COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS-
COURS
D'ANALYSE MATHEMATIQUE
PAR
EDOUARD GOURSAT
Membre de l'lnstitut
Professeur a la Faculte
des Sciences de Paris
CINQUIEM EDITION
TOME I
DERIVEES ET DIFFERENTJELLES
INTEGRALES DEFINIES
DEVELOPPEMENT EN SERIES
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
GAUTHIER-VILLARS
PARIS

Э. ГУРСА
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ ПЕРВЫЙ
часть и
РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
проф. А. И. НЕКРАСОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ВНОВЬ ПРОСМОТРЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ПО ПЯТОМУ ФРАНЦУЗСКОМУ ИЗДАНИЮ
проф. В. В. СТЕПАНОВЫМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1933 ЛЕНИНГРАД

TT 21-5-2.
Редакционную работу по этой книге провел С. А. Каменецкпй. Издание оформила О. Н. Пер-
сияниноеа. Корректуру держала М. X. Яковлева. Наблюдал за выпуском В. П. Морее.
Рукопись сдаиа в производство 28 января 1933 г. Листы подписаны к печати 11 октября 1933 г.
Книга вышла в свет в октябре 1933 г. в количестве 10000 экземпляров, на бумаге формата 62X94/16.
Печатных знаков в листе 67 000. Листов в книге 14%. Заказ J& 535. ГТТИу* 19.
Уполномоченный главлита Ms В-63839.
1-я Образцовая типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига", Москва, Валовая, 28.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII.
РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
Стр.
I. Признаки сходимости 9
148. Общие замечания 9
149. Ряды с положительными членами 10
150. Признаки Коши и Даламбера • 11
151. Различные замечания 11
152. Применение наибольшего из пределов 13
153. Теорема Коши 14
154. Логарифмические признаки 17
155. Признак Раабе и Дюамеля . 19
156. Абсолютно сходящиеся ряды 23
157. Ряды условно сходящиеся или полусходящиеся • . 25
158. Признак Абеля 26
II. Ряды с мнимыми членами. Кратные ряды 28
159. Определения 28
160. Умножение рядов 29
161. Двойные ряды . . . .• 30
162. Кратные ряды 35
163. Обобщение теоремы Коши 36
164. Кратные ряды с переменными членами 37
III. Бесконечные произведения 38
165. Определения и общие замечания 33
166. Абсолютно сходящиеся произведения 39
167. Равномерно схоаящиеся произведения • 41
168. Действительные бесконечные произведения 42
169. Определитель бесконечно большого порядка 45
Упражнения 46
Глава IX.
ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
I. Ряд Тейлора. Общие замечания 47
170. Ряд Тейлора 47
171. Ряды для in A+*) и ln(l+*)m 50
П. Целые ряды с одним переменным 54
172. Область сходимости 54
173. Непрерывность целого ряда 56
174. Последовательные производные от целого ряда 58
175. Второе доказательство . 61
176. Распространение формулы Тейлора 63
177. Усиливающие функции 64
178. Подстановка ряда в ряд 67
179. Деление целых рядов ; 70
180. Разложение — 72
]/1 — 7xz -\- &

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
III. Целые ряды . . • 73
181. Область сходимости 73
182. Свойства целых рядов 75
183. Усиливающие функции 78
IV. Неявныг функции. Аналитические кривые и поверхности 80
184. Неявная функция одного переменного 80
185. Общая теорема 83
186. Формула Лагранжа 85
187. Обращение функций 87
188. Аналитические функции • 87
18Э. Аналитические кривые 89
190. Двойные точки 91
191. Аналитические поверхности 93
V. Тригонометрические ряды. Ряды полиномов 95
192. Ряды Фурье • • 95
ь
193. Исследзвание интеграла \f(x)—. dx 97
а
194. Функции, разюжимыг в ряд Фурье 102
195. Примеры 105
196. Различные обобщения 106
197. Разложение нгпрерывной функции. Теорема Вейерштрасса . . . 108
Упражнения • 109
Глава X.
ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ. ПРИКОСНОВЕНИЕ.
I. Огибающие кривые и поверхности 112
198. Разыскание огибающих 112
199. Огибающая прямой линии 116
200. Огибающая окружности 117
201. Поверхности с одним параметром 118
202. Поверхности, зависящие от двух параметров 119
203. Развертывающиеся поверхности 121
204. Диференциальные уравнения развертывающихся поверхностей . 123
205. Огибающая семейства кривых двойной кривизны 124
II. Прикосновение двух кривых. Прикосновение кривой с поверхностью . 127
206. Прикосновение плоских кривых 127
207. Порядок прикосновения 12Э
208. Соприкасающиеся кривые 131
209. Свойства соприкасающихся кривых 133
210. Прикосновение двух пространственных кривых 134
211. Соприкасающиеся кривые . 137
212. Прикосновение кривой с поверхностью 138
213. Прямые, соприкасающиеся с данной поверхностью 140
Упражнения 141
Глава XI.
кривые двойной кривизны.
I. Соприкасающаяся плоскость • . 143
214. Определение и уравнение 143
215. Стационарная соприкасающаяся плоскость ...» • 145
216. Стационарные касательные • 146

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Стр.
II. Кривизна и кручение. Развертки 148
217. Сферическая индикатриса 148
218. Радиус кривизны • 150
219. Главная нормаль. Центр кривизны 151
220. Полярная прямая. Полярная поверхность 153
221. Кручение 153
222. Формулы Френе 157
223. Разложение координат х, у, z по степеням * 158
224. Естественное (внутреннее) уравнение кривой 160
225. Развертывающие и развертки 162
226. Винтовые линии 164
227. Кривые Бертрана . . 166
228. Соприкасающийся шар 167
III. Семейства прямых линий 168
229. Линейчатые поверхности 168
230. Конгруэнция. Фокальные поверхности 172
231. Конгруэнции нормалей 174
231а. Теорема Малюса ¦ . 176
232. Комплексы 177
Упражнения . . . -. 179
Глава XII.
ПОВЕРХНОСТИ.
I. Кривизна кривых на поверхности 182
233. Основная формула. Теорема Менье 182
234. Две основные квадратичные формы 187
235. Теорема Эйлера. Индикатриса ¦ 189
236. Главные радиусы кривизны .... • 191
II. Асимптотические линии. Линии кривизны 194
237. Асимптотические линии • . . 194
238. Асимптотические линии линейчатых поверхностей 197
239. Сопряженные линии 198
240. Линии кривизны 200
241. Развертка поверхности 203
242. Формулы Родрига 205
243. Теорема Иоахимсталя 206
244. Теорема Дюпена 207
245. Геодезическое кручение . • . . . . • 209
246. Приложение к некоторым классам поверхностей 211
Ш. Соответствие между точками двух поверхностей 212
247. Сферическое представление '. 212
248. Наложение поверхностей • . 214
249. Поверхности, налагающиеся на плоскость . . . • 217
250. Геодезическая кривизна. Геодезические линии 220
251. Полная кривизна. Теорема Гаусса 222
252. Конформные преобразования • 223
253. Конформное отображение плоскости на плоскость 225
254. Географические карты 226
Упражнения \ • 228
Указатель 232

ГЛАВА VIII.
РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ.
148 Общие замечания. Выше (§ 5) мы имели общие условия сходи-
сходимости |>яда. На практике, для того чтобы узнать, является ли данный
ряд сходящимся или расходящимся, всего чаще пользуются признакам»
менее общими, но зато более удобными для применения. Мы приведем*
из них лишь наиболее употребительные, которые оказываются достаточ-
достаточными для большинства приложений. Сначала мы сделаем несколько
замечаний, которые непосредственно выводятся из самого определения
сходимости:
1) Если мы умножаем все члены ряда на постоянное число а, от-
отличное о г нуля, то новый ряд сходится или расходится одновременно-
с первым; если первый ряд сходится и имеет суммой S, то сумма второго-
ряда равна aS.
2) Если мы имеем два сходящихся ряда:
^+.^1+^2+ ...+«„+..., B)
суммы которвх, соответственно, равны 5 и S1, то новый ряд, получаемый1
их почленным сложением,
(«<rf v0) + («j -f «g + ¦ • • + («„ +>„) 4- -.., C>
сходится и имет суммой S-\-S'. Аналогичный результат мы имеем,,
складывая почле|но р сходящихся рядов.
3) Если мы вменим значения конечного числа членов ряда, то новый-
ряд сходится илирасходится одновременно с первым, так как это измене-
изменение эквивалентно увеличению или уменьшению всех сумм Sn, начиная
с достаточно больаого значения п, на некоторое постоянное. В частно-
частности, ряд является холящимся или расходящимся одновременно с рядом,
который мы полу^ем, отбрасывая некоторое число членов начиная
с первого.
4) Пусть будут 5—сумма сходящегося ряда, Sn — сумма я-)-1
первых членов этогоряда, a Rn—сумма ряда, начинающегося с члена
и„+1; если мы возьмш за приближенное значение 5 сумму Sn я4 1
первых членов, то оцибка, которую мы делаем, очевидно, равна Rn.
Так как Sn имеет праелом S, когда п неограниченно возрастает, то«
разность Rn стремится нулю, и мы всегда можем взять, по крайней
мере, теоретически, дос^точно большое число членов, чтобы ошибка,

которую мы делаем, заменяя S через Sn, была меньше любого наперед
заданного числа. Достаточно знать верхний предел Fln, чтобы оценить
полученное приближение. Ясно, чтэ на практике лишь те ряды являются
пригодными для фактического вычисления, у которых R достаточно
быстро стремится к нулю.
14Э. Ряды с положительными членами. Ряды, все члены которых
положительны, имеют большое значение, и мы начнем с их рассмотре-
рассмотрения. В каждом таком ряде сумма Sn возрастает вместе с п; поэтому
для того, чтобы ряд был сходящимся, достаточно, чтобы при всяком п
эта сумма Sn оставалась меньшею некоторого определенного количества.
Самый общий прием для решения вопроса о сходимости или расходимо-
<ти ряда состоит в сравнении предложенного ряда с другим рядом, уже ис-
исследованным ранее. Этот прием основан на двух следующих предложениях:
1. Если все члены какою-нибудь знакоположительного ряда соот-
вгтственно меньше или равны членам другого знакоположительного
сходящегося ряда, то и первый ряд также сходящийся.
В самом деле, сумма Sn первых п членов предложенного ряда, оче-
очевидно, меньше суммы S' второго ряда; следовательно, эта сумма Sn
имеет предел S, меньший S'.
2. Если все члены какого-нибудь знакоположительного ряда соот-
соответственно больше членов другого знакоположительного расходяще-
расходящегося ряда, то первый ряд также расходящийся.
В самом деле, сумма п первых членов первого ряда больме суммы
л первых членов второго ряда, и, следовательно, она неограниченно воз-
возрастает вместе с п.
Можно также сравнивать два ряда другим способом, осно»ываясь на
следующей лемме. Пусть будуп
«0 + «l + «2+ ••.+«„+..., (U)
*0+ *! + *« + ..-+*„+... (V)
•два знакоположительных ряда. Если ряд (U) сходящийся, и если,
1) U
начиная с некоторого указателя п, мы постоянно имеел, -^— <^—^—1,
то ряд (V) также сходящийся. Если ряд (U) расходгщийся, и если,
н„,, ^г/ ,,
¦начиная с некоторого указателя п, мы постоянно имеем -r"±1<^_«-ti)
то ряд (V) такжг расходящийся.
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что нера-
'венство -Л±1<^-Д±3 удовлетворяется для п^р. Так как, умножив все
члены ряда на постоянный множитель, мы не изме»им ни сходимости
ряда, ни отношения любого члена ряда к предыдущему члену, то мы
можем предположить, что vp<C.u ; тогда мы буд*м, очевидно, иметь
¦¦»р+1<ир+и затем vv+2<Cup+2, и т. д. Следовательно, ряд (V) —схо-
,дяш.ийся. Вторая часть леммы доказывается таким же способом.
Таким образом, если нам дан знакоположительный ряд, характер
которого относительно его сходимости известен то, пользуясь преды-
предыдущими предложениями, мы можем сравнивать с ним другие знакополо-

§ 149-151 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 11
жительные ряды; в зависимости от того, будем ли мы сравнивать самые
члены или только отношения двух последовательных членов, мы полу-
получим два предложения, которые позволят в некоторых случаях убедиться
в сходимости или расходимости этого второго ряда.
150. Признаки сходимости Коши и Даламбера. Простейший ряд, ко-
которым можно воспользоваться для сравнения с ним других рядов, есть
геометрическая прогрессия с знаменателем г; эта прогрессия сходящаяся,
если г<^\, и расходящаяся, если г^> 1. Сравнение знакоположительного
ряда с геометрическою прогрессиею приводит к следующему признаку
•сходимости, принадлежащему Коши:
Если в знакоположительном ряде количество */ил, начиная с не-
некоторого члена, постоянно меньше некоторого определенного числа,
меньшего единицы, то ряд — сходящийся; если же Vип, начиная
¦с некоторого члена, постоянно больше единицы, то рчд—расходящийся.
.В самом деле, в первом случае мы имеем n^un<ik<C,\, последова-
последовательно, un<C.kn. Таким образом, начиная с некоторого члена, все даль-
дальнейшие члены ряда меньше членов геометрической прогрессии с знаме-
знаменателем k, меньшим единицы. Напротив, во втором случае мы имеем
|/ил]> 1 ивя>1; следовательно, общий член ряда не стремится к нулю.
Предыдущий признак применим всякий раз, когда |/ил стремится
копределу; в этом случае мы получаем следующее предложение:
Если, при неограниченном возрастании п, >/кл стремится к неко-
некоторому пргделу I, то ряд будет сходящимся, если I меньше едищцы,
и расходящимся, если I больше единицы.
При /==Г характер ряда остается сомнительным, за исключением
того случая, когда п/ип стремится к единице, оставаясь больше ее:
в этом случае ряд — расходящийся.
Точно так же, сравнивая отношение двух последовательных членов
знакоположительного ряда с отношением двух последовательных членов
геометрической прогрессии, мы приходим к признаку сходимости Да-
Даламбера :
Если в знакоположительном ряде, начиная с некоторого члена,
¦отношение каждого члена к пргдыдущгму остается меньшим неко-
некоторого определенного числа, меньшего единицы, то ряд — сходящийся.
Если это отношение, начиная с некоторого членах больше единицы,
то ряд—расходящийся.
Отсюда следует, что е:ли при неограниченном, возрастании указа-
указателя п отношение -Jk±^ стремится к пределу I, то ряд — сходящийся,
если /<М, и расходящийся, если />1. Единственный сомнительный
•случай—тот, когда /==1; но если отношение п+1 стремится к еди-
п
иице, оставаясь больше ее, то ряд-—расходящийся.
151. Различные примечания. I. Признак сходимости Коши применим в более
широких случаях, чем признак сходимости Даламбера. В самом деле, предполо-
предположим, что, начиная с некоторого места, члены данного ряда меньше членов неко-

12 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 151
торой убывающей геометрической прогрессии, т. е. что при п, большем некото-
некоторого определенного числа р, обший член ип ряда будет меньше Агп, где А —
постоянное, и г меньше единицы. Такой ряд, по предыдущему (§ 150), будет
сходящимся. В этом случае, ^а„<М», и при неограниченном возрастании п
левая часть неравенства имеет предел г. Таким образом, обозначая через k не-
некоторое постоянное число, заьлючающееся между г и 1, мы будем иметь, начи-
начиная с некоторого члена, r\/un < k. Следовательно, здесь всегда применим при-
признак сходимости Коши, а между тем может случиться, что отношение -^ii будет
принимать значения, большие единицы, как бы далеко мы ни шли в данном
ряде. Возьмем, например, ряд
1 + г | sin о | + /-2 | sin 2а | +...-+/« | sin па |+ ...,
где г< 1, и о — какое-нибудь -постоянное. Мы имеем f/un = rp/1 sinгл I < r-> a
между тем отношение
и„
и„
sin (n +
sin пч
при неограниченном возрастании п может принимать бесконечное множество раз;
значения, большие единицы.
Тем не менее полезно удержать и признак сходимости Даламбера, кото-
которым часто удобнее пользоваться, чем признаком сходимости Коши. Так, в ряде
1++ + + + +
отношение любого члена к предыдущему, равное —тгг ПРИ неограниченном
возрастании п имеет пределом нуль, тогда как непосредственно не видно, какие
значения принимает |/ил =г при весьма больших значениях п.
II. Если, применяя одно из предыдущих правил, мы нашли, что, начиная
с некоторого места, все члены ряда соответственно меньше членов убывающей,
геометрической прогрессии
А, Аг, Агъ Агп, ...t
то легко найти предел погрешности, получающейся при замене суммы ряда сум-
суммою его т первых членов; эта погрешность, очевидно, меньше суммы прогрессии.
Агт
.. —— .
III. Если каждое из выражений уи„ и -^ имеет пределы, то оба эти пре-
предела необходимо равны между собою. В самом деле, рассмотрим вспомогательный ряд
где х положительно. В этом ряде отношение любого члена к предыдущему имеет
пределом 1х, где / есть предел отношения -^i следовательно, ряд D) сходя-
1 " 1
щийся, если х < —, и расходящийся, если х > -г. Точно так же, если /' есть
предел выражения •)/«„, то выражение у ипх" имеет пределом Гх, так что" ряд
D) будет сходящимся, если х < -j, и расходящимся, если лг>у. Чтобы оба

§ 151-152 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 13
эти признака сходимости не противоречили один другому, о евидно, должно
быть /=/'; если 6ji, например,-было />/', то всякое число х, содержащееся
между -у и -у, согласно признаку сходимости Коши делало бы ряд D) сходя-
сходящимся, тогда как, согласно признаку Даламбера, то же самое число делало бы
этот ряд расходящимся.
IV. Можно даже показать, что если -^ стремится к пределу /, то угип
также стремится к тому же самому пределу * В самом деле, предположим, что
начиная с некоторого члена, все отношения
un Un-H un+p-i
содержатся между /—s и l-\-e, где е — некоторое положительное число, которое
мы можем предположить сколь угодно малым, если только п взято достаточно
большим. Мы будем иметь:
или
Если п будет сохранять свое значение, а р будет неограниченно возрастать,
то крайние члены этого двойного неравенства будут стремиться соответственно
к / — в и /4-е. Таким образом мы будем иметь при всяком достаточно большом
значении пгл т
т —— .
так как г произвольно, то отсюда следует, что у ит имеет пределом число I.
Должно заметить, что обратное предложение неверно. Возьмем, например, ряд
1, п, пЬ, a^bt cfib\ ..., unbn~i, unbn, ...,
где а и b — два различных числа. При неограниченном возрастании л выражение
|/и„ имеет пределом ab, тогда как отношение любого члена1 к предыдущему
попеременно равно а или Ъ.
Предыдущее предложение может быть полезным при нахождении предела
некоторых выражений, имеющих неопределенный вид. Например, из него сле-
следует, что j/l-2...n -неограниченно возрастает вместе с п, так как отношение
1-2...л _ л
г -х——-. тт возрастает неограниченно. Точно так же можно убедиться, что
у п и у Inn имеют пределами .единицу.
152. Применение наибольшего из пределов. Коши представил предыду-
предыдущее предложение в более общем виде. Пусть будет а„ общий член знакополо-
знакоположительного ряда. Рассмотрим последовательность:
JL JL .1
в4, 4, aj, ..., <, ... E)
Если члены этой последовательности не имеют верхнего предела, то общий
член а„ не стремится к нулю, и данный ряд расходящийся. Предположим, что
все члены последовательности E) меньше некоторого определенного числа, и
пусть будет в этом случае <о наибольший из пределов членов этой последова-
последовательности.
* Коши, Cours d'Analyse.
** При достаточно большом значении п крайние члены предыдущего нера-
неравенства будут отличаться от своих пределов менее чем на е. (Ред.)

14 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 152—15$
Ряд ^ап — сходящийся, если <о меньше единицы, и расходящийся, если о>
больше еоиницы.
Чтобы доказать первую часть предложения, обозначим через 1 — а некоторое
число, заключающееся> между со и 1. По самому определению наибольшего из-
пределов (§ 4), существует только конечное число членов последовательности
E), больших 1 — а; следовательно, можно найти такое целое число р, чтобы при
всяком значении числа п, большем р, было у/ап < 1 — а; поэтому ряд 2ДЛ бу-
будет сходящимся. Напротив, если и> > 1, то существует бесконечное множество
членов последовательности E), больших 1 + а, где 1 + а есть какое-нибудь число,,
заключающееся между 1 и ш, и, следовательно, есть бесконечное множество зна-
значений указателя п, при которых ап больше единицы: следовательно, ряд 2д„ —
расходящийся. Сомнительным остается только тот случай, когда <о = 1.
и п
153. Теорема Коши. Когда -2±3 или у ип стремятся к единице,
ип
но не остаются постоянно большими единицы, то при помощи призна-
признаков Даламбера и Коши нельзя узнать, будет ли данный ряд сходящимся,
или расходящимся. В этом случае нужно сравнивать данный ряд с дру-
другими рядами, обладающими тем же самым свойством, и характер кото-
которых известен. Следующее предложение, которое Коши вывел из рас-
рассмотрения определенных интегралов, позволяет решить вопрос о харак-
характере ряда во многих тех случаях, когда применение предыдущих,
признаков сходимости не приводит к определенному результату.
Пусть будет ф(х) функция, которая, начиная с некоторого значе-
значения' а переменного х, положительна, постоянно убывает и при неогра-
неограниченном возрастании х стремится к нулю. Кривая _у = <р(х) имеет ось
i
х асимптотою; определенный интеграл \y(x)dx при неограниченном
а
возрастании / может или стремиться к конечному пределу или расти
неограниченно. Теорема Коши состоит в том, что ряд
•• F).
— сходящийся, если предыдущий интеграл стремится к пределу, и
расходящийся в противном случае..
В самом деле, предположим, что х заключается между а-\- р— 1
и а~\-р, где р—целое положительное число. Из двойного неравенства:
мы получаем, интегрируя в пределах а~\-р — 1, а-\-р:
а + р
tp(a + /7— I) >U (*)<**>.<{> (а-|-/>).
а + р-1
Полагаем последовательно /7=1, 2, ... , п и складываем получен-
полученные неравенства; мы будем иметь:
а-\- п
a-f n
<p(e + 2) f • • • + <р(а + л)$

§ 153 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 15»
Таким образом, если при неограниченном возрастании / интеграл4
\ w(x)dx стремится к некоторому пределу L, то сумма
оставаясь постоянно меньшею ср (а) -\- L, также стремится к некоторому
пределу; следовательно, ряд F) — сходящийся. Напротив, если инте-
грал \y{x)dx возрастает выше всякого предела, то, на основании пер-
а
вого неравенства, сумма
также будет возрастать выше всякого предела; следовательно, ряд F) —
расходящийся.
Возьмем, например, tp (ле) == —-, где р. положительно, и а==1.
Функция <р (х), очевидно, удовлетворяет всем предыдущим условиям;.
Cdx
кроме того, при неограниченном возрастании / интеграл I — стре-
мится к пределу, если ji больше единицы, и только в этом случае..
Отсюда следует, что ряд
1+1+1+ +1-4-
1И- т~ <2* т~ & ~^ ''" ^ пУ- ^ " '
— сходящийся, если )х]>1, и расходящийся, если ji^l.
Возьмем еще ср (х) = — г— , где р. положительно, и In л: обо-
X AП X у
значает неперов логарифм,' и положим а = 2. Предполагая \s.=/=\y.
имеем:
л
Правая часть имеет конечный предел, если р ]> 1, и неограниченно-
возрастает вместе с п, если jx<M; кроме того, легко видеть, что при
ц=;1 интеграл возрастает выше всякого предела. Следовательно,
1 L . | 1 |
2Aп2)и- ' 3 (In 3I* ' "¦ ' n{\nn)
-сходящийся, если ц]>1, и расходящийся, если
Вообще, ряд, общий член которого есть
1
л1п/г1п2/г1п3я...1п Р~г

16 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 153
— сходящийся, если ji^>1, и расходящийся, если jisgrl. В преды-
предыдущем выражении обозначения In* я, In3п., ... введены для краткости
вместо lnln/z, In In In л, и т. д. Разумеется, здесь целому числу п
даются лишь настолько большие значения, чтобы In га, " In2 и,
In3/г, ..., 1пРп были положительны, и предполагается, что члены
ряда, не удовлетворяющие этому условию, т. е. соответствующие
меньшим значениям п, заменены нулями. Доказательство здесь такое же,
как и для предыдущих рядов; например, если ji^l, то функция
1
лг1плг1п2д: ...
представляет производную от (lr.^jcI"^ , а последняя функция при
неограниченном возрастании х стремится к конечному пределу только
при ji> 1.
Теорема Коши может иметь также приложения иного рода. Предположим, что
функция <р (х) удовлетворяет всем вышеуказанным условиям. Рассмотрим сумму
Г (л) + <Р (« + !)-(-. -.+f(n + p), G)
где п и -р -— два целых числа, которые оба неограниченно возрастают. Если ряд,
общий член которого есгь <р(я),— сходящийся, то предыдущая сумма имеет пре-
пределом нуль, так как она равна разности сумм 5л+р+) и Sn, которые обе стре-
стремятся к сумме S ряда. Если же ряд расходящийся, то мы не можем высказать
о предыдущей сумме никакого общего суждения. Воспользовавшись данным
в этом параграфе геометрическим представлением, мы придем к двойному не-
неравенству:
п + р п+р
[<?(x)dx<<? (п) +у (л + 1) +...+? (и + р) < у (и) + \| ч (х) dx.
п
Так как, при неограниченном возрастании п, f (n) стремится к нулю, то предел
п + р
рассматриваемой суммы равен пределу интеграла \ f (x)dx и зависит от того,
п
ло какому закону возрастают числа ли/.
Например, чтобы иметь предел суммы
1
л
л
1
+
1
1
п+р
п + Р
+ р
достаточно найти предел определенного интеграла \ — = In ( 1 + — ). Ясно, что
,] X \ Л /
п
этот интеграл имеет предел только в том случае, когда имеет предел отноше-
р
ние •—; если предел этого отношения есть а, то сумма предыдущего ряда имеет
пределом In A 4- а), как это уже было доказано выше (§ 18):
Точно так же, чтобы иметь предел суммы
]/л
I 1_ | ... i

§ 153-154 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 17
достаточно найти предел интеграла
п-\~ р
\ ЛХ г) / - / j ~ , /~д
I rz- = / ( I/ Л ~т~ Р ~™ V Щ*
J \/х ^ ТР V >
п
Чтобы последнее выражение имело предел, необходимо, чтобы частное —т=. само
у п
имело некоторый предел а. В этом случае предыдущее выражение можно пред-
представить в виде:
и мы видим, что его предел также равен а.
154. Логарифмические признаки. Исходя из ряда .(§ 153)
±4-1+ +- +
\v- ~ 2^ ' '"' ' п*
Коши пришел к другому признаку сходимости, совершенно аналогич-
аналогичному признаку, основанному на рассмотрении \'ип.
,ni
и
Если, начиная с некоторого члена, отношение " постоянно
больше некоторого определенного числа, большего единицы, то ряд —
1„1
сходящийся. Если -—- постоянно меньше единицы, то ряд—расхо-
1п п г г
дящийся.
ml
Если при неограниченном возрастании п отношение -—s стре-
стремится к пределу I, то ряд — сходящийся, если /]>1, и расходя-
расходящийся, если /<1- Случай /=1 остается сомнительным.
Чтобы доказать первую часть предложения, заметим, что из не-
неравенства
1п — "> k\nn
И-
следует:
или
так как &>1, то данный ряд — сходящийся.
2 Э. Гуроа, т. I, ч. 2.

20 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 155
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что, на-
начиная с некоторого члена, мы постоянно имеем n2n^>k^>\. Пусть
будет jjt число, заключающееся между 1 и /г, 1 < ц < k. Ряд будет на-
и .
верное сходящимся, если, начиная с некоторого члена, отношение "тх
I п V
будет меньше отношения ¦ I двух последовательных членов ряда,
общий член которого есть л~|\ Для этого должно быть:
1 <—Ц~г=; (8)
n
A N v-
1-f- —) по формуле Тейлора и ограничиваясь тремя членами,
мы можем представить неравенство (8) в виде:
где, при неограниченном возрастании п, \п остается постоянно меньшим
некоторого определенного числа. Последнее неравенство дает:
При неограниченном возрастании п левая часть имеет пределом ji;
следовательно, начиная с достаточно большого значения я, эта часть
будет постоянно меньше пак; отсюда вытекает неравенство (8), а следо-
следовательно, и сходимость ряда.
Если произведение пап при неограниченном возрастании п стремится
к пределу /, то, применяя предыдущее правило, мы получим, что дан-
данный ряд будет сходящимся, если /> 1, и расходящимся, если /<1.
Сомнение остается лишь при / = 1, если только пчг не стремится
к единице, оставаясь постоянно меньше ее; в этом случае ряд будет
расходящимся.
Если произведение ла„ имеет пределом единицу, то нужно сравнить -я-+*
с отношением двух последовательных членов ряда
и„
| l I
2 (In 2)* ^ '"" ^ я (In n)v-
который будет сходящимся, если ц> 1, и расходящимся, если |i«?l.
Полагая яал— 1 -)- рл, мы можем представить отношение двух последователь-
последовательных членов исследуемого ряда в виде:
«- '1 + 1 + 8.'
ил
где, при неограниченном возрастании п, Рл стремится к нулю. Fели, начиная с не-
некоторого чле-io, произвебени" Р„1пя постоянно больше некоторого < пре-
(Зеленного числа, большего единицы, то ряд — сходящийся. Если это отно-
отношение по тоянно меньше единицы., то ряд — расходящийся

§ 155 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 21
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что нри всех зна-
значениях указателя л, больших числа р, мы имеем (!л1пя>й> 1. Пуаь будет ц
такое число, что 1 < ц < к. Ряд будет сходящимся, если, начиная с некоторого
члена, мы будем иметь:
tt м 1 In м I и
(9)
или, иначе:
л V я
применяя к правой части формулу Тейлора, имеем:
причем, при неограниченном возрастании л, Хл по абсолютному значению остается
меньшим некоторого определенного числа. По упрощении последнее неравенство
обращается в
При неограниченном возрастании л произведение (я+1) In A-1 J имеет пре-
пределом единицу, так как, по формуле Тейлора, это произведение может быть пред-
представлено в виде:
: 1 + — (М i), A0)
где s стремится к нулю. Таким образом правая часть предыдущего неравенства
имеет пределом ц; следовашльно, начиная с некоторого члена, это неравенство
наверно- справедливо, так как, по условию, 3„1пя больше числа k > р.
Таким же 0jpa30M доказывается и вторая часть предложения. Здесь нужно
сравнивать отношение n + i- с отношением двух последовательных членов ряда,
"" 1
общий член которого есть —j . Неравенство
ип-и^ п 1п/г
может быть представлено в виде:
п)\_ + In л J1
или
Как видно из формулы A0), нри значениях п, больших единицы, правая часть
стремится к единице; следовательно, начиная с некоторого места в ряде, послед-
последнее неравенство, наверное, справедливо, так как р„1пя, по условию, меньше
единицы.
Из предыдущего предложения следует, что если при неограниченном воз-
возрастании я произведение $„ Ы л стремится к пределу /, то ряд будет схо-
сходящимся, если />1, и расходящимся, если /<1. Сомнение остается только

20 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 155
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что, на-
начиная с некоторого члена, мы постоянно имеем nin^>k^>\. Пусть
будет р. число, заключающееся между 1 и k, \<^\i.<^k. Ряд будет на-
верное сходящимся, если, начиная с некоторого члена, отношение -Ji±-1
( п V
будет меньше отношения 1-1 двух последовательных членов ряда,
общий член которого есть п~^. Для этого должно быть:
1 i Г" "^ ~, 1 ГТ? > ( )
(J \ и.
1-| ) по формуле Тейлора и ограничиваясь тремя членами,
мы можем представить неравенство (8) в виде:
1 + Т + Ь<*+а"
где, при неограниченном возрастании я, \п остается постоянно меньшим
некоторого определенного числа. Последнее неравенство дает:
При неограниченном возрастании п левая часть имеет пределом у.;
следовательно, начиная с достаточно большого значения п, эта часть
будет постоянно меньше па,.; отсюда вытекает неравенство (8), а следо-
следовательно, и сходимо:ть ряда.
Если произведение пап при неограниченном возрастании п стремится
к пределу /, то, применяя предыдущее правило, мы получим, что дан-
данный ряд будет сходящимся, если /> 1, и расходящимся, если /<О-
Сомнение остается лишь при / = 1, если только паг не стремится
к единице, оставаясь постоянно меньше ее; в этом случае ряд будет
расходящимся.
Если произведение пчп имеет пределом единицу, то нужно сравнить ——'
с отношением двух последовательных членов ряда
+ ¦ • ¦ 4 ^фГпУ + • • •'
2 (In 2)¦'
который будет сходящимся, если ц > 1, и расходящимся, если ц=^1.
Полагая пап— 1 + рл, мы можем представить отношение двух последователь-
последовательных членов исследуемого ряда в виде:
где, при неограниченном возрастании п, Р„ стремится к нулю. (ели. начиная с не-
некоторого члею, произвебени" ?„1п/г потоянно больше некоторого < пре-
Оеленного числа, большего единицы, то ряд — сходящийся. Если это отно-
отношение по тоянно меньше единицы, то ряд — расходящийся

§ 155 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 21
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что при всех зна-
значениях указателя л, больших числа р, мы имеем р„1пл>?> 1. Пуаь будет у.
такое число, что 1 < ц < k. Ряд будет сходящимся, если, начиная с некоторого
члена, мы будем иметь:
_JL_ I 1пл
л+ 1 Lin (я+
или, иначе:
1 + И+ п > A+ п) L* ' In л
применяя к правой части формулу Тейлора, имеем:
I*
п^ п ^ V [ п I у * Inn - + Х*|_" \пп
причем, при неограниченном возрастании л, ).„ по абсолютному значению остается
меньшим некоторого определенного числа. По упрощении последнее неравенство
обращается в
При неограниченном возрастании л произведение (я+ 1Iп ( 1 Н J имеет пре-
пределом единицу, так как, по формуле Тейлора, это произведение может быть пред-
представлено в виде:
(л +-l)ln (l+i)=l -|-^A -М). (Ю)
где г стремится к нулю. Таким образом правая часть предыдущего неравенства
имеет пределом ц; следова1ельно, начиная с некоторого члена, это неравенство
наверно; справедливо, так как, по условию, 3„1п/г больше числа k > ц.
Таким же Ojpa3OM доказывается и вторая часть предложения. Здесь нужно
и„ +|
сравнивать отношение с отношением двух последовательных членов ряда,
"" 1
общий член которого есть —j . Неравенство
~«7 > п+ ! In (« + 1")
может быть представлено в виде:
или
Как видно из формулы A0), при значениях я, больших единицы, правая часть
стремится к единице; следовательно, начиная с некоторого места в ряде, послед-
последнее неравенство, наверное, справедливо, так как ри1пл, по условию, меньше
единицы.
Из предыдущего предложения следует, что если при неограниченном воз-
возрастании я произведение р„1пл стремится к пределу /, то ряд будет схо-
сходящимся, если />1, и расходящимся, если /< 1. Сомнение остается только

22 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 155
для 1=1, за исключением того случая, когда произведение ря1пя остается по-
постоянно меньшим единицы; в последнем случае данный ряд — расходящийся.
Если Р„1пя стремится к единице, оставаясь больше ее, то мы можем.пред-
можем.представить отношение " + t в виде:
1 + !
л л In я
где, при неограниченном возрастании я. ¦(„ стремится к нулю. Рассматривая про-
извеление ч„М*п, мы будем иметь предложения, вполне аналогичные преды-
предыдущим, и т д.
Следствие. Если в знакоположительном ряде отношение каждого члена
к предыдущему имел вид:
"п + 1 _ 1 _ ? . J*n_
ип . л г л'+н-'
где 11 есть положительное число, г—постоянное, и при неограниченном возраста-
возрастании п абсолютная величина количества Н„ осгае'ся меньшим некоторого опре-
определенного числа, то рио — схоаящийсг, если г солыие единицы, и рисхобя-
щийсч — в остальн х случаях.
В самом деле, полагая
"п 1 + «л
имеем:
ян-
л ~ л' + н-
и, следовчтельно, Ншло, = г. Таким образом ряд сходится, если г> 1, и расхо-
расходится, если /•< 1. Сомнение, остается только в том случае, когда г=1. Чтобы
устранить это сомнение, положим
отсюда имеем:
In л я + 1 „ In л
. л л " nv-
Р„ Ш Л = -. 77 •
1 L 4- —"-
л "*"nl+v-
При неограниченном возрастании л правая чгсть стремится к нулю, каково бы
ни было положительное ц; след шательно, ряд — расходящийся.
Предположим, например, что n*1 есть рациональная функция от я, стре-
стремящаяся к единице при неограниченном возрастании л.
un nP + bitiPi-
выполняя деление и останавливаясь на члене с —j , мы можем представить пре-
предыдущее равенство в виде:

§ 155-156 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 23
где у (п) есть рациональная функция от я, стремящаяся к конечному пределу при
неограниченном возрастании числа п. На основании предыдущего, необходимым
« достаточным условием того, чтобы ряд был сходящемся, оудепв.
bt > а{ + 1.
Последняя теорема принадлежит Гауссу, который доказал ее непосредственно.
Это — один из первых по времени общих признаков сходимости *.
158. Ряды абсолютно сходящиеся. Обратимся теперь к рядам, члены
которых могут иметь любые знаки. Если, начиная с достаточно дале-
далекого члена, знаки всех членов ряда будут одинаковые, то этот случай
непосредстеенно приводится к предыдущему. Поэтому здесь нам' нужно
рассмотреть только тот случай, когда ряд содержит бесконечное мно-
множество как положительных, так и отрицательных членов. Прежде всего
мы докажем следующую основную теорему.
Ряд, члены которого имгют произвольные знака, будет сходя-
щимся, если будет сходящимся ряд, составленный из абсолютных
велатн членов первого ряди.
Пусть будет
«<> + «! -Ь.. +«„+•• (И)
ряд, члены которого могут иметь любые знаки; пусть, далее, будет
?/„ + ?/,+ ...+?/„+... A2)
рад, составленный из абсолютных величин членов первого ряда, так
что Un = \un\. Если ряд A2) — сходящийся, то ряд A1) будет также
сходящимся. Это следует из общей теоремы о сходимости. В самом
деле, мы имеем:
взяв число п достаточно большим, мы можем,, оставляя число р про-
произвольным, сделать вторую сумму меньше всякого данного числа.
В сходимости ряда A1) можно убедиться еще иначе. Представим ип
в виде
«„ = («„ + Ua)-Un
и рассмотрим вспомогательный ряд, общий член которого есть ип-\-Un:
K+^o) + («a + ^)+---+K-f-^)+..- A3)
Обозначая соответственно через Sn, S^, S^ суммы п первых членов
рядов A1), A2), A3), мы, очевидно, будем иметь:
По предположению, ряд A2) — сходящийся; точно так же будет сходя-
сходящимся и ряд A3), который не имеет ни одного отрицательного члена,
и общий член которого не превосходит 2Un. Таким образом суммы
S^, S"n, следовательно, и сумма Sn при неограниченном возрастании п
* Disquisitiones generales circa serien inftnitam 1 f Ipx + ... (Qesammelt?
Werke, т. Ill, стр. 138), T

24 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 156
стремятся к определенным пределам, т. е. данный ряд A1) — сходя-
сходящийся. Сверх того, мы видим, что ряд A1) можно рассматривать как
полученный от почленного вычитания двух знакоположительных сходя-
сходящихся рядов.
Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся
ряд, называется абсолютно сходящимся. В таком ряде можно, не
изменяя суммы ряда, изменять по произволу порядок его членов.
Рассмотрим сначала сходящийся знакоположительный ряд с суммою S:
ao + ai+ •••+**+••• : (U)
пусть будет
*О+ *!+••• +*„+.-. (V)
другой ряд, составленный из тех же членов, как и первый, но распо-
расположенных в другом порядке, так что каждый член ряда (U) находится
где нибудь в ряде (V), и, обратно, каждый член ряда (V) находится
также и в ряде (U), хотя, может быть, и на другом месте.
Пусть будет S'm сумма т первых членов ряда (У);так как все эти
члены находятся в ряде (U), то ясно, что можно взять настолько
большое число п, чтобы' т первых членов ряда (V) находились в числе и
первых членов ряда (U). Следовательно, должно быть:
что доказывает, что ряд (V) сходящийся и имеет сумму S'^5. Точно
так же должно быть Ss^S', и следовательно, S' = S. To же рассу-
рассуждение показывает, что если один из рядов (U) и (V) — расходящийся,
то и другой ряд будет также расходящимся.
Мы можем также, не изменяя суммы ряда, соединить в сходящемся
знакоположительном ряде вместе члены произвольным образом, т. е. мы
можем составить новый ряд, каждый член которого равен сумме про-
произвольного числа членов первого ряда, взятых в любом порядке. Пред-
Предположим сначала, что мы соединяем вместе члены в том порядке, в ка-
каком они входят в данный ряд; пусть будет
4>-М1 + /1я+... -\-Ат+... A4)
получающийся при этом новый ряд, в котором, например,
А2 = ач + 1 + --- -tar< ¦¦¦
Сумма 6^ т первых членов ряда (V) равна сумме SN N первых
членов первоначального ряда, где N^> т. При неограниченном возра-
возрастании т число N также неограниченно возрастает, и следовательно,
сумма Ь'т имеет тот же самый предел 5.
Соединяя оба предыдущих преобразования, мы видим, что если дан
сходящийся знакоположительный ряд, то мы можем, не изменяя его
суммы, заменить его таким другим рядом, каждый член которого пред-
представляет сумму некоторого числа членов первого ряда, взятых в про-
произвольном порядке. Нужно только, чтобы каждый член начального ряда

§156-157 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 25
входил в одну из групп, составляющих члены второго ряда, и притом
только в одну.
Так как всякий абсолютно сходящийся ряд можно рассматривать как
разность двух знакоположительных сходящ- хся рядов, то предыдущие
преобразования применимы также и к абсолютно сходящимся рядам.
Отсюда видно, что с абсолютно сходящимся бесконечным рядом при вычи-
вычислениях можно поступать так же, как с суммою конечного числа членов.
157. Ряды условно сходящиеся, или полусходящиеся. Для того чтобы
ряд. члены которого имеют разные знаки, был сходящимся, нет необхо-
необходимости, чтобы ряд, образованный абсолютными величинами его членов,
был также непременно сходящимся. Это видно, например, из следующей
теоремы о знакопеременных рядах, которую я приведу без доказательства:
Ряд, состоящий из членов, поочередно положительных и отрица-
отрицательных, будет сходящимся, если абсолютная величина каждого члена
меньше абсолютной величины предыдущего члена, и если, кроме того,
с возрастанием указателя члены ряда неограниченно убывают по
абсолю "ной, величине.
Например, ряд-
1+ + +A)л1+
— сходящийся. Между тем ряд, составленный из абсолютных величин
членов предыдущего ряда, есть ряд гармонический —расходящийся!
Сходящиеся ряды, которые не суть абсолютно сходящиеся, назы-
называются условно сходящимися, полусходящимися или просто сходящи-
сходящимися рядами.
Работы Коши, Лежен-Дирихле и Римана (Rieniann) показали, насколько
необходимо различать ряды абсолютно сходящиеся и ряды полусходящиеся.
Так, в полусходящемся ряде мы не имеем права изменять порядка членов
или соединять эти члены между собою произвольным образом; эти пре-
преобразования могут повлечь за собою изменение суммы ряда, или даже
превратить ряд сходящийся в ряд расходящийся, и обратно.
Возьмем, например, сходящийся ряд:
I_±j_!_l4- + -i 1—4-
2^3 4 -т^ •" ~г~2я+1 2я+2г"''
сумма которого, очевидно, равна пределу выражения
2л+1 2л + 2/
при неограниченном возрастании т. Расположим члечы этого ряда
в другом порядке, так, чтобы за каждым положительны <.х ом следо-
следовало два отрицательных:
Чл-f 4

26 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 157—158
Рассматривая суммы S3n. S3n+1, S3n+2, легко доказать, что этот новый
ряд"—сходящийся; его сумма равна пределу выражения
я з т.
/J 1 \\
\2л+ 1 4я+2 4л -f- 4/
л=0
при неограниченном возрастаний от. Но мы имеем:
1 1 11/1 1
2л+1 4л -f- 2 4л-|-4 2\2л-|-1 2л + 2
и, следовательно, сумма второго ряда равна половине суммы первого
ряда.
Вообще, если дан ряд сходящийся, но не абсолютно, то можно расположить
члены этою ряда в таком порядке, чтобы новый ряд был сходящимся, и чтобы
его сумма была ра»на любому заранее данному числу А. Обозначим через Sp
сумму р первых положительных членов этого ряда, через S'9 сумму абсолютных
величин q первых отрицательных членов; сумма р + q первых членов, очевидно,
равна Sp—S'. Если оба числа р и q неограниченно возрастают, то должны не-
огранич-нно возрастать и суммы Sp и Sq, так как в противном случае ряд
был бы или расходящимся, если неограниченно возрастает одна из двух сумм,
или абсолютно сходящимся, если обе суммы стремятся к конечным пределам.
С другой стороны, так как данный ряд, по определению, — сходящийся, то общий
член его должен стремиться к нулю.
Пользуясь этими замечаниями, мы можем следующим образом составить но-
новый ряд, имеющий своею суммою число А. Возьмем столько положительных
членов предложенного ряда в том порядке, в каком они расположены в данном
ряде, чтобы их сумма была больше А; напишем вслед за ними первые отрица-
отрицательные члены данного ряга в том порядке, в котором они стоят, и остановимся
тогда, когда сумма всех написанных членов сделается меньше А; затем напишем
положительные члены, начиная с того, на котором мы остановились в первый
раз, и остановимся тогда, когда сумма всех взятых членов будет больше А; по-
потом опять возьмем отрицательные члены, и т. д. Очевидно, что суммы членов
этого нового ряда будут то больше, то меньше количества А, но эти суммы бу-
будут отличаться от А на количество, которое беспредельно убывает.
158. Признак Абеля. Абель дал теорему, позволяющую доказать сходимость
некоторых рядов, сходимость которых не может быть обнаружена при помощи
предыдущих признаков. Доказательство этой теоремы основывается на лемме, ко-
которою мы уже пользовались выше (§ 74).
Пусть будет
щ + и, + •¦•+«„+..•
ряд сходящийся или неопределенный (т. е. такой, что сумма его л первых чле-
членов всегда меньше по абсолютной величине некоторого определенного числа А).
С другой стороны, пусть будет
Ч, h , ¦ ¦ ¦ > еп > • ¦ •
последовательность положительных чисел, из которых каждое меньше предыду-
предыдущего, причем Ни гп — 0. При этих условиях ряс)
л = ор
будет сходящимся.
В самом деле, из этих условий следует, что при всяких значениях пир
будет
!«„+»+..-.+«„+„!< 2Л;

§ 158 I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 27
следовательно, на основании только что упомянутой леммы, имеем:
Так как, при неограниченном возрастании я, ея+1 стремится к нулю, то число я
можно взять настолько большим, чтобы при всяком р абсолютная величина суммы
была меньше всякого заранее данного числа. Следовательно, на основании общей
теоречы § 5, ряд A7) будет сходящимся.
Если ряд щ f и{ -г ... +ип+ ... обращается в ряд
1-1 + 1-1 + 1-1 ....
члены которого попеременно +1 и — 1, то предыаущее предложение обращается
в приведенную выше теорему о знакопеременных рядах.
Рассмотрим другой пример. Ряд
sin в -+- sin 2 8 + sin 3 8 + ... -f- sin л 6 + ...
— сходящийся или неопределенный. Если sin в = 0, то все члены ряда равны
нулю; если sirieigo, то, по известной формуле тригонометрии, сумма л первых
членов равна:
. лв
SinT . /л + 1
—<rsln(—
sm
следовательно, эта сумма по абсолютной величине меньше
Sln2
Отсюда за-
заключаем, что при всяком значении количества 8 ряд
ejsine -f е2 sin 2 8.-| |-snslnn8+ ...
— сходящийся. Точно так же можно доказать, что ряд
s4 cos в -f е2 cos 2 в -+-... + ея cos л в -(- • • •
— сходящийся при всех значениях в, кроме в = 2кк.
Следствие. Ограничиваясь сходящимися рядами, можно высказать еще
более общее предложение. Пусть будет
"о + «1 + ¦ • • + «я + • • •
сходящийся ряд, и пусть будет
а0. ai аЯ1 ¦ ¦ •
последовательность положительных чисел, постоянно возрастающих или убываю-
убывающих и стремящихся при неограниченном возрастании я к пределу k, отличному
от нуля. Ряд
-... + «„«„+... A8)
будет также ссодящим'я.
Для определенности предположим, что числа а^ идут возрастая. Мы можем
написать:
а,^* — е„, «! = ? — ?,, .... an = k — гп
где числа ee, s{, .. .•, в„,... образуют последовательность положительных убы-

28 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 158—159
вающих чисел, причем, при неограниченном возрастании п, tn стремится к нулю.
Оба ряда
ku0 + ku, -f ... 4- kun f ... , •
Ч «о + 4 «i + • • ¦ + *n «п + ¦ • •
— сходящиеся; следовательно, ряд A8) будет также сходящимся.
П. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ.
159. Определения. В этом параграфе мы укажем на некоторые обоб-
обобщения понятия ряда. Пусть будет
ряд, все члены которого — мнимые количества:
Такой ряд называется сходящимся, если каждый из двух рядов, состав
ленных из действительных частей и из коэфициентов при /:
будет сходящимся. Пусть будут 5' и 6" суммы рядов B0) и B1);
суммою ряда A9) называется количество S—S'-^-iS". Очевидно, что
здесь так же, как и в предыдущем, эта сумма представляет предел
суммы 6'л п первых членов ряда A9) при неограниченном возрастании
числа п. Мы видим, что ряд с мнимыми членами есть, в сущности, не
что иное, как совокупность двух рядов с действительными членами.
Если ряд, образованный модулями членов ряда A9)
— сходящийся, то каждый из рядов B0) и B1) будет, очевидно, абсо-
абсолютно сходящимся, так как
В этом случае ряд A9) называется абсолютно сходящимся. В таком
ряде мы можем, не изменяя суммы, изменять порядок членов или соеди-
соединять эти члены произвольным образом.
Всякому признаку, позволяющему утверждать, что некоторый знако-
знакоположительный ряд — сходящийся, соответствует признак, позволяющий
утверждать, что некоторый ряд с любыми членами, действительными или
мнимыми, есть абсолютно сходящийся. Так, если в ряде, начиная с не-
некоторого члена, модуль отношения -iil меньше определенного числа,
меньшего единицы, то ряд — абсолютно сходящийся. В самом деле, по-
положим U,— \ut\., Если, начиная с некоторого члена, мы постоя;но

§ 159-160 II. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ 29
имеем
в виде:
ип
, то мч можем представить это неравенство
это показывает, что ряд модулей
— сходящийся. Если при неограниченном возрастании п отноше-
ние
стремится к пределу /, то ряд будет сходяшимся при
и расходящимся при / ^> 1; в самом деле, в последнем случае модуль
общег) члена ип не стремится к нулю, и оба ряда B0) и B1) не могут
быть одновременно сходящимися. Случай /= 1 остается сомнительным.
Вообще, пусть будет о> наибольшим из пределов количеств y/Un, когда п
неограниченно возрастает. Ряд A9) будет абсолютно сходящимся, если и> < 1, и
расходящимся, если «о > 1, так как в последнем случае модуль общего члена не
стремится к нулю (§ 152). Случай о> = 1 остается сомнительным; ряд может быть
абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.
160. Умножение рядов. Пусть будут
ио + в1-|-в8+...+«„+..., B3)
"o + «i + ".+ ...+«„+••• B4)
два ряда с членами произвольного'вида. Умножим каждый член первого
ряда на каждый член второго ряда и соберем вместе все произве-
произведения U/Vj с одинаковою суммою указателей / -}-_/; таким, образом мы
получим новый ряд:
«О V0 + К Vl "Г" «1 »0) + ("О V2 + Н Щ + «2 Vo) + . . . I „
Если оба ряда B3) и B4) абсолютно сходящиеся, то ряд B6) — также
сходящийся и имеет суммою произведение сумм обоих предыдущих
рядов. Эта теорема, доказанная Коши, была обобщена Мертенсом
(Mertens) *, который показал, что она остается верною и в том случае,
когда один ряд абсолютно сходящийся, а другой — только условно
сходящийся.
Предположим, например, что ряд B3) — абсолютно сходящийся.
Пусть будет wn общий член ряда B5):
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при неограничен-
неограниченном возрастании п обе разности
Wo + Wi-r-...+w2/1 — («0 4-и,-f-... +«„) U + ^i 4- ..-\--Ja).
Wo + Wl 4- .у +И2л + 1-К+й,+ •¦•+«,+i)K + ^ f ... +"« + l)
* G/r/fe's Journal, т. LXXIX;

30 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 160—161
стремятся к нулю. Так как доказательство в обоих случаях одинаково,
то мы рассмотрим только первую разность. Расположив ее относи-
относительно ui, мы можем представить ее в виде:
Так как ряд B3) абсолютно сходящийся, то сумма
остается при всяком п меньшею некоторого определенного положитель-
положительного числа А; темно так же, вследствие того, что ряд B4) сходящийся,
модуль суммы v0 -\- уг -\- ... -j- vn остается при всяком п меньшим неко-
некоторого положительного числа В. Пусть будет е некоторое заранее
данное положительное число; мы можем выбрать настолько большое
положительное число т, чтобы при п^т было
каково бы ни было число р. Взяв число п под этим условием, мы
будем иметь верхнюю границу разности S, заменяя и0, иг, н2> ... , и2п
соответственно через Uo, Ц , Ut,..., U2n; vn+1 -\- vn+i -f • • • + vn+p
-f В
через В. После этой замены получим:
чеРез лf В И> наконец' го+ • • • +vn-i' vo+ • • • +v«-a - • • • . "о
или
или, наконец, < S j <^ s. Таким образом разность 8 имеет пределом нуль.
161. Двойные ряды Рассмотрим прямоугольное поле, ограниченное
сверху и слева и неограниченно простирающееся вправо и вниз. Разо-
Разобьем это поле вертикальными и горизонтальными линиями на квадраты
наподобие шахматной доски. Такое поле будет содержать бесконечное
множество вертикальных столбцов, которые мы перенумеруем, начиная
с 0 до -\- оо , и бесконечное множество горизонтальных строк, которые
мы также перенумеруем, начиная с 0 до -{-оо . Предположим, что
каждой клетке этого поля соответствует некоторое число, которое мы
впишем в эту клетку. Пусть будет ak число, соответствующее клетке,

§ 161 II. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ 31
лежащей в /-й строке и в k-м столбце. Мы получим таким образом
таблицу, имеющую следующий вид *:
B6)
«00
«10
«20
ama
«01
«11
«21
«ml
«02
«12
«22
«m2
... aOn ...
... aln ...
... a2n ...
... amn ...
Мы предположим сначала, что все члены этой таблицы — числа действи-
действительные и положительные.
Вообразим теперь ряд линий С,, С2, ... , Сп, ... , бесконечно
удаляющихся по всем направлениям и образующих вместе с двумя пря-
прямыми, ограничивающими таблицу, ряд замкнутых линий, каждая из ко-
которых заключает внутри себя все предыдущие. Пусть будут
S1 , S2 , . . . , Sn , . . .
суммы членов таблицы, стоящих внутри этих замкнутых линий.
Если при неограниченном возрастании п сумма Sn стремится к пре-
пределу S, то двойной ряд
+ ОО +00
(=0
Е а«
называется сходящимся и имеет суммою количество S. Чтобы оправдать
это определение, нужно доказать,, что предел 5 не зависит от вида
кривых С. Предположим, что мы имеем другой ряд линий, удаляющихся
в бесконечность повеем направлениям, С[, С'2, ..., (?т, , и пусть
будут 6j, 62 > • • • > S'm > • • • соответствующие им суммы. Когда число т
дано, то всегда можно выбрать число п настолько большим, чтобы ли-
линия Сп заключала внутри себя линию С'т; следовательно, мы будем
иметь S'm<.Sn, и отсюда, при всяком т, S'm<5. Но эта сумма S'm
возрастает вместе с указателем т; следовательно, она стремится к пре-
пределу S' s^, S. Таким же образом мы докажем, что .Ssg.S'. Следова-
Следовательно, 6'= S.
Мы можем принять за линию С, например, две стороны беспредельно
увеличивающегося квадрата или же прямые, равно наклоненные к обеим
сторонам поля; соответствующие суммы будут в первом случае:
«оо + («ю + «и + «oi) + • • •
• • • + Ко + «я1+ • ¦ • +Л,« + «я-1,я+ •• • + а0„).
а во втором:
* Такая таблица называется также таблицею с двойным входом. (Рее*,)

32 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 161
Если при неограниченном возрастании п одна из-этих сумм стремится
к некоторому пределу, то будет стремиться к пределу и другая сумма,
и оба эти предела будут равны между собою.
Сумму таблицы можно также составлять по строкам или по столб-
столбцам. В самом деле, предположим, что двойной ряд B7) — сходящийся,
и пусть будет 5 его сумма. Очевидно, что сумма произвольного числа
членов таблицы меньше S; отсюда следует, что все ряды, подобные
следующему:
a,o + an+•••+*<„+••• (/ = 0,1,2,...), B8)
получающиеся из членов какой-нибудь горизонтальной строки, будут
сходящимися, так как сумма
всегда меньше количества 5 и возрастает вместе с п. Пусть будут о0,
<jj, ..., а,, ... суммы полученных таким образом сходящихся рядов;
тогда ряд
о„ +а,+ ...+<»,+ . • B9)
будет также сходящимся. В самом деле, рассмотрим сумму 2 a{k тех
членов таблицы, у которых i^p, ks^r. Эта сумма всегда меньше S;
если, оставляя число р постоянным, мы будем неограниченно увеличи-
увеличивать число г, то эта сумма будет иметь пределом
Таким образом мы всегда имеем о0 -\- аг -)-...+ <зр < S, и так как эта
сумма возрастает вместе с числом р, то отсюда следует, что ряд B9)
сходящийся и имеет суммою число 2 ^ S. С другой стороны, если все
ряды B8) — сходящиеся, и если новый ряд B9), составленный из сумм
первых рядов, — сходящийся и имеет суммою число 2, то ясно, что
сумма любого числа членов таблицы B6) меньше 2. Следовательно, мы
имеем также S<;2, и отсюда 2 = 5.
Все, что было сказано о рядах, получающихся из горизонтальных
строк, очевидно, применимо к рядам, получающимся из вертикальных
столбцов. Таким образом, чтобы получить сумму двойного ряда, все
элементы которого положительны, можно вычислять ее или по строкам,
или по столбцам, или же, наконец, брать ограничивающие кривые про-
произвольного вида. В частности, если ряд оказывается сходящимся, когда
мы составляем сумму по горизонтальным строкам, то он будет также
сходящимся и в том случае, если мы будем вычислять его по столбцам,
и его сумма в обоих случаях одна и та же.
Для двойных рядов с положительными членами можно было бы дать
ряд теорем, аналогичных теоремам, доказанным выше для простых ря-
рядов. Например, если члены двойного знакоположительного ряда соот-
соответственно меньше членов другого двойного сходящегося ряда, то и
первый ряд также сходящийся, и т. д.
Двойной ряд с положительными членами, не сходящийся, называется
расходящимся. Сумма элементов соответствующей этому ряду таблицы,
расположенных внутри какой-нибудь замкнутой кривой, возрастает выше

§ 161 II. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ 33.
всякого предела, когда эта кривая неограниченно удаляется по всем
направлениям.
Рассмотрим теперь таблицу, в которой не все элементы положи-
положительны. Очевидно, что мы можем исключить из рассмотрения те случаи,
когда все элементы таблицы отрицательны, или когда есть только ко-
конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все
эти случаи непосредственно приводятся к предыдущему. Поэтому мы
предположим, что в рассматриваемой таблице Т есть бесконечное мно-
множество как положительных, так и отрицательных элементов. Пусть бу-
будет alk общий член таблицы Т. Если таблица Тг с положительными
элементами, каждый элемент которой равен абсолютной величине \alk\
соответствующего элемента таблицы Т, — сходящаяся, то таблица Т на-
называется абсолютно сходящеюся. Абсолютно .сходящаяся таблица обла-
обладает всеми существенными свойствами сходящейся таблицы с положи-
положительными членами.
Для доказательства этого предложения рассмотрим две вспомогатель-
вспомогательных таблицы V и Т", составленных следующим образом. Таблица V
образована из таблицы Т таким образом, что каждый отрицательный
элемент заменен нулем, а каждый положительный элемент оставлен на
своем месте. Точно так же таблица Т" образована из таблицы Т, в ко-
которой каждый положительный элемент заменен нулем, а у каждого отри-
отрицательного элемента переменен знак. Если таблица 7"., сходящаяся, то
каждая из таблиц Т' и Т" также сходящаяся, так как каждый элемент,
например, таблицы V не превосходит соответствующего элемента та-
таблицы Тг. Сумма членов ряда Т, заключающихся внутри какой-нибудь
замкнутой кривой, равна разности между суммою членов таблицы V
и суммою членов таблицы Т", заключающихся внутри той же кривой.
Так как обе последних суммы приближаются к некоторому пределу,
когда пограничная кривая неограниченно удаляется по всем направле-
направлениям, то и первая сумма также стремится к пределу, и этот предел не
зависит от вида пограничной кривой. Этот предел называется суммою
таблицы Т. Сумму такой таблицы Т можно также вычислять по стро-
строкам или по столбцам, как это следует из рассуждений, приведенных
по поводу таблиц с положительными элементами. Таким образом ясно,
что если данная таблица абсолютно сходящаяся, то кчаковы бы ни были
знаки ее элементов, с нею можно поступать, как с сходящеюся табли-
таблицею с положительными членами; но при этом существенно необходимо,
чтобы ряд 7*2 с положительными членами был сходящимся.
Если таблица Т{ — расходящаяся, то будет расходящеюся, по~крайней мере,
одна из таблиц Т' и Т". Если одна из них, например Т',— расходящаяся, а
другая Т"—сходящаяся, то сумма элементов таблицы Т, заключающихся внутри
некоторой замкнутой кривой С, неограниченно возрастает независимо от вида
кривой С, когда эта кривая неограниченно удаляется по всем направлениям.
Если же обе таблицы Т' и Т" расходящиеся, то из предыдущего рассуждения
следует только то, что сумма элементов таблицы Т, заключающихся внутри замк-
замкнутой кривой С, равна разности между двумя суммами, неограниченно возра-
возрастающими, когда кривая С неограниченно удаляется по всем направлениям. При
этом может случиться, что сумма элементов таблицы Т, заключающихся вну-
внутри С, поиближ >ется к совершенно различным пределам в зависимости от вида
кривой С и от того, каким образом удаляется эта кривая, т. е. в зависимости от
относительного возрастания числа положительных и отрицательных членов в этой
3 Э. Гурса. Т. I, ч. 2

34
ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 161
сумме; в некоторых случаях сумма может даже стремиться к бесконечности, или
не приближаться ни к какому пределу. В частности, если таблица не будет абсо-
абсолютно сходящеюся, то мы можем получить совершенно различные суммы, вы-
вычисляя отдельно ее по строкам и по столбцам.
Арндт (Afiidt) дал следующий пример *. Рассмотрим таблицу:
1A) -Ц1) 41)-1A)
2\2/ 3\3/'3\3/ А\4/
1( I
4 \ 4/
2 V 2
3 \ 3
1A
3 \ 3
IV
p \ p
~p~
ММ
+ 1\р+1Г
! / р V
р+Лр-t-l' '
1 A)" * ( 2 )" 1 ( 2 )" 1( 3
Т\Т/ 3" \ / ' 3~\3/ ~~Т\ 4"
Эта таблииа содержит бесконечное множество положительных и бесконечное мно-
множество отрицательных элементов. Каждый из рядов, составленных из элементов
каждой отдельной строки и каждого отдельного столбца, — сходящийся. Сумма
ряда, составленного из элементов я-й строки, очевидно, равна:
Таким образом, вычисляя сумму таблицы по строкам, мы придем к сумме схо-
сходящегося ряда:
2^ + 27 + ¦¦•
2"+'
которая равна-=-. С другой стороны, рассмотрим ряд, состоящий из членов
(/7— 1) го столбца:
Этот ряд — сходящийся, и его сумма равна:
р—\ р__ __ —1
~~Р Р + 1'~ Р(Р+ 1) " Р +-1 Р'
Следовательно, вычисляя таблицу по столбцам, mi придем к сумме сходящегося
ряда:
44
которая равна —~- .
Из этого примера ясно видно, что двойньн
при вычислениях только в том случае, если они
Перейдем теперь к двойным рядам с м
менты таблицы B6) мнимые, то можно соста
и Т" таких, чтобы каждый элемент таблицы
ной части соответствующего элемента табл
таблицы 7" был равен коэфициенту при i
рядами можно пользоваться
эдут абсолютно сходящимися.
шыми членами. Если эле-
эле1ть две других таблицы V
г' был равен действитель-
действительj,bi T, а каждый элемент
оответствующего элемента
* Grunert's Archiv, т. ХГ, стр. 319.

