ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ
и. м. цидильковский
ТЕРМОМАГНИТНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА I960

Термомагнитные явления, открытые более 80 лет
назад, до сих пор почти не использовались для иссле¬
дования свойств вещества. Однако, как показал в
последнее время автор настоящей монографии, они
могут служить новым ценным методом комплексного
исследования полупроводников. Автором детально раз¬
работана теория термомагнитных явлений, открыт
новый, так называемый продольно-поперечный эффект и
произведено исследование многих практически важ¬
ных полупроводников для проверки и развития тео¬
рии. Описываемый метод открывает новые ценные воз¬
можности в исследовании полупроводников; он без¬
условно найдет широкое применение в ближайшие го¬
ды. Книга является первой в мировой литературе моно¬
графией по этому важному вопросу.
Рассчитана на студентов, аспирантов, научных
и инженерно-технических работников, связанных с ис¬
следованием, производством и использованием полупро¬
водников и полупроводниковых приборов.
Цидильковский Исаак Михайлович,
Термомагнитные явления в полупроводниках.
Редактор Б, Л. Лившиц,
Техн. редактор К. Ф. Брудно,	Корректор 3, В. Автонеево,
Сдано в набор 15/VII 1960 г. Подписано к печати 16/XI 1960 г.
Бумага 84x108/32. Физ. печ. л. 12,375. Условн. печ. л. 20,30. Уч.-изд. л.
20,36. Тираж 10 000 экз. Т-08990. Цена книги 11 р. 70 к. С 1/1 1961 г.
цена 1 р. 17 к. Заказ 472
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 5 Мосгорсовнархоза.
Москва, Трехпрудный пер., 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 5
Введение	 7
Глава I. Основные характеристики термомагнитных явлений 10
§ 1. Определения основных характеристик термомагнит¬
ных эффектов	 10
§ 2. Краткий обзор литературы по термомагнитным
явлениям	 14
Г л а в а	II. Теория термомагнитных	явлений	 22
§ 3. Предварительные замечания	 22
§ 4. Кинетическое уравнение	 41
§ 5. Время релаксации	 58
§ 6. Изотермические эффекты (Примесная проводимость)	96
§ 7. Изотермические эффекты (Смешанная проводимость)	ИЗ
§ 8. Изотермические эффекты (Влияние диффузионных
процессов)	 119
§ 9. Эффект Нернста—Эттингсгаузена в полупроводнике
с примесной полосой	 126
§ 10. Адиабатические эффекты	 133
§11. Термомагнитные явления в случае анизотропного
квадратичного закона дисперсии	 145
§ 12. Качественный анализ термомагнитных явлений . .	152
§ 13. Роль эффектов увлечения	 159
Изотропный квадратичный закон дисперсии	159
Анизотропный квадратичный закон дисперсии	186
§ 14. Влияние вырождения электронного газа	 200
Глава	III. Экспериментальные исследования	 213
§ 15. Методика измерений	 213
§ 16. Полупроводники-элементы	 222
Теллур	 224
Германий	 233
§ 17. Соединения типа AIHBV	 274
Антимонид индия	 274
Арсениды индия и галлия	 298

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 18. Соединения тина AUBVI	 299
Селенид ртути	 300
Теллурид ртути	 321
§ 19. Соединения типа AIVBVI	 334
Группа PbS	 334
§ 20. Соединения типа AVBVI	 347
Селенид висмута	 347
§ 21. Соединения типа Ai В^1	 356
Теллурид серебра	 356
§ 22. Окислы металлов	 365
Закись меди	 365
Окись кадмия	 368
Окись цинка	 372
Заключение	 383
Литература	 390

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные особенности полупроводников, которые отли¬
чают их от металлов и диэлектриков и позволяют все
более широко применять в технике, обусловлены главным
образом свойствами носителей тока. Поэтому детальное
исследование их поведения в кристалле является важней¬
шей задачей физики полупроводников.
Среди методов, применяемых для изучения свойств
носителей тока в полупроводниках, одним из наиболее
важных является исследование гальвано- и термомагнит¬
ных эффектов. Примерно за сто лет, прошедших со вре¬
мени открытия этих явлений, им было посвящено большое
количество работ. Основное внимание исследователи уде¬
ляли гальваномагнитным явлениям, главным образом
эффекту Холла и изменению электропроводности в маг¬
нитном поле, в то время как термомагнитные эффекты
в полупроводниках до последних нескольких лет практи¬
чески не изучались.
В 1952 г. А. Ф. Иоффе указал на необходимость прове¬
дения широких исследований термомагнитных явлений
в полупроводниках. Отмечая, что подобные исследования
отсутствуют, он подчеркнул в своей монографии [1а],
что они явились бы важным средством изучения свойств
полупроводников.
В настоящей монографии впервые делается попытка
систематизировать и обобщить накопленный в основном за
последние 5—6 лет экспериментальный и теоретический ма¬
териал по термомагнитным явлениям в полупроводниках.
Цель ее—показать, что термомагнитные явления могут дать
чрезвычайно важные сведения о природе взаимодействия
носителей тока с кристаллической решеткой, которые
в ряде случаев нельзя получить из других исследований,

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
в том числе и из гальваномагнитных. Монография
в значительной мере является результатом эксперимен¬
тальных и теоретических исследований автора в области
термомагнитных эффектов в полупроводниках. В ней
использованы советские и зарубежные работы, опублико¬
ванные до 1960 г.
В первой главе приводятся основные определения
характеристик термомагнитных явлений и краткий обзор
литературы, посвященный их исследованию.
Во второй главе излагается кинетическая теория термо¬
магнитных явлений в полупроводниках.
Третья глава посвящена анализу экспериментальных
исследований термомагнитных явлений в полупроводни¬
ках различных типов. В ней содержится краткое описание
основных особенностей методики термомагнитных изме¬
рений. На протяжении всей главы проводится детальное
сравнение экспериментальных данных с теорией.
Монография написана по инициативе А. Ф. Иоффе
и В. П. Жузе, которым автор выражает глубокую благо¬
дарность. Автор также искренне признателен С. В. Вон-
совскому и В. П. Жузе за многочисленные полезные советы.
И. Цидилъковский
Свердловск,
январь 1960 г.

ВВЕДЕНИЕ
В последнее десятилетие проблемы полупроводников
заняли одно из центральных мест не только в физике твер¬
дого тела, но и во всей современной физике. Быстрое раз¬
витие этой области науки связано с особыми физическими
свойствами полупроводников, позволяющими эффективно
использовать их в электро- и радиотехнике, в автоматике,
сигнализации, теплотехнике и энергетике. Дальнейший
прогресс в развитии полупроводниковой техники требует
глубокого и всестороннего исследования физических
свойств полупроводниковых материалов. Чрезвычайно
важной является проблема изыскания новых материалов
с требуемыми свойствами. Для успешного ее решения
нужно, с одной стороны, более детально изучить те полу¬
проводники, которые применяются уже в той или иной
области техники, с другой — расширить фронт исследо¬
ваний на материалы, которые в настоящее время еще не
получили технического применения.
Среди физических свойств полупроводников наиболее
важными и интересными являются электрические и тепло¬
вые свойства. Для изучения их используются различные
по характеру явления, которые можно разбить на три
группы: 1) статические, 2) кинетические и 3) релаксацион¬
ные. Статические характеристики (теплоемкость, стати¬
ческая диэлектрическая проницаемость и т. п.) исследуются
в условиях, когда тело находится в равновесном состоянии.
Кинетические и релаксационные явления — это процессы,
протекающие в неравновесных системах при приближении
их к равновесию. Скорость кинетического или релакса¬
ционного процесса характеризуется временем релаксации,
то есть временем установления термодинамического рав¬
новесия.

8
ВВЕДЕНИЕ
К кинетическим явлениям относятся медленные необра¬
тимые процессы (теплопроводность, диффузия, термо¬
электрические, гальваномагнитные явления и т. п.),
то есть такие, время релаксации которых велико по срав¬
нению с временем между двумя микроскопическими изме¬
нениями — столкновениями частиц системы. Исследуе¬
мый равновесный макроскопический эффект наблюдается
после многочисленных актов столкновения. Кинетические
явления представляют собой, таким образом, процессы
стационарные.
Релаксационными явлениями назовем быстро проте¬
кающие процессы (установление электрического тока во
внешнем электрическом поле, поглощение света, люми¬
несценция и т. п.), время релаксации которых порядка
времени между двумя столкновениями. Эти явления воз¬
никают во внешних переменных полях, частота которых
больше частоты столкновений между частицами системы.
Поэтому релаксационные явления представляют собой
нестационарные процессы.
Для изучения природы какого-либо явления исследо¬
ватель вынужден пользоваться внешними воздействиями:
давлением, нагревом, облучением и т. п. Естественно, что
для исследования поведения коллектива движущихся
заряженных частиц в твердом теле удобно пользоваться
магнитным полем. В сочетании с электрическим или тепло¬
вым полем магнитное поле приводит к возникновению ряда
явлений — гальвано- и термомагнитных,— которые по¬
зволяют определить важнейшие характеристики полупро¬
водника. Исследование некоторых явлений в магнитном
поле дает возможность обнаружить такие общие свойства
вещества, которые не зависят от конкретной структуры
образца, в частности, от характера межкристаллических
прослоек, вкраплений, микротрещин и других неоднород¬
ностей, существенно искажающих результаты измерений
в отсутствие магнитного поля. Известно, например, что
электропроводность поликристалла в значительной мере
определяется количеством и природой переходных слоев
между кристаллическими зернами. А эффект Холла, как
показали исследования окиси цинка и других полупровод¬
ников, нечувствителен к неоднородностям подобного
типа.

ВВЕДЕНИЕ
9
Изучение явлений переноса электричества и тепла
в чистых монокристаллах, помещенных в магнитное поле,
должно дать ценные сведения об энергетическом спектре
носителей тока и фононов, о характере их взаимодействия
и о ряде других важных характеристик микропроцессов,
протекающих в твердом теле.
Как показали многочисленные теоретические и экспе¬
риментальные работы, исследования гальваномагнитных
и термомагнитных эффектов являются одним из важней¬
ших методов изучения полупроводников, который, с одной
стороны, позволяет получить сведения качественного
характера о носителях тока, взаимодействии их с решеткой
и т. д., с другой — возможность вычислять важнейшие
параметры полупроводника: концентрацию, эффективную
массу, длину свободного пробега носителей тока, состав¬
ляющие теплопроводности, обусловленные движением
электронов и фононов и т. д.
В настоящей монографии рассматриваются только
термомагнитные явления в полупроводниках.

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОМАГНИТНЫХ
ЯВЛЕНИЙ
§ 1. Определения основных характеристик
термомагнитных эффектов
Явления, возникающие при внесении электронного
проводника, вдоль которого имеется градиент темпера-
дТ	тт
туры ^, в поперечное магнитное поле #2, получили
название термомагнитных.
Как и в случае гальваномагнитных явлений, у кото¬
рых в отличие от термомагнитных первичным является
не тепловой, а электрический ток, различают поперечные
(нечетные) и продольные (четные) эффекты. Поперечными
называются эффекты (разности потенциалов AV или
температур АТ), возникающие в направлении, перпенди¬
кулярном первичному потоку тепла W (рис. 1, а), про¬
дольными — эффекты, возникающие в направлении, па¬
раллельном первичному потоку тепла (рис. 1, б). В про¬
дольном магнитном поле, то есть в поле, параллельном
потоку тепла, термомагнитные эффекты в изотропных полу¬
проводниках *) не возникают.
Обычно различают четыре термомагнитных явления:
два поперечных и два продольных. Поперечный эффект
Нернста — Эттингсгаузена заключается в появлении попе¬
речной разности потенциалов; эффект Риги — Ледюка —
*) Под изотропными мы здесь понимаем полупроводники, у кото¬
рых эффективные массы m и времена релаксации т носителей тока
не зависят от направления и выражаются скалярами, а це тен¬
зорами (см. § 3).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
И
§ О
в появлении поперечной разности температур; продольный
эффект Нернста — Эттингсгаузена — в возникновении
продольной разности потенциалов, или, что то же,—
в изменении термоэлектродвижущей силы в магнитном
поле; эффект Маджи — Риги — Ледюка — в появлении
продольной разности температур, соответствующей изме¬
нению теплопроводности в магнитном поле (см. табл. 1).
Таблица 1
Поперечные эффекты
Продольные эффекты
Поперечный эффект Нернста —
Эттингсгаузена— попереч¬
ная разность потенциалов
Эффект Риги — Ледюка— по¬
перечная разность темпе¬
ратур
Продольный эффект Нернста —
Эттингсгаузена — продольная
разность потенциалов (изме¬
нение термоэлектродвижущей
силы)
Эффект Маджи —Риги — Ледю¬
ка — продольная разность тем¬
ператур (изменение теплопро¬
водности).
Первый и третий эффекты были обнаружены Нерн-
стом и Эттингсгаузеном на пластинке висмута в 1886 г. [2],
второй и четвертый — Риги и Ледюком независимо друг
от друга в 1887 г. [3, 4] также на висмуте.
Все названные эффекты могут быть математически
описаны с помощью следующих формул.
Поперечный эффект Нернста-Эттингсгаузена (рис. 1, а):
ал)
Эффект Риги—Ледюка (рис. 1, а):
(1.2)
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена (изме¬
нение термоэдс в магнитном поле) (рис. 1,6):
(1.3)

12
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. I
Эффект Маджи — Риги — Ледюка (изменение теплопро¬
водности в магнитном поле) (рис. 1,6):
(1.4)
Здесь Ех, Еу — составляющие электрического поля,
возникающего в присутствии магнитного поля, вдоль осей
X та. у, Ех (Я) и Ех(0) —
электрические поля вдоль
оси х при наличии и в
отсутствие магнитного по¬
ля соответственно, Q-*- и
(^ — коэффициенты попе¬
речного и продольного эф¬
фектов, а (Я) и а (0) —
коэффициенты термоэдс
при Я Ф 0 и Я = 0,
S — коэффициент эффекта
Риги — Ледюка, Х0 и
Хн — величины теплопро¬
водности в отсутствие и
при наличии магнитного
поля
коэффициент эффекта
Маджи — Риги — Ледюка,
характеризующий отно¬
сительное изменение те¬
плопроводности в магнит¬
ном поле,
градиенты температуры
в направлении осей хну.
Эффект Риги — Ледюка можно трактовать как поворот
теплового потока по отношению к градиенту температуры
(по аналогии с эффектом Холла, который рассматривают
как поворот электрического тока по отношению к пер¬
вичному полю), причем угол поворота О, если он мал,
Рис. 1. Схема опытов по измере¬
нию термомагнитных эффектов:
а) — поперечные эффекты: Нернста —
Эттингсгаузена (AV) и Риги — Ледюка
АТ); б) — продольные эффекты: Нерн-
(ста — Эттингсгаузена (Д V) и Маджи —
Риги — Ледюка (AT); W — тепловой по¬
ток, Я — магнитное поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
13
§ О
определяется, как следует из (1.2), формулой
(1.5)
Поперечный эффект считается положительным, если
при наличии положительного градиента температуры
в направлении оси х и магнитного поля в направлении
оси z возникает электрическое поле (Е ) *) или градиент
(ЗТ 4	^
j в направлении оси у (правая система
координат). Как будет показано ниже, эффект Риги —
Ледюка положителен для дырочного полупроводника
и отрицателен для электронного. Знак поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена не зависит от вида носителей
тока.
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена усло¬
вимся считать положительным, если термоэлектрическое
поле Ех(0) в магнитном поле возрастает по абсолютной
величине, то есть | Ех (Я) | — | Ех (0) | > 0, и отрицатель¬
ным, если | Ех (Я) | — | Ех (0) | < 0. Знак эффекта Маджи —
Риги — Ледюка определяется непосредственно из формулы
(1.4).
В заключение отметим, что следует различать изотер¬
мические и адиабатические термомагнитные эффекты.
Изотермическими называются эффекты, которые изме¬
ряются в условиях, когда отсутствуют поперечные, в на¬
правлениях осей у и z, градиенты температуры; адиабати¬
ческими называются эффекты, при измерении которых от¬
сутствуют поперечные потоки тепла. Таким образом, эффект
Риги —Ледюка является по определению только адиаба¬
тическим, остальные эффекты могут быть как изотерми¬
ческими ^	^ = 0^ , так и адиабатическими
(Wy = Wz = 0).
*) В таблицах Ландольта — Бернштейна [123] и некоторых дру¬
гих справочниках знак постоянной Q-L определяется согласно усло¬
вию, противоположному введенному Зоммерфельдом [5] и приня¬
тому нами.

14
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. I
Вычисление термомагнитных коэффициентов, которые
феноменологически определяются уравнениями (1.1) —
(1.4), представляет собой предмет микроскопической тео¬
рии, изложению которой посвящена вторая глава.
§ 2. Краткий обзор литературы по термомагнитиым
явлениям
В этом параграфе будут кратко изложены основные
результаты теоретических и экспериментальных исследо¬
ваний термомагнитных явлений в полупроводниках,
полученные в основном до 1950 г. Результаты большин¬
ства работ, опубликованных после 1950 г., будут более
подробно рассмотрены во второй и третьей главах.
Обратимся сначала к экспериментальным исследова¬
ниям.
Ллойд [6] и Уолд [7] изучали термомагнитные эффекты
на теллуре *). Уолд использовал литые образцы, в кото¬
рые вплавлялись электроды и термоспаи. Градиент тем¬
пературы в образце создавался при помощи одного лишь
нагревателя — холодильник отсутствовал. Такая схема
измерений обладает двумя недостатками: во-первых, за¬
трудняется поддержание необходимой разности темпера¬
тур, которая определяется величинами теплопроводности
исследуемого и теплоизолирующего материалов (Уолд
применял листовой асбест) и геометрией установки, и,
во-вторых, измерения ограничиваются областью высоких
температур. Теплопроводность в магнитном поле измеря¬
лась методом температурных волн **). На кривой темпера¬
турной зависимости поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена, измеренного в интервале 30—420° С,
*) На работе Ллойда мы останавливаться не будем, так как
измерения Уолда, проведенные значительно позже, являются более
полными и тщательными.
**) Метод температурных волн заключается в следующем. Один
конец образца, изготовленного в виде стержня, периодически нагре¬
вается. Тепловой поток, распространяющийся вдоль образца, перио¬
дически изменяет температуру в каждой точке его. По изменениям
температур, измеряемых в нескольких точках стержня, можно оп¬
ределить температуропроводность образца, а затем, используя значе¬
ния теплоемкости, можно вычислить его теплопроводность.

КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
15
§ 2]
обнаружен минимум при ^+Ю0°С; минимальное значе¬
ние Q^ =—0,38 ед. CGSM. Ллойд [6] приводит для +33° С
значение (?-!=—0,36 ед. CGSM. Эффект Риги — Ледюка
измерен Уолдом только при одной температуре Т= -(-114° С,
причем измерения дали 6'=6,5*10“6 эрстео’1. Ллойд при
+34° С нашел, что S=4- 10~в эрстед’1. Теплопроводность
теллура при +45° С уменьшалась, по данным Уолда,
в магнитном поле напряженностью в 6650 эрстед на 19%.
Ллойд при /7=4700 эрстед обнаружил уменьшение тепло¬
проводности на 10%. Попытки Уолда измерить продоль¬
ный эффект Нернста — Эттингсгаузена в теллуре оказа¬
лись безуспешными из-за малой величины эффекта.
О чистоте теллура, использованного Уолдом, можно
судить по приводимым им данным для эффекта Холла:
при +27° С концентрация дырок, которая примерно равна
концентрации акцепторов, составляла ^1*1017 см~3.
Смит [8, 9] измерял поперечные термомагнитные
эффекты у сплавов Zn—Sb, Cd—Sb и Bi—Sb и изучал
их зависимость от состава. При содержании 50 ат. % Sb
у Zn—Sb и Cd—Sb наблюдался резкий пик графика
«(?±—состав», у Bi—Sb изменение коэффициента QJL в зави¬
симости от процентного содержания компонентов оказа¬
лось плавным: он уменьшался от значения, соответствую¬
щего Bi, до значения, соответствующего Sb. Пики
у сплавов Zn—Sb и Cd—Sb и соответствуют образованию
полупроводниковых соединений ZnSb и CdSb, у которых
эффект Нернста — Эттингсгаузена значительно больше,
чем у металлов. Об образовании валентного соединения
свидетельствует также резкое возрастание сопротивления
для этого состава по сравнению с остальными, чего не
наблюдается у сплавов Bi—Sb. У ZnSb при комнатной
температуре(Н=—2,6-10'2 ед. CGSM, у CdSb Q±=— 2,4х
ХЮ'2 ед. CGSM.
Приведенные в работе [9] зависимости эффекта Риги —
Ледюка от содержания компонентов у сплавов Zn—Sb,
то есть графики «S—состав», не обладают никакими анома¬
лиями. Это может объясняться, с одной стороны, относи¬
тельно небольшим различием между значениями коэффи¬
циента S у полупроводников и металлов, с другой стороны,
малостью самого эффекта Риги — Ледюка, не позволив¬
шей измерить его с достаточной точностью,

16
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. I
Бакли [И] и Готштейн [12] исследовали поперечный эф¬
фект Нернста—Эттингсгаузена в кремнии. Условия опыта
в [И] совсем не описаны, а в [12] описаны чрезвычайно
сжато. Бакли указывает лишь, что его образцы Si содер¬
жали несколько процентов примесей (Fe, А1 и др.), то есть
были далеки от современных требований к чистоте крем¬
ния. У Бакли при +50° С (Д =—0,011-4—0,020 ед. CGSM,
у Готштейна при -(-48° С (Д = — 0,033 ед. CGSM.
Следует отметить, что по знаку и по порядку величины эти
значения (Д соответствуют тому, что можно ожидать для
кремния с большим содержанием примесей. Для постоян¬
ной Риги — Ледюка у кремния Готштейн получил
6,=2,97-10'7 эрстед"1.
Литтл [13] исследовал термомагнитные эффекты у
мышьяка. Пластинка мышьяка была получена возгонкой
в вакууме. В магнитном поле /7=8000 эрстед измене¬
ния теплопроводности не удалось обнаружить. Было
найдено, что при +20° С (Д =—2,25-10“3ед. CGSM,
£=4,15-10"7 эрстед"1.
М. М. Носков [14] исследовал поперечный эффект
Нернста — Эттингсгаузена на хорошо проводящих (сле¬
довательно, с большим содержанием примесей, в данном
случае — с избытком кислорода) образцах закиси меди.
Электропроводность образцов варьировалась в пределах
1,5* 10~2—4,2-Ю"3 ом"1-см"1. При установившемся гра¬
диенте температуры между поперечными электродами
измерялась разность потенциалов термоэлектрического
происхождения, обусловленная тем, что электроды рас¬
положены не на одной эквитемпературной поверхности.
Включение магнитного поля приводило к изменению ука¬
занной разности потенциалов, которое по определению
и представляет собой величину поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена. Было найдено, что в интервале
+35-н +75° С	При комнатной температуре
<?1^+2,5.10'3 ед. CGSM.
Следует отметить, что примененный М. М. Носковым
метод отсчета «от нуля» может приводить к заметным
погрешностям. Действительно, при наличии между элек¬
тродами некоторой начальной разности температур вклю¬
чение магнитного поля должно привести к появлению
между ними дополнительной разности потенциалов (про-

КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
17
Ъ 2]
дольный эффект Нернста — Эттингсгаузена), которая
сместит «нулевую точку», то есть значение термоэдс в
отсутствие магнитного поля. Связанные с этим погреш¬
ности могут в закиси меди в обычных условиях экспери¬
мента составлять несколько процентов. Для полупровод¬
ников с большими подвижностями носителей тока ошибки
становятся столь значительными, что пользоваться ука¬
занным методом совершенно нельзя. Измерения следует
производить, как и для эффекта Холла, при двух противо¬
положных направлениях магнитного поля, а значение
разности потенциалов Нернста — Эттингсгаузена — вычис¬
лять как полусумму (или полуразность) двух отсчетов.
Недостатком методики, примененной в работе [14],
является также неизменность температуры холодильника,
что, с одной стороны, ограничило температурный интервал
исследований, с другой — привело к необходимости про¬
водить эксперимент при больших градиентах температуры.
В 1948 г. появилась небольшая заметка [15], в которой
сообщалось об измерении поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена в теллуре. Согласно наблюдениям постоян¬
ная Q-L достигает максимального значения при +130° С
и ничтожно мала при температурах ниже +30° С и выше
+300° С.
Напрессованных образцах молибденита (MoS2) А. А. Ба¬
баев [16] измерял зависимость эффекта Маджи — Риги —
Ледюка от температуры. Наибольшее уменьшение тепло¬
проводности отмечено при +145° С: при 7800 эрстед
А ^16%. Столь большие изменения теплопроводности в
сернистом молибдене, с одной стороны, противоречат тео¬
рии, с другой — не подтверждаются новыми эксперимен¬
тами [17, 18]. Это, кстати, относится и к результатам
Уолда [7] для теллура. Ошибочные результаты работы
А. А. Бабаева обусловлены серьезными погрешностями
эксперимента и его обработки: боковые потери тепла от
образца в несколько раз превосходили первичный тепло¬
вой поток через образец; в рассчитанные значения А
включались инерционные изменения температуры, не
имеющие отношения к исследуемому эффекту, а связанные
лишь с несовершенством измерительной установки.
В последние годы был опубликован ряд эксперимен¬
тальных исследований термомагнитных эффектов в
2 И. М. Цидильковский

18
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. I
полупроводниках [18—33, 100, 109, 110, 128, 156, 175],
результаты которых будут подробно обсуждены в третьей
главе.
Теория термомагнитных явлений в полупроводниках
разрабатывалась рядом авторов [5, 34—56, 83, 84, 87, 103,
107, 130, 131, 175].
В работах Зоммерфельда [5] и Зоммерфельда и Франка
[34] впервые рассматриваются термомагнитные явления
на основе модели электронного газа. Рассчитаны попереч¬
ные эффекты как для статистики Максвелла, так и для
статистики Ферми — Дирака. Выведены формулы для
адиабатического и изотермического эффектов Нернста —
Эттингсгаузена. Из формул, приводимых в работе [34]
для случая классической статистики, следует, в частности,
-L 15 JL
что Q^ = g- Q. Однако, несмотря на то, что расчет
в [34] произведен и для классической статистики, фор¬
мулы для адиабатических эффектов нельзя применять
к полупроводникам, как это делает, например, Н. Л. Пи¬
саренко [37], пытаясь объяснить сравнительно большое
значение (7-L у кремния *). Действительно, выражения для
и S получены в предположениях, что перенос тепла
осуществляется одними лишь электронами проводимости
и что концентрация их постоянна и не зависит от темпера¬
туры. Для полупроводников ни первое, ни второе пред¬
положения, вообще говоря, неверны: роль кристалличе¬
ской решетки в переносе тепла обычно значительно больше,
чем роль носителей тока, а концентрации последних в
большинстве случаев существенно зависят от температу¬
ры [16].
Теория Зоммерфельда, содержащая в своей основе
предположение о независимости длины свободного пробега
электрона от его энергии, дала возможность объяснить
лишь положительный знак эффекта Нернста — Эттингс¬
гаузена, но не позволила выяснить причины часто наблю¬
даемого отрицательного знака эффекта.
*) Н. Л. Писаренко ошибочно считал, что эффект Нернста —
Эттингсгаузена у кремния, исследованного Готдатейном [12], имеет
положительный зцак.

КРАТКИЙ ОЁЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
19
§ 2]
Для примесного полупроводника с анизотропной эффек¬
тивной массой электронов проводимости М. П. Брон¬
штейн [35] получил формулу поперечного изотермического
эффекта Нернста — Эттингсгаузена, которая в изотропном
случае совпадает с формулой Зоммерфельда. При выводе
формул для адиабатических эффектов Бронштейн наряду
с электронной теплопроводностью учел теплопровод¬
ность решетки, вследствие чего полученная им постоянная
Риги — Ледюка отличается от зоммерфельдовской [34]
на множитель А,ЭА, где К — общая теплопроводность
кристалла.
Б. И. Давыдов и И. М. Шмушкевич [36] рассчитали
поперечный изотермический эффект Нернста — Эттингс¬
гаузена для атомных и ионных полупроводников со сме¬
шанной проводимостью.
Н. Л. Писаренко [37, 38] несколько ранее рассмотрел
тот же эффект у полупроводников и металлов. Он проана¬
лизировал возможные причины возникновения эффекта
Нернста — Эттингсгаузена отрицательного знака. Анализ
показал, что отрицательным этот эффект может быть как
у полупроводников со смешанной проводимостью, так
и у примесных полупроводников. В последнем случае
это возможно, если длина свободного пробега носителей
тока пропорциональна скорости в степени более высокой,
чем первая. Н. Л. Писаренко показал, что отношение
постоянных Нернста — Эттингсгаузена у полупроводни¬
ков и металлов по порядку величины равно
где им , ип — подвижности электронов в металле и полупро¬
воднике, к —• постоянная Больцмана, р, — энергия Ферми
(граничная энергия электронов в металле). Если поло¬
жить, что км ^ то постоянная	при комнатных
температурах должна быть примерно на два порядка
больше, чем |	|.
Райт [39] рассмотрел влияние вида зависимости длины
свободного пробега электрона от энергии на поперечные
термомагнитные эффекты в полупроводниках как для слу¬
чая статистики Максвелла, так и для статистики Ферми —
Дирака. В работе имеются существенные погрешности,
2*

20
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. I
обусловленные главным образом тем, что в ней не учтена
теплопроводность решетки, которая у полупроводников
обычно значительно превосходит электронную теплопро¬
водность.
К. Б. Толпыго [40] подробно исследовал все термо¬
магнитные эффекты для невырожденных полупроводников
при произвольной степенной зависимости длины свобод¬
ного пробега носителей тока от скорости.
В статье Маделунга [41] приводятся формулы для
адиабатических и изотермических термомагнитных коэф¬
фициентов атомных полупроводников при наличии одно¬
временного рассеяния носителей тока на акустических
колебаниях решетки и ионах примеси.
Ю. Н. Образцов [42] и позднее Мэнсфилд [43] рас¬
считали поперечный изотермический эффект Нернста —
Эттингсгаузена для случая, когда носители тока рассеи¬
ваются как ионами примеси, так и тепловыми колебаниями
решетки.
Во всех упомянутых выше работах рассматривался
предельный случай слабых магнитных полей. Ф. Г. Басс
и И. М. Цидильковский [44—46] рассчитали все изотер¬
мические эффекты для магнитного поля произвольной
величины. В работе автора [47] были получены формулы
адиабатических эффектов для примесного полупроводника
в случае сильного магнитного поля.
Автор совместно с В. Е. Вздорновым [103] рассчитал
все адиабатические эффекты для полупроводника со сме¬
шанной проводимостью как в области слабых, так и в
области сильных магнитных полей. Ф. Г. Басс и И. М. Ци¬
дильковский [48] и позднее Г. Е. Пикус [49] учли влияние
на термомагнитные явления рекомбинации носителей
тока в полупроводниках со смешанной проводимостью.
Путли [19] и Прайс [51, 52] приводят формулы попе¬
речного эффекта Нернста — Эттингсгаузена для полу¬
проводников со смешанной проводимостью, аналогичные
формуле Н. Л. Писаренко [37]. Прайс [52, 53] высказал
мнение, что эффект увлечения носителей тока фононами
должен явиться причиной аномального характера эффекта
Нернста — Эттингсгаузена.
В. Л. Гуревич и Ю. Н. Образцов [54] рассмотрели
влияние эффекта увлечения на продольный и поперечный

§ 2]	КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ	21
эффекты Нернста — Эттингсгаузена и показали, что в
невырожденных полупроводниках увлечение должно ска¬
заться на обоих эффектах значительно сильнее, чем на
термоэдс.
Маделунг [55] получил формулы для эффекта Маджи —
Риги — Ледюка, которые совпадают с соответствующими
формулами работ [40] и [45].
М. И. Клингер и др. [56] рассмотрели поперечный изо¬
термический эффект Нернста — Эттингсгаузена для полу¬
проводника с примесной полосой в случае, когда время
релаксации носителей тока не зависит от энергии.
Родо [87, 109] приводит формулы продольного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена для полупроводника с вырож¬
денным электронным газом. В случае сильных магнитных
полей формулы ошибочны.
Автор совместно с В. П. Широковским [107] рассчитал
термомагнитные явления для кристалла типа л-германия,
у которого энергетические поверхности электронов в про¬
странстве квазиимпульсов эллипсоидальны.
В. Е. Вздорнов и И. М. Цидильковский [131] рас¬
смотрели влияние вырождения электронного газа на тер¬
момагнитные явления как в случае слабых, так и в случае
сильных магнитных полей.
В 1958 г. были опубликованы работы Аппеля [84]
и Паррота [130], посвященные теоретическому исследова¬
нию влияния эффектов увлечения на термомагнитные
явления в полупроводниках со сферическими поверхно¬
стями постоянной энергии, а Херринг [175] подробно
проанализировал роль эффектов увлечения в случае
эллипсоидальных поверхностей энергии.
Из изложенного в этом параграфе видно, что в послед¬
ние несколько лет резко возрос интерес к термомагнитным
явлениям, которые стали все более широко применяться
как метод исследования физических свойств полупровод¬
ников.

ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
§ 3. Предварительные замечания
Современные представления о механизме прохождения
электрического или теплового тока в металлах и полупро¬
водниках основываются на зонной теории твердых тел
[1, 59, 63, 75].
Согласно зонной теории электроны в кристалле, как
и в свободных атомах, могут находиться лишь в опреде¬
ленных квантовых состояниях. Системе дискретных уров¬
ней энергии в изолированном атоме соответствует система
полос, или зон энергии в твердом теле. В каждой разрешен¬
ной полосе число энергетических уровней равно числу
атомов в кристалле твердого тела, то есть ^1022. Ширина
полос не превосходит нескольких электрон-вольт, следо¬
вательно, разность энергии соседних уровней составляет
^10~22 эв, то есть уровни внутри полос образуют почти
непрерывный спектр. Разрешенные полосы разделены
между собой запрещенными интервалами энергии, ширина
которых для валентных электронов порядка 1 эв. Обычно
эксперименты, в которых изучаются процессы прохожде¬
ния электрического или теплового тока, проводятся в усло¬
виях, когда электрон может приобрести энергию, не пре¬
вышающую нескольких электрон-вольт. Поэтому при
исследовании явлений переноса достаточно ограничиться
рассмотрением полосы, образованной валентными элек¬
тронами,— валентной полосы — и ближайшей к ней полосы,
незанятой электронами,— полосы проводимости (полосы 1
и 3, рис. 2, а). Электроны более глубоких полос, очевидно, не
могут участвовать в процессах переноса — для этого энер¬
гии электрического или теплового поля недостаточно.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
23
§ 3]
Зонная теория указывает критерий, позволяющий раз¬
делить электронные проводники (твердые тела, в которых
электропроводность осуществляется электронами) на два
класса — металлы и полупроводники (изоляторы) *).
Металлы характеризуются наличием в валентной полосе
незанятых состояний. Они могут образоваться либо за счет
того, что в свободных атомах, из которых состоит вещество,
имеются незавершенные груп¬
пы валентных электронов (на¬
пример, в атоме натрия в со¬
стоянии 3s имеется один элек¬
трон, а завершенная s-груп¬
па должна иметь два элек-
Рис. 2. Схемы энергетических уровней полупроводников:
а) — собственный полупроводник; 1 — валентная полоса, 2 — уровень хи¬
мического потенциала, 3 — полоса проводимости; б) — полупроводник
с примесными уровнями; 1 — валентная полоса, 2 — акцепторный уро¬
вень, 3 — уровень химического потенциала, 4 — донорный уровень,
5 — полоса проводимости; в) — полупроводник с примесными полосами;
1 — валентная полоса, 2 — акцепторная полоса, 3 — уровень химиче¬
ского потенциала, 4 — донорная полоса, 5 — полоса проводимости.
трона), либо за счет перекрытия валентной полосы
с полосой проводимости, как это имеет место у щелочно¬
земельных элементов (Be, Mg, Са и т. д.). Внешнее элект-
*) Отметим, что одно и то же вещество в зависимости от усло¬
вий (температуры, давления и др.) может иметь как металлические,
так и неметаллические свойства. Поэтому, строго говоря, следует
различать металлическое и полупроводниковое состояния, а не ме¬
таллы и полупроводники как вещества определенного химического
состава.
Электронные проводники отличаются от твердых электролитов
природой носителей тока: в электролитах ток переносится ионами,

24
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
рическое поле, даже самое слабое, свободно ускоряет
электроны валентной (или объединенной) полосы, переводя
их на близко расположенные уровни энергии. В этом слу¬
чае электрический ток возникает при любой температуре.
Таким образом, отличительной особенностью металлов
является наличие в основном, невозбужденном, состоянии
кристалла (0° К) электронов проводимости, то есть элек¬
тронов, которые приходят в упорядоченное движение под
действием внешнего электрического поля.
Для неметаллического состояния характерным является
отсутствие свободных уровней энергии в валентной полосе
при температуре абсолютного нуля. Полоса возбужденных
состояний, не занятая при 0° К, отделена от основной,
валентной, полосы запретным участком энергии ширины
Д е. Вследствие этого не слишком сильное внешнее элек¬
трическое поле не в состоянии ускорить электроны при
абсолютном нуле, и такое тело будет совершенным изоля¬
тором. При повышении температуры или облучении тела
электроны могут поглотить кванты тепловой или
электромагнитной энергии (фононы или фотоны), доста¬
точные для перехода в полосу проводимости. Получив
таким образом возможность перемещаться по кристалли¬
ческой решетке, электроны под воздействием внешнего
электрического поля создадут электрический ток.
Ширина запрещенной полосы может изменяться под
действием температуры и давления. Изменение темпера¬
туры вызывает изменение объема тела, то есть изменение
постоянной кристаллической решетки (межатомного рас¬
стояния). При повышении температуры этот эффект может
привести как к увеличению, так и к уменьшению запрет¬
ного интервала Де в зависимости от конкретной структуры
энергетических полос. Действие давления, которое сказы¬
вается только на постоянной решетки, также может вызвать
либо уменьшение, либо увеличение Де. Изменение тем¬
пературы имеет еще и другое следствие: изменяется энер¬
гия, то есть и амплитуда тепловых колебаний атомов реше¬
тки. Повышение температуры (а значит, и увеличение ам¬
плитуды колебаний) приводит к расширению разрешенных
полос и, следовательно, к сужению запрещенной полосы.
В реальных кристаллах обычно имеются дефекты
(в виде посторонних атомов, пустых узлов, атомов в меж-

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
25
13]
доузлиях и др.), или, как их часто называют, примесные
центры, нарушающие идеальную периодичность решетки.
Энергетические уровни электронов примесных центров,
попадая в полосу запрещенных энергий, могут либо слу¬
жить источником электронов в полосу проводимости
(донорные уровни 4, рис. 2, б), либо захватывать возбужден¬
ные электроны из валентной полосы (акцепторные уровни 2,
рис. 2, б). Если концентрация центров примеси на¬
столько мала, что взаимодействие между ними значительно
слабее взаимодействия атомов основного вещества, то
примесные уровни являются узкими, и электроны лока¬
лизуются у примесного центра, не участвуя в переносе
тока. При достаточно большой концентрации примесей
рзаимодействие между ними может стать достаточно силь¬
ным для того, чтобы вместо узкого уровня образовалась
примесная полоса — акцепторная или донорная (2 и 4,
рис. 2, в). Полосы эти уже основных полос кристалла,
так как в их образовании участвует меньшее число атомов.
Электроны или дырки могут передвигаться между ато¬
мами примеси и переносить ток.
Проводимость, осуществляемая электронами, возбуж¬
денными в полосу проводимости с доноров, называется
электронной, или и-типа. Проводимость, осуществляемая
дырками в валентной полосе, возникшими при захвате
электронов акцепторами, называется дырочной, или
/?-типа. Проводимость называется собственной, если ток
переносится одновременно электронами и дырками, обра¬
зовавшимися при возбуждении электронов из валентной
полосы в полосу проводимости.
Распределение электронов по энергиям в металлах
подчиняется статистике Ферми — Дирака. Среднее число
электронов, находящихся в состоянии с энергией е,
определяется функцией распределения
(3.1)
где р, — химический потенциал электронного газа, рав¬
ный термодинамическому потенциалу, отнесенному к
одному электрону. Из (3.1) следует, что при Т = 0° К
/ (е) = 1 при е < (х, а при е > р, / (е) = 0. Таким образом,
при абсолютном нуле все состояния с энергией меньше \i

26	ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ	[ГЛ. II
заполнены, а с энергией больше ц — пусты. Уровень
химического потенциала в металлах, который определяет
предельную энергию электронов при 0° К, называют
уровнем Ферми.
В полупроводниках концентрации носителей тока
находятся обычно в пределах 1012—1018 см~3, то есть зна¬
чительно меньше общего числа состояний в полосе, рав¬
ного ~1022 см~3. При малом заполнении полосы, то есть
когда /<1, можно в (3.1) пренебречь единицей по срав¬
нению с экспонентой и получить выражение для функции
распределения в виде
(3.2)
Таким образом, при не слишком больших концентра¬
циях носители тока в полупроводниках подчиняются
статистике Максвелла — Больцмана. Такое состояние газа
носителей тока называется невырожденным. В металлах
электроны находятся в вырожденном состоянии. У собст¬
венных полупроводников уровень химического потен¬
циала проходит примерно посредине запрещенной полосы
(2, рис. 2, а). У примесных полупроводников он распола¬
гается между примесным уровнем и краем соответствующей
полосы. При наличии в полупроводнике одинаковых коли¬
честв доноров и акцепторов, равноудаленных от краев
соответствующих полос, уровень химического потенциала
будет проходить примерно посредине запрещенной полосы
(3, рис. 2, б), как и в случае собственной проводимости.
Положение уровня химического потенциала в полупровод¬
никах существенно зависит от температуры [1].
Концентрация электронов п_ в полосе проводимости
равна числу состояний в полосе 7V_, помноженному на
функцию распределения:
(3.3а)
Если отсчитывать энергию от нижнего края полосы про¬
водимости, то концентрацию дырок можно записать
в аналогичном виде:
(3.36)

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
27
§ 3]
где е' = — е — Де, р/ = — [г — Де — химический потенциал
дырок, iV+— плотность состояний в валентной полосе.
Условия нейтральности (отсутствия объемных заря¬
дов) полупроводника позволяют определять химический
потенциал р. Для чисто собственной проводимости это
условие имеет вид:
Как известно из квантовой механики, электрон, по¬
добно другим микрочастицам, обладает как корпускуляр¬
ными, так и волновыми свойствами. Для исследования
движения электрона в кристалле нужно составить волно¬
вой пакет из волновых функций электрона. Движение
электрона зависит от того, как влияет решетка на раз¬
личные волны, входящие в волновой пакет. Групповая
скорость волнового пакета электрона (скорость частицы)
в периодическом поле кристалла
(3.4)
где величина
(3.5)
являющаяся аналогом импульса свободного электрона
(но имеющая свои существенные особенности — данное
значение р не определяет однозначно состояние элек¬
трона [75]), называется квазиимпульсом, а т — по ана¬
логии с соответствующей формулой для свободных элек¬
тронов — эффективной массой. Величина т является
в общем случае тензором. Из (3.4) и (3.5) следует, что
тензор обратной эффективной массы равен
(3.6)
Энергия электрона в кристалле является четной пе¬
риодической функцией квазиимпульса, которую в общем
случае трудно определить. Можно, однако, установить
зависимость энергии от квазиимпульса для электронов,
находящихся вблизи краев разрешенной полосы, то есть
как раз для тех, которые участвуют в электропровод¬
ности полупроводников.
Разлагая энергию электрона е у края полосы е0 в
ряд по степеням составляющих квазиимпульса,

28
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
имеем
(3.7)
Линейные члены в разложении отсутствуют, так как
рассматривается область вблизи минимума или максимума
энергии. Знак минус в (3.7) соответствует разложению
у верхнего края полосы, знак плюс — разложению у ниж-
_! дЧ
него края; m\k =	— это компоненты симметричного
тензора обратной эффективной массы, которые опреде¬
ляются кривизной в(р). Представление эффективной
массы тензором отражает тот факт, что она зависит от
направления, то есть анизотропна. В частном, изотроп¬
ном, случае тензор эффективной массы вырождается
в скаляр. Тогда (3.7) принимает вид
(3.7а)
Поверхности постоянной энергии (е(р) = const) представ¬
ляют собой в этом случае сферы с центром при р = 0.
Из (3.4) и (3.7) следует, что для состояний, энергия
которых близка к верхнему краю разрешенной полосы,
скорость электрона убывает при возрастании квазиим¬
пульса. У электронов, находящихся вблизи дна полосы,
скорость растет с ростом квазиимпульса. Таким образом,
в верхней части полосы электрон ведет себя как частица
с отрицательным зарядом и отрицательной массой. Оказы¬
вается, что коллективное движение электронов при осво¬
бождении одного уровня в верхней части валентной полосы
эквивалентно движению одной частицы с положительным
зарядом, равным по абсолютной величине заряду элек¬
трона, и с положительной эффективной массой. Эта частица
называется дыркой. Эффективные массы электронов и
дырок в большинстве известных случаев различаются
между собой.
Тензорный характер эффективной массы носителей
тока может быть проиллюстрирован на примере германия
и кремния, для которых структура энергетических полос
известна.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
29
§ 3]
На рис. 3 представлена зависимость е (р) границ полосы
проводимости и валентной полосы Ge и Si. Левая сторона
Рис. 3. Схематическое представление энергетических
полос в германии а) и кремнии б) по направлениям
[111] и [100] в пространстве квазиимпульсов р.
Затененные участки означают максимумы и минимумы ва¬
лентной полосы и полосы проводимости.
рисунка относится к направлению [111], правая—к на¬
правлению [100]. Полоса проводимости Ge имеет четыре

30
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
/ 1 1 1 \
минимума энергии при р = ( у уу ) в направлениях типа
[111] (диагональ куба). Вблизи каждого минимума поверх¬
ность постоянной энергии е (р) имеет форму эллипсоида
вращения, ось которого совпадает с направлением [111].
В валентной полосе при р = 0 смыкаются две поверхности,
образуя дважды вырожденное состояние. Кроме того,
имеется еще третья поверхность, энергия которой пони¬
жена из-за спин-орбитального взаимодействия. Полоса
проводимости кремния имеет три минимума в направле¬
ниях типа [100] (ребро куба). Вблизи каждого минимума
е (р) представляет собой эллипсоид вращения с осью вдоль
[100]. При р — 0 две поверхности е (р) валентной полосы
смыкаются. Таким образом, как в Si, так и в Ge имеются
два сорта дырок с различными массами и подвижностями.
Изоэнергетические поверхности дырок у германия и крем¬
ния представляют собой деформированные сферы. Слож¬
ная структура энергетических полос в Ge и Si создает
возможность для специфических видов рассеяния носителей
тока, которые невозможны при сферических поверхностях
энергии, а именно: рассеяние (например, на оптических
колебаниях решетки) с перебросом электрона из одного
минимума в другой.
Если поверхности постоянной энергии представляют
собой эллипсоиды вращения, то тензор эффективной массы
будет иметь две компоненты: т\\ —продольную массу,
вдоль главной оси эллипсоида, и т±— поперечную массу.
Различные явления по-разному зависят от эффективной
массы. Выражения для плотности состояний, подвиж¬
ности, высокочастотной диэлектрической проницаемости
и др. содержат различные комбинации т\\ и т±. Плот¬
ность состояния, которая в изотропном случае равна
(3.8)
для поверхности постоянной энергии, состоящей из М
эквивалентных эллипсоидов, как в я-Ge и тг-Si, опреде¬
ляется формулой
(3.9)

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
31
§ 3]
где mu называется эффективной массой для плотности
состояний.
В выражение для высокочастотной диэлектрической
проницаемости входит так называемая инерционная
масса /п/, которая определяется как усредненное по всему
числу носителей тока отношение приложенной силы к
ускорению. Для поверхностей постоянной энергии, состо¬
ящих из одного или нескольких эллипсоидов вращения,
(3.10)
Подвижность носителей тока определяется комбина¬
цией массы для плотности состояний и инерционной
массы. При рассеянии носителей акустическими фононами
подвижность пропорциональна тj1 тГ
В кристалле со строго периодическим электрическим
полем носители тока (электронные волны) должны дви¬
гаться при абсолютном нуле, не испытывая столкновений
(не рассеиваясь) [59, 75]. Электрическое сопротивление
должно при этом равняться нулю. В реальных кристаллах
всегда имеют место нарушения строгой периодичности
решетки (тепловые колебания атомов или ионов решетки,
ионизированные или нейтральные атомы примеси, различ¬
ные дефекты решетки — пустые узлы, трещины, границы
зерен и т. п.), которые и являются причиной рассеяния
электронов и дырок. Для описания теплового движения
атомов в твердых телах в квантовой физике вводятся неко¬
торые фиктивные частицы, или квазичастицы,— фононы,
движение которых сопоставляется распространению звуко¬
вых волн (аналогично тому, как световым волнам сопоста¬
вляются фотоны). При высоких температурах фононов
много, и носители заряда взаимодействуют в основном
с ними. При понижении температуры число фононов умень¬
шается, и носители тока взаимодействуют главным обра¬
зом с дефектами кристаллической решетки. В отсутствие
внешних полей носители тока, рассеиваясь во всевозмож¬
ных направлениях, движутся по кристаллу хаотически.
Во внешнем электрическом поле они приобретают допол¬
нительные скорости, направленные вдоль поля. Это при¬
водит к некоторому отклонению распределения носителей
тока по состояниям от первоначального, равновесного

32
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
распределения. Если это отклонение невелико, можно при¬
нять, что скорость изменения равновесной функции рас¬
пределения /0 пропорциональна величине изменения / — /0,
то есть
(3.11)
где / — функция распределения в возмущенном состоя'
нии, т — время релаксации — величина, характеризую¬
щая скорость возвращения системы носителей тока в рав¬
новесное состояние. Она определяется тем временем, по
истечении которого составляющая скорости вдоль направ¬
ления внешнего поля уменьшается в е раз.
Можно также представить (по аналогии с движением
частиц газа), что между двумя актами рассеяния — соуда¬
рениями — электрон движется прямолинейно, ускоряясь
электрическим полем. Среднее время между соударениями,
или среднее время свободного пробега т', совпадает по
величине со временем релаксации т, определяемым (3.11).
Действительно, вероятность того, что за 1 сек произойдет
упругое столкновение, которое возвратит систему носи¬
телей тока к равновесному распределению, равна согласно
(3.11)	—. С другой стороны, если т'— средняя длитель-
ность между соударениями, то за 1 сек произойдет —г
X
соударений. Следовательно, т' = т. Двигаясь со скоро¬
стью г, электрон пройдет за время свободного пробега рас¬
стояние I = гт, называемое средней длиной свободного
пробега.
Плотность электрического тока, созданного полем
напряженностью в единицу (например, Е — 1 в-смГ1), или
удельная электропроводность (проводимость),
(3.12)
где е — заряд электронов, п — их концентрация,
А г;—среднее приращение скорости, которое приобретают
электроны в поле Е, а и — подвижность электронов, то
есть среднее приращение скорости в единичном поле.
При помещении полупроводника, по которому течет
ток плотностью /, в магнитное поле Н, направленное

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
33
§ з]
перпендикулярно току, носители тока начнут под дейст¬
вием силы Лоренца отклоняться в направлении, нормаль¬
ном к / и //. При этом возникает электрическое поле £
(тоже нормальное к j и Я), определяемое формулой
(3.12')
Эффект этот, аналогичный поперечному эффекту Нернста —
Эттингсгаузена (см. рис. 1, а), называется эффектом Холла,
а коэффициент R — постоянной Холла.
Если проводимость примесная, то есть определяется
одним видом носителей тока, то постоянная Холла позво¬
ляет вычислить концентрацию носителей
(3.13)
где с — скорость света, А — численный коэффициент,
зависящий от степени вырождения электронного состоя¬
ния, от механизма рассеяния носителей тока и величины
магнитного поля. Изменяется А в небольших пределах —
от 1 до 2. Результаты измерений электропроводности
и эффекта Холла дают возможность определить не только
концентрацию, но и подвижность носителей тока (правда,
для нахождения точной величины подвижности нужно еще
знать А):
(3.14)
Если проводимость смешанная, знания R и о недостаточно
для определения концентраций и подвижностей электронов
и дырок.
Подвижность носителей тока является очень важной
характеристикой полупроводника как с теоретической,
так и с практической точек зрения. Изменение подвиж-
ности и ъ — с температурой определяется в основном *)
зависимостью времени релаксации от температуры и энер¬
гии носителей тока. Зависимость х(Т, е) различна для
разных механизмов рассеяния (табл. 2, стр. 88—90), вслед¬
ствие чего должны различаться и законы изменения
*) Эффективная масса носителей тока может также зависеть
от температуры, но, по-видимому, значительно слабее, чем время
релаксации.
3 И. М. Цидильковский

ТЕОРИЯ термомагнитных явлений
1ГЛ 11
34
подвижности с температурой. Теория предсказывает
следующие закономерности для функции и(Т).
При рассеянии носителей тока на ионах примеси, кото¬
рое аналогично резерфордовскому рассеянию заряженных
частиц [62, 64],
(3.15)
При рассеянии на нейтральных атомах примеси, рас¬
сматриваемых как изолированные атомы водорода, подвиж¬
ность ик не должна зависеть от температуры [61].
Кроме точечных (нульмерных) искажений кристалли¬
ческой решетки (ионизированные или нейтральные атомы
примеси, пустые узлы) и двухмерных искажений (гра¬
ницы зерен, внешняя поверхность кристалла), в кристал¬
лах могут быть и одномерные искажения — так называе¬
мые дислокации. Они должны играть существенную роль
в рассеянии носителей тока при низких температурах
в полупроводниках с очень малым содержанием примесей
(<1015 слГ3). При изотропном распределении дислокаций
в кристалле вероятность рассеяния носителей тока на них
пропорциональна их числу на 1 см2. Если плотность
дислокаций 7УдК = 0,6- 105Гб/2 [173], то рассеяние на дисло¬
кациях становится соизмеримым с рассеянием па тепловых
колебаниях решетки. Подвижность носителей тока при
рассеянии на дислокациях [173]
(3.16)
В полупроводниках с атомной решеткой (Ge, Si, Те
и др.), в которых химическая связь в основном ковалент¬
ного типа, носители тока рассеиваются главным образом
так называемыми акустическими колебаниями электри¬
чески нейтральных атомов, вызывающими периодические
изменения плотности среды. Наиболее эффективно рассеи¬
вают продольные колебания низких частот, длина волны
которых не меньше четверти длины волны электронов.
При рассеянии носителей тока на таких акустических
фононах [92, 93]
(3.17)
В ионных кристаллах основную роль в рассеянии носи¬
телей тока играют так называемые оптические колебания,

§ 3]	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	35
при которых ионы противоположных зарядов смещаются
друг относительно друга, создавая переменные электро¬
магнитные поля. Продольные оптические колебания
рассеивают гораздо сильнее поперечных. Если энергия
акустических фононов практически всегда значитель¬
но меньше средней энергии электрона, то энергия длин¬
новолновых оптических колебаний, с которыми взаимо¬
действуют электроны, может быть либо меньше, либо
больше средней энергии электрона, равной пример¬
но кТ.
При низких температурах, когда кТ <t Ьсо0 (о)0—
максимальная частота продольных оптических колебаний),
или, что то же, Т < 0о, где =	— характеристиче¬
ская температура [36, 94, 95],
(3.18)
При высоких температурах, то есть при Т»0о [36, 94],
(3.19)
Таким образом, при всех видах рассеяния на тепловых
флуктуациях подвижность носителей тока убывает с рос¬
том температуры.
В ионном кристалле электрон или дырка поляризуют
своим электрическим полем окружающую среду. Поляри¬
зация приводит к уменьшению потенциальной энергии,
что выражается в снижении уровней электронов ниже
дна полосы проводимости или подъеме уровней дырок над
верхним краем валентной полосы. При движении носителя
тока состояние поляризации перемещается вместе с ним
по кристаллу. С. И. Пекар показал [63], что в ионных
кристаллах проводимость должна осуществляться в основ¬
ном такими носителями заряда, движущимися в окружении
поляризованной среды, которые получили название поля¬
ронов. При низких температурах подвижность поляронов
изменяется с температурой экспоненциально (3.18), при
высоких температурах она может быть пропорциональна
как Г-1/*, так и 7П/2 в зависимости от того, является ли рас¬
сеяние одно- или двухквантовым (см. [63]).
Вклад в процессы переноса электричества и тепла и,
в частности, в температурную зависимость подвижности

36
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
носителей тока может внести взаимное рассеяние носителей
при столкновениях друг с другом. Если считать, что
этот процесс рассеяния аналогичен рассеянию на ионах
примеси, то изменение подвижности с температурой описы¬
вается формулой (3.15) [174].
Сравнение теоретических формул (3.15)—(3.19) с
экспериментом показывает, что более или менее удовлетво¬
рительное согласие имеет место только для гомеополярных
полупроводников. Согласие между теорией и опытными
данными для полярных кристаллов, которые, кстати, очень
скудны, значительно хуже.
Причины такого расхождения связаны, по-видимому,
с приближенным характером теории полупроводников,
которая, хотя и достигла значительных успехов в объяс¬
нении большинства важнейших явлений, содержит еще
ряд противоречий и часто не в состоянии количественно
интерпретировать тот или иной эффект. Теория пренебре¬
гает взаимодействием между электронами, которое может,
по-видимому, стать существенным для хорошо проводящих
полупроводников с концентрациями	1017—1018слГ3.
Делается ряд приближений при использовании метода
эффективной массы, произвольно предполагается адиаба¬
тический характер процессов. Эти и ряд других приближе¬
ний являются причиной несовершенства теории, вследствие
которого некоторые ее предсказания не оправдываются
экспериментом. Это относится в первую очередь к темпе¬
ратурной зависимости подвижности. У ряда полупровод¬
ников наблюдается закономерностью ~ Г”6/2, не нашедшая
еще достаточного теоретического объяснения. Расходятся
с экспериментом во многих случаях величина и тем¬
пературная зависимость термоэдс.
С большими трудностями встречается теория при
объяснении движения носителей тока в ионных полупро¬
водниках, у которых длина свободного пробега ока¬
зывается меньше межатомных расстояний. В этом
случае теряет смысл само понятие длины свободного
пробега.
Многие экспериментальные данные не нашли до сих
пор теоретического объяснения из-за неправильного учета
структуры энергетического спектра носителей тока.
У ряда полупроводников наблюдается изменение сопроти-

§ з]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
37
вления в продольном магнитном поле (Н || J), которое
не должно иметь места в случае сферически симметричных
поверхностей энергии	Наличие продольного
изменения сопротивления является одним из признаков,
свидетельствующих об отклонении функции г(р) от простой
квадратичной зависимости, или, как говорят, от квадра¬
тичного изотропного закона дисперсии. В этом случае
проявляются тензорные свойства эффективной массы,
заключающиеся в том, что она зависит от направления.
Следует отметить, что теория движения носителей тока
в полупроводниках с анизотропным законом дисперсии,
и особенно с анизотропным законом рассеяния (когда
время релаксации зависит от направления), разработана
недостаточно и ждет еще своего дальнейшего развития.
Таким образом, теория полупроводников содержит ряд
параметров — эффективную массу и время релаксации
носителей тока, время релаксации фононов и некоторые
другие, — которые она не в состоянии вычислить и кото¬
рые обычно определяются из сравнения теории с экспери¬
ментом.
Правда, в последние годы методом диамагнитного
резонанса, предложенного Я. Г. Дорфманом [57], удалось
измерить эффективные массы носителей тока у германия,
кремния и сурьмянистого индия. Явление диамагнитного,
или циклотронного, резонанса заключается в избиратель¬
ном поглощении энергии высокочастотного поля
(v~1010 сек'1) носителями тока при наличии постоянного
магнитного поля Н. Поглощение это обусловлено кванто¬
выми переходами носителей, движущихся в плоскости,
перпендикулярной Я, при которых главное квантовое
число изменяется на единицу. По резонансной частоте
eli	Y Y
сос = можно определить эффективную массу яг, которая
в случае сферических поверхностей постоянной энергии
равна ягс. Для изоэнергетических поверхностей, имею¬
щих форму эллипсоидов вращения, эффективная масса ягс,
определяющая циклотронную частоту, может быть выра¬
жена через Шц и следующим образом:

38
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
где б — угол между направлением постоянного магнитного
поля и главной осью эллипсоида. В этом случае данные
диамагнитного резонанса позволяют определить т{( и тj_.
Однако этот метод применим лишь к тем полупроводникам,
у которых время свободного пробега электронов (дырок)
достаточно велико, чтобы они могли совершить в магнит¬
ном поле оборот (или большую часть его), не испытав
столкновения, то есть чтобы сост> 1. Это требование для
многих полупроводников не выполняется даже при самых
низких температурах.
Длина свободного пробега носителей тока может быть
определена из измерений сопротивления тонких пленок
при низких температурах, когда она становится сравнимой
или даже больше толщины пленки. В этих условиях носи¬
тели тока рассеиваются главным образом наружными гра¬
ницами образца, что приводит к увеличению сопротивле¬
ния. По зависимости проводимости от толщины пленки
можно вычислить длину свободного пробега /. Однако этот
метод не получил пока распространения, так как обычно
нет уверенности в том, что пленки, получаемые возгонкой
в вакууме, однородны. Увеличение сопротивления может
быть обусловлено появлением переходных слоев между
зернами пленки, что должно внести значительные искаже¬
ния в рассчитанные величины I.
В связи с изложенным большое значение приобретают
исследования гальваномагнитных и термомагнитных явле¬
ний, которые могут быть проведены практически на всех
полупроводниковых материалах, за исключением, может
быть, веществ с очень малыми подвижностями носителей
тока (гг < 1 см2-в'1-сек'1). Из таких исследований могут
быть найдены времена релаксации и эффективные массы
носителей тока, времена релаксации фононов и др.
Изучение термомагнитных явлений представляет осо¬
бый интерес, так как позволяет установить вид зависимости
времени релаксации носителей тока от энергии, то есть
выяснить характер их взаимодействия с кристаллической
решеткой, получить сведения об энергетическом спектре
носителей тока и фононов, определить ряд таких важных
характеристик, как электронную и фононную составляю¬
щие теплопроводности, длину диффузионного смещения
носителей тока и др.

предварительные замечания
39
I 3]
В настоящей монографии будет рассмотрена так назы¬
ваемая кинетическая теория явлений переноса*), которая
в отличие от термодинамической теории исходит из опре¬
деленных представлений о структуре полупроводника,
то есть является микроскопической теорией.
Термодинамическая теория отвлекается от конкретного
характера происходящих в веществе микропроцессов и
является по природе своей феноменологической теорией.
Для медленных кинетических процессов, то есть для про¬
цессов, время релаксации (время установления термодина¬
мического равновесия) которых велико по сравнению
с промежутком времени между двумя соударениями частиц
системы (теплопроводность, гальвано- и термомагнитные
явления, диффузия и др.), справедлив общий принцип
симметрии кинетических коэффициентов, установленный
Онзагером [168]. Он заключается в следующем.
Если хх, #2, я3,...— макроскопические величины, харак¬
теризующие состояние неравновесной системы, S — энтро-
dx •
пия, то при малых скоростях (медленные процессы)
уравнения различных кинетических процессов приводятся
к виду
(3.20)
где величины yik называются кинетическими коэффициен¬
тами. Для термоэлектрических явлений, например, ско¬
рости -j± представляют собой потоки тепла или электри-
3S
чества, а так называемые «термодинамические силы»
выражаются через градиенты температуры и потенциала.
Согласно термодинамической теории Онзагера между раз¬
личными кинетическими коэффициентами существует связь
(3.21)
которая называется принципом симметрии кинетических
коэффициентов.
*) К явлениям переноса относятся, в частности, все термоэлект¬
рические, гальвано- и термомагнитные явления, связанные с пере¬
носом электричества или тепла.

40
ТЕОРИЙ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
(ГЛ. И
Доказательство принципа симметрии основывается на
следующих допущениях [73]: 1) микропроцессы обратимы,
2) справедлива гипотеза локального равновесия, согласно
которой макроскопически малые части тела находятся
в равновесии, в то время как во всем объеме тела рав¬
новесие еще не наступило (именно таким образом описы¬
ваются все кинетические процессы — теплопроводность,
диффузия и т. д.), 3) рассасывание флуктуаций (если
они достаточно велики) подчиняется тем же закономер¬
ностям, что и течение макроскопических необратимых
процессов.
При наличии магнитного поля принцип симметрии
кинетических коэффициентов принимает вид [171]
(3.22)
В присутствии магнитного поля явления электропро¬
водности и теплопроводности осложняются — возникают
гальвано- и термомагнитные эффекты. Влияние однород¬
ного магнитного поля на среду можно рассматривать как
появление в среде своеобразной анизотропии, аналогичной
анизотропии вращения системы вокруг неподвижной оси.
Я. И. Френкель [172] назвал такую анизотропию гиро-
тропией. Для гиротропной среды симметричная часть
тензора Li;*), характеризующего ее свойства, пропор¬
циональна единичному тензору
(3.23)
Таким образом, гальвано- и термомагнитные явления
можно трактовать как явления электро- и теплопровод¬
ности в гиротропной среде.
Термодинамическая теория, которая не исходит из
каких-либо модельных представлений о структуре полу¬
проводника, является, естественно, более общей теорией,
чем кинетическая. Последняя обладает, однако, важней-
*) Всякий тензор Ьц, характеризующий свойства какой-либо
системы, можно представить как сумму симметричной и антисим¬
метричной частей Lij =	+ где Laj) = L(;i), а =
= —L[HV

§ 4]	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ	41
шим преимуществом: она позволяет вычислять кинети¬
ческие коэффициенты, в то время как термодинамическая
теория устанавливает лишь общие закономерности, свя¬
зывающие различные эффекты.
§ 4. Кинетическое уравнение
Для вычисления кинетических коэффициентов нужно
знать функцию распределения по состояниям частиц
системы, находящейся под воздействием внешних сил—•
электрического поля, градиента температуры и т. д.
Уравнение, определяющее распределение частиц системы
по состояниям, называется кинетическим.
Функция распределения носителей тока f(r, р, £), то
есть среднее число частиц, которое находится в состоя¬
нии, определяемом координатой г, квазиимпульсом р
и временем £, может изменяться, с одной стороны, под
воздействием внешних факторов — электрического и маг¬
нитного полей, градиента температуры и др., с другой —
под влиянием взаимодействия между частицами (столкно¬
вений).
Согласно теореме Лиувилля (см. [171]) функция рас¬
пределения частиц изолированной системы постоянна при
движении вдоль фазовой траектории, то есть траектории
в пространстве координат и импульсов. Иными словами,
при движении системы частиц как замкнутой функция
распределения остается неизменной во времени:
(4.1)
изменения функции распределе¬
ния под воздействием соответственно внешних и внут¬
ренних факторов. В связи с тем, что интересующие нас
кинетические явления — процессы стационарные, а раз¬
личные нестационарные процессы (диффузия, изменение
температуры и т. п.) характеризуются временами, зна¬
чительно превосходящими время релаксации носителей
тока, можно считать состояние носителей тока практи¬
ку л
чески всегда установившимся, то есть положить= О,

42
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
При этом из (4.1) следует, что
то есть в стационарном состоянии воздействия внешних
и внутренних факторов на распределение частиц взаимно
компенсируются. Поскольку член, учитывающий измене¬
ние функции распределения / (г, р) под влиянием внеш¬
них полей, можно представить в виде
то кинетическое уравнение для носителей
тока запишется следующим образом *):
(4.2)
где v — скорость носителя тока, JF= — действующая
на него внешняя сила, V и Vp — градиенты в простран¬
стве координат и квазиимпульсов соответственно. Сила,
действующая на носитель тока в электрическом поле В
и магнитном поле н — сила Лоренца
где е — алгебраическая величина элементарного заряда
(для электронов е отрицательно, для дырок положительно).
В дальнейшем предполагается, что внешние силы не
приводят к большим изменениям равновесной функции
распределения /0 (г, р), то есть что
/ (Л Р) -- возмущенная функция распределения.
Изменение функции распределения будем искать в виде
(4.3)
где вектор % характеризует отклонение системы частиц
от равновесия.
В тех случаях, когда процессы рассеяния носителей
тока могут быть описаны при помощи времени релакса-
*) Кинетическое уравнение для носителей тока рассматривается
зпесь в предположении, что фононный газ находится в равновес-
пом состоянии. Вопросы, связанные с нарушением теплового рав¬
новесия колебаний решетки, будут рассмотрены в § 13.

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
43
§ 4]
ции т (р), можно правую часть (4.2), или, как ее часто
называют, интеграл столкновений, свести к виду (см. § 5)
(4.4)
Введение времени релаксации является приближением,
которое обосновано в двух случаях: 1) если изменение
энергии носителя тока при столкновении мало (Ае < е,
е — энергия носителя) и 2) если процессы рассеяния при¬
водят к случайному распределению скоростей, то есть
к такому распределению, при котором вероятности пере¬
хода носителя в состояния, соответствующие скоростям
v и — 1?, равны между собой.
Так, например, для полупроводников с изотропным
законом дисперсии время релаксации можно ввести при
всех температурах вплоть до самых низких (—1°К),
если носители тока рассеиваются акустическими колеба¬
ниями решетки (атомные кристаллы). Если носители
взаимодействуют с оптическими поляризационными коле¬
баниями (ионные кристаллы), то введение времени релак¬
сации допустимо прй достаточно высоких температурах
(Т » 0О) и в некотором приближении при достаточно низ¬
ких температурах (Т < 0О), где 0О =	— характеристи¬
ке
ческая температура (см. § 3).
Итак, в приближении времени релаксации можно ки¬
нетическое выражение (4.2) записать в окончательном
виде
(4.5)
Если подставить (4.3) в (4.5) и пренебречь малыми
величинами	V71	получим уравнение для
(4.6)
(4.6')
— векторная функция, не зависящая от магнитного
поля, ж'1 — тензор обратной эффективной массы, ц —

44
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
(ГЛ. II
химический потенциал. Уравнение (4.6) имеет следующее
решение:
(4.7)
где \rri~11 — детерминант тензора обратной массы.
Для сферических поверхностей постоянной энергии
Се ~ irr^) выРажение Для X принимает вид
(4.7')
Плотности потоков электричества j и тепла JVD9 пе¬
реносимого носителями тока, как известно, равны
Число носителей тока dn в единице объема и в эле¬
менте пространства квазиимпульсов dp = (dpx dp dpz)
2 v
равно произведению числа состояний d<& = -^dp (h — по¬
стоянная Планка) на функцию распределения /. Следо¬
вательно,
(4.8)
(4.9)
В (4.8) и (4.9) вместо функции / подставлено ее вы¬
ражение через /0 и х согласно (4.3), при этом члены,
содержащие /0, выпадают ( ^ vfodP =°)> так как fQv —
нечетная функция р.
Вспоминая, что i? = Vpe (3.4), мы приходим к заклю¬
чению, что для расчета токов j и W9 необходимо знать,
как зависят от квазиимпульса энергия е и время релак¬
сации т.

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
45
§ 4]
В дальнейшем в настоящем параграфе будет рассмат¬
риваться случай изоэнергетических поверхностей сфери¬
ческой симметрии (об анизотропном законе дисперсии
см. §§ И и 13).
Для таких поверхностей выражения длaj и W9 (4.8)
и (4.9) преобразуются к виду
(4.8')
(4.9')
Множители -д- появляются в результате интегриро¬
вания по углам (в сферических координатах). При этом
предполагается, что / зависит только от модуля р квази-
импульса, а не от его направления. Такое предположе¬
ние справедливо для полупроводников сферической и куби¬
ческой симметрии.
Подставляя значение % из (4.7') в (4.8') и (4.9'),
получаем
(4.8")
(4.9")
Первый член в (4.8") —это ток в направлении элек¬
трического поля Е\ обусловленный полем Е и градиентом
химического потенциала. Второй член — термоэлектриче¬
ский ток, направленный вдоль градиента температуры.
Третий член —токи Холла и Нернста — Эттингсгаузена,
перпендикулярные электрическому (или тепловому) и маг¬
нитному полям. Наконец, четвертый член —это ток,

46
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
направленный вдоль магнитного поля; он исчезает, если
магнитное поле перпендикулярно электрическому полю
и градиенту температуры.
Можно видеть, что первые два члена при заданном Е*
в слабом магнитном поле (Р2 < 1) уменьшаются при возра¬
стании Я. В сильном магнитном поле они убывают пропор-
ционально ^ • Третий член в слабом магнитном поле растет
пропорционально Я, в сильном — убывает, как -g-. Чет¬
вертый член при малых Я пропорционален Я2, при боль¬
ших полях — стремится к постоянному пределу. Заметим,
кстати, что эти выводы справедливы для произвольного
вида функции распределения и зависимостей энергии
и времени релаксации от квазиимпульса, то есть имеют
общий характер. Аналогичный анализ может быть про¬
веден и для электронной части теплового потока Wd.
Линейная зависимость j и Wa от VT, которая обусло¬
вливает такую же зависимость термоэлектрического и тер-
момагиитных полей, получена в предположении, что гра¬
диенты температуры не слишком велики (так что можно
пренебречь произведением V71 на малые величины %
и др.), постоянны в исследуемом образце и что сам образец
однороден. Отклонение от прямой пропорциональности
между величинами потоков электричества и тепла и гра¬
диентом температуры может иметь место не только при
нарушении указанных условий, но и в том случае, если
длина свободного пробега фононов, ответственных за
эффекты увлечения (см. § 13), станет сравнимой с раз¬
мерами образца. Это, однако, может случиться лишь при
очень низких температурах. При более высоких темпера¬
турах это может иметь место, если исследования произво¬
дятся на тонких пленках.
В связи с тем, что интегралы I{j в общем случае не
сводятся к известным функциям, а следовательно, не пред¬
ставляется возможным выяснить характер зависимостей
всех эффектов от подвижности, концентрации носителей
тока и других параметров, приходится ограничиться рас¬
смотрением предельных случаев слабых и сильных магнит¬
ных полей и некоторых частных случаев конкретной зави¬
симости времени релаксации от энергии.

{4]
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
47
При определении критерия слабого или сильного маг¬
нитного поля исходят из следующих соображений. В одно¬
родном магнитном поле, направленном вдоль оси z, элек¬
трон под действием силы — [v, Ш] будет двигаться по
окружности в плоскости ху, если скорость его vz вдоль
поля равна нулю. Если vz Ф 0, то траекторией движе¬
ния электрона будет винтовая линия с осью, параллель¬
ной магнитному полю, н с радиусом
v — проекция скорости на плоскость
говая частота вращения электрона в плоскости ху. При
наличии кроме постоянного магнитного (Я || Oz) еще
и постоянного электрического поля, расположенного в пло¬
скости yz, электрон будет двигаться в плоскости ху по
сложной траектории—трохоиде, — причем средняя скорость
его отлична от нуля только вдоль оси х, то есть в на¬
правлении, перпендикулярном электрическому и магнит¬
ному полям. Если длина свободного пробега электрона I
много меньше радиуса кривизны R (или, что то же,
время свободного пробега т много меньше периода вра-
1 ч
щения ^ —) , то за время т направление движения
электрона отклонится от первоначального на небольшой
Магнитные поля, вызывающие та¬
кие сравнительно малые изменения траектории носителей
тока, называются слабыми. Сильными называются маг¬
нитные поля, удовлетворяющие противоположному требо¬
ванию: R < I. Отношение
(и — подвижность), то в качестве параметра,
характеризующего меру воздействия магнитного поля на
носитель тока, можно выбрать величину ^ . Таким об¬
разом, деление на слабые и сильные магнитные поля
производится не только по величине магнитного поля, но
и по величине подвижности носителей тока.

48
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
В случае слабых магнитных полей разложение инте-
г	иН
гралов l{j по степеням -у имеет вид
(4.10')
В случае сильных полей /i;- разлагаются по степеням
(=?)-'=
(4.10")
Здесь
Концентрация носителей тока
(4.11')
Подвижность носителей тока
(4.11")
В том, что величина гг, определяемая (4.11"), есть
подвижность, можно убедиться, положив в (4.8") h = 0,
Vr = 0 и V-t = 0. Тогда получаем а =	= еип.
Следует отметить, что параметрами разложения в (4.10)
служат величины

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
49
§ 4]
Это означает, что критерием сильного поля служит нера-
СиН
— ) > 1, которое выполняется при меньших Я,
иН
чем неравенство — > 1. Критерием слабого поля служит
СиН
— ) < 1. Эти критерии справедливы лишь
для квадратичного закона дисперсии, даже если он ани¬
зотропен. При произвольном законе дисперсии критерии
слабого и сильного магнитных полей более жестки:
[169].
Зависимость гальвано- и термомагнитных явлений от
магнитного поля в области промежуточных полей, а так¬
же их температурная зависимость определяются деталь¬
ной структурой энергетического спектра, то есть законами
дисперсии всех групп носителей тока, и характером взаимо¬
действия их с кристаллической решеткой. Чтобы рассчи¬
тать температурную зависимость эффектов, необходимо
знать, помимо закона дисперсии, зависимости функции
распределения и времени релаксации носителей тока от
температуры и квазиимпульса.
В связи с тем, что в дальнейшем существенно исполь¬
зуются разложения интегралов (4.10') и (4.10"), сле¬
дует остановиться на вопросе об обоснованности таких
разложений.
Предположим для определенности, что 1) проводи¬
мость примесная, 2) концентрация носителей тока мала,
так что они находятся в невырожденном состоянии,
3) закон дисперсии изотропный квадратичный, 4) время
релаксации является степенной функцией энергии носи¬
телей тока. Последнее предположение оправдано тем, что
при квадратичном законе дисперсии расчет времени
релаксации для различных механизмов рассеяния приво¬
дит только к степенной зависимости т (е) (см. § 5, табл. 2,
стр. 88—90).
Итак, пусть
(4.12)
причем т0 (Т) и г определяются механизмом рассеяния
носителей тока (табл. 2).
4 и. М. Цидильковсиий

50
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
СГЛ. II
Из (4.11') и (4.11") следует, между прочим, что под¬
вижность носителей тока при предположениях (4.12)
(4.13)
среднее время свободного про¬
бега частиц, каждой из которых приписан статистиче¬
ский вес е:
Скобки (	) означают усреднение по максвелло-больцма-
новскому распределению [185]
Нетрудно видеть, что
Ряды (4.10') и (4.10") являются асимптотическими,
то есть представляют собой приближенные выражения
интегралов /{;- со сколь угодно малой относительной
ошибкой. Асимптотические ряды, как известно, не обяза¬
тельно сходятся к аппроксимируемым ими функциям.
Тем не менее из асимптотических рядов, если оборвать
их на надлежащем месте, можно получить формулы для
приближенного вычисления функции. При этом важно
оценить соответствующие остаточные члены ряда.
При определенных видах зависимости времени релак¬
сации от энергии коэффициенты разложений (4.10')
и (4.10"), начиная с некоторого члена, неограниченно воз¬
растают. Коэффициенты ai+2i, j обращаются в бесконеч-
ность при г > у , если Р2 > 1 (сильные поля), и при
г<0, если Р* < 1 (слабые поля).

