П. Ю ГЕРМАНОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 190 0

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач содержит свыше 600 задач для
внеклассной работы в школе* Характер книги определяет-
ся наличием в ней большого числа так называемых логи-
ческих и комбинаторных задач, своеобразных «числовых
загадок» (математических ребусов), разного рода «некниж-
ных» вопросов и нестандартных арифметических задач. За-
дачам такого рода присущ тот «интригующий момент», ко-
торый неизменно вызывает у пытливого ученика повышен-
ный интерес и возбуждает желание попробовать свои си-
лы в решении их. Все задачи в той или иной мере заставят
ученика проявить догадку, математическое остроумие, упор-
ство в поисках непроторенных путей решения, приучат к
сосредоточенному размышлению. В этом смысле книга и
названа «Сборником задач на сообразительность»
Книга состоит из 10 разделов. Они различаются меж-
ду собой содержанием, определяющим специфику раздела,
и классами, на которые ориентирован предлагаемый ма-
териал. Каждый раздел снабжён кратким предисловием,
содержащим методические указания о назначении и воз-
можном использовании материала; в конце раздела приве-
дены решения задач. Задачи сборника рассчитаны на
объём знаний, соответствующих программе восьмилетней
школы.
Как было указано, основное назначение сборника —
внеклассные занятия. Разнообразие форм внеклассной ра-
боты определяет и разнообразие использования материала
сборника. Наиболее трудные задачи целесообразно ре-
шать в математическом кружке, причём рекомендуемой
♦Часть задач из III, VI и VII разделов книги может быть исполь-
зована также и в классной работе.
3

формой работы над трудной задачей будет включение её в
домашнее задание (иногда с предварительным инструкта-
жем) с последующим тщательным разбором решения на
кружковом занятии.
Более лёгкие задачи, допускающие устное решение, и
не использованные в классе «математические миниатюры»
могут войти в состав математических викторин. Подобрав
циклы устных упражнений применительно к предполагае-
мой аудитории, их можно будет поставить на математичес-
ком вечере, поместить в математическом бюллетене и, на-
конец, время от времени в некоторых случаях проводить
викторину и в обстановке обычного кружкового занятия,
что внесёт в работу кружка разнообразие.
Интересная задача в условиях кружковой работы при-
влечёт внимание учащихся к некоторым вопросам теории,
связанным с заинтересовавшей их задачей. В первую оче-
редь это относится к основной тематике сборника — ариф-
метике; в связи с решением задач на кружке могут быть рас-
смотрены отдельные внепрограммные положения курса
арифметики. Например, следует более широко осветить
вопрос о делимости чисел, ввести понятие о наибольшем
общем делителе, рассказать о различных системах счисле-
ния и т. д. А такие задачи, как, например, № 44 из II раз-
дела и № 63 из VIII раздела, дадут повод в простой и дос-
тупной форме познакомить учащихся с понятием вероят-
ности. Думается, что вообще руководителю кружка не
следует упускать любую возникающую в процессе работы
возможность связать интересную задачу с той теоретичес-
кой проблемой, которая лежит в основе задачи и является
ключом к решению её.
Из 630 задач сборника около 300 задач взяты автором
из его книг: «Вопросы и задачи на соображение» (изданных
в 1956 г. и' 1957 г.) и около 25 задач из книги «Математи-
ческие викторины». Кроме того, в сборник включены:
1) около 100 специальных комбинаторных задач типа
«числовые загадки» на расшифровку «засекреченных» чисел
(примерно на 90% это будут впервые появляющиеся в печа-
ти новые задачи) и 2) около 100, также печатающихся впер-
вые, свежих задач разного содержания (логического и ком-
бинаторного характера, на свойства чисел и др.). Наконец,
около 100 задач заимствовано из разных источников Сре-
ди них несколько известных старинных задач и задачи из
различных старых и современных книг, сборников и жур-
4

налов, в том числе и зарубежных*. Условия некоторых из
них существенно изменены, а для многих заимствованных
задач предлагается новое, более доходчивое решение.
* В основном использованы журналы: «Математическое просвеще-
ние». «Математика в школе», брошюры и списки с задачами, предла-
гавшимися на олимпиадах. Кроме того, по 3—4 задачи взяты из книг:
И. Я. Депман «Рассказы о решении задач». Б. А, Кордемский «Мате-
матическая смекалка». Е. И. Игнатьев «В царстве смекалки». В VI!
разделе несколько вопросов заимствовано из книги Г. Гурвича и
Л. Тутаева «Устные вопросы по геометрии».

РАЗДЕЛ I
ЗАДАЧИ ШУТКИ И ВОПРОСЫ
НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ ДЛЯ УСТНОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для кружка, занимательной математики
V класса.)
Материал этого раздела не может полностью обслужить
все потребности и все возможные виды работы в кружке за-
нимательной математики V класса Назначение его более
скромное: дать для первых занятий кружка яркий, зани-
мательный материал, чтобы возбудить интерес маленьких
математиков к внеклассным занятиям.
Первые 14 «коварных» задач-шуток приучают внима-
тельно вслушиваться в условия задач и критически отно-
ситься к сразу возникающему у неопытного ученика, обыч-
но неверному, ответу Чередуясь с другими, математически
более содержательными задачами, требующими размыш-
лений и некоторого умственного напряжения, они могут
оказаться полезными и для «передышки» перед новым, бо-
лее серьёзным видом работы кружка.
Остальные задачи этого раздела иного характера. Здесь
будут уже не только весёлые загадки-шутки, но и такие
занимательные по форме маленькие задачи, которые при-
влекут внимание учеников к некоторым свойствам чисел и
арифметических действий, разовьют их комбинаторные спо-
собности и математическое воображение Эти задачи, буду-
чи лишь более доступными, по характеру своему тесно при-
мыкают к задачам II, III и IV разделов Поэтому наиболее
лёгкие задачи из этих разделов также могут быть включе-
ны в работу кружка занимательной математики V класса
наряду с задачами I раздела.
6

1. На дереве сидело 10 птиц. Охотник выстрелил и под-
стрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на дереве?
2. Два отца и два сына пошли гулять и купили 3 апель-
сина. Каждый из них получил по апельсину. Как это мог-
ло случиться?
3. Как из трёх спичек, не ломая их, образовать четыре?
4. Что тяжелее: тонна пуха или тонна железа?
5. Яйцо всмятку варится 3 минуты. Сколько времени
потребуется, чтобы сварить 5 яиц?
6. Во сколько раз лестница на шестой этаж дома длин-
нее лестницы на второй этаж этого же дома?
7. Какой знак надо поставить между двумя двойками
чтобы получить число, большее двух, но меньшее трех?
8. В шахматном турнире с тремя участниками всего бы-
ло сыграно шесть партий. Сколько партий сыграл каждый
участник турнира?
9. Одного человека спросили, сколько у него детей. От-
вет был замысловатый: «У меня 6 сыновей, а у каждого сы-
на есть родная сестра». Сколько детей в этой семье?
10. Из двух станций навстречу друг другу одновременно
вышли два поезда: скорый и товарный. Скорость первого
поезда — 80 км в час, второго—40 км в час. Через 6 ча-
сов после своего выхода скорый поезд встретился с товар-
ным. Сколько времени до момента встречи шёл товарный
поезд?
11. 10 насосов за 10 минут выкачивают 10 тонн воды. За
сколько минут 25 насосов выкачают 25 тонн воды?
Три старинные русские задачи-шутки:
12. Двое пошли — 5 гвоздей нашли.
Четверо пойдут — много ли найдут?
13. Летели утки: одна впереди и две позади, одна поза-
ди и две впереди, одна между двумя и три в ряд Посчитай,
сколько всего летело уток?
14. Раздели полтину на половину. (Полтина, полтин-
ник— монета в 50 копеек.)
15. Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько
легче других. Как найти его одним взвешиванием на
чашечных весах?
16. С помощью спичек написано:
VI — IV = IX
Переложив только одну спичку получите правильное ра-
венство. (Задача имеет 2 решения; найдите оба).
7

17. Книга в переплёте стоит 1 руб. 60 коп.; переплёт
на I рубль дешевле самой книги. Сколько стоит книга без
переплёта?
18. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат — 40
минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел
из дому на 5 минут раньше меня?
19. Пуговица весит полтора грамма. Сколько тонн весит
миллион таких пуговиц?
20 За книгу заплатили 4 руб 50 коп. и ещё половину
стоимости книги Сколько стоит книга?
21. Сколько получится десятков, если два десятка
умножить на три десятка?
22. Сколько будет полторы трети от 100?
23. Найти уменьшаемое в вычитании:
~3906
3124
(звёздочки заменяют неизвестные цифры).
24. Найти уменьшаемое и вычитаемое в вычитании:
* # * * * * * __ 1
25. Найти слагаемые в сложении:
* *i* *==# ду
26. Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз
в этой записи встретится цифра 5?
27. Использовав шесть раз цифру 1 и знаки, применя-
емые в арифметике, составить число 100.
28. Использовав пять раз цифру 1 и знаки, применяе-
мые в арифметике, составить число 100.
29 Между цифрами 1 2 3 4 5 6, не меняя их порядка,
расставьте знаки + и — так, чтобы получилась единица.
30. Потребовалось из ящика с чаем, содержащего 1 кг
100 г чаю, отсыпать 1 кг чаю. Как это сделать с помощью ча-
шечных весов, если гирь нет, но имеются два пакета: один
весом в 300 г, а другой весом в 650 г?
31. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и 5 л. Как
с помощью таких сосудов налить из водопроводного кра-
на 4 л?
32 10 пар чёрных и 10 пар коричневых перчаток одно-
го и того же размера были разрознены и вперемешку по-
8

ложены в коробку. Какое наименьшее количество перча-
ток, не рассматривая их, надо вынуть из коробки, чтобы
быть уверенным, что среди них есть хотя бы одна пара?
33. На берегу реки стоят трое взрослых и два мальчи-
ка. У них есть лодка, вмещающая лишь одного взрослого
или двух мальчиков. Как всем пятерым переправиться на
другой берег?
34. Хотят поскорее поджарить 3 ломтика булки. На ско-
вороде умещаются лишь 2 ломтика, причём на поджари-
вание одной стороны ломтика затрачивается одна мину-
та. За какое наименьшее число минут можно поджарить с
обеих сторон все три ломтика?
35. Пришли ко мне два друга. Оба отличные шахмати-
сты. С каждым из них я сыграл по одной партии и обе про-
играл. В комнату вошла моя десятилетняя дочь, она при-
ветствовала нас и сказала: «Папочка, если позволишь, ч
берусь сыграть успешнее тебя. Я буду играть одновремен-
но на двух досках: на одной — белыми, на другой — чёр-
ными». К моему восторгу, смешанному с досадой, она дей-
ствительно сыграна с лучшим результатом, чем я. (Кста-
ти, дочь лишь недавно узнала правила движения фигур.)
Как объяснить такой успех девочки?
36. Два числа перемножили — получили 24. Затем
большее из этих чисел разделили на меньшее — опять по-
лучили 24. Что это за числа?
37. Может ли сумма двух чисел равняться их разности?
38. Найти дробь с возможно меньшим знаменателем,
7 8
которая была бы больше — , но меньше —.
15 15
39. Сосчитайте «в уме» произведение:
9-24-25.
40. Один из двух сомножителей равен 36. Как изменит-
ся произведение, если другой сомножитель увеличить на 9?
41. Как изменится двузначное число, если к нему при-
писать такое же число?
42. Сумма и произведение четырёх целых чисел равны
8. Что это за числа?
43. Сумма трёх различных целых чисел равна их про-
изведению. Что это за числа?
44. Мальчик хочет 30 орехов разложить на 3 кучки
так, чтобы число орехов в каждой кучке было нечётным.
Какой совет вы дали бы мальчику?
9

45 Существует ли такое целое число, которое делится
на аюбое из остальных целых чисел?
46. Восстановить пропущенные цифры в умножении:
* 8« * 8**
47. Ученик перемножил на доске два двузначных числа
**
Х 9*
***
и получил верное произведение.
Найдите это произведение и подумайте, какое замечание
учитель сделал ученику.
48. Найти произведение в умножении:
49. Найти произведение в таком незаконченном умно-
жении:
v 51
**
#*
50. Как, использовав четыре раза цифру 9 и знаки, при-
меняемые в арифметике, составить число 100?
51. Имеются два кирпича обычной формы, сделанные из
одинакового материала. Один из них весит 5 кг Сколько
весит второй кирпич, если все размеры его в 5 раз меньше?
А В
Черт. U
52 На полустанке В стоит поезд в составе 10 вагонов;
он должен пропустить вперёд приближающийся к полустан-
ку скорый поезд А (черт 1). Как это сделать, если ветка С
около полустанка вмещает только 6 вагонов?
(Стрелка показывает направление движения обоих поездов.)
10

63. Канал шириной 3,5 м имеет поворот (черт. 2). Как ор-
ганизовать переправу через него, если имеются две доски,
но длина каждой из них только 3 лс?
Черт. 2
ПОЯСНЕНИЯ
8. Четыре партии (так как в каждой партии участвуют
два игрока).
9. Семь (6 мальчиков и одна девочка).
12. Вернее всего, что они ничего не найдут.
14. 50 : — = 100.
2
15. Взять любые два кольца и положить по одному на
чашки весов. Если будет равновесие, то третье кольцо —
искомое. Если же равновесия не будет, то искомое кольцо
обнаружится сразу.
16. V4-IV=IX, VI-HV=X.
19. Так как в тонне миллион граммов, то миллион пу-
* ,1 / , 1 1000000 , i \
говиц будет весить 1— тонны. / 1— • — 1—1.
J 2 \ 2 1000000 2/
20. 9 руб. (так как половина стоимости книги 4 руб.
50 коп.).
22. 50 (полторы трети — 1— . — = — ] .
2 о 2 /
23. Складывая разность 3124 и вычитаемое 3906, полу-
чим уменьшаемое 7030.
25. Сумма любых двух двузначных чисел меньше 200.
Значит *97=197. Так как 99-1-99 = 198, то здесь искомые
слагаемые — 99 и 98.
26. В десятке 50—59 цифра 5 встречается 11 раз, в каж-
дом из 9 остальных десятков — 1 раз.
27. (И—1)(11—1) = 100
28. 111-11 = 100.
29. 14-24-3-4+5—6=1.
11

30. На чашки весов положить по пакету и уравновесить
их, насыпав в чашку с пакетом в 300 г чай Ссыпать полу-
чившиеся 350 г чаю и отвесить из оставшегося чая 650 г
с помощью пакета в 650 г.
31. 1) Наполняем сосуд в 5 л и переливаем из него воду
в 3-литровый сосуд. 2) Выливаем воду из 3-литрового со-
суда и переливаем в него оставшиеся в 5-литровом сосуде
2 л воды. 3) Наполняем сосуд в 5 л и переливанием из него
1 л, дополняем сосуд в 3 л. В 5-литровом сосуде оста-
нется 4 л.
32. Если среди 20 перчаток окажутся все 10 штук чёр-
ных с правой (или левой) руки и 10 штук коричневых то-
же с одной руки, то 21-я перчатка обязательно образует
пару чёрного или коричневого цвета.
33. Переправляются 2 мальчика и один из них возвра-
щается обратно. Затем переправляется один взрослый, а в
лодку садится оставшийся на другом берегу мальчик и воз-
вращается обратно Повторив такую же операцию с пе-
реездами ещё 2 раза, все 5 человек будут переправлены
на другой берег.
34. На сковороду кладутся 2 ломтика. Через 1 минуту
они будут поджарены с одной стороны. Затем 1 ломтик пе-
реворачивают, а другой снимают и заменяют третьим лом-
тиком. Через 1 минуту один ломтик будет поджарен с обеих
сторон. Его заменяют снятым ранее ломтиком и ещё через
1 минуту все три ломтика будут поджарены с обеих
сторон.
35. Пусть партнёр А играет белыми, а партнёр В —
чёрными. Девочка ждёт, какой ход сделает Л, и повторяет
этот же ход на доске с В. Затем она ждёт, как ответит на
её ход Б, и повторяет этот ход чёрными в игре с А. Если
А выиграет, то и девочка выиграет у В> и наоборот. Или
же обе партии будут ничьи.
37. Пусть имеются два числа, причём меньшее из них
есть нуль. Тогда сумма этих чисел будет равна их разности.
39. 9-24-25 = 964 25 = 54 100 = 5400.
40. Увеличится на 36-9 = 324.
41. Увеличится в 101 раз. (Например, 2323 = 2300 -f
-f 23 = 23-100 + 23 = 23-101.)
44. Не пытаться делать это, так как сумма трёх любых
нечёгных чисел — число нечётное, а 30 — число чётное.
46. 98-9 = 882. Если хотя бы одна звёздочка в сомно-
12

жителях означала цифру, меньшую 9, то произведение бы-
ло бы меньше 800.
47. По расположению сомножителей видно, что множи-
тель 90. Двузначное множимое при умножении на 9 даёт
двузначное произведение. Значит, множимое 10 или 11.
Но при множимом 10 запись умножения была бы другой.
Учитель указал ученику, что умножение 11-90 надо было
сделать в строчку.
48. Единственный двузначный множитель, при котором
произведение 92**<1000, есть число 10.
49. Так как 52-1 — число двузначное, а 52-2 — уже
число трёхзначное, то множитель здесь может быть толь-
ко 11.
50. 99 + -.
9
51. Объём, а следовательно, и вес меньшего кирпича в
5-5-5 раз меньше объёма и веса большего. Имеем:
5000 г:5= 1000 г,
1000 г : 5 = 200 г,
200 г : 5 = 40 г.
52. Поезд В задним ходом отво-
дит на ветку 6 вагонов, отцепляет их
и снова уходит вперёд. Поезд А про-
ходит вперёд, задним ходом подходит
к ветке, берёт отцепленные вагоны
поезда В, выводит их вперёд, а затем
задним ходом отходит за ветку и отцепляет эти 6 вагонов.
На освободившуюся ветку становится поезд В с четырьмя
вагонами. Теперь путь для поезда А свободен.
53. Решение задачи указано на чертеже 3.
*

РАЗДЕЛ U
ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ
ЗАДАЧИ ДЛЯ УСТНОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для внеклассных занятий.)
Второй раздел книги содержит 76 нестандартных задач
разнообразного содержания, допускающих устное реше-
ние Назначение его — предоставить учителю достаточно
богатый выбор несложных занимательных задач для ис-
пользования в различных видах внеклассных занятий V—
VIII классов. Так, наиболее простые задачи, близкие по
содержанию и степени трудности к задачам первого разде-
ла, могут быть включены в работу кружков пятых и шестых
классов, а более сложные задачи логического и комбина-
торного характера могут быть использованы в кружках
седьмых и восьмых классов. Вместе с тем большинство за-
дач II раздела дадут учителю интересный материал для ма-
тематических вечеров, викторин и устных олимпиад в VI—
VIII классах.
Задачи второго раздела, несмотря на их кажущуюся
«несерьёзность» и подчёркнутую занимательность, имеют
несомненную образовательную и воспитательную ценность.
Своим увлекательным содержанием многие из этих задач
помогут углубить интерес ученика к математике и будут
способствовать развитию его мышления, настойчивости
и сосредоточенности внимания.
1. В коробке лежат 15 шариков: чёрных, белых и крас-
ных. Красных шариков в 7 раз меньше, чем белых. Сколь-
ко в коробке чёрных шариков?
2. Проехав половину всего пути, пассажир заснул. Ког-
да он проснулся, то оказалось, что ему осталось ехать по-
14

ловину того пути, который он проехал спящим. Какую часть
всего пути пассажир проехал спящим?
3. Семь одинаювых хлебцев надо поровну разделить
между двенадцатью лицами. Как это сделать, не разрезая
хлеба на 12 частей?
4. Окрашенный куб с ребром в Ю см распилили на ку-
бики с ребром в 1 см. Сколько среди них окажется кубиков
с одной и с двумя окрашенными гранями?
5. Какое это число, если четверть его — половина и ещё
четверть?
6. Я отпил —часть стакана черного кофе и долил его
6
молоком. Затем я выпил — стакана и снова долил его моло-
о
ком. Потом я выпил полстакана и опять долил молоком На-
конец я выпил полный стакан. Чего больше выпито: кофе
или молока?
7. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли
две мухи. Спустившись до полу, они поползли обратно.
Первая муха ползла в оба конца с одинаковой скоростью,
а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но
зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше
приползёт обратно?
8. Моему брату через два года будет вдвое больше лет,
чем ему было два года назад, а моя двоюродная сестра че-
рез 3 года будет втрое старше, чем 3 года назад. Кто из них
старше?
9. При переоборудовании котельной установки, потреб-
лявшей 100 кг топлива в час, были применены два усовер-
шенствования: одно — дающее 25% экономии топлива, и
другое — дающее 20%. Сколько килограммов топлива пот-
ребляла установка после переоборудования в течение часа?
10. Как, использовав четыре раза цифру 3 и знаки, упо-
требляемые в арифметике, составить число 100?
11. Как, использовав четыре раза цифру 5 и знаки, упо-
требляемые в арифметике, составить число 100? (Указать
два способа.)
12. Написаны подряд цифры 1 2 3 4 5. Не меняя поряд-
ка цифр, вставить между ними знаки, употребляемые в
арифметике, чтобы в результате получилось число 100.
13. В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок.
Если из каждого ящика вынуть по 60 яблок, то во всех ящи-
ках вместе останется столько яблок, сколько раньше бы-
15

ло в двух ящиках. Сколько яблок первоначально было в
каждом ящике?
14. У мальчика сестёр столько же, сколько братьев, а
у его сестры сестёр вдвое меньше, чем братьев. Сколько все-
го детей в этой семье?
15. В делении 3** : *3=3* восстановить неизвестные
цифры.
16. Перемножены все нечётные двузначные числа. Ка-
кой цифрой оканчивается полученное произведение?
17. Какой цифрой оканчивается разность:
1.2-3.....18.19 —1-3 17-19.
18. Назовите возможно большее число последних цифр
произведения: 1-2 3-... >48 49. 44
19. Какой цифрой оканчивается число 4 ?
20. Из двух пятёрок и знаков, употребляемых в ариф-
метике, образовать число, равное —.
21. Кубические миллиметры, заключающиеся в 1 куб. м,
приставлены друг к другу в виде полоски. Сколько вре-
мени потребуется, чтобы проехать эту полоску при скоро-
сти 50 км в час?
22. Найти трёхзначное число, кратное 9, в котором циф-
ра десятков на 4 больше цифры единиц, а произведение трёх
чисел, выражаемых цифрами этого числа, равно нулю.
23. Найти чётное четырёхзначное число, две средние
цифры которого образуют число, в 3 раза большее числа
тысяч и в 2 раза большее цифры единиц этого числа.
24. Найти произведение в умножении:
6*
V **
**Q
25. Расшифровать (т. е. заменить звёздочки цифрами)
следующее равенство:
** * *—1
26. Число 82** делится на 90. Найти частное.
27. Найти двузначное число, сумма десятков и единиц
lb

которого, сложенная с их разностью, равна 10. Если же
между цифрами этого числа вставить цифру 9, то образо-
вавшееся трёхзначное число окажется в 11 раз больше ис-
комого.
28. Найти число, кратное 5. которое, будучи умножено
на цифру его единиц, окажется на 216 больше суммы его
цифр.
29. Покупатель, чтобы уплатить за 2 пятирублёвые бан-
ки консервов, 3 пачки сигарет и 6 коробок спичек, даёт
кассиру 25 рублей, получает чек и сдачи 10 руб. 60 коп. Хо-
тя покупатель и не знал, сколько стоит коробка спичек:
8 коп. или 10 коп., он сразу, не глядя на чек, уверенно зая-
вил, что кассир ошибся.
Каким образом покупатель так быстро обнаружил ошиб-
ку кассира?
30. «Одним росчерком» (т. е. не отрывая карандаша) про-
вести ломаную линию, состоящую из
4-х отрезков, так, чтобы она пере- • • •
черкнула 9 точек, не проходя ни че-
рез одну из них 2 раза.
31. Из 75 одинаковых по виду ко-
лец одно кольцо по весу несколько от- • • •
личается от других. Двумя взвешива-
ниями на чашечных весах опреде-
лить, легче или тяжелее это кольцо, • • •
чем остальные.
32. В математическом кружке бы- Черт. 4
ла предложена задача: «Из шести
шестёрок и знаков, употребляемых в арифметике, соста-
вить число 100».
Один из решивших эту задачу учеников сказал: «Как
интересно получается! Ведь если все шестёрки в этом вы-
ражении заменить любыми одинаковыми цифрами (кроме,
конечно, нуля), то всё равно получится число, равное 100».
Как ученик решил эту задачу?
33. Из шести семёрок и знаков, употребляемых
в арифметике, составить число 100. (Найти 2 реше-
ния.)
34. Написаны подряд цифры 12345678 9. Не меняя
порядка цифр, вставить между ними знаки Н- и — так,
чтобы в результате получилось число 100
35. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма
цифр которых равна двум?
2 Заказ 1№5
17

36. От примера на деление на доске сохранились лишь
такие следы:
368
200
0
Найти делимое.
37. Ученикам V класса было предложено умножить «в
уме» 84 на 84. Один мальчик очень быстро дал ответ: 7056.
На вопрос, как он считал, мальчик сказал: «Да я просто от-
нял 144 от 7200». Как считал мальчик?
38. 500 руб. были изъяты из сберкассы в 4 срока:
1-й раз
2-й раз
3-й раз
4-й раз
Взято
200 pv6.
150 руб.
90 руб.
60 руб.
Всего 500 руб.
Осталось
300 руб.
150 руб.
60 руб.
Всего 510 руб.
Откуда взялись лишние 10 руб.?
39. Из 8 одинаковых колец одно несколько легче осталь-
ных. Найти его не более чем двумя взвешиваниями на ча-
шечных весах.
40. Из 4 одинаковых колец одно несколько отличается
по весу от других. Найги его не более чем двумя взвеши-
ваниями на чашечных весах.
41. Из бочки со спиртом берут литр спирта и выливают
в бочку с водой. Затем из этой бочки берут литр образовав-
шейся смеси и выливают в первую бочку Чего теперь боль-
ше: воды в первой бочке или спирта во второй?
42. Вода, обращаясь в лёд, увеличивается в объёме на
2_ часть своего объёма. Сколько кубических дециметров
воды образуется при переходе в воду куска льда в
132 дм3?
43. В ящике лежат 70 шаров, отличающихся лишь цве-
том: 20 красных, 20 синих, 20 жёлтых, остальные — чёр-
18

ные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять,
не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров од-
ного цвета?
44. Брошены два игральных кубика. Какая сумма оч-
ков на их верхних гранях наиболее вероятна?
45. Указать наибольшее число коней, которые можно рас-
ставить на шахматной доске так, чтобы ни один из них не
был под боем другого (цвет коней не учитывается).
46. Двое одновременно отправились из А в В. Первый
поехал на велосипеде, второй — на автомобиле со скоро-
стью, в 5 раз большей скорости первого. На полпути с ав-
томобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути
автомобилист прошёл пешком со скоростью, в 2 раза мень-
шей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл
в В?
47. Имеется достаточное количество казначейских би-
летов достоинством в 3 руб. и 2' билета по 5 руб. Можно ли,
пользуясь только этими деньгами, составить любое число
рублей, большее 7?
48. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет, а
младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца ока-
жется равным сумме лет его детей?
49. На Украине часть жителей одного города умеет го-
ворить только по-украински, часть — только по-русски
и часть говорит на обоих языках. По-украински говорит
85 °о, а по-русски 75% жителей города. Какой процент жи-
телей говорит на обоих языках?
50. Пароход проплывает некоторое расстояние по те-
чению реки за 3 часа, а обратно — за 4— часа. За сколько
времени проплывает это же расстояние пустой бочонок,
увлекаемый лишь течением?
51. (Из русского задачника XVIII века.) На вопрос:
«Который час?»~был дан ответ: «— прошедших часа от> по-
5
2
луночи до сего времени равны — часа, оставшихся до по-
о
лудня». Спрашивается, сколько сейчас времени?
52. Двое путников одновременно вышли из А в В.
Первый половину времени, затраченного им на переход,
шёл по 5 км в час, а затем пошёл по 4 км в час. Второй же
первую половину пути прошёл по 4 км в час, а затем по-
шёл по 5 км в час. Кто из них раньше пришёл в В?
2*
19

53. В шестом часу я взглянул на часы: большая стрел-
ка была ровно на 3 минутных деления позади часовой
стрелки. Какое время показывали часы?
54 Сколько трёхзначных чисел имеют по крайней ме-
ре две одинаковые цифры?
55. Как, имея лишь два сосуда вместимостью в 5 л и 7 л,
налить из водопроводного
крана 6 л воды?
56. Можно ли ходом коня
обойти доску такого вида, как
указано на чертеже 5, побы-
вав при этом на каждой клет-
ке доски один и только один
раз?
57. В плоскости распо-
ложено несколько зубчатых
колёс так, что первое колесо
сцеплено со вторым, второе—
С третьим, третье—с четвёр-
тым и т. д. Последнее же ко-
лесо сцеплено с первым. Бу-
дут ли вращаться колёса та-
кой системы?
58. Две противоположные стороны прямоугольника
увеличили на — часть, а другие две — укоротили на —
6 6
часть. Как изменится площадь прямоугольника?
59. Игра «Кто первый скажет сорок?»
Играют двое. Начинающий называет одно из чисел: 1,
2, 3, 4. Второй игрок прибавляет к этому числу одно из тех
же чисел: 1, 2, 3, 4 и называет вслух получившуюся сумму.
То же самое делает затем первый игрок и т. д. Выиграв-
шим считается тот, кто первым назовёт число 40. Может ли
второй игрок обеспечить себе выигрыш, какое бы число ни
назвал, начиная игру, первый игрок?
60. Произведение четырёх последовательных целых чи-
сел равно 3024. Найти эти числа.
61. Мальчик говорит своему приятелю: «Я подсчитал,
что для перенумерования всех страниц вот этой малень-
кой книги, начиная с первой страницы её, потребовалось
ровно 100 цифр». Не сможете ли вы, не видя самой книги,
проверить, правильно ли подсчитал мальчик число
цифр?
20

62. Найти сомножители в следующем умножении:
63. Найти делимое и частное в делении:
*•**
**
**
11
**
о
64. Найти делимое и частное в делении: *2** :9*=***,
если известно, что делитель — число нечётное.
65. Можно ли, соблюдая правила игры в домино, вы-
ложить в цепь все 28 костей домино так, чтобы на одном кон-
це оказалась шестёрка, а на другом конце — пятёрка?
66. Шахматную доску из
8X8 клеток можно, очевидно,
полностью покрыть 32-мя ко-
стями домино размером в 2
клетки каждая кость А мож-
но ли ту же доску, но из кото-
рой вырезаны два угловых по-
ля (черт. 6), покрыть 31 ко-
стью домино?
67. «Какое четырёхзнач-
ное число, будучи прочита-
но справа налево, увеличи-
вается в 6 раз?» — такой воп-
рос был предложен одному
математику Ответ был дан
им немедленно. Попробуйте разгадать этот ответ.
68. Когда автомобиль проехал часть пути от А до В, то
оказалось, что он проехал столько километров, сколько
минут ему придётся ехать оставшуюся часть пути Но ког-
да он проехал и эту часть пути, то оказалось, что опять он
проехал столько километров, сколько минут он затратил
на первую часть пути. Сколько километров в час делал ав-
томобиль?
Черт. 6
21

69. Брат говорит сестре: «Если я к твоим деньгам до-
бавлю половину моих, мы сможем купить две плитки шо-
колада». «Ну, а если я к твоим деньгам прибавлю полови-
ну моих?» — спросила сестра. «Тогда у нас будет денег
только на одну такую плитку», —ответил брат. Сколько
денег было у брата?
70. Три игральных кубика положены друг на друга в
виде столбика. Требуется определить сумму очков на 5 зак-
рытых гранях — нижней и двух парах соприкасающихся
граней, зная лишь число очков на верхней грани.
Указание. Суммы очков на всех трёх парах про-
тивоположных граней кубиков всегда бывают равными.
71. Два ученика хотели купить себе по линейке. Когда
продавец назвал цену линейки, то оказалось, что у од-
ного не хватает для покупки 24 коп., а у другого—2 коп.
Тогда они решили сложить свои деньги и купить одну ли-
нейку на двоих. Оказалось, что денег всё равно не хва-
тает. Сколько стоила линейка?
72. У меня нет карманных часов, а только стенные, ко-
торые остановились. Я пошёл к своему приятелю, часы ко-
торого идут верно, пробыл у него некоторое время и, при-
дя домой, поставил верно свои стенные часы. Как мне уда-
лось это сделать, если предварительно я не знал, сколько
времени занимает дорога?
73. Игра «Кто последний положит
монету».
Двое по очереди кладут пятикопе-
ечные монеты на прямоугольный стол.
Монеты можно класть только так,
чтобы они даже отчасти не покрыва-
ли друг друга. Выигравшим счи-
тается тот, кто последним сможет
положить монету на свободное место
(предполагается, что монет у оСоих
играющих имеется достаточно мно-
го).
Указать план игры, при котором
игрок, делающий «первый ход», может
обеспечить себе выигрыш.
74. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им
дважды по одной и той же линии, нарисуйте изображённую
на чертеже 7 фигуру.
75. Двести учеников выстроены прямоугольником по
й
22

10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в
каждом продольном ряду. В каждом поперечном ряду вы-
бран самый низенький ученик, а затем из 20 отобранных
выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. За-
тем в каждом продольном ряду был выбран самый высокий
ученик, а потом из 10 отобранных выбран самый низень-
кий. Им оказался ученик Петров. Кто выше: Андреев или
Петров?
76. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста,
игравшие друг с другом по одной партии. Таблица резуль-
татов турнира оказалась испорченной и имела следующий
вид:
Котов
Лобов
Морев
Нулин
Котов
=
Лобов
^=
Морев
Нулин
2
Число
очков
Место
I
II
III
IV
Требуется полностью восстановить таблицу.
РЕШЕНИЯ
1. Нельзя допустить, что красных шариков больше од-
ного, так как уже при предположении, что красных шари-
ков два, белых будет 2 • 7 = 14 и общее число шариков
окажется больше 15. Значит, в коробке только один крас-
ный шарик, а белых и чёрных по 7.
2. Пассажир проехал спящим —■ второй половины пути.
3
Следовательно, он проехал спящим — всего пути.
3
3. Каждый из трёх хлебцев разрезать на 4 равные ча-
сти, а каждый из остальных четырёх — на 3 равные части.
Образуется 12 одинаковых порций по — + — хлебца.
3 4
23

4. Вдоль каждого из 12 рёбер куба образуется 8 куби-
ков с двумя окрашенными гранями (крайние кубики при
8 вершинах куба будут иметь три окрашенные грани).
Ьсего таких кубиков будет
8 • 12 = 96. Внутренний
квадрат со стороной 8 см
на каждой из шести гра-
ней куба образует после
распиловки куба 8а = 64
кубика с одной окрашен-
ной гранью. Всего их бу-
дет 64 • 6 = 384 (черт. Ъ),
5. (1+1). 4=3.
6. Кофе и молока вы-
пито по 1 стакану. Кофе
выпито столько, сколько
его было, т. е. 1 стакан.
Чеот 8 Молока выпито
1 j. * _. 1 1
т + т + т™ * стакан.
6 3 2
7. Первая, так как за время, которое вторая муха за-
тратила на подъем, первая может сделать два конца.
9. 60 кг, (75 — 1 • 75 = 60).
10. 33, (3) X 3.
И- (5 + 5) • (5 + 5); (5- 5 — 5) . 5.
12. (1 + 23 — 4) • 5; (1 • 2 + 3) - 4 . 5.
13. 100 яблок. Было вынуто 60 ■ 5 = 300 яблок, кото-
рые, по условию, составляют содержимое трёх ящиков.
14. Из первого условия видно, что число мальчиков на
1 больше числа девочек, а из второго условия видно, что
число мальчиков вдвое больше числа девочек, уменьшен-
ного на 1. Но это уменьшенное на 1 число будет уже на
2 меньше числа мальчиков. Значит, половина числа маль-
чиков есть 2, то есть в семье 4 мальчика и 3 девочки.
15. Первая цифра делителя *3 может быть только 1,
так как уже 23 . 3* больше 3**. Цифра единиц частного
3* может быть только нулём, так как уже 31 ■ 13 «
« 403 >3**. Делимое — 13 ■ 30 = 390.
16. Если все сомножители нечётны и среди них есть
24

хотя бы одно число, оканчивающееся цифрой 5, то н про*
нзведение оканчивается цифрой 5.
17; Уменьшаемое оканчивается нулём, вычитаемое—
пятью. Следовательно, разность оканчивается цифрой 5
IS. Произведение числа, кратного 5, на чёглое число
оканчивается нулём. Среди сомножителей 1 • 2 • 3...48 49
чисел, кратных 5, будет 9 (числа 5, 10, 15, ...,45) Среди
этих 9 сомножителей число 25 может быть представлено
в виде произведения двух сомножителей, кратных 5.
Таким образом, произведение 1 2 • 3 ..... 48 • 49 оканчи-
вается 10 нулями.
19. Число 4 в любой нечётной степени оканчивается циф-
рой 4, а в любой чётной — цифрой 6. Здесь 4 возводится
в степень, равную 44, а 4* — число чётное. Значит, 4*4
оканчивается цифрой 6.
21. 1 м* = 10003 мм9. Длина полоски км ~
1000-1000
« 1000 км. Потребное время ——- « 20 (часов).
22. Среди цифр числа есть нуль. Нуль не может быть
цифрой сотен (иначе число будет двузначным). Нуль не
может быть цифрой десятков, так как цифра десятков
больше цифры единиц. Значит, число имеет вид *40 Но
оно кратно 9. Значит, цифра сотен 5
23. Последняя цифра искомого чётного числа не больше
8. Значит, две средние цифры образуют число, не большее
16. Но это число делится и на 2, и на 3, т. е. оно кратно 6.
Следовательно, эти две цифры образуют либо 12, либо 0,6;
последнее отпадает, так как тогда цифра единиц 3 — не-
чётная цифра. Искомое число — 4126.
24. Как видно из схемы умножения, оба произведения
числа 6* на ту и другую цифры множителя — числа дву-
значные. Эго возможно только в случае, если множитель»
равен 11. Но тогда последняя цифра множимого — 6. Ис-
комое произведение 660 + 66 ~ 726.
25. ** • * = I -Ь *. Но произведение ** • * содержит
не менее двух цифр, а сумма 1 -}- * равна двузначному чис-
лу в единственном случае, когда слагаемое * » 9 Зна-
чит, ** . * = Ю, что возможно только, если мно-
жимое ** = 10, а множитель * «= 1. Итак, имеем:
Ю. 1—9= 1.
26. Число 82** делится на 10 и 9. Значит, последняя
цифра его — нуль, а сумма цифр 8 + 2 + * -|- 0 делится
25

на 9. что возможно лишь в cr.yiae, если цифра десятков —
8
27. Цифра десятков — 5, так как 10 — удвоенная циф-
ра десятков. По условию трёхзначное число 59* кратно 11.
Деля 59* на 11 и получив первый остаток — 4, заключаем,
что цифра единиц * может быть только 4.
28. Последняя цифра искомого числа — 5 (так как, оче-
видно, эта цифра не может быть нулём). Наименьшее
трёхзначное число 105. будучи умножено на 5, даст про-
изведение — 525, превышающее сумму цифр множимого
больше, чем на 500. Значит, искомое число — двузначное
и сумма цифр его не меньше 6 и не больше 14. Произведение
*5 * 5, по условию, должно заключаться между 216 +
J. 6 = 222 и 216 -Ь 14 = 230. Кроме того, оно оканчивает-
ся цифрой 5 Значит, это произведение — 225, а искомое
число — 225 : 5 = 45.
29. Выраженная в копейках стоимость 3 пачек сигарет
и 6 коробок спичек есть целое число, кратное 3. Кассир под-
считал стоимость всей покупки в 25 руб, — 10 руб. 60 коп.
*= 14 руб. 40 коп. Следовательно, за сигареты и спички
он взял 4 руб. 40 коп. Но 440 коп. — число, не деля-
щееся на 3.
30. Решение задачи видно
на чертеже 9.
81. Образуем 3 кучки по
25 колец в каждой. Назовём
их № 1, № 2, № 3. Кладём
на две чашки весов по кучке,
например № 1 и № 2.
1) Если наступит равнове-
сие, то кучки № 1 и № 2 со-
стоят из колец нормального
веса, а кольцо другого веса
находится в кучке № 3. Вто-
рым взвешиванием мы сравни-
Черт. 9 ваем вес «нормальной» кучки
(№ 1 или № 2) с кучкой № 3
и по положению чашки с кучкой № 3 сразу обнаруживаем,
легче или тяжелее остальных кольцо с другим весом.
2) Если равновесия не будет и, допустим, чашка с куч-
кой № 1 перетянет чашку с кучкой № 2, мы вторым взве-
шчванием сравним вес кучки № 1 (или № 2) с кучкой № 3,
заведомо состоящей из колец нормального веса. Если куч-
26

ки № 1 и № 3 окажутся в равновесии, то кольцо другого
веса находится в кучке № 2 и оно лзгче остальных. Если
же кучки № 1 и № 3 не будут в равновесии, то кольцо дру-
гого веса находится в кучке № 1 и оно тяжелее остальных
32. (666 — 66) : 6 = 100.
33. Одно решение совпадает с решением задачи № 32
(777 —77): 7.
Другое решение: (7 + 7) • 7 + (7 + 7) : 7.
34. 123 — 45 — 67 + 89.
35. Наибольшая цифра — 2. Пятизначных чисел с циф-
рой 2 только одно — 20 000. Если в изображении пяти-
значного числа имеются две единицы, то одна из них обя-
зательно стоит на первом месте, а другая может стоять
на любом из остальных четырёх мест. Всего пятизначных
чисел, сумма цифр которых равна двум, — 5.
36. Из схемы деления видно, что при умножении дели-
теля на 8 получилось 200. Значит, делитель — 25. Дели-
мое — 368 • 25 = 36800 : 4 = 9200.
37. Судя по ответу мальчика, ход вычислений был та-
ков: 84 ■ 84 = (12 ■ 7) • (12 . 7) = 144 - 49 =
- 144 • (50- 1) - Itffi- 144.
38. Постановкой вопроса внушается ложная мысль, что
сумма изъятий равна сумме остатков: ест и, например,
10 руб. будут изъяты в 10 приёмов по 1 руб. в каждый, то
сумма изъятий составит, конечно, 10 руб.; сумма же оста-
тков будет 9 -f- 8 + ... + 2 + 1 = 45 (руб.).
39. Если бы колец было 3, то. положив на чашки весов
по одному кольцу, мы в случае равновесия их установили
бы, что оставшееся кольцо более лёгкое. Если же равнове-
сия нет, то сразу видно, какое из взятых колец более лёг-
кое. Если колец будет 8, мы произвольно разобьём их на
кучки в 3, 3 и 2 кольца и, положив кучки по 3 кольца на
чашки весов аналогично предыдущему, сначала установим,
в какой из трёх кучек находится более лёгкое кольцо. Вто-
рым взвешиванием найдём и само это кольцо.
40. Пронумеруем кольца: № 1, № 2, № 3 и № 4. Кла-
дём на чашки весов по кольцу — № 1 и № 2. Возможны
два случая.
1) Наступило равновесие. Значит, искомое кольцо или
№ 3, или № 4. Заменяем на весах кольцо № 2 кольцом
№ 3. Если равновесие нарушается, то кольцо № 3 — ис-
27

ксмое: если же равновесие опять сохранится, то кольцо
№ 4 — искомое.
2) Равновесия нет. Значит, искомое кольцо либо № 1,
либо Л* 2, а кол1Ц1 № 3 и № 4 — нормального веса. За-
меняем на весах к* льцо As 2 кольцом К* 3. Если наступит
равновесие, то искомое кольцо — № 2. Если равновесия
не будет, то кольцо № 1 — искомое.
41. Количество жидкости в каждой бочке остаётся не-
изменным. Значит, то количество спирта, которое в резуль-
тате двух переливаний оказалось во 2-й бочке (с водой),
замещает то же количество воды, которое после перелива-
ний окажется в 1-й бочке: количество воды в первой бочке
и спирта во второй одинаково.
42. При обратном переходе льда в воду объём льда
уменьшится на — ; 132 дм3 льда перейдёт в 121 дм9 воды.
• 2
43. Наибольшее число шаров, при котором 10 шаров
одинакового цвета может и не оказаться, 37, так как тогда
может случиться, что будут взяты по 9 красных, синих и
жёлтых шаров и все шары чёрного и белого цвета. Значит,
взяв еще один шар, обязательно будем иметь 10 шаров
одинакового цвета. Поэтому изъятие 38 шаров всегда обе-
спечивает наличие среди них 10 шаров одного цвета.
44. Сумма очков на верхних гранях не меньше 2 и не
больше 12. Наиболее вероятна сумма, которая может быть
получена наибольшим числом различных сложений двух
слагаемых (учитывая и порядок их), каждое из которых
есть одно из" чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Так, сумма 2 может
быть получена лишь одним сложением: 1 -f 1. Сумма 3 —
двумя сложениями: 1 + 2 и 2 + 1. Сумма 4 — тремя сло-
жениями: 1+3, 2 + 2 и 3+1. Легко видеть, что сумму
7 можно образовать наибе.ошим числом сложений (шестью
сложениями): 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1.
Дл? сумм 8, 9, 10, 11 и 12 число различных сложений
уменьшается. Таким образом, наиболее вероятная сумма
очков 7.
45. Конь, стоящий на белой клетке, бьёт фигуру, стоя-
щую на чёрной клетке, и наоборот. Значит, "если рас-
ставить коней на 32 клетках одного цвета, ни один из них
не будет под боем другого.
46. За время, которое автомобилист потратил на вторую
половину пути, велосипедист проезжает весь путь от -4 до
В; следовательно, велосипедист прибыл в В раньше.
28

47. 8 = 3 + 5; 9 = 3 -f 3 + 3; 10 = 5 + 5. Все числа,
большие 10, могут быть образованы прибавлением к 8, 9 и
10 достаточного числа слагаемых, каждое из которых
равно 3.
48. 41 — (13 + 10 + 6) = 12. Каждый год эта разность
уменьшается на 2: через 6 лет возраст отца будет равен
сумме лет его детей.
49. Из каждых 100 жителей города говорят по-укра-
ински 85 человек, а остальные 15 человек по-украински
говорить не умеют. Значит, они говорят только по-русски.
Но по условию задачи из каждых 100 жителей города го-
ворят по-русски 75 человек, причём из них- только 15 чело-
век не говорят по-украински. Значит, на обоих языках
говорят 75—15 = 60 человек, т. е. 60 % всех жителей горо-
да.
50. За 1 час пароход по течению проплывает— всего
з
2 12
расстояния, а обратно этого же расстояния. =
= — всего расстояния есть удвоенная часовая скорость
течения, а — расстояния есть часовая скорость течения.
Огедовательно» бочонок, увлекаемый течением, проплы-
вает это расстояние за 18 часов.
51. Из условий задачи видно, что промежуток времени
между 12 час. ночи до момента, о котором идёт речь в за-
даче, относится к промежутку времени между этим мо-
9 2
ментом и 12 час. дня, как— : —, или, что то же самое.
з э
как 5 :3. Сумма обоих промежутков 12 часов. Искомое
12 с -1
показание часов 5 = 7—.
5-}-3 2
52. Первый пешеход со скоростью 5 км в час прошёл
больше половины пути, а второй — только половину пути;
первый прибыл в В раньше.
53. Когда часы показывали 5 час, часовая стрелка была
на 25 минутных делений впереди большой стрелки, а ког-
да я взглянул на часы, часовая стрелка была лишь на 3
минутных деления впереди большой: большая стрелка «на-
гнала» 25 —3 = 22 деления. В течение одной минуты боль-
шая стрелка проходит 1 деление, а часовая —- деления:
29

за 1 минуту большая стрелка нагоняет часовую на 1 — ■—=
= — минутного деления. Чтобы нагнать 22 деления, по-
12
требуется 22: — = 24 (минуты), и часы будут показывать
5 час. 24 мин.
54. Из 9 сотен, начинающихся цифрами 1, 2, 3,..., 9,
возьмём одну сотню, например начинающуюся цифрой
4. Повторяющиеся цифры встретятся в 3-х группах чисел
вида 4**:
1) Чисел, у которых вторая цифра тоже 4 (т. е. 440,
441,..... 449), будет 10.
2) Чисел, у которых третья цифра 4, но вторая отлич-
на от 4 (т. е. 404, 414,-.., 494), будет 9 (число 444 в эту
группу не входит).
3) Чисел, у которых одинаковы 2-я и 3-я цифры, отлич-
ные от 4 (т. е. 400, 411, .., 499), будет 9 (число 444 в эту
группу не входит).
Таким образом, в каждой из 9 сотен чисел с повторяю-
щимися цифрами будет 10 + 9 + 9 = 28, а всего таких
трёхзначных чисел будет 28 - 9 = 252.
55. 1) Наполняем 7-литровый сосуд и переливаем из
него 5 л в 5-литровый сосуд. Оставшиеся в 7-литровом сосу-
де 2 л переливаем в опорожненный 5-литровый сосуд. 2) Сно-
ва наполняем 7-литровый сосуд, переливаем из него 3 л в
5-литровый сосуд, а затем оставшиеся в 7-литровом сосуде
4 л переливаем в опорожненный 5-литровый сосуд. 3) Опять
наполняем 7-литровый сосуд и отливаем из него 1 л в 5-
литровый сосуд.
56. Конь поочерёдно попадает на белые и чёрные поля
доски. Но на доске указанного вида белых полей — 32, а
чёрных — 25. Если конь обойдёт по одному разу все
25 чёрных полей, то он побывает и на 25 белых полях; ему
останется обойти семь белых полей, не попадая на чёрные,
что невозможно.
57. Если из двух сцепленных зубчатых колёс одно вра-
щается по часовой стрелке, то другое будет вращаться в.
направлении, противоположном вращению часовой стрел-
ки. Поэтому, если пронумеровать последовательно сцеплен-
ные между собой зубчатые колёса, то все зубчатые колёса,
имеющие нечётный номер, будут вращаться в одном и том
же направлении, а имеющие чётный номер — в противопо-
30

ложном. Если в системе из п зубчатых колёс последнее,
я-е колесо, будет сцеплено с первым, то это колесо может
рассматриваться и как колесо 1-е и как колесо с номзром
/i + l. Если число /г + 1 окажется нечётным числом, т. е
число п — чётным числом, то система будет работать; если
же п будет нечёгным числом (и, следовательно, я+1—гёт-
ным числом), то возникнет положение, при котором 1-е
колесо должно будет одновременно вращаться в двух
противоположных направлениях, что невозможно.
Итак, система будет работать, если число п чётное.
1 7 5 1
58. Площадь уменьшится на -- часть (1 • — = -L ).
36 6 6 36
59. Игрок, которому удастся назвать число 35, следую-
щим «своим ходом», сколько бы ни назвал его партнёр, су-
меет назвать и 40 и выиграет. Но, чтобы назвать 35, он
должен предварительно назвать 30, перед тем 25 и т. д
Таким образом, выиграет тот, кто первый назовёт 5. Но
первый игрок, начиная игру, не может назвать числа, боль-
шего 4, и, сколько бы он ни назвал, второй игрок всегда
сумеет назвать 5, а затем подряд все числа, кратные 5, до
40 включительно.
60. Среди искомых чисел нет 10, так как последняя
цифра произведения 4. Если бы все эти сомножители были
больше 10, то произведение их было бы бэльше I04 =
= 10 000 > 3024. Значит, все сомножители меньше 10.
Но среди них нет 5 (так как тогда последняя цифра про-
изведения была бы 0). Из чисел, меньших 10, можно со-
ставить лишь 2 группы по 4 последовательных числа, не
включающих 5: 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9 1-я группа даёт
в произведении 24, 2-я — 6 • 7 • 8 • 9 = 56 • 54 = 552 —
— 1 = 3025 — 1 =3024.
61. В книге заведомо меньше 100 страниц. На первые
9 страниц книги потребуется 9 цифровых знаков На каждую
следующую страницу потребуется 2 цифры; следова-
тельно, на все страницы, начиная с десятой, потребуется
чётное число цифр Сложенное с девятью, это число даст
нечётную сумму, то есть число, не равное 100.
62. Последняя цифра первого частного произведения 8,
значит, последняя цифра множимого — 4. Первая цифра
множимого 1, так как уже 22* • 7 — число четырёхзнач-
ное. Произведение множимого 124 на первую цифру множи-
теля — число четырёхзначное. Так как 124 • 8 = 992, то
первая цифра множителя — 9.
31

63. Наибольшее, кратное 11, двузначное число, заклю-
чающееся в трёхзначном числе, есть 99. Поэтому схему деле-
ния можно записать так:
99_
3*
*#
11
9<
О
Трёхзначное число, образуемое тремя первыми цифра-
ми делимого, есть сумма 99 И- 3 = 102. Единственное чис-
ло вида 3*, делящееся на 11, есть 33. Итак, делимое —
1023, частное — 93.
64. Так как частное — число трёхзначное, то первая
цифра делимого — 9, а нечётный делитель —91. Будем
делить 92** на 91 обычным образом:
92**
91
91
тт~ Деление завершится, если 1**окажет-
1и ся кратным 91. А это возможно лишь
1 в случае, если 1** = 182.
1**
65. Сумма очков на 56 половинках всех 28 костей до-
мино есть число чётное (так как каждое число очков—0,
1, 2, ..., 6 встретится в костях 8 раз). Если теперь допу-
стить, что кости выложены в цепь так, как указано в зада-
че, то окажется, что на стыке любых двух костей внутри
цепи по ту и другую сторону от стыка лежит одинаковое
число очков, т. е. сумма всех «внутренних» очков есть чис-
ло чётное. Сумма же очков на краях — 6 + 5=11 — чис-
ло нечётное. Таким образом, сумма всех очков на всех 28
костях окажется числом нечётным. Это противоречие ука-
зывает, что выложить кости, как указано в задаче, нельзя.
66. При любом покрытии костями домино шахматной
доски камень покрывает две клетки — чёрную и белую.
Поэтому 31 кость может покрыть 31 белую клетку и 31
чёрную. На доске же имеется 32 белых клетки и 30 чёрных.
Значит, покрыть такую доску костями дсуико нельзя.
67. Ответ мог быть только один: «Такого числа нет, а
указание, что искомое число четырёхзначное, лишнее». Дей-
ствительно, если произведение числа на 6 сохраняет то же
число цифр, сколько их в множимом, то первая цифра
множимого может быть только 1. Произведение любого
числа на 6 есть число чётное, а по основному условию за-
32

