/
Author: Спиридонов И.Н.
Tags: патология клиническая медицина общая диагностика медицина статистика биология обработка информации статистический анализ
ISBN: S-7038-1939-3
Year: 2002
Text
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.Э. БАУМАНА
И.Н. СПИРИДОНОВ
ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ОБРАБОТКИ
МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Рекомендовано редсоветам МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2002
УДК 616(075.8)
ББК 53.4
'О
Рецензенты: В.Я. Колючкин, В. Б. Парашин
Спиридонов И.Н.
С72 Основы статистической обработки медико-биологической
информации: Учебное пособие. -- М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 20GJ, с., ил.
ISBN .5-703(8^^1.
В учебном тюсс^^^знЫийяной форме излажены теоретические ос-
новы статистической яюЖйкй медико-биологической информации, ис-
пользуемые в медицидарй практике; проанализирован подход к оценке
функционального состиивда человека, определению типа неспецифических
адаптационных реакций;, йредложед способ проектирования диагностических
комплексов, оснований!!«а создании приборных, аппаратно-программых
средств и системы дешифрирования с учетом стохастических особенностей
медико-биалотическихсипталов.
Для студентов,ИзучйЮЩИХ курсы «Автоматизированные системы
функциональной диагностики» и «Автоматизированные системы в медико-
биологической практике».
Ил. 7. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.
УДК 616(075.8)
ББК 53.4
Игорь Николаевич Спиридонов
Основы статистической обработки медико-биологической информации
Редактор Е.К. Кошелева
Корректор Л.И. Малютина
Изд. лиц. № 020523 от 25.04.97.
Подписано в печать 29.11.2001. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 3,5.
Усл. печ. л. 3,26. Уч.-изд. л. 3,05. Тираж 100 экз. Изд. № 52. Заказ № ’
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
ISBN 5-7038-1939-3
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002
ВВЕДЕНИЕ
Современная физиология, клиническая медицина и биология
имеют в своем арсенале, методы и средства, позволяющие изучать
функциональное я морфологическое состояние органов и систем в
норме и при патологии. Качество результатов исследования при этом в
значительной степени зависит от корректности вычисления парамет-
ров физиологических реакций, вегетативных показателей, количествен-
ной оценки морфологических особенностей клеток и органов.
Клинический опыт, полученный в различных медицинских учреждени-
ях^ позволяет считать состояния нормы и патологии случайными про-
цессами, использовать при описании гипотезу о стационарности, а в
И медико-биологических сигналов игр^,. знание основных по-
да процедур теории вероятностей и математической статистики,
материал в учебном пособии впервые представлен ,в
ной форме и втой последовательности, которая соответствует
анализа медико-биологических сигналов. .
ко
• ’Л •
.if.,' JftTX-WVi'S'V'
•x-xus
,7.
’ .• » •
1. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ЧЕЛОВЕКА
В конце XX в. резко ухудшилась информационная, эмоциональная и
экологическая ситуация на планете, что обусловило формирование по-
стоянно действующих на человека физических, информационных и
психоэмоциональных факторов стресса. К стрессу, как установлено лау-
реатом Нобелевской премии Г. Селье, организм приспосабливается
любой ценой, в том числе и необратимыми морфофункциональными
изменениями и даже смертью, что подтверждается статистическими дан-
ными о состоянии здоровья народонаселения, приводимыми в докладах
РФ ООН за 1996 - 1998 it.
Изменение качественных и количественных параметров внеш-
них воздействий, в свою очередь, зависит от источников воздейст-
вий, к которым относятся технические средства, социумы, система
управления социумами и природа. Так как человек является актив-
ным элементом указанных структур, его функциональное состояние
(ФС) становится определяющим в формировании факторов стресса.
1.1. Неспецифические адаптационные реакции
Определенное объяснение результатам воздействия внешних
полей на физиологию и психоэмоциональное состояние челове-
ка дает теория неспецифических адаптационных реакций (НАР),
основные положения которой разработаны в трудах Л.Х. Гарка-
ви, Е.Б, Квакиной, М.А. Уколовой на основании фундаменталь-
ных исследований академиков И.П. Павлова, И.Е. Введенского,
П.Д. Горизонтова, П.К. Анохина и дугих. Как следует из публи-
каций, в основе действия компенсаторно-приспособительных
механизмов лежит количественный принцип: развитие различных
НАР зависит от биологической эффективности, а не от качественных
характеристик воздействия (рис. 1). Каждому типу НАР соответствует
определенный комплекс изменений в различных системах организма:
центральной нервной системе (ЦНС), тимусе, надпочечниках, что
отражается на уровне глюкокортикоидов, минералокортикоидов,
функциональной активности щитовидной и половых желез (рис. 2).
Именно различия в комплексе показателей позволили выделить
4
Рис. 1. Чередование типов неспецифических адаптационных реакций:
PC - реакция стресс; РТ - реакция тренировки; РСА - реакция спокойной
активизации; РПА — реакция повышенной активизации
следующие НАР: реакция стресс (PC), реакция тренировки
(РТ), реакция спокойной активации (РСА) и реакция повы-
шенной активации (РПА).
Повышение резистентности организма достигается при анти-
стрессорных реакциях спокойной и повышенной активации,
высоких уровнях реактивности (УР) организма. Они также пока-
заны при токсическом воздействии противоопухолевых препара-
тов, радиоактивном облучении, опухолевом росте (рис. 3).
Установлено, что для объективной оценки типа НАР необхо-
димо обеспечить определение концентрации лейкоцитов с отно-
сительными погрешностями, не превышающими следующих
значений: для лимфоцитов — 4 %, для сегментоядерных нейтро-
филов - 2 %, для палочкоядерных нейтрофилов — 8 %, для эо-
зинофилов — 10 %, для общего количества лейкоцитов — 6 %
(см. таблицу).
5
Рис. 2. Диаграмма четырех типов НАР:
уровень возбуждения (1) и торможения ЦНС (6); масса тимуса (2); масса надпо-
чечников (7); уровень глюкокортикоидов (5); уровень минералокортикои-
дов (70); функциональная активность щитовидной железы (9); функциональная
активность половых желез (4); активность свертывающей системы крови (в) и
антисвертывающей системы крови (3)
Рис. 3. Динамика роста опухолей (по Л.Х. Гаркави, Е.Б. Квакиной, МА Уколовой)
6
Лейкоцитарная формула при различных типах НАР
(по ЛX Гаркави, Е.Б. Квакиной)
Форменные эле- менты крови Тип НАР
РТ РСА РПА PC
СО СХ
Лейкоциты х ю’/л .4,0 - 8,0 4,0 - 8,0 > 8,0 4,0 - 8,0 < 4,0 > 8,0
Лимфоциты, % 21 -27 28-33 > 33 До 40 - 45 < 20 < 20
Сегментоядерные нейтрофилы, % 60-71 47-59 <46 >72 > 72
Палочкоядерные нейтрофилы, % 1 -6 1-6 1-6 1-6; > 6 1-6; > 6
Моноциты, % 4-7 4-7 4-7 4-7; > 7 4-7
Эозинофилы, % 1 -5 1 - 5 1 -5 0 0-1; 1 - 5; > 5
* СО — стресс острый; СХ — стресс хронический.
Применяемые в настоящее время в гематологии проточные
гемоанализаторы фирм ABBOTT, Coulter, Roche, Serono, Sysmex
и другие, основанные на кондуктометрическом, нефелометри-
ческом и подобных методах, а также системы анализа гемоизоб-
ражений Coulter, Roche, CompuCyte Corporation и другие не
позволяют количественно оценивать морфологические парамет-
ры клеток крови и не обеспечивают требуемой точности диффе-
ренциального анализа лейкоцитов, незрелых клеток и клеток
атипичной морфологии, в первую очередь из-за отсутствия взаи-
мосвязи между измеряемыми параметрами и морфологией. Для
объективного определения типа НАР требуется количественное
описание морфологических параметров клеток крови как осно-
вы для их автоматической классификации.
В настоящее время УР оценивают по субъективным ощуще-
ниям пациента, с помощью методов психологического тестиро-
вания или по реакции организма на какой-либо раздражитель.
Это является одной из основных причин, сдерживающих внед-
рение методов диагностики, лечения и профилактики болезней,
в основе патогенеза которых лежат изменения в механизмах
адаптации. Следует отметить, что устойчивые состояния систем
и органов, сформированные в процессе взаимодействия с окру-
жающей средой, могут быть описаны в понятиях и параметрах
рефлексодиагностических методов. Например, при иридодиаг-
ностическом обследовании изменение состояния индикаторов
7
НАР: гипоталамуса, гипофиза, надпочечников, щитовидной и
половых желез — устанавливают по наличию воспалительно-дис-
трофических и токсико-дегенеративных признаков радужной
оболочки глаз.
1.2. Показатели функционального состояния человека
Причиной смены типа НАР и УР является изменение каче-
ственных и количественных параметров внешних воздействий,'
которые можно классифицировать по физическим свойствам ,
(слабые и сильные, электромагнитные и акустические и тд.)Л'1
структурным (дискретные и непрерывные), семантическим ’
(малоинформативные и высокоинформативные).
В качестве одной из причин, обусловливающих изменение
силы внешних воздействий, выступает сам человек как актив-
ный элемент источников внешних воздействий: технических
средств, социума и системы управления социумом, живой и не-
живой природы. Вследствие взаимообусловленности и взаи-
мовлияния указанных структур и человека особое значение
приобретает оценка его ФС, вызванного внешними и генетичес-
кими факторами, такими как тип НАР, физиологические,
психоэмоциональные и интеллектуальные особенности.
Понятие ФС человека широко используется в психологии,
физиологии, при’организации трудовой деятельности, разработ-
ки техники и т.д. Физическое и психическое здоровье, успехи в
учебе, работе, творчестве в значительной мере зависят от ФС.
Контролируя ФС и управляя, человек может решать многие
важные задачи: определять допустимые физические и нервные
нагрузки, сознательно повышать УР и переходить на антистрес-
сорные типы НАР, осваивать новые жизненные пространства
(экстремальные условия), • оптимизировать производственные
процессы.
На результатах работ академиков И.П. Павлова, П.К. Анохи-
на, Л.А. Орбели и других ученых основана современная теория
ФС, на основании которой можно сделать следующие выводы: .
1. ФС является результатом взаимодействия особых фукцио-
нальных систем и представляет собой особое психофизиологи-
ческое явление, закономерности которого заложены в
архитектуре модулирующих систем (МС) головного мозга и ко-
торое проявляется на биохимическом, физиологическом, пове-
денческом и психосоматическом уровнях.
Любые виды деятельности человека требуют определенного
ФС, только ему присущей картины возбуждения различных сис-
тем активации.