§ 161—162 И. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ 33
таблицы Т. Если таблица 7^ , каждый элемент которой равен модулю соот-
соответствующего элемента таблицы Т, — сходящаяся, то каждая из таблиц- V и
Г" будет абсолютно сходящеюся; в этом случае, данная таблица 7 назы-
называется также абсолютно сходящеюся. Сумма элементов такой таблицы, за-
заключающихся внутри некоторой переменной замкнутой кривой, стремится
к пределу, когда пограничная кривая неограниченно удаляется пи всем
направлениям. Этот предел не зависит от вида пограничной кривой и
называется суммою данной таблицы. Сумма абсолютно сходящейся таб-
таблицы может быть также вычисляема по строкам или по столбцам.
Абсолютно сходящийся л войной ряд можно заменить обыкновенным рядом,
состоящим из тех же членов, как и данный двойной ряд. Для этого достаточно
показать, что всегда можно перенумеровать клетки поля B6) таким образом, чтобы
каждая клетка имела определенный номер, и чтобы ни одна клетка не была про-
пропущена. Другими словами, если мы рассмотрим, с одной стороны, ряд последо-
последовательных натуральных чисел
О, 1, 2, ,.., я, ...,
а с другой стороны, все пары целых чисел (i't k), где гЗ^О, А^О, то каждую
из этих пар можно связать с одним из чисел последовательности натуральных
чисел таким образом, чтобы, обратно, каждому числу л соответствовала только
одна из этих пар. В самом деле, напишем все эти пары одна за другою следую-
следующим образом. Будем писать раньше те пары, у которых сумма чисел i-\- k меньше,
а из двух пар с равными суммами указателей i-\-k будем писать раньше ту, у
которой число / больше. Таким образом мы получим такую последовательность
пар:
(О, 0); A, 0), @, 1); B, 0), A, 1), @,2); C, 0), B, 1), A, 2), @, 3); ... C0)
Вообще, написав все пары, для которых i -\- k < n, мы будем писать все пары
для которых i -+- k — я, начиная с пары (л, 0) и затем уменьшая / последова-
последовательно на единицу до нуля. Очевидно, что каждая пара (г, k) будет иметь перед
собою только конечное число пар и, следовательно, будет занимать в после-
последовательности определенное место. Представим теперь, что мы написали члены
двойного абсолютно сходящегося ряда SSa/ft в указанном выше порядке; мы по-
получим простой ряд:
аа + аю+ •••+«яо+вя-1,1+ •••; C1)
у этого простого ряда будут те же члены, как и у рассматриваемого двойного
ряда, он будет абсолютно сходящимся и будет иметь ту же сумму, как и двой-
двойной ряд. Ясно, что этот способ преобразования не является единственным, так
как мы можем затем переставлять члены ряда по произволу. Обратно, всякий
простой абсолютно сходящийся ряд может быть преобразован в двойной ряд
бесконечным множеством способов. Это преобразование с большим успехом при-
применяется при выводе некоторых тождеств *.
Мы видим, что понятие двойного ряда не отличается по существу от обыч-
обычного понятия ряда. Выше мы видели, что в абсолютно сходящемся ряде можно
заменить конеч юе число членов их суммою, а также располагать члены в про-
произвольном порядке; распространяя эти свойства, мы естес1венно приходим к вве-
введению двойных рядов.
162. Кратные ряды. Понятие двойного ряда может быть еще значи-
значительно расширено. Прежде всего можно рассматривать ряды, каждый
член которых атп зависит от двух указателей, изменяющихся от — оо
до -\- оо. Мы можем вообразить, что члены этого ряда расположены
в клетках прямоугольного поля, простирающегося в бесконечность по
* Т а н н е р и* (Tannery), Introduction a la theorie des fonctions d'une variable,
стр. 67.
3*

36 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 162—163
всем направлениям; очевидно, что такой двойной ряд 22атл можно
разбить на четыре двойных ряда, подобных рассмотренным выше.
Еще более важно следующее обобщение понятия ряда. Рассмотрим
ряд, каждый член которого ami щ .,., т зависит от р указателей
тг, т2, ..., т , изменяющихся от 0 до -\- оо или от — оо до
-|-оо, причем, кроме того, эти указатели могут быть еще стеснены
некоторыми неравенствами. Хотя мы и не можем пользоваться геомет-
геометрическим представлением, как скоро мы имеем более трех указателей,
однако нетрудно видеть, что предложения, полученные для двойных
рядов, могут быть легко распространены на кратные ряды порядка р.
Предположим сначала, что все члены ат^ ..., действительны
и положительны. Предположим, что мы взяли сумму некоторого числа
членов этого ряда; далее, составим вторую сумму, прибавив к первой
сумме сумму некоторого числа членов из числа опущенных при соста-
составлении первой суммы, и т. д., так, чтобы каждый член предложенного
ряда вошел в одну из этих сумм, а следовательно, и во все последую-
последующие суммы. Пусть будут St, S2, ..., Sn, ... полученные таким спо-
сЬ0ом последовательные суммы. Если при неограниченном возрастании
числа п сумма Sn стремится к некоторому пределу S, то данный ряд
называется сходящимся и будет иметь суммою это число S. Как и
в случае рядов с двумя указателями, предел 5 не зависит от того за-
закона, по какому мы неограниченно увеличиваем число складываемых
членов. Если члены имеют разные знаки, или если они мнимые, то и
здесь ряд будет сходящимся, если будет сходящимся ряд, составленный
из модулей отдельных членов.
163. Обобщение теоремы Коши. Вопрос о сходимости или расходи-
расходимости кратного ряда часто может быть решен при помощи следующей
теоремы, представляющей собою обобщение теоремы Коши (§ 153).
Пусть будет f(x,y) функция двух переменных х, у, положительная для
всех точек (х, у), лежащих вне некоторой замкнутой кривой Г, и убы-
убывающая с удалением точки (х, у) от начала координат. Рассмотрим,
с одной стороны, двойной интеграл I I f(x, у) dx dy, распространенный
на кольцеобразную площадь, содержащуюся между кривою Г и неко-
некоторою другою внешнею кривою С, которая неограниченно удаляется
по всем направлениям. С другой стороны, возьмем ряд с двойным вхо-
входом 2/(/ге, я), где мы даем указателям т и п все такие целые поло-
положительные и отрицательные значения, при которых точка (т, п) лежит
вне кривой Г.
При этих условиях двойной ряд будет сходящимся, если двойной
интеграл имеет предел, и обратно.
Разобьем плэщать, заключающуюся между двумя кривыми С и Г,
прямыми, параллельными осям координат, * = 0, +1, +2, ... и
_у = 0, rfcl, гЬ2, ... , на некоторое число квадратов и неправильных
частей. Если мы возьмем в каждом из квадратов вершину, наиболее
удаленную от начала координат, то ясно, что соответствующая сумма
, п) будет меньше двойного интеграла I \f(x,y)dxdy, распростра-

§ 163—164 II. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ 37
ненного на площадь, заключающуюся между С и Г. Предположим, что
кривая С неограниченно удаляется от кривой Г; если при этом двой-
двойной интеграл стремится к некоторому пределу 6, тэ отсюда следует,
что сумма любого числа членов двойного ряда всегда меньше некото-
некоторого определенного числа; следовательно, этот ряд — сходящийся. Та-
Таким же образом мы убеждаемся, что если двойной ряд — сходящийся,
то двэйной интеграл всегда меньше некоторого определенного числа;
следовательно, этот интеграл стремится к некоторому пределу. При
сохранении соответствующих предположений теорема распространяется
на кратные ряды с р -указателями; их следует сравнивать с кратными
интегралами порядка р.
Так, например, двойной ряд, общий член которого есть — — ,
г * (т2 f л2)!*
где указатели т и п принимают все целые значения от —оо до 4- оо,
кроме т = п = 0, — сходящийся, если д^>1, и расходящийся, если
ji <; 1. В самом деле, двойной интеграл
J • C2)
распространенный на площадь, лежащую вне круга с центром в начале
координат, имеет конечное значение, если ji>1, и неограниченно воз-
возрастает, если ц==?1 (§127).
Как более общий пример рассмотрим кратный ряд с общим членом
1
(ТП\ 4" "I? ~~\~ • • • ~\~ Ш у'
причем система значений тг = т2 = ... =/ге — 0 исключается; .этот
ряд будет сходящимся, если 2ц>/?*.
164. Кратные ряды с переменными членами. Пусть мы имеем двой-
двойной ряд, или, для общности, кратный ряд р измерений, члены которого
суть функции произвольного числа т переменных х, v, z, ..., и ко-
который абсолютно сходится в области D. Говорят, что ряд в этой обла-
области сходится ра'номерно, если выполняется следующее условие: каково
бы ни было наперед заданное положительное число е, всегда можно
найти такое конечное число N членов ряда, что разность между суммой S
ряда и суммой какого-либо числа л членов ряда, содержащей N первых чле-
членов, по абсолютной величине меньше е для всех значений переменных
xi У, z, ... в области D.
Повторяя рассуждения § 29 и 107, доказывают, что сумма равно-
равномерно сходящегося ряда, все члены которого суть функции, непрерывные
в D, есть также функция непрерывная в этой области;ее можно интегриро-
интегрировать почленно во всякой конечной области 8, имеющей q измерений
(q <; т) и содержащейся в D. Точно так же можно произвольное число
раз почленно Диференцировать абсолютно сходящийся ряд, если только
все получаемые таким образом ряды сходятся равномерно.
* Более общие предложения можно найти в Traite d' Analyse Ж op да на
{Jordan), т. I, стр. 163.

38 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § -164-165
Заметим еще, что кратный ряд сходится равномерно, если абсолют-
абсолютная величина любого его члена не превосходит соответствующего члена
сходящегося ряда с постоянными положительными членами (§ 29).
III. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
165. Определения и общие свойства. Пусть будет дана бесконечная
последовательность действительных или мнимых членов
рассмотрим последовательность произведений:
Если произведение Рп стремится к некоторому пределу Р, то беско-
бесконечное произведение
+ ОО
ПA+ип) = A+«о)A +«i)--. (!+«»)... C3)
л = 0
называется сходящимся; число Р называется значением этого произ-
произведения.
Очевидно, что, если один из множителей \ -\-ит равен нулю, то
все произведения Рп, где п^т, равны нулю; следовательно, Р=0.
Но .может случиться, что произведение стремится к нулю, хотя ни один
из множителей \-\-ит нулю не равен. Таково, например, произведение
111 1
Т'Т'Т
р . .
я 1 о q •••„'.
очевидно, что при неограниченном возрастании п это произведение
стремится к нулю. Так как признаки сходимости бесконечного произ-
произведения не всегда применимы к этому особому случаю, то мы сохраним
название сходящегося произведения только за теми произведениями, у
которых Р„ стремится к некоторому пределу Р, отличному от нуля.
Если Р„ имеет пределом нуль, то мы будем говорить, что произведение
равно нулю; если же Ря не стремится ни к какому пределу, то произ-
произведение называется расходящимся.
Чтобы бесконечное произведение было сходящимся и не равным
нулю, необходимо, чтобы ип стремилось к нулю. В самом деле, если
Рп стремится к пределу Р, то разность Рп — Рп1=Рл1ип должна
стремиться к нулю; так как множитель Ря_т имеет предел Р, отличный
от нуля, то, следовательно, множитель ип стремится к нулю. Это рас-
рассуждение неприменимо, если произведение равно нулю; на приведенном
выше примере нетрудно проверить, что в этом случае и„ может и не
стремиться к нулю.

§ 165—166 III. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 39
На основании сделанного ранее замечания (см. § 5) исследование
сходимости или расходимости бесконечного произведения приводится
к изучению того же вопроса для ряда. Положим:
и, вообще,
Vn = Pn — Pn-i = V + "о) A + «д) .•.O+«»-iK; C4)
рассмотрим вспомогательный ряд
г;0 + г/а+...+*>„+... C5)
Сумма 2„ = v0-)- г/j -)- ... -j- vn, очевидно, равна Яп; таким образом,
этот ряд — сходящийся или расходящийся вместе с бесконечным про-
произведением
если ряд — сходящийся, то его сумма 2 равна значению Р бесконеч-
бесконечного произведения.
166. Абсолютно сходящиеся произведения. Предположим сначала,
что все числа ип — действительны и положительны. В этом случае про-
произведение Рп возрастает вместе с я, и, чтобы доказать его сходимость,
достаточно показать, что при всяком значении числа п произведение Рп
остается меньшим некоторого определенного числа. Мы имеем, с одной
стороны:
с другой стороны, при х положительном имеем 1 -\-х<iex, и, сле-
следовательно:
Р <^
Из первого неравенства видно, что, если произведение Рп стремится
к некоторому пределу Р, то постоянно м0 -(- иг -(-••• + ип <С Р- Следо-
Следовательно, знакоположительный ряд
ио + ^ + ...+«»+-.. C6)
— сходящийся. Обратно, предположим, что этот ряд — сходящийся, и
пусть будет S его сумма; тогда из второго неравенства имеем Pn<^es;
следовательно, произведение Рп стремится к пределу. Таким образом
бесконечное произведение П(^~Ьмя)' в котором все числа ип дей-
о
ствительны а положительны, сходится или расходится вместе
с рядом C6).
Рассмотрим теперь бесконечное произведение с произвольными чле-
членами, действительными или мнимыми:
пусть будет Ut = j и^ |. Если ряд
г/0-1-ц+...-!-</„+... C8)

40 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 166
— сходящийся, то и бесконечное произведение C7) будет сходящимся.
В самом деле, положим, как выше:
Vn = (\+UQ)(\+Uj...(\ + «„_!)«„,
^ = 0 + ио) A + Ц) • • • И + ?/„_!) Un.
На основании предыдущего, если знакоположительный ряд 2t/,. схо-
сходящийся, то будет сходящимся и бесконечное произведение П 0 ~Ь ^)>
а, следовательно, и ряд
* ^0+^ + ... + ^+... C9)
Но, очевидно, что \vn\<^Vn; следовательно, ряд
— абсолютно сходящийся, и, как было замечено, сумма этого ряда есть
предел произведения
при неограниченном возрастании числа п. При этих условиях произве-
+ ОО
дение I~J A -)- ия) называется абсолютно сходящимся.
л = о
Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения представляют осо-
особый интерес, как и абсолютно сходящиеся ряды, с которыми они имеют
много общего. Так, в абсолютно сходящемся бесконечном прои ^веде-
^ведении можно произвольно изменять порядок множителей, не изм"няя
произведения. Докажем сначала, что если дано абсолютно сходящееся
бесконечное произведение, то для всякого полэжительного числа е можно
найти такое целое число п, чтобы модуль разности между единицею и
произведением любого числа множителей
был меньше е, если все указатели а, E, ..., 1 больше п. В самом деле,
выполняя в обеих частях умножение, можно непосредственно убедиться,
что
A f aj(i+и?)---0 +«,.)-1КA+Ч)A-Ьф ••
и, следовательно,
1A +«.)(! +«„)...(! + «О—lKe1'-"^-^—1.
Так как ряд 2t/, — сходящийся, то можно взять число п настолько боль-
большим, чтобы сумма Ua -|- ?Л 4-... -f- Ux была меньше In A 4- е), если
все. указатели а, E, ..., I больше п. Следовательно, взяв целэе число
п достаточно большим, можно сделать правую часть предыдущего не-
неравенства меньшею всякого положительного числа е.
Заметим при этом, что отсюда вытекает следующее предложение:
абсолютно сходящееся произведение не может быть равно нулю,
если ни один из множителей не равен нулю. В самом деле, предпо-
предположим, что ни один из множителей произведения не равен нулю; выбе-

§ 166-167 III. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 41
рем число п настолько большим, чтобы при всяком положительном
числе р было:
где а — положительное число, меньшее единицы. Очевидно, что модуль
бесконечного произведения J~] A -\~ ип+у) больше 1 — а, и, следователь-
7 = 1
но, произведение Р, равное предыдущему, умноженному на Рп, не
может быть равно нулю.
После этих предварительных рассуждений рассмотрим абсолютно
сходящееся бесконечное произведение
<1+«0)A+«,)... A+«„)..., D1)
и пусть будет
A+ИоИ1 + «I)--- П +<)¦¦¦ D2)
другое бесконечное произведение, состоящее из тех же множителей, но
взятых в другом порядке. Это второе произведение — также абсолютно
сходящееся, так как ряд 2?/ состоит из тех же членов, как и ряд 2?/г
Обэзначим через Р н Р* значения этих обоих прэизведений D1) и D2).
Пусть будет Рп произведение п первых множителей произведения D1);
все эти множители находятся и в произведении D2), и мы можем взять
такое число т~у> п, чтобы произведение Р'т содержало все множители
произведения Рп. В этом случае мы имеем:
где все указатели а, [$,..., X больше п; на основании предыдущего
можно взять число л настолько большим, чтобы было:
как бы ни было мало положительное число е. Но при неограниченном
возрастании числа л число т также неограниченно возрастает, и отно-
Р' Р
шение д- имеет предел —.-Следовательно, должно быть Й = Р.
167. Равномерно сходящиеся произведения. Рассмотрим бесконечное
произведение C3), где uQ, uv ... , ип, ... суть непрерывные функции,
действительные или мнимые, одного или нескольких переменных х, у,
t, .. ; очевидно, что в этом предположении содержится случай, когда
и0, иг, и2, . .. суть функции одного комплексного переменного z. Это
произведение называется равномерно сходящийся в некоторой обла-
области D, если определенный выше ряд 2г>л, сумма которого равна значе-
значению бесконечного произведения, равномерно сходится в той же области.
В этом случае произведение Р есть непрерывная функция независимых
переменных.

42 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 167-168
Бесконечное произведение будет равномерно сходящимся, если будет
равномерно сходящимся ряд
Uo -(- Ц + ... -f Un -\- ... D3)
В самом деле, вернемся к ряду C5); мы имеем:
кроме того, очевидно, что
К1 +«„+1) л+ р
Но так как ряд D3) равномерно сходится в области D, то он
представляет в ней непрерывную функцию, которая остается меньшею
некоторой границы М; вследствие равномерной сходимости ряда D3)
можно выбрать число N настолько большим, чтобы сумма
где n^N, при всяком значении числа р оставалась в области D мень-
меньшею некоторого положительного числа а. Следовательно, при таком
выборе числа п мы имеем:
Так как число а всегда можно выбрать таким образом, чтобы удов-
удовлетворялось неравенство ¦ем(ел — l)<s, как бы ни было мало число е,
то отсюда следует, что ряд Ъоп — равномерно сходящийся.
Примечание. Все предыдущие свойства легко распространяются
и на бесконечные произведения вида ПA -\~итп), где каждый множи-
множитель имеет два различных указателя т, п, которые могут отдельно
изменяться от 0 до -j- oo. Если двойной ряд ^0тп сходящийся, то
предыдущее произведение имеет вполне определенное значение, не зави-
зависящее от того, каким способом возрастает число множителей. Абсо-
Абсолютно сходящийся двойной ряд можно бесконечным множеством спосо-
способов преобразовать в простой ряд; точно так же и абсолютно
сходящееся двойное бесконечное произведение можно бесконечным мно-
множеством способов преобразовать в простое абсолютно сходящееся беско-
бесконечное произведение. Если все члены итп суть непрерывные функции
некоторых переменных х, у, ... , и если 'ряд 2?/тл — равномерно сходя-
сходящийся в некоторой области D, то бесконечное произведение \1(\ + итп)
само равномерно сходится и представляет в области D непрерывную
функцию от х, у, ...
158. Действительные бесконечные произведения. Возвратимся к беско-
гечному произведению с действительными множителям;:
A +и,)A +а,)...A +«„)•••
и рассмотрим тот случай, когда в последовательности щ, uit м2,... есть беско-
бесконечное множество отрицательных членов. Если все эти член^, начиная с нек то-
рого указателя, ззключаются между —1 и 0, то задача приводится к изучению
бесюнечного произведения вида:
(I_o4)(l_t4)...(l—*„)..., D4)

§ 168 III. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 43
где Vq, vt, ... , vn, ... -— положительны и меньше единицы. О евидно, что с воз-
возрастанием числа л'произв дение A — оф)...A—vn) убывает, оставаясь поло-
положительным; следовательно, при неограниченном возрастании числа п это произ-
произведение стремится к некоторому пределу, но это"г предел м жет быть равен или
нулю или какому-нибудь положительному числу. Если ряд IJV/—сходящийся,
то бесконечное произведение D4)—абсолютно сходящееся; следовав льно, про-
произведение A—vt) ... A—vn) имеет предел, отличный от нули (§ 166).
Чтобы исследовать случаи, когда ряд 2z^ — расходящийся, заметим, что при
вс ком действительном значении х мы имеем:
1 + х < е*,
так как функция ех — х — 1 имеет минимум при х = 0. Поэтому
1—f0 < _e-vv, I — pj < e-vt, ..'. , 1—vn<e-vn,
и, следовательно,
A — v0) A — v{) ... A — »„) < e-b>»+vi+ ¦ • ¦ +V.
Так как сумма »о + p, -f ... + vn неограниченно возрастает вместе с п, то
бесконечное произведение равно нулю. Таким- образом, если ряд Sf; — расходя-
расходящийся, то бесконечное произведение 11A — ^) равно нулю.
Если последовательность мо> i-t, . . , и„, .. содержит бесконечное множество
как положительных, так и отрицательных чле ов, то бесконечно произведение
может быть сходящимся и i тличным от нуля только в том случае, если общий
член ип стремится к нулю (§ 165). Предположим, что это имеет место; так как
всегда можно пренебречь конечным числом первых множителей, то мы допустим,
что все множители 1 -t un положительны. Тогда произведение Рп будет содер-
содержать некоторое число множителей, больших единицы, и некотор е число множи-
множителей, меньших единицы; очевидно, что единственно сомнительны случай — ют,
когда при неограниченном возрастании числа п произведение множителей, ббль
ших единиц , неограниченно возрастает, а произведение множителей, меньших
единицы; стремится к нулю. В этом случае, в зависимости от характера произ-
произведения, оно может быть сходящимся или расходящимся; но нетрудно доказать,
рассуждая, как в случае полусходящихся рядов ($ 157), что в подобном произве-
произведении всегда можно расположить множители в таком порядке, чтобы произведе-
произведение Рп имело пг еделом любое заданное положительное число.
Если ряд Лап — сходящийся, то мы имеем точный признак. ПроизвеОение
Рп стремится к положительному пределу или стремится к нулю в зависи-
зависимости от того, будет ли ряд 2и^ сх'дящимся или расходящимся
Для доказательства этого предложения заметим, что отношение
ln(l-f х) — х
X*
1
при х, стремящемся к нулю, имеет предел — •=-; следовательно, должно быть:
причем абс лютная величина количества а остается меньшей -=-, если абсолют-
абсолютная величина количества х меньше некоторой границы. Так как при неограни-
неограниченном возрастании числа п количество ип стремится к нулю, и так как бесконеч-
бесконечное произведение можно начинать с любого множителя, то можно предположить* что
"I
lnA4«)«A + 9)
1пA+и1)=в1 j-

44 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 168
где все числа <>о> "ii • • •. '« заключаются между —~ и "т* "о" • Отсюда следует,
что
«„—! «2A+»•)-. ••-{«^A+U D5)
если оба ряда 2н„ и 2н^— сходящиеся, то при >еограниченном возрастании
числа л правая часть стремится к конечному пределу, так как и*A -f- 8Л) заклю-
2
чается между - " и -=- г?п. Следовательно, произведение Рп стремится к пределу,
отличному от нуля. Напротив, если ряд 2u?—расходящийся, то правая часть
формулы D5) неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь
отрицательною, и, следовательно, Рп стремится к нулю.
Из того же равенства D5) следует, что бесконечное произведение расхо-
расходится или равно нул <>, если ряд 2н„ — расходящийся, и ряд 2ия — сходя-
сходящийся. Но должно заметить, что бесконечное произведение может быть сходя-
сходящимся и в том случае, когда оба ряда 2н„ и Ъи*п расходятся. Например, возьмем
щ = trl z= на = О
и
у п у п п пуп
ряд 2и_ —.расходящийся, так как сумма S^. больше -=- + -5- + • • • -\ 1 по той
Z о П
же причине будет расходящимся и ряд 1н^. Тем не менее, бесконечное произ-
произведение
— сходящееся, так как произведение его 2« множителей равно
ЧМ'Ч)-(¦-?)•
тогда как произведение его 2л +1 множителей р вно предыдущему произведе-
произведению, умноженному на множитель 1 . , предел которого равен единице *.
|/л+ 1
П р.и меры: 1. Ряд
_±+±_±+±_ _!+!_
2^2 4Т4 '"" 2л ^ ,2л """
— сходящийся; ряд, состоящий из квадратов его сленов,—также сходящийся
Следовательно, соответствующее бесконечное произведение
_L 1 А 1 2п —1 2я+1
2 ' 2 ' 4 " 4 "¦ 2л ' 2п •"
2
— сходящееся; мы уже видели, что оно равно — . Чтобы преобразовать его
* См. К о ш и, Cours d'Ana'yse или Oeuvres completes, т. II, 2-я серия, при-
примечание IX; П р и н г с г е й м, Mathematlsche Annalen, т. 22, 33, 42.

§ 168-169
III. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
45
в абсолютно сходящееся произведение, достаточно перемножить попарно после-
последовательные множители; таким образом получим:
2. Пусть бугет щ + и{ 4- ... -\-и„-\-... ряд с действительными членами,
в котором отношение двух последовательных членов есть рациональная функция
количества п, стремящаяся к единице при неограниченном возрастании числа п:
ип+1 _ пР + '+
ип пр -
Исключая из рассмотрения случай, когда какой-нибудь из членов этого ряда
равен нулю или бесконечности, мы можем положить:
и
-ц П (\ I
— ui 1 1 у- Л
где «(¦') есть рациональная функция от v, абсолютная величина которой остается
меньшей некоторого постоянного числ!. Если аг — *t > 0, то все члены ряда
+ -
D6)
начиная с некоторого, положительны, и этот ряд — расходящийся; следова-
следовательно, общий член ип+1 первого ряга неограниченно возрастает- по абсолютной
величине. Если at — b, =0, то ряд D6) — абсолютно сходящийся, и un+i стре-
стремится к конечному пределу, отличному от нуля. Наконец, если at — bi < 0, т •
все члены ряда D6), начиная с некоторого, отрицательны, и этот ряд — расхо-
д> щийся; следовательно, при неограниченном возрастании числа л, ип+1 стре-
стремится к нулю. Эти результаты принадлежат Гауссу (§ 155).
1Ь9. Определитель бесконечного порядка. Пусть будет 2a/fc абсолютно
сходящийся двойной ряд, в котором каждый из индексов i, k изме-
изменяется от — оо до -f- с». Рассмотрим определитель
—т+1, ~т
-т, т
— т+1, т
, -m
'0,0
Произведение Пт = ПA -\-\atk |), где оба индекса ink изменя-
изменяются от —т до -\-т, превосходит \Dm\, так как любой член Dm
имеет -модулем один из членов П.т, а это произведение содержит, сверх
того, и другие сомножители, которые все являются положительными.
Точно так же мы видим, что любэй член разности Dm+ —Dm имеет
модулем один из членов разности IImJ.n—IIm, содержащей, кроме того,
и другие члены, которые все положительны. Мы имеем, следовательно:
Но так как ряд 2iart| сходится, то произведение Поимеет предел,
когда т неограниченно возрастает, следовательно, разность YLm+p — TLm,

46 глава viii. ряды и бесконечные произведения § №
а значит, и разность Dm+ —Dm, стремится к нулю, когда оба числа
т и т 4- р неограниченно возрастают. Отсюда мы заключаем, что опре-
определитель Dm также стремится к некоторому пределу (§ 5).
УПРАЖНЕНИЯ.
1, Чтобы бесконечное произведение было сходящимся и не нулем, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы любому положительному числу е можно было поста-
поставить в соответствие такое числоя, что мы будем иметь:
I A + Ия + 1)A + Un + i) . . . A + Un+p) - 1 [ < ?,
каково бы ни было целое положительное число р.
I. Знакоположительный ряд м0 -\- и{ + ¦ ¦ • + ип + • • • сходится или расхо-
расходится одновременно с рядом
[Можно написать:
и применить теорему § 168.]
3. Вычисляя двумя различными способами сумму членов таблицы с двойным
входом, вывести формулы:
,— .— /_
^ ~ • • • = arctg Vq~arctg^ + arctg^5~
при этом предполагается, что (q) < 1.
4. Пусть будет ^ положительное число, меньшее единицы. Положим:
4оо +оо 4 оо
л=1 л=1 я=1
доказать формулу:
<?OC l

ГЛАВА IX.
ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
РЯД ТЕЙЛОРА. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
170. Ряд Тейлора. Если функция f(x) имеет в промежутке (a, a-\-h)
неограниченное число производных, то мы можем взять число п, вхо-
входящее в формулу (§ 18), сколь угодно большим. Если при неограни-
неограниченном возрастании п остаточный член Rn стремится к нулю, то мы
получаем формулу:
f(a+h)=f(a) + \-f{a) -f ^/"(«) f . .. +- -^—^ (а) +.. ., A)
выражающую, нто ряд
/(fl) + /
— сходящийся и имеет суммою f(a-\~h). Формула A) и есть формула
Тейлора в тесном смысле, но она законна только в том случае, если
при неограниченном возрастании п остаточный член Rn стремится
к нулю, тогда как формула G) (§ 18) предполагает только существо-
существование производных до (п 4- 1)-го порядка. Заменяя а через х, мы можем
представить формулу A) в виде:
/(* +А) =/(*) + \f(*)+ ¦ ¦ ¦ +ГГ2-.Т7/(в) {Х)+ • ¦ ¦ ''
полагая же а = 0 и заменяя h через х, получим:
/(*) =/@) + ^ / @) + .. + ттз^ /(л) @) + ¦ • • B)
Последняя формула иногда называется также формулою Маклорена
(Maclaurin); но должно заметить, что все эти различные формулы в сущ-
сущности эквивалентны. Тогда как формула B) дает разложение функции
от лг по степеням х, формула A) дает разложение функции от h по
степеням h: достаточно простой замены обозначений, чтобы перейти от
одной формулы к другой.
Есть один весьма общий случай, когда можно быть уверенным, что
при неограниченном возрастании п остаточный член Rn наверное стре-
стремится к нулю; это тот случай, когда при изменении л; в промежутке
(a, a-\-h) абсолютная величина производной любого порядка остается

48 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 170
меньшей определенного числа М. В самом деле, взяв остаточный член
в форме, данной Лагранжем, имеем:
I hIя+1
и очевидно, что правая часть этого неравенства есть общий член схо-
сходящегося ряда. Так будет, например, для функций ех, sin л;, со л;. Все
производные от ех равны ех и, следовательно, имеют все один и тот
же максимум в данном промежутке: что касается производных от siri jc
и cos л;, то их абсолютная величина никогда не превосходит единицы.
Поэтому формула A) приложима к этим функциям при всех значениях
а и А. Остановимся на формуле B); если f(x) = ex, то
и мы получаем формулу:
применимую при всех положительных или отрицательных значениях х.
Если а есть некоторое положительное число, то ах = ех1аа , и, следо-
следовательно,
icing ,(*hm)' (xlna)"
а*_1_| Г+ Ь2 +•¦•+!.2...« + '•• D)
Положим /(я) = sin л:; здесь высшие производные образуют перио-
периодическую последовательность из четырех членов cos л;, —sin г, —созх,
sin х, и значения этих производных при х = 0 также образуют пери-
периодическую последовательность 1, 0, —1, 0. Таким образом мы имеем
для всякого положительного или отрицательного значения х:
1
± A\
1-2 3^1-2-3-4-5 •"•1 ; 1-2-3 ...
и точно так же для cosx найдем:
F)
Возвратимся к общему случаю. Исследование остаточного члена Rn
редко бывает таким простым, как в предыдущих примерах; но это
исследование можно облегчить, заметив, что если остаточный член
стремится к нулю, то ряд
/() + /
необходимо сходящийся. Вэобще, прежде чем исследовать остаточный
член, удобнее убедиться в сходимости ряда; если для данных значений
а и А этот ряд расходящийся, то продолжать дальше исследование
бесполезно: можно утверждать, что Rn не стремится к нулю при не-
неограниченном возрастании п.

§ 170 I- РЯД ТЕЙЛОРА 48
Обратное утверждение неверно. Ряд
может быть сходящимся, не представляя, однако, порождающую его
функцию f(x); в этом легко убедиться, рассматривая следующий при-
пример, предложенный Коши. Пусть
мы имеем:
2 - -
f ^ = *з в Х '
вообще, производная п-го порядка имеет вид:
где Р есть некоторый многочлен. Все эти производные равны нулю при
лг=О, так как отношение е ** к любой положительной степени лг
1
стремится к нулю вместе с х; в самом деле, полагая х = — , мы мо-
можем написать:
1 L ?т
— е *'=-
Но выражение —, как известно, неограниченно возрастает вместе с z,
как бы велико ни было т. С другой стороны, пусть будет (р(х) —
функция, для которой имеет место формула B):
Положим
мы имеем:
так что разложение F(x) по формуле Маклорена было бы тождественно
предыдущему. Ряд, который мы таким образом получаем, представ-
представляет, следовательно, функцию, совершенно отличную от той, которая
его порождает.
Вообще, если две функции f(x) и <р(лг) равны, так же'как и все их
производные, при лг=О, не будучи, однако, равными тождественно, то
ясно, что они не могут быть обе одновременно разложены в ряд по
формуле Маклорена, так как коэфициенты разложения были бы одина-
одинаковы для обеих функций.
4 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.

50
ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 171
171. Ряды для 1п A —J— лг) и для (\-\-х)т. Функция In A —j— лг) не-
непрерывна и имеет неограниченное число производных, если только лг
больше —1. Производные ее имеют следующие выражения:
/"'(*) = ;
1-2
.. n
ЛП + 1 '
Исследуем, при каких значениях х можно приложить к этой функ-
функции формулу Маклорена B). Напишем сначала формулу в ее общем
виде с остаточным "членом:
ряд
Остаточный член #n стремится к нулю только в том случае, если
х
Т
-
будет сходящимся: это будет иметь место при значениях х, заключаю-
заключающихся между —1 и -\-\, включая сюда и верхний предел -|-1. Пред-
Предполагая, что переменное х заключается между этими пределами, возь-
возьмем остаточный член в форме, данной Коши:
_
—8У(—
1-2... п (\ + Ьх)
п+1
или
Предположим сначала
мится к нулю; второй множитель
. Тогда первый множитель хп+г стре-
1—6
1 —(—
как при положительном, так
и при отрицательном лг меньше единицы, так как числитель меньше
знаменателя: последний множитель остается конечным, так как он
меньше :—¦ . Таким образом при неограниченном возрастании п
остаточный член Rn стремится к нулю. При л;=1 из предыдущего

§ 171 I. РЯД ТЕЙЛОРА 51
вида остаточного члена нельзя вывести никаких * заключений, но взяв
остаточный член в форме, данной Лагранжем, при х = 1 будем иметь:
а /1 \п
и очевидно, что, при неограниченном возрастании п, Rn стремится
к нулю. Исследование остаточного члена при л; = — 1 бесполезно, так
как в этом случае ряд, очевидно, расходящийся. Таким образом при х,
заключающемся между -}-1 и —1, мы имеем:
у у2 уЗ v-Я
ln(l + *) = y-y + y-...+(.-I)-1? + ... G)
Формула остается применимою и при х = 1; это дает нам интересное
соотношение:
Так как формула G) применима только при х ^ 1, то она не позво-
позволяет вычислять логарифмы целых чисел. Заменим в этой формуле х че-
через — х; новая формула
х х2 х3 х"
ШA х)—- j 2 3 ... - ...
пригодна для значений х, заключающихся между —1 и -(-1; вычитая
почленно последнюю формулу из формулы G), находим:
/1 4- x\ I x x3 x*
1 I x
При изменении х от 0 до 1 рациональная дробь - все время
1 ~ X
возрастает от -(-1 до -|-оо; таким образом можно вычислить лога-
логарифмы всех целых чисел. Но можно получить более быстро сходя-
сходящийся ряд, вычисляя разность логарифмов двух последовательных целых
чисел; для этого положим
L+xAM-l __ 1
~z —— ~— • ИЛИ л -¦ ~ •
1 — х N 2N+\
тогда предыдущая формула принимает вид:
и мы имеем во второй части очень быстро сходящийся ряд, если только
число N достаточно велико.
Примечание. Приложим к функции In A + х) общую формулу Тейлора,
положив в ней а=0, h = x, п = 1; взяв остаточный член в форме, данной Лагран-
жем, получим:
4*

52 ГЛА6А IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 171
Заменяя в последней формуле х через —, найдем:
где 0„ есть положительное число, меньшее единицы. Отсюда можно вывести не
сколько интересных следствий.
1. Так как гармонический ряд — расходящийся, то сумма
возрастает, вместе с л, но разность 2„ — In л стремится к конечному пределу
В самом деле, представим эту разность в виде:
Но In есть общий член сходящегося ряда, так как, по предыду
щей формуле, мы имеем соотношение:
которое показывает, что этот член меньше общего члена сходящегося ряда ^ ~~^ ¦
При неограниченном возрастании л количество
1п — In 1 -\
л \ п
стремится к нулю. Таким образом рассматриваемая разность стремится к конечном;
пределу, носящему название эйлероча постоянного. Значение его, с точность!
до двадцатого десятичного знака, равно С= 0,57721566490153^86060.
2. Рассмотрим выражение
2 4 + +
где пир — два целых неопределенно возрастающих числа. Мы можем предста
вить это выражение в виде:
но
1 + j +• • • • + j~ = In (я -f- /») + pB+p,
причем рл+р и р„ при неопределенном возрастании пир стремятся к одному
тому же пределу С. Следовательно, мы имеем:
Но разность :п+р — рл стремится к нулю; это показывает, что сумма 2 име(

§171. 1. РЯД ТЕЙЛОРА 53
предел только в том случае, если отношение — само- имеет предел. Если это
отношение имеет пределом а, то сумма 2 имеет пределом In A + а).
Например, положив р = п, найдем, что сумма
+
имеет пределом In 2.
Функция A -\-х)т имеет при всяком т вполне определенный смысл,
если только 1 -j- х положительно; она имеет бесконечную последова-
последовательность производных, которые все будут непрерывными функциями от х
при положительном \ -\~ х, так как все выражения их будут одинако-
одинакового вида:
/f(*) = «(l+JC)»-1,
/"(*) = «(«-1)A+ *)"-«,
I = m (от — 1) ... (от — я -
f<-a+U(x) = m(m — \) ... (m — n)(\ fjt)"-»-1.
Применяя к этой функции общую формулу Тейлора, находим:
Л _1_ \т т <т(т — 1) о_|_
{l-t-x) =l + T^H fTg— *+...
, от (от — 1) ... (от — п-\-\)
'" ~* 1-2 ... л
Для того чтобы при неограниченном возрастании л остаточный
член /?п стремился к нулю, прежде всего необходимо, чтобы ряд, общий
член которого имеет выражение
т(т—\) ... (от —д4-1)
1-2...л '
был сходящимся.
Но в последнем ряде отношение. каждого члена к предыдущему
т — л 4- 1
равно х, и при неограниченном возрастании л это отно-
отношение стремится к — х. Таким образом ряд может быть сходящимся
только при | л: | ^ 1. Разумеется, здесь исключается тот случай, когда т
есть целое положительное число; мы имеем тогда элементарную фор-
формулу бинома. Ограничимся тем случаем, когда ]лг|<М. Чтобы пока-
показать, что остаточный член стремится к н\лю, представим его в виде,
данном Коши:
г, _ли(от —1) ...(от —л) п+г ( 1—Ч
"~ 1-2...л U+6*
т-1 « m(m—1)...(лг — л) „..
Первый множитель —i -—^ ^-л;л+1 стремится к нулю как
1 •2 ... л
\ q
общий член сходящегося ряда; множитель -j g— меньше единицы;-на-

54 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 171—172
конец, последний множитель (\ -\-Ьх)т~г меньше некоторого опреде-
определенного предела. В самом деле, если т — 1 ^> 0, то мы имеем:
если же т—1<С1, то A + 6*)'"~1<СA—\х\)т~л. Таким образом
при всяком значении х, заключающемся между —1 и + 1, мы имеем
разложение:
.m(m—1) ... (m—/г -(- 1) n .
... -\ j—^ ^ A "+¦•••
(8)
Случай х — 4; 1 мы рассмотрим ниже.
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ.
Теперь мы перейдем к прямому исследованию целых рядов от одного
или нескольких переменных, к которым совершенно естественно приво-
приводит нас формула Тейлора.
Хотя мы здесь рассматриваем только действительные переменные,
тем не менее рассуждения, которыми мы будем пользоваться при изу-
изучении целых рядов, непосредственно распространяются и на случай
мнимых переменных, если только мы будем всюду заменять слова абсо~
лютная величина словом модуль
172. Область сходимости. Рассмотрим ряд:
2X>-t-...-\-AnX"+... (9)
Предположим сначала, что все коэфициенты Ао, А1У А2, ... поло-
положительны, и что независимое переменное X может принимать только
положительные значения.
Мы можем разбить все положительные числа на два класса; мы ска-
скажем, что положительное число X принадлежит к классу (а), если
ряд (9) сходится, и что оно принадлежит к классу ([$), если этот ряд
расходится. Предположим сначала, что существуют положительные числа
обоих классов. Так как каждый член ряда (9) с коэфициентом отличным
от нуля возрастает вместе с X, очевидно, что любое число класса (а)
меньше любого числа класса ({}). Следовательно, существует число /?>0
(§2) такое, что для всякого числа X, большего R, ряд (9) расходится,
а для всякого X, меньшего R, ряд сходится. Если на место X подста-
подставить самое число R, то ряд может оказаться как сходящимся, так и
расходящимся.
Может случиться, что один из классов (а) или ф) отсутствует.
1. Если не существует ни одного члена в классе ф), то ряд (9)
сходится при всяком значении переменного X; таков, например, ряд
2. Если не существует никакого положительного числа в классе (а),
то ряд (9) расходится, кроме значения ^"=0, и мы полагаем /? = 0,

§ 172 И. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 55
Таков, например, ряд
-2*2 + ...+1-2-3 ...
Рассмотрим теперь целый ряд
во + ва* + в1*8 + ...+*„*»+..., A0)
в котором коэфициенты а( и переменное х могут иметь любые знаки.
В последующем мы будем полагать | at | = At, \x\ = X так, что ряд (9)
будет состоять из абсолютных величин членов ряда (Ю). Пусть будет R
число, определенное выше для ряда (9). Из самого определения числа R
очевидно, что ряд A0) будет абсолютно сходящимся при всяком значе-
значении переменного х, содержащемся между — R и +/?. Остается пока-
показать, что ряд A0) будет расходящимся, если абсолютная величина пе-
переменного х будет больше R. Это вытекает из следующего основного
предложения Абеля *:
Если при некотором частном значении х0 ряд A0) будет сходя*
щимся, то он будет абволютно сходящимся при всяком значении
переменного х, меньшем \хо\ по абсолютной величине.
В самом деле, предположим, что ряд A0) будет сходящимся при
х = х0, и пусть будет М положительное число, большее абсолютной
величины любого из членов этого ряда при значении переменного х = xQ;
тогда при всяком значении числа п мы будем иметь:
А
Но очевидно, что
Следовательно, ряд (9) будет сходящимся, если Х<^\хо\; таким обра-
образом предложение доказано. Из теоремы Абеля следует, что если при
хг=х0 ряд A0) будет сходящимся, то ряд (9), состоящий из абсолют-
абсолютных величин членов ряда A0), будет также сходящимся всякий раз,
как X будет меньше \хо\. Поэтому не может быть [-^ol^^i так как
в этом случае число R не было бы верхним пределом значений X, де-
делающих ряд (9) сходящимся.
Таким образом, если дан целый ряд A0), коэфициенты которого
имеют произвольные знаки, то существует определенное положительное
число R, обладающее следующим свойством; ряд A0) будет абсолютно
сходящимся при всяком значении переменного х, заключающемся
между —R и -\-R, и расходящимся при всяком значении перемен-
переменного х, большем R по абсолютной величине. Промежуток (—R, -\-R)
называется областью сходимости ряда. В предельном случае, когда
R—oo, область сходимости простирается от —оо до +оо; если же
R = 0, то она обращается только в одно начало координат. Этого
последнего случая мы в дальнейшем рассматривать не будем.
Приведенное доказательство не дает никаких указаний относительно
характера ряда при предельных значениях x = R, jc = — R; при этих
* „Recherches sur la serie 1 + у х-\ ^r~o—•** +• ¦ • •'

56 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 172-173
значениях ряд A0) может быть абсолютно сходящимся, просто сходя-
сходящимся или расходящимся.
Рассмотрим, например, три ряда:
1 + х + д» + ...+*»+...,
Так как в каждом из этих трех рядов предел отношения любого члена
к предыдущему равен х, то для них R = 1. Первый ряд будет расходящимся
при Jc = dbl, второй ряд будет расходящимся при л:=1 и сходящимся
при х = — 1; третий ряд будет абсолютно сходящимся при х = -\- 1.
Примечание. Теореме Абеля можно дать более общее выражение. В са-
самом деле, для ее доказательства нет необходимости предполагать, что ряд A0)
будет сходящимся при значении лг0; достаточно только предположить, что абсо-
абсолютная величина любого члена ряда
остается меньшей некоторого определенного числа. Если это условие удовлетво-
удовлетворяется, то при всяком значении переменного х, абсолютная величина которого
меньше | _*г01. ряд A0) будет абсолютно сходящимся.
Число R связано весьма простым соотношением с числом ш (§ 152), пред-
представляющим наиоольший из пределов членов последовательности
Аи -/A* -\fA% -/An> ¦ ¦ ¦
В самом деле, рассмотрим аналогичную последовательность
AtX, "JJi
очевидно, что наибольший из пределов членов этой второй последовательности
будет ч>Х. Следовательно, ряд (Э) будет сходящимся, если X < —, и расходя-
расходящимся, если X > — . Таким образом /?= — *.
A) (О
173. Целый ряд как непрерывная функция переменного. Обозначим че-
через f(x) сумму целого ряда, сходящегося в промежутке от — R до -|-Л?:
/(*) = flo + fll*+...+*„*•+...; (И)
пусть будет /?' некоторое положительное число, меньшее R. Докажем
сначала, что ряд A1) будет равномерно сходящимся в промежутке
(—./?', -(-/?'). В самом деле, при значении переменного х, меньшем R'
по абсолютной величине, остаток
по абсолютной величине меньше соответствующего остатка сходящегося
* Это теорема была доказана Кош и в его „Cours d'Analyse". Адамар (На-
datnarb получил ее вновь в своей диссертации.

§ 173 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 57
Отсюда следует, что при всяком значении переменного х, заклю-
заключающемся между —R и -\- R, сумма f(x) ряда есть непр.ры ная
функция от х. В самом деле, очевидно, что если дано какое-нибудь
число х0, меньшее R по абсолютной величине, то можно найти другое
положительное число R', которое было бы меньше числа R и больше | хо\..
По предыдущему, данный ряд будет равномерно сходящимся в проме-
промежутке от — R' до -)- R'; следовательно, его сумма f(x) будет непре-
непрерывною функциею переменного при значении л;0, принадлежащем этому
промежутку (§ 30).
Это доказательство неприменимо к пределам области сходимости -\- R
и —R. Тем не менее, непрерывность ряда сохраняется и при этих пре-
предельных значениях всякий раз, когда ряд остается при этих значениях
сходящимся. Именно, Абель доказал, что если при лг = 7? ряд A1)
остается сходящимся, то сумма ряда A1) при x = R равна пределу,
к которому стремится сумма /(х) этого ряда, когда х стремится
к R, оставаясь меньшим R.
Достаточно доказать, что ряд A1) равномерно сходится во всем
промежутке @, R), включая конец x = R. В самом деле, задав про-
произвольное положительное число е, выберем настолько большое л, чтобы
для всякого р было:
это возможно, так как, по предположению, ряд A0) сходится при x =
Пусть будет лг положительное число, меньшее R; можно написать:
и применить лемму Абеля (§ 74), заметив, что последовательные степени
х
выражения — образуют убываю
R
мы имеем также для любого р:
х
выражения — образуют убывающую последовательность. Следовательно,
R
Сопоставляя это неравенство с предыдущим, мы убеждаемся, что ряд A0)
равномерно сходится во всем промежутке (О, R). Следовательно, сумма
этого ряда непрерывна в правом конце этого промежутка, так как дан-
данные ранее доказательства (§ 29, 30) применимы также к концам про-
промежутка сходимости, если ряд равномерно сходится во всем проме-
промежутке, включая концы его.
Таким же образом можно доказать, что если ряд A1) будет сходя-
сходящимся при х = — R, то сумма этого ряда при х = — R есть предел,
к которому стремится сумма f(x), когда х стремится к — R. Чтобы при-
привести этот случай к предыдущему, нужно только заменить лг через — лг.
Приложение.'Это предложение позволяет дополнить доказанную выше
§ 160) теорему об умножении рядов.
Пусть будут
S — «о 4- «1 + «а + ¦ • • + "„ +
S'= »0 + v, 4- vs -f ... -f »„+...

58 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 173—174
два ряда, сходящиеся, но не абсолютно, а только условно. Ряд, составленный
по правилу умножения рядов,
И0»0+ («0W4 + Ujf0) + . . . + («0Wn + • • • + «„»») + ...
может быть сходящимся или расходящимся; но если он сходящийся, то его
сулма 2 равна произведению сумм двух первых рядов, Ii=:SS'. В самом деле,
рассмотрим три целых ряда:
f(x) = щ + «!<:+...+ ипх« -\- ... ,
<((")—Щ + ^iX 4- ... 4- vnx"+ ¦¦¦ >
ф (х) = u^vo + {utvi + utvt) х 4- • • • + («opn + • • • + ЗД>) x"+ ...
По предположению, при дг = 1 эти ряды будут сходящимися; следовательно,
при х, заключающемся между —1 и -\-1, эти ряды будут абсолютно сходящи-
сходящимися, и к ним будет применима теорема Коши об умножении рядов; таким об-
образом получаем соотношение;
/(*)?(*) = И*)- A2)
По теореме Абеля, если х стремится к единице, то f(x), f(x), ty(x) стремятся
соответственно к S, S', Б, и так как обе части формулы A ) остаются все время
равными между собою, то в пределе имеем 2. = SS'.
Эта теор.ма остается верною и для рядов с мнимыми членами и может быть
доказана таким же образом,
174. Производные от целого ряда. Диференцируя почленно целый ряд
f(x) = Oq -f a^jf-l- a2xz -f ... + anxa -j- ...,
сходящийся в промежутке (—R, -\-R), мы получим новый целый ряд
аг -}- 2а2х 4- ... + паПх»-*-\- ... , A3)
сходящийся в том же промежутке. Чтобы доказать это, достаточно по-
показать, что ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда A3),
Аг 4 2А2Х \- ... + пАпХ»-г 4" ...
будет сходящимся, если X <^, и расходящимся, если Х~^> R.
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что
и пусть будет R' число, заключающееся между X и R, X<^R'<^R. Рас-
Рассмотрим вспомогательный ряд:
который будет сходящимся, так как отношение каждого члена к пре-
X'
дыдущему имеет пределом число —, меньшее единицы. Умножая члены
R
этого ряда соответственно на множители
которые все меньше некоторого определенного числа, так как R' < /?,
мы получим новый ряд:
который, очевидно, будет также сходящимся.

§ 174 И. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 59
Вторая часть предложения доказывается таким же образом. Если бы ряд
где %, ^> R, был сходящимся, то был бы также сходящимся и ряд
+оо
а следовательно, был бы сходящимся и ряд ?.АпХ", все члены кото-
1
рого меньше членов предыдущего ряда; но тогда число R не было бы
верхним пределом значений X, делающих ряд (9) сходящимся.
Сумма /г(х) целого ряда A3) есть непрерывная функция перемен-
переменного х в промежутке (—R, -\-R). Так как ряд /2(х) есть равномерно
сходящийся во всем промежутке (—R', -f- R'), где, R'<_ R, то в этом
промежутке ряд /j(r) представляет производную от /(*) (§ 30).
Но число R' может быть взято сколь угодно близким к числу R; от-
отсюда следует, что при всяком значении х, содержащемся между —R
и -\-R, функция /(-») имеет производную, и эта производная пред-
представляется рядом /' (л;), члены которого суть производные от членов
данного ряда / (х)\
/'(*) = о,+2а8д.+ ...+ла„д.«-1+... A5)
Применяя те же рассуждения к целому ряду A5', мы видим, что
ряд f(x) имеет вторую производную
/•(дг) = 2а,4 6/«*+... + л <в—1) *„*»-»+. • ,
и т. д. Таким образом в промежутке (— R, -\- R) функция f(x) имеет
бесконечное множество производных, и все эти производные предста-
представляются рядами, получающимися от почленного диференцирования
ряда A1):
/<«>(*) = 1-2. .ла„ + 2-3...«(«+!>*„«*+... A6)
Полагая в этих формулах х — 0, получим:
и, вообще,
" 1-2...л'
так что разложение f(x) тождественно с разложением по формуле
Маклорена:
№ =/@) + у / @) -f ^2/" @) + ... + r^T7nf(n) @) + • • '
Так как коэфициенты а0 , о,, ... , ая, ... отличаются от значений
функции /(х) и ее производных при х~0 лишь числовыми множи-

60 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 174
телями, то ясно, что функция не может иметь двух различных разло-
разложений в целый ряд.
Точно так же, интегрируя почленно целый ряд, мы получим новый
целый ряд с произвольным постоянным членом. Этот ряд имеет ту же
область сходимости, как и данный ряд, и имеет этот последний ряд
своею производною. Интегрируя второй ряд, мы получим третий ряд,
два первых коэфициента которого произвольны, и т. д.
Примеры. 1. Геометрическая прогрессия с знаменателем —х:
сходится при всяком значении л;, заключающемся между —1 и
-j-1, и ее сумма равна . Интегрируя ее почленно между пре-
1 —|— X
делами 0 и л:, где |jc|<4, мы получаем уже известное (§ 171) разло-
разложение In A -(- х):
у 1-2 v-З *.я + 1
i-(i+>HM + f +A)" +
Эта формула верна и при jc=l, так как при этом значении х ряд,
стоящий в правэй части, остается сходящимся.
2. При всяком значении х, заключающемся между —1 и -(- 1,
имеем:
^l * + * *+...
1 —j- X
Интегрируя почленно это равенство между пределами Ои jc, где
получим:
5
Так как при х=\ ряд, стоящий в правой части, остается сходя-
сходящимся, то отсюда имеем:
4 3+5 7~r •¦
3. Пусть будет F(x) сумма сходящегося ряда •
т{т— !)...(« —
1-2.../»
где т — какое угодно число, и |jf|<^l. Диференцируя, получаем:

§ 174-175 И. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 61
Умножим обе части этого равенства на A+лг) и соберем члены,
содержащие одинаковые степени переменного лг. Пользуясь тождеством
(от—1).j^m-^p +JU ,
"г"
1-2... (/7 — 1) "г" 1-2.../>
от (от — 1) ... (т —/>+ 1)
которое легко проверить, мы получим формулу:
от(от—1) ... (от —
или
Отсюда последовательно находим:
F'(x) _ m
F(x)-\-\-x'
1пС,
т. е.
Для определения постоянного С достаточно заметить, что F@) = l;
отсюда имеем С==1, и мы приходим к разложению (\-\-х)'п, уже най-
найденному в § 171:
/1 i чт 1 i m i i от (от — 1)...(от—/> -I- 1)
4. Заменяя в предыдущей формуле х через — х2, т через ^,
получим:
Эта формула верна при всяком значении х, заключающемся между
— 1 и + 1. Интегрируя обе части между пределами 0 и х, где
мы получим разложение arc sin x:
х , 1 дз , ЬЗлг5 , , 1-3-5...Bя —
1 ' 2 3 ^2-4-5 ' ¦"¦ ~ 2-4-6...2яBя+1) ~"'
175. Второе доказательство. Свойства функций, представляемых це-
целыми рядами, могут быть выведены более элементарным способом. Пусть
будут лг0 — число, заключенное между — R и + /?, и хл — близкое
число, содержащееся в том же промежутке. Чтобы показать, что раз-
разность/(лг^—f(x0) стремится к нулю, когда, при х0 постоянном, х,

62 ГЛА6А IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 175
стремится к лг0, вычтем почленно ряды, представляющие f[xQ) и /(хл);
мы находим:
п1 (я, - х0) + а2 {х\ -*»)+. . + в
Общий член этого нового ряда можно написать так:
Чтобы найти верхнюю границу абсолютной величины этого члена,
обозначим через / какое-либо положительное число, меньшее R и боль-
большее | х0 |; так как в дальнейшем хг будет стремиться к х0, то мы пред-
предположим также, что 1^>\хг\. Абсолютная величина любого из произве-
произведений xf~l, х^~гх0, ... будет тогда меньше 1п~л, следовательно,
абсолютная величина рассматриваемого общего члена будет меньше,
чем пАп1п~1\х1 — лго|. Мы имеем, следовательно:
\/(хг) ~/(х0) |< | х, - х0 | (А, + 2А21 + . .. + nAJ» - 1 +...);
но ряд, стоящий в скобках, сходится, так как /</? (§ 174). Следо-
Следовательно, разность/^)—f(x0) в самом деле стремится к нулю одно-
одновременно с хг — лг0 , и функция /(лг) непрерывна во всякой точке, за-
заключенной между — R и -(- R.
Чтобы показать, что /, (лг) есть производная функции f(x), доста-
достаточно убедиться в том, что разность
стремится к нулю, когда хг стремится к лг0 . Отношение
Х-у ,ЛГ0
равно, как мы только что видели, сумме сходящегося ряда
Вычитая почленно из этого ряда ряд, представляющий /j (лг0), мы
находим для D выражение в виде ряда, общий член которого можно
написать так:
каждая из разностей лг^-1 — х?~г, xf~2x0 — л^,... представляет
собою произведение разности ' хл—х0 на произведение вида хРх^ ,
где р и q — два целые числа, из коих ни одно не отрицательно, и
сумма которых равна п — 2. Общее число этих произведений равно,
как нетрудно видеть, (л - 1) -\- (л — 2) —{— . . . -Ь 2 -f- 1 == ^ ,и
абсолютная величина каждого из них меньше, чем 1"~2, где число /
имеет то же значение, что и выше. Мы имеем, следовательно:
\о\<'^ ~АГ°|[2л2 + ел3/ + ... + п(п-1) v-»4- • • •],
и ряд, стоящий в скобках, сходится, когда / есть положительное число,
меньшее R, так как это есть ряд модулей членов целого ряда /2 (х),

§ 175-176 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 63
который мы получаем из/г(х) почленным диференцированием. Следо-
Следовательно, D имеет пределом нуль, когда хг стремится к х0.
176. Распространение формулы Тейлора. Пусть будет f(x) сумма
целого ряда, сходящегося в промежутке (—R, -\-R), х0 — точка, за-
заключающаяся в этом промежутке, и (х0 + h) — другая точка в том же
самом промежутке, при условии: |*0| + I *| <С?- Ряд
имеющий сумму /(-хго-|-Л), может быть заменен двойным рядом, который
получится из предыдущего, если мы разложим различные степени от
(xo-\-h) и будем располагать в одной и той же строке одинаковые
степени А:
«*¦*<> + ¦¦• +апхПо+---
•4- М + 2VoA + • • • 4 папх-0-Ч +
Этот двойной ряд будет абсолютно сходящимся. В самом деле, заменяя
каждый член этого ряда его абсолютным значением, мы получим новый
двойной ряд с положительными членами:
Составляя сумму элементов этой таблицы по вертикальным столбцам, мы
получим ряд:
который будет сходящимся, так как, по предположению, | х \ -\- \ Л | < R.
Так как двойной ряд A7) —абсолютно сходящийся, то мы можем
суммировать элементы таблицы A7) или по строкам или по столбцам.
Суммируя по столбцам, мы получим f(x0 4- А). Вычисляя ту же сумму
по строкам, мы получим ряд, расположенный по степеням h, в котором
коэфициентами при А, А2, ... будут соответственно /' (лг0),
1-2 ' •"•
Таким образом, предполагая | А |< /? — | х01, имеем:
/К + А)^/(^ + |/ЧХо) + ... + _^!_/(«)К) + ... A9)
Формула A9), наверное, применима в промежутке от х0 — R -\- \ х0 I
цо дг0 + R — \xQ\, но ряд, стоящий в правой части, иногда может быть
сходящимся и в более широких пределах. Рассмотрим, например,
функцию A -\-х)т, где т не есть целое положительное число. Разло-
кение этой функции по степеням х возможно в промежутке от лг = — 1

64 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 176—177
до х — -\-1. Пусть будет лг0 значение переменного х, заключающееся
в этом промежутке. Мы можем написать:
(I +*)" = A +л:0 + *-*„)*= A -f- х0Г[\ + *]«
где
X Хп
Z==
Если |z|<^l, т. е. если значения переменного х заключаются в проме-
промежутке от — 1 до 14- 2*0, то функция [1 4- z]m может быть разложена
по степеням z *. Таким образом, если лг0 положительно, то новый проме-
промежуток будет шире прежнего (—1, -(-1), и следовательно, новая фор-
формула даст возможность вычислять значение функции для значений пере-
переменного, лежащих вне первоначального промежутка. Развивая это
замечание, мы придем к чрезвычайно важному понятию об аналити-
аналитическом продолжении, рассмотрение которого мы отлагаем до следую-
следующего тома.
Примечание. Очевидно, что теоремы, доказанные здесь для рядов, рас-
расположенных по степеням переменного х, легко могут быть распространены на
ряды, расположенные по положительным степеням х — а, и, вообще, на ряды,
расположенные по положительным степеням любой непрерывной функции <р(л).
Для этого нужно только рассматривать эти ряды как сложные функции от х
с посредствующею функциею <р (л). Так, например, ряд, расположенный по поло-
положительным степеням —, будет сходящимся при всех значениях переменного х,
X
превосходящих по абсолютному значению некоторый предел, и будет пред-
представлять при этих значениях переменного непрерывную функцию от х.
Рассмотрим, например, функцию ух* — а, которую мы можем представить
в виде ±х [1 -) . При значениях переменного х, по абсолютной величине
больших, чем ]/а, выражением— .) может быть разложено по степе-
ням —; при этом мы получим формулу:
*г=—^-~ 1 « 1 в* 1-3...B/»-3) аР
У*. и_* 2 х 2 4 ^ ... 2-4-в...2/» я*-* •'¦;
которая дает разложение функции ]/х* — в, когда х > ]/а. Если х < — \/а, то
предыдущий ряд булет также сходящимся, и его сумма равна — ]/л* — а. Эта
формула может служить для разложения корня квадратного из целого числа,
если известен ближайший больший точный квадрат.
177. Усиливающие функции. Выведенные выше свойства целых рядов
устанавливают большую аналогию между этими рядами и многочленами.
Пусть, например, дано несколько целых рядов /2(х), /2(лг), ... ; пусть
будет (— г, -+-'¦) наименьшая из их областей сходимости. Тогда при
* Полагая х = х0 -\- Л, получим z = =—-— . Следовательно, разложение по
степеням z есть в то же время разложение по степеням Л, т. е. формула A9).
(Ред.,

§ 177 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 05
|*|<V все эти ряды будут абсолютно сходящимися, и мы можем их
складывать или перемножать совершенно так же, как мы это делаем
с многочленами; вообще, всякий целый многочлен по fx (ж),/а (*),..., /„W
может быть разложен в целый ряд, сходящийся в том же промежутке
(-г, + г).
Чтобы расширить эту аналогию, мы предварительно дадим опреде-
определение некоторых выражений, которым-и будем пользоваться в последую-
последующем. Пусть будет f\x) целый ряд:
/(¦*)=«о+fli * + <*2х> Ц---. + <*„*" +•••••;
пусть будет ср (лг) другой целый ряд с положительными коэфициентами:
^(д:) = 00-4-0,* f а2лг2 + .. .-\-апх"-1-... ,
сходящийся в известном промежутке. Если каждый из коэфициентов ап
в ряде ф (лг) равен или больше абсолютной величины соответствующего
коэфициента в ряде /(«):
то функция у (х) называется по отношению к f(x) усиливающею
функциею, или мажорантою (fonction majorante). Чтобы выразить это
отношение между функциями f(x) и у(х), Пуанкаре (Poincare) предло-
предложил следующее обозначение:
Усиливающие функции оказываются полезными при рассмотрении
целых рядов благодаря следующему их свойству, непосредственно выте-
вытекающему из их определения. Пусть будет Рп(а0, аг, ... , ап) много-
многочлен с коэфициентами, действительными и положительными, зависящий
от п 4-1 перзых коэфициентов ряда f(x). Если в этом многочлене мы
заменим а0, а:,..., ая соответствующими коэфициентами ряда <р (л:), то,
очевидно, будем иметь:
\Р(а0, ai,... , ая)|<Р(а0, аг, ... , ап).
Например, если <р (лг) есть мажоранта для fix), то [<р (х)]2 будет
мажорантой для [/(лг)]2, ... , и, вообще, [<р (х)]а будет мажорантой
для [f(x)]n. Точно так же, если <р и <р3 будут мажорантами соответ-
соответственно для / и /j, то произведение tpsp-, будет усиливающею функциею
для прэизведения //j, и т. д.
Если дан целый ряд f(x), сходящийся в промежутке ( — R,'-f R),
то нахождение для этого ряда мажоранты есть задача очень неопреде-
неопределенная. Но для упрощения последующих рассуждений нам выгодно вы-
выбирать мажоранту как можно более простого вида. Пусть будет г по-
положительное число, меньшее R, но сколь угодно близкое к нему. Так
как при х = г ряд f(x) будет абсолютно сходящимся, то абсолютные
величины его членов имеют верхнюю границу, которую мы обозначим
через М. Следовательно, для всякого значения числа п мы имеем:
М
5 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.

66 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § Н1
Отсюда следует, что ряд
у** АЛ
?+...+*?...,
г
хп
общий член которого есть М — , будет усиливающею функциею для
Дх). Этот вид усиливающей функции самый употребительный; он пред-
представляет убывающую геометрическую прогрессию. Если ряд /<х) не
имеет постоянного члена, то вместо предыдущей усиливающей функции
мы можем взять функцию
-Л М.
За число г можно взять любое число, меньшее /?, и ясно, что
соответствующее число М, вообще, уменьшается вместе с г, но никогда
не может сделаться меньше /0. Если Ао не равно нулю, то всегда
А
можно найти такое положительное число р<1#, чтобы функция -^—
1 —-
Р
была мажорантой для f(x), т. е. можно положить М — Ао. В самом
деле, пусть будет
первоначальная усиливающая функция, причем М^> Ао. Возьмем число р,
меньшее г -~; тогда при л>1 мы имеем:
т '
отсюда находим \апрп\<С.А0. Но |ао| = Ло; следовательно, ряд
будет мажорантой для f{x). Таким образом, вообще, за число М
можно взять любое число, большее или равное Ао. Этим свойством
мы вскоре воспользуемся.
Точно так же можно доказать, что если ао = О, то за усиливающую
функцию можно взять
JJL Ц. X
где I — произвольное положительное число *.
Для этого нужно только взять Р<''-тг- (Ред.)

