, 1, 2, ...
Для частного случая, когда
ф13 — ф24= я(2/П-(- 1)
m=0, 1,..; (т=Н=л), • (5.57)
тогда (см. 5.56)
фи—Ф14=ПР, (5.58)
где р = 1,2,... (р = п + т+]),
т. е. волны напряжения в выходных плечах находятся в фазе или
противофазе.
Заметим, что при симметрии относительно оси bb условие
Ф13 — Ф«4 = 2m я (.5.59)
176
не может быть выполнено. В противном случае (см. 5.56)
(5.60)
что имеет место лишь при полной симметрии.
Таким образом, в зависимости от того, существует полная или
частичная симметрия, меняются фазовые соотношения между эле-
ментами матрицы рассеяния даже при одном типе направлен-
ности.
Докажем, что все плечи идеально направленного (1-й тип) пол-
ностью симметричного восьмиполюсника идеально согласованы.
Сначала покажем, что 5ц=0. Для этого положим:
5u = p+ip,
Sls = а 4- i &,
544 с 4* 1
тогда (5.50) и (5.51) примут вид:
pa-\-qb = 0,
pc+qd=O.
Последние условия должны выполняться при любых значениях
513, в том числе при
51з —а, (&=0),
когда (см. 5.52)
5М= id (с=0).
Следовательно,
ра=0,
qd=Q.
Заведомо известно, что а=4=0 и d=4=0, а потому приходим к вы-
воду о том, что
5ц = 0 (р = 0, р=0),
следовательно, см. (5.37):
5ц= 52з — 533 — 544 = 0. (5.61)
Действуя аналогичным образом, можно показать, что соотно-
шения (5.61) выполняются в идеально направленных восьмипо-
люсниках с частичной симметрией (относительно оси аа или bb).
Волновые матрицы обратимых реактивных и идеально направ-
ленных восьмиполюсников имеют вид:
177
l-Й Т< а) полная [S] = ип направлен! симметрия 0 0 $и <$14 0 0 $14 $13 $13 $14 0 0 _$i4 S13 0 0 _ io с т и: “Гц Г12 0 _ 0 712 711 0 0 0 0 744 743 0 " 0 743 744 ; (5.62) 3 5
б) ось ($ 2-i а) пол [$ б) ось [5]=-- CH1V ]= i т ная ] = СИ! " 0 $г $и 0 шетрии bb "0 0 $и ; 0 0 $u . $13 S14 о _$14 $24 0 и п н а п р а в л симметрия 0 <$12 $13 SM 0 0 $и 0 0 _ 0 $13 S12 лметрии bb $12 $13 0 0 0 <$24 I 0 0 <$12 <$24 $12 0_ *14“| >24 0 0_ ей 0“ >13 $12 0_ , [ , [Г тост , {Т 7] = ]= \ и: ] = Тц Г12 0 _ 0 Тц 0 0 _Л1 Тп 0 0 - Ти 712 722 0 0 0 7ц 741 0 0 7<22 “72з 0 0 0 733 734 0 714 744 0 0 7гз 7зз 0 0“ 0 7з4 744_ Ти 0 0 744 Ти 0 0 744 ; (5.63) ; (5.64) ; (5.65) 1 1 i 1 1 1
в) ОСЬ СИЛ [S]= 3-й т а) полная [5] = шетрии аа 0 <$12 <$13 0 <$12 0 0 <$13 <$13 0 0 <$34 0 <$1з <S34 0 и п .направлен симметрия 0 <$12 0 $14 $12 'О $14 0 0 $14 0 $12 $14 0 $12 0 , (7] = н о с т и: , [7] = Тц 0 0 _ Т32 ~ 0 Т12 Ti2 ^0 0 7ц 732 0 712 0 0 742 0 714 7 33 0 71з 0 0 734 714~ 0 0 7з3_ 0 71з 7з4 0_ ; (5.66) ; (5.67) i is j
б) ось [5 СИ! ] = лмётрии аа “ 0 $12 0 $12 0 $14 0 $14 0 $14 0 $34 $14 0 $34 0 _ , [71 = ’ 0 712 7з1 0 712 0 0 731 71з 0 0 734 0' 713 734 0_ . (5.68) J i r
178
Используя (5.62), (5.64) и (5.67) совместно с (5.19), получим
дополнительные матричные равенства, применяемые в последую-
щих разделах. Для трех типов направленности и полностью сим-
метричных 'восьмиполюсников соответственно получим:
1-й тип направленности:
$13 —— I 0 0
С2 Q2 °14 °13
(Л- $14 о2 _о2 °14 °13 —~?13 j 0 0 S2 _ q2 °14 °13 1 ; (5.69)
1
0 0 | <$13 <$14
0 0 | <$14 <$1з _
2-й тип направленности:-
(5.70)
(5.71)
ww4
5.10. Метод зеркальных изображений
Рассмотрим восьмиполюсник, симметричный относительно
оси аа (рис. 5.8). Исследуем его в двух режимах— режиме син-
фазного и противофазного возбуждения. При противофазном воз-
буждении плеч 1 и 2 (обозначаемом + —) из условия симметрии
восьмиполюсника следует, что в плоскости симметрии напряжения
179
равны нулю. Если «металлизировать» плоскость симметрии (ре-
жим короткого замыкания в этой плоскости), то соотношения
между токами и напряжениями восьмиполюсника не изменяется.
При синфазном возбуждении
л X-— ч р (обозначаемом + +) плеч 1 и 2
*3
>- а
3 »
Р,ис. 5.8
восьмиполюсника на рис. 5.8 из ус-
ловия симметрии восьмиполюсника
следует, что в плоскости симмет-
рии токи равны нулю (режим холо-
стого хода в этой плоскости). Сле-
довательно, плоскость симметрии
можно заменить плоскостью из идеального магнетика.
Таким образом, симметричный восьмиполюсник удается разде-
лить на две пары несвязанных четырехполюсников (рис. 5.9). За-
дача исследования восьмиполюсника сводится к анализу лроцес-
увеальный
магнетик
Меальный
проводник
Рис. 5.9
сов в двух четырехполюсниках, один из которых соответствует ре-
жиму синфазного возбуждения восьмиполюсника, а другой — ре-
жиму противофазного возбуждения.
Запишем матрицы рассеяния четырехполюсников (рис. 5.9) при
синфазном возбуждении
’ е++ О"Н"
41 *->12
е++ е++
_С>21 <>22
(5.72)
и при противофазном возбуждении
Можно показать, что связь между элементами матрицы рас-
сеяния восьмиполюсника и элементами матрицы рассеяния четы-
рехполюсников имеет вид:
Sh=4" (S*++S^”)
51а=^-(5Й+-ST)
180
s13—— + S12 )
Su=-^(Sf2+-Sir)
s88=y(s^+s^-)
S84- у (S^-St2~)
(5.74)
При полной симметрии восьмиполюсника последние два равен-
ства можно опустить, поскольку, см. (6.37),
' 5ц = S33 И $12=‘$34.
Перепишем равенства (5.74) с учётом связей между элемен-
тами волновых матриц рассеяния и передачи четырехполюсников
(см. гл. 1):
“ ’ 2 I 7Ч-+ 74— /
\ 1 11 1 11 /
1 / т++ — \
о _ 1 / 21 121 1
012 — I---------------1
2Ш+ Т^_)
Sla = —[ —----1--— \
U 2 т4-+ r+- I
\ 1 11 ‘ 11 /
c 1 I 1 1 \
014 — -- I------------I
2 T++ 7Ч-— 1
\ 1 11 1 11 /
1 ( T±+ 7±~ \
S& =------ —-----
2 w+ rr J
. 1 / 7t+ Tlr \
О q4 ’ I ------ I
2 \ 4+ )
(5.75)
Равенства (5.75) удобно использовать при исследовании кас-
кадных соединений.
Действуя подобным образом, можно установить связь между
элементами волновой матрицы передачи [7] восьмиполюсника и
элементами волновых матриц передачи [Г]++ и (ГН- четырехпо-
люсника (9]:
Гн = у(тй+ + Л,Г)
7\2=у(ТЙ+-7^Г)
18Р
ru = -i-W+7t-)
Tu=±(Tt2+-T&~)
'г 1 (7^++ । 7Ч—\ (5.76
1 33 — ~ U 22 t h2 J
т __ 1 (T^+_
* 34 —~U 22 -I 22 )
т31=^-(тй++тГ)
T32 = -^-(Tt+-Ttr)
Шесть из восьми элементов являются независимыми. Два эле-
мента могут быть выражены через остальные с помощью (5.36).
Для полностью симметричного восьмиполюсника число незави-
симых элементов волновой матрицы передачи уменьшается до 4-х.
5.11. Четырехполюсники, образуемые из восьмиполюсников
В ряде устройств овч два плеча восьмиполюсника оказы-
ваются нагруженными на некоторые заданные сопротивления, а
потому связь между напряжениями и токами в двух оставшихся
плечах подчиняется уравнениям четырехполюсника. При этом воз-
никает потребность в определении параметров четырехполюсника,
образуемого из восьмиполюсника. Общие соотношения, описываю-
щие переход от многополюсника к четырехполюснику, справедли-
вы и при решении поставленной задачи (см. [4, 5]).
Между тем в тех случаях, когда любые два из четырех плеч
восьмиполюсника работают в режиме холостого хода или корот-
кого замыкания, или соединены между собой, можно пользовать-
ся упрощенной методикой
расчета.
Будем исходить из по-
ложения, что свойства
восьмиполюсника опреде-
ляются четырьмя ур-ния-
ми (5.4), содержащими
элементы классической
Рис. 5.10 матрицы передачи.
Необходимые преоб-
разования поясним на примере. Пусть плечи 2 и 3 восьмиполюс-
ника (рис. 5.10) коротко замкнуты, а потому исследуемый четы-
рехполюсник (рис. 5.11) образуется между плечами 1 я 4.
При коротком замыкании плеч 2 и 3 имеем
(У2 = (/8=0.
(5-77)
182
Уравнения четырехполюсника рис. 5.10, связывающие напря-
жение U4 и ток /4 на выходе четырехполюсника с напряжением
и током Ц на его входе записи -
ваются ,в виде:
^1 = аи474 + а12Л)1)
Л = а21 ^4 + а22 Л ,
(5.78)
1 и >
4
Рис. 5.11
Подставляя (5.77) в (5.4) и сравнивая с (5.78), получаем си-
стему переходных соотношений, связывающих элементы матрицы
передачи четырехполюсника с элементами матрицы передачи
восьмиполюсника. Подобным же образом были получены осталь-
л
ные равенства, связывающие элементы матрицы передачи [а] и (а].
Все нижеследующие соотношения разделены на три группы.
К первой группе отнесены формулы для четырехполюсников, опи-
сываемых системой из двух ур-ний (5.78).
Система уравнений для второй группы имеет вид
— аи ^3 + а12 Л
/1=0» Ц, 4~ °22 /з
(5.79)
(5.80)
Система уравнений для третьей группы
^1 = Оц —Н «ха ( /2)
Л = O21 U2 4- О22 ( /г)
Л
Переходные соотношения между элементами матрицы [а] и [о].
Группа 1-я (рис. 5.12, 5.13 и 5.14).
1. Плечи 2 и 3 коротко замкнуты (рис. 5.12):
Оц =
#12 «23 — «13 «22
а23
012 =
а14 °23 — °1зОм
а23
021 =
«23 «32 «22 «33
а13
O22 —
°23 °34 — Д14 а33
а23
(5.84)
(5.81)
(5.82)
(5.83)
Рис. 5.12
*) Где знак «Л» отмечает элементы
матрицы четырехполюсника.
183
2. Плечи 2 и 3 разомкнуты (рис. 5.13): 1 А «18^41 «11 «48 /г- лг\
/*7 , 1 3 2 4 1 «11 = 2 , (D.6D) 0 । а41
| о12 = а^-а^ , (5.86) 1 . «41 1 4
'< [ ।
| * 0 |й аг!=, (5.87)
1 * 14 '
1 3. Плечо ^2 = < (5 88) Рис. 5.13 Д« 2 разомкнуто, плечо 3 короткозамкнуто (рис. 5.14):
Рис. 5.14
Группа 2-я (рис. 5.15, 5.16 и 5.17).
4. Плечи 2 и 4 короткозамкнуты (рис. 5.15):
г | 2, «11 «24 — «14 «»1
"'Cj 4| 1 1 _ [а] 1^0 “24 1*0'^ С °1з ^4 — °14 «аз 1 I, Он ™ I 3 "34 * Дз1 «24 — «34 «ai
111 |>-0 1 L — 1 «21 СР | а24 А । [я] I _ азз аа4 — «34 Даз J «22 —
5. Плечи 2 и 4 разомкнуты (рис. 5.16):
Рис. 5.15
(5.89)
(5.90)
(5.91)
(5.92)
(5.93)
(5.94)
(5.95)
(5.96)
«11= а11 а42 — а1а а41 (5.97)
Д42
012 = а13 а43 — а12 а43 (5.98)
Д42
Д31 °43 — Дза Д41 (5.99)
«21 а43
022 = азз а4а — Дза Д43 (5.100)
д42
184
6. Плечо 2 разомкнуто, плечо 4 короткозамкнуто (рис. б. 17) г
au = £.ng«-aHa« , (5.101) М a12 = } (5Д02) a44 д21= Д31Д44-Д34Д41 ' (5103) a44 ^^£33044-034^3 (5.104) “I
J
4 [a] =5 13 1
“к Рис. 5:17
Группа 3-я (рис. 5.18—5.21).
7. Плечи 3 и 4 короткозамкнуты (рис. 5.18):
П 013 O44 — а14 О43 /С tnc\ 7
«11 , (D.1UD/ G23 «44 — «24 «43 . ( a12 = £13 024 -0.4O23 , (5 106) *' a«3 O44 — oM a48 a21 = ( (5 107) O23O44—“24 “43 - ^2=£*«аЗЗ-ОйОз4. (5.108) О23 O44 — O24 a48 8. Плечи 3 и 4 разомкнуты (рис. 5.19' П, ДИ °42 — 012 041 /С 1ЛП1 г Д| [а] Л.1
44- Ji 1 1 1
я||
1
1 Рис. 6.18 /ДУ J (
«11 , (0. ШУ; «21 «42 — «22 «41 „ I 46 1 а21 О42 — “22 041 £31О42-а32О41 , (5.1Ц) „1 a21 O42 — О22 041 а22=£з2О81-а21а82 . (5 Н2) °21 О42 — О22 041 11 11 111 / 3 [а] 2 4 01 1 1 1 1 —0 1 01. Л 1 _/o7J
1 Рис. 5j19
9. Плечо 3 короткозамкнуто, плечо
4 разомкнуто (рис. 5.20)
/7.- 012 О48 — “13 о41 (5.113)
«11
“22 “43 — а23 O42
/7, Л — 012 а23 — 018 OJ2 (5.114)
«12 а22 О48 — о28 а42
/X /7а« О32 О48 — о88 а42 (5.115)
«21 а22 О48 — о28 а42
а23 O32 — о22 о33 (5.116)
4?22 022 °43 — о23 о42
Рис. 5.20
185
10. Плечи 3 и 4 соединены (рис. 5.21):
Рис. 5.21
1
I
I
I
I
I
I
I
I
аи =
011 + а12) (а43 — о4д) (а13 ~ g14) (g41 + a4i)
(а21 + а22) (а43 — а44) — (а23 — а24) (°и + 1142)
а12 =
(аП ~Г а1г) (а23 — а24) — (а13 °14) (а21 ~~Г а2з)
(021 "'Ь а2г) (а43 — O44) — (а23 — a24) (а41 + Д42)
(а31 аза) (а43 Q44) (а33 Q34) (а41 ~4~ a42)
(а21 +• °2г) (а43 — а44) — (а23 — °24) (°41 + а4г)
а22—
(аз1 азг) (а2з a2i) — (азз a3i) (аг1 ~4~ агг)
(а21 4^ а2г) (а43 —а44) — (а23 ~~ a2i) (°41 + °4г)
(5.117)
(5.118)
(5.119)
(5.120)
5.12. Некоторые соотношения между клеточными матрицами
При исследованиях общего характера бывает удобно при-
менять компактную запись в виде клеточных матриц (см. разд. 5.4).
Матричные блоки-столбцы напряжений и токов определяются
следующими равенствами:
р,] =
Падающие
[^пад
Vi.
и отраженные волны:
__ пад
.^2 пад.
[^11 пад
(5.121)
[^1отр ]
[^П отр]
U3 пад
. & 4 пад.
[U3 отр
4 отр.
(5.122)
1
2
U 1 отр
и2 -
2 отр.
3
4
Обобщенные волновые сопротивления
[ Pi] =
Pi 0
0 р2
Рз 0 1
0 р4 I
(5.123)
[ Рп] '
186
Связь между нормированными и ненормированными напряже-
ниями, токами и волнами напряжений при выбранных обозначе-
ниях определяется равенствами:
__L _ J.
2 2
ppim рь [^ii=iPn] ри
_L 4
[ Л] = [Ре]2[ЛЬ [^]=[Рц] [ЛИ
— 1
2
1 (5.124)
Рп пад] [ Pll] PlI пад]
___1
2
РГоТР] = [ Pil pOTP ]
__1_
Рпотр]=[Рп] [^11 отр]
Заметим, что матрицы-столбцы для. нормированных величин
имеют такую же структуру, как (5.121) и (5.122).
Сочетая (5.124) с (5.2) — (5.6) и (5.7) — (5.12), получим урав-
нения восьмиполюсников в виде клеточных матриц.
Для ненормированных величин:
Ре]’ .[Л]. — to) Рп]’ .[ Ле] Кга faba labbl Pee] [ Ле] J (5.125)
Р1’ .Ре]. = к] 1 Л] Ле] 1 Kai Kai 1 lZbbl [Л] .[Ле] > (5.126)
[Л]' .[ Ле] — \у\ Ре] .Рп] = [{/аа! 1Уьа1 1Уаь1 it/bbl P] .[Це] (5.127)
рЕпадГ .Ротр]. = И] Р. Р. пад] отр] =Т Kai Pll ' Kai P1J . Pie Pee пад] отр] 1 (5.128)
Р. отр ]' .Ре пад]. = S] Pl пад] .Рее отр Pl JS6al [saJl >s6*l_ Риад]’ _[^AlOTp] (5.129)
Те » е соот Ц] .[ЛЧ ношен = [А] ИЯ ДЛ5 РГ.] .[Ц]. НО рмированны: (Aaa] [Аай] (A6a| [A6f)] вели [Ц.] .[ Л1] чин . имеют вид: (5.130)
ГРМ .Ре]. = [Z] [ Лт]. izao Ы. [ЛЧ [ Ле] f (5.131)
187
ГР? 11
=[У] 1 1 J =
Lnd
[Уаа] [^11 ГИГ]
_[УЬа1 [^jJLrW
ИГ
.[ ^].
[Ипад1]_гт1Рйпад]1_ Г^аа!
(5.132)
[%Г
.Рйпад].
= [?]
[PUpl]
ИпадГ
_И1отр]
= [51
[5oa]
[5fta]
UH
II пад
UH
v IT
, ‘ (5.133)
_ П отр_
[SaUirPlnaj'
[^ijLl^noTpL
. (5.134)
Сравнивая (5.1.25) — (5.129) с (5.130) — (5.124), не трудно показать, что: _ -. — 1 1 -(5.134) и учитывая 1 1 n
(Л] = (Ла! [Ла&1 = [ Pl] taaal [ Рц] 1 1 2 2 [ Pl] [ааб1[Рц] A _A
ЛАЬа] IAJ_ 2 2 -[ Pl] [aSal[Pll] r 1 1 [ Pi] [абб]]Рц] (5.135) 1 1 ~i
(Z] = izaa] [Zab] = [ Pi] [zaal[ Pi] i_ _2, 2 2 [Pl] [ZaJ[Pll] 1 _ ’
JZba] - [ Pll] [Zftal [ Pll [ Pll] Iz&ft][pn]
(5.136)
\Taa\ [TOJ
г — 4- 1 A i
[PiJ2kJ[Pi]2 [ Pi]21Уаь\[ Pu]".
, ( □. Ю / I
1 11 1__ v
— [ Pll] Il/ftal [ Pl] [ Pll] 1A/&&1 [ PlI] -
r L A ______________________________L A
[ Pl] Waal [ Рц] [ Pl] [^аб1[Рц]
___i_ A -J- A
_[ Pi] H»al[Plll [ Pl] [^sl [ Pll] -
(5.138)
[5ftJ
г _A A
[5a(>] _ [ Pl] ISaal[Pl]
~~ 1 1
„ 2 2
[5ftft]J L[ Рц] IS6al[Pl]
1 1- “I
2 r 2
[ Pl] [saftl [ Pill
_ A A
[ Рц] 1S&&1 [ Pll]
(5.139)
Структура матриц клеток дана в (5.7) — (5.11).
J88
>1. Связь между н о р м и р о»а нн ы,м и .волновыми
матрицами. Клетки волновых матриц [Г] и [S] связаны следую-
щими соотношениями:
’[AU-1 . -mu-1 [S,,]
JAU [А„Г* [Soj-[Seflj [S^F1 [S66l
(5.140)
lAumU-1
mu-IWU'' mul
-mu-1 mu J
(5.141)
2. Связь между нормированными матрицами
классической теории. Запишем соотношения между клет-
ками:
ы'
mu.
IAU
ы
mu irob]
.mu mu.
mr1
.mr1
[АГ1
.mr1
mr1
mr1.
mr1
[АГ* .
[Aaa][Aba] 1 [A,] 1
iau-1 -iau-1 iau J ’
(5.142)
'mu [AU-1 [All
UAU~‘ -[A^r'tAuJ’
(5.143)
где
IAU [AulffAUmu-1 [A]
JAU lAUJ UAU-1 —izba]~l[zbb]
-mu-1 mu mu-1l
.mi mu mu-1 J’
(5.144)
([*] = [/], [И, [A]).
IAJ-IAJ-mu mu-1 [AU.
[Air [AU-[AU I AU-1 [AU.
mi = [AU-I AU [A«r‘ [AU.
[AWAU-IAUIAU-1 [AU.
3. Связь между волновыми и классическими
матрицами. Наиболее простые соотношения имеют место меж-
ду нормированной классической [А] и волновой [Г] матрицами пе-
редачи:
[Т] =
[1] I’ll-1 ГЛ,Г[1] (И
Hi-Hi] Lin-m.'
(5.145)
189
[4] =
tn т][ЛГ(П nil-1
[1]-[1]J UH—[1].
или в форме соотношений между 'клетками матриц:
[Л = — Г + J + [ А»А + 1
2 LtAaa] + lAab]-[Abal~lAbb]
(5.146)
[Л]=4
ГЛЧГЛ- r6e]+ [T»J
2 Lr«J+rej- mj- [Tbb]
fAj IAJ+(AJ MJ
lAj fAj IAJ + .
(5.147)
rflj-irj-mj+irj.'
(5.148)
(5.147), получим уравнения,
Подставляя (5.135) и (5.138) в
связывающие матрицы-клетки [/] и (а];
KJ = 4~к([а««Н' kJ [ РпГ1 -+ f Pi] kJ + I Pl] Ы [ Рп]-1)
через
kJ = у (kJ—kJ [ Pn]-1 + [ Pl] kJ~[ Pi] kJ [ Pii]-1)
kJ = 4~(kJ4-[aaftl f рпГ‘-[ Pi]kJ-[ Pi] kJ [ РпГ1)
kJ = 4" (kJ—kJ [ РпГ1 —[ Pi] kJ + [ Pl] kJ [ Pn]-1)
4. Условия обратимости, выраженные
клеточные матрицы. Условия обратимости записываются в
наиболее общем виде как соотношения между клетками матриц.
Для трех видов матриц — сопротивления, проводимости и рас-
сеяния они имеют достаточно простой вид:
kJ l^aalt> l^bah’ l^bbJ l^bbL’
(1/aJ f]/<J/» f]/<J ff/>J<’ ff/dJ 'If/bblf'
kj=kj„ lsoj=[s6fliz, is66]=[s6jz.
.(5.149)
(5.150)
(5.151)
(5.152)
Напомним, что символ t обозначает операцию транспонирова-
ния.
Для матриц передачи условия обратимости, выраженные в тер-
минах клеточных матриц, усложняются.
5. Условия симметрии, выраженные через кле-
точные матрицы. Условия симметрии относительно вертикаль-
ной оси восьмиполюсника (ось bb на рис. 5.2) могут быть записа-
ны в виде следующих равенств между клеточными матрицами.:
kJ=—[Zj, f?J = —kJ, (5.153)
kJ = — kJ, kJ=-— kJ, (5-154)
kJ = lS6J, [SaJ = [S6J. (5.155)
Для матриц передачи аналогичные соотношения оказываются
значительно более громоздкими (3]; здесь они не приводятся.
190
Литература
1. Черне X. И, Некоторые вопросы теории 2п-лолюсника. Труды учебных
институтов связи, вып. Г8, 1963.
2. Зелях Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем. Изд-во
АН СССР, 1961.
3. Силин Р. А. Свойства волновых матриц 2(р+1)-полюсннка. «Радиотех-
ника и электроника», т. IV, 1959, № 10.
4. Коган Н. Л., Машковцев Б. М., Цибизов К. Н. Сложные волно-
водные системы. Судпромгиз, 1963.
5. Черне X. И. Расчет параметров и передающих свойств отдельных каналов
2п-полюсников. Труды учебных институтов связи, вып. 17, 1963.
6. Ф е л ь д ш т е й н А. Л., Явич Л. Р„ Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники. Изд-во «Советское радио», 1967.
7. Справочник по волноводам. Перевод с англ, под ред. Я. Н. Фельда. Изд-во
«Советское радио», 1952.
8. Черне X. И. Расчет параметров каскадного соединения одинаковых сим-
метричных относительно вертикальной оси -полюсников. Труды учеб-
ных институтов связи, вып. 29, 1966.
9. М а л о.р а цк и й Л. Г., Явич Л. Р. К расчету симметричных восьмипо-
люсников. «Электросвязь», 1968. № 10.
10. Малорацкий Л. Г., Явич Л. Р. Симметрия направленных восьмипо-
люсников. «Радиотехника» № 5, 1967.
11. Малорацкий Л. Г. Волновые матрицы направленных восьмиполюсни-
ков. «Радиотехника» № 9, 1969.
6. Связанные линии
6.1. Общие положения
Связанными называют две (или несколько) передающих
линий, между .которыми имеется непрерывно распределенная по
длине электромагнитная связь. Такие линии применяются в каче-
стве направленных ответвителей, мостов, фазовращателей, элемен-
тов фильтров и др. В этой главе рассматривается теория связан-
ных линий; практические их применения рассмотрены в последую-
щих главах. Исследуются лишь такие связанные линии, конфигу-
рация и заполнение которых предопределяет распространение вол-
ны ТЕМ. К этому классу можно с достаточной точностью отнести
связанные полосковые и коаксиальные линии с однородным ди-
электрическим заполнением при отсутствии диссипативных потерь
в металле и диэлектрике и определенных соотношениях между
длиной волны и габаритами системы [1].
Линии с волной ТЕМ описываются так называемыми телеграф-
ными дифференциальными уравнениями. Вследствие статического
характера поля в поперечном сечении понятия напряжения и тока
определены, а коэффициенты уравнений имеют смысл емкости и
индуктивности на единицу длины («погонные емкости и индуктив-
ности») .
Известно, что уравнения типа телеграфных применимы не толь-
ко для волны ТЕМ; они могут также определять поперечные ком-
поненты поля в волноводе [1, 2] либо в связанных волноводах [3].
(В этих случаях, естественно, коэффициенты уравнений имеют
иной смысл.) Единство математического аппарата является след-
ствием общности физических процессов в передающих линиях лю-
бого типа. Эти вопросы требуют отдельного исследования. Сейчас
мы ограничимся простым, но весьма важным для практики слу-
чаем связанных полосковых и коаксиальных линий, полагая, что
в них распространяется волна ТЕМ.
Волна ТЕМ отличается следующими свойствами:
а) все электромагнитные колебания в системе распространя-
ются с одинаковой скоростью;
б) скорость распространения равна скорости в открытом про-
странстве, заполненном тем же диэлектриком;
в) в поперечном сечении системы электрическое и магнитное
поля имеют статический характер.
192
6.2. Некоторые сведения из электростатики
Рассмотрим систему из двух параллельных проводников
произвольного попереченного сечения (рис. 6.1), расположенных
над 'проводящей поверхностью. Полагаем, что. система однородна,
заполнена идеальным диэлектриком, а проводники — идеально
проводящие. Обозначим потенциалы проводников относительно
земли через и С2, а заряды .на единицу длины их поверхности
через и <?2.
Тогда между зарядами и потенци-
алами существует линейная зависи-
мость:
91 = ^11 ^1 4" С12 ^2 /СП
~ }. (0.1)
92 = С22 U2 4- С21 U1
•>w;w77T>.' >>. <>' ч.
Рис. 6.1
Величины Си, С22, Ci2, C2i называются емкостными коэффи-
циентами.
Коэффициент Сц представляет собой емкость проводника 1 от-
носительно земли при условии, что проводник 2 соединен с зем-
лей (С2=0):
Си=-^- при С2 = 0 (6.2)
и аналогично
С22== ~ту— При Ci = O. (6.3)
Величины Сц и С22 называются собственными емкостными ко-
эффициентами. Они всегда положительны.
Коэффициент С12 определяется как отношение заряда на про-
воднике 1 к потенциалу проводника 2, когда проводник 1 соединен
с землей (Ci=O):
С12 = -^- при (4 = 0, (6.4)
Оз
причем в обратимых системах [4]
Ci2 = C2i. (6.5)
Величины С12 и C2i называются взаимными емкостными коэф-
фициентами. Они всегда отрицательны, поскольку на проводнике,
соединенном с землей, в результате электростатической индукции
от заряда другого проводника, наводится заряд противоположного
знака.
7-488 193
Поскольку С12 отрицателен всегда, то, чтобы не «меть дела с
отрицательными емкостями в ур-ниях (6..1) можно заранее поста-
вить знак минус перед вторым слагаемым [5]:
71 — £11 UI С12 U 2
(]z ~ С22 С2' С21 С 1
(6.1а)
тще C12 = C2i = —С!2 = —С2| положительны. В дальнейшем будет
использована“именно эта форма записи исходных соотношений;
она дает определенные удобства.
Во многих случаях соотношения (6.1а) между зарядами и по-
тенциалами удобно выражать при помощи так называемых частич-
ных емкостей. С этой целью в ур-ниях (6.1а) проводятся следую-
щие тождественные преобразования:
—(£u £12) £1+£12 (£1 £2)
c/i—(£22 £21) £2+ £21 (£2—£1).
Вводим обозначения:
С а — £11—£12
£(, — £г2~ £21
£ай= £&а = £12= £21 .
(6.6)
(6.7)
после чего ур-ния (6.6) приобретают вид:
?1=£о£1+£ой(£1-£2)1
?2= Cb £2-)- Cba (U2 L\) j
Величина Са представляет собой емкость проводника 1 отно-
сительно земли, когда оба проводника соединены между собой
(0! = ^). Иначе говоря, Са есть часть общей емкости всей систе-
мы, обусловленная существованием проводника 1.
Аналогичный смысл имеет Съ.
Таким образом:
Са= при иг = и2
сь= при £г=£2
С/®
(6.9)
Величины Са и Сь естественно называть собственными
частичными емкостями.
Величина Саь = Съа имеет тот же смысл, что и С12 (см. 6.7).
СаЬ и Сьа называют взаимными частичными емкостями.
Связь между частичными емкостями и емкостными коэффи-
циентами дается соотношениями (6.7).
194
В дальнейшем нам понадобится величина
С12
Кс= г ,
/сис22
которую называют емкостным коэффициентом связи.
Из (6.7) следует:
Си = Са + С]2 = Са СаЬ
C2-z = Сь+ С12= Сй + СаЬ
С12 — СаЬ
Отсюда получаем
к ________________^gb________
с V(Cfl4-Cab)(Ch + Cah)
и, следовательно,
О !•
(6.10)
(6.И)
(6.12)
(6.13а)
Последнее соотношение найдено для электростатического поля,
но сохраняется также и для волны ТЕМ.
Все рассуждения этого раздела можно отнести не только к
двум проводникам над идеально проводящей поверхностью (рис.
6.1), но и к случаю четырех провод-
ников, в которых нижние представ- q
ляют собой зеркальное отображение
верхних (рис. 6.2) [5].
Следует лишь помнить, что здесь — --- ----
погонные емкости будут вдвое мень-
ше, а погонные индуктивности вдвое
(больше (т. е. все волновые сопротив-
ления станут вдвое больше).
В заключение заметим, что рас- Рис. 6.2
суждения, относящиеся к электроста-
тическому полю могут быть повторены для магнитного поля пере-
менного тока. При этом линейные зависимости, подобные (6.1),
существуют между приложенным напряжением и противодейст-
вующими ему эдс самоиндукции и взаимоиндукции.
Коэффициент, связывающий параметры Ln, L22 и L12:
к = ^12
L V £-11 £-22
(6.136)
называется индуктивным коэффициентом связи.
Здесь L12 — коэффициент взаимоиндукции (в электротехнике,
он большей частью, обозначается через М).
Коэффициент взаимоиндукции L12 в электрических цепях мо-
жет быть, вообще говоря, как положительным, так и отрицатель-
ным; соответственно должен меняться знак Kl-
В связанных линиях этого не происходит; далее будет показа-
но, что здесь всегда кл = кс. следовательно. О^Кг.^1 (см. 6.13а).
7* 195
6.3. Дифференциальные уравнения связанных линий
Выше было принято, что электрическое и магнитное поля
-в полеречном сечении рассматриваемых нами связанных линий
имеют статический характер; это позволяет ввести понятия индук-
тивности и емкости на единицу длины («погонные» индуктивности
и емкости).
В связанных линиях указанные понятия целесообразно отнести
к емкостным коэффициентам Сн, С22, С12 и соответст-
вующим по смыслу индуктивным коэффициентам LH, L22, Ll2.
Предпочтение, отдаваемое этим величинам перед другими возмож-
ными системами параметров (например, частичными емкостями
Са, Сь, СаЬ см. выше), объясняется тем, что емкостные коэффи-
циенты связывают напряжения между проводами каждой линии
с токами в этой линии; напряжения между линиями (Ut—U2) в
уравнениях не участвуют. Традиционная запись дифференциаль-
ных уравнений связанных линий оперирует именно с напряжения-
ми и токами каждой линии в отдельности; в дальнейшем такая
трактовка приведет к так называемой концепции связанных волн —
весьма распространенной, но не единственно возможной.
Пусть Сп, С^г, С\2, Ln, L22, b}2 —емкостные и индуктивные
коэффициенты, отнесенные к единице длины. В дальнейшем, для
упрощения обозначений, индекс «1» вверху будет опускаться.
Тогда на участке dx связанные линии будут иметь параметры
C\\dx, C22dx, Cl2dx, Litdx, L22dxf L,[2dx.
Теперь рассмотрим рис. 6.3л, б и применим к изображенным на
них цепям соответственно первый и второй законы Кирхгофа. Рас-
смотрим напряжения U\ и U2 между проводами первой и второй
линии соответственно.
Из обхода по контуру, показанному на рис. 6.3а, видно, что
приложенное напряжение Ui(x+dx) расходуется на падение на-
пряжения U\(x) и на преодоление эдс самоиндукции Lndx — и
dt
эдс взаимоиндукции Ll2dx —.
dt
U1(x+ dx) = U1(x) + Ladx—1- +L13dx-^ , (6.14)
dt dt
где отсчет x ведется от нагрузки.
196
’ Перенося U\(x) влево, замечаем, что
Ur (х + dx)—U2 (х) = d Ux = dx.
Теперь полагаем, что зависимость напряжений и токов от вре-
мени определяется функцией е1(й< , тогда уравнение для напряже-
ний U\ приобретает вид:
= i со Lu/i + i со L12I2. (6.15)
dx
Аналогично для U2:
d-^ = iaL22I2+iaL12I1. (6.16)
aX
Рассмотрим теперь узел тока на рис. 6.36; поступающий ток
J'^x + dx) расходуется по трем направлениям — вдоль направления
распространения энергии течет ток Ц(х)\ перпендикулярно к не-
му расходятся токи смещения, определяемые выражением
^dx=Cndx c12dx^- (6.17)
dt dt . dt V
'(последнее выражение получается ' дифференцированием по t
ур-ния (6.1)).
Итак:
I1(x+dx) = I1(x) + C11dx-^— C^dx—^ . (6.18)
Перенося Ц влево и учитывая, что
IAx+dx)—I.(x} = dJ, = ^d dx, (6.19)
dx
получаем уравнения для тока Ц
^- = ia>C11U1—i(i>C12U2. (6.20)
dx
Аналогично для 12
(6.21)
dx
Выражения (6.15), (6.16), (6.20), (6.21) составляют систему
дифференциальных уравнений; из них нам. предстоит определить
функции, описывающие изменение токов и напряжений вдоль свя-
занных линий.
6.4. Постоянная распространения
Рассмотрим ур-ния (6.15), (6.16), (6.20), (6.21), разделяя
переменные и-преобразуя коэффициенты, получаем четыре одина-
ковых дифференциальных уравнения четвертого порядка
d*Y
dx*
A— I- ВУ=0,
did*
(6.22)
197
где переменной У можно, по желанию, придавать смысл Ub U2r
/| и /2.
Коэффициенты А и В связаны с погонными индуктивностями
и емкостями следующими соотношениями:
Л=-2й|-«1«е+1 + Д(Л-Л^ (6.23)
5=Р2о(1-4)0- (6.24)
где
Ро - = <ву Сц А22 С22, (6.25)
4 / г У т-22^22 (6.26)
К — ^12 V Тц Т22 (6.27)
к = С12 С /СИС22 ' (6.28)
Решение ур-ния (6.22) ищем в виде
Y = Ceyx (6.29)
и, подставляя (6.29) в (6.22), получаем характеристическое урав-
нение
у4—Лу2+В=0. (6.30)
Решение этого уравнения дает постоянную распространения
У= + |/ (6.31)
Таким образом, постоянная распространения может иметь че-
тыре значения: ±yi и ±у2.
Общее решение равно сумме четырех частных решений:
Y = С± е71 х + £>i е-71 *+ С2 е7*х + Z)2 е~7*х . (6.32)
Из (6.32) следует, что в системе могут существовать два типа
волн, отличающихся друг от друга постоянными распространения,
т. е. в конечном счете — скоростью распространения. Этот резуль-
тат необходимо проанализировать с учетом тех ограничений, ко-
торые были заложены в коэффициенты дифференциальных урав-
нений. Напомним, что эти коэффициенты имеют смысл погонных
емкостей и индуктивностей при существовании в системе волны
ТЕМ. Тип колебаний ТЕМ предопределяет одну, общую для всех
волн, скорость распространения.
Итак, чтобы не придти в противоречие с исходными посылка-
ми, необходимо сразу же исключить возможность распространения
в системе волн с разными скоростями. Кроме того, разумеется,
следует наложить все остальные ограничения, свойственные ТЕМ
волне. Смысл этих ограничений уже был сформулирован (см. разд.
198
р*-
6.1) ; теперь необходимо записать их математически. Запись эта
будет иметь вид:
Yi=Y2=Y, (6.33)
Y = (6.34)
С
кс<1’ kl<[- (6.35)
Здесь — скорость распространения волны в свободном про-
странстве, заполненном тем же однородным диэлектриком, что и
связанные линии; с—скорость света; ег — относительная диэлек-
трическая проницаемость.
Отметим, что коэффициенты связи Кс и kl всегда веществен-
ны, поскольку вещественны составляющие их емкостные и индук-
тивные коэффициенты.
Условия (6.33) и (6.34) показывают, что любые электромаг-
нитные колебания в связанных линиях с волной ТЕМ распростра-
няются с постоянной скоростью, равной их скорости в свободном
пространстве, заполненном тем же диэлектриком.
Теперь необходимо указанные условия использовать таким об-
. разом, чтобы выявить минимальное число независимых парамет-
ров в связанных линиях.
Требование yi = Y2=Y> как следует из (6.31), приводит к соот-
ношению1)
Д=2]/В, (6.36)
(6.37)
после
(6.38)
(6.39)
(6.40)
(6.41)
0 Это условие приводит к наличию кратных корней характеристического
уравнения и, следовательно, ,к частным решениям дифференциального уравне-
ния 4-го порядка вида Сх е [14]. Можно показать, однако, что решение
типа Сх е ±7х не удовлетворяет соответствующим уравнениям 2-то порядка. По
этой ппичине пешение вида Сге-’-^ исключается.
И при ЭТОМ
y=+/4-
Подставляем значения А и В из (6.23) и (6.24) в (6.36); •
преобразований получаем
^-(2/7дс)д£+(№-1 + 4)^0,
где
1 / 1 \2
Н=1тД й------| .
2 \ h J
Решая ур-ние (6.38) относительно Kl, находим
= Нкс ± у(«2-1)(№-1).
Величина Кь=-т=|=
199
должна быть вещественной, т. к. вещественны Тц, Т22 и Li2. Ис-
пользуем это для выяснения ограничений, накладываемых на Н.
Так как к2с<1 (см. 6.35), то величина Kl, определяемая выра-
жением (6.40), будет вещественной в двух случаях: при /72<1 и
при 772=1.
Вариант /72<1 невозможен [см. (6.39)]; остается принять
Н=\, т. е. /х=1, (6.42/
Отсюда, учитывая смысл h [см. (6.26)], получаем
L'U.Cti.—(6.43)
— первое соотношение, связывающее погонные индуктивности и
емкости связанных линий.
Теперь в выражении (6.40) полагаем /7=1; тогда сразу же
получаем
KL = KC=K (6.44)
или, учитывая (6.10) и (6.13),
,Й2 = -7£22. = ' (6.45)
Тц Тг2 Сц с22
— второе соотношение, связывающее погонные параметры.
Далее в выражении (6.23) полагаем h=\ и Kl = kc = k, тогда
Д=-202(1-/?)
и из (6.37)
у= +ipopAl— к?= i tn. (6.46)
С другой .стороны, y = i —|/ зг, где——— скорость распрост-
с У гг
ранения колебаний. Таким образом,
УТ^У (6.47).
— третье соотношение, ограничивающее число свободных пара-
метров в связанных линиях с волной ТЕМ.
Таким образом, из шести коэффициентов телеграфных уравне-
ний (Тн, Т22, Т12, Сц, С22, С]2) только три независимы. Если, на-
пример, в качестве независимых параметров задать Сц, С22, С]2,
то из решения ур-ний (6.43), (6.45) и (6.47) находим:
J ____ zr С22
л-ц —--------------------
С2 Г Г ______
- Ьц ь22 —
(6.48)
г ____ Ег Сц
ь22 — —---------------— ,
с1 с с _______с2
Ь11 ь22 — ь12
Т zr С12
Ь12— —-------------------~
с2 г г _____г2
’-'11 '-'22 ь12
(6.49)
(6.50>
200
Обратные зависимости имеют вид:
Си = ±1----Ь?------, (6.51)
С L11 ^-22 ^-12
С22=-у-----(6.52)
с Ln L2-> L]2
Ci2 = -J---(6.53)
Hl ^-22 ^-12
Заметим, что зависимость между погонными емкостями и ин-
дуктивностями обнаруживается, не только в связанных линиях.
Так, например, известно, что для одиночной длинной линии:
^1^ = ^ , (6.54)
т. е. только один из параметров является свободным.
В связанных линиях характер связей между параметрами бо-
лее сложен, однако результат сходен, — только половина всех по-
гонных параметров может быть задана независимо.
€.5. Матрица [а] связанных линий
Выше было показано, что напряжения и токи в связанных
линиях определяются выражениями:
^1=Д1е1тх+В1е-;тх, (6.55)
t/2=A2elmx+B2e-imx, (6.56)
/1 = C1ei"!X4D1e-imJ:, (6.57)
I2=C2eimx-\ D2e~imx , (6.58)
где m = — = — ]Ar = p01^1 — к2,
X c
А, В, C, D — постоянные интегрирования, которые необходимо
определить.
Граничные условия записываем в виде
при х = 0, Ui = Uiq, U2—U20, 12—^20, (6.59)
а при x = l, Ui = Uu; U2='U2r, h=Jir, h = hi-
Используя выражения (6.55) -4-1(6.58), а также исходные диф-
ференциальные ур-ния (6.15), (6.16), (6.20), (6.21), находим все
постоянные. Проиллюстрируем эту процедуру на примере опреде-
ления Ai и Bi.
Из (6.55), (6.15) и (6.59) получаем:
Д1+ Bi = Ulo
Л D _____ , СО L12 г ’ (6.60)
А1---£>1 — --- /'10-----/20
т т
201
откуда:
Ai^(uu + ^^ + ^Iw}, (6.61)
В1 = 4^о~—Ло-^/го') • (6.62)
2 \ т т }
Далее подставляем значения А{ и В\ в (6.55) и, приводя по-
добные члены, переходим от показательных функций к тригоно-
метрическим. В результате
Ui~ Uiocostnx-|- i [-До-|-— До^ sin tnx. (6.63)
\ m tn j
Аналогично составляются и решаются пары уравнений для ос-
тальных констант (Л2, Вг, Сь Db С2, D2).
Прежде чем записать результаты этого решения, введем неко-
торые новые обозначения. Параметры типа —являются посто-
т
янными, независящими от частоты; они свойственны данной кон-
фигурации связанных линий. Действительно, с
<0 L-i 1 v г —
-----=-^=£ц=Р11,
т
где —-=— скорость распространения волны.
V sr
Аналогично преобразуются остальные выражения этого типа:
~ с Т
рц — " ,—' Ml
(6.64)
Р22 —
(6.65)
К
1 С
кд
Здесь знак ~ (тильда) обозначает ненормированный пара-
метр. В дальнейшем эти параметры во многих случаях будут при-
меняться в нормированном виде. Учитывая принятую ранее ну-
мерацию плеч восьмиполюсника (рис. 6.4), изменяем индексы у
. напряжений и токов:
- — 1^— --------л ^10—^3, Ко—* *1з, К20—tUf,, До—•'К.
*гП 1 3 □*' (6.66)
V ~~ _ U.r+lh, U2I^U2, 1^1', 121-+12.
а Л 4 [К В этих обозначениях уравнения,
гЦ _ U г связывающие напряжение и токи
на входе и выходе системы, приоб-
Рис. 6.Ц ретают вид:
202
l/i = U3 cos 0 + i (рп /3 + г It) sin 0,
t/2 = С/4 cos 0 4~ ife/i + r/s)sin0,
Л = /3 COS0-J- i --------Й-'j sin 0,
' aiii v /
/2 = /4cos0 4- i --------sin ©.