8
2. Существует некоторый генетический механизм, опреде-
ляющий индивидуальный уровень активации (ИУА) самостоя-
тельных активирующих и инактивирующих структур на
различных уровнях ЦИС и таким образом участвующий в регу-
ляции ФС. ИУА — уровень неспецифической активации, кото-
рый наиболее часто наблюдается у конкретного индивидуума во
время бодрствования. Всякие нарушения неспецифического
ИУА ведут к дезорганизации поведения, как врожденного, так и
приобретенного. Установлена корреляционная взаимосвязь ИАУ
с паттернами элекгроэнцифалограммы (ЭЭГ) в режиме бодрст-
вования. Отметим, что паттерны ЭЭГ имеют сильную генетичес-
кую детерминацию и, как принято считать, могут быть связаны
с типами интеллектуальной деятельности и указывать на разли-
чия в функционировании МС головного мозга.
Измерения индивидуальных особенностей человека основа-
ны на предположении, что существуют стабильные индивиду-
альные различия в ИУА (функциональный статус).
З.В настоящее время описание ФС представляется возмож-
ным только на основе комплекса нескольких физиологических
реакций: показателей разных Субсистем активации (ПК. Ано-
хин, Д. Линдсли и др.) ЭЭГ, кожно-гальванического рефлекса
(КГР), электрокардиограммы (ЭКГ), электромиограммы (ЭМГ)
и вегетативных показателей - артериального давления, частоты
сердечных сокращений, дыхания и других. При этом изменения
ФС рассматриваются как смена одного комплекса реакций дру-
гими. ,
Выбор физиологических реакций зависит от характера вы-
полняемого задания. Содержание задачи, в свою очередь, явля-
ется., регулятором ФС, который и определяет паттерн
возбуждения или торможения физиологической реакции.
4. Ассоциативный процесс (например, обучение) включает в
качестве обязательного компонента формирование особого со-
стояния МС головного мозга, которое качественно специфично
для каждой временной связи. При обучении одновременно со
становлением вырабатываемого условного рефлекса идет про-
цесс формирования условно-рефлекторной связи, выражающей-
ся в возрастании спайковой активности у обучаемого нейрона в
межстимульные интервалы и отражающей условно-рефлектор-
ную установку на определенный уровень активности нервной
системы.
В формировании спайковой активности нейронов в межсти-
мульные интервалы участвуют на функциональном уровне —
9
гипокамм, ретикулярная формация мезэнцефальных структур,
синее пятно, ядро шва, таламическая область головного мозга,
на биохимическом уровне - пептиды.
Как психофизическое явление, определяемое генетическими и
внешними факторами, ФС имеет особое значение в жизни челове-
ка. Любое ухудшение ФС. играет роль положительной обратной
связи, что не соответствует приспособительным механизмам и
приводит к ортогенезу, т.е. к гибели вида. Поэтому поиск и фор-
мирование признаков и симптомов ФС, обеспечивающих возмож-
ность скриннинга при массовых профилактических и специальных
осмотрах, является. безусловно актуальной задачей, а результаты
объективной оценки ФС необходимы для успешной работы раз-
личного рода комиссий, в медицинской практике при выборе те-
рапевтических воздействий и тактики реабилитации и др.
Показатели ФС как характеристики сложной самоорганизую-
щейся системы формируются при обработке медико-биологичес-
ких сигналов (МБС) и должны интегрально отражать результат
действия генетических и внешних факторов, поэтому их исследо-
вание должно позволять обнаруживать (устанавливать): наличие и
склонность человека к наследственным и врожденным болезням,
особенности физиологических и психоэмоциональных состояний,
интеллектуальные особенности и профессиональные возможности
человека, а также другие характеристики, связанные с функцио-
нальным и социальным поведением человека.
Аналогичные показатели, в соответствии с основным прин-
ципом построения сложных самоорганизующихся систем, могут
и должны быть использованы для описания и определения ФС
социумов различных категорий на основе усреднения объектив-
ных оценок показателей индивидуумов, образующих социумы.
2. ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ
МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Методы формирования и обработки МБС успешно развиваются
и совершенствуются. Создан огромный парк приборов и комплек-
сов, позволяющих регистрировать биоэлектрические потенциалы и
получать изображения тканей в различных диапазонах длин волн.
С развитием цифровой техники сформировался подход к преобразо-
ванию физических и структурных свойств сигналов. В то же время
научно-методическая база анализа информационных свойств сигна-
ла, позволяющая автоматизировать процесс дешифрирования, на-
ходится в стадии становления.
Идея о возможности применения теории статистического
распознавания образов и вычислительной техники для дешиф-
10
рирования сигналов при решении трудноформализуемых прак-
тических задач прошла путь от очень сложной до тривиальной.
Однако задачи медицинской диагностики не укладываются в
рамки канонизированных концепций теории распознавания.
Поэтому использование готовых процедур неэффективно, и в
каждом конкретном случае ставятся и решаются задачи сбора и
отбора данных, формирования признаков, построения диагнос-
тического критерия и алгоритма.
Одна из основных задач, которую необходимо решить при
обработке МБС, — создание системы дешифрирования, исполь-
зующей количественные значения аксиологической информа-
ции (от гр. axio — ценная) о состоянии и процессах в
биообъекте.
2.1. Дешифрирование медико-биологических сигналов
Процесс дешифрирования МБС как иерархическая последо-
вательность операций от обнаружения до функционального ана-
лиза содержит этапы преобразования физических и структурных
свойств сигналов в целях семантического сжатия, выделения и
формирования аксиологической информации, ее интерпрета-
ции и подготовки лингвистического описания.
Представление о дешифрировании связано с восприятием че-
ловеком информации об окружающих его предметах. Профессио-
нальное дешифрирование врача можно представить как поэтапное
преобразование физических свойств МБС в лингвистическое опи-
сание в истории болезни.
В процессе анализа МБС при изучении деятельности органа
или его морфологических особенностей врач, сознательно или
подсознательно выделяя и анализируя аксиологические призна-
ки болезней, патологий, функциональных расстройств, проходит
ряд этапов исследования (рис. 4): обнаружение - определение
участков, отличающихся от стандартных (нормы); распознава-
ние — определение состояния (норма — патология) участка.
При этом врач может выполнять преобразования полученного
ранее МБС - предварительную обработку, при которой физи-
ческие параметры аксиологической информации оказались бы
наиболее заметными, и классификацию — определение принад-
лежности обнаруженных изменений к тому или иному классу.
После этого врач анализирует состояние пациента (анализ), ста-
вит диагноз и выбирает процедуру лечения и контроля лече-
ния (диагноз, синтез).
11
Процессы предварительной обработки, обнаружения и рас-
познавания относятся к низшим уровням дешифрирования,
классификации — к среднему уровню. Анализ ситуаций, сцен и
составление лингвистического описания (синтез), которые в
практических случаях реализуются врачом (дешифровщиком),
относится к высшим уровням. Кроме прямых связей между
уровнями могут существовать обратные связи, используемые для
коррекции результатов обработки на низших уровнях.
Медицинская техника, как правило, позволяет реализовать
только этап предварительной обработки, а остальные этапы де-
шифрирования выполняет врач. Для повышения эффективности
применения медицинской техники необходимо в первую оче-
редь обеспечить автоматическое или автоматизированное выпол-
нение одного или нескольких этапов дешифрирования.
Создание полностью автоматической системы дешифрирования
пока находится за пределами возможностей современной техни-
ки.
12
2.2. Структурно-функциональная схема системы обработки
медико-биологических сигналов
МБС следует рассматривать в единстве их физических, струк-
турных и семантических свойств. На физическом уровне МБС —
материальный объект с временными и пространственными характе-
ристиками, на структурном — массив данных, на семантическом -
закодированное изображение, дающее представление о свойствах
предмета.
Такой подход к изображению позволяет рассматривать систе-
мы обработки медико-биологической информации (рис. 5) как
совокупность технических средств, аппаратно-программный ком-
плекс, систему дешифрирования закодированной информации.
По физическим свойствам обрабатываемых МБС технические
средства делятся на оптические и электронные, а по структурным
— на аналоговые и цифровые. Таким образом, по физическим и
структурным свойствам системы обработки МБС
можно классифицировать как электронные цифровые, электрон-
ные аналоговые, оптические цифровые и оптические аналоговые.
В общем виде технические средства систем обработки МБС со-
держат три основных блока: устройство ввода сигнала (УВС), про-
цессор и устройство вывода сигнала (УВВС). Название системы
определяется типом процессора, а УВС и УВВС МБС обеспечива-
ют согласование физических и структурных свойств изображений
со свойствами процессора.
В оптических аналоговых системах УВС представляет собой
динамический или необратимый транспарант, а процессор - коге-
рентный или некогерентный аналоговый оптический вычислитель.
В электронных аналоговых системах (телевизионные системы
обработки МБС) УВС осуществляет развертку сигнала, результа-
том которой является электрический сигнал, обрабатываемый с
помощью аналогового процессора и преобразуемый с помощью
УВВС (ТВ-монитора) в выходной сигнал.
В электронной цифровой системе используется цифровой ПР, а
в состав УВС входят аналого-цифровой преобразователь (АЦП) и
цифроаналоговый преобразователь (ЦАП). В оптических цифровых
системах УВС представляет собой матричный динамический транс-
парант с оптическим и электронным управлением, а процессор -
оптический цифровой процессор.
13
Рис. 5. Структурно-функциональная системы обработки МБС
14
Существуют два способа преобразований, выполняемых систе-
мами обработки изображений, — аппаратный и программный. При
аппаратной реализации каждому типу преобразований соответст-
вуют определенные структура и характеристики аппаратуры. Для
изменения выполняемых преобразований требуется перестройка
аппаратуры. При программной реализации любые преобразова-
ния выполняются одним и тем же аппаратным комплексом.
Система дешифрирования определяет организацию процесса
обработки, требования к базам данных и входной информации.
Система дешифрирования МБС должна обеспечить последова-
тельность этапов процесса дешифрирования и выделение аксио-
логической информации при преобразовании физических и
структурных свойств изображений. В зависимости от задач де-
шифрирования информации технические средства обработки
МБС можно классифицировать как технические средства пред-
варительной обработки, обнаружения изменений в биообъекте,
распознавания «не нормы», классификации.
Большинство диагностических приборов (например, электро-
кардиографы, микроскопы, гастроскопы) относятся к средствам
предварительной обработки (масштабирование, преобразование
физических свойств биообъекта в распределение полутонов и т.п.).
Некоторые медицинские приборы относятся к приборам об-
наружения и распознавания (например, автоматизированные ге-
моанализаторы, позволяющие количественно описывать
особенности клеток крови и разделять мазки и пробы крови на
норму и не норму).
С учетом сделанных ранее выводов необходимым требованием
к техническим средствам предварительной обработки МБС являет-
ся выбор физической природы и характеристик зондирующего из-
лучения (амплитуда, частота, интенсивность, монохроматичность,
поляризация и пр.), которые могли бы обеспечить максимальные
контраст и разрешение параметров аксиологической информации,
получаемой с помощью МБС. Технические средства обнаружения
и распознавания должны позволять формировать количественные
оценки симптомов по данного признаку.