дачи последней цифрой произведения окажется 1, что
невозможно. Это рассуждение может быть применено,
конечно, к числам двузначным, трёхзначным и т. д., а не
только к четырёхзначным.
68. На весь путь автомобиль потратил столько минут,
сколько километров от А до В. Скорость его 1 км в мин.,
или 60 км в час.
69. По условию одну плитку можно купить, взяв все
деньги брата и половину денег сестры. Значит, на все день-
ги сестры и удвоенные деньги брата можно купить 2 плит-
ки. Но по первому условию задачи стоимость двух плиток
равна сумме всех денег сестры и половине денег брата.
Следовательно, — денег брата и удвоенные его деньги —
одно и то же число. Это возможно лишь в случае, если это
число нуль: у брата денег не было.
70. Сумма очков на всех 6 гранях игрального кубика
1+2+3 + 4 + 5 + 6 = 21.Суммы очков на каждых
двух противоположных гранях равны между собой; зна-
чит, каждая из этих сумм 21 : 3 = 7. Если известно число
очков на верхней грани верхнего кубика, например 2, то
на нижней грани этого кубика будет 5, а искомая сумма
5 + 7 + 7 = 19.
71. Если бы у первого ученика были хотя бы 2 коп., то,
сложив свои деньги, ученики смогли бы купить одну ли-
нейку, так как второму ученику не хватало для покупки
именно двух копеек. На самом же деле, и сложив свои
деньги, они не смогли купить линейку. Значит, у первого
ученика было меньше чем 2 копейки, хотя по смыслу за-
дачи какие-то деньги у него всё же были. Следовательно,
у первого ученика была одна копейка; а так как для по-
купки линейки ему не хватило 24 коп., то линейка стоила
25 коп.
72. Уходя, я завожу свои стенные часы и замечаю их
показание. Придя к приятелю, я замечаю по его часам
время прихода и ухода от него, а, придя домой, по своим
стенным часам определяю, сколько времени я всего отсут-
ствовал. Вычтя отсюда время, проведённое у приятеля, и
поделив разность пополам, я узнаю, сколько времени зани-
мает дорога к приятелю в одян конец. Теперь остаётся толь-
ко к показанию часов приятеля в момент моего ухода от
него прибавить время, затраченное на дорогу домой, и я
смогу верно поставить часы.
3 Заказ 1685
33

73. Начинающий игру должен положить монету в точ-
ку пересечения диагоналей прямоугольника, а затем каж-
дый раз класть свою монету так, чтобы она оказалась сим-
метричной с монетой партнёра относительно точки пере-
сечения диагоналей.
74. Одно из возможных ре-
шений задачи видно на чер-
теже 10.
75. Возможны три случая:
1) Андреев и Петров стояли
в одном поперечном ряду. Тогда
Андреев ниже Петрова, так как
Андреев ниже всех в своём ряду.
2) Андреев и Петров стояли
.в одном продольном ряду. Тог-
•7 да Андреев ниже Петрова, так
как Петров выше всех в этом
продольном ряду.
3) Андреев и Петров стоя-
ли в разных поперечных и про-
дольных рядах. Сравним росты
Андреева и Петрова с ростом
ученика Иванова, который стоит
на пересечении этих рядов. Андреев ниже Иванова, так как
Андреев ниже всех в том поперечном ряду, в котором они оба
стоят. Но Иванов ниже Петрова, так как Петров самый вы-
сокий в том продольном ряду, в котором они оба стоят.
Но если Андреев ниже Иванова, а Иванов ниже Петрова,
то Андреев и в этом случае окажется ниже Пет-
рова.
А 3
76. Всего в турнире было сыграно-^- = 6 партий. Сле-
довательно, все участники турнира вместе набрали 6 оч*
ков.
Наибольшее число очков, которое мог набрать победи-
тель турнира Котов, 2-^ очка. Если допустить, что он
набрал меньше 2-=- очков, то общее число очков, набран*
ных всеми участниками, окажется меньше 6. Действитель-
но, уже при предположении, что Котов набрал 2 очка, бу-
дем иметь: Лобов, самое большее, набрал 1-у очка, Морев—
34

1 очко и Нулин —i- очка, т. е. всего будет набрано
2 + 1г+1+-ги"Б очков.
2 2
Итак, Котов несомненно набрал 2~ очка, выиграв у
Лобова и Морева. Максимальное число очков у Лобова —
2. Если допустить, что он набрал меньше, например 1—
очка, то Морев максимально мог набрать 1 очко, а Нулин
— — очка и общая сумма очков опять окажется меньше
2
6 ^2-1 + 1-j + 1 + -j в 5-Д Итак, Лобов набрал 2 очка,
выиграв у Морева и Нулина.
Из общего числа очков — 6 очков — на долю Морера и
Нулина вместе остаётся б — (2~- + 2) «= 1-i- очка, при-
чём Морев, занявший в турнире более высокое место, чем Ну*
лин, сделавший ничью с Котовым, должен иметь не мень-
ше (но и не больше) чем 1 очко.
Заполненная таблица имеет вид:
Котов
Лобов
Морев
Нулин
Котов
вшяшйшштшаштшшятшш!^'
0
0
±
2
Лобов
1
=
I»
=====
0
0
Морев
1
1
—
0
Нулин
1
2
1
1
•
* - ...-
Число
очков
4
2
1
JL
2
Место
I
II
Ш
"
3*

РАЗДЕЛ 111
ВОПРОСЫ И «МАЛЕНЬКИЕ» ЗАДАЧИ ПО АРИФМЕТИКЕ
ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕННОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для классной и внеклассной работы.)
Третий раздел книги посвящен арифметике. Он вклю-
чает «некнижные» вопросы, маленькие задачи и другие
упражнения, соответствующие школьному курсу арифме-
тики, по степени трудности и по содержанию несколько
отличающиеся от задач, имеющихся в стабильных задач-
никах.
Тематика предлагаемых упражнений охватывает сле-
дующие программные вопросы: законы арифметических
действий и приёмы устного счёта, процентные вычисления,
изменение результатов действий в связи с изменением ком-
понентов, делимость чисел. Для кружковых занятий в
VI — VIII классах, кроме того, включены вопросы, свя-
занные с понятием НОД, а также упражнения на раз-
личные системы счисления и некоторые свойства точ-
ных квадратов.
Основное назначение упражнений, включённых в III
раздел, — углубить понимание основ арифметики, приоб-
щить ученика к более свободному и лёгкому оперированию
числами и развить у него навыки в инициативном приме-
нении программного материала к вычислениям и решению
практических задач. Весь предлагаемый здесь материал
прежде всего может быть использован в различных видах
внеклассных занятий, особенно в кружковой работе. Бо-
лее же доступные упражнения окажутся полезными в
классной работе: или непосредственно на уроке, или как
часть домашнего задания.
Большинство упражнений ориентировано на устное ре-
шение, может быть несколько более замедленное по темпу,
36

чем обычные устные упражнения, практикуемые на уроке.
В связи с этим ещё раз хочется подчеркнуть большую пе-
дагогическую эффективность устных упражнений: уже са-
мо предложение «решить устно» активизирует учеников,
возбуждает их пытливость в поисках экономных путей
решения.
Базой для решения задач, включённых в раздел, как
уже было указано, служит программа по арифметике V —
VI классов, а иногда и начальные сведения по алгебре,
соответствующие программе VI класса. Вместе с тем от-
дельные задачи потребуют более развитого мышления,
чем то, которым обладает ученик V класса. Больше того,
думается, что в целях углублённого повторения арифмети-
ки в старших классах средней школы (в чём имеется на-
сущная необходимость!) часть упражнений третьего разде-
ла книги с большой пользой может быть вынесена на вне-
классные занятия в этих классах (в том числе и в IX—XI
классах).
Устные вычисления
(Законы арифметических действий и приёмы устного
счёта.)
Вычислить:
1. 99 —97 + 95 —93 + ...+3 — 1.
2. 64-125-875.
3. 12-L.1456.
2
4. 12-12-^.54.
5.2,85-1^ + 61:3.
6. 421.7-4—17-60.
7. 2450я.
8. 14-L.43-1-.
2 2
9. Встретилась необходимость устно перемножить чис-
ла 85 и 95. Укажите 2 — 3 удобных способа для умноже-
ния «в уме» этих чисел.
10. Выражение в'??7'1**'7'*3'* было вычислено с точ-
г 5.64-7,22-0,348
ностью до 0,01 и был получен результат: 3,41. Можно ли.
37

посчитав tB уме», сразу установить, что полученный ре-
зультат ошибочен?
11. Было куплено 7—м ситца ценой по 13 руб. 20 коп.
за 1 м. Стоимость покупки пришлось вычислить «на ходу»
устно. Укажите два удобных способа для вычисления
«в уме» стоимости покупки.
12. Вычислить сумму: 8-914 -f 6-12-17 -f- 4-18-19.
13. Вычислить:-74-"il7.=ii.
73147-4-74
14. 5-5,27 - 5-4,27 - 6,27 + 4,27.
15. Правильная или неправильная дробь:
244-ДО — 151 р
244 + ЗД5-аде
16. Вычислить: х% — 77х 4- 122 при х « 78.
17. Из числителя и знаменателя дроби -г вычли одно
67
и то же число и получили дробь, равную ~. Какое число
А
было отнято от членов дроби?
18. Вычислить: 37,75s8 — 22,25".
19. Укачать все дроби со знаменателем 15, которые
больше --, но меньше — .
П 11
Какая из дробей больше:
«ш и* 31 .»
20. -или ~?
21. f или^?
35 177
22. Щ или -?- ?
67 152
23. 5! или 377 ?
67 677
Сравнить дроби:
24. 5Z „ «г.
67 6767
25 Найти 22,5% от 168
26. Что больше. 38,4% от 87 или 87% от 38,4?
38

Вычислить:
27. 72% от 85.
28. 76% от 87,5.
29. 72,8% от 37 g..
30. Разделить 80 на две части так, чтобы одна часть
составляла 60% другой части.
Изменение результатов действий в связи с изменением
компонентов
31. Уменьшаемое 5,4, вычитаемое 0,67. К вычитаемому
прибавили разность этих чисел. Назовите новую раз*
ность.
32. Как изменится разность, если к уменьшаемому при-
бавить её, а из вычитаемого вычесть половину ее?
33. Найти сумму двух чисел, если она на 60 больше
одного из слагаемых и на 42 больше другого.
34. Представить 20 в виде суммы двух чисел так, что
если к первому прибавить 4, а второе утроить, то полу-
чившиеся слагаемые будут равны.
35. Как изменится произведение, если из множимого
вычесть половину его, а к множителю прибавить число,
равное удвоенному множителю?
36. Множимое увеличили на 20%, а множитель умень-
шили на 20%. Как изменится произведение?
37. Число делили на 7; в остатке получили 2. Как из-
менится частное, если делимое увеличить в 7 раз?
38. Как изменятся частное и остаток, если к делимому
прибавить делитель?
39. Как изменится частное, если из делителя вычесть у
его?
40. Как изменится частное, если делимое умножить на
4, а из делителя вычесть -g- его?
41. Делимое уменьшили на 10%, а делитель увеличили
на 10% Как изменилось частное?
42. Найти несократимую дробь, которая не изменяет
своего значения при прибавлении к числителю её 4, а
к знаменателю 10.
43. Найти дробь, которая увеличивается втрое при
прибавлении знаменателя к числителю.
39

44. Какий эшжсиж*»>.?<• •. е.я «..jshj чш.ппыь и зншиям
mm» Дроби, КОТОра* умличнилмси кдиое при прибавления
знаменателя к числителю-'
45. Найти несократимую дробь, коюрая увеличивает-
ся вдвое при прибавлении знаменателя к ее числителю
и знаменателю.
46. Когда к числителю несократимой дроби прибавили
2, а знаменатель дроби умножили л л 2, значение дроби не
изменилось. Когда же т знаменателя вычли числитель,
то дробь обратилась и целое числи. Пай г и у* у дробь.
47. При делении числа на 72 а остатке получилось 68.
Как изменится частное и сколько получится в остатке» ес-
ли то же число разделить на 24?
48. Сумма двух чисел 27. Когда первое слагаемое уве-
личили в 5 раз, а второе — в 3 раза, то новая сумма ока-
залась равной III. Или г и эти числа.
49. Делимое разделили на удвоенный делитель и в
частном получили 6. Когда же делимое разделили на ут-
роенное частное, то снова получили б. Найти делимое и
делитель.
50. Увеличится или уменьшится правильная дробь ~-,
если к числителю и знаменателю её прибавить одно и то
же натуральное число?
Делимость чисел
51. Существуют ли чётные простые числа?
52. В каких десятках первой сотни имеется три (и толь-
ко три; простых числа?
53. Есть ли среди чисел первой сотни такой десяток, в
котором было бы лишь одно простое число?
54. Четырёхзначное число, у которого все цифры оди-
наковы, имеет только два простых делителя. Что это за
число? Каковы его простые делители?
55. Сколько всего различных делителей у числа, раз-
ложение которого на множители имеет вид 28-3f?
58. Может ли сумма трёх последовательных натураль-
ных чисел быть простым числом?
57. Может ли сумма четырёх последовательных нату-
ральных чисел быть простым числом?
58. Доказать: «Если сумма четырёх чисел есть число
нечетное, то произведение их — число чётное».
40

50. Складываются числа 2Н, 31, 61, 92 я 120, причём
по ходу решаемой чадачи важно только знать, будет ли
сумма их делиться ни 3. Можно ли, не производя сложения
этих чисел, выяснить, разделится ли сумма «а 3?
вО. К двузначному числу прибавили В, сумма оказалась
кратной 5 Когда от иего отняли 3, разность оказалась
кратной трем. А когда его разделили на 2, то оказалось,
что и частное делится иа 2 Найти число
61. Докапать: «Вели сумма трёх последовательных це-
лых чисел есть число нечётное, то произведение их делит-
ся на 24*.
62. К двузначному числу приписано такое же число
Может ли образовавшееся четырёхзначное число быть
простым?
63. К числу 10 справа и слева приписать по одной циф-
ре так, чтобы получилось чисто, кратное 72
64. Доказать, что сумма двух любых последовательных
нечётных чисел делится на 4.
65. Произвольно взяты два натуральных чиста и со-
ставлены сумма, разность и произведение их Доказать,
что среди этих трёх чисел по крайней мере одио число крат-
но трём.
66. а, b и с — натуральные чиста, причём а делится
на Ъ и Ь делится на с. Найти наименьшее общее кратное
и наибольший общий делитель этих чисел.
67. Можно ли утверждать, что наименьшее общее
кратное любых двух натуральных чисел делится на наи-
больший общий делитель их?
68. Какое число при делении его на любое из чисел 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 каждый раз даёт в остатке единицу?
69. Какое двузначное простое число при умножении
на 9 даёт в произведении трёхзначное чисто, состоящее из
одинаковых цифр?
70. Найти множимое и множитель в умножении;
****
****
*****
При этом известно:
1) Четырёхзначное множимое кратно 5.
2) Множимое не изменяется, если прочитать его спргва
налево.
41

3) Произведение кратно 9.
(Всю расшифровку произвести «в ум».)
71. Доказать: «Если сумма двух целых чисел делится
на 10, то квадраты этих чисел оканчиваются одинаковы-
ми цифрами».
72. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Если в
этом числе переставить цифры, то оно уменьшится на 36.
Найгк это число.
73. За 7— м ткани ценой по 13 руб. 20 коп. за 1 м про*
давен выписывает чек на 99 руб. 60 коп. Покупатель поч-
ти сразу уверенно заявляет, что продавец сшибся. Как»
не умножая 7— на 13,2, покупатель ног так быстро обнару-
жить ошибку продавца?
74. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число.
В первом случае в остатке получили 4, а во втором 18.
На какое число делили?
75. Найти наименьшее число, при делении которого на
2. 3, 4, 5 н 6 каждый раз получаются остатки, на едини-
цу меньшие соответственного делителя.
76. Можно ли утверждать, что среди любых трёх после-
довательных чётных (или же трёх последовательных не-
чётных) чисел всегда есть число, кратное 3?
77. Доказать: сВсякое простое число, большее 3, имеет
вид 6я ± 1». Верна ли обратная теорема?
78. Всегда ли простое число, большее 3, можно пред-
ставить в виде Зл п 1?
79. Доказать: «При всяком целом л произведение
п(п -е- 1)(2й 4- I) делится иа 6».
80. Числа а и Ь взаимно простые. Будут ли взаимно
простыми числа а + Ь и ab?
81. Дробь у несократимая. Будет ли несократимой
дробь -£-?
82. Из трёхзначного ЧИСЛа вычли обращенное число
(ИЛИ каобсрот. если взять число меньше обращенного)
Можно ли утверждать, ЧТО полученная разность — состав-
ное ЧИСЛО?
83. Чтобы узнать, является ли число 1601 простым,
его стали делить на 2, 3. 5. 7, 11,... На каком простом
числе можно прекратить испыт&Н2£е?
42

84. Имеется достаточное число казначейских билетов
достоинством в 1 руб., 3 руб. и 5 руб. Можно ли с помощью
их разменять 100 руб. так, чтобы общее число казначей-
ских билетов было нечётным?
85. Что больше: произведение двух чисел или произ-
ведение наибольшего общего делителя этих чисел на наи-
меньшее общее кратное?
86. Найти наибольший общий делитель двух чисел,
если при делении на него их нммяьшеге общего кратного
в частном получается произведи::- ?:::х чисел.
87. Наименьшее общее ухг-?.'л :ъ:х чисел, не деля-
щихся друг на друга, равк; У., а наибольший общий де-
литель их 6. Найти эти чи:::
88. Может ли нанбольп:.:. 'У,-.:.:. д£.:::?ель двух чисел
быть больше их разности?
89. Найти остаток от деления 123 436 на 9.
90. Найти остаток от деления 123 456 на 15.
91. Число 13*045* (где звёздочки — цифры) делится
на 72. Найти это число.
92. Доказать, что число л* —8 ни при каком целом
значении п не делится на 5.
93. Доказать: «Если в трёхзначном числе средняя циф-
ра равна сумме крайних, то число делится на 11».
94. Доказать: «Любое нечётное число н половина сле-
дующего за ним чётного числа суть числа взаимно
простые».
95. Разность двух нечётных чисел равна 8. Доказать,
что зтз чиста взаимно простые.
96. Имеется несократимая дробь, большая единицы.
Можно ли утверждать, что избыток этой дроби над едини-
цей является также несократимой дробью?
97. Доказать: «Если дробная часть смешанного числа
несократима, то полученная при обращении смешанного
Ч7лгл глт.'ъъиг.гтя дробь также несократима».
95. .'•':::■::-:; ли утверждать, что при любых целых а,
больших даух, дробь —— несократима?
в — 1
99. Какая из дробей ближе к единице: правильная или
обратная ей неправильная?
100. Найти все натуральные значения р, при которых
числа р, р т 10 и р -г 14 оказываются простыми чис-
лами.
43

Некоторые свойства точных квадратов
101. Сумма квадратов двух последовательных целых
чисел равна 3G5. НаЛтн эти числа.
102. Сумма квадратов трёх последовательных целых
чисел равна 365. Найти эти числа.
103. Может ли квадрат чётного числа быть пятизнач-
ным числом, состоящим из цифр 1, 4, 5, 9, 9?
104. Доказать, что разность квадратов двух любых не-
чётных чисел делится на 4.
105. Найти дробь, равную 0,4, если известно, что сум-
ма числителя и знаменателя этой дроби есть двузначное
число, являющееся точным квадратом.
106. Найти трёхзначное число, если известно:
1) Это число — точный квадрат.
2) Если прочитать его справа налево, то получившееся
трёхзначное число также есть точный квадрат.
3) Каждая из трёх цифр числа — точный квадрат.
107. Почему 4-я степень трёхзначного числа не может
быть равна 76 864?
108. Доказать: «Чтобы число, оканчивающееся цифрой
5, возвести в квадрат, достаточно число десятков его ум-
ножить на следующее натуральное число и к произведению
приписать справа 25».
109. Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти
его.
110. Сформулировать и доказать правило для возведе-
ния в квадрат смешанных чисел, дробная часть которых
равна —
111. Среди трёх последних цифр числа, являющегося
точным квадратом, имеются цифры 0,0,5. Назовите четы-
ре последние цифры этого числа.
112. Квадрат числа состоит из цифр 2, 2, 5, 5, 5. Най-
ти его.
113. Может ли число вида асас* (где а и с — цифры)
быть точным квадратом?
Н4, Может ли число вида abcabc (где а, Ь и с — циф-
ры) быть точным квадратом?
* Выражение вида асас здесь и в дальнейшем означает число, в
котором буквы а, с и т. д. обозначают цифры (а не сомножители
произведения).
44

115. Может ли произведение двух последовательных
чётных (или нечетных) чисел быть точным квадратом?
116. Может ли произведение двух последовательных це-
лых чисел быть точным квадратом?
117. Доказать, что ни при каком целом я число
5ft8 + 10 не может быть точным квадратом.
118. Доказать: «Сумма квадратов пяти последователь-
ных целых чисел не может быть точным квадратом».
119. Когда трёхзначное число, являющееся точным квад-
ратом, умножили на 6, то произведение оказалось крат-
ным 5; когда же из него вычли 6, то разность оказалась
кратной 6. Найти это число.
120. При каком значении а число а" + а + 1589 ока-
жется точным квадратом?
121. Почему при делении точных квадратов на 3 в ос-
татке никогда не получается 2?
122. Найти наибольшее чётное пятизначное число, пер-
вые три цифры которого образуют точный квадрат, а по-
ледние три цифры — точный куб.
123. Доказать: «Сумма квадратов двух любых нечётных
чисел не может быть точным квадратом».
124. Может ли разность квадратов двух целых чисел
равняться числу 7422?
125. Квадраты простых чисел 5, 7, 11, 13, 17 и 19 де-
лили на 24. В остатке каждый раз получалась 1. Была
высказана гипотеза: квадраты всех простых чисел, боль-
ших 3, при делении на 24 дают остаток, равный единице.
Подтвердите или опровергните гипотезу.
Разные задачи
(на системы счисления, свойства чисел и др.)
126. (Из шуточной автобиографии математика.)
«Учиться я начал очень рано и уже 33 лет от роду ус-
пешно перешёл в выпускной класс средней школы. Пом-
ню, что последний экзамен на аттестат зрелости совпал
с днём моего рождения: в этот день мне исполнилось 100
лет...»
Объясните странности этой записи и укажите, в каком
возрасте автор её окончил школу.
127. Какое четырёхзначное число в любой системе
счисления оказывается точным кубом?
45

128. Число 121 в десятеричной системе счисления есть
точный квадрат (11а — 121). Будет ли число, изображённое
такими же цифрами — 121, точным квадратом в других
системах счисления?
129. При каком условии число, изображённое в двоич-
ной системе счисления, будет кратным 4?
130. Как проще всего показать, что произведение 40!
(40! = 1-2-3. ... -39 40) не может быть точным квадратом?
131. Может ли 4-я степень целого числа быть семизнач-
ным числом, состоящим из цифр 2, 3, 3, 5, б, 7, 7?
132. Назовите три последние цифры произведения
25 27.49-75.
133. При каком условии число abch делится на 4?
134. Доказать: «Всякое целое число есть либо степень
числа 2, либо сумма различных степеней числа 2».
135. Попробуйте, не производя вычитания 7234 -— 4867,
выяснить, делится ли разность этих чисел на 9.
136. Какое число нужно вычесть из числителя дроби
— и его же прибавить к знаменателю, чтобы после со-
463 г
крашения получить дробь -- ?
137. Сформулировать признак делимости на 3 для чи-
сел, записанных в шестеричной системе.
138. Сформулировать признак д лимости на 4 для чи-
сел, записанных в двенадцатиричной системе.
139. Взяты числа вида 2я — 1(1, 3, 7, 15, 31 и т. д.).
Докажите, что все эти числа при изображении их в двоич-
ной системе записываются с помощью только одной циф-
ры — единицы.
140. Какие двузначные числа, записанные в четверич-
ной системе, изображаются одинаковыми цифрами, а бу-
дучи записанными в двоичной системе, изображаются хо-
тя и другими, но также одинаковыми цифрами?
141. От Л до £ автомобиль агёл со скоростью 40 км в
час, а обратно — со скоростью 60 км в час. Какова сред-
няя скорость автомобиля за весь рейс (туда и обратно)?
142. Из железного прута хотят сделать цепь либо в
46

80 звеньев, либо в 100 звеньев. Во втором случае каждое
звено окажется на 5 а легче. Сколько весит прут?
ИЗ. На один товар два раза была снижена иена, каж-
дый раз на 15%. На другой товар, бывший до снижения
в одной цене с первым, снизили иену один раз на 30"6.
Какой из этих товаров после снижения иен стал дешевле?
144. На заводе две соревнующиеся бригады с одинако-
вым числом рабочих выполняли одинаковую работу. При
подведении итогов соревнования оказалось: первая брига-
да на единицу продукции тратила времени на 20% меньше
нормы, а вторая бригада за отчётный период регулярно
выполняла 122 — 123"о планового задания.
В какой бригаде производительность труда выпи?
145. Пройдя половину пути, пароход увеличил скорость
на 25%, благодаря чему прибыл на конечный пункт на
полчаса раньше срока. Во сколько часов пароход прошэл
весь путь?
146. Окружность переднего колеса экипажа 1,6 м, зад-
него 2,25 м. Определить наименьшее расстояние, которое
должен проехать экипаж, чтобы оба колеса обернулись
целое число раз.
147. Из корзины взяли 3 яблока, затем треть остатка
и еще 3 яблока. После этого в корзине осталась половина
первоначального количества яблок. Сколько всего яблок
было в корзине?
148. Возраст моего внука в 1959 году был равен сумме
цифр года его рождения. Сколько лет внуку?
РЕШЕНИЯ
1. Среди всех целых чисел от 1 до 99 нечётных чисел
50. Каждая из разностей 99 — 97, 95 — 93, ..., 3—1
равна 2. Всего же таких разностей 25.
2. 64-125-875 - (8-125) (8 125)7 - 7 000 000.
3. 12— 14 56 - (12i-8).(14-7) - 9800.
4. 12-12^-64-*3-(4-121.2) 27 = 8100.
5. 2,85- lj-1-Ь б|: 3 - (2,85 + 2,15) - lg -
-Б—I11-*4
47

e. 42- .74 - 1700 - 1707 ~~ 1706 « 170.
2
7 — 8. Предварительно устанавливаются, если это не
было известно раньше», правил» дли возведения в квадрат
целых чисел, оканчивающихся цифрой 5, и смешанных
чисел, дробная часть которых ■—:
(10а + 5)а =*= (100а* -|- 100а) ~|- 25 « а(а + 1)-100+25,
т. е. «чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся
цифрой 5, достаточно число десятков его умножить на
следующее натуральное число и к произведению припи-
сать 25».
Аналогично:
(а + I)» - а* + а +1« а(а + 1) + ±,
2 4 4
т. е. «чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробной
частью у, достаточно целую часть смешанного числа
умножить на следующее натуральное число и к произведе-
нию приписать -j ».
24501« 245*. 10а « 60 025.100 - 6 002 500.
|4±. 43| « (14i .14i).3 - (14-15 Ь j)3 -
«210i-.3^630^-,
4 4
9. 1) 8595 - 85.(100 — 5) « 8500 — 425 - 8075.
2) 85-95 ~ 85.(85 + Ш) - 85» + 850 - 7225-1 850.
3) 8595 - (90 — 5). (90 + 5) - 90а - Б*-8100-25.
10. Если бы здесь были неверны сами цифры — 3, 4,
1, то, конечно, такую ошибку обнаружить, «посчитав
в уме», нельзя. Но здесь ошибка в неправильном положе-
нии запятой. Обычно такие грубые ошибки найти легко:
свободно округляя числа данного выражения, прикиды-
1*12*42 «м « ««
ваем «в уме»: т-** 12*3 « 36 и видим, что в резуль-
тате должно быть двузначное число.

11. I) 13,2-7~ « 6,6-15 - 66 + 33 * 99 (руб.)
m
2) 13,2-71 « 13,2.(10—) = — 3 - 5.3 -
- 33-3 = 99 (руб.)
12. Представим эту сумму так:
72" 14 + 72-17 + 72-19 и, применив распределитель-
ный закон, будем иметь: 72 (14 + 17 + 19) = 72 50 =
-ZfL=3600.
2
13 74'147-73 = (73+1). 147 —73 ^
73-147 + 74 73-147 + 74 *"
_ 73-147 + (147— 73) = .
73-147 + 74
14. (5-5,27 — 5-4,27) — (6,27 - 4,27) = 51-2 = 3.
15. См. решение № 13.
16. 78а — 7778 + 122 - 78(78 — 77) + 122 = 200.
17. Знаменатель дроби на 36 больше её числителя. Ес-
ли из каждого члена дроби вычесть одно и то же число,
то разность их не изменится. Но после вычитания отно-
шение нового числителя к новому знаменателю должно
быть 1 :3. Получаем задачу: найти два числа по их раз-
ности (36) и отношению (1 : 3). Решение: 3—1 = 2; 36: 2=
1 18
= 18; 18-3 = 54. Итак, дробь, равная —, есть —-, которая
3 54
получается после вычитания 13 из членов данной дроби.
18. (37,75 + 22,25)(37,75 — 22,25) = 60-15,5 = 1556 =
= 930.
|9- 77 ^-S'» 77 = т!^- Любая дробь, большая ~ и
11 165 11 165 165
меньшая —, будет больше — и меньше —. Чтобы получить
дроби со знаменателем 15, выберем в этом промежутке
дроби, допускающие сокращение на И; таких дробей бу-
77 88 „ - 7 8
дет две: — и -—. Итак, искомые дроби — — и —.
165 165 15 15
20. Правильная дробь -- ближе к единице, чем пра-
36
99 5 5 31 22
вольная дробь — (так как— < —). Следовательно,— > —.
4 Заказ 1685
т

21. Приводя дроби к общему числителю, имеем:
110 110
175 177'
«о 22*± ЯИ>1 значит £L>2?
*2' ЭТ*?' а152>3,8НетИТ' 162^67'
37 370 300
23. — « —. Этой дроби «не хватает» до единицы ~.
377 300 м 300 ^ 300
Дроби же ^ «не хватает» до единицы —. Но — > ^,
37 ^ 377
значит, — < —-.
67 677
' 6767 67-101 "* 67*
25. 22,5% = 12,5% + 10% = ~ 4- 0,1; 21 + 16,8 -
= 37,8.
gft 38,4-87 87-38,4
Л ~1осП = "Too""
27. 85% от 72 составляют 72 без 15% от 72, т. е. 72 —
- (7,2 + 3,6) « 61,2.
28. 87,5% от 76 составляют 76 без 12,5% от 76, т. е.
76 —4-76 - 76 — 9,5 = 66,5.
о
29. 37 ~% от 72,8 составляют-?- от 72,8, т. е. 9,1 -3 ■■
2 8
= 27,3.
30. 80 составляет 160% второй части. Вторая часть
80 : 1,6 - 50.
31. Разность уменьшится на число, равное ей. Следо-
вательно, новая разность равна нулю.
32. Разность увеличится на число, равное полуторной
разности, т. е. увеличится в 2-- раза.
33. Сумма двух слагаемых больше одного из них на
число, равное другому слагаемому. Следовательно, сла-
гаемые — числа 42 и 60, а искомая сумма равна 102.
34. Прибавим к первому слагаемому 4, а второе оста-
вим без изменения. Сумма таких слагаемых 24, причём
по условию второе слагаемое в три раза меньше первого.
Значит, второе слагаемое 6, а первое слагаемое 20—6 = 14.
50

35. Множимое уменьшится в 2 раза, а множитель уве-
личится в 3 раза; следовательно, произведение увеличится
в lj Раза.
36. Новое множимое составляет — первоначального, но-
5
4
вый множитель — •— первоначального, новое произведе-
5
24
ние - первоначального, т. е. произведение уменьши-
лось на — часть.
25
37. Делимое умножили на 7, т. е. на число, равное
делителю. А затем полученное произведение снова разде-
лили на тот же делитель 7. Что же теперь получится в част-
ном? Очевидно, результатом такого деления будет преж-
нее делимое, которое по условию равно 1ц + 2. Следова-
тельно, новое частное (7q -f 2) больше прежнего частного
д в 7 раз и ещё на 2 единицы.
38. Если делимое увеличить на число, равное делите-
лю, и сумму снова поделить на тот же делитель, то преж-
нее частное увеличится на единицу; остаток же останется
без изменения.
2
39. Новый делитель составляет — прежнего, т. е. равен
прежнему, умноженному на —. Значит, новое частное рав-
о
2
но прежнему, деленному на —, т. е. увеличится в полтора
з
раза.
40. От умножения делимого на 4 частное увеличится
в 4 раза. При вычитании из делителя -—его новый дели-
5
4 5
тель составит — прежнего и частное увеличится в — раза.
Общее изменение частного — увеличение в 4—=5 раз.
4
41. Новое делимое составляет — прежнего, т. е. преж-
нее делимое уменьшено в — раза. Прежний же делитель
9
увеличен в — раза. Следовательно, частное уменьшилось
4* 51

в ^ . - = ~ раза, т. е. частное уменьшилось на — его
42. Все дроби вида —, где я —любое натуральное
■10я
число, не изменяют своего значения при прибавлении к
числителю 4 и к знаменателю 10. (Действительно: -д
20/1 -|-10
= 5^+ii = -1 в —.) Сократив -1, получим искомую
Шп + 0 10 10/1 г Юя
дробь —.
о
43. При прибавлении знаменателя к числителю дробь
увеличивается на 1. По условию единица равна удвоенно-
му значению искомой дроби: искомая дробь —.
44. Дробь, увеличившись вдвое, увеличилась на I.
Значит, сама дробь равна 1. Следовательно, удовлетво-
ряющей условиям будет любая дробь, у которой числи-
тель равен знаменателю.
45. При прибавлении знаменателя к знаменателю он
увеличивается вдвое и, следовательно, сама дробь умень-
шается в 2 раза. Чтобы дробь увеличилась вдвое, необ-
ходимо, чтобы прибавление знаменателя к числителю уве-
личило числитель в 4 раза, т. е. чтобы знаменатель был в
3 раза больше числителя. Значит, удовлетворяющими это-
му условию будут все дроби вида —■, где п — любое
натуральное число. Из всех дробей такого вида несокра-
тима дробь —.
3
46. Из первого условия сразу видно, что числитель ис-
комой дроби 2. Дробь с числителем 2 может быть целым
числом лишь в двух случаях: — и —. Следовательно, зна-
менатель искомой дроби равен либо 2 + 2 = 4, либо 1 +
2 2
+ 2 = 3, а сама дробь — либо —, либо -% Неоократи-
4 3
о
мой дробью является —.
3
47. Частное увеличится в 3 раза и ещё иа 2 единицы.
Новый остаток будет 20.
48. Если бы каждое слагаемое увеличили в 3 раза, то

сумма была бы 81. Разность 111—81-30 составляет
удвоенное первое слагаемое.
49. По первому условию истинное частное равно 6-2=
«■ 12. Значит, утроенное частное равно 36. По второму ус-
ловию делимое равно 36-6 «■ 216.
50. Правильной дроби — «не хватает» до единицы —,
Ь ь
а дроби —т~ «не хватает» до единицы —- :—- =
b+п ь+п
= *-^2. Но *=-*>£=*. значит, ± <а-±Л.
b-\- п b b + n b b-\-n
51. Единственное чётное простое число 2.
52. Три (и только три) простых числа имеются в двух
десятках первой сотни: 41» 43 и 47; 71, 73 и 79.
53. В десятке 90 — 99 имеется только одно простое
число — 97. _
54. Число вида аааа = да-101 « а-11-101. Чтобы та-
кое число имело только два простых делителя, множитель
а должен быть равен 1 (1 не является простым числом).
Итак, искомое число 1111 и его два простых делителя
11 и 101.
55. Различных делителей, содержащих только двой-
ки, — 3. Различных делителей, содержащих только трой-
ки, — 4. Различных делителей, содержащих и двойки и
тройки,—3-4=12. Всего различных делителей, вклю-
чая делитель 1, — 3 + 4 + 12 + 1 = 20.
56. Пусть меньшее из чисел а. Сумма а + (а + 1)+
+ (а + 2) = За + 3 больше 3 и делится на 3, т. е. являет-
ся числом составным.
57. Из четырёх слагаемых два числа будут чётными
(сумма их — чётное число) и два числа будут нечётными
(сумма их тоже чётное число). Поэтому сумма всех четы-
рёх чисел — чётное число, большее 2.
58. Все четыре слагаемые не могут быть нечетными
(иначе сумма их была бы числом чётным). Значит, среди
этих чисел хотя бы одно число — чётное; но тогда и произ-
ведение их — число, чётное.
59 Следует сосчитать «в уме» сумму остатков от деле-
ния каждого слагаемого на 3. Если получится число, «.рат-
ное 3, To и сама сумма д?лится на 3 (и наоборот). В дан-
ном случае 1 + 1 -f 1 -ь 2 = 5 не делится на 3.
60. Искомое число делится на 5 на 3 и на 4. Числа 3,
4 и 5 попарно взаимно простые. Следовательно, оно дэлит-
53

ся на 3-4-5 = 60. Единственное двузначное число, деля-
щееся на 60. есть само число 60.
61. Менш.'е число, а также большее число — чётные,
причём одно из них кратно 4, и следовательно, произве-
дение этих чётных чисел кратно 8. Но из трёх последова-
тельных целых чисел одно всегда кратно 3, значит, произ-
ведение трёх таких чисел делится на 24.
62. Получившееся четырёхзначное число заведомо де-
лится на взятое двузначное число и, следовательно, будет
числом составным.
63. Число должно быть кратно 8: последняя цифра
его может быть только 4. Но число кратно и 9: первая циф-
ра его может быть только 4.
64. {2п — I) — (2я -I- 3) = 4л -h 4. Каждое слагаемое
делится на 4, значит, и сумма делится на 4.
65. Если одно из взятых чисел кратно 3, то и произве-
дение их будет кратно 3. Если же ни с дно из них не кратно
3, то они могут иметь только вид Ъп 4- 1 или Зл 4- 2. Ес-
ли же числа имеют вид Ъп Н- 1 или Зя ■+- 2, то разнссть
их кратна 3. Если же одно из них имеет вид 3/i -f- 1, а
другое Зя 4- 2, то кратной З/z будет их сумма.
66. Наименьшее общее кратное — а, наибольший общий
делитель — с.
67. При составлении НОК берут Есе простые множите-
ли одного из чисел; значит, в состав НОК войдёт и группа
общих множителей, т. е.' НОД.
68. НОК чисел 2. 3 9. 10 равно 57• 89 = 2520.
Искомое число на единицу больше.
69. Произведение любого числа на 9 кратно 9. Если
простое число, \довлетЕорякшее условию задачи, сущест-
вует, то произведение его на 9 едко из чисел: 333, 666,
999 Но 999 : 9 — число трёхзначное, а €€6 : 9 — число
чётное. Делим 333 на 9. Получаем простое число 37.
70. 1) Множимое не может оканчиваться нулём (ина-
че первая цифра его тоже 0 и число не будет четырёхзнач-
ным) Значит, последняя и первая цифры его — 5. Мно-
жимое имеет вид 5**5.
2\ Произведение множимого на ту и другую цифры мно-
жителя — четырёхзначные числа. Значит, множитель —
11.
3) Произведение кратно 9, а множитель— П. Значит,
число 5**5 кратно 9. причём обе средние цифры его оди-
наковы. 5-г*-г-*-Г'5=7ь27, так как сумма цифр долж-
54

на быть четной. 5 -г * -Ь • + 5 = 18, откуда одинаковые
средние цифры 4.
71. Сумма а •+■ b оканчивается нулём. Поэтому
в« — ь* =* (а 4- Ь)(а — Ь) тоже оканчивается нулём. А это
возможно лишь в случае, если а9 и Ь* оканчиваются оди-
наковыми цифрами. "
72. Пусть искомое число ас. Обращенное число со.
Торда:
-~ (так как по условию а -Ь с = 10).
Итак, имеем ас + ДО в ПО, а по условию ас — са
= 36, откуда ас = 73.
73. Стоимость покупки в копейках есть произведение
1320-7,5 «= 132-75. Каждчй из этих сомножителей делит-
ся на 3, значит, произведение дэлжно быть кратно 9.
Между тем 9960 на 9 не делится.
74. На искомый делитель делятся: 100 — 4 = 96 и
90 — 18 = 72. Значит, этот делитель — общий делитель
чисел 96 и 72. Из общих делителей 96 н 72 мы дхтжны вы-
брать такие, которые больше 18 (так как полученный в
одном из делений остаток IS должен быть меньше делите-
ля). Таким общим делителем б\дет 24.
75. НОК (2, 3, 4, 5 и 6) -> 3-4-5 = 60. Искомое число
60—1=59.
76. Допустим, что среди чисел а, а + 2. а 4- 4 нет
числа, кратного 3. Так как среди трёх последовательных
целых чисел обязательно есть чисто, кратное 3, то в трой-
ке чисел а + 1, а + 2, а -f- 3 кратно 3 либо а 4- 1, либо
а -г 3. В первом случае (a-rl)-f3 = a4-4 тоже будет
кратно 3, а во втором случае кратным 3 окажется {а —
-|-3) — 3 = а. Таким образом, мы непосредственно при-
шли к «утверждению положения через отрицание его» (Рас-
суждэние такого рода является разновидностью способа
«от противного*.)
77. Если простое число, большее 3, делить на 6, то ч
остатке могут получиться лишь числа 1 и 5 (так как чис-
ла 6я + 2, 6я + 3 и 6я Ч- 4 — составные). В первом слу-
чае делимое 6л + I. Если же остаток равен 5, то делимое
на 1 меньше числа, кратного 6, т. е. имеет вид 6ч■— 1.
Про числа вида 6п ± 1 можно лишь сказать, что они не
35

делятся на 2 и на 3 и никаких соображений, п'дшсржда-
юшнх справедливость обра той теоремы, нет; простейшие
примеры (25 «6-4 4- 1, 35 — 6-6—1) onpfjitf-pr»vn ее.
78. Всякое простое число, болмwe 3, можно предста-
вить в иид" 6/< 4: 1 (см. № 77). По (Ik ± 1 - 3-2* ± 1 •
«» Зя I- 1, 1Д" я — некоторое чётное число.
79. Одно hi чисел я и я Н- 1 аавгдомо чётное. Следо-
иатсльпо, н;до линь показать, что один из сомножителей
делится на 3. Если ни я, ни я -|- I не делятся на 3, то на
3 Д'ляки и я — 1, и я | 2, а значит, и (я — J) + (я ■+• 2)=
к. 2л т- li т. е. третий из сомножителей.
80. Пусть простое число d — какой-нибудь из делите-
лей пропни дении ub. Тогда либо а ; с! и £ не делится на
d (так как но условию и и Ь взаимно простые), либо на-
оборот. Значит, сумма а + b не делится на d и у чисел a -f
Н // и «/; оГщи> делителей нет.
81. Пунь (I какой-нибудь простой делитель а\ тогда
Ь на fi не делится. Одно ела!асмое суммы а \ Ь таким об-
разом делится на el, а другое нет; значит, сумма не делит-
ся на а, т. е. у чисел а ц а т Ь общих делителей пет,
дробь — несократима.
82. (10(ta + Ш + с) — (100с + 106 + а) - 99а — 99с -
число составное.
83. Kl60i<41; ближайшее, метшее 41, простое чис-
ло 37 Пели мы непосредственным делением выяснили,
что 1601 не делится пи на одно простое чисто до 37 (вклю-
чительно), то оно не разделится и ни на одно последующее
простое число. Лекажем это.
Допустим, что 1601 делится, например, на 47. Частное
будет мснын" 41, причем 1601 делится на это частное.
Чаньое не может быть простым числом, так как уже
установлено, что 1601 не делится ни на с дно простое число,
Mi in iini1 41 Но частное не может быть и составным числом,
так как тепла г|ид»| делителей его, а следовательно, и де-
лителей КИЛ были бы простые числа, менппие 37. Итак,
д •кущение следует отвергнуть, и испытания можно прекра-
тить на числе 37
84. 11[М'Дположим, что билетов разного достоинства бу-
дет а, Ь и с. Чтобы а I b \- с было числом нечётным, не-
обходимо иметь среди чисел a, b и с либо одно нечётное
слагаемое, либо все три. И в том, и другом случае сумма
56

a f ЪЬ + 5с окажется числом нечётным, т. е. не может
быть равной 100; задача решения не имеет.
85. Пусть d — наибольший общий делитесь чисел a
и Ь. Тогда a ■« dm и Ь -■ dnt причём у чисел т и п оди-
наковых множителей нет (т и л — «недостающие» множи-
тели). По правилу образования наименьшего общего крат-
ного, £ « an (или Ьт)% т. е. £ = dnm, а произведение
наименьшего общего кратного к на наибольший общий
делитель kd~(Pmn. Но и произведение ab =* dm dn ~
« d2m/i, т. е. оба произведения равны.
86. По условию k: d « aft. Согласно пр»д'4Д<лцей за-
даче kd » aft. Верными эти два равенства одновременно
могут быть лишь при d = I.
87. k « 90 = d/яч (см, № 85). Но d « 6, следователь-
но, щя =« 15. Нельзя допустить, чтобы m или л были рав-
ны 1, так как тогда одно из искомых чисел было бы d и,
следовательно, другое число делилось бы на него Значит,
тип могут быть лишь числами 3 и 5, и тогда a = dm ■»
о» 6-3 » 18 и ft » dn « 6 5 = 30 (или наоборот).
88. Рассмотрим разность a — ft; a I d и ft \ d; следо-
вательно, и fl — b делится на d. Но число не может делить-
ся па число, большее его; следовательно, в любых слу-
чаях a — ft>d.
89. Сумма цифр делимого 21. БлижаГшее меньшее чче-
ло с суммой цифр, делящейся на 9, на 3 меньше данного.
Следовательно, остаток от деления равен 3.
90. Чтобы число делилось на 15, необходимо и доста-
точно, чтобы оно делилось на 3 и на 5. БлижаГшее мень-
шее число с суммой цифр, делящейся на 3. и с последней
цифрой 0 и 5 есть 123 450; оно на 6 меньше данного: оста-
ток от деления равен 6.
91. Число делится на 8 и на 9. Число 45* делится
на 8 лишь в случае, если последняя цифра 6. Сумма цифр
числа должна делиться на 9, значит, число I 380 456
92. Если бы «■ — 8 делилось на 5, то оно оканчива-
лось бы цифрами 0 и 5, а я2 — цифрами 8 или 3 Но квад-
раты целых чисел не оканчиваются цифрами 3 и 8.
93. По условию рассматриваемое число имеет вид
100а + 10(а -J- с) -+- с = 110а + 11с, которое заведомо де-
лится на И.
94. Надо показать, что 2а + 1 и а + 1 взаимно прос-
тые. У чисел а и а + I нет общих делителей, значит, нет
общих делителей и у а + 1, и у а -г (а + 1).
57

95. а — b = 8. Допустим, что d — какой-нибудь об-
щий делитель а и Ь, отличный от единицы. Тогда раз-
ность а — 6, т. е. 8, тоже делится на d. Но d, как дели-
тель 8, может быть только одним из следующих чисел:
2, 4 и 8. В любом из этих случаев окажется, что а и Ъ —
четные числа, что противоречит условию. Значит, допуще-
ние, что а и Ь имеют отличный от единицы общий делитель,
следует отвергнуть.
96. Пусть—— несократимая дробь и а>Ь. Избыток
ь
п — h
этой дроби над единицей — несократимая дробь
о
(см. № 81).
97. Пусть в смешанном числе а + — числа тип
п
взаимно простые, а + — = fl" + m. an делится на я, но m
п п
не делится на я, а значит, не делится на п и an + яг. Сле-
довательно, у числителя и знаменателя неправильной
дроби в""*"*1 общих делителей нет.
_£ _ «й=]*±! _ . + , + _Ц .дробь -Ц
в —1 а— 1 а — 1 а —1
несократима. Но дробная часть смешанного числа
а + 1 Н и, следовательно, —2-. — несократимая дробь
о — 1 а — 1
(см. № 97).
99. Пусть 4*— правильная дробь; 1 — ■— e -zz^. Из-
6 ь ь
быток -над единицей неправильной дроби — составляет
а
6 1 6 — а»г l Ь — а 6 — а
I = . Так как а<6, то —— < , т. е. пра-
а а Ь а г
вильная дробь ближе к единице, чем обратная ей неправиль-
ная дробь.
100. Если р — простое число, большее 3, то р = Зя±1.
Если р - Зя + 1, то р + 14 « Зп + 1 + 14 -* Зя + 15—
число составное, так как делится на 3. Если же р =
= Зя — 1, то р 4- 10 = Зя — 1 + 10 = Зя + 9 — число
составное, так как делится на 3. Остаётся рассмотреть слу-
чаи: р = 2 и р — 3. При р = 2 числа р + 10 и р + 14 —
чётные, т. е. числа составные. При р = 3 будем иметь:
58

р + 10 = 13 — простое число; р + 14 = 17 — число про-
стое; все три числа будут простыми лишь при р — 3.
101. Квадр&т одного из искомых чисел должен быть
365 ^ „
меньше -—, а квадрат другого — больше. Следователь-
но, квадраты искомых чисел — два последовательных
точных квадрата, между которыми заключается число
182,5, т. е. 169 и 196. Искомые числа 13 и 14.
102. 365:3 » 121-| — число, близкое к 11* =121.
Взяв точные квадраты, между которыми заключается 121,
т. е. числа 100 и 144, будем иметь: 100 -j- 121 -i- 144 =
= 365. Искомые числа 10, 11 и 12.
103. Последняя цифра квадрата чётного числа может
быть здесь только 4. Следовательно, предпоследняя цифра
будет 1, 5 или 9. Но числа 14, 54 и 94 на 4 не делятся,
между тем как квадрат чётного числа всегда делится на 4.
104. аа — b2 = (а + Ь) (а — Ь)щ и если а и b — нечёт-
ные числа, то а + b и а — b — числа чётные и, следова-
тельно, о2 — Ьг делится на 4.
105. Всякая дробь, равная 0,4, имеет вид f~, где я —
Ьп
любое натуральное число. Сумма 2л + Ьп = In может
быть двузначным точным квадратом лишь при п « 7
106. Из трёхзначных точных квадратов условиям этой
задачи удовлетворяет 144 (или 441).
107. Квадраты целых чисел оканчиваются цифрами 0, 1,
4, 5, 6, 9; квадраты квадратов, т. е. четвёртые степени чи-
сел, будут оканчиваться лишь цифрами 0, 1, 5 и 6. В числе
же 76 864 последняя цифра 4.
108. См. решение задачи № 7—8.
109. Расположение цифр в степени может быть только
3025. Но 30 = 5 х 6. Следовательно, искомое число 55
ПО. См. решение задачи № 7—8.
111. Если бы последней цифрой точного квадрата была
цифра 5, то предпоследней должна быть цифра 2 Значит,
порядок последних цифр может быть лишь такой. 5, 0, 0
Таким образом, основание степени есть произведение числа,
оканчивающегося цифрой 5, на 10. При возведении в квад-
рат первого сомножителя получится число, оканчивающее-
ся на 25. Следовательно, последние цифры степени 2500.
112. Цифра 2 не может быть последней цифрой квадрата
целого числа. Значит, последняя цифра его 5. Но тогда и
59

искомое число оканчивается цифрой 5, а предпоследняя
цифра квадрата его должна быть 2. Таким образом, после-
довательность двух последних цифр квадрата искомого
числа 2 и 5. Число сотен его, составленное из оставшихся
цифр 2, 5, 5, должно быть чётным, так как оно является
произведением а{а + 1), где а — число десятков искомого
числа. Следовательно, число сотен квадрата искомого чис*
ла 552. Так как а8 < а(а +1) < (а + I)8, то о3 — ближай-
ший к 552 меньший его точный квадрат: а8 =? 529 и а =
= 23. Искомое число 235.
ИЗ. асас = ас • 101. Простое число 101 содержится в
произведении заведомо в первой степени: асас не может
быть точным квадратом.
114. abcabc = abc • 1001 = 7 • 11 > 13 • abc. Все три
простых множителя 7, 11 и 13 не могут войти в состав про-
изведения в чётных степенях, так как трёхзначное число
abc < 7 • 11 • 13. Следовательно, abcabc не может быть
точным квадратом.
j 115. а(а + 2) = а8 + 2а — число, меньшее точного
^Квадрата на единицу, не может быть точным квадратом.
116. а(а +1) — число, большее а2 и меньшее {а + I)2,
но число, заключённое между, двумя последовательными
точными квадратами, не может быть точным квадратом.
1 '.7. 5л8 4- 10 = 5(л8 + 2);. но число л8 + 2 не окан-
чивается ни нулём, ни 5 (так как л8 ни при каком л не
оканчивается цифрами 8 и 3). Следовательно, в разложении
числа 5л8 + 10 множитель 5 содержится в нечётной степе-
ни; 5л8 + 10 не может быть точным квадратом.
118. (а-2)8 + (а- I)8 + а* + (а+ I)8 + (а + 2)8 »
= 5а8 + 10 и т. д. (см. № ЦТ).
119. Число кратно 5 и 6. Так как по условию число яв-
ляется точным квадратом, то оно кратно 900. Единствен-
ное трёхзначное число, кратное 900, есть 900.
120. При любом с число а8 + а + с будет точным квад-
ратом, если положить а = с— 1. Действительно, в этом
случае в8 + а + с = (с— I)8 + (с— 1) + (с— 1) + 1 -
- (с— I)8 + 2(с- 1) + 1 - Цс— 1) + 1 ]■ - с8. Та-
ким образом, а* -\- а+ 1589 при а = 1588 будет точным
квадратом числа 1589.
121. Если число кратно 3, то и квадрат его делится на
3 (остаток равен нулю). Если же число некратно 3, то оно
имеет вид Зя±1 и квадрат его будет 9л8 ± 6л + 1, т. е.
60

