Text
                    И.С.Шапиро, МА.Ольшанецкий
ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ ДЛЯ ФИЗИКОВ
Предлагаемый текст представляет собой обработанный курс лекций,
прочитанных И. С. Шапиро группе физиков ИТЭФ в 1977-78 гг. Публикуемая
часть курса является введением в теорию гомологии.
Лекции рассчитаны на физиков-теоретиков, аспирантов и студентов физико-
математических специальностей.
Оглавление
Предисловие 4
1. Введение 5
1.1. Зачем нужна топология физику? 5
1.2. Многообразия (аналитическое представление) 11
1.3. Многообразия (более общая формулировка) 13
1.4. Учебная литература 21
2. Теория гомологии 22
2.1. Клеточный комплекс 22
2.2. Группы циклов и группы гомологии (группы Бетти) 32
2.3. Числа Бетти и характеристики кручений 43
2.4. Гомологии и числа Бетти по модулю 48
2.5. Многообразия с «краем». Относительные гомологии 51
2.6. Последовательности Майера-Вьеториса и «теоремы сложения» для 60
чисел Бетти
2.7. Когомологии 91
3. Теория Морса и ассоциированные вопросы 98
3.1. Критические точки 9 8
3.2. Топология области меньших значений 101
3.3. Неравенства Морса 105
3.4. Теорема Пуанкаре-Хопфа в индексах векторного поля 107
3.5. Оценка числа полюсов аналитической функции ИЗ
3.6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Римана- 115
Гурвица)
3.7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана- 118
Роха)
3.8. Топологические аспекты многоканальной задачи 122


Предисловие Предлагаемый текст представляет собой обработанный курс лек- лекций, прочитанных И. С. Шапиро группе физиков ИТЭФ в 1977-78 гг. Некоторые разделы были практически заново написаны для этого из- издания М. А. Ольшанецким, другие им же подвергнуты необходимой ре- редакции; однако в целом характер изложения, план курса, отбор основ- основного материала и примеров остались без изменений. Содержание курса в достаточной мере изложено во Введении и в дополнительном ком- комментарии вряд ли нуждается. Отметим лишь два обстоятельства. Во- первых, в окончательном варианте лекций опущен раздел, относящийся к использованию теории гомологии применительно к изучению рима- новых поверхностей фейнмановских диаграмм: по этому вопросу име- имеется опубликованная обзорная литература, доступная читателю, кото- который интересуется этими проблемами. Во-вторых, подчеркнем еще раз, что лекции рассчитаны на физиков-теоретиков и прочитаны физиком. Никакого, даже отдаленного подобия математической строгости в них искать не следует. В задачу лектора входило разъяснение органической природы («физического смысла») основных понятий и ознакомление фи- физиков с базисом нового для них математического аппарата. Публикуе- Публикуемая часть курса является введением в теорию гомологии. Выражаем благодарность М.И.Монастырскому, просмотревшему рукопись и сделавшему полезные замечания. Нелегкий труд по подготовке лекций к печати взяла на себя од- одна из слушательниц — Н. Я. Смородинская, которой мы чрезвычайно признательны.
Глава 1 Введение 1. Зачем нужна топология физику? 2. Многообразия (аналитичес- (аналитическое определение). 3. Многообразия (более общее определение). 4. Учеб- Учебная литература. 1.1. Зачем нужна топология физику? Краткий прагматический ответ состоит в следующем: для получе- получения свойств решений физических уравнений без решения самих этих уравнений, т. е. примерно затем же, зачем нужна теория представления групп. Перечислим некоторые возможные приложения топологических методов к решению задач, встречающихся в теоретической физике. 1. Оценка снизу критических точек функции f(xi,... ,xn) в зависимости от многообразия, на котором задана функ- функция. Критической мы называем точку df(x)/dxi = 0(i = 1, ... , я). Она называется невырожденной, если det(d2/dxtdxj) ф 0. Тогда прира- приращение функции Д/ можно записать так: д/ = - ? J2 t=l j=k+l где rji = ^2sijXj\ {sij} — матрица, диагонализирующая д2f /dxtdxj. Число отрицательных квадратов к в формуле A.1.1) определяет тип критической точки; к = 0 — минимум, к = п — максимум, в осталь- остальных случаях — седло. Обозначим через ти число критических точек типа к. Минимальные возможные значения этих чисел оказываются за- зависящими от топологических свойств многообразия, на котором задана дважды дифференцируемая функция /, а именно от структуры групп гомологии этого многообразия — от их чисел Бетти. Из теоремы Вей- ерштрасса о достижении непрерывной функцией на компактном много- многообразии своих нижней и верхней границ следует, что то ^1 и тпп ^ 1.
& Глава 1 Теория гомологии делает возможными более содержательные оценки. Например, общее число невырожденных критических точек на двумер- двумерном торе должно быть не менее четырех (т0 ^ 1, mi ^ 2, т2 ^ 1); на проективной плоскости, т. е. на поверхности, топологически экви- эквивалентной проективной плоскости, должно быть не менее трех, а в 71- мерном проективном пространстве — не менее пф\. Такие же оценки можно дать для всех замкнутых многообразий, в частности двумерных, и, следовательно, для функций на конечно-листных римановых поверх- поверхностях. К этой же категории приложений относится оценка числа эк- экстремальных значений функционалов в зависимости от топологических свойств пространства функций, на котором этот функционал задан. 2. Вопрос о критических точках тесно связан с векторны- векторными полями на многообразиях. Это ясно, в частности, для потенци- потенциальных полей, являющихся градиентом некоторой функции, поскольку критическая точка функции является особой точкой векторного поля градиента этой функции (точкой «неоднозначности»), векторы в беско- бесконечно близких точках отличаются по направлению конечным образом. Теория связывает свойства векторных полей на многообразиях с топо- топологическими свойствами этого многообразия. В частности, она позво- позволяет оценить число особых точек векторного поля и указать многообра- многообразия, на которых возможны поля без особенностей. Например, задать на сфере поле без особенностей, направленное в каждой точке по касатель- касательной к сфере нельзя, а на торе можно; это связано с тем, что эйлерова характеристика тора равна нулю, а сферы — двум1. Топология дает возможность указать свойства векторных и тензорных полей, анало- аналогичные упомянутым, для более сложных многообразий более высокой размерности. 3. Оценка числа особых точек аналитической функции, имеющей в заданной области D конечное число таких точек, в зависимости от топологических свойств области D. Вряд ли нужно комментировать значимость этих результатов для физических приложений. На первый взгляд, кажется, что получить нетривиальные 'Этот результат иногда называют «теоремой о еже». Согласно этой теореме, ша- шаровой «ёж не может быть причесан». Упомянутый результат был получен Пуанкаре, доказавшем теорему об индексах особых точек векторного поля (сумма индексов особых точек равна эйлеровой характеристике). На многомерные многообразия эта теорема была обобщена много позже X. Хопфом A926 г.).
Введение 7 оценки, задавая одну только область D, невозможно, поскольку, напри- например, наличие полюсов определяется динамикой, скажем, потенциалом, его глубиной и протяженностью. В действительности, однако, потенци- потенциал определяет область аналитичности — структуру римановой поверх- поверхности и для оценок снизу общего числа особенностей этого оказывается достаточным (вспомним, что для указания числа уровней достаточно знать некоторые интегральные моменты потенциала, тогда как локали- локализация полюсов существенно зависит от деталей поведения потенциала как функции расстояния или импульсов). Чтобы пояснить рассматриваемый вопрос, заметим, что общеиз- общеизвестный факт отсутствия связанных состояний при слабом притяжении в трехмерном пространстве и, наоборот, наличие их при сколь угодно слабом притяжении в пространстве низших размерностей, есть на са- самом деле следствие топологических свойств многообразий. Далее, то обстоятельство, что не существует отличных от константы функций, аналитичных во всей комплексной плоскости, включая бесконечно уда- удаленную точку, есть следствие топологической эквивалентности комп- комплексной плоскости двумерной сфере, эйлерова характеристика которой, как упоминалось выше, положительна. В этом смысле, тот факт, что це- целые функции обязаны иметь особенность в бесконечно удаленной точке, имеет общий корень с теоремой о еже. Вообще, задача об особых точках аналитической функции связана с п. 2, так как задание аналитической функции означает и задание соленоидального векторного поля (дейст- (действительная и мнимая части — гармонические функции) — градиента действительной части. 4. Приложения к интегрированию по многомерным облас- областям: выяснение аналитических свойств функций, заданных многомерными интегралами, вычисление интегралов по замк- замкнутым многообразиям (обобщение формулы Коши). С первым из этих двух направлений связано применение топологии к исследова- исследованию фейнмановских интегралов, вторая же группа задач принадлежит к числу самых давних проблем, фактически создавших топологию как математическую дисциплину. 5. Определение максимального числа линейно-независи- линейно-независимых полей на многообразиях. Речь идет о векторных или, вооб- вообще, о тензорных полях, хотя не для всех полей и многообразий эта
8 Глава 1 задача решена. Поясним проблему. Для евклидова пространства п- измерений задача тривиальна, однако для многообразия той же раз- размерности, но с топологической структурой, отличной от евклидова про- пространства, проблема весьма не тривиальна, если не считать поле вло- вложенным в евклидово пространство большого числа измерений, т. е. тре- требовать, чтобы вектор поля в любой точке был касательным к многооб- многообразию, а не «торчал, высовываясь в пространство большего числа из- измерений». Приведем для иллюстрации некоторые результаты о числе линейно-независимых векторных полей на сферах. Во-первых, оказы- оказывается, что максимально возможное число линейно-независимых полей совпадает с размерностью сферы только в трех случаях п = 1, 3, 7 (п = 1 — окружность). Во-вторых, для произвольного п ответ такой. Записываем число п в виде: я = Bо + 1) • 24Ь+С - 1. Тогда число т(п) линейно-независимых полей на сфере размерности п определяется равенством: т(п) = 2е + 8Ь - 1. A.1.2) В частности, из этой формулы следует, что в соответствии с теоремой о еже на двумерной сфере вообще нельзя задать непрерывного векторного поля -m(z) = 0. 6. Убедиться в существовании решений и оценить число независимых решений некоторого уравнения. Имеющиеся здесь результаты относятся в основном к системам обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений, однако они эвристически полезны для иссле- исследования уравнений в частных производных. Пункты 1-3 этого перечня опираются главным образом на ту гла- главу алгебраической топологии, которая получила название теории го- гомологии. Многие результаты, приведенные здесь (пп. 1,3), составляют содержание теории М. Морса, в которой важную роль играют тополо- топологические «квантовые числа» — числа Бетти. Пункты 4-6 требуют ис- использования теории гомотопий и теории расслоений (особенно это от- относится к пп. 5,6). Приведенные примеры заведомо не исчерпывают известных и тем более потенциальных возможных применений топологических методов
Введение 9 к решению математических задач, которые могут интересовать физи- физиков. Хотелось подчеркнуть в связи с этим следующее. Всякая методика, позволяющая исследовать свойства решений фи- физических уравнений, не решая этих уравнений, выявляет нечто, зало- заложенное уже в самой формулировке математического аппарата физи- физической теории, и, следовательно, не зависящее от деталей динамики. До тех пор пока это «нечто» не выявлено, его следствия могут ошибоч- ошибочно относиться к специфике тех или иных взаимодействий решаемых физических моделей или разного рода приближений. Надо иметь в ви- виду также, что математика для физики является не только и даже не столько вычислительным средством, но и тем каркасом, без которо- которого физические закономерности вообще не могут быть сформулирова- сформулированы. В частности, невозможно дать определения физических величин, не опираясь на соответствующие математические понятия. Например, нельзя точно определить понятие спин без теории представлений. То же относится к квантовым числам динамических симметрии (изоспин и др.). Изложенное дает основание ожидать от разработки не замечен- замеченных ранее глубоких феноменологических пластов теории интересных физических результатов. Если говорить о физике частиц, то к привлечению топологических методов побуждает, по мнению авторов, обилие нестабильных частиц. Всякая серьезная попытка понять это многообразие приводит пока либо к многоканальным задачам типа уравнений связанных каналов, либо к поискам пространственно локализованных решений (солитонов) урав- уравнений в частных производных. Связь этих проблем с упоминавшимися выше приложениями топологических методов довольно ясна. Необхо- Необходимость же обогащения традиционного аппарата физической теории новыми методами ощущается по меньшей мере по следующим трем причинам. Во-первых, решение многоканальных задач на собственные значе- значения выглядит настолько сложным даже в простейших моделях, что уве- уверенное отделение общих закономерностей от модельно-зависящих ре- результатов в рамках обычной методики оказывается чрезвычайно труд- трудным, если не невозможным. Между тем по численным результатам решения некоторых модельных задач чувствуется, что в количестве уровней, их положении и движении в зависимости от исходных па-
10 Глава 1 раметров (констант взаимодействия, их радиусов, масс структурных компонентов) имеются определенные общие закономерности. Грубо го- говоря, если при каких-то значениях исходных параметров в 5-матрице имеется полюс, то изменением параметров от него не так легко изба- избавиться — удаление одних полюсов от физической области, компенси- компенсируется «приходом» других с разных листов римановой поверхности и т. п. Физическая «непрозрачность» подобного рода результатов несо- несомненно связана с усложнением римановой поверхности для 5-матрицы и наводит на мысль о необходимости использования более компактной математической методики, органически адекватной природе рассмат- рассматриваемой задачи. Во-вторых, современной физике частиц явно не хватает квантовых чисел. Использование знакомого источника — введения групп динами- динамических симметрии и применения теории представлений этих групп — «обогащает» физику таким количеством исходных «сущностей» (квар- (кварки) с «цветом», «запахом», «очарованием», «красотой» и т. п.), что оно становится сравнимым с количеством объектов, подлежащих объясне- объяснению. В-третьих, желание иметь «асимптотически свободную» перенор- перенормируемую теорию, не содержащую трудностей типа «нуля заряда», по- побуждает вводить векторные неабелевы калибровочные поля, а это озна- означает обязательность рассмотрения векторных полей на многообразиях. К этой же необходимости, впрочем, приводит упомянутая выше проб- проблема поиска солитонных решений для классических полей со спином. Настоящий курс ставит своей целью описание и разъяснение не- некоторых основных понятий, методов и результатов алгебраической топологии. Доказательств, как правило, нет: справедливость тех или иных теорем демонстрируется на примерах. Определения не претен- претендуют на строгость; они сформулированы так, чтобы по возможнос- возможности более отчетливо выступала сущность — «физический смысл» того или иного понятия. Одним словом, это лекции физика для физиков. К лекциям приложен список учебной литературы: он отнюдь не по- полон, а содержащиеся в нем книги, может быть, и не лучшие. Моногра- Монографий по алгебраической топологии много, но большей частью для фи- физиков они остаются за семью печатями главным образом из-за дедук- дедуктивного способа изложения, терминологии и непривычной символики.
Введение 11 Несвободны от этих особенностей и руководства, указанные в списке. В заключение этого параграфа сделаем краткое историческое за- замечание. С рождением топологии связаны имена Римана, итальянского математика Бетти (Е. Betti) и Пуанкаре. Риман, по-видимому, первый догадался о существовании этой области математики. На это его на- натолкнули исследования аналитических функций. Систематических пуб- публикаций по топологии у Римана не было, неизвестно, в частности, что ему принадлежит идея введения порядка связности замкнутой поверх- поверхности. Эта идея была сообщена им Бетти, который после смерти Ри- Римана A966 г.) опубликовал ее и попытался обобщить на многомерные поверхности. Что же касается роли Пуанкаре в развитии топологии, то ее можно охарактеризовать очень кратко — он ее создал2 в работе Analysis situs A895 г.) и пяти дополнениях к ней. Пуанкаре принад- принадлежат основные идеи, разрабатываемые до сих пор, и важнейшие ре- результаты. Он же является автором многих терминов (гомеоморфизм, гомологи, фундаментальная группа многообразия и др.) 1.2. Многообразия (аналитическое представление) Топологическое многообразие — это, вообще говоря, множество точек, для которых определено понятие близости. В частности, топо- топологическим многообразием является множество точек евклидова про- пространства, определенное уравнениями: Fi(xi,... ,Xn) =0, fj(x!,... ,Xn) > 0 A2 1) г~ 1,... ,тп j = 1,... ,1 Многообразие A.2.1) является таким образом некоторой областью под- подпространства п = п - т измерений. Граница многообразия определя- определяется уравнениями: Как следует из A.2.2), размерность границы ДМ будет я — 1. Если система A.2.2) не имеет решений, то многообразие неограничено. 2См. П.С.Александров в ссылке [21].
12 Глава 1 Два многообразия М и М' называются гомеоморфными, если су- существует взаимно-однозначное, взаимно непрерывное отображение од- одного многообразия на другое (две близкие точки переходят в две близ- близкие). Аналитически это означает, например, что функции F,- и F'i в A.2.1) переводятся друг в друга заменой х на х' по формулам: х\ = (р{(х), i = l,...,n, A.2.3) причем функции <pi — однозначны, непрерывны и дифференцируемы, а якобиан преобразования нигде не равен нулю. В остальном же эти функции произвольны. Ясно, что эти преобразования, которые толь- только можно себе представить, или во всяком случае наиболее общие из тех, с которыми физикам приходилось сталкиваться до сих пор. Мно- Многообразия можно задавать и способом, отличным от A.2.1). Например, параметрическим: Xi = Gi(@i, ... , в„), gk(@i, ... ,@п) >0. A2 4) г = 1, ... , п к = 1, ... ,т В случае задания A.2.4) неравенства не всегда определяют границу, а, например, могут просто ограничивать область изменения аргумен- аргументов периодических функций Gi- Заметим, что иногда задания A*2.4) предпочтительнее A.2.1). Например, если A.2.1) дополнить требовани- требованием «невырожденности», а именно требованием, чтобы миноры поряд- порядив ка \п матрицы —— одновременно не обращались в ноль ни в одной OXj точке многообразия, то уравнения A.2.1) не будут содержать неориен- тируемые многообразия типа проективной плоскости и др. Между тем ВС ¦ аналогичное требование на матрицу ——* для уравнений A.2.4) не ис- OXj ключает неориентируемых многообразий. Этот феномен связан с тем, что замкнутые неориентируемые многообразия содержат самопересе- самопересечения. Предметом топологии как раз и является изучение тех свойств многообразий, которые инвариантны относительно всевозможных не- непрерывных отображений A.2.3). При этом, вообще говоря, рассматри- рассматриваемые преобразования могут быть даже не столь гладкими, как мы это требовали. Именно функции <pt обязаны быть непрерывными, но
Введение 13 не обязательно дифференцируемыми. Ввиду общности топологических преобразований A.2.3) довольно ясно, что в наших исходных опреде- определениях много лишнего. Очевидно, что совершенно не важен ни с прин- принципиальной, ни с практической точек зрения аналитический вид Fi, определяющих такое многообразие, раз мы все равно будем его дефор- деформировать непрерывным образом до неузнаваемости. Важно нечто, вы- выражаемое уравнениями A.2.1), но не явный вид этих уравнений. Точно так же совершенно несущественно, что наше многообразие является об- областью именно евклидова пространства, а не какого-нибудь другого. От метрики нам здесь требуется только одно — возможность определить близость точек. Указанные причины побудили математиков сформулировать опре- определения топологических объектов так, чтобы все «лишнее» было убрано и чтобы таким образом истинная природа тех или иных топологичес- топологических свойств была максимально выделена, если угодно, обнажена. Со- Соответствующая аксиоматика, однако, сильно теряет в наглядности и некоторые вполне привычные понятия и объекты в такой теоретико- множественной формулировке становятся неузнаваемыми. Мы будем пользоваться таким языком в самой минимальной мере, теряя в ма- математической общности, но выигрывая в наглядности. Вместе с тем для связи с математической литературой в следующем параграфе мы приведем определения некоторых исходных топологических понятий на теоретико-множественном языке. Подчеркнем, что в данном случае этот язык не является «веерштрассовщиной», а действительно адеква- адекватен математической сущности вещей. 1.3. Многообразия (более общая формулировка) В этом параграфе приводятся некоторые формальные теоретико- множественные определения. Читатель-физик, столкнувшись с опреде- определением топологического многообразия в математических монографиях, может не узнать в аксиоматических определениях формулы предыду- предыдущего параграфа. Для понимания текста лекций вполне достаточно мыс- мыслить топологические многообразия как множества, которые локально устроены как евклидовы пространства и склеены с надлежащей степе- степенью гладкости.
14 Глава 1 1. Множества. Основные обозначения. Запись х € М означает, что х является элементом множества М, а х&М означает, что х не принадлежит множеству М. М% С Мг — означает, что множество Mi содержится в Мг или совпадает с ним. Пустое множество обозначается 0. Множество элементов х, обладаю- обладающих свойством Р, обозначается {х | Р}. Обычным образом определяется объединение С двух множеств А и В (рис. 1) и пересечение (рис. 2). А C=AUB= А С=АпВ= Рис. 1. Объединение множеств. Рис. 2. Пересечение множеств. А В А В С=А\В= С=АлВ= Рис. 3. Разность множеств. Рис. 4. Симметрическая разность множеств. Можно рассмотреть объединение и пересечение для произвольного множества индексов /: U A.3.1) \jAa а€1 а€1 Кроме того, полезно определить разность А\В множества А и В, т. е. множество: A.3.2) С = А\В = {х\хе А, и симметричную разность С = ААВ = {х \х € АиВ,хёАПВ}. Легко видеть, что ААВ = (А \ В) U {В \ А).
Введение 15 2. Топологические пространства. Мы определим так называемые хаусдорфовы пространства с помо- помощью системы окрестностей. Множество М называется хаусдорфовым топологическим пространством, если в нем выделены подмножества, называемые окрестностями, удовлетворяющие следующей системе ак- аксиом: Аксиома 1. Каждая точка х € М имеет по крайней мере одну окрест- окрестность Ux и содержится в каждой из своих окрестностей. Аксиома 2. Если Щ и Ux — две окрестности х, то существует окрестность: U^cU^nU^. A.3.3) Аксиома 3. Если у G Ux, то существует окрестность Uy такая, что Uy С Ux. A.3.4) Аксиома 4. Хаусдорфова аксиома отделимости: для двух точек х ф у всегда найдутся две непересекающиеся окрестности UxC\Uy = 0. Легко доказать, что в евклидовом пространстве Rn множество ша- шаров {х | (yi — xiJ + ... + (уп — хпJ < г2} удовлетворяют всем четырем аксиомам и определяют в нем обычную топологию. Точка х € М называется предельной, если всякая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку из М, с ней не совпадающую. Подмножество Mi топологического пространства М называет- называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Под- Подмножество Мг дополнительное в М к замкнутому подмножест- подмножеству Mi (Мг = М\ Mi) определяется как открытое. Топологическое пространство называется связным, если его нель- нельзя представить как объединение двух замкнутых, непересекающихся подмножеств. Отображение / топологического пространства М в топологичес- топологическое пространство N называется непрерывным в точке х, если для вся- всякой окрестности Uf(x) С N существует окрестность Vx С М, такая, что f(V) С Uf{xy Отображение М в N будет непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х ? М.