2.3. Особенности решения диагностических задач
Целью медицинской диагностики является определение бо-
лезни или ее причин на основании наблюдаемых симптомов и
истории болезни пациента. В настоящее время нет единой кон-
цепции такого явления, как болезнь, следовательно, нет едино-
го понятия диагностики.
15
При определении понятия «болезнь» возникают следующие
трудности:
1) не существует фиксированного числа болезней, признаков
и симптомов;
2) не все болезни, признаки и симптомы имеют общеприня-
тые определения;
3) проявления некоторых, даже хорошо описанных, болезней
изменяются во времени;
4) степень уверенности, с которой врач может поставить диа-
гноз, значительно изменяется от болезни к болезни.
Возникновение патологий определяется большим числом
стохастических факторов, поэтому болезни, физиологические
реакции и ФС человека представляют собой случайный процесс
(СП), а МБС — реализации СП. При этом по одной реализации
(сигналу) принимать решение можно только в случае стационар-
ности и эргодичности патологического процесса.
Указанные замечания позволяют выделить круг следующих
сравнительно старых проблем, связанных с решением диагнос-
тических (дешифровочных) задач:
формирование полной группы событий и корректное опреде-
ление болезней в пространстве статистически независимых при-
знаков;
количественная оценка симптомов по рассматриваемым при-
знакам;
разработка и исследование методов для автоматизации эта-
пов дешифрирования.
Одним из возможных подходов к формированию полной
группы событий является разбиение рассматриваемых болезней
в пространстве статистически независимых признаков на норму
и не норму, на две группы болезней, на болезнь и другие болез-
ни, на болезнь и другую болезнь.
Из-за взаимосвязанности и взаимозависимости различных
систем организма сформировать пространство статистически не-
зависимых признаков практически не удается. Однако медицин-
ская практика позволяет утверждать, что даже при условии
некоррелированности признаков можно получить вполне удов-
летворительные результаты.
Необходимым условием корректного решения диагностических
задач является количественная оценка симптомов по данному
признаку. Только в этом случае можно добиться метрологичности
диагностических методов и автоматизации процесса дешифрирова-
ния. При формировании и применении диагностических алгорит-
мов целесообразно использовать допущение о гауссовости
выборочных распределений оценок контролируемых характерис-
тик МБС.
16
Методы автоматизации этапов дешифрирования в первую оче-
редь должны обеспечить выделение и обработку аксиологической
информации. В этом случае необходимо формирование измеряе-
мых характеристик МБС, адекватных понятиям и описаниям при-
знаков и симптомов, принятых в современной медицине и
полученных на основании научных исследований и интуиции.
Проблема автоматизации обработки МБС относительно кор-
ректно может быть решена в настоящее время только в части об-
наружения, распознавания и классификации симптомов по
данному признаку при условии количественной оценки используе-
мых симптомов, формирования полной группы симптомов по дан-
ному признаку, выполнения условий стационарности и
эргодичности для анализируемого патологического процесса.
3. АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ
ОБРАБОТКИ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Известны десятки методических приемов, рекомендуемых для
использования в диагностических целях, в частности для опреде-
ления ФС, и число их постоянно растет. Условно эти приемы
можно разбить на две группы: физиологические и психологичес-
кие. Наиболее предпочтительными являются физиологические ме-
тоды, которые позволяют объективно описывать состояния
объекта. В качестве параметров объекта используются оценки мо-
ментов МБС, в первую очередь первых и вторых порядков.
В силу стохастичности патологических процессов физиоло-
гические показатели обладают значительной вариабельностью,
что и привело к созданию большого числа различных диагнос-
тических методов, алгоритмов и приборов, применение и изуче-
ние которых затруднено. В то же время стохастический характер
МБС позволяет подойти к созданию систем обработки МБС как
систем передачи, преобразования и представления реализаций
СП, формирования оценок статистических характеристик.
Рассмотрим основные понятия и определения теории веро-
ятностей и математической статистики, а также методы анализа
выборочных функций и реализаций, позволяющие корректно
описывать и определять стохастические свойства СП, описыва-
ющих болезни и ФС.
3.1. Детермированные и случайные процессы
Любые данные, полученные в результате медико-биологичес-
кого эксперимента (наблюдения реального физического процес-
са), можно отнести к детерминированному или к случайному
17
процессу. На практике решение о случайности или детермини-
рованности конкретного физического процесса основывается на
способности воспроизвести процесс в ходе контролируемого
эксперимента. Если имеет место повторение результатов, то
процесс принято считать детерминированным. Если невозможно
воспроизвести или указать эксперимент, который давал бы
идентичные результаты, то такой процесс считают случайным
по своей сути. Как правило, физические явления, происходя-
щие в живом организме, являются случайными по своей сути.
Будем называть детерминированными такие процессы, кото-
рые можно описать явными аналитическими выражениями. Де-
терминированные процессы делятся на периодические и
непериодические. В свою очередь, периодические процессы
можно разделить на гармонические и полигармонические, а не-
периодические - на «почти периодические» и переходные.
Гармонический процесс — это периодический процесс, поведе-
ние которого во времени описывается формулой
x(t) = A'sin (2 л/01+ ф0), (1)
где х (г) - мгновенное значение параметра в момент времени z; X -
амплитуда; f0 — циклическая частота; <р0 — начальный фазовый
угол.
На практике фазовый угол при записи выражения (1) игно-
рируется
x(t) = Xsin(2nf0t).
(2)
Частотный спектр гармонического процесса состоит из
одной частоты и называется дискретным, или линейчатым.
К полигармоническим процессам относятся гармонические про-
цессы, которые описываются функцией времени, точно повторяю-
щей свои значения через одинаковые интервалы времени:
x(Z) = x(t+k Тр),
(3)
где k = 1, 2, 3, ... .
Интервал времени, в течение которого происходит одно пол-
ное колебание, называют фундаментальным периодом ТР, а
число циклов в единицу времени фундаментальной частотой j\.
18
Гармонический процесс представляет собой частный случай
циклического: = f0.
Полигармонические процессы разлагают в ряд Фурье по
формулам:
оо
x(t) = о0 + £ («„ cos 2 п nfx t+ sin 2 nf{ t), (4)
n « 1
где
A = ^TP-,
T,
an = -jr jx(t)cos2 71 nf\* dr*
‘po
T,
bn = -^r /x(f)sin 2 я nj\ dt,
jp о
или
oo
X (О = x0 + S xn cos (2 nnf^t- Qn ),
n « 1
где x0 = o0/2; xn = + 9„ = arctg
n
т.е. полигармонический процесс есть сумма постоянной состав-
ляющей и бесконечного ряда гармонических составляющих, на-
зываемых гармониками и имеющих амплитуды хп и фазы 0Д.
Все частоты гармонических составляющих кратны фундамен-
тальной частоте /г
При гармоническом анализе периодических процессов фазо-
вые углы 0Д часто игнорируют. В этих случаях формулу (5)
можно охарактеризовать частотным спектром. Иногда частотные
спектры содержат только конечное число составляющих, в час-
тотном спектре может отсутствовать фундаментальная состав-
ляющая.
Физические явления, описываемые полигармоническими
процессами, встречаются намного чаще, чем явления, порож-
дающие простые гармонические процессы (например, электро-
кардиограмма, электромиограмма и фотоплитизмограмма).
19
Известно, что сумма двух и более гармонических процессов
будет периодическим процессом тогда и только тогда, когда от-
ношение любых частот есть рациональное число. В этом случае
существует фундаментальный период, который удовлетворяет
уравнению (3). Поэтому процесс
х (?) - Хх sin (4 л t + 9j) + Х2 sin (6 л t + 92 + Х3 sin (14 и t + 93)
— периодический, так как 2/3, 3/7, 2/7 — рациональные числа.
Фундаментальный период Тр = 1, а процесс
х (?) = Х} sin (4 л t + Op + Х^ sin (6 л t + 02) + Х3 sin (VT2 t + 93)
- непериодический, так как 2/V3, 3/>/3 — иррациональные
числа. Фундаментальный период в этом случае бесконечно
велик: Тр = = да. Соотношение (3) не выполняется ни при
каком конечном значении Тр.
На основании этих соображений почти периодические про-
цессы определяют математически как функцию времени вида
ео
х (?) = s Х„ cos (2 л/„ t + 9„0), (6)
л = 1
причем соотношения fn/fm не для всех индексов являются раци-
ональными числами.
На практике почти периодические процессы порождаются физи-
ческими явлениями, в которых одновременно действуют гармоничес-
кие процессы, не связанные • между собой. Если исключить из
рассмотрения фазовые углы 9„, то можно охарактеризовать (6) дис-
кретным спектром, подобным спектру полигармонического процесса.
Переходные процессы — это все периодические процессы, за
исключением почти периодических. Они задаются какой-либо
функцией времени, за исключением рассмотренных выше.
Переходный процесс характеризуется непрерывным частот-
ным спектром
00
х (/) = /х (?) е^2*" df= |Х(/) I (7)
- 00
где А'г(/) - амплитуда и (/) — фаза частотного спектра.
20
Процесс, описывающий случайное физическое явление,
нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку
каждое наблюдаемое явление дает невоспроизводимый результат
(или один результат из множества возможных).
Каждую конкретную составляющую СП, описывающего слу-
чайное явление, называют выборочной функцией. Совокупность всех
возможных выборочных функций, которые может дать случайное
явление, называют случайным, или стохастическим процессам.
СП делят на стационарные (ССП) и нестационарные (НСП).
Стационарные - на эргодические и неэргодические. Дальней-
шую классификацию нестационарных СП проводят по типам
нестационарностей.
Известные физические процессы вообще не могут быть в пол-
ной мере ни детермнированными (в будущем может произойти со-
бытие, которое изменит процесс непредсказуемым образом), ни
случайными (при достаточно полном знании основных механиз-
мов явления можно описать процесс точными формулами).
Если физическое явление является СП, то свойства этого яв-
ления можно оценить в любой момент времени усреднением
измеренных значений по всей совокупности выборочных функ-
ций, образующих СП. Запись {х(01 означает ансамбль выбо-
рочных функций.
Среднее значение (первый момент) СП в точке t = можно
вычислить, взяв мгновенное значение всех выборочных функ-
ций (ансамбля) в момент времени Гр
Hx(r1) = lim ± ЕхДГ1). (8)
ЛГ-» оо ь_ ।
Ковариационную функцию (смешанный момент) значений
СП в два различных момента времени вычисляют усреднением
по ансамблю произведений мгновенных значений в моменты
времени t = /1 и t = t, + т:
ЛхOi, fi + V = lim % S xk01)xk<*\ + ’)• (9)
В формулах (8) и (9) суммирование производят в предполо-
жении равновероятности всех выборочных функций.
СП называют слабостационарным, или стационарным в ши-
роком смысле, если ц* (Г0 и (t{ + т) не зависят от момента
времени Гр
21
Среднее значение слабостационарного СП постоянно, а ко-
вариационная функция зависит только от сдвига времени т:
Их (?i) = R^ (?! tY + т) = (т).