§ 178 И. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 67
Примечание. Если для данного целого ряда мы 'знаем усиливающую
функцию в виде убывающей геометрической прогрессии, то мы можем также
судить о степени погрешности, получающейся при замене суммы f(x) данного
ряда суммою его я -f-1 первых членов (см. § 151, примечание И).
178. Подстановка ряда в ряд. Пусть будет
ряд, расположенный по степеням переменного у и сходящийся в проме-
промежутке (— R, -\-R). С другой стороны, пусть будет
.У = «р(*)=Л + А1*+...+*„*"+... B1)
другой ряд, сходящийся в промежутке (—г, -\-г). Если мы заменим
в ряде B0) у, у2, у3, ... их разложениями в ряды по степеням х, по-
получающимися из формулы B\), то получим двойной ряд:
+ 2asb0blX -f . .. + пая Ь*~Чг х f ...
Найдем, при каких условиях этот двойной ряд будет абсолютно сходя-
сходящимся в некотором промежутке. Прежде всего необходимо, чтобы ряд,
стоящий в первой строке,
был абсолютно сходящимся, т. е. чтобы было |#0|</?. Это \словие
вместе с тем и достаточно. В самом деле если это условие удовле-
удовлетворяется, то за усиливающую функцию для <р (х) мы можем взять вы-
выражение вида , где т есть любое положительное число, большее
1— --
Р
Ьо\, и где р<г (см. стр. 66). При этом мы можем, очевидно, рас-
рассматривать только значения х, заключающиеся в промежутке ( — р, -)-р).
Следовательно, мы можем предположить m<^R. Пусть будет /?' поло-
положительное число, заключающееся между т и R. Мы можем взять за
мажоранту для /{у) выражение вида:
м м + м^ + м^м
R
Если мы заменим в нем у через и разложим степени перемен-
1— -¦
Р
ного у по возрастающим степеням переменного х по формуле бинома,
5*

63 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 178
то получим новый двойной ряд:
B3)
Все коэфициенты последнего ряда положительны и больше абсолютных
величин соответствующих коэфициентов ряда B2), так как каждый
из коэфициентов таблицы B2j получается из коэфициентов а0, аг,
а2 , ... , Ьо , Ьх, Ь2 , ... только при помощи сложений и умножений.
Следовательно, если двойной ряд B3) — абсолютно сходящийся, то
двойной ряд {22) будет подавно абсолютно сходящимся. Если мы заме-
заменим в ряде B3) х его абсолютной величиной, то для того чтобы по-
порученный ряд был сходящимся, необходимо, чтобы были сходящимися
ляды, составленные из членов каждого столбца таблицы B3), т. е. чтобы
было |лг|<^р. Если это условие удовлетворяется, то сумма членов
i(n-j-l)-ro столбца по замене х через |лг| будет равна
М
т
р
Это показывает, что для абсолютной сходимости ряда B3) сверх того
должно быть
т. е.
B4)
Так как неравенство B4) влечет за собою предыдущее неравенство
|jf|<Cp. T° оно представляет необходимое и достаточное услэвие, при
котором двойной ряд B3) будет абсолютно сходящимся. Следовательно,
двойной ряд B2) также будет абсолютно сходящимся при всех значе-
значениях переменного лг, удовлетворяющих неравенству B4). Заметим, что
при этих значениях переменного х ряд <р (лг) также будет сходящимся,
и соэтветствующее значение переменного у будет меньше /?' по абсо-
абсолютной величине, так как из неравенств
I <Р (*)!<¦
т
т
я'
I —!
р
следует неравенство I (р (лг) | <^ ?
Суммируя ряд B2) по столбцам, будем иметь:

§ 178 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 69
т. е. /[<р(лг)]. С другой стороны, суммируя по строкам, мы получим
ряд, расположенный по возрастающим степеням х; следовательно, мы
имеем:
)] = <ч> + '1* + <2*2+-.• + '„*"+..• B5)
Легко убедиться, что коэфициенты е0, е^, е8, ... выражаются через
коэфициенты рядэв B0) и B1) следующими формулами:
...+паяЬ»-1Ьг-\-... ,
B6)
Мы вывели формулу B5) только для значений лг, удовлетворяющих
неравенству B4); но это неравенство дает лишь нижнюю границу того
промежутка, в котором эта формула применима. Возможно, что эта
формула будет иметь место и в бэлее широком промежутке. Полное
решение этого вопроса требует изучения функций мнимого переменного;
мы возвратимся к нему впоследствии.
Частные случаи. 1. Так как в неравенстве B4) можно предпо-
предположить числэ /?' сколь угодно близким к числу R, то отсюда следует,
что формула B5) будет применима при значениях х, удовлетворяющих
неравенству |лг|<рП - — J. Поэтому, если ряд B0) будет сходя-
сходящимся при всяком значении переменного у, то можно предположить
число R бесконечно большим, т — сколь угодно большим, а следова-
следовательно, р — сколь угодно близким к числу г; отсюда следует, что фор-
формула B5) будет применима, если |лг ]<[/-, т. е. она будет применима
в том же самом промежутке, в каком будет сходящимся ряд B1).
В частности, если оба ряда f{y) и tp (лг) — сходящиеся при всех значе-
значениях х и у, то числэ г можно взять сколь угодно большим, и фор-
формула B5) будет применима при всех значениях переменного х.
2. Если в ряде B1) постоянный член Ьо равен нулю, то за усили-
усиливающую функцию для <р (лг) можно принять выражение вида:
т т х
p p
где p <V, и m — произвольное положительное число. Совершенно так
же, как и в общем случае, можно доказать, что формула B5) будет
применима и в этом случае, если только
tc -j- m
причем I? может быть взято сколь угодно близким к /?. Промежуток,
определяемый неравенством B7), шире промежутка, определяемого не-
неравенством B4).

70 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ §178-179
Последний частный случай особенно часто встречается. Здесь нера-
неравенство ] Ьо | <С R удовлетворяется само собою, и коэфициент сп зависит
только от а0, о,, ... , ап, Ь1, . .. , Ьп\
Примеры. 1. Коши показал, что формулу бинома можно вывести из раз-
разложения In A -+¦ х). В самом деле, полагая
имеем:
подставляя первое разложение во второе, получим:
Очевидно, что, расположив правую часть по степеням х, мы будем иметь
коэфициентом при хп некоторый многочлен я-й степени по j»; обозначим его
через Р„ (ц). Этот многочлен должен обращаться в нуль при ji = 0, 1, 2, ..., л — 1
и равняться единице при ц = я; этих условий достаточно для его определения
^"¦^ 1-2...л -
J
2. Пусть будет г^={\ -\-х)х, где л: заключается между —1 и +1. Полагая
,= г1ВA + д) = 1_* + *._...+(-!). ^-4....,
имеем:
Второе разложение возможно при всяком у, первое — только при [дг|<1.
Подставляя первое разложение во второе, мы получим формулу, применимую
для х, содержащегося между — 1 и -)- 1. Ограничиваясь двумя первыми членами,
имеем:
Это показывает, что если х стремится к нулю, оставаясь положительным, то
функция A -j- х)х стремится, возрастая, к числу е.
179. Деление целых рядов. Рассмотрим сначала функцию
где ряд, стоящий в знаменателе, начинается с единицы и остается схо-
сходящимся в промежутке (— г, -\-г). Полагая

§ 179 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ 71
имеем:
l
Подставляя первое разложение во второе, мы получим для f(x) разло-
разложение в целый ряд:
имеющее место в некотором промежутке.
Таким же способом мы могли бы получить и разложение обратной
величины любого целого ряда, постоянный член которого отличен
от нуля.
Пусть теперь требуется разложить в ряд частное двух сходящихся
целых рядов:
Если Ьо не равно нулю, то мы можем представить это частное в виде:
По предыдущему, мы можем заменить правую часть произведением двух
сходящихся целых рядов. Следовательно, мы можем представить даннэе
частное в виде целого ряда, сходящегося при значениях х, достаточно
близких к нулю:
ап 4- а, х 4- а, х2 4- . .. . . , ,
Освобождаясь от знаменателя и сравнивая коэфициенты при одина-
одинаковых степенях х в обеих частях, мы получим формулы:
а, = *ося+ V«-i+ -v+Vo (» = 0. !- 2,,..);
из них мэжно определить последовательно коэфициенты с0, с,, .., сп.
Следует заметить, что эти кээфициенты будут те же самые, какие мы
получили бы, деля первый ряд на второй по обыкновенному правилу
деления многочленов, расположенных по возрастающим степеням лг. .
Если t0 =г 0, то результат будет иной. Предполэжим для бочьшей
общности, что ф (х) = xk <{>j (лг), где k — целэе полэжительное число,
а ф3 (л:) — целый ряд, постоянный член которого отличен от нуля. Мы
можем написать:
По предыдущему имеем:
Vj \х)

7? ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 179—180
отсюда
Таким образом частное этих двух рядов равно сумме рациональной
дроби, обращающейся в бесконечность только при х = 0, и целого
ряда, сходящегося в некотором промежутке около значения х = 0.
Примечание. При вычислении различных степеней целого ряда удобно
поступать следующим образом. Взяв логарифмические производные от обеих
частей тождества
и освободившись от знаменателей, мы придем к новому тождеству:
т (а, + 2а& + . • • + nanx*-i + .. .)(cQ + clX+...+спх*+...) =
= (ao+alx+... +
..) = л
Легко найти коэфициенты при различных степенях х в обеих частях преды-
предыдущего тождества; сравнивая между собою коэфициенты при одинаковых степе-
степенях х, мы получим ряд равенств, из которых можно последовательно определить
коэфициенты с{, сь ... , сп, ... , если известен первый коэфициент с0. Но, оче-
очевидно, с0 ¦=. а™ .
180. Разложение — . Найдем разложение — —- по
у\ —2xz-±-zi у 1 - 2хг + г*
степеням г. Полагая у = 2xz — г*, имеем при | у | < 1:
или
'1 + ^=^2 + 4 (а« - *)* + • ¦ • C0)
2 8
Собирая члены с одинаковыми степенями z, мы получим разложение вида:
где
Рп есть многочлен я-й степени по х. Эти многочлены могут быть определены
последовательно из рекуррентной формулы. В самом деле, диференцигуя фор-
формулу C1) по г, имеем:
X — Z
A— 2хг+ г2)т
на основании формулы C1) последнее равенство можно представить в виде:
(х-
Сравнивая коэфициенты при z" в обеих частях, мы получим рекуррентную
формулу:
(я + 1) Рп+ , = Bn + l)xPn-nPn.L.

§ 180-181 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 78
Эта Формула тождественна с формулою, связывающею три последовгге^ных
^|а 4"-'ri j /t. ос\. ,.-,л»»п т-/лгг\ «ы rhпели, ЧТО /*^о:==г 0 * * ~"~ * *
..4.^.*»+-.., C2)
1
где
есть л-й полином Лежандра:
1
1)")-
л* —2-4-6... 2л <?*"'
Ниже мы увидим, в каком промежутке применима формула C2).
Ш. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ,
181. Область сходимости. Рассмотрим сначала целый ряд
C3)
^¦¦¦runuTu л которого положительны и где
все коэфициенты я кшиуши
сами имеют положительные значения. Ясно, что если .
пои системе положительных значений Хо, Го, то он оуд
S всякой системе значений (X, К , для которой Х<Хо. ^< ^о • ™
оборот если ряд C3) расходится при значениях ^0, Го, то он и по
давнэ будет расходиться, если у
одновременно Х^Х0, У^>До •
Другими словами, если ряд F6)
сходится в точке М, располо-
расположенной в пределах угла XOY, то
он сходится во всех точках вну-
три и на сторонах прямоуголь- Ц
ника OPMQ (черт. 30); наобо-
наоборот, если ряд расходится в точке
М то он расходится во всякой
точке, расположенной внутри и
или на сторонах прямого угла
,« члекы р«я.
точка я удаляется от
моднтс, „ всякой точке
расходится во всякой точке полупрямой ML за точкой т .
ТТсть ,„««* к»Ф»«*я, прямой 01, то .бсшсс, ¦»,_»« Р«»н«

74 ГЛАВА IX ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 181
В частности, может случиться, что точка М совпадает с началом ко-
координат; тогда ряд C3) расходится во всякой точке, не лежащей на
какой-либо из осей ОХ или ОУ. Если точка М находится в бесконеч-
бесконечности, то ряд C3), наоборот, сходится, каковы бы ни были X и У,
т. е. в пределах всего угга XOY.
Оставляя в стороне эти крайние случаи, мы можем сказать, что на
каждой полупрямой OL, расположенной в пределах угла XOY, имеется
точка М, расстояние которой от начала координат изменяется непре-
непрерывно вместе с угловым коэфициентом X этой прямой. В самом деле,
пусть будет 01) — полупрямая, близкая к OL (черт. 30>. Ряд C3), схо-
сходящийся во всякой точке о > резка ОМ, сходится также в любой точке
внутри прямоугольника OPMQ и, следовательно, в любой точке отрез-
отрезка OR. Наоборот, так как ряд C3) расходится во всякой точке ML,
•то он расходится также и во всякой точке SL'. Пограничная точка М'
полупрямой OU есть, следовательно, одна из точек отрезка RS, и от-
отсюда мы заключаем, что эта точка М! стремится к совпадению с точкой
М, когда OU стремится к совпадению с OL. Когда полупрямая OL,
вращаясь около точки О, описывает угол ХОУ, точка М описывает не-
некоторую кривую Г, которая разделяет этот утоп ХОУ на две различные
области: внутреннюю область J и внешнюю Е. Точка т принадле-
принадлежит области J, если она расположена между началом координат и
пограничной точкой М прямой От, в противном случае она принадле-
принадлежит области Е. Из самого определения этой кривой Г следует, что ряд
C3) сходится во всякой точке области J и расходится во всякой
точке области Е. В точках пограничной кривой Г ряд может быть
сходящимся или расходящимся.
Эта пограничная кривая Г может иметь весьма различную форму
в зависимости от ряда C3). Из приведенного выше рассуждения следует
лишь, что ордината точки этой кривой не может возрастать при возра-
возрастании абсциссы, и обратно. Чтобы видеть, что происходит, когда OL
стремится к ОХ, достаточно заметить, что абсцисса точки М не может
при этом убывать, а ордината этой точки не может возрастать; следова-
следовательно, у стремится к некоторому пределу, между тем как х может либо
стремиться к пределу, либо возрастать неограниченно. Следовательно,
кривая Г либо примыкает к некоторой точке А оси ОХ, либо имеет
асимптоту, параллельную ОХ; этой асимптотой может быть и сама ось ОХ.
Заметим, что если кривая Г примыкает к точке А оси ОХ, то ряд C3)
не будет непременно расходящимся во всякой точке оси ОХ за точкой А.
Ясно, что все это применимо также и к оси ОУ.
v-1 X^Y*
Примеры. 1. Ряд > М ,д сходится, если одновременно X< а, У<_Ь,
и только в этом случае; сумма его равна
М
Кривая Г образована здесь двумя сторонами прямоугопьника, параллельными осям.

§ 181—182 III. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
75
,(m + n)\Xmyn_
М
1— —
2. Двойной ряд
X У
сходится, если мы имеем —i- -т-< 1. Кривая Г есть в данном случае отрезок
прямой, заключенный между осями OX, OY.
6. Двойной ряд ZAmnXmynt Где Атт — 1, а Атп = 0 (для тфп), сходится
лишь в том случае когда ХУ< 1. Кривая Г представлена ветвью гиперболы,
имеющей асимптотами оси координат.
4. Ряд
где индексы от и л изменяются от 1 до +оо, сходится внутри того же прямо-
прямоугольника, что и ряд, приведенный в первом примере, и, све х того, во всех точ-
точках осей ОХ и ОУ. Когда полупрямая OL стремится к ОХ, точка М прямой OL
стремится к точке с абсциссой а, лежащей на ОХ, между тем как пограничная
точка ОХ находится в бесконечности.
5. Ряд ?я! ХпУп расходится во всех точках, не принадлежащих осям коор-
координат.
182. Свойства целых рядов. Возьмем теперь целый ряд с произволь-
произвольными коэфициентами
i
и пусть Атп = \атп\, Х=\х , К—|_у|. Ряд C3), составленный из
абсолютных величин членов ряда C4), сходится, если точка с коорди-
координатами X, Y находится в области J, которую мы только что определили,
и притом только в этом случае. Сле-
Следовательно, рядC4)абсолютно схо-
сходится, если точка с координатами
(х, у) принадлежит области D, огра-
ограниченной четырьмя кривыми, рав-
равными пограничной кривой Г, причем
одна из них есть сама кривая Г,
а остальные являются симметричными
ей относительно осей координат
(черт. 31).
В точке, внешней по отноше-
отношению к области D и не лежащей на
осях, ряд C4) не является абсолют-
абсолютно сходящимся. Мы не можем пре-
преобразовать этот ряд в сходящийся,
в каком бы порядке мы ни располо-
расположили его члены. В самом деле, пусть
будут лго,_уо — координаты точки,
внешней по отношению к D и не
лежащей на осях; абсолютная величина общего, члена ряда
не может быть ограничена. Действительно, если бы мы имели

76 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ § 182
каковы бы ни были тип, где М — постоянное число, то общий член
ряда C3) был бы меньше, чем
Хтуп
Лл
Г I I V I
хо\ \Уо I
т. е. меньше общего члена ряда, сходящегося при Х<С\хо\, У<Ц\уо\-
Таким образом точка с координатами >хо\, \уо\ не может быть внеш-
внешней относительно кривой Г, а следовательно, точка (хо,уо) не может
быть внешней по отношению к области D. В точках кривой, ограничи-
ограничивающей эту область, ряд C4) может быть сходящимся или расходящимся
подобно ряду C3).
Пусть будут a, b — координаты точки области D, внутренней отно-
относительно угла хОу. Ряд C4) равномерно сходится внутри прямоуголь-
прямоугольника ММ'М'М1", образованного четырьмя прямыми х = ±а> y = irb,-
и, следовательно, F(x, у) есть непрерывная функция переменных х и у
в этом прямоугольнике. Отсюда следует, что F(x,y) есть функция, не-
непрерывная в любой точке области D; в самом деле, где бы мы ни взяли
точку т в этой области, ясно, что мы можем найти другую точку М,
такую, что т оказывается внутри прямоугольника, аналогичного прямо-
прямоугольнику ММ'М'М'".
Диференцируя почленно ряд C4) по переменному х или по перемен-
переменному у, мы получаем два новых ряда:
C5)
которые имеют mv оке самую область сходимости, что и ряд C4).
Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что ряд
т,п
например, имеет ту же пограничную кривую Г, что и ряд C3).
Доказательство, совершенно аналогичное доказательству § 174, со-
состоит из двух частей:
1. Если ряд ^тАт„Хт~гУп сходится, то это имеет место и в отно-
отношении ряда ^1^т„Хт~1Уа, а следовательно, и в отношении ряда C3).
2. Обратно, если ряд ^A^X^Y^ сходится, то ряд ^1mAmnXm-'iYa
сходится при Х<1Х0, У<У0.
В самом деле, допустим, что, каковы бы ни были т и п,
отсюда мы получаем неравенство:
^ [ У\п

§ 182 III. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 7?
и правая часть есть общий член сходящегося двойного ряда, сумма ко-
которого равна
М 1
Если мы расположим оба ряда F(x, у) и F^ix, у) по возрастающим
степеням х, то, рассматривая у как постоянное, мы получим два ряда,
целых относительно х, и в силу способа, которым второй ряд получен
из первого, мы имеем:
Таким же образом мы находим:
И, вообще, ряд C4) можно произвольное число раз диференцировать
iF
почленно в области D. Так, частная производная равна сумме
двойного ряда, у которого постоянный член есть т\ п\ атп; коэфи-
циенты ат„ представляют, следовательно, с точностью до числовых
коэфициентов значения частных производных функции F(x,y) при
х=у = 0, и формулу C4) можно переписать еще так:
что, кстати сказать, показывает, что функция двух переменных может
быть разложена в целый ряд лишь единственным способом. Если мы
сгруппируем вместе все члены двойного ряда одинаковой степени отно-
относительно х и у, то мы получим обыкновенный ряд:
¦¦¦+<?„+¦¦-, (ЗЛ
где (рч есть однородный многочлен степени п относительно лг, у, кото-
который можно символически представить так:
это разложение, следовательно, тождественно с тем, которое дается
формулой Тейлора (§ 27).
Пусть будут (л:0, у0) координаты точки области D, а г, р — коорди-
координаты такой точки кривой Г, что | лг0 |<>, \уо\<С?- Возьмем в D близ-
близкую точку (лго-)-А, yo + k), для которой
Внутри прямоугольника, образованного четырьмя прямыми
х = хо±[г—\хо\], У=У0±\р — \Уо\Ъ

78 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ § 182-18
функция F(x,y) может быть разложена в целый ряд, расположении]
по степеням х— лг0 и у—у0:
В этом можно убедиться, заменяя каждый член двойного 'ряда
его разложением по степеням h и k и замечая, что новый кратный ря;
сходится абсолютно в тех предположениях, которые были сделаны. Рас
полагая этот новый ряд по степеням h и k, мы и придем к фор
муле C6).
Предыдущие рассуждения и теоремы легко распространяются ш
целые ряды с произвольным числом переменных. Пусть мы имеем целы*
ряд с п переменными х^, лг„, ... , хп; существует, вообще, бесконечно
много призматоидов, определяемых, например, условиями:
внутри которых целый ряд F(x1, х2, ... , хп) сходится абсолютно. Он
представляет функцию, непрерывную в этой области, и его можно про-
произвольное число раз диференцировать почленно.
183. Усиливающие функции. Пусть дан какой-нибудь целый рял
f(x,y, z,...) с л переменными. Ряд <р(лг, у, z, ...) с я переменными
называется по отношению к первому усиливающим или мажорантой
если каждый коэфициент ряда <р (лг, у, z, . .. ) положителен и больше
абсолютной величины соответствующего коэфициента ряда f(x, у, г, ...),
В сущности доказательство теоремы в § 182 уже было основано на
применении усиливающей функции. В самом деле, если ряд 2 1атпхтУ I —
сходящийся при х = г, у = р, то функция
где М больше каждого из коэфициентов ряда J] | атпхтуа \, есть уси-
усиливающая функция для ряда ^атпхтуп. Функция
... М
ф (х, у) = —
может быть также принята за усиливающую функцию для данного двой-
двойного ряда; в самом деле, коэфициент при хтуп в фрс, у) равен коэфи-
I х у\т+п
циенту при хтуп в М I 1 I и, следовательно, никак не меньше
соответствующего коэфициента в <р (х, у).

§ 183 lib ЦЕЛЫЕ РЯДЫ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 1$
Точно так же, если нам дан тройной ряд
абсолютно сходящийся при x = r, y = i', z = r", где г, г', f — поло-
положительные числа, то этот тройной ряд допускает как усиливающую
функцию выражение вида:
. . М
которое можно также заменить любым из следующих выражений:
ММ
Если ряд f(x, у, г) не содержит постоянного члена, то за усиливаю-
усиливающую функцию для него можно также взять любую из предыдущих
функций, уменьшенную на М.
Теорема о подстановке целого ряда в другой целый ряд (§ 178) мо-
может быть распространена на .ряды со многими переменными. Если
в сходящемся целом ряде с р переменными уг,у2, ¦•• >УР мы заме-
заменим эти переменные их разложениями в сходящиеся целые ряды с q
переменными xv х2 xq, не содержащими постоянных членов, то
результат такой подстановки можно преоставить в виде сходяще-
сходящегося целою ряда, расположенного по степеням переменных хг,
х2, ... , х , если только абсолютные величины этих переменных бу-
будут меньше некоторых пределов.
Так как ход доказательства не зависит от числа переменных, то мы
ограничимся рассмотрением следующего частного случая. Пусть будет
Р(У,г)=^атпГг- C7)
целый ряд, сходящийся, если |.у|^/?, |г| <;/?'. С другой стороны,
пусть будут
.. -f спхп
;;;•} (зв)
два ряда, не содержащие постоянных членов и сходящиеся, если абсо-
абсолютная величина переменного х не превосходит р. Подставим в ряд C7)
вместо у и z их разложения C8). Так как эти разложения сходятся
при |.*Kp> то каждое из произведений утги ряда C7) может быть
разложено в целый ряд по лг, также сходящийся при |Jf|<^p. Таким
образом, заменяя в ряде C7) каждое из произведений У"гп его разло-
разложением в целый ряд по #, мы получим тройной ряд, все коэфициенты
которого получаются из коэфициентов amii, Ь , сп только при помощи
сложений и умножений. Нам нужно доказать, что если переменное х
не превосходит некоторого гредела, то этот тройной ряд будет абсо-
абсолютно сходящимся, и, следоЕательно, его можно будет расположить по

ГЛА6А IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ
§ 183—184
возрастающим степеням переменного х. Прежде всего очевидно, что за
усиливающую функцию для F(y, г) можно взять функцию
М
Ф (у, г) ¦-
-S *(*)"(?)¦•
C9)
а за усиливающую функцию для обоих рядов C8) — выражение вида:
... х
NT
\
х
1 —
D0)
Любой член рассматриваемого тройного ряда по абсолютной вели-
величине меньше соответствующего члена тройного ряда, который таким
же способом получен из двойного ряда
М (^-?_4_/У^4- Y(N'X N'X2 ХП
S.
\
где Х = \х\. Для сходимости этого тройного ряда достаточно, чтобы
сходился двойной ряд
гх_
г
М
т. е. чтобы было одновременно:
Х<г7Г-ГТт
Примечание. Если ряды C8) содержат постоянные члены *0 и сй, то тео-
теорема будет верна и в этом случае, если только | ?>0 | < /?, ) с0 [</?'. В самом деле,
мы можем заменить разложение C7) разложением по степеням у — 60 и г — со
(§ 18^) и таким обризом придем к предыдущему случаю.
IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ.
184. Неявная функция одного переменного. Мы уже установили
(гд. Ill, § 32 и след.) существование неявных функций при определен-
определенных условиях относительно депрерывности. В тех случаях, когда левые
части данных уравнений разложимы в целые ряды, мы можем притти
к более определенным выводам.
Пусть будет F{x, у) =д= 0 уравнение, левая часть которого может
быть раможена в сходящийся ряд, расположенный по степеням
х — Xq, у — у$, причем этот ряд не содержит постоянного члена,
и коэфициечт при у—у0 отличен от нуля. При этих условиях
уравнение F(x, >)==0 имеет, один и только один корень, стремя-
стремящийся к у0, когда х стремится к .х0, и этот корень может быть
разложен в целый ряд, расположенный по степеням х — лг0.

§ 184 IV. НЕЯбНЫЕ ФУНКЦИИ 81
Для упрощения вычислений предположим, что л:о = .уо = О, что рав-
равносильно перенесению начала координат в точку (л;0, у0)'.
Выделив член с первою степенью у и перенося его в другую часть,
мы можем представить данное уравнение в виде:
У =/(*> У) = <*wx + а2о*2 + <Н\ХУ + W2 + • • • . D1)
причем степень последующих членов будет выше второй. Покажем сна-
сначала, что формально мы можем удовлетворить уравнению D1), заме-
заменяя у рядом:
\ +f.. D2)
и поступая с этим рядом так, как если бы он был сходящимся. В самом
деле, сделав подстановку и сравнивая коэфициенты при х в обеих ча-
частях уравнения, мы получим условия:
— аю> сг
вообще, сп выразится только при помощи сложений и умножений через
коэфициенты аА, где i-\-k^n, и через предыдущие коэфициенты сЛ,
С2> ••• ! сп-\- Таким образом мы будем иметь:
где Рп есть многочлен, все коэфициенты которого суть целые положи-
положительные числа. Чтобы все предыдущие действия были возможны, нам
остается доказать, что полученный таким образом ряд D2) будет схо-
сходящимся при достаточно малых значениях переменного х. Для доказа-
доказательства мы воспользуемся одним весьма общим приемом, основная
мысль которого принадлежит Коши; этот прием основан на применении
усиливающих функций.
Пусть будет HXY)^b
усиливающая функция для функции /(х,у), причем bo0 = b01 = 0, и
каждый из остальных коэфициентов Ьтп положителен и не меньше
I amn I • Рассмотрим вспомогательное уравнение
К=<р(*, У) = ЪЬтпхтГ> D1')
и попытаемся удовлетворить этому уравнению, приняв за Y целый
ряд по х:
У= Сгх + С2*'.+ ... + С„х« + ... D2')
Как и выше, мы найдем для коэфициентов Сг, Сг, ... значения:
С1==*10) С2 = Ью + Ьп
и, вообще,
Так как все коэфициенты многочлена Рп положительны, и | amn \ ^bmn,
то из соотношений D3) и D3') непосредственно видно, что \сп\<^Сп. Сле-
Следовательно, если ряд D2') — сходящийся, то и ряд D2) также будет
6 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.

82 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 184
сходящимся. Но за усиливающую функцию <р (х, Y) мы можем взять
выражение вида:
где М, г, р — положительные Числа. Тогда вспомогательное уравне-
уравнение D1'), по освобождении от знаменателя| примет вид:
у, ?V | W х -о
jW^p + M г— х
Это уравнение имеет один корень, равный нулю при лг=О, именно:
, Г
Полагая
мы можем представить подкоренное выражение в виде:
и тогда получим:
Отсюда видно, что этот корень К. разлагается в промежутке (—а, -\-а)
в сходящийся ряд. Это разложение должно быть тождественно с тем,
которое получается при помощи непосредственной подстановки, т. е.
с разложением D2'); следовательно, ряд D2) и подавно сходящийся
в промежутке (—а, -(-а). Нужно, однако, заметить, что этот промежу-
промежуток есть лишь нижняя граница- промежутка сходимости, который может
быть в действительности значительно шире.
Из самого способа получения коэфициентов сп очевидно, что
сумма у ряда D2) удовлетворяет уравнению D1). Представим уравнение
F(х,у) —0 в виде F(x, y)=y—f(x,у) = 0; пусть будет у = р(х)
корень, который мы выше получили. Сделаем в F(x, у) подстановку
y = P\x)-\-z и расположим результат подстановки по степеням х и z.
Все члены должны делиться на z, так как этот результат должен быть
равен нулю, если z = 0, каково бы ни было значение переменного х;
следовательно, мы будем иметь тождественно:
причем Q (х, г) есть целый ряд по х и г. Заменяя теперь в Q (х, г)
переменное г через у — Р(х), мы получим тождество:

§ 184-185 IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 83
Так как коэфициент при у в F(x, у) равен единице, то постоянный
член в Qj (л;, у) также должен равняться единице, и мы можем предста-
представить предыдущее тождество в виде:
.:]. D4)
Это разложение F(x, у) на произведение двух множителей было дано
Вейерштрассом. Оно выделяет корень у — Р (х) уравнения F(x,y) = 0
и, кроме того, показывает, что уравнение F(x, _y) = 0 не имеет другого
корня, стремящегося к нулю вместе с х, так как второй множитель не
стремится к нулю при приближении х и у к нулю.
Примечание. Чтобы последовательно определить коэфициенты в разло-
разложении D2), напишем данное уравнение в виде:
у = Ахп + хуФ(х,у)-{ ?*« + »+¦ ... +?>>2-Н ..., (АфО), D1")
где Ф(х,у) представляет целый ряд поле к у, и где ненаписанные члены
образуют целые ряды, соответственно, по х и по у, из которых один делится
на x"+i, а другой на у*. Первый член искомо-о ряда есть Ахп; полагая
у^=х"(А-\- г), мы получим, разделив обе части урзвнения D1") на х", уравнение
того же вида:
г = A{x"i f хгФ1 (х, г) f ... ;
первый член разложения для г есть А^х1^, следовательно, второй член в разло-
разложении у есть AfX"*"*: ясно, что этот процесс можно продолжать неограниченно *.
185. Общая теорема. Рассмотрим теперь систему р уравнений с р -\- q
переменными:
F1 (xr х2, ... , хд; yv у2, ... , ур) = 0, )
F2 (хг, х2, ... , xq; yv y2,. . , ур) = О, I D5)
Fp(xv х2, ... , xg;yv у2, ..., Ур) = 0. )
Предположим, что функции Flt F2, ... , Fp будут равны нулю при
xl=yk = 0(i= 1, . .., q; k=\,.:., p), и что они разлагаются в це-
целые ряды вблизи этих значений переменных; кроме того, предположим,
D(F F F )
что при xt — yk=0 функциональный определитель ' а-—2> '' *'—р
не равен нулю. При этих условиях уравнения D5) имеют одну и
только одну систему, решений вида:
уг = уг(х1,х2, ... ,.Хд), ... , ур = Чр(х1,х2, ... , xq),
где <fj, ср2, ... , ур суть целые ряды по xltx2, ... , xg, обращающиеся
в нуль при х1 = х2=...=х=0.
Мы ограничимся для простоты случаем двух уравнений между двумя
функциями к и г» и тремя независимыми переменными х, у, z:
F1=au -\-bv -f cx-\-dy+ ez-\- ...-=0, \
...=0. )
F2 = а1 и -f- b'v 4- c'x 4 d'y 4- <*z.
* Получив некоторое число членов, можно при помощи деления удвоить
число членов [См. статью „Sur le developpement en serie entiere d'une branche de
fonction implicite" (Nouvelles Annales de mathematlques, 1904)].
6*

84 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § $85
Так как определитель al' — Ьа\ по предположению, не равен нулю, то
уравнения D6) можно заменить двумя уравнениями вида:
! D7)
где Правые части не содержат ни постоянных членов, ни членов первой
степени по и и г». Как и выше, можно доказать, что этим уравнениям
можно формально удовлетворить, взяв за и и г» целые ряды по д:, у, z:
« = 2 сшхУкг:'' v = 2 с' M*W D8)
причем коэфициенты см>сш выразятся через коэфициенты amnp4r,.bmnpqr
при помощи одних только сложений и умножений. Чтобы доказать схо.-
димость этих разложений, нужно и здесь сравнить их с аналогичными
разложениями, получающимися при решении двух вспомогательных урав-
уравнений):
„ ,, М
1 —
где М, г, р — положительные числа, значения которых были указаны
ныше. Эти два вспомогательных уравнения приводятся к одному урав-
уравнению второй степени:
x+y-\-z
/Ир2
2р ^- 4/ИТ2р + 4/И x-\-y-\-z
= 0.
Это уравнение имеет один корень, обращающийся в нуль при
х ~y = z — 0, именно:
4(р+2Ж)
где
а —
\ р -(- чм i
а ,
Если абсолютные величины переменных х, у, z не превосходят -^
то этот корень разлагается в сходящийся целый ряд. Следовательно,
ряды D8) также будут сходящимися между этими пределами.
Пусть будут «j и v-у решения уравнений D7), разлагающиеся в це-
целые ряды по х, у, z. Полагая и = и1-|-и') v = v1-\-v>, подставим эти
значения и и v в уравнения D7) и расположим результат по степеням
X, У, z, и', v'. При этом все члены должны иметь множителей и' и ь1;

§ 185-186 IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 85
следовательно, возвращаясь к переменным х,у, z,u,v, мы можем пред-
представить наши уравнения в виде:
+(г»-У1)<Р=0, >
где /, (р, /j, <Pj — целые ряды по х, у, г,-и, v. Таким образом решения
и ¦=¦ uv v = fj отделены; но, кроме того, ясно, что уравнения Fz = О,
/^ = 0 не имеют других решений, обращающихся в нуль при х=у =
= z = 0. В самом деле, всякое другое решение уравнений D7)'должно
обращать в нуль/^—у/г; но, сравнивая уравнения D7) и D7)', мы
видим, что постоянный член в / и (р2 равен единице, а в /j и (р—•
нулю. Следовательно, мы не можем удовлетворить уравнению /<ра —/j<p == 0,
взяв для и и v функции, обращающиеся в нуль при x=y = z = 0.
186. Формула Лагранжа, Рассмотрим уравнение
D9)
и предположим, что функция <р(у)может быть разложена в ряд по возраста-
возрастающим степеням у—а, сходящийся, если абсолютная величина разности у — а
не превосходит некоторого предела:
По общей теореме § 184, уравнение D9) имеет один и только один корень,
стремящийся к а, когда х стремится к нулю. При достаточно малых значениях х
этот корень может быть представлен суммою сходящегося целого ряда:
у = а + а^х + а2д^ + • • •
Вообще, пусть будет f(y) функция от у, разложимая в ряд по положитель-
положительным степеням разности у — а. Заменяя в ней у предыдущим разложением, мы
получим для /(>) разложение по степеням х, сходящееся при значениях х, за-
заключающихся в некоторых пределах:
Формула Лагранжа дает выражения коэфициентов Аь Аь ... , А„, ... в функ-
функции от а. Заметим, что эта задача есть не что иное, как случай общей задачи
Коэфициент Ап равен я-й производной от/(у) при х = 0, деленной на я!, при-
причем у определяется уравнением D9); очевидно, что эту дроизводную можно вы-
вычислить при помощи известных нам правил, Вычисление кажется сложным, но
его можно значительно сократить, воспользовавшись следующими указаниями
Лапласа (см. упр. .8, гл. II) Дцференцируя уравнение D9) по х и по а, мы по-
получим для частных производных от у следующие формулы:
[1 - *?' (v)l ^ = ? СУ). [1 - * ?' Ш г=1'
дх да
нодзг«я ,и^=/(у), из предыдущих формул будем иметь:
да . ди ....
дх да
С другой стороны, пусть будет F(y) какая-нибудь функция от у. Легко убе-
убедиться непосредственным диференцированием, что
с- \F(y)~I =— к(>)-1; E1)
да

?6 ГЛАВА 1У. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 186
в самом деле, диференцируя правую и левую часть, получим в обоих случаях
да дх да дх
Докажем, что при всяком целом числе п имеет место формула:
дпи
дх"
i дп-l Г
¦¦ = -— <р
На основании E1), эта формула верна при я = 1. Чтобы доказать ее общ-
общность, предположим, что она верна при каком-нибудь частном значении чиса "
Тогда мы будем иметь:
д" Г йи"
I ? \У) —
Ъап~$х L <>a
Но на основании соотношений E1) и E1)' получаем:
д
да
следовательно,
дп Г йи~|
да" I да}
Таким образом эта формула верна при всяком я.
Предположим теперь, что * —0. Тогха у обратится в а, и—в/(а), и я-»
производная от и по х будет равна:
/*!?\_ ^ii[?(a)(I/»(e)].
\одгп/ о da"- *
Таким образом разложение /(>¦) по формуле Тейлора будет иметь вид:
/ О') =/(«О+*»(«)/'(а)+ Г7>
Это — известная формула Лагранжа. Она дает разложение корня у, стремяще-
стремящегося к в, когда х стремится к нулю. Ниже мы увидим, между какими пределами
эта формула применима.
Примечание. Из общей теоремы следует также, что корень у, рассма-
рассматриваемый как функция от х и а, может быть представлен двойным рядом, рас-
расположенным по степеням х и а. Этот ряд можно получить, заменяя каждый из
коэфициентов Ап его разложением по степеням а. Отсюда следует, что ряд E2)
можно диференцировать почленно по параметру и.
Примеры. 1. Уравнение
У^а + ~(у°--1) E3)
имеет корень, равный а при х — 0. Разложение этого корня по формуле Ла-
Лагранжа будет:
1 /х\п dn-ijai— \)n ' *¦ •*
'••+ 1-2.,.п \ 2/ - da"-i

§ 186-188 IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 87
С другой стороны, решая уравнение E3), мы найден для его корней выра-
выражение:
y=j±j j/l—
Чтобы поучить корень, равный а при * = 0, должно взять знак минус. Ди-
ференцируя обе части уравнения E4) по переменному а, мы придем к фор нуле,
отличающейся от полученной выше формулы C2) (§ 180) только обозначении.
2. Известное в астрономии з равнение Кеплера (Kepler) для эксцентрической
аномалии и
и = а + е sin и E5)
имеет корень и, равный а при е — 0. Разл «кение этого корня по формуле Ла-
Лагранжа при е, близком к нулю, будет иметь вид:
Лаплас первый доказал при помощи весьма искусных приемов исследований,
что предыдущий ряд — сходящийся, если е меньше 0,662743...
187. Обращение функций. Пусть будет
у — а{х -f- а2 дЗ -j- ... -}- а„хп -f- ... E7
ряд, сходящийся в промежутке ( — г, + г), причем первый коэфициент at не ра-
равен нулю. Будем рассматривать в уравнений E7) у как независимое переменное
ад:— как функцию от у. По общей теореме (§ 184), это уравнение имеет оЯин
и только один корень д:, стремящийся к нулю вместе с у, и этот корень разла-
разлагается в ряд, расположенный по степеням у:
Коэфициенгы /ь Ьь Ь3,... можно определить последовательно, заменяя
в формуле E7) х его разложением E8) и приравнивая коэфициенты при одина-
одинаковых степенях у. Таким образом получим:
1 1
Общее выражение коэфициентов Ъп мы можем также получить при помощи
формулы Лагранжа. В самом деле, полагая
мы можем представить уравнение E7) в виде:
. J
Отсюда по формуле Лагранжа получим разлокен.:е корня х, обращающегося
в нуль вместе с у:
x-v—A- |
\ (
1-2 ... nldxn-i Ц{х)
причем указатель 0 показывает, что после дифер1нцирований должно заменить
х нулем.
Предыдущая задача известна также под именем задачи об обращении рядов.
1S8. Аналитические функции. В последующем мы будем называть
аналитическою фуннциею всякую функцию от любого числа "независи-
"независимых переменных х, у, z,..., которая вблизи системы значений
х0, уи, z0, ... может быть разложена в целый ряд, расположенный пи

88 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 188
степеням х — х0, у—у0, г — z0, ... , — сходящийся, пока абсолютные
величины этих разностей не превосходят некоторых пределов.' Значения
х0, у0, z0 могут при этом подлежать известным ограничениям, на которых
мы здесь не будем останавливаться. Из всего изложенного в этой главе
следует, что эти функции, так сказать, происходят одни из других.
Если даны одна или несколько аналитических функций, то интегри-
интегрирование или диференцирование, алгебраические действия умножения,
деления, подстановки одно;Й функции в другую и т. д. приводят к но-
новым аналитическим функциям. Точно так же решение уравнений, левые
части которых — аналитические функции, приводит к аналитическим функ-
функциям. Так как простейшие функции — многочлены, показательная и
круговые функции — суть функции аналитические, то отсюда понятно,
почему первые функции, которыми стали заниматься математики, должны
были быть аналитическими. Важное значение этих функций уяснится
еще более при изучении функций комплексного переменного и диферен-
циальных уравнений. Однако, несмотря на основное значение аналити-
аналитических функций, не должно забывать, что они составляют лишь очень
частную группу среди всех непрерывных функций*.
* Пусть будет/(*) непрерывная функция, допускающая в интервале (а,Ь) непре-
непрерывные производные всех порядков. Если эти производные удовлетворяют условию
i j *¦¦> v-v > ^ - z- , (A)
где М и p—два положительных числа, не зависящих от х, то1 функция f(x) ана-
аналитическая. В самом деле, пусть хп и х — две произвольнее точки интервала (а, Ь);
если разложить разность f(x)—f{x^i по степеням х — х0, согласно формуле Тей-
Тейлора (§ 18), то остаток Rm будет в силу условия (А) по абсолютной величине
меньше, чем М- ^р , и следовательно, стремится к нулю при неограни-
неограниченном возрастании п, если х заключен между дг0 — р и дг0 4-р.
¦ Обратно, во II томе будет доказано, что условие (А) необходимо, чтобы
функция была аналитической.
С. Н. Бернштейн недавно доказал (Math. Ann., Bd. 75, 1914, S. 449) следу-
следующую замечательную теорему:
Если все производные неограниченно диференцируемой функции у(х) по-
положительны в инт реале (а, Ь), то функция является аналитической в этом
интеркале.
Предположим, что а < Ь; пусть дг0 н х > хЛ будут два любых значения в этом
интервале. Так как все производные функции <р(лг) положительны, то сама функ-
функция и все ее производные возрастают. Поэтому мы получаем последовательно
неравенства:
f («-*) (х) > f W (хв) (х - х»), f Oi-й (*)_> г W (хп) (ЛГ~*оJ , ...
?р - ? С*)
отсюда, обратно, получаем, полагая х = Ь:
где М обозначает йоложительное число ? (Ь) — <р (а). Отсюда следует, что, если
написать, согласно первой формуле Тейлора, разложение у (х) по степеням

§ 189 IV, НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 89
189. Аналитические кривые. В § 13 мы определили кривую как гео-
геометрическое место, описываемое точкой /И, координаты которой суть
непрерывные функции x=f(t), y = y(t), z = ty(i) параметра /, при
изменении этого параметра. Если f(t), <f(t), ty(t) суть аналитические
функции t, т. е. если эти функции в окрестности любого значения t0
переменного t, заключенного в каком-либо интервале (>, Ь), разложимы
по формуле Тейлора по степеням t —10, то соответствующая дуга кри-
кривой называется дугой анали пинеской кривой. Все наиболее употреби-
употребительные кривые, встречающиеся в приложениях, суть аналитические
кривые или составлены из конечного числа дуг аналитических кривых,
соединенных своими концами.
Пусть будут х0, у0, z0 координаты точки Мо, принадлежащей какой-
либо аналитической кривой, а х, у, z— координаты другой точки. М
той же кривой, близкой к Мо, Точка Мо называется обыкновенной точ-
точкой, если две из трех разностей х — л;0, у— у0, z — z0 могут быть
разложены в целые ряды, расположенные по степеням третьей, причем
оба эти ряда сходятся, если абсолютные величины этих разностей
остаются меньше некоторой границы h ]> 0. В противном случае точка Мо
называется особой точкой. Дуга аналитической кривой, не имеющая
особых точек, называется правильной.
Из самого определения аналитических кривых следует, что коорди-
координаты х, у, z точки М, близкой к точке Мо (х0, у0, z0), представляются
целыми рядами:
x = xo + a,(t-to)+...+an(t-to)*+...,
У^Уо + biP-tJ + •.. +М'-'о)л +.-•.. E9)
причем эти три ряда сходятся, если только \t — ^0| меньше некоторого
положительного числа г.
Для того чтобы точка Мо была обыкновенной, достаточно, чтобы
один из трех коэфициентов аг, Ьг, сг формул E9) не был нулем. Если,
например, аг не равен нулю,' то из первого из уравнений E9) мы нае-
наедем разложение t —10 по степеням х — х0 (§ 184) и, подставляя это
значение t —10 в остальные две формулы, мы получим разложения
у—у0, z — zQ по целым степеням х — х0. Обратно, в окрестности обык-
обыкновенной- точки УИ0 уравнения, определяющие аналитическую кривую,
могут быть представлены в форме E9), где по крайней мере один из
коэфициентов av Ьг, сг не равен нулю. В самом деле,"если, например,
У —Уо> z — zo Равны целым рядам по степеням х — х0, то достаточно
положить х — xo = t, чтобы притти к формуле вида E9), где мы бу-
х — xo = h, то абсолютная величина остатка Rn+i окажется меньше, чем
и этот остаток равномерно стремится к нулю, если только

90 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 18Э
дем иметь 0^ = 1.-Из этого замечания следует, что определение обык-
обыкновенной точки не зависит от выбора осей координат. В самом деле,
рассматривая кривую Г, получаемую из кривой С томографическим пре-
преобразованием, определяемым формулами
Х= lx -f tny -\-tiz + р",
определитель коих не равен нулю, мы имеем:
dX__ dx dy dz dY_.,dx dZ _ dx
~al~ldt+mdt~T~n at' ~dt~l ut+'~" ~dl~ d? + •-'
dX dY dZ
и производные — -, —, — не могут обращаться в нуль одновре-
одновременно при значении t0 переменного t, если все три производные
dx dy dz
—. -jr. — не равны также нулю при этом значении г*.
dt at at
Если все три коэфициента аг, Ьг, с^ равны одновременно нулю, то
точка Мо есть, вообще, особая точка. Возьмем, например, плоскую
кривую, определяемую уравнениями x = t2, y = t3. При ^ = 0 мы
имеем д1 = ?1=0. Начало координат есть в данном случае особая
2_
точка, так как из предыдущих уравнений мы находим х=у3, и, об-
ратно, у = х'2, и каждая из координат есть дробная степень другой
координаты,
¦ Возьмем, наоборот, плоскую кривую, определяемую уравнениями х = Р,
y = tk При < = 0 мы имеем попрежнему а1:=&1 = 0, и, однако, начало коорди-
координат не есть уже особая точка, так как мы имеем у = лЯ Нетрудно заметить, что
в этом последнем примере точке кривой соответствуют два различных значения
(± f) параметра.
Пусть будут хо,уо координаты точки Мо плоской кривой С, пред-
представляемой уравнением F(x, _y) = 0, левая часть которого может быть
разложена в целый ряд, расположенный по степеням х — х0 ну -—у0.
и iF ЪГ
Если обе частные производные — , — не равны одновременно нулю
оХ оу
при х = х0, у— у0, то MQ есть обыкновенная точка. В самом деле,
если, например, (г-) не равна нулю, то из уравнения /='=0 мы на-
\Ъу 10
ходим разложение^ — у0 по степеням х — л;0 (§ 184).
Точно так же пусть будут Jfo'-Vo'^o координаты точки Жо про-
пространственной кривой Г, представляемой системой уравнений:
,z) = 0, F1(x,y,z) = 0, F0)
* Нетрудно видеть, что это свойство распространяется на всякое обратимое
преобразование, определяемое аналитическими формулами.

§ 189-190 IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 91
левые части которых суть целые ряды относительно х— х0, у—у0,
z — z0. Эта точка Л10 есть обыкновенная точка, если функциональные
определители
D(x,y) ' D(y,z) ' D(z,x)
не обращаются одновременно в нуль при- х = х0, у=у0, z = z0.
D (F, F)
Если, например, определитель —}- не равен нулю в точке Мо ,
то из уравнений F0) можно найти разложения разностей х—х0 и
у — у0 в целые ряды, расположенные по степеням z — z0 (§ 185).
Изложенное аналогично тому, что мы имели в § 37 и 43, но полу-
полученные здесь результаты являются более точными, так как мы показы-
показываем, что неявные функции, о которых идет речь, суть аналитические
функции независимого переменного.
Примечание I. Рассмотрим, в частности, плоскую кривую С, для чего
мы последнее из уравнений E9) заменяем уравнением 2=0. Чтобы иметь пред-
представление о виде кривой вблизи точки Мо, достаточно заметить, что, при беско-
бесконечно малых значениях разности t —10, x — х0 и у—у0 имеют, соответственно,
знаки первых членов am(t — /e)m и bn(t — /0)« правых частей.
Допустим, что т^п. Если т нечетно (что всегда имеет место для обыкно-
обыкновенной точки), то кривая имеет обычный вид или представляет точку перегиба.
Если т четно, то кривая имеет точку возврата первого или второго рода.
Примечание II. Пусть Мв — обыкновенная точка плоской аналитической
кривой С; предположим, например, что у — у0 разложено по степеням х — х0:
У— yo = Ci (t — хе) + с2 (х —
Если касательная не параллельна оси Ох, то коэфициенг ci не равен нулю, и мы
можем, обратно, вывести из предыдущего соотношения разложение х — д0 по
степеням у— у0. Но это уже не будет так, если касательная в точке Мо парал-
параллельна Ох. В этом случае ci = Q, и разюжение у — у0 по степеням х — дг0 на-
чиьается с 11лена степени выше первой; мы уже не можем применить общую
теорему § 184. Из исследования, которое будет приведено в дальнейшем (т. И)
вытекает, что х — дг0 в этом случае может быть разложена по дробным степе-
степеням у—уо-
193. Двойные точки. Займемся опять исследованием плоской аналити-
аналитической кривэй С вблизи двойной точки. Если мы возьмем эту точку за
начало координат, то уравнение кривой будет иметь вид:
ах*+2Ьху + су* + <?3(х,у)-\-...=0, F1)
где коэфициенты а, Ь, с не равны нулю одновременно, а ненаписанные
члены образуют целый ряд относительно х и у, сходящийся в окрестно-
окрестности точки лг=.у = О. Допустим, далее, что оси координат выбраны так,
что с не равно нулю. На основании замечания, сделанного выше (§ 42,
сноска), уравнение F1) не может иметь более двух действительных
корней, стремящихся к нулю вместе с jc; в дальнейшем мы покажем,
что оно всегда имеет два корня и только два, действительных или мни-
мнимых, которые стремятся к нулю вместе с х. Мы легко можем найти
выражения этих двух корней, когда Ь2 — ас не равно нулю.
1. Пусть Ь2 — ае>0. Деля предыдущее уравнение на с, мы можем
переписать его следующим образом:
) = (У ах) (у - рх) f <о3 (х, у) -f ... = 0, F2)

92 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. § ДО)
где аир суть два различных действительных числа, Полагая
у = х{а + и),
мы можем расположить F [х, х (а -\- и)] по степеням х и и (§ 177); раз-
разделив на х2, мы получаем уравнение:
и(и + а~ рL-...=0, F3)
все ненаписанные члены которого равны нулю при х — 0. В силу об-
общей теэремы (§ 184) это уравнение имеет корень иг, обращающийся
в нуль вместе с х и разложимый по степеням х:
Уравнение F2) также имеет, следовательно, корень уг;
+ 2 + з ... , F4)
и таким же образом можно было бы убедиться в том, что это уравне-
уравнение имеет второй корень
.. F5)
Следовательно, через начало координат проходят две ветви кривой,
и для каждой из них, взятой в отдельности, начало координат является
обыкновенной точкой.
Повторяя рассуждения, приведенные в конце § 184, мы легко убе-
убеждаемся в том, что F(x, у) может быть представлена в виде произведе-
произведения трех множителей:
f(x, у) = {у—у,) (у -у2) (i + 'i* + <y +...); F6)
это разложение выявляет оба корня у^ и у2 уравнения F2) и, сверх
того, показывает, что это уравнение не имеет другого корня, стремя-
стремящегося к нулю одновременно с х.
2. Пусть Л2 — ас<^0. Мы знаем, что начало координат есть изоли-
изолированная двойная точка. Однако вычисления, которые только что были
нами намечены, могли бы быть применены и в этом случае, и мы при-
пришли бы к двум сходящимся рядам F4) и F5), формально удовлетворя-
удовлетворяющим уравнению F2), но с мнимыми коэфициентами. Следовательно,
уравнение F2) имеет в этом случае два мнимых сопряженных корня,
которые бесконечно малы вместе с х.
Предыдущий метод легко применяется также и к исследованию ана-
аналитической кривой вблизи кратной точки произвольного порядка р с раз-
различными касательными.
3. Пусть &2 — ас — О. Если за ось х взята касательная в дгойной точке, то
уравнение имеет вид:
>2 = А х* + Вх^у + Сху* + Dy* + ... F7)
Пусть будут и+ |/гГ ии— \/v два бесконечно малых корня. Если мы заме-
заменим у через и + \/v, то уравнение примет вид:
и* 4- 2и \/v-\- v— Ах* + Вх*(и +- ]/г>)-\-Сх(и + }/t>> + D (и + }/гГ)9 -(-...

§190-191 IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 93
Приравнивая нулю ряд, образованный членами, рациональными относительно
v, и коэфициент при yv, мы получаем для .определения и и о следующие два
уравнения;
v — — Ф ¦(- Ллг> -Н В&и + Cxtfi -H C.W + Du? + 3Duv + ) Fg.
К этой системе можно применить общую теорему § 185, и мы найдем, таким
образом, разложения и и v в ряды:
v — Ах* + ...,
F9)
начинающиеся с членов по меньшей мере третьего и второго порядка соответ-
соответственно. В общем случае пусть, будут
ряды, которые мы, таким o6t азом, получаем. Уравнение F7) имеет два бесконечно
малых корня:
у = ахр + ... ± \/bx4 + ...
Вид кривой зависит, прежде всего, от того, является ли q четным или не-
нечетным.
Первый случай. Пусть <? = 2r+l (r^sl). Допустим, кроме того, что &>0:
при значениях х, близких к нулю, ряд, стоящий под радикалом, имеет тот же
знак, что и Ьхч. Чтобы у было действительно, следует предположить х > 0, и оба
значения у представляются разложением в ряд, расположенный по степеням \/х.
Если '' + Я- </>. то членом низшей степени окажется тот, который содер-
содержит х 2, и мы имеем точку возврата первого рода. Если г-\—х > Р, то мы
имеем точку возврата второго рода.
Второй случай. Пусть q — 2r (г> 1). Значения у будут действительны при
бесконечно малых значениях х лишь в том случае, если b положительно. Если
это имеет место, то мы имеем две ветви кривой, .касающиеся в начале координат
оси Ох, и начало координат для каждой из них является обыкновенной точкой,
так как мы можем написать эти два корня следующим образом:
у = ахР + ... zfc xr \/b-\-bkx-\-
Если b отрицательно, то начало координат есть изолированная двойная точка.
191. Аналитические поверхности. Часть поверхности S называется
аналитическою, если вблизи каждой точки Af0 этой части поверхности
координаты х, у, z переменной точки М могут быть разложены в целые
двойные ряды, расположенные по степеням параметров t—t0, и — и0:
х — хо= а10(t — t0)-\-аО1(и—ио)-\- ... , \
У— Уо = Ь1о(* — V + *oi(«- ко) + ••• . \ G0)
z — zo = clo(t-to) + с01 (и — ко)+ ••• , j
сходящиеся, если абсолютные величины разностей t — t0, и — и0 не
превосходят некоторых пределов. -Точка Л/о поверхности S называется
обыкновенную тачкою, если вблизи этой точки одна из трех разностей
х — хо , у —.у0 , z — z0 может быть разложена в двойной целый ряд,

Ы ГЛАЁА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 191
расположенный по степеням двух других разностей. Всякая точка Мо,
для которой три определителя
) D(z,x) D(x,y)
D(t,u) ' D(t,u) ' D(t,u)
не равны одновременно нулю, есть обыкновенная точка поверхности.
Например,, если первый определитель не равен нулю, то из двух по-
последних уравнений G0) мы получим разложения t — t0, и — и0 по степе-
степеням у—у0, z — z0 и, вставляя эти разложения в первое уравнение, по-
получим разложение х — х0 по степеням у — у0 и z — z0.
Предположим, что поверхность S дана неявным уравнением
F(x, у, 2) = 0; пусть будут х0, yo,zo, координаты какой-нибудь точ-
точки Мо этой поверхности. Если функцию F(x, у, z) можно разложить в трой-
тройной целый ряд по степеням дг — х0, у—у0, z — z0 , и если при этом три
ЬР bF ЬР
частных производных — , -—, — не равны одновременно нулю, то
из общей теоремы (§ 184) следует, что точка Мо есть обыкновенная
точка.,
Примечание. Данное выше определение обыкновенной точки кри-
кривой и поверхности не зависит от выбора осей координат. Предположим,
например, что точка Мо (х0 , у0 , z0) есть обыкновенная точка поверхно-
поверхности S. Тогда координаты соседней точки выразятся формулами вида G0),
D(y,z) D(z,x) D(x,y) , ,
причем три определителя^-^-, щ-^ , —-^ при t = t0, u^u,
не равны одновременно нулю. Преобразование координат заменяет пере-
переменные х, у, z тремя новыми переменными X, Y, Z, представляющими
линейные функции старых:
х= cijx 4- М + Ь2 + 8i'
. D(X, Y, Z)
причем определитель Д = —— отличен от нуля. Заменяя х, у, z
их разложениями G0), мы получим для X, Y, Z три новых разложения
прежнего вида, причем при t = t0, u = u0 не может быть одновременно
Р(Х, 'У) D(Y, Z) D(Z, X)
D(t, и) D(t, и) D(t, и)
В самом деле, из формул преобразования мы найдем:
и легко видеть, что три приведенных выше функциональных определи-
определителя от X, Y, Z могут одновременно равняться нулю только в том
случае, если равны нулю три определителя от переменных х, у, z.

§ 192 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 95
V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. РЯДЫ ПОЛИНОМОВ.
192. Ряды Фурье. Мы займемся здесь рядами совершенно иного ха-
характера, чем ряды, изученные нами выше. В первый раз тригонометри-
тригонометрические ряды, повидимому, рассматривались Даниилом Бернулли (Daniel
Bernoulli) в задаче о колебании струн. Тот способ определения коэфи-
циентов, который мы здесь изложим, принадлежит Эйлеру.
Пусть будет f(x) функция переменного х, ограниченная и интегри-
интегрируемая в промежутке (а, Ь). Мы предположим сначала, что а и b со-
соответственно равны —тг и -{-к; этого всегда можно достигнуть, взяв
новое переменное х', связанное с х соотношением:
,_2их— (а + Ь)ъ
Предположим, что при всех значениях х, заключающихся между —тт
и —[— -тт, мы имеем:
/(*) = f + (о, cos * + Ьл sin х) 4- ...
...-\-(amcosmx-\-bmsinmx)-\-..., G1)
где а0 , аг , Ьг, ... , ат, Ьт , ... — неизвестные постоянные коэфи-
циенты. Эти коэфициенты можно определить следующим простым прие-
приемом. Напомним сначала следующие очевидные формулы, в которых
предполагается, что т и п — целые положительные числа:
1
J-
s\nmxdx — 0;
т
it
\ cosmxdx = 0, если
Г , Г cos (т — п) х -I- cos (т 4- п) х ,
\ cos тх cos пхах— \ ! —^ ! — ах = О,
— ¦It
если т =,
\ cos2 mxdx =\ —^-^ dx — ъ, если тфО;
J J 2 )¦
Г . . , Г cos (m — ri\x — cos (m 4- tt) x ,.
\ sin mx sin nxdx= \ — 5 !—1_ dx = 0,
(Г
если тфп;
-И
I . о , 1 — cos 2mx , , „
\ sin*mxdx=\ r dx=is, если/и^О;
-я — ~
Г . . Г sin (/и 4- л) д: 4- sin f/и — л)дг ,
\ sin mx cos nxdx— \ —5 ¦ ц : — dx = 0.

96 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 192
Проинтегрируем обе части равенства G1) между пределами —тс
и -]-тг, причем в правой части произведем интегрирование почленно; мы
получим:
+
отсюда найдем значение а0. Умножим теперь обе части соотноше-
соотношения G1) на cosmx или sinmx и проинтегрируем между пределами —тг
и -(-тг. Единственным членом в правой части, интеграл которого между
пределами —тс и —[— тг не будет равен нулю, будет член с cos2 mx или
sin2 mx; таким образом мы получим следующие формулы:
+:
\f(x)zo% mxdx—-uum, \f(x) si
sin mx
Следовательно, значения всех коэфициентов определятся формулами:
if 1 ( '
ао = —j/(a)rfa, ат = — j /(а) cos m г da, I
+ , -= } G3)
Ьт — —\ /(a) sin то. da. \
"А )
Приведенное здесь вычисление представляет не более как наведение.
Рядом Фурье называют всякий тригонометрический ряд
~-\- а1 со:-, х -\- Ьг sin x -\- ... -f- am cos mx -\- bm sin mx -f- ... ,
At
коэфициенты которого получены по формулам G3) из какой-нибудь
интегрируемой функции f(x). Каждой функции f(x), интегрируемой
в промежутке (—тс, -\-ъ), соответствует некоторый ряд Фурье, но
никоим образом не очевидно, что этот ряд Фурье сходится, и что
сумма его равна f(x), совершенно так же, как не является очевидной
сходимость к данной неограниченно диференцируемой функции соста-
составленного для нее ряда Тейлора (§ 170). Мы даже можем утверждать,
что ряд Фурье не всегда представляет ту функцию, для которой он
построен. В самом деле, пусть будут /г (х) и /2 (х) две функции, отли-
отличающиеся между собой лишь для конечного числа значений х между
— тс и -{-п; ряд Фурье для обеих функций будет один и тот же (§ 71).
Следовательно, по крайней мере одна из этих функций не предста-
представляется своим рядом Фурье для всех значений д-. Но из самого вида
выражений G3) для коэфициентов следует, что если две функции f(x),
tp (x) представляются своими рядами Фурье, то тем же свойством обла-
обладает функция Af(x) + By (x) при любых постоянных А и В.
Мы дадим систему дс статочных условий для того, чтобы функ-
функция/(jc) была разложима в ряд Фурье в промежутке (—тс, -\-п). Эти

§ 192-193 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 97
условия, которые мы для краткости будем называть условиями Дирихле,
таковы:
1. Рассматриваемый интервал (—тг и -J- тг) можно разбить на ко-
конечное число частичных интервалов, в каждом из которых функция
монотонна.
2. Все точки разрыва функции являются правильными. Заменив
коэфициенты at, bl их значениями G3) и сделав приведения, мы найдем
для суммы 2/и -f- 1 первых членов ряда Фурье выражение:
+ :
1/() -fcos(a-Ar) + cos2(a— x)+ .. .-f cosw(o— x) Ida.
\
Но по известной тригонометрической формуле имеем:
. 2/и 4-1
1 sin^-
— -р cos a -f cos 2a -j- . .. -(- cos та —
2sm —
и следовательно,
. 2/и -}- 1, >
sin ^-(a —дг)
или, полагая а =
Т. - - X
~~2~
h
193. Исследование интеграла \/(лг) dx. Выражение, которое мы
г ' sinx
о
получили для суммы S2m+1, приводит к разысканию предела опреде-
h •
Г , . sin nx , .
ленного интеграла V /(л:) —— dx при неограниченном возрастании п.
о
Первое вполне строгое исследование этого вопроса принадлежит Ди-
Дирихле (Lejeune-Dirichlet)*; оно основывается на некоторых, уже уста-
установленных нами, предложениях, которые мы здесь напомним.
Определенный интеграл
h
sv\x ,
~~x~dx>
"о
* Crete's Journal, т. IV, 1829.
7 D. ГУР.-а. Т. I, ч. 2.