16 Глава 1 Два топологических пространства М и N называются гомеоморф- ными или топологически эквивалентными, если существует взаимноод- взаимнооднозначное соответствие и взаимнонепрерывное отображение /: M-^N. Топология изучает свойства множеств с точностью до гомеомор- гомеоморфизма. Например, сфера S и куб топологически эквивалентны. Можно увидеть, что топологически эквивалентны сфера S2 и риманова поверх- поверхность функции z2, круговое кольцо и цилиндр. 3. Многообразия. Хаусдорфово топологическое пространство называется многообра- многообразием, если для всякой точки х ? М существует окрестность, гомео- морфная шару в евклидовом пространстве Rn. Гомеоморфность окрест- окрестности шару означает, что топологическое многообразие устроено ло- локально так же, как евклидово пространство и поэтому, в частности, имеет определенную размерность. Окрестность U вместе с указанным гомеоморфизмом называется картой множества U. Если х € U, то ip(x) бй" — локальные коорди- координаты точки х. Если накладываются условия гладкости на многообразие, то необ- необходимо, чтобы любые две карты (U, <р) и (V, ф), для которых UC\V Ф 0, были надлежащим образом склеены. Многообразие будет принадле- принадлежать классу С°° или будет аналитическим, если отображения из Rn' в Rn: 1роф~1 и V'oV будут бесконечно дифференцируемы или анали- тичны (рис. 5). В этих же терминах определяется многообразие с краем. Это мно- многообразие М, у которого существуют такие точки х, что в локальных координатах карты (U, ip) ip(x) = 0 и <p(U П М) имеет вид полупро- полупространства в Rn: х\ ^ 0. Можно показать, что многообразия, определенные в предыдущем параграфе системой уравнений и неравенств в Rn, являются многооб- многообразиями в инвариантной формулировке. Приведем примеры. Пример 1. Окружность S1: Х\ + Х\ — 1. Четыре полукружности Ui~={xeS{ \ Xj>0}, Uf={xtS1 | Xi<0} являются картами, покрываю- покрывающими S1. В качестве локальных координат на Uf1 берется проекция на ось Xj (i^j). Легко видеть, что это аналитическое многообразие. Эта конструкция обобщается на сферу произвольной размерности Sn.
Введение 17 Рис. 5. Пересечение двух карт. Рис. 6. Лист Мёбиуса. Пример 2. Унитарная группа U(n) как многообразие. Множество уни- унитарных матриц можно рассматривать как поверхность в евклидовом пространстве Rd, где d=n2, заданную уравнением U+=U~1(u € U(n)). Таким образом, U(n) является многообразием согласно определениям предыдущего параграфа. Можно, разумеется, ввести локальные коорди- координаты на U(n) и доказать, что U(n) аналитическое многообразие. Одна карта для группы SUB) хорошо известна — это углы Эйлера. Это действительно локальные координаты, так как они параметризуют группу, из которой выброшено многообразие меньшей размерности. Пусть Mi и Мг — два многообразия. Рассмотрим множество пар М = {(xi, х2) | Xi € М, г = 1, 2}. Множество М наделяется струк- структурой многообразия, если задать в нем карты вида: i х pi x г/,,), где (Ui,tpi) — карты в Mi, a (Vj,ipj) — карты в Мг. Многообра- Многообразие М называется произведением многообразий Mi и Мг (обозначение М = Mi х М2). Примеры: Тор = S1 x S1; цилиндр = Д1 х S1, Д<п+т) = Rn x Rm.
18 Глава 1 Важным понятием является ориентация многообразия. Широкий класс топологических многообразий допускает ориентацию в целом (та- (такие многообразия называются ориентируемыми или двусторонними), причем ориентируемость является топологически инвариантным свой- свойством. Ориентируемы, в частности, многообразия, гомеоморфные шару при любом числе измерений (двухмерный шар — это круг, одномер- одномерный — отрезок). Таким образом, окрестность любой точки или вообще всякая часть многообразия, гомеоморфная шару, ориентируема. Ори- Ориентировать окрестность — значит задать на ней систему координат. Две системы координат по определению соответствуют двум проти- противоположным ориентациям, если якобиан преобразования от одной сис- системы к другой отрицателен. Если две окрестности пересекаются, то мы можем считать их ориентированными одинаково или противопо- противоположно в зависимости от того, как ориентировано пересечение в каж- каждой из этих пересекающихся окрестностей3. Ориентируемое многооб- многообразие может быть покрыто системой пересекающихся окрестностей, ориентированных одинаково. Если этого нельзя сделать, то многообра- многообразие является неориентируемым (односторонним). Хорошо известным примером ограниченной неориентируемои поверхности является лист Мёбиуса. Он гомеоморфен прямоугольнику, точки двух сторон которо- которого отождествлены так, как показано на рис. 6а. Можно показать также, что лист Мёбиуса гомеоморфен круговому кольцу, у которого диаме- диаметрально противоположные точки внутренней окружности отождеств- отождествлены (рис.66L. На рис. 7 показана неориентируемость листа Мёбиуса. Если замк- замкнутую кривую СС' покрыть окрестностями, причем так, что начиная от окрестности точки С каждая последующая окрестность будет ори- ориентирована одинаково с предыдущей, то окрестности точек С и С" ока- окажутся ориентированы противоположным образом: вертикальный орт в точке С" поворачивается на 180° (на реальном листе Мёбиуса, вложен- 3Мы говорим об относительной ориентации пересекающихся окрестностей, так как в этом случае ориентации окрестностей заведомо можно сравнить по ориентации их общей части (пересечения). 4Для установления этого гомеоморфизма надо разрезать прямоугольник 6, а по линии PR, развернуть полученные части так, чтобы можно было склеить точки А и А', В и В', С и С и т. д., а затем произвести отождествление точек Р и Р', R и Я' и т. д.
Введение 19 ном в трехмерное пространство, поворот вертикального орта вокруг го- горизонтального происходит с выходом из плоскости чертежа непрерыв- непрерывно, и угол поворота достигает 180° при возвращении в исходную точку с другой стороны ленты, склеенной в лист Мёбиуса согласно идентифи- идентификации точек по схеме рис. 6а. с D Рис. 7. Неориентируемость листа Рис. 8. Проективная плос- Мёбиуса. кость. D' С С D' А в<- ¦'¦А' -"В" • < 1 * * А' В' D Рис. 9. Бутылка Клейна. С D Рис. 10. Тор. Примерами замкнутых неориентируемых поверхностей могут слу- служить проективная плоскость (рис. 8) и бутылка Клейна (рис. 9). Отметим, что проективная плоскость гомеомофорна сфере с дыр- дыркой, в которую вклеен лист Мёбиуса, а бутылка Клейна — сфе- сфере с двумя дырками с вклеенными листами Мёбиуса. Эти го- гомеоморфизмы можно установить, если воспользоваться реализаци- реализацией листа Мёбиуса в форме рис. 66, а остальных поверхностей — в представлениях рис. 8-10. Можно показать, что все замкнутые ориентируемые поверхности гомеоморфны сфере с некоторым числом «ручек» (другая терминоло- терминология — «кренделю» с некоторым числом дырок), а все замкнутые не-
20 Глава 1 ориентируемые поверхности — сфере с некоторым числом вклеенных листов МёбиуссР. В частности, все замкнутые римановы поверхности аналитических функций одной независимой переменной гомеомофорны каким-либо из перечисленных эталонных поверхностей. Так, римановы поверхности алгебраических функций гомеомофорны кренделям6. Например, дву- двулистная риманова поверхность функции: f(z) = [P2n(z)]\ A.3.5) где P2n(z) — полином степени 2п, гомеоморфна кренделю сп-1 дыра- дырами. В этом можно убедиться, основываясь на следующих соображени- соображениях. Каждый из листов гомеоморфен сфере с п разрезами, которые мож- можно считать расположенными на экваторе, полагая, что каждый разрез соединяет две точки ветвления и разрезы не пересекаются. Склеивание листов произведем так, чтобы одна из сфер находилась внутри другой. После этого произведем еще одно преобразование: отразим точки внут- внутренней сферы относительно экваториальной плоскости, оставляя при 5 В дальнейшем крендель с тг дырками обозначается через Рп, а сфера с тг лис- листами Мёбиуса — через Nn. Обычную двумерную сферу Ро мы будем обозначать символом S2. Заметим, что вклеивание листов Мёбиуса в Рп не дает поверхностей, топологически отличных от Nn. Вклеивание пг листов Мёбиуса в РП1 дает поверх- поверхность Nns с «з = 2ni + ni- Доказательство сформулированной в тексте теоремы сложно и здесь рассматриваться не будет. Поверхности Nn самопересекающиеся. Реализация N2 в виде самопересекающейся поверхности общеизвестна. Укажем на реализацию в виде такой поверхности с самопересечением проективной плоскос- плоскости JVi. Ей гомеоморфна поверхность, удовлетворяющая уравнению: (ах\ + Ьх\)(х\ + х\ + х\) - 2z{x\ + х\) = 0. Линией самопересечения у этой поверхности является отрезок прямой. Обратим внимание на то, что матрица dFi/dxj в данном случае имеет особенность на много- многообразии, а именно dF/dxi = dFjdxi = dF/дхз = 0 вдоль линии самопересечения. 6Напомним, что алгебраическая функция и = f(z) задается уравнением: ит + Rx(z) ¦ и'1 + ¦ ¦ ¦ + Дп,(г) = 0, где Rk(z) — рациональные функции от z. Так как при т > 4 уравнение для и, вооб- вообще говоря, неразрешимо в радикалах, то алгебраическая функция и в общем случае не выражается через элементарные. Главные же свойства алгебраической функции в том, что она имеет конечное число особых точек — полюсов или ветвлений, причем все ветвления — конечного порядка (корневые).
Введение 21 этом края разрезов, расположенных на экваторе, на месте. Это преоб- преобразование является «(п — 1)-кренделем». 1.4. Учебная литература Прокомментируем предложенный список литературы. Книги [1-4] наиболее просты и предназначены для первоначального ознакомления с предметом. Однако они содержат мало материала: при этом работа [4] так же, как и более серьезные руководства [5-9], рас- рассчитаны на читателя-физика. Наибольшее пересечение с предлагаемым курсом имеет работа [6]. В работах [10-13] содержатся необходимые предварительные сведения по теоретико-множественной топологии, те- теории групп и теории многообразий. Отметим, однако, что эти сведения в необходимом объеме содержатся и в серьезных руководствах по ал- алгебраической топологии, например, в работах [14] и [15]. Это наиболее полные руководства по изучаемому предмету. К этим двум моногра- монографиям следует добавить работы [16-19]. Впрочем последняя книга есть только первая часть задуманного курса. Много информации о поверх- поверхностях размерности 2 можно найти в работе [20]. Также много кон- конкретной информации содержится в первоначальной работе Пуанкаре и ее дополнениях [21]. Книги [22-25] содержат сведения по теории Морса, а работы [13] и [25] — о векторных полях и многообразиях. Проблемы, связанные с теорией функций комплексного переменного, освещаются в работах [7], [20], [26], [27].
Глава 2 Теория гомологии 1. Клеточный комплекс. 2. Группы циклов и группы гомологии (группы Бетти). 3. Числа Бетти и характеристика кручений. 4. Гомоло- Гомологи и числа Бетти по модулю. 5. Многообразия с краем. Относительные гомологии. 6. Последовательности Майера — Вьеториса и теорема сло- сложения для чисел Бетти. 7. Когомологии. 2.1. Клеточный комплекс Для выяснения топологических характеристик многообразия сле- следует разбить его по возможности на простые составляющие. Мы изучим так называемое клеточное разбиение многообразия. Клет- Клеткой называется часть многообразия, гомеоморфная открытому шару а Bd = {х G Rd | Yl xj < !}• При разбиении возникают клетки различ- i ного числа измерений от нуля (точка) до размерности многообразия. Клеточное разбиение позволяет построить некоторую алгебраичес- алгебраическую структуру — клеточный комплекс. Можно выделить такие алгеб- алгебраические характеристики комплекса, которые не зависят от разбиения и сохраняются для топологически эквивалентных пространств. В этом и состоит предмет алгебраической топологии — изучение алгебраичес- алгебраических инвариантов («квантовых чисел») топологических пространств. Дадим определение клеточного разбиения. Клеточным разбиени- разбиением многообразия М называется конечное семейство ? его клеток а (Е = {а}), удовлетворяющее условиям: 1) М = U а, т. е. клетки составляют покрытия М, причем попарно не пересекаются (а' П а = 0, если а Ф а'). 2) Для каждой клетки а € ? существует гомеоморфизм фа шара Bd в а (см. определение клетки), который продолжается до непрерывного
Теория гомологии 23 отображения tpa границ шара — сферы Sd~1 — на множество клеток меньшей размерности, примыкающих к а. Отображение сра не обязано быть гомеоморфизмом, что будет видно из примеров. Отметим еще, что число d определяют размерность клетки а. Имея клеточное разбиение, можно приступить к построению кле- клеточного комплекса. Для этого необходимо ввести понятия группы цепей и оператора границы. Пусть {af} — совокупность всех клеток многообразия дан- данной размерности d. Согласно предположениям, их число конечно (г = 1, ... , па). Рассмотрим формальные линейные комбинации с це- лими коффициентами: nd ld(a) = Ylaiai at€Z. B.1.1) ! = 1 Выражение такого вида называется цепью размерности d многообра- многообразия М. Считается, что I = О, когда а; = 0. Для цепей можно ввести операцию сложения. Суммой цепей п т h = J2a}ai и /2 = ?)а?а,- B.1.2) называется цепь п 11+12 = ^,(а}+а2{)а{. B.1.3) г=1 Цепи данной размерности относительно операции сложения образуют аддитивную абелеву группу — группу цепей L. Введение цепей целесообразно, потому что кратные многообра- многообразия (аа) имеют геометрический смысл. К кратным многообразиям при- приводят функциональные зависимости. Например, пройдя окружность в комплексной плоскости z, мы совершим двойной оборот по окружности в плоскости z2. В топологии с функциональными зависимостями тако- такого типа мы встречаемся при непрерывных отображениях разных мно- многообразий друг в друга1. Известно, например, что проективная плос- плоскость гомеоморфна полусфере, причем бесконечно удаленной прямой xHanoMHHM, что с логической точки зрения функциональная зависимость есть
24 Глава 2 отвечает граничная окружность (экватор) с отождествленными диаме- диаметрально противоположными точками. Таким образом, каждой беско- бесконечно удаленной («несобственной») точке отвечают две диаметрально противоположные точки экватора, а каждым двум таким точкам эква- экватора — одна несобственная точка. Поэтому полный оборот по экватору дает двойной оборот по бесконечно удаленной прямой (напомним, что на проективной плоскости каждая прямая — замкнутая линия). Этот пример показывает, что кратное многообразие может быть отображено в обычное. Один из общих способов отыскания «обычного» многообра- многообразия, гомеоморфного кратному многообразию аа, сводится в принципе к следующему: введем некоторую непрерывную — а-значную функцию точки на многообразии а; тогда многообразие, на котором эта функция однозначна, будет гомеоморфно аа. Здесь явно просматривается связь с римановыми поверхностями аналитических функций. Перейдем к построению оператора границы. Оператор грани- границы Д — это линейный оператор, который действует из группы цепей Ld размерности d в группу цепей Ld~x размерности d — 1 &:La-±La-1. B.1.4) В силу линейности его достаточно определить на клетках. Границей d-мерной клетки а называется образ сферы Sd~1 при отображении tpa (см. п. 2 определения комплекса). Оператор Д ставит в соответствие клетке а совокупность клеток размерности d— 1, принадлежащих грани- границе а. Уточним это соответствие. Ориентируем некоторым образом сфе- сферу Sd~1. При отображении <ра сфера Sd~1 переходит в границу клетки а. При этом клетка Ь, принадлежащая границе, может иметь несколько 2 прообразов на сфере Sd~x . Тогда матричный элемент Д? оператора Д есть целое число, равное числу прообразов клетки b в Sd~1 с учетом их ориентации. Число Д? называется коэффициентом инцидентности3. частный случай отбражения: точки многообразия, на котором задана функция, ото- отображаются в точки комплексной плоскости. В общем случае мы можем говорить о функциях со значениями не из комплексной плоскости, а из других многообразий («значением» функции будет тогда точка этого другого многообразия). 2Отображение (ра не является гомеоморфизмом, а только непрерывно! 3В дальнейшем мы определим понятие степени отображения (см. 3.4), которое совпадает с коэффициентом инцидентности.
Теория гомологии 25 Если Ъ не принадлежит границе а, то будем считать, что Д? = 0. Таким образом Да = 5>ьа6. B.1.5) Эта формула позволяет определить оператор Д для цепи любой размер- размерности. Из определения оператора Д следует его фундаментальное свойст- свойство: Д2 = 0. B.1.6) Его достаточно проверить для одной клетки, т. е. что выполняется равенство (см. B.1.5)): ьДс = 0. B.1.7) Для доказательства заметим, что данная клетка с размерности d — 2 в границу различных клеток Ь, составляющих границу клетки а, вхо- входит с противоположными ориентациями. Интуитивно ясно, что грани- граница клетки сама по себе не имеет границы. В этом заключается смысл равенства B.1.7). Теперь можно определить клеточный комплекс мно- многообразия М. Клеточным комплексом называется совокупность групп цепей Ld = 0, ... , п (п = dim М) и оператора границы Д: ?« Al"-1 A... Al°, BЛ-8) при этом существенно выполнение свойства Д2 = 0. Цепи, границы которых равны нулю, называются циклами. Поясним, каким образом алгебраическая граница дает возмож- возможность выявлять топологические свойства многообразия. Схемы отож- отождествления сторон прямоугольников на рис. 8 и 10 отвечают однокле- одноклеточным разбиениям проективной плоскости и тора (рис. 11 и 14). От- Отличие тора от проективной плоскости в схеме отождествления прояв- проявляется в том, что алгебраическая граница двумерной клетки на рис. 11 равна нулю, тогда как алгебраическая граница двумерной клетки на
26 Глава 2 Рис. 11. Каноническое разбиение тора. рис. 14 равна окружности или, другими словами, удвоенной бесконеч- бесконечно удаленной прямой. Рассмотрим теперь разбиение некоторых многообразий, цепи, от- отвечающие этим разбиениям, и границы цепей. 1. Двумерная сфера (S2). Простейшее разбиение — отметить одну точку. Полученное разбиение содержит одну нульмерную и од- одну двумерную клетки, причем последняя гомеоморфна внутренности круга бесконечного радиуса. В соответствии с этим нульмерные (/о), одномерные Aх) и двумерные (/2) цепи имеют вид: Все цепи являются циклами, т. е. Д/0E2) = 0, Д/!( h{S2)=lg. A12(S2) = B,1.9) B.1.10) Первые два равенства очевидны. Третье же равенство имеет место, потому что отличной от нуля границей двумерной клетки может быть только одномерная; в данном случае одномерных клеток вообще нет. 2. Двумерный тор (Pi). Каноническое разбиение тора состоит из параллели и меридиана (рис. 11а). Нульмерной клеткой является их пе- пересечение. Это разбиение «разрезает» тор в прямоугольник (рис.116) — единственную двумерную клетку. В соответствии со сказанным груп- группы цепей имеют вид: B.1.11) B.1.12) lo(Pi) =aa; h(Pi) = ^h + fob2, h{Pl)=lg. Рассмотрим границы цепей. Легко установить, что А10(Р1) = 0; А11(Р1) = 0; A/2(Pi) = 0.
Теория гомологии 27 Первые два равенства очевидны (границы точки — нуль, одномерные клетки — замкнутые линии). Последнее же из равенств B.1.12) следу- следует из того, что при любой ориентации контура клетки g противолежа- противолежащие стороны прямоугольника на рис. 116 могут входить в Д^ только с разными знаками (относительные ориентации противолежащих сторон определяются схемой отождествления точек на рис. 10). Поэтому А12(Рг) = jAg = j(b2 -bx-b2 + Ьг) = 0. B.1.13) Таким образом, все цепи канонического разбиения тора являются цик- циклами. 3. Двумерный n-крендель (Рп). Рассмотрим вначале случай п = 2. Такой крендель может быть получен склеиванием двух торов с отверстиями О и О' («ручек») по периметру этих отверстий (рис. 12а). О rxxX О О О' Рис. 12. Крендель Pi. Ha рис. 126 приведена гомеоморфная кренделю Р2 плоская фигура (пунктирные линии указывают схему идентификации точек противо- противолежащих сторон). На рис. 13а воспроизведено каноническое разбиение кренделя, аналогичное каноническому разбиению тора (одна нульмер- нульмерная клетка и одна двумерная). Число одномерных клеток в этом случае равно четырем. Это же разбиение с ориентацией клеток показано на рис. 136. В соответствии с изложенным, имеем следующие группы цепей: 4 lo(P2)=aa; h(P2) = Y,PA; h{P2)=lg. B.1.14) i Так же, как и в случае тора Pi, легко устанавливается, что все цепи являются циклами: Дго(Р2) = А11(Р2) = А12(Р2) = 0. B.1.15)
28 Глава 2 Рис. 13. Разбиение 2-кренделя Рг- Аналогичным образом получается и разбиение n-кренделя (Рп), содер- содержащее одну нульмерную клетку, одну двумерную и 2п одномерных: 2п 10(Рп) = аа; к(Рп) = B.1.16) При этом все цепи опять являются циклами: B.1.17) 4. Проективная плоскость (iVi). Рассмотрим два разбиения. а) Простейшее разбиение опирается на гомеоморфизм проектив- проективной плоскости кругу, у которого диаметрально противоположные точки граничной окружности отождествлены (рис. 8). Разбиение с наимень- наименьшим числом клеток показано на рис. 14. Оно состоит из одной вершины (нульмерной клетки), одной замкнутой линии — бесконечно удаленной прямой и одной двумерной клетки.