Для определения полного набора статистических характе-
ристик СП {х(/)| необходимо вычислить бесконечное число мо-
ментов и смешанных моментов высших порядков. Для любого
целого п моменты равны:
00
Е [хй] = fxnp (х) dx = 9 = mw (0), (Ю)
О S
- 00
00 00
£[*ry"] = J J Xrynex+ryp(x,y) dxdy =
-<я
_ dr+n m(s, f) _ dr+n т (0,0) (И)
д sr д tn ~ dsrdtn
Здесь m(s), m(s, t) — производящая и совместная производящая
функции моментов; s, t - параметры моментов; х, у - случай-
ные величины; р(х) — плотность вероятности случайной величи-
ны х; р(х, у) — совместная плотность вероятности х, у, n, п + г —
порядки моментов.
СП называют строго стационарным, или стационарным в
узком смысле, если все моменты и смешанные моменты, вычис-
ленные по всему ансамблю выборочных функций, не зависят от
момента времени (инвариантны во времени).
Во многих практических приложениях проверка слабой ста-
ционарности позволяет обосновать строгую стационарность.
В ряде случаев характеристики стационарного СП можно
вычислить в пределах отдельных выборочных функций, входя-
щих в ансамбль. Рассмотрим k-ю выборочную функцию анса-
мбля {х(/)}. Средние значения цх (к) и R^ (к, т), вычисленные по
к-й реализации,
px(/:) = lim 4 J xk(t)dt,
Т~*а> 1 0
(12)
22
т
(к, т) = Um jxk (t) xk (t + x) dt.
T —> ® •*
(13)
Если СП {x (z)} стационарен, а p* (к) и R^k, x), вычислен-
ные по различным реализациям, совпадают, то СП называют
эргодическим. (ЭСП).
Для ЭСП средние значения и ковариационные функции, полу-
ченные усреднением по времени (как и другие характеристики),
равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по
ансамблю, т.е.
Их (fc) = т) =
Свойством эргодичности обладают только ССП. Все свойст-
ва ЭСП можно определить по единственной выборочной функ-
ции. В практических задачах ССП, как правило, являются
эргодическими, поэтому их свойства определяют по одной на-
блюдаемой реализации.
СП называют нестационарным, если (Z0 и R^fa Zt + т), оп-
ределяемые уравнениями (8) и (9), зависят от момента времени
zP К НСП относятся все СП, не удовлетворяющие условиям
стационарности.
Свойства НСП зависят от времени и могут быть установлены
только усреднением в отдельные моменты времени по ансамблю
выборочных функций, образующих процесс. На практике, как
правило, не удается получить достаточное для точной оценки
свойств процесса число выборочных функций.
Во многих случаях НСП, отвечающие реальным физическим
явлениям, имеют особенности, упрощающие их анализ и изме-
рения. Например, выборочные функции удается представить в
виде СП {x(Z)}, все выборочные функции которого имеют вид
x(Z) = a(Z)w(z),
где a(Z) - детерминированная функция; u(j) — выборочная
функция ССП.
В этом случае данные представляются НСП, все выборочные
функции которого имеют детерминированный тренд. Для опи-
сания такого НСП не требуется усреднения по всему ансамблю.
Многие важные свойства удается оценить по единственной вы-
борочной функции, или реализации, как в случае ССП.
Введенное выше понятие стационарности относится к усред-
ненным по ансамблю свойствам СП. На практике часто говорят
23
о стационарности или нестационарное™ данных, представляющих
собой единственную реализацию случайного явления. В этом слу-
чае стационарность понимают в несколько ином смысле.
Если о единственной реализации говорят как о стационарной,
то имеют в виду, что ее свойства, определенные на коротких ин-
тервалах времени, существенно не изменяются от интервала к
интервалу. ,,
Слово существенно означает, что наблюдаемые колебания
статистических данных не превосходят отклонения, которые
можно объяснить обычной выборочной изменчивостью статис-
тических оценок.
Рассмотрим выборочную функцию xk(t) СП (х(г)}. Пусть
среднее значение и ковариационная функция оценены по не-
большому интервалу Тс началом в точке tr:
Рх('1. *) = у
ту,
J xk(t)dt,
^сс^Р _ у
Г+'.
J Хк (О Хк (t + т) dt.
(14)
(15)
Если выборочные величины и R^ заметно изменяются с
изменением начального момента времени то реализацию (вы-
борочную функцию) называют нестационарной. Если выбороч-
ные величины и R** существенно не изменяются, то
реализацию называют стационарной.
Реализация ЭСП стационарна. Проверка стационарности
одной реализации является эффективным методом проверки
предположения о стационарности и эргодичности СП, из кото-
рого эта выборочная функция получена, в целом. Методы про-
верки реализации будут представлены ниже.
3.2. Основные понятия и определения
Случайной величиной (СВ) х{к) называют функцию мно-
жеств, определяемую в точках к выборочного пространства. Это
действительное число, которое сопоставляют каждой выбороч-
ной точке. Под выборочным пространством понимают возмож-
ные исходы измерений, представляющие собой множество
24
точек. Если х(к) — некоторая СВ, то для любого фиксированно-
го значения х случайное событие х(к) <, х определяется как мно-
жество всех возможных исходов к, таких, что х{к) 5 х.
Функцию распределения Р(х) определяют как вероятность,
приписываемую множеству точек к, удовлетворяющих неравен-
ству х (к) < х. Аналитическая запись:
Р(х) = Prob fx (к) < х]. (16)
Множество точек к, удовлетворяющих неравенству х(к) < х,
является подмножеством совокупности х (к) < оо. Следовате-
льно, Р(а) < Р(Ь) при а< b Р(- а>) = 0, Р(оо) = 1.
Если область значений СВ непрерывна, то плотность вероят-
ности (одномерная) р(х) определяется дифференциальным соот-
ношением
Р(х). Pr°btx<x«)sx + A*l
ДХ-»0
(17)
Следовательно,
Р (х) > О,
Jp(x)dx=l, Р(х)= J p(Qd^, -~- = р(х-).
Для рассмотрения дискретных случаев следует допустить на-
личие в составе плотности вероятности 5-функций.
Пример 1. Предположим, что с вероятностью Р = 0,5 выпа-
дают герб и решетка. В этом случае СВ х (к) принимает только
два значения: х (герб) и у (решетка), в качестве которых можно
взять два произвольных числа:
х (герб) = а, у (решетка) = b, b > a, a, b е R .
При таком построении величины х(к) ее функция распреде-
ления имеет вид
О, х < а,
Р(х) = ' 1/2, а<х< Ь,
1, х > Ь,
р(а)= 1/2 5 (х - а) + 1 /2 5 (х + а).
25
Пусть х (к) е (- оо, + оо). Математическое ожидание действи-
тельной однозначной непрерывной функции g(x) от СВ х(к) оп-
ределяется как
00
Е [£ (х (£))] = /g (х) р (х) dx,
- 00
(18)
где £[] - символ математического ожидания выражения в
квадратных скобках по индексу к.
Среднее значение и дисперсия {х(£)}, характеризующие
центр и величину рассеяния СВ, определяются выражением
оо
£(х(£)] = /хр(х) dx =
- оо
(19)
где р (х) - плотность вероятности СВ х(к).
Дисперсия х(к) определяется как средний квадрат разности
х(к) и ее среднего значения:
Е [(х (к) - = f (х - nJ2 р (х) dx = у 2 - ц2 = о 2, (20)
— 00
где сх - среднеквадратическое отклонение (СКО) СВ х (к).
Приняв g (х) = х2, получим средний квадрат х (к):
00
Е [х2 (&)] = J х2/? (х) dx = у*. (21)
- оо
Пример 2. Равномерное распределение. Биологический экспе-
римент состоит в случайном выборе из интервала времени [а, &],
включая его конечные точки. В качестве х(Л) можно взять число-
вое значение выборочной точки. Найти среднее значение и дис-
персию СВ:
О, х < а,
Р(х) =
х- а
1, а < х < о,
Ь - а ’
1, х > Ь,
26
p(x) = (b- a)\a<x<>b,
О, в остальных случаях,
= (а + Ь)/2, а2 = (Ь - а)2/12.
Пусть х (/) — СВ с плотностью вероятности р (х); g (х) -
однозначная действительная функция от х.
Пусть обратная функция x(g) является действительной не-
прерывной функцией от g. Плотность вероятности р (g), соответ-
ствующую СВ g [х(Хс)1 = g (к), можно определить по плотности
вероятности р(х) СВ х(к) и производной dg/dx в предположе-
нии, что производная существует и не равна нулю.
_м и_ Prob (*)) g + Дg]
p (g) = hm----------------------------=
Ag->0
,, Prob [x < x(k) <x + Ax]
= lirrt ------------------------
л#—> о Д 8
Ax->0
(22)
Prob [x < x (£) £ x + Ax] Ax z 4 |dx| p(x)
м”» M w И 1*7*Г
Если обратная функция x(g) является действительной и-знач-
ной функцией от g, где п — целое число и все п значений равно-
вероятны, то
„ прМ
p®-\dg/d$
Производящая функция моментов m(s) СВ х{к) определя-
ется формулой (18), если положить g (х) = exp (sx):
т (s) = Е [е“ ] = f е^р (х) dx. (23)
Характеристическая функция (?(/) СВ х(к) определяется
выражением
27
G(f) = E [exp {J2 nfx}] = Jp (x) exp {/2 nfx} dx,
- co
т.е. совпадает с обратным преобразованием Фурье от р (х), а р (х)
есть преобразование Фурье от G(f). В предположении существо-
вания интеграла имеем
Р (*) = J G(/) exp {-J 2 %/х} df. (25)
- со
Если р (х) = 5 (х), то
00 00
G(f) = j8 (х) exp {j 2 itfx} dx = 1, 8 (x) = J exp {-j2‘nfx}df.
-00 -co
Если s=j2nf to G(/) совпадает c m(s):
G(/) = ffi(j2 7r/).
Пусть x(k) - произвольная СВ co средним значением цх,
средним квадратом у2 и дисперсией ст2. Пусть р(х) задана, хотя в
общем случае может быть и неизвестна. Тогда
/и® (0) = f х2 р (х) dx = у 2.
- СО
Поскольку интегральное выражение неотрицательно и х2 > е2
во всех точках интегрирования В правой части, то
Prob (| х (*)| > ej = J р (х) dx < , (26)
|jt|2t Е
е2 J р (х) dx/e2 < f х2 р (х) dx/E2 =
|x|as |х|>е ’ Б
Заменим х (к) на (х - цх). Тогда
28
f °2
Prob [|x (£) - gj > e] = J p (x) dx < -f.
|x-u|ae e
Выражение (26) называют неравенством Чебышева. В част-
ности, при е = с ах имеем
или
Prob [| х (к) - и* | > с ах ] < 1 /с2,
Prob [| х (к) - gx | < с сх ] > 1 - 1 /с2.