\ а)22 о /
Отсюда находим матрицу [а]:
COS0 0 i рц sin 0
0 cos© i г sin 0
1а] = . sin 6 1 -5^7— ащ . sin 0 — 1 V COS0
. sin 6 — 1 -7=— ^22 . sin 0 1 —— ®22 0
где 2 л 1 & = тх= — . X 9/1 < Л Г
i г sin 0
i р22 sin 0
О
COS0
(6.67)
Индуктивные и емкостные коэффициенты телеграфных уравне-
ний между собой связаны соотношениями (6.48). Используя эти
зависимости,
аУц =
1^22 =
V =
находим:
Р11 р22 Г2
Р22
РП Р22 —
РП
Pl 1 р22 Г2
(6.68)
Обратные соотношения имеют следующий вид:
1 1
'Т' ai22
Р11~ ~1 1 -
0122 У2
1
Р22 —
_________
J_______1 1
10ц а»22 о2
(6.69)
^22 V2
~ Терминология, относящаяся к параметрам рц, р22, г и ®ц, w22,
v, еще не полностью установилась.
203
В работе [5] группа параметров рп, ргг, г называется электро-
динамическими, а группа о>ц, w22, v— электростатическими волно-
выми сопротивлениями. С другой стороны указанные величины
просто связаны с индуктивными и емкостными коэффициентами
(ь1Ь /-22, /-12, Си, С22, С12) и скоростью распространения .вол-
нового процесса. Поэтому представляется логичным называть всю
группу параметров р и w волновыми коэффициентами.
Подгруппу рп, Р22, г будем называть индуктивными волновыми
коэффициентами, а подгруппу а>ц, и>22, v— емкостными волновы-
ми коэффициентами.
В заключение заметим, что из соотношения (6.68) вытекает
другой вид записи связей между параметрами системы
Р11 ^22 ~ Р22 W11= r v — P1I р22 Г2, « (6.70)
который окажется полезным далее, при исследовании направлен-
ных ответвителей.
6.6. Матрицы [Г] и [S] связанных линий
В виду известных преимуществ, которые имеют волновые
матрицы [7] ц [S], перейдем к ним. Переходные соотношения даны
в гл. 5.
Вводим предположение, что нагрузочные сопротивления в пле-
чах 1 и 3, а также в плечах 2 и 4 соответственно равны друг другу
(рис. 6.4), т. е.
Rl—/?з', /?2—-R*-
Используя формулы гл. 5, находим:
Тп = cos© -L-i— (pu )sin 0
2 \ И)ц /
7^12 = 7^21 — 7^34 = Ti3 = i —— (r —'j sin 0
2 \ V J
Tt, = —T„ — — i — lo„------!—'i sin 0
2 v Ш11 !
T 14=7^23 — T 32= • 7’44 = i—- (r 4--sin 0
2 \ v ]
T2i~ — T42 = — i — (P22 sin 0'
2 \ )
T22= cos©+ i — (p22-J- —^sin0
2 \ ®22 /
T33= cos0— i — fpiH—— 'j sin0
2 \ Wu I
7^44 = cos 0— i — (P22 4----—sin 0'
2 \ w22 J
(6.71>
(6.72)
204
Здесь применяются нормированные параметры:
Ри „ - Р22 , г
Р11 - ъ Р22 R, /R1R2 (6 73)
Шц = Шп ОУ22
Ri ’ ш22- ,
причем нормировка произведена в соответствии с правилами нор-
мирования матриц [7] и [S] (см. гл. 5).
Переход от матрицы передачи к матрице рассеяния произво-
дится с помощью соотношений гл. 5;, в результате имеем:
1
Иц
sin2
0
i рц —------ I sin 20
\ а>ц/
(6.74)
[(г2 —“7^ — (рп+ —) (р2г-— )I sin26 + i fP22 — )sin2O
c e I' v2 / \ »u/\ Ш22 /J \ w2il
‘J 22 — ^44 — ---------------------------д »
(6.75)
— л- —) sin2 0 + if г + —} sin 20
S12 = S21 = S34 == Si3 =----Lei--------------------------V_L---- , (6.76)
/1
2 [2 cos 0 + i Ip22 +---'j sin ©1
S13 .= S31 =- -J--------, (6.77)
2 fr — —— j sin 0
S14 = S4i = S23 — S32 = i - , t (6.78)
где
2 cos 0 + i
sin2 0-7-
1
---- S1O0
ш22 /
(6.80)
Параметры рц, .P22, G ®n, W22, v, нормированные в соответствии
с (6.73), обладают тем свойством, что для них сохраняют свой вид
равенства (6.68), (6.69), (6.70). В этом легко убедиться, разделив
левые и правые части указанных равенств на в результате
получаем:
205
Ц^-РИРМ.-'2
Р22
Pll=
1
1 1
1
«'ll Wit V2
— Pll Р22— r2 .
W22-------------,
Ри
P22 —
«>11
J________1_
«'ll «'22
1
V2
(6.81)
1
v = Pll P22 — r2 . r =_ ___________V__________
Г _1 1 1
«'ll «'22 V2
Pll ®22 =: P22 ®11 = f V = Pll P22 f2
(6.82)
6.7. Синфазные и противофазные волны (четный и нечетный
тип колебаний) в неодинаковых связанных линиях
Решение телеграфных уравнений описывает возможные
волны напряжения и тока в заданной системе. Фактическое суще-
ствование какого-либо вида волн с заданными амплитудными и
фазовыми соотношениями в обоих линиях определяется не только
возможностью его существования, но> и заданными условиями
в озб у ж д е н и я. В случае восьмиполюсника можно возбуждать
1-с плечо, либо 1-е и 2-е плечи одновременно *) с заранее задан-
ными амплитудными -и фазовыми соотношениями; эти же соотно-
шения сохраняются для падающей волны на всем протяжении
линии.
Получили распространение [6, 7] четыре варианта возбуждения
плеч; они называются соответственно синфазным и противофазным
возбуждением по напряжению и по току. При синфазном возбуж-
дении по напряжению проводники 1 и 2 (рис. 6.1) в каждом своем
сечении имеют одинаковые по амплитуде и фазе напряжения. При
противофазном возбуждении по напряжению проводники 1 и 2 в
каждом своем сечении находятся под одинаковыми по величине
и противоположными по фазе напряжениями. Токи в проводниках
будут в обоих случаях неодинаковы.
При синфазном и противофазном возбуждении по току анало-
гичные определения вводятся для токов в каждом сечении линий;
напряжения при этом будут неодинаковы.
’) Возбуждение плеч 1 и 2 понимается обычно теоретически, т. е. как не-
который мысленный опыт. Существуют, однако, случаи, где указанный опыт вы-
полняют практически [13].
206
Заметим, что сумма синфазного и противофазного возбуждения
эквивалентна возбуждению одного плеча, т. е. случаю, наиболее
распространенному на практике.
Структура электрического поля синфазной и противофазной
волны в полосковых линиях изображена на рис. 6.5а, б.
Рис. 6.5
Рассмотрим количественные соотношения. Комбинируя основ-
ные дифференциальные ур-ния (6.15), (6.16), (6.20) и (6.21), а
также учитывая связи между погонными параметрами, вытекаю-
щие из существования волны ТЕМ, получаем следующие диффе-
ренциальные уравнения:
dx
^-=1й)(С22/Л—С12/Л)
dx
(6.83)
где Y—переменная, которой можно придавать, по желанию, смысл
либо С2,
2л
т = —.
X
В соответствии с определением синфазной волны на-
пряжения полагаем
U1==U2 = U (6.84)
и, подставляя это соотношение в (6.83), получаем следующее ре-
шение:
U = Meimx 1
Л = _^(Cu^C12)MeimH (6.85)
/2 = ~^(C22-C12)Meimjc
УЧ
Здесь М—(постоянная. Из (6.85) находим:
®++ —— -----------!------=-------1--- (6.86)
11 (Сц-С12) 77=с++
V^r Vzr
w++ ---------------- ——1------------ (6.87)
.г— (С-22 — б12) , — ' Г
14 V £г
207
Сопротивления twi1"1' и щ-Г+ называют волновыми сопротивле-
ниями -первой и второй линий в режиме синфазного возбуждения
по напряжению.
Величины:
С++ = Си—С12, (6.88)
С2++=С22-С12 (6.89)
называют погонными емкостями первой и второй линий в режиме
синфазного возбуждения по напряжению. Легко заметить [см.
(6.7)], что эти емкости равны соответствующим частичным емко-
стям:
С++ = Са, (6.90)
С++ = СЬ. (6.91)
Переходя к противофазным волнам напряжения,
полагаем
— U2 = U (6.92)
и подставляя это условие в (6.83), находим:
U=Neimx
-^(Cu+C12)tfeimjc
/2= - (С22 -4 С12) е1'тх
откуда:
д. U 1 1
11 с. с ,
уг’ (си + C12) pv"
. — и 1 1
w+ =-----------------------------------------
/о С с _1
(С22 + С12) с+
(6.93)
(6.94)
(6.95)
Сопротивления w j1 и w2 называют волновыми сопротивле-
ниями первой и второй линий в режиме противофазного возбуж-
дения по напряжению. Соответствующие емкости:
С+ — СиЧ-С12,
= С224- С12
(6.96)
(6.97)
называются погонными емкостями первой и второй линий в режи-
ме противофазного возбуждения по напряжению. Сравнивая эти
.величины с частичными емкостями [см. (6.11)], замечаем, что
С+~=Са+2Саь, (6.98)
Q- = Cfr4-2Ceft. (6.99)
208
В случае синфазных и противофазных волн тока .используем
следующую модификацию исходных дифференциальных уравне-
ний:
d*Y
dx*
, 1 ~ i 01 (Mi Л Мг Iг)
dx
2 — i <в (Мг Л + Мг Л)
• dx
m2Y
где Y может иметь значение Ц либо /г-
Полагая
либо
Л=-Л=/
(6.100)
(6.101)
(6.102)
<и, подставляя поочередно эти соотношения в (6.100), получаем:
л++ с (I , ! I j
Р1 / V ч
р++= М / г— (С22“Г М2), г гг
Pl1- / = ^-(£и-М2), V
р2+ - м I — _ (Л22 Л12)
(6.103)'
(6.104)
(6.105)
(6.106)
— волновые сопротивления линий в режиме синфазного и проти-
вофазного возбуждения по току.
‘Как уже указывалось, термины «синфазные и противофазные
волны» можно заменить терминами «четный и нечетный тип коле-
баний» (по напряжению либо току). ।
6.8. Одинаковые связанные линии
Одинаковые связанные линии являются весьма важным
для практики частным случаем, поэтому целесообразно дать от-
дельно .все относящиеся к ним .расчетные соотношения. Связанные
линии будут одинаковыми, если выполняются соотношения:
Сц— Мг—- М
откуда следует:
Р11— Р22 — Р>
tVa = Wi2
Сц --- С22 — С,
(6.107)
(6.108)
(6.Ю9)
209
Тогда связи между параметрами, соответствующие случаю
распространения волны ТЕМ [см. (6.48) —(6.50)], упрощаются:
£ = — с ч с 2 С2 — с% (6.110)
Т12 Обратные С = - С12=- еГ С]2 С2 С2 — cf2 соотношения имеют sr L С2 [2 [2 ’ гг £12 С2 Z.2 — 42 вид: (6.111) (6.112) (6.113)
Учитывая для матрицы эти связи между параметрами, М: получаем выражение
cosQ 0 0 cos© i psin0 i г sin© i г sin 0 ipsin©
[а] = . sin 0 . sin 0 1 -XT- —1 W V . sin 0 . sin 0 1 -7ZT— 1 У W COS0 0 0 COS0 (6.114)
где волновые коэффициенты р, г, w и V, как следует из (6.113) —
(6.116), между собой связаны:
-2
щ—-
— О2 — Г2
0= -----
(6.Н5)
(6.116)
т. е. одинаковые связанные линии полностью определяются двумя
параметрами, например, р и г. Из (6.116) следует также соотно-
шение
w р= v г- = р2—г2
(6.117)
210
Далее, из (6.72) находим матрицу [Г]:
7’11 = 7’22 = cos ©4- i — (р+ —sin©
2 \ w )
Т12=Т21= — T3i = —Ti3= i ~~(r---1-')sin©
T’is =- 7'3i = 7’24= 7’42= i(p )sin© •
2 \ w /
7’14=7’23= T’32 = Тц= i — (r A-\sin0
2 \ V /
7’зз= 7’44 = cos©—i — Ip4-J_\sin0
2 \ w }
(6.H8)
Здесь применяются нормированные параметры:
p=dr- r = ^; <6J19)
^=4^, (6J2°)
t\ К
где R — нагрузочные сопротивления; для одинаковых линий они
принимаются одинаковыми (7?i =/?2 = ^з = ^4 = ^)•
Переходя к матрице рассеяния, получаем из (6.74) — (6.80):
(6.121)
А
(6.122)
<Si2 — S-21 — S34 — S43 —
где обозначено
(6.123)
(6.124)
Л = — j sin2©+ |^2cos0+ i (p+ — ^sin©j . (6.125)
211
Для нормированных параметров соотношения (6.115), (6.116)
и (6.117) сохраняются:
w
W2 v~
wp=vr= р2—г2
(6.126)
(6.127)
(6.128)
Переходим к концепции четных и нечетных типов колебаний.
Одинаковые связанные линии обладают следующим свойством,
для них варианты возбуждения (см. разд. 6.7) по напряжению и
току совпадают:
да++=р++, (6.129)
ш+“=р+“. (6.130)
Значения этих величин следующие:
®++ = да++ = да++ = —- = р 4- г,
2 v С-*
C++= C++= C++; (6.131)
Cf--C+-=C+- (6.132)
В литературе применяют также и другие обозначения:
w++ = р++ = znc, w+-=.р+- = z00.
6.9. Системы параметров
Выше были рассмотрены различные системы параметров,
описывающих связанные линии. Исходными являются шесть коэф-
фициентов телеграфных уравнений: (Си, С22, С)2, Сц, С22, С]2); в
той или иной форме они входят в любую систему параметров.
В случае волны ТЕМ только три из шести коэффициентов незави-
симы, следователыно, и все остальные .системы параметров также
содержат только три независимых параметра. Наиболее распро-
страненные варианты следующие:
1. Емкостные коэффициенты — Сц, С22, Ci2.
2. Частичные емкости — Са, Сь, СаЬ.
3. Индуктивные волновые коэффициенты — рц, р22, г.
212
213.’
Искомые параметры Заданные параметры
£*11» Сц Р11» Pi2> r c++, c+~, c++, c+~ a)++, tu+ , tu++, ou^" pf+. pf~, P^+. p+~
Ca Сц — C12 V 4 P22 —~ c Pll P22 — C++ 1 c w^A- Уч pt+^t~~pt+-^pt- c pt+pt~ -pt~p%+
Cb — £42 /«r Рп —~ c Pll P22 —~2 C++ Уч 1 c w^+ Уч pf++pf--Pt++P2+~. c РГ p^-pf^pt+
Cab Q2 Уч ~ c+- — c++ 1 Уч / 1 1 \ Уч Pt+-P^
c PuPffi — 2 2 с \ и»]* te»^+у c Pt+Pt~-Pf~pt+
Искомые параметры Заданные параметры
Cli, C12> C13 Ca,Cb, Cab c++. c+-, c++, c+~ w^A-' ш+ , te>++, р|+. Pt". ?t+.
Pll У ч C22 er Cb l~ (-gb c Ay Уч 2(ct+ + ct~) / 1 1 \ 2 ' 4 | \ w^A- №+- J A3 Pt+ + Pt~ 2
C ^11 ^22 — £*‘12
c A2
P22 Уч cu Уч Cg Ц- Cgb c At Уч 2(ct+ + cj~ ) c A 2 f 1 \ 2(^+ ~“Z ) A3 Pj~+ -b p£~ 2
c Cn C22 — C|2
r У Ч C12 У Zr Cgb c At Уч 2(C+--Ct+) o/_l_ __1_ \ \ w^+ J Pf + - P?~
c Cu C22 C|‘2 c A2 2
A3
At Ca Cb + Ca Cab 4- Cb Cab, A2 = ( C++ 1- C+-) ( C++ + c+~) - ( Cf~ - C++)2,
9i?;
I (скомые параметры Заданные параметры
Сц, Cfz, Сц Са, СЬ, СаЬ Р11» Рм. Г U>++, ffi>+ , 01>++,01>+ pf+. ?t~ ?t+- с~
с++ Сц — С12 Са У £г р'за —~ с Рп Р22 — f2 УС 1 с и»++ УС- 4+Ур?~-р?++р{-
c pt+pt~-pt~pt+
с+- Сн + С12 са ~Ь 2 Cab У Р22 +У с Р11 Р22 — УС 1 С wf УС pg++-hpj-~W+-pf~ c p++p+--p+-p++
C++ С22 С12 СЬ У £r pii — У УС 1 С ®+ + УС pt+H>t~-pt++pt~
с Р11 Р22 c pc+pt~-pt~pf+
Искомые параметры Заданные параметры
Сц Сц, Сц Са, Cb, СаЬ Pit» Ps2’ р cf+, С^~. с++, ct~ р++, р+-, р++, р+-
Ч-Ч- ууг 1 УС 1 Pll Р22 — г2 У^г 1 pf+p2“-pf-pt+
с Сц С12 С с„ Р22 — г С C++ р+++р+-_р+++р+-
Ч— УУ ' 1 УС 1 Pll Р22 — УС 1 р++р+~-р+-р++
wf с Си -ф- С12 С Са 2 Са1) Ргг -Ь г с с+- р+++р+-+р++_р+-
a++ УС 1 УС 1 Pii Р22 ~ f2 УС 1 C++ р++р+_-р+_р++ р+++р+-_р+++р+-
UK2 с С22 — С12 с сь Рп — г с
Заданные параметры
1 +о| 3 +' 4"<м 3 1 +- 3 +' +- 3 — 1 1 « •ч: Tf » + if <r 1 +Э « 4
1 +сч + ' 1 ‘ +- CJ 4"~ Cj Ге? 4C2+~ УГ 4 C++ 1 CJ Ci t)
J «£ 4»<J . 4 1- t 1<£ 1 1<£ + M 1°-
и CM C |ш- !“ О i.: k | u *§ и CM 0 О L- x <*
U о « о L®| frj M Q o' u frj <5 1 « о L- ‘x CM M M и и и V\ Cn^C18 <№ О 1 « M о o' u
Искомые параметры + 4“— Q. 1 + 4 4 X
сьСоCat, + Cb Cab, At = (ct+ + С^~) ( C++ + с+-) - (с+- - C++)2,
218
4. Емкости при синфазном и противофазном возбуждении (по
напряжению)’)—С++, С?+, tf~, С/~
5. Волновые сопротивления при синфазном и противофазном
возбуждении (по напряжению) — w]н‘, Wi , wi> .
6. Волновые сопротивления при синфазном и противофазном,
возбуждении (по току)—pit'+, р++, pi1 , рг •
Для расчетов используются лишь две системы параметров из
приведенных выше, а именно:
Ph, р22, г— Для определения электрических характеристик свя-
занных линий.
Са, Сь, Саь — для определения размеров связанных линий.
В соответствии с таким подходом основное значение имеет за-,
висимость величин Са, Сь, Саь от рц, ргг, г. Эту зависимость на^
ходим из (6.7), (6.64), (6.65) и (6.48) —(6.53):
г _/Er fa—~
С Р11 Р22 — т2
п _ Vzr Pll —~
------- ~ ~ ДГ
С Pll Р22 — Г2
О _ УеГ ~
ьаЬ — —— ~ ~ ~
С Pll Р22-г2
(6.133)
Здесь бг — относительная диэлектрическая проницаемость, с —
скорость света ,в свободном пространстве, причем
i] = 376,7 ом, e = er, eo=er-8,85-10-12 ф/м.
Расчет’связанных линий содержит два этапа: на первом нахо-
дят рц, р22, г, исходя из заданных электрических характеристик.
На втором находят геометрические размеры связанных линий, ис-
ходя из соотношений, опубликованных в работах [9, 10].
Многообразие различных систем параметров, описывающих
связанные линии, не вызвано практической необходимостью; оно
связано лишь с некоторыми исторически сложившимися традиция-
ми и школами. Для облегчения перехода от одной системы пара-
метров к другой в табл. 6.1 (стр. 213) дана сводка основных пег
реходных соотношений.
Литература
1. Линии передачи сантиметровых волн, ч. 1. Перевод с английского. Изд-вс
«Советское радио», 1951.
2. Справочник по волноводам. Перевод с английского. Изд-во «Советское
радио», 1952.
‘) Здесь, а также и в последующих двух вариантах один из четырех пара-
метпов зависимый. Эти зависимости даны в табл. 6 1.
219
3. Shelkunoff S. Conversion of Maxveils Equations into Generalized Te-
legraphist Equations. The Bell System technical Journal, September. 1955.
4. Круг К. А. Основы электротехники. ОНТИ НКТП СССР. М.-Л., 1936.
5. П и с т о л ь к о р с А. А. Антенны. Связьиздат, 1947.
6. Хорган. Связанные полосковые передающие линии с прямоугольными
внутренними проводниками. Trans. IRE, МТТ-5, April, 1967. Перевод в сбор-
нике статей «Полосковые системы сверхвысоких частот». Изд-во иностран-
ной литературы, 1959.
'7. Джонс, Больян. Фильтры ,и направленные ответвители на связанных
симметричных полосковых линиях. Trans. IRE, МТТ-4, April, 1956. Перевод
в сборнике статей «Полосковые системы сверхвысоких частот». Изд-во ино-
странной литературы, 1959.
8. Влостовский Э. Г. К теории связанных линий передачи. «Радиотехни-
ка», т. 22, № 4, 1967.
9. С о h n S. Shielded coupled—strip transmission line. IRE Trans, on Misro-
wave Theory and Techniques, v. MTT—3, October, 1955.
10. Get si ng er W. Coupled Rectangular Bars Between Parallel Plates. IRE
Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1962, I, v. MTT-10, № 11.
II. Oliver B. Directional electromagnetic couplers Proc IRE, v. 42 November,
1954.
12. Lombardini P„ Shwarz R., Kelly P. Criteria for Design of Loope—
Type Directional Couplers for the L Band. IRE Trans., v. MTT—4, 1956, Oc-
tober, № 4.
13. Казанский Л. С. Развязывание генераторов с помощью пассивной ли-
нейной схемы, «Радиотехника», № 6, 1966.
14. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. ГИТТЛ, 1950.
^7. Цепочки восьмиполюсников
7.1. Общие сведения. Рекуррентные соотношения
В дайной главе рассматриваются восьмиполюсники, полю-
са (зажимы) которых сгруппированы попарно и разделены на две
группы — левую и правую (см. разд. 5.1).
у Цепочкой (каскадным соединением) восьмиполюсников назы-
вается такое их соединение, при котором правые зажимы предыду-
щего звена соединены с левыми зажимами последующего (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Цепочки восьмиполюсников вида, изображенного на рис. 7.1, час-
то применяются на практике; к ним относятся, например, много-
элементные направленные ответвители, мосты и др. Методы иссле-
дования цепочек восьмиполюсников имеют много общего с соот-
ветствующими методами, развитыми в теории четырехполюсников.
Уравнения в конечных разностях дают возможность анализа не-
которых частных случаев цепочек. Ниже этим методом анализи-
руются некоторые типы мостов из одинаковых звеньев. Сумматор-
иые уравнения могут служить основой приближенного синтеза на-
правленных ответвителей с оптимальной частотной характеристи-
кой направленности (см. разд. 7.10).
Переходя к обоснованию рекуррентных соотношений, рассмот-
рим цепочку из к произвольных восьмиполюсников (рис. 7.1); ее
можно трактовать как каскадное соединение двух восьмиполюс-
ников, последнего1) (к-го) и системы из всех предыдущих (к—1)-х.
Строчными буквами латинского алфавита обозначаются элементы
матрицы передачи одного звена, прописными буквами — элементы
матрицы передачи цепочки.
*) Отсчет восьмиполюсников производится от нагрузки.
221
Таким образом имеем:
~АК Вк Ск Ок) Ьк Ск dK Ак— 1 Вк—1 Ск—1 Dk—i
Ек Fk GK Нк fK ёк hK Ек-i Fк—1 Gk—1 Нк-1
1к Jk Кк Lk 1к }к Кк Ik 7к—1 J к—1 Кк-1 Ек—1
Мк Nk Ок Рк тк Пк Ок Рк Мк—1 Nk—1 Ок—1 Рк-1
(7.1)
Умножая матрицы, получаем
ментов матрицы всей цепочки:
следующие выражения для
эле-
Ак = аи АК—1 4" Ьк ЕК—1 4' СК1К— 1 + <1лМк—\
Ек = екАк-1 [к gK hK Мк—1
Е — Е Ак—1 /«с Ек— 1 4~ кк 1К- t Е Мк— 1
Л4К = ткАк—\ 4- пкЕк—\ EoKIк_i 4- рк Мк—i
(7.2)
Ек = ак Вк—14* ьк Fк—t -4 ск Jk—i 4" &к Nк—i
FK — Ск Вк—1 “4 f к FК—1 “4 Ек—1 “4 Лк Ук—1
Ек~[beBK—i~4]к Ек—i~4 ккЕ«с-i 4- Е Nk—i
Кк = пкВк~1 + nKF к— 14- ок Jк-1-4- рк NK—i
Ск = ок Сх—1 ~4 bK Gk—1 4- Ск Кк—14 dK 0к—\
GK ~ ск Ск—1 4* fк GK—\ 4’ ёк Кк—i -И Лк Ок—1
Кк = Е Ск—1_4~_ JkGk—1 4- Кк Кк—1 4~ К Ок—1 '
Ок — Ск—1 4“ «к Gk—1 ~4 ®кКк—1 “4 РкОк—1
Ок — Чк Dk—i “4 Ьк Нк—1 4 ск Ек—\ ~4 dK Рк—1
ЕЕ— ск Dk—i + fк Нк—1 -4 ёк Ек—\ ~4 hK Р к—i
Ек = 1к Dk—i 4- /к Ик— 14“ Кк Ек—\ 4- ЕР к—i
Рк= tnKDK_\4"чк Нк—14~ oKLK—14" РкРк—1
(7-3)
(7.4)
(7.5)
Соотношения, вытекающие из условия взаимности (гл. 5) при
алфавитной записи элементов матрицы [Г] для каждого звема
приобретают вид:
ак-\-Ы—ci—dj=--\
ео Yfp—gm—1
аоЦ- Ьр—ст—dn= О
ек^-fl—Л/=0
io 4- jp—кт—1п= О
ce+df—ag—bh^ О
(7.6)
7.2. Цепочка симметричных направленных
восьмиполюсников. Структура матриц
Предварительно рассмотрим каскадное соединение двух '
восьмиполюсников, каждый из которых полностью симметричен и |
направлен.
222 (
Если оба звена сонапралленные (т. е. имеют направленность
1-го типа), то результирующая матрица [1J:
йх Ьх 0 01 Ь2 0 0“
[Т] = 6х йх 0 0 62 0 0 Pi /х Х 0 й2 0 0 _ 0 Рг I2
0 0 /х Pi 0 0 ^2 Рг
йхЙ2 4~ Ьф2 й]62 4- 6хй2 0 0
= Й162 Т" 61Й2 йхй2 -j- b]t>2 0 0 ° ° . (7.7) Р1Р2 + W2 Рх^2 4~ 11 Рг
0 0 Рх^г+^Рг P1P2+W2
Легко заметить, что вид результирующей матрицы тот же са-
мый, что и матриц-сомножителей. Умножение на третий, четвер-
тый и т. д. сомножители не изменит этот вывод.
Итак, цепочка из сонаправленных восьмиполюсников представ-
ляет собой также сонаправленный восьмиполюсник.
Перейдем к каскадному соединению двух противонаправлен-
ных восьмиполюсников (2-й тип направленности). Результирующая
Их О 0 di
О йх di О
О Их Рх О
/Пх 0 0 Рх.
Й1Й0 ~~ d^llTla О
. ^матрица
и2 0 0 d2~
О й2 d2 О _________
О т2 Р2 О
т2 0 0 р2_
О Uid2 -j- dj р2
О а ^р2 difnz Ц]//2 Ч- dip2 О
О т^2 + РхР2 О
Шхйг Ч- Kj/n2 0 0 iriyd2-\- Р1Р2
(7-8)
имеет тот же вид, что и матрицы-сомножители. Таким образом, це-
почка противонаправленных восьмиполюсников представляет
восьмиполюсник с теми же свойствами, что и каждое звено це-
почки.
Переходя, наконец, к соединению двух восьмиполюсников 3-го
223
Оказалось, что при каскадном включении двух восьмиполюсни-
ков с направленностью 3-го типа результирующий восьмиполюс-
ник приобретает направленность 2-го типа. Если присоединить еще
одно звено 3-го типа, получим систему, у которой снова направ-
ленность 3-го и т. д. Короче говоря, цепочка из четного числа
звеньев 3-го типа является восьмиполюсником 2-го типа; при не-
четном числе звеньев тип направленности сохраняется.
Заметим, что элементы волновой матрицы передачи [Г] непо-
средственно характеризуют режим рассматриваемых цепочек. На-
пример, если цепочка состоит из звеньев 2-го типа, то элемент Тц
представляет собой коэффициент передачи из первого в третье
плечо цепочки, элемент 7'41— коэффициент деления мощности меж-
ду плечами 2 и 3 цепочки. Аналогичные закономерности можно
проследить для двух других типов звеньев (см. гл. 5).
Можно показать, что рассматриваемые цепочки полностью сог-
ласованы:
= S22= 533 — S44. (7.10)
га
d
5
ч
\о
га
7.3. Разностные уравнения для цепочек из симметричных
направленных восьмиполюсников
Переходя к разностным уравнениям, будем исходить из
общих рекуррентных соотношений (7.2) — (7.5). Необходимо учесть,
что в матрицах передачи как звеньев, так и цепочек значительное
число элементов равно нулю; многие элементы также равны друг
другу.
Вытекающие отсюда упрощения учтены в табл. 7.1, дающей
упрощенные рекуррентные формулы и упрощенные соотношения
взаимности.
Разделяя переменные в рекуррентных соотношениях для сона-
правленной и противонаправленной цепочек (столбцы 1 и 2 табл.
7.1), получаем .разностные уравнения для элементов матрицы пе-
редачи цепочки.
Методику разделения переменных покажем на примере урав-
нений сонаправленной цепочки:
А/с = 1 + ЬКВК_1,
=ЬКАК— 1 -[~oKBK—i,
из первого уравнения .находим
или, увеличивая индексы на единицу, получаем
о ________ ^«4-1
224
8—488
-Подставляя эти выражения во второе уравнение, имеем
Л л , л ь2к-£ ,
Д«4-1-------------Ак + Ок4-1 ----Як—1-
Ок Ок
Далее, из соотношений для обратимой сонаправленной цепочки'
(см. табл. 7.1):
арЛ-Ы = 1,
al 4-bp =0
следует, что
6к-«2к^“-
LfC
откуда окончательно
Ок 6«+1 л — Ак—Ь 1к
Аналогично выводятся остальные уравнения; в итоге для со-
направленной цепочки имеем:
At+i — аж+1 + Ьк Ак - *И-^Ак-1, (7-11)
Вк+i — ( ак+1 + b". aK j Вк 1 ь*+‘ р h . Як-1, (7.12)
В к+1 рк+1 + Рк LK-\- 7 Ьк—1, Ок (7.13)
(7.14)
а противонаправленная цепочка описывается уравнениями:
Ак+1 — ( «к+1 + dK р*)Ак dK Ак~'’ (7-15)
/ тк-П \ Мк+i- -(Рк+1 + тк ак)Мк- ^-Мк-1, тк (7.16)
Ок+1 — ( ак+1 + p^j DK d«+i п ' dK Dk~1’ (7.17)
^+i-(pK+1- тк ак^Рк «И Г К 1 • (7.18)
Для цепочки из звеньев 3-го типа разностные уравнения не
могут быть составлены ввиду различия условий при к четном и
нечетном. Впрочем, для четного числа звеньев эту трудность мож-
но обойти объединением двух звеньев 3-го типа в одно звено 2-го
типа; для него имеются разностные ур-ния (7.15)—*(7.18). Гранич-
ные условия к ур-ниям (7.11) —(7.18) состоят в том, что цепочка
с нулевым индексом описьпвается единичной матрицей, т. е. при
к=0
226
“10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
~ А В C D ~
Е F G Н
I J К L ч
._М N О Р _
а цепочка с индексом 1 тождественна звену с индексом 1, т. е,
при к = 1
"Ат В1 Ci A “ «1 br Cl (lr~
Ег Fi Gi Hr er fi gl hr (7.20)
71 J1 Ki Er ii Ji Kr
Nr Oi Pr_ mr nr Or Pi_
Некоторые частные случаи использования разностных уравне*
ний рассмотрены ниже.
7.4. Цепочка одинаковых сонаправленных
или противонаправленных восьмиполюсников
Рассмотрим цепочку, в которой каждое звено представляет
собой полностью симметричный сонаправленный восьмиполюсник.
При одинаковых звеньях
ак4-1 = а* = а’ ЬКЛЛ^Ь*=Ь 1
+ + (7.21)
Рк+1 — Рк=Р\ 1к+1 =lK=l j
ур-ния (7.11) — (7.14) упрощаются:
Л+1= 2аЛк-'- -у-Л-i
— 2аВк-|—— Вк_{
Lk+i = 2pLK-\--Lk—i
b
Рк+{=^рРк-^-— Рк_{
b t
(7.22)
, Граничные условия для этих уравнений имеют вид:
при к = 0 А0 = Р0=1, £о=Во = О, (7.23)
при к= 1 Ai = a; Pr = P, Lv = l, Bv=b (7.24)
Поскольку в (7.22) коэффициенты 12а, 2р и
Ь \
— 1 от к не зави-
сят, то разностные уравнения можно решить методом, изложен-
ным в гл. 2 для случая цепочки четырехполюсников. Решение бу-
дет иметь вид, сходный с (2.18).
8*
227
Если все звенья цепочки представляют собой одинаковые, пол-
ностью симметричные и противонаправленные восьмиполюсники,
то
aK+i = а» == a, dK+l = dK = d 1
Pk+i =Рк = Р, mK+l =тк= т j
И разностные ур-ния (7.15) — (7.18) приобретают одинаковый вид:
Лк-|-1 = (я + р) Ак Ак~1
Mk-i-i — (а-Ь р)Мк—Мк— 1 . (7.26)
— (а + p)DK—DK~\
Рk-f-l = (а-р р) Рк Р к—1
Граничные условия:
при л = 0 Д0=Р0=1, Mo=Do=O , ) (727)
при к=1 Л1 = а; Р±= р\ d j
Ввиду полной аналогии получении x уравнений с рассмотрен-
ными люсн] ранее ур-ниями (2.10) для цепочки одинаковых четырехп яков, можно сразу же записать решение ~ . .a — pshvK п л , sh v к " cnv/сЧ 0 0 d 2 sh v sh v _ , , а~р shvK ,shvK n 0 ch v к H d 0 2 sh v sh v Э-
[Т] = где 0 sh v к m sh v — L a v = ar ch - sh v к m sh v 0 2 ch v к- 0 a — p sh v к 2 sh v ch v к,— 0 я - о sh v к 2 sh v (71 (7.2 8) 9)
По-прежнему возможно введение полиномов Чебышева перво-
го и второго рода:
.L -г (а + р\ sh v к j, [a-^pX
chvK=7\. —— ; -—=L\_i —-с .
\ 2 / sh v \ 2 /
Согласно гл. 5 имеем:
Л = —, (7.30)
•$13 ^13
Кроме того, вследствие унитарности матрицы рассеяния (см.
гл. 5)
] 512 I2 +1 513 |2 — 1 >
(7.31)
228
откуда очевидно, что между модулями А и М существует следую-
щая связь:
|Д|2= 1+|Л4|2. (7.32)
В теории четырехполюсников аналогичное соотношение имеет
место между функцией рабочего затухания [ТЫ2 и функцией
фильтрации |T2i|2 (см. 1.206).
В рассматриваемом случае выражение для коэффициента пере-
дачи (7.32) приобретает вид
|Л|2 = 1 + |/и|2 |S-^f|2= 1 + /п21UK^ • (7.33)
7.5. Цепочка одинаковых ненаправленных
восьмиполюсников
Если звено ненаправлено, то это не-означает, что цепочка
ненаправлена. Направленность цепочки возможна в некоторой по-
лосе частот, вследствие интерференции падающих либо отражен-
ных волн. Исследование этого вопооса удобно проводить методом
зеркальных изображений (см. гл. 5).
Рассмотрим цепочку, состоящую из одинаковых ненаправлен-
ных и полностью симметричных" восьмиполюсников. Вводя в пле-
чах 1 и 2 синфазные и противофазные напряжения, эквивалентные
напряжению, поданному в плечо 1, разбиваем цепочку восьмипо-
люсников на две цепочки четырехполюсников.
Пусть матрица передачи каждого звена цепочки четырехполюс-
ников, соответствующих синфазному .возбуждению, имеет вид
&++'
d++
(7-34)
и соответственно для противофазного возбуждения
[7’]авена —
ь+~'
d+~
(7.35)
Возводя эти матрицы в степень, равную числу звеньев, полу-
чаем:
[Т^цёпочки —
, sh vi к
ch^+-----2-- IhV
sh к
sh vi
[Г]
н—
цепочки
sh Vi ft
C sh V!
ch —
a++ — rf++ sh vi к.
2 sh vi
ch v2k 4- a+~ — 2 — sh v2 к sh va , . sh v2 к b sh v2
c+~ sh va к sh v2 ch '^k— дЧ— — sh v2 к 2 sh v2
(7.36)
229
где
л к а++ + d++
ц = Ar ch---------
л u a+~+d+~
v2= Ar ch---J-----
(7.37)
Используя переходные соотношения (1.132), находим соответ-
ствующие матрицы рассеяния:
, , sh V1 к c h sh vj 1
r — иепочки — ch v1 к a++ — d++ 4" 0 sh vjK sh vi , k a++ — d++ ch V1 к 4- 2 e++ gh vt к sh vi shvxK sh vi »
sh vj к + Q + + to | + + shvxK sh vx a++ — d++ ch к -J- 2 sh viK sh vi_
(7.33)
[5]
н— _____
цепочки —
sh V2
— sh у2к
ch V2 К Ч 2 sh
t а. —d~^ sh уак
ch Vi к + g sh
_____________1_____________
a+— — d^— sh ViK
ch Vi к + 2 sh4?
I sh v^
_____________sh yt---
ar1— — d^— shv2 к
ch v2« +_____2-------
(7.39)
и далее с помощью соотношений (гл. 5) определяем искомые па-
раметры цепочки восьмиполюсников1):
5ц 512 1 c ch Vj к , I sh vi к , sh Vi к ГТ С ' sh vi sh V2 ,(7-40)
a++—d++ sh’vxK a4—— 2 shV1 2 sh vgft shv2
1 1
*^13 a++_ rf++ shV1K:~ a4——d+~ sh v^ .(7.41)
5ц ch vtк 4 chvgK-b 2 sh Vi sh Vt
*) Верхний знак (плюс) в ф-ле (7.40) относится к Sh, «ижний знак (ми-
нус) — к S12. Аналогичная форма сокращенной записи принята в (7.41), (7.49)
и далее.
230
Подбирая фазовые соотношения между первым и вторым сла-
гаемым в (7.40) и (7.41), можно добиться заданного уровня пере-
ходного затухания и направленности. Методику такого расчета
удобно показать на частных случаях. ,
7.6.
Пример 1
В качестве примера применения теории, изложенной в пре-
дыдущем разделе, рассмотрим методику
ответвителя в виде двух прямоугольных
рядом одинаковых круглых отверстий в
общей узкой стенке (рис. 7.2). Отверстия
расположены на равных электрических
Рис. 7.2
расчета направленного
волноводов, связанных
й!
0-
г
о-
2#
6'
аг
о-
-о
0
-0
-----------и
4-г
О' I
Рис. 7.3
расстояниях 6; количество отверстий должно соответствовать пол-
ной связи (т. е. полной передаче мощности из плеча 1 в плечо 4).
Звеном цепочки будем считать одно отверстие с прилегающи-
ми к нему справа и слева отрезками волновода с электрической
О в
длиной •— .
2
Эквивалентная схема звена, согласно данным работы [1], изоб-
ражена на рис. 7.3'). Нормированная проводимость емкости связи
л Л / d \3
6 b \ а I
(7-42)
Ц. где а, b — широкая и узкая стенки волновода,
d — диаметр отверстия.
жГ При синфазном и противофазном возбуждении звено разби-
W* вается на два четырехполюсника; первый (+ +) представляет со-
бой отрезок однородной линии, электрическая длина которой рав-
ад 0 (рис. 7.4), второй (-1----) — тот же отрезок с шунтирующей
проводимостью 2У в центре (рис. 7.5).
’) Схема, дана .в упрощенном виде соответственно условию d^a.
231
Эти четырехполюсники имеют следующие матрицы передачи:
[ПЙа =
[7#вГиа =
(7.43)
(7.44)
Нс. 7.4
Рис. 7.5
Возводя эти матрицы в степень к, получаем:
[71 цепочки —
О
e-i«e
[Г]
4— __
цепочки —
, , . sh vk • \r sk
ch V k -p 1 p ----- 1 Y —
sh v st
• iz sh у /с . •
— 1 Y-------- ch v к — i и
sh v
где
v = Arch = Ar ch (cos 0—Y sin 0)
i p = = i (У cos 0 + sin 0 ).
(7-45)
(7.46)
(7.47)
(7.48)
(Переходя от матриц передачи (7.45) и (7.46) к соответствую-
щим матрицам рассеяния и используя их элементы, находим па-
раметры направленного ответвителя1):
,, sh v к
i ¥ —----
1 ________sh у_______
о sh v к 9
ch v к ч|- i м- --
sh v
513 1 , / -i«e4------------?------\
} = — I — sh у к, I .
_ I 2 [ chyKrf-ip —Т /
> \ Su у /
Полная свя'зь будет при |5ц|=4 ; для этого необходимо равен-
ство слагаемых в (7.50) по модулю единице и различие их фаз
на л.
5ц
512
(7.49)
(7.50)
’) См. сноску на стр. 230.
232
Действительно, положим модули равными единице и обозна-
е‘ф а второе е‘ф . Тогда
= —11—.
2
выражение равно единице.
Таким образом, условия полной связи имеют вид:
= 1, (7.51)
| чим первое слагаемое через
При 1|з—<р = л последнее
|е-^
1
. . sh v к
ch v к -р 1 у. —----
sh v
I к 6 = arg---------------------г-----|- л. (7-52)
I' ь , sh v к — ' '
к ’ ch v к + i и. —--
В sh v
| Модуль |eiкв | всегда равен единице; равенство второго моду-
ля единице обеспечивается с достаточной точностью при боль-
| шом к и соответственно малом У (практически достаточно к^20).
k ’ Фазовое условие сводится к виду
г sh v к
Р' *Л ----
= 4-л). (7.53)
*• ch v к
Потребуем, чтобы оно точно выполнялось на средней частоте
диапазона, при которой
1 _ J_
Ао 4
Выполняя соответствующие упрощения в (7.47) и (7.48), по-
лучаем
sh к Ar ch ( — Уо)
sh Аг ch (— Уо) , / я \ (Г)
ch к Ar ch ( — Уо) \ 2 ! (ос
0= 0О= —
0 2
(7.54)
(7.55)
Таким образом, для определения Уо необходимо найти нули
полиномов Чебышева 1 и 2-го рода. Воспользуемся, однако, более
простым решением, которое следует из предположения о малости
Уо. В этом случае из (7.55) получаем, что для полной связи необ-
ходимо
Г. «ГС
0 = sin---,
к
где Уо — проводимость связи на средней частоте диапазона.
Перейдем к анализу частотных характеристик и достижимой
233
(7.56)
полосы полной связи в рассматриваемом направленном ответви-
теле. Используя условие малости Y, находим из (7.50)
|5М|2 = 4- |е-‘кв-e-,KV|
4
(7.57)
или после преобразопаний
15ц |2=sin21®—arc cos (cos 0 —Y sin 0)} . (7.58)
Предположив сначала, что У не зависит от частоты и, следо-
вательно, на всех частотах согласно (7.56) y=y0 = sin —, тогда
15м ]2 = sin2 j 0—arc cos (cos 0—sin — sin
(7.59)
к
Полагая в последнем выражении к-*-<х> и раскрывая неопреде-
ленность, получаем
lim|SM|2 = l,
(7.60)
т. e. частотная зависимость исключается. Таким образом, если бы
удалось найти частотнонезависимый элемент связи, то одновремен-
но с увеличением числа элементов связи полоса полной связи на-
правленного ответвителя расширялась бы без ограничений. Пос-
леднее положение иллюстрируется графиками рис. 7.6, здесь ча-
стотная характеристика построена для значений к=20, 100 в пред-
положении, что Y = Уо на всех частотах.
234
К сожалению, точное воспроизведение таких элементов связи
в волноводах, по-видимому, невозможно1). Если же учесть ча-
стотную чувствительность применяемого круглого отверстия в уз-
кой стенке, то выводы получаются иные. Действительно, пусть со-
отношение Уо = sin — выполняется на средней частоте диапазона,
к
тогда при расстройке
(7.61)
Y = — sin
откуда из (7.58)
| 5М |2 = sin2 {—агс cos (cos
Полагая в этом выражении к->оо
л Л • Л Stn 0 /*7
)]Н7'62)
и раскрывая неопределен-
ность, получаем
(1У
lim | SM |2 = sin2 . (7.63)
К -oo 0
Соответствующая кривая изображена на рис. 7.6; она опреде-
ляет достижимую полосу полной связи в направленном ответви-
теле при неограниченном возрастании числа отверстий. Здесь же
даны кривые при к=20, 50, 100. Если допустимо отклонение от
полной связи 0,2 дб (| S]412 = 0,95), то согласно рис. 7.6 получаем
предельную полосу
* — = 30%. (7.64)
i
* • Если при стандартных размерах волновода перейти от 0 к
то достижимая полоса уменьшается; в среднем она составляет
15% при любом числе отверстий связи.