Теория гомологии Соответственно все три группы цепей имеет вид: lo(N1)=aa; 1№) =/ЗЬ; Ь(М) = l 29 B.1.18) Рис. 14. Разбиение проектив- ной плоскости (Ni) (однокле- точное). Рис. 15. Разбиение (Ni) (две двумер- двумерные клетки). Нульмерная и одномерная цепи являются, очевидно, циклами. Гра- Граница же двумерной цепи не равна нулю: Д/2(ЛГа) = jAg = 72Ь = 2yb. B.1.19) Подчеркнем, что граница Ag двумерной клетки g равна 2Ь, а не Ь, так как при обходе контура в направлении тонкой стрелки замкнутая ли- линия b (бесконечно удаленная прямая) проходит дважды. б) Исходя из гомеоморфизма проективной плоскости сфере с вкле- еным листом Мёбиуса, можно указать другое разбиение проективной плоскости. Оно показано на рис. 15. Разбиение содержит две нульмер- нульмерные (ai, а2), три одномерные (Ъ\, Ь2, Ь3) и две двумерные (gi, g2) клет- клетки. Одна из них (gi) есть одноклеточное разбиение листа Мёбиуса, дру- другая (g2) — то, что остается после «вырезания» листа Мёбиуса, т. е. го- меоморфная кругу (сфера с дыркой). Группы цепей имеют вид: a2a2; B.1.20) 1 Jigi
30 Далее для границ имеем: Глава 2 ( = 7iBb2 - b3) - B.1.21) Таким образом, в данном разбиении циклом является только нуль- нульмерная цепь. Одномерная группа цепей /i имеет подгруппу циклов, вы- выделяемую условием /?i = 0. Рис. 16. Разбиение бутылки Клейна (Л?г). 5. Бутылка Клейна (N2)- Эта поверхность, как упоминалось вы- выше, гомеоморфна сфере с двумя вклееными листами Мёбиуса. Соответ- Соответственно этому разбиение N2 имеет вид, показанный на рис. 16. Оно разбивает 7V2 на три двумерные клетки: на две клетки, получающи- получающиеся из двух листов Мёбиуса, и на одну сферу с дыркой. Кроме того, имеется три нульмерных и шесть одномерных клеток. Группы цепей определяются поэтому формулами: lo(N2) = B.1.22)
Теория гомологии 31 Нульмерные цепи являются циклами. Кривые Ь2, Ьз, b$, b^ — также циклы, и потому граница одномерной цепи Д&4 = o-i — а2, Так как то Ah(N2) = —(/3i + Ai)a2 + /?4°i +A03. B.1.23) Таким образом, цепи /?i = (З4 = 0 являются циклами. Далее имеем A12{N2) = 271 &5 - G1 + 7з)&б + 272&2 - G2 + 7з)&з- B.1.24) Возможно также разбиение, аналогичное п. 4а. Оно показано на рис. 17. Для этого разбиения имеют место группы цепей: ; h(N2) = ? #Ь<; 12(N2) =-yg. B.1.25) 1 Соответственно для границ можно написать = 0; A/iGV2) = Д(О1 - о3); A12(N2) = 27F1 + Ы- B.1.26) Поверхность сферы Рис. 17. Разбиение (JV2) с одной двумерной клеткой.
32 Глава 2 2.2. Группы циклов и группы гомологии (группы Бетти) Ясно, что совокупность цепей-циклов сама является группой, т. е. образует подгруппу группы цепей. Она называется группой циклов и в дальнейшем обозначается символом Сг(М), где М — обозначение многообразия, r-размерность циклов. В этой группе имеется подгруп- подгруппа циклов -В<(М) являющихся границами (г + 1)-мерных клеток. Цикл, являющийся границей, называется гомологичным нулю. Это записыва- записывается так СТ ~0. Легко почувствовать, что выделение гомологичных нулю циклов из всех прочих разумно, поскольку топологически неэквивалентные поверхности отличаются как раз количеством негомологичных нулю циклов. Например, на сфере всякий одномерный цикл ограничивает, т. е. гомологичен нулю, а на торе имеются два типа неограничивающих (негомологичных нулю) циклов — мередиан и параллель (см. рис. 1). Зато любые три цикла, как бы они ни были выбраны, обязательно огра- ограничивают. Аналогичным образом на 2 кренделе имеются четыре-типа циклов неограничивающих, но любые пять — ограничивают. Соответ- Соответственно, на n-кренделе имеются 2п типов неограничивающих циклов, но любые 2п + 1 — ограничивают. Говорят, что «порядок связности» h п-кренделя (Рп) равен 2п + 1: h(Pn)=2n + l. B.2.1) Таким образом, порядок связности любой замкнутой ориентируемой поверхности нечетен. В отличие от этого порядок связности замкнутых неориенти- руемых поверхностей может быть как четным, так и нечетным. На проективной плоскости (Ni) имеется один тип неограничива- неограничивающих циклов, т. е. тех, которые начинаются и оканчиваются в бесконечно-удаленных точках или на окружности с отождествленны- отождествленными диаметрально-противоположными точками (рис. 14, 15). Вместе с тем любые два цикла ограничивают. Поэтому порядок связности N% равен 2. Поскольку любая неориентируемая поверхность (Nn) гомео-
Теория гомологии 33 морфно сфере с п дырками, заклеенными листами Мёбиуса, имеем h(Nn) = п + 1. B.2.2) Порядок связности— исторически первый количественный тополо- топологический ивариант поверхности был введен впервые Риманом. Порядок связности Римана h однозначно выражается через эйлерову характе- характеристику многообразия х- Поскольку имеет место соотношение X = 3 - h. B.2.3) Напомним, что эйлерова характеристика х определяется чис- числом Ко нульмерных («вершин»), К\ одномерных («ребер») и Къ двумер- двумерных («граней») клеток какого-либо разбиения многообразия по формуле Х = К0-К1+К2. B.2 А) Эйлерова характеристика не зависит от разбиения и является топо- топологическим инвариантом; это ясно из формулы B.2.3), но, кроме того, может быть установлено и непосредственно на основе чисто геомет- геометрических соображений. Исходя из рассмотренных в разделе 2.1 раз- разбиений, получаем, в частности, что для поверхностей, гомеоморфных сфере, x{S2) = 2, для тора x(Pi) = 0, а для кренделей более высокого порядка х(Рп) < 0. Аналогично для проективной плоскости x(Ni) = 1, для бутылки Клейна х(-^г) = 0, а для остальных замкнутых неориенти- руемых поверхностей x(Nn) < 0. Отметим, что для n-мерных многооб- многообразий эйлерова характеристика дается выражением (Пуанкаре, 1895): п X = ?(-1)г#г. B.2.5) г=1 Здесь КТ — число r-мерных клеток. Для поверхностей, гомеморфных сфере Sn, имеет место равенство: X(Sn) = 1 + (-1)". Отсюда, в частности, при п = 2 получается x{S2) = 2. Из сказанного видно, что рассмотрение негомологичных нулю цик- циклов приводит к такому топологическому инварианту, как эйлерова
34 Глава 2 характеристика, или к равноценной величине — порядку связности. Вместе с тем легко усмотреть, что только одной велечины х (или К) недостаточно для описания топологического многообразия, поскольку негомеоморфные друг другу многообразия могут иметь одинаковые х, например, тор и бутылка Клейна. Стремление получить более полный набор количественных характеристик топологических свойств много- многообразий приводит к необходимости рассмотреть структуру групп цик- циклов СГ(М).4 Очевидный способ изучения структуры группы состоит в разложе- разложении ее в прямую сумму некоторых подмножеств — смежных классов по одной из подгрупп. В случае некоммутативных групп предпочтитель- предпочтительно разложение по смежным классам нормального делителя. В абелевой (аддитивной) группе, каковой является всякая группа цепей, любая подгруппа является нормальным делителем, в частности, и подгруп- подгруппа гомологичных нулю циклов Вг группы циклов Сг. Если Ст ? С2 и Вг 6 Вг С Ст — любые элементы соответственно Сг и Вг, то смеж- смежный класс СР+Вг = {сР+Ъг} B.2.6) есть по определению совокупность всех элементов, указанных в фигур- фигурных скобках (Сг — фиксировано, br — пробегает всю подгруппу Вт). 4Это нужно прежде всего для того, чтобы выделять классы негомологичных нулю циклов с помощью некоторого алгоритма, а не указанием их словесной характерис- характеристики, например, «меридиан», «параллель» и т. п., что не всегда возможно сделать вполне определенным образом (зависит от реализации поверхности), и уж во вся- всяком случае неудобно для приложений к функциональному анализу. Мы могли бы относить циклы к одному классу, если они переводятся друг в друга непрерыв- непрерывным преобразованием на данной поверхности (если они, как говорят, гомотопны друг другу). Но, приняв классификацию по этому признаку, мы замечаем, что и гомологичные нулю циклы не все гомотопны друг другу; одни, например, могут быть стянуты в точку (гомотопны нулю), другие, например, цикл, охватывающий «перешеек» между двумя дырами кренделя, нет. Но тогда гомологичность или него- мологичность цикла нулю отходит на второй план, а на первый выдвигается вообще перечисление негомотопных классов циклов. Такой подход составляет содержание теории гомотопий. Теория гомотопий и теория гомологии — два возможных спо- способа алгебраического выявления топологических свойств, каждый из которых, по- видимому, является полным сам по себе, по крайней мере в отношении ряда мно- многообразий. В тех или иных прикладных задачах эти два подхода могут оказаться удобными в разной мере аналогично тому, например, как в теории представлений можно использовать инфинитезимальный подход или интегральные методы.
Теория гомологии 35 Два смежных класса С^ + Вг и С^ + Вт совпадают тогда и только тогда, когда C-W _ сШ е вг. B.2.7) Два различных смежных класса не имеют общих элементов. Поэтому Сг может быть разложена в прямую сумму смежных классов Су + Вт. Совокупность смежных классов образует группу. Именно суммой двух смежных классов Су + Вг и СУ' + Вт является множество всех эле- элементов: {С^ +Ь2+ С& + Ь'г} = С<«"> +Br + C\j) + В2, которое само является смежным классом: Эта группа смежных классов называется фактор-группой Нг груп- группы Сг по подгруппе Вг и обозначается так: яг = сг/вг. Фактор-группа Нг группы циклов СГ по подгруппе ВТ циклов, гомо- гомологичных нулю, называется группой гомологии или группой Бетти. Эле- Элементы же группы гомологии, т. е. смежные классы, называются класса- классами гомологии. Важным свойством НТ является то, что она гомоморф- гомоморфна Сг. Соответствие устанавливается по правилу: С& -^ С^ + Вг, которое, очевидно, сохраняет групповую операцию. В силу гомоморфиз- гомоморфизма, структура группы Нг сходна со структурой Сг. Вместе с тем НГ несколько «проще», если Вг нетривиальна, т. е. не состоит из одного только элемента — нуля; в этом случае Нг = Сг, а информация, содер- содержащаяся в структуре Нг, содержательна, если только Вг ф Сг, так как в этом случае Нг состоит из одного единственного элемента — нуля Нг. Рассмотрим группы гомологии разбиений многообразий, упомяну- упомянутых в разд. 2.1. 1. Сфера S2. Для нульмерных цепей Lo{S2) = Co(S2), так как вся- всякая нульмерная клетка (точка) а является циклом (Да = 0). Нульмер- Нульмерных циклов, гомологичных нулю, нет, кроме а = 0, поскольку вообще
36 Глава 2 нет одномерных циклов, кроме h = 0, границами которых в принципе могли бы быть нульмерные циклы. Таким образом, Bo(S2) состоит из одного элемента bo = 0, и потому Я0E2) = C0(S2)/B0(S2) = C0(S2) = L0(S2). Заметим, что группа Lo(S2) и, следовательно, Ho(S2) изоморфна адди- аддитивной группе целых чисел (последнюю принято обозначать буквой Z). Итак, tfo(S2)=*Z. B.2.8) Группа одномерных циклов CiE2), как это следует из выраже- выражений B.1.9), состоит из одного элемента — нуля. Поэтому #! (S2) = d (S2)/Bt (S2) = 0. B.2.9) Наконец, группа двумерных циклов C2(S2) = LZ(S2) = Z, причем цик- циклов, гомологичных нулю, кроме нулевого (Сд = 0), нет, так как ни одна отличная от нуля двумерная клетка не ограничивает трехмерной клетки, поскольку отличных от нуля трехмерных клеток нет. Что же касается цикла С2 = 0, то формально он является границей цепи /з — 0. Таким образом, B2(S2) = 0, H2(S2) = C2(S2)/B2{S2) ? Z. B.2.10) 2. Двумерный тор Pi. Исходя из разбиения B.1.11) и равенст- равенства B.1.12), заключаем следующее: Нульмерных циклов, гомологичных нулю, кроме Со = 0, нет, так как мередиан Ъх и параллель Ь2 замкнуты и потому отличные от нуля нульмерные циклы не ограничивают одномерных циклов. Что же ка- касается Со = 0, то он является формально границей одномерной цепи с Pi — /32 = 0. Таким образом, B0(Pi) = 0 = C0{Pi)/B0{Pi) = C0{Pi) = Z. B.2.11)
Теория гомологии 37 В группе С\(Р{) циклов, гомологичных нулю, кроме С\ = 0, нет, так как все hiPi) — циклы. Что же касается С\ = 0, то он является фор- формально границей цепи /2 = 0 с 7 = 0. Таким образом Bi(Pi) = 0 и = С1(Р1)/В1(Р1) = C^Pi) = Z. B.2.12) Указанный в выражении B.2.12) изоморфизм означает, что Ci(Pi) = Li(Pi) есть прямая сумма двух подгрупп {3ib\ и /Зг^г, каж- каждая из которых изоморфна аддитивной группе целых чисел Z.5 Нако- Наконец, для H2(Pi) в полной аналогии (по тем же причинам) с равенст- равенством B.2.10) имеем #2(Pi)=Z, B.2.13) причем, как и выше, B2(Pi) = 0, a C2(Pi) = ?2(^1) — Z. 3. Двумерный n-крендель (Рп)- Рассуждая совершенно так же как в предыдущем случае и, исходя из уравнений B.1.16) и B.1.17), получаем Н0(Рп) <* Z; B.2.14) Я!(Pi) gZQZ®...OZ; B.2.15) 2n Н2{Рп)^Ъ. B.2.16) 4. Проективная плоскость (JVi). По соображениям, в точнос- точности совпадающим с предыдущими случаями, для нульмерной группы гомологии Ho(Ni) разбиения (а) имеем ЯоМ) = Lo(JVi) = Z. B.2.17) В разбиении а группа одномерных циклов Ci(JVi) = Li(JVi), причем Li(Ni) = Z. Подгруппа циклов, гомологичных нулю B\(Ni), состоит из 5Термин «прямая сумма групп» по содержанию идентичен «прямому произве- произведению групп» с мультипликативной операцией. Напомним, что группа G является прямым произведением своих подгрупп G\...Gn, если: а) все элементы Gj перестановочны с Gj, б) любой g ? G однозначно представим в виде: 5 — Si 'Si ¦ ¦¦¦ • gn- Для абелевых групп пункт а) всегда выполняется.
38 Глава 2 одномерных цепей, в которых коэффициенты C = 2-у — четные числа (см. формулу B.1.19)). Смежные классы по подгруппе Bi(Ni) имеют вид: Cib + B1(N1) = {(Зф + 2jb} = {B7 + /3i)b}. Если C{ = 2fi, где 7i — целое число, то Если Ci = 2ji + l, то соответствующий смежный класс не совпадает с Bi(Ni). Однако любые два смежные класса Pib+Bi(Ni) и pfb+Bi(Ni), где Pi, Pj — нечетные числа, совпадают даже, если /3,- ф Pj, поскольку РФ - Pjb = (р{ - Pj)b = 2{Ъ - Ъ)Ъ 6 Вг(^). Таким образом, имеются всего два разных смежных класса: Ы = b + B1(N1) Отсюда следует, что одномерная группа Бетти проективной плос- плоскости Hi(Ni) состоит из двух элементов huh'; при этом h + h = h; h + h' = h'; h' + h' = h. Очевидно, что Hi(N\) изоморфна аддитивной группе целых чисел О и 1 с операцией сложения по mod 2 0 + 0 = 0; 0 + 1=0; 1 + 1 = 0; (изоморфизм: 0 <—> h, 1 <—> h'). Эта группа обозначается через Z2- За- Заметим, что Z2 изоморфна фактор-группе группы Z по подгруппе четных чисел Z2=Z/2Z. Итак H1(NX)^%2- B.2.18) Группа двумерных циклов C2{N\) в случае разбиения а) состоит из одного элемента — нуля, который, конечно, гомологичен нулю, так как
Теория гомологии 39 формально является границей трехмерной цепи Z3 = 0. Следовательно, мы имеем Я2(ЛГ1)=0. B.2.19) Рассмотрим теперь группы гомологии проективной плоскости TVi для разбиения б). Группа нульмерных циклов C0(Ni) для этого разбие- разбиения, как и для любого другого, совпадает со всей группой нульмерных цепей L0(Ni). Подгруппу же нульмерных циклов, гомологичных ну- нулю, Bo(Ni) согласно равенствам B.1.21) образуют циклы саг = —cti. Перепишем Co(Ni) — Lo(Ni) в другой форме, изменив базис: Co(Ni) = {aiai + а2а2} = {a+ai + а_(а2 - ах)}, где а+ = а\ + а2; а_ = а2. Эта запись показывает, что все смежные классы групп нульмерных циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю Bo(Ni)={a_(a2—ai)} имеют вид: а + сц +B0(JVi). При этом два смежных класса с различными а+ всегда различны, так как если а+ - а'+ ф 0, то (а+ - а'+)аг ф а_(а2 - аг) $ Во(^). Из сказанного следует, что для рассматриваемого разбиения проектив- проективной плоскости, так же как и для разбиения а Н0(Щ = Ъ. Группа одномерных циклов Ci(JVi) в соответствии с B.1.21) имеет вид: Ci(JVi) = fah + C3Ъ3. Подгруппа же циклов, гомологичных нулю, Bi(Ni) в данном случае получается из Ci(iVi) при условии, что коэффициент fo = 27,
40 Глава 2 т. е. является четным числом: Элементы смежного класса по этой подгруппе имеют вид: Два смежных класса, соответствующие коэффициентам C2, Рз и /?'2, /?'з' совпадают, если C2 - C'2 = 27', т. е. является четным числом. Из этого следует, что имеется только два различных класса, а именно сама подгруппа Bi(Ni) и смежный класс Ъ2 + foh + BxiNx) = {B7 + 1)Ь2 + (А, Снова, как и в разбиении а), получаем Наконец, группа двумерных циклов C2(Ni), согласно выражению B.1.21), состоит из одного элемента 7i = 72 — 0, т. е. из нулевого цикла, который вместе с тем гомологичен нулю (ограничивает нуле- нулевую трехмерную цепь). Отсюда следует, что и для данного разбиения проективной плоскости Я2(^)=0; Совпадение (изоморфизм) групп Бетти для двух различных разбиений проективной плоскости JVi, разумеется, неслучайно. Имеет место об- общая теорема, доказывать которую мы здесь не будем, что группы гомо- гомологии различных разбиений одного и того же многообразия изоморфны. Поскольку же каждое данное разбиение является очевидным топологи- топологическим инвариантом (группы цепей не меняются при топологических преобразованиях), то указанная теорема означает, что группы гомологии являются топологическими инвариантами, т. е., что группы гомологии гомеоморфных многообразий изоморфны. 5. Бутылка Клейна (N2). Для вычисления групп гомологии этого многообразия мы используем разбиение на рис. 17 (формулы B.1.25), B.1.26), как наиболее простое из двух рассмотренных. Мы имеем H0(N2) =* Z. B.2.20)
Теория гомологии 41 Этот результат на основе формул B.1.22) и B.1.23) устанавлива- устанавливается совершенно так же, как в случае разбиения б) проективной плос- плоскости. Группа Cx(N2) одномерных циклов имеет вид: Ci(N2) = {fch + fob}, а подгруппа циклов, гомологичных нулю, определяется равенством: Переписав C\(N2) в форме: где мы приходим к следующим заключениям. Общий вид смежного класса по подгруппе B\(N2) дается выражением: Смежные классы с различными /3_ различны. Если же коэффициен- коэффициенты /?_ одинаковы, то смежные классы различны, когда разность: т. е. является нечетным числом. Фактор-группа Hi(N2) разбивается, следовательно, на две подгруппы: подгруппу Bi(N2),(b1 + b2) + B1(N2) и подгруппу /M&l-&2)+Bl(W2). Первая из этих подгрупп изоморфна Z2, вторая — Z. В результате име- имеем 2. B.2.21)
42 Глава 2 Что касается H2(N2), то совершенно так же, как и в случае проективной плоскости, находим Я2(ЛГ2)^0. B.2.22) Читателю предоставляется получить формулы B.2.20) — B.2.22), ис- исходя из разбиения рис. 16 (формулы B.1.22) — B.1.24)). Полученные результаты позволяют почувствовать полезность ап- аппарата групп Бетти. В самом деле, сравним тор и бутылку Клейна. Выше отмечалось, что хотя эти две поверхности не гомеоморфны, их эйлеровы характеристики равны x(Pi) = X(N2) = 0; Для того, чтобы их различить, кроме задания эйлеровых характерис- характеристик, надо еще словесно указать, что тор — ориентируемая поверхность, а бутылка Клейна неориентируема. Теперь же различие этих двух по- поверхностей сформулировано алгебраически. Именно, это различие про- проявилось в неизоморфности гомологических групп: HtiPi) ? Hx(N2), Н2{РХ) ? H2(N2). B.2.23) Неизоморфность гомологических групп может быть выражена с помо- помощью чисел. Такими топологическими «квантовыми числами» являются числа Бетти. Они будут рассмотрены в следующем разделе. В заключение этого параграфа отметим, что во всех рассмотрен- рассмотренных примерах Я~ 'Tf 0 = &J. Это обстоятельство неслучайно и обусловлено тем, что рассматрива- рассматривались только связные поверхности. Если же многообразие несвязно и состоит из к связных компонентов, то для нульмерных гомологичес- гомологических групп До имеет место изоморфизм: Но = Z ф ... © Z. B.2.24) Таким образом, нульмерные гомологии не очень интересны — груп- группа No фактически содержит лишь информацию о связности многообра- многообразия в указанном выше смысле.