(27а)
(276)
Пример 3. Рассмотрим СВ х (к) с неизвестной р (х). С помо-
щью неравенства Чебышева при с - 2 и с — 3 можно сделать
следующие вероятностные утверждения:
Prob [| х(к) - рх | > 2 ох ] <, 1/с1 = 0,25,
Prob [| х(к) - gx | > 3 <тх ] 1/е2 = 0,111.
Следовательно, можно утверждать, что отклонение негауссо-
вой СВ от среднего значения составляет лишь 75 %.
Рассмотрим две СВ: х (к) и у (к), где к - точки выборочного
пространства; Р(х) и Р(у) - две различные функции распреде-
ления, задающие соответственно х (к) и у (к).
Совместная функция распределения Р (х, у) — это вероятность,
приписанная подмножеству точек к выборочного пространства,
одновременно удовлетворяющих неравенствам х (к) < к, у (А)) < к.
Совокупность всех точек к удовлетворяет неравенствам
х (к) < <ю, у (к) < «о. Формальная запись:
Р (х, у) = Prob [х (к) < х; у (к)) < у]. (28)
Очевидно, что
Р(- 00, у) = 0, Р(Х, -со) = 0, Р(оо, со) = 1.
При непрерывности СВ совместная плотность вероятности
р(х, у) определяется как
29
Ах Ду
P(xy) = lim Prob fr < x (£) <; x + Ax; у < у (fc) < у + A у] (2j?)
Дх-> 0 A * A"
Ду-> 0
следовательно,
p(x,y)>0, !fp(x,y)dxdy = 1,
CO
x У
E(x,y) = f /p(&,r\)d%dn,
- a>- ao
8 p(x,y)
dy dx
= P(x,y).
Плотности вероятности СВ x(k) и у(Е) выражаются через со-
вместную плотность вероятности:
СО 00
Р(х) = \p(x,y)dy, р(у) = Jp(x,yj dx (30|
’ . , , • < < ! ( •' •' " '«V • •<’ •'•‘'I ,**^ *Ч6/ .
— CO — ео • <
Если р(х, у) — р (х) р (у),то х (к) и у (к) называют статйс*
тически независимыми (СН) СВ. Для CH СВ , <
Мрт&лагри^ввкое ожидфше, ^ействител^рй однозначной ...мв^
прерывной фуцкцци g (х, у) рт двух, С^ х (к) и у (к) опрё^а^Ш^
Формула ,t;v.
{J iK* . 1 . . G. ••’•’ /> ’i\ Л гУ-й* vt-*'ч’ , <Л
Если g(x,y) = (х(Л)-|ij
ния х (к) и у (к) соответственно, то получаем определение функ-
ции корреляции ‘ й'! ”''4''' ’Л V"'
* • .-ъи^лхг
= Е([(х - Их) (У - up] = J J(X - Мх)(у - цу) р(£, л) rfn =
•х *-ео-ео • /*. I’s : ,« * *
= Г[ху]-£[х]Е[у].
Отметим, что
30
Схх ~ Дсг — Нх = °х» Суу ~ &уу Му — °у-
Корреляция СВ х(к) и у(к) связана с СКО простым неравен-
ством:
(32)
Таким образом, абсолютная величина корреляции СВ х(к) и
у(к) не превышает произведения их СКО. Из (32) следует, что
нормированная величина
Рху = ^ху^ах °У’ ^3)
называемая коэффициентом корреляции, заключена между -1 и
+1. СВ х(к) и у(к) при = 0 называют некоррелированными.
Совместная производящая функция моментов m(s, t) СВ х(£)
и у(к) определяется формулой, аналогичной формуле (18), если
положить g(x, у) ** ехр(©с + /у):
m(s, f) = E[exs + ,y] = f.f ^x+ty p(x,y) dx dy (34)
*-c6— co
и т.д. При 5 = ? = 0 имеем
00 со
£[//] = f J xr/e5I + o' p(x,y)dxdy~
- со- СО
ar+"w(0,0)
dsrdtn
= тг+л(0,0),
(35)
где тг* п (0,0) - смешанные моменты порядка г + п.
Совместную характеристическую функцию G(f, g) СВ х(к) и
у (к) определяют по формуле (34), если положить g(x, у) =
= exp {/2ic(/x + gy)]:
со со
G(fg) = Е= J f р(х, у) dx dy, (36)
- со—со
31
где G(f, g) - двойное обратное преобразование Фурье плотнос-
ти р (х, у); р (х, у) - двойное преобразование Фурье функции
G(f, g), причем G(J,g) совпадает с при s = jlitf и
t=j2ng-.
G(f,g) = m(j2nf,j2ng).
3.3. Важнейшие функции распределения
Важнейшей функцией распределения является гауссова
функция распределения. Широкое применение при обработке
МБС находят и другие функции распределения, тесно связан-
ные с нормально распределенными СВ. Это z-, t-, X2-, Г-распре-
деления.
Гауссово распределение
Говорят, что СВ х (к) подчинена гауссовому (нормальному)
распределению, если плотность ее вероятностей имеет вид
?(х) = ^=ехр{-^}, (37)
где а - произвольная постоянная; b - произвольная положи-
тельная постоянная. Можно убедиться, что а и b пръжгйьпякл:
собой соответственно среднее значение и СКО СВ х (£):
£(х(ф) » txp(x) dx~а =
- 00
Е[(х(к) - о)2] = f (х - я)2 р (х) ебс = &2 = ст2,
т.е. нормальную плотность вероятности можно записать как
р(х) =
ехр
(х-кЧ)21
2ст| '
(38)
Нормальная функция распределения
32
оо 7
Р(Х) = —^ехр{--^7^Г-}^' (39)
сгх \2 я _ в 2 стх
Предположим, что все средние значения равны нулю. Для
одной СВ х (к) нормальная плотность вероятности примет вид
Р (х) = tz exp {-
ох>/27 1 2 о"
и, соответственно, функция распределения будет
х 2
Р(х) = —±== J ехр {--Ц} dt,.
Важность гауссова (нормального) распределения для практи»
ческих задач объясняется центральной предельной теоремой. Га-
уссово распределение СВ появляется в результате суммарного
действия большого числа независимых СВ.
Стандартное нормальное распределение
Плотность вероятности и функция распределения гауссовой
СВ определены выше. В практических задачах удобнее пользо-
ваться стандартной нормальной величиной:
Х-Цх
Z~ Or
(40)
Если это выражение подставить в формулы (38), (39), то по-
лучим стандартные плотность и функцию распределения с нуле-
вым средним значением и единичной дисперсией цх , стх :
= ех₽й, (41)
оо 2
Р(х) = -±= fexp
(42)
Принято обозначать через Za значение z, соответствующее
данной вероятности P(z) = 1 — а, т.е.
33
Р (О = jp W * *= Prob [z.S ^] = 1 - а,
- co
ИЛИ
1 - PfzJ = J p ш dz = Prob [z> Za ] = a .
Значения z^, удовлетворяющие уравнениям, называют
ЮОа-процентными точками нормального стандартного рас-
пределения (см. табл. П1 приложения). Стандартная нормаль-
ная плотность вероятности р (?) монотонно изменяется по обе
стороны моды (максимума плотности вероятности).
£-распределение ч .
Пусть Zz, Z& - л-независимыхСВ,каждая из кау-
рых имеет нормальное стаидартноераспределениеснулевым
средним и единичной дисперсией
XI 2 = Z2 + ?2 + - 4- сг (43)
, .» У
СВ Хя называют х2*СВ с л степенями свободы. Число степе-
ней свободы л определяет число независимых, Или «свободных»,
квадратов, входящих в сумму. Плотность вероятности имеет вид
_'., Р = [2Л Г (л/2)}"1 (хЬЯ/2 ‘1 «Р Х„/2); Х2 > О,
где Г (л/2)] - гамма-функция. ; "?
Соответствующую функцию распределения х;;, равную интегралу
от плотности вероятное^ по интервалу ст - <» до данного знйч^пй
xj, называют Х2-Распредалением с л степенями свободы;100 «-про-
центные точки х2-Р^предьдения обозначим через .
I Р (х5 4 х2 = Prob (х2 * X» J * а;
л» « 1
2 * ' • *
^з,а
среднее значение и дисперсия х2-распределения , >;
^(Х2] = И»=5Я,
34
Е [(Хл - ЦХ2)2] = сг2Х2 = 2л-
В табл. П2 приложения приведены 100 a-процентные точки
^-распределения.
Особенности распределения:
Х2-распределение является частным случаем более общего Г-
распределения;
важную роль в физиологии играет распределение СВ, равной
корню квадратному из СВ, имеющей ^-распределение с двумя
степенями свободы (xj);
СВ, равная квадратному корню из имеющей х2-распределе-
ние СВ, с тремя степенями свободы, имеет распределение, на-
зываемое распределением Максвелла;
Х-распределение приближается к нормальному по мере уве-
личения числа степеней свободы. Например, для п > 30 величи-
на л/2 приближенно нормальна со средним р = >/2 л - 1 и
дисперсией о2 = 1.
t-распределение Стьюдента
Пусть у и z ~ СН СВ. При этом у имеет х2-распределение, а
Z ~ стандартное нормальное распределение с нулевым средним
и единичной дисперсией.
Введем новую СВ:
t _п
" ” yfy/n' (44)
СВ имеет ^-распределение Стьюдента с п степенями свобо-
ды. Плотность вероятности СВ имеет вид
Г {л + 1)/2]
й лГ [л/2]
г (л + 2)/2
Соответствующую функцию вычисляют интегрированием
плотности от - да до данного значения tn и называют /-распреде-
лением с л степенями свободы. ЮОа-процентные точки /-рас-
пределения обозначим через гп а:
35
f p{t}dt~ Prob [/„ £/„.J = a .
' «aA'i ‘ • Г' 4 .
Значения 100 a-процентных точек /-распределения приведе-
ны в табл. ПЗ приложения.
Среднее значение и дисперсия
Л >1, : ; ъ
С увеличением числа степеней свободы /-распределение
стремится к стандартному нормальному распрсдёлению. <г •
' ' * V ' Л ‘ ♦ *' J • ,, ‘ ’?,£** -i'i- 4 * чл 1 *’» >• ; «А > ?! Г
/’-Jpac/yw3ew₽HMe ’7''' 7, “
' <‘1 • • ' J- ’ ‘ Л'
Пусть у, и у2-СН СВ. При этом алеет %2-распределеЦйе с
Лд степенями Свободы, а У имеет ^-распределение с СШе-
нями свободы. СВ F„ti с л}, л2 степенями свободы образуется
зависимостью ’ -
0s)
. . ЯИ«-.
•' ’ . •_ . ' 'г С.:' ’ '
имеющей плотность вероятности ^''7' ’
/ Г^^ГС^/^П + ^Г/Лг)}^*^2’
' '> V ь,/й ’ S ' ?’v,4 '
. lOOa-процентные точки f’-распредаления обозначают >как
^Л1>Л2,а и определяют так: . !г :
36
f p {/} dt = Prob [Fnp „v 5 ГЯ1> J = a .
F
*r*re
С увеличением n F-распределние стремится к стандартному
нормальному.
