УДК 534.24
Предисловие
Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твер-
твердых телах. М.: Наука, 1981.
В настоящей монографии кратко и систематизированно
описаны основные физические свойства и характеристики
многочисленных типов звуковых (упругих) поверхностных
волн, дана их классификация. Весьма подробно изложены
вопросы возбуждения (приема) и распространения в твердых
телах различной формы поверхностных рэлеевских волн,
являющихся основным и наиболее широко используемым на
практике типом звуковых поверхностных волн. Теоретиче-
Теоретически и экспериментально рассмотрены звуковые поверхност-
поверхностные волны в пьезоэлектрических кристаллах, включая их
возбуждение (прием), взаимодействие с электронами (усиле-
(усиление волн постоянным электрическим током) и распростране-
распространение по цилиндрическим поверхностям. Отмечены многочислен-
многочисленные практические применения звуковых поверхностных волн.
Монография представляет интерес для научных работ-
работников, аспирантов, инженеров и студентов старших курсов
вузов, занятых исследованиями и техническими разработка-
разработками в области ультразвука, акустоэлектроники и физической
акустики.
Ил. 107. Табл. 9. Библиогр. 214 назв.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
В, А. КРАСИЛЬНИКОВ
БЗ-27-92-80 По подпис. 1704030000
© Издательство «Наука», 1981 г,
В 1885 г. лорд Рэлей (Дж. Стретт) теоретически по-
показал [1], что вдоль плоской свободной границы изо-
изотропного твердого полупространства могут распростра-
распространяться упругие поверхностные волны, амплитуда ко-
которых быстро спадает с глубиной. С тех пор эти волны,
названные рэлеевскими, прошли большой и быстрый путь
развития.
Вначале на весьма низких частотах (~1—100 Гц) они
использовались и подробно изучались только примени-
применительно к сейсмологии и сейсморазведке (рэлеевские волны
являются основным типом волн, наблюдающихся при
землетрясениях, поскольку, распространяясь по поверх-
поверхности, они затухают с расстоянием медленнее объемных
волн).
В 50-х годах нашего века ультразвуковые рэлеевские
волны с частотами ~10в Гц стали интенсивно использо-
использоваться как средство всестороннего неразрушающего
контроля поверхности и поверхностного слоя образцов
и материалов (определение дефектов, степени и глубины
термической закалки, остаточных механических напря-
напряжений, качества обработки поверхности и т. д.). Дело
в том, что скорость, затухание и структура рэлеевской
волны неразрывно связаны с механическими, терми-
термическими и прочими характеристиками поверхностного
слоя образца, в котором она распространяется. Поэтому
по скорости и затуханию рэлеевской волны можно по-
получать информацию о состоянии поверхностного слоя
образца.
Наконец, в последние 10—15 лет рэлеевские волны с
частотами 107—109 Гц очень широко применяются в ми-
миниатюрных твердотельных устройствах по обработке
информации (ультразвуковые линии задержки, поло-
полосовые фильтры, ответвители сигналов, конвольверы,
фазовращатели и т. д.). Применение рэлеевских волн в
таких устройствах вызвано тремя особенностями данных

волн: 1) возможностью «вывести» звуковой сигнал из любой
точки поверхности образца, по которому распространя-
распространяется волна; 2) удачным сочетанием поверхностной лока-
локализации волны с планарностью микроэлектронных уст-
устройств; 3) относительно большой концентрацией энергии
в волне вследствие малости слоя локализации волны.
Помимо техники, рэлеевские волны еще широко ис-
используются в чисто физических экспериментах как
инструмент для изучения свойств поверхности и поверх-
поверхностного слоя твердого тела, включая его «электрические»
характеристики, например электронные поверхностные
состояния в полупроводниковом кристалле.
Использование рэлеевских волн открыло принципиаль-
принципиально новые возможности.
Так, в ультразвуковой дефектоскопии применение рэле-
рэлеевских волн сделало ультразвуковой контроль универсаль-
универсальным — применимым для деталей и заготовок любой формы,
поскольку стали доступными для контроля поверхность
(плоская и криволинейная) и поверхностный слой образ-
образца. Это позволило ультразвуковому контролю выйти на
первое место среди других методов неразрушающего
контроля.
Высокочастотные звуковые волны и в первую очередь
поверхностные рэлеевские способствовали рождению целой
особой области науки и техники — акустоэлектроники,
лежащей на «стыке» высокочастотной акустики и элект-
электроники твердого тела. Акустоэлектроника изучает про-
процессы и явления, связанные с возбуждением, распростра-
распространением и приемом ультра- и гиперзвуковых волн различных
типов в твердых телах и их взаимодействием с электро-
электронами проводимости в кристаллах. В техническом плане
акустоэлектроника — это новые типы миниатюрных
твердотельных приборов и новые способы обработки ин-
информации. Основу акустоэлектроники составляют по-
поверхностные волны в кристаллах с частотами 10е—1010 Гц
(длины волн 1000—0,1 мкм).
Все перечисленное привело к тому, что звуковые рэле-
рэлеевские волны сейчас чрезвычайно широко изучаются во
всех странах и совокупность работ по ним составляет
целое научное направление. Помимо рэлеевских волн,
сейчас открыт и нашел применение целый ряд других типов
звуковых поверхностных волн (под звуковыми или акусти-
акустическими поверхностными волнами здесь и везде в дальней-
дальнейшем мы, если это не оговорено особо, понимаем упругие
Поверхностные Волны любых частот — инфразвуковых,
звуковых, ультра- и гиперзвуковых).
Целью настоящей монографии является попытка опи-
описать и систематизировать класс звуковых поверхностных
волн, их свойства и характеристики, уделив особое вни-
внимание наиболее широко используемым волнам — рэле-
евским и поверхностным волнам в пьезоэлектрических
кристаллах.
Монография написана на основе работ автора с со-
сотрудниками и материалов многочисленных публикаций.
При изложении материала основное внимание мы ста-
старались уделять физической стороне вопросов. Там, где
это возможно, дается и строгое математическое описание
явлений. Наряду с этим при описании различных типов
поверхностных волн кратко отмечаются практические
применения и новые технические перспективы, открыва-
открываемые поверхностными волнами.
Исследования по звуковым поверхностным волнам
проводились в Акустическом институте им. академика
Н. Н. Андреева АН СССР с 1954 г. по инициативе докто-
доктора технических наук Ю. М. Сухаревского. С чувством
глубокой признательности автор вспоминает доктора
физико-математических наук Г. Д. Малюжинца и доктора
технических наук Л. Д. Розенберга, которые полезными
советами и постоянным вниманием способствовали разви-
развитию этого направления исследований. Автор выражает
искреннюю благодарность академику Л. М. Бреховских,
члену-корреспонденту АН СССР Ю. В. Гуляеву, члену-
корреспонденту АН СССР С. В. Богданову, доктору фи-
физико-математических наук В. А. Красильникову, стар-
старшему научному сотруднику А. А. Чабану за обсуждение
результатов работы и младшим научным сотрудникам
Акустического института В. И. Васьковой, Т. М. Кае-
киной, П. А. Пятакову и А. А. Талашеву, проводившим
вместе с ним исследования по указанному направлению.
И. А. Викторов
Когда монография готовилась к печати, в расцвете
творческих сил скоропостижно скончался ее автор —
лауреат Государственной премии СССР доктор физико-
математических наук Игорь Александрович Викторов.
Память о нем навсегда сохранится у всех, кто близко
знал его и работал с ним.
В. А. Красилъников

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТИПЫ ЗВУКОВЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ
волн
И ИХ СВОЙСТВА
В первых четырех главах этой части мы опишем свой-
свойства и характеристики основных типов звуковых поверхност-
поверхностных волн, открытых, изученных и используемых ранее
других. Далее мы остановимся на различных обобщениях и
новых видах поверхностных волн, открытых сравнитель-
сравнительно недавно.
Глава I
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ
Волны Рэлея являются основным типом звуковых
поверхностных волн, т. е. наиболее распространенным,
хорошо изученным и максимально используемым. Поэтому
мы начнем изложение с описания этих волн.
1. Уравнения движения, граничные условия,
характеристическое уравнение
Рассмотрим распространение гармонической (зави-
(зависимость от времени согласно множителю е~ш) рэлеевской
волны с частотой а» вдоль плоской границы однородного
изотропного идеально упругого полупространства с ва-
вакуумом. Пусть полупространство занимает область z ^> О
(рис. 1.1). Как известно [2], в общем случае уравнение
движения изотропной однородной идеально упругой среды
записывается в следующей форме:
^graddivU.
A.1)
Здесь U — вектор смещения частиц среды; р — плотность;
Я и fi — упругие постоянные (параметры Ламе) среды;
А — оператор Лапласа. Представим вектор смещения
в виде
U = U, + U(, A.2)
где U; = grad cp; \Jt = rot if; ф и г|) — так называемые
скалярный и векторный потенциалы соответственно
(из векторного анализа известно, что такое представ-
представление всегда возможно). Подставляя выражение A.2) в
уравнение A.1) и производя некоторые операции [3], све-
сведем это уравнение к двум независимым уравнениям
A.3)
A.4)
Первое из них описывает распространение продольных,
второе — поперечных волн. Продольные волны — без-
Рис. 1.1. Твердое полу-
полупространство
/ / у /у
у////
Щ
уУУ/
ш
уШ
////////
У/у/^уу/У///
вихревые (rot U; = 0), а в поперечных отсутствует объем-
объемное сжатие и расширение (divUf = 0).
Не ограничивая по существу общности задачи, рас-
рассмотрим плоскую рэлеевскую волну, распространяющуюся
в положительном направлении оси х вдоль границы полу-
полупространства с вакуумом (см. рис. 1.1). В этом случае дви-
движение не зависит от координаты у и у векторного потен-
потенциала г|) будет отлична от нуля только компонента по
оси у. Эту компоненту обозначим просто через if. Для
плоской гармонической волны уравнения движения A.3),
A.4) будут удовлетворены, если потенциалы ф и г|) явля-
являются решениями двух волновых уравнений вида
, 0*ф , ,2 А
dz*
A.5)
A.6)
Здесь ki = а» Ур/ (X + 2ц), kt = со ]/р/|а — волновые
числа соответственно продольных и поперечных волн.

Будем искать решения уравнений A.5), A.6), соответ-
соответствующие плоской поверхностной волне. Для этого по-
положим
ф = F (z) exp [i (кх — (ot)], if = G(z) exp [i(kx — at)].
Подставляя эти выражения в уравнения A.5), A.6), по-
получим два линейных дифференциальных уравнения для
функций F (z) и G (z):
dz* V"
d?G(z) ....
dz* ^ ~
Двумя линейно независимыми решениями каждого из
написанных уравнений будут являться функции
ехр(+ Vk2 — k\z) и exp (± V к2 — к] z). Априори
предположим (как мы увидим в дальнейшем, это пред-
предположение подтвердится), что к2 ^> к] ^> к-,. Тогда ре-
решения с положительными радикалами в экспоненте
будут соответствовать нарастающему с глубиной дви-
движению, а решения с отрицательными радикалами —
экспоненциально убывающему, т. е. поверхностной волне.
Таким образом, выражения для ф и т|> приобретают вид
Ф = А ехр [—qz-\ri(kx — at)], ty = В exp [— sz -f-
+ i(kx — at)], A.7)
где q2 = № — k\; s2 — k% — k\\ А ж В — произвольные
постоянные.
Согласно соотношению A.2) компоненты смещения час-
частиц в волне по осям х ж z выражаются через потенциалы
Ф и о)) следующим образом:
Используя линейную связь между тензором деформаций
и тензором напряжений (закон Гука) в упругой среде [2]
и соотношения A.8), можно представить через ф и \р и
компоненты Тхх, Tzz, Txz тензора напряжений:
дхдг
дхд:
A.9)
d2t|3 5?tj) \
На границе z = 0 полупространства с вакуумом на-
напряжения Тгг и Т7^ должны обращаться в нуль. Подстав-
Подставляя выражения для ф и ф в эти условия, получим систе-
систему линейных однородных уравнений относительно, произ-
произвольных постоянных А и В:
-?-)\A + iksB = 0,
2(х э
2ikqA + {?¦ + s2) В = 0. A.10)
Условием существования нетривиального решения
этой системы является равенство нулю ее определителя
F (к). Это дает следующее характеристическое уравнение
для нахождения волнового числа к:
F (к) = Ak2qs — (к2 + s2J = 0. A.11)
Это уравнение называют уравнением Рэлея. Часто уравне-
уравнение A.11) записывают в полиномной форме
rf _ 8тL +8 C -2|2) ц2 - 16A - I2) = 0. A.12)
Здесь введены обозначения: ц = ktlk — c/ct; | = kjkt =
= ctlci\ ci, Ct — фазовые скорости продольных и поперечных
волн соответственно. Всегда, однако, следует помнить, что
уравнение A.12)—.производное и, в частности, может со-
содержать лишние корни по сравнению с исходным уравне-
уравнением Рэлея A.11).
2. Скорость, смещения и напряжения
в рэлеевской волне
Уравнение A.12) имеет шесть корней, значения которых
зависят только от коэффициента Пуассона v рассматривае-
рассматриваемой упругой среды. Рэлеевской волне соответствует корень
т]д, лежащий между нулем и единицей (в дальнейшем
индексом R мы будем отмечать все величины, относя-
относящиеся к рэлеевской волне). Можно показать [4, 5], что
для любых значений v, соответствующих реальным средам
@ <J v <; 0,5), уравнение A.12) имеет один и только один
такой корень, являющийся одновременно и корнем исход-
исходного уравнения A.11). Это подтверждает справедливость
нашего априорного предположения и вместе с тем доказы-
доказывает возможность существования рэлеевской волны на
свободной границе упругого полупространства. Прибли-
Приближенное выражение для этого корня [6] следующее:

При изменении v от 0 до 0,5 фазовая скорость рэлеев-
ской волны монотонно изменяется от 0,87 до 0,96 ct.
Нетрудно видеть, что рэлеевская волна не имеет диспер-
дисперсии фазовой скорости, поскольку r\R и ct не зависят от
частоты. Наконец, заметим, что здесь и везде далее под
скоростями продольной, поперечной (сдвиговой) и рэлеев-
ской волн и под упругими модулями твердой среды мы
понимаем их адиабатические значения, поскольку прак-
практически на всех частотах (вплоть до ~10ц Гц) деформа-
деформации в упругой волне происходят без теплообмена между
различными участками твердой среды [3].
Зная фазовую скорость рэлеевской волны, из уравне-
уравнения A.10) легко получить соотношение между произволь-
произвольными постоянными А и В и определить потенциалы <р и
¦ф (см. выражения A.7)) с точностью до одной произволь-
произвольной постоянной:
Z — wt)],
2 A exp 1—srz + i (kRx — wt)].
Ф = — А ехр [— qRz + i
2ikrlgTi
г|5 =
A.14)
Эти выражения показывают, что рэлеевская волна
состоит из двух неоднородных волн — продольной и
поперечной, которые распространяются вдоль границы
полупространства с одинаковыми скоростями и затухают
с глубиной по законам ехр (—У k2R — k\z) (продольная
волна) и ехр (— V к\ — kfz) (поперечная волна). На гра-
границе (z = 0) эти волны взаимно компенсируют создавае-
создаваемые ими напряжения.
Вычисляя из формул A.14) компоненты смещений по
осям х и z при помощи соотношений A.8), получим сле-
следующие выражения:
= AkR exp(— qRz) —
lqRs
-sflZ)| X
X ехр ; kRx — Ы тг >
L V ^ /J
A.15)
2/V2
C^z = ^?д | ехр (— qRz) — -" 2 ехр (—
X exp [i(kRx — coi)].
X
10
Рис. 1.2. Смещения в рэлеевской волне
Компоненты напряжений в рэлеевской волне можно
вычислить, воспользовавшись соотношениями A.9) и
A.14).
На рис. 1.2 изображена картина смещений в рэлеев-
рэлеевской волне. Точками обозначены частицы среды, которые
в отсутствие волны расположены на равных расстояниях
(по вертикали и горизонтали) одна от другой. На
рис. 1.3, а, б представлены рассчитанные нами [7] зависи-
зависимости амплитуд смещений Ux, Uz и амплитуд напряжений
Тхх1 Tzz, Txz в рэлеевской волне от глубины соответствен-
соответственно. Кривые даны в безразмерной форме: амплитуды сме-
смещений отнесены к амплитуде нормального смещения на
поверхности Uz0, а амплитуды напряжений — к ампли-
амплитуде TxX\z=o на поверхности. Глубина отложена в долях
длины волны. Кривые рассчитаны для значений коэффи-
коэффициента Пуассона v = 0,25 и 0,34. Между этими значения-
значениями заключены коэффициенты Пуассона для большинства
металлов. Из графиков видно, что смещение, нормальное
к поверхности, сначала возрастает, а затем монотонно
убывает с глубиной; смещение, параллельное поверхности,
меняет знак на глубине примерно 0,2 XR. Из графиков
видно также, что Тхх меняет знак, тогда как Tzz и Txz
достигают максимума приблизительно при 0,3 XR и затем
экспоненциально убывают с глубиной.
Поскольку компоненты смещений в рэлеевской волне
Ux и Uг сдвинуты по фазе на я/2, траекториями движения
частиц в волне являются эллипсы. При распространении
волны в положительном направлении оси х при выбран-
11

at о, в 0,8 in и—¦=;
-0,2
Рис. 1.3. Зависимости амплитуд смещений Ох, Oz (а) и амплитуд
напряжений Тхх, fzz, Txz (б) в рэлеевской волне от относительной
глубины z/Яд
1 — v = 0,25; 2 — v = 0,34
•ной нами системе координат вращение частиц по эллипсу
у поверхности происходит против часовой стрелки, на
глубине 2 ^> 0,2 Яд (когда смещение UR меняет знак) на-
направление вращения меняется на обратное. Большая по-
полуось эллипсов перпендикулярна границе полупростран-
полупространства, малая параллельна направлению распространения
волны. Эксцентриситет эллипсов зависит от расстояния до
поверхности и от коэффициента Пуассона упругой среды.
В табл. 1.1 приведены относительные размеры полуосей
эллипсов на разной глубине для четырех значений коэф-
коэффициента Пуассона v. В числителе даны размеры
большой полуоси (амплитуда Uz), в знаменателе — малой
(амплитуда Uх).
Таблица 1.1
0
0,25
0,50
1,00
v=0
1,000
0,772
0,745
—0,007
0,432
—0,104
0,109
-0,044
v=0,25
1,000
0,676
0,910
—0,076
0,587
—0,157
0,192
—0,071
v=0,33
1,000
0,626
0,968
—0,101
0,643
—0,177
0,219
—0,077
v=0,50
1,000
0,540
1,120
—0,158-
0,812
-0,206
0,339
-0,099
3. Распределение энергии в рэлеевской волне
по глубине
Вычислим функцию распределения средней по времени
плотности упругой энергии в рэлеевской волне по глу-
глубине [8]. Плотность упругой энергии в рэлеевской волне
складывается из плотностей кинетической и потенциальной
энергий. Эти плотности равны соответственно
Е (х т. П- Р
J...
En (x, z, t) = Ф (x, z, t). A.16)
Здесь Ф (x, z, t) — упругий потенциал [2]. Используя
выражения для упругого потенциала изотропной одно-
13

родной идеально упругой твердой среды [2], запишем
суммарную плотность энергии в виде
dUx(x,z,t)Y (dUz(x,z,l)
+ 2 (с?-2с?)
at J ' \ al
dU (x, z, I) db'lx, z, t)
dx
dx
dUx(x, z, t)
Fz
dz
dUz (x, z,
dz
dx
A.17)
Вычислим среднюю по времени плотность энергии в
рэлеевской волне. Для этого подставим в формулу A.17)
выражения A.15) для компонент смещений и произведем
усреднение по времени. В результате получим
Е (х, z, t) = ~r^ [Ax (v) exp (- 2qRz) -
— А2 (v) exp (— (qR -f sH) z) + Aa (v) exp (— 2sRz)\.
A.18)
Здесь
A2 (v) = 2 Kl-
X B + T,|
X
2 /l -
^a (v) = 4A- T&») D - 3t]2r)/B - T)|J.
На рис. 1.4 приведены кривые распределения средней
по времени плотности энергии в рэлеевской волне по глу-
глубине для сред с коэффициентом Пуассона в пределах
О—0,5 (все реальные среды). Средние плотности энергии
отнесены к средним плотностям энергии у поверхности
(z = 0). Как видно из графика, для всех твердых сред
плотность энергии сначала бкстро убывает при удалении
от свободной поверхности, затем это убывание замедляется
(при v < 0,1) или сменяется максимумом (при v > 0,1),
после чего наступает плавный экспоненциальный спад
плотности энергии с глубиной. Такой характер зависи-
зависимости можно интерпретировать следующим образом.
Вблизи свободной "поверхности плотность кинетической
энергии (пропорциональная квадратам амплитуд смеще-
14
0,2 ОЛ О,Б 0,8 1,0 1,2. Z/
Рис. 1.4. Зависимости средней по времени плотности энергии в рэ-
рэлеевской волне от относительной глубины
1 — v = 0; 2 — 0,1; 3 — 0,2; 4 — 0,3; 5 — 0,4; 6 — 0,5
ний в волне) максимальна и быстро спадает с глубиной,
приводя к спаду и плотность суммарной энергии. Плот-
Плотность потенциальной энергии, напротив, возрастает при
удалении от поверхности и имеет максимум на глубине
~0,2 Яд (где максимальны амплитуды деформаций в
волне). Это и обусловливает наличие максимума у плот-
плотности суммарной энергии.
Таким образом, в общем случае в произвольной точке
твердого полупространства средняя по времени плотность
кинетической энергии в рэлеевской волне не равна сред-
средней по времени плотности потенциальной энергии. Однако
непосредственный расчет показывает, что средняя по вре-
времени суммарная кинетическая энергия в волне (интеграл
от плотности кинетической энергии по глубине z) равна
средней по времени суммарной потенциальной энергии.
Это свидетельствует о том, что рэлеевскую волну (как и
«обычную» плоскую однородную упругую волну) можно
представлять как линейную колебательную систему (ли^
нейный осциллятор), для которой, как известно, такое
соотношение всегда имеет место.
Кривые смещений, напряжений ^и плотности энергий
в рэлеевской волне (см. рис. 1.3—1.4) иллюстрируют, что
15

рэлеевская волна локализована в поверхностном Слое
толщиной Яд — 2Ад. Как известно, длина волны Я — ос-
основная пространственная характеристика любой волны.
Поэтому равенство указанной глубины локализации ве-
величине порядка X демонстрирует, что рэлеевская волна
является типично поверхностной.
Мы привели здесь основные характеристики рэлеевских
волн. Более подробно свойства этих волн, методы возбуж-
возбуждения (приема) и распространение в однородных изотроп-
изотропных твердых телах описаны в следующей части.
4. Рэлеевские волны в кристаллах.
Основные соотношения
В настоящее время рэлеевские волны в изотропных
твердых телах изучены весьма основательно [7]. Очень
важным моментом явилось обобщение рэлеевских волн
на случай анизотропной среды. Рассмотрим здесь кратко
схему расчета и основные соотношения, которые имеют
место при распространении плоской гармонической рэле-
евской волны вдоль свободной границы кристалла произ-
произвольной симметрии, занимающего полупространство
х3 > 0. Как известно [3], для уравнения движения анизо-
анизотропной однородной идеально упругой среды при отсутст-
отсутствии пьезоэффекта мы вместо A-1) имеем более сложную
форму:
im я яг
ОХ]. ОХХ
i, к, I, m = 1, 2, 3,
A.19)
где Ult 2, з — компоненты смещения в волне по осям х1ч
х2, х3 прямоугольной системы координат (рис. 1.5); cik-m —
компоненты тензора упругих модулей. По всем дважды
повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается
суммирование. Оси хг, х2, х3 для простоты обычно выби-
выбирают по возможности совпадающими с осями симметрии
кристалла.
Будем искать решение уравнений A.19) в виде следую-
следующих плоских волн:
V\ — At exp [ik cos a3x3] exp [ik (cos a^ + cos a2a:2 —
- ct)]. A.20)
Здесь к = со/с — неизвестный и произвольный пока па-
параметр, который мы будем называть волновым числом рэле-
евской волны; с — фазовая скорость волны; cos ax, cos a2 —
16
направляющие косинусы
(см. рис. 1.5); cosa3 —неиз-
—неизвестная функция к и упру-
упругих параметров среды. Оп-
Определим далее волновой век-
вектор
к = к (xj cos ax
+ х° + cos a2),
A.21)
где
xi, X2 — единичные век-
Рис. 1.5. Анизотропное по-
полупространство с осями ко-
координат
торы по осям хх и х2. При
таком определении волно-
волновой вектор всегда параллелен
свободной поверхности. Под-
Подставляя выражения A.20)
в уравнение A.19) и учитывая, что Ut = bimUm, получим
систему линейных однородных уравнений относительно Аг
(pw2S;m — cik,m к2 cos ak cos a.-) Am = 0, A.22)
гДе ^im — символ Кронекера. Как известно, такая систе-
система имеет отличные от нуля решения только при равенстве
нулю ее определителя. Таким образом, должно выпол-
выполняться условие
I к2са,т cos ak cos a; — р ©26im | = 0. A..23)
В случае объемных волн в бесконечном кристалле это
уравнение следует рассматривать как бикубическое урав-
уравнение относительно неизвестного волнового числа к.
Для каждого заданного направления (когда указаны все
направляющие косинусы cos a;) оно определяет три вол-
волновых числа и соответственно три волновых вектора к,
отвечающих одной квазипродольной и двум квазипопе-
квазипоперечным волнам [3].
В случае поверхностных рэлеевских волн, когда cos a3
является не третьим направляющим косинусом, а неиз-
неизвестной функцией (см.A.20)), уравнение A.23) следует
рассматривать как уравнение шестой степени для cos a3
с параметром к. Поскольку cos a1 и cos a2— вещественные
величины, коэффициенты при степенях cosa3 в уравнении
A.23) также чисто вещественные и уравнение A.23) в об-
общем случае имеет три пары комплексно-сопряженных кор-
корней. Среди значений (cos as)(m> мы должны отобрать три
значения с положительными коэффициентами при мни-
17

мых Частях Im (cos a3) ^> 0, которые удовлетворяют
условию излучения, т. е. дают решение, ограниченное
во всем полупространстве. После отбора указанных трех
значений cos a^l) (и = 1, 2, 3) мы можем из системы
уравнений A.22) выразить две из произвольных постоян-
постоянных At (i — 1, 2, 3), входящих в A.20), через третью (нап-
(например, через А]). В результате для каждого из трех зна-
(п)
чении cos Оз мы получим совокупность трех значении
Ain) D,3), зависящих в каждом случае только
от одной произвольной постоянной А^. Эти -4{П)
определяют частные решения системы уравнений A.19).
Общим решением системы будет следующая линейная
комбинация частных решений:
г = 2j CnAi exp [ik (cos axXi-}-cos п2
71=1
з—ct)},
A.24)
где Cn — новые произвольные постоянные.
Полученные выражения зависят от трех произвольных
постоянных Сп, от неизвестного волнового числа к и пос-
постоянных кристалла. Как видно из выражений A.24),
смещения Ut в рзлеевской волне в кристалле представля-
представляют собой суперпозицию не двух, как в изотропной среде,
а трех неоднородных плоских волн (парциальные волны),
распространяющихся с одной и той же фазовой скоростью
в плоскости х3 = 0 и затухающих (каждая по своему
закону) при удалении от этой границы.
Для нахождения волнового числа к обратимся к гра-
граничным условиям, которым должно удовлетворять иско-
искомое решение A.24). Эти условия сводятся к равенству
нулю компонент тензора напряжений на границе
dU
= 0 A = 1,2,3). A-25)
Подставляя в A.25) выражения A.24), получим систему
трех линейных однородных уравнений относительно Сп.
Приравнивая нулю определитель D этой системы, будем
иметь дисперсионное уравнение для нахождения волно-
волнового числа к рэлеевской волны. Определитель третьего по-
порядка D состоит из девяти элементов вида
din —
COS
A.26)
18
Где cos ajn) = cos al7 cos o4n) = cos a2. В общем случае
cos 0C3 является величиной комплексной, поэтому и
определитель D, вообще говоря, комплексный. В частных
случаях достаточно высокой симметрии задачи этот опре-
определитель может быть чисто вещественной величиной.
Приведенная здесь краткая схема решения задачи о
распространении рэлеевской волны в кристалле, кото-
которую мы закончили получением дисперсионного уравнения,
показывает, что дисперсионное уравнение весьма сложно
и решить его можно практически только численным ме-
методом. В этой связи нельзя дать однозначный строгий
ответ о возможности существования рэлеевской волны,
распространяющейся по любому направлению в крис-
кристалле произвольной симметрии, хотя в весьма большом
количестве кристаллов такое существование сейчас уста-
установлено расчетным и экспериментальным путем.
5. Новые свойства рэтеевских волн,
обусловленные анизотропией
Упругая анизотропия приводит к целому ряду особен-
особенностей в структуре, свойствах и характеристиках рзлеев-
ских волн. Рассмотрим здесь основные из них.
Прежде всего структура и свойства рэлеевской волны
существенно зависят от направления распространения
и симметрии кристалла.
В кристаллах возможно существование новых (по
сравнению с рэлеевской) типов поверхностных волн (под-
(подробнее это будет рассмотрено в разд. 15, 16, 24 этой части)
и одновременное существование двух видов поверхност-
поверхностных волн.
Поясним две указанные особенности на примере ку-
кубических кристаллов. Известно [9], что в кристаллах GaAs,
Si, Си и ряде других (в отличие от изотропного твердого
тела) в плоскости @01) существуют две поверхностные вол-
волны: волна 1, являясь рэлеевской при 9 = 0 (рис. 1.6),
при направлении распространения, близком к диаго-
диагональному (9 ->¦ я/4), плавно переходит в чисто попереч-
поперечную объемную волну со смещением, параллельным сво-
свободной поверхности. Поверхностная волна 2, являясь
при 9 = я/4 чисто рэлеевской, превращается при откло-
отклонении от этого значения 9 в «вытекающую» волну (под-
(подробнее об этих волнах будет сказано в разд. 9 этой главы),
19

a
Рис. 1.6. Две поверхностные волны на плоскости @01) кубического
кристалла
а — 9 = я/4; б — 9 ф JT/4
излучающую энергию в глубь кристалла, поскольку ее
фазовая скорость с при этом превосходит фазовую ско-
скорость С(Ор объемной поперечной волны с горизонтальной
поляризацией (из-за анизотропии упругих свойств фазо-
фазовые скорости двух поперечных волн в кристалле могут
сильно различаться, и соотношение с > с[ор в отличие
от изотропного случая можно реализовать). Излучение
возрастает при увеличении отклонения Д9, и при 9 ~ 20°
эта волна переходит в объемную.
Из сказанного ясно, что для обозначения волны, рас-
распространяющейся вдоль свободной границы кристалла,
целесообразно использовать более общий термин — «по-
«поверхностная волна», конкретизируя для каждого задан-
заданного направления ее структуру более детально: волна
рэлеевского типа, вытекающая волна и т. д.
К особенностям поверхностных волн в кристалле от-
относится и усложнение их структуры. В общем случае
плоская поверхностная волна в кристалле имеет не две
(как в изотропной среде), а три компоненты вектора сме-
смещения (см. формулы A.24)) и является, таким образом,
волной смешанной (вертикально-горизонтальной) поля-
поляризации. Уменьшение амплитуды смещения с глубиной
в парциальных волнах, а следовательно, и в результи-
результирующей поверхностной волне, определяемое значениями
cos азХ\ cos <42\ cos <43\ может происходить не по экспо-
экспоненциальному закону, а по осциллирующей экспоненте
(произведение экспоненциальной и тригонометрической
20
функций). Волна в этом случае называется обобщенной
поверхностной.
Характерной особенностью поверхностных волн в
кристаллах является еще несовпадение направления вол-
волнового вектора к с направлением вектора групповой ско-
скорости сгр = d(o/dk. Как и для объемных волн в анизот-
анизотропных средах, это означает, что фаза и энергия волны
распространяются в различных направлениях.
Интересными свойствами обладают поверхностные
волны в пьезоэлектрических кристаллах. Распростране-
Распространение волн в таких средах сопровождается квазистатичес-
квазистатическим электрическим пьезополем. Вследствие этого появи-
появилась возможность возбуждать волны, создавая электри-
электрическое поле в тонком поверхностном слое образца при
помощи системы металлических электродов, нанесенных
на его поверхность. Это позволило получить в пьезоэлект-
пьезоэлектрических кристаллах поверхностные волны предельно
высоких частот ~1010 Гц. Далее, наличие электронов про-
проводимости у пьезоэлектрических кристаллов (так назы-
называемые пьезополупроводниковые кристаллы, например
структуры вюрцита CdS, ZnS, ZnO, CdSe и т. д.) приводит
к принципиально новому явлению — взаимодействию
поверхностных волн с электронами. Известно несколько
механизмов электрон-фононного взаимодействия в крис-
кристаллах, однако взаимодействие через пьезоэффект явля-
является наиболее интенсивным на частотах 10е—1010 Гц,
широко доступных для экспериментального исследования.
Эффект взаимодействия поверхностной волны с электрона-
электронами проводимости кристалла представляет как чисто физи-
физический, так и технический интерес. Он дает возможность
получать информацию о характеристиках поверхностного
слоя кристалла; с другой стороны, усиление поверхност-
поверхностных волн постоянным током и вообще взаимодействие
волны с электронами широко используется в акусто-
электронике.
В настоящее время по поверхностным волнам в крис-
кристаллах имеется очень много работ. Теоретически и экспе-
экспериментально показано, что поверхностные волны сущест-
существуют в большом множестве реальных кристаллов. В целом
ряде работ исследованы методы возбуждения и приема
высокочастотных поверхностных волн в кристаллах [10],
вопросы существования и распространения в кристаллах
различных симметрии [9], взаимодействие с электронами
в полупроводниках, включая усиление волн постоянным
21

током [11—15], затухание и прочие свойства волн
[16-18].
Мы в рамках данной книги, естественно, не можем
охватить весь круг вопросов, связанных с поверхностными
волнами в кристаллах, однако наиболее интересные, с нашей
точки зрения, аспекты мы рассмотрим. Это слабонеодно-
слабонеоднородные и вытекающие волны в кристаллах (см. разд. 15,
16, 24 первой части) и поверхностные волны в пьезоэлект-
пьезоэлектрических кристаллах (третья часть).
Глава II
ЕОЛНЫ ЛЯВА
Рэлеевская волна в изотропном твердом полупростран-
полупространстве, рассмотренная в гл. I, состоит из двух плоских
неоднородных волн — продольной и поперечной с векторами
смещения, лежащими в плоскости, перпендикулярной
границе и параллельной направлению распространения
волны. Эти волны и составленная из них рэлеевская
волна — волны с вертикальной поляризацией.
Рассмотрим теперь волновые движения с взаимно
дополнительным типом поляризации (горизонтальная
поляризация), представляющие собой плоские попереч-
поперечные волны со смещениями, параллельными свободной
поверхности полупространства и перпендикулярными на-
направлению распространения волны. Пусть волновой век-
вектор лежит в плоскости xz, а смещения параллельны оси
у (рис. 1.7). Эти волны с горизонтальной поляризацией
также удовлетворяют уравнению A.1), являясь его вторым
линейно-независимым решением. Действительно, пусть
Uy Ф О, UX = Uz = 0 и д/ду = 0, поскольку волны плос-
плоские. Тогда уравнение A.1) принимает следующую простую
форму:
p-^ = |iAU, A.27)
где U = Uyy0. Очевидно, что решением этого уравнения
и является указанная система волн с горизонтальной по-
поляризацией.
Простейшей волной с горизонтальной поляризацией
является плоская объемная поперечная волна, скользя-
скользящая вдоль границы полупространства и описываемая
22
выражением
Uу = А ехр [I (ktx — at)],
A.28)
где А — произвольная постоянная. Эта волна строго удов-
удовлетворяет граничным условиям отсутствия напряжений
на плоскости 2 = 0. Скользящая объемная поперечная вол-
волна, как будет видно в дальнейшем, «неустойчива» в том
смысле, что небольшое изменение граничных условий или
Рис. 1.7. Твердое полу-
полупространство со слоем
свойств среды превращает ее в поверхностную. Поэтому
ее можно рассматривать как некоторый предельный слу-
случай поверхностной волны с бесконечной толщиной слоя
локализации. Первым примером такой неустойчивости
являются волны Лява [2, 3] — второй основной тип зву-
звуковых поверхностных волн. В этом случае поверхностная
волна получает «возможность существования» из-за до-
добавления к полупространству твердого слоя (см. рис. 1.8),
являющегося нагрузкой для полупространства.
6. Изотропное однородное полупространство
со слоем
Рассмотрим распространение плоской гармонической
поперечной поверхностной волны вдоль границы двух од-
однородных изотропных идеально упругих сред — твердо-
твердого полупространства и твердого слоя толщины h (см.
рис. 1.7). И в слое (индекс 1), и в полупространстве z^>0
(индекс 2) единственная отличная от нуля компонента сме-
смещения в волне Uy 2) должна удовлетворять уравнению
движения A.27) (с соответствующими значениями р, ц).
Будем искать решения для Uy1'2) в виде следующей сово-
совокупности плоских волн, синфазно распространяющихся
23

Вдоль границы 2 = 0:
Uy} = (В sin si_z -f C cos
exp [i (kx — a>t)},
A.29)
f/y2) = A exp (—s2z) exp [i (kx — a>t).
Здесь А, В, С — произвольные амплитуды; Si — У к\г — кг;
s2 = У к2 — к\2 (под s2 понимается ветвь этой функции,
удовлетворяющая принципу излучения); к — волновое
число.
Граничные условия задачи заключаются в непрерывно-
непрерывности (касательных) компонент смещений и напряжений при
z = 0 и в отсутствии напряжений приг = —h. Подставляя
выражения A.29) в указанные три граничных условия,
получим систему их трех линейных однородных уравне-
уравнений относительно неизвестных амплитуд А, В, С
А — С = 0,
\x2s2A — щ«1# =0, A.30)
Sicossih В ¦—Si sin sth С = 0.
Приравнивание нулю определителя этой системы приво-
приводит к дисперсионному уравнению
tg Sih = \i2s2/\iiSi. A-31)
Из системы A.30) можно выразить неизвестные ампли-
амплитуды В ж С через А, после чего выражения A.29) для сме-
смещений становятся зависимыми от одной произвольной
постоянной и приобретают следующий вид:
U"y} = A cos Si(h -f- z) exp [i (kx — &t)],
A.32)
f/(u2) = A cos sji exp [i (kx — a>t) — s2z].
Нетрудно показать, что при условии сп < ct2 (замед-
(замедляющий слой) дисперсионное уравнение A.31) имеет дей-
действительные корни, лежащие в пределах ktl^>k^> kt2. Это
доказывает, что волны Лява существуют и их фазовая ско-
скорость всёгдаменьшефазовоискорости поперечных объемных
волн в полупространстве и больше скорости этих волн в
слое. Уравнение A.31) имеет множество указанных кор-
корней. Различные корни соответствуют волнам Лява разных
номеров (порядков). Число их тем больше, чем больше
htfh. Это показывает, что волны Лява существуют в виде
24
2
Рис. 1.8. Зависимость фазовых (сплошные линии) и групповых
(штриховые) скоростей трех первых волн Лява от относительной
толщины слоя ktih
совокупности нормальных волн, каждая из которых удов-
удовлетворяет уравнениям движения, граничным условиям
и имеет свой закон распределения смещений и напряжений
в слое и полупространстве.
Часто под волной Лява понимают только волну
первого номера, которая существует при всех толщинах
слоя, включая и ktih-^-§. При тонком слое (knh <^. 1)
эта волна описывается выражениями
U'f = A exp [i (кх — Ы)],
= А ехр [г (kx — &t) — s2z],
A.33)
S2 — Kt2
Как видно из A.33), смещения в слое постоянны по тол-
толщине, а в полупространстве медленно убывают с глуби-
глубиной. Фазовая скорость волны лишь немного меньше, чем
в полупространстве (на величину ~(&гг^J)- При увели-
увеличении толщины слоя фазовая скорость волны уменьшается
и стремится к фазовой скорости поперечной объемной вол-

I/,
fz)
4 8 x±,Z
ны в слое, а смещения становятся распределенными по ко-
косинусу.
На рис. 1.8 изображены фазовые и групповые скорости
трех первых волн Лява в зависимости от knh, рассчитан-
рассчитанные для следующего соотношения между параметрами слоя
и полупространства: pi = p2, ^i = ц2/2. Как видно из
рисунка, кривые для волн разных номеров качественно
очень похожи. При малых толщинах слоя фазовые и груп-
групповые скорости волн определяются параметрами полу-
полупространства и очень близки к значению cti, при больших
толщинах — параметрами слоя и соответственно близки
к значению сп. Фазовые скорости монотонно уменьшают-
уменьшаются с ростом толщины слоя, а групповые имеют минимум и
области очень сильной дисперсии перед ним.
Зная фазовые скорости, можно вычислить смещения
и напряжения в волнах Лява. На рис. 1.9 изображены рас-
распределения смещений в волнах Лява трех первых номеров
при различных относительных толщинах слоя knh. Из
графиков видно, что для волны первого номера (рис. 1.9, а)
смещения монотонно убывают при удалении от верхней
(свободной) границы слоя. Во второй и третьей волнах Ля-
Лява (рис. 1.9, б, в) в слое имеются узлы и пучности смещений,
и лишь в полупространстве смещения экспоненциально
убывают с глубиной. С увеличением толщины слоя волна
все меньше проникает в полупространство и почти цели-
целиком локализуется в слое.
7. Полупространство со слабой поверхностной
неоднородност ью
Интересным новым обобщением волн Лява являются
поперечные поверхностные волны в полупространстве с
небольшой поверхностной неоднородностью, рассмотрен-
рассмотренные в работе [19]. Такая неоднородность возникает во
многих практических случаях, например при механичес-
механической обработке поверхности (в частности, при упрочнении
поверхностного слоя стекла методом ионной имплантации),
при освещении поверхности фоточувствительного полу-
Рис. 1.9. Распределение смещений в волнах Лява первого (а),
второго (б) и третьего (в) номеров
J — fefj/i = 0,5; 2 — 1,5; 3 — 3,0; 4 — 6,1; 5 — 5,0; в — 6,75; г —10,7;
# — 151,8; 9 — 9,5; 10 — 12,0; 11 — 18,2; 72 — 24,0
27

проводникового пьезокристалла (CdS, GdSe, ZnO, ZnS
и т. д.) поглощаемым светом и т. д.
Рассмотрим эту задачу на примере изотропного идеаль-
идеально упругого твердого полупространства с тонким и слабо-
слабонеоднородным поверхностным слоем. Пусть плотность р
и модуль сдвига \i изменяются по следующим законам:
М-о
¦exp(--
A.34)
где z — координата, направленная в глубь полупростран-
полупространства; z0 — характерная глубина неоднородного слоя; р0 и
|х0 — соответствующие значения р и |х на большой глубине,
О < Ар/ро, ЛЦ'/Н'О <С 1- Динамическое уравнение дви-
движения для неоднородного полупространства записывается
в форме (ср. с A.1) A.19))
дги. дт.,
где Тi}i — тензор напряжений, имеющий тот же вид, что и
для однородного твердого тела, но с модулями упругости,
являющимися функциями координат (х, у, z). Для нашего
частного случая, когда Ux = Uz = 0, Uy Ф 0, а зависи-
зависимость плотности и упругих модулей имеется только от
координаты z, уравнение A.35) приобретает вид
d*U л„ dll
р у —^(z)Ac/y— -^--^- = 0. A.3b)
Поскольку неоднородности слабые, последний член это-
этого уравнения много меньше остальных и его можно от-
отбросить (справедливость этого априорного предположения
подтверждается полученным решением).
Будем искать решение укороченного уравнения в виде
гармонической плоской волны, распространяющейся
вдоль границы:
Uy = AF (z) exp li (кх — at) — sz], A.37)
где А — произвольная постоянная; F (z) — неизвестная
функция; s — \ кг — (k°t)* (под s понимается ветвь этой
функции, удовлетворяющая условию излучения); к — не-
неизвестное волновое число; k°t = © \/ Po/fJ-o- Введем новую
переменную
/^_ Др
\ М-о
Ро
ехр (— z/z0) = d2 exp (
ПодставлЯя выражение A.37) в уравнение A.36) без послед-
последнего члена, получим дифференциальное уравнение для/1
- 1)^ + [A + 2и0) -
~
A.38)
Это гипергеометрическое уравнение, и его решением
является следующая гипергеометрическая функция:
F = F (а, р, 7, Ю- гДе а = (s — /с) z0, р = (s + к) z0)
7 = 1 +2sz0. Приближенное выражение для F следую-
следующее:
/? = l + i*|4-0(l>). A.39)
Решение A.37) должно удовлетворять граничному ус-
условию отсутствия сдвиговых напряжений на плоскости
z = 0, т. е.
9U
= 0.
A.40)
Производя вычисления, получим из A.40) дисперсионное
уравнение, которое приводит к выражению для искомого
волнового числа поверхностной волны
A.41)
Таким образом, выражения A.37), A.41) показывают,
что при рассмотренной типичной неоднородности поверх-
поверхностного слоя в твердом полупространстве может сущест-
существовать и распространяться наряду с рэлеевской допол-
дополнительная поверхностная волна, являющаяся некоторым
обобщением волны Лява. Эта волна локализована в по-
поверхностном слое толщиной гЛ = Us, которая тем больше,
чем слабее неоднородность:
Ди. Др \-i 1 1
А»
A.42)
—|
Так, например, при —— -| — = 0,08, k°tz0 = 1 волна лока-
^о о Ро
лизована в слое толщиной порядка двух длин волн: zr~2X,
а ее фазовая скорость с — 0,997 cf, т. е. меньше скорости
поперечной объемной волны в однородном пространстве
(с параметрами \ia, p0) на 0,3%.
29

Поскольку слабая неоднородность поверхностного слоя
твердого тела часто встречается на практике и легко мо-
может быть создана специально, описанные поверхностные
волны, по-видимому, должны довольно часто наблюдать-
наблюдаться в экспериментах.
Другой интересной модификацией волн Лява являются
поперечные (сдвиговые) волны в полупространстве со сво-
свободной границей гребенчатого профиля [20] (периодичес-
(периодическая система канавок прямоугольной формы, пропиленных
на поверхности твердого тела перпендикулярно направле-
направлению распространения волны). В зтом случае поверхност-
поверхностный слой полупространства как бы «размягчается» и имеет
меньшие эффективные модули упругости по сравнению
с остальной толщей полупространства. Таким образом,
получается эквивалент замедляющего слоя для волн
Лява. Вдоль такой границы может распространяться за-
замедленная поперечная поверхностная волна. Однако
граничные условия на такой (сложной формы) поверхности
приводят к тому, что эта волна не может быть гармоничес-
гармонической в пространстве, а имеет сложную пространственную
структуру (типа структуры блоховских функций для дви-
движения электрона в периодическом поле кристаллической
решетки). Благодаря этому данное волновое образование
имеет очень сильную дисперсию фазовой и групповой ско-
скоростей.
В настоящее время волны Лява реализуются и исполь-
используются не только в сейсмологии (как первоначально),
но и в лабораторных условиях. В физических эксперимен-
экспериментах и в технических применениях волны Лява часто воз-
возбуждаются и распространяются в кристаллах, где, как
правило, направление распространения выбирается таким
образом, что волны имеют такую же структуру, как в изо-
изотропных средах. Основной областью применения высоко-
высокочастотных волн Лява (диапазон 10е —109 Гц) является
акустозлектроника [21—27]. Для зтих целей, в частности,
Ю. В. Гуляев и В. И. Пустовойт [28] предложили уси-
усиливать волну Лява электрическим током некоторым оп-
оптимальным способом (используя ее природу), «разнося»
дрейф электронов и пьезополе в волне в разные среды
(слой и полупространство), специально подобранные для
зтих целей (тогда параметры сред легче подобрать нужным
образом); подробнее об зтом см. гл. VI третьей части.
30
Глава III
ВОЛНЫ СТОУНЛИ
Третьим основным типом звуковых поверхностных волн
являются волны на границе двух твердых полупространств
(жестко склеенных), описанные Стоунли [29] в 1924 г.
Волны Стоунли бывают двух поляризаций: вертикальной
(UXi г ф 0, U у = 0) и горизонтальной (Uy ф 0, Ux, z = 0).
8. Граница двух изотропных твердых
полупространств
Рассмотрим распространение плоской гармонической
поверхностной волны в направлении положительной оси а;
вдоль плоской границы z = 0 двух жестко склеенных твер-
твердых полупространств (рис. 1.10).
Повторяя во многом рассуждения
разд. 1, будем считать, что волна
в каждом из полупространств
состоит из суммы продольной и
поперечной плоских волн, каждая
из которых является решением
уравнений A.3) или A.4) с соот-
соответствующими значениями р, X, |х.
Тогда выражения для смещений
Рис. 1.10. Граница двух
твердых полупространств
можно представить в следующей форме:
U(x) = 1—ikAi exp (—qtz) -\- st Вх ехр (— sz)] X
X ехр [i (кх — at)],
U{P = I?i-4i ехр (—qtz) -\- ik Вх ехр (—sz)] X
X ехр [i (кх — at)], A.43)
U'f = [—ikAa exp (q2z) + s2B2 exp (s2z)] /,
X exp U (кх — a>t)],
U{? = l—q2A2 exp (q2z) — ik B2 exp (s2z)] X
X exp [i (kx — at)].
Здесь .di.j, -Bii2 —произвольные амплитуды; Si = (к2 —
- О'''! *2 = (к2 - faI/'; qx = (A» - #,)'/=; q2 = (fc« - kf2)^
(под ?i, 2, $i, 2 понимаются ветви этих функций, удовлет-
удовлетворяющие принципу излучения); к — волновое число.
Компоненты тензора напряжений Txz и Тгг в средах 1, 2

выражаются через смешения по соотношениям
НЕ*
dz
дх
1 zz = Л
dU
дх
dz
A.44)
На границе z = О должны выполняться условия ра-
равенства данных компонент напряжений и смещений Ux, г
в средах 1, 2. Записывая эти условия, получим систему
линейных однородных уравнений относительно амплитуд
At,?, 5i, 2
-щ (к2 + sfjAj. + ц2 (А-2 +
+ 2i\i2s2kB2 = О,
- 2i\jilSlkB1 +
A.45)
= 0,
= 0.
Условием существования нетривиального решения этой
системы является равенство нулю ее определителя. Это
приводит к следующему дисперсионному уравнению:
s2
1 + 1Г
1
ТГ -2lii-г- 2ц2-
— 1
= 0.
A.46)
Искомой поверхностной волне соответствует веществен-
вещественный корень к0 данного уравнения, который удовлетворяет
условию
ко>кп, кп. A.47)
Только в этом случае выражения A.43) описывают вол-
волновое движение, локализованное вблизи границы двух
полупространств. После нахождения волнового числа к0
можно из системы A.45) выразить три произвольные по-
постоянные через четвертую и по формулам A.43) рассчи-
рассчи32
тать смещения в волне. Траекториями движения частиц
в волне (как и в случае волны Рэлея) являются эллипсы.
Дисперсионное уравнение A.46) достаточно сложно,
и в общем случае (при произвольном соотношении пара-
параметров рь 2. ^i, 2-. Mi. 2) его решение возможно только числен-
численным методом. Анализ показывает [29, 30], что уравнение
A.46) не всегда имеет корень, удовлетворяющий условию
A.47), т. е. волна Стоунли (в отличие от волны Рэлея)
существует только в определенной области соотношений
между параметрами граничных сред. Рассмотрим неко-
некоторые характерные случаи.
Прежде всего заметим, что, если р2/рх ->- 0, то урав-
уравнение A.46) переходит в известное уравнение Рэлея
A.11), а волна Стоунли переходит в волну Рэлея. В этом
легко убедиться, если использовать для элементов двух
первых строк определителя A.46) тождественные соот-
соотношения \ix = ptCtV \i2 = р2ск-
Далее в работе [29] показано, что при равенстве фазо-
фазовых скоростей упругих волн в граничных полупростран-
полупространствах (сп = сп, сп = сB), но при pi#p2 волны Стоунли
всегда существуют. Волны существуют также, если соот-
соответствующие фазовые скорости достаточно близки между
собой.
9. Граница твердого и жидкого полупространств
Наконец, рассмотрим случай, когда второе полупро-
полупространство — жидкость [4, 7]. Переходя в уравнении A.46) к
пределу при Мз~>-0иучитывая, чтоs«—> 00, ц2-р--^ — рсж
(где сж — фазовая скорость звуковой волны в жидкости),
Мг«2 ->- 0, получим после некоторых преобразований сле-
следующее уравнение:
A.48)
Pi Ч ж
где рж — плотность жидкости; q'^ = к2 — к2щ. Данное
уравнение отличается от уравнения Рэлея A.11) для полу-
полупространства со свободной границей наличием правой ча-
части, учитывающей влияние жидкости на полупространство
1 (см. рис. 1.10). Вычисляя по соотношениям A.43), A.45)
смещения в верхнем и нижнем полупространствах с уче-
учетом указанных предельных соотношений при \л2 —> 0
2 И. Л. Викторов 33

получим, что движение в твердом теле описывается выра-
выражениями A.15), в которых kR нужно заменить на волно-
волновое число к0 волны Стоунли, а в жидкости — форму-
формулами
~- exp I i (kx — at +-?Pl + джг\ ,
U? = Акп —^ exp [t (кх - at) + джг].
A.-49)
В работе [31] показано, что в отличие от границы двух
твердых полупространств при любом соотношении пара-
параметров твердой и жидкой сред уравнение A.48) имеет один
вещественный корень, соответствующий поверхностной
волне, бегущей вдоль границы с фазовой скоростью с,
меньшей скорости сж волны в жидкости и скоростей Сц,
сп продольных и поперечных волн в твердом теле.
В случае существенного различия плотностей и упру-
упругих модулей жидкости и твердого тела, когда рж/р <^ 1
и (<?ж/сгJ<^;1, для этого корня справедливо выражение [4]
2 п
A.50)
Приведенные выражения показывают, что скорость рас-
рассматриваемой волны немного меньше сж и в жидкости вол-
волна локализована в толстом слое: zn = 1/дж~Аж/2я]/ 2а ^>
5§>ЯЖ, а в твердом теле — в тонком: толщина слоя ее ло-
локализации равна примерно Яж/2я. Энергия волны сосре-
сосредоточена в основном в жидкости. Отметим, что именно
эта волна распространяется по дну океана при землетря-
землетрясениях.
10. Некоторые итоги
В заключение суммируем кратко основные особенно-
особенности и свойства волн Стоунли. В изотропных твердых телах
волны Стоунли — это волны с вертикальной поляриза-
поляризацией. В основополагающей работе [29] показано, что вол-
волны Стоунли с горизонтальной поляризацией, у которых
имеется только смещение Uv, не могут существовать на
границе изотропных полупространств. Волны с такой по-
поляризацией возможны только при наличии промежуточ-
34
ного твердого слоя между двумя полупространствами,
скорость поперечных волн в котором меньше, чем в
граничных полупространствах. Такие волны называются
обобщенными волнами Лява [29].
Волны Стоунли, как и волны Рэлея, не обладают дис-
дисперсией фазовой скорости. Эта скорость, как и другие
характеристики волн, включая критерий существования,
полностью определяется плотностями и упругими пара-
параметрами граничных сред. Скорость волн Стоунли всегда
меньше скоростей продольных и поперечных волн в гра-
граничных средах.
Толщина слоев локализации волн Стоунли обычно
порядка длины волны к, но в некоторых случаях, как,
например, для границы твердое тело—жидкость, это не
выполняется.
В настоящее время наряду с применением в сейсмо-
сейсмологии волны Стоунли на частотах 106—107 Гц успешно
используются в физических экспериментах и ультразву-
ультразвуковой дефектоскопии [32, 33]. Делаются попытки приме-
применения этих волн на более высоких частотах в акусто-
олектропике [16, 34].
Имеется ряд модификаций и обобщений волн Стоунли.
Так, в работе [35] рассмотрены волны на границе двух
твердых изотропных полупространств не с жесткой склей-
склейкой, а со скользящим контактом, а в работе [36] — вол-
волны на криволинейной границе двух сред. В работах [37,
38] численным методом исследовались волны Стоунли
на границах анизотропных сред. Показано, в частности,
что в отличие от контакта двух изотропных полупрост-
полупространств анизотропия приводит к возможности существова-
существования простейшего вида волн Стоунли — волн с горизон-
горизонтальной поляризацией, у которых имеется только одна
компонента смещения, параллельная границе и перпен-
перпендикулярная направлению распространения волны.
Глава IV
ВОЛНЫ В ПЛАСТИНАХ
К числу основных типов звуковых поверхностных волн
часто относят еще так называемые нормальные волны
в пластинах. Строго говоря, это не вполне правомерно,
поскольку движение в этих волнах происходит не только
у поверхностей, но и в толще пластины. Нормальные
2*
35

Рис. Я 1.11. Нормальные
полны и пластинах
а — симметричные (ч) и анти-
антисимметричные (а) волны Лпмб;1.
б — поперечные нормальные
волны
волны в пластинах бывают двух поляризаций: вертикаль-
вертикальной (волны, открытые Лэмбом в 1917 г. [39], рис. 1.11, а)
и горизонтальной (поперечные нормальные волны,
рис. 1.11, б).
11. Волны Лзмба
Волны Лэмба делятся на две группы — симметричные
s и антисимметричные а (см. рис. 1.11, а). В симметричных
волнах движение происходит симметрично относительно
плоскости z = 0, т. е. в верхней и нижней половинах пла-
пластины смещение Ux имеет одинаковые знаки, а смещение
Uz — противоположные. В антисимметричных волнах
движение антисимметрично относительно плоскости z = О,
т. е. в верхней и нижней половинах пластины смещение
Ux имеет противоположные знаки, а смещение Uz
одинаковые. В пластине толщины 2h при частоте со мо-
может распространяться определенное конечное число сим-
симметричных и антисимметричных волн Лэмба, отличающих-
отличающихся одна от другой фазовыми и групповыми скоростями и
распределениями смещений и напряжений по толщине
пластины. Число волн тем больше, чем больше значение
wh/ct.
При малых толщинах пластины (a>h/ct <^ 1) в ней воз-
возможно распространение только двух волн Лэмба нуле-
нулевого порядка s0 и а0, которые представляют собой продоль-
продольную (s0) и изгибную (а0) волны в пластине. Продольная
36
волна очень похожа на продольную волну в неограничен-
неограниченном твердом теле: в ней преобладает продольная компо-
компонента смещения Ux, и только вследствие того, что грани
пластины свободны, появляется небольшое смещение
Uг (в l/kth раз меньше продольного). За счет уменьшения
продольной жесткости из-за податливости боковых гра-
граней фазовая скорость этой волны с"л немного меньше фазо-
фазовой скорости С; продольной волны в неограниченном твер-
твердом теле и равна с"л = с, A—2v)'/*/(l — v). При увели-
увеличении толщины пластины свойства волн s0 и а0 меняются:
они становятся все более похожи одна на другую. При
kth ^> 1 их фазовые и групповые скорости стремятся к фа-
фазовой скорости рзлеевской волны сд, смещения стано-
становятся локализованными вблизи свободных границ пла-
пластины и их распределения с глубиной стремятся к распре-
распределению смещений по глубине в рзлеевской волне. Таким
образом, каждая из волн s0 и а0 превращается в две рэлеев-
ские волны на обеих поверхностях пластины.
Волны порядков выше нулевого появляются только
при некоторых «критических» значениях kth. При докри-
тических толщинах и частотах в этих волнах нет потока
энергии, и они представляют собой движение, быстро за-
затухающее вдоль пластины. Критические значения kth
характерны тем, что при этом по толщине пластины
укладывается четное или нечетное число продольных или
поперечных (сдвиговых) полуволн и рождающаяся волна
Лэмба представляет собой чисто продольную или чисто
поперечную стоячую волну, образованную двумя волнами
соответствующих поляризаций, распространяющимися
с равными амплитудами в положительном и отрицатель-
отрицательном направлениях оси z. Фазовые скорости волн Лэмба
при этом равны бесконечности, а групповые — нулю.
При значениях kth, больших критических, фазовые
скорости волн Лэмба становятся отличными от бесконеч-
бесконечности, а групповые — от нуля. Это можно интерпрети-
интерпретировать как поворот направлений распространения двух
продольных или поперечных волн, образующих стоячую
волну в критической области, от оси z в сторону положи-
положительной оси х. При этом из-за отражения от границ пла-
пластины возникают волны другой поляризации и волна
Лэмба оказывается «составленной» из четырех компонент
(рис. 1.12): двух продольных волн с волновым вектором,
кг и двух поперечных с волновым вектором кг, «припасо-
37