При возрастании числа отверстий полоса полной связи быстро
.^г приближается к предельному значению. Это иллюстрируется гра-
2 фиками, рис. 7.6, построенными по ф-ле (7.62) для случаев
В к=20, 50, 100.
Ж При к=20 полоса полной связи практически уже не отличает-
Ж ся от предельной2). Для оценки погрешности приближенной
» ф-лы (7.62) расчет был повторен по более точной ф-ле (7.50);
при К2^2О погрешность приближенного соотношения незначи-
тельна.
я----------------
.Цр'; ’) Определенное приближение в этом направлении дают некоторые типы
ifet . отверстий и щелей в общей широкой стенке двух .волноводов.
чК* 2) В стандартном волноводе при полной связи диаметр отверстии велик.
Поэтому число их ие может быть к<20.
235
Направленность и кбв системы определяем из общих
ний (7.49) и (7.50):
выраже-
D=|W
I Sja I
кбв =
1-Ф* I Sh |
e-iK0_______________L__________
. sllK V
ch к v -ф- 1 p —:--
sh v
, sh к v
i ~;------
1 sh v
T T ~ shrcv
ch к v -ф- i p —г—
sh v
(7.65)
(7.66)
(7.67)
Рис. 7.7
236
причем при расчетах сле-
дует учитывать условие иол-
ной связи и частотную за-
висимость Y. W
Зависимости направлен-
ности и кбв от 0 при к=20,
50 и 100 изображены на го
графиках рис. 7.7, 7.8. Ми-
нимальные значения этих
величин (в зависимости от
числа отверстий), определя-
ющие пригодность направленного ответвителя для различных це«
лей, изображены в виде графиков на рис. 7.9.
Рассмотрим численный пример. Задано: средняя частота fo=88OO Мгц, раз-
меры волноводов 23X10 мм. Рассчитать направленный ответвитель с полной
связью. Отверстия расположены .в общей узкой стенке волноводов.
1. Число отверстий выбираем к=20.
2. Проводимость элемента связи на средней частоте диапазона [см. (7.56)]
л 3,14
Уо = sin — = sin —— = 0,151.
3. Диаметр отверстия связи *) [см. (7.42)]
6 Ь . л 6 10 _ „
d = aV =*Ф ЗД4- 5Ми’101 =а **•
’) Стенка предполагается бесконечно тонкой; учет конечной толщины стен-
ки приводит к небольшой поправке (вследствие значительного диаметра отвер-
стий при полной связи).
237
4. Расстояние между центрами отверстий • __
Ао 50,8
i = —— — -------- 12,7 мм
4 4
Я общая длина ответвителя
10 = 1(к— 1)= 12,7-19 = 248 мм.
5. Полоса полной связи 2ДЛ/Ло согласно данным, приведенным выше, почти
боотоянна при любом числе отверстий и равна
2Д1 ,
~— = (15-=- 17)% по уровню 0,2 дб.
6. Теоретические частотные зависимости направленности и кбв системы,
подсчитанные по ф-лам (7j65)—(7.67), изображены на рис. 7.7, 7.8. Направлеи-
«ость в полосе полной связи дб и кбв ^0,8. Сравнение теоретических и
мкйюриментальиых кривых дано на рис. 7.10.
Рис. 7.10
7. Различия между расчетными и экспериментальными данными показаны
» нижеследующей табл. 7.2.
Таблица 7.2
ПАРАМЕТРЫ НАПРАВЛЕННОГО ОТВЕТВИТЕЛЯ С ПОЛНОЙ СВЯЗЬЮ ПРИ к=>20
Наименование параметра .Теоретические данные Эксперимен- тальные данные
Полоса пропускания по уровню 0,2 дб, % 17,3 15
Минимальная направленность в полосе, дб 20 22
Минимальный кбв в полосе 0,81 0,79
238
Заслуживает внимания тот факт, что теория, построенная без
учета взаимодействия нераспространяющихся высших типов волн,
приводит к результатам, хорошо совпадающим с экспериментом.
Таким образом, даже при диаметре отверстия связи, равном высо-
те волновода, взаимодействие возмущенных полей в области от-
верстий значительно меньше, чем это можно было бы предпола-
гать. После того как эквивалентная схема отверстия рассчитана
методами электродинамики, инженерный расчет системы можно
строить на основании теории цепей при любом диаметре отвер-
стий и количестве их, необходимом для полной связи.
7.7. Пример 2
Следующим примером применения метода будут цепочки
(рис. 7.11), составленные из ненаправленных звеньев, показанных
на рис. 7.12а, б. Два звена образуют так называемый квадратный
мост.
Звенья с последовательно
включенным ответвлением (рис.
7Л2а) удобны в волноводном
варианте; при параллельном от-
ветвлении (рис. 7.126) удобен ко-
аксиальный, либо еще лучше по-
лосковый вариант.
Начнем рассмотрение с вол-
новодного варианта. При син-
фазном и противофазном воз-
буждении плеч / и 2 звено можно
ника, изображенных на рис. 7.13<
Рис. 7.11
разделить на два четырехполюс.
I, б, их волновые матрицы пере-
дачи
имеют вид:
[Т]Йа =
“7
Рис. 7.12
239
я)
6)
Рис. 7.13
гд«
(7.69)
(7.70)
р= — —нормированное волновое сопротивление ветви.
Ро
Возводя в степень к матрицы (7.68) и (7.69) получаем
(Пцёпочки —
ch 7 к i и sh V1 к х++ sh V1 к
СП 1 Uj. —-- — j---------------
sh v, 2 sh п
X++ sh Vj к.
j —s--й---
2 sh vi
, . sh vi к
ch —1 pt------!—
sh V]
(7.71)
?де
, cz++ -I- d^~^~ l о @ )
*i — ar ch-----±--------= arch |cos 0 + ctg -2~sin0| ; (7.72)
a++ — d++
-----2----
а также
D v
— ctg cos 0 4- sin 0
(7.73)
I ^кепочки — -
sh v2k
Ch^ + i^lh^-
— sh v2k
sh v2
— sh v2k sh v2k
i —o— u ch '^2k i p2 c
2 sh v2 ' sh v.>
(7.74)
240
j
he
V2 = ar ch ,a+ rf+~~ = ar ch { cos © —гг tg sin , (7.75)
ip2 = — 7d+~ = i I47 tg-|-cos0--- sinQ | . (7.76)
Переходя от волновых матриц передачи (7.71) и (7.74) к соот-
вегствующим матрицам рассеяния и группируя их элементы, на-
; ходим параметры цепочки:
$12 I
X++sh ^K Х’— shv2K \
* 2 sh ’ 2 sh v2
2 I , sh •<! к , sh v2 к
\ ch vt к. + i ji! —---------- ch ч2 к + i ;x2 ----
\ sh ?! sh <2
(7.77)
> = —I sh-^K sh <2K I . (7.78)
, 2 I ch + i Hi ~;- chv2K-Hi;i2——/
'14 ' , \ Sil sh ^2
Потребуем, чтобы мощность делилась пополам между плечами
3 и 4 цепочки, т. е. чтобы система представляла собой так назы-
ваемый трехдецибельный мост:
|51з|2=М-0,5. (7.79)
Последнее условие будет выполняться в том случае, когда сла-
гаемые в (7.78) равны по- модулю единице и сдвинуты по фазе
л
иа 1Г
Действительно, если первое слагаемое е1'1 , а второе е’1^, и из-
вестно, что ф—<р = -, то
1S1?I2 = — | ei<f -ue'f = — jl = — |1 4 i|2= — ,
4 4 4 2
М=±Р-е''Ч2|1—e^-^j2 = I! — .
Таким образом необходимо:
_______________1____________
. . . sh /цс
ch v т 1 ;>-! —--------------
sh 4j
, . sh 7 гK
СП ">2 К T' 1 P2
sh •>,
(7.80)
241
arg
___________1__________
, sh к
ch vi к 4-1 Ц1 —-----
sn
. Я
±T=arS
_________1_________
shvjK
ch к 4-1Н» —-------
sn
(7.81)
Поскольку невозможно обеспечить точное выполнение этих ус-
ловий во всем диапазоне частот, ограничимся требованием, чтобы
они удовлетворялись на средней частоте диапазона
(0= у), при
малом р и соответственно большом к (достаточно к>5). Учитывая
эти ограничения, получаем из (7.81) следующее условие равного
деления мощности между плечами 3 и 4:
р = 2sin — .
4к
(7.82)
Далее находим приближенное выражение для частотной ха-
рактеристики
IW^yle-^-e-1^ (7.83)
или после преобразований
|SU|2 = sin2 -у (arc cos (cos 0 + 2sin у- cos2 -у)—
— arc cos (cos©—2sin — sin2— U . (7.84)
\ 4k 2 /J
Соответствующие частотные зависимости изображены на
рис. 7.14 для числа ответвлений к=5, 10, 20. Очевидно, что в рас-
сматриваемом случае (так же, как и в предыдущем примере) дей-
ствуют два фактора: с одной стороны, увеличение числа элементов
связи способствует расширению полосы равного деления мощно-
Рис. 7.14 Рис. 7.15
сти; с другой стороны, частотная зависимость элемента связи
уменьшает эту полосу. В результате, как видно из рис. 7.14, при
увеличении к полоса расширяется чрезвычайно медленно. Частот-
!ную характеристику для предельных значений к получаем из
; {7.84), полагая к->-оо:
lim |S14|2 = sin2 fvV+ ct£411 • <7-85>
oo ( о \ Z 2 / J
с)та зависимость изображена на рис. 7.15, из нее следует, что
максимальная достижимая полоса равного деления мощности при
допустимом отклонении 0,6 дб1) в каждом плече составляет 48%.
При числе ответвлений к=20 полоса уже близка к предельной.
а)
+ -
я--
0——
0
-0
»
я
Рис. 7.16
Перейдем к цепочке, составленной из звеньев, изображенных
на рис. 7.126; они применяются в коаксиальном и полосковом ва-
риантах. При синфазном, а затем при противофазном возбужде-
нии звена оно разделяется на два типа четырехполюсников
(рис. 7.16а); их волновые матрицы передачи:
r(i + i JLtg—V10 i-^tg®- 1
\ 2 2 / 2 2
. U , 0 /, . U , 0 \ — !в
Tlev)e J
Г (1 — i — ctg — ei0 — i — ctg —
\ 2 & 2 ) 2 & 2
. у , 0 11 . У i 0 \ —i0
i — ctg— 11 4-1 — ctg — e
L 2 6 2 \ ' 2 S 2 /
где
i/tg-|-^y++,
-i/ctg-|-=y+-, (7.88)
y= — нормированная волновая проводимость ветви.
7
Сравнивая матрицы (7.86), (7.87) с матрицами (7.68), (7.69)
первого варианта, заключаем, что дальнейшие выкладки излишни;
вследствие дуальности звеньев все результаты предыдущего раз-
дела можно использовать, если заменить р на у. Таким образом,
для рассматриваемой цепочки получаем из (7.82) следующую ве-
*) Т. е. максимальная разница между мощностями обоих плеч равна 1 дб.
243
личину нормированного волнового сопротивления ответвлении, не-
обходимых для равного деления мощности:
р=—• <7-89)
2sin —
4к
Частотные характеристики (7.84) и (7.85), а также все выте-
кающие из них следствия сохраняются.
Эти выводы позволяют объединить результаты исследования
квадратных мостов из одинаковых звеньев в табл. 7.3; в ней при-
ведены параметры цепочки для числа звеньев /с=2, 3, 5, 10, 20.
Таблица 7.3
ПАРАМЕТРЫ КВАДРАТНЫХ мостов ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
Число звеньев к 1 Нормированное сопротив- ление ответвления (У —g гл а Нормированное ление отвеп О- сопротив- вления 0 Полоса рав- ного деления мощности (по уровню 0,5 дб) % Минимальная направ- ленность в полосе равного деления мощ- ности, дб Минимальный кбв в полосе равного деле- ния мощности! %
-0
2 3 5 10 20 0,732 0.528 0,316 0,156 0,078 1,365 1,890 3,158 6,385 12,735 29 33 41 44 48 7 14 15 22 25 48 75 79 89 95
Волновые сопротивления при /с!>5 рассчитывались по прибли-
женным ф-лам (7.82) и (7.89). При к<5 величина волнового со-
противления ответвлений рассчитывалась точно. Полоса равного
деления мощности (по уровню 0,5 дб) рассчитывалась при к^5
по приближенной частотной характеристике (7.84); при к=2, 3
использовалось точное выражение (7.78).
Направленность
П = I — |2
и коэффициент бегущей волны
, 1 — I S11 I
кбв= ------!—U-1-
1 -F I Sn I
подсчитывались по общим выражениям (7.77) и (7.78). Бели не-
обходимы более подробные сведения, чем данные в табл. 7.3, сле-
244
дует пользоваться графиками для направленности и кбв, приве-
денными на рис. 7.17, 7.18, 7.19, 7.20, 7.21. Отметим, что согласо-
вание и направленность не имеют в этом случае предельного зна-
Рис. 7.17
Рис. 7.19
Рис. 7.20
чения; чем больше число звеньев,
тем они выше.
По сравнению с известными
результатами Рида и Уиллера [3]
цепочка одинаковых квадратных
мостов имеет некоторые преиму-
щества; конструктивную и рас-
четную простоту и большую ши-
рину полосы при числе звеньев
к $i5.
Рис. 7.21
Пример. Волноводный квадратный мост с сечением основных линий
34X72 мм имеет 10 звеньев.
Определить размеры ответвлений, необходимых для деления мощности по-
полам на волне Л=110 см. Из табл. 7.3 находим р=0,166; тогда
51=34.0,157=5,3 мм.
245
Расстояние между ответвлениями и длина ответвлений
/= =34,73 мм.
4
-14а рис. 7.22 и 7.23 приведено сравнение теоретических и эксперименталь-
ных результатов по переходному затуханию, направленности и кбв. Имеет место
♦ ,.
—ЧЛо/4 н- ~]
•сдвиг кривых на величину порядка 104-15%. Этот сдвиг компенсируется умень-
шением всех длин системы на такую же величину.
7.8. Цепочка произвольных восьмиполюсников.
Сумматорные уравнения
Методика, изложенная в предыдущих разделах, пригодна
лишь для анализа некоторых простых частных случаев, напри-
'мер—одинаковых звеньев. Синтез восьмиполюсных устройств с
.’246
к оптимальными частотными характеристиками требует других мето
' дов; некоторые из них изложены ниже.
Возвратимся к рекуррентным соотношениям (7.2)—(7.5) для
цепочки произвольных восьмиполюсников и рассмотрим, напри-
мер, первую формулу
Ак = + 6A-i +с« Ac-i + 4А-1 •
Придавая к убывающие значения, имеем:
Ак— 1= ак—Ик—2 “Ь ^к— \Ек—2 "Ь Ск—11к—ъЛ' ^к—^к—2
Ак—2 = ак—2Ак—3 Н- ^к—2Ек—3 “Ь Ск—2 к—3 + ^к—2^ к—3
•^«—з = ак—3Ак—4 + З^к—4 + Ск—3 Ас—4 + ^к—З^к—4
I
(7.90)
Л1 — О1Л0+biE0 + Cj/q + diM0
Подставляя последующие значения в предыдущие, получаем:
АК=аКаК-1аК-2 . . .а2а1Л+а1Са«_1 . . .<ЖЕ0 +
+ акак-1‘. . .а^[о+акак-1 . . .azdiM0+
+ ак ак—1 ак—2 Ь*-3Ек—4 Н" ак ак—1 ак—2 Ск—3 Ас—4 +
-4-а а ,а „d ~М .4- • (7-91):
1 к к—1 к—2 к—3 к—4
+ Лк ак-1 bic-2Eic~3 + ак йК-1 Ск-2 1к-3 +
+ ак ак-1 dK-2MK-3 +
"к" &к—2 + C/c-l ^к—2 "С ак &к—1^к—2 +
+ "Ь Ск I/c-l "к 1
Учитывая граничное условие (7.19)
Ло = 1 (7.92)
и обобщая закономерности построения выражения (7.91), запи-
сываем его более кратко:
п (7.93)>
а«1 ?“«+>
Аналогично «свертываются» остальные пятнадцать рекуррент-
ных формул. В итоге имеем четыре системы уравнений для цепоч-
ки восьмиполюсников с дискретно изменяющимися параметрами:
247
4
К К к
Лс =П «, + 2 {baEa_l+caIa_1-} daMB^l} П %
4=1 а=1 <7=а-Н
Ек — 2 {gq^ra—1 ~ЬSg^g—I ^а^а—I? П fq
<х=1 <7=а+1
7» = 2 АЕа-1 + 1аАа-1 + 1аМа-1} П Kq
а=1 4=а-Н
Мс^ХКЛ-1+оА-! 4 /ПА-1} Г1 Pq
а=1 4=“+1
а=1 4=«-|-1
к к к
Л"П/,+2(Л.Ч^НО п /,
4=1 а=1 4=а+1
;(7.94)
; (7.95)
Л=ХОава_1+/ага_1 + /ла_1} П S
а=1 4=«+1
И = 2 КВа-1 + Vq-l + °а Jа-Х } П Pq
а=1 4=а+1 '
С. =2{».0^,+<’Л^. ШЛ П «,
а=1 4=а+1
o. = i('A-, S.V.+V.-.I п f,
а=1 4=а+1
= П «4 + 2<taCa-l +4G«-lJ-/a°a-l} П %
4=1 а=1 4=а+1
Ок — 2 {та^а-Г‘ ПсРа-1 +Oa\z-l} П Pq
а=1 4=а+1
а=1 4=а+1
»<=2<еА-, +«A-,+V«-,) fl I,
а=1 4=а+1
Д< = 2 П %
а=1 4=а+1
24R
РК ==П Pq i 2 ИА-1 ’ ПаНа-л ' °A-J П Pq
q=l а—t 4=а+1
Уравнения связывают входные (Ак,
Вк, ...) и внутренние (Ла, В а,...) значе- >
ния элементов матрицы передачи че-
рез конечные суммы и произведения; 0____|г
в них входят параметры всех звеньев
цепочки. и-
Решение полученных выше урав-
нений проводим методом итераций. Рис. 7.24
Пусть нулевое приближение соответ-
ствует случаю, когда каждый восьмиполюсник, входящий в цепоч-.
ку, представляет собой два несвязанных и. согласованных четырех-
полюсника (рис. 7.24); такое звено имеет диагональную матрицу
“а О О О
О f О О
О О К О
_0 О О Р
(7.98>
Подставляя значения элементов матрицы из (7.98) в ур-ния
(7.94)—1(7.97), получаем решение сумматорных уравнений в перо-
вом приближении:
л<‘> = ГИ 9=1 к а—1 к cV>=£ а=1 к а-1 С П к i<x| 1 Ч 9=1 а—1 к п 7=а+1 К ач
^’ = 2 П % П fq й‘^2 Sa П КЧ 2 fq
а=1 <7=1 <7=а-|-1 а=1 9=1 . д=а+1
к а—1 к к
П aq П кч kV’= f| кч
а=» 1 q=\ gaa-|-l
к а—1 к к а—1 к
М^=^т аП % п pq o<‘»=v 0 П к„ п Рч
а=1 q=\ д=а-{-1 а=1 q=\ 9=а-|-1
к а—1 к к а-1 К
^=2^ п f. п л"= 2 daFI^ п ач
а=1 <7=1 <7=а-р1 а»! 9—1 д«=ан-1
к к. а—1 к
^>=п fq АаП₽9 п fq
<=1 а=1 9=1 <7=а-Н
к а—1 к к. а—1 к
^>==2 nf. п «, Ц"-2 ^Пр, п %
?=! 9=а-Н , а»1 4—1 9==а4-1
к а—1 к к,
м"- 2». П /< П рч Р<1 )< ГТ г к — ££ Рч,
»«! 9=1 9=а-Н 9=1.
(7.99 г,
249»
В построении формул первого приближения (7.99) легко за-
метить следующую простую закономерность:
1. Диагональные элементы матрицы цепочки представляют со-
бой произведения тех же по наименованию элементов матриц всех
звеньев.
2. Недиагональные элементы цепочки равны сумме тех же эле-
ментов матриц всех звеньев, умноженных на фазовый множитель.
3. Фазовые множители под знаком суммы состоят из двух про-
изведений, первое в пределах от 1 до (а—1), второе—от (а+1)
до к. Под знаком первого произведения стоит диагональный эле-
мент данной группы уравнений. Под знаком второго произведения
в алфавитной последовательности (a, f, к, р) стоят диагональные
элементы матриц звеньев. •
Процесс итераций может быть продолжен; возможна также
оценка сходимости процесса и погрешности каждого приближения.
Характерные стороны этих операций рассмотрены на примере пре-
дельного случая—связанных плавно неоднородных линий в [12].
Для практических приложений удобно перейти от матрицы [Т]
цепочки к ее матрице [S],
Ограничиваясь случаем полной симметрии каждого звена, при-
меняя переходные соотношения гл. 5
второго порядка малости, получаем в
дующие параметры цепочки:
и пренебрегая величинами
первом приближении сле-
К к
е(1)_-------
013 — к
П
4=1
(7.100)
4=1
Эти формулы используются ниже
-ответвителей со слабой связью.
при синтезе направленных
250
?7,9. Направленные ответвители со слабой связью
Направленным ответвителем называюрсистему из двух пе-
редающих линий, в которых энергия, идущая по основной линии,,
ответвляется только в один из- выходов (плеч) вспомогательной-
?линии. В зависимости от того, как расположен этот выход по от-,
ношению к выходу главного канала, ответвитель называют «со-,
направленным», либо «противонаправленным»; применяется так-
же термин «направленность 1-го либо 2-го типа».
При слабой связи цепочка восьмиполюсников (которой являет-,
ся, в частности, и многоэлементный направленный ответвитель)
описывается приближенными соотношениями (7.100). Физический
смысл первого приближения соответствует однократному взаимо-.
-действию прямых волн, переходящих из одной передающей линии-
в другую через множество элементов связи. На такой модели
обычно и объясняют принцип действия многоэлементных направ-.
ленных ответвителей [4]. Второе, третье и последующее приближе-.
иия, определяемые из решения сумматорных уравнений, дают
уточненные значения элементов матрицы за счет учета многократ-..
ных прохождений волн через элементы связи. Опыт показывает,
что при переходном затухании многоэлементного направленного
“ответвителя $;10 дб формулы первого приближения дают прием-
лемую точность. Напомним, что формулы первого приближения
показывают, что элемент матрицы Sl2 цепочки восьмиполюсников
является векторной суммой элементов матриц-составляющих, в то
время как S14 цепочки представляет собой просто сумму, иначе
говоря S12 формируются в результате интерференции волн, в,
то время как в образовании Su интерференционные явления от-
сутствуют — парциальные волны складываются в фазе.
Рис. 7.25
В настоящее время наиболее широко развит синтез многоэле-.
Ментных сонаправленных ответвителей с оптимальными частотны?
Ми характеристиками направленности [5, 6 и др], однако в послед?,
нее время появился ряд работ по синтезу противонаправленных
ответвителей с оптимальными частотными характеристиками пере?
ходного затухания [7, 8, 9].
Рассмотрим симметричную цепочку, состоящую из обратимых^
реактивных и полностью симметричных восьмиполюсников, раздет
•Ленных отрезками однородных линий одинаковой длины (рис. 7.25).
Звеном цепочки будем считать один !восьм1иполюоник с приле-
гающими к «ему оправа и слева отрезками линий длиной —
(рис. 7.26).
Рис. 7.26
Примем следующие обозначения:
а) матрицы [S] и [7] элементарных восьмиполюсников
tSja
Sfi $?2 са ^13 са Ou 7?! П2 1 Пз П
са 012 са S11 са О14 са *^13 гр Ct i 12 гра 111 'Ты Tt3
— — — — _ — — 1 — —
са ^13 са ой са <*12 -Пз -7u
са Ou „а 013 са ^12 са гр Ct — 1 14 -Т“з rr^d, 1 33
(7.101)
б) матрица [7] соединительных отрезков:
" >4- —
е 2 0 0 0
0 е 2 0 0
[7] = , 0 , (7.Ю2)
0 0 0
. е
|0 0 0 е
2л i
где 0 =----;
Л
в) матрица [Г] звена (рис. 7.26):
—'Г® „10 Т не ТЯ „10 712 0 Лз 7и
„10 т 12 е 'Га „10 7 н е i,1 14 ТТ3
[Лзвена = [Л[Ла[Л =
гр Ct —1 13 -Ты 'Г® „-10 Ъзе е-,в
_-7и <ра —1 13 zpa „—10 Тз4е Т?зе-Ю
(7.103)
252
Используя условия слабой связи
IsM
|s?2|
.|ST4|
«1; |5?3|=1
(7.104)
и переходные соотношения между [7] и [S], записываем матрицу
звена (7.103) в виде
"е,в —S“4e10 -Sfi na “ —^12
[7]звена — —S?4 eie Sft eie Qtt >J12 ca —*^12 e~ie -s?. S?4 e~10 . (7.105)
са _ ^12 Sh Sfte-10 e~ie _
Связь между элементами матрицы рассеяния всей цепочки и
элементами матрицы передачи звеньев, в первом приближении
определяется ф-лами (7.100). ,
Подставляя значения аа, Ьа, са>... из (7.105) в (7.100), полу-
чаем более удобный вид этих формул; каждый параметр цепочки
зависит только от одноименных параметров звеньев:
п
о —10 V1 о» —12(п—а)О
*311 — е оц е
п
С iO X? а)0
012 — е 012 е
а=1
С _
О1з — е
п
S-in© X'l о<Х
и —е
а=1 J
(7.106)
Некоторые применения этих соотношений см. [11].
Литература
1. Справочник по волноводам. Пер. с англ. Изд-.во «Советское радио», 1952.
2. R i Ы е t Н., Saad Т. A new type of waveguide directional coupler, «Proc.
IRE», 1948, v. 36, № 1.
3. P и д и Уиллер. Метод исследования симметричных цепей с четырьмя
выводами. «Вопросы радиолокационной техники», 1957, 3 (39).
253
4. Mumford W. Directional couplers. «Proc. IRE», 1947, v. 35, № 21
5. Фе льд штейн А. Л., Жаворонкова Е. С. Расчет чебышевских наг-
правлеиных ответвителей со слабой связью. «Радиотехника», 1962,. т. 17, №1.
6. Hensperger S. The design of multihole coupling arrays. «The microwa-
ve journal», 1959, v. 2, № 8.
7. Фельдштейн А. Л. Синтез ступенчатых направленных ответвителей.
«Радиотехника и электроника», 1961, т. VI, № 27.
8. Levy R. General Synthesis of Assymmetric Multi-Element Coupled—Trans-
mission—Line Directional Couplers. IEEE Trans, on Microwave Theory and
Techniques, 1963, vol.-MTT—11, № 4.
9. Янг. Аналитическая эквивалентность направленных ответвителей, рабо-
тающих в режиме колебаний вида ТЕМ, и фильтров на передающей линии
со ступенчатым изменением волнового сопротивления. Зарубежная радио-
электроника, 1964, № 2.
10. Я-внч Л. Р. К расчету чебышевских направленных ответвителей с произ-
вольным числом звеньев. «Радиотехника», 1964, т. 19, №.5.
11. Фе льд штейн А. Л., Явич Л. Р., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники. Изд-во «Советское радио», 1967.
12. Фельдштейн А. Л. Связанные неоднородные линии. «Радиотехника»,
4961, т. 16, № 5.
Направленные ответвители
на связанных линиях
8.1. Общие сведения
Отрезок связанных линий (рис. 8.1а) при определенных
условиях может быть направленным ответвителем. Такой ответви-
тель обладает значительной широкополосностью и прост по кон-
струкции, особенно в полосковом варианте.
5 г2 Гз
Рис. 8,1
Ответвитель на связанных линиях — противонаправленный, т. е.
J мощность, поданная в плечо 1, делится.в заданном соотношении
j между плечами 2 и 3, а в плечо 4 не поступает. Направленность
такого ответвителя теоретически идеальна в неограниченной поло-
1 се частот; полоса почти постоянного переходного затухания дос-
1 тигает 60%. Эту полосу можно существенно расширить, если
включить несколько ответвителей («ступеней») каскадно (рис. 8.16).
" Такая система называется ступенчатым направленным ответвите-
I лем [1]. Он содержит п связанных линий одинаковой длины, но
различной степени связи. Изменение связи от ступеньки к сту-
пеньке рассчитывается таким образом, чтобы выполнить заданную
частотную характеристику переходного затухания [1]. Как и ра-
нее нас будут интересовать чебышевские и максимально плоские
частотные характеристики.
Ступенчатые ответвители могут быть симметричные и несим-
метричные (рис. 8.2а, б)1). Первый тип имеет постоянный фазовый
i / я \
сдвиг I— I между выходными напряжениями, во втором случае фа-
*) На рис. 8.2 изображены внутренние проводники полосковой линии.
255
вовый сдвиг является функцией частоты. Габариты симметричного
ответвителя больше чем несимметричного.
Рассмотрим одну ступень системы рис. 8.1а.
Направленность и согласование такой ступени тесно связаны.
Потребуем, например, чтобы отрезок неодинаковых связанных ли-
ний был идеально согласован
S22 = 5з3= S44 = 0. (8.1)
Обращаясь к формулам для элементов матрицы рассеяния
(6.74) — (6.80) связанных линий, находим, что для выполнения
указанного требования необходимо
г-----=Ри = Р22 = 0, (8.2)
V Шц ®22
откуда
ГО = РцЩц = р22^22 = 1, (8.3)
где все параметры нормированные (см. гл. 6).
С другой стороны, условие га=1 обращает в ноль выражение
(6.78), т. е. одновременно имеем
S14 = S4i = S23 = S82= 0. (8-4)
Итак, согласованный ответвитель является также и идеально
направленным1). Обратное утверждение будет неверным. Дейст-
(8.5)
Рчс. 8.2
вительно, в общем случае условие направленности rv = I не обра-
щает в нуль выражений (6.74) и (6.75), т. е. направленный ответ-
витель может быть несогласованным. Дальнейшее исследование
рассматриваемого направленного ответвителя проводим сравне-
щием. выражений (6.82) и (8.3):
Рц©22 = Р22®11 = 1
Pll^ll ~ Р22^22 = 1
(Первое равенство свойственно обратимым связанным линиям
с волной ТЕМ (см. 6.6), второе является результатом требования
о согласовании.)
Оба равенства выполняются одновременно лишь в том случае,
когда
©ц = ©22 = w
Рп — Р22 = р
*) Эти свойства сохраняются в неограниченном диапазоне частот (в преде-
лах точности «одноволиовой» теории), поскольку параметры г, v, р, w от ча-
стоты не зависят.
256
(8.6)
и
при этом все соотношения (8.5) можно записать более кратко:
pw= 1. (8.7)
Рассмотрим теперь условие (8.6) в развернутом виде:
Ri ~
(8.8)
= (8.9)
Для выполнения этих условий необходимо определенное соот-
ношение между ненормированными параметрами
^г- = ё!-=— • (8.Ю)
Ш22 Р22 R%
Реализация этого соотношения и является одной из задач рас-
света направленного ответвителя на неодинаковых связанных ли-
ниях. В случае одинаковых линий, в которых обычно Д1 = /?2, соот-
ношения (8.8) и (8.9) превращаются в тождества.
Итак, основные расчетные соотношения (ри>=1, га = р2—г2=1),
выраженные через нормированные парамётры, идентичны
для обоих типов связанных линий, — одинаковых и неодинаковых.
Различие в расчете начинает проявляться лишь на этапе опреде-
ления геометрических размеров, когда приходится перейти от нор-
мированных параметров к ненормированным.
Эта удобная унификация расчетных соотношений распростра-
няется и на матрицы [Г] и [S] направленных ответвителей.
Действительно, учитывая условия согласования и направлен-
ности рау=п>=1 и условия wn = w22 = w, р||=р22 = р, получаем из
(6.74) — (6.80), для общего случая, нижеследующие матрицы [7] и
[5]; по виду они не отличаются от соответствующих матриц оди-
наковых связанных линий:
cos0-b i psin© 0 0 — irsin©
[Т] = 0 cos 0 Д- i р sin <Э 0 i г sin © — i r sin © cos© — i psin© 0 0 ,(8.11)
i г sin 0 0 0 cos© — i psin©_
0 i r sin 0 1 0 —
cos 0 -|- i p sin 0 cos 0 + i p sin 0
i г sin в 0 0 0 1
15] = = cos 0 + i p sin 0 1 cos 0 i r sin 0 i r sin 0 4 4
cos 0 + i p sin « 0 cos 0 Д i p sin 0
n 1 1 г sin 0 0
cos 0 - i p sin 0 cos 0 + i p sin 0
9—488
(8.12)
257
где Р = ^- = ^,
Г
г — —
V R1R2
(8.13)
В заключение остановимся на некоторых физических сообра-
жениях.
Условия согласования рци>ц = p22ffi,22 = 1 могут быть преобразо-
ваны [см. (6.64), (6.65)] к следующему виду:
т. е. согласование наступает тогда, когда нагрузочные сопротивле-
ния равны «собственным волновым сопротивлениям» линий 1 и 2.
При уменьшении связи эти параметры стремятся к величине вол-
нового сопротивления одиночной линии Таким образом,
условия согласования связанных линий формулируются в тех же
терминах, что и в случае одиночной линии.
8.2. Одноступенчатый направленный ответвитель
Отрезок связанных линий при rv = pw=l будем называть
одноступенчатым направленным ответвителем, имей в виду, что
такой ответвитель далее будет применяться как звено многосту-
пенчатой системы.
Частотные характеристики одноступенчатого ответвителя опи-
сываются элементами матрицы рассеяния (8.12); основные эле-
менты следующие:
— SLi — О
с i г sin 0
0^2 —-------------------
cos 0 4- i Р sin 0
<J - 1
-------------------
cos 0 + i p sin 0
(8-14)
Первое соотношение (Sn=S14 = 0) свидетельствует о том, что
ответвитель идеально согласован и имеет бесконечную направлен-
ность в неограниченном диапазоне частот. Практически это, ко-
нечно, не совсем так; реальная величина направленности состав-
ляет обычно 154-30 дб, из-за влияния неучтенных в данной тео-
рии факторов (высшие типы волн, потери, неоднородности и др.).
Переходное затухание ответвителя определяем по формуле
С(дб) = 10 1g ——- . (8.15)
I ^12 I
258.
Эта величина будет применяться не только в логарифмическом
масштабе, но и в числах («разах»)
С=----------. (8.16)
I s1212
Из (8.14) следует, что
С (дб)= 10 1g cos2 6 + P2sin2e = 10 1g ( К-V (8.17)
r2 sin2 0 \ r2 sin2 0 /
Последнее выражение получено из соотношения
р2=1+г2, ' (8.18)
которое следует из (6.82) и условия rv=l, обеспечивающего на-
правленность.
Минимальное значение переходного затухания (8.17) будет при
(8.19)
Хо 2
или при
I = ~ . (8.20)
Итак, длина ответвителя составляет четверть длины волны, со-
ответствующей середине частотного диапазона.
Величина минимума переходного затухания Со как следует из
(8.17) и (8.19) равна
С0(дб) = 10 1g (8.21)
Г2
или
С0=Ц^. (8.22)
Г2
Из (8.22) и (8.17) получаем после преобразований окончатель-
ное выражение для частотной характеристики ответвителя
С(дб) = 101g {С0+(С0-1) ctg2©}. (8.23)
На рис. 8.3 представлены соответствующие кривые (при раз-
личных значениях Со).
Зависимость рабочей полосы ответвителя от его затухания на
средней частоте приведена в табл. 8.1.
Таблица 8.1
параметры одноступенчатого направленного ответвителя
Переходное затухание на средней частоте, Со (дб) Полоса по уровню 4-0,5 дб отклонения от значения Со (дб) % ПолосаГпо уровню 4*^,2 дб [отклонения от значения (дб) %
3 64 38
5 55 33 ,
10 48 27 '
20 45 24
9*
259
При Cq-^-oo полоса по уровню +0,5 дб стремится к .предельно-
му значению 42%.
Связанные линии обладают естественной направленностью, тем
большей, чем слабее связь. Действительно, из условия направлен-
ности (го=р2—r2=il). вид-
но, что при г<С1 и р=1
(т. е. прн слабой связи
между линиями, имеющи-
ми геометрические разме-
ры соответствующие оди-
ночным линиям) условие
р2 — г2 = 1 приближенно
выполняется. Иначе го-
воря, если сближать две
одиночные линии, то та-
кая система становится
направленным ответвите-
лем без каких-либо спе-
циальных мер. Эти меры
необходимы, однако, при
малых расстояниях меж-
ду связанными линиями;
* этом случае уже следует точно придерживаться расчетных соот-
ношений. Порядок расчета одноступенчатого направленного ответ-
вителя следующий:
1. По заданному Са определяется нормированное сопротивление связи г
|см. (8.22)].
2. Зиая г, находим нормированную величину р [см. (8.18)].
3. По найденным значениям риги заданным нагрузочным сопротивле-
нии Яъ Яг находим ненормированные величины рц, р22, ~см. 8.13)]:
Рн = рЯ1; Р22 = Р Яг! г = г ]/rR1R2.
4. Определяем геометрические размеры системы, соответствующие найден-
ным выше значениям ри, ргг, г. Этот этап подробно рассмотрен в следующем
разделе.
В заключение напомним, что одноступенчатый направленный ответвитель
S л
имеет постоянный, равный —
фазовый сдвиг между выходными напряжения-
ми. Действительно, из (8.14) следует
= i г sin 0 = г sin 0 е 2
$13
(8.24)
8.3. Связь между электрическими и геометрическими
параметрами
Известны два метода определения относительных размеров
симметричных полосковых связанных линий. Первый основан на
использовании выражений для волновых сопротивлений четного и
260
! нечетного типов, приведенных в работе [12]. Соотношения между
переходными затуханиями направленного ответвителя (С, дб) и
S величинами волновых сопротивлений четного и нечетного типов,
I позволяют путем графических построений определить геометри-
I ческие размеры одинаковых симметричных полоско-вых связанных
линий. Формулы в [12] точны для полосок нулевой толщины
= о\, для конечной толщины полосок в формулы ВВОДЯТСЯ по-
\ b )
правки, которые, как указывается в [12], дают хорошие результаты
при — <0,-1 и — >0,35.
ь ь v
Указанным способом были рассчитаны таблицы и графики, при-
3 веденные в [5]. В основу другого метода положены графики и со-
S отношения для частичных емкостей, определенных методом кон-
формных преобразований, с учетом конечной толщины полоски,
приведенные в работе [2]. Этот метод дает возможность опреде-
лить геометрические размеры связанных линий при = 04-0,8;
b
метод пригоден как для одинаковых, так и для неодинаковых ли-
Ь ний [6].
j .\^\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\^
I I К— ъг а —1-*— s —*+*- ы4
L Рис. 8.4
Г
! В работе [2] установлена зависимость между частичными ем-
костями —, —, — и размерами I—, —, — 1 полосок для свя-
( занных полосковых линий, изображенных на рис. 8.4. Основные
результаты этого исследования даны ниже.
Известно (см. разд. 6.7), что емкости четного и нечетного ти-
™ пов колебаний (C++ и С+~) выражаются черев частичные емкости:
4 Ct+ = Ca- Ct+=Cb; Ct-=Ca+2Cab; Ct-=Cb + 2Cal>, (8.25)
| откуда
' г ' С+--С++
ab 2 2
Л Эти соотношения показывают, что емкость одной полоски при
>; нечетном типе колебаний больше емкости полоски при четном ти-
пе -колебаний на величину 2С„ь-
i • 261
На рис. 8.5 и 8.6 изображены связанные полосковые линии при
каждом типе колебаний. На рис. 8.6 по эквипотенциальной плос-
кости симметрии введена металлическая стенка; к ней идет часть
силовых линий полоски, что
Рис. 8.6
и приводит к увеличению
емкости С+~ на величину
2Саь по сравнению с C++.
На рис. 8.5 и 8.6 введе-
ны следующие обозначения
емкостей *):
Ср — емкость плоской
части,
Cf — емкость внешнего угла полоски,
Cfe — емкость внутреннего угла при четном тиле колебаний* 2),
С/о — емкость внутреннего угла полоски при нечетном типе ко-
лебаний.
Рис. 8.6
Суммарные емкости четного и нечетного типов колебаний рав-
ны:
CiH- = 2(Cpl+C/+C/J,
Cif-=2(Cpl+C/+C/e),
C^+ = 2(Cp2 + Cz + CA),
Сг" = 2 (СР2 + Cf + С/о),
откуда
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
(8.30)
/- ___Cfo — fye
^ab----------~2----
Таким образом, частичная емкость связи Саь жестко связана с
величинами емкостей С/о и
Величина — зависит только от зазора между полосками —
8 b
*) Напомним, что все емкости относятся к единице длины.
2) Емкость угла включает также и емкость половины боковой поверхности
полоски.
262
t w
и толщины полосок — , но не зависит от ширины полосок —
Ь Ь
(рис. 8.8)’).
Емкость плоско-параллельной части полоски определяется вы-
ражением
w
£^ = 2----Ь-—, ' (8.31)
е 1- —
Ь
откуда относительная ширина полоски
(8.32)
w 1 Л t \ Ср
b 2 \ Ь / е
Величина определяется из (8.26), (8.28), (8.25); подстав-
ляя этот результат в (8.32), получаем:
и,(о) _ 1 / 1 * \ Г 1 Са с!е cf (8.33)
b 2\ Ь / [ 2 • е е е ’
(834)
С/о Cfe S t Cf Величины — и — зависят от —г- и ». > величина —— зави- е е оЬ е
сит только от —; они определяются по графикам рис. 8.7, 8.8, 8.9. Ь
СаЬ дс
*) В работе [2] величина — обозначается как —
253
Рис. 8.8
С С -»_Г г-~
Слагаемые — и — определяются по заданным рц, р22, в
е е
соответствии с (6.133) имеем:
са *1 р22 —г
е VTr (hita —
С> _ Рп—~
е V^r Р11Р22 — ?
Cab Л г
8 Ke, fhifei—
(8.35)
где г) = 376,7 ом — «волновое сопротивление открытого простран-
ства».
С
Величины-------безразмерны, поскольку абсолютная диэлектри-
ческая проницаемость е имеет размерность емкости.
265
Формулы (8.33) и (8.34) справедливы при определенных огра-
ничениях, связанных со взаимным влиянием краевых полей.
Необходимо, чтобы величина — удовлетворяла неравенству
ь
— >0,35(1 — — V (8.36)
ь \ ь ]
В противном случае следует скорректировать ширину стержней,
используя приближенную формулу
/ t \ w
0,07(1 ——1 + —
=1----------LL---L_ (8.37)
Ь 1.2
где —----величина, найденная по ф-лам (8.33) или (8.34),
ь
w'
— — скорректированная величина.
Формула (8.37) может быть использована при условии
w'
0,1 <:---Ц— < 0,35. (8.38)
1 — — *
ь
Приведенный ниже пример иллюстрирует методику расчета
геометрических размеров направленного ответвителя по заданно-
му его переходному затуханию1).
Пример 1. Определить геометрические размеры направленного ответви-
теля на полосковых линиях по его заданным электрическим параметрам: пере-
ходное затухание Со=10 дб, нагрузочные сопротивления первой линии Ri = 50o,w,
второй линии Rz=75 ом.
Переходное затухание Со=1О дб в соответствии с таблицей 8.1 обеспечи-
вается с точностью +0,5 дб в полосе 48%.
Находим волновые коэффициенты риг:
С„(дб)
Со = ant lg-^ = 10,
1 1
Г = — - = 0,333,
/Со-1 /9
р = /1 + Г® = /ТД"1 = 1,054,
pn = рRx = 1,054-50 = 52,7 ом,
р22 = Р #2 = 1,054 • 75 = 79,05 ом,
7 = г 0,333 /50-75 = 20,39 ом.
*) Конструктивно реализуемые размеры направленных ответвителей па по-
лосковых линиях получаются при Rt и Rz+ lOO ом.
266
По найденным ри, ргг, г определяем
емкости связанных полосковых линий (ом.
ний воздушное (er=il):
Са _ 79,05 — 20,39
е =376>7 52,7-79,05 —20,392
собственные и взаимные частичные
8.35). Полагаем, что заполнение
= 5,89,
ли-
— = 376,7
8
52,7—20,39
__ з 25
52,7-79,05— 20,392 ’ ’
— = 376,7
е
20,39
= 2.05
52,7-79,05 — 20,392
t
Из конструктивных соображений выбираем толщину полосок — =0,2.
ь
ь
графикам рис. 8.8 и по найденной выше величине взаимной емкости ------ опре-
8
По
деляем
относительное расстояние между полосками
— =0,155.
ь
По
личины
s t
найденной величине — и выбранному отношению — определяем ве-
ft ft
емкостей (ом. рис. 8.8 и 8.9):
— = 0,180; — = 0,685.
е 8
Затем по (8.33) и (8.34) находим относительную ширину полосковых линий
ww
----=0,832; ------ =0,303.
ft ft
Эскиз конструкции ответвителя показан на (рнс. 8.10.
Пример 2. Определить размеры направленного ответвителя, на одинако-
вых полоско-вых линиях, по заданным параметрам: переходное затухание Со=
=3 дб, волновое сопротивление подводящих линий ол.
Переходное затухание, равное 3 дб в соответствии с табл. 8.1 обеспечи-
вается в полосе 64% с точностью +0,5 дб.
267
Выбираем толщину полосок — =0,2. По методике примера 1 при 7? = 50ож,
о
— =0,2, ег=1, Со=3 дб находим:
Ь
w s
— = 0,295; — = 0,022.
b b
Расстояние между экранами полосковой линии принимаем равным 6=10 мм.
-Тогда абсолютные значения w и s составляют:
w = 0,295-10 = 2,95 мм
s — 0,022-10 = 0,22 мм.
Зазор между полосками (s=0,22 мм) нетехнологичен. Поэтому ответвители
с переходным затуханием 3 дб во многих случаях выполняются на связанных
линиях другого пипа [3, 4].
8.4. Некоторые свойства направленных восьмиполюсников
В главе 1 было показано, что при определенных условиях
четырехполюсник полностью определяется одним вещественным
параметром; это обстоятельство придает синтезу четырехполюс-
ников определенную систематичность и завершенность.
Для построения сходной методики синтеза восьмиполюсников
необходимо выяснить предварительно следующее: сколько пара-
метров определяет восьмиполюсник; каковы возможные варианты
синтеза восьмиполюсника.