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
51
§4]
Появление бесконечных членов в случае сильных маг¬
нитных полей в (4.10") связано с тем, что разложение /i;
по степеням Р"1 ведется в условиях, когда Р не мало.
Действительно, каким бы малым ни было значение Я”1,
величина Р~1 не является малой во всем интервале квазиим-
пульсов ОТ 0 ДО ОО, ибо при р = 0И Г > у Р'1 — р1 2Г—> оо,
и разложение /i;* в ряд по степеням Р"1 является в об¬
щем случае незаконным. Однако если показатель степени
у р в числителе /i;- больше, чем в знаменателе, а именно
этот случай реализуется при г > у, то /i; можно пред¬
ставить в виде	гДе S сходящийся отрезок
ряда по степеням Р“\ а / — интеграл, который нельзя
разлагать по степеням Р"1, так как ряд будет расходя¬
щимся. Отрезком ряда 2 можно пользоваться для рас¬
чета кинетических коэффициентов.
Правомерность использования части ряда в случае
может быть показана следующим образом.
Интегралы сводятся к виду
1
причем при г>	m > я > 0. В случае сильных магнитных полей
а ~ Я"2 « 1.
Запишем разложение 1(a) по степеням а:
Здесь сумма 2 —используемая в расчетах часть ряда, am—ns > — 1.
Просуммировав 2 как геометрическую прогрессию, находим оста¬
точный член ряда Rs-v
Нетрудно видеть, что | fij-i | < аТ (т—ns-f-1), следовательно,
4*

52
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
(ГЛ.П
Таким образом, разложение I (а) действительно является асимпто¬
тическим: каждый следующий член ряда бесконечно мал по срав¬
нению с предыдущим (см., например, [170]). При Z = s-f-1 оста¬
точный член | Rs | может оказаться бесконечно большим, и разло¬
жение станет уже незаконным.
Сложнее обстоит дело с устранением расходимости
в случае слабых магнитных полей при г < 0 (известно
одно значение г < 0: г = — 1; закон х — е-3/2 предпола¬
гается иногда для объяснения экспериментально наблю¬
даемой зависимости и~Т~5/«). Если в случае сильных
полей и г > ~ коэффициенты разложения расходятся,
начиная с какого-то 5-го члена, причем s > 1, то при
слабых полях и г < 0 обращается в бесконечность уже
первый член разложения интегралов /i;, хотя сами
интегралы конечны при Н Ф 0. Расходимость здесь, как
и в случае сильных полей, связана с приближениями,
использованными при расчете. В частности, если изо-
энергетическая поверхность состоит из нескольких эллип¬
соидов, время релаксации для рассеяния носителей тока
малых энергий на колебаниях решетки нельзя точно пред¬
ставить простой степенной функцией от энергии, так как
значительный вклад в рассеяние могут внести процессы
с перебросом носителей из одного минимума в другой
[102, 194]. В этом случае не будет иметь места расхо¬
димость коэффициентов разложения I{j при слабых маг¬
нитных полях, связанная с существенным вкладом носи¬
телей тока малых энергий, для которых согласно (4.12)
^ 1
время релаксации при г < велико.
Возможна другая причина, по которой зависимость т (е)
при малых е не может быть представлена в виде (4.12)
[26, 102]. В реальных условиях всегда имеется какой-
либо дополнительный механизм рассеяния с ограниченным
временем релаксации при е —> 0 (например, рассеяние
на ионизированных центрах примеси: т — е3/2, или на
нейтральных примесях: т = const). Дополнительный меха¬
низм оказывается существенным в случае слабых полей
и не влияет на эффекты в сильных полях в том случае,
если при энергии носителей & ъ кТ время релаксации xv
соответствующее дополнительному механизму, значительно
превосходит время релаксации т для основного механизма.

Кинетическое уравнение
53
ИЗ
При наличии двух независимых механизмов рассеяния
с временами релаксации тг и т общая вероятность рас-
111
сеяния равна — =	1	и коэффициенты aq_2z, j оста-
нутся конечными при Н —> 0. Основной вклад в a\+2it j
вносят носители тока с такими энергиями е'< кТ, для
которых и т являются величинами одного по¬
рядка. Таким образом, эффективное время релаксации
для тех основ¬
ных механизмов рассеяния, которым соответствуют значе¬
ния q > 0, будет значительно больше времени релакса¬
ции т при е ^ кТ, которое определяет подвижность
(4.14)
Критерий малости магнитного поля, который опреде¬
ляется отношением длины свободного пробега к радиусу
кривизны траектории в магнитном поле, примет теперь
вид, отличный от обычного:
(4.15)
где и' — некоторая эффективная подвижность, определяе¬
мая временем релаксации
то главную роль играет основ¬
ной механизм рассеяния
существенны оба механизма рассеяния, и зависимость т (е)
нельзя уже представить в форме (4.12).
Из (4.14) и (4.15) следует, что в случае г < 0 зави¬
симость термомагнитных (а также гальваномагнитных)
коэффициентов от магнитного поля должна иметь место
при более слабых полях, чем это вытекает из обычного
критерия:
Пределы применимости излагаемой в настоящей главе
теории определяются условиями применимости кинетиче¬
ского уравнения (4.5).
Первое условие основывается на предположении, что
имеет смысл понятие свободного пробега, то есть что

54
теория тё^момаёнитных явлений
(ГЛ. II
столкновения происходят сравнительно редко. Математи¬
чески это условие имеет вид неравенства
(4.16)
где т — время свободного пробега.
Критерий (4.16) является следствием того, что для
рассмотрения рассеяния носителей тока (интеграла столк¬
новений) используется первое приближение теории воз¬
мущений (см. § 5). Критерий этот связан с соотношением
неопределенностей (ДеД£ ^^), согласно которому при
длительности Дt возмущения в энергии появляется неопре¬
деленность Де~-^. Пользоваться функцией распределе-
ния, которая в интервале энергий порядка кТ сильно
изменяется, можно только в том случае, если Де </с7\
Это означает, что длительность возмущения должна быть
относительно большой: Д£ > -— . Но поскольку в расчете
интеграла столкновений используется первое приближе¬
ние теории возмущений, которое неприменимо, если элек¬
трон успеет испытать более одного соударения, время Д£
должно быть меньше времени свободного пробега т. Таким
образом, мы приходим к соотношению (4.16), которое
можно рассматривать как условие малости продолжитель¬
ности столкновения (или неопределенности момента столк¬
новения) —■ по сравнению со временем между двумя
последовательными столкновениями [165].
Поскольку и = (т — соответствующим образом усред¬
ненное время релаксации т, см. (4.13)), то критерий (4.16)
можно представить в следующем виде:
(4.16')
Условие (4.16) записывают часто и иным образом.
Если умножить обе части (4.16) на среднюю скорость
кТ
носителя тока v и учесть, что ^ р (квазиимпульс), а

4]
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
55
длина волны носителя, то получим
(4.16")
Согласно (4.16") кинетическое уравнение применимо,
если средняя длина свободного пробега носителей тока
больше их длины волны.
Условие (4.16) выполняется для широкого класса хо¬
рошо проводящих полупроводников с преобладающей кова¬
лентной связью вплоть до самых низких температур ^1° К.
Если принять, что т = т0, где т0 — масса свободного
электрона, то при комнатной температуре (^300° К)
согласно (4.16') подвижность должна быть больше
40 см2-в~1-сек~1. Известен, однако, ряд полупроводников
(NiO, ТЮ2, Se и др.), у которых подвижность 1 — 10
см2 • в~1 • сект1. Анализируя трудности, возникающие при
рассмотрении процесса рассеяния носителей тока в полу¬
проводниках с малой подвижностью, А. Ф. Иоффе [1]
указывал, что значения длины свободного пробега
/~10-9 см, которые соответствуют подвижностям
^10-1 см2-в~1-сек~1 при и = 107 см-секГ1 и тп — т0, зна¬
чительно меньше длины волны % = 7 • 10'7 см при Т = 300° К
и даже межатомных расстояний. Это обстоятельство
лишает физического смысла предположение о свободном
движении электрона на протяжении длины /, поскольку
движение его в пределах одной элементарной ячейки
не может быть охарактеризовано определенной скоростью
и энергией.
Недавно появилась работа Фрёлиха и Сивелла [176],
в которой они развивают теорию для полупроводников
с малой подвижностью носителей тока, исходя из того,
что эффективная масса носителей велика, а длина свобод¬
ного пробега нормальна, то есть такова, что условие (4.16")
соблюдается.
Из (4.16') следует, что эффективная масса должна
удовлетворять условию
(4.16"')
3
Здесь принято, что кинетическая энергия равна	кТ,
а подвижность выражена в см2-в~1-сек~

56
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
При Г^300оК и и ъ 0,1 см2-в1-сек1 эффективная
масса т должна на 2 — 3 порядка превышать т0. Однако
соотношения и = ~ и (4.16') верны только в том случае,
если не слишком велики. Большие эффективные массы
означают, что полосы узкие, а обычная теория применима
лишь для таких полос, ширина которых W> кд (б —темпе¬
ратура Дебая).
Если W < кТ, то согласно Фрёлиху и Сивеллу соотно¬
шение неопределенностей сводится к требованию
(4.17')
(4.17")
где а —постоянная решетки, а
Таким образом, предположение о наличии очень узких
энергетических полос в веществах с малой подвижностью
снимает упомянутые выше затруднения в интерпретации
движения носителей тока в решетке. Необходимы, однако,
дальнейшие экспериментальные исследования с целью
проверки этой гипотезы.
Второй критерий применимости кинетического уравне¬
ния относится к явлениям переноса в магнитном поле.
Кинетическое уравнение Больцмана является по суще¬
ству классическим, о чем свидетельствует одновременное
задапие координаты г и импульса р в функции распреде¬
ления. Условие применимости классической механики
сводится, как известно, к требованию, чтобы длина волны
частицы
(4.18)
где L — некоторая характерная длина, определяющая сферу
действия сил, то есть область пространства, где потен¬
циальная энергия заметно меняется. При выполнении
условия (4.18) потенциальная энергия на протяжении
длины волны будет мало меняться.
В магнитном поле характерной длиной является
V f
радиус вращения носителей тока Я = -^, и из (4.18)

4]
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
57
имеем
(4.19)
то (4.19) можно преобразовать
к виду
(4.19')
где частота вращения носителя тока в плоскости, перпен¬
дикулярной магнитному полю Я, равна
левую часть (4.19') записывают в виде
так называемый эффективный магнетон Бора
магнетон Бора):
(4.19")
Из (4.19") следует, что кинетическое уравнение при¬
менимо при полях, не превышающих Я0 ^ 104 — Т эрстед.
т0
При гелиевых температурах и т ъ 0,1т0 критическое
поле Я0 составляет всего 103 эрстед. Следует отме¬
тить, что (4.16") и (4.19) не накладывают никаких усло¬
вий па соотношение между I и R ^или между т и .
Поэтому кинетическое уравнение применимо при сильных
полях, определяемых критерием сот > 1, или I > R.
Если (А кТ, то становятся существенными эффекты
квантования электронных орбит: энергия (~ кТ) теплового
движения электронов меньше расстояния (ц|Я) между дис¬
кретными состояниями в магнитном поле. При этом движе¬
ние в направлении магнитного поля остается непрерывным,
а в перпендикулярных направлениях — становится кванто¬
ванным (если Я || оси z, то квантуются составляющие
квазиимпульса рх и ру). В этих условиях кинетическое
уравнение становится непригодным.
В последнее время Кубо [178] развил статистическую
механику необратимых процессов, которая лишена ука¬
занных выше ограничений кинетической теории. В методе
Кубо вместо функции распределения /(г, р) вводится

ТЁОЁИЯ ТЁРМОМАГНЙТНЫХ явлений
1гл. п
:>8
статистический оператор — матрица плотности, которая
описывает неравновесную систему электронов и фононов.
Знание матрицы плотности позволяет непосредственно на¬
ходить средние величины токов, и поэтому нет необходи¬
мости находить неравновесную функцию распределения.
А. Г. Самойлович, М. И. Клингер и Л. Л. Коренблит
[179] показали, что в случае упругих соударений электро¬
нов с акустическими фононами (изменение энергии электро¬
на Де <С е) метод Кубо приводит к тем же результатам,
что и кинетическое уравнение. Метод Кубо позволяет,
однако, ввести время релаксации и для неупругих соударе¬
ний. Рассмотренный А. Г. Самойловичем и др. случай
неупругого рассеяния электронов поляризационными коле¬
баниями ионной решетки при
теристическая температура^ , когда в обычной теории
время релаксации т не может быть строго введено, при¬
вел к значению т, вдвое большему, чем дает кинетическое
уравнение (см. (5.38)).
Ряд авторов (см., например, [180, 181]) использовали
метод матрицы плотности для рассмотрения другого круга
вопросов, который выходит за рамки кинетического уравне¬
ния, а именно: кинетических явлений в сверхсильных
магнитных полях, когда существенным становится кванто¬
вание электронных орбит. В настоящей монографии эти
вопросы рассматриваться не будут, поскольку соответ¬
ствующие экспериментальные данные по термомагнитным
явлениям отсутствуют пока.
§ 5. Время релаксации
1. В этом параграфе будут рассмотрены различные меха¬
низмы рассеяния носителей тока и приведены выражения
для соответствующих времен релаксации, рассчитанных
методами квантовой механики. В § 4 отмечалось уже, что
интеграл столкновений £ || J можно свести к виду —	,
то есть ввести время релаксации, либо если при соударе¬
нии энергия носителя тока мало изменяется, либо если

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
59
§ 5J
процесс рассеяния приводит к случайному распределению
скоростей.
Интеграл столкновений обычно записывается следую¬
щим образом [59]:
(5.1)
где В (р9 р') — вероятность перехода электрона за единицу
времени из состояния с квазиимпульсом р в состояние р'.
Произведение В(р, р') на число электронов (дырок)
/ (Р) в начальном состоянии р и на число вакантных мест
1 — f(p') в конечном состоянии р'*) дает число электро¬
нов, перешедших из состояния р в состояние р’. Первый
член под интегралом в (5.1) дает число электронов,
перешедших из состояния р' в состояние р. Таким об¬
разом, [-|f ]с пРеДставляет собой изменение функции
распределения вследствие того, что число электронов,
попадающих в состояние р, больше числа электронов,
уходящих из этого состояния.
В случае статистики Максвелла — Больцмана, которая
здесь будет интересовать нас главным образом, 1 — / {р) ^ 1,
следовательно,
(5.2)
Задача нахождения кинетических коэффициентов сво¬
дится к определению вероятностей переходов для различ¬
ных механизмов взаимодействия электронов с кристал¬
лической решеткой и к последующему решению кинетиче¬
ского уравнения (4.2). Остановимся поэтому несколько
подробнее на вопросах рассеяния электронов в кристалле
[36, 59, 75].
При достаточно высоких температурах основную роль
в рассеянии электронов играют тепловые колебания атомов
(ионов) решетки. При низких температурах рассеяние про¬
исходит главным образом на примесях — ионизированных
*) Согласно принципу Паули переход электрона в состояние р'
возможен только в том случае, если состояние не занято.

60
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
или нейтральных, на дислокациях и других несовершен¬
ствах кристалла.
Согласно классической теории колебаний кристалличе¬
ской решетки, развитой Борном [140], силы, возвращаю¬
щие атомы в положение равновесия, являются в первом
приближении квазиупругими, и колебания имеют, следова¬
тельно, гармонический характер. Если в кристалле имеет¬
ся N элементарных ячеек и в каждой s атомов, то число
независимых собственных колебаний с различными часто¬
тами будет равно 3Ns (по числу степеней свободы системы).
Собственное колебание кристалла, соответствующее часто¬
те coq, описывается формулой бегущей волны
(5.3)
где — радиус-вектор атома /с-сорта l-й элементарной
ячейки, п{ — смещение этого атома из положения равно-
2п	„	о	„ «
весия, # = п — волновой вектор упругой волны длиной А,
п — единичный вектор распространения волны, (J — постоян¬
ная фаза, ек — единичный вектор, указывающий направле¬
ние колебания (вектор поляризации).
Каждому значению q соответствует 3s колебаний, раз¬
личающихся частотой и поляризацией. Три ветви колеба¬
ний, соответствующие случаю, когда массы атомов в ячейке
равны (5 = 1), являются акустическими. Каждой частоте о)у
соответствует определенная составляющая вектора поляри¬
зации ej (/= 1, 2, 3). Направления поляризации в общем
случае не находятся в простой связи с кристаллографи¬
ческими осями или с направлением q. Однако при очень
длинных волнах (к > а, а —постоянная решетки) кристалл
можно рассматривать как изотропное тело, и тогда одно
из колебаний с поляризацией еу является продольным (век¬
тор е; параллелен q), а два других — поперечными.
Частота колебаний бесконечно длинных акустических
волн равна нулю, и следовательно, для длинных волн
(5-4)
где до —скорость распространения волны (скорость звука),
7 = Частота продольных колебаний больше частоты

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
61
§ 5]
поперечных колебаний, так как скорость распространения
продольных волн больше скорости поперечных волн.
Составляющие волнового вектора q в направлениях
осей кристалла могут принимать значения
(5.5)
где a,j — параметры решетки.
Значения q вне этих пределов не соответствуют каким-
либо новым колебаниям решетки и, следовательно, суще¬
ствует максимальная частота колебаний. Максимальной
частотой (Омане продольных акустических колебаний опре¬
деляется температура Дебая 6:
(5.6)
Все остальные 3s — 3 ветвей колебаний, соответствую¬
щих данному волновому вектору q, обладают большими
частотами, чем акустические, и называются оптическими.
Частоты оптических колебаний сложным образом зависят
от q. Длинноволновым оптическим колебаниям соответствуют
частоты со® (/ = 4, 5,..., 3s), не обращающиеся в нуль
при q = 0. Этим предельным частотам могут быть сопостав-
л йа*о
лены характеристические температуры 0О =	, которые
по порядку величины близки к температуре Дебая 0.
Если элементарная ячейка состоит из двух атомов
(двухатомная решетка), то в случае акустических длинно¬
волновых колебаний соседние атомы колеблются примерно
в одной фазе, при оптических же длинноволновых колеба¬
ниях фазы соседних атомов отличаются приблизительно
на полпериода. Длинноволновые оптические колебания
двухатомной решетки происходят таким образом, как если
бы решетка, составленная из атомов одного типа, колебалась
по отношению ко всей совокупности атомов другого типа.
С уменьшением длины волны разность фаз колебаний сосед¬
них атомов уменьшается и, следовательно, уменьшается
частота оптических колебаний (так как уменьшается сила,
возвращающая атомы в положение равновесия).
Акустические колебания электрически нейтральных
атомов (или групп ионов с компенсированным зарядом)
вызывают периодические изменения плотности среды. При

62
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
оптических колебаниях в ионных кристаллах движущиеся
в противоположные стороны разноименные заряды создают
периодически изменяющиеся электрические поля. Продоль¬
ные колебания создают поля, простирающиеся на несколько
атомных расстояний (так как происходит относительное
смещение групп зарядов). Поэтому они рассеивают элект¬
роны, длина волны которых в десятки раз превышает меж¬
атомные расстояния (при 300° К А,Электр ^ 7-10“7 см), зна¬
чительно сильнее, чем поперечные колебания.
Поперечные оптические колебания могут возбуждаться
длинноволновым инфракрасным излучением, которое не
только сильно поглощается, но и чрезвычайно сильно отра¬
жается. После нескольких последовательных отражений
от поверхности ионного кристалла в составе отраженного
света остаются в основном лучи одной частоты, которые
и называются остаточными лучами данного кри¬
сталла.
Частота со, продольных оптических колебаний в ионных
кристаллах больше частоты со, поперечных колебаний [166]
(5.7)
где х и х0 — статическая и оптическая диэлектрические
проницаемости соответственно.
Произвольное смещение любого атома решетки можно
представить в виде суперпозиции всех собственных коле¬
баний (5.3) с различными амплитудами aqj и а*3:
(5.8)
Множители е~Ш(и1 и	включены в aq3 и aqj соответ¬
ственно.
Движение атомов решетки можно трактовать как ко¬
лебания совокупности из 3Ns упругих осцилляторов. Энер¬
гия такого осциллятора, как известно из квантовой меха¬
ники:
(5.9)
колебательное квантовое число.

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
63
§ 51
Осциллятору qj\ находящемуся в iV-м квантовом со¬
стоянии, можно сопоставить N фононов с энергией tiwqj
и импульсом hq. При взаимодействии с колебаниями ре¬
шетки электрон может поглотить или испустить фонон.
Переходу электрона из состояния р в состояние р + %q
или p — bq всегда соответствует переход осциллятора,
связанного с колебанием q. Вероятность перехода элек¬
трона за единицу времени из состояния р в состояние р\
сопровождающегося переходом <7/-го осциллятора решет¬
ки Nqj —> Nqj + 1 (или Nqj —> Nqj — 1), рассчитывается
при помощи теории возмущений [59, 75]
(5.10)
матричный элемент потенциала
взаимодействия электрона с упругими колебаниями, фр,
— волновые функции электрона в состояниях р и р’,
U (г) — возмущающий потенциал, то есть изменение по¬
тенциала электрона Ф(г), обусловленное колебаниями
решетки, dx — элемент объема (интегрирование производит¬
ся как по координатам электрона г, так и по координа¬
там колебаний решетки aQy),
(5.11)
Возмущающий потенциал зависит от г и aqj и харак¬
теризует, следовательно, взаимодействие между электро¬
нами и колебаниями решетки. Им определяются переходы
электронов из одного стационарного состояния р в дру¬
гое р'. Поскольку можно считать, что смещение и ато¬
ма мало по сравнению с расстоянием между атомами,
(5.12)
Переход электрона возможен только в том случае
(иными словами, Vpp> Ф 0), когда
(5.13)
Функция б имеет острый максимум, когда ее аргу¬
мент равен нулю, а при других значениях аргумента
она близка к нулю. Следовательно, чтобы вероятность

64
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
рассеяния электрона была отличной от нуля, должно вы¬
полняться условие
(5.14)
причем верхние знаки в формулах (5.10), (5.13) и (5.14)
относятся к поглощению фонона, нижние —к испусканию.
Из формул (5.13) и (5.14) следует, что при столкно¬
вениях электронов с фононами выполняются законы со¬
хранения энергии и квазиимпульса.
2. Рассмотрим интеграл столкновений для взаимодей¬
ствия электронов с акустическими колебаниями решетки.
Такие процессы рассеяния играют основную роль в по¬
лупроводниках с атомной решеткой, у которых преобла¬
дает гомеополярный тип связи. Будем полагать, что в
элементарной ячейке находится один атом.
Расчет проводится в предположении, что энергетиче¬
ские поверхности электронов обладают сферической сим¬
метрией, то есть е =	*).
Из формул (5.13) и (5.14) при учете (5.4) имеем
(5.15)
где О — угол между р и q, верхние знаки относятся к
поглощению фонона, нижние —к испусканию.
Так как средняя скорость электронов v = -^ значи¬
тельно превосходит скорость звука w, то первым членом
в правой части (5.15) можно пренебречь и приближенно
(5.16)
Таким образом, основную роль во взаимодействии с
электронами играют колебания, длина волны которых
(5.17)
значительно больше постоянной решетки.
Для таких длинных волн удается определить зависи¬
мость матричного элемента Vvv> от q. Вычисления
*) Для произвольной зависимости &(р) расчет совершенно ана¬
логичен, но в окончательные формулы войдут производные ^.

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
65
$ 5]
показывают, что для продольных колебаний вероятность
перехода пропорциональна q, а для поперечных она рав¬
на нулю. Таким образом, при сделанных допущениях
(е = е(/?), q—>0 и др.) только продольные колебания
должны взаимодействовать с электронами*). Для испус¬
кания фонона
(5.18)
для поглощения фонона
(5.19)
где 7V —число элементарных ячеек в кристалле, которое
в одноатомной решетке равно числу атомов, М — масса
атома, Na — число фононов, константа Блоха
периодическая функция, опре¬
деляемая выражением волновой функции электрона в
р-м состоянии фр =	dx — элемент объема) при¬
близительно пропорциональна дебаевской температуре
кристалла и служит мерой взаимодействия электронов с
решеткой.
Когда кристаллическая решетка находится в состоя¬
нии теплового равновесия, Nq есть функция Планка
(5.20)
Если теперь подставить (5.18) и (5.19) в (5.2) и пе¬
рейти от интегрирования по р' к интегрированию по q **),
*) При достаточно низких температурах, когда существенным
становится рассеяние фононов на границах кристалла, вклад по¬
перечных колебаний в рассеяние электронов может стать сравни¬
мым с вкладом продольных колебаний (см. § 13).
**) Так как вектор q лежит внутри параллелепипеда (см. (5.5))
(2я)з	(2л)3
объемом -—— =	- , то число колебаний с определенным на-
«о
правлением поляризации е/ в элементе объема dqxdqydqz q-про-
5 И. М. Цидильковский

66
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТЙЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
то для интеграла столкновения получим
(5.21)
Первый член каждой квадратной скобки дает число
электронов, попадающих вследствие столкновений из
других состояний в состояние р. Вторые слагаемые в
квадратных скобках дают число электронов, покидающих
состояние р.
Нетрудно убедиться в том, что равновесная функция
распределения /0 (максвелловская или фермиевская) об¬
ращает [К]ст в нуль. Таким образом, одни лишь столк¬
новения с фононами, находящимися в тепловом равно¬
весии, не могут изменить состояние электронов. Поэтому
при вычислении интеграла столкновений следует учесть
изменение функции распределения электронов внешним
полем.
Предположим, как и в § 4, что возмущенная электри¬
ческим полем и градиентом температуры функция рас¬
пределения
причем	а % обладает сферической симметрией
в пространстве квазиимпульсов, то есть % — г, Г).
Рассмотрим вначале интеграл столкновений для тока,
направленного вдоль оси / (^[§7]^,')’ то есть положим
Если перейти в (/-пространстве к сферической систе¬
ме координат <7, О и <р, ось которой совпадает по
странства равно, очевидно,
кристалла. Таким образом, dp' в (5.2) следует заменить на

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
67
§ 5]
направлению с вектором р, получим
(5.22)
Интегрирование по углам выполняется без труда
(5.23)
Замена конечных пределов интегрирования бесконеч¬
ными возможна благодаря тому, что подынтегральное вы¬
ражение носит характер 6-функции.
От угла ф в (5.22) зависят только компоненты волно¬
вого вектора фононов q^\
где т]у и —углы между осью / (х, у или z) и вектора¬
ми р и q соответственно.
Интегрирование по азимуту ф при учете (5.15) дает
(5.24)
Границы интегрирования по q определяются из (5.15)

68
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
Подставляя (5.23) и (5.24) в (5.22), получаем
(5.25)
Пренебрегая mw по сравнению с hq (так как
по сравнению с е (так как
и разлагая функцию Планка по степеням , находим
К л
окончательно
(5.26)
(5.27)
— время релаксации электронов при рассеянии на аку¬
стических фононах. Длина свободного пробега электронов
1а не зависит от энергии е:
(5.28)
Подвижность носителей тока согласно (4.13)
(5.28')
Таким образом, для атомного полупроводника с изо¬
тропным законом дисперсии носителей тока (энергия яв¬
ляется функцией модуля квазиимпульса, но не зависит
от направления последнего) интеграл столкновений сво¬
дится к виду —	9 и следовательно, существует время

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
69
§ 5]
релаксации. Как видно из приведенного расчета, время
релаксации носителей тока удается ввести благодаря то¬
му, что изменение энергии Ае = b(oq носителя тока при
столкновении мало: Де < е.
Вследствие того, что для представления интеграла
столкновений в виде (5.26) необходимо функцию Планка
разлагать в ряд по степеням , понятие времени ре¬
лаксации для рассеяния носителей тока акустическими
колебаниями теряет смысл лишь при самых низких тем¬
пературах Т ^ 1° К, когда
ложение становится невозможным.
Если электронный газ в атомном полупроводнике вы¬
рожден, то есть электроны плотно заполняют «дно» полосы
проводимости (или дырки —«потолок» валентной полосы),
то, как показывает расчет [94], время релаксации выра¬
жается такой же формулой, как и в невырожденном случае
(5.27). Независимость длины свободного пробега электро¬
нов от энергии и при наличии вырождения определяется
тем обстоятельством, что во взаимодействии с длинновол¬
новыми фононами главную роль играют электроны сред¬
них энергий.
В рассмотренных выше процессах рассеяния учитыва¬
лись лишь однофононные столкновения: испускание или
поглощение электроном одного фонона. Как заметил Энц
[186], определенный вклад в рассеяние при высоких тем¬
пературах могут внести двухфоионные процессы (с погло¬
щением и испусканием фонона), причем подвижность
должна при этом более резко зависеть от температуры —
вплоть до и—Т 2, чем при однофононном рассеянии.
А. И. Ансельм и И. Г. Ланг показали [187], что при двух¬
фононном рассеянии акустическими колебаниями время
релаксации
(5.27')
а подвижность
(5.27")

70
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Константа D является аналогом константы С для одно¬
фононного рассеяния (см. (5.18) и (5.19)). Она отличается
С	о
от последней размерностью: -g- имеет размерность см*.
Рассеяние электронов тепловыми колебаниями решетки
рассматривалось выше как взаимодействие электронного
газа с газом фононов. Возможен другой подход к задаче,
а именно: метод потенциала деформации, разработанный
Бардином и Шокли [93, 184].
Акустические колебания атомов решетки, представляю¬
щие собой продольные или поперечные волны, искажают
периодическое поле решетки: на потенциал решетки накла¬
дывается другой периодический потенциал. Наиболее
существенную роль в рассеянии электронов играют те
колебания решетки, длины волн которых несколько меньше
длины волны электрона X. Продольные волны такой длины
создадут в решетке чередующиеся области сжатия и рас¬
ширения размером несколько меньше у. Это согласуется
с известным положением волновой теории, согласно кото¬
рому наиболее эффективно рассеивают неоднородности
среды протяженностью ^	. Поскольку тепловая ско¬
рость электрона на один-два порядка выше скорости зву¬
ковой волны, можно деформацию кристалла при движении
по нему электрона рассматривать как статическую. Изме¬
нения параметров решетки, обусловленные распростра¬
нением звуковых волн, приводят к изменению структуры
энергетических полос кристалла и, в частности, к изме¬
нению положения их границ. Это смещение краев полос
эквивалентно введению переменной потенциальной энер¬
гии электрона, которую называют потенциалом дефор¬
мации.
В упрощенном изложении метода потенциала деформа¬
ции кристалл рассматривается как совокупность кубиче¬
ских ячеек объемом Q0 = (ЬХ)3 и с длиной ребра b порядка
X
у, сжимающихся и расширяющихся независимо друг
от друга. При движении электрона по кристаллу его
кинетическая энергия будет скачкообразно изменяться
на границах элементарных ячеек, что соответствует рез-

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
71
§ 5]
кому возрастанию коэффициента отражения электронных
волн на границах. Таким образом, потенциал деформации
является для электронов рассеивающим потенциалом.
Значение потенциала деформации бе может быть вы¬
ражено в линейном приближении через изменение объема
б£2 кубической ячейки следующим образом [185]:
(5.29)
Здесь имеет смысл смещения дна полосы проводимо¬
сти или потолка валентной полосы при единичной дефор¬
мации (6Q = Q0).
Поскольку упругая энергия, запасенная при дефор¬
мации,
(Р — давление, Р —объемный модуль упругости) в среднем
кТ
равна -у, находим
(5.30)
Рассматривая величину бе как барьер, отражающий
электроны, можно найти вероятность отражения | R |2 элек¬
тронной волны. Расчет показывает, что
(5.31)
где р — квазиимпульс носителя тока, m — эффективная
масса.
Длину свободного пробега 1а можно теперь найти, ес¬
ли принять во внимание, что вероятность рассеяния элек¬
трона при прохождении пути ЬХ (размер рассеивающей
ячейки) равна . Так как вероятности рассеяния от
* i
передней и задней граней кубической ячейки равны | /? |2,
то общая вероятность рассеяния при прохождении через
такую ячейку

72
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. 11
Отсюда для 1а получается (кр заменяется через h)
(5.32)
Более точный расчет [185] приводит к несколько от¬
личному от (5.32) выражению для 1а:
(5.33)
где С и — среднее значение упругой постоянной для про¬
дольных волн, распространяющихся в различных кри¬
сталлографических направлениях.
а
Приближенное значение 1а (5.32) при М = (наибо¬
лее эффективное рассеяние) и
всего вдвое больше точного значения (5.33).
Сравнение формул (5.28) и (5.33) показывает, что оба
метода расчета рассеяния носителей тока акустическими
колебаниями приводят к одинаковой зависимости длины
свободного пробега от энергии и температуры, однако
в одном случае 1а выражается через параметр С, связан¬
ный с температурой Дебая, в другом —через энергию
смещения ех края полосы. Из (5.28) и (5.33) видно, что
2 л л il/ о
81 = Т С' а C“=Q-0W-
3. Обратимся теперь к кристаллам с ионной решет¬
кой. В качестве простейшего примера ионного полупро¬
водника рассмотрим кубический кристалл, элементарная
ячейка которого состоит из двух ионов с зарядами Ze
и — Ze и массами М+ и Л/_. Объем элементарной ячейки
Q0 = 2а3, а — расстояние между соседними ионами. Так
как взаимодействие электронов с оптическими колеба¬
ниями, которые создают в полярных кристаллах перемен¬
ные электромагнитные поля, значительно сильнее, чем
взаимодействие с акустическими колебаниями, то послед¬
ние можно не учитывать**).
*) Сп и 6'12—упругие постоянные кристалла.
**) При понижении температуры вероятность рассеяния элек¬
тронов оптическими колебаниями, пропорциональная

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
73
§ 5]
Возникающая при оптических колебаниях дополни¬
тельная поляризация характеризуется дипольным момен¬
том единицы объема, который вблизи 1-й ячейки равен
(5.34)
где у ■“ фактор, учитывающий поляризацию связанных
электронов, вызванную смещением ионов и1± (см. (5.8)).
Поскольку для процессов рассеяния носителей сущест¬
венны только длинноволновые колебания, то Р можно рас¬
сматривать как непрерывную функцию координат. До¬
полнительная потенциальная энергия носителя U = еФ,
обусловленная смещением ионов, должна поэтому удовле¬
творять уравнению Пуассона
(5.35)
Из уравнения (5.35) можно найти энергию возмуще¬
ния U, матричный элемент которой определяет вероят¬
ность перехода электрона из состояния р в состояние
Р' ~ Р ± hq. Вероятности испускания и поглощения элек¬
троном фонона оказываются равными [36]
(5.36)
(5.37)
приведенная масса ионов.
убывает быстрее вероятности рассеяния акустическими колебания¬
ми, пропорциональной
со°п > со™ Однако для большинства кристаллов сравнительно
большая роль рассеяния на акустических колебаниях должна
наблюдаться при столь низких температурах, когда рассеяние
определяется уже не колебаниями решетки, а примесями. Кроме
того, роль акустических колебаний в рассеянии будет, естественно,
тем больше, чем меньше «степень ионности» кристалла, то есть
чем сильнее выражены ковалентные связи.

74
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Поскольку электроны взаимодействуют главным обра¬
зом с продольными колебаниями, то в двухатомных ре¬
шетках, где имеются три оптические ветви (35—3 = 3 при
5 = 2), следует рассматривать только одну ветвь колеба¬
ний. Для длинноволновых оптических колебаний, которые
играют основную роль в рассеянии, частота со слабо за¬
висит от волнового вектора q, и поэтому можно в первом
приближении считать, что все колебания имеют одну ча¬
стоту со = со0, где со0 — предельная частота продольных
колебаний при q—>0.
В то время как изменение энергии электрона Ае =
= ± hwq при поглощении или испускании акустического
фонона очень мало по сравнению со средней энергией элек¬
трона е, то при взаимодействии с оптическими фононами
изменение энергии Ае = ± /ico0 может быть у различных
кристаллов в зависимости от температуры как больше,
так и меньше е.
В области высоких температур, когда кТ > йсо0, из¬
менение энергии для подавляющего большинства электро¬
нов при поглощении или испускании фонона пренебре¬
жимо мало. В области низких температур, когда кТ < йсо0,
электроны могут только поглощать фононы, причем энер¬
гия их сильно изменяется. Выше отмечалось, что время
релаксации существует лишь в том случае, если энергия
электрона в процессе столкновения изменяется незначи¬
тельно. Можно, однако, ввести время релаксации при
низких температурах, рассматривая столкновение как
двойной переход: поглощение кванта йсо0 и немедленно
следующее за ним испускание такого же кванта (оба
кванта равны между собой с точностью, с которой можно
считать частоту со не зависящей от q, пренебрегая дис¬
персией поляризационных волн). Пренебрежение временем,
в течение которого электрон находится в состоянии
с большой энергией, допустимо потому, что вероятность
излучения фонона, пропорциональная TVQ-f 1, при низких
температурах значительно больше вероятности поглощения
фонона, которая пропорциональна Nq. Действительно, по¬
скольку мы считаем, что решетка находится в тепловом
равновесии, Na является функцией Планка и, следова-
Таким образом, можно

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
75
i 5)
считать, что и при температурах, значительно менынпх
характеристической 0О =	, электрон в процессе взаимо¬
действия с колебаниями решетки почти не изменяет энер¬
гии (направление квазиимпульса может при двойном пе¬
реходе сильно измениться). В том, что такое упрощение
является приемлемым, убеждают и результаты работы
Сондхеймера [60], который решал кинетическое уравне¬
ние вариационным методом. Выражения для кинетических
коэффициентов при низких температурах, найденные
Сондхеймером, точно совпадают с формулами, получен¬
ными Б. И. Давыдовым и И. М. Шмушкевичем [36] в
предположении, что время релаксации существует. Метод
матрицы плотности, который А. Г. Самойлович и др.
[179] применили для расчета времени релаксации при
низких температурах, также привел к результатам, сов¬
падающим в основном с результатами обычной кинети¬
ческой теории (см. § 4).
Опуская расчет, который аналогичен расчету для рас¬
сеяния электронов акустическими колебаниями решетки,
приведем формулы для длины свободного пробега в слу¬
чаях низких и высоких температур.
При Т < 0О
(5.38)
а подвижность согласно (4.13)
(5.38')
(5.39)
поскольку при
(5.39')

76
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Для длины свободного пробега и подвижности поляро¬
нов, которые при не слишком высоких температурах яв¬
ляются согласно С. И. Пекару [63] основными носите¬
лями тока в ионных кристаллах, получаются следующие
выражения.
При Т « 0О
(5.40)
(5.40')
для двухфононных процессов рассеяния
(5.40")
а подвижность
(5.40'")
При Т > 0О
(5.41)
а подвижность
(5.41')
при двухфононном рассеянии
(5.41")
а подвижность
(5.41*)
Сравнение (5.41') и (5.41'") показывает, что темпера¬
турная зависимость подвижности поляронов при Г » 0О
заметно отличается для одно- и двухфононного рассеяния.
Вообще говоря, при высоких температурах возможны

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
77
8 5]
wi-2)
случаи, когда — >1, то есть когда главную роль в рас-
ип
сеянии будут играть процессы с излучением и поглоще¬
нием фонона.
В (5.40) и (5.41)
са полярона, х и х0 — статическая и оптическая диэлек¬
трические проницаемости.
Мы уже отмечали в § 4, что теория встречается со
значительными затруднениями при интерпретации про¬
цессов рассеяния в полупроводниках с малой подвижно¬
стью носителей тока. Фрёлих и Сивел л [176] предложили
отличный от обычного подход к проблеме рассеяния в
таких полупроводниках. Малые подвижности могут быть
обусловлены не только малыми, противоречащими соот¬
ношению неопределенностей, длинами свободного пробега,
как обычно предполагалось, но и большими эффектив¬
ными массами. При этом времена релаксации могут оста¬
ваться достаточно большими, чтобы выполнялся крите¬
рий (4.16) т > ^. Большие эффективные массы соот¬
ветствуют узким энергетическим полосам, которые могут,
в частности, возникать в таких веществах, как окислы, где
атомные волновые функции перекрываются относительно
мало.
Взаимодействие носителей тока с колебаниями решетки
в случае очень узких полос, ширина которых W < кЬ
(6 — температура Дебая), не может быть рассмотрено
методом теории возмущений. Фрёлих и Сивелл исходят
из того, что проводимость в полупроводниках с малой
подвижностью осуществляется поляронами с большой
эффективной массой. В расчете эти авторы пользуются
методом сильной связи Блоха, но в отличие от обычной
теории поляронов [63], в которой изменение энергии
электрона проводимости, вызванное смещением ближай¬
ших к нему ионов, рассматривается как малое возмуще¬
ние, они включают в основное состояние взаимодействие
электрона со смещениями ионов, обусловленными электри¬
ческим полем электрона.
Собственные состояния электронно-ионной системы
конструируются как линейные комбинации локальных

78
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
состояний, в каждом из которых электрон связан с поло¬
жительным ионом и поляризует (смещает) соседние ионы.
Энергетические уровни, соответствующие собственным
состояниям системы, образуют полосу, ширина которой
определяется интегралом перекрытия, то есть энергией,
требуемой для локализации электрона вблизи одного
из ионов. Интеграл перекрытия определяет перемещение
электрона совместно с сопровождающей его поляризацией
между соседними положительными ионами. Ширина
поляронной полосы энергий равна согласно Сивеллу [177]
(5.42)
где WQ—ширина соответствующей электронной полосы,
если пренебречь поляризацией ионов, А — смещение
среднего положения иона, которое вызвано электроном,
находящимся у соседнего узла, А0— амплитуда нулевых
оптических колебаний ионов. Если величина
то есть если взаимодействие электрона с ионами сильное,
поляронная полоса может стать очень узкой, а эффектив¬
ная масса полярона большой.
Фрёлих и Сивелл [176] рассмотрели различные меха¬
низмы рассеяния носителей тока и нашли температурные
зависимости подвижности поляронов.
Для рассеяния на ионах примеси подвижность
(5.43)
где а —постоянная решетки, / — эффективное сечение рас¬
сеяния, Nn — концентрация ионов примеси. Эффективное
сечение рассеяния для экранированного кулоновского по¬
тенциала отталкивания порядка геометрических размеров
иона, поскольку на таком центре рассеиваются главным
образом электроны с большими импульсами.
При рассмотрении взаимодействия с тепловыми коле¬
баниями решетки предполагается, что оптические коле¬
бания ответственны главным образом за малую ширину
энергетических полос. Матричные элементы для рассея¬
ния на акустических фононах оказываются пропорцио¬
нальными ширине полосы W и, в отличие от случая

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
79
§ 5]
широких полос, включают даже в первом приближении
более чем один фонон. Для гс-фононного процесса матрич¬
ные элементы пропорциональны gn. При g<l, то есть
при относительно слабом вкладе акустических колебаний
в поляризацию ионов, однофононные процессы рассеяния
запрещены законами сохранения энергии и квазиимпульса,
а основную роль играют двухфононные процессы (погло¬
щение фонона с волновым вектором qx и испускание фо¬
нона с волновым вектором q2). Матричный элемент для
такого процесса рассеяния
(5.44)
где N — общее число атомов, Nql и Nq2 — числа фононов
с волновыми векторами qx и q2.
Для температур выше дебаевской (Т > 0) при g < 1
uW< кв расчет подвижности дает
(5.45)
При Т < в вместо третьей появляется восьмая степень
0
Y в формуле для и™.
Если Т = 0, уравнение (5.45) приводит к значениям
иа > 1 см2.в~1-сек~1 (полагается а = 3-10"8 сж), не проти¬
воречащим соотношению неопределенностей (4.17").
Очевидно, что значения иа < 1 см2-в'1.сек'1 должны
соответствовать случаю сильного взаимодействия носите¬
лей тока с акустическими колебаниями, то есть g > 1.
При достаточно высоких температурах также может стать
существенным рассеяние оптическими колебаниями.
Вырождение электронного газа в ионных полупровод¬
никах различным образом влияет иа время релаксации при
высоких и при низких температурах. При наличии вы¬
рождения следует учесть возможность того, что состоя¬
ние, в которое должен перейти электрон в результате
столкновения с фононом, окажется занятым. Учет этого
обстоятельства приводит к появлению в интеграле столк¬
новений множителя 1 — /.
Члены, обусловленные вырождением, появляются, как
нетрудно видеть (см. (5.1) и (5.21)), из-за единицы в вы¬
ражении Nq +1.

80
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
ГГЛ. II
При высоких температурах
и следовательно, вырождение не должно влиять на зави¬
симость длины свободного пробега от энергии и темпера¬
туры: формула для /оп совпадает с (5.39) для невырож¬
денного газа.
При низких температурах (кТ < йсо0)
(5.46)
и множитель 1 — /, учитывающий вырождение, сущест¬
венно скажется на результате расчета. Длина свободного
пробега электронов выражается в этом случае формулой
(5.47)
где /0 — фермиевская функция распределения.
Зависимость длины свободного пробега 1оп от темпера¬
туры в ионном кристалле при наличии вырождения имеет
такой же характер, как и в невырожденном случае,
однако рост /оп при понижении температуры будет менее
резким, так как при Т —» 0	1 — /0 —> 0.
4. При низких температурах основными центрами
рассеяния электронов становятся ионизированные и ней¬
тральные примеси, дислокации и другие дефекты решетки.
Вычисление интеграла столкновений для рассеяния
на ионах примеси производится при следующих упроща¬
ющих предположениях:
1)	массы рассеивающих ионов бесконечно велики по
сравнению с массой электронов;
2)	соударения являются упругими;
3)	примесные ионы распределены в решетке случайно
и рассеивают электроны независимо друг от друга.
Если примеси отличаются по валентности от атомов
основной решетки, то они создают кулоновские дально-
действующие поля, потенциальная энергия которых
(5.48)
где х — макроскопическая диэлектрическая проницае¬
мость.

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
81
§ 5]
Для кулоновского потенциала эффективное сечение рас¬
сеяния /(0), то есть количество электронов, рассеивае¬
мых в единицу времени на угол д в единице телесного
угла, согласно формуле Резерфорда, стремится при малых
углах рассеяния к бесконечности. На малые углы откло¬
няются электроны с большими параметрами соударений,
то есть те, которые движутся на больших расстояниях
от заряженного центра. Конвелл и Вайскопф [62] обошли
эту трудность, предположив, что для электрона с пара¬
метром соударения, меньшим половины расстояния между
соседними ионами, потенциальная энергия имеет вид
(5.48), а для электронов с большими параметрами соуда¬
рений U = 0. В более строгом рассмотрении Брукса
и Херринга и др. [64] учтено экранирование поля заря¬
женного донора или акцептора дырками и электронами
проводимости.
Пространственное распределение потенциала
вблизи какого-либо иона примеси, который мы
будем рассматривать как «лишний» в решетке, можно
найти из уравнения Пуассона
(5.49)
Пусть для определенности «лишний» ион является
положительно заряженным. Тогда плотность объемного
заряда Q = e(Nu + i) — en', где 7VM — концентрация иони¬
зированных доноров, п' — концентрация электронов прово¬
димости, е > 0. В электростатическом поле «лишнего» иона
энергия электронов будет отличаться на еФ от их энер¬
гии в отсутствие возмущающего поля, и следовательно,
концентрация
(5.50)
где |Lt — химический потенциал электронов, п = Nu — их
концентрация в невозмущенной решетке.
При такой зависимости п9 от Ф уравнение Пуассона не
может быть точно решено. Его можно линеаризировать,
предполагая, что
6 И. М. Пидильковокий

82
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
ГГ Л. II
Такое разложение в ряд справедливо для достаточно боль¬
ших г, когда потенциал Ф мал (еФ < ц).
Подставляя выражение для q в уравнение (5.49), по-
лучаем
(5.51)
Решение уравнения (5.51) имеет вид
(5.52)
где радиус экранирования R определяется для невырож¬
денного электронного газа формулой
(5.53)
При произвольной степени вырождения электронного
состояния
(5.54)
причем
В случае сильного вырождения
и
(5.55)
Определяемый формулой (5.52) потенциал Ф~ — при
г < R (закон Кулона), а при г > R экспоненциально
убывает.
Зная потенциал возмущения Ф(г), можно рассчитать
вероятность рассеяния носителей тока на ионах примеси.
В силу эрмитовости матрицы || Vpp' || (см., например,
[185]), выражающейся в том, что Vpp> = VP'P (звездочкой
обозначается, как обычно, комплексно-сопряженная вели-

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
83
|Й
чина), и четности б-функции можно интеграл столкнове¬
ний (5.2) представить в виде
(5.56)
Вводя в пространстве квазиимпульсов р' сферические
координаты р', #, ф с осью, направленной вдоль ру
и предполагая, что Vppt зависит только от угла О между
р и р\ а не от каждого из этих векторов в отдельности,
можно проинтегрировать (5.56) по р' и ср. Полагая, как
и выше,
и учитывая, что б(гр — ер/) отличается от нуля только
при ер — ерг *) (соударения упругие), находим
(5.57)
При интегрировании по ср учтено, что вследствие упру¬
гого характера соударений \р\~\р'\=р* Если т]; и
ф;—углы между осью / (я, у или z) и векторами р и р'
соответственно, то
Следовательно,
(5.58)
Таким образом, интеграл столкновений можно свести
где время релаксации ти
*) При интегрировании по р' удобно перейти к переменной ер/.
Тогда

$4
ТЕОРИЯ ТЁРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
определяется формулой
(5.59)
или
(5.59')
где вероятность рассеяния
Вероятность рассеяния электрона примесным центром
может быть вычислена в предположении, что рассеяние
является малым возмущением движения электрона, то есть
в так называемом приближении Борна. Это приближение
применимо, если потенциальная энергия U (г) частицы
во внешнем поле мала по сравнению с ее кинетической
энергией. Оно во всяком случае применимо для достаточно
быстрых частиц.
В расчете используется, как обычно при рассмотрении
полупроводников, метод эффективной массы. Этот метод
основывается на теореме Пекара — Слэтера [63], согласно
которой решение точной задачи о движении электрона
в периодическом поле кристалла при наличии возмуще¬
ния, характеризуемого плавным потенциалом Ф (г) (Ф мало
меняется на расстоянии, равном постоянной решетки),
можно аппроксимировать решением приближенной задачи
Шрёдингера, в которой вместо электрона, движущегося
в периодическом поле, рассматривается свободный электрон
с некоторой эффективной массой. При этом волновая функ¬
ция электрона является не блоховской = CpXi>e(i/n)pr>
а плоской волной = Cpe(i/n)pr.
Поток падающих электронов, движущихся со скоростью
v = относительно примесного иона, будем описывать
плоской волной
(5.60)
Эта волна характеризует поток с плотностью в один
электрон на единицу объема (|фр|2 = 1), или поток v элек¬
тронов, проходящий через единицу площади поперечного

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
85
I 51
сечения в единицу времени. Поскольку состояние, в ко¬
торое электрон переходит после рассеяния, мы характе¬
ризуем импульсом (р'), то нормировочный коэффициент
волновой функции фр/ должен быть равен —-у^у2 [188],
то есть
(5.61)
Используя выражения для фр и фр>, можно найти
матричный элемент V (д) и вероятность рассеяния элек¬
трона Z?(d) как функции энергии возмущения U (г).
Опуская вычисления (см., например, [188]), приведем
окончательную формулу Борна для вероятности рассеяния
(5.62)
Подставляя U — еФ из (5.52) в (5.62), находим
(5.63)
Принимая во внимание, что при наличии в единице
объема не одного иона примеси, a Na ионов вероятность
рассеяния потока электронов будет в iVH раз больше
(ионы по предположению рассеивают независимо друг
от друга), и производя в (5.59') замену переменных
находим
»
(5.64)
Для не слишком низких температур Ь обычно значи¬
тельно больше единицы, и выражение в фигурных скоб¬
ках можно заменить на lnfc.

86	ТЕОРИЙ ТЁРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ	£ГЛ. И
Подвижность согласно (4.13)
(5.64')
Теория примесного рассеяния является относительно
грубой. Во-первых, рассеяние рассматривается как малое
возмущение движения электрона, что, по-видимому, не
всегда оправдано. Во-вторых, ввиду отсутствия точных
сведений о распределении электронов вблизи примесного
атома не учитываются эффекты, имеющие место в самом
примесном центре и в его непосредственной окрестности.
В-третьих, не учитываются столкновения между электро¬
нами, которые играют заметную роль при рассеянии на
ионах примеси. Такие соударения могут привести к зна¬
чительному изменению импульса электрона. При рассея¬
нии на примесных ионах более быстрые электроны, имею¬
щие большее время свободного пробега, приобретают
больший импульс от электрического поля. Столкновения
электронов друг с другом приводят к перераспределению
части приобретенного импульса между всеми электро¬
нами. В результате межэлектронных столкновений быст¬
рые электроны получают меньший импульс, чем в случае,
если бы такие соударения отсутствовали. Расчет Шпит-
цера и др. [189] показал, что обусловленное межэлектрон¬
ным взаимодействием уменьшение подвижности состав¬
ляет 60% от значения, даваемого формулой (5.64').
В случае рассеяния на фононах этот эффект значительно
слабее. В-четвертых, вызывает сомнения трактовка экра¬
нированного кулоновского потенциала иона как статиче¬
ского рассеивающего потенциала. И наконец, вся теория
рассеяния на ионах примеси строго обоснована для кон¬
центраций носителей тока и ионов, меньших, чем обычно
встречается в полупроводниках.
5. При низких температурах может оказаться суще¬
ственным рассеяние носителей тока на нейтральных ато¬
мах примеси. Этот механизм рассеяния должен прояв¬
ляться при столь низких температурах, при которых
большинство атомов примеси еще не ионизировано.
Пирсон и Бардин [190], а затем более строго Эргин-
сой [61] показали, что задача о рассеянии электронов

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
87
§ 5]
нейтральными примесями аналогична задаче о рассеянии
медленных электронов атомами водорода (см. [191]).
В расчете вероятности рассеяния учитывается: 1) что
электроны движутся в среде с диэлектрической проницае¬
мостью х, вследствие чего радиус орбиты связанного
электрона, эквивалентный боровскому радиусу в атоме
водорода,
(5.65)
велик, а значит, велико эффективное сечение рассеяния,
2) что рассеиваемый электрон поляризует атом и 3) что
имеет место обменное взаимодействие между падающими
и связанными электронами, которое существенно для мед¬
ленных электронов.
Расчет показывает, что вероятность рассеяния на нейт¬
ральных примесях выражается формулой
(5.66)
где iVH — концентрация нейтральных атомов примеси.
Подвижность согласно (4.13)
(5.66')
В отличие от рассеяния на ионизированных примесях
(см. (5.64)) время релаксации при рассеянии на нейтраль¬
ных примесях не зависит от температуры и энергии носи¬
телей тока (а подвижность не зависит от температуры)
и пропорционально диэлектрической проницаемости (см.
таблицу 2).
Теория рассеяния на нейтральных примесях имеет
тот же существенный недостаток, что и теория рассеяния
на заряженных примесях: не учитывается распределение
электронов вблизи примесного атома.
6. При низких температурах определенный вклад
в рассеяние электронов могут внести нарушения решетки
и, в частности, дислокации. Это рассеяние должно наблю¬
даться на очень чистых полупроводниках, так как при
большом содержании примесных ионизированных центров
рассеяние на них будет значительно преобладать над рас¬
сеянием на дислокациях.

Время релаксации
88
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Таблица 2
Ссылка
[92]
[93, 184]
Примечание
w—скорость звука,
М—масса атома,
С—постоянная Блоха,
а — межатомное рас¬
стояние
Сц — упругая постоян¬
ная продольных
колебаний,
р 	о ^8о
8l~u° ~Ш ’ 0
энергия края по¬
лосы проводимо¬
сти или валент¬
ной, й0— началь¬
ный объем эле¬
ментарной ячейки
(до деформации)
to
9я hlw2M
4J/T С*сР(ткТ)*,г
ЯЙ4С([
у 2 el (mkT)8/*
г
0
0
Тип рассеяния
Атомные полупро¬
водники (аку¬
стические коле¬
бания)
Атомные полупро¬
водники (метод
потенциала де¬
формации)
1.
2.

Продолжение табл. 2
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИЙ
89
$5]
Ссылка
[36,94]
[95]
[36,60]
[94]
Примечание
у —фактор, учитываю¬
щий поляризуе¬
мость ионов,
со0 — предельная часто¬
та продольных
оптических коле¬
баний,
Ъе—заряд иона
п — показатель пре¬
ломления,
х — статическая
диэлектрическая
проницаемость
/о—функция распре -
деления Ферми
а3М ( h<oо у
2nV2mkT \y^e2J
3(x-«»+i) 1
х—„2 У2тп%щ{е)
X [exp (fm0/kT) — 1 ],
а3М (Йсо0)*/4 ,,
2я |/ 2m (yZe2)2
X [exp (h&0lkT) — 1]
(Лсо0)8/а
2я|/2т (YZe2)2
x [exp (Па0/кТ)— 1] (1 — /о)
г
1
V*
V.
Тип рассеяния
Ионные полупро¬
водники (высокие
температуры
Ионные полупро¬
водники (низкие
температуры
Т < 0О, малые
концентрации но¬
сителей тока)
Ионные полупро¬
водники (низкие
температуры
Т < 0О, большие
концентрации но¬
сителей тока)
1
3.
1
4-
1
5.

Продолжение табл. 2
90
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
Ссылка
[63]
[63]
[62]
[61]
Примечание
1 1
С п2 X
fi—эффективная масса
полярона,
* = о,онв ™fc2
/Ао0
/V,,—концентрация
ионов примеси
/VH—концентра ция
нейтральных при¬
месей
to
0,0916e2c /pArV/*
(/wo0)2 V. 2 )
ft*/e (1+*)8 ..
сеа 2fi(00
X [exp (KaJkT) — 1]
l/2m x2 (kT)3/2
nNKe Ь[1+(е2лгг/3) )
m2e2
ZOhhiNu
г
2
V*
2
l/2
Тип рассеяния
Поляронные полу¬
проводники (вы¬
сокие темпера-
туры Т > 0О)
Поляронные полу¬
проводники (низ¬
кие температуры
Г«0О)
Рассеяние на ионах
примеси
Рассеяние на нейт¬
ральных приме¬
сях
6.
7.
8.
9.

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
91
§ 5]
Декстер и Зейтц [173] рассчитали методом потенциала
деформации рассеяние носителей тока полями напряже¬
ний дислокаций и нашли, что время релаксации, а следо¬
вательно, и подвижность пропорциональны температуре
(5.67)
При изотропном распределении дислокаций коэффици¬
ент D—-rr—jNjw—число линейных дислокаций на 1 см2.
^дк
В электронном германии линия дислокации может
образовать длинный заряженный цилиндр, который дол¬
жен действовать как сильный рассеивающий центр. Нали¬
чие подобного эффекта позволило качественно объяснить
результаты измерений подвижности электронов в пласти¬
чески деформированном n-Ge [193].
7.	Рассеяние носителей тока друг на друге может
дать заметный вклад в общую проводимость, если энерге¬
тические поверхности отличаются от сферических или если
имеются одновременно два типа носителей. Этот механизм
может играть роль при таких температурах и концент¬
рациях носителей тока, когда преобладающим является
рассеяние на ионах примеси. Однако рассмотреть рас¬
сеяние носителей тока друг другом обычными методами
невозможно, поскольку при столкновениях меняется энер¬
гия каждого из них и нельзя, следовательно, ввести
время релаксации. Не выполняется также условие (5.71)
(см. ниже), которое также позволяет описать процесс
соударения с помощью времени релаксации.
8.	Анализ приведенных выше расчетов времени релак¬
сации дает возможность получить критерий (4.16) приме¬
нимости теории явлений переноса, основанной на кине¬
тическом уравнении. Согласно первому приближению теории
возмущений вероятность того, что система в момент t будет
находиться в состоянии г1У если при t = 0 она находилась
в состоянии е0, выражается через матричный элемент
перехода V0l следующим образом [188]:
(5.68)

92
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГЯИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
• о ®01^
sin2
Зависимость множителя —^— от соо1 (или от ег)
имеет резкий максимум при соо1 = 0, то есть при е = ev
12
величина которого равна у. Ширина максимума поряд-
h	2л у	^
ка у, так как при соо1 — — функция эта убывает до
нуля. С ростом t максимум возрастает пропорционально
t2 и при t—>co становится столь острым, что
приобретает характер 6-функции
и вероятность перехода становится пропорциональной
времени. Это позволяет определить вероятность перехода
за единицу времени, выражение для которой (5.10) было
использовано нами в расчете
(5.69)
играет роль продолжительности
соударения, поскольку по истечении времени t становится
несущественным, каким образом происходит переход из
е0 в е1? каковы детали этого процесса. Разброс энергии
конечных состояний Де =	— е0 связан с соотношением
неопределенностей, так как включение возмущения V
можно рассматривать как способ измерения энергии
системы при переводе ее из одного состояния в дру¬
гое. Если необходимое для измерения время равно t,
то неопределенность энергии должна быть порядка
что соответствует ширине максимума функции
Неопределенность энергии Де должна быть меньше кТ,
так как в противном случае нельзя было бы указать

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
93
§ 5]
значение функции распределения, которая сильно изме¬
няется в интервале порядка кТ. С другой стороны, при
Ае>кТ функция распределения f(p') может оказаться
быстро меняющейся функцией энергии, и невозможно
будет произвести интегрирование (5.2). Таким образом,
при вычислении интеграла столкновений должно выпол¬
няться условие
(5.70)
Поскольку расчет основан на теории возмущений, ко¬
торая применима в том случае, если через время
вероятность перехода Bt мала по сравнению с единицей
(возмущение мало), то вероятность перехода за единицу
кТ
времени В <	. Но так как время релаксации
то условие применимости кинетического уравнения при¬
нимает вид (4.16)
9. Если энергетические поверхности представляют
собой не сферы, а эллипсоиды, как это имеет место для
полос проводимости германия и кремния, то есть
то в выражения для времен релаксации и подвижностей
вместо одной эффективной массы m будут входить ком¬
бинации из mv тп2 и т3.
Так, например, в случае германия, у которого по¬
верхность постоянной энергии для полосы проводимости
вблизи минимумов представляет собой четыре эллипсоида
вращения, главные оси которых направлены вдоль диаго¬
налей куба в пространстве квазиимпульсов, т'2 в выра¬
жении для длины свободного пробега 1а (5.28) следует
заменить на (m2m3)~8/2, а тГь,г в соответствующем выра¬
жении для подвижности — на
т1 — поперечная масса, тъ — продольная масса.

94
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Рассеяние на ионах примеси в случае несферических
поверхностей энергии теоретически исследовано еще не¬
достаточно. Если предположить, что время релаксации ти
существует, и учесть, что основную роль играет рассея¬
ние на малые углы, то можно оценить интеграл столкно¬
вений (ти) для частных случаев, когда квазиимпульс р
в начальном состоянии направлен вдоль одной из главных
осей эллипсоида. Выражение для ти может быть записано
в таком же виде, как и в случае сферической по¬
верхности, но множитель т~1/2 следует заменить на
где т1 — эффективная масса в направ¬
лении квазиимпульса р. Это приводит для германия, на¬
пример, к тому, что одна из вероятностей столкновения
в ^ 14,1 раза, а две другие в ^ 1,83 раза больше, чем
для массы свободного электрона. Сравнение подвижностей,
оцененных по значениям времен релаксации для главных
направлений, с данными эффекта Холла и изменения со¬
противления показывает, что наблюдаемое рассеяние на
ионах примеси несколько больше, чем следует из теории.
Необходимо отметить, что теория не может в этом случае
претендовать на количественное согласие с экспериментом,
так как понятие времени релаксации становится непри¬
менимым при большой анизотропии рассеяния, которая
имеет здесь место.
При рассеянии на нейтральных примесях в случае
поверхностей, представляющих собой эллипсоиды враще¬
ния (ai-Gc), in 2 в формуле для тн (5.66) следует заме¬
нить на
10. Во всех рассмотренных выше механизмах рас¬
сеяния время релаксации удавалось ввести для сфериче¬
ских поверхностей постоянной энергии и изотропного рас¬
сеяния. Можно ли описывать процессы рассеяния вре¬
менем релаксации в случае анизотропного энергетического
спектра? Этот вопрос наиболее подробно рассмотрен
Херрингом [194].
Если рассеяние приводит к случайному распределению
скоростей, то есть если
(5.71)

ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИЙ
35
§ 53
где р* — состояние возле того же минимума энергии, что
и р, но с противоположной скоростью, то интеграл столк¬
новений (5.2) может быть упрощен. Действительно,
поскольку /i = / — /о — нечетная функция относительно
инверсии р±^р*, а В —четная. Поэтому интеграл
(5.2) сводится к виду —	, где время релаксации
определяется выражением
(5.72)
Анализ, проведенный Херрингом для полупроводников
типа п-Ge с несколькими минимумами на изоэнергети-
ческой поверхности, показал, что время релаксации, за¬
висящее от энергии е, но не от направления квазиимпуль¬
са р (то есть от положения на изоэнергетичсской поверх¬
ности), можно, по-видимому, ввести для процессов пере¬
броса электрона из одного минимума в другой, для
рассеяния на нейтральной примеси, а в гомеополярных
кристаллах и для рассеяния на оптических колебаниях.
Для рассеяния на акустических колебаниях приближение
т (е) справедливо не всегда (в зависимости от степени
анизотропии эффективной массы и соотношения парамет¬
ров потенциала деформации), а для рассеяния па ионах
примеси обычно вовсе неправильно.
Развивая дальше теорию явлений переноса для полу¬
проводников со многими минимумами на изоэнергетических
поверхностях, Херринг и Фогт [182] показали, что для
каждой эллипсоидальной поверхности рассеяние может
быть описано тремя временами релаксации (соответству¬
ющими трем главным осям эллипсоида), которые зависят
от энергии. Это приближение справедливо, если процессы
рассеяния либо приводят к случайному распределению
скоростей (5.71), либо являются упругими (Де < е), то есть
для большинства механизмов рассеяния, встречающихся
в полупроводниках. Процессы рассеяния с перебросом
электрона из одного минимума в другой и рассеяние на
оптических (неполяризационных) колебаниях, для которых

96
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
вероятность перехода не зависит от положения точек р
и р' на энергетических поверхностях, удовлетворяют
условию (5.71), а процессы рассеяния на примесях и аку¬
стических колебаниях являются упругими или почти
упругими.
§ 6. Изотермические эффекты
(Примесная проводимость)
Рассмотрим все изотермические термомагнитные явле¬
ния для полупроводников с носителями тока одного знака.
Будем предполагать, что выполняются условия (4.12),
то есть максвелло-больцмановская статистика, энергети¬
ческие поверхности сферичны, а время релаксации носи¬
телей тока является степенной функцией энергии.
Пусть электрический ток в полупроводнике отсутствует,
а градиент температуры совпадает по направлению с осью х.
Чтобы учесть влияние на эффекты последних членов
в (4.8") и (4.9") (токи, направленные вдоль магнитного
поля), положим, что магнитное поле расположено в пло¬
скости xz. В этих условиях hx = cos 0, hy = 0, hz = sin 0.
Как будет показано ниже, отличие угла 0 между направ¬
лениями градиента температуры и магнитного поля от у
не только приводит в некоторых случаях к нетривиаль¬
ным зависимостям эффектов от 0, но позволяет рассмотреть
новый эффект -- продольно-поперечный, предсказанный
в 1954 г. Ф. Г. Бассом и автором [44]. Условие изотер-
мичности эффектов для выбранной системы координат
записывается в виде
Используя выражение для тока (4.8"), можно из усло¬
вия j = 0 получить систему уравнений для определения
полей Ех, Еу и Ez. Искомое поле Ех связано с введенной
в § 4 ((4.8") и (4.9")) величиной Ех соотношением
(6.1)
Поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Для
возникающего в направлении оси у поля Еу получаем

ПРЙМЕСЙАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
97
S в]
в результате решения системы j = О (4.8") следующее
выражение:
(6.2)
Из (6.2) видно, что поле поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена является нечетной функцией Н:
то есть поперечный эффект является нечетным.
Выражения для Еу в предельных случаях слабых и
сильных магнитных полей и в предположениях (4.12) при-
п Я
ведем лишь для 0 = —, так как угловая зависимость
эффекта остается такой же, как и в (6.2).
(6.3)
(6.4)
В слабых магнитных полях Еу растет пропорционально
в сильных — убывает, как	Следовательно,
в области промежуточных полей, то есть при
должна обладать по крайней мере
одним максимумом.
Из формул (6.3) и (6.4) следует, что при известном типе
рассеяния носителей тока поперечный эффект Нернста —
Эттингсгаузена позволяет определить подвижность. По
знаку эффекта можно определить, больше ли г половины
или меньше. Если же известна подвижность, то можно
7 И. М. Цидильковский

98
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. И
вычислить значение г. В табл. 3 приводятся значения
коэффициентов ат и сг для различных значений г.
Таблица 3
Г
а
г
сг
'V
ь_4
г 2
-0,25
1,5738
1,3258
8,2532
7,0148
0
1,1781
1,1318
1,7671
1,0732
0,25
1,0356
1,0312
1,1168
0,5805
0,5
1,0000
1,0000
1,0000
0,5000
0,75
1,0278
1,0312
1,0828
0,5546
1,0
1,1045
1,1318
1,3254
0,7154
1,25
1,2273
1,3258
1,7692
1,0161
1,5
1,4000
1,6667
2,5200
1,5400
1,75
1,6308
2,2686
3,7755
2,4456
2,0
1,9328
3,3953
5,8905
4,0226
В предположениях (4.12) удается получить формулы
лишь для предельных случаев слабых и сильных магнит¬
ных полей. Формулы для магнитных полей произвольной
величины можно получить для конкретных механизмов
рассеяния, то есть для определенных значений г.
Приведем формулы поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена для трех значений г: 0, 1/2 и 1 (см. табл. 2).
При других значениях г выражения для термомагнитных
эффектов невозможно свести к известным функциям, и
расчет может производиться лишь путем численного инте¬
грирования.
(6.5)
(6.6)
(6.7)

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
99
§ 6]
Здесь и ниже используются следующие обозначения:
На рис. 4 представлены зависимости абсолютных зна¬
чений безразмерного поля
1 и 2, причем %у для г = 2 рассчитано по асимптоти¬
ческим формулам (6.3) и (6.4) при < ~ и > 3.
У всех кривых имеется максимум, который расположен
при - = 1. Нам представляется, что в общем случае
магнитного поля произвольной величины целесообразнее
пользоваться для характеристики поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена не коэффициентом а безраз¬
мерным полем Sy Действительно, при слабых полях Q^
не зависит от Я, при сильных— убывает пропорцио¬
нально Я"2. Таким образом, с одной стороны, Qни при
слабых, ни при сильных полях не отражает зависимости
поля Нернста — Эттингсгаузена от параметра , харак¬
теризующего поведение носителей тока в магнитном поле;
с другой стороны, при переходе к сильным полям коэф¬
фициент Q1- лишается основного достоинства, благодаря
которому, а именно — своей независимости от магнитного
поля, он был избран в качестве характеристики эффекта.
Известно, что при низких температурах роль примес¬
ных центров в процессах переноса может стать сравнимой
7*

too
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
с ролью тепловых колебаний. Рассмотрим попереч¬
ный эффект Нернста — Эттингсгаузена при условии, что
имеются два механизма рассеяния носителей тока:
акустические колебания решетки (г = 0) и примесные
Рис. 4. Зависимость безразмерного поля по¬
перечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
иН
от величины —.
с
Кривая 1 рассчитана для г = 0, кривая 2 — для
r*= 1, кривая 3 —для г = 2. Ось ординат для
кривой 3 помещена справа.
ионы (г = 2). Ограничимся случаем слабых магнитных по¬
лей [42].
При наличии, помимо обычного рассеяния на фононах,
рассеяния на ионах примеси время свободного пробега
носителей тока не может быть выражено формулой (4.12).
Если предположить, как обычно, что процессы рассеяния
на тепловых колебаниях и ионах примеси независимы,
а следовательно, что общая вероятность рассеяния
равна сумме вероятностей рассеяния на фононах и на

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
101
§ в]
ионах, то нетрудно при помощи соответствующих выра¬
жений для т (табл. 2) найти длину свободного пробега
носителей тока
(6.8)
(6.9)
иа — подвижность носителей при рассеянии лишь на
акустических фононах,
ии — подвижность при рассеянии лишь на ионах примеси,
х — диэлектрическая проницаемость,
Nu — концентрация ионов примеси и
(6.10)
Учет экранирования ионов примеси электронами про¬
водимости (дырками) приводит согласно расчету Брукса
и Херринга и др. [64] к значению
(б.и)
(6.12)
Если воспользоваться значением I из (6.8), то из кине¬
тического уравнения при условии j = 0 получим для Еу:
(6.13)
(6.14а)

102
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
(6.146)
(6.14в)
(6.14г)
В формулах (6.14) s (у) и с (у) — интегралы Френеля,
si у и ci у — интегральные синус и косинус:
(6.15)
Графики интегралов Lx (у) приведены в работе Ю. Н. Образ¬
цова [42]. При изменении у от 0 до 10 Li монотонно убы¬
вают от 1, асимптотически приближаясь с ростом у к нулю.
При у = 0, то есть при отсутствии рассеяния на ионах
примеси, и f —— j < 1 (6.13) переходит в (6.3) для слу¬
чая атомного полупроводника (г = 0):
(6.3а)
где (Еу)а — поле Еу при рассеянии носителей лишь акусти¬
ческими фононами.
Если же у —> оо, то есть если рассеяние происходит
только на ионах примеси, то при	Для Еу

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
103
8
получается формула (6.3) при г = 2:
(6.36)
где (Еу)а — поле Еу при рассеянии носителей лишь ионами
примеси.
Сопоставление (6.3а) и (6.36) показывает, что при по¬
нижении температуры, когда начинает преобладать рас¬
сеяние на примесных ионах, знак эффекта у атомных
полупроводников должен измениться с положительного
на отрицательный.
Рис 5. Зависимость поля поперечного эффекта Нерн-
ста — Эттингсгаузена (кривая 1) и отношения эффектив¬
ных подвижностей по эффектам Нернста — Эттингсгау-
2е 0-1*
зена и Холла —	^ ^ (кривая 2) от температуры при
рассеянии носителей тока на акустических колебаниях
решетки и ионах примеси.
На рис. 5 (кривая 1) представлена зависимость функции
у -;г \ от у“2/з* Выбор такой системы координат опре-
\Ьу) а
деляется следующими соображениями. Если предположить,
что иа—У"*8/2* то, как следует из (6.9) (в пренебрежении
слабой зависимостью F от температуры), у — Т~3/2 или
Y“a/s — Т. Таким образом, кривая 1 изображает темпера-

104
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
турную зависимость эффекта Нернста — Эттингсгаузена.
Функция меняет знак при значении у ^ 1,2. Наличие
минимума обусловлено тем, что при низких температурах,
когда преобладает рассеяние на примесях, иа — Г3/а и Еу
убывает с ростом температуры. Убывание поля Еу сме¬
няется при дальнейшем увеличении температуры его
ростом и переменой знака вследствие усиления роли рас¬
сеяния на колебаниях решетки.
Кривая 2 рис. 5 представляет зависимость функции
‘Т"Тд'|"а от темпеРатУРы- В наших обозначениях
(6.16)
(6.17)
Величина -у-зависит только от у и равна отноше¬
нию эффективной подвижности, определенной по эффекту
Нернста — Эттингсгаузена	к эФФективно]® по~
движности, определенной по эффекту Холла (| R | а) (назы¬
ваемой часто холловской подвижностью). В предельных
случаях г = 0 и г = 2 это отношение соответственно
равно 1 и —3.
При больших значениях у формулы (6.14) становятся
непригодными для вычисления Lit и следует пользоваться
их асимптотическими разложениями [42]. При этом с точ¬
ностью до членов, пропорциональных у-2,
(6.18)
Эта формула справедлива при у > 10. Таким образом, рас¬
сеяние на фононах существенно сказывается на эффекте
Нернста — Эттингсгаузена даже нри больших у» т° есть
в области значительного преобладания рассеяния на ионах.
Так, при	40 значение 25 , вычисленное с учетом
иа	v
обоих механизмов рассеяния, примерно вдвое меньше (Е )и,
соответствующего рассеянию только на ионах примеси.

