Н. М. МАТВЕЕВ
СБОРНИК
ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО ОБЫКНОВЕННЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
Издание шестое,
исправленное и дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебного пособия для студентов
вузов, обучающихся по специальности «Математика»
МИНСК
«ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
1987

ББК 22.161.6я73
МЗЗ
■УДК 517.91@76.1)
Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений Белорусско-
Белорусского государственного универснтета; Н. Ф. Отроков, д-р фнз.-мат. наук, проф.,
зав. кафедрой дифференциальных уравнений и математического анализа
Горькрвского государственного университета
Матвеев Н. М.
М 33 Сборник задач и упражнений по обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и
доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.—319 с: ил.
Содержится более полутора тысяч зада4 и упражнений по всем разделам уни-
университетского курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводятся краткие
сведения из теории, типовые примеры, ответы и указания для решения наиболее труд-
трудных задач.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика».
1702050000—021
М 23-87 ББК 22.161.6я73
М 304@3)—87
S Издательство «Вышэйшая школа», 1977.
Издательство «Вышэйшая школа», 1987,
с исправлениями и дополнениями.

ОТ АВТОРА
Предлагаемый вниманию читателей сборник составлен на осно-
основании опыта проведения практических занятий по общему курсу
обыкновенных дифференциальных уравнений на математико-меха-
ническом факультете и факультете прикладной математики — про-
процессов управления Ленинградского государственного университета
им. А. А. Жданова. В нем содержатся задачи и упражнения по кур-
курсу дифференциальных уравнений для университетов в объеме прог-
программы, утвержденной Министерством высшего и среднего специ-
специального образования СССР. Значительная часть задач и упражне-
упражнений может быть использована в педагогических институтах и
технических вузах с расширенной программой по математике.
Основная задача, которую ставил перед собой автор, заключа-
заключается в обучении основным методам интегрирования наиболее часто
встречающихся в теории дифференциальных уравнений и ее при-
приложениях типов обыкновенных дифференциальных уравнений, а
также в привлечении внимания читателя к вопросам общей теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, устанавливающей
свойства решений по свойствам самих уравнений, с позиций кото-
которой исследуются свойства решений дифференциальных уравнений.
■ В соответствии с этой задачей и для облегчения пользования сбор-
сборником студентами-заочниками, а также теми, кто самостоятельно
изучает теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, в
нем кратко излагаются основные теоретические сведения, знание
которых необходимо для решения задач. Подробное изложение это-
этого материала читатель найдет в книгах, приведенных в списке ре-
рекомендуемой литературы, помещенном в конце сборника.
Сборник состоит из восьми глав. Основными являются первая,
четвертая и шестая. Каждая глава, кроме восьмой, начинается
вводным параграфом, в котором рассматриваются основные поня-
понятия и определения, а также общие вопросы, относящиеся к зада-
задачам этой главы. Затем идут параграфы, в которых содержатся
уравнения определенного типа. Каждый из этих параграфов состо-
состоит из краткого изложения методов интегрирования уравнений рас-
рассматриваемого вида, решенных примеров и задач для самостоя-
самостоятельного решения. В- каждой главе, за исключением восьмой, при-
приводятся вопросы и задачи для повторения, которые могут быть ис-
использованы для самоконтроля.

В восьмой главе приводятся задачи нестандартного типа разной
степени трудности по различным областям общей теории диффе-
дифференциальных уравнений. Значительная часть таких задач может
быть использована при написании рефератов, курсовых и диплом-
дипломных работ.
В шестое издание внесены некоторые исправления и добавлены
новые задачи.
Автор выражает благодарность рецензентам книги: коллективу
кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государст-
государственного университета, возглавляемому профессором Н. А. Лукаше-
Лукашевичем, и заведующему кафедрой дифференциальных уравнений и
математического анализа Горьковского государственного универси-
университета профессору Н. Ф. Отрокову.
Все отзывы и пожелания просьба присылать по адресу: 220048,
Минск, проспект Машерова, 11.

I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении пер-
первого порядка, разрешенном относительно производной, и его реше-
решении. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется
равенство, содержащее независимую переменную х, неизвестную
функцию у н ее производные у', у", ..., у<п>:
F(x, у, у', у" у(л))--0. A)
Функцию F всюду, где не оговорено противное, мы предполага-
предполагаем вещественной функцией от своих аргументов, которые то-
тоже считаем вещественными.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение A), на-
называется порядком этого уравнения.
Если уравнение A) может быть приведено к такому виду, когда
левая часть есть целая рациональная функция (полином) относи-
относительно всех входящих в него производных, то наивысшая степень
старшей производной называется степенью уравнения.
Функция у — у(х), обращающая уравнение A) в тождество, на-
называется решением уравнения A), а график решения на плоскости
. (х, у) — интегральной кривой.
Процесс нахождения решений называется интегрированием диф-
дифференциального уравнения. Задача интегрирования дифференци-
дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого
уравнения и изучении их свойств.
Уравнение первого порядка первой степени называется уравне-
уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Его всегда можно записать в виде
-— ^ /(*» У)- B)
dx y '
Эту форму записи называют нормальной формой уравнения, разре-
разрешенного относительно производной. В дальнейшем мы будем пред-
предполагать, что правая часть уравнения B) однозначна и не-
непрерывна в рассматриваемой области изменения х, у. Если при
этом функция f(x, у) не определена в некоторой точке (х0, у0), но
.существует ее конечный предел при x-+xQ, у-+Уо, то мы доопреде-
доопределяем функцию \(х, у) в точке (х0, у0) по непрерывности. Например,

для уравнения y' = sin х/х считаем у'=\ при х=0. Аналогично мы
поступаем при наличии хотя бы одностороннего предела. Так, для
уравнения у'=у In у полагаем г/'=0 при г/=0.
Наряду с уравнением B) будем рассматривать так называемое
перевернутое уравнение
dx I B#)
dy f(x, у)
используя его в окрестности тех точек, в которых f(x, у) обраща-
обращается в бесконечность. Множество таких точек (х, у) будем при-
присоединять к области определения уравнения B).
Таким образом, под областью определения уравнения B) мы
будем понимать объединение областей задания функций f
и 1/f. Например, областью определения уравнения у'=\/х является
вся плоскость (х, у).
Отметим другие записи уравнения первого порядка, раз-
разрешенного относительно производной.
Уравнения B) и B') можно заменить равносильным им одним
уравнением dy —■ / (х, у) dx -- 0.
К уравнениям вида B) и B') приводятся также уравнение
М (х, у) dx -|- N (х, у) dy = 0 C)
и так называемое уравнение в симметрической форме
dx __ dy
Х(х, у) "~Y(x, у) '
Решением уравнения B) в некотором интервале (а, Ь) из-
изменения независимой переменной х (этот интервал может быть как
конечным, так и бесконечным в одну или обе стороны, а также
замкнутым с одного или обоих концов) называется функция у =
= У(х), определенная и непрерывно дифференцируемая (т.е. имею-
имеющая непрерывную производную) в этом интервале и обращающая
уравнение B) в тождество, справедливое для всех значений х из
интервала (а,Ь). При этом предполагается, что точки (х,у(х)) ле-
лежат в области задания функции f(x,y). Например, для уравнения
У' -= — х/у D)
функция у — у 1 —- хг- будет решением в интервале (—-1, + 1).
Решение может быть задано в неявном виде Ф (х, у) — 0. Так,
уравнение D) имеет решение хг -f у1 — 1 {у > 0).
Решение может быть задано также в параметрической форме
уравнениями х — ф @- У — ^ if) (a <■ t <. Р). Например, уравнение D)
имеет решение х --■ cost, у -- sin t @<Ct<Cn).
Решения уравнения B') присоединяются к решениям урав-
уравнения B). Например, к решениям у -■- \n\x\ + С уравнения dy/dx —
-- l/х следует присоединить решение х -^ 0 перевернутого уравнения
dx/dy --= х.
6

Решением уравнения C) называется функция у = у(х) или *=»>
= х(у), обращающая это уравнение в тождество.
Все интегральные кривые уравнения первого порядка являются
гладкими, т. е. имеют непрерывно изменяющуюся касательную.
Поле направлений. Рассмотрим дифференциальное уравнение в
виде B) и обозначим через а угол между касательной к интеграль-
интегральной кривой у=у(х) в точке (х, у) и положительным направлением
У,
Рис. I
оси Ох (рис. 1, а). Принимая во внимание, что tgcc = y', а у' =
= }(х, у), получаем tg a=*f(x, у), следовательно, направление
касательных к интегральным кривым задается са-
самим дифференциальным уравнением.
Проведя в каждой точке (х, у) из области задания функции
f(x, у) отрезок единичной длины (для определенности) с центром
в этой точке, образующий с положительным направлением оси Ох
угол а, где iga = f(x,y), получим так называемое поле направле-
направлений (рис. 1,6).
Если в точке (хо,уо) правая часть уравнения B) обращается в
бесконечность, то направление поля параллельно оси Оу.
В этом случае нужно рассматривать перевернутое дифференциаль-
дифференциальное уравнение B').
Если же в точке (х0, у0) функция }(х, у) обращается в неопре-
неопределенность вида — и не может быть доопределена по непре-
непрерывности, то говорят, что в этой точке поле не определено, и назы-
называют ее особой точкой дифференциального уравнения B). Если при
этом существует интегральная кривая у = У(х) (х=х(у)), обладаю-
обладающая свойством у(х)^у0 при х^х0 (х(у)^хо при у-+у0), то говорят,
что она примыкает к точке (х0, у0). В рассматриваемом случае само
уравнение B) не указывает наклона касательной в точке (х0, у0) к
интегральной кривой, примыкающей к этой точке, что порождает
особенности поведения интегральных кривых в окрестности особой
точки (х0, у0), обусловленные аналитической структурой правой
части уравнения B).

Изучая поле направлений, определяемое заданным дифферен-
дифференциальным уравнением, мы получаем некоторое представление об
интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интеграль-
интегральные кривые. Например, из рассмотрения соответствующих полей
направлений ясно, что интегральными кривыми уравнения
dy
У
E)
dx x
являются полупрямые (рис. 2)':
у =, Сх {х Ф 0), х -■=■ 0 {уф 0), F)
где С — любое постоянное число, а интегральными кривыми урав-
уравнения D) служат окружности с центром
(Рис- 3) . „ _
в начале
координат
G)
В точке @, 0) ноля, определяемые уравнениями D) и E), не
заданы. Из уравнений F) и G) ясно, что все интегральные кривые
уравнения E) примыкают к точке @, 0), в то время как н« одна
из интегральных кривых уравнения D) не примыкает к ней.
Если дифференциальное уравнение задано в виде C), то его
поле направлений не определено в точке (х0, у0), в которой функ-
\ \
\
/ I 'Ч ^
\
Рис. 2
Рис. 3

ции М(х,у) и N(x,y) одновременно обращаются в нуль. Эту точку
будем называть особой точкой рассматриваемого уравнения C).
При изучении поля направлений большой интерес представляют
изоклины — линии, во всех точках которых направление поля одно
и то же. Так, для уравнений D) и E) изоклинами служат полу-
полупрямые, выходящие из начала координат: для первого из них эти
изоклины являются интегральными кривыми, а для вто-
второго ни одна изоклина не является интегральной кривой. Для урав-
уравнения у'=ту, изоклинами которого являются прямые у = Ь, только
одна изоклина г/ = 0 — интегральная кривая (почему?).
Изоклинами уравнения
у' ■■■ х1 !- // (8)
являются окружности x2 + y2 = R2, поэтому, например, все интеграль-
интегральные кривые этого уравнения в точках пересечения с окружностью
х2 + у2= 1 наклонены к оси Ох под углом я/4 (рис. 4).
Рис. 4
Рис. 5
Из аналитического вида правой части уравнения (8) ясно, что
интегральная кривая, проходящая через начало координат, каса-
касается в этой точке оси Ох. Очевидно также, что каждое решение
уравнения (8) есть возрастающая функция от х (на всем
интервале существования решения). Таким образом, интегральная
кривая, проходящая через начало координат, имеет вид, указанный
схематически на рис. 4.
В' простейших случаях удается по аналитическому виду правой
части уравнения B) найти линии экстремумов и линии точек пере-
перегиба (линии, во всех точках которых интегральные кривые имеют
экстремум или перегиб). На них соответственно f(x,y) = 0, f'x +
+f'yf = O (если функция f непрерывно дифференцируема). Изокли-
Изоклины вместе с линиями экстремумов и точек перегиба дают возмож-
возможность построить схематически графики интегральных кривых дан-
данного уравнения. При этом непосредственной подстановкой в диф-
дифференциальное уравнение следует проверять, не являются ли изо-
изоклины, линии экстремумов и линии точек перегиба интегральными
кривыми.

Задача Коши. Во многих вопросах теоретического и прикладно-
прикладного характера требуется среди всех решений дифференциального
уравнения B) найти решение
У^У(х), (9)
удовлетворяющее условию
у = г/0 при х = х0, A0)
где х0 и у0— заданные числа, т. е. такое решение (9), в котором
функция у(х) принимает заданное значение у0, если независимую
переменную .v заменить заданным значением хо, так что у(хо) = уо.
Геометрически это означает, что требуется найти интег-
интегральную кривую, проходящую через заданную точку М0(х0, у0)
(рис. 5).
Условие A0) называется начальным условием решения (9), а
числа х0. и г/о— начальными данными этого решения. Обычно числа
х0 и г/0 предполагаются конечными.
Задача нахождения решения, удовлетворяющего заданному на-
начальному условию A0), называется задачей Коши (начальной за-
задачей).
Например, решением уравнения у' = 2х, удовлетворяющим на-
начальному условию г/=1 при х = 0, будет г/ = А'2+1. Это — парабола,
проходящая через точку Л1@, 1) (рис. 6).
В случае, когда в точке (л'о, Уо) правая часть уравнения B)
обращается в бесконечность, рассматривают перевернутое уравне-
уравнение B') и ищут интегральную кривую, проходящую через эту точ-
точку, в виде х = х(у).
Вообще решение задачи Коши для уравнения в любой из форм
его записи ищут в том виде, в каком это оказывается наиболее
удобно, т. е. в виде у = у(х), х = х(у), F(x, y)=0 или в параметриче-
параметрической форме x = x(t), y — y(i).
Задача Коши для уравнения B) с начальными данными х0, г/о,
согласно теореме Пеан о, имеет решение, если точка (х0, г/0)
лежит в области задания и непрерывности правой части
этого уравнения. Единственность решения только при соблюдении
одного этого условия не гарантируется.
Чтобы гарантировать не только существование, но и е д и и с т-
венность решения задачи Коши, достаточно, согласно теореме
Пикара, предположить дополнительно, что правая часть уравнения
B) удовлетворяет условию Липшица относительно у
в некоторой окрестности начальной точки (х0, г/0), в частности, что
она имеет в этой окрестности ограниченную частную
производную по у. Например, так обстоит дело, если правая
часть уравнения B) есть полином относительно х и у. При этом
начальную точку (х0, у0) можно выбирать произвольно.
Единственность решения задачи Коши также заведомо имеет
место, если функция f (х, у) есть полином только относительно
у, причем коэффициенты этого полинома — непрерывные
функции от х. Но при этом только г/0 можно задавать п р о и з-
10

вольно, а ха должно лежать внутри интервала непрерыв-
непрерывности коэффициентов.
Если уравнение имеет вид C), где М и Л7 — п о л и н о м ы, то
существует единственное решение с начальными данными .v0, Уо,
при условии, что в точке (х0, г/о) функции М и N не обращаются
одновременно в нуль. В противном случае начальные данные х0, Уо
называются особыми и не гарантируются ни существование, ни
единственность решения задачи Коши.
о
Рис. 6
Рис. 7
Точки, в которых f(x,y) непрерывна, a dffdy обращается в бес-
бесконечность, будем называть особыми точками уравнения B). В этих
точках может быть нарушена единственность решения задачи Ко-
Коши. Например, для уравнения
у' ~~ 2 V у A1)
такими точками будут все точки оси Ох.
Решение задачи Коши стараются найти в элементарных функ-
функциях или в квадратурах от элементарных функций. Если это не уда-
удается, приходится искать решение в другом виде или прибегать к
приближенным методам интегрирования. В последнем случае пред-
предварительно устанавливается существование и единст-
единственность решения рассматриваемой задачи Коши.
Общее решение. Общее решение в форме Коши. Общий интег-
интеграл. Общее решение в параметрической форме. Пусть функция
У Ф(*. С) A2)
определена в некоторой области изменения переменных х и С и име-
имеет непрерывную частную производную по х. Эта функция называ-
называется общим решением уравнения B) в заданной области D изме-
изменения переменных х и у, в каждой точке которой решение задачи
Коши существует и единственно, если равенство A2)
разрешимо в области D относительно произвольной постоянной С,
т. е.
С - \р (х, у),
A3)
И

и функция A2) является решением уравнения B) при всех значе-
значениях произвольной постоянной С, доставляемых формулой A3),
когда точка {х, у) пробегает область D. Отметим, что D есть вся
область существования и единственности для уравнения B) или ее
часть. Например, для уравнения A1) общим решением в области
|х|< + оо, 0<г/< + оо будет (рис. 7) г/=(х+СJ, х>—С.
Чтобы найти решение уравнения B) с начальными данными х0,
у0 из области D с помощью формулы общего решения A2), посту-
поступают следующим образом:
1) подставляют в формулу A2) вместо .v и у числа х0 и у0:
Я>=ф(*о, С); A2')
2) решают уравнение A2') относительно С и.находят С=С0;
3) подставляют полученное значение С в формулу A2):
у --- ф (х, Со).
Это и есть искомое решение. Оно будет единственным.
Общее решение
У -~- У{х, х0, у0), ' -.
в котором роль произвольной постоянной играет начальное значе-
значение у0 искомой функции у при фиксированном значении х0 незави-
независимой переменной х, называется общим решением в форме Коши.
Если общее решение уравнения B) задано в неявном виде
Ф (х, у, С) - 0 или if (х, у) -- С,
то o}io называется общим интегралом этого уравнения. Так, для
уравнения D) общим интегралом будет соотношение G).
Если функция A2), являющаяся общим решением уравнения
B), задана в параметрическом виде
дс = Ф(*, С), у- q(i, С), - A4)
то уравнения A4) называются общим решением уравнения B) в
параметрической форме. Например, для уравнения D) общим ре-
решением в параметрической форме будет x=Ccos/, y = Csin^.
Если дано однопараметрическое семейство кривых, например в
виде A2), то, дифференцируя его по х и исключая из найденного
уравнения и уравнения A2) параметр С, мы получим, вообще гово-
говоря, дифференциальное уравнение первого порядка, называемое диф-
дифференциальным уравнением данного семейства кривых.
Частное решение. Решение, в каждой точке которого сохраня-
сохраняется единственность решения задачи Коши, т. е. через эту точку в
достаточно малой окрестности ее проходит только одна интеграль-
интегральная кривая, называется частным решением. Если функция A2)
есть общее решение уравнения B) в области D, то всякое решение,
содержащееся в формуле A2) при конкретном (допустимом) чис-
числовом значении произвольной постоянной С, является частным.
При этом не исключаются и значения С— ± оо. Заметим, что ч а с т-
12

н о е решение не может быть ни линией экстремумов, ни линией
точек перегиба интегральных кривых уравнения B) (почему?).
Особое решение. Решение, в каждой точке которого нарушается
единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое
решение не содержится в формуле общего решения ни при ка-
каком числовом значении произвольной постоянной, включая
С= ±оо. Особое решение вида у = у(х) (х=х(у)) может получаться
из формулы общего решения лишь при С = С(х) (С = С(у)).
Если правая часть уравнения B) непрерывна и имеет частную
производную по у (ограниченную или нет), то особыми решениями
могут быть только те кривые, во всех точках которых df/dy обра-
обращается в бесконечность. Эти кривые будем называть подозритель-
подозрительными на особое решение. При этом кривая, подозрительная на осо-
особое решение, будет особым решением, если: 1) она является интег-
интегральной кривой; 2) в каждой ее точке нарушается единственность
решения задачи Коши. Отсюда, в частности, следует, что уравнение
B), в котором f(x, у) есть полином относительно х и у, не мо-
может иметь особых решений. Например, таким будет уравнение (8).
Если правая часть уравнения B) есть частное двух полиномов
Р (х, у)
" Q (х, у) '
то уравнение B) тоже не имеет особых решений (почему?). Оно
может иметь только особые точки, т. е. точки, в которых Р и
Q одновременно обращаются в нуль. Например, таким уравнением
будет
Ь
dx ex + dy
Уравнение вида C), в котором М я N суть полиномы, тоже
не имеет особых решений (почему?). Например, это будет справед-
справедливо для уравнения х2(у+ \)dx+ (л;3—1) (у—l)dy = O.
Если семейство интегральных кривых вида у=ф(л;, С) или
ф(л;, у, С) =0 имеет огибающую, т. е. такую кривую, которая каса-
касается каждой кривой семейства в одной или нескольких точках и
вся состоит из этих точек касания, то последняя всегда является"
решением дифференциального уравнения, и притом особым.
В самом деле, во-первых, огибающая является интегральной кри-
кривой (почему?); во-вторых, в каждой точке огибающей нарушается
единственность решения задачи Коши.
Огибающей семейства кривых может быть только дискрими-
нантная кривая этого семейства, т. е. кривая, определяемая урав-
уравнением самого семейства и уравнением, полученным дифференци-
дифференцированием его по параметру. Дискриминантная кривая семейства
интегральных кривых определяется из. системы
У ф(*. С), О - -^- или Ф (х, у, С) - О, -i£- - 0.
13

Найдя дискриминантную кривую, нужно проверять, будет ли она
(или ее часть) огибающей данного семейства (или части его).
Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построе-
построения общего решения (общего интеграла) данного дифференциаль-
дифференциального уравнения. Это те интегральные кривые, которые могут быть
утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это
уравнение в его общее решение (общий интеграл).
Дифференциальное уравнение может иметь решения, которые
не являются ни частными, ни особыми. Например, такими будут
решения, «склеенные» из отрезков частных и особых решений. Воз-
Возможна также «склейка» двух частных решений в точке неединст-
неединственности решения задачи Коши.
Понятие об интеграле дифференциального уравнения. Функция
■ф(х, у), непрерывно дифференцируемая в области D ($(x, y)s
еС'ф)), такая, что д^1дуфО в D, называется интегралом уравне-
уравнения B) в области D, если ее полный дифференциал в силу уравне-
уравнения B) — (^1B)) —тождественно равен нулю в D, т.е.
*)- -^r-dx + 4г- / {х, у) dx = 0 у (х, у) е D. . A5)
ох оу
(В выражении полного дифференциала функции ф(х, у) мы заме-
заменили dy его значением из уравнения B).) Например, функция
1> -= У 1х A6)
является интегралом уравнения
-*£--. JL A7)
dx х
в правой полуплоскости (х > 0), так как
*1> 1A7) Т" dX +--&а0 (*>°)« -
Х- XX
При определенных условиях на правую часть уравнения B)
интеграл г|з (х, у) в некоторой области D существует, причем если
гр! и ofJ—интегралы уравнения B), определенные в одной и той
же области, то они функционально зависимы: ■ф2=Ф(^1).
Связь между обыкновенным дифференциальным уравнением и
уравнением с частными производными. Из тождества A5) следует,
что
^ + / (х, у) -^- ^ 0 у (х, y)£D,
ду
так что интеграл \\> уравнения B) является решением уравнения с
частными производными
^ ^ 0 A8)
^+f(x, у)^
ох оу
в области D.
14

Обратно, если мы имеем нетривиальное решение z — ^(x, у)Ф,
^t уравнения A8) в области D, причем z = ty(x, y)^C[(D),
dty/дуФО в D, то функция ty(x,y) будет интегралом уравнения B)
в области D (почему?). Уравнение A8) называется уравнением с
частными производными, соответствующим обыкновенному диффе-
дифференциальному уравнению B). Например, уравнению A7) соответ-
dz , у dz Л
ствует уравнение с частными производными —f-— — =0. Очевид-
дх х ду
но, что интеграл A6) является решением этого уравнения.
Интегрируемость в квадратурах. Если общее решение (общий
интеграл) представлено в виде квадратур от элементарных функ-
функций и функций, входящих в состав дифференциального уравнения,
то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах.
Выясняя вопрос об интегрируемости данного дифференциально-
дифференциального уравнения в квадратурах, нужно рассмотреть все формы записи
этого уравнения, указанные ранее, принимая за искомую функцию
как у, так и х.
В следующих параграфах рассматриваются уравнения, интег-
интегрируемые в элементарных функциях или квадратурах. При этом
мы ограничиваемся в большинстве случаев формальным интегри-
интегрированием, в частности не всегда указываем область задания обще-
общего решения.
Если данное уравнение не интегрируется в квадратурах (или
выполнение квадратур затруднительно), решение задачи Кошн
обычно находят методом последовательных приближений или при
помощи степенных рядов.
Метод последовательных приближений (метод Пикара). Пусть
поставлена задача Коши
у' --- f(x, у), у{х0) =-= у0. A9)
Справедлива теорема Пикара: если f(x,y) определена и
непрерывна в области
R: | х — х01 < а, | у — уй К Ь (а > 0, Ь > 0)
и удовлетворяет в этой области условию Липшица относительно у,
то задача Коши A9) имеет единственное решение, которое будет
заведомо определено в интервале
I* —*ol<A. B0)
где h --- min (a, b/M); \f{x, у) |< М у (*. [/)£%■
Рассмотрим интегральное уравнение
X
У == Уо -I- j/(*. y)dx,
соответствующее задаче Коши A9). Применим для его решения
метод последовательных приближений.
15

За исходное (нулевое) приближение возьмем функцию г/0(х) =
= Уо. Последовательные приближения определим рекуррентной
формулой
х
Уп (х) =- Уо + j / {х, Уп-i {x))dx («-- 1, 2, . . .)•
Эти приближения заведомо сходятся к решению задачи Коши A9)
в интервале B0). Однако во многих случаях решение удается про-
продолжить за пределы этого интервала.
Нахождение решения задачи Коши с помощью степенного ряда.
Справедлива т е.о р е м а Коши: если правая часть уравнения
B) представила в виде
00
/ (х, У) = ^ атп{х — хо)т (у — г/0)" , |х — х01<р, |у — у01< г,
т,п=0
то решение задачи Коши A9) существует, единственно и предста-
вимов виде
ос f
У =-■ Уо -i- 2 сй (х — *о)й> \х — хо\<р1<р. ' B1)
Такие решения называются голоморфными в точке х0.
Коэффициенты Ck могут быть найдены последовательным диф-
дифференцированием обеих частей уравнения B) или методом неопре-
неопределенных коэффициентов.
2. УРАВНЕНИЕ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ
Общее решение. Рассмотрим уравнение
-^--f(x). ■ (П
ах
Если / определена и непрерывна в интервале (а, Ь), то
у-- ]f(x)dx+C, (9.)
где первый член справа — некоторая фиксированная перво-
первообразная функция для функции f(x), а С — произвольная постоян-
постоянная, есть общее решение уравнения A) в области
а<х<Ь, ]г/|< + оо, C)
так что вся эта область (рис. 8) заполнена непересекающи-
непересекающимися интегральными кривыми уравнения A), причем каждая из
них представляет собой график частного решения этого урав-
уравнения.
Из формулы B) ясно, что все интегральные кривые уравнения
16

A), входящие в общее решение, получаются из какой-либо одной
сдвигом вдоль оси Оу.
Формула B) дает возможность найти единственное решение
задачи Коши с начальными данными х0, у0 из полосы C) (так что
Хо можно брать только из интервала (а, Ъ), а у0— любое фиксиро-
фиксированное число), выбрав соответствующее значение произвольной
постоянной С. Чтобы определить это значение, нужно (см. § 1) за-
заменить в формуле B) переменные х и у их начальными значения-
у i
Рис. 8
Рис. 9
ми х0 и уй. Решив полученное уравнение, мы найдем С=С0. Реше-
Решение с начальными данными х0, у0 имеет вид
у
■! Со.
D)
Это решение определено и непрерывно дифференцируемо н а
всем интервале (а, Ь), т.е. на всем интервале непрерывности
правой части уравнения A).
Если в качестве первообразной f f(x)dxB формуле B) взять функ-
х
цию Г / (х) dx, где х0 — некоторое фиксированное число из интерва-
интервала (о, Ь), общее решение B) примет вид
у - J f (x) dx -!- С. E)
Запись общего решения в виде E) по необходимости использу-
используется в тех случаях, когда первообразная в общем решении B) не
выражается через элементарные функции. Если при этом
требуется не только проинтегрировать уравнение A), но и решить
задачу Коши, в качестве нижнего предела х0 берут начальное зна-
значение независимой переменной х.
Положив, в формуле E) х=х0, у = ус, получим С=у0, следова-
следовательно, можно записать:
х
у -= f f(x)dx -j- y0. F)
х0
2. Зак. 1213
17

Это решение уравнения A) с начальными данными х0> у0.
Если же в формуле F) считать у0 произвольным, то она
представляет общее решение в форме Кош и уравнения
A) в области C).
Все интегральные кривые семейства F) пересекают прямую
х = х0 в точках вида (хо,уо) (рис. 9), следовательно, произвольная
постоянная у0 в общем решении F) есть ордината соответст-
соответствующей точки пересечения. Изменяя непрерывным образом эту
ординату, мы получим все семейство интегральных кривых.
Из формулы F) ясно, что решение задачи Коши есть непре-
непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция
от независимой переменной х и начальных данных х0 и у0 в области
а<х<Ъ, а<хо<Ь, \у0\< + оо.
Особые решения. Если /(х) разрывна в точке * = |, лежащей
внутри интервала (а, Ь), причем обращается в бесконечность имен-
именно в этой точке и непрерывна во всех других точках интервала (а,
Ь), то формула B) дает общее решение уравнения A) в каждой
из областей (рис. 10) а<х<1, |у|< + 00 и 1<х<Ь, |у|< + оо.
Прямая х=1 является решением перевернутого уравнения
dx
1
f(x)
и должна быть присоединена к решениям уравнения A). Это реше-
решение может оказаться особым (рис. 10, а), если в каждой его
точке нарушается единственность. Если же единственность сохра-
сохраняется во всех точках этого решения, оно будет частным (рис. 10, б).
6
Рис. 10
По отношению к семейству интегральных кривых, образующих
'Общее решение, прямая я=| будет или огибающей (когда х=|—
особое решение), или асимптотой (если х=\ — частное решение).
Поле направлений. Из уравнения A) ясно, что во всех точках
прямой х=х0 (а<хо<Ь), параллельной оси Оу, направление поля
одно и то же: tg а=/0с0), поэтому каждая такая прямая является
изоклиной. Отсюда, не интегрируя уравнение A), мы
:Г8

видим, что если f(x) непрерывна в (а, Ь), то все интегральные кри-
кривые этого уравнения получаются из одной сдвигом вдоль оси Оу.
Если f(x) сохраняет знак в (а, Ь), то каждое решение представ-
представляет собой монотонную функцию, возрастающую при f(x)>0 и
убывающую при f(x)<Q.
Если }(х) обращается в нуль в некоторой точке х=с из (а,Ь)
и имеет противоположные знаки при х<с и х>с, то каждая интег-
интегральная кривая уравнения A) будет иметь в точке х~с экстремум.
В этом случае прямая х — с будет линией максимумов или
линией минимумов интегральных кривых.
Предположим, что f(x) дифференцируема в (а, Ь). Если при
этом f'(x) сохраняет знак, то каждая интегральная кривая имеет
одно и то же направление вогнутости во всех точках интервала
(а, Ь). Если же f'(x) обращается в нуль в некоторой точке x=d, из
(а, Ь) и имеет противоположные знаки при x<d и x>d, то каждая
интегральная кривая уравнения A) будет иметь в точке x = d пере-
перегиб, поэтому прямая x=d является линией точек перегиба
интегральных кривых.
Примеры. 1. Пусть дано уравнение
■£-*■■
Правая часть его непрерывна при всех значениях х. Функция
У = *3 + С (8)
есть общее решение уравнения G) в области
■ | х | < + оо, | у | < + оо . (9)
Особых решений нет.
Общим решением в форме Коши (в той же области) будет .
X
.•/=(" ЪхЧх-]-уй или у--= хз—xl-\-у0. A0)
Ха
В частности, если взять л:о=О, получим (/=л:3+г/о, что совпадает с функци-
функцией (8) с той лишь разницей, что здесь вместо С стоит у0.
Решение A0) является непрерывной функцией от х, х0 и г/о при всех х,
X:, Уо-
Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию
«/'== 2 при х =--= 1. A1)
Так как точка A, 2) лежит внутри области (9), то существует единствен-
единственное решение, удовлетворяющее начальному условию A1). Это решение част-
частное (почему?). Его можно найти, используя общее решение в виде (8) или об-
общее решение в форме Коши A0). Подставляя в формулу (8) х = 1, у=2, на-
находим С=1, откуда искомым решением будет (/=*3+1.
Полагая в формуле A0) Хц=\, (/о=2, находим
У
л
= f 3*2 dx + 2 или у =- *? + 1.
Интегральные кривые (рис. 11) получаются из кубической параболы у —
=х3 сдвигом вдоль оси Оу. Они не имеют экстремумов, ибо правая часть урав-.
2* . 19,

нения G) хотя и обращается в нуль в точке * = 0, но сохраняет один и тот же
знак во всех других точках, вследствие чего интегральные кривые возрастают
во всей области определения. Так как f'(x)=6x обращается в нуль в точке х—
= 0 и меняет знак при переходе через нее, каждая интегральная кривая имеет
в этой точке перегиб, следовательно, ось Оу будет линией точек перегиба ин-
интегральных кривых.
2 Рассмотрим уравнение
а
dx
Правая часть его, так же как и в предыдущем примере, определена и не-
непрерывна при всех х. Общим решением уравнения в области (9) будет
у = _ е
+ С.
Особых решений нет.
Рис. 11
Рис. 12
Интегральные кривые (рис. 12) не имеют ни точек экстремума, ни точек
перегиба У каждой интегральной кривой есть своя горизонтальная асимптота.
Например, для интегральной кривой y=—e~* горизонтальной асимптотой будет
юсь Ох.
3 Дано уравнение
dy sin x
dx x
Считаем, что при х=0 правая часть его равна 1. Общим решением уравне-
уравнения в области (9) будет
или (в форме Коши)
sin*
dx+C
dx
A2)
Особых решений нет.
В элементарных функциях общее решение не выражается. Все решения опреде-
определены и непрерывны при всех значениях х. Прямые х= Ил (ft = ± 1, ±А. . . )
являются линиями экстремумов интегральных кривых, ось Оу - линией точек пе-
20

>егиба. Из формулы A2) видно, что каждая интегральная кривая имеет свою гори-
юнтальную асимптоту, так как Нгп у — л/2 -\- у0, lim у = — я/2 -(- у0, ибо
J
I1 sinx зт
I d# = —— (почему?). В частности, горизонтальными асимптотами интег-
J X Л/
— оо
>альной кривой, проходящей через начало координат, будут прямые у= + л/2.
4. Рассмотрим уравнение
dy
dx
A3)
Правая часть его определена и непрерывна в каждом нз интервалов (—оо, 0),
[0, +оо) и обращается в бесконечность при х = 0. Формула
у = \ц\х\ + С
цает общее решение уравнения A3) в каждой из областей — оо < х <0, \ у\ <с
< -J- оо и 0 < х< -\- зо, |//| < -г оо (см. рис. 13).
Прямая л;=0 является решением перевернутого уравнения, притом част-
частным (почему?), и асимптотой интегральных кривых уравнения A3).
Рис. 13
5. Дано уравнение
Рис. 14
dy
dx
A4)
Правая часть его определена и непрерывна в интервале (—1, +1). Общим
решением уравнения в области |#|<1, [у|<+оо будет (см. рис. 14)
у = arcsin х -J-C. A5)
Правая часть уравнения A4) обращается в бесконечность при х = + \. Пря-
Прямые х = ±\ — особые решения уравнения A4) (почему?). Они являются
огибающими семейства A5).
6. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
у = yjj- с. A6)
Продифференцировав обе части уравнения A6) по х, получим
dy 1 _
dx 2 Ух
Это и есть дифференциальное уравнение семейства A6). Интегральными кри-
кривыми этого уравнения будут кривые данного семейства и их огибающая jc = O
(рис. 15), которая является особым решением уравнения A7).
7. Найти кривые, у которых тангенс угла а между касательной и положи-
21

тельным направлением оси Ох равен абсциссе точки касания. Выделить инте-
интегральную кривую, проходящую через начало координат.
Пусть у=<$(х)— уравнение искомой кривой (рис. 16). Тогда iga=y'. По
условию задачи tga=#. Заменяя tga на у', приходим к дифференциальному
уравнению dy/dx—x. Его общим решением будет
у = *2/2 -\- С.
A8)
Оно определено на всей плоскости (х, у) и представляет собой семейство парабол
с вершинами на оси Оу (рис. 17). Чтобы выделить интегральную кривую, прохо-
проходящую через начало координат, положим в формуле A8) х=0, у=0. Получим
С=0, следовательно, искомой кривой является парабола y—x2l2.
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
8. Найтн закон движения точки по оси Ох, если скорость движения есть за-
заданная функция времени f(t) и в момент / = /0 точка занимает положение х=хо.
Обозначим положение точки в момент времени t через х. Дифференциаль-
Дифференциальным уравнением задачи будет dxjdt=:f(t). Записывая общее решение в форме
Коши, находим, что искомый закон движения
- J / (О Л + х0.
9. Дано уравнение
dy
dx
A9)
Определить его область задания, область существования решения задачи Коши,
область существования и единственности; изучить поле направлений, определяе-
определяемое нм (найти изоклины, указать области возрастания и убывания решений, най-
найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек
перегиба); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых;
проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных
кривых по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
Правая часть уравнения A9) задана на всей плоскости (х, у), кроме оси Оу
(х=0). В точках оси Оу нужно рассматривать перевернутое уравнение
dx
dn
3
,1/3
B0)
Таким образом, уравнение A9) задано на всей плоскости (х, у).
Так как правая часть уравнения A9) определена и непрерывна при всех х,
не равных нулю, то в каждой из областей
B1)
B2)
— оо < х < о, ]у\<-\-
0<лг<
оо, I у\
22

'рис. 18) имеют место существование и единственность решения задачи Коши.
Лри этом решения будут определены соответственно в интервалах:
— °° < х < 0;
0 < х < -j- оо.
B3)
B4)
В точках оси Оу гарантируется только существование, но не единственность
решения задачи Коши (почему?).
Изоклинами уравнения A9) являются прямые х=а, где а — любое число.
При этом изоклина х—0 (у' = °°) является решением перевернутого уравне-
уравнения B0).
Рис. 18
Рис. 19
В левой полуплоскости B1) все ннтегральные кривые убывают, в правой по-
полуплоскости B2) —возрастают (почему?). Линий экстремумов нет.
Все ннтегральные кривые уравнения A9) п каждой из областей их задания
<23) и B4) вогнуты вниз, ибо у"<0 при х¥=0. Поэтому линий точек перегиба нет.
Так как у'->0 при |x|-v+oo, то направления касательных к интегральным
кривым при |дс|-*-+оо приближаются к направлению оси Ох. Схематический
набросок семейства интегральных кривых дай на рис. 18.
Интегрируя уравнение A9), получаем
у = д;2/3 -f С.
B5)
Эта формула дает общее решение уравнения A9) в каждой из областей B1) и
B2). К решениям B5) нужно присоединить решение х=0 перевернутого уравне-
уравнения B0). Это решение будет особым, так как в каждой точке его нарушает-
нарушается единственность (почему?).
Из аналитического вида семейства интегральных кривых B5) ясно, что они
симметричны относительно оси Оу и обладают свойством г/->+оо при |дг|->+°°.
т. е. неограниченно возрастают при \х\-*-+<х>.
Интегральные крнвые уравнения A9) вместе с решением х=0 перевернутого
уравнения B0) изображены на рнс. 19.
В .задачах 1 — 29 проинтегрировать уравнение.
• 1. ?/'-= cos2 х.
2. у'^
2х
3. у' = sin3*.
4. £/' =
7. y'=-
1
5. xf =
. 8. у' = х cos х.
6. y'--± /1-
9. у' = xV .
23

10. у' — 2e*cosx.
13. у' = shx.
1
14. у'
(*• -Ь IJ
1
12. у' ■—- situ cos3x.
1
16.
19.
22.
25.
27.
Острог
и' Х
У /х2-
у' ■- - х/ln х.
, 1
■/х +
, X
У хз j
а2 -
У (а2-
радского
Г Р
1
X2
1- X2-
-X2J
(х)
X2— 1
17. у' — ctg.v.
20. у' = е* /х.
2
23. t/ =
26. у' =
15. г/ -
18. у'
у 4-х*
In х
21. «/' = 1/1пх.
24. у' --- In х -]- 1
(Указание. Воспользоваться формулой
dx = -
\ (х) Г
dx,
J Q(x) Qi(x) J Q2(x)
где Q (x) — (x — af • ■ ■ (x2 + px ~\- q)m . . . {k, . . . , m, ... — нату-
натуральные числа); Qx (x) --- (x — a)h~l • • • (x2 + px + q)m~l. . . \ Q2(x) =
--■ (x -- a) • • • (x2 -|- px + <7) . . .; /^(x), P2 (x) —полиномы с неопре-
неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на еди-
единицу ниже степеней полиномов Qx (x) и Q2 (■*)•)
28.
29.
COSX
В задачах 30—35 проинтегрировать уравнение и выделить интег-
интегральную кривую, проходящую через заданную точку М(х0, у0), выяс-
выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности ее, о
направлении касательной и направлении вогнутости интегральной кри-
кривой в точке М; в задачах 30 и 35 сделать два рисунка (схематичес-
(схематический предварительный рисунок и график найденного решения).
30. у' --- 2хе~х'\ М @, — 1). 31. у' -- —J— ; М (— ,
sinx \ 2
32. у' — ; М A, 1), М (— 1,-1), Л! @, 1).
X"
33.
, 1).
24

34. у' = у==> м(°> - 1). М(°> 1). МA, 0).
35. у' = <Г*'; М @, 0).
В задачах 36—41 найти решения вида х=а, присоединяемые к
>ешениям данного дифференциального уравнения.
36. у' = Х-— . 37. у' = 1
sin-л;
40. у' = . 41. у' =
х — 1
В задачах 42—47 найти вертикальные, горизонтальные и наклон-
наклонные асимптоты интегральных кривых, проходящих через заданную
гочку М(х0, Уо); сделать рисунки.
42. у' = — 2хе~х2 ; М @, 1). 43. у' ?—; М @, 0).
1 + хг-
2х v
44. у' =, -=2 ; М@, —1). 45. у' =
... П2 ; м(°- 1)- 45- у v4=i
' - ■— i ) • V X — 1
46. у' = ё~х~; М@, 0). (Указание. Воспользоваться несобст-
+» -и—
5енным интегралом f e~*' dx ~ Л •)
oJ 2
47. у' -= L_ ; м @, 0).
COS2- X
В задачах 48—61 определить область задания уравнения, об-
область существования решения задачи Коши, область существова-
существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направ-
направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением (найти
изоклины, построить изоклины у' = 0, у'=±1, у' — оо, определить
направление ноля в точках, лежащих на осях координат, указать
эбласти возрастания и убывания решений, найти линии экстрему-
экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек пере-
перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства
интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все
решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности
эсобых линий, на границе области задания уравнения и на беско-
бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых;
сделать рисунок.
48. у' - 0. 49. у' - 1. 50. у' - — 1.
25

51. у' -
54. у' -
57. у' -.
60. и1' -
х
1
2V\x\
52. у' =
55. у'
58. у' =
61. у' =
— е
53.
56.
у' ---
3
2
-VF
1
. 59. у' =
1 -!- х2
1
2Л/Т=\
В задачах 62—64 составить дифференциальное уравнение за-
заданного семейства кривых. Какое общее свойство кривых этого
семейства выражает полученное дифференциальное уравнение?
Совпадает ли семейство интегральных кривых с заданным семей-
семейством кривых?
62.г/=— х3 + С. 63. // = уТ=х5+С. 64. у=]пх+С.
О •
65. Найти кривую, для которой сумма длин отрезков касательной
и подкасательной пропорциональна произведению координат точки ка-
касания. (Указание. Воспользоваться формулами длин отрезков ка-
касательной ТМ и подкасательной ТР (рис. 20): ТМ ---
ТР =
JL
у'
, ТР — отрезок, направленный от Г к Р.)
66. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и
положительным направлением оси Ох обратно пропорционален
абсциссе точки касания.
67. Найти зависимость пути s от времени t при равномерном
прямолинейном движении со скоростью vQ, если s = s0 при t = ta-
(Указание. Составив дифференциальное уравнение движения,
воспользоваться общим решением в форме Коши.)
68. Материальная точка М массой m находится на абсолютно
твердой и несгибаемой нити ЛВ, вращающейся вокруг вертикаль-
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Найти уравнение кривой
АВ, если точка М находится в рав-
равновесии в произвольном положении
на этой кривой. (Указание. Пусть
Оу — ось вращения. Для сохранения
равновесия точки М(х, у) необходи-
необходимо и достаточно, чтобы направление
равнодействующей сил, действую-
действующих на точку (силы тяжести mg и
центробежной силы лкА), совпада-
° ■< ло с направлением нормали, к кри-
Рис. 20 в°й в точке М.)
26

3. УРАВНЕНИЕ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ
НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Общий интеграл. Для уравнения, не содержащего независимой
временной,
Аи
A)
геревернутым уравнением будет
-^-=-А_. (Г)
dy f(y)
Уравнение A') не содержит искомой функции х, и к нему
трименимо все сказанное в § 2 относительно уравнений такого типа.
Предположим, что f(y) непрерывна в интервале (с, d) и не
)бращается в нуль в этом интервале. Тогда правая часть уравне-
уравнения A') будет непрерывной функцией от независимой переменной у
з интервале (с, d), вследствие чего (см. § 2)
х = Г —— dy + С B)
J f(y)
является общим решением уравнения (Г) в области
с< y<d, \х\< -|- оо C)
л, следовательно, общим интегралом уравнения A).
Вся полоса C) заполнена непересекающимися интегральными
кривыми — графиками частных решений уравнения A). Из общего
решения B) ясно, что все интегральные кривые уравнения A),
входящие в общий интеграл, получаются из какой-либо одной сдви-
сдвигом вдоль осп Ох.
Задача Коши с начальными данными х0, Уо из полосы C)
;шеет единственное решение, причем это решение частное.
Общий интеграл B) можно переписать в форме Коши:
где хй играет роль произвольной постоянной; у0— фиксированное
число, заключенное между числами cud.
Особые .решения. Предположим, что правая часть уравнения
A) обраща-ется в нуль в некоторой точке у = г\ из интервала (с, d).
Тогда у — т[ будет решением уравнения A), так как, подставляя
у — ц в это уравнение, мы получим тождество 0=0. Это решение мо-
может оказаться особым.
Решение у = ц является либо огибающей, либо асимптотой
семейства интегральных кривых, образующих общий интеграл.
В первом случае решение у = ц будет особым, во втором — частным.
Непосредственное интегрирование уравнения A). Общий интег-
27

рал и особые решения уравнения A) можно найти, и не обращаясь
к перевернутому уравнению. Для этого, умножив обе части урав-
уравнения A) на dx, перепишем его в виде
dy - f (у) dx. D)
Разделив обе части этого уравнения на f (у), получим
= dx (Ш = 0?). (о)
В скобках указано то уравнение, которое следует рассмотреть пос-
после интегрирования уравнения E), ибо при делении обеих частей
уравнения D) на f(y) мы могли потерять те его решения, которые
обращают делитель ((у) в нуль. (Уравнение A) заведомо не имеет
особых решений, если функция f(y) непрерывно дифференцируема,
поэтому, например, уравнение у'=Р(у) с полиномиальной правой
частью особых решений не имеет.)
Интегрируя уравнение E), имеем 1 —— — х -\- С. Полученное
J f(y)
соотношение и представляет собой сбщий интеграл уравнения* A).
Рассмотрим теперь уравнение f(y) — O. Если оно имеет веще-
вещественные решения вида у = ц, то последние могут оказаться
особыми. Во всяком случае, других особых решений у уравне-
уравнения A) быть не может.
Заметим, что задача Коши
У' = t (у), У (х0) = Уо
равносильна следующему интегральному уравнению:
л.
У -Уо + J / (У)
dx
(почему?). Здесь неизвестная функция у входит под знак интег-
интеграла.
Поле направлений. В точках прямой у = Ь (c<b<d) направле-
направление поля, определяемого уравнением A), одно и то же: tg a = f(b),
поэтому каждая такая прямая является изоклиной. Отсюда
видим, что если f(y) непрерывна в интервале (с, d) и не обраща-
обращается в нуль в этом интервале, то все интегральные кривые получа-
получаются из какой-либо одной сдвигом вдоль оси Ох.
Если уравнение f(y) = O имеет вещественные решения у — ц, то
прямые у = г), будучи интегральными кривыми, разбивают плос-
плоскость (х, у) на полосы, в каждой из которых интегральные кривые
имеют один и тот же характер поведения в отношении возрастания
и убывания, причем интегральная кривая не может переходить из
одной полосы в другую, если все решения у = г\ частные.
Если же уравнение f(y) = O не имеет вещественных корней, то
интегральная кривая, проходящая через любую точку плоскости,
возрастает при f(y)>0 и убывает при f(y)<0. .
28

Уравнение вида —— = f {ах + by). Это уравнение приводится
dx
< уравнению, не содержащему независимой переменной, с помощью
юдстановки z = ax+by (b =£ 0), где г—новая неизвестная функция.
Действительно, так как z' — a-\-by', то z'=*a + bf(z). Это уравне-
ше вида A).
Примеры. J. Рассмотрим уравнение
dy
dx
- 1 -f у». F)
Правая часть его определена и непрерывна при всех значениях у и не обра-
дается в нуль. Так как она положительна, то все интегральные кривые возраста-
возрастают во всей области определения. Перевернутое уравнение
dx 1
dy I -!- w2
шеет общее решение
х = arctgi/ -j- С G)
з области | у J < + оо, )х| < + °° •
Следовательно, формула G) дает общин интеграл уравнения F). Общим ре-
решением уравнения F) будет
у = tg (х + Сй) (Cj = - С, - л/2 — С1<х< л/2 - d).
Особых решений нет.
Мы придем к тем же результатам, непосредственно интегрируя уравнение
F). Действительно, умножив обе части уравнения F) иа dx и разделив на \+у2,
олучям
^ = dx. . (8)
1 + У"
При этом мы яе теряем решений уравнения F), ибо делитель 1+(/2 не обраща-
обращается в нуль ни при каком вещественном значении у. Интегрируя уравнение (8),
находим
arctg у = х + С. (9)
Это и есть общий интеграл уравнения F). Общим интегралом в форме Коши
5удет
? dy
\ — = х — х0 илн arctgy — arctg!/o = х — х0. A0)
J 1 + у*
У«
Особых решений нет (почему?).
Найдем решение с начальным условием у=0 прн л:=0. Полагая в формуле
(9) х=0, у=0, имеем С=0, откуда искомое решение
arctg у = х или у = tg х (—л/2 < х < л/2). A1)
К этому же решению мы придем, воспользовавшись формулой общего интеграла
з форме Коши. Действительно, полагая в формуле A0) лго=О, уо=О, получаем
зешение A1). Прямые х = ±л/2 являются асимптотами этого решения (рис. 21).
2. В уравнении
~— --- 1- У2 A2)
dx
29

siss.
Ay
поэтому
——=dx (I _j,2 = 0?),
A3)
есть
вые, лежащие
У
уравнение 1^
\
Яис. 2/
3 Рассмо^р^^урГв'не^' ас"М1ПОТ'- интегральных кривых A3) (рис. 22).
dy /'1 г
. "ЛГ^'»'1-**- A4)
Здесь правая часть определена н непрерывна на отрезке Г—I 4-11 '>,„„„.„
«а концах этого отрезка она обращается в нуль О1Резке L L +1], причем
Интегрируя уравнение A4), получаем
dy .
'У\-уг *= dx ( Vl - У2 = 0?),
следовательно, общим интегралом уравнения A4) будет arcsin y=x+C, откуда
y = sin(*+C) (-я/2-С<ж<п/2_С). A5)
Из уравнения Т' 1 —i/2=0 находим прямые y=-hl Этн прямые явпяютгя осп
. Изучить поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением
_dy_
dx
= У' A6)
проинтегрировать его и построить семейство интегральных кривых (ср. пример 9
30

Прямые вида y—b — изоклины (рис. 24). Изоклина у=0 является интеграль-
интегральной кривой.
В верхней полуплоскости интегральные кривые возрастают, в нижней — убы-
убывают. Линий экстремумов нет.
Исследуем направление вогнутости интегральных кривых. Дифференцируя обе
части уравнения A6), получаем у"—у' нли, принимая во внимание уравнение
A6), у"=у. Отсюда ясно, что в верхней полуплоскости интегральные кривые во-
вогнуты вверх, а в нижней — вниз. Линий точек перегиба нет.
П
/ /
/ / / /
~t—t~t—r
/ / /.
y7 7 /
■ / / s.
Интегрируем уравнение A6):
dy _
У
\n\y\ = x + \n \C\, ! у | = | С \ех, у = ± Се*,
откуда получаем общее решение
У -= Cie*
Ci = + С).
Из последней формулы видно, что все отмеченные выше свойства интеграль-
интегральных кривых имеют место и интегральные кривые пе могут пересекать ось Ох.
Сама ось Ох является решением уравнения A6), н притом частным (почему?).
Она представляет собой горизонтальную асимптоту всех других интегральных
кривых уравнения A6) (рис. 25).
5. Составить дифференциальное уравнение семейства показательных функций
у = Се** (С Ф 0),
A7)
где k — заданное число; С—параметр семейства.
Дифференцируем обе части равенства A7) по х: y'=kCehx. Заменяя Cehxr
на у, получаем y'=ky. Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Его ре-
решениями будут все показательные функции A7) и функция у=0, содержащаяся
в формуле A7) при С—0.
Общее свойство всех этих решений, а следовательно, и общее дифференци-
дифференциальное свойство всех показательных функций A7) состоит в том, что скорость
изменения каждой функции пропорциональна значению самой функции. Именно
этим объясняется тот факт, что законы многих процессов выражаются в виде
показательной функции. Таков, например, закон распада радия, рассматриваемый
нлже, в примере 8.
6. Составить дифференциальное уравнение семейства полупарабол
у=(х+ СJ, х >— С.
Дифференцируя обе части уравнения A8) по х, получаем
if» = 2 (х + С).
A8)
A9)
Исключим С нз уравнений A8) и A9). Из уравнения A8) находим x+C=iy
(радикал берем с положительным знаком, ибо, согласно условию, х+С^О). Под-
31

ставляя значение х+С в равенство A9), получаем дифференциальное уравнение
у' = Ш
Общее свойство всех интегральных кривых, выражаемое этим уравнением, а
следовательно, и общее свойство всех полупарабол A8) (см. рис. 7) состоит в
том, что касательная к ним образует с положительным направлением оси Ох
угол, тангенс которого равен удвоенному корню из ординаты точки касания (при
этом сам угол для всех кривых A8) острый). Интегральными кривыми этого
уравнения будут полупараболы A8) и их огибающая г/=0 (особое решение).
7. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и положитель-
положительным направлением оси Ох равен квадрату ординаты точки касания. Выделить
кривую, проходящую через точку М@,1).
>'*
Рис. 25
Дифференциальным уравнением задачи будет
у' = у2.
О
Рис. 26
Интегрируем его:
следовательно, общее решение уравнения B0) имеет вид
B0)
—— =dx (у=07), — =-х-\-С,
У2 У
У
1
х -I--C
B1)
Оно представляет собой (при Сфоо) семейство равнобочных гипербол, асимпто-
асимптотами которых служат ось Ох и прямые х =—С; г/=0 (ось Ох) —частное решение
(С=оо).
Заменяя в общем решении B1) хну координатами точки М, находим С =
=—1. Поэтому решением задачи Коши у'~у2, г/@) = 1 будет г/=1/A—х)
(—оо<х<1). Оно представляет лишь ту ветвь равнобочной гиперболы
у-1/A-х) B2)
с асимптотами у—О и х=\ (рис. 26), которая лежит в верхней полуплоскости.
Ветвь, лежащая в нижней полуплоскости, также является интегральной кривой
уравнения B0) (почему?). Таким образом, гипербола B2) и будет искомой кривой.
8. (Задача о распаде радия [24]). Известно, что скорость распада радия про-
пропорциональна его наличному количеству. Найти закон распада радия, если из-
известно его первоначальное количество и период Т полураспада, т. е. время, в тече-
течение которого распадается половина первоначального количества радия. Какой
процент радия окажется распавшимся через 100 лет, если Г=1600 лет?
Обозначим через R количество радия в момент времени t, а через Ra его
первоначальное количество (в момент времени t=0). Тогда скорость распада
равна dR/dt. Она отрицательна (ибо R есть убывающая функция от t). Согласно
условию задачи,
JE- = _kR iR>Oh B3)
dt
где k — некоторое положительное число.
32

Интегрируем уравнение B3):
dR
R
■-= — kdt, In R = — kt + In |Ci|,
ткуда
B4)
Найдем С и fe. Для определения произвольной постоянной С воспользуемся
«ачальным условием R=R0 при /=0. Подставляя в формулу B4) R=Ro, t—0,
юлучаем /?о = С. Следовательно1,
=- D.o-kt
R = Roe
B5)
Для нахождения k воспользуемся указанным в задаче «промежуточным услови-
м» R — Ro/2 при t = Т. Полагая в формуле B5) R = R0/2, t = Т, получаем
Jo/2 = Roe~hT, откуда
J
InA/2) In 2
Подставляя найденное значение k в формулу B5), получаем искомую зависи-
зависимость R от t:
(ЛН
R--^Ro2-t/T. При Г =1600
i? A00) = #0e-°'043> R 000I Ro = е-о,О43 = 0,958.
Следовательно, через 100 лет распадется 4,2% первоначального запаса радия.
9. (Задача о вытекании жидкости из сосуда.) Найти время Т (с), за которое
жидкость, заполняющая коническую вороику высотой Н (см) с углом при верши-
вершине 2а, вытекает из нее через малое отверстие площадью 5 (см2), вырезанное в вер-
вершине конуса (рис. 27), если известно, что скорость v (см/с) вытекания жидкости
выражается формулой v = k^2gh, где &=const (для воды £=0,6), g (см/с2) —
ускорение свободного падения, h (см) — высота столба жидкости над отверстием.
Подсчитаем объем жидкости hV, вытекшей через отверстие в дне воронки за
промежуток времени ЛД Он с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно &.t равен объему ци- i
линдра с площадью основания 5 и высотой
vh.t, т. е. -j._
AV = Sk~\/2gh bt+o (ДО,
где о (АО — бесконечно малая функция от
/ при Д/-М) более высокого порядка мало-
малости, чем Ы.
. За промежуток времени /S.t уровень жид-
жидкости в воронке понизится на A/t. Вычислим
объем слоя жидкости AVb заключенного
между уровнями h и й+Д/г (ЛА<0). Этот
слой представляет собой усеченный конус.
Заменяя последний цилиндром с той же вы-
высотой Дй и основанием, равным верхнему
основанию конуса, получаем
AV =
о (Ы)
3. Зак. 1213
33

Следовательно,
л/** tg2 аДЛ = — S/г T/2gF Ы + о (M),
откуда
А* „.-я/2 , о(AQ S
Переходя к пределу при Л< ->• 0, имеем
B6)
Это и есть дифференциальное уравнение нашей задачи. Требуется найти его ре-
решение, удовлетворяющее начальному условию
Л = Я при 1 = 0, B7)
и время i ~ Т, при котором h = 0.
о
Интегрируя уравнение B6), получаем Л5/<2=—\it + С. Используя началь-
5
2
ное условие B7), находим С= —— Я5'2- Следовательно,
о
B8)
Полагая в уравнении B8) t = T, h = 0, получаем
2
0 = — р.Г + — Я5/2,
откуда
Т = 2 //5/2
5[д,
10. Найти решение интегрального уравнения
p 1 J
у = 2 + \ — dx. B«
Приведем это уравнение к соответствующей ему задаче Коши для обыкно-
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Дифференцируя обе
части уравнения B9) по х, получаем
у' = Чу- C0)
Нужно найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию
г/ = 2прих = 2 C1)
(ибо, полагая в уравнении B9) .v=2, получаем у=2). Интегрируем уравнение
C0):
dd
Полагая х=2, у=2, находим, что С=0. Искомым решением задачи Коши C0),
C1), а следовательно-, и данного интегрального уравнения B9) будет
34
11. Рассмотрим уравнение
у'= cos (х-у). C2)

"Положим г = х — у- Тогда г' = 1 — у', г =1 — cos г- Отсюда
dz с dz
= dx (I — cos г = 0?), =
1 — cos г J 1 — cos г
r dz = x + C, -ctg-J- = * + C
J 2sinM*/2) ~ЛЛ^' s 2
Следовательно, общим интегралом уравнения C2) будет
Особых решений нет (почему?).
12. Проинтегрировать уравнение
у' = V Ъх + 2г/ч —3/2. C3)
Положив 3x+2j/=z, придем к уравнению z'=2Vz. Оно имеет общее решение
г=(х-\-СJ, х>—С, и особое решение z=0. Поэтому общим и особым решениями
данного уравнения C3) будут соответственно:
13 3
У=~ (* + СJ ^-х,л:>-С; у = — — лг.
(Сделайте рисунок.)
В задачах 69—96 проинтегрировать уравнение.
69. у' = еУ , 70. у' = 2~». 71. г/' --- «/2A + J/2J.
72. у' — у + I. 73. у' -■ cos2 у. 74. г/' = sin у.
75. у' = cosr/. 76. у' = kyn. 77. г/' = f + 1.
78. у' = i/2 + а. 79. у' = 1 + 1/#2. 80. </' = 1 + 1/г/.
81. y' = dgy. 82. у' = у\пу. 83. г/' = In г/.
84. у' = г/Уу- 85. г/'=2УЩ". М.у' = х + у+1.
87. у' = (х + уJ. 88. у' = Dх + г/ — IJ.
89. у' =.• ех+У — 1. 90. у' =г 1- .
х'+ у— 1
91. у' = — у1—2ху — х*. Найти асимптоты интегральных кривых.
92. у' = Уу — х. 93. у' = Л/у — х + 1. (Сделать рисунок.)
94. y' = Vx2—у-\-2х. (Указание. Сделать подстановку х"—y=z.)
95. (у — х) У\+хгу' = A + ysK/2. (Указание. Сделать подста-
подстановку х — tg«, у — tg v.)
96. (qx—py)dx+(px+qy)dy=O. (Сделать рисунок.) (Указание.
Перейти к полярным координатам x = rcosq>, y = rsinq>.)
В задачах 97—104 проинтегрировать уравнение и выделить ин-
интегральную кривую, проходящую через заданную точку М(хо,Уо),
выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности
ее, о направлении касательной и направлении вогнутости интег-
интегральной кривой в точке М; сделать два рисунка (схематический
предварительный рисунок и график найденного решения).
з* 35

97. у' -----у; Af(O, 1). 98. у'^ -у; М@, 1).
99. у' = — у2; М@, 0), AfA, 1). 100.у' = у— 1; МA, 1).
101. у1 =-- 1/у; М@, 0).
102. y'-2V^; М{— 1, 1), ЛЦО, 0).
103. у' = 33/уГ; М@, 1), М@, 0).
104. у' = ТАу2 — 1 ; М{0, 1/2). (Указание. При вычислении ин-
интеграла Г —, воспользоваться подстановкой у— ch/. I
В задачах 105-112 найти решения вида у- Ъ.
105.
108.
111.
у' —
У' =
У' =
у*-
У* +
1
1.
1.
106.
109.
112.
у'
У'
У'
— У
-2
*~Ьу
,2/3.
Vy-i
+
- 1
6.
107.
110.
у'
У'
== sin у.
В задачах ИЗ—116 найти вертикальную и горизонтальную
асимптоты интегральной кривой, проходящей через заданную точку
М(х0, у о); сделать рисунок.
113. у' - 1 + у2; М@, 0). 114. у' ---—у2; М{0, 1).
115. у' = у; М{0, 1). 116. у'---у3— 1; М@, 1).
В задачах 117—125 определить область задания уравнения, об-
область существования решения задачи Коши, область существова-
существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направ-
направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением (найти
изоклины, построить изоклины у' = 0, у'=±\, у'=оо, определить
направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать
области возрастания и убывания решений, найти линии экстрему-
экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек пере-
перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства
интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все
решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности
особых линий, на границе области задания уравнения и на беско-
бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых;
сделать рисунок.
117. у' = -у. 118. у' - у\ _ 119. у - 1 Ь у\
120. у' = 1/у. 121. у' = 2 Уу . 122. у' ^--2"V\y\-
123. y' = 3yVK Ш.у'^еУ. 125. у' = — у1 — 2ху — х\
В задачах 126, 127 составить дифференциальное уравнение за-
заданного семейства кривых; выяснить, какое общее свойство кривых
этого семейства оно выражает.
126. у = — \1(х + С). 127. у" = 2р(х + С).
В задачах 128—131 найти решения интегрального уравнения.
X X
128. у = I" er«dx (лг> 0). 129. у = J ydx + 1.
1 0
36

130. у - 2 J Vy dx. 131. Vy --■= j ydx.
132. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной
и положительным направлением оси Ох прямо пропорционален ор-
ординате точки касания.
133. (Задача об охлаждении тела в воздухе.) Согласно закону
Ньютона, скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна
разности между температурой тела и температурой воздуха. Найти
закон охлаждения тела, если температура воздуха 20 СС и тело в
течение 20 мин охлаждается от 100 до 60 °С. Через сколько минут
его температура понизится до 30 СС?
134. Допуская, что в вертикальном воздушном столбе давление
на каждом уровне обусловлено давлением вышележащих слоев,
найти зависимость давления р от высоты h, если известно, что на
уровне моря (/г = 0) это давление равно 9,81-104 Па, а на высоте
500 м — 9,016-104 Па. (Указание. Определить, насколько изме-'
нится величина давления воздуха при переходе от слоя на высоте h
к слою на высоте h + dh, воспользовавшись законом Бойля—Мари-
отта, т. е. считать, что плотность воздуха р пропорциональна дав-
давлению р.)
135. Пользуясь полярными координатами 0 и г, найти кривые
г=г@), пересекающие все радиусы-векторы под углом о), где tg<o=a.
(Указание. Воспользоваться формулой tg(o--r/r'e. Так как <о = а—9
(рис. 28), то
tga — tg6
t£
(О =
Но
tgatge
(rsinO); r'sine
dx
(г cos в): г'cosB —/-sine
tge=
JL
X
поэтому tgco = г/К.)
Рис. 28
f и
Рис. 29
136. Найти кривые, у которых поднормаль PN (рис. 29) всюду
равна р. (Указание. Воспользоваться формулой длины поднор-
поднормали PN=yy', PN.— отрезок, направленный от Р к N.)
37

137. Найти кривые, для которых сумма длин отрезков нормали
MN и поднормали PN (см. рис. 29) есть величина постоянная, рав-
равная а. (Указание. Воспользоваться формулой длины отрезка нор-
нормали MN = \yVl +у'г \.)
4. УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение с разделенными переменными. Если дифференциаль-
дифференциальное уравнение имеет вид
X{x)dx-r Y{y)dy = О,
где коэффициент при dx зависит только от х, а коэффициент при
йу — только от у, то говорят, что в нем переменные разделены.
Общим интегралом такого уравнения в предположении, что
обе функции X и У непрерывны, будет
или
-С. B)
Уо
Особых решений нет.
Если Х(х0) и Y(y0) не равны нулю одновременно, то решение с
начальными данными х0, у0 можно найти обычным способом по
общему интегралу A) или, еще проще, по общему интегралу B)',
положив в нем С = 0:
O. C)
X, Уо
Если же X(xo) = Y(yo) = O, то решение с начальными данными
х0, уо может не существовать или быть не единственным.
Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение
mix)п (У) dx + mi (*) ni (У) dy = ° D)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Умножая
обе части уравнения D) на , получаем уравнение с
щ(х)п{у)
разделенными переменными:
x) = 0, n(y) = 07). E)
^dx + dy o (mi(x) , (y) 0)
Общим интегралом этого уравнения, а следовательно, и
уравнения D) будет в предположении, что все функции т(х), п(у),
1Щ(х) и rii(y) непрерывны,
38

или
J
X
J
' -dx-
n(y)
где mjxo) =7^=0, п(уо)ф0.
Рассмотрим уравнения т1(л') = 0, п(у) = 0, отмеченные в фор»
муле E) в скобках. Если они имеют вещественные решения вида
х=а, у = Ь, то х=а (уфЬ), у = Ь (хфа) будут решениями уравнения
D). Эти решения, и только они, могут оказаться особыми.
Решение с начальными данными х0, Уо при условии, что mi(xo)=j^-
ФО, п(уо)ФО, а т(х0), nj(y0) не равны одновременно нулю, дается
формулой
I ffliW i, n(y)
Если т(хо) = П\(уо) = 0, то не гарантируется ни существование,
ни единственность решения.
В случае, когда начальная точка (х0, у0) лежит на одном из от-
отмеченных выше решений вида х=а (уфЬ), у=Ь (хфа), причем это
решение частное, других решений, проходящих через точку (х0, у0),
нет. Если же это решение особое, то оно касается в топке (х0, г/о)
некоторой интегральной кривой, содержащейся в общем интеграле
при соответствующем значении С.
Наконец, если хо=а, уо = Ь, то поле в начальной точке (а, Ь) не
определено. К этой точке примыкают решения х=а (уфЬ), у — Ь
(хфа).
Уравнение вида
~-h(x)h(y) F)
dx
есть уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные:
dy =fdx)dx (Ш0?)
Ш
Общим интегралом будет
h(y)
Если уравнение fz(y) = 0 имеет вещественные решения вида
у = Ь, то прямые у = Ь будут решениями уравнения F). Эти
решения могут оказаться особыми. Других особых решений
быть не может.
39

Примеры. 1. Найти общий интеграл уравнения
dy = 0 G)
И выделить интегральную кривую, проходящую через точку @,0).
Согласно уравнению A), общим интегралом уравнения G) будет
J xdx + J(»+l)dy=-C или ~y~ + -£— + у = С.
Полагая в нем а'=0, у=0, находим, что С=0. Искомой интегральной кривой
будет д:2+г/2+2г/=0.
Эту же интегральную кривую мы можем получить, не находя общего интег-
интеграла, а пользуясь формулой C):
х у
\xdx+\ (y+l)dy=0, x2+y* + 2y = 0.
о о
2. Рассмотрим уравнение
d + d Q- (8)
В точке *=0, г/=0 поле не определено. Общим интегралом уравнения (8)
будет
К началу координат не примыкает ни одна интегральная кривая.
3. Пусть дано уравнение
xdy + ydx = Q. (9)
В начале координат поле не определено.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
— + — =-0 (у = 0, * = 0?), 1п|у|+1п|х|=1п|С|.
У х
Решения х=0 (уфО), у=0 (хфО)—частные. (Убеждаться в этом нет не-
необходимости, нбо уравнение (9) заведомо не имеет особых решений, так как ко-
коэффициенты при dx и dy суть полиномы.) К началу координат примыкают
только эти решения.
4. Рассмотрим уравнение
х(\ + г/2) dx -j- у A +x*)dy = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
1 1Х2 dx+
К началу координат не примыкает ни одна интегральная кривая.
5. Пусть дано уравнение
х* (у + 1) dx + (х». — 1) (у - 1) dy = 0.
Разделяем переменные:
£-— dx+ У~\ dy = Q (x»-l=0, »+1
х3 — 1 у + 1
Интегрируя, получаем
-i-In |,x3-l|-f у_21п|у+1| = С.
О
40

Далее из уравнений х'-—1=0 и #+1=0 находим х=\, у =—1. Эти реше-
решения — частные.
6. Проинтегрировать уравнение
2у У by — y*dx — (Ь* -L *з) dy = 0 .A0)
и выделить интегральную кривую, проходящую через точку @, Ь).
Разделяем в уравнении A0) переменные и интегрируем:
2dx dy o (
A1)
Далее из уравнения УУЬу—у2—0 находим решения уравнения A0): у=0,
у=Ь. Первое из этих решений частно е, второе — особое.
- Прежде чем выделить интегральную кривую, проходящую через заданную
точку @, &), заметим, что и этой точке поле определено, но она лежит на особом
решении у=Ь, поэтому в ней нарушается единственность решения.
Полагая в общем интеграле A1) х = 0, у — Ь, находим С -- 0, так что через
заданную точку @, Ь) проходит интегральная кривая arctg -f- I/ = 0
b ' у
и, кроме того, у ■- Ь-
7. Рассмотрим уравнение
(/'= — 2ху.
Это уравнение вида F). Разделяя переменные, получаем
dti
-1- =—2xdx (i/=-0?).
У
Отсюда
In I У I =- - xi -f In | С |, | у | -: \C\\ e-*\ y=±
или у = C^e-x2 (Cj - ±C).
Решение у = 0 — частное. (Сделать рисунок.)
8- Пусть даио уравнение
(xy — x)dx-\ (xy-\-x — y—\)dy = 0.
Разложив коэффициенты при dx и dy на множители, получим уравнение с раз-
разделяющимися переменными
х (у - 1) dx -L- (х - 1) (у + 1) dy ■■■= 0.
Находим общий интеграл:
*4 ln|*-l| + #-|-21n|j/—1|=С.
Особых решений нет.
В задачах 138—147 проинтегрировать уравнение.
138. (х 4- 2х3) dx 4- (у 4- 2д3) dy =- 0.
JJ ' 140. JH 4- JL =
4B

145. у' = У у /х. 146. {у*+Ху*-)йх+{хг—ух1)
147. A + у"-)(e2xdx — e»dy) — (l+y)dy = O.
В задачах 148—152 проинтегрировать уравнение и выделить
интегральную кривую, проходящую через заданную точку М(х0, у0),
выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности
этой интегральной кривой.
148. {l—x)dy — ydx= 0; М@, 1).
149. dx — V\—x*-dy = 0; M{\, я/2).
150. х У1 — у- dx + у У1 — х1 dy = 0; М{\, 0), М@, 0).
151. xdy — ydx-^0; М{1, 1), М{\, 0), М@, 1), М@, 0).
152. у' =ycosx; М@, 1).
В задачах 153—161 определить область задания уравнения, об-
область существования решения задачи Крши, область существова-
существования и единственности; указать особые точки и особые линии; изу-
изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным
уравнением (найти изоклины, построить изоклины у' — 0, у'=±\,
у' = оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях
координат, указать области возрастания и убывания решений", най-
найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти
линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический на-
набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравне-
уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кри-
кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе облас-
области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду
семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
2
153.
156.
159.
161.
У'
У'
У'
х(
= 2ху.
= у cos х.
= у! Ух .
[y*-l)dx^
154.
157.
160.
-У(хг-
У'
У'
У'
—
2ху
1 — х1.
= — у sin х.
= У^"/Ух".
l)dy = 0.
155.
158.
у' =
У' =
3
1 .11-111
2
Vy
JC2
В задачах 162, 163 составить дифференциальное уравнение задан-
заданного семейства кривых.
162. In у = Ctg(x/2). 163. A + х2)A + г/2)]= Су\
В задачах 164, 165 найти алгебраический общий интеграл уравне-
уравнения, воспользовавшись следующей теоремой: если \pt (x, у) = Ct есть
общий интеграл уравнения М {х, y)dx + N {х, у) dy = 0, то Ф (г^) =
= С2, где Ф — любая непрерывно дифференцируемая функция, тоже
является общим интегралом этого уравнения. (Выбрать функцию Ф.)
164. У1 — уг- dx + У1 — хг- dy = 0.
165. A + Уг) dx + (Г+ л--2) dy = 0.
В задачах 166—169 найти по виду уравнения кривые, подозри-
подозрительные на особое решение, и проверить, будут ли они особыми ре-
решениями.
166. у' = Уу~1Ух~. 167. у'
42

\ 168. t/ = У1 — у* /у + а. 169. у' - ху2/'3.
В задачах 170—174 доказать но виду уравнения, что оно не име-
имеет особых решений.
170. у' = {х2 — х)(\ +у3). 171. у' = sii
172. у' == еУ/х. 173. у' ^х
174. (у + у° — х-у — х~</2) dx + (Л/ ~ 8г/ — х3 + 8) ф - 0.
В задачах 175, 176 найти по общему решению кривые, подозри-
подозрительные на особое решение, и проверить, будут ли они особыми ре-
решениями.
175. у' = 2 Vyfx; у = Aпх + СJ.
176. у' = 4х УгР7!; г/ - (х2 + СJ + 1-
177. Найти кривые, у которых отрезок касательной, заключен-
заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Вы-
Выделить кривую, проходящую через точку М B, 3).
178. Найти кривые, у которых угол 0 между полярной осью Я
радиусом-вектором точки касания равен углу со между продолже-
продолжением радиуса-вектора и касательной.
179. Материальная точка М массой m находится в состоянии
равновесия в произвольном положении на абсолютно твердой и не-
несгибаемой нити АВ. Найти уравнение кривой АВ, если на точку
М действуют две силы: одна параллельна положительному на-
направлению оси Ох и пропорциональна абсциссе точки, другая па-
параллельна положительному направлению осп Оу и пропорциональ-
пропорциональна ординате точки. (У казани е. См. задачу 68.)
180. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу
диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие диаметром
0,2 м, вырезанное в дне чаши, если скорость вытекания воды у =
= 0,6"|/2g/i (см/с), где h — высота столба воды над отверстием?
181. Найти алгебраический общий интеграл уравнения Эйлера
у=- + ~М=- =- 0, где X - а0*4 + atxs -\- агх- -\- а^х -|- я4; Y - aotf +
+ aiy3 + агу% 4- а3у + а4.
5. ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ И ПРОСТЕЙШЕЕ УРАВНЕНИЕ,
ПРИВОДЯЩЕЕСЯ К ОДНОРОДНОМУ
Однородное уравнение. Уравнение
М(х, y)dx + N(x, y)dy = O, A)
в котором М и N —однородные функции одной и той
ж е степени, т. е. обладают свойством
f(tx, ty) = tmf{x, у)
при всех t или хотя бы при t>0 (положительно однородные), назы-
называется однородным (положительно однородным).
4а