Применительно к задачам данной главы мы ограничимся рас-
смотрением противонаправленных восьмиполюсников (восьмипо-
люсников с направленностью 2-то типа см. гл. 5). Н-а структуру
матриц восьмиполюсника и на связь между ее элементами влияют
обратимость, симметрия и реактивность восьмиполюсника. Кроме
того, существует фактор, являющийся спецификой многополюсни-
ков— их направленность.
.В общем случае матрица восьмиполюсника содержит 16 комп-
лексных элементов. При учете всех указанных выше факторов, ко-
личество независимых комплексных элементов в матрице снижает-
ся до одного; в качестве этого элемента удобно принять Тц, как
и в четырехполюснике. Матрица [Г] восьмиполюсника, подчиняю-
щегося условиям обратимости, симметрии, реактивности и идеаль-
ной направленности 2-го типа, имеет вид:
~ ти 0 0 —i/|TU|2— Г
[Т] = ° Т“ ° ,(8.39)
0 i/W-l Тц 0
_ i /М-1 0 0 Тп _
где Tlt = —--коэффициент передачи из плеча 1 в плечо 3 вось-
S13
миполюсника (рис. 8.1).
268
Выражение (8.39) позволяет заключить, что синтез симметрич-
ных восьмиполюсников можно проводить по той же схеме, что и
| синтез четырехполюсников.
Действительно, четырехполюсник, матрица которого состоит из
«угловых» элементов матрицы (8.3^), обладает теми же переда-
точными свойствами, что рассматриваемый направленный восьми-
полюсник; различие заключается лишь в том, что отраженная вол-
на в четырехполюснике возвращается .в генератор и гасится на
его внутреннем сопротивлении, а в случае восьмиполюсника вол-
на, движущаяся справа налево направляется в отдельное погло-
щающее сопротивление, включенное на зажимах 2.
Первый метод синтеза восьмиполюсника может быть основан
на выделении Тц из заданной функции 1Л112 путем определения
устойчивых корней уравнения |Тп|2=0. Далее восстанавливается
и реализуется матрица [Г] в соответствии с выражением (8.39).
Второй вариант синтеза (его называют методом неопределен-
ных коэффициентов) основан на решении системы алгебраических
уравнений, полученных приравниванием коэффициентов в выраже-
нии для желаемой и действительной частотных функций. В каче-
стве таких функций выбирают функцию деления Дц восьмиполюс-
ника. Последнее название связано с тем обстоятельством, что эле-
мент Тц (в алфавитной записи Л1) матрицы (8.39) определяет де-
ление напряжений между выходными плечами системы:
(8.40)
•$13
причем квадрат модуля |М |2 связан с | Т!112 соотношением того
же типа, что и в четырехполюснике:
|Ди]2 == 1 г I/WJ2 (восьмиполюсник) 1 41)
|Дц|2 = 1+|Л2р (четырехполюсник) )
Таким образом оптимизация |М |2 означает одновременно оп-
тимизацию | Т1 j |2. Третий вариант синтеза использует приближен-
ные соотношения (7.100) для элементов матрицы рассеяния [S].
При применении любого из указанных методов важно устано-
вить предварительно общие свойства частотной функции, которую
допустимо требовать от системы. Эти свойства определяются ви-
дом матрицы [Г] звена. Так, например, если звеном является отре-
зок связанных линий, то он описывается матрицей (8.11); каждый
ее член есть простейший полином по cos© и isin©. При перемно-
жении любого числа таких матриц элементы результирующей
матрицы представляют собой сумму членов вида cos“ 0 i sinp0(a,
0 — целые числа). Квадрат модуля такой суммы — четная функ-
ция 0 и, следовательно, может быть представлен как полином по
cos2© либо sin2©:
|f(0)|2 = ao + a2cos20 4- . . . -h^cos2"©, (8.42)
где п — число звеньев.
Эта функция и является основой синтеза.
269
8.5. Несимметричные ступенчатые ответвители
Несимметричным называется такой ступенчатый ответви-
тель, в котором распределение переходных затуханий ступеней не-
симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через
центр системы.
Задачей синтеза ступенчатого направленного ответвителя явля-
ется оптимизация функции переходного затухания
С- 101g
1
IS12I2
как уже указывалось, это выполняется косвенно — оптимизацией
I Si lz
функции |Л4|2 = '-—^-.которая жестко связана с С вследствие ре-
iSi31
активности системы. Величина | М |2 определяет деление мощности
в выходных плечах ответвителя. Потребуем, чтобы ступенчатый
ответвитель имел следующие характеристики деления мощности:
а) чебышевскую
|М(О)|2=р2—, (8.43)
б) максимально плоскую
|М(0)|2 = Р2—. - (8.44)
Целесообразность введения функций именно в такой форме
очевидна из рис. 8.11.
Рис. 8.11
Параметр р в выражениях (8.43) и (8.44) определяет макси-
мальную величину коэффициента деления мощности. Параметры
Л и S определяют соответственно отклонение коэффициента деле-
ния от номинала в рабочей полосе и ширину этой полосы.
i Если при синтезе задан коэффициент деления мощности |Л412,
В соответствии с (8.43) и (8.44), то передаточная функция |7'и'|2=
=-------- имеет вид соответствующий (8.41):
I Sis ]2
- 1 - = 1 + В2—h2T2 (с—} . (8.45)
I s1312 г п \ S )
либо
---! = 1 + 82_ h2 (—Г .-(8.46)
I S13 | 2---------------------\ 5 ) ' V
Из физического смысла функций (8.43) и (8.44) следует, что
они должны быть не отрицательными и равны нулю при 0=0').
Эти условия можно обеспечить при определенно-м соотношении
параметров S, h и Р; иными словами — полоса пропускания си-
стемы жестко связана с уровнем переходного затухания и допус-
ком на этот уровень. Полагая
|М|2 = 0 при 0 = 0. ’ (8.47)
находим выражение для S из (8.43):
с 1
5 =—----------Г" - (8-48)
ch — ar ch —
п h
а затем — коэффициент перекрытия рабочего диапазона, опреде-
ляющий физически реализуемый частотный диапазон ступенчато-
го ответвителя
^л-arccesS.
Zi arc cos S
Здесь Zj и /.2 — граничные длины волн рабочей полосы ответ-
вителя.
Аналогичные операции можно проделать и для ступенчатого
ответвителя с максимально плоской характеристикой. Налагая ус-
ловие | М |2 = 0 при 0=0, получаем из (8.44) выражение, ограни-
чивающее ширину полосы такого ответвителя:
s “УТ. (8.50)
Л
а связь между S и — сохраняется неизменной [см. (8.49)].
М
Качественные закономерности, определяющие зависимость по-
лосы от п, h, р, состоят в том, что при увеличении числа ступеней
полоса неограниченно расширяется; при малом переходном зату-
хании увеличивается; при малом допуске уменьшается.
') Действительно, на постоянном токе связь между линиями отсутствует,
т. е. при 0 = 0 |Л4|2 = о.
271
В практических расчетах обычно задают величину переходного
затухания (затухание из первого во второе плечо)
С(5б) = 10|871Йг=1018[' + 7^г]' <850а)
Отсюда легко найти значение С в численном (нелогарифми-
чеоком) масштабе,
С=-----?--= antlg^-. (8.51)
|S12P 10 v ’
Параметры 0 и h можно выразить через величину С:
У = (8-52)
1>мии- 1
4‘ = ^-!ТГ-(гЪт’ <853>
имии 1 ьМакС — 1
где Смаке и Смин—максимальное и минимальное значения пере-
ходного затухания в рабочей полосе, выраженного нелогарифми-
ческнм способом1).
Неравномерность рабочего затухания определяется величина-
ми Смаке (б б) И Смин (дб):
й(дб) =
Смаке (дб)-Смин(дб). (8.53а)
Этими соотношениями заканчиваются те сведения, которые
можно получить из общего вида передаточных функций ступен-
Рис. 8.12
чатого направленного ответви-
теля.
График достижимых перекры-
тий рабочего диапазона одно-,
двух- и трехступенчатых несим-
метричных ответвителей дан на
рис. 8.12. При их вычислении ис-
пользовались соотношения (8.48—
8.53) и материалы разд. 8.2.
Внутренний проводник несим-
метричного полоскового направ-
ленного ответвителя изображен
на рис. 8.2 6.
Рассмотрим чебышевский двуступенчатый ответвитель.
Требуемая функция деления в соответствии с (8.43) имеет
вид (11]
|М|2 = ^—/12П | = sin20 Uh2 (—-—) —4 — sin2©! .
11 2 \ S ) { \s* S2} S* I
(8.54)
*) В практике применяется нелитературная терминология «выраженное в
разах».
272
(8.1 С другой стороны, перемножая матрицы двух ступенек [см. 11)], находим Л1 = a sin2 0 + i/csinQ cos 6, (8.55)
где а=Р1Г2—p2ri 1 (8.56) « = Г1+Г2 1
откуда
| М = sin2 0 {/с2—(к2—a2)sin20]. (8.57)
Приравнивая. коэффициенты при (8.54), (8.57), получаем уравнения (r1 + /-2)2=4/I2(A_-J_^ (Г14- г2)г—(г2Р1—ир2)2 = 4 ~ одинаковых степенях относительно и г2: sin© в (8.58)
Учитывая, что pi = |/" И-г,и р2= |/ 1+г$ получаем из (8.58) после преобразований А (гл)2 + 2В М—В2 = 0, (8.59) где л=4й!(4-4-)’ <8-60> \ о о / В = — . • (8.61) S* Решение ур-ния (8.59) с учетом (8.58) дает:
ту = -у к + ]/ /с2 + 4О( 1 — У\ +71) | . (8.62)
г2 = -2_к— у k2+4D(1—]/1+Д) 1 , (8.63)
где D = ? , 2(1 — S2) /C2 = 4/l2f- Ц , 1 S* S2 / (8.64) (8.65)
а величины ri и г2 связаны с переходным затуханием ступеней
выражениями:
В табл. 8.2 даны параметры ступеней и перекрытие диапазона
двуступенчатого чебышевского ответвителя при различных значе-
ниях переходного затухания; расчеты произведены по ф-лам
(8.62) — (8.66) и (8.48), (8.49).
273
Переходим к двуступенчатому ответвителю с максимально
плоской характеристикой; в этом случае требуется, с одной сто-
роны,
|M|2 = p2-ft2p^j4^sin20 (2р2 —p2sin20), (8.67)
а с другой стороны, после перемножения -матриц по-прежнему
|М|2 --sin20 {/с2—(№—a2)sin20}.
Таблица 8.2
п=2 ПАРАМЕТРЫ ДВУСТУПЕНЧАТОГО НАПРАВЛЕННОГО ОТВЕТВИТЕЛЯ
С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
С„. дб ±8» дб Clt дб С2, дб А А,
3 0,5 1,455 7,781 5,15
1,0 1,152 5,234 7,75
10 0,5 7,474 16,931 3,92
1,0 7,040 14,604 5,28
/ 20 0,5 17,258 27,274 3,75
1,0 16,791 24,985 5,05
30 0,5 27,236 37,307 3,67
1.0 26,768 35,034 5,05
Таблица 8.3
параметры двуступенчатого
направленного ответвителя
с максимально плоской
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПРИ п = 2
Со, дб +«, дб Ci, дб С2, дб А М
3 0,5 1,0 2,145 15,716 2,730 3,485
10 0,5 1,0 8,529 23,628 2,330 2,865
20 0 5 1,о 18,407 33,981 2,280 2,784
30 0,5 1,0 28,411 44,437 2,276 2.777
Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях sin©,
получаем:
/г =±=h+V 1+р2-гш2},
I2 I )
(8.68)
(8.69)
В табл. 8.3 приведены па-
раметры двусту1пенчато<го ,на-
правленного ответвителя с мак-
симально плоской характери-
стикой.
274
8.6. Симметричные ступенчатые ответвители
Симметричным называется такой ступенчатый ответвитель,
в котором распределение переходных затуханий ступеней симмет-
рично относительно вертикальной оси, проходящей через центр
системы.
Симметричные ступенчатые ответвители (рис. 8.2а) имеют 'пос-
тоянный, равный -у фазовый сдвиг между (напряжениями в вы-
ходных плечах;, во многих случаях это-является преимуществом.
Синтез симметричных ступенчатых ответвителей рассмотрим
на примере трехступенчатой системы.
Перемножая три матрицы типа (8.11) и полагая при этом, что
крайние матрицы одинаковы (ri=<2), находим элемент М резуль-
тирующей матрицы:
м = ^ = isin©{[r2(p2 + r2)-2r1p1p?lsin20+(2r1+ r2)cos2©). (8.70)
$13
Здесь argAf=-y- на всех частотах, а модуль определяется вы-
ражением
| М |2 = sin20 (е—у sin2©)2,
где
У = 2гх р!р2 Н-(2/у + г2) — г2 (р2 4 ф
е = 2гг 4 ^2
(8.71)
(8.72)
Вид функции |М(©)|2 показан на рис. 8.13. Максимумы нахо-
дятся в точках
sin 0О = ]/
и имеют следующую величину:
I макс g? у ’
(8.73)
(8.74)
Если IMI2 задано, то последнее соотношение можно запи-
1М«КС '
сать в виде
97
(8-75)
275
Минимум функции |М (0) |2 в рабочей полосе находится в точ-
ке 0 = — и равен
(8.76)
Если ур-ния (8.75) и (8.76) решить совместно относительно е
и у, а далее, пользуясь соотношениями (8.72), определить пара-
метры Г] и Г2, то размах колебаний кривой (рис. 8.13) будет огра-
ничен заданными значениями |М| ^ин и |М|2акс.
Численные результаты таких расчетов сведены в табл. 8.4.
Ряс. 8Л4
2/6
Таблица 8.4
ПАРАМЕТРЫ ТРЕХСТУПЕНЧАТОГО
НАПРАВЛЕННОГО ОТВЕТВИТЕЛЯ
С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПРИ
П—3
Таблица 8.5
ПАРАМЕТРЫ ТРЕХСТУПЕНЧАТОГО
НАПРАВЛЕННОГО ОТВЕТВИТЕЛЯ
С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПРИ п=3
С„ дб дб Ct=C3, дб С,, дб ^2 Х1 С,. дб +8, дб СГ=С,, дб С3, дб Х3 X,
3 0,5 1,0 11,803 8,925 1,209 0,880 5,84 9,15 3 0,5 1 ,о 20,100 2,007 2,97 3,68
10 0,5 1,0 21,188 18,756 6,959 6,396 4,33 6,14 10 0,5 1.0 27,903 8,251 2,5 3,08
20 0,5 1,0 31,535 29,182 16,675 16,053 4,15 5,83 20 0,5 1,0 38,047 18,081 2,39 2,92
30 0,5 1.0 41,570 39,236 26,647 26,023 4,23 5,83 30 0,5 1.0 48,060 28,064 2,36 2,91
Частотные характеристики переходного затухания трехступен-
чатого ответвителя, подсчитанные по (8.50), показаны на рис. 8.14
(сплошная линия). Здесь же пунктирной линией дана характери-
стика двуступенчатото чебышевского ответвителя, соответствую-
щего выражению |Л4[2 = р2—h2T2^ со^ j при том же значении до-
пуска 1на переходное затухание. Заслуживает внимания, что прак-
тически обе характеристики совпадают.
Таким образом для достижения одной и той же характеристи-
ки в несимметричном направленном ответвителе понадобилось две
ступени, а в симметричном — три. Это естественно, если учесть,
что к симметричному ответвителю предъявляются требования не
только по амплитудно-частотной характеристике, но и по фазо-
частотной. С увеличением числа ступеней разница в габаритах
между симметричным и несимметричным вариантами будет воз-
растать ^в отношении , -у . . .^ , , стремясь в пределе
к двойному превышению в продольных размерах.
Переходим к симметричному трехступенчатому ответвителю с
максимально плоской характеристикой затухания. В этом случае
ставится требование, чтобы значение функции |Л4(0) |2 при 0= ~
равнялось заданной величине, а производные по 0 той же функ-
л
ции, должны равняться нулю в точке 0= -у .
(8.77)
Используя эти условия из (8.71), находим:
г/у/Т+ф Т+Я2-г2(1-у-2ф+|^|шКС = 0
г2 = — |А4|макс— 2гх
•решение которых даио в табл. 8.5 для различных значений пере-
ходного затухания на средней частоте C0=101g—-— (дб). В этой
I S12 |2
таблице, как и ранее, представлены не сами величины г\ й г2, а
_ 1 + 4 1 + г»
величины Ci = 101g------- и C2=b01g-------- , имеющие физический
rf „
смысл переходных затуханий первой и второй ступенек на цент-
ральной частоте полосы .пропускания! ^0 = .
Пример 1. Рассчитать несимметричный направленный ответвитель на по-
лосковой линии с воздушным заполнением (ег=4), имеющий следующие элек-
трические параметры: переходное затухание Со=1О дб; допуск на переходное
затухание о = ±0,5 дб; перекрытие диапазона — Э=3,5; волновые сопротивления
Al
входа и выхода 50 ом; частотная характеристика — чебышевская.
1. Из конструктивных соображений задаем расстояние между экранами
6=10 мм, толщину полосок t=3 мм I—=0,3 I . Из-табл. 8.2 для Со=.1О дб
\ b /
Х2
находим: число звеньев н=2; перекрытие диапазона —— =3,92; переходные за-
А1
тухания ступенек Ci = 7,47 дб, С2=46,93 дб.
2. Пользуясь табл. 5.12 [5, стр. 26Ц находим размеры каждой ступеньки
направленного ответвителя — ширину .полоски (w) и расстояние между свя-
занными полосками каждой ступеньки (s);
= 0,469;
ъ
= 4,69 мм;
$i
— = 0,127;
b
— = 0,701;
b
s.
— = 0,353;
ь
3. Длина ступенек
I__
4
Пример 2. Рассчитать симметричный направленный ответвитель в печат-
ном исполнении (ег=2,5), имеющий следующие электрические параметры: пере-
ходное затухание Со=1О дб; допуск на переходное затухание 6 = ±0,5 дб; пе-
рекрытие диапазона ~волновое сопротивление входа и выхода 50 ом;
Л1
частотная характеристика — чебышевская. Расстояние между заземляющими
пластинами Ь = 4 мм, —- =0,01.
о
Sj - 1,27
= 7,01
s2 = 3,53
мм;
мм;
мм.
направленного опвегвителя равна
278
1. Из табл. 8.4 находим: число звеньев п — 3; перекрытие диапазона
К
—=4,33; переходные затухания ступенек — С1 = Сз=2|1,19 дб, 6*2=6,96 дб.
м
2. Пользуясь табл. 5.6 [5, стр. 247], определяем раз-меры ступенек направ-
ленного ответвителя:
—- = —- = 0,715; Ю1 —= w3 — 2,86 мм*,
b b
— = — = 0,380; s, = s3 = 1,52 мм;
bb
— 0,486; w2 = 1,94 мм;
Ь
— = 0,0226; s2 = 0,09 лы«.
ь
3. Длина ступеньки направленного ответвителя
, I я.
8.7. Приближенная теория
При «>3 точный расчет ступенчатых ответвителей затруд-
нителен. В этом случае удобна приближенная теория, основанная
•на соотношениях (7.100), их можно применять при переходных
затуханиях ^10 дб. Нас будет интересовать элемент S12 резуль-
тирующей матрицы рассеяния; в соответствии с (7.100) он равен
s12 = —V — П — ’ <8-78>
а=1 Ч—ч-+1
где aa. ba. са. da... — элементы матрицы передачи а-й ступеньки.
Подставляя значение этих элементов из (8.11), приходим к вы-
ражению
S12 = isin© 2е"2(,1-а)в, (8.79)
а=1
которое применимо к ответвителю с произвольным распределением
связи по ступеням.
Мы ограничимся рассмотрением случая симметричного ответ-
вителя, в котором Г1 = гп, г2=/'-п—1 и т. д. (число ступеней п — не-
четно).
Развертывая выражение (8.79) при условии симметрии, полу-
чаем следующие тригонометрические полиномы1):
4) Знак i здесь опускается, поскольку он не влияет на дальнейшие рас-
суждения.
279
п = Ъ\ S12 =sin 0 (2ri cos 20 + г2)
n = 5: S12 = sin 0 (2rt cos 4© + 2r2 cos 2© 4- r8)
ra = 7: SJ2 — sin0(2/icos6© + 2r2cos40 -j-2r8cos2© +r4)
n = 9: S12 = sin © (2/1 cos 8© +2r2 cos 6© + 2r8 cos 4© +
+ 2r4cos20 +r6)
. (8.80)
Рассмотрим ответвитель с максимально плоской характеристи-
кой переходного затухания. Для того чтобы получить такую ха-
рактеристику, достаточно потребовать, чтобы п производных по
© от S12 были равны нулю при ©=-^-.Для обеспечения заданной
величины затухания в центре полосы необходимо также, чтобы S12
при ©= — было равно величине, соответствующей заданному пе-
2
реходному затуханию.
В результате наложения этих условий на полиномы (8.80) по-
лучаем для каждого п следующие системы уравнений относитель-
но га-.
п— 3; —2гг-}-г2 = |Si2iMaKC:
10Г1—г2=0
га = 5: 2ri—2г% — га = | S12(MaK
— 34^ + 10^—г3 = 0
706Г1—82г2+г3 = 0
га 7: — 2г i -j- 2г 2 2г3 + г4
74а—34г2+10г3—г4^
—3026гг4 706г2—82г.
133274^—16354^+ 7'
(8.81)
(8.82)
'-’12 |макс
= 0
+ г4 = 0
0г3—-Г1 = 0
(8.83)
Решение этих уравнений проведено для числа звеньев га=3, 5,
7, 9, 11 и переходных затуханий С(<9б) = 1О, 20, 30 дб. Результаты
расчета максимально плоского направленного ответвителя сведе-
ны в табл. 8.6. Здесь же дано перекрытие диапазона (для допуска
0,5 и 1 дб)\ последние величины определялись графически. На
рис. 8.15 приведены типовые частотные характеристики переход-
ного затухания, полученные на ЭВМ при проверке .расчетов под-
становкой найденных значений п, г2, ..., га в исходные полиномы
(8.80).
280
Следующий пример применения приближенной теории отно-
сится к расчету симметричных ступенчатых ответвителей, которые
дополнительно к их основному назначению могут использоваться
в качестве фильтров внеполосных излучений1). Частотная харак-
теристика такой системы определяется по-прежнему выражением
/а ол! И С00тветсТ1ВУюЩими развернутыми выражениями типа
(о.оО); в отличие от предыдущего случая здесь рассматривается
как нечетное, так и четное числа ступеней.'Пусть требуется осу-
ществить направленный ответвитель со следующей частотной за-
висимостью 512i(0) :
S12 = h sin 0 Тп__{ , (8.84)
где h — амплитудный масштабный множитель,
•5—частотный масштабный множитель.
Соответствующая частотная зависимость переходного затуха-
ния имеет вид, изображенный на рис. 8.16.
Для определения параметров ступенек направленного ответви-
теля используем метод неопределенных коэффициентов. Результа-
ты расчетов сведены в та$л. 8.7 и 8.8.
В табл. 8.7 приняты следующие обозначения: п — число сту-
пенек, V рабочая полоса по уровню переходного затухания
(о0 + 0,5), дб;_60 —минимальное переходное затухание в рабочей
полосе; — электрическая длина ступеньки; bj — затуха-
ние гармоники где / — помер подавляемой гармоники; S и
h необходимы для расчета частотных характеристик направлен-
ных ответвителей.
’) По материалам О. И. Мазеповой.
282
1 Таблица 8.7 параметры направленных ответвителей с пода лнием вн полосных излучений Затухание гармоник частоты f,, дб 1, •о >20 1_
? >20 S 3 л л
? - >е> со О о СЧ СО л A О о СЧ СО А А
? 4? о о о сч со л о о сч со л л • о о сч со А А
4? 1. •сь >20 24 >20 >30 о о сч со л А >20 >30
•сь 1, >20 20 1 >20 >30 >20 >30 >20 >30 О о сч со л л
ь,—ь» >20 15,5 О о сч со /\ А >20 >30 О о сч со л А О о сч со л л о о сч со л А
4? |п 4? >20 14,6 О о сч со л л >20 >30 >20 >30 о о сч со л л о о СЧ СО л л О о сч с© А А
bt— 12 12,8 11 8‘П 12 9,4 11 9,3 10,5 9,4 10 10,6 о
1000‘0 100‘0 0,0010636 0,00010295 1000 0 100‘0 0,0010598 0,00010353 1000‘0 100‘0 0,0010446 0,0001036 0,001 0,0001
со QO <О <£> 1© СЧ — о’ о 0,473 0,335 0,605 0,478 0,700 0,593 — 00 со СО Г- СО о* 0,814 0,733 0,837 0,776
<< 0,0959 0,0973 0,0778 0,0807 75 00 s 8 о’ о 0,0557 0,0592 0,0489 0,0527 0,0431 0,0454 0,0391 I 0,0423 j
46,5 46 45 39,5 48,5 46,5 43. 42,5 t© 1© 1© 1© оо 1©
о ? л •сь 20 30 О о сч со 20 30 О о сч со о о сч со 20 30 20 30
е СО ю СО г- QO
283
00
ос
со
г*
s
\о
S3
параметры направленных ответвителей с подавлением внеполосных излучений
С„ дб 23,65 28,39
и 23,31 27 16,07 18,35
90 ,1Э оо ь- сч сч 15,83 16,92 41,2 * 12,32
С„ дб 20,28 23,15 13,74 14,56 11,52 11,07 8,54 9,07
«р и 18,56 20,37 12,14 12,94 9,45 9,31 9,28 8,69 .7,69 8,02
и 16,24 17,39 10,47 10,57 8,57 8,6 8,1 7,68 9,28 8,69 i 8,54 9,07
и со со’ 8,8 8,89 8,08 8,18 8,57 8,6 9,45 9,31 4,52 11,07 И,2 12,32
Ю О 7,77 7,93 68'8 8'8 10,47 10,57 i 12,14 12,94 13,74 14,56 15,83 16,92 16,07 18,35
С,, дб 4 13,14 13,74 1 16,24 17,39 <£> Ь. т со 00 О — еч 20,28 23,15 оо ь. сч сч 23,31 27 23,65 28,39
}О •с>п О о сч со 20 30 20 30 20 30 20 30 20 30 20 30
[ее '“<? о О о. о о О О
е со L.Q г- оо <У>
284
В табл. 8.8 приведены переходные затухания ступенек Сп(дб),
направленных ответвителей для 6о—Ю дб. Если &о> 10 дб, то пе-
реходные затухания ступенек вычисляются по формуле
са(аб)=(&0-1о)+сЛ(1о),
где С (10) — переходные затухания ступенек направленного ответ-
вителя при &о=1О дб, приведенные в табл. 8.8.
Рис. 8.16
Пример. Рассчитать направленный ответвитель на полосковой линии,
имеющей рабочую полосу V^40%, переходное затухание на средней частоте
(fo=1000 Мгц) рабочего диапазона Ьо=1О дб с допуском +0,5 дб. Затухание
третьей (З/о) и четвертой (4/о) гармоник относительно &о не менее 20 дб
(Ьц—Ьо=20 дб). Волновые сопротивления входных и .выходных линий 50 ом.
1. Пользуясь табл. 8.7, определяем параметры направленного ответвителя:
— число ступенек п=4,
— относительная длина одной ступеньки —-— =0,0778.
Ло
2. Согласно табл. 8.8 переходные затухания ступенек:
С, (дб) = С4 (дб) = 16,2 дб,
С2 (дб) = С3 (дб) = 8,8 дб.
3. Выполняем направленный ответвитель на симметричной полоско-вой ли-
нии в печатном исполнении с диэлектрическим заполнением (е,. = 2,5).
Расстояние между заземленными пластинами Ь—4 мм, толщина централь-
ных проводников / = 0,04 мм.
285
По вычисленным в л. 2 переходным затуханиям ступенек, пользуясь табли-
цей из [5, стр. 247]-при — =0,01, определяем ширину
о
расстояние между ними s.:
аа = wt = 2,8 мм, si = s4 = 0.87
w3 = ai3 = 2,2 мм, s2 — s3 = 0,16
Ширина полосок входных и выходных линий согласно [5, стр. 220] Wo=3mm.
Wi связанных полосок и
мм,
мм.
_____Теоретическая характеристика переходного затухания
„„„ „Экспериментальные характеристики; , в плечо?
переходное затухание В плечо? /шии-более 35дб)
^^Направленность
Рис, 8.17
286
4. Длина одной ступеньки (см. п. I)
I = 14,7 мм.
Длина рабочей части направленного ответвителя (четырех ступенек) La =
= 58,8 мм. «
Эскиз рассчитанного выше четырехступеичатого направленного ответвителя
и его теоретическая и экспериментальные характеристики приведены на рис. 8.17.
Теоретическая характеристика переходного затухания рассчитывалась по
формуле
Ь = 10 1g —— = 10 1g
I $12 I2
1
Л2 sin2 в Tl
( COS в
\ $
где согласно табл. 8.7.
5 = 0,473 и Л2 = 0,0010636.
Литература
1. Фе л ьд штейн А. Л. Синтез ступенчатых направленных ответвителей. «Ра-
диотехника и электроника», т. IV, февраль 1961, вып. 2.
2. Gets in ger W. J. Coupled Rectangular Bars Between Parallel Plates. IRE
Trans, on Microwave Theory Techniques, 1962, I, v. MTT—10, № 1.
3. С о h n S. B. The re-entrant cross section and wide-band 3:db hybrid coup-
lers. IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1963, vol. MTT—11,
№ 4.
4. Gunderson L. and Guida A. Stripeline Coupler Design, Microwave-
Journal, 1965, vol. 8, № 6.
5. Фельдштейн А. Л., Явич Л. P., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники, изд. 2-е. Изд-во «Советское радио», 1967.
6. М а т т е й. Полосовые фильтры с встречными стержнями. «Зарубежная ра-
диоэлектроника», 1963, № 7.
7. Я н г. Аналитическая эквивалентность направленных ответвителей, работаю-
щих в режиме колебаний вида ТЕМ, и фильтров на передающей линии со
ступенчатым изменением волнового сопротивления. «Зарубежная радиоэлек-
троника», 1964, № 2, стр. 98—<100.
8. Levy R. General Synthesis of Assymmetric Multi-Element Coupled-Trans-
mission-Line Directional Couplers. IEEE Trans, on Microwave Theory and
Techniques, 1963, vol. HTT—11, № 4.
9. Кузнецов В. Д., Парамонов В. К. Ступенчатые направленные ответ-
вители. «Радиотехника», т. 19. 1964, № 1.
10. Фел ьд штейн А. Л., Явич Л. Р., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники, изд. 1-е. Го-сэнергопздат, 1963.
11. Ф е л ь д ш т е й н А. Л. Основы расчета некоторых классов линейных фи-
дерных устройств по их заданным частотным характеристикам. Докторская
диссертация. М., 1961.
12. Кон С. Экранированная связанная полосковая линия. Сборник статей «По-
лосковые системы сверхвысоких частот». Изд-во Иностранной литературы,
М., 1959.
9. Фильтры свч с четвертьволновыми
связями
9.1. Введение
Частотная селекция сигнала сопутствует передаче, приему
и обработке информации. Устройство, осуществляющее эту селек-
цию, называют частотным фильтром или просто фильтром. В диа-
пазоне свч фильтр состоит обычно из объемных резонато-
ров; они представляют собой замкнутые металлические объемы
с двумя отверстиями связи в каждом. Сложное соединение таких
объемов при соответствующем подборе их параметров образует
фильтр с заданной частотной характеристикой. Анализ этого
фильтра можно, вообще говоря, производить на основе решения
уравнений Максвелла при наложении граничных условий соответ-
ствующих геометрической структуре связанных металлических
объемов.
Синтез фильтра требует обратного процесса — подбора гранич-
ных условий таким образом, чтобы решение уравнений Максвелла
обеспечило бы требуемую частотную характеристику системы. По-
пытки решения задачи синтеза фильтров свч в указанном общем
виде не привели пока к результатам, имеющим инженерный инте-
рес; общую методику построить на этом пути не удается, а част-
ные результаты обычно не окупают затраченных усилий.
Сложившаяся ситуация заставила инженеров, начиная с 50-х
гг. искать решение проблемы косвенными методами — путем мо-
делирования. В основе моделирования лежит общность основных
физических закономерностей в линейных системах различных ти-
пов. Эти закономерности сводятся по сути к трем известным фи-
зическим явлениям: отражению, поглощению и прохождению энер-
гии в виде волнового процесса. Других причин возникновения ча-
стотной селекции в линейных системах нет. Отсюда следует воз-
можность выбора модели («прототипа») в любом удобном диапа-
зоне частот. Для сравнения фильтра с его моделью выработан ряд
специальных приемов. Идея их состоит в том, что как фильтр, так
и его прототип разбиваются на звенья; параметры звена прототипа
заранее известны. Если теперь добиться, чтобы каждое звено
288
фильтра в некотором смысле было тождественно звену прототипа,
то обе системы в целом будут иметь подобные или одинаковые ча-
стотные характеристики. Эта методика включает в сефя три этапа:
а) по заданным техническим требованиям полностью рассчиты-
вают прототип;
б) из конструктивных и других соображений выбирают тип
звеньев фильтра свч;
в) обеспечивают (приближенно, в некоторой полосе частот)
эквивалентность звеньев фильтра и прототипа; например, прирав-
нивая элементы Гц их матриц [Г].
Первые попытки построения теории фильтров диапазона свч
на основании указанных выше, идей были предприняты в извест-
ных монографиях Массачузетской серии [1, 2]; это направление
связано с простейшим отождествлением LC-фильтров и фильтров
свч с помощью их эквивалентных схем. В дальнейшем эта же ме-
тодика получила удачное развитие в работе [3] и далее в серии
работ [4—7] и др. Общность основных закономерностей теории
фильтров является весьма глубокой для всех частотных диапазо-
нов, поэтому стремление внедрить многолетние достижения теории
и техники LC-фильтров [8—12 и др.] в диапазон свч заслуживает
безусловной поддержки.
С другой стороны, специфика свч цепей (в основном — перио-
дичность частотных характеристик; наличие высших, типов волн и,
многообразие исходных элементов с известными частотными свой-
ствами) требует определенного подхода, направленного либо в.
сторону использования этих дополнительных свойств, либо их по-
давления или коррекции. Указанные обстоятельства затрудняют
построение единой теории свч фильтров; в настоящее время мож-
но говорить лишь об ее основных тенденциях, способствующих
развитию в следующих направлениях.
1. Использование синтеза по рабочим параметрам; метод ха-
рактеристических параметров (который до сих пор играет зна-
чительную роль при расчете фильтров в телефонно-телеграфных
системах) на свч постепенно вытесняется, поскольку здесь слиш-
ком весомы его недостатки (приближенность метода й неэконом-
ность в расходовании элементов).
2. Использование сравнительно небольшого числа проверенных
и конструктивно удобных элементов, например, таких, как диа-
фрагмы и решетки в волноводе, четвертьволновые отрезки связи,
объемные резонаторы ограниченного числа рипов. Эти разумные
ограничения придают технике свч фильтров определенное едино-
образие, но не могут, разумеется, считаться канонами, обязатель-
ными для всех частных случаев. Так, например, теория фильтров
с четвертьволновыми связями излагаемая ниже, иллюстрируется
далее примерами реализации на объемных резонаторах несколь-
ких удобных для реализации типов, но без сомнения может быть
реализована другим конструктивным способом.
3. Использование специфических закономерностей свч цепей
10—4в8 9R0
для расчета фильтров в широком диапазоне с помощью специаль-
ного выбора частотной переменной и других приемов. Сюда отно-
сятся, например, ступенчатые фильтры, фильтры на связанных ли-
ниях и др.
Различают фильтры двух типов: с четвертьволновыми связя-
ми между резонаторами и с непосредственными связями. В данной
главе рассмотрены фильтры с четвертьволновыми связями. Неко-
торые типы фильтров с непосредственными связями описаны в
следующей главе.
9.2. Основные определения
Идеальным фильтром называется четырехполюсник,
рабочее затухание которого равно нулю в заданной полосе частот
(«полоса пропускания») и равйо бесконечности вне этой полосы
(«полоса заграждения»). Соответствующие значения |7’11.|2 сос-
тавляют единицу и бесконечность.
В главе 1 было показано, что функция рабочего затухания фи-
зически реализуемого четырехполюсника имеет вид:
|Лх]2= 1 +^5)" и ® —полиномы),
1. ё. является аналитической функцией частоты. Последняя, оче-
видно, не может удовлетворять требованиям, предъявляемым к
характеристикам идеального фильтра, т. е. он физически нереали-
зуем. Несмотря на это, понятие идеального фильтра удобно как
некоторая модель, к которой приближаются характеристики ре-
ального фильтра при определенных условиях (увеличения числа
звеньев, малости потерь и др.). Пользуясь понятием идеального
фильтра, введем определения четырех основных видов фильтров.
Фильтр ни ж них частот (ФНЧ) имеет характеристику ра-
бочего затухания, изображенную на рис. 9.1. Полоса пропускания
занимает область от [=0 до f — fa. Все частоты f>fn относятся к
полосе заграждения.
Фильтр верхних частот (ФВЧ) характеризуется зависи-
мостью рабочего затухания от частоты, изображенной на рис. 9.2.
Полоса заграждения располагается между частотами f = fn и
f=0; при f>fn имеем полосу пропускания.
290
П о л о с н о-п р о п ус каю щ и й фильтр (ППФ) имеет поло-
су пропускания, ограниченную частотами f_n и fa (рис. 9.3а).
П о л о с н о-в аграждающий фильтр (ПЗФ) имеет поло-
су заграждения, ограниченную частотами f-3 и f3 (рис. 9.36).
Указанные частотные характеристики, как уже указывалось,
физически нереализуемы. Задачей синтеза фильтра является не-
которая аппроксимация «прямоугольной» характеристики с по-
. , Р(®2)
мощью функции 1 -I------- и дальнейшее определение элементов
Q(w2)
схемы через постоянные, входящие в функции Р и Q. Существуют
различные методы такой аппроксимации.
Общая их закономерность состоит в том,
что чем выше степень полиномов Р и Q, тем
лучшее приближение может быть достигну-
то; иначе говоря, достаточная степень при- ъ3
ближения реальной характеристики к пря-
моугольной может быть достигнута лишь
при достаточно большом числе звеньев
фильтра.
В настоящее время получили распро-
странение два метода аппроксимации ча-
стотных характеристик идеального фильтра.
Первый метод — аппроксимация с помо-
щью так называемых максимально плоских
кривых или характеристик Баттерворса. В
этом случае рабочее затухание представля-
ет собой гладкую без осцилляций кривую Ри*с..9.4
(рис. 9.4).
Второй метод — аппроксимация с помощью полиномов Чебыше-
ва1)- В этом случае рабочее затухание представляет собой осцил-
лирующую кривую с изоэкстремальными выбросами (рис. 9.5а и б).
Из рис. 9.4 и 9.5а очевидно, что частотная зависимость рабочего
затухания физически реализуемого фильтра нижних частот может
быть охарактеризована двумя точками на кривой или соответст-
*) В общем случае — дробей Чебышева.
-10'
29 J
венно двумя парами координат этих точек. Этим координатам при-
своены следующие названия:
fn — граничная частота полосы пропускания;
f3— граничная частота полосы заграждения;
6П—максимальный уровень затухания в полосе пропускания;
Ь3—минимальный уровень затухания в полосе заграждения.
Для полосового фильтра число координат характерных точек,
Ё этом случае мы имеем две граничные частоты (f_n и fn) полосы
пропускания и две граничные частоты (/_3 и f3) полосы заграж-
дения. Пользуясь этой терминологией можно окончательно уточ-
нить определения полос пропускания и заграждения. Полосой
пропускания называют область частот, в которой затухание не
превышает заданного значения ftn, а полосой заграждения — об-
ласть частот, в которой затухание не ниже заданного значения Ь3.
Область частот, лежащая между полосой заграждения и про-
пускания, называется полосой перехода; здесь никаких требова-
ний к поведению частотной характеристики фильтра- не предъяв-
ляется. В фильтрах высокого качества полоса перехода очень узка.
Чтобы упростить процесс синтеза и облегчить его реализацию
в виде конкретной схемы, ниже принимаются следующие ограни-
чения:
I. Фильтр имеет полиномиальную зависимость функции рабо-
чего затухания.
2. Структура фильтра симметрична либо антиметрична.
3. Элементы схемы не рассеивают энергии, т. е. фильтр реак-
тивен1)-
*) За последнее время появился ряд работ [-13, 14], в которых учитываются
потери в фильтрггх. Эти вопросы в данной работе не рассматриваются.
292
4. Сопротивления на входе и выходе фильтра (R) .равны по ве-
личине и активны (они равны волновому сопротивлению подводя-
щих линий на .входе и выходе).
9.3. Прототипы фильтров свч. Лестничные схемы
Как уже указывалось, прототипом фильтра свч может быть
выбран любой другой фильтр, для которого имеется хорошо разра-
ботанная методика расчета. Первый класс прототипов — это
так называемые лестничные схемы (рис. 9.6).
Рассмотрим лестничную схему, в которой нормированные по R
сопротивления продольных ветвей Zm 2 z z
и проводимость поперечных ветвей е—г—п—•—гА—»—г-Ч—я
Ут+1 имеют одинаковую частотную за- 1 I
висимость, а именно: Н>г [К
Zm = i Кт Л 1 0------1-----*------0
(9.1)
^+1 = »^+!^ ] Рис. 9.6
где T]=f(со)—функция частоты; в дальнейшем будем называть ее
частотной, переменной; кт, /ст+1 —постоянные, т=1, 3, 5...—
номер ветви; первая ветвь лестничной схемы (т=1) предполагает-
ся последовательной1). >
Четыре схемы, удовлетворяющие условию 1(9.1), даны в табл.
9.1. Это известные схемы ФНЧ, ФВЧ, ППФ, ПЗФ (см. разд. 9.1)
— в лестничном варианте. В этой же таблице указаны значения
Zm, Ym+l, К-т, кт+1 ДЛЯ КЭЖДОЙ СХСМЫ.
В табл. 9.1 величина Q — нагруженная добротность2) резо-
нансного контура образующего ветвь лестничной схемы. Нагру-
женная добротность равна отношению резонансной частоты соо
контура к полосе частот 2Ды, отсчитанной по уровню 3 дб .на его
резонансной кривой:
Q=^. (9.2)
2Дсо
При этом принимается, что собственная добротность всех кон-
туров бесконечна и все контуры в ветвях лестничных фильтров на-
строены на одинаковую резонансную частоту соо-
*) Такое построение лестничной схемы принято для определенности; если
схема начинается с параллельной ветви, то все дальнейшие рассуждения сох-
раняются.
2) В литературе применяется три понятия добротности: собственная, нагру-
женная и внешняя [21]. Для наших целей достаточно двух понятий: натружен-
ной добротности и собственной. Некоторые определения нагруженной доброт-
ности, см. также [15].
293
СХЕМЫ И ПАРАМЕТРЫ ФНЧ, ФВЧ, ППФ И ПЗФ Параметры 3 — /го °го \ \ °го го / /го °го \ — — 1 \ °го го j
к . , I 4- й? 4- 4- 5 О* сч сч 1
Нормированная проводимость кт 1 CmR 8 О' сч сч <?
+ 3 С* 3 3 /ГО °го \ . ... —' 1+дг! \ °го ГО / — 'о 2 ^+Цго0 со /
Нормированное сопротивление 5 QJ 3 i со CmR /СО (On \ i 2Qm — --М \ «о (0 / — • 1 Л / “ 1 о Qm 1 2 \ соо со /
Тип фильтра Г”t~*~l 1 V 1 t S 1 1 1 1 1 1 г- ”1 /П П7 ФВЧ ! *~т3 1 1 ig 1 J-U-1J i It Т It 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > 1 4J а 5 1 1 1 । 1
294
В табл. 9.2 даны схемы и определения рабочего затухания
и нагруженной добротности каждой резонансной ветви и соответ-
ствующие расчетные соотношения. Матрицы [Л] последовательной
и параллельной ветвей имеют вид:
М] =
1
О
М]=Г1
Z
I
о 1
1
(9-3)
(9.4)
НЕКОТОРЫЕ
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
Таблица 9.2
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
Схемы Параметры
Рабочее затухание Нагруженная добротность, Q
г— И—| *?П- 1> 1 + Q2r)2 1 2R 2R а>0С
Произведение таких матриц дает матрицу, элементы которой —
полиномы по ir] [см. (9.1)]. Тогда | Тц |2 будет полиномом по г]2:
]W = a0+a2n2 + <M4+ • -+а^п- (9-5)
Таким образов, лестничные фильтры принадлежат к классу
полиномиальных фильтров.
295
Известно (см. гл. 1), что для полиномиальных фильтров сим-
метричной либо антиметричной структуры величина |Тц |2 задает-
ся, при синтезе, в виде:
\Tu\2=l + h2P2
(9-6)
где Р — нечетный либо четный полином, т]п — значение частотной
переменной на границе полосы пропускания1).
Запись в виде (9.6) вводит новую
нормированную частотную перемен-
ную
Q = — , (9.7)
Пп
которая равна единице на границе по-
лосы пропускания (рис. 9.7); послед-
нее обстоятельство обеспечивает уни-
фикацию расчетов и удобство приме-
нения полиномов Чебышева (а также
,и других полиномов с основным про-
межутком ( + 1, —1))..
Заметим, что нормированная час-
тотная переменная может быть введена и на начальном этапе —
при анализе сопротивлений в ветвях. Действительно, запишем ве-
личины Zm и Ym+i следующим образом:
~ Лп) »
Лп
m+1 = i(Km+1 т]п) —
Чп
и, обозначая:
кт Лп - Sm>
Km+1 Лп“~ Sm+l ’
имеем окончательно:
Zn = ign
m+1 = * Sm+l
(9.8)
(9.9)
(9.10)
(9.Н)
Итак, если пользоваться нормированной частотной переменной
Q = —, то одновременно мы вынуждены оперировать с сопротив-
Лп
лениями (проводимостями) д=/ст]п специального типа — нормиро-
ванными по т]п и по оконечным сопротивлениям Р.
*) Во многих случаях обозначение т]п заменяется обозначением S (16].
296
Лестничная схема, составленная из таких элементов, является
так называемым нормированным прототипом, в нем частотная пе-
ременная, Q приобретает единичное значение на краю полосы про-
пускания. Такая система может существовать в любом варианте:
ФНЧ, ФВЧ, ППФ и ПЗФ. В соответствии с табл. 9.1 имеем:
ФНЧ Q=—,
®п
ФВЧ Q = —,
G)
(О _ «>0
ППФ ----— , (9.12)
(Оц
Ц)
ПЗФ £2= —^5—.