квадрат такого числа на единицу больше числа, кратного
3: остаток от деления такого числа на 3 равен единице.
122. Первая цифра трёхзначного чётного точного куба
служит последней цифрой точного квадрата; этому усло-
вию удовлетворяют лишь 83 = 512, 43 — 064 и 2s = 008.
Наибольший трёхзначный точный квадрат, оканчиваю-
щийся цифрой 5, будет 625, а оканчивающийся цифрой 0
будет 900. Искомое число 90 064.
123. (2а + 1)а + (26 + 1)а = 4аа + 4а + 1+ 46* +
-г-46 -f- 1 =4(яа -|- а + Ь* ■+■ Ь) + 2 Это число делится
на 2, но не делится на 4; значит, в разложение этого числа
множитель 2 входит в нечётной (первой) степени; число не
может быть точным квадратом.
124. а* — Ьг — 7422. Числа а и Ь либо одновременно
чётные, либо одновременно нечётные. В том и в другом
случае каждый из множителей а 4- Ь и а — Ьу произведе-
ние которых образует а2 — b*t числа чётные, и произведе-
ние их делится на 4; разность квадратов двух чисел не
может равняться 7422.
125. Пусть р > 3 — простое число. Рассмотрим число
р* — 1 = (р — 1) ■ (р + 1). Так как р нечётно, то р — 1
и р + 1 два последовательных чётных числа; значит, одно
из них кратно 2, другое 4, а произведение кратно 8. Среди
трёх последовательных целых чисел р — 1, р, р + 1 есть
число, кратное 3. Но р, как простое число, большее 3, не
делится на 3. Значит, на 3 делится либо р — 1, либо р -И.
Таким образом, число р* — 1 кратно 3 ■ 8, т. е. ра — 1 =
= 24£, или р* = 246 + 1, что и показывает, что при деле-
нии р2 на 24 в остатке получается единица.
126. Ключом к решению является вытекающее из усло-
вий задачи равенство 33 +- 1 = 100, которое верно в си-
стеме с основанием 4 (и только в этой системе).
128. Возьмём любую систему с основанием, большим 2.
П8ж = (;с+1)а= 1.^ + 2.^+1 = 121,.
129. Если последняя цифра числа, изображённого в
двоичной системе, единица, то это число нечётное и де-
литься на 4 не будет. Значит, последняя цифра — нуль.
Если предпоследняя цифра этого числа единица, то число
будет чётным, но не делящимся на 4 (так как общее число
единиц его будет 4/1 + 2). Значит, и предпоследняя цифра
числа — нуль. Если же две последние цифры числа нули,
то число будет делиться на 4.
61

130. Возьмём ближайший к 40 простой сомножитель
37 В составе произведения 40! других чисел, кратных 37,
нет. т. е. среди сомножителей 40! есть простое число в не-
чётной степени (в первой степени). Значит, 40! не может
быть точным квадратом.
131. Четвёртая степень целого а есть квадрат целого
числа а*. Из указанных цифр последней цифрой точного
квадрата может быть только 5; а тогда предпоследняя
цифра 2. Число сотен точного квадрата, получаемое,
по правилу, умножением двух последовательных натураль-
ных чисел, есть число чётное, но из оставшихся цифр 3, 3,
5, 7, 7, образовать чётного числа нельзя.
132. 25 • 27 • 49 • 75 = 25» • 9* • 7*=(2563)а = (^р)3=
= 1575s =(157 • 158) • 100 + 25. Произведение 157-158
оканчивается цифрой 6 и степень 1575s имеет вид
****625
133. аЪсъ = а • 5а + Ь • 5 + с = (24а + а) + (4Ь +
■f b) + с = (24а + Щ + (а 4- Ь + с). Первое слагае-
мое на 4 делится. Значит, чтобы сумма делилась на 4, на-
до, чтобы и второе слагаемое а + Ъ + с, т. е. сумма
цифр числа аьсь% делилось на 4.
Примечание. Этот результат нетрудно обобщить и по-
лучить признак делимости на 4 для чисел в пятеричной си-
стеме: «На 4 делятся те и только те числа, сумма цифр ко-
торых делится на 4».
134. В двоичной системе число, изображаемое 1 с по-
следующими п нулями, есть 2я. Всякое иное число, будучи
изображено в двоичной системе, может состоять лишь из
цифр 0 и 1, причём первая его цифра — единица. Если его
теперь представить как сумму разрядных единиц, то, так
как в изображении числа будет не менее двух единиц, оно
окажется равным сумме различных степеней числа 2.
135. Сумма цифр уменьшаемого 16. Значит, остаток от
деления 7234 на 9 равен 7. Сумма цифр вычитаемого 25 и
остаток от деления 4867 на 9 тоже 7, следовательно, раз-
ность делится на 9.
136. 537 + 463 = 1000. Сумма нового числителя с но-
вым знаменателем тоже 1000, а отношение их 1 : 9. Найдя
два числа по сумме и частному (100 и 900), устанавливаем,
что искомое число 537 — 100 = 437.
62

137. (a«flrt-i ...адЛ — ая6ч + яя_1 б"-1 + ... -f
+ afi + с0 = 6* + a0 ч гобы это число делилось, на 3
необходимо и достаточно, чтобы аг0 ■; 3. Так как а0 < 6
то а0 делится на 3 в двух случаях: если со = 0и если
я0 = 3.
138. Общее число единиц в числе, записанном в две
надцатеричной системе, может быть представлено в вид
\2k + а, где а — цифра единиц, т. е. одна из цифр 0, 1
2 ,..., 9, (10), (11). Так как первое слагаемое — 12& —• де
лится на 4, то число будет делиться на 4, если a j 4, т. е
в двенадцатеричной системе на 4 делятся те и только те
числа, последняя цифра которых 0, 4 или 8.
139. 2я в двоичной системе изобразится в виде 100...0-
Чтобы получить 2я — I» сделаем вычитание, как принято
при письменных вычислениях:
НЮ. . .00
— 1
11 ... 11
140. Если число в двоичной системе изображается оди
наковыми цифрами, то оно может иметь лишь вид 11 lis
и, следовательно, является числом нечётным В системе с
основанием 4 оно записывается, по условию, другими оди-
наковыми цифрами. Оно не может иметь вид 22...224,
так как это число заведомо чётное. Значит, оно имеет вид
33... 334, причём число троек в нём меньше 4 (уже
33334 > 100). Двузначными числами будут 33i=15
и 3334 = 63. Оба числа 15 и 63 имеют вид 2* — 1 и,
следовательно, в двоичной системе изображаются одни-
ми единицами.
141. На каждые 2 км всего рейса (1 км «туда» и 1 км
«обратно») автомобиль затрачивает -- -f* -z:e 2— мин.
40 60 2
Следовательно, средняя затрата времени на I км всего
рейса равна 2— : 2 = 1—мин., и средняя скорость за весь
2 4
рейс составляет 60 : 1— = 48 (км в час).
4
142. Если бы сначала железо разрезали на 80 одинако-
вых по весу кусков, а затем от каждого куска взяли по
5 г, то получившиеся 5 • 80 = 400 (г) и составили бы вес
63

дополнительных 20 звеньев Каждое звено весило бы тогда
400 : ^0 = 20 (г), а вес 100 звеньев 20 • 100 = 2000 (>).
143. После первого снижения товар стоил 85 °о перво-
начальной цены, а после второго снижения (85 • —)%в
7225
= % = 72,25°6 первоначальной цены. Второй же
товар после снижения цены на него стоил 70% первона-
чальной цены.
144. Если первая бригада на изготовление некоторого
количества продукции затрачивала раньше, согласно нор-
ме, 10 час, то теперь на то же количество продукции она
затрачивает лишь 8 час. Стедовательно, за 10 час. она
2 1 *
изготовит продукции на — = — больше того количества
8 4
продукции, которое полагается по норме, т. е. повысит
производительность труда на 25°о. Во второй же бригаде
производительность труда повышена, согласно условию.
лишь на 22—23 °6.
145. На вторую половину пути пароход затратил ~~ =
4
= —.того времени, которое он затратил на первую поло-
5
вину пути. Разность времени, затраченного пароходом на
первую и вторую половины пути, составляет — того вре-
мени, которое пароход затратил на первую половину пути.
По условию этот промежуток времени равен — часа. Зна-
1 У
чит, первая половина пути пройдена пароходом за —5 =
4м
— 2— часа, а весь путь пароход прошёл за 2 h 2 =
= 4— часа.
2
146. При подсчёте числа оборотов переднего и заднего
колёс расстояние надо делить на длины окружностей их:
8 9
— м и . м Числители этих дробей (8 и 9) должны быть
делителями искомого расстояния; поэтому НОК чисел 8 и
9 и представит искомое расстояние — 72 м.
147. Изъятая из корзины «—остатка» — это — всего
3 3
64

количества яблок без одного яблока. Значит, из корзины
было взято: 3 яблока, — всего числа яблок без 1 яблока
3
и ещё раз 3 яблока, т. е. было взято 5 яблок и— всего чис-
з
ла яблок. По условию это изъятие составляет половину
111
общего числа яблок. Следовательно, —• — —■ часть
2 3 6
всего числа яблок составляет 5 яблок, т. е. в корзине было
30 яблок.
148. Внук родился, конечно, в XX веке. Пусть год его
рождения — 19 ас, а возраст 1959—19ос =» (5 — а) ■ 10 4-
4- (9 — с). По условию сумма цифр года рождения вну-
ка, т. е. 1 + 9 + а -г- с, равна его возрасту: 59 — 10а — с.
Итак, имеем: 1 + 9 -j- а 4- с = 59 — 10а. — с, или 11а +
•+- 2с = 49. Отсюда следует: а < 5 (так как Па < 50)
и а — нечётное число (так как при чётном а сумма 11а 4-
4- 2с — число чётное). Но а ф 1 (так как при а = I ока-
жется, что однозначное с = 19). Единственное допустимое
значение а = 3, откуда 2с = 49 — 33 и с=* 8 Итак, год
рождения внука — 1938.
| ЗММ ИМ.

РАЗДЕЛ IV
ЧИСЛОЗМЕ ЗАГАДКИ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ)
ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕННОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для внеклассной работы.;
«Числовые загадки- (или «математические? ребусы», *ж-
тематические кроссворды*) — специальные задачи на рас-
шифровку «засекреченных* чисел по скудным следам про-
изведенных над ними действий. Кажущееся отсутствие до-
статочных данных делает такие задачи особо увлекатель-
ными. Так же как и задачи ло!ичеекою характера, с кото-
рыми задачи на расшифровку чисел имеют много общего,
они неизменно вызывают большой интерес у учащихся и
охотно ими решаются. Простейшие задачи типа «числовых
загадок» встречались уже в I и П разделах книги.
fЧисловые загадки* распределены по двум разделам
настоящей книги Более простые, допускающие устное
или иолуписьменное рмш-ние, помешаны в IV разделе
Задачи, рассчитанные на письменное решение, составляют
содержание IX раздела.
Восстановление шаг за шагом неизвестных нифр заши-
фрованного числа — отнюдь не только математическое
развлечение. Во многих случаях работа по расшифровке
потребует от ученика проявить находчивость и настойчи-
вость, заставит его умело привлечь сведения по теоретиче-
скому курсу и привнести в работу элементы исследования.
Несомненно, что увлекательный процесс разгадывания
«числовых загадок» принесет не меньше пользы, чем мно-
гие другие задачи, предлагаемые на внеклассных занятиях
Кроме того, эти своеобразные задачи, по содержанию и по
форме столь непохожие на стандартные, уже одной своей
спецификой внесут оживляющее разнообразие в ходг вне-
классного занятия. Широка и область применения «число-
00

них -шины»: так, боли; трудные задачи найдут свое место
ss кружках, школьных олимпиадах и математических СТеИ-
ГачеТаХ, ИГ более ЛёТКИ'!, ДОН>'ек;.'10ШИе устное решение, ■—
и викторинах и на ;лате:лат и чеек их вечерях.
В литературе, иосвяшённой внеклассной работе по ма-
тематике, viг/г вид чадач представлен бедно: лишь is немно-
гих книгах имеются отдельные и притом довольно однооб-
разны* примеры арифжпичееких ребуов. Ь большинстве
Случаен ОНИ ИЛИ COBCf'M ИрОПМ, ИЛИ, НйОбОрОТ, 04M1L слож-
ны. Это обстоятельпно побудило автора вставить ряд но-
вых, несложных и достаточно разнообразных чаляч «."а
расшифровку чисел* Цикл ич 40 таких "числовых ча1адо «
''jif*ni'- '50 появляются в печати впервые; и составляет со-
держание JV раздела,
Указание. Звездочки (*j я букш Га, 6, с) эяянншк/г
в задача* ичишюшы цифры. Чи'.та, зашифрмшкшс; бук&мк
обмчно изображаются в вил* efe, «/ё и т. #.. п;ич*н в одютй
Mj№№ ря'.лыс* буквы иУ.Оряжарл разидо (.а.'фры, а одинаковы?*
букшл означают одинаковые нифры.
1. Наши сшасмые и сумму в сложении:
т **2
2. Ичпестно, что число 2*44* делится на 180. Восстано-
вит!, в делимом 2*44* неизвестные нифры.
3. Найти сомножители в умножении:
***
•12*
4. Найти частное в делении:
если известно, что делитель 9* — число нечетное.
5. Восстановить неизвестные нифры в сложении:
** + а« а**.

6. Расшифровать равенство:
10.* = 3-(3.* + 5)..
7. Расшифровать равенство:
ас • аса — ас ас.
8. Число 5**5—точный квадрат. Найти его.
9. Найти делимое и делитель в делении:
6** : ** a=s 18,
если известно, что делитель — простое число.
10. Найти множитель и произведение в умножении:
v 19
**
+,
*#
"**Q*
П. Восстановить неизвестные цифры в умножении:
аЬс • 5 = dad.
12. Расшифровать равенство:
abc -\-ba = асса.
13. Расшифровать равенство:
(*+*).*+15= 100.
14. Число 361** делится на 9 и на 13. Восстановить
в числе 361** неизвестные цифры.
15. Шестизначное число *7*8*9 делится на 7, 11 и 13.
Восстановить в числе *7*8*9 неизвестные цифры.
16. Найти сомножители в умножении:
***
§***
~*~*8»
****g
17. Найти делимое и частное в делении:
18. Расшифровать равенство:
аЬ - ас s= adc.
Известно, что произведение — число нечётное.
68

19. Найти произведение в умножении1:
л ас
#*#*
20. Найти сомножители в умножении:
*2*
"г ***#
***#g
з
21. Число ***9 — точный куб. Найти >'***9.
а
22. Число 9*** — точный куб. Найти /9***.
23. Расшифровать равенство:
adc—cd = ас.
24. Расшифровать равенство:
а • с • ас = ах.
25. Найти у***5*0, если известно, что подкоренное
число, являющееся точным квадратом, кратно 27.
26. Найти сомножители в умножении:
**
2*
X о*
**
**22
27« Найти делимое в делении:
**234*:72 = *0***.
1 Здесь ас л ее — двузначные числа ас и се. Во всех ребусах,
в которых запись действия произведена «в столбец» (а не «в строку*),
числа, изображённые буквами, принято записывать, как и в задаче
№ 19, без черты сверху.
№

28. Расшифровать равенство.
*# * _ **
если известно, что все 5 цифр здесь разные я нечётные.
29. Найти делимое, делитель и частное в делении:
***
—**
**
О
30. Расшифровать равенство:
aa-abc -be = abcabc.
*31. Расшифровать равенство:
а? ~ асе.
32. Расшифровать равенство:
асе — cm = ай,
33. Расшифровать равенство:
** I *$* ___ ****
если известно, что все три числа не изменяют своего значе-
ния, если прочитать их справа налево.
34. В записи умножения ** ■ ** = ... удалось устано-
вить, что произведение состоит из одних четвёрок, но не-
ясно было, сколько в произведении цифр. Найти сомножи-
тели.
35. Расшифровать равенство:
ас-4,5 = Та.
36. Расшифровать равенство:
аЫ -|- асе -[- dbc = bec.
70

37. Если в фразе, представляющей зашифрованное сло-
жение:
«РЕШИ, ЕСЛИ СИЛРН»
каждую букву заменить соответствующей цифрой, то сум-
ма чисел, выражаемых словами «РЕШИ* и «ЕСЛИ», ока-
жется числом, выражаемым словом «СИЛГ'Н*. При этом
известно, что наибольшая цифра в числе «СИЛЕН» есть 5.
Найти слагаемые и сумму.
38. Найти сомножители в умножении'.
+
39. Расшифровать равенство:
cdebc — abed — acac = 0.
40. Найти делитель и частное в делении:
0
РЕШЕНИЯ
1. R первом слагаемом цифра единиц — 9. Складываем
десят ки: 4 4- * -|- 1 ~ 10, откуда * — цифра десятков
второго слагаемого — 5, а цифра сотен — 9 (так как * +
+ 1 — двузначное число).
2. Число 2*44* оканчивается нулём (иначе оно не де-
лилось бы па 180). Так как 180 равно произведению вза-
вдшо простых чисел 9 и 20, то 2*440 делится на 9, что воз-
можно только в случае, если цифра тысяч здесь равна 8.
3. Цифра сотен в первом частном произведении — 5,
так как ашько в этом случае сумма * -|- 6 будет числом,
оканчивающимся единицей (5 + 6 -- 11). Значит, первое
частное произведение, полученное от умножения множимо-
го *** на 2, раино 508, откуда множимое равно 508 :2 ~
71

■■ 254. Произведение 254 на первую цифру множителя —
число трёхзначное. Значит, эта цифра меньше 4. Так как
во 2-м частном произведении цифра единиц 2, то первая
цифра множителя может быть только 3.
4. Так как частное здесь — число двузначное, то число,
образуемое двумя первыми цифрами делимого, т. е.
**>9*, где делитель 9* одно из чисел 91,93.95,97,99. Если
допустить, что *• > 9*, то, выполняя деление, получим:
9**1 9*
*
где остаток * — одна из цифр: 1, 2, 3,.., 8. Снеся затем к
остатку третью цифру делимого, получим одно из чисел —
1*,2*,..., 8*, которое заведомо не делится на 9*. Значит,
допущение, что 9* — число, образованное двумя первыми
цифрами делимого, больше делителя 9*, отпадает. Итак,
возможно лишь, что эти два числа равны, и тогда деление
будет выглядеть так:
9**1 9*
"9* IT"
О
Однозначное число — третья цифра делимого — долж-
но делиться на двузначное число 9*, а это возможно лишь
в случае, если эта цифра — нуль. Таким образом, при лю-
бом нечётном делителе 9* частное окажется равным 10.
5. Если сумма двузначного и однозначного чисел — чис-
ло трёхзначное, то цифра сотен его — 1. Но сумма дву-
значного числа **+а=** + 1 может равняться трёх-
значному числу только в случае, если слагаемое ** — 99.
8. Перепишем равенство так: 10 • * = 9 • * + 15. Так
как сумма двух слагаемых 10 • * и одного из слагаемых 15
делятся на 5, то и другое слагаемое — 9 • * также делится
на 5. Но 9 и 5 взаимно просты, значит, второй сомножитель
в 9 • * делится на 5. Это возможно, если * = 0 или * »
= 5. При * = 0 будем иметь 10 • * = 15, что невозмож-
но. Значит, * = 5 и 10 • * = 3 • (3 • 5 + 5) ** 60 и мно-
житель * в произведении 10 • * равен 6. __
7. Перепишем равенство так: аса =» асас :ас** 101, от-
куда а — 1 и с = 0.
8.. Если число, оканчивающееся цифрой 5, — точный
квадрат, то предпоследняя цифра его—-2, а число сотен
72

этого числа есть произведение двух последовательных на-
туральных чисел. Но среди чисел 50, 51, 52,..., 59 этому
требованию удовлетворяет только число 56 (56 = 7 • 8).
Искомое число — 5625.
9. Перепишем равенство так: 6** : 18 =• ** Отсюда
следует: 1) 6** делится на 9; 2) 6** — число чётное; 3) 6**
не делится на 4 (иначе частное ** было бы чётным, а по
условию оно число простое) Если сумма цифр чётного де-
лимого 6** равна 9, то делимое либо 612, либо 630 Но пер-
вое отпадает, так как 612 делится на 4, а второе отпадает,
так как 630 кратно 5 и после деления 630 на 18 в частном
также получится число, кратное 5, а по условию частное—
число простое. Значит, сумма цифр делимого не может
быть равна 9. Допустим теперь, что сумма цифр 6** равна
18. Последняя цифра чётного делимого в этом случае не
меньше 4. Если эта цифра — 4, то делимое — 684; но 684
делится на 4 По той же причине делимое не может быть
равно 648. Если задача имеет решение, то делимое равно
666. Проверим: 666 : 18 = 37, а 37 — число простое.
Другое решение задачи № 9.
Переписав равенство в виде: 6** : 18 = **, будем де-
лить 6** на 18 «уголком»:
6** 18
""54
**
Таким образом, первая цифра частного 3, а так как по
условию частное — число простое, то вторая цифра
его может быть только или 1, или 7, Но 31 х 18 < 600,
и частным может быть только 37, откуда делимое
6** = 37 • 18 = 666.
10. Как уже разъяснялось в предыдущих задачах, вто-
рое частное произведение имеет первой цифрой 9. Но при
умножении 19 на * произведение будет начинаться цифрой
9 только тогда, если множитель * = 5. Теперь умножение
запишется так:
Хг*
19
**
+ 95_
100*
73

Отсюда ясно, первая цифра первого частного произве-
дения — 5. А это возможно лишь в случае, если вторая
цифра множителя — 3. Итак, имеем: 19 - 53 = 1007.
11. а = 1, так как уже при а—2 произведение
аЬс • 5 — число четырёхзначное. При умножении с на 5
может получиться лишь число, оканчивающееся нулём
(т. е. d = 0) или пятью (т. е. d = 5). Если допустить,
что d = 0, то айс • 5 = 10, что невозможно. Значит,
dad = 515 и ~Ш = 515 : 5 = 103.
12. Запишем для удобства сложение так:
i Ьа
\abc
dcca
Непосредственно получим: а 4- с = а (так как а -\- сФ
Ф 10 -f с), т. е. с = 0. Четырёхзначная сумма может по-
лучиться лишь при а = 9 и тогда d = 1; b + b — число,
оканчивающееся нулем, причем b -f- b ф 0 (иначе 6 = 0 =
= с, что невозможно). Значит, b + b = 10 и b = Ъ.
13. Перепишем равенство так: (* + *).* = 85, отку-
да видно, что 85 есть произведение двух сомножителей, из
которых один есть число однозначное, а другой есть сум-
ма двух однозначных чисел. Но 85, как произведение, мо-
жет быть представлено только двумя способами: 1) 85 =
= 85 1 и 2) 85 = 17 • 5. Случай 1-й отпадает, так как
85 не может быть суммой двух однозначных чисел. Случай
2-й соответствует условиям, причём 17, как сумма одно-
значных чисел, может быть представлена единственным
образом: 17 = 8 + 9.
14. Числа 9 и 13 взаимно просты. Следовательно, чис-
ло 361** делится на произведение 9 • 13= 117. Будем
делить 361** на 117:
361** 1117
351 1-30"
10*
Так как 10* <117, то вторая цифра частного — нуль:
117 • 8 = 936 < 10**, следовательно, 10** : 117 = 9 и
10** = 117 » 9 = 1053, т. е делимое 361** = 36153.
74

15. Числа 7, 11, 13 попарно взаимно простые Следо-
вательно, искомое число делится на 7 • 11 - 13 = 1001.
Числа вида, abcabc при делении на abc дают в частном
1001; значит, abcabc \ 1001. Число *7*8*9 примет вид
abcabc, если положить а = 8, b — 1 и с — 9 879 879 —
единственное шестизначное число, имеющее на чётных ме-
стах цифры 7, 8 и 9 и делящееся на 1001
16. Последняя цифра множителя может быть только 9
(так как даже 999 • 8 < 8000), а тогда последняя цифра
множимого — 2. Первая цифра множимого больше 7 (так
как 799 • 9 < 8000), но тогда первая цифра множителя
может быть только 1 (так как второе частное произведение—
число трёхзначное). Так как второе частное произведе-
ние получено от умножения множимого на 1, то сред-
няя цифра множимого — 8. Первая цифра множимого,
большая 7, не может быть 8, так как 882 • 9 < 8000.
Множимое 982, множитель 19.
17. Перепишем равенство так:
*о*
Л
«д*
"т *д*
Теперь ясно, что цифра сотен второго частного произведе-
ния — 9, а цифра едчниц — 2. Следовательно, множимое
*9* = 992, а произведение — 9920 + 992 = 10912.
18. 1) а — 1, так как 2* • 2* начинается цифрой, не
меньшей 4, 3* 3* в случае трёхзначного произведения начи-
нается цифрой 9, а при а > 3 произведение — четырёхзнач-
ное число.
2) b и с — нечётные цифры, большие 1.
3) Произведение нечётных b и с оканчивается цифрой
5. При b Ф 1 это возможно лишь при с — 5.
4) Имеем: \Ь • 15 = \аЪ Нечётное b Ф 1, b ф 5 и
Ь < 7 (так 17 • 15 > 200)^ Значит, b = 3 и 13 • 15 = 195.
19. Так как ас • с — ас, то с = 1. Сумма частных про-
изведений ас + **0 равна четырёхзначному числу: это
возможно лишь в случае, если первая цифра второго част-
ного произведения есть 9 Но эта цифра есть а. Итак, со-
множители — 91 и П.
76

20. Последняя цифра первого частного произведения — 8,
значит, последняя цифра множимого 4. Первая цифра мно-
жимого— 1, так как уже 224 ■ 7 — число четырёхзначное.
Произведение множимого 124 на первую цифру множите-
ля — число четырёхзначное. Значит, первая цифра множи-
теля 9.
21. Только число, оканчивающееся цифрой 9, будучи
возведено в куб, также будет оканчиваться цифрой 9. Ис-
комое число больше 10, но меньше 25 (так как 253 =
= 625. 25 > 10 000).
В промежутке (10; 25) единственное число, оканчиваю-
щееся цифрой 9, есть 19.
22. 203 = 8000; 213 = 441 . 21 = 8820 + 441 — число,
начинающееся цифрой 9; 223 = 484 • 22 > 10 0С0. Зна-
чит, единственное число, которое, будучи возведено в куб,
даёт четырёхзначное число, начинающееся цифрой 9,
есть 21.
23. Перепишем равенство так:
^ cd
ode
с + d = с, откуда d = 0. Трёхзначная сумма двух дву-
значных чисел может начинаться только 1. Значит, а ~ 1-
а -f- с = ad или 1Н-с=10ис = 9.
24. Перепишем равенство так: а ■ ас = есс : с, т. е.
а • ас — 111. Но 111 может быть представлено в виде
произведения однозначного и двузначного сомножи-
телей единственным образом: 3 • 37. Значит, а = 3 и
с = 7.
25. Точный квадрат должен оканчиваться чётным чис-
лом нулей; следовательно, подкоренное число имеет вид:
***500, а квадратный корень из него — *50. Точный квад-
рат содержит простые множители в чётной степени, поэто-
му подкоренное число, делящееся на З3, делится на З4, а
квгдзатный корень из него делится на З2 = 9. Но этот
корень равен *50, поэтому неизвестная первая цифра
корня может быть только 4.
26. Произведение множимого на 2 — число трёхзнач-
ное, а произведение его на цифру единиц множителя —
двузначное число. Значит, эта цифра единиц есть 1. Но
76

тогда цифра единиц множимого — 2 и, следовательно,
умножение имеет вид
*9
х 1L
*2
"т **4
Так как, очевидно, * -Ь 4 ф 2, то * 4- 4 = 12, т. е. пер-
вая цифра первого частного произведэния (а следователь-
но, и первая цифра множимого) равна 8.
27. Последняя цифра делимого — 4, так как оно делится
на 8. Сумма двух первых цифр делимого либо 5, либо 14
(так как сумма всех цифр делимого дэлжна делиться на 9).
Первое предположение отпадает, так как первая цифра
делимого должна быть не меньше 7 (иначе частное не бу-
дет пятизначным числом). Таким образом, первые две циф-
ры делимого должны образовать одно из трёх чисел: 95,
86, 77. Если делить 952 344 или 862 344 на 72, то вторая
цифра частного не будет нулём, как того требуют условия
задачи Этому условию удовлетворяет лишь 772 344
28. 1) Множитель — не 1 и не 5. Последняя цифра
множимого — не I и не 5 (иначе среди 5 цифр будут повто-
ряющиеся).
2) Первая цифра множимого меньше 5 (иначе произве-
дение будет трёхзначным) Но эта цифра и не 3, так как в
этом случае множитель будет не меньше 7 и произведение
окажется трёхзначным
3) Первая цифра множимого 1, т. е. оно — одно из чи-
сел 13, 17, 19.
4) Если множимое 13, то множитель 7 или 9. Но
13-9 > 100, а 13 • 7 = 91, и цифра 1 встретится два раза.
5) Также отпадает предположение, что множимое— 17.
В этом случае множитель 3 или 9 Но 17 9 > 100, а
17 • 3 = 51, и цифра 1 встретится два раза
6) Если множимое 19, то множитель может быть только 3
(так как 19 ■ 7 > 100) Проверяем: 19 3 = 57.
29. Из схемы деления видно, что произведение делите-
ля на 8 есть число двузначное, а произведения делителя
на первую и последнюю цифры частного — числа трёхзнач-
ные. Отсюда следует:
77

1) Первая цифра делителя — 1 (гначе ** 8 будет боль-
ше 1001.
2) Вторая цифра делителя меньше 3 (так как уже 13 8=
= 104 — число трёхзначное).
3) Первая и последняя цифры частного — 9.
4) Вторая и предпоследняя цифры частного — 0.
Итак, делитель — едко из чисел 10. 11 и 12 Но 10-9
и И 9 — числа двузначные. Число же 12 соответствует
схеме: 12 8я-96 ~ число двузначное, а 12 9=108 — чне
ло трёхзначное. Итак, делитель — 12, и деление б\дет вы
глядеть так:
******* J О
10S ' 905>09 ~
**
95
J_0S
о
Теперь видно, что три первые цифры делимого — 1, 0, 8.
Четвёртая цифра—9. При вычитании 9^—96 в остатке дол-
жна получиться 1, следовательно, пятая цифра делимого —
7, а шестая и седьмая цифры — 0 и 8.
30. Псрептшем равенство так:
аа • be — abcabc : abc — 10Э1 = 7 . 11 . 13.
Сгруппируем сомножители 7, 11. 13 так, чтобы получить
два двузначных сомножителя, из которых един состоял бы
из одинаковых цифр. Возможны две комбинации: 1) аа—
= 11 и^=713=91;2)аа=7- И =77 и её = 13 Первая комби-
нация отпадает, так как в этом случае a=l н<г=1, что не-
возможно.
Вторая комбинация даёт решение ребуса:
а=7, 6=1, с=3.
31. Нз данного равенства следхет: асе : ас—ас. Будем де-
лить асе на ас :
асе
ас
ас
1
Но однозначное с делится на двузначное ас в единственном
случае: когда с=»0 Итак, О4=10.
78

32. Перепишем равенство так:
. аа
*сса
асе
Еслиа-\-а<сЮ, то а-)-с=с и а=0, что невозможно. Значит,
а+а= 10+с и а+с-И = 10+с (так как а-\-с+\фс), откуда
а=9. Но а+а= 10+с, т. е. 10+с=18 и с=8.
33. Четырёхзначная сумма двузначного и трёхзначного
чисел имеет первой цифрой 1, причём трёхзначное слагае-
мое должно начинаться цифрой 9. По условию, это слага-
емое имеет вид 9*9, а сумма 1**1, где обе средние цифры
одинаковы, а слагаемое ** состоит из одинаковых цифр.
Запишем сложение так:
**
"+" 9*9
1**1
отсюда ясно: последняя (а следовательно, и первая) циф-
ра первого слагаемого — 2; вторая (а следовательно, и тре-
тья) цифра суммы — 0. Слагаемое же 9*9=1001 — 22=979.
34. **-**<10 000. Следовательно, возможны лишь два
допущения: 1) **.**=4444 и 2) **.**==444. Если ** **=
—4444=44 101 и так как 101 — число простое, то 4444 не-
ппедставимо в виде произведения двух двузначных чисел:
предположение первое надо отвергнуть Если же** **=
=444=4-111=2 2 3 37, то такое произведение четырёх со-
множителей можно представить в виде произведения двух
двузначных чисел и притом единственным способом:
(2.2-3) 37 Таким образом, **.**= 12 37=444.
35. 1) аЬ>10; ас<25 (так как 25-4— — число трёхзнач-
ное).
2) ас — число чётное (любое нечётное число, умножен-
ное на 4—, не даст в произведении целое число).
3) са кратно 9 (так как са=—9, где — — число целое)
4) ас кратно 9 (так как сумма а-\-с делится на 9)
5) ас кратно 18 (так как отделится на 2 и на 9, а числа
2 и 9 — взаимно простые).
79

6) Между числами 10 и 25 единственное число, деляще-
еся на 18, есть число 18. Вывод: ас—\Ъ.
36. Запишем сложение так:
abc
•\-acc
dbc
bcc
1) Сумма с+с+с оканчивается цифрой с. Это возмож-
но лишь в двух случаях: с—Ъ или с=0. Если с—Ъ то 6+5+
+6+1 = 15 и 26=9, что невозможно. Значит, с—О.
2) При с=0, складывая десятки, будем иметь: 6+0+6=
= 10 (при допущении, что 6+0+6=0, получим, что 6=0=с,
что невозможно), т е. 26=10 и 6=5.
3) Складывая сотни, будем иметь: a+a-fd+l=5, т. е.
2a+d=4 Так как афО, то d — чётное число, меньшее4.
Но d=?=Q, значит, <2=2 и, следовательно, а—\.
37. 1) С=1 и Н — чётная цифра.
2) И ^=0 (иначе и Н=0); И =£1, значит, Нф2. Но в «СИ-
ЛЕН» наибольшая цифра—5, значит, чётное Н или 4 (и тог-
да И=2, так как И=£7), илиН=0 (а И=5).
3) Если И=5, то Р4Е=Ш=15 (так как Е+С<10).
Между тем при наибольшем Р=9 и наибольшем Е=4 сум-
ма Р + Е=13 Значит, допущение И=5 и Н=0 отп?дает.
4) Таким образом, И=2 и Н=4, а Р+Е= 12 (так как Е-{-
+ С<10) Наибольшее Е=5; но Е^4 и Е=?ь2. Значит, или
Е = 5 (и Р=7), или Е=3 (и Р=9).
5) Если Е=5, то Е+С=5+1 и окажется Л>5, что не-
возможно Если же Е=3 и Р=9, то в числе «СИЛЕН» будут
заняты цифры: С=1, И=2, Е=3 и Н=4 Значит, Л=;5,
получаемое сложением Е+С+1=3+1 + 1 при Ш+Л=13,
откуда Ш=8
Итак, имеем:
• 9382
"Г 3152
12534.
38. Первое частное произведение оканчивается едини-
цей Поэтому для последних цифр обоих сомножителей воз-
можны лишь четыре комбинации: 1 и I, 3 и 7, 7 и 3, 9 и9
Но произведения 11 1, 13-7 и 17-3 — числа двузначные,
80

а по условию первое частное произведение — число трёх-
значное. Значит, единственно возможно, что последние циф-
ры сомножителей 9 и 9, т. е. перемножаются числа 19 и *9.
По условию про зведение 19 на первую цифру множителя —
число дв} злачное, значит, наибольшее значение этой циф-
ры— 5. Но по условию 19-*9—число четырёхзначное,
19-49<98и — число трёхзначное; значит, наименьшее зна-
чение первой цифры мн жителя — 5. Итак, эта цифра — 5.
39. Перепишем равенство так:
' асас
cdebc
1) Сразу видно: d—0 (так как d-\-c—c) и с— 1 (как пер-
вая цифра пятизначной суммы двух четырёхзначных чисел).
2) a-\-a—cd—\0\ отсюда а=Б (допустить, что a+a-i-l =
—10, нельзя, так как а + аф9).
3) c-fa=l-f-5=6, т. е. 6=6; а+с=6+1=7, т. е. с=7.
40. Из первого вычитания ***—*7=* вытекает, что
*7+*=*** — число трёхзначное, что возможно только,
если *7=97; тогда сумма ***=io*. Произведение делите-
ля ** на первую цифру частного равно 97; но 97 — число
простое и поэтому единственно возможным здесь будет:
делитель **=97, а первая цифра частного— 1 Из схе-
мы видно! что вторая цифра частного — 0. Произведение
делителя 97 на последнюю цифру частного окачивается
цифрой 5, что возможно только, если последняя цифра
частного — 5.
С Заказ ICS5

РАЗДЕЛ V
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
«НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ» (ДЛЯ РЕШЕНИЯ
БЕЗ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ)
(Материал для внеклассных занятий.)
V раздел книги содержит 30 арифметических задач.
Основное требование, которое здесь ставится, — решать
задачи чисто арифметическими средствами, «рассуждением ,
не прибегая к составлению уравнений и использованию
буквенной символики.
Решение любых арифметических задач, если только
они не слишком просты или трафаретны, всегда требует
догадки, умения вдумываться и находить «свой путь» к ре-
шению каждой отдельной задачи. В этом их трудность, но
в этом и их неоспоримая польза для развития мышления
Большинство задач, включённых в раздел, повышенной
трудности. Для многих из них характерен тот «интригую-
щий момент», который особенно привлекает и активизирует
пытливого ученика. Часть задач этого раздела тесно примы-
кает к так называемым задачам логического характера. По-
этому естественное место для работы над такими задачами —
внеклассные занятия.
Первые задачи V раздела сравнительно просты. Они
сходны с «маленькими» задачами III раздела (см. III раз-
дел № 141 — 148). Как и те, они предполагают устное или
полуписьменное решение и могут быть использованы в
массовых формах внеклассной работы. Остальные задачи
V раздела рассчитаны на письменное решение в условиях
кружковых занятий в VI—VIII классах.
1. Первую половину рукописи машинистка перепеча-
тывала по 6 страниц в час, а вторую половину — по 12 стра-
82

ниц в час. Сколько страниц в среднем печатала машинист-
ка за 1 час?
2. Цена билета для входа на стадион была 1 руб. 80 коп.
После снижения входной платы число зрителей увеличи-
лось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоил би-
лет после снижения входной платы?
3. Наблюдатель, стоявший на мосту длиной 150 ж, заме-
тил, что поезд прошёл мимо него за 10 сек., а на движение
по мосту затратил 25 сек. (считая с момента вступления на
мост паровоза и до момента, когда последний вагон сошёл
с моста). Найти длину и скорость поезда.
4. Я еду в трамвае и замечаю, что параллельно трамвай-
ной линии в противоположном направлении проходит мой
приятель. Через минуту я вышел из вагона и, чтобы до-
гнать приятеля, пошёл вдвое быстрее его, но в 4 раза медлен-
нее трамвая. Через сколько минут я догоню приятеля?
5. На трёх полках стоят книги. На нижней полке книг
в 2 раза меньше, чем на остальных двух, на средней — в 3
раза меньше, чем на остальных двух, а на верхней полке
стоит 30 -книг. Сколько всего книг на трёх полках?
6. Колхозница привезла на рынок 5 корзин с яблоками
двух сортов, в которых соответственно было 20, 25, 30, 35
и 40 яблок. В каждой корзине были яблоки одного сорта.
Продав целиком одну корзину, она обнаружила, что яблок
II сорта у неё осталось в 2 раза меньше, чем яблок 1 сорта.
Сколько у неё осталось яблок II сорта?
7. После того как пешеход прошёл 1 км и половину ос-
тавшегося пути, ему ещё осталось пройти треть всего пу-
ти и один километр. Чему равен весь путь?
8. Имеются казначейские билеты по 3 руб. и по 5 руб.,
всего 50 билетов. Часть денег была истрачена на покупку
книг, после чего трёхрублёвых билетов осталось в 2 раза
меньше, а пятирублёвых билетов в 3 раза меньше, чем их
было раньше. Всего же билетов того и другого достоинства
осталось 19. Сколько стоили книги?
9. (Старинная задача). 12 человек несут 12 хлебов. Каж-
дый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина — по — хлеба,
ребёнок — по — хлеба. Сколько было мужчин, женщин и
4
детей?
10. Два мотоциклиста одновременно выехали из А в В.
Первый весь путь ехал со скоростью 25 км в час, а второй
6*
83

первую половину п\ тн ехал со скоростью 30 км в час, а ото
рую — со скоростью 20 км в час. Кто из них раньше при
был в В?
11. Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал
в S час. утра. Точно в S час. к вокзалу подъезжает автомо-
биль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер при-
ехал на вокзал в 7 час. утра и пош^л навстречу мапыне.
Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на
20 мин. раньше, чем обычно. Определить показание часов
в момент встречи инженера с машиной.
12. От пункта А до пункта В \Ъкм. Из A bJ5b9 час.
30 мин. отправился пешеход, идущий со скоростью 4 км в час.
На следующий день в 11 час. он отправился в обратный
путь и шел со скоростью 5 км в час. Каждый раз он про-
ходил по мосту, находящемуся на этой дороге, в одно и то
же время. Определить показание часов при прохождении
пешеходом моста.
13. Между городами А и В через возвышенность ходит
автобхс При подъёме на возвышенность он идет со скоро-
стью 25 км в час, а при спуске — со скоростью 50 км в час
Ог .4 до В автобус идёт 3— часа, а от В до А —4 часа. Н^.<-
ти расстояние между городами А и В.
Задачз взята из книги И. Я. Депмана «.Рассказы о решении за
дач*.
14. Утром в магазин привезли 6 бидонов молока, в кото-
рых было 15, 16, 18, 19, 20 и 31 л молока. До обеденного
перерыва было полностью продано молоко из трех би-
донов, а к закрытию магазина продали целиком молэко
ещё из двух бидонов. Оказалось, что утром молока было
продано рдвое больше, чем после обеда. Указать, из ка-
ких бидонов было продано молоко до обеденного пере-
рыва?
15. На столе стоит кипящий самовар, продолжающий
кипеть во всё время чаепития 5 человек могут выпить весь
самовар за 1— часа, а 8 человек — за 1 час. За сколько
часов выпьют самовар 11 человек? (Предполагается, что
выкипание воды и распитие чая происходит равномерно).
16. (Задача Ньютона). Трава на всём лугу расчёт оди-
наково густо и быстро. Изьестно, что 70 коров поели бы
её за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней Сколько коров по
64

ели бы всю траву за 96 дней? (Предполагается, что коровы
поедают траву равномерно.)
17. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои
сбережения поделить поровну между всеми своими сыновь-
ями, некто состарил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб.
и — часть остатка; следующий — 2000 руб. и — нового ос-
8 8
татка; третий сын — 3000 руб. и — часть третьего ос-
о
татка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещан-
ного сбережения.
18. (Задача, приписываемая Л. Толстому) Косцы долж-
ны были скосить два луга. С утра они все вместе стали ко-
сить большой луг. По прошествии половины рабочего дня
косцы разделились: половина косцов осталась на большом
лугу и к вечеру его докосила, а другая половина перешла
косить другой луг, вдзое меньший первого, но не успела
к концу дня закончить косьбу. На другой день на этот луг
вышел один косец и в течение всего дня докосил его. Сколь-
ко всего было косцов?
19. Гребец, плывя вверх по Неве, потерял под Киров-
ским мостом спасательный круг. Обнаружив потерю лишь
через 10 мин., он повернул обратно и, гребя с тем же уси-
лием, нагнал круг на расстоянии 1 км от Кировского моста.
Определить скорость течения Невы.
20. В двух сосудах находится по 540 л воды. Из одного
сосуда вытекает в минуту 25 л, а из другого — 15 л Через
сколько минут в одном из сосудов останется воды в шесть
раз больше, чем в другом?
21. Самолёт летел из А ъ В. Сначала он летел со скоро-
стью 180 км в час, но когда ему осталось лететь на 320 км
меньше, чем он пролетел, он увеличил скорость до 250 км
в час. Оказалось, что средняя скорость самолёта на всём
цути 200 км в час. Определить расстояние от А до В.
22. Два велосипедиста одновременно выехали из пунк-
тов А и В навстречу друг другу. Приехав в конечный пункт,
каждый сейчас же поворачивал и ехал обратно. Первый
раз они встретились в 40 км от В, а через 8 час. после этой
встречи в 20 км от А они встретились второй раз. Найти
расстояние от А до В и скорость каждого велосипедиста.
23. Из А в В выехал автомобиль, ш дшнй со скоростью
40 км в час Через некоторое время из А в В по той же до-
85

роге вышел другой автомобиль скоростью 60 л.и в час.
который должен был прибыть в В одновременно с первым
автомобилем. Пройдя - "• — ~грвый автомобиль вы
ден был вследствие неисправности мотора вдвое умень-
шить скорость, благодаря чем\ второй автомобиль
первый в 45 км от В. Найти расстояние от А до В.
24. Два самолёта, обследуя трассу, одновременно выле-
тели из пунктов .4 и В навстречу друг др\ гу. Через 6 часов
они встретились.
Через несколько дней первый самолет -т гнчно обсле-
довал часть трассы и через 9 часов после вылета вернул-
ся в А. На следующий день из В вылетел второй самолёт
и за 7 часов обследовал оставшеюся часть трассы.
За сколько часов каждый самолёт мог бы обследовать
всю трассу, полагая, что скорость каждого из них в обоих
полётах остаётся неизменной?
25. Трое путников одновременно отправляются из пунк-
та А в пункт В, расстояние между которыми 30 км. В их
распоряжении имеется повозка с лошадью, вмещающая лишь
двух человек. Скорость лошади 15 км в час. а пешехода
5 км в час. Как им следует распорядиться лошадью,
чтобы за наименьшее время всем троим одновременно
прибыть в Б?
26. В шахматном клубе были организованы два турнира:
в I турнире играли 4 шахматиста 1-го разряда, а во И тур-
нире — 6 шахматистов 2-го разряда. В обоих турнирах каж-
дый игрок играл по одной партии с каждым из остальных
участников своего турнира. Оказалось, что победитель 1
турнира набрал столько же очков, сколько и победитель
II турнира. Сколько очков набрал каждый из участников
II турнира?
27. Некто на вопрос, сколько ему лет, ответил спросив-
шему так: «Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тог-
да, когда мне было столько же лет, сколько вам теперь. Ког-
да же вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам
вместе будет 63 года». Сколько лет каждому?
28. В старой ученической тетради задача и сё решение
были записаны карандашом. От большгнетва цифр оста-
лись лишь неразборчивые следы и запись выглядела
так:
Задача. Смешаны яблоки двух enp™ Яблок ^«.ti-
ro сорта было взято на cvmmv ** nvffcfetf ffiVitttt» — fta
w>

*1 руб. Вес всех смешанных яблок составил * 7 кг. Сколько
стоил 1 кг смеси?
Решение: 1) **-f-*l = ***
2) *** | *7
#* '
**
**
**
О
Восстановить текст и решение задачи.
29. В математическом кружке ученики составляли чис-
ловые ребусы. Один из учеников показал учителю состав-
ленный им ребус:
V*0*
х 51
***
*Т" **л*
**d£*
46<
Просмотрев ребус, учитель сказал: «Одна из цифр здесь
явно неверна; кроме того, для расшифровки ребуса эта циф-
ра и не нужна, её вполне можно заменить звёздочкой».
Укажите неверную цифру, замените её звёздочкой, а
затем расшифруйте ребус.
30. В математическом кружке учитель предложил уче-
никам такой числовой ребус:
**2
X *п
*00*
1
Ч" f *т
1
Приступив к решению, несколько учеников вскоре за-
явили, что в ребусе имеются явные ошибки. Выел\ш;ш до-
воды учеников, учтель сказал: «А теперь снова подумай-
те над решением, имея ввиду, что в записи у множен и я. *десь
нет никаких ошибок».
Подумайте над этим и вы и расшифруйте *тог роСпс.
87

РЕШЕНИЯ
1. На каждые 2 страницы рукописи (одну из первой по-
ловины рукописи, а другую — из второй половины) маши-
нистка затрачивала —Ь — — — часа, а всего за 1 час она в
среднем перепечатывала 2-4=8 страниц.
2. Входная плата с каждых двух зрителей до снижения
была 3 руб. 60 коп. После снижения вместо каждых
двух зрителей стадион посещали 3 человека, платившие
3 руб. 60кап.-КЮ коп.=4 руб. 50 коп. Стоимость билета
4 руб 50 коп : 3=1 pv6. 50 коп.
3. На прохождение расстояния, равного длине поезда,
поезд затрачивает 10 сек., а на прохождение такого же рас-
стояния плюс 150 м — 25 сек. Значит, скорость поезда
150 (25—10)= 10 (м в сек.) или —-—'-— = 36 (км в час).
1000
Длина поезда 10.10=100 (м).
4. Пусть расстояние, проходимое приятелем за 1 мин.,
есть единица. Тогда расстояние, проходимое мной за 1 мин.,
составляет 2 единицы, а расстояние, проходимое трамваем
ча 1 мин., составляет 8 единиц. Когда я сошёл с трамвгя,
расстояние между мной и приятелем составляло 8+1=9
единиц. Нагоняя приятеля, я каждую минуту сокращал
расстояние между нами на 2—1 = 1 единицу. Следователь-
но, чтобы догнать приятеля, мне потребовалось 9 : 1=9
(мин).
5. Если число книг на нижней полке принять за едини-
цу, то число книг на средней и верхней полках вместе бу-
дет две единицы, а общее число книг на всех трёх полках—
три единицы. Следовательно, число книг на нижней пол-
ке составляет — общего числа книг. Аналогично найдём,
з
что на средней полке находится — общего числа книг. Тег-
4
да на нижней и средней полках вместе будет JL -f «i- «» JL
общего числа книг и, следовательно, 30 книг верхней
полки составляет 1 = — общего числа книг; число
12 12
5
книг на всех трёх полках будет 30 : у^ = 72 (книги).
6. Всего у колхозницы было 150 яблок. После продажи
88

части яблок число яблок I сорта составило —, а II сорта —
— числа оставшихся яблок. Значит, число оставшихся яб-
3
лок кратно 3. Но первоначальное число яблок (150) также
кратно 3; следовательно, и проданное число яблок кратно
3. Но единственная из пяти корзин, в которой число яб-
лок было кратно 3, была корзина с 39 яблоками; эта корзи-
на и была продана Осталось у колхозницы всего 120 яблок,
а II сорта осталось 40 яблок.
7. Когда пешеход прошел 1 км и половину оставшегося
пути, ему осталось пройти вторую половину оставшегося
пути. Но, с другой стороны, по условию задачи, ему оста-
валось пройти — всего пути и 1 км. Значит, после того как
о
2
пешеход прошёл 1 км, его путь составлял — всего пути и
о
ещё 2 км. Но оставшийся путь на 1 км меньше всего пути.
Значит, — всего пути составляет 1+2=3 {км), а весь путь —
о
9 км.
8. Если бы после покупки книг билетов каждого досто-
инства осталось бы в 2 раза больше, чем это было факти-
чески, то всего оставшихся билетов оказалось бы 38 и сре-
ди них было бы всё первоначальное число трёхрублёвых
2
билетов и — первоначального числа пятирублёвых биле-
о
тов. Значит, — первоначального числа пятирублёвых би-
о
летов составляет 50—38=12 (билетов), а всё первоначаль-
ное число пятирублёвок — 36 билетов. Трёхрублёвок же
было 50—36 =14 (билетов). На покупку книг было истра-
чено 7 трёхрублёвок и 24 пятирублёвки. Книги стоили 3 7+
+5 -24= 141 (руб.).
9. 1) Мужчин было меньше б (на 7 и более мужчин не
хватило бы хлебов. Если бы мужчин было 6, они взяли бы
все 12 хлебов н на остальных 6 женщин и детей хлебов бы
не осталось).
2) Мужчин было больше 3 (трое мужчин несли бы 6 хле-
бов, и оставшиеся 9 женщин и детей могли бы нести не боль-
ше 4— хлебов из оставшихся 6 хлебов. Тем более невоз-
2
можно, чтобы мужчин было 1 или 2).
89