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
105
§ 6}
Продольный эффект Нернста—Эттингсгаузена. Появ¬
ляющееся в направлении градиента температуры электри¬
ческое поле Ех (приращение к термоэлектрическому полю)
выражается формулой
(6.19)
Из (6.19) следует, что продольный эффект Нернста —
Эттингсгаузена не меняет знака при изменении направления
магнитного поля на противоположное, то есть является
четным эффектом
Выражения для Ех в предельных случаях слабых и
сильных магнитных полей и в предположениях (4.12) и
я Я
0 = -тр имеют вид
(6.20)
(6.21)
Значения Ьт и Ьт—для различных г приведены в табл. 3
(стр. 98).
Таким образом, в слабых магнитных полях Ех квад-
ратично зависит от безразмерного параметра ——, в силь¬
ных — стремится к насыщению. В случае сильных маг¬
нитных полей продольный эффект Нернста — Эттингсгау¬
зена позволяет непосредственно по экспериментальным
данным определить показатель г.

106
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Приведем результаты расчета продольного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена при 0 = -у для частных случаев.
г = 0, V2 и 1 (см. табл. 2).
(6.22)
(6.23)
(6.24)
На рис. 6 представлены зависимости абсолютной вели¬
чины безразмерного поля
г = 1. График для случая г = 2, соответствующего рас¬
сеянию носителей тока на ионах примеси и поляронов
на оптических колебаниях решетки при Т > 0О (см. табл. 2),
построен по асимптотическим формулам (6.20) и (6.21).
Продольно-поперечный эффект. Если угол 0 между
первичным потоком тепла, направленным вдоль оси #, и
магнитным полем, расположенным в плоскости xzy отли¬
чен от 0 и -у , то в направлении оси z возникает электри¬
ческое поле, определяющее продольно-поперечный термо¬
магнитный эффект, впервые рассмотренный нами в [44].
Там же был рассмотрен аналогичный гальваномагнитный
эффект, который Гольдберг и Дэвис [65], почти одновре¬
менно предложившие теорию его для атомных полупровод¬
ников с кубической симметрией в случае слабых магнит¬
ных полей, назвали «плоским (planar) Холл-эффектом».
*} В [45, 46] формулы для Ех при г = 0 и г=*1 приведены
ошибками.

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
107
I в]
Происхождение поля продольно-поперечного эффекта
можно наглядно представить следующим образом (см. рис. 7).
Под действием отклоняющей силы магнитного поля
у носителей тока возникает составляющая скорости в
Рис. 6. Зависимость безразмерного поля продольного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена от величины ^ .
Кривая 1 рассчитана для г = 0, кривая 2 — для г = 1, кривая
з —гдлв г = 2.
направлении, перпендикулярном магнитному полю и гра¬
диенту температуры, то есть вдоль оси у (на рис. 7 —
перпендикулярно плоскости чертежа). Благодаря этому
носитель тока опять-таки под влиянием магнитного поля
отклоняется в направлении, перпендикулярном магнитному
полю и оси у (па рис. 7 это направление изображено
прямой, образующей угол 0 с осью z). Так как электри¬
ческий ток при исследовании термомагнитных эффектов

108
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
отсутствует, то в упомянутом направлении, то есть под
углом 0 к оси z, возникает электрическое поле. Компо¬
ненты этого поля по осям х и z представляют собой
Рве. 7. Схема взаимной ориентации магнитного поля Я и полей
продольно-поперечного эффекта Ег и продольного эффекта Нерн-
ста — Эттингсгаузена Ех.
соответственно поля продольного эффекта Нернста —
Эттивгсгаузена Ех и продольно-поперечного эффекта Ег.
Решение кинетического уравнения при условии j = 0
показывает, что поле продольно-поперечного эффекта может
быть выражено через поле продольного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена следующим образом:
(6.25)
Так как согласно (6.19)
л
поле продольного эффекта при 0 = -у, то поле, компонен¬
тами которого являются Ех и Ег, равно по абсолютной
величине £^sin0.
Из (6.25) следует, что Ег является, как и Ех, четной
функцией магнитного поля и изменяется пропорционально
л
sin 2 0. При 0 = продольно-поперечный эффект достигает
л
максимума, а при 0 = 0 и 0 =-у исчезает.

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
109
§ 6]
В предположениях (4.12) на основании соответственно
(6.20) и (6.21)
(6.25а)
(6.256)
Таким образом, исследование продольно-поперечного
эффекта в сильных магнитных полях позволяет опреде¬
лить величину г, а при совместном исследовании продоль¬
но-поперечного эффекта и поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена в слабых полях можно вычислить г и и.
Эффект Маджи — Риги — Ледюка. Рассмотрим влияние
магнитного поля на электронную часть теплопроводности.
Полагая в (4.8") и (4.9") Ey = Ez = 0 и
имеем для компонентов вдоль оси х тока j и потока
тепла Wq, переносимого электронами (дырками):
(6.26)
(6.27)
Из условия /х = 0 находим
Коэффициент теплопроводности, обусловленной носителями
тока, при наличии магнитного поля
(6.28)
Таким образом, электронная теплопроводность является
четной функцией магнитного поля: ХЭу н (Н) = Яэ, н ( — Н).

110
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
В предельных случаях слабых и сильных магнитных
полей и в предположениях (4.12) получаем для н сле¬
дующие выражения:
(6.29)
(6.30)
где электронная часть теплопроводности
в отсутствие магнитного поля
Если вместо условий Еу = Ег = 0 положить j = 0,
то, решив систему j = 0 относительно Е'х, Еу и Ez,
можно вычислить поток тепла (И^)*, который в этом слу¬
чае определяется выражением
(6.31)
В предельных случаях слабых и сильных магнитных
полей и при учете (4.12) получаем
(6.32)
(6.33)

ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
111
§ в]
Из (6.29) и (6.32) видно, что в слабом магнитном поле эф¬
фект Маджи — Риги — Ледюка (то есть величина
см. § 2) исчезает при 0 = 0 и достигает максимума
о я
при 0 = -у .
При 0 = -^- и Еу = 0 относительное изменение элек¬
тронной части теплопроводности в случае слабых магнит¬
ных полей
(6.29а)
(6.32а)
В случае сильных магнитных полей при 0 = -у и Еу *= 0,
' (6.30а)
(6.33а)
Таким образом, в случае очень сильных полей,
Однако если
электронная теплопроводность стремится
к некоторому пределу, отличному от нуля:
(6.306)
Относительное изменение всей теплопроводности в маг¬
нитном поле А связано с величиной Аэ соотношением
то есть А не может превысить по

112
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
величине дробь ^ ^—, где Хф—фононная состав¬
ляющая теплопроводности.
Приведем формулы для электронной доли теплопро¬
водности в частных случаях г = 0, у и 1, справедливые
Рис. 8. Зависимость относительного измене¬
ния электронной части теплопроводности от
иН
величины —.
с
Кривая 1 рассчитана для г = О, кривая 2 — для
г =г 1/2, кривая 3 — для г = 1, кривая 4 — для
г = 2.
при магнитных полях произвольной величины. Предпо¬
лагается, что Ey = Ez = 0.
(6.34)
(6.35)
(6.36)
На рис. 8 приведены зависимости Л8 ) для раз¬
личных значений г. Случай г = 2 рассчитан по асимпто¬
тическим формулам.

* 7]
СМЕШАННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
ИЗ
В заключение отметим, что все формулы, рассмотрен¬
ные в § 6, выведены в форме, пригодной как для элек¬
тронных, так и для дырочных полупроводников: под е
понимается алгебраическая величина элементарного заряда
(для электронной проводимости е следует брать со знаком
минус, для дырочной —со знаком плюс).
§ 7. Изотермические эффекты
(Смешанная проводимость)
Обратимся к рассмотрению термомагнитных эффектов
в полупроводниках, проводимость которых обусловлена
носителями тока обоих знаков. Этот случай особенно
актуален для высоких температур, в области которых
число носителей тока, создаваемых переходами между
полосами, значительно превышает число носителей, воз¬
бужденных с локальных уровней.
Термомагнитные явления в области смешанной прово¬
димости отличаются рядом особенностей по сравнению
со случаем примесной проводимости, рассмотренным в § 6.
Исследования, проведенные на теллуре, например [20, 21,
50], показали, что появление небольших количеств носи¬
телей тока неосновного вида (электронов в образце
с дырочной проводимостью) может существенно повлиять
на характер термомагнитных эффектов.
В случае смешанной проводимости электрический
и тепловой потоки определяются как сумма потоков
электронов и дырок, то есть
Расчет производится в предположениях (4.12).
Если принять за начало отсчета энергии нижний край
полосы проводимости, причем энергию электронов отсчи¬
тывать вверх, а энергию дырок —вниз (рис. 2, а), то выра¬
жения для энергии электронов и дырок принимают вид
(7.1)
8 И. М. Цидильковокий

114
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
ГГЛ. II
где Де — ширина запрещенной полосы, а индексы + и —
относятся соответственно к дыркам и электронам.
Выражения для равновесных функций распределения
электронов и дырок сохраняют вид (4.12), если ввести
химический потенциал дырок р+ = —	— Де.
Времена релаксации носителей тока представлены
в виде
(7.2)
то есть будем полагать, что зависимость времен релакса¬
ции электронов и дырок от энергии одинакова: г+ = г_ = г.
Это предположение не является необходимым, а делается
лишь для упрощения окончательных формул, которые
при г+ Ф г_ чрезвычайно громоздки.
Выражения для суммарных токов j и ТГЭ сохраняют
вид (4.8") и (4.9"), если коэффициенты I{j определить
следующим образом:
(7.3)
Так как соотношение (6.25) между Ех и Ег справед¬
ливо и в случае смешанной проводимости, мы ограни¬
чимся рассмотрением лишь продольного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена. Ниже приводятся формулы только для пре¬
дельных случаев слабых и сильных магнитных полей,
причем для простоты полагается 0 = (угловая зависи¬
мость всех эффектов остается такой же, как и в случае
примесной проводимости).
Поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена. В сла¬
бых магнитных полях, то есть при

s 7]
СМЕШАННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
115
(7.4)
В случае сильных магнитных полей следует отдельно
рассмотреть случай собственной (я+ = п_) и несобственной
(гс+ ф п_) проводимости. Действительно, при и+ Ф п_ инте¬
грал /20 в первом приближении пропорционален
В случае же собственной проводимости первый член раз¬
ложения /20 равен нулю, и во втором приближении
. А так как /20 входит в выражения
для Еу и Ех, то зависимость их от парамет-
при п+ ф и п+ = п_ различна. При
(7.5)
(7.6)
Из приведенных формул видно, что как в случае сла¬
бых магнитных полей, так и в случае сильных полей
« т-»	иН
характер зависимостей Еу от параметра —— при п+ Ф и.
такой же, как и для примесной проводимости: при
Если же
п+ = тг_, то в сильных магнитных полях Еу не убывает,
а растет с ростом —^—, как и в случае слабых полей.
8*

116
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена. При
слабых магнитных полях, то есть при
(7.7)
>
(7.8)
(7.9)
Значения dT для различных г приведены в табл. 4.
Таблица 4
г
— 0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
dr
2,1575
1,4146
1,0930
1,0000
1,1012
1,5089
2,7663
8,3333
Формулы (7.7) —(7.9) показывают, что характер зави¬
симости продольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
иН
от параметра — такой же, как и в случае примесной
проводимости:	в случае слабых полей

СМЕШАННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
117
I 7]
т. fU±H\
в случае сильных Ех (——I стремится к насыщению.
Предел насыщения для несобственной и собственной про¬
водимости различен: при п+ Ф п_ он определяется главным
образом разностью концентраций дырок и электронов,
а при п+ = п_ — разностью их подвижностей.
Оценим, при каких соотношениях между концентра¬
циями электронов и дырок следует пользоваться форму¬
лами (7.6) и (7.9) вместо (7.5) и (7.8). Пусть для опреде¬
ленности л+<л_ и 6 = -^-> 1. Формулы для случая соб-
и+
ственной проводимости получены при условии, что первый
член разложения /20 много меньше второго. Это приводит
к критерию
(7.10)
Если положить ^=^ = 5, АГ(Ь2 — 1)^*1, то из (7.10)
следует, что = 1 с точностью до сотых долей.
Чем больше ——, тем при меньшей разности концентра¬
ций /1_ — и+ применимы формулы (7.6) и (7.9). При л_ = л+
и = и+ /20 = 0, и остаются в силе формулы (7.6) и (7.9).
Эффект Маджи — Риги — Ледюка. Приведем формулы
для электронной теплопроводности при условии Еу = 0.
Ввиду громоздкости общего выражения Яэ, н Для сла-
(де \а
kf) ^
актуальным для многих полупроводников в широком тем¬
пературном интервале. При этом мы пренебрежем чле-
Де
нами, не содержащими ^ и пропорциональными
сохранив лишь члены, пропорциональные
(7.11)

118
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. И
В отсутствие магнитного поля электронная теплопро¬
водность
(7.12)
В сильных магнитных полях случаи п+Ф п__ и /г+ =
не различаются, как это имеет место для полей Еу и Ех,
ибо в выражение для теплопроводности интеграл /20
не входит.
(7.13)
Если вместо условия = О положить / = 0, то
формулы для Яэ,н в сильных магнитных полях будут
существенно зависеть от соотношения концентраций элек¬
тронов и дырок. При п+ =f= характер зависимости тепло¬
проводности от магнитного поля сохраняется таким же, как
и в случае Еу = 0. Если же п+~п_ = п, то
(7.14)
Таким образом, в области собственной проводимости
и. Н
электронная теплопроводность при 	> оо должна
стремиться к некоторому конечному пределу, отличному
от нуля. Следует отметить, что формула (7.14) лучше
соответствует обычным условиям эксперимента, чем (7.13),
так как при измерениях теплопроводности jy = 0, и в слу¬
чае п+~ п__ и	> 1 поле Еу согласно (7.6) долж¬
но существенно отличаться от нуля. Условие Еу = 0
может быть реализовано лишь искусственно в специально
поставленном эксперименте.

ВЛИЯНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
119
§8]
§ 8. Изотермические эффекты
(Влияние диффузионных процессов)
В предыдущем параграфе предполагалось, что кон¬
центрации носителей тока равновесны. В действительности
при исследовании гальвано- и термомагнитных явлений
это условие может быть нарушено. А. Ф. Иоффе впервые
высказал мысль [67], что заметное отклонение концентра¬
ций носителей тока от равновесных должно иметь место
при исследовании эффекта Холла в области смешанной
проводимости.
Концентрация носителей тока является равновесной,
если количество тепловых возбуждений равно количеству
рекомбинаций в каждой точке полупроводника. При
помещении полупроводника, в котором имеется градиент
потенциала или градиент температуры, в магнитное поле
дырки и электроны будут отклоняться в противоположные
стороны, вследствие чего в одной части образца обра¬
зуется избыток электронов (по сравнению с числом дырок),
в другой части — избыток дырок. Это приводит к нару¬
шению условий рекомбинации, которые имели место
в отсутствие магнитного поля, и к образованию градиентов
концентраций электронов и дырок. В связи с этим возни¬
кают и дополнительные электрические поля.
В ряде работ [48, 49, 66—69] это явление было рас¬
считано как для эффекта Холла, так и для других галь¬
вано- и термомагнитных эффектов.
В этом параграфе будет рассмотрено влияние диффу¬
зионных процессов, обусловленных изменением условий
объемной и поверхностной рекомбинаций носителей тока,
на распределение их концентраций при исследовании
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена и будет
найдено соответствующее изменение поля Е [48]. На поле
продольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена упомя¬
нутые процессы диффузии не влияют.
Коэффициент теплопроводности Яэ изменяется на вели¬
чину, пропорциональную VT [49]. Поправка эта обуслов¬
лена нелинейной зависимостью j и Wb от V7\ которую
можно не учитывать, если считать, что градиенты темпе¬
ратуры малы. При больших градиентах температуры сле¬
дует учесть зависимости равновесных концентраций

120
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
носителей тока п\ и п°_ от температуры, что значительно
усложняет расчет.
Ограничимся случаем слабых магнитных полей и
Будем рассматривать плоский образец (см.
рис. 1), размеры которого вдоль осей х и z значительно
превосходят размер вдоль оси у — толщину, а последняя —
порядка средней длины диффузионного смещения носи¬
телей тока, то есть среднего расстояния, на которое они
перемещаются за время жизни.
При направлении градиента температуры вдоль оси х,
а магнитного поля вдоль оси z изменения концентраций
носителей тока и поля Нернста — Эттингсгаузена Еу
являются функциями лишь одной координаты у.
Итак, полагаем, что вследствие малости градиента
температуры отклонения концентраций электронов и ды¬
рок малы. Кроме того, будем считать, что эти отклоне¬
ния для дырок и электронов равны между собой, то есть
(8.1)
Равенство п+ — л® = тг_ — п® справедливо при двух усло¬
виях: 1) если в полупроводнике отсутствует объемный
заряд, что обычно имеет место [67], и 2) если число
электронов на примесных уровнях мало меняется при из¬
менении концентраций дырок и электронов проводимости.
Последнее условие практически всегда выполняется в об¬
ласти собственной проводимости, так как при этом кон¬
центрации носителей тока значительно превосходят кон¬
центрации примесных центров.
Распределение концентраций носителей тока в образце
определяется уравнением непрерывности для потоков ды¬
рок и электронов, которое при сделанных предположе¬
ниях можно записать следующим образом (рассматри-
dv л\
ваются стационарные условия = 0 ) :
(8.2)
где величина а, играющая роль коэффициента рекомби¬
нации, равна [48]
(8.3)

ВЛИЯНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
121
S 81
Здесь Nд и N& — концентрации доноров и акцепторов,
&i; — коэффициенты, характеризующие вероятность пере¬
хода электронов между различными энергетическими со¬
стояниями и связанные между собой рядом соотношений
[70]. Индексы i и / определяют тип перехода (см. рис. 2, б):
1 — относится к валентной полосе, 2 — к акцепторным
уровням, 4 — к донорным уровням, 5 — к полосе проводи¬
мости.
При высоких температурах, когда главную роль в про¬
водимости играют переходы между полосами (собствен¬
ная проводимость), в выражении для а преобладает пер¬
вое слагаемое к51. При низких температурах, когда замет¬
ную роль в проводимости играют носители, поставляемые
примесными уровнями, причем п\	существенный
вклад в а могут внести второе и третье слагаемые.
Из условий /х = / = 0 (4.8") находим поле Нернста —
Эттингсгаузена при наличии изменения концентраций
носителей тока вдоль оси у:
(8.4)
где добавочное поле, обусловленное диффузией,
(8.5)
а Еьу — обычное поле Нернста — Эттингсгаузена, опреде¬
ляемое формулой (7.4). Если подставить выражение для
или j_ в (8.2) и учесть (8.4), то в предположении,
что теплопроводность образца постоянна, то есть что
vH
V2?1 = 0, получим с точностью до членов порядка — урав-
с
нение для v:
(8.6)
средняя длина диффузион¬
ного смещения носителей тока, тд— время их жизни,
эффективный коэффициент диффу¬
зии носителей. Под п+ и мы здесь и ниже будем по¬
нимать равновесные значения концентраций, которые
выше обозначались через п\ и л®.

122
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИИ
1ГЛ. 11
Для решения уравнения (8.6) нужно сформулировать
граничные условия. Будем считать, что контакт невыпрям¬
ляющий и образец достаточно велик, так что инъекции
неравновесных носителей через контакт не происходит.
Если через границу образца ток не течет, то нормальная
составляющая электронного (дырочного) тока /п± опреде¬
ляется скоростью поверхностной рекомбинации s:
(8.7)
причем положительным считается направление тока из¬
нутри к границе.
Если на обеих границах образца у = 0 п у = Ь ско¬
рость поверхностной рекомбинации одинакова, то из (4.8")
и (8.7) получаем
(8.8)
Граничные условия (8.8) можно также получить, если
применить уравнение (8.6) к слою бесконечно малой тол-
щины б, при этом можно определить как lim ~ , что
б-о о
совпадает с определением Х8, данным выше. Если име¬
ется поверхностная рекомбинация, то Х8 — величина
конечная; если поверхностная рекомбинация отсутствует,
то Х$ —> оо.
Решение (8.6) с учетом (8.8) имеет вид
(8.9)

ВЛИЯНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
123
§ 8}
Из (8.9) следует, что v обращается в нуль при
а у границ образца, то есть в областях
имеет противоположные знаки.
Для среднего значения электрического поля, обуслов¬
ленного изменением концентраций носителей, получаем из
(8.5)
(8.10)
Изменение концентраций v может обратиться в нуль
при выполнении хотя бы одного из двух условий:
1) п+ = п__, и+ = и__ при произвольном г, 2) п+ = W_, Г = у .
Рекомбинация носителей тока не скажется на эффекте
Нернста— Эттингсгаузена (то есть Еу = 0), если равны
между собой подвижности электронов и дырок (и+= uj
или если толщина образца велика (Ь—> оо). Наиболее
сильное влияние диффузионные процессы оказывают на
величину эффекта Нернста — Эттингсгаузена при малых
толщинах образца. При Ъ—>0 из (8.4) и (8.10) имеем
(8.11)
При п+ ъ п_, точнее, если | лг__ — лг+1 < и_,
(8.12)
Если сравнить формулы (8.12) и (7.4) для случая
п+ъ* п__, то нетрудно видеть, что при уменьшении тол¬
щины 6 от оо до 0 относительное изменение поля Нерн¬
ста — Эттингсгаузена Еу ^~~	|:	1) порядка
2) может достичь ^ 50%, если

124
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Во втором случае относительное
изменение Еу оказывается не зависящим от параметров
полупроводника.
При отсутствии объемной рекомбинации (Х,0—> оо) урав¬
нение (8.2) для собственного полупроводника (л+ = л_ = л)
может быть решено при произвольной степени отклоне¬
ния концентраций от равновесных, то есть при произ¬
вольных значениях п — п°.
Уравнение и граничные условия для п можно в этом
случае записать следующим образом:
(8.13)
(8.14)
Решение (8.13) при гра¬
ничных условиях (8.14) имеет вид
(8.15)
Для среднего значения поля Нернста — Эттингсгаузе-
на, обусловленного изменением концентраций носителей,
получаем
(8.16)
Установим пределы применимости полученных в этом
параграфе формул. Рассмотрим случай п+ ъ* /г__, для ко¬
торого роль диффузии носителей тока наиболее сущест¬
венна. Из условия малости отброшенных в (8.6) членов
находим
(8.17)
где через и обозначена наибольшая из подвижностей и+
и Критерий (8.17) значительно мягче, чем обычный
критерий слабого поля —и поэтому приве-

ВЛИЯНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
125
§ 8]
денные формулы справедливы для широкого интервала
температур и магнитных полей.
Так, например, если положить А,0 = 0,1 см,
и = 10*см2-в'1-сек'1, Т = 300°К, ^=10 град-см'1, то
критерий (8.17) будет хорошо выполняться при магнит¬
ных полях, достигающих ^ 105 эрстед. Для полупровод¬
ников с меньшими подвижностями носителей тока
(— 102 ч- Ю3 см2 • в'1 • сек'1) пределы применимости теории
еще более широки.
Оценим, как влияет отклонение концентраций носи¬
телей тока от равновесных значений на величину поля
Нернста —Эттингсгаузена. Ограничимся случаем одной
лишь объемной рекомбинации, т. е. положим Xs—>co.
Если положить и = 104 см2-в'1-сек'1, # = 104 эрстед,
то относительное
„ v Я0 ы# d In Т
изменение концентрации — ^ ~ —	составит при¬
мерно всего 0,5%, в то время как относительное измене-
~Ё* Jl
ние поля тг- ъ -г достигнет ^ 20%. Чем меньше
Jby	о
тем меньше будет изменение Еу вследствие рекомбинации
носителей тока.
Если один размер образца dx сравним по порядку
величины со средней длиной диффузионного смещения Я0,
а другой размер d2 значительно превышает ее, то для
оценки Х0 можно из (7.4) и (8.10) получить следующую
формулу:
(8.18)
средние значения полей Еу, изме¬
ренных вдоль dx и d2.
Таким образом, для оценки длины диффузионного сме¬
щения достаточно измерить поле Нернста — Эттингсгау¬
зена в двух взаимно перпендикулярных направлениях
(если, конечно, выполняется условие d2 > dx~ Х0).
Из изложенного в настоящем параграфе следует, что
при изучении эффекта Нернста — Эттингсгаузена (как
и эффекта Холла, термоэдс и др.) в области смешанной

126
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
проводимости необходимо учитывать влияние диффузион¬
ных процессов, которые могут заметно изменить величину
эффекта, в особенности у хорошо проводящих полупро¬
водников при большой величине отношения подвижностей
электронов и дырок.
§ 9. Эффект Нернста—Эттингсгаузена
в полупроводнике с примесной полосой
При достаточно большой концентрации примесных ато¬
мов взаимодействие между ними приводит к слиянию при¬
месных уровней в полосу вследствие перекрытия волно¬
вых функций локальных состояний «примесных» элек¬
тронов. Так как «примесные» электроны движутся в среде
с большой диэлектрической проницаемостью (у Ge, напри¬
мер, к = 16), эффективные радиусы их волновых функций
больше радиуса волновых функций изолированных атомов,
сближение которых приводит к образованию энергетиче¬
ских полос основной решетки. Поэтому примесные полосы
начинают образовываться при расстояниях между при¬
месными атомами, больших, чем расстояния между ато¬
мами основного вещества.
Следует отметить, что с количественной стороны вопрос
образования примесных полос в атомных полупроводни¬
ках до сих пор не исследован.
А. Ф. Иоффе впервые обратил внимание [71] на необ¬
ходимость учета примесных полос для объяснения неко¬
торых свойств полупроводников.
В связи с тем, что концентрация атомов примеси значи¬
тельно меньше концентраций атомов основного вещества,
примесная полоса уже полосы проводимости и для не очень
низких температур ширина ее D < кТ. Так как электроны
вследствие теплового движения почти равновероятно
распределены по всем уровням полосы, то для подсчета
статистических сумм нельзя пользоваться методом эффек¬
тивной массы; существенным здесь является учет точного
вида закона дисперсии в(р), который, очевидно, не будет
квадратичным. А. Г. Самойлович и М. И. Клингер [72]
воспользовались для вычисления статистических сумм
методом контурных интегралов и рассчитали температур¬
ные зависимости химического потенциала, электропровод-

b 9J	ЭФФЕКТ НЕРНСТА-ЭТТИНГСГАУЗЕНА	127
ности и термоэдс для полупроводника с примесной полосой.
В работе М. И. Клингера и др. [56], являющейся продол¬
жением [72], рассмотрены эффекты Холла и Нернста —
Эттингсгаузена.
В расчете делаются следующие предположения.
1)	Одновалентные примесные атомы (доноры) обра¬
зуют простую кубическую решетку. В приближении
сильной связи зависимость энергии электрона от волно¬
вого вектора к = ^ в примесной полосе можно в этом слу¬
чае записать в виде (оси координат направлены вдоль
главных осей куба) [59]
(9.1)
а —среднее расстояние между атомами при¬
меси (постоянная решетки), составляющие волнового век¬
тора кх, ку и кг удовлетворяют условию
Началом отсчета энергии избрана середина при¬
месной полосы. В этом случае закон дисперсии для элек¬
трона в полосе проводимости имеет вид е (/с) = ЗА +
Ь2к2
+ Де+-^-, где Ае —энергетический зазор между при¬
месной полосой и полосой проводимости, то есть между
полосами 4 и 5 рис. 2, в.
2)	Время релаксации электронов т зависит от темпе¬
ратуры, но не зависит от энергии t = t0T's (т0 — постоян¬
ная, зависящая от вещества). При рассеянии на акусти¬
ческих колебаниях для неусредненного т 5=1, для т,
усредненного по равновесному распределению, s = Пред¬
положение о независимости времени релаксации от энер¬
гии делается только для упрощения расчета, так как
представление о времени релаксации не является совер¬
шенно справедливым для неквадратичного закона диспер¬
сии, то есть т может быть введено в этом случае лишь
весьма приближенно.
3)	Токи jx и /у аддитивно складываются из токов,
обусловленных примесной полосой и полосой проводи¬
мости.

128
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
4) Равновесной функцией распределения электронов в
примесной полосе является функция Ферми
■л-	/ дТ дт л \
Для изотермического случая = — = 0) из усло¬
вий jx = /у = 0 можно получить выражения для Еу и Ех.
Они будут иметь такой же вид, как и в случае отсутст¬
вия полосы проводимости ((6.2) и (6.19)), но интегралы
Itj из-за иного закона дисперсии и иного вида функции
распределения будут отличаться от рассмотренных в § 6
и могут быть вычислены методом контурных интегралов.
Можно показать [169], что для полупроводника с при¬
месной полосой асимптотические зависимости продольного
и поперечного эффектов Нернста--Эттипгсгаузена (как
и других гальвано- и термомагнитных эффектов) от маг¬
нитного поля такие же, как и для полупроводника с при¬
месным уровнем: в сильных полях Еу— Я"1, а Ех не
зависит от Я; в слабых полях Еу — Я, а Ех — Я2.
Приведем формулу поперечного эффекта Нернста — Эт-
тингсгаузена для случая слабых магнитных полей в пред¬
положении, что в электропроводности участвуют как
электроны полосы проводимости, так и электроны при¬
месной (для определенности—донорной) полосы и что по¬
следняя узка, 2 = ^ ^ 1:

ЭФФЕКТ НЕРНСТА-ЭТТИНГСГАУЗЕНА
12У
§ 9]
приведенный химический потенциал; 7УД — кон¬
центрация донорных атомов; индексы 1 и 2 относятся
соответственно к примесной полосе и полосе проводи¬
ла
мости, причем т1 = -^д ;
Из (9.2) нетрудно найти Еу для случая, когда в про¬
водимости участвуют лишь электроны примесной полосы.
Пренебречь тепловыми переходами в полосу проводимости
можно, например, при достаточно низких температурах.
Полагая п2 = 0, находим
(9.3)
Формула (9.3) справедлива и для металла с узкой
полосой проводимости.
Выясним зависимость Еу от степени заполнения полосы
при фиксированном z. Для узкой полосы, то есть при
z< 1, выражение для пх принимает вид
(9.4)
(9.5)
9 И. М. Цидильновский

ш
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
Рис. 9. Зависимость поля попе¬
речного эффекта Нернста — Эт-
типгсгаузена от степени заполне¬
ния примесной полосы n1/NJl—1
и от приведенного химического
потенциала р*.
Используя (9.5), можно найти зависимость Е от
—1. На рис. 9 приведен график такой зависимости
при z = 0,1л. Из графика следует, что, во-первых, Еу—чет¬
ная функция от —1, то есть эффект Нернста—Эттингс-
гаузена не зависит от вида носителей тока (электроны
или дырки), а лишь от их концентрации; во-вторых,
если полоса заполнена на¬
половину, то есть при
до¬
стигает минимума; в-треть¬
их, при возрастании
П1 4	^У
-дг— 1 отношение —^
Е°у
вначале растет, проходит
через максимум, а затем
асимптотически ^как th
приближается при
(почти заполнен¬
ная или почти пустая
полоса) к значению
которое при z = 0,1л равно —0,339. Поле
Е.. сохраняет знак при заданном z для всех , удов-
У	Г\ тт
летворяющих неравенству
Зависимость эффекта Нернста — Эттингсгаузена от сте¬
пени заполнения полосы является следствием того, что
на Еу существенно влияет отклонение закона дисперсии
от квадратичного. Насколько существенно влияние откло¬
нения ?х(к) от квадратичной зависимости, наглядно видно
при избранном выше законе рассеяния носителей тока.

ЭФФЕКТ НЕРНСТА-ЭТТИНГСГАУЗЕНА
131
§ 'JJ
Действительно, при т = const и
а в случае зависимости (9.1) поле Е отлично от нуля.
На рис. 10 представлена зависимость Еу(Т), рассчи¬
танная по формуле (9.2) при следующих значениях пара¬
метров: 7Уд=1018 сиг3,
т2 — гп0, Д = 0,01 эв,
Де = 0,05 эв.
Анализ формулы
(9.2) показывает, что
с ростом ЗД + Де точка
изменения знака Е сме¬
щается в сторону более
высоких температур:
при высоких температу¬
рах Еу(Т) проходит че¬
рез максимум и при
дальнейшем росте Т
убывает пропорцио¬
нально ^ .
То
В последнем нетруд¬
но убедиться, если при¬
нять во внимание, что
при повышении темпе¬
ратуры более существен¬
ными в (9.2) становятся
члены, характеризую¬
щие вклад электронов
полосы проводимости
(то есть члены с индек¬
сами 1 становятся много меньше членов с индексами 2).
Если разложить Е по степеням малых величин отношений
членов с индексами 1 к членам с индексами 2, то в первом
приближении получим
(9.6)
Рис. 10. Зависимость ноля попереч¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгау-
зена от температуры, рассчитанная
по формуле (9.2) для полупроводни¬
ка с примесной полосой.
Кривая I соответствует зависимости
-з/2
т^Т , кривая П -зависимости

132
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИИ
[ГЛ. II
При высоких температурах z очень мало и, следова¬
тельно, Еу> О и Еу — В действительности Еу при¬
ближается к нулю при возрастании температуры даже
несколько быстрее, так как все функции ф содержат
П*
множитель 1 — th2 , который с ростом Т стремится
ц*
к нулю, поскольку | ц* | при этом растет, a th2-^>—>1.
Представляет интерес сравнить поле Еу (9.2), найден¬
ное при неквадратичном законе дисперсии (9.1), с полем
Еу, вычисленным в предположении квадратичного закона
дисперсии для электронов в примесной полосе. Последнее
равно
(9.7)
Из (9.7) видно, что независимо от соотношения между
пг1 и т2 поле Еу не меняет знака при изменении темпера¬
туры. Таким образом, в рассмотренном случае отклонение
закона дисперсии от квадратичного существенно влияет
на характер температурной зависимости Еу. Поэтому, если
в электропроводности участвуют электроны узкой примес¬
ной полосы, даже качественная трактовка температурной
зависимости поперечного эффекта Нернста — Эттингсгау-
зена (как и других явлений переноса) при помощи формул,
h2k2
выведенных в предположении ег ~	, может оказаться
ошибочной.
Следует отметить, что приведенные в этом параграфе
формулы нужно рассматривать как своего рода первое
приближение, так как сделанные упрощающие предполо¬
жения о независимости т от е и о том, что примесные
атомы образуют простую кубическую решетку, не позво¬
ляют еще детально сравнивать результаты расчета с экспе¬
риментом с целью определения, например, параметров А,
Де и др. Следует также иметь в виду, что результаты
настоящего параграфа могут иметь отношение к примесным

jj 10]	АДИАБАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ	133
полосам, образованным при не слишком малых концентра¬
циях атомов примеси (для Ge, например, их должно быть
больше 101в слГ3). В этом случае нерегулярность распре¬
деления примесей должна играть лишь поправочную роль.
§ 10. Адиабатические эффекты
При исследовании термомагнитных явлений практи¬
чески очень трудно создать изотермические условия
Значительно проще (обычно так и по¬
ступают) теплоизолировать боковую поверхность образца,
то есть проводить исследования в адиабатических усло¬
виях (Wy = Wz = 0). Поэтому, а также потому, что сущест¬
вуют эффекты, возникающие только при нарушении изо-
термичности условий (эффект Риги—Ледюка), важно рас¬
смотреть адиабатические термомагнитные явления (см. § 1).
Предположим, что градиент температуры и магнитное
поле взаимно перпендикулярны ^ б = -у ^ ^. Пусть пер¬
вичный поток тепла направлен вдоль оси х, а магнитное
поле —вдоль оси z (см. рис. 1).
Из условий j = 0 и Wy=;0 ((4.8") и (4.9")) получаем
систему уравнений для определения полей E'XJ Е'у и попе-
дТ
речного градиента температуры . Искомое поле Ех
связано с Ех соотношением (6.1), а поле Еу выражается
через Е\, следующим образом:
(10.1)
Второе слагаемое в (10.1) можно представить в виде
где через q обозначен коэффициент Том¬
сона, который для однородного полупроводника в случае
статистики Больцмана равен (см. (4.11'))
(10.2)
*) Отметим, что для продольно-поперечного эффекта, возникаю¬
щего только при О<0<-^- и в адиабатических условиях, сохра¬
няется соотношение Ег= —Ех ctg 0.

134
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Эффект Риги—Ледюка. Возникающий в магнитном
поле поперечный градиент температуры выражается через
интегралы следующим образом:
(10.3)
теплопроводность решетки.
Приведем формулы для предельных случаев слабых
и сильных магнитных полей в предположениях (4.12).
(10.4)
(10.5)
Из (10.4) и (10.5) следует, что в слабых магнитных
нолях эффект Риги—Ледюка пропорционален в силь¬
ных — ^	^	. Следовательно, в области промежуточных
полей эффект должен обладать максимумом.
Для характеристики эффекта в общем случае произ¬
вольных магнитных полей целесообразнее пользоваться
не обычным коэффициентом £, не зависящим от Я при
и пропорциональным Н~2 при
а безразмерной величиной (см. (1.5))
отражающей зависимость эффекта от параметра , кото¬
рый характеризует воздействие магнитного поля на носи¬
тели тока.
Оценки, произведенные для конкретных зависимостей
т(е), показывают, что максимум	^ расположен
иН л
не точно при	— 1, как это имеет место для изотерми-

§ to]
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
135
ческих эффектов. Положение максимума относительно
иН	,	Аэ
точки		=1	зависит от величины	-т—.
С	Аф
Из формул (10.4) и (10.5) видно, что знак эффекта
Риги — Ледюка совпадает со знаком носителей заряда —
для электронов он отрицателен, для дырок положителен.
дТ
Величина зависит от того, какое сопротивление
включено в цепи г/, то есть от того, равен ли нулю ток ]у
или равно нулю поле Еу.
Рассмотрим эффект Риги — Ледюка в условиях, когда
отсутствует поле Е , то есть вместо —	— 0 положим
]х = 0 и Еу = 0. Тогда
(10.6)
где К = qTIn +	, L = qTI20 +	. В предположениях
(4.12) формула (10.6) примет вид
(10.7)
(10.8)
Сравнение формул (10.4) и (10.5) с формулами (10.7)
и (10.8) показывает, что зависимость d от в случае
Е = 0 остается такой же, как и в случае / = 0, но из-
У	А
меняется характер зависимости от -ц- и от г.

136
ТЕОРИЙТЕРМОМАГЙИТЙЫХ явлений
[ГЛ li
Поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена. Решая
систему j — 0 и Wy = 0 ((4.8") и (4.9")), находим для Еу:
(10.9)
В предположениях (4.12) из (10.9) получаем
(10.10)
(10.11)
Из (10.10) и (10.11) следует, что функция
обладает максимумом, который в зави¬
симости от величии и г расположен ближе или дальше
А,ф
иН ,
от точки = 1.
Сравнение формул (6.2), (6.19), (10.3) и (10.9) для
адиабатических и изотермических эффектов показывает, что
(10.12)
- коэффициент термоэдс в магнит¬
ном поле, ^„3 — коэффициент продольного эффекта Нерн-
к
ста — Эттингсгаузена (см. (1.3)), а = — (2 + г — р*) — коэф¬
фициент термоэдс в отсутствие магнитного поля. При
слабых магнитных полях, когда

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
137
§ 10]
Соотношение (10.12) не связано с принципом симметрии
кинетических коэффициентов (3.21), а вытекает из гнро-
тропии (см. (3.23)), появляющейся при помещении полу¬
проводника в однородное магнитное иоле [73].
Отметим, что различие между Qад и не так мало,
чтобы им можно было пренебрегать, как это часто делают.
Так, например, при г = 0, а = 500 мкв-град'1 и
в случае слабых магнитных полей	^ 10%, а в случае
<?ik
К
сильных ^ 14%. При больших значениях различие
Аф
между (?ад и (?из становится еще большим.
Уместно обратить внимание на следующее обстоятель¬
ство. Если в образце одновременно имеются одинаково
направленные потоки электричества и тепла, то возникаю¬
щие в магнитном поле эффекты Холла и Нернста — Эттингс-
гаузена, как нетрудно показать, аддитивны, то есть поля
их складываются как поля двух независимых эффектов.
Вследствие этого при исследовании эффекта Холла, напри¬
мер, нужно избегать даже небольших перепадов темпера¬
туры в образце.
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Для
поля Ех в адиабатических условиях получаем из (4.8")
и (4.9") прив/ = 0 и Wy = 0:
(10.13)
(10.14)

138
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. I
(10.15)
Из сравнения (10.15) и (6.21) видно, что при сильных
магнитных полях (?!щ = (?iJ3 с точностью до членов, про¬
порциональных Я"2. Если учесть и эти члены, то нетрудно
убедиться, как и для случая слабых полей, в справедли¬
вости соотношения, вытекающего из гиротропии среды:
(10.16)
Таким образом, в отличие от поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена, разность между адиабатическим
и изотермическим коэффициентами продольного эффекта
(?ад ~ Qm значительно больше в случае слабых полей,
чем в случае сильных.
Рассмотрим продольный эффект Нернста — Эттингсгау¬
зена, положив Еу=- 0 (вместо принятого выше условия
/у = 0). Приведем формулу лишь для случая сильных
магнитных полей, так как при слабых полях она чрезвы¬
чайно громоздка. При fx = 0, Wy = 0, Еу = 0 и ^ > 1
из (4.8") н (4.9") находим
(10.17)
При -г-^- (10.17) принимает вид
Аф
(10.17а)
то есть при Е = 0 поле Ех вдвое больше, чем при / = 0
(ср. (10.15)).
При измерении продольного эффекта условия Еу = 0
и fy Ф 0 могут реализоваться, если измерения ведутся
некомпенсационным методом.
Эффект Маджи — Риги —Ледюка. Электронная часть
теплопроводности в магнитном поле

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
139
§ 10]
делается из (4.9") при условиях j = 0 и Wy = 0. Общее
выражение для XdiH имеет вид
(10.18)
Подставляя в (10.18) выражения для
из (10.3), (10.9) и (10.13), можно вычислить Хэ?я.
В предположениях (4.12) находим из (10.18):
(10.19)
(10.20)
Нетрудно видеть, что между изотермическим и адиа¬
батическим коэффициентами теплопроводности (см. (6.32),
(6.33), (10.19) и (10.20)) справедливо соотношение, являю¬
щееся следствием гиротропии среды:
(10.21)
Если вместо / = 0 положить Еу = 0, то из (4.8") и
(4.9") получим
(10.22)

140
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ 11
(10.23)
При А,эАф < 1 (10.22) и (10.23) переходят в соответст¬
вующие формулы для изотермического случая (6.29а) и
(6.30а).
Интересно отметить, что формулы для эффектов при
сильных магнитных полях отличаются от соответствую¬
щих формул для слабых полей тем, что в первые входит
только фононная теплопроводность Хф, а во вторые — пол¬
ная А,ф + Яэ*). Это различие обусловлено тем, что в сла¬
бых магнитных нолях электронная теплопроводность с
точностью до членов второго порядка малости остается
неизменной, то есть Хэ?н ^ А,э. В сильных же полях элек¬
тронная теплопроводность обратно пропорциональна квад¬
рату напряженности поля и становится величиной второ¬
го порядка малости, то есть Хэ^{ < Хэ. А так как в упо¬
мянутые формулы всегда входит полная теплопроводность
в магнитном поле А,я= ^ф + ^э,и> то в случае сильных
полей в них остается лишь А,ф.
Для полупроводников со смешанной проводимостью
формулы для адиабатических эффектов значительно услож¬
няются, а некоторые становятся столь громоздкими,
что анализ опытных данных без ряда дополнительных
предположений практически невозможен. Поэтому приве¬
дем лишь те формулы, которыми практически можно
пользоваться для интерпретации эксперимента [103].
При вычислении суммарных токов j и W9 следует
к соотношениям (7.3), определяющим интегралы /i;,
*) Это замечание не относится к продольному эффекту Нерн-
ста — Эттингсгаузена, который в сильных полях в принятом при¬
ближении не зависит от теплопроводности

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
141
§ 10]
присоединить еще два соотношения
(7.3а)
В случае сильных магнитных полей интеграл /22,
как и /20, в области собственной проводимости в первом
приближении равен нулю, и при расчете приходится учи¬
тывать члены второго порядка малости
Все формулы, которые приводятся ниже, получены в тех
же предположениях, что и формулы § 7 (за исключением,
конечно, условий изотермичности).
Эффект Риги — Ледюка. При
(10.24)
♦
(10.25)
(10.26)

ш
ТЕОРИИТЕРМОМЛГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
|ТЛ и
Поперечный эффект Нернста—Эттйнгсгаузена. Фор¬
мула для слабых магнитных полей оказывается очень
громоздкой, поэтому приведем выражения для частного
случая больших ~ , сохранив в (4.8") и (4.9") лишь члены,
пропорциональные	Тогда
(10.27)
(10.28)
Если п+ =■ /г_, то формула для адиабатического эффек¬
та совпадает с формулой (7.6) для изотермического эф¬
фекта с точностью до членов, пропорциональных Я~*.
Продольный эффект Нернста — Эттйнгсгаузена. Для
слабых магнитных полей формула чрезвычайно громоздка,
и мы ее приводить не будем.
В случае сильных полей и неравных концентраций
носителей тока выражение для Ех в адиабатических
условиях совпадает с точностью до членов, пропорцио¬
нальных Я“2, с формулой (7.8). Если же концентрации
электронов и дырок равны, то есть п+ = п_--пу то при
(10.29)

§ 10]
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
Эффект Маджи — Риги — Ледюка. Из-за чрезвычайной
громоздкости выражения для Хэ>я в случае слабых маг¬
нитных полей мы его приводить не будем. Общая фор¬
мула для ХЭ)Я в случае сильных магнитных полей и не¬
равных концентраций носителей тока также громоздка.
Поэтому ограничимся здесь выражением А,э>я через гра-
дТ
диент температуры и поля Ех и Еу, формулы для
которых приведены выше — (10.25), (10.26), (10.28), (7.6),
(7.8) и (10.29).
(10.30)
(10.31)
Таким образом, адиабатическая электронная теплопро¬
водность в области собственной проводимости при силь¬
ных магнитных полях равна изотермической (ср. (7.14)
и (10.31)) (с точностью до членов, пропорциональных И~2)
и также не зависит от напряженности магнитного поля.
Можно отметить следующие общие закономерности
термомагнитных явлений в полупроводниках.
1. У примесных полупроводников (обладающих при¬
месными уровнями или полосами) и полупроводников со

144
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
смешанной проводимостью при п+ Ф поперечные эффек¬
ты в случае слабых магнитных полей линейно зависят
от безразмерного параметра —, в случае сильных —
иН
убывают обратно пропорционально — . В области про¬
межуточных полей	поперечные эффекты как
х	иН
функции — должны иметь максимум, если они положи¬
тельны, или минимум, если они отрицательны.
2.	Для примесной проводимости (когда п+ — О или
п_ — 0) и смешанной при п+ Ф продольные эффекты в
случае слабых магнитных полей изменяются пропорцио-
/ иЯ \ 2
нально f — ) , в случае сильных полей — не зависят
иН
от — .
с
Существенные особенности должны наблюдаться для
эффекта Маджи — Риги — Ледюка у собственных полу¬
проводников в области сильных магнитных полей. Элек¬
тронная теплопроводность в сильных полях должна стре¬
миться не к нулю при возрастании магнитного поля, как
в случае несобственной проводимости, а к некоторой
постоянной величине, отличной от нуля. При достаточно
д g
больших ^ знак эффекта Маджи — Риги — Ледюка
может измениться, то есть теплопроводность, измеренная
в сильном магнитном поле, может увеличиваться при
переходе от примесной проводимости к собственной.
3.	У собственных полупроводников (/г+=л_) характер
иН
зависимостей всех эффектов от —, за исключением
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена и элек¬
тронной теплопроводности, такой же, как и у примесных
полупроводников. Поперечный эффект Нернста — Эттингс¬
гаузена в области собственной проводимости пропор-
иН
ционален — (как и гальваномагнитный эффект Эттингс¬
гаузена) при полях произвольной величины.
4.	Для полупроводников с двумя видами носителей
тока адиабатические эффекты значительно сильнее зависят

§ И]	АНИЗОТРОПНЫЙ ЗАКОН ДИСПЕРСИИ	И5
от ширины запрещенной энергетической полосы, чем
изотермические эффекты: в формулах для адиабатических
эффектов имеются члены, на два порядка большие
^по степеням , чем в формулах для соответствующих
изотермических эффектов.
5. Все асимптотические зависимости термомагнитных
эффектов от магнитного поля, приведенные в §§ 6—10,
могут быть получены без конкретизации вида функции рас¬
пределения носителей тока и зависимостей их энергии
и времени релаксации от модуля квазиимпульса, как сле¬
дует из формул (4.8") и (4.9"). Можно показать [45, 169],
что асимптотика всех эффектов остается такой же для
произвольного вида интеграла столкновений и любой
статистики, если закон дисперсии изотропный.
§ 11. Термомагнитные явления в случае анизотропного
квадратичного закона дисперсии [107]
До сих пор рассмотрение велось для сферических по¬
верхностей энергии е = ^. В настоящем параграфе
приводится расчет термомагнитных эффектов для случая
несферических поверхностей на примере электронного
германия, зонная структура которого известна.
Нижний край полосы проводимости германия имеет
четыре минимума, вблизи которых изоэнергетические
поверхности представляют собой эллипсоиды вращения,
ориентированные в пространстве квазиимпульсов попарно
симметрично относительно точки р = 0. Эллипсоиды вытя¬
нуты вдоль диагоналей куба, то есть вдоль осей типа [111].
Положение центров эллипсоидов на диагоналях куба
точно неизвестно, но для расчета кинетических эффектов
этого и не требуется.
Если выбрать ось z таким образом, чтобы она была
параллельна главной оси одного из эллипсоидов, а начало
координат поместить в центре эллипсоида, то энергия
как функция квазиимпульса вблизи данного минимума
имеет вид
(11.1)
10 и. М. Цидилыювский

146
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
где /??ц и rri'i — продольная и поперечная эффективные
массы.
В расчете предполагается, что процессы рассеяния
с перебросом электрона из одного минимума в другой не
имеют места. Такое допущение в известной мере оправдано
тем, что переходы подобного рода сравнительно мало ве¬
роятны, так как связаны с большими изменениями квази¬
импульса электрона. В этом приближении токи для каж¬
дого минимума независимы между собой, и полный ток
представляет собой сумму токов, обусловленных отдель¬
ными минимумами.
Сравнение результатов исследований гальваномагнит-
ных эффектов и диамагнитного резонанса [182] в n-Ge
показывает, что в области температур, где рассеяние
электронов на ионах примеси несущественно, компоненты
тензора времен релаксации Тц и Tj_ примерно равны между
собой. Поэтому будем полагать, что рассеяние изотропно
и описывается временем релаксации, зависящим только
от энергии
(4.12)
Решение кинетического уравнения (4.5) в случае ани¬
зотропной эффективной массы имеет вид (4.7)
где тГ1—тензор обратной эффективной массы, \ ш1\ —
детерминант тензора тГ1, определяется выражением
(4.6').
Записав с помощью (4.7) токи j (4.8) и W9 (4.9), можно
найти все кинетические коэффициенты для случаев слабых
и сильных магнитных полей.
Особенность расчета кинетических эффектов для ани¬
зотропного закона дисперсии заключается в том, что вид
зависимости е(_р), в отличие от случая изотропного закона
дисперсии, меняется при переходе от одной системы коор¬
динат к другой. Удобно выбрать систему координат таким

анизотропный закон дисперсии
147
§ 11J
образом, чтобы функция &(р) имела простейший вид.
Тогда, естественно, и формулы для кинетических коэффи¬
циентов будут относиться к выбранной системе координат.
Чтобы найти формулы для эффектов в других направле¬
ниях, необходимо преобразовать систему координат.
В рассматриваемом случае мы должны записать токи
j и WQ для различных минимумов в одной и той же системе
координат, а затем просуммировать их. Поскольку для
расчета эффектов удобно предполагать, что магнитное
поле направлено вдоль одной из осей координат, то для
нахождения зависимости термомагнитных явлений от
направления магнитного поля выберем несколько прямо¬
угольных координатных систем, различным образом ориен¬
тированных по отношению к кристаллографическим осям.
Положим, что магнитное поле направлено по оси z, и рас¬
смотрим три случая.
1.	Ось z параллельна одному из ребер куба, а на¬
правление оси х (в плоскости, перпендикулярной оси z)
произвольное.
2.	Ось z направлена вдоль одной из диагоналей куба,
а направление оси х (в плоскости, перпендикулярной
оси z) произвольное.
3.	Ось z параллельна одной из диагоналей грани, а
оси хну одинаково наклонены по отношению к глав¬
ным осям куба.
При рассмотрении эффектов в поперечных магнитных
полях будем полагать, что градиент температуры направ¬
лен вдоль оси х.
Ниже приведены формулы для всех изотермических и
адиабатических эффектов, а в табл. 5 —значения соответ¬
ствующих множителей, обусловленных анизотропией эф¬
фективной массы. Расчет проведен для статистики Макс¬
велла — Больцмана.
Слабые поперечные магнитные поля (Н J_ VT).
(11.2)
(11.3)
10*

148
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИИ
1ГЛ. И
(11.4)
(11.5)
(11.6)
(11.7)
. (11.8)
Слабые продольные магнитные поля (H\\VT).
(11.9)
(11.10)
Сильные поперечные магнитные поля (Я ± VT).
(11.11)
(11.12)

§ in
АНИЗОТРОПНЫЙ ЗАКОН ДИСПЁРСИИ
149
(11.13)
(11.4)
(11.15)
(11.16)
Сильные продольные магнитные поля (Я|^Г).
(11.17)
(11.18)
Подвижность и концентрация электронов проводимости,
фигурирующие в приведенных формулах, соответственно
равны
(11.19)
(11.20)
Коэффициенты в табл. 5 выражены через параметр
т\\
анизотропии К = — .
г	т ^
В изотропной модели, как показано в §§ 6 и 7, про
дольные эффекты в продольном поле не возникают. В слу¬
чае же анизотропной эффективной массы, как видно из при¬
веденных формул, они должны быть весьма заметны. По¬
этому продольные эффекты, исследованные при различных

Таблица 5
150
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
/
(2К + 1)(К + 2)
9 К
(2К+1)(К+8)
3(7#+2)
(2# +1)2
за: (к+2)
к
Ьг
6# (#—1)2
(2ЛГ + 1)»
2К (К — I)2
(2# +1)3
3К (К — I)2
(2# + 1)3
г
<+_
сг
(2АГ+1)*
ЗК (AT -j- 2)
(2АГ+1) (4АГ+5)
3# (# + 8)
#2 + 4#+!
ЗК
(2АГ + 1) (АТ+ 2)
9#
#2 + 7# + 1
9#
1
ь;
ЗА' (/0 —}— 2)
(2АГ + 1)2
а:(8а:*+ил:+8)
(2#+ 1)3
3# (5#2+8# + 5)
2 (2#+ 1)3
/
а
г
3# (К + 2)
(2АГ+1)2
за:(а:+2)
(2АГ + 1)2
ЗАГ (АГ+2)
(2АГ+1)2
за: (а:+2)
(2#+ 1)2
3К (К+2)
(2# + 1)2
Направление
VT*)
произволь¬
ное, _1_ н
произволь¬
ное, _L Н
как указано
в тексте
[100]
[011]
Направ¬
ление
н
[001]
[111]
[011]
[011] **)
[011] **)
*) Направление V Т указано для эффектов в поперечном магнитном поле и не относится,
конечно, к коэффициентам 6" и /, для которых H\\VT.
**) Формулы для коэффициента с' при указанных направлениях Н и V Т получены Херрингом
и др. [1756].

11]
АНИЗОТРОПНЫЙ ЗАКОН ДИСПЕРСИИ
151
углах между магнитным полем и градиентом темпера¬
туры, и, в частности, эффекты в продольном поле, могут
с успехом служить для выявления и исследования
анизотропии энергетического спектра. Наиболее удобным
из термомагнитных эффектов для изучения анизотропии яв¬
ляется изменение теплопроводности в сильном продольном
поле, величина насыщения которого позволяет определить
параметр анизотропии /. Продольный эффект Нернста—
Эттингсгаузена в сильном поле изотропен и не может дать
какие-либо сведения об анизотропии спектра.
Что касается поперечных эффектов (за исключением
изотропного в сильном поле эффекта Риги — Ледюка)
и продольных эффектов в слабых нолях, то поскольку
параметры анизотропии входят во все формулы наряду
с коэффициентами, зависящими от механизма рассеяния,
достаточно точное определение этих параметров из экспе¬
римента весьма затруднительно.
Если принять для n-Ge К—17 (согласно результатам
измерений сопротивления в сильных полях в области
температур от азотной до комнатных см., например, [175]),
то для параметров анизотропии а^/а,, b'r/br и с'г/сг в боль¬
шинстве случаев получаются значения, довольно близкие
к единице. Поэтому экспериментальные данные для
соответствующих эффектов можно с определенной сте¬
пенью точности анализировать при помощи формул для
изотропной модели. Можно думать, что и для других
полупроводников с многоэллипсоида льн ыми поверхно¬
стями и с небольшой анизотропией рассеяния качествен¬
ный анализ термомагнитных явлений в поперечных полях,
в частности с целью выяснения характера рассеяния
носителей тока, может быть произведен на основе теории
для изотропного закона дисперсии.
В заключение следует отметить, что, если учесть тен¬
зорный характер времени релаксации, параметр К будет
т.\Х I
отражать и анизотропию т : К =	■— . Исследования
т±тП
термомагнитных явлений при различных температурах
могут дать полезные сведения о температурной зависимо¬
сти К, которая определяется, по-видимому, в основном
температурной зависимостью компонентов тензора времени
релаксации.

152
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
§ 12. Качественный анализ термомагнитных явлений
Остановимся кратко на качественной трактовке термо¬
магнитных явлений. Прежде всего следует отметить, что
возможность двух знаков для поперечного эффекта Нерн-
ста — Эттингсгаузена, в отличие от эффекта Риги —
Ледюка, нельзя объяснить тем обстоятельством, что
перенос заряда может осуществляться носителями двух
видов — электронами и дырками. Действительно, влия¬
ние градиента температуры на движение частиц не должно
зависеть от знака их заряда. Магнитное поле отклоняет
электроны и дырки в противоположные стороны, вслед¬
ствие чего поле поперечного эффекта Нернста — Эттингс¬
гаузена для электронов и дырок должно быть одина¬
кового направления.
Знак поля продольного эффекта Нернста — Эттингс¬
гаузена зависит от того, каким видом носителей заряда
переносится ток — электронами или дырками. Однако
здесь, как и в случае поперечного эффекта (и в отличие от
эффекта Риги — Ледюка), большую роль играет механизм
рассеяния носителей тока. Магнитное поле, отклоняя
электроны или дырки от направления первоначального
движения, одинаково влияет на перенос энергии (а следо¬
вательно, и на первичную термоэдс), независимо от того,
совершается ли он электронами или дырками. Но знаки
эффекта оказываются при этом противоположными для
отрицательных и положительных носителей заряда.
Пусть, например, механизм рассеяния таков, что абсо¬
лютная величина термоэдс в магнитном поле увеличи¬
вается, то есть | а (Я) | > | а (0) |. Тогда, независимо
от того, что магнитное поле одинаково воздействует на
оба вида носителей — увеличивает перенос энергии,—
дТ
поле продольного эффекта Ех=[а(Н) — а(0)] ^ будет для
электронов отрицательным, а для дырок положи¬
тельным.
Совершенно очевидно, что изменение электронной
части теплопроводности в магнитном поле не должно
зависеть от вида носителей тока: как в случае электронной,
так и в случае дырочной проводимости теплопроводность
должна уменьшаться.

§ 12] КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТЕРМОМаГЙИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 153
Наибольший интерес представляет вопрос о том, поче¬
му эффекты Нернста — Эттингсгаузена очень чувствитель¬
ны в области примесной проводимости к характеру рас¬
сеяния носителей тока решеткой, то есть к виду зависимо¬
сти времени свободного пробега носителей от скорости.
Для выяснения этого вопроса можно ограничиться
рассмотрением грубой модели движения носителей тока
в полупроводнике, в котором имеется поток тепла. Разо¬
бьем мысленно совокупность носителей тока на две
группы: к первой группе отнесем носители, движущиеся
с повышенной средней скоростью vlx от горячего конца по¬
лупроводника к холодному (см. рис. 11), ко второй груп¬
пе— носители, движущиеся с меньшей скоростью v2x
Рис. 11. Схема, поясняющая знак поперечного эффекта
Нернста— Эттингсгаузена.
в противоположном направлении. Поскольку электричес¬
кий ток в направлении первичного градиента температуры
(ось х) отсутствует, число частиц, проходящих в единицу
времени через единицу поперечного сечения в обоих на¬
правлениях , одинаково
(12.1)
где пх и п2 — концентрации «быстрых» и «медленных»
носителей соответственно.
Бели температура возрастает в положительном направ¬
ку»
лении оси х, то есть ^ > 0, то для отрицательно заря¬
женных электронов возникающее термоэлектрическое поле
будет направлено в противоположную сторону.

154
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
При помещении полупроводника в магнитное поле,
направленное вдоль оси z (на рис. 11 — к читателю),
носители тока, для определенности — электроны, будут в
каждом элементе объема отклоняться в направлении оси у,
причем «быстрые» электроны вниз, «медленные» вверх.
Возникающий в направлении оси у ток
(12.2)
В слабых магнитных полях углы поворота Ф — углы
Холла —малы и tg'O'^'fh Тогда из (12.2) с учетом (12.1)
находим
(12.3)
Если, например, Ф2 > #г, то ток / направлен в отри¬
цательную сторону оси г/. Перенося отрицательный заряд
в положительном направлении оси у, этот ток создает
электрическое поле Еу, которое все сильнее тормозит
процесс переноса заряда. Равновесие устанавливается
тогда, когда ток / , обусловленный действием магнит¬
ного поля, уравновешивается током, созданным полем Еу.
Очевидно, что поле Е направлено в сторону, противо¬
положную /w, то есть
(12.4)
Таким образом, поле поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена определяется разностью холловских углов
«медленных» и «быстрых» носителей тока. Так как угол
(см. § 4), то для случая невырожденной
полосы энергий*), когда эффективные массы у всех но¬
сителей тока одинаковы, Ф определяется временем релак¬
сации, то есть временем, в течение которого магнитное
поле воздействует на носитель. Знак поля Еу одинаков
для электронов и дырок, поскольку jy — е2.
Если в соответствии с (4.12) представить зависимость
времени релаксации носителей тока от скорости в виде
*) Если энергетическая полоса вырождена, то есть имеются
два или более сорта носителей тока одного знака, то при интер¬
претации знака эффектов следует учесть не только времена релак¬
сации различных групп носителей, но и соотношение эффективных
масс носителей разных полос.

§ 12] КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 155
т—v2r 1 (предполагается, что энергия пропорциональна
\
квадрату скорости), то при г < у т будет больше для
«медленных» электронов (d2 > 'O'j — ситуация, изображен¬
ная на рис. 11) и возникнет электрическое поле в поло¬
жительном направлении оси у, то есть Еу > 0. При
сильнее будут отклоняться «быстрые» электроны, и
Если время свободного пробега не зависит от скорости,
1
то есть если г = у , «оыстрые» и «медленные» электроны
создают в каждом элементе объема электрические поля,
полностью компенсирующие друг друга, и Еу=0.
Внесение полупроводника в магнитное поле приводит
не только к возникновению поперечного поля Еу, но и к
изменению термоэлектрического поля, направленного
вдоль оси х, на величину Ех — поле продольного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена. Действительно, отклоняя
электроны, магнитное поле тем самым в большей или
меньшей степени уменьшает их среднюю скорость в направ¬
лении оси х, то есть и перенос энергии. Чем больше время
воздействия магнитного поля на движение электронов, тем
больше изменится термоэлектрическое иоле. Если г < у ,
время свободного пробега будет больше для «медленных»
электронов, движущихся в сторону горячего конца
(см. рис. 11), они отклонятся сильнее «быстрых» электро¬
нов, и следовательно, возникает поле Ех в отрицательном
направлении оси х (Ех < 0), то есть в направлении первич¬
ного термоэлектрического поля. Если г>у, Ех будет
направлено в положительном направлении оси х
то есть против поля термоэдс. При г— у Ех = 0, то есть
термоэдс останется в магнитном поле неизменной. Для
дырок знак Ех будет противоположным.
Из изложенного становится понятным, почему для
характеристики продольного эффекта Нернста — Эттингс¬
гаузена удобнее всего пользоваться безразмерным полем
Поле fx определяется только механизмом

156
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ II
рассеяния и не зависит от вида носителей заряда: для
Кроме того, знак %х
соответствует принятому в § 2 условию для знака про¬
дольного эффекта: он положителен, если абсолютная вели¬
чина термоэдс возрастает, и отрицателен — в противо¬
положном случае.
Эффект Риги — Ледюка, как уже отмечалось выше,
совпадает по знаку с эффектом Холла, то есть положителен
для дырочных полупроводников и отрицателен для элект¬
ронных.
Действительно, у той грани образца, в сторону
которой отклоняются носители тока больших энергий,
температура станет выше, чем у противоположной. Если
носителями тока являются электроны, то при направлении
магнитного поля вдоль оси z и первичного градиента тем¬
пературы вдоль оси х (см. рис. И) возникнет градиент
температуры в отрицательном направлении оси у. В случае
дырочной проводимости градиент будет направлен в поло¬
жительную сторону оси у.
Характер термомагнитных эффектов существенно
меняется, если в проводимости участвуют носители тока
обоих знаков. Электроны и дырки диффундируют в этом
случае совместно от нагретых мест к холодным, не созда¬
вая электрического тока. Такая биполярная диффузия
обусловлена разностью скоростей зарядов и градиентом
их концентрации (у горячего конца концентрации
больше).
Термоэлектродвижущая сила может возникнуть при
этом только в том случае, если концентрации электронов
и дырок и их подвижности различаются между собой
по величине.
В собственном полупроводнике с равными подвижно¬
стями электронов и дырок поток частиц от горячего конца
к холодному (напомним, что в случае проводимости одного
знака в образце не может быть потока частиц), испытывая
отклонение в магнитном поле, обусловливает, как нетрудно
видеть, поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена
отрицательного знака. Продольный эффект Нернста —
Эттингсгаузена и эффект Риги — Ледюка в этих условиях
не возникают. Что касается эффекта Маджи — Риги —

§ 12] КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 157
Ледюка, то он значительно менее чувствителен к появле¬
нию носителей второго рода, чем остальные термомагнит¬
ные явления (лишь в случае сильных магнитных полей
эффект резко зависит от соотношения концентраций элект¬
ронов и дырок).
Остановимся на интерпретации зависимости термомаг¬
нитных явлений от магнитного поля. С увеличением напря¬
женности магнитного поля величина всех эффектов, есте¬
ственно, возрастает. Однако при достижении достаточно
больших полей, когда электрон (дырка) успевает за время
свободного пробега сделать несколько оборотов, зависи¬
мость т от энергии начинает все меньше сказываться на
отклонении электрона. В бесконечно большом поле элект¬
роны будут вести себя так же, как они ведут себя в слабых
полях, если время пробега не зависит от энергии. При
этом согласно изложенному выше должны исчезнуть попе¬
речные эффекты Нернста — Эттингсгаузена и Риги —
Ледюка.
В сильном магнитном поле должна исчезнуть и элек¬
тронная теплопроводность. Убывание ее при возра¬
стании магнитного поля обусловлено ослаблением взаимо¬
действия электронов с решеткой, уменьшением обмена
энергией с ней. Ясно также, что изменение термоэлектри¬
ческого поля ЕХ=ЕХ(Ы)— Ех(0), которое определяется
только разностью скоростей «быстрых» и «медленных»
электронов, должно в сильных магнитных полях достичь
предельного значения, равного разности величин Ех для т,
соответствующего данному механизму рассеяния, и для
т = const. Изменение коэффициента термоэдс в произволь¬
ном магнитном поле |(?П| не может превзойти величину
л к
А —, где А — множитель порядка единицы, так как маг¬
нитное поле может воздействовать только на часть термоэдс,
обусловленную переносом ^слагаемое (2+г)-^- Та часть
термоэдс, которая зависит от химического потенциала
(^слагаемое —остается неизменной, поскольку маг¬
нитное поле не может изменить его величину. Это
утгерждение, как и все остальные выводы о характере
термомагнитных явлений в сильных магнитных полях,

158
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. 11
справедливо до тех пор, пока не становятся существенными
эффекты квантования электронных орбит в магнитном
иоле, то есть пока не нарушается условие, о котором уже
говорилось в § 4:р|#<С/с7\
Очевидно, что увеличение времени свободного пробега
при неизменном магнитном поле эквивалентно увеличению
напряженности магнитного поля при неизменном т, так как
в обоих случаях число оборотов электрона за время про¬
бега возрастает, и зависимость его отклонения от т(е)
должна уменьшиться. Отсюда следует, что степень
воздействия магнитного ноля на носители тока опре¬
деляется как напряженностью поля, так и подвижностью
носителей (которая пропорциональна времени свобод¬
ного пробега), то есть величиной	приблизительно
равной углу поворота (если он мал) носителя тока
в магнитном поле от направления первоначального
движения.
В полупроводниках с собственной проводимостью поле
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена, которое
при равенстве концентраций п+ и п_ определяется главным
образом отклонением носителей заряда противоположных
знаков, должно неограниченно возрастать с ростом магнит¬
ного поля. Эффект Риги — Ледюка должен, как и в случае
примесной проводимости, исчезнуть в сильном магнитном
поле: отклоняющиеся в противоположные стороны элект¬
роны и дырки обладают в среднем одинаковой энергией
и не могут, следовательно, обусловить возникновение
градиента температуры. Нетрудно видеть, что характер
зависимости продольного эффекта Нернста — Эттинг¬
сгаузена от магнитного поля у собственных полупро¬
водников должен остаться таким же, как и у примесных
полупроводников — изменится лишь величина предела
при >со.
Электронная теплопроводность в случае собственной
проводимости определяется главным образом переносом
энергии электронно-дырочными парами, которые, реком¬
бинируя, передают ее решетке. Ясно, что и в сильных
магнитных полях теплопроводность, обусловленная таким
механизмом переноса энергии, должна оставаться конеч¬
ной величиной, не зависящей от Н.