<а
<в0 ш
Понятие нормированного прототипа, как видно из этих соотно-
шений, удобно связать с фильтром нижних частот [1, 10]. В этом
случае Q = — и схема трактуется как ФНЧ, включенный между
-
П 1 - 1 рао
сопротивлениями 7<=1 ом и имеющим граничную частоту (оп=1 —♦
сек,
В тех случаях, когда основные 'расчетные задачи связаны с
ППФ, оказывается удобным использовать прототип в виде
ш <в0
полосно пропускающего фильтра [15]; тогда Q = —--------=
юп __юо ’In
<О0 <0п
и схема нормированного прототипа трактуется как фильтр, имею-
щий т]п= 1 (т. е. относительную полосу пропускания, равную еди-
нице) и включенный между сопротивлениями J?=il ом.
Предположим теперь, что элементы g нормированного прото-
типа нам известны и требуется определить элементы реального
фильтра для всех четырех случаев. Учитывая, что gr=«T]n и под-
ставляя значения к и т]п из табл. 9.1, имеем:
ФНЧ (9.13)
ФВЧ g„= —J-, g„+, ; (9.14)
e>i£mR
297
ППФ gm=2Qm№—^Y, (9.15)
\ /о /п /
и, следовательно, при -известном g, элементы лестничной схемы
определяются следующим образом:
ФНЧ £„=^М, Ст+1 = ^И-т, (9.17>
ФВЧ Ст=—1— [ф]; -Lm+i = —[гн]- (9.18)
gm ®nR “nsm-f- 1
ППФ Qm = Sm/2 (9.19)
/п /о
fo fn
ПЗФ g /Л/V (9-20}
gm I in Io ¥
2 \f0~ fn)
Заметим также, что из выражений (9.13) — (9.20) следуют не-
которые вспомогательные соотношения, например из (9.17) и (9.18)
ролучаем
f-'nf^m == 2~ ИЛИ (<unZ.m) (<ОпСп) = 1,
®п
где L — элементы ФНЧ, а С — элементы ФВЧ, либо наоборот.
®п — граничная частота, принятая одинаковой .для ФНЧ
и ФВЧ.
Аналогично из (9.19) и (9.20) следует
где индекс I относится к ППФ, а II-—к ПЗФ и о>п— граничная
частота одинаковая для ППФ и ПЗФ.
В заключение заметим, что величина ®о (резонансная частота
каждой ветви) связана с граничными частотами юп и ю-п полосы
пропускания следующим образом:
®0 = К©п®-п
т. е. является средним геометрическим от граничных частот. В по-
лосе до 30% эта величина с достаточной точностью совпадает со
, ®—п -г Г)/I
средним арифметическим юо='----—•—• 1 акже
298
9.4. Синтез нормированного лестничного прототипа
Рассмотрим лестничную схему фильтра нижних частот с
единичной полосой пропускания. Необходимо найти все значе-
ния gm. Положим, что зависимость рабочего затухания от частоты
задана в двух видах — чебышевская и максимально плоская:
|Л1|2=1 + Л2Г2п(Й) (9.21)
и
|Тц|2= 1Дй2ЙЧ (9.22)
Здесь й= — — частотная переменная, h=---------^'макс----нор-
Шп V 1-|Г|2макс
мирующий амплитудный множитель, |Г|Макс — допуск на рассог-
ласование в полосе пропускания; он связан с допуском на затуха-
ние в полосе пропускания йп-
»„=10lg ' .ж.
1 » 1 I макс
Выражения (9.21) либо (9.22) совместно с заданными техни-
ческими условиями Ьи и Ь3 (см. разд. 9.1) позволяют найти
в первую очередь число звеньев (ветвей) фильтра п.
Действительно, полагая в (9.21) и (9.22) й = йп=1 и |7’ц|2 =
= Ln, а затем й = й3 и | Тц |2=£3 и используя полученные соотно-
шения для определения п, получаем для чебышевского фильтра
— 1
ar ch [
п= ------------
аг ch Й3
(9.23)
а также и для фильтра с максимально плоской характеристикой
, 1/ L3~ 1
lg V Ln - 1
П= ------------
lg Йз
(9.24)
Следующий этап синтеза заключается в определении коэффи-
циента передачи Тц по заданному, в. виде функций (9.21) либо
(9.22), квадрату его модуля. Для этого необходимо найти корни
уравнения
14-Л2Т2(Й) = 0 . (9.25)
или
14-й2й2«=0 (9.26)
и представить |Тц)2 в виде произведения двух комплексно сопря-
женных множителей
I Ти|2 = ТиГп = afjQ-QO (Й-Й2) . . ,.(Й-Й„)} X
X {(й—йр (й—й*) . . .(й—йр). (9.27)
*
299
Здесь йь й2, .... йте— корни, расположенные в верхней полу-
плоскости й; й‘, й^, й* — корни, расположенные в нижней
полуплоскости й, т. е. сопряженные корни; а£п—коэффициент при
старшей степени полинома ]Тц]2.
Выбираем тот из сомножителей в (9.27), корни которого лежат
в верхней полуплоскости, т. е. определяем так называемый устой-
чивый полином. Заметим, что корни ур-ния (9.25) лежат на эл-
липсе (рис. 3.5); в случае же максимально плоской характеристи-
ки корни расположены на окружности (рис. 3.7).
Некоторые общие замечания относительно системы располо-
жения корней функции рабочего затухания на плоскости комплекс-
ной частоты даны ранее в гл. 1.
После того как найден 7ц(й), есть возможность восстановить
всю матрицу [Т]. Как показано в гл. 1, при этом необходимо на-
ложить некоторые ограничения на структуру лестничной схемы —
принять, что схема состоит из обратимых и реактивных элемен-
тов и что структура всей схемы симметрична либо антиметрична.
Тогда по найденной матрице нетрудно определить Zxx или ZK3
схемы; если фильтр состоит из нечетного числа элементов, то он
должен быть симметричным; в Jtom случае имеем (см. гл. 1):
7_______Re Тц
хх' ilmTu-Tn
7 i Itn Тц -{- T2I
кз= ReTu
(9.28)
Если же фильтр содержит четное число элементов (т. е. п —
четное), то он должен быть антиметричным; сопротивления холо-
стого хода и короткого замьЖания“Находятся из соотношений:
2 XX
Rc -Ь Т21
i Im Тц
7
ilmTn
Re Тц — Тг1
(9.29)
При антиметрии фильтра в схеме может понадобиться идеаль-
ный трансформатор, обеспечивающий | Тц (0) ] 2=т^= 1. Значение ко-
эффициента трансформации определяется из выражения для вход-
ного сопротивления четырехполюсника, нагруженного на /?=1 при
й = 0:
А/2 __ Т11 (0) 7121(0) U2 • zg 30)
-Л1(0) + Л1(0) и?
Из (9.30) видно, что в чебышевском фильтре с четным числом
звеньев всегда Л/2=й=1- Действительно, функция фильтрации T2i
300
f чебышевского фильтра с четным числом звеньев п имеет вид
« 7’2i = /i7’n(fi). Полином Чебышева Tn(Q) четного порядка отлича-
I ется тем свойством, что Тп (0) У=0. Подстановка этого соотноше-
L ния в (9.30) дает №=#1. При нечетном числе звеньев в чебышев-
I ском фильтре 7’п|(0)=0 и У2'=1. В фильтре с максимально плоской
Е характеристикой Т21(0)=0 при любом числе звеньев, т. е. для мак-
В симально плоских фильтров всегда N2= 1.
к Переход от матрицы {Г] к Zxx либо ZK3 связан с тем обстоя- ,
к тельством, что элементы лестничных схем можно определить раз*
t ложением Zxx либо ZK3 в цепную дробь:
г gtP +-----!-----г (9.31)
: ёзР+ —
’ gnP
) где p = iQ.
& Действительно, если искать входное сопротивление разомкну-
той либо короткозамкнутой лестничной схемы, двигаясь от ее кон-
f ца к началу, то мы получим выражение типа (9.31). При этом
можно заметить, что коэффициенты при р есть gi, g%, ..., gn-
В других схемах применяются более сложные методы (см. гл.З).
Указанная выше процедура довольно громоздка и применение
ее при одиночных расчетах неудобно. Эти трудности преодолева-
ются двумя способами. С одной стороны, выявляются общие за-
кономерности в распределении элементов лестничной схемы; эти
закономерности исследуются при разложении Zxx либо ZK3 в цеп-
ную дробь и затем обобщаются. Наиболее простой закон распре-
деления элементов удалось обнаружить в фильтре с максимально
(9.32)
плоской характеристикой; здесь имеем [3]
gm= 2n/^sin 2m~ 1 - л
2/z
или в иной записи, удобной для ППФ,
. 2m — 1
sin--------я,
2п
Qn
(9.32а)
где Qm нагруженная добротность пг-го звена:
д __ I Г | макс
I Г | 2макс
S = ^-_ А=Чп,
/о /п
п—число звеньев.
301
Более сложные формулы получаются в случае чебышевского
rfopMHipdBaHHOro прототипа [16]: ' “-------—
_ ^ат— 1 а'п
ёт — ,
°т—1 — 1
6=ln(cth-M
\ 17,37/
am = sin 1 т— 1,2, . . п
2n J
bm= у2 4-sin2 V т=1,2, . . п
\ п /
Если п. нечетно,, то
ёт = ёп-\-1—т ’ ёп ~ ё1'
Если п четно, то
ёп = ё1Г,
где
r = th2p-')=№ [см. (9.30)].
\ 4 /
Итак, при четном числе элементов, в схеме необходим идеаль-
ный трансформатор; если его располагать на выходе цепочки (т. е.
Рис. 9.8
равноудаленных от центра
изменить величину, например, правого
нагрузочного сопротивления), то все
элементы схемы будут различными.
Более удобный вариант возникает в
том случае, если расположить транс-
форматор в центре 'антиметричной це-
почки (рис. 9.8) — при этом имеет
место удобное равенство элементов
системы. Ниже приводятся табл. 9,3
для QmS= —
чебышевских фильтров (71=24-10), здесь предпо-
лагается, что в случае четного числа звеньев идеальный транс-
форматор расположен в центре цепочки') и значения № даны
для схемы, изображенной в табл. 9.5 (вариант 1).
*) Более подробные таблицы см. [15]; там же даны значения gm для случая
расположения идеального трансформатора в конце цепочки.
302
Т аб лица 9,3
нагруженные добротности резонаторов фильтров с чебышевской^ -
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
п«=2 л=3 Л=4
'Г1макс № q1s=q!s Q,S=QsS Q,S N‘ QiS— Q,S=Q,S
0,02 0,961 0,143 0,226 0,392 0,961 0,269 0,521
0,10 0,818 0,333 0,427 0,552 0,818 0,466 0,646
0,20 0,666 0,500 0,595 0,577 0,666 0,632 0,645
0,30 0,538 0,654 0,751 0,558 0,538 0,788 0,610
п=5 n =6
|г| 1 'макс Q1S—QtS q,s=q4s № Q,S=Q,S Q,S=Q4S
0,02 0,292 0,585 0,685 0,961 0,306 0,619 0,753
0,10 0,487 0,686 0,902 0,818 0,497 0,706 0,947
0,20 0,651 0,673 1,064 0,666 0,661 0,686 1,102
0,30 0,806 0,630 1,221 0,538 0,815 0,639 1,254
л=7 I л=8
'Г/макс QiS=Q7S Q4s=.q,s Q3S==Q6S q4S № QxS=Q,S Q,S=Q,S Q,S=Q.S Q4S=Q,S
0,02 0,315 0,641 0,790 0,787 0,961 0,320 0,654 0,811 0,821
0,1 0,505 0,718 0,971 0,811 0,818 0,509 0,725 0,984 0,828
0,2 0,667 0,694 1,120 0,758 0,666 0,671 0,699 1,131 0,769
0,3 0,821 0,646 1,271 0,692 0,538 0,825 0,649 1,280 . 0,700 .
n=9 I n=.io |
1Г1макс QiS= =Q,S Q,S= =Q.S Q,S= =Q,S Q,S= =Q.S Q.S № Qi$= q2S= =Q,S =QeS q4s= ==QeS
0,02 0,325 0,664 0,826 0,842 0,889 0,961 0,328 0,670 0,836 0,854 0,903
0,10 0,513 0,731 0,993 0,839 1,033 0,818 0,514 0,734 0,998 0,845 1,045
0,20 0,674 0,702 1,137 0,775 1,170 0,666 0,676 0,705 1,142 0,779 1,178
0,30 0,828 0,651 1,286 0,705 1,315 0,538 0,830 0,653 1,290 0,708 1,323
303
ВАРИАНТЫ СХЕМ ПРИ п-НЕЧЕТНОМ')
Таблица 9.4
Вариант Коэффициент при Г» Коэффициент при Г,, Схема, соответствующая данному варианту1) Сопротивление, которое удобно разлагать в цепную дробь
1 «н J. т-* [рг в 4 в
2 —— i ЧИ в f CZ3 • < П JL я 0 1k 0 * • 0 2хх
3 ф! — i 11 S «а > 2хх
4 —1 — i i 9 t » ^*кз
Указанные выше методы расчета содержат в себе неоднознач-
ность. Во-первых разложение | Тц 12 = ТцТ*п можно записать че-
тырьмя способами:
I Ти I»=тигп=(-Tft) (= i ти ^-Т7=
= ---(9.34)
\ 1 /
Во-вторых, как следует из матриц (1.228) и (1.229), элемент
Т21 имеет два знака: ±T2i-
Наконец, в случае чебышевского фильтра с четным числом
’) Схема дляЛ=3 приведена для примера; аналогично прип=5, 7, 9...
304
звеньев, идеальный трансформатор может быть расположен, во-
обще говоря, в любом месте цепочки; наиболее распространенны-
ми являются два варианта — в центре цепочки и в конце цепочки.
Что касается вариантов (9.34), то выбор коэффициента ±1
либо ±i перед Гц диктуется условиями физической реализуемо-
сти: мнимая часть Тц должна быть нечетной функцией Q, а дей-
ствительная — четной. Таким образом, остается установить лишь,
к чему приводит (различное сочетание знаков перед Тц и T2i.
Закономерности, связанные с указанным сочетанием знаков,
сведены в табл. 9.4 и 9.5 соответственно для нечетного и четного
чисел звеньев в чебышевском фильтре.
Таблица 9.5
ВАРИАНТЫ СХЕМ ПРИ л-ЧЕТНОМ )
Вариант Знак Ти Знак Гн Схема, соответствующая данному варианту1) Сопротивление которое удобно разлагать в цепную дробь
1 4- 4* в—с£3 ^ХХ
2 — 4- 9 » я у %кз
3 — - Г1-* ^кз
ЯП
4»
4 — — д. , д %хх
Пя
• *
1) Схема для п =2 приведена для примера; аналогично при п =4, 6, 8 ...
305
Те же закономерности сохраняются и для фильтра с макси-
мально плоской характеристикой; при этом, однако, всегда №=1.
Анализ табл. 9.4, 9.5 показывает следующее:
1. Если знаки Гц и T2i одинаковы, то лестничная схема начи-
нается с сопротивления. .Если знаки Тц и T2i разные, то схема
начинается с проводимости.
2. При четном числе звеньев и одинаковых знаках Тц и T2i ко-
эффициент трансформации N— -у <1, т. е. трансформатор пони-
”i
жающий.
При разных знаках Тц и T2i имеем AZ>il.
Сопротивления на входе и на выходе трансформатора связа-
ны соотношением
7___Z,
вх~ N3
. 3. При расположении трансформатора в центре цепочки имеют
место следующие закономерности:
а) элементы равноотстоящие от центра равны друг другу
Sm Sn-i-l—m ‘
Преобразование значения сопротивлений и проводимостей в
правой половине цепочки определяются из соотношений:
7' =Z — - У" — У №
д,2’ 1 т+1 1 m+l 2V >
где Zm и Ym+1 — значения, полученные разложением в цепную
дробь сопротивлений Zxx и ZK3 при расположении трансформатора
на правом краю цепочки.
9.5. Примеры
Первые три примера, приведенные ниже, иллюстрируют технику рас-
четов нормированного прототипа с нечетным и четным числом звеньев, в осталь-
ных примерах показано использование нормированного прототипа для расчета
ФНЧ, ФВЧ, ППФ и ПЗФ.
Пример 1. Найти элементы (gm) нормированного прототипа с чебышев-
ской характеристикой рабочего затухания при
п = 3. |Г|макс = 0,2 (Ьп = 0,177 дб).
При этом
h = I Г | макс^ = 0 2041
/1- I Г I 2 .
г i-i макс
306
Корни уравнения 14-й27®(£2к) =0 вычисляются по формуле
8
л(4к-М) . */?)
£2Я = cos------------ ch —---------------------ф
2п п
+ isinsh , (9.35а)
2л п
где к=1, 2, ..., 2л,• из 2л корней отбираются л корней, расположенных в верх-
ней полуплоскости £2.
Тогда
Т1г = 1 а (£2 — £21) (£2 - £2а) (£2 — Пз)1),
где а = 2п—*Л (9.356)
— коэффициент, равный корню квадратному из коэффициента при старшей сте-
пени полинома 14-Л27„(£2).
Расчет по (9.35а) дает следующие устойчивые корни:
£2j = 1,132 4-i 0,420, £2а = — 1,132 41 0,420, £23 = i 0,842
и также из (9.356) находим а=22-0,204=0,816.
и, следовательно,
Tu = i 0,816 [£2 — (1,132 -ф-i 0,420)] [£2 — ( — 1,132-М 0,420)]Х
Х[£2 — i 0,842] =1 0,816£23-ф- 1,373£22 —i 1,767£2 — 1,
Далее определяем элемент Тц матрицы [Г] и сопротивление ZK3 [см. (9.28)]:
Тц = i V | Tu | 2 — 1 = i hTn (£2) = i hTa (£2) =
= i 0,204 (4£23 — 3£2) = i (0,816£2a — 0,612£2),
_ i Im Тц+7~21 __ i {(0,816£23— 1,767£2)(0,816£23 —0,612£2)} _
Zks“ Re Tn " 1,373£22 — 1 ~
_ i (1,632£23 — 2,379£2)
1,373£22 — 1
I
I
Обозначая i£2 = p, имеем
1,632p3 4- 2,379p _
Zk3~ 1,373^+1 “
1,190
= 1,90p -> —rVz------= 1.190p 4-
и l,373p24- 1 H
______1
1’153/’/ьгЙ
откуда gj = ga = 1,190,§2 = 1,153
и схема имеет вид, изображенный в табл. 9.4 (первая графа).
Пример 2. Найти элементы нормированного прототипа с чебышевской
характеристикой при л=2, |Г|макс=0,1 (бп=О,О43 дб).
*) Коэффициент i вводится при нечетном числе резонаторов, исходя из ус-
ловий физической реализуемости Тц [см. (2.263) и (9.34)].
« 307
Находим h и корни уравнения 1+/г2Т|(йя) =0:
0,1
У 1-0.01 s 0,10°’
Й!= 1,662 + 1 1,504, 1 -
2а = — 1,662 + i 1,504.
а = 2"“* h = 2 0,100 = 0,200.
Отсюда следует:
Тп = 0,200 {(2 — 1,535 — i 1,495) (2+ 1,535 — 11,495)} =
= 0,20022—1 0,6012 — 0,922,
Т21 = hTt (Й) = 0,100 (2Йа — 1) = 0,200йа — 0,100,
= (0) ~ Га1 (0) = -0,922 + 0,100
Гц (0) + Та1 (0) —0,922 — 0,100 ’ ’
2 = Re Tu + Та1 _ (0,200йа — 0,922) + (0,200Йа — 0,100)
““ iImTu ~ — i 0,6012
0,402йа — 1,023 0,402ра + 1,023
- ‘ = 0,601р ’
__ 1
0,543р
— i 0,6012
= 0,668р + = 0,668 +
0,601р
Итак, при расположении идеального
имеем
#1 = 0,668; #а = 0,543.
Теперь перемещаем трансформатор в центр цепочки
Zxx = 0,668р + ——---------= 0,668р +--------------
0,818Р 0,818-0,668р '
---- 0,543р
0,818 и
Таким образом, в этом случае
£1 = #2 = 0,668.
трансформатора на краю цепочки
Соответствующая схема изображена в табл. 9.5 (вариант 1).
Пример 3. Найти элементы нормированного прототипа с чебышевской
характеристикой при п—4, |Г|макс=0,2:
ft = -!Г|макс - = 0,204.
1Л1 _ I г 12
' • 1 1 макс
Устойчивые корни уравнения (1 +h2T 22я ) =0;
24 = 0,447 + i 0,558,
йа= — 0,447+i 0,558,
й3= 1,080+ i 0,230,
24 = — 1,080 +i 0,230,
308
а также а=2"-1 Л=23-0,204= 1,632, откуда
Тп = а (й — 24) (й — йа) (й — й3) (й — й4) =
= 1,632 {[й—(0,447+i 0,558)] [2 — (— 0,447+ 1 0,558)]Х
Х[й —(1,080+16,230)] [2 — (— 1,080 + 1 0,230)] =
= 1,6322'* — i 2.573Й3 — 3,6632а + i 2,6022 + 1,016.
Находим элемент T2i матрицы [7]:
Г,1 = hTt (2) = 0,204 (8Й4 — 82а + 1) =
= 1,6322* — 1,6322а + 0,204'
и коэффициент трансформации
_ 7„<0).-Г..(0), 1.017 - 0,204 =
Гп (0) + Т„ (0) 1,017 + 0,204
Разлагаем Zxx в цепную дробь:
. _ Re Ги + Та1 _ (1,6322* —3,663йа+1,016)+ -»
ПшТц “ —12,5732’ + -»
—»+(1,632й4— 1,632Qa + 0,204) 3.265Й4 —5,296Й»+1,221
—» +1 2,602 “ —12,5732» + 12,6052 “
3,265р4 + 5,296р»+ 1,221 .
— —-----------------—---- = 1,2и/р +
2,573р»+2,605р
1
+ j ,
1,289р +-----------j----
Л,936р + . ——
0,843р
т. е. #1=4,267; #2=1,289; #з=<1,936; #4 =0,843 и трансформатор находится на
выходе цепочки. Перемещая трансформатор в центр цепочки, имеем
ZXX = 1,267р +-----------------------j-------
1 289Р + ™ ---------------Г"
°,665 1,936р +-------
’ т0,843р
1
1,267р +-------------------------р1-------
1,289р + 0,665 -------------—
1-289/’+г^1
1,2о7р
Итак, пр1и расположении трансформатора в центре цепочки, имеем:
#i = #4 = 1,267,
gi = #4= 1,289.
Приведенные выше примеры иллюстрируют методику расчета табл. 9.3 (на-
помним, ЧТО #m=2Qm<S).
Пример 4. Найти элементы (gm) нормированного прототипа с макси-
мально плоской характеристикой рабочего затухания при п=3, |Г|макс=0,2
(6п=0,177 дб).
В этом случае h= ' ' макс —= 0.2041.
if 1 — I Г | амакс
309
Корни уравнения 1+Л2(й)2п=0 вычисляются по формуле
1 Г (2к—1) л (2к.—1) л"|
й, =------ —cos '— -------±i sin -— --- ,
у'ТГ 2п 2п J
тде к-1, 2, ..., 2л.
Из 2л корней отбираются п корней, расположенных в верхней полуплос-
кости й.
Получаем следующие «устойчивые» корни:
Й1= - 1,4708 + 1 0,8492,
й,= 41 1,6984,
О3« 4 1,4708+1 0,8492.
Коэффициент передачи при п=3
Ти = 1 и (й — Й1) (й — й2) — йз) •
Коэффициент а для максимально (плоских характеристик рабочего затуха-
ния численно равен h.
TL1 = i 0,2041 [й — ( — 1,4708 + i 0,8492)] [й — i 1,6984] X '
Х[й —(1,4708 + 10,8492)] = i 0,2041 Й3 + 0,6933 Й2 — i 1,1774 Й — 1.
Находим элемент Тц матрицы [Г]:
Т21 = 1 У |Тц|2 — 1 = i h (й)" = 10,2041 й3
Величину ZK3 определяем по формуле:
2 _ 8 Im 711 * Гз1 1 (0,2041 й3 — 1,1774 й + 0,2041 й3)
кз- Re7’11 “ ’ 0,6933 й2 —1 ~
— 0,4081 о3 — 1,1774р „ 1
=------’----------1-----— = 0,5887 р +----------------------
— 0,6933р2 —1 н-г !
1,1776р +-----------
И 0,5887р
Получаем
£1 = 0,5887; g2= 1,1776; g3 = 0,5887.
Этот же результат можно получить по общей ф-ле (9.32).
Пример 5. Рассчитать ФНЧ, ФВЧ, ППФ и ПЗФ соответствующие сле-
дующим общим для всех фильтров условиям:
|Г1макс = 0,1 (Ь„ = 0,043 дб), йп = 1, й3 = 2, Ь, = 30 дб, R = 50 ом.
Частотная характеристика рабочего затухания — чебышевская.
Число звеньев фильтра, в соответствии с (9.23)
1 /£з— 1 1 /1000 — 1
агсЧК L^~l arch К 1,1-1 е
аг сп й3 ar ch 2
По табл. 9.3 находим (учитывая, что gm=QQmS)
gi = gs —0,974; .g, = g*= 1,372; g3=l,804.
Элементы лестничной схемы определяем по формулам (9.17)—(9.20):
ш (о,
1. ФНЧ: /п = 1000 МггЦ, й =----------, Й3 = ——,
шп соп
310
g, 1,372 , J
С, = С. = —~ =---------1-------= 4,37 пкф,
2 1 <»„/? 6,28-10»-50
7 &R
1-з —
®п
1,804-50
6,28-10»
= 0,0144 мкгн.
СОгт (0™
2. ФВЧ: /„= 1000 Мггц, й=—; й3 - ——
<в <в3
С, = Ct. =---------—---------------------=3,27 пкф
gi^nR 0,974-6,28-10»-50
3. ППФ:
_ R
шп gz
1 _
2з®пЯ
Лп = 0,2,
50
6,28-10»-1,372
1
= 0,0058 мкгн
Лп
<?t = <?4 = ^
Лп
«•Z2 = 1д804 = 4 51
Лп 2-0,2 ’
-------------------=1,76 пкф.
1,804-6,28-10».50
Л Лз
й = , й3 = —
Лп Лп
0,974. „ „
------= 2,44,
2-0,2
1,372 „
= 77737 = 3,43,
2-02
<2s
4 ПЗФ:
Лп = 0,2,
2
Qi = Qt —
Я1Лп
«.= 2
Лп . „ Лп
* «3 —
Л Лз
2
0,974-0,2
2
= Ю,2,
gs Лп 1,804-0,2
1,372-0,2
2
= 5,55.
= 7,3,
й
9.6. Фильтры свч с четвертьволновыми связями
Фильтры свч с четвертьволновыми связями обычно исполь-
зуются как ППФ или ПЗФ и представляют цепочку объемных резо-
наторов, соединенных отрезками передающей линии длиной —*
(рис. 9.9), где Ло — длина волны в волноводе, соответствующая
середине полосы пропускания. Прототипом для расчета этих
фильтров служит лестничная схема ППФ (ПЗФ), модифицирован-
ная таким образом, что в схеме остаются лишь параллельные вет-
ви. После этого проводится сравнение фильтра свч с прототипом,
в соответствии с соображениями, изложенными в разд. 9.1; эта
311
Рис. 9.9
методика иллюстрируется' на рис.
9.9. Идеальные четвертьволно-
вые ’) отрезки, .введенные в про-
тотип, обеспечивают преобразо-
вание поперечных ветвей в про-
дольные либо наоборот. Действи-
тельно, рассматривая попереч-
ную ветвь, включенную между
двумя идеальными четвертьвол-
новыми отрезками, находим, что
матрица [А] такой системы сле-
[Л] =
дующая:
О 1' _
i О
(9.36)
О
i
i] fl о -
О Y 1
1
О
У
1
т. е. совпадает* 2) с матрицей [А] продольной ветви:
1 Z1
(9.37)
О 1
•при условии, что нормированные величины Z и У равны друг дру-
гу. Последнее выполняется, если равны нагруженные добротно-
сти продольной и поперечной ветвей (см. табл. 9.1).
Таким образом, прототип, модифицированный с помощью иде-
альных четвертьволновых отрезков, по своему рабочему затуха-
нию тождествен исходному прототипу.
Переходя теперь к непосредственному отождествлению прототи-
па и фильтра свч по звеньям, как показано на рис. 9.9, добиваем-
ся приближенного равенства элементов Тп матрицы [Т] рравни-
ваемых звеньев.
Ввиду того что четвертьволновые отрезки линии обла-
дают частотной чувствительностью, указанное приравнивание вы-
полняется точно лишь на резонансной длине волны Ло- На других
волнах электрическая длина соединительного отрезка изменяется,
что эквивалентно изменению нагруженной добротности резонато-
ров [3]. Резонаторы, расположенные на краю цепочки, получают
приращение добротности AiQ =—, а резонаторы внутри цепочки
8
увеличивает свою добротность на величину A2Q^—•
< 4
Указанные величины AiQ и A2Q относятся к случаю четверть-
волновых связей. При длине отрезков линий связи, равной 3— ,
4
5—... (2i—1)— величины AiQ и A2Q (9.38) умножаются на 3, 5,
4 4
4) Подразумеваются отрезки линий длиной
2) С точностью до знака перед матрицей.
-^о п-^о ,.-^0 . Ао
— , 3—, 5— . . .(21—1)— .
4 4 4 ' ’ 4
312
7... (2i—1). Если длины отрезков линий связи с обеих сторон кон-
тура неодинаковы, то каждый отрезок длиной (21—1)— вносит
AQ—(2i—О ~ и эти приращения добротности с обеих сторон сум-
мируются1). Если, кроме того, передающая линия обладает дис-
персией, то приращение нагруженной добротности контуров за
счет частотной чувствительности соединительных линий увеличи-
вается еще в 1-^-1 раз, т. е. для случая четвертьволновых связей:
\ Ло /
(9.38}
где Ло — длина волны в передающей линии, Хо — длина волны в
открытом пространстве.
Другие особенности расчета фильтров свч с четвертьволновы-
ми связями зависят от конкретного типа резонаторов. Мы рассмот-
рим два варианта резонаторов — на прямоугольном волноводе и
на полосковой линии.
Распространенный тип объемного резонатора на прямоуголь-
ном волноводе представляет собой отрезок волновода, ограничен-
ный с обеих сторон одинаковыми индуктивными штырями (рис.
В
Рйс. 9.10
9.10а, б). Нагруженная добротность такой системы определяет-
ся коэффициентами Г от левого и правого краев контура [17]:
Q=«n _ 1-Г.1_ Лк? t (9.39)
I—I Г |я \ v
где к = 1, 2 ,3,... — номер резонанса.
Длина резонатора составляет
, Л» Г 1 . 2 , , 1ч]
Ап = о — arctg —+(к— 1) , (9.40)
Z L я J
4) Здесь н далее использовались частично материалы Л. С. Розановой.
313
где Вт — проводимость неоднородностей, ограничивающих m-й ре-
зонатор (с учетом знака Вт).
Если выразить |Г| через В в соответствии со схемой рис. 9.106,
то получим
[г I I В I /2
1 /1ЧМ|5|/2)2 ’
тогда из (9.39) можно получить другой вид формулы для доброт-
ности резонатора
= + Y • (9.41)
2 V \ 2 / \ /
Из последнего выражения видно, что в узкополосных системах,
где В23>1, имеем
(9.42)
4 \ Ло 1
т. е. нагруженная добротность Q растет как квадрат проводимо-
сти В. Если « = 1, то в грубом приближении имеем Q=B2.
Требуемые значения нагруженной добротности Q всех резона-
торов определяются сравнением с прототипом. После этого нахо-
дим величину Qo, имеющую физический смысл нагруженной доб-
ротности резонатора без учета дисперсии в волноводе и частотной
чувствительности соединительных линий:
(1 \2 д
-М —(2i—1)—(средние резонаторы)
Ло/ 4
Q™ = Qm (—f—(2i—1)—(крайние резонаторы)
\ Aq / 8
(9.43)
где Qm — требуемая величина добротности; (2i—1)—число чет-
вертей волн в отрезке линии связи1).
Эта величина является исходной для определения проводимо-
/ А «2
сти В в соответствии с выражением (9.41) при = 1-
В широкополосных резонаторах учитывается также и зависи-
мость В от Л. В этом случае связь между Q и В имеет вид [18]:
7'- Г 1 ( .______ Г 9 1 2/?£, ] Д \2
V = Т г S'.+<4. «tg f + («-1) - + Г) ,9'44)
4 ] L J У Вг„ -> 4 \ Ло /
& .. I т ’
где Вт — проводимость штырей при Z=Ao; к — номер резонанса.
Графики этой зависимости (без дисперсионного множителя)
даны в (15].
*) Когда длина отрезков связи равна
Лр
4
то (2i—1) = 1.
314
Заметим также, что для резонаторов рассматриваемого типа
имеет место приближенное соотношение
(9.45)
где q — отношение напряжения в пучности внутри резонатора к
напряжению бегущей волны на входе системы.
Это существенно с точки зрения электрической прочности1).
Дальнейший расчет волноводного фильтра с четвертьволновыми
связями требует определения длины отрезков волновода между
резонаторами. Вообще говоря, эти отрезки должны составлять
(2i—1)—[(2i—1) = 1, 3, 5, ...]; однако
4
если учесть влияние резонаторов, то
эта длина уменьшается. Дело в том,
что резонаторы имеют некоторую элек-
h -.fy - Ь г .4?, - h
трическую длину, т. е. их эквивалент- рис. 9.11
ная схема содержит, помимо собствен-
но контура, еще отрезки длинной линии, эти отрезки должны быть,
включены в четвертьволновые связи. В результате для (2i—1) = 1
получаем следующие соотношения [3]:
. /j ф 13 Ао
412 —---------------
2 4
»23 —'--------------
2 4
(9.46>
В общем случае, когда отрезки линий связи имеют длину
(2i—1) —, а контур работает на к-м резонансе, формулы (9.46)
4
приобретают вид
fw = (2i~1)T-'cт+ (9Л6а»
Примененные здесь обозначения поясняются на рис. 9.11.
Если при (2i—l)=il расстояния слишком малы, то сле-
дует их увеличить на -£ , т. е. перейти к (2i—1) =3. При этом уве-
личивается частотная чувствительность отрезков связи.
*) Среди применяемых типов резонаторов наибольшей электрической проч-
ностью обладают резонаторы в -виде отрезка волновода, ограниченного индук-
тивными штырями.
3’15
Зависимость проводимости В от диаметра штырей исследуется
в работе [19]; некоторые таблицы даны в [15]. При увеличении
количества стержней решетки уменьшается интенсивность высших
типов волн, возникающих в ее сечении.
Во многих случаях оказывается удобным располагать индук-
тивные штыри на неодинаковых расстояниях, в частности,
такое расположение способствует увеличению диаметра стержней,
что облегчает их изготовление и установку, а также снижает по-
тери. Соответствующие материалы по стержням этого типа, рас-
считанные на основании работы [19], даны ниже в Табл. 9.6.
Пример. Рассчитать волноводный фильтр с четвертьволновыми связями
между резонаторами. Задано:
2А fn „
.— полоса пропускания — ' =т]п—идю,
_ рабочее затухание в полосе пропускания не более ftn=0,04 дб,
( | Г I мак с ^0,1) ,
2Д/з
— полоса заграждения —— агт]з=0,10,
— уровень заграждения ие менее £>з=30 дб,
— частотная характеристика рабочего затухания — чебышевская.
1. Число резонаторов п определяем по ф-ле (9.23) либо по графикам
<15, стр. 443].
Получаем п=4,5, округляем до п=5.
2. Нормированные нагруженные добротности звеньев (ЦтЪ) находим по
табл. 9.3:
Qi S = <2В S = 0,487,
S = <2* S = 0,686,
Q3 3 = 0,902,
дооколыку 3=г]п=0,05. то
Qi = Qs=9,74; Q2 = Q4= 13,72,
Q3 = 18,04.
3. Нагруженные добротности резонаторов без учета дисперсии в волноводе
р избирательности соединительных линий определяем по ф-лам (9.43) при
^2i____l)=il для четвертьволнового отрезка соединительных лнини:
\2 тг
X") -т = 4 *-63’
(1 \ 2 тг
-Т = 6’30’
Q(3> = Q3 (-М* - — = 8,52.
Ц Ад / 4
4. По гоафику [15. стр. 412] находим индуктивные проводимости неоднород-
ностей, образующих резонатор. Полагаем при этом, что используется первый
резонанс (к=1):
В1 = В5=—2,2,
е2 = в4 = —2,6,
В3 = —3,07.
316
317
091'
О м^ю^соосооь- —• оо xF ся
1,65 оох^оффх^иэфоо СО ООСОФОщОЮФф со b-O^CO^COb-OC ся -ся СЯ
1 1,60 ОЬ-ХОО-^О^ФО 00 -иО^ООСЯФтсОЬ ся b.OOO-HCO’tlO^X о ОО-и-м—' —СЯ
1,55 осоооососо^ноооо •xF сосясооо*^сосооо*^ ю ФОООФСЯСО^ФЬ- оо о О О — —«-М-М —•
OS' I ооооюсясоо^оо ся ОФООФ^СЯ-^ФЬ- о ФЬООФ^СЧСО-^Ю Ь- О~ О* О —• *->' —' ~-Г —'
1,45 СОСЯООФ^фФФФ о ФФ-иСЯСОСОх^Ю со 1ДЬ-ОО0>О«-|СЯСОт}< Ю О Q О О —' —.
О СО -Н о О ф Ь- ФФ о СЯЮЮЮЮЮ*^'^’^ "xf ФФЬ-ООФО^СЯСО -Ф О О ОО О —. «- -м -м —•
1 ,35 ФФФ^ф-^СОСОФ О ООФФФСОЬ-ФФ^ •^ф^^ООфФ-иСЯ со о О* О О О О —' —' »-' —'
1 ,30 cococO’-^co-xfcoO’xF о шфф^сяооофф -xf ^ФФ^ООФОО-^ ся •*****•* • ООООООО^н*^-м <о ~ гм
ю см сяюооюою^ооо о" СЯСЯ-иСОФ^-'ФФ т ^ЮфФ^ОООФФ II оооооооо^ | с
1,15 1,20 хГОООО-нООСОО ся CiOOCO’^’^OO^f^O о CO^iOCOb’b’OOOO о ОООООООоО — Г^ФСОФОФФОФ ся (£)ЮСМФФСЧ0ОФ-н оо СО^"ФФФЬЬСОФ о ооооооооо о
О СЯСО-нСЧСЧОООФФ со ^СЧФ Ф-^ЬСЧОО^ о CO’xF’xFLQCOCOb-b'CXD о ооооооооо о
1,05 ООСОФСЯФФСЯФФ ^CT-LO^O^b^CMb' СО (ЯСОх^ЮФФФЬЬСО • ооооооооо о
О о COLO-^COCO-нОГ^Ф 1О ФФСЯЬ-СЯЬ--мФ-н ср C4CO"xF"xFLOlOCOCOC-«. Г- ооооооооо о
-|°/ /”в| ° 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
о Ob-F-сОООФСФФф ^нЮСО^нО^СЯЮЬ*® ^-ИООФСЯОЬ-ФХ}’^ СЯСОСОх^ФЮФЬООф
1 1,65 1 О ФЬФСОСЯ-^ОО^ ь-ффьоффсясосо -нСО^ОЬ-СООООФФ СЯСЧСО^-^ЮФФЬ-ОО
1 1,60 ООСЯ^ФФФСООСОФ СООФ-нСОСОСЯ-нфф ОФ-мЬ-СЯООФСЯФ^ -нСЯСОСО-^-^ФФФЬ
1 1,55 ФОФ«^СОСЯФСЯ-мСЯ СЯСО-нСОСОФФЬ-^ СОСОО-^Ф^ОФсО’»-' — СЯСЯСОСО^ФФФЬ-
О ю г- О ФЬЬ-СЯООСОФФ ао о s ся со с© -xf со -xf ФСЯФ-нф^фСЯООФ —«СЯСЯСОСО'^’-^’ЮЮСО
ю х^ЮСЯ^СОСООООО-иф СО *xF оо —< Ф СЯ Xf ся ФФ-^ФСОООСООО^О —. СЧ ся СЯ СО со" -xF xf IQ СО
о rFGCOCOt^.OO’xF’xfCOOO ЮООО^-хГООСЯО xf О', соь-хфф^фф ^н^нсчсясоео xf щ щ
ИУ со ФФФООФОО-МХ1<СЧСЯ Ю Ь' ^^НООСЯЬ-СОО СОЬ-хФООСЯЬ-«нф-н —'-нСЯСЧСЯСОСО-xFxFlO
4е 1 1,30 1 ^^Н-ИСОООСЯОСЯ^ СОЮО^О^СОООСОСЯ СЧ Ф Ф со Ь- Ф xt оо со оо ^нх^счсясясоеоео •’*'*•*
ю см ^^Ь-ООЬ-ФСЯФ^ОО ОО-^СООО^СОСЯ-мСЯЬ- ^ЮОО-мЮООСЯСООч* —< —* -Н см” СЯ СЯ СО со" -xF -XF
о tFOCO^hCO’xFOOOCOO G’^'xF'xF’xFCOGlO’xFlO ^HxFb’GCOCOGCOr*.x-^ — -H — CNCMtNCOCOCOxt
| 1,15 । С^фх}<Ф-мСЧС1Ь-Ф Ф'^СЧФФООС'-СЧЬФ О СОЧ фф -HxFN—xi’CO ^^^-нСЯСЯСЯСОСОСО
О ’xF10r^,xFC00100r*.00 ф1Л-нЬСОФО ©счь- Ст> СЧЮЬФСОФФСЯФ О-н-н-нСЯСЯСЯСЧСОСО
1.05 | 00-хГСЯ-хГ10СТ)00>0/ Ob'-HlOO^’xFOOOO^M* О', — х^ФСО-нх^Ф о СО о - ся ся ся ся со
О о О', О Ф Ф оо о сяосяю СО Ф - СО Ф Ф со СО ф Ф 00 О со Ю t-мОСЯ xF г*. О О^Н~*~*~И~*СЯСЯСЧСО
*и | Q 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
318
5. Индуктивные проводимости выполняем в виде решетки из двух стержней,
расположенных на расстоянии — =0,26 от стенки волновода.
а
1
Диаметры стержней находим по табл. 9.6 при значении параметра — = 1,4:
— = — = 0,0275; — = — = 0,0376; — = 0,0475.
а а а а а
6. Длину резонаторов определяем по ф-ле (9.40):
11 Ч 1 Г 2 1
-у- = -у- = у— arctg---------— =0,382,
Ло Ло 2л [ й (—2,2)
/2 /4 1 Г 2 1
Ло Ло 2л [ (—2,6)]
l3 1 Г 2 1
— =—— arctg--------—— =0,408.
Ло 2я L ( — 3,07)
7. Длину соединительных линий находим ло ф-лам (9.46);
у1- = у5- = 4- (0,382 -> 0,395) — 0,25 = 0,139,
Ло Ло 2
у5- = = 4- (0,395 4-0,408) — 0,25 = 0,152.
Ло Ло 2
8. При практической отработке фильтра необходимо знать величину нагру-
женной добротности каждого резонатора, включенного отдельно в измеритель-
ную схему (т. е. без учета влияния частотной чувствительности соединительных
линий между звеньями);
Qi изм = Qs изм = Q1 — "У" ( =9,86 — 0,39 = 9,09,
о \ Aq / U,d1
„ л /Ла \а
Qi изм = Q1 изм = Qi — ~~ I ~ ’) =12,35,
4 \ Ло /
л (Ла \г
<2з изм = Qs . I 4 ’) =16,72.
4 \ Ло /
Переходим к рассмотрению некоторых типов фильтров свч с
четвертьволновыми связями, выполненных в полосковом варианте.
На рис. 9.12а изображена одна из конструкций резонатора1). Пос-
ледний представляет собой параллельное соединение двух шлей-
фов— короткозамкнутого и разомкнутого. Рабочее затухание тако-
го резонатора определяется выражением
1 + -L (etgeg-tge^, (9.47)
где
0i = ^-(l-a)Q,
*) На рис. 9.12а и далее изображен внутренний 'проводник полосковой
линии.
319
f0 — частота резонанса.
Нагруженная добротность резонатора может быть найдена как
отношение резонансного значения частотной переменной (й —1)
к полосе Дй по уровню 3 дб рабочего затухания.
Результаты такого анализа, проведенного для кривых, пост-
роенных по (9.47) при различных значениях а, даны в виде зави-
симости Q=f(a) на рис. 9.12а.
320
Резонансная длина волны рассматриваемого контура зависит
лишь от его общей длины (Zi + 1%) и не зависит от степени связи а.
Действительно, условие резонанса ]7'ц|2=1 выполняется при
ctg ©2—tg 61, что требует л.ишь
4+4 = ^-. (9.48)
Расчет фильтра сводится, таким образом, к определению на-
груженных добротностей по кривой рис. 9.12а. Четвертьволновые
расстояния между контурами не требуют существенной коррекции
как это было в случае волноводных резонаторов (см. (9.46)]; прак-
X
тически их можно принимать равными — . Влияние частотной
4
чувствительности четвертьволновых отрезков на эффективную доб-
ротность резонаторов необходимо учитывать, как и ранее, с по-
мощью соотношений (9.43).
Пример. Рассчитать полосковый фильтр с четвертьволновыми связями
(рис. 9.12а).
Задано:
— полоса пропускания г]п=0,21,
—• полоса заграждения г]з=0,44,
—•затухание в полосе пропускания не более 6П=0,043 дб (|Гмакс | =0,1).
—• затухание в полосе заграждения, не менее б3=ЗО дб.
Характеристика —‘чебышевская.
1. Количество резонаторов п определяем по ф-ле (9.23), либо по графикам
[15, стр. 443].
При заданном сочетании технических условий получаем п=5.
2. Нормированные значения нагруженной добротности находим по табл. 9.3
при п=& и |Г|макс=0,1:
Q1S = (?5S = 0,487,
Q2S = Q4 5 = 0,686,
Q5 5 = 0,902.
Поскольку 5=r|n = 0,21, то:
Q1 = Q5 = 2,28,
Q2 = , 21,
<2з = 4,22.