Рис. 1.12. Структура волны
Лэмба
ванных» одна к другой таким образом, что проекции всех
волновых чисел на ось х одинаковы, а напряжения, со-
создаваемые четырьмя волнами на граничных поверхностях
z = ±h, равны нулю. Распределение смещений и напря-
напряжений по сечению пластины характеризуется узлами и
пучностями, а траекториями частиц среды в волнах ста-
становятся эллипсы, эксцентриситет которых зависит от ти-
типа и номера волны, глубины и коэффициента Пуассона
материала пластины.
При больших толщинах пластины (kth^> \) у всех
волн Лэмба, кроме s0 и а0, имеется только смещение Uz
по оси z, распределенное по толщине синусоидально с про-
пространственным периодом 2h/n (n — номер волны) или 2h/
1(п — 1/2)- Амплитуда этого смещения на поверхности стре-
стремится к нулю по сравнению с амплитудой в толще плас-
пластины, т. е. движение в каждой волне Лэмба, кроме s0
и а0, становится локализованным в толще и не «выходит»
на поверхность. Для волн s0 и а0, как уже отмечалось, на-
напротив, имеет место своеобразный скин-эффект. Фазовые
и групповые скорости всех волн (кроме s0 и а0) при kth*^> 1
стремятся к ct.
В настоящее время свойства волн Лэмба, их возбужде-
возбуждение и распространение в изотропных пластинах доволь-
довольно подробно изучены [7], поэтому мы не будем здесь на
этом останавливаться. Эти волны широко применяются
в физических экспериментах и при неразрушающем конт-
контроле [7, 40, 41].
38
В последние годы проведены интересные исследова-
исследования волн Лэмба в некоторых кристаллах, включая пьезо-
полупроводниковые кристаллы, где эти волны на часто-
частотах ~ Ю8 Гц взаимодействуют с электронами и могут быть
усилены электрическим током [42, 43]. П. Е. Краснуш-
киным в строгой математической формулировке рассмот-
рассмотрена задача о возбуждении волн Лэмба в неоднородной
пластине [44].
12. Поперечные нормальные волны
В поперечных нормальных волнах имеется только одна
компонента смещения Uy (отсутствующая в волнах Лэм-
Лэмба), параллельная поверхности пластины и перпендику-
перпендикулярная направлению распространения волны. Таким обра-
образом, деформация в поперечной нормальной волне является
чистым сдвигом. Как и волны Лэмба, поперечные нормаль-
нормальные волны по характеру деформации делятся на две груп-
группы — симметричные s и антисимметричные а.
В волнах s движение происходит симметрично отно-
относительно средней плоскости z = 0: в верхней и нижней
половинах пластины смещение С/у имеет одинаковые
знаки и распределено по закону
__L
A.51)
здесь ks — волновое число симметричной нормальной
волны, равное 2яД8; А — произвольная постоянная;
ms — последовательность, характеризующая номера (по-
(порядки) волн, равная 0,1, 2, 3... В волнах а движение анти-
антисимметрично относительно плоскости z = 0: в верхней
и нижней половинах пластины смещение ?/уО) имеет про-
противоположные знаки и распределено по закону
= A sin mo-7-sin (kax — i
A.52)
где ка — волновое число антисимметричной нормальной
7г
3/2,
5/
/2-
Основным свойством поперечных нормальных волн
(как и волн Лэмба) является то, что при заданных значе-
значениях со и h в пластине может распространяться только оп-
определенное число волн, которое тем больше, чем больше
отношение 2h/Kt = a>h/nct. При 2hlkt <^ 7г в пластине
может распространяться только одна нормальная волна
39

(нулевая нормальная волна). Эта волна является сим-
симметричной, и смещение в ней одинаково во всех точках
поперечного сечения (ms = 0), а фазовая и групповая
скорости равны ct, т. е. это такая же поперечная волна,
как в неограниченном твердом теле.
Волны порядков выше нулевого (симметричные sx, s2,
sa. . ., для которых ms = 1, 2, 3. . ., и антисимметрич-
антисимметричные а±, а2, а3. . ., для которых ти = 7г, %, 5/г) по-
появляются только при некоторых «критических» значе-
значениях kth. При докритических. толщинах и частотах в этих
волнах нет потока энергии и они представляют собой син-
синфазное движение, экспоненциально затухающее по оси х.
Критические значения u>h/ct определяются из условия
кр
(JL.OO)
Они характерны тем, что при этом по толщине пластины
укладывается целое число поперечных (сдвиговых) полу-
полуволн и рождающаяся нормальная волна представляет
собой стоячую поперечную волну, образованную двумя
волнами, распространяющимися с равными амплитудами
в положительном и отрицательном направлениях оси z.
Фазовые скорости волн при этом равны бесконечности,
а групповые — нулю.
В общем случае для фазовых и групповых скоростей
поперечных нормальных волн справедливы следующие
выражения:
cs,a = C([l —(Ws,aA.('^.ft) J ¦-, Cs> a = Ct/Cf: a. (i.D i;
Как видно из формул, при значениях ==—j—h,
больших критических, фазовые скорости нормальных волн
становятся отличными от бесконечности, а групповые —
от нуля. Как и для волн Лэмба, это можно интерпретиро-
интерпретировать как поворот направлений распространения двух
волн, образующих стоячую волну в критической области,
от оси z в сторону положительной оси х. С ростом kth
фазовые скорости нормальных волн монотонно умень-
уменьшаются, а групповые монотонно возрастают, приближаясь
с разных сторон к предельному значению, равному ct.
Распределение смещений в поперечных нормальных
волнах обладает тем интересным свойством, что (в отличие
от распределения в волнах Лэмба) число узлов и пучно-
пучностей смещения в поперечном сечении пластины возрастает
только с увеличением номера волны, т. е. при переходе от
волн низших номеров к высшим. Для волны заданного
номера распределение смещений по сечению пластины «за-
«заморожено», т. е. сохраняется неизменным при любых ча-
частотах и толщинах h.
Дисперсионные кривые поперечных нормальных волн,
включая области ш <^ шкр, а также другие характерис-
характеристики этих волн в изотропных пластинах в настоящее вре-
время хорошо изучены [45]. Для создания дисперсионных
линий задержки, фильтров и других приборов акусто-
электроники поперечные поверхностные волны на час-
частотах 10е—10е Гц сейчас исследуются и в пластинках из
кристаллов [46, 47].
Глава V
ВОЛНЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ СО СЛОЕМ
Помимо описанных основных типов поверхностных
волн, в настоящее время предложен и изучен ряд обобще-
обобщений и новых разновидностей поверхностных волн, к рас-
рассмотрению которых мы сейчас перейдем. Начнем с волн
на границе твердого полупространства со слоем.
13. Жидкий слой на твердом полупространстве
Рассмотрим, следуя работе [48], плоские гармониче-
гармонические волны с вертикальной поляризацией, распространяю-
распространяющиеся в направлении положительной оси х на границе z =
= 0 (см. рис. 1.7) твердого полупространства и плоского
жидкого слоя толщины h, вторая граница которого сво-
свободна. Наличие жидкого слоя может существенно изменить
характеристики рэлеевской волны, которая существует
в полупространстве при его отсутствии, и привести к ряду
интересных эффектов.
Повторяя рассуждения разд. 1, получим, что волна
в твердом полупространстве состоит из суммы продоль-
продольных и поперечных волн и описывается выражениями A.7),
A.8). Потенциал в жидкости <рж удовлетворяет уравнению
Дфж + *2жфж = 0. A.55)
Будем искать решение этого уравнения в следующей
41

форме:
фж = [d exp (i V k2m — кг z) +
+ C2 exp (— i Yk2m — k2 z)] exp [i {kx — ©f)l, A-56)
где Cj, C2 — произвольные постоянные.
На плоскости z = — h должно быть выполнено гра-
граничное условие равенства нулю давления, а на плоскости
z = 0 — граничные условия равенства нормальных сме-
смещений Uz в жидкости и твердом теле, равенства давления
в жидкости напряжению — Тгг в твердом теле и отсут-
отсутствия касательного напряжения ТХ1. Из этих условий
получим однородную систему линейных уравнений для
определения произвольных постоянных А, В, Съ 2:
exp (— Yk2m — k2h) d + exp (i Yk2m — k"h) Ca = 0,
~qA + ikB — iVl& — k*d + iYl& — ktd = O, A-57)
B|лд2 — Xk]) A — 2\iksiB + а>2ржС1 + (л2ртС2 = 0,
2ikqA + {к2 + s2)B = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы, по-
получим дисперсионное уравнение
У*8ж-*'
A.58)
Выражая из трех уравнений системы A.57) все произ-
произвольные постоянные через А, будем иметь для смещений
в твердом полупространстве формулы A.15), в которых
kR нужно заменить на волновое число к искомой поверхно-
поверхностной волны, а для смещений в жидком слое — следующие
выражения:
У^
s Ykm ~ k2
X
X exp
i (kx —
coi
2/ '
qkt 003
A.59)
-exp [i{kx — a>t}].
coi
о
Я
п
о
а
ч
Ен
s
о
о
В
Ен
О
Я
в
Ен
О
о
в
О
в
Ен
О
О
О,
О
Я
п
о
о
(в
со
со S
тч Ен
• О
тч о
42

На рис. 1.13 приведены результаты численного реше-
решения уравнения A.58). По оси абсцисс отложено отношение
толщины слоя к длине волны в жидкости Лж, по оси орди-
ординат —¦ относительная разница в скоростях поверхностной с
и рэлеевской сд волн. Одна из расчетных кривых A) со-
соответствует слою трансформаторного масла на Стали, дру-
другая B) — случаю жидкой и твердой сред с некоторыми
«средними» параметрами рж/р = 0,40, г = кж/к{ = 3,
v = 0,25.
Как видно из графика, наличие слоя приводит прежде
всего к разветвлению рэлеевской волны на ряд поверхно-
поверхностных нормальных волн. При h/km <^ 1 существует только
одна распространяющаяся нормальная волна, фазовая
скорость которой несколько меньше Сд (замедленная слоем
рэлеевская волна). При дальнейшем увеличении толщины
слоя ее скорость, уменьшаясь, асимптотически стремится
к значению сж. При h/km ~ 0,30 возникает вторая нормаль-
нормальная волна, фазовая скорость которой в точке «рождения»
равна с( и далее плавно стремится к сж, проходя через зна-
значение cR при h/km = A — Лд/^ж)~1/г/2 (в этой точке жид-
жидкость не влияет на рэлеевскую волну). Дисперсионная
кривая для второй нормальной волны после ее пересече-
пересечения с осью абсцисс идет аналогично дисперсионной кривой
для первой нормальной волны в промежутке 0 < hlXm <<
<< 0,30. При h/km — 0,80 появляется третья нормальная
волна и т. д. Множество кривых, которое получится при
изменении к/кж от 0 до оо, соответствует множеству нор-
нормальных волн различных порядков, существование кото-
которых возможно в слое. При h'/km = га/2 A — к%/ктI 2
(га = 0, 1, 2, 3...) кривые пересекают ось абсцисс (с = ся),
а в точках
h"
1
д Л Р
Arctg
\ Р
г
возникают новые нормальные волны.
Отметим интересное обстоятельство. В точке своего
рождения каждая нормальная волна представляет собой
не поверхностную, а объемную волну, локализованную
во всем полупространстве z > 0. Действительно, в этих
точках с — с(, к = кх, s = б. У поверхности, т. е. при
qz < 1, в волне имеются обе компоненты смещения Ux,
Uz, но при qz ]> 1 практически остается одна компонен-
компонента Uz, которая не зависит от глубины, т. е. остается одна
чисто поперечная объемная волна. В окрестностях точек
44
рождения нормальных волн при h/km = h"(l -f y)/km,
где 0 < у-^ 1, каждая из указанных волн превращается
в слабоиеоднородную квазипоперечную волну, характе-
характеризуемую соотношениями
U~ = Akt
exp(_/ft?_fc?z)_
X ехр
A.60)
U2 = A Vk\ - ft? [ехр (- Vk\ — ft? z) —
— 2exp(— ktHyz)] exp [i(kx — at)],
где n =
kth'
/.CO.
-.
.S2 У h%.-l2th"
Как видно из данных формул, меняя толщину слоя h,
можно управлять структурой этой волны и получать по-
поверхностную сдвиговую волну с любой требуемой глуби-
глубиной локализации. Такая возможность представляет ин-
интерес для технического применения, например, при ульт-
ультразвуковом неразрушающем контроле.
14. Твердый слой на твердом полупространстве
Рассмотрим теперь более сложный случай — плоские
гармонические поверхностные волны с вертикальной по-
поляризацией, распространяющиеся в направлении поло-
положительной оси х на границе z = 0 (см. рис. 1.7) твердого
полупространства и плоского твердого слоя толщины h
с упругими параметрами к', ц/ и плотностью р'. Вторая
граница слоя z = — h свободна.
Как и в предыдущем случае, волновое движение в твер-
твердом полупространстве удовлетворяет уравнениям A.5),
A.(!) и состоит из совокупности одной продольной и одной
поперечной воли, описываемых выражениями A.7), A.8).
В^ твердом слое'потенциалы продольных ср' и поперечных
^ волн должны удовлетворять соответствующим волною
46

вым уравнениям
' = О, A.61)
сг = о> |/р'/(Х' + 2ц.'), А, = со VW- Волновое движе-
движение в слое теперь должно в общем случае слагаться из
двух продольных и двух поперечных волн, бегущих вдоль
границы с той же фазовой скоростью, что и волны в полу-
полупространстве. Запишем это движение в форме
ф' = [Ах ехр (— q'z) + Аг exp (q'z)) exp [i (kx — cot)],
г|/ = [fli exp (— s'z) + В2 exp (s'z)] exp [i (kx — Ш)], A'62)
где q = У к2 — кг ; s' = У к* — к["; А1>2, В1ч2 — произ-
произвольные постоянные.
Решение на плоскости z = — h должно удовлетворять
граничным условиям равенства нулю напряжений, а на
плоскости z = О — граничным условиям равенства сме-
смещений UXi z и напряжений Т2:, Txz в слое и полупростран-
полупространстве. Выразив компоненты смещений и напряжений через
потенциалы ф, ф', -ф, 1|/ по соотношениям A.8) и A.9)
и сделав вычисления, получим систему однородных ал-
алгебраических уравнений для определения амплитуд А,
В, Аи В\, А2, В2:
[2цк* — (к + 2ц) kj] A — 2iks\iB —
X А2 + 2iks'y.'lh — 2iks'\i'B2 = 0,
— 2ikq\iA + (к] — 2/с2) ц 9 -f Zkq'yJA! — 2kq'y,'A2 +
,2 ,2
— qA + ikB + q'Ai — q'At — ikBx — ikB2 = 0,
i/сЛ -f- sB — ikAi — ikA2—s'B1-\- s'B2 = Q, v ' '
, ,2
—¦ likq ei hA -\- likq e~« ЛЛ2 — B/ca — kt) es'hBi —
— Bk2 — k'i) e-s'hBt = 0,
[2(j,'/c2 — (X,' -\- 2[x') A; ] e4'hA\ + [2(j,'/ca—(X,' -(- 2(х')/с; ]е~9'Л—
— 2i\i'ks'es'hB1 -f 2г'ц'/ся'е-8'Л52 = О.
Приравнивая нулю определитель этой системы, полу-
получим дисперсионное уравнение для нахождения волновых
46
+
47

чисел и фазовых скоростей поверхностных волн. После
небольших преобразований это уравнение примет вид
A.64), где а — р.'р'; р и р' — плотности соответственно ма-
материала полупространства ц слоя.
При h = 0 данное уравнение переходит в уравнение
Рэлея A.11) и, следовательно, имеет один корень, отве-
отвечающий поверхностной рэлеевской волне. При увеличе-
увеличении kth, как и в случае жидкого слоя, появляются новые
корни, что соответствует «разветвлению» рэлеевской вол-
волны в полупространстве на множество нормальных по-
поверхностных волн в системе полупространство — твердый
слой.
Волна рэлеевского типа. Изложенная выше постанов-
постановка задачи о волнах в системе твердое полупространство —
твердый слой и дисперсионное уравнение A.64) имеются
в целом ряде работ (см., например, [49]), однако до коли-
количественных расчетных формул дело не было доведено. Под-
Подробный количественный анализ структуры и фазовой ско-
скорости поверхностной волны в указанной системе содержит-
содержится в работе [50J, где рассмотрена поверхностная волна
в системе плавленый кварц — тонкий слой (пленка) кри-
кристалла GdS. Гексагональная ось с кристалла перпендику-
перпендикулярна граничной поверхности z = 0 (см. рис. 1.7), вдоль
которой распространяется волна. При такой геометрии
гексагональный кристалл при расчете можно было заме-
заменить некоторой эквивалентной изотропной средой. Рас-
Рассчитана и экспериментально измерена зависимость фазо-
фазовой скорости поверхностной волны рэлеевского типа от
толщины пленки CdS. Результаты приведены на рис. 1.14,
где кривая соответствует расчету, значки — эксперимен-
экспериментам, выполненным в частотном диапазоне 4—10 МГц
со слоями CdS толщиной 5 и 11 мкм. Как видно из рисун-
рисунка, тонкий (h'XR < 0,1) твердый слой, как и жидкий (см.
рис. 1.13), замедляет поверхностную рэлеевскую волну,
причем у твердого слоя эффект замедления более явно
выражен." Расчеты распределения смещений показали, что
в данном диапазоне толщин слоя распределение смещений
по глубине в поверхностной волне в полупространстве
практически не отличается от распределения в чисто рэ-
рэлеевской волне (при отсутствии слоя).
Тонкий твердый слой не только изменяет фазовую ско-
скорость поверхностной волны, но и может существенно из-
изменить ее затухание (по сравнению с затуханием рэлеев-
?кой волны в свободном полупространстве). Это убеди-
48
<¦•/'.
/,GG
ff,95
-—: :
-—^
V ?
/s^ a
Da\.
а \
а ч^
/
а г
О J
fff-t
/27"
/ff
-z
Рпс. 1.14. Расчетная A) и экспериментальные B и 3) зависимости
фазовой скорости поверхностной волны от относительной толщины
твердого слоя
Толщина слоя CdS : 2 — Г> мкм; .3 — 11 мкм
тельно продемонстрировано в экспериментах С. В. Богда-
Богданова и И. Б. Яковкина, выполненных на частоте 13 МГц
с пленкой InSb на кварце [51].
Возможность «управления» скоростью рэлеевских волн
с помощью пленки на поверхности приводит, как впервые
показано Тёрстоном [52], к интересному явлению — вол-
новодному распространению поверхностных волн. Для
осуществления этого на поверхность твердого тела нано-
наносится дорожка пленки, которая обеспечивает уменьшение
скорости рэлеевских волн по сравнению с cR на тех участ-
участках поверхности, где пленки нет. Подбирая профиль плен-
пленки, можно получить даже некоторый наиболее подходящий
закон изменения скорости. Образуется акустический вол-
волновод (аналогичный, например, волноводу в море) с нор-
нормальными волнами, связанными с распределением ампли-
амплитуд смещений в поперечном сечении (по оси у на рис. 1.7).
При этом энергия пучка рэлеевских волн при распростра-
распространении не расходится во всей плоскости z = 0, а концент-
концентрируется в волноводе, который можно сделать довольно
произвольной формы (изогнуть, свернуть в спираль и т. д.).
Это находит многочисленные технические применения
в акустоэлектронных приборах и устройствах [53, 54].
Медленная сильнонеоднородная поверхностная вол-
волна. До сих пор уравнение A.64) обычно анализировалось
49

при об ~ 1, q'h, s'h <C 1. В этом случае, как уже отмеча-
отмечалось выше, оно имеет корень, соответствующий рэлеев-
ской волне, несколько измененной наличием слоя. Можно
показать, что [при а -»- оо уравнение A.64) разделяется
на дисперсионное уравнение Рэлея A.11) для полупро-
полупространства со свободной границей и дисперсионное урав-
уравнение для твердого слоя, одна граница (верхняя) которого
свободна, а другая (нижняя) — «зажата», т. е. нормаль-
нормальное и касательное смещения на ней равны нулю. Напро-
Напротив, при а -»- 0 уравнение A.64) разделяется на диспер-
дисперсионное уравнение для полупространства с зажатой гра-
границей и дисперсионное уравнение для твердого слоя со
свободными границами.
В работе [55] впервые был рассмотрен случай а <^ 1,
\il\i' ~ а и достаточно тонкий слой {q'h, s'h < 1). Было
показано, что при этих условиях существует следующий
корень дисперсионного уравнения A.64):
к = Л0A +8), A.65)
где к0 — k't v'6 (I — v')IVk'th — волновое число изгиб-
изгибной волны в слое со свободными границами; v' — коэф-
коэффициент Пуассона материала слоя; б — малая поправка,
выражение для которой имеет вид
g== 1—v_^a_ A66)
Akfh ^ qs-kl
Смещения U'x, U'z в слое и Ux, Uz в полупространстве опи"
сываются выражениями
U'x = — iCk't (z + -J-) exp [i {кх — cot)] + О (Га),
v г I A.67)
U'z = C-4- exp [i {кх — at)] + О (Са),
ft
U* = 4т1—- I (-f- — m ) p-xp (— qz) +
kt
_?_ ll± m _ l j exp (— sz) exp [i {kx — at)]
k, \ I J
O(Ca),
Uz
h'A
A.68)
¦f (^-m-l)exp(-Sz)j
50
где т= Л/ ~5~A —v); С — произвольная постоянная.
Формулы A.65) — A.68) описывают особую поверхно-
поверхностную волну, распространяющуюся вдоль границы полу-
полупространства со слоем. Фазовая скорость этой волны имеет
порядок фазовой скорости изгибной волны, т. е. эта вол-
волна является самой медленной из всех упругих волн, вклю-
включая и звуковые поверхностные волны. При надлежащем
выборе kt h (толщины слоя) и материала подложки фазо-
фазовая скорость этой волны может быть сделана достаточно
малой, что может быть весьма полезно в целом ряде прак-
практических применений. Рассматриваемая волна является
дисперсионной с заметной зависимостью фазовой и груп-
групповой скоростей от частоты и толщины слоя. Соотношение
между фазовой с и групповой сгр скоростями примерно
такое же, как в изгибной волне, т. е. сгр ^ 2с.
Смещения в волне локализованы и в слое, и в полупро-
полупространстве. В слое смещения с точностью до членов ~- а
такие же, как в изгибной волне. В полупространстве сме-
смещения локализованы в очень тонкой поверхностной обла-
области ~ Я/2я и экспоненциально убывают с глубиной, т. е.
рассматриваемая волна является сильнонеоднородной.
В качестве примера на рис. 1.15 изображены зависимости
амплитуд нормального Uz и касательного Ux смещений
в полупространстве от расстояния до поверхности в дли-
длинах волн z/Я, для системы платиновый слой на полу-
полупространстве из плавленого кварца.
Обратимся теперь к вопросу существования волны.
Формулы A.65) — A.68) применимы при а<^1, ^,7^, ~
~аи kth<^{. Второе условие не является принципиаль-
принципиальным и связано только с тем, что мы считаем волну в ну-
нулевом приближении изгибной и берем для нее соответст-
соответствующие выражения. Можно k^i не считать малым и взять
для получения аналогичных формул соответствующие вы-
выражения для нулевой антисимметричной волны а0 в пла-
пластине. Конечно, структура волны при этом усложнится.
При малости а и kfh между ними должно выполняться со-
соотношение, необходимое для обеспечения условия | б|<^
^ 1. При существенно меньших kth характеристики вол-
волны изменяются и в рассматриваемом виде волна не суще-
существует.
Другие типы волн. Мы рассмотрели две характерные
поверхностные волны, существующие на границе твердого
51

Рис. 1.15. Зависимости
амплитуд нормального
Oz и касательного О'х
смещений в подложке от
расстояния до границы
для системы платино-
платиновый слой на плавленом
кварце
ff.J z/Л
полупространства с тонким твердым слоем. Это — нор-
нормальные волны низших номеров. При увеличении толщи-
толщины слоя в системе твердое полупространство — твердый
слой, как и в случае жидкого слоя, возникают нормальные
волны более высоких порядков. В частности, в работе [52]
указано, что если твердый слой «тяжелый» и замедляет
рэлеевскую волну в твердом полупространстве, то при
kRh ~ 0,30 в системе слой—полупространство возникает
вторая нормальная волна (волна Сезавы), фазовая ско-
скорость которой уменьшается от с, до 0,7 с( при увеличении
kRh до 1. Если слой «легкий» (и жесткий), то при этих срав-
сравнительно малых kRh второй нормальной волны не суще-
существует.
Более сложные обобщения рэлеевских волн получают-
получаются в случаях, когда твердый слой на полупространстве
неоднородный или переменный по толщине, когда полупро-
полупространство слоистое [56], слоисто-неоднородное или с плав-
плавно меняющимися по глубине свойствами. Эти обобщения
рассмотрены в работах Н. В. Зволинского [57], В. М. Ба-
Бабича и И. А, Молоткова [58], В. Ю. Завадского [59]
и др.
52
Глава VI
СЛАБОНЕОДНОРОДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
В данной главе мы рассмотрим различного типа слабо-
слабонеоднородные поверхностные волны, т. е. волны амплитуды
смещений в которых убывают при удалении от поверхно-
поверхности достаточно медленно (уменьшение в е раз на глубинах
много больше длины волны %). Все эти волны являются
волнами с почти горизонтальной поляризацией, у которых
основное смещение параллельно границе и перпендикуляр-
перпендикулярно направлению распространения волны.
Возможность существования и появление таких волн
можно рассматривать как «неустойчивость» поперечной
объемной""волны, скользящей вдоль свободной границы
полупространства. Как уже отмечалось в гл.. II, такая
волна строго удовлетворяет граничным условиям отсут-
отсутствия напряжений на свободной поверхности и может
трансформироваться в поверхностную при небольшом из-
изменении граничных условий или свойств среды. Матема-
Математически это означает появление дополнительного полюса
в комплексной плоскости волнового~числа к при указан-
указанных изменениях. Сильное влияние параметров среды
(коэффициента сдвиговых потерь) на поведение полюсов,
соответствующих поверхностным волнам в цилиндричес-
цилиндрическом волноводе, отмечено в работе Г60].
Примером отмеченной неустойчивости являются вол-
волны Лява, возможность существования которых обусловле-
обусловлена «добавлением» к полупространству твердого слоя.
Выписываемых далее случаях скользящая объемная волна
превращается в поверхностную из-за анизотропии упру-
упругих свойств, наличия у среды пьезосвойств или присут-
присутствия достаточно сильного магнитного поля.
15. Квазиобъемные волны в кристаллах
В целом ряде кристаллов вдоль плоской свободной
границы по направлениям высокой симметрии может рас-
пространяться'скользящаяобъемнаячистосдвиговая вол-
волна, аналогичная такой же волне в изотропном~полупро-
странстве Г91. В ряде случаев при отступлении от этого
направления на малый угол указанная волна «превращает-
«превращается» в слабонеоднородную поверхностную волну, обычно
называемую квазиобъемной волной. Рассмотрим^это на
53

примере кубических кристаллов GaAs, Si, Cu, Ni и др.,
распространение звуковых поверхностных волн в кото-
которых в настоящее время довольно подробно изучено чис-
численными методами [9].
Пусть свободной границей кристалла является плос-
плоскость @01). По направлению 9 = я/4 в этой плоскости
в указанных кристаллах может распространяться чисто
поперечная объемная волна со смещением, параллельным
свободной поверхности (см. рис. 1.6). При небольшом от-
отступлении от этого направления волна превращается в мед-
медленно затухающую по глубине поверхностную волну уже
не с горизонтальной, а с частично смешанной поляриза-
поляризацией. В волне имеются не одна, а три компоненты смеще-
смещения — параллельно границе и перпендикулярно направ-
направлению распространения (Ut — основная компонента),
перпендикулярно границе (Un) и параллельно направле-
направлению распространения (Ui). В соответствии со структурой
звуковой поверхностной волны в кристалле, распростра-
распространяющейся в произвольном направлении (см. разд. 4),
данная волна оказывается составленной из трех парциаль-
парциальных волн — двух квазипоперечных, одна из которых яв-
является преобладающей, и одной квазипродольной.
Проиллюстрируем изложенное количественными рас-
расчетами, приведенными в работе [9] для кристалла никеля.
На рис. 1.16,1.17поосям абсцисс отложен угол9(в град),
а по осям ординат соответственно амплитуды смещений
Uи Uи UnB относительных единицах и фазовые скорости
рассматриваемой поверхностной с и двух поперечных
объемных волн с[1}, с<2>, отнесенные к фазовой скорости
ср- Здесь объемная волна Тг является волной со смеще-
смещениями, перпендикулярными свободной границе кристалла,
а волна Т2 — волной со смещениями в плоскости грани-
границы. Как видно из графиков, в точке 9=45° объемная
волна Т2 и рассматриваемая поверхностная волна тождест-
тождественны (их характеристики совпадают), т. е. поверхност-
ная-волна вырождена в объемную. При 9 ^ 45е вырожде-
вырождение снимается и появляется постепенное различие в
характеристиках и свойствах волн, причем квазипопереч-
квазипоперечная объемная волна 2 уже, естественно, не удовлетворяет
условиям отсутствия напряжений на плоскости @01),
а поверхностная волна изменяется и при 9 = 0 переходит
в волну вертикальной поляризации (Ut = 0, UiiU Ф 0)
рэлеевского типа с фазовой скоростью, с си 0,76 с^>. Ма-
54
20 40 б>~ 0 20 40 0"
Рис. 1.16. Зависимости амплитуд поверхностных смещений от угла 6
при распространении волны на плоскости @01) кристалла никеля
Рис. 1.17. Зависимости фазовых скоростей объемных (Tlt T2) и по"
верхностной волн от угла 6 при распространении волн на плоскости
@01) кристалла никеля
тематически сказанное означает, что в дисперсионном урав-
уравнении при 9 = 45е имеется корень, совпадающий с особен-
особенностью типа точки ветвления функции V кг — (/С|2))а. При
9 < 45е этот корень «отходит» от точки ветвления.
В работах [61, 62] рассмотрены квазиобъемные волны
в кристаллах ряда симметрии: кубических, гексагональ-
гексагональных, тетрагональных и ромбических. Предполагается,
что волны распространяются вблизи направлений высокой
симметрии, вдоль которых существуют объемные попереч-
поперечные волны, удовлетворяющие граничным условиям на сво-
свободной поверхности кристалла. Под окрестностью на-
направлений высокой симметрии здесь понимается как об-
область малых углов отклонения направления распростра-
распространения от избранного на свободной поверхности, так и
область малых углов поворота этой поверхности от из-
избранной вокруг направления высокой симметрии. В ок-
окрестностях этих направлений путем разложения по
малому углу отклонения от избранного направления
А9 аналитически исследованы условия существования
поверхностных волн.
Установлено, что в рассматриваемых кристаллах может
быть несколько возможных ситуаций: 1) не существует
ни одной распространяющейся поверхностной волны (вы-
(вытекающие волны здесь не рассматривались); 2) существует
55

только одна волна — квазиобъемная, которая в пределе
при совпадении направления распространения с избран-
избранным переходит в поперечную объемную волну; 3) суще-
существует одна поверхностная волна, в пределе переходящая
в волну рэлеевского типа (двухпарциальную); 4) сущест-
существуют две поверхностные волны — рэлеевского типа и ква-
квазиобъемная. Какая именно ситуация реализуется — за-
зависит от симметрии кристалла и конкретных значений
его упругих модулей.
16. Волна Гуляева—Блюстейна
Рассмотрим здесь поверхностные волны в кристаллах,
обладающих пьезосвойствами (более подробно этот вопрос
будет рассмотрен в третьей части). В таких кристаллах
распространение упругой поверхностной волны сопро-
сопровождается переменным квазистатическим электрическим
полем, возникающим в кристалле и в полупространстве ва-
вакуума за счет пьезоэффекта. При этом должны быть вы-
выполнены уравнение движения A.69), уравнения Пуассона
для кристалла A.70) и вакуума A.71) и соотношения пьезо-
пьезоэффекта A.72), A.73):
divD = 0,
divE' = 0,
1'ik — CiklmP lm —
Dn =
A.69)
A.70)
A.71)
A.72)
A.73)
Здесь Til(, Ulm, cfkim — компоненты тензоров соответст-
соответственно механического напряжения, деформации и упругих
модулей кристалла (последние взяты при постоянном
электрическом поле); Е, Е' — векторы напряженности
электрического поля в кристалле и вакууме соответствен-
соответственно; D — вектор электрической индукции; е*„ — компонен-
компонента тензора диэлектрической проницаемости кристалла при
постоянной энтропии; eiilt — компонента тензора пьезо-
пьезоэлектрической постоянной.
Гуляев и Блюстейн недавно показали [63, 64], что в ря-
ряде кристаллов сдвиговая объемная волна может «превра-
«превращаться» в слабонеоднородную поверхностную волну
вследствие наличия пьезоэффекта. Рассмотрим это на
56
примере кристалла структу-
структуры вюрцита (ZnS, ZnO, CdS,
CdSe и т. д.), граничащего
с вакуумом вдоль плоскости
г/ = 0 (рис. 1.18). Введем для
кристалла и вакуума элект-
электрические потенциалы ср и ср'
соответственно, определяе-
определяемые как Е — — grad ср,
Е' = —grad ф'. После этого
систему уравнений A.69) —
A.73) можно свести к следую-
следующим трем уравнениям:
Рис. 1.18. Волна Гуляева —
Блюстрйна
Р
2яе
/. р дЮ '
г Е т
з — ^iklt)
дх}. дх.
п/тп
дх дх
п v
111 дх^дх- '
A.74)
A.75)
Аср' = 0. A.76)
Будем искать решение системы A.74)—A.76) в виде
плоской чисто сдвиговой поверхностной волны, распро-
распространяющейся в направлении оси х, имеющей только од-
одну компоненту смещения Uz Ф 0 (z — гексагональная
ось, их,у = 0) и удовлетворяющей на плоскости у = 0
граничным условиям отсутствия напряжений и непрерыв-
непрерывности тангенциальной составляющей электрическо-
электрического поля.
Производя вычисления по методике, аналогичной опи-
описанной в разд. 1, можно убедиться, что такое решение Су-
Существует и имеет форму
Uг = А ехр (— sy) exp [i (kx — att)],
ехр(— sy)— j-r-f
' = A
8ll
X ехр [i (kx — at)],
4я«ц
exp(— ley)]
X
exp
exp
где к'
i DO) i
'= —g— 1
C44 L
TJ
» —
A.77)
!)x
< A +8ц)]~1;т] — коэффициент электромеханической свя-
зи для данного типа колебаний (сдвиговых) в кристалле,
57

т)а = 4nei5/ei1c44; е1ъ — соответствующая пьезоэлектри-
пьезоэлектрическая постоянная; си — упругий модуль; А — произ-
произвольная постоянная. Поскольку в CdS и вообще в гро-
громадном большинстве реальных кристаллов г]а <С 1, то
A.78)
т. е. фазовая скорость волны Гуляева—Блюстейна мень-
меньше фазовой скорости (с учетом пьезоэффекта) чисто сдви-
сдвиговой объемной волны на очень малую величину тLс,/
/2A +епJ, что для CdS составляет ~ 0,5-10~5 с<. Глубина
hji локализации волны
Для кристалла CdS это составляет ~ 50Х,.
Волна Гуляева—Блюстейна является изящным до-
дополнением к классу поверхностных волн. Для ее суще-
существования не требуется наличие слоя на твердом теле, как
для волны Лява. Она применяется в акустоэлектронных
устройствах [65, 66]. Однако при ее практическом исполь-
использовании необходимо учитывать следующее принципиаль-
принципиальное обстоятельство. Эта волна реализуется в чистом виде
только на весьма больших расстояниях L ~ [4 (к — kt)]~l
от излучателя [67, 68], какие на практике обычно не до-
достигаются. При меньших расстояниях на поверхности
и в поверхностном слое кристалла преобладают смещения,
созданные поперечными объемными волнами. По глубине
эти смещения распределены, конечно, совсем иначе, чем
в волне Гуляева—Блюстейна. Для CdS на частоте 30 МГц
L ~ 16 см. Если поверхность кристалла заметаллизи-
ровать, то L заметно уменьшается [69].
В работах [70, 71] дано обобщение волны Гуляева—
Блюстейна для границы двух пьезоэлектрических крис-
кристаллов, разделенных тонкой щелью. Благодаря возмож-
возможности проникновения пьезополя из одного полупрост-
полупространства в другое эти полупространства оказываются
связанными электрически, и вдоль их границы могут
возникать так называемые щелевые волны, описываемые
в каждом из полупространств выражениями вида A.77).
Аналогичные граничные волны, но обусловленные не
пьезоэффектом, а электрострикцией сред, рассмотрены в
58
работах [72, 73]. В этом последнем случае появляется
дополнительная возможность управлять характеристиками
волны, в частности, глубиной слоя локализации посредст-
посредством приложения к кристаллу постоянного электрического
поля.
17. Поверхностные волны в металлах
с магнитным полем
В работе [74] было показано, что объемная сдвиговая
волна в металле может стать поверхностной под действием
сильного постоянного магнитного поля Но, направленного
вдоль свободной поверхности металла и под углом к на-
направлению распространения волны (рис. 1.19). Следуя
работе [74], рассмотрим распространение упругих поверх-
поверхностных волн в идеально проводящем твердом упругоизо-
тропном полупространстве г>0 с полем По, имеющим
компоненту вдоль направления распространения волны
(НОх Ф 0) и в перпендикулярном направлении в плоско-
плоскости границы (НОу Ф 0).
Упругие волны в таком полупространстве сопровож-
сопровождаются переменным электрическим и магнитным полями
и токами. При этом должны быть выполнены уравнение
теории упругости и система уравнений Максвелла с уче-
учетом движения элементов объема проводящего полупро-
полупространства в магнитном поле. Эти уравнения имеют вид
р -^- =
(X + ц) grad div U + ^L [j x
dt
= ct0 E
dt
Hoi
A.80)
A.81)
A.82)
A.83)
Здесь H = Ho -f- H' — напряженность суммарного (по-
(постоянного и переменного) магнитного поля в точках по-
полупространства; Е — напряженность электрического по-
поля; j — плотность тока; а — электропроводность среды;
^м — магнитная проницаемость; с — скорость света.
Поскольку мы предполагаем, что электропроводность
достаточно велика, мы можем пренебречь током смеще-
смещения в уравнении A.81). Уравнение A.83) при больших зна-
59

Рис. 1.19. Поверхностная вол-
волна в металле с
нитным полем
сильным маг-
чениях а0 приводит к соотно-
шениюЬ= 1 —-— л Но
с I at
что означает равенство ну-
нулю напряженности полного
электрического поля в на-
нашей проводящей среде.
Большая электропроводность
среды в рассматриваемом
случае означает возможность
пренебрежения членами по-
порядка (ю/ст) (с/сг)а(ю — цик-
циклическая частота поверхно-
поверхностной волны) по сравне-
сравнению с 1. Отметим также,
что уравнения A.80)—A.83)
написаны в магнитогидродинамическом приближении
[75—77]. Это приближение справедливо при ©т<^1,
о)ст <; 1, ИХ <^ 1 (юс — циклотронная частота; т —
время релаксации; / — длина свободного пробега элек-
электронов; X — длина поверхностной волны), что
хорошо выполняется вплоть до частот -^-Ю1 Гц. Ограни-
Ограничение по частоте возникает из-за указанного пренебреже-
пренебрежения влиянием электропроводности о для реальных метал-
металлов и сводится к условию (о/а)(с/сгJ <^ 1. Для металлов
при комнатной температуре это означает (<а/2я) ^ 106 Гц.
При Сделанных предположениях уравнения A.80)—
A.83) сводятся к следующему:
^ и + (I + ц) grad div U +
р ^- =
~ [rot rot [U X Но]] X Но
A.84)
Нетрудно заметить, что данное уравнение отличается от
уравнения A.1) движения изотропной однородной твер-
твердой среды только наличием дополнительного «магнитного»
члена, возникающего из-за присутствия в каждой точке
полупространства силы Лорентца, действующей на элект-
электроны и передаваемой кристаллической решетке.
Граничными условиями задачи являются равенства
нулю компонент полного тензора напряжений (с учетом
магнитного давления [75]) на деформированной волной
поверхности z = Uz (х, у, t) полупространства
Г ПОЛИ rrt .
ik = J ik +
A.85)
где Ты — компоненты тензора упругих напряжений. Де-
Деформация поверхности в граничных условиях существен-
существенна, поскольку магнитное давление дает из-за нее вклад
в 715с°лн, пропорциональный первой степени деформации.
Уравнение A.84) и граничные условия A.85), выра-
выражаемые в конечном счете через смещения ?/, в волне и на-
напряженности постоянного магнитного поля Hi0, дают
решение задачи в терминах Ut. Зная Ut, можно из систе-
системы A.80)—A.83) и системы уравнений Максвелла для
полупространства z < 0 (вакуума) найти электрические
и магнитные поля и токи в обоих полупространствах. Мож-
Можно показать, что эти поля и токи единственным образом
«сшиваются» на границе и, таким образом, все механичес-
механические и электрические величины могут быть однозначно
определены. Из уравнения A.84) и граничных условий
видно, что магнитное поле создает в полупространстве z^>
^> 0 своеобразную анизотропию, которая, как можно убе-
убедиться, отлична от «упругой» анизотропии кристаллов и
не может быть к ней сведена.
Будем искать решение уравнения A.84) в форме, соот-
соответствующей плоским гармоническим волнам, распрост-
распространяющимся в полупространстве в направлении оси х:
UXtV:Z= A'B'C expl—fUcz+i(kx — aa)]; A-86)
здесь к — неизвестное пока волновое число; р (к) — функ-
функция к; А, В, С — произвольные постоянные. Подставляя
выражения A.86) в уравнение A.84), получим после
разделения компонент векторов систему трех линейных
однородных уравнений относительно А, В, С. Прирав-
Приравнивание нулю определителя этой системы приводит к
следующему уравнению для р (к):
(/ - К) [/» + (Р* - 1) (mXtVf - mhx)] = 0, A.87)
где / (Р) = kf/k2 -{- р2 — 1; т = к]1к*— 1, тХъУ = т -f
+ К + hy; hx = u,m#ox/4jt;u,; hy = \iMH%v/4n\i; kit t — вол-
волновые числа продольных и поперечных волн при Но = 0.
Безразмерные параметры hx, hy характеризуют интен-
интенсивность магнитного поля.
Уравнение A.87) является бикубическим относитель-
относительно р (к). Из него можно найти три функции Pi,2, з(^),
соответствующие волнам, затухающим при удалении от
границы z = 0. Назовем рз функцию, обращающую
61

в нуль выражение в первой скобке в A.87), a (^,2 — ос-
остальные две функции, переходящие при Но = 0 в |310 =
= A — k'j/k2I'* и p.2O = A — к\1к2у - соответственно.
После определения (З^ 2, з можно выразить две из трех
произвольных констант А, В, С через третью. В итоге
получим
з
и*= ~г Z F Фп) Ап ехр [~ PnAz +'{кх ~ай)]>
Здесь F (Р„), G (Р„) — функции |3„ и параметров полу-
полупространства; ^41,2,з — новые произвольные постоянные.
Подставляя выражения A.88) в граничные условия,
будем иметь систему линейных уравнений для Ап:
T( = l
3
п=1
3
m=l
A.89)
S lf^cn(mx,v + l) + i(m — l
«п —
Ап = О,
где «1,2= —2 1—> c:
Приравнивая нулю определитель А (к) системы A.89),
получим дисперсионное уравнение для нахождения вол-
волнового числа к.
Анализируя дисперсионное уравнение, можно пока-
показать, что оно имеет корень, соответствующий волне рэлеев-
ского типа, которая при Но = 0 переходит в рэлеевскую
волну в изотропном полупространстве. При сильных
магнитных полях может появляться еще второй (допол-
62
нительный) корень дисперсионного уравнения. Так, в
случае hx ~ 1, hy <^ 1 возможно решение вида
А
y=^- {exp
i(kx — wt)] + O(kli%
Ux,z-
где к —
A.90)
1+7Г
3 \ 1
т — ( -тг т + 1) Л„ — -?г Л?.
(т _ Ая) у m (и + 1) ^1 + ~h^ (т - Л, - 1гх)
Это особая поверхностная волна, существование кото-
которой (как поверхностной волны) связано исключительно
с магнитным полем. Она представляет собой слабоне-
слабонеоднородную (Р ~ hy <^ 1) квазипоперечную волну (см.
рис. 1.19), которая при однокомпонентном магнитном по-
поле (hx = 0 или hy = 0) переходит в чисто поперечную
объемную волну. Возможность существования этой вол-
волны зависит от напряженности магнитного поля: волна
существует только при тех значениях hx, которые обес-
обеспечивают выполнение условия р ^> 0.
Глава VII
ЕОЛНЫ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Особую большую группу поверхностных волн пред-
представляют волны на криволинейных поверхностях — ци-
цилиндрической и сферической.
Особенно много работ посвящено поверхностным вол-
волнам на цилиндрических поверхностях, распространяю-
распространяющимся в направлении, перпендикулярном образующей.
Эти волны находят сейчас большое практическое приме-
применение. Как известно [4], на цилиндрической поверхности
изотропного твердого тела указанные поверхностные вол-
волны существуют в виде волн двух поляризаций: верти-
вертикальной и горизонтальной. В волнах с вертикальной поля-
поляризацией вектор смещения лежит в плоскости, перпенди-
перпендикулярной образующей цилиндра, и имеет одну компоненту,
перпендикулярную поверхности, а другую — парал-
параллельную направлению распространения волны. В волнах
с горизонтальной поляризацией (поперечные поверхност-
63

ные волны) имеется только одна компонента смещения,
параллельная образующей цилиндрической поверхности.
Изучение указанных волн мы начнем с волн рэлеев-
ского типа, которые были первым рассмотренным приме-
примером волн на криволинейных поверхностях [78].
18. Волны рэлеевского типа на цилиндричссгих
поверхностях
Следуя работе [78], приведем вначале постановку зада-
задачи для волн на цилиндрической поверхности, распро-
распространяющихся в направлении, перпендикулярном обра-
образующей.
Будем рассматривать плоские волны, распространяю-
распространяющиеся вдоль свободной поверхности бесконечного круг-
круглого цилиндра (выпуклая цилиндрическая поверхность)
или вдоль свободной поверхности цилиндрической поло-
полости кругового сечения в бесконечной упругой среде (во-
(вогнутая цилиндрическая поверхность). Тогда в цилиндри-
цилиндрических координатах г, 0, z (рис. 1.20) поле в упругой среде
не будет зависеть от z. Будем рассматривать устано-
установившиеся гармонические колебания, считая поле завися-
зависящим от времени согласно множителю ехр (—icat). Твер-
Твердую среду, как и раньше, будем считать однородной
изотропной и идеально упругой.
Аналогом рэлеевских волн на указанных цилиндричес-
цилиндрических поверхностях можно считать такое решение уравнения
A.1) теории упругости, которое имеет следующие свой-
свойства:
1) удовлетворяет условию отсутствия напряжений на
цилиндрической поверхности и принципу погашаемости
[79];
2) зависит от угловой координаты 9 по закону
ехр (+ ipQ), где р — некоторая безразмерная величина,
которую можно называть угловым волновым числом;
3) при стремлении радиуса кривизны цилиндрической
поверхности к бесконечности и конечном отношении pIR
переходит в обычную рэлеевскую волну, бегущую вдоль
плоской границы упругого полупространства с вакуумом.
Чтобы избежать искусственного ограничения задачи
случаем целых значений р, будем рассматривать решение
в бесконечном угловом интервале — зо <^0*< оо, счи-
считая ось г = 0 линией разветвления бесконечного поряд-
порядка. При этом в задаче для сплошного цилиндра (выпуклая
64
Рис. 1.20. Твердый цилиндр
цилиндрическая поверх-
поверхность) мы налагаем на ре-
решение дополнительное тре-
требование ограниченности при
г = 0. При таком подходе
различные значения решения
в интервалах ге<0/2л <га-Ц
для разных целых п естест-
естественно интерпретируются как
поля, соответствующие пос-
последовательным пробегам вол-
волны вокруг цилиндра. Данный
математический прием имеет простую физическую интер-
интерпретацию: он соответствует режиму бегущей волны на
цилиндрической поверхности. На высоких частотах это
может быть осуществлено, например, применением по-
поглотителей волн на определенных участках поверхности,
использованием импульсного режима или спирального рас-
распространения по поверхности (в последнем случае движе-
движением по оси z пренебрегают, считая его малым).
Как и в плоском случае (см. разд. 1), введем для обла-
областей пространства, занятых упругой средой, скалярный и
векторный потенциалы <р и г|з. Поскольку решения не дол-
должны зависеть от z, у векторного потенциала г|з будет от-
отлична от нуля только компонента по оси z, которую мы
обозначим а|). Потенциалы ф и я|) должны удовлетворять
двум следующим волновым уравнениям:
1 _д__
Г Or
1 д
г дг
dtp
~дТ
1 дЦ,
A.91)
Компоненты смещений U,., Uq и напряжений
можно представить через ф и ij; по формулам
и дф 1 д*ф j dtp dyb
'' ~ дт ~*~ Т~ ав ' е==~~ав дТ''
Т„, Т
вг
A.92)
Г"
Т дг д{
г л- аеу
1 йф 1 дф V
агае
J_
г2
A.93)
2 йф 1 <?ф
7^" "W +Т""аГ
3 И. А. Викторов
65

Выпуклая цилиндрическая поверхность. Единствен-
Единственными решениями уравнений A.91), зависящими от 0
только через множитель exp (ipQ) и ограниченными при
г = 0, являются
Ф = А ехр И (рв — at)] Jp (кгг),
\р = В ехр [i (pQ — at)]Jp (ktr),
A.94)
где А я В — произвольные постоянные; ?fp (к;у tr) — функ-
функции Бесселя порядка р; р — угловое волновое число, рав-
равное 2nR/k; R — радиус цилиндра; к — длина простран-
пространственной периодичности на поверхности цилиндра (ее не
следует смешивать с упругой постоянной Ламе). В даль-
дальнейшем будем называть к длиной рассматриваемой по-
поверхностной волны, к = 2л/к — волновым числом, а с =
= он/к — фазовой скоростью этой волны. Так как рас-
рассматривается волна, бегущая по 6, то р может быть и це-
целым, и дробным.
Условия равенства нулю напряжений Т„ и Tqt при
т = R приводят (после использования тождественных со-
соотношений между бесселевыми функциями) к двум сле-
следующим уравнениям:
в_
~А
.7.
р-2
(x)-Jv+Ax) kf
О/)
A.95)
(x)
A.96)
где х = ktR, у = ktR.
Первое из этих уравнений дает амплитудное соотноше-
соотношение между ф ит|) при известном р. Второе уравнение —
это дисперсионное уравнение для данного случая, опре-
определяющее связь р с х и у, т. е. в конечном счете — волно-
волновое число к при заданном радиусе цилиндра R. Можно лег-
легко убедиться, что при заданном R, т. е. при заданных хну,
существует много значений р, удовлетворяющих уравне-
уравнению A.96). Каждое из этих значений р определяет фазовую
скорость соответствующей волны. В данном разделе ис-
исследуется волна, которая переходит в рэлеевскую волну
при бесконечном увеличении радиуса кривизны поверх-
поверхности. Такой волне соответствует только один корень урав-
C/CR
¦V-
— — — т
1
2
/, / —ь —
SDp
Рис. 1.21. Зависимости фазовых скоростей поверхностных волн от
отношения радиуса кривизны цилиндрической поверхности к длине
волны
1 — v = 0,25; 2 — v = 0,,'i'i
и г / L/ rj
Рис. 1.22. Зависимости амплитуд смещений в поверхностной волне
от расстояния до цилиндрической границы
7 — Р = 5; г — к 1; 3 — со
нения A.96). Мы будем проводить решение уравнений A.96)
пока только для этого корня. Результаты численного ре-
решения приведены на рис. 1.21 и относятся к средам с коэф-
коэффициентом Пуассона v = 0,25 и 0,34. По оси ординат от-
отложены отношения фазовых скоростей поверхностных
волн к фазовым скоростям рэлеевских волн в соответ-
соответствующих средах, по оси абсцисс — р = 2nR/k. Как вид-
видно из графика, отношения clcR для этих двух сред при од-
3*

ном и том же значении р очень близки. Кроме того, из
графика видно, что с^> cR и с -*- cR при р -*- оо. Послед-
Последнее обстоятельство отражает тот факт, что поверхностная
волна переходит в рэлеевскую при р -*- оо. Это можно лег-
легко проверить, взяв асимптотические представления
3p(ki, f), 3P(ki,tR) при р->- оо и —^~ -> О
[80].
Исследуемая поверхностная волна похожа на рэлеев-
рэлеевскую: ее фазовая скорость с близка к cR, а смещения со-
сосредоточены в тонком поверхностном слое порядка длины
волны. Смещения можно вычислить по формулам A.92) с
учетом соотношений A.94)—A.96). На рис. 1.22 приведены
зависимости амплитуд смещений от глубины для среды
с коэффициентом Пуассона v = 0,25 для р = 5, 41 и оо
(последний случай соответствует, конечно, рэлеевской
волне); Ur0 — амплитуда радиального смещения в по-
поверхностной волне при г = R. Приведенные зависимости
показывают, что в поверхностной волне смещения убывают
несколько быстрее с удалением от свободной границы, чем
в рэлеевской волне, причем тем быстрее, чем меньше р =
= kR. При г = 0 смещения в поверхностной волне равны
нулю, в то время как в рэлеевской волне смещения не
исчезают ни при какой глубине. Качественно приведен-
приведенные зависимости смещений от глубины сохраняются
для любой упругой среды.
При больших значениях р (порядка 100 и больше) для
фазовой скорости поверхностной волны справедливо вы-
выражение
= cR(l+8),
A-97)
где б —малая поправка, зависящая от упругих свойств
твердой среды и р, причем б -*- 0 при р -*• оо. Чтобы опре-
определить б, используем для функций Бесселя асимптотиче-
асимптотическое представление через полусходящиеся ряды Дебая
[80], учитывая большие значения аргумента (х и у) и ин-
индекса (р), а также то, что аргумент меньше индекса (kittR<i
< kR) (последнее в данном случае всегда выполняется,
поскольку cR < ct < с;). Найдем приближенное выраже-
выражение для левой и правой частей A.96). Старшие члены в
A.96), которые не обратились в нуль, имеют порядок едини-
единицы и образуют дисперсионное уравнение для нахождения
cR. Оставшиеся члены дают уравнение для определения
68
6, из которого получаем
kR ~ SR
SR
Дп v / Л р —{— § р ftp S р л р — G D n1 D —р S D
ЛД1 |1-^)(тГ-^^7^1^-1^-^ А^Г) +
4AHSH / At
A? \*-f
- 1
2sh
1 —
о„2 / 1,2
-1
1- —
9
sR\lkR-
l~qR kR + sH
-. A.98)
Таким образом, фазовая скорость поверхностной волны
на выпуклой цилиндрической поверхности имеет поправ-
поправку б (по сравнению с сд), пропорциональную l/kRR. Лег-
Легко убедиться, что б ^> 0 для любой упругой среды.
Групповую скорость можно найти по известному со-
соотношению между фазовой и групповой скоростями
сгр = с — I
A.99)
Оказывается, что при данном приближении для фазовой
скорости сгр = сд, т. е. групповая скорость имеет поправ-
поправку порядка (i/kRRJ.
Вогнутая цилиндрическая поверхность. Единствен-
Единственными решениями уравнений A.91), зависящими от 6 по
закону ехр (±ф0) и ограниченными во всей области r^R,
в данном случае будут функции
ф — А ехр [i
я|) = В ехр li (рв — at)]
— Ы)] H'f (k:r),
(ktr).
A.100)
Здесь А и В — произвольные постоянные; //рХ> (/с(> tr) —
функции Ганкеля первого рода порядка р. Уравнения

A.95), A.96) заменяются аналогичными:
В
А
P 2
к*
A?
A.101)
A.102)
Будем исследовать решение дисперсионного уравне-
уравнения A.102), соответствующее волне, локализованной у по-
поверхности. Очевидно, что даже при вещественных хшу это
уравнение удовлетворяется только для комплексного
р = Pi -\- ip2- Волновое число к при этом тоже становится
комплексным:
к = ку + ik2 = pJR + ipJR- A.103)
Таким образом, поверхностная волна на вогнутой цилин-
цилиндрической поверхности будет распространяться с зату-
затуханием, которое, как нетрудно заметить, не связано с по-
потерями в упругой среде.
Заменим функции Ганкеля в уравнении A.102) их вы-
выражениями через функции Бесселя и Неймана того же
порядка. Используем для функций Бесселя и Неймана
при больших р асимптотические представления через полу-
полусходящиеся ряды Дебая [80]. Тогда можно показать, что
при kxR -*• оо уравнение A.102) перейдет в уравнение
A.11) для плоского случая, а выражения A.100) — в со-
соответственные выражения для рэлеевской волны, т. е.
поверхностная волна переходит в рэлеевскую при kxR ->-
-*- оо, как было и в случае выпуклой поверхности при
kR -*- оо. При больших, но конечных ktR, для волнового
числа поверхностной волны справедливо следующее
представление:
к = kR(i — ?) +ik2. A.104)
Здесь к2 — мнимая часть волнового числа, к2 -*- 0 при
ktR -*- оо; ? — малая поправка, зависящая от упругих
свойств среды и значения kyR и исчезающая при k±R-*- оо.
Для фазовой скорости волны соответственно получим
70
выражение
c = eR(i
A.105)
Пользуясь асимптотическими представлениями для функ-
функций Бесселя и Неймана и априорно предполагая, что k^R
по порядку величины не больше 1 (как мы увидим ниже,
это предположение справедливо), получим из веществен-
вещественной и мнимой частей уравнения A.102) после ряда преоб-
преобразований следующие выражения для
? = -6,
<.2\2
X ехр — 2ktR (Arth — ^-
и /г2
X
A.106)
A.107)
где sx = К к1 — kt.
Сопоставляя соотношения A.97), A.105), A.106), за-
замечаем, что поправки к фазовым скоростям поверхност-
поверхностных волн на выпуклой и вогнутой цилиндрических по-
поверхностях одного и того же радиуса R отличаются только
знаками (следовательно, всегда ? < 0). Групповая ско-
скорость волн на вогнутой цилиндрической поверхности,
как и в случае выпуклой цилиндрической поверхности,
равна cR с точностью до членов порядка (l/kRRJ. Из вы-
выражения A.107) следует, что предположение о малости
k2R оправдано: 1тк2 ~ ехр (—kyR) при больших значе-
значениях kxR.
Используя формулу A.107), нетрудно вычислить то
дополнительное затухание, которое имеет поверхностная
волна на вогнутой цилиндрической поверхности по срав-
сравнению с рэлеевскдй волной на плоской поверхности. Коэф-
Коэффициент у этого затухания на длину рэлеевской волны ра-
равен
у =
= 2nkJkR
A.108)
При kRR ~ 100 (R/kR ~ 20) относительная погрешность
вычисления у и кг по формуле A.107) очень мала (порядка
величины l/(kRRJ). При kRR ~ 30 (R/lR ~ 5) относи-
относительная погрешность не превышает 30%. Поэтому фор-
формулу A.107) можно использовать для приближенных рас-
расчетов у и к2 и при сравнительно небольших значениях kRR.
71

На рис. 1.23 линиями изображены зависимости lny от
R/XR для твердых сред с коэффициентом Пуассона 0,25 и
0,34. Как видно из рисунка, дополнительное затухание
поверхностных волн на вогнутой цилиндрической поверх-
поверхности сильно зависит от ее кривизны. При Rl"kH ~
~ 5 (k^R ~ 30) затухание весьма значительно, а при
R/Xr ~ 50 (kuR ~ 300) оно ничтожно мало. Для нагляд-
/ яД
ности ниже приведены значения величины ехр ¦ т— у
V kR
для некоторых радиусов кривизны цилиндрической по-
поверхности, характеризующие затухание поверхностной
волны на вогнутой цилиндрической поверхности на пути,
равном длине полуокружности радиуса R (в начале пути
iff Я/Ае
Рис. 1.23. Зависимости
коэффициента затухания от
безразмерного радиуса кри-
кривизны цилиндрической по-
поверхности
Обозначения те же, что на рис.
1.21
амплитуда волны предполагается равной единице). При-
Приведенные данные относятся к среде с коэффициентом Пу-
Пуассона v = 0,34.
яБ
5
0,280
10
0.340
15
0,555
20
0,751
3U 50
0,948 0,9.9
Рассмотренное затухание поверхностной волны на
вогнутой цилиндрической поверхности вызвано ради-
радиальным излучением энергии в среду, которое производит-
производится поверхностной волной в данном случае. Поясним это
подробнее. Из выражений A.100) непосредственно сле-
следует, что плоскости равной фазы волны расположены по
радиусам (9 = const). Следовательно, длина простран-
пространственной периодичности (и скорость распространения
фронта равной фазы) в такой волне зависит от расстояния
до поверхности (г ~ R). Вблизи поверхности эта длина
при больших радиусах R (kR ~ 100) примерно совпадает
с длиной Хц рэлеевской волны на плоской поверхности.
При значительном удалении от поверхности длина про-
72
странственной периодичности будет больше как XR, так
и %/, (, а скорость фазового фронта больше с;> (. Но, сог-
согласно принципу Рэлея [81], граница с таким возмуще-
возмущением должна излучать звуковые волны. Таким образом,
«глубинные части» рассматриваемой поверхностной волны
непрерывно излучают энергию в твердую среду. Это мож-
можно показать и чисто формально: при г ^> R функции
Н^ {kit(r) из выражений A.100) представляют собой ци-
цилиндрические волны, уходящие по радиусу. Записывая
для данного случая закон сохранения энергии в волне,
можно из этого чисто энергетического соображения пока-
показать, что к2 ~ kRe~klR (ср. с A.107)). Это доказывает пра-
правильность описанного механизма затухания поверхностной
волны на вогнутой цилиндрической поверхности.
19. Волны с вертикальной поляризацией
на выпуклой цилиндрической поверхности
Как уже отмечалось в разд. 18, уравнение A.96), по-
помимо корня, соответствующего поверхностной волне рэ-
леевского типа, имеет множество других корней. Волны,
соответствующие этим корням, были впервые исследова-
исследованы в работе [82] и вместе с волнами горизонтальной поля-
поляризации названы (по аналогии с акустическими волнами
вблизи криволинейных границ) волнами шепчущих га-
галерей. Рассмотрим здесь, следуя работе [82], основные
характеристики указанных волн в высокочастотной об-
области спектра, когда длина волны и глубина ее локали-
локализации много меньше радиуса цилиндра R.
Для нахождения решения будем по-прежнему исполь-
использовать подход, изложенный в разд. 18, но решение для
потенциалов ф и \р будем искать в несколько иной форме,
чем A.94), а именно:
ф = г-'.2$ (г) ехр li (р0 — at)], 1|з = г"' njj (г) х
X ехр [i (pQ — at)]. A.109)
Подстановка выражений A.109) в уравнения A.91) дает
следующие уравнения для функций ф (г) и ijj (г):
A.110)
73
dr