3) Мужчин было 5 (если бы мужчин было 4, то остав-
шиеся 8 человек могли бы нести оставшиеся 4 хлеба лишь в
том случае, если бы среди них не было детей, что противоре-
чит условию задачи).
4) 5 мужчин несут 10 хлебов. На 7 женщин и детей при-
ходится 2 хлеба. Если бы все 7 человек были только дети,
3 1
то они снесли бы 1— хлеба. Недостающие — хлеба будут
4 4
восполнены, если считать, что вместо одного ребёнка хлеб
несёт женщина. Итак, мужчин было 5, женщин 1 и детей 6.
10. Второй мотоциклист 1 км первой половины пути про-
езжал за 2 мин., а 1 км второй половины пути за 3 мин.
Значит, средняя скорость его 2 км в 5 мин., или 24 км в час;
первый мотоциклист прибыл в В раньше.
11. По сравнению с обычным своим рейсом машина не
проехала на этот раз расстояния от места встречи с инже-
нером до вокзала и обратно — от вокзала до места встре-
чи. Экономия составила 20 мин. Значит, место встречи на-
ходилось в 10 мин. езды до вокзала, куда машина должна
была прибыть в 8 часов. Следовательно, в момент встречи
часы показывали 7 час. 50 мин.
12. Смысл задачи и ход её решения не изменится, если
считать, что встречное движение из В в Л совершается дру-
гим пешеходом и происходит в тот же день, причём мост —
место встречи этих двух пешеходов.
До И час. первый пешеход успел пройти 4-1,5=6 (км).
В этот момент расстояние между пешеходами было 15—6=
=9 (км). Каждый час они сближаются на 4+5=9 (км), зна-
чит, встреча произойдёт через 9 : 9= 1 (час), т. е. в 12 часов.
13. В книге И. Я. Депмана «Рассказы о решении задач»,
откуда заимствована задача № 13 (в ней только несколько
изменён вопрос), приведено решение её. В журнале «Мате-
матика в школе» (№ 5 за 1959 год) в статье А. И. Остров-
ского имеются ещё 4 варианта решения этой задачи. Если
учитель найдёт время показать на занятиях кружка не-
сколько вариантов решения одной задачи (а это очень по-
лезно), он найдёт необходимый материал в указанных ис-
точниках. Мы приведём здесь лишь одно решение (в статье
А. И. Островского «вариант № 2»):
Рейс автобуса в оба конца продолжается 7— часов; при
этом общее расстояние, которое он проходит в гору, равно
расстоянию, которое проходит под гору. Но в гору он идёт
90

в два раза медленнее, чем под гору; следовательно, на всех
подъёмах он находится в 2 раза дольше, чем на всех спу-
сках. Таким образом, из 7— часов на спуски он затрачивает
2 — часа, а на подъёмы — 5 часов, и расстояние от Л до В
равно 25-5=125 (км) (так как расстояние, проходимое ав-
тобусом в гору «туда», и расстояние в гору при рейсе «об-
ратно» в сумме и составят расстояние от А до В).
14. Целое число литров молока, проданного до обеда,
вдвое больше целого числа литров проданного после обеда;
значит, число литров молока, проданного за этот день, крат-
но 3. Но всего в магазин было завезено 119 л молока, а 119
при делении на 3 даёт в остатке 2, значит, и число литров
в непроданном бидоне должно при делении на 3 дать в ос-
татке 2. Из 6 чисел (15, 16,..., 31) таким является толь-
ко 20. Отсюда, за весь день было продано 119—20=99 л:
утром 66 л, вечером 33 л. Как сумму двух слагаемых, 33 л
можно образовать из данных чисел единственным образом:
15+18. Следовательно, утром были проданы бидоны в 16 л,
19 л и 31 л.
15. Так как 8 человек выпивают весь самовар за 1 час, то
вместимость самовара составляет 8 порций (если «порцией»
называть количество чая, выпиваемое 1 человеком за 1 час)
плюс то количество воды, которое выкипает в течение часа.
Но по первому условию задачи вместимость самовара
5 • 1— = 7— порций плюс то количество воды, которое
, 1
выкипает за 1— часа; значит, за полчаса выкипает полпор-
ции, а за 1 час 1 порция, и полная вместимость самовара
9 порций. За первые полчаса чаепития 11 человек выпьют
с 1
5 — порции, и выкипит за это время полпорции; всего за
полчаса количество воды в самоваре уменьшится на 6 пор-
ций. Оставшиеся 3 порции будут выпиты за 15 мин. Таким
образом, И человек выпьют самовар чая за 45 мин.
16. За 24 дня 70 коров съедят 24-70=1680 пайков (если
«пайком» называть количество травы, съедаемое 1 коровой
за 1 день). В эти 1680 пайков входят первоначальный запас
травы и прирост её за 24 дня. 30 коров за 60 дней съедят
60-30=1800 пайков. Так как в обоих случаях была съеде-
на вся трава на лугу, то излишние 1800—1680=120 пай-
91

ков составляют прирост за 60—24=36 дней; значит, прирост
за 24 дня 80 пайков и первоначальный запас травы 1680—
—80=1600 пайков. За 96 дней прирост будет 80-4=320 пай-
ков, и общий запас травы для прокорма стада в течение 96
дней будет 1600-1-320= 1920 пайков. За 1 день будет съедать-
ся 1290 : 96=20 пайков, т. е. стадо должно состоять из 20
коров.
17. Так как все сыновья получили поровну, то — часть
8
каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше— части
8
предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был
на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию,
все деньги были поделены полностью, то, когда младший
сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч руб-
лей, ещё — часть остатка, этого остатка не оказалось. Но
8
тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпослед-
ний сын получил — часть, равную 1000 руб., а остальные
8
7000 руб. получил младший сын, который, таким образом,
был седьмым сыном: сыновей было 7, а завешенная сумма
7000-7=49 000 (руб.).
18 Примем обьём работы, выполняемой за день всей бри-
гадой косцов, за единицу. Тогда на большем лугу была вы-
полнена работа: за первую половину дня — единицы и за
1 3 D
вторую половину дня — единицы, всего — единицы. Второй
4 4
3 3
луг в два раза меньше, он требует —: 2 = — единицы рабо-
4 8
ты. Во второй половине первого дня на нём была выполне-
на работа в у единицы, а осталось на следующий день
3 11
— — — единицы работы; по условию такой объём ра-
8 4 8
боты выполняет 1 косец за 1 день. Значив в бригаде долж-
но быть 1 : — = 8 (косцов).
8
19. Допустим, что в момент потери гребцом спасатель-
ного круга течение Невы прекратилось. Посмотрим, из-
менится ли в связи с этим тот промежуток времени, кото-
рый гребец фактически затратил, чтобы догнать круг.
92

К — место потери круга (черт. 11).
М — место круга через 10 мин. после потери.
А — место лодки через 10 мин. после потери.
D — место, в котором гребец догнал круг.
В случае прекращения тече-
ния произойдёт: 1) круг оста нет- , , t Г i
ся неподвижным в /С; 2) гребец в а к м d
за 10 мин. проплывёт не только
расстояние КА, но и ещё рассто- Черт. 11
яние АВУ равное КМ, — расстоя-
ние, на которое течение отнесло его назад. Следо-
вательно, в момент поворота лодки (через 10 мин.) рас-
стояние между гребцом и кругом в обоих случаях будет
одинаковым (ВК=АМ).
Но вот гребец повернул и поплыл по течению. Легко
видеть, что время, необходимое гребцу, чтобы нагнать ув-
лекаемое лишь течением тело, не зависит от скорости тече-
ния. Действительно, то добавочное расстояние (по сравне-
нию с расстоянием в стоячей воде), которое проплывает гре-
бец из-за наличия течения, равно расстоянию, которое про-
плывает в то же время круг, увлекаемый лишь течением.
Таким образом, будем иметь: I) Гребцу надо было на-
гнать расстояние AM, отделяющее его в момент поворота
от круга. Но АМ—ВК. 2) Полагая, что плавание происхо-
дит в стоячей воде (что не влияет на расчёт времени), греб-
цу на проплытие от В до Я, где находится неподвижный
круг, требуется столько же времени, сколько от К до В
3) От К до В гребец плыл 10 мин , значит, от В до К он плыл
тоже 10 мин. и нагнал круг в К через 20 мин. после потери.
4) За 20 мин. круг фактически проплыл 1 км; скорость те-
чения 3 км в час.
20. Допустим, что уже через 1 мин в одном из сосудов
воды будет в 6 раз больше, чем в другом, и вместе с тем на
25—15=10 (л) больше, чем в другом Находя два числа по
их разности и частному получим, в гом сосуде, из которого
вытекло 25 л, осталось воды 10 : (6—1)=2 (л) Но тогда пер-
воначально в нём было 2-Н 25=27 (л). На самом деле в нем
было 540 л, г е время 1 минута в 540 . 27=20 раз меньше
истинного. Истинное время — 20 минут.
21 По условиям задачи всю трассу самолёта можно раз-
бить на 3 участка (чарг. 12), где участки АС и DB рав-
ны, а длина участка CD=320 км. Вообразим, что из А
одновременно с первым вылетает второй самолёт со ско-
93

ростью 200 км в час. Он прибудет в В одновременно с пер-
вым самолётом. На участок CD первый самолёт потратил на
320 320 8
— — — = — часа больше второго самолёта. На каждых
180 200 45 * А
10 км участка АС первый самолёт отстаёт от второго на
— — —= -—часа, а на каждых 10 км участка DB первый
180 200 180 у
10 10 1 „
самолет опережает второй на —= — часа. Следо-
v г 200 250 100 "
вательно, на каждые 20 км (10 км участка АС и \0км
участка DB) первый самолёт опережает второй на
1 1 1
100 180 225
часа.
320 км АС 0 8
I г % » ' » «
А CD в 20 км 40 км
Черт. 12 Черт. 13
Чтобы нагнать опоздание в — часа, сделанное на участ-
45
ке CD, первый самолёт должен пролететь таких 20-кило-
8 1
метровых этапов столько, сколько раз в —- содержится — ,
45 225
8 1
т. е. — : — = 40, что составит 20-40=800 (км). Таким об-
45 225
разом, расстояние ЛВ=800-г-320= 1120 (км).
22. D — место первой встречи в 40 км от В (черт. 13).
С — место второй встречи в 20 км от Л.
Очевидно, в момент первой встречи в D оба велосипеди-
ста вместе проехали всё расстояние АВ. После этого пер-
вый велосипедист проехал от D до В и обратно от В до С,
а второй от D до А и обратно от А до С, где они вторично
встретились через 8 час. после 1-й встречи. Но легко видеть,
что оба велосипедиста вместе за эти 8 час. проехали двой-
ное расстояние А В, и, следовательно, их первая встреча
в D произошла через 4 часа после выезда из конечных пунк-
тов: скорость второго велосипедиста 40 : 4= 10 (км в час).
Так как затем он за 8 час. проехал от D до Л и от Л доС
причём на 20-километровый участок Л С он затратил 2 ча-
са, то участок DA будет равен 10-6=60 (км), а весь путь
ЛВ=60+40=100 (км) Первый велосипедист 60 км от Л
до D проехал за 4 часа; скорость его 15 км в час.
94

23. Если бы первый автомобиль весь путь шёл с нормаль-
ной скоростью, то в момент, когда второй автомобиль ока-
зался в 45 км от В, т. е. в 45 мин. езды от 5, и первый авто-
мобиль был бы в 45 мин. езды от В, т. е. в 30 км от В—на 15 км
впереди второго автомобиля. Но
на самом деле встреча произошла ■ ■ 1 1
в 45 км от В, т. е. к моменту ветре- a d с В
чи первый автомобиль прошёл на
15 км меньше, чем предполагалось. Черт. 14
При замедленной скорости в
20 о в час потеря 15 км про-
изошла за — часа. Следовательно, и пройденное первым
4
автомобилем расстояние от момента аварии до встречи со
вторым автомобилем также составляет 15 км. Таким обра-
зом, первый автомобиль, пройдя — пути, оказался в 15+
4
+45=60 (км) от В. Следовательно, весь путь от Л до В ра-
вен 240 км.
24. При совместном полёте на обследование всей трассы
затрачено 6 час. Во втором полёте первый самолёт на об-
следование потратил 4— часа. Если бы и второй самолёт
при своём вторичном встречном полёте летел не 7 час,
1 3
а 4— часа, то они вместе обследовали бы — трассы. Значит,
второй самолёт за 7—4— =2— часа обследовал — трассы;
всю трассу он может обследовать за 2—-4=10 (час). При
первом полёте за 6 час второй самолёт обследовал 0,6 трас-
сы; значит, первый самолёт за те же 6 час. обследовал 0,4
трассы; всю трассу он обследует за 6 : 0,4=15 (час).
25. Чтобы всем троим в кратчайший срок одновремен-
но прибыть в В, необходимо использовать лошадь так, что-
бы в момент прибытия в В она нагнала третьего путешест-
венника, шедшего пешком. Это окажется возможным, если
этот третий будет доставлен на лошади в соответствующим
образом выбранный пункт С, откуда пойдёт в В пешком;
лошадь же побежит обратно навстречу путешественнику,
вышедшему из А пешком, встретит его в некоторой точке
D, заберёт и направится снова в В. Оба путешественника,
частично идущие пешком, должны затратить на весь пе-
95

реход одинаковое время, поэтому AD—CB. Легко пока-
зать, что AD и DC тоже равны. Действительно, пусть вре-
мя, затрачиваемое лошадью на пробег от А до D — едини-
ца. Значит, время пешехода на переход из Л в D—3 едини-
цы. Но лошадь на пробег от А до С и обратно от С до D
затрагит столько же — 3 единицы, а на пробег от D до С
и от С до D — 2 единицы и, значит, на пробег от D до С —
1 единицу, т. е. AD=DC. Значит, каждый из этих трёх уча-
стков — 10 км; С находится в 20 км от А.
26. 1) Победитель турнира первого разряда не мог на-
брать больше 3 очков. 2) Во II турнире было сыграно — =
= 15 партий; все участники его вместе набрали 15 очков.
3) Если бы победитель II турнира набрал меньше 3 очков, на-
пример 2— очка, то на долю 5 остальных участников это-
го турнира осталось бы 12 - очков. Оказалось бы, что либо
все 5 остальных участников набрали по 2— очка, либо кто-
то из них набрал больше 2— очков. Следовательно, победи-
тель П турнира набрал не меньше 3 очков. 4) Но он набрал,
с другой стороны, не больше 3 очков, так как по условию
у него и победителя I турнира одинаковое количество оч-
ков, а победитель 1 турнира не мог набрать больше 3 оч-
ков. 5) Единственно возможное распределение оставшихся
12 очков между 5 участни-
_, м, м С С, ками 11 турнира такое: 4
?ед 1ед "ТедГТед. игрока набрали по 2—очка
Черт 15 И 0ДИН ~~ 2 0ЧКа-
27. Задача просто и на-
глядно может быгь решена
с помощью числовой оси (черт 15)
Пусть отрезок оси ОМ выражает возраст младшего из
собеседников, а ОС — возраст старшего Отрезок МС, вы-
ражающий разность лет собеседников, примем за единицу
масштаба
11о первому условию имеем: когда розраст старшего был
равен возрасту младшего (т. е. выражался отрезком ОМ),
возраст младшего выражался от^ежом OMt..Но гак как
разность лет двух челоьек постоянна, то МХМ=*МС=\
96

единице. Но нынешний возраст старшего вдвое больше
прежнего возраста младшего, т. е. длина отрезка ОС
(выражающая нынешний возраст старшего) вдвое больше
длины отрезка OMv (выоажающей прежний возраст млад-
шего). Значит, 0M1=MiC=2 единицам.
По второму условию имеем: когда возраст младшего
будет равен возрасту старшего (т. е. будет выражаться
отрезком ОС), возраст старшего выразится отрезком ОСи
причём постоянная разность их лет, представляе-
мая в этом случае отрезком ССи будет равна 1 еди-
нице.
Итак, будущий возраст старшего, представленный от-
резком ОС и содержит 5 единиц, а будущий возраст
младшего, представленный отрезком ОС, содержит 4 еди-
ницы. Но по условию сумма лет обоих собеседников бу-
дет тогда составлять 63 года, а в единицах числовой оси
9 единиц. 63: 9 = 7 лет. Следовательно, возраст младшего
7-3=21 год, а старшего 7 • 4=28 лет.
28. Трёхзначная сумма двух двузначных чисел (см. 1-е
действие) может иметь цифрой сотен только 1. Частное
от деления числа 1** на 7* (см. действие 2-е) есть число
двузначное. Следовательно, делитель *7= 17, а цифра де-
сятков делимого может быть только 7, 8 и 9. Если бы де-
лимое было 17*, то схема деления была бы иной (первый
остаток был бы 0, а не значащая цифра *). Если бы де-
лимое было 19 *, то деление выглядело бы так:
19* J7 Но 2* ни при какой цифре единиц на 17
17 J не делится. Значит, единственно возможно,
2* что делимое 18*, и деление выглядело так:
18* JL7 Отсюда, цифра единиц остатка 1* (а следо*
17 \ вательно, и последняя цифра делимого)
1* есть7. Итак, делимое—187 и ** + * 1 = 187.
Слагаемое *1 здесь может быть только 91 (иначе первое
слагаемое будет трёхзначным числом). Первое слагаемое
равно 187 — 91=96.
29. Ошибка ученика заключалась в следующем: сред-
няя цифра первого частного произведения — нуль,
а тогда последняя цифра второго частного произведе-
ния— 6. Но эта цифра получена от- умножения по-
следней цифры множимого на 5 и она не может быть
равной 6.
7 Заказ 1685
ОТ

Учитель предложил неверную цифру (цифру 6 в про-
изведении) заменить звёздочкой. Действительно, ребус
вполне допускает расшифровку. Решим его.
*0* Последняя цифра множимого— не 0 (ина-
51 че запись умножения была бы иной). Но эта
*** цифра меньше 2 (иначе от умножения её на
+**0* 5 «в уме» осталось бы не меньше 1 и на месте
**4** нуля во 2-м частном произведении стояла бы
иная цифра). Значит, последняя цифра множимого — 1,
а первая цифра первого частного произведения — 4. Итак,
множимое — 401, после чего в ребусе легко восстановить
все неизвестные цифры.
30. Объяснение странностей этого умножения может
быть только одно: умножение выполнено не в десятичной
системе счисления, а в какой-то иной.
Основанием этой системы не может быть 2, так как в
записи есть цифра 2. Эта система не может иметь осно-
ванием 5, 6 и т. д., так как произведение последних цифр
сомножителей — 2 ед.Х2 ед.=4 ед. — в любой системе с
основанием больше 4 запишется цифрой 4, тогда как
здесь последняя цифра произведения— 1. В системе с ос-
нованием 3 произведение 2X2=4 запишется в виде Из
я в системе с основанием 4—Ю^Теперь ясно, что все чис-
ла в этом ребусе записаны в троичной системе. В имею-
щейся записи **2-2=*001. В троичной системе оба нуля
в этом произведении могут получиться только, если 1-я
и 2-я цифры множимого — единицы (а не 0 и не 2), т. е.
множимое П23.
Так как произведение множимого 1123на 1-ю цифру
множителя оканчивается единицей, то 1-я цифра мно-
жителя может быть только 2. Итак, множители 112з и
223. Выполним это умножение:
х112 Для проверки выразим эти числа в деся-
22 тичной системе:
Л001 И28 = За + 3+2=14
+ 1001 223 = 2.3+2:=8
-ПпП ПОП = 34 + 33 + 3+ 1=81+27 + 3+ 1 =112
uuu 14.8=112

РАЗДЕЛ VI
ВОПРОСЫ И «МАЛЕНЬКИЕ» ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕННОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для классной и внеклассной работы
в восьмилетней школе.)
Вопросы и «маленькие» задачи по алгебре, включённые
в VI раздел, рассчитаны преимущественно на устное реше-
ние. Лишь небольшое число задач предполагает полупясь-
менное решение.
Упор на устное решение, предложение решить уравне-
ние или произвести вычисления «по соображению», иногда
непривычная постановка вопроса и т. д. — всё это придаёт
большинству задач особый характер, отличающий их от
обычных упражнений.
Почти все предлагаемые задачи нетрудные и многие из
них могут быть использованы в классной работе. Кроме
того, учитель найдёт здесь полезный материал для мас-
совых форм внеклассной работы (математические вечера,
викторины, устные олимпиады и т. д.), а также для круж-
ковой работы.
1. Сколько раз следует взять слагаемым число а, чтобы
получить ап ?
2. Найти численное значение выражения
(а— Ь) (а2 — Ь2) при а — 5,75 и Ь = 4,25.
3. Найти численное значение выражения
a* — tP — Zab(a — Ь) при а= — 12 и 6 = 7.
4. Найти остаток от деления 56л .на 5 (п — натураль-
ное число).
Т 99

5. Имеется число, кратное 45. Когда его разделили на
45, полученное частное сложили с делимым, а затем из
суммы вычли делитель, то получили 875. Найти это число.
6. Сумма двух нечётных чисел делится на 5. Какой циф-
рой оканчивается сумма кубов этих чисел?
7. Делится ли а2 — с2 + b(2a -f b) на а -Ь b + с?
8. Вычислить значение выражения а2 + 22а + 201 при
а = 69.
9. Доказать, что числа а и 2а + 1 при любом натураль-
ном значении а — взаимно простые.
10. Доказать: «Если дробь -^-ттц несократима, то и
дробь -г- также несократима».
11. При каких значениях х справедливо равенство
\х\ = х?
12. При каких значениях х дробь — меньше 1?
4
13. При каких значениях х дробь j положительна?
14. Доказать, что квадрат всякого нечётного числа име-
ет вид An -f- 1.
15. Найти такое натуральное значение х> при котором
численное значение трёхчлена х2 + х + 41 окажется точ-
ным квадратом.
16. Найти наименьшее значение трёхчлена
х2 — 6х -f Ю.
17. Найти наибольшее значение выражения
—(а+3)а+2.
18. Доказать, что выражение (х — 3) (х — 5) + 2 при
любых значениях х есть положительное число.
19. Что больше: \а + Ь\ или а\ + \Ь\ ?
20. При каких целых значениях х справедливо нера-
венство |*|<2?
21. При каких значениях х справедливо неравенство
\х — 21< 3?
22. При каких значениях * дробь ргхт отрицательна?
23. При каких значениях х дробь ^rzr\ меньше единицы?
100

24. Решите «по соображению» уравнение х2 -f у2 — О
25. Решите «по соображению» уравнение
(х-а)2 + (у—Ь)2 = 0
26. Во сколько раз половина куба положительного чис-
ла больше куба его половины?
27. Доказать теорему: «Сумма квадратов двух любых
нечетных чисел не может быть точным квадратом».
28. Доказать: «При любом натуральном значении я,
большем единицы, число /г4 + 4 — составное».
29. Решить «в уме» систему уравнений:
х + У= 1,
*+ z = 2,
30. Решить «по соображению» систему уравнений:
Ьх + 8у = 5,
Sx+5y = S.
31. Ученик решил уравнение 5х-\- 15 = Зх + 9 сле-
дующим образом: 5* + 15 = Зх + 9; 5(* + 3) = 3(х +3);
5 = 3, и заявил, что уравнение корней не имеет, так как
решение его приводит к нелепому результату. Прав ли
ученик?
32. Ученик решил систему уравнений:
у = 2(1—*),
2х+у~8
способом подстановки, для чего выражение для у из пер-
вого уравнения он подставил во второе. Проделайте «в
уме» это решение, сообщите полученный результат и разъ-
ясните его.
33. Ученик решил систему уравнений
2х + у=8,
у 2(4 — *)
способом подстанойки, для чего выражение для у из вто-
рого уравнения он подставил в первое. Проделайте «в уме»
это решение, сообщите полученный результат и разъясните
его.
101

34. Преобразовав разность -т-р примените полу-
ченный результат для вычисления «в уме» суммы:
Г 79 .
42 ' 56 * 72
х*
35. При каком значении х дробь . , а имеет наимень-
шее значение?
36. Решить уравнение |.*| = 2х — 6.
37. Какое число больше: 1020 или 9010?
38. Какое число больше: О, I10 или 0,320?
о О
39. Являются ли числа 88 и 99 точными квадратами?
40. Являются ли числа 57 и 56 точными квадратами?
41. Какой цифрой оканчивается число 141*14?
42. Назовите две последние цифры числа 5*3.
43. Что больше 2/5"или 3|/2?
44. Что больше УТ5 или |/2" + уТГ?
45. При каких целых значениях х выражение Ух— 3—
— УЬ — х имеет смысл?
46. Можно ли утверждать, что выражение
У(х—\)2+]/(2—х)2
после упрощений равно единице при любых значениях х?
47. Вычислить произведение:
Вычислить «в уме»:
48. V42 + 562.
49. J/642 + 4 • 12 • 48 .
50. 1/2,92 _ о,342 .
51. l/o>24 . 4 • 4,9
' 0,02
52. У а3 — a2b — ab2 + bs при a = 0,77 и b = 0,23.
53. Из двух двоек и знаков, употребляемых в матема-
тике, составить числа, которые были бы:
102

1) Больше нуля, но меньше 1;
2) Больше 1, но меньше 2;
3) Больше 2, но меньше 3;
4) Больше 3, но меньше 4;
5) Больше 4, но меньше 5.
Решить «по соображению» уравнения:
54. Xх* = 5.
55. х + — = 5,2.
56. При каком значении т один из корней уравнения
2тх2 — 2* 4- 2 — Ът = 0 равен нулю?
57. При каком значении а корни уравнения Ьх2 4-
7(а — в)х — 3 = 0 будут равны по абсолютной величине?
58. Один из корней квадратного уравнения ах2 + Ьх 4-
4 с равен . Определить с.
59. Назовите, не пользуясь формулой корней, корни
квадратного трёхчлена ах2 + bx -f- с, если дискриминант
его равен Ь2.
60. Какая зависимость существует между коэффициен-
тами уравнения ах2 4- Ьх 4* с = 0, если известно, что кор-
ни его взаимно обратные числа?
61. В квадратном уравнении Зх2 + Ьх + 15 «= 0 най-
ти &, если известно, что корни уравнения — целые числа.
62. В квадратном уравнении 4х2 — 8* 4* с = 0 найти
с, если изестно.что корни уравнения — неотрицательные
целые числа.
63. Как простейшим, образом можно обнаружить, что
уравнение 1 \х2 4- 37* — 56 = 0 не имеет целых корней?
64. Решить «по соображению» уравнение
10*2 4- 101*+10 = 0.
65. Не пользуясь формулой корней, решить уравнение
аЬх2 — (а2 + Ь2)х 4- аЬ = 0.
66. Выразить зависимость между коэффициентами урав-
нения х2 4- рх 4- q =» 0, если один из корней его = 1.
67. Каковы должны быть коэффициенты полного квад-
ратного уравнения х2 + рх 4* Я = 0, если корни его —
числа р и ф
68. Составить квадратное уравнение с рациональными
коэффициентами, один из корней которого равен 2 4- |/1Г
103

69. Найти численное значение выражения ххх£ 4-
-f #i2*2» в котором хх и х2 являются корнями уравнения
3*а + 5а: — б = 0.
70. Решить «по соображению» уравнение
х2 — 2х + у2 — 4у + 5 = 0.
71. В какой четверти заведомо нет точек прямой
у = 2х — 3.
72. Как на плоскости расположены точки, координаты
которых удовлетворяют уравнению
х2 — г/« = 0?
73. Как на плоскости расположены точки, координаты
которых удовлетворяют уравнению
х2 + у2 = 0?
74. Как на плоскости расположены точки, координаты
которых удовлетворяют уравнению ху = 0?
75. Как на плоскости расположены точки, абсциссы
которых удовлетворяют уравнению
(а: — 21 = 1?
76. Пересекает ли парабола у = — х2 — х — 1 оси
координат?
РЕШЕНИЯ
1. ап : а =ап"г (раз).
2. (а — Ь) (а2 — Ь2) = (а — Ь)2 (а + Ь) = 1>52 • 10 =
= 22 5.
3. аз — Ьъ — ЪаЬ(а— Ь) = (а — б3) = ( — 5)3 = — 125.
4. Степень 56я при любом натуральном п оканчивается
цифрой 6, т. е. оказывается числом, которое на 1 больше
числа, кратного 5. Остаток от деления 56л на 5 равен 1.
5. Обозначим частное от деления искомого числа на
45 через ?. Тогда искомое число — делимое — равно 45?;
после сложения его с частным ? получим сумму 46?, кото-
рая по условию равна 875 Н- 45 = 920. Из 46? = 920
имеем q = 20, а искомое делимое 45? = 900.
6. Если а и b — числа нечётные, то a -f- Ь число чётное.
104

Если чётное число делится на 5, то оно оканчивается ну-
лём.
а3 + б3 = (а -f- b) (а2 — ab + b2) и так как а + b оканчи-
вается нулём, то и произведение, т.е. а3 + Ь3, также окан-
чивается нулём.
7. а2 — с2 + b (2а + Ь) = а2 + 2а& + б2 — с2 -
=(а+ б)2—с2 = (а + 6 + с) (а+ b — с).
8. 692 + 22 • 69 + 201 = (692 4- 2 . 69 • И + 121) +
+ 80 = (69 + 11)2 4- 80 = 6480.
9. Всякие два последовательных натуральных числа а
и а + 1 — числа взаимно простые. Рассмотрим сумму a -f
+ (а 4- 1) = 2а 4- 1. Любой делитель а не будет делите-
лем слагаемого а + 1, а следовательно, и суммы 2а + 1.
Значит, числа а и 2а 4- 1 — взаимно простые.
10. Если допустить, что числа а и b имеют общий дели-
тель, то он будет и общим делителем чисел а — b и а + Ь,
т. е. дробь —тгь окажется, вопреки условию, сократимой.
11. При всех неотрицательных значениях х равенство
| х | = х будет верно.
12. Дробь - окажется меньше 1, во-первых, при всех
отрицательных значениях х, во-вторых, при всех значе-
ниях X > 1.
13. Числитель дроби — число отрицательное. Следова-
тельно, дробь будет положительной в том случае, если зна-
менатель её тоже будет числом отрицательным. Но 4 — х
окажется меньше нуля при всех значениях х > 4.
14. (2а + I)2 = 4а2 + 4а + 1 = 4(а2 + а) + 1 =
= 4л + 1.
15. При любом с число а2 + а + с окажется точным
квадратом, если положить а — с— 1. Действительно, в
этом случае
а2 + а 4- с = (с — I)2 + (с — 1) + с = (с — I)2 +
+ <с — 1) + (с — 1) + 1 = (с — I)2 + 2(с — 1) + 1 «
= [(с - 1) + 112 = с2.
Таким образом, х2 4- х 4- 41 при * = 40 будет точным
квадратом.
16. х2 — 6*+ 10 = (д:—З)2 4- 1. Наименьшее значение
(х — З)2 — нуль. Следовательно, наименьшее значение
трёхчлена равно единице.
17. При любом а число (а 4- З)2 неотрицательно,
а — (а + З)2 неположительно, Наибольшее значение
105

— (а + З)2 — нуль (при а— — 3), а наибольшее зна-
чение всего выражения равно 2.
18. (х — 3) (х — 5) + 2 = х2 — 8* + 17 = (х — 4)2 +
+ 1. Наименьшее значение (х — 4)2 + 1 равно единице.
Следовательно, при любых х многочлен (х — 3) (х — 5) +
+ 2 — число положительное.
19.|в + Ь\ < \а\ +|6|.
Если а и b имеют одинаковые знаки, то \а + b = |а|+
+ j b | ; если противоположные, то | a -f 61 < | а Ч-|6|.
20. Чтобы выполнялось неравенство |х|<2, надо, что-
бы выполнялись неравенства: х < 2 и х > — 2. Следова-
тельно, целыми числами, удовлетворяющими неравенству
|*| <2, будут— 1; 0; 1.
21. Аналогично задаче 20 имеем: х — 2<3 и
х — 2 > —3, т. е л < 5 и Jf > —1; неравенство удов-
летворяется при — 1 < х < 5.
22. Знаменатель дроби х2 -f 1 при любых значениях
х — число положительное. Следовательно, дробь будет от-
рицательной в том случае, если числитель—число отри-
цательное: х — 1 < О или х < 1.
23. При любых значениях х числитель дроби х2 — 1
меньше знаменателя х2 + 1; таким образом, дробь меньше
единицы при всех значениях х.
24. Сумма неотрицательных чисел х2 и у2 может быть
равна нулю только в случае, если каждое из них равно
нулю.
25. По тем же соображениям, что и в задаче 24, имеем:
(х — а)2= 0 я (у— Ь)2 = 0, откуда х = а и у = Ь.
26. Половина куба положительного числа а есть ~-, а
куб половины того же числа а есть I у 1 = -g-; ^- • -§- = 4.
27. (2а + I)2 + (2Ь + 1)а - 4а2 + 4а + 1 + 4Ь2 + 46+
+ 1 - 4 (а2 + а + б2 + Ь) + 2.
Мы получили чётное число, не делящееся на 4 (так как
первое слагаемое делится на 4, а второе слагаемое — два —
на 4 не делится). Значит, в разложении этого числа множи-
тель 2 входит в нечётной степени: число не может быть
точным квадратом.
28. /г4 + 4 =ь п* + 4п2 — An2 + 4 = (/г2 + 2)2 — 4л2=
= (л2 4- 2 + 2п) (п2 + 2 —- 2/г); следовательно, я* -+- 4
106

есть произведение двух целых чисел, отличных от единицы,
что и доказывает теорему.
29. Складывая уравнения, получим х + у -+ г — 3, от-
куда я = О, </ = 1 и г = 2.
30. х =■ 1, г/ = 0.
31 Корень этого уравнения — 3 Поделив обе части
ураьнгния на х + 3, ученик потерял этот корень.
32. Подстановка приводит к равенству 2 = 8. Подобные
нелепые разультаты будут получаться всегда при решении
несовместных систем уравнений. Здесь именно такой случай:
решается система | 2х + у = 2,
\ 2х + у = 8, т. е. предполагается,
что сумма 2х + у при одних и тех же значениях х и у в од-
ном случае равна 2, а в другом случае 8.
33. Подстановка приводит к равенству 8 = 8. Подоб-
ный результат будет получаться всегда при решении не-
определённой системы ( ах -f- by = с,
\ ах -j- by — с.
В рассматриваемой задаче мы имеем именно такую си-
стему:
2х + у = 8,
2х + у = 8.
(
34.
1уЧИ!
6
35.
1 1 1
а а 4-1 аСа+1)'
1 + 1 4- 1 - /1
^"42 56 72 \б
1 __ 1
9 "~ 18'
*3 _ (1 4- х2) — 1
1 Ч- jc2 14-х2
пользуясь этим равенством,
1"~ 1 4-х2' ^та Разность бу-
дет тем меньше, чем больше будет вычитаемое ГТТ но
ДР°°ь j , хг будет тем больше, чем меньше будет знаме-
натель 1 -f- *г- Сумма же 1 + х2 будет наименьшей при
наименьшем значении неотрицательного слагаемого х2, т. е.
при х = 0.
36. При любых значениях х левая часть уравнения не
меньше нуля. При х — 0 и х < 0 правая часть уравнения
отрицательна. Значит, если уравнение имеет решения, то
107

только при х >0. Но тогда уравнение можно записать так:
х = 2х— 6, откуда х = 6.
37. 1020 = ПО2)10 = ЮО10 > 9010.
38. 0,320 = (0,32)10 = (0,09)10*< 0.11*-
39. 8s8 есть чётная степень 8, а 9бв = (З2)9® = 32л (где
п — 99) есть чётная степень 3. Оба числа точные квадраты.
40. б7 — чётное число, а 76 — нечётное; следовательно,
5«7 _. точный квадрат, а 5?в не будет точным квадратом.
41. Число 14 в любой чётной степени оканчивается
цифрой 6, а в любой нечётной степени — цифрой 4. Здесь
основание степени 14 имеет показателем степени число 1414—
заведомо чётное. Значит, число 141414 оканчивается циф-
рой 6.
42. Любая степень 5 имеет последней цифрой 5, а пред-
последней — 2. __ __
43. 2/5"=/20; 3/2_==/18; 2/5 > 3/2. __
44.JJ/"I0)2 = 10; (J/2 + /3£ = 2 + 3 + 2/6 =5 +
+ /24 < 5 + 5. Так как /10 и_ /2 + У][— числа
положительные, а (/10)2 >(/2 + /З)2, то и /10 > У 2+
+ /3.
45. Выражение будет иметь смысл только при таких
значениях х, при которых оба подкоренных числа (х — 3
и 5 — х) — неотрицательны. Следовательно, целыми зна-
чениями х могут быть только 3, 4 и 5.
46. После упрощений выражение будет равно единице
лишь при 1 < х < 2.
47. Группируя сомножители, получим:
(/Тад • /ГО) • (VW- /<Щ = 1^125 . /8"= 10.
48. /422 +562 = /142- З2 + 142 . 42 = 14 /25"= 70.
49. /642 + 4 • 12 • 48 = /162 42 + 162 • З2 =
= 16 • 5 = 80.
50. /3,24 • 2,56 = 1,8 . 1,6 =1*—^ = **L=i = 2,88
___!__- 100 100
51. л/ 0,24о61'4,9 =7 -/ТЖ= 7 . 1,2 = 8,4.
52. Уа\а — 6)— Ь2 (а — 6)" = /(а — б)2 (а + Ь) =
= (а — Ъ) У а + Ь . 0,54 • /Т = 0,54
53. 1) *у-; 2- /2 и т. д.
108

2) Yf; 1/2 + V2 и т. д.
3) 2/2"; УуЙ и т. д.
4) 2 + УТи т. д.
5) /22 и т. д.
54. (/б)5 = 5. Поэтому, если в степени хх показатель
степени х5 равен 5 (а это будет при х =*/5), то и степень
хх при # = /5"тоже будет равна 5. УЪ — корень данно-
го уравнения.
Ou. Х\ == OJ Jfg :^ е .
2
56. 2 — Зт = 0; т = —.
57. а — 6 = 0; а = 6.
58. Сумма корней уравнения равна . Значит, х2 —
= 0; с = 0.
59. 4ас = 0. Ноа^ 0. Значит, с = 0. Корни трёхчле-
на 0 и — — .
а
60. Произведение корней — по условию равно единице.
Значит, с— а.
61. Произведение корней равно 5. Два целых числа
могут дать в произведении 5, если: 1) одно из них 5, а дру-
гое 1 и 2) одно из них —5, а другое —1. Следовательно,
- ь a b А
—~ = 6 или — Т = — "•
62. Сумма корней уравнения равна 2. Сумма двух не-
отрицательных целых чисел может быть равна 2, если:
1) каждое из них равно 1 и 2) одно из них 2, а другое 0.
с с
В первом случае "т= 1-1 ис = 4; во втором случае -т-=
— 20 и с= 0.
63. Не подсчитывая дискриминанта, легко установить,
что он оканчивается цифрой 3 (...9 + ...4); числа же,
оканчивающиеся цифрой 3, не могут быть точным квадра-
том.
109

64. Произведение корней равно ^ = 1, т. е. корни —
101 1
числа взаимно обратные. Сумма же корней — = 10 + ^'
1
откуда хх = 10 и х2 — "JJ.
a b
65. Сумма корней — ■+■ —, произведение — единица:
66. *2 = — q\ Хх -\- х2 = —1 — q = — р. Зависимость
между коэффициентами может быть представлена: р — <7= 1.
67. Произведение корней pq — q. Но q ф 0 (уравне-
ние— полное), следовательно, р = 1. Сумма корней р+
-f q — — р или 1 + q = — 1, т. е. ? = — 2. __
68. Второй корень этого уравнения 2 — j/З, откуда
сумма корней 4, а произведение 4 — 3 = 1.
69. х±х2 "т Х\ х2 == #i#2v^i г ^г) == — "я" * —Ч* == ?*
70. х2 — 2х + */2 — 4# + 5 = (х2 — 2х + 1) +
+(</2- 4^+4) = (*- 1)а + (*/-2)2 и (х- 1)2+(*/ — 2)2=0.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю; это воз-
можно лишь при х — 1 = 0 и у — 2 = 0 или при х = 1
и у = 2.
71. При *>0 2* — 3, т. е: у может быть числом и по-
ложительным и отрицательным; в 1 и IV четвертях имеют-
ся точки рассматриваемой прямой. При любых #<0
2х— 3<0; значит, в этом случае точки прямой будут толь-
ко в III четверти; точек прямой нет во II четверти (в ко-
торой *<0, а #>0).
72. Уравнению х2 — уг = 0 удовлетворяют все пары
чисел, абсолютные значения которых равны, и только
такие пары. Эти пары чисел представляют собой коорди-
наты точек двух прямых; 1) биссектриса I — III коорди-
натных углов и 2) биссектриса II — IV углов.
73. Единственная точка, координаты которой удовлет-
воряют уравнению х2 + у2 = 0, есть начало координат,
т. е. точка (0; 0).
74. Произведение двух чисел может быть равно нулю
тогда и только тогда, когда по крайней мере один из
сомножителей равен нулю.
110

1) Если х = 0, то в уравнении ху = 0 у может быть ка-
ким угодно числом. Но геометрическим местом точек,
абсциссы которых равны нулю, является ось Y.
2) Если у = 0, то в уравнении ху — О х может быть
каким угодно числом. Но геометрическим местом точек,
ординаты которых равны нулю, является ось X. Таким
образом, точками плоскости, координаты которых удо-
влетворяют уравнению ху = 0, является множество точек,
принадлежащих оси X, и множество точек, принадлежа-
щих оси Y.
75. Решая уравнения х — 2= 1 их — 2 = — 1, имеем
х = 3 и х = 1. Но все точки, абсциссы которых равны 3,
расположены по прямой, параллельной оси Y и пересе-
кающей ось X в точке с абсциссой 3. Аналогично, все точ-
ки с абсциссой, равной единице, расположатся по прямой,
параллельной оси Y и пересекающей ось X в точке с абс-
циссой 1.
76. Если квадратный трёхчлен — х2 — х — 1 имеет
корни, то парабола пересекает ось X ( в частном случае
касается оси X). Если же он не имеет корней, то точек пе-
ресечения параболы с осью X быть не может (так как аб-
сциссы точек пересечения и являются корнями трёхчлена).
Составляем дискриминант квадратного трёхчлена: (—I)2—
— 4( — 1)( — 1) = 1 — 4 = — 3. Дискриминант меньше
нуля, значит, квадратный трёхчлен — х2 — х — 1 корней
не имеет, а, следовательно, парабола у =— х2 — х — 1
не пересекает ось X.
Любая парабола у = ах2 + Ьх -f с пересекает ось Y.

РАЗДЕЛ VII
ВОПРОСЫ И «МАЛЕНЬКИЕ» ЗАДАЧИ
ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УСТНОГО
И ПОЛУПИСЬМЕННОГО РЕШЕНИЯ
(Материалы для классной и внеклассной работы по курсу
восьмилетней школы.)
За небольшим исключением имеющиеся здесь задачи
допускают устное или полуписьменное решение. Более
лёгкие из них могут быть использованы в классной работе
или на самом уроке, или как часть домашнего задания.
Кроме вопросов «на понимание» и маленьких задач на
доказательство, на построение и на конструктивное при-
менение геометрии к простейшим потребностям практики,
около 20 задач, включенных в VII раздел, оформлены в ви-
де специальных вопросов, начинающихся словами «сущест-
вуют ли...» или «можно ли...». В сформулированных по-
добным образом задачах-вопросах есть существенная чер-
та — в них нет явной подсказки того готового факта, ко-
торый в теоремах и многих задачах является объектом до-
казательства. Несомненно, что такая постановка вопроса
в большей мере, чем обычно, стимулирует аналитический
подход к решению задачи. Вынужденный «угадать» ответ
(в форме «да» или «нет») и обосновать его, ученик должен
будет, особенно в условиях устного решения, наиболее
полно проявить такие качества, как интуиция и геометри-
ческое воображение, что в свою очередь будет содейство-
вать развитию пространственных представлений
Тематика предлагаемых вопросов и задач отвечает
новым программам восьмилетней школы. Точная разбив-
ка упражнений по классам не произведена; предполагает-
ся, что учитель сам отберёт для каждого класса задачи,
соответствующие программе по геометрии для этого класса
112

1. Периметр равнобедренного треугольника 14 см. Од-
на из сторон его втрое больше другой. Найти длины сто-
рон треугольника.
2. Существуют ли треугольники, у которых один из
углов равен разности двух других углов?
3. Существуют ли треугольники, у которых точка пе-
ресечения всех трёх высот находится в одной из вершин
треугольника?
4. Длины всех сторон треугольника в дециметрах вы-
ражаются целыми числами. Одна сторона содержит 1 дм,
другая — 3 дм. Вычислить периметр треугольника.
5. Можно ли разносторонний треугольник разрезать на
два равных треугольника?
6. Можно ли построить треугольник, у которого одна
сторона составляла бы половину большей стороны, а мень-
шая сторона составляла бы треть большей?
7. Существуют ли выпуклые многоугольники, у кото-
рых сумма внутренних углов относится к сумме внешних
углов, как 2:1?
8. Один ученик по аналогии с понятием «остроуголь-
ный треугольник» предложил ввести название «остроуголь-
ный четырёхугольник» для выпуклых четырёхугольников,
у которых все внутренние углы — острые. Подумайте, как
отнёсся учитель к этому предложению?
9. Может ли число диагоналей многоугольника быть
вдвое больше числа его сторон?
10. Число диагоналей многоугольника заведомо число
целое. Между тем формула для числа диагоналей выпукло-
го я-угольника — Г" '— имеет вид дроби. Как это
объяснить?
П. В выпуклом л«угольнике все внешние углы тупые.
Найти п.
12. В выпуклом шестиугольнике три внутренних уг-
ла — прямые. Сколько среди остальных внутренних уг-
лов — острых?
13. Какое наибольшее число внутренних острых углов
может встретиться в выпуклом многоугольнике?
14. Имеется доска с параллельными краями. Плотни-
ку надо отрезать конец доски под углом в 45°. Как это
сделать?
8 Заказ 1683
113

15. Из куска фанеры хотят выпилить квадрат. Как
проверить, что вырезанный четырёхугольник действитель-
но есть квадрат?
16. Можно ли утверждать, что любая вписанная в круг
трапеция — равнобедренная?
17. Выпускаемые заводами грампластинки имеют в диа-
метре 180 мм, 200 мм, 250 мм и 300 мм. По отломанному
от края небольшому осколку по-
Ду -л требовалось определить размер пла-
стинки. Как это сделать? Указать
план решения задачи.
18. Поверхность пруда имеет
форму квадрата (черт. 16). В вер-
шинах его растут 4 дуба (Л, В, С,
D). Хотят вдвое увеличить пло-
■ щадь поверхности пруда, но так,
В чтобы новый пруд сохранил фор-
Черт. 16 МУ квадрата и чтобы все 4 дуба
остались на своих местах. Как это
сделать?
19. На прямой MN (черт. 17) требуется найти такую
точку С, чтобы сумма расстояний от неё до данных точек
А и В была наименьшей.
•В
•А
М -N
Черт. 17
20. Хотят убедиться, что кусок материи имеет форму
квадрата. Для этого его дважды перегибают, сначала по
одной, потом по другой диагонали. Образующиеся тре-
угольники оба раза точно совмещаются. Можно ли счи-
тать, что подобная проверка подтверждает, что этот кусок
материи действительно имеет форму квадрата?
21. Найти центр круга, имея в распоряжении лишь
чертёжный треугольник и карандаш
22. На клетчатой бумаге надо разметить вершины ром-
ба. Как это сделать?
114

23. Могут ли все три стороны целочисленного прямо-
угольного треугольника выражаться нечётными числами?
24. Могут ли две хорды окружности, не являющиеся
диаметрами, точкой пересечения их взаимно делиться по-
полам?
25. Квадрат и ромб имеют равные периметры. Площадь
какой фигуры больше?
26. Имеется куб, объём которого содержит столько ку-
бических сантиметров, сколько квадратных сантиметров
заключается в площади его поверхности. Найти длину реб-
ра этого куба.
27. Какая фигура получится, если последовательно сое-
динить прямыми середины сторон прямоугольника?
28. Как разделить равносторонний треугольник на три
части так, чтобы из образовавшихся частей можно было
бы составить два равных между собой ромба?
29. Может ли диагональ трапеции быть биссектрисой
его угла?
30. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 74,5 см,
один из катетов 25,5 см Вычислить («в уме») другой катет.
31. Можно ли из 36 спичек, не ломая их, сложить пря-
моугольный треугольник?
32. Существуют ли прямоугольные треугольники с
острым углом в 30°, стороны которых выражаются целы-
ми числами?
33. Может ли вписанный в круг многоугольник иметь
равные стороны, но неравные углы?
34. Может ли вписанный в круг многоугольник иметь
равные углы, но неравные стороны?
35. Имеются два прямоугольника. Стороны одного —
ах = У 10см и Ьх = Y\b см; стороны другого — а2= |/ГГ см
и Ьг = К14 см Какой из этих прямоугольников имеет:
1) большие диагонали? 2) большую площадь? 3) больший
периметр?
36. Подобны ли наружный и внутренний четырёхуголь-
ники в обычной рамке для портретов?
37. Можно ли две стороны треугольника пересечь пря-
мой, не параллельной третьей стороне, так, чтобы отсечён-
ный треугольник был подобен данному?
38. С помощью чертежа для построения отрезка, сред-
него пропорционального между двумя данными отрезками,
показать, что среднее арифметическое двух любых нерав-
ен
115

ных положительных чисел больше их среднего геометри-
ческого.
39. В трапеции проведена средняя линия. Подобны
ли две образовавшиеся трапеции?
40. Доказать, что периметр любого прямоугольника
больше периметра равновеликого ему квадрата.
41. Можно ли вписать в круг два неравных подобных
треугольника?
42. Укажите план решения задачи на построение: «В
данный круг вписать треугольник, подобный данному тре-
угольнику».
43. Может ли средняя линия трапеции пройти через
точку пересечения диагоналей?
44. Доказать, что в любой трапеции треугольники, об-
А В
Черт. 18
разованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами
трапеции, равновелики (черт. 18).
45. Периметр треугольника 18 см. Биссектриса одного
из углов треугольника делит противоположную сторону
на отрезки 2,5 см и 3,5 см Найти стороны треугольника.
46. В правильном /г-угольнике внутренний угол отно-
сится к внешнему, как 2:1. Найти п
47. Из каких равных правильных многоугольников
можно сложить паркет?
48. Площадь фигуры, заключённой между описанным
и вписанным в круг правильными четырёхугольниками,
равна 2 м2 Найти площадь круга.
49. Можно ли пересечь куб плоскостью так, чтобы в
сечении получился равносторонний треугольник?
50. Доказать, что во всяком прямоугольном треуголь-
нике куб гипотенузы больше суммы кубов катетов.
J16

51. Существуют ли такие целочисленные прямоуголь-
ные треугольники, у которых оба катета выражаются не-
чётными числами?
52. Между отрезками а, Ь и с существует соотношение
а 4- Ь>с. Является ли наличие такого соотношения толь-
ко необходимым; только достаточным или же необходимым
и достаточным условием возможности построения треуголь-
ника из отрезков а, Ь, с?
53. Периметр треугольника равен 1 мм. Может ли ока-
заться, что радиус вписанной около этого треугольника
окружности будет больше 1 км}
РЕШЕНИЯ
1. Основание треугольника не может быть большей сто-
роной его, так как тогда стороны будут находиться
в отношении 3 : 1 : 1 и окажется, что основание больше
суммы боковых сторон Следовательно, отношение сторон
1:3:3, откуда основание 2 см, а каждая боковая сто-
рона — 6 см
2. Пусть в треугольнике ^1 = ^2 — -^3, т. е. ^2 =
■■ ^1 + ^3. Но ^2 = 180° — (Л + ^3) или^: 2 =
= 180J — -^2, т. е. -^2 — прямой Таким свойством «один
из углов равен разности двух других углов» обладают все
прямоугольные треугольники.
3. Вершина прямого угла в прямоугольном треуголь-
нике есть точка пересечения трёх высот треугольника
4. Пусть третья сторона — с; тогда с^\ (так как
1 + 1 <3), сф2 (так как 1+2 = 3), с<4 (так как уже
4 — 3 = 1). Единственно возможное значение с = 3. Пе-
риметр треугольника 3 ~f- 3 -f- 1 = 7 (дм).
5. Чтобы получить 2 треугольника, надо, чтобы линия
разреза проходила через вершину треугольника. Если
разрез сделать по высоте, то гипотенузы в получившихся
треугольниках не будут равны. Если же разрез сделать
наклонно к основанию, то образовавшийся в одном из
треугольников тупой угол не может быть равным ни од-
ному из углов второго треугольника.
1 15
6. -д большей стороны плюс -~ её же составят -=
этой стороны и окажется, что в треугольнике есть сто-
рона, большая суммы двух других.
117

7. Сумма внешних углов всякого выпуклого многоуголь-
ника Ad. Сумма внутренних углов в рассматриваемом слу-
чае должна быть 8 d. Такая сумма внутренних углов бу-
дет во всяком выпуклом шестиугольнике.
8. Сумма внутренних углов всякого выпуклого четы-
рёхугольника Ad. Поэтому четырёхугольников, у которых
все 4 угла острые, не существует; придумывать названия
для несуществующих фигур бессмысленно.
9. Если корень уравнения Т — 2п — целое число,
то такие многоугольники существуют. Решаем уравнение
я—- 3
-у- = 2 и п = 7 — число целое.
10. Если п — число чётное, то по сокращении дроби
на 2 получим целое число. Если же п — число нечётное,
то п — 3 число чётное и опять дробь может быть сокраще-
на на 2.
11. п = 3, так как при л>3 сумма 4,5 и т. д. внешних
тупых углов окажется больше Ad.
12. Трём внутренним прямым углам соответствуют три
внешних прямых угла. И если из остальных трёх внутрен-
них углов хотя бы один был острым, то сумма всех внеш-
них углов была бы больше Ad.
13. Каждому внутреннему острому углу соответствует
тупой внешний угол. Поэтому нельзя допустить, что в мно-
гоугольнике имеется 4 или больше острых углов, так как
тогда сумма внешних углов будет больше Ad.
14. От вершины прямого угла отложить по длине доски
расстояние, равное ширине её. Полученную точку соеди-
нить с вершиной противоположного прямого угла.
15. Повернуть четырёхугольник на 90° и вставить его
в образовавшуюся на фанере прорезь.
16. Можно (дуги, заключённые между параллельными
хордами, равны; следовательно, боковые стороны трапеции
окажутся равными).
17. Положить на бумагу осколок и обвести его по краю
дуги. На бумаге получится дуга окружности. Провести
две хорды, разделить каждую пополам и через середины
хорд провести перпендикулярные к ним прямые. Пере-
сечение перпендикуляров даст положение центра окруж-
ности, после чего можно измерить длину радиуса.
18. 4 дуба—- Л, Я, С, D — останутся на месте, если
118