Теория гомологии 43 Подчеркнем еще один общий результат, полученный в предыду- предыдущем рассмотрении. Мы имели возможность убедиться (см. форму- формулы B.2.14)-B.2.16)), что все двусторонние замкнутые поверхности Рп имеют группы гомологии, не содержащие (в прямой сумме) конечных (циклических) подгрупп типа Z2, которые содержатся в гомологичес- гомологических группах неориентируемых поверхностей Нп. Насколько нетриви- нетривиально появление циклических подгрупп Z2 в гомологиях видно из того, что наличие таких циклических подгрупп в гомологиях было перво- первоначально «просмотрено» Пуанкаре в его первой топологической работе Analysis situs A895), совершенно изумительной по богатству идей. 2.3. Числа Бетти и характеристики кручений. Как следует из предыдущего, группы гомологии являются абелевы- ми группами с конечным числом образующих или, как говорят иногда, конечно-порожденными группами6. Во всех рассмотренных примерах, группы Нт имели вид: #2^Z©...©Z + Gm2, B.3.1) где Gm2 — конечная группа порядка т2 (в наших примерах Gm2 = Z2). Этот результат в действительности является частным случаем общей алгебраической теоремы: конечно-порожденная группа разлагается в прямую сумму свободных циклических групп и группы Gm2 конечного по- порядка ТП2- В свою очередь, любая конечная абелева группа Gm2 (такие группы называют также периодическими) разлагается в прямую сум- сумму циклических групп, причем здесь имеет место аналог теоремы Фу- Фурье для периодической функции: порядки всех циклических слагаемых в указанной прямой сумме кратны порядку Д > 1 одного из слагаемых. Более того, порядок Д каждого fc-ro слагаемого является делителем по- порядка Д+1 (&+1)-слагаемого (нумерация выбрана так, что Д< > Д, если к' > к). Таким образом 8Напомним, что абелевой группой с конечным числом образующих называется такая группа, что любой ее элемент может быть представлен в виде линейной комби- комбинации некоторого конечного числа одних и тех же элементов группы; эти элементы называются образующими группы, а их совокупность — базисом.
44 Глава 2 B.3.2) причем fl делится на /?+1. Число свободных циклических слагаемых pr в выражении B.3.1) называется рангом группы Нг или числом Бетти размерности г многообразия. Числа же Л(Г),---,ЛМ B.3.3) в выражении B.3.2) называются коэффициентами кручения группы НГ или коэффициентами кручения размерности г многообразия7. Если порядок / циклической группы Z/ разлагается на простые множители f = qi -92 ¦•¦¦qi, то, очевидно, Z/^Zgi©...©Zg,. B.3.4) Из выражений B.3.2) и B.3.4) следует, что периодическая абелева груп- группа может быть разложена в прямую сумму циклических подгрупп, по- порядки которых являются простыми числами. Поэтому Gmr может быть охарактеризована указанием порядков B.3.5) своих примерных составляющих (заметим, что среди чисел qp могут быть одинаковые)8. Числа B.3.5) называют иногда конечными инва- инвариантами Нг или числами примерных кручений. Изложенным выше исчерпываются все «квантовые числа» гомологических групп. В табл. 1 приведены числа Бетти. 7Отметим следующее свойство f{: это число является наименьшей из «коорди- «координат» элементов Gmr. в разложении Gmr по образующей. Циклическая группа, порядок которой есть степень простого числа, называется примерной.
Теория гомологии Таблица 1. Числа Бетти и коэффициенты кручения замкнутых двумерных поверхностей 45 Многообразие S2 Рп Nn Числа Бетти 1 1 1 Pi 0 2п п-\ рГ 1 1 0 Коэффициенты кручений г = 0 0 0 0 г = 1 0 0 2 г = 2 0 0 0 и коэффициенты кручения. Как видно из таблицы, для ориентируемых многообразий справедливо соотношение Рп-г = Рг, B.3.6) называемое «теоремой двойственности Пуанкаре». Эта теорема спра- справедлива и для ориентируемых многообразий высших размерностей больше 2.9 Для двумерных ориентируемых многообразий в силу теоре- теоремы о двойственности нетривиальным оказывается только одномерное число Бетти pi, имеющее, очевидно, простой геометрический смысл: оно равно максимальному числу неограниченных циклов. Положение меняется, когда мы переходим к неориентируемым поверхностям. На- Например, для проективной плоскости цикл, начинающийся и кончаю- кончающийся в бесконечно-удаленной точке, не ограничивает, тем не ме- менее pi(Ni) = 0. Теорема двойственности может быть обобщена на не- ориентируемые многообразия, если рассматривать гомологии по мо- модулю 2 или вообще по модулю отличного от 1 числа. Этому вопросу посвящен раздел 2.4. Укажем связь эйлеровой характеристики \ с числами Бетти. Имеет место следующее соотношение, справедливое для многообразий любой размерности п: 9В оригинале Analysis situs Пуанкаре формулировал теорему двойственности так: «числа Бетти, равноотстоящие от концов, равны».
46 Глава 2 X = X)(-l)'pr. B.3.7) r=l Это соотношение также было впервые получено Пуанкаре в Analysis situs. Для ориентируемых многообразий размерности п, если п четно, но п/2 нечетно, «срединное» число Бетти рп/2 четно. Проявлением этого правила в случае п = 2 есть равенство рх{Рп) = 2п. Остановимся теперь вкратце на вычислениях чисел Бетти многооб- многообразий более высокой размерности (п+1). В ряде случаев удобный пря- прямой путь состоит в погружении замкнутого n-мерного многообразия в евклидово пространство большей размерности (п + 1). Далее, выбрав удобную форму многообразия,например, в виде многогранника — тет- тетраэдра, куба и т. п., следует задать координаты вершин и с их помощью перечислить ребра, грани и другие клетки всех размерностей. Следу- Следующий этап состоит в идентификации элементов многогранника, пре- превращающей его в исследуемое многообразие. В зависимости от относи- относительной ориентации идентифицируемых клеток (вершин, ребер, граней " и т. д.) мы получим ориентируемое или неориентируемое многообразие. Если после идентификации не остается «свободных» вершин, граней и др. клеток с размерностью, меньшей п, то образованное многообразие будет n-мерной замкнутой поверхностью. Указанное построение содер- содержит в себе и определение клеточного разбиения, позволяющее выписать цепи и применить стандартную процедуру вычисления групп гомоло- гомологии и соответствующих чисел Бетти. Поскольку при отсутствии на- наглядной картины возможны ошибки в идентификации элементов вспо- вспомогательного многогранника, надо следить за тем, чтобы возникшие после идентификации клетки, проходящие через одну вершину, образо- образовывали «звезду», т. е. захватывали полный телесный угол (п — 1)-мерной сферы с центром в данной вершине. Следить же за этим можно с помо- помощью следующего приема. Если представить себе (п — 1)-мерную сферу с центром в данной вершине, то ребра, грани и др. клетки звезды, продол- продолженные до пересечения с поверхностью сферы, определяют клеточное разбиение этой сферы. Число образовавших клеток должно, согласно формуле B.2.5), давать эйлерову характеристику x(^n~1)i равную 0s
Теория гомологии 47 Часть многообразия размерности п Рис. 18. Звезда и определяемое ею кле- клеточное разбиение сферы с центром в вер- вершине. если п - 1 нечетно, и 2, если п — 1 четно. Сказанное поясняется рис. 18. Очевидно, что число Кт r-мерных граней сферы бу- будет равно числу Кт+\ (г + 1)- мерных граней звезды. Вычис- Вычисление чисел Бетти чаще удобно производить косвенными мето- методами. Эти методы основывают- основываются на связи других характерис- характеристик многообразий, вообще го- говоря, зависящих от конкретной реализации многообразия с ис- искомыми числами Бетти. В ка- качестве примера приведем соот- соотношение между гауссовой кривизной замкнутой двумерной поверхнос- поверхности и ее эйлеровой характеристикой10. Справедлива следующая формула Гаусса-Бонне A848 г.) B.3.8) Здесь К(х) — гауссова кривизна в точке xda — элемент поверх- поверхности, а интегрирование ведется по всей поверхности. Эта форму- формула может быть использована для вычисления эйлеровых характерис- характеристик многообразий, заданных аналитически уравнениями типа A.2.1) или A.2.4). Другие косвенные методы нахождения чисел Бетти состоят в использовании теории сложения (см. ниже 2.5,2.6) и теории расслое- расслоений (расслоенных пространств). Теоремы сложения сводят вычисление групп гомологии для некоторого многообразия к вычислению аналогич- аналогичных групп для более простых частей этого многообразия той же или меньшей размерности. Расслоения, будучи объектами, которые можно назвать обобщенными прямыми произведениями многообразий, дают возможность понижать размерность, т. е. выражать группы гомологии многообразий высших размерностей. 10Напомним, что гауссова кривизна К{х) определяется как предел отношения ори- ориентированных площадей соответственных бесконечно малых участков поверхности единичной сферы нормалей и рассматриваемой поверхности.
48 Глава 2 2.4. Гомологии и числа Бетти по модулю Вместо группы циклов Сг можно рассматривать ее фактор-группу по подгруппе целых чисел, делящихся на некоторое число т . Точнее, так как Сг — свободная группа с некоторым (конечным) числом обра- образующих .®Z, B.4.1) то Сг имеет подгруппу Cr(m)^Z(ffl)®...9Z(m), B.4.2) где Ъ{т) — аддитивная группа целых чисел, делящихся на т, являю- являющаяся подгруппой группы Z. Мы рассматриваем фактор-группу СТ (mod т) = Сг/Сг(т). B.4.3) Легко видеть, что Z/Z(m) изоморфна конечной из элементов О, 1, 2, ... , q, ... , тп-1, в которой групповая операция сложения опре- определена по mod тп. Именно, по определению q + q' = R(q + q'), B.4.4) где R(q + q') — остаток от деления числа q + q' на тп. Ясно, что эта группа является циклической группой m-го порядка и, таким образом, Z/Z(m) =* Zm. B.4.5) Отсюда следует, что Cr (mod m) =Zm©...©Zm, B.4.6) причем число слагаемых в выражении B.4.6) равно числу слагае- слагаемых в выражении B.4.1). Согласно изложенному, Cr (mod тп) по- получается из Ст, если заменить в Сг обычное арифметическое сло- сложение коэффициентов в абстрактной сумме сложением по mod тп. При этом из подгруппы Вг циклов, гомологичных нулю, мы по- получим группу Br (mod тп), которая, очевидно, будет подгруппой
Теория гомологии 49 группы Cr (mod га). Взяв теперь соответствующую фактор-группу С г (mod m)/Br (mod га), мы получим группу гомологии НГ (mod то) по модулю то: Hr (mod m) = Cr (mod m)/Br (mod m). B.4.7) Поскольку Hr (mod га) есть конечная группа, то ее разложение в пря- прямую сумму циклических подгрупп может содержать только цикличес- циклические слагаемые конечного порядка, причем наивысшим возможным по- порядком является число га. В этом смысле особенно проста структура групп гомологии по модулю 2. Ясно, что Hr (mod 2) S Z2 Ф • ¦ ¦ Ф %2 • B.4.8) pr (mod 2) Число слагаемых рт (mod 2) в прямой сумме B.4.8) называется r-мерным числом Бетти по модулю 2. При произвольном модуле т r-мерным числом Бетти по модулю т называется число образую- образующих Ът в разложении НГ (mod то). Очевидно, что группы гомологии по модулю НТ (mod га) в мень- меньшей степени характеризуют многоообразие, чем группы Нг. В самом деле, переход к гомологиям по модулю получается в результате замены группы циклов Сг ее фактор-группой Cr/Cr(m). Последняя же лишь гомоморфна группе Сг, а не изоморфна ей, а потому отражает лишь некоторые особенности структуры Сг, но не все детали этой структу- структуры. То же, естественно, относится и к сравнению интересующих нас в конечном счете групп Hr (mod га) с группами Нт. Это «огрубление» групп гомологии по модулю по сравнению с полными группами гомо- гомологии дает, с другой стороны, ту выгоду, что вычисление Нт (mod га) и, соответственно, pr (mod то) оказывается иногда проще. Вместе с тем, для некоторых проблем, в частности, для задач, решаемых в тео- теории Морса, информации, содержащейся в pr (mod то), оказывается до- достаточно для получения нетривиальных результатов. Смысл «огрубле- «огрубления» Нг при переходе к Hr (mod 2) состоит в том, что эти гомологии «не чувствуют» тех деталей топологической структуры многообразий, которые определяются ориентацией, т. е. связаны с тем фактом, что
50 Глава 2 многообразие разбито не просто на клетки, а на ориентированные клет- клетки. Действительно, циклам +сг и — сг отвечает один и тот же элемент Cr (mod 2) = Cr/CrB), а именно смежный класс ст +СГB), поскольку Сг - (-Сг) = 2сг е СтB) и, следовательно, смежные классы сг + СгB) и —сг 4- СгB) совпадают. Таблица 2 Схема вычисления pr (mod 2) для проективной плоскости г 0 1 2 1 1 (mod 2) аа /ЗЪ lg Д/ 0 0 2jb А (mod 2) 0 0 0 Cr z z z Cr (mod 2) Z2 z2 z2 Br (mod 2) 0 0 0 Иг (mod 2) Z2 z2 z2 Pr (mod 2) 1 1 1 Таблица 3 Числа Бетти (mod 2) для двумерных замкнутых многообразий Многообразие Рп Nn рг (mod 2) r = 0 1 1 r = l 2n n r = 2 1 1 Приведем теперь, в качестве примера, вычисление Hr (mod 2) и рг (mod 2) для проективной плоскости. Для разбиения а) (форму- (формулы B.1.18) — B.1.19) схема вычисления передается табл. 2. В табл. 3 приведены числа Бетти по модулю 2 для всех двумерных замкнутых поверхностей. Как видно из табл. 1 и 3, рг (mod 2) для ориентируемых поверхностей Рп равны обычным числам Бетти, тогда как для неори- ентируемых поверхностей JVn pr (mod 2) ф рг- Мы видим также, что при переходе к гомологиям по модулю 2 соотношение двойственности Пуанкаре имеет место для всех поверхностей, как ориентируемых, так и неориентируемых: рп-г (mod 2) = pr (mod 2). B.4.9)
Теория гомологии 51 Из табл. 3 также видно, что числа pr (mod 2) в отличие от рг не опре- определяют многообразие однозначно: pr (mod 2) одинаковы для Р* и Л^а в частности, для тора и бутылки Клейна. Отметим, что особенность проективной плоскости, состоящая в ра- равенстве 1 для всех чисел Бетти (mod 2), сохраняется и в многомерном случае п > 2. 2.5. Многообразия с «краем». Относительные гомологии В случае многообразий с краем такую же роль, как и циклы, иг- играют незамкнутые подмногообразия, «опирающиеся на край», т. е. под- подмногообразия, границы которых лежат в границе всего многообразия в целом (в «крае»). Действительно, поверхность с краем может быть разделена на части не только замкнутой кривой — циклом, но и вся- всякий кривой, начинающейся и заканчивающейся в точках границы. С другой стороны, как тор от сферы отличается наличием циклов, не де- делящих поверхность на отдельные части (не гомологичные нулю), так и круговое кольцо от круга отличается наличием классов, не делящих по- поверхность незамкнутых линий, опирающихся на границу (внутреннюю и внешнюю окружности). Отсюда ясно, что в случае многообразий с краем теория гомологии должна быть видоизменена таким образом, чтобы кривые (подмногооб- (подмногообразия в общем случае), опирающиеся на край, играли роль, аналогич- аналогичную циклам в теории замкнутых поверхностей (многообразий). Для этого точки упомянутых кривых, лежащие на границе поверхности, должны как бы исключаться, считаться несущественными. Мы не мо- можем себе позволить отождествлять их каким-либо образом, так как это изменило бы топологические свойства поверхности, например, отож- отождествление граничных окружностей кругового кольца превратило бы кольцо в тор или бутылку Клейна в зависимости от схемы отождествле- отождествления. Сделать же указанные точки несущественными можно, объединив их в некоторое множество, которое затем будет рассматриваться, как нулевой элемент некоторой аддитивной группы. Очевидно, что такой группой должна быть фактор-группа цепей по какой-то из ее подгрупп. Сказанное означает, что видоизменение теории гомологии в случае
52 Глава 2 многообразий с краем должно состоять в переходе от группы цепей к ее фактор-группе по подгруппе цепей, лежащих в границе. Подобная фактор-группа есть разновидность группы так называемых относи- относительных цепей. В общем случае, группа относительных цепей опреде- определяется следующим образом. Пусть N С М есть некоторое подмного- подмногообразие многообразия М. Допустим далее, что клеточное разбиение N есть часть клеточного комплекса М, и что поэтому группа цепей L(N) есть подгруппа группы цепей L(M). Тогда фактор-группа L{M, N) = L{M)/L{N) B.5.1) называется группой относительных цепей. При определенном выборе клеточного базиса относительную цепь l(M, N) можно было бы заме- заменить цепью l(M\N), где M\N— разность множеств М и N. Но такое определение было бы неинвариантно относительно выбора базиса. Оно практически совпало бы с выражением B.5.1), если бы базис разбивал- разбивался на две части: клетки, лежащие в М \ N, и клетки, лежащие в N. Однако при переходе к новому базису замена L(M, N) на L(M \ N) уже была бы неоправданна, тогда как ра- равенство B.5.1) имеет смысл всегда и при любом выборе базиса опреде- определяет один и тот же объект. Чтобы осуществить намеченное обобщение понятия цикла, включающее в циклы кривые, опирающиеся на гра- границу, определим границу Alr(M, N) относительной цепи lr(M, N) (в дальнейшем мы обозначим элементы группы цепей малыми буквами, а сами группы — большими). Относительная r-мерная цепь lr(M, N), согласно выражению B.5.1), есть смежный класс: 1Г(М, N) = ЦМ) + Lr(N). B.5.2) Очевидно, что граница Alr(M, N) должна быть относительной г — 1 цепью, т. е. смежным классом по подгруппе Lr_i(iV). Элементом, по- порождающим этот смежный класс, должна быть граница А1Г(М), явля- являющаяся обычной (г - 1)-мерной цепью. Таким образом, мы полагаем Д/Г(М, N) = ЫГ(М) + LP_i(iV). B.5.3)
Теория гомологии 53 Согласно равенству B.5.3), обычный цикл (А1Г(М) = 0) и цепь, опира- опирающаяся на N, (А12{М) ф 0, но А12(М) € Lr_i(iV)) теперь совершенно уравниваются: в обоих случаях Alr(M, N) = Lr-^N) = O(LP_1(M)/Lr_1(JV)), B.5.4) Нетрудно убедиться, что как и обычная граница, относительная грани- граница удовлетворяет требованию, чтобы граница границы равнялась нулю. Действительно, учитывая, что Д(Д?Г) = 0, из выражения B.5.3) имеем Д(Д/,(М, N)) = Д(Д/Г(М)) + Lr_r(JV) = Lr-r(N) = 0. B.5.5) Дальнейшее построение теории относительных гомологии уже совер- совершенно очевидно. Мы говорим, что относительная цепь СТ{М, N) явля- является относительным циклом, если ДСГ(М, N) = 0. B.5.6) Ясно, что относительные циклы образуют группу Cr(M,N)cLT(M,N). В группе Cr(M, N) мы различаем подгруп- подгруппу ВГ(М, N) относительных циклов br(M, N), явля- являющихся относительными границами относительных цепей bT+i{M, N). Наконец, группой r-мерной отно- относительной гомологии мы называем фактор-группу11. Hr(M, N) = СГ{М, N)/Br{M, N). B.5.7) Рассмотрим некоторые примеры вычисления Рис. 19. Прос- группы относительных гомологии для многообразий тейшее клеточ- С краем. ное разбиение 1. Двумерный шар (круг) Щ. Клеточное раз- кРУга- биение показано на рис. 19. Оно содержит нульмерную, одну одномер- одномерную и одну двумерные клетки: lo(R2o)=aa, 11 Для связи с литературой укажем, что НГ(М, N) называют также относитель- относительной гомологией М mod N.
54 Глава 2 Далее имеем А10 = Ah = 0; Д/2 = -yb. B.5.9) В качестве подмногообразия N выбираем границу круга. Тогда aa?L0(N), pb € ln(N), L2(N) = 0 и для групп относительных цепей находим L0(M, N) = 0; B.5.10) Li(M, N) = 0; B.5.11) L2(M, N)=L2(M). B.5.12) Очевидно, что все относительные цепи /0(М, N) и h(M, N) явля- являются относительными циклами. Поэтому L0(M, N) = С0(М, N), Ll(M,N)=C1(M,N). B.5.13) Для А12(М, N) имеем Д/2 (M,N)= Д/2 + Lx (N) =-уЬ + Ьг (N). Так как 7b ? Li(N), то Д/2(М, N) = 0, т. е. L2(M, N) = С2{М, N) B.5.14) Поскольку все относительные цепи являются относительными цикла- циклами, то относительных циклов br(M, N), являющихся относительными границами нет. Таким образом: ВГ(М, N)=0; r =1,2. B.5.15) Из выражений B.5.10)-B.5.15) следует Н0^Н1= 0; Н2 S Ъ. B.5.16)
Теория гомологии 55 Черта означает здесь относительную гомологию. Если ввести соответ- соответствующие числа Бетти рг (ранги групп относительных гомологии Нг), то следовательно мы имеем 2. Трехмерный шар Дд. Простейшее разбиение, очевидно, будет опять одноклеточным, так что /о = аа; h =0; /2 = lg\ h = <rS, B.5.18) причем клетка g есть сфера 52, которую примем за подмногообразие N. Все цепи, за исключением трехмерной, являются обычными циклами и принадлежат L(N). Для трехмерных же цепей имеем Д/з =<rgeL2(N), B.5.19) Поэтому трехмерные цепи, не будучи обычными циклами, являются, тем не менее, относительными циклами. Далее, Ls(N) = 0, так как N — двумерная сфера S2, и в полной аналогии с предыдущим получаем * H2(R*) * 0, B.5.20) po(R3o)=: Рз(Щ) = 1- B.5.21) ъ3, 02 Рис. 20. Клеточное разбиение кругового кольца. 3. Двумерный шаровой слой (круговое кольцо) R\. Простей- Простейшее клеточное разбиение показано на рис. 20.