98 ГЛАЁА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 193
где А — положительное число, положителен и не превосходит интеграла
71
f sin х ,
А = I dх
J х
о
(§ 88); предел его при неограниченном возрастании h равен— (§ 96).
Определенный интеграл
л
sin ял: ,
dx,
где Л]>0, а я—целое положительное число, по подстановке пх=у
принимает вид:
nh
[smy
)ydyi
о
следовательно, он положителен и не превосходит А, каковы бы ни были
л и Л, и имеет пределом — , когда п неограниченно возрастает. Отсюда
следует, что определенный интеграл
ь
' sin пх
X
а
dx,
где а и b — два произвольных положительных числа, стремится к нулю,
когда п неограниченно возрастает, так как он равен разности двух
интегралов
Ь а
[
sm пх , I sin пх
dx, \ <
х J х
о
которые оба стремятся к —. Можно, впрочем, показать это и непо-
непосредственно, применяя вторую теорему о среднем; если а<^Ь, то функ-
1 ' л ¦ .
ция — положительна и убывает между а и о, и мы имеем:
X
ь
1 cos па—cosrt$
Г sin пх , if.
\ dx = — \ si
sin nxdx = —
а п
а а
2
Следовательно, абсолютная величина этого интеграла меньше чем — ,
па
откуда мы заключаем, что он равномерно стремится к нулю для всякого
значения Ь, превосходящего а.

§ 193 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 9Й
Рассмотрим теперь определенный интеграл
Л
sin лд:
где h > 0, a tp (х) — функция, положительная и убывающая в интер-
интервале (О, h). Тот же интеграл, взятый между произвольными положи-
положительными пределами в том же интервале, стремится к нулю. В самом
деле, предположим, что а<^Ь; на основании второй теоремы о среднем
мы имеем: ь $
sin л* ,
-dx,
Г . . sin пх . Г
а а
2tp(a)
и, следовательно, абсолютная величина интеграла меньше —-— , Но эти
вычисления ничего не говорят нам о пределе самого интеграла J.
Чтобы найти этот предел, обозначим через с весьма малое положи-
положительное число; мы можем написать:
С h
Г sin/где , Г sinnx
dJ J (*)dx
Г
Второй интеграл, как мы только что видели, при неограниченном
возрастании п стремится к нулю. Что же касается первого, то, если
число с достаточно мало, функция ср(лг) весьма мало отличается от (р(-)-0)
в интервале @, с), и представляется довольно вероятным, что этот ин-
интеграл должен иметь тот же предел, что и интеграл
с
smnx .
х
о
т. е. - - ср (—|— 0). Чтобы доказать это, напишем разность J——-
следующим образом:
Так как функция tp (х) — tp (-(- 0) убывает в интервале @, с), то мы на-
напишем второй интеграл так:

№0 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 193
так как функция ш (л;) — tp (с) положительна и убывает, то к последнему
интегралу можно применить вторую теорему о среднем, и мы оконча-
окончательно находим:
Точно так же мы имеем:
sin пх
ш(х) ах
. 2(р (с)
ПС
Пусть теперь s — произвольное положительное число. Так как tp(je)
Имеет пределом ср (—(— 0), когда х стремится к нулю, то мы можем взять
положительное число с достаточно малым, чтобы имело место нера-
неравенство:
2Д
0) — <р
Выбрав указанным образом число с, выберем, далее, целое число N
к 2tp(c) s
так, чтобы т было меньше —- и чтобы, сверх того, при всяком
Nc о
значении
имело место неравенство:
с
sin пх , тс
о
Для всех этих значений п мы, таким образом, подавно будем иметь:
it . .
и, следовательно, мы в самом деле имеем:
lira7=.^-(рD-0). G5)
я=оо *
При доказательстве предыдущей теоремы мы подчинили функцию tp (x)
некоторым ограничениям, от которых мы можем теперь освободиться.
Если tp (лг) убывает, не будучи постоянно положительной, от 0 до h, то
мы всегда можем прибавить к ней такое положительное постоянное С,
чтобы сумма ф (л:) — tp (лг) -j- С была от 0 до А положительной и убыва-
убывающей^ Доказанная теорема применима к этой функции ф(лг), и мы
можем написать:
sin пх
л
sin пх
1
— с \
sin ял;
dx;

§ 193 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 10.1
правая часть этого равенства имеет пределом —Ф(-)- 0) ?> > т- е-
— tp (-f 0). Если функция ш (х) возрастает в промежутке от 0 к А,
то —tp(x) убывает, и мы имеем:
л л
sin nx , 1' sin nx
"r^ j—!?(x)—^-afx;
о b
интеграл имеет пределом -^-tp(-r-O).
Л
Таким же образом мы могли бы доказать, что интеграл
sin nx ,
d
где а и b — два произвольных положительных числа, а <р (х) — функция,
монотонная в интервале (а, Ь), стремится к нулю при неограниченном
возрастании п.
Предположим, наконец, что функция ш (х) ограничена и что интер-
интервал @, К) можно разбить на конечное число интерзалов @, а), (а, Ь),
(Ь, с), ... , (/, Л), в каждом из которых функция ш(х) монотонна.
Интеграл от 0 до а имеет пределом — ш (-J- 0), а все остальные, как,
Л
например, ь
(' , .sin/гх ,
()for
имеют пределом нуль. Формула G5) применима, следовательно, и к
этой функции.
Интеграл й
где А есть положительное число, меньшее it, может быть написан так:
л
т [ XI \ Х Sil1 ЛХ J
/ = \ /(х) dx.
У^ 'sinx х
о
Если функция /(х) положительна и возрастает от 0 к А, то это
X
имеет место и в отношении функции <р(х)=/(х)-:— , а следовательно,
мы имеем:
! ? G7)

102 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 193—194
Посредством рассуждений, совершенно аналогичных тем, которые
только что проведены, мы можем последовательно доказать:
1) что формула G7) применима ко всякой функции, монотонной
в интервале (О, А);
2) что интеграл *
где а и b — два положительных числа, меньших тг, a f(x) — функция,
монотонная в интервале (а, Ь), стремится к нулю;
3) наконец, что
@<А<тг), G8)
при условии, что интервал (О, И) может быть разложен на конечное
число частичных интервалов, в каждом из которых функция f(x) моно-
монотонна.
194. Функции, разложимые в ряд Фурье. Пусть будет f(x) функция,
ограниченная и интегрируемая в интервале (—тг, —[— тг).
Выше мы нашли выражение S2ni+1 суммы 2т-\-\ первых членов
соответствующего ряда Фурье [формула G4)]. Разложим этот интеграл
_ тг — л; тг -+- х
на два других, имеющих пределами, соответственно, 0 и —-—, —
и 0, и положим во втором интеграле у = — z; мы получим:
%—х
Т
Если х заключается между —тг и -f-тг, то значения —-— , —^— за-
ключены между 0 и тг, и мы можем применить теорему предыдущего
параграфа, если только функция f(x) удовлетворяет первому условию
Дирихле, т. е. если интервал (—тг, -f-тг) можно разбить на конечное
число интервалов, в каждом из которых функция монотонна. Тогда это
условие будет выполнено и для функции f(x -+- 2у) переменного у в ин-
интервале @, —рг—1, и первый интеграл имеет пределом

§ 194 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 103
Точно так же второй интеграл имеет пределом -^-/(х — 0), а следова»
_ f(x-\-0)+f(x — 0)
тельно, S2m+1 имеет пределом ¦ —-1 .
Предположим, далее, что х равно одному из пределов, например,
— п. Мы можем написать:
sinBm-\-l)y
Т У
Первый интеграл правой части имеет пределом -х-/(— it -{-0); второй
интеграл, по замене^ через тг — zy принимает вид:
¦п J sin г
о
и имеет пределом -x-/(it — 0). Следовательно, сумма ряда Фурье при
/<тт — 0L-/(— тт + 0)
х = — it равна — ——^ ! ; ясно, что сумма будет та же
и при х=п.
Таким образом, если интервал (—тг, -\-п) можно разбить на ко-
конечное число интервалов, в каждом из которых f{x) монотонна, то
. .а . . f{x-\-0)-\-f{x— 0)
соответствующий ряд Фурье сходится и имеет сумму ——! ' ^-^ ',
, , . /( —тт4-0L-/(п —0)
когдл х заключено между —na-j-i, и сумму —-^-
при x=^ztx.
Допустим, кроме того, что /(дг) имеет лишь правильные точки раз-
разрыва; для каждого значения дг, заключенного между —тс и +тс, мы
имеем: /^ +
и сумма ряда Фурье равна f(x). Следовательно, всякая функция f(x),
определенная в интервале (—тс, -|~п) и удовлетворяющая условиям
Дирихie, монет быть разложена в этом интервале в ряд Фчоье.
В этом выводе предполагается, однако, что

104 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 194
но это предположение не является логическим следствием того, которое
было сделано относительно природы точек разрыва. В самом деле, если
мы будем изображать х не отрезком, откладываемым на прямой, а ду-
дугою, откладываемою -на окружности, радиус которой равен единице, то
сумма ряда в какой-нибудь точке т окружности будет равна среднему
арифметическому двух пределов, к которым стремятся суммы ряда в двух
точках т1, т" окружности, взятых по обе стороны точки т, когда эти
точки т', т" неограниченно приближаются к точке т. Если предельные
значения /(—it-j-0'i /(тс— 0) различны, то точка окружности, диа-
диаметрально противоположная началу отсчета дуг, есть точка разрыва,
и значение функции в этой точке есть также среднее арифметическое
обоих пределов/(—тт —{— 0 , f(n — 0).
Вообще, пусть будет /(*) функция, определенная в каком-нибудь
промежутке (a, a-(-2ir), длина которого равна 2тс, и удовлетворяющая
в этом промежутке условиям Дирихле. Очевидно, что существует одна
и только одна функция F(x), имеющая период 2тс и совпадающая
с f(x) в промежутке (я, а-}-2тт); при всяком значении х эта функция.
F(x) представляется суммою тригонометрического ряда, коэфициенты
которого ат и Ьт определяются формулами G3):
1?
ат=— I F(x) cos mxdx,
bm — — I F(x) sin mx dx.
ТГ J
Мы можем также написать выражения для коэфициента ат в виде:
т: а к
1 Г If 1С
д= — I F(x)cos mx dx А F(л) cos ntxdx — — I F(x) cos mxdx -
m П J ТГ J ТГ '
a - r. a
«-J-2n. а + 2я a-j-2"
-|- — \ F{x) cos mx dx— — 4 Fix) cos mx dx = — \ f{x) cos mx dx.
ТГ J ТГ J It J
-f-
Точно так же мы нашли бы:
Ь„ — — | f(x) sin m к dx.
Таким образом, если функция f{x) определена в каком-нибудь про-
промежутке, длина которого равна 2тт, то предыдущие формулы позволяют
вычислить коэфициенты разложения этой функции в ряд Фурье, не при-
приводя пределов промежутка к —тг и -[-п.

§ 195 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 105
195. Примеры. 1. Пусть требуется найти ряд Фурье, сумма которого была
оы равна — 1 при — it < х < 0 и -f-1 при 0 < х < it. Из формул G3) имеем:
О 71
-\ -dx + -\ dx=*0,
о
if 1 I
— \ — cos mx dx + — | cos /их dx = 0,
— л U
О *
2 — cos «nit — cos (— mt)
if . . .if
= — i — sin /их dx -\ I
т. J О
— 7C 0
, if . . .if, ,
bm = — i — sin /их dx -\ I sin mx dx =
m т J О
mit
Если m — число четное, то bm равно нулю; если же т — нечетное, то Ьт
равно —. Умножая все коэфициенты на -j-, мы получим ряд:
sin х , sin Зх , sin B<и +1) дг ,
Если — it < x < 0, то сумма этого ряда равна — -j-, если же 0 < х < it, то
его сумма равна -j. Точка дг = О есть точка разрыва, и при х=0 сумма ряда
равна нулю, как это и должно быть. Вообще, сумма ряда (80) равна -j-, если sin x
положительно; она равна — -т , если sin x отрицательно, и равна нулю при
sin х = 0.
Кривая, представляемая уравнением (80). состоит из бесчисленного множе-
множества прямолинейных отрезков, длины которых равны я, лежащих на прямых
.y=±-j, параллельных оси Ох, и из бесчисленного множества изолированных
точек (v — 0, х = kit), лежащих на оси Ох.
2. Пусть требуется найти разложение переменного х в ряд Фурье в проме-
промежутке между 0 и 2и. Мы имеем:
2л
й0 — — I х dx = 2л,
it I
о
2 л. 2*
1 f fxsin mx\ 2~ if-. . „
am = — "\ x cos mx dx = i sin /их dx = 0,
о " о
2it 2-
. if. ^ fxcosmxT2A if 2
bm= — \ xsin mx dx = — — -^ I cos mx dx — .
m т. J [ в» Jo /kJ /n
о о
Отсюда находим:
x^ к sin x sin 2x sin 3x R1.
L i L О
Формула (81) верна для всех значений х, заключающихся между 0 и 2it.
Приравняв правую часть этой формулы переменному у, мы получим уравнение

106 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 195-196
кривой, состоящей из бесчисленного множества отрезков прямых, параллельных
прямой y^z-x, и из бесчисленного множества изолированных точек.
Примечания. 1. Если функция, определенная в промежутке (—я. 4 it),
четная, т. е. если /(— x)=f(x), то все коэфициенты Ьт равны нулю, так как,
очевидно,
о
I / (х) sin mxdx=— \f (x) sin mx dx.
-я О
Напротив, если функция/(«) нечетная, т. е. если /(— дс) = — f(x), то все
коэфициенты ат равны нулю, включая сюда я0. Если функция определена только
в промежутке от 0 до it, то мы можем продолжить ее в промежутке от — к до О,
положив:
или
f(-x) = -f(x).
Таким образом в промежутке от 0 до я функция /(*) может быть также
представлена рядом одних синусов или одних косинусов.
2. Пусть будет f(x) функция, разложимая в ряд Фурье в промежутке
{ (л) = -^ -\- (aL cos х -{¦ bi sin x) -J- ... + (fim cos mx 4- bm sin mx) -f- ..., (82)
где коэфициенты вычислены по формулам G3).
Заменяя в атом равенстве х на — х, имеем:
/(— х)=Ц + (a1cosjr — ftiSin^-f-... +{amcosmx — bmsmmx)+ ... (83)
Из этих двух равенств мы заключаем, что два тригонометрических ряда:
Ц 4- д? cos х 4- • • • + <*т cos mx -\- ... ,
bi sin x -f- ... -f- bmsin mx-\- ...
сходятся в промежутке (— и, 4-п) и представляют, соответственно, функции
легко проверить, что это действительно ряды Фурье, относящиеся к соответ-
соответствующим функциям.
196. Различные обобщения. Условия Дирихле достаточны для того, чтобы
функция была разложима в ряд Фурье, но они отнюдь не являются необходи-
необходимыми. Выводы § 193—194 позволяют заменить эти условия другими, более об-
общими, условиями.
Пусть будет f{x) — функция с.ограниченным изменением в промежутке
(—it, -t-к); мы знаем, что она равна сумме двух монотонных функций /, (jt),
/2(«) в том же промежутке (§ И). Пусть будут S{x)* S,(x), S2(*) ряды Фурье,
выведенные для,трех функций f(x), ft{x), f^yx). На основании того, что мы ви-
видели выше, оба ряда St(x), S2(x) сходятся в интервале (—я, -f-it), и мы имеем
для любой точки внутри этого интервала:
ЛС<-0) о ,.л-.
T , о2 (лг) —

§ 196 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 107
с другой стороны, любой член ряда S(x) равен сумме соответствующих членов
рядов 5( и S2. Следовательно, ряд S (х) также сходятся и имеет суммой St (х) •+-
+ S,(jc). т. е.
(х-0)+/,(<- 0) _ f(x + 0)+f{x-0)
Таким образом всякой функции f(x) с ограниченным изменением в интер-
интервале (—я, -f-it) соответствует сходящийся ряд Фурье, сумма которого равна
Q)+f(x-Q)
при всяком значении х, заключенном между — геи + гс. Таким же образом мы
убеждаемся в том, что при х = zt it сумма ряда равна
Если, сверх того, функция f(x) имеет в этом интервале лишь правильные
точки разрыва, то ряд Фурье имеет суммой f{x) при всяком значении х, заклю-
заключенном между — пи -f-t,
Метод, примененный в § 192 для вычисления коэфициентов ряда Фурье,
можно обобщить. Рассмотрим ряд функций, иртосональных в интервале (я, Ь):
То. ?i ?л> •• • •
т. е. таких, что
ь
каковы бы ни были индексы т и п, предполагаемые различными. Если мы пред-
предположим, что функция f(x) в интервале (а, о) разложима в равномерно сходя-
сходящийся ряд вида
fix) = /!о|Ро -t- ^)?i + • • ¦ + ArRn + • • • .
то постоянные коэфициенты At тотчас же определяются. В самом деле, помножим
обе части предыдущего соотношения на ?„ и проинтегрируем затем между пре-
пределами а и Ь; мы будем иметь, принимая во внимание условия орто! ональности:
откуда мы и найдем значение коэфициента Ап. В каждом частном случае нам остается
еще ис леловать, действительно ли полученный таким образом ряд сходится и
имеет суммой fix).
Полиномы Лежандра (§ 86) образуют последовательность функций, ортого-
ортогональных в интервале (—1, -+- I). Чтобы иметь возможность вычислить коэфици-
коэфициенты разложения какой либо функции по этим полиномам, мы должны еще знать
численные значения интегралов

108 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 196-197
Пусть будет ап коэфициент при хп в полиноме Х„; принимая во внимание со-
соотношения B7) и B8) t§ 86), мы можем написать:
+1 +.1 +_1
l/2 J
+1
па» Г
Но мы имеем также:
+ 1 +1
1 1
К„ пап 1п—\ _
следовательно, отношение -гг-^- равно ¦,. " , т. е. =—т—.г . Отсюда мы
заключаем, что произведение Bл + 1) Кп не зависит от п. Для га = 0 мы тотчас
2
же находим Ко - 2; коэфициент Кп равен, следовательно, .
197. Разложение непрерывной функции. Георема Вейерштрасеа. Пусть
будет y = f(x) функция, непрерывная в промежутке {а, к). Вейерштрасс доказал
следующее замечательное предложение. Пусть буОет s произвольное заданное
положительное числи. Можно найти такой многочлен Р (х), чтобы при всех
зниченияк х в промежутке {а, Ь) абсолютная величина, разности J (х) —Р(х)
била меньше е.
Из множества доказательств этой теоремы наиболее простое принадлежит
Лебегу (.ebesgue) *. Рассмотрим сначала следующий частный случай. Пусть бу-
будет ф(дг) функция, непрерывная в промежутке, от —1 до +1 и определенная
следующим образом: ф(д:) = 0 при —1^дг^0, и ф(лг) = 2Ад: при O^jc^I,
где k — данное постоянное число. Мы можем представить ф (*) в виде: ф (лг) =
= &[лг-+ |дг|]. С другой стороны, при всех значениях х, заключающихся между
— 1 и -f- 1, мы имеем:
При этих значениях х радикал можно разложить в равномерно сходящийся
ряд, расположенный по степеням A—jtf). Таким образом \х\, а следовательно и
Ф (х) могут быть представлены в этом промежутке многочленом с любою сте-
степенью приближения. Рассмотрим теперь произвольную функцию f(x), непрерыв-
непрерывную в промежутке (а, Ь). Разобьем этот промежуток на п частичных промежут-
промежутков (а0, а,), (а,, а2), (anLL, а„), причем а = ао< ai < а2< ... ап_{<ап — Ь,
так, чтобы колебание функции / (л) в каждом из них было меньше -^ . Пусть бу-
будет L ломаная линия, состоящая из отрезков прямых, соединяющих между собою
в последовательном порядке точки кривой j/=/ {х) с абсциссами а0, а{, аь ... , Ь.
Ордината любой точки этой ломаной линии, очевидно, есть непрерывная функ-
функция ,у (jc) абсциссы, и абсолютная величина разности f(x) — <f {x) меньше
— . В самом деле, так как при а[1_1 <дг < а^ функция <р (*) содержится между
^(a[i-i) и f(av)> то мы можем написать:
где 0 — положительное число, меньшее единицы. Отсюда имеем:
f[x)-f (x) = \f(x) —/(a^_,)I A -в) + [/W -f{%
* Bulletin des Sciences mathema'iques, стр. 278, 1898.

§ 197 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 109
Так как множитель 8 положителен и меньше единицы, то абсолютная величина
разности / — <р меньше у A — 9 + 6) = к-. Мы можем представить функцию ? (д:)
как сумму л функций, аналогичных вышеуказанной функции ф (дг). В самом деле,
пусть будут Ао, Ац- А% Ah вершины ломаной линии «Z., взятые в их по-
последовательном порядке. Функция ? (дг) может быть представлена как сумма
двух функций <[>( и 9*; ([>! представляет в промежутке (а, Ь) ту прямую, на кото-
которой лежит сторона А^А^ а уч представляет некоторую многоугольную ли-
линию Aq'Ai ... Аа', первая сторона которой Л^А{ лежит на оси Ох, так как
в промежутке (а0, а4) мы должны иметь <f(x) = \l(x). Фу кция <р? (лг, в свою
очередь, равна сумме двух непрерывных функций фа и <fo ф2 в промежутке между
а и а{ равна нулю, а в промежутке между at я Ь представляет прямую, на
которой лежит сторона Л4'Л2', тогда как у.2 представляет некоторую много-
многоугольную линию i40"y41'M2" ... Ап", три вершины которой Ай", А", А{ лежат
на оси Ох, и т. Д. Таким образом мы можем представить <р <дг) как сумму л функ-
функций <р (лг» = «1»! -+- <[>2 +...-(- <)>„, где {t есть непрерывная функция, равная нулю
между а и u[-i и представляемая отрезком некоторой прямой в промежутке
между a;_j и Ь. Сделав замену переменного Х=тх-\-п и выбирая соответ-
соответствующим образом числа /и и л, мы можем представить Ф/(дг) в промежутке
( — 1, -+- 1) следующим равенством:
Это показывает, что §t (x) можно представить с любою степенью приближения
многочленом. Так как каждую из функций ^ можно представить в промежутке (а, Ь)
многочленом с приближением, меньшим =- , то ясно, что сумма этих многочле-
нов будет отличаться от функции f(x) меньше чем на е.
Из предыдущей теоремы следует, что всякая функция, непрерывная в про-
промежутке (а, Ь), может быть представлена в этом промежутке равномерно
сходящимся рядом многочленов. В самом деле, возьмем последовательность
положительных убывающих чисел ti, е2, ..., гп , общий член которой г„ при не-
неограниченном возрастании л стремится к нулю. На основании предыдущей теоремы,
для каждого числа е этой последовательности мы можем найти такой многочлен Pt (дг),
чтобы абсолютная величина разности f(x) — Pt(x) во всем промежутке (а, Ь)
была меньше tt. Рассмотрим ряд:
Pi (х) + [Р3 (х) -Pi{х)] + ... + [Р„ (д) _ Р„_, (*)] + ...
Если х заключается в промежутке (а, Ь), то этот ряд — сходящийся, и его сумма
равна f{x). В самом деле, ясно, что сумма Sn его л первых членов равна Рп(х);
следовательно, разность f(x) — Sn, абсолютная величина которой остается мень-
меньшей ел, при неограниченном возрастании п стремится к нулю. Кроме того, ряд
будет равномерно сходящимся, так как, взяв я достаточно большим, можно сде-
сделать абсолютную величину разности /(дг) — 5„ меньшей произвольно малого по-
положительного числа при всяком значении х, заключающемся в промежутке (а, Ь).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Применить формулу Лагранжа к разложению по степеням х того корня
уравнения у% = ау + х, который обращается в а при д;:=0.
2. Решить ту же задачу для уравнения у — а-{- хут+< — 0. Применить ре-
результат к квадратному уравнению а — Ьх+ сх%= 0: разложить по степеням с ко-
корень, стремящийся к -j-, когда с стремится к нулю.
3. Вывести формулу:

ПО ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 197
4. Если х больше — -~-, то
2 41 +ЛГ / 2.4 414-*/
= т sin д; . sin3x + ,—о ' л~к— sln х — • • ,
L l'2'O 1'2'О*4'О J
1+х 2^1 +аг / 2-4 41 4-*.
5. Если | д: |< 1, то
1 2* 1 / 2. У, ЬЗ / 2* \»
2 1 4** 2-4у1+- W ^2-4.6 ll + Jty ^ '•¦
Чему равна сумма ряда, если | х | > 1?
6. Вывести формулу:
1 U пх 1 я(я-1) / дг Y я(я-1)(я-2)/ д:
7. Показать, что те значения sin тк \itosmx, которые при sin^: = 0 равны
соответственно 0 и 1, разлагаются в ряды по степешм sin*:
sin тх
cos тх =1 — :р-= sin2 л: -f- ' t o о л Sln x
[Можно воспользоваться диференциальным уравнением
которому удовлетворяют cosm* и sin тх, рассматриваемые как функции от
_y = sin *.j
8. Вывести из предыдущих формул разложения
cos (л arc cos д:), sin (л are cos x).
9. Доказать следующие формулы:
—21n(jc—1L 1п(дг — 2)+
[ряд Борда]
и
In (х 4- 5) = 1 п (х + 4) + In (х + 3) — 2 In x + In (x — 3) + In (л: — 4) — In (jc— 5) —
о Г 72 1 / 72 \
U425^472i" 3 \д:4— 25лг2 + 72/ "*""-
3 \д:4 +
[рядАро (Наго)].
10. Функция f(x), непрерывная в промежутке (а, Ь), для которой
Ь
при л = 0, 1, 2, ..., тождественно равна нулю.
Указание. Предполагают, что f(x) разложена в равномерно сходящийся ряд
Ь
многочленов, и отсюда выводят, что \ [f(x)\*dx равен нулю [Мур (Moore)].

§ 197 V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 111
— 11. Непрерывная функция, отличная ст нуля, не может иметь ряда Фурье,
тождественно равного нулю.
Указана'-. Предположим, что f(x) > т > 0 в интервале (а, Ь), причем а и Ь
заключены между 0 "и 2гс, и положим:
= 1 + cos (х ^— \ —
а -Ь
cos —=—
Доказываем, что интеграл \ f{x)'Jfn dx не может быть нулем для всякого п
(см. L e b e s g и е, Legons sur les series trigonometriques, стр. 37). Отсюда заключаем,
что две различные непрерывные функции не могут иметь одного и того же ряда
Фурье. Следовательно, если ряд Фурье для функции /(дг) сходится равномерно,
сумма этого ряда равна /(дг)
12. Вычислить козфициенты Фурье для непрерывной функции / (х) с перио-
периодом 2п, представляемой ломаной линией. Из равномерной сходимости этого ряда
вывести новое доказательство теоремы Вейерштрасса из § 197.

ГЛАВА X.
ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ. ПРИКОСНОВЕНИЕ.
В диференциальной геометрии обыкновенно рассматриваются только
аналитические линии и поверхности. Но для существования тех геомет-
геометрических элементов, к определению которых мы теперь переходим,
нужно только, чтобы функции имели производные до некоторого ко-
конечного порядка. Так, плоская кривая, представляемая уравнением
y — t(x), имеет касательную, если функция/(х) имеет производную/'(<)>
имеет радиус кривизны, если /' (х) в свою очередь имеет производную
fix), и т, д.
I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ.
193. Разыскание огибающих. Пусть дано уравнение плоской кри-
кривой С:
f(x,y,a) = 0, A)
зависящее от переменного параметра а. При изменении этого параметра
кривая С будет, вообще, непрерывно изменяться по виду и по положе-
положению. Если все кривые С касаются некоторой определенной кривой Е,
то эта кривая Е называется огибающею кривых С; кривые С называются
огибаемыми кривою Е. Посмотрим, как по данным кривым С узнать,
имеют ли эти кривые огибающую, и как найти эту огибающую.
Предположим, что огибающая существует. Пусть будут х, у коор-
координаты точки прикосновения М кривой Е с огибаемою кривою С, со-
соответствующею значению а параметра. Эти координаты х, у суть неиз-
неизвестные функции параметра а, удовлетворяющие уравнению A). Чтобы
их найти, нам нужно выразить, что касательная к кривой, описываемой
точкою М при изменении а, совпадает с касательного к кривой С.
Обозначим через Ьх и Ьу количества, пропорциональные направляющим
dx dy
косинусам касательной к огибаемой кривой С, и через — , -, про-
производные от неизвестных функций х=у(а), у = <Ь(а). Тогда должно
быть:
dx dy
*fL = -p-. B)
Ьх by

§ 198 I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 113
Так как кривая С представлена уравнением A), в котором параметр а
имеет постоянное значение, то для определения касательной к кривой С
мы имеем:
«b+g.,-0. C,
С другой стороны, и неизвестные функции х = <р(а), у ^=ф(а) также
должны удовлетворять уравнению:
но а обозначает здесь уже не постоянное, как ранее, а независимое
переменное; поэтому мы будем также иметь:
-^ = 0. D)
Условие B) вместе с уравнениями C) и D) дает:
^ = 0. E)
Уравнения E) и A) определяют неизвестные функции х = у(а),
а = ф(а). Следовательно, в тех случаях, когда огибающая сущест-
существует, мы получим ее уравнение, исключив параметр а из уратетй
/=0, ^ = .0.
Пусть будет R (х, у) = 0 результат исключения параметра а из
уравнений A) и E). Найдем, при каких условиях эта кривая представ-
представляет огибающую. Пусть будет Со одна из кривых семейства A), соот-
соответствующая значению а0 параметра; далее, пусть будут (х0, у0) коорди-
координаты точки пересечения Мо кривых
fix, У, eo) = O, j^- = 0. F)
Уравнения A) и E) определяют две функции х = ш(а), у = $(а), обра-
обращающиеся при а = а0 соответственно в х0, у0. Сл овательно, при
а = а0 мы будем иметь:
Ъ/ (dx\ . Ъ/ (dy\
Из этого соотношения и из соотношения C) видно, что в точке (х0, у0)
касательная к кривой Со совпадает с касательного к кривой R(x,y) = 0,
описанной точкою (х,у), если только не будет одновременно — =0,
if n Х°
^—=0, т. е. если точка (xQ, у0) не будет особою точкою кривой Со.
Таким образом уравнение R(x, у) = 0 представляет или огибающую
кривых С, или же место особых точек этих кривык.
8 Э. Гурса, т. I, ч. 5.

114 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 198
Этот результат можно дополнить. Если каждая из кривых С имеет
одну или несколько особых точек, то место этих особых точек необ-
необходимо входит как часть в кривую R(x,y)= 0. В самом деле, пусть будут
(х, у) координаты одной из этих особых точек. Координаты (х, у) суть
функции от а, удовлетворяющие одновременно трем уравнениям:
а следовательно, и уравнению — — 0. Отсюда следует, что координаты
дп
(х,у) удовлетворяют уравнению ^? = 0, получающемуся от исключения
параметра а из уравнений /=0, -^- = 0. В самом общем случае кри-
дп
вая R (х, у) = 0 состоит из двух аналитически различных частей, из
которых одна есть собственно огибающая, тогда как другая представ-
представляет место особых точек кривых данного семейства.
Пример. Рассмотрим семейство кривых
Ах, У, a)=y*-yz + (x~a)* = 0.
Мы имеем ~ = — 2(х — а), и, исключая а из уравнений /=0, --= О,
да да
получим уравнение yi—_у2=:0, представляющее три прямых у —0,
у = -\-\, у = — 1. Легко видеть, что можно получить все кривые дан-
данного семейства из кривой у*—у2 -\-х2 = 0, заставляя ее перемещаться
параллельно Ох. Но эта последняя кривая имеет двойную точку в начале
координат и касается прямых ^ = ±1 в точках их пересечения с
осью Оу, Следовательно, прямая у = 0 есть место двойных точек, тогда
как прямые _у = +1 представляют огибающую в собственном смысле.
Если кривые С имеют огибающую Е, то каждая точка этой оги-
огибающей есть предельное положение точки пересечения двух кривых
рассматриваемого семейства, соответствующих двум бесконечно близ-
близким значениям параметра. В самом деле, пусть будут
f{x,y,a) = 0, f{x,y,a + h) = 0 G)
уравнения двух кривых семейства, близких между собою. Уравнения G),
определяющие точки пересечения этих кривых, очевидно, могут быть
заменена системою двух равносильных уравнений:
/(*|У|а) = о, ==0. GЧ
При приближении А к нулю, т. е. при неограниченном приближена
второй кривой к первой, второе из этих уравнений обращаете;
в — = 0, откуда видно, что в пределе эти точки пересечения обра-
да
щаются в точки огибающей кривой *. Геометрически это свойство почт!-
* Доказательство представится в более строгом виде, если второе из уравне-
уравнений G') написать в форме: fa' (х,у,а + Щ - 0. Если точка (х,у) стремится кпре
дельной точке (х^у^), когда h. стремится к нулю и производная/„' непрерывна, тс
координаты предельной точки удовлетворяют двум соотношениям f(xit уь а) = (
(/ЛH

§ 198
1. ОГИЁАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
115
очевидно. В самом деле, из черт. 32а видно, что точка пересечения N
двух близких между собою кривых С, С неограниченно приближается
к точке прикосновения М,
когда кривая С стремится
слиться с кривою С. Точно
так же из черт. 32Ь видно, //- г
что если кривые A) имеют №/'"
двойные точки, то две точки
пересечения двух близких
между собою кривых С, С М
стремятся слиться с этою
двойною точкою, когда кри-
кривая С неограниченно при-
приближается к кривой С.
Из предыдущего замеча-
замечания понятно, почему вместе
с огибающею мы должны
получить и место особых Черт. 32а. Черт. 32Ь.
точек. Предположим, например, что/(х,у, а) есть многочлен /я-й сте-
степени по а. Для точки Мо (хо,уо), взятой произвольно на плоскости, уравнение
f(xf),yf),a) = 0 (8)
дает, вообще, т различных корней для а; следовательно, через точку Мо
проходит т различных кривых рассматриваемого семейства. Но если
точка уИ0 лежит на кривой R(x,y) = 0, то мы имеем одновременно:
/{хо,Уо,а) = 0, ^ = 0,
и уравнение (8) имеет двойной корень относительно а. Таким образом
мы видим, что кривая R (х, у) = 0 есть место тех точек плоскости, для
которых сливаются между собою две из числа кривых семейства A),
проходящих через одну из этих точек. Но из черт. 32а и 32b видно,
что приближается ли точка Л/ неограниченно к огибающей или
к кривой, представляющей место особых точек, — в обоих случаях две
кривые семейства, проходящие через Л/', весьма близки одна к другой
и в пределе стремятся слиться.
Примечание. Часто бывает нужно найти огибающую кривой
/=* (х, у, а, Ь) — 0, (9)
уравнение которой содержит два переменных параметра а и Ь, связанных соотно-
соотношением ^ {а, *)==0. Этот случай не отличается сущеавенно от общего случая,
так как мы можем рассматривать Ъ как функцию от а, определяемую уравне-
уравнением <р = 0. Согласно выведенному выше правилу, мы должны присоединить
к уравнению (9) другое уравнение, которое получим, приравняв нулю производ-
производную по а от левой части уравнения (9):
да bb da
Но из соотношения <р (а, Ь) ¦= 0 имеем:
Ь. л. h. ^* — о.
da db da
8*

Ц6 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 198—199
Исключая из двух последних уравнений -г-, получим:
^*_^*=о. (Ю)
да db db Ъа
Таким образом мы получим уравнение огибающей, исключая а и Ъ из уравне-
уравнений .F = 0, ер == 0 и из уравнения A0).
199. Огибающая прямой линии. Возьмем уравнение прямой D в нормаль-
нормальном виде:
х cos a -f- У sin а—/(а) = 0, A1)
причем переменным параметром служит угол а. Взяв производную по параметру а
получим:
i+—/'(а) = 0. A2)
Из уравнений A1) н A2) мы найдем координаты точки прикосновения подвижной
прямой D с огибающею:
*=/(a)cosa— /'(a)sina, ¦»
у — f (a) sin a.-(- /' (a) cos a. /
Легко убедиться, что касательная к кривой Е, описываемой точкою (х, у),
есть в самом деле прямая D; действительно, из уравнений A3) имеем:
dx = - [/(a)+/"(a>] sin a da,
dy= [f a)+/"(a)]cosada,
а, следовательно,
rfy ,
Ho ctga есть угловой коэфициент прямой' D.
Обозначая через s длину дуги огибающей, мы получим из уравнений A4)
ds = ydxi -f- dy2 —±[f (a) + /" (a)J da,
, следовательно,
Отсюда видно, что, взяв за /(о) производную от заранее известной функции
мы получим спрямляемую кривую *.
Положим, например, / (a) = / sin a cos а. Полагая в уравнении A1) последова-
последовательно у = 0, х = 0, получим (черт. 33): OA = l sin a, OBr=l cos a, и, следова-
следовательно, АВ = /. Мы видим, что искомая кривая есть огибающая прямолинейного
отрезка постоянной длины /, концы которого скользят по двум взаимно перпенди-
перпендикулярным прямым. Формулы A3) дают здесь:
у = /cos3 a,
* Все количества, входящие в формулу для s:
имеют геометрическое значение. Так, а есть угол между Ох и перпендикуля-
перпендикуляром ON, опущенным из начала координат на подвижную пряму , /(о)— расстоя-
расстояние ON от начала координат до этой прямой, /' (а) равно по абсолютной вели-
величине расстоянию MN от точки прикосновения М подвижной прямой с ее
огибающею до основания N перпендикуляра, опущенного из начала координат
на подвижную прямую. Эта формула спрямления называется иногда формулою
Лежандра.

§ 199-200 I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
и уравнение огибающей будет:
т
Это — уравнение гипоциклоиды с четырьмя точками возврата; она имеет вид,
представленный на черт. 33. При изме-
изменении а от 0 до— точка
прикоснове-
прикосновения М описывает дугу DC. Длина этой
дуги, считая от точки D, равна;
3/ sin a cos a da = ~ sin2 a.
Пусть будут / вершина прямоуголь-
прямоугольника, построенного на О А и ОВ, и
М~^основание перпендикуляра, опущен-
опущенного из / на АВ. Из треугольников AMI,
AMP имеем:
АР=АМ sin <z =
= /cos2<zsina.
Черт. 33.
Следовательно ОР = ОЛ-^ЛР = /sin3 а,
и точка Af есть точка прикосновения прямой АВ с огибающею. Отсюда получаем
g
таким образом длина дуги DM — — BM.
200. Огибающая окружности. Пусть будет
(л-_в)» + СУ—*)«-р» = 0 A5)
уравнение окружности, где a, b, p суть функции переменного параметра t. Мы
знаем, что точки, в которых окружность A5)
касается огибающей, суть точки пересече-
пересечения этой окружности с прямою
(г_в)в'-|.(у-*у + РР' = 0. A6)
Прямая A6) перпендикулярна к каса-
касательной к кривой, описываемой центром (а, Ь)
окружности при изменении параметра t;
расстояние этой прямой от центра равно
р ~-, где 5 — длина дуги кривой С, отсчиты-
CIS
ваемая от какой-либо определенной точки
этой кривой. Прямая A6) пересекает окруж-
окружность в двух точках N, N', симметричных
относительно касательной МТ (черт. 34);
следовательно, огибающая будет состоять из
двух ветвей Ё, Е', которые, вообще, не бу-
будут аналитически различными. Рассмотрим
несколько частных случаев. Черт. 34.
1. Если р постоянно, то хорда прикос-
прикосновения NN' обращается в нормаль РР'
к кривой С, н огибающая состоит из двух параллельных кривых Сх, Си Мы по-
получим эти кривые, откладывая на нормали к кривой С по обе стороны от
точки М постоянную длину р.

11.8
ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ
§ 200-201
2. Если р^=
то
р -J- = р,
CIS
и хорда NN' обращается в касательную
к окружности в точке Q. В этом случае обе ветви огибающей сливаются в одну
кривую Г, и нормалями к этой огибающей Г служат касательные к кривой С.
Кривая С называется в этом случае разверткою (эволютою) кривой Г; обратно,
кривая Г называется развертывающею (эвольвентою) кривой С (см. § 225).
Если rfp>ds, то прямая A6) не пересекает окружности, и огибающая будет
мнимая.
Вторичные каустики. Предположим, что радиус переменной окружности
пропорционален расстоянию центра этой окружности от некоторой постоянной
точки О. Примем эту точку О за начало координат. Тогда уравнение окружности
будет иметь вид: {х _ дJ + {у_ ь)% _ ^ (д2 + ft2)_
где k — постоянный множитель. Уравнение хорды прикосновения будет:
(* — а)а' + (У - Ъ)Ъ' + #* {аа' + ЬЬ1) — 0.
Пусть будут S и §' расстояния центра М (а, Ь) окружности от хорды прикос-
прикосновения NN' и от параллельной ей прямой, проведенной через начало коорди-
координат (черт. 35). Из предыдущих уравнений имеем: & = №&'. Следовательно, мы по-
получим хорду прикосновения, взяв на радиусе МО такую точку Р, чтобы AfP =
= №МО, и опустив из точки Р перпендикуляр на касательную МТ к месту
центров С данного семейства окружностей. Предположим, что ?<1, и пусть
будет Е ветвь огибающей кривой, расположенная по одну сторону с точкою О
относительно касательной к кривой С. Обозначим через / и г углы, образуемые
прямыми МО и MN с нормалью Ml. Мы будем иметь:
Ма
Мр
Ш
sin / Mq
sin r Mp
MQ
МР
Предположим, что в О находится светящаяся точка, и что кривая С служит
линиею раздела между средою, в которой находится точка О, и другою средою,
показатель преломления которой относительно
первой среды равен -г. После преломления
падающий луч ОМ обращается в преломлен-
преломленный луч MR, который, по закону преломления,
будет лежать на продолжении прямой MN.
Следовательно, все преломленные лучи MR
будут нормальными к огибающей Е, которая
называется вторичною каустикою через пре-
преломление. Каустика в собственном смысле,
или огибающая преломленных лучей, есть раз-
развертка вторичной каустики.
Вторая ветвь огибающей Е' не имеет, ра-
разумеется, никакого физического значения; она
соответствовала бы отрицательному показателю
преломления. Если мы предположим k=l, то
огибающая Е обратится в самую точку О,
тогда как огибающая Е' будет геометрическим
мес"том точек, симметричных с точкою О
относительно касательной к кривой С. Вместе с тем эта кривая будет также
вторичною каустикою через отражение для световых лучей, выходящих из
точки О и отраженных от кривой С. Таким же образом можно доказать, что если
из каждой точки кривой С мы опишем окружность радиусом, пропорциональным
расстоянию этой точки от некоторой неподвижной прямой, то огибающею этих
окружностей будут вторичные каустики для световых лучей, выходящих из бес-
бесконечно удаленной светящейся точки.
N.
E'
Черт. оо.

§201-202 I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 119
201. Поверхности с одним параметром. Пусть будет
f(x,y,z,a) = 0 A7)
уравнение поверхности S, зависящей от произвольного параметра а.
Если существует некоторая поверхность Е, касающаяся каждой из по-
поверхностей 5 вдоль некоторой кривой С, то эта поверхность Е назы-
называется огибающей поверхностей S, а линия прикосновения С поверхно-
поверхностей 5 и Е — характеристикою.
Таким образом, чтобы узнать, имеют ли данные поверхности 5 оги-
огибающую, нужно исследовать, можно ли определить на каждой из поверх-
поверхностей S такую кривую С, чтобы место всех этих кривых, соответ-
соответствующих различным значениям параметра, касалось каждой поверхности S
вдоль соответствующей кривой С. Пусть будут х, у, z координаты ка-
какой-нибудь точки М характеристики. Если эта точка не есть особая
точка поверхности S, то уравнение касательной плоскости к этой по-
поверхности в точке М будет:
С другой стороны, вдоль огибающей поверхности Е количества х, у,
z, а будут функциями двух независимых переменных, удовлетворяющих
уравнению A7), и между их диференциалами будет иметь место соот-
соотношение:
Чтобы касательная плоскость к поверхности Е была тождественна с ка-
касательного плоскостью к поверхности S, необходимо и достаточно, чтобы
между диференциалами dx, dy, dz существовало соотношение:
Ъх ' Ъу J <z
Сравнивая это условие с A7'), получим:
Такими же приемами, как и в случае плоских кривых (§ 198), можно
доказать, что, обратно, уравнение R (х, у, z) = 0, получающееся от
исключения параметра а из двух уравнений A7) и A8), представляет
или огибающую поверхностей S, или же место особых точек этих по-
поверхностей. Характеристика С, представляемая уравнениями A7) и A8),
есть также предельное положение линии пересечения поверхности 5
с бесконечно близкою поверхностью того же семейства.
202. Поверхности, зависящие от двух параметров. Рассмотрим теперь
уравнение
f(x,y,z,a,b) = 0, A9)
представляющее поверхности S, зависящие от двух параметров а и Ь.
Вообще, не существует такой поверхности, которая касалась бы каждой

120 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 202
поверхности рассматриваемого семейства вдоль некоторой кривой. В са-
самом деле, если мы установим между параметрами а и b некоторое со-
соотношение Ь = у{а), то семейство поверхностей- A9) обратится в се-
семейство поверхностей, зависящих уже только от одного параметра, и
характеристика этого семейства будет представлена уравнением A9) и
уравнением
й+а*Ь'<в>=0- B0)
где b связано с а соотношением Ь = у(а). Эта характеристика зависит,
вообще, от произвольной функции <р (а), так что на каждой поверхно-
поверхности 5 есть бесчисленное множество характеристик; следовательно,
с изменением а и b эти характеристики не образуют, вообще, одной
поверхности. Будем теперь искать, существует ли такая поверхность Е>
которая касается каждой поверхности 5 не вдоль кривой, а только в одной
или нескольких точках. Если такая поверхность существует, то коорди-
координаты (х, у, z) точки прикосновения поверхности 5 с огибающею Е будут
функциями двух переменных параметров а и Ь, удовлетворяющими со-
соотношению A9); следовательно, при перемещении по поверхности Е их
диференциалы dx, dy, dz удовлетворяют соотношению:
?dy + ?dz + da + )Ldb = O. B1)
Ъх Ъу ' Ъг ' Ъа ' ЪЬ
Чтобы поверхность Е, представляющая место точек (х, у, z), касалась
поверхности S, необходимо, кроме того, чтобы было
bldx+b/dy^ldz = 0.
Ъх ' Ъу Ъг
Принимая во внимание соотношение B1), получим:
Ъа
Так как а и b — переменные независимые, то координаты (х,у, z) точки
прикосновения должны одновременно удовлетворять уравнениям:
Следовательно, мы получим уравнение огибающей поверхности, исклю-
исключив а и b из трех уравнений A9) и B2). Действительно, приведенное
рассуждение показывает, что полученная таким образом поверхность ка-
касается поверхности S, если только значения (х, у, z), удовлетворяющие
уравнениям A9) и B2), не удовлетворяют одновременно уравнениям:
Ь1 = ь1 = ь1 = о
Ъх Ъу Ъг
Следовательно, получающаяся поверхность будет или огибающею по-
поверхностей ^, или же местом их особых точек.
Таким образом мы имеем огибающие поверхности двух разных ви-
видов, смотря по тому, зависят ли огибаемые поверхности от одного или

§ 202—203 I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 121
от двух параметров. Например, касательная плоскость к сфере или
к гиперболоиду зависит от двух параметров, и она касается поверхно-
поверхности только в одной точке. Напротив, касательная плоскость к конусу
или к цилиндру зависит только от одного переменного параметра, но
зато касается своей огибающей поверхности вдоль целой образующей.
213. Развертывающиеся поверхности Если мы имеем семейство пло-
плоскостей, зависящих от одного переменного параметра, то поверхность,
огибающая плоскости этого семейства, называется развертывающеюся
поверхностью. Пусть будет
z = ax+yfG.) + y(a) B3)
уравнение переменной плоскости Р, а — переменный параметр, и/(а),
у (а)— некоторые функции этого параметра. Характеристика плоско-
плоскости Р представится уравнением B3) и уравнением
*+.у/'(а)-Н'(а)=0, B4)
которое получим, диференцируя уравнение B3) по а. Отсюда видно,
что в нашем случае характеристика есть некоторая прямая линия G;
следовательно, развертывающаяся поверхность есть поверхность линей-
линейчатая. Докажем, что все прямые G касаются некоторой кривой двойной
кривизны. Для этого продиференцируем B4) по а; получающееся урав-
уравнение
y/"(z) + f(a) = 0 B5)
определяет на характеристике G некоторую точку М. При изменении
параметра о местом точек М будет некоторая кривая двойной кривиз-
кривизны Г, касательного к которой служит прямая G. В самом деле, кри-
кривая Г представляется тремя уравнениями B3), B4), B5), из которых
мы можем выразить координаты х, у, z ъ функции параметра а. Дифе-
Диференцируя два первых из этих уравнений и принимая во внимание по-
последнее, получим:
dz==adx-\-f(a)dy,. dx.-\-f(a)dy = 0. B6)
Но те же соотношения B6) мы получим и для характеристики G, ди-
диференцируя уравнения B3) и B4) при а постоянном. Отсюда следует,
что касательная к кривой Г параллельна характеристике G; кроме того,
обе эти прямые имеют общую точку М; следовательно, они между со-
собою тождественны.
Из предыдущего следует, что всякую развертывающуюся поверх-
поверхность можно определить как место касательных к некоторой кривой
двойной кривизны Г. В виде исключения, эта кривая Г может обра-
обратиться в точку на конечном или бесконечном расстоянии; тогда раз-
развертывающаяся поверхность обращается в конус или цилиндр. Это
будет, если f(a) — 0.
Обратно, место касательных к каждой кривой двойной кривизны Г
есть развертывающаяся поверхность. Пусть будут
x=f(t), y = <f(t), z = i?{t)

122 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 203
уравнения кривой Г. Соприкасающаяся плоскость этой кривой (см. даль-
дальше, § 214)
+ z) = O, B7)
где коэфициенты А, В, С удовлетворяют двум соотношениям:
Bdty \ Cd2z = 0, B8)
зависит только от одного переменного параметра t. Покажем, что ха-
характеристика этой плоскости есть касательная прямая к кривой Г. Эта
характеристика есть линия пересечения соприкасающейся плоскости
с плоскостью
dA (Х-х) -\-dB(Y —у) + dC(Z-z) = 0,
которая также проходит через точку (х, у, z). Чтобы доказать, что эта
линия совпадает с касательного прямою к кривой Г, достаточно пока-
показать, что
Adx-\-Bdy f Cdz = 0,
dA dx \dBdy\ dC dz = 0.
Первое из этих соотношений есть одно из соотношений B8), опре-
определяющих коэфициенты А, В, С; второе мы получим, диференцируя
первое и принимая во внимание вторую из формул B8):
A
Этот способ образования поверхностей дает довольно ясное пред-
представление о форме этих поверхностей. Пусть будет АВ дуга кривой
двойной кривизны. Проведем в каждой точке М дуги АВ касательную
и рассмотрим только ту из двух частей касательных, считая от точки
прикосновения, которая соответствует одному из двух противоположных
направлений на этой касательной, например направлению от А до В.
Место этих полупрямых есть часть поверхности или полость S^, огра-
ограниченная дугою АВ и двумя касательными в точках А и В, прости-
простирающимися в одну сторону в бесконечность. Если мы возьмем таким
же образом остальные части касательных, то получим другую полость
.S2, соединяющуюся с Sz вдоль дуги АВ. Для наблюдателя, помещаю-
помещающегося над кривою, обе полости развертывающейся поверхности будут
казаться отчасти закрывающими одна другую. Ясно, что всякая пло-
плоскость, проходящая через какую-нибудь точку О дуги АВ, будет пересекать
обе полости S1 и S2 развертывающейся поверхности по двум ветвям
кривой, сходящимся в точке О и образующим здесь точку возврата.
Вследствие этого кривая двойной кривизны Г называется ребром воз-
возврата развертывающейся поверхности.
В этом свойстве также легко убедиться вычислением. Примем точку О
за начало координат, секущую плоскость — за плоскость хОу, касатель-
касательную прямую — за ось Oz, и соприкасающуюся плоскость — за плос-
плоскость xOz. Если мы примем z за независимое переменное, то разло-
разложения координат х, у точки кривой Г будут иметь вид:

§ 203-204 I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 123
так как в начале координат должно быть:
dx dy d2y
dz~dz=ssdi»== "
Отсюда следует, что уравнения касательной прямой к кривой Г в точ-
точке, близкой к началу координат, будут:
X— а2г2 — а3г3— ... _У— b3z3 — ... _
2a2z +. ... ~3~V> + • • • ~ Z'
Полагая Z = 0, мы получим координаты X, Y точки пересечения ка-
касательной прямой с секущею плоскостью. Разложения этих координат
начинаются соответственно членом с z2 и членом с z3. Следовательно,
кривая Г имеет в начале координат точку возврата.
Пример. Примем за ребро возврата кривую двойной кривизны третьего
порядка x—t, y=fi, z = fi. Уравнение соприкасающейся плоскости к этой кри-
кривой будет:
Р — ЗЛДГ-f- Ш— Z=0. B7)
Из определения огибающих поверхностей следует, что мы получим уравнение
развертывающейся поверхности, выразив, что уравнение B7), рассматриваемое
как уравнение по t, имеет двойной корень, т. е. исключив t из двух уравнений
=0, ¦»
Результат исключения будет:
(XY— ZJ - 4 (А-2 — Y) (Г2 — XZ) = 0;
таким образов искомая развертывающаяся поверхность — четвертого порядка.
Заметим, что уравнения (Е) представляют касательную к данной кривой
третьего порядка.
204. Диференцианьное уравнение развертывающихся поверхностей.
Пусть будет z = F(x, у) уравнение развертывающейся поверхности.
Функция F{x, у) удовлетворяет уравнению s2 —rt = O, где г, s, t пред-
представляют, как обыкновенно, частные производные второго порядка от
функции F(x, у) (§ 26).
В самом деле, касательная плоскость к этой поверхности, предста-
представляемая уравнением:
должна зависеть только от одного переменного параметра; следовательно,
из трех количеств р, q, z — рх — qy произвольно только одно, и,
в частности, между количествами р и q должно быть некоторое соот-
соотношение f(p, q) = 0. Отсюда следует, что определитель Якоби
D(p,q)
D(x,y)
= rt - s2
должен быть тождественно равен нулю.
Обратно, если мы имеем rt — s2 = 0, то р и q связаны, по край-
крайней мере, одним соотношением. Если этих соотношений будет два, то р
и q — постоянные, р -^ a, q~b, и функция F(x, у) имеет вид:

124 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 204—205
ах 4- by 4- с; следовательно, искомая поверхность есть плоскость. Если же
между b и q есть только одно соотношение, то его можно представить
в виде: <7 = (Р (/>). г^е Р не есть постоянное. Но мы имеем также
откуда следует, что если Н — s2 = 0, то г — /?х — ду есть также неко-
некоторая функция ф (/?)' от /?. Таким образом неизвестная функция
z = F(x, у) и ее частные производные р и q удовлетворяют двум соот-
соотношениям:
q=<f(p), z — px — w(p)y=
Диференцируя второе из них по х и у, получим:
[х+уч'(р) + Ф(р)]ъ?=о, [х-\-у<?Чр) + ^(р)]Ь~
Так как р — не постоянное, то должно быть
Следовательно, мы получим уравнение искомой поверхности, исклю-
исключая р из соотношений:
г=рх 4-я> (Р) + Ф (/>)> * +Л>' (/>) + Ф' (/>) = °-
Но это исключение дает огибающую поверхность плоскости, предста-
представляемой первым из предыдущих уравнений, если в нем будем рассма-
рассматривать р как переменный параметр.
205. Огибающая семейства кривых двойной кривизны. Семейство кри-
кривых двойной кривизны, зависящее от одного переменного параметра,
вообще, не имеет огибающей. Рассмотрим сначала семейство прямых:
х = аг + р, y=bz + q, B9)
где а, Ь, р, q — данные функции переменного параметра а. Найдем,
при каком условии каждая прямая этого семейства будет касаться не-
некоторой кривой двойной кривизны Г. Пусть будет г = <р (а) коорди-
координата z точки М, в которой прямая D рассматриваемого семейства
касается огибающей Г. Эта кривая Г будет представлена уравнениями
B9) и уравнением z=<f(a), и угловые коэфициенты касательной к этой
кривой будут иметь следующие выражения:
g = e<p'(а)+ «'?(«) + //, ^ = *<р'(я) + *'<р(аL-?', ^=<Рг(а),
где а', Ь\ р', q' — производные от a, b, p, q по а. Для того чтобы
этою касательного была сама прямая D, необходимо и достаточно, что-
чтобы было
dx dz dy dz
da da' da da'

§ 205 I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 125
т. е.
Таким образом неизвестная функция (р (а) должна удовлетворять двум
различным соотношениям; следовательно, рассматриваемое семейство
прямых будет иметь огибающую только в том случае, если эти соотно-
соотношения будут совместимы, т. е. если
Если это условие удовлетворяется, то мы получим огибающую, взяв
*<•>-.-?--?•
Это рассуждение легко обобщить. Рассмотрим семейство кривых
двойной кривизны С, зависящее от переменного параметра а; пусть
будут
Р(х,у,г,а) = 0, Ф(х,у,г,а) = 0 C0)
уравнения этого семейства. Если кривые С касаются некоторой кри-
кривой Г, то координаты (х, у, г) точки М, в которой огибающая Г ка-
касается одной из кривых С, соответствующей некоторому определен-
определенному значению а параметра, будут функциями от а, удовлетворяющими
двум уравнениям C0) и, кроме того, еще двум другим уравнениям.
Пусть будут dx, dy, dz диференциалы, соответствующие перемещению
точки М вдоль кривой С; так как на кривой С параметр а остается
постоянным, то между этими диференциалами будут иметь место со-
соотношения:
bF , . bF , . bF, n )
ьф ьф йФ • C1)
= °- J
С другой стороны, пусть будут Ьх, by, bz, Ьа. диференциалы от х,
у, г, а, соответствующие перемещению точки М вдоль кривой Г. Эти
диференциалы удовлетворяют соотношениям:
—- Ьх 4- —- Ьу -\- — bz -f- -— Ьа = 0,
Ьх ' by l Ьг 'из
-— Ьх 4- г— §у 4- —- bz -{- ~ Ьа = 0.
д* ' йу ' bi ' Ьа
C2)
Необходимыми и достаточными условиями того, чтобы кривые С и
Г касались между собою, будут:
d_x dy dz m
S3c г^ Si'

126 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 205
отсюда, принимая во внимание соотношения C1) и C2), получим:
Следовательно, координаты (х, у, z) точки прикосновения должны
удовлетворять уравнениям:
F=0, Ф = 0, ^ = 0,^ = 0. C3)
da ш
Таким образом для того, чтобы кривые С имели огибающую, необходимо,
чтобы при всяком значении параметра а четыре предыдущих уравнения
были совместимы. Обратно, если уравнения C3) имеют при всяком а
общее решение относительно х, у, z, то из предыдущего следует, что
кривая Г, описываемая точкою (х, у, z), касается в каждой из своих то-
точек соответствующей кривой С. При этом, однако, предполагается, что
точка с координатами (х, v, z) не есть особая точка кривой С, т. е.
что отношения диференциалов dx, dy, dz действительно определяются
уравнениями C1).
Примечание I. Если кривые С представляют характеристики семейства
поверхностей F(x, у, z, a) = 0, зависящих от одного параметра, то четыре урав-
уравнения C3) приводятся только к трем различным уравнениям:
F = 0, - = 0, — = 0. C4)
da да?
Следовательно, характеристики семейства поверхностей, зависящих от одного па-
параметра, всегда имеют огибающую, .представляемую уравнениями C >). Это пред-
предложение есть обобщение теоремы, доказанной выше для образующих разверты-
развертывающейся поверхности (§ 203),
Примечание И. Первое и третье уравнение системы C3) представляют
характеристику поверхности из семейства от одного параметра F (х, у, г, а) = 0.
Второе и четвертое уоавнения точно так же представляют характеристику поверх-
поверхности Ф (х, у, z, а) = 0. Если кривые С имеют огибающую, то всякая точка при-
прикосновения кривой С с огибающей принадлежит одновременно двум характерис-
характеристикам. Огибающая кривых С составляет часть места пересечения огибающих обеих
поверхностей,
Уравнения переменной прямой представляются иногда в виде:
'
где х0, уп ,z0, а, Ь, с — функции переменного параметра а. Легко найти прямым
путем, при каком условии эта прямая имеет огибающую. Обозначим через I об-
общее значение предыдущих отношений; выражения координат любой точки этой
прямой будут:
x = xt-\-la, y=yo + lb, z = zo + lc.
Посмотрим, нельзя ли принять за / такую функцию от а, чтобы подвижная пря-
прямая C5) оставалась касательного прямою во всех точкзх кривой, описываемой
точкою (х, у, г). Для этого должно быть:

§ 205-206
ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ
127
Обозначая через от общее значение отношений C6) и исключая / и т из полу-
получающихся трех линейных уравнений, мы придем к у равнению:
а
в'
Уо
b
V
= 0.
C7)
Если'условие C7) удовлетворяется, то соотношения C6) определяют /, а следо-
следовательно, и огибающую.
II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ, КРИВОЙ И ПОВЕРХНОСТИ.
206. Прикосновение плоских кривых. Пусть будут С и С' две плос-
плоские кривые, касающиеся друг друга в точке А. Установим между точ-
точками обеих кривых в окрестности точки А такое соответствие, чтобы,
когда точка т кривой С, перемещаясь, приходила в А, вместе с нею при-
приходила бы в Л и соответствующая ей точка т' кривой С'. Примем за главное
бесконечно-малое дугу Am, или, что равносильно этому, — хорду Am,
и определим сначала, какое соответствие должно установить между
точками т и т', чтобы порядок малости отрезка mm' относительно
Am был возможно более высоким *. Отнесем обе кривые к системе
прямоугольных или косоугольных осей координат, так, чтобы ось Оу
не была параллельна общей касательной AT. Пусть будут
Y=F(x)
(с)
(с1)
уравнения обеих кривых, и (х0 , у0) — координаты точки А. Координаты
точки т будут xo-{-h и /(xo-j-/z), а координаты точки т' будут
х0 + k и F(xo-\-k), причем k есть
некоторая функция от h, определяющая
характер соответствия между точками
обеих кривых и стремящаяся к нулю
вместе с h. Заметим, что при таком
выборе оси Оу мы можем заменить
главное бесконечно-малое Am через
h = ap (черт. 36), так как при неогра-
неограниченном приближении точки т к точ-
. ар О
ке А отношение стремится к неко-
Ат .
отличному
Р
Черт. 36.
торому конечному пределу,
от нуля.
Предположим, что при некотором определенном соответствии между
точками mum' отрезок mm' относительно h будет бесконечно-малым
(r-j-l)-ro порядка, тогда mm'2 будет бесконечно-малым Bг-|-2)-го по-
порядка. Обозначая через 8 угол между осями, будем иметь:
* = [F(x0 + k)) —f{x0 + h) 4- (k — h) cos 6]2 + (k — hf sin2O;
* .Очевидно, этот порядок можно получить, ставя в соответствие точке т
точку от' кривой С", находящуюся на минимальном расстоянии от т. Но мы по-
покажем, что этот способ соответствия можно заменить бесчисленным множеством
других.

128 ГЛАВА У. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 206
отсюда следует, что каждая из разностей к — Аи F(xQ-\-k)—f(xo-{-h)
должна быть по крайней мере бесконечно-малою (r-f-lj-ro порядка,
т. е. должно быть:
причем аир суть функции от h, остающиеся конечными, когда h стре-
стремится к нулю. Последнюю формулу мы можем представить в виде:
F(x0 + h -f W+Ч -f(x0 + h) = pA"+i.
Если мы разложим выражение F(x0 -f- h -J- а/гг+1) по степеням а, то
часть, зависящая от а, будет бесконечно-малою по крайней мере (г-\- 1)-го
порядка. Отсюда следует, что разность
Д = />(*„+ *)—/(*„
есть бесконечно-малое по крайней мере (r-j-l)-ro порядка, но порядок
ее малости может быть и выше. Эта разность Д представляет расстоя-
расстояние тп между двумя точками кривых С и С', лежащими на прямой,
параллельной оси Оу. Так как заменою точки т' точкою п можно толь-
только увеличить порядок малости отрезка тт\ то отсюда следует, что по-
порядок малости расстояния между соответствующими точками обеих
кривых будет всего выше в том случае, когда соответствующие точ-
точки т и т' лежат на прямой, параллельной оси Оу. Если этот поря-
порядок равен г-\-\, то говорят, что обе кривые имеют в точке А прикос-
прикосновение r-го порядка.
Примечания. По поводу этого определения можно заметить следующее.
Очевидно, что осью Оу может служить любая прямая, не параллельная общей
касательной AT. Отсюда следует, что при вычислении порядка прикосновения
двух кривых можно считать соответственными точки обеих кривых, лежащие на
одной прямой, параллельной произвольной прямой D, лишь бы направление этой
прямой D отличалось от направления касательной AT; из предыдущего доказа-
доказательства видно, что полученный порядок малости не зависит от направления пря-
прямой D. В последнем легко убедиться непосредственно. В самом деле, предполо-
предположим, что через точку т кривой С проведены прямые mm' и тп (черт. 36) по
двум определенным направлениям, не параллельным касательной AT. Из Д/шя'я
имеем:
mm' __ sin ?_ тпт'
тп sin ?_ тт'п'
Когда точка т приближается к А, то углы тпт1, тт'п имеют пределы, от-
отличные от 0 и it, так как хорда т'п имеет пределом касательную AT; следова-
следовательно, порядок отрезка mm' одинаков с порядком отрезка тп. Отсюда также сле-
следует, что каков бы ни был закон соответствия между точками т' и т, mm' не
может быть бесконечно-малым порядка высшего, чем порядок бесконечно-малого тп,
так как числитель sin ?_ тпт' имеет конечный предел, отличный от нуля.
Мы брали за главное бесконечно-малое дугу Am или хорду Am; но мы полу-
получили бы тот же самый результат, взяв за главное бесконечно-малое дугу An кри-
кривой С, так как хорды Am и An одинакового порядка малости.
Если кривые Си С1 имеют прикосновение г-го порядка, то между точка-
точками от, /я' можно установить бесчисленными способами соответствие так, чтобы
mm' было бесконечно-малым (/-+1)-го порядка; для этого нужно только взять
k = h + ah*+i, где 5Э=/", и а есть функция от h, сохраняющая конечное значение
при h = 0. Если же * < г, то mm' будет только {s + 1)-го порядка.