Для удобства дальнейшего рассмотрения введем коор-
координату L = 6Й вдоль поверхности цилиндра и координа-
координату г = R — г, отсчитываемую от поверхности цилиндра
к его центру, а также величину Н = (#/2)'<3А;~ % кото-
которая, как будет показано ниже, совпадает по порядку ве-
величины с глубиной локализации поверхностной волны.
Из дальнейшего будет видно, что для нас существенны зна-
значения к, близкие к kt. Предполагая, что волна поверхно-
поверхностная, а ее длина существенно меньше радиуса, в рас-
расчетах можно пренебречь величинами порядка (H/R) ~
~ (\lk\H2) ~ {УЯУ 3 по сравнению с единицей, a rlR
считать малой величиной. При этих условиях можно по-
положить в A.110)
и уравнения A.110) записать в следующей форме:
dfl A.112)
Введем две новые безразмерные переменные
х = х0 + f/Я, х0 = (к* - к]) Н\
Тогда уравнения A.112) примут вид
<^2ф л d2i() 1 / \ П М 114^
Единственными решениями уравнений A.114), ограни-
ограниченными в центре цилиндра (г = R) и в остальных его
точках, будут выражения
ф == AW (у), if = 5^(т]), A.115)
где 6#" (х), 2^ (Л) ~" функции Эйри, введенные в рабо-
работе [83].
Функция Эйри может быть выражена в виде интеграла
ос
09 и\ L. \ cos -о- + si as, а также в виде комбинации
w У л ,) V 3 /
цилиндрических функций порядка 1/3. В частности,
74
при t < 0
cf4
A.116)
Функция Эйри имеет в этом случае осциллирующий ха-
характер. При W ^> 1 справедливы асимптотические фор-
формулы
_ /
— К
и? i M ГI
^ 4 у L
W4
= _ (_ Ov. cos (W + -f) I 1 + -^ -
Ь„
W
A.117)
_5_
72
E-11).7
i 1-2.G2J . «-л 1-2-3-G2K
_ 5-11 . . . (бге — 1)-7-13 . . . (бге —5)
ап~~ 1-2. . .ге-G2)"
, _J7_ , __ G-13)-5 , _ G-13-19) E-11)
г~12' 2~ 1-2.G2J ' 3~ 1-2-3-G2)» '
, _ 7-13. . . Fге+1)-5-11...Fге —7)
п~~ 1-2...ге-G2)п
С другой стороны, при t положительных и больших
И''
х
а значения ах, а2..., Ъх, Ь2... те же, что в A.117).
Граничные условия задачи по-прежнему заключаются
в равенстве нулю напряжений Ттг и Твг при г = R. За-
Заменим в выражениях A.93) <ри г|5на <р и ф (согласно A.109))
75

и напишем эти условия в координатах г, L. Величинами
H/R и 1/kijR можно пренебречь по сравнению с еди-
единицей. Тогда с учетом A.115) получим два следующих со-
соотношения:
Н Bк* - k2t) V (х0) А — 2 IW' (т)о) 5 = 0,
. 2iW (хо)А + Н Bкг - к)) V (-по) 5 = 0. A.119)
Приравнивая к нулю детерминант этой системы уравне-
уравнений для определения произвольных амплитуд А и В, по-
получим дисперсионное уравнение для данного случая
Ь-щ-W" (Ло) Vй (и») - B^2 - *?) V (Ло) ^ (*о) = 0.
A.120)
Анализируя данное уравнение, рассмотрим два ха-
характерных случая.
1. Пусть к2^>к2, разность/с2 — к2 имеет порядок вели-
величины к2. Очевидно, что при этом (к2 — к2) — к2, а следо-
следовательно, согласно формулам A.113) и выражению для Н
Y]o ~ х0 — (ktRJ 3 ^s> 1. Это позволяет воспользоваться
асимптотической формулой A.118) и получить приближен-
приближенные соотношения
2Г(к„)^-х!ГГ(хо), ^"(По)^-Ло'^Ы- A-121)
Подставляя эти выражения в уравнение A.120), получим
известное уравнение Рэлея A.11) для плоской границы.
Этот результат подтверждает наши данные о волне рэле-
евского типа на цилиндрической поверхности (см. разд.
18). Действительно, для этой волны, у которой (к2 — /с?) ~
~ к*, влияние кривизны имеет порядок (ktR)'1, поэтому
в рассматриваемом здесь приближении, когда мы пренеб-
пренебрегаем членами (ktR)'1, кривизна не сказывается.
2. Пусть теперь к2 < к2 < к2, но разность к2 — к2
мала настолько, что т]0 по абсолютной величине невелико.
При зтом х0 будет по-прежнему большой положительной
величиной, и для V" (и0) будем опять использовать пер-
первую из формул A.121). Учитывая это, запишем дисперси-
дисперсионное уравнение A.120) в следующем виде:
=__*?. (ft. -
* Bк>
.122)
Правая часть данного уравнения является величиной по-
порядка ktH ~ (ktR)'1', т. е. малойпосравнениюсединицей.
Вследствие этого приближенно можно это уравнение заме-
заменить на более простое V (т]0) = 0, решения которого бу-
будут соответствовать искомой совокупности нормальных
волн вертикальной поляризации на цилиндре. Обозначим
корни приближенного уравнения т]от), где т. = 1, 2, 3...
Из таблиц функций Эйри имеем т^0 = — 2,338, т]о2) =
== 4,088, % = — 5,521. Учитывая выражение для т]0 со-
согласно формуле A.113), находим в конечном счете
rlm)
Нетрудно показать, что учет правой части уравнения
A.122) дает в выражении для кт пренебрежимо малый до-
добавочный член порядка (ktE)~s. Для нормальной волны
номера т величину т] == г\т из формулы A.113) можно за-
записать в форме
Лт = г/Я + ^т). A.124)
Для фазовой и групповой скоростей из формул A.123)
можно получить следующие выражения:
= С« [ 1 —
'=c* 1-
A.125)
На рис. 1.24 изображены зависимости нормированных фа-
фазовых и групповых скоростей от отношения длины волны
к радиусу цилиндра для т = 1,2.
Определяя из уравнений A.119) А через В, получим
ыражения для потенциалов т-ж нормальной волны
Фп. = '
A.126)
Включим ]/г~]//? в произвольную постоянную Bmt
заменим 6)? (xm), 'IF (х,™ ) их асимптотическими представ-
представлениями по формуле A.118) с учетом только первых членов.
Кроме того, учитывая выражения A.113) для я, имеем
11

в нашем приближении
A.127)
Тогда ^(х)-=ехр(
X IT (х0), и в результате по-
получим
2iB ,
Рис. 1.24. Зависимости фа- грст = ., X
зовых (сплошные линии) г
И ГруППОВЫХ (штриховые) Т/"Гг 7~2- 7?.' ("О
скоростей нормальных волн Хехр (—у к(— k/f) и (Т) 0 )Х
от отношения длины волны хехр (/frmL). A.128)
к радиусу цилиндра v '
J — ??! = 1; 2 — m = 2 ^ . ,
С увеличением г фт (в
отличие от г|}т) убывает по эк-
экспоненциальному закону. Глубина проникновения про-
продольных волн оказывается значительно меньше глубины
проникновения поперечных волн.
Используя найденные выражения для потенциалов,
вычислим теперь по формуле A.92) вертикальное UT и го-
горизонтальное Ue смещения в т-й нормальной волне:
=Ut = Bmkt
L-
)
X
X
ехр (— Vk2t — k]f)] exp (ikmL),
A.129)
X exp (— /*?_ A:fr) exp (i*mL),
где Лт дается выражением A.124). Поскольку Ur смещенГо
относительно ?7е по фазе на я, 2, движение частиц в волне
78
будет происходить по Эллипсу. Но \ U^ \^.\ UT |, так как
ktH велико, и эллипс оказывается сильно вытянутым,
а волна практически сдвиговой. На рис. 1.25 изображены
зависимости амплитуд смещений UTt e в первых трех нор-
нормальных волнах от относительной глубины fIR. Кривые
построены при следующих условиях: с; = 6-Ю5 см/с,
с( = 3,5-106 см/с, ktR = 3,812-103, сг = 3,527-106, с2 =
=3,547 • 105, с3 = 3,563-105 см/с. Для сравнения на послед-
последнем графике даны смещения в рэлеевской волне на ци-
цилиндре.
Остановимся на физическом смысле полученных ре-
результатов. Как видно из графиков, волны действительно
являются поверхностными, но в отличие от рэлеевской
волны смещения в них локализованы в слое с толщиной,
много большей Хт. Непосредственным анализом формулы
A.129) можно убедиться, что глубина локализации волн
~Н и возрастает с увеличением номера волны. Большой
глубиной локализации волн объясняется более сильное
влияние кривизны поверхности на рассматриваемые вол-
волны: как следует из формул A.123), A.125), оно порядка
(ktR)~', а не (/С(й), как у волны рэлеевского типа.
Формулы A.129) показывают, что волна состоит из
продольной и поперечной компонент. Продольная компо-
компонента волны является неоднородной волной (см. A.128))
и быстро затухает при удалении от границы (соответствую-
(соответствующий ей слой локализации заштрихован на рис. 1.26).
Что касается поперечной компоненты, то, поскольку фа-
фазовая скорость т-й нормальной волны в рассматриваемом
случае больше ct, поперечная компонента представляет
собой волну, отходящую от границы. Учитывая известную
связь между фазовой скоростью ст волны вдоль границы
и углом ат ее наклона к границе (ст = ct cos am), полу-
получим из формулы A.125)
H\ A.130)
Эти указанные поперечные компоненты нормальных волн
часто сопоставляют с лучами, распространяющимися
вдоль границы и последовательно от нее отражающимися
(лучи ААХА„..., БВ1Б2 ... на рис. 1.26). Естественно, что с
нормальной волной номера т сопоставляются лучи, отра-
отражающиеся от границы под углом скольжения a = am.
Чем больше т, тем больше ат, тем больше отходят лучи
от границы в процессе своего распространения и тем боль-
больше глубина проникновения гт соответственной нормаль-
79

т-Я
Рис. 1.25. Зависимости амплитуд смещении Сг (!) и /0(~) 1! "*41B'»ix
трех нормальных волнах от относительной глубины /Я
РЙс.'4.2ё. Лучевая картина распространения нормальных ноли по
цайивдряческой поверхности
ной волны. Из геометрических Соображений согласно
рис. 1.26 мы имеем для максимального удаления луча от
границы
Ггаах = R A — COS <Zm) S? Цо'^Н,
что по порядку величины совпадает с глубинами локали-
локализации нормальных волн, указанными выше.
В заключение сделаем замечание о пределах приме-
применимости полученных результатов. Проведенное здесь
рассмотрение относится к случаю не очень больших т,
таких, что y]{jm)<<(M02> когда согласно выражению A.123)
кт близко к kt. Большие т, когда ц^ ~ (МО2» не рас-
рассматривались, так как здесь не будет иметь места концен-
концентрация энергии у поверхности. Действительно, глубина
проникновения волн fmax = ^Н ~ к2,Н3 = й/2 ока-
оказывается при этом сравнимой с радиусом цилиндра.
К этому сводится и опущенный здесь случай к2 <ки при
котором г]о согласно соотношениям A.113) становится очень
большим по абсолютной величине и т^ 2? (к ДJ, в резуль-
результате снова не получается какой-либо концентрации энер-
энергии вблизи поверхности.
20. Волны с горизонтальной поляризацией
Волны горизонтальной поляризации на цилиндре,
граничащем с вакуумом, рассматривались в ряде работ
[82, 84, 85]. Приведем вначале постановку задачи и ос-
основные результаты, основываясь на работе [85].
Поскольку у волн отлична от нуля единственная ком-
компонента смещения Uz, уравнение движения A.1) прини-
принимает следующую форму:
Используя целиком подход к решению, изложенный в пре-
предыдущих разделах, будем искать решение в форме
иг = Uz(r)exp[i(pB- &t)]. A-132)
Граничные условия задачи сводятся к равенству нулю
единственной не равной тождественно нулю компоненты
81

28
p =
Рис. 1.27. Зависимость безразмерной фазовой скорости от
первых четырех нормальных волн
для
Tzr тензора механических
напряжений
Т2Г = \idUjdr. A.133)
Решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее уравнению A.131), дан-
данному граничному условию
и ограниченное во всей обла-
области г ^ В, имеет следующий
вид:
UZ=AJP (Ajr)x
XexpU (pQ — at)], A.134)
где А — произвольная по-
постоянная; ,JP (ktr) — функция
Бесселя порядка р. Диспер-
Дисперсионное уравнение после ря-
ряда преобразований приводит-
приводится к простой форме:
^iktR) = 1.
A.135)
-/,0
-КО;
ffj
r/t
Рис. 1.28. Распределения сме
щений с глубиной в первых
трех нормальных волнах при
}HR =s ИЗ
При каждом фиксирован- '
ном значении ktR, т. е. при за-
заданных частоте и радиусе R цилиндра, уравнение A.135)
имеет конечное число вещественных корней Pi,p2, ..., рп.
Каждый корень соответствует распространяющейся нор-
нормальной волне определенного номера. На рис 1.27 при-
приведены зависимости безразмерной фазовой скорости cict =
= kfR/p от kiR для первых четырех нормальных волн,
а на рис. 1.28 — распределения смещений с глубиной
в первых трех волнах при ktR ^ ИЗ. Как видно из рисун-
рисунков, дисперсионные кривые похожи на соответствующие
кривые для поперечных нормальных волн в пластинах
[86], а смещения во всех волнах имеют поверхностный ха-
характер. Точки пересечения дисперсионных кривых с лу-
лучами р = 1,2,3... соответствуют собственным колебаниям
цилиндра, когда по его окружности укладывается целое
число длин волн. Отметим, что вопрос о физическом смыс-
смысле решения A.134) при 0 </> < 1 (область дисперсион-
дисперсионных кривых выше луча р = 1) требует дополнительного
исследования, поскольку в этой области напряжения
в нормальных волнах при г = 0 обращаются в бесконеч-
бесконечность.
83

В работе [82] приведена высокочастотная асимптотика
для поверхностных волн горизонтальной поляризации
через функции Эйри. Как и для волн вертикальной поля-
поляризации (описанных выше), она соответствует случаю,
когда радиус R много больше как длины волны к, так
и глубины локализации волн Н. Для смещений, фазовой
и групповой скоростей т-ж нормальной волны справед-
справедливы следующие выражения:
2 \ nR
'/•1 !
A.136)
ГГР
= ct\\
6 \ nR
Здесь Ат — произвольные постоянные; r)om) — корни
дисперсионного уравнения V (гH) = 0; остальные обоз-
обозначения те же, что и в предыдущем разделе. Формулы
A.136) показывают, что структура рассматриваемых волн
существенно проще, чем воли вертикальной поляризации.
В волнах имеется только поперечная компонента, кото-
которая полностью аналогична соответствующей компоненте
в волне вертикальной поляризации (см. A.129)).
21. Сферическая поверхность
Волны рэлеевского типа и волны шепчущих галерей
могут существовать и на сферической поверхности изо-
изотропного твердого тела.
Волны рэлеевского типа. Задача о гармонических
рэлеевских волнах на поверхности идеально упругой
сферы впервые рассматривалась в работе [87]. Под вол-
волнами рэлеевского типа здесь понимается точное решение
уравнения A.1), удовлетворяющее условию отсутствия
напряжений на поверхности г = R сферы и имеющее ха-
характер установившихся монохроматических поверхно-
поверхностных волн. В полюсах сферы 9 = 0 и 9 = я (г, ф, 9 —
сферические координаты) располагаются «источник» и
«сток» волн, соответствующие особым точкам решений
уравнения A.1). Предполагается, что источник и сток
вполне эквивалентны один другому и волны распростра-
распространяются от полюсов с равными амплитудами в -\-Q- и
84
—9-направлениях, так что наложение их позволяет обра-
образовать стоячие волны, регулярные во всех точках сферы.
При такой постановке задачи асимптотические выра-
выражения для компонент вектора смещения U частиц в волне
при радиусе сферы R, много большем длины поверхност-
поверхностной волны, при г = R — г <^ R (вблизи поверхности
сферы) и при 0 < 9 < я имеют вид
Л Г 1
= У ч
qR
-Ivil-».
kR+sR
A.137)
Ua = 0.
Здесь m — любое целое число, много большее единицы;
— фазовый множитель.
Сравнивая формулы A.137) и A.15), нетрудно заметить,
что, как и для плоской поверхности, амплитуда вектора
смещения экспоненциально убывает с глубиной, а фазо-
фазовая скорость совпадает со скоростью на плоской поверхно-
поверхности. Влияние малой сферической кривизны (R ^> KR)
приводит лишь к дискретному спектру частот установив-
установившихся волн. Действительно, для волн на сфере роль вол-
волнового числа kR = со/сд играет величина m/R, прини-
принимающая лишь дискретные значения (это является след-
следствием принятого при постановке задачи условия об эк-
эквивалентности источника и стока). При R —у- °о спектр
частот переходит в непрерывный.
Волны с вертикальной поляризацией типа шепчущих
галерей. Исследование таких волн проведено в работе
[82]. Предполагалось, что сфера является изотропной,
однородной, идеально упругой, что источник волн нахо-
находится на'оси 9 = 0, а упругое поле на зависит от.угла
ф. Таким образом, Ur, в Ф 0, ?/ф = 0. Проводя вычисле-
вычисления, аналегичные^изложенным'в разд. 19 для волн верти'
85

кальной поляризации на цилиндре, получим в итоге вы-
выражения для смещений в т-ж нормальной волне
X ехр (-
ит = .
kfH
X
A.138)
х
здесь L = QR — координата, отсчитываемая по поверх-
поверхности сферы.
Полученные выражения с точностью до множителя
(sin 9)~'<:е'е совпадают с С/е, г Для цилиндрической по-
поверхности. Появившийся в сферическом случае дополни-
дополнительный множитель учитывает фокусировку волн у ан-
антипода, а также дополнительный набег фазы 2я при обходе
вокруг сферы. Все остальные характеристики поверхно-
поверхностных волн, такие, как фазовая и групповая скорости,
зависимости амплитуд смещений от глубины, в сфериче-
сферическом случае оказываются точно такими же, что и в слу-
случае цилиндра.
Таким образом, в первом приближении сферическая
кривизна не вносит ничего нового (по сравнению с ци-
цилиндрической) в характеристики поверхностных волн вер-
вертикальной поляризации.
Глава VIII
ВЫТЕКАЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Перейдем теперь к рассмотрению большой группы волн,
открытых сравнительно недавно и получивших название
«вытекающих» поверхностных волн (leaky surface waves).
Эти волны являются промежуточными между поверхно-
поверхностными и объемными волнами и представляют собой уп-
упругие возмущения, распространяющиеся вдоль границы
твердого тела и непрерывно переизлучающие энергию
в глубь среды в процессе распространения. Вытекающие
волны могут существовать только в определенной конеч-
86
Рис. 1.29. Смещения в вы-
вытекающей волне рэлеев-
ского типа на границе твер-
твердого и жидкого полупро-
полупространств
ной области вблизи источника,
распадаясь далее на объемные
волны, по мере того как их по-
поверхностная компонента пере-
переизлучится в объемную.
22. Два типа вытекающих
поверхностных волн
Известны вытекающие по-
поверхностные волны двух ти-
типов. Волны первого типа суще-
существуют на границе двух полу-
полупространств, и переизлучение
энергии в них происходит из
одного полупространства в
другое.
Характерным примером такой вытекающей волны
является волна рэлеевского типа на границе твердого
и жидкого полупространств [4, 7]. Дисперсионное урав-
уравнение A.48), как можно показать, помимо вещественного
корня, имеет еще комплексный корень. Этот корень со-
соответствует системе трех волн (рис. 1.29): продольной
и поперечной волнам в твердом теле и отходящей от гра-
границы волне в жидкости. Амплитуда в последней медленно
нарастает по экспоненте вдоль фронта при удалении от
границы (за счет переизлучения энергии в жидкость), что
отмечено на рисунке увеличением толщины линий волно-
волновых фронтов. Во второй части об этой волне будет ска-
сказано весьма подробно, в частности, будут приведены рас-
расчеты фазовых скоростей и коэффициентов затухания вол-
волны для разных граничных сред. В среднем волна затухает
в е раз на расстоянии -~10Хд.
Другими разновидностями вытекающих волн на гра-
границе двух сред, где затухание происходит из-за излу-
излучения энергии в смежную среду, являются волна Лэмба
в пластинах, погруженных в жидкость [7], волны на гра-
границе жидкого полупространства с твердым слоем [4] и вол-
волны типа Стоунли на границе двух твердых полупрост-
полупространств [33, 88, 89].
Более сложным и интересным типом вытекающих волн
являются такие волны на границе твердого тела с ва-
вакуумом, у которых излучение энергии происходит не
в смежную среду, а в то же полупространство, где локали-
87

зована волна. По-видимому, впервые описанным при-
примером таких волн являются волны на вогнутой цилин-
цилиндрической поверхности (см. разд. 18). Поскольку вол-
волновые фронты у них направлены вдоль радиусов, то на не-
некоторой глубине след волны «бежит» со скоростью, боль-
большей фазовых скоростей объемных волн, и происходит из-
излучение. Как и излучение вытекающих волн на границе
двух сред, оно аналогично излучению тел, движущихся
в среде со сверхзвуковой или сверхсветовой скоростями
(ударная волна от самолета, конус Маха от шарика в
жидкости, излучение Вавилова—Черенкова).
23. Вытекающие волны в изотропном твердом
полупространстве
Интересно, что вытекающие волны второго типа могут
существовать и в изотропном твердом теле с плоской гра-
границей, но с несколько измененными (по сравнению со
свободной поверхностью) граничными условиями. В ра-
работах [90, 91] впервые показано, что в твердом полупро-
полупространстве с импедансными условиями на границе 2 = 0,
в частности в полупространстве, нагруженном жидким
слоем толщины h (см. рис. 1.7), могут существовать две
медленно затухающие с расстоянием вдоль границы вы-
вытекающие волны. Рассмотрим это подробнее.
Дисперсионное уравнение для случая границы уп-
упругого полупространства с жидким слоем толщины h
записывается в форме A.58). Компоненты смещений в по-
полупространстве по осям х и z представляются выражения-
выражениями
хехр
Uz = — /*?
A.139)
ехр
где q — У к2 — k'f, s — У к2 — к'\. В разд. 5 было ука-
указано, что дисперсионное уравнение A.58) имеет ряд ве-
вещественных корней, соответствующих множеству поверх-
поверхностных незатухающих нормальных волн (в частности,
рзлеевского типа), возможных в рассматриваемой среде.
Но уравнение A.58) имеет еще два комплексных корня,
соответствующих вытекающим волнам.
Проанализируем сначала первую волну на примере
твердого тела с коэффициентом Пуассона v <§^ 1 (малость
v дает возможность получить решение в аналитической
форме разложением по v). После вычислений имеем
к, = к[ | i +
Ai
2 (Л3 J- "IJ
Рж tg
р \f
1 v2 -4- k, ' v2
' v "Г Kl лч i \ v J
A.140)
-|- 1
¦ = — ki
A
_
v* — г/С, A + V).
Выражения для смещений при v <^; 1 переходят в сле-
следующие:
Ux = — Bkt [(I +A t) e~"z + ve~sz) X
Хехр [i (hx— &t)], ¦ A.141)
+ ve-szl exp [i (кгх — at)].
Если толщина слоя h такова, что А ^> 0 (например, 1/4 <
< йД-ж < 1/2), то формулы A.140), A.141) описывают
волну, распространяющуюся вдоль границы с фазовой
скоростью с s^ ci и слабо затухающую с расстоянием
(Im/ci ~ v4). Эта волна состоит из продольной (члены
с е~«2) и поперечной (члены с e~sz) волн. Амплитуда сме-
смещения в продольной I волне медленно спадает с глубиной
(Reg — v2), т. е. продольная волна поверхностная. Попе-
Поперечная t волна — объемная, она отходит от границы под
углом 9 ~ я/4 (рис. 1.30), и ее амплитуда (~ v у поверх-
поверхности) медленно меняется вдоль фронта (переменная тол-
толщина линий волновых фронтов на рис. 1.30 схематично
изображает зто).
Для второго корня в случае слабого влияния слоя
жидкости на волны в полупространстве (это реализуется
при
Рж
P
справедливы следующие

асимптотические выражения:
A.142)
al,
_ ,
A.143)
A (v) =
4 (k
y - 2*?
— (ко у х
D0)J
-1
/c20) — вещественный корень уравнения A.58) с нулевой
правой частью, лежащий в интервале 0 < к20) < /с,- (в от-
от1 к2 ~ /40) ^ 0,6 /с;). Рассчи-
личие от корня ki при v
Рис- Ч°- Смещения
в первой вытекающей
волне на границе твер-
твердого полупространства
с жидким слоем
тайные нормированные значения невозмущенных обрат-
обратных волновых чисел (фазовых скоростей) kjk® = Ci/ct и
ktlk20) ~ c20)/ct для волн 1 и2и для продольной волны в за-
зависимости от коэффициента Пуассона v изображены на
рис. 1.31. Видно, что фазовые скорости волн 1 и 2 боль-
больше С/.
Из рис. 1.?А и 1.32 и и; выражения для а следует, что
a — мнимая величина, а = im, где т *J 0 в зависимости
от толщины слоя h. Если т~^>0, то выражения A.141),
A.142) описывают вол у типа вытекающей, которая зату-
затухает в направлен и pRCnj-остранения (ось х) из-за излу-
90
С, 2 0,2f v
-г
Рис. 1.31. Зависимости нормирован-
нормированных фазовых скоростей волн 1 A),
2 B) и продольной волны D) и зави-
зависимость коэффициента затухания
волн 1 и 2 на длине волны E) от v
Рис. 1.32. Зависимость А от v
чения энергии в глуоь iолу-
пространства. Волна состоит з
продольной I и поперечнол t
компонент (рис. 1.33). В обеих
волнах смещения убывают вдоль
направления распространения
(ось х) (Im /c>0). По глубине
z смещения в продольной вол-
волне медленно затухают (Req^>0), а в поперечной —
медленно нарастают (Re s < 0, толщина волновых
фронтов г-волны на рис. 1.33 пропорциональна
амплитуде смещения в данной точке). Вдоль пря-
прямых, параллельных линиям z = — </0:г/А40) и z = s0x/k'2\
амплитуды смещений в I- и ^-волнах соответственно по-
постоянны. Быстрота затухания и нарастания волпы по гиг
91

Рис. 1.33. Смещения во второй вытекающей волне на границе твер-
твердого полупространства с жидким слоем
определяется степенью влияния жидкости. Если, напри-
например,
Р
= 0,01 и v=0,2,
то волна затухает в е раз в направлении распространения
(ось х) на пути L ^ 16 X, где X — длина волны. Затуха-
Затухание в е раз по глубине продольной составляющей проис-
происходит на расстоянии ^ 14 X, а нарастание в е раз попереч-
поперечной составляющей — на расстоянии = 30 X.
Перейдем теперь к интерпретации поверхностных волн
в твердом изотропном полупространстве. Как следует из
формул A.140) — A.143), при v <;0,26 и без слоя жид-
жидкости (N = 0) волны 1 и 2 являются объемными, а соот-
соответствующие им волновые числа кх и к% —чисто вещест-
вещественными. При этом каждая из волн 1 и 2 состоит из про-
продольной I и поперечной t волн, одна из которых падает,
а другая отражается от границы 2=0. Падение происхо-
происходит под углами Брюстера, при которых отраженных волн
той же поляризации, что и падающая, не возникает и
происходит полная трансформация продольной волны в
поперечную [4|.
Волновые числа къ к2, кц (ка — волновое число рэлеев-
рэлеевской волны) и соответствующие им значения радикалов
УЦ t — к'1 (ветви двузначных функций J/ Щ ( —к'1) ис-
92
черпыбают все корни дисперсионного уравнения A.58)
с нулевой правой частью (уравнение Рэлея). Соответст-
Соответствующие им три волны в твердом полупространстве со
свободной границей составляют класс трансформируемых
волн [4], идущих иод брюстеровскими углами к границе
полупространства (для рэлеевской волны этот угол мни-
мнимый). Левая часть уравнения A.58), содержащая ради-
радикалы У Щ t — /с2, является многозначной функцией к.
Чтобы сделать ее однозначной, из четырех листов плос-
плоскости к образуют четырехлистную поверхность Римана,
проводя разрезы от точек + /с(>,. Обычно при решении
задач о волнах в полупространстве (см., например, [92])
знаки радикалов и разрезы выбирают так, чтобы на одном
из листов поверхности Римана (верхнем) решение удовлет-
удовлетворяло бы принципу излучения. Тогда корень kR лежит
на этом верхнем листе, а корни къ к2 — на других листах.
В случае свободной границы полупространства волны
1 и 2 при v <; 0,26, как уже отмечалось, являются объем-
объемными. Жидкий слой делает их поверхностными вытекаю-
вытекающими, т. е. при слое в упругом полупространстве сущест-
существует рэлеевская и две вытекающие поверхностные волны.
Можно показать, что и другое изменение граничных усло-
условий для полупространства (твердый слой, импеданспые
граничные условия) «превращает» волны 1 и 2 из объем-
объемных в поверхностные вытекающие. Интересно, что при
помощи изменения толщины слоя h можно управлять глу-
глубиной локализации и затуханием вытекающих волн вдоль
направления распространения (ось х), В частности, что
очень важно для практики, это затухание можно сделать
весьма малым (порядка дифракционных и вязких потерь).
Из анализа уравнения A.58) с нулевой правой частью
следует, что при v ^> 0,26 двух вещественных корней, со-
соответствующих волнам 1 и 2, не существует. Вместо них
появляются два комплексно-сопряженных корня, соот-
соответствующих двум системам неоднородных по х и z волн.
На рис. 1.31 видно, что кривые 1 и 2 волновых чисел кг
и к2 при v ^ 0,26 сливаются в одну кривую 3, которая изо-
изображает зависимость нормированной фазовой скорости
kt/Rek3 от v (Rek3 > 0). Кривая 5 изображает зависи-
зависимость коэффициента затухания волны Im/c3^ на длине вол-
волны от v. Это означает, что волна с волновым числом к3 яв-
является вытекающей и без слоя жидкости на границе полу-
полупространства. Однако от рассмотренных волн 1 и 2 она су-
существенно отличается тем, что очень быстро затухает при
93

распространении вдоль границы (затухание в е раз на пy^
ти порядка длины волны при всех v, кроме узкой области
v = 0,26). Поэтому большого практического интереса эта
волна не представляет. Отметим, однако, что слой жид-
жидкости может существенно уменьшить указанное затуха-
затухание (это следует из формул A.142), если считать, что &!0) —
комплексное число).
24. Вытекающие волны в кристаллах
Интересной разновидностью вытекающих поверхно-
поверхностных волн второго типа являются звуковые вытекающие
волны в кристаллах [9, 93—95]. Такие волны были обна-
обнаружены примерно 10 лет назад (кристаллы меди, никеля,
кварца, ниобата лития и др.). Они состоят из трех пар-
парциальных волн — одной квазипродольной и двух квази-
квазипоперечных, причем фазовая скорость одной из квази-
квазипоперечных волн меньше, чем фазовая скорость суммар-
суммарной поверхностной волны вдоль границы, что создает
излучение (благодаря различию фазовых скоростей двух
квазипоперечных волн такая ситуация в кристаллах впол-
вполне реализуема).
В теоретическом плане вытекающие поверхностные
волны в кристаллах изучены, к сожалению, не аналити-
аналитическим, а только численным путем (машинный счет). Про-
Проиллюстрируем это кратко, следуя работе [9J. Как указано
в разд. 4, общее выражение для компонент смещений в по-
поверхностной волне в кристалле имеет форму A.24). По-
Поверхностной волне соответствуют чисто вещественные
значения cos <хх, cos сс2 и ТРИ значения cos ссз с положи-
положительными мнимыми частями, которые удовлетворяют ус-
условию излучения, т. е. дают решение, ограниченное во
всем полупространстве. В ряде кристаллов для некоторых
C)
направлении распространения cos сс3 становится почти
точно или совершенно точно вещественным, а константа
С3 ^§> Съ2 или С3 —> оо. Это означает, что поверхностная
волна вырождается в объемную. В окрестностях таких то-
точек и возникают вытекающие поверхностные волны.
Если вычислять определитель дисперсионного уравне-
уравнения по обычной схеме, т. е. с вещественными cosgcj, coscc2 и
комплексными cos а^\ то в окрестностях указанных то-
точек он имеет минимум, но не обращается в нуль. Сделать
определитель равным нулю удается, во-первых, введением
94
10
?О 4-0 О
Рис. 1.34. Зависимости
скоростей объемных и по-
поверхностных волн в плос-
плоскости @01) от направления
распространения
небольших положительных
мнимых добавок к cos ссх>2, та-
таких, что Im coscCj/Re cosocj=
= Im coscc2/Re cos a2 << 1,
и, во-вторых, предположе-
предположением, что cos cc3<3' — число
с положительной веществен-
вещественной частью и малой отрица-
отрицательной мнимой. С3 может
при этом меняться от нуля
до значений, равных пример-
примерно Cj,2. Этот корень и дает
вытекающую поверхностную
волну. Если С3 —> 0, то
волна почти чисто поверх-
поверхностная: она медленно зату-
затухает вдоль направления рас-
распространения, упругое поле
в ней в основном локализо-
локализовано у поверхности и только
за счет множителя, содержа-
щего cos ссз , медленно нарастает с глубиной подобно по-
полю вытекающих поверхностных волн в изотропных телах,
рассмотренных выше.
Для пояснения сказанного рассмотрим, следуя работе
[9], результаты расчета фазовых скоростей упругих волн
в плоскости @01) кубического кристалла меди (плоскость
хгх2 на рис. 1.5). На рис. 1.34 по оси абсцисс отложен
угол 9 между направлением распространения волны и
осью хъ а по оси ординат — скорость волн в относитель-
относительных единицах. Из графика видно, что, как и в кристалле
никеля (см. разд. 6), прежде всего имеется волна Тъ фа-
фазовая скорость которой не зависит от направления распро-
распространения. Это ¦— чисто сдвиговая объемная волна со сме-
смещениями, параллельными оси х3. Скорость второй сдвиго-
сдвиговой объемной волны Т2 со смещениями в плоскости ххх2,
напротив, существенно зависит от направления распро-
распространения. В точках 9 = 0 и 9 = 45° (отмечены крести-
крестиками на рисунке) волна Т2 строго удовлетворяет условию
отсутствия напряжений на плоскости ххх2 кристалла.
Одна из этих точек 9 = 45° является точкой «рождения»
двух поверхностных волн.
Первая поверхностная волна (жирная линия на рис.
1.34), являясь при 9 = 45° чисто сдвиговой объемной вол-
95

ной со смещениями, параллельными свободной поверх-
поверхности, при 9 —> 0 плавно переходит в рэлеевскую волну
со смещениями по осям хх и х3. В промежуточной области
углов у волны имеются все три компоненты смещения.
Вторая поверхностная волна (штриховая линия на
рис. 1.34) при 9 = 45° является чисто рэлеевской со сме-
смещениями вдоль направления распространения и перпен-
перпендикулярно границе. При отступлении от этого направле-
направления (9 <с 45°) данная волна превращается в вытекающую,
излучающую энергию в глубь кристалла, поскольку ее
фазовая скорость при этом превосходит фазовую скорость
объемной поперечной волны Т2 горизонтальной поляри-
поляризации. При 9 = 45° волна не является вытекающей и из-
излучения нет из-за того, что смещения в ней и в волне Т2
строго ортогональны. При увеличении отклонения А9 от
диагонального направления излучение возрастает, и при
9 ~ 25° вытекающая волна «переходит» из поверхностной
в объемные волны. В волне имеются все три компоненты
смещепия, причем по мере увеличения А9 возрастает
компонента, перпендикулярная направлению распростра-
распространения волны и параллельная границе.
В заключение данного раздела остановимся коротко на
физическом и математическом смысле вытекающих поверх-
поверхностных волн. Поскольку все вытекающие поверхностные
волны (как звуковые в изотропных твердых телах и в
кристаллах, так и электромагнитные) содержат экспонен-
экспоненциально нарастающую с глубиной объемную компоненту,
они не могут существовать во всем полупространстве. Фи-
Физически это означает, что на достаточном удалении от ис-
источника вытекающая поверхностная волна распадается
на объемные волны. Вытекающие поверхностные волны,
как и все рассмотренные здесь поверхностные волны, ма-
математически являются собственными фупкциями соответ-
соответствующих краевых задач, а их волновые чила — соб-
собственными значениями, определяемыми полюсами подын-
подынтегральной функции в комплексной плоскости волнового
числа к. При удалении от источника эти полюса смещают-
смещаются (в частности, переходят на другой лист поверхности
Римана) и перестают захватываться контуром интегриро-
интегрирования, что приводит к «исчезновению» вытекающей волны
вдали от источника [96].
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ
В ИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
В данной части, написанной в основном по материалам
монографии [7] (со ссылками на все необходимые литератур-
литературные первоисточники), описываются методы возбуждения
(приема), свойства и характеристики рэлеевских волн в
изотропных твердых телах. Это сделано по двум сообра-
соображениям. Во-первых, рэлеевские волны в изотропных твер-
твердых телах являются основным и наиболее широко исполь-
используемым на практике типом звуковых поверхностных волн
в твердых телах. Во-вторых, материал имеет достаточно
общий характер, поскольку качественно все описанные
здесь результаты распространяются и на случай воля рэ-
леевского типа в кристаллах.
Проводимые здесь эксперименты были выполнены с
ультразвуковыми рэлеевскими волнами. Однако полу-
полученные результаты справедливы для рэлеевских волн лю-
любого частотного диапазона.
Глава I
МЕТОДЫ ЕОЗБУЖДЕНИЯ И ПРИЕМА ЕОЛН РЭЛЕЯ
Для возбуждения ультразвуковых рэлеевских волн су-
существует целый ряд методов. Так, в работе [97] указыва-
указывается, что пластинка кварца Х-среза, опирающаяся на ребро
прямоугольного упругого клина (рис. 2.1, а), возбуж-
возбуждает на его гранях «слабые поверхностные волны». Наи-
Наилучшее возбуждение получается, если пластинка накло-
наклонена к граням под углом 45°.
В работе [98] описан метод возбуждения рэлеевских
волн кварцевой пластинкой У-среза, имеющей акусти-
акустический контакт с поверхностью твердого тела посредством
тонкого слоя масла (рис. 2.1, б). Такая пластинка возбуж-
возбуждает две рэлеевские волны, бегущие в отрицательном и по-
положительном направлениях оси х с одинаковыми амплиту-
амплитудами. Как утверждают авторы, амплитуды максимальны
А И. А. Викторов 97

-ЛЛ/
при отношении ширины 2а
пластинки к толщине d,
равном 7 : 1. Основная до-
доля механической энергии
пластинки расходуется в
этом методе возбуждения
на излучение поперечных
ультразвуковых волн в
глубь твердого тела.
В работах [99—101] для
возбуждения рэлеевских
волн использовался бес-
бесконтактный магнитный ме-
метод, основанный на маг-
нитоакустическом эффек-
эффекте. В этом методе элек-
электрический сигнал звуковой
частоты подается на спе-
специальную магнитную ка-
катушку, расположенную у
поверхности образца и на-
наводящую на ней периоди-
периодические в пространстве вих-
вихревые токи. Для этого,
конечно, образец должен
быть из металла или на
его поверхность должна
быть нанесена металличе-
металлическая пленка. Вблизи по-
поверхности образца имеется
еще и постоянное магнит-
магнитное поле. Взаимодействие
вихревых токов с этим полем приводит к колеба-
колебаниям поверхности и возбуждению рэлеевской волны.
В работе [102] данный метод был использован для приема
рэлеевских волн с поверхности металлических образцов.
Отметим, что и все остальные описываемые в данном
разделе методы возбуждения (со всеми их особенностями)
можно обратить и на случай приема.
Наиболее распространенным методом возбуждения рэлеев-
рэлеевских волн является так называемый метод клина [97, 103],
основанный на преобразовании продольных волн в рэлеев-
ские. В этом методе (рис. 2.1, в) пластмассовая призма вдоль
одной своей грани имеет акустический контакт с поверх-.
Рис. 2.1. Методы возбуждения и
приема ультразвуковых рэлеевс-
рэлеевских волн
о — с ребра клина; б — кварцевой
пластинкой У-среза; в — клином; г —
гребенчатой структурой
ностью твердого тела. На наклонной грани призмы рас-
располагается пьезопластинка, излучающая плоскую про-
продольную волну, которая падает под углом 9 на границу
твердого тела с призмой. Угол 9 выбирается из условия
оптимального возбуждения sin 9д = ckJcr, где скл —
скорость продольных волн в материале клина; Cr — ско-
скорость рэлеевских волн в образце (ясно, что материал приз-
призмы должен быть таким, что скл < Cr, поэтому призма де-
делается обычно из пластмассы). При этом на границе твер-
твердого тела и призмы создается периодическое возмущение с
пространственным периодом, равным длине рэлеевской
волны в образце. Поскольку 9R = arcsin(cra/cR) больше
угла полного внутреннего отражения как для продольной,
так и для поперечной волн, прошедшие в образец волны
являются неоднородными и возмущение затухает с глу-
глубиной. Это возмущение возбуждает рэлеевскую волну,
распространяющуюся по поверхности образца в направ-
направлении положительной оси х. Наилучшее возбуждение по-
получается, когда проекция ребра призмы на наклонную
грань совпадает с передним краем пьезопластинки, как
показано на рис. 2.1, в. В методе клина возбуждается
практически только одна рэлеевская волна, уровень воз-
возбуждаемых объемных волн лежит на 20—30 дБ ниже.
В работе [40] описан несколько видоизмененный метод
клина с трансформацией поперечной волны в рэлеевскую.
Благодаря меньшей (по сравнению с продольной волной)
скорости поперечной волны клин в этом случае может быть
сделан не из пластмассы, а из металла, например латуни.
Это дает ряд преимуществ: более простая технология из-
изготовления, меньшая изнашиваемость, лучшая возмож-
возможность согласования материала клина и образца (послед-
(последнее может повысить эффективность излучения и приема
рэлеевских волн в несколько раз по сравнению со случаем
пластмассового клина).
В настоящее время метод клина обобщен на высокие час-
частоты. Так, в работе [104] описывается возбуждение ультра-
ультразвуковых поверхностных волн в кристалле ниобата ли-
лития клиновидным преобразователем, изготовленным из
кристалла сульфида кадмия. Использование вместо пласт-
пластмассы кристалла, поверхности которого обработаны с вы-
высокой точностью, а затухание звука в котором мало, позво-
позволило возбуждать волны в интервале 10—60 МГц. Вместо
пьезопластинки на наклонной грани клина был создан пу-
путем диффузии серебра в тонкий поверхностный слой этой
4*
99

грани так называемый диффузионный пьёзопреооразова-
тель поперечных объемных волн на указанные частоты.
Никаких других изменений в высокочастотном варианте
не содержится.
В 1958 г. А. Г. Соколипским [105] был предложен
метод возбуждения рэлеевских волн гребенчатой структу-
структурой, создающей на поверхности твердого тела (подобно
клину) периодическую совокупность нормальных возму-
возмущений с пространственным периодом kR (при отличии
пространственного периода от XR возбуждение менее эф-
эффективно). Такая структура проще всего может быть вы-
выполнена в виде металлической пластинки гребенчатого
профиля с периодическим чередованием выступов и пазов
шириной Хц/2 (рис. 2.1, г) и пластинки кварца Х-среза,
лежащей на ней. Гребенчатой структурой можно весьма
эффективно возбуждать рэлеевские волны в образце из
любого материала, достаточно только сделать ее простран-
пространственный период равным %R.
Прецизионное изготовление гребенчатых структур по-
позволяет применять этот метод для возбуждения и приема
рэлеевских волн и на высоких частотах (порядка 100 МГц
и выше [106]). В этом большие преимущества данного ме-
метода. Недостатком метода гребенчатой структуры явля-
является высокий уровень паразитных сигналов, связанных с
излучением структурой объемных волн.
Наконец, отметим еще один способ возбуждения рэлеев-
рэлеевских волн, имеющий ценность в области высоких частот
[107]. Луч от мощного лазера проходит через решетку,
состоящую из прозрачных и непрозрачных полос и соз-
создает на поверхности кристаллического образца периоди-
периодическое чередование освещенности, которое из-за теплового
эффекта приводит к появлению периодических механи-
механических напряжений, генерирующих рэлеевскую волну.
Это по существу тоже разновидность метода гребенчатой
структуры.
1. Теория
В работе [108] проведено детальное теоретическое и эк-
экспериментальное исследование четырех основных (меха-
(механических) методов возбуждения рэлеевских волн: клина,
гребенчатой структуры, кварцевой пластинки Y- и X-
срезов. Последний метод введен нами по аналогии с ме-
100
Рис. 2.2. Методы возбуждения рэлеевских
волн и их идеализации
тодом кварцевой пластинки У-среза. Изложим здесь ос-
основное содержание этой работы
Будем считать твердое тело,'на поверхности
рэлеевских
на
твердого тела эк-
101

вивалентно действию напряжений, приложенных к сво-
свободной поверхности твердого тела на том участке, где на-
находится излучатель.
При возбуждении кварцевыми пластинками Х-среза
(рис. 2.2, а) и У-среза (рис. 2.2, б) имеем соответственно
нормальные и касательные напряжения единичной ам-
амплитуды, распределенные равномерно в области поверх-
поверхности! х | ^ а, при гребенчатой структуре (рис. 2.2, г)—
периодическую совокупность единичных нормальных на-
напряжений, в методе клина (рис. 2.2, в) — систему нормаль-
нормальных и касательных напряжений, приложенных к свободной
поверхности твердого тела в области | х | ^ a/cos 0 =
= b, определяемой геометрическими границами пучка
продольных волн, распространяющихся в клине. Напря-
Напряжения здесь будем считать равными напряжениям, возни-
возникающим при падении плоской продольной волны под уг-
углом 8 на границу двух полупространств, одно из которых
состоит из материала клина, а второе — из материала
твердого тела (продольная волна падает в первом полупро-
полупространстве, а ее амплитуда предполагается такой, что нор-
нормальные напряжения на площадке, перпендикулярной на-
направлению ее распространения, равны единице).
Строго говоря, «замена» излучателей рзлеевских волн
напряжениями допустима только при условии малости
волновых сопротивлений материалов излучателей (т. е.
кварца, материала гребенчатой структуры и материала
клина) по сравнению с материалом твердого тела, что в
большинстве практических случаев выполняется только
приближенно, однако другой предельный случай (малость
волнового сопротивления твердого тела), когда излуча-
излучатели рэлеевских волн можно было бы «заменить» смеще-
смещениями, заданными на поверхности твердого тела, еще более
далек от практики.
Заметим также, что в методе клина мы будем пренебре-
пренебрегать расхождением пучка продольных волн в клине и сме-
смещением отраженного пучка на границе клин — твердое
тело.
Зависимость напряжений от времени будем предпола-
предполагать сперва гармонической, затем полученные результаты
обобщим на случай импульсного режима.
При сделанных предположениях исследование четырех
методов возбуждения рэлеевских волн сводится к исследо-
исследованию колебаний полупространства при следующих на-
напряжениях на его границе.
102
B-1)
B.2)
В случае возбуждения кварцевой пластинкой Х-среза
\х | <<х>,
) = е~ш при | х К а,
:|z~° \ О при \х\^>а.
В случае возбуждения кварцевой пластинкой У-среза
Та\*=о = 0 при \х | < оо,
( T(t) = е~ш при |о;|< а,
Гяф=0 = | 0 при |^| > а.
В случае возбуждения гребенчатой структурой
Txz\z=0 = 0 ПрИ | Х\ < ОО,
lT(t) = e-ia' при | о: | е G,
Гг2|^°"'=1 0 при |.г|? G,
где G = 2j efi — область, состоящая из 2и + 1 злементар-
ных областей gt, границы которых определяются на плос-
плоскости z = 0 прямыми жНач = Di + 1)а, жкон = Di —
— 1)я.
В случае возбуждения клином
\Tzeik°*T(t) при \х\^Ь,
0 при | х | ]> ft,
ГГхе^Г@ при \х |< ft, B'4)
1 0 при |
B.3)
где к0 = кКЛ sin 0; Т (t) = e~i(Ot; Тх и Tz — безразмер-
безразмерные комплексные амплитуды напряжений.
Методика теоретического расчета одинакова для всех
методов возбуждения. Поэтому ограничимся приведением
краткой схемы расчета для метода возбуждения кварцевой
пластинкой Х-среза, а для остальных методов выпишем
только окончательные результаты.
Введем для области, занятой упругим полупростран-
полупространством, потенциалы ф и т)з продольных и поперечных (сдви-
(сдвиговых) волн, удовлетворяющие волновым уравнениям
A-5), A,6). Будем искать ф и г|) в форме интегралов
103

Фурье:
ф= J
— эо
эо
B.5)
A2z — 'М)\ dk.
Функции ф (А:) и ijj (fc) определим из граничных условий
B.1), записывая выражения для напряжений тоже в форме
интегралов Фурье и выражая напряжения Тгг и Тхг че-
через ф И if).
С учетом найденных таким образом ф (А;) и гр (А:) из B.5)
можно вычислить смещения и напряжения в любой точке
полупространства, т. е. определить полное поле. Посколь-
Поскольку нас интересуют главным образом рэлеевские волны,
т. е. та часть поля, которая локализована у поверхности,
будем вычислять поверхностные смещения. Анализ по-
поверхностных смещений вместе с тем дает представление и
о совокупности объемных волн, возбуждаемых в каждом
случае наряду с рзлеевскими.
Для нормального и касательного поверхностных сме-
смещений имеем
^k* am kae<**dk,
B.6)
U.
>=-ir]-т{2к*-'
X
к2) sin kaeikxdk,
\ — k* Ук\ — к* — (*? — 2A-2J.
где F(k) = — 4
Для вычисления интегралов B.6) рассмотрим их в ком-
комплексной плоскости к. В этой плоскости у подынтегральных
функций есть следующие особенности: точки ветвления
к = + kit i радикалов У к\ t — № и простые полюса к =
= ^Ь Агд, соответствующие простым корням функции
F (к) (см., например, [92]). Чтобы сделать функции
У kftt — к2 однозначными, образуем из четырех листов
плоскости А: четырехлистную поверхность Римана, проведя
разрезы, как показано на рис. 2.3. Назовем верхним лис»
104
-*» '"l
¦B/
-x
(
In*
1
1
f_
t
Рис. 2.3. Комплексная плос-
плоскость к и путь интегрирования
тоМ поверхности Римана тбт',
на котором знаки радикалов
У k\t t — к2 соответствуют
удовлетворению принципа из
лучения для решения B.5)
на вещественной оси (путь
интегрирования). Это означа-
означает, что при этом решение со-
состоит только из волн, уходя-
ших от границы полупрост-
полупространства на бесконечность, и
из неоднородных волн, рас-
распространяющихся вдоль гра-
границы и затухающих с глу-
глубиной (по оси z). Пути интегрирования в выражениях B.5),
B.6) проходят по вещественной оси верхнего листа поверх-
поверхности Римана.
Будем вычислять поверхностные смещения для области
вне пластинки (| х \ ]> а). Перемещая пути интегрирова-
интегрирования интегралов B.6) с вещественной оси верхнего листа
в положительную или отрицательную (в зависимости от
знака х) мнимые бесконечности, сведем интегралы B.6)
к вычетам в точках к = + kR и интегралам по берегам раз-
разрезов (см. рис. 2.3) (направление обхода полюсов к =
= + kR, лежащих на вещественной оси, определится вве-
введением в упругое полупространство бесконечно малого за-
затухания, при котором полюса сместятся с вещественной
оси (см. стрелки на рис. 2.3)). Для больших х (к\ t {x —
— а) ^§> 1) интегралы по берегам разрезов можно вычислить
приближенно методом наибыстрейшего спуска, и тогда
для Uz0 и Uх0 будем иметь выражения B.7). Ниже приведе-
приведены соответствующие формулы для всех методов возбужде-
возбуждения.
В случае возбуждения пластинкой Х-среза кварца
(к,,, (х- а)>1)
sin kRa
nnkta exp(tV)
exp (;A:Ra;) -f
106

к
R
exp (ikRx)
B.7)
ta exp
bin k(a
1 J к, ft'/'x'/*
x ..,..' +0
X
В случае возбуждения пластинкой У-среза кварца
(К t (х - а) > 1)
-О3
k% + sr sin кт>а
[ R , д —p-5-
infya exp (ifcjx)
exp (ikRx) +
X
exp(№,x)
sinfc,a
B.8)
exp (ifc;x) sinfr(a exp (i/r(x) | ^
x к;/'х'/« +Ci~ фЛГ- + °}
В случае возбуждения гребенчатой структурой (Аг> (а; —
D« + lJA;?, «a Э> 1)
= — f A ~-
Z
а,, exp (ikRx)
exp у Q 1.1
а„ exp
з„ X
B.9)
X
108
В случае возбуждения клином (Аг;> ( (b — х) 5§> 1)
sin (^о — 't;
fr0 — fr,
ехр(а;х)
x
X
X
X
B.10)
" iO = ¦
V 2A|
A'ft rtr
X
sin (k0 — kt) b
k0 — к i
x
exp (ik,x)
2 ¦,
X-
x
X
exp(i/r(z)
- kt
12 „2
Здесь
1
, (, R""n 1,
[sinDw
', t, R
— sin Dre — 1) /гг> (| да -f- sin Dre — 3) A;, ( Ra — sin Dre — 5) x
X kt,, до + ... + sin &;, (, да];
h fQ rtS rt
A I J JX JX ,
^^ *^"~ i4i-00 О « >9<0 »'
Oil [bd //ld _l_ с*3 \ 9/7 С |i> _!__ cd *7 С M
lil* I ftp ll/p ^"^ " T> f "UpOn V*1!? ~T^ " I? 4 Tf " Tf ) I
luXt4Xt Xt' jK jK Л ¦ JX JX JX'J
Bt, . . . B10, Cx,. . . C10 — комплексные констант, за-
зависящие от коэффициента Пуассона v и постоянной Ламе ц
упругой среды.
Из приведенных формул видно, что при каждом методе
возбуждения выражения поверхностных смещений вдали
от-области, где приложены напряжения, состоят из сум-
суммы ряда членов, каждый из которых, как это следует из
их фазовых множителей, соответствует определенному
типу волн. Первые слагаемые формул B.7) — B.10) со-
соответствуют рзлеевским, вторые и третьи — продольным и
поперечным волнам, распространяющимся вправо от облас-
областей приложения напряжений. Амплитуды поверхностных
смещений в этих объемных волнах существенно меньше
107

0,8
0,6
0,2
О
\
/
/
1
Л
1 Л,
\
\
i+5 ?8
Рис. 2.4. Зависимости амплитуды рэлеевской волны от ширины
кварцевых пластинок Х- (а) и Y-среза (б)
1 — теория; 2 — эксперимент
(в k'/'fif'1 раз) соответствующих амплитуд в рэлеевской
волне и убывают с расстоянием вдоль поверхности полу-
полупространства по закону (kt< tx)~'f'. Такое быстрое убыва-
убывание амплитуд объясняется тем, что основная часть энергии
продольных и поперечных волн излучается в глубь полу-
полупространства, а не вдоль его свободной границы. Данные
лучи объемных волн, скользящие вдоль границы, в сей-
сейсмологии называются головными волнами. В последнее
время головные волны стали изучаться и на ультразвуко-
ультразвуковых частотах [109—110].
Укажем, что при больших отрицательных х амплиту-
амплитуды Uz0 и Us0 отличаются от амплитуд B.7)— B.10) лишь
знаками. Исключение составляет случай клина, где излу-
излучение в направлении —х меньше, чем в направлении + х.
В частности, при к0 ~ &я амплитуда рэлеевской волны,
бегущей в направлении —х, ничтожно мала (в 2кцЬ раз
меньше амплитуды в направлении г х).
108
О
so eR eo
70
SO6>L
Рис. 2.5. Зависимости
амплитуды рэлеевской
волны от угла G (а)
и ia/kR (б)
0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 Ч а/ЛR
Анализируя выражения амплитуд поверхностных сме-
смещений Uf0 и Ux<) в рэлеевской волне, возбуждаемой в
каждом методе, можно сделать следующие выводы.
1. При возбуждении пластинками Х- и У-срезов квар-
кварца амплитуда рэлеевской волны зависит от ширины 2а
пластинки синусоидально (см. первые слагаемые в B.7) и
B.8) и рис. 2.4, на котором приведены теоретические A)
и экспериментальные B) кривые; упругое полупростран-
полупространство предполагается здесь и в дальнейшем «алюминие-
«алюминиевым»),
2. При возбуждении рэлеевских волн гребенчатой
структурой и клином, когда на поверхности полупростран-
полупространства имеется область с периодическими возмущениями,
амплитуда рэлеевской волны очень сильно зависит от
длины пространственного периода этих возмущений, т. е.
от угла 9 и размера 4а соответственно (рис. 2.5). На рис.
109

2.5 приведены теоретические кривые A), рассчитанные по
формулам B.9) и B.10) для случая гребенчатой структуры
с числом элементарных ячеек, равным 19 (п = 9), и поли-
полистиролового клина с кварцевой пластинкой шириной 1а =
= 7,66 Якл, и экспериментальные кривые B). Анализируя
выражения B.9) и B.10), легко убедиться, что острота
максимумов кривых на рис. 2.5 пропорциональна разме-
размеру области возмущения, т. е. числу ячеек т и величине 1Ь.
3. При возбуждении рэлеевских волн пластинками X-
и F-срезов кварца максимальная эффективность возбуж-
возбуждения, получающаяся при 1а = Яд/2, ЗЯд/2, 5Як/2, не
зависит от ширины пластинки 1а. При возбуждении гребен-
гребенчатой структурой и клином максимальная амплитуда рэ-
леевской волны, соответствующая случаям 4а = Яд и
9 ~ arcsin (кц/ккл), как следует из выражений B.9) и
B.10), прямо пропорциональна размеру излучателей в
направлении распространения рэлеевской волны и теорети-
теоретически может быть неограниченной.
На основании полученных результатов можно сделать
выводы и относительно импульсного режима возбуждения.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда
импульс механических напряжений, которыми мы «за-
«заменяем» излучатель, имеет прямоугольную форму и си-
синусоидальное заполнение, т. е. функция Т (t) (см. B.1)—
— B.4)) равна
0
гри
при
t\>r
B.11)
(где 2т — длительность; со0 — частота заполнения им-
импульса), причем в начальный и конечный моменты време-
времени напряжения равны нулю (Re e±i@°T = cos со0т = 0).
Представляя Т (t) в форме интеграла Фурье, можно по-
после несложных вычислений получить решение для импульс-
импульсного режима из суперпозиции решений B.7) — B.10) для
непрерывного режима.
На рис. 2.6 изображены осциллограммы механическо-
механического напряжения Тгг или Тхг (рис. 2.6, а) и нормального по-
поверхностного смещения в рэлеевской волне (для всех ме-
методов возбуждения: б и в — Х- и У-срезами кварца, г —
гребенчатой структурой, д — клином), рассчитанные для
возбуждения пластинками Х- и У-срезов кварца в пред-
предположении sin kRa = 1, для возбуждения гребенчатой
структурой при m = 3 и для метода клина при k0 — kR..
НО
(б = бд). Как видно иЗ
рис. 2.6, во всех методах
возбуждения, кроме мето-
метода клина, импульс рэлеев-
рэлеевских волн имеет большую
(по сравнению с импуль-
импульсом напряжений) длитель-
длительность и измененную форму
(ступенчатую при возбуж-
возбуждении пластинками Х- и
У-срезов (см. рис. 2.6, б,в)
и трапецеидальную при
возбуждении гребенчатой
структурой (см.рис.2.6, г)).
Это изменение формы и
длительности связано с
процессом установления
колебаний в области при-
приложения напряжений, для
чего необходимо время 1L/
/сд, где L — размер из-
излучателя в направлении
распространения рзлеев-
ских волн. В методе кли-
на при к0 = kR установ-
установление происходит вместе с
постепенным появлением
напряжений в области
| х | ^ Ъ. Соответствен-
Соответственный импульс напряжений,
созданный продольными
волнами в клине, в начальный момент времени появляется
на левой границе области | х\ <J & и распространяется затем
к правой со скоростью сд. К моменту появления напря-
напряжений во всей области | х \ < Ъ колебания устанавлива-
устанавливаются также во всей области. Поэтому импульс рэлеевских
вблн повторяет форму импульса напряжений.
2. Экспериментальное исследование
Экспериментальная проверка результатов тборётй*
ческого расчета проводилась на импульсной установке,
состоящей из генератора прямоугольных электрических
импульсов с частотой заполнения 2,5 — 3E МГц, peso-
Рис. 2.6. Осциллограммы смеще-
смещений и механических напряжений
а — механическое напряжение
zz
или Txz; б — Э — нормальные поверх-
поверхностные смещения при возбужде-
возбуждении ^-срезом кварца, У-срезом
кварца, гребенчатой структурой и
клином соответственно
111