квадрат с площадью, вдвое большей данного, построить
способом, указанным на чертеже 19
19. Построим точку Ait симметричную точке Л, отно-
сительно прямой MN (черт. 20). Точка пересечения AtB
с MN и есть искомая точка С. Докажем это. Возьмём на MN
какую-либо иную точку D и сравним сумму расстояний
АС + СВ с суммой расстояний AD + DB. Так как АС =
,8
Черт. 20.
« ЛгС, то АС + СВ = АгС + СВ = Л^. Так как AD=
- Л^, то ЛЯ + DS = AXD + Я£. Но Л^ЛяЯ+ДО.
Значит, Л С + С£<Л£> + DB,
119

Черт. 21.
20. Так как все стороны ромба равны, а диагонали де-
лят его углы пополам, то перегибание ромба по любой из
двух диагоналей обнаружит совмещение треугольников.
Поэтому результат перегибания, указанный в задаче, поз-
воляет сделать лишь вывод, что четырёхугольник — ромб
(имея в виду, что у неромбов такого совмещения треуголь-
ников при перегибании по диагоналям быть не может).
21. Совместив вершину
прямого угла чертёжного
треугольника с произвольной
точкой окружности Л и про-
ведя хорды А В и АС — сто-
роны прямого угла, получим
вписанный прямой угол
(черт. 21). Поэтому, проведя
*JCf в круге ВС, можно утвер-
ждать, что мы построили
диаметр. Повернув затем
чертёжный треугольник око-
ло Л, мы таким же образом
построим второй диаметр
ВхСг. Точка пересечения ди-
аметров ВС и ВХСХ есть искомый центр 0.
22. Приняв вершину одной из клеток за точку пересе-
чения диагоналей ромба, отложим от неё по вертикали
равные отрезки. Затем от той же точки отложим равные
отрезки по горизонтали и последовательно соединим по-
лученные четыре точки. (Если по горизонтали отложить
отрезки той же длины, что и по вертикали, то построенный
ромб будет квадратом.)
23. Квадрат нечётного числа — число нечётное, а сум-
ма двух нечётных чисел — число чётное. Поэтому если бы
существовали целочисленные прямоугольные треугольни-
ки, у которых длины катетов выражаются нечётными чис-
лами, то квадрат гипотенузы, а следовательно, и сама ги-
потенуза выразилась бы чётным числом.
24. Опустим из центра окружности перпендикуляры на
хорды. Каждый из них должен пересечь хорду в её середине.
Но серединой той и другой хорд является по условию точ-
ка пересечения хорд, т. е. окажется, что один и тот же от-
резок перпендикулярен к двум пересекающимся прямым,
что невозможно. Значит, две хорды не могут точкой пе-
ресечения их взаимно делиться пополам.
120

25. Если сторона квадрата а, то и сторона ромба а.
Площадь квадрата а*. Площадь ромба аЛ, где h — высо-
та ромба — есть катет прямоугольного треугольника с ги-
потенузой а, т. е. А<а. Таким образом, ап<а%.
26. а* = 6а2 (где а — ребро куба). Отсюда а = 6 см.
27. Во-первых, образовавшийся четырёхугольник —па-
раллелограмм, так как обе пары противоположных сторон
его — средние линии треугольников с общим основанием
(диагональ прямоугольника). Во-вторых, этот параллело-
грамм — ромб, так как каждая сторона его равна полови-
не соответствующей диагонали прямоугольника, а в пря-
моугольнике диагонали равны.
28. Провести две средние « ,,
линии. Получатся один ромб у зУК
и два равных треугольника. / /^ >v
Приложив один из них кдру- / у/ \^
гому, получим ромб, равный llyr >.
непосредственно образовав- а**-*- -^£
шемуся ромбу.
29. Допустим, что диаго- Черт. 22.
наль СА (черт. 22) разделила
^.А пополам, т.е. -^1 = -^2. Но -^2 = .^3, значит, ^Л —
= ^Ъ\ треугольник ACD — равнобедренный. Вывод: если
в трапеции боковая сторона равна одному из оснований,
то диагональ будет биссектрисой одного из углов трапеции.
30. К74,52 — 25,52 = /100-49 = 70.
31. Треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 единиц — пря-
моугольный. Треугольник со сторонами Зл, An и Ъп (где
п — любое натуральное число) также прямоугольный, так
как (З/i)* -f (4л)* = (Ъп)2. Периметр его 12 п. При п = 3
периметр равен 36 единицам, а стороны будут 9, 12 и 15
единиц (здесь за единицу длины принята длина спички).
32. Пусть катет, лежащий против угла в 30°, содержит
а единиц длины (где а — целое число); тогда гипотенуза
содержит 2а единиц, а второй катет — К(2а)а — а2 =
= а)/3~единиц. Число ау^З"— заведомо число нецелое.
33. Пусть в круг вписан равносторонний л-угольник.
Стороны его — равные хорды, стягивающие равные дуги.
Значит, вершины многоугольника делят окружность на п
равных частей. Каждый из углов многоугольника — впи-
п —— 9
санный угол, опирающийся на дугу, равную -^— полной
121

дуги всей окружности, т. е. все углы многоугольника рав-
ны между собой. Итак: вписанный в круг равносторонний
многоугольник не может иметь неравные углы.
34. Заметим, что в вопросах такого рода, как в зада-
че 33 и рассматриваемой, утвердительный ответ будет впол-
не обоснован, если удастся привести хотя бы один пример,
подтверждающий существование фигуры, о которой гово-
рится в задаче; мы так и поступим.
Около прямоугольника всегда, как известно, можно
описать окружность; в этом случае вписанный в круг мно-
гоугольник имеет равные углы, но неравные стороны, что
и является ответом на поставленный вопрос.
35. 1) Диагональ первого /10 + 15 = 5 (см), второго
"J/11 + 14 = 5 (см). Диагонали равны. 2) Площадь пер-
вого /150 (см2), второго /154 (см2). Площадь второго
больше. 3) Периметр первого 2(/10 + /15) (см), второго
2(/ТТ + /14) (см). Периметр второго больше, так как
(/10 + /15)2 = Ю_+ 15 + 2/Т50, а (|/ТГ + VW =
= 11 + 14_+ 2/154; 25 + 2|Л50<25 + 2/154, следова-
тельно, /10 + /15</11 + /14.
36. Пусть меньшая сторона внутреннего прямоуголь-
ника — а, большая — Ь, ширина рамки — k. Тогда мень-
шая сторона наружного прямоугольника а + 2k, большая
Ь + 2k. Отношение ■£ Ф £t?£ ,
b b-\-2k
так как при прибавлении к чи-
слителю и знаменателю дроби од-
ного и того же числа значение дро-
би изменяется (дробь приближа-
ется к единице). Значит, эти два
прямоугольника удовлетворяют
лишь одному из двух требований,
Черт. 23 указанных в определении подобнь х
многоугольников: они неподобны.
37. Если стороны А В и ВС пересечь прямой DE так,
чтобы ^.BDE был равен Л2 (черт. 23), то &BDE будет
подобен &ABQ.
38. Требуется доказать: ^~>/а6, где а>0, Ь>0 и
а Ф b (черт. 24). Выбрав произвольную масштабную еди-
ницу, строим отрезки а ед. и b ед. и выполняем известное
122

построение отрезка, среднего пропорционального между
отрезками а и Ь. Тогда О — центр построенной полуокруж-
ности радиуса а "*" . Соединив точки О и D, будем иметь
прямоугольный треугольник OCD, в котором длина ка-
тета CD выражается числом Yab* длина гипотенузы 0D
выражается числом —- . Отсюда: ~r >V &&•
39. В образовавшихся трапециях отношение боковых
сторон равно единице, а отношение оснований неравно
единице. Такие две трапеции не являются подобными.
40. Пусть стороны прямоугольника а и Ь (а Ф Ь). Пло-
щадь его ab. Площадь равновеликого ему квадрата тоже
ab, и, следовательно, сторона квадрата j/aF.
Периметр прямоугольника 2(а + Ь), периметр квадра-
та 4 Yab. Известно, что -^i- >)fab (см. задачу 38). Умно-
жив обе части этого неравенства на 4, будем иметь 2(а+6)>
>4 Yab, что и т. д.
41. Нельзя, так как каждой паре равных углов в обо-
их треугольниках соответствуют равные дуги и, следова-
тельно, равные, стягивающие эти дуги хорды, являющиеся
сторонами вписанных треугольников.
42. В данном круге построим углы ВгОСх и СхОАх, со-
ответственно равные 2а и 2р (черт. 25).
Соединив последовательно точки Ах% Вх и Clt получим
вписанный в данный круг &АхВгСи подобный &АВС.
Действительно, вписанный лАх опирается на дугу
BxClt на которую опирается и центральный ^ВхОСх, рав-
123

ный 2а; следовательно, ^Ах = а = ^.А. Также покажем,
что <^Вг — р = ^В. Итак, два угла AAiBiCi соответст-
венно равны двум углам ЛЛВС и, следовательно,
AAiBiCi подобен &АВС.
Черт. 25
43. Образовавшиеся при основаниях треугольники АОВ
и OCD неравны (черт. 26). Следовательно, неравны и их
высоты OF и ОК. Если теперь допустить, что средняя
линия трапеции проходит через точку О, то она разделит
отрезок KF пополам, т. е. окажется, что OF = ОК. Сле-
D И С
/^\
/ л
/ .' "
1 s'
У\
\ \
^ч^ \
^
A F
Черт. 26
довательно, средняя линия трапеции не может пройти че-
рез точку пересечения диагоналей.
44. &ABD (черт. 27) равновелик &АВС (высоты их
равны, а основание общее). ABD составлен из &AOD и
/\AOBt а /\АВС составлен из &ВОС и &АОВ. Следо-
вательно, площадь &AOD равна площади &ВОС.
45. Одна сторона треугольника 6 см. Сумма двух дру-
гих сторон 12 см. Так как отношение этих сторон равно
124

12
отношению 2,5 к 3,5, то одна сторона у • 2,5 ~ 5 (см), а
12
другая — ^ • 3,5 = 7 (см).
Черт. 27.
46. Внутренний угол правильного /г-угольника равен
180°( л—2) „ 360° ,, 180°(л—2). 360
• {" \ внешний угол —. Из уравнения —к-—-'. ^-=
= 2:1 имеем: (п —- 2) : 2 = 2, откуда я = 6.
47. Если паркет сложен, то сумма углов, расположен-
ных вокруг общей вершины соприкасающихся многоуголь-
ников, образует 360°. Но внутренние углы одноимённых
правильных многоугольников равны. Следовательно, ве-
личина внутреннего угла правильного многоугольника в
градусах должна выражаться таким числом, которое яв-
ляется делителем 360. Просматривая таблицу целых зна-
чений внутренних углов правильных многоугольников при
п равном 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ..., т. е. числа 60°, 90°,
108°, 120°, 135°, 140°, 144°,..., замечаем, что 360 делится
на 60, на 90 и на 120. Значит, паркет можно сложить из
равных правильных треугольников, четырёхугольников,
шестиугольников.
48. Если радиус круга /?, то (2R)2 — (RV2)2 = 2,
откуда /? = 1 и площадь круга равна п м2.
49. Если, например, провести плоскость, проходящую
через три вершины куба Di, А и С, то АС = CDi = DiA,
как диагонали равных квадратов (черт. 28).
50. с2 = а2 + Ь2\ с3 = а2 • с 4- Ь2 • с. Если те-
перь множитель с в правой части равенства заменить за^
ведомо меньшими числами а и 6, равенство нарушит-
ся: число, стоящее в правой части, окажется меньше чис-
ла, стоящего в левой части: с8 > а8 + Ь*.
125

Черт. 28.
51. Допустим, один из катетов выражается нечётным
числом 2т 4- 1, а другой — 2л 4- 1. Тогда квадрат ги-
потенузы выразится числом (2т + I)2 + (2л 4- 1)2=4т2 +
4- 4т + 1 ■+• 4л2 + 4л + 1 = 4k + 2 (где /г —сумма це-
лых чисел /л2 + т 4- я2 4- л).
Так как по условию тре-
угольник целочисленный, то
гипотенуза есть целое число,
a 4k 4- 2 — квадрат этого
числа. Но 4k + 2 — число
чётное, значит, и сама гипо-
тенуза выражается чётным
числом, а квадрат её — 4k-\-
+ 2 — должен делиться на 4.
Между тем 4k 4- 2 на 4 не де-
лится (так как первое слагае-
мое 4k на 4 делится, а 2-е сла-
гаемое 2 на 4 не делится). Это
противоречие возникло из
предположения, что сущест-
вуют целочисленные прямо-
угольные треугольники, у которых оба катета выража-
ются нечётными числами. Значит, таких треугольников нет.
52. Если неравенство а 4 Ь > с не выполняется, то
из отрезков а, Ь и с треугольник построить нельзя. Значит,
наличие этого неравенства является необходимым услови-
ем возможности построения треугольника. Но оно не бу-
дет достаточным. Действительно, пусть а = 10, b = 6 и
с = 3. Из таких отрезков треугольник построить нельзя,
хотя а 4 Ь > с. Здесь не соблюдено другое необходимое
условие: а — b < с.
53. Если в треугольнике, как бы малы ни были его сто-
роны, есть тупой угол, достаточно близкий к 180°, то сим-
метрали к сторонам треугольника, образующим тупой угол,
будут почти параллельны. Точка пересечения этих симмет-
ралей, являющаяся центром описанной окружности, бу-
дет тогда сколь угодно удалена от вершины тупого угла.
Следовательно, радиус описанной около треугольника
окружности может быть сколь угодно велик (например,
миллион километров).

РАЗДЕЛ VIII
ЗАДАЧИ ЛОГИЧЕСКОГО И КОМБИНАТОРНОГО
ХАРАКТЕРА
(Материал для кружковых занятий.)
Всего в разделе 72 задачи, из которых 45 комбинатор-
ных и логических задач и 27 специальных задач на свойства
чисел, по способу решения также весьма близких к зада-
чам логического и комбинаторного характера.
Для большинства задач этого раздела характерен тот
«интригующий момент», который неизменно вызывает у
учащихся интерес и возбуждает их умственную актив-
ность. Тем самым эти задачи представляют учителю благо-
дарный материал для кружковой работы в старших клас-
сах.
Хотя оценка трудности любой оригинальной задачи
всегда в какой-то мере субъективна, все же некоторые за-
дачи bVIII и IX разделах книги несомненно следует от-
нести к числу трудных. Таковы, например, задачи № 12,29,
31, 50, 57, 65 и некоторые другие из VIII раздела и послед-
ние 10—12 задач из IX раздела. Относительно таких задач
иногда можно услышать, что их вообще не следует предла-
гать учащимся, так как их заведомо почти никто не решит.
Мы полагаем, что отказ от решения трудных задач обеднил
бы работу, лишил бы учащихся возможности познакомить-
ся с тонкими приёмами рассуждений и методами исследова-
ния. Ведь ученик, настойчиво добивавшийся решения зада-
чи и всё же не решивший её, отнюдь небесплодно потратил
время и усилия. Затраченные усилия и настойчивые по-
пытки решить задачу имеют немалое воспитательное зна-
чение. А когда затем ученик узнает и продумает решение
заинтересовавшей его трудной задачи, он испытает чувство
высокого удовлетворения, и, может быть, одна из следую-
щих трудных задач будет им решена.
127

Отметим, что среди задач VIII раздела имеется ряд све-
жих задач, появляющихся в печати впервые.
1. Найти все дроби с однозначным знаменателем, каж
7 8
дая из которых была бы больше -д-, но меньше д-.
2. Сколько всего имеется шестизначных чисел, сумма
цифр которых равна трём?
3. От города А до города В по шоссе 999 км. Вдоль
шоссе стоят километровые столбы, на которых расстояния
до А и до В обозначены следующим образом (черт. 29):
[ 0 h 999 1 | I } 998 | 1 2 } 997 | |.998 j 1 1 | 999 } 0 |
Черт. 29
Определить, сколько среди столбов имеется таких, на
которых для обозначения обоих расстояний использованы
лишь две цифры?
4. От записанной карандашом задачи сохранился лишь
следующий текст: «Произведение... последовательных...
двузначных чисел равно 12 075. Найти сомножители»
(многоточия означают неразборчивые слова). Восстано-
вить текст задачи и решить её.
5. В трёх кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется путём
трёх перекладываний уравнять число орехов в каждой
кучке, соблюдая при этом условие: из одной кучки разре-
шается перекладывать в другую лишь столько орехов,
сколько их имеется в этой второй кучке.
6. 3, 5 и 7 — три последовательных нечётных простых
числа. Имеются ли в натуральном ряде чисел ещё такие
тройки последовательных нечётных чисел, каждое из ко-
торых оказывается простым числом?
7. Найти двузначное число, равное удвоенному произ-
ведению его цифр.
8. Найти трёхзначное число, которое, будучи прочита-
но справа налево, сохраняет своё значение, если считать,
что в этом случае оно изображено в девятеричной системе.
9. Какое двузначное число, будучи записано в двоич-
ной, четверичной и восьмеричной системах счисления,
изображается каждый раз одинаковыми цифрами (различ-
ными в различных системах)?
126

10. Взято трёхзначное число, в котором крайние цифры
отличаются больше, чем на единицу. Написав его справа
налево, вычитают из большего меньшее. Затем получен-
ную разносгь снова записывают справа налево и эти два
числа складывают. Доказать, что полученная сумма не
зависит от того, какое трёхзначное число было первона-
чально выбрано.
11. В ящике лежат 35 шариков. Двое по очереди выни-
мают их из ящика, причём по условию игры каждый обя-
зан вынуть «в свой ход» не менее одного шарика и не бо-
лее пяти. Проигравшим считается тот, кто вынужден бу-
дет своим ходом опорожнить ящик. Может ли игрок, делаю-
щий первый ход, обеспечить себе выигрыш?
12. Может ли разность квадратов двух простых чисел
быть равна 5648?
13. Найти произведение трёх различных простых со-
множителей : _
аЪ • ас . (аа—1).
14. Расшифровать следующее числовое равенство:
аа • ас = асе + ас,
15. Найти три последовательных нечётных числа, сум-
ма квадратов которых выражается четырёхзначным чис-
лом, состоящим из одинаковых цифр.
16. Цифры некоторого четырёхзначного числа, рассмат-
риваемые слева направо, оказываются четырьмя последова-
тельными цифрами. Найти это число, если известно, что
при перестановке двух первых его. цифр получается четы-
рёхзначное число, являющееся точным квадратом.
17. Доказать: «Среди членов последовательности
2, 5, 8, 11, ...
нет точных квадратов».
18. Найти четырёхзначное число, равное 4-й степени
суммы его цифр.
19. Выражение аь — 5а3 + Аа было вычислено при а
равном 1, 2, 3, ..., 10. Каждый раз получалось число, крат-
ное 120. Была высказана гипотеза: «При любых целых
значениях а число аь — 5а3 -+- 4а кратно 120». Подтверди-
те или опровергните эту гипотезу.
20. Значение выражения а2 + а -+- 41 было вычислено
при а равном 1, 2, 3, ..., 35. Каждый раз получалось про-
стое число. Была высказана гипотеза: «При любых нату-
ральных значениях а выражение о2 + а + 41 — простое
9 Заказ 1635
129

число». Подтвердите или опровергните эту гипотезу.
21. Внесённая в сберкассу сумма такова, что если к
числу сотен её прибавить число, составленное двумя по-
следними цифрами, то получится годовой доход с этой сум-
мы, считая по 2% в год. Каков сделанный вклад?
22. Задумано число. Если, изобразив его в двоичной
системе, зачеркнуть в нём последнюю цифру, то получится
задуманное число, но записанное в троичной системе. Ес-
ли же в этом числе зачеркнуть последнюю цифру, то
снова получится задуманное число, но изображённое
теперь уже в десятичной системе. Найти задуманное число.
23. Пункты А и В расположены на берегу реки. Из А
в В одновременно вышли пешеход, шедший по берегу, и
лодка, скорость которой в стоячей воде равна скорости
пешехода. Достигнув £, и пешеход, и лодка тотчас пово-
рачивают обратно и возвращаются в А. Кто из них раньше
окажется в Л?
24. Некто на вопрос, каков номер его билета, ответил
так: «Если все шесть двузначных чисел, которые можно
составить из цифр номера, сложить, то половина получен-
ной суммы составит как раз номер моего билета». Опреде-
лять номер билета.
25. Найти два таких целых числа, что если их сложить,
вычесть из большего меньшее, перемножить, разделить
большее на меньшее, а затем все четыре результата сло-
жить, то получится 245.
26. Можно ли утверждать, что остаток от деления любо-
го простого числа, большего 30, на 30 — всегда число про-
стое или единица?
27. Найти все трёхзначные числа, квадрат которых
оканчивается на три цифры, образующие первоначальное
трёхзначное число.
28. Кратное 9 шестизначное число вида асааса делится
без остатка на четырёхзначное число аааа. Найти частное.
29. Верно ли такое утверждение: «Из любых 12 чисел
всегда найдётся по крайней мере одна такая пара чисел,
что либо сумма их, либо разность будет кратна 20».
30. Какие целые числа уменьшаются в 14 раз от зачёр-
кивания последней цифры.
31. Существуют ли такие трёхзначные числа, из цифр
которых можно составить шесть различных простых дву-
значных чисел?
130

32. Указать 1000 последовательных чисел натурального
рада, среди которых заведомо нет ни одного простого числа.
33. Определить наибольшее значение отношения трёх-
значного числа к сумме его цифр.
34. Числа от 1 до 1000 на-
писаны по окружности круга
(черт. 30). Начиная с 1 за-
чёркиваются все числа через
каждые 15 чисел (т. е. зачёр-
киваются 1, 16, 31,...), и этот
процесс продолжается пока,
не сделав некоторое число
оборотов, не возвратятся к
уже зачёркнутой единице.
Сколько чисел останется не-
зачёркнутыми?
35. Все 28 костей домино Черт. 30
разложены в цепь с соблюде-
нием правил игры в домино.
Оказалось, что на одном конце цепь заканчивается четырь-
мя очками. Сколько очков на другом конце цепи?
36. Поищите объяснение такому математическому фоку-
су: «фокусник» предлагает вам написать любое трёхзнач-
ное число. Затем он подходит и, едва взглянув на написан-
ное число, сразу приписывает к нему справа три цифры
так, что образовавшееся шестизначное число делится на 37.
Пример: Вы написали 941; «фокусник» моменталь-
но приписывает к нему 058.
Проверка. 941 058 :37 = 25 434.
37. Найти все такие простые значения р, при которых
число 8р2 + 1 также оказывается простым числом.
38. Найти все пары целых чисел, сумма которых равна
их произведению.
39. В математическом кружке была предложена такая
задача: «Из десяти различных цифр 0, 1, 2, ..,9, исполь-
зуя только знак плюс и каждую цифру один раз, соста-
вить сумму, равную 100 (разрешается изменять порядок
цифр и образовывать из них двузначные и т д числа}».
На следующем собрании кружка один из кружковцев зая-
вил, что задача решения не имеет. Прав ли он?
Задача заимствована из книги Д, Пойа «Как решать задачу»,
Учпедгиз, 1959.
9*
131

40. Найти два числа, сумма которых, произведение их
и частное от деления одного из них на другое были бы
равны.
41. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел,
которые можно написать цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5 (одна и
та же цифра в числе может повторяться).
42. Найти шестизначное число, которое при умножении
на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт в произведении числа, состоящие из
тех же цифр, что и искомое, причём каждая цифра в каж-
дом из произведений занимает новое порядковое место.
43. Найти число, являющееся точным квадратом, если
известно, что оно четырёхзначное в пятеричной системе, а
если его записать в семеричной системе, то оно выражается
одинаковыми цифрами.
44. Между трамвайными остановками А и В по одной
и той же трассе ходят трамваи маршрутов № 1 и № 2.
Некий гражданин в течение многих месяцев и в разные
часы дня ездит от остановки А до остановки В; так как
ему безразлично, каким маршрутом пользоваться, то, при-
дя на остановку Л, он садится в первый подошедший к оста-
новке трамвай. Оказалось, что в среднем из каждых деся-
ти поездок он садится на остановке А в трамвай № 1 де-
вять раз и лишь один раз в трамвай № 2. Известно,
что трамвай № 1 проходит через остановку А каждые
10 минут.
Допустимо ли предположение, что трамвай № 2 также
проходит через остановку А каждые 10 минут?
45. Среди 77 одинаковых колец одно несколько легче
остальных. Найти его не более чем четырьмя взвешива-
ниями на чашечных весах без гирь.
46. Из 8 одинаковых по виду колец одно несколько от-
личается по весу от других, причём неизвестно, легче или
тяжелее это- кольцо, чем остальные. Требуется найти это
кольцо с помощью не более чем трёх взвешиваний на ча-
шечных весах без гирь.
47. Имеется 10 одинаковых по размеру и виду кубиков.
Одни из них алюминиевые (более лёгкие), другие дюрале-
вые (потяжелее). Определить число кубиков каждого вида
с помощью не более шести взвешиваний на чашечных
весах.
48. Имеются 10 кучек одинаковых на вид колец по 10
колец в каждой кучке. В девяти кучках каждое кольцо
весит 10 г, а в одной кучке все кольца весят по 9 г. Требует-
132

ся с помощью одного взвешивания на чашечных весах
найти кучку, состоящую из колец весом в 9 г, полагая,
что имеется достаточное число гирь различного веса.
49. В шахматном турнире участвовали ученики IX и
X классов. Каждый участник играл с каждым другим один
раз. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девяти-
классников, и они набрали в 4,5 раза больше очков, чем
девятиклассники. Сколько учеников IX класса участвова-
ло в турнире и сколько они набрали очков?
50. Буквы алфавита разбиты на группы следующим
образом:
I группа: А, Д, Л, М, П, Т, Ф, Ш.
II группа: В, Е, 3, К, С, Э, Ю.
III группа: Ж, И, О, X, Н.
IV группа: Б, Г, Р, У, Ц, Ч, Ь, Ы, Я.
Требуется определить, по какому принципу произведена
разбивка букв на группы?
51. Доказать, что из всех людей, живших когда-либо на
свете (и живущих сейчас), число людей, сделавших нечёт-
ное число рукопожатий, есть число чётное.
52. «Фокусник» показывает фокус. Он говорит: «Удвой-
те номер ботинок, которые вы носите, и к полученному чис-
лу прибавьте 35. Сумму умножьте на 50 и к полученному
произведению прибавьте 513 (513 прибавляется в 1960 го-
ду, в 1961 году прибавляется 514, в 1962 году прибавляется
515 и т. д.). Теперь от полученного числа отнимите год ва-
шего рождения. Скажите, сколько у вас получилось, и я
сразу назову номер ваших ботинок и сколько вам лет ис-
полнилось (или исполнится) в этом годр.
Поищите объяснение этому фокусу.
53. Брат говорит сестре: «Когда тёте Кате было столько
лет, сколько теперь нам с тобой вместе, то тебе было столь-
ко лет, сколько мне сейчас. А вот когда тёте Кате было
столько лет, сколько тебе сейчас, то тогда тебе было...»
Сколько лет было сестре?
54. Из трёх победителей математического турнира, на-
бравших по одинаковому числу очков, надо было выделить
самого сообразительного. Для этого поступили так: им
показали 5 колпаков — 3 белых и 2 серых. Завязав затем
им повязками глаза, на голову каждого надели по колпа-
ку, а оставшиеся два колпака убрали. Когда повязки были
сняты, было объявлено, что победителем турнира будет
133

первый, определивший цвет своего колпака. Некоторое
время соревнующиеся молча смотрели друг на друга. На-
конец, один из них уверенно заявил, что на него надет бе-
лый колпак. Как он рассуждал?
55. «Фокусник», показывающий математический фокус,
говорит- «Задумайте любое число между 1 и 1000. Я задам
вам не более десяти вопросов так, что вашим ответом на них
будет только «да» или «нет» Когда вы дадите последний
ответ, я сразу назову задуманное вами число».
Подумайте, какая система вопросов наверняка обеспе-
чивав! успех этого фокуса?
56. (Старинная задача, приписываемая Ньютону).
Стихотворный текст этой задачи в переводе на русский
язык будет такой: «Мне нужна ваша помощь, чтобы поса-
дить девять деревьев в десять рядов так, чтобы в каждом
ряду было три дерева. Скажи — как, и я ничего больше
не спрошу». Обозначив деревья точками, а ряды — прямы-
ми линиями, укажите расположение точек, удовлетворя-
ющее условиям задачи.
Из книги И. Я. Депмэнэ «Рассказы о решении задач».
57. У входа в кино висело объявление о начале кино-
сеансов. Прочитав его, я попытался, придя домой, по памя-
ти записать это расписание. Но многое оказалось забытым
и мне удалось записать лишь следующее:
1 сеанс 12 час. ** мин.
2 сеанс 13 час. ** мин.
3 сеанс ** час. ** мин.
4 сеанс .** час. ** мин.
5 сеанс ** час. ** мин.
6 сеанс ** час. ** мин.
7 сеанс 23 час. 05 мин.
После некоторых размышлений и расчётов мне утгялось
восстановить все забытые цифры (звёздочки); при этом я
полагал, что продолжительность всех сеансов (включая
сюда время выпуска и впуска зрителей) одинакова. Попро-
буйте восстановить всё расписание.
58. В одном из ленинградских институтов на разных кур-
сах учились 4 товарища. Самый младший учился на I кур-
се, а старший на IV. Определить имя, фамилию каждого
студента и курс, на котором он учился, если известно, что:
134

1. Борис был персональным стипендиатом.
2. Василий должен был летом ехать на практику в Омск,
а Иванов собирался ехать домой в Донбасс.
3. Николай был курсом старше Петра.
4. Борис и Орлов были коренными ленинградцами.
5. Крылов в прошлом году окончил школу и поступил
на тот же факультет, где учился Карпов.
6. Борис иногда пользовался прошлогодним конспектом
Василия.
59. В купе едут 6 пассажиров, живущих в разных го-
родах: Москве, Ленинграде, Туле, Киеве, Риге и Одессе
Фамилии их — Агеев, Боков, Власов, Громов, Дубов и
Елисеев. Известно, что:
1. Агеев и москвич — врачи.
2. Дубов и ленинградец — учителя.
3. Власов и туляк — инженеры.
4. Боков и Елисеев — участники Отечественной войны,
а туляк в армии никогда не служил.
5. Рижанин старше Агеева, а одессит старше Власова.
6. Боков и москвич сошли в Киеве, а Власов и рижанин
должны были сойти в Виннице.
Определить фамилию, профессию и место жительства
каждого из пассажиров.
60. Поезд идёт из Москвы в Ленинград. В погзде едут
пассажиры Иванов, Петров и Сидоров. В поездной бри-
гаде такие же фамилии у машиниста, кондуктора и кочегара.
Известно, что:
1. Пассажир Иванов живёт в Москве.
2. Кондуктор живёт на полпути между Ленинградом и
Москвой.
3. Пассажир — однофамилец кондуктора — живёт в
Ленинграде.
4. Ближайший сосед кондуктора (пассажир) зарабаты-
вает ровно втрое больше кондуктора.
5. Ставка пассажира Петрова 2000 рублей.
6. Сидоров (из бригады) выиграл у кочегара партию на
биллиарде.
Как фамилия машиниста?
61. В одном американском журнале была помещена та-
кая задача: «Из какой точки земного шара надо вылететь,
чтобы, пролетев 100 км по меридиану к югу, затем 100 км
по параллели к востоку, наконец, снова 100 км по меридиану
к северу, оказаться в точке отправления?».
135

Одно решение задачи напрашивается сразу: надо выле-
теть из точки Северного полюса. Но единственное ли это
решение?
Один математик вслух решал эту задачу так: первая и
третья части пути проходят по меридианам; но два мери-
диана имеют лишь две общие точки — Северный и Южный
полюсы; последний отпадает, так как из него нельзя дви-
гаться на юг; значит, в качестве единственного решения
остается только Северный полюс».
Правильно ли это рассуждение?
62. Математический фокус. Имеется 48 карточек. На
6 из них проставлена цифра 1, на шести — цифра 2 и т. д.,
т. е. на последних шести — цифра 8.
Из перемешанных карточек берут верхнюю. Если на
ней окажется, например, цифра 6, то на эту карточку на-
кладывают из колоды 11—6=5 карточек; затем эти карточ-
ки кладут в виде кучки так, чтобы карточка с цифрой 6 бы-
ла закрыта и лежала сверху. Потом из оставшейся части
колоды опять берут верхнюю карточку, например с циф-
рой 3, и на неё накладывают 1Г—3=8 карточек; получает-
ся вторая кучка. Таким же способом образуют следующие
кучки, пока число оставшихся карточек окажется недоста-
точным, чтобы дополнением до 11 образовать новую куч-
ку. Таким образом, на столе окажется несколько кучек и
несколько отдельно лежащих карточек, оставшихся не-
использованными. Всё описанное проделывается в отсут-
ствии «фокусника». Только теперь он входит, смотрит на
стол и безошибочно называет сумму всех чисел на верхних
карточках.
Попробуйте найти математическое объяснение этого фо-
куса.
63. Брошены три игральных кубика. Какова вероят-
ность, что сумма очков на их верхних гранях будет равна
их произведению?
64. При проходе поезда через туннель угольная пыль
проникла в вагон и часть пассажиров оказалась со следа-
ми сажи на лице. Проходивший через вагон кондуктор ска-
зал: «Граждане, среди вас есть запачкавшиеся. Вымыться
можно в умывальной, но только во время стоянки поезда».
Через 4 остановки все пассажиры были чисты. Сколько в
вагоне было запачкавшихся, если известно:
1. Зеркал в вагоне нет.
136

2. Пассажир идёт мыться только тогда, когда он убеж-
дён, что запачкан.
3. В умывальной во время одной стоянки может вымыть-
ся любое число пассажиров.
4. Все пассажиры умеют из наблюдений делать правиль-
ные выводы.
65. В одном из рассказов английского писателя А Ко-
нан-Дойля «Приключения Шерлока Холмса» содержится
такая задача: «Доктор Уотсон и его гость Холмс сидят у
открытого окна. Из сада доносятся весёлые голоса боль-
шой группы детей.
Холмс. Скажите, пожалуйста, сколько у вас детей?
Уотсон. Тут дети четырёх семей. Моя команда самая
многочисленная, братнина — меньше, сестрина —
ещё меньше, а дети дяди — самая малочисленная
группа. Они так шумят, так как им не хватает для
двух команд по 9 человек в каждой. Любопыт-
ное совпадение: если перемножить четыре числа,
выражающие количество детей наших семей, то
получим номер нашего дома, который Вы знаете.
Холмс. Я ведь учился в школе математике! Попро-
бую вычислить число детей каждой из семей.
После некоторых вычислений Холмс заявил: для ре-
шения задачи данных мало. Скажите, у дяди один ребёнок
или больше? Уотсон дал требуемый ответ.
Холмс. Теперь я могу дать точный ответ о числе детей!
Он действительно дал правильный ответ.
Какой был номер дома и сколько детей в каждой из
четырёх семей.
Задача взята из книги И. Я. Депмана «Рассказы о математике»,
Детгиз, 1954.
66. Указать наибольшее число слонов, которых можно
расставить на шахматной доске так, чтобы ни один из них
не был под боем другого. (Цвет слонов не учитывается.)
67. На шахматную доску надо поставить две ладьи так,
чтобы они не были под боем друг друга. Сколько сущест-
вует различных способов такой расстановки ладей? (Цвет
ладей не учитывается.)
68. Можно ли ходом коня попасть из левой нижней клет-
ки шахматной доски в правую верхнюю клетку, побывав
при этом на каждой клетке доски один и только один раз?
69. В одном ящике лежит 50 шариков, в другом — 80
шариков. По условиям игры каждый из двух игроков по
137

очереди вынимает из какого-либо одного ящика любое чис-
ло шаров. Выигравшим считается тот игрок, после хода
которого оба ящика окажутся пустыми. Указать план иг-
ры, обеспечивающий выигрыш начинающему игроку.
70. (Логическая задача-шутка). Два селения — А и В
расположены рядом. Жители обоих селений часто посеща-
ют друг друга. Известно, что все жители А всегда говорят
только правду, а жители В — всегда лгут.
Представьте себе, что вы оказались в одном из этих се-
лений, но не знаете, в каком именно — в Л или в В. Вы встре-
чаете одного из жителей этих селений. Подумайте, ка-
кой вопрос следует задать этому жителю, чтобы по его от-
вету — «да» или «нет» — вы могли бы сразу безошибочно
определить, в каком именно селении вы находитесь.
71. Старинная логическая задача (софизм). Протагор
обучал Эватла искусству софистики. По договору Эватл
обязался уплатить Протагору за обучение определённую
сумму денег, но лишь после первого выигранного Эватлом
судебного процесса. Когда обучение было закончено, Эватл
заявил, что платить Протагору не будет, причём рассуж-
дал так: если Протагор потребует уплаты денег судом и
судебный процесс будет выигран мною, то согласно приго-
вору суда я платить не должен. Если же процесс будет мною
проигран, то я также могу не платить, так как в заключён-
ном договоре специально оговорено, что я должен запла-
тить за обучение лишь после выигранного мною судебно-
го процесса. Правильно ли рассуждал Эватл?
72. В турнире участвовало 6 шахматистов, игравшие
друг с другом по одной партии. Таблица результатов тур-
нира была испорчена и имела следующий вид:
Андреев
Бунин
Венков
Гусев
Дымов
Егоров
А
Б
В
Г
Д
1
Е
0
Всего
очков
4
Место
I
II
III-IV
III-IV
V
VI
138

Известно: 5 партий турнира закончились «в ничью», при-
чём Бунин сыграл «в ничью» только одну партию. Требу-
ется полностью восстановить таблицу турнира.
РЕШЕНИЯ
1. Умножением числителя и знаменателя каждой из дан-
7 8
ных дробей на 2, 3, 4,..., 8 заменяем пару дробей — и —
новыми парами дробей: —и —, —и— ,...,— и—.
г 18 18 27 27 72 72
Очевидно, любая промежуточная дробь внутри каж-
дой из этих пар будет удовлетворять одному из условий
7 8
задачи: быть больше — и меньше -г\ Чтобы удовлетворить
второму условию, мы внутри каждой пары выберем та-
кие промежуточные дроби, если они имеются, которые после
сокращения окажутся дробями с однозначным знаменателем:
„ 14 „ 16 г, 15 5
1) Пара Те" Те" Промежуточная дробь — = — •
21 24
2) Пара g^ и -jfl. Обе промежуточные дроби несократимы.
28 32 30
3) Пара -gg- и -jjjr. Промежуточная сократимая дробь — =»
=-г(уже найденная ранее).
35 40
4) Пара "45"и "Jg" • Из двух промежуточных сократимых дро-
36 39
бей-75 и— новую дробь, удовлетворяющую условиям за-
. 36 4
дачи, дает ^г - у .
„v „ 42 48 ^ „ 45 _ 5 t
5) Пара -ц и -jr. Сократимая дробь -^—— (уже найден-
ная ранее).
49 56 54 6
6) Пара —и —. Сократимая дробь —= новая дробь,
63 63 63 7
удовлетворяющая условиям задачи.
7) Пара —и—. Из промежуточных сократимых дробей —=
= даёт дробь, найденную ранее, и — = новая
О IЛ о
дробь, удовлетворяющая условиям задачи.
139

Умножение числителя и знаменателя двух данных дро-
бей на 9, 10 и т. д. новых дробей, удовлетворяющих усло-
виям задачи, не обнаружит.
Итак, дробями, удовлетворяющими условиям задачи,
будут 4 дроби:
i. А 1. L
5' 6' 7 И 8*
2. В.шестизначных числах, сумма цифр которых равна
3, могут быть: 1) одна тройка, остальные цифры — нули;
2) одна двойка и одна единица, остальные 4 цифры — нули;
3) три единицы, а остальные 3 цифры — нули. Во
всех случаях первая цифра шестизначного числа — не
нуль.
В первую группу входит единственное число —300 000.
Числа второй группы могут начинаться или единицей
или двойкой. Если число имеет вид 1*****, то двойка
может занимать любое из пяти мест, следующих за едини-
цей: всего таких чисел будет 5. То же самое можно сказать
и про числа вида 2*****. Значит, всего чисел второй груп-
пы будет 5+5=10.
Числа третьей группы имеют вид: И****, или 1*1***,
или 1**1**, или 1***1*, или 1****1, причём в каждом из
этих 5 чисел третья единица может стоять только на месте
любой из звёздочек, следующих за второй единицей (в про-
тивном случае окажутся повторяющиеся числа). Таким об-
разом, из первого числа И**** можно составить 4числа,
из второго 1*1*** — 3 новых числа, из третьего — 2 но-
вых числа и из четвёртого — 1 новое число (из пятого чис-
ла 1****1 новых чисел составить нельзя). Всего чисел треть-
ей группы будет 4+3+2+1=10.
Итак, чисел, удовлетворяющих условиям задачи, ока-
жется 1+10+10=21.
3. Рассмотрим 3 возможных случая: 1) Оба расстояния,
указанные на столбе, — числа трёхзначные. 2) Одно из
указанных расстояний — число двузначное. 3) Одно из ука-
занных расстояний — число однозначное.
1) Прежде всего обратим внимание на то, что на каждом
столбе сумма обозначенных на нём чисел равна 999. Пусть
одно из этих чисел имеет вид ада, где а — одна из цифр:
1, 2,.,.,8. Получим первые 8 пар чисел — 111 и 888, 222 и
777,...,888 и 111, для изображения которых использованы
лишь 2 цифры. Пусть теперь трёхзначное число имеет вид
НО

аасу аса, асе, где а+с=9 и а и с — не нули. Тогда в паре
с каждым из этих чисел будет трёхзначное число 999—
—-оас=сш, 999—аса^сас и 999—асс=саа. Задав в числе аас
цифре а значения 1,2,...,8, получим 8 пар чисел— 118 и
881, 227 и 772, ...,881 и 118, для изображения которых ис-
пользованы лишь 2 цифры. Таким образом, получим по 8
пар чисел из чисел вида аса и асе; всего столбов, на кото-
рых оба обозначенных расстояния — трёхзначные числа,
изображённые лишь двумя цифрами, будет 8-4=32.
2) Если одно из указанных на столбе расстояний — дву-
значное число, то другое — трёхзначное число вида 9**.
Если теперь допустить, что в изображении двуз_начного чис-
ла нет цифры 9, то оно может иметь лишь вид аа. Но 9**-h
4-<ш=999; цифра единиц (а также и десятков) в числе 9**
не может быть а (так как а-\-аФ9) и не может быть 9 (так
как афО)\ таким образом, окажется, что в этом случае для
изображения чисел потребуются цифры, отличные от 9 и
от а. Значит, в двузначном числе есть цифра 9 и оно имеет
вид 9* или *9. Так как 9** -f-9*=999 и 9**+*9=999, го
в изображении числа 9** есть нули. Следовательно, дву-
значное число может быть 90 и 99, и удовлетворяющими ус-
ловиям задачи будут 4 пары: 90 и 909, 99 и 900, 900 и 99,
909 и 90.
3) Если одно из чисел однозначно, то другое имеет вид
99*. Однозначное число может быть 0 или 9, и удовлетво-
ряющими задаче будут 4 пары: 0 и 999, 9 и 990, 990 и 9,
999 и 0.
4. Сомножители не могут быть ни последовательными чи-
слами натурального ряда, ни последовательными чётными
числами, так как произведение их — нечётное число.
Следовательно, второе пропущенное слово — «нечётных».
Число сомножителей меньше шести, так как произве-
дение шести любых последовательных двузначных чисел
больше 100 000. Произведение 12 075 делится на 25, но сре-
ди сомножителей нет двух нечётных чисел, кратных 5, так
как число сомножителей меньше 6. Следовательно, среди
сомножителей должно быть число 25 или 75. Произведения
73-75 или 75-77 меньше 6000, а произведение любой трой-
ки последовательных нечётных чисел, включающих мно-
житель 75, больше 300 000 Значит, среди искомых сомно-
жителей числа 75 нет.
141

Произведения 23-25 или 25-27 меньше 700, а произве-
дение любых четырёх последовательных нечётных чисел,
включающих число 25, больше 100 000. Значит, искомых
сомножителей — три и первое пропущенное в тексте зада-
чи слово — «трёх».
Произведения 23-25-27 и 25-27-29 содержат множи-
тель 27 — число, кратное 9. Но 12 075 на 9 не делится. Зна-
чит, единственно возможная тройка чисел — 21,23,25. Про-
веряем: 21-23 25=12 075.
5. Будем решать задачу с конца. Всего орехов 22+14+
+ 12=48. Значит, после третьего перекладывания в каж-
дой кучке должно быть 48 : 3=16 орехов. При каждом пе-
рекладывании изменяется число орехов только в двух куч-
ках; следовательно, уже после 2-го перекладывания число
орехов в одной из кучек оказалось 16, а в других двух —
а и Ь (где, например, а>Ь). Третье перекладывание, при-
водящее к образованию в каждой кучке по 16 орехов, мог-
ло заключаться лишь в том, что из кучки с а орехами было
переложено Ь орехов в кучку, в которой уже было b оре-
хов. В этой кучке образовалось 2Ь орехов, причём 26= 16,
откуда 6=8, а так как а+6=32, то а=24. Таким образом,
после второго перекладывания распределение орехов по
кучкам было: 16, 24, 8.
Перед 2-м перекладыванием в кучке, в которой после
2-го перекладывания оказалось 16 орехов, было какое-то
иное число орехов, так как из чисел 12, 14 и 22 по правилу,
указанному в условии задачи, образовать число 16 нельзя.
Сколько же орехов после 1-го перекладывания могло быть
в этой кучке? Возможны два предположения: либо после
первого перекладывания там оказалось 8 орехов, которые
после 2-го перекладывания и образовали 16 орехов, либо
там было больше 16 орехов — 16+я орехов и эти п орехов,
взятые при втором перекладывании из кучки в 16+я оре-
хов, и образовали кучку из 8 или 24 орехов. Значит, п=4
или п= 12 Если я=4, то 16+я=20, но из чисел 12, 14 и 22
образовать 20 нельзя, т е. пф4. Если /г=12, то 16+/г=28.
Из чисел 12, 14 и 22 образовать число 28 можно только так:
из кучки в 22 ореха переложить орехи в кучку из 14 оре-
хов, и распределение орехов после 1-го перекладывания бу-
дет 12, 28 и 8 Теперь 2-м перекладыванием надо образо-
вать кучку в 16 орехов. Это можно сделать двояко: 1) из
кучки в 12 орехов или 28 орехов переложить 8 орехов в куч-
ку с 8 орехами. Тогда после 2-го перекладывания распре-
142

деление орехов по кучкам будет или 4, 28 и 16 или 12, 20
и 16, между тем как это было уже установлено оно должно
быть 8, 24 и 16. Это предположение отпадает. 2) Из кучки
в 28 орехов перекладываем 12 орехов в кучку с 12 орехами
и распределение орехов по кучкам будет 24, 16 и 8.
Итак, после 1-го перекладывания число орехов по куч-
кам будет 12, 28 и 8; после 2-го перекладывания — 24, 16
и 8 и после третьего — 16, 16 и 16.
6. Допущение, что такая тройка простых чисел сущест-
вует, приводит к противоречиям. Действительно, так как
эти числа — простые и отличные от 3, то ни одно из них не
делится на 3. Пусть меньшее из этих чисел Зл-Н; тогда сле-
дующее за ним число Зл+3 делится на 3. Если же меньшее
число имеет вид Ы—1, то последнее число этой тройки
(3/г—1)+4=3/г-т-3, _т. е. также делится на 3.
7. По условию ab = 2а6, откуда аЬ : 2 и, следователь-
но, 6 — чётная значащая цифра. Поделим обе части уравне-
L.
ния 10а + 6 = 2ab на 2а. Будем иметь: 5 -+- — = 6. От-
сюда: 6>5; но 6 — четно и однозначно, значит, 6 = 6
о
или 6 = 8. Если 6 = 8, то — = 3, т. е. 8 = 2а-3, что не-
га
возможно, так как 8 не делится на 3. Значит, если задача
имеет решение, то 6 = 6 и а = 3.
Проверка. 36 = 236.
8. Пусть искомое число аде. По условию 100а -+• 106 -Ь
+ с = 92с + 96 + а, или 100а + 6 = 80с + а, или
10а-10 -f- 6 = 8с-10 + а. Равные числа должны иметь рав-
ное число десятков и одинаковые цифры единиц. Следова-
тельно, 10а = 8с и а = Ь. Из 5а = 4с сразу вытекает,
что с \ 5; но с — однозначно и с #0, значит, с = 5 и,
следовательно, а = 6 = 4. Искомое число 445.
9. В двоичной системе искомое число может иметь толь-
ко такой вид: 11... 1 — искомое число — число нечётное.
В четверичной системе число, изображаемое одними
двойками, чётное; следовательно, в четверичной системе ис-
комое число имеет вид 33...3 Но уже 33334 = 3 64 +-
+ 3-16 + 3-4 + 3>100, следовательно, искомое число име-
ет вид 3334 или 334 (оба эти числа — двузначные) Но
334 = 15 и в восьмеричной системе изобразится 178, что
не удовлетворяет условиям задачи.
Остаётся проверить, как изображается число 3334=63
143

в восьмеричной и двоичной системах: 63 = 778 и 63 =
= ИШЬ. Искомое число 63.
10. Вычитаем из abc (где а — с>1) число так, как это
обычно делают при письменном вычитании многозначных
чисел:
a be
с Ь а
а — с — 1; 9; 10 + с —- а
Теперь прибавим к полученной разности обращенное
число:
а — с—1 9 10 +с — а
10 + с — а 9 а — с—1
10 8 9
Как видим, сумма 1089 действительно не зависит от
выбранного числа.
11. Если после последнего хода первого (т. е. начав-
шего игру) игрока в ящике останется 1 шарик, то ему обес-
печен выигрыш. Но для этого ему необходимо, чтобы пос-
ле предпоследнего его хода в ящике осталось 7 шариков.
А для этого, в свою очередь, нужно, чтобы после преды-
дущего хода в ящике осталось 7 + 6 = 13 шариков,
а ещё ходом раньше 13 -Н 6 = 19 шариков и т. д. Таким
образом, если начинающий игру первым своим ходом вынет
4 шарика, то, сколько бы после этого второй игрок ни вы-
нул из оставшихся 31 шарика (от 1 до 5 шаров), первый
игрок сумеет перед ходом второго игрока оставить в ящи-
ке последовательно 25, 19, 13, 7 и 1 шарик.
12. Прежде всего заметим, что вычитаемое здесь не
может быть ни 22, ни За. Действительно, в первом случае
уменьшаемое, являющееся точным квадратом, оканчива-
лось бы цифрой 2, а во втором случае —цифрой 7. Но квад-
раты целых чисел цифрами 2 и 7 не оканчиваются. Зна-
чит, простые числа а и Ь, которые здесь рассматриваются,—
.не кратные трём нечётные числа вида Зя + 1.
Разность а2 — Ь2 = (а + Ь)(а — Ь), где оба сомножите-
ля чётные числа и, следовательно, а2 — Ь2 делится на 4.
Этому требованию число 5648 удовлетворяет Но, кромз
того, а2 — Ь2 должно делиться на 3. Действительно, а2—
— ь2 = [Ък ± I)2 — (Ът ± 1)а == 9k2 + 6k + 1 — 9ma +
+ 6т — 1 = 9(k2 — m2) + 6k + 6m — число, делящееся
"на 3. Этому требованию число 5648 не удовлетворяет. Зна-
144

чит, разность квадратов двух простых чисел, не может
равняться 5648.
13. Из всех чисел вида аа (И, 22, ...,99)только при
аа — 44 будем иметь аа— 1 =44— 1 =-43 — простое
число. Значит, все сомножетели начинаются цифрой а^=4.
В десятке 40—49 имеются три простых числа—41, 43
и 47. Следовательно, искомое произведение 41.43-47.
14. Сумма двух слагаемых—число аа-ас и одно из
слагаемых—число ас делятся на ас. Следовательно, и
второе слагаемое асе делится на ас. Будем делить асе
на ас:
асе
'ас
ас
Т
Однозначное с делится на ас в единственном случае,
если с = 0, т. е. асе : ас — 10. Тогда аа = (асе + ас) : ас—
= асе : ас + ас : ас = 10 + 1 = 11, т. е. а — 1. Итак
имеем: 1110= 100 + 10.
15. Степень нечётного числа — число нечётное. Сумма
трёх нечётных чисел есть число нечётное. Следовательно,
удовлетворяющая условиям задачи сумма степеней состоит
из четырёх одинаковых нечётных цифр.
Пусть среднее из искомых чисел а. Тогда сумма квад-
ратов их (а — 2)а -f л* -f- (а + 2)* = За8 4- 8 — число, не
делящееся на 3. Таким образом, числа 3333 и 9999 исклю-
чаются и рассмотрению подлежат лишь числа 1111, 5555
7777.
Число За2 + 8 на единицу меньше числа, кратного 3.
Следовательно, из чисел 1112, 5556, 7778 удовлетворяют
условиям задачи те, которые кратны 3. Таковым является
лишь 5556.
Итак, За2 + 8 = 5555; а2 = 1849; а = 43.
412 + 432 + 452 = 1681 + 1849 + 2025 = 5555.
16. Так как точные квадраты могут оканчиваться лишь
цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9, а перестановка двух первых цифр
не отражается на последовательности двух последних цифр,
то рассмотрению подлежат лишь числа 1234, 2345, 3456 и
6789. Число 2134 не может быть точным квадратом, так
Ю Заказ 1685
145