56 Глава 2 В качестве подмногообразия N выбираем границу кольца bi Ub2. Тогда ясно, что группа нульмерных относительных цепей есть ноль, а группа одномерных относительных цепей Li(M, N) состоит из одно- одночленных цепей /33Ь3 + Li(N), т. е. L1(M,N)=Z. B.5.22) Легко видеть, что Lx(M, N) = d(M, N), т. е. нульмерные и одномерные цепи — циклы. Далее, одночленная дву- двумерная цепь также является относительным циклом, поскольку грани- граница двумерной клетки лежит целиком в N. Следовательно L2(M, N) = С2(М, N) и все цепи опять являются циклами, так что все В2(М, N) ~ 0. Поэто- Поэтому мы получаем: или = 0, Р1(Д?)=р3(Д?) = 1. B.5.24) Мы видим, что pT{R\) ф pr{Rl), т. е. наши группы относительных гомо- гомологии различают негомеоморфные мно- многообразия. 4. Лист Мёбиуса Ml. Клеточное разбиение воспроизведено на рис. 21. В качестве подмногообразия N выби- выбираем геометрическую границу листа Мёбиуса — окружность bi. Тогда це- цепи 12{М) выглядят так: к = Рис. 21. Клеточное разбиение листа Мёбиуса М?. a2a2; h = =^2 /ЗА; B.5.25)
Теория гомологии 57 из границы Относительные цепи: 10(М, N) = а2а2 + L0{N); h{M, N) = 02Ъ2 + p3b3 + Li(JV); B.5.27) h(M, N) = lg или L0(M, N) = Z; L1(M,N)^Z®Z; L2(M,N)^Z. B-5l28) Относительные границы: AZo(M, N) = 0; С0(М, iV) = L0(M, ЛГ) S Z B.5.29) Ah(M, N) = /33(a2 - ai) + L0(JV) = ^3a2 + ?o(^V). B.5.30) Из равенства B.5.30) следует, что группа одномерных относитель- относительных циклов состоит из цепей с /33 = 0: d{M, N) = /32Ь2 + Li(N) B.5.31) или d{M,N)^Z. B.5.32) Далее имеем Д/2(М, N) = fbi - 1фг + LX(N) = -2-yb2 + Li(N) B.5.33) и, следовательно, относительным циклом будет только цепь с -у = 0 или G3(М, Я) = 0. B.5.34) Сравнивая выражения B.5.27) и B.5.30), замечаем, что В0(М, N) = С0{М, N) = L0(M, N),
58 Глава 2 откуда следует Н0(М?) Si 0. B.5.35) Сравнивая выражения B.5.31) и B.5.33) устанавливаем Bi(M, N) - -Ъф2 + Lt(N) й ZB). B.5.36) Из выражений B.5.32) и B.5.36) находим Hi {Ml) 2 Z/ZB) й Z2 B.5.37) Наконец, из выражения B.5.34) следует Я2(М!2)^0 B.5.38) Таким образом, для относительных чисел Бетти листа Мёбиуса имеем pr(Ml)=0, r = 0,1,2; B.5.39) для относительных коэффициентов кручения rnr(Mi) получаем ma{Ml) = гп2{М1) = 0; гпх{М1) = 2. B.5.40) Легко вычислить также pr (mod 2). В этом случае мы получили бы из выражения B.5.33), что Д/2(М, iV)/mod 2 = 0. Поэтому Bi (mod 2) ? 2?2 (mod 2) S 0 Я1 (mod 2) =¦ Я2 (mod 2)eZ2 и p0 (mod 2) = 0, px (mod 2) = p2 (mod 2) = 1. B.5.42) Сравнивая три рассмотренных примера негомеоморфных двумер- двумерных многообразий с краем, мы видим, что все группы относительных
Теория гомологии 59 гомологии для них различны и при этом все эти группы гомологии и соответствующие им числа Бетти отличаются от групп гомологии и чисел Бетти для замкнутых двумерных многообразий. Таким образом, относительные гомологии действительно характеризуют топологичес- топологические свойства многообразий; числа Бетти гомеоморфных многообразий совпадают. Любопытно посмотреть, что мы получили бы, если бы использо- использовали для описания многообразий с краем не относительные гомологии, а обычные. Нетрудно подсчитать, что обычные группы гомологии и числа Бетти для кольца R\ равны. я„(д?)?Я1(д?)э*г, яа(д?) = о, Po(Rl) = l ? Совершенно то же самое справедливо и для чисел Бетти листа Мёбиуса. Иными словами, мы получили бы Pr(Rl)=pr(M21) для заведомо не гомеоморфных двумерных многообразий с краем. Для ориентируемых многообразий с краем относительные числа Бетти имеют почти тот же геометрический смысл, что и обычные чис- числа Бетти для замкнутых ориентируемых многообразий: они дают ми- минимально возможные числа r-мерных клеток для данного многообразия за вычетом лежащих в границе. Поэтому для ориентируемых многооб- многообразий с краем так же, как и для замкнутых, рТ = рГ (mod 2). Для не- ориентируемых многообразий с краем так же, как и для замкнутых не- ориентируемых многообразий, указанный геометрический смысл име- имеют только рТ (mod 2). Поэтому для неориентируемых многообразий с краем рг = рГ (mod 2).12 12Заметим, что рТ (mod 2) дают минимальное клеточное разбиение вообще воз- возможное для многообразий, гомеоморфных данному. Это минимальное разбиение для конкретной реализации может оказаться непосредственно неосуществимым: для его выполнения могут потребоваться предварительные гомеоморфные преобразования. Например, реализация листа Мёбиуса М\ в виде, показанном на рис. 66 и воспро- воспроизводящем его рис. 21, не позволяет получить непосредственно минимального кле- клеточного разбиения, отвечающего числам рт (mod 2) согласно равенствам B.5.42). Такое разбиение дается реализацией Mj, произведенной на рис. 6а.
60 Глава 2 В заключение данного раздела мы приводим рг и pr (mod 2) для круга с n-дырками Е% и круга с n-дырками, заклеенными листами Мёбиуса М\ (табл. 4 и 5). Таблица 4 Относительные числа Бетти и коэффициенты кручения для двумерных многообразий с краем Многообразие К Числа Бетти Ро 0 0 Pi п п-1 Р2 1 0 Коэффициенты кручения 0 0 TTli 0 2 0 0 Таблица 5 Относительные числа Бетти по (mod 2) для двумерных многообразий с краем Многообразие К Ml Числа Бетти (mod 2) Ро 0 0 Pi п п V2 1 1 Как и следовало ожидать, pr (mod 2) совпадают для ориентируемых и неориентируемых многообразий. 2.6. Последовательности Майера—Вьеториса и «теоремы сложения» для чисел Бетти Основой метода получения теорем сложения является использова- использование так называемых точных последовательностей гомоморфных ото- отображений нескольких абелевых групп. Последовательность гомоморфизмов называется точной, если А2 =Кег/23- B.6.1) B.6.2)
Теория гомологии 61 Здесь Im/ij — множество элементов Aj, являющихся образами элементов А{ при гомоморфизме Д,-; Кег/у — множество элемен- элементов Ai,отображаемых в ноль группы Aj при гомоморфизме Д,-. Рис. 22 поясняет эти определения п д 1т/„ Кег U а б Рис. 22. Иллюстрация /m/y (a) и Кег/у (б). Графическая иллюстрация точной последовательности B.6.1) при- приведена на рис. 23. Для дальнейшего важна основная теорема о гомомор- гомоморфизме, которая состоит в следующем: B.6.3) О (А,) Рис. 23. Точная последовательность А\ А2 —> А3. Иначе говоря, если Aj гомоморфна Ai, то элементы Ai, отобра- отображаемые в нуль группы Aj, образуют подгруппу и фактор-группа по этой подгруппе изоморфна образу в Aj. Графически это иллюстрирует- иллюстрируется рис. 24. С помощью выражения B.6.3) и цепочки точных последователь- последовательностей B.6.1) можно сделать заключения о структуре одной из групп, входящих в последовательность, если известна структура другой. При-
62 Глава 2 Kerf, ¦•{ Ьп /„ Д/Ker /„ /¦2 Рис. 24. Иллюстрация основной теоре- теоремы о гомоморфизме. Рис. 25. Точная последовательность О—+А2—>А3. менительно к точным последовательностям гомологических групп это означает, что ранг и коэффициенты кручения одной гомологической группы могут быть вычислены по соответствующим характеристикам другой группы гомологии, входящей в ту же точную последователь- последовательность. Рассмотрим некоторые точные последовательности, полезные при вычислении групп гомологии. 1. Последовательность 0 В этом случае А2 B.6.4) т. е. А2 отображается изоморфно в некоторую подгруппу Аз (рис. 25). В самом деле, согласно выражению B.6.2) Кег/23=0, т. к. Im/i2=0. Далее Наконец, используя теорему B.6.3), получаем изоморфизм B.6.4). А2 -^ 0. 2. Последовательность А\ Для этой последовательности = A2, B.6.5) т. е. образом Ах является вся группа А2 (рис. 26) Равенство B.6.5) очевидно, так как Кег/гз = А2, а в силу теоре- теоремы B.6.3) Im/i2 = Кег/2з = А2. Заметим, что первый гомоморфизм
Теория гомологии 63 о Рис. 26. Последовательность Ау —>• А2 —>• 0. Л: Рис. 27. ность 0 Последователь- ПоследовательА2—>Аз—>0. Рис. 28. Последовательность 0 —> А2 0. в последовательности п. 1 и последний в последовательности п. 2 три- тривиальны. Поэтому утверждение о точности этих последовательностей равнозначно просто постулированию B.6.4) для гомоморфизма /23 в случае п. 1 и равенства B.6.5) для гомоморфизма /i2 в случае п. 2. 3. Последовательность 0 -^ А2 -Д А3 -^ 0. Предполагается, что (/12, /23) и (/2з> /34) есть точные последова- последовательности. Тогда A, S B.6.6) Действительно, последовательность (/гз, /34), согласно равенству B.6.5) дает 1ш/2з = Аз, а из последовательности (Дг, /гз)> согласно изоморфизму B.6.4), имеем А2 = 1ш/2з = Л3, т. е. соотношение B.6.6). Эта последовательность показана на рис. 27.
64 Глава 2 4. Последовательность 0 -^ А2 -^ А3 -^ Л4 -^ 0. Для этой последовательности (рис. 28) Л3/Л2 а А». B.6.7) Данное соотношение устанавливается следующим образом. Из последо- последовательности (/з4, /45) и теоремы B.6.3) следует, что Далее, согласно равенству B.6.2), из последовательности (/23, /34) по- получаем Im/23 =Кег/34. Из этих двух равенств следует изоморфизм B.6.7). Последователь- Последовательность (/12, /23)) не использованная до сих пор, нужна по той причине, что согласно изоморфизму B.6.4) Im/23 = A2. Поэтому, если известны А2 и А3, то равенство B.6.7) дает Л4. 5. Полезен еще следующий пример. Рассмотрим цепной комплекс: AlpAv^V2A... B.6.8) Если бы эта последовательность была точна, т. е. 1тД = КегД, то, согласно определению, группы гомологии Нр такого комплекса были бы тривиальны. Такой комплекс называют цикличным. Таким обра- образом, группы гомологии Нр — Кег Д/1тД характеризуют отклонение последовательности B.6.8) от точной. Точные последовательности групп гомологии порождаются гомо- гомоморфизмами групп цепей. Существенны три типа гомоморфизмов. Вложение »,. Пусть N и М — два многообразия. Если N С М то существует тождественное отображение г: N —> М, которое переводит каждую точку из N в ту же точку, но рассматриваемую как точку в М. При этом, естественно, каждая цепь lr(N) переходит тождественным образом в цепь 1Г{М). Отображение Lr(N) в Lr(M) тождественное с
Теория гомологии 65 нулевым ядром. Оно соответствует точной последовательности B.6.4). Однако порождаемый вложением г гомоморфизм группы гомологии Hr(N) А НГ(М) может иметь ненулевое ядро. Гомоморфизм г» строится следующим об- образом: берется цикл c,(N) из некоторого класса (cr(N)+Br(N))eHr(N) и рассматривается как представитель класса (cr(N) + Br(M)) 6 НГ(М). Приведем пример нетривиального ядра Кегг*. Пример. N — граница круга R = М (рис. 29); N — цикл в N и в М, негомологичный нулю в N и гомологичный нулю в М. Иначе говоря, N / 0 м n(N + B^N)) = ВХ{М) ~ 0 в Нг{М) Проекция (р*). Группа цепей Lr(M) гомоморфна своей фактор- факторгруппе Lr(M, N) = Lr(M)/Lr(N). Этот гомоморфизм ?2(М) -^?2(М, N) B.6.9) индуцирует гомоморфизм pt групп гомологии Н2{М) -^> Н2(М, N). B.6.10) Граничный гомоморфизм Д*. Если соспоставить цепи ее грани- границу или часть границы, то мы получим гомоморфные отображения Lr на LT-\. В частности, если N С М, то цепи на М можно сопоставить часть ее границы, лежащей в N. Гомоморфизм этого типа, называемый граничным, определяется соответствием: ЦМ) Ад lr(N) e Lr-i{N), B.6.11) N где символ Д 1Г означает часть границы, содержащейся в Lr_i(iV), т. е. являющейся цепью на N. Циклу сг(М) при гомоморфизме Д отвечает нуль группы Lr-i(N). Покажем, что граничный гомоморфизм Д порождает гомоморфизм групп гомологии Д»: Hr(M, N) ^ ЯГ_!(ЛГ). B.6.12)
66 Глава 2 Рис. 29. М — круг с гра- границей N. Цикл N не- негомологичный нулю в N и гомологичный в М. Иначе говоря, JV ф 0, i(iV) = JV и n(JV+.Bi(iV)) = Bi(M) ~ 0 в Рис. 30. Клеточное разбиение M1UM2. Клетки 6, 7,8 составляют клеточное разбиение Mi П M2. Клетки 1-5 — разбиение Mj \ (Mj П М2). Клетки 10-14 — разбиение М2 \ (Mi \ М2). Любая цепь на Mi U М2 есть линейная комбинация четырнадцати показан- показанных на рисунке клеток. Определим Im Д». Элементами Hr(M, N) являются смежные клас- классы группы СГ(М, N) относительных циклов сг по подгруппе Br(M, N) относительных циклов Ъг, гомологичных нулю, т. е. являющихся от- относительными границами относительных цепей. Подгруппа Br(M, N) состоит из относительных циклов br, имеющих вид: Ьг = Alr+1 + LT{N) e Br(M, N). Поскольку Д/г+1 есть цикл (Д(Д/г+х) = 0), его образом при граничном гомоморфизме B.6.11) является нуль. Образами элемен- элементов Lr(N) являются их границы, т. е. циклы br-x(N) из Cr_i(iV), го- гомологичные нулю в N. Они образуют подгруппу Br-i^N). Тем самым установлено, что Br(M, N) ABr или
Теория гомологии 67 как и должно быть при всяком гомоморфизме. Для того, чтобы най- найти 1тД„, нужно только установить теперь образ негомологичного ну- нулю относительного цикла сг (сг ф Ъг) при граничном гомоморфизме. Так как сг = l'r(M) + L2(N), где lr(M) — либо цикл (А1Г(М) = 0), либо цепь, граница которой ле- лежит в N(Д/,.(М) е Lr-i(N)), то видно, что образом сг является ли- либо нуль, либо смежный класс, порожденный гомологичным нулю цик- циклом bJ._1(Ar) g Lr~i(N). Заметим, что хотя цикл b'r_1(N) лежит в N, он может быть гомологичен нулю не обязательно в N, а во всем много- многообразии М. Иными словами &J._1(JV) может быть границей цепи 1Г(М), не принадлежащей Lr(NI3. Если этот цикл гомологичен нулю в N, т. е. b'r_1(N) & Br-i(N), то он попадает в нуль группы Hr-i(N). Из этого следует, что образом С2 является совокупность циклов br-i(N) из Cr-i(N), гомологичных ну- нулю в М, но не обязательно в N. Циклы в N, гомологичные нулю во всем многообразии М, мы будем называть связывающими. В соответствии с изложенным, граничный гомоморфизм B.6.12) устанавливается соот- соответствием: сг + Br(M, N) -S K^iN) + Br^(N); N B.6.13) с,. = lr(M) +Lr(N),b'r_1(N) =Д lr() где lr(M) — либо цикл, либо цепь с границей в N. Таким образом, утверждение B.6.12) доказано. Совокупность элементов группы гомологии НТ-\{М), порождае- порождаемых связывающими циклами bJ._1(JV), мы будем называть подгруппой гомологии связывающих циклов и обозначать через Д^_1(ЛГ). Соответ- Соответствие B.6.12) означает, что 1тД. =H'r_1{N). B.6.14) Из изложенного, в частности из соответствия B.6.13), следует, 18Пример цикла в N, гомологичного нулю в М, будет показан ниже на рис. 32. В этом примере N есть пересечение двух многообразий М\ и Мг, аМ — их объеди- объединение (М = Mi U Мг).