3. Нагруженные добротности без учета частотной чувствительности соеди-
нительных отрезков:
Ql') == Q<5) = Qj —= 2,28 — 0,39= 1,89,
О
Q(02) = Q<4> = — = 3,21 —0,78 = 2,43,
<2103) = (2з--^ = 4,22 — 0,78 = 3,44.
4. Выбираем резонатор в виде двух параллельно включенных шлейфов, один
из которых короткозамкнут, а другой — разомкнут (рис. 9.12а).
11—488 321
По графику рис. 9.12а находим относительную длину а= —-— коротко-
.. . h + h
замкнутого шлейфа, соответствующую найденным выше значениям Q:
ах = а5 = 0,316,
а2 — а5 = 0,266,
а3 — 0,216.
Общая длина обоих шлейфов lt+l2=-£ (см. 9.48). Таким образом, можно
найти длину каждого шлейфа в отдельности; для короткозамкнутых шлейфов
имеем:
^S)
^0
^-0 ^0
1 21
Хо
I Третий тип резонатора (рис.
К9.14) характеризуется часто г-
I ной зависимостью функции ра-
f бочего затухания следующего
f вида:
f |Л1|2 = i + Y^gei+tgez)2,
(9.49)
где
а,
— = 0,316/4 = 0,080,
4
а2
4
«з
4
0,266
-----= 0,067,
4
0,216
•---- = 0,054.
4
А,
Разомкнутые шлейфы дополняют эти длины.до ~ , г. е.
4
211=211 = = М84=0170
4 4
Эскиз внутреннего проводника рассчитанного фильтра в полос-
ковом варианте дан на рис. 9.126.
Короткозамыкающие перемычки в таком фильтре выполняются
в виде круглых стержней, диаметр которых равен ширине (w) внут-
реннего проводника. При ис-
пользовании несимметричных
полосковых линий можно ис-
пользовать стандартные болты.
Резонатор другого типа
изображен на рис. 9.13, он яв-
ляется предельным случаем
предыдущей конструкции; дли-
на короткозамкнутого шлей-
фа здесь равна нулю и кон-
тур образован из небольшой
паразитной индуктивности короткозамыкающей перемычки и
из емкости разомкнутого шлейфа. Контуры такого типа удоб-
ны при величине нагруженной добротности порядка 304-150. За-
висимость нагруженной добротности контура этого типа от дна-
метра цилиндрической короткозамыкающей перемычки («бонки»)
и зависимость резонансной длины шлейфа от диаметра перемычки
определяются экспериментально.
Рис. 9.13
01 = л(1— а) £2,
02 = лай
а =--
Условие резонанса
/о
контура:
Ж 4+/2=4-
Jk. не зависит от степени
Яг Последняя определяет лишь
Ж величину нагруженной доброт-
Ж ности контура Q. Зависимость
W она найдена, как и в первое случае, из анализа серии резонансных
кривых.
связи а.
Литература
Q=f(a) изображена на рис. 9.15;
1. Линии передачи сантиметровых волн, ч. I—II. Пер. с аигл. Изд-во «Совет-
ское радио», 1951.
2. Техника сверхвысоких частот, ч. I. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио»,
1952.
3. Mumfard W. Maxymally-flat filters in Waveguide. «B.S.T.J.», 1948, v. 27.
№ 4.
4. G r a v e n C., Lewin L. Design of microwave filters with quarter-wave
couplings. «Proc. 1ЕЕ», 1956, v. 103, p. B, № 8.
5. Cohn S. Direct-coupled-resonator‘filters. «Proc. IRE», 1957, v. 45, № 2,
6. Козляев И. П. К расчету полосио-пролускающих фильтров сверхвысоких
частот с четвертьволновыми связями. Научи, докл. высш, школы. «Радио-
техника <и электроника», 1958, № 4.
7. Мазепова О. И., Фельдштейн А. Л., Я в и ч Л. Р. Инженерный ,рж>
чет полооио-пропускающих фильтров свч. «Радиотехника», 1963, т. 18, № &
8. Б е л е ц к и й А. Ф. Теоретические основы электропроводной связи, я. IIL
Связьиздат, 1969.
9. Т а ф г В. А. Основы методики расчета электрических целей .ио заданным
их частотным характеристикам. Изд-во АН СССР, 1954.
12-488 323
322
10. С об ен.ин Я. А. расчет полиномиальных фильтров. Связьиздат, 1963.
П.Балабанян Н. Синтез электрических цепей. Госэнергоиздат, 1961.
12. Г а р<н о век и й Н. Н. Теоретические основы электропроводной связи, ч. 1.
Связьиздат, 1956.
13. Fubini Е., Guillemin Е. Minimum insertion loss filters. «Proc. IRE»,
1959, v. 47, № 1.
14. Коган С. X. Рациональное конструирование полосовых фильтров с ма-
лыми диссипативными потерями. «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7,
№ 8.
15. Ф е л ь д ш г е й н А. Л., Явич Л. Р., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники, изд. II. Изд-во «Советское радио», 1967.
16. Bel ev it ch V. Tchebycheff Filters and Amplifier Networks, Wireless Engi-
neer, Apr. 1952.
17. Фельдштейн А. Л. Об энергетическом режиме высокочастотной линии
передачи. «Радиотехника», 1949, т. 4, № 4.
18. R е е, d. 1. Low-Q Microwave filters. «Proc. IRE», 1950, v. 38, № 7.
19. M о д e л ь A. M., Белевич H. С. Расчет нагруженных добротностей вол-
новодных резонаторов, образованных решетчатыми диафрагмами. Радио-
техника, 1963, т. 18, № 9.
20 Лебедев И. В. Техника и приборы сверхвысоких частот. Госэнергоиздат,
1962.
I10. Некоторые типы фильтров свч
с непосредственными связями
10.1.
Прототип фильтров свч с непосредственными связями.
Ступенчатые схемы
Фильтры свч "можно рассматривать как некоторую пере-
дающую линию, вдоль которой на определенных расстояниях /т(0т)
•расположены неоднородности (рис. 10.1). Процесс передачи мощ-
ности в такой системе определяется взаимодействием многократно
Рис. 10.1
3,1
отраженных от неоднородностей волн. Если предположить, что
параметры неоднородностей не зависят или слабо зависят от ча-
стоты, то частотная характеристика всей системы определяется
/. 2л/т\
лишь электрическими длинами ^am=—отрезков соединитель-
ных линий и уровнем отражения от неоднородностей.
Известны два типа фильтрующих систем свч указанной струк-
туры. К первому относятся системы, в которых неоднородности
сгруппированы попарно (рис. 10.2). Пара одинаковых неоднород-
.2 .
vS Я >
Рис. 10.2
ностей, расположенных на специально подобранном расстоянии,
представляет собой объемный резонатор; его частотная характери-
стика в некоторой полосе частот идентична характеристике резо-
12°* 325
V
нансного контура LC. Если указанные резонаторы расположить
на расстоянии, равном-^- , то в некоторой полосе частот система
становится подобной лестничному фильтру LC\ в предыдущей
главе этот вопрос рассмотрен подробно. Фильтры с четвертьвол-
новыми связями имеют то преимущество, что каждый их резона-
тор можно отрегулировать и привести в соответствие с расчет-
ными данными независимо от других элементов.
В фильтрах с непосредственными связями [1, 2, 16] компенса-
ция отражений в полосе пропускания происходит на входе систе-
мы за счет взаимодействия волн, отраженных от неоднородностей
всей системы; иначе говоря, здесь не суще-
Рис. 10.3
ствует отдельных резонаторов в том смы-
сле, как это описано выше.
Фильтры с непосредственными связями
имеют меньшие габариты за счет устране-
ния соединительных отрезков. В качестве
звена фильтра с непосредственными связя-
ми принимается неоднородность с приле-
гающими к ней с двух сторон отрезками пе-
редающей линии1) (рис. 10.3). Такое звено не обладает резо-
нансными свойствами; модуль коэффициента передачи звена име-
ет слабую частотную зависимость. Два таких звена, соединенных
каскадно, называют иногда резонатором. Такие «резонаторы»
состоят из неодинаковых звеньев и при резонансе не дают нуле-
вого затухания.
Лестничные схемы фильтров в том виде, как они изображены
на рис. 9.6, не могут служить прототипом фильтров с непосред-
ственными связями. Действительно, ветвь лестничной схемы ППФ
на резонансной частоте пропускает мощность полностью, в то вре-
мя как звено фильтра с непосредственными связями должно иметь
*) Количество звеньев р на единицу больше, чем количество резонаторов
я; р=п+ 1,
326.
Вчастотную характеристику нерезонансного типа, ^приподнятую»
|над осью частот. На рис. 10.4а, б, в, г приведены некоторые рас-
пространенные на практике звенья фильтров с непосредственными
^связями').
• Таким образом, если использовать лестничную схему рис. 9.6
у в качестве прототипа фильтра с непосредственными связями, то
: необходимо предварительно ее видоизменить таким образом, что-
. бы звенья схемы соответствовали указанным выше условиям. Та-
кая модифицированная схема LC прототипа включает в себя но-
- вын элемент цепи — так называемый идеальный преобразователь
: проводимости или сопротивления [2, 3]; см. также разд. 10.7.
1 В данной главе будет использована другая модель, связанная
с более простыми- физическими и расчетными соотношениями, —
ступенчатый переход.
Ступенчатый переход в качестве прототипа фильтров с непо-
средственными связями впервые был предложен в работах [4], [б]
' и использовался для расчета ступенчатых фильтров и фильтров
: на параллельных индуктивностях. Ступенчатый фильтр является
естественным прототипом фильтров с непосредственными связя-
? ми, поскольку частотная характеристика модуля коэффициента
: передачи его звена всегда «приподнята» над осью частот в соот-
, ветствии с перепадом волновых сопротивлений ступенек и не за-
висит от частоты; при этом фазо-частотная характеристика ли-
нейна.
Звено ступенчатого перехода изображено на рис. 10.46, матри-
. ца звена характерна для обратимого антиметричного реактивного
четырехполюсника
У I х
2V7
л — 1
2/?
±±J_ p-ie
(ЮЛ)
где ат= Р >1—отношение волновых сопротивлений двух со-
Рт-Н
„ 2л/
седних ступенек перехода; 0= ——электрическая длина одной сту-
пеньки (одинаковая для всех ступенек перехода).
Функция рабочего затухания ступенчатого перехода
полиномом по cos2©:
является
|TU|2 = 1 +/№
(cos в \
Как согласующее устройство, ступенчатый переход обладает
свойствами фильтрации. Качество фильтрации перехода (полоса-
*) На рис. 10.4в п г приведены внутренние проводники полосковых линий.
327
_ пропускания и крутизна скатов) зависит от перепада согласуемых
волновых сопротивлений /?. Для практически реализуемых пере-
падов волновых сопротивлений можно получить лишь широкие
полосы пропускания; при узких полосах пропускания перепады
становятся конструктивно нереализуемыми. В случае использова-
ния переходов в качестве прототипа это несущественно, так как
переход является только расчетной моделью.
Рассмотрим условия, при которых ступенчатый переход может
служить прототипом фильтра с непосредственными связями. Срав-
нение прототипа и фильтра, как и ранее будет производиться по
звеньям.
Ступенчатый переход является цепочкой обратимых антимет-
ричных реактивных четырехполюсников, в то время как извест-
ные типы фильтров с непосредственными связями можно предста-
вить в виде цепочки обратимых симметричных реактивных четы-
рехполюсников. Известно [6], что если коэффициенты передачи
звеньев двух таких цепочек соответственно равны, то результирую-
щие коэффициенты передачи обеих цепочек также равны. Следо-
вательно, условием использования ступенчатого перехода в каче-
стве прототипа для фильтра с непосредственными связями явля-
ются независимость модуля коэффициента передачи звена фильт-
ра от частоты и идентичность фаво-частотных характеристик всех
звеньев фильтра.
Таким образом, основой расчета фильтра являются следующие
соотношения:
Мт— , (10.2а)
£ V qm
где Мт — искомая величина модуля коэффициента передачи /и-го
звена фильтра; qm — известная величина перепада волновых со-
противлений двух ступенек, равная ксв скачка; и
Фт(®)=Фт+1(®) = Ф(®), (10.26)
где фт(со) — частотная переменная, являющаяся одновременно
фазой коэффициента передачи звена фильтра.
Очевидно, что эти соотношения во многих случаях будут вы-
полняться приближенно; практическое использование метода по-
казало, однако, что он дает достаточно точные результаты при
расчете фильтров с непосредственными связями на связанных
линиях, на параллельных проводимостях, ступенчатых фильт-
ров и др.
Синтез ступенчатых переходов с оптимальной частотной харак-
теристикой описан в гл. 3. При использовании переходов в каче-
стве прототипа фильтров с непосредственными связями необходи-
мо применять табл. 10.3, а также таблицы, опубликованные в [19].
328
электрическую длину и
10.5); закон его изме-
I 10.2. Ступенчатые фильтры. Общие сведения
) Ступенчатым фильтром называют цепочку однородных пе-
редающих линий, имеющих одинаковую
различное волновое сопротивление (рис.
. „нения от ступеньки к ступень-
. ке периодичен.
Последнее обстоятельство
отличает ступенчатый фильтр et~ р L,
] ;от ступенчатого перехода, в z°
• ' котором изменение волнового
1 ^сопротивления происходит мо- Рис- 10.5
S нотонно1).
1 ' Ступенчатый .фильтр конструктивно прост; методика его
j -синтеза является точной [7] и может быть поставлена в зависимость
| Lot параметров прототипного ступенчатого перехода (4, 5]. Недо-
I Остатки ступенчатого фильтра связаны с тем обстоятельством, что
I* ^перепады волнового сопротивления ступенек в передающих ли-
|ниях известных типов существенно ограничены; причиной этого
^ являются конструктивные трудности, реализации очень малых рас-
стояний между широкими стенками в волноводном варианте, очень
||тонких проводников в коаксиальном и полосковом вариантах и
I возможность появления распространяющихся высших типов волн
| при значительном увеличении высоты волновода.
В пределах точности одномодовой теории ступенчатый фильтр,
как уже указывалось, рассчитывается точно в неограниченном
^диапазоне частот; из этого следует возможность применения одно-
го и того же фильтра в качестве ФНЧ, ППФ и т. п.
Действительно, если ограничиться некоторой областью частот-
ной характеристики (рис. 10.6) ступенчатого фильтра, то его мож-
Рис. 10.6
j. но отнести к различным клас-
' сам. Практика показывает, од-
I нако, что ступенчатые фильтры
рационально использовать в
Ч качестве ФНЧ, например, как
фильтры гармоник генератора
s [7]. Изложенные ниже мате-
। риалы относятся именно к это-
I му варианту их применения.
|По сравнению с другими из-
вестными типами фильтров гармоник, например, «вафельными»
[8, 9], либо на коротких отрезках линий [10, 11], ступенчатые
фильтры имеют преимущество в методике синтеза, — она связана
. с оптимальными, частотными характеристиками и приводит поэто-
му к малогабаритным конструкциям.
Прямой метод синтеза ступенчатых фильтров изложен в [7, 18];
он основан на задании функции рабочего затухания | Тц|2 в виде
‘) Ступенчатые фильтры предложены в 1959 г. одним из авторе® [18].
320
полинома по sin20, восстановлении матрицы (Г] по заданному
|ГП |2 и разложении матрицы [а] на элементарные сомножители
в соответствии с принципами, изложенными в гл. 3.
Здесь мы воспользуемся иным более кратким косвенным мето-
дом синтеза ступенчатых фильтров, основанном на прототипном
ступенчатом переходе. Рассмотрим два, следующие друг за дру-
гом звена фильтра; пусть tn-я ступенька имеет перепад волновых
сопротивлений
9.= Л-
гт—1
1,
а следующая ступенька характеризуется перепадом
Рт+1 ~~
Pm+1
Pm
Соответствующие матрицы [Г] имеют вид:
Чт 4^ 1 цЮ <!т — 1
2/^г 2/^;
gm — 1 gm-ф 1 c~ie
_2Vq~m 2/^
Pm+1 1 giO Pm+1 ~ 1
2 V Pm+l 2 V Pm+ 1
Pm+1 ~ 1 Pm+1 1 e-l 6
- pm+l 2|Л pm+1
(10.3)
(Ю.4)
Нашей задачей является привести эти матрицы к одинаковому
виду и затем сравнить их с матрицей звена ступенчатого перехо-
да. Вводим величину
1 t
9m+1 Pm+I>
и подставляем ее в матрицу (10.4)
~ 4m+l 1 gl(©—я) 4т+1 1
,Т1 2 V 4т+1 2Z 4т+1
U Jm+1 = —
gm+1 ~ 1 gm+1 т 1 е-1 (в-я>
• _ 2 / 4т+1 2У gm+l
(10.5)
(10.6)
которую разлагаем на два сомножителя
4т+1 1 е' (в 2 ) j 4т+1^—1
2V Чт+\ 2 к 4т+1
__j 4т+1 1 *?т+1 4~1 £~ !(в— 2 )
2l^ gm+1 2Р< 4т4-1
(Ю.7)
330
Е Первый из этих сомножителей объединяем с матрицей (10.3)
йпредыдущего (m-го) звена; в результате умножения эта матрица
^приобретает вид, полностью тождественный со вторым сомножи-
телем в (10.7):
i — 1
fa '
(10.8)
_ j
2}Чп
1 .
2 VTm
звенья
Срав-
£
|Итак, с помощью тождественных преобразований Bice
ступенчатого фильтра приобрели единообразные матрицы,
ним их с матрицей звена ступенчатого перехода (10.1).
Легко заметить, что модули всех элементов матриц (10.1) и
(10.8) соответственно равны друг другу. Отличие в фазовых мно-
жителях сводится к следующему:
Ь а) частотная переменная ступенчатого фильтра имеет вид
10——, а ступенчатого перехода — 0;
* 2
б) «приведенное» звено ступенчатого фильтра симметрично
(элементы Т12 и T2i — мнимы и притивоположны по знаку), в то
F время как звено ступенчатого перехода — антиметрично (элемен-
? ты Т12 и Т2[ вещественны и одинакового знака).
t Известна следующая теорема: цепочка, составленная из сим-
метричных звеньев, и цепочка, составленная из антиметричных
звеньев, имеют одинаковые результирующие коэффициенты пере-
дачи Тц в том случае, когда коэффициенты передачи звеньев с
одинаковыми порядковыми номерами соответственно равны [6].
Рассматриваемые цепочки соответствуют условиям этой теоре-
мы. Потребуем идентичности частотных характеристик ступенча-
того фильтра и ступенчатого перехода; тогда на основании ука-
занной теоремы для этого достаточно следующих условий:
|Л1[/п — |Л1|т ,
фильтра перехода
= | Тц 1
фильтра перехода t
и на основании (10.1), (10.7) и (10.8) получаем:
для m-ro звена
/ <7zn 1 \ _/ \
\ 2 УЦт /фильтра \ 2 У^т /перехода,
т. е.
Qm = Qm
фильтра перехода ,
(10.9)
(10.10)
(10.11)
331
а для (m+ 1)-го звена
( А»+1 1 \
' "т+г фильтра
т. е.
1
Pm-pl
фильтра тт+1
перехода
fa+1 * 1
2 У ?т+1
перехода
(10.12)
Условия (10.L1) и (10.12) определяют тождественность частот-
ных характеристик ступенчатого фильтра и ступенчатого перехо-
да. Иначе говоря, ступенчатый переход можно рассматривать как
прототип ступенчатого фильтра. Соотношения (10.11) и (10.12)
обеспечивают построение ступенчатого фильтра, обладающего той
же частотной характеристикой рабочего затухания, что и выбран-
ный прототип, но в зависимости от своей частотной пере-
менной. Это означает, что характеристика перехода в зависи-
мости от переменной 0 будет совпадать с характеристикой сту-
пенчатого перехода в зависимости от переменной 0------------— [см.
(10.7), (10.8)].
Известно, что функция рабочего затухания ступенчатого пере-
хода есть полином по cos20 (см. гл. 3); отсюда следует, что функ-
ция рабочего затухания ступенчатого фильтра представляет собой
полином по cos2 —f)=sin2©, т- е- его частотная характери-
л
т
стика сдвинута на
относительно характеристики прототипа.
Мы ограничимся рассмотрением чебышевской и максимально пло-
ской характеристик ступенчатого фильтра:
|TnM+
|Л1|2=1 + Л2Т2
(10.13)
(10.14)
где коэффициенты h и S, так же как и в ступенчатом переходе,
нормируют область пропускания по амплитуде и по полосе.
10.3. Ступенчатые фильтры гармоник
Рассмотрим соотношения, вытекающие непосредственно из
вида частотных характеристик (10.13) и (10.14) ступенчатого
фильтра. Обе характеристики обладают тем свойством, что на
краю полосы пропускания (рис. 10.6):
0nl=arcsinS, (10.15)
®п2=л—arc sinS, (10.16)
332
де 0ni — конец первой полосы пропускания; 0П2— начало второй
полосы пропускания.
Заграждаемые гармоники должны лежать между 0ni и 0пг,
рабочую частоту («первую гармонику») совместим с 0пъ пропус-
лежащие между
(10.17)
каемую гармонику совместим с
вп2 (рис. 10.7).
Складывая (10.15) и (10.16) и
учитывая, что 0= — > находим
длину ступеньки 1)
L _ 1 А.П1А.П2
; 2 Хщ 4" А,п2
Положим, что рассматривает-
ся к гармоник, из них 1-я и к-я—
пропускаются и соответствуют
волнам Ant и ХП2, а остальные гармоники,
и к-й — заграждаются. Поскольку в этом случае имеем
ХП1 — к 1п2,
то выражение (10.17) преобразуется к виду
J_ _ _1 1 J_________________1_
Апг 2 к 4* 1 2 р -4 3
первой
(10.18)
(10.19)
где р — число заграждаемых гармоник: р = к—2.
Масштабный множитель S связан с количеством гармоник сле-
дующим образом:
S=sin0nl, 0ni=—,
откуда
5 = sin—-— = sin—~ . (10.20)
«4-1 р 4-3
Пример. Первая н пятая гармоники пропускаются (к=5), вторая, третья
и четвертая — заграждаются. Определить длину ступеньки и масштабный мно-
житель S.
Из (10.19) и (10.20) находим .
I________1_______1_
ЛП1 " 2(343) ' 12 ’
где Ant—длина волны первой гармоники (основной),
*) Длина ступеньки, найденная по формуле (10.17) соответствует использо-
ванию фильтра, как ФНЧ или ПЗФ. При использовании ступенчатого фильтра
в качестве ППФ длина ступеньки равна 1=—п ——, где Ant и Лиг — длины воли
АщТ Лп2
ограничивающие полосу пропускания ППФ [7].
333
Тем же способом находим величины -— и S для других, имеющих прак-
Лп1
тический интерес случаев. Результаты сведены в табл. 10.1. Для наглядности
здесь индекс «п1» заменен на номер первой ('пропускаемой) гармоники (т. е.
Таблица 10.1 X"l=z*L
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
Общее число рассматривае- мых гармоник к Число за- граждае- мых^ гармо- ник р=к— 2 1 /= Г S
ЛП1
3 1 0,125 0,707
4 2 0,100 0,588
5 3 0,083 0,500
6 4 0,071 0,434
7 5 0,062 0,383
8 6 0,055 0,342
Одним из существенных пара-
метров фильтра гармоник явля-
ется крутизна ската частотной
характеристики рабочего затуха-
ния. Этот параметр оценивается
по величине затухания на часто-
те, равной 1,14-1,2, от частоты
среза (т. е. граничной частоты
полосы пропускания). Из (10.13)
следует, что для чебышевского
фильтра количество звеньев,
обеспечивающее заданную кру-
тизну среза, определяется по
формуле
s
о
X
S
о
arch
П ~ , sin 03
arch--------
sin On
(10.21)
Из (10.14) находим аналогичную формулу для фильтра с мак-
симально плоской характеристикой
X
о
£
sin 03
& sin 0П
(Ю.22)
о
п =
5
5
Здесь L3 и £п — значение затухания, выраженные в нелогариф-
мическом масштабе (в полосе заграждения и пропускания, соот-
ветственно); 0з и 0п — электрические длины ступенек на частоте
заграждения и пропускания.
Этими данными исчерпываются те сведения, которые можно
получить из вида частотных характеристик ступенчатого фильтра
гармоник. Далее необходимо определить волновые сопротивления
ступенек, соответствующие заданному сочетанию технических тре-
бований.
В табл. 10.2а приведены результаты расчета ступенчатых
фильтров гармоник с чебышевской характеристикой для п=ДЗ, 15,
17, 19 при |Г|макс=0,0476; 0,0909; 0,2 и в табл. 10.26 — фильтров
с максимально плоской характеристикой при «=13-4-21 при
|Г|Макс=0,05; 0,1; 0,2. При заданных номерах заграждаемых
334
Затухание на гармониках, дб •о 108,1 113,7 120,7
-Q 146,0 105,8 131.7 111,4 00 оо ю
-Q 161 ,7 140.1 102,4 СО оо О S Ю 00 с© Ч О «—ч СО оо О Ч 04 1Л Г- Ю ’—|
а? n о» сч ’ СП» ~ Г4- <£} rf СП С) со ш оо со г- Ю СО СЧ со ю со О со ю 00 С©~ ч сч со © СО Ч- О я-1
а? 146,0 140,1 131,2 116,3 87,4 N 00 оо о О ю с© ср ш ч* СО С4 О <—< 00 оо СП о 00 04 со 00 О Ю Ю ч С4 С
•о 00 ч* о_ I о О о О С© со «“Ч г-, Ч о со о г-- со’ ~ 00 04 со 04 ~ о о г-’ Г- Ч о со о о" СО Ю СП О СП 04 ~ о О г-
Затухание на скате характе- ристики , Ь, дб II £с « - ф - II О lO Г4- Ю НП Ч< CD lO ч* со г" й СО со СО со с© СО 04 —• —• —Г о сн со ч ч ч со со со 48,6 48,1 47,3 46,1 44,1 40,1
оо со со со оо о оо оо s СО о> СЧ 04 СЧ 04 04
с II ® со * ® ii 16,5 16,2 15,8 15,0 13,8 11,4 Я— 00 со СО со 00 СЧ — — О СО 04 04 04 04 —
СЧ со ю сч о "Ч* ’Ч* со со ОО о сч Ч" (О X с© со io ч со сч
Волновые сопротивления, отн. ед. с© О О О ~ ю о ч* со г-, о со г- о со Ю 1Л ч со СО Щ Ч* N СО с© О ©4 04 ~ о со со о сч ю СО 1Л Ч" со СО С4
« Щ О со ОС СО оо СП 04 Ю СП СО СО 04 04 04 СО Ч* о" о о о о о о Г- СО СП о СЧ СО о Г" N 04 04 04 СО СО о о о о О О о t- т*- о 1О I 04 Ю 00 со 04 СЧ 04 ©4 со •Ч’ о о о о о о
ю о оо ч <о ю СО г- сч со со S О) - ч со оо СО Vo 1© Ч* СО 04
it в со 04 ч* тГ О Ч* О •— ю о со со СО 1© Ч< Ч* СО 04 04 О О Ч СЧ О СО о Ю СО оо со N О 04 Ю 00 —• Ч СО LQ Ч* СО СО ОЧ
ю тг 04 СО 00 О> 04 Ю СТ> Ч* •— со СЧ 04 СЧ СО Ч* Ю о о о о о с
О- сч 00 04 СП СП СО- о 04 СО О СЧ СЧ 04 СО ОЗ Ч о" о" О О О О 1© СО 00 LO Ю ои О СО со — оо О ОЧ СЧ 04 СО СО Ч о О О О О О
Ра—Рп О) СО 04 СП о со Ю Ю Ч1 04 О LQ _ ю СП со Г— LO Ч со СО 04 04 in О со со Ч* С4 О СО оо 04 L0 СО с© о 04 со О 04 Ю Ч Ч СО 04 04 сч со ч* сч оо О 04 СО 00 СЧ ИО г- LQ г— СЧ Ч*~ СС^ СО* Ю Ч’ Ч* СО 04
СОЬ*СЧС4СЧЧ ю 00 со CH 0Q СЧ СЧ 04 со СО Ч" СО^ о’ О О ООО
1 СО ' СО С© О Ч L© 00 со СП СП СО сч С4 СО СО Ч1 «5 о" О о 6 о о Ч г- СО со ~ rf 00 04 00 Г- 04 04 СО СО Ч С©~ О О О О О О
?1=Р13 1 00 О N Ч 00 00 о СО 00 ю ч L0 04 О г- LO СО 04 04 04 ~ ~ ОГ-ЧГ-ОГ- О 00 00 00 О 04 сн со со о оо ю 04* 04 04 oi1 ~ ^н00СО00Ч*Г- СТ) Щ СО 7"» •-* о LO г- со со* со" со сч сч
Номера заграждаемых гармоник 1 со’ со L0 LO Ю со со со со со 04 О1 04 04 04 04 2, 3, 4, 5,6, 7 2, 3, 4,5,6 2, 3, 4,5 2, 3, 4 2, 3 9 СО* СО L© ю’ ю со" со со со со оз" оз" сч" СЧ 04 04
та _S 0,0476 (КСВ—1,1) 0,0909 (КСВ=1.2) 0,2 (КСВ=1,5)
335
336
n=15 -
T а б л иц a dO.2a
11 'макс Номера заграждаемых гармоник Волновые сопротивления, отн. ед. Затухание на скате характе- ристики, Ъ, дб Затухание на гармониках, дб
pl—Р1В Рг—Рп Ре—Р1 в Р< —Р12 Р5 = Р11 Р«=Р10 Р?—Рв Рв =^-18п 83 = =1.20г bl Ь, bt ъ. bl
J2, 3, 4, 5, 6 2,269 0,285 4,579 0,227 4,974 0,219 5,06 0,22 23,5 45,8 126,6 166,2 177,4 166,2 126,7
0,0476 2, 3, 4, 5 2,021 0,331 3,959 0,261 4,306 0.251 4,376 0,250 23,0 44,9 122,8 155,9 155,9 122,8
(КСВ=1,1) 2, 3, 4 1 Г791 0,396 3,344 0,308 3,671 0,295 3,745 0,292 22,1 43,5 116,5 138,7 116,5
2, 3 1,563 0,487 2,717 0,376 3,015 0,360 3,080 0,357 20,7 41,2 105,5 105,5
2 1 ,353 0,630 2,068 0,490 2,335 0,463 2,397 0,458 17,8 36,6 82,1
2, 3, 4, 5, 6 2,694 0,277 4,957 0,232 5.276 0,225 5,34 0,225 29,2 51,4 132,3 171,8 183,0 171,8 132,3
0,0909 (КСВ=1,2) 2, 3, 4, 5 2,387 0,321 4,282 0,266 4,581 0,259 4,637 0,258 28,6 50,5 1'28,4 161 ,5 161,5 128,4
2, 3, 4 2,091 0,382 3,636 0,314 3,901 0,305 3,966 0,302 27,7 49,2 122,1 144,3 122,1
2, 3 1,805 0,469 2,967 0,383 3,207 0,370 3,257 0,368 26,3 46,8 111,1' 111,1
2 1,531 0,608 2,244 0,495 2,493 0,475 2,541 0,471 23.4 42,19 87,7
2, 3, 4, 5, 6 3,564 0,287 5,747 0,254 5,989 0,249 6,0 0,25 36,1 58,3 139,2 178,8 190,0 178,8 139,2
0,2 (КСВ=1,5) 2, 3, 4, 5 3,126 0,330 5,001 0,291 5,204 0,286 5,247 0,285 35,6 57,5 135,3 168,5 168,5 135,3
2, 3, 4 2,731 0,392 4,225 0,343 4,433 0,336 4,476 0,335 34,7 56,1 129,1 151,1 129,1
2, 3 2,318 0,481 3,468 0,417 3,650 0,408 3,687 0,407 33,2 53,8 118,1 118,1
2 1,920 0,622 2,679 0,537 2,847 0,523 2,882 0,520 30,4 49,2 94,7
п=17
Номера Волновые сопротивления, отн. ед. Затухание на скате характеристики, Ь, дб Затухание на гармони- ках, дб
1Г1 макс заграждае- мых гармо- ник Pl—Р17 Рг=Р1« Рз—pis Рв—Р14 Ps —Р13 Рз=Р» Р»=Р11 pg—Р10 Р> e3=i.ien е=1,2оеп ь, Ь, ь* 1 ОС . А
0,0476 (КСВ=1,1) 2, 3, 4 2. 3 2 1,792 1 ,566 1,355 0,394 0,485 0,627 3,364 2,728 2,078 0,306 0,375 0,487 3,692 3,029 2,348 0,293 0,358 0,460 3,771 3,101 2,416 0,290 0,353 0,453 3,792 3,117 2,431 29,4 27,7 24,4 53,6 51,0 45,7 136,4 123,9 97,4 161,5 123,9 100,4 1 ЛО Л
0,0909 (КСВ=1,2) 2, 3, 4 22'3 2,091 1,808 1,533 0,379 0,468 0,607 3,645 2,975 2,282 0,312 0,382 I 0,493 3,922 3,218 2,503 0,303 0,369 0,473 3,977 3,274 2,556 0,301 0,365 0,468 4,007 3,286 2,567 35,0 33,3 30,1 59,3 56,6 51,4 142,0 129,5 103,0 167,1 129,5 14Z ,U 1 ло Л
0,2 (КСВ=1,5) 2, 3, 4 2, 3 2 2,734 2.321 1,923 0,391 0,480 0,621 4,240 3,474 2,684 0,342 0.416 0.535 4,438 3,658 2,854 0,335 0,407 0,521 4,487 3,699 2,893 0.333 0,405 0,517 4,49 3,707 2,901 42,0 40,3 37,0 66,2 63,6 58,3 149,0 136,5 110,0 174,1 136,5 14 У, v
Таблица 10:2а
п = 19 ___ -——•
1г1 макс Номера заграждае- мых гармо- ник Волновые сопротивления, оти. ед. Затухание на скате характе- ристнкн, Ь. дб Затухание на гармони- ках, дб
Р1 — Рю Рг — Pi 8 рз —Р17 Р4 — Р18 Ps—Pis Рв— Р14 р7 —Р13 р8—р12 ре—Р11 Рю 8з~= ' 8з^ -28п ь2 Ьз Ь, 1 £А 9
0,0476 (КСВ=1 ,1) 2, 3, 4 11,793 2, 3 1,569 2 1.357 0,392 0,484 0,626 3,374 2,735 2,085 0,306 0,374 0,485 3,691 3,039 2,357 0,293 0,356 0,458 3,784 3,113 2,428 0,289 0,352 0,451 3,807 3,136 2,449 0,288 0,351 0,449 36,7 34,8 31,1 63,8 60,8 54,9 156,2 142,2 112,6 1о4,о 142,2 1 ОО, 1А1 Я
0,0909 (КСВ=1,2) 2, 3, 4 2, 3 2 2,094 1 ,810 1,535 0,380 0,467 0,605 3,645 2,981 2,287 0,312 0,381 0,492 3,943 3,225 2,510 0,303 0,368 0,472 4,014 3,283 2,565 I0,299 0,364 |0,466 3,999 3,301 2,581 0,298 0,364 0,465 42,3 40,4 36,8 69,4 66,4 60,6 101,0 105,5 147,9 147,9 118,31 101,0 1АЯ Я
0,2 £ (КСВ=1,5) 2, 3, 4 2, 3 2 2,727 2,323 1,025 0,390 0,479 0,620 4.236 | 0,342 3,478 0,416 2,688 | 0,534 4,445 3,663 2,859 0,334 0,406 0,520 4,497 3,706 2,899 0,333 0,404 0,516 4,511 3,718 2,911 0,332 0,404 0,515 49,3 47 ,4 43,7 76,4 73,4 67,3 100,0 154,8 125,2 154,8 1UO, о
SS
CO
n= 13
Таблица 10.26
ПАРАМЕТРЫ ФИЛЬТРОВ ГАРМОНИК С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
^Г'макс Номера заграж- даемых гармоник Волновые сопротивления, отн. ед. Затухание на гармониках, дб
Pl~P1S Р»=Р1 г Рз—ptl p.=pio Ps=P. Р«=Р« Р» bi bi bt b, b, b,
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,055 0,723 2,170 . 0,321 3,832 0,235 4,410 45,2 78,9 93,4 93,4 78,9 45; 2
2, 3, 4, 5, 6 1,035 0,792 1,870 0,372 3,353 0,267 3,884 43,3 73,5 82,5 73,5 43,3
0,05 2, 3, 4, 5 1,020 0,860 1,590 0,443 2,860 0,310 3.350 40,5 65,4 65,4 40,5
2, 3, 4 1,009 0,921 1,347 0,545 2,350 0,372 2,802 36,0 52,3 36,0
• 2, 3 1,003 0,966 1,160 0,693 1,822 0,472 2,224 28,3 28,3
2 1,001 0,991 1,047 0,870 1,323 0,666 1,517 13,3
2, 3, 4, 5. 6, 7 1,068 0,689 2,329 0,301 4,076 0,221 4,676 51,3 84,9 99,5 99,5 84,9 51,3
2, 3, 4, 5, 6 1,044 0,760 2,007 0,347 3,576 0,251 4,127 49,4 79,6 88,5 79,6 49,4
0,1 2, 3, 4, 5 1,026 0,833 1,702 0,410 3,065 0,290 3,572 46,5 71,5 71,5 46,5
2, 3, 4 1,013 0,901 1,430 0,503 2,538 0,346 3,003 42,1 58,3 42,1
2, 3 1,005 0,954 1,212 0,641 1,990 0,434 2,412 34,4 34,4
2 1,001 0,986 1,070 0,822 1,452 0,597 1,764 19,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,082 0,654 2,501 0,281 4,336 ’0,208 4,962 57,4 91.1 105,6 105,6 91,1 57,4
2, 3, 4, 5, 6 1,055 0,726 2,158 0,323 3,813 0,236 4,386 55,5 85,7 94,7 85,7 55,5
0,2 2, 3, 4, 5 1,033 0,802 1,827 0,381 3,282 0,272 3,806 52,7 77,6 77,6 52,7
2, 3, 4 1,017 0,877 1,525 0,465 2,735 Q,323 3,215 48,2 64,5 48,2
2, 3 1,007 0,939 1,275 0,591 2,168 0,401 2,607 40,5 40,5
2 1,002 0,980 1,102 0,769 1,597 0,539 1,950 25,3
Таблица 10.26
п = 14
lf| * макс, Номера заграждаемых гармоник Волновые сопротивления, отн. ед. 1 Затухание на гармониках, дб
1 Pl=‘ Р14 Ps=pL 1 Р‘=^ 1 Р-=Т 1 р’=т bi bi bt bi ь, ь,
0,05 2, 3,' 4, 5, 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4 .2. 3 2 1,045 1,028 *1,015 1,007 1,002 1,001 0,756 0,822 0,885 0,938 0,975 0,994 2,035 1,757 1,502 1,286 1,126 1,035 0,339 0,393 0,469 0,578 0,728 0,893 3,707 3,237 2,754 2,254 1,743 1,283 0,238 0,270 0,314 0,378 0,481 0,675 4,459 3,930 3,393 2,842 2,263 1.618, 50,7 48,7 45,6 40,8 32,5 16,2 87,0 81,2 72,4 58,3 32,5 102,6 90,8 72,4 J0.8 102,6 81,2 45,6 87,0 48,7 50,7
0,1 2, 3, 4. 5, 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4 2, 3 2 1,054 1,035 1,020 1,009 1,003 1,001 0,725 0,794 0,861 0,921 0,966 0,991 2,173 1,874 1,596 1,353 1,166 1,052 0,318 0,367 0,437 0,537 0,680 0,853 3,928 3,440 2,941 2,424 1,892 1,389 0,225 0,255 0,296 0,354 0,444 0,612 4,710 4,159 3,600 3,030 2,438 1,793 56,8 54/7 51,7 46,8 38,6 22~2 93,0 87,2 78,5 64,3 38,6 108,6 96,8 78,5 46,8 108,6 87,2 51,7 93,0 54,7 56,8
0,2 2, 3, 4, 5, 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4 2, 3 2 1,065 1,043 1,025 1,012 1,005 1,001 0,693 0,763 0,835 0,902 0,955 0,986 2,323 2,003 1,701 1,431 1,215 1,075 0,298 0,344 0,407 0,498 0,632 0,808 4,162 3,655 3,137 2,603 2,052 1,512 0,213 0,241 0,278 0,331 0,412 0,556 4,974 4,399 3,818 3,226 2,618 1,969 62.9 60,9 57,8 53 44,7 28,3 99,2 93,4 84,6 70,5 44,7 114,8 103,0 84,6 53,0 114,8 93,4 57,8 99,2 60,9 62,9
Таблица 10.26
п = 15
'Г|макс Номера заграждаемых гармоник Волновые сопротивления, отн. едч Затухание на гармониках, дб
Р1“Р15 Ра— Р14 Рз—Р1 3 Р'4-' Р12 ps=pll Р« = Р10 р7 = Рв Ра ь2 Ьз 4» Ъ. bt
0,05 2, 3, 4, 5, 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4 2, 3 2 0,965 0,979 0,989 0,995 0,998 1,000 1,271 1,179 1,105 1,051 1,019 1,004 0,523 0,604 0,702 0,811 0,910 0,975 2,801 2,406 2,012 1,634 1,311 1,095 0,280 0,321 0,379 0,465 0,602 0,806 4,122 3,621 3,109 2,579 2,019 1,444 0,225 0,255 0,295 0,353 0,443 0,616 4,550 4,030 3,477 2,922 2,340 1,691 56,2 54,0 50,7 45,6 36,7 19,1 95,0 88,8 79,5 64,3 36,7 111,8 99,1 79,5 45,6 111,8 88,8 50,7 95 54 56,2
0,1 2, 3, 4, 5, 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4 2, 3 2 0,958 0,974 0,985 0,993 0,998 0,999 1,318 1,214 1,129 1,066 1,026 1,006 0,492 0,570 0,666 0,776 0,885 0,964 2,975 2,565 2,152 1,749 1,391 1,134 0,265 0,303 0,356 0,434 0,558 0,753 4,343 3,822 3,293 2,748 2,176 1,578 0,213 0,242 0,279 0,332 0,413 0,561 4.757 4,249 3,673 3,099 2,503 1,857 62,2 60.0 56,8 51,6 42,7 25,2 101,1 94,9 85,5 70,4 42,7 117,8 105,2 85,5 51,6 117,8 94,9 56,8 101,1 60,0 62,2
0,2 2, 3, 4, 5,- 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4 2, 3 2 0,950 0,968 0,982 0,991 0,997 0,999 1,370 1,254 1,157 1,084 1,035 1,010 0,462 0,536 0,629 0,740 0,857 0,949 3,158 2,733 2,301 1,875 1,483 1,185 0,251 0,286 0,335 0,405 0,517 0,699 4,578 4,036 3,486 2,924 2,338 1,723 0,203 0,229 0,264 0,313 0,386 .0,514 5,059 4,498 3,878 3,282 2,672 2,022 68,4 66,2 62,9 57,8 48,9 31,3 107,2 101,0 91,8 57,8 124,0 111,3 91,8 57,8 124,0 101,0 62,9 107,2 66,2 68,4
•’rtjififir'r*?* --air
&
Т а б л и
п= 16
'Г|макс Номера заграждаемых гармоник Волновые сопротивления, оти. ед. Затухание на гармониках, дб
1 Р‘=Рх. р,= pL 1 Рз==7“ Р14 1 Р‘=Р„ Ps==pL Р"“77 Р,= р.о 1 Р»=~ р» ь, Ь, Ь< bt b. b, .
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,029 0,814 1,802 0,377 3,432 0,249 4,403 0,215 61,7 103,1 121,0 121,0 103,1 61,7
2, 3, 4, 5, 6 1,017 0,872 1,565 0,440 2,983 0,284 3,882 0,246 59,3 96,5 107,5 96,5 59,3
2, 3, 4, 5 1,009 0,923 1,357 0,527 2,521 0,331 3,349 0,285 55,8 86,5 86,5 55,8
0,05 2, 3, 4 1,004 0,962 1,190 0,647 2,045 0,401 2,802 0,339 50,3 70,3 50,3
2, 3 1,001 0,986 1,077 0,796 1,578 0,514 2,226 0,422 40,9 40,9
2 1,000 0,997 1,019 0,932 1,199 0,716 1,599 0,580 22,1
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,035 0,789 1,907 0,356 3,616 0,237 4,617 0,203 67,7 109,2 127,0 127,0 109,2 67,7
2, 3, 4, 5, 6 1,021 0,851 1,651 0,414 3,153 0,270 4,076 0,233 65,4 102,5 113,5 102,5 65,4
2, 3, 4, 5 1,011 0,907 1,422 0,495 2,677 0,314 3,529 0,271 61,9 92,6 92,6 61,9
2, 3, 4 1,005 0,952 1,234 0,608 2,185 0,377 2,964 0,321 56,4 76,4 56,4
2, 3 1,002 0,982 1,100 0,757 1,693 0,479 2,378 0,397 46,9 46,9
2 1,000 0,996 1,027 0,906 1,270 0,661 1,745 0,533 28,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,042 0,763 2,021 0,336 3,809 0,226 4,867 0,203 73,9 115,3 133,2 133,2 115,3 73,9
2, 3, 4, 5, 6 1,026 0,828 1,747 0,390 3,331 0,256 4,284 0,222 71,5 108,7 119,7 108,7 71,5
2, 3, 4, 5 1,014 0,889 1,496 0,464 2,840 0,297 3,717 0,258 68,0 98,7 98,7 68,0
0,2 2, 3, 4 1,006 0,940 1,285 0,571 2,334 0,355 3,135 0,304 62,5 82,5 62,5
2, 3 1,002 0,975 1,129 0,716 1,819 0,447 2,534 0,373 53,1 53,1
2 1,000 0,994 1,039 0,876 1,354 0,609 1,894 0,492 34,4
Таблица 10.26
п = 17
(Г) 'макс Номера заграждае- мых гармоник Волновые сопротивления, отн. ед. Затухание иа гармониках, дб
Р1=Р17 Pi=Pi« Рз=Р1» Р4=Р1< Ps-= Pia Р«=Р1» pj—pll Р«=Р10 Р» ь. Ъ, ь. 6. 6. ь,
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,023 0,839 1,703 0,398 3,292 0,256 4,333 0,218 67,2 111,2 130,2 130,2 111,2 67,2
2, 3, 4, 5, 6 1,013 0,892 1,486 0,466 2,854 0,293 3,814 0,246 4,124 64,6 104,1 115,8 104,1 64,6
0 05 2, 3, 4, 5 1,007 0,937 1,299 0,559 2,402 0,342 3,288 0,285 3,573 60,9 93,5 93,5 60,9
2, 3, 4 1,003 0,971 1,154 0,683 1,940 0,416 2,747 0,339 3,015 55,1 76,3 55,1
2, 3 1,001 0,990 1,059 0,828 1,499 0,536 2,175 0,423 2,427 45,0 45,0
2 1,000 0,998 1,013 0,947 1,162 0,743 1,560 0,580 1,783 25,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,028 0,817 1,795 0,377 3,460 0,245 4,530 ;0,203 73,2 117,2 136,2 136,2 117,2 73,2
2, 3, 4, 5, 6 1,017 0,874 1,560 0,439 3,010 0,279 4,001 0,237 4,439 70,7 110,2 121.9 110,2 70,7
0,1 2, 3, 4, 5 1,009 0,924 1,354 0,526 2,545 0,325 3,456 0,272 3,788 67,0 99,6 99,6 67,0
2, 3, 4 1,004 0,963 1,189 0,645 2,068 0,392 2,899 0,322 3,171 61,2 82,4 61,2
2, 3 1,001 0,987 1,077 0,793 1,600 0,501 2,317 0,399 2,572 51,1 51,1
2 1,000 0,977 1,019 0,927 1,219 0,692 1,691 0,536 1,928 31,2
2, 3. 4, 5, 6, 7 1,034 0,794 1,894 0,356 3,637 0,233 4,739 0,197 4,971 79,4 123,4 142,4 142,4 123,4 79,4
2, 3, 4, 5, 6 1,020 0,854 1,641 0,415 3,173 0,265 4,194 0,226 4,590 76,9 116,3 128,0 116,3 76,9
П 0 2, 3, 4, 5 1,011 0,909 1.416 0,495 2,695 0,308 3,630 0,259 3,962 73,1 105,7 105,7 73,1
u,z 2, 3, 4 1,005 0,953 1,230 0,608 2,203 0,370 3,056 0,306 3,334 67,3 88,5 67,3
2, 3 1,002 0,982 1,099 0,755 1,711 0,468 2,463 0,376 2,722 57,3 57,3
2 1,000 0,996 1,028 0,903 1,288 0,642 С 829 0.497 2,073 37,4
Оба-JS*;....