Уравнение A) всегда может быть приведено к виду
х
Отсюда видно, что поле направлений, определяемое однородным
уравнением, не задано в начале координат, поэтому начало коорди-
координат является особой точкой однородного уравнения.
'Изоклинами однородного уравне-
уравнения будут полупрямые y = kx (хфО),
выходящие из начала координат и
лежащие в области задания уравне-
уравнения. Поэтому все интегральные кри-
кривые, пересекающие такую полупря-
полупрямую, образуют с ней (в точках пере-
пересечения) один и тот же угол б
с(рис.30).
Если k удовлетворяет условию k =
Рис 30 =ф('/г_)) то изоклина y = kx (хфО) бу-
будет интегральной кривой однородного
уравнения B).
Однородное (и положительно однородное) уравнение приводит-
приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью заме-
замены искомои функции у по формуле
У = гх, C)
где z — новая искомая функция. Выполнив подстановку C) в урав-
уравнении B), получим
xdz + (z ф (z)) dx = 0.
Предполагая, что у(г)щкг, и разделяя переменные, приходим к
уравнению
*± + —= 0 (х = 0? z —q>(z) = O?).
г — ф(г) х
Интегрируя его, находим
Г dz +ы\х^с
J г-ф(г)
или
dz
z — ф (г)
откуда г|з{у/х) -\-\n\x\ = С. Это общий интеграл однородного уравне-
уравнения B).
Замечание- Если г|з(г) окажется неэлементарной функцией, то общее
решение однородного уравнения B) может быть записано в параметрическом
виде х = Сге~^г\ у = Cize~^zK (Здесь х н у выражены через параметр г.)
44

Особыми решениями однородного уравнения B) могут быть полу-
полуоси Оу (х = 0 {уФЩ) и полупрямые у = ztx (хфО), где zt — корни
уравнения г — ф (г) — 0.
Если ф (z) = z, то однородное уравнение B) принимает вид
dy_
dx
JL
х
B')
и становится уравнением с разделяющимися переменными. Решения-
Решениями этого уравнения являются полупрямые
примыкающие к началу координат, которое является особой точ-
точкой уравнения B'). Особых решений уравнение B') не имеет.
Для интегрирования однородного уравнения, заданного в виде
A), нет необходимости приводить его к виду B). Выполняя в урав-
уравнении A) подстановку C), приходим к уравнению с разделяющи-
разделяющимися переменными, интегрируя его и возвращаясь к искомой функ-
функции у, находим общий интеграл. Особыми решениями могут быть
только полуоси оси Оу и полупрямые y = ZiX (хфО), где z = zt—
особые решения упомянутого выше уравнения с разделяющимися
переменными. При этом однородное уравнение A) заведомо не
имеет особых решений, если функции М(х, у) и N(x, у) являются
полиномами от х и у (почему?).
Иногда целесообразно нмосто подстапонки C) использовать
подстановку x=zy.
Простейшее уравнение, приводящееся к однородному. Рассмот-
Рассмотрим уравнение вида
"-У f I "l-v I "\tJ I -I | /д%
Если
dx
ах -}- by + с
E)
то это уравнение с помощью подстановки x=g+a, £/=т] + р, где g
и т) — новые переменные, а а и р — некоторые постоянные числа,
определяемые из системы
аа. -f Щ -f- с —
приводится к однородному уравнению
dn]
Если
ц I
= 0 (ЬфО),
45

то уравнение D) принимает вид
dy _ t ( k {ах 4- by) -f
dx
= f
ax + by -f с
Полагая z = ax 4- by (см. § З), приходим к уравнению, не содержа-
содержащему независимой переменной.
Примеры. 1. Найти общее решение и изучить поведение интегральных кривых
уравнения
dy 1y
~х-— F>
в окрестности особой точки х=0, #=0.
В этом уравнении переменные непосредственно разделяются. Интегрируя, на-
находим у=Сх2 (хфО).
Если принять во внимание перевернутое уравиенне, то решениями уравнения
F) будут также и полуоси оси Оу: х=0 (уФО).
Расположение интегральных кривых в окрестности особой точки указано на
рис. 31. Вся окрестность этой особой точки заполнена пересекающимися интег-
интегральными кривыми, каждая из которых примыкает к особой точке с определен-
определенным направлением касательной, причем это направление, за исключением полу-
полуосей оси Оу, у всех интегральных кривых одно и то же. Особая точка с таким
расположением интегральных кривых называется обыкновенным узлом.
Рис. 31
1. Рассмотрим уравнение
Рис. 32
dy
dx
Его решениями будут полупрямые: у=Сх (хфо), л:=0 (у¥=0).
Расположение интегральных кривых в окрестности особой точки х=0, у=0
указано на рис. 32. Такая особая точка называется дикритическим (особым)
узлом. Здесь, как и в случае обыкновенного узла, все интегральные кривые
примыкают к особой точке, но каждая из них имеет свое направление.
3. Рассмотрим еще один вид узлов. Пусть дано уравнение
dy
dx
у
G)
.46

Положим у = гх. Тогда
dy
dx
dx
dz
dx
+ г. Подставляем эти значения у и
в уравнение G):
dz
—
dx
х + гх dz
или х = 1,
х dx
откуда г = In | х | + С. Подставляя это значение г в формулу у = z*, получаем
0 = *Aп|*| + С) (хфО). (8)
Все эти интегральные кривые, так же как и полуоси ови Оу, примыкают к особой
точке х = 0, у = 0, ибо
lim y= lim * (In | * | + С) = О,
х-*0 х-+0
яо в отличие от обычного узла все они имеют одно и то же направление ка-
касательной в особой точке, а именно касаются оси Оу, так как у' = In | x | -j-.C +
+ 1-—оо при х -*0. Такая особая точка называется вырожденным узлом (рис. 33).
Исследуем поле направлений, определяемое уравнением G) (см. задачи
153-161).
Прежде всего отметим, что уравнение G) и определяемое нм поле направ-
направлений заданы всюду, кроме начала координат.
Через каждую точку плоскости (х,у), кроме начала координат, проходит одна
и только одна интегральная кривая (почему?).
S
Рис. 33
Изоклинами являются все полупрямые, выходящие из начала координат.
В частности, все интегральные кривые пересекают полуоси оси Ох под углом л/4
(ом. рис. 33, а), а в точках полуосей оси Оу касательные к интегральным кривым
параллельны оси Оу.
Найдем области возрастания и убывания решений. Это будут области, в ко-
которых производная у' соответственно положительна или отрицательна. Неравен-
Неравенство (x-\-y)/x>Q выполняется в областях х<0, у<—х; х>0, у>—х (на рнс.
33, а онн заштрихованы). В этих областях решения возрастают. В областях х<0,
у>—X; л:>0, у<с—х решения убывают.
Для нахождения лнннй экстремумов решений приравняем нулю правую часть
уравнения G), Получим полупрямые у=—х (х<0), у=—х (л:>0). Рассмотрев
области возрастания и убывания решений (рнс. 33, а), увидим, что этн полупря-
полупрямые являются линиями экстремумов, причем у=—х (х<0) — линия максимумов,
а у——х (х>0) — линия минимумов (см. рнс. 33, б). Это следует также из изу-
изучения знака второй производной у", вычисленной исходя из уравнения G), на

указанных полупрямых
У"
О+У')х-(х
1
G)
G) Х- G)
Направление вогнутости интегральных кривых определяется знаком второй
производной, вычисленной исходя из дифференциального уравнения. Из формулы
G') следует, что слева от оси Оу (х<сО) интегральные кривые вогнуты вниз, а
справа — вверх. Поэтому только ось Оу подозрительна на линию точек перегиба
интегральных кривых. (Это следует также из того, что вторая производная у",
вычисленная исходя из дифференциального уравнения G), не обращается в нуль,
но обращается в бесконечность на оси Оу.) Однако полуоси осн Оу не могут быть
линиями точек перегиба интегральных кривых, так как сами являются интеграль-
интегральными кривыми и лежат и области единственности. Следовательно, линий точек
перегиба интегральных кривых нет.
Выполненное исследование дает возможность сделать некоторые заключения
о поведении интегральных кривых уравнения G). Интегральная кривая (решение),
начинающаяся в третьей четверти, возрастая, пересечет ось Ох под углом я/4,
затем, продолжая возрастать, полупрямую у=—х (л<0), достигнет в точке пере-
пересечения максимума и далее будет убывать. Но так как решение не может пересечь
ни верхнюю полуось оси Оу, нн полупрямую //=—х (х<СО) (почему?), то оно,
оставаясь во второй четверти, примыкает к особой точке х=6, у = 0 —• началу
координат. Интегральные кривые справа от оси Оу педут себя аналогично. При-
Примыкая к особой точке, решение сначала убывает до пересечения с полупрямой
у=—х (х>0). В точке пересечения с этой полупрямой оно имеет минимум, а
затем возрастает.
Поведение интегральных кривых уравнения G) изображено схематически на
рис. 33, б.
Из общего решения (8) видно, как ведут себя интегральные кривые, входя-
входящие в эту формулу, прн д->-|-оо и х-*-—оо. Они определены при всех х, кроме
лг=О, причем
У = х (In | х | -L С) ч- -|- оо при *■* + ■»,
у — х (!п | х | + С) -*■ — °° ПРИ х - — °о .
Интегральные кривые (8) получаются из одной с помощью преобразования
подобия с центром подобия в начало координат.
4. Для уравнения
dy У
решениями будут
dx х
= С/х (х Ф 0), х = 0 (у 4*= 0).
Здесь к особой точке *==0, #=0 примыкает только конечное число интеграль-
интегральных кривых, а именно только полуоси осей координат. Такая особая точка на-
называется седлом (рнс. 34).
Рис. 34
Рис. 35
48

Заметим, что четыре интегральные кривые у=0 (хФО), х=0
(j/=0) (полуоси осей координат) являются асимптотами семейства интег-
интегральных кривых. Они называются сепаратрисами седла.
5. Рассмотрим уравнение
dx x-y ■
dy dz '
Положим у = гх, тогда = х \- г. Отсюда
dx dx
dz l+г 1 —г dx
x4x-+z--T=7-'^T^dz~ — =
arctg z - — In A + z«) - In | x | = In |
. arctg — - —- In («• + i/2) = Щ | d
с =
Переходя к полярным координатам по формулам A:=rcos6, i/=rsin9, полу-
получаем общее решение уравнения (9) в виде
Это есть семейство логарифмических спиралей. Все они примыкают к особой точке
х=0, у=0 (рис. 35), бесконечно навиваясь на нее, когда 0->~ос. В подобных
случаях особая точка называется фокусом.
Заметим, что тот же вид общего решения уравнения (9) можно получить
быстрее, если сразу перейти в уравнении (9) к полярным координатам. В этом
случае dr/dQ=r, откуда г=Се& ,
6. Для уравнения
dy _ _х_
dx у
общим интегралом будет
х" + у2 -■= С-.
Расположение интегральных кривых в окрестности особой точки л;=0, i/=O
показано на рнс. 36. Ни одна из них не примыкает к особой точке. Окрестность
особой точки целиком заполнена замкнутыми интегральными кривыми, которые
содержат внутри себя эту точку. Такая особая точка называется центром.
7. Проинтегрировать уравнение
(х°+-2xy — yi)dx-\-(у*-[r2xy — xi)dy =■--<) A0)
и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) B, 2); б) A, —1);
в) @, 0). ;
Положим у = гх. Тогда dy -- xdz -{- zdx и
dx + (г2*2 — 2*2z — х*) {xdz + zdx) ■--= 0.
Сократим па л:2 и соберем члены при dx и dz:
(гз -f г2 + г -f 1) dx -f (z2 + 2z — 1) xdz = 0.
Разделим переменные:
4. Зак. 1213

Интегрируя, получаем
или
In | х | — In | z + 1 H- In (z* + 1) = In | d |
-J^±!L = c (C=±|Cl|).
Заменив здесь г на у/х, получим общий интеграл уравнения A0) в виде
Зто семейство окружностей
& + у* = С(х + у) (СфО, Сф со)
(из которых нужно исключить начало координат) и полупрямые
х + у = 0 (хфО, С= оо).
Записав семейство A1) в виде
С \2 / С \2 С*
) + -—
A1)
A2)
A3)
заметим, что центры всех окружностей A3) лежат на прямой у=х н что в начале
координат все они касаются прямой у+х=0 (рнс. 37).
Особых решений нет, ибо равенство z+l=0 не приводит к особым решениям
уравнения A0), а полуоси осн Оу даже не являются решениями этого уравнения.
(Отсутствне особых решеннй следует уже из того, что коэффициенты при dx и dy
в уравнении A0) суть полиномы относительно х н у.)
Займемся теперь решением поставленных задач Коши:
а) полагая в уравнении A1) х=2, f/=2, находим С=2, поэтому искомым
решением будет хг+уг=2(х-\-у) или (х— 1J+(У—1J=2. Решения A2) не про-
проходят через точку B, 2);
б) ии одна из окружностей A1) не проходит через точку A, —1). Зато полу-
полупрямая у=—х @<л:< + оо) проходит через эту точку и дает искомое решение;
в) к началу координат примыкают рее интегральные кривые. В отлнчие от
.случаев «а» и «б» здесь решение задачи Коши не единственно.
8. Для уравнения
Ху' = Зу — 2х — 2 Уху —
(Н)
найти интегральную кривую, проходящую через точки: а) A, 2); б) A, 1);
в) @, 0).
Прежде всего заметим, что уравнение A4) положительно однородное. Оно
У,
Рис. 36
Рис. 37
50

задано только в той части плоскости, где подкоренное выражение неотрицатель-
неотрицательно: ху—х2^0, а именно: иа полупрямых х=0 (уфЪ), у=х (хфв) и в области,
определяемой неравенством ху—х2>0, или х(у—х)>0, т.е. в области, заключен-
заключенной между этими полупрямыми (на рис. 38 эта область заштрихована).
Найдем общий интеграл. Имеем:
у = гх, у' = хг' + г, хг' — 2г + 2 + 2 ~\/г—1 = О,
-~~-" («-1-V.—=<»).
йг
In |Vz—1 — 1| — In |х| = ]n idj,
следовательно,
1+С*:>0)
A5)
будет общим решением уравнения A4).
Рассмотрим вопрос об особых решениях. Полуоси оси Оу х=0 (уфО) явля-
являются частными решениями. Из уравнения z—1—|z—1 = 0 находим г = 1,
г=2. Это дает решения уравнения A4): у=х (хфО) — о с о б о е, г/ = 2х (х>
>0) — частное.
Обратимся теперь к поставленным задачам Коши:
а) точка A, 2) не особая. Полагая в общем решении A5) х = \, у=2, нахо-
находим С=0, следовательно, искомым решением будет полупрямая у=2х (л:>0);
б) точка A, 1) особая, ибо она лежит па особом решении у—к (jc>0). Сле-
Следовательно, в этой точке нарушается единственность решения задачи Коши. Убе-
Убедимся, что так оно и есть. Полагая в общем решении A5) х=1, у=1, находим
С==—1, поэтому к точке A, 1) примыкает частное решение y==Jc(l + (l—хJ)
@<х<1). Кроме него, через точку A,1) проходит особое решение у=х (jc>0);
в) точка @, 0) особая. В ней поле не определено. Все интегральные кривые
примыкают к этой особой точке.
9. Найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку.
Пусть падающие лучи параллельны оси Ох, а за упомянутую точку примем
начало координат. Из соображений симметрии ясно, что зеркало имеет форму по-
поверхности вращения, описываемой некоторой кривой покруг оси Ох. Найдем эту
кривую. Пусть М(х,у) — любая точка искомой кривой (рис. 39), SM и МО —
соответственно падающий и отраженный лучи, ТГ— касательная, ЛШ —нормаль
к искомой кривой в точке М(х, у).
Так как SMN=ZOMN (угол падения равен углу отражения), то
у-
а
4
-* —
*
. ... _^Г
—~~r:r~- jf
X
N' ,
ilk
i
V
1.
A
11
t 5
Рис. 38
о
Рис. 39
51

ZSMT'—ZOMT. Далее, Z OTM^ZSMT', следовательно, ZOTM=ZOMT,
т. е. А МОТ равнобедренный: | 0T\ = | ОМ \.
Для составления дифференциального уравнения задачи заметим, что, с одной
стороны,
tgZ ОТМ^-у', A6)
с другой стороны, из Д ТМР
\ТР\
Бо \МР\ = у, \ТР\ = \0Т\ — \0Р\ = \0М\ — \0Р\ =
tg ZOTM =■=
, поэтому
A7)
Сравнивая равенства A6) н A7), приходим к
дифференциальному уравнению задачи:
У =
У хн-г/2 + *
нли
Это положительно однородное уравнение. (Заме-
(Заметим, что точки левой полуоси оси Ox: y^Q (x^.
^0) — особые.) Здесь для интегрирования
удобнее сделать подстановку х=гу, тогда
— у (zdy + ydz) = 0
Рыс. 40
откуда
или
dy
У
-о,
1п у - 1п (г + У г2 + 1) - - In Clt
г-
Искомые кривые — параболы, у которых параметр равен С, вершниа лежит в
точке (—С/2, 0), а фокус находится в начале координат. Одна из ннх изображена
на рис. 40. Поверхность зеркала — параболоид вращения.
10. Рассмотрим уравнение
0. A8)
Здесь условие E) выполнено. Решая систему
а-|-р-2 = 0,
а-!-Р —2 = 0, Ч
находим а =- — 1, Р = 3. Выполняя в уравнении A8) подстановку х =■ | — 1, у
= Г) + 3, получаем однородное уравнение
.52

Интегрируя его прн помощи подстановки х\ = г%, находим
|* + 2iiE-H« = C.
Возвращаясь к старым переменным х и у по формулам % = х -f- 1, Ц=У — 3, имеем
х* 4- 2ху — у* — Ах + 8г/ --^ С.
Эти гиперболы и образуют общий интеграл уравнения A8). Особых решений нет.
11. Дано уравнение
Bх — Чу— l)dx + (x — y + l)dy = O. A9)
Определитель из коэффициентов этого уравнения при dx и dy равен нулю.
Полагая z=x—у, получаем 3zdx—(z-\-l)dz=Q. Интегрируем последнее уравне-
уравнение: Зх—z—ln|z|=C. Заменяя z на х—у, находим общий интеграл уравнения
A9) в виде
2х+у — 1п |х — у\ ==С.
Особых решений нет.
В задачах 182—194 проинтегрировать уравнение.
182. х {х -f 2у) dx + {х*- — у2) dy = 0.
183. {хг- — t/)dx 4- 2xydy = 0. (Сделать рисунок.)
184. (ру — qx) dx — (рх + qy) dy =-- 0.
185. у' = (ах 4- by)/x {b=£ 0).
187. у' --(х + 2уI(—х).
189. у' ^{х-у)Цх--2у).
191. xdy — ydx = ydy.
dx dy dx dy
193.
186.
188.
190.
1Q9
1 57 *i.
194.
У
У
i
'=- (Х4-
' =-■ Bх 4
/ •-- yl{x
dx
У + х
dx
Зу)/Bх).
- УIх.
+ у).
dy
у — х
у x 2x~ — 2xy 4- 2г/2- if — ixy
В задачах 195—201 проинтегрировать уравнение и выделить ин-
интегральную кривую, проходящую через заданную точку М(х0, у0),
выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности
этой интегральной кривой.
195. {у + Ух2 4- У') dx — xdy = 0; M(\, 0).
196. y' = -Lln-£-\ M{1, 1), М{1, 0). (Сделать рисунки.)
X X
197. у' - е-Ч* + у!х; М{\, 0).
198. (л: 4- 2у) dx — xdy = 0; М @, 0).
199. ху' =-- х + — у, М @, 0). 200. ху' = х — у, М @, 0).
201. xdy — (x + y)dx = Qi M{0, 0).
53

В задачах 202—209 найти решения вида у — kx.
202. у' = (х + 2уIх. 203. xdy ~(y + x)dx= 0.
204. у' = (у + У г/2 — 4х2)/х. 205. у' = е»/* — 1.
206. у' = г//х. 207. у' = — xjy.
208. г/' = — у 1х. 209. г/dx + (х — у) dy -- 0.
В- задачах 210—217 определить область задания уравнения, об-
область существования решения задачи Коши, область существова-
существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изу-
изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным
уравнением (найти изоклины, построить изоклины г/'=0, #'=±1,
у'=оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях
координат, указать области возрастания и убывания решений, най-
найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти
линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический
набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать урав-
уравнение, найти все решения; изучить поведение интегральных
кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе об-
области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому
виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
210.*/ = -^-. 211. </'=—-£- 212/
2х ■ 2х
213. г/ = -~. J^
4у
216. у' - — —. 217. у' = —У—.
В задачах 218—£23 составить дифференциальное уравнение задан-
заданного семейства кривых.
218. у = Сх\ 219. у = С/х. 220. У# — Ул7- С.
221. х2 + г/2 — Су=0. 222. «/—Ух2 + «/г=С. 223. х---Се»!*.
224. Найти кривую, для которой треугольник, образованный
осью Оу, касательной и радиусом-вектором точки касания, равно-
равнобедренный.
225. Найти кривую, подкасательная которой есть среднее
арифметическое координат точки касания.
226. Найти кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого
касательной на оси Оу, к отрезку, отсекаемому нормалью на оси
Ох, есть величина постоянная, равная k.
227. Найти кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого
нормалью на оси Ох, к радиусу-вектору точки касания есть величи-
величина постоянная, равная k.
54

228. Найти кривую, для которой треугольник, образованный
юрмалью с осями координат, был бы равновелик треугольнику,
)бразованному осью Ох, касательной и нормалью.
229. Найти кривую, в каждой точке которой длина отрезка ка-
карательной равна длине отрезка, отсекаемого касательной на оси Ох.
230. Доказать, что всякая кривая, полученная из интегральной
■сривой однородного уравнения B) с помощью преобразования по-
подобия с центром подобия в начале координат, также является ин-
гегральной кривой и что, обратно, все интегральные кривые, вхо-
входящие в состав общего интеграла и не являющиеся полупрямыми,
выходящими из начала координат, могут быть получены при помо-
помощи этого преобразования из одной такой интегральной кривой, ес-
если <р (г)—2=7^=0.
В задачах 231—233 проинтегрировать уравнение.
231. Bх — у + 1) dx + Bу — х — 1) dy ^ 0.
232. (х — y)dx + Bу — хл~ 1) dy = 0.
233. (х + у + 1) dx + Bх + 2у —\)dy = 0.
234. Доказать, что уравнение
dy {х + у)
_
dx (х — у) Ух2- + if — х
имеет только один предельный цикл (см. [9, с. 96]). (У к а з а н и е.
Перейти в уравнении к полярным координатам, проинтегрировать
его, изучить поведение интегральных кривых, отличных от окруж-
окружности, в случае, когда полярный угол стремится к —оо.)
6. ОБОБЩЕННОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
Общие понятия. Уравнение
М(х, y)dx + N(x, y)dy = Q A)
называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое
число k, что левая часть этого уравнения становится однород-
однородной функцией некоторой степени т относительно х, у, dx и dy
при условии, что х считается величиной первого измерения, у—£-го
измерения, dx и dy — соответственно нулевого и (k—Ц-го измере-
измерений (поэтому у'—dy/dx — величина (k—1)-го измерения). Напри-
Например, таким будет уравнение
Ax + dy = 0. B)
Действительно, при сделанном предположении относительно из-
2
мерений х, у, dx и dy члены левой части — dx, —y2dx и dy будут
хг-
55

иметь соответственно измерения —2, 2k и k—1. Приравнивая их,
получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число
к: —2 = 2k — k—I. Это условие выполняется при k — — 1 (при та-
таком k все члены левой части уравнения B) будут иметь измере-
измерение —2). Следовательно, уравнение B) является обобщенным од-
однородным.
Обобщенное однородное уравнение A) приводится к уравнению
с разделяющимися переменными с помощью подстановки
где 2 — новая неизвестная функция.
Примеры. 1. Проинтегрируем указанным методом уравнение B). Так как
k——1, то следует положить y—z/x, после чего получим уравнение
(г2 -\-z — 2)dx — xdz = 0.
Интегрируя его, находим
откуда
С -|- 2х3
У = —"р, •
Это общее решение уравнения B).
2. Рассмотрим уравнение
(У-г У ~]/х*у*—\) dx-\- 2xdy — 0. C>
Прежде всего подберем число k (измерение переменной у) так, чтобы оба
члена, стоящих под знаком квадратного корня (x^yi и —1), имели одно и тоже
измерение. Так.как первый из них имеет измерение 2+4fe, а второй — нулевое
измерение, то 2+4й = 0, откуда Л=—1/2. При таком выборе k все члены левой
части уравнения C) будут иметь одно и то же измерение относительно х, у, dx
и dy, равное —1/2. Следовательно, это уравнение — обобщенное однородное. Счи-
Считая х>0 и полагая y — z/i/x, получаем г Уг4— 1 dx + 2xdz — 0. Это уравнение
имеет общий интеграл
In х + arctg Уг«— 1 =-- С
и особые решения г = + 1. .Поэтому уравнение C) имеет общий интеграл
In х -]- arctg Уд:2!/4 — \ —С
и особые решения у= _
Для отрицательных значений х нужно в подстановке у=г/^х заменить х
на —х, что приведет к замене х на —х в.найденных выше общем интеграле и осо-
особых вешениях.
В задачах 235—238 проинтегрировать'уравнение.
235. (у'1 — Зх2) dy -!- xydx ---0.
236. tfdx + 2 (х3 — ху2) dy - 0.
237. (xY—l)yr + 2xy3 =-- '0.
238. A + Vy'/x— 1) dx — 2у^г/ - 0.
56

7. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
Построение общего решения. Уравнение вида
У' + р(х)У = Я(х) A)
называется линейным. При этом уравнение
у' + р{х)у = 0, B)
в котором правая часть тождественно равна нулю, называется од-
однородным, а уравнение A), в котором q(x)^(), — неоднородным.
Будем предполагать, что р(х) и q(x) определены и непрерывны
в интервале (а, Ь). Тогда через каждую точку (х0, уа) полосы
а<х<Ь, М< + оо C)
проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (Ц
(почему?). Эта интегральная кривая определена во всем интер-
интервале (а, Ъ).
Таким образом, при постановке задачи Коши для линейного
уравнения число ха можно брать любым из интервала (а, Ъ), в ко-
котором р и q непрерывны, а за у0 — любое число.
Всякое решение линейного уравнения является частным,
поэтому особых решений оно не имеет (почему?).
Однородное линейное уравнение всегда имеет нулевое решение
у=о.
Общее решение однородного уравнения B) в полосе C) имеет
вид
У = Се J . - D)
или в форме Коши
E)
Решение
называется нормированным в точке х0.
Все решения однородного линейного уравнения B) содержат-
содержатся в формуле общего решения D) или E) (почему?).
Всякое ненулевое решение однородного линейного урав-
уравнения целиком расположено или выше, или ниже оси Ох (почему?).
Если i/i— ненулевое решение уравнения B), то y~Cyi есть
общее решение этого уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения A) в полосе C) со-
состоит из общего решения соответствующего ему однородного урав-
уравнения
z' -;- р (х) z - 0 F)
и какого-нибудь одного частного решения г/, самого неоднород-
неоднородного уравнения A), так что общее решение уравнения A) имеет
57

вид
y = yi + Ce^pMdx. G)
Все решения неоднородного линейного уравнения A) содер-
содержатся в формуле общего решения G) (почему?).
Общее решение неоднородного уравнения A) можно найти
при помощи общего решения соответствующего однородного урав-
уравнения F), варьируя в нем произвольную постоянную, т. е. полагая
' (8)
где С(х) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция от
х (метод Лагранжа). Для нахождения ее подставляем у из выра-
выражения (8) в уравнение A). Получаем
откуда
Подставляя это значение С(х) в выражение (8), находим
— ( p(x)dx .-,,,. . . f p{x)dx
- ДС+^(х)^ dx). (9)
Это общее решение уравнения A) в области C). Его можно перепи-
переписать в форм Коим:
- i pvxu i л I Pam ,
y=e x, Uo+ J 9@e* dt). A0)
X,
Отсюда видно, что всякое решение линейного уравнения является
непрерывно дифференцируемой функцией как независимой пере-
переменной х, так и начальных данных х0 и у0, если х и х0 принадлежат
интервалу непрерывности функций р и q, a j«/0J<-f-oo.
Общее решение (9) неоднородного уравнения A) может быть
найдено также с помощью так называемого интегрирующего мно-
множителя (метод Эйлера). Умножаем обе части уравнения A) на
[
функцию (i=eJ — интегрирующий множитель.
f p(x)dx Г p{x)dx \ p(x)dx
y'eJ -f p (x) yeJ --- q (x) eJ
или
f p(x)dx \ p{x)dx
\4 i — 4 \ i *
Таким образом,
f p{x)dx f p(x)dx
ye = \q(x) eJ dx + C,
откуда и следует формула (9).
58

Примеры. 1. Найти общее решение уравнения
2х
Выделить решение, удовлетворяющее начальному условию у=2 при х—1.
Согласно формуле D), общим решением будет
у *= Се ^^ *= Се1пA+Л:1)
или (так как е1п * — х)
Решение, удовлетворяющее, поставленному начальному условию, согласно
формуле E), имеет вид
у = 2е1 = 1 + ж».
2. Проинтегрировать уравнение
^' + — 0 = 3* (х>0) A1)
я найтн решение, удовлетворяющее начальному условию
у=\ при х=\. A2)
Согласно формуле (9),
-\Л- dx f ± dx 1
у^е J х (С + 3J лее' х dx) = — (C+x3).
X
При х<0 общее решение имеет тот же вид. (Убедиться в этом.)
Для нахождения решения, удовлетворяющего начальному условию A2), вос-
воспользуемся формулой A0). Получим
х 1
dx х Г _ dx
1 *
x\ = — f 1 + 3 j
х Г _ dx 1 * 1
jA:ei * dx\ = — f 1 + 3 j x2JxJ
Проинтегрируем уравнение A1) методом Эйлера. Здесь ц = х, поэтому (ух)' =
= 3x2, откуда ух = х* + С, у = х^ + С/х.
3. Для уравнения
у'+ау = ш, A3)
где и, m — постоянные числа, отличные от нуля, легко найтн одно частное реше-
решение, если искать его в виде у=const (эти решения называются стационарными).
Очевидно, что таким частным решением будет yi=m/a. Так как соответствующее
однородное уравнение z'+az=0 имеет общее решение г=Се~ах, то общим реше-
решением уравнения A3) будет
y = mla+Ce-ax.
4. Рассмотрим уравнение
= Q. A4)
Это уравнение после деления обеих его частей на xdx приводится к линейному
у'—у/х=~х. Интегрируя его, получаем у=х(С—х).
Решениями уравнения A4) будут также полуоси оси Оу-. х=0 (у¥=0).
59

5. Уравнение
2ydx + (у* — 2x) dy = O
приводится к линейному уравнению с неизвестной функцией х:
dx J_ _у_
dy ~ У Х"~ 2 "
Интегрируя его, получаем
лг = Су — у*/2.
6. Рассмотрим уравнение
у'+ку = 0, A5)
где А, — любое постоянное чнсло (параметр).
Общим решением его будет
у --= Се~%х
или
у=уйе~^х~х'\ A6)
где (/о — произвольное; ха — некоторое фиксированное число.
Из формулы A6) мы видим, что решение уравнения A5) с начальными дан-
данными хо, Уо является непрерывной (и непрерывно дифференцируемой) функцией
независимой переменной х, начальных данных х0, у0 и параметра X.
Поведение решений уравнения A5) существенно зависит от знака пара-
параметра X.
Если Х>0, то из самого уравнения и формулы A6) его общего решения
видно, что всякое решение, начинающееся в верхней полуплоскости (#о>О), убы-
убывает, а решение, начинающееся в нижней полуплоскости (у<><.0), возрастает. При
этом все решения стремятся к решению у=0 при *->+оо, поэтому ось Ох будет
их общей асимптотой (рис. 41).
Если же Х<0, то всякое решение, начинающееся в верхней полуплоскости,
возрастает, а решение, начинающееся в нижней полуплоскости, убывает. При этом
все решения стремятся к решению у = 0 при *->—оо.
Сказанное выше о поведении решений переносится на случай уравнения у'-\-
+р(х)У=0, где р(х) сохраняет знак, причем:
00
i p (x) dx — + оо при р (х) > О,
о
о
f p (x) dx — — оо при р(х)<.0.
о
о
7. Пусть дано интегральное уравнение
X
[ xydx ~ х*-\-у A7)
а
(ср. § 3, пример 10).
Дифференцируя обе его части по х в предположении, что У—у(х), получаем
ху = 2х + у' или у' —ху =—2х. A8)
Далее, полагая в уравнении A7) х=а, имеем 0=я2+«/, т.е. искомая функ-
функция удовлетворяет условию
у = — а2 при х = а. A9)
60

Следовательно, нужно найти решение линейного уравнения A8), удовлетворяю-
удовлетворяющее начальному условию A9).
Следовательно, нужно найти
щее начальному условию A9)
Искомым решением будет
+ 2.
8. (Задача о токе в электрической цепи с самоиндукцией.) Пусть i, U и R—
соответственно ток, напряжение и сопротивление в момент времени /, а L — ко-
коэффициент самоиндукции. Тогда имеем
Отсюда
V =. iR + L
di
di
dt
Обозначим через io ток в начальный мо-
момент времени t = Q. Чтобы установить за-
закон изменения тока в рассматриваемой це-
цепи, нужно найтн решение уравнения B0),
удовлетворяющее начальному условию
при / =---. 0.
B1)
Рис. 41
Это решение можно записать сразу, пользуясь формулой общего решения в форме
Коши. Получим
Будем считать U, R и L постоянными. Тогда
B2)
Покажем, как найти это же решение исходя нз общего решения уравнения
B0) в обычной форме. Заметим, что уравнение B0) имеет частное решение i\ =
= U/R (ср. пример 3). Прибавляя к этому частному решению общее решение
соответствующего однородного уравнения, получаем общее решение уравнения
B0) в виде
1=Цг + сГ~П* . B3)
Удовлетворяя начальному условию B1), находим C=ia~V/R, поэтому искомое
решение дается формулой B2).
Второе слагаемое в формуле B3) стремится к нулю прн t-++oo, следователь-
следовательно, i-*-U/R, т.е. прн достаточно больших / можно считать, что i=U/R (закон
Ома).
Рассмотрим случаи замыкания (io=O) и размыкания (U=0) цепи. В первом
случае
во втором
U --T-*
= — A— е L
— при /
К.
i =
-■г*
e
i ■* 0 при t -* +
61

В задачах 239—245 проинтегрировать уравнение, пользуясь фор-
формулой общего решения.
239. у' — у sin х = sin x cos x.
240. у' + ау = етх. Доказать, что это уравнение имеет частное
решение вида уу = Ьё"х, если т Ф — а, и ух = Ьхе?1*, если т — — а.
241. A + х*) у' — 2ху = A+ x2f. 242. ля/' = ах + by.
243. г/^л: + 2(х + у) dy'= 0. 244. (* — 2ху — у2) у' + if- = 0.
245. у' + tg у = я/cos г/. (Указание. Умножить обе части урав-
уравнения на cosy и положить sinr/ = z.)
В задачах 246—248 найти общее решение с помощью интегри-
интегрирующего множителя.
246. у' 1-у = х. 247. у1'—— у ■= г*. 248. у' + 2ху =- 2xe~x\
х х
В задачах 249—253 найти общее решение, угадав предвари-
предварительно одно частное решение.
249. у' + у —= аЧ- 1. Доказать, что уравнение у' -•;- аг/ — Р(х), где
с — const ^0, a P(x) — полином степени т, имеет частное решение
вида уг = Q{x), Q {х) — полином той же степени т.
250. у' -■- у = 2е*. (Ср. с задачей 240.)
251. у' Л- ху = х2 + 1. 252. / + у =- —.
X Х~
1 —- 2х 1 '- 2jc
253. у' : у = — . Доказать, что всякое линейное
х + х2 х -г л:2
уравнение у' -i- р{х) у = q {x), имеющее частное решение yv = b,
является уравнением с разделяющимися переменными.
В задачах 254—259 найти решение с начальными данными xQ, yQ.
3 2
254. у' + — у = —-; х0 = 1, у0 = 1.
.г л;-*
255. у' — 2-й/ == 1; х0 ■-- 0, (/0 =- 0.
256. лт/' = л: -г 2у; х0 — 0, //0 -. 0.
257. ху' = х -{ у; х0 = 0, уо = 0.
258. ху' = л; — у\ х0 — 0, у0 — 0.
259. ху' = х + у; х0 = 0, у0 = 0.
В задачах 260—262 определить область задания уравнения, об-
область существования решения задачи Крши, область существова-
существования и единственности, указать особые точки; изучить поле направ-
направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением (найти
изоклины, указать области возрастания и убывания решений, най-
найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти
линии точек перегиба); сделать схематический набросок семейства
интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все
62

решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности
особых точек, на границе области задания уравнения и на беско-
бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых;
сделать рисунок.
260. у' + 2ху = 0. 261. у' — ху = 1. 262. у' — — у ------ х.
х
263. Найти закон изменения тока в цепи с самоиндукцией, если
г —г0 при ^ = 0 и U=A sin at.
264. Найти кривые, для которых площадь треугольника, обра-
образованного осью Ох, касательной и ра-
радиусом-вектором точки касания, посто-
постоянна и равна а2.
265. Найти кривую, касательная к
которой отсекает на оси Оу отрезок,
равный l/n-й суммы координат точки А
касания.
266. Найти кривую, средняя ордина-
ордината которой на отрезке [0, х\,т. е. вели-
у
чина
1 х
~ j ydx,
пропорциональна послед-
последней ординате, соответствующей правому
концу отрезка [0, х].
267. Найти такую кривую ЛМ(см. рис. 42), для которой абсцисса
центра тяжести площади ОАМР была бы равна 3/4 абсциссы точ-
точки М. (Указание. Если точка М имеет координаты х, у, а урав-
уравнение кривой AM есть у = у (х), то абсцисса центра тяжести площа-
х х
ди ОАМР выражается формулой хс = ( Г xydx\ ДС ydx\ (почему?).)
о о
X X
268. Найти у из уравнения х ^ydx— {х + 1) txydx.
о о
269. Показать, что решение линейного уравнения у' + р(х)у—
= q(x) с начальными данными х0, у0 может быть записано в виде
— [p(t)dt
+
- \p(t)dt
У = УФ х°
4J
(ср. с формулой A0)). (Указание. Искать решение в виде у ~
= С{х)е -о , С(хо) = уо.)
270. Доказать, что все решения уравнения x=ax-\-f(t), где
a=const<0, f(t) непрерывна в (to, +oo), ограничены при £->-+оо.
271. Доказать, что линейное уравнение y'=ky+j(x), где к —
постоянная, отличная от нуля, a j(x) — периодическая фуик-
63

ция периода а>, имеет одно частное решение, периодиче-
периодическое с тем же периодом а>, и найти это решение.
272. Найти общее решение уравнения у' + р(х)у = 0, где р(х)
непрерывна в интервале (а, Ъ), если известно ненулевое частное
решение ух этого уравнения.
273. Найти общее решение неоднородного линейного уравнения,
если известны два частных решения его: у\ и у2.
274. Найти однородное линейное уравнение, если известно одно
ненулевое частное решение у{ этого уравнения.
275. Показать, что одним из решений уравнения у' + ky ■■-- kq (x)
(О s^ .v < + оо), где k — постоянное число, будет функция у =
о
276. Найти общее решение однородного линейного уравнения
у' + р(х)у=0, приведя его к уравнению с постоянным коэффициен-
коэффициентом при у с помощью соответствующей замены независимой пере-
переменной t=ty(x).
277. Найти общее решение однородного линейного уравнения
у'+р(х)у=0, приведя его к уравнению, не содержащему чл-ена с
искомой функцией, с помощью введения новой искомой' функции z
по формуле y=a{x)z, где а(х) — некоторая непрерывно диффе-
дифференцируемая функция от х.
278. То же для неоднородного уравнения y' + p(x)y = q(x).
279. Найти частные производные от решения однородного ли-
линейного уравнения с начальными данными х0, у0 по этим началь-
начальным данным в точке (х0, у0).
280. То же для неоднородного уравнения.
281. Общее решение линейного уравнения имеет вид у=
=А(х)С + В(х). Доказать обратное: дифференциальное уравнение
всякого семейства кривых этого вида есть линейное уравнение.
282. Доказать, что линейное уравнение остается линейным при
любой замене независимой переменной x=<p(i) и при любом ли-
линейном преобразовании искомой функции y=a(x)z+fi(x).
283. Доказать, что всякая интегральная кривая линейного урав-
уравнения делит в постоянном отношении отрезок ординаты между
какими-либо двумя интегральными кривыми этого уравнения.
284. Доказать, что касательные к интегральным кривым линей-
линейного уравнения, проведенные в точках пересечения этих кривых с
прямой, параллельной оси Оу, или пересекаются в одной точке, или
параллельны.
285. Доказать, что если в линейном уравнении y' + ky=q(x)
k — вещественное число, a q(х) — непрерывная функция от х,
имеющая конечное предельное значение на бесконечности:
lim q(x) = b, то при k>0 все решения у=у(х) этого уравнения об-
ладают свойством y(x)—^b/k при лг-^+оо, а при /г<0 существует
только одно решение, обладающее этим свойством. Найти его.
64

286. Не интегрируя уравнение для тока i в электрической цепи с
самоиндукцией (см. с. 61) 1 i — , где U, R и L — поло-
полоса L L
жительные числа, доказать, что все решения этого уравнения обла-
обладают свойством t^-UlR при £-уоо.
287. Привести уравнение аср' (у) у' -f Р (х) ф {у) = Q (х) к линейно-
линейному с помощью замены искомой функции.
288. Привести уравнение у' + Р (х) — Q(x)emy к линейному.
289. Показать, что единственным решением уравнения у' — у —
= — 1/х (х>0), обладающим свойством у—vO при х—v+oo (особый
оо
случай задачи Коши), будет у = {(ех~'/()си. (Указание. Восполь-
зоваться формулой A0).)
8. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Общие понятия. Уравнение Бернулли имеет вид
у' -rp{x)yr=q(x)yn, A)
где р(х), q(x) —функции от х, которые мы будем предполагать
определенными и непрерывными в интервале (а, Ь); п — вещест-
вещественное число, отличное от 0 и 1, ибо при /г=0 и п=1 уравнение
A) обращается в линейное уравнение.
При сделанных предположениях существует единственное ре-
решение (интегральная кривая), проходящее через точку (х0, у0),
где хо^(а, Ъ), а у^ФО и уо>0, если п — дробное (почему?). Это
решение будет частным.
Уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению деле-
делением обеих его частей на уп и введением новой искомой функции
z по формуле
yl~n = z.
При «>0 уравнение Бернулли имеет решение у = 0. Это реше-
решение будет частным, если п>1, и особым, если 0<./г<1
(почему?).
Примеры. 1. Проинтегрировать уравнение
у' — 2ху — 2х*уг B)
и найтн интегральную кривую, проходящую через точку @, 1).
Разделим обе части уравнения B) на у'.
у-*у' ~2ху-1 = 2x3. C)
Положим у~1 = г, тогда —у~2у' = г'. Умножив обе части 'уравнения C) на
(—1) и выполняя указанную подстановку, получим линейное уравнение г' +
-f- 2xz = —2х3. Интегрируя это уравнение, находим г = Се~х' +1 —*2- Следова-
Следовательно, общим решением уравнения B) будет
С*)
* Ce-x%+l-x*'
5. Зак. 1213 65

Решение у=О—частное (л=2>1); оно является асимптотой всех дру-
других интегральных кривых D).
Интегральной кривой, проходящей через заданную точку @, 1), будет у =
1/A2)
/()
2. Рассмотрим уравнение
У'+ х^х2 y~-=xVy~. E)
Делим обе его части на ~\/'у :
Положим ~)/у = г. Получим
1
Интегрируя это (линейное) уравнение, находим :
■■ _ v J_
з
Следовательно,
,_ л 1
у у = С / 1 — х2 — — A — х2)
3
есть общий интеграл уравнения E).
Решение у = 0 — особое @ < я = 1 /2 < 1).
3. Пусть дано уравнение
, _ J_ 1_
х 2у
Умножим обе его части ва у:
1 1
УУ — — У2 = — •
х 2
2
Положив У2 = г, [придем к уравнению г' — — г= 1, откуда г = Сх2 — х, и, сле-
следовательно, у2 = Сх2 — х.
Особых решений нет, ибо у = 0 не является даже решением (я = — 1 < 0).
4. Рассмотрим уравнение
Перепишем его в виде
dx
—
йу
Это уравнение Бернулли с неизвестной функцией х. Интегрируя его, находим
1
Х~ Се-'2-у2 + 2 '
Решение х = 0 является асимптотой всех других интегральных кривых.
В задачах 290 — 297 проинтегрировать уравнение и, где указано,
найти решение с начальными данными х0, у<,-
66

290. у' + 2ху = 2xsy3. 291. xt/ + у = if In г, *0 = 1, y0 = 1.
292. ЗуУ+#3+*=0. 293. i/— 9x?y
294. у' — у = хуг\ л-0 = 0, г/0 = 0.
295. хг/' — г/ = г/2; *0 - 0, у0 = 0.
296. ху' + у = ху-\ х0 = О, у0 -= 0.
2л:
297.
.к:2 cos г/ + a sin 2г/
298. Найти кривую, в каждой точке которой поднормаль есть
среднее арифметическое квадратов координат этой точки.
299. Определить кривые, у которых отрезок, отсекаемый нор-
нормалью на оси Ох, равен у2/х.
300. Определить кривые, у которых отрезок, отсекаемый нор-
нормалью на оси Оу, равен х2/у.
301. Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной
на оси Оу, равен квадрату ординаты точки касания.
302. Доказать по виду уравнения Бернулли, что единственной
хривой, подозрительной на особое его решение, может быть ось Ох
(У=0).
9. УРАВНЕНИЕ ДАРБУ
Общие понятия. Уравнение вида
М (х, у) dx + N (х, y)dy + P {х, у) {xdy - ydx) = 0, A)
где М и N — однородные функции степени т, а Р — одно-
однородная функция степени / {1фт—1), называется уравнением
Дарбу. При этом одна из функций М и N может быть тождествен-
тождественным нулем.
Уравнение Дарбу, в котором МФО, при помощи подстановки
y = zx, B)
где z — новая неизвестная функция, приводится к уравнению Бер-
Бернулли (а в случае /=т—2—к линейному уравнению) с искомой
функцией х от независимой переменной z. Если ^=0, то подстанов-
подстановка B) приводит уравнение A) к уравнению с разделяющимися
переменными. Полупрямые y=z%x (хфО), где z,- — корни уравне-
уравнения М(\, z) + N(l, z)z=0, могут быть особыми решениями.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
xdx -J- ydy -\- х {xdy — ydx) = 0.
Полагая у = гх, имеем
xdx + гх (xdz + zdx) + x4z —- 0
или
A + г2) dx + (гх + jfi) dz ~ 0.
Отсюда
dx г 1
dz I -f- г2 Х = ~ 1 + га Х "
5' ©7

Это уравнение Бернулли. Интегрируя его, находим
Заменяя г на у/х, получаем
С У
2. Уравнение
есть уравнение Дарбу, в котором N = 0.
Полагаем у ~ гх:
ху' — у = х~\/ х* — у* C)
ро
х (г'х
или
Интегрируя это уравнение, находим
2=sin(x + C)
г= + 1 —особые решения- Следовательно,
у = + я (х =?«= 0) — особые решения-
Заметим, что все интегральные кривые примыкают к началу координат, где
поле не определено. Они расположены между полупрямыми у—±х (х=£0) (в
углах, заключающих ось Ох), которые, образуя границу области задания уравне-
уравнения C), рами являются решениями этого уравнения. Эти решения суть огибаю-
огибающие семейства интегральных кривых, составляющих общее решение. (Сделать ри-
рисунок.)
В задачах 303—306 проинтегрировать уравнение.
303. dx—dy + x{xdy — ydx) = 0.
304. (х2- + 2у2) dx — xydy — (xdy — ydx) = 0.
305. (x3 — y)dx+ (x2y + x)dy= 0. 306. xy' — y = <p (y/x).
10. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
Общие понятия. Уравнение вида
+ Q{x)y + R{x), A)
в котором правая часть есть квадратичная функция от ис-
искомой функции у, называется уравнением Риккати.
Будем предполагать, что Р(х), Q(x) и R(x) определены и не-
непрерывны в интервале (а, Ь). Тогда через всякую точку (х0, у0) по-
полосы
а<х<Ь, \у\< + оо
проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения Рик-
Риккати (почему?). Однако в отличие от линейного уравнения для
6в

уравнения Риккати эта интегральная кривая в общем случае опре-
определена не во всем интервале (а, Ь), а лишь в некоторой окрестно-
окрестности начального значения независимой переменной. Например, ре-
решением уравнения у'=У2 с начальными данными хо—0, Уо—1 бу-
будет у =1/A—х). Это решение определено только при х<1, хотя
правая часть уравнения определена и непрерывна при всех х.
Всякая интегральная кривая уравнения Риккати представляет
собой график частного решения этого уравнения, так что
особых решений уравнение Риккати не имеет (почему?).
Уравнение Риккати интегрируется в квадратурах лишь в ис-
исключительных случаях.
Если известно одно частное решение У\ уравнения Риккати, то
подстановка
У - iJi + 1/2, B)
где z — новая неизвестная функция, приводит это уравнение к ли-
линейному.
Уравнение Риккати вида
у> = Atf + JL у + _£. , C)
хх2
где А, В и С — постоянные числа, причем (В+\J^4АС, имеет ча-
частное решение
У\ = а\х, D)
а — некоторое постоянное число, определяемое подстановкой D) в
уравнение C).
Уравнение C) является также обобщенным однородным урав-
уравнением, в котором k=-—1, и, следовательно, подстановкой y=z/x
всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Уравнение Риккати вида
х 2 х
или
ху' — у — ау2 = сх E)
подстановкой
приводится к уравнению с разделяющимися переменными
}fxz' = ar + с
и, следовательно, всегда интегрируется в элементарных
функциях.
Специальное уравнение Риккати
- у' + Ау2 = Вхт
69

в случае, когда т=0, т = —2, интегрируется в элементарных функ-
функциях (почему?). Оно интегрируется в элементарных функциях так-
также при всех т, для которых
m/Bm + 4) = ft (fe€Z), -■■ F)
ибо, если т=£0, тф—2, его можно привести к виду E):■[?].
Действительно, вводя вместо х и у новые переменные i и г по
формулам
получаем уравнение
tz'+ az + $z2-= yt (a = ft—1/2),
которое приводится к уравнению вида E) с помощью последова-
последовательного применения подстановок:
г~в + ^- (а= «)' G)
соответственно увеличивающих или уменьшающих число а на еди-
единицу.
Уравнение Риккати A) с помощью подстановки вида
у = и (х) z
можно привести к такому уравнению Риккати, в котором коэффи-"
циент при квадрате искомой функции равен +1 или —*1.
Подстановкой вида ; .
можно, не меняя коэффициента при квадрате искомой функции,
сделать коэффициент при искомой функции равным нулю.'
Комбинируя указанные подстановки, всякое уравнение Рикка-
Риккати можно привести к виду
у'= ±f ± R{x).
Если при этом окажется, что R(x)=BxmJ получим специальное
уравнение Риккати.
Примеры. 1. Найти общее решение уравнения ' " '
У' = -У2 + 1 + х*.
|Г7 Очевидно, что у^ = х есть частное решение. Полагая у =.х -f- 1/г, лолучаем
г' —2хг--= 1, откуда г = г"' (с + e~x%dx\. Следовательно,
C-f \ e~x~dx
2. Рассмотрим уравнение
70

Это уравнение вида C). Будем искать его частное решение в виде уг = ajx.
Подставляя j/x в уравнение (8), получаем
а о? 1
_ = + , а2 + 2а + 1 = О,
Х2 2х2 2х*
откуда а — —1. Следовательно, уг — —\/х. Полагая теперь у = +—♦
приходим к линейному уравнению г' — — г = — — . Интегрируя его, находим
г = — (С— In \x\). Поэтому
1 2
х ' * (С—In |*|)
3. Проинтегрировать специальное уравнение Риккати
Здесь т~—4, условие F) выполнено, причем й= 1. Применяя подстановки
у = г/х, x~i = i (г = г(/)), получаем
Чтобы привести это уравнение к виду E), мужно применить одни раз вторую из
подстановок G), т. е. г~—1 + t/u, после чего имеем
Это уравнение вида E). Полагая u=v~\/t, находим ~]/t ь' = A -\- v2)j2, откуда
v =■ tg ()/Т+ С) (—С — я/2 < УТ< —С -Ь я/2).
•Следовательно,
+) г = —l
Поэтому общим решением уравнения (9) будет
В задачах 307, 308 найти общее решение уравнения, имеющего
частные решения вида у — ах 4- Ь.
307. y'=,tf. — xt/ — x. 308. xtf = if -[Bx +'l)y + x2 + 2х
В задачах 309 — 312 найти общее решение уравнения.
309. у' + у2 = —1/Dлг2). 310. х2у' = х"у2 + ху + 1.
311. х2у' + (ху — 2J = 0. 312. у' = у2 + л-г.
В задачах 313 — 316 проинтегрировать специальное уравнение
Риккати. - • ■
313: у' = ,/ + Х-4/\ 314. у> = -у* + х-*<\
\ 315. у' =-■ — tf + X-'K 316. у' = у2 + ;Г8/5.
71

В задачах 317, 318-найти общее решение уравнения, приведя ко-
коэффициент при квадрате неизвестной функции к единице.
317. xy'=xY — Bх+1H+1. 318. ху' ==хгуг — у + 1.
*"' " В задачах 319, 320 найти общее решение уравнения, приведя его
к виду, не содержащему искомой функции.
' 319. у' = 4у°-—4х*у+х'*+х+4. 320. у' =- у3 — 2х2у + х4 + 2х + 4.
В задачах 321, 322 найти общее решение уравнения, приведя его
к виду у' ~ tf-±-c.
321. хуг=х2у* + (/ + 2,'л-2 + 2. 322. х(/' = г/г — Зу + 4л;* + 2.
323. Найти общий интеграл уравнения Риккати, если известны
три частных решения его. (Указание. Воспользоваться форму-
формулой B), найдя сначала два частных решения и общее решение со-
соответствующего линейного уравнения.)
324. Доказать, что любые четыре частных решения уь у2, уъ, У\
уравнения Риккати связаны ангармоническим соотношением.:
У4 —У1 Уя-~У1
325. Доказать, что если три частных решения уравнения Рикка-
Риккати являются периодическими с периодом о, то и все его решения
будут периодическими с тем же периодом.
326. Доказать, что общее решение уравнения Риккати есть
дробно-линейная функция от произвольной постоянной С.
327. Доказать, что. дифференциальное уравнение семейства
кривых
Ccpx (х) + ср2 (х)
есть уравнение Риккати.
328. Доказать, что уравнение Риккати остается таковым при
любой замене независимой переменной x—(p(t) и любом дробно-
линейном преобразовании искомой функции
а(х)г + Их) (a(.v)Hv)_p(x)v(x)^0( а<х<Ь).
y{x)z + b(x)
329. Доказать, что для уравнения у' = х+у2 не существует реше-
решения, определенного при всех значениях х.
330. Доказать, что решение у=у(х) уравнения у' = х2—у1,
удовлетворяющее начальному условию у=0 при л:=0, определено
при всех х~^0, монотонно возрастает, допускает оценку 0<у(х)<х
при х>0 и асимптотически стремится к прямой у—х при х~»-+оо,
т. е. lim (у(х)—х) — 0.
331. Доказать, что решение У = у(х) уравнения у' = х2+у2, удов-
удовлетворяющее начальному условию г/ = 0 при х=0, определено не
при всех х и что оно представляет собою кривую, симметричную
относительно начала координат и имеющую вертикальные асимп-
асимптоты x=±k B,002<&<2,005).
72

Цикл задач 332—338 (Н.В.Адамов) посвящен вопросу о
числе периодических решений уравнения Риккати с непрерывными
периодическими коэффициентами.
332. Показать, что для любых трех непрерывных решений уи
У2, Уг уравнения Риккати
' у1 - Р (х) г/2 Ч- Q (х) у -,- R (х) A0)
с непрерывными коэффициентами выполняется соотношение вида
УУ
333. Составить уравнение Риккати A0) по трем непрерывным
решениям у\, г/г. Уг- Показать, что если эти решения удовлетворяют
условию (/1<У2<Уз, то коэффициенты полученного уравнения непре-
непрерывны.
334. Доказать, что уравнение Риккати вида
у' = у- + р(х)у+д(х) A1)
вполне определяется двумя непрерывными решениями. Составить
уравнение Риккати вида A1) по двум непрерывным решениям
У и Уъ
335. Доказать, что у уравнения A1) нет ни одного периодиче-
периодического непрерывного решения, если функции г/, и у2 — корни урав-
уравнения
y2 + p(x)y + q(x)^0 A2).
являются комплексными. (Указание. Учесть, что производная
от непрерывной периодической функции не может сохранять знак
при всех значениях аргумента.)
336. Доказать, что у уравнения A1) с периодическими непрерыв-
непрерывными коэффициентами не может быть периодического непрерывного
решения, удовлетворяющего начальному условию у = у0 при х = - х0,
если г/0>тахг/2 или уо^тту^ где уг и у2—действительные для
всех значений аргумента х корни квадратного уравнения A2), причем
У1<У2-
337. Доказать, что если ух и у2 — два различных решения уравне-
уравнения Риккати A1), то имеет место равенство
У\
A3)
Показать, что если решения у\, у2 и функции р и q непрерывны, то
левая часть равенства A3) есть производная от непрерывной
функции.
338. Доказать, что уравнение Риккати A1) с непрерывными пе-
периодическими коэффициентами не может иметь более двух перио-
периодических решений, (Указание. Воспользоваться результатом
предыдущей задачи.)

11. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Построение общего интеграла. Если в уравнении
М(х, y)dx + N{x, y)dy--= О A)
левая часть есть полный дифференциал некоторой функ-
функции U(x, у), то оно называется уравнением в полных дифференциа-
дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде dU — Q, так что его
общий интеграл имеет вид
U(x, y) = C. B)
Например, уравнение xdy + ydx = 0 есть уравнение в полных
дифференциалах, ибо его можно переписать в виде d(xy) = 0. Об-
Общим интегралом будет ху=С.
Предположим, что функции М и N определены и непрерывны в
некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные част-
частные производные соответственно но у и но х. Тогда, для того чтобы
уравнение A) было уравнением в полных дифференциалах,, необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
дМ dN ,_.
6)
ду дх
Если условие C) выполнено, то общий интеграл можно
записать в виде
у
с, y)dx-\- JN{x0, y)dy = C D)
Ха Уо
ИЛИ
[М(х, yo)dx+ [N(x, y)dy = C, E)
где нижние пределы х0 и у0 выбираются произвольно, но так, чтобы
точка (х0, у0) принадлежала области D.
В этих формулах интегрирование производится по одной из
переменных, в то время как вторая является параметром, причем
в одном из интегралов параметр фиксируется (полагается равным
нижнему пределу другого интеграла).
Особых решений уравнение в полных дифференциалах не имеет.
Укажем другой способ нахождения общего интеграла уравнения
в полных дифференциалах, который часто оказывается на практике
более удобным.
Функция U в общем интеграле B) должна удовлетворять систе-
системе уравнений:
dU ... . dU »r/ \ /c\
= М{к, у), —— =N(x, у) F)
дх ду
74

(почему?). Интегрируя (частным образом) по х первое из уравне-
уравнений F), имеем
U(x, y)= JM(.v, y)dx + 4(y), ■ ■ G)
где (f(y) — любая функция от у.
Выберем ц>(у) так, чтобы функция G) была решением и второго
из уравнений F). Дифференцируя уравнение G) по у и полагая
dVjdy = N, получаем для нахождения ц>(у) легко интегрируемое
дифференциальное уравнение ц>'(у) = <й(у), правая часть которого
зависит только от у (почему?). Интегрируя это уравнение, видим,
что в качестве q(y) можно взять ср(у) =/«>((/)dy. Поэтому общий
интеграл B) можно записать так:
y)dx + jw(i/)d«/--C. D0
Аналогично, исходя из уравнения dU/dy=N, приходим к общему-
интегралу вида
j $ E')
Замечание. Общий интеграл уравнения A) в полных дифференциалах
можно также записать в виде
(х,у)
J Mdx + Ndy = С, (8)
(*о.</о)
где левая часть есть криволинейный интеграл второго рода по любому пути, со-
соединяющему фиксированную точку (хо, уо) с точкой (х, у).
Решение задачи Коши. Решение задачи Коши с начальными
данными х0, уо из области D в случае, когда в точке (х0, уь) функ-
функции М и N не обращаются одновременно в нуль, получается из об-
общего интеграла D) или E) при С=0, т. е. по одной из формул
, y)dx+ JN(x0, y)dy^O D")
X« 1/0
ИЛИ
JM(x, y0) dx+ JN (x, y) dy = 0. E")
Если в точке (я0, у0) функции М и N одновременно обращаются
в нуль, т. е. в ней поле не определено, то мы имеем особый слу-
случай задачи Коши: (х0, у0) —особая точка уравнения A). Решение
может не существовать или не быть единственным.
Решение задачи Коши в случае, когда общий интеграл получен
в виде D') или E'), находится обычным способом (соответствую-
(соответствующее значение произвольной постоянной С определяется подстанов-
подстановкой начальных данных в формулу общего интеграла). Если общий
интеграл уравнения A) задан в виде (8), то решение задачи Коши
с начальными данными х0, у0 можно найти из уравнения

U.у)
J Mdx + Ndy = О . (9)
(•*о,</о)
при условии, что \М{х0, yo)\ + \N(xo, yo)\¥=0-
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
6*^) dx -|- (№у -J- 4(/3) dy = 0. A0)
Здесь дМ/ду = дЫ/дх=\2ху, т.е. условие C) выполнено, и, следовательно,
уравнение A0) есть уравнение в полных дифференциалах.
Покажем, что уравнение A0) легко привести к виду dU=0 непосредственной
группировкой членов. С этой целью запишем его так:
ЪхЧх + бху (ydx + xdy) + 4 y»dy ■-= 0. A1)
Здесь 3x2dx = d (*»), бху (ydx + xdy) = 6xyd (xy) = d C (*y)a), 4y»dy = d (у4). По-
Поэтому уравнение A1) можно записать в виде
d(*3) + dC(xy)=) + d(y*)- 0
или
Следовательно,
X» + Зхгуг + у* = С * A2)
есть общий интеграл уравнения A0). Его левая часть, т.е. функция
х3+ЗА'2у2+(/4, является интегралом уравнения A0).
Найдем общий интеграл уравнения A0) по одной из формул общего интегра-
интеграла, например по формуле D). Взяв хо = О, Уо=Ь, получим
Cx2 + 6xJ/2) dx + j АуЧу = С.
о
Выполняя квадратуры, снова приходим к общему интегралу A2).
Найдем решение уравнения A0) с начальными данными хо = 1, Уо=О. Поль-
Пользуясь общим интегралом A2), находим С—\, так что искомым решением будет
ХЗ -f 3x2y2 -j- у« = 1. A3)
Искомое решение можно найти сразу по одной из формул D") и E"). Поль-
Пользуясь, например, формулой D"). имеем
(Зх2 + бху2) dx -|- \ Fу + 4уз) dy = 0,
I о
откуда получаем искомое решение в виде A3).
2. Пусть дано уравнение
(х-УJ У
A4)
Это уравнение в полных дифференциалах. Но непосредственное интегрирова-
интегрирование его с помощью группировки членов затруднительно. Поэтому воспользуемся
формулой общего интеграла. В формуле D) положим хо = 1, уо=2 (почему нель-
нельзя брать Хо = О, уо = О, уо=1, Хо = ?)
(Х-уJ
1
76
ff—[— ±)
J ^ A-уJ у )

или
In — + -^- = c. A5)
г/ ж — г/
Найдем общий интеграл уравнения A4) другим способом. Интегрируя по х ко-
коэффициент при dx, получим
или
U(x, y) = lnx+~-- +Ф(у). A6)
Дифференцируя последнее уравнение по J/ и приравнивая коэффициенты при
dy, находим
. 2ху — у* л _ x° _ _1_
(х-у)' Г<Р W== (*-y)s у '
откуда ф'(«/) = 1—1/{/, а тогда ф(</) = (/—In у. Подставляя это значение ф({/) в
уравнение A6) и полагая U—C, находим общий интеграл, который снова будет
иметь вид A5).
В задачах 339—346 найти интеграл и общий интеграл уравне-
уравнения, не пользуясь формулами общего интеграла.
339. xdx + ydy =-■ 0. 340. — dy ^- dx = 0.
х х2
.34I.J-&—i-<ty = 0. 342.
343. Bx — г/ + 1) dx + By — x — 1) dy = 0.
344. xdx + ydy + ydx~xdy = 0.
x2 + y-
345 xdx + УйУ + уФ — У** ^ 0
346.
В задачах 347 — 349 проинтегрировать уравнение.
348. — dx + ^~ЗХЗ dy = 0.
У3 У4
349. A + ex/y)dx + еж/^ Г1 - — \ dy = 0.
77

В задачах 350— 352 найти решение с начальными данными л0, у0.
(x+2y)dx + ydy __ п. _
J5U. ■— — U, Хо — 1, у0 — U.
(•« + г/J
351. {х + у) Лс + (л — у) ф = 0; х0 = 0, у0 - 0.
352. (л— t/)dx + B(/ — x)dy=^Q; x0 = 0, у0 = 0.
353. Проинтегрировать уравнение ydx+xdy=0 (х>0, у>0)
как уравнение в полных дифференциалах и как уравнение с разде-
разделяющимися переменными (не потенцируя). Найти зависимость
между полученными общими интегралами U=C и U\ = C\.
12. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
Общие понятия. Если уравнение
М(х, y)dx + N(x, y)dy=-~0 (I)
не является уравнением в полных дифференциалах и существует
функция \i=[i(x, у), такая, что после умножения на нее обеих час-
частей уравнения A) получается уравнение " .
--= 0
в полных дифференциалах, т. е.
ц (Mdx -\- Ndy) = dU,
то функция [I называется интегрирующим множителем, а функция
U — соответствующим ему интегралом уравнения A). В случае,
когда уравнение A) уже есть уравнение в полных дифференциалах,
полагают ц=1.
Если найден интегрирующий множитель ц, то интегрирование
данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на \х
и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных
дифференциалах. Однако может случиться, что при этом мы теряем
некоторые решения данного уравнения (эти решения могут быть
особыми) или получаем посторонние решения. Первое может
иметь место, когда \х во всех точках некоторой кривой обращается
в бесконечность, второе — когда ц обращается в нуль (почему?).
(Уравнение A) заведомо не имеет особых решений, если функции
М (х, у) и N(x, у) являются полиномами от ли у.)
Если ц есть непрерывно дифференцируемая функция от х и у, то
д{\лМ) _ d{\iN)
ду дх
Отсюда следует, что интегрирующий множитель ц удовлетворяет
следующему уравнению с частными производными
л ер во го порядка:
дх ду \ ду дх

Если заранее известно, что |л = |л(<о), где ш — заданная функция
от х и у, то уравнение B) сводится кобыкновенному (и при-
притом линейному) уравнению с неизвестной функцией \х от неза-
независимой переменной и:
dv>-=ip(o>)|i. C)
dm
где
дМ/ду — dN/дх
i — М {ды/ду)
т. е. дробь слева является функцией только от <о.
Решая уравнение C), находим интегрирующий множитель
D)
В частности, уравнение A) имеет интегрирующий множитель,
зависящий только от х (а = х) или только от у (ы = г/), если выпол-
выполнены соответственно следующие условия:
N
или
дМ/ду — dN/dx
— =
Однородное уравнение М(х, y)dx+N(x, y)dy = 0 имеет интегри-
интегрирующий множитель
l(Af -i- Ny),
если только Mx + iVy^O. При этом уравнение Mx-rNy = 0 опреде-
определяет все кривые, подозрительные на особое решение.
Знание двух различных интегрирующих множителей уравнения
A) дает возможность записать его общий интеграл вовсе без квад-
квадратур, а именно: если nt и |я2 суть два интегрирующих множителя
уравнения (I), причем уц^^Ф const, то ni/|.i2 = C' есть общий ин-
интеграл этого уравнения. Отсюда следует, что если уравнение A)
есть уравнение в полных дифференциалах и известен его интегри-
интегрирующий множитель jx^const, то \\ = С является общим интегралом
этого уравнения.
В частности, если уравнение A) однородное и в полных диффе-
дифференциалах, то Mx + Ny = C является его общим интегралом, если
только Мх+ЫуФ const.
Интегрирующий множитель уравнения A) иногда можно отыс-
отыскать с помощью разбиения этого уравнения на группы, для каждой
из которых легко находится интегрирующий множитель.
Пусть уравнение A) допускает разбиение на две такие группы
(М^х, y)dx + N1(x, y)dy) +
+ {М2 (х, y)dx + N2 {х, у) dy) = O (Г)
79

и Hi» \h —их интегрирующие множители, так что
Njdy) = dUlt ц2 (M2dx + ЛГ2ф) = dUt.
Попытаемся подобрать функции ф (t/x) и \|э (£/2) таким образом,
чтобы
jii<p(tfi) = M>(£/2)- F)
Тогда функция
будет интегрирующим множителем всего уравнения (Г) (почему?),
которое после умножения обеих его частей на этот интегрирующий
множитель примет вид
и, следовательно, общий интеграл уравнения A) запишется так:
C. G)
Замечание. Подбор функций tp и г|з иногда облегчается заменой интегра-
интегралов U] и 11 г другими интегралами, определенными в той же области (см. ниже
пример 3). Но тогда нельзя записывать общин интеграл по формуле G). »
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
A— x*y)dx + x*(y — x)dy = 0. (8)
Проверим, не имеет ли оно интегрирующего множителя, зависящего только
от х:
дМ/ду — dN/dx —х* — 2ху + 3*2 _2_ _
N = х2(у — х) х =^(Х)'
т. е. условие E) выполнено. Поэтому
fo(x)dx -U2/x)dx
H = eJ = е J - 1/х2.
Умножая обе части уравнения (8) на 1/х2, получаем
— у) dx + (у — х) dy = 0.
Для контроля правильности вычислений убедимся, что это уравнение в полных
дифференциалах. Интегрируя его (непосредственной группировкой членов), иа-
ходим
—1/х — ху + у*12 = С. (9)
Прежде чем считать интегрирование данного уравнения законченным, нужно
посмотреть, не обращается ли ц в оо или в 0.
Хотя ц и обращается в бесконечность при х=0, а х=0 является решением
данного уравнения (8), но это решение частное; оно содержится в общем ин-
интеграле (9) при С = оо. В нуль ц ие обращается.
2. Проинтегрировать уравнение
(Ух^^У + 2x)dx — dy == 0, A0)
если известно, что для него ц=ц(х2—у).
Полагаем в условии D) (в=д:2—у:
дМ/ду — dN/dx (— \IB~]/х2 — у)
N(da/dx) — M(da/dy) ~ _
■ — У) 2g>
80

Поэтому
Умножая обе части уравнения A0) на 1/У*2—г/ и интегрируя, находим
х + 2 Ух^ — у =-• С.
Здесь ц обращается в бесконечность в точках кривой у=х^. Функция у=х2 яв-
является решением уравнения A0), и притом особым (почему?).
3. Проинтегрировать уравнение
( yy=O A1)
с помощью интегрирующего множителя, найдя последний разбиением уравнения
на группы.
Перепишем уравнение A1) в виде следующих двух групп:
у(\+ ху) их + ~- x*ydy) -f 0/ + 1) tf«/ = 0.
Для первой из них Hi = l/#, U\=x+~x2y. Вторая группа представляет собой
Z
полный дифференциал, так что Ц2 = 1, U2=y2/2+y.
Равенство F) примет вид
Функцию ф нужно подобрать так, чтобы левая часть этого равенства стала
функцией, зависящей только от у. Поэтому нужно положить <р(С)) =const, напри-
например ф(С|) = 1. Далее для удобства подбора функции хр заменим интеграл С
интегралом Ог = г/. Тогда равенство A2) можно переписать в виде \/y=ty
поэтому интегрирующим множителем уравнения A1) будет \i=\/y.
Умножая обе части уравнения A1) на ц=1/(Л получаем уравнение в полных
дифференциалах
A + ху) dx -j- (-j- x* + 1 + —) dy = 0.
Интегрируя его, находим:
U = x +
Общим интегралом уравнения A1) будет
В задачах 354 — 358 проинтегрировать уравнение, для которого
ц(х) или ц= {)
354. (— + l\dx+ (—— l)dy =0.
355. (x2 + y)dx
6. Зак. 1213 .81

356. {2x1? — у) dx + (г/2 + x + y) dy = O.
357. (хг/2 + y)dx — xdy = 0.
358. (x cosy —у sin y) dy + (* sin у + ycosy)dx = 0.
В задачах 359 — 362 решить уравнение с помощью интегрирую-
интегрирующих множителей одного из видов: \i = ц(х-\-у), 1* = |А(хг/), ц =
= ,*(x2-*,2), |A=f*(x2 + */2).
359. ху + г/ + (х3г/2-*)у' = 0.
360.
361. (г/ + х2) dy + (х — хг/) dx = 0.
362. f2y+-—J—-)dx+Cy+x+—L--)dy =
В задачах 363 — 365 проинтегрировать уравнение (однородное)
-с помощью интегрирующего множителя.
363. xdy — (x + y)dx -= 0. 364. (ру - qx) dx — (рх + qy) dy - 0.
365. у' = 2 Vy/x + «//*.
В задачах 366 —■ 368 найти без квадратур общий интеграл урав-
яения.
366. (х2 + у2 + 1) dx - 2хуф - 0; [хх = ^ (х), щ = [х2 (х2 - у2).
367.
-X
368. (x 4- у) dx + (x — у) dy =- 0.
В задачах 369, 370 проинтегрировать уравнение с помощью ин-
интегрирующего множителя, найдя последний разбиением уравнения
на группы.
369. (JL + JL)dx + (— -
\ У Xs ) \ ХУ х2
370. axdy + bydx + хГ у" (axdy ~}-$ydx) =г 0 (а$ — Ьа=^0). Найти
общий интеграл в случае a(J — ba = 0.
13. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнени-
уравнением? Что такое порядок дифференциального уравнения; степень
дифференциального уравнения? Всякое ли дифференциальное урав-
уравнение имеет степень?
82

2. Что называется решением (интегральной кривой) дифферен-
дифференциального уравнения? В чем состоит задача интегрирования диф-
дифференциального уравнения?
3. Каковы основные формы задания уравнения первого порядка,,
разрешенного относительно производной? В каких видах могут
быть заданы решения?
4. Как возникают дифференциальные уравнения при математи-
математическом моделировании реальных процессов? (Привести пример.)
Как составить дифференциальное уравнение заданного однопара-
метрического семейства кривых?
5. Как определить наклон интегральной кривой уравнения пер-
первого порядка в заданной точке (хо, г/о) по виду уравнения? Что та-
такое поле направлений, определяемое дифференциальным уравнени-
уравнением? Что такое изоклины? Может ли интегральная кривая уравнения
первого порядка, разрешенного относительно производной, иметь
излом? Могут ли интегральные кривые этого уравнения пересекать-
пересекаться между собой; касаться друг друга?
6. В чем состоит задача Коши для уравнения первого порядка,
разрешенного относительно производной? При каком условии она
имеет решение? При каких условиях это решение будет заведомо
единственным?
7. Что такое общее решение? Как решается задача Коши при
помощи формулы общего решения? Что такое общее решение в
форме Коши? Что такое общий интеграл? Что такое общее решение
в параметрической форме?
8. Что такое частное решение? Как оно связано с формулой об-
общего решения?
9. Какое решение называется особым? Как оно может быть свя-
связано с формулой общего решения? Как найти кривые, подозритель-
подозрительные на особое решение, по самому дифференциальному уравнению?
В каком случае уравнение заведомо не имеет особых решений? По-
Почему огибающая семейства интегральных кривых будет особым
решением? Как можно обнаружить кривые, подозрительные на осо-
особое решение, в процессе интегрирования данного дифференциаль-
дифференциального уравнения? Может ли дифференциальное уравнение иметь ре-
решения, которые не являются ни частными, ни особыми?
10. Как интегрируются неполные дифференциальные уравнения
вида y' = f(x), y'=f(y)?
П. Как интегрируются уравнения с разделенными и разделяю-
разделяющимися переменными?
12. Какое уравнение называется однородным (положительно
однородным)? Какова особенность поля направлений, определяе-
определяемого этим уравнением? Что представляют собой изоклины однород-
однородного уравнения? Как оно интегрируется?
13. Какое уравнение называется обобщенным однородным? Как
оно интегрируется?
14. Какое уравнение называется линейным? При каком условии
задача Коши для линейного уравнения имеет единственное реше-
решение? Какова при этом условии степень произвола выбора началь-
з* 83

ных данных решений этого уравнения? В каком интервале сущест-
существуют решения? Может ли график ненулевого решения однородного
уравнения пересекать ось Ох или касаться ее? Может ли линейное
уравнение иметь особые решения?
15. Какой вид имеет общее решение однородного линейного
уравнения (в обычной форме и в форме Коши)? Как найти общее
решение однородного линейного уравнения, если известно одно не-
ненулевое частное решение его?
16. Как найти общее решение неоднородного линейного уравне-
уравнения, если известно одно частное решение его и общее решение соот-
соответствующего однородного уравнения?
17. В чем заключается сущность методов Лагранжа и Эйлера
нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения?
18. Какой вид имеет общее решение неоднородного линейного
уравнения (в обычной форме и в форме Коши)?
19. Как интегрируется уравнение Бернулли? При каком условии
y=Q будет решением, когда это решение является частным и когда
особым?
20. Как интегрируется уравнение Дарбу?
21. Какой вид имеет уравнение Риккати? Какова степень про-
произвола выбора начальных данных решений этого уравнения? Га-
Гарантируется ли существование решения во всем интервале непре-
непрерывности коэффициентов уравнения? Может ли уравнение Риккати
иметь особые решения? Как найти общее решение уравнения Рик-
Риккати, если известно одно частное решение его?
22. При каком условии уравнение М(х, y)dx+N(x, y)dy = 0
является уравнением в полных дифференциалах? Какой вид имеет
его общий интеграл?
23. В чем заключается сущность метода интегрирующего мно-
множителя? При каком условии существует интегрирующий множи-
множитель, зависящий: а) от заданной функции от х и у; б) только от х;
в) только от у?
Задачи
В задачах 371—420 определить область задания уравнения, об-
область существования решения задачи Коши, область существова-
существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изу-
изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным
уравнением (найти изоклины, построить изоклины у' = 0, у'=±\,
у' = оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях
координат, указать области возрастания и убывания решений, най-
найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти
линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический
набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать урав-
уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кри-
кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области
задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду се-
семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
371. у' = а. 372. у' = ах. 373. у' = ах\