68 Глава 2 что КегД» составляют относительные циклы сг, порожденные цепя- цепями cr(M) + lr(N), где сг(М) — обычный цикл (Дсг = 0): КегД. = {cr{M) + Br(M, Br(M, N) = {1Г € Lr(M)/lr = Ыг+1 + Lr(N)}. ^¦°Л!>) Переходя к точным гомологическим последовательностям, заме- заметим, что алгоритма, автоматически дающего все возможные точки по- последовательности групп гомологии, не существует, и отыскание таких последовательностей требует определенного искусства. Тем не менее, известен ряд точных последовательностей, полезных для вычисления гомологических групп. К ним относятся последовательности Майера- Вьеториса. Они могут быть использованы для вычисления групп гомо- гомологии НГ(М) многообразия М = Mi U М2 по группам гомологии НГ(М{), НГ(М2) и Hr(M\ UM2) (Mi и М2 могут пересекаться). Исходным пунктом является точная последовательность цепей О —->• Ьг{Мг П М2) A Lr(Mi) 0 Lr(M2) -A ?r(Mi U М2) —>• 0, B.6.16) порождаемая включениями. Чтобы пояснить соответствие B.6.13), для простоты примем такое клеточное разбиение М и Mi, чтобы любая цепь на М была равна сумме цепей на Mi \ (Mi П М2), М2 \ (Ml П М2) и (MiDM2). Иначе говоря, мы полагаем, что единое клеточное разбиение М дает одновременно клеточное разбиение трех указанных многообразий. Рис. 30 поясняет сказанное. Во избежание недоразумений подчеркнем, что элементы группы Lr(Mi)®?r(M2) представляют собой пары цепей из ?r(Mi) и Ьг{Мч): Операция сложения цепей в этой группе определена так, что /гA,2) + /;A,2) = {Ц1) + Vr(l), /гB) + *;B)},
Теория гомологии 69 поэтому складывать цепи /гA) и /гB) в данном случае нельзя (цепь 1ГA,2)) является как бы вектором с компонентами /гA) и /гB). В отличие от этого, в группе Lr(Mi U М2) цепи 1ГA) и 1ГB) можно складывать в обычном смысле, так что наряду с каждой из этих цепей, элементами группы является и цепь /гA) + /гB). Включения гиг определены следующим образом: 1Г{МХ П М2) -Ц {1Г(М1 П М2), lr(Mi П М2)} B.6.17) Л;гA)-'гB). B.6.18) Легко убедиться, что последовательность B.6.16) точна. Точность первой короткой последовательности ясна, так как непосредственно из включения B.6.17) следует что, согласно изоморфизму B.6.4), означает точность короткой после- последовательности, начинающейся с нуля. Докажем точность второй ко- короткой последовательности. Из соответствия B.6.18) следует, что Кегг есть подгруппа цепей {/r(MinM2), /r(MinM2)}, причем согласно вклю- включению B.6.17) она составляет 1тг. Таким образом, Im i = Кегг, и этим устанавливается точность второй короткой последовательности. Для установления точности короткой последовательности, оканчивающейся нулем, надо показать, что 1тг = Lr(M1uM2), Для этого надо убедиться, что любой элемент из Lr(Mi U М2) может быть представлен в виде 1ГA) — /ГB) и потому является образом по меньшей мере одного из элементов {/гAM 'гB)} € Lr(M\) ф ?Г(М2). Очевидно, что любая цепь на М± U М2 однозначно представима в виде: JP(Mi U М2) = lr(Mi) + lr{M2 \ Мг П М2), B.6.19) так как каждое из слагаемых содержит разные клетки, и клеточный базис всей цепи в правой части равенства B.6.19) включает в себя все клетки разбиения М\ UM2. Вместе с тем iriMi) € Lr{Mx), -lr(M2 \ (Mi П M2)) g Lr(M2)
70 Глава 2 и потому произвольная цепь B.6.19) является, согласно соответ- соответствию B.6.18), образом элемента: {ЦМг), -lr(M2 \ (Afi П М2))} б Ьг{Мг) ® Lr{M2). Этим завершается доказательство точности последовательности B.6.16). Перейдем к основной цели этого параграфа. Мы сейчас покажем, что точной последовательности групп цепей B.6.16) соответствует точ- точная последовательность групп гомологии, так называемая последова- последовательность Майера-Вьеториса: tfr+i(Mi П М2) -^ Hr{Mi ПМ2) -S -±> НГ{МХ) © Н,.(М2) -^ Нт(Мг U M2) -^ Hr-iiMi П М2), где г* и г, — гомоморфизмы включения групп гомологии, а Д* — не- некоторый оператор, который мы построим с помощью граничного гомо- гомоморфизма Д» B.6.12). Таким образом, наша задача заключается в по- построении оператора Д, и доказательстве точности последовательнос- последовательности. Обратим внимание на отличие точной последовательности групп цепей B.6.16) Lr и соответствующей'ей последовательности групп го- гомологии Нт. Рассмотрим теперь соответствующие группы гомологии. Преж- Прежде всего заметим, что группа гомологии ЯгA ф 2) группы цепей Lr{Mi) ф ЬТ{М2) есть прямая сумма групп Hr(Mi) и НГ(М2): ЯгA Ф 2) S HriMi) Ф НГ(М2). B.6.20) Элементами группы являются смежные классы: ЛгA 0 2) = {сA), сгB)} + {Вт{1), ВгB)}. B.6.21) Здесь сгA), сгB) — циклы из LT{M\), Lr(M2), a Br(l), ВгB) — под- подгруппы гомологичных нулю циклов. Парам {cr(l) + br(l), crB) + brB)}, где ЬгA) е ВтA), ЪтB) е ВтB) отвечает один и тот же смежный класс. Гомоморфизмы г B.6.18) порождают гомоморфизмы г» групп гомологии НГ{МХ) Ф Hr(M2) -ii> Hr(M! U М2) B.6.22)
Теория гомологии 71 по закону: Ьп?. = {сгA) - СгB) + Br(Mi U М2)}. B.6.23) Отметим, что в отличие от равенства B.6.19) Im», ф НТ{МХ U М2), B.6.24) так как в Мг U М2 имеются, вообще говоря, циклы, не являющиеся циклами ни в Lr(Mi), ни в Lr(M2) (рис. 31). Поэтому цепи сгA) - сгB) не исчерпывают всей совокупности негомологичных нулю циклов в Mi UM2. •м, Рис. 31. Пунктирный цикл на торе. Рис. 32. Нульмерный цикл Mi U Мг не является циклом ни в М\ ни с\—сг из Mi П Мг, негомо- в Мг в отдельности. логичный нулю в Mi П Мг, но гомологичный нулю в Mi и Мг. Штриховкой показано пересечение Mi П Мг; пунк- пунктир — цепи из Mi и Мг, границей которых является данный цикл. Установим состав Кегг». Из выражения B.6.23) следует, что Кегг* содержит смежные классы B.6.21), для которых сГA) - с.B) = Ьг е Br(Mx U М3). B.6.25)
72 Глава 2 Мы покажем, что Кегг, есть подгруппа группы B.6.21), порожда- порождаемая циклами сгA) = сгB) = cr(Mi П М2). B.6.26) Представим сгA) и сгB) как цепи на Мх и М2 в виде: сгA) = сгA) + с,.(Afi П М2), crB) = crB) + 4(Mi П М2), B.6.27) где 1, 2 = Mi,2 \ (Mi П М2). Вообще говоря, слагаемые правой час- части выражения B.6.27) не обязательно циклы. Поскольку, однако, раз- разность сгA) — сгB) гомологична нулю в Br(M\ U М2), т. е. является границей некоторой цепи на Mi U M2, мы можем написать: сгA)-сгB) = Ьг = Д/г+1; C9fi9^ Zr+1 = /г+1A) + fr+1B) + /r+1(Mi Л М2). ^ • j Используя дистрибутивность оператора Д (граница суммы равна сум- сумме границ), имеем Ъг = Alr+i(l) + Д/г+хB) + Дгг+1(Мг П М2). B.6.29) Все три слагаемых в выражении B.6.29) — циклы (граница гра- границы равна нулю). Граница Д1г+1A) может лежать либо в 1, либо в Mi П Мг, граница Д/г+хB) — либо в 2, либо в пересечении Mi П М2, граница A/r+i(MinM2) — в пересечении. В любом случае br однознач- однозначно представимо в виде: Ъг = Ьг{\) + br{2) + br(Mi П М2); B.6.30) здесь уже ЬГ(Т), brB), — циклы, лежащие соответственно в Т и в 2 и гомологичные нулю в этих многообразиях; br(MinM2) — цикл из пере- пересечения, гомологичный нулю в самом пересечении, либо в Mi или М2. Напомним в связи с этим еще раз, что цикл из пересечения Mi П М2, гомологичный нулю в Mi П М2, может не быть гомологичным нулю в Mi П М2. Например, два мередиана гг, z-i тора на рис.31 состав- составляют пересечение Mi П М2, но составленный из них цикл zi + z2 не гомологичен нулю в этом пересечении, так как последнее вообще не содержит двумерных цепей и, следовательно, не может содержать и
Теория гомологии 73 их границ. Вместе с тем указанный цикл на торе гомологичен нулю в Mi и в М2. Другой пример цикла, лежащего в пересечении, но го- гомологичного нулю в Mi, М2 и негомологичного нулю в Mi П М2, по- показан на рис.32. Вернемся, однако к нашей задаче — доказательству равенства B.6.26). Поставив выражение B.6.27) и B.6.30) в первое из равенств B.6.28), получим сг(Т) - сгB) + [сАМ^П М2) - с'г(М1 П М2)] = = ЬгA)-ЬгB) + Ьг(М1ПМ2). V " " ' Отсюда следует Сг(Т) = ЬГ(Т), сгB) = ЬгB); B.6.32) с,. (Mi П М2) - c;(Mi П М2) = br(Mj П М2). B.6.33) Таким образом СA) = ЬРA) + сг{М1 П М2); СгB) = ЬгB) + cr(i»fi П М2) - br(Mi П Ма). 1 " ' ; Из равенств B.6.34) следует, во-первых, что сг(М\ П М2) — цикл, так как циклами являются сгA) и ЬгA); во-вторых, если br(Mi П М2) гомологичен нулю в пересечении или в М2, то пары {сгA), сгB)} и {cr(Mi П М2), cr(Mi П М2)} порождают один и тот же смежный класс B.6.21). Если же br(Mi П М2) гомологичен нулю в Mi, то пе- переписав сгA) и сгB) в форме: сгA) = ЬгA) + br(Mi П М2) + С;(Мг П М2); сгB)=ЬгB) + <(М1ПМ2), 1 • ' J мы заключаем, что пара {сгA), сгB)} порождает тот же смежный класс B.6.21), что и пара {c'r(Mi ПМ2), c^(Mi ПМ2)}. Тем самым до- доказано, что все элементы Кегг» имеют вид: {cr(Mi П М2) + ?гA), сг{Мх П М2) + BrB)} € Keri,. B.6.36) Формулу B.6.36), выведенную формальным путем, можно пояс- пояснить следующим примером. Тор на рис. 33 представляет собой объ- объединение Mi U М2 двух своих половинок Mi и М2, пересекающихся в
74 Глава 2 циклах 2i, z2. Элемент {a +Bi(Mi), с2 + Bi(M2)} € #x(Mi) ®#i(M2) при гомоморфизме it согласно формуле B.6.23) переходит в элемент {с\ — с2 + В\(М\ U М2)} ? Нх(М\ U М2), который, очевидно, гомоло- гомологичен нулю.. Это, на первый взгляд, противоречит формуле B.6.36), т. к. циклы с\ и с2 не принадлежат пересечению М\ Л М2. Но на са- самом деле циклы ci и с2 гомологичны циклу zt (или z2) G Bi(Mi ПМ2). Таким образом, циклы с\ и с2 можно заменить гомологичным им цик- циклом z\ € ci(Mi П М2). Гомоморфизм цепей г B.6.17) порождает гомоморфизм г', групп го- гомологии Нг(Мх Г)М2) и HriMx) ф НГ(М2) ЯГ(МХПМ2) -^) с законом соответствия ЯГ(М2) С.(Mi П М2) + Вг(Мх П М2) -^ П М2) + Br(Mi П М2), cr(Mi П М2) B.6.37) П М2)}. B.6.38) Сравнивая формулы B.6.36) и B.6.38), мы убеждаемся в том, что Imi, =Кег?.. B.6.39) Это означает, что последовательность tfr(Mi П М2) -±> с, Рис. 33. Иллюстрация лы B.6.36). ф НГ(М2) -^ Нг{Мг U М2) B.6.40) точна в НТ(М\) Ф НГ(М2). Найдем ядро гомоморфиз- гомоморфизма г». Из соответствия B.6.38) следует, что нуль группы Hr(Mi) сг ф НГ(М2) переходит, во-первых, в нуль группы НГ{М\ ПМ2), т. е. в подгруппу ВГ{М\ Г\М2) циклов bT(MiP\M2), гомологичных нулю в пересечении МхПМ2, и, во-вто- во-вторых, все смежные классы, по- порождаемые циклами Ъ'т(МхГ\М2), форму-
Теория гомологии 75 негомологичными нулю в пересечении, но гомологичными нулю как в 1, так и в 2. Это означает, что ядром гомоморфизма г» является под- подгруппа гомологии связывающих циклов Н'Г{М\ Г\М2), рассмотренная ра- ранее в связи с граничным гомоморфизмом. Итак Кегг» = Н'г(Мг П М2). B.6.41) Сопоставление этого равенства с равенством B.6.14) для гранично- граничного гомоморфизма наводит на мысль о том, что точная последователь- последовательность B.6.40) может быть продолжена с помощью граничного гомомор- гомоморфизма. Сначала используем проектирование Нг(Мг U М2) -Ь> Яг(Mi,Mi П М2); B.6.42) к Hr(Mi,MiC\M2) можно применить граничный гомоморфизм B.6.12): #r(MbMi П М2) -^у ЯГ_1(МХ П М2). B.6.43) в результате мы приходим к гомоморфизму НТ{МХ U М2) -^ ЯГ_1(М1 П М2), B.6.44) который является следствием гомоморфизмов B.6.42) и B.6.43). Найдем 1тД». Согласно равенству B.6.14) Im Д* = Я;_Х(М1 П М2). B.6.45) При гомоморфизме р, смежный класс (элемент Hr{M\ U М2)), по- порождаемый циклом cr(Mi U М2), перходит в смежный класс (элемент Hr(Mi,Mi Г\М2)), порождаемый относительным циклом сг = 1г{Мх) + L2(Mi П М2), B.6.46) где цепь (вообще говоря, не цикл) 1Г(М{) однозначно определена равен- равенством: lr(M1)-lrB). B.6.47)
76 Глава 2 Здесь, как и раньше 2 = MiUM2\Mi и /гB) — часть цепи cr(M1\jM2) € G LrB). Поскольку сг — цикл, имеем Д/Г(МХ) = Д/гB). B.6.48) Из этого равенства следует, что МгПМ'А1г(Мг) € ?r-i(Mi ПМ2). B.6.49) Заметим, что границы MinM2A/r(Mi) есть связывающие циклы, по- поскольку они являются границами одновременно и в Mi и в М2, т. е. гомологичны нулю и в Mi и в Mi. Эти связывающие циклы, имею- имеющие размерность г — 1, порождают подгруппу гомологии связывающих циклов H'r(Mi ПМг). При граничном гомоморфизме, элементы /f^_1(Mi Г1М2) являются образом смежных классов (элементов Hr(Mi, M\ Л Мг)), порожденных относительными циклами B.6.46) (см. соответствие B.6.13)). Поэтому ЬпД, = 1тД, = Я;_Х(М1 ПМ2). B.6.50) Из формул B.6.41) и B.6.50) следует, что короткая последовательность Er[Mx U М2) ^> Hr^{Mi П М2) -^> Hr_i(Mi) Ф ЯГ_1(М2) B.6.51) точна в Hr(Mi П М2). Определим теперь Кег Д». Согласно равенствам B.6.15) Кег Д» со- составляют те элементы группы Яг(М1,МхПМ2) B.6.46), у которых цепь /r(Mi) является циклом, т. е. AZr(Mi) = 0. Тогда из равенст- равенства B.6.47) следует, что цепь 1ГB) так же является циклом, причем в Mi. Таким образом, равенство B.6.47) можно переписать в виде: ст{Мх U М2) = ст{Мг) - сг(М2). Это означает, что элементы Hr{M\ U Mi), которые при гомомор- гомоморфизме Д» переходят в нуль группы Hr_i(Mi ПМ2), имеют вид: cr(Mi) - cr(M2) + Br(Mi U М2) е Кег Д.. B.6.52)
Теория гомологии 77 Сравнивая формулы B.6.52) и B.6.23), заключаем, что КегД, =1тг„, B.6.53) т. е. что и короткая последовательность HrWi) ф Hr(M2) -±> Hr{Ml U М2) -^ ЯГ_1(М1 П М2) B.6.54) является точной в НГ{М\ U М2). Сводя вместе последовательнос- последовательности B.6.40), B.6.51) и B.6.54) мы получаем последовательность Майера-Въеториса, точную в каждом звене: Нг(Мг П М2) -^ tfr(Mx) ф ЯГ(М2) -±> _ B.D.55) -^» Hr(Mi UМ2) -^ Hr-^Мг ПМ2)-^. Эта последовательность может быть использована для вычисле- вычисления Hr(Mi UM2) no ffr(Afi), Hr{M2) и ffr_i(Mi ПМ2). В частности, с помощью последовательности B.6.55) можно получить теорему сложе- сложения для чисел Бетти и эйлеровой характеристики. Вывод этих теорем сложения из точной последовательности B.6.55) опирается на два фак- факта: основную теорему о гомоморфизме B.6.3) и связь между рангами абелевой группы, ее подгруппы и фактор-группы по данной подгруппе. Установим эту связь. Пусть А — свободная группа с конечным числом образующих и В — ее подгруппа. В группе А всегда можно выбрать такой базис, чтобы элементы a?Anb?BcA были представлены в виде: R(A) R(B) а = X) а'а'; b t=i Здесь R(A), R(B) — ранги А я В, Z(ra) — группы целых чисел, крат- кратных числам т. Примем, что /3,- при j = 1, ... , г, прнадлежит Ъ(т), вообще говоря, с различными т и что fij € Ъ для j = г + 1, ... , R(B).
78 Глава 2 Тогда число различных смежных классов по подгруппе В, порожденных элементами конечно. Совокупность этих смежных классов образует конечную под- подгруппу фактор-группы /d- Ранг этой подгруппы, очевидно, равен ну- нулю. Далее, смежные классы, представителями которых являются эле- элементы Д(В) j-r+l совпадают с самой подгруппой В. И только смежные классы, определяе- определяемые элементами ЩА) «=Я(В) + 1 образуют свободную подгруппу фактор-группы /т>. Ранг этой свобод- свободной подгруппы равен R(A) — R(B). Тем самым доказано соотношение B.6.56) Мы считали группу А свободной. Если А — группа с кручением к, то А — свободная группа. Так как R( /,,) = R(A), то формула B.6.56) справедлива вообще для любой абелевой группы. Основываясь на соот- соотношениях B.6.3), B.6.55) и B.6.56), получим теперь теорему сложения для чисел Бетти. Согласно выражениям B.6.3) и B.6.56), имеем R{Hr{M1nM2)) = R(Imit) + Д(Кегг«) = R(Kerit) + R(Keri,). B.6.57) Последнее равенство обусловлено точностью последовательности Майе- ра-Вьеториса. Действуя аналогично, находим Mi) ф Hr(M2)) = R(KerAt) + Я(Кег?Ф), B.6.58)
Теория гомологии 79 М! U Ма)) = Д(Кег»:) + ЩКет Д.), г'„ : яг_1(М1 п м2) —* яг_1(М!) е яг_х(м2) lz-°-Dy; По определению чисел Бетти рг(М) рт(М) = R(Hr(M)). Вспоминая далее, что Keri, = Н'г{Мх П М2), Кег? = #;_j(Mi П М2), B.6.60) где Н'Г(М\ П М2) — группы гомологии связывающих циклов, и вводя обозначение: p'r{Mi П М2) = ЩНЦМг П М2)), B.6.61) используя соотношения B.6.57), B.6.58) и B.6.59), мы приходим к окон- окончательной формуле: pr(Mi U М2) = Pr(Mi) + pr(M2) - рг(М! П М2)+ Г9 fi , чч/ДМх п м2)+р'г_1(м1 п м2). lz-D-DZj Это и есть формула сложения для чисел Бетти. Она выражает числа Бетти всего многообразия Mi U М2 через числа Бетти подмногообра- подмногообразий Mi, M2, Mi ПМ2 и ранги групп связывающих цикловpJ.(Mi ПМ2) ир'г(М1ПМ2). Из формулы сложения для чисел Бетти B.6.62) следует простая формула сложения для эйлеровой характеристики Xi определяемая фор- формулой B.3.7). Чтобы получить эту формулу, заметим прежде всего, что если размерность многообразия есть п (г ^ п), то р'п(М1ПМа)=0, B.6.63) так как циклы максимальной размерности п не могут быть гомологич- гомологичными нулю (нет циклов размерности п + 1, границами которых могли бы быть рассматриваемые циклы). Умножая формулу B.6.62) на (-1)г и складывая все равенства, начиная с г = п и кончая г = 0, получим, с учетом равенства B.6.63) искомое соотношение: U М2) = x(Mi) + х(М2) - Х(МХ П М2). B.6.64)
80 Глава 2 Из выражения B.6.62) и B.6.64) следуют очевидные формулы: если Mi П М2 — 0, то рг(Мг U М2) = PriMi) +рг(М2), U М2) = xWi) + х(М2). Формулы сложения B.6.62) и B.6.64) входят в рабочий аппарат приложений теории гомологии к рассматриваемым в данном курсе во- вопросам теории функций. Поэтому с нетривиальными примерами прак- практического применения формул сложения мы встретимся несколько поз- позже (см. раздел, посвященный теории Морса). Здесь же мы приведем несколько наглядных примеров главным образом для того, чтобы осво- освоиться с числами р'г — рангами групп связывающих циклов. Пример 1. Мг U М2 = S2, Ми М2 = Щ (круг), Мх П М2 = S1. В этом случае пересечение одномерно и в нем имеется единствен- единственный связывающий цикл — окружность S1, являющаяся границей Mi и границей М2. Таким образом р'о = 0, р[ = 1. B.6.65) Первое из равенств B.6.65) имет место потому, что все связывающие нульмерные циклы гомологичны нулю и в пересечении, т. е. попадают в нуль группы Hq(Mi П М2). Далее имеем pQ(R%) = 1, Л(Д§) =p2(R20) = 0, poiS1) =Pl(S1) = 1, P2(S1) =0. B.6.66) Подставив равенства B.6.65) и B.6.66) в формулу B.6.62), получим Po(S2) = P2(S2) = 1, Pl(S2) = 0 в соответствии с табл. 1 раздела 2.3. Пример 2. М\ и М2 = Pi (двумерный тор) Mi, М2 = Щ (круговое кольцо), Mi П М2 = S1 U S1 (два мередиана тора — см. рис. 31). В данном примере р'о = 1, р[ = 1, B.6.67)
Теория гомологии 81 хотя на первый взгляд кажется, что р'х = 2, поскольку пересечение со- содержит две окружности. В действительности же связывающий цикл — это цепь, в которую обе окружности входят с равными или противо- противоположными по знаку (в зависимости от выбранной ориентации цикла) коэффициентами. Каждая из окружностей в отдельности не является границей ни в Mi, ни в М2; границами Mi и М2 являются только обе окружности вместе, подобно тому, как границами отрезка являются две точки, а не каждая из них в отдельности. Таким образом, одномер- одномерная подгруппа гомологии в связывающих циклах имеет в данном случае один базисный связывающий цикл и ее ранг равен единице. Ранг группы нульмерных связывающих циклов ясен уже из минимального клеточного разбиения Mi П М2: оно содержит по одной точке на каждой из окруж- окружностей. Эти две точки, взятые с равными или противоположными по знаку коэффициентами и составляют единственный базисный связыва- связывающий нульмерный цикл. Таким образом, рангHo(MiP\M2) также равен единице. Воспользовавшись формулой B.6.62), найдем числа Бетти кругово- кругового кольца R\. Мы имеем 2Pr(Rl) = Pr(Mi U М2) + Pr(Mi П М2) - р'Т - p'r_i. B.6.68) Поставив сюда выражение B.6.67), pr(Mi U М2) из табл.1 и Po{Mi П М2) = Pl(Mi П М2) = 2, pa (Mi П М2), B.6.69) получим Po(Rl) = Pi(Rl) = 1, Р2(Д?) = О. B.6.70) Этот пример показывает, как, пользуясь формулой сложения для чисел Бетти, можно вычислять группы гомологии для многообразий с краем, пользуясь только числами Бетти для замкнутых многообразий, т. е. в двумерном случае, только простой табл. 1. Пример 3. MiUM2 = Rq (трехмерный шар), Mi, М2 = Щ, МХГ\М2=Щ (круг). Поскольку в данном случае Hr(Mi UM2) = Hr(Mi) = НГ(М2), фор- формула B.6.62) дает p'r{Mif\M2) -P'r_1(MinM2). B.6.71)
82 Глава 2 Почти очевидно, что р'о = р[ = р'2 = 0. B.6.72) Некоторого пояснения, пожалуй, требует лишь равенство р\ = 0: на первый взгляд, кажется, что имеется одномерный связывающий цикл — граница круга. Но этот цикл гомологичен нулю в М\ П М2 и поэтому не дает вклада в ранг группы гомологии связывающих циклов. Таким образом pr{Rl)=pr{Rl), r = 0,1, 2; Пример 4. M1uM2=R$ (n-мерный шар), Мь М2=Щ, ((п — 1)-мерный шар). Так же, как и в предыдущем примере и формула B.6.71) с заменой R% —> Rfi, R% —> Щ1 дает рекуррент- рекуррентное соотношение, из которого следует po(R%) = 1, рг(Щ) = ¦¦¦= pr(RZ) = 0. B.6.74) Из выражения B.6.74) следует, что эйлерова характеристика п-ме- рного шара равна Х(Щ) = 1. B-6.75) Пример 5. Мг и М2 = Sn, Мг М2 = Щ, Мх П М2 = 5"-1. В этом случае имеем P0=P'l = ---= Рп-2 = Рп = 0. Рп-1 = !> так как всякий цикл в сфере 5" = MiHM2 гомологичен нулю в М-рМ2- Формула B.6.62) с учетом выражения B.6.74) дает, при пф1 1); B.6.76) Pi(Sn)=-MSa-1)=0,...,Pn-2(Sn)=-pn-2{Sa-1)=0; B.6.77) р„_1E") = 1-р„_1E"-1); B.6.78) Pn{Sn) = 1. B.6.79)
Теория гомологии 83 Из этих соотношений получаем следующие числа Бетти: Po(Sn) = Pn(Sn) = 1, pi(Sn) = ...= pn-iEn) = 0. B.6.80) Из выражения B.6.80) следует приведенная ранее формула Пуанкаре для эйлеровой характеристики п-мерной сферы х($п) (см- Разд. B.2): X(Sn) = 1 + (-1)". B.6.81) Примеры 3-5 показывают, каким образом формулы сложения для чисел Бетти B.6.62) может быть использована для вычисления гомоло- гомологических групп многообразий высших размерностей. Аналогичным об- образом, например, могут быть вычислены группы гомологии п-мерного шарового слоя (кольца), n-мерного тора, п-мерного тороидального слоя и др. Пример 6. M1UM2 — Щ (п-мерный шар), Mi = Д" (п-мерный шаровой слой). Вычислим pr(R"). В данном случае так как единственным связывающим циклом могла бы быть Sn~x, но она не гомологична нулю в Mi (граница Щ — две сферы 5n~1j. Формула B.6.62) дает =РЛБ), г = 0,...,п1, = о. к ' Обратим внимание на следующее обстоятельство. В случае п = 2 гомеоморфность кругового кольца и боковой поверхности цилиндра, т. е. сферы с двумя дырками, очевидна (наглядна деформация, пере- переводящая одно многообразие в другое). В общем случае шаровой слой и сфера с двумя дырками также гомеоморфны. Это легко усмотреть из того, что шар и сфера с дыркой гомеоморфны. Таким образом, числа Бетти шарового слоя и сферы с двумя дырками совпадают. Пример 7. M1\JM2 = Р" (п-мерный тор), Мь М2 = Д?, М1ПМ2 = ii
84 Глава 2 Эти формулы отвечают тому, что п-мерный тор представляет собой две склеенные п-мерные трубки (две сферы Sn с двумя дырками, ограниченными S"~1). Название п-мерный тор для такой фигуры соот- соответствует прямому обобщению уравнения обычного тора: (х2 + х\ + х2 + R2 - г2J - АВ?{х\ + х2) = 0 B.6.83) в уравнение: (х2 + х\ + ¦ ¦ ¦ + х2п+1 +R2- г2J - Ш2(х2 + ... + х2п) = 0 B.6.84) для п-мерного тора. Пересечение тора B.6.83) с плоскостью хз = О состоит из двух окружностей х\ + х\ = (R±rJ. Аналогично этому пересечению п-мерного тора B.6.84) с п-мерной плоскостью xn+i = О содержит две сферы Sn~1 xl + --- + x2n = (R±rJ. B.6.85) В обоих случаях плоскость делит многообразие на два шаровых слоя, уравнения которых получаются присовокуплением к уравнению B.6.84) неравенств: хп+1 > О, xn+i < О; границу же каждого из них составляют две сферы Sn~1, определяемые уравнением B.6.85). Ранги групп связывающих циклов определяются ра- равенствами: Po=K-i = l> P'i=P2 = ---=Pn-2=Pn=0. B.6.86) Действительно, всякий цикл в Mi П М2 = Sn~1 U Sn~1 размернос- размерности О < г < п — 1 есть цикл на сфере и гомологичен нулю в пересечении. Связывающими же циклами являются двухточечный нульмерный цикл (по одной точке на каждой сфере) и п — 1-мерный цикл, состоящий из двух сфер 5" с равными или противоположными по знаку коэффици- коэффициентами. Используя выражения B.6.82) и B.6.86), получаем формулу для чи- чисел Бетти pr(Pi) п-мерного тора: Рг(РГ) = <*г,0 + <*г,п-1 + <*г—1,0 + <*г-1,п-1-
Теория гомологии 85 Для всех п, кроме п = 2, эта формула дает х) = Рп-ЛР?) = Рп(РГ) = 1; /о в 87^ В особом же случае, при п = 2, получаем знакомый результат (см. табл. 1): ?? 2 Заметим, что х(Р") = 0 при любом п (здесь х как и раньше х — эйлерова характеристика). Аналогичным образом могут быть вычислены группы гомологии т-мерных кренделей Р? ( п-мерной сферы с т ручками). Последовательное применение формул B.6.62) («склеивание» двух торов с дыркой, кренделя Р? с дыркой с тором с дыркой и т. д.) приво- приводит к следующему результату: Рг{Ргт) = 0, г ф 0, 1, п - 1, п. ^¦K>-SS> Исключительным снова является случай п = 2, когда п — 1 = 1, и со- соответствующие числа Бетти складываются, откуда pi{P^) = 2т — старый результат табл. 1. Подчеркнем, что в отличие от двумерных кренделей п-мерные крендели не исчерпывают все замкнутые ориентируемые поверхнос- поверхности без самопересечений. Можно обратить также внимание на то, что в формулы B.6.88) демонстрируют справедливость теоремы двойствен- двойственности Пуанкаре для n-мерных ориентируемых многообразий. Пример 8. MiUM2 = N\ (проективная плоскость), Mi = Щ, М2 = М\ (лист Мёбиуса), М\ П М2 = S1. В этом примере очевидно, что Ро = 0, B.6.89) но не вполне тривиально, что Pi = 0 B.6.90)
86 Глава 2 так как, на первый взгляд, кажется, что пересечение Мх П М2 = S1 гомологично нулю в М2 — М\, либо эта окружность является краем листа Мёбиуса. В действительности же границей клеточного разбие- разбиения листа Мёбиуса является сумма двух циклов, и край есть лишь одно из слагаемых этой суммы (см. формулу B.5.26) и рис. 21, где край обо- обозначен буквой Ь\) и сам по себе не равен границе двумерной цепи в М2. Остальные вычисления по формуле B.6.62) трудности не составляют. Исходя u3pr(Ni), рг(Щ), PriS1) получаем числа Бетти листа Мёбиуса: Ро(М12)=р1(М22)=1, р2(М1)=О. B.6.91) Заметим, что формула B.6.62), как ясно из ее вывода, справедлива и для чисел Бетти по mod 2. В отличие от выражения B.6.90), в этом случае р[ (mod 2) = 1, B.6.92) так как второе слагаемое в формуле B.5.26), взятое по mod 2, равно нулю. Числа Бетти листа Мёбиуса по mod 2 получаются такими же, как обычно (формула B.6.91)), за счет того, что при переходе к mod 2 меняется не только Р[, но и Pr(Ni) (pr(Ni) (mod 2) = 1 для всех г, см. табл.2) Пример 9. Мх UM2 = P{UM2 (тор с листом Мёбиуса), Мг - Р[ — тор с дыркой, М2 = М\, Мх П М2 = S1. Связывающие циклы такие же, как и в предыдущем примере (фор- (формулы B.6.89), B.6.90)). Для вычисления рТ{М\ U М2) надо предвари- предварительно найтиpr(Pi). Эти числа находятся в формуле B.6.62) приме- применительно к многообразиям: Mi U М2 = Ри Mj = Pi, M'2 = R20, Mi П М2 = S1, причем в этом случае р'о = 0, р[ = 1. В итоге получаем ро(Р1х) = 1, Pi(Pl)=2, p2(Fi1) = 0. B.6.93) Учитывая выражение B.6.93), по теореме сложения находим po(M1UM2) = l, p1(M1UM2)=2, p2(M1UM2) = 0. B.6.94) Замкнутая поверхность с такими числами Бетти гомеоморфна сфере с тремя листами Мёбиуса — N3 (см. табл.1).