§ 207 II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 129
207. Порядок прикосновения. Как видно из предыдущего, для того
чтобы получить порядок прикосновения кривых С, С', нужно вычислить
порядок малости разности
относительно h. Так как кривые касаются между собою в точке А, то мы
имеем:
* (х0) =/(*0). F' (xo) =f (*o);
но может случиться, что при х = х0 будут равны между собою и не-
некоторые производные высших порядков от обеих функций. Рассмотрим
общий случай. Предположим, что мы имеем:
F(xo)=f(xo), Fl(x0)=f(x0),
F" (х0) =/" (*„), ... , FW (х0) =/"> (*„)
и пусть ближайшие следующие производные F("+1> (x0), f-a+1)(x0) будут
не равны между собою. Применяя формулу Тейлора к функциям F(x)
и f(x), получим:
Н
F(x0) + \ F'(x0)
где s, e' — бесконечно-малые; вычитая, будем иметь:
у-У=1.2 ..{nj-\)'[Fi"+l) {Хо) ~^"+1)^ + s- ?']• C9)
Таким образом порядок прикосновения обеих кривых равен порядку
тех наивысших производных от функций f {х) и F(x), которые вместе
со всеми предыдущими производными попарно равны между собою
при дг = лг0.
Из условий C8), которые были даны Лагранжем, видно также,
что х = х0 есть кратный корень (п + 1)-го порядка уравнения F(x) =
=f{x). Но корни этого уравнения определяют абсциссы общих точек
обеих кривых С, С1; следовательно, можно сказать, что у кривых, имею-
имеющих прикосновение л-го порядка, п -\- 1 из их точек пересечения сли-
сливаются в одну точку.
Из формулы C9) видно, что разность Y—у меняет знак вместе
с h при п четном и не меняет знака при п нечетном. Таким образом
кривые, имеющие прикосновение нечетного порядка, не перекрещи-
перекрещиваются в точке прикосновения, а кривые, имеющие прикосновение
четного порядка, в точке прикосновения перекрещиваются^ Нетрудно
видеть, почему это будет так. Рассмотрим, например, кривую С, пере-
9 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.

130 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 207
секающую кривую С в трех точках, близких к точке А; если мы будем
непрерывно изменять кривую С так, чтобы все три точки пересечения
наконец совпали с точкою А, то в своем предельном положении кри-
кривая С будет иметь прикосновение второго порядка с кривою С, и,
построив чертеж, легко видеть, что обе кривые будут перекрещиваться
в точке А. Очевидно, что такое же рассуждение применимо и во всех
других случаях.
Если, как это и будет в общем случае, уравнения обеих кривых не
решены относительно у и К, то, пользуясь правилами для вычисления
производных от неявных функций, можно составить необходимые усло-
условия, при которых две кривые будут иметь прикосновение л-го порядка;
таким образом эта задача не представляет никаких особых трудностей.
Мы рассмотрим только несколько частных случаев, встречающихся наи-
наиболее часто. Предположим, что координаты точек каждой из двух
кривых выражены в функции переменного параметра:
*=/(«), I (С,
где х и X суть одинаковые функции от t и и. Пусть при некотором
частном значении t0 мы имеем:
так что обе кривые касаются друг друга в точке А с координатами f(t0),
w(t0). Предположим, что здесь f (t0) не равна нулю; тогда общая
касательная к обеим кривым в точке А не будет параллельна оси Оу,
и мы получим точки обеих кривых, имеющие одну и ту же абсциссу,
полагая u = t. С другой стороны, так как разность х— х0 первого
порядка относительно t—10, то задача приводится подобно предыду-
предыдущему к вычислению порядка малости разности ф (t) — ср (J) относи-
относительно t—?0. Следовательно, чтобы кривые С, С имели прикосновение
не ниже л-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы было
Ф (/о) = ? (*о), Ф' Со) = <РГ Со). • • • > Ф(л) Со) = <f(й) Со); D°)
если при этом производные ф(л+1)(^о) и !Р(л+^(^о) не Равны между
собою, то прикосновение будет как раз л-го порядка.
Рассмотрим еще тот случай, когда кривая С представлена двумя
уравнениями:
х =
тогда как кривая С' дана уравнением F(x, y)-=0. Этот случай можно
привести к предыдущему. Заменим в F(x,y) переменное х через f(t);
пусть будет y = ty(t) неявная функция, определяемая соотношением:

§ 207-208 II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 131
Отсюда видно, что мы можем принять, что кривая С' представлена
системою двух уравнений:
-x=t(t), y = ^(t). D3)
Чтобы кривые С, С' имели в точке А, соответствующей значению t0
параметра, прикосновение л-го порядка, необходимо, чтобы удовлетво-
удовлетворялись найденные выше соотношения D0). Но производные различных
порядков от неявной функции 4(/) получаются из уравнений;
WW+f
Полагая в этих формулах t = t0, x=/(t0), ф (*0) = <р (*0), ф'(*о> =
— <Р'(^о)> • • • > Ф(я'(гч)) = <Р(я)(А))' мы будем иметь необходимые условия
того, чтобы прикосновение кривых С, С было я-ro порядка. Эти усло-
условия можно выразить следующим образом.
Положим:
Чтобы данные кривые имели в точ<е t = t0 прикосновение не ниже
п-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы было
% (to) = 0. & Со) = 0, .... $(«> (t0) = 0. D5)
Корнями уравнения ^(/0) = 0 служат значения параметра t, соот-
соответствующие точкам пересечения обеих кривых. Поэтому предыдущие
условия C0) показывают, что значение t = tQ есть {п-\- 1)-кратный ко-
корень уравнения g=(^0) = 0, т. е. что я-f-l точек пересечения рассма-
рассматриваемых кривых слипаются в одну точку.
2Э8. Соприкасающиеся кривые. Если дана некоторая определенная
кривая С и другая кривая С, зависящая от п -\-1 параметров а, Ь, с, . .., /
и представляемая уравнением:
F(x,y, a,b,c, ..., /) = 0, . D6)
то, вообще, возможно выбрать значения этих л —j— 1 параметров таким
образом, чтобы в некоторой заранее данной точке кривой С кривая С'
имела с кривою С прикосновение л-го порядка. Пусть будут x—f(t),
y = y(t) уравнения кривой С. Чтобы кривые С, С имели в точке t = t0
прикосновение л-го порядка, должны удовлетворяться условия D5), где
Когда значение/0 параметра дано, то из п-\-\ уравнений D5) можно
определить значения п-\- 1 параметров а, Ь, с, ... , /. Полученная таким
9*

132 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 208
образом кривая С называется соприкасающеюся с кривою С (оску-
лирующею).
Применим эту теорию к простейшим линиям. Уравнение прямой
у = ах-\-Ь зависит от двух параметров аи Ь; следовательно, соприка-
соприкасающаяся прямая имеет с данною кривою С, вообще, прикосновение
первого порядка. Если у = /(х) есть уравнение кривой С, то пара-
параметры а и b должны удовлетворять соотношениям:
/(*о) = ахо + ь< /' (*о) = а'<
внося полученные значения для а и b в уравнение прямой, мы получим
уравнение касательной, как этого и следовало ожидать. Уравнение ок-
окружности
{Х—а)* + (у — Ь)* — #2 = 0 D7)
Зависит от трех параметров: a, b, R; следовательно, соприкасающаяся
окружность имеет, вообще, прикосновение второго порядка. Пусть бу-
будет y=f(x) уравнение данной кривой; мы получим значения a,b,R
из условий, выражающих, что окружность встречает эту кривую в трех
сливающихся точках. Эти условия дают вместе с уравнением D7) еще
два уравнения:
X —а + (У-*)У = 0, 1+У»±(у-Ь)У = 0. D8)
Значения а и Ь, получающиеся из уравнений D8), тождественны с коор-
координатами центра кривизны; таким образом соприкасающийся круг есть
вместе с тем и круг кривизны. Так как прикосновение будет второго
порядка, то отсюда следует, что круг кривизны плоской кривой пере-
пересекает эту кривую в точке прикосновения.
Все эти результаты можно было предвидеть. В самом деле, так как
координаты центра кривизны зависят только от х, у, у', у", то две
кривые, имеющие прикосновение второго порядка, имеют и общий
центр кривизны. Но центр кривизны соприкасающегося круга есть, оче-
очевидно, центр самого круга; следовательно, круг кривизны тождествен
с соприкасающимся кругом, так как последний имеет с кривою при-
прикосновения второго порядка. С другой стороны, рассмотрим два круга
кривизны для двух близких между собою точек кривой; разность ра-
радиусов, равная длине дуги развертки между двумя центрами кривизны,
будет больше расстояния между центрами. Следовательно, один из двух
кругов расположен внутри другого, а этого не могло бы быть, если
бы вблизи точки прикосновения эти круги были расположены или оба
внутри, или оба вне кривой С. Следовательно, они должны пересекать
кривую С.
Однако на плоской кривой могут быть некоторые особые точки,
в которых соприкасающийся круг не пересекает кривую; это замечание
связано с одним общим свойством соприкасающихся кривых. Если нам
дана кривая С, зависящая от п -\- 1 параметров, то к п -(-1 уравне-
уравнениям D5) мы можем присоединить еще новое уравнение:

§ 208-209 И. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 133
если только будем рассматривать t0 как новое неизвестное, которое
нужно определить вместе с параметрами а, Ь, с, ... , /. Отсюда видно,
что на плоской кривой С, вообще-, есть такие точки, в которых при-
прикосновение с соприкасающеюся кривою С будет (я-(-1)-го порядка.
Так, например, есть точки, в которых касательная имеет с кривою при-
прикосновение второго порядка; это—точки перегиба, для которых/ = 0.
Чтобы получить точки кривой, в которых соприкасающийся круг имеет
прикосновение третьего порядка, нужно продиференцировать последнее
из уравнений D8); это дает:
Зу/ +0, -Ь)у'"= 0;
исключая у — Ь из этого уравнения и из уравнения D8), будем иметь
условие:
A +У2)У"' — ЗУ/2 = 0. D9)
Точки, удовлетворяющие этому условию, суть те, для которых
— = 0, т. е. в которых радиус кривизны имеет максимум или минимум.
&х
Например, у эллипса такими точками будут его вершины, у циклоиды —
те точки, в которых касательная параллельна основанию.
204. Свойства соприкасающихся кривых. На соприкасающуюся кри-
кривую можно смотреть как на предельное положение кривой С, встреча-
встречающей кривую С в п -\- 1 бесконечно близких точках, когда все эти
точки слились в одну. Рассмотрим, например, семейство кривых, зави-
зависящих от трех параметров а, Ь, с; пусть будут to-\-hv to-\~h2, to-\-hs
значения параметра t, близкие к значению t0. Значения параметров
a, й, с для кривой С", встречающей кривую С в трех точках, соответ-
соответствующих этим значениям параметра t, определяются из трех уравнений:
3;('o + Ai) = o. гН'о-И2) = °. гН'о + Л3) = О. E0)
Вычитая первое уравнение из каждого из двух остальных и приме-
применяя к разностям формулу конечных приращении, мы получим равно-
равносильную систему уравнений:
&('o + *i) = O, &'('„ +*!)=«. %'(*о + Ь2) = О, E1)
где &j заключается между hx и h2, a k2 — между Aj и h3. Далее, вычитая
второе уравнение из третьего и применяя к разности формулу конеч-
конечных приращений, мы придем к новой системе:
%(to-'rh,) = O, &r('o + *i) = °. Г('о-К) = °. E2)
где /j заключается г ежду &, и k2. Когда hv h2, hs стремятся к нулю,
то будут стремиться к нулю и kv k2, 1г, и уравнения E2) в пределе
обращаются в
а это те самые уравнения, которые определяют соприкасающуюся кри-
кривую. Доказательство остается таким же для всякого числа параметров.

134
ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ
§ 209-210
Мы можем также определить соприкасающуюся кривую как предельное
положение кривой С, касающейся кривой С в р точках и пересекаю-
пересекающей эту кривую в q других точках (где 2p-\~q = n -J- 1), когда эти
p-\-q точек сливаются в одну.
Например, соприкасающийся круг есть предельное положение круга,
проходящего через три точки кривой С, бесконечно близкие к точке
прикосновения; вместе с тем соприкасающийся круг есть также пре-
предельное положение круга, касающегося в данной точке кривой С и
проходящего через другую точку этой кривой, бесконечно близкую
к первой.
Остановимся несколько на этом последнем свойстве, которое легко
проверить. Примем за начало координат данную точку кривой, за deb
Ох — касательную к кривой, и за поло-
положительное направление оси Оу то направ-
направление нормали, которое обращено к центру
кривизны. В начале координат мы будем
иметь _у' —0; следовательно, /?= —, и
по формуле Тейлора получим:
Черт. 37.
где г бесконечно мало вместе с х. Отсюда следует, что R есть пре-
дел выражения —- = ±—1— , когда точка М приближается к точке 'О.
*"У М1Г4 1
С другой стороны, пусть будет R1 радиус круга Cv касающегося оси Ох
в начале координат и проходящего через точку М. Мы имеем:
или
ОР2= /И/я2 = МР B/?а — МР),
2МР
Р~ J 2~
следовательно, предел радиуса Rt действительно равен радиусу кри-
кривизны R.
210. Прикосновение двух кривых двойной кривизны. Порядок при-
прикосновения кривых двойной кривизны определяется таким же образом,
как и порядок прикосновения плоских кривых. Рассмотрим две кривые
двойной кривизны Г, F, касающиеся между собою в точке А. Пусть
будет М точкз кривой Г, близкая к точке А, и пусть точке М кри-
кривой Г соответствует некоторая точка М' кривой Г' таким образом,
что точки М' и М вместе приближаются к точке А. Найдем наи-

§ 210 II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 135
высший возможный порядок малости бесконечно малого расстояния
ММ' относительно дуги AM, рассматриваемой как главное беско-
бесконечно-малое. Если этот наивысший порядок будет равен я-(-1, то
мы будем говорить, что кривые Г и Г' в точке А имеют прикссновение
п-го порядка.
Отнесем обе кривые к системе прямоугольных осей *, причем возь-
возьмем плоскость yz не параллельною общей касательной к обеим кривым
к точке А, и предположим сначала, что уравнения этих кривых имеют
вид:
*=?(*), J (Г)
Y=F(x), \
г = Ф(х). f
Пусть будут х0, у0, z0 координаты точки прикосновения А. Коорди-
Координаты точек М, М1 будут соответственно равны:
где k есть некоторая функция от h, зависящая от принятого закона
соответствия между точками кривых Г и Г' и обращающаяся в нуль
вместе с А. Как и в случае плоских кривых (§ 206), за главное беско-
бесконечно-малое вместо длины дуги AM можно принять h/Для того чтобы
расстояние ММ было бесконечно малым (n-j-l)-ro порядка, необходимо,
чтобы каждая из разностей
k-h, F(xo+k)-f(xo + h), Ф(*0 + А)-<р(*0 + А)
была бесконечно малою, по крайней мере, (я-{-1)-го порядка.
Следовательно, должно быть:
/Ч*о+ *)-/(*„ +*) = рЛ"«,
где при приближении h к нулю количества а, р, у остаются конечными **.
Заменяя в двух последних уравнениях k его значением А-|~аАя+1, по-
полученным из первого уравнения, будем иметь:
F(x0 -f A + a/t"+1j -f(x0
Ф (х0 + А + aAe+1Ji- <р (х0 + А) =
Разлагая /7(л:04-л + а^л+:1) и Ф(дго +A4-aA"+1) в ряды по формуле
Тейлора, найдем, что все члены, содержащие а, имеют множителем Ая+1;
* Пользуясь формулою для р.сстояния между двумя точками в косоуголь-
косоугольных координатах, легко доказать, что здесь в этом предположении нет необходи-
необходимости.
** Т. е. не обращаются в бесконечность; однако два из них могут обра-
обращаться в нуль.

136 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 210
следовательно, для того чтобы расстояние ММ' было бесконечно малым
(л_|_1)-го порядка, необходимо, чтобы каждая из разностей
была бесконечно-малою, по крайней мере, (л —[- 1)-го порядка. Отсюда
следует, что если расстояние ММ' будет бесконечно малым (и-)-1)-го
порядка, то расстояние MN между точками М ч N обеих кривых с общею
абсциссою xo-\-h будет бесконечно малым не ниже (п + 1)-го порядка.
Следовательно, мы получим наивысший порядок малости, считая соот-
соответствующими точки обеих кривых, имеющие одну и ту же абсциссу.
Легко найти этот наивысший порядок прикосновения. Так как
в точке А кривые касаются между собою, то мы имеем:
Предположим для общности, что, кроме того,
но что, по крайней мере, одна из разностей
Ф<л+1>(лг0) — ср<«+1) (.*„)
не равна нулю. В этом случае расстояние ММ' убудет бесконечно-малым
(п-\-\)-го порядка, и прикосновение будет л-го порядка. Этот результат
можно выразить следующим образом.
Чтобы найти порядок прикосновения кривых Г и Г', нужно рас-
рассмотреть проекции (С, С) и (Сг, С[) этих кривых на плоскости хОу
и xOz, вычислить порядок прикосновения С и С, Сг и Сг и взять
меньшее из этих двух чисел.
Если кривые Г, Г' представлены уравнениями:
¦*=/('), y = <tV), * = <!>('), (Г)
(Г)
то чтобы эти кривые касались между собою в точке ич= / = t0, должно быть:
Если мы предположим, что/'(/0) не равно нулю, то касательная в точке
прикосновения не будет параллельна плоскости yOz, и точки обеих
кривых, имеющие общую абсциссу, будут соответствовать одному и
тому же значению параметра t. Следовательно, чтобы прикосновение
было к-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы разности Ф (t) —
— <р(/) и Ч? (t) — ф(^) были относительно / — tQ бесконечно-малыми
(п -\- 1) порядка, т. е. чтобы было
ф'(д=<рг(д,..., ф(л>(д=<р«(д,
ф (t0) ==

§ 210—211 II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 137
но чтобы по крайней мере одна из разностей
ф(«+1) (/у _ ^+1) (д, ф(»+1) (д _ ф<»*1) (д
не была равна нулю.
Случай, когда кривая Г представлена уравнениями:
x=/(t), У = <?(*), * = ф@, E3)
а кривая Г' —двумя нерешенными уравнениями:
F(x,y,z) = 0, F1(x,y,z)=0,
легко приводится к предыдущему. Повторяя рассуждения § 207, не-
нетрудно доказать, что, для того чтобы в какой-нибудь точке кривой Г,
соответствующей значению /0 параметра, рассматриваемые кривые имели
прикосновение я-го порядка, должно быть:'
3= Со) = 0, W (*о) = 0, ... , $<»> (/0) = 0,
& (t0) = о, з-; (g = о,..., &<«> (g = о,
где
= f U(t),
211. Соприкасающиеся кривые. Пусть будет Г данная кривая, урав-
уравнения которой имеют вид E3); с другой стороны, рассмотрим семей-
семейство кривых Г', зависящее от 2п-\-2 параметров а, Ь, с, .., , I и пред-
представляемое уравнениями
F(x,y,z,a,b,c /)=0, F1(x,y, z, a, b, с, ..., /) = 0. E5)
Вообще, можно выбрать значения этих 2л+2 параметров таким обра-
образом, чтобы соответствующая кривая Г' этого семейства имела с кри-
кривою Г в данной точке прикосновение л-го порядка. Полученная таким
образом кривая называется соприкасающеюся с кривою Г (оскулирующею).
Уравнениями, определяющими значения параметров а, Ь, с, ..., /, будут
те же данные выше уравнения E4). Но должно заметить, что =>ти урав-
уравнения будут совместимы только в том случае, если каждая из функций
F и Fr содержит, по крайней, мере, (я —|— 1) параметров. Например, если
кривые Г' будут плоскими, то одно из уравнений E5) содержит только
три параметра: следовательно, в точке, взятой произвольно на кривой
двойной кривизны, плоская кривая не может иметь с кривою двойной
кривизны прикосновения выше второго порядка.
Применим эту теорию к простейшим линиям: к прямой и к окруж-
окружности. Уравнения прямой содержат четыре параметра; следовательно,
соприкасающаяся прямая имеет, вообще, с кривою прикосновение только
первого порядка. Легко доказать, что соприкасающаяся прямая совпадает
с касательного к кривой Г'. В самом деле, представим уравнения прямой
в виде:
x = az-\-p, y = bz + q)
для .точки прикосновения (х0, у0, z0) с кривою Г уравнения E4) обра-
обращаются, в
xo=azo-\-p, x'6=az'o, yo=b

138 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ §211-212
откуда имеем:
х'о и У'о х'й Уо
в=-г, *=-г , Р=х0 — -jzo, q=yo — -7,zQ,
и мы приходим к уравнениям касательной. Для того чтобы касательная
имела с кривою прикосновение второго порядка, должно быть х' = аг'^,
y = bz"u, и, следовательно,
точки, в которых это имеет -место, будут нами рассмотрены ниже (§ 216).
В пространстве уравнения окружности содержат шесть параметров;
следовательно, соприкасающаяся окружность имеет с кривою Г при-
прикосновение второго порядка. Представим уравнения окружности в виде:
причем переменными параметрами будут а, Ь, с, R. и отношения двух
из коэфициентов А, В, С к третьему. Уравнения, определяющие зна-
значения этих параметров, будут:
А(х-а) + В{у — ft) + C(z —<?) —0,
Adx dy dz
A + B+c=0
dbc <Py ,cd?z
— b)* -\-{z — cJ — /?2 = 0,
где x, у, z должны быть заменены соответственно через f(t), y(t), ф(г)-
Второе и третье из этих уравнений показывают, что плоскость сопри-
соприкасающегося круга совпадает с соприкасающеюся плоскостью к кри-
кривой Г (§ 214). Что касается двух последних уравнений, то, рассматри-
рассматривая в них а, Ь, с как текущие кэординаты, видим, что они представляют
линию пересечения нормальной плоскости к кривой Г в точке (х, у, z)
с нормальною плоскостью в точке, бесконечно близкой к точке (x,y,z)
(см. далее, § 220).
212. Прикосновение кривой с поверхностью. Рассмотрим поверхность 5
и кривую Г, касающуюся этой поверхности в какой-нибудь точке А.
Пусть точке М этой кривой, близкой к точке А, соответствует неко-
некоторая точка М' поверхности таким образом, что обе точки М и Af
вместе приближаются к точке А. Найдем сначала, каким образом нужно
выбрать точки М и М, чтобы порядок малости расстояния ММ от-

§ 212 II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 139
носительно длины дуги AM был возможно выше. Выберем такую си-
систему прямоугольных осей координат, чтобы касательная к кривой Г
в точке А не была параллельна плоскости yOz, и чтобы касательная
плоскость к поверхности S в точке А не была параллельна оси Oz.
Пусть будут xQ, у0, z0 координаты точки A, Z -= F(x,y) — уравнение
поверхно:ти S, y=f(x), z = y(x)— уравнения кривой Г, и предполо-
предположим, что при некотором законе соответствия между точками М и М'
расстояние ММ' будет бесконечно малым (п -j- 1)-го порядка. Коорди-
Координаты х, у, z точки М будут:
обозначим через X, Y, Z==F(X, Y) координаты точки М. Для того
чтобы расстояние ММ было относительно длины дуги AM, или, что
то же, относительно h, бесконечно малым (п -\- 1)-го порядка, необходимо,
чтобы каждая из разностей X— х, Y—у, Z — z была бесконечно ма-
малою, по крайней мере, (п \- 1)-го порядка. Следовательно, должно быть:
где а, [5, у остаются конечными при h = 0. Отсюда имеем:
Из этого равенства следует, что разность F(x,у)—z сама должна
быть бесконечно малою, по крайней мере, (/г —|— 1 )-го порядка. Это по-
показывает, что если мы будем считать соответствующею точке М кри-
кривой Г ту точку N поверхности S, в которой прямая, проходящая че-
через М и параллельная оси Oz, пересекает эту поверхность, то порядок
малости расстояния MN будет не ниже порядка малости расстояния ММ'.
Следовательно, мы получим порядок прикосновения кривой и поверх-
поверхности, если найдем порядок малости расстояния MN относительно
длины дуги AM, или, что то же, относительно h. Иначе можно сказать,
что порядок прикосновения кривой и поверхности есть порядок при-
прикосновения кривой Г с кривою Г', представляющею линию пересеченая
поверхности S с цилиндром, проектирующим кривую,. Г на плоскость
хОу параллельно оси Oz. (При этом очевидно, что за направление
оси Oz мы можем принять любое направление, не параллельное каса-
касательной плоскости.)
Уравнения кривой Г' будут:
y=f(x), Z =
по предположению, мы имеем:
Ф(хо) = (р(;с0
если, кроме того, будет:
Ф"(*о) = «Р"(-«Ь)..". Ф(")(*о)
то кривая и поверхность будут иметь прикосновение л-го порядка. Так
как уравнение Ф (дг) = <р (х) дает абсциссы точек пересечения кривой
с поверхностью, то предыдущие условия прикосновения и-го порядка
показывают также, что (и + 1) точек пересечения кривой с поверхно-
поверхностью сливаются в одну точку А.

140 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ §211-213
Рассмотрим еще тот случай, когда кривая Г представлена уравне-
уравнениями x=f(t), y=y(t), z = ${t), а поверхность S—уравнением
F(x, у, z) = 0. Здесь определенная выше кривая Г' представится урав-
уравнениями x=f(t), y=y(t), z = n(t), где функция 7т(^) определяется со-
соотношением:
Чтобы кривые Г и Г' имели прикосновение и-го порядка, необходимо,
чтобы разность тс(/) — ty(t) была относительно t-—10 бесконечно малою
(ra-j-l)-ro порядка, т. е. чтобы было
тт (t0) = Ф (to). *' (to) = Ф'(^о). • • • - *(л) (to) = ?n) (to)-
Вводя, как выше (§210), функцию $(t), мы можем представить эти
условия в виде:
Эти условия выражают, что п -|- 1 точек пересечения поверхности
с кривою слились в одну точку прикосновения.
Если уравнение поверхности S зависит от п -\-1 параметров а, Ь,
с, . .. , I, то можно выбрать значения этих параметров таким образом,
чтобы эта поверхность имела с данною кривою в данной точке прикос-
прикосновение и-го порядка. Полученная таким образом поверхность назы-
называется соприкасающеюся поверхностью.
В случае плоскости мы имеем три параметра; эти параметры опре-
определяются следующими уравнениями:
t) =0,
t) =0.
Мы получили те же самые уравнения, которыми определялась сопри-
соприкасающаяся плоскость (§ 203); очевидно, что прикосновение будет,
вообще, второго порядка. Чтобы порядок прикосновения был выше вто-
второго, должно быть
т. е. соприкасающаяся плоскость должна быть стационарною (см. ниже,
§ 215).
Уравнение шара зависит от четырех параметров; следовательно, со-
соприкасающийся шар имеет с кривою Г прикосновение третьего порядка.
Вычисления будут проведены ниже (§ 228).
213. Прямые, соприкасающиеся с данною поверхностью. Если урав-
уравнения кривой С зависят от п -\- 2 переменных параметров, то можно
выбрать значения этих параметров таким образом, чтобы эта кривая
имела с данною поверхностью S в данной точке М прикосновение я-го
порядка. В самом деле, если мы выразим, что кривая С проходит через
точку М и встречает в этой точке поверхность 5 в л-f 1 слившихся
точках, то получим для определения значения этих параметров всего
п-\-2 уравнения. Например, уравнения прямой зависят от четырех па-

§ 213 П. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ 141
раметров, следовательно, через каждую точку поверхности проходят
одна или несколько прямых, имеющих с поверхностью прикосновение
второго порядка. Чтобы найти эти прямые, примем рассматриваемую
точку М поверхности S за начало координат и предположим, что
ось Oz не лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке М.
Пусть будет z=F(x, у) уравнение поверхности S относительно этой
системы осей. Так как искомая прямая, очевидно, проходит через начало
координат, то ее уравнения будут иметь вид:
х у _^_ z
Уравнение cp = F(ap, bp) должно иметь р=:0 тройным корнем; следо-
следовательно, должно быть:
с = ар 4- bq,
0 = a?r-\-2abs-\-b4,
где р, q, r, s, t представляют значения производных первого и второго
порядков от F(x,у) при х—у — 0. Первое из этих соотношений по-
показывает, что искомая прямая лежит в касательной плоскости к поверх-
b
ности, что очевидно a priori. Мы видим, далее, что отношение — опре-
определяется из уравнения второй степени, корни которого будут действи-
действительны, если s2 — rt > 0. Таким образом через каждую точку поверхности
проходят две и только две прямых, имеющих с поверхностью прикосно-
прикосновение второго порядка; эти прямые будут действительными или мнимыми
в зависимости от знака s2 — rt. Мы встретимся с этими прямыми в сле-
следующей главе при рассмотрении кривизны поверхностей.
УПРАЖНЕНИЯ.
"~"~1. Пусть будет С данная кривая третьего порядка, имеющая двойную точку
в точке О. Стороны прямого угла M0N, вращающегося около точки О, встре-
встречают кривую С соответственно в точках М и N. Найти огибающую прямой MN.
Рассмотреть, в частности, те случаи, когда уравнение кривой С будет 1у* = х*, и
*+9
+y y
2. Найти те течки, в которых кривая, представляемая уравнениями
х = а (л<о — sin <о), у = а(п — cos <о),
имеет с соприкасающимся кругом прикосновение выше второго порядка.
—-«3. Пусть будут т, mi7 m.2 трн близких между собою точки некоторой плоской
кривой. Найти предельное значение радиуса круга, описанного около треуголь-
треугольника, образованного касательными в точках т, mit т%, когда все эти три точки
совпадают между собою.
~~—4. Доказать, что если замкнутая кривая, без точек перегиба, имеет Замкну-
Замкнутую развертку, то полная длина этой развертки равна удвоенной разности между
суммою значений максимумов радиусов кривизны и суммою значений мини-
минимумов рчдиусов кривизны для всех точек первой кривой.
5. Проведем из каждой точки данной кривой отрезок постоянной длины,
образующий с нормалью к кривой постоянный угол. Доказать, что каждая нор-
нормаль, проведенная к геометрическому месту концов этих отрезков, проходит че-
через соответствующий центр кривизны данной кривой.
~- 6. Пусть будут г радиус-вектор, проведенный из данного полюса в оану из
точек какой-нибудь плоской кривой, и р — расстояние от полюса до касательной

142 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 213
к кривой в этой точке; доказать, что радиус кривизны R выражается формулою
dp
— 7. Доказать, что место фокусов парабол, имеющих с данною кривою в данной
точке прикосновение второго порядка, есть окружность.
— 8. Найти место центров эллипсов с данным направлением осей, имеющих
с данною кривою в данной точке прикосновение второго порядка.
9. Пусть будет F (X, У; х, у) функция от двух пар переменных (х, у), (X, У).
Если рассматривать х и у в уравнении F=0 как координаты опргделенной
точки т, а X и У как текущие координаты, то это уравнение ставит в соответ-
соответствие кажюй точке т плоскости кривую с. Если точка т описывает кривую С,
то соответствующие кривые с огибают кривую Г, определенную двумя уравне-
уравнениями: -\F \F
F(X,y,x,y) = 0, 6f + °fy' = 0.
дх ду
Эта кривая Г выводится из кривой С при помощи преобразования прикоснове-
прикосновения; обратное преобразование получается, если переменить ролями пары пере-
переменных (х, у) и (X, У). Распространение на поверхности см. § 59.
Приложение: F=zx*+yi-Xx- Уу.
10. Для того чтобы кривая, представляемая уравнением F(x, у, а}=0, имела
прикосновение порядка п со своею огибающею, необходимо и достаточно, чтобы
в точке прикосновения было;
Применение к случаю, когда С есть окружность.
11. Всякая поверхность F(х, у, г, а) имеет прикосновение второго порядка
е ребром возврата огибающей поверхности, которое определяется тремя уравне-
да Ъл*
"' 12. Определить геометрическое место центров шаров, имеющих в данной
точке прикосновение второго порядка с данною кривою.
13. Если огибающая переменного шара, зависящего только от одного пара-
параметра, обращается в кривую Г, то эта кривая имеет с шаром прикосновение вто-
второго порядка.
14*. Пусть дана поверхность S; если из каждой точки S как из центра опи-
описать сферу 2 переменного радиуса R, то эта сфзра, вообще говоря, касается
своей огибающей в двух таких точках М, М', что прямая ММ перпендикулярна
касательной плоскости к поверхности S в точке т. Вычислить расстояние 8 от
точки т до прямой ММ'.
Если поверхность отнесена к криволинейной прямоугольной системе коорди-
координат (и, v), так что dst — Edu? -\- Gdtfi, то
Е \ди/ G \iv
15. Если поверхность 5 касается плоскости Р во всех точках некоторой кри-
кривой С, лежащей на этой плоскости, то касательная в любой точке этой кривой
имеет прикосновение третьего порядка с поверхностью S.
16*. Для каждой точки М поверхности S существует, вообще говоря,
оо1 окружностей, имеющих соприкосновение третьего порядка с S. Через каждую
касательную прямую к поверхности в точке М проходит плоскость одного и
только одного из этих кругов. Если М не есть точка округления, то существует
десять окружностей, имеющих в точке М прикосновение четвертого порядка
с поверхностью
[Darboux, Bulletin des Sciences mathematiques, t. IV, 2-de se~rie, 1880,
стр. 348—384.]

ГЛАВА XI.
КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ.
I. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ.
2\\. Определение и, уравнение. У нас несколько раз шла речь
(§203, 211, 212) о соприкасающейся плоскости и кривой двойной кри-
кривизны. Прямое определение этой плоскости аналогично определению
касательной. Пусть будет М точка кривой двойной кривизны Г, и
МТ—касательная в этой точке. Проведем плоскость через прямую Ml
и через некоторую точку М' кривой Г, бесконечно близкую к точке М.
Когда точка М' неограниченно приближается к точке М, то эта плос-
плоскость будет, вообще, стремиться к некоторому определенному положе-
положению; эта предельная плоскость называется соприкасающеюся плоско-
плоскостью кривой Г в точке М.
Выведем уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть будут
*=/('). .У = ?('). * = ФС) 0)
выражения координат точек кривой Г в функции параметра t; пусть
точкам М и М' соответствуют значения t и t-\-h этого параметра.
Уравнение плоскости MTiW будет:
А(Х—x) + B(Y-y) + C(Z — z) = 0,
причем коэфициенты А, В, С должны удовлетворять соотношениям:
Л/(*) + 5<р'@ + Сф'(*)==<), B)
A [f(t + h) —/(<)] + В[<р(t-f h) - <р (*)] + С[\(t + h) - ф(*)] = 0. C)
Заменяя в соотношении C) выражения f(t-\-h), y(t-\-h), ф(^4"^) их
разложениями по формуле Тейлора, получим:
вычитая отсюда соотношение B), умноженное на А, и разделив резуль-
А2
тат на -х-, мы получим систему, равносильную системе уравнений B)
2»
и C):
Л/'(*) + Я<р'(<) + Сф'(') = О,
а [/' (t) 4- sj + в [<р* (о + ej 4- с [ф" (^ 4- в,] = о,

144 глава xi. Кривые двойной кривизны § 214
где Sj, s2, e3 бесконечно малы вместе с п. При приближении h к нулю
последнее соотношение обращается в
Af(t) + Btf(t) + CY(t) = Q. D)
Следовательно, уравнение соприкасающейся плоскости будет:
A(X-x)-\-B(Y—y) + C(Z — z) = 0, E)
причем коэфициенты А, В, С должны удовлетворять соотношениям:
Adx -\-Bdy + Cdz =0, \
А(Рх-\- Bd*y-\- Cdiz = 0. j ( '
Исключая из E) и F) коэфициенты А, В, С, мы можем представить
уравнение соприкасающейся плоскости в виде:
X — х Y—y Z — z
dx dy dz
d2x d2y d2z
= 0.
Из всех плоскостей, проходящих через касательную к кривой, со-
прикасающаяся плоскость есть та, к которой, кривая всего теснее
примыкает (§ 212). Рассмотрим сначала какую нибудь другую плос-
плоскость, проходящую через касательную прямую; эта плоскость предста-
представится уравнением E), в котором коэфициенты А, В, С уже не удовле-
удовлетворяют уравнению D). Пусть будет F(t) результат подстановки выражений
f(t-\-h), <f(t-\-h), ф(t -\- h) вместо текущих координат X, Y, Z в левую
часть уравнения E); мы будем иметь:
где ц бесконечно мало вместе с h. Следовательно, расстояние какой-
нибудь точки кривой Г, близкой к точке М, от рассматриваемой плос-
плоскости есть бесконечно-малое второго порядка; кроме того, так как F(t)
при достаточно малых значениях h сохраняет постоянный знак, то
отсюда ясно, что вблизи точки прикосновения кривая Г расположена
вся по одну сторону касательной плоскости.
Иначе будет для соприкасающейся плоскости. Для нее мы имеем:
Af-\-Btp"-\-Cty" = O, и чтобы получить выражение для F (t), нужно про-
продолжить разложение координат точек кривой Г до членов третьего по-
порядка относительно h. После подстановки будем иметь:
A3
Отсюда видно, что расстояние точки кривой Г от соприкасающейся
плоскости есть бесконечно-малое третьего порядка; сверх того, так
как F (t) меняет знак вместе с А, то отсюда следует, что кривая двой-
двойной кривизны пересекает соприкасающуюся плоскость в точке при-
прикосновения. Эти свойства выделяют соприкасающуюся плоскость из всех
других плоскостей, проходящих через касательную прямую.

§ 215 I. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ 145
215. Стационарная соприкасающаяся плоскость. Предыдущие заклю-
заключения теряют силу в том случае, когда коэфициенты А, В, С соприка-
соприкасающейся плоскости удовлетворяют соотношению:
0. G)
В этом случае нужно продолжить разложение координат до членов чет-
четвертого порядка, и мы получим результат вида:
В точках, удовлетворяющих соотношению G), соприкасающаяся плос-
плоскость называется стационарною соприкасающеюся плоскостью. Если
Adix^\-Bdiy-\-Cdiz не равно нулю, — как это и будет иметь место
в общем случае, — то F(t) не меняет знака, вместе с А, и кривая не
пересекает стационарной соприкасающейся плоскости. Кроме того,
расстояние от точки кривой до стационарной соприкасающейся плоско-
плоскости будет бесконечно-малым уже не третьего, а четвертого порядка.
Если бы мы имели A d4xJrBdiy-\-Cd4z = 0, то нужно было бы про-
продолжить разложение до членов пятого порядка, и т. д.
Исключая А, В, С из соотношений F) и G), мы получим уравнение:
dx dy dz
Д=' d2x d2y d2z
d3x d3y d*z
= 0. (8)
Корнями этого уравнения служат значения t, .соответствующие тем точ-
точкам кривой Г, в которых соприкасающаяся плоскость стационарна. Та-
Таким образом на каждой кривой двойной кривизны есть, вообще, неко-
некоторое число точек, обладающих этим свойством.
Посмотрим, нет ли таких кривых, для которых все соприкасающиеся
плоскости были бы стационарными. Выражаясь более точно, найдем все
функции х, у, z переменного t, непрерывные вместе с их производными
до третьего порядка, под тем условием, чтобы при изменении t между
пределами а и Ъ (а<^Ь) предыдущий определитель Д был тождественно
равен нулю.
Предположим сначала, что один из миноров определителя Д относи-
относительно элементов третьей строки, например dxdP-y — dyd2x, не обра-
обращается в нуль в промежутке (а, Ь). Из соотношений
dz = C,dx -f C,dy, }
d2z = C1d2x-\-Cid*y \ l ;
мы найдем для С, и С2 функции от t, непрерывные в этом промежутке.
Так как Д = 0, то эти функции удовлетворяют также соотношению:
a?z = С^х + С^у. A0)
Диференцируя уравнения (9) и принимая во внимание формулу A0),
мы получим новые уравнения:
dq dx + dC2 dy = 0, dCy d*x + dC2 d*y = 0,
10 П. Гур a T. I, ч. 2.

146 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 215-216
откуда будем иметь: dCj = dC2 = 0. Следовательно, коэфициенты С,,
С2 постоянны, и, интегрируя первое из уравнений (9), получим:
где С3 — новое постоянное. Отсюда следует, что кривая Г—плоская.
Если при некотором значении с параметра t, заключающемся между а и Ь,
определитель dx d'2y— dy d^x обращается в нуль, то предыдущее рассуждение
неприменимо, так как при этом значении с параметра выражения для С{ и Со
обращаются в бесконечность или делаются неопределенными. Предположим для
определенности, что в промежутке (а, Ь) определитель dxd^y— dyd'2x обращается
в нуль только один раз при t = c, и что при этом значении параметра аналогич-
аналогичный определитель dxd^z — dzd^x не равен нулю. Из предыдущего рассуждения
следует, что все точки кривой Г, соответствующие значениям параметра t в про-
промежутке от а до с, лежат в одной и той же плоскости Р, и что все точки кри-
кривой, соответствующие значениям параметра от с до b лежат в одной и той же
плоскости Q. С другой стороны, так как при t^=c минор dxd*z — dzd^x не ра-
равен нулю, то можно выбрать настолько малое число h, чтобы этот минор не обра-
обращался в нуль при изменении t от с — й до с + й. Следовательно, все точки кри-
кривой Г, соответствующие значениям параметра t от с— й до с + й, также лежат
в одной плоскости R.. Так как эта плоскость R должна иметь бесконечное мно-
множество общих точек с плоскостями Р и Q, то эти три плоскости совпадают
между собою.
Обобщая это рассуждение, мы найдем, что если определители
dx dty — dy d*-x, dx d*z — dz (fix, dy d*z —
не обращаются одновременно в нуль в промежутке (а, Ь), то все точки кривой Г
лежат в одной плоскости. Если же эти определители обращаются одновременно
в нуль, то может случиться, что кривая Г состоит из нескольких дуг плоских
кривых, лежащих в различных плоскостях и соединяющихся между собою в тех
точках, в которых уравнение соприкасающейся плоскости принимает неопреде-
неопределенный вид *.
Если три предыдущих минора в некотором промежутке тождественно равны
нулю, то линия Г есть прямая линия или состоит из отрезков прямых линий.
Например, если ~ не обращается в нуль в промежутке (а, Ь), то мы можем
написать:
Фу dx — dy d^x _ n d^zdx — dzd^x _fl
(dx)* ' (dx)* '
откуда
dy = Ci dx, dz = C2 dx,
где С, и Cq, — постоянные. Интегрируя еще раз, получим:
отсюда следует, что в этом случае Г есть прямая линия.
216. Стационарные касательные. Предыдущие исследования приводят
нас к изучению на кривой двойной кривизны некоторых особых точек, которых
мы еще не рассматривали. Это те точки, для которых имеют место равенства:
d*x_d*y_d*i
dx~~ dy~ dz" y '
Касательная к кривой в такой точке называется стационарною касательного.
Пользуясь выражением расстояния от точки до прямой, легко доказать, что рас-
расстояние от какой-нибудь точки кривой Г до касательной в бесконечно близкой
* В первый раз этот особый случай, повидимому, был указан Пеано (Реапо).
Очевидно, что он имеет исключительно аналитический интерес.

§ 216 I. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ 147
точке, которое будет, вообще, бесконечно-малым второго порядка, для стационар-
стационарной'касательной будет бесконечно-малым третьего порядка. Если кривая Г обра-
обращается в плоскую кривую, то стационарными касательными будут касательные
в то ках перегиба. Из рассуждений предыдущих параграфов следует, что един-
единственная линия, все касательные которой стационарны, есть прямая.
В каждой точке, в которой касательная стационарна, мы имеем Д = 0, и урав-
уравнение соприкасающейся плоскости принимает неопределенный вид. Но эта не-
неопределенность— только кажущаяся. Если мы повторим для этого случая вычи-
вычисления, сделанные в начале § 214, продолжив разложение координат точки М'
до членов третьего порядка, и воспользуемся соотношениями A1), то найдем, что
уравнение плоскости, проходящей через касательную в точке М и через беско-
бесконечно близкую точку М', может быть представлено в виде:
X—x Y — y 2
f'(t) <f' (t) i
"' (t) + i{ ?'" (f) + ?2 Ф '" <
= 0,
где st, sj, е3 стремятся к нулю одновременно с Н. Таким образом эта плоскость
стремится к вполне определенному предельному положению, и мы получим урав-
уравнение соприкасающейся плоскости, заменяя второе из условий F) следующим
A d*x + Bd*y + Cd*z = 0.
Если бы было также
d*x __ d*y _ d*z
dx dy dz '
то нужно было бы заменить второе из соотношений F) соотношением:
Ad"x 4- Bdgy + Cd"z = 0,
где q есть наименьшее целое число, при котором предыдущее соотношение
отлично от соотношения Adx -\- В dy-\- Cdz = 0. Мы предоставляем читателю
доказать это предложение и исследовать для этих случаев положение кривой
относительно соприкасающейся плоскости.
В общем случае для стационарной касательной не имеет места соотношение:
A dix + В dty ¦\-Cd"z = 0;
в такой особой точке каждая касательная плоскость пересекается с кривою, кроме
соприкасающейся плоскости, которая с кривою не пересекается.
Приложение к некоторым кривым. Рассмотрим кривые двойной
кривизны Г, удовлетворяющие соотношению вида:
xdy-ydx~ Kdz, A2)
где К—данное постоянное. Из этого соотношения получим:
л
( ( >
Найдем соприкасающиеся плоскости к кривой Г, проходящие через данную
точку (а, Ь, с) пространства. Координаты точки прикосновения (х, у, z) должны
удовлетворять уравнению:
а — х Ъ—у с—z
dx dy .dz =0;
d*x d*y d*z
на основании соотношений A2) и A3) это уравнение обращается в
ау — Ьх + К (с — z) = 0. A4)
Следовательно, точки прикосновения соприкасающейся плоскости с кривою Г
суть точки пересечения этой кривой с плоскостью, проходящею через точку (а, Ь, с)
и представляемою уравнением A4).
10*

148 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 216-217
Заменяя dz, Фг, dsz их значениями из A2) и A3), мы можем представить
уравнение Д = 0, определяющее те точки кривой, в которых соприкасающаяся
плоскость стационарна, в виде:
Д — — (dx d*y — dy rf2XJ - 0;
К
следовательно, для этих точек мы имеем:
dx dy у dx — x dy dz '
отсюда видно, что касательная в этих точках также стационарна.
Легко получить несколько кривых двойной кривизны, удовлетворяющих со-
соотношению A2). Например, можно положить
x — Afr", y = Bt", z~Ct>n+n,
где А, В, С, т, п — постоянные. Простейшими кривыми этого рода будут кривая
двойной кривизны третьего порядка x = t, y = t\ z — & и кривая двойной кри-
кривизны четвертого порядка x = t, y = t3, z — W. Круговая винтовая линия
х = a cos t, у =г a sin t, z = Kt
удовлетворяет тому же условию.
Чтобы получить все кривые двойной кривизны, удовлетворяющие соотноше-
соотношению A2), представим это соотношение в виде:
d (xy — Kz) = 2y dx.
Полагая
получим из предыдущего соотношения 2vj'(t) = <pr (t). Решив эти три уравнения
относительно х, у, z, будем иметь общие выражения координат в функции пере-
переменного параметра:
Эти формулы зависят от двух произвольных функций / и <р; но ясно, что, не на-
нарушая общности, мы можем дать одной из этих функций произвольный частный
вид, например положить / (t) = t.
U. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ.
217. Сферическая индикатриса. Выберем на кривой двойной кри-
кривизны Г некоторое определенное направление движения, которое при-
примем за положительное, и обозначим через 5 длину дуги AM кривой,
отсчитываемую от некоторой начальной точки А до какой-нибудь точки М
и взятую со знаком -\- или со знаком — в зависимости от того, со-
совпадает ли направление от А к М с положительным направлением,
или эти два направления противоположны. Пусть будет МТ положи-
положительное направление касательной прямой в точке М, т. е. направление
в сторону возрастания дуг. Если через какую-нибудь точку О простран-
пространства мы проведем прямые, параллельные этим касательным, то получим
конус S, который является направляющим конусом развертывающейся
поверхности, образованной касательными к кривой Г. Опишем из точки О
как из центра сферу радиусом, равным единице, и пусть будет 2 ли-
линия пересечения этой сферы с направляющим конусом. Кривая 2 на-
называется сферической индикатрисою кривой Г. Точки этих кривых
находятся в однозначном соответствии: каждой точке М кривой Г со-

§ 217
II. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ
149
ответствует на кривой 2 определенная точка т, в которой прямая,
параллельная направлению МТ, пересекает сферу.
Когда точка М описывает кривую Г в положительном направлении,
точка m описывает кривую 2 в некотором направлении, которое мы
примем за положительное направление на кривой 2, так чтобы соответ-
соответствующие дуги 5 и з обеих кривых возрастали одновременно (черт. 38).
Очевидно, что при перемещении центра О сферы вся кривая 2 пере-
переместится таким же образом; поэтому в последующем мы будем предпо-
предполагать, что центр О совпадает с началом координат. Точно так же, если
мы изменим положительное направление на кривой Г, то кривая 2 за-
заменится новою кривою, симметричною с прежнею относительно точки О;
N
Черт. 38.
но должно заметить, что положительное направление mt касательной
прямой к кривой 2 не зависит от того, какое из двух направлений
на кривой Г принято за положительное.
Докажем, что плоскость, касающаяся конуса вдоль образующей От,
пара иельна соприкасающейся плоскости к кривой Г в точке М,
В самом деле, пусть будет
АХ+ BY+ CZ=0
уравнение плоскости Отт\ причем центр О сферы принят за начало
координат. Эта плоскость параллельна касательным к кривой Г в точ-
точках М и М'; следовательно, если точкам М и М' соответствуют зна-
значения t и t-\-h параметра, то должно быть:
О = О, A6)
Уравнение A7) можно заменить следующим:
Af(t + h)-f(t) [ By(t-\-h) — J(t) сФ'
но при приближении h к нулю последнее уравнение обращается в
) + c<n') = o. A8)
Уравнения A6) и A8) к которым мы пришли, — те же, какими опреде-
определяются коэфициенты А, В, С в уравнении соприкасающейся плоскости,

150 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 218
218. Радиус кривизны. Пусть будет ш угол между положительными
направлениями МТ, М'Т касательных в двух близких между собою
точках М, М' кривой Г. Предел, к которому стремится частное —
при неограниченном приближении точки М' к точке М, называется, как
и в случае плоских кривых, кривизною кривой Г в точке М. Количе-
.. arc ММ
ство, обратное кривизне, т. е. равное пределу частного , на-
называется радиусом, кривизны. Радиус кривизны можно определить иначе
как предел отношения бесконечно малых дуг ММ! и mm'; в самом деле,
мы имеем:
arc MM' arc MM arc mm1 mm!
со arc mm mm ш
, tuv,mm mm
а при приближении m! к m каждое из отношении —, имеет
mm' о)
пределом единицу. Так как дуги s~MM' и а=от/и' изменяются
в одинаковом направлении, то мы имеем:
Пусть будут
/ y = 4(t), z = 'b(t) . B0)
уравнения кривой Г, причем точка О взята за начало координат. Тогда
координатами (a, [S, у) точки m будут направляющие косинусы касатель-
касательной МТ:
dx r dy dz
a=='ds ' * = ~ds' Y~Us'
Отсюда имеем:
J dsd2z—dzd2s
__d .2 i м% , d o_ (dsdxdxdisY2
Возводя в квадрат и принимая во внимание выражения для ds2 и dsd2s,
получим:
] — (dx d^x + dy Фу
dz, = .
Вводя обозначения
A = dyd2z—dzd?y, В = dz d?x — dx d*z, C= dx d*y — dyd2x, B1)
которыми мы далее будем пользоваться, и применяя тождество Ла-
гранжа, мы можем представить предыдущее выражение в виде:
Ж^А* + В2 + С*
ds*

§ 218—219 И. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ 151
При этом формула A9) для радиуса кривизны обращается в
ds*
Мы видим, что R2 есть рациональная функция от х, у, z, х', у\ z',
х", У, *"¦ Самый радиус кривизны имеет иррациональное выражение,
но он рассматривается как количество существенно положительное.
Примечание. Если за независимое переменное взята длина дуги s кри-
кривой Г, то функции/E), f (s) и <]>(s) будут удовлетворять уравнению:
Я («) + *'»(*) + *'»(«) = !.
Далее, мы имеем:
«=/'(*), Р = ?'(*). Т-*'(*). }
d*=f(s)ds, d$ = t"(b)ds, di = ?'(s)ds, \ B3)
dz"- = {[/" (S)p + [f (s)]» + [if (a)]» } «№, J
и выражение для радиуса кривизны принимает особенно простой вид:
219. Главная нормаль. Центр кривизны. Проведем через точку М
кривой Г прямую, параллельную касательной прямой mt к кривой S
в точке т, и рассмотрим на этой прямой направление MN, параллельное
положительному направлению mt. Полученная таким образом прямая
называется главною нормалью кривой Г; это та нормаль, которая
лежит в соприкасающейся плоскости, так как mt перпендикулярно к От,
и плоскость Omt параллельна соприкасающейся плоскости (§ 217).
Направление MN называется положительным направлением главной
нормали. Это есть вполне определенное направление, так как направ-
направление касательной mt не зависит от направления, выбранного на
кривой Г. Ниже мы увидим, как можно определить это направление,
не пользуясь индикатрисою.
Отложим на направлении MN, начиная от точки М, длину МС,
равную радиусу кривизны; полученная таким образом точка С назы-
называется центром кривизны кривой Г в точке М, а круг, описанный
в соприкасающейся плоскости из точки С как из центра радиусом,
равным МС, называется кругом кривизны. Пусть будут a!, [J', у' на'
правляющие косинусы главной нормали. Координаты хг, yv гг центра
кривизны будут равны:
Но мы имеем:
, da dads da ds d2x — dx d2s
a :=ld~Q~d~sdQ^=RTs== d? '
и такие же формулы имеют место для ^' и у'- Заменяя в формуле для
количество а' его значением, получим:

152 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 219
Коэфициент при /?2 можно иначе представить в виде:
ds2 d2x — dx ds d2s __d2x(dx2 -f dy2 + dz2) — dxjdx d2x-\-dy d2y-
ds1 ds~4 '
или, вводя коэфициенты А, В, С:
Bdz—Cdy
ds1 '
Значения для уг и гг получатся круговою подстановкою из значения
для xv и таким образом мы будем иметь:
Bdz—Cdy )
x=x±* ^
^ J ' v ds*
— I R2Ady—Bdx
1 ' ds*
Эти выражения для x,, yv Z-, рациональны относительно х, у z,
г' v1 z' х" v" z"
X , у , z , х , у , .с .
Проведем через точку М плоскость Q, перпендикулярную к MN;
эта плоскость пройдет через касательную МТ и не пересечет в точке М
кривой Г (§ 214). Покажем, что центр кривизны и все точки кривой Г,
близкие к точке М, лежат по одну сторону этой плоскости Q. Чтобы
это доказать, примем за независимое переменное длину дуги s кривой Г,
отсчитываемую от точки М. Для координат X, Y, Z точки М, близкой
к М, мы будем иметь выражения:
и соответствующие выражения для координат Y и Z. Но так как за не-
независимое переменное принято s, то
dx d2x da da da 1 f
d~s==a' ds2~ = ds=dadl;==~Ra'
и формула для X принимает вид:
Заменяя в левой части уравнения плоскости Q
а' (Х — х) + $ (Y
текущие координаты X, Y, Z приведенными выше разложениями коорди-
координат точки М', получим:

§ 219—221 II. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ 153
где г] бесконечно мало одновременно с s; но это количество положи-
положительно при всех значениях s, близких к нулю. Точно так же, заме-
заменяя X, Y, Z координатами x-fRa!, у + R$', z-\-Rf центра кри-
кривизны, мы найдем, что результат подстановки будет равен R, т. е. ко-
количеству существенно положительному. Таким образом все точки кривой Г,
близкие к Ж, а также и центр кривизны лежат по одну сторону каса-
касательной плоскости, и следовательно, теорема доказана.
220. Полярная прямая. Полярная поверхность. Перпендикуляр Д к со-
соприкасающейся плоскости, проведенный через центр кривизны, назы-
называется полярною прямою. Эта прямая есть характеристика плоскости,
нормальной к кривой Г. В самом деле, очевидно, что линия пересече-
пересечения двух нормальных плоскостей, проходящих через две близкие точки Ж
и Ж' кривой Г, есть прямая D, перпендикулярная к касательным МТ
и М'Т', а следовательно и к плоскости пгОпг1. Когда точка М' при-
приближается к точке Ж, то, в пределе плоскость mOrri делается параллель-
параллельною соприкасающейся плоскости, и следовательно, прямая D в пределе
обращается в прямую, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости.
Чтобы доказать, что эта прямая проходит через центр кривизны, при-
примем за независимое переменное длину дуги s кривой Г. Уравнение нор-
нормальной плоскости будет:
z)*=0. B6)
Характеристика нормальной плоскости определится уравнениями B6)
и B7):
?L{X-x)+^{Y-y)+'?-(Z-z)-\=0. B7)
Уравнение B7) представляет плоскость, перпендикулярную к главной
нормали и проходящую через центр кривизны. Следовательно, линия
пересечения этих двух плоскостей есть полярная прямая.
Отсюда видно, что центр кривизны совпадает с центром соприкаса-
соприкасающегося круга (§ 211), и что, следовательно, круг кривизны тожде-
тождествен с соприкасающимся кругом. Этот результат можно было заранее
предвидеть, потому что две кривые, имеющие соприкосновение второго
порядка, имеют один и тот же круг кривизны, так как для обеих этих
кривых v', z', >", z" имеют одинаковые значения.
Линейчатая поверхность, образуемая полярными прямыми, называется
полярною поверхностью. Как видно из предыдущего, полярная поверх-
поверхность есть в то же время развертывающаяся поверхность, огибающая нор-
нормальных плоскостей к кривой Г. Если кривая Г плоская, то полярная
поверхность есть цилиндр, имеющий своим перпендикулярным сечением
развертку кривой Г. В этом частном случае все предыдущие свойства
вполне очевидны.
221. Кручение. Заменяя в определении кривизны касательную пря-
прямую соприкасающеюся плоскостью, мы придем к новому геометриче-
геометрическому элементу, который служит мерою той скорости, с какою вращается
соприкасающаяся плоскость, когда точка Ж движется по кривой Г.
Пусть будет ш' угол между двумя соприкасающимися плоскостями в двух

154 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 221
ш'
бесконечно близких точках М и М'. Предел частного -——, при не-
arc ММ
ограниченном приближении точки М' к точке М называется кручением
кривой в точке М. Количество, обратное кручению, называется радиусом
кручения.
Прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная к сопри-
соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Выберем на бинормали
положительное направление (какое из двух направлений мы примем за
положительное, это мы установим далее) и обозначим через а", C", у"
соответствующие ему направляющие косинусы. Прямая, проходящая че-
через начало координат и параллельная этому направлению, пересечет
сферу с радиусом, равным единице, в некоторой точке п, которую мы
будем считать соответствующею точке М кривой Г. Местом точек п
будет некоторая сферическая кривая в, и, как и выше, легко доказать,
что радиус кручения Т можно также определить как предел отношения
соответствующих бесконечно малых дуг arc MM', arc пп' кривых Г и в.
Таким образом мы имеем: , .
где т обозначает длину дуги кривой в.
Координатами точки п будут а", (Г, у"> т- е-:
АВ
3.
±.V A2
с
причем во всех трех формулах корень должен быть взят с одинаковым
знаком. Из этих формул мы получим da", df, d^"\ например,
, (Л2 4- fi2 4- С2) dA — A (A dA + В dB 4- CdC)
da =± ¦ У .
Так как dx2 = di \ d$ -j- dy, то из предыдущего будем иметь:
и 2 — {А2 "*" В"" ^ С%№А* + dBi + <*С2)— {A dA -\-BdB-\- CdCJ
1 ~ """ "" (Л2|52+С2J
или, на основании тождества Лагранжа:
2 __ (BdC— CdBJ-+- (CdA — A dCJ + (A dB — В dAJ
=" (Л^^ + С2J ; •
Числитель этого выражения можно упростить, пользуясь соотношениями
Adx-Y Bdy+- Cdz = 0,
dAdx-\-dBdy-\-dCdz = O;
из них мы имеем:
dx dy dz 1
BdC—CdB CdA —AdC AdB — BdA К '
B8)

§ 221 II. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ 155
где через — обозначено общее значение этих отношений. Отсюда по-
К
лучаем:
Что касается значения К, то, развертывая, мы получим:
_ {dz dix — dx йЩ (dx d»y — dy d*x) — (dx d'*y — dy d"-x) (dz d*x — dx d>z)
__ _ _
= dz d%x d*y - dx d*z d*y -f- dx d*y Фг — dy d*xd$z -J- dy d*z d*x — dz dy-y d'fx.
Правая часть этого выражения есть не что иное, как развернутый опре-
определитель Д [§ 215, (8)]. Таким образом мы имеем:
и, следовательно,
^±Л2 + *2 + С2. B9)
Если мы будем рассматривать радиус кручения Т, подобно радиусу
кривизны R, как количество существенно положительное, то для Т
нужно брать абсолютную величину правой части выражения B9). Но
полученное выражение B9) рационально относительно х', у', z', x", у",
z", х'",у"', z, а потому естественно брать в правой части формулы B9)
всегда один и тот же знак, т. е. рассматривать радиус кручения как
длину, взятую с определенным знаком. При этом оказывается, что в за-
зависимости от того, будет ли для точки М радиус кручения иметь поло-
положительное или отрицательное значение, кривая Г вблизи точки М будет
иметь двоякое расположение.
Так как теперь знак Т зависит только от знака А, то рассмотрим,
как меняется вид кривой Г вблизи точки М в зависимости от знака
определителя Д. Предположим, что трехгранный угол Oxyz расположен
таким образом, что для наблюдателя, стоящего на плоскости хОу
в точке О со стороны положительных z, вращение от положительного
направления оси Ох к положительному направлению оси Оу кажется
совершающимся на 90° справа налево.
Выберем теперь на бинормали положительное направление MNb
таким образом, чтобы трехгранный угол (МТ, MN, MNb) имел то же
расположение ребер, как и трехгранный угол Oxyz*. Тогда, если мы
будем перемещать непрерывно кривую Г так, чтобы точка М пришла
в О, касательная МТ совпала с положительным направлением оси Ох,
и главная нормаль MN—с положительным направлением оси Оу, то MNb
совпадет с положительным направлением оси Oz. При этом движении
абсолютная величина радиуса кручения Т остается неизменной; поэтому
определитель Д не может обратиться в нуль и, следовательно, не меняет-
* Трехгранный угол, образованный касательного, нормалью и бинормалью,
называется основным трехгранным углом (триэдром) для ванной точки кривой.
(Ред.)

156 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 221
знака*. Предположим, что кривая Г отнесена к этой новой системе ко-
координат, и что значение параметра /=0 соответствует началу коорди-
координат. Выражения координат точки, близкой к началу, будут:
C0)
где s, s', s" бесконечно малы вместе с t; в самом деле, при / = 0 при
таком выборе осей должно быть: dy =¦ dz = d2z = 0. Мы можем пред-
предположить, что аг ^> 0, так как в противном случае достаточно заме-
заменить t через —t, чтобы ах изменилось в —аг; количество ^ — поло-
положительно, так как при значениях t, близких к нулю, у должно быть
положительно; наконец, с3 может быть как положительным, так и отри-
отрицательным. Но при 1 = 0
N
М
Л/
мы имеем
12i
так что знак определителя Д
одинаков со знаком количе-
количества с3. .Поэтому нужно
=^Г " ТГ^ различать два случая в за-
/' „ \ висимости от знака с3. Если
*М \ ся > 0, то х и z отрица-
отрицать тельны при изменении t
Черт. 39а. Черт. 39Ь. от — А до 0, и положительны
при изменении t от 0 до -|- А,
где А есть малое положительное число. В таком случае наблюдатель,
стоящий на соприкасающейся плоскости в точке М и обращенный ли-
лицом к центру кривизны Р, увидел бы дугу ММ' вправо от себя над
соприкасающеюся плоскостью, а дугу ММ" влево под соприкасающеюся
плоскостью (черт. ЗЭа), следовательно, это — правая кривая (dextror-
sum). Если бы было с, < 0, то расположение кривой было бы обрат-
обратным (черт. 39d), и кривая была бы лев^ю (sinistioisum). При этом без-
безразлично, на которой из двух сторон соприкасающейся плоскости будет
стоять наблюдатель. Вид правой кривой имеет штопор; из вьющихся
растений боб имеет вид правой кривой, а хмель — левой. Эти два рас-
расположения кривой существенно различны. Например, две винтовые линии
с одинаковым ходом, начерченные на двух круглых цилиндрах с оди-
одинаковым радиусом, наложимы одна на другую, если они обе правые
или обе левые; если же одна правая, а другая левая, то одна из них
наложима на винтовую линию, симметричную с другою относительно
какой-либо плоскости.
В последующем мы будем писать формулу радиуса кручения Т
в виде:
* Впрочем, легко доказать непосредственным вычислением, что при переходе
от одной системы прямоугольных осей к другой системе прямоугольных осей
с тем же расположением осей знак определителя Д не меняется.

§ 222 И. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ 157
Кривая будет левою в тех точках, где Т положительно, и правою в тех
точках, где Т отрицательно. Если бы трехгранный угол имел обратное
расположение, то и предыдущее правило нужно было бы заменить
обратным.
212. Формулы Френе. Каждая точка М кривой Г представляет вер-
вершину прямого трехгранного угла, образованного касательного, главною
нормалью и бинормалью и расположенного одинаково с трехгранным
углом Oxyz. Положительное направление главной нормали — вполне
определенное; напротив, положительное направление касательной может
быть взято произвольно и, в свою очередь, определяет собою положи-
положительное направление бинормали. Диференциалы от девяти направляю-
направляющих косинусов (а, {3, у), (а\ Р', Y')< (а"> ?"> Y") этих тРех ПРЯМЫХ вы-
выражаются весьма просто через R, Т и через самые косинусы при
помощи формул, данных Френе (Frenet) *. Мы уже вывели формулы
для da, d$, dy:
ds~ R ' ds R' ds R'
Направляющие косинусы положительного направления бинормали будут:
А
а = s
\/дг _]_ #2 -4- С2 :
Р — S -7=
К Л2 I В2 \ С2'
с
у = е , ,
1/Л2 -f- Б2 4- С2
где е = + 1.
Так как трехгранный угол (МТ, MN, MNb) расположен одинаково
с углом Oxyz, то должно быть:
ИЛИ
а' = г ^
С другой стороны, формулу для da" можно представить в виде:
_ В (BdA —AdB) + C(CdA-AdC)
аа — s —¦ д - ,
или, принимая во внимание соотношения B8) и значение количества К'-
da" _ С$— ?y _ а'д
dV~ 1~~Л2 + ^2С2'
* Nouvelles Annales de Mathematiques, стр. 284, 1864.