нансного усилителя и индикатора (синхроскоп). Звуко-
проводом для рэлеевских волн служили алюминиевые
стержни прямоугольного сечения размером 25 X 65 х
X 500 мм. Прием рэлеевских волн при всех экспериментах
осуществлялся методом клина. Измерения проводились
при длительности электрического импульса 2—20 мкс.
Отсчеты амплитуд импульсов на индикаторе производи-
производились по средней части импульса, соответствующей уста-
установившемуся режиму колебаний, к которому применимы
формулы B.7) — B.10).
Для определения зависимости амплитуды нормально-
нормального поверхностного смещения в рэлеевской волне U№ от
ширины кварцевой пластинки Х-среза изменялась длина
площадки, вдоль которой осуществлялся (при помощи
слоя масла) акустический контакт кварцевой пластинки
Х-среза и стержня. Для снятия аналогичной зависимости
при У-срезе кварцевая пластинка приклеивалась церези-
церезином к поверхности стержня и изменялась частота запол-
заполнения электрического импульса, подаваемого на пластин-
пластинку, т. е. размер пластинки в длинах Ад.
Полученные кривые Uz0 Bа) и Uzo (kRa) отмечены точ-
точками на рис. 2.4. Кривые нормированы: средняя высота
максимумов экспериментальной кривой U% Bа) взята
равной высоте максимумов теоретической, а у эксперимен-
тальной и теоретической кривых V z0 (кцо) высоты приня-
приняты одинаковыми. Как видно из рис. 2.4, эксперименталь-
экспериментальные кривые обнаруживают качественно тот же периоди-
периодический характер зависимости амплитуды от ширины
пластинок, что и теоретические. Однако количественно
кривые заметно отличаются.
При методе клина для исследования зависимости ам-
амплитуды рэлеевской волны от длины пространственного
периода возмущений, создаваемых излучателем, т. е. от
угла 9, использовался круговой полистироловый сектор
раствора 90°, контактирующий со стержнем, и перемещае-
перемещаемый по сектору ползунок с кварцевой пластинкой Х-среза,
укрепленной на нем. Ползунок можно было закреплять в
любом положении на секторе, что позволяло направлять
пучок продольных волн на поверхность стержня под
углами в пределах 0—80°. При снятии аналогичной зави-
зависимости Uz0 Dа/Ад) для гребенчатой структуры использо-
использовалась алюминиевая пластинка гребенчатого профиля с
кварцевой пластинкой Х-среза, лежащей на ней. Параметр
112
ffj
а
А
f.ff
/ff
/f m
•
— /
• • • г
ff
f
/ff 25/Л,
Рис. 2.7. Зависимости амплитуды рэлеевской волны от числа] вы-
выступов гребенчатого профиля (а) и от размера 26/Яд (б)
Обозначения те же, что на рис. 2.4
Xr менялся посредством изменения частоты заполнения
электрического импульса, подаваемого на излучатель.
Акустический контакт полистиролового сектора и стерж-
стержня обеспечивался твердой пленкой клея БФ-4, остальные
акустические контакты осуществлялись маслом.
Экспериментальные кривые Uz0 (9) (см. рис. 2.5, а)
и U% Dа/Ад) (см. рис. 2.5, б) приведены к теоретическим:
средняя высота первых трех максимумов эксперименталь-
экспериментальной кривой Uz0 (9) взята равной средней высоте теорети-
теоретической, а у кривых Uz0 Da/kR) высоты главных максимумов
сделаны одинаковыми. Из рисунков видно, что качествен-
качественный характер экспериментальных и теоретических кривых
одинаков. Характерной особенностью экспериментальной
кривой на рис. 2.5, а (по сравнению с теоретической) яв-
является более ярко выраженный главный максимум, поло-
положение которого удовлетворяет (в пределах ошибки измере-
измерений) условию к0 = ки (9 = 9д = arcsin kR/kKJl), что на-
находится в согласии с данными работы [103].
Изучались также зависимости амплитуды рэлеевской
волны в резонансных методах возбуждения от размера из-
излучателей в направлении распространения волны при
пространственном резонансе, т. е. при 4а = Ад и 0 = 9д.
Для снятия зависимости t)f0 (m) менялось число выступов
пластинки гребенчатого профиля, вдоль которых осу-
осуществлялся акустический контакт ее со стержнем. Зави-
Зависимость Uz0 |е=од B6/Ад) изучалась путем изменения
ширины 2а площадки акустического контакта кварцевой
пластинки, укрепленной на наклонной грани клина,
ИЗ

с каином. Описанные зависимости показаны аа рис. 2.7.
Здесь же тонкими линиями отмечены соответствующие
теоретические кривые, построенные на основании B.9) и
B.10) с учетом экспериментально измеренного затуха-
затухания рэлеевскои волны, при распространении под излучате-
лем, которое не учитывалось в B.9) и B.10). При построе-
построении теоретических кривых их амплитудный множитель
выбирался из условия совпадения наклона эксперимен-
экспериментальных и теоретических кривых вблизи начала коор-
координат. Как видно из рис. 2.7, теоретическая и эксперимен-
экспериментальная кривые U%, |в=ед Bb/kR) удовлетворительно со-
совпадают одна с другой, а экспериментальная кривая
Uz0 (m) стремится к «насыщению» быстрее теоретической.
Описанные эксперименты подтверждают, что амплитуда
рэлеевскои волны при всех методах возбуждения сильно
зависит от размера излучателя в направлении распро-
распространения волны, а в резонансных методах — еще и от
пространственной структуры излучателя.
Таблица 2,1
Метод возбуждения
Контактный переходный
слой
К, дВ
Возбуждение рэлеевских волн квар-
кварцевой пластинкой ЛГ-среза
Возбуждение рэлеевских волн квар-
кварцевой пластинкой У-среза
Возбуждение рэлеевских волн квар-
кварцевой пластинкой F-среза с отноше-
отношением 2a:d=7:l (sin кнаф1)
Возбуждение рэлеевских волн алю-
алюминиевой пластинкой гребенчатого
профиля (т=19,2Л=18,5Яй) с квар-
кварцевой пластинкой X-среза, укреп-
укрепленной на ней
Возбуждение рэлеевских волн поли-
полистироловым клином B&=17ЯД)
Возбуждение и прием продольных
волн кварцевыми пластинками
Z-среза
Возбуждение и прием поперечных
волн кварцевыми пластинками
У-среза
Касторовое масло
Церезин
»
Касторовое масло
Клей БФ-4
Касторовое масло
Церезин
56,8
56,4
57,5
41,1
51,4
35,3
35,7
114
Измерялись коэффициенты преобразования К элек-
электрического импульса в акустический и обратно для всех
методов возбуждения. Под К понимается, как обычно, от-
отношение амплитуды электрического напряжения на излу-
излучателе к амплитуде ЭДС, развиваемой приемником. При-
Приемником служил полистироловый клин. В табл. 2.1 при-
приведены значения К, соответствующие максимальным
(в каждом случае) амплитудам рэлеевских волн (т. е. изме-
измеренные при sin kRa = 1, 4a = Яд, 0 = Од). Для сравнения
приведены значения К и для объемных волн. Все измере-
измерения сделаны на частоте / ~ 2,7 МГц.
Из таблицы видно, что наиболее эффективен метод гре-
гребенчатой структуры, однако даже для него эффективность
заметно ниже, чем при возбуждении и приеме объемных
волн. Данные табл. 2.1, рис. 2.4 и формула B.8), как нам
представляется, опровергают утверждение авторов рабо-
работы [98] о том, что амплитуда рэлеевскои волны, излу-
излучаемой кварцевой пластинкой У-среза, максимальна
при отношении ширины 2а пластинки к толщине d, равном
7:1.
На рис. 2.8 приведены фотографии импульсов рэле-
рэлеевских волн при возбуждении пластинками кварца
Х-среза (б) и У-среза (в), гребенчатой структурой (г) и
клином (д). Фотографии получены при следующих разме-
размерах излучателей в направлении распространения рэлеев-
рэлеевскои волны: 2а = 15, 1А = 18, 2Ь = 16 мм, причем
амплитуда рэлеевскои волны в каждом случае была мак-
максимальна, т. е. соответствовала условиям sin kRa = 1,
4a = Яд, 0 = QR. Для оценки искажений, вносимых в
импульс рэлеевских волн кварцевой пластинкой и усили-
усилителем, импульс рэлеевских волн сравнивался не с импуль-
импульсом электрического напряжения, а с импульсом продоль-
продольных волн, излученных и принятых кварцевой пластин-
пластинкой Х-среза (рис. 2.8, а).
Как видно из рис. 2.8, в соответствии с теоретическими
данными (см, рис. 2.6) импульс рэлеевских волн во всех
методах возбуждения удлиняется и изменяет форму (по
сравнению с импульсом электрического напряжения),
кроме метода клина, где и длительность и форма сохраня-
сохраняются.
Как отмечалось выше, большинство приведенных экс-
экспериментальных данных совпадают с соответствующими
теоретическими только качественно. Это обусловлено, по-
видимому, в основном несоответствием теоретических иде-
115

ализаций реальному поло-
положению вещей, заключаю-
заключающемуся в следующем:
1) действие излучателя
на поверхность твердого
тела не эквивалентно дей-
действию поверхностных' на-
напряжений;
2) распределения на-
напряжений, создаваемых
рассматриваемыми реаль-
реальными излучателями рэле-
евских волн, отличны от
идеализированных (см.
рис. 2.2) вследствие не-
поршнеобразных колеба-
колебаний вырезанных прямо-
прямоугольно кварцевых пла-
пластинок (см. [6]), неодно-
неоднородности контактного пе-
переходного слоя, расхож-
расхождения и затухания пучка
продольных волн в мате-
материале клина (для метода
клина) и несовершенств в
изготовлении алюминие-
алюминиевой пластинки гребенча-
гребенчатого профиля: неодинако-
неодинаковая ширина пазов и вы-
выступов и пр. (для метода
гребенчатой структуры);
3) при распростране-
распространении вдоль поверхности
акустического контакта
излучателя и стержня
рэлеевские волны зату-
затухают (что учитывалось
Рис. 2.8. Фотографии импульса продольных волн (а) и импульсов
рэлеевских волн при возбуждении последних пластинкой кварца
X-среза (б), У-среза («), гребенчатой структурой (г) и клином (д)
Левые снимки — длительность электрического импульса 2т = Г> мне, пра-
правые — 2т = 10 мне
116
лишь при построении теоретических кривых на рис. 2.7),
вследствие чего вклад разных участков контактной по-
поверхности излучателя в образование рзлеевской волны
неодинаков.
Кроме того, на различии экспериментальных и те-
теоретических кривых могли сказаться ошибки эксперимен-
эксперимента, в особенности ошибка измерения частоты ш0, влияю-
влияющая на положение максимумов и минимумов экспери-
экспериментальных кривых U% (kRa) и Uf0 Dя/А.й) на рис. 2.4 и 2.5.
Из приведенного исследования ясно, что при возбужде-
возбуждении рэлеевских волн зависимость амплитуды этих волн от
параметров излучателя имеет ряд характерных дополни-
дополнительных особенностей по сравнению со случаем излучения
объемных волн. Эти особенности описываются форму-
формулами B.7)—B.10), и при выборе того или иного метода воз-
возбуждения, а также при конструировании соответствующего
излучателя их нужно учитывать.
3. Диаграммы направленности излучателей
рэлеевских волн
До сих пор мы везде предполагали размеры излучате-
излучателей по оси у бесконечными, считая рэлеевские волны пло-
плоскими. Конечность размеров излучателей по оси у приводит
к появлению у излучателей диаграмм направленности.
В этом разделе, написанном на основе работы [111],
мы теоретически и экспериментально рассмотрим вопрос о
диаграммах направленности при резонансных методах
возбуждения рэлеевских волн (методе гребенчатой струк-
структуры и методе клина). Диаграммы направленности при
нерезонансных методах (методы кварцевых пластинок
Х- и У-срезов) можно получить как частный случай диа-
диаграммы направленности для метода гребенчатой струк-
структуры, когда число элементарных областей возбуждения
gi (число выступов пластинки гребенчатого профиля) рав-
равно единице.
Для расчета диаграмм сделаем ряд упрощающих пред-
предположений.
1. Как и ранее, будем считать твердое полупростран-
полупространство, где происходит распространение, изотропным, одно-
однородным и идеально упругим.
2. Поскольку энергия волнового пучка рэлеевских
волн расходится в двух измерениях, структура волн по
третьему измерению совершенно не существенна для диа-
117

Рис. 2.9. Излучатели
рэлеевских волн
грамм, и мы будем рассматривать плоскую задачу, считая,
что волновое распространение происходит в плоскости
г, ф (рис. 2.9).
3. Заменим реальный излучатель рэлеевских волн со-
совокупностью элементарных излучателей, распределен-
распределенных по соответствующему закону в той области плоскости
г, ф, где находился реальный излучатель. В случае пла-
пластинки гребенчатого профиля такой областью будет ряд
полосок на плоскости г, ф, соответствующих выступам пла-
пластинки, в случае клина — сечение пучка продольных волн
в клине (без учета расхождения) плоскостью г, ф.
4. Амплитуду смещения, создаваемого на плоскости
г, ф элементарным излучателем, будем считать пропорцио-
пропорциональной Н^ (kRr) ехр (— ia>t — 6р), где Н^ (kRr) — функ-
функция Ганкеля первого рода нулевого номера. Множитель
g-6p учитывает затухание волны от элементарного излу-
излучателя при ее прохождении через область, занимаемую
другими элементарными излучателями (б — коэффициент
затухания на единичном пути). Такое затухание является
экспериментально установленным фактом (см. разд. 2
этой главы) и объясняется трансформацией рэлеевской
волны в другие типы волн, когда отдельные участки по-
поверхности полупространства перестают быть свободными.
Для используемых нами излучателей коэффициент 6, най-
найденный экспериментально, равнялся 0,019 см для пла-
пластинки гребенчатого профиля и 0,020 см для клина.
Интегрируя по всем элементарным излучателям и про-
производя необходимые вычисления, получим для диаграмм
118
йаправлбнноСти пластинки гребенчатого профили и кли-
клина следующие выражения:
sin(ncos(p/2)
N.
exp|6 11 —
X
kRl sin ф совф r I" \ совф
X {[1 + exp (—4/ra6/cos ф) — 2 exp (— 2/n6/cos ф) X
X cos Bnm cos ф)]'/2/[1 + exp (— 46/cos ф) —
— 2 exp (— 26/cos ф) cos Bл cos ф)]'/2} X
X ¦1~ехр(~.21 щ>иф~0, B.12)
1 — ехр (— 2т6)
8Ш[(ЯСО5ф)/2] 1
kRl COS ф БШф
-f cos2 (kR I sin ф) sha
X exp I I 1 —
[sin2
1 — exp (—26) n
X — =- при (p~T
1 —exp(—2m6) 2
sin (fcBJ sin ф)
J sin ф) ch2 DZ6/XB sin ф) -f
R sin Ф)]1/2 X
]sin (mn cos ф)
sin (я cos ф) X
B.13)
X
"' fcflZ sin ф
X {sin2 [kRb A — cos ф)] ch2 Fb/cos ф) -f
+ cos2 [kRb A — cos ф)] sh2 Fb/cos ф)/A — cos фJ -f
+ 462/я2 cos2 ф}'/« exp (— 6b/| cos ф |). B.14)
Здесь NT и NKJI — отношения амплитуд смещений, созда-
создаваемых пластинкой гребенчатого профиля и клином по
направлению ф в зоне Фраунгофера (т. е. при расстояниях
г^>4^2Дд), к соответствующим амплитудам при ф = 0;
21, 2b, 2A — линейные размеры областей возбуждения на
плоскости г, ф (см. рис. 2.9); т — число выступов пла-
пластинки гребенчатого профиля; 6 = бХд/4.
Формулы B.12)—B.14) являются приближенными
вследствие нестрогого учета затухания волн, создаваемых
элементарными излучателями. Формула B.12) дает хоро-
хорошее приближение при 0 < ф < 112Ь, формула B.13) —
при я/2 — XRll < ф <я/2, а формула B.14) — в двух
диапазонах: 0 < ф < II2A и л — II2A < ф < я. Для
остальных углов относительная ошибка при расчете по
этим формулам составляет 20—30%, однако это не суще-
119

Ственно, поскольку Для этих углов излучение пластинка
гребенчатого профиля и клина мало.
Экспериментально получение диаграмм направленности
проводилось в импульсном режиме на установке, состоящей
из генератора электрических импульсов прямоугольной
формы с синусоидальным заполнением частотой 2,5—
3,5 МГц, усилителя и индикатора (осциллоскоп). Дли-
Длительность импульсов составляла 10 и 2 мкс. В качестве
излучателей волн использовались дюралевая пластинка
гребенчатого профиля с 19 выступами и лежащей на ней
титанатовой пластинкой размером 9 X 18 мм, а также по-
полистироловый клин с углом наклона 55° и титанатовой
пластинкой размером 9x9 мм, расположенной на на-
наклонной грани. Приемником волн в обоих случаях служил
аналогичный полистироловый клин, имеющий очень малую
площадь акустического контакта (круг с диаметром 3 мм)
с поверхностью образца, в котором распространялись
волны. Последнее позволяло измерить амплитуду коле-
колебаний поверхности образца в малой области (локально).
Все акустические контакты осуществлялись с помощью
масла.
Для снятия диаграмм направленности излучатель и
приемник помещались на хорошо обработанные поверх-
поверхности дюралевых листов размером 45.0 X 300 мм и тол-
толщиной 6 мм. Излучатель закреплялся неподвижно,
а приемник последовательно помещался в точки окружно-
окружности радиуса 25 см, описанной вокруг излучателя, причем
каждое измерение амплитуды в точке тотчас же относилось
к соответствующему измерению на оси излучателя
(ф = 0, см. рис. 2.9). Угол наклона клина и расстояние меж-
между центрами выступов пластинки гребенчатого профиля
были выбраны так, чтобы пространственный период воз-
возмущений на поверхности дюралевого листа равнялся
длине рэлеевской волны в дюрали. Тогда при используе-
используемой толщине листа каждый излучатель возбуждал сово-
совокупность двух нулевых нормальных волн Лэмба, которые,
интерферируя между собой, создавали во всех точках ли-
листа упругое поле, подобное полю рэлеевской волны (см.
разд. 4 второй части).
На рис. 2.10, а — в изображены соответственно диа-
диаграммы направленности пластинки гребенчатого профиля с
одним выступом (т = 1), с 19 выступами (/га = 19) и
клина (для снятия диаграммы направленности при т = 1
использовалась та же пластинка, что и при т = 19, толь-
120
Я
ев
а
>>
и
о
и
Я
о
а
>
о
о
К
о
О
о
и
а
Я >,
И П
й п
1в
и я ч
« о
т о
at К
& И
s
а о,
р. ж
si
121

/ff
Рис. 2.10 (продолжение)
к,
ff,e
0,2
ffff Sff rffff /Zff /40 /fff
V\
\\\
\\\
\ VЬ
\ \
\
\ /
V
\
\\
\ X
W
%^
AApAJW
i
w
Рис. 2.10 (окончание)

ко акустический контакт пластинки с дюралевым листом
осуществлялся лишь под одним выступом). Диаграммы
для пластинки гребенчатого профиля построены при
О <^ ф ^ я/2, для клина — при 0 ^ ф ^ я. При осталь-
остальных углах диаграммы можно получить соответствующим
симметричным продолжением (симметрия эксперименталь-
экспериментальных диаграмм проверялась и подтвердилась на опыте).
Анализируя рис. 2.10, можно сделать следующие вы-
выводы.
1. Экспериментально измеренные диаграммы направ-
направленности лишь качественно совпадают с расчетными, при-
причем основное различие состоит в почти полном отсутствии
тонкой структуры у экспериментальных диаграмм; для
пластинки гребенчатого профиля с т = 19 и клина вторич-
вторичные максимумы в экспериментальных диаграммах вообще
отсутствуют (кроме слабых максимумов при ф = я/2 для
пластинки и ф = я для клина), а для пластинки гребенча-
гребенчатого профиля с одним выступом они выражены слабо.
Экспериментальные диаграммы напоминают огибающие
соответствующих теоретических. По-видимому, основной
причиной различия экспериментальных и расчетных диа-
диаграмм является несоответствие идеализированного теорети-
теоретического распределения смещений в областях возбуждения
на плоскости г, ф реальному вследствие непоршнеоб-
разных колебаний титанатовых пластинок, неоднород-
неоднородности контактного переходного слоя, расхождения и
затухания пучка продольных волн в материале клина и
несовершенств в изготовлении пластинки гребенчатого
профиля (например, несколько неодинаковая ширина
пазов и выступов пластинки в разных ее частях).
2. Угловая ширина главного максимума излучения
как для пластинки гребенчатого профиля с любым чис-
числом выступов, так и для клина равна примерно kR/l, т. е.
определяется поперечным размером излучателей в пло-
плоскости г, ф и не зависит от второго размера Bb, 2А).
Экспериментальная ширина главного максимума для
клинового излучателя несколько больше, по-видимому,
из-за расхождения пучка продольных волн в клине. От-
Отметим, что в случае 2Ъ, 2А ^> I, которого мы не касались,
такое положение может нарушаться.
3. Вследствие практически полного отсутствия вто-
вторичных максимумов излучения пластинку гребенчатого
профиля можно считать двунаправленным излучателем,
а клин — однонаправленным.
124
4. Поведение экспериментальных диаграмм направлен-
направленности при импульсном режиме излучения зависит от
длительности импульса, однако эта зависимость слабо вы-
выражена (случай очень коротких импульсов с пространст-
пространственной длиной, много меньшей размеров излучателя, ко-
конечно, исключается). Поэтому замена импульсного режима
непрерывным, сделанная нами при расчете, по-видимому,
вполне оправдана.
Глава II
СЕОЙСТВД ВОЛН РЭЛЕЯ
4. Связь между волнами Рэлея и Лэмба
Строго говоря, волны Рэлея могут распространяться
только по поверхности полупространства. Между тем на
практике твердое полупространство создать, конечно,
нельзя. Поэтому возникает вопрос о возможности суще-
существования рэлеевских волн на поверхности твердых тел
конечных размеров. Этот вопрос рассматривался нами в ра-
работе [112], где исследовалась структура волн, которые воз-
возбуждаются излучателем гармонических рэлеевских волн,
расположенным на одной из свободных поверхностей пло-
плоской бесконечной пластины (твердого слоя). Поскольку
исследовалась качественная картина явления, тип из-
излучателя не конкретизировался, считалось только, что он
приспособлен для возбуждения рэлеевских волн, т. е.
представляет, например, гребенчатую структуру с про-
пространственным периодом Яд.
Как известно, в твердом плоском слое (пластине) рас-
распространяются волны Лэмба (см. разд. 11 первой части).
В работе [112] показано, что при достаточной толщине
2h слоя (h ~ Kr и больше) излучатель рэлеевских волн
возбуждает в нем главным образом две волны Лэмба —
нулевую симметричную s0 и нулевую антисимметричную а0,
что обусловлено сходством этих волн с рэлеевской вол-
волной при h ^> Kr: их фазовые и групповое скорости при
этом близки к фазовой скорости рэлеевской волны, а рас-
распределение смещений с глубиной в каждой из волн для
верхней и нижней половин слоя подобно распределению
смещений в рэлеевской волне. Остальные волны Лэмба
возбуждаются в незначительной степени вследствие их
125

/
/. .
? -
/
1
/
/
z
I
1
l/
I/
it
//
i
I
i
I
11
/
j
l
i
i
/,
//
i
i
I
i
1—
/
/
у
i
i
г
/
/
4l .
1
1 I
1 1
1 /
/ /
Рис. 2.11. Распределение
смещений с глубиной в
квазирэлеевской волне
4 -
Гис. 2.12. Зависимости ве-
величины L от h/XR
1 — L-10-1: 2 — L-iO-*;
3 — L-10-'; 4 — 7.-10-<
Штриховые линии — v = 0,25;
сплошные — v = 0,34
s0 и а0 воз-
несходства с рэлеевской волной. Волны
буждаются излучателем приблизительно с равными ам-
амплитудами и фазами, поскольку условия для их воз-
возбуждения одинаковы. При зтом в той половине слоя, где
расположен излучатель (верхней), смещения в волнах
126
s0 и а0 направлены одинаково, а в другой половине слоя
(нижней) — противоположно, так как движение в волне s0
симметрично относительно средней плоскости пластин-
пластинки, а в волне а0 — антисимметрично.
Распространяясь, волны s0 и а0 интерферируют. Вбли-
Вблизи от излучателя, где разность фаз между ними близка
к нулю, их суммарное упругое поле подобно упругому по-
полю рэлеевской волны, поэтому описанную совокупность
волн s0 и а0 можно назвать квазирэлеевской волной. На
рис. 2.11 приведено суммарное распределение смещений с
глубиной (h — z)/XR (отсчитываемой от верхней границы
слоя) в совокупности волн s0 и а0, находящихся в фазе,
и в рэлеевской волне. Кривые построены в безразмерной
s &? Of
&?, O
форме по образцу кривых на рис. 1.3 {VI,
Ux, Ux", Ux — амплитуды смещений по осям z и х в
волнахs0, а0и рэлеевской; (Uz' °)оЛ^х)о—соответствую-
°)оЛ^х)о—соответствующие амплитуды у верхней поверхности). Кривые рас-
рассчитаны для коэффициента Пуассона v = 0,34, толщины
слоя 2h = 2XR и в предположении, что (UszH = (Uz°H.
По мере удаления от излучателя разность фаз между
волнами s0 и а0 возрастает и достигает на некотором рас-
расстоянии величины я. Обозначим это расстояние, отнесен-
отнесенное к XR, через L. Тогда область вблизи излучателя, где
квазирэлеевская волна похожа на рэлеевскую, определит-
определится условием х <^ LXR (x — расстояние от излучателя).
На расстоянии LXr квазирэлеевская волна, локализо-
локализованная первоначально около той поверхности слоя, где
расположен излучатель, «переходит» на противоположную
поверхность. На расстоянии 2LXr осуществляется об-
обратный «переход» и т. д.
Величина L возрастает с увеличением толщины слоя,
при hl\R-^-oo L-^-oo, т. е. квазирэлеевская волна пре-
превращается в рэлеевскую. На рис. 2.12 приведена зависи-
зависимость L от 2h/XR. При 2h/XR ~^> 2,5 величина L с точно-
точностью не менее 10% дается формулой
L 4 Т 8A-1,»,) ^ 8A-т,2?») 2-г
^ B.15)
X exp BkRh У 1 — rfR),
из которой видно, что величина L экспоненциально возра-
возрастает с увеличением толщины слоя 2h. При 2h ~ 2%ц
L ~ 40, а при 2h ~ 5А,Д L ^ 60 000, Это означает, что в
137

металле на частоте 3 МГц квазирэлеевская волна перейдет
с верхней поверхности слоя на нижнюю, пройдя расстоя-
расстояние L ~ 60 м. На расстояниях от излучателя порядка
метра и меньше квазирэлеевская волна будет практиче-
практически не отличима от рэлеевской.
Образование и распространение квазирэлеевской вол-
волны в слое изучалось в [112] и экспериментально на установ-
установке, описапной в разд. 2,3 данной части. Опыты проводи-
проводились с дюралевыми полосками толщиной 0,9—5 мм и
полностью подтвердили изложенное выше. Рэлеевская
волна в таких полосках не наблюдалась, в полосках воз-
возбуждались две нулевые волны s0 и а0. При больших рас-
расстояниях между приемником и излучателем импульсы, со-
соответствующие этим волнам, разделялись, а их групповые
скорости хорошо совпадали с расчетными значениями. При
малых расстояниях импульсы перекрывались и интерфе-
интерферировали, образуя квазирэлеевскую волну, которая пере-
переходила с одной поверхности полоски на другую. Экспери-
Экспериментально измеренные периоды этих переходов отмечены
точками на рис. 2.12. Точки хорошо ложатся на соответ-
соответствующие (v = 0,34) теоретические кривые зависимости
L от 2h/XR.
Отметим в заключение, что описанная квазирэлеевская
волна, состоящая из двух равноамплитудных волн s0 и
а0, будет возбуждаться не только излучателем рэлеев-
ских волн, помещенным на одну из поверхностей
твердого слоя (пластины) достаточно большой толщины,
но вообще любым распределением напряжений или смеще-
смещений, заданным на одной из поверхностей слоя. Только на-
наряду с квазирэлеевской волной при этом будут возбуж-
возбуждаться и другие волны Лэмба (более высоких порядков).
5. Затухание рэлеевских волн
Поскольку рэлеевские волны не проникают в глубь
твердого тела, их амплитуда вдали от источника (в зоне
дифракции Фраунгофера) убывает с расстоянием R про-
пропорционально (кцЯ)''/2 вследствие расхождения волнового
пучка, излучаемого источником. Это убывание такое же,
как у цилиндрических волн, т.е. медленнее, чем у объем-
объемных, где аналогичная зависимость описывается законом
(ki: i/?). Именно благодаря этому рэлеевские волны явля-
являются основным типом волн, регистрируемых при земле-
землетрясениях,
128
Убыванию амплитуды рэлеевских волн вследствие
поглощения и рассеяния упругой энергии должны быть
присущи особенности, характерные для продольных и по-
поперечных волн, поскольку рэлеевская волна, как уже
отмечалось, является комбинацией этих волн. Поглоще-
Поглощение и рассеяние рэлеевских волн на ультразвуковых ча-
частотах исследовано довольно слабо. Затухание же объем-
объемных (продольных и поперечных) ультразвуковых волн изу-
изучено весьма подробно (см., например, [6]). Поэтому была
сделана попытка установить связь между затуханием по-
поверхностных и объемных волн. В работах [113, 114] полу-
получена формула, связывающая коэффициенты затухания
указанных волн.
Приведем кратко ее вывод. Рассмотрим упругую среду
с потерями, где
h = h + ik'i, kt = k't + ik'[, kR=kR + ikR.
Пусть затухание продольных и поперечных волн мало
(ki 5§> kt, kt^> kt) и одинаково во всех точках среды. Как
будет видно из дальнейшего, затухание рэлеевских волн
при этом также мало и одинаково во всех точках среды.
Запишем комплексные волновые числа продольной, попе-
поперечной и рэлеевской волн в виде
( )
B.16)
Здесь а = k'llk'i, p = k"tlk't, у = k"Rlk'R — малые веще-
вещественные поправки, численно равные отнесенным к 2я
коэффициентам затухания продольной, поперечной и рэ-
рэлеевской волн на длине соответствующей волны.
Для определения кв. обратимся к характеристическому
уравнению, которое при комплексных волновых числах
имеет вид
ц% + 8?я C - 2|») _ 16 A - !») = 0,
B.17)
где
Данное уравнение получается из уравнения A.12) заме-
заменой вещественных т]я и ? соответствующими комплексными
значениями. Подставим волновые числа B.16) в выра-
выражения TjR и ?, а полученные таким путем цв. и ? — в урав-
уравнение B.17). Сохраним в последнем члены порядка едини-
единицы и порядка а, C, у, отбросив члены порядка а2, р2, у2 и
5 И. А. Викторов 129

выше. Приравнивая после этого нулю вещественную и
мнимую части укороченного уравнения, получим два
уравнения. Первое из них определяет вещественную часть
волнового числа рэлеевской волны в рассматриваемой
среде через вещественные части волновых чисел продоль-
продольной и поперечной волн, из второго имеем
у = Га + A - Г) р.
Здесь
B.18)
Таким образом, коэффициент затухания рэлеевской
волны на длине волны есть линейная комбинация из
аналогичных коэффициентов затухания продольных и по-
поперечных волн. Величина С зависит только от коэффициен-
коэффициента Пуассона v. На рис. 2.13 изображены рассчитанные
нами кривые зависимостей С и 1 — С от v. Из графика
видно, что для всех материалов «удельный вес» р в форму-
формуле B.18) больше удельного веса а, т. е. при примерно
одинаковых значениях величин аир коэффициент у
затухания рэлеевских волн оцределж тся в основном когффи-
циентом затухания поперечных волн р. Так, например,
для стали у = 0,89р +0,11а, дЛЯ алюминия у = 0,93р +
+ 0,07а, для резины (v = 0,5) у = р.
В работе [113] приведены результаты опытов по про-
проверке формулы B.18), проводившихся на плексигласо-
плексигласовых образцах импульсным методом в диапазоне частот
20—180 кГц. Эти опыты хорошо подтверждают зависимость
между коэффициентами затухания продольных A), по-
поперечных B) и рэлеевских C) волн (рис. 2.14), даваемую
соотношением B.18). (На рис. 2.14 сплошные линии —
линейные приближения экспериментальных зависимо-
зависимостей, полученные по методу наименьших квадратов;
штриховая — расчетная зависимость коэффициента зату-
затухания рэлеевских волн.)
В работе [102] измерялись коэффициенты затухания рэ-
рэлеевских и продольных ультразвуковых волн в дюрали,
сплаве МА-3 и плавленом кварце на частотах 2,5—8 МГц.
Коэффициенты затухания рэлеевских и продольных волн
получились одного порядка, что в некоторой мере под-
подтверждает формулу BЛ8)/
130
/'
1
i
/
//
A
Y\
. /
о 2
AS
"}
-
004\—-h
и 0,2 0,4 у о sv
Рис. 2.13. Зависимости величин С A) и 1 — С (~) от v
Рис. 2.14. Зависимости коэффициентов затухания поверхностных
и объемных волн от частоты
Волны: 1 — продольные; 2 — поперечные; з — р:).;геевс1Ше
В работе [115] проведена проверка соотношения B.18)
в. мегагерцевом диапазоне частот для трех твердых мате-
материалов различного типа: металла (дюраль), стекла (зер-
(зеркальное стекло) и пластмассы (полистирол). Измерение
затухания в этих материалах производилось импульс-
импульсным методом на частотах 1 и 3 МГц (наиболее употреби-
употребительных в ультразвуковой дефектоскопии) при длительно-
длительности и,мпульса 10 мкс. Образцами служили прямоугольные
бруски и плиты. Продольные и поперечные волны воз-
^у^кдались и принимались кварцевыми пластинками X-
и х-среэов, расположенными на параллельных плоскостях
бруска и плиты. Рэлеевские волны в дюрали и стекле воз-
возбуждались и принимались методом клина, а в полистиро-
полистироле — методом Гребрйчатой структуры. Акустические кон-
контакты кварцевых плаетинок У-,среза с поверхностями об-
образцов осуществлялись тонким слоем эпоксидной с>юлы,
во всех остальных случаях акустические контакты осу-
осуществлялись при помощи масла.
При расчете всех коэффициентов затухания по экс-
экспериментальным данным учитывалось убывание с рас-
расстоянием амплитуды сигнала на приемнике из-за расхож-
расхождений волнового пучка. При расчете коэффициентов
затухания объемных волн по амплитудам последующих
сигналов на приемнике, которые соответствовали однократ-
однократному, трехкратному и т. д. пробегам импульсами длины
образца, учитывалось также уменьшение амплитуды сиг-
5*
131

Таблица
§
S
2.2
в
1
S о
и" 8
1
V
_ио '
•ы
ь
-
S
ь
10»
8
При частоте
1 МГц
Дюраль
Стекло
Поли-
Полистирол
нала из-за наличия на отражающих поверхностях излу-
излучающей и приемной кварцевых пластинок. Относитель-
Относительная ошибка определения коэффициентов затухания по опи-
описанной методике составляет ~20%.
Параллельно с измерением затухания измерялись так-
также скорости С;, ct в исследуемых материалах. Скорости
измерялись импульсным методом при помощи жидкост-
жидкостной линии задержки с плавной регулировкой времени за-
задержки, служащей для отсчета времени распространения
импульса в образце. По скоростям С/, ct рассчитывался
коэффициент Пуассона v, а затем вычислялась скорость
поверхностных волн cR.
В табл. 2.2 приведены результаты измерений. Коэф-
Коэффициенты а, р, у вычислялись по измеренным на опыте зна-
значениям коэффициентов затухания продольных (бг), попе-
поперечных (б() и рэлеевских (бд) волн согласно соотношениям
а = 8;Xi, р = 8tXt, у = 8rXr. Коэффициент 7теОр рас-
рассчитывался на основании значений а и р по формуле B.18).
Как видно из таблицы, относительное различие эксперимен-
экспериментальных и теоретических значений у составляет в сред-
среднем 15—20%, что хорошо подтверждает зависимость
между коэффициентами затухания объемных и поверхно-
поверхностных рэлеевских волн, описываемую формулой B.18).
Наличие в упругом полупространстве затухания изме-
изменяет движение в рэлеевской волне. Поскольку движение в
рэлеевской волне зависит от глубины z через множители
ехр (У к% — Hh) и ехр (У kR — k\z), влияние затухания
будет различным на разных глубинах. Рассмотрим в ка-
качестве примера влияние затухания на поверхностные сме-
смещения в рэлеевской волне. Из формул A.14) с помощью со-
132
При частоте
1 МГц
6
5
2
,02
,31
,28
3
2
1
,00
,60
,05
2
2
0
,90
,43
,984
0,
0,
0,
335
342
365
0,
0,
о,
0034
0050
028
0
0
0
,0055
,020
,15
0,
0,
0,
0049
023
14
2
2
6
,05
,65
,46
1
15
,65
,10
,5
1
5
13
,42
,70
,3
1,67
4,90
14,9
05
о
При частоте
3 МГц
0.С061
0,023
0,077
0
0
0
,014
,С43
,28
0,
0,
0,
018
046
22
1,
4,
5,
22
02
80
1
3
9
,40
,70
,77
1
3
12
,77
,73
,80
1,40
3,72
9,50
отношений A.8) получим для поверхностных смещений с
учетом затухания выражения вида
(
k
(
r
kR + SR
Разлагая в этих выражениях qR и sR в ряды по степеням
а, р, у и ограничиваясь в разложениях членами поряд-
порядка а, р, у, перепишем B.19,) в форме
kR+SR
sin (kRx - «rf
B.20)
2ft r
С/г = Лдд 1 j-5-з- е"*и* cos (А;нж— «* + А,)-
Здесь
У-
,2 ,2 I .2 ЛГ*
1—-
b+U
К
27-
1—"
133

6 = (ykR — ,
Ъ )/gR;
', = (ykR — $k't)/sR;
Г '
— kt; sR
=V kR—
.2
kt
Из выражений B.20) видно, что в среде с затуханием
разность фаз между горизонтальной и вертикальной компо-
компонентами поверхностного смещения в рэлеевской волне
несколько отлична от я/2. Вследствие этого траекториями
частиц при z = 0 в данном случае являются такие же
эллипсы, как и в среде без затухания, только их боль-
большая ось не перпендикулярна поверхности, а образует с
нормалью к последней угол А0, который равен
д е __
*/(*
X(Aj —A2). B,21)
Укажем еще на изменение структуры рэлеевской волны
в среде с затуханием: волновые фронты (плоскости рав-
равной фазы) продольной и поперечной неоднородных волн, об-
образующих рэлеевскую волну, в отличие от среды без
затухания не перпендикулярны свободной границе полу-
полупространства, а несколько наклонены к ней, причем под
разными углами.
Уравнения волновых фронтов:
продольная волна
B.22)
B.23)
= const,
поперечная волна
— s'R& = const.
134
Глава III
РЭЛЕЕВСКИЕ ВОЛНЫ
НА ГРАНИЦЕ С ЖИДКОСТЬЮ
6. Теоретическое исследование распространения
рэлеевских волн на границе твердого
и жидкого полупространств
Рассмотрим снова задачу о распространении плоских
гармонических поверхностных волн на границе двух полу-
полупространств — твердого (нижнее полупространство на
рис. 1.10) и жидкого (верхнее полупространство на
рис. 1.10).
В разд. 9 первой части отмечалось, что при любом со-
соотношении параметров тв,ердой и жидкой сред на их гра-
границе может существовать поверхностная волна типа волны
Стоунли, бегущая вдоль границы с фазовой скоростью,
меньшей скорости ст волны в жидкости и скоростей сг, / про-
продольных и поперечных волн в твердом теле. Волновое число
к = со/с этой волны соответствует вещественному корню
дисперсионного уравнения A.48), а смещения описы-
описываются выражениями A.15) и A.49).
Можно показать [4], что при условии с < cR, которое
выполняется почти для всех реальных сред, уравнение
A.48) имеет (наряду с вещественным) комплексный ко-
корень к ~ kR, соответствующий системе трех волн (одна
в жидкости и две в твердом теле), переходящих при
рж -*¦ 0 в рэлеевскую волну в твердом теле. При этом
для данной волны под qm в уравнении A.48) и в формулах
A.49) (A.49) и A.15) по-прежнему описывают движение
в волне) следует понимать следующую ветвь корня:
-к*. B.24)
Комплексность к имеет простой физический смысл:
поверхностная волна в этом случае непрерывно излучает
энергию в жидкость, образуя в ней отходящую от грани^
цы неоднородную волну. Этот тип поверхностной волны
представляет большой интерес в иммерсионной ультра-
ультразвуковой дефектоскопии и других областях ультразвуко-
ультразвуковой практики. Исследование названного типа поверхно-
поверхностных волн производилось рядом авторов, но всегда дела-
делалось в предположении малости отношения рж/р-
135

Авторы работы [116] проводили исследования без этого
ограничения. Расчет основной константы распростране-
распространения — комплексного волнового числа к = кх -{- ik2, по
которому можно затем вычислить затухание, фазовую
скорость волны, а также распределение амплитуд сме-
смещений в жидкости и твердом теле (формулы A.49), A.15)),
производился на ЭВМ для различных параметров твердой
и жидкой сред. Результаты приведены на рис. 2.15 и 2.16.
Кривые построены для значений г = ctlcm в диапазоне
1,5—10, отношения рж/р = 0 —• 0,9 и коэффициента Пу-
Пуассона v = 0 -т- 0,50. Используемой совокупностью зна-
значений рж/р, v и г исчерпываются все практические случаи.
Из рис. 2.15, а, б видно, что наличие жидкости на грани-
границе упругого полупространства увеличивает фазовую ско-
скорость поверхностной волны рэлеевского типа в полупро-
полупространстве, причем тем больше, чем больше отношение
рж/р. Зависимость приращения скорости от г и v тоже мо-
монотонная: с ростом г и v приращение уменьшается. Следует
отметить, что увеличение скорости поверхностной волны
невелико: при средних значениях параметров, когда
рж/р = 0,50, v = 0,25 и г = 5 относительное увеличение
составляет 0,0012, т. е. примерно 0,1%.
Из рис. 2.16, а, б следует, что коэффициент затухания
поверхностной волны монотонно возрастает при увеличе-
увеличении отношения рж/р и уменьшении т и v. Влияние жидкости
на затухание поверхностных волн (в противоположность
влиянию на скорость) весьма существенное: при тех же
средних значениях параметров рж/р, г и v коэффициент
дополнительного затухания из-за излучения в жидкость
на пути Xr составляет 0,11, т. е. на пути примерно 10 Xr
происходит затухание в е раз.
Рассчитав комплексное волновое число к, по форму-
формулам A.15), A.49) можно описать движение жидкости и
твердого тела. Качественный анализ показывает, что
в жидкости от границы будет отходить неоднородная
волна, уносящая энергию от твердого полупространства.
Ее волновыми фронтами являются плоскости кхх —
—(Re У /сж — кг)г = const. В твердом полупространстве
по-прежнему будут две неоднородные волны со следующи-
следующими уравнениями волновых фронтов: кхх —Ina qz = const
(продольная волна) и кхх —Im sz = const (поперечная
волна). Как видно из уравнений, эти волны распростра-
распространяются не строго вдодь границы (как было в рэлеевской
136
2 2
Рис. 2.15. Зависимости относительного приращения фазовой ско-
скорости поверхностной волны от рж/рг для сред с v = 0 -ь 0,2 (а) и
v = 0,3 -f 0,5 (б)
1 _ у = 0; 2 — 0,1; 3 — 0,2; 4 — 0,3; 5 — 0,4; 6 — 0,5

0,0J0
0020
0,6V?
0,0Г0
0,00?
г'/,5 /J /,f
i /
7 Г
Рис. 2.15 (окончание)
волне), а под некоторым углом к ней, что отражает на-
наличие потока энергии из твердого тела в жидкость. На
рис. 2.17, взятом из [4], изображены волновые фронты
и направления распространения трех указанных волн.
Толщина линий схематически отображает величину ам-
138
f,S2 2
1 O,Z 0,3 0,4 O,f O,G 0,7 0,8 P la
Рис. 2.16. Зависимости коэффициента затухания на длину волны от
Рж/Рт Лля сРеД с v = 0; 0,1; 0,2 (о) и v = 0,3; 0,4; 0,5 (б)
Обозначения те же, что на рис. 2.15

0,55
0,50
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
i :
i
i
i
! A
7
У
f,S
2
1,5
3
5
5
7
5
7
W
7
%
0,10
0,05
0 0,1 0,2 0,3 mO,t 0,5 O,ff 0,7 0,8 0,
Рис. 2.16 (окончание)
плитуды волны в соответствующей точке пространства.
Рассматриваемая волна является типичным примером
вытекающей поверхностной волны (см. разд. 22 первой
части).
Для иллюстрации характера волнового движения
140
Жидкость
Твердое
/пела
Рис. 2.17. Затухающая поверхностная волна на границе твердого
тела с жидкостью
жидкости и твердого тела рассмотрим еще в качестве
примера движение на границе (г = 0). Из формул A.49),
A.15) после разделения вещественных и мнимых частей
получим следующие выражения для компонент поверх-
поверхностных смещений:
Ф
X
X cos (at — kxx — Ax), B.25)
Uf = — Akt 2 X ' 2 exp (— k2x) cos (oof — kxx — A2),
ki+ h
¦ = — Akx [1 , 9 г \\ exp (— k2x) sin (co?—/cja; — A3),
B.26)
Здесь
141

При получении формул B.25), B.26) предполагалось,
что к2 << кх (отбрасывались члены -~-к\1к\). Как следует
из рис. 2.16, почти при всех значениях параметров рж/р,
г, v это условие неплохо выполняется.
Из выражений B.25), B.26) видно, что траекториями
движения частиц жидкости и твердого тела являются
эллипсы. В твердом полупространстве это те же эллипсы,
что и в обычной рэлеевской волне, только их большая
ось не перпендикулярна границе, а образует с нормалью
к последней угол, пропорциональный разности А2—А1?
т. е. в конечном счете пропорциональный отношению
к2/к1. В жидкости эллипсы близки к отрезкам прямых
2 = — V k^/kl — 1 х. Отношение большой оси к малой
для них пропорционально разности Аа—Ах. Эллипти-
Эллиптическая траектория частиц жидкости вызвана неоднород-
неоднородностью волны в жидкости (возрастанием амплитуды
вдоль фронта волны при удалении от границы), что
в свою очередь связано с затуханием поверхностной
волны в твердом теле вдоль оси х из-за излучения энергии
в жидкость.
7. Экспериментальное исследование
Экспериментальные исследования по распространению
ультразвуковых рэлеевских волн на границе с жидкостью,
описанные в работе [116], проводились на импульсной
установке, состоящей из генератора синусоидальных ко-
колебаний, модулятора, смесителя, усилителя, фазовраща-
фазовращателя и индикатора (осциллоскоп). Измерения были вы-
выполнены на частотах 1, 2, 3 МГц при длительностях
импульсов 10—50 мкс. Форма импульсов была прямо-
прямоугольная. Рэлеевские волны распространялись по поверх-
поверхностям алюминиевых и стальных брусков прямоуголь-
прямоугольного сечения размером 20 X 20 X 400 мм. Условия
распространения на границе твердого и жидкого полу-
полупространств имитировались погружением одного конца
бруска в ванну с жидкостью. При этом рэлеевские волны,
переходя с одной боковой поверхности бруска через торец
на другую поверхность, часть пути проходили в контакте
С жидкостью. Изменением глубины погружения бруска
в жидкость определялись исходные данные для расчета
затухания и изменения фазовой скорости рэлеевской
волны из-за влияния жидкости. Излучение и прием рэле-
142
с
экс
&
о
<v
'ад
*^
°т
ксп
ад
i
^
а
с
1
i
--.—
ад
_^
й
и
О)
о
к
Й
3
X
й
&
РГ
СО
i
¦¦г*
II
ч—.
ЗМГ
||
ЕГ
[-4
II
•*-
II
О
°
с»
о^
о
СО
о
о
о
о
о
8
о"
о
о
со
со
о
о
VI"
о
-вод
1
ч
н
о
С5
о
о"
со
о
о"
со
о
о
ю
о
сГ
,046
о
о
о
со
о
о
OJ
VI"
о
о
1
тор
03
о.
о
S
-тра
1СЛ0
л й
S о
о к
о*
—
о
о"
vf"
о"
СО
о
Q
о
8
о
в
ш
~ГЛИ
1
J
н
о
о
о
го
^
о
о
оа
о
го
00
о
о
ю
с
см
iO
о
го
о"
о
00
vr
о"
и;
п
ший
2
q
со
—'
О
со
о
*^
о
ю
о
IO
со
о
со
о
00
СО
о"
о
ю
СО
о
о.
- о
? н
ю
см
С:
°
о
СО
о"
оа
ю
СО
о
о
о
^
о
о
ю
5
S
1
ший-
у
а
143

Рис. 2.18. Блок-схема установки для измерения фазовой скорости
и затухания поверхностной волны на границе с жидкостью
евских волн осуществлялись методом клина. Расположение
приемной и излучающей призмы на бруске показано
на рис. 2.18. Затухание измерялось импульсным методом,
а скорость — импульсно-фазовым. Блок-схема установки
для измерения скорости поверхностной волны на границе
твердого и жидкого полупространств приведена на рис.2.18.
Блок-схема для измерения затухания была такая же,
только без фазовращателя (на осциллоскоп при этом от
модулятора подавался синхронизирующий импульс, за-
запускающий ждущую развертку нужной длительности).
В табл. 2.3 приведены экспериментальные и расчетные
данные по затуханию и скорости для двух твердых по-
полупространств («алюминиевого» и «стального») и трех
жидких (вода, трансформаторное масло и глицерин).
Как видно из таблицы, имеется совпадение экспери-
экспериментальных и расчетных данных: для приращения скоро-
скорости в среднем с точностью до 15%, для затухания — до
10%.
144
Глава IV
РЭЛЕЕВСКИЕ ВОЛНЫ
НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
В разд. 18 первой части было показано, что на выпуклой
и вогнутой цилиндрических поверхностях могут существо-
существовать волны рэлеевского типа, распространяющиеся в на-
направлении, перпендикулярном образующей цилиндри-
цилиндрической поверхности. Были рассчитаны фазовые и группо-
групповые скорости и упругие поля таких волн. Было устано-
установлено одно принципиальное обстоятельство: волны на
вогнутой цилиндрической поверхности являются вытекаю-
вытекающими, т. е. распространяются с затуханием, которое
вызвано переизлучением энергии волны в глубь среды
по мере распространений волны.
В настоящей главе, основанной на работах [117, 118],
мы приводим описание экспериментов по изучению ука-
указанных волн на таких поверхностях. Эти эксперименты
подтверждают существование волн и основные характе-
характеристики их распространения.
8. Экспериментальное исследование затухания
рэлеевских волн на выпуклых и вогнутых
цилиндрических поверхностях
Эти опыты проводились на частоте 2,65 МГц при дли-
длительности импульса 10 мкс (вогнутая цилиндрическая
поверхность) и 5 мкс (выпуклая цилиндрическая поверх-
поверхность). В опытах с вогнутыми цилиндрическими поверх-
поверхностями излучение и прием волн производились методом
клина. Излучающая и приемная призмы были сделаны
из полистирола и имели угол наклона 53°. На наклонных
гранях призм крепились квадратные пластинки из тита-
ната бария размером 9x9 мм' с собственной резонансной
частотой 2,5 МГц. Акустические контакты пластинок
с призмами и призм с исследуемыми образцами осуще-
осуществлялись с помощью масла.
В качестве выпуклых и вогнутых цилиндрических
поверхностей, на которых исследовалось затухание по-
поверхностных волн, использовались боковые поверхности
дюралевых дисков с радиусами R = 5-^85 мм и толщиной
25 мм и поверхности цилиндрических выемок радиусом
1—50 мм, прорезанных в боковых поверхностях дюра-
145

i/v
Рис. 2.19. Образцы с цилиндрическими поверхностями
левых брусков с прямоугольным сечением 25 X 70 мм
(рис. 2.19). В качестве плоской поверхности, на ко-
которой измерялось затухание, служила боковая поверх-
поверхность дюралевого бруска такого же прямоугольного
'сечения (контрольный брусок). Торцы контрольного бру-
бруска были срезаны не под прямыми углами к оси и пред-
предоставляли двугранную поверхность (см. ниже). Поскольку
величина коэффициента затухания рэлеевских волн сильно
зависит от структуры материала и степени обработки
поверхности, то с целью устранения влияния этих факто-
факторов все диски и бруски изготовлялись из одного листа
дюраля Д-16, а плоские и цилиндрические исследуемые
поверхности были обработаны строго одинаково.
Определение затухания волн на вогнутой цилиндри-
цилиндрической поверхности производилось следующим обра-
образом (см. рис. 2.19). Сравнивались амплитуды импуль-
импульсов на индикаторе при положении излучателя и прием-
приемника у краев цилиндрической выемки радиуса R (ампли-
(амплитуда А-,) и на поверхности контрольного бруска на рас-
расстоянии nR (амплитуда А2). Отношение А2/А1, деленное
на произведение коэффициентов прохождения рэлеев-
рэлеевских волн с плоской поверхности бруска на цилиндри-
цилиндрическую поверхность выемки К' и с цилиндрической по-
поверхности выемки на поверхность бруска К", равно
ехр (—nRylXn), где у — искомый коэффициент допол-
дополнительного затухания (см. соотношение A.108)). При
расчете у предполагалось, что К' = Л". Коэффициент
Мб
К' определялся экспериментально как коэффициент про-
прохождения рэлеевскои волны с одной грани упругого клина1,
раствора 0 на другую, где 0 ~ 90° — двугранный угол;
между плоской поверхностью бруска и касательной пло-
плоскостью, проведенной к поверхности выемки на глубине
половины слоя локализации рэлеевскои волны (см.
рис. 2.19). Соответствующие измерения проводились
на боковых и торцевых поверхностях контрольного брус-
бруска. Для малых R (R — ^я) в коэффициент К' на основе
данных из нашей работы [118] вводилась поправка, учи-
учитывающая преобразование рэлеевских волн на плоской
поверхности в поверхностные волны рэлеевского типа
на цилиндрической поверхности, заметно отличающиеся
от первых при R — Kr. Для устранения нестабильного
влияния переходного слоя масла между поверхностями
излучающей, приемной призм и стержня на результаты
измерений Аг и А2 эти измерения повторялись 20 раз,
после чего производилось усреднение. Напряжение на
излучателе при этом контролировалось и годдержива-
лось постоянным.
Суммарная ошибка определения у по описанной ме-
методике не превышала 15% при R/Kr — 10 и составляла
примерно 30% при R/Xr — 40, когда абсолютная величина
у становилась весьма малой. Эта ошибка вызывалась
погрешностью аппаратуры, случайной ошибкой измерений.
Кроме того, причиной ошибки могло быть некоторое
возможное изменение поглощения и рассеяния рэлеевских
волн на вогнутой цилиндрической поверхности (по срав-
сравнению с плоской), вызванное не геометрией поверхности,
а некоторым различием в скорости и структуре рэлеев-
рэлеевских волн на плоской и цилиндрической поверхностях.
Отметим, что эти источники ошибок могли быть и в опытах
с выпуклыми цилиндрическими поверхностями, олисан-
ных ниже.
Экспериментальные значения у показаны на рис. 1.23
точками. Как видно из рис. 1.23, эти значения удовлетво-
удовлетворительно совпадают с соответствующими теоретическими
(кривая для v = 0,34). Указанное совпадение подтвер-
подтверждает правильность приближенной расчетной формулы
A.107) для y/KR в широком интервале JcRR (kRR — 30
и больше, R/KR — 5 и больше).
Экспериментальные исследования затухания рэлеев-
рэлеевских волн на выпуклых цилиндрических поверхностях
имели целью показать отсутствие дополнительного за-
147

тухания таких волн по сравнению с рэлеевской волной
на плоской поверхности. Для этого измерялось ослабление
амплитуды импульса волн с расстоянием от излучателя
при распространении по выпуклым цилиндрическим по-
поверхностям различного радиуса, включая и R = оо
(плоская поверхность).
Излучателем поверхностных волн в этих опытах слу-
служила титанатовая пластинка размером 9x9 мм с соб-
собственной резонансной частотой 2,5 МГц, закрепленная
неподвижно на указанных поверхностях и имеющая с
ними акустический контакт посредством масляного слоя.
При малых R (R — 5 <^— 10 KR) эта пластинка служила
и приемником рэлеевских волн, измерявшим ряд после-
последовательных значений амплитуд импульса поверхностных
волн, соответствующих последовательным пробегам им-
импульса по окружности диска. Из указанного ряда значений
амплитуд с учетом коэффициента ослабления импульса
поверхностных волн в результате его прохождения через
участок контакта пластинки и диска легко можно было
вычислить искомое спадание амплитуды импульса при
удалении от излучателя. Коэффициент ослабления опре-
определялся экспериментально. Для этого на цилиндрическую
поверхность диска по обе стороны от титанатовой пластин-
пластинки помещались «клиновые» излучатель и приемник рэ-
рэлеевских волн и сравнивалась амплитуда импульса на
приемнике при наличии титанатовой пластинки между
ними и без нее. При больших R (R — 40 kR) и в случае
плоской поверхности ослабление амплитуды импульса
поверхностных волн с расстоянием от излучателя изме-
измерялось непосредственно клиновым приемником, помещае-
помещаемым на различные расстояния от излучающей титанато-
титанатовой пластинки. При средних R (R — 20 KR) измерение
ослабления амплитуды производилось обоими описан-
описанными способами. Суммарная ошибка измерений в опытах
с выпуклыми цилиндрическими поверхностями при всех
R не превышала 10—15%.
На рис. 2.20 приведены результаты измерений. По
оси абсцисс отложено расстояние L (в мм) от излучателя,
отсчитываемое по цилиндрической поверхности в на-
направлении, перпендикулярном образующей. По оси ор-
ординат отложена в условных единицах амплитуда импульса
рэлеевских волн на цилиндрических поверхностях раз-
разного радиуса (включая и R = оо). Амплитуды, относящиеся
к поверхностям одного и того же радиуса, отмечены оди-
148
A
0.4
0
+
V
4
0
¦
•А-
О
•
+ А°
•
А
• /
¦ /
D 4
A S
+ S
ш
п
/00
J00 /, мм
Рис. 2.20. Зависимости амплитуд рэлеевских волн от расстояния до
излучателя на цилиндрических поверхностях разного радиуса
1 — R = 4,5 Я.й; 2 — 7,3 KR; 3 — 11,3 KR; 4 — 22,4 KR: 5 — 44,85 XR; 6 — оо
наковыми значками. Все амплитуды нормированы: их
значения при L=30 мм приняты равными единице (зна-
(значение амплитуд в точке L=30 мм до нормировки вычисля-
вычислялись по двум соседним значениям соответствующих ам-
амплитуд с помощью линейной интерполяции).
Из рис.2.20 видно, что в пределах погрешности изме-
измерений все экспериментальные точки лежат на одной кри-
кривой. Это и доказывает независимость коэффициента за-
затухания рэлеевских волн на выпуклой цилиндрической
поверхности от величины радиуса кривизны.
Таким образом, приведенные результаты экспери-
экспериментального исследования подтверждают выводы разд. 18
первой части о затухании поверхностных волн рэле-
евского типа на цилиндрических поверхностях: на во-
вогнутых цилиндрических поверхностях эти волны распро-
распространяются с дополнительным по сравнению с плоской
поверхностью затуханием, величина которого при до-
достаточно больших радиусах кривизны определяется вы-
выражением A.108); на выпуклых цилиндрических поверх-
поверхностях дополнительного затухания не обнаружено.
149