как оно чётное, но не делящееся на 22 = 4. Число 3245
не может быть точным квадратом, так как при последней
цифре 5 предпоследняя цифра не 2. Число 7689 не может
быть точным квадратом, так как сумма цифр его 30, т. е.
оно делится на 3, но не делится на З2 = 9. Остаётся про-
верить число 4356. Первая цифра квадратного корня из
4356, очевидно, 6, а последняя 4 или 6. Число 64 не делит-
ся на 3, а 4356 делится. Проверке подлежит лишь 66; 66а=
= (60 + б)2 = 3600 + 720 + 36 = 4356.
17. Любой член последовательности 2, 5, 8, И, ...,
есть число, дающее при делении его на 3 остаток, равный
2. Всякое число, не делящееся на 3, может быть пред-
ставлено в виде Ъп ± 1, а квадрат такого числа будет
(Зя ± I)2 = (9я2 + 6п) + 1; т. е. квадрат любого числа, не
кратного 3, при делении его на 3 всегда даёт в остатке еди-
ницу. Значит, ни одно из чисел данной последовательности
не может быть точным квадратом.
18. Пусть сумма цифр искомого числа — х и, следова-
тельно, искомое число — xi. Так как по условию х* — че-
тырёхзначное число, то х2 — двузначное, а х — одно-
значное, причём #>5 (так как 54 = 625 — трёхзначное
число).
Допущения, что х равно 6, 8, 9, приводят к противоре-
чиям:
1) Если х = 6, то х* кратно 9 и сумма цифр я4, т. е.
х делится на 9; но х = 6 на 9 не делится.
2) Если х = 8, то х* = 84 оканчивается цифрой 6, а
начинается цифрой, не меньшей 3; следовательно, сумма
цифр х4, т. е. х не меньше 9.
3) Если х = 9, то х* = 94 = 81 • 81. Значит,
6400<#4<7000. Но любое число в этом промежутке имеет
сумму цифр, большую 10.
Остаётся испытать х = 7; 74 = 2401. Искомое число
2401.
19. а5 — 5а8 + 4а = а(а2 — 1)(а2 — 4) =
=(а — 2) (а — 1) а (а + \)(а + 2) есть произведение пяти
последовательных целых чисел. Но среди сомножителей
такого произведения всегда окажутся числа, кратные 3 и
5, и по крайней мере два чётных числа. Так как из двух
последовательных чётных чисел одно кратно 4, то произ-
ведение кратно 8. Числа 3, 5 и 8 попарно взаимно про-
стые, значит, при любых целых значениях а, а5 — 5а8 + 4а
делится на 3-5-8 = 120. Гипотеза подтверждена.
146

20. При любом с число а2 + а + с будет точным квад-
ратом, если положить а — с— 1. Следовательно, если в
выражении а2 + а + 41 положить а = 40, то будем иметь:
40а + 40 + 41 = 412. Гипотеза опровергнута.
21. Пусть число сотен искомого числа а, а две послед-
ние цифры его образуют число 6(6<100).
По условию 0,02-(100а + Ь) = а + Ь или 50а = 496.
Отсюда видно, что 496 • 50. Но так как 49 и 50 взаимно
простые числа, то Ь: 50. Но Ь ф 0 (если Ь = 0, то 50а=0
и, следовательно, а « 0, т. е. в сберкассу ничего не было
внесено) и 6<100. Из чисел Ь, удовлетворяющих неравен-
ству 0<6< 100, на 50 делится только само число 50. Зна-
чит, b = 50, 50а = 49-50 и а = 49. Искомое число 4950.
Проверка. 4950-0,02 = 99 = 49 + 50.
22. В двоичной системе искомое число, изображаемое
цифрами 0 и 1, должно иметь четыре цифры. Действитель-
но, при трёх цифрах оно после двух зачёркиваний станет
единицей, а единица во всех системах изображается оди-
наково. При меньшем числе цифр невыполнимо требование
о двух зачёркиваниях. Попробуем теперь взять число цифр,
большее четырёх, например 5. Тогда после двух зачёрки-
ваний останется не меньше 100, которое в двоичной сис-
теме изображается семью цифрами.
Тем более невозможно допустить, чтобы искомое число
имело 6 и более цифр. Таким образом, после двух зачёрки-
ваний останется либо 10, либо 11. Но 11 при изображении
в троичной системе потребует цифру 2, которой нет в изо-
бражении числа.
Проверка. Число 10= 101 з = 1010г.
23. Пусть расстояние между А и В равно а*, скорость
пешехода, а следовательно, и лодки в стоячей воде — v
и скорость течения реки — и. Время, затраченное пеше-
ходом на весь путь (туда и обратно), выразится числом
2d d , d
—. а лодки —; Сравним эти числа
v * v + и v — и г
d , d 2dv . 2d 2dv
v + и v — и и2—и2 v о2
Числители этих дробей 2vd одинаковы, а знаменатель
второй дроби больше знаменателя первой дроби, значит,
вторая дробь меньше первой: пешеход затратил меньше
времени, чем лодка, и, значит, вернулся в А раньше.
10*
147

24. Чтобы из цифр числа можно было составить шесть
и только шэсть двузначных чисел, необходимо, чтобы это
число было трёхзначным: номер билета — abc.
Складывая (10а + 6) + (Юа + с) + (106 4- а) +
+(106 4-с) 4-(Юс 4-а) + (Юс + 6), получим22(а + Н-с).
По условию 11а 4-116 4- 11с = 100а + 106 4- с, откуда 10с 4-
4- Ь = 89а. 10а 4-6 — число двузначное, значит, а=1.
Но тогда 10с 4" Ь = 89, значит, 6 = 9 и с = 8. Искомое
число — 198
25. Пусть искомые числа а и 6, где а>Ъ. По условию
(а 4- 6) 4- (а — 6) 4- а-Ь 4- -у = 245. (1)
Отсюда а \ 6 и а = 6с, где с — целое число.
Преобразуем (1): 2а6 + ab2 4- а = 2456, или
е «что
а(Ь 4- I)2 = 2456 или (6 4- I)2 = —'— •
С
5 • 72
Но 6 4- 1 и с — целые числа, и дробь —-— есть квад-
рат целого числа, следовательно, с = 5. Отсюда 6 4-1 = 7,
6 = 6 и а — be = 30. Искомые числа 30 и 6.
26. Пусть р — простое число, большее 30, р = 30& +г,
где 1<г<30; 30 = 2-3-5, а так как р — число простое,
то г не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Но из возможных
значений /", т. е. из чисел 1, 2, 3, 4, ...,28,29, должны быть
исключены все числа, кроме простых чисел 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29 и единицы.
27. По условию трёхзначное п таково, что п2 = 1000a-J*
4- п или п2 — п = 1000а или п(п — 1) =» 23-53а.
Числа п — 1 и п — взаимно простые, следовательно,
или 1) п кратно 8 и /г — 1 кратно 125, или 2) п кратно 125
и п — 1 кратно 8.
1-й с л у ч а й. п — 1 = 1256, где 6<7 и кратно 8.
п = 1256 4- 1 = 1286—(36—1), где 36—1 <20.
п ; 8 и 1286 : 8, значит, 36 — 1 делится на 8 и из чисел 16
и 8 следует выбрать число, на единицу меньшее числа,
кратного 3. Следовательно, 36 — 1 = 8; 6 = 3; п = 376.
2-й случай, п— 125с, где с <7 и п — 1 кратно 8.
п — 1 = 125с — 1 = 128с — (Зс Н- 1), где Зс 4- 1 <22.
п — 1 делится на 8, 128с делится на 8, значит, и Зс 4- 1
делится на 8 и из чисел 16 и 8 следует выбрать число, на
единицу большее числа, кратного 3 Следовательно, Зс 4-
4- 1 = 16; с = 5; п = 625. Искомые числа 376 и 625.
148

28. Число асааса = аса-1001 = аса-ТЛХ-13. Число
аааа = ая-101 = а 11 101. Так как первое число делится
на второе, а среди делителей второго числа есть простое
число 101, то деление нацело будет возможно только в слу-
чае, если аса \ 101; а это возможно лишь при с = 0. Число
аса кратно 9, но из чисел вида Ша кратно 9 только 909,
откуда а = 9. Будем теперь делить число 909-7-11 13 на
9-11 101. Частное, очевидно, равно 713 = 91.
29. Если среди 12 чисел есть 2 одинаковых числа, то
их разность — 0 — кратна 20. Будем считать, что все 12
чисел различны.
Чтобы число делилось на 20, необходимо и достаточно,
чтобы оно оканчивалось нулём, а предпоследняя цифра
была чётная.
Если среди взятых 12 чисел 3 числа имеют одинаковую
цифру единиц, то разность по крайней мере двух из них
будет кратна 20, так как из этих трёх чисел мы всегда
можем выбрать 2 числа с цифрами десятков одинаковой чёт-
ности (т. е. такими, где обе цифры будут чётными, или
обе — нечётными). Пусть среди взятых 12 чисел нет трёх
чисел с одинаковой цифрой единиц. Но различные цифры
единиц могут быть только у 10 чисел. Значит, среди 12 чи-
сел по крайней мере 2 пары чисел будут иметь одинаковые
цифры единиц. Пусть, например, это будут две пары чисел
с цифрами 2 и 7 на месте единиц. Если хотя бы у одной из
этих пар цифры десятков будут одинаковой чётности, то
разность таких чисел будет кратна 20. Допустим теперь, что
цифры десятков у чисел, оканчивающихся цифрой 2, а
также у чисел, оканчивающихся цифрой 7, разной чётнос-
ти. Возьмём число, оканчивающееся цифрой 8 (или цифрой
3), и сложим его с тем из двух чисел, оканчивающихся
цифрой 2 (или 7), у которого цифра десятков другой чёт-
ности, чем у числа, оканчивающегося цифрой 8 (или цифрой
3). Сумма этих двух чисел будет кратна 20(учтём, что при
сложении 2 + 8 (или 7 + 3) образуется 1 «в уме»). Но
возможен случай, что чисел, оканчивающихся цифрой 8
(или цифрой 3), нет. Тогда будут ещё пары чисел с оди-
наковыми цифрами единиц; поступая, как было указано, мы
всегда получим сумму или разность двух чисел, кратные 20.
30. Пусть искомое число 10а ■+- Ь, где а — число де-
сятков, а Ъ — цифра единиц. Если в этом числе зачерк-
149

нуть b, то полученное число а, по условию, будет в 14
раз меньше искомого: 10а + Ь — 14а или 4а == Ь. Но
Ь — однозначно, значит, а <3, т. е. или а = 2, или а — 1,
и соответственные значения Ь будут 8 и 4. Легко видеть,
что оба числа 28 и 14 удовлетворяют задаче.
31. При составлении различных двузначных чисел из
цифр трёхзначного числа каждая цифра его окажется на
месте единиц. Следовательно, среди цифр трёхзначного
числа не могут быть чётные цифры и цифра 5. Из оставших-
ся четырёх цифр 1, 3, 7, 9 цифра 9 не может быть в ком-
бинации ни с цифрой 3 (39 и 93 кратны 3), ни с цифрой 1
(91 кратно 7). Значит, возможны лишь 6 трёхзначных чи-
сел, составленных цифрами 1, 3 и 7. Проверка показывает,
что двузначные числа 13, 17, 31, 37, 71 и 73 действитель-
но являются простыми числами. Таким образом, удовлет-
воряют условию задачи шесть трёхзначных чисел, состав-
ленных из цифр 1, 3 и 7.
32. Обозначая произведение 1-2-3...»/г символом /г!,
рассмотрим последовательность следующих чисел: 10001+2,
1000! + 3, 1000! + 4, ..., 1000! + 1000, 1000! + 1001. Чле-
ны этой последовательности — 1000 последовательных чи-
сел натурального ряда. Каждое из этих чисел, кроме по-
следнего, очевидно, делится на число, равное второму сла-
гаемому; последнее число также делится на 1001, так как
1001 = 7-11 13, а эти сомножители входят в состав про-
изведения 1000!.
33. Будем искать значение отношения а °
а-\-Ь-\-с
__ 100а + 10ft + с (ЮОд + 1006 + 100с) — (90ft + 99с) = iqq__
~" а + Ь-\-с а-\-Ь + с
90ft + 99с п * 90ft + 99с т-г
< — . Дробь -— неотрицательна. При по-
а -f ft + с a-fft+c
стоянном уменьшаемом 100 разность достигнет наиболь-
шего значения 100 при наименьшем значении вычитаемо-
90Ь 4- 99с
го — 0. В дроби ——— знаменатель а + Ь + с>0 (так
как а>0), а числитель 906 + 99с>0. Наименьшее значе-
ние числителя и всей дроби — 0 — будет достигнуто лишь
при b = 0 и с = 0. Наибольшее значение отношения 100.
34. Первое зачёркнутое число— 1, второе— 1 -Ь 15=
= 16, третье— 1 + 15-2 =31 и т. д. п-е зачёркнутое
150

число имеет вид 1 + 15 (п — 1) = \Ъп — 14. Смысл зада-
чи не изменится, если считать, что после первого оборота
в точке окружности, где стояла 1, стоит 1001; после вто-
рого оборота — 2001 и т. д. Но п — число зачёркиваний —
число целое. Поэтому процесс зачёркивания прекратится,
когда в последовательности 1001, 2001, 3001, ... мы впер-
вые встретим число вида 15я — 14. Пусть это произойдёт
после k оборотов, т. е. когда число k-1000 + 1 будет рав-
но 15/г — 14; но тогда k-1000 + 15 = \Ъп и число к-1000+
+ 15 делится на 15. Следовательно, в последовательности
1015, 2015, 3015, ... надо искать первое число, делящееся
на 15. Таким числом будет 3015. Из 3015 = 15/г имеем:
п = 3015 : 15 = 201. Значит, число зачёркиваний различ-
ных чисел — 200 (так как 1 будет вычеркнута 2 раза: как
1 и как 3001). При этом никакое другое число не будет за-
чёркнуто два раза. Следовательно, незачёркнутых чисел
останется 800.
35. На 56 половинках всех 28 костей домино каждое
число очков — 0, 1, 2, ..., 6 — встречается 8 раз, т. е.
чётное число раз. Но на стыке любых двух костей домино
внутри цепи по ту и по другую сторону от стыка лежит
одинаковое число очков. Поэтому если допустить, что на
другом конце цепи лежит не «четвёрка», то окажется, что
во всей цепи «четвёрок» будет нечётное число (чётное чис-
ло «четвёрок» внутри цепи и ещё одна «четвёрка» на од-
ном конце цепи).
36. Пусть написано трёхзначное а и к нему приписано
также трёхзначное число Ь. Получилось шестизначное чис-
ло 1000а + Ь = 999а + (а + Ь). Так как 999 • 37, то
число будет делиться на 37, если (а + Ь) • 37. Замечаем,
что числа 111, 222, ..., 999 делятся на 37, поэтому к дан-
ному а следует подобрать такое Ь, чтобы сумма а + b
состояла из трёх одинаковых цифр. Если, например,
а = 342, то, дополняя цифры 3, 4, 2 до одного из чисел
4, 5, ..., 9, в качестве числа Ь можно взять любое из чи-
сел: 102, 213, 324, 435, 546, 657.
37. Если простое число р >3, то р = Зп ± 1. Тогда
8ра + 1 = 8 . (Ъп ± I)2 + 1 = 8 • (9яя + вп + 1) + 1 =
= 72яа ± 48 п + 9 — число составное, так как делится
на 3. Если р — 2, то 8р2 + 1 = 33 — число составное.
Если же р = 3, то 8р2 + 1 == 73 — число простое;
числа р и 8р2+1 будут простыми числами лишь при
р = 3.

38. Из а + Ь = ab имеем: а = ab — Ь, а = Ь(а — 1)
и __JL-= Ъ\ а — 1 и а — два последовательных целых
а—\
числа, причём а делится на а — 1; это возможно лишь в
случаях, когда делитель равен 1 или—1. Таким образом,
имеем: 1) а — 1 = 1, откуда а = Ь = 2; и 2) а— 1 = — 1,
откуда а — Ь = 0.
39. Допустим, что задача имеет решения. Во-первых,
очевидно, что все слагаемые суммы не могут быть одно-
значными числами, так как сумма 0+1 + 2 + ... +9 =
= 45 < 100. Во-вторых, среди слагаемых нет трёхзнач-
ных чисел (иначе сумма была бы больше 100). Значит, сре-
ди слагаемых должны быть одно или несколько двузнач-
ных слагаемых. Пусть сумма десятков двузначных слагае-
мых — х. Так как сумма всех десяти цифр равна 45, а сум-
ма цифр, стоящих на месте десятков, равна х, то состав-
ленная сумма, по предположению, равная 100, будет
х • 10 + (45 — х). Из уравнения 10* + 45 — х = 100 име-
ем: 9 х = 55 и х— 6—. Но х — сумма цифр — число за-
ведомо целое. Следовательно, предположение, что при
указанных в задаче условиях можно составить сумму, рав-
ную 1С0, отпадает.
40. Произведение двух чисел а и Ь может быть равно
частному от деления а на Ь лишь в трёх случаях: 1) Ь —
= 1, 2) Ь = — 1, 3) а = 0. 1-е и 3-е предположения
отпадают, так как прибавление к любому числу единицы
или нуля и умножение того же числа на единицу или на
нуль не могут дать одинакового результата (действитель-
но, а + 1 Ф а • 1 ни при каком а и 0 + b Ф 0 • Ь ни при
каком 6, кроме Ь «= 0, но делитель Ь Ф 0). Значит, если
задача имеет решение, то Ь = — 1. Ищем а по условию
а 4- Ъ = аЬу откуда а— 1 = — а, или а = —.
Прове р ка.| + (- 1) = j ■(-!)- 1; (-1)=
2
Искомые числа — и — 1.
2
41. Подсчитаем сначала общее число слагаемых, По-
ставив на место тысяч какую-либо из значащих цифр
(1, 2, 3, 4, 5), мы можем на месте сотен и десятков поста-
152

вить любую из 6 цифр, а на место единиц 0, 2 или 4. Та-
ким образом, общее число слагаемых будет 5 • 6 • 6 • 3 =
= 540. Будем складывать их. На месте единиц 180 раз
встретится «2» и 180 раз «4». Значит, сумма простых единиц
180 ■ (2 + 4) = 180 • 6.
На месте десятков по 90 раз встретится каждая из 6
цифр. Значит, сумма десятков 90 (14-24-3 + 4 + 5)
или 90 • 15 • 10 единиц. Аналогично от сложения сотен
получим 90 • 15 • 100 единиц, а от сложения тысяч —
108 • 15 • 1000 (здесь каждая из 5 значащих цифр встре-
тится 108 раз).
Итак, сумма всех 540 слагаемых будет 180 • 6 +
+ 90 • 15 • 10 + 90 • 15 ■ 100 + 108 • 15 • 1000 =
= 540 • (2 + 25 + 250 + 3000) = 540 • 3277 = 1 769 580.
42. 1) Первая цифра искомого числа 1, так как иначе
уже при умножении его на 5 произведение будет состоять
из 7 цифр.
2) Последняя цифра 7. Действительно, мы установили,
что в числе есть цифра 1; значит, в одном из произведений
на 2, 3, 4, 5 и 6 цифра 1 должна оказаться на последнем
месте: это может произойти лишь при умножении на 3
числа, оканчивающегося цифрой 7.
3) При умножении числа, оканчивающегося цифрой 7,
на 2, 4, 5 и 6 последними цифрами произведений будут
соответственно 4, 8, 5 и 2. Значит, в состав цифр искомого
числа, кроме 1 и 7, должны входить 4, 8, 5 и 2.
4) Составим следующую таблицу сложения всех б сла-
гаемых.
Искомое число 1****7
Произведение числа на: 2 .
» » » 3 .
» » » 4 .
» » » 5 .
» » » 6 .
##***л
*****о
*****с
В каждом вертикальном столбце по условию стоят в
каком-то порядке те же цифры, что и в последнем столбце.
Поэтому при сложении всех 6 слагаемых будем иметь:
2 9 9 9 9 9 7.
Эта сумма представляет искомое число, взятое слагае-
мым 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 раз. Значит, искомое
число равно 2 999 997 : 21 = 142 857.
153

43. Искомое число п — четырёхзначное в пятеричной
системе; следовательно, 53 < п < 54, или 125 < п < 625.
Так как 7а < 125, а 73 = 343 содержится в 625 лишь один
раз, то относительно изображения п одинаковыми цифра-
ми в семеричной системе возможны два предположения:
1) п — трёхзначное число: п = ааа7, где а одна из че-
тырёх цифр: 3, 4, 5, 6 (если а = 1 или а = 2, то п < 125).
2) п — четырёхзначное число вида 11117 (из других
цифр четырёхзначное число п состоять не может, так как
п < 625). 1-е предположение отпадает. Действительно,
ааа7 = 49а + 7а + а — 57а; но по условию 57а — точ-
ный квадрат и наименьшее значение а равно 57, что не-
возможно. Остаётся проверить, является ли 11 lb точным
квадратом. 111b = 1 - 343 +149+174-1 = 400—
точный квадрат.
44. Покажем, что такое предположение вполне допу-
стимо. Пусть расписание движения трамваев № 1 и № 2
составлено, например, так, что трамвай № 1 проходит
остановку Л в 6 час. 00 мин., 6 час. 10 мин., 6 час.
20 мин. и т. д., а трамвай № 2 при том же интервале в 10 ми-
нут проходит остановку Л в 6 час. 01 мин., 6 час. 11 мин.,
6 час. 21 мин. и т. д. При таком расписании движения пас-
сажир, придя на остановку Л, например, между 12 час.
01 мин. и 12 ч. 10 мин., сядет в 12 час. 10 мин. на трамвай
№ 1. В трамвай же № 2 он попадёт только в том случае,
если придёт на остановку Л после 12 час. 00 мин. и до
12 час. 01 мин. Поэтому, приходя на остановку Л в разное
время, пассажир будет пользоваться трамваем № 1 в
9 раз чаще, чем трамваем № 2.
45. 77 колец разбиваем на три кучки: 27, 27 и 23 коль-
ца. 1-е взвешивание: на чашки весов кладём две кучки по
27 колец и сразу выясняем, в какой из трёх кучек нахо-
дится более лёгкое кольцо. Если оно находится в кучке
из 27 колец, то разбиваем их на три новые кучки по 9 ко-
лец; если же оно среди 23 колец, то разбиваем их на три
кучки: 9, 9 и 5 колец.
2-е взвешивание: в том и другом случае на чашки ве-
сов кладём кучки по 9 колец и выясняем, в какой из трёх
кучек находится более лёгкое кольцо. 9 колец разбиваем
на три кучки по 3 кольца; если же искомое кольцо нахо-
дится среда 5 колец, то разбиваем их либо на I, 1 ид.
либо на 2, 2, 1.
154

3-е и 4-е взвешивания позволяют таким же образом
найти искомое кольцо.
46. Пронумеруем кольца: 1, 2, 3, ..., 8.
1-е взвешивание: на одну чашку весов кладём, напри-
мер, пару 1—2, а на другую, например, -— пару 3—4.
Возможны два случая:
1) Равновесия нет. Значит, искомое кольцо среди колец
1, 2, 3, 4, а кольца 5, 6, 7, 8 заведомо нормального
веса.
2-е взвешивание: на одной чашке по-прежнему пара
1—2, а на другую кладём «нормальную» пару 5—6. Если
наступит равновесие, то кольца 1 и 2 нормального веса, а
искомое кольцо 3 или 4. Если же равновесия не будет, то
искомое кольцо 1 или 2. И в том, и в другом случае 3-е
взвешивание произойдёт так: кладём на чашку весов «со-
мнительное» кольцо из пары 3—4 или пары 1—2 в зависи-
мости от того, что показало 2-е взвешивание, а на другую
чашку — одно из колец нормального веса. Если равнове-
сия не будет, то «сомнительное» кольцо и есть искомое.
Если же будет равновесие, то искомым будет другое
кольцо из той пары, в которой находилось искомое
кольцо.
2) Случай равновесия. Значит, кольца 1, 2, 3, 4 — нор-
мального веса, искомое — одно из колец 5, б, 7, 8.
2-е взвешивание: на одну чашку кладём «нормальную»
пару, например 2—3, а на другую — «сомнительную»,
например 5—6, и дальше проводим исследование, анало-
гичное случаю первому.
47. План решения: составить пару из алюминиевого и
дюралевого кубиков и сравнить вес этой пары с весом лю-
бой другой пары. Тогда результат каждого взвешивания
сразу даст подсчёт тех и других кубиков в испытуемой
паре.
Положим на чашки весов по кубику.
1) Если равновесия нет, то кубики разнородны и пара
из двух разнородных кубиков получена. Сравнивая вес её
с весом каждой из четырёх оставшихся пар, мы с помощью
всего пяти взвешиваний подсчитаем число кубиков каж-
дого рода.
2) Допустим теперь, что взятые для первого взвешива-
ния 2 кубика оказались однородны (случай равновесия).
Составим пару из этих кубиков и сравним вес её с весом
какой-нибудь пары из оставшихся 8 кубиков (второе взве-
455

шивание). Допустим, что опять наступило равновесие.
Значит, все 4 кубика одного рода, но какого, пока неиз-
вестно. Заменим эту пару какой-либо новой парой из
оставшихся 6 кубиков (третье взвешивание). Допустим,
что теперь новая пара перетянула. Значит, испытанные 4
кубика алюминиевые, а в новой паре либо оба кубика
дюралевые, либо один дюралевый, а другой алюми-
ниевый.
Чтобы выяснить состав новой пары, используем чет-
вёртое взвешивание: положим на 2 чашки весов по одному
из кубиков этой пары. В случае равновесия — оба куби-
ка дюралевые (всего, значит, из 6 кубиков — 4 алюминие-
вых и 2 дюралевых). Отсутствие же равновесия укажет,
какой кубик дюралевый и какой алюминиевый (всего в
этом случае будет 5 алюминиевых и 1 дюралевый). Но
теперь в том и другом случае уже можно составить пару
из алюминиевого и дюралевого кубиков и сравнить с нею
2 оставшиеся пары (пятое и шестое взвешивания). (Оче-
видно, что в предлагаемом способе никакого значения не
имеет, на каком по счёту взвешивании нарушится равно-
весие.)
48. Пронумеруем кучки. Возьмём из кучки № 1 одно
кольцо, из кучки № 2 два кольца и т. д., т. е. из кучки
№ 10 возьмём все 10 колец. Всего будет взято 1 + 2 + 3 +
+ ... -f 10 = 55 колец. Положим на одну чашку весов
все эти 55 колец, а на другую — 550 г. Равновесия, оче-
видно, не будет, так как среди 55 колец есть (хотя бы од-
но) кольцо весом в 9 г. Теперь берём гирьки в 1 г и после-
довательно кладём по одной такой гирьке на чашку с коль-
цами до тех пор, пока чашки не уравновесятся. Допустим,
что равновесие наступило, когда на чашку с кольцами бы-
ла положена 4-я гирька весом в 1 г: это будет означать,
что среди 55 колец имеются 4 кольца весом в 9 г, а это в
свою очередь будет означать, что кучка № 4 содержит
кольца облегчённого веса.
49. Пусть девятиклассников было а; тогда десятиклас-
сников было 10а, а всего в турнире участвовало На чело-
век. Каждый участник сыграл Па— 1 партий; все Па уча-
стников сыграли fl~~ партий, а следовательно, и об-
щая сумма очков, набранных вшш участиикаш, lla(llg-!l
156

По условию девятиклассники набрали очков в 4,5 раза мень-
ше, чем десятиклассники; значит, на их долю из общей
11а (11а— Псе /11 1ч
суммы очков приходится —* - : 5,5 = а(11а — 1) оч-
ков. Каждый участник турнира максимально мог набрать
На — 1 очков, выиграв все сыгранные им партии. Таким об-
разом, оказывается, что каждый из а девятиклассников
выиграл все сыгранные им партии, в том числе и тогда,
когда один девятиклассник играл с другим девятиклассни-
ком. Противоречие разрешается лишь в случае, когда де-
вятиклассники в турнире были представлены одним чело-
веком: с=1. Набранное им число очков 11.1 — 1 = 10
очков.
50. Буквы, включённые в I группу, образуют фигуры,
обладающие осевой симметрией (и только осевой симмет-
рией), причём ось симметрии у них вертикальна.
Буквы II группы также обладают осевой симметрией
(и только ею), но ось симметрии у них горизонтальна.
Буквы III группы обладают центральной симметрией.
Буквы IV группы — несимметричные фигуры.
51. Когда кто-либо делает рукопожатие, то его партнёр
тоже делает рукопожатие. Таким образом, общее число
всех рукопожатий — число чётное. Это чётное число мож-
но рассматривать как сумму двух слагаемых: первое —
общее число всех рукопожатий, совершённых теми, кто
сделал за свою жизнь чётное число рукопожатий. Это сла-
гаемое, очевидно, число чётное. Второе — общее число
всех рукопожатий, совершённых теми, кто сделал* за свою
жизнь нечётное число рукопожатий. Так как сумма и пер-
вое слагаемое — числа чётные, то и второе слагаемое дол-
жно быть чётным.
Но это второе слагаемое, в свою очередь, является сум-
мой слагаемых, каждое из которых есть число рукопожа-
тий, сделанных за свою жизнь одним человеком, т е. число
слагаемых этой суммы равно числу людей, сделавших не-
чётное число рукопожатий Но сумма нечётных слагаемых—
число чётное лишь в том случае, если число слагаемых
чётное. Значит, чётным будет и число людей, сделавших
нечётное число рукопожатий.
52. Пусть номер ботинок — ab% а возраст — cd лет, при-
чём фокус показывается в 1961 году.
157

Сделаем над числами аЬ и cd указанные в задаче опера-
ции:
1-я операция — 2ab
2-я операция — 2ab -+- 35
3-я операция — (2ab + 35) • 50 = \00ab + 1750
4-я операция — №ab + 1750 + 514 = №ab + 2264.
Если год рождения — х, то возраст cd = 1961 — х и
5-я _операция — \00ab + (1961 + Ш) — х = _
{ЮОаЬ + 300) + (1961 — х + 3) = (ab + 3). 100 + (cd+ 3).
Полученное число — четырёхзначное. Когда оно будет
названо, то достаточно из числа сотен его отнять 3, чтобы
получить аЬ — № ботинок; а отняв 3 из числа, образован-
ного двумя последними цифрами этого числа, получить
возраст cd.
53. Пусть в настоящее время тёте Кате k лет, сестре —
с лет, брату — Ь лет. Когда тёте Кате было Ъ + с лет?
Очевидно, k — Ь — с лет назад. Но k — b — с лет назад
сестре было с — (k — b — с) — 2с — k + b лет. По усло-
вию ей тогда было b лет: 2с — k + b = b, или k = 2с,
т. е. в настоящее время тётя Катя в 2 раза старше сестры.
Поэтому, когда тёте Кате было с лет, а это было k — с =
= 2с — с — с лет назад, сестре было с — с = 0 лет, что
и является ответом на вопрос этой шуточной задачи.
54. Победителем соревнования будет тот, кто быстрее
других проделает следующее рассуждение. Допустим, что
на мне серый колпак. Каждый из моих соседей видит цвет
его и должен думать так: «Если бы на мне был серый кол-
пак, то третий конкурент, видя, что оба серых колпака
уже использованы, должен был бы сразу после снятия по-
вязок заявить, что на нём белый колпак. Но на самом деле
оба соседа молчат. Значит, мой колпак белый».
55. Покажем, что системой вопросов можно, постепен-
но сужая промежуток, заключающий задуманное число,
получить промежуток, включающий только это число. Идея
образования таких «стягивающихся» промежутков заклю-
чается в умелом использовании степеней числа 2, с помо-
щью которых устанавливаются всё более и более близкие
границы, между которыми должно заключаться задуман-
ное число (Заметим, что в нашем распоряжении 10 вопро-
158

сов, а 210 = 1024; поэтому, собственно, можно было пред-
ложить задумать целое число от 1 до 1024).
В соответствии со сказанным первый вопрос всегда ста-
вится так: «Задуманное Вами число больше 512?» (512 =
= 29). Если последует ответ «нет», то второй вопрос будет
такой: «Задуманное Вами число больше 256?» (256 = 28).
При ответе «да» мы уже будем знать, что искомое число
принадлежит промежутку (256, 512]. (В такой записи
круглая скобка указывает, что 256 не принадлежит рас-
сматриваемому промежутку, а квадратная скобка после
512 указывает, что число 512 принадлежит ему.) При от-
вете же «нет» на второй вопрос мы будем знать, что иско-
мое число принадлежит промежутку (1,2561. Если на пер-
вый вопрос последует ответ «да», то новое контрольное
число для постановки второго вопроса получим по формуле
29 . 2^-я; = 29 4- ?32zL> = 29 + 28 = 512 + 256 = 768.
2 2
Задаём вопрос: «Задуманное число больше 768?» Ответ
«нет» укажет промежуток (512, 768], ответ «да» даст про-
межуток (768, 1000].
Продолжая таким способом «стягивать» промежутки,
мы всегда с помощью не более 10 вопросов получим проме-
жуток вида (а, а + 1 ] или [а, а + 1), который сразу по-
кажет, что задуманное число есть а + 1 или а.
Приведём пример. Пусть задумано число 715.
Вопросы Ответы Промежуток
1. Задуманное число
больше 512?
2. Оно больше 768?
3. Оно больше 640?
4. Оно больше 704?
5. Оно больше 736?
6. Оно больше 720?
7. Оно больше 712?
8. Оно больше 716?
9. Оно больше 714?
10. Оно больше 715?
Задуманное число 715.
56. Решение задачи видно на чертеже 31.
57. Между началом 1-го сеанса и началом 7-го сеанса
проходит шесть полных сеансов Первый сеанс самое раннее
мог начаться в 12 час. 00 мин. Следовательно, наибольшая
Да
Нет
Да
Да
Нет
Нет
Да
Нет
Да
Нет
(512, 1000]
(512, 768]
(640, 768]
(704, 768]
(704, 736 ]
(704, 720]
(712, 720]
(712, 716]
(714, 716]
(714, 715]
159

длительность одного сеанса равна (23 час. 05 мин. —
12 час. 00 мин) : 6 = 665 мин. : 6 = ПО— мин.
6
В расписании начала сеансов, конечно, нет дробных
частей минуты; таким образом, наибольшая длительность
сеанса— 110 мин. = 1 час. 50 мин. Наименьшая длитель-
ность одного сеанса, если предположить, что 1-й сеанс нач-
нётся в 12 час. 59 мин., была бы равна (23 час. 05 мин. —
— 12 час. 59 мин.):6 = 606 мин. : 6 = 101 мин. = 1 час.
41 мин. Но при такой длительности одного сеанса начало
первого сеанса не могло бы быть в 12 час. 59 мин. и самое
Черт. 31.
позднее он мог бы начаться в 12 час. 18 мин. так как при
более позднем начале (от 12 час. 19 мин. до 12 час.
59 мин.) второй сеанс начнётся в 12 час. ** мин. + l час.
41 мин. = 14 час. **мин., а по условию он должен начаться
в 13 час. **мин. Но тогда наименьшая длительность одно-
го сеанса будет уже не 1 час 41 мин., а (23 час. 05 мин.—
—12 час. 18 мин-): 6 = 647 мин.: 6 = 107— мин., т. е. в
' 6
целых минутах наименьшая длительность одного сеанса —
1 час. 48 мин. Но теперь и этот результат нуждается в ис-
правлении, так как при такой длительности одного сеанса на-
чало первого сеанса самое раннее может быть в 12 час. 11 мин.
и, следовательно, наименьшая длительность одного сеанса
будет уже (23 час. 05 мин. — 12 час. 11 мин.) : 6 =
= 109 мин. = 1 час. 49 мин. Но этот результат сно-
ва нуждается в исправлении, так как теперь начало пер-
вого сеанса, самое позднее, могло быть в 12 час. 10 мин. и
наименьшая длительность одного сеанса будет уже (23 час.
05 мин. — 12 час. 10 мин.) : 6 = 655 мин. : 6 = 109 —мин.,
6
т. е. в целых минутах не меньше 110 мин. = 1 час. 50 мин.
Таким образом, оказалось, что длительность одного сеан-
са не больше 1 час 50 мин., но и не меньше 1 час. 50 мин.
160

Значит, длительность одного сеанса — 1 час 50 мин.
Теперь, чтобы восстановить расписание начала всех
киносеансов, надо исходить из даты последнего киносеан-
са, и получим следующее:
7-й сеанс
6-й сеанс
5-й сеанс
4-й сеанс
3-й сеанс
2-й сеанс
1-й сеанс
23 час. 05 мин.
21 час. 15 мин.
19 час. 25 мин.
17 час. 35 мин.
15 час. 45 мин.
13 час. 55 мин.
12 час. 05 мин.
58. По условиям (1) и (6) либо Борис на II курсе (пер-
сональные стипендии присуждаются не ранее 11 курса),
а Василий на III, либо Борис на III, а Василий на IV.
Первое допущение отпадает, так как тогда разрыв между
Николаем и Петром (I и IV курсы) про!Иворечит условию
(3) По (4) Борис — не Орлов, по (4) и (2) Борис — не Ива-
нов, по (5) Борис — не Крылов. Значит, Борис — Кар-
пов и учится на 111 курсе. Николай и Петр учатся на двух
младших курсах и по (3) и (5) Петр — Крылов и учится
на 1 курсе.
Василий по (2) — не Иванов; кроме того, он не Карпов
и не Крылов, значит, Василий — Орлов и учится на IV
курсе. Теперь ясно, что Николай — Иванов и учится на
II курсе
59. Составим следующую таблицу.
Москвич
Ленинградец
Туляк
Киевлянин
Рижанин
Одессит
Профессия
Врач
Учитель
Инженер
А
А
А
А
А
А
Фамилия
Б В Г
Б В Г
Б В Г
Б В Г
Б В Г
Б В Г
Д Е
Д Е
Д Е
Д F
Д Е
Д Е
Н Заказ 1685
161

Определим фамилии пассажиров способом исключения;
будем по условиям задачи последовательно в горизонта-
лях исключать отдельные фамилии (первые буквы их).
Так, условия (1) и (6) позволяют зачеркнуть у москвича А
и Б, у ленинградца по (2) — Д, по (3) и (4) у туляка В,
Б и Е, по (5) и (6) у рижанина — А и В, у одессита по
(5) - В.
По (1) А — врач: зачёркиваем А у инженера и учителя;
аналогично зачёркиваем Д у врача и инженера и В у вра-
ча и учителя.
Рассматривая вертикаль В, делаем 2 вывода: 1) фами-
лия киевлянина — Власов и по (3) он инженер; 2) в гори-
зонтали киевлянина можно зачеркнуть все буквы, кроме
В. Теперь в вертикали А окажутся зачёркнутыми все А,
кроме клетки одессита: 1) одессит — Агеев и по (1) он врач
и 2) в горизонтали одессита можно зачеркнуть все буквы,
кроме А.
Буква Д окажется зачёркнутой 5 раз: рижанин — Ду-
бов — учитель, и в его горизонтали все буквы, кроме Д,
зачёркиваются. Тогда Б останется лишь один раз: Боков —
ленинградец, учитель.
Продолжая, получим: Елисеев — москвич, врач; ту-
ляк — Громов, инженер.
60. Из условий (1) и (3) кондуктор не Иванов. Из (4)
и (5) ближайший сосед кондуктора не Петров (так как
2000 не делится на 3). Ближайший сосед кондуктора —
не ленинградец, так как по (1) и (2) вышло бы, что у кон-
дуктора два ближайших соседа. Значит, ленинградцами
не могут быть по (1) ни Иванов, ни ближайший сосед Си-
доров (так как ближайший сосед — не Петров). Петров —
ленинградец, а тогда по (3) кондуктор — Петров. По (6)
Сидоров не кочегар; но он и не кондуктор; значит, Сидо-
ров — машинист.
61. Это рассуждение неправильно.
Вообразим, что на земной шар от Северного полюса до
Южного сплошным образом нанесены всевозможные па-
раллели. В каждом полушарии одна из этих параллелей
при соответствующем выборе ф — географической широты
места — будет иметь любую наперёд заданную длину. Вы-
берем в южном полушарии параллель, длина которой рав-
на 100 км, и отсчитаем от неё на север по дуге какого-ни-
будь меридиана расстояние, также равное 100 км Полу-
чим точку, принадлежащую новой параллели (отстоящей
162

от первой параллели примерно на 1° к северу). Любая точ-
ка этой новой параллели удовлетворяет условиям задачи.
Действительно, возьмём на этой «северной» параллели
произвольную точку А. Пролетев от точки А по меридиану
100 км на юг, попадём в точку В «южной» параллели, дли-
на которой 100 км; поэтому, пролетев по ней 100 км на
восток, мы вернёмся в ту же точку В, а пролетев затем
по меридиану 100 км на север, мы окажемся в точке от-
правления А.
Таким образом, кроме точки Северного полюса, суще-
ствует бесчисленное множества точек, удовлетворяющих
условиям задачи.
62. Какими данными располагает «фокусник», подойдя
к столу? Он может подсчитать число кучек — п — и число
оставшихся свободных карточек — г. Покажем, что этого
вполне достаточно, чтобы безошибочно назвать 5 — сум-
му чисел на верхних карточках всех кучек.
Если на верхней карточке какой-нибудь кучки стоит
число а (где 1 < а < 8), то значит, на эту карточку было
положено ещё 11—а карточек, и всего в этой кучке
(11 — а) + 1 = 12 — а карточек. Аналогично, во второй
кучке будет 12 — Ь карточек и т. д., так что в последней
я-й кучке будет 12 — k карточек (некоторые из чисел а,
Ь, ..., &, даже все они, могут быть равны). Пусть свобод-
ных карточек осталось г (в частном случае г = 0). Теперь
распределены все карточки, поэтому
(12 - а) + (12 - Ь) + ... + (12 - k) + г = 48, (1)
где число слагаемых вида 12 — е равно числу кучек п.
Преобразовав (1), будем иметь:
12-л — (а 4- Ь +-... + k) + г — 48, где а + Ь + .. + Л
и есть интересующая нас сумма 5 Из уравнения 12 п —
— S + г = 48 имеем S — \2 - п — 48-г-ги окончатель-
но — S «= 12(л — 4) ■+- г. Но «иг — исходные данные,
непосредственно получаемые путём прямого подсчета,
что и позволит фокуснику сразу «в уме» сосчитать
сумму
63. Прежде всего необходимо определить, при каких
значениях а, Ь и с, каждое из которых целое число, не
меньшее 1 и не большее 6, выполняется равенство
а + Ь + с =а abc.
11*
163

Имеем: т~~+—+~Г = *• Это равенство возможно в
двух случаях:
1) если каждая из дробей равна -j , т. е. если be = ас»
= аЬ = 3,
2) если среди дробей имеются дроби, большие и мень-
1
шие з *
Первое предположение отпадает, так как если be =
= ас, то а = b и а2 = 3, что невозможно. Пусть дробь,
большая — есть-г. Но при натуральных а и b неравенст-
1 I
во —г > — выполняется лишь при ab = 1 и при ab = 2,
Допущение а& = 1 сразу отпадает, так как в этом случае
1 1
7" + — = 0, что невозможно.
ос ас •
Значит, ab = 2, т. е. одно из этих чисел 1, а другое 2.
Но тогда 3 + с=2сис = 3; таким образом, единственно
возможными значениями a, b и с являются числа 1, 2 и 3.
При выбрасывании игральных кубиков такая комбинация
чисел может возникнуть в 6 случаях: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2,
1,3; 3, 1,2; 2,3, 1; 3, 2, 1.
Определим вероятность появления одной из этих ком-
бинаций, например 2, 3, 1. Вероятность, что при броса-
нии первого кубика на верхней грани будет 2, равна -jr •
Вероятность, что при бросании одного за другим двух
кубиков на первом будет 2, а на втором 3, равна "Т" • ~г-=
*= -jjr. Наконец, вероятность, что при бросании трёх ку-
биков появится последовательность 2, 3, 1, равна *jt. Веро-
ятность же того, что при бросании трёх кубиков появится
какая-нибудь из шести указанных комбинаций, очевидно,
А _ J-
равна 6з — зб *
64. 1) Предположим, в вагоне был один запачкавшийся
пассажир Он видит лица остальных пассажиров — они
чисты. Но запачкавшиеся в вагоне есть Значит, рассуж-
дает он, запачкан я. На первой же остановке он идет мыть-
164

ся, после чего в вагоне все чисты. Но по условию все бы-
ли чисты лишь после 4-й остановки. Предположение отпа-
дает.
2) Предположим, в вагоне было два запачкавшихся
пассажира. Каждый из них рассуждал так: «Я вижу толь-
ко одного запачкавшегося и если я чист, то этот пассажир
на первой же остановке должен пойти мыться» (п 1-й).
Но вот поезд остановился, а никто мыться не идёт. «Зна-
чит, — продолжает рассуждать тот же пассажир, — этот
человек не был убежден, что запачкан; но это возможно
лишь в случае, если он считает, что запачкан я, так как
он видит, что остальные-то все чисты». На второй останов-
ке оба запачкавшиеся пассажира пошли мыться, после чего
все оказались чисты. Очевидно, это предположение также
противоречит условию.
3) Предположим, в вагоне было три запачкавшихся
пассажира Каждый из них рассуждает так: «Я вижу двух
запачкавшихся. И, если я чист, эти двое пойдут мыться
на второй остановке» (см. рассуждение п. 2). На второй
остановке никто мыться не пошел; это убедило сомне-
вавшегося пассажира, что он тоже грязен, и на 3-й оста-
новке все три запачкавшихся пассажира пошли мыться,
после чего все пассажиры были чисты. Предположение
отпадает.
4) В вагоне 4 запачкаршихся пассажира. Каждый из
них видит трёх запачкавшихся и, проделав такое же рас-
суждение, что и в п. 3, ждёт третьей остановки. Но на
этой остановке никто не пошёл мыться, и сомневающиеся
пассажиры убедились, что они тоже грязны, и вымылись
на 4-й остановке.
65. (Сокращённое изложение решения из книги
И. Я. Депмана «Рассказы о решении задач»). Всех детей в 4-х
семьях меньше 18 (так как детей не хватало для двух
команд по 9 человек). У дяди или I ребёнок, или двое де-
тей (если у дяди было бы трое детей, то наименынэе число
детей в четырёх семьях было 3 + 4 + 5 + 6= 18).
Если у дяди два ребёнка, то возможны 7 комбинаций (и
только 7) числа детей в остальных семьях:
1) 2, 3, 4, 5 Сумма — 14 Произведение — 120
2) 2, 3, 4, 6 » — 15 » — 144
3) 2, 3, 4, 7 » — 16 » — 168
4) 2, 3, 4, 8 » — 17 » — 192
165

5) 2,3, 5, 6 » — 16 » — 180
6) 2,3, 5, 7 » — 17 » —210
7)2,4,5,6 » — 17 » — 240
Если допустить, что среди 7 найденных произведений
нет числа, одинакового с номером дома, то Холмс должен
был отвергнуть предположение, что у дяди было двое де-
тей, и ему не нужно было бы задать дополнительный во-
прос: «Скажите, у дяди один ребёнок или больше?» Зна-
чит, среди 7 произведений есть число, совпадающее с но-
мером дома. Почему же тогда Холмс задал дополнитель-
ный вопрос? Объяснение может быть только одно: такое
же произведение получится и при предположении, что у
дяди был только один ребёнок.
Так как номер дома не меньше 120 (иначе он не был бы
среди найденных 7 произведений), то, предполагая, что у
дяди только один ребёнок, составим комбинации числа де-
тей по семьям так, чтобы их было меньше 18, а произведе-
ние не меньше 120. Таких комбинаций будет только 4:
1) 1, 3, 5, 8 Сумма — 17 Произведение— 120
2) 1, 3, 6, 7 » — 17 » — 126
3) 1, 4, 5, 6 » — 16 » — 120
4) 1, 4, 5,7 » — 17 » — 140
Общим числом в обеих группах произведений является
только 120. Значит, номер дома — 120, который Холмс
знал. Не зная, был ли у дяди 1 или 2 ребёнка, Холмс не
имел данных для выбора одной из трёх комбинаций с про-
изведением 120. Поэтому он и задал дополнительный во-
прос. Если бы он узнал, что у дяди был 1 ребёнок, то он
не мог бы дать точный ответ о числе детей в каждой семье,
так как в этом случае были бы равноправны две комбина-
ции с произведением 120. Но в задаче сказано, что, полу-
чив ответ на вопрос, он правильно назвал число детей в
каждой семье. Значит, Уотсон сказал Холмсу, что у дяди
больше 1 ребёнка; если у дяди двое детей, то единствен-
ная комбинация с произведением 120 позволяет точно на-
звать число детей в каждой семье: 2, 3, 4 и 5.
66. Слон, стоящий на любой клетке крайних горизон-
талей или вертикалей, держит под боем 7 клеток, а слон,
стоящий на какой-нибудь внутренней клетке, держит под
боем от 9 до 13 клеток. Чтобы расставить наибольшее
число слонов, надо, чтобы они держали под боем наимень-
166

шзе число клеток. Поставив поэтому 8 слонов на какой-
нибудь крайней линии, например на нижней горизонтали,
заметим: 1) друг друга они не бьют; 2) держат под боем
все клетки доски, кроме 6 клеток верхней горизонтали, на
которых, следовательно, можно расставить ещё 6 слонов.
Всего можно расставить 14 слонов.
67. На какой бы клетке ни стояла ладья, она держит
под боем 14 клеток. Значит, вторую ладью можно поста-
вить на любую из оставшихся 64 — 15 = 49 клеток. Если
первую ладью последовательно ставить на каждую из
64 клеток, то каждому положению её будет соответство-
вать 49 расстановок. Среди полученных таким образом
49 • 64 расстановок каждая встретится 2 раза, и всего раз-
личных расстановок будет 49 ■ 32 = 1568.
68. Конь стоит на чёрной клетке. После первого хода
он окажется на белой клетке, после второго — снова на
чёрной и т. д. Таким образом, каждый нечётный по
счёту ход приводит коня на белую клетку, а чётный — на
чёрную. Но если будут выполнены условия задачи,
то конь попадёт на правую верхнюю клетку — клетку
того же чёрного цвета, что и левая нижняя клетка, — на
63 ходу. Но это невозможно, так как нечётный ход приво-
дит коня на белую клетку.
69. Начинающий игрок проиграет, если своим очеред-
ным ходом он будет вынужден опорожнить один из ящи-
ков. А это случится, если, когда ему надо будет делать
ход, в обоих ящиках окажется по одному шарику. Чтобы
избежать этого, он должен при каждом вынимании шари-
ков в свой ход уравнивать число шариков в обоих ящиках.
Отсюда единственно возможный план выигрыша начи-
нающим игроком такой: прежде всего он вынимает 30 ша-
риков из ящика с 80 шариками. Если затем второй игрок
вынет из какого-либо ящика п шариков то первый сейчас
же вынет столько же шариков из другого ящика и т. д.
Так как число шариков всё время уменьшается и после
каждого очередного хода первого игрока в обоих ящиках
оказывается поровну, то со временем после хода первого
игрока в ящиках останется по 1 шарику и начинающий
игрок выиграет.
70. Вы задаете вопрос: «Вы живёте в этом селении?»
Допустим, вы получили ответ «да». Если опрошенный —
житель Л, то он сказал правду, т. е. вы находитесь в селе-
нии А. Если же опрошенный — житель В, то он солжёт
167

и на ваш вопрос тоже ответит «да», а это также будет озна-
чать, что вы находитесь в селении А. Таким образом, от-
вет «да» при любых условиях означает, что вы находитесь
в Л.
Аналогично ответ «нет» при любых условиях будет
означать, что вы находитесь в селении В.
71. Рассуждение Эватла неправильно. Логическая ошиб-
ка, допущенная им, заключается в том, что для сужде-
ния об уплате денег Протагору он одновременно исполь-
зует два различных (и к тому же противоречивых) основа-
ния: приговор суда и заключённый с Протагором договор*
Логически правильное рассуждение должно исходить из
одного и того же основания; в данном случае за основание
можно принять или договор, или решение суда.
6-5
72. 1) Всего в турнире было сыграно -г- = 15 партий:
следовательно, все участники его вместе набрали 15 очксв.
Бунин сделал только одну ничью; значит, число набран-
ных им очков — дробное. Это дробное число меньше 4.
Если допустить, что Бунин набрал не 3 —очка, то самое
большее он мог набрать 2—очка. Но тогда Венков и Гу-
сев максимально набрали бы по 2 очка, Дымов— 1"7Г04-
ка и Егоров — 1 очко, а всего общее число очков бы-
ло бы 4 + 2 у + 2 + 2 + \— + 1 = 13 вместо 15.
Следовательно, Бунин набрал Зу очка.
Нельзя допустить, что Венков и Гусев, набравшие
меньше 3 у очков, набрали по 3 очка. Действительно,
Егоров, выигравший у Гусева, набрал самое меньшее. 1
очко, а Дымов — 1 у очка и окажется, что все игроки
вместе набрали 4 + Зу + 3 + 3+ 1 у +1=16 очков
вместо 15. Следовательно, Венков и Гусев набрали или по
2 — очка, или по 2 очка. Если допустить, что Венксв и
Гусев набрали по 2 очка, то Дымов максимально набрал
168

бы \~г очка, а Егоров — 1 очко, т. е. все игроки вместе
набрали 4 + Зу+ 2 + 2+1у-г-1 = 14 очков вместо
15. Следовательно, Венков и Гусев набрали по 2 -j" очка.
На долю Дымова и Егорова вместе теперь остаётся 2 -£■
очка. Так как Егоров выиграл у Гусева, то единственно
возможно, что Дымов набрал 1—очка, а Егоров — 1 очко.
Теперь таблица имеет следующий вид:
А
Б
В
Г
Д
Е
А
0
Б
0
В
0
Г
1
Д
0
Е
I
I
I
0
I
Всего
очков
4
4
4
4
1
\1 ■
Место
I
II
III—IV
III-IV
V
VI
2) По условию ничейных партий было 5. Следователь-
но, в 10 клетках таблицы значится по — очка. Дымов, вы-
играЕШЧй одну партию и набрарший 1 — очка, сыграл
«в ничью», как и Бунин, только одну партию, а у Егорова
ничьих быть не могло. Значит, в клетках Андреева, Вен-
кова и Гусева стоит 8 «половинок». Андреев в 5 партиях
набрал 4 очка. Это могло произойти только в 2 случаях:
или он выиграл 4 партии, а одну проиграл, или же он
169

выиграл 3 партии, а 2 партии сыграл вничью. Первое
предположение надо отвергнуть, т. к. тогда все 8 «полови-
нок» будут стоять в клетках Венкова и Гусева и окажется,
что Венков набрал 3 очка, а Гусев — 2 очка. Следователь-
но, Андреев 3 партии выиграл и 2 свел вничью, а Венков
и Гусев сделали по 3 ничьих. Гусев, проигравший Егоро-
ву, не мог иметь других проигрышзй, т. к. тогда у него
было бы всего 1 — очка, а не 2 -г. Но Андреев не проиграл
ни одной партии. Значит, Андреев и Гусев сыграли
вничью.
Если бы вторая ничья Андреева была бы в партии с Бу-
ниным, то у Венкова было бы: проигрыш Андрееву, вы-
игрыш у Егорова и 3 ничьих, в том числе и в партии с Бу-
ниным. Оказалось бы, что Бунин сделал 2 ничьих, что
противоречит условию задачи. Следовательно, Андреев
выиграл у Бунина.
Бунин не мог иметь второго проигрыша (иначе у него
максимально было бы 3 очка); но Гусев, как уже было
установлено, не имел проигрьшай, кроме, как Егорову.
Следовательно, Бунин и Гусев сыграли вничью, а у Вен-
кова и Дымова Бунин выиграл.
Теперь таблица имеет вид:
А
Б
В
Г
Д
Е
А
0
1
2
2
0
Б
1
0
1
2
0
0
В
1
2
1
1
2
1
2
0
Г
_1_
2
1
2
1
2
1
Д
i
1
2
1
0
Е
1
1
1
0
1
Всего
очков
4
1
3Т
1
2Т
1
1
ч
1
Место
I
II
Ш—IV
III—IV
V
VI
170

У Венкова, как уже было установлено, 3 партии были
ничейными, т. е. он сыграл вничью с Андреевым, Гусе-
1
вым и Дымовым Дымов же, уже набравший свои 1 -г оч-
ка, оставшиеся две партии — Андрееву и Гусеву — дол-
жен был проиграть Таким образом, таблица будет вос-
становлена полностью.