374. у' = |*|. 375. у' = 1/|х|. 376. у' = l/Vx.
377. г/' = |х|/х. 378. у' = 2 Ух. 379. у' = 2 У|х[.
380. г/' = х/Ух2—1.' 381. у' = 1/Vl — х2. 382. г/' = аг/.
383. у' = аг/2. 384. у' = — у3.
2
386. у' = я2 —у2. 387. г/'= у4.
389. у' = \у\/у. 390. у' = 1/|у|.
392. г/' = —У2 —у. 393. у' = 2У|у^Л]-
396. у' = у3/2.
399. у' = (* — ху2)/(—
401. у' = — 2у/х.
404. г/' = у/х.
385. г/' = а2 —г/2
388. у' = |г/|.
395. у' = -*-
у 2
391. у' =
394. у' = -Зу2/3.
397. y' = yln|y|.
398. у у' - —х3.
400. х3у' = Чу.
403. у' = -у/х.
х
B* + У)
406.
—. 407. у'
409. г/'
410. у' =
У , «
1
х у
2ху
х-у).
402. у' = 2у/х.
405. у' = -х/у.
408. у' = £-
411. г/г/' = х+ г/ —
413. у' --—уcoax. 414. у' —B/х)у = х.
416. у' = (-х-2х3)/(у + 2у3).
418. г/' = | ' '
.0, у<0. \0, у=0.
0, У<0; .
2у/х, 0<у<х2, х^=О;
2х, у>х2.
О, х<0;
4х, х>0, у>х2;
—4х, х>0, у<—х2;
4у/х, х>0, |у|^х2.
В задачах 421—425 доказать, пользуясь теоремой Пикара, су-
существование и единственность решения, удовлетворяющего постав-
поставленному начальному условию; оценить интервал существования
решения; построить второе приближение к искомому решению (по
методу Пикара).
421. у' = х2 + у2, |х| ^ 1, \у\ ^ 1; у — 0 при х = 0.
422. у' = х2 -у2, |х|< 1, \у\ < 1; у = 0 при х = 0.
423. у' = sin(xy), |*|< 1, \у\< + оо; у = 1 при х = 0.
85
412. у' + 2ху=-- 1.
415. г/'=
417. у =
419. г/'
420. г/' -

424. у' -\ - у = 0; у = 1 при х = 0.
х— 1
425. у' = !«/!; г/ - 1 при х -- 0.
В задачах 426, 427 найти методом Пикара решение, удовлетво-
удовлетворяющее поставленному начальному условию.
426. г/'=г/; г/=1 при х=0. 427. г/' = г/2; у=\ при дс=О.
В задачах 428—430 доказать, пользуясь теоремой Коши, сущест-
существование и единственность голоморфного решения, удовлетворяюще-
удовлетворяющего поставленному начальному условию; оценить область сходимо-
сходимости степенного ряда, представляющего решение, найти свободный
член и коэффициенты при х—х0, (х—х0J и (х—ХоK в разложении
решения в ряд по степеням х—хо-
428. у' =, х2 + г/2, |х|< 1, |*/|< 1; г/ = 0 при .v = 0.
429. г/' Н г/ = 0; у =-- 1 при х = 0.
Л ■ 1
430. у' + — у = 0; г/ - 2 при х = 1.
2-х
В задачах 431—433 найти голоморфное решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее поставленному начальному условию.
431. у' = у2; у = 1 при х — 0.
432. г/' = Ц- 2лтг/; г/ = 0 при х = 0.
2х
433. у' + -у= 0; г/ = 1 при дг - 0.
1 4- х2
В задачах 434—436 для каждого линейного уравнения найти
(пользуясь теоремами Пикара и Коши) и сравнить оценки области
существования решения и области сходимости степенного ряда,
представляющего решение, удовлетворяющее поставленному на-
начальному условию. (В задачах 434, 435 сравнить найденные оценки
с фактическими областями существования решения и сходимости
ряда, представляющего решение.)
434. у' + * у = х; у = у0 при х = 0.
1 ^{- X2-
435. у' у = 0; у = уо при х = х0 ¥= 2,
х —2
436. у + -— 0 = 0; г/ = у0 при х = хо¥=1-
2A—х)
В задачах 437—440 выяснить, какие начальные данные можно
задавать, чтобы задача Коши заведомо имела единственное рёше-

ние. Оценить область существования решения и область сходимости
степенного ряда, представляющего решение.
437. л-у + ху=1. 438. у' 4- еху = 0.
439. у' + у\пх = 0. 440. у' +yVl+x= 0.
В задачах 441—447 найти голоморфные и неголоморфные реше-
решения у = у(х), обладающие свойством у-*-0 при х-М).
441. ху' = ах + by. 442. ху' = х + A/2) г/.
443. ху' =х+ у. 444. ху' = у + хг.
445. хг/' = — у + х2. 446. хг/' = — у — хг/2. 447. х3/ = 2г/.
В задачах 448—451 найти решения у = у(х), обладающие ука-
указанным свойством.
448. у' - 1/(у — г/о); У~+Уо при х->-х0.
449. у' = у/х; у-+уоф0, х->~0.
450. у' =■--• —х/у; у-н>~0 при х-^-хо^О.
451. г/' = —х*/у; у-н>-0 при х-^хо^=О.
В задачах 452 — 455 найти решения у = у (х), обладающие свой-
твом |г/|->оо при х-^х*—-0 или х—vx^ + 0-
452. у'-г/2. 453. гу' ?-у3. 454. у'- —у4. 455. у' = у.
Z о
В задачах 456—471 определить тип каждого уравнения и ука-
указать метод его интегрирования.
456. (х/г/ - х + г/2) их + (-х2/Bг/2) + 2хд + y)dy = 0.
457. (х + х2) у' — A + 2х) у - 1 + 2х.
458. 2 (у — 2ху — Xs УУ) + х2у' = 0.
459. (х3 — ху2 + у) dx + Bх2у — х) dy = 0.
460. (у + х3) dy + (Зх5 — Зх2у) dx = 0. . .
461. (х + 2;/ + 1) dx — (х — 3) dy = 0.
462. лэд^ - у2 = (х2 + у2) х/(у - х).
463. (ху — Зх + 5у— 15)dx+(xy — 2x + y — 2)dy = 0.
464. (х + у— \)dx — (х — у— l)dy = 0.
465. (у—l)dx + 2(x+ l)dy = 0.
466. Cv+3y— l)dx + (x + y+ \)dy = 0.
467. ydx + Bx — y2) dy = 0.
468. (лг . |- y2 + 1) dy + xydx = 0. 469. y' = y2 — x^ + 1.
470. ydx + {x — 2 Vxfy) dy = 0. 471. y' = y^ — 2/x2.
87

В задачах 472—507 проинтегрировать уравнение и, где указано,
выделить решение с начальными данными х<ь Уо, исследовав пред-
предварительно вопрос о существовании и единственности его.
472. у' = Зх2; х0 = 0, у0 = 0. 473. у' = shx; x0 = 0, у0 = 1.
474. ^' = 1/х; х0 = 1, у0 = 0; х0 =-- 0, г/0 = 1-
475. у' = 1/B Ух); х0 = 1, уа = 1; х0 - 0, уа = 0.
476. у' = 1/Vl —л2.
477. у' = г/2; х0 = 0, у0 = 1; х0 = 1, у0 = 0.
478. г/' = 1 — у2; х0 - 0, у0 = 0; х0 = 0, у0 = 2; х0 = 0, у0 = —2.
. 479. у' = у; х9 = 0, у0 = 1; х0- = 2, у0 = 0.
480. у' = —у; х0 = 0, г/о = 1. 481. у' = 1 + г/2; л;0 = 0, у0 = 0.
482. (/' = Цу; х0 = 2, у0 = 2; х0 = 0, у0 = 0.
483. у' = 2~Vy; х0 = 0, у0 = 1; *0 = Ьй = 0.
484. у' = 2У|у[; х0 = 1, г/0= 0. 485. у' = г/cosx; х0 = 6, -у0 = 1.
486. г/' = У^/х. 487. г/' = — х/УГ^х2".
488. у' = xy/Vl— х2; хо=1, у0 = 1; ^о = 1, Уо = 0.
489. у' = 2г//х. 490. у' = (х+ г/)/х. 491. г/' = ylx.
492. г/' = —ylx. 493. у' = (у — х)/(у -f х/.
494. г/' = — . 495. у' = е^/А: + -£-. 496. у' = sin -^- + -^-.
у х хх
.__ 1+2х 1-1-2х Л ,
497. у' 2—Гу = L_^; хо = О, уо = -1.
X + X* X + Jf •
498. г/' — ху = 1; х0 = 0, у0 = 0.
499. ху' —у = х2; х0 = 0, у0 = 0.
500. у' — у = хуг; х0 = 0, у0 = 1.
501. ху' — у = —у2; х0 = 0, у0 =■-- 1; х0 = 0, у0 == 0.
502. у' = —у = xVy; х0 = 0, у0 = 1; х0 = 0, у0 = 0.
х
503. dx—dy + x{xdy — ydx) = 0. 504. у' + у2 = 1 + х2.
505. 9хгу' = — 18хУ + 2. 506. xydx + (х2/2 + 1/у) dy = 0.
507. (х + ylx) dx + A + ys/x) dy = 0.
В задачах 508 — 513 найти по виду уравнения кривые, подозри-
подозрительные на особое решение, и проверить, будут ли они особыми ре-
решениями.
508. у' = (у— 1J/3. 509. у' =

510. г/' = ах + Ух2 — у. 511. у' --=Уу— х + а.
512. у' = Уу — х + ах. 513. у' = Уфе.
В задачах 514—518 доказать по виду уравнения, что оно не
имеет особых решений.
514. у' =х2 + У4- 515. у' = У~~Х
У + х
546. (х2 — ху + у3) dx + (ys — .v2) dy = 0.
517. у' = sin(xy). 518. у' = х + Vx2 + у*.
В задачах 519—521 по виду семейства интегральных кривых
найти кривые, подозрительные на особое решение, и проверить,
будут ли они особыми решениями.
519. у' = 2 Уу; у = (х 4- СK (х> -С).
520. ху'= у-1-УуТх; y = x{C — \jxf {хфО, С — 1/х>0).
521. у' = УЬ» — г/2/у; (* — СJ+г/2 = 6

II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия и определения. Уравнение первого порядка,
не разрешенное относительно производной, имеет следующий об-
общий вид:
F{X, у, у')^0. A)
Функция у=у(х), имеющая непрерывную производную и обра-
обращающая уравнение A) в тождество, называется решением^ этого
уравнения. Решение может быть задано в неявном виде: Ф(х,' у) = 0
и в параметрической форме: x=($(t), y = ty(t).
График решения называется интегральной кривой. Все инте-
интегральные кривые являются гладкими.
Так же, как и уравнение, разрешенное относительно производ-
производной, уравнение A) определяет некоторое поле направлений. Но
здесь, как правило, в каждой точке (х0, уь) задается несколько
направлений поля, т. е. несколько значений у'. Все они находятся
из уравнения
F{ у0, у')=-0. B)
Интегральная кривая обладает тем свойством, что в каждой ее
точке направление касательной совпадает с одним из направлений
поля, определяемых уравнением A) в этой точке.
Задача нахождения решений у — у(х) уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющих начальному условию у(хо) = Уо, или, что то же,— инте-
интегральных кривых, проходящих через заданную точку (хо, Уъ), назы-
называется задачей Коши (начальной, задачей). При этом говорят, что
имеет место единственность решения задачи Коши, если число ин-
интегральных кривых, проходящих через точку (х0, г/о), совпадает с
числом направлений поля, определяемых уравнением A) в этой
точке, поэтому для каждого из значений у'о, определяемых уравне-
уравнением B), существует одно и только одно решение у=у(х) уравне-
уравнения A), такое, что г/(хь) =г/0 и у'(х0) =у'о. Для этого достаточно по-
потребовать, чтобы функция F(x, у, у') была непрерывно дифферен-
дифференцируема в некоторой окрестности точки (jc0, Уо, у'о) и dF/dy' была
отлична от нуля в этой точке.
Решение уравнения A) называется частным, если в каждой
точке его сохраняется единственность решения задачи Коши.
90

• Если в каждой точке решения нарушается единственность ре-
решения задачи Коши, то оно называется особым.
Нахождение особых решений. Если левая часть уравнения A)'
непрерывна по совокупности переменных х, у, у' и имеет частную
производную по у', то кривую, подозрительную на особое решение,
можно найти исключением у' из системы
F(x, у, у') = 0
Эта кривая называется дискриминант ной кривой уравнения (I).
Чтобы она была особым решением, нужно, чтобы она была реше-
решением уравнения A) и в каждой точке ее нарушалась единствен-
единственность решения задачи Коши.
Огибающая семейства интегральных кривых всегда является
особым решением. Правило нахождения огибающей указано в
§ 1 гл. I.
Кривые, подозрительные на особое решение, можно обнаружить
также в процессе интегрирования данного дифференциального
уравнения.
В следующих параграфах мы рассмотрим вопросы нахождения
общего решения (общего интеграла) различных типов уравнений,
не разрешенных относительно производной.
2. УРАВНЕНИЕ n-й СТЕПЕНИ
Построение общего интеграла. Рассмотрим уравнение вида
\Л> (х, у) у + А1 (х, у) у'п~х -|- ... + Лп_! (х, у) у' +
~Ап(х, у)-0, A)
в. котором левая часть есть полином гс-й степени относительно у'.
Такое уравнение называется уравнением первого порядка п-й сче-
пени. Предположим, что, разрешая его относительно у', мы полу-
получаем т. (т^п) вещественных решений
y' = h(x, У) {k=l, m). B)
Если для каждого из полученных уравнений B) удас|гся- найти об-
общий интеграл /
%(*, у) — С (k—\,m), ■ ■ . .
то совокупность последних будем называть общим интегралом
уравнения A). Этот общий интеграл можно записать.и в виде одно-
одного соотношения
(ih(x, у) - С) <ч>2 (х, у)-С) ■■■ {Цт (х, y)-G) = О,
в котором левая часть есть полином т-й степени относитель-
относительно произвольной постоянной С.
91

Особые решения. Если уравнения ^2.) имеют особые решения,
то каждое из этих решений будет особым решением уравне-
уравнения A).
Уравнение, квадратное относительно у'. Это уравнение вида
у' +2Р(х, y)y' + Q(x, y) =
Решаем уравнение C) относительно у':
у' = ~Р(х, у)±
C)
*. у) — Q (*. у) ■
Эти уравнения заданы в области Р2—Q^O. Проинтегрировав их,
найдем общий интеграл уравнения C).
Особым решением может быть только дискриминантная
кривая
РЦх, y)-Q(x, y) = 0,
получающаяся, согласно § 1, исключением у' из системы
у'' + 2Р(х, y)y'+Q (х, у) = О,
2у' + 2Р (х, у) = О
Примеры. 1. Проинтегрировать уравнение
У1' -4x2 = 0 D)
и выделить интегральные кривые, проходящие через заданную точку: а) М A, 1);
б) О@, 0).
Из уравнения D) находим у' = 2х, у' = —2х. Интегрируя, получаем
E)
или
Это общий интеграл. Он представляет собой два семейства парабол E),
наложенных друг на друга, как показано на рис. 43. Особых решений нет.
Решим поставленные задачи Коши:
а) подставляя начальные данные *о=1, уо = 1 в первое из семейств E), име-
имеем 1 = 1+С, откуда С=0. Поэтому г/=х2. Аналогично второе из семейств E)
дает решение у=—х2+2. Итак, через точку М(\, 1) проходят две интегральные
кривые: у=х* и у=—x2-f2. Единственность решения задачи Коши при этом не
нарушается, ибо в точке АГA, 1) уравнение D) определяет два направления поля:
у'=2 и у'=— 2;
Рис. 43
Рис. 44
92

б) подставив начальные данные хо=О, уо=О в общее решение E), выделим
решения у=х2 и у=—х-. Кроме того, решениями будут
"~~ и у —
Единственность решения задачи Коши в точке О@, 0) нарушена, ибо направ-
направление поля в этой точке одно: у'=0, в то время как через нее проходит не одна
интегральная кривая.
2. Рассмотрим уравнение
у^у' * — 2ху/ + 2</2 — *2: - о. F)
Решая его относительно у', получаем
Интегрируем эти уравнения:
. . xdx — udu /—
ydy=(x±V2 Vx*-i/»)dx, +yx2_y2 - = Л/2 dx,
откуда
Это общий интегр а_л. Он представляет собой семейство окружностей с
центрами в точках (—СУ2, 0) и радиусом, равным С (рис. 44).
Особым решением может быть только дискримииантная кривая х—г/2=0,.
которая распадается на прямые у=х, у=—х.
Полупрямые у=±х (хФО) будут особыми решениями. Оии являются
огибающими семейства окружностей G). Кроме того, уравнение F) имеет
интегральные кривые вида АВО и OED (см. рис. 44), составленные из отрезков
частных и особых решений.
В задачах 522—531 проинтегрировать уравнение и, где указано,
выделить интегральные кривые, проходящие через заданную точку
М(х0, у0).
522. yr/''-(xy+l)y' + x=O; Af(l, 1).
523. / — 40=0; M(l, 1), M(l, 0). 524. / = 4|t/|.
525. у'* = -f- . 526. у2 A + у') = a\
4 И
527. /-J-y' = 0.
Ax
528. у'' — ху'г — 4yt/ + 4xy = 0; M@, 1), M(l, 0), Af(O, 0).
529. yy' + у'* = д;2 + xy. , M30. xy' = V^l + y'\
531. x2r/'2 + 3xr/y' + 2y2 = О.".
В задачах 532—536 найти по виду уравнения кривые, подозритель-
подозрительные на особые решения, и проверить, будут ли они особыми реше-
решениями.
532. (ху' + yf + 3x5 {xt/ _ 2y) = 0.
93

533. у'г — 2уу' + хг- = 0. 534. у'' — 4у = 0.
535. у'" — 2л#' + 2л;2 — у = 0. 536. у'' — 4уу' — /+ 4у =0.
В задачах 537, 538 найти по виду общего интеграла кривые, по-
подозрительные на особое решение, и проверить, будут ли они особы-
особыми решениями.
537. if A + if) = а2; (х + Cf + if = a\
538. t/ — iy-=O; (Yy—x — C) (Уу+х — С)^0. (Указание.
Сначала разрешить уравнение семейства интегральных кривых отно-
относительно у.)
539. Найти кривые, для которых отрезок, отсекаемый касатель-
касательной на оси Ох, равен радиусу-вектору точки касания.
540. Найти кривые, для которых длина отрезка нормали равна
радиусу-вектору точки касания.
541. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
у у __ Х2 _ СJ — г74 -= 0.
542. Составить дифференциальное уравнение софокусных эл-
эллипсов с данным межфокусным расстоянием, равным 2с.
3. НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение, содержащее только у'. Это уравнение вида
0. • (П
Оно имеет общий интеграл
B)
Если корни уравнения F(t)=O заполняют сплошь некоторый
интервал, то уравнение A) может иметь решения, не содержащие-
содержащиеся в общем интеграле B).
Уравнение, не содержащее искомой функции. Это уравнение
вида
F{x,y)=0. C)
Рассмотрим два случая.
1. Уравнение C) разрешимо относительно у\ Пусть оно опреде-
определяет т значений у':
у'=Мх) (k =
Отсюда, интегрируя, получаем
У-= Uh(x)dx + C {k=l, m).
2. Уравнение C) неразрешимо (в элементарных функциях) от-
относительно у', по допускает параметрическое представление:

В этом случае удается найти общее решение в параметрической
форме.
Воспользуемся для этого основным соотношением dy = y'dx.
Заменим справа у' и dx их значениями из представления D):
dy = \\> (I) ф' (I) dt.
Проинтегрировав, найдем
У= ЫО Ф'(О Л + С-
Присоединяя сюда x — q>(t), получаем общее решение уравнения C)
в параметрической форме:
Если существует такое конечное число а, при котором
Jim F {а, у') =-- О,
У '•*+!»
то х = а есть решение уравнения C). Это решение может оказаться
особым.
Уравнение, не содержащее независимой переменной. Это уравне-
уравнение вида
F(y,y')=rO. E)
Здесь также имеют место два случая.
1. Уравнение E) разрешимо относительно у':
Тогда
(k=l, m).
Ш
2. Уравнение E) допускает параметрическое представление:
Тогда
dy = y'dx, ф' (t) dt = y @ dx, dx = ф' (t}
поэтому
Уравнение E) может иметь особые решения вида г/=Ь, где Ь оп-
определяется из уравнения F(b,O) =0.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
Это уравнение типа A). Его общим интегралом будет
95

- 2. Проинтегрировать уравиение
еУ'+у'^х. ■ F)
Это уравнение типа C). Но оно разрешено относительно х. В таких случаях
за параметр обычно принимают у', т. е. полагают y'=t, после чего х легко вы-
выражается через t: x=e:-\-t. В результате получаем параметрическое представле-
представление уравнения F) в виде
х = «'+/, y'=t.
Теперь имеем:
dy = y'.dx = t (е*.+ 1) dt, у = j /
dt + C,
откуда
х = е* -г t,
3. Пусть дано уравиение
G)
Хотя это уравнение тоже разрешено относительно х, тем ие менее с целью
упрощения вычисления интеграла при нахождении у удобнее положить не y' = t,
a y' = igt. Тогда параметрическим представлением уравнения G) будет
х=
у' —
(х = k sin t) при cos t > 0, x = — ft sin t при cos t < 0.
Далее находим:
dy = + igt-kcobtdt= ±k%\ntdt.
у = q: ft cos f -f C.
В результате имеем:
Исключив параметр ^, получим общий интеграл
С
(8)
Посмотрим, не имеет ли уравнение G) решений вида х=а, о которых шла
речь ранее. Правая часть уравнения G) имеет конечные пределы при i/'-*-±oo.
Они равны ±k. Поэтому прямые x = ±k будут решениями уравнения G). Эти
решения — особые. Они являются огибающими
семейства (8) (рис. 45, k>0).
4. Рассмотрим уравнение
у = у'г еУ.
(9)
Это уравнение типа E), причем оно разрешено
относительно у. Положим y'—t, тогда
у = Ы, y'=t.
Далее находим:
dy = y'dx, Bt + /2) efdt = tdx, dx = B +1) e* dt,
x=
поэтому
у =
Рис. 45
Полагая в уравнении (9) у=Ъ, получаем Ь =
= 0, так что у=0 — решение уравнения (9). Это
решение о с о б ое.
96

В задачах 543—558 проинтегрировать уравнение.
|) 543. #''+1 = 0. • 544. у'ь — Ъу' + 1 = 0.
* 545. у' — sin у' = 0. 546. у' — \у'\ = 0. 547. у' * — 1 = 0.
548. х = ау' + б/1. 549. х{\ + /K/2 = а.
550. х = г/'* + 1- 551. ху'' =--1-\-у'. 552. х = у' In г/'.
553. я3 — у' — ху'. (Указание. Сделав подстановку у' = tx,
выразить х, а затем у' через t.)
554. у = г/'*/2 + In у'. 555. у = у'' +2у'\ 556. г/2/3 + у'2'3 = а2/3.
557. у*+у''-Зауу' = 0. 558. #1+/ = а.
4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО
Уравнение Лагранжа. Уравнение вида
(Ф (у')^у'),
в котором у является линейной функцией от л: с коэффициен-
коэффициентами, зависящими от у', причем коэффициент при х не равен у', на-
называется уравнением Лагранжа. Построение его общего решения в
параметрической форме сводится к интегрированию некоторого л и-
н е й н о г о уравнения.
Положим у'—р, где р — параметр, тогда
у = ф(р)х + г|>(р). A)
Заменим в равенстве dy—yrdx величину dy ее значением из вы-
выражения A), а вместо у' подставим р:
или
Ф (р) dx + (ф' (р) х + \|/ (/?)) dp = pdx
(Ф (р) -p)dx + (Ф' {р) х + у (р)) dp = 0.
Это уравнение можно привести к линейному с искомой функцией х,
если разделить обе части его на dp и ф(р) — р. Получим
— р р —
Общее решение уравнения B) имеет вид
х = Л(р)С + В(р).
Подставляем это значение х в A):
Таким образом, уравнение Лагранжа имеет следующее общее ре-
решение в параметрической форме:
х=А(р)С
7. Зак. 1213 97

Если уравнение (f(p)— р = О имеет вещественные решения р— рг
(t = 1, п), то, подставляя их в уравнение A) и принимая во внима-
внимание, что ф (рг) — pi, получаем
у = ptx + Ч5(Рд (» = 1» «)•
Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями урав-
уравнения Лагранжа.
Уравнение Клеро. Уравнение вида
Щ' + Ь) C)
называется уравнением Клеро. Оно отличается от уравнения Лагранжа
только тем, что в нем коэффициент при х равен у'.
Применяя тот же метод, что и для интегрирования уравнения
Лагранжа, полагаем у' = р. Тогда уравнение C) примет вид
У = хр + $(р). D)
Далее имеем dy — y'dx, pdx -\- (x -J- ij/ (/?)) dp = pdx или
Это уравнение распадается на два: dp — О и x + i|;'(p)-0.
Из dp = 0 следует, что р = С. Подставляя это значение р в урав-
уравнение D), имеем
у = хС+1?(С). E)
Это семейство прямых линий есть общее решение уравнения
Клеро. Оно получается из уравнения Клеро заменой у' на С.
Уравнение лг+ф'(р)== 0 вместе с уравнением D) образует реше-
решение уравнения Клеро в параметрической форме
х = —ф{р), у=—У(р)р + Ъ(р), F)
которое обычно является особым. Оно будет заведомо особым,
если ф"(р) сохраняет знак, ибо тогда F) является огибающей
семейства E).
В самом деле, дискриминантной кривой семейства E) будет у=
= дгС-Ь -ф(С), 0 =-*-Ь if'(С) или
G)
что отличается от уравнений F) только обозначением параметра.
Если ф"(С) не меняет знака, то решение G) есть заведомо огибаю-
огибающая семейства E).
Итак, общее решение уравнения Клеро получается заменой в
последнем у' на С, а особое решение ищется как огибающая семей-
семейства прямых, составляющих общее решение.
К уравнению Клеро приходят каждый раз, когда ищут кривую
по свойству ее касательной, не зависящему от точки касания. При
этом с геометрической точки зрения наибольший интерес представ-
представляет особое' решение.
98

Примеры. 1. Рассмотрим уравнение ; . . .
у = 2ху'—у'г, (8)
Это уравнение Лагранжа. Следуя указанному выше методу, имеем:
dy = y'dx, 2pdx -f Bx — 2p) dp = pdx,
dx 2
p = 0, -f- x = 2 (p = 0?),
dp p
pdx + Bx —
С 2
* = ~pT + ^~
2C p*
'■ У==-р- + —
Подставляя р*=0 в равенство у=2хр—р2, находим г/=0. Это решение урав-
уравнения (8), и притом частное. j
2. Проинтегрировать уравнение
У = ху'+у'г. ■ (9)
Эго уравнение Клеро. Заменяя у' на С, получаем общее решение
у = хС + С*. ; A0)
Ищем огибающую семейства A0). Имеем
или
Исключая параметр С, получаем
= — 2С, у =
(И)
Очевидно, что это огибающая семейства A0) н потому особое решение
уравнения (9). Интегральными кривыми уравнения (9) являются парабола A1) и
всевозможные касательные к ней (рис. 46). Кроме того, интегральной кривой бу-
будет всякая кривая вида ABC, «склеенная» из дуги параболы A1) н касательной
к утей.
\/ 3. Найти кривую, отрезок касательной к которой, заключенный между осями
координат, имеет постоянную длину а.
Из уравнения касательной Y—y=y'(X—x) в точке М (х, у) к искомой кривой
(рис. 47) находим отрезки ОА и ОВ, отсекаемые ею на осях координат:
\АО\=х-у1у', \ОВ\=у-ху'.
Так как, по условию, АВ= а, то
или
(y—xy'f (!/{/'' -f l)=a*.
откуда
у=ху' ±
A2)
Каждое из уравнений A2) есть уравне-
уравнение Клеро. Интегрируя их, находим
Рис. 46
99

Ищем огибающую (именно она нас и интересует!). Имеемз
или
A+C2K/2
Исключая параметр С, получаем
Эта астроида и есть искомая кривая (рис. 48).
О А
Рис. 47 Рис. 48 ... .. .. , . ■
В задачах 559—567 проинтегрировать уравнение.
559. 2уу' = х(/ + 4). 560. у = х(\+у>) + у1'.
561. у~— ху' + у'2 562. 2у {у1 + 2) - ху'\
563. у ^ху' — у'2. 564. у^-ху' — aV\ + у'* .
565. у - ху' + ^1-/ 566. у--=х + у'г~у'.
567. л: = yty' ~r 1/у''. (Указание. Это уравнение Клеро относи-
относительно х.)
568. Найти кривую, касательные к которой отсекают на осях ко-
координат отрезки, составляющие в сумме 2а.
569. Найти кривую, касательная к которой образует с осями ко-
координат треугольник площадью 2а2.
570. Найти кривые, у которых произведение расстояний каса-
касательных от двух данных точек есть величина постоянная.
571. Доказать, что дискриминантная кривая уравнения Клеро
совпадает с дискриминантной кривой семейства интегральных кри-
кривых, образующих общее решение этого уравнения.
5. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО у ИЛИ X
Уравнение, разрешимое относительно у. Если уравнение может
быть приведено к виду
У-:<?(Х,У'), A)
190

то в некоторых случаях удается найти в квадратурах его общее ре*
шение или общее решение в параметрической форме, используя, так
же как и в случае уравнения Лагранжа, параметрическое представ-
представление уравнения A) и основное соотношение dy—y'dx.
Уравнение A) допускает параметрическое представление:
у = Ч>(х, р), у' ■-- р.
Пользуясь равенством dy=y'dx, получаем дифференциальное урав-
уравнение, связывающее р и х;
Ч'х dx + %dP ^ Pdx-
Если это уравнение удается проинтегрировать в квадратурах, рас-
рассматривая в качестве искомой функцию р или х, то, подставляя най-
найденное общее решение р = ю(х, С) или х = 6(р, С) в равенство у—,
=<р(х, р), получаем соответственно общее решение уравнения A)
х, С))
или общее решение уравнения A) в параметрической форме
х = в(Р, С), у-ф(е(р, С), р).
Уравнение, разрешимое относительно л:. Уравнение, приводимое
к виду
(«/'), • B)
допускает параметрическое представление
х~у(у, р), у'--- р-
Поэтому равенство dy — y'dx дает
Если это дифференциальное уравнение интегрируется в квадрату-
квадратурах, то уравнение B) тоже может быть проинтегрировано в квадра-
квадратурах. . . ■ ■
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
у = 1/'г'-х!/+*/2. : , 'C)
Оно допускает параметрическое представление
!/=--р* — хр-}-х"-]2, у'=р. D)
Пользуясь равенством dy — y'dx, пвлучаем (— р + х) dx -f- Bp — х) dp = pdx, от-
откуда
(—2p-\-x)dx-i-Bp~x)dp~0
или
Bp — x)(—dx + dp)=--0.
Это уравнение распадается на два:
~dx-\-dp=.-0 и 2р — л- = 0. ' E)
101

Первое из них дает р = х-\-С. Подставляя это значение р в выражение для у
D), пэлучаэм
Это общее решение уравнения C).
Из второго уравнения 2р—х=0 находим р=х/2. Подставив это значение р
также в выражение для у D), получим г/=д:2/4. Это решение уравнения C), и
притом особое.
2. Пусть дано уравнение
у'' — ixyy' + 8г/2 = 0. F)
Разрешим его относительно х:
x=Jll + -^ (у = 07).
*У У
Это уравнение допускает параметрическое представление
f + ,р
Пользуясь основным соотношением dy — г/'dx, получаем
отк уда
у Р
или
Р + 4у
-J dy = 0.
4г/2 J
Вынося слева за скобку общий множитель, имеем
р3 - \у- 1 dp dy_
2у \ р 2у
Это уравнение распадается на два:
Т)И О. (8)
Р 2у 2у к/
Первое из них дает p = Ci ~\/у (у > 0). Подставляя это значение р в первое из
равенств G), получаем
4 d
откуда
у = С(х-С)ЦС=С\ц). (9)
Второе из уравнений (8) дает р = (iy-I?3. Подставляя это значение р в первое
4
из равенств G), имеем у = -гг-*3. Это решение уравнения F), и притом особое.
Решение г/=0 тоже будет особым решением уравнения F).
Заметим, что оба найденных особых решения являются огибающими
семейства интегральных кривых (9).
102

В задачах 572—575 проинтегрировать уравнение.
572. у = ху'/2 4- у''/х2.
573. 6х2у — бу1' + (— Зх\+ 12х2) у' — 6х4 + х* = 0.
574. у = -у''/12 + xjf'/2 + //4+х + х2/у'\
575. x = (yly')\ny — /\у\
6. ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ
Задача о траекториях на плоскости в случае декартовых коорди-
координат. Изогональной траекторией семейства кривых
Ф(х,у,а) = 0, A)
где а —параметр семейства, называется кривая Lj (рис. 49), пересе-
пересекающая все кривые L этого семейства под одним и тем же постоян-
постоянным углом а. Если а = я/2, изогональная траектория называется
ортогональной.
Изогональные (ортогональные) траектории семейства' A) удовлет-
удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению. Для нахождения
его нужно: ]) составить дифференциальное уравнение семейства A);
2) заменить в полученном уравнении у' на — , если а^=
l+ky'
, л .... 1 п
Ф— (й — tga), л на -, если a = .
2 у' 2
Задача о траекториях на плоскости в случае полярных коорди-
координат. Если семейство кривых задано в полярных координатах
Ф(г, в, а) = 0,
B)
то для нахождения дифференциального уравнения семейства изо-
изогональных ^ортогональных) траекторий нужно: 1) составить диф-
дифференциальное уравнение семейства B);
2) заменить в нем г = на
{rlr)
если а Ф (k = tga), и на
я
если а = —.
2
-k
-r*lr.
Примеры. 1. Найти ортогональные траекто-
траектории семейства окружнестей с центром в нача-
начале координат
*2 + г/2 = Я2. C)
Дифференциальным уравнением этого семей-
семейства будет
л -f ЬУ' - °-
Рис. 49
103

Заменив в нем у' на—17t/', получим дифференциальное уравнение семейства орто-
ортогональных траекторий
х — У/у' = 0 или у' = у/х.
Интегрируя это уравнение, находим, что искомыми ортогональными траекториями
будут полупрямые:
у = Сх (**=0), *=-0 (уФО). D)
(Изобразить семейства C) и D) на одном рисунке.)
2. Найти ортогональные траектории семейства
г = 2а sin 9. E)
Найдем сначала дифференциальное уравнение этого семейства:
г = 2а sin 6,
л = 2а cos 6.
Исключим из этой системы а: г = г ctg 0. Заменим г на — r2fr:
— г2/г— г ctg 0 или г/г = — lg 9, ' .
Интегрируя это уравнение, найдем искомое семейство ортогональных траекторий:
/■ = 2Ccos6. F)
(Изобразить на одном рисунке семейства E) и F), перейдя предварительно к
декартовым координатам.)
576. Найти ортогональные траектории семейства парабол у — ахг.
Сделать рисунок.
577. Найти ортогональные траектории семейства окружностей
с центром в точке (а, Ь).
578. Найти кривые, пересекающие все полупрямые, выходящие
из начала координат, под углом я/4. Сделать рисунок.
579. Найти кривые, которые пересекают все кривые семейства
логарифмических спиралей г—аев под углом я/4.
580. Найти ортогональные траектории семейства кривых (.к;2+
+ у2J—a2xy = Q. (Указание. Перейти к полярным координатам.)
581. Найти ортогональные траектории семейства кривых гЧ-
+ (х—2а) у2 = 0.
582. Доказать, что силовые линии поля, создаваемого силами,
имеющими потенциал, являются ортогональными траекториями се-
семейства линий уровня. (Говорят, что силовое поле создано силами
F, имеющими потенциал U = U(x, у), если проекции сил на оси ко-
координат равны соответствующим частным производным функции
U: Fx = dU/dx, Fv = dU/dy, т. е. F=grad£/. Линии U = C называются
линиями уровня. Линии, касательные к которым совпадают с на-
направлением силы в точке касания, называются силовыми линиями.)
583. Найти силовые линии поля, создаваемого силами, имеющи-
имеющими потенциал U = x2jri/2.
584. Та же задача для случая U = x2/2 + y2.
104

7- ВОПРОСЫ М ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Какой вид имеет общее уравнение первого порядка? Когда
оно называется уравнением п-й степени?
2. В чем состоит отличие поля направлений, определяемого
уравнением, не разрешенным относительно производной, от поля на-
направлений, определяемого уравнением, разрешенным относительно
производной? Может ли интегральная кривая иметь излом':1 Могут
ли интегральные кривые пересекаться между собой; касаться друг
друга? ■ .•■ '
3. Как ставится задача Коши для уравнения первого порядка,
не разрешенного относительно производной?
4. Что такое частное решение?
5. Какое решение называется особым? Как найти интегральные
кривые, подозрительные на особое решение, по самому дифферен-
дифференциальному уравнению? Почему огибающая семейства интегральных
кривых будет особым решением? Как еще можно обнаружить кри-
кривые, подозрительные на особое решение?
6. Как интегрируются уравнения я-й степени?
7. Какой вид имеет уравнение, квадратное относительно произ-
производной? В какой области оно задано? Как найти ею общий инте-
интеграл? Какие кривее могут быть его особыми решениями?
8. Какой вид имеет общий интеграл уравнения F(y')—0?
9. Как интегрируется уравнение, не содержащее искомой функ-
функции?
10. Как интегрируется уравнение, не содержащее независимой
переменной? '
11. Какой вид имеет уравнение Лагранжа? Как найти его общее
решение в параметрической форме? Какие кривые могут быть его
особыми решениями?
12. Какой вид имеет уравнение Клеро? Чем око отличается от
уравнения Лагранжа? Как записать его общее решение по виду
уравнения? Как найти его особое решение?
13. Как интегрируются уравнения общего вида, разрешимые
относительно искомой функции или независимой переменной?
14. Что такое изогональная (ортогональная) траектория семей-
семейства кривых? Как получить дифференциальное уравнение изого-
изогональных (ортогональных) траекторий данного однопараметриче-
ского семейства кривых из дифференциального уравнения эте.го се-
семейства в случае декартовых и в случае полярных координат?
В задачах 585—600 определить тип уравнения н указать метод-
его интегрирования.
585. у = ху' — sin у'. 586. ху'' — 2уу' + Ах = 0.
587. х = еу' — 2у'. 588. у1' — 2ху' = 0.
165

589. у = ху' + 4у'*. 590. щ = у' + sine/' + cos/.
591. у = 2х/ + у'\ 592. н" — 4да' = 0.
Ш. у=*—х + у'ш + у'\ 594. /'—1=0.
595. хуу'г — (ху + у* — хг) у' — х2- — ху = 0.
596. х3 + у'* — Зху' = 0. 597. ху'' — да' + х = 0.
598. у = у'%-ху' + **/2. 599. у = х/ + /•
600. # = ху'
В задачах 601—611 проинтегрировать уравнение и, где указано,
выделить интегральные кривые, проходящие через заданную точку
М(х0, у0).
601. / + 4у = 0; М@, -1), МA, 0).
602. у'' + 4л; = 0; М(— 1, 1), М@, 0).
603. у''~~(х+г/ + У/х)/ + У + у7х = 0; МA, 0), М@, 0)..
604. у'*Ууу'* —х2у'± + х2Уу = 0.
605. у'* — у'" + cos у' — 1 = 0. 606. ё>' — у1' = х.
607. у = у'* —У* + 1 ■ 608. х% A — у') =У\
609. у = — ху' + у'5/2.\ 610. у =]—]ху'— у'\
611. у-ху'-2/; МB, 0), М@, —2), МD, 2), ЛГ(О, 0).
В задачах 612 — 622 найти по виду уравнения кривые, подозри-
подозрительные на особые решения, и проверить, будут ли они особыми
решениями.
612. у'* + У'— 1=0. 613. ху'* — 2уу' + 4х = 0.
614. у = ху' + А1/'. 615. у'ш — 4ху' + 3г> — у? = 0.~
616. у'1 — 2ху' + 2х2 — у = 0. 617. у'1 —;у3 =ь0.
618. ((х-уJ-1)/!-2/+ (х-г,J-Г=0.
619. у'* —4уг/'= 0. 620. /'— 2у'* — 4у/+ 8у =0.
621. у'*-4хг/у' + 8у2 = 0. 622. х-у = А/ _ А. у'\
' В задачах 623 — 631 найти по виду общего интеграла (общего
решения) кривые, подозрительные на особое решение, и проверить,
будут ли они особыми решениями.
623. у'1 = 1 ^vyVy = sin(x+ С).
624. у = а У1 + у1" ; у = ash((x + C)ja).
106

625. у= у'' — xy' -f л:2/2; у = x2/2 + Cx + C\
626. xy'1 — 2yy' + Ax = 0; CV — 2Cy -f 4 = 0.
627. ((.v-yJ-l)y'2_2y' + (x-i/J-l = 0; (x_C
628. 4x2y'' — 4xyy' + i/2 — 4x3 = 0; y2 = x (x — CJ.
629. y'*—y> = 0; у = 4/(xД- CJ.
630. y'* — Axyy' + 8|/2 = 0; у = С (je — СJ.
631. дс_^ = -i/ _ A_y''; (^_CJ = {x-Cf.

III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия и определения. Рассмотрим уравнение
я-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:
yW=f(x, У, У' У(п-")- A)
Предполагаем, что функция / определена, однозначна и непре-
непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов.
Если правая часть уравнения A) является линейной "функ-
"функцией относительно аргументов у, у',..., у(п~1\ то это уравнение на-
называется линейным.
Функция у = у{х) называется решением уравнения A) в интер-
интервале {а, Ъ), если она обращает уравнение A) в тождество, справед-
справедливое для всех значений х из этого интервала. При этом предпола-
предполагается, что функция у{х) имеет в (а, Ь) непрерывные производные
до порядка п включительно и точка (х, у(х), у'(х),..., у^п~1){х))
принадлежит области задания функции f для всех х из (а, Ъ). Иног-
Иногда решение ищут в неявном виде: Ф(х, у)=0 или в параметриче-
параметрической форме: x=(f(t), y = ty(t). График решения называется инте-
интегральной кривой.
Задача нахождения,решения у = у{х), удовлетворяющего на-
начальным условиям:
У = 2/о. У' = У'о< ■ ■ ■ , У(п~1) = У(оп~1) при х = ж»,
где х0, Уй, Уо', — , Уа(п~1) — заданные числа (начальные дан-
данные), называется задачей Коши (начальной задачей).
В случае уравнения второго порядка
y" = f(x, у, у')
задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетво-
удовлетворяющего начальным условиям:
«/ = Уо. У' = Уо ПРИ х = хо-
Геометрически это означает, что ищется интегральная кри-
кривая, которая проходит через заданную точку Мо(хо, у0) и имеет в
этой точке заданную касательную, образующую с положительным
направлением оси Ох такой угол а0, что tgao=yof (рис. 50).
108

Чтобы дать механическое истолкование задачи Коши,
рассмотрим дифференциальное уравнение движения материальной
точки единичной массы по оси Ох:
d2x
dt2-
dt
B)
dx
o . dx dx
Здесь t — время; х,—, соответственно положение, скорость и
dt dt-
ускорение точки в момент времени t
■■ '('• 4;)-
■ сила, действую-
щая на точку.
Решение x=x(t) уравнения B) называется движением, опреде-
определяемым этим уравнением. Задача Коши для уравнения B) состоит
в том, чтобы найти движение, удовлетворяющее начальным усло-
условиям:
х = х0, —- = и0 при t=-t0,
at
где числа t0, х0 и и0 (начальные данные)— соответственно началь-
начальные момент времени, положение и скорость точки.
Если правая часть уравнения A) непрерывна в окрестно-
окрестности начальной точки (х0, уо, у/, ..., Уо{п~1)), то задача Коши с началь-
начальными данными Хо, уо, уо', ••■, Уо(п-1) имеет решение (теорема
П е а н о).
Чтобы гарантировать не только существование, но и единст-
единственность решения задачи Коши, достаточно, согласно теореме
Пикара, предположить дополнительно, что правая часть уравнения
A) удовлетворяет условию Липшица относительно
у, у',..., yf") в некоторой окрестности начальной . точки (хо, Уо,
.Уо, — , yt/"'). в частности, что она имеет в этой окрестности о г-
раниченные частные производные по у, у',..., у(п~1>.
Например, это будет иметь место, если правая часть уравнений
A) является полиномом относительно всех своих аргументов
или хотя бы относительно у, у',..., «/(«-') в предположении, что все
коэффициенты этого полинома суть непрерывные функций от х. При
этом уо, уо', . . . , yt/™' можно зада-
задавать совершенно произвольно, а Хо
можно выбирать любым только в
нервом случае, в то время как во
втором случае х0 должно лежать в
интервале непрерывности коэффици-
коэффициентов уравнения.
Наряду с задачей Коши для урав-
уравнений высших порядков представля-
представляют большой интерес так называемые
граничные (краевые) задачи, в ко-
которых условия, налагаемые на иско-
искомое решение, задаются не в одной Рис. 50
109

точке, а на концах некоторого отрезка [а, Ь] и ищется решение,
определенное внутри этого отрезка. Эти условия называются гра-
граничными (краевыми) условиями.
Функция
у-у{х, Clt.Ct, ... , С„), C)
определенная в некоторой области изменения переменных х, С\,
С2,...., Сп и имеющая непрерывные частные производные по х до по-
порядка п включительно, называется общим решением уравнения A)
в области D изменения переменных х, у, у',..., фп~1\ в каждой точ-
точке которой имеет место существование и единственность решения
задачи Коши, если:
1) система уравнений
у = у(х, Сх, С2) . . . , С„),
, Съ С2, ... , Сп),
У' =
У
ф
(х, С], С2, , . . . , С„)
D)
разрешима.в области D относительно произвольных постоянных
W» ^2> • • • > ^п"
у, у'
У, У'.
У, У'
E)
2) функция C) является решением уравнения A) при всех зна-
значениях произвольных постоянных, доставляемых формулами E),
когда точка (х, у, у',..., t/-n~l)) пробегает область D.
Чтобы найти решение уравнения A) с начальными данными
Хр, Уо, Уо, •■■, У<$п~1) из области D с помощью формулы общего ре-
решения C), поступают следующим образом:
а) подставляют в систему D) вместо х, у, у',..., i/f") соответ-
соответственно числа Хо, Уо, Уо,..., yo(n-I):
— ф (*0! ^1> 
У о =
О = ф (Хо, L.J, U2, . . . ,
F)
б) решая систему F) относительно произвольных постоянных
Сх, С2, ..... Сп, находят: d = С[0), С2 = С^0), ,. . . Сп = С^0);
в) подставляя значения произвольных постоянных в формулу
общего решения C), получают искомое решение .
1Х £@) qW

Это решение будет единственным.
Общее решение
у = у{х, х0, у0, у[, .. . , г/о"1),
в котором роль произвольных постоянных играют начальное значе-
значение у0 искомой функции у и начальные значения у</,..., у<£п~1) про-
производных этой функции при фиксированном значении х0 независи-
независимой переменной х, называется общим решением в форме Коши.
Если общее решение уравнения A) задано в неявном виде
Ф(х, у, С1( С2, ... , С„) = 0,
то оно называется общим интегралом этого уравнения.
Если функция C), дающая общее решение уравнения A), зада-
задана в параметрическом виде:
х = <р(*, Си Ся, ... , Сп), y = $(t, Съ С» ... , Сп), G)
то представление G) называется общим решением уравнения (I)
в параметрической форме.
Если дано /г-параметрическое семейство кривых, например в
виде C), то, дифференцируя его п раз по х и исключая из уравне-
уравнения семейства и полученных п уравнений произвольные постоянные
С\, С2,..., Сп, мы имеем, вообще говоря, дифференциальное уравне-
уравнение /г-го порядка, которое называется дифференциальным уравне-
уравнением данного семейства кривых.
Решение уравнения A) называется частным, если в каждой точ-
точке его сохраняется единственность решения задачи Коши.
Если функция C) есть общее решение уравнения (I) в области Z),
то всякое решение, содержащееся в формуле C) при конкретных
(допустимых) числовых значениях произвольных постоянных Си
С2 Сп, является частным решением. При этом не исклю-
исключаются и значения ±оо. „
Если в каждой точке решения нарушается единственность реше-
решения задачи Коши, то оно называется особым.
Во многих случаях, интегрируя уравнение A), получают соот-
соотношение вида
Ф(х, у, у',
Такое соотношение называется промежуточным интегралом k-го по-
порядка уравнения A).
Промежуточный интеграл вида
Ф(х, у, у', ... , t/n~l), d) = 0
называется первым интегралом.
Зная k независимых первых интегралов, можно понизить поря-
порядок уравнения на k единиц. Знание п независимых первых интегра-
интегралов дает возможность путем исключения из них всех производных
получить общий интеграл.
111

Интегрируемость в квадратурах, Уравнение п-го порядка . во
многих случаях удается проинтегрировать в квадратурах путем
предварительного сведения его к уравнению более низкого порядка
или с помощью нахождения промежуточных интегралов.
В следующих параграфах рассматриваются (за редким исклю-
исключением) нелинейные уравнения, допускающие понижение порядка.
(Специальные приемы интегрирования лине й н ы х уравнений
рассматриваются в гл. IV.) Это понижение порядка оказывается
возможным вследствие того, что данное уравнение либо является
неполным (см. § 2—4), либо, будучи полным, содержит переменные
у, у',..., «/(") или х, у, у',..., yW специальным образом (см. § 5 и 6).
Такого рода понижение порядка оказывается возможным как
для уравнения вида A), так и для уравнений, не разрешенных отно-
относительно старшей производной, т. е. для уравнений вида
F{x, у, у', ... , у(л)) = 0.
В § 7 рассматриваются уравнения, для которых всегда можно
сразу (или после некоторых простых преобразований) записать пер-
первый интеграл, вслед за чем иногда удается найти промежуточные
интегралы более высокого порядка и, наконец, общий интегр'ал или
же довести интегрирование до конца другими способами.
2. УРАВНЕНИЕ, СОДЕРЖАЩЕЕ ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМУЮ
ПЕРЕМЕННУЮ И ПРОИЗВОДНУЮ ПОРЯДКА я
Уравнение, разрешенное относительно производной порядка п.
Рассмотрим сначала простейшее дифференциальное уравнение, п-го
порядка
у(п)--№. A)
Предположим, что функция f(x) непрерывна в интервале (а, Ь).
Тогда существует единственное решение задачи Коши, причем на-
начальные данные у0, yd, — , Уо{п~^ можно задавать любыми, а х0 дол-
должно принадлежать интервалу (а, Ь) (почему?). Это решение будет
определено во всем интервале {а, Ь). Вообще, всякое решение урав-
уравнения A) определено во всем интервале {а, Ь) и будет част-
частным решением. Особых решений уравнение (I) не имеет.
Интегрируя последовательно уравнение (I), получаем
у = J J... J / (х) дхдх • • • dx + C^-i + Сгхп-2 + • • • + Cn-i* + Сп.
я раз
Это общее решение уравнения A) в области
а<х<Ь, М<4-°°, iJ/'K + oo, ... , ^"-^К + оо. B)
Общее решение можно записать также в форме К
W

Xo Xp
n раз
(n-2)
где x0—фиксированное число из интервала {a, b), а у0, у0' г/о'"'
играют роль произвольных постоянных, которые здесь могут прини-
принимать любые значения.
Так как
XXX л X
\\ . • • J / (х) dxdx • • • dx -- 7—Ту I / (О (Х - О""' Л :,
Хр -Уд
л раз
(почему?), то общее решение C) можно переписать в виде
у= I Г f(t){x — t)"~ldt + -^ (jc — x0) +
(«—1)! I (n—l)l
(я —2)!
В частности, решением с нулевыми начальными значениями иско-
искомой функции и ее производных (Уа=Уо'— —=Уо'-п~^=0) будет
1
(я-1)
Если г/х — какое-нибудь частное решение уравнения A), то, по-
положив у = уг + 2, получим для z дифференциальное уравнение z(/i) =
= 0, откуда 2 = С^е"" + Сах"~2 + • • • + Сп_хх + Сп. Поэтому
будет общим решением уравнения A) в области B).
В частности, общее решение уравнения A) в области B) имеет вид
у = —Ц- f f(t) {х-tf1 dt + <v-' + <V~4... +cn_lX+cn.
E)
Уравнение, не разрешенное относительно производной по-
порядка я. Пусть уравнение задано в виде
Fix, j/(n)) = 0. F)
8. Зпк. 1213 ЦЗ

Если его можно разрешить (в элементарных функциях) отно-
относительно у(п\ мы получим одно или несколько уравнений рассмот-
рассмотренного выше вида. Проинтегрировав все эти уравнения, найдем
общий интеграл уравнения F).
Пусть уравнение F) неразрешимо относительно «/<">, но допу-
допускает параметрическое представление:
В этом случае удается найти общее решение в пара-
параметрической форме. Так как х уже выражено через пара-
параметр t, то задача сводится к тому, чтобы выразить у через t. Имеем:
' (ОЛ,
откуда
= J
Аналогично найдем выражение для у(п~2) и т. д. Наконец, для у по-
получим выражение вида
У — фп(^> Си С & • • • » Сп), »
следовательно,
» = *»(<, Сх, С2, ... , Сп). G)
Уравнения G) будем называть общим решением уравнения FJ
в параметрической форме.
Примеры* 1. Найти общее решение уравнения
у" = хе* (8)
и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям: у=\, у' = 0 при
Интегрируем последовательно уравнение (8):
у' = (* — \)ex + Ci, \
_ х \ (9)
Найдем решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям. Под-
Подставим начальные данные jco=O, {/о = 1, «л>'=0 в систему (9):
О = - 1 + Съ
получим С1=\, С2 — 3, поэтому искомым решением будет
{ ( ) + + 3. A0)
Если ставить целью только решение задачи Коши, то начальным условиям
можно удовлетворять постепенно, в процессе последовательного интегрирования
данного уравнения. Интегрируем уравнение (8):
Полагая здесь х = 0, у' = 0, находим Сг — 1, откуда
114

Интегрируем еще раз:
у = (х — 2) е* -г х — Сг. . .'.
Подставив вместо х н у нх начальные значения Хо=О> #о = 1, найдем С2=3, так
что снова получим искомое решение в виде A0). Это же решенне можно полу-
получить, пользуясь формулой общего решения в форме Коши D). Положим в ней
л=2, хо = О, {/о=1, Уо'=О:
у= [te'(x—t)d(+l.
Выполнив интегрирование, вновь получим решенне A0).
2. Найти общее решенне уравнення
Так как интеграл от правой части не выражается в элементарных функциях,
то вместо последовательного интегрирования лучше воспользоваться формулой
E). Полагая в ней л=2, Хо —0, получаем
X
у = J е-'* (х - /) dt + ClX + С2:
о
3. Рассмотрим уравнение ,
y»f - Zy" +2 = 0. A1)
Разрешим его относительно^*/*: «/*= 1, у°~2. Интегрируем эти уравнения:
Совокупность этих общих решений образует общий интеграл уравнения A1). Его
можно записать в виде одного соотношения
{у - *V2 - Сгх - С2) (у - л? - С1Х - Cj) = 0.
4. Проинтеррировать уравнение
■jc — еУ" + ^"г = 0. A2)
Это уравнение неразрешимо относительно г</". Зато оно разрешимо относительно
х: х = е^' — у"', и потому, приняв у" за /, иолучим параметрическое представление
уравнения A2) в виде: х = ё1 — Р, у" = t. Далее, dy' = j/"d^, dy' = /(«' — 2/) d/,
откуда
y'= J /(e'- |
Поэтому
или
■" dy = (e2i (t — 1) — (— *3 + 2/2 — 2/ — d) e' + — t* — 2d/) dt.
Интегрируя, находим
115

Присоединяя сюда равенство х = е{ — /2, получаем общее решение уравнения A2)
в_параметрической форме.
В задачах 632 — 641 проинтегрировать уравнение.
632. у'" = — cos*. 633. у"' = 2/г8. 634. у" = sin*2.
635. у" = 1 1 . 636. у" = ех + -1 х-5/2.
(х— IK (x+lf 4
637. #'" = -52£_. 638. л: — sin / -fc 2/ = 0. 639. х =
- 640. х = у"\Л/\ + f . 641. у"' — 1 = 0.
В задачах 642 — 646 найти решения, удовлетворяющие поставлен-
поставленным начальным или граничным условиям.
642. у" = 1; у = у0, «/'=-■ у'о при х = х0; у = 0, у' = 0 при х = 0;
у = 0, у' = 1 при л: = 0; у -— 0, у' = — I при д: = 0; i/ = 0 при
х — 1, «/ = I при л; = 2. Сделать рисунки.
643. У = 2; «/ = 0 при л; = — I, # = 0 при х = 1. Сделать рису-
рисунок.
644. у" = —6х; у = 0, у' — 0 при л;■= 0. Сделать рисунок. 1
645. у'" = е~~*; у = 0, у' = 0, / = 0 при х = 0.
646. у'" = е7л; у = 0, у' = 0, у" = 0 при х = 1.
3. УРАВНЕНИЕ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ,
И УРАВНЕНИЕ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Общие понятия. Уравнение вида
F(x, y(h), f/(ft+1), ... , f/(/I)) = 0 A<*<я) A)
с помощью подстановки
У(к) = г, B)
где z —• новая неизвестная функция, приводится к уравнению (я—&)-го
порядка
F{x, z, z', ... , ^"-^О. C)
Если уравнение C) интегрируется в квадратурах так, что мы
найдем
z - <р(х, Сх, . . . , Cn_ft) или Ф(х, z, Clf . . . , Cn_fe) = 0,
то, возвращаясь к переменной у, получим соответственно
у{к) = Ф(х, С„ . . . , Cn_fe) или Ф(х, у(Л>, Clt . . . , Cn_h) =0.
Это уравнения рассмотренного выше вида (см. § 2). Интегрирова-
Интегрирование каждого из них введет k новых произвольных постоянных.
116

В результате получим семейство интегральных кривых, завися-
зависящее от п произвольных постоянных, которое будем называть общим
решением (общим интегралом) уравнения A).
Если уравнение C) имеет особые решения, то, подставляя их в
формулу B) и интегрируя полученные уравнения, находим осо-
особые решения уравнения A). В частности, изложенным выше ме-
методом понижения порядка всегда может быть проинтегрировано в
квадратурах линейное уравнение вида
ибо, полагая у(п~[)—г, мы придем к линейному уравнению
первого порядка
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
у' = хуГ + у"' . D)
Полагая у' = г, получаем
Это уравнение Клеро. Оно имеет общее решение
ы особое решение
г = xd + C\ E)
F)
Возвращаемся в формуле E) к переменной у:
Проинтегрировав, получим
Это общее решечние уравнения D).
Заменим в формуле F) г на у':
у'=-#Ц, G)
откуда
Каждое нз решений, входящих в это семейство, является особым решением
уравнения D). .
Возможность существования этих особых решений легко установить непо-
непосредственно по виду уравнения D). Действительно, разрешаем это уравнение от-
относительно старшей производной:
*■---f-yf
Здесь dfddy' и dfz/dy' обращаются в бесконечность, если у' =—*а/4, т. е. вы-
выполняется равенство G).
117

2. Пусть дано уравнение
Положив у" = г, получим г' = —— г3, откуда г2 = l/(x + Ci). Заменим г
на I/":
y"l = l/(x+C1).
Это уравнение, содержащее только х и у", но не разрешенное относительно у"
(см. § 2). Интегрируем его:
У = ± Аг (* + CxK'2 + С2* + С,.
о
Особых решений нет. Их и не могло быть, ибо правая часть уравнения (8.)
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения во}
всей области задания этого уравнения.
3. Найти решения уравнения •
(9)
удовлетворяющие начальным условиям: а) у**0, у'*=2 при х=0; б) 5"=%Р, у'
= 1 при дг=О.
Интегрируем уравнение (9):
у' = z, г'* = 4 (г- 1), г' = ±21/7^1,
= dx (У7=Т= 0?), ±Уг~ 1 = х + Ci,.
±ЗУг-1
г = 1 + (х + СО», у' = 1 + (х+ d)«,
УГ=Т=гО, г=1, »'=1, у = *
Следовательно, уравнение (9) имеет общее решение
и семейство особых решений
+ С. (И)
Найдем решения поставленных задач Коши:
а) воспользуемся общим решением A0). Имеем
A2)
Полагая^здесь х = 0, у = 0, у' = 2, получаем
118

гкуда Ci— + 1, С2 = + 1/3- Подставив эти значения С* и Cj в систему A2),
1ЙДем Два решения:
\ (+1)з
Других решений нет, так как ни одно из особых решений A1) не удовлетво-
яет рассматриваемым начальным условиям (почему?);
б) подставив в систему A2) начальные данные дго=О, уо=О, {/о'=1, по-
поучим
O C
1 =. 1 н- cf,
рткуда Ci=0, С2=0. Подставив эти значения d и С2 в формулу A0), найдем
1ешение
+ А
Посмотрим, нет ли среди особых решений A1) такого, которое удовлетворя-
ю бы рассматриваемым начальным условиям. Очевидно, что таким решением бу-
*ет у=х.
Полученные в случаях «а» и «б» результаты вполне согласуются с общей тео-
эней. В самом деле, разрешив уравнение (9) относительно у", мы получим два
уравнения:
В случае «а» для каждого нз этих уравнений в окрестности начальной точки (О,
3, 2) выполняются условия теоремы существования и единственности решения, а
з случае «б» этн условия ие выполняются нн в какой окрестности начальной точ-
<и (О, О, 1), ибо пронзводные от правых частей по у' обращаются в бесконечность
1рн у'=\.
4. Найти общее решение уравнения
у* + 2ху'=0 A3)
1 выделить решения, удовлетворяющие начальным условиям: а) у = 0, у' = 0 при
*: = 0; б) у — 0, у' = 1 при х = 0.
Полагая у' = г, получаем г' -}-2хг — 0, откуда г = С1е~1^ . Заменяем г на
у': у' =Cie~x' . Следовательно,
J1 A4)
будет общим решением уравнения A3).
Так как интеграл от е~х' не выражается через элементарные функции, то для
нахождения решений, удовлетворяющих поставленным начальным условиям, перепи-
X
шем общее решение A4) (заменив \ e~x% 6.x на \ е~х dx и выразив Сх и Ci через
о
начальные значения учу' при х = 0) в форме Коши:
X
о
X
о
Подставив сюда начальные данные, получим, что искомыми решениями будут со-
X
•ответственно: а) у —0, б) у~ I e~x* dx.
о
119

В задачах 647 — 651 проинтегрировать уравнение.
647. A + **) У" + У'' + 1 = 0. 648. ху" = уЧп (у11х).
649. ху" — у' = 0. 650. у' A + у'2) = ау".
651. л: In*•«/" — у' = 0.
В задачах 652—655 найти решение уравнения, удовлетворяющее
поставленным начальным условиям, исследовав предварительно воп-
вопрос о существовании и единственности искомого решения.
652. у" = {\ +£/'2K/2; у=\, У' = 0 при х = 0.
653. у- = у'; у = 0, у' = 1 при х = 0; # = 0, #' = 0 при х = 0.
654. 4у'-Ь £/"? = 4л:г/'; ^ = о, #' = — 1 при х = 0; 0 = О,0Г=О
при д: = 0.
655. 2ху" + у'" = 0; у = уо,у' = y'Q, у" = ^ при д: = 0.
В задачах 656, 657 составить дифференциальное уравнение задан-
заданного семейства кривых. Выяснить, какое характерное свойство кри-
кривых заданного семейства оно выражает.
656. (х— Ctf + iy — CaJ = /?2 (/? = const). ' •
657. х2 + f + C& -Ь Съу + С3 - 0.
4. УРАВНЕНИЕ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Общие понятия. Уравнение вида
в[у, у', ••■> у{п)) = о A)
допускает понижение порядка на единицу, если ввести вместо у но-
новую искомую функцию 2 по формуле
и принять у за новую независимую переменную: z = z(y). При~этом
у", у'", ..., у(п) преобразуются так:
dy'
»_ "у _ w* _
_=dz_
dx dx
dy"
dy
dz dy _ dz
dy dx dy
dzz
dy2
i—i
£
Подставляя выражения для у', if, ..., «/(/1) в уравнение (^/по-
(^/получаем уравнение (я— 1)-го порядка с искомой функцией z от не-
независимой переменной у.
120

Принимая у за независимую переменную, мы могли потерять ре-
леиие вида у = const. Непосредственной подстановкой у = Ь в урав-
уравнение A) можно выяснить, имеет ли оно решения такого вида.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение вида
B)
Полагая у' = г и принимая у за новую независимую переменную, получаем у"=
dz
= ——г. Поэтому уравнение B) примет вид:
dy
~^-г = Цу) или zdz = f (у) dy.
dy
Интегрируем это уравнение:
*=2
Заменим г на у':
Дальнейшее интегрирование дает
Г dy
C)
2. Пусть дано уравнение
3
2
Это уравнение вида B). Пользуясь формулой C), мы сразу получаем его об-
щий'интеграл
3. Проинтегрировать уравнение
* D)
Положив у' = г и приняв у за новую независимую переменную, получим у"=
= (dzfdy) г. Тогда уравнение D) можно записать в виде
dz
Чу — z = z
Полагаем г2 = и:
rdu du
+* или —-
Интегрируем это уравнение: u = Cj(/-|-y2. Следовательно,
+ у2, откуда
Интегрируя, получаем
Функция !/=0 будет решением. Это решение частное.
121

4. (Задача о погоне.) Пусть точка Р движется по оси Ох (рис. 51) с пестсяи-
ной скоростью v>0, а точка М—по некоторой кривой L в плоскости (х, у) с по-
постоянной скоростью и (u>v), причем вектор скорости точки М в каждый'момент
времени направлен в точку Р. Кривая L называется линией погони. Предположив,
что в начальный момент времени точка Р находится в начале координат, а точка
М — на осн Оу в точке М0@, t/о), УоХУ, найти уравнение кривой погони L, точку
С(хь 0), в которой точка М догонит точку Р, н продолжительность ногони Т.
Составим дифференциальное уравнение
линии погони. Так как
tg а — — у' и tg a —
\КМ\
У
\КР\ vt—x'
то у' — у (х — vt), откуда
t = (xy'-y)/(vy').
Дифференцируя обе части последнего выра-
выражения по х, находим
Рис. 51
С другой стороны,
dt
dx
_ уу"
vy'2
E)
и =
откуда
ds
dt
dt
dx
Vl+y'2dx
dt
VT+72
F)
Приравнивая выражения E) и F), получаем дифференциальное. уравнение ли-
линии погони:
уу" ~~Vi+y'~
или
Нам нужно найти решение этого уравнения, удовлетаорпощее начальным условиям:
Jf(O) = ifo. У* ■* — ~ при х -»+0 G)
(почему?).
Положив у' ~z, г=г{у), получим уравнение
(8)
Согласно начальным условиям G), нам нужно найти решение этого уравнения г ==
= г (у), обладающее свойством
г -» —«= при y-*yvt (9)
Деля обе части уравнения (8) па г (при этом мы не теряем решений задачи
(почему?)), разделяя переменные и интегрируя, получаем
i
+ г2
122

Гак как г < 0 (почему?), то
J гУЦ-г* J 1/1+A/г)« '
юэтому
ми
1 ,/ Г"
Т + М+7=
Выберем Сх так, чтобы удовлетворить условию (9). Для этого достаточно по-
положить Ci =1/Pq. Получим
Разрешая это уравнение относительно 1/г, находим*
1 - 1 // У \к
Уо
зткуда
-[yoj )'
Остается проинтегрировать уравнение A0) с учетом начального условия
х = 0_при у = уо A1)
(почему?). Интегрируя уравнение A0), находим
, !!L(L-(JL-\k+l 1 / У
Чтобы удовлетворить начальному условню A1), нужно взять Cj = yok/A—№),
и мм получим уравнение линии погони L в виде
Найдем теперь абсциссу точки С. Для этого достаточно положить в уравнении
A2) у — О. Получим
*i = Уок/A — б2) или *! = youvl(tfi — о2).
Продолжительность погони
В задачах 658—661 проинтегрировать уравнение.
1
* Если a -j- У1 + аг = Р, то ,—==.= p-i, откуда а — Vl + а2 =
1
' — Р-Поэтому 2а = р — р-1, откуда а = (Р + Р)-
2
123

658. yt/'^y1'. 659. yi/ - • 1.
660. 1 + у'' ---= 2yy". 661. 2да" + у'2 -j- у'' - 0.
662. Найти решение уравнения 2уу" — Зг/'2=--4г/2, удовлетворяющее
начальным условиям: у— 1, у' ■-- 0 при х-- 0, доказав предваритель-
предварительно, что искомое решение существует и единственно.
663. Ъу'у" = еУ; у = 0, у' =--- 1 при х ----- — 3.
664. Найти интегральную кривую уравнения уу"-\-у''=\, прохо-
проходящую через точку @, 1) и касающуюся в этой точке прямой х+;
+ //=1, (Почему получается одна интегральная кривая?)
665. Найти интегральную кривую уравнения уу'у"=у' +у" .
касающуюся в начале координат прямой х+у=0. (Почему полу-
получаются две интегральные кривые?)
666. Найти плоские кривые, радиус кривизны которых пропор-
пропорционален длине отрезка нормали. Рассмотреть случаи, когда коэф-
коэффициент пропорциональности k равен числам ±1 и ±2. Сделать
рисунки. (Указание. Воспользоваться формулой длины отрезка
нормали (см. задачу 137) и формулой радиуса кривизны R =
)У/
667. Найти плоские кривые, радиус кривизны которых пропор-
пропорционален кубу длины отрезка нормали.
668. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити
под действием ее веса (цепная линия).
5. УРАВНЕНИЕ, ОДНОРОДНОЕ
ОТНОСИТЕЛЬНО ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ
И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ :
Общие понятия. Уравнение
F(x, у, у', ..., i/W) = 0. A)
однородное относительно у, у', ..., г/<4 допускает понижение поряд-
порядка на единицу, если положить
У' - У?, .. B)
где z — новая неизвестная функция: z=z(x).
Действительно, найдем выражения для у", у"', ..., у<4 Диффе-
Дифференцируем последовательно формулу B) и заменяем каждый раз
у' на yz:
г, г , ..., г»"-"
Подставим выражения для у', у", ..., у(п) в уравнение A):
F(.x, у, yz, y(z2 + z'), ..., г/со(г, г', ..:, гс-1)))^ 0.
124

Это уравнение вследствие предположенной однородности функции^/7
ложно записать так:
t/"F(x, 1, г, z* + z', ..., (оB, г', ..., z<»-»))-0.
Целя на у (при этом, как это видно из дальнейшего, потери реше-
тая у — 0 не происходит), получаем
F(jc, 1, г, г* + г', ..., <o(z, г', ..., г<«->>))--0.
Это уравнение (п—1)-го порядка. Если мы найдем его общее реше-
решение
г = q>(*, Съ С2, ..., Сп_х),
го, заменив г на у'/У, получим
*/7у-ф(х, Clf С2, ..., Сп_,). .
Интегрируя еще раз, имеем
Это общее решение уравнения A).
Пример. Рассмотрим уравнение
ху'2-уу'=О. C)
Полагая #' = уг, имеем у" = у(г* + z'). Подставляя выражения для у'^и у" в
уравнение C) и сокращая на у2, получаем
х (г2 + г') — л-г2 — г = О
или хг' —г = 0. Интегрируем последнее уравнение: г = Сц*. Заменим г на у1"/у:
у' 1у — Схх. Интегрируя еще раз, получаем
у = С2е{С*/2)хг шяиу = ВеАх' (А = Cj/2, В = С,).
В задачах 669—672 проинтегрировать уравнение.
669. xyt/' — xif — j/0' — bxy'W а> — хг- = 0.
670. ^ (^" - у'2) + ^уу' - у Vx'Y + У2 ■
671. х°*уу" = (у — xy'f. 672. уу" — у'* ^yy'lVl+x*.
6. ОБОБЩЕННОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
Общие понятия. Уравнение
F(x, у, у', ..., уИ) = о A)
называется обобщенным однородным (см. § 6, гл. I), если существу-
существует такое число k, при котором левая часть этого уравнения стано-
становится однородной функцией некоторой степени т относи-
относительно всех аргументов в предположении, что х, у, у', ..., £/(">
считаются величинами соответственно 1-, k-, {k—1)-, ..., (k—п)-го
измерений. Если в уравнении A) положить
х - е* , у - гем, B)
125

где t и г—соответственно новьГе независимая переменная и неизвест-
неизвестная функция, то оно приведется к уравнению, не содержащему не-
независимой переменной t. В самом деле, так как = е~{ (поче-
dx dt
му?), то производные у', у", ..., #("> преобразуются следующим об-
образом:
dt [dt
dt
е-' = (— + kz
[dt
dt
ft—1)*
1
k-1)t
dt
dt"
Выполнив теперь в уравнении A) подстановку B) и заменив
у', у", ..., y(n> их выражениями через z, z', ..., z(">, согласно форму-
формулам C), получим уравнение, которое после сокращения на'ез1* об-
обратится в уравнение, не содержащее t (почему?). Это уравнение
допускает понижение порядка на единицу (см. § 4)'.
Если k = 0, то подстановка B) принимает вид
т. е. все сводится только к замене независимой переменной х — е* .
При этом у'х =•-= у] е-*, у"х1 --= {iftt—y't) er2t, ...
Наконец, если в уравнении A) х<0, то следует [положить х =
— pt
t Пример. Рассмотрим уравнение
. (ху' _y)sj= о. D)
Покажем, что это уравнение обобщенное однородное, т. е. найдем число к.
Приравнивая измерения всех членов, считая х, у, у', уГ величинами соответственно
1- к-, (к — 1)- и (k — 2)-го измерений, имеем 4 + ft — 2 = 3k, откуда fe=l. Те-
Теперь делаем подстановку х — е1, у—ге1. Так как
У =
dy
dt
dz
dt
dy' t ,
У = е~' =
dt \ dt*
то уравнение D) примет вид
dt*
или (после сокращения на
■ze1
П =0
d*z
~dF
dz
dt
E)
126

dz „ &z
Пележим здесь = и и примем г за независимую переменную. Тогда —— =
du du dz du _ ,^ч
= = = и. Поэтому уравнение E) перепишется так:
dt dz dt dz
du
и + и + и? = О
dz
или (поеле сокращения на и)
du
— + 1 + «2 = 0. F)
Интегрируем уравнение F): u=tg(Ci — г). Заменим и на dzjdt;
Проинтегрировав~еще раз, получим
In | sin (г— C1)| + <=ln|C2|.
Возвращаясь к переменным х и у по формулам t = In я, г = у/я, находим'об-
щий интеграл уравнения D) в виде
In ] sin (у/лс — Сй)| +lnx
или
у — х (А + arcsin (В/ж)) (A = Clt В = + С2).
В задачах 673—675 проинтегрировать уравнение.
673. Xyy" + yy'-xY = 0.
674. х»/ - xh/ + 2.v2y/ - (Здгу2 + 2х»)У + 2^2у + //> = 0.
675. л2/ — Зху' + 4у + х2 = 0.
7. УРАВНЕНИЕ, ЛЕВАЯ ЧАСТЬ КОТОРОГО
ЕСТЬ ТОЧНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
Общие понятия. Если в уравнении
F(x, у, у', ..., 0<*>) = О A)
левая часть является точной производной от некоторой функции
Ф(х, у, у', ..., г/"-1»), т. е.
F(x, у, у', ..., у^)^~Ф(х, у, if //(«-D),
то
Ф(*. у, tf, ..., y(«-')) = Сг B>
будет первым интегралом уравнения A). Может случиться, что
уравнение B) в свою очередь является уравнением в точных про-
производных. Тогда мы найдем второй интеграл уравнения A).
Если уравнение A) не является уравнением в точных производ-
производных, то нужно попытаться подобрать такую функцию ц=ц(х, у,
127

у', ..., y(n)) —интегрирующий множитель уравнения A), чтобы
после умножения на нее уравнение A) стало уравнением в точных
производных.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
Так как в левой части у каждой из дробей в числителе стоит производиая от
знаменателя, то мы имеем
у" _ 2уу' 'I —1пA + *))'
У' ' 1 + У2 '
т. е. уравнение C) является уравнением в точных производных. Оно имеет пер-
первый интеграл
или
Интегрируя уравнение D), находим
arctgi/ = Ax-\- В.
Это общий нитеграл уравнения C).
2. Проинтегрировать уравнение
Это уравнение не является уравнением в точных производных, но, умножив
обе его части на функцию ii=l/(yy'), получим уравнение в точных производных
\Г1У' = У'1У-
Его первым интегралом будет у' = Cty, откуда
у = С,е^х.
3. Пусть дано уравнение
«Г = / (у).
Умножим обе его части на ц, = 2</': 2у'у" — 2f (у)у'- или
откуда
2
Интегрируя это уравнение, получаем
(Ср. § 4, пример 1.)
4. Лилейное уравнение второго порядка
у"+р(Х)у' -
будет уравнением в точных производных тогда и только тогда, когда q (x) =р' (xi
т. е. если оно имеет вид
у" -{- р (х) у' -\- р' (х)у — f (х).
128

В этом случае можно найти (в квадратурах) его общее решение:
(У'У+(Р(х)У)'= ($f(x)dx)',
ткуда
В задачах 676—683 проинтегрировать уравнение.
676. у" ■-- 2уу'. 677. t/'= у'°у.
678. уу" =- у'. 679. уу'" —у'у" = 0.
680. у" = {\ +/K/2. 681. A +у'')у'" — 2>y't/ = 0.
682. у" 1—у' + —у-~Л. 683. у" + COSX-1/ — smx-y^=0.
х хг
684. Найтн общий интеграл уравнения у'у"'—Зу =0 и выде-
шть решение, удовлетворяющее начальным условиям: у = 0, у'-=\,
>" = 0 при х=0.
685. Найти общий интеграл уравнения 1у' ={у—\)у" и выде-
[ить решение, удовлетворяющее начальным условиям: у=2, г/'=0
[ри х=\, доказав предварительно, что искомое решение существу-
существует и единственно.
686. Найти первый интеграл уравнения (у"—2х)у—2 {у'—
—х2)у'—0 и решение,, удовлетворяющее начальным условиям:
1—\/3, у'—\ при *=1.
687. Найти второй интеграл уравнения у"'=уу"-\-у'г и реше-
ше, удовлетворяющее начальным услевиям: у — О, у'=1/2, у"=0
фи х=0, доказав предварительно, что искомое решение существу-
существует и единственно.
8. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Какой общий вид имеет уравнение n-го порядка, разрешенное
)тносительно #<■">? Когда это уравнение называется линейным? Что
газывается решением (интегральной кривой) такого уравнения?
5 каких формах оно может быть задано?
2. Как ставится задача Коши для уравнения n-го порядка, раз-
пшенного относительно г/<п)? Какой геометрический и механиче-
кий смысл имеет эта задача для уравнения второго порядка?
Означает ли в этом случае единственность решения задачи Коши,
[то через заданную точку (х0, у0) проходит только одна интеграль-
шя кривая?
3. При каком условии задача Коши имеет решение? Когда это
>ешение будет заведомо единственным?
4. Что такое краевая задача? Чем она отличается от задачи
Соши?
. Зак. 1213 129