158 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 222-223
Коэфициент при а' есть не что иное, как -=• [формула C1)]; вы-
d?" df
числяя таким же образом —— , —'- , получим *:
ds ds
йА = ± dl=$_ df__i
ds T ' ds T ' ~ds T ' [ '
эти формулы сходны с формулами C2).
Чтобы получить da', d$', dy\ продиференцируем известные нам со-
соотношения:
заменяя da, d§, dy, da", d$", df их значениями из C2) и C3), будем
иметь:
' + f =0.
ds
a"da' + P"rfp'+ yVY'+ у = °-
Решая эти уравнения относительно da', dp1, d*{, получим:
^'=_a_^ ^!__P_E ^i'__i^i!
ds 7? T ' ds ' /? T' ds ~R T'
Формулы C2), C3), C4) суть искомые формулы Френе.
Примечание. Из формулы C3) видно, что касательная к сферической
кривой 0, описанной точкою п с координатами а", р", -f, параллельна главной
нормали. Это можно доказать и геометрически. В самом деле, рассмотрим ко-
конус S', вершина которого лежит в точке О, а направляющею линиею служит кри-
кривая в. Образующая On этого конуса перпендикулярна к плоскости, касающейся
конуса 5 вдоль образующей От (§ 221), и, следовательно, конус S' есть дополни-
дополнительный конус к конусу S. Но, как известно, свойства дополнительных конусов
взаимны, так что, обратно, образующая От конуса S перпендикулярна к пло-
плоскости, касающейся конуса S' вдоль On. Так как касательная mt к кривой S
перпендикулярна к прямым От и On, то она перпендикулярна к плоскости тОп.
По той же причине касательная nt' к кривой в перпендикулярна к плоскости тОп.
Следовательно, прямые mt и nt' параллельны.
223. Разложение координат х, у, г, по степеням s. Если даны две
функции независимого переменного 5, R^w(s), T=<b(s), из которых
первая положительна, то существует кривая двойной кривизны Г, вполне
определенная по своему виду, но не по положению в пространстве,
* Если бы мы взяли формулу кручения в виде: ^ =*.„¦ с„ ,,„, то фор-
1 А* -)— ?>* -j- С."
. ^ , „ a ds
мулы Френе нужно было бы написать в виде: аа' = =,-, ...

§ 223 П. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ 159
у которой радиус кривизны и радиус кручения выражаются атими
двумя формулами в функции длины ее дуги, отсчитываемой от неко-
некоторой точки этой кривой. Строгое доказательство этого предложения
может быть дано лишь после теории диференциальных уравнений. Мы
здесь только покажем, каким образом можно найти разложения коорди-
координат точки искомой кривой по степеням s, предполагая, что эти разло-
разложения возможны.
Примем за оси координат касательную, главную нормаль и бинормаль
в точке О и будем отсчитывать длину дуги этой кривой, начиная от
точки О. Выражения координат точки кривой, близкой к началу ко-
координат, будут:
s (dx\ , s
1 \dsjol l-2\ds*jo ' 1-2.3 Us»/0
s (dz
s' (az\\ s I az\
^~ T~2 [dl* /o"i" T2T3 [dl? j
Но мы имеем:
C5)
dx _ __ __
и, диференцируя еще раз:
dnx
Вообще, последовательное применение формул Френе даст для —^ вы-
выражение вида:
где Ln, Мп, Рп— известные функции от R, Т и от их производных
по s различных порядков. Таким же образом, заменяя а, а', а" соот-
соответственно через р, [>', E" и y> y'> Y"> мы полУчим производные от у и z.
Но в начале координат должно быть ffo=l, ^0^=°' Yo^°' 2t'0=0,
Р'о = 1, y'o = О. а"о == 0' &"о = 0> Y"o == ' > поэтому, ограничиваясь в фор-
формулах C5) тремя первыми членами, мы будем иметь:
х—-\ 6Л-Г-"'
s2 s3 dR I
: 9О RD2 777 "Т"' \ C6)
Z~ 6RT~

160 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 223-224
причем дальнейшие члены будут выше третьей степени. Понятно, что
в формулах C6) R, Т, ——.... должны быть заменены их значениями
as
при s = 0.
С помощью этих формул легко вычислить главные части некоторых
бесконечно-малых. Так, расстояние от какой-нибудь точки кривой до
соприкасающейся плоскости в бесконечно близкой точке той же кривой
есть бесконечно-малое третьего порядка, и его главная часть равна
s3
сГгРг- Расстояние от точки кривой до оси Ох, т. е. касательной, есть
бесконечно-малое второго порядка, и его главная часть равна —г
(§ 209). Вычислим еще длину бесконечно малой хорды с. Мы имеем:
причем дальнейшие члены будут выше четвертой степени. Отсюда
следует:
1-
таким образом разность s — с есть бесконечно-малое третьего по-
s*
рядка, и его главная часть равна .
Точно так же можно доказать, что кратчайшее расстояние между ка-
касательными в двух бесконечно близких точках кривой есть бесконечно-
малое третьего порядка, главная часть которого равна ¦ . .эта тео-
11г\ I
рема принадлежит Буке (Bouquet).
224. Естественное (внутреннее) уравнение кривой. Если радиус кручения
кривой Т равен бесконечности, то кривая плоская, так как Д должно быть равно
нулю (§ 215), и в этом случае определяющие кривую диференциальные уравнения
интегрируются в квадратурах.
Вообразим, что за независимре переменное взята дуга s; прямоугольные ко-
координаты х и у как функции s удовлетворяют двум уравнениям (§ 218, при-
примечание4):
„ „ dx dy
Первому из этих уравнении можно удовлетворить, полагая — = cos а, — = sin a,
cts ds
где через а обозначен угол, образуемый с осью х положительным направлением
касательной, и тогда второе из уравнений C7) дает нам:
эту формулу можно было бы написать непосредственно, исходя из определения
радиуса кривизны.

§ 224 II. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗЗЕРГКИ 161
Интегрируя, имеем:
s
а~а<>~)ТG)'
и затем находим х и у при помощи двух новых квадратур:
S S
= хо+ 1 cosarfs, у=уп+\ si
к) */
sin a ds.
*0
Получающиеся кривые зависят от трех постоянных: Xj, j>0, «0; но, если мы будем
«обращать внимание только на форму кривой, а не на ее положение, то получим
в. сущности, только одну, кривую. В самом деле, рассмотрим частную кривую С,
представляемую уравнениями:
v Г Г f ds 1 _, v С . I Г ds К
Х = \ cos I —r-- rfs, F= sin -r— \ds.
Если мы в выражении для а возьмем знак плюс, то общие формулы могут быть
представлены в виде:
х = х0-]- Xcos i0 — Fsin no-
У — Уо + Хыпа1)+ Fcosa0.
Следовательно, они представляют ту же кривую С, но иначе расположенную от-
относительно осей координат. Точно так же, если мы возьмем при tp (s) знак минус,
то получим кривую, симметричную с кривою С относительно оси X. Следова-
Следовательно, плоская кривая будет вполне определен! по своей форме, если известен
радиус кривизны кривой в функции длины дуги. Уравнение /? = <р (s) называется
естественным уравнением (equation intrinseque) кривой. Вообще, если дано со-
соотношение между двумя из количеств /?, s, а, то кривая будет вполне опре-
определена по свэей форме, и координаты ее точек могут быть получены посредством
квадратур. Так, если известен радиус кривизны /? в функции угла а, /?=/(а),
то мы имеем: ds=f(a)di и затем
dx = cos а /(а)гda,
tfy = sin af(a)dt,
и х и у получаются посредством двух квадратур. Если, например, R постоянно,
то из предыдущих формул имеем:
х = х0 + R sin и, у = у0 — R cos a;
следовательно, исковая кривая есть окружность с радиусом, равным R. Этот
результат следует также непосредственно из свойства развертки; так как длина
дуги развертки искомой кривой должна равняться нулю, то развертка рассматри-
рассматриваемой кривой должна обратиться в точку.
Найдем еще плоскую кривую, радиус кривизны которой был бы обратно
пропорционален длине дуги, /?== —. Мы имеем:
S
J
о
далее
s
11 Э. Гурс», т. I, ч. S.

162 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 224—225
Хотя эти интегралы не выражаются через элементарные функции, тем не
менее нетрудно составить представление о форме этой кривой. Когда 5 изме-
изменяется от 0 до -f" °°> то х н у, проходя через бесконечное множество максимумов
и минимумов, стремятся к некоторому общему конечному пределу (§ 87); следо-
следовательно, кривая имеет форму спирали и приближается асимптотически к неко-
некоторой точке на прямой у = х*.
225. Развертывающие и развертки. Кривая Тг называется разверты-
развертывающею (эвольвентою) кривой Г, если касательные к кривой Г входят
в состав нормалей к кривой Га; обратно, кривая Г называется разверт-
разверткою (эволютою) кривой Гг Очевидно, что все развертывающие кривой Г
лежат на развертывающейся поверхности, ребром возврата которой служит
кривая Г, и пересекают ортогонально образующие этой поверхности.
Пусть будут (х, у, z) координаты какой-нибудь точки М кривой Г,
я, [J, у — направляющие косинусы касательной к кривой Г и /—длина
отрезка ММЛ между точкою М и точкою Мг, в которой развертываю-
развертывающая пересекает касательную к развертке в точке М. Координаты
точки Мг будут:
откуда
dx1 = dx-\-lda^radl, -dy2 = dy + ld$ + $dl, dz1 = dz -f- / dy + у dl.
Чтобы кривая, описываемая точкою Mv была нормальна к ММ1У
необходимо и.достаточно, чтобы было
a dx1 + Р dy-i Jr4dz1=^ О,
т. е
или ds-\-dl = 0.
Следовательно, развертывающие кривой двойной кривизны Г полу-
получаются таким же построением, как и развертывающие плоской кривой.
Найдем теперь все различные развертки дан-
данной кривой двойной кривизны Г. Для этого, оче-
очевидно, нужно соединить все нормали к кривой Г
в такие семейства, чтобы нормали каждого семей-
семейства образовали развертывающуюся поверхность
(черт. 40). Всякая нормаль ММг определяется
как пересечение нормальной плоскости с одной
из плоскостей, проходящих через касательную
к кривой Г. Если семейство нормалей ММг
имеет огибающую, то точка прикосновения Мг
этой прямой с огибающею лежит на пересечении
Черт. 40. нормальной плоскости с бесконечно близкою нор-
нормальной плоскостью (§ 205, примечание II), т. е.
на полярной прямой. Следовательно, все развертки лежат на полярной
поверхности.
Пусть будет D одна из этих разверток, <р — угол между направле-
направлением MMj и положительным направлением главной нормали, отсчиты-
* Очевидно, что эта кривая расположена симметрично относительно начала,
и что значению s=—.oo соответствует вторая асимптотическая точка кривой,
симметричная с первою точкою. (Нед.)

§ 225
II. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ РАЗВЕРТКИ
163
ваемый, как в тригонометрии, принимая за положительное направление
вращения в нормальной плоскости направление вращения на угол — ,
которое приводит к совпадению положительное направление главной нор-
нормали с положительным направлением бинормали (черт. 40). Если X, }Х, v бу-
будут направляющие косинусы этого направления, то для тего, чтобы пря-
прямая ММг образовала развертывающуюся поверхность, необходимо и до-
достаточно, чтобы было (§ 205):
dl d\i, dv
ds ds ds
X pi v
a p Y
1 j
Из соотношений
Г = 0, Xa' +
sin (p, \i =
= 0.
C8)
получаем:
X = a'cos<p
и следовательно, по формулам Френе:
+ vf = sin<p
p"sin cp, v = y' cos (p -{- у" sin tp,
dl cos (p ,
-r- = — a „ -+-(
ds R
du. dv
а -г-, .-г- получатся из этой формулы заменой а, а', а", соответственно,
" dl d\i dv
через р, Р', Р" и у, у', у". Если полученные значения X, ц, v, -г, j~, -т
подставить в определитель, он представится как сумма шести определи-
определителей; приняв во внимание те из них, которые обратятся в нуль, так
как имеют две равных строки, мы получим формулу:
1
Т
d<p
ds
dl
ds
I
а
d».
ds
V-
P
rfv
Is
V
Y
C9)
Приравнивая левую часть нулю, мы получим уравнение *, из которого
угол ср определится при помощи квадратуры:
D0)
* Этот простой результат может быть получен из геометрических соображе-
соображений. Пренебрегая бесконечно-малыми третьего порядка, можно предположить, что
точка М кривой Г, соседняя с М, расположена на круге кривизны кривой Г в точ-
точке М, так что касательная веточке М' служит касательной к окружности. Чтобы две
нормали — в точках Ми М — встречались, необходимо и достаточно, чтобы эти две
прямые образовывали одинаковый угол с соприкасающейся плоскостью в точке М.
ds
по угол между двумя соприкасающимися плоскостями в М и в М' равен -=
в силу самого определения кручения. Следовательно,при переходе отточки Мк
бесконечно близкой точке М угол нормали с соответствующей соприкасающейся
ds
плоскостью возрастает на rf«p = -=. Мы пришли к полученному выше результату.
11*

164 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ f § 225—226
Если мы рассмотрим два различных значения угла ср, соответствую-
соответствующих двум различным значениям постоянного ср0, то разность этих двух
значений угла ср будет оставаться постоянною вдоль кривой Г. Отсюда
следует, что две нормали кривой Г, касающиеся двух различных раз-
разверток, пересекаются под постоянным углом. Если известно одно ка-
какое-нибудь семейство нормалей кривой Г, образующих развертываю-
развертывающуюся поверхность, то мы получим все другие развертывающиеся
поверхности, образованные нормалями кривой Г, если повернем все
нормали* первого семейства на произвольный, но постоянный угол около
точек, в которых они пересекают кривую Г.
П >р и м е ч а н;и е I. Если кривая Г—плоская, то Т равно бесконечности, и
формула D0) дает <р= <р0. Развертка, соответствующая значению (ро = О, есть обык-
обыкновенная плоская развертка, представляющая в то же время место центров ьри-
визны кривой Г. Кроме этой развертки есть еще бесчисленное множество других
разверток; все они расположены на цилиндре, перпендикулярным сечением кото-
которого служит обыкновенная развертка, и представляют кривые двойной кривизны,
называемые винтовыми линиями; эти линии будут нами рассмотрены в следую-
следующем параграфе. Это — единственный случай, когда место центров криьизны кри-
кривой есть в то же время ее развертка. В самом деле, для этого должно быть ? = 0;
но для того чтобы уравнение D0) удовлетворялось при f = 0, необходимо, чтобы Т
было бесконечно велико, т. е. чтобы было Д = 0. Следовательно, в этом случае
кривая Г должна быть плоскою (§ 215).
Примечание II. Если кривая D есть развертка кривой Г, то, обратно,
кривая Г есть развертывающая кривой D. Следовательно, обозначая через S) дугу
развертки, отсчитываемую в надлежащем направлении, имеем:
dsi=-d,{MMi);
таким образом все развертки кривой суть спрямляемые кривые *.
226. Винтовые линии. Пусть будет С какая-нибудь плоская кривая; если
мы отложим от каждой точки m этой кривой на перпендикуляре к плоскости
кривой С длину тпМ, пропорциональную длине дуги кривой С, отсчитыва емой от
некоторой постоянной точки А, то получим кривую двойной кривизны Г, пред-
представляющую ^есто точек М. Эта кривая двойной кривизны Г называется винто-
винтовою линиею. Примем за плоскость хОу плоскость кривой С, и пусть будут
X=f(a), у = у(з)
выражения координат какой-нибудь то1ки т кривой С в функции длины ее
дуги о. Координаты соответствующей точки М кривой Г будут:
¦*=/('). У—fH z=K°, D1)
где К—постоянней множитель, причем функции /и f удовлетворяют соотноше-
соотношению /'2 + f'2= 1. Обозначая через s pm ну дуги кривой Г, из формул D1) имеем
d& = (/'* + <р'2 + ft?) d-2 = 4 A Ю) <М
и следовательно, .9 = а у\ •+¦ К'1 + Н, где Н—постоянное. Если мы условимся
отсчитывать длины дуг 5 и а от одной и той же точки А кривой С, то будем
иметь Н—0 и s=j l/F-j-~KX Направляющие косинусы касательной к кривой Г
будуг:
.= -Ш=, P = -*^=, ,= -7Л=. D2)
|/1+Я2 j/1+K* j/1+A?
Так как у Ре зависит от а, то касательные к винтовой линии образуют с осью Oz
постоянный угол. Это свойство — характеристическое для винтовой линии. Вся-
* Т. е. кригые. у которых длина дуги может быть выражена при помоши
функций, предполагаемых известными. (Ред.

§ 226 II. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ РАЗВЕРТКИ 165
кая кривая, касательные к которой образуют, с некоторым определенным
направлением постоянный угол, есть винтовая линия. Для доказательства этого
предложения примем за ось Oz прямую, параллельную этому направлению, и
пусть будет С проекция искомой кривой Г на плоскость хОу. Уравнения кри-
кривой Г всегда можно представить в виде:
v ='/(?), у=М*), z = H°), D3)
где функции / и ip удовлетворяют соотношению f'i-\-<f'*=\\ дтя этого нужно
только принять за независимое переменное длину дуги а кривой С. Отсюда
имеем: ^ ^ y(g) ^ _J__
Т ds ]//'2 + ?'24-f2 yT+fi'
Для того, чтобы y было постоянно, необходимо и достаточно, чтобы было по-
постоянно i/, откуда следует, что <|> (а) должно быть вида: Яа + г0. Если мы перене-
перенесем начало координат в точку л:=0, _у = 0, z = zo, то получим для кривой Г
уравнения D1).
Так как для винтовой линии f — постоянно, то из формулы — = -= следует
US Н
ч' = 0. Следовательно, главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к обра-
образующим цилиндра; так как, кроме того, главная нормаль перпендикулярна к ка-
касательной к винтовой линии, то она совпадает с нормалью к цилиндру, и сопри-
соприкасающаяся плоскость будет нормальна к поверхности цилиндра. Бинормаль
винтовой линии лежит в касательной плоскости к цилиндру и перпендикулярна
к касательной к винтовой линии; отсюда следует, что бинормаль также образует
с Oz постоянный угсл.
Так как ч' = 0, то из формулы ~г- = — ¦— — ¦= имеем: ^ +-^=0; таким
us HI Hi
образом гля винтовой линии отношение =- постоянно.
К
Каждое из этих свойств характеризует винтовую линию. Докажем, напри-
Т
мер, что всякая кривая, для которой отношение jr постоянно, есть винтс-
Н
воя линия (Ж. Бертран).
Из формул Френе имеем:
ll — 3—^l — L — l.-
da" ~ d$* ~di" ~~ R ~ Н'
если Н постоянно, то, интегрируя, получим:
*" = На-А, р" = Я?-Д у=Н-; — С,
где А, В, С — новые постоянные. Складывая эти уравнения, предварительно умно-
умножив их на о, % у, соответственно получим:
это уравнение можно иначе представить в виде:
н А В С
Но— , ,— , — • суть направляющие ко-
уА* + & + С* yAs+BS+C* yA2 + B* + Ci
у + + y++ y + +
синусы некоторой прямой Д, и предыдущее соотношение показывает, что каса-
касательная к искомой кривой образует с этим направлением постоянный угол; сле-
следовательно, искомая кривая есть винтовая линия.
Вычислим еще радиус кривизны винтовой линии. Принимая во внимание
найденные выше значения D2) для а, р, имеем:

166 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 226—227
и так как i' = О,
/4W+ *"*«]• D4)
Следовательно, отношение —^1— не зависит от /С. Но легко видеть, что при
К = 0 это отношение равно обратному значению — радиуса кривизны перпенди-
перпендикулярного сечения С (§ 218). Таким образом формулу D4) можно также предста-
представить в виде /? = г A +№); отсюда видно, что радиус кривизны винтовой ли-
линии находится в постоянном отношении к радиусу кривизны кривой С.
Отсюда легко получить все кривые, для которых R к Т постоянны. В самом
Т „
деле, так как — постоянно, то, по теореме Ьертрана, искомые кривые суть
винтовые линии. Далее, так как R постоянно, то постоянен также и радиус кри-
кривизны г кривой С. Следовательно, эта кривая С есть окружность, и искомая
кчивая есть винтовая линич, проведенная на круглом цилиндре. Это предло-
предложение принадлежит Пюизё (Puiseux) *.
227. Кривые Бертрана. Главные нормали каждой плоской кривой служат
вместе с тем главными нормалями к бесчисленному множеству других плоских
кривых, параллельных первой. Бертран поставил задачу о разыскании всех кри-
кривых двойной кривизны, для каждой из которых главные нормали были бы в то
же время главными нормалями некоторой другой кривой двойной кривизны.
Предположим, что координаты х, у, z точек искомой кривой Г выражены в функ-
функции длины s ее дуги. Отложим на каждой главной нормали к кривой Г отрезок
длины /, и пусть будут X, У, Z координаты конечной точки этого отрезка; мы
будем имать:
X + l' Y l$' Zr=z + h'. D5)
Для того чтобы главная нормаль к кривой Г была в то же время главною нор-
нормалью к кривой Г', описываемой точкою (A", У, Z), очевидно, необходимо и до-
достаточно, чтобы имели место соотношения:
— dZcPY) + f (dZd*X — dXd*Z) + Y' {dXd»Y— dYdiX) = 0 **.
Из первого соотношения следует: d/ = 0; это показывает, что длина / должна
быть постоянною. Заменяя затем во втором соотношении dX, d*X, dY, ... их зна-
значениями, выведенными из формул Френе и из формул, получающихся от их ди-
ференцирования, после приведения получим:
интегрируя это уравнение, будем иметь:
где ( — новое постоянное. Следовательно, искомые кривые суть те, для кото-
которых существует линейное соотношение между кривизною и кручением. Оче-
Очевидно, что это условие и достаточно, причем длина / дается самим соотноше-
соотношением D6).
Один замечательный частный случай этих кривых, именно, тот, когда радиус
кривизны постоянен, был уже раньше рассмотрен Монжем. В этом случае соот-
* В этом доказательстве предполагается, что дело идет о действительных
кривых, так как выше предполагалось, что А2 -\- № -\- С2 не равно нулю (см. дис-
диссертацию Лиона (Lyon) „Sur les courbes a torsion constante", 1890).
** Последнее уравнение выражает, что главная нормаль с направляющими
косинусами а',$', f перпендикулярна к бинормали кривой Г' [§218, формула B1)].
(Ред.)

§ 227—228 И. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ РАЗВЕРТКИ 167
ношение D6) обращается в / — R, и следовательно, кривая Г', представляемая
уравнениями D5), есть место центров кривизны кривой Г. Предполагая /==;/?=по-
стсгнному, из уравнений D5) имеем:
dX = — ja."ds, dY=-jty'ds, dZ= — ~y"ds; D7)
эти формулы показывают, что касательная к кривой Г' есть полярная прямая
кривой Г. Радиус кривизны R' кривой Г' будет равен:
*_
~ '
к -—-da"* + rfp + rfr
Следовательно, радиус кривизны R' кривой Г' также постоянен и равен R. Кроме
того, легко видеть, что связь между кривыми Г и Г' взаимна; каждая из них есть
ребро возврата полярной поверхности другой. Все эти свойства легко проверить
непосредственно на частном случае круглого винта.
Примечание. Нетрудно получить общие формулы, представляющие все
кривые двойной кривизны, радиус кривизны которых имеет постоянное значение.
Пусть будет R данный постоянный радиус, и пусть будут а, {!, f некоторые функ-
дии переменного параметра, удовлетворяющие соотношению а*-|-{1*-|--)*= 1.
Уравнения
X
=R^ad3, Y=R^da, Z — R^ds, D8)
где rfs= j/dct'2 -\- d^'2 + df2, представляют искомукГкривую, и легко доказать, что
¦мы получаем таким образом все кривые, обладающие требуемым свойством. В са-
самом деле, a, (i, y суть не что иное, как направляющие косинусы касательной
к кривой, представляемой уравнениями D8), а а — длина дуги сферической инди-
индикатрисы (§ 217).
228. Соприкасающийся шар. Мы применим еще формулы Френе
¦к определению соприкасающегося шара. Предположим для упрощения
вычислений, что координаты х, у, z кривой Г выражены в функции
длины s ее дуги. Для того чтобы шар радиуса р с центром в точке
(а, Ь, с) имел с кривою Г в данной точке этой кривой прикосновение
третьего порядка, должно быть:
?Н*)=0, 3-'(*)=0, Г (s) -0, %»'(s)=0, D9)
где
%(s)=(x-a)^(y-bY^-(z-cf-f, E0)
причем предполагается, что х, у, z выражены в функции s. Раскрывая
три последних уравнения и применяя формулы Френе, получим:
д [R+TJ
/?
Эти уравнения определяют а, Ь, с. Рассматривая в первом из них а,
Ь, с как текущие координаты, мы видим, чтэ первое уравнение пред-
представляет нормальную плоскость к кривой Г в точке (х, уу z), а два

168 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 228-229
последних уравнения получаются из первого диференцированием по пере^
менному параметру s. Следовательно, центр соприкасающегося шара
совпадает с точкой, где полярная прямая касается своей огибающей. Чтобы
решить эти три уравнения, заметим, что, принимая во внимание два пер-
первых уравнения, мы можем представить последнее уравнение в виде:
Отсюда легко получим:
т-?- ^
E2)
ds ' •
Радиус соприкасающегося шара дается формулой:
Р2 = Я3+7-2(^J- E3)
Если R постоянно, то центр соприкасающегося шара совпадает с цент-
центром кривизны, что согласно с результатом, полученным выше (§ 227).
III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ.
Положение прямой в пространстве зависит от четырех переменных
параметров. Следовательно, в зависимости от числа данных соотноше-
соотношений между этими четырьмя параметрами можно рассматривать совокуп-
совокупность прямых линий, зависящих от одного, от двух и от трех перемен-
переменных параметров. Переменная прямая, зависящая от одного переменного
параметра, образует линейчатую поверхность. Семейство прямых, зави-
зависящих от двух различных переменных параметров, называется конгруэн-
циею прямых. Наконец, комплексом прямых называется всякое семей-
семейство лрямых, зависящих от трех параметров.
229. Линейчатые поверхности. Пусть будут в системе прямоугольных
координат x=az + p, y = bz + q E4)
уравнения переменной прямой G, где a, b, p, q — функции одного пере-
уенного параметра и. Посмотрим, как изменяется положение касатель-
касательной плоскости к поверхности S, образованной прямой G, когда точка
прикосновения М перемещается вдоль прямолинейной образующей G.
Уравнения E4) вместе с уравнением z=z дают выражения координат
точек поверхности S в функции независимых параметров z и и; сле-
следовательно, по § 61, уравнение касательной плоскости Р к поверхно-
поверхности 5 в точке М(х,у, z) будет:
X— х Y-y Z — z
a b 1
b'z + q1 0
=0,

§ 229 III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 169
где а', Ь', р', q' обозначают производные от a, b, p, q по «. Заменяя лг
через az-\-p, у через bz-\-q и раскрывая определитель, получим:
(b'z-\-q')(X—aZ — p) — (a'z-{-p>)(Y—bZ — q) = O. E5>
Из уравнения E5) прежде всего видно, что касательная плоскость
к поверхности всегда проходит через образующую О, что можно было
видеть заранее; кроме того, отсюда видно, что при перемещении точки,
прикосновения М вдоль образующей касательная плоскость вращается»
вокруг этой образующей, за исключением того случая, когда отноше-
~ не зависит от z, т. е. когда a'q' — b'p' = O; этот частный
q'
b'z \ q
случай мы пока выделим из рассмотрения. Так как последнее отношение —
первой степени относительно z, то всякая плоскость, проходящая через;
образующую, касается поверхности в одной и только в одной точке-
этой образующей. Когда точка прикосновения удаляется вдоль образую-
образующей в бесконечность, то касательная плоскость Р стремится к некото-
некоторому предельному положению Р1, которое называется касателъною-
плоскостью в бесконечно удаленной точке образующей. Уравнение-
плоскости Р' будет:
aZ — p) — a'(Y—bZ — q) = O. E6>
Пусть будет со угол между этою плоскостью Р' и касательного плос-
плоскостью Р к поверхности в точке М (х, у, z) той же образующей. На-
Направляющие косинусы (а, 8, у) и (а!, р', у') нормалей к плоскостям Р"
и Р, соответственно, пропорциональны количествам
и
b\ —a1, a'b — ab';
следовательно,
cos со = аа' 4- В/ 4- yy' =
' 4- В/ 4 yy' = —'
У A YAz*+2Bz-\-C
где
В = а'р' + b'q' + (aft' — Ьл') (aq1 — ft/»'),
Вычисляя tgco и применяя тождество Лагранжа, получим после при-
приведения:
Из формулы E7) видно, что предельная касательная плоскость Р' перпен-
перпендикулярна к касательной плоскости Рг в некоторой точке О-, на обра-
образующей О; координата гг этой точки равна:
В __ а'р' + b'g' + (ab' - bd) (ag1 - ft//)
1 Л а'2 4" *'2 4" («*' ~ ba'Y " Х W

170 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 229
Точка Ог называется центральною точкою образующей О, а касательная
плоскость Р3 в точке Ог называется центральною плоскостью. Так как
6 между касательного плоскостью в какой-нибудь точке М обра-
образующей и центральною плоскостью Рг равен — — со, то формула E7)
гможет быть заменена следующею:
te 9 = A(z-zJ_ = [a* + »* + (ab1 - ba'?] (z - zj
VAC—I!* (aV —AW/l+e'+ft8
Пусть будет р расстояние центральной точки О1 от точки М прикосно-
прикосновения касательной плоскости, взятое со знаком плюс или минус в зави-
зависимости от того, образует ли направление О2М с осью Oz острый или
•тупой угол. Мы будем иметь: p = (z — z2) ]/l -\-a?-\-b2, и предыду-
предыдущую формулу можно представить в виде:
tg6 = ?p, E9)
хде
g + b + {ab__baf
(a'q' — АУ)A+оЯ + *а) '
тлножитель k называется параметром распределения линейчатой по-
чверхности. Формулою E9) выражается весьма просто закон вращения
¦касательной плоскости вокруг образующей; в нее входят только эле-
элементы, имеющие геометрическое значение; в самом деле, ниже мы уви-
увидим, как можно определить геометрически параметр k.
Эта формула представляет, однако, некоторую неопределенность,
так как непосредственно не видно, в каком направлении должно отсчиты-
отсчитывать угол 6; другими словами, неизвестно, в каком направлении вра-
вращается касательная плоскость вокруг образующей, когда точка прикосно-
прикосновения перемещается вдоль этой образующей.
Это направление вращения вполне определяется знаком параметра k.
Чтобы это себе уяснить, вообразим наблюдателя, лежащего вдоль обра-
образующей G. При перемещении точки прикосновения М вдоль образующей
в направлении от ног к голове наблюдателя последний будет видеть,
что касательная плоскость вращается или слева направо, или справа
налево. Нетрудно сообразить, что определенное таким образом направ-
направление вращения сохранится и в том случае, когда наблюдатель пере-
переменит положение так, что ноги его будут находиться в том месте, где
была прежде голова, и обратно. Два гиперболических параболоида,
имеющих, общую образующую и симметричных относительно плоскости,
проходящей через эту образующую, дают ясное представление об этих
д?ух различных расположениях. Переместим теперь непрерывным дви-
движением координатные оси таким образом, чтобы начало координат
совпало с центральною точкою Ог, ось Oz — с образующею О, и плос-
плоскость xOz — с центральною плоскостью Рг. Ясно, что выражение F0)
параметра распределения сохранит при этом свое значение *, и фор-
* Это видно из формулы E9), где 9 и р имеют геометрическое значение, не
зависящее от выбора системы координат. (Ред.)

§ 229 III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 171
мула E9) обращается для новой системы осей в
tgb = kz, E9')
где б обозначает угол между касательного плоскостью и плоскостью
_у = 0, отсчитываемый в надлежащем направлении. При значении и0
параметра, соответствующем оси Oz, мы должны иметь a — b = p = q = O;
при этом уравнение касательной плоскости E5) обращается в
Y=0.
Чтобы начало координат было центральною точкою, а плоскость
xOz — центральною плоскостью, должно быть а' = 0, q' = 0; следова-
b'z
тельно, уравнение касательной плоскости принимает вид: Y=—j X,
причем формула F0) дает k = — —у. Отсюда видно, что в формуле E9')
за положительное направление отсчета угла 6 нужно принимать направ-
направление вращения от оси Оу к оси Ох. Если оси координат имеют
такое же расположение, как выше в § 221, то наблюдатель, лежащий
вдоль оси Oz, будет видеть, что касательная плоскость поворачивается
слева направо, если k положительно, и справа налево, если k отри-
отрицательно.
Место центральных точек всех образующих линейчатой поверхности
называется линиею сжатия (ligna de striction), или горловою линиею.
Координаты точек этой линии выражаются в функции- параметра и
уравнениями E4) и E8).
Примечание. Если для данной образующей мы имеем a'q' = b'p', то ка-
касательные плоскости к поверхности во всех точках этой образующей совпадают
между собою. Если последнее соотношение имеет место для всех образующих,
т. е. при всех значениях параметра и, то линейчатая поверхность есть развер-
развертывающаяся поверхность (§ 205). В последнем случае нетрудно притги к результа-
результатам, полученным -в § 205. В самом деле, если а' и Ъ' не равны одновременно
нулю, то касательные плоскости к поверхности во всех точках образующей G
•совпадают между собою; но в точке 2=—^- =— ~ , т. е. в точке прикосновения
образующей с ее огибающею уравнение касательной плоскости делается неопре-
неопределенным. Принимая во внимание соотношение a'q' = Ъ'р', легко доказать,
что значение z{, определяемое формулою E8), тождественно с значением
z = — f-y = — р-. Следовательно, для развертывающейся поверхности линия сжатия
¦совпадает с ребром возврата. Что касается параметра распределения, то для раз-
развертывающейся поверхности он равен бесконечности.
Если для каждой образующей а' = 6' = 0, то поверхность есть цилиндр;
в этом случае центральная точка неопределенна.
Центральную точку и параметр распределения можно определить еще иначе.
Рассмотрим вместе с О соседнюю образующую G{, соответствующую значению
параметра и-\-Ь. Уравнения образующей Gi будут:
л: = (я + Ая) г + р + Д/>, у = (Ь + Щг + q + bq. F1)
Пусть будет S кратчайшее расстояние между обеими прямыми Ои Gb a — угол
между этими прямыми, и X, Y, Z— координаты точки пересечения образующей G

172 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 229-230
с общим перпендикуляром к обеим образующим. По известным формулам анали-
аналитической геометрии имеем:
\а\д + Ы\р + (а\Ь — Ъ As) [(a + Да) Ag — (Ь + &Ъ) Лр]
Да Да — ДйДр
(а А* —
) — b,
sin a=-
При приближении h к нулю Z обращается в пределе в найденное выше вы-
выражение E8) для zi, a —=— дает в пределе k. Следовательно, центральная точка
о
есть предельное положение основания общего перпендикуляра к образующим
„ _ sin a
G и C/j, а параметр распределения равен пределу отношения —»—.
Заменим в выражении для 8 количества \о, Дй, Др, Да их разложениями по
степеням h: M
и ему подобными для \Ь, Др, Да. Тогда числитель выражения для S будет равент
Да lq — Д* Ар = Л2 (a'q' — b'p') + у (a"q' 4- a'q" — fc"p'— b'p") 4-...,
тогда как знаменатель будет всегда первой степени относительно h. Мы видим,
что & есть, вообще, бесконечно-малое первого порядка,'за исключением случая
развертывающихся поверхностей, когда мы имеем a'q' — b'p' = 0. Но коэфициент
при -7J- есть производная от a'q' — b'p'; следовательно, в случае развертывающихся
поверхностей этот коэфициент также равен нулю, и потому для развертывающейся
поверхности кратчайшее расстояние между двумя бесконечно близкими образую-
образующими будет бесконечно-малым не второго, а третьего порядка (§ 223). Это заме-
замечание принадлежит Буке, который, кроме того, доказал, что если для какой-нибудь
поверхности это расстояние представляет бесконечно-малое четвертого порядка,
то оно должно равняться нулю; это будет только в том случае, когда рассматри-
рассматриваемые прямые линии или касаются плоской кривой, или образуют коническую
поверхность. Чтобы в этом убедиться, нужно только продолжить разложение вы-
выражения Да Д<7 — Д6 Др до членов четвертого порядка.
230. Конгруэнции. Фокальные поверхности. Всякая совокупность прямых
х = az 4- р, у= bz 4- q, F2)
где а, Ь, р, q зависят от двух переменных параметров а и (?, называется конгру-
эчцшю прямых. Вообще, через каждую точку пространства проходит несколько
линий конгруэнции, так как при данных значениях х, у, z мы икеем для опре-
определения а и f два уравнения F2). Если между параметрами а и р уы установим
некоторое соотношение, то переменная прямая G, представляемая уравне-
уравнениями F2), образует линейчатую поверхность, которая, вообще, не будет развер-
развертывающеюся. Для того чтобы эта поверхность была развертывающеюся, должно быть,
как мы видели:
dadq — dbdp = 0;
. Ъа . Ъа ..
заменяя здесь da через — di -] dp, ... , получим:
да <)[!
/д'а . , да .Д /dq . , дд ,Д /db . , ЪЪ Л /др Ьр \
I — d* 4- - d$ \ I -* da 4- r*d}\ — ( — di 4- - 4 (^ dt 4- -f- d?) = 0.
\da dp / \йа Ц ) \да д} ) \да д$ )
F3>

§ 230 III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 173
di
Из этого уравнения второй степени относительно -j- мы получим, вообще,
два различных решения для —¦:
2 = *i(*. P). ^! = Ф1 («,?)¦ F4)
При некоторых весьма общих условиях, которые мы укажем впоследствии и ко-
которые мы будем предполагать здесь выполненными, каждому из уравнений F4)
можно удовлетворить, приняв за р одну из бесчисленного множества некоторых
определенных функций от а; при этом каждое из этих уравнений имеет один
и только один интеграл, принимающий при a = i, данное значение Р<>. Следова-
Следовательно,. каждая прямая G конгруэнции принадлежит двум развертывающимся
поверхностям, все образующие которых будут прямыми этой же конгруэнции.
Пусть будут Г и Г' ребра возврата этих двух развертывающихся поверхностей,
А и А' — точки прикосновения прямой G к Г и к Г'. Эти точки А и А' назы-
называются фокальными точками образующей. Их можно найти следующим обра-
образом, не интегрируя уравнения F3), определяющего развертывающиеся поверхности
конгруэнции. Координата z каждой из этих точек должна одновременно удовле-
удовлетворять двум соотношениям:
z da + dp = 0, г db + dq = 0 *;
заменяя здесь da, db, dp, dq их выражениями, получим:
да ' dp 7 da dp
\da ар / Ьа dp
Исключая из этих уравнений z, мы придем к уравнению F3); но если мы
лючим из низ
фокальные точки:
исключим из них -~ , то получим уравнение второй степени, определяющее обе
act
+ ) (г + )B + ) (г + )Оч F5)
da да) \ ар йр/ V dp dp/ V да b,J
Место фокальных точек А к А' образует две поверхности S и S', уравнение
которых получим, исключая а и р из уравнений F2) и F5). Эти поверхности не
будут, вообще, аналитически различными, а образуют две полости одной и той же
поверхности; эта поверхность называется фокальною поверхностью. Легко ви-
видеть, что фокальная поверхность есть место ребер возврата развертывающихся по-
поверхностей конгруэнции. В самом деле, по самому определению кривой Г оче-
очевидно, что касательная прямая к этой кривой в какой-нибудь ее точке А принад-
принадлежит к конгруэнции; следовательно, точка А есть одна из фокальных точек этой
прямой. Очевидно, что каждая прямая конгруэнции касается обеих полостей
2 и S' фокальной поверхности, так как такая прямая касается двух кривых
Г и Г1, расположенных на этих полостях.
Касательные плоскости к полостям S и 2' фокальной поверхности в точках
А и А' находятся следующим образом (черт. 41 на стр. 204). Предположим, на-
например, что прямая G, перемещаясь, остается касательного к кривой Г; при этом
она остается также касательного и к полости Б', и ее точка прикосновения с ?'
описывает некоторую кривую t', которая необходимо отлична от кривой Г'. Сле-
Следовательно, развертывающаяся поверхность, образованная прямою G, будет касаться
* Так как прямая F2) касается кривой Г в точке А, то для перемещения по
кривой Г имеем:
dx = a dz, dy—b dz.
(Ред.)

174 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 230—231
в точке А' полости Б'; в самом деле, так как касательные плоскости к обеим
поверхностям имеют, общими прямую G и общую касательную прямую к кри-
кривой i', то эти касательные плоскости совпадают между собою. Следовательно
касательного плоскостью к полости S' в точке А' будет соприкасающаяся плос-
плоскость к кривой Г в точке А. Точно так же можно убедиться, что касательного»
плоскостью к полости 2 в точке А будет соприкасающаяся плоскость к кри-
кривой. Г' в точке А'. Эти две плоскости называются фокальными плоскостями
конгруэнции.
Можно непосредственно определить фокальные плоскости следующим путем
Пусть будет
х — аг — р + Ц у — Ьг —q) = 0
уравнение фокальной плоскости, проходящей через G прямую конгруэнции»
Когда эта прямая, перемещаясь, описывает одну из развертывающихся поверх-
поверхностей конгруэнции, а, р и \ являются функциями переменного параметра, так
что характеристикой этой плоскости является сама прямая G. Но эта характе-
характеристика есть пересечение переменной плоскости с плоскостью, уравнение ко-
которой есть
— г da— dp + d\ (у — bz — q) —I (zdb -f- dq) = 0.
Чтобы эта вторая плоскость проходила через прямую* G, необходимо иметь:
da +1 db = 0, dp + Idq = 0
«о
Исключая 1, мы приходим к уравнению F3); но, если исключить отношение —^ , мы
получим уравнение второго порядка относительно ), которое определяет две фо-
фокальные плоскости:
> dj \д$ ЭР/ \<JP tfj \da Ъа/ '
Может случиться, что одна из двух полостей фокальной поверхности обра-
обращается в линию С. В этом случае прямые конгруэнции остаются касательным»
к полости ? и пересекаются с линиею С; одно из семейств развертывающихся по-
поверхностей будет состоять из конусов, описанных около поверхности 2, с верши-
вершинами в точках линии С. Если обе полости фокальной поверхности обращаютс»
соответственно в линии С и С, то оба семейства развертывающихся поверхностей
состоят из конусов, имеющих вершины в точках одной из кривых С, С и про-
проходящих через другую. Если линии С и С — прямые, то конгруэнция назы-
называется линейною кочгруэнциею.
231. Конгруэнции нормалей. Очевидно, что нормали ко всякой поверхностш
образуют конгруэнцию, но обратное предложение неверно; не всегда существует
поверхность, нормальная ко всем прямым данной конгруэнции. В самом деле,,
найдем, при каком условии все прямые, представляемые уравнением F2), нор-
нормальны к некоторой поверхности. Для этого необходимо и достаточно, чтобы,
существовала такая функция /(о, Р), чтобы поверхность S, представляемая урав-
уравнениями:
z=f(*. P), F7>
имела нормалями именно прямые G. Следовательно, мы дол»ны иметь:
a dx + b dy + dz = 0,
или
+ 4У + *
dp

§ 231 III, СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 175
заменив в этих уравнениях х через az-\-р, у через bz-\-q и разделив их.
на |/д2 + 62 _|_ 1; получим:
ар р j/a2+62+i
Для того чтобы эти уравнения были совместимы, необходимо и достаточно, чтобы
было
Если условие F9) удовлетворяется, то из уравнений F8) можно определить г-
квадратурою. Получающиеся поверхности зависят от одного произвольного по-
постоянного, входящего при интеграции, и образуют семейство параллельных по-
поверхностей.
Чтобы выяснить геометрический смысл условия F9), заметим, что условие
перпендикулярности двух фокальных плоскостей, проходящих через какую-ни-
какую-нибудь прямую конгруэнции, есть
где )t и Х2 суть корни уравнения F6). Если заменить Х? + J и h^2 их значениями*
это условие примет вид:
и оно тождественно с условием F9).
Мы получаем следующую важную теорему:
Для того чтобы прямые конгруэнции были нормалями к некоторой по-
поверхности, необходимо и достаточно, чтобы фокальные плоскости, прохо-
проходящие через каждую прямую конгруэнции, были взаимно перпендикулярны.
Примечание I. Если мы примем за переменные параметры а и (i косинусы
углов, образуемых прямою с осями Ох и Оу, то будем иметь:
и уравнения F8) обратятся в
. _ 02 _ p2; da da ,
I'"L
ар \ ]/i — o«—
Условие интегрируемости F9) принимает вид: -? = — , откуда следует, что />
da dp
и ^ суть частные производные от некоторой функции F(a, p):
IF dF

176
ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ
§ 231—231а
•причем функция F (я, В) получается посредством квадратуры. Найдя F, мы затем
гполучим г, интегрируя уравнение с полными диференциалами:
rf
у
•отсюда имеем:
/ z \ (
I — — 1 = — (а
V|/i-02 — 83/ V
\- В
/ d*F , о^Х^ч
— { а [-& — \ di;
: = l/l — я2 — $i(c+F— а — — 8— \ ,
Г \ Эа 58 /
где С — произвольное постоянное.
Примечание II. Нормали к некоторой кривой Г являются также норма-
.лями к трубчатой поверхности, являющейся огибающей семейства шаров посто-
•янного радиуса, центры которых лежат на кривой Г; следовательно, они образу-
образуют конгруэнцию нормалей. Одна из полостей фокальной поверхности обращается
в кривую Г, а другою является полярная поверхность кривой Г. Одна из прохо-
проходящих через нормаль MN фокальных плоскостей есть нормальная плоскость
кривой Г, а другая фокальная плоскость проходит через касательную МТ кри-
кривой Г; очевидно, что они ортогональны.
Нормали к тору образуют конгруэнцию, у которой обе фокальные поверх-
поверхности обращаются в две линии — ось тора и окружность, являющуюся местом
центров меридиа ов.
231а. Теорема Малюса. Если световые лучи, выходящие из какой-нибудь
точки, отражаются или преломляются какою-нибудь поверхностью, то после отра-
экения или преломления они будут нормальны к некоторому семейству парал-
-лельных поверхностей. Эта теорема, принадлежащая Малюсу (Malus), была рас-
распространена на случай нескольких последовательных отражений или преломлений
Коши, Дюпеном, Жергониом (Gergonne) и Кетле (Que.elet), и мы имеем следую-
следующую более общую теорему:
Если световые лучи нормальны к какой-нибудь поверхности, то после
любого числа отражений и преломлений они также остаются нормальными
к некоторой поверхности.
Так как отражение лучей можно рассматривать как преломление с показате-
показателем— 1, то достаточно доказать эгу теорему только для случая однократного
преломления. Пусть будет S поверхность, нормаль-
няя к световым лучам, тМ — падающий луч,
встречающий поверхность раздела 2 Двух сред
в точке М, MR — луч преломленный. По закону
Декарта падающий луч Mm, преломленный луч MR
и нормаль MN лежат в одной плоскости, и между
углами /иг (черт. 40а) существует соотношение:
nsliw=sinT. Для определенности мы предположим
л<1, как это принято на черт. 40а. Обозначим
расстояние Mm через / и отложим на продолжении
преломленного луча длину 1'=Мт', равную &-крат-
ной длине /, где k обозначает некоторый постоян-
постоянный множитель, который мы определим ниже.
Геометрическим местом всех точек /и', лежащих на
различных лучах будет некоторая поверхность S'.
Докажем, что можно выбрать множитель k таким
Черт. 40а.
¦образом, чтобы преломленный луч Mm' был нормален к поверхности S'. В самом
деле, пусть будет С. какая-нибудь кривая, лежащая на поверхности S. Когда
точка т описывает кривую С, точка М описывает на поверхности ? некоторую
кривую Г, а соответствующая точка т' описывает на поверхности S' некоторую
другую кривую С. Пусть будут *, о, s' длины дуг кривых С, Г, С', измеряемые
от некоторых соответственных постоянных точек на этих кривых, и ш — угол
между касательного МТ{ к кривой Г и линиею пересечения МТ касательной
плоскости к поверхности S в точке М с нормальною плоскостью К этой поверх-
поверхности, проходящею через падающий луч Mm; далее, пусть будут f и <р' углы
касательной MTi с прямыми Mm и Mm'. Чтобы вычислить, например, cos ?,
отложим на Mm длину, равную единице, и спроектируем ее на прямую MTt.

§ 231a—232 II. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 17?
Для этого мы можем сначала проектировать эту длину на МТ и затем про-
проектировать полученную проекцию на МТ{. Поступая точно так же с единицею
длины, отложенною на Mm', мы получим соотношения:
cos <f = sin i cos a, cos »' = sin z cos o>.
Применяя к отрезкам Mm и Mm' формулу A6) § 81 для диференциала отрезка
прямой, получим:
dl = — da cos <o sin i,
dl' = — da cos <o sin т — ds' cos 9,
где 9 есть угол между прямою т'М и касательного к кривой С". Заменяя dl
через kdl', из предыдущих уравнений будем иметь:
cos o> d<s (k sin / — sin т) = ds' cos 9.
Если мы положим k — n, то получим:
ds' cos 9 = 0.
Отсюда следует, что при k — n луч Mm' будет нормален к кривой С", а так как
кривая С есть произвольная кривая, лежащая на поверхности S', то он будет
нормален и к самой поверхности S1. Эта поверхность S' называется антикаусти-
антикаустикою или вторичною каустикою. Очевидно, что поверхность 6" есть огибающая
сфер, описанных из точки М как из центра, радиусами, равными л-кратной
длине Mm. Таким образом мы получаем следующую теорему:
Пусть паоающие лучи нормальны к w которой поьерхности S; будем рас-
рассматривать эту пове, хность как огибающую семейства сфер, центры кото-
которых лежат на поверхности раздела S. Тогда античаустикою для прелом-
преломленных лучей будет огибающая семейства сфер с теми же самыми центрами,
радиусы которых относятся к радиусам соответствующих сфер первого
семейства, как единица к показателю преломления.
Эта огибающая поверхность состоит из двух полостей, соответствующих
равным и противоположным по знаку показателям преломления. Вообще, эти две
полости не будут аналитически различны и представляют две полости поверхно-
поверхности, представляемой неразложимым уравнением.
232. Комплексы. Совокупность прямых, зависящих от трех переменных
параметров, называется комплексом прямых. Пусть будут
x=az-\-p, y=bz-{-q G1)
уравнения некоторой прямой. Каждое соотношение между a, b, p, q
F(a,b,p,q)=0 G2)
определяет некоторый комплекс прямых, и обратно. Если F есть целый многочлен
по а, Ъ, р, q, то комплекс назынается алгебраическим. Прямые комплекса, про-
проходящие через данную точку (х0, уй, г0), образуют конус с вершиною в точ-
точке (xq, уо, г0). Мы получим уравнение этого конуса, исключая a, b, p, q из
соотношений G1), G2) и G3):
z — za ' z —
G3)
следовательно, уравнение этого конуса будет:
— xzn yuz— yzo\ _Q
— z9' z — zoj
В каждой плоскости лежит бесконечное множество прямых, принадлежащих
к данному комплексу; эти прямые огибают некоторую кривую, называемую
крив ю комплекса. Если комплекс — алгебраический, то порядок конуса ком-
пл°кс<1 равен классу крив! а комп екса. В самом деле, предположим, что требуется
найти число прямых комплекса, проходящих через данную точку А и лежащих
в некоторой плоскости Р, проходящей через эту точку. Для этого можно по-
поступать двумя способами: можно или пересечь плоскостью Р тот конус компле-
12 9. Гурса, т. I, ч 2.

178 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ. КРИВИЗНЫ § 232
кса, вершина которого находится в точке А, или провести через точку А касатель-
касательные прямые к кривой комплекса, расположенной в плоскости Р. Так как
в обоих случаях мы должны получить одно и то же число, то теорема доказана.
Если конус комплекса обращается в плоскость, то комплекс называется
линейным; в этом случае уравнение G2) будет иметь вид:
Aa + bb + Cp+Dq+E(aq — bp) + F~0. G5)
Местом прямых комплекса, проходящих через данную точку (х0, _у0, z0), будет
плоскость, представляемая уравнением:
+ D (yuz - zoy) + E (yux - xuy) + F(z -z0) z= 0. ^D)
Так как кривая линейного комплекса должна быть первого класса, то она обра-
обращается в точку, т. е. все прямые комплекса, лежащие в данной плоскости,
проходят через некоторую точку этой плоскости; эта точка называется полюсом,
или фокусом. Следовательно, линейный комплекс устанавливает соответствие
между точками и плоскостями пространства таким образом, что ка+дой точке
пространства соответствует определенная плоскость, проходящая через эту точку,
и каждой плоскости соответствует определенная точка, лежащая в этой плоскости.
Точно так же линейным комплексом устанавливается соответствие и между пря-
прямыми в пространстве. В самом деле, пусть будет D прямая, не принадлежащая
к комплексу; далее, пусть будут F и ?' фокусы двух плоскостей, проходящих
через эту прямую, и Д — прямая FFf. Всякая плоскость, проходящая через
прямую Д, имеет фокус в точке <р пересечения этой плоскости с прямою D, так
как прямые <pF, <fF, очевидно, принадлежат к комплексу, так как проходят через
фокусы F n F' п лежат в плоскостях, которым соответствуют эти фокусы. От-
Отсюда следует, что всякая прямая, пересекающая прямые D и Д, принадлежит
к комплексу, и что фокус каждой- плоскости, проходящей через прямую D, есть
точка пересечения этой плоскости с прямою Д. Прямые D и Д называются счпря-
ж иными прямыми; каждая из них есть место фокусов плоскостей, проходящих
через другую,
Если прямая D обращается в бесконечно удаленную прямую, то плоскости,
проходящие через D, будут между собою параллельны, и из предыдущего видно,
что место фокусов плоскостей, параллельных некоторой данной плоскости, есть
прямая линия. Легко было бы убедиться, что всегда есть плоскость, обладающая
тем свойством, что место фокусов плоскостей, ей параллельных, есть прямая,
к ней перпендикулярная. Если мы примем эту прямую за ось Oz, то каждая
плоскость, фокус которой лежит на оси Oz, должна быть параллельна плоско-
плоскости хОу. На основании уравнения G6) необходимым и достаточным условием
этого будет А — В~С — D = 0, и уравнение комплекса принимает следующий
простой вид:
aq — bp + K= 0; G7)
при этом плоскость, фокус которой лежит в точке (х, у, z), представится уравне-
уравнением:
z)^=0, G8)
где X, У, Z— текущие координаты.
В виде примера найдем кривые, которых касательные принадлежали бы к пре-
предыдущему комплексу. Рассмотрим одну из таких кривых. Предположим, что ко-
координаты х, у, z ее точек выражены в функции переменного параметра; урав-
уравнения касательной в какой-нибудь точке этой кривой представятся уравнениями:
Х-х = У—У= Z-z
dx dy dz
Для того чтобы эта касательная принадлежала к комплексу, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она была расположена в плоскости G8), имеющей фокусом точ-
КУ {х, у, г), т. е. чтобы было:
d d Kd G9)

§ 232 III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 179
Выше (§ 216) мы видели, каким образом можно получить все функции х, у, г
переменного параметра, удовлетворяющие этому условию; следовательно, мы
можем найти все кривые, обладающие требуемым свойством.
Выводы, полученные в § '216, выражаются весьма просто с точки зрения
теории комплексов. Так, например, диференцируя уравнение G^), получим:
х<Ру — ytPx — Kd'-z; (80)
из соотношений G9) и (80) следует, что соприкасающеюся плоско'стью в точке
(х, у, z) служит плоскость G8). Таким образом мы получаем следующую теорему:
Если касательные прямые к кривой двойной кривизны принадлежат
к линейному комплексу, то соприка ающеюся плоек стью в каждой точке
этой кривой будет та плоскость, для которой зта точка служит фокусом.
[Аппель (Appell).]
Предположим, что требуется провести через точку О пространства соприка-
соприкасающиеся плоскости к некоторой кривой двойной кривизны Г, кхательные к ко-
которой принадлежат к линейному комплексу. Пусть бугет М точка прикосновения
одной из этих плоскостей. На основании предыдущей теоремы, прямгя МО есть
прямая комплекса, и следовательно, точка М лежит в плоскости, имеющей фоку-
фокусом точиу О. Обратно, если точ а М кривой Г лежит в плоскости, имеющей
фокусом точку О, то прямая МО, принадлежащая к комплексу, лежит в сопри-
кас юшлйся плоскости к кривой в точке М, и эта соприкасающаяся плоскость
проходит через точку О. Следовательно, искомыми точками прикосновения будут
точки пересечения кривой Г с плоскостью, имеющей фокусом точку О (§ 21'').
Линейные коми ексы встречаются во многих геометрических и механических
теориях (см., например, докторские диссертации Аппеля иПикара*).
УПРАЖНЕНИЯ
Г 1. Найти в конечном виде уравнения разверток кривой, пересекающей под
постоянным углом прямолинейные образующие прямого круглого конуса. Иссле-
Исследовать полученные решения.
—-'-'. Существуют ли такие кривые двойной кривизны Г, чтобы точки пересе-
пересечения данной плоскости Р с касательного, с главною нормалью и с бинормалью
в каждой точке этой кривой были вершинами равностороннего треугольника?
3. Пусть будет Г ребро возврата поверхности, огибающей семейство сфер
(т. е. Г есть огибающая характеристических окружностей этого семейства). Дока-
Доказать, что кривая, представляющая место центров перем.нной сферы, лежит на
полярной поверхности кривой Г. Обратное предложение.
4. Пусть будет Г данная кривая двои ой кривизны, М — точка криво."" Г, и
О — данная точка пространства. Проведем через точку О прямую, параллельную
полярной прямой кривой Г для точки М, и отложим на ней длину ON, рав1 ую
рядиусу кривичны кривой Г в точке М. Доказать, что соответственные ли ейные
элементы кривой Г, описываемой точкою N, и кривой Г", местом центров кривиз-
кривизны кривой Г; равны и взаимно перпендикулярны; кроме того, радиусы кривизны
в соответственных точках кривых Г' и Г" равны между собою.
[Рукэ (Rouqnet).]
— 5. Доказать, что, если радиус шара, соприкасающегося с кривою двойной
кривизны Г, имеет постоянную длину а, то или кривая Г лежит на шаре ра-
радиуса а, или радиус кривизны кривой Г постоянен и равен а.
>\ Доказать, что для того, чтобы местом центров кривизны винтовой линии,
проведенной на некотором цилиндре, была другая винтовая линия, проведенная
на цилиндре с об >азующими, параллельными обра ующим первого цилиндра,
необхо имо и достаточно, чтобы перпендикулярным сечением этого второго ци-
линдга была окружность. [Тиссо (Tissot, Nouvelles Annales, т. XI, 1852.J
.*) Annales scientifiques de I'Ecole Nornale superieure, 1876 и 1877.
12*

fSO ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 232
7*. Если две кои вые двойной кривизны имеют общие главные нормали, то>
соприкасающиеся плоскости к обеим кривым в точках пересечения этих кривых
с одною и тою же нормалью образуют постоянны \ угол. Эти две точки и центры
кривизны обеих кривых образуют систему четырех точек, ингармоническое отно-
отношение которых постоянно. Произведение радиусов кручения обеих кривых
в соответственных точках также постоянно.
[П. Серре, Мангейм (Mannheim), Шелль (Schell).]
8*. Пусть будут х, у, z прямоугольные координаты точек кривой двойной^
кривизны, и s — длина дуги этой кривой. Кривая Го представляемая уравнениями:
хо=[ i"ds, у о = [ P"rfs, z0 = [-fds
J j .1
где х0, у0, г0 — текущие координаты, называется дополнительною кривою
(courbe adjointe), а кривые, представляемые уравнениями:
+ _у0 sin в, Z=z cos 8 -f- zosin 9.
где X, Y, Z— текущие координаты, а в — постоянный угол, называются присое-
присоединенными кривыми (courbes associ* s). Найти для этих кривых расположение
основного трехгранного угла (§ 228), а также радиусы кривизны и кручения.
Если кринизна кривой Г постоянна, то кривая Го имеет постоянное кручение,
и присоединенными кривыми будут кривые Бертрана (§ 233). Вывести отсюда
общие уравнения этих п следни . [Коши.]
9*. Найти кривыеГ, расположенные на поверхности вращения -гопорядка.!?,
касательные к которым в каждой точке образуют постоянный угол с прямой,
проведенной через эту точку параллельно оси вращения. Исследовать различные-
формы этих кривых и зависимости от характера поверхности. Показать, что эти
кривые пересекают под постоянным углом образующие конусов, направляющей
которых служит кривая Г и вершины которых суть фокусы среднего сечения,
расположенные на оси. Если поверхность S является круговым конусом, то-
имеем обычную цилиндро-коническую винтовую линию. (См. Pirondini, Journ, de
Crelle, 118, 1897, p. 61; G. Scheffers Leipzig Berichte, 1902, p. 36Э; E. Cesaro,
Rendiconti di Napoli, 1903, p. 73.)
Если кривая Г пересечений двух конусов с вершинами S и S' пересекает
под постоянным углом образующие этих двух конусов, то она пересекает под.
постоянным углом также образующие третьего конуса с вершиной в точке S'",
расположенной на прямой SS'. Кривая Г расположена на поверхности вращения,
среднее сечение которой есть овал Декарта, а точки S, S', S" - фокусы этой
кривой. (Cesaro, ib.)
10. Для того чтобы прямая, неизменно связанная с основным трехгранным
углом кривой двойной кривизны Г и проходящая через вершину этого угла,
образовала развертывающуюся поверхность, необходимо, чтобы эта прямая сов-
совпадала с касательного, за исключением того случая, когда кривая Г есть винтовая
линия. В последнем случае существует бесчисленное множество прямых, обла-
обладающих требуемым свойством.
Для кривой Бертрана существуют два гиперболических пграболоида, неиз-
неизменно связанных с основным трехгранным углом, все прямолинейные образующие
которых образуют развертывающиеся поверхности.
[Чезаро (Cesaro), Rivista di Matematica, т. II, стр. 155, 1892.]
11*. Для того чтобы главные нормали кривой двойной кривизны были бииор»-
малями другой кривой двойной кривизны, между радиусом кривизны и радиу-
радиусом кручения первой кривой должн¦> существовать соотношение вида:
где А и В—постоянные.
[Мангейм, Comptes rendus, 1877.)
[Случаи, когда Прямая, проходящая через точку кривой двойной кривизны
и неразрывно связанная с основным трехгранным углом, остается во все вре-

§ 332 III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 181
мя движения главною нормалью или бинормалью другой кривой двойной кривиз-
кривизны, были изучены Пелле (РЛ1е1), (Comptes rendus, май, 1887), Чезаро (Nouvelles
Annales, 1888, стр. 147), Балитраном (BjI tiand) (Mathesis, 1894, стр. 159).]
12. Доказать, что если соприкасающаяся плоскость кривой двойной кривизны Г,
постоянно касается одной и той же сферы с центром О, то 1) плоскость, про-
проходящая через касательную к кривой Г и перпендикулярная к главной нормали,
проходит через точку О, 2) отношение радиуса кривизны к радиусу кручения
есть линейная функция длины дуги кривой Г. Обратные теоремы.
13. Проекция на плоскости Р кривой двойной кривизны Г параллельно ка-
касательной /и Т в точке М этой кривой имеет точку возврата в точке гп, являю-
являющейся проекцией точки М кривой, и касательная в точке возврата есть след на
плоскости Р соприьасающей я плоскости к кривой Г в точке М. Исследовать
случай стационарной соприкасающейся плоскости в точке М.
14*. В каждой точке М кривой Г проводим нормаль, которая образует пере-
переменный угол <р с главной нормалью, и на ней откладываем постоянную длину
ММ' = 1. Кривая С, описываемая точкой М', нормальна к той же прямой М'М.
Определить угол <р так, чтобы касательные к кривым С и С в соответствующих
точках М, М' образовали постоянный угол V. Частный случай: V== — •
Принимая за неизвестное tg -~, получаем уравнение Риккати.
[Darboux, Comptes rendus, t. 146, 1908, стр. 881]
15. Найти главную часть кратчайшего расстояния между двумя бесконечно
близкими главными нормалями и предельное положение основания общего пер-
перпендикуляра.