РАЗДЕЛ IX
ЧИСЛОВЫЕ ЗАГАДКИ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ)
ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
(Материалы для кружковой работы.)
Специальные задачи на расшифровку «засекреченных»
чисел в IX разделе по форме и содержанию сходны с чис-
ловыми загадками, помещёнными в IV разделе. Основное
различие их — в степени трудности. Задачи IX раздела
рассчитаны на письменное решение в кружках старших
классов после того, как работа над задачами предшествую-
щих разделов обогатила ученика опытом и привила вкус
к трудной задаче, Это соображение побудило числовые за-
гадки повышенной трудности выделить в самостоятельный
раздел книги.
Всего в IX разделе 45 задач, из которых наиболее труд-
ными являются последние 10—12 задач. Большинство за-
дач, составляющих содержание IX раздела, появляется в
печати впервые.
1. Найти сомножители в умножении:
3*
***
. **
2. Найти делитель и частное в делении
******
*** g
****
***
Ч* Ч* Ч"
***
о"
***
172

8. Найти множимое в умножении
Х 743
******
******
+
^* ^fc ^fe *Д* <(Д# аЬ
42***875
4. Расшифровать равенство: ***2 = *****, если из-
вестно, что степень ***** состоит только из двоек и пятё-
рок.
5. Число 900*** — точный квадрат. Найти уэсо"***
6. Найти делимое, делитель и частное в делении;
*g*** ***
~~3*8
105*
***
****
"""" Q ***
***
о
7. Расшифровать равенство:
cda-\- cbe = abac
8. В умножении
+***
*/»
***
— произведение — число нечётное. Найти сомножители.
9. Из точного квадрата **** извлекался квадратный
корень. От незаконченной записи сохранилось следующее:
У****, причём можно было подметить, что три послед-
—— ние цифры подкоренного числа одинаковы.
Найти ]Л****.
10. Расшифровать равенство:
асе • b = dba,
если известно, что произведение dba — число нечётное.
И. Расшифровать равенство:
abc • с = dac.
173

12. Числа ас и са — простые, причём разность ас — са
есть точный квадрат. Найти ас и са.
13. Найти сомножители в умножении:
х **
+ 4* *Р Ч* *Р
***7
ч* Ч* *р 45 ч* I
если известно, что множимое кратно 9 и не изменяется,
если прочитать его справа налево.
14. Расшифровать равенство:
## # # __ **Q
если известно, что в разложении числа **9 на простые
множители наименьший множитель больше 3, а наиболь-
ший меньше 17.
15. Произведение 21 . **** — точный куб. Найти мно-
житель ****.
16. Найти сомножители в умножении:
х **
***
***55
17. Расшифровать деление:
ода
мода
'дар
еда
О
Да
18. Расшифровать равенство:
abed • 9 = deba.
19. Расшифровать равенство:
ас . cix ~cdc.
174

20. Найти сомножители в умножении:
Sjl 5|С *р
2'
Х#о#
##*
+ Н* sH ♦ н*
*2*
*9*о*
21. Восстановить неизвестные цифры в следующем из-
влечении корня:
у *****-= ***
— *
#**
4**
Ч* Ч* Ч* ч*
### 1
"о
22. Расшифровать равенство:
7***** . С __ ##**#7
если известно, что последние пять цифр делимого и первые
пять цифр частного образуют одно и то же число.
23. Найти корень по следующей схеме извлечения кор-
ня:
у ******
***
**
Л Зп «р Ч»
чр W Ч* V
о
24. Найти сомножители в умножении:
v **
Л **
! **
' ***
V* *Q '
175

если известно, что разложение произведения на простые
множители содержит множитель З4.
25. Расшифровать умножение:
X
ad
eb
+
асе
ad
кйс,
26. Расшифровать деление:
кризис
кпаи
этап
сэр
сиэи
"этап
эзэпс
"эассп
зэи
в
27. У ********* — целое число. Найти его, если из-
вестно, что девять цифр подкоренного числа суть; 0, 2, 3,
4, 4 7, 8, 8, 9
28. Расшифровать сложение:
abedef 4- abedef -j- del = qaoealq.
29. у aacc — целое число. Найти его.
30. Схема умножения двух чисел имеет вид:
ХЧ* Ч* Ч*
* о *
+
ффф
■и ч* ч* ч*
***
1
*#*
Когда сомножители поменяли местами, то схема умноже-
ния оказалась такой:
*2*
X
ч» ч* яр
+
****
***
*****
Найти сомножители.
176

31. Схема умножения чисел ас и са, относительно кото-
рых известно, что произведение их кратно 5, имеет вид:
ас
*са
+ *р *р ч*
##*
ч* ч* Ч* Ч*
Когда же умножили са на ас, то получилась такая схема
(незаконченная):
*ас
Найти сомножители.
32. Расшифровать равенство:
fl^cd • 4 = дс£а
33. Найти сумму двух целых чисел:
5 6
т/"####*4 -j- 1/и****
34. Расшифровать умножение:
уа6с
"т" к/тсс
Г ПС
иаесс
35. Расшифровать умножение.
аЬс
*Ьас
+ Я* ч* Эр Ч*
******
12 Заказ 16S5 ]77

36. Расшифровать равенство:
abed2 • О, ... = abed • 20,...,
если известно, что d — чётная цифра, а мантиссы дробных
чисел 0,... и 20,... —одинаковы.
37. Число ***, состоящее из трёх различных цифр,
последовательно умножено на 2, 4 и 8:
*** • 4 = ****,
#*# • 8 === ***#.
Оказалось, что во всех полученных четырёхзначных про-
изведениях последние цифры одинаковы, а в каждом от-
дельном произведении одинаковы цифры десятков и сотен.
Найти множимое.
38. В шифрованной телеграмме «Send more money» число,
выраженное последним словом «money», есть сумма чисел
«send» и «more». Расшифровать телеграмму.
39. Расшифровать деление:
abed : deba = qt
если известно, что делимое, делитель и частное—точные
квадраты.
Из журнала «Математика в школе» № 4 за 1952 г., автор—
А.
Мостовой.
40.
Найти
сомножители в умножении:
X
*#*
****
■ 45 «р Ч* ^р
*****00,
если известно, что произведение кратно 9.
41. Расшифровать равенство:
** _1_ о* _l ** —г *о*
если известно, что слагаемые — простые числа, все 6 цифр
которых — различны.
42. Деление нечётного четырёхзначного числа на не-
которое однозначное число выполняется по такой схеме:
178

*
**
*
**
#*
*
При делении этого же числа на другое однозначное число
схема деления будет такой:
*#**
**
*
***
**
**
~~0
Найти делимое.
43. Числа 2 • ас + 1 и 3 • ас + 1
Найти ас.
44. Расшифровать сложение:
forty
точные квадраты.
sixty
Задача сообщена И. Я. Депманом.
45. Вычислить выражение (** + ** + **) : **. где сла-
гаемые в скобке — 2 числа и их НОК, а делитель ** —
НОД этих двух чисел, причём известно, что все 4 числа
различны.
РЕШЕНИЯ
1. Из схемы умножения видно: 1) средняя цифра мно-
жителя — 0; 2) последние цифры сомножителей — нечёт-
ные (иначе произведение было бы чётным); 3) последняя
цифра множителя меньше 4 (так как произведение 3* 4—
число трёхзначное), т. е. либо 3, либо 1. Если последняя
цифра множителя была бы 3, то последняя цифра множи-
мого может быть только 9 (иначе произведение их не бу-
дет оканчиваться цифрой 7). Но 39 • 3 — число трёхзнач-
ное, значит, последняя цифра множителя может быть толь-
12*
179

ко 1, а множимого — 7. Произведение 37 на первую цифру
множителя равно 3**. Такое произведение может полу-
читься лишь при умножении 37 на 9.
2. Произведение делителя на 8 — число трёхзначное;
значит, делитель имеет вид 1**, причём вторая цифра его
меньше 3. Произведение делителя на первую цифру част-
ного — число четырёхзначное, значит, эта цифра — 9. А
так как 1** • 9 оканчивается цифрой 5, то и последняя
цифра делителя — 5.
Произведение 105 • 9 — число трёхзначное, а 125 • 8—
число четырёхзначное; значит, средняя цифра делителя,
меньшая 3, может быть только 1, т. е. делитель—115.
Как видно из схемы деления, произведение 115 на среднюю
цифру частного есть трёхзначное число, кратное 115
и ближайшее к четырёхзначному числу; таковым яв-
ляется число 920 = 115 • 8; значит, средняя цифра част-
ного — 8.
3. 1) Последняя цифра множимого — 5. 2) Последняя
цифра 2-го частного произведения — 0 (так как 4 • 5 =
= 20) и, следовательно, предпоследняя цифра 1-го част-
ного произведения — 7. Эта цифра при умножении на 3
может быть получена только в случае, когда предпослед-
няя цифра множимого — 2.
3) Но тогда предпоследняя цифра 2-го частного произ-
ведения — 0 (так как 4-2 + 2 «в уме» равно 10) и так
как последняя цифра 3-го частного произведения — 5, то
цифра сотен 1-го частного произведения — 3.
4) Эта цифра может быть получена только, если цифра
сотен множимого — 1. Итак, множимое — *7125.
5) Первая цифра множимого — 5 или 6, так как про-
изведение больше 42 000 000, но меньше 43 000 000. Меж-
ду тем произведение 67 000 • 700 = 46 900 000 >43 000 000.
Значит, множимое — 57 125.
4. Квадрат целого числа не может оканчиваться циф-
рой 2; следовательно, степень оканчивается цифрой 5, а
тогда и основание степени оканчивается цифрой 5. По пра-
вилу возведения в квадрат чисел, оканчивающихся циф-
рой 5, заключаем: предпоследняя цифра степени — 2, а
перед ней стоит чётная цифра, т. е. тоже 2 (так как число
сотен степени, будучи произведением двух последователь-
ных натуральных чисел, есть число чётное)
Итак, степень имеет вид: **225, причём число ** здесь
может быть 22, 25, 52 и 55. Но числа 222, 252 и 522 не яв-
180

ляются произведениями двух последовательных натураль-
ных чисел, а 552 = 23 • 24, т. е. искомая степень — 55225.
5. Будем извлекать корень обычным образом:
1/900****"= 3001
—9
00
х60:
хш:
**
0
600!
о
В числе 60* при любых значениях *, отличных от
нуля, 60* • * > 100; значит, * здесь может быть только
нуль.
Произведение 600* • * — число четырёхзначное, а это
возможно только, если в числе 600* последняя цифра—1.
6. Складывая разность 105 с вычитаемым 3*8, получим
уменьшаемое — первые три цифры делимого: 105 + 3*8 =
= 483 (заметим, что в 3*8 цифра * может быть только
7). Число 378 — произведение трёхзначного делителя на
первую цифру частного — могло получиться лишь в трёх
случаях: делитель—126, 1-я цифра частного — 3; дели-
тель — 189, 1-я цифра частного — 2; делитель — 378, 1-я
цифра частного— 1. Но произведение делителя на послед-
нюю цифру частного — четырёхзначное число 3 ***. Это
произведение может быть получено только в случае, если
делитель 378, а последняя цифра частного — 8 или 9
(378 • 8 = 3024 и 378 • 9 = 3402). Теперь ясно, что средняя
цифра частного — 2 (так как уже 378 • 3 — число четы-
рёхзначное); произведение делителя 378 на 2 равно 756
и вычитание 105*—756 должно дать либо 302 (в случае,
когда последняя цифра частного — 8), либо 340 (когда
последняя цифра частного — 9). Но 340 -f 756 =
= 1096 > 105*, а 302 -f 756 = 1058. Значит, последняя
цифра частного может быть только 8.
7. Перепишем равенство так:
i cda
*cbe
"abac
181

1) а = 1; с ф О (как первая цифра числа)
2) а -\- е — 1 + е ф 10 (иначе окажется, что с = 0
Значит, 1 + е<_10 и_£/ +6=11.
3) с + с + 1 = аб = 16, следовательно, с > 4.
4) Но с =£ 5 (иначе с + с + 1 = 11, т. е. 6 = 1 = а, что
невозможно); с =£ 7 (иначе из 1 + е = с окажется, е = 6,
из с + с+ 1 = 7 + 7+1 = 15 окажется, 6 = 5 и из
d + 6 = 11 окажется, d = 6 = е)\ с ф 8 (иначе из 1 + е—
= с окажется, е = 7, аизс + £+1 = 8 + 8+1=17
окажется, что 6 = 7 = £); с =£ 9 (иначе из с + с + 1 =
= 9 + 9+1 = 19 окажется, что 6 = 9 = с).
5) Остаётся единственная возможность: с = 6. При с =
= 6 имеем: 1+е = с=6ие = 5;с + с+ 1 = 13, т. е.
6 = 3;d + 6 = d + 3=llHd=8.
8. Произведение с • с — число, оканчивающееся циф-
рой с. Это возможно, если с — 1, с = 5, с = 6. Исходя из
условия ас — число нечётное; значит, с Ф 6. Если с =
= 5, и так как са тоже нечётное число, то а — одно из
чисел: 1, 3, 7, 9. Если а = 1, то 15 • 1 = 15 есть первое
частное произведение; но по условию оно должно быть
числом трёхзначным. Значит, а ф 1. Если а = 3, а = 7,
а = 9, то 35 • 5 (а также 75 • 5 и 95 • 5) есть второе част-
ное произведение, которое по условию должно быть числом
двузначным, между тем как 35 • 5, 75 • 5 и 95 • 5 — числа
трёхзначные. Вывод: с ф 5, с может быть равно только 1.
Возможные значения нечётного а — 3, 5, 7 и 9. Если
а = 3, то ас • с = 31 • 3 = 93, по схеме ас * а — число
трёхзначное. Если а = 7 или а = 9, то ас • ш (71 • 17 или
91 ■ 19) — число четырёхзначное, а по схеме — трёхзнач-
ное. Единственно возможным оказывается значение а — 5,
при котором противоречий с условиями задачи не возникает.
9. Из приведённой схемы извлечения корня видно, что
наибольший точный квадрат, заключающийся в двузнач-
ном числе **, образованном двумя первыми цифрами под-
коренного числа, есть * — число однозначное. Это сразу
позволяет сделать несколько выводов:
1) Однозначный наибольший точный квадрат есть 9, а
первая цифра корня есть 3, т. е. корень имеет вид 3*.
2) Двузначное число, образованное двумя первыми циф-
рами подкоренного числа, не больше 15, т. е. первая циф-
ра его — 1, а вторая — одна из цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5. Но
эта вторая (а значит, и третья, и четвёртая) цифра не мо-
182

жет быть нулём, так как точный квадрат не может окан-
чиваться нечётным числом нулей. Эта цифра ни 2, ни 3, так
как точные квадраты не оканчиваются ни на 2, ни на 3.
Этой цифрой не может быть и 5, так как любой точный квад-
рат, оканчивающийся цифрой 5, имеет на предпоследнем
месте цифру 2. Таким образом, подлежат испытанию лишь
два числа: 1111 и 1444. Чтобы З*2 оканчивалось цифрой 1,
цифра единиц в 3* должна быть 1 или 9; но 312 — число
трёхзначное, а 392 = (40 — I)2 = 1521 — не удовлетво-
ряет условиям задачи. Чтобы З*2 оканчивалось цифрой 4,
цифра единиц в числе 3* должна быть 2 или 8; но 322=
= 1024, что не удовлетворяет условиям задачи. Прове-
ряем число 38: 382 = (40 — 2)2 = 1600 + 4 — 160 =
= 1444 — число, удовлетворяющее условиям задачи.
10. Прежде всего можно сделать такие заключения:
\) а — нечётная цифра;
2) Ь ф 1 (иначе окажется, а = с);
3) с ф 1 (иначе окажется, а — Ь);
4) b ф 5 и с Ф 5 (иначе окажется» что и а = 5).
Таким образом, нечётные цифры Ь и с могут иметь лишь
такие пары значений:
1) b = 9 и с = 7 или наоборот. В этом случае а — 3.
Но тогда асе • b = 3** • 9 или 3** • 7. Оба таких произ-
ведения — числа четырёхзначные. Допущение 1-е отпа-
дает.
2) b — 9_и с = 3 или наоборот. В этом случае а — 7.
Но тогда асе • b = 7** • 9 или 7** • 3. Оба таких произ-
ведения — числа четырёхзначные. Допущение 2-е отпа-
дает.
3) b = 7 и с = 3 или наоборот. В этом случае а = 1.
Если Ь = 7ис=3,то будем иметь: 133 . 7 = 931 и ока-
жется, что в числе dba средняя цифра b — 3 = с, что не-
возможно. Если 6 = 3 и с = 7, то будем иметь: асе b =
= 177 • 3 = 531 = dba и противоречий с условиями нет.
П. Произведение с • с оканчивается цифрой с в трёх
случаях: 1) с =1; 2) с = 5 и 3) с = 6. с Ф 1, так как
abc • 1 = abc. Если с = 5 или с = 6, то а = 1 (иначе
abc • с — четырёхзначное число). Допустим, с = 5. Тогда
165-5 будет иметь средней цифрой трёхзначного произве-
дения либо 2, либо 7 (так как b • 5 оканчивается либо 0,
183

либо 5). Между тем средняя цифра произведения, по усло-
вию, а = 1. Этот случай отпадает.
Рассмотрим теперь случай с = 6. Чтобы при умноже-
нии Ш5 • 6 получить в произведении среднюю цифру а =
= 1, надо, чтобы Ь • 6 оканчивалось цифрой 8. Это воз-
можно в двух случаях: b = 3 и Ь = 8. Но 186-6 — чис-
ло четырёхзначное, следовательно, допустимо лишь b =
= 3, и будем иметь: 136 • 6 = 816.
12. Разность ас — са = 9 • (а — с) по условию есть
точный квадрат. Следовательно, однозначное число
а — с — тоже точный квадрат. А тогда однозначное а — с
есть одно из чисел — 1, 4, 9.
Числа ас и са — простые; следовательно, а и с — нечёт-
ные цифры, а тогда число а — с — чётное, и единственно
возможным окажется, что а — с = 4.
Так как числа ас и са, как простые, не могут оканчи-
ваться цифрой 5, то а и с могут иметь значения лишь 1, 3,
7 и 9, причём среди этих цифр надо для а и с найти такие
пары значений, чтобы разность их равнялась 4. Такую па-
ру будем иметь лишь при а = 7 и с = 3, т. е. искомые про-
стые числа — 73 и 37.
13. Сумма цифр множимого кратна 9 и так как каждая
цифра в нём по условию повторяется два раза, то эта сум-
ма — число чётное. Следовательно, сумма цифр множимо-
го — 18 или 36. Если допустить, что эта сумма 36, то
множимое может быть только 9999; но тогда первая цифра
множителя может быть только 3 (так как только 9 • 3 =
— 27 оканчивается цифрой 7). В этом случае произведе-
ние 9999 • 3, вопреки условиям задачи, окажется числом
пятизначным. Значит, сумма цифр множимого может быть
только 18. Согласно схеме умножения последняя цифра
множимого, умноженная на первую цифру множителя,
даёт число, оканчивающееся цифрой 7. Но в таблице умно-
жения однозначных чисел нет произведений: 17, 37, 47,
57, 67 и 77. Значит, подлежат рассмотрению лишь случаи,
когда произведение двух однозначных чисел равно 27
или 7.
1) Произведение — 27. В этом случае либо последняя
цифра множимого 9 (а само множимое тогда 9009) и пер-
вая цифра множителя 3, либо, наоборот: последняя цифра
множимого 3 (и само множимое 3663), а первая цифра
184

множителя 9. Оба произведения (9009 • 3 и 3663 • 9) —
числа пятизначные, что противоречит условию.
2) Произведение — 7. В этом случае либо последняя
цифра множимого — 1 (а само множимое 1881) и первая
цифра множителя — 7, либо, наоборот: последняя цифра
множимого 7 (а само множимое 7227) и первая цифра мно-
жителя— 1. Произведение 1881 -7 — число пятизначное
и это допущение, следовательно, отпадает. Произведение
же 7227 . 1 — число четырёхзначное, что отвечает усло-
виям задачи. При множимом 7227 вторая цифра множителя
также может быть только единицей.
Итак, сомножители — 7227 и 11.
14. По условию при умножении последней цифры мно-
жимого на множитель получено число, оканчивающееся
цифрой 9. Это возможно лишь при четырёх умножениях:
1) *9 ■ 1; 2) *1 • 9; 3) *3 • 3; 4) *7 • 7.
Первая комбинация отпадает, так как этом случае
произведение будет числом двузначным, а по условию оно
должно быть трёхзначным числом.
Вторая и третья комбинации отпадают, так как в обоих
этих случаях разложение произведения на простые мно-
жители будет содержать множитель 3, что противоречит
условию.
Итак, сомножителями могут быть только *7 и 7, и
множимое *7 надо искать среди чисел 17, 27, 37, 47, 57,
67, 77, 87 и 97. Из этих 9 возможных значений множимого
отпадают: 1) 27, 57 и 87, так как эти числа делятся на 3 и,
следовательно, разложение произведения будет содержггь
множитель 3; 2) 17, 37, 47, 67 и 97, так как все эти пять
чисел — простые, и, следовательно, во всех этих случаях
разложение произведения на множители будет содержать
простой множитель, не меньший 17, что противоречит ус-
ловию.
Единственно возможное значение *7 = 77 (в этом слу-
чае разложение произведения 539 на множители будет
иметь вид: 72 • И).
15. Чтобы произведение было точным кубом, оно долж-
но иметь вид 2IV. Следовательно, число **** делится
на 212, и частное* от деления — точный куб. Наименьшее
значение частного— 1000 : 441 = 2,... Наибольшее зна-
чение— 9999:441 = 22,... Но между числами 2,...
и 22,... заключается единственный точный куб — 8.
Значит, **** = 441-8 = 3528.
185

16. Последняя цифра первого частного произведения —
— 5. Это возможно в двух случаях: 1) последняя цифра
множимого — 5, а последняя цифра множителя — нечёт-
ная; 2) наоборот: последняя цифра множимого — нечёт-
ная, а последняя цифра множителя — 5. Второе предполо-
жение отпадает, так как и при наибольшем значении пер-
вой цифры множимого—9 — произведение 9** -5<5000,
а по условию оно начинается цифрой 8.
Итак, множимое — **5, а нечётная последняя цифра
множителя такая, что **5 • * > 8000. Это возможно лишь
в случае, если последняя цифра множителя — 9, а первая
цифра множимого — 9 или 8.
Произведение множимого 9*5 или 8*5 на первую цифру
множителя — число трёхзначное; следовательно, эта циф-
ра — 1. Отсюда: последняя цифра второго частного произ-
ведения— 5, а тогда предпоследняя цифра 1-го частного
произведения может быть только 0. Таким образом, первое
частное произведение имеет вид: 8*05. Но оно получено от
умножения множимого на 9; следовательно, 8*05 кратно 9
и вторая цифра его может быть только 5. Теперь легко
получить и само множимое — 8505 : 9 = 945.
17. Мода ода
fap да
еда
еда
~0~
1) ода • а — еда, и так как а, очевидно, не равно 1,
то а — 5 или а = 6.
2) И при а = 5, и при а — 6 трёхзначное произведение
еда может быть лишь при о = 1.
3) При вычитании мод — дар = ед будем иметь: д —
— р = д, т. е. р = 0. И если теперь допустить.что а — 6,
то е + с = е + б= 11 (так как о = l)^. е. е = 5; но
этого быть не может, ибо произведение ода ■ а — 1*6 -6,
начинающееся цифрой е, не может быть меньше 6**.
4) Значит, а=5;изе + а = е-Ь5= 11 получим: е =
= 6.
5) Цифра д — чётная (так как ода • д = дар, т. е.
а . д — 5 • д оканчивается цифрой р = 0).
186

6) д < 4 (иначе ода • а = 145 • 5 = 724 и окажется,
что е — 7, а не 6). Но чётное д =£ 0 (так как р = 0). Сле-
довательно, dj= 2.
7) дар_ +ед = мод или 250 + 62 = 312, т. е. м = 3.
18. а& < 12, так как уже \2cd • 9 — пятизначное
число. Значит, а = 1 и, так как 6 =£ а, то Ь — 0.
2) 10 cd • 9 = dcOl, т. е. d • 9 оканчивается единицей,
откуда d = 9.
3) Число 9с01 кратно 9; но 10с9 состоит из тех же цифр;
значит, сумма 1+0 + с + 9=10 + с кратна 9, что воз-
можно лишь при с — 8.
19. Если с— цифра единиц множимого при умножении
на а — цифру единиц множителя — число двузначное, то
и произведение цифр десятков множимого и множителя
(а • с) тоже число двузначное, т. е. ас • са содержит дву-
значное число сотен и является числом четырёхзначным,
что противоречит условиям задачи.
Значит^ согласно условиям с • а — с, т. е. а = 1. Ум-
ножение ас на са теперь можно записать так:
х с\
ее2
ede
Отсюда видно: 1 + с2 = d — число однозначное (иначе в
произведении ede на месте сотен стояла бы не цифра с, а
цифра, на единицу большая). Значит, 1 + с2 < 10, т. е.
с2 < 9 и с < 3. Но с ф 0 (так как с — первая цифра числа
Та) и с ф 1 (так как а = 1). Единственно возможно, что
с = 2.
20. Произведение множимого на 2 - четырёхзначное
число, а 1-е и 3-е частные произведения — трёхзначные
числа. Значит, множитель— 121.
Теперь умножение можно записать так:
*о*
^_121
*2*
^■+"™ Ч* "I* Ч* ■!■
#Q#9*
187

Отсюда следует: последняя цифра 2-го частного произ
ведения — 0, что может быть лишь в случае, если послед-
няя цифра множимого — 5, откуда последняя цифра 3-го
частного произведения тоже 5.
Теперь ясно, что при сложении вторых цифр 2-го и
3-го частных произведений к их сумме прибавлялась еди-
ница «в уме», полученная от сложения цифр предшествую-
щего столбца, т. е. здесь мы имеем: * -Ь 2 -f- 1 = 9; от-
сюда * = 6 и второе частное произведение имеет вид: 1650
(заметим, что *2* • 2 на месте тысяч может иметь только
единицу).
Множимое *2* = 1650 : 2 = 825.
21. Ич схемы извлечения корня видно, что 1-я цифра
подкоренного числа есть такое однозначное число, что пос-
ле вычитания из него наибольшего точного квадрата, за-
ключающегося в нём, в остатке должно получиться либо
4, либо 5. Поэтому эта 1-я цифра не может быть: 1) 1, 2, 3
(наибольший точный квадрат в этих числах — 1 и остатки
будут — О, 1, 2); 2) 4, 5, 6, 7 (наибольший точный квад-
рат в этом случае будет 4 и остатки будут — 0,1, 2, 3); 3) 9
(так как тогда и наибольший точный квадрат будет 9, а
остаток — 0). Вывод: 1-я цифра подкоренного числа — 8,
1-я цифра корня — 2, остаток — 4.
Для получения 2-й цифры корня мы должны найти та-
кое однозначное число *, чтобы произведение 4* на эту
же цифру * было не меньше 400. Эта цифра может быть
только 9 (проба цифры 8 даст: 48 • 8 = 384).
Для получения третьей цифры корня мы должны найти
такое однозначное *, чтобы произведение 58* на ту же
цифру * было бы четырёхзначным числом, оканчивающим-
ся единицей. Но эта цифра не может быть 1 (так как 581-1
— число трёхзначное). Значит, эта цифра может быть
только 9.
Итак, искомый корень — 299.
22.Из данного равенства следует:
№ б № 4 № 3 № 2 № 1
# # * # * 7
X 5
7 * * # # *
№ 5 № 4 № 3 № 2 № 1
(здесь одинаковые цифры пронумерованы одинаковыми но-
мерами)
188

1) 7 • 5 = 35, т. е. звёздочка № 1 означает цифру 5.
2) 5 • 5 + 3 = 28, т. е. звездочка № 2 означает цифру 8.
3) 8 • 5 -Ь 2 = 42, т. е. звездочка № 3 означает цифру 2.
Таким же образом получим: звёздочка № 4 — 4 и звез-
дочка №5—1, т. е. делимое здесь — 714 285; частное —
142 857.
Эта задача допускает и простое алгебраическое реше-
ние: обозначим пятизначное число ***** буквой х. Тогда
данное равенство запишется так:
(700 000 + х) : 5 = х • 10 + 7, откуда
50* + 35 = 700 000 + х или
49* = 699 965 и, деля 699 965 на 49, получим:
х = 14 285.
23. Наибольший однозначный точный квадрат, заклю-
чающийся в двузначном числе **, есть 9. Значит, первая
цифра корня 3.
Для получения второй цифры корня мы должны найти
такое однозначное *, чтобы произведение 6* на эту же циф-
ру * было бы, согласно схеме, числом двузначным. Это
возможно лишь при 61 • 1, т. е. вторая цифра корня — 1.
Для получения третьей цифры корня мы должны найти
такое однозначное *, чтобы произведение 62* на эту же
цифру * начиналось, согласно схеме, цифрой 4. Но
626 • 6 < 4000, а 628 • 8 > 5000. Таким образом, третья
цифра корня может быть только 7.
24. Непосредственно заключаем: последние цифры со-
множителей — не нули (иначе запись умножения была бы
другой), причём последняя цифра у одного из сомножите-
лей — 5, а у другого — чётная цифра.
Произведение может быть кратно З4 (но не кратно З5,
3е и т. д.) в трёх случаях:
1) один из сомножителей — число, кратное З4, а дру-
гой — не делится на 3;
2) один из сомножителей — число, кратное З3, а дру-
гой — кратное 3 (но не За, З3 и т. д.);
3) каждый из сомножителей кратен 9.
1-й случай отпадает, так как двузначное число, кратное
З4, есть 81, между тем последними цифрами двузначных
сомножителей могут быть либо чётные цифры, либо цифра 5.
189

2-й случай тоже отпадает, так как в этом случае один
из двузначных сомножителей может быть только 54 (чис-
ла 27 и 81 оканчиваются нечётными цифрами, отличными
от 5), а другой сомножитель тогда — либо 15, либо 75
(как число, оканчивающееся цифрой 5 и кратное 3, но не
кратное За) Но 54 15 — число трёхзначное, а по схеме
это число четырёхзначное; при умножении же 75 • 54, или
54 75, первое частное произведение — число трёхзнач-
ное (а по схеме — двузначное).
Рассмотрим теперь случай, когда каждый из сомножи-
телей кратен 9. Двузначный сомножитель, оканчивающий-
ся цифрой 5, может быть только 45. Сомножителем, крат-
ным 9 и оканчивающимся чётной цифрой, может быть одно
из чисел: 18, 36, 54 и 72 Но 18-45 — число трёхзначное,
что противоречит схеме 36 . 45 и 54 • 45 при любом по-
рядке сомножителей дадут трёхзначное первое частное
произведение, что также противоречит схеме. Единственно
возможным сомножителем оказывается 72, который удов-
летворяет схеме, если считать, что множимое здесь — 45,
а множитель — 72.
25. 1) Из схемы видно: е = 1 (так как ad • е = ad),
с = 0 (так как c + d = d) ио<5 (так как а -+- а = k —
числу однозначному).
2) ad • Ъ = асс==_ аОО — число, кратное 25. Но Ь Ф 5,
так как частное аОО : 5 оканчивается нулём и окажется»
что d = 0 = с.
3) Произведение ad • Ь = аОО при Ь ф 5_может быть
кратным 25 лишь в случае, если двузначное ad кратно 25.
Но из трёх двузначных чисел, кратных 25, — 75, 50 и
25 — сразу отпадают 75 и 50 (иначе а = 7 или а — 5,
между тем а < 5). Единственно возможно — ad = 25.
4) Теперь имеем: а = 2, d — 5; Ь = асе : ad =
= 200 : 25 = 8; k = а + а = 2 + 2 = 4.
26. Э = 1, так как этап • э = этап; в последнем вы-
читании имеем ээ-- эа = 0, что может быть лишь, если
ва вычитается из ээ = 10, следовательно, а = 0.
Во втором вычитании имеем: си — эт — ээ или 11 +
-f- \т = си\ так как т Ф 9 (иначе оказалось бы, что и =
= 0 = а, что невозможно), а при любом т < 9 сумма
си = 2*, имеем: с = 2.
190

21р
Заменив теперь буквы а, э и с соответствующими циф-
рами, запишем деление так:
кризи2 \тОп
кпОи
2и \и
\тОп
7Пл2
~~ 10 22ft
з\и
Из последнего вычитания следует: и + л = 12 (так как
и + л =£ 2), 1 4- 2 + 1 = л, т. е. л = 4. з + 2 = 11, т. е
з=9.
Из второго вычитания теперь следует: п + п = и или
и = 8, 1 4- /и = 8 или m = 7.
Наконец, из первого вычитания следует: 2 + л = р,
т. е. р = 6. Итак, делитель дошл = 1704; но 1704 • 2 =
= 3408 = кпаи, откуда к =» 3.
27. Обозначим искомый корень буквой х. Число х*
содержит 9 цифр; число 109 содержит 10 цифр; число 20е =
= 2е • 10е = 64 • 10* содержит 8 цифр. Следовательно:
206 < х6 < 109, откуда
202 < х2 < 103, откуда
20 < х < 32.
Сумма цифр подкоренного числа — 45; 45 делится на 3,
значит, и х делится на 3. Следовательно, х — одно из четы-
рёх чисел: 21, 24, 27, 30.
Но х Ф 21, так как 21е оканчивается единицей, а еди-
ницы в составе цифр подкоренного числа нет.
х Ф 24, так как 24е оканчивается цифрой 6, а цифры 6
в составе подкоренного числа нет.
х ф 30, так как 30е оканчивается шестью нулями, а в
составе цифр подкоренного числа имеется лишь один нуль.
Следовательно, х = 27.
Проверка показывает: 27е = 387 420 489, что со-
ответствует данному составу цифр подкоренного числа.
28. Запишем сложение так:
• abcdef
~*abcdef
dei
qaceadq
191

Во-первых, сразу видно, что d — 1; а + а = da, зна-
чит, а > 4. Если 6 + 6 < 10, то а -Ь а = 10 + а и а =
= 10, что невозможно. Значит, 6 + 6 > 10 и а -\- а -\-
+ 1 = 10 + а, т. е. а = 9. Если с + в + в < 10, то d -j-
+ d + d = 9 и d = 3. Но тогда е + е + с = 3ие = 1 =
= d, что невозможно.
Значит, е + е + с > 10. Так как 3d =£ 29 (а также 3d +
+ 1 ^ 29 и 3d 4- 2 =£ 29), то либо 3d + 1 = 19, либо
3d + 2 = 19. Но допущение 3d + 2 = 19 даёт 3d = 17,
что невозможно. Значит, 3d + 1 = 19 и d = 6.
/ + /+/ = 11, либо f + f + i — 21. Но допущение
f + / 4- / = 21 даёт е 4- с + в 4* 2 = 16 и Ъе = 14, что
невозможно, либо с + с + с + 2 = 26 и тогда 3d + 2 =
«= 19 или 3d + 2 = 29, но ни то, ни другое — невозмож-
но. Значит, / + / + *= 11 и с4-е4-с+1=16ие =
«= 5. Равенство / 4* f + / = И возможно лишь в слу-
чаях: 1) / = 2, / = 7 и 2) f в 4, *' = 3 (остальные ком-
бинации: 14-1+9, 3 + 34-5 и 5 + 5+1 потребуют
для f и / цифры, которые уже «заняты»). Рассмотрим пер-
вое предположение: / = 2 и / = 7. В этом случае или с +
+ с 4* 1 = 5, или с + с + 1 = 15, т. е. или с = 2 =f,
или с = 7 == /, но ни то, ни другое невозможно. Если же
f = 4 и i = 3, то с = 2 или с *= 7. Если с = 2, то 6 + 6 =
= 12 (напомним, что 6 + 6 > 10) и 6 = 6 = d, что не-
возможно. Значит, с Ф 2. Если же с = 7, то Ь + 6 + 1 =
= 17 и Ь = 8. Итак: а = 9, b = 8, с = 7, d = 6, * = 3,
е = 5, / = 4 и d = 1.
29. аасс = 1000а + 100а + 10с + с = 1100а + 11с —
= 11(100а +- с) — по условию — точный квадрат. Зна-
чит, аасс содержит множитель 11 в чётной степени, т. е.
100а 4 с = 99а -{- (а -^ с) делится на И. Так как 99а
делится на 11, то и (а + с) делится на 11; но а и с — одно-
значны, значит, а + с = 11. Разделим аасс = 11 (99а +
4 11) на 11а Частное 9а 4 1 также должно быть точным
квадратом 9а 4 1 — двузначное число, не делящееся на
3 и на единицу большее числа, делящегося на 9. Отберём
сначала двузначные точные квадраты, не делящиеся на
3 — 16, 25, 49 и 64, а затем среди них поищем число, кото-
рое на 1 больше числа, кратного 9. Такое число только
одно: 64 Значит, 9а + 1 = 64 и а = 7; но а + с = 11,
откуда с = 4.
192

30. В первой схеме произведение множимого на 2 —
четырёхзначное число, а на другие две цифры множителя—
трёхзначное; значит, множитель — 121.
Так как 121 . 8 < 1000, а 121 • 9 > 1000, то во вто-
рой схеме последняя цифра множителя может быть толь-
ко 9. По записи умножения во второй схеме видно, что
вторая цифра множителя здесь нуль. Теперь умножение
со второй схеме можно записать так:
121
Х*о9
,1089
Ч* *Р *1*
*1*89
Как видно, здесь 1 -Ь * = 1, т. е. * — средняя цифра
второго частного произведения — 0. Но это возможно
только в случае, если первая цифра множителя — 5.
31. По условию ас • са кратно 5. Но а Ф 0 к с ф Q
(иначе схема I была бы иной). Значит, либо а = 5, либо
с = 5.
Если с = 5, то а < 3, так как уже при а = 3 произ-
ведение са - а — 53 • 5 > 100, между тем как по схеме II
са • с < 100. Но вместе с тем а ф 1 и а ф2, так как в
этом случае ас - а (т. е. 15 • 1 или 25 • 2) — число дву-
значное, между тем как по схеме I ас а — число трёх-
значное. Вывод: с ф 5.
Пусть теперь а — 5. Тогда с < 3, так как уже при с =
_== 3 произведение са • с = 35 • 5 > 100, а_по схеме II
са • с < 100. Но сф\, так как по схеме I ас • с —■ число
трёхзначное, а 51 • 1 < 100 Значит, при а = 5 единст-
венное возможное значение с = 2, при котором, как лег-
ко убедиться, противоречий с условиями задачи не воз-
никает.
32. 1) а < 3, иначе abed • 4 было бы числом пятизнач-
ным Но а ф 1, так как deba — число чётное (как произ-
ведение некоторого числа на 4), а ф 0 (как первая цифра
числа). Значит, а = 2
2) 2bcd 4 > 8000. Следовательно, d > 7. Но 4 • d
оканчивается цифрой а — 2. Это возможно лишь при
d= 8.
13 Заказ 1685
193

3) b < 3, так как уже_2300 • 4 = 9200 и окажется, что
d = 9, а не 8. Число dcb2 получено от умножения на 4,
значит, оно делится на 4, т. е. 62 делится на 4. Но при
6<3 это возможно лишь, если b ■ 2 = 12, т. е. Ь — 1.
4) Итак, 21с8 • 4 = 8с12 Проследим, как в произведе-
нии получилась цифра десятков — 1. Умножив 8 • 4, мы
получили 3 «в уме». Умножив затем с • 4 и прибавив 3,
мы получили число, оканчивающееся цифрой 1. Это про-
изойдет, если с • 4 оканчивается цифрой 8. А это будет в
двух случаях: 1) если с * 2 и 2) с = 7. Но с ф 2 (так как
а = 2). Проверяем: с = 7. 2178 . 4 = 8712.
33. Так как число \ *****4 — целое, то подкоренное
число есть пятая степень целого числа х. Но любое число,
возведенное в 5-ю степень, оканчивается тою же цифрою,
что и основание степени. Действительно, если число окан-
чивается цифрами 0, 1, 5 и 6, то любая степень его оканчи-
вается теми же цифрами; если число оканчивается цифра-
ми 4 и 9, то любая нечётная степень его оканчивается теми
же цифрами; если же число оканчивается цифрами 2, 3,
7 и 8, го последние цифры его степеней, начиная с пятой,
повторяются в той же последовательности (так, напри-
мер, З1 = 3, З2 = 9, З3 = 27, З4 = 81, З5 = 243 и т. д.).
Поэтому доканчивается цифрой 4 (так как хь оканчивает-
ся цифрой 4). Но х > 10, так как подкоренное число боль-
ше 105 и х < 20, так как 205 = 25 • 106 — число семизнач-
ное. Значит, х ~ 14.
6 ————— 3 о
у4**** = -j/y4**** _. |/2** — число целое, т. е. 2**
— точный куб Но среди чисел между 200 и 299 единст-
венный точный куб — 216 = б3. Следовательно, ^/4**** =
= 6. Искомая сумма — 20.
34. Из записи умножения видно, что последние цифры
сомножителей — с и и — не нули.
Обратим внимзние на одну особенность умножения
однозначных чисел, если какое-либо чётное число, кроме
нуля (например, 4), последовательно умножать на 0, I,
2, ..., 9, то в 10 произведениях два и только два раза
встретятся числа, оканчивающиеся одинаковыми цифрами
(например, 4 • 3 = 12 и 4 8 = 32 или 4 4 = 16 и
4 9 = 36 и т д.). Если же какое-либо нечётное число,
кроме 5, умножать на 0, 1, 2, ., 9, то все 10 произведений
будут оканчиваться разными цифрами. Если же множи-
194

мым взять число 5, то при умножении 5 на любое чётное
число произведение оканчивается нулём, а при умноже-
нии на любое нечётное число — цифрой 5.
В рассматриваемой задаче три произведения — с • и,
с • г, с • п — оканчиваются цифрой с. Эго возможно лишь
в случае, если множимое с = о, а множители и, г, п — три
нечётных числа. Среди трех частных произведений нет
числа abc, значит, среди нечётных множителей и, г, п нет
числа, равного 1. Таким образом, для а, /*, п остаются
лишь три нечётные цифры: 3, 7 и 9.
Так как произведение abc • п — трэхзиачное число, а
другие два частных произведения — четырёхзначные чис-
ла, то /г — наименьшее из чисел 3, 7 и 9, т. е. п = За
и = 7 и г = 9 или наоборот; abc • п = abc • 3 — число,
кратное 3, равное тс = г35. Чтобы г + 3 -+- 5 было крат-
но 3, цифра г может иметь три значения: 1, 4 и 7. Но нечёт-
ные г и и могут быть лишь 7 и 9. Значит, г = 7, а тог-
да и = 9.
Теперь легко вычислить и abc. Действительно: abc —
— тс : п = 735 : 3 = 245. Откуда а = 2 и b — 4.
35. 1) b > а, так как обе • а < 1000 ий^> 1000.
2) а < 3. Если допустить, что а = 3, то наименьшее
6 = 4 и абс • а = 34с • 3 > 1000, что противоречит
схеме.
3) а Ф 0 и а Ф 1 (так как abc • а оканчивается не циф-
рой с). Но а < 3; значит, а = 2.
4) По схеме с ■ а оканчивается цифрой а, т. е с • 2
оканчивается цифрой 2. Это возможно лишь при с = 6.
5) По схеме с • 6 оканчивается цифрой 6, т. е. 6 • b
оканчивается цифрой Ь. Это возможно лишь, если 6 = 4
(6^ 4 = 24) или 6 = 8 (6 • 8 = 48). При 6 = 4 имеем:
abc • 6 = 246 4 < 1000, что противоречит условию.
Значит, 6 = 8.
36. Обозначим abed буквой #, числитель десятичной
дроби - буквой у, а её знаменатель — 10*. Данное равен-
ство теперь запишзтея так:
х2 ' 1СР = * (20 + w) ■ 0ТКУДа
ху = 20 • 10" + у или у(х — 1) = 2"+2. 5"+1
13* 195

2rt+2 . 5Я+'
Отсюда: х — 1 = * •
у
Это равенство показывает: произведение 2п+2 • 5п+] де-
лится на у, причём в час гном получается нечётное число
х— 1. Из этого можно сделать три вывода:
1) В разложении у никаких других простых множи-
телей, кроме 2 и 5, нет.
2) Разложение у содержит множитель 2П+2 (так как если
показатель степени здесь будет меньше п + 2, то частное
будет чётным; если же показатель степени будет больше
п -f 2, то частное будет дробным).
3) Разложение у содержит множитель 5й, где к < п -Н.
Итак, у = 2Я+2 . 5* и
х —1 = = 5"-*+'
2п+2 .5*
Рассматривая таблицу степеней числа 5 — 51 = 5?ъ
52 = 25; 53 = 125; 54 = 625; 55 = 3125; 56 = 15 625, —
замечаем, что единственным четырёхзначным числом в
таблице является 56 = 3125. Значит, п — к + 1 = 5, т. е.
у
п — к = 4. Итак, abed = 3126, а десятичная дробь — ~
10я
2п+2 . 5* 22 2а • 2« 64
2" • 5" = 5* ~~ 5* ■ 2* ~" 10* = °'0064-
37. Первое произведение — Хаос, а второе — deec, при-
чём
, \аас
*\аас
deec
Но в этом сложении с -+- с Ф 10 -+- г, значит, с + с =
= с и с — 0; a ф 0, так как 1000 : 2 = 500, а в искомом
числе, по условию, нет одинаковых цифр. По той же при-
чине а ф 1 (1110 : 2 = 555). а-\- аф 10 + е (иначе в
deec цифры десятков и сотен не будут одинаковы); значит,
а 4- а «г е, а тогда d = 2.
196

Пусть последнее произведение — knnc, коюрое можно
получить сложением:
j/2eeQ
knnO
Здесь также е + е Ф Ю 4- л, т. е. е + е = п, и, зна-
чит, к — 4. Так как а =£ 0 и а =£ 1, то наименьшее значе-
ние а = 2; но тогда наименьшие значения е и я — 4 и 8.
Но эти наименьшие значения являются и наибольшими,
так как чётное п ф 9.
Таким образом, оказывается: *** • 8 = 4880 и *** =
= 4880 : 8 = 610.
Проверка. 610 • 2 = 1220; 610 . 4 = 2440.
38. Запишем сложение так:
_1_ send
more
money
1) Сразу видно: т—\\ s + т = то, т. е. s + 1 —
двузначное число. Последнее возможно, если s = 9 или
s = 8 (в этом случае е + о > 10). Но двузначное то < 12
и то =£ 11; следовательно, о = 0.
2) При s = 8 е + о > 10. Но и при е = 9 наибольшее
значен че суммы 9 + 0 + 1 (полагая /г + г > 10) равно
10, т. е. окажется, что п = 0 = о, что невозможно. Зна-
чит, s = 9 и е + о < 10; но тогда п + г > 10 (иначе е =
= п) и е + 1 = /г.
3) п + г = 10 + 5 или /г + г+1 = 10 + е(в случае,
если d + е > 10). Если л + г = 10 + е, то е + 1 + г =
= 10 + е и г = 9 = s, что невозможно. Остаётся /г +
+ г + 1 = 10 + е или е+1+г+1=10 + е и г =
= 8, причём d + е > 10.
4) е =£ 9, е =£ 8, е Ф 7 (при е = 7 окажется, что я =
= 8). е Ф 6 (если е = 6, то п = 7 и наибольшее значение
d = 5. Окажется, что d + е = 11, т. е. j/ = 1 = /и, что
невозможно. Если d = 4> w d + е = 10 и # = 0 = о, что
невозможно. Если же d < 4, то d + е < 10, что невоз-
можно).
е Ф 2 (так как наибольшее значение d = 7 и при е = 2
d + е < 10).
1?7

е ф 3 (так как при е = 3 наибольшая двузначная сумма
d + е = 10, т. е. у = 0 == о).
t Ф 4 (при е = 4 наибольшая двузначная сумма <2 -Ь е =
= 11 и у = 1 = т).
Остаётся лишь е = 5и тогда п = 6.
5) d 4- е == d + 5 > 10. Но цифры 6, 8, 9 «заняты».
Единственная «свободная» цифра, удовлетворяющая не-
равенству d -+- 5 > 10, есть 7, т. е. d = 7. Теперь d -г е =
= 7 4- 5 = 12, т. е. у = 2.
39. 1) Очевидно, q < 10 и g =£ 1. Следовательно, или
q = 4, или g = 9.
2) а и <2, как последние цифры точных квадратов, могут
быть только 1, 4, 5, 6 и 9.
3) d < 3, так как dcba ■ q, где g = 4 или 9, должно
быть числом четырёхзначным; следовательно, d = 1.
4) Если допустить, что q = 4, то lcfoz • 4 = абс!, что
невозможно, так как умножение на q = 4 должно дать
чётное произведение.
5) При (7 = 9 и магм: \cba • 9 = abcl, откуда а = 9.
Так как 1сЬ9 • 9 < 10 000, то с < 2. Но с ^ 1, значит,
с — 0. Далее: произведение 1069 • 9 — число, кратное 9,
т. е. abed = 9301 делится на9и9-М?т0т 1 кратно 9,
откуда b == 8.
Проверка. айЗ = 9301 = 9Э2; 1сЬа,= 1039 =
= ЗЗ2; q = З2 = 9.
40. Г) Последние цифры сомножителей — не нули (ина-
че схема умножения была бы иной). Но произведение этих
цифр кратно 10, значит, последняя цифра одного из со-
множителей — 5, а другого — чёткая цифра. Каждая из
цифр множителя меньше 3 (иначе частные произведения
были бы пятизначными числами). Отсюда: последняя циф-
ра множимого — 5, последняя цифра множителя — 2.
2) Средняя цифра множителя — не нуль (иначе запись
умножения была бы иной), значит, эта цифра — 2, или 1.
Если допустить, что эта цифра — 2, то будем иметь: при
любой предпоследней цифре множимого предпоследняя
цифра первого частного произведения будет нечетной (так
как она получится в результате 2 • * + 1), а последняя
цифра второго частного произведения будет нулём и сум-
ма этих двух цифр окажется нечетной, между тем пред-
198