3.4. Выборочные распределения
По результатам, полученным в процессе исследований, нельзя
точно определить основные характеристики СВ, так как плотность
вероятности в большинстве случаев неизвестна. Поэтому использу-
ют их оценки, например, оценки среднего значения и дисперсии:
Х ~ = N ~ xi ’ (46)
5 ~сх~ ft- 1 X (х4 - л) » (47^
/*=1
где х, S 2 — выборочное среднее и выборочная дисперсия соответст-
венно. . ч :
Число наблюдений, по которым вычисляют оценки, называ-
ют разиШбм выборки. : .
Приведенные оценки среднего значения и дисперсии не яв-
ляютсй <^адстйенно возможными. Об оценках нельзя сказать:
верны они или неверны. «Качество» или «правильность» оценки
определяется тремя основными свойствами:
несмещенностью
(48)
где ф — оценка параметра ф;
эффективностью
. . Д Е [(ф[ - ф)2] < Е(ф} - ф)2], (49)
где ф^ тг исследуемая оценка, ф} - любая другая оценка;
состоятельностью (для любого е > 0)
37
lim Prob [|ф - q>| > e] = 0.
Пример 4. Рассмотрим оценку среднего значения
jE’M = Е -^Ёх.
I« I
(50)
Нх-
гх '
±Е £х{
I в 1
1 #
Дисперсия выборочного среднего
Е [(х - Цх)2] = Е Z х, - ц/] « А £ л, - W1 -
7-1 ” 7-1
= #2£
- а
Так как наблюдения статистически независимы» то математи-
ческие ожидания членов, содержащих смешанные произведения,
равны нулю. Следовательно, оценка выборочного среднего является
состоятельной:. Можно ^кадапь, что она является и эффективной.
Оценки, вычисленные по нескольким выборкам размером N
СВ х(&), также являются СВ с, некоторой функциейрастфедоле-
ния, которая называется выборочным раслредем1шем.Расон[(угрям
несколько выборочных распределений, :ча|сто используемых, на
практике. Среди них встретятся и функции распределения, ко-
торые были рассмотрены йьпйе. Эти выборочные'чр4йй^дейё-
ния используются для построения выборочных интервалов и
проверки гипотез. г<•>>; ?
Если СВ распределена нормально с известным средним значе-
нием цх и известной дисперсией о2, то относительно возможных
значений выборочного среднего х можно утверждать, что
Prob [z 4^1 ® Prob (х а ож + йх} <х»" .17
С увеличением размера выборки N выборочное распределе-
ние выборочного среднего х стремится к нормальному распре-
делению независимо от вида распределения исходной СВ х(к)^
Практически во многих случаях выборочное распределение х
можно считать нормальным уже при 4, а при #>‘10 гфи-
ближение будет очень хорошим. Поэтому при достаточно бодь-
38
игом размере выборки выражение (51) применимо к выборочно-
му распределению х, вычисленному для СВ х с произвольным
распределением.
Относительно возможных значений выборочной дисперсии
з2 можно утверждать, что
Prob [s2 > о2 хл; а/п] = а-
(52)
При неизвестной дисперсии СВ относительно возможных
значений выборочного среднего можно построить вероятност-
ное утверждение с помощью /-распределения:
Prob [х st„t a/<N + цх] = a. (53)
Для двух нормально распределенных СВ х(к) и у(к) относи-
тельно отношений выборочных дисперсий з2 и з2 можно сделать
следующее утверждение:
Prob
„ = a,
a ’
(54)
где п = N - 1, и = N - 1; N. N - размер выборки,
л X у у Ху
3.5. Статистические процедуры
Приведенные соотношения дают возможность использовать
выборочные значения для оценок параметров СВ, однако они
не позволяют судить о степени близости выборочных значений
к оцениваемому параметру. Для этого применяют процедуры
оценивания параметров, связанные с построением интервала,
который накрывает оцениваемый параметр с известной досто-
верностью.
Используя (51), относительно значений выборочного средне-
го х можно сделать следующее утверждение:
Probkl-a/2^Z^^z2] =
(55)
- Prob _ a/2 <. (х - nJ 4N/cx <, ^/2] = 1 - a,
означающее, что x попадает в указанный интервал с частотой
1 - а. Такое утверждение называют доверительным, а интервал,
39
относительно которого делается доверительное утверждение, на-
зывают доверительным интервалам. Степень доверия, сопостав-
ляемую доверительному интервалу, называют уровнем доверия.
При оценивании среднего значения доверительный интервал
для среднего значения если дисперсия известна, можно по-
строить по выборочному значению х, перегруппировав члены в
формуле (55):
» < './> f " ',Г:’;7гл ' '‘'к . Д1* (£ ЧйгС
Если дисперсия неизвестна, то доверительный интервал для
среднего значения цх можно построил» по выборочным значе-
ниям хи s j
: К* <*+ #«,*/2^ к V Р7)
Доверительный интервал с .уровнем доверяя 1~ а дя^ дас-
Персии о2 по выборочной дисперсии i2, вычисленной по вы-
борке размером ЛГ, имеет вид
VW1
добное утверждение
параметров, лишь бы были известны соответствующие вйбороч-
^Пример 5. Построение доверительных интервалов. 1Щь.вы-
606147 566163
5561 5648 67<65 >/ •
60 58 57 6157 58 •
Найти 90%-ный дов^ительный инпфвал для р* й о^.
В соответствии с (57) доверительный интервал с уровнемТю-
верия 1 - а для цж стрт
рочной дисперсии s2 при размере выборки ЛГ*»ЗГ.
[(X - «30; ч/2 W * «к +
40
Из табл. ПЗ приложения для распределения Стьюдента на-
ходим, что при а = 0,1
*30; а/2 = *30; 0,05 = 1,697.
Поэтому доверительный интервал имеет вид
[х - 0,3048 s цх < х + 0,3048].
Согласно (58), доверительный интервал для дисперсии ох с
уровнем доверия 1 - а строят по выборочной дисперсии j 2 при
размере выборки N — 31:
Из табл. П2 приложения для х2-распределения находим
*30; а/2 = *30; о,оз = 43,77 И Ход j _ а/2 ~ *30; 0,95 = 18,42.
Интервал для дисперсии принимает вид
[0,6854? < с? < 1,622s2]
Остается вычислить х , выборочную дисперсию s2 и подста-
вить эти значения в формулы для доверительных интервалов:
n
= 58,61,
/V. ,
х =
s2 *= = дГЛ Z х>2 1
i i * I
АГ-1
= 33,48.
(•’ >
Тогда
[56,85 <цх< 60,37],
[22,91 < < 54,22].
41
Пусть известна некоторая оценка ф, построенная по выбор-
ке из N независимых наблюдений СВ х. Пусть ф^ — истинное
значение оцениваемого параметра. Из-за выборочной изменчи-
вости ф0 выборочные значения ф не могут в точности равняться
Ф0. Процедуру, позволяющую определить, при каком отклоне-
нии ф от ф0, в предположении, что истинное значение ф равно
Ф0, гипотеза Е [ср] = ф0 может быть отвергнута, называют проце-
дурой проверки гипотезы. Д ля ответа на этот вопрос необходимо
вычислить вероятность любого значимого отклонения <р от ф0 по
выборочному распределению р (ф). J у , ' ?
При выполнении процедуры полагают, что выборочное зна-
чение ф, являющееся оценкой параметра ф, имеет плотность ве-
роятности р(ф). Если гипотеза £[ф] « ф0 верна, то р(ф) должно
иметь среднее значение фо (рис. 6). Вероятность того, что ф ока-
жется меньше нижней границы _ а/2, вычисляют по формуле
(59)
(60)
Вероятность того, что ф превзойдет верхнюю
Prob - J . р « а/ 2
* >'< • -и. ' Ч ...i „sV*.
•у' :
Prob Rj £ Ф] _а/2] * I - а/2 .
«А* ‘Л 1 г.. > £* ’’ и-/:'’Л- ’
Рис. 6. Области принятия и отклонения гипотезы при проверке гипотез
"i • - •'
| Облаете / ' Облаете, у Обмете
овоювенм.: прякгпа - Отююнеши
Р(Р)
а/2
all
42
Следовательно, вероятность того, что <р окажется вне интервала
Гф1-а/2<Ф<Ф<Фа/2Ь
равна а.
Если а мало и выход <р за границы интервала малоправдопо-
добен, то появление для анализируемой выборки значения ср,
не принадлежащего к указанному интервалу, указывает на не-
справедливость гипотезы ф = £ [ф] = <р0. Если значение ф попа-
дает в указанный интервал, то гипотеза может быть принята.
Вероятность а, используемая при испытании гипотез, назы-
вают уровнем значимости гипотезы. Область значений выбороч-
ного параметра ф, при которой гипотеза должна быть
отвергнута, называют областью значений, или критической облас-
тью. Область значений выборочного параметра ф, при которых
гипотеза принимается, называют областью принятия гипотезы.
При проверке гипотез возникает два типа ошибок: ошибка
первого рода, соответствующая отклонению гипотезы, хотя она
верна (ее вероятность равна а); ошибка второго рода, когда гипо-
теза неверна, хотя она принимается. Для определения ошибки вто-
рого рода (Р) необходимо уточнить отклонение истинного
значения параметра от подлежащего проверке значения парамет-
ра ф0 и" провести аналогичную процедуру. При этом предполагает-
ся, что истинный параметр ф = Е [<р] = фр + d, либо Е [<р] = ф0 - d
(рис. 7). Если гипотеза состоит в том, что истинный параметр
Е [ф] - Фо, тогда как на самом деле Е [ф] = <p0 ± d, то вероятность
того, что ф попадет в область принятия гипотезы
[Ф1_а/2 < Ф < Фа/гЬ равна р. Следовательно, вероятность ошибки
второго рода равна р при выявлении отклонений величиной ± d от
гипотететического значения ф0.
Рис. 7. Определение ошибок второго рода при проверке гипотез
43
Вероятность 1 - р (вероятность выхода выборочной оценки
за область принятия гипотезы) называют мощностью критерия.
При выполнении процедуры используются 100а-процентные
точки рассмотренных выше распределений. Для анализируемых
оценок точность выборочного распределения <р определяется
распределением СВ ф. С помощью, процедуры проверки гипоте-
зы вычисляют размер анализируемой выборки. Так, при про-
верке соответствия среднему значению при условии
нормального распределения х и известных с£, а и Р требуемый
размер выборки Для проверки гипотезы х = цх
Л*
«IV --ЛЛ> & ’ •«.»/«,:. Н ;1гу’Г '
где d- отклонение р? от при ошибке второго рода л
При проверке эквивалентности плотности вероятности выбо-
рочных данных некоторой гипотетической плотности ^использу-
ют некоторую статистику, подчиняющуюся распределению ^-
Гипотезу проверяют, изучая выборочное распределение этой
статистики. В процессе анализа происходит группировка на-
блюдений по к интервалам, (интервалыгруппироак^Ч^о^- .