ГЛАВА XII.
ПОВЕРХНОСТИ.
I КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ.
233. Основная формула. Теорема Менье. Каждая поверхность S может
быть определена системой трех уравнений:
x=f(u, v), y = w-(u, v), z = ii{u, v), A)
где х, у, z — прямоугольные координаты точек этой поверхности, и
и v—-два переменных параметра.
Три функции /, <р, ф не обязательно должны быть аналитическими,
мы предположим только, что они непрерывны и допускают непрерывные
частные производные двух первых порядков в любой точке поверхности
за исключением особых. Если три детерминанта
D (У, г) D (z, х) D (х, у)
D(u,v)' D(u,v)' D(u,v)
не обращаются одновременно в нуль при некоторой системе значе-
значений u,.v, то соответствующая точка М поверхности — точка обыкновен-
обыкновенная (§ 61), в ее окрестности одна из координат х, у, z есть непрерыв-
непрерывная функция двух других, допускающая непрерывные частные производные
первого и второго порядка.
Будем исследовать кривизну • различных кривых на поверхности
в какой-нибудь обыкновенной точке. Можно было бы предположить,
что в окрестности этой точки поверхность представлена уравнением
z = F(x, у), но формулы, которые мы будем получать, примут более
симметричный вид и более общее выражение, если сохранить три
уравнения A).
Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
(х, у, z): A(X—x)-lrB(Y—y) + C(Z — z) = O; B)
коэфициенты А, В, С должны удовлетворять двум соотношениям:
Значение ^ здесь вполне очевидно. Из этих уравнений следует:
n-KD(-z^x) r—vD{x>y)

§ 233 I. КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ 183
где К—постоянный или переменный множитель, который может быть
выбран вполне произвольно*. Если, например, поверхность представлена
уравнением z = F(x, у), то, положив х = и, y = v, К=— 1, получим:
А=р, B = q, C = — 1,
где р и <7 — обычные обозначения первых частных производных от z,
В уравнениях A) и и v могут быть функциями одного переменного а;
в этом случае точка (х, у, z) описывает на поверхности 5 некоторую
кривую Г. Направляющие косинусы касательной к этой кривой пропор-
пропорциональны диференциалам:
dx^-du + ^-dv, dy^du + ^dv, dz=P~du + ^dv, ¦
dv
каждой величине отношения — соответствует определенная касательная
к поверхности в точке (и, v); значения соответствующих направляющих
косинусов легко вычислить.
Вдоль кривой Г диференциалы dx, dy, dz удовлетворяют соотно-
Ш6НИЮ Adx + Bdy-\-Cdz = O, E)
которое, очевидно, выражает, что касательная к кривой Г лежит в ка-
касательной плоскости к поверхности. Приравняв нулю полный диферен-
циал левой части этого уравнения (§ 37), получим некоторое соотно-
соотношение между диференциалами второго порядка от лг, у, z:
Ad2x-\-Bd2y-\-Cd2z -\-dAdx-\-dBdy-\-dCdz = O, F)
которому нетрудно дать весьма простое геометрическое истолкование.
Прежде всего заметим, что dA dx -J- dВ dy -\- dC dz есть некоторая
квадратичная форма от dtt и dv:
dA\dx4-dBdy-\-dCdz=Ddu2 -f- 2D' du dv -f- D" dv*\ G)
ее коэфициенты D, D', D" выводятся диференцированием выражений
x, у, z, А, В, С.
A d2x -\- В d2y -\- Сd2z представляет с точностью до некоторого мно-
множителя косинус угла между двумя прямыми,, направляющие косинусы
которых пропорциональны, соответственно, (А, В, С) и (d2x, d2y, d2z).
Прямая, соответствующая параметрам А, В, С, есть нормаль к поверх-
поверхности; за положительное направление на ней мы выберем то, которое
имеет направляющие косинусы
|/л24?24-С2 '
— С
VA2 -f В2 + С2 ' I
f (8)
\/А2-{-В2-\-С2 ' )
* Ясно, что можно раз навсегда установить величину множителя К, положив,
например, К = ±1. Но для приложений выгодно оставить этот множитель не-
неопределенным, чтобы, выбирая его в каждом частном случае, придать, если это
возможно, наиболее простои вид выражениям коэфициентов А, В, С,

184 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 233
Далее, приняв за независимое переменное длину дуги s кривой Г,
будем иметь: ,„ . „ „. ,„ ,
J d2x a' d2y рг d2z j
cW^'R' ds*~~R ' Zs2==~R'
где a', (}', у' и R—обозначения, принятые в § 223. Разделив обе части
равенства F) на ds2, напишем его в виде:
+ В*-\-С» п . . в, . .. Ddu2-{-2Dldudv +
здесь Е, F, О — гауссовы обозначения коэфициентов первой квадратич-
квадратичной формы (§ 124):
ds2 = Edu2-\- 2Fdu dv-{-G dv2.
Обозначив через 6 угол, образуемый главною нормалью к кривой Г
положительным направлением нормали к поверхности, получим:
с помощью этого равенства предыдущее выражение приводит к сле-
следующей весьма важной формуле:
У А2-\-В2-\-С2 «_Ddu2-\- 2D1 du dv -f D" dv2
JR ' C° E du2 -j- 2Fdu dv f Gdv* ' ^'
которая, очевидно, вполне эквивалентна формуле F). В этом соотно-
соотношении радикал у А2 + В2 •+ С2 и радиус кривизны /? — существенно
положительные величины, следовательно, знак cos 6 совпадает со знаком
правой части. При заданной системе величин и, v правая часть равен-
• dv
ства (9) зависит только от отношения —, т. е. от направления каса-
касательной к кривой Г в точке М. Пусть будут: Г' некоторая другая кри-
кривая на поверхности, касающаяся первой в точке М, /?' — ее радиус
кривизны, 0' — угол между главной нормалью и положительным на-
направлением нормали к поверхности. Правая часть формулы (9) имеет
одну и ту же величину для обеих кривых, следовательно
по)
R —Я"-
Рассмотрим, в частности, две кривые Г и Г', имеющие в точке М
общую соприкасающуюся плоскость (отличную от касательной плоскости
к поверхности). Обе эти кривые имеют, очевидно, общую касательную
в точке М — прямую пересечения касательной плоскости к поверхности
и соприкасающейся плоскости кривой. Следовательно, к ним можно
применить формулу A0). Направления двух главных нормалей 'могут
либо совпадать, либо быть взаимно противоположными, т. е. возможно
либо 6 = 0', либо 6 = я — 6'. Однако последнее предположение должно
быть отвергнуто ввиду того, что cos 6 и cos 6' имеют один и тот же
знак. Таким образом 6'= 6 и /?' = /?. Две кривые Г и Г' с совпа-
совпадающими направлениями главных нормалей и равными радиусами кри-

§ 233 I. КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ 185
визны имеют, очевидно, и общий центр кривизны. Итак, все кривые
некоторой поверхности, проходящие через какую-нибудь точку М и
имеющие в этой точке общую соприкасающуюся плоскость {отличную
от касательной плоскости к поверхности), имеют также общий центр
кривизны. В частности, все эти кривые имеют тот же центр кривизны,
что и плоское сечение поверхности их общею соприкасающеюся пло-
плоскостью.
Таким образом оказывается, что совершенно достаточно исследовать
только плоские сечения поверхности, проходящие через точку М. Мы
сначала рассмотрим, как изменяется кривизна различных плоских сече-
сечений, если секущие плоскости имеют общую касательную МТ.
Можно предположить без ущерба общности, что для этой касательной
D du* -f 2D'du dv -}- If dv* > 0,
так как при перемене знаков А, В, С, что соответствует перемене по-
положительного направления нормали, очевидно, также изменятся и знаки
коэфициентов D, D', С/'.
Для всех секущих плоскостей cos 6 положителен, и угол 6 — острый;
в частности, для нормального сечения через МТ угол 6' равен нулю.
Пусть R' — радиус кривизны этого сечения; соотношение A0) в таком
случае приведется к виду:
/? = /?' cos 6.
Отсюда следует, как легко видеть, что центр кривизны любого наклон-
наклонного плоского сечения поверхности есть ортогональная проекция на
плоскость наклонного сечения центра кривизны нормального сечения,
имеющего с первым общую касательную (теорема Менье).
Благодаря этой теореме исследование кривизны плоских сечений
сводится к исследованию сечений только нормальными плоскостями.
Результаты, относящиеся к этому последнему вопросу, получены Эй-
Эйлером.
Заметим прежде всего, что для нормальных сечений равенство (9)
принимает две различные формы в зависимости от знака выражения
D du2 -j- 2D' du dv -f D" dv2.
Чтобы избежать этого неудобства, мы будем относить радиусу кри-
кривизны /? некоторого нормального сечения знак плюс, если направле-
направление от точки М к центру кривизны совпадает с положительным на-
направлением нормали к поверхности, и знак минус, если эти направления
противоположны. При этом условии R определяется во всех случаях
формулой:
VА2-\-В2 + С2_Ddu2 -\- 2D'dudv + D"dv2
R ~ Edu2-\-2Fdudv-\-Gdvr' ( '
которая указывает, и теперь уже вполне однозначно, положение центра
кривизны.
На основании формулы A1) легко сделать заключение о характере
расположения поверхности по отношению к касательной плоскости
в смежности с точкой прикосновения. Если D'2— DD" <^0, то трех-

186 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 233
член Ddu2 -\-2D' dudv -f D" dv2 не изменяет знака при вращении се-
секущей плоскости вокруг нормали, центры кривизны всех нормальных
сечений расположены по одну сторону касательной плоскости, по ту же
сторону расположены и все точки поверхности, близкие к точке при-
прикосновения. В этом случае говорят, что поверхность — выпуклая в дан-
данной точке, и сама точка М называется эллиптической.
Напротив, если Z}'2 — ?>D"> 0, трехчлен Ddu2-\-2D'dudv-\-D"dv2
обращается в нуль при двух положениях секущей плоскости, для со-
соответствующих нормальных сечений точка М будет точкой перегиба.
Если секущая плоскость, вращаясь вокруг нормали, остается в одном
из двугранных углов, образованных этими двумя плоскостями, R не
меняет знака, и соответствующие сечения, в смежности с точкой М,
будут лежать по одну сторону от касательной плоскости. - При пере-
переходе секущей в смежный двугранный угол R переменит знак, и соответ-
соответствующие сечения расположатся с другой стороны. Поверхность, следо-
следовательно, пересекает касательную плоскость вблизи точки прикосновения;
такая точка называется гиперболической
Наконец, если в рассматриваемой точке D'2 — DD" — 0, то все
нормальные сечения расположены по одну сторону от касательной пло-
плоскости, за исключением одного, которое имеет бесконечно большой
радиус кривизны и, вообще говоря, эту плоскость пересекает. В этом
случае, точка М называется параболической.
Рассмотрим поверхность 6", определенную уравнением z = F(x, у);
приняв А=р, B=^q, С=—1, непосредственно получим: D = r,
D' = s, D" = t, где р, q, r, s, t — обычные обозначения Монжа, и
Ё=\+р2, F=pq, G = \+q2.
Положительное направление нормали имеет направляющие' ко-
косинусы
\= , ~~Р =, ц = ^=^=, v = -,-=!=- A2)
j/l+2+2 j/l+2 + 2 l/l2 + 2
и составляет острый угол с Oz. Пусть будут а, р, у направляющие ко-
косинусы касательной к нормальному сечению в точке М. Так как du
и dv пропорциональны a, j$, формулу A1) можно написать в виде:
I
или, принимая во внимание соотношения
в более простом виде:
1X"L -t'p2. A3r)
По знаку трехчлена га2 -f- 2sap -\-t$2 можно судить о том, как распо-
расположена поверхность относительно касательной плоскости в смежности
с точкой прикосновения: над этой плоскостью, или под ней. Точка при-
прикосновения будет эллиптической, если s2 — rt<^Q, гиперболической,
если s2 — rt^>0, и параболической, если s2 — rt = O.

§ 233-234 I. КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ 187
Этот результат легко подтвердить исследованием разности Ъ — z— z', где г
и z' — аппликаты двух точек: точки (х, у, z) поверхности и точки (х, у, г') ка-
касательной плоскости. Пусть будут (хо ,Уо) координаты точки прикосновения
/>о> <7с ro> ^j . *о— значения производных от F (х, у) в этой точке. Тогда имеем'
l = F(x, у)— ро(х — х0) — до(у— у0),
Если ^ — г/о < 0, о имеет максимум или минимум в точке М (§ 45), и так как 3
обращается в этой точке в нуль, то сохраняет постоянный знак в некоторой
малой окрестности М.
Напротив, если s2d—r^t» > 0, для Ь не будет ни максимума, ни минимума,
следовательно, знак 8 в соседстве с М будет изменяться.
234. Две основные квадратичные формы. Одновременно с формой
dst = ? rf«2 -(- IF da dv -f G rff2
будем исследовать квадратичную форму
?> du2 -\-2D'du dv -f- ?>" oto2.
По самому ее определению коэфициенты D, D', D" имеют следующие
значения:
Выражение D' можно упростить, пользуясь равенствами C); диферен-
цируя первое из этих равенств по v, второе—по и, получим:
ЪА Ъх q .
bV Ъи ' <J blldV ' <J ill ЙЗ
Следовательно,
SS/1 йлг о ^ Л Эдг
откуда:
t; Ъи ^J Ъи bv' у '
Для коэфициентов D, D', D" могут быть получены выражения, содер-
содержащие только производные от х, у, z по и и г>.
Написав тождество F) в виде:
Ddu2 -f 2?>' rf« <ft/4- Z)" dv2 =~ —
найдем, сравнивая обе части этого равенства:

188
ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ
§ 234
Заменяя в этом равенстве А, В, С их значениями D), мы замечаем,
что коэфициент при К есть разложение определителя, и мы получаем:
Ьх Ьу Ьг
Ьи Ьи Ьи
Ьх Ьу bz
bv
ЬЬс
Ьи2
Аналогично определяются:
D" = — K
Ьх
~Ьи~
Ьх
Ь2х
bubv
Ьх
~Ьи~
Ьх
Ь2х
bv
Уу
Ьи2
by
Ьи
Ьу_
bv
Vy
A5)
Ьи
bz_
bv
b2z
bubv
by_
Ьи
by
bv
Vy
A6)
bu
bv
Коэфициенты D, D', D", так же как и А, В, С, определяются лишь
с точностью д:> произвольного множителя/С, тогда как квадратичная форма
+ 2D' du dv -f D" dv2
определена с точностью до знака, независимо от К. Форма A7) имеет
весьма простое геометрическое значение. Обозначим через Ь расстояние
с соответствующим знаком точки поверхности с гауссовыми коорди-
координатами (и -4- du, v -)- dv) от касательной плоскости в точке (и, v). Если
развернем Ь в ряд по степеням du и dv, то члены первого порядка
обращаются в нуль вследствие соотношений C), а члены второго порядка
1 Аа*х + Bd2y-\-Cd2z
2 ~П/ Л2¦-{- ь2 -f- С2
представляют, с точностью до множителя — форму A7). Таким об-
разом общая формула A1), определяющая радиус кривизны нормального
сечения, может быть написана в виде:
что вполне согласуется с указанным уже ранее результатом (§ 209).

§ 235 I. КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ 189
235. Теоремы Эйлера. Индикатриса. Чтобы исследовать изменение
радиуса кривизны нормального сечения, примем рассматриваемую точку
поверхности за начало координат и касательную плоскость к поверх-
поверхности в этой точке — за плоскость хОу. При таком выборе осей мы
имеем p = q = 0, и формула A3) обращается в
— = rcos2<p -|-2s cos <p sin <p-j-^ sin2 <p, A8)
где <р есть угол между осью Ох и линиею пересечения секущей пло-
плоскости с плоскостью хОу. Приравнивая нулю производную от правой
части уравнения A8) мы найдем, что R будет иметь максимум или ми-
минимум для двух взаимно перпендикулярных направлений. Для более
подробного исследования изменения радиуса кривизны R во всех воз-
возможных частных случаях, выгодно воспользоваться следующим геометри-
геометрическим представлением. Отложим на линии пересечения секущей пло-
плоскости с ткЛкостью хОу длину От, равную корню квадратному из
абсолютной величины соответствующего радиуса кривизны. При враще-
вращении секущей плоскости вокруг нормали точка т опишет некоторую
кривую, называемую индикатрисой, и очевидно, что из рассмотрения
этой кривой мы получим наглядное представление о ходе изменения
радиуса кривизны нормального сечения.
Рассмотрим три возможных случая.
1) s2 — rt<^0. В этом случае радиус кривизны R сохраняет один
и тот же знак; предположим, что R положительно. Выражения коорди-
координат точки т будут $= |//? cos tp,- 7j— |//^sin(p, и следовательно, урав-
уравнение индикатрисы будет иметь вид:
r?2 + 2sS7i + ft]»=:-l. A9)
Это — уравнение эллипса с центром в начале координат. Отсюда видно,
что R будет иметь максимум, когда след секущей плоскости совпадает
с большою осью эллипса, и минимум, когда след секущей плоскости
совпадает с малою осью, и что две секущие плоскости, следы которых
равно наклонены к осям индикатрисы, дают для радиуса кривизны R
равные значения. Нормальные сечения, проходящие через оси инди-
индикатрисы, называются главными нормальными сечениями, а соответ-
соответствующие радиусы кривизны — г гавными радиусами кривизны. Если мы
примем за оси Ох и Оу оси индикатрисы, то будем иметь s = 0, и
формула A8) обратится в
— = г cos2 © -f-1 sin2 со.
R ¦ ' '
Главные радиусы кривизны R2 и R2 получатся, если мы положим <р = О
п 1 1
или tp = —; отсюда находим—= г, yr- — t, и следовательно:
2 R1 И2
sin2cp B0)

190 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 235
2) s2 — r/>0. В этом, случае нормальные сечения, соответствующие
значениям угла <р, которые удовлетворяют уравнению
г cos2y -(- 2s cos (f sin cp —|— ^ sin2tp = 0,
имеют бесконечно большие радиусы кривизны. Пусть будут L'fiLj, L'2OL9
следы этих нормальных сечений на плоскости хОу. Предположим, что
когда след секущей плоскости проходит в угле L-flL2, то предыдущий
трехчлен положителен. Обозначая, как и в первом случае, через \ и 7j
координаты точки т, мы найдем, что соответствующая часть индика-
индикатрисы представится уравнением:
/¦$« + 2*54+ ^=1.
Это — уравнение гиперболы, для которой асимптотами служат прямые
L'XOL^ и L'pL2j но, если след секущей плоскости проходит в угле Ь'2ОЬ^,
то мы будем иметь /?<^0, и, чтобы получить соответствующую часть
индикатрисы, должно положить
? = j/—/? cos ср, T[ = yr—/?sin<p.
Мы получим уравнение гиперболы:
сопряженной с первою. При помощи этих двух сопряженных гипербол
можно составить представление о ходе изменения радиуса кривизны
нормального сечения. Приняв за оси координат главные оси обеих гипер-
гипербол, мы найдем, что общая формула (.18) и в этом случае может быть
представлена в виде B0), где /?а и /?2 обозначают главные радиусы
кривизны, из которых один положителен, а другой отрицателен.
3) s2 — rt = O. В этом случае радиус кривизны /? сохраняет по-
постоянный знак, например знак плюс. Индикатриса представится и в этом
случае уравнением A9), но так как здесь эта кривая принадлежит к па-
параболам и вместе с тем имеет центр в начале координат, то она мо-
может быть только парою параллельных прямых. Приняв за ось Оу
прямую, параллельную этим обеим прямым, мы будем иметь в этой си-
системе осей s = 0, t = 0, и общая формула A8) примет вид:
ти 1 _cos»<p
Эту формулу можно также рассматривать как предельный случай фор-
формулы B0), когда один из главных радиусов кривизны /?3 обращается
в бесконечность.
Формулы Эйлера можно также вывести, не пользуясь формулою A3). При-
Приняв рассматриваемую точку поверхности за начало координат, а касательную пло-
плоскость — за плоскость хОу и продолжая разложение z по формуле Тейлора до
членов третьего порядка, мы можем написать:

§ 235—236 I. КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ 191
где опущенные члены — не ниже третьего порядка. Чтобы получить радиус кри-
кривизны сечен я, образованного плоскостью _у = jtrtg <р, сделаем сначала преобра-
преобразование координат:
х = х' cos <? — У sin у, у — х' sin <p +y cos <?
и положим затем у = 0. Мы получим разложение z п.) степеням х':
г cos2 <р + 2s sin о cos у + t sin2 <p
z~ Г 2" Л + ""
и, воспользовавшись замечанием § 209, придем к формуле A8).
Примечание. Линия пересечения поверхности со своею касательною пло-
плоскостью имеет уравнение:
0 = гх? + 2s xy + ty* + ъ(х.У)+ ¦¦¦
Эта кривая имеет двойную точку в начале координат, и касательные в этой
двойной точке суть асимптотические касательные. Вообще, если две поверхности
S, St касаются в начале координат плоскости хОу. то проекция линии пересече-
пересечения этих поверхностей на плоскость хОу представится уравнением:
где rt, sit ti относятся к поверхности St, a r, s, t — к поверхности 5. Характер
двойной точки зависит от знака выражения (s — s^ — (г — г,) (t — ^); если это
количество равно нулю, то кривая пересечения имеет, вообще, в начале коорди-
координат точку возврата.
Таким образом в каждой точке поверхности есть четыре замечатель-
замечательных положения касательной прямой: две взаимно перпендикулярных ка-
касательных, для которых радиус кривизны /? будет максимум или мини-
минимум, и две асимптотических или главных касательных, для которых/?
равн» бесконечности. Последние касательные мы получим, приравнивая
нулю трехчлен га2 + 2safS -f-1$2 (§ 213)*.
Мы теперь покажем, как определяются главные нормальные сечения
и главные радиусы кривизны в любой системе прямоугольных осей,
236 Главные радиусы кривизны. Исследуя индикатрису, легко уяс-
уяснить, что каждому значению /? соответствуют, вообще говоря, два нор-
нормальных сечения, действительных или мнимых, радиусы кривизны кото-
которых равны /?. Исключением является тот случай, когда JR равен одному
из главных радиусов кривизны; тогда найдется только одно нормальное
сечение, именно, главное, которое имеет /? своим радиусом кривизны.
Для определения нормальных сечений, имеющих радиус кривизны /?,
служит общая формула A1), которую мы напишем в виде:
1 D du2 4- ZD'du dv -f DTdv*
p ~~ Edui-\-2Fdudv-[-Gdv*' ( '
где положено: R = p \/~A2 -\- Вг -f- С2. Для данного значения р уравне-
dv
ние B1) является уравнением второго порядка относительно -— .
(р?> — Е) du* -f- 2 (pDr — F) du dv -f (pZ)" — G) dv2 = 0, B2)
* Следует обратить внимание на различие между главными направлениями
в точке поверхности и главными касательными в этой точке. Главные напра-
направления суть направления осей индикатрисы; для них R есть максимум или ми-
минимум. Главные касательные суть асимптоты индикатрисы; для них R — оо. {Ред.)

192 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 236
корни которого определяют направление касательной к нормальному
сечению, имеющему радиус кривизны R.
Если R — один из главных радиусов кривизны, уравнение B2) имеет
dv
двойной корень, и отношение - должно удовлетворять двум условиям:
аи
-F)dv = O, i
—G)dv = O. f { '
Эта система уравнений определяет сразу и главные радиусы кри-
визны и главные нормальные сечения. Исключая - , получим уравнение
второй степени относительно р:
(pOf — Ff — (pD — E)(pD" — G) = 0. B4)
Чтобы получить уравнение, определяющее главные радиусы кривизны R
R
и R, следует в B4) заменить р через г ~ . Далее исключая р,
dv
из уравнений B3) получим уравнение второй степени относительно —:
(О du -f D'dv) (Fdu -\-Gdv) — {Dfdu -f D"dv) (E du + Fdv) = 0,' B5)
корни которого определяют направление касательной к главному нор-
нормальному сечению.
По самой природе вопроса корни уравнения B4) всегда действи-
действительны. Если R и R'— главные радиусы кривизны, то произведение RR'
определяется равенством:
DD-D*
RR> (EG — /=-
с помощью которого можно произвести проверку известных уже ре-
результатов. Так как EG—F2 всегда положительно, то RR1 имеет тот
же знак, что и DD"—D'2- В параболической точке один из главных
радиусов кривизны равен бесконечности, и угтг. равно нулю.
"А:
Для того чтобы уравнение B4) имело равные корни, необходимо,
чтобы индикатриса была кругом. В этом случае все нормальные сече-
сечения имеют один и тот же радиус кривизны, и правая часть формулы
di}
A1) должна быть независимой от —; необходимым и достаточным
du
условием этого являются равенства:
Точка, удовлетворяющая этим условиям, называется точкой округления
(омбиликальной точкой). В этой точке уравнение B5) удовлетворяется
тождественно, так как все диаметры круга являются его осями симметрии.

§ 236 I. КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ 193
Если поверхность определена уравнением z=F(x,у), то, положив
и — х, v=y, приведем уравнения B4), B5) и B7) соответственно
к следующим:
/ _|_ p2)t _ 2pgs + A -I- tf)f\R +
+ ?2) = 0, B4')
o?[(\-\-p*)s-pqr]-\-o%[(\+p*)t- (l+92
*] = 0, B5')
= —= —т—,• B7r)
pq \-\-ql
Их можно вывести либо как частные случаи общих формул, либо не-
непосредственно из формулы A3).
В некоторых случаях можно определить главные нормальные сечения
поверхности из геометрических соображений. Например, если у по-
поверхности 6' есть плоскость симметрии, проходящая через точку М этой
поверхности, то прямая пересечения этой плоскости с касательного пло-
плоскостью в точке М есть, очевидно, ось индикатрисы, и сечение по-
поверхности плоскостью симметрии есть одно из главных нормальных се-
сечений. Так, в каждой точке поверхности вращения меридиан есть одно
из главных нормальных сечений; следовательно, плоскость второго глав-
главного нормального сечения проходит через нормаль к поверхности и
касается параллели. Но центр кривизны одного из наклонных сечений,
проходящих через касательную прямую к параллели, известен, — именно,
центр самой параллели. По теореме Менье, отсюда следует, что центр
кривизны второго главного сечения лежит в точке пересечения нормали
с осью поверхности.
В каждой точке развертывающейся поверхности мы имеем s2 — rt = 0,
и индикатриса состоит из пары параллельных прямых. В этом случае
одно из главных сечений совпадает с образующею, и соответствующий
радиус кривизны бесконечно велик. Плоскость второго главного сечения
перпендикулярна к образующей.' Все точки развертывающейся поверх-
поверхности— параболические, и это единственные поверхности, обладаю-
обладающие этим свойством (§ 204).
Если неразвертывающаяся поверхность в некоторых точках выпуклая,
а в других — седлообразная, то эта поверхность имеет, вообще, целую
линию параболических точек, отделяющую области, где s2 — rt поло-
положительно, от областей, где s2 ¦—rt отрицательно. Например, на торе
такими линиями будут две крайние параллели.
На выпуклой поверхности существует, вообще, только несколько отдельных
точек округления. Докажем, что единственная действительная поверхность, все
точки которой суть точки округления, есть сфера. Обозначим через X, ц, v напра-
направляющие косинусы нормали к поверхности; диференцируя формулы A2), получим
pqs—
)|' Ь
13 Э. Гурса, т. Т, ч. 2.

194 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 236—237
или, по формулам B7'):
Ъу Ъх ' Ъх Эу
Первое соотношение показывает, что зависит только от х, второе, — что у. за-
зависит только от у; следовательно, общее значение производных -. -, J^ не за-
зависит ни от х, ни От у, т. е. оно равно некоторому постоянному — . Отсюда сле-
следует:
_ х - х0 _у~у0 _
а ' A~ а ' v~
Интегрируя два последних уравнения, находим:
а* — {х- хоJ — СУ - yo)i,
а это — уравнение сферы. Точно так же можно было бы доказать, что если
— = — = 0, то поверхность есть плоскость. Кроме этих решений, уравнения B7')
дх ду
имеют еще бесчисленное множество мнимых решений, удовлетворяющих урав-
уравнению 1 + /?а + <?2 = 0; в этом можно убедиться, диференцируя это последнее
соотношение по х и по у.
II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ.
237. Асимптотические линии. В каждой гиперболической точке по-
поверхности существуют две касательные, для которых соответствующие
нормальные сечения имеют бесконечно большие радиусы кривизны: это—
асимптоты индикатрисы. Линии, лежащие на данной поверхности и ка-
касающиеся в каждой своей точке одной из этих асимптот, называются
асимптотическими линиями. При перемещении по одной из этих ли-
линий параметры и, v являются функциями одного переменного; чтобы
касательная к кривой совпадала с асимптотой индикатрисы, du и dv
должны удовлетворять соотношению:
Ddu2 -j- 2D'dи dv -f D"dvz = 0. B8)
Разрешая это уравнение относительно -т- и замечая, что коэфи-
циенты D, ?>', D" суть функции и и v, получим:
dv dv
й = «р1 («,„), „„ = ?,<«,*)• B9)
Ниже мы покажем, что каждое из этих уравнений имеет бесчислен-
бесчисленное множество интегралов, и что каждая пара значений (и0, vQ) опре-
определяет, вообще, один и только один интеграл. Следовательно, через
каждую точку поверхности проходят, вообще, две и только две асимпто-

§ 237 И. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 195
тические линии. Диференциальное уравнение B8) может быть еще на-
написано в эквивалентной форме:
dAdx-{-dBdy-\-dCdz = O, C0)
которая оказывается обычно более удобной в приложениях. В случае,
если поверхность определена уравнением z = F(x, у), предыдущее ди-
диференциальное уравнение приведется к виду:
dpdx-\-dqdy = rdx'i-\-2sdxdy^-tdyi = 0. C1)
Асимптотические линии можно определить еще на основании следу-
следующего их свойства, которое совершенно не вводит метрических соотно-
соотношений: асимптотические линии поверхности суть такие линии, в ка-
каждой точке которых соприкасающаяся плоскость совпадает с каса-
касательной плоскостью к поверхности. В самом деле, для того чтобы
соприкасающаяся плоскость совпадала с касательной плоскостью, не-
необходимо и достаточно, чтобы одновременно было:
Adx + Bdy-\-Cdz=Q, Ad?x -f В а2у -f Cd2z=0.
Первое уравнение удовлетворяется для всякой кривой, лежащей на по-
поверхности, тогда как второе, вследствие тождества F), совпадает с урав-
уравнением C0).
Нетрудно видеть, почему эти два определения асимптотических ли-
линий равносильны. Так как радиус кривизны нормального сечения, ка-
касающегося асимптоты индикатрисы, равен бесконечности, то, по тео-
теореме Менье, равен бесконечности и радиус кривизны асимптотической
линии, если только соприкасающаяся плоскость не будет перпендикулярна
нормали к поверхности; в последнем случае формула Менье прини-
принимает неопределенный вид. Следовательно, соприкасающаяся плоскость
асимптотической линии должна совпадать с касательного плоскостью
к поверхности всякий раз, как радиус ее кривизны не равен постоянно
бесконечности; но в последнем случае мы получили бы прямую линию,
соприкасающаяся плоскость которой неопределенна. Из этого опреде-
определения асимптотических линий следует, что асимптотические линии
сохраняются при всяком томографическом преобразовании. Очевидно
также, что диференциальное уравнение асимптотических линий имеет
одинаковый вид в прямоугольных и в косоугольных осях коорди-
координат, так как уравнение соприкасающейся плоскости в обоих случаях
одинаково.
Асимптотические линии существуют, конечно, только на поверхно-
поверхностях седлообразных. Но, если поверхность аналитическая, то, каков бы
ни был знак количества s2—rt, диференциальное уравнение B8) имеет
всегда бесчисленное множество интегралов, действительных или мнимых.
Поэтому мы будем говорить, что аналитическая выпуклая поверхность
имеет две системы мнимых асимптотических линий. Так, асимптотиче-
асимптотическими линиями однополостного гиперболоида будут две системы прямо-
прямолинейных образующих; для эллипсоида или шара эти образующие —
мнимые, но они также удовлетворяют диференциальному уравнению
асимптотических линий.
13*

196 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 237
Примеры. 1. Найдем асимптотические линии поверхности
z = хтуп.
Мы имеем:
г=т (т— 1) xm~iyn, s—mnx'"-iyf>-i, t^= п (п —
и диференциальное уравнение C1) принимает вид:
^У+2тп (*?) +Я(я- 1) = 0.
xdyl ' \xdyl ' v '
Решая это уравнение, получим для отношения ^—г- два значения й4 и й2.
Следовательно, асимптотическими линиями будут линии поверхности, проекти-
проектирующиеся на плоскость хОу по кривым
yhi — СУХ, yhi = С%Х.
2. Рассмотрим, например, коноид z = <р ( - \. Уравнение z = sp ( — j рав-
равносильно уравнениям х = и, y=uv, z = y(v), и соотношения C) обращаются в
Этим уравнениям можно удовлетворить, принимая С = — и, А = — »?' (»),
5 = у' (&), и диференциальное уравнение C0) принимает вид:
Hf" (г/) rft/2 _ 2-/ (о) rfu rft; = 0.
Одно из решений этого уравнения есть »=consl; из него получим прямо-
прямолинейные образующие. Разделив уравнение на dv, получим:
у" (v) dv _ 2du.
отсюда имеем:
н»=СУ(*).
Следовательно, асимптотические линии второй системы проектируются на
плоскость хОу по кривым
3. Укажем еще поверхность, рассмотренную Жамз (Jamet), уравнение кото-
которой может быть приведено к виду:
Если принять за независимые переменные г и — = и, то диференц»альное
уравнение асимптотических линий будет:
^)
j
/(«) '
и, очевидно, проинтегрируется в двух квадратурах.
4. Геликоид есть поверхность, представляемая уравнениями:
x = pcos<o, j/=rpsin<o, z=f(p) -\~ hu>.
Предоставляем читателю доказать, что диференциальное уравнение асимпто-
асимптотических линий геликоида будет:
р/ " (р) rfp2 — 2й d<o dp + р2/' (р) dvfi = 0,
откуда ш получается при помощи квадратуры.

§ 238 II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 197
238. Асимптотические линии линейчатых поверхностей. Уравнения
всякой линейчатой поверхности могут быть представлены в виде:
где х0, у0, z0, а, р, у — функции второго переменного параметра v. При
и = О и при изменении v точка (х0, у0, z0) описывает некоторую кри^
ву,ю Г поверхности; с другой стороны, при v постоянном и при изме-
изменении и точка (лг, у, z) описывает прямолинейную образующую поверх-
поверхности, и переменное и пропорционально расстоянию точки (х, у, z) от
точки (хо,уо, z0), в которой рассматриваемая образующая пересекает
кривую Г.
Для простоты предположим, что мы положили /С=+1 в форму-
формулах D); выражения A5) и A6) непосредственно показывают, что ?) = 0,
что D' не зависит от и, и что D" есть многочлен не выше второй сте-
степени относительно и.
Разделив левую часть уравнения B8) на множитель dv, соответствую-
соответствующий прямолинейным образующим, мы получим диференциальное урав-
уравнение второй системы асимптотических линий:
^ + Iu*-|-jWb-|-W=0, C2)
где L, М, N—функции переменного v. Уравнения этого вида обладают
замечательными свойствами, которые будут, указаны позднее. Так, на-
например, мы увидим, что ангармоническое отношение каких-нибудь че-
четырех интегралов уравнения C2) постоянно. Отсюда следует, что
ангармоническое отношение четырех точек пересечения прямолинейной
образующей с четырьмя асимптотическими линиями второй системы по-
постоянно; это дает возможность найти все асимптотические линии второй
системы, если три из них известны. Мы увидим также, что если изве-
известен один или два интеграла уравнения C2), то можно найти все дру-
другие интегралы, соответственно, двумя или одною квадратурою. Если все
прямолинейные образующие поверхности встречают некоторую прямую,
то Эта прямая есть одна из асимптотических линий второй системы, и
следовательно, все другие асимптотические линии второй системы можно
найти двумя квадратурами. Если поверхность имеет две прямолинейных
направляющих, то известны две асимптотические линии второй системы,
и для определения остальных нужно будет выполнить одну квадратуру.
Но в этом случае решение еще более упрощается. В самом деле, если
нам дана линейчатая поверхность, имеющая две прямолинейных направ-
направляющих, то эту поверхность можно преобразовать гомографически та-
таким образом, чтобы одна из этих направляющих обратилась в беско-
бесконечно удаленную прямую; тогда рассматриваемая поверхность обратится
в коноид, а мы видели выше (§ 237), что асимптотические линии ко-
коноида получаются без квадратур*.
* В коноиде, рассмотренном в § 237, прямолинейная направляющая (ось ко-
коноида) была перпендикулярна к образующим; однако' легко видеть, что уравне-
уравнение асимптотических линий будет иметь такой же вид и в том сл>чае, когда
прямолинейная направляющая будет наклонена к образующим под любым углом.
(Р.д.)

198 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 239
239. Сопряженные линии. Две прямые, проходящие через точку по-
поверхности S, лежащие в касательной плоскости и представляющие два
сопряженных диаметра индикатрисы в этой точке, называются сопря-
сопряженными касательными к поверхности. Очевидно, что каждой прямой,
касательной к поверхности, соответствует сопряженная касательная пря-
прямая, которая совпадает с первой, если это — асимптотическая каса-
касательная, и притом только в этом случае. Пусть будут du и dv направ-
направляющие параметры некоторой касательной к поверхности, заданной в
криволинейных координатах; проекция этой касательной на плоскость
х, у имеет угловой коэфициент
Ъи
ч— <2и-4-ч— dv
Ъи ' йт>
так что ангармоническое отношение четырех касательных к поверх-
поверхности в точке М (и, v) равно ангармоническому отношению четырех
Ctrl)
соответствующих значений -г- . Пусть будут (du, dv) и (Ьи, ov) направ-
направляющие параметры двух касательных МТ и МТ', с и с' — корни урав-
уравнения
DAr2D'm4rD"m2 — 0,
которое определяет в точке М асимптотические касательные. Для того
чтобы МТ и MV были сопряженными, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство:
dv — сdи ov — сои
dv — с' dи "¦" ov — с' Ьи ~
Освобождаясь от знаменателя и заменяя ее', с-\-с' их выражениями че-
через D, D', D", получим:
Ddubu-\- D' (du bv -f dv Ьи) -f D" dv ov = 0. C3)
Принимая во внимание выражения коэфициентов D, D', D", это условие
можно записать еще в другой, эквивалентной ему форме:
dAox-\-dBby-SrdCoz = O, oAdx-\-oBdy-\-bC dz = 0, C4)
полагая, вообще,
dF= — du A dv, or =^ - ouA- — ov.
Если на поверхности 5 дана какая-нибудь кривая Г, то огибающая ка-
касательных плоскостей к поверхности 5 в точках кривой Г есть развер-
развертывающаяся поверхность, касающаяся поверхности 5 по кривой Г.
В каждой точке М кривой Г образующая этой развертывающейся
поверхности есть касательная прямая к поверхности $, сопряжен-
сопряженная с касательною к кривой Г.

§ 239
II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
199
В самом деле, вдоль кривой Г величины х,у, z, А, В, С суть функ-
функции некоторого переменного параметра а; характеристика касательной
плоскости определяется двумя уравнениями:
A(X— x
dA(X—x\
B(Y-y)-
-y).
C(Z-z) =
C5)
если принять во внимание соотношение E) (буква d обозначает дифе-
ренцирование по а). Если обозначить направляющие параметры этой ха-
характеристики через Ьх, оу, bz, то вторая формула C5) приводит к
соотношению:
dA ox
которое тождественно с равенством C4); отсюда следует верность вы-
высказанной нами теоремы. В частности, если линия Г асимптотическая,
то характеристики совпадают с касательного к кривой Г, которая, сле-
следовательно, является в этом случае ребром возврата развертывающейся
поверхности (§ 238).
Говорят, что два семейства кривых на поверхности, из которых
каждое зависит от одного переменного параметра, образуют сопряжен-
сопряженную сеть, если касательные к двум кривым обоих семейств, проходя-
проходящим через одну и ту же точку поверхности, будут в каждой точке
сопряженными. Очевидно, что на каждой поверхности существует бес-
бесчисленное множество сопряженных сетей, причем одно семейство кри-
кривых может быть взято произвольно, тогда второе семейство определится
из диференциального уравнения первого порядка. В самом деле, пусть
будет F(u,v) = K уравнение одного семейства .кривых, зависящее от
одного переменного параметра К. Из уравнения dF = 0 можно
получить:
d?=G («,„),
и тогда из C3) величина х- определится в функции и и v, т. е. по-
лучится диференциальное уравнение первого порядка.
В качестве примера найдем условия, при которых кривые и = const, v — const
образукт сопряженную сеть. Мы можем положить в этом случае (tu ^=0, iv = 0,
и условие C3) обратится в ?>' = 0, или
дх
ill
дх
dv
&х
Ьу
Эк
Ьу
dv
day
dz
да
д9
bv
d,U dp ди dv й« dp
= 0,

200 ¦ ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 239—240
Эти условия показывают, что х, у, z представляют собою три интеграла урав-
уравнения вида:
*L H ^ C6)
ди dv ди dv
где М и N — произвольные функции от а и v. Значит, достаточно знать три раз-
различных интеграла какого-нибудь уравнения вида C6), чтобы иметь уравнение по-
поверхности, отнесенной к сопряженной системе. Например, если принять М = М — 0,
то всякий интеграл уравнения C6) будет равен сумме функции от и и функции
от »; следовательно, на всякой поверхности, представляемой уравнениями:
x=f(u)+fi(v), y=<?(") + b(v), z = ф(и) + 1ц(*), C7)
кривые (а) и (v) образуют сопряженную сеть.
Поверхности вида C7) называются поверхностями переноса. Каждая такая
поверхность может быть образована двумя различными способами поступательным
движением некоторой неизменяемой кривой Г, одна из точек которой описывает
некоторую другую кривую Г'. В самом деле, рассмотрим четыре точки Mq, Мь
Мг, М, соответствующие значениям (щ, щ), (a, v0), (uo,v), (u,v) параметров а
и v. На основании формул C7), эти точки будут вершинами параллелограма *.
Если, оставляя v0 постоянным, мы будем изменять и, то точка Mt опишет некото-
некоторую кривую Г поверхности; точно так же, если при постоянном и0 мы будем
изменять v, то точка Af2 опишет некоторую другую кривую Г' поверхности. Сле-
Следовательно, эта поверхность может быть образована как поступательным движе-
движением кривой Г, причем точка 5W2 описывает кривую Г', так и поступательным
движением кривой Г', причем точка М{ описывает кривую Г. Из самого способа
образования таких поверхностей очевидно, что оба семейства кривых — сопря-
сопряженные; в самом деле, например, касательные прямые, проведенные к различным
положениям кривой Г' в тех точках, где эта кривая пересекает кривую Г, обра-
образуют цилиндр, описанный около поверхности вдоль кривой Г; следовательно, ка-
касательные к кривым Г и Г' — сопряженные.
240, Линии кривизны. Линия, лежащая на поверхности S, называется
линией кривизны этой поверхности, если касательные ее в каждой
точке имеют направление одной из осей индикатрисы. Эти линии, сле-
следовательно, определяются диференциальным уравнением, полученным
уже нами раньше:
(D du -f D1 dv) {Fdu -\-Gdv) — (?>' du -f D" dv) (E du -\-Fdv) = 0, B5)
dv-
которое дает всегда два действительных значения —. Из общей теории
диференциальных уравнений следует, что в каждой обыкновенной точке
поверхности (притом не являющейся точкой округления) проходят две
и только две линии кривизны, из которых каждая касается одной из
осей индикатрисы. На каждой действительной поверхности, отличной
от сферы и плоскости, имеются два семейства линий кривизны, обра-
образующих одновременно и ортогональную и сопряженную сеть.
Линии кривизны могут быть определены еще следующим их свой-
свойством: это такие линии, лежащие на поверхности S, вдоль которых
нормали к S образуют развертывающуюся поверхность.
В самом деле, напишем уравнение нормали:
X— x=Y~У = Z — z .
А ~ В ~~ С '
* Поэтому, при переходе щ в и отрезок МЛМ^ перемещается поступательно
в положение М^М. и точно так же при переходе я0 в » отрезок Л^0Л^? переме^
щается поступательно в положение/МйМ. (Ред.)

§240
И. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
201
необходимым и достаточным увловием того, чтобы эта прямая образо-
образовывала развертывающуюся поверхность, является следующее (§ 205):
C8)
dx
А
dA
вертывая диференциалы
Ъх , , Ъх ,
— du4- — dv
Ъи Ъу
А
ЪА ЪА
— du 4- г— dv
Ъи ' Ъу
Ъу
Ъп "
— du
Ъи
dy
В
dB
+ -
В
+ъв
dz
С
dC
dv
dv
= 0,
Ъг
—-du
Ъи
^—du
Ъи
4^ — dv
С
= 0.
Чтобы доказать тождественность этого диференциального уравнения
с уравнением B5)', умножим элементы первого столбца определителя
Ъх Ъу Ъг
—" н
на — , второго — на -=- , третьего
Ъ
на — и заменим элементы первого
Ъи г
столбца суммой соответствующих произведений; аналогичные действия
можно выполнить для переменного v. Пользуясь выражениями коэфи-
циентов Ь, F, О и D, D', D" [формулы A4) и A4')], можно уже окон-
окончательно написать:
Edu-\- Fdv
0 О
Ddu-j-D'dv D'du-\-D"dv
Fdu 4-Gdv — du 4- -—dv
1 Ъи [ Ъv
iu
С
du 4- j— dv
1 <to
0;
в таком виде легко усмотреть тождественность этого уравнения с урав-
уравнением B5).
Найденный результат легко может быть получен также с помощью
свойств разверток пространственных кривых и сопряженных каса-
касательных.
Пусть будет Г некоторая линия на поверхности S, вдоль которой
нормали к 5 образуют развертывающуюся поверхность. Если повернем
каждую из этих нормалей в плоскости, нормальной к Г, на прямой
угол вокруг точки М, она совпадет с прямою МТ, лежащею в касатель-
касательной плоскости и перпендикулярною к касательной МТ кривой Г.
Прямые МТ' образуют также некоторую развертывающуюся поверхность,
касающуюся 5 вдоль Г (§ 225). Следовательно, прямые МТ и МТ' суть
сопряженные касательные и, вследствие своей ортогональности, являются
осями индикатрисы.
Обратное положение доказывается аналогичным способом.
В приложениях удобнее брать диференциальное уравнение линий
кривизны в форме C8), так как при этом не требуется предварительно
вычислять коэфициенты Е, F, G, D, D', D". Допустим, например, что

202 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 240
поверхность определена уравнением z = F(x, у); в этом случае уравне-
уравнения нормали суть:
} C9)
Для того чтобы эти прямые образовывали развертывающуюся поверх-
поверхность, необходимо и достаточно, чтобы два уравнения (§ 205)
— Zdp-\- d(x-\-pz) = 0, ~Zdq-\-d(y->rqz) = 0 D0)
удовлетворялись при одних и тех же значениях Z, т. е. чтобы было:
d(x-\-pz)__d(y-\-qz)
dp dq
или после упрощения:
dx-\-pdz dy -j- q dz
dp dq
Заменяя dz, dp, dq их выражениями, получим диференциальное урав-
уравнение:
A + Р2) dx + pqdy = pq dx 4- A + ?г) dy ¦
rdx-j-sdy sdx-\~tdy ' [ '
которое тождественно с уравнением B5'), если в нем заменить dx и
dy, соответственно, через а и ^.
1. Найдем, например, линии кривизны геликоида
у
z = a arc tg --.
Полагая
= p sin 8, z=zaQ,
получим для определения А, В, С два условия: ¦
A cos в -f- В sin 8 = 0, — Ар sin 8 -+- В р cos в -f Ca — 0.
Если принять С = р, то получим:
Л = a sin в, fi =r — a cos 8.
Диференциальное уравнение C8) после приведения подобных членов примет вид:
dpi — (р2 -f я2) ^82 = О,
откуда
4
Взяв какой-нибудь определенный знак, например +• произведем интегрирование:
Р+ ]/р + а* = ае>-к
Проекции линий кривизны на Плоскость %Оу суть равные меякду собою спирали,
которые легко построить,

§ 240—241 II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 203
XV
2. Найдем линии кривизны параболоида z= — . Мы имеем:
а * а а
диференциальное уравнение D1) обращается в
(а* + УО dx? — (а2 + х*) dyi.
Отсюда имеем:
dx ^_ dy
= ==0.
ух* + я2
Взяв, например, перед обоими корнями знак плюс, мы получим следующий общий
интеграл предыдущего диференциального уравнения:
\х + ]/х* + в«) (у + у'у* + й2) = С;
этот интеграл дает одну из систем линий кривизны. Полагая
1 = х ]/у* + а*+у \/х* + а* D2)
и пользуясь тождеством
(X |/у2 -(- fl2 -\-у
мы можем представить предыдущий интеграл в виде:
\+ у\* + и* — С.
Отсюда следует, что проекции одной из двух систем линий кривизны могут
быть также представлены уравнением D2), где I обозначает произвольное постоян-
постоянное. Точно так же мы нашли бы, что уравнение линий кривизны друюй системы
будет:
-f Й2 — у |Д2 + Д2 — ц. D3)
Пользуясь уравнением параболоида ху — аг, мы можем представить уравне-
уравнение D2) и D3) в виде:
4- г* = С,
Но выражения j/jc2 -\- г* и у1 у* + г2 представляют расстояния точки (х, у, z) со-
соответственно от осей Оу и Ох; следовательно, лин-.и кривизны, параболоида
суть такие кривые, для которых сумма или разность расстояний каждой их
точки от осей Ох и Оу постоя %на.
241. Развертка поверхности. Пусть будет С линия кривизны поверх-
поверхности 5. Когда точка М описывает кривую С, нормаль к поверхно-
поверхности /ИЛ/ остается касательного к некоторой кривой Г. Обозначим че-
через А точку прикосновения линий MN и Г, и пусть будут X, Y, Z
координаты этой точки. Координата Z определяется любым из уравне-
уравнений D0), причем эти оба уравнения приводятся к одному, так как С
есть линия кривизны. Мы можем представить уравнения D0) в виде:
A -\- р2) dx -\- pq dy pq dx -\- A -f- q2) dy
rdx-\- s dy sdx-\-tdy
Умножая числители и знаменатели обеих дробей соответственно на dx.
и dy, получим, по свойству равных отношений:
_ dx2 4- dy2 4- (р dx -f- q dyJ dx2 4 dy2 4- dzz

204
ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ
§ 241
Но dx, dy, dz пропорциональны направляющим косинусам а, $, у каса-
касательной к линии кривизны, и мы имеем:
Z —z =
1
га2 -+- 2sap + Ц2'
Сравнивая эту формулу с формулою A3), дающею алгебраическое зна-
значение радиуса кривизны Н нормального сечения, касательного к линии
кривизны, мы видим, что предыдущее соотношение можно представить
в виде:
D4)
где v есть косинус острого угла, образуемого положительным направ-
направлением нормали к поверхности с осью Oz. Но, с другой стороны,
z -+- /?у представляет координату гг центра кривизны этого нормального
сечения. Таким образом формула D4) показывает,
что течка прикосновения А нормали MN с ее
огибающею Г совпадает с центром кривизны
главного нормального сечения, касающегося ли-
линии С в точке М. Таким образом кривая Г есть
геометрическое место этих центров кривизны.
Если мы рассмотрим все линии кривизны одного
семейства с С, то местом соответствующих кри-
кривых Г будет некоторая поверхность 2, для которой
все нормали поверхности 5 будут касательными.
В самом деле, каждая нормаль, например нор-
нормаль MN, касается в точке А одной из кривых Г,
а все кривые Г лежат на поверхности 2.
Рассмотрим теперь линию кривизны С другого
семейства, проходящую через точку М и пересе-
пересекающую ортогонально первую линию С. Нормали
к поверхности 5 вдоль кривой С также будут
касательными к некоторой кривой Г', представляю-
представляющей место центров кривизны нормальных сечений
поверхности S, касающихся кривой С. Местом этих кривых Г', соответ-
соответствующих всем линиям кривизны одного семейства с С, будет некоторая
поверхность 2', для которой, как и для 2, все нормали поверхности 5
будут касательными. Поверхности Г, 2', вообще, аналитически не раз-
различны,, а составляют две полости одной поверхности, представляемой
неразложимым уравнением.
Нормаль MN поверхности 5 касается полостей 2, 2' в двух главных
центрах кривизны А и А' поверхности 5 в точке М. Легко найти ка-
касательные плоскости к этим двум полостям в точках А я А' (черт. 41).
Когда точка М описывает кривую С, нормаль MN образует развертываю-
развертывающуюся поверхность D, для которой кривая Г служит ребром возврата.
С другой стороны, точка прикосновения А' этой нормали MN с по-
поверхностью 2', описывает некоторую кривую f, отличную от Г', так
как прямая MN не может оставаться одновременно касательного к двум
Черт. 41.

§ 241—242 П. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 205
кривым Г и Р. Следовательно, развертывающаяся поверхность D и поверх-
поверхность 2' касаются между собою в точке Л', и следовательно, касатель-
касательная плоскость к поверхности 2' в точке А1 касается развертывающейся
поверхности D вдоль прямой MN; таким образом искомою касательного
плоскостью будет плоскость . MNT, проходящая через нормаль MN и
через касательную прямую к кривой С. Точно так же можно убедиться,
что касательного плоскостью к поверхности 2 в точке А будет плос-
плоскость NMV, проходящая через касательную прямую ко второй линии
кривизны С.
Это подтверждает ранее полученный результат (§231) и приводит
к следующему важному свойству разверток. Проведем из какой-нибудь
точки О пространства нормаль ОМ к поверхности S, и пусть будут А
и А' главные центры кривизны поверхности S, лежащие на этой нор-
нормали. Касательные плоскости в точках А и А' к обеим полостям 2, 2'
развертки взаимно перпендикулярны. Так как эти плоскости проходят
через точку О, то ясно, что для наблюдателя, смотрящего из любой
точки О пространства, обе полоста развертки поверхности S будут
казаться пересекающимися под прямым углом. Обратное предложение
было доказано выше (§231).
242. Формулы Родрига. Если I, p., v обозначают направляющие коси-
косинусы нормали к поверхности, a R — один из главных радиусов кри-
кривизны, то координаты соответствующего центра кривизны будут:
X=x-\-Rl, Y=y + R\i, Z = z-\-Rv.m D5)
Когда точка (x,y,z) описывает линию кривизны, касательную к тому
нормальному сечению, радиус кривизны которого равен R, то, как мы
видели, соответствующий центр кривизны описывает некоторую кривую 1,
касающуюся нормали MN к поверхности S. Следовательно, должно
быть:
dX_dJT_dZ
I ~~ p. ~ v ;
заменяя X, Y, Z их значениями из D5), имеем:
dx+Rdl dy-\-Rd)x __dz
Общее значение этих отношений равно нулю; в самом деле, умножая
числитель и знаменатель первого отношения на I, второго — на }л, и
третьего — на v и складывая числители и знаменатели получившихся
отношений, мы получим отношение, равное предыдущим, у которого
знаменатель равен единице, тогда как числитель
1 dx -f- JA dy -\- v dz -\- R (k d\ -j- jji d]i -f- v rfv)
тождественно равен нулю. Таким образом мы получаем формулы Род-
Родрига (Olinde Rodrigues):
0; D6)
эти формулы имеют большое значение в теории поверхностей. Должно

206
ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ
§ 242—243
заметить, что формулы D6) применимы, конечно, только к перемещению
точки (л:, у, z) по линии кривизны.
Примечание. Для вывода уравнения, определяющего главные радиусы
кривизны, можно воспользоваться таьже свойствами развертки поверхности. За-
Заменим в формуле D5) I, ц, v их выражениями (8) и положим:
тогда получим:
R = р ]/
Х = х — рА, Y=y —
Z=z — pC.
Так как точка X, Y, дописывает кривую, касающуюся нормали к поверхности S,
когда точка (х, у, z) движется по линии кривизны, то должно быть:
dx — p dA — A dp __ dy — р dB — В dp
А ~~ В
dz — p dC — С dp
или, обозначая через — dp -\- К общую величину этих отношений:
dx — pdA — АК=0, dy—pdB — BK—Ъ, dz - р dC — СК=0. D7)
Исключая из этих уравнений р.и К, получим диференциальное уравнение C8)
линий кривизны; но, если заменить dx, dy, dz, dA, dB, aC через
dx , . dx
— du -j dv, ... ,
du dv
— da-\-—-dv
dlt of
и после этого исключить du, dv, К, то придем к уравнению, определяющему р:
az
р —
ди аи
дА дх
Аи dv
dB dy
du dv
dC
du
du
dv
dA
p — A
dB
dv
С
ЪС
р —
= 0.
D8)
Преобразованием, вполне аналогичным тому, которое мы проводим в § 240, это
уравнение может быть приведено к форме B4), но уравнение D8) удобнее дли
пользования, так как оно не требует предварительного вычисления коэфициен-
тов Е, F, G, D, D', D".
В качестве приложения найдем главные радиусы кривизны геликоида. В
этом случае, если несколько изменить обозначения, употребленные раньше,
мы напишем:
х = и cos v, у = и sin v, z — av,
. A = as'mv,' B= — a cos v, С—и.
Уравнение D8) примет вид:
откуда R — dz
. Глав; ые радиусы кривизны геликоида равны по абсо-
абсолютной величине и противоположны по знаку.
243. Теорема Иоахимсталя. Для некоторых поверхностей линии кри-
кривизны можно определить из геометрических соображений. Так, очевидно,
что линиями кривизны поверхности вращения будут меридианы и па-
параллели этой поверхности, так как эти кривые касаются в каждой
своей точке одной из осей индикатрисы. Это легко проверить, заметив,

§ 243-244 II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 207
что нормали к поверхности вдоль меридиана образуют плоскость,
а нормали к поверхности вдоль параллели образуют круглый конус,
т. е. в обоих случаях нормали образуют развертывающиеся .поверхности.
У развертывающейся поверхности одно семейство линий кривизны
состоит из образующих. Другое семейство состоит из ортогональных
траекторий этих образующих, т. е. из развертывающих ребра возврата
(§ 225). Эти линии могут быть получены одною квадратурою. Если
известна одна из развертывающих, то все остальные линии кривизны
этого семейства можно получить из нее без всякой квадратуры. Все
эти результаты легко проверить непосредственным вычислением.
Теория разверток кривой двойной кривизны привела Иоахимсталя
(loachimsthal) к важной теореме, имеющей в этой теории обширное
применение. Пусть две поверхности S и S' пересекаются по некоторой
линии С, служащей линиею кривизны для каждой из этих поверхностей.
Нормали MN и MN' к поверхностям S и 51 вдоль кривой С образуют
две развертывающихся поверхности. Но каждая из прямых MN и /ИЛ/'
нормальна к кривой С. Отсюда, по § 225, следует, что если две по-
поверхности имеют общую линию кривизны, то вдоль этой линии они
пересекаю -пся под постоянным углом.
Обратно, если две поверхности пересекаются под постоянным
углом, и если линия пересечения есть линия кривизны для одной из
этих поверхностей, то она будет также линиею кривизны и для
другой. В самом деле, известно, что если семейство нормалей кривой
дюйной кривизны С образует развертывающуюся поверхность, то семей-
семейство нормалей, которое получим, поворачивая каждую из этих норма-
нормалей на постоянный угол в нормальной плоскости к кривой С, также
образует развертывающуюся поверхность.
Всякая плоская или сферическая кривая есть линия кривизны пло-
плоскости или сферы. Отсюда, по теореме Иоахимсталя, следует, что для
тою чтобы плоская или сферическая кривая, расположенная на по-
верхноти, была линиею кривизны этой поверхности, необходимо и
достаточно, чтобы поверхность пересекала по этой линии плоскость
или сферу под постоянным углом.
244. Теорема Дюпена. Мы уже неоднократно встречались с тройными
ортогональными системами поверхностей (§ 65, 140). Теория таких
систем исходит из замечательной теоремы Дюпена (Dupin), которую мы
здесь докажем.
Если даны три семейства поверхностей, образующих тройную
ортогональную систему, то линия пересечения каждых двух поверх-
поверхностей различных семейств будет линиею кривизны для каждой из
этих поверхностей.
Допустим, что прямоугольные координаты х, у, z точек нашего
пространства выражены в функции трех параметров и, v, w так, что
три семейства поверхностей (и), (v), (w) образуют тройную ортогональ-
ортогональную систему. Условием ортогональности являются следующие три со-
соотношения:
Sbx Ьх _ С*'ЬхЪх_ СЙЛГЙЛГ__П

208 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 244
Диференцируя эти выражения, соответственно, по и, v, w, получим:
. Q Ъх Ь2х
S3at _Э^?_ . q Эд: й2лг q Ьх
bv bubw' ^bwciu'dv ' <5 bw
Six Ь2х . q Ьх Ь2х
откуда, после очевидного преобразования, имеем:
Ух
Ьи
-^ ^L^ \j*rV \j */Лг
й2лг
= 0.
E0)
Исключая производные — , ~-, г— из двух первых уравнений D9) и
последнего E0), выведем условие:
Ьх Ъу Й0
ЙН дп ИМ
ЙЛГ Ьу Й2
bv bv bv
= 0,
iubv
которое выражает, что на поверхности (w) кривые ц = Сиг» = С' обра-
образуют сопряженную сеть. Эта сеть одновременно сопряженная и ортого-
ортогональная и состоит, следовательно, из линий кривизны.
Весьма замечательный пример тройной ортогональной системы пред-
представляют собою софокусные поверхности второго порядка (§ 141); по
всей вероятности, рассмотрение этих поверхностей и привело Дюпена
к общей теореме. Из теоремы Дюпена следует, что линии кривизны
эллипсоида или гиперболоида (которые еще ранее были определены
Монжем) суть линии пересечения этой поверхности с софокусными по-
поверхностями второго порядка.
Параболоиды, представляемые уравнением:
?Х Л,
р-\ 'д-\
где X—переменный параметр, также образуют тройную ортогональную
систему; отсюда можно получить линии кривизны параболоида. Упомянем
еще приведенную выше (§ 240) тройную ортогональную систему:
ху
Z
Разыскание тройных ортогональных систем составляет одну из наи-
наиболее интересных и наиболее трудных задач диференциальной геометрии.
Этому вопросу посвящено очень много исследований, результаты кото-
которых собраны Дарбу в его книге*. Любая поверхность 5 входит в состав
* Lefons sur les systemes orthogonaux et les coordonnees curvilignes, 1910.

§ 244—245 II АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 209
бесконечного множества тройных ортогональных систем. Одна из этих
систем состоит из поверхностей, параллельных поверхности &, и из двух
семейств развертывающихся поверхностей, образованных нормалями
к поверхности 5 вдоль линий кривизны этой поверхности. В самом деле,
пусть будет О какая-нибудь точка нормали MN к поверхности S
в точке М, МТ и МТ'— касательные прямые к двум линиям кривизны
С, С, проходящим через точку М. Касательная плоскость к поверх-
поверхности, параллельной поверхности 5 и проходящей через точку О,
будет параллельна касательной плоскости к поверхности 5 в точке М;
касательными плоскостями к развертывающимся поверхностям, обра-
образованным нормалями к поверхности 5 вдоль кривой С и вдоль кри-
кривой С, будут служить, соответственно, плоскости NMT и NMT1. Но
эти три плоскости попарно взаимно перпендикулярны, что и доказы-
доказывает, что рассматриваемая система будет тройною ортогональною.
При помощи преобразования обратными радиусами-векторами из каждой
тройной ортогональной системы можно получить бесконечное множество
других аналогичных систем, так как это преобразование сохраняет величи-
величину углов. Так как мы только что видели, что всякая поверхность является
членом некоторой тройной ортогональной системы, то отсюда следует,
что при всяком преобразовании обратными радиусами-векторами линии
кривизны первоначальной поверхности преобразуются в линии кри-
кривизны новой поверхности. Это легко, проверить непосредственно.
245. Геодезическое кручение. Со свойствами линий кривизны связана не-
некоторая важная геометрическая величина, зависящая от производных третьего
порядка. В теории пространственных кривых (§ 225) существует соотношение:
d\ ef(i d/
1 d<>
ds ds ds
\
E1)
где a, p, f — направляющие косинусы касательной к какой-нибудь кривой Г, ле-
лежащей на поверхности S, X, p., v — направляющие косинусы нормали к этой же
поверхности, 6 — угол между нормалью к поверхности и главною нормалью к
кривой Г, отсчитываемый так же, как в § 225, Т—радиус кручения кривой Г.
Пусть координаты х, у, z точек S выражены с помощью параметров и, »; то-
тогда косинусы X, |i, v суть также функции и, v; таким образом все элементы опре-
dv ~ I db
делителя Н выражаются с помощью и, v, —. Следовательно, выражение ¦=— —
имеет о1ну и ту же величину для всех кривых, лежащих на поверхности и
касающихся друг друга в точке (и, v).
О. Боннэ, которому принадлежит этот важный результат, назвал величину Н
геодез песким кручением. Чтобы исследовать изменение геодезического кручения
в зависимости от положения касательной, выберем за оси х, у оси индикатрисы;
при этом поверхность определится уравнением:
Для какой-нибудь кривой Г, проходящей на поверхности через начало координат
касательная к которой образует угол а> с осью х, будет a = cos <o, {) = sin <o, f = О
, „ . d\ cos w dv. sin <o
A=|i = 0, v =1, — .= —=—, -f-=z— ,-, и формула E1) примет вид:
us t\ as i\
1 1 \
T^U~^Jsin")C0Sft)- E1bis)
14 Э. Гур:а, т. I, ч. 2.