последняя цифра произведения — нуль. Значит, средняя
цифра множителя — 1.
3) Последняя цифра второго частного произведения —
5. Значит, предпоследняя цифра первого частного произ-
ведения—тоже 5, а для этого предпоследняя цифра мно-
жимого должна быть 2 или 7 (2.2+1=5 или 2 • 7 4-
+ 1 - 15).
4) Из схемы умножения следует: первая цифра треть-
его частного произведения—9. Значит, первая цифра мно-
жителя, заведомо меньшая 3, — не единица, т. е. эта циф-
ра — 2, причём, вторая цифра множимого не мень-
ше 5.
5) Итак, множитель — 212. Так как 212 не кратно 3, а
произведение, по условию, кратно 9, то множимое 4**5
кратно 9. Но 4 + 5 = 9, следовательно, сумма двух сред-
них цифр равна либо 18, либо 9. Но сумма двух одно-
значных чисел равна 18 лишь в случае, когда каждое из
них 9. Между тем уже известно, что предпоследняя цифра
множимого 2 или 7 (см. п. 3). Значит, сумма средних цифр
равна 9. Если допустить, что предпоследняя цифра мно-
жимого — 7, то вторая цифра множимого будет 2, что
противоречит уже установленному (см. п. 4): вторая циф-
ра множимого не меньше 5. Итак, единственно возможно:
вторая цифра множимого — 7, а третья цифра — 2. Мно-
жимое — 4725.
41. 1) Второе слагаемое — 97 (так как среди чисел 90—
99 единственное простое число — 97).
2) Первая цифра суммы *0* меньше 3 (так как сумма
любых трёх двузначных чисел меньше 300); но эта цифра
и не 1 (так как 97, сложенное с любыми двумя двузначны-
ми числами, больше 109). Значит, сумма имеет вид 20*.
3) Цифры единиц у первого и третьего слагаемых —
различные нечётные цифры. Но цифры 9 и 7 уже «заняты»,
а простые числа не могут оканчиваться на 5. Следователь-
но, у одного из слагаемых цифра единиц — 3, а у друго-
го — 1.
4) Если цифры единиц трёх слагаемых — 1, 3 и 7, то
сумма их оканчивается единицей, т. е. сложение имеет
вид: *1 + 97 + *3 = 201, откуда *1 + *3 = 104.
5) Теперь видно, что цифры десятков чисел *1 и *3
дают в сумме 10. Но число 10 здесь не может быть получе-
но сложением:
1) 1 и 9, так как обе эти цифры уже «заняты».
J99

2) 2 и 8, так как 21 и 81 — числа составные,
3) 3 и 7, так как обе эти цифры уже «заняты»,
4) 5 и 5, так как цифра 5 не может повторяться.
Следовательно, единственно возможно, что цифры де-
сятков здесь — 4 и 6; так как 63 — число составное, то
слагаемое *3 = 43, а слагаемое *1 = 61, и равенство
имеет вид: 61 + 97 + 43 = 201.
42. Обозначим в схеме I цифры так:
axa2CLsu4 d
СХС2С$
_r\ai
_r2a4
Jjfh
' 0
Заметим, что при такой системе обозначения неизвест-
ных цифр буквами возможно, что различным буквам бу-
дут соответствовать одинаковые цифры. 1) гх + Ьх= ща2\
но Ьх и гх — однозначны. Следовательно, ах = 1.
2) r2 + Ь2 = 7^а3\ но г2 и Ъ2 — однозначны. Значит,
п = 1.
3) гх + Ьх = 1 + Ьх — 1а2; такое равенство возможно
только в случае, если Ьх = 9; но тогда а2 — 0.
4) сх • d = bx = 9, причём d, очевидно, не равно 1.
Следовательно, либо сх = 3 и d — 3, либо сх = 1 и d =
= 9. В обоих случаях число ~ax~a^ai кратно 3, т. е. сум-
ма цифр его ах + а2 + а3 -f а4 = 1 + 0 + а3 + а4 делит-
ся на 3.
Перейдём теперь к схеме II:
10а3а4
Ш
Дза4
*
***
0
5) dt, очевидно, не равно 1. Кроме того, dx — нечётная
цифра, так как нечётное число 10а3а4 не делится на чёт-
ное число. Но 10 делится на dx\ значит, dx = 5.
200

6) а/г4 делится на dt —Ъ Но а4 — нечётная цифра. Зна-
чит, а4 = 5.
7) а3 < 5 и а, > 0, иначе схема II была бы иной,
8) Сумма 1 + 0 -f- а3 -»- 5 делится на 3 (см. п. 4), т. е
для ая допустимы значения 0, 3, 6 и 9. Но а, > 0 и а3 <5
(см. п. 7). Значит, из этих четырёх чисел годно лишь одно
ая = 3. __
43. Точный квадрат 2 • ас + 1 — число нечётное, а
точный квадрат 3 ■ ~ас -f- 1 — не делится на 3.
9 <ос< 100, следовательно,
19 < 2 -7и?+ 1 < 201 и 25 < 2 ■ ас-\- 1 169
28 <3 ас Л- 1 <30J[h 49 <3 ас + 1 < 289. (1)
Из (I) следует: 16 ас < 84, а тогда
49 < 2 ."ас + 1 < 169
и 49 < 3 . ас Л- 1 < 196. (Ш
Идя тем же путём последовательного сужения промежут-
ков, из (II) будем иметь:
24 <"ас < 65, а тогда
49 <2 . ас+_\ < 121 (III)
и 100 < 3 • ас + 1 < 196
Но из (III) следует: 33 <. ас < 60,
а тогда 81 < 2 ~ас +1 < 121
и 100 < 3 • ас +1 < 169 (IV)
Но из (IV) следует: 40 < ас < 56,
откуда 81 < 2 • ас 4- 1 < 81.
Таким образом, единственно возможным оказывается:
2 • ас -f 1 = 81 и, следовательно,
5с =40.
Приведём ещё одно решение этой интересной задачи,
данное в журнале „L* Education Mathematique".
По условию число 2 • ас -f 1 — точный квадрат; сле-
довательно, оно оканчивается одной из цифр: 0, 1, 4, 5,
6, 9, а 2 • ас — одной из цифр: 9, 0, 3, 4, 5,_8. Исключая
отсюда цифры 9, 3 и 5 (так как чётное 2 ас — не окан-
201

чивается такими цифрами), мы получим, что само ас мо-
жет оканчиваться цифрами: 0 или 5, 2 или 7, 4 или 9. Но
тогда 3 • ас + 1 оканчивается цифрами 1 или 6, 7 или 2,
3 или 8.
По условию 3 ■ ас + 1 также точный квадрат и цифра-
ми 7, 2, 3 и 8 оканчиваться не может. Значит, 3 • ос, а сле-
довательно, и ас может оканчиваться только цифрами 0 и
5. В обоих случаях 2 • ас + 1 будет оканчиваться едини-
цей. _
ас — число двузначное, следовательно, 10 < ас < 100,
откуда 21 < 2 • ас + 1 < 201.
Но между 21 и 201 только два точных квадрата оканчи-
ваются единицей: 81 и 121, откуда или ас= 40, или ас= 60.
При ас = 60 получим, что 3 • ас + 1 — 181 — число, не
являющееся точным квадратом. Значит, единственно воз-
можно, что ас = 40; 2 • ас + 1 = 81 и 3 • ас + 1 == 121.
44. 1) В последней вертикали t/ + /г + /г < 10 (иначе
в предпоследней вертикали будет t+e-\-e+\ = t или
* -г- е + е + 1 = 10 + f, т. е. 2е + 1 = 0 или 2е = 9 —
ни то, ни другое невозможно). Следовательно, у + п +
4 я = *Л откуда п = 0. Нельзя допустить, что / + е +
+ е = / (иначе е = 0 = /г); значит, t -\- е -\- е =
= 10 + *, откуда е = 5.
2) г 4- * + * 4- 1 > Ю, так как 2-я цифра суммы /, а
не о. При этом о 4- 1 или о 4- 2 (г -К 4- t 4 1 > 20)
также большэ 10, так как 1-я цифра суммы s, а
не f. При о < 8 и о + 1 и о + 2 меньше 10 — допущение
отпадает. При о = 8 имеем: о + 1 < 10 или о + 2 = 10,
и окажется, что / = 0 = п. Значит, единственно возмож-
но, что о = 9.
3) Если 10 < г 4- t + t + 1 < 20, то о + 1 = 9 4- 1 =
= 10 и окажется, что * = 0 = п, что невозможно. Зна-
чит, r+f+*+ 1>20 и 0 + 2 = 9 + 2= 11, т. е./= 1.
4) f + t +1 + 1 # 20 (иначе * = 0 = л), г + / + t +
+ 1 =£ 21 (иначе х = 1 =/). Но наибольшее значе-
ние г + * + / + 1 = 24 (при t = 8 и г = 7). Значит, до-
пустимые значения для г + f + f + 1 — 22, 23 и 24, а
для г + 2/ — 21 22 и 23. Попробуем образовать г + 2/ =»
= 21. Если / = 6, то г = 9 = о. Если / = 7, то г = 7.
Если * = 8, то г = 5 = е. Вывод: г + 2t ф 21. Попробу-
202

ем образовать г + 2t = 22. Здесь возможно: t = 7 и г =
= 8 или / = 8иг = 6; при г -f- 2/ = 22 значение х =
= 3. Так как / + 1 = s, то f и s — две последователь-
ные цифры. Но при г -И 2t = 22 «занятыми» будут: 0, 1,3,
5, 7, 8, 9 или 0, 1,3, 5, 6, 8, 9. В том и другом случае для
/ и s не найти двух последовательных цифр. Значит, г -f-
' +2t ф 22.
5) Остаётся последняя комбинация: г + 2t =■ 23, кото-
рая, как указано в п. 4, возможна лишь при г = 7 и t=
= 8. Значение буквы х в этом случае будет 4 и «занятыми»
буквами теперь окажутся: 0, 1, 4, 5, 7, 8 и 9. В этой по-
следовательности цифр для / и s возможна единственная
пара значений: / = 2 и s = 3. Оставшаяся «свободной»
цифра 6 есть значение у : у = 6.
45. 1) По условию все 4 числа различны; следовательно,
большее из чисел (обозначим его буквой х) не делится на
меньшее—у, так как в противном случае оказалось бы,
что НОК этих чисел — М равно х, а НОД — d равен у.
2) М — одно из чисел: 2х, Зх, 4х, ..., но двузначное
М < 100, а тогда наибольшее значение х должно быть
меньше 50 (так как 2х < 100).
3) НОД — d — есть произведение группы общих мно-
жителей, входящих в разложение чисел х и у. Поэтому
х = dk и у = dn, где k и п — «недостающие» множители
в разложениях чисел х и у. Но х = dk < 50, причём
d > 10, как число двузначное. Отсюда имеем: k < 5.
4) Рассмотрим возможные значения k : 1, 2, 3 и 4. Во-
первых, очевидно, k =£ 1 (иначе л: = d = #); к ф 2 (ина-
че х = 2d, а тогда у = <2 и окажется, что *. г/). Но, кроме
того, k ф А. Действительно, если допустить, что k — 4,
то л < 4; но п ф 2 и я ф 1 (так как при х — 4d и у = 2d
или г/ = d, окажется, что *•#). А если п — 3, то НОК
чисел х = 4d и у = 3d будет равно Ш, где d > 10, и
НОК, вопреки условию, окажется числом трёхзначным.
5) Итак, единственно возможно, что k — 3, т. е. х =
= Ы. Так как п Ф 1 (иначе у = d и х-у), то л = 2, т. е.
г/ = 2d и Af = 6d.
Теперь выражение (** -f ** + **) : ** примет вид:
{2d + 3d + 6d):d~ lld:d= 11.

РАЗДЕЛ X
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УГЛУБЛЕНИЯ
ПОНИМАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
КУРСА МАТЕМАТИКИ
(Материал для кружковой работы.)
Понимание основных логических элементов курса мате-
матики — необходимое условие для сознательного и проч-
ного усвоения материала. Ученик должен овладеть таки-
ми понятиями, как «определение», «аксиома», «теорема»,
«необходимость и достаточность», «доказательство от про-
тивного» и т. д. Нет сомнения, что любая попытка поста-
вить эту работу в VI классе не даст удовлетворительных
результатов. Но в последующих классах, частично на
самом уроке, а частично в порядке внеклассной работы,
необходимо привлечь внимание учащихся к этим поня-
тиям и достаточно полно раскрыть смысл наиболее упот-
ребительных специальных терминов, принятых в матема-
тике; возросшие сознательность и развитие учащихся
старших классов позволят успешно провести такую рабо-
ту.
Устные упражнения и специальные вопросы, состав-
ляющие содержание X раздела, позволяют без большой
затраты времени закрепить то, что было разъяснено уча-
щимся в предварительной беседе (иногда на уроке, а чаще
в кружке), посвященной отдельным логическим элемен-
там курса математики. Все упражнения построены на
материале из курса младших классов, что даст возмож-
ность углублённо повторить, и притом с новых позиций,
ряд основных положений математики.
Всего в X разделе 36 задач. Среди них несколько спе-
циальных задач (типа «математических софизмов») на на-
£04

хождение ошибки в рассуждениях. Задачи X раздела
могут быть использованы наряду с другими упражнения-
ми в кружках VIII (и более старших) классов.
В прилагаемых «решениях задач» руководитель круж-
ка найдёт достаточный материал для предварительного
инструктажа или «коротеньких» бесед с учащимися, ког-
да в связи с рассматриваемой задачей возникнет необхо-
димость дать дополнительные разъяснения об особой тер-
минологии, способах рассуждения и т. д., характерных
для математики.
1. Сформулирована теорема: «Если есть Л, то есть и С».
Приняв эту теорему за прямую, сформулируйте теоремы
обратную, противоположную прямой и противополож-
ную обратной.
2. Применив «способ от противного», доказать, что
если верна прямая теорема («Если есть Л, то есть и С»),
то всегда будет верна и теорема, противоположная обрат-
ной.
3. Приняв теорему «Если есть А и есть В, то есть и С»
за прямую, сформулируйте возможные в этом случае
обратные теоремы.
4. Измените текст теоремы «Прямые углы равны меж-
ду собой» так, чтобы условие и заключение теоремы от-
чётливо выделились (т. е. изложить её в форме: «Если...,
то...); образуйте затем возможные обратные теоремы и
укажите, какие из них будут верны.
5. Ученику было предложено определить вид треуголь-
ника, стороны которого выражаются числами 9, 12 и 15.
Подсчитав, что 9а + 122 = 152, ученик, сославшись на
теорему Пифагора, ответил, что данный треугольник —
прямоугольный. Нет ли у вас замечаний к ответу ученика?
6. Высказано некоторое общее положение. Достаточно
ли для опровержения его показать, что оно неверно в ка-
ком-либо одном частном случае? Достаточно ли для под-
тверждения его показать, что оно верно в большом числе
отдельных частных случаев?
7. Высказана гипотеза: «При любом натуральном зна-
чении х трёхчлен хъ -+- х -+- 41 — простое число». Справед-
ливость её была проверена при х, равном 1, 2, 3,..., 30; и
30 раз действительно получалось простое число. Верна ли
гипотеза?
8. Высказана гипотеза: «Если в описанном многоуголь-
205

нике все стороны равны, то равны и все углы его». Под-
твердите или опровергните эту гипотезу.
9. Нет ли у вас замечаний к такому определению равно-
стороннего треугольника: «Равносторонним называется
такой треугольник, у которого равны все его стороны и
все его углы»?
10. Нет ли у вас замечаний к такому определению па-
раллелограмма: «Параллелограммом называется много-
угольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны»?
П. В чём заключается логическая ошибка, называемая
«порочный круг»? Приведите примеры.
12. Один ученик определил иррациональное число как
неизвлекаемый радикал, другой — как бесконечную деся-
тичную дробь. Укажите ошлбку в том и другом определе-
нии.
13. Ученик по аналогии с остроугольным треугольни-
ком предложил определение: «Выпуклый четырёхуголь-
ник, все углы которого острые, называется остроуголь-
ным». Какому обязательному для всех определений обще-
му требованию не удовлетворяет предложенное определе-
ние?
14. После того как было определено понятие степени
с натуральным показателем (тп есть произведение п со-
множителей, каждый из которых равен а») и были выведены
правила действий над степеням i с натуральным показате-
лем, ученик доказывал, что а0 = 1, так: «пусть требуется
разделить ап на аг, где п — натуральное число. Очевидно,
при деления любого числа на само себя в частном получит-
ся единица, т. е. а1 : ап = 1. С другой стороны, по пра-
вилу деления степеней одного и того же основания имеем
а1 : а7 = а,1-п= а0. Отсюда а° — 1». Какая ошибка до-
пущена в этом доказательстве?
15. Может ли уравнение первой степени с одним неиз-
вестным иметь бесчисленное множество корней?
16. Дано уравнение: Ухг+3 = )fx*—3 . Как вы
стали бы решать это уравнение?
17. Дано уравнение: V\— х 4- Ух^2 = 5. Как вы
стали бы решать это уравнение?
18. Показать, что уравнение х2 = 2\х\ — 4 корней не
имеет
19. Хотят проверить, справедливо ли положение Л.
Для этого применяют такой способ рассуждения.
206

Допустим, что Л верно; но тогда будет верно и некото-
рое положение В, являющееся прямым следствием из Л;
но если верно В, то будет верно и вытекающее из него
следствие С, и т. д. Hai онец, подобная цепочка последова-
тельных следствий приводит к положению /С, достовер-
ность которого не вызывает никаких сомнений. Можно ли
достоверность положения К рассматривать как доказа-
тельство справедливости положения Л? (Ответ обосновать
примерами.)
20. Хотят проверить, справедливо ли некоторое ут-
верждение Л, и для этого рассуждают так:
Допустим, что А верно; но тогда будет верно и В, как
непосредственное следствие из Л; но если верно В, то бу-
дет верно и С, и т. д. Наконец, приходят к некоторому
положению К, явно неверному. Можно ли ошибочность
положения К рассматривать как опровержение утвержде-
ния Л?
Упражнения .21—31 посвящены понятиям «необходи-
мо» и «достаточно». В тексте большинства упражнений
имеются пропущенные слова, заменённые многоточием.
Задача заключается в том, что вместо многоточия требует-
ся поставить одно из трёх выражений: «необходимо», «до-
статочно», или «необходимо и достаточно», выбрав соответ-
ствующее выражение так, чтобы получившееся предложение
оказалось верным.
21. «Чтобы число делилось на 5, ..., чтобы послед-
няя цифра его была 5».
22. «Чтобы сумма нескольких чисел делилась на неко-
торое число, ..., чтобы каждое слагаемое делилось на это
число».
23. «Чтобы число делилось на 72, ..., чтобы оно дели-
лось на 8 и на 9».
24. «Чтобы число делилось на 24, ..., чтобы оно дели-
лось на 4 и на 6».
25. «Чтобы обыкновенная дробь обращалась в конеч-
ную десятичную дробь, ..., чтобы знаменатель её не со-
держал иных простых делителей, кроме чисел 2 и 5».
26. «Чтобы целое число было точным квадратом, ...,
чтобы оно оканчивалось одной из цифр. 0, 1,4, 5, 6, 9».
27. «Чтобы целое число было точным квадратом, ..,
чтобы разложение его на простые множители состояло
лишь из чётных степеней этих множителей».
207

28. «Чтобы произведение нескольких чисел было рав-
но нулю, ..., чтобы по крайней мере один из сомножителей
был равен нулю».
29. «Чтобы корни квадратного уравнения х2 4- рх -+-
■+- q = 0 были действительными числами, ..., чтобы q
было отрицательным числом?»
30. «Чтобы через три точки пространства можно было
провести окружность, ..., чтобы эти три точки не лежали
на одной прямой».
31. «Чтобы через четыре
В точки на плоскости можно
^ было провести окружность,...,
^ чтобы никакие три из них
\\ не лежали на одной прямой».
Черт. 32 Черт. 33
32. Попробуем доказать, что в прямоугольном тре-
угольнике катет равен гипотенузе.
Проведём биссектрису ^ В (черт. 32), а из точки Е —
середины катета АС — восставим к нему перпендикуляр.
Из точки О — пересечения перпендикуляра и биссектри-
сы — опустим перпендикуляры на ВС и В А и соединим
её с точками Л и С. Из равенства треугольников ОВК и
OBF имеем: ВК = BF и OK = OF. Но тогда Д ОКС =
= &OAF, откуда КС = FA. Складывая почленно равен-
ства ВК= BF и КС = FA% будем иметь: ВС = ВА. Где
ошибка?
33. Докажем, что хорда, не проходящая через центр
круга, равна диаметру этого круга.
Проведём в круге (черт 33) диаметр АВ п произволь-
ную хорду ВС. Через конец диаметра А и точку Е — сере-
208

дину хорды ВС—проведём хорду AD. Наконец, прове-
дём хорду CD. Рассмотрим треугольники CED и ЛЕВ. Име-
ем: ЕС = BE по построению, ^CED = ^АЕВ, как вер-
тикальные, и ^С = ^Л, как вписанные углы, опираю-
щиеся на одну и ту же дугу BD. Значит, &CED — дЛ£Б,
откуда CD = АВ.
Где ошибка?
34. Ученик взялся доказать «аксиому параллельных
прямых»: через точку вне данной прямой нельзя провести
В В
Черт. 34.
две различные прямые, параллельные данной. Он рассуж-
дал так: «Пусть имеются прямая А В и точка С вне А В.
Опустим из точки С перпендикуляр CD на прямую А В
(черт. 34). Восставим теперь к CD в точке С перпендикуляр
СЕ. Имеем: А В J_ CD и СЕ ± CD. Отсюда: СЕ || А В
(два перпендикуляра к одной прямой параллельны —
первая теорема в учении о параллельных прямых, дока-
зываемая до аксиомы параллельности). Но из точки С на
прямую А В можно опустить единственный пер-
пендикуляр, а через точку С к CD можно провести также
единственный перпендикуляр. Значит, СЕ —
единственная прямая, параллельная А В и прохо-
дящая через точку С».
Доказана ли «аксиома параллельных прямых», а тем
самым пятый постулат Евклида?
35. Было предложено следующее доказательство тео-
ремы о сумме углов треугольника, не опирающееся на тео-
рию параллельности прямых.
Пусть ABC — произвольный треугольник. Проведя от-
резок BD, получим два треугольника: &ABD и &DBC,
14 Заказ 1685
209

углы которых пронумеруем, как это обозначено на черте-
же 35. Обозначив сумму углов треугольника буквой *,
будем иметь:
^ 1 + ^2 4- -^3 = х
^4 4- ^.Ъ 4 ^6 = х
Сложив почленно эти два равенства, получим:
^l+^2+^3+^4-f^5+^6 = 2x (1)
Но ^3 4 ^6 = 2d (как
сумма смежных углов),
а ^ 1 4 (^2 -f ^4) 4
-г- ^5 = д: (как сумма
углов Л ABC). На ос-
новании (1) имеем:
х 4 2d = 2л:, откуда
л: = 2d, что и т. д. Со-
гласны ли вы с доказа-
тельством?
36. Рассмотрим ещё
одно интересное дока-
зательство теоремы о Черт. 35
сумме углов треуголь-
ника, в котором не ис-
пользуется теория параллельности прямых. Дан ДЛ£С
(черт. 36): а, ри у — внешние углы треугольника, ^rl,
^•2 и ^3 — внутренние углы треугольника. Требуется
доказать, что сумма внутренних углов равна 2d.
Черт. 36
210

Представим себе, что человек, стоявший в вершине Л
лицом к точке В, идёт по Л Б. Пройдя А В, он поворачи-
вается на угол Р и идёт по ВС. Пройдя ВС, он поворачи-
вается на угол у и идёт по С А Пройдя СА, он в точке А
поворачивается на угол а и оказывается в том же поло-
жении, т. е. лицом к точке В, в каком он находился в мо-
мент начала своего движения. Следовательно, обойдя
контур А ABC и поворачиваясь последовательно на углы
р, Y и а, он сделал полный оборот, откуда
а + Р + Y = 4d.
Но ^-\ и а — смежные углы: ^1 + а = 2d.
Аналогично: ^2 + Р = 2d и -^3 -+- у = 2d
Отсюда: (^1 + ^2 + -3) + (а + р + Y) = 6d
или ^1 + ^2 4- ,Ъ = С I - (а Ь р + у) = 6d — 4d =
= 2d, что и т. д. В чём заключается логическая несосто-
ятельность этого доказательства?
РЕШЕНИЯ
1. Прямая теорема: «Если есть Л, то есть и С» I
Обратная теорема: «Если есть С, то есть и Л» II
Противоположная теорема: «Если нет Л, то нет и С» III
Теорема, противоположная обратной: «Если нет С,
то нет и А». IV
2. Требуется доказать, что если верна теорема I (см.
задачу 1), то верна и теорема IV. Применим способ от про-
тивного: предположим, что теорема IV неверна, т. е. бу-
дем считать, что Л есть. Тогда по теореме I есть и С. Но
это противоречит условию теоремы IV Значит, сделанное
предположение надо отвергнуть: теорема IV — верна, что
и требовалось доказать.
3. Возможны обратные теоремы: 1) «Если есть С, то
есть Л и есть /3»; 2) «Если есть С и есть Л, то есть £»;
«Если есть С и есть В, то есть Л»
4. «Если каждый из двух углов прямой, то они равны».
Обратные теоремы: 1) «Если два угла равны, то эти углы
прямые» Эта теорема неверна. 2) «Если два угла равны и
один из них прямой, то и другой угол тоже прямой». Эта
теорема верна.
5. Правильно указав, что треугольник прямоугольный,
ученик неправильно обосновал своё утверждение ссылкой
Н*
211

на теорему Пифагора. На самом деле основанием для пра-
вильного ответа на вопрос служит теорема, обратная тео-
реме Пифагора.
6—7. Для опровержения любого общего положения
совершенно достаточно показать, что оно неверно хотя бы
в одном частном случае.
Если же некоторое общее положение оказывается вер-
ным при многократной проверке его в частных случаях,
то всё же это не может служить доказательством его досто-
верности. Так, например, положение «при любом натура-
льном х трёхчлен х2 + х + 41 есть простое число» оказы-
вается верным при х равном 1, 2, 3, ..., 39 (39 раз подряд!),
а всё же оно опровергается одним частным случаем: при
х = 40 трёхчлен равен 1681 = 412.
8. В любой ромб можно вписать окружность. В этом
случае ромб окажется описанным многоугольником, имею-
щим равные стороны, но неравные углы. Оказывается, что
в частном случае сформулированное общее положение не-
верно: гипотеза опровергнута.
9. Логически правильное определение должно содер-
жать необходимые признаки определяемого поня-
тия, независимые между собой. Определение равносторон-
него треугольника, приведённое в задаче, ошибочно, так
как равенство углов есть прямое следствие, вытекающее из
равенства сторон; поэтому включать в определение указа-
ние на равенство углов — излишне.
10. Логически правильное определение должно содер-
жать достаточные признаки определяемого поня-
тия, позволяющие исчерпывающе охарактеризовать его,
точно отграничив от других понятий. Приведённое в зада-
че определение параллелограмма — ошибочно, так как
указанным в определении признакам удовлетворяет, на-
пример, и правильный шестиугольник. Ошибка произошла
вследствие того, что в определении указано не ближайшее
«родовое понятие» к понятию параллелограмм («четырёх-
угольник»), а более отдаленное — «многоугольник».
11. Характерная логическая ошибка, называемая «по-
рочный круг» («circulus vitiosus»), встречается как в оп-
ределениях, так и в доказательствах. В определениях эта
ошибка выражается в том, что в качестве определяющего
берётся понятие, которое само определяется с помощью
определяемого понятия. Например, сложение определено
как действие, с помощью которого находят сумму несколь-
212

ких чисел, а понятие суммы определено как результат дей-
ствия сложения. Или: «прямым углом называется угол,
стороны которого взаимно перпендикулярны», а «две пря-
мые называются взаимно перпендикулярными, если при
пересечении они образуют прямые углы». В доказательст-
вах «порочный круг», если эту ошибку выразить в общем
виде, заключается в том, что для доказательства положения
А используется положение В, которое, в свою очередь,
доказывается с помощью положения А.
12. Правильное определение должно удовлетворять так
называемому «правилу соразмерности», т. е. не быть слиш-
ком узким или слишком широким. Оба определения ирра-
ционального числа в задаче ошибочны. Первое определе-
ние слишком узко, так как оно не охватывает множества
иррациональных чисел, которые нельзя представить в ви-
де неизвлекаемого радикала (таковым, например, является
число я). Второе определение, наоборот, слишком широко,
так как оно охватывает, помимо иррациональных чисел,
бесчисленное множество рациональных чисел, изображае-
мых периодическими дробями. К числу слишком широких
определений следует, в частности, отнести и определение
параллелограмма, приведённое в задаче 10.
13. Чтобы определение было логически полноценным,
необходимо, чтобы объект, устанавливаемый определением,
существовал. В этом надо убедиться, так как иначе в каче-
стве определений могут появиться такие предложения,
которым реально ничего не соответствует, или предложе-
ния, противоречащие установленным ранее фактам. Тако-
во, например, указанное в тексте задачи 13 определение
«остроугольного» четырёхугольника, который, очевидно,
существовать не может, так как сумма углов выпуклого
четырёхугольника равна 4 d.
14. По условиям задачи понятие степени определено
лишь для степеней с натуральным показателем. Это озна-
чает, что и вытекающие из определения правила действий
могут применяться лишь тогда, когда и компоненты и ре-
зультат действия — степени с натуральным показателем.
Поэтому равенство ап : ап — ап~п= а0 не имеет смысла,
так как пока лишён смысла результат действия — симзол а0.
15. Равенство fi(x) = fc(x) может оказаться справедли-
вым при любых допустимых значениях х (например,
(х 4- I)2 = х2 Н- 2х + 1). В этом случае в школе принято
называть его тождеством.
213

Если же fi(x) = fz(x) справедливо не при всех допусти-
мых значениях х, то его называют уравнением. Полезно
обратить внимание на два возможных особых случая, кото-
рые могут встретиться при решении уравнений: 1) Ни при
одном из допустимых значений х значение Д (х) не равно
значению /г(л:). В этом случае уравнение корней не имеет
(например, х — х + 1). 2) Хотя fi(x) = fz(x) оказывается
справедливым не при всех допустимых значениях х> но
вместе с тем существует бесчисленное множество значе-
ний х, при которых fi(x) = f*(x). Таково, например, урав-
нение первой степени с одним неизвестным: \х\ = х, которое
оказывается справедливым при любых неотрицательных
значениях х.
16. Уравнение не имеет решений (ни при одном значе-
нии х, х2 + 3 Ф х2 — 3, а потому и у^+З Ф |/х2—з ).
В установлении этого факта и заключается «решение» урав-
нения.
17. Уравнение корней не имеет, так как область допу-
стимых значений для х «пуста». Действительно, рассматри-
вая подкоренные выражения, имеем: 1 — х > 0, т. е. л:<1;
х — 2 > 0, т. е. х > 2. Неравенства противоречивы.
18. Так как х2 — \х\2, уравнение можно записать: \х\2 —
— 2 |*| + 4 == 0. Дискриминант уравнения отрицателен:
действительных корней уравнение не имеет.
19. Из неправильного положения можно получить пра-
вильное положение, вытекающее из него как прямое след-
ствие. Поэтому достоверность следствия не может служить
доказательством правильности исходного положения; на-
пример, если два числа равны, то и квадраты их равны.
Но нельзя доказать, что а = Ь ссылкой на то, что а2 = Ь2.
Так, например, 5 Ф — 5, между тем как 52 = ( — 5)2.
Если же исходное положение и достоверное следствие,
полученное из него, «обратимы», что означает, что из этого
следствия, приняв его теперь за исходное положение, мож-
но получить первоначальное положение, то первоначаль-
ное положение верно. Таким образом, если из сомнитель-
ного утверждения А вытекает достоверное утверждение
В, а из В, в свою очередь, вытекает Л, то это доказывает
справедливость А.
Приведём пример: верно ли, что среднее арифметиче-
ское двух неравных положительных чисел всегда больше
их среднего геометрического? В качестве пока сомнитель-
ного положения записываем неравенство:
214

—£— > ]/~аЬ . (Л)
Из (Л), как следствие, вытекает пока ещё тоже сомнитель-
ное (В): a -f b — 2yw > 0. Отсюда получим уже вполне
достоверное (С): (уа — YD2 > 0. Доказывает ли досто-
верность (С) достоверность (Л)? Нет. Но вот если мы по-
кажем, что переход А—>В-+С обратим, т е., что имеет
место и переход С—>В—>Л, то это докажет справедл шость
(А). Посмотрим, осуществим ли обратный переход, несо-
мненно (У а — УТ)2 > 0; но тогда а + b — 2\ГоЪ > 0;
а + Ь
а тогда —г— > УаЬ, что и требовалось доказать.
Обычно переход от сомнительного А к достоверному С
играет роль анализа, позволяющего найти то достоверное
положение, базу, исходя из которой удастся (или не уда-
стся, если процесс необратим) провести само доказатель-
ство (синтез).
Общая схема совместного анализа и синтеза такова:
А+>В*£С^£ ...*±К, где А — подлежащее доказательству
положение, а К — достоверное положение, служащее
базой для обратного перехода к А.
20. При решении задачи 19 было показано, что досто-
верность положения /С, являющегося следствием из подле-
жащего доказательству положения Л, не является доказа-
тельством справедливости А. Но если следствие К оказы-
вается явно ошибочным, то это служит строгим доказатель-
ством того, что А — неверно.
Действительно, посмотрим, как можно объяснить оши-
бочность /С? Допустим, что все последовательные выводы,
делавшиеся нами из подлежащего доказательству (т. е.
«сомнительного») положения Л, были строго обоснованны-
ми. Следовательно, в процессе проведённого рассуждения
ошибки не было, а /С, тем не менее ошибочно. Очевидно,
что единственной причиной ошибочности К мо-
жет быть только ошибочность исходного положения Л, ко-
торое тем самым опровергнуто.
21. Достаточно (но не необходимо).
22. Достаточно (но не необходимо).
23. Необходимо и достаточно.
24. Необходимо (но не достаточно).
25. Достаточно (но не необходимо). Если бы в тексте
задачи было указано «несократимая обыкновенная дробь»,
то условие было бы необходимым и достаточным.
215

&'-
26. Необходимо (но не достаточно).
27. Необходимо и достаточно.
28. Необходимо и достаточно.
29. Достаточно, но не необходимо (если q < 0, то р2 —
— 4q > 0 и корни будут действительными; но рг — 4q
может быть больше или равно нулю и при q > 0, т. е.
требование q < 0 не является обязательным условием
вещественности корней).
30. Необходимо и доста-
точно.
31. Необходимо, но не до-
статочно (так как эти четыре
точки определяют четырёх-
\ угольник, около которого
1 можно описать окружность
; лишь в случае, когда сумма
/ противоположных углов рав-
на 2 d).
32. Если бы точка пересе-
чения биссектрисы ^.В с сим-
метралью катета АС действи-
тельно оказалась внутри тре-
угольника ABC, то приведён-
ное доказательство было бы
безупречно (черт. 37). Но предположение, что точка пересе-
чения О лежит внутри треугольника, — не единственно
возможное; приступая к построению, мы должны были сде-
лать ещё два предположения: точка пересечения лежит на
катете АС и точка пересечения лежит вне &АВС. Путём
предварительного исследования мы должны были выяс-
нить, какие из трёх указанных случаев возможны. Между
тем нетрудно показать, что в любом прямоугольном
треугольнике пересечение биссектрисы <^В с симметралью
катета АС произойдёт обязательно вне i\ABC, и тем са-
мым отпадает возможность доказать, что ВС = ВА.
Покажем это. Опишем около &АВС окружность. Центр
её будет в точке D, делящей гипотенузу А В пополам. Из
центра D проведём радиус DO, перпендикулярный к хор-
де АС. Он разделит пополам и катет АС (и, следовательно,
будет симметралью катета Л С) и дугу Л С, т. е. точка О
есть середина дуги АС. Проведём теперь биссектрису ^.В.
Посмотрим, в какой точке биссектриса пересечёт дугу АС.
Так как точка В лежит на окружности, а биссектриса де-
0
Черт. 37.
216

лит угол В пополам, то в вершине В мы будем иметь два
равных вписанных угла, которые тем самым опираются на
равные дуги. А это возможно лишь в случае, если биссект-
риса ^.В пересекает дугу АС в той же точке О, делящей
дугу АС пополам. Таким образом, пересечение биссектри-
сы В с симметралью катета АС в любом прямоугольном
треугольнике произойдёт вне треугольника и построения,
указанные в задаче, не дадут возможность доказать, что
ВС= ВА.
33. Здесь «незаметно» использован несуществующий
признак равенства треугольников: «два треугольника рав-
AMD
Черт. 38
ны, если сторона и два,угла одного из них соответственно
равны стороне и двум углам другого», вместо правильного
положения: «два треугольника равны, если два угла и
прилежащая к ним сторона одного из них соот-
ветственно равна двум углам и прилежащей к
ним стороне другого». Вот этого-то в треугольниках АЕВ
и CED и нет.
34. Вдумаемся, что, собственно, доказал ученик? Ош
доказал, что, если строить прямую, параллельную А В и
проходящую через точку С так, как это делает он, то дей-
ствительно можно построить лишь единственную прямую
СЕ (черт. 38). Ну, а если выполнить построение иначе?
Если, например, провести через точку С какую-нибудь
прямую КМ и построить при точке С ^KCEi, равный уг-
лу КМВ (точка Ei на чертеже не указана), то CEi будет
параллельна АВ. Но совпадут ли СЕ и СЕ{? Если не поль-
зоваться аксиомой параллельности, то у нас нет никаких
217

данных для от ета на этот гопрос и доказательство «аксио-
мы параллельности прямых» оказывается несостоятельным.
35. Доказательство основано на «вольном» предположе-
нии, что сумма внутренних углов у всех треугольников од-
на и та же. Тогда действительно легко доказать, что эта
постоянная сумма равна 2d. Но на самом деле справедли-
вое утверждение о постоянстве суммы углов треугольника
является следствием из теоремы о сумме углов тре-
угольника, доказываемой с помощью теории параллельно-
сти. Таким образом, в приведённом «доказательстве» уда-
лось избежать использования теории параллельности с её
аксиомой параллельных прямых благодаря тому, что «меж-
ду строк» была введена новая аксиома: аксиома о постоян-
стве суммы углов треугольника.
36. В этом доказательстве, как и в предыдущем, только
здесь это сделано более тонко, незаметно введена и исполь-
зована новая аксиома. Действительно, мы знаем, что «если
сумма нескольких углов, имеющих общую вершину, со-
ставляет полный угол, то она равна 4<i», т. е., другими сло-
вами, полный оборот вокруг одной точки образует угол,
равный Ad. Но это утверждение отнюдь не может рассмат-
риваться как сохраняющее свою силу, если вращение на
такие же углы происходит вокруг разных точек. Это —
новое утверждение. И его либо надо принять как новую
аксиому (окажется, что мы просто заменили одну аксиому
другой), либо доказать. Доказать это новое утверждение
нетрудно. Но доказательство неизбежно будет основано
на теории параллельности. Таким образом, и здесь постав-
ленная цель — «обойти» аксиому параллельности — ока-
зывается недостигнутой,

ОТВЕТЫ
Раздел I
1. Ни одной птицы.
2. Пошли гулять: дед, сын и
внук.
3. IV.
4. Одинаковый вес.
5. 3 мин.
6. В 5 раз.
7. Запятую (2, 2),
8. 4.
9. 7.
10. 6 час.
П. За 10 мин.
13. 3.
14. 100.
17. 1 руб. 30 коп.
18. Через 15 мин.
19. 1 — тонны.
2
20. 9 руб.
21. 60 десятков.
22. 50.
23. 7030.
24. 1000 и 999.
25. 99 и 98.
26. 20 раз.
32. 21 перчатку.
34. За 3 мин.
36. 24 и 1.
38.~.
2
39. 5400.
40. Увеличится на 324.
41. Увеличится в 101 раз.
42. 1, 1, 2 и 4.
43. 1, 2 и 3.
45. Нуль.
47. 990.
48. 920.
49. 572.
51. 40 г.
Раздел II
1. 7 шариков.
'•!■
4. 384 и 96.
5. 3.
6. Одинаково.
7. Первая.
8. Каждому по 6 лет,
9. 60 кг.
10. 33,(3) • 3.
11. (5 + 5) • (5 + 5);
(5 • 5 — 5) • 5.
12. (1 + 23 — 4) • 5;
(1 . 2 + 3) • 4 • 5.
13. 100.
14. 7 детей.
15. 390 : 13 = 30,
16. Цифрой 5.
17. Цифрой 5.
18. 10 нулей.
19. Цифрой 6.
20. 5,5.
21. 20 час.
22. 540.
23. 4126.
24. 726.
25. 10-1 — 9=1.
26. 8280.
27. 54.
28. 45.
32. (666 — 66) : 6.
33. (777 — 77) : 7.
(7 + 7) • 7 + (7 + 7) : 7,
34. 123 —45 — 67 + 89.
35. 5,

36. 9200.
41. Одинаково.
42. 121 дм*.
43. 38 шаров.
44. 7 очков.
45. 32 коня.
46. Велосипедист*
47. Можно.
48. Через 6 лет.
49. 60%.
50. 18 часов.
51. 7 час. 30 мин. утра.
52. Первый.
53. 5 час. 24 мин.
54. 252.
56. Нельзя.
1
58. Уменьшится на -тг часть.
00
59. Может.
60. 6, 7, 8 и 9.
62. 124 и 97.
63. 1023 и 93.
64. 9282 и 102.
65. Нельзя.
66. Нельзя.
68. 60 км в час.
69. У брата денег не было.
70. 19 очков.
71. 25 коп.
75, Петров.
Раздел III
1. 50.
2. 7 000 000,
3. 9800.
4. 8100.
5 3-i-
5' 315*
6. 170.
12. 3600.
13. 1.
14. 3.
15. Неправильная.
16. 200.
17. 13.
18. 930.
«« 7 8
19'Т5 И 75 •
21.
22.
23.
24.
25.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
22
35"
51
152*
377
677*
Дроби равны*
37,8.
61,2.
66,5*
27,3.
30 и 50.
Нуль.
1
Увеличатся в 2-граза.
2
102.
14 и 6.
Увеличится в 1,5 раза.
Уменьшится на ± част,
25
Увеличится в 7 раз и ещё
на 2 ед.
Частное увеличится на еди-
ницу.
Увеличится в полтора раза.
Увеличится в 5 раз.
9
Новое частное — — преж-
него.
2
42.
5
43.4г-
2
45.-к
3
46.-|.
48. 15 и 12.
49. 216 и 18.
50. Увеличится.
54. 1111; 11 и 101.
55. 20.
56. Нет.
57. Нет.
60. 60.
62. Нет.
63. 4104.
68. 2521.
220

69. 37.
70. 5445 и 11,
72. 73.
74. На 24.
75. 59.
80. Да.
81. Да.
82. Да.
83. 37.
84. Нельзя.
85. Оба произведения равны.
86. 1.
87. 18 и 30.
88. Нет.
89. 3.
90. 6.
91. 1 380 456.
96. Можно.
98. Можно.
99. Правильная.
100. р = 3.
101. 13 и 14.
102. 10, 11 и 12.
103. Нет.
109. 55.
111. 2, 5, 0, 0.
112. 235.
113. Нет.
114. Нет.
115. Нет.
116. Нет.
119. 900.
120. 1588.
122. 90 064.
124. Нет.
126. 16 лет.
127. 1000.
129. Если две последние циф-
ры его — нули.
131. Нет.
132. 6, 2, 5.
133. Если а + Ъ + о делится
на 4.
136. 437.
140. 15 и 63.
141. 48 км в час.
142. 2 кг.
143. Второй.
144. В первой бригаде.
145. 4— часа.
146. 72 м.
147. 30 яблок.
143. 21 год.
Раздел IV
1. 49 и 952; сумма 1001.
2. 28 440.
3. 254 и 32.
4. 10.
5. 99 + 1 = 100.
6. 10 -6 = 3 • (3 • 5 -f- 5).
7. 10 • 101 = 1010.
8. 5625.
9. 666 и 37.
10. 53 и 1007.
П. 103-5= 515.
12. 950 + 59 = 1009.
13. (8 + 9) • 5 + 15= 100.
14. 36 153.
15. 879 879.
16. 982 и 19.
17. 10 912 и 992.
18. 13 • 15 = 195.
19. 1001.
20. 124 и 97.
21. 19.
22. 21.
23. 109 — 90 = 19.
24. 3 • 7 • 37 = 777.
25. 450.
26. 82 и 21.
27. 772 344.
28. 19 • 3 = 57.
29. 1089 708, 12; 90 809.
30. 77 • 713 • 13 = 713 713.
31. 10а = 100.
32. 988 — 889 = 99.
33. 22 4- 979 = 1001.
34. 12 и 37.
35. 18 • 4,5 = 81.
36. 150 4- ЮО 4- 250 = 500.
37. 9382; 3152, 12 534.
38. 19 и 59.
39. 10 761 —5610 — 5151 «
= 0.
40. 97 и 105.
Раздел V
1. 8 страниц.
2. 1 руб. 50 коп.

3. 100 лс; 36 км в час
4. 9 мин.
6. 72 книги.
6. 40 яблок»
7. 9 км.
8. 141 руб.
9. 5, 1 и 6.
10. Первый.
11. 7 час. 50 мин.
12. 12 час.
13. 125 км.
14. 16 л, 19 л и 31 л,
Л яг л *■
15. 45 мин.
16. 20 коров.
■
17. 7 сыновей; 49 000 руб.
18. 8 косцов.
19. 3 км в час.
20. 20 мин.
21. 1120 км.
22. 100 км, 15 км в час.
10 км в час.
23. 240 км.
24. 15 час. и 10 час.
26. Победитель набрал
1
1
4 игрока — по 2—
один — 2 очка.
27. 28 лет и 21 год.
28. 96 + 91 = 187;
187 : 17= 11.
29. Неверная цифра —
множители 401 и I
изведение 20 451.
3
и
очка.
очка и
•6;
31.
30. 1123 • 22з= ПОПз.
Раздел VI
1. an—1 раз.
2. 22.5.
3. — 125.
4. 1.
Б. 900.
6. Нулём.
7. Делится.
8. 6480.
11. При всех х > 0.
12. При х < 0 и при х
13 При х > 4.
15. х = 40.
16. 1.
17 2.
19 \а + Ь\ < |а| -t- |fc|
>
со-
Про-
I.
20. — 1. 0, 1.
21. — 1 < х < 5.
22. х < 1.
23. При любых значениях х.
24. х = 0, у = 0;
25. х = а, у = Ь.
26. В 4 раза.
29. х = 0, у = 1, г =2,
30. л- = 1, |/ = 0.
*А 1
35. При х — 0.
36. А" = 6.
37. 1020
38. 0.110.
39. Да.
40. Первое число не является
точным квадратом. Вто-
рое—точный квадрат.
41. 6.
42. 2. 5.
43. 2\Гь~.
44. YW.
45. 3; 4. 5.
46. Нет.
47. 10.
48. 70.
49. 80.
50. 2.88.
51. 8,4.
52. 0,54.
5
54. х — Уъ •
1
55. Х\ в 5, дг8 ав~т**
2
56. т ~ -г*.
57. а — 6.
58. с — 0.
59. 0 а .
а
60. а =■ с.
61. 6 = 18; Ь ** — 18.
62. с ■■ 4, с =» 0.
64. jt, — 10, jr2= 0,1.
а Ь
65. Jf| =в , | Ха S=S '"•
1 6 а
66. р — q — 1.
в7. р — 1, с7— — 2.
68 х% — 4jt + 1 = 0.
222

69. 3—.
3
70. х = 1, у = 2.
71. Во II четверти
72. На биссектрисе I—III ко-
ординатных углов и на бис-
сектрисе II—IV координат-
ных углов.
73. Единственная точка (0; 0).
74. Все точки оси X и все точ-
ки оси Y.
75. По двум прямым, парал-
лельным оси Y и пересе-
кающих ось X в точках с
абсциссами I и 3.
76. Ось X не пересекает. Ось
Y пересекает.
Раздел VII
1. 2; 6, 6.
2. Да (все прямоугольные тре-
угольники).
3. Да (все прямоугольные тре-
угольники).
4. 7 дм.
5. Нет.
6. Нет.
7. Да (все выпуклые шести-
угольники).
8. Четырёхугольников, у кото-
рых все углы острые, не
существует.
9. Да (во всех семиугольни-
ках).
10. Произведение п(п — 3)
всегда число чётное.
11. п = 3.
12. Ни одного.
13. 3.
20. Нет.
23. Нет.
24. Нет.
25. Квадрата.
26. 6 см.
27. Ромб.
29. Может (во всех трапециях,
у которых имеются равные
боковая сторона и основа-
ние).
30. 70 см.
31. Можно,
32 Нет.
33. Нет.
34. Да.
35. Диагонали равны, пло-
щадь и периметр второго
прямоугольника больше.
36. Нет.
37. Можно.
39. Нет.
41. Нельзя.
43. Нет.
45. 5 см и 7 см.
46. п = 6.
47. Из равных правильных
треугольников, четырёх-
угольников и шестиуголь-
ников.
48. пм2.
49. Можно.
51. Нет.
52. Это условие необходимое,
но не достаточное.
53. Может.
Раздел VIII
4 5 6 7
'• т • т • ти т
2. 21.
3. 40 столбов.
4. 21 • 23 • 25 - 12 075.
6. Нет.
7. 36.
8. 445.
9. 63.
11. Может.
12. Нет.
13. 82 861.
14. 11-10= 100 + Ю»
15. 41, 43, 45.
16. 3456.
18. 2401.
21. 4950.
22. 10.
23. Пешеход.
24. 198.
25. 30 и 6.
26. Можно.
27. 376 и 625.
28. 91.
29. Верно.
30. 14 и 28
31. Существуют.
22Л

33. 100,
34. 800.
35. 4.
37. р = 3.
38. 2 и 2, 0 и 0.
39. Задача не имеет решения.
1
40. -г- и—1.
41. 1 769 580.
42. .142 857.
43. 400.
44. Допустимо.
49. 1 человек, 10 очков.
S3. 0 лет.
60. Сидоров.
61. Неправильно.
1
63. — .
36
64. 4 пассажира.
65. Номер дома — 120; 2, 3,
4 и 5 детей.
66. 14 слонов.
67. 1568.
68. Нельзя.
71. Неправильно.
Раздел IX
1. 37 и 901.
2. 115 и 988.
3. 57 125.
4. 2352 = 55 225.
Б. 3001.
6. 48 384, 378, 128.
7. 681 + 635 =* 1316.
8. 51 и 15.
9. 38.
10. 177 • 3 ■** 531.
П. 136 • 6 = 816,
12. 73 и 37.
13. 7227; И.
14. 77 • 7 = 539.
15. 3528.
16. 945; 19.
17. 3125 : 125 = 25.
18. 1089 • 9 = 9801.
19. 12 • 21 == 252.
20. 825, 121.
21. V89401 = 299.
22. 714 285 ; 5 = 142 857.
23. 317.
24. 45; 72.
25. 25 • 18 = 450.
26. 368 982 : 1704 = 216 (оста-
ток 918).
27. 27.
2в! 987 654 + 987 654 +
+ 653 = 1 975 961.
29. 88.
30. 509; 121.
31. 52 и 25.
32. 2178 • 4 = 8712.
33 20
34! 24*5 • 379 = 92 855.
35. 286 • 826 = 236 236.
36. 31262 . 0,0064 =
= 3126 • 20,0064.
37. 610.
38. 9567 + 1085 = 10 652.
39. 9801 : 1089 — 9.
40. 4725 и 212.
41. 67 + 97 + 43= 201.
42. 1035.
43. 40.
44. 29786 + 850 + 850 = 31 486,
45. 11.
Раздел X
5. Ссылка на теорему Пифаго-
ра неправильна.
7. Гипотеза неверна.
8. Гипотеза неверна.
9. Определение неправильно.
10 Определение неправильно.
15. Может.
19. Нельзя.
20. Можно.
32. Ошибка в неправильном по-
строении.
33. Ошибка в неправильном ис-
пользовании признаков ра-
венства треугольников.
34. Не доказана.
35. Доказательство неверно.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел I. Задачи-шутки и вопросы на сообразитель-
ность для устного решения 6
Пояснения П
Раздел II. Простейшие логические и комбинаторные
задачи для устного решения 14
Решения 23
Раздел III. Вопросы и «маленькие» задачи по арифме-
тике для устного и полуписьменного ре-
шения 36
Решения 47
Раздел IV. Числовые загадки (математические ребусы)
для устного и полу письменного решения . 66
Решения 71
Раздел V. Арифметические задачи «на сообразитель-
ность» (для решения без составления урав-
нений) 82
Решения 88
Раздел VI. Вопросы и «маленькие» задачи по алгебре
для устного и полуписьменного решения . 99
Решения 104
Раздел VII. Вопросы и «маленькие» задачи по геометрии
для устного и полу письменного решения .112
Решения 117
Раздел VIII. Задачи логического и комбинаторного ха-
рактера 127
Решения 139
Раздел IX. Числовые загадки (математические ребусы)
повышенной трудности . . . * 172
Решения 179
Раздел X. Вопросы и упражнения для углубления
понимания логических элементов мате-
матики 204
Решения 211
Ответы 219
Понтелеймон Юльевич Германович
Сборник задач по математике
на сообразительность
Редактор Н. И. Лепёшкина
Обложка художника С. А. Смирновой
Художественный редактор П. В. Любарский
Технический редактор М И Смирнова
Корректоры В. Г. Соловьева и М, В Голубева
Сдано в набор 31/V 1960 г. Подписано к печати 6/ХИ 1960 г 84Х108'/з2.
Печ. л. 14 (11,48). Уч.-изд. л. 10,45. Тираж 66 тыс экз А12133
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи 41
Полиграфкомбйнат Саратовского совнархоза, г Саратов, ул Чернышевского, 59.
Цена без переплёта 2 р. 80 к, переплёт 80 коп. Заказ № 1685