блюдений, подавших, в /-и интервал, называютнаблюдаемой
частотой /-интервала (fy. Число наблюдений, которые моглибы
попасть в 1-й интервал, если бы плогностьюверОятпости'СВ х
была р0(х), называют ожийаеиой г
При анализе формируют выборочную статистику -
" у''
, ',tol ,/с-
которая приближенно совпадает С ^-распределением при п i -
q, где q - число различны^ независимых ограшгчений, наложенных
на наблюдения. После уго’шения числа степеней свободы величинь/
X2 гипотезу проверяют сждукяцим образом. В предположении, что
СВ х имеет плотность вероятности рй(х) груцгафуюгед -Л убороч-
ных значений по к интервалам, вычислйот F} й наход ят Х йо фор-
муле (62). Т1Й как любое отклонение р(х) от рф^ выэсдает
увеличение X , используют односторонний критерий
(63)
44
Еслй X2 превышает а, то гипотезу р(х) = р0(х) отвергают с
уровнем значимости а, а если меньше, то принимают.
При анализе СВ часто возникает ситуация, когда необходимо
проверить статистическую независимость результатов наблюдения
или определить наличие тренда при анализе нестационарных дан-
ных. Этот анализ целесообразно проводить на основе непара-
метрических методов: критерия серий и критерия инверсий.
Серией называют последовательность однотипных наблюде-
ний, перед и после которой следуют наблюдения противопо-
ложного типа или вообще нет никаких наблюдений. При этом
в последовательности из N выборочных значений СВ х каждое
относится к одному из двух взаимоисключающих классов, на-
пример, (+) или (-).
Если последовательность N наблюдений состоит из незави-
симых исходов СВ х, то вероятность исходов (+) или (-) не из-
меняется, а выборочное распределение числа серий в
последовательности является СВ г со средним значением и
дисперсией а2. При этом
(64)
, 2N.N.(2N.N,-N)
Ф-, —
(65)
где N{ — число исходов (+); #2 - число исходов (—).
Существуют таблицы 100 a-процентных точек функции рас-
пределения числа серий (табл. П4 приложения). Например, нали-
чие тренда проверяют следующим образом. Принимают гипотезу,,
что тренда Нет, т. е. результаты наблюдения являются независимы-
ми исходами одной и той же СВ. Для проверки гипотезы с уров-
нем значимости а необходимо сравнить число серий с границами
области принятия гипотезы [rn t _ау1. г . а/2] . Если наблюдаемое
число серий окажется вне этой области, то гипотеза может быть
отвергнута с уровнем значимости а.
45
При анализе последовательности N наблюдений методом ин-
версий определяют общее число инверсий А. Инверсией называ-
ют неравенство вида xt>Xj при / в последовательности
результатов наблюдений: л ,' --- * - > •
N- i - v N * ’ Г-t. „
,4 ’'"«>
Если последовательность TV наблюдений состоит из незави-
симых исходов одной й той эке £В, ТО число инверсий является
СВ со средним значением и дисперсией: •:
- tf(JV-l) .
= d ; ti
(67)
Я)
Существуют таблицы 100а-прощгнтных точек функции рас-
пределения числа инверсий (табл. ПЗ приложения), Критерий ин-
версий применяют так же, как и критерий серий- Яисло хлт&еней
свободы СВ Л соответствует числу нвзависимых набякяений #
Для определения взаимных связей двух и более величии СВ
используют корреляционный лда^з (например, для определе-
ния взаимосвязи между курением продолжнгельностью жижи,
.концентрацией аномальных клеток и онкологическими заболе-
ваниями). Коэффициент корреляции двух СВ х и у определяют
по формуле (33). Для выборки из ^пap наблюдаемых значений
-^75' . (69)'
^;Л
/ Для оценки точности выборочного значения удобно ис-
пользовать СВ W. <,V4Vf:'V. ' И.«'Лк
46
(70)
Распределение СВ w аппроксимируют нормальным распреде-
лением со средним значением и дисперсией
Р» = 2
1 +Рху
1 - ’
(71)
N_ у
(72)
На основе этих соотношений строят доверительные интерва-
лы для по выборочной оценке г^. Обычно из-за выборочной
изменчивости оценок корреляции проверяют, свидетельствует
ли ненулевое значение о существовании статистически зна-
чимой корреляции между изучаемыми величинами. Из (71) и
(72) следует, что при Рх>. = 0 выборочное распределение w будет
нормальным со средним значением = 0 и дисперсией
g2w= \/(N - 3). Поэтому область принятия гипотезы о нулевой
корреляции будет иметь вид . v>
(73)
Если вычисленное значение окажется вне интервала, то это
будет признаком наличия статистически значимой корреляции с
уровнем значимости а. Конкретизацию установленной взаимо-
связи осуществляют с помощью регрессионного анализа.
3.5. Оценивание основных свойств случайного процесса
Интерпретация результатов анализа СП зависит от его ос-
новных свойств: стационарности, присутствия периодических
составляющих й нормальности. Стационарность СП позволяет
использовать при анализе менее громоздкие, чем при анализе
НСП, методы. Информация о наличии периодических составля-
ющих дает возможность избежать ошибок при интерпретации
47
результатов анализа, а предположение о нормальности - суще-
ственно упростить аналитические исследования свойств СП, не
содержащего периодических составляющих.
При проверке стационарности прежде всего целесообразно
рассмотреть физическую природу процесса, которому принадлежит
реализация. Если основные физические факторы, определяющие
процесс, не зависят от времени, то можно считать изучаемый СП
стационарным. Если устанавливают стационарность процесса по
одной реализаций, то делают следующие допущения:
любая реализация правильно отражает нестационарный ха-
рактер СП;
длина реализации больше периода самой низкочастотной со-
ставляющей СП;
любые нестационарные свойства СП полностью описывают-
ся функциями времени.
Последовательность действий, основанная на этих допуще-
ниях, выглядит следующим образом:
реализацию разделяют на N интервалов. При этом наблюде-
ния полагают статистически независимыми; ,5. . ж
вычисляют оценки среднего квадрата ?дяя каждого интер-
вала й эти оценки располагают в порядке возрастания номера
интервала: х,2, %2, х^2,...
последовательность оценок проверяют на наличие треНда
или других изменений, которые могут быть объяснены изменчи-
востью оценок. Эта проверка может быть выподненас помощью
критерия инверсий И критерия серий.
Такой метод проверки стационарности не требует знания
спектральной ширины рассматриваемого СП или длины интер-
“вала усреднения.
Теоретически наличие периодических составляющих и/или
почти' периодических составляющих €Й !Ирояйяэд;?й:' вйда
5-функций в:егоспектреМОШОрти. Ёеди периодийедкие ’ со-
ставляющие имеют больщиеамплитуды, то их налиме очевид-
но. При малых амплитудах периодической компоненты для
определения ее присутствия используют оценки автоспектра.
Если максимум соответствует гармоническому колебанию, то
его ширина всегда будет совпадать с щириной полосы пропус-
кания фильтра, используемого для построения оценки,я высо-
та максимума будет расти пропорционально уменьшению
ПОЛОСЫ пропускания, . |
Проверку нормальности наиболее просто выполнять с помо-
щью непараметрического критерия. Если длина реализации ве-
48
лика и -ошибки измерения малы по сравнению с отклонениями
плотности вероятности от нормальной, то ее несоответствие
нормальному распределению будет очевидным.
Полученные в результате анализа сведения позволяют опи-
сать структуру СП и определить с требуемой достоверностью
оценки моментов по полученным реализациям. Эти оценки
могут быть использованы в качестве составляющих вектора при-
знаков в процедурах автоматической классификации и в качест-
ве симптомов в процедурах вычислительной диагностики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящее время существенно возросло влияние антропо-
генного фактора на судьбы цивилизации. Именно поэтому ис-
следование функционального состояния человека становится
необходимым. при обучении и подготовке специалистов, при
оценке состояния здоровья и готовности к преодолению стресса,
при описании особенностей психоэмоционального и социально-
го поведения.
В настоящей работе рассмотрен современный подход к опре-
делению функционального состояния человека, обеспечиваю-
щий возможность его количественного описания и построения
разнообразных медико-технических информационных технологий
для различных медицинских институтов и клиник, учреждений
социального и криминалистического профиля. Изложенный под-
ход к построению системы дешифрирования обеспечивает мето-
дологическое единство проектирования технических средств
обработки медико-биологической информации.
Основной особенностью медико-биологических сигналов яв-
ляется их принципиальная стохастичность, что обусловливает
необходимость применения статистических оценок и процедур
на этапе обработки информации. В учебном пособии в доступ-
ной форме приведены сведения из теории вероятностей и мате
магической статистики в последовательности, позволяющей
осознанно проектировать медико-технические информационные
технологии, лежащие в основе диагностики болезней и функци-
ональных состояний и корректно формирующие и использующие
показатели фенотипических, физиологических, поведенческих
особенностей человека.
49
П^шжваи
' Таблица П1
Проаеятвые точки г-рксиределевия '*г
a=f-=s ег dz = Prob [z > 4 ]
J.'1.•. • i.W>'4
«!<»»* 'Ьк V“
z 'X-, \ d, ...
0,00 0,01 0,02 ' т ’ V.J 0,03 0.04 0*05“ 0,06 0,06 0,09
0,0 0,5000 w ода 0,4880 ед 0,4801 0,Ж 1, jit-p. W' ед
0,4602 ода 0,4522 &44Ю 0,4443 ода ода ода ода
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 о;«52 03974 0,3936 0,3897 ед
4 0Д821 &Ж 0.3669 О . . > ч 033J? Яз»*
0,4 03446 0,3409 03372 0,3336 03300 ода 013228 ед 0,3192 озж яяя
0,5 03$5 03&50 ед Ж ед ед ед ед
0Л 0,2743 0,2709 еда 0,36» 0*26И ftW 0,2546 03514 яЖ 03*51
6,7 0,2420 0,2389 0,2358 .ода 0^2296 ода ода 0,2206 0,2148
p,8 ЯМ19 0,2090 одаз о,адв ед ед яда Ж7
0J9, 0,1841 0,1814 яда ft£M2i олти «ж ода Я161!
1,0- яда яЖ Ш ед ед Р.1«9 ед ед ^1?79
14 0,1357 0,1335 мм 0,1292 0*1271 w 0*1210 МИ» ЯЙ70
1,2: 0Д151 6,1131 0,Ш2 оЖ 0,1038 ш» ь,да м’ОПЯ^
РЖ8 ед Ж ’,5 :ЧЧ.'> яда яда ‘.sW’r МРЧ. СМЖ23 .wey**r
IX •4W. 0,0793 0,0778 жож 0,07<» 0.0735 0,0721 ода t'i й. ода
4,««. ед W16 ода »•*“ 0,0495: ед
i,6 0,0548 0.0537 6-0526 0.W85 да» яда ода
1,7 ‘ijr ода 0,0359 0,0436 от ода OjMi» 0,0336 ода .0,032? ед: 0,0322 ода <т |||| Я0294
1.9 0,0287 0,0281 0,0274 0.02Й 0,0262 0,0256 03250 ода яда 4J.O233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,6170 0,0166 0,0162 0,0158 0.01S4 0,0150 яда 0,0143
2.2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,011? 0,0116 яонз 0,0110
50
Окончание табл. П1
— Z а
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,0866 0,00842
2,4 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,0657 0,0639
2,5 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480
2,6 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,003'7
2,7 0,00347 ** 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,0272 0,00264
2,8 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,0199 0,00193
2,9 0,00187 0,00281 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139
51
Таблица П2
точки хг>распредмеим
2 2 2
Значение хл; а такое, что Prob [хя > x^ ttl * «•
... 2
Для л> 120 х*« * я 1 ~ + га > где - «юлютстеующая
процентная точка ртавдаргного нормального распределения.