’ 343-
п== 18 Таблица 10.26
'Г'макс Номера за- граждаемых гармоник Волновые сопротивления, отн. ед. Зату- хание на скате харак- терис- тики Ь, дб Затухание на гармониках, дб
1 Р1=~ Р18 1 р,= Рп Ps=pL Р‘=КГ p,= pL р>=т; р’=77 р>=тЬ р’= L ь, Ь, Ь, Ь. ь,
в3=1.звп
2,3, 4, 5, 6, 7 1,019 0,861 1,615 0,420 3,153 0,265 12,7 72,6 119,2 139,3 139,3 119,2 72,6
2, 3. 4, 5, 6 1,011 0,910 1,417 0,493 2,726 0,303 3,736 0,250 12,2 70,0 111,8 124,2 111,8 70,0
2. 3, 4, 5 1,005 0,949 1,250 0,591 2,285 0,355 3,214 0,288 3,583 и,з 66,1 100,6 100,6 66,1
0,05 2, 3,4 1.002 0,977 1,124 0.717 1,839 0,433 2,678 0,343 3,033 9,95 59,9 82,4 59,9
2,3 1,001 0,993 1,045 0,856 1.427 0,562 2,111 0,428 2,450 7,65 49,2 49,2
2 1,000 0,999 1,010 0,959 1,130 0,772 1,509 0,588 1,808 3,25 28,2
2,3,4, 5, 6,7 1.023 0,842 1,695 0,398 3,309 0,253 18,8 78,7 125,3 145,4 145,4 125,3 78,7
2,3, 4,5,6 1,013 0,894 1,480 0,466 2,869 0,289 3,904 0,238 18,3 76,0 117,8 130,2 117,8 76,0
2, 3,4, 5 1,006 0,939 1,295 0,559 2,417 0,33? 3,370 0,276 3,842 17,4 72,1 106,6 106,6 72,1
0,1 2, 3,4 1.003 0,971 1,152 0,682 1,955 0,409 2,820 0,326 3,180 16,0 65.9 88,4 65,9
2,3 1,001 0,990 1,059 0,826 1,514 0,526 2,243 0,404 2,586 13,7 55,3 55,3
2 1,000 0,998 1,014 0,944 1,176 0,724 1,628 0,545 1,944 9,3 34,2
2, 3, 4, 5, 6. 7 1,027 0,822 1,781 0,378 3,471 0,242 4,596 25,0 84,8 131,5 151,5 151,5 131,5 84,8
2,3, 4, 5. 6 1,016 0,877 1,550 0,441 3,020 0.276 4,093 0,233 5,279 24,4 82,2 124 136,4 124,0 82,2
2, 3, 4, 5 1,008 0,926 1,347 0,528 2,255 0,321 3,534 0,264 4,113 23,5 78,3 112,8 112,8 78,3
u,z 2,3,4 1,003 0,964 1,185 0,646 2,077 0,387 2,967 0,311 3,332 22,2 72,1 94,6 72,1
2.3 1,001 0,987 1,076 0,792 1,610 0,493 2,380 0,383 2,724 19,9 61,4 61,4
2 1,000 0,997 1,020 0,925 1,231 0,677 1,754 0,508 2,080 15,6 40,4
Таблица 10.26
п = 19
|Г,макс Номера заг- раждаемых i гармоник Волновые сопротивления, отн. ед. Затухание на скате ха рактерист. Затухание на гармониках, дб
Р1—Р1» Р2—Р1« Ра—Ри Ра—Pie Pft —P1S Ре—Ри Р7—Р1 Ра—:Рн Ра—Pi Рю е3=1,зеп ь, Ь, 6. Ь, ь. ъ,
2, 3, 4, 5, 6, 7 0,985 1,135 0.651 2,254 0,331 3,653 0,241 15,0 . 78,1 127,3 148,5 148,5 127,3 78,1
2, 3, 4, 5, 6 0,992 1,081 0,737 1,920 0,384 3.190 0,275 14,3 75,3 119,4 132,5 119,4 75,3
0,05 2, 3, 4, 5 0,996 1,042 0,828 1,604 0,460 2,712 0,319 3,419 13,4 71,2 107,6 107,6 71,2
2, 3, 4 0,999 1,018 0,910 1,332 0,573 2,212 0,385 2,872 0,329 3,072 12,0 64,6 88,4 64,6
2, 3 0,9996 1,005 0,967 1,135 0,735 1,698 0,491 2,295 0,409 2,496 9,5 53,4 53,4
2 0,9999 а 1,001 0,993 1,032 0,956 1,248 0,687 1,662 0,554 1,855 4,9 31,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 0,982 1,157 0,623 2,372 0,316 3,812 0,230 21,0 84,2 133,4 154,6 154,6 133,4 84,2
2, 3, 4, 5, 6 0,990 1,097 0,709 2,024 0,366 3,337 0,263 4,213 20,4 81,"4 125,5 138,6 125,5 81,4
0,1 2, 3, 4, 5 0,995 1,052 0,803 1,689 0,436 2,847 0,305 3,567 19,4 77,2 113,7 113,7 77,2
2, 3, 4 0,998 1,023 0,891 1,393 0,541 2,338 0,366 3,010 0,314 3,204 18,0 70,7 94,4 70,7
2, 3 0,9995 1,007 0,957 1,170 0,696 1,807 0,462 2,423 0,389 2,630 15,6 59,5 59,5
2 0,9999 1,001 0,990 1,044 0,878 1,320 0,641 1,787 0,517 1,984 10,9 37,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 0,979 1,182 0,595 2,491 0,302 3,981 0,223 27,2 90,3 139,5 160,7 160,7 139,5 90,3
2, 3, 4, 5, 6 0,988 1,114 0,680 2,135 0,348 3,491 0,253 4,545 26,5 87,5 131,7 144,7 131,7 87,5
0,2 2, 3, 4, 5 0,994 1,063 0,776 1,782 0,413 2,989 0,292 3,762 0,273 5,611 25,6 83,4 119,8 119,8 83,4
2, 3, 4 0,997 1,029 0,871 1,462 0,511 2,468 0,348 3,154 0,301 3,416 24,2 76,9 100,6 76,9
2, 3 0,9993 1,010 0,945 1,211 0.658 1,924 0,436 2,555 0,370 2,775 21,7 65,6 65,6
2 0,9999 1,002 0,986 1,061 0,845 1,403 0,597 1,913 0,485 2,113 17,1 43,4
.„..ад
п = 20
Таблица 10.26
'г'макс Номера заграждаемых гармоник Волновые сопротивления^ оти. ед. Затухание на скате характер. Затухание на гармониках, дб
Р1-р2о 1 Р»'-=п Pte Ps==pL p‘=pL ps=PL Р,=р'ю P,=p'u P1=pL £ рю” Ри е3=‘.2еп Ъ, Ъ, bt Ъ, Ъ, ь,
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,012 0,899 1,467 0,468 2,888 0,283 4,035 17,1 83,6 135,4 157,7 157,7 135,4 83,6
2, 3, 4, 5, 6 1,007 0,938 1,304 0,550 2,480 0,325 3,546 16,4 80,6 127,1 140,9 127,1 80,6
2, 3, 4, 5 1,003 0,967 1,172 0,656 2,063 0,384 3,038 0,295 15,5 76,3 114,6 114,6 76,3
0,05 2, 3, 4 1,001 0,987 1,079 0,783 1,655 0,473 2,517 0,356 3,028 0,331 14,0 69,4 94,4 69,4
2, 3 1,000 0,996 1,026 0,903 1,303 0,619 1,961 0,446 2,425 0,399 11,4 57,6 57,6
2 1,000 0,999 1,005 0,977 1,081 0,830 1,399 0,620 1,786 0,534 6,5 34,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,015 0,884 1,528 0,446 3,021 0,272 4,212 23,2 89,6 141,4 163,8 163,8 141,4 89,6
2, 3, 4, 5, 6 1,008 0,927 1,350 0,523 2,603 0,311 3,680 22,5 86,7 133,2 146,9 133,2 86,7
2, 3, 4, 5 1,004 0,960 1,204 0,625 2,175 0,366 3,176 0,286 21,5 82,3 120,7 120,7 82,3
и, 1 2, 3, 4 1,001 0,983 1,097 0,752 1,748 0,448 2,641 0,339 3,083 0,286 20,0 75,5 100,5 75,5
2, 3 1,000 0,995 1,034 0,881 1,366 0,583 2,077 0,424 2,546 0,379 17,4 63,6 63,6
2 1,000 0,999 1,007 0,968 1,109 0,791 1,493 0,578 1,905 0,501 12,6 40,2
2, 3, 4, 5, 6, 7 1,017 0,868 1,594 0,424 3,160 0,261 4,355 29,3 95,8 147,6 169,9 169,9 147,6 95,8
2, 3, 4, 5, 6 1,010 0,915 1,401 0,497 2,731 0,298 3,854 0,246 28,7 92,9 139,3 153,1 139,3 92,9
Л 0 2, 3, 4, 5 1,005 0,952 1,239 0,595 2,291 0,349 3,320 0,277 27,7 88,5 126,8 126,8 88,5
2, 3, 4 1,002 0,979 1,119 0,720 1,848 0,425 2,771 0,325 3,247 0,279 26,2 81,6 106,6 81,6
2, 3 1,000 0,993 1,044 0,856 1,438 0,549 2,199 0,403 2,693 0,370 23,6 69,8 69,8
& 2 1,000 0,999 1,010 0,957 1,143 0,749 1,596 0,541 2,029 0,473 18,7 46,4
Таблица 16.26
Затухание иа гармониках, дб -о 89,1 95,1 1 1 101,3
Л 143,5 86,0 149,5 92,0 155,7 98,2
J? 166,9 134,8 81,4 172,9 140,8 87,5 179,1 147,0 93,6
Л О) CN N (N <© o>* —<* M«* CD Cl t> СП со ь- СМ 1© ь-T о ь- со СМ 00 —' СТ» стГ —Г со* со Ь- СО со оо
А 1D OO b- CO CO тТ —« О M* CO CM О C© 1D ю ь- 1D со СТ) О* Ь-* С©* < тг ем о с© ь. О Ст) со о L© ь- СО СМ чг 1© м* со —' ь-
4? —* о см оо ем CT) <© —* M«* r- 00 00 00 N CO CO —* О 1© см оо см 1© см*-ь-* о* Ь-* СО* Ст) СТ) СО СО CD м* СО см со ЧГ о О 00 СО СО ХГ ст» . СТ) О 00 N V
Юниона •Mxadex 9i№ ен эииехЛхве СЧ еоф Ф CO CO c© »© CT) co —' O) CO N ID . CO CO « со с© о со см 1© rf СО СМ СТ) м* СМ СМ СМ СМ —’ —' 1© 00 00 см ю со —' о* СТ» 00 ю* о со со см см ем см
Волновые сопротивления, отн. ед. Рп 2,582 1,918^ 2,692 2,025 3,658 2,813 2,137
it 0,400 0,535 s s СО L© о* о* “ 8 К СМЛ со^ о о* о*
it • 2,390 1,751 1 2,504 1,864 3,180 2,617 1,980
it е 0,364 0,459 0,641 1© О» С© О СТ) СО о СМ СО М* СО о о о о СМ СО 00 со 00 СО —< С© CM- СО rf 1© о о о о*
it •—< CO O> -и «—< CM ID rf CO Л Tf CT) M* CT) M* 00 CO CO co CM CM —• —* CO(Nb-CT)Ob- —< СТ) b- М* СТ) см «—• 1© о 1© СТ) м* rf«* со* со* см* —<* —* Ь- 00 Ь- ОО СО СТ) с© с© о С© О —' СМ^ Ь- СМ С© •—« 1© со со см см*
it в 00 О с© CT> b- CT) CO О CT) i© CM co Tf CD CO о* о* о о о о см см о см со см со ь- - сч CM СО СО CD СО о о о* о о о* — 1© ь- О ь- -м С© ’d* 00 СО СМ со СО 1© ь~ о о* о* о о’ о*
it <£ СМ М* О CM CM CM co co co S 1D CD b- CD CT) ID СМ О см* см —«* ^-<* —Г —Г CD СО CM ID со 00 Ь- С© 1© О 00 оо м* с с© со с> см см* см* —* —* —* L© СО О 1D S —|СТ)Ь-’Ч?С©—. О 1© —< Ь- СО —' СО СМ СМ —' -и -**
Pi—Pie CO Ст) 00 CM CM co CT) b- CO cm 00 1© CO 00 Ст> CT> о о о о о о О СМ 00 со со г-1©1© 00 0 г- 1© С© Ь- СТ) СТ) о* о о о* о с>* 00 С© СТ) 1© СМ 00 М4 СМ СМ 1© оо С© тг 1© С© Г— 00 СТ) о о о о о* о*
it « с© 00 СМ СО О со О I© *г <© СМ О СМ —' о о о СТ» Ь- 00 00 С© i© t© СТ) со Ь- ом о м* см —< о о о "Н "Н "Н С© -< СО 1D CD Ь- М* СТ) ст» со о Ю со —' о о о —м w _>< V—«
e> it & X О Ь- СТ) —< b. Ст) СТ» Ст) СТ) СТ) СТ) СТ) СТ» СТ) о о о о* о* о* —< СТ) 00 Ь. с© Ст) О СО С© 00 ст> ст> СТ) СТ) СТ) СТ) СТ) СТ) о о о* о* о о* см b- СТ) CM rf 1© Ст) 00 СМ С© 00 СТ) Ст) 00 СТ) СТ) СТ» СТ» СТ) о о о о о о*
1,010 1,005 1,002 1,001 1,000 1,000 1 1,012 1,006 1,003 1,001 1,000 1,000 1,014 1,008 1,004 1,001 1,000 1,000
Номера заграждаемых гармоник 2,3,4,5, 6, 7 2, 3, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2,3,4 2,3 2 2, 3,4,5,6, 7 2,3, 4,5, 6 2,3, 4,5 2,3,4 2.3 2 2,3, 4, 5,6,7 2,3,4,5, 6 2. 3, 4. 5 2.3,4 2,3 2
св __Ж 0,05 о 0,2
346
гармоник вышеуказанные таблицы позволяют определить волно-
вые сопротивления рт ступенек фильтра, затухания на скате ха-
рактеристики на частотах, соответствующих 9з=1,10п, 0з=|1,20п>
затухания на гармониках bj. Для числа звеньев n=3-j-ll имеются
таблицы в [7]. Там же даны материалы по ступенчатым фильтрам,
с максимально плоской характеристикой. В приведенных таблицах
все величины волновых сопротивлений могут быть заменены на-
обратные I—) ; целесообразность такого преобразования опреде-
' Рт/
ляется конструктивными соображениями.
Пример. Рассчитать ступенчатый фильтр гармоник с чебышевской ха-
рактеристикой, имеющий следующие .параметры:
ксв в полосе пропускания не ниже 1,25. Затухание в полосе второй и треть-
ей гармоник не ниже 60 дб.
1. По таблице [7, стр. 299] находим, что указанные выше требования выпол-
няются при S=0,6 |Г|макс=0,1 ,и п=11. При этом необходимы следующие;
нормированные волновые сопротивления ступенек:
Р1 = Рп = 0,554,
Ps = Рю = 2.055,
Рз = Pg = 0,345,
Р* = Рв = 2,497,
Рз = р? — 0,321,
Рз = 2,558.
. 2. Первый вариант реализации коаксиальный. Волновое сопротивление под-
водящих линий принимаем равным /?=50 ом. Тогда абсолютные значения вол-
новых сопротивлений ступенек коаксиальной линии будут равны:
'Pi = Pii = 0,554-50 = 27,7 ом, = Ре = 124,85 ом,
р2 = р10 = 102,7 ом, р5 = р7 = 16,05 ом,
Рз = Ре = 17,25 ом, рз = 127,9 ом.
Геометрические размеры ступеней внутреннего проводника коаксиального,
фильтра определяются из соотношения
j ро
«т —
, . Pm
ant ’едзв
Отсюда следует;
Ф = Фх = Ю, 1 мм,
d2 = Фо = 2,9 мм,
d3 = d3 = 12,03 мм,
dt' = ds— 1,98 мм,
dg = di = 12,25 мм,
dg— 1,9 мм.
п sin 0П1 , I
Длину одной ступени' находим из условия -----------------= 1, откуда —=-
S Xni
1 „ 1
= — arc sin S=—— arc sin 0,6=0,102.
2n 2л
347’
Для компенсации паразитных емкостей (возникающих вследствие дифрак-
ционных явлений на стыках ступенек) рекомендуется укоротить длину ступеней
на 10-j-15%.
3. В полосковом варианте фильтра используются значения волновых сопро-
тивлений, найденные в п. 2. Связь между волновым сопротивлением и геомет-
рическими размерами симметричной полосковой линии дается в [19]. Пользуясь
графиками этой работы (стр. 220), находим ширину внутреннего проводника
симметричной линии, в которой расстояние между экранами 6 = 4 мм, t/b=O,01
и ег=2,5:
а»! = тц = 6,88 мм, а»2 — а>10 = 0,6 мм, w3 = w9 = 12,2 мм,
wt = а»8 = 0.36 мм, а»5 = w-г = 13 мм, ш3 = 0,32мм.
Длина ступеньки в полосковом варианте с диэлектрическим заполнением
меньше в У ег раз, чем в коаксиальном.
4. В волноводном варианте отношение волновых сопротивлений ступенек
равно отношению высоты, ступенек
Ьт
Рт — ,
Ь0
где 60— высота волновода на входе и выходе фильтра, принимаем ее равной
10 мм;
Ьт — высота волновода в области т-ой ступеньки.
Рис. 10.8
Ширина волновода равна 72 мм. Используя значение приведенных волно-
вых сопротивлений ступенек (п. 1), находим высоту волновода каждой сту-
пеньки:
61= 6ц = 5,54 мм,
b9 6j q =— 20,55 мм,
63 = 69 = 3,45 мм,
bt = Ьа = 24,97 мм,
Ь3 = bj = 3,21 мм,
бе = 25,58 мм.
Эскизы рассчитанных фильтров даны на рис. 10.8а (коаксиаль-
ный)^ рис. 10.86 (волноводный).
348
10.4. Фильтры на связанных линиях
Фильтры на связанных линиях применяются в полосковом
и печатном вариантах. Различают фильтр на развернутых резона-
торах (рис. 10.9а) и на свернутых (рис. 10.96) >). По другой тер-
минологии эти фильтры называются соответственно на параллель-
ных линиях и на встречных стержнях. Звено фильтра изображено
на рис. 10.10а, б; его можно рассматривать как отрезки связанных
линий, в которых плечи 2 и 3 короткозамкнуты (разомкнуты).
Рис. 10.9
Условимся, что в 1восьмиполюсном режиме (т. е. до замыкание
плеч 2 и 3) каждое звено имеет идеальную направленность. Ука-
занное условие существенно упрощает расчет фильтров и соответ-
Р.и|с. 10.10
ствует свойствам связанных линий (напомним, что при слабой;
связи линии обладают естественной направленностью, см. гл. 8).
*) На рисунках изображены внутренние проводники полосковых линий.
349'
1
Матрица звена, удовлетворяющего этим условиям, может быть
получена из общих соотношений гл. 8 и 5:
' + (cos ф + i p-sin ф)2 —(1 — r2sin2i|))‘
i2rsin0 [(I—r2sin2i])) + (С08Ф—ipsinip)2
1Л =
, (10.23)
нижние к
где -верхние знаки относятся к случаю кз плеч 2 и 3,
случаю хх плеч 2 и 3:
2л/
ф= — —электрическая длина звена на связанных
Л
Величины риг нормированы и связаны соотношением, выте-
кающим из идеальной направленности (см. гл. 8):
р2—г2 = 1.
линиях.
(10.24)
Матрица (10.23) имеет вид матрицы симметричного четырех-
полюсника и относится как к одинаковым линиям, так и неодина-
ковым; разница будет лишь в нормировке параметров риг (см.
гл. 8).
Вначале ограничимся рассмотрением звеньев из одинаковых
линий. Фильтр из таких звеньев сравниваем, позвенно, с прото-
типом — ступенчатым переходом (рис. 10.11). На рис. 10.12а и
10.126 даны амплитудные и фазовые характеристики коэффициен-
та передачи звена фильтра (сплошная линия) и прототипа (пунк-
тир) *).
Модули коэффициента передачи Гц сравниваемых звеньев бу-
дут равны друг другу, если
cos2 ф-ф-sin2 ф = j
2rmsinip ^Vqm
*) Фазовая характеристика прототипа на рис. 10.126 совпадает с характе-
ристикой фильтра при г->0.
350
где левая часть относится к фильтру, а правая к прототипу. Точ-
ное выполнение этого равенства невозможно; удовлетворимся его
/. л I 1 \ ~
выполнением лишь при средней частоте ф =—; —= — . 1огда
\ 2 Лз 4 /
из (10.25) получаем
1 ф rm __ И fa
2/m 2
откуда гт=У~Ят либо гт =-у=^и выбираем, исходя из
V Ят
ний конструктивной реализуемости,
(10.26)
соображе-
(10.27)
10.12
35»
Отсюда переходное затухание звена фильтра в восьмиполюс-
ном режиме (направленный ответвитель) на средней частоте по-
лосы пропускания составляет
Ст(дб) = 10 lg(l + <U (10.28)
где Ст(дб)—переходное затухание направленного ответвителя (в
восьмиполюсном режиме) на средней частоте полосы пропускания.
Величина qm известна из таблиц для прототипа. Фазовая ха-
рактеристика звена, как следует из (10.23), определяется выра-
жением
= Л. (10.29)
cos2 ф — P2m sin2 Ф 2
и, таким образом, зависит от гт. Зависимость это слабая; в ин-
тервале г=04-1, величина <рт мало отклоняется от прямой линии
(рис. 10.126). По этой причине можно аппроксимировать <рт пря-
мой линией
Ф^2ф-
(10.30)
в которой индекс т уже отсутствует; переменная <р становится
одинаковой для всех звеньев фильтра и ее можно принять в каче-
стве единой частотной переменной для фильтра на связанных ли-
ниях.
В ступенчатых переходах такой частотной переменной являет-
(. л \ л
ф = — 1 имеем <р=—.
Параметр 2ф, имеющий смысл электрической длины двух со-
седних звеньев, равен при этом л. Это трактуется как «полуволно-
вый резонанс» резонатора, состоящего из двух звеньев; каждое
из них в отдельности, как указывалось, не обладает резонансны-
ми свойствами, но система из двух звеньев уже является резона-
тором в смысле, указанном ранее.
Из (10.26), (10.30) следует, что матрица звена фильтра (10.23)
может быть приближенно записана в виде
1 rm if
.
2гт
1 Гт -if
2rm
(10.31)
что совпадает с матрицей ступенчатого фильтра (10.8). Из (10.31)
следует также, что частотная характеристика рабочего затухания
фильтра на связанных линиях является полиномом по переменной
cos (2ф —
cosy \ 2 / _ sin2ф
S ~ s s’
352
т. е. приближенная частотная характеристика фильтра на связан-
ных линиях совпадает с характеристикой ступенчатого фильтра и
сдвинута на л/2 вправо относительно характеристики ступенчатого
перехода рис. 10.13а (сплошная линия). Поскольку при сдвиге
характеристики фильт-
ра ее форма не изменяет-
ся, то при одинаковых аб-
солютных полосах пропут
скания, относительные
полосы пропускания Уп
фильтров будут в два ра-
за меньше, чем соответ-
ствующие полосы 1УП'Про-
тотипных переходов:
ГП=^-1УП. (10.32)
Действительно, если
б — абсолютная величи-
на полосы пропускания
ступенчатого перехода, то
относительная полоса пе-
рехода будет 1УП=—а
л/2
относительная полоса сту-
пенчатого фильтра, соот-
1/ б
ветственно Уп = —. Таким
л
образом, 1УП=2 Уп-
Это необходимо учитывать при выборе прототипа; ступенчатый
переход, используемый в качестве прототипа, следует заранее вы-
бирать с полосой пропускания, вдвое большей, чем требуемая от-
носительная полоса пропускания фильтра на связанных линиях.
Число резонаторов п фильтра на связанных линиях соответ-
ствует числу ступенек перехода и вычисляется на основе характе-
ристик прототипа с частотной переменной cos 0 = cos —^-1У^=
= sin — IF=sin — У, в результате получаем для чебышевской ха-
рактеристики
(10.33)
353
354
и максимально плоской характеристики
—Ц y-nriL , (10.34)
Sin(v3 -=-)
'g / л \
sin Ип — I
где У3 — относительная полоса заграждения фильтра; Уп — относи-
тельная полоса пропускания фильтра.
Отметим, что в дальней области полосы заграждения имеется
существенная разница между характеристиками рабочего затуха-
ния фильтра на связанных линиях и его ступенчатого прототипа
(рис. 10.135). Действительно, как было показано выше (рис. 10.12а),
частотные характеристики звеньев фильтра' имеют полюсы затуха-
ния при 2ф = 0, 2л, ..., 2пл. Частотные характеристики прототипа
sin 2М)
представляют полином и не имеют полюсов затухания при
конечных частотах; более того, в точках 2ф = 0, 2л... прототип име-
ет области пропускания. Эти различия, однако, не мешают ис-
пользованию прототипа, поскольку они сказываются в дальней
области, где поведение частотной характеристики фильтра оцени-
вается независимо от прототипа.
Заметим также, что паразитные полосы пропускания фильтров
на связанных линиях располагаются на частотах соответствую-
355
щих 2ф = 3л, 5л... (2к+1)л. Таким образом, .первая паразитная по-
лоса пропускания фильтра расположена на частоте втрое превы-
шающей рабочую частоту.
Как уже указывалось, приведенная выше методика расчета яв-
ляется приближенной; условия эквивалентности звеньев фильтра
и прототипа выполняются точно только на средней'частоте поло-
сы пропускания.
Возникает вопрос об оценке точности такого расчета. Выполнив
серию расчетов фильтров с помощью ступенчатого прототипа, мож-
но затем составить соответствующие матрицы звеньев фильтра и,
перемножив их, найти фактическую частотную характеристику
фильтра. Сравнение этой характеристики с характеристикой про-
тотипа и дает необходимую оценку. Указанные операции, выпол-
ненные на ЭВМ, дали серию кривых; некоторые из них приведены
на рис. 10.14а, б, в. Для удобства сравнения здесь кривые прото-
типа сдвинуты на
— по оси абсцисс.
2
На основании проведенного сравнения можно заключить, что
в полосе пропускания точность расчета достаточная и какой-либо
коррекции расчета не требуется. Эти же выводы относятся к по-
лосе заграждения, превышающей полосу пропускания вдвое, если
последняя ^20%. В более широкой области заграждения, как
уже указывалось, кривые фильтра и прототипа начинают расхо-
диться. Это расхождение не имеет, однако, существенного значе-
ния, поскольку затухание фильтра в области заграждения всегда
больше, чем у прототипа. Не следует, однако, злоупотреблять эти-
ми резервами, поскольку такой подход может привести к неэко-
номному выбору числа звеньев. В этой связи необходимо остано-
виться на методах, обеспечивающих правильный выбор числа
звеньев.
При полосах пропускания Уп^30% правильный выбор числа
резонаторов (п) требует введения в выражения (10.33) и (10.34)
новой частотной переменной взамен sin2t|). Известны различные
варианты такой переменной.
Так, например, в работе [12] рекомендуются функции т] =
_ cos4?_ и = 2(4?о—Т) . в работах [13з 14] применяется
yjsin ф | Фо
T]=ctgl|).
На рис. 10.15а, б дано графическое сравнение характеристик,
рассчитанных с помощью указанных частотных переменных. Ана-
лиз этих кривых позволяет заключить, что частотная переменная
2 f-ф„ — -ф) ,
11= -Дто.—iz хорошо аппроксимирует характеристику фильтра в
Фо
полосе заграждения и благодаря своему простому виду может
быть рекомендована для определения числа резонаторов п. Пере-
менная sin2\|) дает заниженное значение затухания в полосе заг-
раждения, следовательно, число звеньев, рассчитанное с помощью
этой переменной, будет завышенным; при полосах Уп<20% и
356
Чебышевская характеристика; п=6; Vn=O,W; /П„ше
Рис. 10.15
13—488
357
V3<40% это завышение незначительно. Переменная ctgif> может
быть применена при тех же ограничениях.
Заметим, что связь между ф и V = имеет вид:
/о
я я
Ф — —-----V— .
2 4 .
Пример. Рассчитать фильтр на связанных линиях с максимально плоской
характеристикой в соответствии со следующими условиями: полоса пропуска-
ния Иц=5%, полоса заграждения К>=.15%, допустимый коэффициент отраже-
ния в полосе пропускания |Г|макс=0,1 (6п^0,043); затухание в полосе за-
граждения 63=ЗО дб.
1. Число резонаторов фильтра определяем по ф-ле (10.34). При заданном
сочетании технических требований получаем п=5,28. Используя частотную пе-
ремеиную т]=—— и получаем п=5,241). Окончательно принимаем п=6.
По таблицам [19, стр. 475] находим перепады волновых сопротивлений сту-
пенек прототипного ступенчатого перехода: при п=6, |Г]макс=0,1 и Wa =
—2Vn=10% имеем:
71 = 7т = 4,569,
Чг — Чв — 55,526,
Чз~ 4s = 203,17,
74 = 279,43.
2. По найденным qm определяем переходные затухания звеньев на связан-
ных линиях с уравновешенной связью в режчиие идеального направленного от-
ветвителя:
Ст(дб)= 101g (1ф qm),
откуда
Cj =' С7 = 7,46 66,
С2 = С,= 17,52 66,
С3 = С5 = 23,10 66,
Ct = 24,48 дб.
; (Напомним, что Ст имеет смысл переходного затухания на средней частоте).
3. Выбираем симметричную полосковую линию. Связь между переходным
^затуханием и геометрическими размерами направленного ответвителя, выполнен-
ного иа симметричной полосковой линии, может быть найдена по методике
главы 8. При /?=50 и t]b=Q,4 получаем следующие величины:
'4) При широких полосах пропускания разница между числом резонаторов п,
• найденном двумя способами, увеличивается. Окончательно принимается п, опре-
соаф
деленное с помощью частотной переменной п = п—--------. где ni—число ре-
/ Isin-W .
зонаторов, найденное приближенно, при
2(ф-ф0)
Фо
.358
— = — = 0,377, — = — =0,139;
b b bb
»L = 0,553, A_ = A_ = 0,407;
b b bb
J^ = JA=o,574, *_ = A- = 0,602;
b b b b
~ =0,576, A-= 0,651.
b b
10.5. Фильтры на связанных линиях с трансформирующими
звеньями на входе и выходе
В фильтрах на связанных линиях с широкой полосой про-
пускания для обеспечения необходимых сильных связей требуются
малые расстояния между полосковыми линиями; реализация этих
зазоров с необходимой точностью затруднительна.
Из теории связанных полосковых линий известно, что при уве-
личении нагрузочных сопротивлений R (например, 75 ом вместо
50 ом) одинаковых связанных линий (при неизменном переходном
затухании между ними) расстояние s между полосками также
увеличивается. В этом легко убедиться, сравнивая величину з для
линий с /?=50 ом и 75 ом по таблицам, приведенным в [19]; вели-
чина t/b должна быть при этом одинаковой. Указанное свойство
связанных линий можно использовать с целью увеличения расстоя-
ния между полосками в звеньях фильтра, что во многих случаях
определяет конструктивную реализуемость системы.
Положим, что внутренние звенья фильтра рассчитаны на вы-
сокие нагрузочные сопротивления; это обеспечит их хорошие кон-
структивные параметры. Крайние звенья будут выполнять роль
трансформирующих; в их задачу входит преобразование сравни-
тельно низкого нагрузочного сопротивления (50 ом либо 75 ом)
в величину, необходимую для внутренних звеньев.
Трансформирующими свойствами, как было показано в гл. 8,
обладают неодинаковые связанные линии. Матрицы передачи и
рассеяния такой линии по виду не отличаются от соответствующих
матриц одинаковых линий (см. гл. 8), однако нормировка пара-
метров риг выполняется иначе:
р= Pl = A; г = —2_ . (Ю.35>
Л» 'КRiRz
Таким образом, неодинаковость связанных линий отражается
только на нормировке параметров р и г; это обстоятельство поз-
воляет построить унифицированную методику. Входное и выход-
ное звенья рассчитываются теми же методами, что и все осталь-
ные звенья; определяется коэффициент г для оконечных звеньев.
13* 359
ПРОТОТИПНЫЙ СТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРЕХОД |Г 1 макс Таблица 10.3а С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПРОТОТИПНЫЙ СТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРЕХОД С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 1Г|малв“®’2
1 л=5 1 п- =6
2^п % <7i=<7« <7г^<7в ?а=4. <71—<7? <7e—<7s <74
1. = 2 ! 1=3 л=4
<?2 <71~?4 <7г=<7а <71=<7л <7я
2 82,883 7099,8 11607,9 84,189 7358,1 12259,1 13115,9
2 63,664 2702,0 75,726 5564,2 80,539 6618,4 10129 7 4 41,441 1774,9 2902,0 42,094 1869,5 3064,8 3278,9
4 31,831 675,50 37,863 1391,1 40,269 1654 6 t2532 4 6 27,637 788.87 1289,8 28,063 817,57 1362,1 1457,3
6 21,216 300,08 25,250 617,67 27,132 742,82 1129 9 8 20,734 443,74 725,50 21,047 459,88 766,19 819,74
8 15,910 168,75 18.942 347,20 20,355 417 71 634 92 10 16,594 283,99 464,32 16,838 294,32 490,36 524,64
10 12,726 107,97 15,159 222,01 16,290 267 23 405 74 12 13,835 197,22 322,44 14,031 204,39 340,53 364,33
12 10,603 74,950 12,638 154,00 13,581 185 49 281 25 14 11,865 144.57 236,89 12,027 150,16 250,18 267,67
14 9,088 55,041 10,838 113,00 11,647 136 20 206,18 16 10,389 110,68 181,37 10,523 114,97 191,55 204,93
16 7,999 42,122 9,488 86,385 10,198 104 21 151,46 18 9,241 87,422 143,31 9,354 90,841 151,35 161,92
18 7,064 33,266 8,440 68,140 9,071 82 283 124 06 1 20 8,324 70,780 116,08 8,403 73,581 122,59 131,16
20 6,356 26,933 7,601 55,090 8,170 66 595 100 16 22 7,574 58,465 95,933 7,663 60,811 101,31 108,39
22 5,777 22,250 6,915 45,434 7,434 54 988 82,494 24 6,950 49,097 78,683 7,018 51,098 85,132 91,082
24 5,295 18,689 6,344 38,092 6,820 46 160 69,052 26 6,422 41,806 67,031 6,494 43,539 72,539 77,609
26 4,887 15,920 5,862 32,378 6,302 39,290 58,592 28 5,970 36,020 57,706 6,024 37,541 62,546 66,917
28 4,537 13,725 5,448 27,844 5,858 33,838 50,294 30 5,579 31,353 50,145 5,650 32,787 54,485 58,293
30 4,235 11,955 5,090 24,188 5,474 29,440 43,600 32 5,238 27,624 43,860 5.305 28,736 46,512 51,234
32 3,970 10,509 4,777 21,195 5,138 25 841 38,124 34 4,936 24,367 38,783 5,014 25,292 41,148 44,371
34 3,738 9,313 4,502 18,716 4,842 22 858 33,586 ; 36 4,669 21,714 34,459 4,743 22,543 36,569 39,466
36 3,531 8,312 4,256 16,638 4,580 20,358 29,785 38 4,430 19,470 30,797 4,500 20,216 32,694 35,314
38 3,347 7,467 4,038 14,882 4,345 18,242 26,569 ! 40 4,215 17,553 27,662 4,282 18,230 29,386 31,769
40 3,181 6,747 3,841 13,382 4,134 16,436 23,825 42 4,022 15,904 24,976 4,086 16,521 26,539 28.718
42 3,032 6,129 3,663 12,092 3,944 14,882 21,464 44 3,846 14,474 22,641 3,907 15,040 24,073 26,072
44 2,897 5,596 3,501 10,974 3,771 13,534 19,420 | 46 3,685 13,228 20,605 3,744 13,748 21,922 23.764
46 2,775 5,132 3,354 10,000 3,613 12,360 17,638 48 3.539 12,133 18,818 3,593 12,614 20,034 21.738
48 2,663 4,727 3,219 9,146 3,469 11,328 16,074 50 3,404 11,168 17,241 3,459 11,614 19,369 19,949
50 2,561 4,371 3,095 8,393 3,336 10,418 14,697 | 52 3,280 10,312 15,843 3,333 10,727 16,893 18,363
52 2.467 4,058 2,981 7,726 3,214 9,611 13,476 j 54 3,165 9,550 14,598 3,216 9,937 15,578 16,949
54 2,381 3,780 2,875 7,133 3,101 8,892 12,390 56 3,059 8,868 13,484 3,108 9,230 14,403 15,683
56 2,302 3,533 2,777 6,602 2,996 8,248 11,420 58 2,960 8,255 12,484 3,008 8,596 13,347 14,545
58 2,229 3,312 2,686 6,127 2,899 7,670 10,548 | 60 2,869 7,703 11,583 2,915 8,024 12,396 13,518
60 2,162 3,115 2,601 5,699 2,808 7,149 9,765
361
360
ПРОТОТИПНЫЙ СТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРЕХОД С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ |Пмакс=0’2 Таблица 10.36 ПРОТОТИПНЫЙ СТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРКОДкСйМАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ 1 Г | = 0,2
л=7 л=8
24/г 1 п= 2 n=3 л—4
% 41^8 ?а=?7 ?!=«« 7» q*^q* q»
й
2 84,988 7512,5 12606,2 13758,2 85,511 7612,1 12814,7 14095,1 14380,9 2 40 678 1 654,70 37,492 2 810,60 32,761 2 589,75 6 248,80
4 42,494 1878,1 3151,6 3439,6 42,755 1903,0 3203,7 3523,8 3595,2 4 20 342 413,78 18,758 702,25 16,396 647.598 1 560.03
6 28,340 834,55 1400,7 1528,7 28,504 845,79 1423,9 1566,1 1597,9 6 13 564 183,98 12,519 311,95 10,948 287,940 691,748
8 21,261 469,36 787,89 859,89 21,645 475,76 800,92 880,94 898.81 8 10,176 103,55 9,409 175,86 8,229 162,059 387,857
10 17,016 300,34 504,25 550,33 17,297 304,49 512,59 563,80 575,24 10 8 145 66,334 7,538 112,14 6,602 103,795 247,208
12 14,187 208,52 348,92 380,23 14,420 211,45 355,96 391,53 399,47 12 6 791 46,118 6,296 77,796 5,520 72,145 170,815
14 12,167 153,16 256,01 294,12 12,367 156,86 261,52 287,65 293,49 14 5 825 33,933 5,412 57,089 4,750 53,061 124,763
16 10,653 117,22 195,72 222,22 10,828 120,06 200,23 220,24 224,70 16 5 102 26,028 4,751 43,651 4,176 40,677 94,883
18 9,476 92,588 154,38 169,49 9,632 94,826 158,13 174,01 177,54 18 4 540 20,612 4,238 34,439 3,731 32,184 74,408
20 8,536 74,967 124,81 136,66 8,676 76,780 127,85 140,95 143,81 20 4 092 16,742 3,829 27,852 3,377 26,109 59,772
22 7,767 61,929 102,93 112,79 7,894 63,427 105,45 116,46 118,85 22 3 726 13,883 3,496 22,980 3.089 21,616 48,952
24 7,127 52,013 86,294 94,615 7,243 53,272 88,406 97,720 99,867 24 3,422 11,712 3.220 19,275 2,851 18,198 40.733
26 6,586 44,297 73,346 80,489 6,693 45,455 75,146 83,103 85,635 26 3,167 10,027 2,987 16,394 2.651 15,538 34,346
28 6,122 38,174 63,073 69,270 6,222 39,099 64,626 71,533 73,273 1 28 [2,949 2 761 8,694 2,789 14,110 2,481 13,427 29,287
30 5,721 33,235 54,785 60,222 5,814 34,040 56,139 62,190 63,843 i 30 7,622 2,618 12,269 2,335 11,725 25,216
32 5,371 29,193 48,003 52,817 5,458 29,900 49,194 54,554 55,772 ’ 32 2,598 2,455 6,749 2,469 10,764 2,208 10,332 21,892
34 5,062 25,843 42,383 46,678 5,144 26,470 43,439 48,219 49,298 * 34 6,029 2,339 9,518 2,097 9,177 19,196
36 4,788 23,036 37,674 41,534 4,865 23,595 38,616 42,908 43,895 36 2 330 5,429 2,224 8,477 2,000 8,210 16,853
38 4,543 20,660 33,689 37,180 4,616 21,162 34,536 38,416 39,280 38 2 219 4,924 2,122 7,597 1,914 7,391 14,921
40 4,323 18,633 30,287 33,462 4,393 19,085 31,052 34,518 35,385 ’ 40 2 121 4.498 2,031 6,849 1,837 6,693 13,279
42 4,125 16,888 27,361 30,262 4,190 17,298 28,055 31,277 31,999 42 2,033 4,133 1,949 6,207 1,768 6,092 11,873
44 3,944 15,375 24,825 27,489 4,007 15,750 25,458 28,415 29,078 44 1 954 3,820 1,875 5,653 1,706 5,571 10,663
46 3,780 14,056 22,612 25,069 3,840 14,399 23,193 25,917 26,528 46 1,884 3,549 1,808 5,171 1,651 5,118 9,613
48 3,630 12,899 20,672 22,944 3,687 13,214 21,205 23,725 24,292 48 1 821 3,314 1,748 4,752 1,600 4,720 8,699
50 3,492 11,878 18,960 21,069 3,547 12,168 19,452 21,791 22,316 50 1,763 3,109 1,693 4,383 1,555 4,369 7,899
52 3,365 10,973 17,442 19,406 3,417 11,241 17,898 20,075 20,565 52 1,712 2,930 1,642 4,060 1,513 4,058 7,196
54 3,247 10,166 16,091 17,924 3,298 1 0,415 16,514 18,546 19,003 ‘ 54 1,665 2,772 1,597 3,773 1 ,475 3,782 6,576
56 3,138 9,445 14,882 16,598 3,187 9,676 15,276 17,177 17,606 56 1,622 2,632 1,555 3,520 1,440 3,536 6,028
58 3,037 8,797 13,797 15,406 3,084 9,013 14,165 15,948 16,351 58 1 584 2,508 1,516 3,295 1,408 3,315 5,540
60 2,943 8,213 12,819 14,331 2,989 8,415 13,163 14,839 15,219 60 1,549 2,398 1,481 3,094 1,379 3,117 5,107
363
362
ПРОТОТИПНЫЙ СТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРЕХОД С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 1 Г1макс=^ ’2
ПРОТОТИПНЫЙ СТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРЕХОД С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 1 Г 1 макс =°-2
1 п—5 1 n=Q п~ =7 1 я=8
2ifn ft *7я=<7в Qx— Яь <h=qt ?2—*7в Qa—Qa Qx—Qi ‘7з”(7в Qi— Ях—Q в ?<=<7в
2 28,632 2146,28 6945,51 25,286 1746,79 6519,12 8905,30 к*—— •2 22.578 1428,32 5783,17 9275,49 20,364 1181,00 5033,4 8885,81 1048,15
4 14,314 536,95 1735,99 12,642 436,62 1629,50 2225,94 S' 4 11,288 357,031 1445,59 2318,54 10,182 295,21 1258,22 2221,18 2620,07
6 9,581 238,82 763,24 8,427 194,00 724,01 989,02 : 6 7,524 158,643 642,33 1030,22 6,787 131,18 559,09 987,00 1164,24
8 7.206 124,48 431 ,06 6,376 109,56 404,80 554,97 ; 8 5,642 89,2069 361,19 579,306 5,096 73,768 314,40 555,03 654,70
10 5,786 86,190 275,22 5,125 . 70,254 258,13 354,74 10 4,591 57,534 228,54 369,43 4,071 47,195 201,14 355,09 418,86
12 4,844 59,957 190,42 4,296 48,905 178,47 245,78 12 3,854 40,078 157,88 255,99 5,392 32,7594 139,620 246,48 290,743
14 4,174 44,190 139,28 3,707 36,032 130,45 180,11 14 3,331 29,553 115,29 187,74 3,026 24,515 99,885 179,73 214,97
16 3,674 33,875 106,06 3,269 27.678 99,289 157,49 16 2,943 22,726 86,665 143,36 2,678 18,868 75,854 137,22 163,09
18 3,288 26,837 83,297 2,931 21,951 77,939 108,27 18 2,644 18,041 68,739 112,94 2,412 14,998 59,398 108,09 127,63
20 2,982 21,804 67,025 2,663 17,856 62,679 87,369 20 2,407 14,693 55,217 91,179 2,201 12,230 47,644 87,231 103,57
22 2,733 18,080 54,992 2,446 14,827 51,399 71,904 22 2,217 12,217 45,226 75,068 2,032 10,185 38,966 71,801 85,257
24 2,528 16,249 48,847 2,267 12,523 42,830 60,138 24 2,060 10,334 37,641 62,815 1.893 8,629 32,384 60,059 71,453
26 2,356 13,046 38,737 2,118 10,731 36,172 50,978 26 1,929 8,870 31,751 53.276 1 ,778 7,420 27,276 50,921 60,680
28 2,209 11,298 33,102 1,992 9,310 30,899 43,707 28 1,819 7,710 27,091 45,706 1 ,682 6,462 23,239 43,667 52,131
30 2,084 8,889 28,563 1,884 8, 165 26,655 37,839 30 1,726 6,774 23,343 39,596 1,600 5,689 19,997 37,814 45,227
32 1,977 8,735 24,854 1,791 7,228 23,190 33 035 32 1,646 6,009 20,288 34,594 1,530 5,059 17,357 33,022 39,580
34 1,882 7,781 21,786 1,711 6,452 20,328 29,051 34 1,576 5,376 17,766 30.447 1,470 4,537 15,182 29,049 34,895
36 1,800 6,981 19,222 1,640 5,803 17,937 25,711 36 1,525 4,847 15,664 26,970 1,417 4,101 13,370 25,719 30,971
38 1,727 6,305 17,058 1.579 5,254 16,922 22 883 38 1,463 4,400 13,894 24,026 1 ,372 3,732 11,849 22,900 27,647
40 1,662 5,728 15,215 1,524 4,786 14,209 20,468 40 1,416 4,019 12,392 21,513 1,332 3,419 10,560 20,493 24,807
42 1,605 5,222 13,635 1,475 4,384 12,742 18,389 42 1,375 3,692 11,108 19,345 1,297 3,151 9,461 18,422 22,362
44 1,554 4,803 12,271 1,432 4,037 11,477 16,586 44 1,339 3,409 10,003 17,472 1,267 2,919 8,516 16,627 20,240
46 1,507 4,429 11.086 1,394 3,734 10,380 15,012 46 1,30€ 3,164 9,047 15,835 1,240 2,717 7,700 15,061 18,388
48 1,466 4.101 10,053 1,359 3,469 9,423 13,633 j 48 1,278 2,949 8,215 14,398 1,215 2,542 6,992 13,689 16,761
50 1,428 3,812 9,142 1,328 3,236- 8,584 12,415 50 1,252 2,766 7,486 13,136 1,194 2,384 6,374 12,476 15,323
52 1,394 3,556 8,340 1,300 3,030 7,845 11,336 1 ‘ 52 1,229 2,592 6,846 12,006 1,175 2,252 5,832 11,407 14,047
54 1,363 3,329 7,631 1,275 2,847 7,191 10.376 : 54 1,201 2,44€ 6,282 11,00.' 1,154 2,131 5,355 10,455 12.909
56 1,335 3,125 7,000 1,252 2,683 6,611 9.518 ? 56 1,19С 2,31' 5,782 10,116 1,14; 2,025 4,93' 9,602 11,889
58 1,309 2,943 6,438 1,232 2,537 6,094 8,748 t 58 1,171 2,19' 5,33' 9,80' 1,121 1,936 4,566 8,832 10,972
60 1,286 2,780 5,935 1,213 2,406 5,632 8,056 - 60 1,151 2,092 4,94 8,58' 1,11' 1,845 4,221 8,15' 10,143
364
365
После этого находим ,р=1+г2 и только теперь учитываем специфи-
ку неодинаковых линий — нормировку (10.35). Отсюда имеем:
Р11= р/?1 = /?1 V1+г2, ом,
Р22 — Р Rz= Ri 1 4” г2, ом ,
r=r VR1R2, ом,
где знак ~ означает по-прежнему ненормированное (абсолютное)
значение сопротивления.