9. Исследование прохождения и отражения
рэлеевских волн
на закруглениях различного радиуса
Если между двумя плоскими поверхностями, образую-
образующими двугранный угол, сделано закругление, то рэле-
евская волна, распространяющаяся по одной из повер-
поверхностей, дойдя до закругления, частично отразится,
а частично перейдет на вторую поверхность. В работе
[118] изучалось прохождение и отражение рэлеев-
рэлеевских волн на цилиндрических закруглениях радиуса
О—1,7 %r, сделанных между гранями прямоугольного
упругого клина. Рассматривался случай нормального
падения рэлеевской волны на закругление (рис. 2.21, на
котором стрелкой указано направление распространения
падающей рэлеевской волны). Прохождение и отражение
рэлеевских волн характеризовались соответствующими
коэффициентами прохождения Кпр и отражения Когр
(по амплитуде).
Измерения проводились в импульсном режиме на
частоте 2,7 МГц при длительности импульса 10 мкс.
Возбуждение и прием рэлеевских волн осуществлялись
методом клина. В качестве двугранных поверхностей
использовались боковые и торцевые поверхности алюми-
алюминиевых брусков размером 20 X 25 X 300 мм. Между
указанными поверхностями были сделаны закругления
радиуса 0 «С /? ^ 2 мм (см. рис. 2.21, а), на которых и ис-
исследовалось прохождение и отражение рэлеевских волн.
Радиусы закруглений, измеряемые под микроскопом,
были выдержаны постоянными (в пределах ошибки +10%)
по всей длине закругления.
Измерение коэффициента отражения Ктр произво-
производилось следующим образом. На расстоянии 1Х перед за-
° ЧилинДРичес«™ закруглением (а) и приемная
150
круглением Измерялась амплитуда Ах импульса рэлеев-
рэлеевских волн, идущего от излучателя. Затем в этой же точке
тем же приемником измерялась амплитуда А2 импульса$
отраженного от закругления. Отношение Аг/А1, умножен-
умноженное на коэффициент, учитывающий ослабление первого
импульса в результате его прохождения через участок
поверхности бруска, занятый приемником, а также вслед-
вследствие расхождения и поглощения волнового пучка на
пути 2/и есть искомый коэффициент отражения.
Для учета расхождения и затухания волнового пучка
рзлеевских волн (из-за поглощения и рассеяния в алю-
алюминии) на поверхности алюминиевого бруска была снята
зависимость амплитуды импульса рэлеевских волн, рае^
пространяющихся по такой поверхности, от расстояний
до излучателя.
Для определения коэффициента ослабления импульеа
рэлеевских волн в результате его прохождений через
участок поверхности бруска, занятый приемником, этот
приемник помещался на поверхности бруска между из-
излучателем рэлеевских волн и вторым (вспомогательным)
приемником. Измерялась величина сигнала, принимае-
принимаемого вторым приемником. Затем первый приемник уби-
убирался и опять измерялась величина сигнала на втором
приемнике. Отношение этих двух величин и представляло
нужный нам коэффициент ослабления. Для того чтобы
ослабляющее действие приемника рэлеевских волн было
небольшим, поверхность его акустического контакта с
алюминиевым бруском была сделана в виде узкой полоски.
Для этого на контактной грани приемной призмы были
пропилены параллельно ее ребру две прямоугольные
канавки на расстоянии 1,7 мм одна от другой (рис. 2.21, б).
При измерениях маслом покрывался только участок
поверхности на грани приемной призмы, расположенный
между канавками, а у передающей призмы маслом по-
покрывалась вся соответствующая поверхность.
Коэффициент прохождения Кар определялся как от-
отношение амплитуды импульса рэлеевских волн на рас-
расстоянии 1г после закругления (на торцевой поверхности
бруска) к амплитуде А1 импульса на расстоянии 1г перед
закруглением, умноженное на коэффициент, учитывающий
ослабление амплитуды волнового пучка на пути 1± + 1г-
Ошибка измерения коэффициентов Котр и Кпр указанным
методом не превышала +5%.
На рис. 2.22 приведены результаты измерений. По
151

Рис. 2.22. Зависимости коэффициентов отражения и прохождения
рэлеевских волн на цилиндрическом закруглении от относительного
радиуса закругления
1 — Кг,
2 -К,
отр>
К'
пр
2
*отр
оси абсцисс отложено отношение радиуса закругления
к длине рэлеевской волны (R/Xr), по оси ординат отло-
отложены значения коэффициентов прохождения и отражения,
а также величина Кар + К%тр, представляющая отноше-
отношение суммарной энергии прошедшей и отраженной рэле-
рэлеевской волн к энергии падающей волны. Как видно из
рис. 2.22, при увеличении радиуса закругления коэф-
коэффициент Кир возрастает, стремясь к единице, а коэф-
коэффициент Котр уменьшается, стремясь к нулю. Однако
увеличение и уменьшение коэффициентов Кпр и Котр
происходит не монотонно, а с глубокими осцилляциями.
Как видно из кривой К2ар + К2тр, сумма квадратов
коэффициентов прохождения и отражения при всех ра-
радиусах закругления меньше единицы. Это свидетельствует
о постоянном превращении части энергии падающей рэ-
рэлеевской волны в энергию продольных и поперечных
волн, рассеиваемых закруглением.
Описанные результаты позволяют сделать вывод, что
при 0<^/?Ад<^1,7 прохождение и отражение рэле-
рэлеевских волн на закруглении определяются отношением
R/Xr, а при R/Xr > 1,7 коэффициенты прохождения и
отражения становятся практически равными соответст-
соответственно 1 и 0, т. е. наступает «полное» прохождение рэле-
рэлеевских волн через закругление.
152
Остановимся детальнее на осцилляциях коэффициентов
прохождения и отражения. Можно предположить по
аналогии с прохождением и отражением волн в плоских
слоях (см. [4]), что эти осцилляции обусловлены интер-
интерференционным механизмом образования прошедшей и
отраженной рэлеевских волн. Отраженная рэлеевская
волна образуется в результате интерференции отражении
от переднего и заднего краев закругления. Аналогичным
образом образуется и прошедшая рэлеевская волна.
Разность фаз между указанными отражениями определя-
определяется числом полуволн, укладывающихся по дуге закруг-
закругления, Эти волны являются поверхностными^ волнами
рэлеевского типа на выпуклой цилиндрической поверх-
поверхности закругления. Как показано в разд. 18 первой части,
их фазовая скорость с всегда больше фазовой скорости
cR рэлеевских волн и зависит от отношения радиуса кри-
кривизны цилиндрической поверхности к длине рэлеевской
волны По расстоянию между максимумами кривых л,ф
(RIKr) и Когр (ДАв) в области 0.20 > R'hi > 1,15 можно
определить экспериментальное значение средней (в ука-
указанной области) скорости/ для алюминия, которое со-
составляет 1,29 cR. Соответствующее теоретическое значение
равно 1,27 cR, т.е. очень хорошо согласуется с экспери-
экспериментальным. Это подтверждает как интерференционный
механизм прохождения и отражения рэлеевских волн
на закруглении, так и правильность теоретических зна-
значений фазовой скорости поверхностных волн рэлеевского
типа на выпуклой цилиндрической поверхности, рас-
рассчитанных по характеристическому уравнению A.9Ь).
Что касается фазовых скоростей поверхностных волн
на вогнутой цилиндрической поверхности, то и для них
теоретические значения сопоставлялись с соответствую-
соответствующими экспериментальными. Это производилось на основе
опытов по отражению рэлеевских волн от моделей по-
поверхностных дефектов. В этих опытах, описанных в сле-
следующем разделе, получилось удовлетворительное со-
согласие расчетных и экспериментальных значении.
В заключение укажем, что, учитывая механизм обра-
образования отраженной и прошедшей рэлеевской волн, сле-
следует ожидать сохранения качественного характера рас-
рассмотренных зависимостей Knp(R/XR) и КОтР (-ДАд) для
любых углов 9 раствора упругого клина, между гранями
которого сделано закругление, т. е. по мере возрастания
ртношения ДАн Кпр должен, осциллируя, увеличиваться
153

от значения при RfkR = 0 до 1, а коэффициент Kmv
должен при этом уменьшаться от значения при Rl%it = 1
до 0. В этой связи представляют интерес предельные зна-
значения коэффициента прохождения и отражения рэле-
евских волн на закруглениях нулевого радиуса, сделан-
сделанных между гранями упругого клина произвольного угла
раствора 8 (см. гл. V).
Глава V
ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ ПОВЕРХНОСТИ
НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РЭЛЕЕВСКИХ ВОЛН
При наличии на поверхности, вдоль которой распро-
распространяется рэлеевская волна, всякого рода дефектов
(трещины, царапины, неровности и пр.) возникают рас-
рассеянная (отраженная) рэлеевская волна, а также продоль-
продольные и поперечные волны, распространяющиеся в глубь
среды. Исходная рэлеевская волна будет вследствие этих
рассеяний ослабляться. Вопрос о влиянии дефектов по-
поверхности на распространение рэлеевских волн очень
важен для практического использования этих волн, осо-
особенно применительно к ультразвуковой поверхностной
дефектоскопии. Этот вопрос можно разделить на два ас-
аспекта — влияние единичных дефектов на рэлеевскую вол-
волну и влияние множественных. В этой главе мы кратко
рассмотрим и те и другие, начав с едичичных.
Из единичных дефектов наибольший практический
интерес представляют те, характерные размеры которых
меняются от малых долей длины волны Kr до величины
порядка %r. Теоретическое исследование влияния по-
подобных дефектов на рэлеевскую волну сводится к реше-
решению задачи о дифракции этой волны на дефекте или на
его модели. В настоящее время решение такой задачи,
кроме отдельных частных случаев, представляет громад-
громадную трудность, поэтому указанное исследование выпол-
выполнено в основном в экспериментальном плане. Подробно
эксперименты с единичными дефектами описаны в ра-
работах [119—121], Приведем их основное содержание.
10. Модели единичных поверхностных дефектов
Эксперименты по изучению влияния единичных де-1
фектов поверхности на распространение рэлеевских волн
проводились в [119—1211 на моделях поверхностных де-
дефектов. Рассматривалось два типа моделей дефектов:
линейные (протяженные) поверхностные дефекты и ло-
локализованные дефекты.
В качестве первых были выбраны щель, прорезанная
на поверхности распространения волны, полуцилиндри-
полуцилиндрическая выемка на поверхности и двугранный клин с ост-
острым ребром (рис. 2.23, а). Щель, выемка и ребро клина
располагались перпендикулярно направлению распро-
распространения волны и перекрывали весь фронт волны (были
сделаны на всю ширину поверхности бруска, по которой
распространялась рэлеевская волна). Поэтому данные
модели и названы нами линейными. К этим моделям можно
свести большинство протяженных поверхностных дефек-
дефектов (трещины, вмятины, царапины и изломы поверхности).
В качестве моделей локализованных на поверхности
твердого тела дефектов были выбраны полусферическая
выемка различного диаметра и цилиндрический канал
разного диаметра и глубины, прорезанный перпендику-
перпендикулярно к поверхности, по которой распространялась рэ-
рэлеевская волна (рис. 2.23, б). Этими моделями, являющи-
являющимися естественным дополнением к трем первым, можно
представить поверхностные дефекты типа ямок, верти-
вертикальных трещин, уходящих от поверхности, и т. д. Вме-
Вместе с моделями протяженных поверхностных дефектов
эти модели характеризуют в какой-то степени все много-
многообразие поверхностных дефектов.
11. Линейные поверхностные дефекты
Для экспериментов с моделями линейных поверхно-
стных дефектов имелся набор прямоугольных дюралевых
брусков длиной 600 мм и с поперечными сечениями 30 X 22
и 47 X 25 мм. Поверхности брусков были хорошо обрабо-
обработаны. На поверхностях 600 X 22 мм были прорезаны
щели и выемки длиной 22 мм. Ширина щелей (расстояние
между противоположными гранями) не превышала 0,09 мм.
Глубина щелей h изменялась в пределах 0,23—3 мм,
а радиус полуцилиндрических выемок R — в пределах
0,1—1,21 мм. Форма выемок и все размеры щелей и вы-
155

ч/v*
о
У
Рис. 2.23. Модели единичных поверхностных дефектов
а — линейные дефекты; б — локализованные дефекты
/0
o,o
0,2
x
У
/
/
->*
Чх
. ,
-^
2,0
^7/
^
J
V
V
^-"—
X j/"
O,ff
Рис. 2.24. Зависимости коэффициентов отражения и прохождения
рэлеевских волн от отношения глубины щели к длине волны (а) и
от отношения радиуса выемки к длине волны (б)
2 2
' * ПР' и ОТр Пр
1 —
Л7 Л7
Рис. 2.25. Зависимости коэффициентов отражения и прохождения
рэлеевских волн от угла раствора клина 8
1 — дюраль; 2 — сталь
емок были выдержаны с высокой точностью. У брусков
с поперечным сечением 47 X 25 мм торцы были срезаны
под острыми и тупыми углами к осям раствора 16—164°,
угол раствора Э менялся через 3,5 и 5°. Кроме того, имелся
набор стальных брусков с углами раствора 80—100°.
Эксперименты проводились в импульсном режиме
на частоте ~2,7 МГц при длительности импульса 10 мкс.
Измерялся коэффициент отражения К тр рэлеевской волны
от модели, коэффициент прохождения Кпр через нее,
а также сумма их квадратов К%^ + К^р, характеризую-
характеризующая преобразование рэлеевской волны в объемные волны,
рассеиваемые моделью. Измерения проводились на той
же экспериментальной установке и по такой же методике,
как и опыты по отражению и прохождению рэлеевских
волн на цилиндрических закруглениях (см. разд. 9).
На рис. 2.24 и 2.25 приведены результаты измерений.
По осям абсцисс отложены соответственно глубина щели
в длинах рэлеевской волны h/Хц, отношение R/Xu радиуса
полуцилиндрической выемки к длине рэлеевской волны
и угол раствора клина 0 (в град). По осям ординат отло-
отложены коэффициент отражения, прохождения, а также
сумма их квадратов. Рассмотрим основные особенности
полученных зависимостей.
Прежде всего отметим, что величина ЛГотр + ЛГпр
всегда меньше единицы, что свидетельствует о частичной
трансформации энергии падающей рэлеевской волны в
157

энергию рассеиваемых моделью объемных волн. В случае
щели трансформация значительна при всех глубинах h,
которыми мы раси®лагали. Для выемки трансформация
велика (около 80%) при R ]> 0,25Xr. Для клина пре-
превращение энергии значительно в областях 105° <^ 0 <^
<Г155° и f)f)J <^ 0 <^ 70°, при остальных углах 0 превраще-
превращение мало. Трансформация энергии объясняется тем, что
совокупностью только рэлеевских волн (падающей, от-
отраженной, прошедшей и рэлеевских волн на поверхности
модели в случае выемки и щели) нельзя удовлетворить
условиям отсутствия нормальных и касательных напряже-
напряжений на поверхности модели.
При возрастании глубины щели и радиуса выемки
коэффициенты отражения рэлеевской волны от этих мо-
моделей дефектов, осциллируя, возрастают, а коэффициенты
прохождения, осциллируя, уменьшаются (отметим, что
амплитуды осцилляции существенно больше ошибки из-
измерения коэффициентов отражения и прохождения). Сред-
Среднее значение Котр для щели стремитая р увеличением
h/XR к значению коэффициента отражения рэлеевской
волны на клине раствора 0 = 90° (см. рис. .2.25). Коэф-
Коэффициент прохождения рэлеевской волны через щель при
hl%.R ^> 1,5 уже не зависит от глубины и равен примерно
0,08; следовательно, рэлеевская волна может проходить
через трещины любой глубины, что важно для практиче-
практического применения. При одинаковых глубинах щели и
выемки и при условии /?, h <^ 0,4 XR экранирующая и
отражательная способности щели больше, чем выемки,
следовательно, неглубокую поверхностную трещину об-
, наружить легче., чем вмятину.
Осцилляции До,тр.и Дир для щели и выемки объясняют-
объясняются интерференционными механизмами образования от-
отраженных и прошедших рэлеевских волн.
В случае щели отраженная волна .складывается из
. отражения от передней (обращенной к излучателю)
грани и из рассеяния на «дне» щели той части рэлеевской
. волны, которая «спустилась» туда по передней грани.
Поэтому чередование максимумов и минимумов /Готр для
: щели происходит примерно с периодом Ah'~ Xr. Данный
механизм объясняет также и тот факт, что среднее зна-
значение iT0Tp от щели (около которогр происходят колеба-
колебания) стремится с ростом глубины щели к значению Котр
на клине раствора 0 = 90°. Действительно, при глубине
h, большей толщины слоя локализации волны (~Ад),
.158
первая компонента отраженной рэлеевской волны при-
примерно такая же, как при отражении на клине 0 = 90°,
а вторая компонента, интерферируя с первой, вызывает
лишь осцилляции КОтр около среднего значения.
Прошедшая через щель рэлеевская волна складывает-
складывается из сквозного прохождения под щелью нижней части
падающей волны, которая не отсекается щелью, и из
огибания щели второй (верхней) частью рэлеевской волны,
которая проходит через щель, спустившись по одной
грани и поднявшись по другой. Благодаря этому период
осцилляции Кпр вдвое меньше, чем период Котр. При
h/hn ^> 1,5 первая компонента исчезает и коэффициент
прохождения перестает зависеть от глубины.
В случае выемки отраженная и прошедшая волны воз-
возникают из интерференции отражений от двух ребер вы-
выемки — переднего и заднего. При неглубокой выемке
(R <C! Xr) разность фаз этих отражений равна 8uR/Xr,
так как падающая рэлеевская волна проходит через выем-
выемку, не изменяя направления своего распространения.
Поэтому мы имеем минимум отражения при ft;Xn^ 0,125
и максимум при R/Хц ~ 0,250. Заметим, что механизм
отражения, аналогичный указанному, возможен при не-
неглубоких выемках любой формы, например для прямо-
прямоугольной канавки.
При глубине выемки порядка Хц и больше падающая
и отраженная от заднего ребра выемки рэлеевские волны
огибают выемку, распространяясь по ее периметру.
В этом случае прохождение и отражение волн становятся
совершенно аналогичными прохождению и отражению
на закруглениях, сделанных между гранями прямоуголь-
прямоугольного клина (см. разд. 9). Поскольку поверхностные волныг
рэлеевского типа на вогнутой цилиндрической поверх--
ности с Л—- Xr сильно затухают, коэффициент прохо-
прохождения рэлеевских волн через выемку при R/XR ^> 0,6,
весьма мал.
По периоду осцилляции Ктр и Кпр в области 0,50 <^
<^R/XR<^1,1O можно определить экспериментальное зна-.
чениё фазовой скорости волны рэлеевского типа на вогну-
вогнутой цилиндрической поверхности указанной кривизны.
Оно Собтавляет приблизительно 0,8 cr. По формуле A.105)
(справедливой, строго говоря, лишь при /?Ад^>20) по-
получаем для йаших кривизн с ~ 0,6 cR. Различие этих
двух значений лежит в пределах ошибки, даваемой фор-
формулой A,105) S области 0,50 <ДМн< 1,10,
15Ri

Среднее значение Котр для выемки в области 0,50 <
</?Ай <; 1,10 примерно равно среднему значению Ктр
для щели в той же области глубин и заметно меньше зна-
значения Котр на клине раствора 0 = 90°. Это обусловлено
недостаточной глубиной выемки в этой области. При
дальнейшем увеличении радиуса выемки среднее значение
коэффициента отражения рэлеевских волн от нее должно,
как и в случае щели, стремиться к значению Ктр на
клине раствора 0 = 90°.
Для распространения рэлеевских волн на гранях
упругого клина характерно, что отражающая и пропу-
пропускающая способности клина сильно зависят от угла
раствора 0: кривые Ктр @) и Кар @) имеют ярко выражен-
выраженные максимумы и минимумы, причем максимумам коэф-
коэффициента отражения, как правило, соответствуют мини-
минимумы коэффициента прохождения и наоборот (за исклю-
исключением случая 0 = 115°). При приближении 0 к 180°
¦ЙГотр-^О, а Кпр—>1, Коэффициенты прохождения и отра-
отражения нигде не достигают значений 1 и 0.
Из сравнения кривых Kmp(Q), Kap(Q) и /*Готр @) +
i~ ^пр @) для дюралевого и стального клиньев в области
8О°^0<^1ОО° следует, что характер кривых одинаков:
кривые отличаются только несколько различными по-
положениями максимумов и минимумов. Это позволяет
предполагать, что для любой твердой среды качественный
характер кривых будет таким же.
Экспериментальное исследование прохождения и от-
отражения рэлеевских волн на гранях клина проводилось
также в работе [122], где получены результаты, анало-
аналогичные приведенным здесь. Однако в [122] исследование
проводилось применительно к задачам сейсмологии, а не
к ультразвуковым измерениям,
12. Локализованные поверхностные дефекты
Для экспериментов с моделями локализованных по-
поверхностных дефектов имелся набор прямоугольных дю-
дюралевых листов размером 450 X 300 X 7 мм, поверхности
450 X 300 мм которых были хорошо обработаны. На по-
поверхностях 450 X 300 мм были сделаны модели дефек-
дефектов — полусферическая выемка и цилиндрический канал.
Диаметр d полусферической выемки изменялся в пределах
0,62—3,08 мм, диаметр d полуцилиндрического канала —
в пределах 0,46—2,93 мм, а глубина h канала менялась
160
от 0,29 до 2,38 мм. Длина рэлеевской волны kR составляла
1,06 мм.
Измерялось рассеяние рэлеевских волн моделями по
различным направлениям. Опыты проводились в им-
импульсном режиме на частоте 2,74 МГц при длительности
импульса 10 мкс. Излучение и прием рэлеевских волн
осуществлялись методом клина. Излучающий клин рас-
располагался на расстоянии 225 мм от модели дефекта и по-
посылал на нее направленный пучок рэлеевских волн. При-
Приемный клин последовательно помещался в точки окруж-
окружности радиуса 50 мм, описанной вокруг модели, причем
каждое измерение амплитуды рассеянной волны тотчас же
относилось к соответствующему измерению амплитуды
падающей волны в некоторой точке между излучателем
и моделью дефекта (удаленной от излучателя по оси на
103 мм и в сторону от оси на 25 мм). Амплитуда колеба-
колебаний поверхности в этой точке однозначно связана с ам-
амплитудой колебаний поверхности непосредственно у мо-
модели (последнюю амплитуду нам необходимо было знать).
Эта связь определялась экспериментально путем измере-
измерений амплитуды падающей рэлеевской волны в предпола-
предполагаемом месте расположения модели и в указанной точке
(для этих измерений, естественно, брался лист без моде*
лей дефектов). Таким образом, путем простого пересчета
определялась амплитуда падающей рэлеевской волны не-
непосредственно у модели. Приемный клин имел акустиче-
акустический контакт с поверхностью дюралевого листа только по
кругу диаметром 3 мм, что позволяло измерять амплитуду
колебаний поверхности листа в малой области (локально).
Акустический контакт осуществлялся пленкой масла. Для
исключения влияния изменений акустического контакта
на результаты измерений каждая пара измерений (в точ-
точках окружности и между излучателем и моделью дефекта)
повторялась 20 раз с последующим усреднением.
На рис. 2.26 и 2.27 приведены результаты измерений.
На рис. 2.26, а изображена зависимость амплитуд А рэ-
рэлеевских волн, рассеянных цилиндрическим каналом A)
диаметра d — 1,8 мм и глубины h = 3 мм и полусфериче^
ской выемкой B) диаметра d =1,6 мм, от угла ф, отсчи-
отсчитываемого от направления волнового вектора падающей
на модель рэлеевской волны по часовой стрелке. Для дру-
других размеров моделей зависимость амплитуд рассеянных
волн от угла ф была точно такая же, поэтому соответствую-
соответствующих данных не приводится.
6 И. Л. Викторов
161

На рис. 2.26, б представлены зависимости амплитуд
рэлеевских волн, рассеянных цилиндрическим каналом
A) и полусферической выемкой B), от отношения d/kR
диаметра модели к длине рэлеевской волны (амплитуды
измерялись при 40° <С Ф < 170°, где они не зависят от
ф). На всех рисунках безразмерная амплитуда А пред-
представляет умноженное на фактор затухания отношение
амплитуды поверхностного смещения в рассеянной мо-
моделью рэлеевской волне на расстоянии г = 50 мм от моде-
модели к амплитуде поверхностного смещения в падающей рэ-
рэлеевской волне у модели. Фактор затухания исключает
уменьшение амплитуды рассеянной волны на пути от моде-
модели до точки приема E0 мм) из-за поглощения и рассеяния
в дюрали. На рис. 2.27 приведена зависимость амплитуды
А от отношения глубины цилиндрического канала к длине
волны.
Переходя к обсуждению указанных эксперименталь-
экспериментальных зависимостей, отметим прежде всего, что, как видно
из рис. 2.26, а, в угловом интервале 40° <С Ф < 170° рас-
рассеяние цилиндрического канала и полусферической выем-
выемки по всем направлениям одинаково (при углах ф ~ 180°,
ф ~ 40° измерения не производились, поскольку отра-
отраженный импульс маскировался падающим импульсом).
То же самое справедливо, конечно, и при отрицательных
значениях ф. Данный результат является неожиданным
и связан, по-видимому, со спецификой рэлеевской волны,
поскольку обычно при рассеянии объемных волн на пре-
препятствиях, сравнимых с длиной волны, в жидкости и твер-
твердом теле интенсивность рассеяния существенно зависит
от угла ф.
Из рис. 2.26, б следует, что зависимости амплитуд рас-
рассеянных намоделях рэлеевских волн отй/А,нне монотонные,
а сильно осциллирующие, причем для цилиндрического
канала и полусферической выемки диаметров d <С 1,7 KR
период этих осцилляции составляет примерно 0,80, а для
полусферической выемки с диаметром d "> 1,7XR период
равен примерно 0,45 (в единицах d/KR). Можно предполо-
предположить по аналогии с рассеянием продольных волн на ци-
цилиндрической полости в твердой среде [123J, что максиму-
максимумы рассеяния в нашем случае соответствуют резонансам
цилиндрической и полусферической полостей (канала и
выемки). Цилиндрическая и полусферическая полости
малого диаметра (d <C 1,7 kR) резонируют при одинаковых
значениях d, что свидетельствует, по-видимому, о резонанс
162
OOOOOOOOqOooO
0,5
Рис. 2.26. Зависимости амплитуд рассеянных волн на моделях от
угла ф (а) и от отношения диаметра модели к длине волны (б)
1 — цилиндрический канал; 2 — полусферическая выемка
Рис. 2.27. Зависимость амплитуды рассеянной рэлеевской волны от
отношения глубины цилиндрического канала к длине волны
6*

сах периметра размером лив этих случаях. При d "> 1,7ЯД
у полусферической выемки наблюдаются новые резонансы,
связанные со спецификой ее геометрии по сравнению с ци-
цилиндрическим каналом. Сравнивая кривые 1 и 2 на
рис. 2.26,6, можно заметить, что цилиндрическая полость
рассеивает рэлеевские волны существенно сильнее, чем
полусферическая.
При рассеянии на цилиндрическом канале амплитуда
рассеянной рэлеевской волны сначала возрастает с уве-
увеличением глубины канала, а затем, слегка осциллируя,
уменьшается (см. рис. 2.27). Такой характер зависимости
A (h/kfi) позволяет предположить, что в данном случае
рассеянная волна образуется в результате излучения двух
синфазных рассеивающих центров, один из которых зани-
занимает область вблизи верхней кромки.канала, другой—
около «дна». При глубине канала, большей толщины слоя
локализации рэлеевской волны (h > 2kR), «донный» источ-
источник «выключается», поэтому амплитуда рассеянной волны
падает. Волнистость кривой, по-видимому, связана с взаи-
взаимодействием между рассеивающими центрами, которое
осуществляется через стоячую рэлеевскую волну, возни-
возникающую на стенке канала между его верхней кромкой
и дном. Такое предположение подтверждает длина про-
пространственного периода волнистости, равная примерно
V2.
Рассеяние рэлеевских волн моделями локализованных
дефектов удобно оценивать путем введения эффективного
размера рассеивателя. Будем понимать под эффективным
размером D для обеих моделей ширину той части пучка
рэлеевских волн, падающих на модель (ширина берется
непосредственно у модели), в которой сосредоточена энер-
энергия, равная суммарной энергии рассеянных рэлеевских
волн. Таким образом, под D понимается размер (в направ-
направлении, перпендикулярном волновому вектору падающей
волны) некоторого идеального отражателя рэлеевских
волн.
При таком определении D, предполагая дополнитель-
дополнительно, что амплитуда рассеянных волн при всех углах одна
и та же, будем иметь для D следующее выражение:
D = 2лгЛ2, B.27)
где г — расстояние от центра модели, на котором измеря-
измерялась амплитуда рэлеевской волны (в описанных опытах
г = 50 мм). Вычисляя по этой формуле эффективные раз-
164
меры рассеяния моделей, получим, например, что макси-
максимальное значение D = 0,85 мм соответствует цилиндриче-
цилиндрическому каналу диаметра 0,5 мм и глубины h = 0,83 мм,
а минимальное, равное 0,025 мм,— полусферической выем-
выемке диаметра d = 0,7 мм.
Параметр D является универсальной внутренней ха-
характеристикой дефекта, определяемой только его формой
и отношением линейных размеров к длине падающей рэ-
рэлеевской волны. Зная величину D и амплитуду В падаю-
падающей на дефект волны, можно рассчитать амплитуду Ъ
рассеянной волны на любом расстоянии R от дефекта по
формуле
Ь = \Dl2nRB
B.28)
(формула применима, конечно, при условии независимо-
независимости амплитуды рассеяния от угла ф).
13. Множественные поверхностные дефекты
В отличие от единичных дефектов влияние множествен-
множественных дефектов на рэлеевскую волну изучено в основном
теоретически.
Л. М. Бреховских в работе [124] впервые теоретиче-
теоретически исследовал затухание рэлеевских волн при распро-
распространении вдоль неровнойповерхности, уравнение которой
задано в виде z = ? (х, у). Изложим основные результаты
этой работы.
Пусть твердое тело занимает полупространство z ^> ?.
Предположим, что глубина неровностей мала по сравне-
сравнению с А,д и малы наклоны поверхности по отношению
к средней плоскости. Будем решать задачу методом по-
последовательных приближений с точностью до первого
приближения включительно, считая, что в нулевом приб-
приближении вдоль плоской границы (см. рис. 1.1) в положи-
положительном направлении оси х распространяется гармониче-
гармоническая плоская рэлеевская волна.
В первом приближении необходимо учитывать, что
волна распространяется вдоль неровной поверхности,
благодаря чему граничными условиями задачи будет от-
отсутствие напряжений на поверхности z = ? (х, у), а не
на плоскости z = 0. Напряжения Txz, Tyz, Tzz в точках
поверхности z — ?, (х, у) будут отличны от нуля, причем
их можно выразить через напряжения Тхх> TyiJ, Tzz, Txz
165

в исходной рэлеевскои волне нулевого приближения сле-
следующим образом:
т
1 Х2 =
dz
г=0
Т
1 у*
B.29)
dz
«Перенесем» теперь эти напряжения с точек неровной
поверхности z = ? (ж, у) на плоскость z = О, считая, что
действие неровностей поверхности на образование рас-
рассеянных волн эквивалентно действию указанных на-
напряжений на плоскости 2 = 0. После этого задача о рас-
рассеянных неровностями поверхности волнах сводится к за-
задаче о колебании твердого полупространства с плоской
границей, на которой заданы напряжения B.29).
Допустим, что функция ? (х, у) может быть представ-
представлена двойным рядом Фурье
ТП, П=—
B.30)
гДе #8^= 2я/Лх; gy = 2я/Лу; Лх и Ау — периоды неров-
неровностей в направлениях х и у. Каждой паре чисел т, п,
т. е. каждому члену ряда B.30) будет соответствовать пара
рассеянных волн (тп), одна из которых — продольная —
описывается скалярным потенциалом
фтп = Атп exp [i (ктх -f кпу + V к\ — k^ — klz — со*)],
B-31)
а другая — поперечная — описывается векторным потен-
потенциалом
^т„ = Втп exp [i (ктх + кпу -j- Vk\ — k2m — klz — cof)]..
B.32)
где кт = kR -f т^ж, кп = ngy. При вещественных
У к\ — Л4 — к\ и К^.-Й, - А:^ эти волны бегут в на-
направлении от границы и уносят часть энергии основной
рэлеевскои волны. При мнимых радикалах соответствую-
соответствующие волны будут поверхностными, распространяющимися
вдоль границы со скоростью, отличной от скорости cR
166
основной рэлеевскои волны. Амплитуды волн Атп и Втп
можно определить, приравнивая напряжения, созданные
совокупностью волн (тп), напряжениям B.29).
Каждая пара волн (тп), унося энергию основной рэ-
рэлеевскои волны от границы, будет вносить свой вклад
в затухание основной волны. Предположим, что затуха-
затухание рэлеевскои волны, вызванное рассеянием, достаточно
мало, так что на некотором отрезке I !S>> kR в направлении
распространения волны, содержащем большое число не-
неровностей, изменение амплитуды основной волны срав-
сравнительно мало. В этом случае можно ввести понятие пар-
парциального коэффициента затухания 8mn, равного отно-
отношению энергии, унесенной по оси z за единицу времени
через единичную площадку волнами (тп), к плотности
потока энергии в рэлеевскои волне. Суммарный коэффи-
коэффициент затухания ? рэлеевскои волны (по энергии) будет
равен
тп
Формула для 8mn очень громоздка, и мы ее приводить не
будем.
На рис. 2.28 показаны результаты расчета коэффициен-
коэффициента затухания для алюминия A), земного грунта B) и
стали C) при простейшем типе неровности поверхности —
синусоидальной неровности, когда ? = ?0 cos gx. По оси
ординат на рисунке отложена безразмерная величина
Y = 8/7с??о- Каждая из кривых при пространственных пе-
периодах неровностей Л = kR/(l ± cRlci) имеет очень острые
максимумы, вблизи которых затухание весьма велико
(в е раз на пути E—10) XR). При этих значениях Л рассеян-
рассеянные продольные волны распространяются в том же на-
направлении, что и первичная рэлеевская волна(левые пики),
или в противоположном направлении (правые пики). Рез-
Резкое возрастание рассеяния при этих значениях Л обуслов-
обусловлено оттоком энергии от границы в рассеянную попереч-
поперечную волну. При Л, большем некоторого Лтах (Лтах =
= 11,28 kt для алюминия, 10,26 kt для земного грунта
и 4,895 kt для стали), затухание рэлеевскои волны вообще
отсутствует.
Рассмотренный подход учитывает только однократное
рассеяние рэлеевскои волны в объемные волны тп, рас-
рассеяние в поверхностные рэлеевские волны здесь не учи-
учитывается. Однако при периодических неровностях, со-
197

2fff
200
/iff
ff,Z ff,0 /,i Af/A
Рис. 2.28. Зависимость коэф-
коэффициента затухания рэлеев-
ских волн от периода неров-
неровностей
держащих фурье-компонен-
ту с волновым числом, рав-
равным или близким удвоенному
волновому числу поверхност-
поверхностной рэлеевской волны, про-
происходит интенсивное отраже-
отражение падающей волны от не-
неровностей и учет рассеянных
(отраженных) поверхност-
поверхностных волн становится не-
необходим.
В ряде дальнейших работ
по развитию теории распро-
распространения рэлеевских волн
вдоль неровных границ [125—
128] делались попытки учесть
указанные поверхностные
спектры в рассеянии. Проил-
Проиллюстрируем это, следуя рабо-
работе А. Д. Лапина [128], основ-
основная идея которой состоит
в учете многократного рас-
рассеяния рэлеевской волны на
неровностях. Задача рассматривается при наклонном па»
дении рэлеевской волны на малые и достаточно пологие
периодические неровности. Постановка задачи следующая.
Пусть твердое изотропное полупространство ограни-
ограничено сверху поверхностью, описываемой уравнением
2 = ? (х), где ? (х) — периодическая функция коорди-
координаты х (рис. 2.29). Требуется найти звуковое поле в этом
полупространстве, удовлетворяющее следующим услови-
условиям: 1) поле ограничено при х —*¦ оо; 2) при стремлении
высоты неровностей к нулю поле переходит (при наличии
в среде сколь угодно малого поглощения) в рэлеевскую
волну, распространяющуюся под углом 0 к оси х. Рэлеев-
ская волна эффективно отражается от периодических не-
неровностей с периодом, равным я/А:д cos 0 = KR/2 cos 0 и
близким к нему, и слабо отражается от других периодиче-
периодических неровностей. Поэтому предположим, что функция
t, (х), описывающая неровности, имеет период л//сд cos0 ==
= Яд/2 cos 0, где kR — волновое число рэлеевской волны
при частоте бH. Найдем поле в твердом полупространстве
при частоте, равной а>0 или близкой к ней,
168
Решение задачи рассеяний получим методом малых
возмущений при специальном выборе формы нулевого
приближения, соответствующей основной части полного
поля. При рассеянии рэлеевской волны, как уже отмеча-
отмечалось, возникает интенсивная отраженная волна; чтобы
избежать обычного для метода малых возмущений обра-
Л7РУГ0
X
Рис. 2.29. Неровная граница полупространства
щения амплитуды обратной волны в бесконечность на ре-
резонансной частоте, будем искать нулевое приближение
в специальной форме
ф«0 = 1/ехр[г(/сд -f AkR)cosQx-\-ikR sinQy — qz — Ш] +
+ N exp [г (Ад + ААд — 2Ад) cos Qx +
+ г'Ад sin Qy — qz — mt],
г|40) = Д R sin 0 {M exp [i (kR -\- ААд) cos Qx -f-
R i R
-f ikR sin Qy — sz — iatt] + N exp [i (Ад -f- ААд —
— 2Ад) cos 0д: + гАд sin Qy — sz — Ш]}, B.34)
г|^0) == J fig^ cos 0 {M" exp [i (Ад + ААд) cos Qx +
-f ikR sin 0г/ — sz — Ш] — N exp [i (Ад + ААд —
— 2Ад) cos 0x + гАд sin Qy — sz — Ш]},
где q = [(Ад -)- ААдJ cos2 0 + Ад sin20 — /с?]12;
|= [(Ад + ААд — 2AfiJcos20 + Ад sin20 — А?]1-;
s = [(Ад + ААдJ cos20 + Ад sin20 — A?]1-'*;
~s = [(Ад + ААд — 2АДJ cos2 0 + Ад sin2 0 - A?JV«;
| А/сд |<Ад.
Обозначим для краткости ф ^ Ф], % ^ Фг> 'Фу = Фз-
Как обычно, потенциалы Фп определяют смещения в твер-
твердом полупространстве согласно соотношениям A.2). Вы-
Выберем в B.34) постоянные ААд и NIM таким образом, чтобы
169

При стремлении высоты неровностей к нулю поле Ф„
переходит (при наличии сколь угодно малого поглощения
в среде) в рэлеевскую волну, распространяющуюся вдоль
плоской границы. Соотношение B.36) показывает, что
для границы с периодическими неровностями существует
частотная полоса запирания. При частотах таких, что
| Q | < Q3am поле Фп} экспоненциально затухает с ростом
х. Коэффициент затухания бг = Im б принимает макси-
максимальное значение, равное | Т ?х |, в середине (« = <а0)
полосы запирания и монотонно убывает до нуля при при-
приближении частоты о к границам этой полосы, определяе-
определяемой ПО формулам 6)н = «о — ^зап, «в = «о + ^зап- Для
частот, лежащих внутри полосы запирания, модуль вели-
величины NIM равен единице.
Ширина полосы запирания <лв — а>н = 2Q3an и коэффи-
коэффициент затухания бг = V Q^an — Q2/cr зависят от угла
падения 8. Величина Q3an пропорциональна множителю
| sin2e — к2/4к%\, поэтому ширина полосы запирания и ко-
коэффициент затухания стремятся к нулю при приближении
угла падения к углу 60, определяемому по формуле 80 =
= arcsin kt/2kn. При угле падения, равном 80, рэлеевская
волна не отражается от рассматриваемых одномерных не-
неровностей поверхности. Впервые это было показано в ра-
работе [126].
На основе полученных формул можно рассчитать ко-
коэффициент отражения от периодических неровностей,
заданных на конечном по х участке, при наклонном паде-
падении рэлеевской волны. Пусть неровности z = t, (x) заданы
в интервале 0 < х < L. Производя вычисления, получим
для модулей коэффициентов отражения Ктр и прохожде-
прохождения Кпр рэлеевской волны следующие выражения:
|Котр | = thFJL cos6), \КШР\ = —J- , B.38)
ch Fj!Lcos0)
где б? = | Tlx \.
Ю. В. Гуляевым и В. П. Плесским проведено дальней-
дальнейшее уточнение теории рассеяния рэлеевских волн на ма-
малых периодических неровностях (см. обзор [129]). Ими
исследовано резонансное рассеяние рэлеевских волн от
синусоидальных неровностей с пространственным перио-
периодом, близким к длине рэлеевской волны, и показано, что
в этом случае в граничных условиях задачи принципиаль-
принципиально необходимо учитывать члены второго порядка малости
172
по высоте неровностей. Это приводит к заметному измене-
изменению коэффициента затухания волны вблизи резонансной
частоты.
В экспериментальном плане влияние множественных
поверхностных дефектов на рэлеевскую волну изучено
довольно слабо.
В работе [130] исследовано влияние способа обработки
поверхности металла (строгание, фрезерование, притирка
и полирование) на затухание рэлеевских волн. Показано,
что затухание весьма существенно зависит от способа об-
обработки, поскольку при различных способах обработки
получается различная структура поверхности и поверх-
поверхностного слоя: появляется наклеп, обработочные штрихи,
различная ориентация структурных элементов поверх-
поверхностного слоя металла, поверхностные пленки (при хими-
химическом полировании).
Отметим еще работу [131], где проверялась изложенная
выше теория Л. М. Бреховских [124] по рассеянию поверх-
поверхностных рэлеевских волн в спектры (пгп) объемных волн
на неровной поверхности. В отношении характера зави-
зависимости коэффициента затухания от частоты и структур-
структурных параметров твердого тела получено согласие с теори-
теорией. Однако количественно экспериментальные значения
коэффициента затухания получились примерно на поря-
порядок меньше, чем предсказанные теорией.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
КРИСТАЛЛАХ
Данная часть посвящена поверхностным волнам
в пьезоэлектрических кристаллах — изоляторах и пьезо-
пьезоэлектрических кристаллах — полупроводниках. Из очень
обширного круга вопросов, связанных с этой темой, мы
выбрали три наиболее важных (с практической точки зре-
зрения): возбуждение волн металлическими электродами, вза-
взаимодействие с электронами и распространение по цилинд-
цилиндрическим поверхностям. Каждый из указанных вопросов
связан с новым эффектом или с новой технической пер-
перспективой. Так, возбуждение волн гребенчатыми металли-
металлическими электродами за счет собственного пьезоэффекта
среды, как уже отмечалось выше, позволило получить
поверхностные волны с частотой 109—1010 Гц. Взаимодей-
Взаимодействие волн с электронами через пьезоэффект кристалла
привело к возможности прямого усиления упругих волн
постоянным электрическим током и к возможности опре-
определения электрических характеристик кристалла акусти-
акустическими методами. Существование для ряда кристалличе-
кристаллических симметрии поверхностных волн на цилиндрических
поверхностях кристаллов позволило осуществить очень
большие пути пробега волн в образцах малых размеров
за счет многократного огибания волнами цилиндра в на-
направлении, перпендикулярном образующей цилиндра, что
принципиально важно для акустических фильтров и уль-
ультразвуковых линий задержки на большую, длительность
Я высокую несущую частоту.
Глава I
ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
В КРИСТАЛЛАХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ ЭЛЕКТРОДАМИ
1. Методы рассмотрении
Идея данного метода возбуждения (приема) поверх-
поверхностных волн, впервые описанного в работе [132], заклю-
заключается в следующем. На плоскую хорошо обработанную
поверхность пьезоэлектрического кристалла наносится
двухфазная система периодических гребенчатых металли-
металлических электродов, к которым подводится переменное
электрическое напряжение круговой частоты со (рис. 3.1).
Вследствие пьезозффекта это напряжение создает периоди-
периодическую совокупность механических возмущений на по-
поверхности и в поверхностном слое кристалла. Механиче-
Механические возмущения, как и в методе гребенчатой структуры
(см. разд. 1 второй части), возбуждают поверхностную
волну.
Данный метод возбуждения имеет целый ряд сущест-
существенных преимуществ. Во-первых, не требуется механиче-
механического (акустического) контакта пьезопреобразователя с об-
образцом. Эта особенность, а также развитие технологии
нанесения металлических электродов позволяют в настоя-
настоящее время возбуждать и принимать поверхностные волны
рекордно высоких частот, вплоть до 1010 Гц (см., например,
[133]). Во-вторых, применяя незквидистантну ю систему
электродов, а также электроды переменной длины (так
называемая аподизация), можно получать амплитудно-
частотные характеристики электродных преобразователей
практически любой формы, что очень важно для практи-
практических приложений [134, 135]. В-третьих, несколько
видоизменяя метод и усложняя технологию изготовле-
изготовления преобразователя, можно возбуждать и принимать по-
поверхностные волны и в непьезоэлектрических образцах.
Для этого на поверхность образца наносится тонкая пьезо-
пьезоэлектрическая пленка, а металлические электроды де-
делаются над или под этой пленкой [136].
Все перечисленное привело к тому, что использование
данного метода возбуждения и приема поверхностных
волн в различных кристаллах позволило создать множест-
множество акустоэлектронных приборов для обработки информа-
175

ции, нашедших в настоящее время широкое техническое
применение [137—146]. К ним относятся ультразвуковые
линии задержки и фильтры, усилители электрических
сигналов, корреляторы, кодирующие и декодирующие
устройства, фазовращатели и пр.
Для описания возбуждения поверхностных волн ме-
металлическими электродами в настоящее время существует
несколько подходов (методов).
Первый и наиболее простой — использование модель-
модельного представления распределения заряда на электродах
Рис. 3.1. Гребенчатый электродный преобразователь поверхностных
волн
в виде б-функций [138, 147, 148]. Эта модель позволяет
описать наиболее характерные частотные свойства элект-
электродных преобразователей на кристалле с малым коэффи-
коэффициентом электромеханической связи. В силу своей про-
простоты данный метод часто используется при синтезе
фильтров с заданными частотными характеристиками.
К его недостаткам относится слабая теоретическая обо-
обоснованность и принципиальная невозможность учесть эф-
эффекты второго порядка (например, переотражение волн
электродами).
Второй подход связан с использованием эквивалентных
электрических схем типа схемы Мэзона или ее модифика-
модификаций [149—151]. Схема Мэзона была введена для описания
упругих колебаний в образцах, где имеется система плос-
плоских стоячих объемных волн (одномерное распределение
упругого и электрического полей). Поэтому при ее приме-
применении к расчету существенно двумерных электродных
преобразователей поверхностных волн сразу же возникают
принципиальные ограничения, которые не устраняются
практически никакими модификациями. Это является
основным недостатком данного подхода.
Третий, более строгий и физический, чем первые два,
подход связан с решением электрической и упругой задач
176
для полупространства с системой металлических электро-
дов по методу последовательных приближений [152—154].
При строгой постановке задачи для возбуждающих элект-
электродов на поверхности полупространства должны быть
заданы лишь разности потенциалов на них и их геометрия.
Ни распределения электрического поля на поверхности
кристалла, ни распределения зарядов (токов) на электро-
электродах невозможно задать. Эти поля, заряды и токи сами за-
зависят от возбуждаемых ими упругих колебаний полупро-
полупространства. Поэтому задача должна решаться как самосо-
самосогласованная. В методе последовательных приближений
сначала решается электрическая (упругая) задача без
учета пьезоэффекта, а затем в первом приближении теории
возмущений находится упругое (электрическое) поле.
Естественно, что получаемое решение приближенно и
применимо только при малости коэффициента электроме-
электромеханической связи и при не очень большом количестве ме-
металлических электродов.
Наконец, четвертый, самый корректный подход — это
попытка строгого решения задачи о возбуждении «кри-
«кристаллического» полупространства системы металлических
электродов. Здесь следует отметить два приема — исполь-
использование функций Грина [67, 155, 156] и построение точ-
точного решения электрической задачи с дальнейшим ис-
использованием для решения введенного Ингебригтсеном
[157] понятия поверхностного импеданса [158, 159]. В обо-
обоих случаях довольно длительная и сложная процедура
решения приводит к интегральному или инте1 родифферен-
циальному уравнению, решение которого в общем случае
возможно только численными методами. Для ряда частных
случаев, например для узких (по сравнению с длиной
волны) электродов, решение может быть получено в ана-
аналитической форме.
2. Постановка задачи
Для описания гребенчатого преобразователя будем
использовать метод последовательных приближений, про-
проводя изложение в основном на базе работы [54]. Данный
метод рассмотрения достаточно строг и физичен и в то же
время прост и нагляден. Кроме того, исследование этим
методом близко к нашему подходу для рассмотрения рабо-
работы механических излучателей поверхностных рэлеевских
177

ЁОлй (см. разд. 1 BfdpoH чаСтй) й вйоййт, таким образоМ)
единство изложения.
Рассмотрим границу z = 0 с вакуумом однородного
идеально упругого полу бесконечного кристалла, обладаю-
обладающего пьезосвойствами. Пусть в области | х | <^ L/2 на
границе нанесена двухфазная эквидистантная система
металлических гребенчатых электродов (см. рис. 3.1), раз-
размеры которых по оси у бесконечны. Будем предполагать,
что электроды бесконечно тонкие (не создающие механи-
механической нагрузки) и идеально проводящие. К каждой паре
электродов приложено переменное электрическое напря-
напряжение voe~iu>t. Требуется найти электрическое и упругое
поля в полупространстве.
Электрические и механические колебания в рассматри-
рассматриваемом полупространстве должны описываться уравнени-
уравнением движения A.69), уравнениями пьезоэффекта A.72),
A.73) и системой уравнений Максвелла
rotH
с dt
1 дР
с dt '
divD = О,
divB = О,
C.1)
C.2)
C.3)
C.4)
on = Vintii. C.5)
Здесь с — скорость света; В, Н — векторы индукции и
напряженности магнитного поля соответственно; \isin —
компонента тензора магнитной проницаемости при посто-
постоянной энтропии.
В полупространстве z ^> 0 над кристаллом (в вакууме)
векторы напряженности электрического и магнитного
полей Е' и Н' должны удовлетворять следующей системе
уравнений Максвелла:
divE'=0,
divH'=0.
at
C.7)
C.8)
C.9)
показать, что
Можно показать, что вследствие малости скорости
звука по сравнению со скоростью света поля Е и Е' явля-
178
ются практически потенциальными. Действительно, пред-
ставим'эти поля в виде суммы потенциальной и вихревой
частей Е = Е^ -f- ErOf Оценим порядки величин, считая,
что в объеме кристалла характерные изменения векторов
Е, D, Н, В происходят на длине поверхностной рэ-
леевской волны KR. Из уравнения C.1) получим, что
R 'тт' Из уравнения C.2) следует, что
Erot|~2n-^
1
2 m-:
с
с
CR
Н
HI
Таким образом, отношение вихревой
полю в кри-
части электрического поля к полному
сталле равно
IE
rot
IEI
C.10)
Подобное выражение получается и для соотношения полей
в вакууме. Таким образом, с очень хорошей точностью
электрические поля в кристалле и вакууме можно считать
потенциальными, а магнитные поля, следовательно, можно
исключить из рассмотрения.
С учетом сделанных замечаний система уравнений для
кристалла сведется к следующей:
C.11)
т
d~F~
Dn =
дх„
НЕ»
дх
¦ =0.
C.12)
C.13)
C.14)
Система уравнений C.6)—C.9) для вакуума сведется
к уравнению C.8). Будем описывать электрическое поле
в кристалле потенциалом ф, полагая Ej = — dy/dxj, а элект-
электрическое поле в вакууме — потенциалом ф'. Тогда в кри-
кристалле поверхностная волна будет характеризоваться
в общем случае четырьмя переменными: смещениями Ui и
потенциалом ф, а в полупространстве над кристаллом —
только одной переменной — потенциалом ф', удовлетво-
удовлетворяющим уравнению Лапласа
АФ' = 0. * C.15)
Граничные условия задачи условно можно разделить на
механические и электрические. Механические граничные
179

условия — это равенство нулю нормальных и касатель-
касательных напряжений на всей границе z = 0 кристалла с ваку-
вакуумом. Электрические граничные условия заключаются
в непрерывности касательной компоненты электрического
поля Ех и нормальной компоненты вектора электриче-
электрической индукции Dn на границе кристалла с вакуумом,
в равенстве нулю Ех на электродах и равенстве электриче-
электрических напряжений между соседними электродами Voe~iu>t.
Для простоты и наглядности все дальнейшие расчеты
проведем для поперечно изотропной кристаллической сре-
среды. К такой среде относится поляризованная керамика
титаната бария и другие пьезокерамики и большая группа
кристаллов структуры вюрцита (CdS, CdSe, ZnO, ZnS...
формула симметрии бтт, см. [160]) при условии, что их
гексагональная ось с перпендикулярна свободной поверх-
поверхности (т. е. совпадает с осью z на рис. 3.1).
Такие кристаллы характеризуются следующими тен-
тензорами постоянных: тензором упругих модулей ct]i
C.16)
cll
c12
Cl3
0
0
c12
Cll
^13
0
0
C]3
^13
f33
0
0
0
0
0
Си
0
0
0
0
0
Си
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
пьезоэлектрической постоянной е
ran
0 0 0 0 ец 0
0 0 0 ец 0 0
e3i «31 «зз 0 0 0
C.17)
C.18)
и диэлектрической проницаемости
еп 0 0
0 еи 0
0 0 Р3з||
Окончательные численные расчеты будут выполнены
для кристалла сульфида кадмия. Кристалл CdS обладает
сравнительно большим коэффициентом электромеханиче-
электромеханической связи, электронной проводимостью и фотоэффектом.
Благодаря этому он очень широко используется в физиче-
физических экспериментах по изучению электрон-фононного
180
взаимодействия в кристаллах, а также в акустоэлектрон-
акустоэлектронных устройствах.
Будем рассматривать возбуждение поверхностных волн
рэлеевского типа. При указанном выборе кристалличе-
кристаллического полупространства все характеристики рэлеевской
волны в нем не зависят от направления ее распростране-
распространения в плоскости z = 0. В экспериментах с CdS (описывае-
(описываемых, в частности, и в данной части) используется именно
такая плоскость распространения рэлеевских и попереч-
поперечных волн. Это объясняется тем, что, помимо упрощений,
связанных с тождественностью всех направлений в этой
плоскости, эти направления для рэлеевских и поперечных
волн являются в сильной степени пьезоактивными (это
приводит к сильному взаимодействию волн с электро-
электронами).
3. Электрическое поле излучателя
В качестве первого этапа решения задачи о возбужде-
возбуждении поверхностных волн системой металлических электро-
электродов рассмотрим электрическое поле такого излучателя. Как
показано выше, это поле квазистатическое. В соответствии
с основной идеей метода последовательных приближений
будем искать квазистатическое поле излучателя, пренебре-
пренебрегая пьезоэффектом (ejilt = 0). Это поле должно удовлет-
удовлетворять в кристалле уравнению C.14), где Dn = г)пЕ^,
а в вакууме — уравнению C.15). Будем вначале предпо-
предполагать, что число металлических электродов не огран и-
чено.
Проделывая трудоемкие вычисления [154], можно по-
получить решение квазистатической электрической задачи,
удовлетворяющее указанным выше граничным условиям,
в форме
п=0
X ехр — i(n + -y-j —^-(х + imz) — Ш\ —
— 2jрп(cosА)ехР [1 (п + —)-у(« —
71=0
(ЗЛ9)
181

Ez = mV0G (A) -^L [ ^ Pn (cos A) x
X exp — i In + -s-j -~^~ (a: + wrez) — Ш [ +
TO
+Y>pn (c°s A) exp [* (n + 4") т(* ~ ™z)—HI-
Здесь A = nalb; m = V гц/&ю, Pn (cos A) — полином Ле-
жандра номера n; G (A) — константа, даваемая выраже-
выражением
G (A) = - ШК (s1); C.20)
s' = ]Л1 — s2 — дополнительный модуль; s = sin (A/2);
.AT (s') — полный эллиптический интеграл первого рода от
дополнительного модуля s'.
Найдем теперь поле реального излучателя с конечным
числом электродов. Для этого представим составляющие
этого поля в виде интегралов Фурье
со
Ех (х, z) = -^- Fo ехр (— Ш) \ Ёх (к, z) exp (ikx) dk,
C.21)
Ez (к, z) exp (ikx) dk,
где Ех (к, z) и Ez (к, z) — трансформанты Фурье, для ко-
которых справедливы выражения
C.22)
ж №> z) = Fo exp (— Ш) J ^ (x, z) exp (— i/b) dx,
¦^00
/ CO
z (k, z) = Fo exp (— Ш) J i?z (x, z) exp (— ifcc) их.
— Ос
Подставляя выражения C.21) в уравнение C.14) и ис-
используя потенциальность поля Ех, Ez можно показать:
Ех (к, z) = Ех (к) ехр (т \ к \ z),
Ег (к, z) = — imEx (к) exp (mkz) при к > 0, C.23)
Ez (К z) — im Ex Ф) exp (—mkz) при к < 0.
182
Здесь
Ёх (к) = ^х (A, z) |г=0 = Fo exp (— tad) К
X
J ?х (ж, 0) ехр (— ikx) Ax.
C.24)
Для вычисления Ех (к) нужно, таким образом, знать
касательную составляющую поля на всей границе полу-
полупространства. Будем считать, что в области на границе
2 = 0, занятой электродами (область АВ на рис. 3.1), поле
такое же, как в случае бесконечной системы электродов,
а вне этой области оно равно нулю. Такое предположение
неплохо выполняется при большом числе электродов пре-
преобразователя, что чаще всего и реализуется на практике.
Используя выражение C.19) для Ех, выражение C.20)
для G (А) и производя вычисление интеграла C.24) с уче-
учетом указанной идеализации в распределении поля, полу-
получим формулу для трансформанты Ёх:
Et(k') = i-SJppyNF(k')Voexp(-im), C.25)
где к' = кЫтх, — нормированное волновое число; N —
число промежутков между электродами;
X
п=0
X Bп ¦
к')
X
X
C.26)
Зная трансформанту Ёх (к), по соотношениям C.23) и
C.21) вычислим полное электрическое поле излучателя
в любой точке полупространства. Можно было, конечно,
не производить описанных здесь вычислений, а просто
принять, что поле в области А В (см. рис. 3.1) везде равно
полю от бесконечной системы электродов, а вне области
АВ — равно нулю, как это было предположено для со-
составляющей Ех на поверхности кристалла. Но тогда поле
в полупространстве имело бы разрывы на границе области
АВ, что не очень удобно для дальнейших расчетов. Кро-
Кроме того, для дальнейшего целесообразно представление
поля в форме интегралов Фурье C.21), а не в форме C.19).
183

44 Вычисление упругого поля излучателя
Рассчитанное нами электрическое поле преобразова-
преобразователя вследствие пьезоэффекта создает в кристалле упру-
упругие напряжения, которые можно рассматривать, как вы-
вынуждающие силы в уравнении движения, приводящие
к генерации преобразователем поверхностных и объем-
объемных звуковых волн. Для нахождения упругого поля, соз-
созданного электрическим напряжением ?/№ехр (— icot),
подставим выражения C.12) в уравнения движения C.11),
учитывая симметрию кристалла, геометрию задачи и из-
известное соотношение
• = -[-дх± +
д1л
дх.
C.27)
Производя вычисления, получим следующие уравнения
движения:
с„
си
(с14 + c3i)
е31
в1±
дх
= 615-
дЕг
дх
C.28)
Здесь и везде далее опускаем для краткости индексы «Е» и
«я» у упругих модулей и диэлектрической постоянной.
Третье из уравнений C128) показывает, что компонента
Uv не связана с UXi 2 и с электрическим полем, поэтому мы
можем далее положить Uy = 0.
Два первых уравнения C.28) являются уравнениями
в частных производных относительно Ux и Uz с функция-
функциями источников (члены в правых частях уравнений). Для
решения этих уравнений исключим из них переменную х,
воспользовавшись стандартным методом Фурье. Пред-
Представим каждый из членов уравнений C.28) в форме
184
интеграла Фурье:
j{x,z) = -^- \ f(k,Zyexp№)dk,
C.29)
f{k,z)= ^ f(x,z)exv(—ikx)dx.
Здесь / (к, z) — трансформанта Фурье от / (х, z). Под-
Подставляя решения в форме интегралов Фурье в первые два
уравнения C.28), получим уравнения для трансформант
Фурье
си
- AU
2 - сик*) Ux + ik (с1я + си) -?- =
dE_
C.30)
ik (с» + C44)
= ikelbEx
?
c33 -j/- +
dE_
— c44fc2) Uz =
e33-
dz
где EX,.EZ даются выражениями C.23). Учитывая это,
перепишем уравнения C.30) для к ^> 0 в следующей
форме (для к <,. 0 уравнения отличаются знаками в пра-
правых частях и в экспоненте правой части; для краткости
не будем расписывать случай к < 0):
си
== т
_
(рсо2 - cuA») Ux + ik (с18
e3i) Ех (к) exp (mkz),
dG7
C.31)
dU.
ik (c18 + си) ^ + c33 ^~ + (рсо2
= ik (e1& — e33m2) Ex (k) exp (mkz).
Uz =
Мы получили систему двух дифференциальных линей-
линейных неоднородных уравнений второго порядка относи-
относительно Ux, Uz. Ее решением являются функции вида
Ux = Ах exp (cti&z) + M exp (ajtz) + й3 —^— exp
exp
P2A2 exp (pi
(k)
C.32)
exp(mAz) •
185