5. Что такое общее решение? Как решается задача Коши при
помощи формулы общего решения? Что называется общим решени-
решением в форме Коши? Что такое общий интеграл? Что такое общее ре-
решение в параметрической форме?
6. Какое решение называется частным; особым? В каком случае
уравнение заведомо не имеет особых решений?
7. Что такое промежуточный интеграл k-то порядка? Какой про-
промежуточный интеграл называется первым интегралом?
8. Какой вид имеет общее решение уравнения yW=f(x)?
9. Как найти общее решение уравнения F(x, yW)=0 в парамет-
параметрической форме в случае, когда это уравнение допускает парамет-
параметрическое представление в элементарных функциях?
10. Какой подстановкой понижается порядок уравнения, не со-
содержащего искомой функции, и уравнения, не содержащего иско-
искомой функции и последовательных первых производных?
11. Как понижается порядок уравнения, не содержащего неза-
независимой переменной?
12. Какой подстановкой понижается порядок уравнения, одно-
однородного относительно искомой функции и ее производных?.
13. Какое уравнение называется обобщенным однородным? Как
понижается порядок этого уравнения?
14. Какое уравнение называется уравнением в точных производ-
производных? Какой вид имеет первый интеграл этого уравнения? Что такое
интегрирующий множитель?
Задачи
В- задачах 688, 689 доказать, пользуясь теоремой Пикара, суще-
существование п единственность решения, удовлетворяющего постав-
поставленным начальным условиям; оценить область существования ре-
решения.
688. if =- у' + у' - х; |*|<1, |у|<2, |у'|<1; У - 0, tf--. 1
при х — 0.
689. tf^xt + y—tf; |*|<1, М<1, |y'|<2;i/=0, у' = О
при х — 0.
В задачах 690, 691 доказать, пользуясь теоремой Коши, сущест-
существование и единственность голоморфного решения, удовлетворяю-
удовлетворяющего поставленным начальным условиям; оценить область сходи-
сходимости степенного ряда, представляющего решение, найти свобод-
свободный член и коэффициенты при х—х0, (х—х0J и (х—х0K в разло-
разложении решения в ряд по степеням х—х0.
690. tf^yt + x; |х|<1, \y\<J, |у'|<1; 0-0, у' = 0
при х = 0.
691. У"=^ У2; |*|<1, \У\<2, |г/'|<1; у=\, у' = \
2-х
при х -— 1.
В задачах 692, 693 найти голоморфное решение, удовлетворяющее
поставленным начальным условиям.
130 ,

692. if - у1' — уу' + ex ; у - 1, у' = 1 при x = 0.
693. у" -- у1' -г у2 — sin д: — 1; у --= 0, у' - 1 при х = 0.
В задачах 694—705 определить тип уравнения и указать метод
его интегрирования или понижения порядка.
694. у" + — у' -у - 2. 695. у'"--= х-.
х х-
696. у' + у"г - ху". 697. су" + у" — х ~- 0.
698. хуу" + xi/ — уу' -- 0. 699. t/t/" = ф {у').
700.,"--= -4=-. 701.-^—^ = 0.
4Уу у" 1+у'
702. (l + tf)yif^Ctf-l)y'\
703. ^4у" — (a-3 -f 2ху) у' + 4t/2 -- 0.
704. ху" — у'=х sin х. 705. у" + л-(/' + у = 0.
В задачах 706—718 проинтегрировать уравнение и, где указано,
выделить решения, удовлетворяющие начальным данным, исследо-
исследовав предварительно вопрос о существовании и единственности ис-
искомых решений.
706. ;/ - U,v 4- 2; xit 0, t/0 0, у'о ----- 0.
707. у" ~~ е~х1х, х0 1, г/о --• 0, у'о --= 0.
708. i/' — 2y" -- 0; х0 -. \, у0 - 2, ^ - 1.
709. х --- ег>" — у". 710. хг/'" — у" - 0.
711. у" -2 УгЛ х0 -= 0, у0 -= 1, У'о ~~ 1; х0 - 0, //0 - 0, y'Q - 0.
712. у1 - ху" 1-у ; х0- 1, г/0 - 0, y'Q-- -i- .
713. уу" — у'2 -- у' lnt/; х0 = 0, t/o;- 1, «/о " Ь
714. х (у"у — t/) - уу' + ху". 715. x3tf - (у - xy'f.
716. -^- -!- е»У = 1. 717. у" + — у' — у - Зх2.
г/' ' хх2
718. у" + 2ху' Ч- 2у - 1; х0 =- 0, у0 - 0, у'о - 0.
В задачах 719, 720 найти решения, удовлетворяющие заданным
краевым условиям.
719. у" -- — 6х; у = 0 при х -- 0, у ----- — 1 при X =- 1.
720. у" — — у' — х-— 0; у-н-0 при х^0, у ~-= при х = 1.
х 3
9*

IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. ВВЕДЕНИЕ
Однородное уравнение. Линейным уравнением п-то порядка на-
называется уравнение вида
У{п) + Рх (х) У^+р2 (х) t/<«-2> + .'•• + Рп-х (х) У' + Рп (х) y^-f (х). A)
Если при всех рассматриваемых значениях х функция f(x) равна
нулю, то это уравнение называется однородным, в противном слу-
случае — неоднородным. ' ,
Предполагаем, что коэффициенты Р\(х), р2(х), ..., рп(х) и сво-
свободный член f(x) определены и непрерывны в интервале (а, Ъ).
Тогда уравнение A) имеет единственное решение у—у(х), опреде-
определенное во всем интервале (а, Ъ) и удовлетворяющее начальным
условиям:
У = Уо, У' = У'О' ■•■> У(п~1) = У{йп~1) ПРИ х = Хо,
причем начальные данные у0, у0', ..., г/о1"' можно задавать совер-
ше"нно произвольно, а х0 нужно брать из интервала (а, Ь)
(почему?).
Всякое решение линейного уравнения является частным
решением, так что особых решений оно не имеет (почему?).
Интегрирование неоднородного уравнения A), как будет дока-
доказано ниже, приводится к интегрированию однородного уравнения
У(п) + Л (*) У(п-1 > + Р2 (*)<"-2) + • • • + Pn-i (х) У' + Рп (х) у =-- 0. B)
Однородное линейное уравнение всегда имеет нулевое решение
i/he=0. Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям
у - 0, у' - 0, ..., t/C-1) = 0 при х - х0,
причем других решений, с такими же начальными условиями, нет
(почему?).
Для построения общего решения однородного уравнения доста-
достаточно знать п линейно независимых в интервале (а, Ь) (и тем са-
самым ненулевых) частных решений уи у2, ..., уп, т. е. таких
решений, для которых тождество
«1й -г
132
г аг/2 + • • • + апуп = 0

где alt а2, . • •, ап — постоянные числа, может выполняться только
в очевидном случае аг --- О, сс2 — 0, ..., ап — 0. Такая система ре-
решений называется фундаментальной. Чтобы система решений ух, yit...,
уп была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы .ее опре-
определитель Вронского (вронскиан)
Уг
У\
Уп
Уп
был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала (а, Ь).
(В действительности, в этом случае определитель Вронского отли-
отличен от нуля во всех точках интервала (а, Ь).)
При сделанных выше предположениях относительно непрерыв-
непрерывности коэффициентов однородное линейное уравнение B) имеет
бесконечное множество фундаментальных систем решений (по-
(почему?) .
Фундаментальная система решений у\, у2, —, уп однородного
уравнения B) называется нормированной в точке х=х0, если эти
решения удовлетворяют соответственно следующим начальным
условиям:
\ - 0. у\ =- 0.
0;
Уг :
"-= 0, у'2 = 1, у; =: 0, . . . , г/»"-1' - 0;
Уп : Уп = 0, у'п = 0, у"п = 0, ..., */<,«-» = 1
при х= х0.
Если найдена фундаментальная система решений у\, Уя> —> Уп
однородного уравнения B), то формула
У = Cjt/i + С2у2 + ... + Спуп, C)
где Сь С2, ..., С„—произвольные постоянные, дает общее решение
этого уравнения в области
а<,х<Ь, |у|< + оо, |у'|< + °°. ■••> Iу{п~1)\< + °о- D)
Все решения однородного уравнения B) содержатся в формуле
C). Эта формула дает возможность найти решение уравнения B) с
любыми начальными данными у0, у'о, у"й, ..., у\?~1\ когда д-0 при-
принадлежит интервалу {а, Ь), за счет выбора соответствующих значений
произвольных постоянных. При этом, согласно сказанному ранее
(гл. III, § 1, формула F)), приходится решать систему п уравнений
с п неизвестными Сх, С2, . . . , Сп, которая в нашем случае является
линейной и записывается в виде
133

Уй = Ci^i (*o) + Сгуг (х0) + • • • + СпУп (
У о ^ С1У[ (*о) + СгУ'г Ы + • • • + СпУ'„
Эта система имеет единственное решение (почему?). Подставив
его в формулу C), получим искомое решение уравнения B).
При фундаментальной системе решений уи у2, ..., уп, нормиро-
нормированной в точке х=х0, формула
У ^ УоУ1 + У'0Уъ + • • • -г У{йп~1)Уп
будет общим решением в форме Коши в области D), если считать
начальные данные у0, у'о, ..., у(оп~1) произвольными числами.
В дальнейшем будет показано, что построить фундаментальную
систему решений в элементарных функциях или в квадратурах от
элементарных функций удается всегда для уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами (см. § 2) и для уравнений, приводящихся к
ним (см. § 3). Следовательно, для этих уравнений легко находит-
находится общее решение. Для уравнений с переменными коэффициентами
(за редким исключением) приходится ограничиваться нахождени-
нахождением фундаментальной системы решений, состоящей из функций бо-
более сложной природы (см. § 5).
Иногда задача интегрирования однородных и неоднородных ли-
линейных уравнений облегчается путем предварительного пониже-
понижения порядка уравнения (см.§ 4).
Неоднородное уравнение. Для построения общего решения не-
неоднородного уравнения A) достаточно найти одно частное реше-
решение его и прибавить к нему общее решение соответствующего одно-
однородного уравнения
z<«> + Pl(х) 2<я-» + р2 (х) 2<"-2> + ... + />„_!(х)г' + рп (х\г = 0 E)
так, что если у± — частное решение уравнения A), а
г = CjZi + C2z2 + ... + Cnzn
есть общее решение уравнения E), то
У^У1 + Си + C,z2 +...+ Cnzn F)
будет общим решением уравнения A) в области D).
Все решения неоднородного уравнения A) содержатся в
формуле F) (почему?).
Если правая часть неоднородного уравнения A) состоит из не-
нескольких слагаемых и для неоднородных уравнений с той же ле-
левой частью и правой частью, равной каждому из этих слагаемых в
отдельности, мы можем найти частное решение, то сумма послед-
последних будет частным решением всего уравнения A). Это свойство
134

неоднородного линейного уравнения несколько облегчает задачу
нахождения его частного решения.
В действительности, однако, непосредственное нахождение ча-^
стного решения неоднородного уравнения, кроме случая уравнения
с постоянными коэффициентами, причем со специальными (правда,
наиболее интересными для практики) свободными членами (см.
§ 2), представляет большие трудности.
Поэтому для нахождения общего решения неоднородного урав-
уравнения обычно применяют метод вариации произвольных постоян-
постоянных (метод Лагранжа), который всегда дает возможность найти
общее решение уравнения A) в квадратурах, если известна фунда-
фундаментальная система решений соответствующего однородного урав-
уравнения E). Этот метод состоит в том, что решение уравнения A)'
ищется в виде
у = С, (х) z, + С2 (х) г2 л. ... + Сп (х) гп, G)
где С1(х),. С2(х), ..., Сп (х) —некоторые непрерывно дифференцируе-
дифференцируемые функции от х, подлежащие определению. Эти функции .находят
из следующей системы:
С; (.v) zt -;- С 2 (х) z, -\- ... + С'п (х) zn = О,
С; (х)г\ + С^ (х)z'2 + . . . + С; (х)z'n = О,
i
С; (х) г<«-2> 4- С2 (х) г£-=> + • • • 4- С'п (х) 2(«-2> = О,
С; (х) гр-»> 4- С2 (x) 2^-D 4- ... + С; (х) 2<f-') = / (х).
Решая ее, находят производные от искомых функций: ■
С; (х) = ф, (х), С2 (х) = Фг (х), ..., С'п (х) --= ф„ (х),
откуда
Ci (х) = J Ф1 (х) dx + С,, С2 (х)--- j ф2 (х) dx 4- С2, ..., Сп (х)
n(x)dx+ С„.
Подставляя эти значения Сг (х), С2 (х), ..., Сп (х) в формулу G),
получают
У -- zA (Pi (x) dx + 22 Г ф2 (х) dx -f ■ • • + zn \ Ф„ (х) dx +
Н- ClZl + С2г2 -Ь...-f С„гп. ,
Это общее решение уравнения A) в области D).
Особые точки линейного уравнения. Выше мы предполагали,
что коэффициенты уравнения A) и свободный член f(x) непрерыв-
непрерывны во всей области определения, а именно в интервале (а, Ь). Если
эти функции определены в интервале (а, Ь), за исключением от-
135

дельных точек, в которых они разрывны, то последние называются
особыми точками уравнения A). В частности, если линейное урав-
уравнение задано в виде
Ро (х) */<"> + р! (х) у<«-» + ... + />„_! (х) у' + рп {х) у = / (х),
где ро(х), Pi(x), ..., рп(х), }(х) непрерывны в (а, Ъ), то особыми
точками этого уравнения будут только те точки, в которых коэф-
коэффициент при старшей производной ро(х) обращается в нуль.
В каждом из интервалов, не содержащих особых точек, сущест-
существует, вообще говоря, своя фундаментальная система решений од-
однородного уравнения, позволяющая построить общее решение это-
этого уравнения в области Z) вида D), где интервал (а, Ь) нужно за-
заменить рассматриваемым интервалом.
Построение однородного линейного уравнения, имеющего за-
заданную фундаментальную систему решений. Пусть у\, у2, ..., уп —
заданные функции от х, линейно независимые в интервале (а, Ъ)
и имеющие непрерывные производные до порядка п включитель-
включительно. Рассмотрим уравнение
Уп У
У'п У'
У\п) УBп) ■ ■ ■ У{пп) У{п)
0.
(8)
Уравнение (8) является однородным линейным уравнением п-
го порядка, а функции уи у2, ..., уп образуют фундаментальную
систему его решений. Если при этом вронскиан W(x) функций у\,
У2, ..-, Уп отличен от нуля в интервале (а, ЬL то, разре-
разрешая уравнение (8) относительно t/("), мы получим однородное ли-
линейное уравнение с коэффициентами, непрерывными в ин-
интервале (а, Ь). Если же W(x) обращается в нуль в неко-
некоторой точке х—л'о из интервала (а, Ь), то в этой точке хотя бы один
из коэффициентов упомянутого уравнения будет разрывным.
2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Однородное уравнение. Рассмотрим сначала однородное (ли-
(линейное) уравнение
t/<«> + а^»-») + а2#<«-2> + . .. + ап.гу' + апу = 0, A)
предполагая, что его коэффициенты аи а2, ..., ап — постоянные
вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную
систему решений уь у2, ..., уп, определенную при всех х и состоя-
состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций.
Соответствующее ей общее решение
У = С1У1 + Cat/a + ... -f Cnyn
136

определено в области
т. е. во всем пространстве (х, у, у', ..., ур-^) (почему?).
Излагаемый ниже метод построения указанной выше фундамен-
фундаментальной системы решений (метод Эйлера) состоит в том, что част-
частное решение уравнения A) ищется в виде
у = еЧ B)
где X — некоторое постоянное число (вещественное или комплекс-
комплексное), подлежащее определению.
Подставляем функцию B) в уравнение A):
(Хп + аД""» + оД»-* + ... + а„_Д + an) еХх -- 0.
Отсюда следует, что X должно удовлетворять уравнению
2 +'... + fln-Л + ап = 0. C)
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его
корни — характеристическими числами уравнения A).
Структура фундаментальной системы уравнений (а следова-
следовательно, и соответствующего ей общего решения) зависит от вида
корней характеристического уравнения C). Различают три случая.
1. Все корни характеристического уравнения различны и вещест-
вещественны. Обозначим их через %ъ Х2, .. •, Х„. Тогда фундаментальной
системой решений будет: ух — eXiX, у2 — ех*х, ..., уп = еХпХ, а общее
решение имеет вид
у =_- с,?" + Сае*.* + ... + СУ.
2. Все корни характеристического уравнения различны, но сре-
среди них имеются комплексные. Пусть %\ = a + ib — комплексный ко-
корень характеристического уравнения. Тогда %2=а—ib тоже будет
корнем этого уравнения (почему?). Этим двум корням соответст-
соответствуют два линейно независимых частных решения: у1 = еах cos bx,
y2=eaxsinbx.
Если корни h\ и К2 чисто мнимые: Xi = ib,.X2=—ib, то соответст-
соответствующими линейно независимыми частными решениями будут z/1==
= cos bx, y2=sin bx.
Записав линейно независимые частные решения, соответствую-
соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем ве-
вещественным корням, получим фундаментальную систему решений.
Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянны-
постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения A). При этом
корням %i,2=fl±ib в формуле общего решения соответствует вы-
выражение вида
еах (Сг cos bx -f C2 5in bx),
13?

а чисто мнимым корням >„1J -- ± ib отвечает сумма
d cos bx + С2 sin bx.
3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.
Пусть Хх — вещественный А-кратный корень. Тогда ему соответ-
соответствует k линейно независимых частных решений вида e%iX, xeXtX, ...,
xh~le%iX, а в формуле общего решения—выражение вида
Если \i=a + ib — комплексный корень характеристиче-
характеристического уравнения кратности k, то ему и сопряженному с ним корню
Я2=я—ib той же кратности соответствуют 2k линейно независимых
частных решения, вида:
еах cos bx, xeax cos bx, ..., xh-le"x cos bx,
eaxsmbx, xeaxsmbx xh~leaxsmbx.
В формуле общего решения этим корням соответствует выражение
вида
е*х ((d + С8х + ... + Ckxk^) cos bx +
Ч- (Cft+1 -!- Cft+2x + ■ •. + С»**-1) sinb.v).
Паре чисто мнимых корней Я1|2=±1 кратности А отвечает сумма
(d -f С,х + ... + CfeX6-1) cos bx +
+ (Ck+l + Ck+2x +... + dfe**-1) sin 6*.
Записав линейно независимые частные решения указанного вы-
выше вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным
корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплекс-
комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.
Линейная комбинация этих решений с произвольными постоян-
постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения A).
Неоднородное уравнение. Неоднородное уравнение с постоян-
постоянными коэффициентами
у<«) + atf<»-» + a2y(«-2> + ...+ ап^у' + any=f(x) D)
с помощью метода вариации произвольных постоянных всегда мо-
может быть проинтегрировано в квадратурах от элементарных функ-
функций, ибо соответствующее ему однородное уравнение
2<«> + a^i"-') + a22(n-2> + ... + ctn^z' + anz = 0 E)
имеет фундаментальную систему решений, состоящую из эле-
элементарных функций.
В некоторых случаях для неоднородного уравнения D) удается
найти частное решение методом неопределенных коэффициентов,
исходя из заранее известного вида последнего. Тогда для полу-
получения общего решения неоднородного уравнения D) остается при-
138

бавить к найденному частному решению общее решение соответ-
соответствующего однородного уравнения E).
Укажем эти случаи и соответствующие им виды частных ре-
решений.
1. f(x) = P(x), где Р(х) — полином от х, который может, в част-
частности, быть заданным постоянным числом, отличным от нуля. То-
Тогда, если число 0 не является корнем характеристического уравне-
уравнения, частное решение неоднородного уравнения D) можно найти в
виде t/i = Q(x), где Q(x)—полином той же степени, что и Р(х), но с
неопределенными коэффициентами.
Если же 0 есть корень характеристического уравнения кратно-
кратности k, то t/i—xkQ(x).
2. / (х) — Р (х) еах. Если число а не является корнем характеристи-
характеристического уравнения, то yl- Q(x)e"x.
Если а есть корень характеристического уравнения кратности k,
то уг г- xh Q (х) еак.
3. /(а-) - - еах {Pt (x) cos Ъх -}- Р, (х) sin bx), где Рх(х) и Р2(х) — поли-
полиномы от х. (Эти полиномы, в частности, могут быть постоянными
числами, и один из них—тождественным нулем.) Пусть т есть наи-
наивысшая из степеней полиномов Р{ (х) и Р2 (а'). Тогда если число
a~\-ib не является корнем характеристического уравнения, то
У! — еа* (Qi (x) cos bx — Q2 (х) sin bx),
где Qi{x), Q2(x) — полиномы степени т с неопределенными коэффи-
коэффициентами.
Если а + ib есть корень характеристического уравнения кратнос-
кратности k, то
ух = xh eax (Qi (x) cos bx + Q2 (x) sin bx).
4. / (x) - fv (x) + f2 (x)+ '... +fm (x), где /t (x), /a (x), ..., fm(x)-
функции вида, рассмотренного в пп. 1—3. Если ух, у2, ..., ут —
частные решения, соответствующие функциям ^(х), /2(х), ..., /т(х),
то Y1 — ух -\- у2 -\- .. . + ут является частным решением всего урав-
уравнения D).
Применение тригонометрических рядов Фурье к нахождению
периодического частного решения. Для того чтобы уравнение
Л - / (и х. ±
df • \ ' dt.
имело ^-периодическое решение x—x(t), необходимо, чтобы функция /
была ш-периодической по t вдоль этого решения:
L), x(t), "" v"; \ — t i * v-сл dx(t)
(почему?). Например, уравнение
x = t{x2 + x2— 1) — х G)
139

имеет 2я-периодическое решение
х = sin U (8)
Здесь правая часть уравнения G) не является 2я-периодической
no t, но'вдоль решения (8) она 2я-периодична.
Заметим, что не всякое уравнение F) с ш-периодической по t
правой частью имеет ш-периодич_еское решение. Так, уравнение
^L (9)
df
не имеет 2п-нерпЬдических решений (почему?).
Рассмотрим уравнение
аг
A0)
где f(t) непрерывна, 2п-периодична и кусочно непрерывно диффе-
дифференцируема. Тогда она разложима в ряд Фурье ,
т
00
f(t)= —- + 2 (^ cos kt + bh sin kt)
fci
(почему?).
Будем искать 2я-периодическое решение уравнения A0) в виде ря-
ряда Фурье
*(*) = 4L + 2 (A cos kt + Bk sin kt). A1)
Подставляя функцию A1) в уравнение A0), получаем
^ (^ft c°s ^ + 5ft sin A/) +
fe=i
oo
= "V + 2 (ah cos kt + bk sin kt). A2)
Предположим, что а не равно целому положительному числу.
Тогда, приравнивая в уравнении A2) свободные члены и коэффи-
коэффициенты при косинусах и синусах, находим:
аМ0/2 = а0/2, (а2 — /г2) Ak =- ak, (а2 — /г2) Bh = Ьк, A3)
откуда
Л _. fl0 Л _ «ft D _* Ь&
140

Подставив найденные значения Ао, Ak и 5ft в формулу A1), полу-
получим
+ JS akCosktM^[nkt (И)
где ряд справа сходится равномерно и его можно п о-
ч лен но дифференцировать два раза, вследствие чего
сумма и дает искомое решение уравнения.
Если а=п Gг>0—целое), но хотя бы один из коэффициентов
ап и Ьп отличен от нуля, то из формул A3) следует, что периодиче-
периодического решения вида A4) не существует. Уравнение A0) не имеет в
этом случае периодических решений, подобно уравнению (9).
Если а=п (я>0 — целое) и ап — Ьп=0, то уравнение A0) бу-
будет иметь 2л-периодическое решение вида A1) (почему?), поэтому,
для того чтобы уравнение A0) допускало 2я-периодическое реше-
решение в случае а=я>0, необходимо и достаточно, чтобы
j /@ casntdt =- j f{t)smntdt
= 0.
Замечание. В случае а=я>0 член ancosnt-\-bn sinnt резонирует
с частными решениями cos nt и sin nt соответствующего однородного уравнения
^х/ёР+п2х=0. Вычтя его из правой части уравнения A0), мы получим уравне-
уравнение, для которого существует 2я-периодическое частное решение. Прибавив по-
последнее к частному решению, соответствующему резонирующему члену, получим
частное решение для всего уравнения.
Нахождение частного решения линейного уравнения операцион-
операционным методом. Пусть требуется найти решение x=x(t) линейного
уравнения
xw @ + alXin-l\f) + ... + ап_гх' @ + апх (t) - / @, A5)
где пу, ..., ап — вещественные числа; f(t) непрерывна при t^0,
удовлетворяющее начальным условиям:
х = х0, х' г^х'о, ..., /п-1) = х^~1) при t - 0.
Искомое решение существует и единственно. Найдем его опера-
операционным методом, т. е. построим сначала изображение решения
х{р)= j x(t)e-ptdt, A6)
а затем, пользуясь таблицей изображений (см. например, [7,
с. 256]), найдем искомое решение x(t) —оригинал.
Взяв изображение обеих частей уравнения A6), получим опе-
операторное уравнение
~Т A7)
141

где
Р (р) ~ Рп + aiPn~l + • • • + пп-iP + ап;
п j п 2 ' (п 1)
т \Р) ~'~ Р ^0 г* Р %Q ~i • • • г* ^0 "Т~
i '(пп~2х J- п"~3 г' 4- -4- r^rt~2h 4- 4- а х
из которого найдем изображение искомого решения
Восстановив по изображению A8) оригинал, получим искомое ре-
решение х — x(t).
Заметим, что в случае нулевых начальных условий {х0 — х^ .. .=
— Ло"—1) = 0) функция ty{p) будет тождественно равна нулю, и опе-
операторное уравнение примет наиболее простой вид:
P(PU(P) Т(Р),
откуда
Примеры* 1. Рассмотрим уравнение
у'"-5у'+6у' = 0. A9)
Здесь характеристическое уравнение
Яз — 5Я2 + 6Я, = 0
имеет различные вещественные корни: Xj = 0, Я.^ == 2, Яз = 3, поэтому совокуп-
совокупность функций i/j = 1, у2 = е2Х, уз = езх будет фундаментальной системой реше-
решений, а
является общим решением уравнения A9).
2. Даио дифференциальное уравнение
Щ = 0. . B0)
Его характеристическим уравнением будет
ЯЗ + ЗЯ2 + 9Я,—13=0.
Оно имеет один вещественный корень Ях = 1 и два комплексно-сопряженных корня
Я2 = — 2 + 3i, Яз = —2 —3i. Поэтому функции у1=ех, уг = e~2*cos Зх, у3 —
= e~ixs\n3x образуют фундаментальную систему решений, а
у = С^ + е-2* (С2 cos Зх + С3 sin Зх)
является общим решением уравнения B0).
3. Пусть дано уравнение
Его характеристическое уравнение
№ -г. 2Я2 + 4Х — 8 = 0
142

имеет один вещественный корень ^ = 2 и два чисто мнимых корня л2 = 2i; л3 =
= — 2i. Поэтому уг = е-х, in = cos 2дс, у3 = sin 2x и
# = Qe2* + C2 cos 2х -f C3 sin 2*.
4. Для уравнения
t/"'-5j/" + 8j/'-4i/=0
имеем:
АЗ — 5А2+8Х — 4 = 0; a^I, Л2 = А;, = 2.
Здесь один корень простои и один двукратный. Поэтому и1 = ех, уг — е21С, Уз =
= А-ез* и
г/=С1еЧ-е2Д;(С2
5. Пусть дано уравнение
Корни характеристического уравнения
/.■* + 4Д
Х1 = "Кг = — 1+1. Яз = Я,4 = — 1 — i, так что мы имеем случай двукратиых комп-
комплексно-сопряженных корней. Поэтому 4
yL = e~xcosx, y2 = xe~xcosx, \
у3 = е~х sinx, yt — хе~х sin x )
у = е~х ((<?! + С2^) cos jc + (С3 + С4х) sin x).
6. Для уравнения
(/(*) + 2у" -•- г/ = 0
имеем'
|_ 1 — 0; At — Х2 = t, Я3 = Л4 = — t
Поэтому (/! = cos х, у2 = х cos х; г/з -= sin ж, уц — х sin л: и
1/ = (Сх + С2ж) cos л: + (С3 -f- Qx) sin x. \
7. Рассмотрим неоднородное линейное уравнение
у" — у'=ех-\- е*х -f .v. . B1)
Соответствующим однородным уравнением будет
z" — г' = 0. B2)
Его характеристическое уравнение
Я,2 — а = 0 ' B3)
имеет корни лх = 0, л2 = 1. Поэтому
г = d + C,e*. B4)
Теперь нужно иайти частное решение рассматриваемого иеоднородиого урав-
уравнения B1). Для этого отыщем сначала частные решения для каждого из трех
уравнений:
«/" — «/'= е*. у" — у' = е2дг, у" — у'= х.
Уравнение
B5)
143

имеет частное решение вида
yi = Axe*. x B6)
ибо у показательной функции с", стоящей в правой части этого уравнения, ко-
коэффициент при х, будучи равным 1, является корнем характеристического уравне-
уравнения B3). Подставляя функцию B6) в уравнение B5), имеем:
О
(-1)
= Лхе*
у [ = Аех -f- Axe*
у\ = 2Ае* + Axe*
I Ae* = e*
Отсюда A=\. Следовательно,
»i = xe*. B7)
Уравнение
y*-y>=e2x ' {28)
имеет частное решение вида
у2 = Ае*х, B9)
ибо число 2 не является корнем характеристического уравнения. Подставив функ-
функцию B9) в уравнение B8), найдем Л = 1/2, так что *
у2 = __ 0Хщ C0)
Уравнение
у"-у'=х C1)
имеет частное решение вида
Уз = х(Ах + В), C2)
так как число 0 является простым корнем характеристического уравнения. Под-
Подставляя функцию C2) в уравнение C1), имеем:
(-D
1
Уз = Axi -f Bx
у'ъ = 2Ах + 5
у = 2Л
I — 2 Ax — B-\-2A=x
_2Л=1, —Я + 2Л--0; A = — 1/2, fl = —1,
следовательно,
C3)
Теперь, складывая частные решения B7), C0) и C3), находим частное ре-
решение У{ всего уравнения B1) в виде
Прибавляя к этому частному решению общее решение B4) уравнения B2), по-
получаем общее решение уравнения B1):
144

Заметим, что уравнение B1) допускает понижение порядка на единицу, так
как не содержит у. Положив у'=и, получим линейное уравнение первого по-
порядка
и' — M =
8. Пусть дано уравнение
</" + </ = sin *-f cos 2*. C4)
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
z" + г = 0; № + 1 = 0; ^ = «, А* = — i\
г = Ci cos x + С2 sin x.
Частное решение уравнения
У" + У — s'n x C5)
следует искать в виде
Ух = x(Acosx + Bsinx), C6)
так как число а + й = « является корнем характеристического уравнения.
Подставляем функцию C6) в уравнение C5):
t/i = х {A cos х -f- В sin л:)
j/[ = Л cos л: -f S sin х + jc (— As\ax-\- Всоъх)
у\ = — 2Л sin х + 2В cos х-\-х (—Л cos x —В sin д;)
— 2Л sin x + IB cos x = sin x
— 2Л = 1, 2fl = О, Л = — 1/2, В — О,
следовательно,
1
i/i = — — х cos дс.
Для уравнения
у" -\-у = cos 2дс C7)
имеем
уг = Л cos 2л; -{- flsin 2x, C8)
ибо здесь число а+ «6 = /-2 не является корнем характеристического уравнения.
Подставив функцию C8) в уравнение C7), найдем Л = — 1/3, В = 0, так что
1
у2 = — — cos2x.
3
Теперь мы можем записать пбщее решение уравнения C4) в виде
У -_ kcosx — — cos 1х + Ci cos дс + С2 sin х.
9. Рассмотрим уравнение
Здесь найти частное решение методом неопределенных коэффициентов нель-
нельзя. Поэтому для нахождения общего решения уравнения C9) воспользуемся ме-
методом вариации произвольных постоянных.
Ю. Зак. 1213 145

Так как соответствующее однородное уравнение
z" — z = О
имеет фундаментальную систему решений z± — е*, г2 = е~х, то общее решение урав-
уравнения C9) ищем в виде
у = Ci (x) ^-\-Сг (х) е~х. D0)
Составим систему:
С[ (х) е* — С'2 (х) е~* =
Решая ее, находим:
е*+ 1
1 1
Интегрируя, имеем:
С,(х) = -
2 е*+ 1 '
1 £^Х
2 е'-М
Подставляя эти значения Су_ (х) и С2(х) в формулу D0), получаем общее решение/
-уравнения C9) в виде
У = \ ((* - In (е* + 1)) 4х + (- 1 + In (в* + 1)) в"*) +С1е*+С2е-*.
10. Найти решение уравнения
-у = 0,
•удовлетворяющее начальным условиям: у—\, у' = 0 при х = 0.
Воспользуемся общим решением г/ = С^е* -{- Сге~к. Подставив начальные дан-
данные Хо = 0, 1/о = 1> Уо = ^ В системУ
получим
0^-Ci — Ci,)
откуда Сг = Сг= 1/2, так что искомым решением будет
___1_ _х __
2
11. Найти решение уравнения
удовлетворяющее краевым условиям:
у = 1 при х = 0; у = 0 при ж = л/2.
146
D1)

Подставив в общее решение
у = Сх cos х -L- C2 sin х
поочередно краевые условия D1), получим Сг = 1, С2 = 0.
Поэтому искомым решением будет
y = cosx @<д;<я/2).
12. Построить фундаментальную систему решений уравнения
нормированную в точке х = 0.
Пользуясь формулой общего решения
находим сначала (так же как и в примере 10) частное решение у\, удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям: yi — 1, у[=0 при х—0. Таким решением будет
01=е*A— х).
Аналогично находим, что частным решением уг, удовлетворяющим началь-
начальным условиям: 1/2=0, J/2= 1 ПРи х=0, является уг = хех.
Искомая фундаментальная система решений имеет вид:
t/1 = ex0—x), У2.=--хе*-
13. Построить однородное линейное уравнение, для которого функции у\ =
=chx, y2=shx образуют фундаментальную систему решений.
Искомым уравнением, согласно формуле (8) § 1, будет
сп х sh х у
sh х ch jc у'
~ 0 или у" — у — 0.
ch х sh x у"
14. Установить, имеет ли уравнение
sin Л^
dP г2* ^ А
периодические решения, и если да, то найти их.
Заметим, что речи может идти только о существовании 2л-перио^ических реше-
решений (почему?). __
Так как в уравнении D2)"_"а = у 2 ф п > 0, то оно имеет одно 2л-перио-
дическое ерешение
2
15. Найти операционным методом частное решение уравнения
х' + х = 2 + /2, D3>
удовлетворяющее начальным условиям: х = 0, х' = 0 при t = 0.
Возьмем изображение обеих частей уравнения D3):
(^+l)F(p)=—+ --,
Р Р3
откуда
7(р) = 2/р».
10» 147

Пользуясь таблицей изображений, находим x(t) = fi.
В задачах 721 — 752 проинтегрировать однородное линейное
уравнение.
721. у" — Ъу' -J- 8г/ - 0. 722. у"- - у' — 2у ■--■ 0.
723. у" + 3«/' -!- 2у - 0. 724. //' — 2у' - 0.
725. г/" + Ц' ■-- 0- 726. у'" — 2у" —у> + 2у - 0.
727. у'" — 1 Зг/' — \2у --- 0. 728. г/<4>~- 5у" -f 4r/ - 0.
729. г/<5>— Юг/'" + 9г/' - 0, 730. у" — у' + у - 0.
731. у" 4 2у' + 2у --: 0. 732. у" + \у -- 0. 733. у'"—у -0.
734. у'" 4 8г/ =-- 0. 735. г/'" — 2у" + 9г/' — 18г/ =-- 0.
' 736. уМ — у ~-~ 0. 737. г/<4> + Юг/" + 9г/ = 0.
'738. г/<4> + у -- 0. (Указание. Воспользоваться формулой извле-
извлечения корня га-й степени из комплексного числа (г = р (cos ф + i sin ф)):
П/-— -пг— ■—— г Я/-— /' ф + 2kn ,
у г — у р (cos ф + t sin ф) — у р cos 2—! 1-
(*-- 0, л-1).)
п )
739. г/<6> — у =-- 0. 740. уF) 4 «/ -- 0.
741. у" 4 4г/'4 4г/ =-- 0. 742. у" - 0.
743. у"' — 6у" + \2у'— 8г/=0. 744. у'" — Ту" 4 1бг/'— 12г/ --, 0.
745. г/'" 4 У" ■--■ 0. 746. у<4> 4 2/ — 8г/' 4 Ъу = 0.
747. г/<4> — 2у'" 4 2г/" — 2у' + у-= 0.
748. г/D>— 4г/' 8г/"— 16г/'4 1бг/ =- 0.
749. г/<4>4 8г/ 16г/-0.
750. у^ 4 2г/'" + 3у" + 2у' + у -- 0.
751. г/EL 8г/' W =~- 0.
752. г/<5> 4 г/D) 4 2г/'" 4 2/ 4 г/' 4 «/ --■ 0.
В задачах 753—781 проинтегрировать неоднородное линейное
уравнение, найдя предварительно его частные решения методом не-
неопределенных коэффициентов.
753. у" — у--.я*- — х+1. 754. г/"—4у'=— 12х*+ бх—4.
755. г/" 4 5г/' 4 6г/ - 3. 756. г/" 4 «/' -- 3.
757. у" + у=-- Аех . 758. у" — у--. 4е* .
759. (/" — 2у' + у~~ \ек . 760. \f-2y1— Ъу --= — 4е^ 43.
761. г/" — Зг/' 4 2у - Зе2*4 2х2. 762. у" — Зу' -- е3х — 18дт.
763. г/'бу 12у'4 8г/--3е~2д;. 764. у'" —у" ~- — 3x4 1-
765. г/D) — г/ — 4еЛГ . (Указание. Воспользоваться формулой
.148

1ейбница длд я-й производной от произведения двух функций: (ыи)(п) =
766. у" — \у = 2 sin х — 4 cosх 767. / + г/ -= 6 sin 2.x.
768. г/" — у' + у - — 13 sin 2х. 769. г/" + 4г/ = sin 2х.
770. у" + г/ = ех + cos х. 771, у" + у ---- cos х + cos 2х.
772. у" — 4г/ .-= е* ((— 4х + 4) cos х — Bх + 6) sin jc).
773. у" — 2г/' + 2г/ = ех B cos х — 4х sin x).
774. г/" + у — 2sinx + 4xcosx.
775. г/'" — г/" -f 4г/' — 4г/ - Зе2' — 4 sin 2*.
776. г/<4> — г/ - 4sinх—8е~х+ Г. 777. г/<4> + 2у' + г/ = cosx.
778. у" — у= cos2x. 779. у' + 4г/ = cos2x.
780. у" + у = sin л; cos Зх. 781. ?/" — г/ = ch x.
В задачах 782—794 определить вид частного решения.
782. у" -г у' Jrky = х. 783. у" -f ky ^ еах.
784. У" + й2г/ = cos сох. 785. г/" + г/' = е~х + 2х — 1.
786. у" — у = ек хъ\пх. 787. у" — 2г/' + Чу -= е* д; sin л\
788. у" + г/ = х cos х 789. у'" -)- г/' -|- у' + qy ^ 2.
790. г/'" М- 2г/" Н- г/' = Bх + 1) sin д: + {х- — 4л;) cos x.
791. г/'" —г/'= e-tsinx + 2jc2.
792. у<4> — 4г/'" + 8г/" — 8у' + 4г/ == е-1 (х cosx + sinд;).
793. г/<5> — г/<4> +8г/'" — 8г/" + 16г/— 16i/=3cos2x+ 1.
794. г/" 1- 4г/ =^ х2 sin2 x.
В задачах 795—802 проинтегрировать уравнение методом вариа-
вариации произвольных постоянных.
795. у" Л- 4г/ - l/cos2x. 796. у" + у = tgx.
797. у" — у=-- 1/д\ 798. г/'" -}- г/' ^ sinx/cos2x.
у2 j- 9 г J- 9 9 г
799. iT-gy' + y^^ ^ ' . 1^
3
801. у"-г/= 4Ух+ -!=_. 802. у* + у=
хУх
sm2x
В задачах 803—817 найти решение, удовлетворяющее поставлен-
поставленным начальным или граничным условиям.
803. у" — Ъу' + 4г/ =. 0; у --- 1, г/' = 1 при х = 0.
804. у" — г/ = 0; г/ = 2, г/' = 0 при х = 0.
805. у" + у = 0; г/ = 1, у' = 0 при х — л/2.
806. г/" + Чу -= 0; г/ = 0, г/' = 0 при х = 3.
807. у" + 4г/ == sin 2r, у = 0, г/' = 0 при х = 0.
808. г/" — г/ = х; г/ = 1, г/' = — 1 при х = 0.
149

809. у" + 4у' + 4г/ = Зе~2х; у = 0, t/ = 0 при х = 0.
810. у'" —у' = 0; г/ = 1, у' = 0, у" ^ 0 при х = 2.
811. t/H)_ty = 0; г/= 1, г/'= 1, / = 1, г/"' = 1 при х = 0.
812. г/<5>' + 6г/<4> — Зг/ - 0; у = 0, г/' - 0, у" = 0, г/'" ----- 0, г/<4> =
= 0 при х — 1.
813. у'\+ у --= 0; г/ = 0 при * ■=■■ 0, у =■■ \ при Л = л/2.
814. у" + г/ ~- 0; г/ = 0 при д; -- 0, у = 0 при х = я.
815. г/" + г/ --■ 0; у = 1 при д: = 0, у -- 1 при х = л.
816. (/' + у --= ж; г/ =-- 1 при х ■-- О, г/ •-- л/2 при х ■-= л/2.
817. у" — у = 0; у = 1 при х -= 0, г/ — (е2 + 1)/2е при д: = 1.
818. Материальная точка массой т движется по оси Ох, находясь
под действием силы (— ах), притягивающей ее к началу координат,
I , dx\
силы сопротивления среды — о и возмущающей силы, на-
\ dt j
дравленной по оси Ох и равной F(t) в момент времени t. Составить
пифференциальное уравнение движения этой точки. (Указание.
Воспользоваться законом Ньютона, согласно которому произведение
массы тела на ускорение равно силе, действующей на тело. Ввести
обозначения: h ■■-■ b/{2m), k~ --. а/т, f(t)-- F(t)/m.)
819. Проинтегрировать дифференциальное уравнение предыдущей
задачи в предположении, что / {t) = 0, h = 0 (случай свободных ко-
колебаний в среде без сопротивления). Найти период и частоту коле- ■
баний. Найти амплитуду и начальную фазу колебания, если заданы
начальные условия: х =- х0, dx/dt = v0 при t — 0. Рассмотреть случаи:
a) k---.\, х0 = 0, и0 =- 1; б) k -.- 1, х0 --- 2, v0 = 0.
820. Проинтегрировать дифференциальное уравнение задачи
818 в предположении, что /z>0, f(l)=0 (случай свободных колеба-
колебаний в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени
скорости). В каком случае (при каком соотношении между k и h)
движение точки будет затухающим гармоническим колебанием?
Найти начальную амплитуду (значение амплитуды при г=0) и
начальную фазу, если заданы начальные условия: х=\, dx/dt=2
при £=0, считая, что k = 2, h—l.
821. Проинтегрировать дифференциальное уравнение задачи
818 в предположении, что /г=0, f(t)=M sin cut (случай вынужден-
вынужденных колебаний в среде без сопротивления при наличии синусо-
синусоидальной возмущающей силы). Рассмотреть случаи ю=^=/г и1со = &
(резонанс).
d2x
822. Доказать, что решением уравнения — *- k2x — / (I) с пу-
df
левыми начальными значениями искомой функции и ее производной-;
при t = 0 будет
. t
х=-~ — Г f (и)sink(t —и)du.
k J
о
150

823. При каком условии относительно со общее решение уравне-
шя —-—{-x = cos(x)t не будет иметь векового члена (т. е. слагае-
слагаемого в виде произведения периодической функции и степени незави-
:имой переменной)?
сРх
824. При каких значениях k общее решение уравнения \-
-f k2x = cos It не имеет векового члена?
825. При каких значениях h все ненулевые решения уравнения
\- 2h {- х = 0 представляют собой затухающие гармоничес-
кие колебания?
vis
826. При каких значениях И все нулевые решения уравнения
'■■- 2 \- klx —-- 0 представляют собой затухающие гармони-
dt
2
dt' dt
ческие колебания?
827. При каких значениях q уравнение y"+qy=0 имеет нену-
ненулевые решения, стремящиеся к нулю при х-М-оо?
828. При каких значениях р ц. q все решения уравнения
у"+РУ'+УУ=0 стремятся к нулю при х-> + оо?
829. При каких значениях р и q вес решения уравнения
У''+РУ' + qy—Q ограничены при всех лг^О?
830. При каких значениях р и q все решения уравнения
У"+РУ' + (}У=0 являются периодическими функциями от х?
831. При каких значениях параметра К уравнение у"+Ху=0
имеет ненулевые решения, удовлетворяющие краевым условиям:
у=0 при л;=0, г/=0 при х=п? Найти эти решения.
832. Доказать, что если уравнение у<-п')+а1у(п-1')+...+агг_1г//+
-]-апг/:=0 имеет отличное от нуля характеристическое число %\
кратности k, то подстановкой y=e'"xz оно приводится к однород-
однородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами, кото-
которое будет иметь характеристическое число 0 той же кратности.
В задачах 833, 834 построить фундаментальную систему реше-
решений уравнения, нормированную в точке х=0.
833. у" + k-y ----- 0. 834. у" — k-y --- 0.
В задачах 835—#37 построить однородное линейное уравнение,
имеющее заданную фундаментальную систему решений.
835. уг --= cos л;, уг — sinx.
836. ух = e-*sin2x, уг = е-* cos 2л;, у3 = 1.
837. уг — ътх, уг = оаъх, ys = ех , yk = егх.
838,. Исследовать вопрос о существовании периодических решений
d?x
уравнения —: 1- Ах = sin2^.
№1

839. Выяснить, существуют ли периодические решения уравнения
d°x , _ ^, cosfef
d2x
840. Найти общее решение уравнения \- 9х ~ In
d
2 sin —
2
отыскав предварительно его частное решение. (Указание. Разло-
Разложить правую часть в тригонометрический ряд Фурье, выделить член,
резонирующий с частными решениями соответствующего однородного
уравнения, и воспользоваться замечанием на с. 141.)
В задачах 841—843 найти операционным методом решение, удов-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
841. х'" — 2х" + 9х' — 18* = 0; * = 1, х' = 2, х* = 4 при t - 0.
842. Xя — 2х' + х = 4е* ; д: = 0, х' = 0 при f = 0.
843. х* + х = 6 sin 2/; at = 0, х' = — 4 при t = 0.
844. (Д. А. Добр о тин.) Пусть дано неоднородное линейное
уравнение п-го порядка г/(ге) + а^"—^ -f ... + ап_гу' + ^„гА-— /(<),
где ah — вещественные числа, а /(^ — вещественная функция от
/(/>0). Предположим, что вещественные части всех характеристи-
характеристических чисел отрицательны. Доказать, что для чисто вынужденного
колебания, т. е. для решения у = y(t) данного неоднородного урав-
уравнения, удовлетворяющего нулевым начальным условиям: у = 0.
у' = 0, ..., у(п~1> -- 0 при t = 0, справедлива оценка
\у @1 < v Л, ^(^т) I/ mi л а > о),
J (п—1I
где Я — на ибольшая из вещественных частей характеристических чи-
чисел.
3. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЯМ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Замена независимой переменной. Линейное дифференциальное
уравнение сохраняет свой вид при любой замене независимой пере-
переменной, причем однородное уравнение остается однородным.
Этим свойством можно воспользоваться для того, чтобы попытать-
попытаться привести данное однородное линейное уравнение к уравнению с
постоянными коэффициентами. Оказывается (как показали Н. П„
Еругин и Т. Пейович), что если уравнение
может быть приведено к уравнению с постоянными коэффициентами
с помощью замены независимой переменной, то только по формуле
вида
t = с \ у' Pn(x)dx. B)
152

Заметим, что подстановка B), даже если и не приводит к урав-
:ению с постоянными коэффициентами, иногда все же полезна, ибо
:риводит уравнение A) к такому виду, в котором коэффициент при
[скомой функции является постоянной величиной.
Уравнение Эйлера. Для однородного линейного уравнения Эйлера
ю формуле B) при х>0 получаем подстановку
х = ё , D)
юторая действительно приводит уравнение C) к уравнению с по-
тоянными коэффициентами (почему?).
Замечание. При х< 0 полагают х — —е', что приводит к общему реше-
[ню того же вида (с заменой х на — х) ■ Поэтому достаточно найти общее решение
[рн х > 0 и заменить в нем х на \х\.
Уравнение
(ах + b)nyW -f ax(ax + b)n~lу1п~1^ + .. .-f
+ an^(ax + b)y' + atjf = O
триводится к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью
юдстановки ах И- Ь = ё .
Неоднородное линейное уравнение Эйлера
1 £/(«-') -г ... + an-ixy' + а-пУ — f(x)
юдстаиовкой D) приводится к уравнению с постоянными коэффи-
коэффициентами. При этом если f(x)=P(\nx)xa, где Р — полином,' то
частное решение полученного уравнения можно найти методом не-
неопределенных коэффициентов, вследствие чего соответствующее
/равнение Эйлера всегда интегрируется в элементарных функциях.
Замена искомой функции. Для приведения однородного линей-
линейного уравнения к уравнению с постоянными коэффициентами мож-
можно также воспользоваться однородным линейным преобразованием
искомой функции, т. е. подстановкой вида
у = а{х)г, E)
де z — новая неизвестная функция, ибо всякое преобразование
вида E) не нарушает ни линейности, ни однородности линейного
дифференциального уравнения A).
Коэффициент а(х) всегда можно выбрать так, чтобы в получен-
полученном уравнении коэффициент прн производной (п—1)-го порядка
был равен нулю. Если при этом все остальные коэффициенты ока-
окажутся постоянными, то мы получим уравнение с постоянными коэф-
коэффициентами.
Заметим, что указанное преобразование можно делать и в не-
неоднородном уравнении.
153

Рассмотрим уравнение второго порядка
у" + р(х)у' -)- д(х)у^0. F)
Подстановка
-Up(x)/2)dx
У = е г G)
приводит уравнение F) к виду
f + / (х) г = О, (8)
где
Если окажется, что /(X)=const, то уравнение (8) будет уравнени-
уравнением с постоянными коэффициентами.
При интегрировании уравнения F) иногда оказывается полез-
полезной комбинация подстановок B) и G), первая из которых приво-
приводит это уравнение к уравнению с постоянным коэффициентом при
искомой функции, а вторая уничтожает член, содержащий первую
производную от искомой функции. В результате может получиться
уравнение с постоянными коэффициентами.
Самосопряженное однородное линейное уравнение второго по-
порядка. Однородное линейное уравнение второго порядка всегда
можно привести к виду, не содержащему первой производной, и с
помощью замены независимой переменной x=cp(t), которая не на-
нарушает ни линейности, ни однородности данного уравнения.
Действительно, рассмотрим сначала самосопряженное уравнение
Р (х) У" + р' (х) У' + q (х) у = 0 или (р (х) у')' + q{x)y = 0. A0)
(коэффициент при tf является прсизЕодной от коэффициента при у").
Предположив, что р(х)>0 в рассматриваемом интервале изменения
х, сделаем замену независимой переменной:
J Р(х)
Тогда
d d I , ....
= — (х ■■-- x(t)),
dx dt p (x)
поэтому
p (x) y'x = p M y't ——- --= y't .
(p (x) yx )x = ytz ——- ,
вследствие чего уравнение A0) примет вид
tjit h q (x)y — 0 или z/*2 + Q{t)y — 0, A1)
p(x)
где Q{t) = p(x(t))q(x(t)).
154

Пусть теперь дано однородное линейное уравнение второго по-
>ядка общего вида
Ро (х) у" + Pi (х) у' + Рг {х) у = 0. A2)
Умножив обе его части на функцию
{ I -^—— dx
№ Х Ро [х)
см., например, [8, с. 434J), получим самосопряженное 'уравнение ви-
^a A0), где
Г Р'(Л) dx
Р (х)= е ЫХ)
Поэтому подстановка
t = J е " "°(х) dx
"[риводит уравнение A2) к виду, не содержащему первой производной.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
х*у" — 4ху' -f 6у = 0. A4)
Это уравнение Эйлера. Полагая х — е* и выражая производные от у по х че-
>ез производные по нозой независимой переменной t, находим:
'
V, = Vt *х-У, %*<■ ' '
Ухг ■-= (y"t2 е~г — у[е-1)е-1 = (y"t, — y\ )e~2t .
Подставив эти выражения в уравнение A4). получим■ уравнение с постоянными
ксэффициентаыи
у"— by' -f &У — 0.
Его общим решением будет у -.- Сге~1 -\- С*е . Поэтому
у = С.Х* + С2л-з
гсть общее решение уравнения A4),
• 2. Пусть дано уравнение
у" — 2-vjr -f х*у = 0. A5)
С помощью подстановки вида G) приведем его к уравнению, не содержащему
члена с первой производной:
у = ех"'2г. A6)
Вычисляя / (х) по фэрмулг \9), находим, что / (.v) = 1. Поэтому подстановка
A6) приводит урззнегше A5)" к виду г" -\- г ■-= 0. Следовательно,
у =- ex'~l'z (С. cos л- + С2 sin д;)
будет общим решепигм уравнения A5),
» 3. Пусть дано уравнение
ХУ" + — У' -У=0 (х >0). A7)
155

Приведем его к самосопряженному виду, умножив обе части на
х ~\/х
Получим
Приведем это уравнение к виду, не содержащему первой производной, с помощью
замены независимой переменной. В силу выражения A3) t = 1 ,— dx—2']/'x',
поэтому, согласно уравнениям A1), придем к уравнению у[, —у = 0. Так как
его общее решение имеет вид у = Сге* + С2е~', то общим решением данного
уравнения A7) будет
2VT —2 УТ
у=Сге + С2е
В задачах 845—860 проинтегрировать линейное уравнение Эйлера.
845. х*у" — Ъху' + Ъу = 0. 846. лУ + ху' — у = 0.
847. хгу" + ху' — у = 0. 848. хгу" — Зху' + 4у = 0.
4
849. хУ + ху' + 4у = 0. 850. *у + 5%' + 13г/ == 0.
851. jcY + J/ = 0. 852. х/ — у' = 0.
853. х*у'" — 2у' = 0. 854. хг/'" + г/" = 0.
^55. ху" — ЗхУ + бхг/' — 6г/ = 0.
856. (х -Ь 1Jг/" — 2(х+ \)у' + 2у = 0.
857. Bх + IJ у" — 4 Bл; + 1) (/' + 8г/ -= — 8л; — 4.
858. х2у" — ху' + г/ = бх In х. 859. х2г/" — .гг/' = — х + Ш-
860. л;2/ -Ь ху' + у = 2 sin (In л;).
861. Найти все уравнения вида y"-~q{x)y=0, приводящиеся к
однородным линейным уравнениям с постоянными коэффициента-
коэффициентами с помощью замены независимой переменной.
862. Та же задача для уравнений вида y"+p(x)yr+q(x)y=0.
Доказать, что найденное условие выполняется для уравнений Эйле-
Эйлера и Чебышева.
В задачах 863—870 уравнение привести к уравнению с постоян-
постоянными коэффициентами с помощью замены независимой переменной
(приводящей данное уравнение к уравнению с пбстоянным коэф-
коэффициентом при искомой функции) и проинтегрировать его.
863. х4у" + 2гУ + п2у = 0. 864. 2ху" + у' — 2у = 0.
865. xtf+~^-y' + y=Q.
866. A ■+ х2J- у + 2х A + х1) у' + у = 0.
156

867. A — x2) if — ху' + tfy = 0. 868. г/' — г/' + e2xy = 0.
869. sin xcos x • г/" — у' + m2 tg x sixi2x-y — 0.
870. x4j" + 2xy — 4г/ = 1/x.
В задачах 871—873 избавиться в уравнении от члена с первой
производной с помощью замены искомой функции и проинтегриро-
проинтегрировать полученное уравнение.
871. х-у" + ХУ' + (х2-1/4)у=0.
2
872. ху" + 2у' — ху=-ех. 873. у" -] у' — а2у— 2.
х
В задачах 874—877 проинтегрировать уравнение, комбинируя
замену независимой переменной и искомой функции так, чтобы с
помощью одной из них сделать коэффициент при искомой функции
постоянным, а с помощью другой избавиться от члена с первой про-
производной от искомой функции.
874. xky" + khf = 0. 875. х^у" — k~y = 0.
876. у" -Ь 2ху' -L- A/л;2 + 1 + х2) у = 0.
877. у" — 2ху' — A/л;2 + 1 — х2) у = 0.
В задачах 878—880 избавиться от члена с первой производной
с помощью замены независимой неременной и проинтегрировать
полученное уравнение.
878. ху" — у' — Axsy -.= 0. 879. A + л:2) у" + ху' + У = 0.
880. #" + 2 th 2х-у -\ —— у---=0.
ch2 2x
В задачах 881—885 привести уравнение к самосопряженному
виду.
881. х-у" -гху' -\- (х2 — гг)у — 0 (уравнение Бесселя).
882. A —х-)у" — ху' + п-у — 0 (уравнение Чебышева).
883. хг/" + A —х) у' -\- пу =-- 0 (уравнение Лягерра).
884. г/" — 2ху' -•- 2пг/ = 0 (уравнение Чебышева—Эрмита).
885. х (х — 1) у" + (— 7 т A + а + Р) *) 0' + офг/ - 0 (уравнение
Гаусса).
В задачах 886—891 построить однородное линейное уравнение,
имеющее заданную фундаментальную систему решений. Выяснить,
какие особенности имеют заданные решения или их вронскиан в
особых точках полученного уравнения.
886. уг - х2, у, = Xs. 887. ух - 1/х, у, =-. х.
888. у1 —- х, у2 — х In х. 889. уг — cos x/~Vx~, у2=--$тх/~]/х.
890. уг — х, у2 = У1—х'\ 891. ух — sin х/х, у2 -- cos х/х.
157

4. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Понижение порядка однородного линейного уравнения с по-
помощью известных частных решений. Если для уравнения
У{П)+ РЛх)У{П-1) + ---+Рп-г(х)У'+Рп(х)У-0 A)
известно ненулевое частное решение уи то подстановка
у = yt j zdx,
где z —■ новая неизвестная функция, приводит его к уравнению
(п—1)-го порядка, которое тоже будет линейным и однородным
(почему?).
Отсюда, в частности, следует, что для построения общего реше-
решения однородного линейного уравнения второго порядка
у" + р(х)у' + д(х)уг- о B)
достаточно знать только одно ненулевое частное решение его. При
этом второе частное решение у2 можно найти по формуле-
У г = У1
J (е-1 1У\. )dx. C)
Если известно k линейно независимых частных решений одно-
однородного уравнения A), то его порядок можно понизить на k единиц.
Если известно два частных решения у{ и г/2 неоднородного ли-
линейного уравнения, то их разность у<2—у{ будет частным решением
соответствующего однородного уравнения (почему?), вследствие
чего порядок последнего можно понизить на единицу.
Нахождение частного решения однородного уравнения в форме
функции заданного вида. Ограничимся случаем уравнения второго
порядка. Если это уравнение имеет вид
Ро (х) У" + Pi (х) у' + р2 (.*) у --= 0, D)
где Рп(х), Р\(х) и рг(х) — полиномы, то иногда его частное решение
можно найти в виде полинома некоторой степени п:
у = хп '+ аххп~^ + • • • Н- я„_1* -j- an, E)
причем коэффициент при хп мы всегда можем считать равным 1
(почему?), а остальные коэффициенты — неопределенными.
Подставив полином E) в уравнение D) и приравняв нулю ко-
коэффициент при старшей степени х, получим уравнение для опреде-
определения п. Затем запишем полином найденной степени с неопреде-
неопределенными коэффициентами и определим последние подстановкой
этого полинома в данное уравнение.
Иногда удается найти частное решение уравнения D) в виде
некоторой дробно-рациональной функции или функции другого за-
заданного вида.
Понижение порядка линейного уравнения, не содержащего
158

искомой функции, и линейного уравнения, не содержащего искомой
функции и последовательных первых производных. Уравнение вида
допускает понижение порядка на k единиц с помощью подстановки
Ук =-- г,
где z — новая неизвестная функция от х. В частности, уравнение
приводится, как это уже указывалось ранее (гл. III, § 3), к линей-
линейному уравнению первого порядка.
Понижение порядка однородного линейного уравнения как
уравнения, однородного относительно искомой функции и ее про-
производных. Подстановка
У' = уг F)
приводит уравнение A) к уравнению (п—1)-го порядка (гл. III,
§ 5), но это уравнение уже не будет линейным. В частности, одно-
однородное линейное уравнение B) второго порядка подстановкой F)
приводится к уравнению Рпккати:
z' = — z2 —>(x)z--<7(x).
Если гг — частное решение этого уравнения, то
. Уг = V G>
будет частным решением уравнения B).
Линейное уравнение второго порядка в точных производных-
Уравнение
у" + р(х)у' + p'(x)y = {
является уравнением в точных производных (гл. III, §7, пример 4).
Оно имеет первый интеграл вида
t/ +p(x)y
и, следовательно, интегрируется в квадратурах.
Примеры, 1. Найти общее решение уравнения
х2 (In х — 1) у" — ху' + у = 0, (8)
вели известно, что оно имеет частное решение уг = .*'.
Найдем у2 по формуле C):
J xOnx- I)
= x\ \e-> *(mx~ " I хг dx = — In*.

.е уравнения (8) будет
^ ' у ~ Ctx + С2 In х.
2. Для уравнения
{*? _ 3*2 _j_ 1) у" _ (д;3 _ 6х _j_ 1) у'
найти частное решение в виде полинома.
Подставляем полином E) в уравнение (9)!
(*з — 3*2+1) (л (га — 1) хп~2 +...)_ (хч — бд: + 1) X
X (я*" + ■••) + (З*2 — 6х) (л:" +...)= 0.
Приравнивая нулю коэффициент при xn+t, имеем —п + 3 = 0, откуда я
= 3. Следовательно, если частное решение в виде полинома существует, то после
«ий может быть только полиномом третьей степени. Полагая у = х3 + atx2 + агх
+ а3 и подставляя этот полином в уравнение (9), получаем
2агх + а2) +
+ C*2 — 6ж) (х» + а,?- + а2лг + as) = 0.
Приравниваем нулю коэффициенты при х*, xs, x%, x н свободный член:
х*: 6—2^ + 3^ — 6 = 0,
х*: — 18+2Я! —я2+ie + 3aj—6я1 = 0,
—3+3Og — 6flg = 0,
6 + 6а2 — 2ах — 6% = О,
2ях — аг — 0.
A0)
Так как система A0) совместна, причем at = а% = 0, аз= 1, то искомое
решение существует и имеет вид
^ = *»+1.
3. Найти частное решение уравнения
1)у=0, A1)
приведя его предварительно к уравнению Риккати. \
Выполняя подстановку F), получаем г' ——г2 — хг+ 2д^ + 1. Нетрудно, до-
догадаться, что это уравнение имеет частное решение г± = х. Следовательно, в склу
формулы G), уравнение A1) имеет частное решение #i=e*2/2,
В задачах 892—896 найти общее решение уравнения, пользуясь
указанным частным решением.
892. у" + —у' + у = 0; у, = Si" * .
Л' X
893. (sin х — cos x) у" — 2 sinx-y' + (cos л: + sin х) у = 0; у1-— ех .
894. (cos * + sin х) у" — 2cosх-у' + (cosx — sinх) у =0; ух — cosx.
895. A - х-)у"- ху' + 4~ </ = 0; & - УГ+л .
4
896. #" + 2ху' — 2у = 0 (угадать частное решение).
В задачах 897—901 найти частное решение в виде полинома и
проинтегрировать уравнение.
897. (х - 1) #" — {х + 1)г/' + 2</ - 0.
160

898. (л-2 — Зх)у" + (Q-x-)y' + C* — 6) г/ = 0.
899. {х-— 1) у" •■= 6у. 900. x2t/" - 4ху' + 2у = 0.
901. ^B In* —
902. Уравнение A + x2) у" + 2xy' — 6л:2 — 2 — 0 имеет частное ре-
решение yt — х1. Найти общее решение этого уравнения и решение,
удовлетворяющее начальным условиям: у = 0, t/' = 0 при л; — —■ 1.
903. Найти общее решение уравнения у" + A — х)у' + у— 1,
если известны два частных решения его: ух == 1, уг — х.
904. Найти общее решение уравнения (х2 — 2х -|- 2) у'" — х2у" -f
+ 2ху' — 2у — 0, если известно, что оно имеет два линейно незави-
независимых частных решения в виде полиномов. (Указание. Пусть ух и
г/2 — найденные линейно независимые частные решения в виде поли-
полиномов. Делаем в данном уравнении подстановку у — г/х Szdx. Полу-
Полученное однородное линейное уравнение второго порядка будет иметь
частное решение г1 = (t/2/#i)'-)
905. Уравнение Лежандра A — хг)у" — 2ху' + п(п + 1) у = 0
при целом /г > 0 имеет частное решение в виде полинома п-н сте-
1 dn ((х2 ■ 1)")
пени Рп (х) — ^ '—!— (полином Лежандра). Найти
W 2nn\ dxn K Н>
общее решение уравнения Лежандра прия--=1 и « — 2.
906. Уравнение Чебышева A —х2) у" — ху' + пгу — 0 при целом
п > 0 имеет частное решение в виде полинома п-и степени Тп =
=■ cos n arccos л: (полином Чпбышева). Найти общее решение уравне-
уравнения Чебышева при п 1.
907. Уравнение Лягерра ху" -Ь A — ж") г/' + пу — 0 при целом
п > 0 имеет частное решение в виде полинома п-й степени Ln(x) —
— ех (х11 ё~х )</г) (полином Лягерра). Найти общее решение уравнения
Лягерра при п — 1.
908. Уравнение Чебышева — Эрмита у" — 2ху' + 2пу = 0 при
целом и > 0 имеет частное решение в виде полинома Нп (х) —
--= ех*(e~~xl)(п) (полином Чебышева—Эрмита, Н0(х)-~ 1). Найти общее
решение уравнения Чебышева—Эрмита при п — 1.
j[j 909. Найти общее решение уравнения л: (л:—■ If у" + х (.v — \)у'—■
—■ у — 0, имеющего частное решение в виде уг — ах/(л:— 1).
910. Найти общее решение уравнения х (х— \)у" -f- A + х)у' —
— у —- 0, имеющего частное решение в виде у1 -- а/(х —■ 1).
911. Найти общее решение однородного уравнения Стокса х~ (х—
— \)zу" + §у •■--; 0, где р-— постоянная, если известно, что оно имеет
частное решение вида у — х (х - 1)" . причем т и п — некоторые
постоянные числа.
В задачах 912 — 917 проинтегрировать линейное уравнение, до-
допускающее понижение порядка.
912. //' -!- — у' -•= 0. 913. ху'" + у" - Зх\
х
914. х2у'" -I- ху" — у' - Зх2. 915. х In х-у" + у' - 0.
II. Зак. 1213 " 161

916. xy" — (I -'r x) у' — (л:3 — хг) у = 0.
917. xy" + y' — (\ -•rx)y = 0.
918. Найти вид однородного линейного уравнения второго поряд-
порядка у" -f- p (х) у' -|- q (х) у =-- 0, приводящегося к специальному урав-
уравнению Риккатн z' + ^22 -- Вхт .
В задачах 919—925 проинтегрировать линейное уравнение как
уравнение в точных производных или как уравнение, для которого
легко находится интегрирующий множитель.
919. у' + р(х)у'+ р'(х)у- 0.
920. у" + 2tgx-y' -| — у - 0.
COS' X
921. у" ——у' + ~ у = 2. 922. у" -}- Чху' + 2у = 2х.
X X2
923. x2t/" — xy' + г/ = х2. 924. у" — 2ху' — 2у ■--■ 0.
925. sin2х ■ у" -г sin 2х- у' — 2у ■-? 0.
5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ
И ОБОБЩЕННЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Нахождение решений однородного линейного уравнения второго
порядка в виде степенных рядов. Пусть дано уравнение
у" + р(х)у' + q(x)y---0 A)
и поставлены начальные условия:
У ^- У о, У' ^ У о »ри х =-■ х0. B)
Если коэффициенты уравнения A) р (х) и q (x) разложимы в сте-
степенные ряды по степеням разности х — х0:
р (*) = 2Pk {х -Xo)h'q {х) ~~ 2Яь {х ~Xo)h' C)
h=0 h=0
сходящиеся в области \х—х01 < р, то, согласно теореме Коши (о
существовании голоморфного решения), уравнение A) имеет единст-
единственное решение у — у (х), удовлетворяющее начальным условиям B) и
разложимое в ряд по степеням разности х — х0:
У = У о Ч- У о (х — х0) -i- >] с" (х — хоТ> D)
который сходится по крайней мере в той же области \х — хо\ < р,
что и ряды C).
При этом в начальных условиях B) числа у0 и у'о можно брать
любы ми.
162

Если заданы числа у0 и у'о, коэффициенты сй ряда D) определя-
определяются единственным образом, например подстановкой ряда D) в урав-
уравнение A) и приравниванием нулю коэффициентов при различных сте-
степенях х — х0 в левой части полученного равенства (метод неопреде-
неопределенных коэффициентов).
На деле чаще всего р(х) и q(x) являются либо полиномами,
либо отношениями полиномов. В первом случае ряд D) сходится
при всех значениях х. Во втором случае радиус сходимости ряда
D) не меньше расстояния от точки х=х0 до ближайшей из точек,
в которых знаменатели коэффициентов уравнения A), рассматри-
рассматриваемые как функции комплексной переменной х, обраща-
обращаются в нуль.
Для построения общего решения уравнения A) достаточно найти
два линейно независимых частных решения уг и уг. Обычно строят
фундаментальную систему решений уу и уг, нормированную в точке
х — х0, так что: yl= \, у[ — 0 при х — х0; у2 — 0, у'2-—Л при х-—х0.
Если ряд D), представляющий решение уравнения A), удается
просуммировать, т.е. выразить его сумму через элементарные
функции, то второе частное решение можно найти по формуле C),
§ 4.
Изложенный выше способ интегрирования однородных линей-
линейных уравнений второго порядка переносится без существенных из-
изменений на однородное линейное уравнение любого порядка
//"' + Л (*)У{п~1 Ч- ■ • • -I- Рп-1 (х) У' -!- Рп (х)у - 0.
При этом решение, удовлетворяющее начальным условиям:
У ^ Уо, У' = Уо, ■ ■ ■ , У{"~1) = Уо""" при х-- х0
(в виде ряда по степеням разности х — х0), записывается так:
У = Уо+ Уо (х — х0) + -Щ- (х — xof- + . .. -i-
f  ^x~ x0) h (\x -xo\ < р).
+ f_ ( о) ! ^
Решение неоднородного линейного уравнения любого порядка,
все коэффициенты и правая часть которого разлагаются в ряды по
степеням х — х0, также можно искать в виде ряда по степеням х—х0.
Нахождение решений однородного линейного уравнения второго
порядка в виде обобщенных степенных рядов. Ряд вида
(х - хо)р 2 ck (х ~ х0) h (с0 Ф 0), - E)
/1=0
163

где р — заданное число, а степенной ряд ^ ch (х — xo)h сходите
в некоторой области \х — хо\ <JR, называется обобщенным степенныл
рядом. Если р — целое неотрицательное число, то обобщенный сте-
степенной ряд E) обращается в обычный степенной ряд.
Пусть х=х0 — особая точка уравнения A), т.е. особая точка
хотя бы одного из коэффициентов р(х) и q(x), так что р(х) и
q(x) непредставимы (одновременно) ни в какой окрестности точки
х=х0 степенными рядами вида C). Тогда теорема Коши неприме-
неприменима. Но во многих случаях удается найти решение уравнения A)
в виде обобщенного степенного ряда по степеням разности х—Хо,
который, как отмечено выше, может обратиться в обычный степен-
степенной ряд, а именно, имеет место следующая теорема.
Теорема. Если коэффициенты уравнения A) представимы в
окрестности особой точки х=х0 в виде:
„() , q{x) -—% F;
х — х0 (х — х0)
где pl + q\+ я\ф§ и ряды в числителях сходятся в некоторой
области \х—xo\<.R, то уравнение (J) имеет хотя бы одно решение
в виде обобщенного степенного ряда
00
(х - xo)h (с0 Ф 0), G;
причем входящий в это решение степенной ряд сходится по край-
крайней мере в той же области \х—хо\ <R, что и ряды в формулах F).
Разыскивая решение уравнения A) в окрестности особой точки
в виде обобщенного степенного ряда G), мы можем получить на
деле решение в виде обычного степенного ряда по степеням разно-
разности х—х0. Это будет в том случае, когда, как уже отмечалось выше,
р окажется целым неотрицательным числом.
Для определения показателя р и коэффициентов сь, нужно под-
подставить ряд G) в уравнение A), сократить на (л;—хо)р и прирав-
приравнять нулю коэффициенты при различных степенях х—х0. При этом
число р находится из так называемого определяющего уравнения в
особой точке х=х0:
р(р— 1) + рор + <7о ■-- 0. (8;
Коэффициенты р0 и q0 этого уравнения можно найти по формулам
ро=-- lirri (х — х0) р (х), <7о = Vim (х — xQJ q (х). (9
S-. В случае, когда корни рх и р2 определяющего уравнения (8
различны, уравнение A) всегда имеет решение вида G), где f
164

есть тот из корней рх и р2, который имеет большую вещественную
часть. Если р1 — этот корень, то решение имеет вид
* '
у, =-_ (Х - X0f> J С* ' (* - X0)h (Г*1' ф 0).
Если разность корней pi—р2 определяющего уравнения не яв-
является целым положительным числом, то сущест-
существует решение в виде обобщенного степенного ряда, соответствую-
соответствующее и второму корню р2:
y2 - (X — xQ)
h=0
Если же pi—p2 есть целое положительное число, то
второе частное решение или снова имеет вид A0), или же пред-
представляет собой сумму обобщенного степенного ряда и произведения
некоторого обобщенного степенного ряда на \п{х—Xq):
оо
у, _ (у V\P2 V J2) (у у \k 1 ., 1, ]г»(у у \
У1 — У*» '^о^ 7л ^h У ло) ~г Y~li?l4il Ул ло)у
к=0
Наконец, если корни определяющего уравнения равны меж-
между собой (р, = р2), то существует только одно частное реше-
решение в виде обобщенного степенного ряда. Второе же решение -обя-
-обязательно содержит \п(х—х0). Его следует искать в виде
оо
{к = (х — xo)Pl 2 Cft (* ~~ x<>)h + V-i«/i I" (x — x0), A1)
h=0
Примеры. 1. Для уравнения
A — х*) у" —ху' — у ----- 0 A2)
найти фундаментальную систему решений t/\, уз, нормированную в точке л-=0, в
виде рядов по степеням х и построить общее решение.
Прежде всего убедимся, что решения у\ и у2 существуют. Если переписать
уравнение A2) в виде A), получим
х 1
и" — у' — ■ у =0.
у \—х*У 1 — х"- У
Коэффициенты этого уравнения разлагаются в ряды по степеням х, сходящиеся
в области |х|<1. Поэтому у\ и у2 существуют, причем ряды, представляющие их,
сходятся по крайней мере при |х|<1.
165

Найдем yi'.
(-D
(-*)
A - **)
Ул. = 1 + ^ Ckxk
*=2
h=2
*-2— "У k(k — 1) CftX-Л = 0
л;»: —l+2-lc2^ 0, c2 =
x: 3-2c3 =-- 0, c-j^O
h— kch + (k + 2) (fe -f
2!
- fe (ft - 1) c* = 0,
c5 = c7 = . . . = c2m+1 = . . . -- 0,
3-4 '
C-im ='
Таким образом,
+ 22)
+ 23 = A+22) (i +42)
4! ' °e 6!
1 + 42) ■•■ A + Bm — 2J)
Bm)!
BW)!
Частное решение у^ ищем в виде
Vi = ■
(П)
W$ Подставив решение A3) в уравнение A2), так же, как и выше, найдем все
коэффициенты с^. В результате получим
_ JL 2 A + 32)
у* = *+ 3! Х3+ V5 ^
5!
2A+32) ... л +Bт— 1J)
166

Общим решением уравнения A2) будет
У^Сгу!+ С2у.2.
2^-Доказать, что уравнение Гаусса
х(х-1) у" -Ь (- V -г A -I- « -Ь Р) х) у'- -;- а$у = О
в случае, когда у не равно ни целому числу, ни нулю, имеет частное решение в
виде степенного ряда по степеням х, и найти это решение.
Составляем определяющее уравнение в особой точке х = 0. Пользуясь форму-
формулами (9), находим:
у+ (lf« + P)* ,. а-Рх
р0 = lim '- - ; = v. Qo = lim — = 0.
* л»о л; — 1 дг-s-o х — 1
Поэтому определяющим уравнением в точке х = 0 будет
Р (Р — 1) + VP = °-
Оно имеет корни Pj = 0, р2 = 1 — V- Корню pi = 0 соответствует частное ре-
решение в виде ряда по степеням х со свободным членом, отличным от нуля:
у =
к=0
Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, находим, полагая с0 =- 1,
все коэффициенты Ck. Подставляя их в ряд A4), получаем частное решение урав-
уравнения Гаусса в виде
g(g-i-l) ••• (a+(fe-l))P(P + D"-(P + (fe-l)) . fc
feIV(V+l)(V +(*!)) ^
Ряд справа называется гипергеометрическим рядом. Он сходится при \х\ < 1.
3. Доказать, что уравнение Бесселя
хгу" -'- ху' -{- {х- — п2) у — О,
где п > О, имеет частное решение вида
cftxft (с0 ф 0), A5)
ft=o
причем ряд справа сходится при всех значениях х.
Определяющим уравнением в особой точке х = 0 будет
р (р — 1) -г р — пз = 0 или р2 — пг = 0.
Оно имеет корни р1 = п, р2 = —п. Корню pi = n отвечает решение вида A5).
4. Доказать, что уравнение Бесселя (п =0)
*</" + У' + ^ = 0 A6)
имеет решение в виде степенного ряда по степеням х, и найти это решение.
Определяющее уравнение в особой точке д:=0
р (р — 1) -f р = 0 или р2 = 0
167