$ 13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
159
§ 13. Роль эффектов увлечения
Изотропный квадратичный закон дисперсии
При изучении термомагнитных эффектов следует обра¬
тить внимание на одну особенность, которая существенно
отличает их от гальваномагнитных эффектов.
В изложенной выше теории явлений переноса предпо¬
лагается, что колебания решетки, взаимодействующие
с носителями тока, находятся в тепловом равновесии.
В действительности, как заметил Пайерлс [74], под воз¬
действием внешнего электрического поля это равновесие
может быть нарушено. В электрическом поле волновой
вектор электронов (дырок) к = увеличивается в направ¬
лении, в котором они ускоряются полем, и их распреде¬
ление по скоростям изменится. В силу условия сохранения
квазиимпульса при переходах (однофононное рассеяние):
А?' = zbQ (§ 5), где q — волновой вектор фононов, элект¬
роны могут возвратиться в равновесное состояние, либо
поглощая фононы, движущиеся по полю, либо испуская
фононы в противоположном направлении, то есть против
поля. Равновесие решетки сохранится при прохождении
тока лишь в том случае, если обмен энергией между коле¬
баниями решетки вследствие ангармоничности сил решетки
восстановит равновесие значительно быстрее, чем оно
нарушилось при столкновениях с электронами.
Следовательно, при высоких температурах (оценки
показывают, что выше комнатных температур это всегда
верно) отклонением колебаний решетки от равновесного
состояния можно пренебречь. При низких температурах,
когда взаимодействия фононов друг с другом недостаточно
для восстановления равновесия решетки, величины про¬
водимости и других кинетических коэффициентов могут
заметно отличаться от значений, рассчитанных в предпо¬
ложении равновесия.
Другой причиной нарушения равновесия решетки
может явиться градиент температуры в проводнике.
Согласно теории Блоха [75] взаимодействие между коле¬
баниями решетки столь велико, что обусловленное гра¬
диентом температуры отклонение их от равновесия

160	ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ	1ГЛ IJ
незначительно и им можно пренебречь при рассмотрении
термоэдс и теплопроводности. Возникновение термоэдс
и электронной теплопроводности объясняется только
тепловым дрейфом носителей тока.
Аналогично тому, как при рассмотрении электропро¬
водности пренебрегается отклонением волн решетки от
равновесия, в теории Блоха при расчете потока тепла,
переносимого фононами, предполагается, что носи¬
тели тока, взаимодействующие с ними, находятся в рав¬
новесии.
Впервые влияние отклонения распределения фононов
от равновесного на термоэлектрические и термомагнитные
эффекты в металлах теоретически рассмотрел Л. Э. Гуре¬
вич [76]. Впоследствии в ряде работ [77—79] было пока¬
зано, что в полупроводниках нарушение равновесия
фононного газа не должно сказаться на величине термоэдс
при комнатных и более высоких температурах, но может
существенно повлиять на взаимодействие решетки с носи¬
телями тока при понижении температуры.
При исследовании термомагнитных и термоэлектриче¬
ских явлений проводник находится во внешнем тепловом
поле. Наличие градиента температуры приводит к возник¬
новению анизотропии в распространении колебаний
решетки: фононы преимущественно движутся в направле¬
нии от горячего к холодному краю образца. Вследствие
этого рассеяние носителей тока фононами также
становится анизотропным:	носители чаще получают
импульсы в сторону холодного края, чем в противопо¬
ложную. Этот дрейф носителей тока, обусловленный
нарушением равновесного распределения колебаний
решетки, получил название увлечения носителей тока
фононами.
Эффект увлечения тем больше, чем сильнее взаимодей¬
ствие фононов с носителями тока и чем больше время
релаксации разупорядочения движения длинноволновых
фононов, с которыми носители тока взаимодействуют.
Следовательно, при низких температурах увлечение
должно сильнее проявляться, чем при высоких, так как
из-за взаимных столкновений распределение фононов
медленнее возвращается к равновесному. Изучение эффекта
увлечения должно, очевидно, дать сведения об электрон-

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
161
* 13]
фононном взаимодействии, которые нельзя получить при
исследовании электропроводности и гальваномагнитных
явлений. Кроме того, анализ эффектов, в которых увле¬
чение играет существенную роль, должен помочь выяс¬
нить характер взаимодействия между длинноволновыми
фононами.
В 1956 г. Сондхеймер [80] обратил внимание на тот
факт, что в работах Херринга [79] и др. [78], рассмотрев¬
ших влияние эффектов увлечения на термоэдс, не выпол¬
няются соотношения микроскопической обратимости
(3.21) для термоэлектрических коэффициентов. Чтобы эти
соотношения симметрии выполнялись, необходимо рас¬
смотреть кинетические уравнения для носителей тока
и фононов совместно и решать эту систему (в первом
приближении — двух линейных интегральных уравнений)
при строгом учете отклонения обеих функций распределе¬
ния от равновесных.
Точное решение системы кинетических уравнений даже
при упрощающих предположениях о сферичности энерге¬
тических поверхностей, изотропности времен релаксации,
пренебрежимо малой дисперсии колебаний решетки (то
есть независимости скорости распространения колебаний
от длины волны) невозможно. Приближенное решение
может быть найдено путем разложения в ряд возмущенных
функций распределения по модулям волновых векторов
носителей тока& = |&| и фононов q = \q\. Для металлов
такие исследования были проведены Сондхеймером
и др. [81], для полупроводников Парротом [82] и Аппе¬
лем [83, 84].
Сравнительно просто решается задача в предельном
случае, когда влияние рассеяния фононов носителями
тока на функцию распределения фононов пренебрежимо
мало (небольшие концентрации носителей тока, не слишком
низкие температуры). Тогда кинетические уравнения ста¬
новятся независимыми друг от друга (причем соотношения
Онзагера строго выполняются), и термоэдс, теплопровод¬
ность, постоянную Нернста — Эттингсгаузена и другие
термоэлектрические и термомагнитные коэффициенты
можно представить в виде сумм электронной и фононной
частей. Так, при учете рассеяния носителей тока лишь
акустическими колебаниями решетки для термоэдс
11 И. М. Цидилыювский

162
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНЙТНЫХ ЯВЛЕНИЙ	[ГЛ. II
получается формула Херринга [79]
(13.1)
где w — среднее значение скорости звука, /ф — средняя
длина свободного пробега фононов с малыми волновыми
числами q, играющих главную роль во взаимодействии
с носителями тока.
В работах В. Л. Гуревича и Ю. Н. Образцова [54]
и Паррота [130] было рассмотрено влияние увлечения на
эффекты Нернста — Эттингсгаузена в полупроводниках
именно для случая, когда коэффициенты аддитивно скла¬
дываются из электронной и фононной частей. Для атомных
полупроводников типа германия и кремния такое разделе¬
ние эффектов на две части справедливо при концентрациях
носителей тока, меньших 1014 см~г. При более высоких
концентрациях рассеяние фононов носителями тока стано¬
вится столь же существенным, как и рассеяние носителей
тока фононами.
Влияние эффектов увлечения на термомагнитные явле¬
ния в значительной мере определяется характером зави¬
симости длины свободного пробега фононов от волнового
вектора, которая в свою очередь существенно зависит
от симметрии кристалла (см. (13.8)—(13.10)). В. Л. Гуре¬
вич и Ю. Н. Образцов [54] и Паррот [130] рассматривали
термомагнитные явления для кристаллов кубической сим¬
метрии (/ф~ ?"2), а Аппель [84] считал, что 1ф не зависит
от q. Различие в предположениях относительно вида
функции 1ф(q) приводит, как показано будет ниже, не
только к различным знакам и величинам термомагнитных
коэффициентов, но даже влияет на характер их зависимости
от магнитного поля. Вследствие этого, а также вследствие
ограничений, накладываемых в расчете на энергетиче¬
ский спектр носителей тока (сферические поверхности
энергии, отсутствие вырождения полос), количественное
сравнение развитой в работах [54,], [84] и [130] теории
с экспериментом не представляется убедительным: имеет
смысл сравнивать лишь порядок величин эффектов и их
температурную зависимость. Для количественного сопо¬
ставления эксперимента с теорией нужно, кроме симметрии
кристалла, обязательно знать энергетический спектр носи-

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
163
$ 13]
телей тока, о котором в настоящее время имеются досто¬
верные сведения лишь для германия и кремния.
Рассмотрим невырожденный полупроводник в той
области температур, где возбуждения электронов, приво¬
дящие к переходам их из валентной полосы в полосу про¬
водимости, вносят малый вклад в электропроводность,
то есть в области примесной проводимости. Будем пола¬
гать, что энергетические поверхности носителей тока сфе-
ричны = и времена релаксации носителей тока
и фононов изотропны, то есть зависят только от к и q.
При наличии в полупроводнике электрического поля и
градиента температуры функции распределения носителей
тока / и фононов N отклоняются от своих равновесных
значений /0 и 7V0, причем / можно записать в виде (4.3),
a iV в виде
(13.2)
функция Планка,
сод —частота акустических колебаний. Следует отметить,
дсOq
что, поскольку групповая скорость v = -щ- оптических
фононов мала по сравнению с групповой скоростью аку¬
стических фононов (а следовательно, мал и поток энер¬
гии, переносимый оптическими фононами, см. (13.43)),
оптические колебания вносят значительно меньший вклад
в эффект увлечения, чем акустические.
В невырожденных полупроводниках носители тока,
Ъ*к'*	№2 , ,
подчиняясь законам сохранения энергии '2m_==‘2m ^^wcl
и квазиимпульса К = 7с ± q, могут взаимодействовать
только с длинноволновыми фононами, волновые числа ко¬
торых удовлетворяют неравенству 0 < q < 2к. Поэтому,
fi2k2
считая fi(oq < 2^- — кТ, можно равновесную функцию
распределения фононов представить в виде Nq^z"1.
Это приближение обосновано до самых низких темпера¬
тур порядка 1° К.
Ниже будут рассмотрены лишь наиболее существенные
для атомного полупроводника при низких температурах
11*

164
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
механизмы рассеяния: 1) рассеяние носителей тока фоно*
нами и ионами примеси, 2) рассеяние фононов фононами
и границами кристаллических зерен.
Функции %(р) и b(q), характеризующие отклонение
функций распределения / и N от равновесных значений,
определяются из системы кинетических уравнений для
носителей тока (4.2) и для фононов.
Кинетическое уравнение для фононов можно записать,
если учесть, что функция распределения N (q) изме¬
няется, с одной стороны, под влиянием внешних сил —
градиента температуры, — с другой, под влиянием внут¬
ренних сил — столкновений фононов друг с другом, с но¬
сителями тока, границами и т. д.
В стационарных условиях
Изменение в единицу времени функции распределения
N (г, w) под воздействием градиента температуры равно
Кинетическое уравнение для фононов можно теперь
записать в виде
(13.3)
Интегралы столкновений в (4.2) и (13.3) рассчиты¬
ваются для различных механизмов рассеяния носителей
тока и фононов при сделанных выше предположениях
обычными методами (см. § 5). При этом следует учесть,
что как	> так и	зависят, вообще гово¬
ря, от обеих функций возмущения %(р) и b(q). Интеграл
Г dN пэ	0	_т
характеризующий изменение N при столкно¬
вениях лишь с носителями тока, имеет такой же вид, как
и интеграл ]ст	характеризующий изменение
/ при столкновениях с фононами, с тем отличием, что
интегрирование Г-^т-]9 ведется в р-пространстве. Если

1 13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
165
перейти в обоих интегралах столкновений к сферическим
системам координат с осью р в ^-пространстве и осью
q в р-пространстве (см. § 5), то после интегрирования
по углам с учетом (4.3) и (13.2) получим
(13.4)
(13.5)
где гэ> ф — время релаксации для соударений носителей
тока с фононами.
Относительно процессов рассеяния фононов на фоно¬
нах и границах кристалла и рассеяния носителей тока
на ионах примеси предполагается, что они могут быть
описаны временем релаксации
(13.6)
(13.7)
где тэ,и—-время релаксации для соударений носителей
1 1,1
тока с ионами примеси, — =	1	, Тф, ф — время
Тф Тф, ф Тф, р ’
релаксации для фонон-фононных соударений, тф> г — вре¬
мя релаксации для соударений фононов с границами
кристаллических зерен, тф — общее время релаксации
фононов; значки «и» и «г» соответствуют взаимодействию
с ионами примеси и границами кристалла.
Херринг [85] рассмотрел трехфононные процессы рас¬
сеяния в упруго изотропных и анизотропных кристаллах
и нашел зависимости времен релаксации продольных
и поперечных фононов от температуры и волнового век¬
тора. Время релаксации фонон-фононного взаимодей¬
ствия для длинноволновых колебаний решетки (?—>0)

166
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
можно согласно Херрингу [85] при температурах, много
меньших дебаевской (Г < 6), представить в виде
(13.8)
Для продольных колебаний в неограниченном упруго
анизотропном кристалле высокой симметрии (кубическом,
например) s = 2 и
(13.9)
Для кристаллов низкой симметрии $ = 3 или 4. В слу¬
чае упруго изотропного кристалла
(13.10)
Для двух ветвей поперечных колебаний s = 1, и для
анизотропного кубического или изотропного кристалла
(13.11)
В случае высоких температур (Т > 6) зависимость
Тф, ф от q сохраняется такой же, как и при низких
температурах, а зависимость от температуры становится
одинаковой для кристаллов различной симметрии и для
продольных и поперечных колебаний	— Т.
Тф, ф
Грубая оценка для германия показывает, что форму¬
ла (13.9) применима, если й(о(<у) < 0,15/г7\ а (13.11)
справедлива в более широком интервале температур.
В теории предполагается, что ф и ф одного
порядка, если йсо (<у) ~ кТ. В таком случае из (13.9) —
(13.11)	следует, что	ф (д) »	ф(д), если Ьа(д) <£ кТ.
Последнее условие справедливо для фононов, играющих
наиболее активную роль в рассеянии носителей тока.
Поэтому следует ожидать, что продольные колебания
для большей части экспериментально изучаемого темпе¬
ратурного интервала должны вносить во все термоэлек¬
трические и термомагнитные эффекты более значитель¬
ный вклад, чем поперечные. В области низких темпера¬
тур рассеяние фононов на границах уменьшает роль

13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
167
продольных колебаний значительно больше, чем попереч¬
ных, так что вклады колебаний обоих видов могут стать
сравнимыми.
Время релаксации для рассеяния фононов на грани¬
цах кристалла Тф, г можно приближенно выразить через
линейный размер кристалла L:
При очень низких температурах, когда тепловые вол¬
ны решетки рассеиваются лишь границами и Тф = Тф, г,
можно Тф,г определить по известным величинам фонон¬
ной теплопроводности и теплоемкости, используя форму¬
лу для теплопроводности кристаллической решетки, вы¬
веденную Дебаем и совпадающую по внешнему виду
с формулой для теплопроводности газа
(13.12)
Если исследуемый образец имеет форму круглого
цилиндра с радиусом основания R, то, как показал
Казимир [10], формула (13.12) сводится к виду
(13.12а)
а для образца, имеющего квадратное сечение со сторо¬
ной <2, получается
(13.126)
где коэффициент А определяется формулой Дебая для
теплоемкости единицы объема Су —АТ3.
Общий интеграл столкновений для носителей тока
выражается, очевидно, суммой (13.4) и (13.6), а для
фононов — суммой (13.5) и (13.7).
Подстановка (13.4) — (13.7) в (4.2) и (13.3) приводит
к системе уравнений для ^(Р) и &(?)> решение которой
для полупроводников с не слишком высокой концентра¬
цией примесей имеет вид
(13.13)

168
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
(13.14)
Параметр s	^ характеризует степень влияния
Тф
электрон-фононного взаимодействия на отклонение тепло¬
вых колебаний решетки от равновесия.
Оценка показывает, что для п-Ge s^6,6-107
для n-Si s^7-106—— , для п-InSb s ^ 5,7• 107
Тф
Функция s (Т) обладает минимумом, когда средняя длина
свободного пробега фононов /ф достигает размеров
кристалла. Это должно иметь место в области темпе¬
ратур жидкого водорода. Так, при 20° К и /ф = 0,1 см
$>1, если п < 1016 см"3. Ограничиваясь случаем невы¬
рожденного электронного газа (для n-Ge, например,
при 20° К /гвыр ^3*1016 см_3), можно для гомеополярных
полупроводников типа германия полагать 1. Это поз¬
воляет для решения задачи воспользоваться разложением
функции возмущения фононов Ь (q) по степеням у .
Из (13.14) видно, что в пределе s—>оо 6(9)—»
—>—%ы)2Тф¥ 1пТ, то есть рассеяние фононов на носителях
тока столь мало, что функция возмущения Ъ (q) от него
не зависит. Нетрудно видеть, что Ь (q) не будет зависеть
от взаимодействия фононов с носителями тока и в очень
сильных магнитных полях, то есть при |5—>оо, поскольку
при этом >0. Для случая сильных магнитных полей
уравнения (13.13) и (13.14) становятся независимыми,
так что % и Ъ можно рассчитать точно. При произволь¬
ных магнитных полях система (13.13) и (13.14) может

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
169
§ 13]
быть решена лишь приближенно. После того как % и Ь
найдены, вычисление всех термомагнитных коэффициен¬
тов производится таким же образом, как и в § 6.
Не останавливаясь на деталях приближенного вычис¬
ления % и Ь (см., например, [84]), приведем лишь окон¬
чательные формулы для термомагнитных эффектов в пред¬
положении, что 1ф не зависит от q.
Рассмотрим сначала предельный случай s—>оо, кото¬
рый при больших концентрациях носителей тока соот¬
ветствует условиям равновесия тепловых колебаний
решетки ^так как при п Ф О
то есть N —>Nq^ . Если же распределение фононов отлично
от равновесного (/ф Ф 0) — а именно этот случай нас
и интересует, — то условие s—>оо может быть осу¬
ществлено, если п —> 0. Следовательно, формулы, полу¬
ченные в предположении s —>оо, должны применяться
лишь к очень чистым полупроводникам.
При s—>оо все термомагнитные коэффициенты могут
быть представлены в виде суммы независимых электрон¬
ных и фононных частей, так как электрические поля,
которые, с одной стороны, обусловлены дрейфом носите¬
лей тока, с другой — эффектом увлечения их фононами,
аддитивно складываются. Электронные части выража¬
ются формулами, полученными в §§ 6 и 10.
Приведем формулы для фононных компонентов изотер¬
мических эффектов в случае рассеяния носителей тока
на акустических колебаниях решетки
играющего основную роль в чистых атом¬
ных полупроводниках. Формулы для полей Еу и Ех
определяются из условия j = 0, причем в выражение для
j (4.8) следует подставить (13.13) и (13.14).
Поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена. Произ¬
вольные магнитные поля:
(13.15)
где R (Я) — постоянная Холла.

170
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Слабые магнитные поля
(13.16)
Сильные магнитные поля
(13.17)
Продольный эффект Нернста—Эттингсгаузена. Про¬
извольные магнитные поля:
(13.18)
Слабые магнитные поля:
(13.19)
Сильные магнитные поля:
(13.20)
знаки « + » и « —» относятся соот¬
ветственно к дырочной и электронной проводимости.
Отметим, что фононные составляющие обоих эффектов
Нернста —Эттингсгаузена (%у)ф и ($х)ф имеют в этом
случае (/ф не зависит от q) тот же знак, что и электрон¬
ные составляющие (ср. с (6.3), (6.4), (6.20) и (6.21)).
Нетрудно видеть, что в невырожденных полупровод¬
никах, у которых главную роль в явлениях переноса
играют носители тока с энергией порядка кТ, а приве¬
денный химический потенциал |[л*|>1, эффекты увле¬
чения влияют на термомагнитные явления значительно
сильнее, чем на термоэлектрические. Действительно,
отношение коэффициентов термоэдс в этом случае (см. 13.1))
в то время как отношение полей
Нернста — Эттингсгаузена в слабых полях, например,

13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
171
Таким образом, доля фононных
составляющих у термомагнитных эффектов в | ц* | раз
больше, чем у термоэлектрических (это утверждение отно¬
сится к произвольным магнитным полям).
Сделанное выше допущение, что s—> со, справедливо,
как мы уже отмечали, не только при малых концентра¬
циях носителей тока, но и при малых значениях длины
свободного пробега фононов. Следовательно, формулы
(13.15) — (13.20) применимы и при сравнительно высоких
температурах, когда из-за малости /ф можно пренебречь
рассеянием фононов носителями тока. Для невырожден¬
ных полупроводников типа германия с п —1014 см~3
такое пренебрежение допустимо при температурах выше
—150° К, так как /ф < 10“3 см. При более низких тем¬
пературах взаимодействие между колебаниями решетки
ослабляется, длина свободного пробега фононов /ф воз¬
растает и, если концентрации п недостаточно малы, рас¬
сеяние фононов носителями тока может существенно
повлиять на функцию распределения фононов.
При конечных значениях параметра взаимодействия s
коэффициенты термомагнитных эффектов не могут быть
представлены в виде суммы двух независимых частей:
электронной и фононной. Такое разделение на две состав¬
ляющие может быть произведено лишь формально, при¬
чем они будут связаны между собой параметром s. Фор¬
мулы для эффектов нельзя в этом случае представить
в аналитическом виде. Можно лишь путем численного
о	у y	иН
интегрирования наити зависимости коэффициентов от —
при заданных значениях s п у2 =	.
ип
На рис. 12 и 13 показаны рассчитанные зависимости
фононной и электронной частей термоэдс от параметра
взаимодействия. При уменьшении s, то есть при усилении
взаимодействия колебаний решетки с носителями тока, обе
составляющие термоэдс уменьшаются по абсолютной
величине.
На рис. 14—-25 приведены графики зависимостей
поперечного и продольного эффектов Нернста—Эттингс-
иН
гаузена от —— для различных значений $ и у2. Графики

172
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИИ
[ГЛ. It
Рис. 12. Зависимость фононной части термоэдс от параметра
взаимодействия s.
Рас. 13. Зависимость электронной части термоэдс от параметра
взаимодействия s.

Рис. 14. Зависимость относительного изменения фононной части
термоэдс от величины иаЯ/с при у2 = 0.
Рис. 15. Зависимость относительного изменения фононной
части термоэдс от величины иаЯ/с при у2 = 1.

Рис. 16. Зависимость относительного изменения фононной части
термоэдс от величины и^Н/с при у2==Ю*
Рис. 17. Зависимость относительного изменения электронной
части термоэдс от величины ийН/с при у2 = 0.

Рис. 18. Зависимость относительного изменения электрон*
ной части термоэдс от величины иаН/с при у2 = 1.
Рис. 19. Зависимость относительного изменения элек
тронной части термоэдс от величины маЯ/с при у2 = 10

Рис. 21. Зависимость фононной части безразмерного
доля поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
от величины маЯ/с при у2 = 1.
Рис. 20. Зависимость фононной части безразмерного поля попе¬
речного эффекта Нернста — Эттингсгаузена от величины иаЯ/с
при у2 = 0.

§ I3j
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
177
Рис. 22. Зависимость фононной ча¬
сти безразмерного поля поперечного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена
и Н
от величины при у2 = 10.
Рис. 23. Зависимость электронной части
безразмерного поля поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от	при
у2 = 0.
12 и. М. Цидильковский

178
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Рис. 24. Зависимость электронной
части безразмерного поля поперечно¬
го эффекта Нернста—Эттингсгаузена
иаН о
от - * при у2 — \.
Рис. 25. Зависимость электронной части безразмерного
поля поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
ияН
от при уа=а Ю,

§ 13 ]
ЁОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЁНИЯ
179
рассчитаны для s >2, причем учитывались первые три
1
члена разложения по —.
При рассеянии носителей тока лишь на тепловых
колебаниях решетки (у2 = 0) характер изменения обеих
составляющих термоэдс в магнитном поле (рис. 14 и 17)
остается таким же, как и в отсутствие эффектов увле¬
чения (ср. рис. 6)*): А | ex I монотонно растет с увели-
иН
чением —. Если носители тока рассеиваются одновре¬
менно на фононах и на примесных ионах (у2 Ф 0), изме¬
нение термоэдс может с ростом магнитного поля не только
начать убывать, но даже изменить знак (рис. 15, 16, 18
и 19), причем в этом случае (в отличие от случая у2 = 0)
зависимости эффектов от поля могут иметь экстремумы.
Убывание | аэ | и | <Хф | с увеличением магнитного поля
при у2 > 0 свидетельствует о том, что рассеяние носи¬
телей тока на примесях влияет на механизм проводимости
в присутствии магнитного поля сильнее, чем в его отсутствие.
Зависимости электронной и фононной частей попереч¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгаузена от магнитного
поля при у2 = 0 (рис. 20 и 23) по характеру аналогичны
соответствующим кривым, вычисленным без учета эффек¬
тов увлечения (ср. рис. 4): при — = 1 кривые обладают
максимумом**). Если носители тока подвергаются рассея¬
нию одновременно фононами и ионами примеси (у2>0),
то поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена может
изменить знак (рис. 21, 22, 24 и 25). Если примесей
не слишком много (у2 = 1), то в слабых магнитных полях
должен наблюдаться максимум, а после изменения знака
эффекта —минимум. Чем больше роль рассеяния носите¬
лей тока на примесях, тем при меньших магнитных
*) Кривая для s -> оо на рис. 17 соответствует кривой 1 рис. 6, но
масштаб по оси ординат у них отличается вдвое:
**) Кривая для s -*> оо на рис 23 совпадает с кривой 1 рис. 4.
12*

180
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГЙИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
полях изменяется знак эффекта (то же справедливо и
для продольного эффекта).
При преобладании рассеяния на ионах примеси (у2 3*10)
безразмерные поля %у и Щх обоих эффектов Нернста —
Эттингсгаузена отрицательны вплоть до самых слабых
магнитных полей.
Если фононная часть термоэдс
висимо от величины у фононная часть поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена должна быть больше электронной
Приведем теперь формулы для фононных составля¬
ющих продольного и поперечного эффектов Нернста —
Эттингсгаузена в предположении, что длина свободного
пробега фононов зависит от волнового числа д.
Рассмотрим случай кристаллов высокой симметрии,
в частности кубических, для которых /ф — д"2, и будем
полагать, что носители тока рассеиваются лишь акусти¬
ческими фононами (у = 0) и что рассеяние фононов носи¬
телями тока пренебрежимо мало (s—> со) [54].
Поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Маг¬
нитные поля произвольной величины:
(13.21)
Слабые магнитные поля:
(13.22)
Сильные магнитные поля:
(13.23)
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Маг¬
нитные поля произвольной величины:
(13.24)
Слабые магнитные поля:
(13.25)

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
181
§ 13]
Сильные магнитные поля:
(13.26)
Сравнение формул для фононных составляющих с со¬
ответствующими формулами для электронных составля¬
ющих (см. § 6) показывает, что как в слабых, так и
в сильных полях
(13.27)
Оценка показывает, что для любой зависимости Тф(д)
отношения фононных и электронных составляющих полей
пропорциональны Тф/тэ> ф, то есть не зависят от концен¬
траций примесей, так как определяются не полным вре¬
менем релаксации носителей тока тэ, а лишь частью,
обусловленной рассеянием их на фононах. Это, однако,
справедливо для не очень высоких концентраций приме¬
сей, когда еще можно пренебречь рассеянием фононов
на носителях тока, то есть когда s —>оо.
Из сравнения формул (13.15) — (13.20) и (13.21) — (13.26)
видно, что зависимость времени релаксации фононов
от волнового числа сказывается как на величине, так и
на знаке эффектов. Неизменными остаются лишь порядок
величин полей и их температурная зависимость. В предельно
слабых и предельно сильных магнитных полях зависимость
эффектов от безразмерного параметра также одинакова
для обоих видов зависимостей тф(#).
Различие в знаках фононной составляющей попереч¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгаузена (ср. (13.15) и (13.21))
можно объяснить следующим образом.
Поле (ёу)ф определяется временем релаксации фононов.
Если Тф быстро возрастает при убывании волнового числа
(например, Тф—Я~2)> то «медленные» электроны (см. §12,
рис. И), которые в случае рассеяния на длинноволновых
акустических фононах обусловливают положительный
эффект ((ёу)э > 0), будут испытывать большее «увлече¬
ние», чем «быстрые» (с которыми взаимодействуют фононы
с большими q), вследствие чего поле {ёу)ф будет отрица¬
тельным. Если Тф не зависит от q, то фононы будут

182
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ И
в одинаковой степени «увлекать» как «быстрые», так и
«медленные» электроны, и знак (ёу)ф будет таким же,
как и у (£у)э-
Если основными центрами рассеяния носителей тока
являются ионы примеси, то фононные составляющие
обоих эффектов Нернста — Эттингсгаузена должны и в слу¬
чае Тф~д"2 изменить знак, как это имеет место при
тф = const (рис. 14—25).
Так, например, при слабых магнитных полях, s—> оо
и у—> 00 [130]
(13.28)
Нужно, однако, иметь в виду, что условия у —> оо
и s —* оо обычно несовместимы: если ионов примеси много,
то и носителей тока много, следовательно, существенным
должно быть рассеяние фононов на них.
Теплопроводность в магнитном поле. При s > 1
теплопроводность можно представить в виде суммы элек¬
тронной и фононной частей, которые становятся незави¬
симыми лишь при s —> оо. В области низких температур
(<300° К) фононная часть значительно превосходит
электронную. С помощью известной функции X (Р) (13.13)
можно рассчитать электронную составляющую теплопро¬
водности. Не приводя общих формул, отметим, что доля
электронной теплопроводности, соответствующая равно¬
весному состоянию фононного газа, для любых значений
меньше доли теплопроводности, обусловленной
отклонением фононов от равновесия. Зависимость элек¬
тронной теплопроводности от магнитного поля остается
такой же, как и в отсутствие эффектов увлечения (§ 6).
Фононная часть теплопроводности Хф может быть
вычислена лишь приближенно. Это связано с тем, что
зависимость времени релаксации фононов от волнового
числа q и температуры Т до сих пор неизвестна, так
как точно решить кинетическое уравнение для фононов
из-за больших математических трудностей не удается.
Для приближенного расчета Кф целесообразно разде¬
лить дебаевский спектр продольных колебаний решетки
на две области. Первая охватывает колебания с малыми

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
183
$ 13]
волновыми числами 0<<7<<71, которые существенно
взаимодействуют с носителями тока, вторая распростра-
кЬ
няется на колебапия с ^1<9<?макс, где дМакс = ^»
0 —дебаевская температура. Со второй частью спектра
могут взаимодействовать лишь немногочисленные носи¬
тели тока больших энергий. Это взаимодействие мало,
и им можно пренебречь при расчете фононной части
теплопроводности. Таким образом, если в области длин¬
ных волн решетки (q < qj функция возмущения Ь (q)
существенно зависит от процессов соударений фононов
с носителями тока, то в коротковолновой области (q > qx)
функция b(q), а следовательно, и определяются в ос¬
новном взаимодействием колебаний решетки между собой.
Произвол в выборе величины «граничного» импульса
hqi может быть уменьшен, если принять во внимание,
что в процессах соударений в невырожденном полупро¬
воднике обмен энергией равен по порядку величины кТ,
следовательно,
Плотность теплового потока, обусловленного одними
колебаниями решетки, при отступлении фононного газа
от равновесия равна	80
(13.29)
плотность потока фононов, нахо¬
дящихся в тепловом равновесии (iV = 7V0), Су—теплоем¬
кость единицы объема, Тф —время релаксации фоно-
нов, соответствующее области коротких волн (<7>?i),
W($t э — плотность потока, обусловленного рассеянием
на носителях тока колебаний решетки, находящихся
в неравновесном состоянии.
Заметим, кстати, что величина Тф, которая входит
в формулы для фононных частей термоэлектрических
и термомагнитных коэффициентов, значительно больше
времени релаксации Тф, определяющего теплопроводность
(у германия при Т > 15° К Тф больше Тф на 2 — 3 порядка).
Температурная зависимость тф и Тф тоже различная:
при низких температурах

184
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
высоких — Тф ~ Г"1. О характере зависимости тф(Г) для
кристаллов различной симметрии говорилось выше (см.
стр. 165 — 166).
Для теплового потока ТГФ>Э можно получить выраже¬
ние [84]
(13.30)
где i и j являются ортами осей х и у. Составляющую
фононной теплопроводности А,ф> э, обусловленную рассея¬
нием на носителях тока, можно для малых q прибли¬
женно рассчитать, пользуясь выражением (13.30) для
В отсутствие магнитного поля и при у2 = 0 и s > 1
(13.31)
Для электронного германия по данным работы [27]
^Ф,э ^ 4* 10“10-Аг_Г"6 вт-см^-град*1. При 20°К и
л_ = 1015 см~3 ХфгЭ должна составлять у n-Ge^l% от
А,ф= 10 вт-см^-град"1, а при /г_ = 101вслГ3 А,Ф>ЭЛФ^10%.
Формула (13.31) приближенно верна и при у2 > 0,
так как соотношение между соответствующими временами
релаксации носителей тока (то есть между тэ,ф и тэ,и)
почти не зависит от соотношения между различными
временами релаксации фононов (тф, ф, тф, э» тф>Г). График
относительного изменения теплопроводности (А,ф> э)хх в зави-
и Н
симости от параметра приведен на рис. 26. При рас¬
сеянии носителей тока лишь фононами
монотонно возрастает в магнитном поле, достигая при Я—> со
и s—> со предельного значения 0,128. Если для носи¬
телей тока существенны соударения не только с фоноцами,

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
185
S 13]
но и с ионами примеси, то 9}х- уменьшается и
(Лф, э)хх
может даже изменить знак (см. рис. 26 при у2 = 1).
Рис. 26. Зависимость относительного изменения фононной
составляющей теплопроводности (Хф#э)гслг> обусловленной рас¬
сеянием фононов на носителях тока, от величины	щ
Эффект Риги — Ледюка. Тензор теплопроводности дол¬
жен согласно (13.29) и (13.30) иметь вид
(13.32)
Так как времепа релаксации изотропны и энергети¬
ческие поверхности носителей тока сферичны, то тензор
симметричен.
Из условия адиабатичности Wy = W^ty + W9, у = 0
можно, пользуясь свойством симметрии тензора теплопро¬
водности, найти выражение для поперечного градиента
температуры (справедливое, конечно, для произвольного

186
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. 11
магнитного поля)
(13.33)
При слабых магнитных полях
при сильных -
Что касается фононной составляю¬
щей (Ц), э)ху» то по характеру зависимости от магнит¬
ного поля она существенно отличается от (А,ф>э)хх: с ро¬
стом магнитного поля (^ф, э)ху убывает, н при
Я —> со (Яф,Q)x >0, в то время как (Хф>э)хх—> 1,128ХФ>Э
Н-*оо
(при у2 = 0).
Из (13.33) следует, что при Я—>оо эффект Риги —
Ледюка исчезает, так как (К)ху и (Ц>, э)хУ стремятся
к нулю. Эффект мал и в том случае, когда (Яэ)хУДф<1
и (^Ф, эЬуАф’С 1- В полупроводниках с большим содержа¬
нием примесей (п > 1014 слГ3) отношение (А,ф> э)ху/'Кф
может оказаться достаточным для того, чтобы эффект
Риги —Ледюка стал измеримым, если даже величина
электронной теплопроводности сравнительно мала.
Формулы для адиабатических коэффициентов Нернста —
Эттингсгаузена и Маджи —Риги —Ледюка, учитывающие
эффекты увлечения, могут быть получены с помощью
(10.12), (10.16) и (10.21), если известно выражение для
эффекта Риги —Ледюка.
Анизотропный квадратичный закон дисперсии
Значительно усложняется анализ влияния эффектов
увлечения на термомагнитные явления для анизотропного
закона дисперсии. Анизотропия энергетических поверх¬
ностей носителей тока может привести не только к коли¬
чественному изменению эффектов, но и к существенному
качественному отличию их от результатов, полученных
для сферических поверхностей. В этом можно убедиться
на примере анизотропного квадратичного закона диспер¬
сии, рассмотренного Херрингом и др. [175]. Авторы [175]
*) Для (кэ)Хх приведена формула для изотермических условий

РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
187
§ 13]
рассчитали влияние эффектов увлечения на термомагнит¬
ные явления в электронном германии. Энергетическая
поверхность электронов в германии представляет собой
совокупность четырех эллипсоидов вращения, главные
оси которых совпадают с направлениями диагоналей куба
(типа [111]) в пространстве квазиимпульсов.
Рассмотрение в [175] ведется в так называемом
П-представлении, где П — коэффицис нт Пельтье — опреде¬
ляется потоком энергии W в изотермических условиях
при плотности электрического тока, равной единице (энер¬
гия электрона отсчитывается от уровня химического по¬
тенциала):
(13.34)
Коэффициент Пельтье связан с коэффициентом термоэдс
а термодинамическим соотношением Кельвина
(13.35)
Для изотропной среды или среды с кубической симмет¬
рией а и П являются скалярными величинами. При на¬
личии магнитного поля Н они становятся анизотропными
и выражаются тензорами. Антисимметричная часть тен¬
зора термоэдс а, определяемого формулой
(13.36)
характеризует электродвижущую силу, возникающую
в направлении, перпендикулярном Н и V Т.
Если градиент температуры направлен вдоль оси х,
а магнитное поле вдоль оси z, то коэффициент попереч¬
ного изотермического эффекта Нернста — Эттингсгаузена
(?-*- определяется недиагональным компонентом тензора
термоэдс
(13.37)
Следует отметить, что по свойствам симметрии тензор
термоэдс отличается от тензора электропроводности. Так,
например, если ось z совпадает с осью симметрии второго
порядка, то ауХФ—аху.

188
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГЫИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. П
Компоненты тензоров термоэдс и Пельтье связаны
между собой обобщенным соотношением Кельвина
(13.38)
Возможны два подхода к задаче расчета термоэлектри¬
ческих и термомагнитных эффектов. Так называемый а-под-
ход, которым мы выше пользовались, заключается в том,
что расчет компонентов тензора термоэдс производится
в условиях, когда имеется градиент температуры (и следо¬
вательно, градиент потенциала), но отсутствует электриче¬
ский ток С/ = 0). Для исследования эффектов увлечения
приходится в этом случае совместно решать кинетиче¬
ские уравнения для носителей тока и фононов.
При П-подходе рассматривается кинетическое уравне¬
ние носителей тока для изотермических условий (у Т = 0)
и по найденным коэффициентам Пельтье Ilik определяют¬
ся с помощью (13.38) соответствующие компоненты тен¬
зора термоэдс ан.
В § 12, в котором качественно анализировались тер¬
момагнитные эффекты, были введены в рассмотрение две
группы носителей тока —«быстрые» и «медленные», с
большой и малой энергиями. Херринг и др. [175] поль¬
зуются моделью, в которой возможные состояния движе¬
ния носителей разбиваются на g групп, причем предпо¬
лагается, что а) функция распределения состояний в дан¬
ной группе g определяется вкладом j в электрический
ток, вносимый группой g, независимо от того, какой
комбинацией электрического (или теплового) и магнитного
полей создан этот ток, и б) ток jn каждой группы опре¬
деляется приложенными полями таким образом, что он
не зависит от токов jg* других групп g'.
Для полупроводника типа тг-Ge с многими мини¬
мумами на изоэнергетической поверхности естественно
выбрать группу так, чтобы она содержала состояния
эллипсоидальной ячейки в пространстве квазиимпульсов
в интервале энергий от е до e + de, иными словами,
состояния в эллипсоидальном слое de, принадлежащем
одному из четырех минимумов энергии.
Первое из сделанных предположений должно удо¬
влетворяться при указанном разбиении на группы состоя-

§ 13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
189
ний, поскольку число возможных представлений (три)
функции распределения в каждом слое как линейной
функции трех компонентов квазиимпульса не превышает
числа составляющих тока jg. Второе предположение удо¬
влетворяется для всех процессов рассеяния (за исклю¬
чением взаимного рассеяния носителей тока), при кото¬
рых носитель тока остается в том же слое, и для про¬
цессов, приводящих к случайному распределению ско¬
ростей (см. § 5).
Каждая группа g характеризуется своим тензором
Пельтье Нд, который не зависит от U, поскольку пред¬
полагается, что магнитное поле влияет на токи jg различ¬
ных групп, но не на функцию распределения для дан¬
ного jQ.
Согласно сделанным предположениям
(13.39)
и, следовательно,
(13.89')
где р —тензор полного удельного сопротивления, ад —
тензор проводимости группы g, Q = ('£log)~1.
о
Тензор эллипсоидального слоя должен обладать
симметрией минимума, которая является для я-Ge
аксиальной по отношению к направлениям диагоналей
куба. В этом случае Нд имеет два главных компонента:
Пц(е), вдоль диагонали (направление тяжелой массы), и
П_[_(е), перпендикулярно к ней. Если эффект увлечения
фононов электронами мал, можно каждый из компонен¬
тов П представить в виде суммы электронной и фонон¬
ной частей
(13.40)
(13.41)
а Пфц и Пф^ могут значительно различаться между
собой. В этом можно убедиться при помощи довольно
простых рассуждений. Действительно, поскольку токи

190
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
(ГЛ. II
в направлениях главных осей минимума
скорости изменения полного квазиимпульса Рэ электрон¬
ного газа за счет столкновений с фононами будут соот¬
ветственно равны
(13.42)
Плотность потока энергии, переносимой фононами,
(13.43)
/=1, 2, 3 соответственно трем направлениям поляриза¬
ции колебаний, vqj = yq(oqj — групповая скорость. Для
длинных волн, с которыми в основном взаимодействуют
носители тока, сoqj = wqiQ, причем фазовая скорость коле¬
бания wqj зависит только от направления вектора q, но
не от его величины. Полагая далее, что
(13.44)
(это справедливо не только для упруго изотропного кри¬
сталла, но является удовлетворительным приближением
и для анизотропного кристалла, если использовать соот¬
ветствующие средние скорости звука), имеем
(13.45)
где w — средняя величина скоростей продольных (wt)
и поперечных (wt) колебаний, а
(13.46)
— полный квазиимпульс всех колебаний в единице объема
с поляризацией типа /.
Из законов сохранения импульса для фонон-электрон-
ных и фонон-фононных столкновений следует, что ско-
dl э	Г9
рость	ф, с которой система электронов

§ 13J
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
191
передает импульс системе фононов, равна скорости
с которой система фононов теряет этот импульс при рас¬
сеянии на границах, при процессах переброса Пайерлса
и т, д,, то есть
(13.47)
Считая, что времена релаксации фононов для двух
направлений тока — j\\ и j± — сравнимы по величине,
получаем из (13.45), (13.47) и (13.42)
(13.48)
Отсюда следует, что
(13.49)
Таким образом, при значительной анизотропии эффек¬
тивной массы носителей тока, которая имеет место, на¬
пример, у /i-Ge, различие между Пф|; и Пф^ может ока¬
заться большим.
Поскольку группа g г-го минимума содержит состоя¬
ния в интервале энергий de, удобно вместо проводимости
ад ввести бесконечно малую do^ и записать (13.39)
в виде
(13.50)
В (13.50) интегрирование ведется по энергиям е.
Тензор doW(H), выражающийся через электрическое
поле Е и изотермический ток djW:
(13.51)
может быть получен при решении кинетического уравне¬
ния для носителей тока. Последнее в данном случае удобно
записать не как уравнение для функции распределения /,
а как уравнение для djl'K Анизотропное рассеяние можно

192
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ. II
учесть введением тензора времени релаксации электронов
т с главными компонентами тц(е) и т^(е), направлен¬
ными параллельно и перпендикулярно оси вращения
эллипсоида.
Кинетическое уравнение, в котором для простоты опу¬
щен индекс минимума £, имеет вид
(13.52)
где dn — количество носителей тока в ячейке, т — тензор
эффективной массы, среднее статистическое значение
для максвелло-
больцмановского распределения, верхний знак относится
к электронам, нижний —к дыркам.
В предельных случаях слабых и сильных магнитных
полей решения (13.52) могут быть найдены путем раз¬
ложения doW по степеням Я или Я"1. Для определения
П(Я) следует также произвести соответствующие раз¬
ложения е(Я) = (2 $ ^«(я))'1 по Я или Я"1. Зная
разложения компонентов тензора П(Я), можно вычислить
Q^~ и Да для различных ориентаций. Все формулы для
фононных составляющих эффектов выражаются через
компоненты тензора Пельтье Пф^ и Пф^, которые явля¬
ются параметрами теории.
Ниже приведены формулы для фононных составляющих
эффектов Нернста — Эттингсгаузена, полученные для эл¬
липсоидов, главные оси которых направлены вдоль диаго¬
налей куба, в предположениях, что Пфц, е_1/* или не
зависят от е и Тц^^е'1/* или не зависят от е. Эти пред¬
положения позволяют получить удовлетворительное согла¬
сие теории с экспериментом для и-Ge. Более общие
формулы эффектов, справедливые для кубических кри¬
сталлов, у которых минимумы энергии расположены ина¬
че, чем в n-Ge (например, вдоль ребер куба, как в

§ 13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
193
п-Si), и для случаев, когда продольные и поперечные
компоненты Пф и т по-разному зависят от энергии, то
есть когда параметры анизотропии
являются функциями энергии, приведены в приложении
работы [1756].
Поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена. Сла¬
бые магнитные поля.
(13.53)
(определение коэффициента а'г см. в табл. 5).
Если р и К не зависят от энергии, то для эллипсои¬
дальных поверхностей любого типа в кубическом кри¬
сталле (то есть таких, как в п-Се или п-Si) 1 -f £ф при¬
нимает для различных зависимостей т (е) и Пф(е) *) сле¬
дующие значения:
Таблица 6
Тип зависимости т (е) и Пф (в)
1+Сф
т ~ е-1/*, Пф ~ е~1/2
4 (2ЛГ-И)(ЛГ+р+1)
я (К+2)(2К+р)
т не зависит от е, зависи¬
мость Пф(е) произвольна
(2К+\){К+р+\)
(X-1-2) (2К+р)
Зависимость т (е) произволь¬
на, Пф не зависит от е
(2K + l)(K+p+i)
(К+2)(2К+Р)
Как следует из табл. 6, при изменении р от 1 до 20
и К = 5 £ф возрастает от ^ 0,27 до ^ 0,74 для т ~ е_1/2
и Пф~е_1/2 и от 0 до ^0,37 в двух других случаях,
а при К = 20 —от ^0,27 до^0,62 в первом случае и от
0 до ^0,27 в двух других.
*) Под т и Пф здесь и в табл. 7—9 понимаются Тц или
и соответственно Пфц или Пф^.
13 и. М. Цидилыювский

194
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЯ
IГЛ II
n
VT
т ~ р-1'Ч Пф ~
[001]
Направле¬
ние произ¬
вольное,
1 н
256 (2К-+ 1 )8 (Л' +1Н-р)
81л2 К(К-\-2)*(2К-{-р)
8 (2К+\)*
9я Л {Л+2)
[ОН]
[100]
256
729я2 Х
(2K + i)(K + 2) (5К+рК+2р+1)
К (2К+р)
8 (2ЛГ+1)(*+2)
27л К
[Oil]
[Ой]
256 (К2 + 7# + 1)(2#-1-1)(/>+2)
729я2 К{2К+р)
8 (2К+\)(К^-\-ЪК+2рК-\-р)
27 я К(2К+р)
Сильные магнитные поля. В табл. 7 приведены
формулы поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена,
полученные для эллипсоидальных энергетических поверхно¬
стей, минимумы которых расположены на диагоналях
куба, в предположении, что параметры анизотропии р
и К не зависят от энергии.
При изменении р от 1 до 20 К ^ 17, т~е-1/2 и Пф,
не зависящем от е или Пф—е~1/2, фактор анизотропии
В(Еу)ф в случае сильных полей возрастает для //||[001]
п\Т а. Н от 0(0,2) до 0,4 (0,5), а для двух других ориента¬
ций // и V7\ приведенных в табл. 7, от 0 (0,3) до 10 (9).
Приведенные оценки показывают, что в магнитном
поле //, направленном вдоль диагонали грани куба

§ 13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
195
иН
с
Таблица 7
т е'1/2, Пф не зависит от е
х не зарисит от е, зависи¬
мость Пф (е) произвольна
32 (X — 1)(2£ + 1)*(р —1)
27я К (К + 2)*(2К + р)
32
81 я Х
„ (K-i)(2K + lY(p-l)
'' К(К+2)Ц2К+р)
32
243я Х
.. (2^ + 1) (К+2) (К—1) (р— 1)
К(2К + Р)
32
6561 я Х
_(2ЛГ + 1) (А-+2) (ЛГ—1)</» —1)
К(2К-\-р)
|
32
243я Х
ч, (2^ + 1) (К -f-2) (К—1) (р—1)
К(2К+Р)
32
6561л Х
w (2ЯТ-4-1) (К-\-2) (К — 1) (р—1)
К(2К+р)
(например, вдоль [011]), поперечный эффект Нернста —
Эттингсгаузена, как и эффект Холла, должен быть в об¬
ласти сильных полей значительно больше, чем при Н,
параллельном ребру куба (например, [001]). Причина
этого различия заключается в следующем. Когда Н || [011],
большие оси, то есть направления тяжелых масс, двух
из четырех эллипсоидов точно перпендикулярны магнит¬
ному полю. При движении электрона в направлении,
соответствующем большей массе, требуются, очевидно,
и большие магнитные поля Я, чтобы -^- — -^^>1,
чем при движении вдоль направления, для которого
масса меньше, как это имеет место, например, при
13*

196
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИИ
1ГЛ. II
Н || [001]. При фиксированном значении Н поле
будет, следовательно, для Н||[011] больше, чем для
и II [001].
Сравнение формул для (Еу)ф и (Еу)э (см. § И) по¬
казывает, что отношение этих величин различно для
слабых и сильных полей. Поэтому в большинстве слу¬
чаев должен быть интервал температур, вблизи которого
Еу = (Еу)ф + (Еу)э = 0 и где знак Еу будет изменяться
с ростом Я. Если подставить в формулы § И и табл. 7
значения р ^ 10 и К ъ 17, соответствующие чистому Ge,
отношение	окажется при сильных полях больше,
чем при слабых, если #||[011]. Для If||[001] это отно¬
шение при сильных полях меньше, чем при слабых,
если коэффициенты Пфц^ убывают с ростом е и стано¬
вятся одинаковыми для сильных и слабых полей, если
Пфц,± не зависят от е.
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Сла¬
бые магнитные поля. В табл. 8 приведены формулы
продольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена для раз¬
личных ориентаций магнитного поля и градиента тем¬
пературы по отношению к кристаллографическим осям.
Формулы получены для эллипсоидальных поверхностей,
минимумы которых расположены на диагоналях куба,
причем предполагается, что р и К не зависят от е.
В слабых магнитных полях термоэдс является квадра¬
тичной функцией поля и может быть представлена ана¬
логично изменению сопротивления [175] в виде
(13.53)
где гг—единичный вектор в направлении измерения Да, a
оси х, г/, z направлены вдоль ребер куба. Для энергетических
поверхностей с минимумами на диагоналях куба (см.
приложение работы [176а]) имеет место равенство дь =
=з — qc1 которое позволяет выразить Даф для любых
направлений Н и V71 через два приведенных значения

Таблица 8
s 13]
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
197
т не зависят от е, зависимость
Пф (е) произвольна
2(2K + i)(K-l) (/>-1)
К (2К+1)2
£ф
х ~ е г/2 Пф не зависят
от е
8
	X
я
№К-{ 1) {К—1) (р—1)
К(К + 2)2
£ф
т ~ 8~V2, Пф~ е V2
8
Зя *
w (2JC+1) (*-1) {р+ЬрК-Ш-2К2)
К2 (К+2)2
4 (2JC4-1)*
Зя К(К-\-2)
i
V Т
[001]
1 Н
II
[001]
[001]
1

198
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
в табл. 8. Так, например,
Здесь верхние индексы указывают направление Н, ниж¬
ние — направление V7\
Сильные магнитные пол я. В табл. 9 приведены
у	а* (Н -> оо)
формулы отношения	^ для различных ориентации
Я и \Т но отношению к осям кристалла типа и-Ge. Пред¬
полагается, как и выше, что р и К не зависят от е.
Таблица 9
и
V т
ГГф ~ т? зависимость т (е) произвольна
[0011
[001]
(2К+1)(р + 2)
3(2 К+Р)
[0И1
[011]
(2K + i)(K+p+i)
(К + 2) (2К+р)
[ini
[111]
{2К + 1)(ЪК + рК+2р)
(1К+2) (2К + р)
[ОН]
1 Н
1 (2K+i)(K + p + i)
аг (К+2)(2К+р)
[0111
[100]
1 ЪК+рК + 2р + \
ат 3(2К+р)
[011]
[011]
1 (2К + \)(р+2)
аг 3(2АГ4"Р)
[011]
[111]
1 \ЪК + ЬрК -Ь4/> + 5
а, Ъ(2К+р)

tsj
РОЛЬ ЭФФЕКТОВ УВЛЕЧЕНИЯ
1XI
Если Пф не зависит от е, а зависимость т(е) произ¬
вольна, или если т не зависит от е, а зависимос1ь 11ф (е)
произвольна, то формулы для аф^ в случае эффектов
аф (О)
в поперечном магнитном поле отличаются от приведенных
в табл. 9 лишь тем, что вместо множителя должна сто¬
ять единица.
Таким образом,	представляет собой произведс-
ние двух множителей, один из которых определяется за¬
висимостью Пфд и m-т"1 от энергии, а другой - их анизо¬
тропией. Исследования продольного эффекта в сильном
продольном поле должны поэтому дать сведения об анизо¬
тропии Пфд, независимо от того, как Пф17 изменяется
с энергией.
В заключение рассмотрим случай, когда тензор
Пельтье Лф = Ат-х'1, причем коэффициент А не зависит
от е. Для скалярных тих должны получиться формулы,
совпадающие с формулами Аппеля [84], который предпо¬
ложил, что Тф не зависят от q, а значит, и от е,
и Пф~аф^т_1.
Расчет показывает, что при произвольных магнитных
полях
(13.54)
(13.55)
Сравнение (13.54) и (13.55) с (13.15) и (13.18) пока¬
зывает, что характер зависимостей эффектов от магнит¬
ного поля и температуры в изотропном и анизотропном
случае при сделанном предположении о Пф (т) одинаков.
Если т и т —скаляры, то (13.54) и (13.55) просто пере¬
ходят в (13.15) и (13.18).
Из изложенного в настоящем параграфе следует, что
эффекты увлечения должны вносить существенный вклад
в термомагнитные явления при низких температурах,

200
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
|ГЛ. II
в особенности в чистых полупроводниках. Исследование
термомагнитных эффектов в условиях, когда увлечение
играет главную роль, может дать чрезвычайно полезные
сведения о рассеянии носителей тока и фононов.
§ 14. Влияние вырождения электронного газа
У ряда хорошо проводящих полупроводников (PbS,
PbSe, Ge, Si, InSb, HgSe и др.), имеющих важное тех¬
ническое значение, в определенных интервалах темпера¬
тур и при определенных содержаниях примесей появля¬
ются металлические свойства: концентрация носителей
тока при изменении температуры остается постоянной.
Эта независимость концентрации от температуры обуслов¬
лена отклонением распределения носителей по энергиям
от максвелло-больцмановского или, иными словами, выро¬
ждением. Однако если в металлах электронный газ
сильно вырожден, то в полупроводниках чаще всего реа¬
лизуется и наиболее актуален промежуточный случай
частичного вырождения, когда нельзя пользоваться клас¬
сической статистикой, но вместе с тем вырождение не
является полным.
Степень вырождения системы носителей тока харак¬
теризуется величиной и знаком химического потенциала р.
При р < е (е — энергия определенного состояния носите¬
лей тока) функция Ферми — Дирака
переходит в функцию Максвелла — Больцмана /0 =
, что соответствует отсутствию вырождения.
Если нормировать энергию так, чтобы энергия наиниз-
шего состояния е0 = 0 (обычно за начало отсчета энер¬
гий выбирают нижний край полосы проводимости), то
условием невырожденного состояния системы является
неравенство р <£ 0. Если р > 0, систему можно считать
полностью вырожденной. Значение р = 0 является услов¬
ной границей между невырожденным и вырожденным
состояниями. Как показал К. С. Шиффин [94], при
р < — 2/с7\ то есть когда уровень химического потенциа¬
ла ниже дна полосы проводимости более чем на 2кТ,
электронный газ практически невырожден, при р > 2кТ

14] ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
201
наступает полное вырождение, при значении — 2кТ <
<ц<2/с71 имеет место частичное вырождение. Таким обра¬
зом, для исследования влияния вырождения носителей
тока на физические свойства полупроводников, и в част¬
ности на характер кинетических коэффициентов, необхо¬
димо уметь определять химический потенциал носителей.
Для нахождения химического потенциала можно
в каждом конкретном случае использовать так называемое
уравнение нейтральности полупроводника. Для электрон¬
ного полупроводника оно отражает тот факт, что число
электронов в полосе проводимости п_ должно равняться
сумме числа дырок в валентной полосе п+ и числа сво¬
бодных мест на донорных уровнях Щ (числа «связанных
дырок») *):
Если имеет место вырождение носителей тока, то кон¬
центрации их выражаются формулами:
и условие нейтральности записывается в виде
(14.1)
*) Для дырочного полупроводника условие нейтральности фор¬
мулируется аналогичным образом: число дырок в валентной полосе
л+ равно сумме числа электронов в полосе проводимости п_
и числа «связанных электронов» на акцепторных уровнях л?:
л+ = л_-|-л?. для собственного полупроводника условие нейтрально¬
сти запишется в виде л+ = л_.
**) Последнее слагаемое в (14.1) л?=УУд —л?, где л? =
= УУд |l + -^-exp(— М-*— AeJ) |	—концентрация электронов на
донорных уровнях. Двойка в знаменателе л$ появляется вследствие
того, что на примесном уровне, если он является 5-уровнем, может
находиться не два, а только один электрон из-за сильного оттал¬
кивания электронов, принадлежащих одному атому [86].

202
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Здесь /Уд — концентрация доноров,
пый химический потенциал электронов,
ширина запрещенной полосы энергий,
энергетическое расстояние между донорным уровнем
и дном полосы проводимости,
скин потенциал дырок,
Ферми половинного индекса.
Таким образом, уравнения нейтральности содержат
интегралы Ферми типа /Ч/2, которые, вообще говоря,
нельзя выразить через элементарные функции. Вследствие
этого уравнения нейтральности не могут быть решены
аналитически относительно [X. Решить их удается лишь
в некоторых простейших случаях при полном отсутствии
вырождения ^при р,—> — оо Fi/2 (р*) =	• В общем
случае произвольной степени вырождения электронного
состояния для определения химического потенциала и его
температурной зависимости применяются приближенные
графические и аналитические методы (см. [86]).
Графический метод исследования позволил выяснить
ряд особенностей изменения химического потенциала
в полупроводнике при переходе от невырожденного к выро¬
жденному состоянию.
Оказывается, что вырождение электронного газа тем
сильнее, чем больше примесей одного сорта (доноров Na
или акцепторов Na) и чем меньше их энергии активации
(Дед или Деа). В собственных полупроводниках и в ком¬
пенсированных полупроводниках, у которых Дед^Деа
п /Уд^/Va» электронный газ остается невырожденным прак¬
тически при всех температурах, если только эффективные
массы электронов и дырок отличаются не более чем
в~102 раз. Для полупроводников с одним видом носителей
тока температурная зависимость приведенного химиче¬
ского потенциала ц* представляет собой кривую с мак¬
симумом (для электронного полупроводника) или с мини¬
мумом (для дырочного) (см. [86]). Физическая причина

14] ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА	1>UJ
наличия максимума |х*(Г) заключается в следующем.
При низких температурах, когда переходы электронов
с донорных уровней в полосу проводимости затруднены,
уровень химического потенциала проходит примерно
посредине расстояния Дед между локальным уровнем
и полосой проводимости. При более высоких температурах,
когда кТъ Дед, число переходов возрастает, электроны
занимают преимущественно наиболее низкие состояния
полосы проводимости. Уровень химического потенциала
поднимается и может даже расположиться выше дна
полосы проводимости. Дальнейший рост температуры
приводит к увеличению энергии электронов проводимости,
а следовательно, и к заметному «разбросу» электронов
по состояниям полосы проводимости — уровень химиче¬
ского потенциала начинает при этом постепенно опускаться.
Убывание |х* может в значительной мере ускориться, если
в полосу проводимости начнут возбуждаться электроны
из валентной полосы.
Если |х*Макс>0 *), то всегда имеется интервал темпера¬
тур, ограниченный двумя температурами, при которых
р,*=0 (температурами вырождения). Внутри этого интер¬
вала электронный газ вырожден. Оказывается, что у полу¬
проводника, в котором имеются локальные примесные
центры, ни при каких концентрациях и энергиях актива¬
ции примеси вырождение не может достичь такой же сте¬
пени, как в металле, в связи с тем, что |х*Макс<2. Следует
иметь в виду, что этот вывод справедлив лишь для выбран¬
ной модели: полупроводник с одним видом локальных
примесных центров (донорами или акцепторами). При
наличии примесной полосы, например вблизи полосы
проводимости, зависимость химического потенциала от
температуры должна существенно измениться.
Кинетические коэффициенты, как видно из изложен¬
ного в предыдущих параграфах, в большой степени зависят
от характера взаимодействия носителей тока с решеткой,
то есть в конечном счете от вида зависимости между вре¬
менем релаксации и энергией носителей. Вместе с тем
из приводимых ниже формул следует, что вырождение
*) Для дырочного полупроводника это, очевидно, соответствует
условию |х*ин< —Ае.

204
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. 11
электронного газа влияет на все эффекты главным
образом через химический потенциал.
Райт [39] привел формулы для коэффициентов попе¬
речных термомагнитных эффектов, которые он получил
в предположении, что электронный газ вырожден и что
магнитные поля слабые. Однако в этой работе имеются
существенные погрешности, о которых упоминалось уже
в § 2. Ошибочна также формула Родо [87] для продоль¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгаузена в случае сильных
магнитных полей.
Ниже приводятся формулы и графики всех термомаг¬
нитных эффектов в слабых и сильных магнитных полях
для полупроводников с произвольной степенью вырожде¬
ния электронного газа, полученные в нашей работе [131].
Относительно времени релаксации и закона дисперсии
носителей тока делаются те же предположения, что и в § 6.
Равновесное распределение считается фермиевским. По¬
движность носителей тока (см. (4.11"))
(14.2)
■ интеграл Ферми. При р,—> — оо
(14.2)	переходит в (4.13).
Выражения для всех эффектов получаются из общих
формул §§ 6 и 10, причем коэффициенты atj разложений
интегралов Ixj при наличии вырождения имеют вид
(14.3)
Поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена. Сла¬
бые магнитные поля.
(14.4)

$ 14] ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
Сильные магнитные поля:
(14.5)
На рис. 27 приведены графики зависимости
и К2 (р,*) для — 4<р*<10.
Эффект Риги — Ледюка. Слабые магнитные
поля:
(14.6)
теплопроводность решетки.
Сильные магнитные поля:
(14.7)

206
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Рис. 27. Зависимость поперечного эффекта Нернста — Эттингс-
гаузена от приведенного химического потенциала:
а) — слабые магнитные поля, 0) — сильные магнитные поля. Кри¬
вые I, II, III, IV соответствуют значениям г 0,-у* * и 2.
Рис. 28. Зависимость эффекта Риги — Ледюка от приведенного
химического потенциала для случая сильных магнитных полей.

§ 14] ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
207
На рис. 28 приведен график зависимости КА (р*), а
значения Сх и С2 Для различных р* и г даны в табл. 10.
Т а б л и ц а 10
М-*
г
= 0
1/2
г-
- 1
Г -
= 2
Ci
с2
Cl
с2
Ci
С 2
Ci
С 2
—оо
2,06
2,00
2,50
2,50
4,15
3,00
15,00
4,00
—4
2,06
2,00
2,50
2,50
4,09
3,00
14,90
3,92
—3*
2,06
2,00
2,52
2,52
4,02
3,00
14,80
3,97
—2
2,06
2,02
2,56
2,56
3,39
2,99
14,65
3,98
—1
2,11
2,05
2,69
2,69
3,74
2,97
14,15
3,90
0
2,25
2,15
2,74
2,74
3,55
2,98
13,10
3,85
1
2,43
2,26
2,86
2,86
3,42
3,05
11,25
3,77
2
2,65
2,43
3,02
3,02
3,32
3,08
8,31
3,62
3
2,78
2,58
3,16
3,16
3,24
3,12
6,75
3,60
4
2,90
2.73
3,26
3,26
3,14
3,19
5,50
3,84
10
3,12
3,00
3,65
3,65
2,12
3,27
2,98
3,34
Продольный эффект Периста — Зттингсгаузена. Сла¬
бые магнитные поля
(14.8)
Сильные магнитные поля
(14.9)

208
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. II
Графики зависимостей	и Ke(ii*) приведены
на рис. 29.
Рис. 29. Зависимость продольпого эффекта Нернста — Эттингс-
гаузена от приведенного химического потенциала:
а) — слабые магнитные поля, б) — сильные магнитные поля. Кривые I, II,
III, IV соответствуют значениям г 0,-у, 1 и 2.
Эффект Маджи — Риги — Ледюка. Слабые магнитные
поля
(14.10)
К, о — электронная теплопроводность при Н = 0.

§ 14] ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 209
Сильные магнитные поля
(14.11)
Зависимости #7(р*) и #8(р*) представлены на рис. 30.
Коэффициенты К{ (р*) для эффектов Нернста — Эттингс-
гаузена с ростом степени вырождения носителей тока
Рис. 30. Зависимость электронной части теплопроводности от при¬
веденного химического потенциала:
а) — слабые магнитные поля, б) — сильные магнитные поля. Кривые I, II,
III, IV соответствуют значениям г 0,i/2, 1 и 2.
монотонно убывают по абсолютной величине. Эффект Риги —
Ледюка при увеличении р* возрастает, за исключением
случаев г = 1 и г = 2 при слабых магнитных полях.
Электронная теплопроводность с ростом р* убывает во
всех случаях, кроме г = 1/2 и г = 1 при сильных магнит¬
ных полях.
14 и. М. Цидилькопский

210
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
[ГЛ. И
Обращает на себя внимание одна общая для всех
графиков закономерность: при г = 2 все эффекты с ростом
|i* убывают быстрее, чем при других значениях г, то
есть при возрастании степени вырождения вклад рас¬
сеяния на примесных ионах уменьшается по сравнению
с вкладом других механизмов рассеяния. Этот факт не¬
трудно объяснить, если учесть, что при увеличении \х*
возрастает средняя энергия носителей тока, а следова¬
тельно, должно уменьшиться рассеяние на ионах при¬
меси (§ 5).
Таблицы интегралов Ферми различных индексов
можно найти в работах [41, 88, 89]. В актуальном для
полупроводников интервале значений ц* ( — оо < [х*<
<1,5) Fi/2 можно с большой степенью точности аппрок¬
симировать выражением [90]
(14.12)
Интеграл типа Fm+1/2 при целом m> 1 хорошо
аппроксимируется в интервале — оо<р,*<1,5 формулой
[91]
(14.13)
где Аг = 0,0619, ^42 = 0,0285, ^43 = 0,0144. С ростом ин¬
декса т роль коэффициентов Ат уменьшается.
Интегралы Ферми с целочисленным положительным
индексом т можно в том же интервале значений ц*
вычислять с помощью формулы
(14.14)
где = 0,164, В2 = 0,017. С ростом т роль коэффи¬
циентов Вт уменьшается.
При т = 0 и любых [х*
(14.15)
В табл. 11 приводятся значения интегралов Ферми
различных индексов, которые встречаются при расчетах
кттпстичрскпх коэффициентов.

Таблица И
§ 4] ВЛИЯНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 211
Р5/ 2
0,06077
0,16474
0,44455
0,18597
3,08259
7,62653
17,5284
36,9321
71,348
f7
92,3
250,9
681,8
1852
5020
13597
36422
96007
245140
f2
0,03656
0,09896
0,26626
0,70510
1,803
4,312
9,445
18,87
34,49
Fe
13,195
35,82
97,25
264,1
714,8
1922.3
5091.3
13148,2
32618,6
Г’з/г
0,02427
0,06561
0,17580
0,46085
1,15280
2,66168
5,53725
10,3537
17,6277
F11/2
5,272
14,325
38,903
105,49
284,90
762,40
2002,3
5094,8
12399
Fi
0,01823
0,04918
0,13102
0,33834
0,8225
1,8067
3,5140
6,0958
9,6268
f5
2,198
5,948
16,210
43,83
118.3
315,1
817.4
2040,4
4873,8
Fl/2
0,01613
0,04337
0,11459
0,29050
0,67809
1,39638
2,50246
3,97699
5,77073
F9/2
0,95833
2,60317
7,06296
19,1050
51,2904
135,419
346,603
846,251
1947,21
Fo
0,01815
0,04859
0,12693
0,31326
0,69315
1,3137
2,1270
3,0486
4,0182
F*
0,4390
1,194
3,234
8,721
23,340
60,981
153,24
363,69
814,64
Г-1/2
0,03204
0,08526
0,21918
0,52114
1,07216
1,82041
2,59540
3,28522
3,87434
1
F7/2
0,21288
0,57785
1,56497
4,21325
11,1837
28,8313
70,7645
162,566
346,76
(Н-е-ц*) 1
0,01799
0,04743
0,11920
0,26894
0,50000
0,73106
0,88079
0,95257
0,98201
F3
0,10977
0,29780
0,80532
2,15984
5,68220
14,39
34,30
75.73
154,3
И*
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
14*

212
ТЕОРИЯ ТЕРМОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1ГЛ II
Анализ формул и графиков настоящего параграфа
показывает, что при наличии вырождения электронного
газа, которое наблюдается у полупроводников с высокой
проводимостью, характер зависимости всех эффектов от
магнитного поля и температуры остается таким же, как
и в невырожденном случае, однако величина коэффициен¬
тов может заметно измениться.
* *
*
Изложенная в главе II теория, объясняющая основные
закономерности изменения термомагнитных коэффициен¬
тов в зависимости от величин магнитного поля и темпера¬
туры, показывает, что термомагнитные явления «могут быть
успешно использованы для определения целого ряда важ¬
нейших характеристик: подвижности носителей тока,
соотношения между концентрациями электронов и дырок
в области смешанной проводимости, показателя г, харак¬
теризующего зависимость длины свободного пробега носи¬
телей от энергии (тип рассеяния), электронную и фонон¬
ную составляющие теплопроводности, зависимость вре¬
мени релаксации фононов от волнового вектора и темпера¬
туры, длину диффузионного смещения носителей тока
и др. Уместно, однако, еще раз подчеркнуть, что для коли¬
чественной интерпретации термомагнитных явлений в
различных полупроводниковых материалах необходим
учет как конкретной структуры энергетических полос,
так и анизотропии рассеяния.

ГЛАВА III
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 15. Методика измерений
В методическом отношении измерения термомагнитных
явлений аналогичны измерениям гальваномагнитных явле¬
ний. Различие заключается лишь в том, что токоподводя¬
щие электроды заменяются нагревателем и холодильни¬
ком. Термомагнитные эффекты, в отличие от гальвано¬
магнитных, обычно измеряют только в постоянных маг¬
нитных полях. Методика переменного магнитного поля,
позволяющая применять усилители напряжения и таким
образом заметно повысить чувствительность измеритель¬
ной схемы, неудобна для исследования термомагнитных
явлений, так как тепловой поток нельзя изменять с необ¬
ходимой частотой, вследствие чего исследуемый эффект
невозможно измерять на разностной частоте. Проводить же
измерения эффекта на частоте магнитного поля довольно
трудно из-за «паразитных» э.д.с., наводимых в измери¬
тельной цепи переменным полем тока, питающего магнит.
Измерения в переменном магнитном поле, которые обла¬
дают тем достоинством, что возникающие э.д.с. проще
усиливать, чем постоянные, можно, по-видимому, осу¬
ществить, создавая магнитное поле не переменным, а
постоянным током и модулируя возникающее постоянное
поле механическим путем. Модуляция может быть осу¬
ществлена, например, следующим образом. Полюсные
наконечники следует изготовить не сплошными, а в виде
нескольких секций (сплошной наконечник разрезан вдоль
направления магнитного поля на несколько частей). Если
вращать наконечники с определенной частотой в плоскости,
перпендикулярной к полю, то в моменты времени, когда

214
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ. Ill
выступы (секции) обоих наконечников находятся друг
против друга, поле будет максимальным, когда же
выступ совпадает с углублением между выступами дру¬
гого наконечника, поле будет минимальным.
Измерения малых постоянных э.д.с. производятся
обычно компенсационным методом, чувствительность кото¬
рого достигает 10'8 в. Значительный инте¬
рес представляет предложенный в работах
[96] метод модуляции постоянной э.д.с.
пьезоэлектрическим прерывателем с по¬
следующим усилением переменной э.д.с.,
позволивший достичь чрезвычайно высо¬
кой чувствительности —10“10 в.
Схема типичной установки для измере¬
ния термомагнитных эффектов представ¬
лена на рис. 31. Между нагревателями
А и В расположен исследуемый образец
С. Две термопары, припаянные или плот¬
но прижатые к образцу, служат для из¬
мерения температур его краев Тг и Т2.
Если позволяют размеры образца, то тер¬
мопары можно поместить в отверстия, про¬
сверленные в самом образце — это обеспе¬
чивает надежный тепловой контакт термо¬
пары с образцом. Однако при малых
размерах образца погрешность в опре¬
делении расстояния между термоспая¬
ми может в этом случае оказаться значи¬
тельной.
Если термопары непосредственно не
соприкасаются с образцом, а вмонтирова¬
ны в тело нагревателя вблизи края об¬
разца, то необходимо тщательно прове¬
рить, не возникает ли на границе между
нагревателем и образцом перепад темпе¬
ратур, обусловленный несовершенством теплового контак¬
та. Особенно большие погрешности может внести несовер¬
шенный тепловой контакт в определение величины потока
тепла, протекающего через образец (при исследовании, нап¬
ример, эффекта Маджи — Риги — Ледюка абсолют¬
ным методом).
Рис. 31. Схема
прибора для из¬
мерения термо¬
магнитных эф¬
фектов:
А — нагреватель,
В — холодиль¬
ник, С — иссле¬
дуемый образец,
1 и 2 — измери¬
тельные 80НДЫ
или термопары.

§ 1*]
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
215
Электроды (или термопары) 1—1 и 2—2 служат для
измерения поперечных и продольных разностей потенциа¬
лов (или температур). Чтобы отвод (или подвод) тепла
по проводникам 1—1 и 2—2 был небольшим, их следует
делать как можно тоньше. Для лучшей стабильности и вос¬
производимости результатов измерений электроды удобно
припаивать или приваривать к образцу искровым методом
[97]. Важно также подобрать материал электрода таким
образом, чтобы на контакте не возникало р—п переходов.
С электронным германием, например, невыпрямляющие
контакты образуют чистое олово, с дырочным — олово
с присадкой индия.
Следует иметь в виду, что при пайке электродов к
образцу большие площади места спая (большие капли
олова, например) могут исказить результаты измерений
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена [192].
Дело в том, что возникающие на длине капли градиенты
температуры приводят к образованию короткозамкнутого
термоэлемента (часть образца закорочена каплей). Из-за
циркуляционных токов вблизи электродов в магнитном
поле появляется э.д.с. Холла, которая накладывается
на исследуемую э.д.с. Нернста — Эттингсгаузена.
Нетрудно сообразить, что как для электронных, так и для
дырочных образцов дополнительная э.д.с. должна
иметь одинаковый знак, соответствующий отрицательному
эффекту Нернста — Эттингсгаузена. Согласно данным
[192] при размере ^1 мм капли олова на р-Ge и перепаде
температуры на ней ^0,5—0,6° С искажение коэффициента
поперечного эффекта достигает в интервале 100—300° К
—0,1ч—0,4 ед. CGSM. Приварка электродов не
вносит искажений в измерения поперечного эффекта,
но не всегда дает омический контакт. Кроме того, контакт¬
ное сопротивление приваренных электродов значительно
больше, чем припаянных, что уменьшает чувствитель¬
ность измерительной схемы. Можно исключить искаже¬
ния, обусловленные возникновением градиента темпера¬
туры на приконтактной капле, если изготовить образец
в форме креста — с двумя или большим числом боковых
отростков, к которым и припаиваются электроды. На про¬
дольном эффекте размеры капель, естественно, не сказы¬
ваются.

216
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. 111
Нагреватели А и Б служат для создания между кон¬
цами образца разности температур, которая обычно не
превышает 10—15° С*), а наружный нагреватель — для
изменения средней температуры образца. Если помещать
всю измерительную установку в различные термостати-
рующие среды (жидкий гелий, водород, азот и т. д.)
и варьировать при этом силу тока в наружном нагрева¬
теле, то можно охватить широкий интервал температур.
Обычно измерения проводятся в условиях, близких
к адиабатическим (Wy = 0): пространство вокруг образца
либо эвакуируется (при этом для уменьшения потерь тепла
излучением применяются специальные экраны), либо
заполняется плохо проводящим тепло материалом, напри¬
мер, мелким порошком окиси магния или окиси алюминия.
В связи с этим нужно в каждом конкретном случае про¬
вести анализ, насколько законно использование формул
изотермических эффектов для интерпретации экспери¬
мента, так как обычно именно этими формулами поль¬
зуются ввиду их сравнительной простоты. Представив,
например, формулы поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена (10.10) и (10.11) для случая г = 0 в виде
(15.1)
(15.2)
замечаем, что различие между ЕуД и Еу3 тем значитель¬
нее, чем больше коэффициент термоэдс и электронная
часть теплопроводности (а следовательно, и электропро¬
водность). Очевидно, что у хорошо проводящих полупро-
водников, у которых -т-5- может достигать десятков про-
Аф
центов, существенным становится вклад вторых слагае¬
мых в (10.10) и (10.11) и относительное изменение поля
*) Разности температур целесообразно создавать как можно
меньшие, в особенности при измерении продольных эффектов. Ве¬
личина их определяется величиной измеряемого эффекта, а при
малых разностях температур — также и погрешностью, с которой
они измеряются.

§ 15]
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
217
может стать значительным. Так, напри¬
мер, при-^- = 0,15 и Qnз = 200 мкв-граддостигает
Ф	Еу
60% в случае слабых полей и 75% — в случае сильных
полей. Для полупроводников, у которых величина
мала — — 10"3ч- 10~4 (Ge, Si, Те и др.), учет неизотермич-
ности условий опыта несущественен. Если же Хэ состав¬
ляет десятые доли от (как у Bi2Te3, например), а
(?из > Ю мкв-град'1, пользоваться формулами для изотер¬
мического случая, естественно, уже нельзя. При пони¬
жении температуры отличие между Еи Еу3 умень-
шается вследствие уменьшения отношения-ц-. Соображе¬
ния, аналогичные изложенным выше, справедливы и для
эффекта Маджи — Риги — Ледюка.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что
при исследовании термомагнитных явлений, когда
осуществить изотермические условия
практически невозможно. Чтобы изотермы
в образце были параллельны его граням х — хх и х = х2
(рис. 32, а), следовало бы надеть на образец ряд колец,
расположенных в плоскости yz, из материала с высокой теп¬
лопроводностью (например, меди), но изолированных элек¬
трически (например, тонким слоем шеллака или клея« БФ»)
от исследуемого образца. Идеальным был бы, конечно, мате¬
риал для колец, не требующий дополнительной электроизо¬
лирующей прокладки, то есть диэлектрик, хорошо прово¬
дящий тепло, однако такие материалы пока неизвестны.
В реальных условиях эксперимента значительно удоб¬
нее и проще теплоизолировать образец, то есть свести
до минимума боковые потоки тепла (Wy—>0 и VF2—>0).
Следует при этом иметь в виду, что равенство нулю Wy,
то есть отсутствие притока (или отвода) тепла к образцу
извне, не означает отсутствия потоков тепла в направле¬
нии у внутри образца. Действительно, если магнитное
поле перпендикулярно к первичному потоку тепла Wx,

218
:Ж<Л1Е1'1ШЕИТАЛЫ1ЬШ ИССЛЕДОВАНИЯ
IIM III
то согласно (4.9")
(15.3)
При Wy = 0 второе слагаемое в (15.3) обусловливает
в образце поток тепла в направлении у, который заканчи¬
вается на границах у = ух и у = у2 (рис. 32, б) и приводит
дТ
к появлению градиента температуры . В этом случае
изотермы не будут параллельны оси х, и лишь у краев
Рис. 32. Расположение изотерм в образце при исследова¬
нии термомагнитных явлений:
а) — изотермические условия, б) — адиабатические условия
образца х = х1пх=х2, где температуры фиксированы
{Тг п Г2), тепловое поле будет искажено.
При измерении продольно-поперечного эффекта огра¬
ниченность пространства между полюсами магнита но
позволяет часто наклонять всю измерительную установку
под произвольным углом по отношению к магнитному
полю. Поэтому удобно применять нагреватели в виде трех¬
гранных призм, как это сделано было автором [28].
На рис. 33 схематически изображено расположение образца
при измерении продольно-поперечного эффекта. Как
видно из чертежа, такой прибор отличается от обычного
(рис. 31) лишь наклонным (по отношению к направлению
магнитного поля) расположением граней нагревателя
и холодильника, соприкасающихся с образцом. С помощью

I 15J
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
219
электродов 1—1 измеряетсяпродольно-поперечный эффект,
с помощью 2—2 —поперечный эффект Нернста — Эттингс-
гаузона.
Эффект Маджи — Риги — Ледюка в методическом отно¬
шении отличается от остальных термомагнитных эффектов.
Для определения коэффи¬
циента теплопроводности
твердых тел применяется
как абсолютный, так и от¬
носительный метод. Пер¬
вый метод заключается в
измерении потока тепла,
проходящего через обра¬
зец, и градиента темпера¬
туры в нем. Теплопровод¬
ность вычисляется по фор-
муле X =	> где Wx
плотность потока тепла
вдоль оси х в единицу вре¬
мени. Трудность измере¬
ния X абсолютным методом
связана в основном с тем,
что некоторая часть тепла
от нагревателя расходует¬
ся на излучение и тепло¬
отдачу в окружающую
среду, причем потери эти
трудно поддаются учету.
В методе пластинок (его
еще иногда называют пло¬
ским) применяются охранные приспособления (рис. 34), с
помощью которых боковые потери тепла сводятся до
минимума. Регулируя мощность нагревателя, 4 можно
практически полностью свести к нулю теплообмен между
боковой поверхностью образца 1 и кольцом теплоизоля-
тора 2 (это проверяется при помощи ряда термопар, напри¬
мер g и /г, расположенных в плоскости, параллельной пло¬
скости образца). Дополнительный нагреватель 3 служит
для направления всего потока тепла от основного нагре¬
вателя 5 через образец.
Рис. 33. Расположение образца
по отношению к магнитному полю
и градиенту температуры при ис¬
следовании продольно-поперечно¬
го эффекта:
1 — зонды для измерения продоль¬
но-поперечного эффекта, 2 — зонды
для измерения поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена.

220
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Рис. 34. Схема плоского метода определения тепло¬
проводности твердых тел:
1 — образец, 2 — охранное кольцо из теплоизолятора, з,
4 — дополнительные нагреватели, 5 — основной нагрева¬
тель, 6 — холодильник, 7 — кольцевая прослойка из лег¬
кого изоляционного материала, 8 — верхняя часть охран¬
ного кольца, 9 — легкий теплоизоляционный материал, а,
Ь, с, .... h — измерительные и контрольные термопары.
Рис. 35. Схема прибора для определения
коэффициента теплопроводности при низ¬
ких температурах:
1 — образец , 2 — нагреватель, 3 — холодиль¬
ник, 4 и б — внутренний и наружный сосу¬
ды. в — медная пластинка, 7 — термостати-
рующая жидкость.