210 Глава хп. поверхности § 245
Согласно этой формуле, являющейся дополнением к формуле Эйлера, геодезиче-
геодезическое кручение кривой Г обращается в нуль в том и только в том случае, когда
кривая Г касается какой-нибудь оси индикатрисы. Следовательно, линии кривизны
могут быть определены как линии на поверхности, в каждой точке которых
геодезическое крусение равно нулю. Впрочем, mi результат следует и непосред-
непосредственно из формулы E1), так как, приравнивая нулю правую часть этого равен-
равенства, получим диференциальное уравнение линий кривизны. Заметим еще, что
при замене ш на »-(--г- в формуле E1 bis) правая часть ее меняет знак; следо-
вательно, если две кривые на поверхности пересекаются под прямым углом, то
сумма геодезических кручений обеих кривых в точке пересечения равна нулю.
Если две поверхности S и S' пересекаются под постоянным углом по не-
некоторой кривой Г, то разность 8 — 6' остается неизменной вдоль этой линии, и
следовательно, геодезическое кручение Г имеет одну и ту же величину для
обеих поверхностей.
Теорема Иоахимсталя получается как прямое следствие этого результата.
Пра помощи свойств геодезического кручения можно весьма просто доказать
теорему Дюпена. Пусть будут Sj, S2, Ss три поверхно:ти, проходящие через
точку М и относящиеся, соответственно, к трем семействам тройной ортогональ-
ной системы. Пусть будут 1\, Г2, Г3 линиями пересечения соответственно S% и
S}, S3 и Si, Si и S2. Поверхности S2 и S3 ортогональны вдоль Ги следовательно,
геодезическое кручение кривой Т\ одно и то же для обеих поверхностей; обозна-
обозначим его через xt. Для кривых Г3 и Г3 аналогичное значение имеют буквы т2 и
-$, величины этих геодезических кручений в точке М удовлетворяют соотноше-
соотношениям:
ибо, например, на поверхности S2 кривые Г4 и Г2 являются ортогональными.
Следовательно, в точке М мы имеем:
Ti = Ч = Ч — 0.
Так как М — любая точка пространства, то кривые Г; действительно являются
линиями кривизны для обеих поверхностей S^, которым они принадлежат *.
* Теоремы Менье и Боннэ не являются специальным свойством линий, ле-
лежащих на поверхности. Эти свойства распространяются на все системы кривых Г,
удовлетворяющих одному и тому же соотношению вида:
A dx + В dy + Cdz = 0,
где А, В, С—функции от х, у, г. Существует бесчисленное множество кривых
этого рода, зависящих от одной произвольной функции, так как можно произ-
произвольно задать, например, у как функцию х:
и z определится из дифегенциального уравнения первого порядка. Касательные
к кривым Г, проходящим через данную точку пространства, лежат в плоскости Р,
Перпендикулярной к прямой Д с направляющими параметрами А, В, С. Для
всех таких кривых, имеющих в данной точке общую касательную, дза вы-
cos9 1 яб ~ ¦
ражения: —=- , -~ — -г- имеют одну и ту же величину; здесь R и Т имеют
i\ I US
обычное значение, а 0 — угол, образуемый прямою А с главной нормалью
к кривой Г.
В самом деле, мы можем предположить, что А, В и С равны направляющим
косинусам нормали к плоскости Р. и очевидно, что член — 2—L.
d&
в формуле F). и определитель Н в формуле E1) зависят только от х, у, г,
dx dy dz
ds' ds ' ds '

§ 246 II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛЙНИИ|.КРИВИЗНЫ 2Н
246. Приложение к некоторым семействам поверхностей. Найдено много
поверхностей, линии кривизны которых удовлетворяют определенным геометри-
геометрическим условиям. Мы приведем здесь несколько наиболее простых результатов
этих изысканий.
Найдем все поверхности, для которых одною из систем линий кривизны
являются окружности. По теореме Иоахимсталя, плоскость каждой из этих
окружностей должна пересекать поверхность под постоянным углом. Отсюда сле-
следует, что все нормали к поверхности вдоль окружности С этой системы должны
пересекать ось окружности (т. е. перпендикуляр, проведенный к плоскости
окружности через ее центр) в одной точке О. Сфера, описанная из точки О и
проходящая через окружность С, касается поверхности вдоль С; следовательно,
рассматриваемая поверхность есть огибающая сфер, зависящих от одного пере-
переменного параметра. Обратно, всякая поверхность, огибающая семейство сфер,
представляет решение задачи, так как характеристики этого семейства, которые
будут окружностями, составляют, очевидно, одно из семейств линий кривизны.
Поверхности вращения представляют, очевидно, частный случай поверхностей
этого рода. Другой интересный частный случай представляют трубчатые по-
поверхности (surfaces сапчих), т. е. поверхности, огибающие сферу с постоянным
радиусом R, центр которой описывает некоторую произвольную кривую Г.
Характеристиками этого семейства сфер будут окружности с радиусом R, центр
которых описывает кривую Г и плоскость которых остается нормальною к кри-
кривой Т. Нормали к поверхности будут также нормалями и к кривой Г; следова-
следовательно, линиями кривизны второй системы будут линии пересечения поверхности
с развертывающимися поверхностями, образованными нормалями к кривой Г.
Если, кроме первой, и вторая система линий кривизны поверхности будет
состоять из окружностей, то, на основании предыдущего, эту поверхность можно
рассматривать как огибающую любого из двух семейств сфер, зависящих от
одного переменного параметра. Пусть будут Sit S2, S3 сферы одного и того же
семейства, С{, С2, С8 — соответствующие характеристики, и М{, М2, М3 — точки
пересечения характеристик Q, С2, С3 с линиею кривизны С' второй системы.
Сфера 5', касающаяся поверхности во всех точках окружности С, касается
также и трех сфер S1( S2, S3 соответственно в точках Mv jW2, М3. Следовательно,
искомая поверхность есть огибающая переменной сферы, касающейся трех
постоянных сфер. Эта поверхность извести г под именем циклиОы Дюпена.
Мангейм дал изящное, доказательство того, что циклиду Дюпена можно получть
из тора преобразованием обратными радиусами-векторами. Пусть будет ч окруж-
окружность, ортогональная к трем сферам 54, S2, S3. После преобразования обратными
радиусами-векторами с полюсом в какой-нибудь точке окружности f- эта окруж-
окружность обратится в прямую 00', а сферы Sl3 S2, S3 обратятся соответственно
в сферы 2,, 22, S3, ортогональные к прямой 00'; следовательно, центры преобра-
преобразованных сфер будут лежать на прямой 00'. Пусть будут С, С. С сечения
12 3
этих сфер плоскостью,' проходящею через 00', С — окружность, касающаяся
окружностей С, С, С, и ?'—сфера, имеющая С большим кругом. Ясно, что
12 3
при вращении фигуры вокруг прямой 00' сфера ?' остается касательного к трем
сферам Ej, Ь2, 23, и огибающею поверхностью сферы S' будет тор, имеющий ме-
меридианом окружность С.
Определим, далее, поверхности, у которых одним из семейств линий кривизны
были бы плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях. Примем
за плоскость хОу плоскость, параллельную плоскостям линий кривизны, и пусть
будет
х cos а ~\- у sin a = F (а, г)
уравнение касательной к плоскому сечению, образованному на поверхности
плоскостью, параллельною плоскости хОу. F (a, z) есть функция двух перемен-
переменных а и z, вид которой зависит от вида рассматриваемой поверхности. Так как
самое сечение представляет огибающую касательных к нему прямых, то мы
получим координаты х, у точек поверхности, присоединяя к предыдущему урав-
уравнению соотношение:
bF
— х sin a -f-[,y cos а = =г^- .
14*

212 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ §246-247
Следовательно, выражения координат х, у, z будут:
-\г-, -\ р
x = Fcosz sin о, ,y = .F sin a-} cos a, z—-z. E2)
Выбирая соответствующим образом функцию F (a, z), можно всякую поверхность
представить уравнениями вида E2); исключение представляют только линейчатые
поверхности, для которых направляющею плоскостью служит плоскость 2 = 0.
Легко вывести, что коэфициенты А, В, С касательной плоскости к поверх-
поверхности будут:
А = cos я, В = sin а, С = ;
dz
следовательно, косинус угла, образуемого нормалью к поверхности с осью Oz,
будет:
-К
По теореме Иоахимсталя, для того чтобы сечения поверхности плоскостями, парал-
параллельными плоскости хОу, были линиями кривизны этой поверхности, необходимо
и достаточно, чтобы эти плоскости пересекали повьрхность под постоянным
углом, т. е. чтобы v не зависело от а. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
Fs(i,z) зависела только от переменного г; следовательно, F{a,z) должна иметь
вид:
/=¦(*,*) = ?(
причем у и ф—произвольны. Вставляя найденное выражение функции F {а, г)
в уравнения E2), мы получим самые общие уравнения искомых поверхностей-
X = <|> (г) COS а — <[>' (а) sin а + f (г) COS а, \
_у = ф {'') sin i + <)>' (а) cos a ~f- ? B) sin a, > E3)
Z — Z. \
Эти поверхности могут быть образованы следующим Образом. Если рассмат-
рассматривать в двух первых уравнениях E3) z как постоянное, а а — как переменное,
то эти уравнения представляют семейство кривых, по которым проектируются на
плоскость 2 = 0 сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости хОу;
но все эти кривые параллельны кривой, которую получим, положив в двух первых
уравнениях E3) ? (г) = 0. Отсюда получается для рассматриваемых поверхностей
следующее построение: возьмем в плоскости z = 0 произвольную кривую и про-
проведем в этой плоскости кривые, к ней параллельные; затем переместим все
эти кривые параллельно оси Oz на различные расстояния по какому-нибудь
произвольному закону. Тогда все эти кривые образуют в своих новых поло-
положениях поверхность, представляющую самое общее решение задачи.
Легко видеть, что предыдущий способ построения можно заменить следующим.
Искомые поверхности могут быть образованы ппоскию кривою произ-
произвольного вида, плоскость которой катится без скольжения по поверхности
цилиндра с произвольным основанием. Следовательно, это лепные поверхности
(surfaces moulures). В этом легко убедиться из формул E3), рассматривая кривые
а = const. Здесь оба семейства линий кривизны состоят из плоских кривых
z= const и а = const.
III. СООТвЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
247. Сферическое отображение. Пусть будет S некоторая двусторонняя
поверхность или часть такой поверхности (§131). Выбрав одну из сторон, рассмот-
рассмотрим в каждой точке М направление MN нормали, соответствующее этой сто-
стороне. Проведем через центр О сферы S, радиус которой примем равным единице,
полупрямую, Параллельную положительному направлению MN нормали к поверх

§ 247 III, СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 213
ности ?. Точку т пересечения этой полупрямой со сферой 5 "будем считать со-
соответствующей точке М. Очевидно, каждой точке М на ? соответствует опреде-
определенная точка т на S; касательные плоскости ? и 5 в соответствующих точках
параллельны . и, если выбрать за положительное направление нормали сферы на-
направление, идущее от центра О к точке т, положительные направления нормалей
обеих поверхностей тоже совпадут. Каждой кривой С на ? соответствует неко-
некоторая кривая с на S — сферическое изображение кривой С.
В точке т, соответствующей М, касательная mt к кривой с перпенди-
перпендикулярна направлению, сопряженному на 'S с касательной МТ к кривой С.
В самом деле, пусть будут М и М' две близкие точки кривой С, т и т' —
соответствующие им точки с, D — прямая пересечения плоскостей, касательных
к ? в точках М и М', d — прямая пересечения касательных плоскостей к сфере
в точках т и т'. Так как эти плоскости попарно параллельны, ясно, что d парал-
параллельна D. Когда точка Л1!1 неограниченно, приближается к М, прямая D стремится
к предельному положению - касательной МТ\ сопряженной на поверхности ?
с касательной МТ к С (§ 239). Точно так же d стремится к предельному поло-
положению mi', сопряженному с mt на сфере. Но mi' перпендикулярна к mt, а так
как mt' и МТ г.араллельны, то mt перпендикулярна МТ1, что и требовалось до-
доказать.
Для того чтобы прямые МТ и mt были параллельны, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы МТ была перпендикулярна сопряженной с нею касательной, т. е.
чтобы МТ была осью индикатрисы поверхности ?. Отсюда следует: касательные
к линиям, кривизны ? и к их сферическим изображениям в соотеетствующих
точках параллельны. Очевидно, что линии кривизны суть единственные кри-
кривые на ?, обладающие этим свойством.
Этот результат можно вывести из формул Родрига. В самом деле, если вы-
выбрать за начало координат центр сферы S, координаты точки т будут равны на-
направляющим косинусам X, ц, v положительного направления нормали. Условие того,
чтобы кривые Сиг, описываемые точками М (х, у, z) и т (X, ц, v), имели парал-
параллельные касательные в соответствующих точках
dx _ dy _ dz
удовлетворится при наличии соотношений, выражаемых формулами D6).
Рассмотрим бесконечно малый элемент площади dz поверхности ? вокруг
точки М и соответствующий элемент da' сферы.
Чтобы определить отношение — , мы применим вычисление § 137, заметив,
что в данном случае нормали обеих поверхностей параллельны, и отношение -.—
равно отношению элементов , - плоскости хОу. Предположим, что в окрестности
точки М поверхность ? определена уравнением z = f(x, у), и что за положи-
положительное направление нормали выбрано направление, образующее острый угол
с осью Oz. Координаты точки т тогда будут:
¦— р * — о ш 1
у II М ¦ 9. ¦ .
откуда
du>'
du>
D (x', /)
D (x, y)
D (х\ у') I I D (Р, <?)
D(p,q) \'\D {к, у)
или, после весьма постых преобразований:
d~v> "(
Правая часть этой формулы есть не что иное, как абсолютная величина гауссовой
кривизны _-= поверхности S. Отсюда следует, что гауссова кривизна может быть

214 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 247-248
определена вполне аналогично кривизне кривой (§ 218). Но тогда как кривизна
кривой содержит в своем выражении радикал, полная кривизна поверхности вы-
выражается рационально через частные производные z и имеет знак, совпадающий
с rt— А Этот знак можно истолковать при помощи сферического отображения.
Представим себе двух, наблюдателей, из которых один стоит на поверхности S
в некоторой ее точке, другой — на сфере, в точке, соответствующей первой;
предположим при этом, что направление от ног к голове каждого совпадает
с положительным направлением нормалей. Когда первый наблюдатель обходит кон-
контур площади dz так, что площадь остается слева от него, второй наблюдатель,
в соответствии с первым, обойдет контур элемента rfa', оставляя площадь эле-
элемента либо слева, либо справа; rt—.?- и, следовательно, -=^у , положительно в
первом случае и отрицательно во втором (§ 236).
Примечание. Если точка М поверхности S не параболическая, то Н — &
не нуль, и по теории неявных функций (§ 38, 185) точки поверхности S вблизи
М и точки сферы вблизи т. соответствуют друг другу взаимно однозначно. Но
это, вообще говоря, не имеет места вблизи параболической точки, как легко по-
показать на примере.
Пусть АМВ будет дуга плоской кривой, имеющая в М точку перегиба, так
что дуги AM и ВМ имеют противоположно направленные выпуклости. Ьгащая
дугу АМВ вокруг оси, лежащей в ее плоскости, получим поверхность враще-
вращения S, на которой параллель р, образованная точкой М, есть место параболи-
параболических точек. Поверхности S, и S2, описанные дугами AM и ВМ, имеют своими
сферическими изображениями две области, которые частично покрывают друг
друга и обе примыкают к параллели р, соответствующей Р. Такого рода сфери-
сферическое отображение поверхности S можно представить при помощи листа бумаги,
сложенного вдоль параллели и дважды перекрывающего часть пояса сферы,
ограниченной этой параллелью (§ 117, примечание).
Рассмотрим еще тор — поверхность, образованную вращением окружности С,
лежащей в вертикальной плоскости, вокруг некоторой вертикали 00' этой плоско-
плоскости, не пересекающей С. Точки An В. самая высокая и самая низкая точки окруж-
окружности С, разделяют С на две дуги С{ и С2; пусть дуга С2—ближайшая к оси.
Пр>< вращении вокруг 00' дуга Q образует выпуклую поверхность S,, каж-
каждой точке которой взаимно однозначно соответствуют точки сферы S, если не
принимать во внимание при этом крайних параллелей Г4 и диух противоположных
полюсов 5. Дуга С2 описывает поверхность отрицательной кривизны 22, все точки
которой, при том же ограничении взаимно однозначно соответствуют точкам
сферы 5. Что касается крайних параллелей, образованных точками А и В, им
соответствуют противоположные полюсы сферы. Можно осуществить это сфериче-
сферическое отображение тора при помощи двух равных, вложенных друг в друга шаров,
предполагая, что их внешние поверхности соединяются только в двух полюсах.
243. Наложение поверхностей. При сферическом отображении каждой
точке некоторой поверхности соответствует определенная точка сферы,
и обратно. Рассмотрим теперь более общий случай точечного соответ-
соответствия двух поверхностей.
Пусть даны две какие-нибудь поверхности S и S'; предположим, что
прямоугольные координаты точек 5 выражены через два переменных
параметра к и v, и прямоугольные координаты точек S' — через два
других переменных параметра и' и v'.
Если между двумя парами переменных (и, v) и («', г;') установить
соответствие равенствами
u' = g(u, v), v' = h(u, v) E4)
D (и1, v')~' •
так, что якобиан не равен тождественно нулю, то этим самым
D{u,v) J
устанавливается и точечное соответствие между обеими поверхностями.

§ 248 III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 215
Очевидно, что всякое соответствие такого рода может быть опре-
определено при помощи формул, аналогичных E4), если выбрать подходящим
способом функции g и h.
В связи с вопросами точечного соответствия поверхностей можно
поставить большое число весьма важных задач. Найдем, например,
в каком случае соответствующие дуги двух произвольных кривых имеют
одну и ту же длину.
Пусть линейные элементы ds2 и ds'2 двух поверхностей определены
формулами:
ds* = Edu2-\-2Fdudv-\-Gdv2, E5)
ds12 = ?' dv!2 -f 2Я du' dv' 4- G' dv'2. E6)
Заменяя в E6) и', v' их выражениями E4), получим:
ds'2 = @ du2 -f 2 %du dv-{-& dv2; E6')
($;, g, © весьма просто выражаются через g, h и их производные. Если
при соответствии, определенном формулами E4), сохраняются длины
линий, мы должны иметь ds' = ds при каких угодно du и dv, откуда:
<? = ?, $ = F, © = O; E7)
в этом случае говорят, что поверхности S и S' налагаются друг на
друга *. Для того чтобы две поверхности 5 и S', линейные элементы
которых определяются, соответственно, формулами E5) и E6), могли
быть наложены одна на другую, необходимо и достаточно, чтобы можно
было найти функции g(u, v) и А (и, г;), удовлетворяющие соотноше-
соотношениям E7). Эти две функции должны, следовательно, удовлетворять си-
системе трех: уравнений в частных производных первого порядка; если
коэфициенты Е, F, G, E', F1, О выбраны произвольно, эти уравнения,
вообще говоря, окажутся несовместными, и функции g(u, v), h(u, v)
не определятся. Чтобы определить, наложимы ли друг на друга две
поверхности, т. е. чтобы определить, совместны ли уравнения E7), до-
достаточно выполнить операции диференцирования и исключения. Дока-
Доказательства этого положения мы приводить не будем.
Можно поставить иную задачу, отличную от этой, именно: опреде-
определить все поверхности, налагающиеся на некоторую данную, или, дру-
другими словами, определить все поверхности, допускающие данный ли-
линейный элемент.
Решение этой задачи требует интегрирования системы трех уравне-
уравнений в частных производных первого порядка:
здесь Е, F, G — три данные функции переменных и, v; x, у, z — три
неизвестные функции. Полное интегрирование этой системы удается вы-
выполнить лишь в весьма немногих частных случаях; его можно свести
к интегрированию одного уравнения в частных производных второго
порядка.
* Или что одна из них является изгибанием другой. {Ред.)

216 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 248
Рассмотрим, в частности, геликоид S, определенный формулами:
л:—pcosco, _y=psin(o, z=f(p)-\-ata, E9)
где 2па — общий шаг винтовой линии. Квадратичная форма ds2 может
быть написана в виде:
Положим:
p2
и и v определятся отсюда .в квадратурах; р2-)-а2 есть функция U
одного только переменного и, так что as2 для всякого геликоида может
быть приведен к форме:
F1)
Заметим, что кривые (и) и (г>) суть, соответственно, винтовые линии
поверхности и их ортогональные траектории; следовательно, эти тра-
траектории всегда могут быть получены в квадратурах.
Пусть S'—некоторый другой геликоид, определенный формулами:
y=rsinO, г' = <р(г) + *0, E9')
для которого
I Ьъ' (г) 12 Ь" А- г2 А- г2 ч>'Чг\
= (r«- f Щ \аЪ -I-Д^>г| +^±^1_И,>2. F2)
Для того чтобы два геликоида были наложимы друг на друга, при
условии соответствия винтовых линий обеих поверхностей, необходимо
и достаточно, чтобы можно было определить функции г от р и 6 от or
и р, удовлетворяющие трем условиям:
F3)
где с—некоторая постоянная, отличная от нуля*. Вторая из этих фор-
формул приводится к виду:
^ * Первое условие F3) выражает, что ортогональные траектории винтовых ли-
линий соответствуют друг другу на обеих поверхностях и имеют равные линейные
элементы. Два других условия выражают, что уравнение, определяющее в в
функции (о и р, интегрируемо.

§ 248-249 III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 217
заменяя р этим выражением в первом условии, найдем <р (г) квадра-
квадратурой. Далее:
Ч
Следовательно, существует бесконечное множество геликоид'ов, зави-
зависящих от двух произвольных: постоянных b и с, налагающихся на
данный геликоид с соотвгтст ием винтовых линий.
Постоянная Ь, с точностью до множителя 2тг, равна шагу второго
геликоида S'. Если положить Ь = 0, то S' будет поверхностью вращения;
отсюда получается теорема Бура: каждая поверхность геликоида на-
наложима на некоторую поверхность вращения, причем винтовые линии
одной поверхности соответствуют параллелям другой. Легко видеть, что
эта поверхность вращения зависит от произвольного постоянного с.
Примеры. 1. Пусть / (р) = 0. Поверхность S есть прямой геликоид с напра-
направляющей плоскостью. Если положить Ь = 0, с— 1, формулы F3) приведут к урав-
уравнению:
Соответствующая поверхность вращения есть поверхность, образуемая вращением
цепной линии вокруг ее основания.
2, Пусть f(f) = r. Полагая й = 0, с=1, получим:
= |Л*— а2 + С.
Профиль геликоида есть пря1кая, встречающая ссь Ог под углом 45е, а поверх-
поверхность вращения —* однополостный гиперболоид, образованный вращением равно-
равносторонней гиперболы.
249. Поверхности, налагающиеся на плоскость. Для плоскости мы имеем:
ds2 = du2 4~ dv2,
где и и v—прямоугольные координаты ее точек. Следовательно, все
поверхности, налагающиеся на плоскость, определятся совместным
интегрированием трех уравнений:
W ,
{I
Приведем доказательство О. Боннэ, установившего, что это — раз-
развертывающиеся поверхности.
Диференцируя три предыдущие уравнения по и и по v, получим
шесть равенств:
Q дХ д*Х Q дХ д*Х Q дХ i
^Ч = О, ^Ч = 0, *Ч— =0.
^bvbv2 ^bvdubv ^-'bu'dv2
Из двух уравнений, в которые входят — , —г, —-, следует, что эти три
OU2 • oU2 dU*
производные, соответственно, пропорциональны якобианам -ргГ~— '

218 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 249
———- —' ' . Мы предположим, что эти три якобиана не обра-
обрати О, г-) D(u, v)
щаются тождественно в нуль, так как в противном случае точка
(х, у, z) описывала бы не поверхность, а кривую. Легко видеть, что про-
Ъ2х й2у ЪЧ Ь2х Ь2у Ъ2г
извэдное——г—, г-г—¦ ^-^->атакже и г,' г? > г? пропорциональны
ЫЪи bubv йийу bv2 du2 dt;2
тем же якобианам. Отсюда следуют соотношения:
Ь2х Ь2у b2z
Ъи? _ п2 __ Ьи2
Ь2х ~ Ь2у ~ Wz '
которые показывают, что якобиан любой пары из трех производных: —,
dtl
Ьу Ъг _. Ъх bv bz
г— , г— равен тождественно нулю. Следовательно, — , г— , —- суть функ-
Ъи Ъи Ъи Ьи Ьи
, йл: Ъу Ъг
ции одного переменного t. Так же можно показать, что —-, ~, ^
bv bv bv
функции одного переменного t'. С другой стороны, из соотношения
вытекает, что эти два переменных tut' приводятся к одному. Следо-
Следовательно, все шесть частных производных первого пррядка являются
функциями одной из них; угловые коэфициенты р и q касательной
плоскости, получаемые из уравнения dz = pdx-\-q dy, также зависят
только от одного переменного, и поэтому исследуемая поверхность есть
поверхность развертывающаяся (§ 204)*.
Обратно, пусть будет 5 некоторая развертывающаяся поверхность,
образованная касательными какой-нибудь кривой Г; примем за пере-
переменные- параметры дугу о кривой Г, отсчитываемую от произвольного
начала, и расстояние / точки образующей от точки прикосновения.
Координаты точек поверхности 5 определяются равенствами:
X=x + te, K=y + /p, Z = z+l-i,
где х, у, z — координаты точек кривой Г, a, [S, у — направляющие
синусы касательной. Формулы Френе дают:
ко-
ко* Лебег (Lebesgue) в свой диссертации показал, что существуют нелиней-
ча^ые поверхности такие, что во можно установить соответствие между точками
этих поверхностей и точками плоскости так, что каждой спрямляемой линии пло-
плоскости соответствует спрямляемая линия поверхности, имеющая ту же длину.
Этот ре^льтат не противоречит доказанной в тексте теореме, так как доказа-
доказательство существенно основывается на наличии у х, у, z непрерывных част-
частных производных первого и второго порядка, что не имеет места для поверх-
поверхностей Лебега.

§ 249 III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ' 219
следовательно:
dz2
ds*==(d<j + dl)* + l*jp, F4)
где R — радиус кривизны кривой Г. Отсюда непосредственно еще не
видно, приводится ли ds2 к форме du2 4- dv2. Чтобы показать, что это
всегда возможно сделать, достаточно заметить, что ds2 зависит исклю-
исключительно лишь от функции — = ср(а), определяющей зависимость ра-
диуса кривизны /? от дуги о. Пусть будет Г' какая-нибудь другая кри-
кривая, для которой функция <р(о) та же самая; линейный элемент ds2
развертывающейся поверхности, имеющей Г' ребром возврата, выра-
выражается, очевидно, равенством F4). Обе поверхности Г и Г' налагаются,
следовательно, друг на друга с соответствием образующих. Но среди
кривых Г', наверное, существует плоская кривая; развертывающаяся
поверхность, образованная ее касательными, есть плоскость; отсюда и
вытекает то, что мы хотели доказать. После этого легко получить фор-
формулы, определяющие соответствие между поверхностью и плоскостью.
Из естественного уравнения
плоской кривой С получаются ее параметрические уравнения (§ 224):
хг = \ cos 0 da, уг = \ sin 6 d:,
где
откладывая от точки прикосновения по касательной длину /, получим
точку с координатами и = хг -(— / cos 6, ¦a=_y1-)-/sin6.
Из формулы F4) непосредственно получаем:
ds2 = du2 -f dv2.
Из предыдущего доказательства следует соответствие между точками раз-
развертывающейся поверхности 5 и точками плоскости. Плоская кривая С, заданная
естественным уравнением
вполне оаределена по форме (§ 224), а соответствие между точками кривых Г и
С определяет соответствие между направлениями касательных ббеих кривых.
Пусть теперь будет Р некоторая точка поверхности S, лежащчя на касательной
к кривой Г в точке /И на расстоянии МР = 1. Отложим на касательной в точке т
кривой С, соответствующей М, в направлении, соответствующем направле-
направлению МР, длину /я/7 = /; полученная точка р будет соответствовать точке Р по-
верхн сти S. Легко видеть, что точкам поверхности 5 соответствуют только те точки
плоскости, которые лежат в области П, внешней по отношению к кривой С,
и что это соответствие, вообще, не однозначно. Рассмотрим, н: пример, обыкно-
обыкновенную винтовую линию; пусть ее постоянный радиус кривизны равен ./? Раз-
Развертывающаяся поверхность, образованная полукасательными, проведенными в
определенном направлении в точках одного оборота это* спирали, однозначно

220 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 249 - 250
налагается на область П плоскости, внешнюю отжсительно круга гадиуса /?; но
развертывающаяся поверхность, образованная касательными во всех точках спи-
спирали, покрывает область II бесконечное число раз.
250. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Пусть будет Г неко-
некоторая кривая, лежащая на поверхности S, и f — ее ортогональная проекция на
касательную плоскость к 5 в точке М кривэй Г. Кривизна — этой плоской
кривой в точке М называется геодезической кривизной кривой Г. Укажем важ-
важнейшее свойство этой величины: если даны две налагающиеся поверхности S и
S' и две соответствующие кривые Г и Г' на них, то геодезические кривизны
этих линий в cooi ветствующчх точках равны.
Предположим, что кривая Г определена на своей поверхности уравнением
в криволинейных координатах w = II(«). Для доказательства высказанной теоремы
достаточно пока;ать, что радиус геодезической кривизны pg выражается исклю-
исключительно с помощью коэфициентов Е, F, G.
Выберем на 5 такую систему криволинейных координат, чтобы кривая Г
имела уравнение v = v0. Для определения радиуса геодезической кривизны Г
в точке Mq (и0, Vq) предположим, что начало координат взято в точке /Ио, что ка-
касательная плоскость совпадает с пло:костью ху, а касательная к Г—с осью Ох.
В этой системе координат мы имеем:
ou/o \Ьи/о \ди
?) = VGt, - =0.
Wo
Радиус кривизны кривой f — проекции Г на плоскость хОу — в начале координат
имеет выражение:
1 (=).+ (*)'"
?g —
ду
Из двух соотношений:
S(-Y=? sd--=<
ч^ ^ "==0
получается:
Sd^r 6%х 1 й? Q дх
d«ou dv 2 dv *~^dududv ^ dv
При и — щ, v = w0 эти равенства приводят к формуле:
откуда
1
dv
2 Eo]/Go'
F5)
что мы и хотели показать.
Кривые, лежащие на некоторой поверхности и имеющие во всех своих точ-
точках геодезическую кривизну, равную нулю, называются, геооезическими линиями
этой поверхности. По предыдущей теореме, если две поверхности S, S' нала-
налагаются друг на друга, то геодезическим линиям одной из этих поверхностей на
второй соответствуют также геодезические..

§ 250 II. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 221
Геодезические линии могут быть определены еще как линии поверхности,
соприкасающаяся плоскость которых в каждой точке проходит через нор-
нормаль поверхности.
В самом деле, пусть будут Г—некоторая кривая на поверхности и f — ее
ортогональная проекция на касательную плоскость, R и pg— радиусы кривизны Г
и Т> " — Угол между соприкасающейся плоскостью кривой Г и нормалью поверх-
поверхности. Применим теорему Менье к цилиндру, проектирующему Г на касательную
плоскость; по этой теореме:
J cos б
Если Г — геодезическая линия, то —• равна нулю, и следовательно, cos 6 = 0, т. е.
Pg
соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к поверхности. Оi сюда следует,
что вдоль геодезической х, у, z суть функции одного переменного, удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношению:
А В С
dx dy dz
d*x diy d*z
= 0, F6)
где А, В, С — направляющие параметры нормали к поверхности. Координаты
х, у, z выражены в функции двух параметров и и v; выбирая олин из них, на-
например и, за t езависимое переменное и развертывая предыдущее уравнение,
полу им диференциальное уравнение tToporo порядка:
интегрирование которого дает геодезические линии. Интеграл этого уравнения
содержит два произвольных постоянных, следовательно, через всякую обыкновен-
обыкновенную точку поверхности проходит бесконечное множество геодезических; но, если
задать в касательной плоскости этой точки некоторое определенное направление,
то геодезическая линия, выходящая в этом направлении, вполне определится.
Геодезическими линиями плоскости являются лежащие на ней прямые, на
сфере это — большие круги, на развертывающейся поверхности это - линии,
соответствующие при наложении на плоскость прямым.
Рассмотрим в качестве примера какую-нибудь кривую Г и ее развертку
(эволюту) D (черт 40, § 225). Соприкасающаяся плоскость к D в точке М{ со-
содержит касательную к кривой Г в точке М, а следовательно, и нормаль в М{
к полярной поверхности кривой Г, которая является огибающей нормальных
плоскостей этой последней. Отсюда следует, что развертки кривой суть геоде-
геодезические линии ее полярной поверхности. Основывтясь на геометрических свой-
свойствах можно показать, что при н)ложении полярной поверхности на плоскость
эволюты кривой Г пргобразуются в прямые линии, проходящие через одну точку.
Плоскости проходящие через каждую точку М пространственной кривой Г
перпендикулярно главной нормали, огибают развертывающуюся поверхность S,
проходящую через Г.
На этой поверхности Г есть геодезическая линия, так как нормали к S
совпадают с главными нормалями Г При наложении S на плоскость кривая Г
развернется в прямую линию. Поэтому плоскости, перпендикулярные главным
нормалям кривой, называются спрямляющими [Ланкре (Lincret ].
Рассмотрим еще две полости S и S' развертки какой-нибудь поверхности S.
Нормали MN поверхности S в?оль линий кривизны образуют развертывающуюся
поверхность, имеющую ребром возврата некоторую кривую Г поверхности 2;
соприкасающаяся плоскость в точке А этой кривой касается в точке А' поверх-
поверхности 5/ (§ 241). Следовательно, она перпендикулярна к касательной плоскости 2
в А, т. е. Г есть геодезическая линия на поверхности Б. авилюты ланий кри-
кривизны какой-нибу ь поверхности S, лежащие hi одной из полостей развертки
этой поверхности, суть геодезические линии этой полости развертки.
Обратно, рассмотрим на какой нибудь поверхности S семейство геодезических
линий, зависящих от одного произвольного параметра, так что через каждую

222 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ §250-251
точку поверхности проходит одна и только одна геодезическая этого семейства.
Касательные к этим геодезическим являются нормалями к некоторому се-
семейству параллельных поверхностей.
Для доказательства достаточно показать, что фокальные плоскости конгруэнции
этих нормалей орп тональны (§ 231). Пусть будет Г одна из геодезических
линий, МТ—касательная в какой-нибудь ее точке. Одна из фокальных пло-
плоскостей, проходящих через МТ, есть, очевидно, соприкасающаяся плоскость в М
к кривой Г. Чтобы найти вторую фокальную плоскость, нужна определить вто-
вторую развертывающуюся поверхность конгруэнции, проходящую через МТ.
Из § 2Ь9 следует, что этой развертывающейся поверхностью будет поверхность,
огибаемая касательными плоскостями поверхности вдоль кривой Г', о пруженной
с кривею Г в точке М. Вторая фокальная плоскость есть, следовательно, касатель-
касательная плоскость к S в точке М\ эти две плоскости, очевидно, оотогональны.
Примечание. Квадратичная форма d& принимает особенно простой вид, если
выбрать за координатные линии (v) семейство геодезических, за линии (и — их
ортогональные траектории. В этом случае F=0, и по формуле (э5), определяющей
геодезическую кривизну линии (w), ^— = 0; козфициенг Е, следовательно, есть
некоторая функция U одного только переменного и Заменяя и через \ л/О du
приведем выражение dsV к виду:
dfi =¦¦ dif- -f G dtfi;
коэфициент G здесь — произвольная функция и и v.
251. Полная кривизна Теорема Гаусса. Как нам уже известно, полней кр:-
визной поверхности называется величина Т575г. обратная произведению главных
ад
радиусов кривизны.
Докажем весьма важную теорему Гаусса.
Если S и S' — die налагающиеся поверхности, то полная кривизна их
в соответствующих точках одинакова.
Для доказательства, как и все] да при установлении свойств, инвариантных
относительно изгибания, достаточно выразить почную кривизну поверхности
через Е, F, G.
Выберем в формуле D) неопределенный множитель К равным —1; соотно-
соотношение B6) приведется к виду (§ 236):
1 DP" - D'i
RR'~~ (EG — F^'
остается, следовательно, показать, что DD" — D'2 выражается через Е, F, G (и их
производные). Чтобы упростить вычисления, предположим, что поверхность от-
отнесена к системе криволине^ых кос динат, составленной из семейства геодези-
геодезических и их ортогона ьных траекторий; тогда будем иметь: ?=1, ,F = 0 Из об-
общих формул E8) получим последовательно диференцированием следующее:
О йл Ь%х __ 1 3G О Ьх 52л:_ 1 3G
^^йг/йг/йг» 2 Эм ^^ dw Зг»2 2 ди
и следовательно:
од" о*л: 1 оС/ /сп\
= . F9)
Ьи bv- 2 Ьи

§ 252 Ш/СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ-ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Снова диференцируя F9) по и и ьторое уравнение F8') по v, получим:
S№x д*х .О tx йздг 1 «W
и наконец:
223
\2
G0;
Чтобы наши произведение DD", перемножим ло общему правилу два опреде-
определителя формул A5j и A6). С помсщью предыдущих соотношений это произве-
произведение примет вид:
Точно так же Z)'2 будет равняться
откуда:
DD" —
G
2
и полная кривизна в точке (и, v) определится формулой:
1 __ 1 дЮ
RR' ~~
171)
что доказывает теорему Гаусса. Как следствие этой теоремы непосредственно по-
получается резулыат, установленный выше для поверхностей, налагающихся на
плоскость (§ 249. В самом деле, во всех точках этих поверхностей гауссова кри-
кривизна должна равняться нулю, т. е. rt — «2 = 0. Следоват льно, интегральные по-
поверхности этого уравнения — поверхности газвертывающиеся (§204).
Теорема Гаусса позволяет также расширить результат § 248 относительно
геликоидов. Если S и S' — две поверхности, налагающиеся одна на другую, пол-
полная криви та которых не равна по тоянниму, то линии, на которых гауссова
кривизна сохраняет постоянное значение, образуют на S и S' два семейства, ко-
которые по теореме Гаусса должны соответствовать друг другу при рассматриваемом
преобразовании. В частности, если S и S'— два геликоида, то линии, вдоль ко-
которых полная кривизна равна постоянной, суть, очевидно, винтовые линии, и
поэтому формулы § 248 дают все геликоиды, налагающиеся на данный геликоид,
если его гауссова кривизна не постоянна.
252. Конформное преобразование.
между точками двух поверхностей,
Пусть (х, у, z) — прямо-
прямоугольные координаты то-
точек некоторой поверх-
поверхности S, и (х1, у', z') —
прямоугольные координа-
координаты соответствующих точек
поверхности S'. Предпо-
Предположим, что х, у, z, х', черт. 42.
у1, z' выражены в функ-
функции двух переменных параметров
ответствующие точки обеих поверхностей определяются одной и той же
Рассмотрим теперь соответствие
при котором сохраняются углы.
Черт. 42а.
и, v таким образом, что со-

224 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 252
системой величин параметров и, v. Пусть будут С и О две кривые на
поверхности Л, проходящие через точку т этой поверхности, О и D'—
соответствующие кривые поверхности S', проходящие через точку т'
(черт. 42). Вдоль кривой С параметры являются функциями одного пе-
переменного /. обозначим их диференциалы через du и dv; точно так же
и Ух v являются вдоль D функциями другого переменного V; их дифе-
диференциалы мы обозначим через Ьи и bv. Вообще, мы будем обозначать
буквами d и Ь диференциалы, относящиеся к перемещению точки, со-
соответственно, вдоль С или D.
Параметры направления касательной к кривой С суть:
, <*Х , , i.X , dУ , , dУ , dZ , , *Z
dx = — duA dv, dy = — duA dv, dz = — du 4- — иv,
du ' dV dU dV dU dv
и соответственно, для кривой D:
ъ dX j. . dX. ^ dy . , dy s ^ dZ N dz ,
bx — — ou 4- ¦— bv, йу= — ои 4 ov, oz— — ou 4- ~-ov.
du dv dU dv dU dv
Пусть бугет со угол между касательными кривых С и D; cos со выра-
выразится формулой:
dx Ьх A- dy by 4- dz bz
COS @ = ' J
]/dx2 4- dy2 f dz2 Vbx* 4- by2 4- bz2
которая, если ввести коэфициенты Е, F, G, примет вид:
__ Edubu4\-F{dubv 4-dvbu)ArGdvbv
~ VEdu2~A\:2Fdu dv 4- Gdv2 \/Ebu2 4- 2Fbubv -|-"О~^2 '
Точно так же, если о>' — угол между касательными к кривым С и D', го
?' du Ьи 4- F1 (du bv 4- bu dv) 4- G' dz» йи
G3)
'du2 4- 2F'du dv -\- G'dv* ]/Е'Ьиг -f 2F'5m St/ + G'cv*'
Если при рассматриваемом преобразовании не изменяются величины
углов, то cos со = cos ю' при каких угодно аи, dv, Ьи, bv; cos2 со и cos2 со'
„ bv dv
суть рациональные функции отношений ц— , —, которые должны быть
равны при всех значениях этих величин. Для этого необходимо, чтобы
соответствующие коэфициенты обеих дробей G2) и G3) были про-
пропорциональны, т. е. чтобы было
F' F1 П'
где \—некоторая функция параметров и, v; эти условия, очевидно, н
достаточны, так как cos со, например, есть однородная функция нулевой
степени от Е, F, G.
Условия G4) могут быть заменены одним: ds'2 — l2ds2, или
ds' = I ds, G5)

§ 252-253 Ш. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 225
которое выражает, что отношение двух бесконечно малых соответствую
ющих друг другу дуг стремится к пределу, независимому от du и dv. ¦
Этот результат можно получить непосредственно. В самом деле,,
возьмем на первой поверхности бесконечно малый, треугольник abc\
пусть будет а'Ь'с' соответствующий ему треугольник второй поверхности.
Заменим эти два криволинейных треугольника прямолинейными; так как
а'Ь1 а1 с1 . Ь'с'
отношения —- , — , —- стремятся к одному пределу к (и, v), эти
треугольники подобны, и следовательно, в пределе соответствующие углы
будут>равны.
Соответствующие бесконечно малые фигуры двух поверхностей 5 и
S' могут быть' рассматриваемы как подобные, так как они имеют про-
пропорциональные дуги и равные углы; такого рода преобразование, со-
сохраняющее подобие в бесконечно малых частях, называется конформным
отображением.
В частности, если \ ¦= 1, сохраняются не только углы, но и длины
дуг, т. .е. рассматриваемое преобразование будет изгибанием, которое
является, таким образом, частным случаем более общего конформного
преобразования.
Если даны две поверхности S и 5', и между ними установлено не-
некоторое точечное соответствие, то всегда можно узнать, удовлетворя-.
ются ли при этом условия G4), т. е. будет ли это соответствие кон-
конформным. Но можно решать и другие задачи; например, даны две по-
поверхности S и S', определить все соответствия между точками этих
поверхностей, при которых сохраняются углы.
Предположим, что координаты (х, у, z) точек поверхности S выра-
выражены в функции двух параметров (и, v), и координаты (х1, у', ?) точек
поверхности S' — в функции двух других параметров (и1, v'). Пусть будут
ds2 = Е du* .-f IFdu dv -f- Gdv2, ds1* = E'du'2 -f 2F'du'dv' -f
выражения квадратов соответствующих линейных элементов. Предложен-
Предложенная задача может быть поставлена в следующей форме: найти две
функции u' = U1(u, v) и v' = II2 (и, v) так, чтобы тождественно
выполнялось соотношение:
?' <т\ + 2/* dllj rfll, + G'dl4 =l2 (E du"- + 2Fdu dv + Gdv2)'
где 1 — неопределенная функция переменных и, v.
Из общей теории диференциальных уравнений следует, что эта за-
задача всегда допускает бесконечное множество решений. Мы приведем
доказательство только для одного частного случая.
253. Конформное соответствие между плоскостями. Всякое соответ-
соответствие между точками двух плоскостей определяется формулами:
), Y=Q(x,y), G6)
где (X, Y) и (х, у) — прямоугольные координаты их точек. До. преды-
предыдущему, чтобы это преобразование было конформным, необходимо и.
достаточно, чтобы удовлетворялось равенство:
15 0. Турса, т. 1,ч. 2.

226 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 253 -254
где ). есть некоторая функция от х, у, не зависящая от диференциалов.
Развертывая диференциалы dX, dY и отождествляя обе части, найдем,
что функции Р(х,у) и Q{x,y) должны удовлетворять двум уравнениям:
?)($ ??+??-"• <">
ЪР bQ
Частные производные —, -—• не могут одновременно равняться нулю,
Ъу Ъу
5Q ЪР
так как из первого соотношения G7) тогда получится: — — -—— О, и
дХ оХ
функции Р и Q будут постоянными. Поэтому на основании второго
условия можно написать:
ЪР Э<? dQ ЪР
где ц—вспомогательное неизвестное. Вводя эти величины в первое со-
соотношение G7), получим:
откуда Ц = +1- Функции Р и Q должны, следовательно, удовлетворять
одной из двух систем соотношений:
Ъх
ЪР
ьу~
ЪР
Ъх~~
ЪР
Ъу~
Ъу
Ъ<Э
ъя
~Ъу'
bQ
Ъх'
G8')
из которых вторая обращается в первую при замене Q на —Q.
Преобразования (существующие в бесконечном числе), определяемые
формулами G8) и G8'), называются также изогональными преобразо-
преобразованиями плоскости. Они тесно связаны с теорией функций комплекс-
комплексного переменного (см. II том, часть 1).
254. Географические карты. Построить карту какой-нибудь поверх-
поверхности значит установить соответствие ее точек с точками плоскости
так, чтобы соответствующие углы при этом были равны. Предположим,
что координаты точек рассматриваемой поверхности выражены в функ-
функции двух переменных параметров (и, v), и пусть
- 2Fdu dv-\-G dv*
— квадрат ее линейного элемента. Пусть будут, далее, B,'р) прямо-
прямоугольные координаты точек некоторой плоскости Р, соответствующих
точкам (a, v) поверхности. Вопрос сводится к разысканию двух функций

§ 254 III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 227
так, чтобы имело место тождество:
Е du2 -J- 2F du dv -f G dv2 = X2 {da2 -f- 42),
где X — некоторая функция а, р, не содержащая диференциалов. Эта
задача допускает бесконечное множество решений, которые все могут
быть сведены к одному при помощи конформного соответствия между
двумя плоскостями. В самом деле, предположим, что одновременно:
ds2 = I (da2 -f Щ2), ds2 = V (da!2 -f dp2),
тогда
и следовательно, одно преобразование сводится к другому при помощи
изогонального преобразования плоскости.
Примеры. 1. Проекция Меркатора. Всегда можно построить карту поверх-
поверхности вращения так, чтобы меридианам и параллелям соответствовали прямые
параллельные осям координат.
Пусть будут
х — р cos ш, у = р sin а>, z =/ (?)
координаты точек поверхности вращения с осью Oz. Тогда линейный элемент
ds* = dpi [I + f'i (p ] + р2 da1* = рз о!йJ -f -i-i
может быть записан в виде:
если положить:
X=w, Y—
В случае сферы радиуса /? можно выразить координаты формулами:
x = R sin в cos f, у = /? sin 6 sin ip, z = /?cose,
d«2 = /?2 (de-2 + Sin2 в df) —
и мы полагаем:
Полученная проекция называется проекцией Меркатора; в ней меридианам сферы
соответствуют прямые, параллельные оси ОУ, а параллелям — отрезки прямых,
параллельных ОХ. Чтобы отобразить всю поверхность сферы, нужно изменять ?
от 0 до 2it и в от 0 до я; X изменяется тогда от 0 до 2п и Y от — оо до -f oo.
Карта имеет вид бесконечной полосы ширины 2it.
Кривые на сфере, пересекающие меридианы под постоянным углом, назы-
называются локсодромами и отображаются на плоскость в виде прямых линий.
2. Стереографическая проекция. Линейный элемент сферы можно написать
еще в форме:
d& = 4 cos*
или
ofs2 — 4 cos*
15*

228 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 254
если положить
а
Р — # 1& ~2 • и = ?•
Но dp2 + р2 Л>* представляет квадрат линейного элемента плоскости, отнесенной
к. полярным координатам (р, ю). Для установления конформного отображения
сферы на плоскость достаточно, следовательно, поставить в соответствие точкам
(9, ip) сферы точки плоскости с полярными координатами (р, ю). Легко видеть, что р
и о) суть координаты стереографической проекции точек @, <р) сферы на эквато-
экваториальную плоскость из полюса.
3. Карта тора. Рассмотрим тор, образованный вращением окружности ра-
радиуса R вокруг оси, лежащей в ее плоскости па расстоянии а от центра (мы
предположим а > R). Выберем ось вращения за ось г, плоскость, содержащую
центры вращающейся окружности, за плоскость х, у. Тогда координаты точек по-
поверхности тора определятся формулами:
х = (а -| R cos в) cos <р, у ¦¦--- (а-\ R cos 0) sin tp, г = R sin в,
причем 6 и ip изменяются от — г. до -{-г.. Отсюда:
Чтобы получить карту поверхности, положим:
е
о
где через е обозначено отношение —, меньшее единицы. Точкам поверхности
тора соответствуют, таким образом, точки прямоугольника, стороны которого
о 2пе
равны 2-х и — .
|/1 - в»
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти линии кривизны развертывающейся поверхности —огибающей семей-
семейства плоскостей, представляемых в прямоугольных координатах уравнением:
(а) + R j/l
где а — переменный параметр, »(а) —произвольная функция этого параметра, и
R — данное постоянное.
2. Найти, при каких условиях прямая x=az -+- а, у= bz + р, где я,•& а, р —
функции некоторого переменного параметра, образует развертывающуюся по-
поверхность, у которой линии кривизны, перпендикулярные к образующим, распо-
расположены на концентрических сферах.
-~ - 3. Найти линии кривизны поверхности, представляем й в прямоугольных
координатах \равнением: ez = cosxcosy.
4. Рассмотрим трехосный эллипсоид, представляемый в прямоугольных коор-
координатах уравнением:
+ + 1 = 0
и сечение Е этого эллипсоидч плоскостью хОг. Требуется найти для каждой
точки М эллипса Е: 1) выражения главных радиусов кривизны Rit /?2 эллипсоида;
2) соотношение между Rt и R^; 3) место центров кривизны главных сечений,
когда точка М перемещается по эллипсу Е.

§ 254 III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 229
5. Составить уравнение второй степени, определяющее главные радиусы
кривизны для каждой точки параболоида, представляемого в прямоугольных ко-
координатах уравнением:
и выразить в функции переменного z главные радиусы кривизны в каждой точке
линии пересечения предыдущего параболоида с параболоидом
a—I'b—l
6. Найти место центров кривизны главных сечений параболоида ху=аг для
различных точек оси Ох.
7. Найти уравнение поверхности, представляющей место центров кривизны
сечений данной поверхности S плоскостями, проходящими через данную точку М
этой поверхности;
8. Пусть будет МТ касательная прямая в точке М к данной поверхности
второго порядка, О — центр кривизны сечения этой поверхности какою-нибудь
плоскостью, проходящею через МТ, к О' — центр кривизны развертки этого се-
сечения. Найти место точек О', когда секущая плоскость вращается вокруг МТ.
9. Найти асимптотические линии тора, образованного вращением круга во-
вокруг одной из его касательных.
10. Пусть будет С данная кривая в плоскости zOx прямоугольной системы
координат. Рассмотрим поверхность, образованную окружностью, плоскость кото-
которой остается параллельною плоскости хОу, центр которой описывает кривую С,
а радиус изменяется таким образом, что окружность постоянно пересекается
с осью Oz. Составить диференциальное уравнение асимптотических линий этой
поверхности, принимая за независимые переменные координату z какой-нибудь
ее точки и угол 9 между радиусом окружности, проходящим через эту точку, и
линией пересечения плоскости окружности с плоскостью zOx. Применить полу-
полученные выводы к случаю, когда кривая С есть парабола, вершиною которой слу-
служит точка О, а осью — ось Ох.
11. Линейчатая поверхность касается другой линейчатой поверхности во всех
точках прямолинейной образующей Д этой последней поверхности; кроме того,
все образующие первой поверхности пересекаются с прямою Д. Найти асимпто-
асимптотические линии первой линейчатой поверхности.
12. Найти на прямом геликоиде такие линии, в каждой точке которых сопри-
соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в этой точке.
13. Найти асимптотические линии линейчатой поверхности, представляемой
уравнениями:
X— A -f- m)cos», .y=(l—u)sinv, z=u.
14*. Доказать, что сечения поверхности- S плоскостями, проходящими череа
прямую Д, и линии прикосновения конусов, описанных около поверхности S и
имеющих вершины в точках прямой Д, образуют на поверхности S сопряженную-
сеть.
[К е н и г с (Koenigs).]
15*. Если неизменяемая прямая движется таким образом, что три ее точки
остаются соответственно в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, то эта
прямая остается постоянно нормальною к некоторому семейству параллельных
поверхностей. Одна из этих поверхностей есть геометрическое место середины
отрезка этой прямой между точкою ее пересечения с одною из плоскостей коор-
координат и основанием перпендикуляра, опущенного на эту прямую из начала ко-
координат. -
[Дарбу, Comptes rendus, т. ХСП, стр. 446, 1881.1
16*. На всякой поверхности есть мнимая линия кривизны, представляющая
геометрическое место точек, для которых J + р* + q* = 0.
15**

230 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 254
Для доказательства этого предложения нужно показать, что диференциальное
уравнение линий кривизны может быть представлено в виде:
{dpdy~dqdx){\ +-/?2 -+-g2) + (p dy~- q dx) (р dp + q dq) = 0.
[Дарбу, Annales de I'Ecole Normale, 1884.]
17*. Формула Ла?ерра (Laguerre). Пусть будетЗ/=" (x, у, 2) —0 уравнение по7
верхности S; когда точка (х, v,.z) описывает кривую Г на этой поверхности, то
диференциалы первых трех порядков удовлетворяют трем соотношениям (§ 24):
дх ду iz
f^^y^0. B)
dx+^
ду
ax^dy^dz+M l\ аъ + м (\dy + 3d №
dx by CZ \ dx I \dy I \dz
] ^ fdz)^0, C)
\dx by dz I
из которых первое выражает, что существует касательная плоскость, а второе
эквивалентно теореме Менье. Чтобы дать геометрическое истолкование третьему,
dF dF dF ,
мы можем заменить в нем — , —, — направляющими косинусами к, ц, v нор-
Ьх ду bz
мали. В
где мы
самом деле,
положили
мы
дх
имеем:
dF
dx~
ду bz
ч AF-«
' bz
принимая во внимание соотношение B) можно написать уравнение C) так:
X d*x + |i еРу + v d*z + 3 [dl d*x + а!ц d*y -f- dv d*z] = Ф (x, y, z, dx, dy, dz);
Ф есть кубическая форма от dx, dy, dz, с коэфициентами, зависящими от х,
у, г. Разделив на dsf, заключаем отсюда, что выражение
ds3 ds* ds^
d\dx dy.dv dv dz\
— Ь 1 " I —
ds d& ds rfs2 ds d^i
сохраняет одно и то же знчение в точке поверхности для кривых, лежащих на
поверхности и касающихся друг друга в этой точке; этот результат можно
было бы также п о л у чить, диференцируя формулу G) § 233 и принимая во вни-
внимание выражения для D, D\ D".
Заменим теперь -т^ , -т-у ,... их выражениями по формулам Френе (§ 222).
Предыдущее выражение примет вид:
sin 9
где через й обозначен угол между нормалью к поверхности и главною нормалью
кривой. С другой стороны, диференцируя соотношение
cos 8 = Хо' + црг + v-f',

§ 254 • III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 231
получаем:
ds ds ds ds
¦следовательно,
+ Y rr = Sln 9 \^f — -j~ I ¦
as l ds w rfs /
Заменяя я' -г- + ?' -т- + т' у этим выражением, мы видим, что выражение
ds cts cis
sin 6 / 2 _ с
имеет, одно и то же значение дли всех кривых, лежащих на поверхности и
касающихся друг Оруга е одной точке. (Л а г е d D )
18*. Формула Эннепера (Enneper). Кручение асимптотической линии дается-
формулой:
где /? и /?' — главные радиусы кривизны.
Указание. Для доказательства достаточно применить к асимптотической
линии формулу Френе:
~ds ~T
и заметить, что бинормаль совпадает с нормалью к поверхности. Для облегчения
вычислений следует взять точку поверхности за начало координат, касательную
плоскость за плоскость ху, касательную к асимптотической линии за ось у.
Можно вывести формулу Эннепера также из формулы E1bis) (§ 245).
19*. Формула Бельпграми (Beltrami). Пусть будет р0 радиус кривизны асимп-
асимптотической линии, р — радиус кривизны той ветви кривой, получаемой пере-
пересечением поверхности с касательной плоскостью, которая касается асимптоты;
эти величины связаны соотношением:
3
Р =  Ро-
Указание. Если поверхность представлена уравнением:
z~2bxy-\-cyZ-\-Ax* + 3Bx*y+... ,
то кривая, являющаяся пересечением поверхности и плоскости 2 = 0, имеет
ветвь, касающуюся оси х, уравнение которой есть:
в начале координат мы имеем:
С другой стороны, значение у" в начале для асимптотической линии легко
получается из диференциального уравнения этих линий:
[Beltrami, Nouveltes AnnatesdeMathematiques, 2-е serie, (. IV, стр. 258,1865.]

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*)
(Цифры в указателе соответствуют номерам страниц)
Абель (Abel) 26, 55, 56, 57, 58
Абеля теорема 26, 55, 56, 57, 58
Абсолютно сходящийся ряд 23, 28
— сходящиеся произведения 39, 40
Адамар (Hadamard) 56
Алгебраический комплекс 177
Аналитическая кривая 89
— поверхность 93
— функция 87
Аналитическое продолжение 64
Антикаустика 177
Аппель (Appell) 179
Арнд (Arndt) 34.
Аро (Наго) 110
Асимптотические касательные 191
— линии 194, 196, 197
Балитран (Balitrand) 180
Бесконечные произведения 38
Бельтрами (Beltrami) ^31
Бернулли Даниил (Daniel Bernoulli) 18,
165, 166
Бернштейн С. Н. 88
Бинормаль 154
Боннэ (Bonnet) 209, 210, 217
Борда (Borda) 110
Буке (Bouquet) 160, 172
Бур 217
Бура теорема 217
Вейерштрасс (Weierstrass) 83, 108
Вейерштрасса теорема 108, 111
Винтовая линия 164, 216
круговая 148
Вторичная каустика 118, 177
Выпуклая поверхность 186
Гармонический ряд 52
Гаусса теорема 222
Гауссова кривизна 213
Геликоид 196, 202, 206, 216
Географические карты 226
Геодезическая кривизна 220
Геодезические линии 220
Геодезическое кручение 209
Гиперболоид 208
Гипоциклоида 117
Главная нормаль 151
Главные радиусы кривизны 189,191, 206
— радиусы кривизны геликоида 206
— касательные 191
— направления 191
— нормальные сечения 189
Горловая линия 171
Даламбер (d'Alembert) 11
Дарбу (Daiboux) 142, 181, 208, 229
Двойная точка 91
Действительные бесконечные произве-
произведения 42
Диференциальное уравнение разверты-
развертывающихся поверхностей 123
Дополнительная кривая 180
Дуга правильная 89
Дюбуа-Реймон (du Bois Reymond) 19-
Дюгамель (Duhamel) 19
Дюпен (Dupin) 176, 207
Дюпена теорема 207, 210
Естественное уравнение 160, 16L
Жаме (Jaraet) 196
Жергонн (Gergonne) 176
Жордан (Jordan) 37
Изолированные точки кривой ЭЗ1
Индикатриса 189
— сферическая 148
Интегрирование целого ряда 60
Иоахимсталь (Ioachimsthal) 207
Иоахимсталя теорема 205, 210
Касательная плоскость в бесконечно
удаленной точке образующей 169
Касательная стационарная 146
Касательные асимптотические 191
— главные 191
*) Подробный указатель ко всему .Курсу математического анализа" Э. Гурсз
будет дан в конце III тома.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
233
Касательные сопряженные 198
Каустики вторичные 118, 177
Кенигс (Koenigs) 229
Кеплер (Kepler) 87
Кетле (Quetelet) i76
Комплекс (прямых) 168, 177
— алгебраический 177
— линейный 178
Конгруэнция (прямых) 168, 172
— линейная 174
— нормалей 174
Коноид 196, 197
Конус направляющий 148
Конформное преобразование 223
— соответствие между пло-
плоскостями 225
Коши (Cauchy) 13, 14, 25, 36, 56, 70, 81,
176, 180
Коши теорема 14, 36, 44, 49
Кривые аналитические 89
— Бертрана 166, 180
— двойной кривизны 143 и ел.
— дополнительные 180
— комплекса 177
— левые 156
— огибаемые 112
— огибающие 112
— плоские 90
— правые 156
— присоединенные 180
— развертывающие 118, 162
— соприкасающиеся 131, 132, 137
— спрямляемые 164
Кривизна кривых на поверхности 182
— полная 222
Круговая винтовая линия 148
Круг кривизны 132, 151
Кручение 153, 154
Лагерр (Laguerre) 229, 231
Лагранж (Lagrange) 48, 85, 86, 12Э, 169
Ланкре (Lancret) 221
Лаплас (Laplace) 85
Лебег'(Lebesgue) 108, 111, 218.
Левая кривая 156
Лежандр (Legencire) 73
Лежен-Дирихле (Lejeune-Dirichlet) 25,
97
Лемэр (Lemaire) 73
Лепная поверхность 212
Линейная конгруэнция 174
Линейный комплекс 178
Линейчатая поверхность 168, 212
Линия винтовая 164, 216
— горловая 171
— кривизны 200, 206, 209, 210
— сжатия 171
Лион (Lyon) 166
Логарифмические признаки сходи-
сходимости 17
Локсодромы 227
Мажоранта 65, 78
Маклорен (Madaurin) 47
Малюс (Malus) 176.
Малюса теорема 176
Мангейм (Mannheim) 180, 211
Менье (Meusnier) 182
Менье теорема 182, 185, 210
Мертенс (Mertens) 29
Меркатора проекция 227
Монж (Monge) 166, 208
Наибольший из пределов 13, 56
Налагающиеся поверхности 214
Неявная функция 80
Нормаль главная 151
Область сходимости 54, 55, 73
Обращение рядов 87
— функций 87
Обыкновенная точка кривой 89, 94
поверхности 93, 94
Огибаемая кривая 112
— прямая 116
Огибающая кривая 112
— прямой линии 116
— окружности 117
— семейства кривых двойной кри-
еизны 124
— поверхность 119
— сферы 211
Окружность соприкасающаяся 132, 138
Омбиликальная точка 192
Определитель бесконечного порядка 45
Ортогональные функции 107
Основной трехгранный угол 155
Основные квадратичные формы 187,
188
Особая точка кривой 89
поверхности 192, 193
Остаточный член в формуле. Тейлора
по Коши 50
— по Лагранжу 48
Параболическая точка 186, 192
Параболоид 203, 208
Параметр распределения 170
Пеано (Реапо) 146
Пелле-(Pellet) 180
Пикар (Picard) 179
Плоские кривые 90
Плоскость касательная 169
— соприкасающаяся 122, 123, 143
— фокальная 174
— центральная 170
Поверхности аналитические 93
— выпуклые 186
— Жаме 196
— лепные 212
— линейчатые 168, 212
— переноса 200
— полярные 153, 1G2

234
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поверхности развертывающиеся 121
— соприкасающиеся 140
— трубчатые 176, 211
— фокальные 172
Подстановка ряда в ряд 67, 79
Полиномы Лежандра 73, 107
Полусходящиеся ряды 25
Полюсы комплекса 178
Полярная поверхность 153,162
— прямая 153
Порядок прикосновения кривых двой-
двойной кривизны 136
— кривой с поверхностью 139
— плоских кривых 129
Правая кривая 156
Правильная дуга 89
— точка 97
Призматоид 78
Признаки сходимости рядов:
Гаусса 22 — 23
Даламбера 11
Дюгамеля 19
.— — Коши 11
— — логарифмические 17
Раабе 19
Прикосновение кривых двойной кри-
кривизны 134
— плоских кривых 127
— кривых с поверхностью 138
Прингсгейм (Piingsheim) 19, 44
Присоединенная кривая 180
Прямой геликоид 217
Прямые огибаемые 116
— полярные 153
— сопри асающиеся с кривой 132, 137
с поверхностью 140
Пуанкаре (Poincare) 65
Пюизе (Puiseux) 166
Раабе (Raabe) 19
Равномерная сходимость 37
Равномерно сходящиеся произведе-
произведения 41
Радиус кривизны кривой двойной кри-
кривизны 150
Радиусы кривизны главные 189
Радиус кручения 154
Развертки кривой двойной кривизны
162
— плоской кривой 118
— поверхности 203
Развертывающая кривая 118, 162
Развертывающиеся поверхности 121
Разложение в ряды непрерывной фун-
функции 108
Распространение формулы Тейлора 63
Ребро возврата 122
Риман (Riemarm) 25
Родриг Олинд (Olinde Rodrigues) 205
Рукз (Rouquet) 179
Ряд Борда ПО
Ряд Гаро ПО
Ряды абсолютно сходящиеся 23, 28
— двойные 30
— знакопеременные 23
— знакоположительные 10, 11, 12
— кратные 35, 37
— полусходящиеся 25
— равномерно сходящиеся 37
—. с мнимыми членами 28
— Тейлора 47
— тригонометрические 95 и ел.
— условно сходящиеся 25
— Фурье 95, 96
— целые 54, 56, 73, 75
Сеть сопряжённая 199
Серре (Serret) 180
Соприкасающаяся окружность 132, 138
— плоскость 122,123,143
— поверхность 140
— прямая 132,137
— сфера 140, 167
Соприкасающиеся кривые 131, 132, 137
— прямые с поверхностью 140
Соприкасающийся круг 132, 138
— шар 140,167
Сопряженная сеть 199
— касательная 198
Сопряженные линии 198
— прямые комплекса 178
Спрямляемая кривая 164
Спрямляющая плоскость 221
Стационарная касательная 146
— соприкасающаяся плоскость 145
Стереографическая проекция 227
Сфера соприкасающаяся 140,167
Сферическая индикатриса 148
Сферическое изображение 213
Сходимость абсолютная 23, 28
— равномерная 37
Сходимости область 54, 55, 73
Сходящиеся произведения 41
Таблица с двойным входом 31
Таннери (Tannery) 35
Тор 176, 211, 214, 228
Точки возврата 93
— гиперболические 186
— двойные 91
— округления 192
— особые 186
— параболические 186, 192
— правильные 97
— фокальные 173
— центральные 170, 171
— эллиптические 186
Тригонометрические ряды 95 и ел.
Тройная ортогональная система 207
Трубчатые поверхности 176, 211

АЛФАВИТНЫЙ -УКАЗАТЕЛЬ
235
Умножение рядов 29, 57
Уравнение диференциальное развер-
развертывающихся поверхностей 123
— естественное 160, 161
— Кеплера 87
— огибающей 113
Усиливающие функции 65, 78
Условия Дирихле 97, 106
Фокальная плоскость 174
— поверхность 172
— точка 173
Фокусы комплекса 178
Формула Бельтрами 231
— Лагерра 229
— Лагранжа'86
— Маклорена 47, 49
— Родрига 205, 213
— Тейлора 47, 63, 776
— Френе 157, 158
— Эйлера 190, 210
— Эннепера 231
Френе (Frenet) 157
Функция с ограниченным изменением
106, 107
— удовлетворяющая условиям Дири-
Дирихле 103
— усиливающая 78
Фурье (Fourier) -95
Характеристика 119
Центральная плоскость 170
— точка 170, 171
Центры кривизны кривой двойной кри-
кривизны 151
кривой плоской 151
Циклида Дюпена 211
Целчеряды с многими переменными
73, 75
с одним переменным 54 и ел.
Чезаро (Cesaro) 180
Шар соприкасающийся 140, 167
Шелль (Shell) 180
Эвольвента 118, 162
Эволюта 118, 162
Эллипсоид 208
Эннепер (Eunleper) 231
Эйлерово постоянное 52
Эйлер (Euler) 95, 185, 189
Эйлера теорема 189