имеет кратный корень р1 = р2=0. Поэтому уравнение A6) имеет только одно ре-
решение в виде обобщенного степенного ряда, причем последний обращается в
обычный степенной ряд
У =
Пользуясь методом неопределенных коэффициентов и полагая Со = 1, нахо-
находим, что все коэффициенты при нечетных степенях х равны нулю, а коэффициен-
коэффициенты при четных степенях х выражаются формулой
так что уравнение A6) имеет решение вида
)
Функция /о (*) называется функцией Бесселя первого рода нулевого порядка .
Второе частное решение должно содержать In x, и его следует, согласно фор-
формуле A1), искать в виде ' .
у2 ■- 7-1 Jo (x) In х + с„ -f Cj* -г с2х2 -)- . .. . ,
причем fo можно считать равным нулю, ибо этого всегда можно добиться, взяв
вместо уг соответствующую линейную комбинацию у2 и Jo(x) (почему?).
Ищем у? в виде
Уг =■• 7-1 ^о (х) In х -L с^ + с2х2 -f ...
Используя метод неопределенных коэффициентов, полагая при этом 7-1 = *>
находим
х"- х* / 1
у, == Ко (ж) = Л (х) 1п х + —£- - 224J ^l -f- —
X* / 11
22-42-62 \ ' 2 3
Функция Ко (х) называется функцией Бгсселя второго рода нулевого порядка.
Общее решение уравнения A6) можно записать в виде
у -; Сх Jo (x) -f C2 Ко (х) ■
В задачах 926—929 найти фундаментальную систему решений
уравнения в виде рядов по степеням х, нормированную в точке
х=0, и построить общее решение.
926. у" — ху = 0. 927. у" -\- xhj = 0.
928. у" -; у =* 0. 929. у" -|- ху'— Bхг + 1)«/-0.
1 — л;
В задачах 930—934 найти в виде ряда по степеням х одно част-
частное решение уравнения, удовлетворяющее поставленным началь-
начальным условиям, просуммировать этот ряд, найти второе частное ре-
решение но формуле C) § 4 и построить общее решение.
168

930. у" — 2ху' \- 2у -- 0; уг -■■ 0, у[ - 2 при х ■•- 0.
931. A -- х1) у" — 2ху' ; 2у ■-■ 0; у1 --- 0, у[ = 1 при х -- 0. ■
932. A — л:)у" -'- ху' — у — О; yl^ I, #[ =^ 1 при х = 0.
933. A — лг) у" — ху' + у — 0; t/t — 0, t/J -= 1 при х = 0.
934. A —х-)у"-- ху' --=. 0; г/х ^ 1, #,' = 0 при л; --■ 0.
В задачах 935—942 найти два линейно независимых частных
решения уравнения в окрестности особой точки х=0 в виде обоб-
, щенных степенных рядов или рядов, содержащих дополнительно
In х.
935. у" •)■ — у' -f у -- 0. 936. лгу" -г ■*#' -1- (*2 -1 у -- 0.
х \ 4 )
937. х (х — If у" -|- л; (л; — 1) t/' — у = 0.
938. xhf — (За: + л;2) у' -V 4t/ --- 0.
939. х (х — 1) г/" + (— 1 ~ Зх) у' + У ~= 0.
940. а: (х — 1) г/' + A + х) у' — у ---- 0.
941. л (л; — 1) у" + (— 2 + 2х) у' — 2t/ -- 0.
942. х (х — 1) у" + (— 2 -| - Зл;) t/' + у = 0.
943. Найти частное решение t/x уравнения ху" + A •■(- x)t/' + г/=0,
удовлетворяющее начальным условиям: г/х —>-1, у[-+—1 при х-+§,
и построить общее решение.
944. Доказать, что уравнение Лежандра A—хг)у" — 2ху' +
+ п{п -г 1)у -- 0 приводится подстановкой х- 1-—2/ к уравнению
Гаусса. Показать, что если п-—целое положительное число, то одно
из частных решений уравнения Лежандра будет полиномом /г-й
степени.
945. Найти ебщее решение уравнения Лежапдра при целом п>0.
946. Доказать, что уравнение Чебышева A ■—хг)у" - xy' + tfy ■ 0
приводится подстановкой х~ 1-—2t к уравнению Гаусса. Показать,
что если п - целее положительное число, то одно из частных реше-
решений уравнения Чебышева будет полиномом л-й степени.
947. Привести уравнение х-у" -|- ху' + (k^x* — л2) у --- 0 (fe ^= 0)
к уравнению Бесселя с псл:сщью соответствующей ^мены незави-
независимой переменной.
948. Привести уравнение у"-- —у' — ( 1 — )у^0к уравне-
х \ х- )
нию Бесселя с помощью соответствующей однородной линейной
замены искомой функции.
949. Привести уравнение Бесселя х-у" -\- ху' -]■■ {х~ — tf) у — 0
к виду z" -'г (Bл -\- \)jx)z' + 2 -■■ 0 с помощью соответствующей одно-
однородной линейной замены искомой функции.
950. Найти общее решение уравнения ху" -1- у' + у ~ 0.
951. Найти частное решение у1 уравнения (л;2 — 2х-]-2)у'"-
'69

— x'-y" -{- 2xy' — 2y — 0, удовлетворяющее начальным условиям:
t/i 1, y\ ■--■ 1, f/i'=l при х — 0.
952. Доказать, что уравнение у" ~\- р (х) у' + q (х) у — 0, в котором
коэффициенты р (х) н <7 (*) представимы следующими сходящимися
рядами по степени 1/х:
оо оо ,
V .El. v JLl
имеет хотя бы одно частное решение вида
h=0 A
где р — некоторое число. (Указание. Сделать замену незави-
независимой переменной x=l/t, построить решение полученного уравне-
уравнения в окрестности особой точки / = 0 в виде обобщенного степенного
ряда и вернуться в найденном решении к переменной х.)
953. Доказать, что если в уравнении предыдущей задачи, раз-
разложения р(х) и q(x) записываются в виде:
Ри у Jh_
то оно имеет фундаментальную систему решений, представимых
сходящимися рядами по степеням 1/х.
В задачах 954—957 изучается асимптотическое поведение фун-
фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения
второго порядка при х-»-+оо.
954. Доказать, что уравнение х4г/" -f 2х3г/ + Щ ~- 0 (а> :-~ const)
имеет фундаментальную систему решений, обладающую свойством*
t/i =- 1 Jr О A/х), уг = 1 -1- О A/х) при со<0;
г/х -- 1 + О A/х2), у2 — О A/х) при со > 0;
Уг - '- 1» Уъ~ 1/^ ПРИ со — 0.
955. Для уравнения у"t-\- —— у — 0 найти фундаментальную
систему решений уь у.г, обладающую свойством у1 — 1 -|-ОA/х2),
г/2 т х !- О A/х). (Указание. Искать г/х в виде ух = 1 +
—ь~ (почему существует такое решение?), просуммировать по-
полученный ряд и найти у2 по известной формуле (см. формулу C) на
с. 158). Можно также найти искомую фундаментальную систему
решений, приведя данное уравнение к уравнению Риккати. Послед-
* Запись / (х) — О (ха ) означает, что отношение f (х)/ха остается ограничен-
ограниченным при я - + °° •
170

нее будет специальным уравнением Риккати (см. задачу 918),
удовлетворяющим известному условию интегрируемости в элемен-
элементарных функциях.)
2
956. Для уравнения у"-\- у — О (х > 1) найти
х-{х— 1)
фундаментальную систему решений у]у у2, обладающую свойством*
Ух =-■ 1 + О (\/х), yt = x + O (Inx).
957. Уравнение
y" + q(x)y~O (x>0) A7)
в случае, когда q (х) = 0, имеет фундаментальную систему решений:
Hi = 1» У2. ~ X. Если q (х) стремится к нулю при х-*- -г оо достаточно
быстро, то уравнение A7) имеет фундаментальную систему решений
Ui — У\ (х)> Уз ~ Уг (*)> которая при больших значениях х мало отли-
отличается от г/, --- 1, у2 —- х. Справедлива следующая теорема Шпета:
если q{x)-~ O(\jxh+2), где k>0 @<лг< + оо), то уравнение A7)
имеет фундаментальную систему решений уъ у2, обладающую
свойством ух— 1 -О(\1хк), уг — х^О(\1хкх) при k^=\ и уг—х =
— О (In x) при k --■■ 1.
Доказать теорему Шпета, если k > 0, целое и
(Указание. Показать, что уравнение A7) имеет частное решение
ух в виде
V —
Записать у2 с помощью известной формулы для второго частного
решения и показать, что у2 обладает указанным свойством.)
6. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР РЕШЕНИЙ
ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Колеблющиеся и неколеблющиеся решения. Достаточный при-
признак неколебательности решений. Рассмотрим уравнение
y" + p{x)y' + q(x)y---=0. A)
Предположим, что его коэффициенты р(х) и q(x) определены и
непрерывны в некотором интервале (а, Ь). Тогда всякое решение
уравнения A) определено и дважды непрерывно дифференцируемо
во всем интервале (а, Ь).
В дальнейшем будем рассматривать только ненулевые ре-
решения, т. е. решения у=у(х)Ф0 (а<х<Ь).
* Запись }(х)—0 (\гух) означает, что отношение f(x)j\r\x остается ограни-
ограниченным при х -* -j- оо.
171

График решения может пересекать ось Ох (такие решения су-*
ществуют), но касаться ее он не может (почему?). Поэтому, обра-
обращаясь в нуль, решение обязательно меняет знак. Так как нули
всякого (ненулевого) решения уравнения A), т. е. точки, в которых
это решение обращается в пуль (при сделанном предположении
относительно непрерывности коэффициентов), изолированы
(почему?), то число нулей решения во всяком замкнутом интервале
[а, р]с(а, Ь) конечно.
Число нулей решения в данном интервале определяет колеба-
колебательный характер этого решения. При этом если решение
обращается в нуль в интервале (а, Ь) не менее двух раз, то оно на-
называется колеблющимся в этом интервале, в противном случае —
неколеблющимся.
При изучении колебательного характера решений однородного
линейного уравнения второго порядка (с непрерывными коэффици-
коэффициентами) достаточно ограничиться рассмотрением уравнения вида
У* + Я(х)у~0, B)
ибо полное уравнение A) подстановкой ' .
-'l-J Plx)dx
у --е z
приводится к уравнению
г" -|- Q{x)z = 0, C)
где Q(x) — —/?'(х)/2 —/?2 (х)/4 -f q{x) (см. гл. IV, §3), причем реше-
решения уравнений A) и C) имеют один и тот же колебательный
характер (почему?).
Если в уравнении B) коэффициент q(x) не положителен, т. е.
<7(х)<0 (а<х<Ь) D)
во всем интервале непрерывности (а, Ь), то все (ненулевые) реше-
решения уравнения B) будут неколеблющимися в этом интер-
интервале.
Сравнение колебательного характера решений. Оценка расстоя-
расстояния между последовательными нулями решений. Решения одного и
того же однородного линейного уравнения второго порядка (с не-
непрерывными коэффициентами) имеют одинаковый колебательный
характер, а именно: нули двух линейно независимых решений одно-
одного и того же однородного линейного уравнения второго порядка
взаимно разделяют друг друга, т. е. между двумя последовательны-
последовательными нулями одного из этих решений лежит ровно один нуль дру-
другого. Например, таким свойством обладают решения tj\ = smx и
г/2=cos х уравнения у" + г/=О.
Пусть даны два уравнения:
У" -г <7i (*) У - 0, z" + цг (х) z = 0, E)
172

коэффициенты которых непрерывны в (а,Ь). Если коэффициент
второго уравнения превосходит коэффициент первого:
Qt{x)>gi(x) (a<x<b), F)
то решения второго уравнения колеблются сильнее, чем реше-
решения первого, а именно: между двумя последовательными нулями
любого решения у=у(х) первого уравнения находится по крайней
мере один нуль любого решения z=z(x) второго уравнения, если
только в интервале между этими нулями имеется хотя бы одна
точка, в которой q2(x)>Q\(x).
Если q(x) непрерывна и положительна на отрезке [а, Ь], то
для расстояния р между двумя последовательными нулями реше-
решений уравнения y"-j-q(x)y—0 имеет место оценка
р<я/Кт\ G)
где М, m — соответственно наибольшее и наименьшее значения
функции q(х) на отрезке [а, Ь].
Примеры. I. Найти условие, при котором все (ненулевые) решения однородного
линейного уравнения второго порядка с постоянными вещественными коэффициен-
коэффициентами
У"+РУ' + W = 0 (8)
будут неколеблющимися в интервале (— оо, -j- oo).
Приводим уравнение (8) к виду, не содержащему первой производной:
= 0, Q=9-p2/4. (9)
Если выполнено условие Q <Г 0, т. е.
<7<Р2/4, A0)
то все решения уравнения (9), а следовательно, и уравнения (8), будут неколеб-
неколеблющимися в (—оо, +оо). Условие A0) является и необходимым (почему?).
2. Исследовать колебательный характер решений уравнения Эйлера
х*у" -f- а? у = 0 (аФО) A1)
в интервале @, +°°)-
Заметим, что здесь q(x)>0, поэтому указанный выше признак некрлебатель-
иости неприменим.
Приводя уравнение A1) к уравнению с постоянными коэффициентами под-
подстановкой х=е', получаем
y"t*-y't + *y = O, A2)
откуда следует, что при a?eg 1/4 (см. пример 1) все решения уравнения A2) не-
неколеблющиеся. Вместе с ними будут неколеблющимися и все решения урав-
уравнения A1).
Этот пример показывает, что условие D) является лишь достаточным усло-
условием неколебательности решений.
3. Доказать, что все решения уравнения Эйри
у"-ху=0 A3)
неколеблющиеся в интервале @, +°°).
Действительно, здесь q(x)=—х<0, откуда и следует неколебательность ре-
решения уравнения Эйри. Таким образом, любое решение уравнения Эйри может
пересекать положительную полуось оси Ох только один раз.
173

4. Исследовать колебательный характер решений уравнения Бесселя нулевого
порядка
ху" + У' + ху = 0 A4)
в интервале @, +°°).
Приводим уравнение A4) к виду C):
Так как Q (х) =- 1 + > 1, то расстояние между последовательными нулями
решений будет меньше, чем л, ибо расстояние между последовательными нулями
решений уравнения и"-\-и~0 равно л. Это следует также из формулы G).
5. Эинго pi;:r;ime М2жт.у последовательными нулями решений уравнения
у"-'г sin х-у = О
на отрезке [0, я/2].
Здесь q(x)^Ll @<д;^л/2). Поэтому расстояние между последовательными
нулями решений больше, чем я. В этом можно также убедиться, применив формулу
G) к отрезку [б, л/2] (б > 0).
958. Доказать, что все (ненулевые) решения уравнения у"—х2у -О
являются неколеблющимися в любом интервале (а, Ь). •
959. Оценить расстояние между последовательными нулями реше-
решений уравнения у" + sin2x-y — 0 (я/4<х<Зя/4).
960. Доказать, что расстояние между последовательными нулями
любого решения уравнения Бесселя х-у" + ху' ~ (х2 — пг)у ■- 0
(п =^±1/2) стремится к я, когда х неограниченно возрастает. Чему
равно это расстояние при п — ± 1/2?
961. Изучить колебательный характер решений уравнения Эйри
A3) в интервале (—оо, 0).
962. Доказать, что последовательные нули любого решения урав-
уравнения х3у" + ху' + (х3 — 1/4) у — 0 @ < х < -j • °о) при неограничен-
неограниченном возрастании х будут неограниченно сближаться.
963. Уравнения у" + У — 0 и г" + 4г — 0 имеют решения
у — sin х и г = sin 2л: с общим нулем х0 = 0. Следующий за ним
нуль (х* = л/2) решения г =^ sin2.t второго уравнения лежит левее,
чем следующий нуль (х} — л) решения у — sin x первого уравнения.
Доказать, что если в уравнениях E) при выполнении условия F)
решения у — у(х) и г - z (x) имеют общий нуль ,y0, to следующий
за ним нуль х* решения z--z(x) лежит левее нуля хх решения
у — у(х), следующего за х0, при условии, что в интервале (л:0, х,)
существует хотя бы одна точка, в которой qz(x)> <?i (x).
964. Доказать, что каждое решение уравнения
y" + qWy--0 @<x<-!-oo), A5)
в котором q(x) непрерывна, q(x)>0 и нижняя граница q(x) поло-
положительна, имеет бесчисленное множество нулей. Может ли реше-
решение уравнения A5) иметь бесчисленное множество нулей, если
q(x)~>0 и q(x)-*-0 при х-М-оо? Рассмотреть вопрос о числе нулей
решений уравнения Эйлера
•174

!/4--r-0 (*>0) A6)
I
В/интервале A, + oo).
/ 965. Доказать для уравнения A5), в котором q(x) непрерывна,
q (х) > 0 и q (х) -> 0 при х -> -f- oo, следующую теорему К н е-
зера: если 0<q(х)^ 1 /Dл:2) (х>ао^а), то решение уравнения
A5) не может иметь бесконечного числа нулей; если же q (x) >
>A + а)/Dлг) (а>0, х>йо^а), то решение уравнения A5)
имеет бесчисленное множество нулей. (Указание. Сравнить урав-
уравнение A5) с уравнением Эйлера A6).)
966. (Н. В. Адамов.) Дано уравнение
0, A7)
где р (х) — непрерывная периодическая функция с периодом со; уг(х)—
его решение, определенное условиями: yi{x0) = Уо* У\ (хо) = у'о ■
Показать, что решение Уг(х), удовлетворяющее условиям: г/2(хо +
-!- ты) — г/0, у'2 (х0 -}- тсо) — y'Q, где т —■ целое число, удовлетворяет
и тождеству г/2 (х -4- tnta) — yt (x).
967. (Н. В. Адамов.) Доказать, что если одно решение урав-
уравнения A7) имеет два нуля, то все решения имеют бесконечное мно-
множество нулей.
7. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Какой общий вид имеет линейное уравнение п-ro порядка?
При каком условии задача Коши для линейного уравнения имеет
единственное решение? Какова при этом условии степень произвола
выбора начальных данных решений линейного уравнения? В каком
интервале существуют решения? Может ли график пулевого реше-
решения однородного линейного уравнения второго порядка касаться
оси Ох? Может ли он пересекать ось Ох? Почему линейное уравне-
уравнение не имеет особых решений?
2. Какие решения однородного линейного уравнения называются
линейно независимыми? Что такое фундаментальная система ре-
решении? Может ли нулевое решение входить в состав фундамен-
фундаментальной системы решений? Какое условие является необходимым и
достаточным для того, чтобы данная система решений была фунда-
фундаментальной? Сколько фундаментальных систем решений имеет
заданное однородное линейное уравнение? Какая фундаментальная
система решений называется нормированной в заданной точке?
3. Как построить общее решение однородного линейного уравне-
уравнения, если известна фундаментальная система решений? В какой
области определено общее решение? Как решить задачу Коши с
помощью формулы общего решения? Как записать общее решение
175

в форме Коши, если известна фундаментальная система решений,
нормированная в заданной точке? !
4. Как найти общее решение неоднородного линейного уравне-
уравнения, если известно одно частное решение его и общее решение соот-
соответствующего однородного уравнения?
5. В чем заключается сущность метода Лагранжа нахождения
общего решения неоднородного линейного уравнения?
6. Как построить однородное линейное уравнение, имеющее за-
заданную фундаментальную систему решений?
7. В чем состоит метод Эйлера интегрирования однородных ли-
линейных уравнений с постоянными коэффициентами? Как зависит
структура фундаментальной системы решений от вида корней ха-
характеристического уравнения? В какой области определено общее
решение?
8. В каких случаях и в каком виде может быть найдено частное
решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами методом неопределенных коэффициентов?
9. Какая замена независимой переменной может привести одно-
однородное линейное уравнение л-го порядка общего вида к уравнению
с постоянными коэффициентами? •
10. Как интегрируется линейное уравнение Эйлера?
11. Как интегрируется уравнение Чебышева? В- каком случае
одно из частных решений этого уравнения будет полиномом?
12. Какой заменой искомой функции можно избавиться в одно-
однородном линейном уравнении второго порядка от члена, содержа-
содержащего первую производную от искомой функции?
13. Если для однородного линейного уравнения второго порядка
известно одно ненулевое частное решение уи то как найти второе
частное решение у2 (т. е. решение, линейно независимое с г/i)?
14. Как найти ненулевое частное решение однородного линей-
линейного уравнения второго порядка в виде полинома, если такое реше-
решение существует?
15. Как понижается порядок линейного уравнения, не содержа-
содержащего искомой функции, и линейного уравнения, не содержащего
искомой функции и последовательных первых производных? В ка-
каком случае такое уравнение всегда интегрируется в квадратурах?
16. Какой подстановкой можно привести однородное линейное
уравнение второго порядка к уравнению Риккати?
17. При каком условии однородное линейное уравнение второго
порядка будет уравнением в точных производных? Как найти об-
общее решение при выполнении этого условия?
18. Какой вид имеет уравнение Лежандра? Когда одним из его
частных решений будет полином?
19. Какой вид имеет уравнение Лягерра? В каком случае одно
из его частных решений будет полиномом?
20. Какой вид имеет уравнение Чебышева—Эрмита? В каком
случае одно из его частных решений будет полиномом?
21. При каком условии однородное линейное уравнение второго
порядка имеет частное решение, удовлетворяющее заданным на-
176

чальным условиям и прсдставимое в виде степенного ряда по
степеням разности х—хо, где Хо— начальное значение независимой
переменной? Как можно выбирать начальное значение искомой
функции и ее производной? В чем состоит метод неопределенных
коэффициентов, чему равны свободный член и коэффициент при
х—х0, как определяются остальные коэффициенты? В какой облас-
области сходится ряд, представляющий решение?
22. Как найти общее решение однородного линейного уравне-
уравнения второго порядка при помощи степенных рядов?
23. При каком условии однородное линейное уравнение второго-
порядка имеет в окрестности особой точки х=х0 хотя бы одно част-
частное решение в виде обобщенного степенного ряда? Как определя-
определяются показатель р и коэффициенты степенного ряда, входящего в
состав решения? В какой области сходится этот степенной ряд?
В каком случае, отыскивая решение в виде обобщенного степенного
ряда, получают решение в виде обычного степенного ряда? Как за-
зависит вид второго частного решения от характера корней опреде-
определяющего уравнения? В каком случае второе частное решение за-
заведомо содержит 1п(л:—х0)?
24. Какой вид имеет первое, т. е. соответствующее старшему
корню определяющего уравнения, решение уравнения Бесселя
х2у"+ху'+ (х2—п2)у=0 в окрестности особой точки л:=0?
25. Какой вид имеет общее решение уравнения Бесселя ху" +
Ч0
26. Какой вид имеет первое решение уравнения Гаусса х(х—
;>t-!)#"+(—Y+ U + a+P)*)y' + aP# = 0 B окрестности особой точки
!1с=о?
Задачи
В- задачах 968, 969 доказать, пользуясь теоремой Пикара, су-
существование и единственность решения, удовлетворяющего постав-
поставленным начальным условиям; оценить область существования ре-
решения.
968. у" + 2ху ---- 0; у = 2, у' - 3 при х---\.
969. у"+ 1 у' \—-у = х; 0-1, у' -0 при *=0.
4 + х% х •— 1
у- В задачах 970, 971 доказать, пользуясь теоремой Коши, сущест-
" вование и единственность голоморфного решения, удовлетворяюще-
удовлетворяющего поставленным начальным условиям; оценить область сходимо-
сходимости степенного ряда, представляющего решение; найти свободный
член и коэффициенты при х—х0, (х—х0J и (х—хаK в разложении
решения в ряд по степеням х—хс.
970. у" + 2ху == 0; у =-■ 2, у' ~ 3 при х ^ \.
971. у" л. — и' -|- 2 1 , У - 0; у - 1, у' --- 0 при х - 0.
х — 2 x2i 1
12. Зак. 1213 177

В задачах 972, 973 найти голоморфное решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
972. у" — 2ху' -~2у ---- 0; у -- 1, у' - 0 при х - 0.
973. у" -| у — 0; у --- 0, у' ~- 1 при х -- 0.
1 -Л"
В задачах 974, 975 для линейного уравнения найти (пользуясь
теоремами Пикара и Коши) и сравнить оценки области существо-
существования решения и области сходимости степенного ряда, представ-
представляющего решение, удовлетворяющее поставленным начальным ус-
условиям.
1 v
974. у" — у' -|- -д у = 0; у ^ у0, у' = у; при
х- 0.
975. у" — у' + ху =- 0; г/ = у0, у' -= г/^ при х -- 2.
В задачах 976—978 выяснить, какие начальные данные^можно
задавать, чтобы задача Коши заведомо имела единственное реше-
решение. В каких областях гарантированы существование решения и
сходимость степенного ряда, представляющего это решение?
976. у» + ±-у> +-JL. у =0.
X X— 1
977. (х2 -f 1) у'1 + 2ху' — у - 0. 978. у'" + ху - 0.
В задачах 979—1008 проинтегрировать уравнение.
979. г/" — 5y'-f 6у--= 0. 980. у"- 5у\-- 0.
981. у" -}- У' — У ■■- 0- 982. у" -\- fry --- 0 (Jfe ^ 0).
983. у" — \у' -f 4г/ =-- 0. 984. у'" — 6у" + 1 \у' — 6г/ = 0.
985. у'" — Зг/' + 2у' --■ 0. 986. г/'" — Ъу" + 9у' + 13у = 0
987. yW + 4у =- 0. 988. г/" — у" + 4г/' — Ау -= 0.
989. у'" — Ъу" -f Зг/' — г/ - 0. 990. у'"- -Ту" -f- 16г/' — 12г/ = 0.
991. г/*4' — 4у'" Н 5у" — 4г/' + 4г/ - 0.
992. г/'4' — 4у'" -,'- 8у" -- 8г/' -f 4г/ =- 0.
993. уE> —у<4>-i 8г/'" —8г/"+ 16г/'--16г/ = 0.
994. г/" — Ъу' -f 6г/ =•., 6л:2 — 10.r -f 2.
995. г/"--5г/' =- — 5л:2 -\- 2х.
996. у" — у гг, бе2*. 997. у" — у =-■ 2еА'.
998. у" — 4г/' -f 4г/ -- 2e2j;. 999. у"—6у' -\-5у =■■ —Ъех + Ъх2.
1000. у" -| -у -6cos2x-|-3sin2A\ 1001. у" + У' -Ъ У "= — 13sin2.v.
1002. у" : у --2 sin х. 1003. у" — у = е* лс cos x.
178

1004. у" -г 4у = л:sin2 х. 1005. у" -г 9у = cos 2.v-cos Зх.
1006. у'" + Зу" + Ъу' + у = е-\ 1007. у'" -\-'у' = х cos2 x.
1008. у<4> + 2у'" + 2у" + 2у' + у -= cos 2х -f 8е* .
4
В задачах 1009—1025 определить вид частного решения уравне-
уравнения.
1009. у" + у = х. 1010. у" — у' --= х.
1011. у"—z/ = 3e2*. . 1012. у" —у = е*.
1013. у" + 2у' + у = е~х. 1014. у" + у =- хех .
1015. у" — у = хех. 1016. у" — у = ех -|- х.
1017. у" — г/'4= еЛ + х. 1018. у" — у = cosx + sin2x.
1019. г/" + у = cos * + sin 2x. 1020. у'" — у"--=х.
1021. г/" —4г/'-Ь 13г/=хе2дс соэЗлг. 1022. у" + у = х sin x.
1023. г/D) + у'" = 1. 1024. у" + /ш/ = епл:.
1025. у" -1- ру' + qy - а.
В задачах 1026—1029 проинтегрировать уравнение.
"-«'=ргпт Г027- ""-1"- SS'
,„28. „". + „ _ izi_ . ,029.
X* X3
В задачах 1030—1040 найти решения уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющие поставленным начальным или граничным условиям.
1030. у" — у = 0; у = 1, у' --= 0 при х = 0.
1031. у'" — 5у" + 6у' 4-£у --- 0; у - 0, у' .-- 0, у" -= 0 при х - 1.
1032. у" + у = х2 + 2; у-= 1, у' --= 0 при х =- 0.
1033. у"— у' = 2 — 2х; у = 0, у' = 0 при х -= 0.
1034. у" + у = 0; у = 1 при х -= 0, у = 1 при х ^ я/2.
1035. у" -г у = 0; у = 1 при х -•= 0, у — 2 при х — п.
d^x dx
1036. — hJf = 0;x = xD, — = 0 при * = 0.
dia- Л
1037. -=-i- + 2 — + 2х = 0; х= х0) •==- = 0 при * ^ 0.
1038. + х = 3 sin 2^; х = 0, --=0 при t - 0.
df dt
1039. -^— + хг= 2sin/; x --- 0, — = 0 при f =- 0.
d"x . dx
Ь х -= 2sm/; x ^- 0, —
df dt
179

1040. —— + х--2sin/; x = 0, — = 1 при * = 0.
d/2 <ft
В задачах 1041—1048 уравнение привести к уравнению с посто-
постоянными коэффициентами с помощью замены независимой перемен-
переменной и проинтегрировать его.
1041. хгу" — 2ху' + 2у =- 0. 1042. х-у" — ху' + у = 0.
1043. х2/ + ху' -!- у = 0. 1044. х2у" — 3у' + 13г/ = 0.
1045. (\^х2)у"—ху'\-п2у-0. 1046. A — х2)у" — ху' + 2у •-= 0.
1047. A — х2) у" — ху' -f г/ ~- 0. 1048. w" - «Ч — У -= 0.
хУ A~\-х2ТУ
В задачах 1049, 1050 избавиться от коэффициента при произ-
производной первого порядка путем замены искомой функции и проинте-
проинтегрировать полученное уравнение.
2
1049. у" -г —у' + у --0.
х
1050. ху -г *«/' + (х2 ) У = 0.
В задачах 1051—1054 найти общее решение уравнения, допус-
допускающего частные решения в виде полинома.
1051. (Зх3 — х)у"— 2у'— 6хг/=--0.
1052. х(х + 2)г/" —2(х+ \)у' -\-2у = 0.
1053. / ~ху' — у -- 0. 1054. у" -- 2ху' — 2у = 0.
В задачах 1055—1057 найти в виде рядов по степеням х фунда-
фундаментальную систему решений, нормированную в точке х=0, и по-
построить общее решение.
1055. г/" + хг/=-0. 1056. (\ — х2) у" — ху'-[ л2г/--0.
1057. (A -f- x2)cosx — 2х sinx) у" + (х1 + 3) sin х-г/ — 2 (х sinx -f-
-f cosx)y ^= 0.
В задачах 1058—1060 найти в виде ряда по степеням х одно
частное решение, удовлетворяющее поставленным начальным усло-
условиям, просуммировать этот ряд, найти второе частное решение и
построить общее решение.
1058. у" + ху' 4- у = 0; У1= 1, у\ - 0 при х = 0.
1059. A — х2)у"— ху' + --у =- 0; ух = 1, у'. = — при х -- 0.
4 2
1060. (cosx + sinx)y" — 2cosx-y' -f (cos x— sin x) у = 0; yt= 1,
y[ --= 1 при x = 0.

V. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
Нормальные системы. Нормальная система обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений имеет следующий общий вид:
dx
Уп) (г--=1, «), A)
где yh t — 1, n, —неизвестные функции от независимой переменной
х, подлежащие определению; ft, i — 1, п, —известные функции от
х, У\, у2, ■ ■ ■ , Уп, заданные и непрерывные в некоторой области.
Число п называется порядком системы A).
Если правые части системы A) являются линейными функци-
функциями от уъ уг, ... , уп:
dyi / f "\
dx
то такая система называется линейной.
Совокупность п функций
Уг. = Уг. (X), У-1 = Уг (х), ... , уп = Уп (х), B)
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале
(а,Ь), называется решением системы A) в интервале (а,Ь), если
функции B) обращают уравнения системы A) в тождества, спра-
справедливые при всех значениях х из (а,Ь). Кривая в (п+1) -мерном
пространстве (х,у\,у2, ...,уп), соответствующая решению B), назы-
называется интегральной кривой.
Задача нахождения решения ух=ух(х), у2=у2(х), ..., уп=уп(х),
удовлетворяющего начальным условиям:
У1 ~ у\°\ Уг ^ У2°\ ■■■ , Уп= У(п0) при х = х0,
где х0, у\0), у20), ... , уп0) — задан н ые числа (начальные дан-
данные), называется задачей Коши (начальной задачей).
Для существования решения задачи Коши достаточно, чтобы
правые части системы A) были непрерывны в окрестности
начальной точки (х0, г/<°>, у2°\ ... , y^i) (теорема Пеан о).
Чтобы гарантировать не только существование, но и единст-
единственность решения задачи Коши, достаточно, согласно теореме
181

Пикара, предположить дополнительно, что правые части системы A
удовлетворяют условию Липшица относительно уъ у2, ...
уп в некоторой окрестности начальной точки (х0, у^\ г/2°>, ...
(OK о
уп), в частности имеют в этой окрестности ограниченные
частные производные по уи у2, ... , уп. Например, эте
будет справедливо, если правые части системы A) являются поли-
полиномами относительно всех своих аргументов или хотя бы относи-
относительно уъ у2, ... , уп в предположении, что все коэффициенты этщ
полиномов —- непрерывные функции от х. При этом у\°\ г/2°>, ... , уп0^
можно задавать совершенно произвольно, а х0 можно выбирать лю-
любым только в первом случае, в то время как во втором случае хс
должно лежать в интервале непрерывности коэффициентов системы.
Совокупность п функций
yt = фг (х, Сь С2, ... , Сп) [(» = 1, ,.;, C)
определенных в некоторой области изменения нерешенных х, Clt
С2 Сп и имеющих частные производные по х, называется
общим решением системы A) в области D изменения переменных х,
f/i> Уг> ■•• > £/п> в каждой точке которой имеет место сущевтвование
и единственность решения задачи Коши, если:
1) система уравнений C) разрешима в области D относительно
произвольных постоянных С,, С2, ... , Сп, так что мы имеем:
Ci--$i(x, уъ у?,, ... , уп) (»=- 1, пу, D)
2) совокупность функций C) является решением системы A) при
всех значениях произвольных постоянных, доставляемых формулами
D), когда точка (х, ух, Уъ, ■ ■ ■ , уп) пробегает область D.
Чтобы найти решение системы A) с начальными данными х0,
у\°\ yW, ... , у^ из области D при помощи формулы общего
решения C), поступают так:
1) подставляют в систему C) вместо х, уъ у2, ■ • ■ , уп соответ-
соответственно числа х0, г/(°), t/|°), ... , у<£1:
у\0) - Фг(х0, Clt С2, ... , С„) (i = ТТТг); E)
2) решают систему E) относительно С], С2, ... , Сп, находят
Г _ Г<°1 Г Г'°> Г — Г'0'-
L,1 — bi , Ь2 — U 2 , .•• , Ьп - \-,п ,
3) подставляя найденные значения произвольных постоянных
в формулу C), получают искомое решение
у, = Ф, (х, С[°\ С[°\ ... , Cln0)) (i -. \7И).
Оно будет единственным.
Общее решение вида
,, ,. (Y v ,/0) ,/0) (ОК (.■ _~] ~\
в котором роль произвольных постоянных играют начальные значе-
значения у\°К у[°\ ..., уп°~> искомых функций уъ у2, ■ ■■ , Уп при
фиксированном значении х0 независимой переменной х, называет-
называется общим решением в форме Коши.
182

Решение B), в каждой точке которого имеет место существо-
существование и единственность решения задачи Коши, называется частным
ношением. Так, решение, получающееся из общего решения в об-
части D при конкретных (допустимых) числовых значениях про-
произвольных постоянных (включая ±оо), будет частным решением.
Если в каждой точке решения нарушается единственность ре-
решения задачи Коши, то оно называется особым.
Функция ^{х,у\, у2, ■■■, Уп) (которую мы будем предполагать
непрерывно дифференцируемой и не сводящейся к
постоянной) называется интегралом системы A), если она тожде-
тождественно обращается в постоянную вдоль любого частного ре-
решения. Отсюда следует, что di|) = 0 в силу системы A), т. е.
Нормальная система п уравнений не может иметь более чем п
независимых интегралов. Так что если $и ф2. •••> Фп суть независи-
независимые интегралы системы A), то всякий другой интеграл г|? этой же .
системы будет функцией от ipi, ^2. •••, tyn-
Равенство §(х, у{, у2, ..., уп) = С называется первым интег-
интегралом системы A). Совокупность п независимых первых интегра-
интегралов системы A) называется общим интегралом этой системы. (Пер-
(Первые интегралы называются независимыми, если входящие в них
интегралы независимы.)
При интегрировании данной системы стараются (смотря по то-
тому, что удобнее) найти общее решение или общий интеграл.
Если, интегрируя нормальную систему n-го порядка, мы полу-
получаем семейство интегральных кривых, зависящее от произвольных
постоянных, в виде, не разрешенном ни относительно произвольных
постоянных, ни относительно искомых функций, то это семейство
мы также будем называть общим интегралом этой системы.
В общем случае мы располагаем очень ограниченными возмож-
возможностями интегрирования в квадратурах (см. § 2).
В дальнейшем будет показано, что для линейных систем
эти возможности несколько шире (см. гл. VI). Но фактически
всегда удается найти в квадратурах общее решение или общий
интеграл только в случае, когда коэффициенты линейной системы
являются постоянным и. Решения линейной системы с пере-
переменными коэффициентами во многих случаях удается найти с по-
кощью степенных рядов. Для интегрирования линейных систем при-
применяется также матричный метод.
Системы дифференциальных уравнений в симметрической фор-
форме. Система вида
dxv _ dx» _ _
Al (li, Х2, . . . , Хп) Л^уХу, Х«, . . . , Хп)
dx»—- F)
Хп [Ху, х%, . . . , хп)
183

называется системой дифференциальных уравнений в симметрически
форме. Если в точке (х\°1, л^°>, ... , х^) хотя бы один из зналк
нателей Хъ Хг, . .. , Хп отличен от нуля, то в окрестности это
точки систему F) можно заменить нормальной системой п— 1 ураЕ
нений. Пусть, например, Хп(х[°\ х{2°1, ... , л^°>)=£0. Тогда систем
F) равносильна следующей нормальной системе:
dxx __ Хх dx2
dxn Xn dxn Xn dxn Xn
Каждый интеграл (первый интеграл) системы G) называете}
интегралом (первым интегралом) системы F). Система F) имеет
не более чем п—1 независимых интегралов (первых интегралов)
Совокупность п—1 независимых первых интегралов системы F)
будем называть общим интегралом этой системы.
Всякую нормальную систему A) можно записать в виде сис-
системы в симметрической форме
dyx dy2 . dyn dx
fi h fn 1
Механическое истолкование нормальной системы. Устойчивость
решения (движения). Рассмотрим нормальную систему вида
dt
Xt(t, xu x2, ... , хп) (i = 1, п), (8;
где t-—время; хх, х%, ... , хп — координаты точки n-мерного про-
пространства (фазового пространства) {хъ х2, . .. , хп). В случае п---2
это пространство есть плоскость (ха, х„) (фазовая плоскость).
Всякое решение
х1 =-- хх (t), х2 =-- хг (t), ... , хп --- хп @ (9)
системы (8) называется движением, определяемым этой системой,
а путь, описываемый движущейся точкой в фазовом пространстве
(на фазовой плоскости),— траекторией этого движения.
Система (8) задает некоторое поле скоростей, а именно — поле-
скоростей движений, определяемых этой системой. Задача интегри-
интегрирования системы состоит в том, чтобы по этому полю восстановить
сами движения.
Задача К.оши для системы (8) заключается в нахождении ре-
решения (движения) (9), удовлетворяющего начальным условиям:
x^xjo), Xt^^o)t ... f xn--40) при t = t0, (Ю)
где t0, x\0), x{°\ ..., xWi — заданные числа (начальные данные), т. е.
ищется такое движение (9), при котором движущаяся точка нахо-
находится -в заданной точке {х^, xf], ..., х{^) фазового пространства в
заданный момент времени t0.
184

В случае, когда в начальной точке (х^, хB0^ ш> х^) правые
части системы (8) обращаются в нуль при всех рассматриваемых
шачениях времени t, система (8) определяет движение вида
1 ' \ У 2 2 9***9 71 Ц ' ^ '
Такое движение называется состоянием покоя. Траектория движе-
движения A1) представляет собой точку (х1^, хB0), ..., х^), которая
называется точкой покоя или точкой равновесия системы (8).
Если система (8) — автономная (стационарная), т. е. ее правые
части не зависят явно от /:
J- - Х1{хъ х2, ... , х„) (i = ТГп), A2)
dt
то траекториями движений, определяемых этой системой, являются
интегральные кривые соответствующей системы в симметрической
форме:
dxt dx2
2у • ■ • > Хп) X%(Xi, Х2, . . . , Хп)
Хп (Xj, x%, .. . , хп)
и точки покоя самой системы A2).
В частности, траекториями движений, определяемых системой
dx , ,
(ad — ЬсфО),
dy ,
—2- -- ах - - by
dt У
будут интегральные кривые уравнения
dx dy dy ax -)- by
— - - или -?-— -J и
ex -f dy ax + by dx ex -f dy
и начало координат х=0, у — О.
При выполнении условий теоремы Пикара решение (движение)
(9), определяемое системой (8) и начальными условиями A0), яв-
является непрерывной функцией начальных данных а-(;0), хB0), ..., х^0'.
При этом интеграл изменения времени предполагается к о н е ч-
н ы м.
В тех случаях, когда непрерывная зависимость решения (дви-
(движения) от начальных данных имеет место равномерно относитель-
относительно времени t на всем по л у бесконечном интервале измене-
изменения t (t^to), говорят, что решение (движение) (9) обладает свой-
свойством устойчивости при t~>+oo.
1S5

Предположим, что правые пасти системы (8) обращаются i
точке Х[==0, .v2=0, ..., .vn = 0 в нуль при всех рассматриваемых зпа
чениях времени t (t^t0). Тогда система (8) определяет нулевое
решение
хх=0, х.2 = 0, ... , х„ = 0. A3
Это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям:
хг —• О, х2 ---- 0, ... , хп — 0 при t -- tu.
Решение A3) называется невозмущенным решением, а соответст
вующее ему движение — невозмущенным движением.
Всякое решение (9), удовлетворяющее начальным условиям A0)
где хотя бы одно из начальных данных х\°1, х\°\ .. . , х^ отличие
от нуля, называется возмущенным решением, соответствующее ем)
движение —■ возмущенным движением, а числа х\°\ х<^\ ... , х^ —
возмущениями.
Нулевое решение A3) называется устойчивым в смысле Ляпу-
Ляпунова, когда все возмущенные решения (9), соответствующие д о-
с т а т о ч н о малым возмущениям х^\ х<£\ ..., xfjp, будут при
всех значениях t^t0 находиться в сколь угодно ма-
л о и окрестности невозмущенного решения, т. е. если по любому
положительному числу е>0 можно выбрать такое положительное
число б>0, что из неравенств
4 ... , 140I<б О4)
следуют неравенства
l*iBI<е> Ы01<е> ••• , |*„@1<е "ри всех t^t0. A5)
Если хотя бы для одного е>0 не существует соответствующего
6>0, то решение A3) называется неустойчивым.
Решение A3) называется асимптотически устойчивым, если оно
устойчиво и, кроме того,
xjf)-*-0, ха(*)->0, ... , хн@->0 при ^-^-Ьоо.
Если решение A3) неустойчиво, но при дополнительном
условии вида
, ДО, 0, .... 0) = 0
из выполнения неравенств A4) следует выполнение неравенств
A5), то решение A3) называется условно устойчивым.
Судить о наличии (или отсутствии) устойчивости нулевого ре-
решения A3) легче всего в тех случаях, когда известно общее реше-
решение в форме Кош и.
Проще всего рассматривать вопрос об устойчивости нулевого
решения в случае однородной линейной системы с постоянными ко-
коэффициентами (см. гл. VI, § 2).
Канонические системы дифференциальных уравнений высших
186

юрядков. Система дифференциальных уравнений высших поряд-
чов, разрешенная относительно старших производных, называется
<анонической. Она имеет вид
y\mi> = ft(x, ylt у[, ... , у\т^х\ ... , уп.
и ir"ln ' \ ii — 1 п) (\6)
Число тх + т2 -\- ■ • • + tnn называется порядком системы A6).
Совокупность п функций
\}\ '-= f/i (x), у2 = у2 (х), ... , уп--=уп (х), A7)
имеющих непрерывные производные соответствующих порядков,
называется решением системы A6) в интервале (а,Ь), если эти
функции обращают уравнения системы A6) в тождества, справед-
справедливые для всех значений х из (а, Ь).
Каноническая система A6), так же как и одно уравнение п-то
порядка
У I (X, Уг У > ■ • • > У )>
приводится к соответствующей ей нормальной системе уравнений,
если принять все производные, стоящие справа, за новые неизвест-
неизвестные функции.
Задача Коша для канонической системы A6) состоит в нахож-
нахождении решения A7), в котором искомые функции уи у2, ..., уп вмес-
вместе со своими производными до порядков соответственно тх—1,
т2—1, ..., тп— 1 принимают наперед заданные числовые значения
при заданном значении х.
Общее решение канонической системы A6) содержит nii +
+ m2 + ... + mn произвольных постоянных.
2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Последовательное интегрирование. Если система дифференци-
дифференциальных уравнений состоит из п уравнений первого порядка, каждое
из которых содержит только одну неизвестную функцию, т. е. имеет
вид:
j.. \
■-- h{x, yx),
=-- h{x, Уг),
dx
dy*
~dx~
dx
то ее интегрирование сводится к интегрированию каждого из урав-
уравнений в отдельности.
187

В случае, когда система имеет вид
, /1\Л> ill)'
J..
=--h(x, Уъ Уг),
dx
dx
^ In (х, Уг, Уг, ■ • • , Уп),
ее интегрирование выполняется последовательно: нужно
проинтегрировать первое уравнение, подставить найденное общее
решение во второе уравнение, проинтегрировать его и т. д.
В частности, таким путем всегда может быть проинтегрирована
в квадратурах линейная система вида
dx
dy2
dx
•-- Рп (X) 'Л "г /l W.
+ h
dx
----= Pnl (X) tji + pn2 (X) y2 + . . . -f pnn (X) yn -\rfn (X)'
Метод исключения. Многие нормальные системы удается проин-
проинтегрировать путем предварительного приведения данной системы
и-го порядка к одному уравнению и-го порядка с одной неизвест-
неизвестной функцией или к нескольким таким уравнениям, причем сумма
их порядков равна п. Это приведение системы к одному уравнению
и-го порядка (если оно возможно) достигается последовательным
дифференцированием одного из уравнений системы и исключением
всех неизвестных функций, кроме одной (метод исключения). Про-
Проинтегрировав полученное уравнение, находят общее решение дан-
данной системы уже без новых квадратур.
Каноническая система дифференциальных уравнений порядка
Шх\- пг2 + ... + inn также во многих случаях .может быть проинтегри-
проинтегрирована методом исключения, ибо она, вообще говоря, приводится
к одному уравнению порядка /и1 + //г2 + ... + тп.
Интегрируемые комбинации. Задача интегрирования данной си-
системы дифференциальных уравнений значительно облегчается, если
удается найти один или несколько независимых первых интегралов
системы, ибо тогда можно понизить порядок системы (см. ниже,,
пример 2).
Первые интегралы во многих случаях находят путем построения
интегрируемых комбинаций, т. е. легко интегрируемых дифферен-
188

циальных уравнений, полученных из данной системы путем неслож-
несложных преобразований. Для нахождения интегрируемых комбинаций
иногда бывает полезно предварительно переписать данную систему
в симметрической форме.
Если для системы, состоящей из п уравнений, найдено п неза-
независимых первых интегралов, то тем самым получен общий интеграл
этой системы и ее интегрирование окончено.
Интегрирование систем, правые части которых удовлетворяют
условиям Коши — Римана (Д'Аламбера — Эйлера). Рассмотрим
систему
dx
---и{х, у),
dt
dt
у).
Предположим, что функции и п v непрерывно дифференцируемы
и удовлетворяют условиям Коши — Римана:
да dv ди dv
дх ду ду дх
Тогда функция
/ (г) ~- и (х, у) + iv (х, у) (z - - х + iy)
будет регулярной функцией от комплексной переменной z.
Например, если и~х2—у2, v = 2xy, то u + iv=z2s=f(z).
Умножая второе уравнение системы A) на i и складывая по-
почленно с первым, получаем
№ f + f
dt '■ ' [dt dt dt
Это уравнение будем называть комплексным дифференциальным
уравнением, соответствующим системе A).
Интегрируя уравнение B) и отделяя в общем решении вещест-
вещественные и мнимые части, находим общее решение системы A).
Для системы A), правые части которой удовлетворяют услови-
условиям Коши—Римана, можно найти решение x=x(t), y=y(t), удов-
удовлетворяющее начальным условиям: х=х0, у—у0 при t=t0, не поль-
пользуясь формулами общего решения данной системы. Для этого до-
достаточно заменить систему A) равносильным ей уравнением B),
найти решение z=z(i) последнего уравнения, удовлетворяющее .
начальному условию z=z0 (zo=xo + iyo) при t = t0, и отделить в
нем вещественную и мнимую части.
Примеры. 1. Для системы
У' = 1 - —, г' = ■ C)
г у — х
189

найти общее решение и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:
«/--- — I, 2=1 при х--0. D)
Будем искать общее решение системы C) методом исключения. Дифферен-
Дифференцируем второе уравнение:
** = - {у]_х)% (У-1)-
Чтобы исключить из полученного уравнения у и у', заменим в нем и
У — х
у — 1 их значениями из данной системы. Получим
*=*Х\- E)
Интегрируем уравнение E):
IL _-£_ . _
г' г
откуда г = C2eCiX.
Для нахождения у воспользуемся вторым из уравнений C) и лолученным
значением г: *
1 Ч _г г
откуда
У = х + -7Г7Г- е'
,—Схх
Общим решением системы C) будет
У = х + ,
СА [ F)
Решим теперь поставленную задачу Крши. Подставим в систему F) вместо х, у
и г их начальные значения 0, — 1 и 1: — 1 = 1/(С]С2), 1 = Q, откуда Сх = — 1,
С^ = 1, поэтому искомым решением будет
у = х — ех, г~е~х-
Других решений, удовлетворяющих начальным условиям D), кет (почему?).
2. Пусть дана система
dx dy
-1Г У Х G)
Майдем ее общий интеграл методом интегрируемых комбинаций и пониже-
понижения порядка системы. ■ ^
Умножая почленно уравнения системы G) соответственно н*"* и у и скла-
складывая полученные уравнения, находим интегрируемую комбинацию
dy
0
откуда
X2Jry2==C\. (8)
190

Замечание. Этот же первый интеграл можно получить из интегрируемой
комбинации dyldx——х/у, к которой мы придем, если почленно разделим второе
уравнение системы G) на первое.
Пользуясь найденным первым интегралом (8), понизим порядок данной системы
G). Решим уравнение (8) относительно у (ограничимся положительными значениями
//): у-— у C'j — х-. Подставим это значение у в первое из уравнений системы G).
Получим уравнение первого порядка с одно ii неизвестной функцией х:
Интегрируя уравнение (9), находим
х
arcsin —— = t + С2-
Q
Заменяем С, его значением из выражения (8) и переносим t в левую часть:
х
arcsin _ . —(— С,. A0)
Это первый интеграл данной системы. При этом очевидно, что первые интегралы
(8) и (Ю) независимы, так что их совокупность образует общий интеграл си-
системы G).
3. Найти общий интеграл системы
dx dy dz
г — у х — г у— х
Построим дне интегрируемые комбинации, пользуясь свойством ряда равных
отношений. Складывая в системе A1) числители и знаменатели дробей, можем
записать:
dx dy dz dx -)- dy -\- dz
г — у х — г у — х 0
откуда
dx-\-dy-\-dz = 0 или d (x -)- у -|- г) = 0;
следовательно,
х + у + г-^Ъ. A2)
Теперь умножим в системе A1) числители и знаменатели дробей соответст-
соответственно на 2х, 2у, 2г и сложим числители и знаменатели полученных дробей. Тогда
2xdx 2ydy 2zdz d (x- + у2 -f г«)
2x(z— у) 2y(x — z) 2z(y — x) 0
откуда
Первые интегралы A2), A3) образуют общий интеграл системы A1).
4. Рассмотрим систему
A3)
dx (г — уJ dx (z — yf
Для нахождения интегрируемых комбинаций целесообразно переписать си-
систему A4) в симметрической форме:
dy dz dx
191

Умножим все знаменатели на (г — у)г:
dy dz dx
-?- = = . A5)
г У B — У У1
Одной из интегрируемых комбинаций будет dyjz = dz/y, откуда
Для получения второй интегрируемой комбинации вычтем в системе A5) из
числителя и знаменателя первой дроби соответственно числитель и знаменатель
второй дроби:
d (у — г) dx
г —У " (г — yf- '
Отсюда находим второй первый интеграл
2* + (У — 2J = С2.
Интегрирование системы A4) закончено.
5. Найти независимые интегралы системы
= С2.
Имеем
Следовательно,
dx
X
dx
X
dy
, xy
4"i = xi
dy
~y
у. Ч
dz
0
dz-
h -- 2-
6- Найти независимые интегралы системы
dx
z
_dy__
У
dz
0
Интегрируя равенство dz - 0, находим г -- Ct- 'Подставляя это значение 2 i
dx/z — dy/y, имеем dx/C1-~ dy/y, откуда у — C2ex^Ci■ Поэтому
7. Найти общее решение системы
У" -г -0, I
A6
г" — у = 0 J
и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:
j=l, j' = l, г=1, г'-^О при 1 = 0. (V,
Для нахождения общего решения воспользуемся методом исключения. Ди(}
фсренцируя два раза первое из уравнений A6) и заменяя г" ее значением к
второго уравнения, получаем уD)—у=0. Это уравнение имеет общее решение
у = С-^е" -J- Сг^-* + Сз cos л; -f- C4 sin x.
Так как z = у", то
2 = Cie* + Сге~х-— С3 cos х — С4 sin x.
Общим решением системы A6) будет
у = Cje* -J- C2e~x -J- Сз cos д; -j- C4 sin дг,
z — С^ + Сге~ж — С3 cos х — С4 sin x.
192

Чтобы выделить из него решение, удовлетворяющее начальным условиям A7),
подставим в систему
: ■ . '. ■ у = Сце* -J- С2е~х + С3 cos х -f- Q siii x,
у' = Qe* — С2е-Х — Cs sin д; -f- С4 cos я,
z = Схех + С2е~* — С3 cos а: — С4 sin л:,
г' = Qe* — С2е~х + С3 sin х — С4 cos л:
вместо х, у, у'., г, г' их начальные значения 0, 1, 1, 1,0. Получим
Откуда С! =
0 = Q — С2 — С4,
4, Са = 1/4, С3 = 0, С4= 1/2, так что искомым решением будет
—
Других решений, удовлетворяющих начальным условиям A7), нет (почему?).
8. Найти общее решение системы
dx
IT
dy
dt
py.
A8)
Правые части этой системы удовлетворяют условиям Коши — Римаиа. Умно-
Умножая второе уравнение на £ и складывая почленно с первым, получаем
A9)
Интегрируя это уравнение, находим z = Ceu (С = С1 + «С2). Отделив вещественные
и мнимые части, получим общее решение системы A8) в виде:
х = ёР* (Сх cos qt — C2 sin qt),
у = eP* (Cx sin qt + C2 cos qt).
B0)
9- Для системы A8) найти решение x = x(t), y = y{t), удовлетворяющее на-
начальным условиям: х = 1, у = 0 при t = 0.
Так как система A8) равносильна уравнению A9), то достаточно найти ре-
решение z=z(t) уравнения A9), удовлетворяющее начальному условию 2=1 при
7=0 (почему?). Это решение имеет вид z=eM. Отделяя вещественные и мнимые
части, получаем:
х = ept cos qt,
у = gP'sin qt.
13. Зак. 1213
193

Это и есть искомое решение. Заметим, что оно содержится в формуле общего р«
шения B0) при Cj = ], Сг=0.
В задачах 1061—1078 проинтегрировать систему дифференци
альных уравнений.
dy
«1061.
1063.
I1065.
dx
dz
dx
dy
dx
dz
dx
y\ =
г/2-
Уз =
yl^
Уъ =■■
4У]
4г/,
4У:
У1
.1/4
''ЛУ >
Z-r—X
X '
2х
1+х2
1
X
1,
i + 2уз,
3.
+ Зу4,
+ Зу5.
1062.
2г
1064.
(
1066.
1067.
j У' = z,
1068.
1069.
1070.
1072» -
У' -
2' =
rfx
у-!-г,
%
У
Z
dz
1071.
dz ^
dx 2x — z2'
xy' ■-■= у + VlT^x1,
z' - У + :г
y'i = 4yj -h 2y2,
У? = 4i/2 + 2j/3,
1/4 = 3t/4,
У5 = 3y5 + Зг/4,
i/6 = 5г/в.
У' = y + z,
z' -:■ —5м—5г.
; _ dy dz du.
Vx " V
y
1/2
1073. -*L
1074.
dx __ dy _ dz
1075.
x
dx
У
dy
г mu
_ dz
О ~ г '
dy dz
mz — ny nx — Iz ly — mx
1077. y" = y* + z, z' == — 2yy' -f у. Выделить решение, удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям: у — 1, у' --■ 1, z --- 0 при х = 0.
1076 ] У> -~~ {Z + еУI{2 + eX)'
' z' = {z2-< '

1078.
x'-
В задачах 1079—1084 найти независимые интегралы системы
уравнений.
1079,
1081,
1083.;
1084,
В задачах 1085—1090 привести дифференциальное уравнение или
систему дифференциальных уравнений высших порядков к соответ-
соответствующей нормальной системе.
dx
X
dx
X
dx
dx
1
dy
—у
dy
У
dy
У + Z
dz
z
dz
x + y
dy
— y(y
—
1080.
1089
dz
26*,— 2
dx
cos у
dx
X
dz
0
dy
cos л:
dy
У
dz
cos x cos у
dz
0
1085. ху"-\-у'+ ху = 0. 1086.
+ ДЛс = 0.
«1087. у'"— у=-0.
••1089,
1088.
«1090.
1091» Проинтегрировать систему уравнений
dx
dt
dy
dt
= г/ + ax2 + 2p*;o/ — <хг/2,
= — x —
r+ 2сш/
и определить тип точки равновесия х — 0, г/ = 0. (Указание.)
Правые части системы удовлетворяют условиям Коши—Римана.)
1092. Найти решение системы уравнений
dx 1_
dt 2
dy
dt
--
2
удовлетворяющее начальным условиям: х=1, г/=0 при i = \.
(Указание. Правые части системы удовлетворяют условиям
Коши—Римана.)
13»
195

В задачах 1093—1095 для системы уравнений найти общее ре
шение и движение (решение), удовлетворяющее поставленным на
чальным условиям; выяснить, будет ли траектория найденного дви
жения целой, т. е. продолжимо ли оно на все значения t от —оо Д(
+ ОО.
1093.
dt
= х* — if,
dt
= 2ху; х = —А, у = 0 при t = 1.
= e~*cos«/, —
~ — 2ху; к = 0, у = 1 при t = 0.
in#; x—1, y = 0 при / =
dt dt
1096. (H. В. Адамов.) Дано уравнение Риккати
Пусть у — и (х) + iy (х) — комплексное решение этого, уравнения
Записать систему дифференциальных уравнений, определяющих функ-
функции и(х) и v{x).
1097. (Н. В. Адамов.) Показать, что решение уравнения B1),
определяемое условием у(хо) — т-{-т (пфО), не принимает вещест-
вещественных значений ни при каких значениях независимой переменной х.
1098. (Н. П. Еругин.) Найти все системы дифференциальных
уравнений
dx n
Р(х, у),
dt
dt
у),
имеющие заданную траекторию w(x, у) = 0 (см. [8, п. 115]), и все
системы, для которых окружность х2 + уг — 1 = 0 является траекто-
траекторией.
3. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Какой общий вид имеет нормальная система дифференци-
дифференциальных уравнений? Что называется ее порядком? Когда эта система
называется линейной? Что называется решением (интегральной
кривой) нормальной системы п-то порядка?
2. Как ставится задача Коши для нормальной системы? В ка-
каком случае она имеет решение? Когда это решение будет заведомо
единственным?
3. Что такое общее решение нормальной системы л-го порядка?
196

Как решается задача Коши с помощью формулы общего решения?
Что называется общим решением в форме Коши?
4. Какое решение называется частным; особым? В каком случае
нормальная система заведомо не имеет особых решений?
5. Что называется интегралом нормальной системы? Сколько
независимых интегралов может иметь нормальная система п-то по-
порядка?
6. Что такое первый интеграл нормальной системы? Какие пер-
первые интегралы называются независимыми? Что такое общий интег-
интеграл нормальной системы «-го порядка?
7. Что такое система дифференциальных уравнений в симмет-
симметрической форме? Что называется ее интегралом; первым интегра-
интегралом; общим интегралом?
8. В чем состоит механическое истолкование нормальной систе-
системы и ее решения? В чем состоит механическое истолкование задачи
Коши? Что такое точка равновесия? Чем отличается поле скоро-
скоростей, задаваемое автономной системой, от поля скоростей, задавае-
задаваемого нормальной системой общего вида? Как найти траектории
движений, определяемых автономной системой?
' 9. Когда пулевое решение называется устойчивым (неустойчи-
(неустойчивым, асимптотически устойчивым, условно устойчивым) в смысле
^Ляпунова?
10. Какой вид имеет каноническая система дифференциальных
уравнений высших порядков? Как ставится задача Коши для ка-
канонической системы? Сколько произвольных постоянных содержит
§1общее решение этой системы?
■ 11. В каком случае систему дифференциальных уравнений мож-
можно проинтегрировать путем последовательного интегрирования
уравнений, входящих в ее состав? В чем состоит метод исключения?
Что такое метод интегрируемых комбинаций? Как привести одно
уравнение высшего порядка или каноническую систему дифферен-
дифференциальных уравнений высших порядков к нормальной системе урав-
уравнений?
Задачи
В задачах 1099, 1100 доказать, пользуясь теоремой Пикара, су-
существование и единственность решения, удовлетворяющего постав-
поставленным начальным условиям; оценить интервал существования ре-
решения; построить второе приближение к искомому решению (по
методу Пикара).
1099. if = x + y — zt, z'-^yz-V 1; М<1, Ы<1, |г|<1;г/-0,
z=0 при х = 0.
1100. г/'= г*-г/2-Ь z, z' = 0 + z2-l; |х| < 2, Ы<1, |г|<1;
у = 0, z=0 при .ж = 0.
В задачах 1101, 1102 найти методом Пикара решение, удовлетво-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
1101. у' = y + z~x\ г' ---у2 + 2х — е2х; у= 1, z= 0 при х=0.
197

1102. у' -- у + 2 -г cos х — sin х — х, г' = г/2 -f cos- х; (/ = 0,2 = 0
при х -- 0.
В' задачах 1103, 1104 доказать, пользуясь теоремой Коши, суще»
ствование и единственность голоморфного решения, удовлетворяю-
удовлетворяющего поставленным начальным условиям; оценить область сходимо-
сходимости степенных рядов, представляющих решение; найти свободные
члены и коэффициенты при х—а\>, (х—х0J и (х—х0K в разло-
разложении решения в. ряды по степеням х—-xq.
1103. y' = x + y-z\ z' = yz+l; M<1, |t/|<l, |г|<1; у - 0,
z — 0 при х — 0.
1104. у' = у2 -f г2- —хг, z' = г/ + Х~~1 ; г/ = 1, г = 1 при х - 1.
х —2
В задачах 1105, 1106 найти голоморфное решение, удовлетво-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
1105. у' --= ф -{- г — ж, г' - у -•{ —; г/ =-^ 1, г = 0 при х = 0.
х— 1
1106. #'=- 1/2, г' = y — z — ex; у ■■= 1, z = 1 при х = 0.
В задачах 1107, 1108 найти методом Пикара второе приближе-
приближение к решению, удовлетворяющему поставленным начальным усло-
условиям.
1107. у-^-уу'-ф. + х^О; |х|<1, |у|<1, |(/'|<1; у = 1, у'^2
при х = 0.
1108. у"^у}-\-ф; |х|<2, |г/!<2, 1у'|<1; i,= l, у' = 0 при *= 0.
В задачах 1109, 1110 найти методом Пикара решение, удовле-
удовлетворяющее начальным условиям.
1109. у" — у'2 —уу' -г- ех\ у — 1. у' = 1 при х — 0.
1110. у" -= у'? + «/? —sinx—1; у = 0, у' = 1 при х -= 0.
В задачах 1111—1116 проинтегрировать систему уравнений и,
где указано, выделить решение, удовлетворяющее поставленным
начальным условиям, доказав предварительно, что искомое реше-
решение существует и единственно.
1111.
1ПЗ.
y — xy --= y\
2x2 1112.
X- — Z2 "
dx du dz
у' =
l+Vz — x—y 1 " 2' " 1 xV — 2y = 0.
1115. y' = yz, z' = — z2 -i- z/x; г/ — 1, 2 ~ 2 при x = 1.
1116. y' -— — z, z' = fly; у — 1, z — — 1/2 при x = 1.

VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
Однородные системы. Линейные системы можно проинтегриро-
проинтегрировать общими методами (см. гл. V, § 2), но для них существует и
специальная теория интегрирования, основанная на некоторых за-
замечательных свойствах этих систем и их решений.
Линейная система имеет вид
dx
Если при всех рассматриваемых значениях х все }h(x) равны
,нулю, то эта система называется однородной, в противном случае—
{неоднородной.
Предполагаем, что функции ры (х) и fh (х) [к, I = 1, п) определе-
определенны и непрерывны в интервале (а, Ь). Тогда система A) имеет един-
единственное решение ух = уу(х), у2 — у2(х), ..., уп~ уи(х), определен-
определенное во всем интервале (а, Ь) и удовлетворяющее начальным условиям:
У1 = у\°\ Уг ~ t/20), . . . , уп = у„0) при х =: .г0,
причем начальные данные у\0), у^, ■ ■ ■, Уп0) можно задавать совер-
совершенно произвольно, а *0 нужно брать из интервала (а, Ь) (поче-
(почему?).
Всякое решение линейной системы является частным, так
что особых решений она не имеет (почему?).
Интегрирование неоднородной линейной системы A), как будет
показано ниже, приводится к интегрированию однородной системы
л.. п
к1\х)У1 \К "- *> Щ' \г)
Однородная линейная система Есегда имеет нулевое решение г/jSsO
1/2=0, ..., i/n=0. Оно удовлетнсряет нулевым начальным условиям
i/i = 0, t/2 = 0, .. ., уп г= 0 при х =- х0.
Другий решений, удовлетворяющих нулевым начальным условиям,
нет.
Для построения общего решения однородной линейной системы
B) достаточно знать п линейно независимых в интервале (а, Ь)
(и тем самым ненулевых) частных решений:
199

Уп, Ун, ■•-, 0m A-е решение),
021. 022> • • ■. Ут B-е решение),
0м. Упъ •••. Упп(п-е решение),
т. е. таких решений, для которых тождества
C)
= 1, п, а<х<Ь),
где alt а2, ..., ап — постоянные числа, могут выполняться только
при <Хц = 0, ai2 = 0, ..., <х,-п -— 0. Такая система решений называет-
называется фундаментальной. Чтобы система решений была фундаментальной,
необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского (вронскиан)
Уп
01П
022
0П1 Ум
Уп
был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (а, Ь). (При
этом W (х) отличен от нуля во всех точках интервала (ab).)
При сделанном предположении относительно непрерывности функ-
функций ры(х) (k, 1=1, п) существует бесчисленное множество фунда-
фундаментальных систем. Фундаментальная система C) называется норми-
нормированной в точке х -- х0, если решения, составляющие ее, удовлетво-
удовлетворяют следующим начальным условиям:
011 = 1. - 012 = 0, . . . , у1п г= 0,
021 = 0> 022 = 1. • • • > 02 п = 0,
при X — х0.
01ft :
Утл '■ Ум = 0, уп2 = 0,
Упп — 1
Если известна фундаментальная система решений C), то их ли-
линейная комбинация (по столбцам, если решения расположены по
строкам)
п
•itJik (k = ГГя), D)
еде С;—произвольные постоянны?, представляет собой общее решение
однородной линейной системы B) в области
200

Все решения однородной системы B) содержатся в формуле
D) (почему?).
Неоднородные системы. Чтобы найти общее решение неодно-
неоднородной системы A), достаточно знать общее решение соответст-
соответствующей однородной системы
^ы{х)г1 {k=\Tn) . F)
ах /=1
и одно частное решение неоднородной системы A)
г/i = У?\ г/г = г/г0, - • •, уп = гД1).
Сумма этих решений • • ....
A1)^izik {k = ~n) . G)
дает общее решение системы A) в области E).
Все решения неоднородной системы A) содержатся в форму-
формуле G) (почему?).
Методом вариации произвольных постоянных (метод Лагран-
жа) можно построить общее решение неоднородной системы, исхо-
исходя только из фундаментальной системы решений соответствующей
однородной системы F). Этот метод состоит в том, что решение си-
системы A) ищется в виде
1 п
l{x)zlk (k-\,n), (8)
где Cf (x) — некоторые непрерывно дифференцируемые функции от х.
Эти функции определяют из системы
%С',(х)г,к = Ш (k = TTn).
1=1
Решая ее, находят Сг'(л;) — ф;(#) (»'=1, п), откуда
Ct (х) = J Фг {х) dx + Ci (i = 1~).
Подставляя эти значения Ct{x) в формулу (8), получают
п п.
Ук = 2 Zih\<Pi(x)dx + 2 Cizik (k = 1, П).
i=l J f=l
Это общее решение системы A) в области E).
Особые точки линейной системы. Если все коэффициенты и
правые части системы A) определены в интервале (а,Ь), за ис-
исключением отдельных точек, в которых они разрывны, то последние
называются особыми точками системы A) (ср. гл. IV, § 1).
201

Построение однородной линейной системы, имеющей заданную
фундаментальную систему решений. Пусть дана совокупность п
линейно независимых в интервале (а, Ь) систем функций
У а, Ухг, • • • . У и (»'= 1, п).
Рассмотрим однородную линейную систему
* * ' '
Ук t/lft У2к • • • Упк
У1 Уп У%1 • • • Утл
Уг Уп Угг • • • Упч
.(9)
Уп
Уш Угп
Уп
= 0 F=1, п).
Очевидно, что для нее заданная система функций (9) будет фунда-*
ментальной системой решений (ср. гл. IV, § 1).
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Метод Эйлера. Линейная система
dx
у которой все коэффициенты аы—вещественные постоянные, всегда
интегрируется в квадратурах, ибо соответствующая однородная ли-
линейная система
{k = \~R) A)
dx
имеет фундаментальную систему решений, состоящую из эле-
элементарных функций. Основным методом построения последней
является метод Эйлера. Согласно этому методу, решение системы
A) ищут в следующем виде:
у1 — уге , у2 = 7ге > • • • > Уп = Упе » (*)
где -уь Y2. ■•■> Уп, А, — некоторые постоянные числа, подлежащие
определению, причем хотя бы одно из чисел \\, \2, ..., уп должно
быть отлично от нуля (почему?).
Подставляя решение B) в систему A) и сокращая на еХх, полу-
получают систему
(аа — 1) Ti -!- «1272 + • • • + а1пуп -- О,
(«22 ~
п = 0,
202
+ ■ • ■ + (аПп ~ Ц Уп = 0.
C)

Чтобы эта однородная линейная система имела ненулевое ре-
решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся
нулю, т. е. К было корнем уравнения
i •— X a,
^22
— X
-0.
D)
Уравнение D) называется характеристическим уравнением, а
его корни — характеристическими числами системы A).
Каждому из корней характеристического уравнения соответст-
соответствует хотя бы одно частное решение вида B). Различают три случая.
I. Все корни %и К2, ■■-, in уравнения D) различны и веществен-
вещественны. В' этом случае, полагая в системе C) X=Xi G=1, я), получа-
получают систему
(ап — %i) Yi + апуъ + .. . + alnyn = О,
fl2iTi + (а22 — Xt) уъ + .. . + а2пУп = О,
E)
«niYi + атЪ + ■ ■ • + (а™ — К) Уп = 0.
Решая ее, находят нулевое решение Vi=Vii> Тг^Т/г. •• •> Уп~Уы
Замечание. Так как ранг системы E) равен п—1 (почему?), то одно из
уравнений этой системы будет следствием остальных, так что числа 7ь 7г. • ■ • . Уп
определяются с точностью до постоянного множителя. В качестве ^ife можно взять
алгебраические дополнения элементов любой строки определителя
012
am
02 П
Oni 0П2 • ■ • Onn — Xj
(если не все оии равны нулю), умножая их в случае необходимости на одно и то
же число.
Подстановка значений ylt у2, .. ., уп и X = %г в формулу B) даст
решение однородной системы A), соответствующее корню Xt:
У и =- Уие%1*, уп = Vuf*", • ■ • , Уш = Ъ*?1*-
Построив решения, соответствующие всем корням Xlt %2, ..., Хпг
получим фундаментальную систему решений
Х л, р^ПХ ., р^ПХ
20S.