15]
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
221
На рис. 35 представлена схема прибора для измерения
абсолютных значений теплопроводности в области низких
температур. Образец 1, нагреватель 2 и холодильник 3
помещены в сосуд 4, где поддерживается высокий вакуум.
Наружный сосуд 5 помещен в дьюар с жидким азотом,
водородом, гелием. Подводящие проводники к нагрева¬
телю и термоспаям пропускаются сквозь пластинку 6,
находящуюся при температуре холодильника, чем до¬
стигается значительное уменьшение подвода (или отвода)
тепла по проводам. Меняя степень вакуума между наруж-
Рис. 30. Схема относительного метода определения
теплопроводности твердых тел:
1 — исследуемый образец, 2 — эталон, з — нагреватель, 4—
холодильник; а, Ь, с —термопары.
ным и внутренним сосудами, можно в широких пределах
изменять температуру холодильника, а следовательно,
и среднюю температуру образца.
При применении относительного метода нет необхо¬
димости определять величину теплового потока. Поток
проходит здесь последовательно через исследуемый обра¬
зец и через тело с известной теплопроводностью (Я0)—
эталон (рис. 36). Считая, что потери тепла образцом и эта¬
лоном во внешнюю среду пренебрежимо малы (это допу¬
щение будет тем справедливее, чем тоньше пластинки
образца и эталона), то есть что поток Wx для обоих тел
одинаков, можно искомую теплопроводность А, определить
через известную теплопроводность
Таким образом, нахождение К сводится к измерению
градиентов температуры, что может быть сделано с боль¬
шой степенью точности. Следует отметить, что градиенты
температур должны быть настолько малы, чтобы можно

222
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ III
было считать X и Х0 постоянными, а распределение темпе¬
ратур в образце и эталоне линейным. При применении
этого метода, как и абсолютного, для уменьшения боковых
потерь тепла прибор помещают в вакуум, а окружающие
его стенки поддерживают при температурах, близких к тем¬
пературам соответственных участков образца и эталона.
Точность измерения теплопроводности не превышает
2—3% и измерение эффекта Маджи — Риги — Ледюка
для веществ, у которых он мал, затруднено.
Следует обратить внимание на одну особенность иссле¬
дования явлений Риги — Ледюка и Маджи — Риги —
Ледюка, то есть явлений, в которых измеряются измене¬
ния температуры. Теплоемкость измерительной установки
и образца препятствует безынерционному следованию
измеряемой температуры за изменением магнитного поля,
в результате чего требуется некоторое время для установ¬
ления нового распределения температур в магнитном
поле. В связи с этим целесообразно стремиться к тому,
чтобы теплоемкость прибора была минимальной; можно,
например, идти по пути уменьшения его размеров.
§ 16. Полупроводники-элементы
Термомагнитные явления исследованы в настоящее
время на довольно большом числе полупроводниковых
веществ с различными типами сил связи и кристалличе¬
ской структуры. Характер термомагнитных явлений (их
величина, знак, зависимость от температуры, магнитного
поля и др.) определяется энергетическим спектром полу¬
проводника и механизмом рассеяния носителей тока.
Исследования, проведенные на электронном германии,
показали, что термомагнитные эффекты очень чувстви¬
тельны к типу взаимодействия носителей тока с решеткой,
в то время как анизотропия эффективной массы (в полу¬
проводниках с эллипсоидальными поверхностями энер¬
гии) приводит лишь к большим или меньшим количествен¬
ным поправкам в коэффициентах, рассчитанных для сфе¬
рических поверхностей энергии *). Поэтому основной
*) В области низких температур, где основную роль играет
эффект увлечения, анизотропия спектра существенно сказывается
на характере термомагнитных явлений.

§ 16J	ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ	223
целью исследований термомагнитных эффектов является
выяснение с их помощью характера рассеяния носителей
тока. Кроме того, эти эффекты могут быть использованы
для вычисления параметров полупроводника.
Определение преобладающего механизма рассеяния
производится путем сравнения экспериментальных дан¬
ных о величине, знаке и температурной зависимости
эффекта (а в ряде случаев и о зависимости от магнитного
поля) с предсказаниями теории. При этом необходимо,
естественно, предварительно выяснить, является ли про¬
водимость в данном интервале температур примесной или
смешанной, исследуется ли область слабых, промежуточ¬
ных или сильных полей. Важно также установить, суще¬
ственны ли в исследуемом диапазоне температур эффекты
увлечения. Поэтому целесообразно изучение термомаг¬
нитных явлений проводить совместно с изучением гальва-
номагнитных (эффект Холла, изменение сопротивления)
и термоэлектрических (термоэдс) явлений.
Для большинства исследованных полупроводников
отсутствуют какие-либо сведения о структуре энергети¬
ческих полос, что делает невозможной количественную
интерпретацию явлений. Однако поскольку исследования
до сих пор производились большей частью на поликристал¬
лах, оказывается возможным с определенной степенью
точности интерпретировать эксперимент при помощи
теории для изотропных эффективной массы и времени
релаксации носителей тока, в особенности в области соб¬
ственной проводимости.
Использование формул изотропной модели для объяс¬
нения кинетических эффектов в полупроводниках с ани¬
зотропным спектром допустимо потому, что у образца, сос¬
тоящего из многих кристалликов с различной ориентацией,
анизотропия эффектов в отдельных зернах усредняется,
и суммарный эффект для всего образца будет приближенно
изотропным (хотя величина эффекта может несколько
отличаться от предсказаний для изотропного случая). Это,
очевидно, тем более справедливо, чем больше кристалли¬
ческих зерен в образце.
В настоящем параграфе будут проанализированы дан¬
ные термомагнитных исследований двух атомных полупро¬
водников — теллура и германия.

224
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАН ИИ
1ГЛ. III
Теллур
Теллур — один из первых полупроводниковых объек¬
тов, у которого изучались термомагнитные явления [6, 7,
15, 18, 20, 21]. Измерения производились в основном на
поликристаллических образцах, так что анизотропия
эффектов, подобная той, которая имеет место для электро¬
проводности, не исследовалась.
Наиболее подробно исследован у теллура поперечный
эффект Нернста — Эттингсгаузена. Еще из работы Уолда,
опубликованной в 1916 г. [7], известно было, что эффект
Нернста — Эттингсгаузена у теллура имеет ряд особенно¬
стей, которые впервые были объяснены лишь в 1955 г.
в работах автора [20, 50] и И. В. Мочан [21]. К этим
особенностям относили, во-первых, чрезвычайно большую
величину эффекта, значительно большую, чем во всех
исследованных к 1954 г. веществах. Во-вторых, оказалось,
что зависимость коэффициента (Д от температуры пред¬
ставляет собой не монотонно убывающую функцию, как
это наблюдалось у закиси меди [14], а имеет в области
70—80° С максимум по абсолютной величине. В-третьих,
знак эффекта оказался отрицательным, вопреки тому, что
можно было ожидать для атомного полупроводника в
области примесной проводимости (см. формулу (6.3)).
Обратимся к результатам измерений поперечного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена, полученным для
трех образцов теллура различной степени чистоты и совер¬
шенства [20]. На рис. 37 показана температурная зави¬
симость абсолютной величины коэффициента Нернста —
Эттингсгаузена |(Д| *). Образцы 1 и 2 литые, то есть полу¬
чены медленным охлаждением расплава, образец 3 полу¬
чен горячей прессовкой.
Прежде всего следует отметить, что специальными опы¬
тами была установлена линейная зависимость поля
Нернста — Эттингсгаузена Еу от градиента температуры
(при фиксированной средней температуре) вплоть до
дТ/дх^х 250 град-см'1 и от напряженности магнитного поля
Я от 0 до 104 эрстед. Последний факт свидетельствует
*) Коэффициент Q-1- выражается здесь и ниже в единицах
CGSM. Единица CGSM численно равна 10® в-эрстед-1-град*1.

ЙОЛУПРОЁОД НИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
225
* 16]
о том, что в исследованных интервалах температур и маг¬
нитных полей реализовался случай слабого магнитного
поля.
Кривые для литых образцов 1 и 2, содержащих при¬
мерно одинаковое число атомов примеси (если судить по
низкотемпературной области насыщения постоянной
Рис. 37. Зависимость коэффициента поперечного эффекта Нернста
— Эттингсгаузена от температуры для теллура [20]:
Кривые J, 2 и 3 относятся соответственно к первому, второму и третьему
образцам. Кривая 4 относится к третьему образцу после прогрева его до
высокой температуры.
Холла, концентрация акцепторов у образца 1 ^1,0х
X 101в смГ3, у образца 2 ?^1,5* 1016 слГ3), во всем интервале
температур почти совпадают.
Несколько сдвинута в сторону высоких температур
кривая для прессованного образца 3 (кривая 3). При тем¬
пературах ниже +150° С коэффициент изменяется
согласно кривой 3. После нагрева образца выше +150° С
|(Н| резко уменьшается, и в дальнейшем изменение Q-L
с температурой описывается кривой 4. Эти необратимые
изменения, которые наблюдаются лишь на прессованных
образцах, можно, по-видимому, отнести за счет появления
15 и. М. Цидильковский

220
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИИ
ЦЧ1. Ill
при Т > -д-150° С микротрещин (или других нарушений
однородности образца), приводящих к уменьшению элект¬
ропроводности. Измерения эффекта Холла показали, что
резко изменяется и подвижность носителей тока, а сле¬
довательно, должны претерпевать изменения все эффекты,
зависящие от подвижности, и, в частности, поперечный
эффект Иернста — Эттингсгаузена. Кроме таких необрати¬
мых изменений, имеющих место лишь у прессованных
образцов, у теллура даже в виде плотных слитков и моно¬
кристаллов наблюдается невоспроизводимость величин
электропроводности и других электрических характе¬
ристик после высокотемпературного нагрева. А. Ф. Иоф¬
фе полагал, что эти изменения обусловлены нарушением
цепочечной структуры теллура.
Анализируя графики (?-ЦГ), следует в первую очередь
попытаться объяснить знак эффекта. У всех образцов
теллура в интервале 120—700° К эффект отрицателен.
Согласно теории отрицательный знак (Н у атомного полу¬
проводника в области примесной проводимости может
наблюдаться при преобладании эффекта увлечения носи¬
телей тока (§ 13) или рассеянии их на ионах примеси
(см. (6.3)). В области смешанной проводимости
всегда, если только отношение подвижностей электронов
и дырок b не слишком велико (см. (7.4)).
Измерения электропроводности и эффекта Холла пока¬
зали, что выше 310—340° К у различных образцов примес¬
ная проводимость сменяется собственной. Эффект Холла
дважды меняет знак: ниже 310—340 °К и выше 503° К
он положителен. Ширина запрещенной полосы энергий,
определенная по температурной зависимости электропро¬
водности при высоких температурах, составляет 0,37 дв.
Для того чтобы решить вопрос, обусловлен ли отрица¬
тельный знак Q1- в области высоких температур одновре¬
менным участием в проводимости электронов и дырок,
нужно выяснить, каково отношение их подвижностей.
По данным ряда авторов [98, 99] Ъ находится в пределах
1—1,4. Анализ температурной зависимости эффекта
Холла показывает, что в области смешанной проводимости
постоянная \R \ чрезвычайно мала: более чем на порядок
меньше по сравнению с ее величиной в области примесной
проводимости. Перемена знака R при 503° К обусловлена,

§ ю]	ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ	227
по-видимому, тем, что подвижность дырок убывает при
повышении температуры медленнее подвижности электро¬
нов и выше 503° К становится больше последней. Из
сказанного следует, что в области собственной проводи¬
мости, где п+ = п_ = п и R = —	, подвижности
всп 1 ~j~ о
электронов и дырок, очевидно, мало различаются но вели¬
чине, и выражение для коэффициента (Д можно записать
в виде
(16.1)
Нетрудно видеть, что равенство подвижностей электро¬
нов и дырок является условием достаточным, но вовсе не
необходимым для того, чтобы эффект Нернста — Эттингс-
гаузена был в области собственной проводимости отри¬
цательным. Действительно, согласно (7.4) при /г+=гг_
и г — 0 (рассеяние носителей тока на акустических колеба¬
ниях решетки) (Д<0, если выполняется неравенство
(16.2)
или приближенно
(16.3)
Следовательно, в области собственной проводимости
поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена у теллура,
у которого 6^1, должен быть отрицательным.
При низких температурах, когда в проводимости уча¬
ствует лишь один сорт носителей тока — дырки, эффект
Нернста — Эттингсгаузена для полупроводника атомного
типа должен был бы быть согласно (6.3) положительным.
Как уже упоминалось, отрицательный знак Q1 может быть
обусловлен либо эффектом увлечения, либо рассеянием
на ионах примеси. Роль увлечения дырок фононами,
по-видимому, здесь невелика, так как ни коэффициент
Нернста — Эттингсгаузена, ни термоэдс с понижением
температуры не возрастают по абсолютной величине.
С другой стороны, имеются указания, свидетельствую¬
щие в пользу предположения о рассеянии дырок на иони¬
зированных атомах примеси. Во-первых, подвижность
дырок при понижении температуры ниже ^ 145° К
15*

228
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИИ
ГЛ. III
убывает. Во-вторых, значения подвижностей, вычисленные
но эффекту Холла их и по эффекту Нернста — Эттингс-
гаузена мн._э при условии, что преобладающим является
рассеяние на ионах примеси, намного лучше согласу¬
ются между собой, чем величины их и мН-э> найденные
в предположении об акустическом рассеянии.
Таким образом, есть все основания считать, что низко¬
температурная часть графиков Ql- (Т) определяется рас¬
сеянием дырок на ионах примеси.
Проанализируем поведение кривых Q-L (7Т), и, в част¬
ности, причину отрицательного знака (Н в переходной
области от примесной к собственной проводимости, где
п+Фп_. Полагая, как и выше, для теллура и+ъи_ъи
и г = О, находим из (7.4)
(16.4)
При малых v эффект будет отрицательным при условии,
если
(16.5)
Таким образом, достаточно наличия в теллуре сравни¬
тельно небольшого числа электронов проводимости (напри¬
мер, при 273° К всего 1,4% от числа дырок), чтобы эффект
был отрицательным. А для изменения знака постоянной
Холла или термоэдс при переходе от примесной к собствен¬
ной проводимости (при условии, что подвижности
электронов и дырок равны) необходимо, чтобы концентра¬
ция электронов стала равной концентрации дырок.
Этот вывод является чрезвычайно интересным, так как
из него следует, что поперечный эффект Нернста — Эттингс-
гаузена очень чувствителен к появлению носителей тока
неосновного вида и может поэтому служить для определе¬
ния v в переходной области. Если носители тока рассеи¬
ваются главным образом акустическими колебаниями,
то по знаку эффекта Нернста — Эттингсгаузена можно

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
229
§ 16)
судить о том, является ли проводимость примесной или
смешанной.
О наличии смешанной проводимости можно судить
н по характеру температурной зависимости эффекта
Нернста — Эттингсгаузена. Выше уже отмечалось, что
наличие минимума у кривых (Д(Г) представлялось непо¬
нятным с точки зрения теории, рассматривающей лишь
случай примесной проводимости. Для объяснения формы
кривых ф-ЦГ) у теллу¬
ра обратимся к рис. 38,
где представлена зави¬
симость коэффициента
Нернста — Эттингсгау¬
зена от соотношения
концентраций электро¬
нов и дырок. График
построен на основании
формулы (16.4), причем
для упрощения анализа
положено, что и не за¬
висит от v. В действи¬
тельности, при измене¬
нии температуры, когда
изменяется v, изменя¬
ются и подвижности но¬
сителей тока. Однако
нетрудно убедиться в
том, что изменение и
приведет лишь к неко¬
торой деформации гра¬
фика	но	характер	его	останется таким же, как и при
условии и = const. С ростом концентрации носителей тока
неосновного вида (здесь электронов) эффект, сохраняя по¬
ложительный знак, должен уменьшиться по величине, затем
при определенном соотношении концентраций он должен
переменить знак, а при дальнейшем увеличении v — возра¬
сти по абсолютной величине и достичь максимального зна¬
чения при равенстве концентраций электронов и дырок,
то есть в области собственной проводимости. Повышение
температуры в области собственной проводимости не
может изменить соотношения концентраций, однако
Рис. 38. Зависимость коэффициента
поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена от отношения кон¬
центрации электронов к концентра¬
ции дырок.
График построен по формуле (16.4), при-
.	А л_	,	ЭЛЛ
чем положено Ае =-0,37 эв\ А =-г^	и.
I 6с е

ШЮШМ'ИМЕИТЛЛЬИЫК исследования
Ц'Л. 111
2.»
согласно (16.1) |(Д| начинает убывать, так как здесь уже
существенно сказываются влияние слагаемого, пропор¬
ционального 1 /Г, и уменьшение подвижности носителей
тока с ростом температуры. В переходной области от
примесной к собственной проводимости (v<l) изменение
Q-1- определяется более сильным эффектом: изменением
концентрации электронов и дырок.
Ясно, что возрастание |(Д| при приближении к мак¬
симуму | (Д (Т) |, связанное с экспоненциальным ростом
концентрации электронов, должно быть более крутым, чем
убывание |(Д| правее максимума, обусловленное умень¬
шением подвижностей по степенному закону.
Итак, максимум |(Д(7’)| обусловлен переходом от
примесной к собственной проводимости.
Нужно отметить, что график (?-L(v) (рис. 38) носит
качественный характер не только из-за принятого пред¬
положения о независимости подвижности электронов
и дырок от отношения их концентраций, но также из-за
того, что множитель ^ был выбран для фиксированной
температуры (273° К), в то время как изменение v в рас¬
сматриваемых условиях связано только с изменением тем¬
пературы. Однако оценка, учитывающая зависимости п+1
н и от Т, не представляется более убедительной, так
как, не меняя сущности приведенного качественного
объяснения, она содержит много независимых парамет¬
ров (см. [21]).
В общем случае температура минимума Q-L опреде¬
ляется величинами подвижностей электронов и дырок,
их температурными зависимостями, шириной запрещен¬
ной полосы энергий, концентрацией атомов примеси,
эффективными массами носителей и может, естественно,
не совпадать с температурой начала собственной прово¬
димости, определенной по электропроводности или по
эффекту Холла.
Нетрудно объяснить и сравнительно большие значения
|(Д|, которые относились ранее к аномалиям эффекта
Нернста — Эттингсгаузена в теллуре. Из (6.1) видно, что
в области собственной проводимости коэффициент | (Д |
должен быть в ^ 3 + Щ, ^ раз больше, чем в области при-

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
231
§ 16 J
д g
месной проводимости. При 323° К, например, 3	^
Таким образом, большая абсолютная величина эффекта
в случае смешанной проводимости связана с тем обстоя¬
тельством, что одновременно отклоняющиеся магнитным
полем в противоположные стороны электроны и дырки
создают значительно большие электрические поля, чем
электроны или дырки порознь в случае примесной прово¬
димости.
Остановимся на вопросе, какие сведения о характере
движения носителей тока можно почерпнуть из измерений
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена в теллуре.
Формула (16.1) позволяет непосредственно оценить
величину подвижности носителей при данной температуре.
Для этого достаточно знать лишь ширину запрещенной
энергетической полосы.
С помощью (16.1) можно также выяснить и характер
температурной зависимости подвижности. Полагая, что эта
зависимость степенная — u^T~s, можно из (16.1) полу¬
чить для
(16.6)
Легко видеть, что при всех температурах вплоть до точки
плавления теллура второе слагаемое в (16.6) значительно
превосходит первое. График (Д (Т) должен при повышении
температуры становиться более пологим, приближаясь
к зависимости Г 8, что хорошо согласуется с экспери¬
ментом (см. [7]).
У исследованных образцов теллура правее максимума
| (Д(Г) | коэффициент | Q-L | — у—5/а, следовательно, прибли¬
женно подвижность носителей тока и — Т~8/2 в соответствии
с теорией для атомных полупроводников. Определив для
какой-либо температуры в области собственной проводи¬
мости и по формуле (16.1), можно по температурной
зависимости подвижности найти ее величину для бо¬
лее низких температур, например, для области смешан¬
ной проводимости, где закон и — Г~3/2 еще справед¬
лив. Оценка показывает, что для 300° К, например,
%._э^ 750 см2-в~1-сек~1. Подвижность дырок их, вы¬
численная по эффекту Холла при 300° К, составляет

232
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИИ
[ГЛ. III
650 см'1-в 1-сек А. Если учесть, что подвижность их ^ с Но
может в области смешанной проводимости оказаться зани¬
женной, так как cRo ъ	цх> то следует считать со¬
гласие между холловской и нернстовской подвижностями
вполне удовлетворительным. При температурах, более
высоких, чем 300° К, когда величины концентраций элек¬
тронов и дырок становятся сравнимыми, подвижность
вообще нельзя вычислять по величине Ro, ибо ошибки
при этом резко возрастают. Так, при 355° К у образца 1
(рис. 37) их=70 см2-в'1-сек'1, а ин.-о. =570 см2-в~1-сек~1.
Таким образом, эффект Нернста — Эттингсгаузена дает
в данном случае более надежные сведения о величине и
температурной зависимости подвижности носителей тока,
чем эффект Холла.
Эффект Нернста — Эттингсгаузена может служить, как
уже отмечалось, для определения отношения концентраций
электронов и дырок в области смешанной проводимости.
Исследования эффекта Нернста — Эттингсгаузена в об¬
ласти смешанной проводимости позволяют также оце¬
нить среднюю длину диффузионного смещения носителей
тока Х0. В § 8 рассматривалось влияние диффузии носите¬
лей тока на поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена
и была получена формула, которая дает возможность
оценить Х0:
(8.18)
Измерения эффекта вдоль длины и толщины образца 1
при 317° К привели к значению Яо^(0,003±0,001) см.
Среднее время жизни носителей тока тд, вычисленное
по найденной величине Х0У составляет ^5-10~7 сек.
Наличие диффузионного эффекта в теллуре свидетель¬
ствует, между прочим, о том, что подвижности электронов
и дырок в районе комнатных температур различаются
между собой по величине (см. (8.10)). Следовательно,
вычисленные выше по формуле (16.1) значения и не могут
претендовать на высокую точность.
У теллура изучалось также [7, 18] изменение тепло¬
проводности в магнитном поле. Уолд [7] обнаружил боль¬
шие изменения теплопроводности:	в магнитном поле

§ 16]
ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
233
6650 эрстед при комнатной температуре
= 19%, что находится в резком противоречии с теорией.
Более поздние исследования [18] показали, что эффект
Маджи — Риги — Ледюка у теллура во всяком случае
меньше 1 %. Оценка изменения электронной части теп¬
лопроводности Аэ при комнатной температуре, произве¬
денная с помощью формулы (6.32а), показывает, что она
должна быть меньше 1%. А если учесть и теплопровод¬
ность решетки, то для А получится во много раз мень¬
шая величина.
Германий
Из всех полупроводниковых материалов наиболее полно
и всесторонне изучен в настоящее время германий, полу¬
чивший широкое техническое применение. Подробно иссле¬
дованы его электрические, магнитные, упругие и другие
свойства. Термомагнитным явлениям в германии посвя¬
щены работы Херринга и Джеболла [33, 175], И. В. Мо-
чан и др. [23, 26], автора [25], Эрдмана и др. [27, 156]
и Стила [100]. Основное внимание уделено было эффектам
Нернста — Эттингсгаузена. Изменения теплопроводности в
магнитномполе //^1,5-104 эрстед обнаружить не удалось
[27, 100] из-за малой величины электронной части ее Яэ.
Проанализируем результаты измерений поперечного
и продольного эффектов Нернста—Эттингсгаузена, выпол¬
ненных на монокристаллических образцах п- и /?-типа
с различным содержанием примесей.
Поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена. На
рис. 39 и 40 представлены графики температурной зави-
Е
симости безразмерного поля	V^T и коэффициента
е дх
для трех электронных и трех дырочных образцов. Образ¬
цы 1—5 исследованы автором [25], образец 6 — И. В. Мо-
чан [26]. Удельное сопротивление образцов при комнат¬
ной температуре составляло: n-Ge 1—0,01 ом*см, п-Ge
2—3,0 ом»см, р-Ge 3—0,18 ом»см, п-Ge 4—11 ом»см,
р-Ge 5—48 ом» см [25], p-Ge 6—69 ом» см [26]. Изме¬
рения образцов 1—5 производились в магнитном поле

234
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
7400 эрстед\ для образца 6 приведены результаты иссле¬
дования при трех напряженностях поля: 800, 1000 и
5000 эрстед.
Кривые Ёу(Т) (или (Н (Т)) по характеру сходны с соот¬
ветствующими кривыми для теллура (рис. 37). В первую
очередь это относится к области высоких температур,
Рис. 39. Зависимость безразмерного поля
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгау-
зена от температуры для германия [25]:
Кривые 1, 2, 3, 4 и 5 относятся соответственно
к образцам 1—5. Значения на оси ординат для
кривой б указаны справа.
где переходу от примесной к собственной проводимости
соответствует минимум эффекта. Анализ высокотемпера¬
турной части графиков ёу(Т) может быть произведен анало¬
гично тому, как это сделано для теллура. Не останавли¬
ваясь на деталях, отметим лишь основные отличительные
особенности эффекта у германия»

поЛуироёодниКи-элемёнты
235
§ 16]
Увеличение числа атомов примеси в образце приводит
к сдвигу минимума <$у{Т) в сторону высоких температур.
Рис. 40. Зависимость коэффициента
поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена от температуры для
шестого образца германия [26]:
Н— 800 эрстед (1), Н = 1000 эрстед (2),
Н =5000 эрстед (3).
Это нетрудно было предвидеть, так как рост концентрации
примеси должен смещать, как известно, начало собствен-

ж
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ Ж
ной проводимости, а следовательно, и минимумы ШУ{Т)
к более высоким температурам.
Формулу для <ву в области собственной проводимости
и при слабых магнитных полях (для германия случай
слабых полей реализуется при 11 < 104 эрстпсо) можно
записать в виде (см. (7.4))
(16.7)
Если использовать значение Де = 0,73 эв, найденное но
температурной зависимости электропроводности, то не*
трудно убедиться в том, что при b = 1,5—2 третье слагае¬
мое в (16.7) значительно превосходит первые два вплоть
до температуры плавления германия. Полагая и^Т~*,
находим
(16.8)
При 1<&<4 А может изменяться в пределах от 2 до 3.
Таким образом, | Шу |	как и в случае теллура,
и лишь при самых высоких температурах кривая <£У(Т)
должна становиться более пологой, приближаясь к зави¬
симости | ©у | 	 T'S.
Следует учесть, что температурные зависимости под¬
вижностей электронов и дырок у германия различны,
то есть что Ь зависит от температуры, в связи с чем на
опыте могут наблюдаться небольшие отклонения от приве¬
денных закономерностей для ШУ(Т).
При выводе формулы (16.8) предполагалось, что пока¬
затель s характеризует закон температурного изменения
подвижности дырок, а не электронов. Нетрудно видеть,
что при выполнении одного из условий:
в (16.8) относится к тому виду
носителей тока, подвижность которых меньше.
Итак, температурная зависимость эффекта Нернста —
Эттингсгаузена в области собственной проводимости дает
возможность определить закон температурного изменения
подвижности одного из видов носителей тока. Для образ¬
цов германия 2, 3,4 и 5 величина s, найденная по наклону

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ОЛЕМЕНТк
2f6l
§ 16]
ШУ{Т)> составляет 2,4, что хорошо согласуется со значе¬
нием s, определенным по эффекту Холла для дырочных
образцов в области примесной проводимости, где рассея¬
ние на примесях еще существенно не сказывается на вели¬
чине подвижности (для образца 3 в области 230—350° К,
для образца 5 в области 100—300 ° К). Таким образом,
эффект Нернста — Эттингсгаузена позволил непосредст¬
венно доказать, что в области собственной проводимости
подвижность носителей тока изменяется с температурой
таким же образом, как и в области примесной проводи¬
мости.
Чтобы определить подвижность электронов при высо¬
ких температурах, нужно, очевидно, знать отношение
подвижностей Ь. Последнюю величину можно найти,
рассматривая совместно формулу (16.7) и выражение для
постоянной Холла
(16.9)
Для образца 3, например при 550 К, найдено, таким
образом, что b = 2,2.
Поведение поперечного эффекта Нернста — Эттингсгау¬
зена при низких температурах осложняется тем, что на
движение носителей тока наряду с акустическими колеба¬
ниями решетки существенно начинают влиять атомы при¬
меси и эффекты увлечения.
На рис. 39 и 40 видно, что у всех образцов, за исклю¬
чением третьего, эффект Нернста — Эттингсгаузена отри¬
цателен во всем исследованном интервале температур,
а у третьего образца наблюдается как отрицательный, так
и положительный знак эффекта.
У электронного образца 1 с большим содержанием при¬
месей (^ 5-1017 см~3) отрицательный знак Шу может быть
отнесен за счет рассеяния носителей тока ионами примеси
(см. (6.36)). Здесь, как и у теллура, при повышении
температуры эффект не меняет знака на положительный,
соответствующий рассеянию на тепловых колебаниях
решетки. Оценка, произведенная для случая ионизации
всех атомов примеси, показывает, что температура пере¬
мены знака ёу должна превышать температуру минимума
(кривая 7, рис. 5) примерно в 7—8 раз. При определенных

228
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ГЛ. Ill
убывает. Во-вторых, значения подвижностей, вычисленные
но эффекту Холла их и по эффекту Нернста — Эттингс-
гаузена иц _э при условии, что преобладающим является
рассеяние на ионах примеси, намного лучше согласу¬
ются между собой, чем величины их и мн-э» найденные
в предположении об акустическом рассеянии.
Таким образом, есть все основания считать, что низко¬
температурная часть графиков Q-L (Т) определяется рас¬
сеянием дырок на ионах примеси.
Проанализируем поведение кривых (П (Т), и, в част¬
ности, причину отрицательного знака QJ- в переходной
области от примесной к собственной проводимости, где
п+фп_. Полагая, как и выше, для теллура и+ъи_ъи
и г = О, находим из (7.4)
(16.4)
При малых v эффект будет отрицательным при условии,
если
(16.5)
Таким образом, достаточно наличия в теллуре сравни¬
тельно небольшого числа электронов проводимости (напри¬
мер, при 273° К всего 1,4% от числа дырок), чтобы эффект
был отрицательным. А для изменения знака постоянной
Холла или термоэдс при переходе от примесной к собствен¬
ной проводимости (при условии, что подвижности
электронов и дырок равны) необходимо, чтобы концентра¬
ция электронов стала равной концентрации дырок.
Этот вывод является чрезвычайно интересным, так как
из него следует, что поперечный эффект Нернста — Эттингс-
гаузена очень чувствителен к появлению, носителей тока
неосновного вида и может поэтому служить для определе¬
ния v в переходной области. Если носители тока рассеи¬
ваются главным образом акустическими колебаниями,
то по знаку эффекта Нернста — Эттингсгаузена можно

1C]
ПОЛУПРОВОДТШКИ-ОЛЕМЕПТЫ
239
после их шлифовки. Эффект Нернста — Эттингсгаузе-
на очень чувствителен к такого рода конкурирующим
механизмам проводимости. Особенно большим может
быть искажение эффекта в той области температур, где
ноле мало. Согласно оценкам Херринга и др. [175а]
для изменения знака Шу с положительного, соответствую¬
щего рассеянию электронов акустическими фононами,
на отрицательный достаточно, чтобы поверхностный
ток составлял всего около 2% от общего тока.
У дырочного образца 3 поле % становится при 390° К
положительным и при дальнейшем понижении темпера¬
туры приближается к нулю, не меняя знака. Для объясне¬
ния температурной зависимости % естественно предполо¬
жить, что положительный знак обусловлен преобладанием
взаимодействия дырок с акустическими колебаниями
решетки. При этом поле Нернста — Эттингсгаузеиа должно
возрастать с понижением температуры таким же образом,
как н подвижность дырок. Согласно измерениям эффекта
Холла и электропроводности и+ слабо убывает с ростом тем¬
пературы при Т < 160° К, и+ — Г"1 в области 160—230° К,
и гг+~ Т~2’3 в области 230—350° К, то есть при понижении
температуры ниже 350° К подвижность дырок возрастает,
в то время как поле Нернста — Эттингсгаузеиа убывает
и стремится к нулю. Возможно, что убывание &г1 при пони¬
жении температуры обусловлено влиянием увлечения
дырок фононами и рассеяния нх ионами примеси. Отсут¬
ствие данных измерений при Т < 120° К не позволяет сде¬
лать определенные заключения по этому поводу.
Мыслима и другая трактовка температурной зависи¬
мости % ц у третьего образца в области низких температур.
Наблюдаемый ход %У{Т) можно объяснить, если предполо¬
жить, что при понижении температуры существенным ста¬
новится рассеяние носителей тока на нейтральных атомах
примеси, для которого г = у (см. табл. 2). Приведем неко¬
торые оценки, подтверждающие последнее предположение.
При рассеянии носителей тока нейтральными примесями
подвижность выражается формулой [61]
(16.10)

240
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ III
где А^ц— концентрация нейтральных центров рассеяния,
х — диэлектрическая проницаемость.
Согласно (16.10) зависимость подвижности от темпера¬
туры определяется лишь температурной зависимостью
эффективной массы носителей тока т, то есть практически
величина г/н не должна изменяться с температурой. Как
уже отмечалось, у образца 3 подвижность дырок в интер¬
вале 120—160° К мало изменяется.
Если подставить в (16.10) т+ = 0,3 т0 (масса тяжелых
дырок), х = 16, ггн = 7• 103 см2-в'1-сек'1 (ггн вычислено по
эффекту Холла при Т—130° К в предположении, что
г = -2"), то найдем iVn^4-1016 см 3. Концентрация иони¬
зированных атомов примеси, если предположить, что она
равна концентрации дырок, составляет всего Nn^ 1,2 х
X 1016 см'3.
Удельное сопротивление, рассчитанное по формуле
Конвелл — Вейскопфа [62], учитывающей рассеяние носи¬
телей тока лишь на ионах примеси,
(16.11)
равно при 130° К 1,5-10~2 ом-см, то есть значительно
меньше удельного сопротивления рн = (ещп^)'1 = 7,4 >
X 10~2 ом-см, обусловленного рассеянием лишь на нейт¬
ральных примесях.
Если произвести аналогичные оценки для электронного
образца 1, то получим: при130°К и_= 1500 см2-в~1-ськ~1,
Л/”п == 7,5-1017-см'3 (по эффекту Холла), 7VH = 1,2* 1017 смГ3
(полагается, что эффективная масса ш_ = 0,22 т0). В этом
случае явно доминирует рассеяние на ионах примеси.
Следует отметить, что приведенные оценки не могут
претендовать на большую точность. Дело заключается,
во-первых, в том, что вся теория примесного рассеяния
является сравнительно грубой (см. § 5) и не приводит пока
к хорошему количественному согласию с экспериментом.
Во-вторых, рассеяние на нейтральных примесях может
стать существенным при достаточно низких температурах,
когда число ионизированных примесей еще мало, то есть
когда	Согласно оценке в образце 3 Nn меньше
N„ всего в 3,5 раза.

§ 16]	ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ	241
В-третьих, теория рассеяния на нейтральных центрах
[61] развита для простой полосы и, вообще говоря, не¬
пригодна для количественной интерпретации эффектов
в случае вырожденной валентной полосы германия. Но
в связи с тем, что рассеяние дырок в германии примерно
изотропно, характер внутриполосного и межполосного
рассеяния можно полагать, по-видимому, таким же, как
и для рассеяния на акустических колебаниях.
В-четвертых, все оценки производятся в предположе¬
нии, что рассеяние определяется одним каким-либо меха
низмом, в то время как в рассматриваемом интервале
температур безусловно имеет место наложение по край¬
ней мере двух видов рассеяния и можно лишь говорить
о большей или меньшей степени преобладания того или
иного механизма. Именно этим можно объяснить разли¬
чие между величинами подвижности, найденными по
эффектам Холла и Нернста — Эттингсгаузена. Так, при
300° К в предположении, что г = 0 их *= 2100 см2-в*1-сек"1,
а ин.-э. = 1500 см2-в'1 -сек"1.
Переходя к анализу поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена у дырочных высокоомных образцов 5 и 6
(концентрация дырок у образца 5 при 130° К составляет
^ 3,5 -1013 см'3, у образца 6 при 83° К ^ 2,3-1013 см'3),
следует прежде всего обратить внимание на сильную
зависимость постоянной (Д от напряженности магнитного
поля (рис. 41).
Естественно было попытаться объяснить наблюдаемые
зависимости (Д(/7), как это было сделано для постоянной
Холла в /?-Ge [104], вырождением валентной полосы,
то есть наличием двух сортов дырок. Однако расчет [20],
в котором предполагается независимость длины свобод¬
ного пробега от энергии (г = 0) и сферические поверхности
энергии для дырок, не дает ни для каких значений v+=
= ~ и Ь+ = ^ (пл, мл — концентрация и подвижность
легких дырок, щ, мт — то же для тяжелых дырок) изме¬
нения знака электронной составляющей эффекта*). В об¬
ласти промежуточных и сильных магнитных полей посто-
*) График 3 в работе [26], представляющий теоретическую
зависимость Q-Ця) для р-Go, ошибочен.
16 и. М. Цидилыювсний

242
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ГЛ. II
янная (Д должна быть почти такой же, как й в случае
одного вида носителей тока, и лишь при достаточно сла¬
бых полях величина ее может измениться. Таким образом,
Рис. 41. Зависимость коэффициента поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от магнитного поля для шестого
образца германия [26] при различных температурах.
изменение знака функции (Д(#) не может быть объяснено
лишь наличием двух сортов дырок ни при каких величи¬
нах магнитного поля.
Чтобы выяснить, не связаны ли наблюдаемые особен¬
ности зависимости (Н от Т и Н с характером рассеяния,
представим время релаксации носителей тока в более

я 16}	Полупроводники-элементы	243
общем, чем (4.12), виде, а именно, пусть
(16.12)
где под i следует понимать «л» или «т» соответственно
для легких и тяжелых дырок. Тогда зависимость элек¬
тронной составляющей постоянной Периста — Эттингс-
гаузсна от поля и температуры может быть выражена
формулой
(16.13)
Как показывает анализ эффекта Холла у шестого
образца [26], v+ и Ь+ являются постоянными в интервале
температур 115 — 240° К. Это подтверждается и измере¬
ниями эффекта Нернста — Эттингсгаузена. Действительно,
если для каждой температуры Q^(H) меняет знак при
магнитных полях #0, то из условий (Н0) == 0 следует,
что параметр — должен быть одинаковым для всех
температур, то есть 1 /Н0 — ит~Г-2’3. Согласно опытным
данным 1/#0—Т~2,3\ что п подтверждает предположение
о постоянстве v+ и Ь+. Кроме того, из (16.13) следует,
что при постоянных v+ и Ь+ графики зависимости Q^~ от
(Н/Н0)2 должны быть для различных температур подобны.
Это также полностью подтверждается экспериментом.
Можно было ожидать, что коэффициент Л в зависимости
жажется пропорциональным ит и
о о
будет изменяться с температурой по закону А — Т ’ .
Опыт же показал, что ниже 200° К А ~ 71"4. Таким об¬
разом, согласно экспериментальным данным зависимость
коэффициента Нернста—Эттингсгаузена от магнитного
поля и температуры описывается формулой
(16.14)
То, что зависит от магнитного поля только через
подтверждает сделанное предположение о харак¬
тере рассеяния носителей тока (формула (16.12)), а тем-
16*

244
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
иературная зависимость противоречит этому предполо¬
жению. Это противоречие можно устранить, если принять
во внимание, что с понижением температуры должно
возрасти влияние эффектов увлечения на термомагнитные
явления. О существенном вкладе увлечения в термомаг¬
нитные эффекты у чистых образцов 5 и 6 свидетель¬
ствует ряд фактов.
При температурах ниже 100° К термоэдс а резко воз¬
растает в соответствии с теорией, учитывающей эффект
увлечения носителей тока фононами. Нетрудно убедиться в
том, что если у образцов 1акой чистоты, как 5-й и 6-й,
наблюдается рост фононной части термоэдс, то должен
иметь место еще больший рост (по абсолютной величине)
фононных составляющих эффектов Нернста — Эттингсгау-
зена. Действительно, при 100° К, например, ^ 0,5[105].
Как показано в § 13, | Q$!Qq | |А* | аф/аэ. Приведенный
химический потенциал р* составляет, если оценить его
по величине термоэдс, ^ —10, и следовательно,
I QklQ±\ *** 5.
Отрицательный знак поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена при столь малом содержании примесей,
как у образцов 5 и 6, нельзя отнести за счет рассеяния
дырок на ионах примеси. Здесь главную роль, безусловно,
играет увлечение, которое согласно теории для кубиче¬
ских кристаллов при рассеянии носителей тока на аку¬
стических колебаниях должно обусловить отрицательный
эффект (см. § 13).
Температурную зависимость Q ф при Т < 200° К также
можно объяснить существенной ролью увлечения. Если
предположить, что время релаксации носителей тока при
рассеянии их фононами тэ> ф можно представить, как и
общее время релаксации т, в виде (16.12), то фононная
составляющая поперечного эффекта при наличии двух
сортов дырок, для которых v+ и Ь+ постоянны и s—>00,
выражается формулой
(16.15)
где тл и тт —времена релаксации легких и тяжелых ды¬
рок. При Н —>0 ф2^1. Так, например, если время

1 1*1
ПОЛУПЁОВОДНИКИ-ЭЛЕМЁНТЫ
245
релаксации фононов Тф, не зависит от q [84],
(16.16)
В достаточно слабых магнитных полях температурная
зависимость должна определяться согласно (16.15) и
(16.16) практически лишь зависимостью Тф (Т), как и в слу¬
чае полупроводника с невырожденной валентной полосой.
В области низких температур (Т < б) для к\ бических
кристаллов % Ф ~	(13.9). Дебаевская температура
германия для интервала 100 —300° К находится в преде¬
лах 370 — 400° К [137]. Следовательно, согласно (16.15)
при Т < 200° К коэффициент Q ф должен изменяться про¬
порционально Г-5.
Отличие наблюдаемой зависимости А(Т) или, что то
же, зависимости (Т) при фиксированном значении
параметра — от закона изменения ит (Т) можно, таким
образом, объяснить влиянием увлечения на поперечный
эффект. Однако количественного согласия между ожидае¬
мой и найденной из эксперимента зависимостями (^(Г)
нет. Если вычислить = (Д — по измеренным зна¬
чениям (Д и рассчитанным в предположении г = 0 значе¬
ниям (7^-, то оказывается, что при Т < 200° К зависи¬
мость (Т) более слабая, чем предсказывает теория.
Можно думать, что это расхождение связано, с одной
стороны, с определенным вкладом в измеряемые величины
поверхностной проводимости. С другой стороны, такое
расхождение может быть обусловлено тем, что фононные
и электронные составляющие Q-L становятся при опре¬
деленных температурах сравнимыми по порядку величи¬
ны. Второй фактор может явиться причиной изменения
знака (Д при возрастании магнитного поля (рис. 41).
Такая зависимость (Д (Н) должна иметь место в том
*) Формула (16.16) получена без учета переходов между поло¬
сами легких и тяжелых дырок и поэтому может дать лишь пра¬
вильный температурный ход эффекта, но не величину и зависи¬
мость от магнитного поля.

'Ш
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
(гл. m
случае, если фононная и электронная составляющие
по-разному зависят от магнитного поля (§ 13).
Перемена знака (?-L при изменении Н может наблю¬
даться и при одновременном рассеянии носителей тока
акустическими колебаниями и ионами примеси (см. § 13).
У шестого образца роль рассеяния на ионах примеси
должна быть невелика, однако нет достаточных оснований
полностью исключить ее из рассмотрения. Для более
точного анализа нужна теория поперечного эффекта, учи¬
тывающая структуру валентной полосы германия, и в осо¬
бенности вклад легких дырок в области слабых полей*).
Зависимость поперечного эффекта Нернста — Эттингс-
гаузена от ориентации магнитного поля по отношению
к кристаллографическим осям в области высоких темпе¬
ратур, где увлечение не играет заметной роли, но про¬
водимость еще примесная, у германия не исследована.
У р-Ge анизотропия поперечного эффекта должна быть не¬
большой, так как энергетические поверхности дырок близ¬
ки к сферическим. Анизотропия энергетического спектра
дырок должна сказаться, главным образом, на величинах
насыщения продольных эффектов в сильных полях.
Несферичность энергетических поверхностей элек¬
тронов в германии нс приводит к существенной анизо¬
тропии электронной составляющей поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена. Это следует из формул
(11.3) и (11.12) и табл. 5. В случае слабых магнитных
полей поперечный эффект не должен зависеть от ориен¬
тации магнитного поля по отношению к кристаллу. Если
принять, что для n-Ge параметр анизотропии
^17, то поле (Еу)э должно быть в 0,79 раз меньше
Cf--0'79) , чем в случае сферической поверхности энер¬
гии электронов. В сильных полях поперечный эффект
становится анизотропным: при Н||[001] <v/cr = 1,27, при
Н || [111] с'г/сг = 2, при if II [011] и VГII [100] с;/сг = 4,35,
а при jflT|| [011] и vr|| [011] Cr/cr = 2,67.
Таким образом, если поперечный эффект Нернста —
Эттингсгаузена исследуется у электронного германия в
*) См. стр. 389.

S l«J
ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
247
области слабых магнитных полей, то интерпретацию
можно проводить при помощи формул для изотропной
модели. Это обстоятельство может оказаться полезным
(и было выше использовано) при изучении эффекта
в области смешанной проводимости, где формулы, учи¬
тывающие структуру энергетических полос, чересчур
громоздки. При низких температурах, когда преобладают
эффекты увлечения, анизотропия фононной составляю¬
щей может обусловить существенную анизотропию
всего эффекта Q-L, и пользоваться формулами для изо¬
тропного случая уже невозможно.
В работе Херринга, Джеболла и Кунцлера [175а, б]
исследован поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена
на ряде образцов электронного германия в интервале
температур 10—250° К (на отдельных образцах —до 300°К),
где доминируют эффекты увлечения.
В табл. 12 приводятся данные, характеризующие чис¬
тоту образцов.
Таблица 12
К>
образца
Концентрация
доноров
N • 10-13 см-з
Концентрация
акцепторов
N..10 -I® c.u-3
(1
Преобладаю¬
щая примесь
576,576А
10
1
Sb
577
К)
1
Sb
591
180
6
As
594
1,6
0,3
595
0,3+jVa
596
180
6*
As
601
26
2
Sb
(ЮЗ
2,0
^0,3
604
2,0
^0,6
606
1,0
^0,2
Из рис. 42 видно, что кривые (П(Г), полученные в сла¬
бых магнитных полях в области температур, где преобла¬
дает электронная составляющая эффекта, не совпадают
между собой для различных образцов. Если учесть, что
для большинства исследованных образцов рассеяние па

248
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Рис. 42. Зависимость коэффициента поперечного эффекта Нерн-
ста—Эттингсгаузена от температуры для девяти образцов п-Ge,
исследованных в слабых магнитных полях [175а].
Пунктирная кривая рассчитана для образца 601 в предположении, что
а О^д^-д^=0,24^|аф|^ (при высоких температу¬
рах учитывается собственная проводимость). Расхождение между экспе¬
риментальными точками для образца 603, измеренными с интервалом
в один месяц, подтверждает предположение о влиянии поверхностной
проводимости на поперечный эффект.

t6j
ИОЛУПРОЁОД НИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
249
примесях в интервале 175—250° К вносит пренебрежимо
малый вклад, следует предположить, что заметное влия¬
ние оказывает поверхностная проводимость. Это с оче¬
видностью подтверждается невоспроизводимостью дан¬
ных для образца 603, полученных месяц спустя после
первоначальных измерений. Положительные значения
(П, которые следует ожидать при преобладании рассея¬
ния электронов акустическими фононами, наблюдались
у образцов 576 , 596, 601 и 603 после некоторых процес¬
сов старения. Положительный эффект можно было в пер¬
вую очередь ожидать у образца 601, у которого концен¬
трация электронов достаточно велика, чтобы подавить
конкурирующий механизм проводимости, но недоста¬
точна для существенного вклада в рассеяние ионов при¬
меси. Теоретическая кривая (Н(Г) (пунктирная), по¬
строенная для образца 601 с учетом вклада	а при
высоких температурах — и собственной проводимости —
хорошо согласуется с экспериментальными точками.
У образца 596 роль рассеяния на ионах примеси должна
быть заметно больше, чем у образца 601, в особенности,
при 71 < 100° К. Образцы, не обладающие положительной
областью (П, или такие, как 594, у которых Q-L стано¬
вится отрицательным до начала собственной проводи¬
мости, являются несовершенными.
Величина £ф =	-— (см. табл. 6) в интервале 20 —
«>Ф17
200° К для всех образцов примерно постоянна и находится
в пределах 0,2 —0,3, что по порядку величины совпадает
с предсказаниями теории. Такое постоянство £ф означает,
что механизмы рассеяния электронов и фононов в интер¬
вале 20 — 200° К мало изменяются с температурой.
При понижении температуры ниже 20° К рост | ()ф | не¬
сколько замедляется, а | аф | начинает даже убывать. Коэф¬
фициент £ф при этом возрастает, достигая при 10° К 0,4.
Изменение температурной зависимости (?ф и аф при неиз¬
менной температурной зависимости подвижности электро¬
нов (рис. 43) обусловлено вступлением в строй нового
механизма рассеяния фононов — рассеяния на границах.
Это должно изменить как зависимость коэффициента

250
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ill
Пельтье Пф (и термоэдс аф) от энергии е, так и его
анизотропию.
Зависимость поперечного эффекта от магнитного поля
при двух ориентациях U и V71 и 77,4° К приведена на
рис. 44. Поскольку при предположении, что Пф = Ат-х1,
а А не зависит от энергии электрона е, кривые Qq>(H)
должны быть подобны кри¬
вым Д(оо)-Я (Я) (Я —
постоянная Холла) (см.
(13.54)), на рис. 44 приво¬
дятся для сравнения и эти
графики. Поведение кри¬
вых R (со) — R(H) может
быть объяснено структурой
полосы проводимости Ge
и анизотропией тензора
тх1 (см. [101]). Харак¬
тер кривых Q-L(H), а так¬
же тот факт, что опреде¬
ленные из эксперимента
значения £ф в два или
более раза больше зна¬
чений, предсказываемых
формулой (13.54), свиде¬
тельствуют о наличии
анизотропии Пф, подобной
той, которая предполага¬
лась при выводе (13.54),
но менее заметной. Это за¬
ключение более непосред¬
ственно подтверждается
анизотропией Да (см. ни¬
же). Зависимость ШУ(Н)
(или, что то же, Q^-H от Я)
и, в частности, наличие
минимума Шу хорошо со¬
гласуется с предсказаниями теории, согласно которой
в слабых полях \jgy\ растет пропорционально Я, а в силь¬
ных—убывает как Я"1.
На рис. 45 приведены кривые Q^H от Я для тех же
двух образцов, что и на рис. 44, и теоретические кривые,
Рис. 43. Зависимость холловской
подвижности, коэффициента Q-Ц
исследованного в слабых магнит¬
ных полях, и фононной части тер¬
моэдс аф=а- аэ (коэффициент аэ
рассчитан по формуле Писаренко)
от температуры для двух образ¬
цов w-Ge [175а].

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
251
S 16]
рассчитанные для случая сильных полей по формулам
табл. 7 при двух предположениях: Пф~е~1/2 и Пф не
зависит от е.
Данные для образца 606 при 94° К более надежны,
чем при 60° К, поскольку в первом случае поверхность
его травилась и, следовательно, влияние поверхностной
проводимости, которое должно особенно сильно сказаться
Рис. 44. Зависимость коэффициента поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена и постоянной Холла от магнит¬
ного поля для двух образцов n-Ge при 77,4° К [175а].
Для образца 606 Н ||	[001], ут || [100]; для образца 60 3
и II [110], ут II [110].
при сильных полях, когда поле 'ёу мало, не могло быть
значительным. Критерий применимости асимптотических
формул для сильных полей выполняется при 94° К
хуже, чем при 60° К. В первом случае -^-^3,3 при
Я = 1,2*104 эрстед и ^ 5 при # = 1,8-104 эрстед,
иН
во втором -у- ^ 5 и 10 соответственно. Данные для 60° К,
по-видимому, не слишком сильно искажаются поверхност¬
ной проводимостью, так как они находятся в неплохом со¬
ответствии с результатами для 94° К. Однако при больших

252
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
полях кривая при 60° К ближе к теоретической асим¬
птоте для Пф~ е~1/2, чем для Пф, не зависящего от е, в то
время как при 94° К кривая ближе к асимптоте для Пф,
Рис. 45. Зависимость поля II поперечного эффекта Периста —
Эттингсгаузена от магнитного поля для образцов n-Ge 60S и
606 [1756].
Пунктирные кривые (короткие штрихи) рассчитаны по формулам для силь¬
ных полей (табл. 7) при Пф, нс зависящем от энергии; штрихованные кри¬
вые — при Пф ~ е-,/2. В расчете принято, что К = 17, v = 9,8. Поле Q-L Я
измеряется в в-град’1.
не зависящего от е. Возможно, что это расхождение об-
З'словлено некоторым увеличением | g | при 60° К за счет
поверхностной проводимости.
Когда магнитное поле направлено вдоль диагонали
грани (образец 603), поперечный эффект (| <$у |) в сильных
полях значительно больше, чем при поле, параллельном
ребру куба, и насыщение наступает медленнее. Это свя¬
зано с тем, что при направлении магнитного поля вдоль
диагонали грани оно Перпендикулярно к большим осям
двух из четырех эллипсоидов, вследствие чего вклад в про¬
водимость от этих эллипсоидов вносят электроны с 66ль-

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
253
§ 16]
шими массами и требуются большие поля, чтобы реали-
зовать условие сильного поля: —— > 1. Экспериментальная
кривая ёу(Н) для образца 603 ближе к асимптоте, рас¬
считанной для Пф, не зависящего от е, чем к асимптоте
Пф^е”1/*. И в этом случае расхождение с предсказанием
теории, согласно которой для кубического кристалла
Рис. 46. Зависимость коэффициента поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгаузена от магнитного поля
при различных температурах для образцов 604 и 606
[1756].
следовательно,
лено некоторой ролью поверхностной проводимости.
Таким образом, кривые $у(Н) в сильных полях ка¬
чественно объясняются теорией и позволяют получить
некоторые сведения о факторе анизотропии р = *1ф|1 t
пф±

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАН ИИ
1ГЛ III
251
который с точностью до ^ 20% совпадает со значением,
полученным из анализа других данных, а также сведения
о зависимости средних Пфц и Пфд от энергии. Можно
утверждать, что эти величины убывают с ростом е мед¬
леннее, чем е~1/2.
Q-L
В § 13 отмечалось, что величина отношения различ¬
на для случаев слабых и сильных нолей, если энергети¬
ческие поверхности эллипсоидальны, и поэтому в опреде¬
ленном интервале температур возможна перемена знака Q^
при возрастании Н. Это должно иметь место, очевидно,
в той области температур, где ^
Наблюдаемая перемена знака кривых	(Н) у образ¬
цов 604 и 606 (рис. 46) обусловлена зависимостью
от величины магнитного поля. Оказывается, что величина
зависит и от ориентации Н и VJ1.
Таблица J 3
и
VT
®ф(30) / с^(эо)|
Пф не зависят от
е, р любое
пФ~е'1/2
р — 5
р = 10
р = 20
[001]
[Oil]
[Oil]
1 н
[100]
[Oil]
1
6,2
8,1
0,45
1,46
2,27
0,50
2,06
3,31
0,54
2,58
4,17
В табл. 13 приведены вычисленные значения отноше-
в сильных и слабых полях для некоторых ориеи-

полупроводники-элементы
255
§ ioJ
таций Н и VT и для различных предположений о вели¬
чине анизотропии = и о зависимости Пф(е). Пред-
1АФ±
1ПиХ |
полагается, что К = —= 17.
т1?\\
При Н || [011] фононная часть Q^- в сильном поле
должна превышать электронную, а при //||[001] должно
иметь место обратное соотношение (если только Пф убы¬
вает с ростом е). Это предсказание теории полностью
подтверждается экспериментальными кривыми рис. 45 для
травленых образцов 604 и 606. Температуры перемены
знака Q1 равны 174 и 171° К соответственно. При нетрав¬
леных поверхностях, когда возможно искажение эффекта
поверхностной проводимостью, у этих образцов не наблю¬
далось положительной области (Я-(0) (рис. 41).
Сравнение кривых рис. 45 с теорией позволяет сделать
некоторые, правда, довольно грубые, оценки для р и за¬
висимости Пф(е). Поскольку для образца 606 (1Z || [001])
кривая	должна согласно табл. 13 слабо зависеть
от р, возрастание с ростом Я может иметь место в том
случае, если Пф убывает при возрастании е (тогда
|@±(Я)|>|(?£ (//)|). Наблюдаемое изменение Q-ЦН) у об¬
разца 606 неплохо согласуется с зависимостью Пф~е~1/ 4.
При такого рода зависимости Пф (е) убывание с ростом Я,
наблюдаемое у образцов 603 и 604 (1Г — параллельно
диагонали грани), может быть обусловлено тем, что|@ф|
растет с ростом Я, а | Q| убывает. Возрастание | ()ф |
должно быть обусловлено главным образом анизотропией
ПФ (р » 1).
Перемена знака с ростом Я, а также величины
(0) (как и величины Да (0)) позволяют думать, что в ин¬
тервале 150 - 235° К анизотропия Пф и зависимость Пф(е)
примерно такие же, как и при более низких температурах:
60 — 130° К, где удается провести вполне удовлетворитель¬
ный количественный анализ (см. ниже). Тот факт, что
средние величины (см. (13.52)) у образцов 606 и
603 при 77 и 173° К почти совпадают, также приводит
к заключению, что либо анизотропия тензора Пф и

256
экспериментальные исследовании
[ГЛ. Ill
зависимость его от энергии при этих двух температурах
аналогичны, либо различие в анизотропии как раз
таково, что оно компенсирует
различие в энергетической зави¬
симости Пф.
Продольный эффект Нерн-
ста — Эттингсгаузена. Измене¬
ние термоэдс в магнитном поле у
германия исследовалось в последнее время рядом авторов
[26, 27, 33, 100, 156, 175]. Во всех этих работах учиты¬
валась взаимная ориентация магнитного поля, градиента
температуры и кристалла.
На рис. 47 и 48 представлены зависимости изменения
термоэдс для двух электронных образцов 7 [100] и 8 [27].
Образцы эти примерно одинаковой степени чистоты —
Рис. 47. Зависимость относи¬
тельного изменения термоэдс
от магнитного поля для седь¬
мого образца германия [100].
а) Т = 199° К, 238е К, 278° К;
б) Т = 78° К.
Рис. 48. Зависимость относитель¬
ного изменения термоэдс от маг¬
нитного поля для восьмого об¬
разца германия [27].

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
257
И6]
(>=5—7 ом-см при комнатной температуре. При исследо¬
вании образца 7 градиент температуры был направлен
вдоль оси [111], образец 8 исследовался в тепловом поле,
параллельном оси [100]*.
На рис. 49 приведены зависимости изменения термоэдс
от магнитного поля для электронного образца 9 [156]
Рис. 49. Зависимость относительного измене¬
ния термоэдс от магнитного поля при двух
ориентациях поля по отношению к кристалло¬
графическим осям для девятого образца гер¬
мания [156].
с концентрацией примесей (Sb) 7,4-1014 см~ъ (q (300° К) =
= 2,6 ом-см) при двух взаимных ориентациях магнитного
поля и кристалла.
Оценки показывают, что при температурах 238° К и
278° К и полях Я ^ 5-103 эрстед графики (Я) сов-
ао
падают (с точностью 5 — 10%) с теоретическими кривыми,
17 И. М. Цидильковский

258
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
trrt. til
рассчитанными по формуле (11.5) для электронной части
продольного эффекта в предположении г = 0. При более
сильных полях квадратичная зависимость эффекта от поля
сменяется линейной.
На рис. 50 приведена теоретическая зависимость элек¬
тронной части поля продольного эффекта от безразмерного
Рис. 50. Зависимость электронной части безразмер¬
ного поля продольного эффекта Нернста — Эттингс-
3 l/ я г— илН
гаузена от параметра —v—— у S —— » рассчи-
4	с
тайная для двух ориентаций магнитного поля по от¬
ношению к градиенту температуры.
Пунктирная кривая относится к случаю изотропной эф¬
фективной массы.
параметра
движность электронов при рассеянии их лишь акусти¬
ческими фононами) для двух ориентаций магнитного поля.
В точке пересечения кривых, соответствующих случаям
Н || [001] и // || [011], (£х)э = 0,226. У образца 9 в точке
пересечения кривых, относящихся к комнатной темпера¬
туре, ($X)Q = 0,224 в хорошем согласии с теорией. Область
сильных магнитных полей при комнатных температурах,

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
259
§ 16]
где увлечение не влияет на термомагнитные явления, не
исследована и, таким образом, отсутствует эксперименталь¬
ная проверка предсказываемой теорией изотропности вели¬
чины насыщения (ёх)д.
В области азотных и водородных температур измерен¬
ные величины при Н > 103 эрстед намного превосхо-
а0
дят теоретические значения для электронной составляющей
эффекта. С ростом магнитного поля у всех образцов четко
проявляются тенденции, с одной стороны, к насыщению
-^-(/7), с другой стороны —к возрастанию анизотропии
а0
. Последний факт не согласуется с теорией для электрон¬
но
ной части продольного эффекта (см. §11), согласно кото¬
рой при переходе в область сильных магнитных полей ани-
иН
зотропия должна уменьшаться,а в пределе при	> оо —
совсем исчезнуть.
При охлаждении до температур ниже азотных тенден¬
ция эффекта к насыщению ослабляется. Возможно, что
это обусловлено влиянием квантования электронных орбит,
к,Т
которое должно начинаться при полях Н > —^
Рв
ъ 104 Т эрстед.
т0	г
При температурах выше ^ 200° К, где эффекты увле¬
чения играют малую роль, отношение изменения сопро¬
тивления в магнитном поле к изменению термоэдс при
данной температуре оказалось не зависящим от напряжен¬
ности магнитного поля. Так, у образца 7	оди-
наково для магнитных полей от 0 до 1,2-104 эрстед. При
278° К это отношение равно 15,5, при 238° К 15,0, при
199° К 13,0, а при 78° К 3,3. При низких температурах
(< 200° К) в области преобладания фононного увлечения
Aq Да
величины и меньше различаются, чем при высо¬
ких, и, кроме того, становится заметной зависимость их
отношения от магнитного поля, в особенности при воз¬
растании поля (рис. 51, [156]).
17*

260
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Наблюдаемое постоянство —— / — при изменении Я
в области высоких температур, где а ^ аэ, полностью со¬
гласуется с теорией: оба эффекта, -^2- и ? являются
Qo °о
четными и одинаковым образом зависят от магнитного
поля. Причина различной зависимости обоих эффектов от
Рис. 51. Отношение изменения сопротивления в поперечном маг¬
нитном поле к изменению термоэдс в зависимости от магнитного
поля для образца электронного германия с концентрацией доноров
1,1 -1014 см’3 [156].
магнитного поля при низких температурах неясна. Воз¬
можно, что различие это обусловлено неодинаковой за¬
висимостью от Я фононной и электронной частей про¬
дольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена в области про¬
межуточных полей.
Уменьшение различия между величинами и ,
Qo ао
Да
а также возрастание анизотропии —при понижении тем-
ао
пературы обусловлены существенным увеличением фонон¬
ной составляющей продольного эффекта, которая со-
Пф
гласно теории для п-Ge (§ 13) должна быть анизотроп¬
ной (см. табл. 8 и 9) и близкой по величине к изменению
сопротивления.
Положительный знак поля у электронных образцов
2, 4, 7 — 9 при низких температурах позволяет сделать
заключение, что влияние рассеяния электронов примесными

§16]
ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
261
ионами на продольный эффект в исследованном интервале
температур мало, и, во всяком случае, слабее, чем на
поперечный. Такой вывод находится в согласии с теорией,
из которой следует, что знак поперечного эффекта более
Рис. 52. Зависимость от магнитного поля относительного
изменения термоэдс (---)и сопротивления (—)в продольном
магнитном поле для трех различным образом ориентиро¬
ванных образцов п - Ge [175а].
чувствителен к механизму рассеяния носителей тока, чем
знак продольного эффекта (см. § 13, рис. 15, 18, 21 и 24).
На рис. 52 и 53 приведены зависимости изменения
термоэдс у четырех образцов n-Ge, исследованных Херрин¬
гом и др. [175а] в области температур жидкого воз¬
духа при различных ориентациях магнитного поля и гра¬
диента температуры. Для сравнения приводятся соответст¬
вующие кривые изменения сопротивления.
При переходе в область сильных магнитных полей
термоэдс в соответствии с теорией стремится к на¬
сыщению, причем в продольных полях (Н || V Т) это

262
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
стремление выражено более четко. Величина насыще¬
ния Да составляет сотни и тысячи мкв-град *, в то время
как согласно теории (§ И, табл. 5) изменение электрон¬
ной части термоэдс при рассеянии носителей тока аку¬
стическими колебаниями решетки не может превзойти
Рис. 53. Зависимость от магнитного поля относительного
изменения термоэдс(—)и сопротивления^—)в поперечном маг¬
нитном поле для трех различным образом ориентированных
образцов п-Ge [175а].
43 мкв-град"1 в поперечном поле и должно равняться
нулю в продольном поле. Таким образом, можно прийти
к заключению, что в области температур жидкого воздуха
основной вклад в изменение термоэдс вносит эффект увле¬
чения электронов фононами.
Большие значения Даф и их большая анизотропия
должны быть обусловлены анизотропией коэффициентов
Пельтье Нф9 энергетических ячеек различных минимумов.
Действительно, если бы Пфд были изотропными, то изме-

§ 16J
ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
263
пение аф ~-4-^ Пфя (см* (13.38) и (13.38)) определи-
9
лось бы только распределением токов jg по группам раз¬
личных энергий е и характером зависимости Пфд(е).
В этом случае не могла бы возникнуть анизотропия Даф
в поперечных сильных полях ^^>1^, и эффект не
мог бы быть столь большим, как наблюдается на опыте,
несмотря на резкое возрастание Пфд при возрастании е.
С другой стороны, анизотропия Пф должна быть меньше
анизотропии т- х~г. Если бы
(16.17)
и, кроме того, Пф(|И Пф^ были пропорциональны е1^
(в соответствии с теорией для сферических поверхностей
энергии при т^е-1^ то согласно (13.55)	= — при
Оф Qo
любой ориентации и произвольной величине магнитного
поля. В случае продольных полей (U || Е) это равенство
должно выполняться, если даже Пфц и Пф^ иным обра¬
зом зависят от е, но сохраняется соотношение (16.17).
Это связано с тем обстоятельством, что распределение
токов j по энергиям при Н\\Е одинаково для # = О
и Я->оо [194].
Изменение термоэдс при ^90° К (рис. 52) измерялось
а о
в условиях, когда — ^ о, и, следовательно,
Оф
Поэтому можно прийти к заключению, что
Поскольку
В случае поперечных полей (Н J_ Е) (рис. 53) отноше¬
ние ^ меньше, чем прп Н\\Е. Это можно объяснить
отличием энергетической зависимости Пфц и Пф^ от пред¬
полагавшейся (Пф> ц, _i ~ е1/2) при выводе (13.55).
На рис. 54 показана температурная зависимость изме¬
нения терхмоэдс в слабых магнитных полях (продольных

264
экспериментальные исследования
trn. Ш
и поперечных) для образца 606. Согласно теории вели-
чина	не Должна зависеть от температуры, по край¬
ней мере, в области рассеяния на колебаниях решетки.
Наблюдаемое изменение	с температурой аналогично
температурному изменению аф и может быть поэтому
Рис. 54. Зависимость величины	Да от тем¬
пературы при двух ориентациях образца 606 тг-Ge
[175а].
Термоэдс измерялась в слабых магнитных полях. Пунктир¬
ная кривая представляет собой изменение аф с температурой.
(ср. табл. 8) целиком отнесено за счет изменения фононной
части Ааф. Анизотропия	аналогична анизотропии
(эффекты в продольном поле, например, вдоль [100]

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
265
§ 16]
наибольшие), но несколько менее выражена. Это подтвер¬
ждает сделанный ранее вывод, что
Имея в своем распоряжении 10—И найденных экспе¬
риментально величин, зависящих от коэффициентов Пельтье
Пц (е) и П^(е) и не связанных между собой соотноше¬
ниями фономенологической теории (типа (13.35) или
(13.37)), можно при помощи формул кинетических коэф¬
фициентов для n-Ge (§§ И—13) получить сведения о харак¬
тере зависимости Пфц и Пф^ от е. Не останавливаясь
на деталях количественного сравнения теории с экспери¬
ментом, укажем лишь, что в [1756] производился анализ
следующих величин: а и Q^- при Н — 0, Да при Нсо
в продольном поле, параллельном [100], [110] и [111],
и в поперечном поле для Н параллельного [100] и Ы
параллельного [110] (в последнем случае при двух ориен¬
тациях VT),а также двух констант qb и qd, описывающих
поведение Да в слабых полях (см. (13.53)).
Анализ, произведенный при 60, 77, 94 и 131° К, пока¬
зал, что Пф j ~ е-о,08±о,02 Оценки для Пф ц в том же
тт	—0,30=Ь0,05
интервале температур менее точны: 11фц~е
при малых	энергиях, а при больших	энергиях
эта зависимость должна стать, вероятно, более рез¬
кой. На последний факт указывают величины насы¬
щения Да в сильных поперечных полях. Величина
р = -=■■-- оказалась приблизительно равной 10. К таким
ААФ±	„	„
же результатам для зависимости Пф ц и Пф ^ от 8 и для вели¬
чины р приводит анализ данных, хотя и менее надеж¬
ных (из-за влияния поверхностной проводимости) для
иН
при — > 1. Изменение р и зависимости Пф (е) с темпера¬
турой слишком мало, чтобы его можно было обнаружить
в интервале 60—94° К. Имеются, однако, эксперименталь¬
ные данные, полученные при 131 и 234° К, которые
Иф и
позволяют думать, что с ростом температуры ■тт~1 мед-
ААФ±
ленно убывает, а зависимость Пф ц (е) становится более
крутой. Результаты измерений для всех температур никак

2G6
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
не могут быть согласованы с законом Пф ~ е1/2, который
должен иметь место, если время релаксации фононов Тф
не зависит от волнового вектора q ^ тогда
Характер функции Пф(е) позволяет судить о зависи¬
мости времени релаксации тф различных колебаний решетки
от волнового вектора q (или частоты соч). Если, напри¬
мер, для всех ветвей фононного спектра
(функция направления),	(16.18)
то, поскольку для фононов, взаимодействующих с элек¬
тронами, из закона сохранения импульса при однофонон¬
ных процессах рассеяния носителей тока следует, что
(16.19)
где Тф —среднее значение времен релаксации фононов, со¬
ответствующих различным ветвям колебаний. Если (16.19)
справедливо как для продольных, так и для поперечных
колебаний, но с различными показателями степени tt и tt,
то показатели степени в зависимости обеих компонент Пф
11 11
от е будут промежуточными между -у + у ^ и
Из сравнения (16.19) с экспериментально найденными
зависимостями для температур жидкого воздуха Пф ц ~ е"0’3
и Пф^~е~0’08 можно определить характер изменения
средних времен релаксации как для фононов, взаимодей¬
ствующих с током /ц, параллельным оси минимума, так
и для фононов, взаимодействующих с током В пер¬
вом случае Тф~7_1»6, во втором Тф~д-1»15.
Для кристаллов кубической симметрии теория «идеаль¬
ного» фонон-фононного рассеяния, рассматривающая только
трехфононные неколлинеарныо столкновения низкочастот¬
ных фононов (?—>0), приводит к зависимостям (13.9)
и (13.11): для продольных колебаний тф~#“2, для попе¬
речных колебаний Тф~д_1.
Для конечных частот колебаний, то есть для фононов,
у которых волновой вектор q не очень мал, абсолютная
величина показателя степени в зависимости тф (q) должна,
вероятно, в обоих случаях быть больше, чем это следует
из (13.9) и (13.11).

$16]
Полупроводники-элементы
267
Наиболее правдоподобным объяснением отклонения оце¬
ненных по опытным данным зависимостей тф(<7) от пред¬
сказываемых теорией состоит в том, что продольные
и поперечные колебания вносят сравнимый вклад в эффект
увлечения.
Процессы рассеяния фононов более высокого порядка,
чем третий, когда в столкновении участвуют четыре
Рис. 55. Изменение термоэдс в зависимости от маг*
нитного поля для шестого образца германия [26].
и более фонона, должны были бы привести к анизотропии
и зависимости Пф (е), отличным от наблюдаемых. Так,
если бы тф не зависело от q, как это должно быть для
простейших типов процессов рассеяния порядка высшего,
чем третий, Пф был бы пропорционален е1/*. Можно поэтому
утверждать, что ниже ^ 230° К преобладают трехфонон¬
ные процессы рассеяния.
На рис. 55 и 56 показаны зависимости продольного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена от магнитного поля
для дырочных образцов 6 (исследован И. В. Мочан и др.
[26]) и 10 (исследован Эрдманом [156]). Шестой образец
исследовался в магнитном поле, направленном вдоль оси
[111]; направления магнитного поля, в которых исследо¬
вался десятый образец, указаны на рис. 56. Концентра¬
ция акцепторов (Ga) у десятого образца составляет

268
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
1;гл. Ill
1,7.1014 см~3, удельное сопротивление при 300° К равно
18 ом-см.
В области слабых магнитных полей у обоих образцов
^-~Я2 в соответствии с теорией (на рисунках этого
а0
не видно из-за чересчур крупного масштаба). Оценки
Рис. 56. Зависимость относительного
изменения термоэдс от магнитного
поля при двух ориентациях поля
по отношению к кристаллографиче¬
ским осям для десятого образца
германия [156].
показывают, однако, что нет количественного согласия
между экспериментом и теорией для случая изотропной
модели и невырожденной валентной полосы (§ 6). Ввиду
этого следует выяснить, не позволит ли учет структуры
валентной полосы германия, а именно, вырождения ее,
объяснить наблюдаемое изменение термоэдс. Если пред¬
положить, что выполняется (16.12), то электронная со¬
ставляющая продольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена

ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
269
§ 16]
должна зависеть от температуры и магнитного поля только
через параметр	• Расчет показывает, что при сла¬
бых магнитных полях и г = 0 [26]
(16.20)
Если магнитные поля сильные, выражение для (Ех)9 сов¬
падает с формулой для простой модели (6.21). Сравнение
формул для слабых полей (6.20) (для случая v+ = 0)
и (16.20) показывает, что при наличии вырождения полос
термоэдс должна сильнее изменяться в магнитном поле.
Для шестого образца с помощью (16.20) была вычис¬
лена подвижность тяжелых дырок ит из наклона каса¬
тельных к кривым Да = / (Я2) в точке Я = 0. При этом
было принято в соответствии с результатами работы [104],
что v+ = 0,02 и Ь+ = 8. Найденные таким образом значе¬
ния ит для различных температур хорошо совпадают
с холловскими и дрейфовыми. Такое согласие между вели¬
чинами подвижности, рассчитанными по (16.20) и по
эффекту Холла, имеет место только при очень слабых
магнитных полях: при	) < Ю"3. С ростом магнит¬
ного поля расхождение между теорией и экспериментом
увеличивается. В сильных полях величина изменения
термоэдс не должна согласно (6.21) превышать 43 мкв/град,
в то время как на опыте наблюдаются значительно боль¬
шие значения Да, особенно при низких температурах
(рис. 55). С помощью двухполосной модели р-Ge нельзя
объяснить наблюдаемые большие значения Да, так как
в сильных полях продольный эффект определяется только
тяжелыми дырками. Для объяснения характера измене¬
ния термоэдс при низких температурах следует учесть
влияние эффектов увлечения.
Если кроме предположений, при которых получена
формула (16.20), принять, что тф=/=тф(<7) и $л,т—
то для фононной составляющей продольного эффекта в

270
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1гл. m
слабых магнитных полях найдем [84]:
(16.21)
При сильных магнитных полях выражение для (Ех)ф сов¬
падает с формулой для простой модели (13.20).
Рис. 57. Зависимость относительного
изменения термоэдс от параметра
3VJT. иаЯ
4 с
1 — рассчитанная электронная часть из¬
менения термоэдс, 2 — рассчитанная фонон¬
ная часть изменения термоэдс, 3 —суммар¬
ное рассчитанное изменение термоэдс, 4 —
экспериментально наблюдавшееся изменение
термоэдс у десятого образца германия при
Т = 80° К.В расчетах принято т+ = 0,Зто,
д* = —8,13, а(0) = 2,1 мв-град
Учет наличия двух сортов дырок в р-Ge приводит
к увеличению (£*)ф в слабых полях по сравнению со слу¬
чаем одного сорта дырок в 2—3 раза и улучшает согла¬
сие теории с опытом. Согласие между величинами по¬
движности рассчитанными по эффекту Холла и по про-

§ 16]
ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ
271
дольному эффекту при Н —> 0, означает, что в достаточно
слабых полях (%х)э > (§*)ф. С ростом Я при фиксирован¬
ной температуре растет фононная часть продольного поля
(*,)ф/[(»«)ф + (»*)в]-
Из сравнения рис. 49 и 56 видно, что анизотропия
продольного эффекта у р-Ge меньше, чем у п-Ge, но
все же имеет место. Наблюдаемая анизотропия и большая
величина у /?-Ge обусловлены, по-видимому, откло-
а0
нением энергетических поверхностей тяжелых дырок
от сферической симметрии. Этому предположению соот¬
ветствует найденное у р-Ge изменение сопротивления
в продольном магнитном поле.
На рис. 57 сопоставлены величины изменения термо-
эдс, рассчитанные для изотропного случая (использованы
параметры десятого образца), и экспериментальная зави¬
симость от	для десятого образца при 80° К.
а0	с
Измеренная величина в области сильных магнитных
полей примерно вдвое больше вычисленной. Для коли¬
чественного объяснения необходим, по-видимому, учет
анизотропии времени релаксации дырок. В области сла¬
бых и промежуточных магнитных полей согласие полу¬
чается лучшим (см. [84]), если учесть вырождение валент¬
ной полосы.
С ростом температуры величина продольного эффекта
уменьшается (рис. 55, 56, 58). Если же концентрация
примесных центров достаточно велика, то понижение
температуры приводит к заметному возрастанию роли рас¬
сеяния носителей тока на примесях, и следовательно,
в соответствии с теорией к уменьшению эффекта (кри¬
вая 5, рис. 58).
Как показали И. В. Мочан и др. [195], исследование
температурной зависимости аф и Даф в германии позво¬
ляет определить температурную зависимость времени релак¬
сации тэ, ф для рассеяния носителей тока продольными
акустическими колебаниями. Знание тэ, ф (Т) может помочь
установить причину отличия наблюдаемой температурной
зависимости подвижности дырок в Ge (и ~ у1”2,88) 0т пред¬
сказываемой теорией атомных полупроводников (и ~ 71”1»6).