Некоторые преимущества фильтров с трансформирующими звеньями пока-
жем на конкретном примере. Рассмотрим пятиконтурный фильтр (т. е. фильтр,
состоящий из шести звеньев) с чебышевской характеристикой рабочего зату-
хания и полосой пропускания Vn=0,10 по уроваю коэффициента отражения
|Г|>,акс=0,2 (/>„=0,477 дб) ‘).
По табл. 10.3 определяем перепады волновых сопротивлений прототипного
ступенчатого перехода с полосой пропускания 1Гп=0,2:
<71 = Я в = 8,324, q2 = q-a = 70,780, q3 = ql = 116,08.
Таблица 10.4
РАСЧЕТНАЯ ТАБЛИЦА
Размеры связанных линий Крайние звенья на одинаковых связанных линиях Крайние звенья иа неодинаковых связанных линиях
Л=7?нн=50 ом /?=50ол; /?нн=75 ом Я=50 ом-, Двн=100 ом
ь ь 0,744 0,822 0,871
А = 2«б_ ь ь 0,744 0,291 0,077
W2 _ ш5 ь ~ ь 0,917 0,440 0,222
w3 W1 b ~ b 0,930 0,448 0,225
S1 _ se ь ~~ ь 0,120 0,148 0,177
й'| -О II 0,342 0,454 0,544
S3 _ S4 Ь ~ b 0,412 0,531 0,620
*) В справочнике [19] приведены таблицы лрототипных ступенчатых перехо-
дов ДЛЯ |Г|макс=0,1 И 0,3; таблицы 10.3 даны ДЛЯ |Г|маке=0,2.
366
Соответствующие переходные затухания звеньев в режиме направленного
ответвителя равны:
Сг = C# = 9,7 дб, С2 = С5 = 18,6 дб, С3 = С4 = 20,7 дб.
Теперь рассмотрим три варианта реализации фильтра: в первой из них все
звенья фильтра выполняются из одинаковых связанных линий при волновом
’сопротивлении подводящих линий /?=50 ом, во' втором и третьем—крайние
Ёзвенья выполняются из неодинаковых связанных линий при /?=50 ом, RBB=
= 75 ом и, наконец, 7? = 50 ом, RBB=IOO ом. Здесь RBB — «внутреннее нагру-
зочное сопротивление», смысл которого пояснен выше. Результаты расчетов све-
дены в табл. 10.4.
* Таким образом, при увеличении внутреннего нормирующего сопротивления
, (RBB) увеличивается расстояние между полосками; значительно уменьшается
сширина полосок, что приводит к уменьшению поперечных габаритов системы
; 10.6. Фильтры на встречных стержнях
► Фильтры на встречных стержнях являются модификацией
г фильтров на связанных линиях.
Рис. 10.16
Принцип преобразования развернутых резонаторов в сверну-
тые иллюстрируется рис. 10.16а, б, в. Каждый резонатор скла-
Рис. 10.17
дывается относительно верти-
кальной оси; в результате об-
разуются две гребенки, встав-
ленные друг в друга (рис.
10.17); зазоры s между ре-
зонаторами сохраняются не-
изменными. Эта методика не
имеет строго теоретического
обоснования. Опыт показы-
вает, однако, что погреш-
ности ее лежат в приемлемых
пределах.
367
Наиболее простой способ свертывания резонаторов заключается
в прямом сложении их ширины
wm,m+l wm + wm+l /tnaijx
---i— =------i----- . (10.36)
В гл. 6 было показано, что ширина связанной полоски выра-
жается через емкости Са, Cf и Cfe следующим образом:
оД1 С<"+‘> С> С**"'1 ------
b \ b ] \ 2г
”0») = о 5 Л Ц f С»ОТ> Cf
b * \ b / \ 2е е
Складывая (9.83) и (9.84), имеем
- c^+D + соЮ сИ+1) с(™> 2Cf'
В £
(Ю.39)
Эта же величина может быть найдена с помощью таблицы.
Действительно, определив из расчета переходное затухание на-
W S
правленных ответвителей, находим — и — каждого звена по
ь ь
методике гл. 8; далее находим общую ширину стержня как сумму
Опыт показывает, что свертывание резонатора путем сложения
ширины обоих его половин приводит к заметным погрешностям
(полоса пропускания фильтра расширяется в 1,3-е-1,4 раза). Более
точные результаты дает метод,
сложении частичных емкостей
С = С<т> + С(т+»
(здесь, как и ранее, индексы т
на рис. 10.16).
При свертывании резонатора
ределяющий Cf. Учитывая это,
(10.40) приводит к выражению
- C(«+I) + rfm) C(m+1) + С(т) ’
е
8 е
е J
(10.37)
(10.38)
^±.-=0,5
ь
^±L = 0,5fl-r
ь \ ь.
2е
основанный на предположении о
' (10.40)
и т+1 соответствуют нумерации
исчезает «несвязанный угол», оп-
можно показать, что условие
2в
которое отличается от (10.39) «а величину
, (10.41)
(10.42)
внутреннего проводника. Поправка
зависящую от то;
— может быть табулирована с помощью графиков рис. 6.9. Ре-
ь
зультаты приведены в табл. 10.5.
368
ВЕЛИЧИНЫ ПОПРАВКИ
Таблица 10.5
t/b 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
ь 0,44 0,517 0,548 0,560 0,555 0,525 0,480
При использовании поправки — расчет встречно-стержневого
ь
фильтра сводится к расчету фильтра на развернутых резонаторах.
Пример 1. Рассчитать встречно-стержневой фильтр со следующими па-
раметрами: полоса пропускания Уп —10%, по уровню |Г|макс=0,1, число резо-
наторов я=5, частотная характеристика — чебышевская.
В качестве прототипа выбираем ступенчатый переход с полосой пропуска-
ния «7я=2Уп=20%.
По табл. 9.1 [19] находим перепады волновых сопротивлений ступенек:
7i = 7e = 6,244; q^ = <75 = 53,848; q3 = 74 = 100,28.
Переходные затухания направленных ответвителей, из которых образуются
звенья, определяются по ф-ле (10.28):
С1 = Св = 8,6 дб; С2 = С5=17,4 дб; C3^Ct = 20d6.
По методике гл. 8 определяем размеры направленных ответвителей, обра-
зующих звенья фильтра; принимаем из конструктивных соображений t!b=Q,4
и Ajo = 50 ом. Имеем:
Wi b _ w* ~ ь = 0,412, Sl b _ л®_ ~ ь = 0,163;
_ -=L -0,553, s2 _ _S5_ --0,404;
Ь ~ ь ь ~ ь
W3 _ а>4 = 0,566, s3 _ s4 = 0,493.
Ь Ь Ь ь
Переходя к встречно-стержневой структуре, складываем ширину двух смеж-
Д о>
ных звеньев и добавляем значение—— =0,555 (см. табл. 10.5); крайние звенья
о
остаются неизменными:
&1 = Ь и>в b = 0,412,
И>12. __ Ь ~ а>5б Ь = 0,412 + 0,553 4- 0,555 = 1,520,
^23 = b b = 0,553-f-0,566-(-0,555= 1,674,
w3i и = 0,566 + 0,566+ 0,555 = 1,687.
369
Расстояния между стержнями встречно-стержневого фильтра остаются таки-
ми же, как фильтра на развернутых резонаторах.
Из конструктивных соображений принимаем, что расстояние между внеш-
ними заземленными пластинами симметричной полосковой линии 6=10 мм. Тог-
да абсолютные значения ширины стержней составляют:
Mt = иъ = 4,1 мм, “и = «%« = 15,2 мм,
“is = = 16,7 мм, w34 = 16,9 леи
и соответственно зазоры между стержнями:
a1 = s* = 1,6 мм, st = at = 4,0 мм;
вз = 8* = 4,9 мм.
Длина стержней составляет приблизительно 0,95 Общий вид внутрен-
ней части фильтра изображен иа
ряс. 10Л8.
Пример 2. Условия те же
мере, ио применяются трансфор-
мирующие звенья иа входе и
выходе.
Переходные затухания на-
правленных ответвителей, из ко-
торых составлены звенья, оста-
ются неизменными при наличии
или отсутствии трансформирую-
щих звеньев (см. разд. 10.5).
Таким образом, значения пере-
ходных затуханий Ст, найден-
ные в предыдущем примере, со-
храняются. Волновое сопротив-
ление подводящих линий задано
J?»=50 ом, принимаем, что норми-
рующее сопротивление внутрен-
них звеньев равно RSH = 75 ом.
Для того чтобы выполнить трансформацию 50 ом в 75 ом и обратно, пер-
вое и последнее звенья фильтра осуществляются на неодинаковых связанных
линиях.
Размеры внутренних звеньев находим по методике гл. 8 при //6 = 0,4 и До =
= 50 ом; Дин = 75 ом:
__ = 0,482, _ Se = 0,198,
6 Ь 6 6
— 0,099, S; _ Ss = 0,524,
6 6 6 6
= 0,198, S3 _ s4 = 0,618;
6 6 6 6
= W* = 0,201.
6 6
370
Те перь переходим к «свертыванию» резонаторов. Принимая толщину внут-
(ренних про’водник'ов //6 = 0,4» получаем — =0,555 (см. табл. 10.5), откуда; о w<a) w<6) —— = —— = 0,482, b b =0,099 + 0,198 + 0,555 = 0,852, b ь = 0,198 + 0 201 + 0,555 = 0,954, b b = 0,201 + 0,201+0,555 = 0,957. b
Р; таким: П =.10 л зсстояния между стержнями встречно-стержневого фильтра сохраняются, и же, как и в фильтре на развернутых резонаторах. слагая, как и ранее, расстояние между заземлениыщп пластинами, &=- im, находим абсолютные значения ширины стержней: ю, = oie — 4,8 мм, w23 = oi45 = 9,5 мм, oi12 = oi5e = 8,5 мм, w34 = 9,6 мм,
а так: ке зазоров .между ними: s, = se = 2 мм, s2 = s5 = 5,2 мм, t3 = st = 6,2 мм.
Н встреч а рис. 10.19 дано сравнение поперечных размеров (вид стержней с торца) н.о-стерж1невых фильтров без трансформирующих звеньев (а) ,и с край-
a}
ними трансформирующими звеньями (б) в соответствии с расчетами в приме-
ре 1 и 2. При этом лолеречный размер фильтра изменяется приблизительно в
1,3 раза. Кроме того, существенно увеличиваются зазоры между стержнями, что
облегчает систему допусков на изготовление1).
10.7. Лестничный прототип фильтров на связанных линиях
Лестничная схема использовалась выше (разд. 9.6) в ка-
честве прототипа для полосно-пропускающих свч фильтров с чет-
вертьволновыми связями, при этом оказалась удобной лестничная
схема П.ПФ. Лестничную схему можно также использовать в ка-
*) Фильтры на встречных стержнях обычно изготовляются по 3—4-.му клас-
сам точности.
371
честве прототипа фильтра с непосредственными связями. В рас-
сматриваемом случае удобно будет пользоваться лестничной схе-
мой ФНЧ (рис. 10.20а). Последняя, однако, нуждается в некото-
ром предварительном преобразовании («модификации»), цель ко-
торого состоит в том, чтобы каждое звено прототипа фильтра с
непосредственными связями создавало бы некоторый уровень от-
ражений в широкой полосе частот и в этом смысле было бы анало-
гично звену фильтра свч с непосредственными связями. Необходи-
мо отметить, что количество таких звеньев прототипа на единицу
больше, чем количество ветвей в исходной лестничной схеме, так
же как и количество звеньев свч фильтра с непосредственными
связями на единицу больше, чем число резонаторов. В дальнейшем
будут применяться следующие обозначения:
Р=п + 1,
где п — количество ветвей или резонаторов;
р—количество звеньев преобразованного прототипа или
фильтра с непосредственными связями.
Кроме того, модификация прототипа должна обеспечить всем
звеньям единообразный вид. Модификация прототипа в соответ-
372
ствии с указанными выше требованиями должна .производиться
таким образом, чтобы частотная характеристика рабочего затуха-
ния прототипа оставалась неизменной. Иначе говоря, все преобра-
зования схемы прототипа должны быть тождественными.
В данном случае будут необходимы два таких преобразования.
Первое из них (рис. 10.206) состоит в замене всех поперечных
(продольных) ветвей продольной (поперечной) ветвью, включен-
ной между двумя идеальными четвертьволновыми отрезками ли-
ний. Второе преобразование схемы состоит в введении в нее иде-
альных трансформаторов (рис. 10.20в). Последние сгруппированы
попарно, каждая пара трансформаторов эквивалентна прямому
соединению, поскольку их коэффициенты трансформации взаимно
обратны (N .и 1/.V).
Пары трансформаторов располагаем в цепочке таким образом,
что каждая продольная ветвь схемы находится между трансфор-
маторами, имеющими одинаковые коэффициенты трансформации,
но включенными навстречу друг другу (см. рис. 10.20в).
Далее проводится группировка частей (рис. 10.20в), которая
приводит к появлению трех новых элементов схемы (10.20г).
1. «Идеальный преобразователь сопротивления» средних звень-
ев состоит из идеального четвертьволнового отрезка длинной ли-
нии с волновым сопротивлением, равным сопротивлению нагрузок,
и двух неодинаковых трансформаторов на его концах, из которых
один повышающий (7Vm_i = > 1), другой понижающий (ту- < 1) •
Матрица передачи [а] такого элемента равна произведению
матриц:
Параметр
1
м л/
пт— 1
(10.44)
называется коэффициентом преобразования преобразователя со-
противления.
Из вида матрицы следует, что идеальный преобразователь со-
противления является симметричным четырехполюсником1).
’) Он эквивалентен идеальному отрезку линии с приведенным волновым
сопротивлением рт = ту---jn— •
пт— i'v т
373
2. «Идеальный преобразователь сопротивления» крайних звень-
ев состоит из идеального четвертьволнового отрезка линии с вол-
новым сопротивлением, равным сопротивлению нагрузок, и одного
трансформатора.
а для крайнего правого (выходного) звена имеем аналогично
'“W.r
. (10.46)
(10.47)
Коэффициенты преобразования крайних преобразователей рав-
ны соответственно:
1 1
K-t =- , к.,.=--
Л/, "+1 Nn
Крайние идеальные преобразователи также являются симмет-
ричными' четырехполюсниками (см. также сноску выше).
3. Преобразованное сопротивление продольной ветви z’m-=
= состоит из сопротивления ветви прототипной схемы
zm = id)Lrn п двух идеальных трансформаторов — повышающего
слева (Мш) и понижающего справа 1 —) со взаимно обратными
\N т/
коэффициентами трансформации. .Матрица передачи преобразо-
ванного сопротивления равна произведению трех
матриц
[а)
очевидно,
что
(10.48)
рассматриваемая
Из последнего выражения
схема эквивалентна некоторому последовательному сопротивлению
имеющему величину
у =_ 2т
т N2
J*nt
(10.49)
Отсюда находим коэффициент трансформации Nm
(10.50)
374
Учитывая (10.50), можно записать выражения для коэффи-
циентов преобразования (10.44) и (10.47) следующим образом:
1 __ | / Lm— I ^пг
к ——— 1/L' к ——— 1/-Ь-
К1~ N,- У Ц ’ Nn- V Ln
(10.51)
(10.52)
Для получения симметричных средних звеньев модифицирован-
ного прототипа, используемого для расчета фильтров с непосред-
ственными связями, полагаем, что все преобразованные сопротив-
ления (z^=ict)L^) одинаковы
г; = г'= . . .= г>г'
(10.53)
или соответствующие им индуктивности также одинаковы
. . .. Г .Г.
В рассматриваемой схеме приравнивание преобразованных со-
противлений друг другу возможно, поскольку их величины зависят
от произвольно выбранных коэффициентов трансформации
(г;=^2
). В случае равенства z'm коэффициенты преобразова-
ния принимают вид:
L’
(10.54)
Кт V Lm
М1=|/дг- (10-55)
Последнее преобразование схемы прототипа заключается в раз-
, » г'
делении преобразованных сопротивлении на две равные части —
и разбиении схемы на звенья таким образом, чтобы средние звенья
состояли из идеального преобразователя сопротивления и двух
одинаковых сопротивлений -у слева и справа от него, а крайние
звенья — из идеального преобразователя сопротивления и одного
сопротивления -у (рис. 10.20<3).
Полученные таким путем звенья модифицированного прототипа
уже можно сравнивать со звеньями фильтра с непосредственными
связями ’).
*) Полезно отметить сходство между модифицированным LC-лрототнпом,
изображенным иа рис. 10.20, и ступенчатым прототипом рис. 10.11. Идеальный
преобразователь сопротивлений выполняет роль, аналогичную скачку волновых
сопротивлений (создание некоторого постоянного уровня отражений), а одина-
0
новые индуктивности L’ft эквивалентны отрезкам длинных линий '-у •
375
Матрица [а]т среднего звена равна:
О iKm"l Г]
i
?'2 i
~+ кт
4
. 1 г'
1--------
Кт 2
Lf G) 1
2 кт
i(
£'2o?
4
I
4" кт
Km
. 1 L’ <o 1
1 --- — ——
K/n 2 кт
(10.56)
Из вида матрицы (аи = а22) следует, что средние звенья моди-
фицированного прототипа являются симметричными четырехпо-
люсниками.
Звенья фильтра свч с непосредственными связями и звенья мо-
дифицированного прототипа LC, как видно из представленных вы-
ше данных, являются обратимыми, реактивными, симметричными
четырехполюсниками, следовательно, их свойства можно характе-
ризовать одним комплексным параметром.
Поэтому сравнение звеньев прототипа и фильтра будет прово-
диться с помощью коэффициента .передачи Гц.
Коэффициент передачи Гц среднего звена прототипа опреде-
ляем из (10.56) в соответствии с общими правилами перехода от
матрицы [а] к матрице [Г] (см. гл. 1):
+<u)l- "М7>
Находим модуль и фазу последнего выражения:
|Т [ ' ' - f \ I 'г-н i ш2 L’2 , 2 . Л ! in kqi
р 111m —----1/ (0)Ь/Л~(— —-----i_/'-m+*i >
2 Кщ V '
ю2!'2 , ,
На рис. 10.21а, б дан примерный вид частотных характеристик
звена модифицированного прототипа в соответствии с (10.58)
и (10.59).
Применим прототип ФНЧ для расчета фильтра на связанных
линиях.
Известно (см. разд. 10.4), что все звенья фильтра на связан-
ных линиях, являющегося фильтром с непосредственными связя-
376
Рис. 10.21
ми, характеризуется следующими коэффициентами передачи Т(1:
т (cosip + i pm sin гр)2
1 н —----------—------:—;-----
1 2rm sin гр
Модуль и фаза Tllm определяются выражениями
IT I — cos2 ip p-р^ sin2 гр
1 1 111m —----------------
2rmsinip
, 2pm sin гр cos гр
Ф = arc tg---------5------
cos2 гр — p^ sin2 ip
(10.60>
(10.61 >
(10.62)>
Л Jl
— 2ф-----------
2 2
[см. также (10.30)], т. e. фазо-частотные характеристики всех
звеньев фильтра одинаковы.
Из приведенных выражений видно, что точное равенство ам-
плитудных и фазовых характеристик звеньев фильтра свч и прото-
типа ФНЧ получить невозможно.
377
Принимаем следующие условия приближенного равенства ко-
эффициентов передачи (10.57) и (10.60):
а) модули | Тц | коэффициентов передачи (10.58) и (10.61) рав-
ны при (о = 0 для прототипа и при ф = фо = — (т. е. при со = соо)
для фильтра свч (.величина соо является средней частотой полосы
пропускания фильтра свч);
б) фазо-частотные характеристики (10.59) и (10.62) имеют
одинаковую производную, т. е. наклон по со при со ='0 для прото-
типа ФНЧ и при ф = фо=-^~- (со = (0о) для фильтра свч.
Учитывая, что наклон всех фазо-частотных характеристик
звеньев фильтра одинаков [см. (10.62)], сформулированное выше
условие может быть записано иначе: все фазо-частотные характе-
ристики звеньев прототипа должны быть одинаковыми по наклону;
последний должен совпадать с наклоном фазо-частотных харак-
теристик звеньев фильтра свч.
Из условия (а) имеем
n’ub=v(-L+^=4-(r+'t-)' (10.63)
* \ <m J * учп /
откуда .получаем
гт=кт или гт = —. (10.64)
Поскольку величина гт должна быть меньше единицы (из
удобства реализации связанных линий), а величины коэффициен-
тов трансформации Nm нами были приняты более единицы (Nm—
для повышающих трансформаторов), то в рассматриваемом слу-
чае необходимо принять [с учетом. (10.54) и (10.51)]
1 L'
rm-^N^Nm у-ц^ууу
(10.65)
Условие (б) требует определения производной фазо-частотной
d ® ,
характеристики — для звена прототипа и для звена фильтра свч
d со
при (о = 0 и при (о = (оо соответственно. Оно позволит найтй1 неиз-
вестную пока величину L'.
Найдем производную фазо-частотной характеристики звена
прототипа
d со (о ( со L’
откуда при (о—О имеем
d L'
0 , 1 т
d СО (о^о кт • 1
(10.66)
378
При определении производной фазо-частотной характеристики
звена фильтра свч воспользуемся приближенным выражением
(10.62)
о я СО я со я
х------—— = я---------
2 соо 2 соо 2
я
“о
(Ю.67)
= я
ср-2ф—А
тогда
, , d<f I
Фо = 7Г
d со I щ«а,
Здесь соо—средняя частота полосы пропускания полосно-про-
пускающего фильтра свч. ~
Приравниваем (10.66) и (10.67)
L' я
1 гл
Ш ш0
или, полагая для узких и средних полос пропускания
к2т<? 1,
т
имеем окончательно
(10.68)
(10.69)
Ь'=£. (10.70)
“о
Учитывая, что
^т = ~ (Ю.71)
Фп
И
L’ , (10.72)
Фп
где gm — параметр прототипа (ФНЧ), имеющий смысл a>Lm или
соСт ветви этого прототипа на граничной частоте полосы пропус-
кания св = соп= 1 и /?=1 (см. разд. 9.3), получаем
ЗТ ЗТ зт
V Lm— 1 V 8т—[8т У gm~igm
2ф
где Уп= —° относительная полоса пропускания ППФ свч, рав-
®о
ная отношению удвоенной граничной частоты ФНЧ к средней ча-
стоте ППФ.
Таблицы величин gm (параметры прототипа ФНЧ, нормирован-
ного по частоте и ло оконечным сопротивлениям) приведены .в [19].
Перейдем теперь к рассмотрению крайних звеньев (рис. 10.20).
Матрица [а] левого (входного) звена имеет вид:
'0 i«i ' i —1 '0 i кг ’0 i Ki
[0)1 = i — 0 L Ki j 2 — . 1 I . 1 z' 1 2 z= . 1 1 — . Kl 1 co U »
.0 i. . «1 Ki 2
(10.74)
379
т. е. ац=И=а22 — четырехполюсник несимметричный. Представляет
интерес симметрирование указанного четырехполюсника. В этом
случае методика расчета крайних и средних звеньев будет одина-
ковой. Симметрирование необходимо производить таким образом,
чтобы рабочее затухание всей системы не нарушалось, т. е., как
и ранее, это преобразование должно быть тождественным.
Будем использовать следующее свойство согласованной длин-
ной линии — ее входное сопротивление равно ее волновому сопро-
тивлению ро независимо от длины линии. Таким образом, если
включить нагрузочные сопротивления через отрезки согласованной
-^длинной линии, то свойства системы не изменятся. Это и дает воз-
можность симметрирования крайних звеньев. Рассмотрим, напри-
мер, крайнее левое звено прототипа, в котором справа (от преоб-
. г'
разователя) расположено сопротивление —, а слева — отрезок
длинной линии (рис. 10.22). Поскольку средняя частота полосы
*о.
Т
Рис. 10.22
пропускания прототипа (ФНЧ) составляет со = 0 (ш/ = 0), то вбли-
зи этой частоты отрезок длинной линии будет обладать свойства-
ми последовательно включенной индуктивности; матрица [а] от-
резка линии приобретает, приближенно, следующий вид:
[о] = cos ml . sin ml i posin тГ cos ml иначе — 1 i p0 ml 1 . г' 1 — 2 , (Ю.75)
где рот/ = - Ро г' — или 2 L о 1 J [o 1 J
(10.76)
Л(1)/= — ,
2
где Л(1) — погонная продуктивность.
Очевидно, что при заданном L'= — всегда можно подобрать
соо
длину I так, чтобы выполнялось (10.76).
Таким образом, крайние звенья1) стали симметричными четы-
рехполюсниками, полностью подобными средним звеньям. Теперь
можно применить к крайним звеньям ту же методику приравни-
*) Крайнее правое (выходное) звено является зеркальным изображением
крайнего левого звена.
380
вания co звеньями фильтра свч, что и для средних звеньев. Име-
ется, однако, отличие; оно заключается в том, что коэффициент
преобразования для крайних звеньев, .в отличие от средних, вы-
ражается ф-лой (10.52).
Подставляя в нее, как и ранее, значения к=г и L'=—, нахо-
дим
Tvn
(10.77)
n+i=«i=«„+i=
gi
Найденные выше соотношения относятся к случаю, .когда в це-
почке исходного прототипа отсутствует идеальный трансформатор
(фильтры с чебышевской характеристикой при нечетном числе ре-
зонаторов и с максимально плоской характеристикой с любым
числом резонаторов). Для полноты соотношений необходимо рас-
смотреть фильтры с чебышевской характеристикой при четном
числе резонаторов. Исследования проводятся тем же методом, что
и выше. Отличие состоит в том, что дополнительно учитывается
наличие идеального трансформатора в центре исходной лестнич-
ной схемы ФНЧ (рис. 10.23).
Рис. 10.23
В результате центральное - звено (т=-~ + 1) модифицирован-
ного прототипа будет содержать трансформатор с коэффициен-
том трансформации .Vc.< 1 и расчет параметра гт центрального
звена проводится с учетом этого коэффициента трансформации:
если — нечетное (/7 = 2, 6, 10...), то
(10.78)
п
а если —
2
четное (п=4, 8, 12...), то
= у
Т + 1
(10.79)
Остальные звенья рассчитываются по ф-лам (10.77) и (10.73).
381
Таким образом, найдена зависимость волнового коэффициента
связи гт для звеньев фильтра на связанных линиях от парамет-
ров нормированного прототипа ФНЧ—gm-
Переходное затухание звена фильтра (в восьмиполюсном ре-
жиме) связано с гт соотношением (см. гл. 6)
1 -р г?,
Ст(дб)= 10 1g----,
зная которое находим геометрические размеры звеньев по дан-
ным гл. 8. Необходимо теперь оценить погрешности рассмотрен-
ного приближенного метода.
Эту оценку можно сделать двумя способами. Во-первых, как
и в случае ступенчатого прототипа, можно провести «математиче-
ский эксперимент». В данном случае он состоит в перемножении
матриц, описывающих элементы фильтра; в каждую матрицу за-
ложены параметры, найденные из соотношений (10.73), (10.77),
(10.78), (10.79).
Полученные этим способом на ЭВМ частотные характеристики
сравниваются с соответствующими характеристиками прототипа.
При сравнении характеристик прототипа ФНЧ и фильтра частот-
ные характеристики рабочего затухания даются в зависимости от
частотной переменной ППФ на связанных линиях ф=-^- — в то
время, как характеристика прототипа является полиномом от
£2=— (для нормированного прототипа (wn=l) от й = ш). Поэто-
соп '
му при расчете характеристик пользуемся соотношением, связы-
вающим эти величины;
/ 2 \
2 Ф 1
2__5----L. (10.80)
v„
Некоторые материалы для этого сравнения приведены на
рис. 10.24а, б. Из них следует, что метод дает приемлемую точ-
ность примерно до Vn^40%- Для более широких полос требуется
модификация методики [3].
Второй способ оценки погрешностей метода заключается в
сравнении параметров фильтра найденных описанным выше спо-
собом с теми же параметрами, определенными другим уже про-
веренным ранее способом, а именно,—с помощью прототипного
ступенчатого перехода (см. разд. 10.4).
Эта методика иллюстрируется нижеследующим примером.
Пример. Рассчитать встречно-стержневой фильтр с чебышев-
ской характеристикой, удовлетворяющей следующим условиям:
полоса пропускания Vn=10% по уровню коэффициента отраже-
ния |Г|макс —0,1, число резонаторов п=5.
382
b^OlglW
(дб)
ЧебышеВская х-ка, п=5; '/„=0,2; 1ПмакС=0,2
В [19] даны таблицы для gm двух типов: при параметре 6П
(стр. 517) и при параметре | Г|макс (стр. 405). Из последней таб-
лицы находим QrnS=^- .
Пользуясь таблицей, определяем:
^1=^5=0,974; £2=^4=1,372; £3= 1,804.
383
Из (10.73) и (10.77) находим:
f я 1 / у
rt=re = V 2 1/1,571’°’1 = 0,402;
1 gi Г 0,974
Л
—
2 1,571-0,1
* — r — — ’ ’ — о ян»
5 ^gigt /0,974-1,372 ’ ’
Л
r_r_ 2_П _ L’571'0’1- -ninn
/ЯгЯз V 1,372-1,804 ’ ’
откуда переходные затухания звеньев в восьмиполюсном режиме
(определяемые по формуле Ст(дб) = 101g—— ) составляют:
гт
С] = С6=8,573 дб (8,6 дб);
С2 = С5 = 17,416 дб (17,4 дб);
С3 = С4 = 20,056 дб (20,0 дб).
Здесь в скобках указаны результаты расчета Ст по прототип-
ному ступенчатому переходу (см. пример в разд. 10.6). Совпаде-
ние результатов хорошее. Такое же сравнение проведено и для
других полос пропускания; некоторые его результаты даны в табл.
10.6 для фильтра с чебышевской характеристикой с числом резо-
наторов rt = 5 И |Г|макс=0,2.
Таблица 10.6
РЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНЕНИЯ ПРОТОТИПОВ
Vn C,=C, (дб) C!=CS (дб) С,=С, (дб)
LC—-прототип ступенчатый прототип LC—прототип ступенчатый прототип LC— прототип ступенчатый прототип
5% 12,45 12,43 24,55 24,55 26,68 26,68
10% 9,68 9,69 ' 18,57 18,56 20,68 20,68
20% 7,11 7,17 12,73 12,68 14,77 14,57
30% 5,75 5,87 9,49 9,40 11,43 11,00
40% 4,87 5,06 7,35 - 7,21 9,17 8,44
50% 4,24 4,51 5,84 5,66 7,52 6,47
В заключение отметим следующее:
Заметное упрощение расчета по сравнению с расчетом, изло-
женным в работах Маттея [12], достигается благодаря более про-
отмм нам V Моттра vп ттгииткд тт.пл.тт.гт.пи-»ит пiza,кд а тхкд,аи|иг^*
VllJi‘’l, "1С.11 У -'lui 1С|1 II IllJJ СУД! I 1 11 U I’l , CA. iHUVU'JlV.
384
а) амплитудные характеристики соответствующих звеньев
фильтра и прототипа в центре полосы пропускания полагаются
равными;
б) на звено фильтра в восьмиполюсном режиме накладывается
условие идеальной направленности.
Точность расчета лежит в приемлемых пределах в полосе до
60% при ступенчатом прототипе и в полосе до 40% при ТС-про-
тотипе.
Литература
1. Cohn S. Direct-coupled-resonator filters. «Pros. IRE», 1957, v. 45, № 2.
2. M а т т e й Г. Новый метод расчета полосковых фильтров овч и его связь
•с другими методами. «Зарубежная радиоэлектроника», 1961, № 9.
3. М a 11 h а е i G., Young L., Jones E. Microwave filters, impedance mat-
ching netwerks and coupling structure, me Craw-Hill book Company, 4964.
4. Young L. The Quarter-wave Transformer Prototype Circuit «IRE Trans.»,
1960, v. MTT—8, № 5.
5. Young L. Stepped-impedans Transformers and Filters Prototypes. «IRE
Trans.», 1962, v. MTT—10, № 5.
6. Прохорова H. И., Фельдштейн А. Л. Фильтры с непосредственными
связями, сб. «Антенны», 1967, № 2.
7, Фе льд штейн А. Л., Явич Л. Р., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники. Изд. 1-е. Госэнергоиадат, 1963.
8. Guthart Н., Е. Jones. A High—Power S-Band Filter. «IRE Trans.», 1962,
vol. MTT—10, № 2, March.
9. S h a r p E. A High—Power Wide-Band Waffle—Iron Filter. «IEEE Trans»,
1963, vol. MTT—11, № 2.
10. Полосковые системы Сверхвысоких частот. Сб. статей. Изд-во иностранной
литературы, 1959.
11. Печатные схемы сантиметрового диапазона. Сб. статей. Изд-во иностранной
литературы, .1956.
12. М аттей Г. Полосовые фильтры со встречными стержнями. «Зарубежная
радиоэлектроника», 1963, № 7.
13. Salzmann G. Ein Verfahren zum Entwurf von Bandpassen und Ring-
weichen aus leitungsgekoppelten Elementen. «Nachrichtentechnik», 1964 II,
№ 2.
14. Wenzel R. Exact Design of ТЕМ Microwave Networks Using Quarter-
Wave Lines. «IEEE Trans.», 1964, v. MTT—12, № <1.
15. Альтман Дж. Устройства сверхвысоких частот, пер. с англ. Изд-во
«Мир», М., 1968.
16. Модель А. М. Расчет и проектирование волноводных и коаксиальных
фильтров с непосредственной связью резонаторов. «Электросвязь», 1967, № 3.
17. Лебедев И. В. Техника и приборы сверхвысоких частот. Госэнергоиздат,
1962.
18. Фел ьд штейн А. Л. Синтез ступенчатых фильтров. «Вопросы радиоэлек-
троники», серия XII, вы.п. 19, 1959.
19. Фельдштейн А. Л., Явич Л. Р., Смирнов В. П. Справочник по эле-
ментам волноводной техники. Изд. II. Изд-во «Советское радио», 1967.
20. А. М. Модель. Фильтры свч в радиорелейных системах. М., «Связь», 1967.
21. Н. И. П р о х о р ов а, А. Л. Ф е л ь д ш т е й н. Фильтры на связанных линиях
«Радиотехника», т. 22, № 6, 11967.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................ 3
Введение......................................................... 4
Литература............................................................. 6
1. Четырехполюсники
1.1. Исходные определения........................................... 7
1.2. Соединения четырехполюсников...................................10
1.3. Входное сопротивление четырехполюсника. Режим холостого хо-
да и короткого замыкания 12
1.4. Обратимые (взаимные) четырехполюсники..........................14
1.5. Симметричные и антиметричные четырехполюсники .... 15
1.6. Реактивные четырехполюсники . . 17
1.7. ' Матрицы некоторых простейших четырехполюсников ... 17
1.8. Согласование четырехполюсников на максимум активной мощ-
ности на выходе........................................................20
1.9. Согласование четырехполюсников на отсутствие отражений от
нагрузки и генератора..........................................21
1.10. Собственная постоянная передачи................................23
1.11. Система характеристических параметров четырехполюсника и ее
связь с матрицей [а]...........................................24
1.12. Рабочие параметры четырехполюсника.............................26
1.13. Волновые матрицы. Исходные соотношения.........................30
1.14. Принципы нормирования уравнений четырехполюсника ... 34
1.15. Связь между элементами различных матриц........................37
1.16. Входной коэффициент отражения четырехполюсника. Физический
смысл элементов волновых матриц................................41
1.17. Связь волно-вых матриц с .рабочими параметрамм четырехполюс-
н ика..................................................................42
1.18. Условие обратимости, симметрии, антиметрии и реактивности в
терминах волновых матриц...............................................43
1.19. Волновые матрицы некоторых простейших четырехполюсников . 48
1.20. Схемы замещения обратимых четырехполюсников .... 51
1.21. О минимальном числе параметров, определяющем свойства че-
тырехполюсника ...................................................... 52
1.22. Условия физической реализуемости четырехполюсника ... 54
1.23. Первое условие физической -реализуемости.......................56
1.24. Некоторые следствия из первого условия физической реализуе-
мости .................................................................59
1.25. Каноническая форма функции рабочего затухания для симмет-
ричных и антиметричных четырехполюсников...............................60
1.26. Условия физической реализуемости четырехполюсника. Неуста-
|НО|Вив-ший;ся режим четырехполюсника ....... 61
1.27. Второе условие физической реализуемости........................62
1.28. Расположение нулей и полюсов передаточных функций иа плос-
кости комплексной частоты..............................................64
1.29. Сводка условий физической реализуемости коэффициента пере-
дачи ..................................................................66
1.30. Некоторые сведения о цепях минимально фазового типа . . 66
386
1.31. Условия физической реализуемости ступенчатых линий ... 69
1.32. Методы задания частотных характеристик при .синтезе ... 71
1.33. Выделение устойчивого полинома Тц из заданной функции | Тц |2 73
1.34. Замечания о синтезе цепей .с распределенными постоянными . 75
Литература.....................................................78
2. Цепочки четырехполюсников. Неоднородные линии
2.1. Общие сведения. Разностные уравнения........................80
2.2. Цепочка одинаковых -обратимых четырехполюсников ... 82
2.3. Цепочка одинаковых необратимых четырехполюсников ... 85
2.4. Цепочки неодинаковых четырехполюсников......................87
2.5. ' Сумматорные уравнения...................................90
2.6. Первое приближение..........................................91
2.7. Неоднородные линии. Общие сведения..........................93
2.8. Интегральные уравнения для элементов матрицы неоднородной
линии.......................................................96
2.9. Итерации. Оценка погрешности ...............................97
2.10. Дифференциальные уравнения . 99
2.11. Необратимые неоднородные линии . ’....................101
2.12. Замечания об умножении нормированных матриц .... 106
Литература.................................................107
3. Ступенчатые переходы
3.1. Исходные сведения 108
3.2. 3.3. 4. 4.1. Точные методы расчета ступенчатых переходов с чебышевской частотной характеристикой 111 Точные методы расчета ступенчатых переходов с максимально плоской частотной характеристикой . . 123 Литература . ... 133 Плавные переходы Введение 134
4.2. Экспоненциальный плавный переход 135
4.3. Чебышевский плйвный переход 141
4.4. Компенсированный экспоненциальный переход 144
4.5. Вероятностный плавный переход 147
4.6. Некоторые расчетные и экспериментальные данные .... 150
4.7. 4.8. Об оптимальности плавных переходов с вероятностной и чебы- шевской характеристиками 153 Замечания о немонотонных плавных переходах 155
4.9. Сравнение ступенчатых и плавных переходов 158
Литература 163
5. Сведения из теории восьмиполюсников
5.1. Классификация восьмиполюсников..............................164
5.2. Матрицы восьмиполюсников....................................164
5.3. Нормированные матрицы.......................................167
5.4. Связь между элементами различных матриц восьмиполюсников 168
5j5. Соединения восьмиполюсников.................................170
5.6. Условия обратимости.........................................171
5.7. Условия' симметрий..........................................172
5.8. Условия отсутствия потерь...................................174
5.9. Направленность восьмиполюсников.............................175
5.10. Метод зеркальных изображений •..............................179
5.11. Четырехполюсники, образуемые из восьмиполюсников . . . 182
5.12. Некоторые соотношения между клеточными матрицами . . 186
Литература.................................................191
387
6. Связанные линии
6.1. Общие положения........................................192
6.2. Некоторые сведения из электростатики...................193
6.3. Дифференциальные уравнения связанных линий ... 196
6.4. Постоянная распространения.............................197
6.5. Матрица [а] связанных линий................................ 201
6.6. Матрицы [Г] и [5] связанных линий......................204
6.7. Синфазные и противофазные волны (четный и нечетный типы
колебаний) в неодинаковых связанных линиях.............206
6.8. Одинаковые связанные линии.............................209
6.9. Системы параметров.....................................212
Литература ................................................219
7. Цепочки восьмиполюсников
7.1. Общие сведения. Рекуррентные соотношения...............221
7.2. Цепочка симметричных направленных восьмиполюсников. Струк-
тура матриц....................................................222
7.3. Разностные уравнения для цепочек из симметричных направлен-
ных восьмиполюсников...........................................224
7.4. Цепочка одинаковых сонаправленных или противонаправленных
восьмиполюсников.......................................227
7.5. Цепочка одинаковых ненаправленных восьмиполюсников . . 229
7.6. Пример 1...............................................231
7.7. Пример 2...............................................239
7.8 Цепочки произвольных восьмиполюсников. Сумматорные урав-
нения 246
7.9. Направленные ответвители со слабой связью..............251
Литература............................................... 253
8. Направленные ответвители на связанных линиях
8.1. Общие сведения.........................................255
8.2. Одноступенчатый направленный ответвитель . . . 258
8.3. Связь между электрическими и геометрическими параметрами . 260
8.4. Некоторые свойства наира®ленных восьмиполюсников . . . 268
8.5. Несимметричные ступенчатые ответвители.................270
8.6. Симметричные- ступенчатые ответвители..................275
8.7. Приближенная теория....................................279
Литература.............................................287
9. Фильтры свч с четвертьволновыми связями
9.1. Введение...............................................288
9.2. Основные определения...................................290
9.3. Прототипы фильтров свч. Лестничные схемы .... 293
9.4. Синтез нормированного лестничного прототипа............299
9.5. Примеры................................................306
9.6. Фильтры свч с четвертьволновыми связями................311
Литература.............................................323
10. Некоторые типы фильтров свч с непосредственными
связями
10.1. Прототип фильтров свч с непосредственными связями. Ступен-
чатые схемы........................................................325
10.2. Ступенчатые фильтры. Общие сведения.......................329
10.3. Ступенчатые фильтры гармоник.......................332
10.4. Фильтры на связанных линиях..............................349
10.5. Фильтры на связанных линиях с трансформирующими звеньями
на входе и выходе.......................................... 359
10.6. Фильтры на встречных стержнях..........................367
10.7. Лестничный прототип фильтров на связанных линиях . . . 371
Литература.............................................385