Общим решением системы A) будет
Ун -
1=1
II. Корни характеристического уравнения D) различны, но сре-
среди них имеются комплексные. Укажем вид частных решений, соот-
соответствующих комплексным корням.
Если a + ib — корень характеристического уравнения D), то
а—ib тоже будет корнем. Построив решение вида B), соответст-
соответствующее корню a + ib, и отделив в нем вещественную и мнимую
части, получим два вещественных линейно независимых частных
решения однородной системы A). Решения, соответствующие кор-
корню а—ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими
корню a + ib.
Построив частные решения, соответствующие всем парам комп-
комплексно-сопряженных корней и всем вещественным корням (если
они имеются), и взяв линейную комбинацию всех построенных
линейно независимых частных решений с произвольными .постоян-
.постоянными коэффициентами, получим общее решение однородной'систе-
однородной'системы A).
III. Среди корней характеристического уравнения имеются крат-
кратные. Корню Л[ кратности k соответствует решение вида
ух - Рг (х) еих, уг = Р2 (х) еих, ..., уп = Рп (х) eXi\ F)
где Р\(х), Ръ(х), ..., Рп(х) — полиномы от х степени не выше k—1
(они могут вырождаться и в постоянные числа), причем среди ко-
коэффициентов всех этих полиномов k коэффициентов являются про-
произвольными, а остальные выражаются через них.
Положив поочередно один из этих произвольных коэффициен-
коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим k
линейно независимых частных решений. Если К{ — веществен-
вещественный корен ь, то эти частные решения тоже вещественны.
Если ai — комплексный корень, ?ч = а-|- ib, то а—ib
тоже будет корнем характеристического уравнения и притом той
же кратности k. Найдя указанным выше методом k линейно неза-
независимых комплексных частных решений, соответствующих корню
a + ib, и отделив в них вещественные и мнимые части, получим 2k
линейно независимых вещественных частных решений. Ре-
Решения, соответствующие корню а—ib, будут линейно зависимыми
с решениями, соответствующими корню a + ib.
Если наряду с кратным корнем %\ имеются другие (кратные
или простые) корни, то, построив п линейно независимых вещест-
вещественных частных решений, соответствующих всем корням, и взяв их
линейную комбинацию с произвольными постоянными коэффици-
коэффициентами, получим общее решение однородной системы A).
На основании вида фундаментальной системы решений легко
вывести следующие достаточные признаки устойчивости и
204

неустойчивости нулевого решения однородной линейной сис-
системы с постоянными коэффициентами:
1) если все характеристические числа системы
^ (k-i,n) G)
dt S
отрицательны или имеют отрицательную вещественную часть, то
нулевое решение Xi = 0, x2=0, ..., хп = 0 этой системы асимптоти-
асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при ^->- + оо;
2) если хотя бы одно из характеристических чисел системы G)
положительно или имеет положительную вещественную часть, то
нулевое решение этой системы неустойчиво в смысле Ляпунова при
£->-+оо;
3) если система двух уравнений
dx
dt
dy_
dt
— ex -|- dy,
■-- ax + by
имеет чисто мнимые характеристические числа, то нулевое решение
д;=0, у=0, определяемое ею, устойчиво, но не асимптотически;
4) если одно из характеристических чисел системы (8) равно
нулю, а другое отрицательно, то нулевое решение х=0, г/=0 устой-
устойчиво, но не асимптотически;
5) если система (8) имеет двукратное нулевое характеристиче-
характеристическое число, то устойчивость нулевого решения x==0, г/=0 зависит
от аналитической структуры семейства решений, соответствующих
нулевому характеристическому числу.
Это семейство имеет, согласно формулам F), вид x=Pl(t),
y=P2(t), где P[(i) и P2(t) — либо постоянные, либо линейные
функции от t. В первом случае решение х=0, уг=0 будет устойчи-
устойчивым, но не асимптотически, а во втором случае — неустойчивым,
причем имеет место условная устойчивость.
Метод Д'Аламбера. Линейные системы (как уже было сказано
в начале этого параграфа) можно интегрировать и общими мето-
методами, в том числе методом интегрируемых комбинаций. При этом
для построения интегрируемых комбинаций в случае системы ли-
линейных уравнений с постоянными коэффициентами сущест-
существует общий метод, предложенный Д'А ламбером.
Пусть дана система
- У -■ ау + a12z + fx {x),
dx
205

Умножим второе уравнение системы на некоторое число k и
сложим почленно с первым уравнением. Получим
= (an+ka2l) y+ (al2+ ka22) г + h (x) + kf2 (х). A0)
dx
Преобразуем правую часть и выберем число k так, чтобы она стала
линейной функцией от y+kz. С этой целью перепишем уравнение
A0) в виде
у+ и , 22
Положив
г, A1)
г12 + ka22
ап + ka21
получим
d{y^kz) = (ап + ка21) (у + кг) + h W + A/. W- •
Интегрируя это линейное (относительно y+kz) уравнение, находим
y + kz= eiait+ha*l)x (С + ^(fi (x) + kf2 (x))e-iail+ka'l)xdx). A2)
Если уравнение A1) имеет различные вещественные корни
ki и k2, то из формулы A2) получим два первых интеграла системы
(9), и интегрирование этой системы будет окончено.
Метод Д'Аламбера распространяется и на линейные системы с
постоянными коэффициентами, содержащие производные выше
первого порядка.
Приведение однородной линейной системы к системе с постоян-
постоянными коэффициентами с помощью замены независимой переменной.
Если коэффициенты системы B) из § 1 таковы, что
= ahl(f(x) (k, 1=1, п),
mo подстановка
t — ] ср (х) dx
приводит ее к системе с постоянными коэффициентами (ср. гл. IV,
§ 3),
Однородные линейные системы, правые части которых удовле-
удовлетворяют условиям Коши—Римана. Пусть дана система
-^- = p{t)x — q{t)ymu{t, х, у),
dt
= q(t)x + p(t)ys=v (t, x, у),
A3)

правые части которой, рассматриваемые как функции от
удовлетворяют условиям Коши — Римана:
да dv ди dv
х я у,
дх
дх
Общее решение системы A3) можно найти, следуя методу, ука-
указанному в гл. V, § 2. При этом система A3) приводится к одному
уравнению
-Ё-. = X (t) г (к (t) = р It) + iq (t)). A4)
dt
Интегрируя его, получаем z = Се~ (С = Cj + iC2). Отделив ве-
вещественные и мнимые части, найдем общее решение системы A3).
Для построения фундаментальной системы решений системы
A3), нормированной в точке t=t0, достаточно найти решения zx=&
= z{(t) nz2=Z2(t) уравнения A4), удовлетворяющие соответствен-
соответственно начальным условиям: Z\=\ при t=t0 и 22 = £ при ^=^0 (почему?),
и отделить в них вещественные и мнимые части (см. пример 9 на
с. 193).
Изложенный метод распространяется на систему вида
dnx
p(t)y.
Примеры. 1. Рассмотрим систему
dy
dx
dz
dx
Az.
Найдем общее решение ее по методу Эйлера.
Ищем частное решение системы A5) в виде
у = yieXx, г = у2еи
Составляем характеристическое уравнение:
— 1 —— Л — £
з 4 — ;
A5)
A6)
= 0, Х.2 —
Оно имеет корни: Xi = l, Я2=2. Построим частное решение вида A6), соответст-
соответствующее корню А.1 == I. Согласно формуле E), числа Yi и Y2 нужно искать из
системы
— 2Vl —2уг = 0,'
3Yl + Зу2 = 0,
которая сводится к одному уравнению Yi~bY2—0, так что одно из чисел Yi. Y2
можно выбирать произвольно. Положив y» = 1. получим Y2=—1. Поэтому харак-
характеристическому числу Xi = l соответствует частное решение yi=ex, zt=—ex.
207

/
Аналогично находим частное решение, соответствующее характеристическому
числу Я2=2: #2=2е2*, г2=—Зе2*.
Общим решеиием системы A5) будет /
A7)
A8)
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у = — 1, г = 2 при* = 0.
Полагая в общем решении A7) х = 0, у = — 1, г = 2, имеем: — 1 = СН-2С.;,
2 = — Сг — ЗС2, откуда Сх = 1, С2 = — 1. Поэтому
Н
искомым решением будет
у = е* — 2е2*,
Других решений, удовлетворяющих начальным условиям A8), нет.
2. Пусть дана система
dx
A9)
Найдем ее общее решение.
Характеристическое уравнение
i а 1
1 2-Х
= 0, или Я2 — 4% + 5 = О,
имеет корни: A,1=2-j-i, %-г = 2 — i. Построим комплексное решение
= 7ie'2^''*' 2= "Уге'2"*"''*. соответствующее характеристическому числу
Числа ^1 и 7з определяем из уравнения —iyx — у2 = 0. Полагая Vi = "•
Y2 = — J. так что
вида i/ =
Xi=2 + i
находим
г = — te1'"''* = е2* (sin х — i cos х).
Отсюда (отделяя вещественные и мнимые части) получаем два вещественных ли-
иейно независимых частных решения:
уг = е№ cos х, гг = ,
у2 = е2* sin х, г2
Общим решеиием системы A9) будет
у = е2Х (Сг cos х + С2 sin х)Л
г = е2Х (Сх sin х — С2 cos x). J
3. Найти общее решение системы
= е2* sin л, |
dt
_dy_
dz
■ = — Ах + 2(/ + 5г,
9г.
208

Характеристическое уравнение
— 4 —Я 2 5
6 — 1-Я тб
—8
9 —Я
= 0, или Я3 — 4^2 + 5Х — 2=0,
имеет корни: Яг = 2, Я^ = Яз = 1.
Найдем сначала частное решение вида х = Yie2'> У = Т^
ствующее простому характеристическому числу Ai = 2. Числа ylt
определить из системы
& + 2
г ~ 7зе2', соответ-
у3 можно
Но проще взять в качестве их алгебраические дополиения элементов первой стро-
строки определителя
— 6 2 5
6 —3 —6
— 8 3 7
Получим: ух = — 3, у2 = 6, у3 = — 6 или (сократив на — 3) уг = 1, у2 = — 2,
у3 = 2, так что искомым решением будет
Теперь построим два линейно независимых частных решения, соответствую-
соответствующих кратному характеристическому числу Я2=Яз = 1. Согласно формуле F), ему
отвечает решение вида
Je*. г = (Cxt + С8) е*.
x={A1t-\-A2)et, y^
B1)
Коэффициенты А\, As, Bi, Вг, Ci, C2 определяются подстановкой решения B1) в
систему B0). Выполняя эту подстановку и сокращая на е*, имеем:
Ail
2Bl
?i)t — 4Л2 + 2В2 + 5С2, '
ср
2 ^"^ ^л>2,
! — 8Л2 + ЗВ2 + 9С2. ,
Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем систему
— 2ВД — 6Q ^- 0,
6Л2 —2В2 —6С2 = В
— 8Л2 + ЗВ2 + ^2 = 0!,;
откуда Ai = Ci,, Bi = 0, Л2 = С,+С2, В2=ЗСь причем Ci и С2 произвольны. Ре-
Решение B1) принимает вид:
х = (CJ + d + С2) е', i/ = 3C1e', г == (С^ + С2) е'.
В качестве линейно независимых частных решений, соответствующих характери-
характеристическому числу Я2=Х3=1, можно взять
*г = (' + 1) е', |/а = Зе', г2 = tel;
11. Зак. 1213
209

Общим решением системы B0) будет
х = Cie*' + (C2t
С3)
z = 2Cxe^ + (C2t + С3) е*.
4. Найти общее решение системы
dy =
dx>
-f- =У~г+1.
dx
B2)
Эта система неоднородная. Проинтегрируем сначала соответст-
соответствующую однородную систему
dx
dz
dx
Характеристическое уравнение
1 —A, —2
1 —1—i
B3)
= 0, или
=0,
имеет чисто мнимые корни: hi~i, кг==—I. Корню A.i=i соответствует комплекс-
комплексное решение y—2eix, г=A—i)eix, откуда находим
:-\- sinx;
: — cosx,
так что общим решением однородной снстемы B3) будет
у = 2Ct cos x -f- 2C2 sin x,
г = (Cj — С2) cos x + (Ci + C2) sin x.
Переходя к нахождению общего решения дайной неоднородной системы B2),
замечаем, что в нашем примере нет необходимости пользоваться методом Лагран-
жа, ибо можно легко построить частное решение этой системы. Отыскивая по-
последнее в виде y—b, z=c, находим, что у—\, 2=2 является искомым частным
.решением. Поэтому
у = 1 + 2СХ cos х J- 2Cg sin x, \
z = 2 + (Cx — C2) cos x + (Ci + C2) sin * J
■будет общим решением системы B2).
5. Найти общее решение системы
B4)
методом
210
dy_
dx
dz
dx
вариации произвольных
= — у — 2z + 2e-*,
= Зу + 4г-И-
постоянных.

\
Соответствующей однородной системой будет система A5), рассмотренная в
примере 1. Поэтому, следуя сказанному в § 1, общее решение системы B4) ищем
и виде
у = Сг (х) ех + 2С2 (х) е«, \
Функции Сх (х) и С2 (х) находим из системы
С[(х),
Получаем С, (х) = 8е-2*, С'2 (х) = ~ Зе~зх. Поэтому
Следовательно, общим решением системы B4) будет
г=е-х—С1ех—ЗС2е*
Заметим, что здесь, так же как и в предыдущем примере, можно было бы
избежать применения метода Лагранжа. Для этого ищем частное решение си-
системы B4) в виде у = ае-х, z=be~* методом неопределенных коэффициентов.
Получим yi=—2e~x, г]=е-* (см. [9]).
6. Для системы
dx
dy
dt
— х
B5)
|йти общее решение в форме Коши, траектории движений, определяемых этой
]стемой, и исследовать на устойчивость нулевое решение.
г Интегрируя систему B5) методом исключения, имеем d2xldt2+x=0, так что,
B6)
х = Ct cos t -f- C2 sin t,
у — C1sint — C2cost.
Найдем общее решение системы B5) в форме Коши. Пусть х@)=х<,,
= s/o- Тогда, полагая в системе B6) t=Q, х=хо, у=уо, имеем xo=Ci
=—С2. Поэтому общим решением в форме
Коши системы B5) будет
х — дг0 cos t — Уо sin t,
у = х0 sin t -j- y0 cost.
Траекториями движений, определяемых
системой B5), являются начало координат
дг = О, у —0 и интегральные кривые уравне-
уравнения dy/dx=x/(—у), т. е. окружности
или
+ У- ---- х% -f у\ ,
причем точка движется по окружности про-
против часовой стрелки (рис. 52), как это вид-
видно из самой системы B5) (почему?).
Рис. 52
14*
211

25),
Нулевое решение лг=О, #=0, определяемое системой ()$), будет устойчиво,
но не асимптотически (почему?).
В задачах 1117—1132 проинтегрировать систему уравнений по-
последовательным интегрированием или методом исключения.
dy 9 dx
dx ' dt
dz
dx
1117.
1118.
-- z.
1119.
1121.
1123.
1125.
1127.
1129.
ax
IF
dy_
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
dy
dx
dz
dx
dx
IT
dy
dt
dx
~dT
dy
I dt
dx
It
dy_
dt
dz
dt
= y,
- Чу.
-*— У,
= 2y,
= z,
-u-
x — y,
_ 2
— x-\-y.
Х — У,
= x + 2y.
—- x —■ z,
- — 6z.
1120.
1122.
1124.
1126.
1128.
+ z,
1130.
i
X
dt
~dx
dz
dx
dx
~ 2x + y,
dt У
dt
dz_
dt
dx
IF
= y,
4L--x+l
dt
dx
dx
dx _ x__
dt
dy
— -x — y.
dy
-J-^Ay — z-
dx
dz , „
• Ьх 4-1,
— 1.
212

1131.
у' _ _
40е*,
z' = у — 6г -f 9e-*.
1132.
dx
—
at
dx ,
— =--у — cos f,
-f sin £.
В задачах 1133—1150 найти общее решение системы уравнений
методом Эйлера и, где указано, выделить решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
1133. у' - у + z, г' =■ — 2у + 4г; г/ =- 0, z =- — 1 при а: = 0.
1134. г/' = Зг/ — г, г' — Юу — 4z; гу ---- 1, г = 5 при х - 0.
у' = 2y + z,
1135.
1137.
1139.
1141.
г' - Зг/ + 2г.
dx . . _
-— - 4х + Ъу,
at
dt
— -ЗхН
dy „
—2- ^= — x — 3y
dt
dt
1143.
at
z,
dy
at
Z -- 1/2 при * - 0.
1144.
— = 2lx —8«/—19z,
— = 16% — 6t/— 15z.
1136.
1138.
1140.
1142.
z' =-. ~6y — 3
' = y — 2z,
z' -&y — 5z.
У = У + г,
z' = — 10t/ —z.
d^ У Z>
-^-- 12x— 4«/ — 12z,
4.v
dz
-—
at
-5z.
= 1/2,
—7y—15z, 1145.
213

1146.
dx
dt
1147.
dx_
dt
1148.
1150.
dt
~dt
dz_
dt
It
*!L
dz_
dt
= l&c —
177.
= 3x — у — 3z,
— 6z.
-r- = — I2x+5y+l2z, 1149.
dz
dt
dx__
dt
dt
dz . .
— = 4a: — у — 4z.
dt
В задачах 1151—1156 найти общее решение системы уравнений
методом вариации произвольных постоянных и, где указано, выде-
выделить решение, удовлетворяющее поставленным начальным усло-
условиям.
1.151. у\ - У1 + у2 — х2 + х- 2, у' = - 2У1 + 4у2 + 2х2 - 4х-7;
Ух ~ 0. У г — 2 при х = 0.
ft/' = 2у — z + 2е*,
1152.
1154.
z' ^—
dx
1153.
г' - Зг/ — 2г +
=-- х — у + 4cos 2f,
-^- = Зл: — 2г/ + 8cos 2t + 5sin 2Л
1155. = л: + у — cos 2, — = ~ 2х — у + stnt + cos t; x = 1,
t/ =.— 2 при f — 0.
1156. у' --- 2y-\-4z + cosx, z' — — t/ — 2z + sin.Af.
214

В задачах 1157—1159 найти частное решение указанного вида
методом неопределенных коэффициентов и построить общее решение.
1157. у' = — у -\- г — 2е~х, г' = — 6у 4- 4z — 4е~х; t/i = ае~х, Zi =
-• ^ Zf zt * * """ Zf * ' Zf *• ' J-
= her*.
1158. y' ■■= 2y + г — 4, г' = у 4- 2z + Зл:—6; y± = ax+b, z±~cx-fd.
1159. y' = 2y — z — sinx, z' =3t/ — 2z — cosx; yx = acosx+^sinx,
г4 = ccosx + dsinx.
В задачах 1160—1164 проинтегрировать систему уравнений ме-
методом Д'Аламбера.
dx _
dt ~У>
1161.
dy
—2- = X.
dt
dx o
--2,-9,,
1163.
dy_=x.
1160.
1162.
t dt
dx _Qx
dt У'
^-^3x + 2y.
dt
±. = by + 4z + e*,
dx
dz
~- = 4у + 5г+1.
dx
1164.
dy
dt
В задачах
уравнений.
1165.
1167.
dx
dt
~dT
dx
1
— x-4
1165—1167
-~ y>
-bj.
dy
2u — z
/4-sinf.
найти независимые интегралы системы
1166.
dz
и + 2г
dy
dx
dx
В задачах 1168—1183 для системы уравнений найти общее ре-
решение в форме К.оши (полагая /о = О)> траектории движений, опре-
определяемых этой системой, указав на рисунке стрелками направле-
направление движения при возрастании времени t, и исследовать на устой-
устойчивость нулевое решение.
1168.
dx
dt
~dT
= У>
= —x.
1169.
dx
~dT
dy_
dt
Л,
215

1170.
dx . ^
dt
dy _
dt
-2x,
1171.
1172.
_dx
dt
dt
= — x,
2</.
1174.
1176.
1178.
1180.
1173.
dx_
dt
dy_
dx
dx
dt
"d?
= -2x,
= — У-
1175.
dx _
dt
dy _
dt
dx
dt
dy_
dt
dx
dt
dy_
1 dt
dx
dt
dy
l л
dx
d*
= 2x +y,
=--2y.
= -2x,
- 0.
= x-2</,
x t/.
=• 0.
1177.
1179.
1181.
1183.
dt
dy_
dt
dx_
dt
dy_
dt
dt
dy
dt
dx
~dT
dy
Jj.
= Х + У,
= — 5x—3t/.
= 0,
= 2y.
= 0,
— Y
— Л.
- 0,
= 0.
1182.
В задачах 1184—1193 исследовать на устойчивость нулевое ре-
решение, определяемое системой уравнений, по виду характеристиче-
характеристических чисел этой системы.
1184.
dx
dt
~dT
1185.
dx
dt
= 5x.
216

1186.
1188.
1190.
1192.
dx
dt
dy_
dt
dx
dt
dy_
I dt
dx
~dT
dy
I dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
2
-x— y,
= 2x-y,
= 9x — Ay,
x— y,
= 2x — 2y.
= -,2x+ y.
У,
=■■= — 3z.
1187.
1189.
1191.
1193.
dx
tft
^. = _
dt
Al -_
d*
^=3;
dt
dx
dt
dt
л
— = Юх —
9z.
В' задачах 1194—1197 проинтегрировать систему уравнений,
приводящуюся к системе с постоянными коэффициентами заменой
независимой переменной.
1194.
f y + z,
dx
dz „
— = — t/ — 3z.
dx
1195.
1196.
dx
dx
1197.
^ = Зу + 4г.
dx
dy2
х~у- = У2,
dx
dx
1198. Найти фундаментальную систему решений системы урав-
уравнений dx/dt—px—qy, dy/dt=qx-trpy, нормированную в точке
t=0. (Указание. Воспользоваться методом, изложенным в § 2.)
217

В задачах 1199—1206 построить фундаментальную систему ре-
решений, нормированную в точке *=0.
dy _ dy__ _
dx dx
1199.
1201.
= 2y,
= 2z.
1203.
1205,
dz_
dx
dy_
dx
dz_
dx
~dx
~dx
dy_
dx
%■ = -5,-3z.
dx
1200.
1202.
dx
dx
dz_ =
dx
= 2z — 2y.
1204.
dx
dz_
dx
=■■ z,
= —0.
1206.
dt
dy_
dt
dz_
dt
— z.
В задачах 1207—1212 построить однородную линейную систему
дифференциальных уравнений, имеющую заданную фундаменталь-
фундаментальную систему решений (§1).
1207.
- 1209.
1211.
В задачах 1213—1216 проинтегрировать систему уравнений и,
где указано, найти решение, удовлетворяющее поставленным на-
начальным условиям.
Уп
Ун
Уп
Ун
Уп
Ун
— е3*
= е**,
= х<*»
— 1>
- X,
Уп
У22
Уп
> У22
Уш =
У 22 —
= 0;
= е-х.
-0;
— х;
1.
1208.
1210.
1212.
/
i
\У21
(Уп
\Уп
(Ун
= esx, У12
- 0, г/22
= cos 2x,
= sin 2x,
= 1. Ук =
=- х, у22 =
-0;
= е3*.
г/12=^ —sin 2л;;
= л;
= 1.
1218.
Л
218

.... cPx n dry . , dx n п dy
1214. -— — y^Q, -JL — x = O; x-~- 1, —- = 0, у =2, -2- =
фи t = 0.
1215. у" + 2z' — у Л- 2z = 1, z' + 2i
/' = 2/3, z = — 2/9, z' = 1/3 при x ------ 0.'
— z■= x; y = — 7/9,
1216.
d2z
= x — y-fz,
= X+ И— Z.
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Общие понятия. Рассмотрим однородную линейную систему
а,вух уравнений
dx
dx
(I)
Если коэффициенты системы (J) разлагаются в ряды по степе-
степеням х, сходящиеся в области |x|<p, то существует единственное
решение у=у(х), z=z(x) этой системы, удовлетворяющее началь-
начальным условиям:
у-^Уо, г = г0 при х = 0, B)
где начальные значения у0 и г0 можно задавать произвольно. Это
решение, согласно теореме Коши, разложимо в ряды по степеням xi
C)
которые будут сходиться, по крайней мере, в той же области
|х|<р, в которой сходятся ряды для коэффициентов системы. A).
Поэтому в рассматриваемом случае решение системы A), удовлет-
удовлетворяющее начальным условиям B), можно сразу искать в виде C).
При этом коэффициенты с^1), с^2) определяются, например, методом
неопределенных коэффициентов.
219

Для нахождения общего решения системы A) обычно сначала
строят фундаментальную систему решений, нормированную в точ-
точке х=0.
Пример. Найти ©бщее решение системы
, х 1
У = Т-ГТ. У +
1 +
г' = — ■
1+ х
» + '
г,
г.
D)
Построим фундаментальную систему решений, нормированную в точке х=0.
Ищем сначала частное решение у\, z\ с начальными условиями: r/i = l, Zi=0 при
л;=0. Это решение имеет вид
У =
Подставляя эти ряды в систему
и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х слева и справа, нахо-
находим сА())=0 (* = 1, 2, ...), ci<2>=—1, сь<2»=0 F = 2, 3, ...), так что искомым ре-
решением будет #i = l, 2i=—х.
Аналогично, отыскивая частное решение у2, г2 с начальными условиями: у2 =
= О, г2 = 1 при х = 0, находим г/2 — х, г2= 1.
Общим решением системы D) будет
z — ь^л \- о2.
В задачах 1217-—1219 проинтегрировать с помощью степенных
рядов систему уравнений.
1217,
dx
dx
— г и 4- (\ ■ уЦ 7
— у — xz.
1218.
^-= 2x3y-j-Bx—2x5) z,
dx
— = 2xy — 2xsz.
dx
1219.
dy_
dx
dz
dx
A-х2)
\—2x
A-*)*(!-*s)
1 +ДГ-
1 — a:2
A — Jf) A — x2
z.
220

4. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Общие понятия. Пусть дана однородная линейная система
коэффициенты которой непрерывны в интервале {а, Ъ). Тогда систе-
система A) имеет фундаментальную систему решений
Уп, У12, • ••> У in (i = l, n).
Введем в рассмотрение две матрицы:
Y(x) -.
Уп
Ум
Угг
Ухп
Уп2
Упп _
Р(х) =
Ри
Pin
Pin
-Pni Pm
Pr,
где матрица Р(х) есть транспонированная матрица ко-
коэффициентов системы A). Тогда систему A) можно переписать в
виде одного матричного уравнения
dY
dx
=.-■ YP
B)
(почему?).
Всякая неособенная матрица, т. е. матрица с определителем,
отличным от нуля, обращающая уравнение B) в тождество, назы-
называется решением этого уравнения или интегральной матрицей. Ес-
Если У] — интегральная матрица, то CYh где С — любая неособен-
неособенная постоянная матрица, тоже будет интегральной матрицей (по-
(почему?).
Если матрица Р(х) коммутирует со своим интегралом (случай
Лаппо — Данилевского):
Р(х)
= j" P(x)dx-P(x),
Х„
в качестве интегральной матрицы можно взять
х
Г P(x)dx
C)
D)
Здесь справа стоит экспоненциальная (показательная с
основанием е) функция от матрицы. Вообще экспоненциальная
функция от матрицы Z определяется так:
Zm
E)
22Г

где / — единичная матрица того же порядка, что и Z.
Условие C), в частности, заведомо выполнено, если матрица
Р(х) постоянная. Поэтому однородную линейную систему с по-
постоянными вещественными коэффициентами всегда можно проин-
проинтегрировать матричным методом, т. е. найти сразу всю фундамен-
фундаментальную систему решений (интегральную матрицу соответствующе-
соответствующего матричного уравнения). Рассмотрим
ах 1=1
Эта система равносильна матричному уравнению
G)
где А — транспонированная матрица коэффициентов системы F).
Интегральной матрицей уравнения G), или, что то же, фунда-
фундаментальной системой решений системы F), согласно формуле D),
будет (при Р=А, #o=O).
Yx-eAx. (8)
Эта фундаментальная система решений нормирована, в точке х=
=0. Каждый элемент интегральной матрицы (8) представляет со-
собой степенной ряд по степеням х, сходящийся при всех х. Более то-
того, все эти ряды можно просуммировать, так что интегральная мат-
матрица (8) будет состоять из элементарных функций.
Чтобы убедиться в этом, предположим сначала, что А есть ка-
каноническая матрица, и притом чисто диагональная;
А ~ [>.х, X., ..., ).„1,
так что всем характеристическим числам hi, fa, ..., hn матрицы А
соответствуют простые элементарные делители
А —■ А|, Л ■— /*2, • • • , л —■ hn,
в то время как среди самих чисел hi, fa, ..., hn могут быть и равные
между собой. В этом случае, пользуясь формулой E), находим
еАх _ eWi.A.i ьп1* — gV-**'1-'* Лп*1 = \е^1Х t еКгХ. .., i"nX\.
Поэтому интегральная матрица (8) принимает вид
Г1=- [e*"*,"?lX, ..., еКх\. (9)
Пусть теперь матрица А по-прежнему каноническая, но квазидиа-
квазидиагональная:
А = [/р, (Я.х), /Р2 (Я2), . .., /Ps (Xs)\ (Pl -г р2 -I- ■ ■ • Ч р4 =- «),
где /р (Яй) («канонический ящик») есть матрица порядка pft, имею-
имеющая вид
222

/p»<*»>=
'К
1
0
0
причем /х СКт) = %m. [Матрица
0
к
1
0
L'pft
0 •
о .
К •
0 •
(К) с
•• 0
• • 0
• • 0
• • 1
оответс
0
0
0
А,
ТВ1
целителю (к — kk)Ph (k= I, s). Среди чисел Яь Я2, ..., Хв ■ могут
5ыть и равные между собой. В этом случае
где
О
о
P*-l)! (Pft-2)!
Рассмотрим, наконец, общий случай, когда матрица А не ка-
каноническая. В' этом случае ее всегда можно привести к кано-
каноническому виду с помощью преобразования подобия, т. е. можно
найти такую неособенную матрицу S, чтобы матрица
В --= SAS-*
была канонической.
Сделаем теперь в матричном уравнении G) подстановку
Y = ZS,
где Z — новая неизвестная интегральная матрица. Получим
— S = ZSA, — - ZSAS'1
dx dx
A0)
(И)
или
dx
A2)
где В — каноническая матрица.
Систему дифференциальных уравнений, соответствующую мат-
матричному уравнению A2), называют канонической формой рассмат-
рассматриваемой системы F).
Из всего изложенного выше следует правило интегрирования
223

однородной линейной Системы с постоянными коэффициентами
матричным методом'.
Чтобы найти общее решение системы F), нужно:
1) записать матричное уравнение G), соответствующее сис-
системе F);
2) привести матрицу А к каноническому виду A0), найдя
матрицу S;
3) найти интегральную матрицу Z уравнения A2) с канониче-
канонической матрицей В;
4) подставить найденную интегральную матрицу Z в формулу
A1), заменив в случае необходимости в интегральной матрице Y
комплексные решения соответствующими вещественными реше-
решениями;
5) взять линейные комбинации элементов полученной матрицы
Y по столбцам с произвольными постоянными коэффициен-
коэффициентами Си С%, ..., Сп.
Пример. Найти общее решение системы
dx
dx
Система A3) равносильна матричному уравнению
dY
A3)
dx
= YA,
где
Г=\Ы Уп\; А-
1 Уа J
г б зт
= 1-1 г]'
Приведем матрицу А к каноническому виду. Составим характеристическое урав-
уравнение:
6— X 3
= 0, Я* — 8Я+15 = 0.
— 1 2. — Л
Так как оно имеет разные корни: kt =3, Я2 = 5, то
°
5
Найдем матрицу S. Имеем В — SAS-1, BS = SA. Пусть
Тогда
откуда
ГЗ 01 Га Ь1\а ЪЛ Г 6 3
U 5J [с d\~[c d\ [—1 2
,}
За = 6а — Ь,
36 = За + 26,
5c = 6c — d,
Ы = 3c -f Id
224

юэтому Ь ~ За, с = d. Положив а = 1, d = 1, получим b = 3, с = 1, так что
Интегрируя уравнение
:огласно формуле (9), получаем
Ге3* О I
Z=\
IО ебд:]
Найдем Y по формуле A1). Имеем:
1
5]'
Ге3* 0 1 П 3] Ге3* Зе3*]
О е5* 1 1 ев* е&х
L J l_ U l_ J
Общим решением системы A3) будет
Pi = ^е™ +
В задачах 1220—1229 для системы уравнений записать соответ-
соответствующее матричное уравнение и его интегральную матрицу.
1220.
1222.
1224.
1226.
!5. Зак. 1213
~dx
lx
~dx
dy2
dx
~dx~
dx
dy2
dx
dy3
dx
1221.
dx
dx
= — У2-
1223.
1225.
dx
dx
1227.
- 3t/3
dx
255

dx
1228. I
1229.
,dy3
dx
dx
В задачах 1230—1240 проинтегрировать систему уравнений мат-
матричным методом.
1230.
dii _
~7~ — "— J/i
dx
1231.
1232.
dx
= У1 — Уш,
1233.
= ft + 2у2.
1234.
1236.
1238.
dx
dy2
dx '
dyi
dx
djh_
dx '
%= 18ft-6ft-17ft.
dx
^ = ayx + ay,,
dx
dy2
-*Г = "У*,
dx
-^- --■- ayx + ay3.
dx
1235.
, 1237.
1239.
~ = Vi + ft,
dx
dx
dx
dy*
dx
dyi
dx
dyo.
dx
dy3
dx
■^r = 5^ — у» —4^
dx
d#a
dx
dx
I dx_
dt
dy_
dt
dz_
dt
= x — у + z.
= x + y,
= 3x + z.
226

1240.
dx
dt
dt
1241. При каких условиях однородная линейная система двух
уравнений с постоянными коэффициентами приводится к одному
однородному линейному уравнению второго порядка?
1242. Доказать, что однородная линейная система двух уравнений
, , dy , dz
с постоянными коэффициентами —*- = апу -\- al2z, = апу + а2гг
} dx dx
в случае непростого элементарного делителя (к — Я,хJ матрицы коэф-
коэффициентов имеет фундаментальную систему решений вида ух = у^1*,
zx = y2eKlX, y2 = {yLx + a) eXiX, z2 = 72^»*. Найти фундаментальную
ф
dy . dz
систему решении такого вида для системы —2- = — у + г, =
v dx dx
= —у — Ъг.
5. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Какой общий вид имеет линейная система? Когда она назы-
называется однородной; неоднородной?
2. При каком условии задача Коши для линейной системы имеет
единственное решение? Какова при этом условии степень произвола
выбора начальных данных решений линейной системы? В каком
интервале существуют решения? Почему линейная система не име-
имеет особых решений?
3. Какие решения однородной линейной системы называются
линейно независимыми? Что такое фундаментальная система реше-
решений? Может ли нулевое решение входить в состав фундаментальной
системы решений? Какое условие является необходимым и доста-
достаточным для того, чтобы данная система решений была фундамен-
фундаментальной? Сколько фундаментальных систем решений имеет задан-
заданная однородная линейная система? Какая фундаментальная систе-
система называется нормированной в заданной точке х—х<у?
4. Как построить общее решение однородной линейной системы,
если известна фундаментальная система решений? В какой обла-
области определено общее решение? Как решить задачу Коши с по-
помощью формулы общего решения?
5. Как найти общее решение неоднородной линейной системы,
если известно одно частное решение ее и общее решение соответст-
соответствующей однородной системы?
6. В чем состоит метод Лагранжа нахождения общего решения
неоднородной линейной системы?
7. Как построить однородную линейную систему, имеющую за-
заданную фундаментальную систему решений?
15' 227

8. В чем состоит метод Эйлера интегрирования однородных ли-
линейных систем с постоянными коэффициентами? Как зависит струк-
структура фундаментальной системы решений от вида корней характе-
характеристического уравнения? Как влияют на структуру фундаменталь-
фундаментальной системы решений элементарные делители матрицы коэффици-
коэффициентов системы?
9. Как по характеристическим числам однородной линейной си-
системы с постоянными коэффициентами можно судить об устойчи-
устойчивости (неустойчивости) ее нулевого решения?
10. В чем состоит метод Д'Аламбера интегрирования линейных
систем с постоянными коэффициентами?
П. При каком условии однородная линейная система двух
уравнений имеет частное решение, в котором искомые функции
принимают заданные начальные значения при х=0 и которое
представимо в виде степенных рядов по степеням х? Как можно
выбирать начальные значения искомых функций? В какой области
сходятся ряды, представляющие решения?
12. Как найти общее решение однородной линейной системы
двух уравнений с помощью степенных рядов?
13. В' чем состоит правило интегрирования однородной линейной
системы с постоянными коэффициентами матричным методом?
Задачи
В задачах 1243, 1244 доказать, пользуясь теоремой Пикара, су-
существование и единственность решения, удовлетворяющего постав-
поставленным начальным условиям; оценить интервал существования
решения; построить второе приближение к искомому решению (по
методу Пикара).
1 2 1
' 1243. у' = — y + z — х-, z' = у -\ z ; у =
1 + х х 1 + х
,2=1 При X = 1.
2
1244. у' = y + z -\ — , z' = y + -i— z — ex; y=\, z= 1
x—1 1—x
при х=0.
В задачах 1245, 1246 найти методом Пикара решение, удовлет-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
1245. у' = у -\-z — e-x, г' -=■■ у — г—е*; у = 1, z - 1 при х =-- 0.
1246. у' = у + z—x3, г' ■-=- у-'т z — e*; у =-- е, z= 1 при х=1.
4
В задачах 1247, 1248 доказать, пользуясь теоремой Коши, су-
существование и единственность голоморфного решения, удовлетво-
удовлетворяющего поставленным начальным условиям; оценить область
сходимости степенных рядов, представляющих решение; найти сво-
228

бодные члены и коэффициенты при х—х0, (х—х0J и (х—х0K в
разложениях решения в ряды но степеням х—х0.
1247. у' = {\/x)z, z' = — y + U (/ = 2, z- — 1 при x= I.
1248. у' = у + z — sin л:, z' —- у -f cos x — ex\ j/=l,z~0 при
* = 0.
В задачах 1249, 1250 найти голоморфное решение, удовлетво-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
1249. у' = — z-J- I, z' = у — х; y=l, z =--- 0 при х-- 0.
1250. у' = z + ^—^, z' = —— z; у = 1, z = 1 при л: = 1.
л —2 2 —л:
В задачах 1251, 1252 для линейной системы уравнений найти
(пользуясь теоремой Пикара и теоремой К.оши) и сравнить оценки
области существования решения и области сходимости степенных
рядов, представляющих решение, удовлетворяющее поставленным
начальным условиям.
1251. у' у-i z — x, z' = у; у = у0, z = z0 при
х — 2 х' + 1
х = 0.
1252. у' = у + г2»2'3—;—гУ + — ; У^Уо' Zzr~zo
х + 1 х2- + 1 л:
при л: = 1.
В задачах 1253, 1254 определить, какова степень произвола вы-
выбора начальных данных, при которых задача Коши заведомо име-
имеет единственное решение. Оценить область существования решения
и область сходимости степенных рядов, представляющих решение.
1253. у' - у-\ z, z' ----- —у + х.
1 — хг
1254. у' •- у + xz — 1, z' = y — x~z-\-x.
1 -Ь Л3
В задачах 1255, 1256 найти методом Пикара второе приближение
к решению, удовлетворяющему поставленным начальным условиям.
1255. у" + 2ху - 0; у = 2, у' =-- 3 при х = 1.
1256. у" — Х(/ = 0; у =- 1, (/' = 0 при д: - 0.
В задачах 1257, 1258 найти методом Пикара решение, удовлетво-
удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
1257. у" — 2ху' — 2у --= 0; у ■-- 1, у' = 0 при х = 0.
1258. у" + ху' — Bх- + 1)у = 0; г/ = 1, у' - 0 при х = 0.
В задачах 1259—1270 проинтегрировать систему уравнений и,
где указано, выделить решения, удовлетворяющие поставленным
начальным условиям.
о
1259. у' Ч z = 1, г' + у =- г, г/ = 2, г ■= 1 при л: = 1.
хг-
229

1260. у' = Ъу + Az, z' = Ay + Ъг; у - 2, z ^ 0 при х = 0.
1 о Л «-» ^ Л
. Уг + Уз
1262. jy -"» —- 1263.
z' ---
2г.
1264. |У -4^~z'
[z' =«/ + 2z.
1266.
1265.
1267.
«/2 = — #1 + Ь#2 — УЗ,
У\ = Уа+ Уз,
Уъ = 01 + 02 — 0з.
03 ~ 02 + 03-
ху' =Ъу 4- 4z,
xz' = 4г/ + 5z.
1268.
3z
1269. у' = 2у + 4z + соз х, z' = — i/ — 2z + sin x; у = — 2, z = 0
при л: = 0.
1270. у" -|- 2z ■= 0, z* — 2t/ = 0; у = 0, «/' = 1, z = 0, z' = 1 при
л: = 0.
В задачах 1271—1276 исследовать на устойчивость (при /->--(-оо)
нулевое решение системы уравнений.
1271.
= 0,
1273.
1275.
~di
ИГ
dx
~dT
*У- = Ах-Ъу.
dt
dx o
dy , o
—2- = x + 2w.
1272.
1274.
1276.
dx
d^
_d0_
dx
dt
~dT
dx
~~dt
dy_
dt
—. , y
■-=x + y,
= — \Ax — 5y.
= x.
В задачах 1277—1282 проинтегрировать матричным методом сис-
систему уравнений.
230

1277.
dx
dy%
dx
- -•"- Ул + г/г.
— %i'— 5г/2-
1278.
1279.
1281.
г/i = — 2г/1 + г/г,
г/г ="- — 2#2 + Уз,
Уз ~= — 2Уз-
г/i = — г/i + г/г + Уз,
г/г = У* — У2 "~1~ Уз>
Уз = Л + Уг —'&■ •
1280.
1282.
-f- = — г/г,
dy. . .
~ = 4 г/i — 4г/2.
У1 = Зг/i — г/2
Уз,
г ~ —i/i "Т °Уг »з>
Уз = Л — Уг + Зг/з.
yi = г/г + Уз.
У2 — У1 + Уг~-г/з,
Уз = Уг + i's-
В задачах 1283—1288 для уравнения с однородной дробно-ли-
дробно-линейной правой частью
dy _ ах + Ьг/
Jx ex -j- dy
(ad
определить тип особой точки х=0, г/^0; привести уравнение к ка-
каноническому виду; построить схему расположения интегральных
кривых канонического и заданного уравнений в окрестности особой
точки и исследовать на устойчивость нулевое решение х=0, г/=0
автономной системы
dx
dt
= ex
dy ,
—f- = ax + Ьг/,
Of
A4)
соответствующей данному уравнению, указав стрелками направления
движений по траекториям при t-^+oo.
1283.'
1285.
<9Я7
dy
dx
dy
dx
dy
— x — 2y
3x + 4y
x + 2y
2x-2,y
x — y
dx
1284.
1286.
1288.
dx
dy_
dx
dy_
dx
—
x-
2x
x J
x ■— 2 у
Ь2г/
— у
Ь2г/
д; — 2г/ dx Ах — у
1289. Исследовать на устойчивость нулевое решение xs=0, ys=O,
определяемое системой A4), в случае, когда ad—bc=O, приведя
эту систему к каноническому виду.

VII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1. ВВЕДЕНИЕ
Понятие об уравнении с частными производными и его решении.
Равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких неза-
независимых переменных, сами независимые переменные и частные
производные неизвестной функции по независимым переменным,
называется уравнением с частными производными. Порядок стар-
старшей частной производной, входящей в состав уравнения, называ-
называется порядком уравнения. Уравнение с частными производными,
так же как и обыкновенное уравнение, может быть неполным, но
оно обязательно должно содержать хотя бы одну из частных про-
производных неизвестной функции.
Приведем несколько примеров уравнений с частными производ-
производными: . . . .^1
дг ,, ^ дг dz n дг дг Л
— ~-f(x, у, г), х— у—— = 0, х— z—= 0,
дх ду дх дх ду
ди
= пш,
дг
х
дх
+
i
у ■
?и
дг
ду
- 2г,
2 &и
2 дх2 '
ди _
dt
ди
2 дх2
. д2и
а"дхТ'
■+ •■•
д2и
~дх^'
дх
ду*- ~
Первые пять уравнений являются уравнениями с частными про-
производными первого порядка, последние три — уравнения с частны-
частными производными второго порядка.
Функция, имеющая соответствующие частные производные (ко-
(которые мы будем предполагать непрерывными)' и обращаю-
обращающая уравнение с частными производными в тождество, называется
решением этого уравнения. Процесс нахождения решений называ-
называется интегрированием. Обычно, интегрируя уравнения с частными
производными, находят семейство решений, зависящее от про-
произвольных ф у и к ц и и, а не только от произвольных посто-
постоянных, как это имеет место в случае обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Если уравнение содержит неизвестную функцию г, зависящую
только от двух независимых переменных х и у, то его решению
z=z(x, у) соответствует некоторая поверхность в пространстве
232

(х, у, z). Эта поверхность называется интегральной поверхностью
данного уравнения, которую по аналогии с обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением мы называем графиком решения. Напри-
Например, для уравнения
оу
,„
функция z=x2+у2 будет решением, заданным при всех значениях
х и у. Геометрически этому решению соответствует параболоид
вращения с осью вращения Oz. Решением уравнения A) будет
также
? — F (г2 Л- //-1 1^
где/7 — любая непрерывно дифференцируемая функция, так что
уравнение A) имеет семейство решений, зависящее от про-
произвольной функции. Геометрически семейству решений B)
соответствует семейство поверхностей вращения с осью враще-
вращения Oz.
Понятие о линейном уравнении с частными производными пер-
первого порядка. Линейное уравнение с частными производными пер-
первого порядка имеет следующий общий вид:
Xi (%i, Хъ . . . , Х„, U) f- X2 (jCj, %г, . . . , Хп, ll) [-...+
хп,
и) ~-=
дхп
г,
хп, и), C)
где и — неизвестная функция от независимых переменных a'i, x2, ...,
хп; Хь Х2, ..., Хп, R — заданные функции своих аргументов.
Если искомая функция и не входит ни в один из коэффициентов
Хи Х2, . . . , Хп уравнения C), а его
правая часть тождественно равна ну-
нулю, то уравнение C) называется
однородным, в противном случае —
неоднородным.
Задача Коши. Одной из важней-
важнейших задач, которые ставились в
предыдущих главах для обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений,
была задача Коши — задача нахож-
нахождения решения, удовлетворяющего за-
заданным начальным условиям. Эта
задача ставится и для уравнений с
частными производными.
Для уравнения C) задача Коши
ставится так: среди всех решений
этого уравнения найти такое реше-
решение
и = /(%i, *2, • • ■, хп), Рис 53
23$

которое удовлетворяет начальному условию
и - <р(хг, xit . .., xn_i) при хп = 4
где ц>(хи х2, ..., Xn-i) — заданная непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая функция своих аргументов.
В случае уравнения
Р(х, у, г) ^+Q(x, у, z) A = R(x, у, г)
дх ду
задача Коши состоит в нахождении решения
z--:f(x,y), D)
удовлетворяющего начальному условию
z — Ф (у) "Ри х ~ хо-
Геометрически здесь речь идет о нахождении интеграль-
интегральной поверхности D), проходящей через заданную кривую г=
= <р(у), х=х0, лежащую в плоскости х=х0.
Например, для уравнения A) решением, удовлетворяющим на-
начальному условию 2=у2 при х=0, будет функция z = x2+y2. Гео-
Геометрически этому решению соответствует параболоид вращения,
проходящий через параболу z=y2, лежащую в плоскости (у, г)
({рис. 53).
2. ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
Построение общего решения. Рассмотрим однородное линейное
равнение
vi \ ди , .. . ч ди
Х1 (хъ х2, . .., хп) 1- Хъ(хъ хг, ..., хп) Ь •• • +
dx дх
хг, ..., хп)-^- = 0. A)
дхп
п
(Здесь правая часть тождественно равна нулю п коэффициенты
Хи Х2, ..., Хп не зависят от искомой функции и.)
Предполагаем, что коэффициенты Хи Х2, ..., Хп уравнения A)
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности заданной
точки (х^°\ а-2@), ..., ли@)) и, кроме того, не обращаются в этой точке
одновременно в нуль. Будем считать, что
хп(^0), 49)> ■••' ЧО))=^о.
Заметим, что однородное уравнение A) всегда имеет решение
и = с, где с — любое постоянное число. Такие решения называются
очевидными.
При сделанных предположениях однородное уравнение A) име-
284

ет семейство решений, содержащее произвольную функцию. Это
семейство решений может быть найдено следующим образом.
Построим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
в симметрической форме
У (V Y Y \ Y (Y Y V \
/4 \Л1> Л2> * * • » лтт/ *i2 \Л1> Л2> • • * » Л71/
= V- (х f" ГТ • B)
Она называется системой обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений в симметрической форме, соответствующей однородному ли-
лилейному уравнению с частными производными A).
Система B) имеет п—1 независимых интегралов:
C)
определенных в некоторой окрестности точки (х\(°\ х2(-°\ ..., )
Каждый из них является решением уравнения A). Любая непре-
непрерывно дифференцируемая функция от них \p = F(\j3b гр2, ■■-, грп-i)
будет интегралом системы B) и, следовательно, решением уравне-
уравнения A).
Таким образом, уравнение A) имеет семейство решений
и --
Это семейство решений, зависящее от произвольной функции F, на-
называется общим решением уравнения A).
В случае уравнения с двумя независимыми переменными
Р(х, У) ^ + Q(x, у) —-0 D)
ах ху
система B) вырождается водно уравнение
dx _ йу
Р(х, у) Q(x. у) '
Если г|з (х, у) есть интеграл этого уравнения, то общим решением
уравнения D) будет
■z = F№{x, у)),
где F—произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Решение задачи Коши. Пусть требуется найти'4решение u = f(xlt
xit ..., хп), удовлетворяющее начальному условию и — ф {хъ хъ ...,
) 40)
Положим в интегралах C) системы B) хп — х^ и обозначим по-
полученные функции через %, ^г. • • • . ^п-ь
235

\|J (^i, X2, . ■ • , -fn -1> xn ) — У2>
E)
Разрешим систему E) относительно х,, х2, ...,
Ч ^
Подставим в правую часть равенства и=--<р(хх, хг, ..., хп.х)
вместо х1г х.г ..., xn_i функции со,, со2, ..., (.on_lt заменив в них
"Ч1!. Ча> •••> 4"«-i Iia 4'i. ^2 ^n-i- Получим функцию
»n-l(^,, 4-2- •••, Чп-l))- ^ F)
Эта функция и дает искомое решение (почему?). *
В случае уравнения D) с двумя независимыми переменными задача
Коши состоит (см. § 1) в нахождении решения z — f(x, у), удовлет-
удовлетворяющего начальному условию Z — ц>(у) при х = х0. Система E) сво-
сводится к одному уравнению if(x0, у) — ty, откуда находим у — со (if).
Искомым решением будет
г-- <p(co(ip(x, у))).
Примеры. 1. Найти общее решение уравнения
ди ди г ди
G)
Составляем систему
дх ду ' 2 дг
И выделить решение, удовлетворяющее начальному условию
и — у -|- г2 при х -- 1.
dx d(/ йг
дс " У '" г/2
Интегрируя ее, находим yjx — C^, z2lx—C2, так что система (9) имеет независи-
A0)
(8)
(9)
мые интегралы:
Ь = У/х,
Следовательно, общим решением уравнения G) будет
u = F(y/x, зГ-/х). (И)
Найдем решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию'(8).
Полагая в интегралах A0) х—\, имеем y = tyl, z2 = i|J, откуда y = tyi, г ^=
= i У ^2 • Следовательно, искомым решением, согласно формуле F), будет и —
= i|)! -|- г|J или и = (^ -[- г2)/лт. Эго решение содержится в общем решении A1) при
F0l Ф) Ч + Ф
236

2. Найти общее решение уравнения
и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию г = 2у при х = 0.
dx dy
Интегрируя уравнение = , находим: х2 — у2 = С, г|) = х2 — у2, По-
Поэтому общим решением уравнения A2) будет
Решаем предложенную задачу Коши: —у2 = ty, у=у —ty , Искомым реше-
решением будет
г = 21/-(|) или z - 2 У</2 — *2 .
В задачах 1290—1298 проинтегрировать уравнение и, где указа-
указано, найти решение, удовлетворяющее поставленному начальному усло-
условию.
1290. х — -f yz — = 0; и = х» при г = 1.
дх dz
дх ду дг
1292. {г-yf ^-+г -^ + у -fi = 0; и = 2у(у-г) при х -
дх ду дг
1293. (тг — пу) — + (пх — к) — + Aу — тх) — = 0.
дх ду dz
1294. A + х2) — + хг/ — = 0; г - г/2 при х = 0.
,„„. ди , ди Л , 1 ,
1295. г/ 1~ г = 0; и = In г при л: — 1.
дх дг г/
1296. (х3 + Зху2) — + 2у3 — + 2у2г — = 0.
дх ду дг
1297. х£- + у%-+{г-У* + уЧ-*)%- = 0.
дх ду dz
1298. х (г/- — г) у (х2 + z2 —+ф2+ г/" — = 0.
дх ду дг
3. НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
Построение общего решения. Интегрирование неоднородного линей-
линейного уравнения
237

Xx{хъ хг, ..., xn, w) —^- + X2(хъ х2, ..., xn, и) -?-+...+
«i дх2
+ Xnixu хг xn, и) —- = R{xlt x2 xn, u), A)
dxn
где функции Хь X2, . • •, Xn и R непрерывно дифференцируемы в
некоторой окрестности заданной точки {х[°\ х^°\ .. ., л^°>, н@>), при-
причем
приводится к интегрированию следующей соответствующей ему сис-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической
форме:
dxx _ dx2 _ _ dxn __ du
Xn
Если
R
Ы*1> ^2 Xn, ll), ..,, ^„(Jf!, X2. •••' ^- "). B)
суть независимые интегралы этой системы, то равенство
где Ф — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, назы-
называется общим решением уравнения A) в неявной форме. Разрешив
его относительно и, получим общее решение в явной форме.
Решение задачи Коши. Пусть требуется найти решение u^=f(xu
%2, • • •, хп), удовлетворяющее начальному условию и — y(xlt хг, ...,
*B_i) при хп = xW .
Положим в интегралах B) хп = х^0' н обозначим полученные функ-
функции через г|з1; ч|г2 -фп:
и) =
C)
Разрешим систему C) относительно
г, ..., хп_ъ и:
н = со(
Подставим в равенство м =
. .... 4>n).
, хг, ..., xn_i) вместо и, хъ х2, ...,
238

xn-i функции со, col7 co2. • • • i <°n-i. заменив в них %, ij:2, . . .,
на i|)b |-2, ..., ipn,. Получим:
Эта формула дает искомое решение задачи Коши в неявной форме
(почему?).
Примеры. 1. Найти общее решение уравнения
дг дг
х — + (у + х'-) — = г D)
дх , ду
и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию
г = у — 4 при х — 1. E)
Составляем соответствующую уравнению D) систему [[обыкновенных 'дифферен-
'дифференциальных уравнений в симметрической форме
dx dy dz
х у -j- & г
Ищем ее независимые интегралы. Интегрируя уравнение
dx dy
х ~ у + х2 '
получаем:
У — я3 У — xz
dx dz
Уравнение = дает г/х = С2, ^ = г/х. Общим решением уравнения D)
будет
или (разрешая относительно г)
/у — х2 г \
ФГ- , =0
\ х х )
F)
Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию E). Полагая в интегра-
интегралах ^ и ifa х =2, имеем:
'1* ^
откуда у = 2^1-т- 4, г = 2-ф2- Подставляем эти значения у и г в формулу г=</—4,
заменяя ^1 и if>2 на ty1 и г|J:
24-2 = 2^ + 4-4, ^2-%, ~==^~«
так что искомым решением будет
г = у — х*.
Это решение содержится в общем решении F) при ](t)=t.
339

2. Найти общее решение уравнения
* _* =0 (,>0). G)
дх ду
Это уравнение является неоднородным, ибо, хотя правая часть тож-
тождественно равна нулю, искомая функция г входит в один из коэффициентов
уравнения.
Следуя общему правилу, составляем систему ■
dx dy dz
х ~ — z ~ О
Интегрируем ее:
dx dtt и
dz = O, z = Ci, = —7- , lnx = -—- + Ct,
x —Ct С2
Inx + y/z = C2,
так что ifo = z, \J>2 = 'n x + yjz. Поэтому общим решением уравнения G) будет
Ф(г, 1пл; + ^/г) = 0.
В задачах 1299—1307 проинтегрировать уравнение и, где указа-
указано, найти решение, удовлетворяющее поставленному начальному
условию.
1299. ^- + Bу-г) -f- = у + 2г.
дх ду
1300. уг + х — — 0; г — х- при у — I.
дх ду
1301. х = г, г = г (х, у); z = у при х - 1.
дх
1302. y^ = z. 1303^VF^ + V7^ 4
дх дх ду 2
чппл ди , ди . ди 1 , , . _
1304. х —- + у —- + г -— =-- и; и = — (г/ + г) при х = 2.
дд; (?г/ dz 2
1305. х — + г — = 0; z = — у при х = 1.
дх ду
1306. х — + у — = 2г; г = у при л; = 1.
дх ду
1307. (г — у) — +{х — г)— + х — у = 0.
дх ду
4. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Система двух нелинейных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему
240

—- = A (x, у, z),
дх
^= хз (x, у, zj,
правые части которой непрерывно дифференцируемы в некоторой
окрестности заданной точки (х0, у0, г0). Эта система называется
совместной, если существует функция z = z(x, у), обращающая оба
уравнения системы A) в тождества в некоторой окрестности точки
(*o> Уо> zo) •
Для того чтобы система A) имела семейство решений, завися-
зависящее хотя бы от одной произвольной постоянной, необходимо и до-
достаточно, чтобы условие
+ В+А <2>
ду dz дх dz
выполнялось тождественно относительно х, у, z в некоторой окрест-
окрестности точки (х0, у о, z0). Условие B) называется условием полной
интегрируемости системы A).
Если условие B) выполнено, то решение системы A) ищется по
следующей схеме.
Фиксируя в первом из уравнений A) переменную у и интегри-
интегрируя полученное уравнение, находим
z = <p(*. С (у)), C)
где С(у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция
от у. Выбираем С(у) так, чтобы функция C) удовлетворяла и
второму из уравнений A). Выполнение условия полной интегри-
интегрируемости системы A) гарантирует возможность такого выбора
С(у). В результате мы получим
г--г{х, у, С), D)
где С — произвольная постоянная.
Уравнение Пфаффа. Уравнение вида
Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz -= 0 E)
называется уравнением Пфаффа.
Предположим, что функции Р, Q, R непрерывно дифференци-
дифференцируемы в некоторой окрестности заданной точки (х0, у0, z0) и хотя
бы одна из них отлична от нуля в этой точке. Пусть R(xOl y0, го)ФО.
Тогда
dz = — dx — dy,
R R У
, dz , , dz ,
dz= —- dx + ~ dy,
dx dy
16. Зак. 1213

откуда
dz , dz , P . Q ,
dx -\ ay = dx — ay,
dx dy R R
и так как dx и dy независимы, то искомая функция z должна удов-
удовлетворять системе
dz P
дх
dz
R
R
F)
Записав для системы F) условие полной интегрируемости B),
придем к уравнению, которое можно преобразовать к виду (см.,
например, [7, с. 347; 8, с. 743])
dy dz
dz дх
dx
или
p
д
дх
Q
d
dy
R
д
dz
=-0.
Р Q R
Если условие G) выполняется тождественно в некоторой окрест-
окрестности точки (х0, уо, z0), то оно называется условием полной интег-
интегрируемости уравнения Пфаффа. При выполнении этого условия
интегрирование уравнения Пфаффа приводится к интегрированию
системы F), в результате чего получается семейство решений вида
D), содержащее одну произвольную постоянную.
Метод Лаграижа—Шарли. Рассмотрим нелинейное урав-
уравнение
F(x, у, z, р, <?) = (), (8)
где z=z(x, у) —■ искомая функция; p=dz/dx; q=dzfdy; F — за-
заданная функция от своих аргументов.
Семейство решений уравнения (8), заданное в виде
V(x, и, 2, а, Ъ) = 0 или z — ф(х, у, а, Ь),
где а и Ь — произвольные постоянные, называется полным интегра-
интегралом уравнения (8). Исключив а и b из системы
V(x, у, z, а, Ъ) = 0,
дх oz
dV , dV .
1 q = 0
ду dz
или
z = ф(х, у, a, b),
p ~ ~ >
dx
248

мы получим уравнение, эквивалентное уравнению (8).
Полный интеграл уравнения (8) может быть найден следующим
методом Лагранжа — Шарпи (см. [7, с. 349—351; 8, с. 745—748]).
Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений в симметрической форме
dx
Р
Q
dz
dp
dq
Pp
-{X + Zp) ~
где Р = Fp'; Q = Fq; X = Fx\ Y = Fy; Z = Fz . Ищем ее первый ин-
интеграл Ф (х, у, 2, р, q) = а. Составляем систему
F (х, у, z, р, ?) = 0,1
Ф(х,у, z, p, q) = а ]
и, разрешая ее относительно р и <7, приходим к системе
р = А(х, у, z, а),
= А (х, у, z, а), )
= B(x, у, z, a), J
интегрируя которую, мы и получаем полный интеграл уравнения (8).
^) Пусть дана система
дг
дх
дг
ду
Проверяем условие B):
дА дА _ / _ 1ху
ду "*" "
У
У) г,
х]г.
(9)
дВ
-г—
дх
5г
5г
+ 1
+ У
А =
Чху
+
+ г/2
-+х\г,
-Ь У I г.
Следовательно, условие B) выполнено тождественно на всей плоскости (х, у),
кроме начала координат, так что система (9) вполне интегрируема.
Следуя указанной выше схеме, найдем решение системы (9), содержащее
одну произвольную постоянную.
Первое из уравнений (9) при фиксированном у даст .
г= С (у) еУ* Ух2 + у2 .
Выберем С (у). Подставляем функцию A0) во второе из уравнений (9):
С (у) еУх Ух2 + уг + С (у) хеУ* Ух* + у* + С (у) ev* ■
У
A0)
г/
16*

откуда С (у) = 0, так что С (у) — С — const. Следовательно, искомым решением
будет '
г =- СеУ Ух* + 1/2 .
2. Рассмотрим уравнение Пфаффа
2(х + у) , 2 (л: -;-
ал: -)-
г г ' \ г j
Проверяем условие полной интегрируемости G):
4х + У) I 2{х + у) 2(х + у) '
(И)
г* + г2 )
г-г)"-
Следовательно, уравнение A1) вполне интегрируемо. Интегрируя соответствую-
соответствующую ему систему
дг 2г
дх
дг
ду
х -j- у
2г
Х + У
получаем:
г = С (у) {х + у)*; С (у) (х + </J -\- С (у) 2 (х
С'(у)=0, С {у)---.С,
так что
Это и есть искомое решение уравнения A1).
3. Найти полный интеграл уравнения
г2A-)-рН-</2) = #2 (R ="const)
A2)
методом Лагранжа — Шарпи.
Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответст-
соответствующую этому уравнению:
dx dy dz dp
2г2 (р2 + ф) ~ — BгA + р"-
dq
В качестве интересующего нас первого интеграла этой системы можно взять
p/q=a.
Решаем систему
2A+2 + 2) /?
относительно р и q:
р =
_г2
У а* + 1 г
1 У/?2 — г2
A3)
244

Интегрируя систему A3), находим
а
1
- г- -|-
Это и есть полный интеграл уравнения A2).
В задачах 1308—1311 проинтегрировать систему уравнений, дока-
доказав предварительно, что она вполне интегрируема.
dz
М308.
1310.
dx
dz_
dz_
dx
dz_
ду
уг.
=-■ xz.
= 22
1309.
= yz cos (xy),
dx
dz
1311.
ду
dz_
dx
dz
= 2,
ех+У
2.
В задачах 1312—1314 проинтегрировать уравнение Пфаффа, дока-
доказав предварительно, что оно вполне интегрируемо.
■ 1312. yzdx — xzdy + x4z = 0. 1313. г/zdx -He*» 4- xz) dy — d2 =0.
• 1314. (x2 4- 22 — x3) dx 4- хЧу — xdz - 0.
В задачах 1315—1317 найти полный интеграл уравнения методом
Лагранжа—Шарпи.
1315. 2 = px-Hw4-p3- 1316. 2 = px + qy + pq. 1317. р = 2z<?2.
5. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Вопросы
1. Что такое дифференциальное уравнение с частными произ-
производными? Что называется его решением? Какой геометрический
смысл имеет решение уравнения с двумя независимыми перемен-
переменными?
2. Какое уравнение называется линейным уравнением с част-
частными производными первого порядка? В каком случае оно назы-
называется однородным; неоднородным?
3. Как ставится задача Коши для уравнения с частными про-
производными первого порядка? Какой геометрический смысл она
имеет в случае двух независимых переменных?
4. Как построить общее решение однородного линейного урав-
уравнения с частными производными первого порядка? Как решается
задача Коши для этого уравнения?
5. Как построить общее решение неоднородного линейного урав-
уравнения с частными производными первого порядка? Как решается
задача Коши для этого уравнения?
6. При каком условии нормальная система двух уравнений с
245

частными производными вполне интегрируема? Как интегрируется
эта система при выполнении условия полной интегрируемости?
7. Какой вид имеет уравнение Пфаффа? При каком условии оно
вполне интегрируемо? Как интегрируется это уравнение?
8. Что называется полным интегралом нелинейного уравнения
с частными производными первого порядка? В чем состоит метод
Лагранжа—Шарпи нахождения полного интеграла этого уравне-
уравнения?
Задачи
В задачах 1318—1328 найти общее решение уравнения и, где
указано, выделить решение, удовлетворяющее поставленным на-
начальным условиям.
.„.„ ди , ди , . ди
1318. хг \-хг- h ■■■ + хп —~ = 0.
дхг дх2 дхп
1319. Xlp- + x2^-+ ... +хп^-=ти (тфО).
дхх дх2 дхп
1320. х —-у — +2— = 0; u = y + z При 2=1.' '
дх ду dz
..„. ди ди . ди , ,
1321. х — у ]- 2 = и; и = у -\- z при х = 1.
дх ду dz
ухг
дх ду
1323. -^ + У2 = 0. 1324. 2^L_i! = 0.
дх дх ду
1325. х — у ~ = 0; 2 = у- при х = 1.
дх ду
1326. х — = z; z = siny при х = 1; 2 = х при у = 1.
1327. =2", 2 = у ПрИ X = 1.
дх
1328. — = — ; 2 = г/ + 1 при х = 0.
дх ду
В задачах 1329—-1332 найти интегральные поверхности, проходя-
проходящие через заданные кривые.
1329. у— — x — = 0; 2 = у, х = 0; z - y\ x=0; z =VR> —y2 ,
dx dy
x=0; 2= 1, x-0; г2 — у2 = 1, [x = 0; z = x, y= 1; x2/4-b22= 1,
у = 0. Сделать рисунки.
lo._ дг n дг „ , ,
1330. x у = х — у; л; = й, г = у + " •
дх ду
246

1331. у .v —- у-
дх ду
у — a, z =
1332.
~ х- -]- у2; х = а, z = 1 + 2«/ +
дх ду
•1333. Проинтегрировать систему уравнений, доказав предваритель-
предварительно, что она интегрируема:
dz
дх
dz
ду
х
3z_
У
1334. Проинтегрировать уравнение Пфаффа, доказав предваритель-
предварительно, что оно вполне интегрируемо: zdx-\- ((х — y-f—2yz) dy+ (у2—х) dz —
= 0.
1335. Найти, пользуясь методом Лагранжа—Шарпи, полный ин-
интеграл уравнения z = рх + qy -— p2q.

VIII. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1336. Дано уравнение dy/dx = f(x), где / непрерывна в [а, +оо)
(или в (—оо, а]) и Г f(x)dx (или Г f(x)dx\ сходится. Доказать, что
а —то
интегральная кривая, проходящая через точку (х0, у0), где хо^а
(или хо^Са), а г/0—любое заданное число, имеет горизонтальную
+
+ о
асимптоту у = у0 - • b, b — f f(x)dx [или у =■■ у0 — b, b = Г /4%)
1137. Использовав результат предыдущей задачи, выяснить, при
каких значениях X интегральная кривая уравнения dyjdx = х}\ прохо-
проходящая через точку (х0> у0), где х0 принадлежит области задания
функции /, а //0 произвольно, имеет горизонтальную асимптоту.
1138. Дано уравнение
йУ ' A)
dx
где / непрерывна во всех точках интервала (а, Ь), кроме точки х =
= £, а<£<&, причем /(х)->-+оо при х->-£■. Тогда х = | есть ре-
решение перевернутого уравнения [9, с. 17 — 21]
', = ~Т7Т' ' (!')
которое мы присоединяем к решениям уравнения A), Доказать, что
если интегралы
j и \f{x)dx B>
расходятся, то х — Ъ, — частное решение, если же оба этих интеграла
сходятся, то х = % — особое решение. Сделать рисунки в случаях,
когда /(л:)-»--}-оо при х-*-%±0, /(х)-» оо при х-»-| — 0, f(x)-*-
-^-+схз при х->-% + 0. Проинтегрировать уравнения
—L = J_ „ JL. =, JL
dx x2 dx x
248

Сделать рисунки.
1339. Доказать, что если хотя бы один из интегралов B) сходит-
:я, то х = !• — особое решение. Проинтегрировать уравнение
dx \\/х\ л;>0.
Сделать рисунок.
1340. Дано уравнение dy/dx — х1. Указать, при каких значениях
к перевернутое уравнение имеет решение х = 0. Исследовать, пользу-
пользуясь результатом задачи 1338, при каких значениях X это решение
будет особым.
1341. Дано уравнение dy/dx — f(y), в котором / непрерывна и не
обращается в нуль в (с, d). Доказать, пользуясь теоремой о суще-
сущего dy
ствовании неявной функции, что уравнение —-—-=х — х0 опреде-
ляет единственное решение у = у{х) данного дифференциального урав-
уравнения, удовлетворяющее начальному условию у = у0 при х — х0, где
у0 £ (с, d), а х0 — любое заданное число.
1342. Пусть в уравнении dy/dx — / (у) правая часть / непрерывна
в (с, d) и /(т)) — 0, v]£(c, d). Тогда </ = т) — решение. Доказать, что
С dy с dy
это решение будет частным, если интегралы —-— и —-— рас-
CJ f{y) i f(y)
ходятся, и особым, если хотя бы один из них сходится. Сделать ри-
рисунки.
1343. Дано уравнение dy/dx — у1. Указать, при каких значениях
h оно имеет решение у — 0. Исследовать, пользуясь результатом
предыдущей задачи, при каких значениях X это решение будет осо-
особым. Изучить и сравнить поведение интегральных кривых уравнений
dy/dx == V\y\ и dy/dx — -/у; сделать рисунки.
■ 1344. Изучить поле направлений, определяемое дифференциальным
уравнением —— = -—-— ^- (см. задачу 153). Проинтегриро-
dx xy
вать уравнение и исследовать поведение интегральных кривых в
окрестности особых точек @, 1) и @, —1), при х->0 и при х-*
->±оо. Существует ли решение с начальным условием у{х0) = 0,
В задачах 1345 —-1351 проинтегрировать уравнение, приводящееся
к уравнению с разделяющимися переменными, с помощью замены
искомой функции.
1345. y{l+xy)dx + x(\^xy)dy = 0. 1346. {x*-~if)y' —ху = 0.
1347. (ху' - у) f(x) = у2 - х\ 1348. у' = у/х + xxf (tj/x).
x — a I x — a
249

1350. ;/ = y*f {xij). 1351. i/ + tjjx = ф (x) / (*«,).
1352. Решить функциональное уравнение
l~f(x)f(y)
(Указание. Найти /@). Далее, предполагая, что f(x) диффе-
дифференцируема в окрестности точки х=0, продифференцировать обе
части данного уравнения по у и положить у=0. Решить полученное
дифференциальное уравнение с учетом начального условия.)
1353. Решить функциональное уравнение f(x^-y)~ f{x)f{y).
1354. Показать, что правая часть уравнения у' = — есть
х — а
его интеграл, и написать общий интеграл этого уравнения.
1355. Показать, что уравнение a{xdy — ydx) 4- Ф + bxx -f- b%y)dy~{-
+ (с + ci* + c2r/) dx = 0 приводится к однородному или к уравнению
с разделяющимися переменными.
1356. Проинтегрировать уравнение dyjdx-\- у = /(sinx — у), где
0, г<0.
Найти решение, проходящее через точку М@, 1).
1357. Угадать частное решение линейного уравнения у' -\-yq'(х) —
= ф (х) ф' (х) и написать его общее решение.
1358. Проинтегрировать уравнение у' ~\- у ccs x = sin x ccs x, угадав
его частное решение.
В задачах 1359, 1360 привести уравнение к линейному с помощью
замены искомой функции.
1359. А (х) ф' (у) у' + В (х) ч[(у) + С (х) = 0.
1360. ym~ly' + p(x)ym
1361. Доказать, что касательные к интегральным криЕым линей-
линейного уравнения у' -{- р{х)у = q{x), проведенные в течках пересечения
этих кривых прямой х = х0, параллельной сси Оу, параллельны, если
р(хо) = О, и пересекаются в одной точке L(x0) с ксординатами■ \ —
= х0 -) , т) = ^^ °' , если р (xu) =jk 0. (Геометрическое место
PW р{х0)
точек L(x0) называется направляющей криесй [21, с. 36].)
В задачах 1362—1366 найти напрарляюш^ю кривою для урав-
уравнения.
1362. у' + р {х) у = 0. 1363. у' + у = 0. 1364. г/' + 2ху = 0.
1365. ху' — у = —\/х\ 1366. г/' + A/д;)у = Зх.
1367. Найти периодические решения >р£Еие1;ия у' = уsinx-j-sm2x.
В задачах 1368, 1369 показать, что ургвнение приводится к ли-
линейному.
250

1368. (a + aLx)(xdy — ydx) + (b + b^) dy + (с + С]* + c2y) dx = 0.
1369. (a + a2y)(xdy — ydx + {b + &i* + &2y) dy + (с + c2y) dx = 0.
1370. Исследовать на устойчивость (при t-*--\-oo) нулевое реше-
решение уравнения + %х = 0 (X = const).
1371. Дано 'Линейное уравнение -{- р (t) х = q (t), где p(t)^
dt
^с>0 и 9@-^0 ПРИ f->- + oo. Доказать, что любое решение х =
= л:(£) обладает свойством #(f)~>0 при ^-*- + °° (ср. с задачей 285).
1372. (В. Р. Петухов.) Найти решение линейного уравнения
= л; sin — -f ), с начальным условием х@) = 0 и выяснить, су-
dt A-
ществует ли предел этого решения при Х->-0.
dx
1373. (Н. Н. Петров.) Та же задача для уравнения =
dt
х . 1 , ,
= — sin — + X.
2 X
1374. (Н. Н. Петров.) Доказать, что для решения x = x{t, X)
уравнения
, х cos A1%) , sin(//X)
dx ' ' v
dt
0, X = 0,
с начальным условием л;@, X) =0 предельное соотношение x(t, К)-*-
—>-x(t, 0) при Х->-0 имеет место равномерно по t на любом конечном
интервале для а>0, р>0, а + р>1. (Указание. Проинтегриро-
Проинтегрировать уравнение с учетом начального условия и разложить в ряд
экспоненты, входящие в решение. Заметим, что если а>1, р>1, то
указанное предельное соотношение следует из классической теоре-
теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра.)
1375. Дано уравнение у' + y/x=a\nx-y'z. Указать, какова степень
произвола выбора начальных данных, при которых решение задачи
Коши для него существует и единственно. В каком (максимальном)
интервале будет определено решение? Изучить поведение интеграль-
интегральных кривых в окрестности неподвижной особой точки х = 0 и по-
2
движной особой точки а=а{\пхо)г- , х0у0^=0.
хоУо
1376. Привести уравнение у' +{y~ — 4>2(x))f{x) — <p'(x) = Q к урав-
уравнению Бернулли с помощью замены искомой функции.
В задачах 1377 —1379 проинтегрировать уравнение Дарбу.
1377. (х (х + у) + с?) у' = у(х + у) + Ь\
1378. Л/yJy. (dx + dy) -\- x (xdy — ydx) = 0.
1379. A + х + y){xdy — ydx) + {x + y)dx + {y ~x)dy = 0.
251

В задачах 1380, 1381 проинтегрировать уравнение Якоби, исполь-
используя метод, указанный ниже.
Известно, что уравнение
(a 4- axx 4- a2y){xdy — ydx) — {b 4- bxx 4- b2y) dy +
всегда интегрируется в квадратурах [8, с. 103—108]. Если ах= а2 =
= 0, то уравнение C) приводится к однородному или к уравнению
с разделяющимися переменными. При а2 -= Ь2 = 0 или ах — сх = 0 это
уравнение приводится к линейному соответственно относительно у или
х. В случае b = с ■■= 0 уравнение Якоби легко приводится к уравне-
уравнению Дарбу. В других случаях уравнение Якоби может быть приведе-
приведено к уравнению Дарбу или к линейному уравнению с помощью пере-
переноса начала координат или линейной замены искомой функции. Для
этого составляют уравнение
а — % ах
b Ьл — I
а2
Со i
= 0.
Если существует такой корень %lt что система
су 4- сх<х -\-\с2 — ^i) Р = 0 J
имеет ненулевое решение, в котором уф®, то, полагая у = I,
разрешают систему
а — X, 4- <-'ha 4" a2p — 0)'
c+c1a + (c2~%1)f,^0
относительно а и Р и, сделав в C) подстановку х = £ 4- а, у = ц -f-
4- Р, приходят к уравнению Дарбу. В случае, когда не существует
корня klt обладающего указанным свойством, причем а^фО, а2ф0,
уравнение Якоби подстановкой ахх 4- а2у ~ агг приводится к линейно-
линейному с неизвестной функцией х. Если же ах = 0 (аг =£ 0) или аг — 0
(aj =^= 0), то соответственно аг = сх — 0 или аг = Ь2 = 0.
1380. A4х 4- 1 Зг/4- 6) dx 4- Dх 4 5</4- 3) dy 4- G* 4- §y)(ydx — xdy) =
= 0.
1381.
4- 8у 4-
Gх 4- Щ dy + о {х — у){уйх — xdy) = 0.
В задачах 1382, 1383 решить интегральнее уравнение.
1382. У=Ь\ (ctg * 4- cos t) у (t) dt, % = const.
252

1
1383. f (у1' (xt) -f y% (xt)) di = у2 (х). (Указание. Сделать подста-
b
новку xt = 2.)
1384. Проинтегрировать уравнение
dy x — y2-
dx
(Указание. Записать уравнение в виде М(х, y)dx + N(х, у)Л/ = 0.)
1385. Найти интегрирующий множитель и проинтегрировать урав-
уравнение
Bх tg у sec х 4- у2 sec у) dx + By tg x sec у ~f- л:2 sec ;c)dy = 0.
(Указание. Так как уравнение имеет вид М(х, y)dx-\rM(y, x)dy =
= 0, то оно допускает интегрирующий множитель |л = <р (х) ф (у). Для
нахождения ср воспользоваться уравнением B) на с. 78. Положив
в полученном уравнении у = 0, найти дифференциальное уравнение
для ф(х).)
1386. Пусть М — полное метрическое пространство, т. е. множе-
множество, в котором введена метрика d(x, у) (расстояние между любыми
двумя точками х и у из М), удовлетворяющая трем условиям:
1) 0<d(x, </)<-(-оо, d(x, #)--0 <=>*---«/;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y)^d(x, z)-\-d(z, у) v*. у, z^M,
и всякая фундаментальная последовательность {*«} с: М, т. е. после-
последовательность, обладающая свойством d(xm, x*n)~*-Q при т—>-ао, п->
->-оо, сходится к точке д;*£Л4 (d(x^, x*)->0 при п->оо).
Предположим, что в пространстве М задан оператор (отображе-
(отображение) А, действующий из М в М (отображающий М само в себя):
А: М—>-М, так что Vx£M, A(x)£M, и этот оператор есть оператор
сжатия (сжатое отображение), т. е.
Теорема Банаха (принцип 'сжатых отображений). При сде-
сделанных выше предположениях существует единственная точка х^М,
для которой А (х) — х (х называется неподвижной точкой отображе-
отображения А), причем точка х может быть найдена методом последова-
последовательных приближений [9, с. 48]:
х = lim хп, хп = А (хп_х) Ух0£ М.
Доказать, используя теорему Банаха, существование и единствен-
единственность решения задачи Коши
253

У =f{x, у), y(xo) = yo, E)
dx
где / непрерывна по совокупности переменных к и у и удовлетворяет
условию Липшица по у в R:
I/ (*,' Ъ- f (х, У)\ < L \у - р"|, L > О V (х, у), (х, у) g /?, F)
R: |x-*ol<a, 1у;-Уо1<Ь. G)
(Указание. Достаточно доказать существование и единственность
X
непрерывного решения интегрального уравнения у = у + [ f (х, у) dx,
равносильного задаче Коши E). В качестве полного метрического про-
пространства взять пространство С—-множество функций {у(х)}, непре-
непрерывных на \х ■— хо\ ^ hx 5^ h, где
A = min(a, b/M), \f{x, y)<M, M>0 v {x,
с метрикой
d(y, г)= max \y{x) — z{x)\
(убедиться, что С — полное метрическое пространство). Рассмот-
Рассмотреть в пространстве С оператор А:
X
{х, y)dx.
х0
Показать, что А: С->С, и, убедившись, что А есть оператор сжатия,
применить теорему Банаха о неподвижной точке. Неподвижная
точка отображения А, т. е. функция у(х), для которой А(у(х)) =
=у(х), и будет единственным решением указанного интегрального
уравнения и тем самым задачи Коши E) (почему?).)
1387. Доказать лемму Гронуолла: если 0^.и(х)£С[а, Ь],
0 — некоторые постоянные, то из условия
*1
и(х)<%4- JA | j «(t)dt\, х0, х£ [а, Ь\,
следует, что и(х)^.'ке^х~х''\ х0, х£[а, Ь].
1388. Доказать лемму Гронуолла —Беллмана [19, с. 1081: если
0^.и(х), v{x)£C[a, b], X^O — некоторая постоянная, то из усло:
вия
X
x£[a, b],
следует, что и(х)^Хеа , х£[а, Ь]. В частности, ^,=
х£[а, Ь].
254

■'"• 1389. Пользуясь леммой Гронуолла, доказать единственность
решения задачи Коши, E), предполагая, что / непрерывна по сово-
совокупности аргументов х и у и удовлетворяет условию Липшица F)
относительно у в области G).
В задачах 1390—1392 выяснить, каким решением для диффе-
дифференциального уравнения будет г/=0: частным или особым.
1
1390.
1391.
1392.
У' =
У' =
У' =
у sin ,
У
0,
I/ У sin
0,
у Ь/ sin
0,
УФ
У =
1
У '
1
У
>
о,
0.
УФ
У =
УФ
и =
о,
0.
о,
0.
1393. Дано уравнение dy/dx = f(x, у), где / непрерывна на всей
плоскости (х, у) и обладает свойством: f(x, г/)>0 при хг/<0,
f(x, г/)<0 при хг/>0. Доказать, что решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальному условию г/@)=0, существует. Гаран-
Гарантируется ли единственность решения?
1394. (Ю. С. Богданов.) Найти все решения уравнения F(y') =
= 0, где F — произвольная функция.
1395. Дано уравнение у' = ay2n~'rl -f pin(x)y2n -b . .. -г рЛх)У +
+ f(x) (й=5^=0), где pi, f непрерывны и ограничены в (—оо, +оо).
Доказать, что любое решение у =■- у (х), у (х0) = у0 продолжимо либо
вправо на (х0, + оо), либо влево на (—оо, х„).
1396. Доказать, что уравнение у = у' + /I —-—| с по-
Ф'(дс) I ф'(дг) У
мощью замены независимой переменной может быть приведено к урав-
уравнению Клеро.
В задачах 1397—1401 проинтегрировать уравнение и там, где
указано, выделить интегральную кривую, проходящую через задан-
заданную точку M(xq, уа), выяснив предварительно вопрос о существо-
существовании и единственности ее, о направлении касательной и направле-
направлении вогнутости интегральной кривой в точке М.
1397. \у'\ + У = 1. Сделать рисунок.
1398. у' \у'\ = —2у. Сделать рисунок.
1399. у' - \у\ + \х\; М@, 0). 1400. \у'\ ^ \у\ + 1; М @, 0).
1401. у' = sign (х — у)У\х — у\.
1402. Доказать, что любое решение уравнения у"
= 0 ограничено при х~
255