272
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Согласно теории (§ 13)
(16.22)
(16.23)
Соотношения (16.22) и (16.23) справедливы и в слу¬
чае сложной структуры полос. Если в рассматриваемом
Рис. 58. Зависимость относительного изменения термоэдс в маг¬
нитном поле от температуры для образцов с различной концентра¬
цией доноров (Njj) и акцепторов (7Va) [156]:
I — Nr — 1,4*1014 см-з (Sb); 2 (девятый образец)— Яд = 7,4*1014 см-»
(Sb); 3 — N =2,8*1015 слс-з (Sb);	4 — Nд = 3,6* 10ie dJt-з (Sb); 5 —ЛГД=
= 1,0.1017 cni-3 (Sb); 6 (десятый образец)—iVa = 1,7-1014 см-* (Ga); 7 —
N = 7,2*1015 слс-з (Ga); Я = 2,16*104 эрстед.
интервале температур механизм рассеяния изменяется,
то коэффициент пропорциональности в (16.22) и (16.23)
может также изменяться с температурой.
Для определения температурной зависимости тэ> ф по
экспериментально найденным зависимостям аф (71) и Даф (Г)

§ 16]	ПОЛУПРОВОДНИКИ-ЭЛЕМЕНТЫ	273
необходимо знать, как зависит Тф от температуры. Тео¬
ретически зависимость Тф(Г) рассчитана только для пре¬
дельных случаев высоких и низких температур по срав¬
нению с температурой Дебая (§ 13).
Авторы [195] используют для определения Тф(Г) то
обстоятельство, что подвижность электронов для германия
изменяется с температурой (и_ ~ Г"1»66) примерно так, как
предсказывает теория, и следовательно, в (16.22) и (16.23)
можно считать тэ>ф~Г-1»6. Поскольку характер зависи¬
мости Тф(<7) должен быть одинаковым для электронного
и дырочного германия (сами величины Тф для м-Ge
и y-Ge различаются вследствие того, что электроны
и дырки — из-за различной структуры полосы проводи¬
мости и валентной полосы — взаимодействуют с фононами,
имеющими разные ?), то и температурные зависимости
Тф должны совпадать.
Измерения аф = а —аэ и Даф в интервале 100 —200° К
на четырех чистых (гс+ = 4-10'13 см'3) монокристаллах
р-Ge, различным образом ориентированных в магнитном
поле, показали, что —®-^,T~2,2±0’2. Такая же зависи-
Тэ, ф
мость получается в среднем и для n-Ge в соответствии
с результатами [27] и [175а]. Отсюда можно заключить,
что температурная зависимость тэ>-ф дырок, соответствую¬
щая однофононному рассеянию на продольных, акустиче¬
ских колебаниях, близка к зависимости, предсказываемой
теорией: т^ф^Т"1»5. Наблюдаемая температурная зави¬
симость подвижности дырок в германии может быть
поэтому объяснена только наличием какого-либо иного
механизма рассеяния, помимо обычно учитываемого рас¬
сеяния на акустических фононах (например, рассеяния
на оптических фононах).
Время релаксации фононов изменяется согласно дан¬
ным [195] пропорционально Г2»7. Это не противоречит
теории Херринга, так как исследования проводились
в интервале температур (100—200° К), сравнимых с тем¬
пературой Дебая. Не вполне ясно, однако, почему в интер¬
вале 30—100° К [27, 175а], то есть при температурах,
достаточно малых по сравнению с дебаевской, зависи¬
мость Тф (Т) остается такой же, как и в области 100—
200° К, и значительно отличается от зависимостей,
18 и. М. Цидильковский

274
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
предсказываемых теорией Херринга как для продольных
колебаний (т^~71"4), так и для поперечных (т^Г-4*5).
Приведенный в настоящем параграфе анализ термо¬
магнитных явлений в германии показывает, сколь по¬
лезны подобные исследования для выяснения природы
взаимодействия носителей тока с кристаллической решет¬
кой и фонон-фононного взаимодействия. Изучение эффек¬
тов Нернста — Эттингсгаузена позволило определить ряд
важнейших характеристик германия: температурную за¬
висимость времен релаксации носителей тока и фононов,
зависимость времени релаксации фононов от волнового
вектора, температурную зависимость подвижности носи¬
телей тока в области собственной проводимости и др.
§ 17. Соединения типа А111 Ву
Антимонид индия
В последние годы стали интенсивно изучаться физиче¬
ские свойства интерметаллических соединений элементов
третьей и пятой групп периодической системы со струк¬
турой цинковой обманки (InSb, AlSb, InAs и др.)» кото¬
рые наряду с германием и кремнием находят все более
широкое техническое применение. За сравнительно корот¬
кое время, прошедшее после обнаружения полупроводни¬
ковых свойств у этих материалов, достигнуты значитель¬
ные успехи в их изучении.
Среди соединений типа AinBv особый интерес вызы¬
вают антимонид и арсенид индия с чрезвычайно большими
подвижностями электронов, позволяющими использовать
их в качестве эффективных материалов для изготовления
датчиков э. д. с. Холла. У антимонида индия подвижность
электронов при комнатной температуре достигает благо¬
даря малой эффективной массе (согласно измерениям
циклотронного резонанса [108] m_ = 0,013mo см*-в)
8* 104 см2•в”1 •сек"1, в то время как подвижность дырок
сравнительно мала и+~103 см2•в"1-сект1.
Термомагнитные явления у InSb исследовались Биром
и Виллардсоном [32], Эгреном и др. [24], Родо [109],
Жузе и Цидильковским [110]. Проанализируем резуль¬
таты измерений поперечного и продольного эффектов

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnlBV
275
§ 173
Нернста — Эттингсгаузена для образца, исследован¬
ного Родо [109], и трех образцов, исследованных в
работе [110].
В табл. 14 приведены основные электрические харак¬
теристики образцов.
Таблица 14
Номер
образ¬
ца
Темпе¬
ратура
СК)
о
(ом'1 • см'1)
R
(смЪ/кул)
и
(см2 • в'1 • сек-1)
п- 1<ГИ
(см-3)
а
мкв/град
1
126
104
+5,1
450
145
290
80
+4,93
330 **)
150
—
2
136
10
+ 125
1060
5,9
+610
3
297 *)
506
—86
43500
7,3
—190
4
97*)
845
-45
38000 ***)
14
—55
*) При 77° К < Т < 300° К R и п остаются у образца 4 таки¬
ми же, как и при 97° К, а а возрастает по абсолютной величине
с ростом температуры и составляет при 130° К ^—80 мкв-град'1,
а при 300° К яб —190 мкв- град'1. У образца 3 при понижении
температуры ниже 300° К величины \R\ и и несколько возра¬
стают, а затем остаются неизменными, а о и | а | несколько
убывают; при 130° К а=—165 мкв-град'1.
**) Это значение подвижности дырок следует считать зани¬
женным, так как оно получено по формуле для примесной прово-
8с
димости w+ = -~— Ro, в то время как при 290° К в электро-
OJt
проводности начинают участвовать электроны.
***) В таблице приводится среднее значение подвижности
электронов у четвертого образца, оцененное по зависимости
продольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена от магнитного
поля (рис. 67) (автор [109] не приводит величины подвижности).
Концентрации и подвижности дырок вычислялись по
формулам для слабых магнитных полей, причем предпо¬
лагалось, что рассеяние происходит лишь на акусти¬
ческих колебаниях решетки:
центрации и подвижности электронов рассчитывались
по формулам для сильных полей:
18*

276
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ. Ill
Несмотря на то, что параметры образца 3, приводимые
в табл. 14, относятся к температуре, соответствующей
началу собственной проводимости, значения п_ и и_
можно с достаточной степенью точности вычислять по
Рис. 59. Зависимость безразмерного поля поперечного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена от температуры для
первого образца сурьмянистого индия [110]:
X — Н — 980 эрстед, • — Н = 4160 эрстед, 0 — Н — 6000 эрстед,
Q — Н = 7250 эрстед, □ — Н = 8100 эрстед, Д —
Н = 8830 эрстед, О — Н = 10000 эрстед.
формулам для примесной проводимости, так как отноше¬
ние подвижностей электронов и дырок b у InSb велико.
Оценка этого отношения по известной формуле для ды-
рочного полупроводника: --^”акс =	*)	(| R |мако —
максимальное значение | R \ в области смешанной про-
*) Эта формула выводится в предположении, что Ъ не зависит
от температуры.

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AniBv
277
§ 17]
водимости, Дпр—значение R в области примесной прово¬
димости, где оно почти постоянно), приводит для образ¬
ца 1 к величине b ^ 40. У третьего образца Ь несколько
больше.
Подвижности электронов и дырок в области примес¬
ной проводимости слабо изменяются с температурой.
Рис. 60. Зависимость коэффициента попе¬
речного эффекта Нернста — Эттингсгаузе-
на от температуры для второго образца
сурьмянистого индия [110]:
Q — Я = 790 эрстед, □ — II — 2580 эрстед, Д —
Я =6000 эрстед, О—Я = 10000 эрстед.
В области собственной проводимости подвижность элект¬
ронов, определенная по эффекту Холла, изменяется у об¬
разца 1 по закону я_~Т'-1>6, а у более чистых образцов
2 и 3 — по закону и_ ~ Г-1»7
Поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Темпе¬
ратурная зависимость эффекта для образцов 1 — 4 пред¬
ставлена на рис. 59 — 62. По внешнему виду приведенные
графики	(Т) (или (Т)) сходны с соответствующими

278
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
[ГЛ. III
кривыми для теллура и германия. Однако при более
внимательном рассмотрении нетрудно увидеть, что между
ними имеется существенное различие.
Исследованные образцы теллура и германия (за исклю¬
чением образца Gel) были невырожденными, в то время
как из-за малой эффективной массы электронов у сурь¬
мянистого индия вырождение наступает при значительно
меныпих концентрациях
электронов, чем у тел¬
лура и германия.
Рис. 61. Зависимость безразмер¬
ного поля поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от тем¬
пературы для третьего образца
сурьмянистого индия [110]:
Д — Я = 850 эрстед, О — Я = 4250
эрстед, □ — Я =8200 эрстед, С) —
Н— 9950 эрстед.
Рис. 62. Зависимость коэффи¬
циента поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от
температуры для четвертого
образца сурьмянистого ин¬
дия [109].
Значения qJL экстраполированы
к магнитному полю Я -* 0.
Исследования теллура и германия проводились в ос¬
новном в условиях слабых магнитных полей (за исклю¬
чением самых низких температур для германия).
У сурьмянистого индия при Н= 104 эрстед магнитные
поля для электронов являются сильными £ ^	^ > 1 J ,
следовательно, при интерпретации эксперимента в той
области температур, где в проводимости существенную
роль играют электроны, нельзя пользоваться формулами
для слабых магнитных полей (7.4) и (10.27). Нельзя
применять в этом случае и формулы для сильных полей
(7.5), (7.6) и (10.28), так как они выведены в предпо¬
ложении, что критерий сильного поля выполняется

§ 17]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnIBv
279
одновременно для электронов и дырок, а у InSb при
Я<104эрстед	< 1.
Рис. 63. Зависимость безразмерного поля поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от магнитного поля для первого образца
сурьмянистого индия [110].
Кривые для 141, 156 и 303° К построены в десять раз большем масштабе,
чем остальные (масштаб для этих кривых указан справа).
Из общего выражения для изотермического попереч¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгаузена (6.2) можно найти
формулу для частного случая, когда для электронов
реализуются условия сильного поля, а для дырок — условия
слабого поля.

280
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Полагая b > 1 и пренебрегая членами, пропорцио¬
нальными Ь~3, Ь~2 и	1, получаем
(17.1)
В (17.1) сохранены слагаемые второго и третьего порядка
малости: в числителе член — ( -=^~ )	, в знаменателе
Это
сделано потому, что
при больших значе¬
ниях vb они стано¬
вятся сравнимыми
или даже превышают
по величине другие
слагаемые. В част¬
ности, при v —> со
(электронная прово¬
димость) именно из
этих двух членов
получается формула
для сильных полей
(6.4). При V—>0
(дырочная проводи¬
мость) (17.1) перехо¬
дит в формулу (6.3)
для слабых полей.
Анализ (17.1) по¬
казывает, что при
(а именно этот случай имел место во всех
Рис. 64. Зависимость безразмерного по¬
ля поперечного эффекта Нернста — Эт-
тингсгаузена от магнитного поля для
второго образца сурьмянистого ин¬
дия [110].

§ 17]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnIBv
281
исследованиях) Еу может стать отрицательным в двух слу¬
чаях: 1) приг>-^ и 2) при г<у, если слагаемое в
числителе, пропорциональное Ь ^ ^^ ^ 1, больше осталь¬
ных. В первом случае, который реализуется при v > 1, поле
Еу — (^) \ во втором, имеющем место при v>l,
и Н
Е,.	—. Для чисто дырочной проводимости (v < 1) Е
УС	*
^ 1
может стать отрицательным только при условии, что г >	.
В связи с тем, что зависимость Еу от Я более про¬
стая, чем зависимость от 71, целесообразно начать анализ
Рис. 65. Зависимость безразмерного поля поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от магнитного поля для третьего об¬
разца сурьмянистого индия [110].
поперечного эффекта не с его температурной зависимости,
а с зависимости от магнитного поля (рис. 63 — 66).
У образца 1 безразмерное поле %у является нелиней¬
ной функцией Я в области температур 270 — 450° К,

282
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ш
у образца 2 —при 190° К < Т < 250° К, у образца 3 —
при Т < 250° К, у образца 4 — при Т < 300° К (к сожа¬
лению, поведение %у (Я) у образца 4 выше 300° К не ис¬
следовано).
Следует обратить внимание на тот факт, что у дыроч¬
ных образцов нелинейная зависимость Шу (Я) наблюдается
только в области смешанной проводимости (0<v<l),
то есть там, где в электро¬
проводности начинают при¬
нимать участие высокопо¬
движные электроны. У элек¬
тронных образцов функ¬
ция % у (Я) нелинейна как в
области смешанной проводи¬
мости, так и в области при¬
месной проводимости (оо >
>v>l). У образца 2 с мень¬
шим содержанием примесей,
чем у образца 1, переход к
собственной проводимости
происходит при более низких
температурах, вследствие че¬
го минимумы g (Я) также
наблюдаются при меньших
температурах, чем у первого
образца.
Вычисление подвижности
носителей тока по кривым
ШУ{Н) в области смешанной
проводимости с помощью
(17.1) практически невоз¬
можно, так как для этого
нужно при каждой температуре знать точные значения v
(v резко изменяется с температурой в переходной обла¬
сти), которые без ряда дополнительных предположений
определить нельзя.
У дырочных образцов 1 и 2 при низких температурах
в области чисто примесной проводимости и Я > 4 • 103 эрстед
%у^Н, как и следовало ожидать в случае слабых полей.
У образца 2 при Я< 4-103 эрстед наблюдается убывание
с ростом Я. На кривых %У{Н) (рис. 64) это практически
Рис. 66. Зависимость безраз¬
мерного	поля поперечного
эффекта	Нернста — Эттингс-
гаузена от магнитного поля
для четвертого образца сурь¬
мянистого индия [109].

§ 17]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AInBv
283
не сказывается, поскольку спад (?-ЦЯ) находится в обла¬
сти очень слабых полей (gy~^i-//). Убывание Q^(U)
может быть обусловлено, как это имеет место и у Ge
(§ 16), участием в проводимости двух сортов дырок.
В области промежуточных и сильных полей основную
роль играют более многочисленные тяжелые дырки.
У электронных образцов 3 и 4 при понижении темпе¬
ратуры, то есть по мере увеличения отношения концен¬
траций v, графики <£У {Н) все более искривляются. Как
уже отмечалось, такая нелинейная зависимость %у от Н
следует из (17.1) при переходе в область примесной прово-
/ u Н \2 л
димости, где( —— ) > 1 и одновременно
В интервале магнитных полей, которые применялись на
опыте (#<104 эрстед), величина b ^—у ■ ^ превышает
и Я
более чем на два порядка, вследствие чего формула
(17.1) для электронного полупроводника (v>l) упро¬
щается:
(17.2)
Таким образом, нелинейная зависимость %у от Н
у электронного образца может возникнуть лишь при пре¬
обладании первого слагаемого в фигурной скобке (17.2)
над вторым. При этом знак эффекта в нелинейной области
ШУ(Н) определяется, конечно, знаком первого слагаемого.
Для образца 3, поле % которого отрицательно в области
смешанной проводимости, это означает, что г>-^ .
Могут быть рассмотрены две возможности: г = 1—
рассеяние электронов оптическими поляризационными ко¬
лебаниями выше характеристической температуры, и
г = 2— рассеяние электронов ионами примеси.
В последнее время были предприняты попытки [111,
112] объяснить ряд экспериментальных результатов с
точки зрения доминирующей роли поляризационного
рассеяния носителей тока в InSb. Используя теорию
явлений переноса в полярных кристаллах Ховарта и

284
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Сондхеймера [60], Эренрайх [111] получил хорошее согла¬
сие между рассчитанными в предположении неквадратич¬
ного закона дисперсии электронов в InSb [ИЗ] и измерен¬
ными [114] величинами подвижности электронов в интер¬
вале 200—500° К, то есть в области собственной прово¬
димости.
Нельзя, однако, признать убедительными выводы
автора. Естественно было, конечно, предположить, что
отклонение температурной зависимости подвижности
электронов от закона и ~	и меньшая величина ее,
чем дает расчет для рассеяния на одних акустических
колебаниях, связаны с определенной ролью поляризацион¬
ного рассеяния. Привлекательной здесь является воз¬
можность получить не только меньшие значения подвиж¬
ности, чем в случае чисто акустического рассеяния, но
и соответствующий температурный ход ее.
Известно, что согласно теории ионных кристаллов
при низких температурах (Т < 0О) и— е^т —1, при высо¬
ких — и ~ Г~1/2 (это показано для сферических поверх¬
ностей энергии, то есть для е = ^ , см. § 5). Следовательно,
в промежуточной области, то есть при Т—б0, можно,
очевидно, для определенного температурного интервала
получить хорошую аппроксимацию и(Т) при помощи
степенной функции вида и — T~s. При переходе к высо¬
ким температурам зависимость и(Т) должна становиться
все более слабой (показатель s должен уменьшиться)
и стремиться к предельному случаю: и — Т~1^. Экспери¬
мент [114] дает, однако, до 700° К неизменный ход и_(Т):
— 77-1’7 несмотря на то, что температуры в несколько
раз превышают характеристическую температуру 0О,
которая согласно экспериментальным данным [111, 115,
116] находится в пределах 270—290° К. Нет необходи¬
мости доказывать, что отклонение зависимости и__ (Т)
от закона 71-8/2 далеко не всегда можно объяснить, при¬
влекая механизм поляризационного рассеяния носителей
тока. У германия, например, у которого поляризацион¬
ных колебаний нет, наблюдается примерно такое же
отступление от закона и_—Т”8/2, как и у InSb. Кроме
того, некоторый произвол в выборе параметров в рабо¬
те [111] при сравнении расчета с экспериментом мог

§ 17]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА АШВ^
285
существенно способствовать получению количественного
согласия. Если бы, например, вместо выбранного значе¬
ния эффективного заряда иона Ze = 0,18е автор принял
экспериментальную величину 0,13е [116], то вычислен¬
ные значения и_ увеличились бы вдвое.
Хилсам и Берри [112], анализируя зависимость по¬
движностей электронов и дырок от их концентраций,
а также постоянной Холла и сопротивления от величины
магнитного поля у /?-InSb при комнатной температуре
(область смешанной проводимости), приходят к выводу,
что лучшее согласие теории с экспериментом получается,
если предположить независимость времени релаксации
электронов т от энергии е^г = -|-^ . Не вдаваясь в подроб¬
ный анализ этих результатов, отметим лишь, что точ¬
ность определения основных параметров (гг_, ft, v и др.)
в области смешанной проводимости недостаточно высока
для того, чтобы однозначно решить вопрос о характере
зависимости времени релаксации носителей тока от энер¬
гии— здесь решающую роль играют именно количествен¬
ные оценки. Явной несообразностью является заключение
о преобладании поляризационного рассеяния электронов
в InSb на основании вывода о независимости т от е для
температур, превышающих характеристическую, в то
время как теория предсказывает постоянство т при Т < 0О.
Метод, избранный Эренрайхом [111] и Хилсамом и
Берри [112] для определения типа рассеяния носителей
тока, недостаточно надежен, так как он основан на точ¬
ном количественном сравнении теории с опытными вели¬
чинами, мало чувствительными к механизму рассеяния.
Кроме того, при этом требуется знание многих парамет¬
ров полупроводника. Последнее обстоятельство значительно
усложняет интерпретацию и делает ее мало убедительной.
Следует, однако, иметь в виду, что ряд данных ука¬
зывает на наличие в сурьмянистом индии, как и в дру¬
гих соединениях группы A111 Bv, определенной доли ион¬
ных связей, а следовательно, и поляризационных коле¬
баний. Об этом свидетельствует некоторое различие между
величинами статической и оптической диэлектрических
проницаемостей (=^17,5 и 16) [116]. К такому выводу при¬
шел и Поттер [117], сопоставивший упругие постоянные

286
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
и электроотрицательности кристаллов со структурой цин¬
ковой обманки с соответствующими характеристиками
для некоторых гомеополярных и ионных кристаллов.
Произведенный Поттером анализ не позволяет, однако,
выяснить, какой вид химической связи является доми¬
нирующим. Судить о преобладании того или иного вида
связи можно, как мы уже неоднократно отмечали, изу¬
чая термомагнитные явления при температурах, где рас¬
сеяние носителей тока на примесях пренебрежимо мало.
Возвращаясь к анализу зависимостей <&У(Н) для элек¬
тронного образца 3, мы вынуждены заключить, что отри¬
цательный знак $у в области смешанной проводимости
нельзя объяснить, полагая г= 1. Это вытекает из того
факта, что температурная область несобственной прово¬
димости (v>l) расположена ниже характеристической
температуры и, следовательно, для поляризационного рас¬
сеяния показатель г должен был бы равняться половине,
а не единице. Если все же положить в (17.2) г=1, то
и в этом случае не удается получить удовлетворительного
согласия с кривыми <$у (Н) для образца 3 (рис. 65). Коли¬
чественного совпадения теоретической величины %у
(17.2) с экспериментальной не дает и предположение
о рассеянии электронов лишь на ионах примеси (г = 2).
Согласие между измеренной и рассчитанной зависимо¬
стями %ц (Н) можно получить, предположив наличие одно¬
временного рассеяния на ионах примеси и акустических
колебаниях решетки. При этом хорошее согласие полу¬
чается, если предположить — в полном соответствии с
общими соображениями,— что с ростом температуры
(следовательно, при увеличении v) возрастает роль аку¬
стических колебаний в рассеянии электронов.
Для объяснения эффекта Нернста — Эттингсгаузена
в области смешанной проводимости у дырочных образцов,
где v<l, можно воспользоваться несколько упрощенной
формулой (17.1), получающейся при пренебрежении вто¬
рым и четвертым слагаемыми в числителе и вторым и
третьим — в знаменателе:
(17.3)

§ 17]
СОЕДИНЕНИЯ ТИНА АШВУ
287
При низких температурах, когда v —> О, поле Еу должно
быть пропорциональным Н. Такая зависимость наблю¬
дается у образцов 1и2, причем у первого образца %у < О,
а у второго Шу > 0. Различие в знаке обусловлено раз¬
личными механизмами рассеяния. Очевидно, что у образ¬
ца 1 преобладает рассеяние на ионах примеси (об этом
свидетельствует и возрастание | %у\ при понижении тем¬
пературы от 156 до 141° К (рис. 63)), а у более чистого
второго образца преобладает рассеяние на акустиче¬
ских колебаниях.
С возрастанием температуры, когда v достигает зна¬
чений порядка 10~3 и больше, второе слагаемое в (17.3)
становится преобладающим, и эффект должен стать не¬
линейным и, независимо от типа рассеяния, отрицатель¬
ным. Это полностью соответствует наблюдавшимся у образ¬
цов 1 и 2 зависимостям <$у от Н и Т (рис. 63 и 64).
Зная величины подвижностей электронов и дырок
и ширину запрещенной полосы, можно, задавая v, найти,
при каких г экспериментальные кривые совпадают с тео¬
ретическими, построенными по формуле (17.3). Оказы¬
вается, что у образца 1 при Т > 250° К согласие полу¬
чается удовлетворительным, если положить г = 0. Ниже
250° К следует предположить комбинированное рассеяние
на ионах примеси и акустических колебаниях. Значения
г = 1 (или г = 2) не дают возможности объяснить с помощью
(17.3) наблюдаемые малые абсолютные величины Еу
при Т<300° К, в то время как при г = 0 формула (17.3)
позволяет получить сколь угодно малые величины Еу,
как отрицательные, так и положительные.
Для образца 2 согласие теории с экспериментом полу¬
чается хорошим вплоть до самых низких исследованных
температур, если предположить, что г = 0. Значение г = 1
не позволяет объяснить ни величину, ни знак эффекта
и вообще здесь неприемлемо, так как область несобствен¬
ной проводимости (v < 1) расположена ниже характерис¬
тической температуры 0О.
Установив, что в интересующем нас температурном
интервале г ^ 0, можно оценить для различных темпера¬
тур величины отношения концентрации электронов и ды¬
рок. Так, приняв для первого образца и+ -■= 500 см2-в"1 х
X сек“1, b = 40, Де = 0,38 эв, находим при 303° Kv^ 2-10~4.

288
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ. Щ
Полагая для второго образца и+ = IQ3см2-сек"1, Ь =
= 50 и Де=0,20 эв, находим v^l,l-10'2 при 240° К
и v ^ 1,2* 10~3 при 207° К. Эти значения v согласуются
с величинами, полученными в работе [112] по измере¬
ниям эффекта Холла и сопротивления в магнитном поле
у ряда дырочных образцов InSb.
Отрицательный знак %у при низких температурах
у кристаллов кубической симметрии может быть, вообще
говоря, обусловлен и эффектом увлечения (см. § 13).
Однако такому предположению противоречит, во-пер¬
вых, тот факт, что у образца 2, у которого эффект увле¬
чения должен был бы проявиться наиболее сильно, при
самых низких исследованных температурах поле %
положительно. Во-вторых, термоэдс с понижением тем¬
пературы не возрастает, как это имеет место при пре¬
обладании увлечения. Таким образом, можно считать,
что отрицательный знак поперечного эффекта при низ¬
ких температурах обусловлен рассеянием носителей тока
на ионах примеси. К такому же выводу приходят Хил-
сам и Берри [112], анализируя эффект Холла у несколь¬
ких дырочных образцов при 90° К.
Положительные значения при низких температурах
поле Еу может принимать в случае преобладания рассея¬
ния носителей тока на акустических колебаниях решетки.
Если вычислить подвижность дырок у второго образца
по формуле (6.3) при 127° К, например, положив г = 0,
получим 700 см2•в"1 •сект1 у в то время как подвижность,
найденная из эффекта Холла, составляет 1100 см2-в~1х
X сек'1, Это различие объясняется, очевидно, некоторой
ролью ионов примеси в рассеянии дырок при 127° К.
Однако доминирующим является все же механизм рас¬
сеяния на фононах.
Переход в область собственной проводимости (v—>1),
который происходит при нагревании полупроводника,
сопровождается у сурьмянистого индия переходом в
область более слабых магнитных полей, так как при по¬
вышении температуры уменьшается подвижность элек¬
тронов. При определенной температуре формула (17.1)
становится неприемлемой, и вступает в силу формула
(7.4) для слабых полей. Подвижность электронов дости¬
гает 104 см2-в'1-сек'1 у то есть величины, которая при

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА А111
289
17]
магнитном поле в 104 эрстед является «критической»
U-~- = 1 ^ для образца 1 при 465° К, для образцов 2
и 3—при 700° К, для образца 4—при 650° К. При
400° К подвижность электронов у второго и третьего
образцов составляет 2,6* 104 см2-в~1-сек'1. Следовательно,
при магнитных полях, превышающих 5*103 эрстед, усло¬
вия сильного магнитного поля реализуются для этих
образцов в той области температур, где эффект отрица¬
телен (см. рис. 60 и 61). При#<2-103 эрстед	< 1
во всем исследованном интервале температур, и зависи¬
мости поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена от
магнитного поля и температуры хорошо объясняются
с помощью формулы (7.4) для слабых полей.
В области собственной проводимости для образцов 2
и 3 справедлива формула (17.2), в которой следует лишь
положить v = 1. При этом линейный член по полю пре¬
обладает над нелинейным, и вплоть до температуры, где
эффект меняет знак с отрицательного на положительный,
поле Еу должно изменяться пропорционально Н. После
перемены знака эффекта, то есть в интервале положитель¬
ных его значений, Еу должно стать обратно пропорцио¬
нальным Н. Именно такое поведение поля Нернста —
Эттингсгаузена наблюдается у второго и третьего образ¬
цов (рис. 60, 61, 64 и 65). Следует подчеркнуть, что харак¬
тер зависимости %у (Н) позволяет определить темпера¬
туру перехода от несобственной к собственной проводи¬
мости, то есть otv=£1 к v = 1. Эту температуру можно
найти и по зависимости (Д(Г) при различных магнитных
полях — она должна соответствовать точке слияния кри¬
вых для разных Н (см. рис. 60). Найденные таким путем
температуры (300—310° К) совпадают у второго и треть¬
его образцов с величинами, полученными из эффекта
Холла. Температурная зависимость поперечного эффекта
в области собственной проводимости, где Еу— Н, должна
согласно (17.2) описываться формулой*)
(17.4)
*) Здесь учтена и зависимость ширины запрещенной полосы
от температуры: Де(!Г) = Де(0)—рГ, где 0= 3-10"4 эв-град
19 И. М. Цидильковский

290
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
где показатель s определяется температурной зависимо¬
стью подвижности дырок: м+~ T~s.
Второе слагаемое в (17.4) при всех температурах ниже
температуры инверсии знака Щу значительно превосхо¬
дит первое, и приближенно | Щу | — T~s~l. Эта связь между
и Т справедлива в очень узком интервале темпера¬
тур, что не позволяет с достаточной степенью точности
вычислить s. Оценки, произведенные для образца 3 при
320° К < Т <400° К, привели к значениям $ = 2,2—2,5.
Это довольно близко к величине 2,1, приводимой Хро-
стовским и др. [114].
Наличие положительного участка кривых %у (Т) при
высоких температурах свидетельствует о том, что пока¬
затель г меньше половины (17.2). В рамках существую¬
щей теории г может принять только одно значение меньше
половины, а именно — нуль. Такой вывод справедлив
и для образца 7, у которого согласно (7.4) положительные
значения %у также могут иметь место только при г = 0.
Можно произвести и количественную оценку, подтвер¬
ждающую правильность заключения, что г = 0. При тем¬
пературе, где %у меняет знак, выражение в фигурной
скобке (17.2) обращается в нуль, и для известных зна¬
чений гг_, Де и г легко вычислить отношение подвижно¬
стей Ь. Полагая г = 0 и используя величины и_ и Де для
двух температур инверсии —470 и 440° К (рис. 61), нахо¬
дим значения b : соответственно 50 и 48, — в хорошем
согласии с данными, полученными другими методами.
Если произвести соответствующую оценку для пер¬
вого образца с помощью формулы для слабых полей (7.4),
то найдем, что b ^ 20. Нетрудно выяснить причину оши¬
бочности последнего результата. Формула (7.4) спра-
/ дТ
ведлива для изотермических условии
\ду
-S-o).
В то
время как опыт проводился в условиях, близких к адиа¬
батическим. Общее выражение для Еу в адиабатическом
случае чрезвычайно громоздко (формула (10.27) пред¬
ставляет лишь один член полного выражения Е ), однако
анализ показывает, что оно должно приводить к боль¬
шим значениям Ъ, чем (7.4). В случае же сильных полей
и равных концентраций (а в условиях опытов с образца¬
ми 2 и 3 главную роль в (17.1) играют члены сильного

F 17]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА A111 Bv
291
поля) формулы для адиабатического и изотермического
эффектов совпадают (см. § 10).
Таким образом, анализ поперечного эффекта Нернста—
Эттингсгаузена позволяет не только установить, что
во всем исследованном интервале температур *)
но и оценить величину г : г = 0. Это соответствует пре¬
обладанию рассеяния носителей тока на акустических
колебаниях решетки, характерного для ковалентной связи.
Представляет интерес вопрос о влиянии вырождения
состояния носителей тока в InSb на термомагнитные
явления. Для решения вопроса о степени вырождения
газа носителей тока нужно знать их эффективную массу.
Величины эффективных масс электронов и дырок в InSb,
определенные разными методами, значительно разли¬
чаются между собой. Так, резонансные методы дают
т_ = 0,013/тг0 -г- 0,020m0, a m+ = 0,3m0; оптические, га л ь-
ваномагнитные и термоэлектрические исследования при¬
водят к величинам яг_ = 0,030 mo-4-0,037mo,m+ = 0,18 т0~
—0,20т0. Не вдаваясь в анализ причин разброса значе¬
ний т_ и т+, который, по-видимому, обусловлен как тем¬
пературной зависимостью эффективных масс, так и раз¬
личной степенью вырождения носителей тока в разных
опытах, примем для оценок т_ = 0,03то и m+ = 0,2mo,
являющиеся примерно средними величинами среди зна¬
чений, полученных в области комнатных температур.
Газ носителей тока следует считать невырожденным,
если число заполненных состояний в полосе проводимости
или свободных состояний в валентной полосе (т. е. число
носителей) значительно меньше общего числа состояний
в полосе
(17.5)
При нарушении этого неравенства наступает частичное
или полное вырождение.
*) У первого и третьего образцов следует исключить область
низких температур, где сказывается рассеяние носителей тока на
ионах примеси.
19*

292
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Концентрации вырождения для дырок я® в In Sb равны:
при 225° К 1,5 • 1018 слС\ при 650° К 7,2 . 1018 слГ3. Кон¬
центрации вырождения для электронов nl составляют:
при 170° К 6 • 101в см~3, при 300° К 1,3 • 1017 см~3, при
500° К 2,8-1017	см~3. Таким образом, если считать
принятые выше величины эффективных масс правиль¬
ными, то для первого образца частичное вырождение
наступает ниже 225° К, второй образец во всем иссле¬
дованном интервале температур находится в невырожден¬
ном состоянии, у третьего — слабое вырождение наме¬
чается ниже 170° К, четвертый образец в исследованной
области температур находится в заметно вырожденном
состоянии: п > л®.
Сколько-нибудь существенного влияния вырождения
на поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена у треть¬
его образца не наблюдается. У первого образца воз¬
растание степени вырождения дырок при понижении
температуры проявляется в уменьшении абсолютной ве¬
личины поля %у в соответствии с теорией (§ 14).
Существенно сказывается вырождение электронного
газа на характере поперечного эффекта у четвертого
образца [109]. Прежде всего следует обратить внимание
на знак эффекта: в области примесной проводимости
(77—300° К) %у>0 (рис. 62). Это означает, что г = 0 —
единственное значение г меньше половины, которое пред¬
сказывает теория. Но в таком случае становится непонят¬
ным, почему у третьего образца с меньшим, чем у чет¬
вертого, содержанием атомов примеси эффект при низких
температурах отрицателен, то есть доминирующим являет¬
ся рассеяние электронов на примесных ионах, в то время
как у четвертого образца преобладает рассеяние электро¬
нов на акустических фононах. Причина такого различия
знаков у третьего и четвертого образцов заключается
в том, что электроны в четвертом образце находятся в час¬
тично вырожденном состоянии и, следовательно, обла¬
дают большей энергией, чем электроны третьего образца,
в котором они не вырождены. Но, как известно (§ 5),
эффективное сечение рассеяния на заряженных центрах
уменьшается с ростом энергии рассеиваемых частиц,
вследствие чего уменьшается роль ионов примеси и воз¬
растает роль фононов как рассеивающих центров.

§ 17]	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА А**1	293
Такое объяснение положительного знака эффекта
у четвертого образца согласуется и с малой его величи¬
ной: поле Шу более чем па порядок меньше, чем у третье¬
го образца. Согласно теории (§ 14) возрастание степени
вырождения должно приводить к уменьшению вели¬
чины Шу.
Из рис. 62 видно, что с ростом температуры Q+- у образ¬
ца 4 возрастает: при 300° К примерно в два раза боль¬
ше, чем при 100° К, если Я —>0, и почти в восемь раз
больше, если Я=7 • 103 эрстед. Такое увеличение коэф¬
фициента связано с тем, что при более высоких тем¬
пературах концентрация вырождения становится боль¬
ше, в то время как концентрация электронов проводи¬
мости в интервале 77—300° К остается практически
постоянной. Следовательно, при повышении температуры
электронный газ переходит в менее вырожденное состоя¬
ние, вследствие чего поле % должно возрасти.
Характер зависимости поперечного эффекта Нерн-
ста — Эттингсгаузена от магнитного поля у четвертого
образца (рис. 66) свидетельствует о том, что, как и у не¬
вырожденных образцов 2 и 3, здесь реализуются случаи
промежуточного и сильного полей: кривые %у (Я) *) при
Я > 2 • 103 эрстед представляют собой нелинейные функ¬
ции. С ростом температуры максимумы % (Я) смещаются
в сторону больших магнитных полей. Если принять во
внимание, что в интервале 100—300° К проводимость
образца 4 осуществляется одними электронами и что
г	иН
максимумы %у (Я) расположены при — = 1 независимо
от степени вырождения электронного газа, приходится
заключить, что причиной смещения максимума %у (Я)
при изменении температуры может явиться лишь изме¬
нение величины подвижности электронов. К сожалению,
Родо не приводит данных о температурной зависимости
подвижности. Вычислить подвижность электронов у образ¬
ца 4 по зависимости поперечною эффекта Нернста —
Эттингсгаузена от магнитного поля довольно трудно, так
*) В [109а] приводятся графики Q-ЦЯ), по которым вами
построены кривые 'бу(Н).

294
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. III
как измерения относятся к области промежуточных полей
и неизвестна степень вырождения электронов, которая
меняется с температурой. Единственную возможность
оценки величины подвижности предоставляет положение
максимума % (Я). Как уже отмечалось, он должен быть
иН л
расположен при — = 1 *), причем в случае вырождения
подвижность выражается формулой (14.2)
где F{ (|i*) — интегралы Ферми (см. § 14).
При 97° К максимум %Х1 (Я) находится вбли¬
зи 3000 эрстед Отсюда следует, что подвижность равна
примерно 33 500 см2 <? •	в удовлетворительном
согласии с величиной, оцененной по продольному эффекту
Нернста — Эттингсгаузена (см. ниже).
В работе [1096] приводится кривая (Н (Т) (в интер¬
вале 120—320° К) для электронного образца InSb с кон¬
центрацией электронов п_ =9,1 • 1014 см 3. При ^ 200° К
наблюдается максимум QJ- (Я=2,5*103 эрстед). Деталь¬
ный анализ этих результатов практически невозможен,
так как график Q-L (Т) приведен в очень мелком масштабе,
а электрические характеристики образца отсутствуют.
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Иссле¬
дования продольного эффекта в области низких темпе¬
ратур (100° К < Т < 300° К) показали, что безразмерное
поле <$у = ~{| а(Я) | — | а(0) |} у первого, третьего и чет¬
вертого образцов отрицательно, у второго становится
положительным ниже ^150° К. Это подтверждает сде¬
ланные выше выводы о том, что в первом и третьем образ¬
цах при низких температурах преобладает рассеяние
носителей тока на ионах примеси, во втором — на аку¬
стических колебаниях решетки.
*) Различие между величинами изотермического и адиабати¬
ческого полей §и в области примесной проводимости мало, так
как у InSb Хэ < А,ф, вследствие чего максимум gy должен нахо¬
диться вблизи = 1.

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА Am
295
§ 17]
Что касается четвертого образца, то на первый взгляд
может показаться, что отрицательный знак продольного
эффекта противоречит положительному знаку попереч¬
ного эффекта. Объясняется такое различие знаков тем,
что вырождение электронного газа в различной степени
влияет на продольный и поперечный эффекты. Как пока¬
зано в § 14 (рис. 27 и 29), по мере увеличения степени
I 6у (г = 2) I
вырождения отношение 1——	- в случае сильных
у (г = 0)
полей убывает значительно быстрее, чем
Иными словами, с ростом вырождения влияние рассеяния
носителей тока ионами примеси на поперечный эффект
уменьшается значительно сильнее, чем на продольный.
Отсюда и следует, что при наличии одновременного рас¬
сеяния носителей тока на акустических фононах и ионах
примеси у поперечного эффекта будет больше вклад
первого механизма рассеяния, у продольного —
больше вклад второго, и знаки у них будут противо¬
положными.
В области смешанной проводимости характер темпе¬
ратурной зависимости продольного эффекта довольно
сложный — поле %х несколько раз меняет знак. У образца
1 при Т < 445° К %х > 0, при 445° К < Т < 535° К Щх < 0
и при Т > 535° К %х > 0. У образца 3 Шх < 0 при Т <
< 385° К и %х>0 при Г>385°К. Все эти данные для
%х относятся к магнитному полю 8800 эрстед.
Анализ температурной зависимости продольного
эффекта в области смешанной проводимости может быть
произведен аналогично тому, как это сделано было выше
для поперечного эффекта. Количественное рассмотрение
провести трудно из-за громоздкости формул для %х.
Качественное рассмотрение показывает, что все на¬
блюдаемые температурные изменения %х полностью
объясняются теорией и приводят к тем же выводам,
которые сделаны на основании анализа поперечного
эффекта.
На рис. 67 представлена зависимость продольного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена от магнитного поля
для четвертого образца InSb при трех температурах.
Для сравнения приводится кривая, рассчитанная по

296
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. III
формуле для сильно вырожденного полупроводника
(|А*»1) [87]:
(17.6)
Из рис. 67 видно, что по мере понижения температуры,
то есть с увеличением степени вырождения электронного
Рис. 67. Зависимость безразмерного поля продоль¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгаузена от магнитного
поля для четвертого образца сурьмянистого индия [109].
состояния, согласие экспериментальной и теоретической
кривых улучшается.
В работе [1096] приводятся графики температурной
зависимости изменения термоэдс в интервале 100—300° К

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА A111 Bv
297
§ 17]
для двух дырочных (п+=2,3 • 1016 см~3 и 3,7 • 101в см'3)
и одного электронного (лг_=9,1 • 1014 см~3) образцов InSb.
У всех этих образцов наблюдаются минимумы %х (Т)
(%х < 0), температура которых тем ниже, чем меньше
концентрация примесей: у электронного — при ^190° К,
у дырочных — при 250 и ^ 260° К. Такой характер кри¬
вых Щх (Т) можно объяснить тем, что правее минимумов
при более высоких температурах проводимость смешан¬
ная, и %х возрастает в согласии с теорией, как и у образ¬
цов 1—4. Возрастание %х левее минимумов обусловлено,
по-видимому, с одной стороны, переходом в область при¬
месной проводимости, где при г = 0 эффект должен быть
положительным (как и у образца 2), с другой — возра¬
стающей ролью увлечения, которому при г = 0 также
соответствует положительный знак %х (§ 13).
Анализ исследованных термомагнитных явлений в
сурьмянистом индии показал, что экспериментальные
зависимости эффектов от температуры и магнитного поля
могут быть объяснены не только качественно, но и коли¬
чественно даже при наличии нескольких механизмов рас¬
сеяния. Установлено, что при не слишком низких тем¬
пературах носители тока взаимодействуют в основном
с акустическими колебаниями решетки. Определены не¬
которые важные характеристики InSb и, в частности,
температурная зависимость подвижности дырок, о кото¬
рой имеется мало сведений. Существенным при анализе
оказался учет неизотермичности условий опыта и вырож¬
денного состояния электронов проводимости.
Рассмотрение обоих термомагнитных эффектов про¬
водилось выше в предположении сферической симметрии
энергетических поверхностей носителей тока в InSb. Это
соответствует результатам исследования циклотронного
резонанса в я-InSb [108] и пренебрежимо малому изме¬
нению сопротивления в продольном магнитном поле [157].
В работе [113] предлагается для объяснения электриче¬
ских свойств л-InSb неквадратичный закон дисперсии
для электронов. О структуре валентной полосы достовер¬
ных сведений нет. Согласно измерениям циклотронного
резонанса [108] и ряда гальваномагнитных, оптических
и пьезоэлектрических характеристик она должна быть
более сложной, чем структура полосы проводимости.

298
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Максимум ее расположен при р= 0. Автор [113] считает,
что в InSb имеется два сорта дырок с эффективными
массами 0,18т0 (большинство) и 0,015w0.
Следует отметить, что все сделанные выше выводы
о характере рассеяния носителей тока в InSb должны
остаться без изменений, если энергетические поверхности
эллипсоидальны. Для неквадратичного закона дисперсии,
который предполагается для электронов [ИЗ], расчет тер¬
момагнитных явлений отсутствует и априори неясно, сох¬
ранится ли характер эффектов таким же, как и для квад¬
ратичного закона.
Измерения поперечного и продольного эффектов
Нернста — Эттингсгаузена, произведенные Родо [1096]
на поликристаллах и монокристаллах различной ориен¬
тации, показали, что у образцов одинаковой чистоты
и с одинаковыми подвижностями эффекты равны. Следо¬
вательно, они изотропны. Это должно свидетельствовать
о том, что, если отклонение энергетических поверхностей
носителей тока от сферической симметрии имеется, то оно
практически не сказывается на термомагнитных эффектах.
Арсениды индия и галлия
Д. Н. Наследов и О. В. Емельяненко исследовали
в последнее время поперечный и продольный эффекты
Нернста — Эттингсгаузена на арсенидах индия и гал¬
лия [183, 204].
Образцы InAs с концентрацией электронов проводи¬
мости 7 • 1016—9 • 1019 смГ3 исследовались в интервале
100—600° К. Ниже ^ 550° К оба эффекта, исследован¬
ные в слабых магнитных полях ^ ^ < 1 ^ , отрицательны
и велики по абсолютному значению, выше ^ 550° К —
положительны. Примерно таков же характер зависи¬
мости эффектов от температуры у образцов GaAs с кон¬
центрациями электронов 3- 1016—3- 1018 см~ъ. Однако, если
для GaAs весь исследованный температурный интервал
относится к области примесной проводимости, то у InAs
при ^ 350° К начинается переход к собственной проводи¬
мости. Отрицательный знак эффектов при низких тем¬
пературах у обоих соединений обусловлен доминирую-

$18]	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА А11 В^1	2УУ
щим рассеянием носителей тока на ионах примеси, поло¬
жительный знак при высоких температурах определяется
рассеянием электронов акустическими колебаниями
решетки. Температурная зависимость термомагнитных
эффектов согласуется с температурным ходом холлов-
ской подвижности.
У InAs при возрастании концентрации электронов
проводимости точка перемены знака эффектов смещается
в сторону более низких температур. Усиление роли фоно-
нов в рассеянии электронов при увеличении концентра¬
ции примесей связана здесь, как и в InSb, с тем, что при
возрастании вырождения электронов (у JnAsm_= 0,03mo,
вследствие чего при п— 1018 см'3 и Т = 300° К вырожде¬
ние сильное) рассеяние на примесных ионах становится
менее эффективным.
Поскольку отношение подвижностей электронов и ды¬
рок в InAs b ъ 100, знак эффектов Нернста — Эттингс-
гаузена согласно (7.4) и (7.7) определяется только вели¬
чиной г, то есть механизмом рассеяния. Положительный
знак обоих эффектов при высоких температурах озна¬
чает, что электроны рассеиваются главным образом аку¬
стическими колебаниями решетки, то есть что преобла¬
дает ковалентная связь. Это утверждение справедлиго
и для GaAs, у которого эффекты становятся положитель¬
ными в области примесной проводимости.
§ 18. Соединения типа AnBVI
Ряд соединений элементов второй и шестой групп
периодической системы, в частности селенид и теллурид
ртути, как и соединения AmBv, подчиняются правилу
Гримма — Зоммерфельда: у них доминирует гомеополяр-
ный тип связи, а решетка обладает структурой типа цин¬
ковой обманки. У таких соединений, образованных из
элементов с тяжелыми атомами, наблюдаются большие
подвижности носителей тока, что значительно повышает
интерес к ним. В настоящем параграфе будут приведены
результаты исследований термомагнитных эффектов у се-
ленида ртути [28, 18] и теллурида ртути [29], которые
получили в последнее время практическое применение
в виде датчиков э.д.с. Холла.

300
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
tm. ш
Селенид ртути
Поперечный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Ниже
будут рассмотрены результаты измерений поперечного
эффекта у двух образцов — 3 и 9 (здесь сохраняется нуме¬
рация образцов работы [28]) и для сравнения будет при¬
ведена температурная зависимость эффекта у образца 2.
Этот образец синтезирован из технического селена и полу¬
чен прессовкой. Третий образец, тоже прессованный,
синтезирован из дважды перегнанного в вакууме селена.
Девятый образец, литой, получен из спектрально чи¬
стого селена. Во всех случаях была использована хими¬
чески очищенная и дважды перегнанная в вакууме ртуть.
Все образцы во всем исследованном интервале темпе¬
ратур обладали проводимостью одного знака — элек¬
тронной. Температурный коэффициент проводимости отри¬
цателен при всех температурах вплоть до точки плавле¬
ния, то есть электропроводность имеет металлический
характер. Концентрации электронов проводимости, опре¬
деленные по эффекту Холла, составляют при 300° К у
третьего образца 1,4 • 1018 см*3, у девятого 5,5 -1017 см*3
и мало изменяются в интервале температур 120—430° К.
Подвижности электронов, вычисленные по эффекту
Холла с помощью формулы для сильных магнитных
Е
полей и — Crjjjf СЕу — поле Холла, Ех — первичное
электрическое поле, cr= 1 при г = 0), составляют при
300° К у третьего образца 9,0-103 см2 • в ~г-сек~\ а у девя¬
того 9,9-103 см2 • в*1 сек*1.
На рис. 68 приведены кривые температурной зависи¬
мости поперечного эффекта (Т)1 измеренной в магнит¬
ном поле 104 эрстед. Знак Щу у всех образцов положи¬
тельный. Это соответствует рассеянию электронов на
акустических колебаниях решетки, которое характерно
для кристаллов с преобладающей ковалентной связью.
Кривые Шу (Т) для всех образцов обладают максиму¬
мами в районе 300—315° К. Если учесть, что в прово¬
димости HgSe принимает участие лишь один вид носи¬
телей тока — электроны, подвижность которых 3*104сж2 X
Х^’Се»"1, следует предположить, что такой характер
тепературной зависимости поперечного эффекта связан

$ 18]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА A11 BVI
301
с переходом из области слабых в область промежуточных
и сильных магнитных полей. Теория предсказывает для
зависимости %у	максимум в области промежуточ¬
ных полей (см. § 6). Но
поскольку подвижность
носителей тока является
во всех известных случа¬
ях непрерывной функци¬
ей температуры без осо¬
бенностей нигде, ес¬
ли исключить Т=0, не
обращается в бесконеч¬
ность), то кривая % (Г),
как и %у ( — ) должна
обладать максимумом.
Из рис. 68 видно,
что величины максиму¬
мов и температуры, при
которых они расположе¬
ны, у различных образ¬
цов различны. Чем со¬
вершеннее и чище обра¬
зец, тем больше макси¬
мум по величине и тем
при более высокой темпе¬
ратуре он находится.
У литого образца 9 величина %у в максимуме (0,21) до¬
стигает почти теоретического значения для полупроводни¬
ков с ковалентной связью (см. рис. 4).
Измерения эффекта Холла и электропроводности у
HgSe показывают, что чем чище образец и чем более
он монолитен, тем выше подвижность электронов у него.
А величиной подвижности определяется положение и ве¬
личина максимума %у (Т). Так, у третьего образца тем¬
пература максимума в 1,04 раза ниже, чем у девятого,
а подвижность при 305° К в 1,1 раза меньше. Если при¬
нять во внимание, что подвижность у HgSe изменяется
по закону и ~ Г-5/2, то легко видеть, что сдвиг максимума
Рис. 68. Зависимость безразмер¬
ного поля поперечного эффекта
Нернста —Эттингсгаузена от темпе¬
ратуры для селенида ртути. Я = 104
эрстед [28]:
1—девятый образец, 2 — третий об¬
разец, з—второй образец.

302	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 1ГЛ. Ш
у образца 9 в сторону более высоких температур соответ¬
ствует большей подвижности электронов в нем. Дей¬
ствительно, отношение (T3M8iKCJT9M8Lllc.) -5/2^1,1, то есть
примерно равно отношению подвижностей электронов
каждого образца, измеренных при температурах макси¬
мумов. Различие в величинах максимумов будет объяс¬
нено ниже.
Кривые %у (Т) на рис. 68, построенные для магнит¬
ного поля в 104 эрстеЗ, охватывают в основном область
промежуточных магнитных полей ^^1. Поэтому для
вычисления подвижностей электронов по графикам %у (Т)
нельзя пользоваться формулами для предельных случаев
слабых и сильных полей. Точная же формула для %
при г = 0 (6.5), справедливая и для области промежуточ¬
ных полей, практически не позволяет рассчитать под¬
вижность по величине % . Можно, однако, указать про¬
стой путь вычисления подвижности и в этом случае.
иН
Как показано в § 6, безразмерный параметр — при
максимальном значении %у с большой степенью точ¬
ности равен единице (изотермический случай). Зная на¬
пряженность магнитного поля, в котором производились
исследования, можно определить величину подвижности,
соответствующую температуре максимума % . Таким
образом, находим, что и = 104 см2-в~1 • сек_1 у второго
образца при 300° К, у третьего при 305° К, у девя¬
того при 315° К. Погрешность при таком расчете
определяется, с одной стороны, степенью размытости
максимумов, с другой — неизотермичностью условий
эксперимента. У исследованных образцов погрешность
за счет неточного определения температуры максимумов
составляла менее 1% и не превышала, следовательно,
погрешности, с которой определялась величина подвиж¬
ности: 1—2%*).
Влияние неизотермичности условий опыта может ока¬
заться более существенным. Точно рассчитать смещение
иН
максимума % от точки — = 1 в адиабатических уело-
У	С
*) Погрешность, с которой вычисляется в этом случае подвиж¬
ность, равна, очевидно, погрешности измерения магнитного поля.

§ 18J
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА A11 BVI
303
виях довольно трудно. Грубые оценки показывают, что
для чисто адиабатического случая оно не должно пре¬
восходить 10—15%.
Приведенные оценки величин подвижности у третьего
и девятого образцов, в которых использовались темпе¬
ратуры максимумов (стр. 302), свидетельствуют о том,
что абсциссы максимумов (“с") очень мало откло¬
няются от единицы, во всяком случае не больше чем
на 1 %.
Считая, что эксперимент проводился в условиях,
близких к адиабатическим, оценим с помощью формул
для предельных случаев слабых и сильных полей (15.1)
и (15.2) (в области промежуточных полей коэффициент
Риги — Ледюка S, а следовательно, и £^д, нельзя явно
выразить через основные параметры кристалла) отно¬
сительную погрешность при определении поля попереч¬
ного эффекта. Для третьего образца, например, при
300° К
и согласно (15.1)
а согласно (15.2)
В промежуточных магнитных полях величина адиабати¬
ческого поля ёу должна быть примерно на 25 % выше
изотермического. Следовательно, можно было ожидать,
что максимальное значение может оказаться у селе-
нида ртути больше, чем предсказывает теория для
*) Теплопроводность образца 3 не измерялась. Для
принято значение, полученное для образца с близкой по величине
концентрацией электронов [ 18] (см. ниже раздел, посвященный эф¬
фекту Маджи — Риги — Ледюка в селениде ртути).

304
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ш
изотермических условий (рис. 4). Действительно, из
измерений поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
на более совершенных и чистых образцах HgSe, у ко¬
торых термоэдс больше, чем у третьего образца, были
найдены значения gJ,iaKC, на 10—15% превышающие ма¬
ксимальную величину, даваемую теорией для изотермичес¬
кого случая. Этот пример наглядно показывает, насколько
Рис. 69. Зависимость без¬
размерного поля попереч¬
ного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена от темпера¬
туры для третьего образца
селенида ртути [28]:
Я = 8800 эрстед (кривая I) и
Я = 6800 эрстед (кривая 2).
Рис. 70. Зависимость без¬
размерного поля поперечно¬
го эффекта Нернста — Эт¬
тингсгаузена от температу¬
ры для девятого образца
селенида ртути [28]:
1 — Я = 9950 эрстед,	2 —
Я = 6000 эрстед,	3 — Я =
= 4160 эрстед, 4 — Н = 1725
эрстед,	5 —Я = 790 эрстед.
важно правильно учитывать условия, в которых произ¬
водится эксперимент, чем, к сожалению, нередко пре¬
небрегают.
На рис. 69 и 70 приведены графики температурной
зависимости безразмерного поля Нернста — Эттингсгау¬
зена для третьего и девятого образцов при различных
магнитных полях. Здесь, как и на рис. 68, все кривые, за
исключением кривых 4 к 5 рис. 70, близко примыкают
к области промежуточных полей. При магнитных полях

§ 18]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBVI
305
790 и 1730 эрстед и температурах, превышающих 350° К,
можно проводить анализ поперечного эффекта с помощью
формулы (6.3) для слабых полей. Расчет показывает,
что расхождение между величинами подвижности, вычис¬
ленными с помощью (6.3) по кривым 4 и 5 рис. 70 и опре¬
деленными из соотноше¬
ния -^-=1 по кривой 1
(с учетом того, что у об¬
разца 9 в этой области тем¬
ператур и—71"2’6), не
превышает 5—10%. За¬
висимость подвижности
от температуры, найден¬
ная по кривым 4 и 5 при
Т > 350° К, получается
такой же, как и по изме¬
рениям эффекта Холла
и электропроводности:
и~Т~2>* (рис. 71).
Обратимся к выясне¬
нию характера наблюда¬
ющейся зависимости по¬
ложения и величины мак¬
симума	(Т) от напря¬
женности магнитного по¬
ля. Исходя из равенства
иН л
— = 1, имеющего место
при температуре макси¬
мума %у (Т), следовало ожидать, что с уменьшением магнит¬
ного поля максимум кривой будет смещаться в сторону
более низких температур, где подвижности электронов
больше. Это и было подтверждено измерениями, резуль¬
таты которых представлены на рис. 69 и 70.
По положению максимумов при различных магнит¬
ных полях можно определить температурную зависимость
подвижности (разумеется, в интервале температур, охва¬
тываемом максимумами). Рассмотрим для примера
кривые рис. 69. Пусть подвижность изменяется в зави¬
симости от температуры по произвольному степенному
20 и. М. Цидильковский
Рис. 71. Зависимости подвижностей
электронов от температуры
для третьего и девятого образ¬
цов HgSe, рассчитанные по эффекту
Холла [28].

306
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
закону: и— Т~8. Обозначим индексами 1 и 2 величины,
относящиеся соответственно к кривым 1 к 2. Используя
иН л
соотношение — = 1, имеем
с ’
(18.1)
(18.2)
Подставляя в (18.2) опытные данные: Я1 = 8800 эрстед,
Н2 = 6800 эрстед, Г1Макс = 296° К, Т2 макс = 270°К,
находим 5 = 2,6.
Если мы, однако, произведем подобную оценку для
двух максимумов, далеко отстоящих друг от друга по
температуре, то окажется, что найденные значения s
заметно отличаются от величин, полученных из эффекта
Холла и электропроводности. Так, рассматривая кри¬
вые 1 и 4 (или 1 и 5) рис. 70, находим, что s ъ 5 (или 6).
Большие величины s соответствуют меньшему смещению
максимума в область низких температур, чем можно
было ожидать, исходя из температурной зависимости
подвижности, определенной по эффекту Холла. Кроме
того, казалось бы, что при уменьшении магнитного поля
максимум Щу (Т) должен лишь смещаться к более низким
температурам, но не уменьшаться при этом по величине.
Наблюдающееся уменьшение максимальной величины
и сравнительно малое понижение температуры максимума
при уменьшении магнитного поля обусловлены, как ока¬
зывается, различной температурной зависимостью по¬
движности электронов при высоких и низких темпера¬
турах.
Действительно, оценка величины s по смещению мак¬
симумов %у (Г) производится нами в предположении,
что температурная зависимость поля поперечного эффекта
с обеих сторон максимума одна и та же. Но, как видно из
рис. 71, подвижность электронов у образцов 3 и 9 при
температурах выше 270—280° К изменяется пропорцио¬
нально Т'2 Ь—Т~2 в, в то время как ниже 270—280° К
ц ^ J1 0,75	р~0,90

§ 183	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBVI	307
Различным температурным зависимостям подвижности
при высоких и низких температурах должны соответ¬
ствовать и различные температурные зависимости без¬
размерного поля поперечного эффекта. При высоких
температурах в области перехода к слабым магнитным
полям %XJ~T~2>* (если говорить, например, о девятом
образце). При низких температурах, где
~ Г0*90. Нетрудно понять, что температура максимума
%у (Г), то есть точка встречи гиперболы %у— J1"2»6 и па¬
раболы %у— у0»90, должна быть смещена в сторону более
высоких температур по отношению к точке встречи ги¬
перболы %у—Т~2*6 с более крутой параболой %у—Г2*6,
которая предполагалась выше при оценке s. Ясно также,
что ордината пересечения кривых %у — Т~2>в и — Г0»90
должна быть меньше ординаты пересечения кривых
%у ~ Г-26 и %у ~ Г2»6, следовательно, величина максимума
должна понижаться при уменьшении напряженности
магнитного поля.
Таким же образом можно объяснить различия между
температурами максимумов %	(Т) у второго, третьего
и девятого образцов (рис. 68). Отличие от рассмотренного
выше случая состоит лишь в том, что сдвиг максимумов
обусловлен различием величин подвижности, а не маг¬
нитного поля. Оценки показывают, что смещение мак¬
симумов по температуре хорошо объясняется таким
путем, в то время как ожидаемое изменение их величины
от образца к образцу значительно меньше наблюдаемого.
Различие между величинами ^^акс у трех образцов
обусловлено, главным образом, степенью вырождения
электронного газа в образце. Этот вопрос будет рассмо¬
трен в разделе, посвященном продольному эффекту Нерн-
ста — Эттингсгаузена.
Следует отметить, что произведенная выше оценка
показателя s по максимумам %у (Т) для третьего образца
привела к правильному результату именно потому, что
оба максимума находятся в той области температур, где
характер зависимости подвижности от температуры не
изменяется, то есть, где s= const.
Итак, вычисление величины подвижности электро¬
нов и определение температурной зависимости ее по
20*

308
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. XII
графикам	(Т) следует производить с осторожностью.
Можно указать другой, более надежный путь вычис¬
ления подвижности носителей тока в области промежу¬
точных магнитных полей, основанный на анализе зави¬
симостей ёу (Я). Согласно теории поле поперечного
эффекта в области слабых магнитных полей должно быть
прямо пропорциональным, а в области сильных полей —
обратно пропорциональным напряженности магнитного
поля. У селенида ртути
должна, следовательно,
при высоких температу¬
рах наблюдаться линей¬
ная зависимость от по¬
ля, а при низких —
нелинейная. Представ¬
ленная на рис. 72 зави¬
симость поперечного
эффекта от магнитного
поля для девятого
образца при шести
температурах — от 140
до 415°К—подтверждает
теоретические предска¬
зания для HgSe. При
низких температурах
(Г<350°К)кривые^у(Я)
обладают как линей¬
ным участком (при ма¬
лых Я), так и нелиней¬
ным участком; с повы¬
шением температуры не¬
линейные участки все
более сужаются, кривые спрямляются, и выше 350° К
отклонение от линейности едва намечается лишь вбли¬
зи 104 эрстед. По максимумам Шу (Я) можно определять
подвижность электронов (из соотношения ^=1) при лю¬
бых температурах, независимо от характера температур¬
ной зависимости подвижности. Результаты расчета
подвижности для девятого образца HgSe при четырех
температурах приведены в табл. 15.
Рис. 72. Зависимость безразмерного
поля поперечного эффекта Нерн-
ста — Эттингсгаузена от магнитного
поля для девятого образца селенида
ртути:
Т = 141° К (О, т = 166° К (2),Т =
=223° К(3), Т=315°К(4), Т = 370° К(5),
Т = 415°К(б).

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBV*
309
§ 18l
Таблица 15
т°к
141
166
223
315
и • 10~4 см2 • в~х • сгк~х
1,94
1,68
1,30
1,0
Если по данным табл. 15 определить температурную
зависимость подвижности носителей тока в интервале
130—270° К, то получим и— Г~°’9. Для третьего образца
и— Т’-о.в оба эти результата хорошо согласуются с тем¬
пературным ходом подвижности, рассчитанным для каж¬
дого образца по эффекту Холла (рис. 71).
Следует обратить внимание на степень точности вычис¬
ления подвижности по эффекту Холла. Для полупровод¬
ников, у которых длина свободного пробега носителей
тока не зависит от энергии, в случае слабых магнитных
полей и = 0,85 4}~ , в случае сильных гг = 1,13 ~ . Та-
н ьх	ьх
ким образом, подсчитывая подвижность при помощи фор¬
мул для предельных случаев слабых и сильных магнитных
полей, можно получить величины гг, различающиеся на
33%*). Так как при применявшихся в исследованиях
магнитных полях в основном осуществлялся случай
промежуточных полей, то для выяснения, какая из двух
формул дает при данном Н лучшее приближение, следует
сравнить вычисленные с их помощью величины подвиж¬
ности с данными других методов. Такое сравнение с ре¬
зультатами измерений поперечного эффекта Нернста—
Эттингсгаузена показывает, что при Н > 4 • 103 эрстед
приближение сильного поля приводит к лучшему согла¬
сию, чем приближение слабого поля. Так, у третьего
образца величина их, рассчитанная по формуле для силь¬
ных полей, при 305° К равна 8,7 • 103 см2 • в'1 • сек'1, а
*) Если при вычислении подвижности в случае сильных полей
пользоваться величиной тока jx вместо поля Ex(jx=cTo0Ex,
о0—электропроводность при # = 0), то есть ввести постоянную
Холла, то и = ccr | R | а0, и различие между случаями слабых и
сильных полей при г = 0 составляет 18%.

310
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ III
подвижность ггц.-э = 1,0 • 104 смг-в~1-сек~1\ у девятого
образца при 300° К подвижность по Холлу составляет
9,9 • 103см2-в'1 -сек'1, а по термомагнитным измерениям —
1,15 • 10* см2-в~1>сек~1. При понижении температуры согла¬
сие заметно улучшается.
Таким образом, нам представляется, что в области
промежуточных магнитных полей поперечный эффект
Нернста — Эттингсгаузена является более удобным и на¬
дежным для вычисления подвижности носителей тока,
чем эффект Холла и электропроводность (не говоря уже
о том, что результаты измерения последней могут
быть искажены из-за наличия межкристаллических
прослоек в образце и несовершенных контактов с элек¬
тродами).
Что касается температурной зависимости подвижно¬
сти, то эффект Холла и эффект Нернста — Эттингсгаузена
должны приводить и приводят к совпадающим резуль¬
татам.
Отклонение температурной зависимости подвижности
от закона	Т~ъ12, соответствующего рассеянию носите¬
лей тока низкочастотными акустическими колебаниями
(г = 0), не получило до сих пор удовлетворительного объяс¬
нения. Были сделаны попытки объяснить зависимость
и ~ Т 5/г на основе предположения, что т~е-3/2 (г = —1).
Такая зависимость т(е) противоречит, однако, ряду опыт¬
ных фактов. В частности, постоянные Холла и Нернста —
Эттингсгаузена при г=—1 должны даже в очень слабых
магнитных полях (см. § 4) резко зависеть от магнитного
поля, чего не наблюдается ни у селенида ртути, ни у дру¬
гих соединений, у которых подвижность носителей тока
изменяется пропорционально	Предположение, что
г = —1 для HgSe вообще неприемлемо, так как из сов¬
местных измерений поперечного и продольного эффектов
Нернста — Эттингсгаузена величина г найдена равной
нулю (см. раздел, посвященный продольному эффекту
в HgSe).
Л. С. Стильбанс и др. [163, 164] предположили, что
зависимость и— Г-5/2 может быть объяснена, если учесть
вклад в рассеяние носителей тока двухфононных процес¬
сов. Расчет [187], однако, показал, что во втором при¬
ближении теории возмущений двухфононное рассеяние

§ 18]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBVI
311
на потенциале, линейном по отношению к смещениям
атомов из положений равновесия, приводит в атомных
кристаллах к такой же зависимости т от е и Т, как и пор-
вое приближение. Если же рассматривать двухфононное
рассеяние на билинейном по смещениям потенциале в пер¬
вом приближении теории возмущений, время релакса¬
ции т оказывается не зависящим от е ( г = у^ и пропор¬
циональным Т~2 (5.27'). Таким образом, и двухфононные
переходы не могут быть ответственны за зависимость
и— Г-5/2.
В настоящее время положение выглядит совершенно
неясным: наблюдаемая температурная зависимость по-
еХ
движности и = — ~ Т~ь!2 не согласуется с энергетической
зависимостью времени релаксации т — е~1/2, соответ¬
ствующей экспериментальным данным. Согласие полу-
g-V2
чается при условии, если т ~	.
Уменьшение наклона кривых и(Т) в области низких
температур, которое наблюдается у третьего и девятого
образцов HgSe, в значительной мере определяется, по-
видимому, вырождением электронного газа. Действитель¬
но, при наличии вырождения энергия электронов не за¬
висит от температуры и для однофононного рассеяния
т~ Г"1, следовательно, и подвижность должна изменяться
пропорционально Т1. Некоторое отклонение и (Т) в обла¬
сти низких температур от зависимости Т'1 обусловлено,
по-видимому, определенной ролью рассеяния электронов
на примесях.
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена. Со¬
гласно теории (§§ 6 и 10) продольный эффект Нернста —
Эттингсгаузена в области слабых магнитных полей являет¬
ся квадратичной функцией параметра ^ , в области
сильных полей не зависит от него. Следовательно,
если и— Т~8, то при высоких температурах, то есть в обла¬
сти слабых полей, безразмерное поле продольного эффек¬
та %х должно быть пропорционально T~2s, а при пони¬
жении температуры, то есть при переходе к сильным
полям, должно стремиться к насыщению.

312
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
На рис. 73 представлена температурная зависимость
поля %х для третьего образца, измеренная при II =
= 9 - 103 эрстег). К сожалению, отсутствуют сведения о за¬
висимости эффекта от магнитного поля. Однако и темпе¬
ратурная зависимость Шх по¬
зволяет сделать ряд важных
выводов.
Выше 325° К, то есть не¬
сколько правее изгиба кри¬
вой <gx (Г), поле %х убы¬
вает пропорционально Т~°.
Отсюда следует, что подвиж¬
ность электронов изменяется
по закону и~ 71-5/2, совпада¬
ющему с данными, получен¬
ными из поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена и
эффекта Холла. Однако ве¬
личины подвижности, вычис¬
ленные по продольному эф¬
фекту с помощью формулы
(6.20) при Т < 380° К, в 1,5—3
раза меньше подвижностей,
рассчитанных по эффекту
Холла или по поперечному,
эффекту Нернста — Эттингс¬
гаузена. Не устраняет полно¬
стью этого расхождения и
учет неизотермичности условий эксперимента: расчет по¬
движности при помощи (10.14) в предположении, что
Я»
-^q^-==0,2, приводит к увеличению и лишь на^10%.
Значительное различие между значениями подвижно¬
стей, найденных из эффекта Холла и из продольного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена, обусловлено, очевид¬
но, существенной ролью вырождения электронного газа,
приводящего к уменьшению Щх. Малые величины коэф¬
фициента термоэдс, наблюдающиеся у селенида ртути,
подтверждают предположение о наличии по крайней
мере частичного вырождения. Величина приведенного
химического потенциала р*, оцененная для третьего
Рис. 73. Зависимость безраз¬
мерного поля продольного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгау¬
зена от температуры для треть¬
его образца селенида ртути при
Н = 9000 эрстед [28].

48]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBvi
313
образца по формуле
(18.3)
учитывающей вырождение (полагается, чтог = 0), состав¬
ляет при 300° К около 3, а при 435° К становится меньше
нуля. Таким образом, различие между величинами по¬
движности по Холлу и по продольному эффекту в интер¬
вале 300—380° К вполне удовлетворительно объясняется
вырождением электронов: при р,* = l-f-З ёх должно
быть меньше по сравнению с невырожденным случаем
в 1,5—2 раза (кривая 1, рис. 29, а), в то время как по¬
стоянная Холла уменьшается при этом всего в 1,05—
1,1 раза.
Вследствие малого изменения концентрации носителей
тока с температурой (у третьего образца п_ убывает от
2,1. Ю18 слГ3 при 123° К до 1,2.1018 сж'3 при 423° К)
степень вырождения возрастает при понижении темпе¬
ратуры. При достаточно высоких температурах (выше
^350° К) электронный газ приближается к невырожден¬
ному состоянию, что позволяет с удовлетворительной
точностью вычислять подвижности с помощью (6.20)
или (10.14). Формула для адиабатического случая (10.14)
дает лучшее согласие с подвижностью, вычисленной по
эффекту Холла, чем (6.20). Если принять вместо г = 0
любое другое значение, то есть предположить, что в рас¬
сеянии электронов преобладают не акустические колеба¬
ния решетки, а скажем, оптические колебания или ионы
примеси, то согласие резко ухудшается.
У девятого образца, у которого концентрации элек¬
тронов изменяются от 5,3 • 1017 см~ъ при 123° К до 1,3 х
X 1018 см~3 при 423° К, заметное вырождение имеет место
лишь при самых низких и самых высоких температурах
исследованного интервала. Поэтому в большей части тем¬
пературной области интерпретация эксперимента может
быть проведена при помощи формул для невырожденного
случая.
*) Эффект увлечения в исследованной области темпе¬
ратур из-за больших концентраций носителей тока пренебрежи¬
мо мал.

314
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЙ [ГЛ. Щ
Можно указать простой способ оценки показателя г
по результатам измерений поперечного и продольного
эффектов. Надежных результатов следует ожидать в том
случае, когда измерения обоих эффектов производятся
в одних и тех же условиях, еще лучше — одновременно,
как это имело место в опытах с селенидом ртути.
Из формул (10.10) и (10.14) для адиабатических условий
имеем
(18.4)
При фиксированных значениях ~ и термоэдс а дробь
Аф
зависит только от г.
чг 2
В табл. 16 приведены результаты расчета по фор-
бх
муле (18.4) для значения -г---?-*- = 0,2 и двух значений а,
АфП- Аэ
соответствующих примерно коэффициентам термоэдс треть¬
его образца при 330 и 440°К.
Таблица 16
г= -0,25
г = 0
г = 1
т — 2
бу/ёх
а ■= 50 мкв •град~1
+0,18
-\ 0,53
—0,27
—0,61
а = 86,3 мкв • г рад~х
+0,21
+0,66
—0,014
-0,46
Экспериментальные значения ё%/ёх при высоких тем¬
пературах для третьего образца HgSe приведены в табл. 17.
Сопоставление данных табл. 16 и 17 показывает, что
при повышении температуры выше 340° К, то есть при
переходе в область слабых магнитных полей, эксперимен-

§ 18]	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBVI	315
Таблица 17
Т° к
295
310
330
341
352
380
435
%\Чх
+0,40
4-0,45
+0,51
+0,58
+0,57
+0,54
+0,57
тальные значения	хорошо согласуются с теоре¬
тическими лишь при одном значении г:г = 0*).
Для изотермического случая при г = 0 отношение
ШЦ9Х должно составлять +0,32. Экспериментальные
значения	значительно ближе к величине, давае¬
мой формулой (18.4). Это еще раз подтверждает сделанное
выше заключение о существенном отклонении условий
эксперимента от изотермических.
При понижении температуры ниже ^ 290° К рост %х
начинает резко замедляться. Как уже упоминалось, при
^ 280° К наблюдается изменение наклона кривой
1 g и (lg Т) (рис. 71). Нельзя, однако, объяснить изменение
температурного хода %х зависимостью подвижности элек¬
тронов от температуры. Это следует, с одной стороны, из
того факта, что ниже 280° К подвижность значительно
резче возрастает при убывании температуры, чем поле %х.
С другой стороны, согласно кривой %v (Т) для #^9х
X 103 эрстед (рис. 69) ниже 296° К 1, а в области силь¬
ных магнитных полей продольный эффект не должен зави¬
сеть ни от магнитного поля, ни от подвижности. Величина
насыщения продольного эффекта для г = 0 как в изотер¬
мических, так и в адиабатических условиях ((6.21)
и (10.15)) одна и та же: £х = 1/2- Значения, которые прини¬
мает %х у третьего образца ниже 290° К, достигают всего
0,065, то есть почти в 8 раз меньше теоретического.
Причину такого значительного расхождения между тео¬
рией и экспериментом следует в первую очередь искать
в существенном вырождении электронного газа при низ¬
ких температурах. С возрастанием степени вырождения в
области сильных магнитных полей величина продольного
*) См. стр. 389.