Здесь введены следующие обозначения:
1 -{—В + [ Я2- 4с44с33 (рс2 ~схх) (рса- ¦
— ^СцСы (рс2 —
с44(рс2 —с44) + (с13
с44J
) (с1з + си)'
•};
C.33)
—c44)
(рс2 —сп)
с44)
_ с44т2 —(рс2 —сп) гт(с1з + с44)
3 ~ im (с13 + с44) сяят2 + (рс2 — с44)
с — скорость поверхностной волны; ах и а2 — значения
корней с положительными реальными частями. Неизве-
Неизвестные амплитуды Ах, г и скорость поверхностной волны с
должны быть определены из граничных условий.
Механические граничные условия (напомним, что
электрические граничные условия уже удовлетворены —
из них найдено электрическое поле преобразователя)
заключаются в отсутствии механических напряжений на
поверхности кристалла:
Тхг\г=о = Тщг^а = ryz;z=o = 0. C.34)
Поскольку д/ду = 0 и Еу = О, напряжение Tyz в нашем
случае тождественно равно нулю. Представляя два остав-
оставшихся напряжения в виде интегралов Фурье, получим
аналогичные C.34) условия для соответственных транс-
трансформант Фурье:
Тхг (к, 0) = fzz (к, 0) — 0 для любых к. C.35)
Выражая поверхностные напряжения и их трансформан-
трансформанты Фурье через UXt z, Ex< 2, получим в итоге алгебраические
неоднородные уравнения для нахождения неизвестных
амплитуд Ах,Аг.
Ах + (с1я -
сззЬят) -
си (ах
i^j-}- с44 (сс2 — рг) Аг =
C.36)
186
Их решения можно записать в следующей форме:
^ — Д4 к
Здесь обозначено:
А* =
А,
C.37)
П) С13 -
си (а2 — р?)
— (e33m + ci3a8 + саяЬ3т)
C.38)
с44(ах — pi) e - " ™* -'--¦¦*- ' х '
с13 + c33piai с1В
с44 («1 — рх) cu (a2 — pa)
Это приводит к выражениям для трансформант Фурье
от компонент смещений
Ux (к, z) = [-д^-ехр (atkz) + -^- exp (a2fcz) +
a3 exp (ткгЦ
Uг (к, Z) = i
exp
-exp(a2fe) f
C.39)
+ b3 exp (mkz)
ЕЛк)
Сами компоненты смещений получим через их трансфор-
трансформанты Фурье по формулам C.29):
Ux (х, z, t) = ¦—• ^ [-^- exp (axkz) + -|^ ехР (a
-f-
exp [i(fcx — (ot)]dk-{-
-^г \ f7* (ft, z) exp [i (fcc —
Uz (x, z,t) = -^-y
4-
C.40)
(a2kz) +¦
¦ exp [i (kx — out)] dk -f-
~^- \ f/je (Л-, z)exp [i(frx
187

о
Вторые слагаемые здесь (т. е. интегралы \ ... dk) свя-
заны с тем, что формулы C.39) для трансформант, как уже
отмечалось выше (при выводе формулы C.31)), справедли-
справедливы только при к ^> 0. При к -< 0 аналогичные выражения
отличаются знаками, в частности знаком в показателе
экспоненты exp (mkz).
Определяя подынтегральные функции отдельно для
к ^> 0 и к < 0, можно объединить сумму двух интегралов
в каждом из выражений C.40) в интеграл по к в пределах
от —оо до + оо.
Будем вычислять только поверхностные смещения
(z = 0). Для вычисления объединенных интегралов
C.40) при z = 0 рассмотрим их в комплексной плоскости
волнового числа к. В этой плоскости подынтегральные
функции имеют точки ветвления к = ± кх и к =± к2,
определяемые из условий ах = 0, а2 = 0, и простые по-
полюса к = ± kR, соответствующие простым корням
уравнения А4 = 0 (kR — волновое число поверхностной
рэлеевской волны, распространяющейся в направлении
оси х в рассматриваемом кристалле). Образуем из четырех
листов комплексной плоскости к четырехлистную поверх-
поверхность Римана, проведя разрезы от точек ± кг, ± kz, как
это было сделано для вычисления поверхностных смеще-
смещений в разд. 1 второй части (см. рис. 2.3). Путь интег-
интегрирования в объединенных интегралах C.40) должен про-
проходить по вещественной оси того листа поверхности Ри-
Римана, на котором знаки радикалов аг и а2 соответствуют
решению, ограниченному во всем полупространстве z -<.О.
Производя операции, аналогичные изложенным в разд. 1
второй части, сведем объединенные интегралы C.40)
к вычетам в точках к = ± kR, к интегралам по берегам
разрезов и по положительной или отрицательной мнимой
полуоси (в зависимости от знака х).
Интересующей нас поверхностной рэлеевской волне,
распространяющейся в положительном направлении оси х,
будет соответствовать вычег в полюсе к = kR. Выраже-
Выражения для касательного и нормального смещений в этой
волне имеют вид
Ux = [ A(R) exp (a[R)kRz) + A{R) exp (a<R W)] exp (ikRx),
C.41)
Uz = i [p[R)A\R) exp (a[R)kBz) iR){R
X exp (a{2R)kRz)] exp (i
188
x
Здесь p[R\ piR), ol[r\ а^п) — величины, вычисленные при
с = cR;
C.42)
dc
!<:=<*;
Поскольку pj, a.$, Ax> 2, 4 являются функциями с2, то вы-
вычет в точке к = — kR по абсолютной величине равен вы-
вычету в точке к = kR и амплитуды поверхностных рэлеев-
ских волн, возбуждаемых преобразователем в направле-
направлениях +х и —х, одинаковы.
Учитывая выражения C.25) и C.20), можно написать
| Ех (kR) \= \2kG(A)NF (kR) Vo |. C.43)
Следовательно, амплитуда .Ai (со) рэлеевской волны, воз-
возбуждаемой нашим преобразователем при приложении
к нему напряжения Voe~M, может быть представлена в
форме
C.44)
А™ (со) | - | L G (Д) NF (к'1{) Vo
где
A1(cRJn^cR—~-\c=CRj
^j F (kR) дается вы-
выражением C.26) при к = kR\ N — число межэлектродных
промежутков в преобразователе; А = па/Ь.
Из выражения C.44) видно, что амплитуда возбуж-
возбуждаемой поверхностной рэлеевской волны является про-
произведением пяти сомножителей, включая число электро-
электродов Лг и напряжение между соседними электродами Vo. По-
Поясним смысл трех остальных сомножителей. Множитель L
полностью определяется значениями упругих модулей,
пьезоэлектрических постоянных и диэлектрических про-
ницаемостей кристалла. Значения L для кристаллов CdS
и CdSe приведены ниже в табл. 3.1. Множитель G (А) (см.
соотношение C.20)) зависит только от геометрии преобра-
преобразователя. И, наконец, F (kR) зависит от частоты приложен-
приложенного электрического напряжения.
Помимо поверхностных рэлеевских волн, рассматри-
рассматриваемый преобразователь излучает объемные волны, ко-
которые описываются интегралами по берегам разрезов,
идущих от точек ветвления в комплексной плоскости к.
Кроме того, в упругое поле излучателя входят синфазные
возмущения, монотонно спадающие при удалении от об-
189

ласти АВ (см. рис. 3.1)> Эта часть поля описывается ин^
тегралом по положительной (отрицательной) мнимой по-
полуоси.
5. Основные характеристики преобразователя
Рассмотрим теперь параметры, характеризующие ра-
работу нашего электродного излучателя.
Акустическая мощность, уносимая поверхностной рз-
леевской волной, определяется средним по времени пото-
потоком энергии Р в поверхностной волне через площадку
единичной ширины по у и бесконечной длины по z:
C.45)
Здесь значок * обозначает комплексно-сопряженную ве-
величину. Используя выражения C.12) для Т1]г (при Е$ —
= 0) и выражения C.41) для их>г в поверхностной рз-
леевской волне и производя вычисления, можно показать,
что
Ру = Рг = 0, C.46)
Рх =
где постоянная / определяется упругими свойствами кри-
кристалла. В табл. 3.1 приведены значения / для кристаллов
GdS и GdSe, а также параметры рэлеевской волны, пред-
представленной в форме C.41).
Таблица
сталл
к
А
К
CdS
CdSe
3.1
о
к °
1
1
J S
,706
,475
(Я)
a j
1,41
1,47
0,
0,
К)
17
14
А
А(
-р
—0
Я)
2
R)
1
,27
,23
—0
—0
й)
1
,50
,43
р<«)
(К)
р 1
-3
—4
д(Я)
1
,72
,37
.-о
0
п
s
55
37
О
1,
0,
s
78
81
Важнейшей характеристикой преобразователя являет-
является сопротивление излучения. Для его определения рас^
смотрим полную звуковую мощность, излучаемую пре-
преобразователем. Пренебрегая потерями на излучение объ-
объемных волн, получим, что зта мощность при ширине Н
190
(размер по оси у) электрода равна
Р = 21<оА1Н.
C.47)
Пусть преобразователь имеет N межэлектродных проме-
промежутков и ширину электрода Я. Тогда, подставляя в C.47)
выражение C.44) для Аи получим следующее соотноше-
соотношение:
Р = 2/со [LG (Д) NF (kR)VHVl C.48)
Определим сопротивление излучения R согласно формуле
P = -^-V\lR. C.49)
Из соотношения C.48) получаем
R = {4I(o [LG (Д) JV F (ftn)l1 H}'1. C-50)
Сопротивление излучения существенно зависит от
частоты. При совпадении пространственного периода
системы гребенчатых электродов с длиной рэлеевской вол-
волны, т. е. на основной резонансной частоте со = со0 = cRb/n,
имеем k'R = 1, F (k'R) = —1. Поэтому на этой частоте
R = R0 = {4/to0 [LG (Д) N? Ну1. C.51)
Для нормированного сопротивления излучения получаем
следующее простое выражение:
Д(ш) __ Д
Д(ш0) ~ i
ш
C.52)
Зависимость сопротивления излучения от частоты изо-
изображена рис. 3.2. Кривая рассчитана для N = 17 и Д =
= л/4. Как ридно из рисунка, сопротивление излучения
очень быстро возрастает при отклонении от резонансной
частоты со0, т. е. полоса пропускания преобразорателя
довольно узкая. Рассматриваемый электродный рреобра-
зователь может также довольно эффективно работать на
нечетных гармониках. Из соотношений C.50) и C.26)
можно показать, что отношение сопротивления излуче-
излучения Rn на и-й гармонике оснорной резонансной частоты
к сопротивлению излучения Ro на основной резонансной
частоте дается выражением
-\ C.53)
191

4
j
z
-ih
Рис. 3.2. Зависимость сопротивления излучения преобразователя от
частоты вблизи резонансной частоты
Рис. 3.3. Эквивалентная схема излучателя на частотах вблизи ре~
зонансной
',
/Г нагррке
Рис. 3.4. Эквивалентная схема приемного преобразователя
где Р(П-1) 2 (cos А) — полином Лежандра соответствующе-
соответствующего номера.
Используя теорию эквивалентных схем, развитую Мэ-
зоном [161], можно представить эквивалентную схему
рассматриваемого электродного излучателя вблизи резо-
резонансной частоты со0 в виде, изображенном на рис. 3.3.
Здесь Со — статическая емкость преобразователя; R —
= R (со); La и Са — параметры, определяемые следующими
выражениями через ширину полосы преобразователя:
L2 = RJ | со2 — щ |, C.54)
С а =
где со0 — центральная (резонансная) частота излучателя;
coXi2 — частоты, на которых импеданс излучателя равен
удвоенному значению (по отношению к значению на со0),
Статическая емкость Со преобразователя вычисляется на
основе решения электростатической задачи (см. соотно-
тения C.19), C.20)) и для преобразователя ширины Н по
оси у дается формулой
К (s) „ Лг
K(s') " Т'¦
со = И
C.55)
В качестве примера приведем электрические параметры
гребенчатого электродного излучателя на кристалле CdS,
изготовленного на частоту соо = 5,35-107 и имеющего
размеры Н = 1,6 мм, АВ = 176 = 1,73 мм, N = 17,
А = па/b = я/4. Эти параметры следующие: Со =
= 1,1 пФ, Сп = 5,3-1<Г3 пф, Ь„ = 58 . мГн, Ro =
= 252 кОм.
Характеристики преобразователя в режиме приема
можно получить на основе классической теоремы взаим-
взаимности, обобщенной на случай твердой среды с пьезосвой-
ствами. Используя соотношение, полученное на этой
основе в [152], можно показать, что амплитуда электриче-
электрического напряжения FoP на выходе преобразователя, ра-
работающего в режиме приема (при бесконечном сопротив-
сопротивлении нагрузки), дается выражением
= 4/ [LG (A) NF (k'R)] <s>NHAxZu
C.56)
где Zt — электрический импеданс преобразователя. Снова
используя названное соотношение для режима короткого
замыкания приемного преобразователя, можно получить
формулу для амплитуды электрического тока через пре-
преобразователь при коротком замыкании:
/ор = 4/ [LG (A) NF (kR)](o NHA^ C.57)
Из соотношений C.56) и C.57) получим
т/пр гПР'у /Q KQ.\
^ о — 1о At- (о.оо)
Из изложенного следует, что эквивалентная схема
приемника должна состоять из источника тока, парал-
параллельно которому включен импеданс Zt (рис. 3.4).
Основные из описанных здесь характеристик преобра-
преобразователя проверялись экспериментально. Для этого ис-
использовались два идентичных преобразователя, изготов-
изготовленных на кристаллах кварца или сульфида кадмия.
Один из преобразователей служил излучателем, другой —
приемником волн. Излучатель и приемник на CdS были
защищены от действия света. Размеры преобразователей
составляли Н = 1,6 мм, АВ = 1,73 мм, N = 17. Опыты
192
7 И. А. Викторов
193

проводились в импульсном режиме на частоте 9 МГц.
При измерениях сопротивление нагрузки не согласовы-
согласовывалось с внутренним сопротивлением преобразователя.
На основании равенств C.44), C.57), C.58) можно
рассчитать потери на преобразование, т. е. отношение ам-
амплитуды напряжения VqP на выходе приемника к амплиту-
амплитуде напряжения FJ1 на входе излучателя. Это отношение
равно
- == {4i [LG (Л) NF (k'R)]* e*H} Rm
C.59)
внешней нагрузки приемного
(V'?p/FjajI)Pao4
где Rh —¦ сопротивление
преобразователя.
Для преобразователя на CdS Д = 1,49 ±8%, рас-
расстояние между преобразователями равно 1,1 см, частота
9,0 МГц, Дн = 2260 Ом, (Fonp/F0H3J1)EKcn = 0,82-10,
= 1,4-10~2. Как видно, экспериментально
измеренные и расчетные значения неплохо согласуются.
Некоторые различия, вероятно, вызваны несовершен-
несовершенством изготовления гребенчатых металлических электро-
электродов (неоднородность в структуре).
Экспериментально проверялась зависимость FoP/FjM
от геометрии преобразователей (множитель G (Д) в фор-
формуле C.59)). Для этого были изготовлены три пары элек-
электродных преобразователей на кристалле кварца АТ-среза.
Все преобразователи имели одинаковые N и Ь, но раз-
различались значениями Д = ла/b от пары к паре. Расстоя-
Расстояние между преобразователями и RK были постоянны.
В табл. 3.2 приведена зависимость F"P/FJ1 от Д для кри-
кристалла кварца АТ-среза.
Таблица 3.2
Д=яа/Ь
2,36±5%
1,93±8%
1,14±Ю%
Относительная величина Vq/V p
Эксперимент
1,0
0,89
0,67
Расчет.
1,0
0,95±10%
0,77+15%
Как видно из таблицы, в пределах ошибки измерений
экспериментальные и расчетные данные совпадают.
Наконец, для одной пары гребенчатых преобразовате-
преобразователей на кварце АТ-среза сравнивались потери на преобра-
преобразование на третьей гармонике и на основной частоте. Из
выражений C.59) и C.2G) нетрудно показать, что
г, ИЗЛ
о
пр
0
г-изл
1 0
C.60)
где п — номер гармоники (п = 1 — это основная ча-
частота); индекс к = (п — 1)/2; R^ и R^ — сопротивления
внешней нагрузки на п-й гармонике и на основной резо-
резонансной частоте. В табл. 3.3 приведены измеренные и рас-
рассчитанные коэффициенты потерь на основной резонансной
частоте и на третьей гармонике для кристалла кварца
АТ-среза.
Таблица 3.3
Д—ла Ь
1,93+8%
1,93+8%
K(J>, Ом
226
226
/ о .,о«
2,0
2,0
В<?', Ом
302
555
Экспери-
Эксперимент
1,55
2,84
Теория
1,13
2,25
Из таблицы видно, что расчетные значения и экспери-
экспериментальные данные хорошо согласуются между собой.
Это, как и все остальные приведенные здесь таблицы,
подтверждает правильность изложенной здесь теории гре-
гребенчатых электродных преобразователей на пьезоэлек-
пьезоэлектрических кристаллах.
195
194

Глава II
РЭЛЕЕВСКИЕ ВОЛНЫ В ПРОИЗВОЛЬНОМ
ПОЛУПРОВОДНИКОВОМ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КРИСТАЛЛЕ (ТЕОРИЯ)
Распространение поверхностных волн рэлеевского типа
в пьезополупроводниках и их взаимодействие с электро-
электронами рассматривались в большом ряде работ (см., напри-
например, [162—166]). В данной главе мы приведем постановку
задачи, основные уравнения и граничные условия для рэ-
леевских волн, распространяющихся в полупроводниковом
пьезоэлектрическом кристалле произвольной симметрии.
В принципе применяемый здесь подход пригоден и для
описания распространения волн Лэмба и поперечных нор-
нормальных волн в кристаллических пластинах. Будем вести
изложение на основе работ [8,12,167]. Подход, применяе-
применяемый в этих работах, представляется нам наиболее после-
последовательным и обоснованным, поскольку в нем учиты-
учитывается наличие у кристалла поверхностного слоя,
а электрические граничные условия не постулируются,
а выводятся.
6. Постановка задачи, идеализации
Рассмотрим кристалл произвольного типа симметрии,
обладающий пьезосвойствами и собственной электронной
электропроводностью. Пусть данный кристалл граничит
с вакуумом вдоль плоскости z = 0, а по направлению х
в этой плоскости распространяется плоская гармониче-
гармоническая поверхностная волна рэлеевского типа. И направ-
направление распространения, и ось z произвольны. Будем
предполагать, что длина свободного пробега электронов в
кристалле много меньше длины рэлеевской волны (макро-
(макроскопическая теория). Это предположение хорошо выпол-
выполняется на ультразвуковых и гиперзвуковых частотах
(вплоть до частот ~ 10й Гц).
Вследствие наличия у кристалла пьезосвойств и элек-
электропроводности рэлеевская волна в нем сопровождается
переменным электрическим полем, посредством которого
волна взаимодействует со свободными электронами. Рас-
Распространение рэлеевской волны в этом случае описывает-
описывается уравнением движения A.69), уравнениями пьезоэф-
фекта A.72), A.73) и системой уравнений Максвелла C.1),
196
C.2), C.4), C.5), к которым необходимо добавить урав-
уравнение Пуассона C.61), уравнение тока C.62). и уравнение
непрерывности C.63):
div D = — 4леге,
h = OikEi + efD
djk/dx}! = edn/dt.
C.61)
C.62)
C.63)
Здесь j — вектор плотности тока; aik и Dik — компонен-
компоненты тензоров электропроводности и коэффициента диффу-
диффузии электронов; е — абсолютная величина заряда элек-
электрона; п — превышение концентрации электронов над ее
равновесным значением п0 в отсутствие волны (можно по-
показать, что изменением концентрации положительных ио-
ионов из-за деформации в волне правомерно пренебречь по
сравнению с изменением концентрации свободных элек-
электронов); / — фактор ловушек (уровней «прилипания»
электронов); хгх2х3 — здесь и далее мы отождествляем
с х, у, z.
В указанных уравнениях электропроводность aik,
коэффициент диффузии электронов Dik, фактор ловушек
/ и другие параметры кристалла, вообще говоря, не по-
постоянны, а зависят от координат. Это происходит потому,
что на поверхности (плоскость z = 0) имеется разрыв
кристаллической решетки. Реально граница кристалла
с вакуумом не абсолютно резкая и проходит не по плоско-
плоскости z = 0, а по некоторому переходному слою толщины
26. Выше этого слоя находится вакуум, ниже — одно-
однородная толща кристалла, где все свойства уже не зависят
от расстояния z до границы. Толщина 26 этого слоя оп-
определяется параметрами кристалла (в частности, электро-
электропроводностью ал) и способом получения граничной по-
поверхности. Для большинства реализуемых на практике
случаев она лежит в пределах — 0,1—10 мкм.
В полупространстве z ^> 0 над кристаллом (в ваку-
вакууме) векторы напряженности электрического и магнит-
магнитного полей должны удовлетворять системе уравнений
Максвелла C.6)—C.9). Компоненты смещений Ut и век-
векторы Е, D, В, Н в кристалле, переходном слое и вакууме
должны быть связаны граничными условиями, в которые
будут входить характеристики кристалла и переходного
слоя.
В такой общей постановке решение задачи наталки-
наталкивается на большие трудности как вычислительного, так
197

и принципиального порядка (характеристики переход-
переходных слоев очень слабо известны). Сделаем дополнительно
некоторые ограничения и идеализации, которые не очень
существенно нарушат общность задачи, но позволят про-
произвести все необходимые вычисления.
1. Будем считать, что толщина 26 переходного слоя
много меньше длины рэлеевской волны kR в кристалле.
Под переходным слоем в полупроводнике обычно иопимают
приповерхностную область кристалла толщины порядка
дебаевского радиуса экранирования lD:
in =
\кТ
C.64)
Здесь к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная тем-
температура. Поэтому указанное условие означает, чхо мы
рассматриваем частоты, при которых длина рэлеевской
волны Я существенно превосходит Iq.
2. Будем считать, что подвижность электронов и фак-
фактор ловушек в переходном слое равны соответственным
значениям в объеме кристалла, а электропроводность в пе-
переходном слое непрерывно меняется от значения электро-
электропроводности в объеме (на нижней границе слоя) до нуля
(на верхней границе). Последнее означает постепенное
спадание до нуля концентрации свободных электронов
в переходном слое по мере приближения к его верхней
границе (с вакуумом).
3. Будем считать далее подвижность электронов, ко-
коэффициент диффузии электронов и электропровод-
электропроводность кристалла скалярами Dik = 8ikD, oik = S^cr =
= 6ifc|xe (n0 + fri), где |х — подвижность электронов в
кристалле; епо\л = о0 — равновесное (в отсутствие вол-
волны) значение электропроводности кристалла. Такое упро-
упрощение является общепринятым.
4. Как и в случае пьезоэлектрика (см. предыдущую
главу), пренебрежем вихревыми частями электрических
полей в кристалле и вакууме, считая эти поля потенци-
потенциальными. Вместо соотношения C.10) здесь получим
C.65)
S
8 О)
Максимальное значение отношения а/со, при котором еще
наблюдается взаимодействие рэлеевских волн с электрона-
электронами, как будет показано ниже, составляет величину
198
_ — Ю3. Это дает | Erot |/| Е | ~ Ю (не более).
Таким образом, как и в пьезоэлектрике, электрическое
поле можно считать квазистатическим и описывать по-
потенциалом ф.
7. Основные уравнения
С учетом сделанных ограничений и идеализации си-
система исходных уравнений в кристалле теперь сводится к
системе C.11) — C.13), дополненной уравнением Пуас-
Пуассона C.61) и двумя уравнениями для тока:
7- — „F I cfD дп C.66)
C.67)
Здесь а = ец (га0 + /га); Ек — компоненты электриче-
электрического поля в кристалле, которое в общем случае слагается
из поля, созданного рэлеевской волной (поле кристалли-
кристаллической решетки и свободных электронов) и внешнего элек-
электрического поля Ео. Поле Ео необходимо для создания
в кристалле дрейфа электронов, за счет которого можно
получить эффект усиления ультразвуковой волны («уси-
(«усиление звука током»). Будем считать, что Ео постоянно по
времени, однородно по всему кристаллу и приложено^ в
направлении х. Такое поле создает в кристалле дрейф
электронов по направлению распространения волны со
скоростью v0 (постоянный электрический ток). Напряжен-
Напряженность Ео может меняться в широких пределах, так что v0
изменяется от нуля до значений, много больших cR. От-
Отдельно мы рассмотрим случай Ео = 0.
Система уравнений C.6) — C.9) для вакуума све-
сведется к уравнению C.15).
Из уравнений C.11), C.12) получим следующие урав-
уравнения движения:
_ *
— cih-lm
дхкдх.
C.68)
Три «электрических» уравнения C.61), C.66), C.67) мож-
можно свести г: одному уравнению вяда
д . „ . 1 д
4я
= 0.
C.69)
199

Подставим в это уравнение выражения C.13) для ком-
компонент вектора D, выражение а = ejj, (п0 + fn) для элек-
электропроводности, выражение C.27) для Uim и выражение
Ej = —dy/dxj для компонент электрического поля. Учтем
наличие постоянного поля Ео = —EQxQ. Наконец, при-
примем во. внимание, что д/дх = ik, где к — волновое число
поверхностной волны рэлеевского типа. Тогда после ряда
вычислений вместо уравнения C.69) будем иметь следую-
следующее:
1 а2 ( 9U,
2 nlm dtdx
~до
дх,
4л
1
2 &nlm
dtdx-dxn
dUi
I5i
дх,
4л
= 0.
C.70)
В уравнениях C.15), C.68)—C.70) и в дальнейшем
Um, Ф, ф' — переменные (связанные с поверхностной
волной) составляющие смещений и электрических потен-
потенциалов. Постоянные составляющие этих величин, связан-
связанные с Ео, мы не рассматриваем. Уравнение C.70) линеа-
линеаризовано: мы пренебрегли в нем членом порядка
ik]xfE dDn Т1г , г,
—^ ^ Ui (здесь L — переменная часть поля
пЕ
в кристалле). При плотностях потока звуковой энергии
меньше 1 Вт/сма такое пренебрежение вполне допустимо.
8. Граничные условия
Условия на границе полупроводникового пьезоэлек-
пьезоэлектрического кристалла с вакуумом необходимо формули-
формулировать с учетом существования между объемом кристалла
и вакуумом тонкого (по сравнению с XR) переходного
слоя. Будем считать, что этот слой заключен1 между
плоскостями z = ±6.
Поскольку выше слоя находится вакуум, а толщина
слоя много меньше длины звуковой волны в кристалле,
20Q
можно считать, что механические напряжения Tik во
всем слое бесконечно малы. Это означает, что, как в обыч-
обычных задачах теории упругости, можно считать, что на
плоскости z = 0 отсутствуют механические напряжения,
т. е.
ТЩ:=0 = 0. C.71)
Граничные условия для векторов Е и D должны связы-
связывать значения их компонент по обе стороны от переходного
слоя. Что касается вектора Е, то, как известно [75], на
границе выполняется непрерывность его тангенциальных
составляющих:
(^т)крист = (-Ё'т)вак • C.72)
Для вывода последнего граничного условия, аналогич-
аналогичного условию непрерывности нормальной составляющей
вектора D на границе двух диэлектриков, обратимся к ос-
основополагающим уравнениям задачи. Будем считать, что
уравнения C.61), C.66), C.67) и вытекающее из них урав-
уравнение C.69) применимы и к объему кристалла, и к пере-
переходному слою z-= ±6. В последнем случае, конечно, под
электропроводностью а, коэффициентом диффузии D и
фактором ловушек / понимаются значения этих параметров
для переходного слоя. Для получения связи между ком-
компонентами Е, D по обе стороны переходного слоя восполь-
воспользуемся методом, предложенным в [168], и проинтегри-
проинтегрируем уравнение C.69) по переходному слою:
ID-
4л
C.73)
Поскольку рэлеевская волна предполагается плоской,
гармонической, имеющей только две компоненты смеще-
смещения Ux, U2, то д/ду = 0, д/дх = ik, d/dt = — по. Электро-
Электропроводность о переходного слоя определяется выраже-
выражением
а (х, z) = ецп0 (z) + en (x, z)/|x,
а0 = еп0 (г)ц,
C.74)
где п0 (z) — равновесная концентрация электронов в пе-
переходном слое (зависящая от координаты z); n (x, z) —
201

Связанное с волной изменение Концентрации; D — Коэф-
Коэффициент диффузии электронов в переходном слое, связан-
связанный с подвижностью |х известным соотношением [169]
D = цкТ/е. C.75)
Так как мы предположили, что подвижность электронов |х
(как и фактор ловушек /) в переходном слое такая же, как
в объеме кристалла, коэффициент диффузии D в урав-
уравнении C.73) является постоянной величиной (параметром
кристалла).
Принимая во внимание эти замечания, а также условие
непрерывности (Ех, Ео) тангенциальной составляющей
вектора электрического поля, получим после вычислений
D
fe4
+
4л
C.76)
Здесь fD = D; f\i = p\ При выводе C.76) мы пренебрегли
в
квадратичным членом вида \ п (х, z) Ex dz, а также чле-
—6
нами порядка малости 6Ад (по сравнению с оставленны-
оставленными). Уравнение C.76) равносильно следующему условию
на границе кристалл—вакуум (плоскость z = 0):
4яа0
h2D — ш +
¦Ет =-
D
кЮ — jw -j- i/r?l?0
крист
X
C.77)
Здесь cr0 — равновесное значение электропроводности
в объеме кристалла. Данное граничное условие учиты-
учитывает и электропроводность кристалла, и диффузию элек-
электронов в кристалле. При отсутствии свободных электро-
электронов в кристалле (а0 = 0, div D = 0) оно переходит
в обычное условие на границе диэлектрика с вакуумом:
(D2)KPilCr = (Dz)BaK. C.78)
Равенство C.77) показывает, что на границе полупро-
полупроводникового пьезоэлектрического кристалла с вакуумом
нормальная компонента Dz вектора электрической индук-
индукции испытывает скачок. Величина скачка определяется
частотой, параметрами кристалла (в первую очередь о0
и D) и дрейфовым полем Ео. Характерно, что в равенство
202
C.77), как и в остальные граничные условия C.71), C.72),
не входят параметры переходного слоя и все граничные
условия сформулированы в конечном счете на плоско-
плоскости z = 0.
Глава III
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РЭЛЕЕВСКИХ ВОЛН
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
СТРУКТУРЫ ВЮРЦИТА (ГРУППА А2В6)
В этой и следующей главах мы рассмотрим распро-
распространение рэлеевских волн в двух конкретных кристал-
кристаллических структурах (структуре типа вюрцита и структу-
структуре типа сфалерита), в которых возможно интенсивное
взаимодействие ультразвуковых волн с электронами
проводимости через" пьезоэффект. Окончательные чис-
численные расчеты будут проведены нами для двух кристал-
кристаллов — сульфида кадмия (группа А2В6) и арсенида гал-
галлия (группа А3В5, структура сфалерита). Естественно,
что все полученные расчетные формулы справедливы и
для остальных представителей этих структур.
Начнем рассмотрение с кристаллов структуры вюр-
вюрцита. Имеется целый ряд работ, касающихся вопросов рас-
распространения поверхностных рэлеевских волн в таких
кристаллах [8, 13, 16, 65, 162, 163, 167, 170—175]. Мы про-
проведем изложение материала на основе работ [8, 13, 167,
176], которые наиболее последовательно и в физическом
плане описывают распространение волн с учетом пьезо-
свойств, электропроводности и дрейфового поля в кри-
кристалле.
9. Уравнения и их решения
Рассмотрим распространение поверхностных рэлеев-
рэлеевских волн в плоскости z = 0, перпендикулярной гекса-
гексагональной оси кристалла" (рис. 3.5). При таком выборе
граничной плоскости, как уже отмечалось в разд. 2 дан-
данной части, полупространство z < 0, занятое кристаллом,
«становится» поперечно-изотропным, в котором всё харак-
203

теристики рэлеевскои волны не зависят от направления ее
распространения в плоскости z = 0. В экспериментах
с кристаллами А2В6 используется именно такая плоскость
распространения рэлеевских и поперечных волн. Это
объясняется тем, что, помимо упрощений, связанных
с тождественностью всех направлений в этой плоскости,
Рис. 3.5. Поверхностная рэле-
евская волна в кристалле
структуры вюрцита
эти направления для рэлеевских и поперечных волн яв-
являются в сильной степени пьезоактивными (это приводти
к сильному взаимодействию волн с электронами).
Плоская гармоническая рэлеевская волна, распро-
распространяющаяся по направлению х в указанной плоскости,
характеризуется смещениями Ux, Uz и электрическими
потенциалами ср и ср' в кристалле и вакууме. Эти перемен-
переменные являются функциями х, z и t. Используя выражения
C.16)—C.18) для тензоров упругих модулей, пьезоэлек-
пьезоэлектрических постоянных и диэлектрических проницаемо-
стей кристаллов данной симметрии, перепишем уравнения
C.68), C.70) в развернутом виде:
= си
дхг
с
Си)
¦ + с«
dxdz
в15)-я
dxdz
-33 dz2 П -13 дх2 ' '
[ itfEok + -If- -ЛЛ) U = (i|i/^oft +4г~
Здесь
U=e31
C.79)
dxdz
dxdz
4л
204
Будем искать решение уравнений C.79) в форме
Ux = -г- exp [P&z + i (кх — Ш)],
fikz + i (кх — at)],
: = -тг-ехр |
C.80)
exp
где к = (а/с — неизвестное волновое число поверхностной
волны; р — функция к; А, В, С — произвольные безраз-
безразмерные постоянные. Подставляя выражения C.80) в урав-
уравнения C.79), получим систему трех линейных однородных
алгебраических уравнений относительно А, В, С:
с44
L33 D2
с44
рм2
с44
Ell -
с44
C.81)
где ^ = 1 — \ifEofc. Условием существования нетриви-
нетривиального решения этой системы является равенство нулю
ее определителя. Запишем это условие:
си
¦ _ R2.
«И
с44
С44
f ззР2 - f и
4я
= 0.
C.82)
Уравнение C.82) определяет зависимость |3 (к). Оно
имеет восемь корней. Рассматриваемой рэлеевской волне
203

соответствуют четыре корня, у которых Re р; ^> 0.
У одного из корней (назовем его четвертым) Re р4 -~ 'КцИц.
Таким образом, р4 описывает ту часть решения, которая
локализована в переходном слое кристалла толщиной lD
(напомним, что Id <^. А-я). Это так называемая волна элек-
электронной плотности (волна объемного заряда). В гранич-
граничном условии C.77) волна электронной плотности автома-
автоматически учтена, поскольку оно получено интегрированием
всех основополагающих уравнений по переходному слою.
В однородном полупространстве под переходным слоем при
«построении» решения эту волну учитывать не нужно.
Остальные три корня для удобства дальнейших выкла-
выкладок целесообразно представить в виде
Pi = Р? + sx, р2 = р2 + б2, р3 = 1 + б3.
C.83)
Здесь р?, 2 — соответствующие корни для рэлеевской волны
в кристалле GdS при отсутствии пьезоэффекта (етп = 0),
определяемые из уравнения
си
<[
f@2
c41
C.84)
^i, 2.з — малые поправки. Легко убедиться, что pj, 2 ^> 0.
Будем проводить все дальнейшие расчеты методом
последовательных приближений, считая, что пьезоэф-
фёкт вносит малые возмущения во все характеристики
рэлеевской волны в кристалле GdS. Примем за параметр
малости отношение е\ъ1си и ограничимся первым прибли-
приближением.
После вычислений получим из уравнения C.82) выра-
выражения для 6Xj 2:
15
,ам (а2
C.85)
Здесь ails — элементы определителя C.82), вычисленные
соответственно при р = pj и р = р2. Таким образом,
Р]J как функции волнового числа к теперь известны.
Для р3, как можно убедиться из дальнейших расчетов,
достаточно ограничиться нулевым приближением, полагая
Р = 1
206
После определений функции р1> 2i 3 можно из первых
двух уравнений системы C.81) выразить две из произволь-
произвольных постоянных А, В, С через третью. В результате полу-
получим
Д
C.86)
где
си
C.87)
рсо3
1 _ _?22_ R2 _ PM
В этих соотношениях р является поочередно одной из трех
функций рх, 2, з- Общее решение уравнений C.79) может
быть записано в форме
i (kx — (At)],
n=l
з
i/,=
Z
Ап Ав(К)
exp
i (kx — coi)],
C.88)
¦ exp [pnAz + г (te — tat)].
Здесь An — произвольные постоянные.
Как видно из этих формул, смещения и электрический
потенциал в рзлеевской волне представляют собой супер-
суперпозицию трех неоднородных плоских волн, «припасован-
«припасованных» друг к другу на границе. Две первые волны (соответ-
(соответствующие функциям р1|2) аналогичны продольной и по-
поперечным неоднородным волнам, из которых состоит
рзлеевская волна в изотропном полупространстве (см.
разд. 1 первой части). Появление третьей дополнительной
?207

волны (функция Рз) вызвано существованием у кристалла
пьезосвойств, поэтому в первом приближении по е\ъ1сы
достаточно просто учесть наличие третьей волны, полагая
рз = 1- Эта волна связана с квазистатическим пьезопо-
лем кристаллической решетки, через которое осуществля-
осуществляется взаимодействие волны с электронами проводимости
кристалла.
Обратимся теперь к уравнению C.15) для потенциала
в пространстве над кристаллом. Решение этого уравне-
уравнения, соответствующее поверхностной рэлеевской волне
рассматриваемого типа, можно записать в форме
^[— kz + i(kjc — (ot)], C.89)
где С — произвольная постоянная.
10. Дисперсионное уравнение
Для нахождения волнового числа kR рэлеевской волны
обратимся к граничным условиям. Для рассматриваемой
волны эти условия на плоскости z = 0 сводятся к равен-
равенству нулю напряжений Tzz и Тхг, к соотношению C.77)
и к непрерывности составляющей Ех вектора электриче-
электрического поля. Из последнего условия и формулы C.89;
получим соотношение между электрическим потенциа
лом ф' в вакууме и электрическим потенциалом ср в кри-
кристалле при z = 0:
q>'= ф @) е-*г. C.90)
Остальные три граничных условия с учетом равенств
C.12), C.13) дают три следующие уравнения:
с44
дх
-т- С
аа
дГ
дих . ™г
dz
дх
дх
+
dz
(dxfdz
i?o 1
¦ikW/ш) J
C.91)
dtp
~dz~
iO
d"U
4я (dxfdz
208
где значения всех функций и их производных взяты при
z = 0. Подставляя в эту систему выражения C.88), приве-
приведем ее к виду
-о
n=i
3
n=i
3
A(K)
Z-l \ e15 ^ Mn e15
1 ДС (Р„)
C.92)
71=1
"u-^P* ДС(РП)
Приравнивая нулю определитель полученной системы
линейных однородных уравнений, будем иметь следующее
дисперсионное уравнение для нахождения волнового
числа к рэлеевской волны:
\Ал*\ = 0, C.93)
где
дс(Р»)
C.94)
209

Уравнение C.93) очень громоздко. Будем искать егоре-
шение методом последовательных приближений с точ-
точностью до первого приближения включительно. Положим
ha),
C.95)
где к% — волновое число рэлеевскои волны в кристалле
при отсутствии пьезоэффекта; а — малая добавка. Исполь-
Используя для pi выражения C.83), разлагая все величины по
степеням малого параметра е\ъ1сц и предполагая априори,
что а -~ elb/cu, получим в нулевом приближении урав-
уравнение для k°R. Следующее приближение дает уравнение
для а, которое после ряда вычислений можно записать
в виде
а=(—0,0326 + 0,0267-
+ (—0,327 |- 0,0258,
(Ol'/COp
,83гсос/со \ , j
B+l,19io)c/(o ) 2"r
[0,379A — Si/Й]) —
— 0,0306A—8^8,)]. C.96)
Здесь обозначено: йс — а0; aD = (c°rJ/D; b'1>2 = б1>2
при а0 = 0;
«i
15
15(? — 0,98ш;/й)в)
- 0,98йиуй)д + l,25(oci/co '
2,06 (J + 0,968шг/шсд)
D+ l,394o)ci/(u
C.97)
При выводе этого уравнения были использованы зна-
значения постоянных кристалла GdS, взятые из [177], и полу-
полученные на их основе следующие характерные параметры
нулевого приближения (втп = 0):
О-*, см-с-1
1,71
0,937
1,407
0,179
1,00
Уравнение C.96) описывает электронное затухание
(усиление) и дисперсию фазовой скорости рэлеевскои вол-
волны. Действительно, в линейном приближении имеем
Rea = —
C.98)
210
где дс — изменение фазовой скорости; Yr — отнесенный
к 2я коэффициепт затухания (усиления) рэлеевскои волны
на длине волны. Выражение для а, даваемое уравнением
C.96), является приближенным: его максимальная отно-
относительная погрешность составляет 25—30%. Эта погреш-
погрешность вызвана неточностью первого приближения, возни-
возникающей из-за сравнительно большой величины параметра
малости е\ъ!сА1. Можно было бы избежать" этой неточ-
неточности, производя численное решение уравнений C.82),
C.83), но при этом мы потеряли бы физическую прозрач-
прозрачность результатов.
11. Основные характеристики рэлеевскои волны
в кристалле сульфида кадмия
Дисперсионное уравнение C.96) позволяет рассчи-
рассчитать волновое число кп рэлеевскои волны на любой ча-
частоте й и при любых заданных значениях параметров кри_;
сталла (электропроводности а0, коэффициентадиффузии.0
и т. д.). Зная волновое число ки, можно определить осталь-
остальные характеристики рэлеевскои волны, описывающие ее
упругое и электрическое поля в кристалле.
Смещения и электрические потенциалы в волне. Рас-
Рассмотрим прежде всего зависимости смещений Ux< г
и электрических потенциалов ф и ср' в рэлеевскои волне
от расстояния | z | до поверхности кристалла. Для зтого
обратимся к системе уравнений C.92). Воспользовавшись
первыми двумя уравнениями зтой системы, выразим
произвольные постоянные Аг, А3 через А-^ж подставим
полученные выражения в формулы C.88). Тогда Ux, U2, cp,
а следовательно и <р' (см. C.90)), будут определены с точ-
точностью до амплитудного множителя А1.
На рис. 3.6'и 3.7 приведены рассчитанные подобным
способом зависимости амплитуд Ux< z касательного и нор-
нормального смещений и амплитуд ср, ср' потенциалов для
рэлеевскои волны в кристалле GdS от относительного
расстояния | z |Дд до границы кристалла с вакуумом.
Амплитуды смещений отнесены к амплитуде нормального
смещения 0г @) на поверхности, а амплитуды потенциа-
потенциалов — к амплитуде ср @) потенциала на поверхности.
Кривые рассчитаны для предельного случая о*0 = 0.
Электропроводность а0 может существенно изменить элек-
электрическое "поле в^волне, но она практически не влияет
на величину и распределение смещений по глубине.
211

\z\/A.
Рис. З.6. Распределе-
Распределение амплитуд смещений
Uxz в рэлеевской волне
в кристалле CdS в зави-
зависимости от относитель-
относительного расстояния до по-
поверхности
Рис. 3.7. Распределение
амплитуд электрических
потенциалов ф, ф4' в рэ-
рэлеевской волне в кри-
кристалле CdS в зависимо-
зависимости от относительного
расстояния до поверх-
поверхности
Л/л.
Как видно из рис. 3.6, распределения смещений по
глубине в кристалле CdS очень похожи на соответственные
распределения (рис. 1.3) для изотропного твердого тела.
Это объясняется высокой симметрией плоскости, в которой
распространяется рэлеевская волна в кристалле CdS
(плоскость поперечной изотропии).
Электрический потенциал ср' в пространстве над кри-
кристаллом (рис. 3.7) быстро и плавно спадает при удалении
от границы z = 0. Потенциал ср в кристалле зависит от
глубины | z\ довольно сложным образом. Непосредственно
у поверхности кристалла он быстро спадает с глубиной,
затем осциллирует, два раза достигая минимума и макси-
максимума, и, наконец, начинает плавно уменьшаться с глу-
глубиной. Это означает, что составляющая Ег электрического
поля быстро уменьшается при удалении от поверхности
кристалла, обращаясь четыре раза в нуль в слое толщи-
толщиной ~0,7 Xr. С глубины ~ 0,7 %r начинается плавный и
сравнительно медленный спад электрического поля с рас-
расстоянием | z |.
Зависимость коэффициента затухания и фазовой ско-
скорости рэлеевской волны от частоты и иара метров кристал-
кристалла. Как следует из вывода дисперсионного уравнения,
коэффициент электронного затухания и изменение фазо-
фазовой скорости рзлеевской волны (см. C.98)) в кристалле
212
зависят от значений плотности, упругих модулей, пьезо-
пьезоэлектрических постоянных и диэлектрических проницае-
мостей. Наряду с зависимостью от таких «универсальных»
постоянных, определяемых типом и симметрией кристалла,
затухание yR и Ac/cR зависят еще от трех частот ю, &с, ©в
и параметра дрейфа ?, где ©с = °о — зт0 так называемая
частота релаксации электропроводности A/юс по порядку
величины равно времени уменьшения в е раз заряда, по-
(°J
мещенного в полупроводниковый кристалл); (Ор= v *' =
— частота диффузии электронов проводимости;
f\ikT/e
? = 1 — \ifE0/cR = 1 — vo/c°R, v0 — постоянная состав-
составляющая скорости, характеризующая движение электро-
электронов под действием постоянного электрического поля в кри-
кристалле. Частоты йс и ид во многом определяются усло-
условиями изготовления кристалла.
При изучении взаимодействия рэлеевской волны с элек-
электронами проводимости кристалла необходимо различать
два случая: взаимодействие при отсутствии в кристалле
постоянного электрического поля (Ео = 0, ? = 1) и взаи-
взаимодействие при дрейфе электронов (Ео'=/= 0, Z, Ф 1).
Рассмотрим сначала первый случай.
На рис. 3.8, а—в изображены результирующие кривые
взаимодействия при Ео = 0, т. е. рассчитанные из урав-
уравнения C.96) зависимости Аск/сд A) и yR B) от электро-
электропроводности и частоты в полулогарифмическом масштабе.
Кривые рассчитаны для трех режимов: юц = оо — диф-
диффузия электронов в кристалле отсутствует (рис. 3.8, а),
©л = 10 юс — слабая диффузия (рис. 3.8, б) и mD =
= ©с — умеренная диффузия (рис. 3.8, в).
Сразу же оговоримся, что в «высокочастотных обла-
областях» (левые участки кривых) применимость нашей теории
начинает нарушаться. Условие применимости теории
^r ^> Id можно записать в следующей форме:
C.99)
При отсутствии диффузии электронов кристалла (© = оо)
все области значений &с/(и у' кривых взаимодействия
соответствуют полной применимости теории. При (ол — &с
теория хорошо применима, когда сое ^> w (lg ©с/© S^» 0).
213

-2.2
-2,0
-/,0
J i. ¦
Рис. 3.8. Зависимости изменения фазовой скорости AcR/c° A) и элек-
электронного затухания Vr B) рэлеевской волны в кристалле CdS от
безразмерной частоты ш/шс
Как видно из графиков, при неизменной частоте ю
имеется область значений электропроводности кристалла
(юс), в которой взаимодействие рзлеевской волны с элек-
электронами максимально: коэффициент затухания волны и
быстрота изменения фазовой скорости максимальны.
214
В свою очередь, при постоянном значении юс имеется
область частот ю, соответствующая максимальному взаи-
взаимодействию волны с электронами проводимости кристал-
кристалла. Нетрудно заметить, что при увеличении коэффициен-
коэффициента диффузии электронов (уменьшении величины и>о) вза-
взаимодействие рэлеевской волны с электронами ослабевает.
Для сравнения с объемным случаем сопоставим рас-
рассматриваемую рзлеевскую волну с плоской поперечной
волной, распространяющейся в GdS по тому же направ-
направлению и имеющей вектор смещения частиц среды, парал-
параллельный оси z. Такое сравнение уместно, поскольку фазо-
фазовая скорость этой волны близка к фазовой скорости рэ-
рэлеевской волны, а смещения происходят в том же направ-
направлении, что и «основные» нормальные к поверхности сме-
смещения Uz в рзлеевской волне.
Сравнение кривых взаимодействия для указанной по-
поперечной (см. работу [178]) и рэлеевской волн показывает,
что степени взаимодействия (т. е. максимальные значения
уя и Acr/cr) для рэлеевской и объемной волн примерно
одинаковы.
Рзлеевская волна взаимодействует с электронами про-
проводимости кристалла GdS в более узкой области значений
ю-/й), чем поперечная волна. Взаимодействие сужается
из-за диффузии электронов. Действительно, при отсут-
отсутствии диффузии (©о = оо) области взаимодействия для
обоих типов волн практически одинаковы по ширине:
отношение (©с/ю)в/(©У©)н граничных значений на уров-
уровне 1/2 составляет 13,8 для рэлеевской волны и 13,5 для
поперечной волны. При ©о = ©с (умеренная диффузия)
область взаимодействия для рэлеевской волны существен-
существенно сужается: отношение граничных значений в этом слу-
случае составляет 5,0. Для поперечной волны при тех же
условиях сужение области взаимодействия незначительно:
отношение граничных значений равно 10,0. Повышенное
влияние диффузии электронов на поведение Yr> по-види-
по-видимому, вызвано неоднородностью рэлеевской волны по
глубине z (благодаря чему диффузия электронов проис-
происходит как вдоль направления распространения волны,
так и по оси z).
Значения (сос/(о)опт, соответствующие максимуму ко-
коэффициента затухания -ун, t, рэлеевской и поперечной волн
в кристалле GdS, вообще говоря, не совпадают. Различие
становится заметным при возрастании коэффициента диф-
диффузии электронов. Так, например, при wD = оо и для
215

рэлеевской, и для поперечной воли в кристалле CdS
Ыс'<й)от — 0,70, а при (O/j = (ос для рэлеевской волны
(<<>е/соHпт = 1,20, для поперечной волны ((ос/(о)ОПт = 1,55.
Указанное несовпадение приводит к различию частот (о0,
соответствующих максимумам затухания рэлеевской и
поперечной волн на единицу длины кристалла.
Зависимость коэффициента усиления и фазовой скоро-
скорости рэлеевской волны от дрейфового поля и параметров
кристалла (кривые усиления). На рис. 3.9,я, б изобра-
изображены рассчитанные по формулам C.96)—C.98) зависимо-
зависимости yR (Ео) и Acr/cr (Ео) для частоты 30 МГц при четырех
члад!ггНИЯХ электР0ПР0В0ДН0С™ ао кристалла CdS. Частота
30 МГц выбрана потому, что на ней производились опыты,
описанные в разд. 5 данной главы. Напряженность дрей-
дрейфового поля в киловольтах отложена по осям абсцисс,
коэффициент усиления (затухания) и относительное из-
изменение фазовой скорости волны — по осям ординат.
Для сравнения на рис. 3.10,я, б приведены аналогичные
зависимости для поперечной волны частоты 30 МГц,
рассчитанные нами по формулам работы [178]. При расчете
всех кривых на рис. 3.9 и 3.10 предполагалось, что под-
подвижность электронов в кристалле и, = 200 В-см2-с,
Т = 300 К, а фактор ловушек / = 1. Соответственно пара-
параметр дрейфа для рэлеевской волны ? = 1 — 1 176 Ео для
поперечной волны ? = 1 - 1,143 Ео (Ео в кВ). Заметим,
что участок ^кривой Acr/cr (Ео) в окрестности точки ? = 0
для 0 = 10 5 Ом ^см не изображен на рис. 3.9. Это
связано с обращением в нуль элемента я33 определителя
C.82) при этих условиях, благодаря чему все формулы
первого приближения в этой точке становятся не приме-
применимыми.
Как видно из рис. 3.9 и 3.10, кривые для рэлеевской и
поперечной волн весьма близки между собой и имеют сле-
следующие характерные черты. Если дрейфовое поле не очень
велико, I > 0, и волны затухают (-уд,(>0). Но при
с, < 0 коэффициент ук , становится отрицательным, что
означает «замену» затухания рэлеевской волны усиле-
усилением, происходящим за счет перекачки энергии от дрей-
дрейфующих электропов в волну. Переход от затухания к уси-
усилению происходит при так называемом критическом поле
(#о)кРит, определяемом из условия ? = 0 (или v0 = cR>().
Вообще можно выделить три характерных значения
дрейфового поля. При первом (наименьшем) значении
216
-у -3 -2 -< 0 12 3 15 (;
Тис. 3.9. Зависимости электронного усиления (затухания) yR (а) и
изменения фазовой скорости Д«я/Сд (б) рэлеевской волны от дрей-
дрейфового поля в кристалле CdS
1 — а = Ю-6 Ом-1'См-1; 2 — 5Х10-'; a — 1,41X10—«; 4 — 5
Рис. 3.10 Зависимости электронного усиления [(затухания) yt (а)
it изменения фазовой скорости Дс(/с^ (б) поперечной волны от дрей-
дрейфового поля в кристалле CdS
Обозначения те же, что на рис. 3.9

затухание волн достигает максимума. При втором значе-
значении (критическое поле) коэффициент затухания у^ t обра-
обращается в нуль, а фазовая скорость достигает минимума.
Окрестность критического поля —это область максималь-
максимального взаимодействия волны с электронами проводимости
кристалла. При третьем значении достигает максимума
коэффициент усиления волны, причем максимальное зна-
значение коэффициента усиления равно максимальному зна-
значению коэффициента затухания. Последнее обстоятель-
обстоятельство отражает важное свойство кривых усиления — их
симметричность относительно точки критического поля
? = 0. Максимальные значения коэффициентов затуха-
затухания и усиления возрастают при увеличении электропро-
электропроводности кристалла, стремясь к некоторому постоянному
пределу. Поля, соответствующие максимальному зату-
затуханию (усилению), в сильной степени зависят от электро-
электропроводности кристалла. С ростом а0 абсолютные значе-
значения этих полей возрастают. Критическое поле не зави-
зависит от о0.
Укажем, что вследствие сильной пьезоэлектрической
связи взаимодействие рэлеевской и поперечной волн
с электронами в кристалле CdS весьма велико. Так, мак-
максимальное усиление (затухание) рэлеевской волны на ча-
частоте 30 МГц составляет примерно Ю^см.
Глава IV
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РЭЛЕЕВСКИХ ВОЛЫ
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
СТРУКТУРЫ СФАЛЕРИТА (ГРУППА А3В5)
Распространение объемных (продольных и попереч-
поперечных) волн в кристаллах структуры сфалерита, в частности
в арсениде галлия, и их взаимодействие с электронами
проводимости исследовалось как теоретически, так и эк-
экспериментально (см., например, работы [160, 179, 180]).
В работе [180] было получено усиление ультразвуковых
волн'в частотном диапазоне 30—90 МГц. Поверхностные
(рэлеевские) волны в кристаллах структуры сфалерита
довольно подробно рассмотрены в теоретическом плане
218
[12, 181] и гораздо менее детально в экспериментальном
[182, 183].
В настоящей главе, следуя работам [12, 181], мы рас-
рассмотрим рэлеевские волны в кристаллах структуры сфа-
сфалерита с учетом их пьезосвойств и электропроводности.
12. Уравнения и их решения
Кристалл GaAs (для определенности мы будем везде
в этой главе говорить о GaAs, помня, что все уравнения
и расчетные формулы применимы для любого кристалла
структуры сфалерита) гексатетраэдрического класса сим-
симметрии имеет структуру_сфалерита, или цинковой обман-
обманки (формула симметрии 43 т, см. [160]). Такая структура
характеризуется следующими тензорами постоянных кри-
кристалла (предполагается, что оси х, у, z направлены по
ребрам куба): тензором упругих модулей cilt
си
с,> О О О
с и с„ с,., 0 0 0
с12 си сп 0 0 0
0 0 0 с41 0 0
0 0 0 0 с44 0
0 0 0 0 0 с44
пьезоэлектрических постоянных
0 0 0 е14 О О
C.100)
0 0 0
0 0 0
0
C.101)
0 е14
диэлектрической проницаемости
0 fii 0
0 0 ьп
Численные значения постоянных кристалла GaAs, ис-
используемые нами для дальнейших расчетов, содержатся
в работах [184, 185].
219
C.102)

Будем считать, что кристалл граничит с вакуумом
вдоль плоскости 2 = 0 (рис. 3.11), а рэлеевская волна
распространяется по направлению диагонали в этой плос-
плоскости (простейшее направление в кристалле, по которому
рассматриваемая поверхностная волна является пьезо-
активной, т. е. сопровождается квазистатическим пьезо-
полем). В системе координат х, у, z (рис. 3.11) у плоской
Рис. 3.11. Рэлеевская
волна в кристалле ар-
сенида галлия
z
/
\ \
X
Л
/
/
/,
рэлеевскои волны будут отличны от нуля все три компо-
компоненты смещений Ut, причем Ux = Uy = Uilyl, где
Ui — смещения вдоль направления распространения
волны.
Используя выражения C.100)—C.102) для тензоров,
перепишем уравнения C.68), C.70) в развернутом виде:
dx*
^+С12
/ d<1U ,
l—H-
\дх ду ' дх ду
дц1
дх ду
дх dz
+ 2eu
dydz '
у
dz2
дх ду ду dz
2е
14
dxdz
C.103)
d"-Uz
ду dz
дх* '
JL_DA)U =
Oxdz ' dydz ]
дхд,, '
220
Здесь U = 2еи
dydz ^ dxdz ' dxdyj' v—^k^-
Будем искать решение уравнений C.103) в форме
= Uy = jl= o.vp
А, (,, + у) _ и
Uz =-JL exp ^fe + A (x + y) - i
C.104)
Ф = -
exp
hkz + y=(x + y) — Ш~\ ,
где к — неизвестное волновое число; р — функция к;
А, В, С — произвольные постоянные. Подставляя выра-
выражения C.104) в уравнения C.103), получим систему трех
линейных однородных алгебраических уравнений отно-
относительно А, В, С:
+
рм2
1_В*—-^-U —i
Си
fp(i + ^-U-fi-^-i
с44
C.105)
— В
Приравнивая нулю определитель Дх этой системы,
будем иметь уравнение для нахождения функций |3 (к).
Проводя вычисления, аналогичные описанным в разд. 9,
получим, что рэлеевскои волне соответствуют три функции
Р(*):
Pi = Pi° + 61, Р2 = Pa + б2, рз = 1 + б,. C.106)
Здесь р5 2 — соответствующие корни для рэлеевскои волны
в кристалле GaAs при отсутствии пьезоэффекта (е]4 = 0),
определяемые из уравнения
2с
1—В2 —
А2с44
с44
C.107)
221

Малые поправки,
«u - 4 (f,i2J«.,,
C44
«,,/(t>?,s>~ J '
C.108)
гДе dik — элементы определителя А]( вычисленные соот-
соответственно при Р = pf или р = $. Для рз, как и в слу-
случае GdS, в первом приближении по малому параметру
еи/сц (в котором проводится весь численный расчет) до-
достаточно ограничиться нулевым приближением, полагая
Рз = 1.
После вычисления р1>2 3 две из трех произвольных по-
постоянных А, В, С можно выразить через третью из двух
первых уравнений системы C.105):
C.109)
Здесь обозначено:
44 <-44
C.110)
C12 V I /O2
X
P2-
pCO2
В итоге получим общее решение уравнений C.103) в виде
з
n=l
C.111)
где Ап — произвольные постоянные. Формулы C.111) по-
показывают, что, как и в кристалле CdS, смещения и элек-
222
трический потенциал в волне состоят из трех парциальных
волн, которые имеют тот же физический смысл (см. разд. 3).
Для электрического потенциала q/ в пространстве
над кристаллом решение уравнения C.15) можно записать
в форме
= -?- С охр [ -кг + ^=
C.112)
где С — произвольная постоянная.
13. Дисперсионное уравнение
Для нахождения волнового числа к рэлеевской волны
обратимся к граничным условиям. Из граничного усло-
условия C.77) получим то же соотношение C.90), что и для
кристалла GdS. Остальные четыре граничных условия
C.71), C.77) с учетом равенств C.12), C.13), выражений
C.100)—C.102) для тензоров и формул C.111) приводят
к системе линейных однородных уравнений относительно
амплитуды Ап:
Л=о,
+¦
Р„"
= 0.
Приравнивая нулю определитель полученной системы
уравнений, будем иметь дисперсионное уравнение для к:
1^/1 = 0, C.114)
где
223

Д(р) ,
C.115)
4я A i
a) (? -\-ik:2D/
-Pl) Ac(Pfc)
4я
Д (Рк) J *
Будем искать решение этого уравнения в форме C.95).
Выполняя вычисления, аналогичные описанным для GdS,
получим для поправки к волновому числу дисперсионное
соотношение
/ 3,379со„До \ е?.
['., 3,256Па = 0,393-^-1 +
, Гпй^й ЛП//Ч- I @,032 + 0,716.) сос/Ш-|.
+ 0,658 — 0,0443; -| =—— — Ох +
_ D . C.116)
+ [-0,658 - 0,0443* + (°'032,1°.'!|!1) Мс/@1 6;
^
+ @,426 + 0.17Ш) ^1 =?-)J.
Здесь обозначено: б1>2 = б1< 2 при а0 = 0;
; = (—1,05 + 0,327i)'— х
си
X 1 +
сос/(о
@,865 — 0,425(") со/Ид — 0
',883?| J '
2 = (— 1,05 — 0,3270— X
с^4
X
1 +
@,865+ 0/25i) со/сор-
- 0,883?i J •
224
При выводе этого уравнения использовались полученные
нами характерные параметры нулевого приближения
(е14 = 0), приведенные ниже:
-j, см-сг»
2,862
0,732
0,501+0,4801 0,501—0,480i
1,00
Коэффициент электронного затухания 7л и изменение
фазовой скорости рэлеевской волны Acr/сд даются выра-
выражениями C.98). Поскольку значение малого параметра
elJca для кристалла GaAs составляет 3,65-10, сум-
суммарная относительная ошибка в определении а сущест-
существенно меньше, чем для кристалла CdS, и составляет
приблизительно 10"а.
14. Основные характеристики рэлеевской волны
в кристалле арсенида галлия
Смещения и электрические потенциалы в волне. Рас-
Рассмотрим зависимости смещений Ux, y< z и потенциалов ф
и ф' в рэлеевской волне от расстояния | г | до поверхно-
поверхности кристалла. Для этого обратимся к системе уравне-
уравнений C.113). Воспользовавшись первыми двумя уравне-
уравнениями этой системы, выразим произвольные постоянные
A2t 3 через Ах и подставим полученные выражения в фор-
формулы C.111). Тогда все смещения и потенциалы будут
определены с точностью до амплитудного множителя Ах.
На рис. 3.12 и 3.13 приведены рассчитанные подобным
образом зависимости амплитуд касательного U = y2Ux =
= YWy и нормального U2 смещений и амплитуд элек-
электрических потенциалов ф, ф' в рэлеевской волне от отно-
относительного расстояния до поверхности кристалла. Ампли-
Амплитуды смещений отнесены к амплитуде нормального смеще-
смещения на поверхности Uг @), а амплитуды потенциалов —
к амплитуде ф @) потенциала на поверхности. Кривые
рассчитаны для предельного случая а„ = 0. Как и в кри-
кристалле GdS, электропроводность а0 может существенно
изменить электрическое поле в волне, но она практиче-
практически не влияет на величину и распределение смещений по
глубине.
Анализируя кривые, прежде всего отметим, что рас-
рассматриваемая рэлеевская волна в кристалле GaAs явля-
является обобщенной поверхностной, т. е. в составляющих ее
8 f И- А. Викторов
225