п а
0.995 0.990 0,0975 0,950 0,900 оло 0,05 0,025 0,010 0,005
' * 7— _ * 2 i -2: — - . 0,000039 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,676 0,909 134 -1,79' 2,16 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 адз 9,64 9,26 W Ю,52 11,16 1131 12,46 13,12 13,79 20,71 35,53 83,85 0,00016 0,0201 о,Щ 0,297 0354 0,875 1,24 1,65 W 2,56 з,05 337 : 4,11 4,66. . 5,23 5,81 • 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,20 Я«6 11,52 12,20 12,88 13,56 14,26 1433 22,16 37,48 86,92 0,00098 0,0506 ДНК 0,484 0331 1,69 2,18 2,70 3,25 5,01 5,63 g 7,56 8,23 8,91 9,59 10,28 10,98 it,69 ад 13,12 13,84 1437 15,31 16,35 16,79 24,43 40,48 9138 0,0039 0,103 Ж; 1,15 .Л34С 2,17 2,73 .3,33 “ 3,94 'fl' ' W 637 736 7,96 8,67 9,39 10,12 Й35 ЗЪ59 12Д4 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 1731 18,49 26,51 43,19 95,70 ДМ5» 0,211 0,®4. 1,06 Ml гм ; ЗЙЗ? 3,49 .W 4Л7'^; в 7,79 8,55 9,31 10,08 1046 11Х 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 1647 1749 18,11 20,60 29,05 46;4б 100,62 'W 549 11,07 12,59 14Д» 15*51 а а 22,36 2348 2540 2630 2739 W 30,14 3342 'W ж 38,88 40,11 4134 4236 43,77 55,76 79,08 146,57 5,02 738 'В 12,83 ,wt 16,01 ж 20,48 № 26,<2 gg 3©J19 ад 32,85 34,17 ад 36,76 38,08 ж 40,65 41,42 4349 44,46 45,72 46,98 59,34 83-30 152,21 9,21 13,28 15,09 1W 19,48 23Д1 Ж 29,14 В' 33$ да т- 40Д9 да 46,96 да 49,59 50,89 63,69 88,38 158,95 да-. 10,60 12,84 14,86 16,75 48,55 20,28 В 25,19 29,82 31,32 37, ЯП 427 35,72 37,16 38Д8 40,00 41Л0 да. да да., да 48,29 49,64 да 52,34 53,67 66,71 91,95 163,65
52
Таблица ПЗ
Процентные точки t -распределения Стьюдента
Значение t „ такое, что Prob [t >t 1 = а.
п, а Ln n,aJ
n а
0,10 0,050 0,025 0,010 0,005
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841
4 1,533 2,132 2,786 3,747 4,604
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106
12 1,356 1,781 • 2,179 2,681 3,055
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921
17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898
18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878
19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861
20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845
21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,83.1
22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819
23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807
24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797
25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787
26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779
27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771
28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763
29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756
30 1,310 1,697 2,042 2,457 • 2,750
40 1,303 1,784 2,021 2,432 2,704
60 1,296 1,771 2,000 2,390 2,660
120 1,289 1.758 1.980 2.358 2.617
53
Т<ЛаицаП4
Процеятаые точи ржяреаммжясер|й
Значение а такое, чггоРгоЬ^ > г,*}»<х, 1Ж»?= «иМ,'
•
* Л ».> ♦ * Л г . 1
••« 1.,,;‘ „• "
. ' ? V’.-. 1,1 1 г WW. ' РГЛ" ’
' #=лг/2 . „ 1* '
0,99 0,975 ’ ’ 0,95 РМ5 ; 5ЭД$ 0,01
'.Км- ..' 2“М"!' '2; ;-Ы мФ'
6 2 2 3 10 pro > ад" фр.
Vp? ' ;"Г'4»,;'Л! <"" :W.WO? Э':' Фээ-
8 4. 4 5 12 '' й.
V© "Фу uiPX й‘"?
го ’ . МРР'Рб ркЖ; \. й
11.’ < к ,7 <• 7 , ,аФ -
’7 г. 57 - 8- .. ; ...
-О 13>^ Т 7Ж 5 tiW ‘?19t ,'
14 8 .. 9 10^ г ч-.
ял*. •А*М Ж '& ж
;•' го.д-' ; го.--.,.',: :п .РР ik - -‘;-'22! .Г > " '
' iP.r . <" и 1:f п ; .и
. - 20Э ' .' 13'Р-; :J4. '4 .is : -7
' -' "9М ': WPMWp
як
sjMWiK
*;.-,ф -М-м ЙЖ'Р.
. Щ?Р Э. Я-
' ;te; 4 ‘ жжЧ
л ч1 47-^>.! , Эй №' ' ;Жжж
Э ’. 7-^
’ 5 7-7^^7 : 50 '’^
,; трэ" Z < '.; - Р'ЯШ ж-Ж?Ж ижЖй^ г£.И₽
i;; :. < "'# -М 4Г' ;$Й «РЯР'
•/э: /W'.
0нЛ- .^?9^' W’;: ; га
’ ‘f^P: ly-HP.'-w ЯМ лЙ'4,1Й’>! 1'51‘. 1 S>5‘
i '-,, \ ’•.кЙ&Э ЭЛ’’’ ; ЗД^.у-' < ЬЭу Лт ,
••>.*‘.4 К,а v -’ ’ '/ р?!&•£.•• . • ‘И,1 ., ;Л.й .< (.' *ДК с •,.'.; ••„
м.. М;, ,
Таблица IIS.
Пропегпяк точке рмадекмиш числж нижерскй
Значение An в такое, что Prob [А#> A# aJ» а, где N — общее число
наблюдаемых значений
а
0,99 0,975 s- О '< 6,95 0,05 0,025 0,01
16 9 11 13 31 33 35
12 №> 16 i • и ‘ -21 '"i 44" ' J-' 47 49
14 24 27 30 60 63 66
1бе^ 34 jg ' '.41 .'78- 81 85
18' ' 45 ’ -'SO^ ' "54 4-. 102 ' 107
20 , л 59. в 125 130
30 152 162 171 263 272 282
40;.^ ;/ 290 ? ' 3ti6 ... 319 460 474 489
50' . 473 > 493 v: : 514 . 710 729 751
60 702 .; 731 . 756 1013 w 1067
76 .. 977 ..; " 1014 ,.;Ж.: ?";'W :’1400 1437
so;,;; мж; .fTTr,,,... v.5.^5. 1860
90 1668 ’ ini ' Шб 2238 2ЙЗ 2336
£ 2083 ; 2198,... K.;a'il2S04
•>!
н«й:
55
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Анохин П.К. Теория функциональных систем // Успехи физиолог, наук. 1970.
- Т. 1, № 1. С. 19 — 54.
Аполлонова И.А., Солониченко В. Г., Спиридонов ИН. Дерматоглифическая
диагностика врожденных заболеваний // Вести. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.
Приборостроение. 1998. № 4. С. 51 — 67.
Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ.
М.: Мир, 1989. 540 с.
Богданов Н.Н. Значение интегральных подходов в поиске предикторов и изу-
чение механизмов возникновения и развития эпилепсии // Успехи физиолог,
наук. 1997. Т. 28. С. 21 - 35.
Вельховер Е. С. Клиническая иридология. М: Орбита, 1992. 432 с.
Гаркави Л.Х., Квакина Е.Б., Уколова МА. Понятие здоровья С позиции тео-
рии неспецифических адаптационных реакций организма // Валеология. 1966.
№ 2. С. 15 - 20.
Гаркави Л.Х., Квакина Е.Б., Уколова М.А. Адаптационные реакции и резис-
тентость организма. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1990. — 224 с.
Гусева И С. Причинно-следственные связи в ассоциациях дерматоглифичес-
ких нарушений. Минск: Беларусь, 1981. 142 с.
Данилова Н.Н. Психофизиологическая диагностика функциональных состоя-
ний: Учеб, пособие. М.: Изд-во Моск, ун-та. 192 с.
Иконика в физиологии и медицине / Под ред. А.М. Уголева. Л.: Наука,
1987. 302 с.
Ичас М. О природе живого: механизмы и смысл: Пер. с англ. М.: Мир, 1949.
498 с.
Спиридонов Н.Н. Особенности интерпретации результатов иридодиагности-
ческого обследования // Сознание и физическая реальность. 1996. Т. 1, № 3.
С. 54 - 62.
Спиридонов И.Н Медицинские и социальные аспекты дерматоглифической и
иридоскопической диагностики // Сознание и физическая реальность. 1999. Т. 4,
№ 1. С. 47 - 57.
Спиридонов И.Н., Аполлонова И.А., Карасев И.В. Лазерная система дерматогли-
фической диагностики // Актуальные проблемы создания биотехнических систем:
Сб. науч, трудов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1997. Вып. 2. С. 222 — 231.
Спиридонов И.Н., Аполлонова И.А., Сафонова Л.П. • Основные принципы со-
здания лазерных анализаторов медицинских сложноструктурированных изобра-
жений // Конверсия. 1997. № 10. С. 55 - 57.
56
»m;h
Введение.......................................... 3
1. Функциональное состояние человека................4
1.1. Неспецифические адаптационные реакции.....4
1.2. Показатели функционального состояния человека.8
2. Особенности построения систем обработки
медиго-б№йедячеед^..................... ...... 10
2.1. Дешифрирование медико-биологических
сигналов... . 11
2.2. Структурно-функциональная схема системы
обработай медико-биологических сигналов.. 13
2.3. Особенности решения диагностических задач........... 15
3. Анализ случайных данных й задачах обработки
медикр-биологических сигналов » » *.»>»»«.«»<•а » «Л»лйЦа.• » • »’«**•.»Ъ ***%4» «».Ь *>• i*«,•* * 17
3.1 . Дстермиро ванные и случайные процессы 18
3 2. Основныепонятия и определений24
3.3 , Важнейшие функции распределения 32
3.4 ;^ыбороадйе ^ед1ределения-...-»>»-..--.>.. 37
3;5г,Ота1®стжеед№.7Ф<адеду^-...^ 39
4. Оценивание основных свойств случайного процесса............ 47
Заключение.,• 49
Приложение 50
Список рекомендуемой литературы,........56