316
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
эффекта Нернста — Эттингсгаузена должна убывать
(§ 14). Согласно кривой 1 рис. 29, б (случай сильных
полей) поле %х должно уменьшиться при |л* = 4—5 (зна¬
чения, соответствующие третьему образцу в области
120—270° К) по сравнению с невырожденным случаем
в ^ 2 раза. Таким образом, учета одного лишь вырожде¬
ния недостаточно для объяснения малой величины про¬
дольного эффекта при низких температурах.
Анализ показывает, что заметное влияние на продоль¬
ный эффект у третьего образца в области низких темпе¬
ратур оказывает рассеяние электронов на ионах примеси.
При достаточно глубоком охлаждении этот механизм
рассеяния может привести даже к перемене знака %х.
Как отмечалось уже в .§ 17, рассеяние носителей тока
ионами примеси при возрастании степени вырождения
в области сильных магнитных полей в значительно боль¬
шей мере сказывается на продольном эффекте Нернста —
Эттингсгаузена, чем на поперечном.
Нужно отметить, что все оценки, сделанные в разделе
о поперечном эффекте, верны, несмотря на наличие у селе-
нида ртути частичного вырождения электронного газа.
Это связано с тем, что и в вырожденном случае макси-
иН
мум расположен при —=1. Кроме того, вычисления
V	с
подвижности, проводившиеся для девятого образца по фор¬
муле (6.3), относятся к области температур, где электрон¬
ный газ практически не вырожден.
Возвращаясь к вопросу о различии максимальных
значений %у у второго, третьего и девятого образцов
(рис. 68), следует обратить внимание на степень вырожде¬
ния электронного состояния. У третьего образца при
^300° К р,*^3, и согласно теории (рис. 27) поле %у
должно быть в ^ 1,7 раза меньше, чем при ц*—»—оо.
Опыт показывает, что $уЭКС у третьего образца в 1,4 ра¬
за меньше, чем у девятого, который при 300° К практи¬
чески не вырожден. Такое согласие можно считать вполне
удовлетворительным.
Заметим в заключение, что подвижности, рассчитан¬
ные по формуле их = с | R | а, лучше совпадают со значе¬
ниями ин._э* чем подвижности, найденные из выражения

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА ATIBVI
317
§ 18]
Кх = j£|i?|a, не только из-за приближения условий опыта
к случаю сильных магнитных полей, но и из-за наличия
частичного вырождения, а в вырожденном случае нх =
= с|Я|сг.
Продольно-поперечный термомагнитный эффект. В § 6
было показано, что поля продольно-поперечного эффекта
и продольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена связа¬
ны между собой соотношением
(6.25)
где б — угол между направлениями первичного потока
тепла и магнитного поля. Если учесть, что %х = ^sin26,
где Шх — поле продольного эффекта при 0 = -^-, то
получаем для угловой зависимости продольно-попереч¬
ного эффекта синусоиду
(18.5)
Исследования, проведенные на ряде образцов тел¬
лура, селенидов висмута и ртути и др., подтвердили, что
угловая зависимость продольно-поперечного эффекта опи¬
сывается формулой (18.5). Опыты показали, что при 6 = 0
и б = %г = 0, а при б = %г достигает максималь¬
ного значения. Ввиду того, что эффект чрезвычайно
мал, особенно в области слабых магнитных полей, в кото¬
рой проводились исследования у большинства образцов,
погрешность измерений на установке с чувствительностью
по напряжению, не превышающей (1—2) • 10-7 в, довольно
значительна. Поэтому здесь приводятся результаты иссле¬
дований только селенида ртути, где величина эффекта
достаточна для надежного измерения его зависимости
от температуры и магнитного поля.
Из (6.25) следует, что зависимость продольно-попереч¬
ного эффекта от магнитного поля и подвижности носителей
тока, а следовательно, и температуры, должна быть та¬
кой же, как и у продольного эффекта. Приведенная на
рис. 74 зависимость %г (Я2) для третьего образца HgSe
при температуре 323° К и б = показывает, что %г

318
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
является строго квадратичной функцией Я до 7 • 10* эрстед.
Это означает, что при Г> 323° К приближение слабых
полей применимо к образцу 3 вплоть до 7-103 эрстед.
На рис. 75 представлена температурная зависимость
эффекта для третьего образца при магнитном поле
6,35 • 103 эрстед и в = ~ . Характер изменения поля %г
с температурой совершенно такой же, как и у поля %х.
Совпадают как закон температурного изменения (выше
Рис. 74. Зависимость безраз¬
мерного поля продольно-по¬
перечного эффекта от магнит¬
ного поля для третьего образ¬
ца селенида ртути при
323°К [28].
Рис. 75. Зависимость без¬
размерного поля про¬
дольно-поперечного эф¬
фекта от температуры
для третьего образца се¬
ленида ртути при
Н ~ 6350 эрстед [28].
325° К %г примерно пропорционально Г-5), так и тем¬
пература изгиба кривых (^ 290° К). Количественно
эффект несколько меньше, чем следует из соотношения
(18.5). Так, при 125° К поле \ Шг\ должно согласно (18.5)
(см. рис. 73) составлять примерно 3 • 10~2, а измеренная
величина равна 2 • 10“2. Это расхождение обусловлено,
по-видимому, различием приконтактных сопротивлений
и некоторых других условий опыта, в которых произво-

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBvl
319
} 18]
дились измерения обоих явлений и которые могли повлиять
на величину столь малых эффектов, не исказив при этом,
как мы убедились, характера зависимости от темпера¬
туры и магнитного поля.
Эффект Маджи — Риги — Ледюка. Эксперименталь¬
ному исследованию эффекта Маджи — Риги — Ледюка
в полупроводниках посвящено несравненно меньше работ,
чем исследованию его в металлах. В § 2 уже упомина¬
лись работы Литтля [13] на мышьяке, Ллойда [6] и Уол¬
да [7] на теллуре, Бабаева [16] на сернистом молибдене.
Согласно теории заметные изменения теплопровод¬
ности в магнитном поле должны наблюдаться у хорошо
проводящих полупроводников с большой подвижностью
носителей тока и большой долей электронной теплопро-
А,э -\т
водности -г- *	. У полупроводников с подвижностями,
Аф-|- Аэ
меньшими чем 103 см2-в~1*сек~1, и величинами
порядка процентов эффект Маджи — Риги — Ледюка
должен быть неизмеримо малым. Так, например, если
0,05, # = 104 эрстед, то
не должна согласно
(6.32а) превышать 10~4, что находится, конечно, за пре¬
делами точности эксперимента. Таким образом, отсут¬
ствие эффекта на мышьяке соответствует теории, а боль¬
шие изменения А,, наблюдавшиеся на теллуре и сернистом
молибдене, противоречат ей.
Более поздними опытами В. П. Жузе и др. [18] было
показано, что результаты работ [6], [7] и [16] ошибочны.
Отрицательный результат дали также опыты, проведен¬
ные с селенидом и теллуридом висмута и теллуридом
свинца: величина А оказалась значительно меньшей
пределов точности эксперимента (при относительном ме¬
тоде погрешность составляла ^0,2%) в полном соответ¬
ствии с теорией. Как уже отмечалось в § 16, у германия
также не удалось измерить эффект Маджи — Риги —
Ледюка [27,	100] из-за чрезвычайно малых значе¬
ний электронной теплопроводности: у двадцатиомного

320
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ill
германия при 300° К	^ 4-10~5%. На одном лишь
полупроводниковом материале — селениде ртути — авто¬
ры [18] наблюдали значительное уменьшение теплопро¬
водности в магнитном поле.
Селенид ртути оказался удобным объектом для иссле¬
дования эффекта Маджи — Риги — Ледюка, так как
у него, с одной стороны, велика подвижность электронов,
с другой — велика элект¬
ронная составляющая теп¬
лопроводности. На рис. 76
приведена зависимость от¬
носительного изменения
теплового сопротивления
от магнитно¬
го поля для двух тем¬
ператур: —128° С *) и
+50° С. Измерения были
произведены на поликри-
сталлическом образце с
а = 1840 ом'1 • см'1 и и =
= 6500 см2 • в'1-сек'1 при
300° К.
При +50° С изменение
теплового сопротивления у
селенида ртути пропорцио¬
нально квадрату напря¬
женности магнитного поля
вплоть до Я= 104 эрстед.
Следовательно, здесь реа¬
лизуется случай слабых магнитных полей. При
—128° С квадратичная зависимость ^ от Н наблюдается
до полей ^ 4 • 103 эрстед. При больших магнитных полях
кривая —^ (Я) становится менее крутой, приближаясь
все более к прямой. Такой характер изменения эффекта
Маджи — Риги — Ледюка с полем находится в полном
Рис. 76. Зависимость относитель¬
ного изменения теплового сопро¬
тивления от магнитного поля у
селенида ртути [18].
) В работе [18] вместо—128° С ошибочно указано —180° С.

§ 18]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА АИВХ 1
321
соответствии с теорией. Действительно, при понижении
температуры подвижность носителей тока возрастает
(при —128° С к = 7,2-103 см*•в~1*сек"1) и условия слабого
поля сменяются условиями промежуточного поля, когда
зависимость — от II становится более слабой (при силь¬
но
ном поле она должна перейти к насыщению). К сожале¬
нию, опыт производился на образцах с недостаточно боль¬
шими подвижностями, вследствие чего область сильного
поля не была достигнута.
По данным эффекта Маджи — Риги — Ледюка можно,
пользуясь формулами (10.19) или (6.32), оценить вели¬
чину электронной доли теплопроводности. При +50° С
формула для адиабатического случая приводит к значе-
нию	^ 0,20, формула для изотермического случая
дает ^ 0,18. Первое значение, очевидно, ближе к истине
%
и лучше согласуется с величиной —f-r- = 0,23, вычислен-
i
ной по результатам измерений электропроводности и
теплопроводности при помощи закона Видемана — Франца.
В заключение заметим, что, несмотря на наличие ряда
факторов, усложняющих интерпретацию опытов (неизо-
термичность условий эксперимента, частичное вырожде¬
ние электронов, промежуточные магнитные поля), термо¬
магнитные явления позволили вычислить у селенида
ртути подвижность электронов и ее температурную зави¬
симость, установить характер рассеяния электронов
(а следовательно, и доминирующий тип связи), оценить
электронную теплопроводность, степень вырождения
электронного газа и др.
Теллурид ртути
Теллурид ртути является по своим физико-химиче¬
ским свойствам аналогом селенида ртути. Однако в элек¬
трических свойствах этих двух соединений наблюдаются
существенные различия. В то время как у селенида ртути
зависимость электропроводности от температуры носит
металлический характер вплоть до температуры плавле¬
ния, у исследованных образцов теллурида ртути элек¬
тропроводность ведет себя как в типичных полупровод-
21 И. М. Цидильковский

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ. Ill
инках с той лишь особенностью, что энергия активации
носителей тока мала: теллурид ртути является собствен-
ньш полупроводником уже при комнатной температуре.
Приведем результаты исследования поперечного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена у трех образцов с
различным содержанием примесей [29]. Для синтеза тел-
лурида ртути применялась химически очищенная, дважды
перегнанная в вакууме ртуть. Теллур был использован
различной степени чистоты: некоторые образцы (второй
и третий) готовились из однократно перегнанного в ва¬
кууме теллура, другие (первый) — из теллура, подверг¬
нутого двух-трехкратной перегонке и последующей зон¬
ной плавке. По данным спектрального анализа первый
образец HgTe содержал ^ 0,003% атомов примеси (Si,
Ми, Sb), третий ^ 0,04% (Си, Pb, Sn, Sb, Si); для второго
образца анализ не был произведен. Если судить по мето¬
дике изготовления, второй образец по чистоте близок
к третьему. Первый образец был получен в виде слитка
медленным охлаждением расплава, второй и третий —
прессовкой при температуре, близкой к температуре плав¬
ления.
Исследования температурных зависимостей удельной
электропроводности и эффекта Холла показали (см. [29]),
что выше ^200° К*) у первого образца и выше^230° К *)
у третьего примесная проводимость сменяется собствен¬
ной. Ширина запрещенной полосы энергий Ае, вычислен¬
ная по зависимости 1пДГ3/2 от 1/71 в области высоких
температур (200—400° К), составляет 0,025 эв. Такая же
величина А е получается из зависимости In о Т~х от 1/Г**).
Это значение много меньше величин Ае, приводившихся
ранее для HgTe, но совпадает с результатами новых
работ Карлсона [119] и Хармана и др. [158]. Лагрено-
ди [132] исследовал поглощение света теллуридом ртути
и нашел, что АеОПт^0,15 эв.
*) 200 и 230° К — это температуры излома кривых In оТ'1 (\/Т)
и In RT3/2 (\/Т) у первого и третьего образцов.
**) Для вычисления Ае выбирается функция In аТ"1, а не In а,
ввиду того, что при малой ширине запрещенной полосы энергий
существенный вклад в температурную зависимость электропровод¬
ности вносит подвижность поситолей тока, которая в области
200 — 400° К изменяется по закону Т~х^2-

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА А^В4’1
323
§ 18]
Эффект Холла во всем исследованном температурном
интервале отрицателен, что соответствует преобладанию
электронной составляющей проводимости над дырочной.
Ввиду того, что в области собственной проводимости кон¬
центрации электронов и дырок равны, постоянная Холла
может иметь отрицатель¬
ный знак только в том
случае, если подвиж¬
ность электронов боль¬
ше подвижности дырок.
Концентрации электро¬
нов у образцов 1 и 3,
вычисленные по эффекту
Холла, ниже 200° К
сравнительно мало меня¬
ются с температурой: у
первого образца в пре¬
делах! • 1017—2- 1017слГ3,
у третьего — в преде¬
лах 2• 1017—4-1017 слГ3.
На рис. 77 представ¬
лены кривые температур¬
ной зависимости по¬
движности электронов
первого и третьего об¬
разцов, рассчитанные по
эффекту Холла в предпо¬
ложении, что электроны
взаимодействуют глав¬
ным образом с акустическими колебаниями решетки
При низких температурах, где в рассеянии
носителей тока существенную роль начинают играть иони¬
зированные атомы примеси, подвижность электронов возра¬
стает с ростом температуры. Так, у первого образца ниже
200° К и_—Г1»3, у третьего ниже 230°К и_— Т2. Приве¬
денные зависимости и(Т) являются в какой-то мере прибли¬
женными (особенно при более низких температурах) в связи
с тем, что при переходе к рассеянию на ионах примеси ко¬
эффициент перед | R [а 0,85 уменьшается согласно теории
до 0,52. Закон изменения подвижности электронов с темпе-
21*
Рис. 77. Зависимость подвижности
электронов, рассчитанной по эффекту
Холла, от температуры для первого
и третьего образцов теллурида
ртути [29].

324
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ III
Рис. 78. Зависимость безразмерного поля поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгаузена от температуры для пер¬
вого образца теллурида ртути при различных магнитных
полях [29].

5 18]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AllBV1
‘j23
ратурой у образца 1 очень близок к тому, что предсказы¬
вает теория для рассеяния на примесных ионах: и_— Г1»5.
Из рис. 77 видно, что как у первого, так и у третьего
образцов в интервале 200—400° К подвижность электро¬
нов, рассчитанная по формуле для собственной проводи¬
мости при г = 0: и_=—— Ro , пропорциональна при¬
мерно 71"1/*, а выше 400° К Т'51* (у третьего образца
убывание несколько более крутое).
Таким образом, в области высоких температур, где
носители тока рассеиваются в основном тепловыми коле¬
баниями решетки, закон изменения подвижности электро¬
нов с температурой одинаков у образцов с различным
содержанием примесей. Область температур 200—400° К
является, по-видимому, переходной от рассеяния на при¬
месях к рассеянию на колебаниях решетки. Зависимость
—Т'1!*, имеющая место в этом интервале температур,
довольно приближенная, так как, во-первых, у низко¬
температурного края интервала 200—400° К проводи¬
мость еще не чисто собственная (п+ еще не точно рав¬
няется /г_), во-вторых, ниже 300—350° К R и а измеря¬
лись в условиях промежуточных магнитных полей (при
Н = 104 dpcmeJ), а вычисления и_ производились во всей
исследованной области температур с помощью коэффи¬
циента 0,85.
На рис. 78, 79 и 80 приведены температурные зависи¬
мости безразмерного поля поперечного эффекта Нернста—
Эттингсгаузена для всех трех образцов при различных
напряженностях магнитного поля. Начнем с анализа
графиков Щу(Т) для второго образца.
В исследованном интервале температур (130—440° К)
поле у образца 2 отрицательно и обладает минимумом
вблизи 180° К (рис. 79). При Н= 9940 эрстед =
=—1,18, то есть примерно в 2,5 раза больше по абсолют¬
ной величине, чем у теллура (§ 16). Если судшь по гра¬
фикам температурной зависимости R и а для сходного
образца 3, то следует заключить, что минимум ШУ{Т)
у второго образца расположен в области смешанной про¬
водимости. Сравнивая ширину запрещенной полосы энер¬
гий у теллурида ртути и теллура (у Те она примерно
в 15 раз больше, чем у HgTe) и учитывая величины

326
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИИ
[ГЛ. HI
6 = — у обоих веществ, можно на основании анализа
формул (7.4) и (17.1) для %у в области смешанной
проводимости прийти к выводу, что подвижность электро¬
нов у второго образца теллурида ртути должна быть на
порядок выше, чем у теллура, и достигать при ком¬
натных температурах ~ 104 см2•в''1-сек'1. Это при¬
мерно совпадает с вели¬
чинами подвижности
электронов у первого и
третьего образцов.
Таким образом, при
Я ^ 104 эрстед здесь
должны реализоваться
условия промежуточных
или даже сильных маг¬
нитных полей. Убе¬
диться в справедли¬
вости этого утвержде¬
ния можно, построив
зависимость | %у (Я) | для
различных температур.
Оказывается, что при
180° К эта функция
существенно нелиней¬
на и достигает при
Я= 104 эрстед максиму¬
ма, а при 400° К она
строго линейна вплоть
до 104 эрстед. Более
полный анализ эффекта
Нернста—Эттингсгаузе-
на провести трудно из-за
отсутствия измерений
электропроводности и
эффекта Холла*).
Температурная зависимость поля Щу у третьего
образца была исследована в интервале температур 130—
600° К. Кривые Шу (Т) при различных напряженностях
*) Второй образец во время измерений эффекта Нернста—
Эттингсгаузена случайно был разрушен.
Рис. 79. Зависимость безразмерного
поля поперечного эффекта Нерн¬
ста — Эттингсгаузена от температу¬
ры для второго образца теллурида
ртути при различных магнитных
полях [29]:
О — Н — 9940 эрстеду С — Я =
=4160 эрстед, • — Я = 790 эрстед.

соединения Типа AnBvl
327
* 18}
магнитного поля ниже 440° К имеют такой же вид, как
у второго образца. Минимумы при всех магнитных полях
расположены вблизи 195° К. Для того чтобы иметь воз¬
можность детально проанализировать температурную
Рис. 80. Зависимость безразмерного поля поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгаузена от температуры для треть¬
его образца теллурида ртути при различных магнитных
полях [29].
зависимость поперечного эффекта, необходимо выяснить,
как зависит <$у от магнитного поля Я (рис. 81).
При низких температурах (на рис. 81 при 141° К)
функция <$У{Н) строго линейна до 104 эрстед. При воз¬
растании температуры (на рис. 81 от 169 до 257° К) наблю¬
дается отклонение от линейности в сторопу насыщения.
Наиболее резко выражен нелинейный ход Щу (Я) при
195° К. При 348° К поле снова становится пропор¬
циональным Я во всем исследованном диапазоне магнит¬
ных полей.

328
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ill
Если учесть, что подвижность электронов у третьего
образца возрастает от 2,5-103 см2-в~1-сек~1 при 130° К
до 104 см2>в~1-С1К~1 при ^230° К, а при дальнейшем
повышении температуры до 400° К сравнительно мед¬
ленно убывает, то нетрудно видеть, что в районе 200° К
реализуются условия промежуточных магнитных полей.
Рис. 81. Зависимость безразмерного поля по¬
перечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
от магнитного поля для третьего образца теллу-
рида ртути при различных температурах [29J.
Следовательно, поле Щу должно при этих температурах
стать нелинейной функцией от Н, что и подтверждается
опытом.
При низких температурах, где реализуется случай
слабых полей, отрицательный знак Шу свидетельствует
согласно (6.3) о том, что г > V2. Приемлемым в этой области
температур является лишь одно значение г = 2, которое
соответствует рассеянию электронов на ионах примеси.
Если вычислить подвижность электронов при 141° К,

§ 18]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBVI
329
полагая, что они рассеиваются лишь ионами примеси
(см. (6.36), то найдем: гг_ = 1430 см2-в"1-сект1. Подвиж¬
ность, вычисленная по электропроводности и эффекту
Холла при том же предположении, то есть по формуле
ц_= 0,521 Я | а, составляет при 141° К 1820 см2-в~1»сек~1.
Расхождение между величинами подвижностей их и ин.-э.
свидетельствует, по-видимому, о том. что при этих тем¬
пературах еще существенно влияние рассеяния носите¬
лей тока тепловыми колебаниями решетки.
Влияние увлечения электронов фононами должно
быть здесь незначительным. Предположению о заметной
роли увлечения противоречит как отрицательный знак
поля %х продольного эффекта Нернста — Эттингсгау-
зена в интервале 120—200° К (см. § 13), так и наблю¬
дающееся небольшое убывание термоэдс по абсолютной
величине при понижении температуры.
Для анализа эффекта Нернста — Эттингсгаузена в
области более высоких температур нужно знать отноше¬
ние подвижностей электронов и дырок 6. Величину b
можно оценить по высокотемпературной части графи¬
ков ШУ{Т). Поле отнесенное к единице напряжен¬
ности магнитного поля, то есть по существу коэффициент
(Д, дважды меняет знак — при 440 и 520° К. Так как
при этих температурах мы заведомо имеем дело со слу¬
чаем слабых полей и собственной проводимости, можно
при помощи формулы (7.4), полагая г = 0, вычислить
величину 6. Коэффициент Q-L может обращаться в нуль
при условии, еслиЬ2—+	6+1=0. Отсюда следует,
что у третьего образца при 440° К 6=9,2, а при 520° К
b = 9,0. Отношение подвижностей электронов и дырок,
рассчитанное по кривой %XJ(T) в интервале 440—520° К,
подчиняется закономерности Ь— Г-0’13. Если экстраполи¬
ровать эту зависимость на более низкие температуры,
то найдем, что при 200° К, например, Ь = 10,2, а при
300° К 6=9,7. Блэк и др. [196] нашли примерно такие же
значения 6: по их данным при 300°К 6 ^ 10. Карлсон [119]
оценил величину Ъ по отношению постоянной Холла
в пике ЩТ) (начало собственной проводимости у дыроч¬
ного образца) к значению R в примесной области и по
изменению знака R в районе 20° К. Первый метод привел

330
.'Ж (ЛТ ЕРИ МЕНТ А ЛЬНЫ Е ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ill
к значениям Ь~ 40—100, второй к /; > 100. Харман
IR I
и др. [158] из отношения ■—также нашли Ь~ 100.
■“пр
Следует, однако, заметить, что при оценках, произведен¬
ных авторами [119] и [158], предполагалась независи¬
мость Ъ от температуры. А это может привести к значи¬
тельным погрешностям.
Лагреноди [132] получил образцы с дырочной прово¬
димостью, заместив 2% атомов ртути серебром. Концен¬
трация дырок составляла 2-1019 см~3, подвижность
^200 см2-в'1 •сек'1. Величина b должна согласно дан¬
ным Лагреноди находиться в пределах 30—100. Нам
представляется, что значения 6, приводимые в рабо¬
тах [119,	132,	158], завышены, так как подвиж¬
ность дырок измерялась в образцах с концентрацией при¬
месей, на два порядка большей, чем у электронных
образцов.
Возможно также, что значения Ь, рассчитанные с по¬
мощью (7.4), занижены в связи с некоторой неизотермич-
ностью условий опыта. Оценить величину b по формуле
для адиабатического случая не представляется возмож¬
ным не только ввиду чрезвычайной громоздкости фор¬
мулы, но и потому, что отсутствуют данные о теплопро¬
водности HgTe *).
Определить закон температурного изменения подвиж¬
ности одного из видов носителей тока по зависимости
(Т) в области собственной проводимости, как это
удалось сделать для теллура и германия, у теллурида
ртути из-за больших значений величины Ъ и заметной
зависимости ее от температуры практически невоз¬
можно.
Установив, что отношение подвижностей у теллурида
ртути велико, можно воспользоваться для качественной
интерпретации поперечного эффекта формулой (17.2)
(количественная интерпретация чрезвычайно сложна, так
как здесь реализуются условия промежуточных, а не
*) Данные о теплопроводности HgTe приводятся в работе [119].
Однако они относятся к дырочному образцу с большой концентра¬
цией акцепторов и значительным вырождением состояния носите¬
лей тока, в то время как в образцах 1 — 3 электронный гае не
вырожден*

§ 18]	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AnBVl	331
сильных полей)
(17.2)
Нелинейная зависимость %у от Н может возникнуть
лишь за счет первого члена в (17.2). Отрицательный знак
эффекта в нелинейной области Щ (Н) свидетельствует
о значительной роли рассеяния носителей тока на ионах
примеси у образца 3 вплоть до 200—230° К. При повы¬
шении температуры выше 230° К, когда отношение кон-
центрации v убывает до единицы, а —— становится меньше
единицы, второе слагаемое в (17.2) начинает преобладать
над первым, знак эффекта сохраняется, но зависимость
от магнитного поля все больше приближается к линей¬
ной. При дальнейшем подъеме температуры область про¬
межуточных полей сменяется областью слабых полей,
для которой справедлива формула (7.4).
Теперь нетрудно объяснить и температурную зависи¬
мость эффекта Нернста — Эттингсгаузена. При низких
температурах %у убывает при возрастании подвижности
электронов согласно формуле (6.3) (по абсолютной вели¬
чине %у возрастает). При высоких температурах Шу
возрастает при убывании подвижности согласно форму¬
ле (7.4). При промежуточных температурах, где для элек¬
тронов осуществляются условия промежуточных маг¬
нитных полей и эффект можно в грубом приближении
описать формулой (17.2), %у достигает минимума. Не¬
совпадение температур минимума Щу (195° К) и мак¬
симума и_ (230° К) обусловлено, с одной стороны, суще¬
ственным отклонением от условий слабых полей, с дру¬
гой — появлением при этих температурах дырок в ва¬
лентной полосе.
Обе перемены знака %у при высоких температурах
хорошо объясняются теорией для слабых полей. Из (7.4)
следует, что в области собственной проводимости эффект
может стать положительным при достаточно больших Ь
и небольших Ае. Такие условия у теллурида ртути выпол¬
няются. Но, кроме того, необходимо выполнение еще
одного условия: показатель степени г (см. (4.12)) должен
быть меньше половины. Таким образом, из того факта, что

332
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ. IIГ
поле %ц между 440 и 520° К положительно, следует очень
1
важный вывод: г = 0. Другого значения г < у , соответ¬
ствующего известным механизмам взаимодействия носи¬
телей тока с кристаллической решеткой, мы не знаем.
Следовательно, основную роль в рассеянии носителей тока
при высоких температурах у селенида ртути играют аку¬
стические колебания решетки. А преобладание этого вида
рассеяния над другими означает, что доминирующим ти¬
пом химической связи у теллурида ртути является ко¬
валентная связь.
Вторая перемена знака %у при 520° К обусловлена
тем, что b с ростом температуры убывает несколько
быстрее, чем (^8 + ^Q, вследствие чего второе слагае¬
мое в (7.4) становится больше первого.
Эффект Нернста — Эттингсгаузена у первого образца
исследован в интервале температур 123—600° К (рис. 80).
Зависимость Шу от Н при высоких температурах (Т >
> 300° К) линейная, то есть здесь реализуется случай
слабых магнитных полей. Коэффициент Q-L изменяет знак
при 420 и 550° К. Оценка, аналогичная сделанной выше
для третьего образца, приводит к следующим значениям
Ъ: при 420° К Ъ = 9,3, при 550° К !) = 8,9. Отсюда нахо¬
дим, что закон температурного изменения Ь у первого
образца такой же, как у третьего: Ъ— 71-0’13.
Заслуживает внимания характер изменения поля
Нернста — Эттингсгаузена в зависимости от температуры
ниже 300° К. У образца i, в отличие от образцов 2 и 3,
не наблюдается минимума %ц (Т) вплоть до 123° К, не¬
смотря на то, что подвижность электронов при пониже¬
нии температуры ниже 200° К убывает, как и в третьем
образце. Отсутствие минимума %у (Т) в районе 200° К
можно объяснить следующим образом.
Отношение подвижностей электронов при 200 и
130° К у первого образца составляет 1,6, а у третьего
^4. Исходя из формулы (6.3) для случая слабых полей,
можно ожидать, что при уменьшении подвижности в
1,6 раза величина | %у\ должна во столько же раз умень¬
шиться. На самом же деле при понижении температуры
от 200 до 130° К \Щу\ не убывает, а возрастает в 1,3 раза,

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AHBVI
333
§ 18]
то есть становится в 2,1 раза больше, чем предсказывает
(6.3). Чтобы понять причину роста | % \ при уменьшении
температуры, следует учесть, что при низких темпера¬
турах рассеяние на акустических колебаниях решетки
(г = 0) уступает место рассеянию на ионах примеси (г = 2).
Интервал 130—200° К представляет собой как раз пере¬
ходную область от рассеяния на примесях к рассеянию
на фононах. В третьем образце, где уменьшение подвиж¬
ности электронов при понижении температуры от 200
до 130° К превосходит возрастание величины ——г аГ1
поле |	| должно убывать, что и наблюдается на опыте.
В интервале 185—290° К ^ > 1: (при 205° К и_=
=1,25 -104 см2-в~1-сек~1, при 185 и 290° К гг_=1,1 • 104 см2 х
X в~1*сек~1) и можно было бы ожидать, что вблизи 185 и
290° К кривые Шу (Т) будут иметь минимумы. Однако
на опыте наблюдается монотонное убывание %у при
уменьшении температуры. Грубая оценка с помощью фор¬
мулы (17.2) показывает, что глубина этих минимумов
должна быть малой (так как не намного больше еди¬
ницы), и при той точности, с которой производился
эксперимент, они не могли быть обнаружены *).
Следует отметить, что у первого образца, как и у тре¬
тьего, в исследованном интервале температур эффекты
увлечения не играют роли. Это подтверждается темпера¬
турной зависимостью термоэдс: при понижении темпе¬
ратуры до 123° К | ос | монотонно убывает.
Проведенный в настоящем параграфе анализ попереч¬
ного эффекта Нернста — Эттингсгаузена следует рас¬
сматривать лишь как качественный (или в лучшем случае
как полуколичественный), потому что пока не имеется
никаких сведений о структуре энергетических полос у тел-
лурида ртути**). Если судить по зависимости гальвано-
*) В работе автора [29] объяснение отсутствия этих миниму¬
мов Sy ошибочно, так как вместо формулы (17.2) применялась
формула (7.6), справедливая при условии, что не только
и_Н ,	uji .	.
—— >1, но и >1.
**) См. стр. 389.

334
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ill
и термомагнитных эффектов от магнитного поля и
температуры, то можно заметить, что HgTe во многом схо¬
ден с InSb. Об энергетическом спектре InSb известно (см.
§17), что края валентной полосы и полосы проводимости
расположены при р = 0 и что энергетические поверхности
электронов сферичны (или почти сферичны). Если и у
HgTe закон дисперсии для электронов изотропен, то все
оценки, сделанные в настоящем параграфе, достаточно
точны, так как основной вклад в проводимость электрон¬
ных образцов вносят высокоподвижные электроны (b > 1),
и структура валентной полосы, как бы она ни была слож¬
на, мало скажется на зависимости эффектов от темпе¬
ратуры и магнитного поля.
§ 19. Соединения типа AIVBVI
Группа PbS
Изучению физических свойств полупроводников ти¬
па PbS посвящено много исследований. Эта группа кри¬
сталлов привлекла к себе внимание, с одной стороны,
потому, что PbS и его аналоги благодаря чувствительности
к инфракрасному излучению и транзисторным свойствам
могут быть использованы в качестве инфракрасных прием¬
ников и кристаллических усилителей и детекторов; с дру¬
гой стороны, физические свойства соединений типа PbS
отличаются рядом особенностей, которые представляют
большой теоретический интерес. Так, например, обычно
в гомологических рядах полупроводников ширина запре¬
щенной полосы уменьшается с увеличением атомного
номера составляющих элементов в согласии с тем фак¬
том, что энергия связи валентных электронов умень¬
шается при возрастании атомного номера. В группе PbS
наблюдается аномалия: у PbSe ширина запрещенной
полосы меньше, чем у РЬТе. Это, возможно, связано со
сложной структурой энергетических полос и малым
различием величин Де. В отличие от большинства полу¬
проводников у группы PbS наблюдается положительная
температурная зависимость ширины запрещенной полосы
с коэффициентом ^+4-10'4 эв-град~1. Как показывает
расчет [120], основной причиной аномальной темпера¬
турной зависимости Де следует считать изменение по-

§ 19]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AIVBVI
335
стоянной решетки. Тепловые колебания решетки должны
обусловить отрицательный знак температурного коэф¬
фициента.
Небольшие различия значений Дев соединениях груп¬
пы PbS обусловлены, по-видимому, тем обстоятельством,
что атомы свинца играют определяющую роль в образо¬
вании как валентной полосы, так и полосы проводимости,
в отличие от кристаллов типа AmBv, где полосы
образуются путем комбинации энергетических уровней
компонентов.
Обычно полупроводники типа AIVBVI, в первую оче¬
редь сернистый свинец, относят к ионным кристал¬
лам [63, 118, 121, 138]. Нам представляется, что для этого
нет достаточных оснований, в особенности по отношению
к РЬТе и PbSe. Остановимся вкратце на вопросе об опре¬
делении типа сил связи.
Ряд механических, тепловых, электрических и опти¬
ческих свойств кристаллов существенно зависит от ха¬
рактера сил связи в них. О типе связи кристалла очень
часто судят именно по его физическим свойствам. Так,
например, отличительными признаками металлической
связи являются большая удельная электропроводность
и возрастание ее при понижении температуры. Высокие
значения показателя преломления, определяющие ха¬
рактерный смолистый блеск, свидетельствуют о пре¬
обладании ковалентного типа связи. Ряд оптических
свойств ионных кристаллов, в частности поглощение
света, мало изменяется при растворении этих соединений,
чем они существенно отличаются от ковалентных кри¬
сталлов.
Несмотря на большое внимание, которое уделялось
и уделяется проблеме сил связи, до настоящего вре¬
мени нет достаточно простых и надежных методов
определения типа связи. Для определения типа связи
в кристаллохимии пользуются такими характеристиками,
как энергия решетки, размер и поляризуемость ионов,
разность электроотрицательностей компонентов соедине¬
ния. Если, например, разность электроотрицательностей
велика, считают, что в кристалле преобладает ионная
связь, если эта разность мала — преобладает ковалент¬
ная связь. Однако все эти методы весьма неточны и не

336
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
дают обычно однозначного решения вопроса. Кроме того,
из-за экспериментальных трудностей отсутствуют све¬
дения о ряде характеристик кристаллов, значение кото¬
рых необходимо для выяснения типа связи. Это отно¬
сится в первую очередь к большинству полупроводниковых
соединений.
Выяснение характера сил связи является, безусловно,
одной из важнейших задач как кристаллохимии, так
и физики твердого тела. Следует между тем помнить,
что у большинства реальных кристаллов осуществляется
промежуточный тип связи, и лишь у немногих веществ
связь приближается к какому-либо «чистому» типу. Кроме
того, кристаллы, большей частью, обладают гетеродесми-
ческой структурой, то есть структурой, в которой между
атомами могут действовать связи различного типа.
Поэтому можно, очевидно, говорить лишь о большей
или меньшей степени преобладания того или иного
вида связи в данном кристалле, а не о «чистом» типе
связи.
Анализ имеющихся в литературе данных о физиче¬
ских свойствах кристаллов группы PbS свидетельствует,
на наш взгляд, о том, что ковалентная связь преобладает
у них над ионной. Приведем несколько примеров.
1. Образование того или иного типа связи*) опреде¬
ляется главным образом способностью ионов соединения
поляризоваться или поляризовать соседние ионы. Чем
больше эта способность, тем сильнее выражена ковалент¬
ная связь и слабее — ионная. Электрический момент еди¬
ницы объема, характеризующий степень поляризации,
зависит как от индуцированного момента каждого иона,
так и от их концентрации. Следовательно, о степени полн¬
ее
ризации можно судить по величине -у, где аэ — элек-
ги
тронная поляризуемость, ги — радиус иона. Сопостав¬
ляя значения поляризуемости и радиусы различных
ионов **) [122], можно заметить, что у Pb++, Cu+, Ag+,
*) Речь идет о ковалентном и ионном типах связи.
**) Следует отметить, что величина поляризуемости иона
в некоторой мере зависит от того, в какое соединение ион входит,
и лишь приближенно можно считать, что аэ данного иона одина¬
кова для различных соединений.

§ 19]	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА A1V BVI	337
Hg++ -| намного больше, чем у ионов щелочных и щелоч-
ГИ
но-земельных металлов*), а у О”, S"", Se"", Те"" -| боль-
г
'и
ше, чем у ионов галоидов. Следовательно, в соединениях,
содержащих РЬ++ и др. катионы и S"” и др. анионы, ко¬
валентные связи должны быть выражены значительно
сильнее, чем у соединений, содержащих катионы Na+
и др. и анионы СГ и др.
2.	Найденные экспериментально по круговому про¬
цессу Борна — Габера энергии решеток сернистого и се¬
ленистого свинца (731 и 735 ккал-моль'1) заметно отли¬
чаются от значений энергий, вычисленных по теории
Борна для ионных кристаллов (705 и 684 ккал-молъ"1),
в то время как у щелочно-галоидных кристаллов или
у таких окислов, как Li20, NiO и ZnO, совпадение тео¬
рии с экспериментом хорошее: у КС1, например, теория
и эксперимент дают одно и то же значение, у NiO рас¬
хождение составляет всего 2 ккал-молъ'1.
3.	Важным критерием, позволяющим отличить ионный
кристалл от ковалентного, является соотношение величин
электронной и ионной поляризаций, которое характе¬
ризуется соотношением статической (х) и оптической
(х0=я2) диэлектрических проницаемостей. Сравним ве¬
личины х и х0 для сернистого свинца — для других сое¬
динений этой группы величины х, к сожалению, не изме¬
рены. Согласно таблицам Ландольта [123] у PbS х =
= 17,9, а х0 = 17,5 (для X = 6 микрон) по данным рабо¬
ты [124], а в справочнике [125] для О-ттШ натрия при¬
водится значение х0=15,3. Различие между величи¬
нами х и х0 невелико, а следовательно, электронная поля¬
ризация у PbS должна преобладать над поляризацией,
обусловленной смещением ионов. Авторы [121] приводят
для х значение порядка 70, оцененное по сжимаемости
и частотам остаточных лучей, однако достоверность этого
результата неясна.
*) Имеет место общее правило, согласно которому катионы
с 18-электронной наружной оболочкой поляризуют соседние ионы
и поляризуются сами сильнее, чем катионы с 8-электронной обо¬
лочкой.
22 If. М. Цидильновский

33S
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛ Е710ВАНШ1
[ГЛ ГП
В монографии С. И. Пекара [63], где сернистый свинец
рассматривается как ионный кристалл, для х0 принято
значение 2,81, резко отличающееся от приведенных выше
экспериментальных данных. Если же принять, что х0 =
= 17,5, то критерий существования /"'-центров, наличие
которых существенно используется в [63] для объясне¬
ния ряда свойств PbS, в частности металлического харак¬
тера электропроводности, выполняется намного хуже,
чем при х0 = 2,81.
4. Для выяснения вопроса о том, какой тип связи
преобладает в данном соединении, безусловный интерес
представляет изучение кинетических эффектов. Согласно
теории ионных кристаллов подвижность носителей тока
при температурах ниже характеристической ^0О = ^^
должна экспоненциально убывать с ростом температуры:
и = и0(е^т—1), а для Т > 0о теория предсказывает сте¬
пенной закон убывания:
В предположении, что PbS ионный кристалл, С. И. Пе-
кар [63] аппроксимирует кривую температурной зави¬
симости подвижности электронов, полученную экспери¬
ментально Ю. А. Дунаевым и Ю. П. Маслаковцем [126],
экспонентой. При этом в области низких температур
намечается расхождение между экспериментальной и тео¬
ретической кривыми. Из сравнения этих кривых для
и(Т) величина характеристической температуры была
найдена равной в [63] 865° К. Согласно справочнику [125]
у сернистого свинца температура Дебая 0 ^ 223° К,
а авторы [127], измеряя теплоемкость, установили, что 0
находится в пределах 150—230° К. Согласно данным ра¬
боты [205] частота остаточных лучей (ot = 2,35 • 1013 сек'1.
Отсюда для характеристической температуры 0О нахо¬
дим [166]
Таким образом, измерения 10. А. Дунаева и Ю. II. Мас-
лаковца относятся к температурам, превышающим ха¬
рактеристическую, для которых теория ионных кристал¬
лов требует, чтобы и— Т_1/а, в то время как эксперимен¬
тальная кривая работы [126] хорошо аппроксимируется
во всем температурном интервале функцией и ~ 71"2»3.

§ 19	СОЕДИНЕНИЯ ТИПА A*VBV*	339
Таким образом, температурная зависимость подвиж¬
ности электронов у сернистого свинца не соответствует
теории ионных кристаллов. То же относится к селени¬
стому и теллуристому свинцу, у которых, как и у PbS,
выше —100° К и—Т'ь!2 (см., например, [160]). В связи
с этим следует указать на ошибочность интерпретации
температурной зависимости подвижности электронов у
РЬТе Чазмара и Путли [159], которые предположили, что
РЬТе — ионный кристалл с высокой характеристической
температурой. Из зависимости и(Т) выше ^450° К они
нашли 0О = 1300° К, что на порядок превышает темпера-
туру 0О = 185° К, определенную по частотам остаточных
лучей [205]. Петриц и Скэнлон [161] пытались объяснить
температурную зависимость подвижности носителей тока в
PbS, исходя из наличия одновременного рассеяния на
акустических и оптических колебаниях решетки. Однако
закон и~Т'г°!* им не удалось получить. Л. С. Стильбанс
и др. [163, 164] предположили, что зависимость вида
Г"5/2, наблюдавшаяся этими авторами у теллурида свинца,
обусловлена двухфононным механизмом рассеяния носи¬
телей тока. Однако зависимость времени релаксации но¬
сителей у РЬТе (т—е"1/2) противоречит предсказаниям
теории двухфононного рассеяния, согласно которой (см.
(5.27')) т не должно зависеть от е (см. раздел о HgSe).
Большой интерес представляют исследования термо¬
магнитных эффектов, которые очень чувствительны к ха¬
рактеру взаимодействия носителей тока с кристалличе¬
ской решеткой. Для различных типов связи теория твер¬
дого тела предсказывает различные механизмы рассея¬
ния носителей тока (см. § 5). У кристаллов с атомной
решеткой носители тока рассеиваются акустическими ко¬
лебаниями, у ионных кристаллов — в основном оптиче¬
скими колебаниями, сопровождающимися поляризацией
вещества.
Каждому виду рассеяния соответствует определенная
зависимость времени релаксации носителей тока (есте¬
ственно, в тех случаях, когда его можно ввести) от энер¬
гии и температуры (см. табл. 2). По температурной зави¬
симости гальвано- и термомагнитных эффектов обычно
трудно, а иногда и вовсе невозможно однозначно
установить закон температурного изменения времени
22*

340
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ |ТЛ. III
PbS
PbSei
PbSe2
о (ом*1-см*1)
R (см3 • кулон*1)
п . 10~18 см*3
и см2 • в*1 • сек*1
450
—1,15
0,5
430
165
+3,8
1,95
530
126
—0,92
8,0
98
*) Подвижность и концентрация электронов v РЬТеЗ рассчи
и_Н . .
измерения проводились в условиях, когда —-—>1.
релаксации. Это можно проиллюстрировать примером
полупроводников, у которых подвижность носителей тока
изменяется пропорционально	или таких, как закись
меди, у которой подвижность дырок в различных интер¬
валах температур изменяется по различным степенным
законам, совершенно не согласующимся с теорией. Зави¬
симость времени релаксации от энергии слабо сказывается
на гальваномагнитных явлениях (за исключением эффек¬
та Эттингсгаузена, см. [47]), но оказывает решающее
влияние на термомагнитные явления, главным образом,
на эффекты Нернста — Эттингсгаузена. Как показано
в § 6, один лишь знак поперечного или продольного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена в случае примесной
проводимости позволяет судить о величине показателя
степени г (т—ег_1/2): больше он или меньше половины.
Совместное же исследование обоих эффектов в области
слабых магнитных полей позволяет определить значение г,
а в области сильных полей г можно непосредственно найти
из одного продольного эффекта.
Проанализируем результаты измерений поперечного
и продольного эффектов Нернста — Эттингсгаузена у
PbS, PbSe и РЬТе, произведенных автором [22, 50, 208],
и для сравнения приведем результаты -измерений Пут¬
ли [19] поперечного эффекта у PbSe (в работе [19] при¬
водится также кривая температурной зависимости попе¬
речного эффекта у РЬТе, аналогичная соответствующей
кривой для нашего третьего образца).

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AlVBV1
341
§ 19]
Таблица 18
РЬТеЗ
[19]
PbSe.3
PbTel
PbTe2
125° К
300° К
359
240
1600
1100
100
+2,9
—2,0
—1,45
-14,9
-0,9
2,55
3,7
5,1
0,42 4
—
880
400
1950
16 400 ♦)
—
таны по формулам для сильных магнитных полей, так как
В табл. 18 приведены основные электрические пара¬
метры всех образцов для Г = 300°К. Для образца РЬТеЗ
приводятся данные и при Т—\2Ъ° К, так как при 300° К
проводимость у него смешанная.
Образцы PbS, PbSel, PbSe2, PbTel и РЬТеЗ — поли¬
кристаллы, PbSe3 и РЬТе2 — монокристаллы. Образцы
PbSel и РЬТеЗ получены медленным охлаждением синте¬
зированного вещества, a PbS, PbSe2 и PbTel — горячей
прессовкой.
У всех образцов температурный коэффициент электро¬
проводности в области примесной проводимости отрица¬
телен. Область собственной проводимости в зависимости
от содержания примесей начинается у разных образцов
при различных температурах: у PbSel — при ^ 500° К,
у РЫЗеЗ — при ^ 700° К, у РЬТеЗ — при ^ 380° К, у
остальных образцов до ^ 750° К проводимость при¬
месная.
На рис. 82—86 показаны кривые температурной зави¬
симости поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена.
При низких температурах эффект у всех образцов, за
исключением РЬТеЗ, положителен. В области смешанной
проводимости эффект становится отрицательным в полном
соответствии с теорией (см. § 7).
Положительный знак (или (Д) означает согласно
(6.3), что показатель г<. Для того чтобы вычислить
величину г, воспользуемся результатами измерений про-

342
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
дольного эффекта Нернста — Эттингсгаузена. Так как
теплопроводность, обусловленная носителями тока у
Рис. 82. Зависимость безраз¬
мерного поля поперечного
эффекта Нернста — Эттин¬
гсгаузена от температуры
для образца сульфида свин¬
ца (Д) и для первого образца
теллурида свинца (О)- #=
= 9200 эрстед [208].
соединений группы PbS, значительно меньше теплопро¬
водности решетки (если только электронный газ не сильно
вырожден) *), то при интерпретации экспериментальных
*) Так, например, для образца сернистого свинца [126] с вы¬
сокой концентрацией электронов (8 • 1018 см~3 при 300° К)
Рис. 83. Зависимость коэффициента
поперечного эффекта Нернста — Эт¬
тингсгаузена от температуры для пер¬
вого (О) [208] и третьего (•) [19] образ¬
цов селенида свинца.

& 10]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AIV VI
343
данных можно пользоваться формулами для изотермичес¬
кого случая.
Из формул (6.3) и (6.20) имеем
(19.1)
В табл. 19 приведены значения	рассчитанные с по¬
мощью (19.1) для различных г.
Рис. 84. Зависимость безраз¬
мерного поля поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгау-
зена от температуры для вто¬
рого образца селенида свинца.
Я = 9100 эрстед [208].
Рис. 85. Зависимость безраз¬
мерного поля поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгау-
зена от температуры для вто¬
рого образца теллурида свин¬
ца. Я=9950 эрстед [208].
Экспериментальные значения %\!%х следующие:	у
PbS 0,1—0,25 в интервале 130—330° К; у PbSel 0,15—0,3
в интервале 130—300° К и 0,32—0,34 в интервале 300—
350° К; у PbSe2 0,1—0,22 в интервале 135—330° К;
у PbTfc-7 0,2—0,31 в интервале 200—320° К; у РЬТе2

ш
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Таблица 19
г
0
1/2
1
2
<Sy/&Х
+0,323
0
—0,426
—0,702
0,15—0,25 в интервале 200—300° К; у РЬТеЗ 0,01—0,03
в интервале 125—220° К (область температур, где дырки
ГК
Рис. 86. Зависимость коэффициента поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгаузена от температуры для
третьего образца теллурида свинца.
еще не влияют на эффекты Нернста — Эттингсгаузена
у РЬТеЗ). При высоких температурах продольный эффект,
убывающий с ростом температуры пропорционально квад¬
рату подвижности носителей тока, становится столь ма¬
лым, что его нельзя с достаточной степенью точности изме¬
рять, а следовательно, и определять отношение
Сравнение экспериментальных данных с теоретиче¬
скими показывает, что у всех образцов, за исключением
РЬТеЗ, величина Щ/¥>х лучше всего соответствует значе-

§ ‘J9l
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AlVBVl
345
нию г = 0. У PbSei и, в несколько меньшем интервале тем¬
ператур, у PbTei экспериментальные значения %ll%x
хорошо совпадают с теоретическими для случая г=0. У дру¬
гих образцов расхождение между опытными и теоретиче¬
скими данными больше. При понижении температуры со¬
гласие ухудшается у всех образцов, в том числе и у PbSei.
Отклонение опытных данных от вычисленных по формуле
(19.1) обусловлено частичным вырождением электрон¬
ного газа, которое возрастает при понижении температуры.
Если судить по термоэлектродвижущей силе, то можно
заключить, что у РЬТеЗ газ носителей тока не вырожден
во всем исследованном интервале температур, у PbSei
и PbSe3 слабое вырождение должно наступать при самых
низких температурах, у PbTei частичное вырождение
имеет место при температурах ниже ^ 250° К, у РЬТе2
вырождение распространяется до ^ 300° К, у PbS— до
^ 350° К, у PbSe2 — до ^ 400° К.
Отрицательный знак Шу и малые значения Ш1/Шх у
РЬТеЗ при низких температурах можно объяснить влия¬
нием эффектов увлечения на термомагнитные явления.
Об этом свидетельствует и температурный ход коэффи¬
циента термоэдс а: ниже 180° К | а| начинает заметно воз¬
растать при уменьшении температуры.
Итак, совместные измерения продольного и поперечно¬
го эффектов Нернста — Эттингсгаузена у соединений груп¬
пы PbS показали, что для области температур, где носи¬
тели тока взаимодействуют с колебаниями решетки, г = 0*,
то есть в рассеянии преобладают акустические колебания,
и доминирующим типом связи является ковалентная связь.
А. В. Иоффе и А. Ф. Иоффе, изучая связь между элек¬
тронной теплопроводностью и электропроводностью тел-
лурида свинца [162], также пришли к выводу, что г = 0.
Значение г = 0 получили Л. С. Стильбанси др. [163, 164],
анализируя измерения термоэдс и подвижности у ряда
образцов РЬТе с различным содержанием примесей.
Зная, что г = 0, можно с помощью формулы (6.3) вы¬
числить подвижность носителей тока в той области темпе¬
ратур, где Шу>0. Такие вычисления показали, что выше
200—250° К подвижности дырок и электронов у всех
'*) См. стр. 389.

;М6	ОКОП ЕРИ МЕНТАЛЬНЫ Ё ЙССЛКД0Г1АШШ	t ГЛ. Ill
образцов изменяются пропорционально	при более
низких температурах и± ~ Т~1	71-1*8, а у РЬТеЗ
~ 71'5/2 до 120° К. Температурные зависимости подвиж¬
ностей, найденных из поперечного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена, точно совпадают для всех образцов с соот¬
ветствующими кривыми подвижностей, определенных по
эффекту Холла. Однако количественное согласие не во
всех случаях одинаково хорошее. Значения их и ии _э сов¬
падают в интервале температур, где % ^ 0 (в пределах точ¬
ности эксперимента), у PbSel и PbSe<3. У остальных образ¬
цов, кроме PbSe2, их в 1,5—2 раза больше мп _э , причем
расхождение увеличивается при понижении температуры.
Разногласие между данными эффектов Холла и Нернста —
Эттингсгаузена можно объяснить более сильным влиянием
вырождения газа носителей тока на последний эффект.
Вырождение приводит к значительному уменьшению коэф¬
фициента Q-L (см. § 14) и сравнительно мало изменяет по¬
стоянную Холла. При повышении температуры, то есть
при приближении к области смешанной проводимости,
где поле % становится отрицательным, нернстовские
подвижности, рассчитанные по (6.3), также должны быть
меньше холловских вследствие существенного влияния на
величину Шу появляющихся носителей другого знака.
У PbSe2 наблюдается обратное явление: нернстовские
подвижности электронов примерно в 2—2,5 раза больше
холловских. Можно думать, что это различие связано
с неплотной зернистой структурой образца, которая вно¬
сит искажения в величину электропроводности и вместе
с тем несущественно влияет на термомагнитные явления.
Следует отметить, что исследования, проведенные на
дырочных и электронных образцах селенида свинца, под¬
твердили независимость знака поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от знака носителей тока.
Кроме того, установлен интересный факт: поля и %х
при понижении температуры растут, не обнаруживая
никакой тенденции не только к перемене знака, но даже
к насыщению. Это должно свидетельствовать о чрезвы¬
чайно малой роли ионов примеси в рассеянии носителей
тока, а следовательно, и в температурной зависимости
подвижности и кинетических эффектов. Пока неясна
причина того, что столь большие концентрации примесных

§ 20]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AvB\'l
347
ионов—1018 —1019 см~г почти не сказываются на рассея¬
нии носителей тока, в то время как у Ge, Si, InSb и дру¬
гих полупроводников при концентрации ионов примеси
~ 1016 см~3 рассеяние на них доминирует до комнатных
температур. Л. С. Стильбанс и др. [164] предположили,
что этот факт может быть объяснен следующим образом.
1.	При больших концентрациях примеси образуется
примесная полоса.
2.	Если расстояние между ионами примеси становится
меньше длины волны электронов, следует рассматривать
взаимодействие электрона с решеткой примесей, а не
с отдельными примесными ионами. Рассеяние при этом
будет определяться только отступлением от правильного
чередования ионов.
3.	При больших концентрациях примеси доноры и ак¬
цепторы могут соединяться между собой, образуя ней¬
тральные комплексы (диполи), рассеяние на которых неиз¬
меримо слабее, чем на примесных ионах.
В заключение следует обратить внимание на следую¬
щую особенность поперечного эффекта Нернста — Эттингс-
гаузена у селенида свинца. Оказывается, что постоянная
(Д почти одинакова по величине у поликристаллических
и монокристаллических образцов PbSe с близкими по
величине подвижностями и концентрациями носителей
тока (ср. кривые (Д (Г) для образцов PbSel и PbSe3).
Это позволяет думать, что небольшое отличие энергетичес¬
ких поверхностей дырок и электронов от сферических,
которое согласно измерениям сопротивления в магнитном
поле [197, 209] должно, но-видимому, иметь место у
селенида свинца, не приводит к заметным изменениям
численного коэффициента в постоянной (Д.
§ 20. Соединения типа AVBVI
Селенид висмута
Соединения сурьмы и висмута с селеном и теллуром,
принадлежащие к группе AYBVI, являются хорошо про¬
водящими полупроводниками, у которых электронный газ
находится на грани вырождения. Некоторые из этих ве¬
ществ стали в последнее время применять в качестве мате¬
риалов для термоэлементов.

348
.'ЖСЛЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1ГЛ. III
Термомагнитные явления исследовались в двух соеди¬
нениях этой группы — в селениде и теллуриде висмута.
В работе [128] приведены кривые температурной зависи¬
мости поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
для поликристаллического теллурида висмута. Мэнсфилд
и Вильямс [136] исследовали тот же эффект на монокри¬
сталлах теллурида висмута в области 100—600° К и обна¬
ружили следующую особенность его. Если магнитное поле
параллельно градиенту температуры, который направлен
Рис. 87. Зависимость коэффициента поперечного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена от температуры у селенида висму¬
та для шести образцов [30].
вдоль плоскостей спайности, эффект в 2,4±0,1 раза боль¬
ше, чем при Н\УТ. Аналогичная анизотропия наблю¬
далась и для эффекта Холла.
Проанализируем результаты исследований термомаг¬
нитных явлений, проведенных автором с сотрудниками на
селениде висмута [30, 50]. Измерения производились на
поликристаллических образцах, изготовленных либо прес¬
совкой при высокой температуре, либо медленным охлаж¬
дением синтезированного вещества. Температурный ин¬
тервал измерений 120—700° К. Два образца — первый

§ 20]
349
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AVBVI
и третий — обладали дырочной проводимостью, четыре —
электронной. Концентрации носителей тока, вычисленные
по эффекту Холла в области примесной проводимости
(при Т < 200° К), составляют: у первого образца — 1,2 X
ХЮ19 см"3, у второго —1,6 • 1018 см'3, у третьего — 1,9 X
ХЮ19 см~3, у четвертого —1,2 • 1018 см~3, у пятого (лито¬
го)—1,5 • 1019 см"3, у шестого —1,7 • 1019 см'3. На рис. 87
показаны графики температурной зависимости коэффи¬
циента поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена
Q-L для всех шести образцов.
Наибольший интерес представляет ход Q-^(T) у второго
и четвертого образцов при низких температурах, где эффект
Рис. 88. Зависимость от температуры коэффициента
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена в ин¬
тервале 120—200° К для второго и четвертого образ¬
цов селенида висмута [30].
отрицателен. В области 120—-200° К |(Д-| ^Т'3 у второго
образца и |(?-L| ~ Т"1-3 — у четвертого*)(рис.88). Такую
температурную зависимость поперечного эффекта нельзя
объяснить при помощи теории, учитывающей лишь обыч¬
ный дрейф носителей тока (формула (6.3)).
Действительно, отрицательный знак поперечного
эффекта у кристалла Bi2Se3, у которого ионные связи
*) В работе [30] допущен ряд опечаток и, в частности, невер¬
ны показатели степеней для зависимостей Q-L (77).

350
•ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Ill
выражены заведомо слабее ковалентных, можно было бы
отнести за счет рассеяния носителей тока ионами примеси
(г = 2; см. табл. 2). Но в этом случае мы сталкиваемся
при интерпретации эксперимента с двумя трудностями.
Во-первых, рассчитанные по эффектам Холла и Нернста —
Эттингсгаузена подвижности значительно различаются
Рис. 89. Зависимость коэффициента термоэдс от температу¬
ры для четырех образцов селенида висмута:	второго,
третьего, пятого и шестого [30].
между собой: при 200° К, например, их^10нн _э . Во-
вторых, согласно (6.3) температурная зависимость попе¬
речного эффекта определяется температурной зависимо¬
стью подвижности носителей тока. Однако подвижность
их У образцов 2, 4 и 5 ниже 450° К изменяется по закону

§ 20]	СОЕДИНЁНЙЯ ТИПА AVBV1	35l
7т-о,5—f Jв то время как |(Д| возрастает значительно
резче при понижении температуры.
Для объяснения наблюдаемой зависимости (Д-(Г) у об¬
разцов 2 и 4 в области низких температур можно предполо¬
жить, что здесь существенным является влияние эффекта
увлечения носителей тока фононами. Это предположение
находит подтверждение в температурном ходе коэффи¬
циента термоэдс (рис. 89), который у второго образца,
например, убывает (по абсолютной величине) при повыше¬
нии температуры от 120 до 160° К согласно закону:
lal^T1"1»6. Аналогичное убывание |а| с ростом темпера¬
туры наблюдалось на Ge, Si, InSb, сером олове и объяс¬
няется влиянием на термоэдс эффекта увлечения. При
невырожденном электронном газе влияние увлечения на
эффект Нернста — Эттингсгаузена должно быть значи¬
тельно сильнее, чем на термоэдс (см. § 13).
Селенид висмута не является кубическим кристаллом,
н расчет В. Л. Гуревича и Ю. Н. Образцова [54], Паррота
[130] и Херринга [175] (как и расчет Аппеля [84] для
случая, когда время релаксации фонон-фононного взаи¬
модействия Тф,ф не зависит от волнового числа q)
нельзя количественно сравнивать с опытом. Более того,
как показано в § 13, различные предположения о зависи¬
мости Тф,ф(<?) приводят не только к различным численным
коэффициентам эффектов, но даже и к различным знакам
и зависимостям от магнитного поля (различия в зависи¬
мости от Н имеют место в основном в области промежуточ¬
ных полей). Кроме того, теория, учитывающая влияние
увлечения, развита для сферических и эллипсоидальных по¬
верхностей энергии носителей тока, а об энергетическом
спектре селенида висмута никаких сведений не имеется.
Поэтому сравнивать с экспериментом следует лишь по¬
рядок величин и температурную зависимость эффектов.
Относительно знака поперечного эффекта для достаточ¬
но чистых полупроводников, у которых роль рассеяния
носителей тока на ионах примеси мала, можно, по-види¬
мому, сделать более определенное заключение. Если время
релаксации фонон-фононного взаимодействия возрастает
при убывании волнового числа д, з именно, такая зави¬
симость Тф,ф (q) должна согласно Херрингу [85] иметь
место у большинства кристаллов (§ 13), фононная

352
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИИ
[ГЛ. Ill
составляющая поперечного эффекта {Шу)ф будет отрица¬
тельной. Если зависимость Тф,ф (q) иная, поле (%у)ф будет
положительным
Так как исследованные образцы являются поликри¬
сталлами, можно их в первом приближении считать изо¬
тропными, независимо от того, какова симметрия кристал¬
ла селенида висмута. Можно также полагать, как отме¬
чалось в § 16, что для образца, состоящего из многих раз¬
личным образом ориентированных кристалликов с анизо¬
тропным законом дисперсии, в каком-то приближении
справедливы формулы явлений переноса, выведенные для
изотропной квадратичной зависимости энергии от квази¬
импульса.
В работе [105] показано, что у германия при 100—
150° К увеличение концентрации примеси от ~ 1014 до
~1018 см'3 не приводит к заметному уменьшению
фононной части термоэдс аф . Это позволяет заключить,
что рассеяние фононов носителями тока мало и не приво¬
дит к существенному отклонению функции распределения
фононов от равновесной, вследствие чего термоэлектри¬
ческие и термомагнитные коэффициенты можно предста¬
вить как сумму независимых электронной и фононной
составляющих. Полагая, что и для селенида висмута с
концентрацией носителей тока ~ 1018 см~3 допустимо
разделение эффектов на две независимые части, попы¬
таемся произвести некоторое количественное сравнение
эксперимента с теорией. При сделанных выше предпо¬
ложениях термоэдс выражается формулой (13.1)
(13.1)
Так как в интервале температур 170—300° К а ^ аэ,
можно, используя величину концентрации электронов,
определенную по эффекту Холла, вычислить их эффектив¬
ную массу т_, а затем найти коэффициент аэ в интервале
120—160° К. Эффективная масса электронов оказалась
равной 0,18 т0, а абсолютные значения фононной части
термоэдс |аф| = |а—аэ|~Г‘2’8. Из (13.1) находим, что
тф—Г^-2’3. Соответствующая оценка для постоянной
— q£- в интервале 120—200° К показывает, что
|(?ф|~ 71"1’5, и согласно (13.16) Тф^Т-0»6.

20]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AVBVI
353
Для упруго изотропного полупроводника теория пред¬
сказывает, что время релаксации фонон-фононного взаи¬
модействия тф,ф—Т~г (см. § 13). Учитывая возможность
отклонений от сделанных предположений при определе¬
нии температурной зависимости Тф, в частности, вероят¬
ное рассеяние фононов на электронах и границах зерен,
а электронов на примесях, следует признать удовлетво¬
рительным согласие между данными, полученными из из¬
мерений термоэдс, и теоретической зависимостью Тф,ф(Г).
Произведенное количественное сравнение теории с экспе¬
риментом позволяет во всяком случае утверждать, что
качественные соображения о влиянии увлечения верны.
Значительное расхождение между теоретической зависи¬
мостью Тф,ф(Г) и зависимостью, определенной по эффекту
Нернста — Эттингсгаузена, связано, по-видимому, с боль¬
шей чувствительностью этого эффекта по сравнению с тер¬
моэдс к характеру рассеяния носителей тока и фононов.
С одной стороны, возможное рассеяние фононов на элек¬
тронах приводит к более сильной взаимозависимости
электронной и фононной частей Q-L, чем а (то есть нару¬
шается условие аддитивности ^ и	положенное
в основу оценки тф (Т)). С другой стороны, рассеяние элек¬
тронов на ионах примеси существенно влияет на (Д и
сравнительно мало на а.
Продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена у вто¬
рого образца сравнительно мал. При понижении темпе¬
ратуры от 160 до 120° К поле Шх возрастает, оставаясь
положительным, в согласии с теорией для случая рассея¬
ния носителей тока на акустических фононах (§§ 6 и 13).
У образцов с большей концентрацией электронов, чем
у второго, эффект увлечения сказывается слабее. У образ¬
ца 6 с наибольшей концентрацией электронов (электрон¬
ный газ частично вырожден) увлечение вовсе не влияет
в исследованном интервале температур ни на термоэдс,
ни на эффект Нернста — Эттингсгаузена. У четвертого
образца, у которого концентрация электронов несколько
меньше, чем у второго, зависимость (Д(Т') в области низ¬
ких температур неожиданно оказалась более слабой, чем
у второго образца. Это объясняется, по-видимому, с одной
стороны, заметным влиянием рассеяния фононов на гра¬
ницах зерен (образец 4 очень мелкозернистый) и, с другой
lU 23 И. М. Цидильковский

354
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВ АНИЯ
1ГЛ.
стороны, менее резкой зависимостью подвижности элек¬
тронов от температуры.
Положительная часть кривых Q^(T) определяется
обычным рассеянием носителей тока на акустических коле¬
баниях решетки. Величины подвижностей электронов,
вычисленные с помощью (6.3) в области температур, при¬
мыкающей к максимуму (Д(Т'), в предположении, что
г = 0, хорошо согласуются с подвижностями, найденными
из эффекта Холла. Так, например, у второго образца при
360° К ин-э = 760 см'.сг^секГ1, а ггх = 780 см2-в~1-сек~1.
При повышении температуры различие между их и ин-э
начинает возрастать из-за влияния появляющихся носи¬
телей тока другого знака.
При температурах, превышающих 450° К, когда по
данным /?, а и а проводимость становится смешанной,
эффект Нернста — Эттингсгаузена должен был бы, каза1
лось, стать отрицательным (см. (7.4)). Отсутствие перемены
знака в области смешанной проводимости можно объяс¬
нить тем обстоятельством, что у селенида висмута велико
отношение подвижностей электронов и дырок Ь. Это пред¬
положение подтверждается непосредственной оценкой ве¬
личины b различными методами. Отношение подвижностей
электронов и дырок, вычисленное по эффекту Холла для
образцов 2 и 3 при Т < 200° К, составляет ^ 13. Отно¬
шение эффективных масс, оцененных по величинам термо-
эдс, приводит к значению	2^12. Так как
при температурах, где у дырочных образцов становится
положительным (рис. 87), имеет место собственная прово¬
димость, то есть п+ = п_, находим из (7.4), что b ъ 17 для
третьего образца (470° К) и b ъ 20 для первого (670° К).
При этом для ширины запрещенной полосы энергии Де
было использовано значение Дезоо°к = 0,27 эв [129].
Следует принять во внимание, что с ростом темпера¬
туры Де уменьшается, и, следовательно, приведенные
значения 6, вычисленные по формуле (7.4) для Т > 300° К,
завышены. Кроме того, возможны заметные погрешности
при пользовании формулой (7.4), если условия экспери¬
мента отклоняются от изотермических. Можно ожидать,
что электронная доля теплопроводности у селенида вис¬
мута не мала (как и у теллурида висмута), и, следова¬
тельно, отклонение от изотермичное™ может быть зна-

20]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА Av BV1
355
чительным. Оценка Ь по известному соотношению для
эффекта Холла у дырочных полупроводников: | /?Макс|/^пр=
=	дает для пеРВ0Г0 образца значение Ь ъ 13, для
третьего ^ 12.
Таким образом, положительный знак поперечного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена в области собствен¬
ной проводимости, а также оценки величин повижности
позволяют прийти к заключению, что у селенида висмута
выше 150—300° К (для образцов с различным содержа¬
нием примесей эти температуры различны) носители тока
взаимодействуют в основном с акустическими колебаниями
решетки. Этот вывод подтверждается и температурной
зависимостью подвижности электронов, которая выше
450°К убывает с ростом температуры по закону:	T~z *.
Графики зависимости поперечного эффекта от темпера¬
туры у дырочных образцов 7 и 3 подобны между собой.
Различия заключаются в том, что кривые Q-L (77) сдвинуты
по температуре и отличаются по величине при низких
температурах. Это можно объяснить, если принять во
внимание, что концентрация примесных ионов у третьего
образца больше, чем у первого. Отсюда следует, что ми¬
нимум (Д(77)у третьего образца должен быть смещен в сто¬
рону более высоких температур. С другой стороны, боль¬
шие концентрации дырок у третьего образца по сравне¬
нию с первым обусловливают большее вырождение, кото¬
рое и является причиной меньших величин | (Д1 у третьего
образца при низких температурах. Отрицательный знак
(Д в области низких температур у образцов 1 и 3 обуслов¬
лен в основном рассеянием дырок на ионах примеси *).
Это подтверждается и тем фактом, что поле продольного
эффекта %х при низких температурах отрицательно: у
третьего образца %х становится отрицательным ниже
^155° К
У дырочных образцов селенида висмута наблюдается
еще одна особенность поперечного эффекта: кривые Q^-(T)
не имеют положительной области, соответствующей рас¬
сеянию носителей тока на акустических фононах. Такой
*) Эффекты увлечения при концентрации носителей тока
1019 см'3 играют, очевидно, малую роль.
23*

356
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ГЛ. 11
характер изменения Q^-(T) можно объяснить, если обра¬
тить внимание на то обстоятельство, что электроны начи¬
нают участвовать в проводимости при сравнительно низ¬
ких температурах: у первого образца постоянная Холла
становится отрицательной при 300° К, у третьего — при
370° К. А коэффициент (Д, как известно, очень чувстви¬
телен к появлению носителей тока другого знака.
Нетрудно установить также причину «затягивания»
отрицательной части кривых Q-L(T) в сторону высоких
температур. В области смешанной проводимости, где кон¬
центрация малоподвижных дырок больше концентрации
высокоподвижных электронов, поперечный эффект должен
быть согласно (7.4) отрицательным. При повышении тем¬
пературы, когда проводимость становится собственной
(п+=п_), преобладание подвижности электронов над по¬
движностью дырок приводит к перемене знака эффекта.
Таким образом, сравнительно широкая температурная
область, где Q-J- < 0 у дырочных образцов, является обла¬
стью смешанной проводимости (п+Фп_).
§ 21. Соединения типа AXBVI
Теллурид серебра
Теллурид серебра Ag2Te является представителем
группы соединений (Ag2S, Ag2Se, Ag2Te), в которых воз¬
можна как электронная, так и ионная проводимость.
Аппель [133] исследовал электрические и оптические
свойства сплавов Ag—Те различных составов — от Ag2Te
до AgTe. При температуре +149,5° С, где Ag2Te испытыва¬
ет фазовое превращение, им обнаружены резкие изме¬
нения электропроводности и постоянной Холла. Такие же
скачкообразные изменения а и R наблюдаются и у спла¬
вов, содержащих не более 7,4 вес. процента избыточного
теллура по отношению к Ag2Te. Аппель высказал мне¬
ние, что фазовое превращение сопровождается изменением
типа связи: в a-фазе, то есть выше +149,5° С, связь ион¬
ная, в p-фазе, в соответствии с предположением работы
[134], связь ковалентно-металлическая.
Миатани [135] изучал электропроводность, эффект
Холла и термоэдс у Ag2Te и сплавов Ag—Те, содержащих

f 21]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AXBVI
357
не более 5,1 вес. процента теллура, в интервале темпера¬
тур 368—588° К. Основное внимание в этой работе было
уделено свойствам а-фазы.
В. П Жузе и автор сочли целесообразным исследовать
у теллурида серебра термомагнитные явления [31], кото¬
рые значительно чувствительнее к типу связи, чем другие
явления переноса. В работе [31] проанализированы
результаты исследований эффектов Нернста — Эттинг-
сгаузена и термоэдс у Ag2Te и AgTe в интервале
120—600 °К.
Серебро для синтеза соединений было получено элек¬
тролизом раствора азотнокислого серебра с последующим
трехкратным переосаждением, теллур — трехкратной пе¬
регонкой в вакууме. Синтез производился сплавлением
компонентов в высоком вакууме, причем хорошая гомо¬
генность образцов достигалась вращением ампулы с рас¬
плавом во время 6—7-часового прогрева вблизи точки
плавления.
Характер изменения о и R с температурой у образцов
Ag2Te, исследованных Шузе и автором, совпадает с тем,
что наблюдали Аппель и Миатани: как а, так и \R\ очень
мало изменяются при нагревании образца до 250° К,
затем они начинают сравнительно медленно убывать и око¬
ло 423° К резко изменяются — | R | возрастает примерно
в два раза, а а убывает примерно в 2,5 раза. При подъеме
температуры выше 423° Каи | R | убывают, причем энер¬
гия активации, определенная из наклона графика \n\R\—
1
	jt, составляет 0,17 эв. Во всей исследованной темпера¬
турной области эффект Холла отрицателен, что соответ¬
ствует электронной проводимости. Ниже 250° К подвиж¬
ность электронов, рассчитанная по формуле для рассея¬
ния на акустических колебаниях решетки и_ = \R | а,
составляет 10 500—11 000 см2»в~1-сек~1, а концентрация
их = 7,5• 1017 еле'3; при 297° К и_ = 4860 см2-в~1-сек~1
и п_ = 1,1 • 1018 см~3.
На рис. 90 представлены графики температурной зави¬
симости полей поперечного и продольного эффектов Нерн¬
ста — Эттингсгаузена %у и %х и коэффициента термоэдс а.
%у и %х измерялись в магнитном поле 7400 эрстед.
1/% 23 и. М. Цидильковский

358
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
Отрицательный знак поперечного эффекта при темпе¬
ратурах ниже 200° К нельзя объяснить рассеянием носи¬
телей тока на ионах примеси. Действительно, при преобла¬
дании рассеяния на ионах примеси поле %х продольного
эффекта Нернста — Эттингсгаузена должно быть отри¬
цательным. На опыте Щх > 0. Кроме того, если предполо¬
жить, что ниже 200° К электроны взаимодействуют в
Рис. 90. Зависимость от температуры безразмерных полей попе¬
речного и продольного эффектов Нернста—Эттингсгаузена (Я==7400
эрстед) и коэффициента термоэдс у Ag2Te [31].
У отрицательной части кривой $у своя ось ординат, отмеченная цифрой I.
основном с ионами примеси, то совершенно невозможно
понять более чем четырехкратное увеличение | а | при
понижении температуры от 200 до 135° К.
Знак и относительно большую величину %у при низких
температурах можно объяснить, предположив, что основ¬
ную роль здесь начинает играть эффект увлечения электро¬
нов. Такое предположение подтверждается как положи-

СОЕДИНЕНИЯ ТИПА А*В^1
359
§ 21]
тельным знаком поля %х, так и температурной зависимо¬
стью термоэдс, которая в интервале 140—200° К изменяет¬
ся согласно закону | а | ~ Г"3. Нетрудно убедиться в том,
что положительный знак продольного эффекта не обуслов¬
лен одним лишь акустическим рассеянием электронов.
Об этом свидетельствует, во-первых, существенное раз¬
личие в температурной зависимости Щх и и* (ниже 200° К),
которая согласно (6.20) должна была бы быть одинаковой.
Во-вторых, величины подвижности электронов, рассчитан¬
ные с помощью (6.20) при г = 0, значительно отличаются
от подвижностей, найденных из эффекта Холла.
Полагая, что электроны рассеиваются главным обра¬
зом фононами и что эффект увлечения фононов электро¬
нами мал, можно термоэдс а представить как сумму элек¬
тронной аэ и фононной аф частей и, рассчитав по формуле
Писаренко аэ, найти аф = а— аэ. Оказалось, что
| (Хф|—Г'4»2. Воспользовавшись формулой для аф (см.
(13.1)), находим температурную зависимость времени
релаксации фононов тф—71'3’2.
Дебаевская температура б, вычисленная из измерений
теплоемкости в области 80—120° К [198], изменяется в пре¬
делах 150—130° К. Зависимость тф (Г), полученная из
измерений термоэдс, довольно близка к той, которую тео¬
рия предсказывает для упруго изотропного полупроводни¬
ка: тф> ф— 71'3. Такого согласия с теорией для изотропного
случая можно было ожидать, учитывая, что исследован¬
ные образцы теллурида серебра поликристалличны.
При понижении температуры ниже 140—145° К рост
\ВУ\$ | а| и Шх замедляется или сменяется даже убыванием.
Это, очевидно, связано как с возрастанием влияния рас¬
сеяния носителей тока на примесях, так и с большей ролью
рассеяния фононов на границах кристаллических зерен.
В области 200—420° К поперечный эффект Нернста —
Эттингсгаузена положителен и выше ^ 240° К убывает
согласно закону Цу—7"2*6. Следовательно, и подвиж¬
ность и_ ~ 71"2’5. Подвижность, определенная в том же
интервале температур по эффекту Холла, изменяется
пропорционально Г-2*7. Как уже отмечалось выше (§ 18),
зависимость и_ — Г-*5/2 пытаются иногда объяснить, пред¬
полагая, что г = —1. При таком значении показателя г
функция Шу (Н) должна отклоняться от линейной (%х (Н) —
23*

360
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
от квадратичной) при значительно более слабых магнит-
В опытах не наблюдалось заметных отклонений от пред¬
сказываемых теорией зависимостей (Н) и %х (//) вплоть
до	^ 0,65. Таким образом, для объяснения поло¬
жительною знака %у остается предположить, что г = 0,
то есть что ниже ^ 423° К преобладает рассеяние носителей
тока на длинноволновых акустических фононах, соответ¬
ствующее ковалентному типу связи. Это предположение
подтверждается и тем фактом, что в интервале 200—
420° К поле продольного эффекта положительно в соот¬
ветствии с (6.20).
Зависимость и_ — Г“б/2 не удается объяснить, как
обмечалось ранее (§§ 18, 19), и двухфононным механизмом
рассеяния носителей тока. Следует еще раз подчеркнуть,
что закон Т-5/2, который наблюдается у целого ряда полу¬
проводников с различными свойствами, ждет своего тео¬
ретического объяснения. Здесь, очевидно, требуется учет
конкретных особенностей каждой группы веществ, а мо¬
жет быть, и каждого вещества в отдельности. Ясно только,
что закон этот нельзя в большинстве случаев объяснить
простым комбинированием рассеяния носителей тока на
акустических колебаниях (и — Г~3/2) с рассеянием на опти¬
ческих колебаниях при низких температурах (и — е8о/т),
так как чаще всего он имеет место при Т > 0О (PbS,
PbSe, Ag2Te и др.). Ни разу на опыте не подтвердилось
также предположение I — е'1, которое позволяет полу¬
чить зависимость и_ — Г-б/2.
Если вычислить подвижности электронов при помощи
(6.3) и (6.20) по значениям Шу и %х в интервале 200—
420° К, то оказывается, что они в 3—4 раза меньше зна¬
чений, даваемых эффектом Холла. Это расхождение свя¬
зано, с одной стороны, с тем обстоятельством, что область
«чистого» акустического рассеяния носителей тока доволь¬
но узка: при низких температурах определенную роль
играет эффект увлечения, при высоких температурах
начинает сказываться рассеяние на оптических колеба¬
ниях. С другой стороны, некоторое влияние на величину
термомагнитных эффектов оказывает частичное вырожде-
ных полях, чем следует из критерия

§ 21]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AjbVI
361
ние электронного газа, о котором можно судить, напри¬
мер, по термоэлектродвижущей силе. Так, в области ком¬
натных температур приведенный химический потенциал
ц* =	, вычисленный по величине термоэдс, находится
в пределах 0-*- +1. Следовательно (см. § 14), %у и Щх долж¬
ны быть соответственно в ^ 1,2 и ^ 1,25 раза меньше по
сравнению с невырожденным случаем, и рассчитанные та¬
ким образом подвижности должны быть меньше подвиж¬
ностей по Холлу.
Вблизи 423° К поле %у резко убывает, меняет знак,
затем при повышении температуры до ^ 500° К возрастает,
а при ^ 550° К проходит через второй, более глубокий
минимум. Таким образом, при температуре фазового пре¬
вращения %у претерпевает скачкообразное изменение.
Отрицательный знак %у может иметь место согласно
(6.3), если г>1/2. Теория предсказывает два значения г
больше половины, пригодные для области высоких тем¬
ператур: г = 1 для носителей тока в случае рассеяния
их на поляризационных колебаниях при Т > в0 и г = 2
для поляронов тоже при Т > 0О. Перемену знака Щу при
423° К нельзя отнести за счет перехода к смешанной
проводимости, так как, во-первых, поле %у должно было
бы при этом изменяться плавно, а не скачкообразно,
и достичь по абсолютной величине значительно больших
значений и, во-вторых, этому противоречил бы ход Шу (Т)
при более высоких температурах выше 500° К. Действи¬
тельно, подвижность мн_э электронов, рассчитанная по
значениям Шу в предположении г = 1, убывает в интерва¬
ле 423—500° К по тому же закону, что и их. Этого не могло
бы случиться, если бы вклад дырок в проводимость был
существенным. Дырки начинают заметно участвовать
в проводимости лишь при Т > 500° К, о чем свидетельству¬
ет минимум % при ^ 550° К и заметное убывание %
выше 500° К.
Величина, знак и температурная зависимость %х в ин¬
тервале 423—500° К также свидетельствуют в пользу
заключения, что г = 1. По абсолютной величине %х умень¬
шается с ростом температуры и не превосходит —10~3,
в соответствии со значениями, получаемыми из (6.20)
при г = 1. В районе 423° К %х, как и Шу, меняет знак

362
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
с положительного на отрицательный, причем и здесь
можно говорить о скачкообразном изменении, но по вели¬
чине скачок мал: %х изменяется от ^ +10"2 до —G • 10~3.
Следует отметить, что подвижности электронов нн_э,
рассчитанные в интервале 423—500° К по формулам (6.3)
и (6.20) при г = 1, в 3—4 раза меньше значений их.
Это расхождение значительно увеличивается, если пред¬
положить поляронную проводимость, то есть г — 2.
Причина различия между величинами ин_э и их заклю¬
чается, очевидно, в том, что здесь, как и ниже 423° К,
существует не один «чистый» тип связи: преобладает ион¬
ная связь, но заметную роль играет еще ковалентная
связь.
Необычным для электронных полупроводников являет¬
ся характер изменения термоэдс в области высоких тем¬
ператур: при Т ^ 400° К коэффициент а становится поло¬
жительным, достигает при ^ 500° К максимума (320 мквХ
Хг/гад"1) и несколько убывает при дальнейшем повышении
температуры. Миатани [135] также наблюдал аналогич¬
ную перемену знака термоэдс вблизи температуры фазо¬
вого превращения.
Большие положительные значения коэффициента термо¬
эдс при высоких температурах обусловлены главным обра¬
зом тем, что в a-фазе Ag2Te на обычную электронную тер¬
моэдс накладывается термоэдс, обусловленная подвиж¬
ными ионами серебра (эффект Людвига — Соре), которая
может принимать довольно большие значения. Кроме
того, некоторый вклад в термоэдс при высоких темпера¬
турах вносят появляющиеся дырки. В связи с этим, нам
представляются необоснованными вычисления эффектив¬
ных масс дырок и ширины запрещенной полосы, произ¬
веденные Миатани по данным термоэдс в a-фазе. Неуди¬
вительно, что полученные в [135] значения Де резко расхо¬
дятся с величинами, найденными из эффекта Холла. Чис¬
ленным значениям параметров, рассчитанных Миатани,
нельзя доверять еще и потому, что он без особого основа-
ния предположил для Ag2Te (для а- и p-фазы) г = у . При¬
веденные выше результаты исследований термомагнит¬
ных эффектов и, в частности отрицательный знак Шу и %х,
выше 423° К, указывают на то, что a-Ag2Te является

S 21]
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА AJBVI
363
полупроводником с преобладающим ионным типом связи,
у которого характеристическая температура б0 во всяком
случае меньше 420° К, а следовательно, г = 1. При г = 1/2
(предположение Миатани) эффекты Нернста — Эттингсгау-
зена не должны были бы при 423° К стать отрицатель¬
ными.
Аппель [133J, воспользовавшись формулой Ховарта
и Сондхеймера для электропроводности полярного полу¬
проводника [60], вычислил по температурной зависимости
подвижности электронов характеристическую темпера-
туру. Она оказалась необычайно высокой — 1220° К *).
Это значение 0О, с одной стороны, на порядок превы¬
шает величину температуры Дебая б, найденную из из¬
мерений теплоемкости, с другой — противоречит данным
термомагнитных эффектов. Отсюда, между прочим, сле¬
дует, что теория Ховарта и Сондхеймера непригодна
в данном случае для интерпретации эксперимента. Эта
теория не дает удовлетворительного количественного
согласия с опытом и для окиси кадмия (§ 22).
Резюмируя анализ термомагнитных исследований в
Ag2Te, следует .отметить, что они однозначно указывают
на изменение характера сил связи в точке фазового пре¬
вращения. Они также позволяют сделать вывод о том (в со¬
гласии с данными электропроводности и эффекта Холла),
что подвижность электронов при температуре превраще¬
ния изменяется менее резко, чем их концентрация, кото¬
рая испытывает скачок, обусловленный, по-видимому,
изменением энергии активации.
Обратимся к результатам термомагнитных измерений
AgTe. Электропроводность и постоянная Холла изменя¬
ются у AgTe плавно, не испытывая никаких скачков:
выше ^ 250° К R убывает с ростом температуры,
а а растет. При ^ 400° К R меняет знак с положитель¬
ного на отрицательный. При комнатной температуре
128
(297° К) подвижность дырок и+ = cRo (формула для
случая г = 1) равна 230 см2»в~1*сек~1, концентрация
их п+ — Y2&ic~R = 9,2-1016 см~3. Энергия активации,
*) Такого же порядка величины 0О получаются и из наших
измерений, если интерпретировать их с помощью теории [60].