Рис. 3.12. Распределение
амплитуд касательного
U и нормального Ог
смещений в рэлеевской
волне в зависимости от
относительного расстоя-
расстояния до поверхности кри-
кристалла GaAs
Рис. 3.13. Распределе-
Распределение амплитуд электри-
электрических потенциалов ф и
ф' в рэлоевской волне в
кристалле GaAs в за-
зависимости от относи-
относительного расстояния до
поверхности
парциальных волнах упругое поле спадает при удалении
от поверхности не плавно, а с осцилляциями (комплекс-
(комплексные величины Р1J). Поэтому зависимость суммарного
упругого поля смещений от глубины тоже имеет колеба-
колебательный характер, хотя осцилляции здесь очень сглажены.
Если не принимать во внимание указанные осцилля-
осцилляции, то зависимость смещений от глубины в кристалле
GaAs, как и в кристалле CdS, имеет много общего с ана-
аналогичной зависимостью для изотропного полупростран-
полупространства (см. рис. 1.3, а). Это объясняется высокой симметрией
кристалла и направления распространения рэлеевской
волны в нем.
Электрический потенциал ф' в пространстве над кр№
сталлом быстро и плавно спадает при удалении от границы
z = 0. Это показывает, что электрическое поле в вакууме
сосредоточено в более тонком поверхностном слое, чем
в кристалле. Потенциал ф в кристалле вблизи самой по-
поверхности сначала быстро спадает с глубиной, затем до-
достигает минимума и максимума и начинает стремиться к
226
нулю с очень слабыми осцилляциями при | z | > 1, 1Яд.
Это означает, что составляющая электрического поля Ez
максимальна на поверхности кристалла и быстро убывает
при удалении от нее, обращаясь два раза в нуль в слое
толщиной ~0,6 Xr. С глубины ~0,6 Хц начинается мед-
медленный и почти плавный спад поля Ег с расстоянием J z j.
Зависимость коэффициента затухания и фазовой ско-
скорости рэлеевской волны от частоты и параметров кри-
кристалла (кривые затухания). Прежде чем перейти к ана-
анализу кривых затухания и усиления рэлеевских волн в
кристалле GaAs, отметим, что сопоставление дисперсион-
дисперсионных уравнений C.116) и C.96) для кристаллов GaAs и
CdS показывает, что взаимодействие рэлеевских волн с
электронами в кристалле GaAs определяется теми же
факторами, что и в кристалле CdS (новая кристалличе-
кристаллическая структура здесь не вносит качественных изменений).
На рис. 3.14 представлены результирующие кривые
взаимодействия рэлеевской волны с электронами при
отсутствии в кристалле дрейфового поля: рассчитанные
из уравнения C.116) зависимости Аск/с°к A) и ук B) от
электропроводности и частоты в полулогарифмическом
масштабе. Кривые рассчитаны для трех режимов: сод =
= оо — диффузия электронов в кристалле отсутст-
отсутствует (рис. 3.14, а), сод = сос — умеренная диффузия
(рис. 3.14, б), сод =0,1сос — большая диффузия (рис. 3.14, в).
Как и в кристалле CdS (см. разд. 3), при конечных зна-
значениях сод в высокочастотных областях кривых приме-
применимость теории начинает нарушаться. При сод = сос тео-
теория хорошо применима, когда lg coc/w > 0, а при сод =
= 0,1сое область хорошей применимости теории опреде-
определяется соотношением lg coc/w > 0,50.
Сопоставим изображенные на рис. 3,14 кривые с ана-
аналогичными кривыми для кристалла CdS (рис. 3.8) и с
кривыми взаимодействия объемных волн с электронами
в GaAs (см. [178]). При этом (по тем же причинам, что и
для кристалла CdS) в качестве объемной волны в GaAs
для сопоставления целесообразно выбрать плоскую по-
поперечную волну, распространяющуюся в том же направ-
направлении (НО), что и рэлеевская волна, и имеющую вектор
смещений частиц, параллельный оси z. Нетрудно заме-
заметить, что качественный ход всех указанных зависимостей
одинаков, однако в количественном отношении кривые
взаимодействия рэлеевской волны с электронами в GaAs
имеют свою специфику.
8*
227

-~ 7
Рис. 3.14. Зависимости изменения фазовой скорости Лсд/сд (./)
и электронного затухания yR (~) рэлеевской волны в кристалле
GaAs от безразмерной частоты со/со с
В кристалле GaAs рэлеевские волны взаимодействуют
с электронами проводимости существенно слабее, чем
поперечные: их затухание уя и изменение фазовой ско-
скорости Acr/cr примерно в два раза меньше соответствующих
величин для поперечных волн. В кристалле GdS при ма-
малой диффузии электронов (сод ^» сое) степени взаимодей-
взаимодействия почти одинаковы. По-видимому, причиной этого
является то обстоятельство, что в кристалле GaAs взаи-
взаимодействие рэлеевской волны с электронами- осуществ-
осуществляется только через сдвиговые компоненты U[m(l Ф т)
тензора деформаций, а в кристалле GdS и через сдвиговые,
и через продольные U ц (см. уравнения C.103), C.79) и
соответствующие тензоры епт кристаллов GaAs и GdS).
Как и в кристалле GdS, диффузия электронов очень
интенсивно влияет на взаимодействие рэлеевской вол-
волны с электронами GaAs. Как видно из сопоставления
рйс. ЗЛА, а и в, она уничтожает взаимодействие при со > сое
и сильно уменьшает его на всех остальных частотах,
в том числе и в области со <^ со с- Для поперечных
объемных волн в GaAs последнее не наблюдается. Веро-
Вероятная причина повышенной (по сравнению со случаем
объемных волн) роли диффузии электронов при взаимо-
взаимодействии рэлеевской волны с электронами проводимости
кристалла та же, что и для GdS.
Наконец, отметим еще, как и в кристалле GdS, несов-
несовпадение значений (сос/соHпт1 соответствующих максимуму
коэффициента затухания yr,( рэлеевской и поперечной волн.
Различие довольно существенное при большой диффузии.
Так, например, прж cod = ОДсос для рэлеевской волны
(сос/ю)опт = 3,80, а для поперечной (сос/соHпт = 5,30.
Зависимость коэффициента усиления и фазовой ско-
скорости рэлеевской волны от дрейфового поля и параметров
кристалла (кривые усиления). На рис. 3.15, а, б изобра-
изображены кривые усиления рэлеевской волны в кристалле
GaAs, рассчитанные на основе дисперсионного уравнения
C.114). Подвижность электронов [X считалась равной
4000 В-см2-с, Т = 300 К, фактор ловушек / был при-
принят равным единице. При этом связь ? и Ео (в кВ) дава-
давалась следующим простым соотношением: ? = 1—14 Ео.
Кривые рассчитаны для двух случаев: сод = оо (рис.3.15, а)
и сод = со (рис. 3.15, б). В каждом из случаев рас-
рассчитан ряд кривых, соответствующих разным значе-
значениям отношения сос/со электропроводности кристалла к
частоте. Для сравнения на рис. 3.16, а, б приведены кри-
229

вые усиления поперечных волн, рассчитанные при тех же
условиях по формулам работы 1178].
Как и в кристалле GdS, качественно кривые усиления
для рэлеевских и поперечных волн весьма сходны. Од-
Однако в количественном отношении эти кривые существен-
существенно различаются. Прежде всего максимальные значения
коэффициентов усиления (затухания) для рэлеевской вол-
волны в два раза меньше, чем для поперечной. Это обстоятель-
обстоятельство является следствием уже отмеченного более слабого
взаимодействия рэлеевской волны (по сравнению с по-
поперечной) с электронами проводимости кристалла.
Далее, при отсутствии диффузии электронов в кри-
кристалле (сод = оо) и малых значениях электропроводности
(О < сос/со < 0,5) максимальные значения коэффициен-
коэффициента усиления (затухания) достигаются для рэлеевской вол-
волны при меньших значениях t, (меньшие дрейфовые поля),
чем для поперечной. С увеличением электропроводности
кристалла эти максимальные значения очень быстро воз-
возрастают, стремясь к предельному значению, соответствую-
соответствующему «насыщению». Иными словами, зависимость коэффи-
коэффициента усиления (затухания) рэлеевской волны от ? и
сое/к» в области малых значений этих параметров очень
резкая. Для поперечной волны эта зависимость сглажен-
сглаженная. Так, при coc/w =0,1 максимальное значение yR для
рэлеевской волны составляет 0,84 от предельного значе-
значения и достигается при ? = ±0,17. Для поперечной
волны соответственное значение 7г составляет лишь 0,42
от предельного и достигается при ? = + 0,50. При coc/w ^>
> 0,5 зависимости у (?) и Ac/c°R (Q для рэлеевской и по-
поперечной волн примерно одинаковы.
При существовании в кристалле диффузии электронов
(см. рис. 3.15, б и 3.16, б) наблюдается обратная картина.
При всех значениях параметра сос/со (в том числе и при
0 < сос/со < 0,5) зависимости коэффициента усиления
(затухания) у и изменения фазовой скорости Ac/cr от Z,
и сос/со для рэлеевской волны более сглаженные, чем
для поперечной. Максимальные значения у достигаются
для рэлеевской волны при больших дрейфовых полях
(большие ?) по сравнению с соответствующими полями
для поперечной волны, а стремление максимальных значе-
значений к пределу при росте coc/w происходит для рэлеевской
волны медленнее, чем для поперечной. Это означает, что
и при наличии в кристалле дрейфового поля влияние диф-
230
-В ¦ S i -¦» -3 -2, -1
о,5 o,f 0,3 о, г o,i
-0,1 -O,Z -0,
5
f
-0,1 -0,2 -0,3 ?0,кВ
Рис. 3.15. Зависимости электронного усиления (затухания) yR и из-
изменения фазовой скорости Дсд/сд рэлеевской волны от дрейфо-
дрейфового поля в кристалле GaAs при ш/ш^, = 0 (а) и (о/шй= 1 (б)
1 — (ос/ш = 0,1; 2 — 0,5; 3 — 1,25; 4 — 2,0,- i — 3,0

a.
-0,1 -0,2 -0,3?0,лЪ
-5 , -f -
0,14
0,1
-0,1 -0,2 ~J;J?0!nn
0,3 0,2
Рис. 3.16. Зависимости электронного усиления (затухания) yt и из-
изменения фазовой скорости Ас(/с° поперечной волны от дрейфового
поля в кристалле GaAs при и/ид = 0 (а) и и/шв = 1 (б)
Обозначение те щс, что на рис. 3.15
фузии электронов на их взаимодействие с рэлеевской вол-
волной существенно сильнее, чем аналогичное влияние в
случае поперечной волны. При этом усиленная роль диф-
диффузии электронов кристалла в процессе их взаимодейст-
взаимодействия с рэлеевской волной при дрейфе электронов проявля-
проявляется еще сильнее, чем без него.
Глава V
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
С ЭЛЕКТРОНАМИ В КРИСТАЛЛАХ CdS
15. Импульсный режим усиления
Усиление поверхностных рэлеевских волн постоян-
постоянным электрическим током (дрейфовым полем), являющееся
наиболее интересным аспектом взаимодействия этих волн
с электронами, наблюдалось и изучалось целым рядом
авторов [13, 16, 18, 163, 166, 186-190].
Мы проведем здесь краткое рассмотрение этого вопроса
на основе работ [13, 187], которые являются первыми
подробными исследованиями в этой области: в них уси-
усиление поверхностных рэлеевских волн в сульфиде кад-
кадмия детально изучается и сопоставляется с усилением
объемных волн в тех же кристаллах.
Основной целью экспериментов по исследованию уси-
усиления рэлеевских волн было получение зависимости
коэффициента усиления (затухания) волн от дрейфового
поля при различных значениях электропроводности о
кристалла. Усиление и затухание, как обычно, определя-
определялось по отношению к уровню темнового сигнала. Темно-
вые сигналы соответствовали малым значениям а, при ко-
которых влияние электронов на ультразвуковые волны' в
CdS было пренебрежимо мало и можно было считать коэф-
коэффициент у равным нулю (в области ат амплитуды волн
переставали зависеть от электропроводности кристалла).
Для выяснения особенностей взаимодействия рэлеевских
ноли с электронами параллельно исследовалось усиление
(затухание) поперечных волн в тех же кристаллах.
233

Опыты проводились на образцах 1 и 2 кристаллов GdS,
изготовленных в ВНИИмонокристаллов (г. Харьков)
методом, описанным в работе [191]. Образцы имели форму
прямоугольных параллелепипедов со следующими разме-
размерами li вдоль осей х, у, z (z — гексагональная ось): 1Х =
= 52,0, 1у = 11,52, lz = 11,55 мм (образец 1); 1Х = 28,4,
1у — 12,11, lt — 12,15 мм (образец 2). Образцы были
желтого цвета, прозрачные. Их электропроводность о
менялась в зависимости от освещения в пределах 1СГ10—
—• 1СГ2 Ом-см. Эффективная дрейфовая подвижность
\i составляла приблизительно 140 см-с-В. Рэлеевские
волны распространялись в плоскостях ху кристаллов;
а поперечные — вдоль осей у с направлением смещений
частиц в волне параллельно осям z. Поверхности ху об-
образцов были хорошо обработаны.
Коэффициенты усиления (затухания) измерялись в
импульсном режиме на частоте ~ 30 МГц при длитель-
длительности импульсов 2—3 мкс для рэлеевских волн и 1—2 мкс
для поперечных волн. На рис. 3.17 приведена схема
эксперимента. Дрейфовые электроды, служащие для со-
созданий в поверхностном слое кристалла постоянного элект-
электрического поля Ео, наносились на плоскость ху путем на-
напыления индия и представляли собой две параллельные
полоски шириной 1,5 мм, находящиеся на расстоянии
7 мм друг от друга. Кристалл освещался ртутной лампой
ДРШ-500, причем засвечивалась только узкая полоска
(поверхностный слой 0,5 мм) между электродами. Осталь-
Остальная часть кристалла была закрыта непрозрачным экра-
экраном. Такое освещение позволяло локализовать электроны
проводимости кристалла (созданные светом) в поверхно-
поверхностном слое между дрейфовыми электродами и этим до-
достигнуть постоянства напряженности Ео по координате х
(в пределах 10%). Для развязки импульсов дрейфового
поля и импульсов с частотой заполнения 30 МГц, подавае-
подаваемых на излучатель через коаксиальный кабель, использо-
использовались индуктивность L и емкости С.
Электронная часть схемы для измерения усиления
поперечных волн была точно такая же, за исключением
развязки, которая осуществлялась там акустическим
способом: с помощью двух кубических буферов из плав-
плавленого кварца, между которыми был зажат кристалл CdS.
Дрейфовое поле подавалось на кристалл через индиевые
электроды на его торцах, а поперечные волны распростра-
распространялись через систему буфер — кристалл — буфер (эта
234
Рис. 3.17. Схема опыта по измерению электронного усиления (зату-
(затухания) рэлеовских волн
1 — задающий генератор, запускающий схему и вырабатывающий импульсы
синхронизации; 2 — генератор импульсов прямоугольной формы с синусои-
синусоидальным заполнением; 3 — усилитель; 4 — осциллоскоп; 5 — генератор
импульсов дрейфового поля; 6 — кристаллический образец; 7 — гребен4атые
излучатель и приемник рэлеевских волн; 8 — дрейфовые электроды
часть схемы была заимствована нами из [192]). Грани
кристалла и буферов были параллельны с точностью
± 5 мкм. Все акустические контакты осуществлялись
тонкими пленками эпоксидной смолы без отвердителя.
На рис. 3.18—3.21 приведены результаты измерений.
На рис. 3.18 и 3.19 представлены кривые усиления рэле-
рэлеевских (рис. 3.18, а, 3.19, а) и поперечных (рис. 3.18, б,
3.19, б) волн в образцах 1, 2 соответственно. По осям
обсцисс отложена напряженность дрейфового поля в кри-
кристалле в киловольтах, по осям ординат — коэффициенты
усиления (затухания) в дБ/см. Длина пути в кристалле,
на которой происходило усиление рэлеевских волн, со-
составляла 7 мм, для поперечных волн эта длина равнялась
11,5 мм (образец 1) и 9,4 мм (образец 2). Каждая кривая
на рисунках соответствует определенному значению электро-
электропроводности а кристалла. Области значений а выбира-
выбирались с таким расчетом, чтобы получить максимальные на
данной частоте значения коэффициентов усиления волн
в кристалле. На каждом из рисунков имеется по две тео-
теоретических кривых, соответствующих граничным (макси-
235

- -40
- -60
- -SO
Рис. 3.18. Зависимость коэффициентов электронного усиления (за-
(затухания) рэлеевских (а) и поперечных (б) волн от дрейфового поля
в образце 1
а: 1 — а = 6,7-10-»; 2 — 7,5-10-'; з — 8,8-10-'; 4 — 1,7• i0—"; 5 — 2,1-10-';
в —2,3-Ю-1 Ом-'см-'; 6: j — а = 2,1-10-»; 2 — Я, 1-10~»; 3 — 1,6-10-»;
4 — 2,1 • 10—3; 5 — 3,5-10-*; 6 — 7,5-10-» Ом-'-см; Г и б' — теоретические
кривые
-/о
-so -
Рис. 3.18 (окончание)
мальному и минимальному) значениям электропроводно-
электропроводности для данного типа волн в данном образце. Эти кривые
нанесены тонкими сплошными линиями (чтобы не увели-
увеличивать существенно размер рисунка, масштаб изменения
Vr,( отложен для них на правых осях ординат).
На рис. 3.20 и 3.21 изображены кривые усиления шу-
шума в образцах 1 и 2 соответственно при различных значе-
значениях электропроводности образца (рис. 3.20, а, 3.21, а —
опыты с рэлеевскими волнами, рис. 3.20, б, 3.21, б —
опыты с поперечными волнами). Под шумом здесь по-
понимаются тепловые колебания решетки кристалла, уси-
усиленные дрейфовым полем (волны Дебая). Естественно, что
шумы измерялись в полосе пропускания нашей схемы
237

-ft? -
Рис. 3.19, Зависимость коэффициентов электронного усиления (за-
(затухания) рэлеевских (а) и поперечных (б) волн от дрейфового поля
в образце 2
а: 1 — а — 2,.1-Ю-6: г — .4,2-10-°; з — i,:M(|-5; 4 — 2,В-10-=: д -_ 3,5-10—»
6 — .'i,0-II)-5: 7 — 8,0 ¦ 10—ь Ом-'-см-1: 1' и 7' —теоретические кривые- E
7 — а = 2,1-10-»; 2 ¦- Я.2-1П-": л — 5,2-1П-«: 4 — 1.Ч-К)-»- 5 — lB-ib"»
в — 2,0-10-'; 7 — 2,6-10-»; « — 4,2-10-» Ом-'-см-1; У и «' — теоретические
кривые
-iff -
Рис. 3.19 (окончание)
6 ?„, кЬ/си ,
B8—32 МГц). Уровень шума N, отложенный на рисун-
рисунках по осям ординат, представляет собой 20 lg еш/е0, где
еш — ЭДС, развиваемая шумовым сигналом на приемнике;
е0 — некоторый постоянный уровень (ЭДС темпового сиг-
сигнала поперечных волн в образце 1).
Анализируя кривые на рис. 3.18—3.21, можно кон-
констатировать следующее.
239

S
, хв/i
cm
-4o
-so
-so
x J
о 4
л f
n g
2 t0> к
о 4
A f
a if
-20
/I/, вВ/си
Рис. 3.20. Зависимость уровня шумового сигнала при усилении рэ-
рэлеевских (я) и поперечных (б) волн от дрейфового поля в образце i
Обозначения те же, что па рис. 3.18
1. И для рэлеевских, и для поперечных воли соответ-
соответствие экспериментальных] и теоретических кривых уси-
усиления носит только качественный характер. Для опытов
с объемными волнами такое расхождение теории и экспе-
эксперимента типично (см., например, [178, 192]) и объясняет-
объясняется рядом причин: неоднородностью кристалла, наличием
в нем ловушек, отличием подвижности электронов от ее
расчетного значения и т. д. Следует ожидать, что причи-
причины расхождения теории с экспериментом для рэлеевских
волн те же. Характерно, что степень различия экспери-
экспериментальных и теоретических кривых для рэлеевских волн
несколько меньше, чем для поперечных: эксперименталь-
вые кривые для рэлеевских волн по форме ближе к теоре-
теоретическим.
2. Наблюдаемая на опыте интенсивность взаимодейст-
взаимодействия рэлеевских волн с электронами проводимости кри-
кристалла не меньше (а в образце 2 даже существенно боль-
240
М., 36/м
/7
-
а
х"
—--,
X
W
L
D 4
х 6
ч
а "
1 [ 1 1 !
, ВБ/см
i
1
-
I
7
/
Г
j/.
и
г
1
\
\
¦
X
А
+
ч
S
7
S
У
4
4
Рис. 3.21. Зависимость уровня шумового сигнала при усилении рэ-
рэлеевских (а) и поперечных (б) волн от дрейфового поля в образце 2
Обозначения те же, что на рис. 3.19 (9 — а =- 3,5-10~5 Ом-'-см)
ше), чем для поперечных воли: максимальные значения
коэффициентов усиления рэлеевских воли 29 дБ/см (об-
(образец 1) и 58 дБ/см (образец 2), а поперечных волн
26,5 дБ/см (образец 1) и 35 дБ/см'(образец2). Согласно те-
теории указанные интенсивности должны быть примерно оди-
одинаковы. Возможно, что болыпие'значения коэффициентов
усиления рэлеевских волн (по сравнению с поперечными)
связаны с большей однородностью кристалла в случае
усиления рэлеевских волн, когда неоднородность по коор-
координате z не проявляется. Большие значения коэффициен-
коэффициентов усиления рэлеевских волн открывают широкие воз-
возможности для практического использования эффекта уси-
усиления этих волн.
3. Электропроводности, при которых достигается мак-
максимальное усиление рэлеевских волн A,7• 10~4 Ом 2-см
в образце 1 и :
венно больше
5-Ю Ом^-см
соответствующих
в образце 2), сущест-
электропроводностей
241

B,1 -Ю-5 Ом^-см в образце i и ~2-1СГ5 Ом^-см
в образце 2) для поперечных волн. Между тем согласно
теории области значений электропроводности, в которых
должно наблюдаться максимальное взаимодействие волн
с электронами кристалла (как в режиме затухания, так
и в режиме усиления), для рэлеевских и поперечных волн
на частоте 30 МГц примерно совпадают. Это означает, что
максимальные значения коэффициентов усиления рэлеев-
рэлеевских и поперечных волн должны достигаться при одина-
одинаковых значениях электропроводности кристалла. Наибо-
Наиболее вероятной причиной наблюдаемого различия является
отличие электропроводностей поверхностных слоев кри-
кристаллов, в которых локализованы рэлеевские волны
(~60 мкм), от электропроводностей объемов кристаллов:
электропроводности поверхностных слоев образцов су-
существенно меньше электропроводностей объемов.
4. В образце 1 уровень шума при усилении рэлеев-
Ских волн меньше, чем при усилении поперечных волн.
В образце 2 уровни шумов при усилении рэлеевских и
поперечных волн, хотя и почти одинаковы, но вследствие
большего значения коэффициента усиления рэлеевских
волн соотношение сигнал—шум при усилении рэлеевских
волн по-прежнему существенно лучше, чем при усилении
поперечных волн. Благодаря этим обстоятельствам шумы
не оказывают столь существенного влияния на усиление
импульса рэлеевских волн, как на усиление импульса
поперечных волн. Для поперечных волн при некоторых
значениях электропроводности кристалла и дрейфового
поля Ео наблюдается очень сильное взаимодействие сиг-
сигнала с шумом. Это приводит к наличию у кривых усиле-
усиления сигнала (см. рис. 3.18, б и 3.19,6) участков, где при
увеличении напряженности электрического поля в кри-
кристалле усиление временно перестает расти и даже умень-
уменьшается (наиболее ярко это выражено у кривой 6 на
рис. 3.18, б). Связь указанной особенности кривых усиления
поперечных волн с взаимодействием сигнала и шума была
впервые установлена авторами работы [193].
Помимо сравнительно низкого уровня шума, очень
важным для практического использования усиления рэ-
рэлеевских волн является следующее обстоятельство. При
усилении рэлеевских волн шумам негде «накапливаться»,
поскольку шумовой сигнал (как и полезный), пройдя
однократно путь от излучателя до приемника практи-
практически полностью поглощается приемником и частью кри-
242
сталла, расположенной за ним, а не отражается обратно
с коэффициентом, примерно равным 0,7 (по амплитуде),
как это происходит при усилении поперечных волн.
Вследствие этого при увеличении длительности импульса
дрейфового поля (или при переходе к непрерывному ре-
режиму) эффект накопления шума для рэлеевских волн
должен быть выражен довольно слабо.
16. Непрерывный режим усиления
Для целого ряда акустоэлектронных устройств и при-
приборов весьма интересным представляется получение и
исследование непрерывного режима усиления звуковых
поверхностных волн дрейфом электронов в полупровод-
полупроводниковых кристаллах. Эта экспериментальная задача рас-
рассматривалась в ряде работ [14, 15, 166, 194]. Приведем
здесь схему опыта и основные результаты такого исследо-
исследования, основываясь на работе [14].
Авторы работы [14] изучали непрерывный режим уси-
усиления рэлеевских волн в фоточувствительном монокри-
монокристалле CdS (темновая электропроводность 10~9Om~1-cm,
электропроводность при освещении 10Ом-см). На
рабочую поверхность усилителя (рис. 3.22) перпендику-
перпендикулярно оси z наносились гребенчатые металлические элек-
электроды для возбуждения и приема рэлеевских волн. Между
ними на расстоянии 4 мм друг от друга располагались
индиевые электроды для создания дрейфового поля. По-
Помимо тонкой механической полировки и обезжиривания,
никакой дополнительной обработки рабочей поверхности
не проводилось.
Гребенчатые электроды возбуждали рэлеевские волны
на различных частотах в диапазоне от 30 до 240 МГц. Эф-
Эффективное возбуждение волн удавалось осуществить
только при затемнении электродов. Оптимальные электро-
электропроводности кристалла для усиления на указанных час-
частотах составляли 10~3—10~4 Ом-см. Дрейф электро-
электронов осуществлялся постоянным электрическим полем.
На рис. 3.22 приведены экспериментальные зависи-
зависимости коэффициента электронного усиления yR рэлеевских
волн на частоте 173 МГц и рассеиваемой в образце мощно-
мощности постоянного тока Р от дрейфового напряжения Vo.
Как видно из графиков, усиление чрезвычайно резко ра-
растет при переходе дрейфовым полем критического значе-
243

200
400
Рис. 3.22. Схема эксперимента и зависимости коэффициента усиле-
усиления рэлеевских волн 7л и рассеиваемой в образце мощности Р от
дрейфового напряжения Fo
1 — ул в импульсном'режиме; 2
рывном режиме
Yjj в непрерывном режиме; з — Р в непре-
непрения и составляет примерно 100 дБ/см. Мощность постоян-
постоянного тока при этом Р ~ 120 мВт.
Для сравнения были проведены эксперименты и по
усилению в импульсном режиме. Результаты представле-
представлены также на рис. 3.22. Из сопоставления кривых усиле-
усиления для непрерывного и импульсного режимов видно, что
критическое поле в непрерывном режиме несколько боль-
больше, чем в импульсном. Это, по-видимому, объясняется
уменьшением подвижности вследствие разогрева образца
постоянным дрейфовым полем. Подвижность ц,, найденная
по величинам дрейфового поля, составляла в импульсном
и постоянном режимах усиления 110 и 90см2/В-с соответ-
соответственно.
Отметим некоторые характерные особенности непре-
непрерывного режима.
1. Оптимальная электропроводность образца могла
быть реализована и при подсветке его белым светом,
однако фоточувствительное затухание звука было обнару-
обнаружено лишь при длине волны подсветки Ясв = 5200 А.
Использование такой подсветки существенно снизило
джоулевы потери в усилителе.
2. Верхняя граница усиливаемых частот составляла
200—250 МГц, что объясняется наличием приповерхно-
приповерхностного слоя, нарушенного механической обработкой.
Такой слой вносит неэлектронное затухание, которое воз-
244
растает с уменьшением длины волны. Кроме того, припо-
приповерхностный слой обладает еще и меньшей фоточувстви-
фоточувствительностью по сравнению с объемом. Следует добавить,
что создание специально легированного поверхностного
слоя толщиной порядка нескольких микрон позволило
бы, во-первых, избежать подсветки усилителя, во-вторых,
расширило бы частотный диапазон и придало усилителю
компактность и практическую законченность.
3. Установлено, что шумы в усилителе являются по-
поверхностными и однопролетными. При увеличении длины
области взаимодействия рэлеевской волны с электронами
отношение сигнал—шум уменьшается. По оценкам при
оптимальной длине области взаимодействия шум на 50 дБ
ниже уровня сигнала.
4. Усилитель описываемого типа обладает значитель-
значительной стабильностью свойств по сравнению с усилителем
с разделенными областями дрейфа носителей заряда и
распространения звука (о последнем типе «слоистого»
усилителя см. в гл. VI). Это связано с тем, что в слоистых
системах «возбуждение» полупроводника происходит извне.
При переменных от точки к точке электрофизических
свойствах полупроводника в области' пространственного
заряда усиление там начинается при одном и том же поле
во всем объеме области пространственного заряда. С точки
зрения взаимодействия волн это означает, что в полупро-
полупроводнике возбуждается единая волна плотности носителей.
Естественно, что затухание и скорость этой^волны суще-
существенно зависят от свойств непосредственно границы полу-
полупроводника, которая нестабильна вследствие контакта с
окружающей средой.
Глава VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ЗВУКОВЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
С ЭЛЕКТРОНАМИ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
В 1964.г. Ю. В. Гуляев и В. И. Пустовойт в работе
[28] предложили усиливать поверхностную волну Лява
электрическим током в полупроводниковых пьезокристал-
лах некоторым оптимальным способом: «разнося» дрейф
электронов и пьезополе в волне в разные среды (слоистая
245

система полупространство—слой), специально подобран-
подобранные для зтих целей (при таком способе параметры сред
легче подобрать нужным образом). Идея о взаимодействии
звуковых поверхностных волн с электронами в слоистых
системах получила развитие в большом числе работ (см.,.
например, [195—200]) и в настоящее время широко ис-
используется в акустозлектронике [166]. При этом рассмат-
рассматриваются и используются не только волны Лява, но и
рзлеевские волны и Другие типы поверхностных волн.
Рассмотрим здесь кратко зтот вопрос, следуя работе
[28]. Пусть над полупроводником, занимающим полупро-
полупространство z> 0, находится пластинка (слой) толщины h
из пьезоэлектрического диэлектрика (см. рис. 1.8). В та-
такой системе возможно распространение волн Лява, опи-
описанных в разд. 6 первой части. Единственные отличные от
нуля компоненты смещения по оси у в пьезодиэлектриче-
ском слое (индекс 1) и в полупроводниковом полупро-
полупространстве (индекс 2) описываются выражениями A.32),
а дисперсионное уравнение имеет форму A.31). Эти соотно-
соотношения применимы, конечно, пока мы пренебрегаем влия-
влиянием пьезоэффекта и анизотропией рассматриваемых
упругих сред 1 и 2.
Поскольку пластинка (слой) является пьезодиэлек-
трической, то распространение поверхностной волны Лява
сопровождается синфазно бегущим квазистатическим
пьезополем, которое проникает во вторую среду (полупро-
(полупроводник). Как легко показать [201], в квазигидродинами-
квазигидродинамическом приближении проникновение электрического поля
в полупроводниковое полупространство z ^> 0 описыва-
описывается следующим множителем:
где
Л [1 — (Л2 — к2) l2D] e~Hz — ке
l + кчъ
„-Az
/2
lD
C.117)
C.118)
Id — дебаевский радиус экранирования (см. формулу
3.64); ут — тепловая скорость носителей; v0 — скорость
дрейфа носителей; с — фазовая скорость волны; к —
волновое число; v — эффективная частота столкновений.
В случае вырожденных полупроводников, когда хТ <^
«^ еу (где Bf — фермиевская энергия; Т — абсолютная
246
температура; х — константа Больцмана), вместо щ вхо-
входит vtl\/'S(vF — фермиевская скорость). Отсюда видно,
что глубина проникновения электрического поля волны
в полупроводник определяется наименьшей из величин:
дебаевским радиусом или длиной волны.
Решая систему уравнений движения, уравнений пьезо-
эффекта и уравнений Максвелла для обеих граничных
сред (решение проводится аналогично описанному в гла-
главах III, IV данной части) и удовлетворяя граничным
условиям на плоскости z = 0, можно получить диспер-
дисперсионное соотношение; ноторое отличается от уравнения
A.31) малыми поправками, пропорциональными квад-
квадрату коэффициента электромеханической связи К2:
#а = J?I?L<^1, (ЗЛ19)
Здесь ё — компонента тензора пьезоэлектрических по-
постоянных, приводящая к появлению продольного электри-
электрического поля в поперечной волне Лява. Решение диспер-
дисперсионного уравнения определит вещественную и мнимую
части волнового числа. Выражение для мнимой части име-
имеет следующую форму:
;. TS1 8!821тФ /"(СО, fr)
+ 8з) Ф - П
kh
kh>i, C.120)
где Ф = А (А- + k)l%; F (ш, к) — некоторая действитель-
действительная положительная функция и и А, по величине близкая
к 1; к — волновое число волны, определяемое без учета
пьезосвойств слоя из дисперсионного уравнения A.31).
В качестве множителя Im Ф содержит выражение
A — vjc) и, следовательно, при vo^> с поглощение должно
смениться усилением: рассматриваемая поверхностная
волна Лява будет нарастать. Анализ показывает, что
коэффициент усиления на заданной частоте существенно
зависит от концентрации носителей п0 в полупроводнике:
при малых п0 имеем Irak ~ д0, при больших п0 будет
Im к ~ 1/и0. Наоборот, при заданной концентрации но-
носителей частотная характеристика усиления имеет мак-
максимум.
Мы рассмотрели случай, когда над полупроводником
находился слой пьезодиэлектрика. Однако возможна и
другая геометрия системы, а именно когда над пьезоди-
электриком находится слой полупроводника. Можно по-
показать, что и в этом случае глубина проникновения элек-
247

трического поля при kh > 1 будет такой же, и окончатель-
окончательное выражение для Im к будет отличаться от C.116) только
видом функции F (ш, к), которая по величине по-прежне-
по-прежнему близка к 1.
Отметим, что при рассматриваемом способе усиления
звуковых поверхностных волн мощность, выделяемая в
единице объема полупроводника, может быть значительно
снижена, если использовать полупроводник с большой
подвижностью носителей. Так, для чистых образцов InSb
при щ ~ Ю^см и подвижности 104см2-В-с рассеи-
рассеиваемая мощность составит около 0,1 Вт/см3, что значи-
значительно меньше, чем при усилении в CdS.
Приведенное здесь квазигидродинамическое рассмотре-
рассмотрение взаимодействия поверхностной волны с электронами
справедливо, когда дебаевский радиус и длина волны
много больше длины свободного пробега носителей. Одна-
Однако, можно думать, что качественно все результаты со-
сохраняются и при нарушении этого условия.
Глава VII
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЯХ КРИСТАЛЛОВ
В данной главе мы рассмотрим поверхностные волны с
вертикальной и горизонтальной поляризациями, распро-
распространяющиеся по цилиндрическим поверхностям кри-
кристаллов (главным образом пьезоэлектрических) в направ-
направлении, перпендикулярном образующей (ось z), и представ-
представляющие собой обобщение соответствующих решений для
изотропного случая (см. разд. 7 главы I). Впервые вопрос
о возможности существования таких волн и их характер-
характерных свойствах был в общем плане рассмотрен в работах
[85, 202—208]. Приведем основные результаты этого ис-
исследования.
Будем понимать здесь под поверхностными волнами
строгие решения уравнений теории упругости, пьезо-
эффекта и уравнений Максвелла, удовлетворяющие гра-
граничным условиям и принципу погашаемое™ [79]. Возмож-
Возможность существования таких решений для кристаллической
среды является не вполне тривиальным фактом, посколь-
поскольку поверхностная волна в кристалле, распространяясь
по 9 (рис. 3.23), непрерывно изменяет направление своего
248
волнового вектора к, оставаясь неизменной (несмотря на
анизотропию). Необходимым условием существования
указанных решений является, очевидно, такая симметрия
кристалла, при которой в нем существует плоскость,
изотропная для волновых движений с данной поляриза-
поляризацией.
17. Волны с вертикальной поляризацией
Рассмотрим плоские поверхностные волны, распрост-
распространяющиеся в направлении 0 по свободной поверхности
г = R цилиндра (см. рис. 3.23) и имеющие две отличные
от нуля компоненты смещений Ur,
Uq (Ux, Uy в прямоугольных коор-
координатах). Необходимое условие су-
существования для них будет выполне-
выполнено, если плоскость z = const явля-
является в кристалле плоскостью, где вол-
волновые движения с компонентами
Ux, иу распространяются по всем
направлениям с одинаковой ? ско-
скоростью. Этому условию удовлетво-
удовлетворяют все среды с плоскостью попе-
поперечной изотропии [209], т. е. кри-
кристаллы структуры вюрцита (груп-
(группа А2В6): CdS, CdSe, ZnO, ZnS...
(ось z в этом случае должна совпа-
совпадать с гексагональной осью кристалла), продольно (по
оси z) поляризованная керамика ВаТЮ3 и другие такие
пьезокерамики.
Рассмотрим в качестве примера волны в кристаллах
структуры вюрцита (дигексагонально-пирамидальный
класс симметрии, формула симметрии 6 mm). Поскольку
эти кристаллы обладают пьезосвойствами, то, помимо урав-
уравнений движения, должны быть выполнены уравнения
пьезоэффекта и уравнения Лапласа. В общем виде эти
уравнения имеют форму C.11) —C.14) (без ограничения
общности мы предполагаем здесь, что кристалл является
изолятором). Для плоской волны с вертикальной поля-
поляризацией (d/dz = 0, Uz = 0) с учетом конкретного вида
тензоров упругих модулей, пьезоэлектрической постоян-
постоянной и диэлектрической проницаемости в кристаллах струк-
структуры вюрцита (см. разд. 1 данной главы) из уравнений
кристалла

C.11)—C.14) получим
д2ич дЧ1 г с d2U
2 ду2
дх2
дх2
= 0.
2
2
дх ду
дх d\j
C.
C.
121)
122)
123)
Здесь ф — электрический потенциал. Выражения для
компонент напряжений Tilc приобретают вид
dUx dU d(J д1/„
^ух = Сп-^- + С12-^-, Туу = Сп-^- +
дх
дх
у
1 ху—
Ох
дх
rrt Уф
xz 15 ~дх '
C.124)
C.125)
ду
C.126)
Из уравнений C.121) —C.123) и выражений C.124) —
C.126) для напряжений видно, что рассматриваемые вол-
волны не пьезоактивны: электрические поля и смещения в
них не связаны, и мы можем положить ф = 0. Далее из со-
соотношений C.121) —C.125) следует, что для рассматривае-
рассматриваемых волн как смещения, так и напряжения Тхх, Туу, Тху,
фигурирующие в граничных условиях (Тгг и Тгв выра-
выражаются через них), зависят только от двух модулей сп
и с12 и заменой с12 = Я, сп = К + 2\i (где Я и ц, —пара-
—параметры Ламе) соотношения C.121) —C.125) сводятся к изо-
изотропному случаю.
Таким образом, по цилиндрическим поверхностям
анизотропных сред, обладающих плоскостью поперечной
изотропии, перпендикулярной оси z (ем. рис. 3.23), в
направлении, перпендикулярном образующей, могут рас-
распространяться те же типы поверхностных волн, что и в
изотропных средах: 1) волны типа рэлеевских на выпуклой
и вогнутой цилиндрических поверхностях; 2) поверхност-
поверхностные волны не рэлеевского типа на цилиндре; 3) поверхност-
поверхностные волны рэлеевского типа на цилиндрических поверхнос-
поверхностях, граничащих с жидкостью; 4) поверхностные волны на
250
границе цилиндрической поверхности с твердым или жид*
ким слоем; 5) волны типа Стоунли. Наконец, отметим еще,
что в твердом анизотропном цилиндрическом слое с ука-
указанной симметрией могут, как и в изотропном случае [7],
существовать волны лэмбовского типа.
18. Волны с горизонтальной поляризацией
Рассмотрим теперь поверхностные волны, распрост-
распространяющиеся вдоль цилиндрической поверхности опять по
направлению 0, но имеющие лишь одну, отличную от
нуля компоненту смещения Uz (Ux = Uy = 0, д/dz = 0,
см. рис. 3.24, где изображен вырезаемый из кристалла
цилиндр и направление распространения волн).
Необходимое условие существования данных попереч-
поперечных волн будет выполнено, если в рассматриваемой среде
плоские поперечные волны с компонентами смещений,
параллельными оси z, распространяются в плоскости
z = const по всем направлениям с одинаковой фазовой ско-
скоростью. Такое условие выполняется по крайней мере в
трех случаях: 1) если среда имеет плоскость поперечной
изотропии z = const (например, кристаллы структуры
вюрцита CdS, CdSe, ZnO, ZnS, вырезанные, как показано
на рис. 3.24, поляризованная керамика BaTio3 и другие
пьезокерамики); 2) если кристалл является кубическим
и ось z параллельна одному из ребер куба (например, крис-
кристаллы структуры сфалерита CaAs, InSb, InAs и др.);
3) если кристалл является тетрагональным (напри-
(например, рутил) и ось z параллельна оси 4. Последовательный
анализ уравнений и граничных условий для данных сим-
симметрии показывает, что в указанных случаях поверхност-
поверхностные волны существуют.
Если среды с данной симметрией не обладают пьезо-
свойствами, то указанные волны в них полностью совпа-
совпадают с поперечными поверхностными волнами на изот-
изотропном цилиндре (см. разд. 7 глава I; следует только
положить с44 = ц,). Пьезоэффект вносит ряд особенностей
в эти волны. Поэтому мы рассмотрим их здесь подробнее
на примере кристалла с плоскостью поперечной изотро-
изотропии (CdS для определенности). Помимо волн на цилинд-
цилиндре (выпуклая цилиндрическая поверхность), проведем
также рассмотрение волн для вогнутой цилиндрической
поверхности.
251

Рис. 3.24. Выпуклая (а) и вогнутая (б) поверхности цилиндрических
образцов кристаллов
Итак, пусть по поверхности бесконечного анизотроп-
анизотропного цилиндра, граничащего с вакуумом, или вакуумной
цилиндрической полости кругового сечения в бесконеч-
бесконечной среде в положительном направлении 6 распространя-
распространяется плоская гармоническая поперечная волна. Такая
волна характеризуется смещением Uz (r, 6, t), электри-
электрическими потенциалами ср (г, 8, t) в кристалле (пьезополе)
и ф0 (г, 6, t) в вакууме. Будем искать их в .форме
Uг, Ф, Фо = иг (г), ф(г), фо(г) exp \i(pQ —
C.127)
где р — угловое волновое число, р = 2nR/X = kR;
% — длина пространственной периодичности на поверх-
поверхности цилиндра. Будем рассматривать решение в беско-
бесконечном угловом интервале —оо <^ 0 <^ +оо, считая
ось г = О линией разветвления бесконечного порядка.
При этом р может быть и целым, и дробным (здесь мы пол-
полностью используем подход, развитый нами в разд. 7 гл.1
для описания волн на цилиндрических поверхностях
изотропного твердого тела). Уравнения C.11), C.14) для
Uг и ф и уравнение Лапласа для ф0 с учетом цилиндриче-
цилиндрической симметрии задачи и симметрии кристалла принимают
вид
C.128)
C.129)
C.130)
252
где A = ^
r~i~) +
~д? ~ опеРатоР Лапласа. Из всех
r2 dQ2
компонент тензора механических напряжений в нашем
случае будет отлична от нуля только одна:
9Uг 9ф ,о ло4\
1 Слл —т. -р в]5 —5— * 10.1О 1 }
ZT ОГ ОТ '
Граничные условия задачи сводятся к равенству нулю
этого напряжения, к непрерывности тангенциальной
составляющей вектора электрического поля и нормальной
составляющей вектора электрической индукции, т. е.
соотношениям при г — R
— п 9ф дср0 ,„ igoi
В случае выпуклой цилиндрической поверхности
решение уравнений C.128)—C.130), удовлетворяющее
граничным условиям C.132) и принципу погашаемости
[79], имеет вид
C.133)
= АУР (ktr) exp И (р8 - (ot)\,
A^ [Лр (ktr) — mrP] exp [i (PQ — at)],
exp [i(p6 —
Здесь
m = R- '"*"-
2PJp
C.134)
$p (hr) — функция Бесселя порядка р; А — произволь-
произвольная постоянная. Связь углового волнового числа р с
ktR дается дисперсионным уравнением, получаемым, как
обычно, из граничных условий. После ряда преобразо-
преобразований это уравнение приводится к форме
Jp+i (ktR)/JP-i (ktR) = A - б)/A + б), C.135)
Ые\, Г /, Але2лу1
где б=—— (en-fl)lH — —безразмерная ве-
t'llc44 L \ ellc44 /J
личина, которая при малом значении квадрата коэф-
253

фициента электромеханической связи К\ъ = Anelb/enc4i
равна примерно К\ь1(ги + 1).
При отсутствии в кристалле пьезосвойств решение
C.133) и уравнение C.135) переходят в соответствующие
выражения A.138) и A.139) для изотропного цилиндра.
Учтем теперь влияние пьезоэффекта. Если квадрат коэф-
коэффициента электромеханической связи К\ъ <^ 1, то, как
непосредственно видно из выражения для kt (см. соотно-
соотношения C.134)), пьезоэффект увеличивает фазовую ско-
скорость и уменьшает волновое число плоской поперечной
объемной волны в 1
5/2 раз, т.
7.0 А 1
— /cf A ^- -
15
где k°t — волновое число без учета пьезоэффекта. Для
поперечных поверхностных волн различных номеров
величина добавок к фазовой скорости и волновому чис-
числу из-за пьезоэффекта зависит от области на соот-
соответствующей дисперсионной кривой, т. е. от JctR. Для
областей асимптотического стремления с —v ct («хвосты»
дисперсионных кривых па рис. 1.27) вместо ktR/p =
= c/ct -v 1 с пьезоэффектом будет c/ct -»- 1 + 28. Это
непосредственно видно из уравнения C.135), которое по-
показывает, что связь р с kfR изменяется от введения пье-
пьезоэффекта только вследствие замены свободного члена,
равного без пьезоэффекта единице, на 1/A+26). Таким
образом, в этих областях эффективный коэффициент элект-
электромеханической связи КЭф для поперечных поверхностных
волн будет с точностью до членов ~ {К\ъJ такой же, как
для плоской поперечной волны (под ^эф мы здесь понимаем
величину 2Лс/с° = 2(с — с°)/с°, где с и с0 — соответствен-
соответственно фазовые скорости поверхностной волны, рассчитан-
рассчитанные с учетом и без учета пьезоэффекта).
Рассмотрим подробнее влияние пьезоэффекта на по-
поперечную поверхностную волну первого номера. При
ktR ^> 1 пьезоэффект существенно изменяет поведение
этой нормальной волны. Без пьезоэффекта эта волна при
kfR-^y оо стремится к плоской однородной поперечной вол-
волне, распространяющейся вдоль плоской границы твер-
твердого полупространства с вакуумом, причем всегда ее фа-
фазовая скорость с ^> С( (см. рис. 1.27). При наличии пье-
пьезоэффекта фазовая скорость с, начиная с некоторого зна-
значения ktR, становится меньше с(, а волна при ktR —»- оо
стремится к слабонеоднородной по г поверхностной волне
254
Гуляева—Блюстейна. Используя для функций Бессёля,
входящих в дисперсионное уравнение C.135), асимпто-
асимптотическое представление через полусходящиеся ряды Де-
бая, можно показать, что при р ^> B,5/бK волновое число
имеет вид
1/26
C.136)
Из данного выражения видно, что на волну действуют два
фактора: пьезоэффект, замедляющий ее фазовую ско-
скорость, и кривизна, увеличивающая фазовую скорость.
Влияние кривизны весьма сильное, поскольку коэффи-
коэффициент 1/26 ^1>1. Интересно, что при некотором значении
ktR влияние этих факторов взаимно компенсируется
(k = kt) и волна, будучи поверхностной, т. е. неоднород-
неоднородной по г, распространяется со скоростью плоской одно-
однородной поперечной объемной волны.
Для вогнутой цилиндрической поверхности решение
уравнений C.128) —C.130), удовлетворяющее граничным
условиям и принципу погашаемости [79], имеет вид
Uz = AHf (ktr) exp
(Ot)],
ф = A
tr) — mir-p] exp [i (p0 — to*)]. C.137)
г1' exp [i (pQ — cot)],
тг = R" ¦
где Hp\ktR) — функция Ганкеля первого рода поряд-
порядка р. Дисперсионное уравнение приводится к форме
% (ktR) =
- 6).
C,138)
Данное уравнение не имеет вещественных, но имеет
множество комплексных корней [210]. Поверхностной
волне, которая при «распрямлении» поверхности перехо-
переходит в волну Гуляева—Блюстейна, аналогично нормальной
волне первого номера на выпуклой цилиндрической по-
255

верхности соответствует только один комплексный корень
р = р1 + фг = (&i + ^г) ^ (остальные корни имеют
большие мнимые части и соответствуют существенно выте-
вытекающим волнам). Как и для волн рэлеевского типа на во-
вогнутой цилиндрической поверхности (см. разд. 18 первой
части), комплексность корня указывает на то, что попереч-
поперечная поверхностная волна при распространении излучает
энергию вглубь среды. При kfR -»- оо это излучение ис-
исчезает и волна переходит в волну Гуляева—Блюстейна
на плоской поверхности кристалла или (при отсутствии
пьезоэффекта, е15 = 0) в обычную объемную поперечную
волну.
При больших ktR (p ^> B,5/бK), проводя вычисления,
аналогичные выполненным в разд. 18 первой части для
волны рэлеевского типа, получим следующие выражения
для к1J:
s A + 26) exp [Arth (s/ft)] — exp [— Arth i
 A + 26) exp [— Arth (s/pj] -f- exp [Arth (
X exp [2 (.<? — рг Arth (s/pt))],
C.139)
где s = У k\ — k\. Отсюда видно, что в отличие от слу-
случая выпуклой поверхности (см. C.136)) кривизна умень-
уменьшает фазовую скорость поверхностной волны. Что ка-
касается затухания, то при ktR ^> 1 оно здесь существенно
больше, чем для волн рэлеевского типа на вогнутой цилинд-
цилиндрической поверхности. Действительно, поскольку практи-
практически всегда б <^1, к2 — kt82 exp (—83ktR). Для волн рэле-
рэлеевского типа соответственно к2 ~ kt exp (—ktR).
Увеличение затухания поперечных поверхностных волн
объясняется тем, что эти волны локализованы в значи-
значительно более толстом слое, чем рэлеевекие, и излучение
энергии в них (происходящее на глубине из-за~расхожде-
ния волновых фронтов, направленных вдоль радиусов)
происходит, начиная с тех глубин, где энергия еще ве-
велика.
Рассмотрим теперь кратко поперечные поверхностные
волны в кубических, гексагональных и тетрагональных
кристаллах и текстурах. Будем считать, что ось z совпа-
совпадает с осью симметрии высшего порядка в кристалле. Произ-
Производя вычисления, можно показать, что для выпуклой цилин-
цилиндрической поверхности решение, описывающее такие вол-
ны (и аналогичное решению C.133) для кристаллов с плос~
костью поперечной изотропии), имеет вид
-У <Ъ г\
exp [i(pQ — (ot)],
I
x
— at)],
C,140)
Фо =
Дисперсионное уравнение имеет форму C.135), только
под б теперь следует понимать выражение
6 =
15
C.141)
где К\ъ — Ые\ь1гпсы, Кги = Апе^/гпСи. При условиях
у = ktR !> 1, | Рп — у | = О (уУ>), где рп — угловое
волновое число для ге-й поперечной нормальной вол-
волны, следуя итерационному методу, изложенному в работ-
[210], можно получить асимптотические решения ураве
нения C.135) в двух предельных случаях.
Первый предельный случай б (y/2)l/t <^ 1. Здесь ре-
решение имеет вид
ёп
60
C.142)
где gn — ге-й корень производной от функции Эйри
А[ (g1), n~ 1, 2, 3. . .
Второй предельный случай | б (у/2I''1 | ^> 1. Здесь воз-
возможны два варианта. Если б >• 0, то
Рп-1(У) =
I °n
И. А. Виктород
2 2Ьу)
?п\ 2
60 [ у
C.143)
C.144)
257

где gn — га-й корень функции Эйри At (g), n = 1, 2, 3. . .
Если б < 0, то корня с асимптотикой C.143) не сущест-
существует и все асимптотические решения уравнения C.135)
даются формулой C.144), где jon_i нужно заменить на рп.
Выражения C.140)—C.144) описывают поперечные
поверхностные волны на цилиндрических поверхностях
гексагональных и тетрагональных кристаллов и текстур
следующих классов: 1) 4mm, 6mm, oom (е1Ъ Ф 0, еы =0);
2) 422,622, оо 2 (е16 = 0, еы Ф 0); 3) 4,6, оо (е1Ь ф 0, е14 Ф
Ф 0). Как видно из формул, в этих кристаллах сущест-
существуют волны двух типов: волны с «обычным» пьезоэффек-
том и волны с существенно «поверхностным» пьезо-
эффектом. В волнах первого типа (ей = 0, е1Ъ Ф 0) пьезо-
поле слагается из объемной составляющей, пропорцио-
пропорциональной деформации в волне (первый член в выражении
C.140) для ф), и поверхностной составляющей (второй
член в выражении C.140) для ф). Объемная составляющая
аналогична пьезополю в объемных волнах. Поверхностная
составляющая вызвана связанными поверхностными заря-
зарядами, возникающими при деформации в поверхностной
волне.
Пьезоэффект в волнах второго типа (е15 = 0, еи ф 0) —
это особый вид пьезоэффекта, который, насколько нам
известно, применительно к упругим волнам в кристаллах
до сих пор не рассматривался. Его воздействие на волну
принципиально связано с наличием у кристалла границы.
Для объемных волн в таких кристаллах пьезосвойства
полностью отсутствуют, поскольку объемные деформации
не сопровождаются появлением электрического поля.
Однако смещение границы кристалла в поверхностной
волне приводит к появлению на ней связанных поверх-
поверхностных зарядов и соответственно электрического поля,
локализованного у поверхности. Волна в принципе ста-
становится пьезоактивной, причем для заметной пьезоактив-
цости необходима соизмеримость глубин локализации
упругого и электрического полей в волне, а это как раз и
имеет место в случае поперечных поверхностных волн на
цилиндрической поверхности. Действительно, npnktR ^> 1,
как следует из C.140), глубина локализации механичес-
механических смещений ~ (ktRy^/kt, а электрического поля
~ Rip ~ 1//с(. Таким образом, в целом ряде кристаллов,
где объемные волны непьезоактивны, поперечные поверх-
поверхностные волны на цилиндрических поверхностях об-
обладают заметной пьезоактивностью.
258
Рис. 3.25. Зависимости квадратов коэффициентов электромеханиче-
электромеханической связи для трех первых нормальных волн от kfR в кристаллах
класса 6 mm
Количественно влияние пьезоэффекта на поверхност-
поверхностные волны можно характеризовать, как уже отмечалось,
величиной К1Ф = 2 (с — с°)/с°. На рис. 3.25 изображены
зависимости К2Эф (у) для нормальных волн трех первых но-
номеров в кристаллах первой (кривые 1, 2, 3) и второй
(кривые 1\ 2', 3') групп. К первой группе относятся твер-
твердые тела, у которых е14 = 0, е1Ъ Ф 0, ко второй — твер-
твердые тела с еи Ф 0, е1Ь = 0. Кривые нормированы по
К\ьA,2,3)тпоК1(Г, 2', 3').
Из рис. 3.25 видно, что пьезоэффект, как и в случае
объемных волн, всегда увеличивает фазовую скорость
поверхностной волны. Однако степень влияния пьезоэф-
пьезоэффекта на волну, т. е. величина ^эф, зависит не только
от вида волны и симметрии кристалла (как у объемных
волн), но, как уже отмечалось, и очень существенно от
кривизны поверхности. При увеличении кривизны К%ф
возрастает и для кристаллов первой группы может за-
заметно превышать К\ъ — квадрат коэффициента электро-
электромеханической связи для объемных волн (это может быть
полезно при возбуждении поверхностных волн и их
электронном усилении). В целом ^эф для поверхностных
волн в кристаллах первой группы существенно больше,
9* 259

Чем КЭф для этих же волн в кристаллах второй группы.
Основной причиной является различная глубина лока-
локализации электрического поля в волнах. В кристаллах
первой группы (при объемном пьезоэффекте) электриче-
электрическое поле в волне локализовано на той же глубине Hh
что и упругое C.140), т.е. Н — yxltlkt. В кристаллах
второй группы (с поверхностным пьезоэффектом) электри-
электрическое поле в поверхностных волнах локализовано на
глубинах h ~ Ilk — IIku а упругое — на глубинах —Н.
Поскольку обычно на практике ktR = у ^> 1, то Н ^> h,
т. е. поток электрической энергии в волнах для кристал-
кристаллов второй группы меньше, чем для первой, что и дает
сравнительную малость К2Эф. Можно показать, что от-
отношения (К1ф)У(К1ф)и для указанных групп кристаллов
имеют порядок Hlh. При распрямлении цилиндрической
поверхности (ktR —> оо) пьезосвойства у поверхностных
волн в кристаллах второй группы пропадают (h/H—>0),
а в кристаллах первой группы значения К1ф, как уже
отмечалось, стремятся с точностью до членов —б2 к со-
соответствующим значениям для плоских поперечных объ-
объемных волн.
Отметим, что металлизация цилиндрической поверх-
поверхности кристалла полностью устраняет влияние поверх-
поверхностного пьезоэффекта на волны в кристаллах второй
группы.
Как видно из соотношений C.140), C.135), у поверх-
поверхностных волн в кристаллах классов 4,6, оо (е14 ф 0,
е1ъ ф 0) (например, в кристалле LiIOs) решение для элек-
электрического поля является суперпозицией решений, со-
соответствующих обычному и существенно поверхностному
пьезозффекту. Принципиально новых особенностей зто
не вносит, однако некоторые новые свойства волн при
этом появляются. Так, например, поскольку одна ком-
компонента электрического поля синфазна с полем упругих
смещений и локализована в слое глубиной Н — yx''/kt,
а другая компонента локализована в слое h — l/kt и
сдвинута относительно первой по фазе, фаза электриче-
электрического поля в волне меняется вдоль радиуса, что соответ-
соответствует искривлению фронта волны с глубиной (т. е. фронт
волны не параллелен радиусу).
Одной из наиболее существенных особенностей, вно-
вносимых пьезоэффектом в распространение поперечных
поверхностных волн, является анизотропия. Как показано
260
в начале данного раздела, в кубических и тетрагональных
кристаллах классов 23,43m, 42m(GaAs, InSb, Bi12Ge020
и др.) без учета пьезосвойств задача о распространении
поперечных поверхностных волн по цилиндрической по-
поверхности сводится к изотропному случаю. Пьезоэффект
в кристаллах этой группы вносит анизотропию, приводя
к неоднородности условий распространения по направле-
направлению. Математически задача сильно усложняется.
19. Экспериментальное изучение поверхностных волн
на цилиндрических поверхностях
В настоящее время существование поверхностных волн
обеих поляризаций на цилиндрических поверхностях
кристаллов подтверждено экспериментально в работах
[204, 205]. Кроме того, имеются работы (см., например,
[211, 212]) по применению таких волн в циркуляционных
ультразвуковых линиях задержки на большую длитель-
длительность. Изложим здесь основные результаты работ [204,
205].
Начнем с волн вертикальной поляризации. Эти волны
наблюдались на выпуклой цилиндрической поверхности
кристалла CdS. На рис. 3.26 изображена акустическая
часть экспериментальной установки. На плоской поверх-
поверхности бруска 1 из CdS с помощью системы гребенчатых
электродов 2 возбуждался импульс рэлеевских волн пря-
прямоугольной формы с длительностью 3 мкс и частотой
заполнения 2,7 МГц. К кристаллу 1 с помощью тонкого
слоя салола приклеивался цилиндр 3 из сульфида кад-
кадмия диаметром 8,5 мм и длиной 7 мм. Ось z цилиндра была
параллельна гексагональной оси кристалла. Оба кристал-
кристалла были изготовлены во ВНИИ монокристаллов методом,
описанным в работе [191]. Плоские и цилиндрические по-
поверхности кристаллических образцов были оптически
полированными, а торцы цилиндра были параллельны
с точностью не хуже 30'.
Рэлеевская волна, распространяясь через границу
кристаллов 1, 3, частично трансформировалась в волну
рэлеевского типа на цилиндре (с компонентами смещений
Uт, Uц), которая неоднократно обегала цилиндр, а на
границе каждый раз частично трансформировалась в
рэлеевскую волну на плоской поверхности. Импульсы
рэлеевских волн, прошедшие «на прямую», после пробега
по цилиндру регистрировались приемной системой эле~
261