Теория гомологии 87 Пример 10. Числа Бетти «n-мерного листа Мёбиуса», п-мерный лист Мёбиуса М" определяем следующим образом: В% U Mxn = N», RS П М? = S"'1 B.6.95) т. е. объединение п-мерного шара Щ и Af ™ дает п-мерную проективную плоскость N". Используя формулу сложения B.6.62) и соотношения B.6.95), мож- можно вычислить рг(М™) по числамрг(Дц), pr(Sn~1) upr(N"). Числа Бет- Бетти шара и сферы были вычислены нами ранее. Найдем числа Бет- Бетти pT(N") п-мерной проективной плоскости. Проективное пространство п измерений — это прстранство, точ- точками которого являются прямые евклидова п + 1-мерного пространст- пространства, проходящее через начало координат. Всякая такая прямая опре- определяется координатами xi,... , xn+i, какой-нибудь одной своей точ- точки, кроме начала координат, а все точки прямой имеют координа- координаты Axi,... ,\xn+i, — оо<А<+оо. Совокупность чисел x=(xi,... ,xn+i) есть, таким образом, координаты точки п + 1-мерного проективного пространства, причем точки х и Хх тождественны. Мы будем обо- обозначать координаты точки п + 1-мерного проективного пространства буквами Согласно сказанному выше, эти числа задаются с точностью до об- общего множителя (f; = Axj). Легко установить гомеоморфность облас- области п-мерного проективного пространства, содержащей точки с коор- координатой ?п+1 ф 0, евклидову п-мерному пространству. Указанный го- гомеоморфизм устанавливается равенствами: Xi = -^-, i = l,...,n. B.6.96) Для случая п + 1 = 2 этот гомеоморфизм иллюстрируется рис. 34- Равенство B.6.96) при ?n+i ф 0 сопоставляет каждой точке ? — (?i, ... , fn+i) точку х = (xi, ... , хп). Напротив, каждой точ- точке х = (a?i, ... , х„) при ?n+i ф 0 однозначно соответствует точ- точка ? = (xi, ... , хп, 1). Однозначность соответствия х —> ? наруша- нарушается при ?n+i = 0; в этом случае точкам Аж отвечает одна точ-
Глава 2 \ xm \ 1 x»/ X Рис. 34. Соответствие между точками ?г ф 0 двумерного проективного про- пространства (?i, ?2) и одномерного евклидова пространства ж. ка проективного пространства ? = (Axi, Ахг, ... , \хп, 0), посколь- поскольку кратные координаты ? и А определяют в проективном простран- пространстве одну точку. Рассмотрим теперь простейшее клеточное разби- разбиение п-мерной проективной плоскости. Клеткой п-измерений, т. е. многообразием, гомеоморфным открытому п-шару, является, очевид- очевидно, вся проективная плоскость за вычетом граничного многообра- многообразия (?i, ... , ?тмО), отвечающего бесконечно удаленным точкам. Клет- Клетка an_i размерности п — \ есть многообразие (?i, ... , ?п ф 0,0); много- многообразие же (?i, ... , ?„ = 0,0) является граничным многообразием клет- клетки an_i. Продолжая эту процедуру далее, мы приходим к следующему заключению: п-мерная проективная плоскость разбивается на п+1 кле- клеток по одной клетке аг каждой размерности г = 0, 1, ... , п. При этом формула клеточного разбиения такова: B.6.97) Из этого следует, что все цепи Lr(Ny) одночленные: lr(N?) = arar. B.6.98) Для вычисления Hr(N") требуется вычислить только Ааг. Геомет- Геометрической границей клетки аг является сфера Sr~1. Но так как двум диаметрально противоположным ее точкам отвечает одна и та же точка проективной плоскости, то Ааг = 2Г-1 B.6.99)
Теория гомологии 89 где er_i — коэффициент инцидентности. Этот коэффициент ра- равен ±1 в зависимости от того, имеют ли отождествляемые диаме- диаметрально противоположные участки Sr~1 (клетки) одинаковую ориен- ориентацию (ег = +1) или противоположную (er ~ —1). Напомним, что клетки считаются ориентированными одинаково или противоположно, если системы декартовых осей на них переводятся друг в друга преоб- преобразованиями с детерминантами +1 или — 1 соответственно. Детерми- Детерминант преобразований х —> — х (х ? Sr~1) равен +1, если г четно и —1, если г нечетно. Таким образом ег_! = (-1)г B.6.100) Aar = A + (-l)r)Sr~1. B.6.101) Иначе говоря, все цепи нулевой и нечетных размерностей являются циклами (А1Г — 0, г нечетно), цепи же четной размерности циклами не являются (А1Г ф 0, г четно). Отсюда следует, что группы размер- размерности cr(N") = 0 отсутствуют и, таким образом, Яг(ЛГ1")й0, г = 0, 2, 4, ... , г <п. B.6.102) Среди циклов нечетной размерности гомологичны нулю те, у которых коэффициенты аг в выражении B.6.98) являются четными числами (см. равенство B.6.101). В итоге получаем Hr{N?)^Z2, г = 1, 3, ... , г< п. B.6.103) Наконец, О п — четно, Ъ п — нечетно; B.6.104) Формулы B.6.102)-B.6.104) приводят к следующим значениям pr(N"): pr(N?) =0, 0 < г < п, B.6.105) 2
90 Глава 2 Легко подсчитать группы гомологии Hr(N") no mod 2. Для чисел Бетти имеем pr(N?) (mod 2) = 1, г = 0, 1, ... , п. B.6.106) Для вычисления рг(М") по схеме B.6.95) с помощью формулы сложе- сложения B.6.62) нужно только установить ранги р'г подгрупп гомологии свя- связывающих циклов. Единственный же гомологичный нулю цикл, лежащий в пересечении — это само пересечение, т. е. сфера Sn~x. Она гомоло- гомологична нулю в В?, но она негомологична нулю в М", если п — 1 нечетное число. Таким образом (О п- четно, t <>r,n-i п — нечетно. х Используя теперь формулу B.6.62), находим Мм?) = < 1 г = 0, О 0<г<п-2, ? ,_?<! + (-!>-) - = „-!, О г = п. Числа Бетти п-мерного листа Мёбиуса по mod 2 вычисляются так- также, с той лишь разницей, чтор'г = ^r,n-i вне зависимости от четнос- четности п. Тогда мы получаем = j ? ° f ^ Щ Pr(M?) (mod 2) = j ? ° f ^ Щ B.6.109) Знаяpr(N") upr(M"), с помощью теоремы сложения B.6.62) мож- можно легко найти числа Бетти других п-мерных не ориентируемых мно- многообразий типа п-мерной сферы с т листами Мёбиуса MJ* и т. п. Заметим, что топологические свойства п-мерных проективных и неориентируемых многообразий могут иметь непосредственное значе- значение для физических приложений. Это относится, во-первых, к объек- объектам типа монополя Дирака или солитоноподобных решений с топологи- топологическим зарядом и, во-вторых к релятивистским волновым функциям
Теория гомологии 91 системы нескольких частиц на «световом фронте» (так называется мно- многовременная волновая функция, становящаяся одновременной на свето- световом конусе х\ - х2 = 0). К этим проблемам мы вернемся позже. В заключение отметим, что существуют последовательности Майера-Вьеториса для групп относительных гомологии: ±+н1(м,м1)®нг(м,м2)-±+ B6110) -S Hr(M, Mi U М2) -^ НГ^(М, Мг U М2) -S . Этой последовательности отвечает формула сложения относительных чисел Бетти, аналогичная формуле B.6.62). В формуле B.6.110) М ф Mi U М2. Многообразие Мг U М2 с М, т. е. является подмногообразием многообразия М. Формула B.6.110) дает возможность, в частности, вычислять группы относительных го- гомологии для многообразий с краем, когда структура последнего сложна и край состоит из подмногообразий Mi и М2. Как уже указывалось, последовательностями Майера-Вьеториса не исчерпываются точные последовательности групп гомологии, которые в конкретных случаях могут оказаться полезными для вычисления этих групп. Содержательный материал по этому вопросу имеется в книге Дольда [13]. 2.7. Когомологии Мы дадим здесь понятие о когомологиях, рассматривая этот аппа- аппарат в той мере, в какой он связан с аппаратом гомологии, и, разумеется, поясняя его существенное содержание («физический смысл», как мы бы сказали, если бы речь шла о физической теории). Ранее уже подчеркивалась аналогия между группами цепей и век- векторными пространствами. Развивая эту аналогию, мы можем ввес- ввести «пространство» коцепей Lp, сопряженное «пространству» цепей Lp. Для этого временно (в настоящем разделе) воспользуемся обозначени- обозначениями Дирака. Будем рассматривать элемент группы цепей Lp как кет- вектор \ЬР) 6 Lp. Сопряженные бра-векторы образуют так называемые коцепи.
92 Глава 2 Формально каждый бра-вектор (коцепь) AР\ определяется линей- линейным отображением группы цепей в группу коэффициентов G (множес- (множество целых чисел Z, действительных чисел М или комплексных С): (Р\ЪР) = а(\Ър)) € G. B.7.1) В силу линейности отображения имеем (О (О Поэтому отображение достаточно определить на отдельных клетках данной размерности р, составляющих разбиение многообразия. Множество коцепей образует группу коцепей Lp = {(?р|} порядка р. Таким образом, группа коцепей — это множество гомоморфизмов груп- группы Lp в группу коэффициентов G. Поясним сказанное на примере трехмерного многообразия М. 1. Как известно, нульмерные клетки \uq) — это просто точки мно- многообразия М: \ао) = х ? М. Каждой нульмерной клетке х поставим в соответствие число (см.выражение B.7.1)) (/° | по) = f(x). Таким образом, нульмерная коцепь (/°| — это функция на многообразии М. 2. Пусть |bi)— одномерная клетка, т. е. некоторая кривая в М а А — векторное поле на М. Рассмотрим криволинейный интеграл вдоль клетки: I Ads. B.7.3) Каждая дифференциальная форма Ads ставит в соответствие цепи \Ь\) интеграл B.7.3), который есть просто число. Таким образом, Ads'мож- Ads'можно отождествить с некоторой коцепью {11\. Формула B.7.1) представля- представляется в следующем виде: (I1\h)= f Ads. B.7.4)
Теория гомологии 93 3. Пусть В — снова векторное поле на М, da — элемент поверхнос- поверхности, направленный по нормали к ней. Всякой двумерной цепи мы ставим в соответствие интеграл: {12\Ь2)= f В da. B.7.5) В этом случае коцепи A2\ отвечает дифферинциальная форма вто- второго порядка (два-форма) В da. 4. Аналогично произвольной трехмерной цепи \Ь3) поставим в со- соответствие интеграл: (I3 = J Ф{х) d3x. Три-форма ip(x) d3x определяет коцепь (/3|. Приведенные примеры показывают, что кет-векторы (цепи) и бра- векторы (коцепи) принадлежат пространствам совершенно различной природы: в первом случае мы имеем геометрические объекты на мно- многообразии, а во втором — дифференциальные формы. Напомним, что при построении теории гомологии мы ввели гра- граничный оператор Д. Теперь нам понадобится пограничный оператор 6, сопряженный оператору Д: A\А\Ь) = (b\S\l)*; S = A+. B.7.6) Отметим, что Д действует на кет-векторы слева (цепи) \Ь) и понижает порядок: Lp A Lp_i B.7.7) а 6 действует контравариантно (справа) на бра-векторы (коцепи) A\ и повышает порядок: Lp 4- Ьр-г B.7.8) Покажем на примерах, как действует оператор кограницы S.
94 Глава 2 Пусть М по-прежнему трехмерное многообразие в трехмерном пространстве М3. 1. Рассмотрим простейшую одномерную цепь на М — кривую \Ъ±) с границей A|&i) =| а„ —«4 ). Обозначим ау = Х]_ и Од = х2- Учитывая обозначения первого примера, имеем B.7.9) С другой стороны, формула Ньютона-Лейбница дает f{xi) ~ /Ы = У V/(i) d?= </x(bi> = {l°\S\h), B.7.10) где коцепь (Z1! определяется один-формой Vf(x) ds. Таким образом, в данном случае оператор 5 переводит функции (ноль-формы) в один-формы: 6 : f(x) —¦* V/(i) da. B.7.11) 2. Пусть |g2) — двумерная клетка. Тогда по теореме Стокса имеем I Ads= I rot Add. B.7.12) А|Я2> Ы Левая часть этой формулы согласно выражению B.7.4) имеет вид (/1|Д|^2)- Тогда, сравнивая определение опрератора S B.7.6) и B.7.12), получим, что S переводит один-форму Ads в два-форму rot Ada. 3. Если |/з) — трехмерная клетка, то воспользуемся теоремой Га- Гаусса I Bdv= I Bd3x. B.7.13) ды ы Так же, как и в предыдущем примере, сравнивая формулы B.7.13) и B.7.6), получим, что S может интерпретироваться как оператор, пе- переводящий два-формы В da в три-формы divBd3x.
Теория гомологии 95 Все используемые в этих примерах формулы (Ньютона-Лейбница, Стокса и Гаусса) символически записываются в виде B.7.6). Эта фор- формула, разумеется, верна для цепей и коцепей произвольной размерности и носит названия формулы Стокса. Менее формальная по сравнению с выражением B.7.6) запись имеет вид: (Р~1\= I {1Р~1\5. B.7.14) IV Здесь мы подразумеваем, что коцепи реализованы в виде диффе- дифференциальных форм. Важным свойством оператора S является то, что квадрат его равен нулю S2 = 0. B.7.15) В самом деле, согласно определению B.7.6), ?2=(Д+J=(Д2)+. Но Д2=0 (см. свойство B.1.6)). Конкретная реализация формулы B.7.15) в част- частных случаях (см. формулы B.7.11) B.7.12) и B.7.13) дает хорошо из- известные в курсе анализа формулы: t n B-7-16) div rot = 0. Теперь, имея в своем распоряжении комплекс, состоящий из групп коцепей Lp и оператора кограницы 5(S2 = 0), мы можем построить группы когомологий. Определим в группе коцепей V подгруппу коциклов Ср как ядро оператора 6: С = KerS = {(Р| е Lp {F\S = О} . B.7.17) Подгруппа кограниц Вр определяется как образ оператора 6: Вр = Im5 {lp\ = (l'-1\8}. B.7.18) Всякая кограница есть коцикл: если (ЪР\еВр, то (bp\S~(bp~1\S2=O. Поэ- Поэтому ВрсСр и мы можем рассмотреть фактор-группу НР=СР/ВР. Эта
96 Глава 2 фактор-группа и есть группа когомологий порядка р. Ее элементами яв- являются классы смежности: Нр = {<с"| + Вр (<?\ 6 Ср} . B.7.19) Два коцикла (c^J и (с?2)| определяют один класс или один элемент группы Нр, если «c^l - <с?2)|) € Вр. В этом случае говорят, что эти два коцикла когомологичны. На языке дифференциальных форм коциклы это формы, которые оператором S переводятся в ноль. Такие формы называются замкну- замкнутыми. Локально каждую замкнутую форму можно представить в ви- виде (lp\ = (/P-1|J. На языке форм низших порядков мы можем это условие записать в следующем виде (см. формулы B.7.11), B.7.12) и B.7.13)): 1) Если rot А = О, то А = V/ 2) Если div В = 0, то В = rot А. К • • I Если М — обычное евклидово пространство М3, то условия B.7.20), как известно из курса анализа, выполняются всегда и определяют без- безвихревое или соленоидальное поле. В общем случае не всякую замкнутую форму {1Р\ (AР\6 = 0) можно представить в виде {1р~г\6. Пример. М = S1 — окружность. Пусть <р — угловой параметр. Тогда dp — замкнутая один-форма (два-форма на S1 отсутству- отсутствует). Однако d<p не определяет глобально один-форму, так как в окрест- окрестности точки ip = 0 функция, сопоставляющая каждой точке пара- параметр if, не является непрерывной. Формы AР |, которые допускают представление: (/*| = (F-^S, B.7.21) называются точными. Именно они являются кограницами. Поэтому, для того чтобы построить группу когомологий НР(М), надо найти все линейно независимые замкнутые формы порядка р, которые не явля- являются точными. Определение групп когомологий с помощью дифферен- дифференциальных форм составляет содержание теоремы де Рама.