364
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
определенная по зависимости ln|i?| Г3/2 от 1 /Г, состав¬
ляет при Т > 400° К 0,73 эв.
Изменение знака постоянной Холла при 400° К может
служить указанием на то, что при высоких температурах
проводимость смешанная. Об этом свидетельствуют тем¬
пературные зависимости %у и а (рис. 91): кривая %у (Т)
проходит при Т ъ* 390° К через минимум, а коэффициент
термоэдс меняет знак с по¬
ложительного на отрица¬
тельный при ^ 385° К. Та¬
ким образом, у AgTe, как
и у Ag2Te, подвижность
электронов превосходит по
величине подвижность
дырок.
Вторая перемена знака
а — при 455° К — обус¬
ловлена, по-видимому, эф¬
фектом Людвига — Соре.
Однако термоэдс не дости¬
гает здесь таких больших
значений, как у Ag2Te. Это
связано с тем, что в AgTe
образуются прослойки тел¬
лура, препятствующие пе¬
ремещению ионов серебра,
вследствие чего уменьшаются ионные компоненты как
электропроводности, так и термоэдс.
Поле поперечного эффекта %у изменяется у AgTe
во всей температурной области непрерывно и всюду остает¬
ся отрицательным. Зависимости Шу(Т) и а(Т) ниже 200° К
свидетельствуют о существенном влиянии увлечения ды¬
рок акустическими фононами на оба эффекта. Закон
изменения а с температурой здесь такой же, как и
у Ag2Te — а— Т~3. Следовательно, одинаков, очевидно,
и характер фонон-фононного рассеяния.
Отрицательный знак Шу в области 200—350° К, где
в проводимости заведомо участвуют одни лишь дырки,
означает, что основной вклад в рассеяние носителей
тока вносят поляризационные колебания решетки (г=1),
следовательно, преобладает ионная связь. Этот вывод
Рис. 91. Зависимость от темпера¬
туры безразмерного поля попе¬
речного эффекта Нернста — Эт-
тингсгаузена (Я = 7400 эрстед)
и коэффициента термоэдс у
AgTe [31].

ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
365
§ 22]
подтверждается как сравнительно малой величиной
подвижности дырок, так и соответственно чрезвычайно
малой величиной продольного эффекта Нернста — Эт-
тингсгаузена.
§ 22. Окислы металлов
Большинство окислов металлов являются кристаллами
с преобладающей ионной связью, с высокими удельными
сопротивлениями и малыми подвижностями носителей
тока. Это чрезвычайно затрудняет, а в ряде случаев делает
совершенно невозможным измерения термомагнитных эф¬
фектов, так как величины их находятся за пределами
экспериментальных возможностей.
Проанализируем результаты исследований термомаг¬
нитных явлений на закиси меди [22, 210] и окислах кадмия
[210] и цинка [153, 210].
Закись меди
Закись меди является одним из «классических» полу¬
проводников, физические свойства которого изучались
многими исследователями. В зависимости от содержания
кислорода сопротивление Си20 может изменяться в широ¬
ких пределах. При этом заметно варьируется и величина
энергии активации акцепторов (вакансии атомов меди) —
от 0,23 до 0,39 эв.
В литературе закись меди обычно рассматривается
как ионный кристалл [59, 63, 118, 138, 139, 140]. Между
тем имеется ряд указаний на то, что в закиси меди сильно
выражены ковалентные связи.
О наличии ковалентных связей можно судить по сте¬
пени поляризации ионов соединения (см. § 19), которая
характеризуется величиной аэ/Ги, где аэ — электронная
поляризуемость иона, ги — его радиус. У ионов Си+ и
О " аэ/Ги значительно больше, чем соответственно у ионов
щелочных металлов и галоидов. Следовательно, и кова¬
лентная связь у Си20 должна быть сильнее, чем у щелочно¬
галоидных кристаллов. Если судить по разности электро¬
отрицательностей ионов меди и кислорода, то доля кова¬
лентных связей должна составлять ^60%. Заметно
24 И. М. Цидильковский

366
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
различаются между собой величины энергии решетки,
определенные по круговому процессу Борна — Габера
и вычисленные по теории Борна для ионных кристаллов
(788 и 644 ккал-моль1).
Сравнение величин статической (х) и оптической (х0)
диэлектрических проницаемостей, которое позволяет су¬
дить о соотношении между электронной поляризацией и по¬
ляризацией, обусловленной смещением ионов, не дает
в настоящее время определенного ответа на вопрос о том,
какой вид связи преобладает в Си20. Согласно старым
данным различие между х и х0 невелико. Так, для D-ли¬
нии натрия в [141] приводится значение х0=8,12, а со¬
гласно справочнику [142] х0= 7,32. Авторы [143] при¬
водят для х значения 7,88—8,75. Согласно данным новых
работ [199, 200] х более чем вдвое превосходит х0 :
х = 7,5—7,6, а х0 = 3,24 для области 6—8 микрон [199].
Интересными являются выводы работы [201], в кото¬
рой показано, что изменение величины и смещение пиков
фотопроводимости при изменении давления кислорода
могут быть объяснены в предположении, что Си20 не¬
полярный полупроводник.
Нельзя признать убедительной интерпретацию темпе¬
ратурной зависимости подвижности дырок в закиси меди,
предлагаемую в работах [63] и [95]. Авторы [63] и [95]
аппроксимируют экспериментально определенную (по эф¬
фекту Холла и электропроводности) Энгельгардом [144]
зависимость и+ (Т) экспонентой, которую требует теория
ионных кристаллов для области низких температур, и
вычисляют из сравнения экспериментальной и теоретиче¬
ской кривых характеристическую температуру 0О. При
этом оказывается, что в области температур, где экспери¬
ментальные данные аппроксимированы экспонентой, пло¬
хо выполняется требуемое теорией условие Т <С 0О. Основ¬
ное же возражение против такого объяснения температур¬
ной зависимости подвижности дырок, а следовательно,
и против вывода о преобладании ионной связи в закиси
меди связано с тем, что нельзя считать вполне достовер¬
ными экспериментальные данные [144]. В 1952 г. было по¬
казано [145], что образцы Энгельгарда не были свободны
от внедрений окиси меди, чем и был, по-видимому, обу¬
словлен наблюдавшийся большой разброс величин по-

ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
367
§ 22]
движности Более поздние измерения привели к следую¬
щим закономерностям для температурного хода подвиж¬
ности дырок: при Т < 300° К и+~ Т~Ь12 [146], в интервале
300—423° К гг+—Т~ь [147], а в области высоких тем¬
ператур 423—673° Кг/+— Т"7 [147]. Таким образом, экспо¬
ненциальной зависимости не наблюдается.
Изучение термомагнитных явлений, чрезвычайно чув¬
ствительных к характеру рассеяния носителей тока, долж¬
но дать дополнительные сведения о природе сил связи в за¬
киси меди. М. М. Носков, исследовавший поперечный
эффект Нернста — Эттингсгаузена на хорошо проводящих
образцах закиси меди (а ^ 102—103 ом"1-см"1) [14], обна¬
ружил положительный знак эффекта и установил, что
в интервале 308—350° К (Н— Т*"1»2.
Автором был исследован поперечный эффект на образ¬
цах Си20 значительно меньшей проводимости (о ^ 10"3—
—10~4 ом"1 •см"1) [22, 210], то есть более близких к стехио¬
метрическому составу, в интервале 325—390° К. Огра¬
ниченность температурного интервала была обусловлена
трудностью измерения малых разностей потенциалов на
высокоомных образцах при помощи обычной потенциоме«
трической схемы.
На рис. 92 приведена температурная зависимость коэф¬
фициента (Н для образца с электропроводностью при ком¬
натной температуре 1,38 • 10'4 ом"1 •см"1. Знак эффекта
положительный.
Постоянная Q-L изменяется с температурой примерно
пропорционально 71"6, что согласуется с законом изме¬
нения подвижности дырок, найденного по эффекту Холла
в том же интервале температур [147]. Столь резкая зави¬
симость подвижности от температуры свидетельствует,
по-видимому, об экспоненциальном убывании и+ с ростом
Т, характерном для ионных решеток при температурах
ниже характеристической. Можно думать, что увеличение
наклона lgw+(lg Т) при повышении температуры связано
с наличием двух механизмов рассеяния дырок: на аку¬
стических и на оптических колебаниях. Различные степе
ни в зависимости и+ (Т) должны при этом отражать пере¬
ход от закона Г~3/2, соответствующего рассеянию на
акустических колебаниях, к экспоненте. Более слабая
зависимость ut от Т, наблюдавшаяся М. М. Носковым,
24*

368
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
обусловлена, по-видимому, большей ролью примесных
центров в рассеянии.
Предположение об одновременном рассеянии дырок на
акустических (г = 0) и поляризационных при 71 < 0О
(г=1/2) колебаниях оправдывается и тем обстоятельством,
что эффект Нернста — Эттингсгаузена должен быть при
этом, в соответствии с опытом, положительным. Оценка
Рис. 92. Зависимость коэффициента поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгаузена от температуры у
закиси меди [210].
величины и+ по постоянной Q-L в предположении, что
г = 0, приводит к значениям, согласующимся с подвижно¬
стями, определенными из эффекта Холла. Здесь требуется,
однако, эксперимент в более широком интервале темпера¬
тур, а также теоретический расчет для случая одновре¬
менного рассеяния дырок на акустических и поляриза¬
ционных колебаниях решетки.
Окись кадмия
Окись кадмия является удобным объектом для иссле¬
дования электрических характеристик, так как она обла¬
дает высокой электропроводностью: при комнатной тем¬
пературе о может варьироваться от 1 до 103 ом'1* см'1.

ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
369
§ 22]
Величины проводимости и постоянной Холла зависят от
температуры и времени спекания порошка СсЮ (600—
1200° К, от 1 до 24 часов) и от скорости охлаждения образ-
цов после спекания. Образцы окиси кадмия обычно полу¬
чаются с большим или меньшим избытком кадмия и всегда
являются электронными.
Проанализируем результаты исследований попереч¬
ного эффекта Нернста— Эттингсгаузена, выполненных
В. П. Жузе, В. Д. Васильевым и автором [210] на ряде
образцов окиси кадмия. Эти исследования позволили сде¬
лать заключения как о характере рассеяния электронов,
так и о величине и температурной зависимости их подвиж¬
ности. Образцы СсЮ спекались при 700—800° С. При ком¬
натной температуре (295° К) у образца 1 а=188 олТ1.еле"1,
R = —0,56 см3-кулон"1, у образца 3 о=97 ом"1-см"1,
i? =—1,12 см3-кулон"1, у образца 4 о = 490 ом'1-см~1,
R=—0,24 см3-кулон"1. Электропроводность и постоян¬
ная Холла (по абсолютной величине) с ростом температу¬
ры от 100 до 700° К убывает, как у металлов.
Эффект Нернста — Эттингсгаузена оказался у всех
трех образцов отрицательным в интервале температур
120—1000° К. Так как проводимость здесь примесная,
а магнитные поля слабые, то согласно (6.3) отрицательный
эффект может иметь место лишь при условии, что г>1/2.
Можно предположить, что при высоких температурах
электроны рассеиваются в основном оптическими поляри¬
зационными колебаниями решетки (г=1), а при низких—
определенный вклад в эффект Нернста — Эттингсгаузена
вносит рассеяние на примесных ионах (г = 2).
Температура Дебая, определенная по измерениям те¬
плоемкости в области 100° К, равна 0=415° К. Из срав¬
нения измерений эффекта Холла с теорией Льюиса и Сонд-
хеймера [150] Райт [149] нашел, что характеристическая
температура для оптических колебаний 0О ^ 500° К *).
При этом он предположил, что концентрация электронов
не зависит от температуры и что их эффективная масса
*) Менео достоверными нам представляются высокие значения
60 (до ^ 1000° К), полученные Бэстином и Райтом [151] из сравне¬
ния температурной зависимости электропроводности СсЮ с теорией
Ховарта и Сондхеймера [60],

370
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
т = 0,3wio. Эти данные о 60 обосновывают правомерность
сделанного выше предположения о характере рассеяния
носителей тока при высоких температурах. Отрицатель¬
ный знак поперечного эффекта при низких температурах
обусловлен одновременным рассеянием электронов на
ионах примеси и на оптических колебаниях решетки
Рис. 93. Зависимости подвижностей электронов, рассчитан¬
ных по эффектам Нернста — Эттингсгаузена и Холла, от тем¬
пературы для трех образцов окиси кадмия [210].
Кривые, построенные по данным эффекта Холла, отмечены штрихом
над номером образца.
(при рассеянии лишь на оптических колебаниях в обла¬
сти низких температур поперечный эффект должен отсут¬
ствовать, так как г = 1/2).
На рис. 93 приведены графики температурной зависи¬
мости подвижности электронов, рассчитанные по эффекту
Нернста—Эттингсгаузена и по эффекту Холла в пред¬
положении, что г=1. Кривые их (Т) и ин__э(Г) для каж¬
дого образца выше ^ 200° К параллельны между собой.
Это означает, что формула (6.3) правильно отражает связь
между полем <$у и подвижностью электронов и. У всех
образцов величины их превосходят ин_э? причем чем
больше концентрация электронов, тем больше они разли¬
чаются между собой. Это различие можно объяснить, если
принять во внимание вырожденное состояние электрон¬
ного газа, Пользуясь формулой для коэффициента термо-

ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
371
§ 22]
эдс а =	и табл. И, нетрудно уста¬
новить, что у четвертого образца, например при 500° К
(а ^ 90 мкв-град_1), р* ^ 4 (предполагается, что г=1).
Для такого значения |х* поле | Щу | (см. рис. 27) должно
быть в 1,9 раза меньше, чем при р*—> —оо, что хорошо
согласуется с величиной отношения подвижностей
^х^н-э^ ПРИ 500° К. Величина эффективной массы
электронов, вычисленная при помощи найденного значе¬
ния р* и концентрации /г_ = 3* 109 см~3, равна ^0,1 т0
и совпадает с данными Райта [149] для образцов с такими
же параметрами, как и у нашего четвертого образца.
Соответствующие оценки для других образцов также хоро¬
шо объясняют различие между величинами подвижностей,
рассчитанными по эффектам Холла и Нернста — Эттингс-
гаузена. Следует отметить, что предположение о поля-
ронном механизме проводимости (г=2) не дает возможно¬
сти количественно объяснить расхождение между вели¬
чинами их и кн_э#
Учет вырождения позволяет также понять, почему
у четвертого образца с более высокой, чем у первого и
третьего, концентрацией электронов подвижность при
высоких температурах больше, чем у других образцов.
В случае г = 1
чину подвижности
отношение
их [86],
Fl/2F-l/2
Fo ’
возрастает
определяющее вели-
с ростом приве
денного химического потенциала р* (см. табл. 11). А у
четвертого, наиболее вырожденного образца р* больше,
чем у первого и третьего.
Следует обратить особое внимание на температурную
зависимость подвижности электронов, которая при тем¬
пературах выше комнатной хорошо описывается законом
и—Г-1/2. Это первый случай, насколько нам известно,
когда экспериментально подтверждается зависимость, тре¬
буемая теорией для ионных кристаллов при высоких тем¬
пературах (Т > 0О).
Таким образом, как знак эффекта Нернста—Эттингсгау-
зена, так и величины и температурная зависимость по¬
движности электронов свидетельствуют о том, что при тем¬
пературах выше характеристической электроны рассеи¬
ваются оптическими колебаниями решетки в соответствии

372
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ	1ГЛ. Ill
с теорией ионных кристаллов. При понижении температу¬
ры существенным становится рассеяние на ионах примеси.
Это подтверждается, например, тем фактом, что подвиж¬
ность, рассчитанная по эффекту Холла, ниже — 150° К
не зависит от температуры и проявляет тенденцию к умень¬
шению при дальнейшем понижении ее. Небольшое убы¬
вание нернстовской подвижности ниже 150—180° К свя¬
зано с уменьшением поля |	\ вследствие возрастания
степени вырождения электронного газа (§ 14). Некоторый
вклад в рассеяние электронов при Т < 0О должны вносить
и акустические колебания решетки.
Окись цинка
Изучению электрических и оптических свойств окиси
цинка посвящено большое количество работ, однако до
сих пор не удалось достичь количественного понимания
механизма электропроводности.
Окись цинка является электронным полупроводником,
донорами в котором могут служить междоузельные атомы
цинка, водород, литий, индий и алюминий. В зависимо¬
сти от концентрации доноров, которые можно вводить
путем диффузии контролируемым образом, электропровод¬
ность изменяется от ^10'6 до ^10 ом'1* см'1. Показатель
преломления для /)-линии натрия равен у ZnO 2,01 [142],
а для 671 ммк согласно данным Мольво [58]—2,00, ста¬
тическая диэлектрическая проницаемость х = 8,5 [148,
152]. Следовательно, можно ожидать значительного пре¬
обладания ионной связи.
Проанализируем результаты исследований термомаг¬
нитных явлений, проведенных В. П. Жузе, В. Д. Василье¬
вым и автором [153, 210] на ряде поликристаллических
образцов окиси цинка.
На рис 94 показаны графики температурной зависи¬
мости постоянной поперечного эффекта Нернста—Эттингс-
гаузена и холловской подвижности электронов | R | а
для образца, который в течение 6 часов спекался при
1150° С, а затем прогревался 3 часа в парах цинка при
той же температуре. При 300° К удельная электропровод¬
ность его а = 13 ом'1-см'1, постоянная Холла R=
= —2,05 см*-кулон'1. Интервал измерений эффекта Нерн¬
ста — Эттингсгаузена 125—1100° К.

§ 22]
ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
373
Для интерпретации кинетических эффектов у ионных
кристаллов, то есть для сравнения эксперимента с теорией,
нужно знать характеристическую температуру 0О, которая
определяется предельной частотой vL продольных опти¬
ческих колебаний 60 = ^ . Температура 0О может быть
Рис. 94. Зависимости от температуры коэффициента
поперечного эффекта Нернста — Эттингсгаузена и
холловской подвижности у окиси цинка [210].
вычислена, если известна частота остаточных лучей (ot
(поперечные оптические колебания) [166]:
(22.1)
Согласно новым данным [167] (x*t = 8,55 -1013 сек'1.
Отсюда находим 0О ^ 950° К.
Таким образом, большая часть исследованного темпе¬
ратурного интервала расположена ниже характеристиче¬
ской температуры. При рассеянии носителей тока лишь
на оптических колебаниях решетки время релаксации т
при Т < 0О не зависит от энергии (г = 1/2, табл. 2) и эф¬
фект Нернста — Эттингсгаузена не должен возникать.
На опыте, однако, у ZnO наблюдается довольно большой
по абсолютной величине и отрицательный по знаку попе¬
речный эффект. Непонятной кажется и температурная

374
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
зависимость постоянной | (Н|, которая в интервале 250 —
900° К изменяется пропорционально Г-1»3, а выше
— 900° К убывает с ростом температуры менее круто,
примерно как Г1. Холловская подвижность электронов
| R | а в интервале 250— 700° К пропорциональна Т~{>2.
Нельзя, очевидно, отнести наблюдаемые зависимости | (Н |
и | R | а от температуры за счет преобладания рассеяния
электронов на акустических фононах, для которого
и — Г-3/2, так как в этом случае эффект Нернста — Эттингс-
гаузена должен быть положительным (г- О).
Для объяснения сравнительно большого отрицатель¬
ного эффекта можно предположить, что существенную
роль в рассеянии носителей тока наряду с оптическими
колебаниями решетки играют примесные ионы, концент¬
рация которых в исследованных образцах достаточно
высока (при 125° К она примерно равна 4,5-1017 см~3,
а при Т > 350° К ^ 7 • 1018 ел*'3).
Рассчитаем подвижность носителей тока, постоянную
Холла и постоянную Нернста — Эттингсгаузена для случая,
когда носители рассеиваются как оптическими колеба¬
ниями (при Т < 0О), так и ионами примеси. Длина свобод¬
ного пробега носителей тока определяется в этих условиях
выражением (см. § 6)
(22.2)
где /„ и /оп —длины свободного пробега для рассеяния на
ионах примеси и оптических колебаниях соответственно.
Подставляя в (22.2) выражения
(см. табл. 2 и (4.13)), находим
(22.3)
— подвижности носителей тока
для каждого из двух механизмов рассеяния.
Отметим, что в расчете предполагается, как обычно,
постоянство концентрации ионов примеси. Для иссдедо-

§ 22]
ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
375
ванного автором [210] образца окиси цинка это условие
довольно хорошо выполняется при температурах выше
комнатной. Уменьшение концентрации ионов примеси при
понижении температуры ниже ^ 250° К должно привести
к несколько большему возрастанию гг, |/?|аи	чем
предсказывает теория.
При помощи (22.3) и формул § 6 можно рассчитать
все термомагнитные эффекты. Для расчета гальваномаг-
нитных эффектов используем формулы работы [45].
В случае слабых магнитных полей и изотермических
условий:
(22.4)
(22.5)
(22.6)
Холловская подвижность
(22.7)
В предельных случаях у = 0 и у—> оо формулы (22.4) —
(22.7) совпадают с соответствующими выражениями коэф¬
фициентов при г = 1/2 (рассеяние только на оптических коле¬
баниях) и г = 2 (рассеяние только на ионах примеси). При
изменении у от 0 до оо интегралы Мг и М2 убывают асим¬
птотически от
При больших значениях у интегралы М{ можно аппро¬
ксимировать асимптотическими рядами, которые имеют вид

376
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
(ограничимся здесь тремя первыми членами):
(22.8а)
(22.86)
(22.8в)
(22.8г)
Постоянная Нернста — Эттингсгаузена (^выражается
в этом случае формулой (ограничимся первыми двумя
членами)
(22.9)
Формулы (22.8) и (22.9) применимы при сравнительно
больших значениях у: при у > 10.
При малых у (у —> 0) выражение для Qимеет вид
(22.10)
— некоторая функция от у14/з»
Таким образом, при уменьшении у постоянная
быстро стремится к нулю, оставаясь отрицательной.
Если считать, что
В области низких температур
(Т <С 0О) зависимость у2 от Т близка к экспоненциальной,
то есть у2~е0о/т и 1 /In y — Т. Из формул (22.4) — (22.6)
следует при этом, что температурная зависимость подвиж¬
ности и описывается функцией L2 — y2M1 от 1/1пу» тем¬
пературная зависимость холловской подвижности
температурная зависимость
постоянной (^ — функцией L3 = y2L от 1/1пу.
На рис. 95 приведены графики этих функций в двой¬
ном логарифмическом масштабе для значений у от 2 до 10.
Интегралы М1-^М4с не могут быть выражены аналити¬
чески, поэтому интегрирование производилось численными

§ 22]
ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
377
методами. Выбор интервала значений у должен опреде¬
ляться температурной областью, в которой производились
измерения. Для нахождения нужного интервала у можно
воспользоваться тем обстоятельством, что функция
зависит только от параметра у, как
Рис. 95. Теоретические зависимости от у холловской подвиж¬
ности | R | о (7), подвижности и (2), постоянной Q-L (3)и функции
(4) [210].
видно из формул (22.4) — (22.6). Сравнив теоретические
значения L4 (кривая 4, рис. 95) с экспериментальными,
нетрудно определить искомые величины у, а затем по
известным значениям R и а найти иоп, иИ и /г.
Однако для поликристаллических образцов ZnO такие
оценки провести невозможно, так как величины подвиж¬
ности, определенные по электропроводности и эффекту
Холла, значительно ниже, чем в монокристаллах, что
уже неоднократно отмечалось в литературе (см., например,
[155]). Подвижность электронов у описываемого образца,
определенная по эффекту Нернста—Эттингсгаузена в обла¬
сти низких температур, где доминирует рассеяние на ионах
примеси, примерно на порядок превосходит подвижность
по Холлу. К таким же результатам приводит сравнение

378
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. III
подвижностей и в области высоких температур (Т > 0О),
когда электроны взаимодействуют в основном с оптиче¬
скими колебаниями решетки. Столь большое различие
между йн э и их обусловлено влиянием на электропро¬
водность переходных слоев между кристаллическими
зернами, к которым термомагнитные явления мало чувстви¬
тельны (см. ниже). Следовательно, подвижность по Нерн-
сту—Эттингсгаузену ближе к истинной подвижности элек¬
тронов в ZnO, чем подвижность по Холлу. Об этом
свидетельствует и хорошее согласие между величинами
ин—э Для образца, о котором идет речь в этом параграфе
100—300 см2-в~1-сек~*), и их для монокристаллов,
исследованных в работах [154, 155, 167а].
В связи с изложенным приходится ограничиваться
сравнением рассчитанных температурных зависимостей
эффектов с наблюдаемыми на опыте. Количественное срав¬
нение возможно будет лишь после измерений эффекта
Нернста — Эттингсгаузена на монокристаллах окиси цин¬
ка. Для поликристаллов выбор интервала значений у
должен определяться лишь из соображений, что наиболее
сложного и непредвиденного поведения эффектов можно
ожидать в том случае, когда оба механизма рассеяния
вносят сравнимый вклад в кинетические коэффициенты
и, в частности, когда иоп^ип. Область выбранных зна¬
чений у ограничивается, кроме того, еще снизу (со сторо¬
ны малых у), так как при слишком малых у может оказать¬
ся нарушенным необходимое условие Т < 0О.
Постоянная Нернста — Эттингсгаузена Q-L при всех у
от 2 до 10 отрицательна. Температурная зависимость ее
(кривая 3, рис. 95) становится с ростом температуры более
резкой. При изменении у от 2 до 10 показатель степени s
в зависимости | (П |—T~s изменяется от 2,3 до 1,0. В том же
интервале значений у зависимость холловской подвижно¬
сти | R | а (кривая 1, рис. 95) от температуры также меняет¬
ся: от | R | а—Т~г/2 при малых у до | /? | сг—Г'0»7 при
больших у. Подвижность электронов и (кривая 2, рис. 95)
при уменьшении у от 10 до 2 (возрастание температуры)
убывает пропорционально Т~°>5—Т~°>8. Таким образом,
наблюдавшаяся зависимость | R |о(Т) выше ^250° К у опи¬
сываемого и у ряда других исследованных образцов близка

§ 22]
ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
379
к рассчитанной для интервала значений y от 2 до 8, где
I R |а~Г_1’2—Г1*0. Измеренная зависимость (Д (Т) выше
300° К согласуется с теоретической для более узкого ин¬
тервала значений у: от 8 до 5, где (Д~7П»3—I"1’6. На¬
блюдающаяся в области малых у несколько менее резкая
температурная зависимость постоянной (Д, чем предсказы¬
вает теория, связана, очевидно, с тем, что при Т > 500—
600° К плохо выполняется условие малости температур
по сравнению с характеристической (Г<0О), принятое
в расчете. При температурах выше ~ 900—950° К, когда
электроны взаимодействуют в основном с оптическими
фононами, зависимость (Д (Т) приближается к зависимо¬
сти и(Т), то есть становится более слабой, в полном согла¬
сии с теорией для области высоких температур (Г>б0).
Сравнительно слабая зависимость (Д, | R\ о и и от Т
при больших у, то есть при низких температурах, обу¬
словлена доминирующей ролью ионов примеси в рассея¬
нии электронов. Это подтверждается опытными данными
(рис. 94). Наблюдающееся экспериментально различие
наклонов (Д (Т) и | R \ о (Т) при Г<200° К связано, по-ви¬
димому, с одной стороны, с изменением концентрации
ионов примеси при изменении температуры в области
низких температур, с другой — с некоторым влиянием на
эффект Нернста—Эттингсгаузена увлечения электронов
акустическими фононами, о чем свидетельствует и темпе¬
ратурная зависимость термоэдс (рис. 96).
При понижении температуры ниже 200° К термоэдс
начинает возрастать по абсолютной величине примерно
согласно закону |а| —71"2»3. Чтобы найти часть термоэдс
аф, обусловленную увлечением, следует из измеренной
величины а вычесть ее электронную часть аэ (предпола¬
гается, что при концентрациях электронов —Ю17 см~3
а можно представить как сумму независимых составляю¬
щих аэ и аф). Последнюю можно найти при помощи фор¬
мулы Писаренко (первое слагаемое в (13.1)), если предва¬
рительно вычислить эффективную массу электронов и их
концентрацию. Эффективную массу можно определить по
величине термоэдс в области 300—350° К, где увлечение
уже не сказывается, и следовательно, а = аэ. У исследо¬
ванного образца она оказалась равной примерно 0,45 ш0.
Концентрация электронов определяется как обычно по

380
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. III
эффекту Холла. Расчет показывает, что | аф | ■—Т~3>ъ.
Используя формулу (13.1), находим, что время релаксации
акустических фононов Тф^Г-2»9. Этот результат хорошо
согласуется с теорией для упруго изотропных полупро¬
водников (см. § 13), какими можно считать поликристаллы.
Следует отметить, что несмотря на сравнительно высо¬
кие концентрации электронов проводимости, электронный
газ находится, если судить по величине термоэдс, в не¬
вырожденном состоянии.
Рис. 96. Зависимость коэффициента термоэдс от тем¬
пературы в °К у окиси цинка [210].
Резюмируя изложенное, можно прийти к заключению,
что относительно слабая температурная зависимость хол-
ловской подвижности, которая наблюдалась рядом авто¬
ров [154, 155] на образцах с концентрацией электронов
1017—1018 см~3 и казалась непонятной, обусловлена одно¬
временным рассеянием электронов на оптических коле¬
баниях и на ионах примеси. В зависимости от интервала
температур и содержания примесей температурный ход
| Л | а может более или менее отличаться от закона 71'1*2,
который наблюдался у описанного выше образца.
Как показал анализ эффектов Холла и Нернста—Эт-
тингсгаузена, вклад акустического рассеяния электронов
не может быть значительным. Однако рассеяние на аку¬
стических фононах играет определенную роль, в особен¬
ности при низких температурах. Об этом свидетельствует
заметное влияние эффекта увлечения на термоэдс. Более
существенной должна оказаться роль акустического рас-

ОКИСЛЫ МЕТАЛЛОВ
381
§ 22]
сеяния у образцов с малыми концентрациями носителей
тока (1015-1016 см~3), как отмечено в [167а]. Большой
интерес безусловно представляют исследования эффекта
Нернста—Эттингсгаузена на монокристаллах 2пОсмалым
содержанием примесей. Они дадут возможность изучить
взаимодействие носителей тока с колебаниями решетки
в «чистом» виде.
В заключение параграфа остановимся кратко на влия¬
нии, которое оказывают переходные слои между кристал¬
лическими зернами на кинетические явления.
Межкристаллитные границы будут наиболее эффектив¬
но рассеивать носители тока в том случае, если толщина
границ порядка длины волны носителей. Если толщина
прослоек между кристаллитами превосходит длину сво¬
бодного пробега носителей, то они будут рассеиваться
внутри прослоек. Очевидно, что такому влиянию границ
будут подвержены те эффекты, которые зависят от вре¬
мени релаксации т носителей тока. Поэтому термоэлек¬
трический эффект Томсона, не зависящий от т, а также
эффект Холла и термоэдс, чрезвычайно слабо зависящие
от т, должны быть нечувствительными к рассеянию носи¬
телей тока на границах и внутри них.
Переходные слои могут и иным образом влиять на ки¬
нетические явления. Если концентрация носителей тока
в этих слоях значительно меньше, чем в основном вещест¬
ве, то они будут играть роль дополнительных сопротивле¬
ний, включенных последовательно с кристаллитами в об¬
щую электрическую цепь. На эффекты Нернста—Эттингс¬
гаузена, не зависящие от концентрации носителей (речь
здесь идет о примесной проводимости), границы в этом
случае не должны влиять. Высокие сопротивления пере¬
ходных слоев могут исказить сведения лишь о величине
удельного сопротивления основного вещества. Изме¬
нение сопротивления Aq=Qh—р0 в магнитном поле не¬
чувствительно к дополнительному сопротивлению гра¬
ниц, поскольку Aq не зависит от концентрации носителей.
Плохо проводящие прослойки также не будут влиять на
эффект Холла, если только толщина прослоек мала по
сравнению с размерами зерен основного вещества.
Несмотря на то, что при малых концентрациях носи¬
телей тока в прослойках должны возникать большие
25 и. М. Цидильковсний

382
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. III
холловские поля, циркуляционные токи в хорошо прово¬
дящих областях вокруг переходного слоя приводят
к уменьшению этих полей [202, 203].
Тот факт, что нернстовские подвижности кн_э в поли¬
кристаллах окиси цинка значительно превосходят холлов¬
ские | R \о и близки к значениям | R | а в монокристаллах,
не может быть пока однозначно объяснен. К таким соот¬
ношениям между ин_э и | R | о должны приводить как ма¬
лые концентрации, так и малые подвижности носителей
тока в переходных слоях. О различном влиянии концен¬
трации на экспериментально определенные значения ин_э
и | Д|а говорилось выше. Влияние рассеяния носителей
тока внутри переходных слоев можно объяснить так.
Предположим, что концентрации носителей тока в ос¬
новном веществе и прослойках одинаковы (п) — иными
словами, исключим концентрационный фактор. Тогда
электрическое поле Ех, возникающее в образце при про¬
хождении тока плотности /х, равно
(22.11)
где индексы «об» и «гр» относятся к основному веществу
и границам соответственно.
основной вклад в элек¬
тропроводность вносят переходные слои.
При наличии градиента температуры вдоль оси х
и магнитного поля вдоль оси z поле поперечного эффекта
Нернста—Эттингсгаузена в слабых магнитных полях
согласно (6.3) равно
(22.12)
где А не зависит от подвижности носителей тока.
При нгр < гг°б поле Е определяется подвижностью
и°б в основном веществе. Таким образом, из (22.11) и
(22.12) следует, что если подвижность носителей тока
в прослойках меньше подвижности в основном веществе,
то измеренная холловская подвижность | R | а будет мень¬
ше нернстовской иц—э» в последняя должна быть близка
к величине подвижности основного вещества, то есть и
к ! R | а для монокристаллов,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Анализ экспериментальных исследований термомаг¬
нитных явлений, проведенный в главе III, показывает,
что практически весь известный экспериментальный мате¬
риал может быть качественно, а в ряде случаев и коли¬
чественно, объяснен при помощи существующей кинети¬
ческой теории явлений переноса. Особенности зависимо¬
стей термомагнитных эффектов от магнитного поля и тем¬
пературы в подавляющем большинстве случаев нашли
свое теоретическое объяснение. Затруднения, возникаю¬
щие при интерпретации эксперимента, большей частью
связаны с чрезвычайной чувствительностью термомаг¬
нитных эффектов к характеру взаимодействия носителей
тока с кристаллической решеткой. Если рассеяние носи¬
телей тока определяется одновременно несколькими меха¬
низмами, то зависимость эффектов от температуры, а иног¬
да и от магнитного поля, может оказаться столь сложной,
что трудной становится не только количественная, но и
качественная интерпретация. В таких случаях следует
расширить температурный интервал исследований с тем,
чтобы охватить участки температур, где преобладает один
механизм рассеяния.
Как показали многочисленные исследования, термо¬
магнитные эффекты могут быть использованы для вы¬
яснения особенностей поведения носителей тока в по¬
лупроводниках и определения их важнейших пара¬
метров.
1.	Исследования поперечного и продольного эффектов
Нернста — Эттингсгаузена позволяют определять тип рас¬
сеяния носителей тока. Согласно теории, атомным и ион¬
ным кристаллам, обладающим различными типами связи
(ковалентной и ионной), соответствуют определенные
25*

384
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
механизмы рассеяния носителей тока. Если связь кова¬
лентная, доминирует рассеяние на акустических колеба¬
ниях решетки, если связь ионная — на оптических коле¬
баниях. Для изотропного случая (эффективные массы
и времена релаксации носителей тока — скалярные вели¬
чины) рассчитаны зависимости времени релаксации носи¬
телей тока т от энергии е, соответствующие каждому типу
связи. Таким образом, исследования термомагнитных
явлений, чрезвычайно чувствительных к виду зависимо¬
сти т (е), в области высоких температур (обычно не ниже
200—300° К), где носители тока взаимодействуют в основ¬
ном с тепловыми колебаниями решетки, позволяют судить
о характере сил связи кристалла. Ни в одном из известных
случаев сведения о типе связи, полученные по термомаг¬
нитным явлениям, не противоречат кристаллохимическим
и другим данным. В области низких температур изучение
термомагнитных эффектов дает возможность установить,
какого сорта примеси (нейтральные или ионизированные
центры, дислокации) преобладают в рассеянии носителей
тока. При низких температурах существенное влияние
на термомагнитные явления оказывает также эффект
увлечения носителей тока фононами.
Анизотропия эффективной массы носителей тока при
одновременной изотропности времени релаксации не влия¬
ет, как показывает пример германия, на характер зависи¬
мости термомагнитных эффектов от механизма рассея¬
ния — коэффициенты изменяются лишь количественно.
Анизотропия электронных составляющих термомагнитных
эффектов, обусловленная анизотропией эффективной мас¬
сы, сравнительно невелика, в то время как анизотропия
фононных составляющих, преобладающих в области низ¬
ких температур, может быть значительной.
Большая чувствительность термомагнитных эффектов
к характеру взаимодействия носителей тока с кристалли¬
ческой решеткой и вытекающая отсюда возможность ис¬
пользования их для определения механизма рассеяния
является одним из основных преимуществ термомагнит¬
ных эффектов по сравнению с гальваномагнитными и тер¬
моэлектрическими эффектами.
2.	Если известен механизм рассеяния носителей тока,
то есть величина показателя г, определяемого зависимо-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
385
стью длины свободного пробега I от энергии (Z~er), то
измерения одного из трех эффектов: поперечного эф¬
фекта Нернста — Эттингсгаузена, продольно-поперечного
и продольного эффекта Нернста— Эттингсгаузена (по¬
следние два при слабых магнитных полях)—в области
примесной проводимости дают возможность вычислить
подвижность. Величину г можно найти непосредственно
из продольно-поперечного или продольного эффекта
Нернста — Эттингсгаузена в области сильных магнитных
полей. Он может быть также найден при совместных
измерениях поперечного и продольного (или продольно¬
поперечного) эффектов в области слабых полей. Показа¬
тель г был определен по термомагнитным измерениям для
многих исследованных материалов (группа PbS, InSb,
HgSe и др). Для определения величины г по эф¬
фекту Холла или термоэлектродвижущей силе тре¬
буется значительно большая точность эксперимента, чем
при термомагнитных измерениях, следовательно, резуль¬
таты менее надежны, чем в последнем случае. Кроме того,
для вычисления г по термоэдс нужно знать эффективную
массу для плотности состояний носителей тока, которая
в большинстве случаев точно неизвестна.
Сравнение величин подвижностей, определенных по
термомагнитным и гальваномагнитным (Во) эффектам,
показывает, что для достаточно совершенных образцов
они совпадают между собой. Если же образцы мелкозер¬
нисты и содержат плохо проводящие межкристаллические
прослойки, то подвижность, вычисленная по электропро¬
водности и эффекту Холла, оказывается заниженной по
сравнению с подвижностью, рассчитанной из термомаг¬
нитных явлений (PbSe, ZnO).
Если носители тока одновременно рассеиваются не¬
сколькими видами искажений кристаллической структу¬
ры (например, тепловыми колебаниями решетки и ионами
примеси), то подвижность, определенная по эффекту Хол¬
ла, который мало чувствителен к механизму рассеяния,
ближе к истинной, чем подвижность, вычисленная по эф¬
фектам Нернста — Эттингсгаузена.
3.	Термомагнитные явления и, в частности, эффекты
Нернста—Эттингсгаузена позволяют определять величину
и температурный ход подвижностей электронов и дырок,

386
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
если они мало различаются между собой, и для области
собственной проводимости (Те, Ge), что невозможно сде¬
лать по измерениям эффекта Холла и электропроводно¬
сти. Измерения эффектов Нернста — Эттингсгаузена у соб¬
ственных полупроводников дают возможность вычислить
отношение подвижностей электронов и дырок, если оно
много больше единицы (HgTe, InSb, Bi2Se3). Отношение
подвижностей можно также найти по результатам изме¬
рений одного из эффектов Нернста — Эттингсгаузена и
эффекта Холла.
4.	Термомагнитные явления очень чувствительны к
появлению носителей тока противоположного знака, на¬
пример, электронов в дырочном полупроводнике Поэто¬
му расчет подвижности по термомагнитным эффектам для
области температур, где примесная проводимость пере¬
ходит в собственную, может привести к значительным
погрешностям. Здесь всегда необходим контроль, который
может быть осуществлен сравнением, например, с подвиж¬
ностью, найденной из эффекта Холла, менее чувствитель¬
ного к появлению небольших количеств носителей тока
противоположного знака.
С другой стороны, именно высокая чувствительность
термомагнитных явлений к появлению смешанной прово¬
димости позволяет использовать их для определения
отношения концентраций электронов и дырок в интервале
температур, где эти концентрации не равны между собой
(Те, Ge и др.).
5.	Исследования влияния диффузии носителей тока
в области смешанной проводимости на величину попереч¬
ного эффекта Нернста—Эттингсгаузена дают возможность
оценить длину диффузионного смещения носителей, а сле¬
довательно, и время их жизни. Такие оценки были произ¬
ведены для теллура.
6.	По изменению теплопроводности в магнитном поле
(эффект Маджи — Риги — Ледюка) можно определить часть
теплопроводности, обусловленную носителями тока. Полу¬
ченные таким образом значения для электронной состав¬
ляющей теплопроводности селенида ртути хорошо согла¬
суются с величинами, рассчитанными по соотношению
Видемана — Франца. Фононную составляющую теплопро¬
водности можно независимо определять по измерениям

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
387
адиабатических эффектов (например, Риги — Ледюка) в
сильных магнитных полях.
7.	Изучение термомагнитных явлений при низких
температурах, где основную роль играют эффекты увле¬
чения, может дать чрезвычайно полезные сведения о ха¬
рактере рассеяния фононов, которые нельзя получить
при исследовании гальваномагнитных явлений. Так, на¬
пример, был определен вид зависимости времени релак¬
сации фононов от температуры для германия и теллурида
серебра.
Изучение термомагнитных явлений в полупроводни¬
ках по существу только началось. Дальнейшее развитие
исследований должно идти, как нам представляется, в сле¬
дующих направлениях.
I.	Проведение исследований на более широком круге
материалов, в частности, на ионных, ферромагнитных
и антиферромагнитных полупроводниках. Желательно
проводить измерения на монокристаллах и изучать зави¬
симость эффектов от ориентации магнитного поля и гра¬
диента температуры по отношению к кристаллографиче¬
ским осям.
II.	Расширение температурного интервала исследова¬
ний. Особенно важна область низких температур, где
существенны эффекты увлечения, изучение которых долж¬
но дать чрезвычайно ценные сведения о взаимодействии
носителей тока с кристаллической решеткой и о рассея¬
нии фононов.
III.	Исследования в сильных и сверхсильных — до
~106 эрстед — магнитных полях при различных ориен¬
тациях магнитного поля и градиента температуры. Такие
исследования могут дать полезные сведения как о виде
энергетического спектра электронов в кристалле, так
и о механизме рассеяния их.
IV Развитие теории термомагнитных явлений:
а)	для конкретных материалов с учетом их энергети¬
ческого спектра,
б)	для случая анизотропного рассеяния носителей тока
с учетом эффектов увлечения и конкретного вида энерге¬
тического спектра кристалла,
в)	для более детального выяснения роди примесных
полос,

388
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
г)	для ферромагнитных и антиферромагнитных полу¬
проводников,
д)	для сверхсильных магнитных полей, когда начина¬
ют играть роль эффекты квантования электронных орбит
и кинетическое уравнение становится неприменимым.
ПРИМЕЧАНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
К стр. 246
Ю. Н. Образцов и др. [206] рассчитали для р-Ge с учетом
вырождения валентной полосы и переходов между полосами лег¬
ких и тяжелых дырок в предположении, что Тф — q~2. Анизотро¬
пия энергетических поверхностей и вероятностей перехода не
учитывалась. Расчет показал, что тяжелые дырки увлекаются
сильнее легких и что при слабых полях Q£ > 0. В области силь¬
ных полей основную роль играют тяжелые дырки и становится
отрицательным, как и в случае невырожденной полосы (§ 13).
Расчет позволил объяснить наблюдавшуюся у /?-Ge в интервале
96—143° К зависимость Q-ЦЯ) в предположении, что v+ = 0,02.
Осталось неясным, почему электронная часть Qj}-, вычисленная
по (16.13) (фх взято из формулы (15) работы [26]), сказывается
сравнимой с измеренной величиной Q-k
К стр. 315
Измерения сопротивления в продольном и поперечном магнит¬
ных полях, произведенные Родо [207] на монокристаллах HgSe,
показали, что энергетические поверхности электронов, по-види¬
мому, эллипсоидальны. Это должно, конечно, привести к несколь¬
ко иным, чем в табл. 16, значениям &2/6Х' Однако, как нетрудно
видеть из (11.4) и (11.6), для случая анизотропии л-Ge {К ^ 17)
это приводит к сравнительно малым изменениям ^2/6х• Кроме
того, следует принять во внимание, что исследования термомаг¬
нитных явлений в HgSe производились автором [28] на поликри¬
сталлах, у которых анизотропия эффектов должна быть несуще¬
ственной (см. стр 223). Таким образом, можно думать, что при¬
веденные здесь оценки величины г достаточно точны.

ПРИМЕЧАНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
389
К стр. 333
Измерения сопротивления в продольном магнитном поле,
произведенные Родо [207] на монокристаллах HgTe, показали, что
энергетические поверхности электронов, по-видимому, сферичные.
К стр. 345
Измерения сопротивления в продольном и поперечном магнит¬
ных полях на монокристаллах группы PbS [197, 209] показали,
что энергетические поверхности электронов и дырок у РЬТе
эллипсоидальны, причем параметр анизотропии К = 4,7 для р-РЬТе
и К = 3,3 для я-РЬТе при ~ 300° К. У PbS и PbSe энергетиче¬
ские поверхности носителей тока по предварительным данным
почти сферичны (1<#<1,5). Это означает (см. примечание на
стр. 315), что приведенные оценки показателя г достаточно точны.

ЛИТЕРАТУРА
А. Ф. Иоффе, а) Полупроводники в современной физике,
изд. АН СССР, 1954; б) Физика полупроводников, изд. АН
СССР, 1957.
2.	A. Ettingshausen u. W. Nernst, Wied. Ann.
29, 343, 1886.
3.	A. R i g h i, Compt. rend. 105, 168, 1887.
4.	A. L e d и c, Compt. rend. 104, 1783, 1887.
5.	A. S о m m e r f e 1 d, Zs. Phys. 47, 43, 1928.
6.	M. G. L 1 о у d, Amer. J. Sci. 12, 57, 1901.
7.	P. I. W о 1 d, Phys. Rev. 7, 169, 1916.
8.	A. W. Smith, Phys. Rev. 32, 178, 1911.
9. A. W. Smith a. A. W. Smith, Phys. Rev. 5, 35, 1915.
10. H. В. С. C a s i m i r, Physica 5, 495, 1938.
11.	О. E. Buckley, Phys. Rev. 4, 482, 1914.
12.	G. G о t t s t e i n, Ann. Phys. 43, 1079, 1914.
13.	N. S. L i t t 1 e, Phys. Rev. 28, 418, 1926.
14.	M. M. Носко в, ЖЭТФ 7, 401, 1937.
15.	К. bare —Horovitza. W. Scanlon, Bull. Am.
Phys. Soc. 23, 26, 1948.
16.	А. А. Б а б a e в, Диссертация, Институт физики и матема¬
тики АН АзССР, 1949; X. И. Амирханов, ЖТФ 21,
240, 1951.
17.	А. 3. Д а и б о в, Диссертация, Ленингр. гос. педагоги¬
ческий ин-т, 1954.
18.	X. И. А м и р х а н о в, А. 3. Д а и б о в, В. П. Ж у з е,
ДАН СССР 98, 557, 1954.
19.	Е. Н. Р u t 1 е у, Proc. Phys. Soc. В68, 22, 35, 1955.
20.	А. 3. Д а и б о в и И. М. Ц и д и л ь к о в с к и й, ЖТФ
25 742 1 955.
21.	И.’ В. М о ч а н, ЖТФ 25, 1003, 1955.
22.	И. М. Ц и д и л ь к о в с к и й, ДАН СССР 102, 737, 1955.
23.	Т. В. Крылова и И. В. М о ч а н, ЖТФ 25, 2119, 1955.
24.	М. Р. A i g г a i n, С. Rigaux et М. I. М. Т h u 1 1 i е г,
Compt. rend. 242, 1145, 1956.
25.	Р. И. Баширов и И. М. Цидильковский,
ЖТФ 26, 2195, 1956.
26.	И. В. М о ч а н, 10. Н. О б р а з ц о в и Т. В. К р ы-
л о в а, ЖТФ 27 , 242, 1957.

ЛИТЕРАТУРА
391
27.	J. Е г d m a n n, M. Schultz u. J. A p p e 1, Zs. Natur-
fnr<;rh 1 9q 171	10^7
28.	И. M. Цидильковский, ЖТФ 27, 12, 1957.
29. И. M. Цидильковский, ЖТФ 27, 1744, 1957.
30. X. И. Амирханов, Р. И. Б а ш и р о в, А. 3. Д а и-
бовиИ. М. Цидильковский, ДАН СССР 117,
53, 1957.
31.	В. П. Ж у з е, И. М. Ц и д и л ь к о в с к и й и Т. С.
Бартницкая, ЖТФ 28, 1646, 1958.
32.	А. С. Beer a. R. К. W i 1 1 а г d s о n, Bull. Am. Phys.
Soc., Ser. II 1, 54, 1956.
33.	С. H e r r i n g a. T. H. G e b a 1 1 e, Bull. Am. Phys. Soc.,
Ser. II 1, 117, 1956.
34.	A. S о m m e r f e 1 d a. N. H. Frank, Rev. Mod. Phys.
3 1 1931.
35.	M. П. Бронштейн, Sow. Phys. 2, 28, 1932.
36.	Б. И. Давыдова И. M. Ill м у ш к e в и ч, УФН 24,
21, 1940.
37.	Н. Л. Писаренко, Уч. зап. Ленинград, гос. педагоги¬
ческого ин-та 31, 5, 1940.
38.	Н. Л. Писаренко, Изв. АН СССР, сер. физ. 5, 417, 1941.
39.	R. W. Wright, Proc. Phys. Soc. А64, 984, 1951.
40.	К. Б. Т о л п ы г о, Труды Ин-та физики АН УССР, вып. 3,
52 1952.
41.	О. М a d е 1 u n g, Zs. Naturforsch. 9а, 667, 1954.
42.	Ю. Н. Образцов, ЖТФ 25, 995, 1955.
43.	R. Mansfield, Proc. Phys. Soc. B70, 240, 1957.
44.	Ф. Г. Б. а с с и И. М. Цидильковский, ЖТФ 24,
1834, 1954.
45.	Ф. Г. Басс и И. М. Ц и д и л ь к о в с к и й, ЖЭТФ 31,
672, 1956.
46.	Ф.	Г. Б	а с с, Р. И. Б а ш и р о в и И. М. Ц и	д и	л ь к	о в-
с к	и й,	Изв. АН АзССР, № 10, 3, 1956.
47.	И. М. Цидильковский, ЖТФ 28, 1171, 1958.
48.	Ф. Г. Б а с с и И. М. Цидильковский, ЖЭТФ 28,
321 1955.
49.	Г. Е. Пи кус, ЖТФ 26, 22, 1956.
50.	И. М. Цидильковский, Диссертация, Ленинград¬
ский гос. университет, 1955.
51.	Р. I. Price, Phil. Mag. 46, 1252, 1955.
52.	Р. 1. Price, Phys. Rev. 102, 1245, 1956.
53.	P.	1. Price, Bull. Am. Phys. Soc., Ser.	II 1,	47,	1956.
54.	В.	Л.	Гуревич, Ю. H. О б p а з ц о	в, ЖЭТФ 32,	390,
1957.
55. О. М a d е 1 u n g, Zs. Naturforsch. 11а, 478, 1956.
56. М. И. К л и н г е р, В. Г. Н о в и к о в а, В. Н. А г а р к о-
в а, ЖТФ 26, 2185, 1956.
57.	Я. Г. Д о р ф м а н, ДАН СССР 81, 765, 1951.
58.	Е. Z. Mollwo, Zs. Angew. Phys. 6, 257, 1954.
59.	A. II. Wilson, Theory of Metals, University Press, Cam
bridge, 1954,

o92
ЛИТЕРАТУРА
60.	E. H. Sondheimera. D. J. Howarth, Proc. Roy.
Soc. A219, 53, 1953.
61.	G. E г g i n s о y, Phys. Rev. 79, 1013, 1950.
62.	E. Conwell a. V. F. Weisskopf, Phys. Rev. 77,
388, 1950.
63.	G. И. П e к a p, Исследования по электронной теории кри¬
сталлов, Гостехиздат, 1951.
64.	Н. Brooks, Phys. Rev. 83, 879 (A), 1951; P. P. Debye
a. E. Conwell, Phys. Rev. 93, 693, 1954; R. B. Dingle,
Phil. Mag. 46, 831, 1955.
65.	G. Goldberg a. R. D a v i s, Phys. Rev. 94, 1121, 1954.
66.	H. Welker, Zs. Naturforsch. 6a, 184, 1951.
67.	А. И. Ансельм, ЖТФ 22, 1146, 1952.
68.	P. Banbyry, H. H e n i s h, A. Many, Proc. Phys.
Soc. A66, 753, 1953.
69.	L. L a n d a u e r, J. Swanson, Phys. Rev. 91, 555, 1953.
70.	А. И. Губанов, ЖЭТФ 21, 79, 1951.
71. А. Ф. И о ф ф e, ЖТФ 23, 1452, 1953.
72. А. Г. С а м о й л о в и ч и М. И. К л и п г е р, ЖТФ 25,
2050, 1955.
73.	А. Г. СамойловичиЛ. Л. Коренблит, УФН
9/4	4 044
74.	R. Р е i е г 1 s, Ann. Phys. 4, 121, 1930.
75.	Г. Бете и А. Зоммерфельд, Электронная теория
металлов, ОНТИ, 1938.
76.	Л. Э. Гуревич, ЖЭТФ 16, 193, 416, 1946.
77.	Г. Е. Пи кус, ЖЭТФ 21, 852, 1951.
78.	Н. Р. R. Frederikse, Phys. Rev. 91,491,1953.
79.	С. Herring, Phys. Rev. 96, 1163, 1954.
80.	E.	H. S о n d h e i m e r,	Proc. Roy. Soc. A234, 391, 1956.
81.1.	I.	Hanna a. E.	H.	S о n d h e i m e r, Proc. Roy. Soc.
A239 247 1957.
82.	J. E. Parrott, Proc. Phys. Soc. B70, 590, 1957.
83.	J. A p p e 1, Zs. Naturforsch. 12a, 410, 1957.
84.	J. Appel, Zs. Naturforsch. 13a, 386, 1958.
85.	C. Herring, Phys. Rev. 95, 954, 1954.
86. А. Г. Самойлович, Л. Л. Коренблит, УФН
57 577 1955
87.	M. R о d о t, Compt. rend. 243, 129, 1956.
88.	J.	M	c D о u g a 1, E.	C.	Stoner, Phil. Trans. Roy. Soc.
A67,	239, 1939; А. С.	В e e r, M. N. C h a s e a. P. F.
Choquard, Helv. Phys. Acta 28, 529, 1955.
89.	P. Rhodes, Proc. Roy. Soc. A204 , 396, 1950.
90.	G. Busch, H. L a b h a r t, Helv. Phys. Acta 20, 461,
1946.
91. Л. Л. Коренблит и T. Я. Шрайфельд, ЖТФ
25, 1019, 1182, 1955.
92.	F. S е i t z, Phys. Rev. 73, 549, 1948.
93.	W. Shockley, J. В a r d e e n, Phys. Rev. 77,407,
1950.
94.	К. С. Ш и ф p и н, ЖТФ 14, 40, 49, 1944.

ЛИТЕРАТУРА
393
95. Н. Frohlich, N. Mott, Proc. Roy. Soc. A171, 496,
1939.
96.	W. К г о e b e 1, Zs. Phys. 133, 30, 1952; Zs. angew. Phys.
5, 286, 1953.
97.	H. Б. Брандт, Приборы и техника эксперимента, № 2,
138, 1956.
98.	V. Johnson, Phys. Rev. 74, 1255, 1948.
99. T. F u k u г о i, S. T a n u m a, S. T о b i s a w a, Sci.
Rep. Inst. Tohuku, Univ. Al, 373, 1949.
100.	M. G. Steele, Bull. Am. Phys. Soc., Ser. II 1, 225, 1956;
Phys. Rev. 107, 81, 1957.
101.	W. M. В u 1 1 i s a. W. E. К r a g, Phys. Rev. 101, 580, 1956.
102.	H. Brooks, Advances in Electronics and Electron Physics,
VII, 85—182, New York, 1955 (Русский перевод: Проблемы
современной физики, вып. 8, 72, 1957).
103.	В. Е. Вздорнов, И. М. И и д и л ь к о в с к и й,
ФММ 8, 671, 1959.
104.	R. К. W i 1 1 а г d s о n, Т. С. Harman а. А. С. Beer,
Phys. Rev. 96, 1512, 1954.
105.	Т. Н. G е b а 1 1 е a. G. W. Hull, Phys. Rev. 94, 1134,
1954.
106.	В. A b е 1 е s a. S. М е i b о о m, Phys. Rev. 95, 31, 1954.
107.	И. М. Цидильковский и В. П.Широковский,
ФММ 9, 321, 1960.
108.	G. Dresselhaus, A. Kip, С. Kittel, G. Wago¬
ner, Phys. Rev. 98, 556, 1955.
109.	M. R о d о t, a) Compt. rend. 245, 1051, 1957; b) J. Phys.
Rad. 19, 140, 1958.
110.	В. П. ЖузеиИ. M. Цидильковский, ЖТФ 28,
2372	1958
111.	H.	E h r e n r e i c h, J. Phys. Chem.	Solids 2, 131,	1957.
112.	С.	H i 1 s u m a. R.	Barrie, Proc. Phys. Soc. 71, 676,	1958.
113.	E.	O.	Kane, J. Phys. Chem. Solids 1, 249, 1957.
114.	H.	J.	H г о	s t о w s k i, F. J. Morin, T. H.	Ge-
b a	1 1 e a. G. H. W	h e a t 1 e v, Phys.	Rev. 100, 1672,	1955.
115.	H.	Y о s h i n a g a	a. R. A. О e t j	e n, Phys. Rev.	101,
526, 1956.
116.	W.	G.	S p i t	z e г a. H. V. Fan, Phys. Rev. 99, 1893,	1955.
117.	R.	F.	P о t t	e r, J. Phys. Chem. Solids 3, 223, 1957.
118.	Ф. Зейтц, Современная теория твердого тела, Гостехиздат,
1949.
119.	R. О. Carlson, Phys. Rev. Ill, 476, 1958.
120. D. G. В e 1 1, D. M. H u m, L. P i n c h e r 1 e, D. W.
Sciama, P. M. Woodward, Proc. Roy. Soc. A217,
71, 1953.
121.	E. Burstein a. P. Egli, Advances in Electronics and
Electron Physics, VII, 1—84, 1955; New York (Русский перевод:
Проблемы современной физики, вып. 8, 5, 1957).
122.	Г. И. Сканави, Физика диэлектриков, Гостехиздат,
1949.
123.	L a n d о 11, Phys. Chem. Tabellen, Springer, Berlin, 1923.

394
ЛИТЕРАТУРА
124.	D. Avery, Proc. Phys. Soc. B67, 2, 1954.
125.	Intern. Crit. Tabl. 5, 90, 1929.
126.	10. А. Д у н a e в, Ю. II. M а с л а к о в e ц, ЖЭТФ 17,
901, 1947.
127.	D. Parkinson, J. J. Guarrington, Proc. Phys.
Soc. A67, 569, 1954.
128. P. И. Б а ш и p о в, ЖТФ 28, 986, 1958.
129. I. G. A u s t i n, A. Sheard, J. Electronics a. Control,
III, № 2, 236, 1957.
130.	J. E. Parrott, Proc. Phys. Soc. 71, 82, 1958.
131.	В. E. Вздорнов, И. M. Цидильковский,
ФММ 7, 801, 1959.
132.	J. Lagrenaudie, J. chim. phys. et phys.-chim. biol.
55 175 1958.
133.	J. A p p e 1, G. L a u t z, Physica 20, 1110, 1954; I. Appel,
Zs. Naturforsch. 10a, 530, 1955.
134.	G. H e v e s y, Zs. Elektrochemie 71, 689, 1931.
135.	S. Miyatani, J. Phys. Soc. Japan 13, 341, 1958.
136.	R. Mansfield a. W. Williams, Proc. Plys. Soc.
72, 733, 1958.
137.	F. A. Johnson, J. M. L о c k, Proc. Phys. Soc. 72, 914,1958.
138.	G. Busch, Zs. angew. Math. u. Physik 1, 3, 1950; 2, 81,
1950 (Русский перевод: УФН 47, 258, 1952).
139.	H. Мотт и Р. Герни, Электронные процессы в ионных
кристаллах, ИЛ, 1950.
140.	М. Борн и М. Гепперт-Мейер, Теория твердого
тела, ИЛ, 1938.
141.	Сборник физических констант, ОНТИ, М., 1937.
142.	Handboock of Chemictry a. Physics, Chem. Rubb. Publ. Co,
Cleveland, 1948.
143.	B. G u d d e n u. P. H e n n i g e r, Zs. Phys. 125, 757, 1949.
144.	E. Engelhard, Ann. Phys. 17, 501, 1933.
145.	G. Blankenburg u. O. Bottger, Ann. Phys. 10, 241,
1952.
146.	P. Schmidt, Ann. Phys. 14 , 265, 1954.
147.	W. Feldmann, Phys. Rev. 64, 113, 1943.
148. K. Kamiyoshi, Sci. Repts. Research Inst. Tohoku
Univ. A2, 180, 1950.
149.	R. W. Wright a. J. A. В a s t i n, Proc. Phys. Soc. 71,
109, 1958.
150.	B. Lewis a. E. Sondheimer, Proc. Roy. Soc. A227,
241, 1955.
151.	J. A. В a s t i n a. R. W. Wright, Proc. Phys. Soc.
A68, 312, 1955.
152.	A. R. Hutson, Phys. Rev. 108, 227, 1957.
153. В. П. Ж у з e, В. Д. Васильев и И. М. Ци¬
дильковский, ФТТ (в печати).
154.	S. Е. Harrison, Phys. Rev. 93, 52, 1954.
155.	Е. Е. Н a h п, В. R. Russel а. Р. Н. Miller, Phys.
Rev. 75, 1631, 1949; О. F г i t s с h, Ann. Phys. 22, 375, 1935.
156.	J. Erdmann, Zs. Naturforsch. 13a, 650, 1958.

ЛИТЕРАТУРА
395
157.	G. L. Pearson a. M. Tanenbaum, Pbys. Rev. 90,
153, 1953.
158.	T. С. H a r m a n, M. J. Logan a. H. L. G о e r i n g,
J. Phys. Chem. Solids 7, 228, 1958.
159.	P. Чазмар и E. Путли, Полупроводниковые материа¬
лы, ИЛ, стр. 275, 1954.
160.	R. S. А 1 1 g a i е г a. W. W. Scanlon, Phys. Rev. Ill,
1029, 1958.
161.	К. P e t r i t z a. W. W. Scanlon, Phys. Rev. 97, 1620,
1955.
162.	А. В. И о ф ф e и А. Ф. Иоффе, Изв. АН СССР, сер.,
физ. 20, № 1, 1956.
163.	Л. С. С т и л ь б а н с, Б. И. Боки Э. Л. Л и ф ш и ц,
ДАН СССР 111, 1011, 1956.
164.	Э. 3. Г е р ш т е й н, Т. С. С т а в и ц к а я, Л. С. С т и л ь-
б а и с, ЖТФ 27, 2472, 1957.
165.	Р. П а й е р л с, Квантовая теория твердого тела, ИЛ, 1956.
166.	R. Lyddane, R. Sachs, Е. Teller, Phys. Rev.
59 673 1941.
167.	a) A. R. Hutson, J. Phys. Chem. Solids 8, 467, 1959;
b) D. G. Thomas, J. Phys. Chem. Solids 9, 31, 1959.
168.	L. О n s a g e r, Phys. Rev. 37, 405, 1931; 38, 2265, 1931.
169.	Ф. Г. Басс, Диссертация, Харьковский гос. университет,
1958.
170.	Е. Т. Уиттекер и Г. Н. Ватсон, Курс современ¬
ного анализа, ГТТИ, 1933.
171.	Л. Д. Л а н д а у и Е. М. Л и ф ш и ц, Статистическая
физика, Гостехиздат, 1951.
172.	Я. И. Френкель, Электродинамика, т. II, ОНТИ, 1935.
173. D. L. Dexter a. F. S е i t z, Phys. Rev. 86, 964, 1952.
174. F. J. M о r i n a. J. P. Maita, Phys. Rev. 94, 1525, 1954.
175.	a) С. H e r r i n g, T. H. G e b a 1	1 e a. J. E.	К u	n z 1 e r,
Phys. Rev. Ill, 36, 1958; b) Bell. Syst. Techn. Journ.	38, 657,
1959.
176.	H. Frohlich a. G. L. Sewell, Proc. Phys. Soc. 74,
643, 1959.
177.	G. L. Sewell, Phil. Mag. 3, 1361, 1958.
178.	R. К u b o, J. Phys. Soc. Japan 12, 570, 1957.
179.	А. Г. С а м о й л о в и ч, М. И.	Клингер,	Л.	Л. Ко¬
ре н б л и т, ФТТ, Сб. статей, II,	121, 1959.
180.	М. И. Клингер, ЖЭТФ 31, 1055, 1956; М. И. Клин¬
гер и П. И. Вороню к, ЖЭТФ 33, 77, 1957.
181.	Е. N. Adams а. Т. D. Н о 1 s t е i n, J. Phys. Chem.
Solids 10, 254, 1959.
182.	С. H e r r i n g a. E. Vogt, Phys. Rev. 101, 944, 1956.
183.	О. В. Емельяненко и Д. H. Наследов, ФТТ
1, 985, 1959.
184.	I. Bardin a. W. Shockley, Phys. Rev. 80, 72, 1950.
185.	В. Шокли, Теория электронных полупроводников, ИЛ,
186.	Ch. Enz, Physica 20, 983, 1954.

390
литература
187. А. И. Ансельм, И. Г. Л а н г, ФТТ 1, 683, 1959.
188. Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая
механика, Гостехиздат, 1948.
189.	L.	S р	i t z е г, R. Harm,	Pliys. Rev. 89, 977, 1953; R. C o-
h e	n,	L. S p i t z e r a. P.	R о u t 1 y, Phys. Rev. 80, 230,
1950.
190.	G. L. Pearson a. J. Bardin, Phys. Rev. 75, 865,
1949.
191.	H. Мотт и Г. M e с с и, Теория атомных столкновений,
ИЛ 1951.
192.	И.	В.	Моча и, Т. В. С	м и р н о в а, ФТТ 1, 1112, 1959.
193.	G.	L.	Pearson, W. Т.	Read a. F. J. Morin, Phys.
Rev. 93, 666, 1954.
194.	С. Herring, Bell. Syst. Techn. Journ. 34 , 237, 1955.
195.	И. В. M о ч a ii, IO. H. Образцов u T, В. Смирн o-
в а, ФТТ 1, 1351, 1959.
196.	J. Black, S. Ku a. H. Minder, J. Electrochem. Soc.
105, 723, 1958.
197.	R. S. A 1 1 g a i e r, Phys. Rev. 112, 828, 1958.
198.	П. В. ГультяевиА. В.Петров, ФТТ 1, 368, 1959.
199.	E. Ф. Гросс и И. П а с т р н я к, ФТТ 1, 518, 1959.
200.	Н. Frank, Polovodi6e v teorii i paxi, SNTL, Praha, 1955.
201.	F. L. W e i c h m a n, Phys. Rev. (L) 4, 98, 1960.
202.	П. Миллер, Полупроводниковые материалы, стр. 227,
ИЛ, 1954.
203.	I. Isenberg, В. Russell, R. Greene, Rev. Sci.
Instrum. 19, 685, 1948.
204.	О. В. Емельяненко, H. В. Зотова и Д. H.
Наследов, ФТТ 1, 1868, 1959.
205.	J. Strong, Phys. Rev. 38, 1818, 1931.
206.	Ю. H. О б р а з ц о в, И. В. Мочан и Т. В. Смирнова,
ФТТ 2, 830,	1960.
207.	М. R о d о t et Н. R о d о t, Compt. rend. 250, 1447, 1960.
208.	И. М. Ц и д и л ь к о век и й, ФММ 8, 671, 1959.
209.	R. S. А 11 ga i е г, Abstracts Jutern. Conference on Semicond.
Physics, p. 137, Prague, 1960.
210.	И. M. Цидильковский, Докторская диссертация, Физи¬
ко-технический институт АН СССР, 1959, Abstracts Intern.
Conference on Semicoud. Physics, p. 22, Prague, 1960.