Рис. 3.26. Схема акустической части экспериментальной установки
1 — кристалл CdS с плоской границей; 2, 4 — металлические гребенчатые
электроды; 3 — Цилиндр из Сульфида кадмия
ff,i
0,1
/,г ft-r)/X.
Рис. 3.27. Теоретическая A) и экспериментальная B) зависимости
амплитуды нормированного радиального смещения в поверхностной
волне рэлеевского типа в CdS от глубины
i - urjVr (о);
г-
¦г
— г=Л/2
ктродов 4. Кроме того, волна на цилиндре регистриро-
регистрировалась еще методом дифракции света. Поляризованный
в вертикальной плоскости параллельный пучок света от
гелий-неонового лазера с помощью специальной диафраг-
диафрагмы освещал заключенный между двумя радиусами учас-
262
ток торца цилиндра шириной 2 мм и высотой h = 0,26 мм
(заштрихованная область на рис. 3.26). Освещаемый
участок мог перемещаться по радиусу к центру цилиндра.
Дифракционная картина в зоне Фраунгофера наблю-
наблюдалась в плоскости фотокатода ФЭУ-28, сигнал с которого
подавался на осциллограф. При указанной геометрии
компонента смещения Ur в поверхностной волне должна
была создавать дифракцию с поворотом плоскости по-
поляризации светового пучка. И, действительно, такая
дифракция наблюдалась в виде двух симметричных мак-
максимумов с угловым расстоянием Лф = Ясв/Яд, где Ясв —
длина световой волны.
Для доказательства того, что волна на цилиндре яв-
является поверхностной, с помощью дифракции света сни-
снималось распределение амплитуды радиального смещения
в волне от относительного расстояния (R—г)/Яй до
поверхности. На рис. 3.27 изображены указанные зависи-
зависимости. Теоретическая кривая A) рассчитывалась по фор-
формулам A.92) для смещений в рэлеевской волне в изотроп-
изотропном цилиндре, для экспериментальной кривой B) норми-
нормированная амплитуда радиального смещения U,/Ur @)
(где Ur @) — амплитуда на поверхности) вычислялась
[213] как квадратный корень из отношения интенсивно-
интенсивности света в первом дифракционном максимуме к интен-
интенсивности в нулевом, деленный на такую же величину
вблизи поверхности (на глубине, равной половине ши-
ширины световой щели, h/2 = 0,13 мм). Как видно из гра-
графиков, в пределах точности наших измерений —30%
(это вызвано в основном небольшими размерами освещен-
освещенной области в длинах Ян и ее искривленностью) ход эк-
экспериментальной и теоретической зависимостей примерно
одинаков и демонстрирует поверхностную локализацию
исследуемой волны.
Определялись также фазовые и групповые скорости
поверхностных волн на плоской и цилиндрической по-
поверхностях CdS, Групповые скорости измерялись импульс»
ным методом, фазовая скорость на цилиндрической по-
поверхности определялась методом дифракции света на
звуке (по отклонению дифракционного луча). Для груп-
групповых и фазовых скоростей получены следующие значе-
значения: плоская поверхность сд = сф = сгр = A,71 + 0,07)-
• 105 см/с (этот результат хорошо согласуется с данными
других авторов [170, 214]), цилиндрическая поверхность
с R = 6,7 Яй (kRR = 42) сф = A,8 + 0,2)-106 см/с;
263

сгр = A,72 + 0,05)-105 см/с. Это качественно согласует-
согласуется с теорией волн на цилиндрических поверхностях изо-
изотропного твердого тела (см. разд. 18 первой части), со-
согласно которой для волн рэлеевского типа на выпуклых
цилиндрических поверхностях Сф/сд = 1 + 6, где б ^> 0
и б — i/kRR, а сгр = сд с точностью до членов A/7сд7?J.
Таким образом, экспериментальные данные подтвер-
подтверждают возможность существования поверхностных волн
рэлеевского типа на цилиндрических поверхностях кри-
кристалла сульфида кадмия.
Обратимся теперь к волнам горизонтальной поляри-
поляризации, экспериментальное подтверждение существования
которых на выпуклой цилиндрической поверхности
кристалла CdS изложено в работе [205]. Опыты проводи-
проводились с цилиндрическим образцом кристалла CdS, изго-
изготовленным по методу, описанному в [191]. Длина цилиндра
равнялась 12,9 мм, диаметр D = 11,2 мм. Ось z цилиндра
была параллельна гексагональной оси кристалла. Все
поверхности образца были оптически полированы. Электро-
Электропроводность образца в зависимости от его освещенности
менялась в пределах 1СГ2 — 10~7 Ом-см. На боковой
поверхности цилиндра были изготовлены методом фото-
фотолитографии две системы двухфазных гребенчатых элек-
электродов — излучатель 1 и приемник 2 (рис. 3.28), нахо-
находящиеся на расстоянии L = 6 мм один от другого. Из-
Излучатель и приемник имели по три пары электродов,
параллельных оси z, длина которых (апертура) составляла
7 мм, ширина 0,2 мм, расстояние между соседними элек-
электродами равнялось 0,4 мм.
Для возбуждения поперечных поверхностных волн
на излучатель подавались электрические импульсы пря-
прямоугольной формы с синусоидальным заполнением. При
указанной геометрии образца и электродов электрическое
поле вызывало вследствие пьезоэффекта механические
сдвиговые колебания поверхности, параллельные оси z.
Длительность и частота заполнения менялись в пределах
1—3 мкс и 1,7—3,3 МГц соответственно. Сигналы с при-
приемника подавались на усилитель и регистрировались
на экране осциллоскопа. Типичная последовательность
импульсов, наблюдающаяся на экране осциллоскопа,
изображена на рис. 3.29. Максимальное время пробега
импульсов в образце, при котором их еще можно было
выделить на фоне шумов, составляло 600 мкс, что со-
соответствовало пути пробега —1,5 м,
264
Рис. 3.28. Образец CdS с си-
системами излучающих и прк-
емных электродов
1 — излучатель; 2 — приемник
Рис. 3.29. Осциллограмма
импульсов
Рис. 3.30. Зависимость амплитуд импульсов А от времени их при-
прихода т для трех частот
1 — / = 3,16 МГц; г — 2,93; 3 — 2,68 МГц
Сплошная кривая — расчетная зависимость

При анализе наблюдаемых сигналов прежде всего была
сделана попытка доказать их локализацию в поверхност-
поверхностном слое кристалла. Для этого, во-первых, на трех часто-
частотах снималась зависимость амплитуд импульсов (сигналов)
от времени тих распространения (рис. 3.30). Если импуль-
импульсы соответствуют поверхностным волнам, то их ампли-
амплитуда из-за дифракционного расхождения пучка должна
спадать с расстоянием I и временем т примерно как i/\fl
и 1/[Лт (поглощение волн в кристалле мы не учитываем).
Расчетная кривая на рис. 3.30 и представляет эту за-
зависимость, построенную в предположении, что средняя
амплитуда первого импульса на разных частотах равна
расчетному значению. Как видно из рис. 3.30, несмотря на
большой разброс экспериментальных точек, вызванный,
по-видимому, интерференционными эффектами (см. ниже),
закон спадания амплитуд сигналов близок к 1/J/ т, а не
к 1/т, как было бы при объемной локализации волн.
Кроме того, поверхностная локализация волн доказы-
доказывалась еще с помощью светового зондирования. Пучок све-
света, параллельный оси цилиндра, направлялся на торец кри-
кристалла и освещал площадку сектора, заключенную между
двумя дугами (заштрихованная область на рис. 3.28).
Освещенная область перемещалась вдоль радиуса так, что
ее внутренний край находился на разном расстоянии d
от поверхности цилиндра, а ширина h и площадь Q оста-
оставались постоянными. Электропроводность кристалла в
освещенной области увеличивалась, и вследствие электрон-
электронного поглощения амплитуды импульсов, распространяю-
распространяющихся в нем, уменьшались. На рис. 3.31 представлены
зависимости амплитуд девяти последовательных импульсов
(кроме шестого), наблюдаемых на экране осциллоскопа,
от глубины зондирования d.
Как видно из графика, для всех девяти импульсов за-
зависимости аналогичны: наибольшее изменение амплитуды
имеет место при освещении поверхностного слоя кристал-
кристалла. При освещении более глубоких слоев амплитуда умень-
уменьшается не так сильно и сигналы постепенно «восстанав-
«восстанавливаются» к своим темновым значениям (точки на гра-
графике при d = 0, когда кристалл не освещался). Неполное
восстановление значений амплитуд импульсов объясняет-
объясняется, по-видимому, рассеянием света в кристалле, из-за
чего даже при освещении глубинных частей кристалла в
его поверхностном слое имелся заметный световой фон.
266
Рис. 3.31. Зависимости амплитуд А „последователь-
„последовательных импульсов от положения области подсветки
п — порядковый номер импульса
ff d, м и
Указанная реакция амплитуд импульсов на освещение
также свидетельствует о поверхностной локализации
волн.
В начале осциллограммы импульсов (см. рис. 3.29)
находится импульс электрической наводки, время прихода
следующего (первого) импульса ~15 мкс, вся осцилло-
осциллограмма занимает промежуток времени ^300 мкс. Предпо-
Предполагая, что импульсы соответствуют поверхностным волнам
на цилиндрической поверхности, мы будем иметь следую-
следующие последовательности путей их пробега s:
sn = L + nDn, n = 0,1, 2,3...,
sm = —L -f- nDm, m = 1, 2, 3,....
C.145)
267

Последовательность sn относится к импульсам, пробега-
пробегающим путь от излучателя к приемнику по часовой стрелке,
а последовательность sm — к импульсам, движущимся
против часовой стрелки. Кроме того, нужно еще учесть,
что из-за небольшого числа электродов излучатель гене-
генерировал объемные сдвиговые волны в радиальном направ-
направлении. Эти волны потом отражались от противоположной
поверхности цилиндра и возвращались на излучатель, за-
заставляя его колебаться и излучать в обе стороны им-
импульсы поверхностных волн, пробегающие в общей слож-
сложности последовательно пути:
s. = 2D А
и s'm = 2D + sri
C.146)
Если предположить, что согласно теории поперечные
поверхностные волны на цилиндре могут распространять-
распространяться только в виде нормальных волн, указанные последова-
последовательности путей пробега должны соответствовать следую-
следующим последовательностям времен прихода импульсов!
/сТр (х v с irT-v
= 2D/ct + (тп)ь
= 2D/c,
C.147)
с]р
Здесь с]р — групповая скорость ?-й нормальной волны.
Нами были рассчитаны фазовые и групповые скоро-
скорости первых четырех нормальных поверхностных волн в
пределах изменения ktR от 1 до 70 и определены их зна-
значения в диапазоне частот 1,7—3,3 МГц для нашего кри-
кристалла с D = 2R = 11,2 мм. Вычисленные с помощью
u ГТ)
этих значении с, времена прихода импульсов удовлет-
удовлетворительно согласуются с формулами C.147).
Времена прихода импульсов мало меняются с частотой,
но их амплитуды существенно зависят от частоты. На
рис. 3.32 приведены амплитудно-частотные характери-
характеристики Ап (/) (га = 1, 2, 3, ... 7) первых семи наблюдаемых
импульсов, полученные при длительности импульсов
г = 2 мкс. Видно, что в диапазоне / <= 1,8 -=- 3,3 МГц
есть три особые точки fx ~ 2,25, /2 ~ 2,70, /3 ~ 2,90 МГц,
в окрестностях которых у всех кривых имеются или наме-
намечаются максимумы. Решение задачи о возбуждении
поперечных поверхностных волн используемой нами
системой электродов (с помощью модельного представле-
представления распределения зарядов на электродах) показало, что
в указанном диапазоне частот должны иметь место макси-
максимумы амплитуд трех первых нормальных волн. Теорети-
268
Рис. 3.32. Зависимость амплитуды Ап первых семи импульсов от
частоты заполнения импульса!
Обозначение то же, что на рис. 3.31
ческие зависимости амплитуд этих волн от частоты в не-
непрерывном режиме возбуждения изображены на рис. 3.33.
Как видно из рисунка, частоты, соответствующие опти-
оптимальному возбуждению первой, второй и третьей нор*
мальных волн, неплохо согласуются с указанными экспе-
269

f,7 2,/ 2,S 2J f, МГц
Рис. 3.33. Расчетные зависимости амплитуд Ап нормальных волн
от частоты / электрического сигнала, подаваемого на излучатель
и — номер волны
риментальными значениями /!,2,3. Из этого следует, что
в окрестностях частот /j.2,3 первая, вторая или третья нор-
нормальные волны соответственно имеют, по-видимому, мак-
максимально возможную в условиях данного эксперимента
амплитуду.
Наличие особенностей амплитуды Ап каждого импульса
на трех частотах /i,2,3 свидетельствует о том, что имеет ме-
место так называемый многомодовый режим возбуждения и
распространения, когда каждый импульс состоит по край-
крайней мере из двух-трех импульсов, соответствующих пер-
первой, второй и третьей нормальным волнам. Эти импульсы
при распространении не успевают разойтись в про-
пространстве и, накладываясь друг на друга, интерферируют.
Расстояние Lo, на котором различные нормальные волны
могут приниматься отдельно, т. е. соответствующие им им-
импульсы расходятся в пространстве, определяется условием
Lo > /Импс?Р/Асгр, где 1ИМП — пространственная длина им-
импульса; Асгр — различие между групповыми скоростя-
скоростями нормальных волн. При длительности импульса 3 мкс
Lo ~ 15 см (т ~ 75 мкс).
Таким образом, основные (начальные) импульсы, имею-
имеющие максимальную амплитуду, являются результатом
наложения нескольких импульсов. Оценим расфазиров-
ку между отдельными импульсами на пути sx = 2,92 см,
270
Соответствующем первому наблюдаемому импульсу. РаЗ-
ность фаз Аф ~ Ac$(uSi/(cfJ между второй и первой и ме-
между третьей и первой нормальной волнами на частоте
2,9 МГц здесь составляет примерно 10,5я и 19,6я Со-
Соответственно, т. е. даже в первом импульсе отдельные
нормальные волны существенно различаются по фазе. Этой
интерференцией, а также интерференцией импульсов, расп-
распространяющихся от излучателя к приемнику по различным
путям (см. выше), и объясняются резкие изменения ампли-
амплитуд соседних импульсов (см. рис. 3.29 и 3.30). Кроме того,
в перепады амплитуд вносит свой вклад заметное дифрак-
дифракционное расхождение пучков и возможная интерференция
боковых дифракционных лучей, отраженных от торцевых
поверхностей кристалла.
Обратимся теперь к фазовым и групповым скоростям на-
наблюдаемых волн. Зная геометрию излучателя, по экспери-
экспериментальным значениям особых частот /ii2,3 можно опре-
определить экспериментальные значения с* фазовых скоростей
трех первых нормальных волн. В табл. 3.4 приведены эти
значения, а также рассчитанные нами из уравнения
C.135) теоретические значения фазовых скоростей
cf на частотах /i,2,3- Как видно из табл. 3.4, совпадение
экспериментальных и расчетных значений удовлетвори-
удовлетворительное.
Таблица 3.4
/, МГц
2,25
2,70
2,90
ktR
44,0
52,6
56,5
г
1
2
3
cf-iO-', см с
Теория
1,92
2,20
2,42
Эксперимент
1,89
2,27
2,44
Определение групповых скоростей нормальных волн
несколько осложняется многомодовым режимом. Для их
нахождения отберем импульсы с максимальной ампли-
амплитудой. Этими импульсами являются первый, пятый и седь-
седьмой при частоте / = 2,90 МГц (рис. 3.32). Как отмечалось
выше, частота 2,90 МГц является оптимальной для возбуж-
возбуждения третьей нормальной волны, поэтому в указанных
271

ймпульСаХ должна преобладать эта компонента. Анали-
Анализируя времена прихода этих импульсов с учетом послед-
последнего замечания, нетрудно установить, что первому импуль-
импульсу соответствует путь sm (m = 1) из последовательности
C.145), пятому — nyTbs'm(m = 1) из C.146), а седьмому —
путь sn (n = 2) из C.145). По временам т прихода импуль-
импульсов, зная размеры кристалла, можно найти эксперименталь-
экспериментальные значения групповой скорости сТ^ на частоте 2,90 МГц
(табл. 3.5). Как видно из таблицы, теоретическое значе-
значение СзР неплохо согласуется с экспериментальными.
Таблица 3.5
Номер
импульса
1
5
7
Амплитуда,
отн. ед.
10,5
0,0
5,0
Т, МКС
Эксперимент
15,0
27,0
39,3
Теория
14,9
27,4
38,8
c/P.10-s,
Эксперимент
1,95
2,0
1,94
см с
Теория
1,97
1,97
1,97
Все изложенное, как нам представляется, служит экспе-
экспериментальным подтверждением существования попереч-
поперечных поверхностных волн (в виде совокупности нормаль-
нормальных волн) на цилиндрической поверхности кристалла
сульфида кадмия.
В заключение отметим, что на цилиндрической поверх-
поверхности кристалла в принципе возможен режим с одним при-
принимаемым сигналом поперечных поверхностных волн. Для
этого, во-первых, необходимо осуществить спиральное рас-
распространение волн посредством, например, спиральных
винтовых дорожек. Это устранит все периодически повто-
повторяющиеся из-за многократных пробегов сигналы. Далее,
можно выбрать количеств^ электродов излучающего пре-
преобразователя и частоту так, что амплитуды всех нормаль-
нормальных волн, кроме одной, будут малы. Например, в нашем
случае при частоте 2,5 МГц необходимо взять семь пар эле-
электродов, чтобы амплитуды нормальных волн всех номеров,
кроме первого, были меньше 0,15 Ах {Ах — амплитуда
нормальной волны первого номера). При этом относитель-
относительная ширина полосы пропускания преобразователя бу-
будет составлять ~13%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rayleigh. On waves propagated along the plane surface3 of an
elastic solid.—• Proc. London Math. Soc, 1885, 17, p. 4—11.
2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ,
1935. 674 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука,
1965. 202 с.
4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973,
гл. 1, с. 5—90.
5* Schoch A. Schallreflexion, Schallbrechung und Schallbengung
Ergebnisse derExakt.— Naturwissenschaften, 1950, 23, S. 127—
234.
6. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике.
М.: Изд-во иностр. лит., 1957. 726 с.
7. Викторов И. А. Физические основы применения ультразву-
ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. Гл. 1.
с. 5—77.
8. Викторов И. А. Ультразвуковые волны Рэлея: Дис. ... д-ра
физ.-мат. наук. М.: Акуст. ин-т АН СССР, 1969. 344 с.
9. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн.— В кн.:
Физическая акустика. М.: Мир, 1973, т. 6, гл. 3, с. 139—202.
10. Дрансфелъд К., Зальцман Е. Возбуждение, обнаружение и за-
затухание высокочастотных упругих поверхностных волн.—
В кн.: Физическая акустика. М.: Мир, 1973, т. 7, гл. 4, с. 250 —
310.
11. Викторов И. А. Взаимодействие ультразвуковых поверхност-
поверхностных и объемных волн с электронами проводимости в кристалле
CdS.— ДАН СССР, 174, № 3, с. 556—559.
12. Викторов И. А . Рэлеевские волны в полупроводниковых пьезо-
пьезоэлектрических кристаллах арсенида галлия.— ДАН СССР,
1969, 187, № 2, с. 294—297.
13. Васъкова В. И., Викторов И. А . Исследование усиления ультра- ¦
звуковых поверхностных волн в кристалле сульфида кад-
кадмия.— Акуст. журн., 1969, 15, № 4, с. 529—533.
14. Богданов С. В., Боярский А. М., Левин М. Д., Яковкин И. Б.
Непрерывный режим усиления упругих поверхностных волн.—
Физика и техника полупроводников, 1973, 7, № 8, с. 1604—
1605.
15. Tsuchiga С, Furukawa S. Study on saturation power in SAW
amplifiers.— Jap. J. Appl. Phys., 1977, 16, N 3, p. 413—422.
1С. White R. M. Su face elastic waves.—Proc. IEEE, 1970, 58,
N 8, p. 1238—1275.
17. Смит. Физика и техника распространения поверхностных
упругих волн.: Пер. с англ. (ГПНТБ; Пер. 71/46899). Указ.
пер. М., 1972, № 5, с. 28—36.
273

18
19
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
. Кайно Г., Шоу Дж. Акустические поверхностные
УФН, 1974, ИЗ, № 1, с. 157-179.
. Викторов И. А. О поверхностной волне, вызванной неоднород-
неоднородностью в твердом теле.— В кн.: Акустическая спектроскопия,
квантовая акустика, акустоэлектроника: Материалы X Все-
союз. конф. по квантовой акустике и акустоэлектронике,
Ташкент, 1978. Ташкент: Фан, 1978, с. 101—103.
Гуляев Ю. В., Плесский В. П. Медленные поверхностные аку-
акустические волны в твердых телах.— Письма в ЖТФ, 1977,
3, № 5, с. 220—223.
Matthews H., Vaart H. Observation of love wave propagation
at UH frequencies.— Appl. Phys. Lett., 1969, 14, N 5, p. 171 —
172.
Toumois P., Lardat C. Love wave dispersive delay — lines.—
In: Reports 6th Intern. Congr. on Acoustics. Tokyo, 1968, 6,
p. 37—40.
Fischler C. Transverse surface wave as high — frequency li-
limit of shear - horizontal piezoelectric plate wave.— Solid
State Communs, 1970, 8, N 15, p. 1215—1219.
Gou P. F. Interfacial and love-type waves in materials with
monoclinic elastic symmetry.— JASA, 1970, 47, N 3, p. 777—
780.
Fischler C. Propagation and amplification of shear-horizontal
waves in piezoelectric plates.— J. Appl. Phys., 1971, 42, N 3,
p. 919—924.
Hang-Sheng Т., Ponamgi S. R. Excitation of Love waves in
a thin film layer by line source.—IEEE Trans. Sonics and
Ultrasonics, 1972, SU-19, N 1, p. 9—14.
Koerber G. G., Vogel R. F. SH-mode piezoelectric surface wa-
waves on rotated cuts.— IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics,
1973, SU-20, N 1, p. 9—12.
Гуляев Ю. В., Пустовойт В. И. Усиление поверхностных волн
в полупроводниках.— ЖЭТФ, 1964, 47, № 12, с. 2251—2253.
Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two so-
solids.— Proc. Roy. Soc. London A, 1924, 106, p. 416—429.
Scholte J. G. The range of existence of Rayleigh and Stoneley
waves.— Mon. Not. Roy. Astron. Soc, Geophys. Suppl., 1947,
5, p. 120—126.
Гоголадзе В. Т. Волны Рэлея на границе сжимаемой жидкой
среды и твердого упругого полупространства.— Тр. Сейсмол.
ин-та АН СССР, 1948, № 127. 87 с.
Claus R. О., Palmer С. Н. Direct measurement of ultrasonic
Stoneley waves.— Appl. Phys. Lett., 1977, 31, N 8, p. 547 —
548.
Lee D. A., Corbly D. M. Use of interface waves for nondestruc-
nondestructive inspection.— IEEE Trans, on Sonics and Ultrasonics, 1977,
SU-24, N 3, p. 206—212.
Maerfeld C, Toumois P. Pure shear elastic surface wave guided
by the interface of two semiinfinite media.— Appl. Phys. Lett.,
1971, 19, N 4, p. 117-118.
Murty G. S. Wave propagation at an unbonded interface betwe-
between two elastic half-spaces.— JASA, 1975, 58, N 5, p. 1094—
1095.
Epstein H. I. The effect of curvature on Stoneley waves. —J.
Sound and Vibrat., 1976, 46, N 1, p. 59—66.
274
37. Velasco V. R. Stoneley waves at an @01) — interface between
crystals of cubic symmetry.— Phys. Stat. Sol. (A), 1980, 60,
N 1, К 61—64.
38. Tsutsumi M., Bhattacharyya Т., Kumagai N. Piezoelectric-
magnetoelastic surface wave guided by interface between semi-
infinite piezoelectric and magnetoelastic media. — J. Appl.
Phys., 1975, 46, N 12, p. 5072—5075.
39. Lamb H. On waves in an elastic plate.— Proc. Roy. Soc. London
A, 1917, 93, p. 114.
40. Шрайбер Д. С. Ультразвуковая дефектоскопия. М.: Металлур-
Металлургия, 1965. 391 с.
41. Выборное Б. И. Ультразвуковая дефектоскопия. М.: Металлур-
Металлургия, 1974. 240 с.
42. Меркулов Л. Г., Турсунов Д. А. Фазовые скорости нормальных
волн в пластине кубического кристалла.— Акуст. журн.,
1969, 15, № 1, с. 136—138.
43. Коцаренко Н. Я., Кучеров И. Я., Островский И. В. и др. Элект-
Электронное затухание и усиление волн Лэмба в пьезополупроводни-
ках.— Укр. физ. журн., 1971, 16, № 10, с. 1707—1716.
44. Краснушкин П. Е. Трансформации модулированных нормаль-
нормальных волн при распространении вдоль квазислоистой упругой
полосы.— ДАН СССР, 1979, 248, № 2, с. 331—335.
45. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в про-
протяженных цилиндрах и пластинках.— В кн.: Физическая аку-
акустика. М.: Мир, 1966, т. 1, ч. А, гл. 2, с. 140—203.
46. Турсунов Д. А. Поперечные нормальные волны в пластине ку-
кубического кристалла.— Акуст. журн., 1969, 15, № 2, с. 307—
309.
47. Боровков О. В., Кучеров И. Я. Нормальные упругие волны
в пластинах кристаллов класса C3v.— Укр. физ. журн., 1972,
17, № 12, с. 1980-1988.
48. Викторов И. А. К расчету фазовых скоростей поверхностных
волн на границе твердого полупространства с жидким слоем.—
Акуст. журн., 1977, 23, № 6, с. 947—948.
49. Кейлис-Борок В. И. Интерференционные поверхностные вол-
волны. М.: Изд-во АН СССР, 1960. 168 с.
50. Богданов С. В., Левин М. Д., Яковкин И. Б. О существовании
поверхностной волны в системе слой — полупространство.—
Акуст. журн., 1969, 15, № 1, с. 12—16.
51. Богданов С. В., Яковкин И. Б. Затухание УПВ в системе под-
подложка — пленка InSb.— Физика и техника полупроводников,
1969, 3, № 4, с. 589-592.
52. Tiersten H. F. Elastic surface waves guided by thin films.—
J. Appl. Phys., 1969, 40, N 2, p. 770—789.
53. Lagasse P. E., Mason I. M., Ash E. A. Acoustic surface wave —
guided-analysis and assessment.— IEEE Trans. Microwave Theo-
Theory and Techn., 1973, 21, N 4, p. 225—236.
54. Sinha B. K., Tiersten H. F. Elastic and piezoelectric surface
waves guided by thin films.— J. Appl. Phys., 1973, 44, N 11,
p. 4831-4854.
55. Викторов И. А. Сильно неоднородные звуковые поверхност-
поверхностные волны в твердых телах.— Акуст. журн., 1978, 24, № 5,
с. 780—782.
56. Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F. Elastic waves in layered
media. N. Y.: McGrow-Hill, 1957. 380 p.
275

57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
Зволинский ff. В. Волны Рэлея в неоднородном упругом полу-
полупространстве частотного типа.— Изв. АН СССР. Сер. геогр.
и геофиз., 1945, № 3, с. 61—78.
Бабич В. М., Молотков И. А. Математические методы в тео-
теории упругих волн.— В кн.: Механика деформируемого твер-
твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1977, т. 10, с. 5—62. (Итоги науки
и техники).
Завадский В. Ю. Вычисление волновых полей в открытых об-
областях и волноводах. М.: Наука, 1972, гл. 2, с. 63—126.
Вовк А. Е., Гудков В. В. Нормальные продольные волны в уп-
упругом цилиндрическом волноводе.— Акуст. журн., 1967,
13, № 3, с. 345-351.
Любимов В. ff., Санников Д. Г. Поверхностные квазиобъемные
и рэлеевские упругие волны в кристаллах.— ФТТ, 1973, 15,
№ 6, с. 1851-1855.
Любимов В. ff., Санников Д. Г. Поверхностные квазиобъемные
упругие волны в окрестности избранных направлений и по-
поверхностей в кристаллах.— ФТТ, 1975, 17, № 2, с. 478—483.
Гуляев Ю. В. Поверхностные электрозвуковые волны в твер-
твердых телах.— Письма в ЖЭТФ, 1969, 9, № 1, с. 63—65.
BleusteinJ. L. A new surface wave in piezoelectrical materials.—
Appl. Phys. Lett., 1968, 13, N 12, p. 412—413.
Поверхностные акустические волны — устройства и приме-
применения.— В кн.: Тр. Ин-та инженеров по электротехнике и р?
диоэлектронике. М.: Мир, 1976, 64, № 5. 324 с. Рус. пер.
Анисимкин В. И., Морозов А. И. Циклическая ультразвуко-
ультразвуковая линия задержки с усилением на волнах Гуляева — Блю-
стейна.— Письма в ЖТФ, 1976, 2, № 9, с. 426—429.
Гилинский И. А., Попов В. В. Возбуждение акустоэлектри-
ческих волн в пьезоэлектриках внешними источниками.—
ЖТФ, 1976, 46, № 11, с. 2233—2242.
Пятаков Л. А. Структура волнового поля при возбуждении
волн Гуляева — Блюстейна.— Акуст. журн., 1978, 24, № 3,
с. 394—400.
Jong G. Generation of Bleustein—Gulyaev waves along a semi-
infinite metal-coated piezoelectric medium.— IEEE Trans.
Sonics and Ultrasonics, 1974, SU-21, N 3, p. 187—195.
Гуляев Ю. В., Плесский В. П. Щелевые акустические волны
в пьезоэлектрических материалах.— Акуст. журн., 1977, 23,
№ 5, с. 716-723.
Балакирев М. К., Горчаков А . В. Связанные поверхностные вол-
волны в пьезоэлектриках.— ФТТ, 1977, 19, № 2, с. 613—614.
Gylyaeu Y. V., Plessky V. P. Shear surface acoustic waves in
dielectrics in the presence of an electric field.— Appl. Phys.
Lett., 1976, 56 A, N 6, p. 491—492.
Бурлак Г. ff., КоцаренкоH. Я., Кошевая С. В. Поверхностные
акустоэлектрические волны на границе раздела двух сред,
обусловленные электрострикцией.— ФТТ, 1976, 18, № 5,
с. 1222—1225.
Викторов И. А. Упругие волны в твердом полупространстве
с магнитным полем.— ДАН СССР, 1975, 221, № 5, с. 1069—
1072.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.
М.: Наука, 1957. 532 с.
276
76. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1973,
т. 5, гл. 1, с. 9—71.
77. Kaliski S., Rogula D. Rayleigh waves in a magnetic field.—
Proc. Vibrat. Probl., 1960, 1, N .5, p. 63—80.
78. Викторов И. А. Волны типа рэлеевских на цилиндрических
поверхностях.— Акуст. журн., 1958, 4, № 2, с. 131—136.
79. Малюжинец Г. Д. Математическая формулировка задачи о вы-
вынужденных гармонических колебаниях в произвольной обла-
области.— ДАН СССР, 1951, 78, № 3, с. 439—442.
80. Ватсон Г. ff. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр.
лит., 1949. Ч. I. 798 с.
81. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т. 2. 476 с.
82. Бреховских Л. М. О поверхностных волнах в твердом теле,
удерживаемых кривизной границы.— Акуст. журн., 1967,
13, № 4, с. 541-554.
83. Фок В. А. Таблицы функций Эйри. М.: ГТТИ, 1946. 53 с.
84. Булдырев В. С. Асимптотика собственных функций уравнения
Гельмгольца для плоских выпуклых областей.— Вест. ЛГУ.
Сер. физ. хим., 1965, 22, № 4, с. 38—51.
85. Викторов И. А. Поверхностные волны на цилиндрических по-
поверхностях кристаллов.— Акуст. журн., 1974, 20, № 2,
с. 199—206.
86. De Sasadhar. On the propagation of Love waves in an infinite
cylindrical surface.— Pure and Appl. Geophys., 1974, 112,
N 1, p. 35-45.
87. Петрашенъ Г. И. Задача Рэлея для поверхностных волн в слу-
случае сферы.— ДАН СССР, 1946, 52, № 9, с. 763—766.
88. Ansell J. ff. The roots of stoneley waves equation for solid —
liquid interfaces.— Pure and Appl. Geophys., 1972, 94, N 2,
p. 172—188.
89. Молотков Л. А., Смирнова ff. С. О затухающих волнах, обра-
образующихся на границе двух упругих полупространств.— В кн.:
Вопросы динамической теории распространения сейсмических
волн. Л.: Наука, 1974, № 12, с. 32—43.
90. Викторов И. А. О вытекающих поверхностных волнах в изо-
изотропном твердом теле.— ДАН СССР, 1976, 228, № 3, с. 579—
581.
91. Викторов И. А. О волнах в изотропном твердом полупростран-
полупространстве.— Акуст. журн., 1976, 22, № 5, с. 675—678.
92. Шерман Д. И. Колебание упругого полупространства при за-
заданных смещениях или внешних силах на границе.— Тр.
Сейсмол. ин-та АН СССР, 1946, № 118. 107 с.
93. Engan H., Ingebrigtsen К. A., Tanning A. Elastic surface waves
in a-quartz: Observation of leaky surface waves.— Appl. Phys.
Lett., 1967, 10, N 11, p. 311—313.
94. Rollins F. R., Lim T. C, Farnell G. W. Ultrasonic reflectivity
and surface wave phenomena on surfaces of copper single crys-
crystals.— Appl. Phys. Lett., 1968, 12, N 7, p. 236—238.
95. Takayanagi A., Iamanouchi K., Shibayama K. Piezoelectric lea-
leaky surface wave in LiNbO,.— Appl. Phys. Lett., 1970, 17, N 5,
p. 225-227.
96. Фелъсен Л. Квазиоптические методы в дифракции.— В- кн.:
Квазиоптика. М.: Мир, 1966, с. 11—62. (Тр. Междунар.
симпоз.).
277

97. Minton С. F. Inspection of metals with ultrasonic surface wa-
waves.— Nondestruct. Test., 1954, 12, N 4, p. 13—16.
98. Firestone F., Frederick I. Refinements in supersonic reflectosco-
py.— JASA, 1946, 18, N 1, p. 200—201.
99. Шкарлет Ю. М. Закономерности возбуждения акустических
поверхностных волн электромагнитным полем.— Дефектоско-
Дефектоскопия, 1974, № 4, с. 12—20.
100. Talaat H., Burstein E. Phase-matched electromagnetic genera-
generation and detection of surface elastic waves on nonconducting so-
solids.— J. Appl. Phys., 1974, 45, N 10, p. 4360—4362.
101. Thompson R. B. Strain' dependence of electromagnetic genera-
generation of ultrasonic surface waves in ferrous metals.— Appl Phys
Lett., 1976, 28, N 9, p. 483—485.
102. Виноградов К. Н., Ульянов Г. К. Измерение скорости и зату-
затухания ультразвуковых поверхностных волн в твердых мате-
материалах.— Акуст. журн., 1959, 5, № 3, с. 290—293.
103. Cook E. G., Valkenburg H. E.~ Surface waves at ultrasonic
frequencies.— ASTM Bull., 1954, N 198, p. 81—84.
104. Морозов А. И. Пьезополупроводниковый клиновидный пре-
преобразователь поверхностных ультразвуковых волн.— Физи-
Физика и техника полупроводников, 1971, 5, № 10, с. 1994—1996.
105. А.с. 162373 (СССР). Возбудитель (приемник) ультразвуковых
поверхностных волн/А. Г. Соколинский. Заявл. 24.06.58,
№ 469139/26; Опубл. в Б.И. 1964, № 9, МПК Н04т/21а2.
106. Arzt R М., Dransfeld К. Excitation of Rayleigh waves at hi^h
frequencies and at low temperatures.— Appl. Phys. Lett. 1965.
7, N 6, p. 156-159.
107. Lee R. E., White R. M. Excitation of surface elastic waves by
transient surface heating.— Appl. Phys. Lett., 1968, 12, N 1,
p. 12—14.
10b. Викторов И. А. Исследование методов возбуждения рэлеев-
ских волн.— Акуст. журн., 1961, 7, № 3, с. 295—306.
109. Басацкая Л. В., Вопилкин А. X., Ермолов И. II. и др. К вопро-
вопросу о распространении ультразвуковых продольных волн вбли-
вблизи поверхности твердого тела.— Акуст. журн., 1978, 2«, № 1,
с. 15—20.
НО. Ермолов И. Н., Разыграев Н. П., Щербинский В. Г. Исследо-
Исследование ослабления ультразвуковых головных волн с расстоя-
расстоянием.— Дефектоскопия, 1979, № 1, с. 37—40.
111. Викторов И. А., Зубова О. М. О диаграммах направленности
излучателей волн Лэмба и Рэлея.— Акуст. журн., 1963 9,
№ 2, с. 171-175.
112. Викторов И. А., Григорян Р. А. Квазиралеевские волны в
упругом слое.— Акуст. журн., 1959, 5, № 3, с. 366—368.
113. Press F., Healy I. Absorption of Rayleigh waves in low-loss me-
media.— J. Appl. Phys., 1957, 28, N 11, p. 1323—1325.
114. Викторов И. А. Некоторые вопросы распространения рэлеев-
ских волн в твердых телах: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.:
Акустический ин-т АН СССР, 1958. 92 с.
115. Викторов И. А. Затухание поверхностных и объемных уль-
ультразвуковых волн.— Акуст. журн., 1964, 10, № 1, с. 116—118.
116. Викторов И. А., Грищенко Е. К., Каекина Т. М. Исследование
распространения ультразвуковых поверхностных волн на гра-
границе твердого тела с жидкостью.— Акуст. журн., 1963, 9, № 2,
с. 162-170.
278
117. Викторов И. А. О затухании рэлеевских волн на ЦиЛинДри*
ческих поверхностях.— Акуст. журн., 1961, 7, № 1, с. 21 —
25.
118. Викторов И. А. Прохождение и отражение рэлеевских волн
на закруглениях различного радиуса.— Акуст. журн., 1961,
7, № 1, с. 90—91.
119. Викторов И. А. О влиянии несовершенств поверхности на рас-
распространение рэлеевских волн.— ДАН СССР, 1958, 119, № 3,
с. 463—465.
120. Викторов И. А. О влиянии дефектов поверхности на распро-
распространение рэлеевских волн.— В кн.: Применение ультразву-
ультразвуковых колебаний для исследования свойств, контроля качества
и обработки металлов и сплавов. Киев: Изд-во АН УССР, 1960,
с. 54—61.
121. Викторов II. А., Каекина Т. М. Рассеяние ультразвуковых
рэлеевских волн на моделях поверхностных дефектов.— Акуст.
журн., 1964, 10, № 1, с. 30-33.
122. Bremaecker I. Cl. Transmission and reflection of Rayleigh waves
at corners.— Geophysics, 1958, 23, N 2, p. 253—266.
123. Тютекин В. В. Рассеяние плоских волн цилиндрической по-
полостью в изотропной упругой среде.— Акуст. журн., 1959,
5, № 1, с. 106—110.
124. Бреховских Л. М. О распространении поверхностных рэлеев-
рэлеевских волн вдоль неровной границы упругого тела.— Акуст.
журн., 1959, 5, № 3, с. 282—289.
125. Tuan H. S., Parekh J. P. Theory for SAW grooved reflector
arrays.— IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1977, SU-24,
N 6, p. 384—392.
126. Бирюков С. В., Горышник Л. Л. Отражение рэлеевской волны
от локальных неоднородностей поверхности при наклонном па-
падении.— Акуст. журн., 1977, 23, № 3, с. 461—462.
127. Simons D. A. Reflection of Rayleigh waves by ttrips, grooves,
and periodic arrays of strips or grooves.— JASA, 1978, 63, N 5,
p. 1292-1301.
128. Лапин А. Д. Отражение рэлеевской волны от периодических
неровностей поверхности при наклонном падении.— Акуст.
журн., 1979, 25, № 5, с. 766—770.
129. Гуляев Ю. В., Плесский В. П. Взаимное преобразование
объемных и поверхностных акустических волн на периодиче-
периодически возмущенном участке поверхности упругого тела.— РЭ,
1980, 25, № 8, с. 1569—1587.
130. Быков II. С, Шнейдер Ю. Г. Экспериментальное исследование
влияния качества поверхности на затухание поверхностных
волн.— Акуст. журн., 1960, 6, № 4, с. 501—503.
131. Rischbieter F. Me^sungen an oberflachenwellen in festen Kor-
pern.— Acustica, 1965—66, 16, N 2, S. 75—83.
132. White R. M., Voltmer F. W. Direct piezoelectric coupling to
surface elastic waves.— Appl. Phys. Lett., 1965, 7, N 12,
p. 314-316.
133. Slobodnik A.J. Microwave frequency acoustic surface wave
propagation losses in LiNbO3.— Appl. Phys. Lett., 1969, 14,
N 3, p. 94—96.
134. Morgan D. P. Log-periodic transducers for acoustic surface wa-
waves.— Proc. IEEE, 1972, 119, N 1, p. 3—10.
279

135. Речицкий В. И., Кондратьев С. Н. Методы аподизЕЩии прё-
образователей поверхностных акустических волн.— Зарубеж.
радиоэлектроника, 1977, № 4, с. 22—45.
136. Ковалев А. В., Лобанова Г. А., Яковкин И. Б. Технология из-
изготовления преобразователей упругих поверхностных волн пле-
пленочного типа на аморфных подложках.— Изв. АН СССР. Сер.
физ., 1971, 35, № 5, с. 932—934.
137. Карийский С. С. Устройства обработки сигналов на ультра-
ультразвуковых поверхноотных волнах. М.: Сов. радио, 1975. 176 с.
138. Танкрилл, Холланд. Фильтры на поверхностных акустических
волнах.— В кн.: Тр. Ин-та инженеров по электротехнике и ра-
радиоэлектронике. М.: Мир, 1971, 59, № 3, с. 62—80. Рус. пер.
139. Dienlesaint Е.; Hartemann P. Acoustic surface wave iilters.—
Ultrasonics, 1973, 11, N 1, p. 24—30.
140. Ларда, Марфелъд, Турнуа. Теория и экспериментальные ха-
характеристики дисперсионных ультразвуковых линий задержки
на поверхностных акустических волнах.— В кн.: Тр. Ин-та
инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. М.: Мир,
1971, 59, № 3, с. 22-25. Рус. пер.
141. Kino G. S., Matthews H. Signal processing in acoustic surface
_ wave devices.— IEEE Spectrum, 1971, 8, N 8, p> 22—35.
142. Sabine H., Cole P. H. Surface acoustic waves in communications
engineering.— Ultrasonics, 1971, 9, N 2, p. 103—133.
143. Maines J. D., Paige E. G. Surface-acoustic-wave components,
devices and applications.— IEEE Revs. Inst. Electr. Ensr.,
1973, 120, N 10R, p. 1078—1110.
144. Holland M. G., Claibome L. T. Practical surface acoustic wave
devices.— Proc. IEEE, 1974, 62, N 5, p. 45—83,
145. Речицкий В. И. Приборы и устройства на акустических по-
поверхностных волнах.— Зарубеж. радиоэлектроника, 1975,
№ 8, с. 88-101.
146. Surface wave filters. Design, construction and use/Ed. H. Matt"
hews. A Wiley-Intersci. Publ., 1977. 457 с
147. Ковалев А. В., Яковкин И. Б. Интерференционные эффекты
в преобразователях ультразвуковых поверхностных волн
встречноштыревого типа.— РЭ, 1971, 16, № 8, с. 1521—1523.
148. Ковалев А. В., Яковкин И. Б. Частотные свойства групп пре-
преобразователей упругих поверхностных волн.— РЭ, 1976,
21, № 7, с. 1522—1525.
149. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и
пьезомагнитные материалы и их применение в преобразова-
преобразователях.— В кн.: Физическая акустика. М.: Мир, 1966, т. 1, ч. А,
гл. 3, с. 204—326.
150. Smith W. R., Gerard H. M., Collins J. П. et al. Design of
surface wave delay lines with interdigital transducers.— IEEE
Trans., 1969, MTT-17, N 11, p. 865-873.
151. Krimholtz R., Leedom D. A., Matthaci С L. Equivalent cir-
circuits for transducers having arbitrary even-or odd-symmetry
piezoelectric excitation.— IEEE Trans., 1971, SU-18, N 3,
p. 128-141.
152. Coquin G. A., Tierston H. F. Analysis of the excitation and de-
detection of piezoelectric surface waves in quartz by means of sur-
surface electrodes.— JASA, 1967, 41, N 4, p. 921—940.
280
153. Tseng С. С Frequency response of an interdigital transducer
for excitation of surface elastic waves.— IEEE Trans., 1968,
ED-15, N 8, p. 586—594.
154. Joshi S. C, White R. M. Excitation and detection of surface
elastic waves in piezoelectric crystals.— JASA, 1969, 46, N 1,
p. 17-27.
155. Гилинский И. А., Попов В. В. К теории возбуждения волн в
пьезокристаллах узкими металлическими электродами.— РЭ,
1978, 23, № 2, с. 392—402.
156. Milsom R. F., Reilly N. Н. С, Redwood M. Analisis of genera-
generation and detection of surface and bulk acoustic waves by in-
interdigital transducers.— IEEE Trans., 1977, SU-24, N 3,
p. 147—166.
157. Ingebrigtsen K. A. Surface waves in piezoelectric— J. Appl.
Phys., 1969, 40, N 7, p. 2681-2686.
158. Горышник Л. Л., Кондратьев С. Н. Возбуждение поверхно-
поверхностных электроакустических волн электродными преобразова-
преобразователями.— РЭ, 1974, 19, № 8, с. 1719—1728.
159. Бирюков С. В., Горышник Л. Л. Рассеяние поверхностной
волны в ньезоэлектрике системой металлических электро-
электродов.— РЭ, 1977, 22, № 8, с. 1588—1595.
160. Физическая акустика/Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1969.
Т. 4. Ч. А. 375 с.
161. Mason W. P. Electromechanical transducers and wave filters.
Princeton (N. J.), 1948. 279 p.
162. Kaliski S. Ultrasonic surface waves in semiconducting crystals
of the wurtzite group.— Proc. Vibrat. Probl., 1968, 9, N 2,
p. 91-106.
163. Kaliski S. Direct amplification of ultra- and hypersonic surface
waves in semiconducting crystals of the wurtzite group.— Proc.
Vibrat. Probl., 1968, 9, N 3, p. 221—242.
164. Coldren L. A., Kino G. S. Monolithic acoustic surface—wave
amplifier.- Appl. Phys. Lett., 1971, 18, N 8, p. 317-319.
165. Swierkowski S., Duzer T. V., Turner С W. Amplification of
acoustic surface waves in piezgelectric semiconductors.— IEEE
Trans., 1973, SU-20, N 3, p. 260—267.
166. Кайно. Акустоэлектронное взаимодействие в устройствах на
поверхностных акустических волнах.— В кн.: Тр. Ин-та ин-
инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. М.: Мир,
1976, 64, № 5, с. 188—217. Рус. пер.
167. Викторов И. А. Рэлеевские волны в кристаллах сульфида кад-
кадмия.— ДАН СССР, 1968, 178, № 6, с. 1281—1284.
168. Михайловский А. Б., Пашицкий 9. А. Поверхностные волны
в плазме с током.— ЖЭТФ, 1965, 48, № 6, с. 1787—1795.
169. Анселъм А. И. Введение в теорию полупроводников. М.; Л.:
Физматгиз, 1962. 420 с.
170. Ingebrigtsen К. A., Tanning A. Numerical data for acoustic sur-
surface weves in a-quartz and cadmium sulfide.— Appl. Phys.
Lett., 1966, 9, N 1, p. 16—18.
171. Tseng C. C, White R. M. Propagation of piezoelectric and ela-
elastic surface waves on the basal plane of hexagonal piezoelec-
piezoelectric crystals.— J. Appl. Phys., 1967, 38, N 11, p. 4274—4280.
172. Протопопова Л. Ф., Федорченко А. М. Механические харак-
характеристики поверхностных волн в монокристаллах^ CdS и
CdSe,— Акуст. журн., 1968, 14, № 1, с. 137—138.
2gl

173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
282
Зубова О. М. Поверхноствые волвы в кристаллах CdS с учетом
пьезоэффекта.— Акуст. журн., 1968, 14, № 3, с. 473—474.
Лямшев Л. М. Об усилении поверхностных волн.— Акуст
журн., 1970, 16, № 2, с. 319—320.
Swierkowski S., Duzer Т. V., Turner С. W. Amplification of
acoustic surface waves in piezoelectric semiconductors.— IEEE
Trans., 1973, SU-20, N 3, p. 260—267.
Викторов И. А. Усиление рэлеевских волн в кристаллах
сульфида кадмия.— Акуст. журн., 1968, 14, № 3, с. 467—469.
Berlincourt D., Jaffe П., Shiozawa L. R. Electroelastic propor-
ties of the sulfides, selenides and tellurides of zinc and cadmi-
cadmium.— Phys. Rev., 1963, 129, N 3, p. 1009—1017.
White D. L. Amplification of ultrasonic waves in piezoelectric
semiconductors.— J. Appl. Phys., 1962, 33, N 8, p. 2547—2554.
Hutson A. R., White D. L. Elastic wave propagation in piezo-
piezoelectric semiconductors.— J. Appl. Phys., 1962, 33, N 1, p. 40—
47.
Hickemell F. S. The electroacoustic gain interaction in III—V
compounds: Gallium Arsenide.— IEEE Trans., 1966, SU-13,
N 2, p. 61-69.
Викторов И. А. Усиление рэлеевских волн в кристаллах ар-
сенида галлия.— Акуст. журн., 1970, 16, № 1, с. 37—41.
Shirafuji /., Nakanishi К., Inuishi Y. Amplification of Ray-
leigh wave in GaAs with monolitic structure.- Jap. J. Appl.
Phys., 1973, 12, N 11, p. 1812—1813.
Luduik S., Quate C. F. Amplification of surface shear-wave mode
in GaAs.— J. Appl. Phys., 1972, 43, N 9, p. 3618—3622.
Bateman Т. В., Mcskimin H. J., Whelan J. M. Elastic moduli
of single crystal gallium arsenide.— J. Appl. Phys., 1959,
30, N 4, p. 544-545.
Чарлъсон, Мотт. Динамическое измерение пьезоэлектриче-
пьезоэлектрической и упругой констант арсенида галлия.— Тр. Ин-та инже-
инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. М.: Мир, 1963
51, № 9, с. 1233-1234. Рус. пер.
White R. M., Voltmer F. W. Ultrasonic surface-wave amplifi-
amplification in cadmium sulfide.— Appl. Phys Lett., 1966 8 N 2,
p. 40-42.
Васъкова В, И., Викторов И, А. Прямое усиление рэлеевских
волн в кристалле CdS на частоте 30 МГц.— Акуст. журн. 1967,
13, № 2, с. 292—294.
Кмита А. М., Медведь А. В., Федорец В. Н. Влияние дрейфа
электронов на поглощение поверхностных акустических волн
в CdS.- ФТТ, 1976, 18, № 12, с. 3610-3614.
Coldren L.A., Kino С. S. Monolithic acoustic surface-wave am-
amplifier.— Appl. Phys. Lett., 1971, 18, N 8, с 317—319.
Shibayama K. Acoustics surface wave research in Japan — Wave
Electron., 1974/75, 1, N 1, p. 15—30.
Сысоев Л. А., Тиман Б. Л., Гершун А. С. и др. О выращи-
выращивании кристаллов для целей усиления ультразвука.— Кри-
Кристаллография, 1966, 11, № 6, с. 933—935.
Hutson A, R., McFee J. H., WhiteD. L. Ultrasonic amplification
in CdS.— Phys. Rev. Lett., 1961, 7, N 6, p. 237—239.
Васъкова В. И., Викторов И. А., Розенберг Л. Д. Усиление
ультразвукового сигнала и шумы в кристалле CdS.— Акуст.
журн., 1964, 10, № 4, с. 403—406.
194. Duracz A., Latuszek A. Piezo-semiconductor (CdS) amplifier of
continuous action for a surface wave with net gain 32 dB/cm.—
Proc. Vibr. Probl., 1969, 10, N 3, p. 299—302.
195. Collins I. H., LakinK. M., Quate C. F., Shaw H. J. Amplifica-
Amplification of acoustic surface waves with adjacent semiconductor
and piezoelectric crystals.— Appl. Phys. Lett., 1968, 13, N 9,
p. 314—316.
196. Yoshida K., Yamanishi M. Interaction between surface elastic
waves and drifting carriers in layered systems.— Jap. J. Appl.
Phys., 1968, 7, N 9, p. 1143—1144.
197. Fischler C, Yando S. Amplification of guided elastic waves in
piezoelectric plates through electrical coupling to a semiconduc-
semiconductor.— Appl. Phys. Lett., 1969, 15, N 1, p. 366—368.
198. Hanebrekke H., Ingebrigtsen K. A. Acoustoelectric amplifica-
amplification of surface waves in structure of cadmium-selenide film on
lithium niobate.— Electron. Lett., 1970, 6, N 16, p. 520—521.
199. Mizushima Y., Sudo T. Surface-wave amplification between pa-
parallel semiconductors.— IEEE Trans., 1970, ED-17, N 7,
p. 541—549.
200. Crowley J.D., Giallorenzi T.G., Weller J.F. Tapped SAW
delay line using LiNbO3 coupled to a CdS hulk-wave ampli-
amplifier.— Appl. Phys. Lett., 1976, 29, N 8, p. 458—460.
201. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. М.: Наука, 1967. 683 с.
202. Викторов И. А. Упругие поверхностные волны на цилиндри-
цилиндрических поверхностях кристаллов.— В кн.: Докл. VI Все-
союз. симпоз. по дифракции и распространению волн, Ереван,
Цахкадзор. Ереван: ВНИИРИ, 1973, т. 2, с. 391—394.
203. Chen С. L. On the electroacoustic waves quided by a cylindrical
piezoelectric interface.— J. Appl. Phys., 1973, 44, N 9, p. 3841 —
3847.
204. Васъкова В. if., Викторов И. А., Силъвестрова И. М., Тала-
шее А. А. О волнах рэлеевского типа на цилиндрической по-
поверхности кристалла сульфида кадмия.— Акуст. журн., 1975,
21, № 3, с. 466—468.
205. Васъкова В. И., Викторов И. А., Каекина Т.М. и др. Наб-
Наблюдение поперечных поверхностных волн на цилиндрической
поверхности кристалла CdS.— Акуст. журн., 1977, 23, № 6,
с. 861—866.
206. Викторов И. А., Пятаков П. А. О влиянии пьезоэффекта
на свойства поперечных поверхностных волн на цилиндриче-
цилиндрических поверхностях кристаллов.— Акуст. журн., 1978, 24, № 1,
с. 53—58.
207. Викторов И. А., Пятаков П. А. Акустоэлектрические взаимо-
взаимодействия на цилиндрических поверхностях пьезополупровод-
ников.— Акуст. журн., 1979, 25, № 2, с. 290—293.
208. Викторов И. А., Пятаков П. А. Поперечные поверхностные
волны на цилиндрических поверхностях анизотропного твер-
твердого тела.— Акуст. журн., 1977, 23, № 2, с. 234—241.
209. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения
в ультраакустике. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 480 с.
210. Streifer W.: Kodis R.D. On the solution of a transcendental
equiation arising in the tlieory of scattering by a dielectric cylin-
cylinder.— Quart. Appl. Math., 1964, 21, N 4, p. 285—298.
283

211. Cho F., Hursinger В., Lowson R. Suriace waves circulating oil
piezoelectric substrates.— Appl. Phys. Lett., 1971, 18, N 7,
p. 298-301.
212. Колдрен, Шоу. Линии задержки на поверхностных акустиче-
акустических волнах с большими временами задержки.— В кн.: Тр.
Ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. М.:
Мир, 1976, 64, № 5, с. 30—44. Рус. пер.
213. Ippen E. P. Diffraction of light by surface acoustic waves.—
Proc. IEEE, 1967, 55, N 2, p. 248—249.
214. Uoltmer F. W., Ippen E. P., White R. M. et al. Measured and
calculated surface-wave velocities.— Proc. IEEE, 1968, 56,
N 9, p. 1634—1635.
Оглавление
Предисловие
Часть первая
ТИПЫ ЗВУКОВЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
И ИХ СВОЙСТВА
Глава I. Волны Рэлея 6
1. Уравнения движения, граничные условия, характери-
характеристическое уравнение 6
2. Скорость, смещения и напряжения в рэлеевской волне 9
3. Распределение энергии в рэлеевской волне по глубине 13
4. Рэлеевские волны в кристаллах. Основные соотношений 1С
5. Новые свойства рэлеевских волн, обусловленные ани-
анизотропией 19
Глава II. Волны Лява 22
6. Изотропное однородное полупространство со слоем 23
7. Полупространство со слабой поверхностной неодно-
неоднородностью 27
Глава III. Волны Стоунли 31
8. Граница двух изотропных твердых полупространств 31
9. Граница твердого и жидкого полупространств ... 33
10. Некоторые итоги 34
Глава IV. Волны в пластинах 35
11. Волны Лэмба 36
12. Поперечные нормальные волны 39
Глава V. Волны в полупространстве -со слоем 41
13. Жидкий слой на твердом полупространстве 41
14. Твердый слой на твердом полупространстве 45
Глава VI. Слабонеоднородные поверхностные волны ... 53
15. Квазиобъемные волны в кристаллах 53
16. Волна Гуляева—Блюстейна 5С
17. Поверхностные волны в металлах с магнитным полем 59
285

Глава VII. Волны на криволинейных поверхностях ... СЗ
18. Волны рэлеевского типа на цилиндрических поверхно-
поверхностях ц4
19. Волны с вертикальной поляризацией на выпуклой ци-
цилиндрической поверхности 73
20. Волны с горизонтальной поляризацией 81
21. Сферическая поверхность 84
Глава VIII. Вытекающие поверхностные волны 86
22. Два типа вытекающих поверхностных волн 87
23. Вытекающие волны в изотропном твердом полупрост-
полупространстве 88
24. Вытекающие волны в кристаллах 94
Часть вторая
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ В ИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ
ТЕЛАХ
Глава 1. Методы возбуждения и приема волн Рэлея ... 97
1. Теория ЮО
2. Экспериментальное исследование 111
3. Диаграммы направленности излучателей рэлеевских
волн 117
Глава II. Свойства волн Рэлея 125
4. Связь между волнами Рэлея и Лэмба 125
5. Затухание рэлеевских волн 128
Глава III. Рэлеевские волны на границе с жидкостью . . 135
6. Теоретическое исследование распространения рэлеев-
рэлеевских волн на границе твердого и жидкого полупространств 135
7. Экспериментальное исследование 142
Глава IV. Рэлеевские волны на цилиндрических поверхностях 145
8. Экспериментальное исследование затухания рэлеев-
рэлеевских волн на выпуклых м вогнутых цилиндрических
поверхностях 145
9. Исследование прохождения и отражения рэлеевских
волн на закруглениях различного радиуса 150
Глава V. Влияние дефектов поверхности на распростране-
распространение рэлеевских волн 154
10. Модели единичных поверхностных дефектов 155
И. Линейные поверхностные дефекты 155
12. Локализованные поверхностные дефекты 160
13. Множественные поверхностные дефекты 105
286
Часть третья
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИ-
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
Глава I. Возбуждение поверхностных волн в кристаллах ме-
металлическими электродами 175
1. Методы рассмотрения 175
2. Постановка задачи , 177
3. Электрическое поле излучателя 181
4. Вычисление упругого поля излучателя 184
5. Основные характеристики преобразователя 190
Глава II. Рэлеевские волны в произвольном полупроводни-
полупроводниковом пьезоэлектрическом кристалле (теория) .... 196
6. Постановка задачи, идеализации 196
7. Основные уравнения 199
8. Граничные условия 200
Глава III. Теоретическое исследование распространения рэ-
рэлеевских волн в полупроводниковых пьезоэлектрических
кристаллах структуры вюрцита (группа А ВГ)) .... 203
9. Уравнения и их решения 203
10. Дисперсионное уравнение 208
И. Основные характеристики рэлеевской волны в кристал-
кристалле сульфида кгдмия 211
Глава IV. Теоретическое исследование распространения рэ-
рэлеевских волн в полупроводниковых пьезоэлектрических
кристаллах структуры сфалерита (группа А;)В5) ... 218
12. Уравнения и их решения 219
13. Дисперсионное уравнение 223
14. Основные характеристики рэлеевской волны в кристалле
арсенида галлия 225
Глава V. Экспериментальное исследование взаимодействия
поверхностных волн с электронами в кристаллах CdS 233
15. Импульсный режим усиления 233
16. Непрерывный режим усиления 243
Глава VI. Взаимодействие звуковых поверхностных волн с
электронами в слоистых средах 245
Глава VII. Поверхностные волны на цилиндрических поверх-
поверхностях кристаллов , 248
17. Волны с вертикальной поляризацией 249
18. Волны с горизонтальной поляризацией 251
19. Экспериментальное изучение поверхностных волн на
цилиндрических поверхностях 261
Литература 273