1403. Построить однородное линейное уравнение наименьшего по-
порядка, имеющее частные решения ух = ех, у2 = shx и у3 — chx.
В задачах 1404, 1405 рассматриваются простейшие сингулярно-
возмущенные дифференциальные уравнения [23].
1404. Дано уравнение гу" + У ~ 1- Найти решения, ограниченные
при е->- +0 (e-v—0).
1405. Найти решение уравнения гу"+у = \, стремящееся к оп-
определенному пределу при е->+0.
1406. Дано уравнение х3у"—(х2+х)у'+2у=0. Построить фун-
фундаментальную систему решений в окрестности точки лт—0. Изучить
поведение фундаментальной системы решений при х->+0 и при х-*-
-э—0. (Указание. Найти частное решение в виде полинома.)
1407. При каких значениях % уравнение х" ~ %х-----0, х = х(х)
имеет ненулевые решения, удовлетворяющие краевым условиям:
х@) — 0, хA) -= 0. Найти эти решения (ср. задачу 831).
1408. При каких значениях X уравнение A —х-)у" — 2ху' -\- %у —
= 0 имеет ненулевые решения, конечные в особых точках
х-- ±1? Найти эти решения.
1409. При каких значениях % уравнение A—хг) у" — ху' + Ъу =
= 0 имеет ненулевые решения, конечные в особых точках
х = ±1? Найти эти решения.
1410. Доказать, что уравнение Эйри у" — ху = 0 имеет фундамен-
фундаментальную систему решений:
\-—tX \,У2 = Х J-1/з —-IX
\ 3 / \ з /
1411. Дано уравнение у" -rq(x)y =-- 0, где q(—х) = —q(x). Дока-
Доказать, что если у -— ф (х) — решение этого уравнения, то у — ф (—х)
тоже будет его решением.
1412. Доказать, что уравнение Эйри — Фока у" + ху— 0 имеет фун-
фундаментальную систему решений ух — Ai(-—х), уг = Bi{-—х).
1413. Дано уравнение х+ g(x) = 0, где g(—х) = —g(x). Дока-
Доказать, что период колебаний решения с начальными условиями: л;@) =
= а>0, л;@) = 0 выражается формулой [26, с. 96]
Т(а) = 2V2f dX G(x)=h(x)dx.
i VG(a)-G(x) oJ
1414. Доказать, что период колебаний математического маятника,
движение которого описывается нелинейным дифференциальным урав-
уравнением ф — ■—(g/l)sinф, где ф—-угол отклонения оси маятника от
вертикального положения равновесия, выражается формулой
ф1==ф@).
ё о УсОЭф —
256

1415. Привести уравнение х"-у" — 2ху' + 2у = xzF(y/x) к виду z" =
= F(z) с помощью замены искомой функции.
1416. Пусть дана однородная линейная система [8, с. 714]
= Р(х)г, (8)
dx
где z = (Zi, ..., гп)г — га-мерный вектор-столбец; Р(л:)£С(а, Ь) —
пХ я-матрица (т. е. матрица P(v) определена и непрерывна в (а, Ъ)
и имеет порядок я X га). Тогда существует фундаментальная матрица
(интегральная матрица) Z = Z (лт) уравнения
dZ =P(x)Z (9)
dx
(Z— матрица порядка я X я), т. е. матрица фундаментальной систе-
системы решений однородной линейной системы (8). При этом Z(x)£
£ С1 (а, Ъ) — п X я-матрица (т. е. Z (х) непрерывно дифференцируема
на (а, Ь) и имеет порядок п х я). Доказать, что формула z = Z(x)c,
где с — произвольный постоянный я-мерный вектор, дает общее реше-
решение системы (8) в области D: a<x<b, \zh\<.+oo (k = 1, я).
1417. Пусть Zx (x) — фундаментальная матрица уравнения (9). До-
Доказать, что формула Z — Zx (x) С, где С — произвольная постоянная
п X га-матрица, О(С)ф0, содержит все фундаментальные матрицы
уравнения (9).
1418. Пусть поставлена задача Коши
dz P(x)z 2(xo) = zo, A0)
dx
где z = (zi, . .. , zn)T — га-мерный вектор-столбец; z0 = (zi, . .., 2°)r;
P(x)gC(a, b) — я x я-матрица. Если Z(x) — фундаментальная матри-
матрица уравнения (9), то решение задачи Коши A0) дается формулой
t
(почему?) или
z=K(x, xo)zo,
где К(х, х0) = Z(x)Z~1(x0) (если Z(x) нормирована в точке х0, Z(xo) =
—- Е, то z — Z(x)z0). Матрица К(х, х0) называется матрицей Коши
для уравнения (9). Она представляет собою фундаментальную матри-
матрицу уравнения (9), нормированную в точке х0. Доказать, что матрица
Коши инвариантна относительно выбора фундаментальной матрицы
Z(x).
1419. Дана неоднородная линейная система
~^- = Р(*H+ /(*). С11)
dx
где Р(х)£С(а, Ь) — я X га-матрица; у ==• (уи .... уп)Т, f = (fi,
17, Зак. 1213 257

b) — «-мерные векторы-столбцы (т. е. непрерывные
на (а, Ь) векторы порядка п). Пусть Z(x) — фундаментальная матри-
матрица уравнения (9). Доказать, что формула [27, с. 31; 19, с. 77]
y = Z(x)c-i
или
" :(*, t)f(t)dt,
где с — произвольный «-вектор, дает общее решение системы A1) в
области D: a<x<b, \yh\< +°o {k — 1, п). (Указание. Восполь-
Воспользоваться методом Лагранжа, отыскивая решение системы A1) в виде
у = Z(x)c{x), где с(х)^С1(а, Ь) — n-вектор (т. е. с (х) — непрерывно
дифференцируемый в (а, Ь) вектор порядка п).)
1420. Пусть поставлена задача Коши
-&~ = Р(х)у+ f(х), у(х0) = уй, A2)
dx
где у = (г/i, .. •, уп)Т, f =-- [fu ■ • •, fnf, Уо = (Уи • • •, у1У — п-мер-
ные векторы-столбцы; Р(х)£С(а, Ь) — п х «-матрица. Доказать, что
решение задачи Коши A2) может быть представлено в виде формулы
Коши
A3)
или
y = Z{x)yo+ [K{x, t)f{t)dt,
где Z (х) — фундаментальная матрица уравнения (9), нормированная
в точке х0 (ср. задачу 269).
1421. Какой вид принимает формула Коши A3) в случае системы
с постоянными коэффициентами —— = Ау + f (х), у (х0) = у0?
dx
1422. Пусть дано уравнение
— --=P(x)Y, A4)
dx
где Pt{x)~£C {a, b), Y — n[x «-матрицы. Уравнение
-^- = — ZP(x) A5)
dx
называется сопряженным по отношению к уравнению A4). Доказать,
что если Z (х) — фундаментальная матрица сопряженного уравнения
Л5), то Y = Z~i(x) — фундаментальная матрица данного уравнения A4).
258

1423. (К. А. Абгарян.) Пусть поставлена матричная задача
Коши
~=A{t)X + XB{t);X(to) = C, A6)
at
где X — п X n-матрица; A(t), B{t)£C(t0, T) — п X n-матрицы; С —
постоянная п X n-матрица. Доказать, что задача A6) имеет решение
вида X = Y(t)CZ(t), где Y(t) и Z(t) — соответственно нормированные
в точке t0 фундаментальные матрицы уравнений
dY Л()Г и
dt w dt
1424. (К. А. Абгарян.) Доказать, что матричная задача Коши
dt
); X[{to) =
имеет решение вида X = Y(t)CY J(£)•
1425. (К- А. А б г а р я н.) Доказать, что матричная задача Коши
dX ЛХ + ХВ; X{to) = C,
dt
где Л, Б и С —постоянные пхя-матрицы, имеет решение вида X =
1426. (Ф. Р» Гантмахер.) Пусть поставлена матричная задача
Коши
HY
^ = Р (х) Y; Y (х0) = Е, х0 6 (а, Ь), A7)
dx
где Y — п X n-матрица; Р(х)£С (а, Ь). Будем искать решение зада-
задачи A7) методом последовательных приближений. Возьмем в качестве
нулевого приближения Yo (х) единичную матрицу и зададим k - е
приближение Yk(x) формулой
Yh {х) = Е + J Р (х) Yk_x (х) dx.
х.
Тогда Yk(x) будет суммой k + 1 членов матричного ряда
X XX
Е + f P{x)dx+ [ P{x)dx[ P (x) dx + ... A8)
Доказать, что матричный ряд A8) абсолютно и равномерно сходится
на любом [аь b^\cz{ay b) и что его сумма (матрицант уравнения A7))
QxXa (P)=E+ j P (х) dx + f P (x)dx ^ P(x)dx+ ...
Xq Xq Xq
является решением поставленной задачи A7).
■7' 259

Замечание. В случае уравнения dY/dx = AY (A= const) имеем Q* {А)=
= е4**-'»' (почему?).
В задачах 1427—1431 определить тип особой точки дг -= 0, у = О
уравнения
dy _ Р (х, у)
dx
Q(x, у)
и исследовать на устойчивость нулевое решение х \
ветствующей ему автономной системы
dx
О, у s= 0 соот-
1427.
1429.
1431.
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dt
dy
dt
, , у
У
— x+ y(x2 -
y + x(x2 +
— x + xy2
y—yx2
- V\A, I
t> 1 V
t)
f)>
149ft
1440
dy
dx
dy
dx
—x—2x3
у -j» 2y3
—x -b x2y
У ~\- xs
1432. Исследовать поле скоростей, определяемое системой
dy
dx
dt
— у — ух2, —2— — —х -\-ху2. Найти точки покоя (точки равнове
dt
сия), определить их тип и исследовать на устойчивость соответст-
соответствующие им состояния покоя.
Задачи 1433—1440 (Н. А. Сахарников) связаны с проб-
проблемой центра и фокуса для системы
dx
ИГ
dt
■= у + X (х, у),
= — х — Y {х, у),
A9)
где Х(х, у), Y(x, у) — голоморфные относительно х и у функции,
не содержащие свободных и линейных членов. Эта проблема, как
известно, тесно связана с проблемой существования у системы
A9) не зависящего от / интеграла, представляющего голоморфную
в начале координат функцию переменных х и у. Связь этих проб-
проблем видна из следующей теоремы Ляпунова: для того чтобы точка
260

равновесия х=0, у=0 системы A9) была центром, необходимо и
достаточно, чтобы существовал ряд вида
F (*, У) - 2 Fh {Х' у)'
h=2
где Fh(x, у) — однородный полином степени k относительно х и у,
формально удовлетворяющий уравнению
(у+Х)-^- -(х+ Y) ^
^0,
ду
где X, У те же, что и в системе A9).
1433. Доказать, что для существования голоморфного относи-
относительно хну интеграла системы A9) необходимо и достаточно су-
существование голоморфного интегрирующего множителя для урав-
уравнения (x+Y)dx+(y + X)dy=Q.
1434. Доказать, что если хХ—г/У==О, то точка равновесия х=0,
г/ = 0 для системы A9) является центром.
1435. Доказать, что если А'и У — однородные полиномы одной и
той же степени, причем
xY + уХ^Он f *(cos<P>si"<P) d(f=-Q, B0)
J cos <р
то точка равновесия .v=0, у = 0 для системы A9) является цент-
центром. Существуют ли другие функции хну, удовлетворяющие усло-
условиям B0), для которых х=0, у=0 — центр?
1436. Доказать, что если Х(у, x) = Y(x, у), то точка равновесия
х=:0, у=0 системы A9) —центр.
1437. Доказать, что если X и У — однородные полиномы четной
степени относительно х и у и Х(у, х)^—Y(x, у), то точка равнове-
равновесия х—0, у = 0 системы A9) — центр.
1438. Доказать, что если Х(х, у) н Y(x, у) — голоморфные отно-
относительно хну функции, в разложениях которых по целым положи-
положительным степеням х и у отсутствуют члены нечетного измерения, и
Х(у, х) =—Y(x, у), то точка равновесия х—0, у —0 системы A9) —
центр.
1439. Доказать, что вид (характер) точки равновесия х=0,
у = 0 системы A9) и системы
dx v
= у -Ь tnX,
dt
dy
— — х—niY,
dt
где X, У — однородные полиномы степени пГ>2, a m — веществен-
вещественное постоянное число, не зависит от величины пг.
261

1440. Дана система
dx
dt
dy_
dt
= Хг{х, у-) + yX2(x, y2),
= Y1(x, y2)+ yY2(x, у2),
где Xi, X2, Уi, Y2 — голоморфные относительно x и у2 функции, при-
причем Х,@, 0)=Yi@, 0)=У2@, 0)=0, Х2@, 0)^=0, Yi(x, 0)#0. До-
Доказать, что для того чтобы эта система допускала не зависящий от
t интеграл, представляющий собой голоморфную функцию от х и
у2 (или от х и х2+у2), необходимо и достаточно, чтобы выполня-
выполнялось условие: X\YX—y2X2Y2~0. ■ ■
В задачах 1441—1448 (А. Ф. Андреев) выяснить тип рас-
расположения фазовых траекторий системы в окрестности точки рав-
равновесия х=0, </=0.
1441.
dx
= х1
—У— = ахт + by, где 1^2, т
dt dt
числа; а, Ьф О — постоянные.
1442. = х, —— = ахт + Ьуп, где т]> 1, п
dt dt
числа; a, b Ф О — постоянные.
.—"целые
— целые
1443.
1444.
dt
= у + (Х + у)\
dt
dx
~dT
dt
= — (х + уK.
— у + ах3 + ЪЬх"-у + Ъсхуг + dy3 s=y + Q(x, у),
= -\х3 + Ъах2у + ЗЬху2 + су3) = — Р(х, у),
где a, b, c, d — постоянные вещественные числа.
dx
1445.
1446.
1447.
dt
dy_
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
= у + Зх2у — у3 ^ у + Q (х, у),
— — Xs + Ъху2 ss Р (х, у).
— у + ах3 -1- 2а У у — а3хуг- + fy/3.
у, —— — ал;а + Ьа'Р у, где параметры а, C, й,
262

6 удовлетворяют условиям сс^2, P^l, афЪ, Ь Ф§ и принимают
следующие значения:
1) а = 2, р= 1, с= 1, 6=1; 2) а = 3, Р= 1, а= 1, 6 = 1;
3) о = 3, Р= 1, а = —2, = 4; 4) а = 3, Р.= 1, а=—1, 6=1;
5) а = 3, Р = 2, а=—\, 6=1; 6) а = 4, р=1, а =\, 6=1;
7) а = 5, р= 1, а = — 1, 6=1; 8) а = 5, р = 2, а = — 3, 6=6.
1448. -^- = у~ х\ Щ
t
dt " ' dt
1449. (А. Ф. Андреев.) Для уравнения
направление ф = 0 можно заключить в нормальную область второго
типа. Показать, что оно имеет в этой области бесчисленнее множест-
множество О-кривых.
1450. (А. Ф. Анд реев.) То же для уравнения
^Ф 1ч /3 rsin3( уф In r) \ ,
г —— — ф3 — ф 1 \_i_r .__ , г _j_
dr 2 f\2 lnr In2 r /
1451. (А. Ф. Андреев.) Доказать, что для системы
dx
= у -\- ах3 -(- ол; у — осху +
B1)
точка равновесия х = 0, у = 0 является центром.
1452. (А. Ф. Андреев.) Найти расположение фазовых траекто-
траекторий системы B1) на всей плоскости (х, у) при следующих значениях
параметров:
1) с= —1, 6 = 3, с= 1, rf= I; 2) а- —1/2, Ь= 1/2, c=d-0;
3) а = — 1, Ь = [с ^ d =- 0; 4) а - — 1, Ь = с = 0, d = — 5;
5) а = — 1, 6 = 2, с ---- 0, d - — 2.
В' задачах 1453, 1454, пользуясь критерием Гурвица, исследо-
исследовать на асимптотическую устойчивость нулевое решение однород-
однородной линейной автономной системы.
263

Пусть дана однородная линейная система
dx
dt
= Ах, B2)
где х—и-мерный вектор; А— постоянная, вещественная пХ«-мат-
рица. Рассмотрим нулевое решение
х = 0, B3)
определяемое системой B2). Для того чтобы это решение было
асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все
характеристические числа системы B2) (или, что то же, матрицы
А) имели отрицательные вещественные части [8, с! 641]. Отрица-
Отрицательность вещественных частей характеристических чисел можно
установить и не решая характеристического уравнения, пользуясь
следующим критерием Гурвица [8, 14, 19, 25].
Пусть дано уравнение A)
у" 4- а1Уп~] -f а2уг-2 -!-... + ап^у -J- ап - 0. ■ . B4)
Рассмотрим последовательность
0, ■ • ■ . 0, ап, ап.и . . . , а„ аи 1, 0, . . , 0. B5)
Составим п х п-матрицу, k-я строка которой является отрезком пос-
последовательности B5) с элементом ak на главной диагонали:
а-,
1
аг
а,к
0
0
Й1
as
6
0
1
<h
6
0
0
Й;
0
0
0
1
0
0
0
0
0
. . . 0
. . . 0
. . . 0
... а
L0 0 0 0 0 0 0 ... ап.
B6)
Эга матрица называется матрицей Гурвица.
Критерий Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения
B4) имели отрицатгльныг вещестзенныг части, необходимо а доста-
достаточно, чтобы Aft>0 (k=l, п), гдг Ah — главные диагональные
миноры матрицы B6). При этом Дх = at, а А„ — определитель
матрицы B6).
В частности, в случае уравнения второй степени
г/2 -}- а1У + аг = 0 B7)
имеем последовательность 0, а>, а1? 1, так что матрица B6) будет
иметь вид
а, 1
0 а2
Поэтому критерий Гурвица для уравнения B7) сводится к требо-
требованию положительности коэффициентов а^ и а2.
264

Полином, все корни которого имеют отрицательные веществен-
вещественные части, называется гурвицевым. Если характеристический по-
полином матрицы А гурвицев, то матрица А называется гурвицевой.
Таким образом, для того чтобы решение B3) было асимптоти-
асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы матрица А бы-
была гурвицевой.
dx . dx
1453.
dt
dt
- х -г ay,
- х - 2у.
1454.
dt
dy_
dt
= ax
■-= x — y.
Задачи 1455—1457 посвящены исследованию па устойчивость
по Ляпунову решений дифференциальных уравнений второго по-
порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка |7]
dt*
dt
описывающее движение материальной точки по оси Ох, где х и
dx
■ положение и скорость точки в момент времени t.\ Предполо-
Предположи
жим, что / (t, 0, 0)
шение (движение)
^ ^ *о- Тогда уравнение B8) определяет ре-
рех = 0 (t > *0). B9)
Это решение называется состоянием покоя. Оно удовлетворяет ну-
нулевым начальным условиям:
dx
х = 0' -dT
= 0 ПрИ t - t0.
Пусть / такова, что решения
X = X (t, t0, Х0, V0)
dx
C0)
с начальными условиями:
X = X
dt
= у0 при t ■= tQ,
где х0 и v0 достаточно малы, существуют, единственны и продолжи-
мы на все / J> t0.
Решение (движение) B9) называется невозмущенным, а решения
(движения) C0) с ненулевыми начальными значениями хй и у0 —
возмущенными.
Решение B9) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если
уе>0
\x(t, t0, х0,
> 0: | х01 < б, | v0
dx (t, t0, x0, v0)
dt
265

Если хотя бы для одного е > 0 не существует соответствующего
б >■ О, то решение B9) называется неустойчивым.
Решение B9) называется асимптотически устойчивым, если оно
устойчиво и, кроме того, для достаточно малых х0 и у0
x(t, £„> х0, Do)-*-0, — "' ""'—-->■() при £->-foo.
dt
Если решение B9) неустойчиво, но можно подчинить доста-
достаточно малые х0 и и0 такому дополнительному условию вида ц>{х0, vo)~^
^ 0, ф @, 0) = 0, что для любого е > 0 найдется соответствующее
б > 0, то решение B9) называется условно устойчивым.
1455. Исследовать на устойчивость нулевое решение, определяе-
определяемое однородным линейным дифференциальным уравнением второго
порядка
У" + РУ' + ЧУ = 0, C1)
где р, q — вещественные числа, по характеристическим числам
уравнения C1).
1456. Доказать, что для того чтобы нулевое решение г/ = 0 урав-
уравнения C1) было асимптотически устойчиво, необходимо и доста-
достаточно, чтобы характеристический полином K2-{-pX + q был гурвице-
вым: р>0, <7>0.
1457. Движение материальной точки массой m по оси Ох под
действием силы (—ах), притягивающей ее к началу координат, и
/ , dx \ , ,
силы сопротивления среды — о описывается дифференци-
\ dt I
альным уравнением
_^_ + 2/1 — 1- k2x = 0, C2)
df dt
где h = b/Bm)>0; k2=a/m>0. Пользуясь критерием Гурвица, ис-
исследовать па асимптотическую устойчивость состояние покоя *=(),
определяемое уравнением C2). Исследовать на устойчивость со-
состояние покоя х=0 в случае, когда движение происходит в среде
без сопротивления (/i = 0).
В задачах 1458—1461 исследовать на устойчивость нулевое ре-
решение автономной системы, используя систему первого приближе-
приближения.
Пусть дана нелинейная автономная система
dXb = Xh(xlt . . . , хп) (k = ТГл"), C3)
dt
где Xh обращается в нуль в точке xi = O, ..., л:„=0. Тогда система
C3) определяет нулевое решение
*! =н 0, . . . , *„ в 0. C4)
266

'' Рассмотрим вопрос об устойчивости решения C4) в предполо-
предположении, что Хи голоморфны в точке Л'1 = 0, ..., х„ = 0и нелинейность
;, системы C3) не является существенной, т.е. разложения
:Хотя бы одной из Xi, no степеням л'ь ••-, хп имеют линейные члены,
что система C3) может быть записана в виде
dxk
dt
C5)
;где аы — вещественные числа; fh — голоморфные «нелинейности».
Укороченная (в данном случае л ин е й н а я) система
dxk
dt
C6)
^•называется системой первого приближения по отношению к си-
'стеме C5).
; Если все характеристические числа системы C6) имеют отри-
отрицательные вещественные части или среди них имеется хотя бы од-
одно с положительной вещественной частью, то об устойчивости ре-
решения C4) для системы C3), а следовательно, и для системы C5)
можно судить по первому приближению C6), а именно: в этом слу-
случае решение C4) будет для системы C3) соответственно асимпто-
асимптотически устойчивым или неустойчивым.
Г458.
1460.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
= sin (x —
-- sin (x -f-
v
=■-- ex — у -
- x 4- еУ
У),
У)-
-1,
1
1459.
1461.
dt
dx
dt
dy_
dt
dx
- sin {x -'r y),
= sin (x — y).
dt
dy
sin x
dt
= cos x + у — .1.
В задачах 1462—1464 (В. И. Зубов) требуется найти грани-
границу области асимптотической устойчивости рассматриваемого реше-
решения нелинейной автономной системы, доказав предварительно его
асимптотическую устойчивость.
1462.
dx
= — х 4-
dy
== — у\ х == 0, у === 0. Изучив
. dt. ' dt
поле направлений, исследовать качественную картину поведения
траекторий в.области асимптотической устойчивости, на границе этой
области и вне ее.

1463.
1464.
dx
dt
dy
dt
dx
A — x- 4- y2Jx
(x + \f 4- y2
1 —- x2 + y1
xy,
Ax-y
(x
dt
IJ
dy_
dt
tf
4- г/2); x ^ 0, г/ = 0.
1465. (В. И. Зубов.) Доказать, что уравнение
—^
dt
4- q (t) (k - 0, 1, . . .), где g<0 --константа, a q (t) — почти пе-
периодическая функция, обладает свойством конвергенции при любом
выборе функции q (t).
1466. (Н. А. Лукашевич.) Доказать, что система
dx
t ' f /У\ I - 1 2 1 \
.dt
где f(t) и q(t) непрерывны при |/|< + оо, имеет решение x=x(t),
y=y(t), которому соответствует замкнутая кривая на фазовой
плоскости (х, у), но которое не является периодическим решением.
1467. (Н. П. Е р у г и н.) Доказать, что система
dx
dt
dy_
dt
= sin t 4- t (хг + у" — 1),
1),.
правые части которой не являются периодическими функциями от-
относительно t, имеет периодическое решение.
1468. (Н. П. Е р у г и н.) Доказать, что система
dx
dt
dy_
dt
— (х- + у" — 1) sin H 4- у,
--- — х,
правые части которой суть периодические функции относительно t
с периодом 2я/Аг, имеет периодическое решение, период которого
при иррациональном К несоизмерим с периодом правых частей'си-
частей'системы.
268

1469. (Н. П. Е р у г и н.) Доказать, что линейная система двух
уравнений с непрерывными ш-периодическими коэффициентами не
имеет периодических решений периода, не соизмеримого с <о.
В задачах 1470—1474 (А. Ф. Андреев), рассматриваются
условия сохранения типа Пуанкаре расположения траекторий ав-
автономной однородной линейной системы в окрестности точки покоя
при неголоморфных возмущениях правых частей (ср. задачи
1428—1431).
Рассмотрим квазилинейную автономную систему дифференци-
дифференциальных уравнений второго порядка
х = ах + by + i (x, у), )
'у = сх + dy + У] (х, у), I
где матрица А — \ невырожденна (А,^ Ф 0), а функции £ и
Iе d\
т[ непрерывны в области G, содержащей точку О@, 0), обеспечива-
обеспечивают единственность траектории системы C7), проходящей через лю-
любую точку области О, и удовлетворяют условию:
Ъ(х, У), Ч(*. У) = о {г) (г = Ух* + у*-*0).
Для системы C7) точка О является точкой покоя (доказать).
Справедлива следующая теорема Пуанкаре (относитель-
(относительно расположения траекторий системы C7) в окрестности точки О):
если \, т] голоморфны в точке О, то траектории системы C7) в ма-
малой окрестности точки О образуют ту же конфигурацию (тот же
тип Пуанкаре: седло, узел, вырожденный узел, дикритический узел
или фокус), что и траектории ее линейной части, если только У^^Ф
Ф±1§, peR+. Доказать этот результат и даже значительно усилить
его (см. задачи 1470—1474) можно, изучая уравнение
г ^Е_ /(Ф) + /(Г' Ф)
' dr
получающееся из системы C7) путем перехода к полярным коор-
координатам г, ф и исключением t (см., например, [9, 38]).
1470, Показать, что если в системе C7) матрица А такова, что
^iФК — вещественные, a g и г\ непрерывны в О или 1к1>2 = а±Ф,
а$Ф0, то для нее состояние равновесия имеет тот же тип Пуанка-
Пуанкаре (седло, узел или фокус), что и для соответствующей линейной
системы.
1471. Показать, что если в системе C7) матрица А имеет кратное
собственное число К и одноклеточную жорданову форму, а
I (х, У), 11 (х, у) = о (г1+е) (г -> 0, е > 0 - const),
то точка О для нее имеет тот же тип Пуанкаре (вырожденный узел),
что и для ее линейного приближения.
269

1472. Показать, что если в системе C7) матрица А имеет крат-
кратное собственное число X и диагональную форму Жордана, a £ и ц
непрерывно дифференцируемы в G, причем
l'x, £у, Чх> % = о(''е) ('■->0, е> 0 —const),
то для нее точка О имеет тот же тип Пуанкаре (дикритический
узел), что и для ее линейного приближения.
Следующие примеры Перрона (задачи 1473, 1474) показывают,
что достаточные условия сохранения для точки покоя О системы
C7) типа Пуанкаре в случаях кратных собственных чисел матрицы
А, указанных в задачах 1471, 1472, «почти необходимы».
1473. Выяснить поведение траекторий системы уравнений х =
= — х-}-у-—y/lnr, у — — y-\-xj\nr в окрестности точки О@, 0).
Какое из условий задачи 1471 здесь нарушено?
1474. То же для системы х =-- ~х — yjlnr, у = — у + xjlnr.
Какое из условий задачи 1472 здесь нарушено?
В задачах 1475—1489 рассматриваются обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения с отклоняющим аргументом.
1475. Решить задачу Коши x(t) = x(t — P) + 2x{t)\ x @) = О,
i @) = 0.
1476. Найти методом шагов [39, с. 17] решение задачи Коши:
x(t)=--x{t — \); x(t)=s\, 0<*<l.
1477. Доказать, что уравнение у' (х) + р (х) у' {х — 1) ~\- q (х) у (х) +
+ г (х) у (х — 1) =- 0 в случае г (х) — р (х) q (х) — р' {х) = 0 приводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению подстановкой у{х)-\-
()
1478. Для уравнения у' (х) + ау {х) + by (х — h) = 0 (h > 0) функ-
функция Р (К) = К -)- а -\- be~Xh называется характеристическим квазипо-
квазиполиномом, а уравнение Р (К) = 0 — Характеристическим уравнением
[29, с. 64]. Доказать, что характеристическое уравнение может иметь
корни не выше второй кратности. Найти корень второй кратности,
если Ь > 0.
1479. Всякому корню первой кратности характеристического урав-
уравнения для уравнения задачи 1478 отвечает решение у(х) = Сеи. этого
уравнения. Выписать решения, соответствующие кратному корню. -
1480. Доказать, что если в уравнении задачи 1478 параметры а
й Ъ удовлетворяют условию — а + Щ < 0, то все корни характерней
тического уравнения имеют отрицательные вещественные части.
1481. При каких а, Ъ л\ h будут существовать периодические
решения уравнения у'(х) -\- ay{x)+by(x — h) = 0? Найти их.
1482. Показать, что при любом сколь угодно малом т>0 нуневое
решение уравнения х (t) + №x (t — т) = 0 неустойчиво.
В. задачах 1483—1486, используя теорему об асимптотической
устойчивости по первому приближению [29,-с. 149], определить ха-

рактер устойчивости нулевого решения уравнения (см. также зада-
задачу 1480).
1483. x\t) + х(t) = sin" (x(t) + x(t~\)).
1484. х (t) + 2x (/) — x {t — 2) = 0.
1485. x(t) — x{t)
1486. x{t)+Wx{t) — bx(t — 1) = tg2x{t) + ismx(t— 1).
1487. (P. Беллман и К. Кук.) Показать, что нулевое решение
уравнения x(t) + x(t-\- 6) = 0 неустойчиво при любом 6>0 в классе
решений, определенных при t ^ 0.
1488. (В. Р. Петухов.) Показать, что при каждом х0 @<лг0<1)
уравнение x(t) + x(t — x(t)) = 0 с начальными условиями: х@) = 0,
ж@) = л'о имеет периодическое решение.
1489. Доказать, что для уравнения x(t) = —b(t)(x(t) — x(t—1)),
где b(l)>0, ограничена при t^O и интегрируема на любом ко-
конечном интервале, все решения — либо константы, либо стремятся
к последним при i-»--f-oo.
В задачах 1490, 1491 (О. А. Ж а у ты ков) рассматриваются бес-
бесконечные системы дифференциальных уравнений.
1490. Найти решения однородного линейного уравнения с част-
частными производными первого порядка счетного числа независимых
переменных
+\x
dxk
n
= 0.
1491, Пусть дана бесконечная система дифференциальных урав-
уравнений
= -Xh+'xk+1 (k = 1, 2, . . .), C8)
[dt
правые части которой непрерывны при любых значениях переменных
хи хг равномерно ограничены в области Я: Q^t^.T, \xh\^.R
(k= I, 2, . , .), где /?>0 —любое конечное число, и удовлетворяют
условию Липшица. Показать, что система уравнений C8) имеет бес-
бесконечное множество решений, проходящих через заданную точку
(О, х?\ 4°\ ...)€#. причем |л40)|<г<# (А = 1, 2, . . .), кото-
которое не является равномерно ограниченным.
В задачах 1492 — 1495 (О. А. Жаутыков) найти приближенное
периодическое решение методом малого параметра.
Пусть дано нелинейное уравнение
C9)
271

где \х — малый параметр. Линейное уравнение
-^-+<гх=-/@, D0)
получающееся из уравнения C9) при ц — 0, называется порождаю-
порождающим уравнением для нелинейного уравнения C9).
Предположим, что f(t) непрерывна, 2я-периодична и порождаю-
порождающее уравнение D0) имеет единственное 2я-периодическое решение
x—xo(t). Тогда при определенных условиях на функцию F, уста-
устанавливаемых теоремой Пуанкаре, уравнение C9) имеет единствен-
единственное 2л-периодическое решение, стремящееся к указанному выше
2зт-периодическому решению порождающего уравнения D0) при
ji-M). Это решение может быть найдено в виде ряда по степеням па-
параметра ц (метод малого параметра)
x(t, li) = x0(t) + x1(t)ii+... + xn(t)yLn + ... , D1)
сходящегося при достаточно малых |ц|, причем все коэффициенты ряда
D1) суть 2я-периодические функции от /.
d2x
1492. Для уравнения —-—\- 2х = sin t + х2ц найти приближен-
приближенное периодическое решение вида х (t, ц) = х0 (t) + *i {t) И"
1493. Применив метод малого параметра, построить второе при-
ближение 2л-периодического решения уравнения -}-со2х = psint-}-
df
+ цA—jc2) , где со =7^=1; Р — постоянные числа; ц— малый па-
dt
раметр, к которому приводит исследование простого регенеративного
приемника с колебательным контуром в цепи при действии периоди-
периодической возмущающей силы.
1494. Построить методом малого параметра второе приближение
d2x
2л/т-периодического решения уравнения — [• %?х = р cos mt —
t dx \3
— p, I ] , где %.^Фт; p, m — постоянные; ц—малый параметр,
встречающийся в теории приливов.
1495. Для уравнения 1 = 0, где 0<Я<1;
df (l—hcf
— 1 <^ х < 1, найти решение, удовлетворяющее начальным условиям:
х @) = 1, У @) = 0, в виде ряда по степеням параметра X. Выделить
свободный член и коэффициенты при X и №.
1496. (Б, Н. Скачков.) Дана система
— = B — х2 — у2)хт — ауп,
dt
dt
272

где т, п — целые нечетные положительные числа; 0<a<jl. Дока-
Доказать, что эта система имеет периодическое решение.
1497. Доказать, что нормированная в точке х = О интегральная
матрица уравнения dY/dx = Р (х) Y, где Р (х) — непрерывная со-пери-
одическая матрица, может быть представлена в виде Y (х) = F (х)е~Кх
{формула Флоке — Ляпунова), где F (х) — непрерывная со-периодичес-
кая матрица; /С = A/со) У (со); У7 (со)—матрица монодромии [30, с. 82].
1498. Пусть дано уравнение
Я' —«/=-- —1/х (х>0) D2)
и поставлено начальное условие
у(х)->-0 при х->+ °°- D3)
Задача Коши D2), D3) имеет единственное решение, которое может
быть представлено в виде
»-J
D4)
(см. задачу 289). Показать, что задача Коши D2), D3) допускает
формальное решение в виде ряда по степеням 1/х
и исследовать этот ряд на сходимость. (Указание. Находить ис-
искомое решение в виде ряда
у=йо+^к+4-+--- + ^- + --- . D6)
X X2 X"
определяя свободный член а0 из начального условия D3), а коэф-
коэффициенты ah (k = 1, 2, . . .) — подстановкой ряда D6) в D2). При
исследовании ряда D4) на сходимость воспользоваться признаком
Д'Аламбера.)
1499. Пусть дана функция f(x), имеющая конечное предельное
значение при х -> 4- оо:
lim f(x) = a0. D7)
Тогда для функции f (x) имеем следующее очевидное асимптотическое
представление при х -> ~ °° •
/(х) = а0 + о{1) при х-++ с»,
det ф /х\
где о(ф(х)) = ty(x): lim = 0, так что оA) — бесконечно малая
*-+» ф(х)
функция при х -*■ 4- °° ■
18. Зак. 1213 . • 273

Предположим, что наряду с пределом D7) существует конечный
предел отношения разности f(x) — ап к 1/х, когда х->-+ оо,
1/х
Тогда получим более точное асимптотическое представление f (x) при
х->+оо: f(x) = ao + ajx + oiljx), где at = lim {f{ )
Продолжая этот процесс, в предположении, что существуют соот-
соответствующие пределы, получаем асимптотическое представление f(x)
при х-+ + °°:
где
аа = lirn f(x);
Если асимптотическое представление D8) имеет место для л го-
бог о фиксированного п, то мы приходим к бесконечному ряду
вида
шторый называется асимптотическим разложением функции f(x)
при х->-+оо. Говорят также, что ряд D9) асимптотически сходится
к функции f(x) при л;-*- + оо.
Обозначив через s,Jx) частичную сумму п членов ряда D9) и через
гп(х) его остаток после п-ro члена, получим:
или
(\ yn. E0)
Доказать, что ряд D5) дает асимптотическое разложение реше-
решения D4) при х->+оо. (Указание. Проинтегрировать формулу
D4) по частям п раз и оценить член, содержащий итгграл, пока-
показав, что он удовлетворяет условию вида E0).)
В задачах 1500—1508 (В. Ф. Зайцев) используются методы
дискретно-группового анализа, позволяющие находить симметрию
классов обыкновенных дифференциальных уравнений и устанавли-
устанавливать интегрируемость их частных случаев в конечном виде.
274

Пусть задан класс обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений
D{x, у, у', ... , yih), a) = 0,
где а — вектор существенных параметров, и набор преобразований
Ft{i= I, l), переводящих этот класс в себя с изменением вектора
существенных параметров:
D(a)F-iD(bt).
Тогда говорят, что на классе D определена дискретная группа пре-.
образований Gel образующими, и изучение ряда свойств исходно-
исходного обыкновенного дифференциального уравнения сводится к иссле-
—*• -*■
дованию алгебраической системы bi = Fi(a).
Наиболее просто поддаются анализу конечная симметрия клас-
класса обыкновенных дифференциальных уравнений и интегрируемость
частных случаев класса в квадратурах или известных специальных
функциях.
Построение дискретной группы преобразований (ДГП) в клас-
классе точечных преобразований Q проводится прямым методом — под-
подстановкой y-=\(t, и), x—g(t,u) с последующим наложением усло-
условий сохранения класса уравнений. Если исследуемое уравнение
имеет порядок выше первого, то расщепление получившегося
уравнения в частных производных по производным низшего поряд-
порядка, от которых функции t и g не зависят, приводит к переопреде-
переопределенной системе уравнений в частных производных относительно
функций fug. Порядок ДГП k=n+l, где п — число существенно
разных нетривиальных решений системы.
В классе нелокальных преобразований Q+ прямой метод непри-
неприменим, так как функции fug зависят от низших производных, и
расщепления не происходит. Поэтому для поиска ДГП в классе
Q+ используется метод опорного уравнения — редукция исследуе-
исследуемого уравнения к некоторому промежуточному двумя существенно
различными способами (преобразования А и В).
Пусть AD (а) = Dx (а) и BD (Ь) = Dx ф (Ь)), тогда получаем пре-
образование D(b) = B~*°AD (а), если а = р (Ь). Число разных не-
нетривиальных решений этой системы совпадает с числом образующих
ДГП. Как правило, в одно из преобразований (А или В) входит
RF-napa, т. е. последовательное повышение и понижение порядка
исходного уравнения, такое, что RF=£=E, где Е — тождественное
преобразование.
Если исходное уравнение можно разрешить относительно неза-
независимой переменной х (или искомой функции у), то применима
универсальная i^-napa — почленное дифференцирование разре-
разрешенного уравнения по х и понижение порядка у'—и, у"=ии', ...
(или соответственно г/'=«, у" = и', ...).. Остальные преобразования,
входящие в А я В, являются, как правило, каноническими для дан-
18* . 275-

ного типа уравнений (приведение обобщенно-однородного уравне-
уравнения к автономному виду и т. п.).
Если при наложении некоторого условия h(a)=0 на вектор су-
существенных параметров увеличивается число решений системы
уравнений в частных производных или, что то же, число решений
алгебраической системы, то ДГП расширяется. Это расширение
ft=O
записывается в виде диаграммы G-> G\.
Исходя из имеющегося набора тривиально разрешимых уравне-
уравнений данного класса, путем применения найденной ДГП можно опи-
описать все уравнения этого класса, интегрируемые в квадратурах или
через известные специальные функции.
1500. C. Н. Хакимова). Доказать, что ДГП класса уравнений
у' = Ах"}/" содержит в качестве подгруппы циклическую группу С4.
(Указание. Использовать универсальную RF-napy.)
1501. Доказать, что для класса уравнений у" = Ах"уту'1 диаг-
диаграмма расширений
_ 1=0 т=2
максимальна в классе Q.
1502. Проинтегрировать уравнение у" — Ахгу~Х5Пу''.
1503. Доказать, что класс уравнений у" = Axtlymy'1 допускает
в классе Q+ ДГП D3 (группу диэдра с образующими, удовлетворяю-
удовлетворяющими соотношению g3 = r2 =[(grf — Е). (Указание. Использовать
универсальную RF-uapy.)
1504. Доказать, что уравнение у" — Ах~7/6 у~~1/2 может быть
гпроинтегрировано в квадратурах. (Указание. Построить оасшире-
;=0 т=—1/2
ние £>3 *" D6 * . . .)
В задачах 1505, 1506 проинтегрировать [уравнение Абеля. (Ис-
(Использовать преобразование А задачи 1503.)
1505. уу' — у=1/х. 1506. уу'— у = & — A0/49)х.
1507. Используя инвариантность уравнения у" — Ах~{т+3)/2 ут
относительно преобразования у — aY/Х, х — cf/Х, доказать его ин-
интегрируемость в квадратурах. (Указание. Сначала доказать, что
любое уравнение первого порядка, инвариантное относительно пре-
преобразования независимой переменной, является уравнением с разде-
разделяющимися переменными.)
1508. Доказать, что уравнение Абеля уу' — у =■•■ хБ/3 — F3/100) аг
разрешимо в квадратурах.
1509. Показать, что краевая задача L (у) == р0 (х) г/" -\- рх (х)у' ~
+ РЛХ)У ~ f(x)< У(а) = ^> УФ) ~ В приводится к двум задачам Ко-
,ши: 1) L(z) = f(x); z(d) - A, z'(а) = 0; 2) L(v) - 0; v(d) - 0, v'(a) =
= 1. Доказать, что в этом случае решением краевой задачи будет
y{x)~z{x)+ BZ{b)
v(b)

В задачах 1510—1512 с помощью микрокалькулятора решить
поставленную задачу Коши усовершенствованным методом Эйле-
Эйлера— Коши или методом Рунге—Кутта четвертого порядка.
Класс дифференциальных уравнений, для которых может быть
найдено точное решение, весьма ограничен. Кроме того, такое ре-
решение часто получается в виде столь сложного выражения, что вы-
вычислить по нему значения искомой функции гораздо труднее, чем
проинтегрировать уравнение в численной форме. Пусть, например,
требуется найти решение задачи Коши y'=f(x,y), y(xo)=yo. При
численном решении задача ставится так: в точках х0, Х\, ..., хп,---
(с шагом h = xn+\—хп) найти приближенные значения уп (п=\,
2, ...) для точного решения у(хп). Полагаем, что /г>0, т. е. решение
ищется справа от точки jc=Xo.
При одношаговых (одноступенчатых) методах используется
только информация о самой кривой в одной точке, т. е. чтобы найти
значение уп+\, необходимо знать (хп, уп)- Наиболее удобными ме-
методами этого класса являются методы Рунге—Кутта, так как они
требуют вычисления не производных от функции f (x, у), а значений
самой функции.
Рассмотрим сначала усовершенствованный метод Эйлера-—Коши,
который является одним из лгетодов Рунге —Кутта второго порядка.
На первом шаге по известной точке (х0, у0) определяется величина
У* "=Уо + ^/(*о> Уо), а решение yt искомого уравнения вычисляется
fio формуле
Ух = Уо + — h (f (х0, у0) + f(xo + h, у?)).
Следовательно, соотношение
Уп+i ^-ya + — h(f(xn, yn) + f(xn+i, y*+i)), E1)
где
y*+l -~-yn = hf(xn, yn), E2)
описывает усовершенствованный метод Эйлера—Коши.
Приведем описание алгоритма вычислений по формулам E1) и E2) с указа-
указанием последовательности выполнения операций.
1. Ввести исходные данные, разместив их в соответствующих ячейках памя-
памяти: /!-Я~Ш; А-о->-П1; |/о-»-П2 и ПЗ.
2. Вычислить f(x0, у0), использовав подпрограмму вычисления f(x, у) и
вызвав X,-, из регистра памяти П1, а г/о — из регистра ПЗ. Найденное значение
■отправить в регистр памяти ПА.
3. Вычислить у* по формуле E2) и отправить найденное значение в ячейку
памяти ПЗ.
4. Изменить содержимое ячейки Ш, записав туда xt~x0+h.
5. Вычислить у\ по формуле E1), использовав подпрограмму для определения
f(xi, yf) и содержимое регистров ПА, Ш и ПЗ. Полученное значение г/i отпра-
отправить в регистры памяти П2 и ПЗ.
Выполнив все пункты, найдем первую точку (xi, yi) и приготовим все дан-
данные для отыскания следующей точки (х2, Уч).
277

По приведенному алгоритму составлена программа 1 для программируемого
микрокалькулятора «Электроника БЗ-34». Программа записана в виде таблицы,
состоящей из 11 столбцов н 4 строк. Левый столбец цифр — число десятков адре-
адреса команды. Первая верхняя строка — число единиц. Текст программы занимает
оставшуюся часть таблицы и вводится в микрокалькулятор построчно нажатием
клавиш, указанных в тексте программы. Вместо многоточия следует ввести под-
подпрограмму для вычисления значения функции f(x, у). Программа снабжена инст-
инструкцией, где указаны: а) регистры памяти, в которые вводятся исходные данные
и порядок их ввода; б) регистры памяти, где хранится результат вычислений.
Запись «а=ПВ» означает: «число а находится в регистре памяти ПВ». Запись
ш\ ПЗ» означает: «число а набрать на клавиатуре микрокалькулятора и нажать
клавиши П и 3».
Программа 1. Решение дифференциального уравнения усовершенствован-
усовершенствованным методом Эйлера — Коши
0
1
2
0
пп
+
ИП2
1
27
П1
+
2
ПА
ПП
П2
3
НПО
27
ПЗ
4
X
ИПА
QO
5
ИПЗ
+
БП
6
+
НПО
00
7
ПЗ
X
8
НПО
2
В /0
.9
ЙП1
■ -н:
Инструкция: Л; ПО; х0; П1; у0; П2; ПЗ; ВуО; С/П=^л:1 = П1г i/i =
= П2 = X; С/П=^ х2 = П1; у2 = П2 = X; . . . ; С/П=^ хп ---- П1; уп = П2 = X.
Ту же задачу можно решить методом Рунге—Кутта четвертого
порядка, который обеспечивает большую точность и является од-
одним из самых распространенных методов интегрирования диффе-
дифференциальных уравнений. Он описывается системой следующих со-
соотношений:
Уп+х = Уп + -j (fti + 2k2 + 2k3 + h),
где
yn);
h = hf(xn
k2);
2k3).
E3)
E4)
E5)
E6)
E7)
Из формул E3) — E7) видно, что функцию следует вычислять
четыре раза при. различных значениях аргументов (поэтому подпро-
подпрограммы в программе 2 начинаются с различных адресов). :
Как и ранее, приведем описание алгоритма отыскания первого значения иско-
искомого решения по формулам E3) — E7) с указанием последовательности выполне-
выполнения операций.
1. Ввести исходные данные, разместив их в соответствующих ячейках памя-
памяти: (/1/2)-н-П0; хо-нПГ; уо-*-П2; ПЗ.
2. Вычислить k\ no формуле E4), использовав подпрограмму и вызвав, аргу-
аргумент Хо из регистра Ш, а уа — из регистра ПЗ. Значение k\ отправить в ре-
регистры ПА и ПВ. \
278

3. Вычислить кг по формуле E5), использовав подпрограмму и определив сиа-
|ала Х\ и </о+&1. Так как для дальнейших вычислений величина kt не потребуется,
гс регистр ПА можно занять для запоминания величины k2. Одновременно в ре-
регистре ПВ следует начинать вычисление второго слагаемого величины и, по фор-
формуле E3).
4. Вычислить 63 н kt, использовав подпрограммы, по формулам E6) и E7).
Найденные значения следует отыскивать поочередно и запоминать их в регистре
НА. После вычисления &4 в регистре ПВ уже будет находиться выражение в
скобках из формулы E3).
5. Вычислить у\ по формуле E3), использовав содержимое регистров П2 и
ПВ. Результат вычислений отправить в регистры памяти П2 и ПЗ.
После выполнения всех пунктов будет найдена точка (xi, yx) и подготовле-
подготовлены исходные данные для отыскания следующей точки (%г, Уг). По приведенному
алгоритму составлена программа 2.
Программа 2. Решение дифференциального уравнения методом Рунге—
Кутта
0
1
2
3
4
0
ПП
33
3
ипо
ПА
1
37
+
+
2
ПВ
ПА
ИП2
П1
В/О
3
ПП
ипв
+
ИП2
4
29
+
П2
ИПА
5
+
ПВ
ПЗ
+
6
ипв
ПП
с/п
ПЗ
7
+
29
БП
...
8
ПВ
ИПВ
00
ИПО
9
ПП
+
ИП1
X
Инструкция: (А/2); ПО; х0; Ш; у0; П2; ПЗ; В/О;
= П2 = Л'; ... ; C/n=>*n = П1; уп = П2 = X.
После набора программы 1, ввода исходных данных в ячейки памяти со-
согласно инструкции и нажатия клавиш В/О и С/П через Пев регистре П2 и на
табло индицируется ответ i/i. Снова нажимаем клавишу С/П и получаем новое
лначение у2 и т. д. Время вычислений по программе 2 в три раза больше, чем по
программе 1, но и точность вычислений больше.
Результаты вычислений по программам 1 и 2 записываются в табл. 1.
Таблица 1
Кг п/п
хп
УЭ-К
Ур-К
"ист
В табл. 1 введены следующие обозначения: уэ_к — приближенное значение,
полученное по программе 1; (/Р__к—приближенное значение, полученное по програм-
программе 2; уИС1 — точное значение.
В задачах 1510—1512 составить таблицу приближенных значений
решения дифференциального уравнения у' = f {x, у), удовлетворяюще-
удовлетворяющего начальным данным у(х0) — у0 на отрезке [а, Ь]; шаг /i = 0,l (по
образцу табл. 1).
279

1510. у' - х + sin —|- ; //A,4)^2,2, л:G [1,4; 2,4].
2,25
1511. у'-= 1 -Ь 0,2#sinx — l,5y2; t/@) — 0, х£[0; 1].
1512. у'^ 1,6л:-f 0,5y2; i/@)=0,3, л; € [0; 1].
В задачах 1513—1515 исследовать на устойчивость нулевое реше-
решение системы вторым методом Ляпунова |19].
i-ia dx dy ie,. dx dy
1513. =- y, —— — — x. 1514. =--— x, —— — — y.
dt dt dt dt
1515. = x, —— — у. (Указание. Воспользоваться ^теоремой
Ляпунова о неустойчивости [19].)

ОТВЕТЫ
- В ответах к задачам1 на интегрирование уравнений указываются только об-
дее решение (в той или иной форме) и особые решения.
В ответах на задачи Коши приводятся только частное и особое решения.
Зозможные гладкие комбинации решений не указываются.
Для задач, приводящихся к дифференциальным уравнениям, указываются
дифференциальное уравнение задачи и искомое решение.
Проверяя правильность найденных общего н особого решений или решения
1адачи Коши, нужно сравнить полученный ответ с результатом предварительного
политического и качественного исследования дифференциального уравнения
(системы дифференциальных уравнений). Последнее включает определе-
ше типа уравнения (системы уравнении), его области задания, области сущест-
зования решения задачи Коши, области существования и единственности реше-
решетя, задачи Коши, нахождение особцх точек уравнения (точек равновесия систе-
системы уравнений), выяснение возможности наличия особых решений, изучение поля
•аправлений (ноля скоростей), определяемых ■ данным уравнением (системой
уравнении), выяснение возможной аналитической структуры и поведения реше-
решений (траекторий) в окрестности точек (точек равновесия) и во всей области за-
задания уравнения (системы уравнений).
Проверяя правильность выполненных рисунков, необходимо контролировать
расположение интегральных кривых (траекторий) результатами предварительно-
предварительного исследования уравнения (системы уравнений).
Правильность указанного в ответе общего решения (общего интеграла) мож-
можно проверить подстановкой его в данное уравнение. Если это требует трудоемких
вычислений, то полезно сделать хотя бы частичную проверку ответа, подставляя
в данное уравнение решение, соответствующее какому-нибудь конкретному (до-
(допустимому) числовому значению произвольной постоянной1 С.
Проверяя особое решение, нужно убедиться, что указанная в ответе функция
является решением данного уравнения и в каждой точке (Хо, уа) этого решения
нарушена единственность решения задачи Коши, для чего достаточно найти все
решения с начальными данными х<>, у0, используя при этом все семейство найден-
найденных решений уравнения. Чтобы проверить, все ли особые решения указаны в от-
ответе, нужно найти и испытать ЕСе кривые, подозрительные на особое решение.
Если в ответе приведено только общее решение, надо обосновать отсутствие
особых решений.
Во избежание потери решений нужно внимательно следить за равносиль-
равносильностью переходов, выполняемых в процессе интегрирования дифференциального
уравнения.
Чтобы проверить ответ на задачу Коши, следует убедиться, что указанная в
ответе функция (или каждая из функций, если их несколько) является решением
данного уравнения, удовлетворяет поставленным начальным условиям и что дру-
других решений нет. При этом всегда надо, исходя из аналитической структуры диф-
дифференциального уравнения и опираясь на теорему существования и единственно-
единственности, отчетливо уяснить себе, имеет место единственность решения задачи Коши
или нет. В частности, не имеем лн мы дело со случаем, когда условия теоремы
Пикара заведомо выполнены, так что единственность гарантирована.
Решив задачу Коши, нужно изучить свойства полученного решения, просле-
281

дить их связь со свойствами самого дифференциального уравнения и начальных
данных, сравнить интервал задания решения с интервалом, обеспеченным теоре-
теоремой существования и единственности, и проанализировать поведение решения за-
задачи Коши в окрестности особой точки уравнения и на бесконечности.
Для проверки правильности найденного общего и особых решений или реше-
решения задачи Коши простейших дифференциальных уравнений полезно использо-
использовать известную аналитическую структуру общего решения и возможный аналити-
аналитический вид особых решений, а также известный характер поведения решений.
Так, общее решение линейного уравнения любого порядка является ли-
линейной функцией от произвольных постоянных. Если все коэффициенты ли-
линейного уравнения непрерывны, то оно не имеет особых решений. Всякое решение
линейного уравнения определено во всем интервале непрерывности коэффициен-
коэффициентов, содержащем начальное значение независимой переменной, и может обращать-
обращаться в бесконечность только в точке разрыва хотя бы одного из коэффициентов это-
этого уравнения. Если коэффициенты линейного уравнения голоморфны в точке х0,
то радиус сходимости степенного ряда, представляющего любое решение, голо-
голоморфное в точке х0, не меньше, чем наименьший из радиусов сходимости степен-
степенных рядов, представляющих коэффициенты самого уравнения в окрестности этой
точки.
\. У =
1
sin2*
Глава I
C. 2. (/ =
cos3x + С. 4. у = 2 (Ух — In (У*
+ l)-f С. 3.#— —cos*-)-
»
л;
С. 5. у =
+ С.
6. у = л: У1 — л-2 -L -—arcsin л: + С. 7. у = In (УТ~4- л-г -j- I) -f С. 8. у —
= л sin х + cos л + С. 9. (/ = е* (л-2 — 2л- + 2) + С. 10. г/ =•- е* (cos х + sin *) 4- С.
И. у= —-1 arctg л- + —-~7~ ) + С' 12' У = —— cos4*+ — С052л-С.
1
13. у=сЪх+С. 14. г/= —
2
16. г/ = 1п|л-4-'
С. 15. 0 = arcsin (лг/2)+С, л:=+2.
С, х—±\. 17. у=1п| sin л- Ц-С. 18. у»-- — № х+С.
19. у =
20> у=
у=
= 1п | 1 + 2х + 2
| 4- С, л- = 0, л- = — 1. 23. г/ = i
4—1
С,
л- = + 1. 24. у = л- 1п л- 4- С, х = 0. 25. у = —- In | х — 1 | — 1п (х*+х-\-\)+
~~ 3 6
1_ 2л-4-1
28. г/= sign л: -|- + С.
(рис. 54). 31. (/ = 1п
. 26. У =
+ С. 27. у=-
С. 30. (/ = — е"-1 4-С; (/=—е
С.
л:
+ С; (/ = In
32. j/=
@<л-<+оо); у—Х/х (—ос<л-<0), а = 0. 33. '.у = У Л" — 1 + С, х=Х;
1, л-=1 (рис. 55). 34. г/ = — У1 — л2-f-С, Л"= + 1; у =
T^x~z, *=i. 35. (/= ^-
282

о 1
Рис. 55
x-f
Рис. 56
О 1
Рис. 57
=O, +1, +2, . . .)• 37. x=
у= ^ e-x'dx. 36. л; = -y
о
+ 1. + 2, . . .). 38. х = 1. 39. Нет. 40. ж = 1. 41. * = + V2" . 42. у = 0.
43. {/=±я/2»44. .v-=+l (рис. 56), у=\/(Х*—1) (\х\ < 1). 45. у=х (рис. 57),
у = V^2 — 1 • 46. (/ = ± VjF/2. 47. л: = +я/2. 56. Область задания, сущест-
существования и единственности решения задачи Коши — вся плоскость (х, у); х = а—
изоклины; все решения возрастают (во всем интервале задания решения, х = 0 —
х 1
линия точек перегиба (рис. 58)). 62. у' =х°. 63. у' =— .- 64. у=—.
1/1 хг х
65. у" =
2kx
-'; у = —-
— 1 Я
- 1| + С. 66. у' ==
67. ds/dt = а0; s = о0 (< — <0) + s0. 68. —^ = — х; у = -^-
ал; g 2g
= kln\x\ + С.
. 69. е-^.-=
70. 2^ =
71. -
72. jr = Ce*-l. 73. tg{/ =
76. {/-n+1 =^(-п + 1)
3
^ + - — arctgy = * + С.
. 74. tg(y/2) = Cex. 75. ctg (я/4 -yf2)=Cex.
при пф\; у = 0 при 0 < га< 1—особое решение;
я=1. 77. -i-
при а > 0, -2 ' =Се2 "
д^~ = х + с-
при а < О,
1 у
78. ■ ,— arctg ,— =
Уа уа
у== —__ ПрИ а = 0. 79. у — arctg у = я + С. 80. у — 1п \у + 1| = л; + С.
283

81.
85. у
86. lr
82. Ъу =
83.
dy
In у
84. 4,-1/2—.—*.: г
= (x + CJ, x > — С при у > 0; у = — (*г + С)*, я < — С при у < 0; у^ 0.
=*-|-С 87. arctg (х-f-г/) = л:+С. 88. —arctg * ™~ —ж. i r
2 2
J
/
у/'
у**
/
/
/ 1
1 I
1
/
/
/
1
I
/
/
/
/
1
/
/
' /
_, '
/
t
1
t
f—
/
/
1
f
Рис. 58
Рис. 59
89.
90. ln\x-\-y\-v =
91.
In С
1
2
при C>0; y = — x-'r\, y = — x~\. 92. V^x-Mn,
- C. 93. у = x-\-(x-\- C)"/4, X > — С; у = x. 94. у — x"~ (x — CJ/4,
107.
= Сехр (- -£- arctg -^- V 97. у =Се»; »-е*
101. ^ = 2дс + С; »s = 2х. 102. »= (),%;
= 0. 103. г/ =- (л; + СK, у = 0; j/=
А:3, г/=-0. 104. у=-. — сЬ2х. 105. »=±1. 106. у = 2, у^З.
= 0, ±1, . . .). 108. Нет. 109. у = 0. По! г/=0, (/=1. Ш. г/=
~ (й=-0, + 1, . ..). 112. Нет. 113. х~ ± л/2. 114. л; = — I,
г/ = 0. 115. у — О. 117. Область задания, существования и единственности решения
задачи Коши—вся плоскость (х, у); у = b — изоклины (рис. 59); все решения, кро-
кроме у = 0, возрастают (ео всем интервале задания решения); интегральные кривые,
лежащие в верхней (нижней) полуплоскости, вогнуты вверх (вниз). 125. у .=
_ Сеа* — 1
— г 2Х , . — *; У = — JC ± 1 — частные решения (асимптоты). 126. у' = г^_
127. г/'= р/г/. 128. у =: In ж. 129. г/ = е*.. 130. г/ =- л;2, д-> 0; у = 0. 131. (/=0.
132. у — Се1*. 133. - = * (Г —20), Г—температура тела в момент времени t;
dt
284
; 60 мин. 134. -f- = _fep; p = 0,92'^500. 135. —=
r
a

136. ^L = _£_ ; ^ = 2p (x 4- C). 137. -J- =
dx у Ах
^ = ; ^ 2p (x 4 C). 137. J = ; v=a +
dx у Ах 2ay
\-Ce~xla. 138. x* + p*-f ж*-f y* = C2. 139. VF + y^~=C. 140. arcsin x +
-)- arcsin г/ = С. 141. x* — У1—г/2 = С, г/ = ± 1. 142. у=1 + С (х + 1), х ф—\;
с= —1 {УФ\). №. ey—e*=C. Ш. Уу~ ~УГ^ С (х > 0, у > Щ, у ^ 0
х > 0), х = 0 (г/ > 0). 145. 2 У^" = In |х| + С, г/ -0 (хфО). 146. — + — +
х у
==c. 148. у = С1(х—\);
у= 1/A—л:). 149. {/ = arcsin л; + С, х= + 1; y—aic&inx, х=1. 150. У1 ~
=> = С, Jf =
X == '
к=\ (\у\ < 1); решения нет. 151. у — Сх (хФО);у = х @ < х < 4- °°). У = О
[О < х < 4- оо); х = 0 @ < у < 4- °°); все интегральные кривые. 152. у = еЕ1ПЛГ .
161. (О, 0), A, 1), (—1, 1), (—1, —1), A, —1)—особые точки; (х2— 1) (у*— 1)=С,
0< С< 1, |х|< 1, |(/| < 1; (х2 — 1)(у2 —1) = С, С< 0, \х\ > 1, |г/| < 1 и |х|<1,
|г/| > 1; (х2— 1) (у2 — 1) = С, С > 0, |х| > 1, \у\ > 1, х = + 1 (у* + 1), У=+1
[х ¥= + 1) — частные решения; х = + 1 (\у\ > 1), {/ = + 1 (|х| > 1) — асимптоты
интегральных кривых; х = 0, у = 0 — центр, |х| < 1, |г/| < 1—область центра
du ulnu dy xy(\ -!- у2)
(рис. 60). 162. —2- = ——2—. 163. —;— =———■-2-J-. 164. Ф(Ф])= sinibi,
ах sin х адг 1 4- х2
I — л:2 =С. 165. Ф (-»j;i) = tg \ЬД, — — =С. 177. —— —
1 — ху dx
= — ; ху = С; ху = 6. 178. —-£- = rctgG; г = С sin G. 179.-^-= ;
х dQ kyx у'
ktf& Д- k2y* — С2. 180. 0,006 "]/2gh dt = Bk — /г2)d/г, /—время; ^35,2 с.
x УГ 4- У У*" _ 2 2 2 _
182. х3 4- Зх2г/ — у3 = С. 184. У*24-.г/2 =- Сехр (— —— arctg —— | или г —
\ Я х j
I P \ и а
—Сехр — G . 185. у = С\х\ь+ х (х ф 0) при 6=?ь1, {/ = Сх +
\ q J 1—6
4-ах1п|х| '(хчь 0) при 6= 1. 186. (/ = С|х|3/2— х (х=и=О). 187. у=Сх~2 —
— х (хфО). 188. г/= Сх + 2х In |х| (ХчьО). 189. х2 — 2ху 4- 2г/2 = С.
3
190. х- у (С 4- In Ij/I) (уфО). 191. х = г/(С —1п[{/|) ((/¥= 0). 192. УхЧ7?2 =
= С ехр I — arctg -2~ . 193. х* — г/2 ^= С. 194. 2^ — Зхг/2 4- 6х2г/ = С. 195, г/ =
V х J
С \ 11 ,,Гг
-- —— х2 — —— (С > 0); у = х2 — —— . 196. у = хе +L , y—Q (хфО),
у--ех (хфО), х=0 (уфО); у^хе*-*; »=• 0 @<х<4-°°)- 197. у--=х\п (С + In |x|)
(|х|>е-С); j/—xlnA4-lnx) (х>1/е). 198. и=Сх~—х (хфО); Х---0 (уфО); все ин-
интегральные кривые. 199. у— С~\/Т-\-2х (х > 0), i/ — —C~\/^x -\- 2х (х < 0),
С 1
х = 0 (уФ 0); все интегральные кривые. 200. у = —«■ + х, х = 0 (г/ =А 0);
285

). 201. y =
),х = 0 (уфО);
все интегральные кривые. 202. у = —х (х'чьО). 203. Нет. 204. у —+2х (х=0).
205. у = 0 (х^О). 206. {/=/Ъс (хфО). 207. Нет. 208. {/ = 0 {х Ф 0). 209. {/=0
d« 2tf do у Аи
(хфО), у — 2х (хфО). 218. —— =<-2-. 219. —— = — -z—. 220. —— =
dx х Ах х Ах
-У2
222. xdx+(y —
-. 224. у' =
У = —
); ху' = i
1
2С ^
2х{/
dy = 0. 223. у' =
С
X ' X
С 2_ _1_
Iх чс '
-f (С>0). 225. -^ =
0); «»' = у—
-, (*- ^J - су = о.
226.
227.
229.
У*
УУ' + х
УУ' +х
2ху
= Сехр (—
V
k
228.
Я«с. 61
-^-) или г=Сехр( — —
х 1 \ k
у' = , л;2 + {/2 — Су = 0. 231.
х2 — г/2
—у=С- 232. х2/2 -f-
— ху + {/ =" С 233. х + 2{/ + 3 In \х + у — 2| = С. 235. {/* — х2 = Сг/6.
236. у* =
УГ= С, х=у"-. 239. у--=
при m =А — а, {Г
при
уЧ1С. 237. х2?/2 + 1 = Сг/. 233. Ууг^х
е ,cos л; + 1 • 240. г/ = Се~ах + в
m -f- a
С
т——а. 241. у=( 1 +х2) (С+х). 242. См. ответ к задаче 185. 243. х =—- —
2
—г/. 244. х = j/2 (Ce1/if-f-l). 245. sin у = Се-* + >;— 1. 246. у=х{С+х).
247.
у =
С). 248. г/ = e~x' (C-fx2). 249. ^=л;; 2/=x+Ce-*. 250. у^=ех;
е-х. 251. г/,=л; у = х ■}-Ce~x*!2. 252. ^ = 1/лг; у = 1/х + Се~*.
286

253. Jfi = — 1; у—~\+С(х + х2). 254. {/=—1/^-f 2/л;2. 255. г/=е*2 f e~x*dx.
О
256. у =Сх* — х (х ф О); л; = О ((/ =#= 0). 257. I/ = С ~]/\х\ + 2л; (л; ^ 0), л; = О
({/=* О). 258. у=—-х (хфО), х=0 (уфО). 259. -у = Сх + х1п\х\ (х ф 0);
х = 0 (уф 0). 261. ху = — 1 — линия экстремумов (при л:>0—линия максимумов,
при х < 0—линия минимумов (рис. 61)), У-\-х (ху-}-\) = 0— линия точек
перегиба (слева от точки пересечения с этой линией интегральные кривые вогнуты
X
вниз, справа—вверх). Общее решение в форме Ксши: у — е^2 (j/0+ \e
о
X
Уо— У @); так как lim I e~x dx= + "\/я/2 ■ то поведение решений при
* -* + оо зависит от положения начального значения у0 относительно + "l/n/2 .
Если у0 < — 1/я/2 , то // -* — оо при х -» + оо; если {/о = — 1/^/2 , то // -►
->■ — оо при х -* — оо, у -* 0 при х -♦ 4- оо; если — /и/2 < уа < Т/зт/2 , то
у -» — оо при х-»—оо, {/-+4-°° ПРИ х-+ + о°; если г/0= "|/11/2 . то (/-»0 при х-»
-»■— оо, у-+-}-оо при >;-»- + оо; если уо> уп/2 , то г/-»-4"°° ПРИ *-* + «>. Интег-
Интегральные кривые, соответствующие уй= + /л/2 , являются сепаратрисами. Они
делят семейство интегральных кривых на три класса с одинаковым характером по-
поведения на бесконечности: 1) интегральные кривые, уходящие в —оо при л:-* + оо;
2) интегральные кривые, уходящие одним концом в —», другим в 4-°°; 3) ин-
интегральные кривые, уходящие обоими концами в +оо. (На рис. 61 /—линия
di R
экстремумов, //—линия точек перегиба, ///—сепаратриса.) 263. —— + * =
= Л. sin ы- i = ,- e-WL)t , Л (/? sin (d/-(dL cos cop ^ ALa e_lR/L),
dx x 2a2 a2
264. • = — ; x = Cy + . 265. у — xy' = (x + y)ln; у =
dy у у2 У
X X
/^уКЯ—1)/я v 9RR V нАу — hvii* ii — Cv™ trt — i\ - h\!h 9fi7 i yhHy —
i oJ
= x [ ydx; y=Cx2. 268. x*y' + (Зл;— 1) у = 0; y^Ce~i/xjxs. 271. у =
4 (Г
f f(t)e~Mdt. 272. у = Cyt. 273. у = yx + С (y2 — yj).
0
ekx
274. ^ i *L у =-_ 0. 276. < = Г р (*)Л. -J- + у = 0, » = C
У-i. J dt
277. aW = e-^)d*, г' = 0, г = С, „ = СГ^* . 278. a W ~
z':-,q{x)JP{X)dX, y=,e-^x)dx(c+ J q(x)JPiX)dXdx). 279. %/^„=
= yap (xa). 280. d{//di/0 = 1, dyjdxo = {/op (JCo) - 9 Ы- 290. jr *= Ce
287

291. l/jr =
1. 292. у* = Се~х — x
- —x —
-; y=o
293. у =
f x=0
294. \/y = Ce~x — x+ 1; {/ = 0. 295. {/=
296. \ly = x(C— In |л:|), л; = 0; г/ = 0 (x ф 0), л; = 0 (у ф 0). 297. x2 = Cesini' —
— 2a(sinjr-fl). 298. уу'=(х*+у2I2; у*=Сех—х*—2х—2 (С > 0). 299. у^+х=
=у2/х; у2 — 2л;2 (С — 1п \х\) или х2еу2/х' = С. 300. г/ + х/у' = х2/у; у*ех2/уг = С.
301. у—ху'=у2; у=х!(х-{-С). 303. С (г/ — хJ-\-х?— 1=0. 304. (>?—{/J=С(л-з+{/2).
305. х3 + ху* + 2у = С. 306. Г — = — + С, г = —. 307. (/1= х+1,
J ф(г) х х
1 ... .1
309. y =
1
1
2х
r
(C-I-In |*|)
310. y=—
• J- ■
x ■ x3 + С
з = Л н = -
2 2xy-i-\
312. —т=- arctg 5X = In |*| + С.
х(С— 1пл-)
313. у =
311. {/ =
317. г/ =
-1/3 -|- v
= t, u=l+t/v,
+ C—I
4- t/w, w = .
г ==
314. у = ujx,
1 j. Себ vT
1 _ Себ v t
■> 318. *j^tg(*-i-C) (—я/2 —Со; < л/2 —С). 319. {/=
= tg D* + С) + х*/2 (— я/8 — С/4 < л < л/8 — С/4). 320. у = 2 tg B* + С) -f л?
(—я/4—С/2<х<л/4—С/2). 321. у=(У2~/х) tg (У^+С) — 1Д= (—л/BуГ) —
— С/У2" < л < я/B У2~) — С/УТ). 322. у ---. 2xtg Bл; -f С) + 2 (—я/4 —
— С/2<л;< Л/-1— С/2), 323. J
г/ — г
!'.! — У-1
=-= С. 332. В окрестности
У — Ух Уз — Ух
любой точки плоскости {х, у) правая часть уравнения (9) непрерывна и имеет
непрерывную частную производную по у, следовательно, выполняются условия
теоремы Пикара существования и единственности решения задачи Коши для
уравнения (9), а равенство yi(xo)=y2(xo) означало бы, что решение у(х), опре-
определяемое условием у(хо)=у1(хо), не единственно. 333. Коэффициенты уравнения
(9) находят из системы
■ у\ = P{x)y\-i-
Оиределитель ее
6*2 "Г" <3(*)»2+ /?(*)■
yl+Q(x)y3 + R(x).
\ Ух 1
2 Уг 1
у\
Уз
1
есть определитель Вандермонда, который не обращается в нуль, если выполнено
условие У\<Уо.<Уз. 334. Коэффициенты р(х) и q(x) находят также, как и в пре-
предыдущей задаче. Окончательный вид уравнения
288

у -
у\
Уо
-У2
~у\
-у%
У
У,
Уг
1
1
У
= 0.
}35. Если корни уравнения A2) комплексные, то правая часть уравнения A1)
;сть квадратный трехчлен, представимый а виде суммы квадратов, и, следова-
следовательно, сохраняет знак при всех значениях_аргумента. 336, При произвольном
значении х0 и у0 (уо>таху2 или уа<ттух) правая часть уравнения A1) поло-
положительна, следовательно, решение, определяемое условием у(*о)=уо, возрастает
при х=Хо. Если бы оио стало равным у0 при некотором Х\>Хо, а при jco<*i пре-
превышало у0, то при х=хх оио не могло бы быть возрастающим. 337. Подставляем
решения ух и у2 в уравнение A2):
У\ y\-
Вычитая из первого равенства второе, получаем у'2—У\ = у\ — у\-\-р(х)(Уг—У\)=
— (у2 — У\) (#i •- Уч -\- Р М)> что и приводит к равенству A3). Левая часть ра-
равенства A3) есть производная от функции ]п|у2 — yt|, непрерывной в силу того,
что угфу^ для всех значений х. 338. Если бы уравнение A1) имело три непре-
непрерывных периодических решения у1 < yt < ys, то имели бы место равенства:
У 2 ~ У]
Уг — Уу
Уз — У\
Уз ~ Vi.
■ =■"= Уг ■
Вычитая второе равенство из первого, получаем
У-2-i- Р(«).
УзлгР(х)-
у'2 - у{
~ У\
= Уч. — Уз,
Уга — Уг Уз — (/1
чего быть не может, так как правая часть всегда отрицательна, а левая часть есть
Уг — Уг
производная от непрерывной периодической функции In-
339. U ш
УЗ — У1
-!-г/=-=С-\ 340. Us=y'x = C. 341. U^x-y = C. 342. U = arctg (yjx) = С.
343. U = x? + у* — xy ч- х — у --^ С. 344. гУ = дгз -j- у* л. 2 arctg (х/у) = С.
345. £/ s yi -j- л-2 -|- уз ..:. arctg (у/х) = С. 346. U = Ух"- — г/2 — л: = С.
347. (ея — 1)/A -!- *г) -= С. 348. *а/уз — 1/у = С. 349. л: -J- уеж/« =--= С.
350. In \х -|- г/[ — г//(л: + ») -: 0. 351. х* — ifi -f 2xt/ = 0 (л:2 - j- г/2 ^ 0). 352. Реше-
Решения пет. 353. U isxy-.-. С, U1 = In х -\- 1п у = d, У2 = In [У. 354. x^—tfi+-2xy=C.
355. х — у/х^С. 356. *2 + у— л/у + In \y\ = С. 357. л;2/2 -J- ж/у = С.
358. е* (л; sin у — sin у ;- у cos у) = С. 359. х2у2 -)- 2 In (х/у) = С. 360. 2 (л:2— У2J+
+ A-2Ly2--=C. 361. ^-}-y2 = C(y-l)i. 362. уз -i- л:2у -(- 2ад2 + In \х + у| = С.
363. [г = 1/х2,
X arctg
х
(хфЩ. 366. (Х!= —
— 1пд; = С. 364. ц =
х* + у2 '
Я
— — 0 . 365. ц= 1/ Уху, Уу/'х — In |*|=С, у=0
Я 1
= , „_ 2_ 1J . х"—уг—\=Сх. 367. ж УГ=у2+
19. Зак. 1213
289

2 1
— x2 = С. 368. х2 4- 2хг/ — у2 — С. 369. dx 4- dy = 0, u, = xv,
У ху
У 2
' -' " ' " " ■ /—{,2/х=С.
о
X2
370. Если аР — ЬафО, то-
= С, где k и / находятся из
/г ' I
системы ak — al = — n, bk — $l = — т; если ар — 6а = 0, то х*г/а = С. (Указа-
н и е. Если ар — Ьа ф 0, то axdy -f- бг/dx = 0, цг = \/{ху), L^ — xby°; xmyn(v.xdy+
=0,
Ф
- V\ ; ,x =
m+1 ^^д^ ($ уаI. Приравнивая показатели степеней, получаем систему для
определения k и /. Если аР — Ьа = 0, то данное уравнение сводится к уравнению
axdy -\-bydx— 0.)
Глава II
522. (у — хг/2 ~ С) (уг/2-х-С) = 0; у = **/2+1/2, у*/2 == *—1/2.
523. (УУ-х_С) (УГ+^-С) = 0^1/ = 0; j, = je»_ (x >0), j/= (х - 2)»
(х<2); Jf=_(x-1)*. » = 0. 524. (У|»|-х-С)(УМ +дс-С) = 0, г/= 0.
525. ((/ — V(jc| — С) (у + У\х\ — С) = 0 при х Ф 0; х = 0. 526. (х + СJ+2/2=а2.
{/ = ± а. 527. ({/ — С) (у — ~\/Т~ С) (у + Ух — С)=0, х=0. 528. (г/—л;2/2—С)Х
-Q (УГ+*-О= О, у = 0; у = х«/2 + 1, 2/ = (*+1)*
= (х - IJ (х < 1); г/ = х2/2 - 1/2, »=(дт-1J (х > 1),
у = (х— 1J (х<1), г/ = 0; у = х*/2, у = х* (л;>0), г/ = л;2 (л;<0), г/= 0.
529. (у — л-2/2 — С) (у — Се~х + х — 1) = 0. 530. у = In (х + У*2 — 1) + С при
х > 1, у — — In |.v + У*2 — М + С при х < — 1; х --= ± 1. 531. (у — С/х)Х
X ({/ — С/х2) = 0. 532. {/= —хб/4 — особое решение. 533. Особых решений нет.
534. у = 0 — особое решение (рис. 62). 535. Особых решений нет. 536. у = 0 —
особое решение. 537. y = fa — особые решения. 538. у = 0 — особое решение.
= 2С (х + С/2). 540. |у| У1 + У'' = Vx^-f {,2 ,
г/2_Л2=.с, x2 + i/2=^C2. 541. ({/'— 2хJ =
= г/ — .V2. 542. хг/у'2 +(х=—г/2 _ 0
543. г/ = —х + С. 544.
539. - у/у1- + х = УХ2 +
и— С \3 У —С
— 3- +
х х
а 26
—- ^2 + ~Т~ ^3■ "Ь
2 о
+ С. 549. х = ± a cos» f, г/ = + a s\n3i+
3
4- С.
1=0. 548. x=
3
4- С, .г = 0. 550. х = /з -г_ 1, у = —
4
14-' 3 2
+ С
552. х = < In t, y=
+
С; х = 0.
"Г С. 553.
Рис. 52
У — „
6 A-
290

1 t2
554. x = t — I-C, y = —— + \nt. 555. x = It + 3/2 + C, i/ = ^-f 2/3; г/= 0.
556. x = 3 (ctg H- t) + C, y = acos<>t. 557. x = C.-—/-f-ln ■ ,—- ■ ■ -f
2/_ 1 3a;2
, J/=-JT^- • 558. x=+aln |tg (я/4 - //2)|+C, tf= ± a/cos /.
■559. г/-=Сх2 + 1/C, # = ± 2x. 560. x = Ce-P — 2p + 2, г/ = x A + p) + p2.
561. x = —y+\p, y = -xp + p*. 562. tf=-i-(x_c)» (CvO); у = 0.
г/ = —4х. 563. y = Cx— C2; y = xz/4. 564. // = Слг — a "]/l + C2, x* -f ^2 = a2
(ay<0). 565. г/ = Сл:— "]/l — C2; «/« —х» = 1 (г/>0). 566. x=2p+In |p— 1|+C,
У = p2 4- p + In |p — 1| -S- C. 567. x = Су + С2; х = —у*-14, 568. «/ = *«/' +
л-2ау'1(у' — 1); (г/— x —2aJ = 8a«. 569. г/ = xy« + 2a V^jT'; xj/=a2. 570. Если
Fi (—c, 0), .РгСс, 0) —данные точки, а ба — произведение расстояний /^Л^ и
F2N2 от этих точек до касательной к кривой в точке М(х, у), причем точки
Fx и F3 лежат с одной стороны от касательной, то
у = ху' + Vb»(l+y'')+c*y" ; -J- + -^- = 1 (а2 =
Если Fi и /^ лежат по разные стороны от касательной, то нужно заменить Ь2 на—б2; вмес-
х2 1Й С
то эллипса получим гиперболу — -;— = 1 (а3 = с2 — б2). 572. у= х2 -j- С2;
а2 б2 2
*4 д^ Сх2 х4 лЗ
у в__.в78. ,/=„+__ + С2; ,=___ + __. 574. я =
1 рз Ср» р3- р2 3
1 / 1пг/ \2/3
. 575. х = —1пу — С-2; х = —3 —— . 576. х2/2 + У2 = С.
С \ 2 /
. 575. х 1пу С; х 3
3 С \ 2 /
577. у — 6 = С(х — а) (х Ф а). 578. г = Се9 . 579. г = С. 580. (.*» + г/2J =
= С(х2 —г/2). 581. л =С Т/l -f cos20. 583. г/ = Сл: (х =£<>). 584. у = Схг.
Глава III
632. у = sin х + Q-^2 -[- С2х + С3- 633. г/ = In \x[
Г 1
634. (/= (х— t) sin Pdt + С&-[-Сг. 635. г/= + Сгх+С2. 636.
о
х
+ 1/ Ух" + ClX-\- С2. 637. г/ = — \ -^y~ (х — tLt + Cj.x2 + С2х + Cs.
6
3 t I
638. x-sinV — 2<, y= sin 2^— —■ cos 2t + (Ci— 2 — t2) sin < + — 2CX -f
8 4 \
J t + -J-&+C,. 639. x = e-'+?, (/= (//2 + 3/4)e-2<+(^2/2-l +
^ + C2. 640. x = sin /, у = — —~< — — sin 2^ -f Сх sin < +
291

+ С2 при cos t > 0; x — — sin t, y — ~ — / — — sin It — d sin t -f C2 при
2 4
0. 641. 2/ =
2. 642. у = х
*; г/ = *2/2 — x; у = — x(x — i). 643. y= &—\
(рис. 63). 644. г/ = — л:3 (рис. 64). 645. у = — е-л + х*/2 — л: + 1.
Рис. 63
Рис. 64
646. г/ = -—■ j -j- (* - 0W. 647. J, =
1
1
1
648. y= — ew \x- — \+Ct,
650. у = ± aarcsin (Cxexla) + C2.
652. у — — "]/\ — л:2 + 2. 653. y= —
x
- Ox + (C2 + 1) In [d + x\ + d-
= «2/2 -f- C. 649. j/ = d^2 + d-
651. г/ = d (x In x — x) + d-
(х > — 2), (/ =
= 0. 654. у =
г/о. 656.
. 655.
= ± у • 657'
658. yln\y\+x + Ciy+Ct = 0, у = С. 659. (+
= + 12л:+ С2. 660.
±
х 2J + 1. 661. (Сху — IK/2 =
О
x (— л/2 < л: < я/2). 663. г/=3 In
|Х|
(л; < 0). 664. у = — х + 1. 665. г/ = 1 — е*, г/ = — 1 + е~х. 666. 1 + У>г =- *w";
у ==+ ch (Сгх -f- С2) при /г = 1. (Указание. Уравнение у'.2 + 1 = С2#2
интегрировать в параметрической форме, положив [у — ch <; (x -f- C2J +
+ г/3 =С2 при fe = — I, 2dj/ = (+ С^ + СгJ + 1 при k=2, x=d(Q~sin G)+C2;
292

j/ — d A — cos 6) при k — — 2. Уравнение у A + г/'2 ) — Cx интегрировать в па-
параметрической форме, положив £r= ctg (■) 667. y"=\j(ky3); /гС3(/2= С](х -\-С2)г-тк.
868. Ду" = 5У| + J/'2 i гДе ^— величина горизонтального натяжения; S — вес
единицы длины каната; у — (У/k) ch k (х -\- С2) + C]t k = S!H. 669. In \y\ =
= _ У - х\ + -£l- In |d 4- bVo« - хЦ 4- C2. 670. у --:-. C2 exp (—*—
4- . 671. C2x exp (— C,/x). 672. 1%]—dpcM- хУ 1 4-хЧ-1п (л4-У 14-а
4- С2. 673. y]ni/ 4- In x 4- Cj(/ 4- C2 = 0. 674. у = xarcsin(C2x) 4- Cxx.
— In2 x 4- d In x 4- C21 . 676. у = yd tg (yd*4-C2) (—л/2<
< ydx-fC2< л/2). 677. j e~yl/2dy - d* + C2- 678. Г-
+ (г/~ С,)* = 1. 681. (ж
-|_ С2| -- л; -|- Сз или г/ = А>Сдг -j- Be~Cj;. 680. (х— C,J-f
-f-
-C,)» =C|. 682. у = ж(С, + * + С,1п
683. j/ = e~sln х (С, + С, \e"inxdx). 684. г/ - ± — (С,х -, С,I /2-|-С3> y-
+ С2; у = х. 685. г/ = —- + 1; у = 2. 686. (г/' - х°-)/у* -- Q; г/ =
LjX -f- L2
687. ф = 1/2/2 + С,х + С2; г/ = tg (х/2) (- л < л: < л).
Глава IV
721. у = (V2* + С2е«. 722. г/ = Cl£2x _)- С2е-*. 723. i/= de-*-f С
724. г/ r= С] + C2e2JC. 725. у =- Сх -f С2е~м. 726. г/ =
727. г/ = С^е-х + С2е« + С3е-3*. 728. г/ = С]в* -
729. (/ = d-|-C2e*4-de-*4-C4e3*4-d£-«*. 730. « = exl2 I Cj cos -X-l- x +
\ 2
4- C2 sin У3 x] . 731. y= e~x (Cxcosx 4- C2sinx). 732. j/ = C!Cos2x4-
4- C2 sin 2x. 733. у = Сгех + e-Jc/2 (C2cos У3- х -)- C3 sin У3
\ /
734. г/=Сге-2^4-е^(С2со5 УЗ x-bC3sin Уз х). 735. у = С,егж 4-C8 cos Зх 4-
4-C3sin3A;. 736. у = Cje^ + C^-^ • j-C3 cos х 4-С4 sin х. 737. у ^ Cj cos x 4-
4- C2sin x + C3cos Зх 4- C4sin Зх. 738. i/ = e(/2"/2)j£ (Q cos
4- Ca sin У2 .. x) 4- e- (f'2 /2) ^ fd cos „У2 . x 4- d sin J^_ x) . 739. у =
2 / \ 2 2 /
= Cie^ + C2e-^ 4- e*/2 (c3 cos У3 x 4- C« sin У3" x) 4- e^^2 fc5 cos У? х +
т/о" \ _ / x
4- Cesin v J x . 740. ;/ = Cjcos x 4- C2sin x 4- еС^з/г) «c,cos— 4-
2 / \ J
4- C4sin -Г") 4-e-(l/3/2) x(C5cos -—+ C6 sin — . 741. y = e~^(Cx -\- C2x).
293

742. у ^ Ct -J- Сгх- 743. у -= е^ (Ct + С2х 4- С3^). 744. у = С^з* -f e^{C2 -f С3хг)
745." у = C1e~x-j-C2-\-C3x. 746. у = е* (Сх + C2*)-f e-*(Cgcos2x-|-C4sin2x').
747. г/ = ex (Сi 4- C2x) + C, cos x 4- C4 sin x. 748. (/ ^ e2* (Cx -|- C2x) + C3 cos 2x +
+ C4 sin 2x. 749. (/ = (Cx -f- C2x) cos 2л -f (C3 -f C4x) sin 2x. 750. ;/ = e-_*/2 x
751. r/ = d + (C2 +
+ C3x) cos 2x + (C4 -f C5«) sin2x. 7S2. i/ = Cve~x -f (C2 -f C3x) cos x -{- (C4 4-C5x)sinx.
753. y — ~ x24-x — 3 + de* 4-C3e-*. 754. у = л? + x + Cx + С2е1Д;. 755. у =
= 1/2 + Cj.e-M-f C2e-«*. 756. у = 3x -f Cx -f C2e~x. 757. (/ = 2ex + Q cos л: +
4- C2 sin x. 758. у = 2xe-« 4- Cxe* -\- Сге~х. 759. (/ = 2^е* 4-e* (Ct 4- C2x)i
760. i/ = e*-l+ CLe~x 4- C2e3^r. 761. j, = 3xe2Jf 4- л;3 4- Ъх -\- 7/2 + Cje^+Cjje**;
762. у =— хё>х 4- Зл2 4- 2x 4- Cx 4- С2е3*. 763. г/ = —- x*e-a* + e~2Jt (Q 4-C2«4-
4- C3.t2). 764. у = — л:» + x2 4. Qe* 4- C2 4- С3л:. 765. г/ = xe* + Cte* + C2e~x +
4- C3 cos x 4- C4 sin x. 766. 2/ = —sin л: 4-2 cos л: 4-^*4^20-*. 767. y=— 2sin 2*4-
4- Cx cos л; 4- C2 sin x. 768. у = 3 sin 2л; —2 cos 2л; 4-e*/2 (Cx cos -У3 . x +
4. C2 sin _KL_ x) • 769. (/ = — — x cos 2л; 4- Cj cos 2x + C2 sin 2x. 770. у =
2 / 4
KL_ x) 769. (/
2 / 4
__ — (ex .[_ xsin я) _f_ q cos д; 4- C2 sin x. 771. j/ = —- xsin x — — cos 2x +
Z Z о
4- Cjcosx-I-Casinx. 772. у = ex(x cos x 4- sin x) 4- Cje" 4- C2e~2x. 773. г/ =
= л^в* cos x 4- e* (Cxcosx4-C2sinx). 774. у = x2 sin x 4- Cj cos x 4- C2sin x-
3 1 2
775. у =— e=* — -—- x cos 2x 4- -— x sin 2x 4- C^ex + C2 cos 2x 4- C3 sin 2x.
8 5 5
776. у == x cos x -\-2xe~x— \ 4-JQe* 4- Сге~х +С3созх 4- Qsinx. 777. y =
x2 1
= — cos x ~ (Cl 4- C3x) cox x 4- (C3 4- C4x) sin x 778. j/ = — — —
8 Z
— cos 2x 4- C,e* 4- C2e~x. 779. у = — 4- — x sin 2x 4- Cx cos 2x 4-C2 sin 2x.
10 8 8
780. у = — sin 4x 4- —■ sin 2x 4- Cl cos x 4- C2 sin x. 781. у = — x shx 4-
4-^chx 4-C2shx. 732. yt = Ax-\-В при fe ^= 0; (/t = x (Л« 4- В) при k = 0-
783. (/]>= A;Q* при fe ?ь — a-; yx — Axeax при k = —a"-. 784. z/j = Л cos mx 4-
4- В sin mx при а Ф k; У1 = x {A cos kx -\- В sin fex) при a = k. 785. 1/х = Лхе~* 4-
4- x (Bx 4- С). 785. yt = е* {{Ах 4- В) cos х + (Сх 4- D) sin х). 787. yj. = хе* {{Ах 4-
4- В) cosx + (Сх 4- D) sinx). 788. г/j = х ((Лх 4-S) cos х + (Сл; + D) sinx).
789. yt = А ири а ч«= 0; у1 = Лх при ^ = 0- 790. у\ = (Лх2 -J- Вх + С) cos x +
4- (Dx2 4- Ex 4- F) sin x. 791. yx = e* (Л cos x 4- В sin x) 4- x (Cx2 + Dx 4- f).
792. yi=x-ex {{Ax-hB) cos x 4- (Cx 4- D) sin x). 793. yx — x2 (Л cos 2x 4- В sin 2x)f
4- C. 794. yx = Лх2 4- Bx 4- С 4- x ((Dx2 +U-)-/7) cos 2x +(Gx2 + Hx + f) sin 2x).
1 x
795. (/ = cos 2x In I cos 2x | 4- —— sin 2x 4- Cx cox 2x + C2 sin 2x. 796. у =
1 с е~"
= cos x In I tg (я/4 — x/2) I 4- Q cos x 4- C2 sin x. 797. (/ = —- ex dx —
2 •/ x
Xa
294,

1 r ex 1
—-r- e~* d* -rcie* + C9e~*. 798. y= -f cos x In | cos x | 4.
2 J л: ' cos л;
+ sinx (— tg x + x) + Cj + C2 ccs л; + Q_sin x. 799. j, = 1 /л: -4 ■ e* (Q + C2x).
800. (/ =e*/x -|- Ci + C2<?*. 801. ;/ =r — 4 У л: + Cjg*-}- C2e-*. 802. (/ = ViHSc+
+ Cjcos x + C2 sin x. 803. (/ = e*. 804. (/ ^ 2ch x. £05. у =, sin x. 806. у = 0.
1 1 3
807. у = — x cos2л; + —— sin2x. 808. у = — л: -f ch*. 809. y^-- x4~-x.
4 8 2
810. у = 1. 811.'у = e*. 812. у =- 0. 813. (/ -- sin x. 814. у = С sin x. 815. Ре-
Решения нет. 816. (/=cosa:+a:. 817. y — zhx. 818. + 2Л — + k2x =
= / (/). 819. x = Л sin (W +'ф)> * — частота колебаний, Т = 2я/£— период, А—
амплитуда, <р — начальная фаза; А — V х\ + v2B/k2 , (p=arcig(kxo/vo); x=
Ч-я/2). 820. *=C1e(-"+Kft'--ftz" +Сге{-п~у п~к)' при
'~C2t) при W—k2; ix= y4e~w sin(y&2—Л2 i + ф) ПРИ ^"—
, 2л
— к2 < 0, yfe2—Л2 — частота колебаний, Т=-г-7= —период, Ле-"' — амп-
|/ я2— Л2
М
литуда, А ■*- начальная амплитуда, Л = 2, <р = я/6. 821. х = sin cat -\-
k" — оJ
4- A sin (ft< 4" Ф) при а ф k, х ~ — i cos kt 4- A sin (kl + <p) при m = k.
823. ш*1. 824. £2 ^ 4. 825. 0 < A < 1. 826. k"-> \. 827. q < 0. 828. p> 0, g>
> 0. 829. p>0, q > 0. 830. p =r 0, 9 > 0. 831. Xn = л2, r(/n = sin nx (n =
sh kx
= 1,2, . . .) . 833. (/!= cos kx, z/2= smkx/k. 834. z/j = ch A'X, y2 — —-— .
/2
835. y" 4 у = 0. 836. (/'" +2y" + 5y' =0. 837. г/W—г/ = 0. 838. Нет. 839. Все
решения периодические. 841. х = е2?. 842. х — 2Ре*. 843. х = — 2 sin г. 845. г/ =
= Ctx 4- С2х-з. 846. у = dx 4- С2/х. 847. г/ = Q У|ТГ4- С2/ УПЧ. 848. г/ =
—х2 (Ci4C2in |х|). 849. у = С-, ccsB In | дг |) +"Q sin B In |x|). 850. у— X
х-
, / / уз~ \
X (Cj cos C In |х|) 4- сг sirl C ln !^1))- 851- У= У Iх lICiCos I—-— In |x|j 4-
4- C2 sin (-^— In I x |Y). 852. y=Cx + C2x2. 853. г/ = Q 4- C2 In | л: | + C3x3.
854. у = С, 4- x (C2 4 C3 In I x I). 855. jf = C,x+ C2x= 4- С3л3. 856. г/ = Ct (x +
4- 1) 4- C2 (x 4- IJ. 857. г/ = Bx 4- 1) In I 2x + 1 | + Ct Bx +l)-fC2 Bx + IJ.
858. ^ = xlnSx+xCQ + C2'ln x).[ 859. j = x-f l/x + Q+C/. 860. г/ =
= — In x cos In x 4- Cj cos In x +;C2 sin In x.^ 861. г/" 4- — (/ = 0.
862. p (x) = a (gfo)I'2 — (9 ' . 863. y= Q cos -^-4-C2 sin -^-.864. y=
__ _ 9 W * *
= Qe2 V'W 4- C2e~2 ^'l. 8в5. у =Сг cos 2 У |хГ 4 C2 sin 2 У |Т|. 866. у =
= Q cos arctg x 4- С2 sin ?rctg x. 867. у = Ct cos (ra arccos л) 4 C2 sin(raarccosA:).
868. у —Ci cos e* 4- C2 sin ex. 869. (/ = Cj cos (/n In | cos л: |) 4- C2 sin (/n In |cosx[).
1 cos x sin x
+С2"'+ C2e->'*. 871. у = С, + C
295

1 ех е-*
872. у -= —- e* -~ Ct -;- C2 . 873. у = —
2 xx
X
• 874.
X
876. у ^е
882. (Vn=!V)' -г
2
—7-
a-
k k \
4-C.sin . 875. y =
eax
-f C2 X
\-C2e~klx).
, cos ( Щ— In |jcj ) + C2 sin ( -~- In | x\)) . 877. у =
= 0.
{/—0. 883.
■xy'y -{-ne-xy=Q. 884. (е~*У)'+
4- Чпе-Х'у = 0. 885. (x^ (x - l)a+P+'-v y')' 4. «p^v-i (x - lfW~Vy = 0.
886. x*y" — 4xy' 4 6(/ = 0. 887. \x"-y" -t-xy' — у = 0. 888. x2;/" — xy' + у = 0-
889. x2y" — x;/' 4- (x2 — 1/4) у = 0. 890. A — x2) y" — xy' + j/ = 0. 891. 1/" +
—— . 893. y-= Cxex -fC2sin x.
— y' + y- 0. 892. у -= с, Ji!L2L
л; л;
894. (/ = Cj cosx 4- C2e*. 895. у --= Q "]/l 4- x 4- C2"l/l — x. 896. y=x(C!+
+ C2 \ 7— dx.) 897. yx = x2 4- 1, 1/ -■= Ct (x2 4 1) -|- C2e*. 898. у, = х», у =
i
= CjX? 4 Cj£*. 899. «! -- x3 — x, у
X —
F
\
— 4 — 3 (x2 —
X
X In
X — 1
. 900. Частного решгння в виде полинома нет; у —
1 if4
-j-
X
1 х-
+ С2 -^- . 901. у^ = -——, у = Ctx- -j- C2 In x. 902. г/ -= Cj arctg x + Са
г/ - 4 arctg * + я — I -f- х2. 903. у - (х - 1) (сх + С2 J (д. _ 1)
904. ух --= х, г/2 :.■= х2; г,' = Ctx + С2*2Л-!- C:,s*. 905. к = 1, ух — х, у =
+ С2
-i- In ; n = 2, i/, = —— x2 —
' 2 x -~ 1 2 2
х2 -1L-
С2 fax +
C2
— 1) In
). 909.
х -1
• 906. г/ = Qx -f C2
. 908.
— x2. 907. г/1=
, (/ = C,
1
1-х
= - 2x, у = x (Cx +
1 x
— x 1-х
910. yx = , , (/ = ; (C1 -j- C2x3). 911. При P < 1/4 (/ = T/x(x — 1) X
1 —x
1-х
где u -= x/(x — 1). fe ^= Vl/4 — Р;]*п
у ^
= T/x (x — 1) ((Ct cos (n In и) f C, sin (/1 In и)), где и—х/(х—1), /z=VP—1/4 ;
при P = 1/4 ;/ =.- ~\/x (x — 1) (Cx 4- C2 In и), где и = x/(x— 1). 912. y—dlx-r
4- C2. 913. 1/ = Ct(x In |x| — x) -f x4/12 + C2X + C3. 914. у ~ Схх- 4-С21п|х|+
4- хз/3 4- C3. 915. у -= С, Г -г—— + С2. 916. (/ -= ex2/2 (Q 4- Q> I Хйх~*г dx) .
917. у = e^ I C, 4- C, 1 в '"- dx] . S18. y" — Bxny = 0. 919. (/ -= e"ip{x)dx x
V J x J
296

X (d + d Г e[piX)dXdx). 920. у ,- Сг sin2x-|-d cos2*. 921. г/ =-. d* + d*2 -f
+ 2x2 In |x|. 922. у r- e~x\C2 -f f (C, -I- x2) e*'dx). 923. у =-- d* In [ jc | -f- C2x +
+ x2. 924. у -= e*2 (C2 -j- d j e"^ <**)• 925. у ^ d sin 2a: -f d cos2 x. 926. yx =
v
— Ai (x) = 1 L
2-3 ' 2-3-5-6 '■••■ 2-3-5-6. • .Ck—I)
+ ++
у = СгМ (х) + C2Bi (л). 927. уг = 1 —
3-4 ' 3-4-7-8 3-4-7-8-П-12
л;» л9 л:13
+ +
4-5 + 4-5-8-9 4-5-8.9..12.13
х2 д;3 л:4 2
. 928. й== 1 __Г______Г
12 р
«/2 =- х + — х= -'-...; у .- di/i -Ь С2^2- 930. ;/! =- 2л:, г/2 = х
\— dx).
е
~dx;
«/ - дс d + Сг \— dx). 931. У1=х, y2^l+ ~— x In — ; у =
932. г/г»= е*. г/2 = л:; у= Cie* + С2х. 933. уг =, х,
— ^2; г/ = С^ + d V1 — ^2- 934- ^i1111' y2 = arcsinx; г/ = d +
х
X— 1
, _ . sin х cos x sin x
-J- C2 arcsin x. 935. г/i = , y2 = . 936. yx = — ,_— , yz =
cos x x 1 x 1
__^_______ 047 f/ -————. */ ———— _j __—~— 1« ^ Q4Q */ _-^_—^_ »(-—.
1 v2 1 2x—1
1-Х 1-Х 1-Х X
X 1 1 ""•
+ 2 (x — 1) In .. 942. yl = In A — x), i/2 = . 934. yt = e~x,
X IX X
уг = е-* \— dx; y~- e-x\C1 + d \ dx). 945. y=CxPn
не выше (п— 1)-й степени, коэффициенты которого можно определить, например,
1 — Р2
из условия Qn_,Pn—Qn-iPn~ • 94^- t — kx, fty" -\-ty -f- (t2—n2)» =
X2 — 1
= 0. 948. у г= xz, x2z" + хг' -J- (x2 — (m2 + 1)) г = 0. 949. у ----- х«г. 950. ^ =
- 1 _ x -f "V, (— l)h —— , (/2 = г/i Ш x + x -!- У (— 1)й X
^>J (feiJ J 2 ' _
2 3 A
, где Pn (x) — полином Лежандра; Qn_1(x) — полином
22 2.3 k])i
X —'— x*; у = С1У1 + C2y2. 951. yx = e*.
297

955. yx = xsin (l/x), y2 = л: cos (l/x). 956. yy = 1 — 1 /x, y2 = x —. 1 — l/x -f
-f- 2A —1/хIп (л; — 1). 966. Уравнение A7) после замены аргумента х = t -f- ш
сохраняет свой вид d-y/dt'- -\- p(t)y — 0 (почему?), и его решение y3(t), опреде-
определяемое условиями; у3 (/„) = у„- Уз С») = Уо< где 'о = *«• есть #i (О- При этом
yi(t) =yi(x-~ma>). С другой стороны, функция уг (%) после той же замены пре-
превращается в уя(/). откуда у2(х) = г/i (л — «(о) и, следовательно, г/2 (х -(- /яи) =
= Ух(х). 967. Пусть г/х (х) — решение уравнения A7), такое, что yi(x{)=Q, у^(хг)=
= О, xt < х2. Пусть также г/J (xj -= г/ц. Возьмем х3 — Х\ + тф, где «х такое,
что л;3>л:2. Решзние У3(х), определенное условиями у3(х3) -~0, у'3 (х3) = г/р, бу-
будет иметь второй нуль xi=x2:\-tn1o»x3, так как «/з(* + "чш) -~ Уг (х) (см. преды-
предыдущую задачу). Далее строим решение у^(х), обращающееся в нуль при х — хъ =
=x1-j-m2a»x1. Оно имеет нуль хв=х3+т2(а>хь и т. д. По теореме Штурма, решение
yt (х) и всякое другое должны обращаться в нуль на отрезках [л;3, х&], [хь, хв]
и т. д.
Глава V
1061. (/=—————, г == х (С2— In \х<). 1062. е»—■е*=С1) «="
. 1063. у = С, A+х»), г=^-+ ^я + ^_ ^
X Z 4 О
—>г - -^- = С; г/ = - х, ~ - хг + ~- = С. 1067. г/ =- С2ес*х , г =
= C-fii eClX. 1068. у ~С,_ + Сге-«, г = — Сх — 5Сге-«. 1069. г/ = Сгх + С2л;2,
г = Q A — ^) + С2 Bх — Х2). 1070. у/х = С,, г/х = С2. 1071. г//х = Съ z/x =
= С2, и/х"> = С3. 1072. ViT — УГ;= С„ г — \УГ = С2. 1073. г/ =С„ г/х =
= С2. 1074. у = С,, гг-'1^ = Q. 1075. ^ + У" + г2 = С^ , /х + тг/ + пг = С2.
1076. ze-x + у = С,, ге-* + х = С2. 1077. у = ех, г = ех — е-х. 1078. г/ =
-= С,х + С2х2 + С3/х, г = — d +2С2 A — х) +С3B/хз -f 1/л?). 1079. ^ = ху,
г|?2 = г/х. 1080. г^ = sin х —. sin г/, if>2 = sin x — г. 1081. г^ = г//л:, ^2 = г =- х—
— у. 1082. ■ф1 = у/х, фг = г. 1083. г^ = г, ^2 = ~ — . 1084. г^х =
= E cos Ъх — sin 5х) у — г sin 5.v, ^2 = E sin Ъх -j- cos 5л) г/ + г cos Ъх.
1085. (/J = г/2, у'2 ^ — Уг/х — г/i, где yt = (/, г/2 -- у'. 1086. dx,/d^ = х2,
dx2/d< ■= — б2*!, где хх = х, х2 = dx/dt. 1087. у[ = Уг, у'2--Уз> у'3 —
= J4- где (/! = у, y-i = y', у3-= У"- Ю88. у\ = у2, у'2 ^ у3, у'г = г/4, г/^ =
= —x?yv где (/! = у, уг == (/', г/з = г/"- 1/4 = /"• Ю89. у| = г/2, j/j = у3, у'3 =
2 '
= ~Т~У^' ГДе Л =У. У*~У • Уз—z. 1090. (/1 =Уг. У2=Уз-Уз=У4. У« = —Уь гДе
Л -
С. cos < — Сх sin ^ — E (Cf -fCg)
й = ». Уг=У\ Уз = г, у4=г'. 1091. ж -
— С2 sin г1 — Сх cos t + a (Cf + ф
; положение равновесия х = 0,
У (cos/—ad —рС2)* + (sin*— aC2-f
298

/ = 0 —центр. 1092. х = 1/Y7, У = 0. 1093. х = —\Ц, у=^0. 1094. x~t/(\ +
-f t2), V=\ 1A + ^2). Ю95. х = In (f -f е), (/=0. 1096. и' = и"-~ v*--± q (x), v' =
= 2uv. 1097. Если г/ (х{) = «i — вещественное число, то г/ (л) — вещественное ре-
решение уравнения B1) как при х < Xi, так и при х > хх и re может равняться
комплексному числу от -f- гга (при х = х0)- 1Ю1. г/ = е*, г = Xs. 1102. у = sin х,
г = х. 1104. г/ = 1/B— х), г = х. 1105. г/ = 1/A — х), г =-- х. llOfi. (/=<>*,
2=e~*. 1109. у = ех. 1110. y=sinx. 1116. у =-- Ух", z =—■ 1/B Ух").
Глава VI
1117. i/ = de~2*. z=--C2e*. 1118. х = Си у = С^-'. 1119. у = С^, х =
= -~e^ + Ci. 1120. у = С1х, г = С2^-С,(>:-Ь1). 1121. г = Qe-', у =
Г*
л: = С3е'— 2С2е2'. 1122. г = С^' у е*< (C+ dO * е2' (С + CJ +
1123. «/ = Сге* + С2е~*, г = С^ — Сге~х. 1124. х = 1+ QCOS ^+ C8sin/, у ==
1125. х = е^ (C^ + dt), у = е*'(Сг — С2 + Cst). 1126. у =
зс
= de* + Сге**, г = — С1ех—-~-е*х. ц27. х = ^' (d cos t + С2 sin t), у = е*Х
X (Cjsini — C2cos0- П28. * = Cj cos/ -f C2 sin <, г/ = —■ ((Сг — C2)cos H~(ci+
+ C2) sin t). 1129. г = C,e-<", x 1 £
ИЗО. у = е»*(С1 + СаЯ:)+д:, z= e»x(Ci -f С2л:) — С2е3'— .v. 1131. у = Сге-
С,
+ С2е-'* + 7ел:+е-д;, г=-^е-4*—С2е-«+e^+2e-x. 1132. x = 1
+ C2 sin ? — t cos <, (/ — — Q sin < + C2 cost + t sin Л 1133. i/ =- Cje^ -l С2йЗ*, г =
= Cj.e2x + 2СгеЗ«; (/ = e"-x — ез*, г = e*x ~ 2e*>x. 1134. у = С^ + С^-г*, г =
= 2С1ед: + 5С2е-2*; y = e-*x, z=5e~«. 1135. г/ = Cj + C2g5*, г = d—4C2e5*.
1136. !/ = Cj -LC2e-3t, z=-- — 2C! — 3C2e-*. 1137. у = е2ДГ (Cx cos 3* + C2sin 3x),
z = e2* (Cj sin 3x — C2cos3a-). 1138. у = 2e~2* (Cicos^i/Fx+ C2sin У3~х), z =
= e-2*(CC! —y3~C2)cosy3"x-|-(y3"Cl-f3C2)siny3"x). 1139. x=5C1cos2<+
+ 5C2sin2^, «/= (—4CX-f 2C2) cos 2f — BC1! + 4Сг) sin 2Л 1140. у — Схо.оьЪх-\-
-[-C2sin3x, г=(—Q+SCaJcos 3x—CC!+C2)sin 3.v. 1141. x=—20^'—8C2e2'—3C3e3'.
г/ .= Cief + 3C2e2i + (V, 2 = 2Cte' + 7C2e«' + 3C3g3<. 11421 x = 2d + C2e1 +Cse^,
г/ ^ 3d — 2C3e2', z=d + C2e'-|-2Cae='. 1143. x=-(Ci-\-C3)cost-\-(—Ci+C3)s}nt,
у = de + C2cos< -f- C3sin t, z = d«' — C2 sin/+C3cosi; x = cos/, У = —( cos/-f.
-bsinO, 2=-- —(cosi? —sinO- 1144. .v = d«"' + GC2 + 11 C3)cos t + (— 11 C2 +
+ 7C3)sin^, y = — 2de-'-f A5C2-f 9C3)cos^ + (— 9C2+ 15C3)sin/, z=2Cie-«+
+ (— 2C2 + 8C3) cos / -!- (— 8C2 — 2C3) sin <. 1145. y = e~™ (d + C2x), z> e~2*x
X(_d+C2(l—x)). 1146. x=---e-'(d + C20, y=e-'Bd-fd-B< — l)). 1147. x==
--. de~2' + C2e', (/ = — 2Сге-2г + 3<V — ЗСэе(, г = 2C,e-2' + СйеК 1148. x =
= de-' -(- (C2< + C2 + C3) e', » = - 2Cie-' -|- 3<V, 2 = 2C,e-' -f (C2t + C3) e*.
1149. x = d + C3e-', г/ = 3d — 3C2 — 2C3e-', г = C2 + 2C3e-'. 1150. x =- d +
299

+ СгA+1)+Сзе-(, у^-ЗСг-2С3е-', г = С, + C2t + 2С3е~'. 1151. У1 = х2 +
+ СC-w, j,2 =,,^-l 2-f-de2*4-2С2ездг, ^ = **, j,g = * + 2. 1152. {^2e«-f-
-х, z^-W-x-l-ZCtft-i-Ctf-*. 1153. «/ = *e* + d«* + C2e-*F 2 =
f de*-j-3C2£-*. 1154. x == 2cos 2^ + 3 sin 2*1 + 2e~'/2 (ct cos
+ C2 sin JL± ty у = 7 sin 2/ -j- e~i/2 I Cd — Уз C2) cos _L1 ЖУЗ d+ 3C2)x
X sin _il— t\. 1155. x = — i cos ^ -L Cxcos t + C2 sin ^, г/ = / (cos t -\- sin /) — (d—
— C2) cos /) — (d -f C2) sin /; x = (— / + 1) cos t — sin <, г/ --•= (/ — 2) cos t -\- t smt.
1157. yi—e-x, zi=2e-x: и = е~
Рис. 65
Рис. 66
1158. (/j-^4-2, z± = — 2x + 1; (/ - - x -)- 2 -f- de*+C2e3*, z — — 2x + 1 — (
+ С2езлг. 1159. (/1 = sinx, г, = sin x — cosx; у— smx-{-C^"-\-Сге~х, z = sinx—
— cosx -f de* +3C2e-*. 1160. (x + y)e-' = d. (x — y) e'=••■ C2. 1161. (x —
-r C2 . 1163. y + z=- Cte'* — — e* — -— г/ — z = Сге' + *•*+!. 1164. y^ 2 sin *+
8 9
-i-C^-j-Сг, x~ — 3sin/ — 2cos/-f2C,^ — C, — 2C2. 1165. ^,=-{/ — 2*, т];2 =
^-ye-2t. 1166. %=.-(«/ — z)e-3X, ■фг — (z — xy+ xz) e-™. 1167. \|), = (zsinx +
-J- г/cos x) e~2x, ^ — (ysinx — zcos x) e~2X. 1168. x =: x0 cos t-{■-y0 sini, y~
=-- — x0 sin / + j/ocos ^; траектории: x2 -f г/2 — С2 или х2 + y*= Xq + г/g и x—0, у =
-- 0; x = 0, у = 0 устойчиво (рис. 65). 1169. л: — А-Ое~', У— Уо^', траектории: у —
к х-~-Q, у- 0; хе
= 0 исустойчиво
г/ =• упе--*; у = Сх (х Ф 0), л: = 0 (у ф 0)
= -С/х, х~0 (уфО), у ~ 0 (х
(условно устойчиво). 1170. л: = х
их = 0, г/ = 0; х=0, г/ = 0 асимптотически устойчиво (рис. 66). 1171. х — хйё,
у'~ упе1\ у — Сх (х ф 0), х — 0 (i/ =?ь 0) и х — 0, г/ -- 0; х = 0, г/ = 0 неустойчиво
(рис. 67). 1172. х —*„е-', у-~-у0е~2'; у ^-Сх* (х ф 0), х = 0 (у Ф 0) ц х=0,
у--0; х е= 0, (/=A асимптотически устойчиво. 1173. х--xoef, у=у^и, у =--
и х — 0, у—0; х = 0, г/=0 неустойчиво. 1174. х—- x0e~2t,
2 0), л'=-.О(г/ ф 0) и х = 0, у = 0; х=0, у = 0 асимп-
асимп(х ф 0), х —- 0 (
г/ = yoe~'; г/ =-
тотически устойчиво. 1175. х = хое~', У — (xot -{- уо)е~{; у — х (— In |х| + С) (х ф
Ф 0), х~0 (у ф 0) и х -- 0, г/ =- 0; х = 0, у=0 асимптотически устойчиво (см.
рис.68, г/ — х (х =£ 0) — линия экстремумов). 1176. х = (yot-\-Xq) e2t; y = y0e2t;
300

\ v
Рис. 67
Рис. 68
1
x = y — — \n\y\--C\ (уфО), (/-0 (дс¥ 0) и * = 0, (/ = 0; л = О, f/= О не-
устойчию (рис. С9). 1177. дг — <?-' (x0cos г -}- (у„ -f- 2х0) sin f), t/ -••: е-' (t/0cos t —
— Eл-0 - - 2.!/,,) sin t)\ r = Ce'f (г ■■■- l/lfi -Г V1 . <P = arctg (v/u), где и ---■ x, v = у +
-f- 2x) и x -- 0, t/ —: 0; x = 0, (/ = 0 асимптотически устойчиво. 1178. дс--х0е~2',
У ~- Ус', У— С (х Ф 0), точки оси Оу.х ■■- 0, у — у0; х = 0, у == 0 устойчиво (рис.
70). 1179. х- л-0, у- yuc"J\ х .: С ((/^0), точки оси Ох: «/ — О, х =--- х„; х = О,
у =: 0 неупоичиво. 1180. г/ — х„ cos < -| (х,, — 2г/0) sin ^, у — y0cost->-(x<,— yo)sin(;
xi — 2ху -; 2у- С-; х = 0, t/ == 0 устойчиво. 1181. Неустойчиво. 1182. Неустой-
Неустойчиво. 1183. Устойчиво. 1184. Неустойчиво. 1185. Неустойчиво. 1186. Устойчиво.
J о
X
Рис. 69
Рис. 70
1187. Асимптотически устойчиво. 1188. Асимптотически устойчиво. 1189. Неустой-
Неустойчиво. 1190. Неустойчиво. 1191. Устойчиво. 1192. Асимптотически устойчиво.
1193. Неустойчиво. 1194. у = — (Сх + С2 (In х + 1)), г = — —- (Сх +С2 In x).
1195. у = С1е-Х1х + 2С2е-21\ г = -(С1е-х"с + ЪСф-21х). 1196. у = e2VJ X
X (CiCos 1/7-1- С2 sin Ух), z = e2Vx(C1smy7—C2cosyjy. 1197. (/х^х(Сх+
+ 21пх), у2 = С2х, уа = С3/х. 1199. yi = e-*, гх = 0; г/2 - 0, г2 = е*. 1200. г/х=
= 2 — е~х, Zl = 2 —2е-*; «/2-= — 1 Ч-е-*, г2 - — 1 + 2е-*. 1201. (/х - е«,
гх = 0; уг = 0, гг = е«. 1202. ух = е«*, гх = хе*х; у2 = 0, г2 =■- е«. 1203. i/x =
1 1 1 1
- - - "- " ""- Ь~— A-\-е**). 1204. У1 =
301

= cosx, гх = — sin x; £/2 = sin x, z2 = cosx. 1205. yt = e-*(cos x -f-2sinx), гх =
= —5sinx; t/2 = e-*sin.v, г2 = e~* (cos x— 2sinx). 1206. xx = e~3', t/x = 0,
гх = 0; jr2 = fe-3', yi = e-st, z2 = 0; x3 = 0, г/з = 0, гз = е*. 1207. i/,' = 3ylf
1208. t/j = 3t/!,
= -2У1. 1211.
= 3(/2. 1209. yj = 3yi -f-
/2 = 3i/2. 1210. y\ =
1
1
1213. x = Cje-'
X
x2— 1
1214. х=
C3 cos
e-' — C3 cos f — C4 sin /; л: =
1 3 1 3
— — cos/= — ch t — — cos t\ (/=—-(
Z Z Z 4
3 1
cos/= — cht-\- -—cost.
22
1215.
= Ca cos У2"/ + C4 sin
——, г=—л:-у. 1216. x + г/ + г = C^' -f-
i/ — г = C6 cos ~\/It + Q sin
1218. у =
у =
1229.

o
*. 1232. г/х =
= — Ciex -f ЗС2е^. 1231.* j/i = de*4-de8*, ^ = ,
= d + de8*, у2 = С1 — 4С2еЬх. 1233. y1 = Cleix + l
—p- LigAc ■ . 1«SO£I. i/j -= Uj ~^~ (-2'*) У2 — ^Oj —j— Ug ^л 1 j. l£ijO. i/j = ■—• ZU^e
Iaoo. y\=^*-'i£ t*>-p L2ex -\- ьзб , (/2 = —ZLxe -л -J-oC2e , i/з = zCxe —^^-p Сзв-*.
1237. (/! -^ de* + d (* + 1) e* + C3e~x, y2 = 3C2ex — 2C3e~x, y3 = C^* + d*e* +
+2Сяв-*. 1242. yx=e-«, гх = —e-"; t/2=(x-j~l)e-^x, zz= — xe-*x. 1243. y=
= l/(l-j-x), г = х2. 1244. y = e*, z=l/(l—.v). 1245. i/= e^, г=е--с. 1246. у-—
= ex, z = x\ 1248. y=e*, г = sin x. 1250. у = x, г =1/B— x). 1258. y--=ex*/2.
Рис. 71
1283. Решение. Соответствующая автоцомная система dx/dt = Зх -|- 4г/, dy/dt =_
= —д: — 2г/ имеет характеристические числа Ях = 2, Я2 ^= — 1. Следовательно, х=
= 0, г/ = 0—седло, л = 0, г/ = 0 условно устойчиво. Канонический вид данного
дифференциального уравнения: dt)/d| — — il/B£). Его интегральные кривые ц =
= С/~у/|1Г (§¥=0), | = 0 ~(т] ^ 0) имеют вид, указанный "а рис. 71, а. Точки
| = 0, г] = 0 — седло, г] = 0 (£ =/= 0), 5 = 0 (т] ¥> 0) — сепаратрисы ^едла. Нулевое
решение ? = 0, т) = 0 соответствующей (канонической) автоиомной системы d\jdt —■
= 1%, dn\/dt = — г] условно устойчиво (стрелки на рис. 71, а указывают направле-
направления движения при t ■* +<»). Для построения схемы расположения интегральных
кривых данного уравнения в окрестности особой точки х = 0, у — (Кнайдем неосо-
неособенное линейное преобразование, приводящее это уравнение (и соответствующую
ему автономную систему) к каноническому виду. Записывая искомое преобразование
в векторной форме, имеем: I = S , D (S) Ф 0, где S — матрица, приводя-
л Г 3 4 1 Г 2 0 "I
щая матрицу А = I к каноническому виду В = I I, так что
* В задачах 1231—1237 ответы даны с точностью до неособенной постоянной
матрицы С, ибо если Yx—интегральная матрица, то CYt—тоже интегральная матрица.
303

SAS-* = В.
cainCi.i деле,
= С
Ш-
Из уравнения SA -- SS находим S —
x
У
----- CAC-i
= - В
-^-B, C=-S.
откуда $ — х-\-у, ц----х-\-Лу—искомое преобразование. Сепаратрисы седла х — О,
у — 0; (/ — — ^ (х =/= 0), у = — — х (х ф 0). Расположение интегральных кривых
4
данного уравнения в окрестности особой точки х = 0, (/ = 0 указано на рис. 71, б
(стрелки указывают направления движения при / ■* + »; при определении направ-
направления движения принимается во внимание поле скоростей, задаваемое автономной
dr\ 2т]
системой, соответствующей данному уравнению). 1284. Узел, ——• = —-—; л; = 0,
у = 0 вполне неустойчиво. 1285. Седло,
= 0, i/=0 условно устой-
чиво. 1286. Фокус,
dv
u — 2v
1287. Центр,
dv
du —2м—v
и
; х ~el 0, г/=г 0 асимптотически устойчиво.
du — и
; x: = 0, у = 0 устойчиво (иеасимптотически)- 1288. Вы-
рожденный узел,
, + Зт|.
= 0, у = 0 вполне неустойчиво.
Глава VII
1290. u^F(y,
1292. u = F(y2-^ г2,
; и = х^/г. 1291. и ■--F {е~2х {у+г), е~х(Ъу + 2г)).
— уJ); и-=2 (у (у — г)+ х). 1293. « = F Aх 4- /Я(/4-
У ^ ^ . 1295. u = F(y, In г —
-яг, х24-1/24-г2). 1294. г = F
-x/i/); и=1пг—х/у. 1296. и= F (г/у, у + у3/х2). 1297. u=F(y/x, г+
Т. 1298. и = F (х2 4-У24-г2, уг/х). 1299. Ф (e-«Bsinx4-(/cosx),
i)=0. 1300. Ф(г, х2 —i/2?)=0; г=х2/(/2. 1301, Ф((/, г/х)=0
или z = xf(y); z = xy. 1302. Ф(у, ze~x/y) = 0 или z = ex/yf (у). 1303. Ф(г —
__ __,— I U Z
Ух — У«) = 0 или г = Ух 4-/(Ух — У</). 1304. Ф —, —,
' г i i \ г \ХХ
или u = xf(—, —); «= — ((/4-г). 1305. Ф(г, хе"'2) = 0, г =
. 1306. Ф (—, —^1 = 0 или г = х2/(—); г = х(/. 1307.
Inx—1 Vxx2/ \х
р Х2 о. ^2-|_ г2) = о. 1308. г=Сеху. 1309. г = Се5Ш(ЛГ|/). 1310. г=—1
2). 1311. г = ех+У(у + С). 1312. z = Ceylx. 1313. г=е^((/4-с)- 1314. г=
-~-х2(у 4-Inx — х4-С). 1315. z — ах-{-by-\-а?. 1316. г—ах4-^4-°*- 1317- г2а2^
= х 4- аг/ 4- Ь. 1333. г = Cx2i/3. 1334. г = (у 4- С) (х— (/2)- 1335. г=ах+ by — а2Ь.
304

Глава VIII
1344. (/2 = 1 + Се—с/х2, у=±\ (хфО), х = 0 (у2ф1). 1345. ху-=г.
1346. уъ=хг. 1347, у = хг, /(дс)г' = z^ — 1. 1348. (/-^ хг, г' = х31 /(г).
1349. (у— Ь)/(х— а) = г, (x—a)z'=f(x)g(z). 1350. ху =■= г, г'=-j(l+z/(z)).
1351. Ж(/ = г, г'=Хф(х)/(г). 1352. /@) = 0, /' (х) = СA + /2(*)). С = /' @);
/ (х) = tg Сх. 1353. 7 (х) = есх. 1354. (у — Ь)/(х — а) = С. 1356. t/ = Ce~2* +
2 1
4- — sinx — —cos х при i/ < sin x, у = Ce~х при г/> sinx. 1357. г/х = ф (х)— 1,
5 о
0=<р(х)—l-fCe***). 1358. t/1=sinx— I, y=sinx- \-]~Ce-s'nx. 1359. ф((/) =
= z, Л (х) z' -[- В
2
1
X
+ С(х) —0. 1360. у'п=г, z'+mpz--=mq- 1375. (/=——X
0 (хфО). 1376. I/—ф(л;) —г. 1377. а о
— 62ХJ. 1378. —
-|- (л:2 + i/2) arctg
тх
: + (/) = С (х + i/J. 1379. \-\-х—у = С Ух2 + (/2 . 1380. х — 1 = С (у+
+ 2). 1381. 5х(у — х— 1) — 8(г/ — х) — 4 = С(г/ — x-j- 1J. 1382. i/ = Csin^h+ix.
1383. у = Сех'. 1384. 2«/2 — х2 -J- </4 = С. 1385. |л — cosx-cos у, х2 sin г/-|-(/2 sin x—
= С. 1390. Частное. 1391. Частное. 1392. Особое. 1393. Не гарантируется: у' =
= —х\/"у, г/@) = 0. 1396. / = ф(х); y = ty't -1- /({/,'). 1397. Решение. Об-
Область задания уравнения: (/^1 (см. рис. 72); (/' ^0, (/' + г/= 1, г«/ = Се-*4Г 1,
С^0; i/'<0, «/' — г/ = — 1, (/ = Се-11 + 1, С < 0; у = 1—частное решение—асимп-
решение—асимптота семейства интегральных кривых. 1398. Решение. Имеем sign у' = — sign i/
(см. рис. 73); у' > 0, у'" = — 2у, у = — 2(х + СJ, х< — С; у' < 0, у'2 = 2(/,
#=2(x-f.CJ, х < С; I/ -— 0—особое решение—огибающая семейства интегральных
кривых. 1399. Решение. х^0, у^0, у'=у-\-х, у = Сех — х—1; х<0,
= у — х, у = Сех + х -р 1; х < 0, у < 0, «/' -- — у — х, у = Се-ЛГ—х-f-l;
), 0<О, #' = —у + х, г/ = Се-л +х— 1. 1401. х— (/> 0', —2 (Ух —у +
), 2
In |1 — Vx~^y\) = x + C;x—i/<0, 2 (Vy — x — In |1 + Уу — х\) = — х+ С;
—(/ = 0, у — х—не решение. 1415, у = гх; г" = F (г). 1421. у = еЛ(*~)
Яис. 72
Рмс. 73
2П. Зак 1213
305

Рис. 74
+ 1 еА{х l)f (t) dt. 1428. Центр; х = О, у = 0 устойчиво. 1429. Фокус, х==0, у=0
асимптотически устойчиво. 1430. Фокус; х = 0, (/ = 0 асимптотически устойчиво.
1431. Центр, область центра: |х|<1, [у{ < 1 (см. задачу 161). Граница области
центра состоит из частных решений уравнения и особых точек; х = 0, у = 0 устой-
устойчиво. 1432. @, 0), A, 1), (-1, I), (—1, —1), A, —I)-точки покоя; * = 0,
(/ = 0 устойчиво, *=1, {/si; х = — I, j/sl; х= —1, {/э — 1; * == 1, у «я
=-_ 1 —условно устойчивы (рис. 74). 1441. J — нечетное: узел, если Ъ > 0; седло,
если 6<0; / — четное; седло—узел (при й > 0 в правой (х > 0) полуокрестности
точки О@, 0) расположена параболическая
область, в левой (х<0) — две гиперболиче-
гиперболические области, разделенные сепаратрисой; при
Ь<0 — наоборот). (Указание. Применить
теорию нормальных областей Фроммера [38].)
1442. п — нечетное: узел, если 6>0; седло,
если Ь<0; п — четное: узел. (Указание.
См. предыдущую задачу.) 1443. Центр. (Ука-
(Указание. Сделать замену х-\-у=Х\, y = yt.) 1444.
Центр. (Указание. Pdx+(y+Q)dy — 0 —
уравнение в полных дифференциалах, имеющее
общий интеграл U(x, y)=C, где интеграл
U(x, у) — знакоопределенная функция.) 1445.
Центр. (Указание. Проблема центра и фо-
фокуса, причем поле направлений симметрично
относительно осей координат.) 1446. Центр.
(Указание. Проблема центра и фокуса. Сде-
Сделав замену х-\-ау=Х\, у = Уи получим систему,
поле направлений которой симметрично относительно координатных
осей.) 1447. 1) Вырожденное седло (к положению равновесия О@,0) при-
примыкают две гиперболические области, разделенные сепаратрисой, имеющей в
точке О точку возврата); 2) седло (к точке О примыкают четыре гиперболические
области, разделенные сепаратрисами, все сепаратрисы касаются оси Ох); 3) сед-
седло-узел (к точке О примыкают одна гиперболическая и одна эллиптическая обла-
области, разделенные параболическими кривыми); 4) центр (ось Ох — ось симметрии
поля направлений) (Указание. Проблема центра и фокуса (см. указание к
задаче 1445).); 5) фокус (см. указание к задаче 1445); 6) седло-узел (к точке О
-примыкают одна параболическая область и две гиперболические, разделенные се-
сепаратрисой); 7) седло-узел (то же, что и в случае 3); 8) узел (причем все О-кри-
вые касаются в точке О оси Оде). 1448. Седло-узел: к точке О примыкают одна
параболическая и две гиперболические области. (Указание. Применить метод
Фроммера.) 1450. (Указание. Показать, что подобласть |ф—r\ ^ Jin r\~l n рас-
рассматриваемой нормальной области второго типа является аналогом нормальной
области первого типа.) 1452. 1) Область центра совпадает со всей фазовой плос-
плоскостью (х, у) (Указание. Исследовать общий интеграл.); 2) область центра
совпадает со всей плоскостью (х, у) (Указание. Исследовать общий интеграл,
перейдя к полярным координатам р и ф и изучив р как функцию от ф.); 3) центр
О@, 0) и два седла. Из каждого седла две сепаратрисы уходят в бесконечность,
две другие идут в другое седло, ограничивая область центра; 4) то же, что и в
третьем случае, и еще два вырожденных седла. Последние являются точками воз-
возврата для проходящих через них траекторий; 5) три центра и четыре седла. Се-
Сепаратрисы седел состоят из дуг замкнутой (через седла) кривой эллиптического
типа и пересекающих ее двух ветвей кривой гиперболического типа. Получающие-
Получающиеся при этом три замкнутые области являются областями центров. 1453. а<—2.
1454. а< —1. 1466. х = sine', t/^cose'. 1467. х = — cost, y = sint. 1468. х =
= — cos/, t/=s'mt. 1473. Фокус. 1474. Фокус. 1475. x{t) = Ai*{A — произвольная
306

постоянная). 1476. ^ . 1478. Решение. Пусть кратный корень Я = Я&
/=0 П
существует. Тогда Я (Яо) = 0 и Я' (Яо) = 0. Это дает Яо + я + Ье~**н = 0, 1 —
~hbe~^'h = 0. Очевидно, что Я" (Ло) ^ 0. Найдем Яо: Яо = —\n(hb). Подставляя
А
это значение Я в исходное уравнение, получаем: Ь = e~1~ah/h и Яо — — A+аЛ)/А.
-l-aft
Уравнение запишется так: I/' (*) + at/ (л) -f- ; у (х — Л) = 0. 1479. t/ (x) =
/ 1 + aft \ / 1 + ah \
= Q ехр — х -f- С2х ехр — л: (Сг. Сг — произвольные постояи-
\ п } \ h I
ные). 1480. Решение. Пусть Я=а-|-!'Р. Из F (Я) = 0 находим а = — а —
— be~aflcos$h, Р = бе аЛsin р/г. Предположим, что существует Я, для которого
а > 0. Тогда a = — а — be~ah cos р7г < — a + \b\ е~ш. Если a > 0, то «-""< 1,
и тогда а^ — а-)-|Ь|, что противоречит предположению. 1481. Решение. Ха-
Характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения будет Я-f-
+ a + 'be~ah = 0, откуда при Я == a -f ф получаем a = — а — be~ah cos f>h, P =
= 6e—aftsinPA. Периодические решения могут возникать только при a = 0, поэто-
поэтому — a —cos РА = 0, р = 6 sin pft или Р = + ~\/b- — q*. |fr| > |а|. Случай |а| = |Ь|
приводит к тому, что а = — 6, тогда периодическое решение — произвольная кон-
константа. При а = Ь периодических решений нет. При \Ь\ > \а\ получаем семейство
периодических решений у (х) = A sin (]/b2 — аН) -f- В cos (~lA2 — °2*) при соответ-
соответствующих А. 1482. Составим характеристическое уравнение Л2 -(- fe2e ^т =-■ 0. Если
Я = a + г'Р, то а2 — Р2 + кЧ~1л cos Рт = 0, 2аР — k4~m sin рт = 0, откуда a =
" Если х ■*■ -\- 0 и е~ -*\, то, как можно видеть из характе-
2Р
ристического уравнения, l! = -fe!n«-*0, |3 -► +k. Тогда sin Рт ->■ 0 и, начиная-
sin Рт я; я;
с некоторого Т, при т < 71 —-— > 0, —— < рт < —-, следовательно, а =
Р £ £
= sin рт _ > q J483. Асимптотически устойчиво. 1484.. Асимптотически
устойчиво. 1485. Неустойчиво. I486. Асимптотически устойчиво. 1490. Решение.
Составим вспомогательную счетную систему обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
(k=l, 2, ...). A)
Пусть (t0, x^, х^К . . . )—наперед заданная внутренняя точка области, в которой
определены правые части уравнений A). Сначала поставим задачу: найти решение
бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений A), проходящее
через точку (tn, х\°\ дс^0), . . . ). Решение этой задачи эквивалентно решению си-
системы интегральных уравнений
4 J (*=1. 2. •••)• B)
U
20* 3U7

Отсюда следует
t t
= 4+1
4+1+ \Xk+2(^)dr, Xft+2 = 4+2 + ]*Й+з(т)Л, .
U U
Построим решение системы B) методом последовательных приближений:
4" = 40) + '
y(i) _ v@) I Г v@) j (i) _ „@) , v@) // 11
xh+1 — *fc+ 1 ~ J Лй+2ат > xft+1 — xk+1 "Г xk+2 " ~ Г0>
to
Вторые приближения:
t t
5,B) __ j.@) , С II
xk ~ xh i" xh-
v@)
XA+2 — Xk+2 -г- \ Xk+3UX - xh+2 '
to
Следовательно,
Третьи приближения:
43) = 40)+ f 4¥.
— xft + П xfe+i + xft+2 (т~ {о) + xk+3
t.
откуда
x{3) __ x{0) ■„ x@) if — t) ' x@) ^ ~ ^"^ j. x
m-e приближения:
xCn) _ „@I,@) ,._.ч , @) .0
Лй — хк ТЛй+1 U 'о; "f *fe+2
1 B+d 3!
308

)тсюда следует, что решение системы дифференциальных уравнений A), проходя-
цее через точку (/0. л:^0^, хB°К . . . ), имеет пид
-ir ■■■ = <№«. 'о.
= !. 2,
C)
Гак как правые части системы уравнений A) удовлетворяют в некоторой области
Н: t^sQ, |xft[ sc:/? (k = l, 2, ...), где Л — любое заданное число, всем условиям
теоремы существования и единственности решения счетной системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений A), то бесконечная система уравнений C) од-
однозначно разрешима относительно начальных данных *i<0), хгт, ..., причем
1 — фь (to, t, xu xit ...)---■ xh + xh ,.г (/„ — 0 +
(to-I)*
21
Покажем теперь, что построецные нами функции (pk(to, t, xlt x2, ... ) и являют-
являются искомыми. Действительно,
d(fk
dt
U ~ t) -
0
1
dxs
(t0 -
2!
(to - tK
(to — t
2!
при k < s,
при fe = s.
при ft > s-
3!
I ....
Подставляя все эти выражения в данное уравнение, получим
~ Xf, +1 — xh +2 (tn — t) — *h Ki
2!
(m-l)l
Таким образом, каждая из функций (fk(to< f, xlt x2, . . . ) является решением
данного уравнения с частными производными первого порядка счетного числа пере-
переменных- 1491. Пусть @, х\°\ хB0>, . . . ) — заданная точка области Н. Решение
дчнной системы уравнений при начальных условиях:
=1. 2,
D)
может быть построено методом последовательных приближений. Тем не менее легко
проверить, что функции
309

— + ...) (fe=l, 2, ... ) E)
представляют собой решение данной системы уравнений, удовлетворяющее на-
начальным условиям D), причем это решение равномерно ограничено. Действитель-
Действительно, так как \х%> \^г, то из равенства E) имеем
It2 tm \
|xft|< те-*\\ + / + — + ...+ — +... j = r (k=l, 2,- ... ).
Рассмотрим функцию
( е-1"' при t¥=0,
{ 0 при / = 0.
Эта функция, как известно, имеет производные всех порядков, которые обра-
обращаются в нуль при / = 0. Нетрудно проверить, что функции
xk = Се~1 d^_(!} (^=1-2, ... ), . F)
где С — некоторая постоянная, образуют решение данной системы и обращаются
в нуль при t=0. Решение, определяемое равенствами F), не будет равностепен-
равностепенно непрерывным, и следовательно, и равномерно ограниченным. Очевидно, что у
данной системы уравнений таких решений бесконечное множество. Так как она
линейная, то сумма решений E) и F) также является ее решением, удовлетво-
удовлетворяющим начальным условиям C), причем это решение ие будет равномерно огра-
ограниченным. Таким образом, непрерывность, равномерная ограниченность правых
частей данной системы и выполнение для них условия Липшица не обеспечивают
существование и единственность равномерно ограниченного решения. 1492. Р е-
ш е н и е. Подставляя ряд x — x(!(l)-{-xl(l)\.i-\-... в данное уравнение, имеем
(t) d*xx (t)
+
dt* + df
Приравняем свободные члены и члены при первой степени \i:
^ +2x,@=sin/, rfy -x.2^(<)=xg(O-
Первое из этих уравнений имеет единственное 2я-периодическое решение х0 (t) —
rf2x, (О
= sin/. Подставляя его во второе уравнение, получим j- 2xx(^)=sin2/.
dt
Единственным 2я-периодическим решением последнего уравнения будет хх (t) —
1 cosit
= —-J- . Поэтому искомое приближенное 2я-периодическое решение x(t, ц)~
4 4
« sin t + — + ) ii. 1493. Решение. Будем искать решение в виде ря-
V 4 4 /
да, расположенного по степеням параметра [г: х = ха + хф + лг2ц2 + • • ■ Подстав-
Подставляя этот ряд в данное уравнение:
310

= p sin t + (x A— x\ —
—...) X
dt
dt
dt
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ix, получаем следующую
систему линейных неоднородных уравнений второго порядка:
G)
dt*
dt*
dt*
-fco2x0
= p sin t.
0
dx,
) dt •
dx, n dx0
' dt *X° dt Xl'
откуда и определяются x0, a'i, Хг, ... При интегрировании этих уравнений мы поста-
постараемся найти лишь такие их частные решения, которые имеют тот же период 2я,
что и их правые части. Решением первого уравнения, как нетрудно видеть, будет
со2 — 1
■ sin t.
(8)
Это решение называется нулевым приближением. Подставляя найденное нулевое
приближение (8) в правую часть второго уравнения системы G), находим
dt*
■ -I- а>гх, = 1 -
(u>2— 1J
■ sin21
(9)
или
4 (со2—IK
lxx = av cos < -f- a2 cos 3/, где ах =
. Из уравнения (9) определим
4p(cO2_lJ_i
4 (со2— 1)?
4р(со2-1J-рз
4 (со2 —I)*
cos < 4-
4(co2 —1K (о2 — 9)
cos
A0)
которое назовем первым приближением. Подставляя первое приближение A0) в
правую часть третьего уравнения системы G), после некоторых преобразований
получаем
dt*
со2х2 — 6L sin t ~- 62 sin 3^ + 63 sin Ы.
(И)
Частным решением уравнения A1) будет
х, =
-i-—Sin^ +
■ sin 3^ -I-
■sin bt.
co2 — 9 со2 — 25
Решение основного дифференциального уравнения во втором прибл ижепии
Р .,_, , /4(со2-1Jр-р-
V 4(со2—I)*
311

C0S3; u
4 (<o= — 1 K («г _ 9) у r ' \ 0J _ 1
Ъп
C0S3;1 u -L —-sin*+
slnSf
■ Ы2_9 ' 0J —25
1495. Нулевое приближение x0 — cos /, первое приближение Xi — — — +
1 3
-f-— cos 2/, второе приближение хг = — (—cos / -j- cos 3t). (Указание, По-
2 8
скольку К меньше единицы и х изменяется от —1 до 1, второй член данного урав-
уравнения может быть разложен в сходящийся ряд по степеням \х, так что
d2* о. x = — V („i4- l)(m— (т + 2)л:2)хт-1Хт. A2)
m=l
Решение уравнения A2) будем искать в виде ряда, расположенного по степеням X:
х =^ х0-;••*!* +х2Я2-г ... . A3)
»
Заметим, что при интегрировании последовательно приближенных уравнений по-
появляются две произвольные постоянные, которые могут быть определены из усло-
условий х=\, dx[dt=O при (=0, каково бы ни было значение X. Из равенства A3)
найдем:
х @) = х0 @) 4- *i @) X + Ч @) Х2 +
dt '
dt dt ' dt ' dt *
Следовательно, x0 @) = 1, x, @) =0, x2 @) =. 0, . . . , x0 @) - 0, x, @) — 0,
x2 @) = 0, . . .) 1496. Все решения, пересекающие границу области 1 < |х| + \У\ <
^ "l/б , входят в эту область, и и ней нет точек равновесия. Следовательно, в
ней должны быть периодические решения. При т — п • • 1 система имеет периоди-
периодическое решение х—~l/2cosa/, у -— ~\/'2 sin а?. 1500. Решение. Преоб-
Преобразование А строится путем приведения уравнения у' = Ахпут к ав-
1 Ы и 1"-"
тономпому виду х = е, у — ueh, где й= , в результате че-
1— т.
1-1-й
го имеем и -f- —:— и = Ли"". Преобразование В получается в результате разреше-
1 — т
ния уравнения у' — Лхл ytl относительно х, почленного дифференцирования и по-
понижения порядка у' — р, у" = рр'. Приведение к автономному виду у —- е*, р —-
= ueki, k = дает уравнение и -\- и = Atu~l^v. Приравниванием
v -4- 1 1 -f- v
соответствующих существенных Iараметров получаем алгебраическую систему
1 + « v(l — н)
= — :— , т— — 1/v, откуда и = — л, v = — \1т. Следовательно,
\ — т 1 + v
образующая группы / — В~х о А определяется как преобразование (тп) ->■ (— п,
— 1/т). Непосредственной проверкой
if M//1 М / / 1 \ f
(т, п) -* — п, — — -»■ — , — -* — — , —т -*■ (т, п)
\ т J \т п. j \ п )
убеждаемся, что /4 = £', поэтому исходное уравнение обладает циклической сим-
симметрией четвертого порядка в классе преобразований Q+. 1501. Решение. При-
312

тененис прямого метода дает переопределенную систему уравнений в частных
:роизводных:
gnfm(ft ~ fuuj. (St -г guu'f-1 - tv u»ux Ши - guff),
2gu/W -f gtfuu — 2/agtB — ftgttu = 0,
2gt/fu + guftt — Vtgtu — fugtt = 0,
;оторая при произвольных in, n, l имеет единственное нетривиальное решение —
феобразование годографа г : (т, п, I) ->■ (я, т, 3 — /). При / = 0 добавляется ре-
цение s:(m, п, 0) -* (т, — т, —я, —3,0), заданное преобразованием д = и/(,
:=\/t, и комбинация rs -sr. Наконец, при / = 0 и от = 2 имеем преобразование
1 4; Т/^я2 ■ г 40п 4- 49
у 2
г. е-
In -!- 5
и всевозможные комбинации ws~sw, wr -=rw и т. д. Так как других решений
система не имеет, построенная цепочка расширений максимальна в классе Q. 1502.
Решение. Последовательно применяя построенные в предыдущей задаче образую-
образующие г, w и s, получаем уравнение у" = В(/'-, которое после понижения порядка
р" В
у' = р, у" = рр" легко интггрируется в квадратурах: —=-= —- уз ^. с. Обрат-
2 о
иые преобразованич позволяют выразить интеграл исходного уравнения через эллип-
гические функции. 1503. Решение. Преобразование А строится аналогично зада-
задаче 1500, с добавлением понижения порядка и = р, и = рр' и масштабирования не-
зависимой неременной g ---- и, в результате чего получаем
т ■{-1 — 1
2я 4- т — /•+ 3
Точно так же в преобразование В после /^F-пары и приведения к автономному ви-
виду войдет такое же понижение порядка и преобразования
^_i t \ih-~-2vX-[-\iv-\-к — Зу — 2jx—2 2_jj_
Окончательно получаем
(А, —2) (и 4-у 4- 1)
|хА, 4- 2уА, 4- M-v — 2ix 4- >- — Зу — 2
Приравнивание соответствующих существенных параметров приводит к алгебраичес-
алгебраической системе: т -- 1/(>. — 2), / ■-■= (v — 1)/у, а = 6, д A — а) = 6 A — 6), решение
которой ц = —п/(л+1), у =1/A — I), X = BmJr\)/m дает образующую g,
^i:i _= Е. Присоединяя образую:цую г (задача 1501) и убеждаясь в том, что (grJ =
Е, получаем группу диэдра Dj. 1504. Решение. Сначала построим расшире-
313

нне группы D3 (см. задачу 1503) при / = 0. Можно воспользоваться образующей ;
из задачи 1501, но идентичный результат получится и при анализе уравнений срав-
сравнения и алгебраической системы задачи 1503. Третье уравнение системы исчезает
п т -f. п 4- 3
а четвертое имеет два корня: jj-i = — ■ , ц2 = — ! —— . Таким об-
«+ 1 m-f- п + 2
разом, группа £>3 расширяется до £>6. Нетрудно видеть, что для построения даль-
дальнейших расширений необходимо, чтобы в множестве уравнений, связанных преоб
разованиями группы £>6, появилось еще хотя бы одно уравнение вида у" = АяРум .
Исходное уравнение интегрируется с помощью преобразований:
у" =
у" =
у" =
и мы в конечном итоге приходим к уравнению с разделяющимися переменными
1505. Решение. Последовательно проводя преобразование Л-1 (см. зядачу 1503),
получаем легко интегрируемое уравнение уу"' — В. 1SC6. Ре ше и ие. Аналогична
предыдущей задаче получаем уравнение у" = By*. 1507. Ре ше н и е- Пусть урав-
уравнение у' = I (х, у) инвариантно относительно преобразования х — g(X). Тогдг
dy
2 &' W) f <£ (Х)> УУ В силУ инвариантности
откуда g' (X) =
'J
g' (X) / (g (X), у) = f (X, у)..
=■■ const (у), поэтому f (X, у) = Ft (X) F2 (у), и вспо-
f{g(J y)
могательное утверждение доказано. Теперь остается найти подстановку исходного
уравнения, которая приведет преобразование к виду u=U,x=a*iX. Нетрудж
показать, что подстановка имеет вид у — их1?2, в результате чего исходное урав-
уравнение приводится к уравнению в полных дифференциалах путем умножения ш
интегрирующий множчтель 2ц'. К полученному уравнению первого" порядка при-
применимо вспомогательное утверждение, доказанное Еыше- 1508. Решение. При-
Применяя преобразование Л (задача 1503), п:еем уравсем.'е у" = Вху~~5/3 , Егс
интегрирование осуществляется по схеме
; у" =
у" =
с последующим понижением порядка, в результате чего получается уравнение с
разделяющимися переменными. 1510. Подпрограмма имеет еид: ИПЗ; ИШ;-}-; Fsin;
ИП1; +;. (Здесь предполагается, что параметр 2,25 занесен в регистр памяти П4/
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
хп
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,4304865
2,6759348
2,9355404
3,2082362
3,4927012
3,7873883
4,0905726
4,4004172
4,7150515
5,0326546
2,4306129
2,6761919
2,935931
3,2087614
3,4933602
3,7881784
4,091489
4,4014527
4,7161966
5,0338971
314

1511. Подпрограмма имеет вид: ИПЗ; ИП4; X; ИП1; Fsin; X; 1; +; ИПЗ; Fx*;
ИП5; X; —. (Здесь предполагается, что параметр 0,2 занесен в регистр памяти
П4 и 1,5 —в регистр П5)
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,099349835
0,19615993
0,28816581
0,37357611
0,45118343
0,52037339
0,58105292
0,63353212
0,67839316
0,71637062
^Р-К
0,09956886
0,19660686
0,28884537
0,37448351
0,45230053
0,52166813
0,5824823
0,63504731
0,67994517
0,71791502
1512, Подпрограмма имеет вид: ИПЗ; Fx~\ ИП5; X; ИП1; ИП4; X; +;. (Здесь
предполагается, что параметры 1,6 и 0,5 занесены в регистры памяти П4 и П5 соот-
соответственно.)
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
хп
0,1
0,2
0,3
0,4
0 5 *
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,31256801
0,34179025
0,38831376
0,45300859
0,53708934
0,64227117
0,77098208
0,92666807
1,1142543
1,3408753
0,3J65088
0,3496503
0,38859195
0,45340613
0,53762972
0,6429905
0,77193761
0,92795303
1,1160248
1,3434013

ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— 2-е изд.—
М.: Наука, 1984.—271 с.
2. Бибиков Ю. С. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений — Л.: Изд-во ЛГУ. 1981.—232 с.
3. Богданов 10. С. Лекции по дифференциальным уравнениям.— Мн.: Выш.
шк., 1977.—240 с.
4. Богданов Ю. С, Сыроид 10. Б. Дифференциальные уравнения.— Мн.:
Выш. шк., 1983.—239 с.
5. Еругин И. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных урав-
уравнений.— 3-е изд.—Мн.: Наука и техника, 1972.— 663 с.
6. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений/Н. П. Ерупш,
И. 3. Штокало, П. С. Бондаренко и др.— Киев: Вшца шк., 1974,—471 с.
7. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения.— 4-е изд. — Мн.: Выш. шк.,
1976.—366 с.
8. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений.— 4-е изд. — Мн.: Выш. шк., 1974.— 766 с.
9. Петровский И. ]'. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. — 6-е изд. — М.: Наука, 1970.—280 с.
10. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— 4-е изд.—
М.: Наука, 1974,—332 с.
11. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. Л. Дифференциальные
уравнения: Примеры и задачи.— Киев: Вища шк., 1984.— 408 с.
12. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные
уравнения.—М.: Наука, 1980.—231 с.
13. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука,
1980.—352 е.
14. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.— 5-е
изд. — М.: Наука, 1979— 128 с.
Дополнительная
15. Абгарян К- А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных
систем. — М.: Наука, 1973. -- 431 с.
16. Амелькин В. В., Садовский А. П. Математические модели и дифференци-
дифференциальные уравнения.— Мн.: Выш. шк., 1982.— 271 с.
17. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.— Мн.: Выш.
шк„ 1979—136 с.
18. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1966.—576 с.
19. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.:
Наука, 1967—472 с.
20. Зубов В. И. Устойчивость движения.— М.: Наука, 1973.—268 с.
21. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—
6-е изд.—М.: Паука, 1971,—703 с.
22. Кроеное М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. Н. Сборник задач по обык-
обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978.—287 с.
316

23. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений — М •
Наука, 1981. —398 с.
24. Матвеев Н. М., Доценко Л. В. Математическое моделирование реальных
процессов.— Л., 1985-— 32 с.
25. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. — М.: Наука,
1976.—319 с.
26. Рейссиг Р., Сансоне Г., Коми Р. Качественная теория нелинейных диффе-
дифференциальных уравнений.— М.: Мир, 1974.—318 с.
27. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости.— М.: Мир, 1971.—
288 с.
28. Филиппов Л. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью.— М.: Наука, 1985.— 127 с.
29. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971.— 296 с.
30. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравне-
уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.-—М.: Наука, 1972.—
718 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 3
I. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 5
1. Введение 5
2. Уравнение, не содержащее искомой функции 16
3. Уравнение, не содержащее независимой переменной 27
4. Уравнение с разделяющимися переменными 38
5. Однородное уравнение и простейшее уравнение, приводящееся к
однородному 43
6. Обобщенное однородное уравнение 55
7. Линейное уравнение ' h 57
8. Уравнение Бернулли 65
9. Уравнение Дарбу 67
10. Уравнение Риккати 68
11. Уравнение в полных дифференциалах 74
12. Интегрирующий множитель 78
13. Вопросы н задачи для повторения 82
II. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 90
1. Введение 90
2. Уравнение n-й степени 91
3. Неполные уравнения 94
4. Уравнения Лагранжа и Клеро 97
5. Уравнения, разрешимые относительно у или х 100
6. Задача о траекториях 103
7. Вопросы и задачи для повторения 105
III. Уравнения высших порядков 108
1. Введение 108
2. Уравнение, содержащее только независимую переменную н производ-
производную порядка п 112
3. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содер-
содержащее искомой функции и последовательных первых производных 116
4. Уравнение, не содержащее независимой переменной . . • . . 120
5. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее произ-
производных 124
6. Обобщенное однородное уравнение 125
7. Уравнение, левая часть которого есть точная производная . . . 127
8. Вопросы н задачи для повторения 129
IV. Линейные уравнения высших порядков 132
1. Введение 132
2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .... 136
3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффици-
коэффициентами 152
318

4. Понижение порядка линейных уравнений 158
5. Интегрирование с помощью степенных и обобщенных степенных
рядов • . . 162
6. Колебательный характер решений однородных линейных уравнении
второго порядка 171
7. Вопросы и задачи для повторения- 175
V. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 181
1. Введение 181
2. Общие методы интегрирования систем дифференциальных уравнений 187
3. Вопросы и задачи для повторения 196
VI. Линейные системы дифференциальных уравнений 199
1. Введение , 199
2. Линейные системы с постоянными коэффициентам;! .... 202
3. Интегрирование линейных систем с помощью степенных рядов . 219
4. Матричный метод интегрирования линейных систем ..... 221
5. Вопросы и задачи для повторения 227
VII. Уравнения с частными производными первого порядка 232
1. Введение 232
2. Однородное линейное уравнение 234
3. Неоднородное линейное уравнение 237
4. Нелинейные уравнения 240
5. Вопросы и задачи для повторения 245
VIII. Разные задачи 248
Ответы 281
Литература 316