Теория гомологии 97 Теперь мы установим связь между группами гомологии НР(М) многообразия М и группами когомологий НР(М). Из формулы B.7.6) следует, что = 0 ( eC™ ИГ (f' ,*|6)=?; B.7.22) [ если A\6 = О, |6)=Д|). v ' Иными словами, число (ЦЬ) обращается в ноль, если (/| — кограни- кограница и \Ь) — цикл, или \1) — коцикл и \Ь) — граница. Отсюда следует, что {1\Ь} зависит только от класса гомологии цикла \Ь) и класса когомо- когомологий коцикла (/|. Это позволяет установить изоморфизм между груп- группами НР(М) и НР(М). Отметим сразу же, что если группа гомологии содержит периодическую подгруппу, то при при переходе к когомоло- гиям она утрачивается, т. е. соответствие устанавливается по модулю кручения. В самом деле, если группа гомологии имеет НР(М) круче- кручение, то существует цикл \Ь) негомологичный нулю, но его некоторое кратное гомологично нулю А\пЬ) = 0. Например, если М — проектив- проективная плоскость (рис. 14), то это цикл Ь. Тогда если (/| кограница, то число A\Ь) = 0, хотя Д|Ь) ф 0. Когомологий имеют важное значение в нелинейных теориях поля. Коциклы, представленные в виде замкну- замкнутых дифференциальных форм, играют роль сохраняющихся токов, а интегралы от этих форм есть инвариантные топологические заряды. Аппарат когомологий важен потому, что он дает возможность опре- определить те особенности скалярных, векторных и других полей на много- многообразиях, которые зависят от топологических свойств самих многооб- многообразий, а не от конкретного вида рассматриваемых полей, определяемого теми или иными уровнями. Ясно, что для групп когомологий можно развить тот же аппарат, что и для групп обычных гомологии (рассмотреть относительные кого- когомологий, определить гомоморфизмы включения, проектирования, ко- граничный гомоморфизм, установить цепочки точных последователь- последовательностей и т. п.). К этим конкретным техническим вопросам так же, как и к различным реализациям коцепей и когомологий, мы будем обра- обращаться по мере надобности в связи с рассмотренными предложениями. В заключении этого раздела заметим, что аппарат когомологий был предложен в 1934-1935 гг. в работах нескольких математиков — Алек- сандера, Колмогорова, Уитни и Чеха.
Глава 3 Теория Морса и ассоциированные вопросы 1. Критические точки. 2. Топология «области меньших значе- значений». 3. Неравенства Морса. 4. Теорема Пуанкаре-Хопфа об индек- индексах векторного поля. 5. Оценки числа полюсов аналитической функ- функции. 6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Ри- мана-Гурвица). 7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана-Роха). 8. Топологические аспекты многоканальной задачи. 3.1. Критические точки Мы возвращаемся к разделу 1.1 с тем, чтобы напомнить постанов- постановку вопроса о критических точках. Пусть f(xi, ..., хп) — дважды диф- дифференцируемая функция п действительных переменных. Критической называется точка, в которой градиент функции равен нулю: ^=0; i = l,...,n. C.1.1) Поэтому в окрестности критической точки приращение функции может быть записано так: ^ЧЕ^^.Дх,. C.1.2) Критическая точка называется невырожденной, если
Теория Морса и ассоциированные вопросы 99 Симметричная матрица п х п (д2f /dx{dxj) может быть приведена к диагональной форме линейным преобразованием: Ду,- = ^*уДаг,-, C.1.4) з где S — неособенная матрица. Тогда в невырожденной критической точке при соответствующем выборе масштаба измерения новых ло- локальных переменных Ду,- формула C.1.2) может быть переписана в виде A.1.1): Д/ = - ^ i=l i=k+l Мы называем точку критической типа К, если число отрицательных квадратов в формуле C.1.5) равно К. Очевидно, что точка типа 0 есть минимум /, точка типа п — максимум, точки типа к при 0 < к < п называются седловыми. В частности, если u(xi, жг) — функция, гар- гармоническая в некоторой области, то все ее внутренние критические точки — седловые (к = 1). Действительно, д2и \ (Ри&и / д2и [/"l 1/J/2 \UX1OX2 поскольку для гармонических функций ЭЧ д2и dxj ~ Щ Из формулы C.1.6) следует, что в формуле C.1.5) для Аи дол- должен быть один отрицательный и один положительный квадрат, так как det(d2 f /dxidxj) инвариантен относительно преобразования C.1.4). Рассмотрим поверхность уровня, содержащую критическую точ- точку, т. е. поверхность f(xi) = f(xf) = /с, где х\ — координаты кри- критической точки. В окрестности критической точки на этой поверхнос- поверхности Д/ = 0 и уравнение поверхности уровня в локальных координа- координатах Ayi = г/,- — у1 будет иметь вид: к п ^2 (Aj/jJ = 0. C.1.7) j=k+l
100 Глава 3 Таким образом, в окрестности критической точки поверхность уровня, содержащая критическую точку, в первом приближении сов- совпадает с конусом. Если окружить критическую точку сферой Sn~1 ма- малого радиуса е, то в тех же координатах уравнение этой сферы 5" запишется так: t=i Пересечение конуса со сферой 5" C.1.8) есть прямая сумма двух e2 (зл-9) i=k+l Пусть теперь мы имеем поверхность уровня, отвечающую значе- значению функции /с — S2 < /с, где S — малое число (S < е). Лежащие на этой поверхности точки, близкие к критической, удов- удовлетворяют уравнению гиперболоида: C.1.10) Пересечение гиперболоида C.1.10) со сферой C.1.8) снова дает прямую сумму двух сфер: е2 + 82\ C.1.11) (Л li=l ?n-fc-i = I ? Ay2 = 2 ^
Теория Морса и ассоциированные вопросы 3.2. Топология области меньших значений 101 Многообразие всех точек, в которых функция / меньше заданного числа А, называется областью меньших значений и обозначается сим- символом (/ < А). Ясно, что при прохождении через критическую точку, т. е. при росте А от А = /с — S до А = /с + S, топологическая структура области меньших значений претерпевает изменения. Это иллюстриру- иллюстрируется рис. 35 на примере функции от одного переменного, заданной на интервале (а, Ь). и Рис. 35. Изменение топологической структуры области меньших значений при прохождении через критическую точку. Область меньших значений по- показана штриховкой. Изменение топологической структуры области меньших значений при росте А можно выразить количественно через числа Бетти. На- Например, для случая, изображенного на рис. 35, нульмерное число Бет- Бетти Po(f < А) = 2 при А < /с и po{f < А) = 1 при А > /с. В общем случае изменение чисел Бетти области (/ < А) можно произвести по следующей схеме. Из области (/ < /с + S) исключаем малую шаровую окрестность Ue критической точки. Тогда if<fc + S) = (/< fc-S)uU?. C.2.1) Для нахождения чисел Бетти pr(f < fc + 6) по pr(f < fc - S) и pr(U?) можно воспользоваться теоремой сложения B.6.62), полагая /с - S), М2 = U?, M1r\M2 = (f <fe-8)n U,. C.2.2)
102 Глава 3 Мы докажем, что пересечение М1Г)М2 гомеоморфно прямой сумме шарового слоя Д* и шара R?~k-- Rk © Ro~k (к > 0). В самом деле {fen Ч Ау ? Шп - Y^ i=i М2 = < Ау ? Шп ' "" решая совместно эти неравенства, получим П о !•¦ ^ /А 7/ <^" / ¦< ^г 2 i=k+l Первое из них определяет шар .Rq к в пространстве Mn fc, а второе — шаровой слой R\ в пространстве Шк. Поэтому Мг П М2 = Rk Ф Ro~k (прямое произведение). Для чисел Бетти произведения двух топологических пространств имеет место формула Пуанкаре Так как Pj(R$) = 0 и po(R%) = 1 (см. равенство B.6.74)), a Pj(Rk) =Pj(Sk~1) (см. выражение B.6.82)), то i=0 Поскольку Ur = Дп (n-мерный шар), согласно теореме сложе- сложения B.6.62) имеем Арг =рг(Щ) -pT(Sk~1) +p'r+p'r_1. C.2.3)
Теория Морса и ассоциированные вопросы 103 Здесь Apr = Pr(f <-Л + S) -Pr(f <fc~S) и р'т, р'г_г — ранги групп связывающих циклов. В данном случае свя- связывающим циклом может быть только само пересечение Mi П Мг, на котором существует единственный негомологичный нулю цикл — сфе- pa S"-1. Для г ф к, к - 1 формула C.2.3) дает Дрг = 0; гфк,к~1. C.2.4) Это получается прямой подставкой чисел рг{Щ) и pr(Sk~1), опреде- определяемых равенствами B.6.74) и B.6.80) с учетом того обстоятельства, что п > к - 1 и поэтому pn(Sk~1) = 0. Кроме того, поскольку связыва- связывающим циклом может быть только сфера S*", следует иметь в виду, что р'т = 0 при г Ф к -1м р'г_1 = 0 при г ф к. Таким образом, при прохождении критической точки типа к изме- изменение могут испытывать только числа Бетти области меньших значе- значений рк и pfc_i. Каждое из этих чисел меняется, зависит от того, является ли Sk~1 связывающим циклом или нет. Допустим, что Sk~x есть связывающий цикл. Тогда p'k_1 = 1, pk{Sk~1) = p'k = 0 и мы получаем Др* = 1, C.2.5) т. е. при прохождении критической точки А;-мерное число Бетти pk возрастает на единицу. Для г = к — 1 имеем Pk-iiS"-1) = р'^ = 1; ДрЛ_! =: 0. C.2.6) Иными словами, если Sk~x — связывающий цикл, mopj. возрастает на единицу, а остальные числа не меняются. Примем теперь, что 5fc-1 не является связывающим циклом. Тогда Рт = Рг-1 = 0 при всех г, и мы находим АРк = 0. C.2.7)
104 Глава 3 Для г = к — 1 все числа в правой части равенства C.2.3) равны нулю, за исключением pft_iE*~1) = 1. Поэтому Др*-1 = -1. C.2.8) Мы приходим к выводу, что если Sk~1 не является связывающим цик- циклом, то pk-i убывает на единицу, а остальные числа рг не меняются. Заметим, что при выводе формул C.2.4)-C.2.8) неявно предполагалось, что к ф 0, 1 (при к = 0 нет сферы Sk~1, при к — 1 po(S°) — 2, а не еди- единице, как это имеет место в общем случае дляр*-!^*)). При к — 0 все члены в правой части равенства C.2.3), кроме пер- первого слагаемого, равны нулю. Так как = 0; г > 0, то Дро = 1; C.2.9) остальные числа Бетти не изменяются. В случае к = 1 имеем Ро(Ю = 1; po(S°) =2; р'г = Рг(Щ) = Pr(S°) = 0; г > 0. Поэтому при р'о = 1 получаем Дро = 0; C.2.10) все остальные Арг = 0. Если же ро = 0, то Дро = 1; Дрг = 0; г > 0. C.2.11) Резюмируя изложенное, мы можем сказать, что всегда при прохож- прохождении критической точки типа к справедлива либо формула C.2.5), ли- либо C.2.8). Критические точки, для которых справедлива формула C.2.5) называются возрастающими типа к; точки же, удовлетворяющие фор- формуле C.2.8) именуются убывающими типа к.
Теория Морса и ассоциированные вопросы 105 3.3. Неравенства Морса Результаты предыдущего параграфа мы используем ниже для оцен- оценки числа критических точек функции, заданной на многообразии. С этой целью рассмотрим область меньших значений (/ < А), изменяя А от наименьшего значения А<, принимаемого функцией / на многооб- многообразии, до наибольшего А>. Ясно, что область (/ < А<) — пустое мно- множество; область же (/ < А>) охватывает все многообразие, на котором задана функция /. По мере изменения А числа Бетти области (/ < А) будет меняться при прохождении каждой критической точки в соответ- соответствии с полученными выше результатами: каждая критическая точка возрастающего типа к будет увеличивать на единицу число Бетти рь, каждая критическая точка убывающего типа к будет уменьшать на единицу число Бетти pk-i- Обозначим через т~? и т^ числа критичес- критических точек соответственно возрастающего и убывающего типа к. Общее число критических точек типа к будет равно тк=т++тъ, C.3.1) Заметим, что в случае к = 0 точек убывающего типа 0 нет (т^ = 0), поэтому т0 = п4 C.3.2) Основываясь на изложенном, мы можем написать для fc-мерных чисел Бетти pk следующее равенства: Рк = т+-т~+1; к = 0, 1, ... ,п - 1; C.3.3) Рп = т+. C.3.4) Здесь п — размерность многообразия; поэтому критических точек убы- убывающего типа п + 1 нет: т~+1 = 0. Формулы C.3.3) и C.3.4) дают возможность получить неравенства, оценивающие снизу числа крити- критических точек. Прежде всего, складывая равенства C.3.3) и C.3.4), получаем оцен- оценку снизу на общее число критических точек всех типов к: п п *^Ет*- C-3.5) *=0
106 Глава 3 Далее, составляя альтернированные суммы к г=0 получаем неравенство Морса: Ро ^ т0; Ро -Pi ^ ™о -mi; Ро — Pi + Р2 ^ т0 - mi + m2; C.3.6) fc=O fc=0 Заметим, что формулы C.3.5) и C.3.6) справедливы как для обычных чисел Бетти, так и для чисел Бетти (mod 2), поскольку использованная при выводе неравенств Морса теорема сложения чисел Бетти (форму- (формула B.6.62)) справедлива в обоих случаях. Для ориентируемых многооб- многообразий р — рк (mod 2), но для неориентируемых многообразий эти числа различаются и в формулы C.3.5) и C.3.6) для получения более силь- сильных оценок выгодно подставлять pk (mod 2). Например, для двумерной г г проективной плоскости 2_,Рк = 1> Т0ГДа как 2^Рк (т0(^ 2) = 3. fc=0 fc=0 Поэтому при использовании обычных чисел Бетти неравенст- г во C.3.5) для общего числа критических точек т = ^^тгц дает на- к=0 равенство т ^ 1; подстановка же в формулу C.3.5) рн (mod 2) приводит к более точной оценке. тп^З. Полученное выше неравенство относится к невырожденным кри- критическим точкам. Они будут справедливы и для вырожденных точек, если под mk подразумевать сумму кратностей геометрически различ- различных критических точек типа к. Это заключение довольно очевидно, поскольку «шевелением» параметров можно превратить вырожденную
Теория Морса и ассоциированные вопросы 107 критическую точку в близко лежащие невырожденные, так что число образовавшихся в результате «шевеления» невырожденных точек будет равно кратности вырождения исходной точки. Оценка числа геометри- геометрически различных критических точек на основе топологических харак- характеристик многообразия требует привлечения более сложных понятий алгебраической топологии, и мы этим здесь заниматься не будем. Не- Некоторые относящиеся к этой проблеме результаты изложены в цитиро- цитированной выше книге Эльсгольца [23]. Наконец, заметим, что неравенства Морса используют не всю ин- информацию о структуре групп гомологии, а только числа Бетти (за «бортом» остаются коэффициенты кручений). Поэтому топологические оценки числа критических точек в ряде случаев наверняка могут быть улучшены по сравнению с неравенствами Морса (учет кручений см. в монографии Эльсгольца). Заключая этот параграф, подчеркиваем то замечательное обстоя- обстоятельство, что топологические свойства многообразия, на котором зада- задана функция, определяет некоторые ее «обязательные» особенности. Этот факт будет использован ниже для оценки числа полюсов функции, ме- роморфной в некоторой области (разд. 3.5). Предварительно мы оста- остановимся на другом следствии неравенств C.3.6) — теореме Пуанкаре- Хопфа для векторных полей на многообразии. 3.4. Теорема Пуанкаре—Хопфа в индексах векторного поля Пусть на многообразии задано дифференцируемое векторное поле А((х), x=(xi, ... , хп), г=1, 2, ... Вблизи точки ж0 вектор поля Ai(x°) может быть представлен в виде: Ai(x) й А((х°) + *V- dxj. C.4.1) Если Ai(x°) ф 0, то ясно, что при обходе вокруг точки ж0 поворот вектора Ai(x) будет мал, если достаточно мал dxj. При полном обходе
108 Глава 3 вокруг х°, т. е. при повороте вектора на угол 2тг в двумерном случае, вектор Ai(x) не повернется. Если же Ai(x°), то C.4.2) и вектор А((х) будет поворачиваться вместе с dxj. При полном об- обходе вокруг ж0 он повернется на ±0 (П — полный телесный угол в плоскости, содержащей а;0; в двумерном случае П = 2тг), если det{dAi(x°)/dx°} ф 0, т. е. если точка х° невырождена (если степень вырождения равна т, то полный поворот вектора Ai(x) будет иметь кратность т). Таким образом, нули векторного поля являются его особыми точками: направление вектора в такой точке однозначно не определено. Будем для простоты рассматривать невырожденные осо- особые точки (напомним, что вырожденная точка может быть «шевеле- «шевелением» параметров переведена в невырожденную) и выясним вопрос о знаке угла поворота А{(х) относительно угла поворота dxj. Легко по- понять, что он определяется знаком det{dAi(x°)/dx°}, который по пред- предположению, не равен нулю, так как точка х° невырожденная. В са- самом деле, вектор Ai(x) получается из dxj линейным преобразованием с матрицей {дА^х°)/дх°}. Если детерминант этого преобразования по- положителен, то системы ортов в пространствах Л,- и dxj ориентированы одинаково, а следовательно, одинаково определены и положительные направления отсчета углов. Если же det{dAi{x°)/dx°} < 0, то поло- положительным направлениям отсчета углов в пространстве dxj отвечают отрицательные направления в пространстве Ai(x). Рис. 36 иллюстри- иллюстрирует сказанное на примере двумерного поля. Введем важное понятие. Индексом невырожденного нуля х° вектор- векторного поля А(х) называется знак детерминанта det{dAi(x°)/dx'j}. Ра- Разумеется, можно определить индексы полюсов векторного поля; при- примерами полюсов векторных полей могут служить электрическое поле кулоновского центра, магнитное поле линейного тока. Пусть в некоторой локальной системе отсчета Aj = a,j/r, где aj — вектор, регулярный при г -+ 0. Тогда вблизи полюса, т. е. при доста-
Теория Морса и ассоциированные вопросы 109 dx dx. А, Рис. 36. Направление осей и отсчета углов в пространствах dx и А при det{dAi(x°)/dx^} < 0. точно малом г(х°) = го, мы можем написать, сохраняя только старшие члены, следующее равенство: a (x) _ '¦»""¦¦" ) , . ~o_zi /0401 Поэтому при г -> 0 и Л,(ж°) -> оо вектор А{(х) будет поворачиваться вместе с dxi, как и в случае нуля поля (Ai(x°) = 0), рассмотренном выше. До сих пор мы имели дело с невырожденными особыми точками. В общем случае индекс особой точки выражается через другую величи- величину — степень отображения. Рассмотрим отображение сферы Sn~1(dx) на сферу единичного вектора А = \A\2 = которое осуществляет поле А(х) в окрестности особой точки а;0. Каж- Каждой точке у € Sn~1(A) отвечает, вообще говоря, несколько точек a; G Sn~1(dx). Степень отображения в точке х — это число, равное +1 или —1, в зависимости от того, одинаково или противоположно ориен- ориентированы окрестности сфер Sn~1(dx) и Sn~1(A) в точках ж и у. Сум- Сумма степеней во всех точках х прообраза точки у называется степенью
110 Глава 3 отображения. Казалось бы, что эта величина зависит от выбора точ- точки у 6 Sn~l(A). Однако существует теорема, согласно которой эта ве- величина одна и та же почти для всех точек у. Степень отображения — это многомерное обобщение числа оборотов при отображении S1 в S1. Индекс особой точки векторного поля А(х) (вырожденной или не- невырожденной) есть по определению степень отображения Sn~1(dx) в Sn~l{A). Интуитивно ясно, что при таком определении индекс особой точки не зависит от выбора радиуса е сферы Sn~1{dx). Если точка х° невырожденная, то данное определение, как легко понять, совпадает с предыдущим. Отметим также, что степень отображения определяется для про- произвольного гладкого отображения S™ в 5П-1 и, вообще, для гладких отображений компактных многообразий. Сумма индексов векторного поля, заданного на многообразии без края, не зависит от конкретного вида поля. Поясним это в двумерном случае. Для этого заметим, во-первых, что при обходе по замкнутому контуру, охватывающему все особые точки поля, поворот вектора бу- будет определяться суммой индексов поля. Последнее очевидно для кон- контура С\ на рис. 37. При деформации же этого контура в контур Сг результат не изменится. Представим, что имеется два линейно неза- независимых вектора поля Aj(x) и Bj(x) и что контур Сг охватывает все особые точки обоих полей. Предположим также, что контур Сг такой, что Aj(x) ф XBj(x) ни в одной из точек этого контура. Если суммы ин- индексов полей Aj(x) и Bj(x) различаются, то при обходе по контуру Сг один из векторов будет поворачиваться медленнее другого и поэтому в некоторой точке вектора Aj(x) и Bj(x) должны быть коллинеарны, что противоречит исходному предположению. Таким образом, будем считать доказанным следующий факт: сум- сумма индексов векторного поля не зависит от выбора векторного поля. Исходя из этого, мы докажем, что она является топологическим ин- инвариантом. Для вычисления воспользуемся индексами поля градиен- градиента df/dxi, i = 1, ... , п дважды дифференцируемой функции. Особыми точками этого поля будут критические точки функции f(xi, ... , хп). Будем, как и раньше, считать все критические точки функции не-
Теория Морса и ассоциированные вопросы 111 Рис. 37. Обход по контурам Ci и Съ дает один и тот же поворот вектора поля (a, b — особые точ- точки поля, между С\ и Сг особых точек нет). Рис. 38. Вектор-потенциал поля монополя Дирака. вырожденными. Тогда индекс n(q) градиента д//дх{ критической точ- точке q типа к будет равен пк = (-1)*. C.4.4) Это непосредственно следует из того, что знак det {д2 f/dxidxj} в кри- критической точке типа к равен (—l)fc. Таким образом, C.4.5) Здесь Шк — число критических точек типа к, а сумма по q распро- распространяется на все критические точки q. Однако, согласно равенству Морса (формула C.3.6)), альтернативная сумма числа критических то- точек в правой части формулы C.4.5) равна эйлеровой характеристике многообразия. Сравнение формул C.4.5) и C.3.6) доказывает теоре- теорему Пуанкаре-Хопфа (сумма индексов векторного поля на многообразии равна эйлеровой характеристике этого многообразия): C.4.6)
112 Глава 3 Следствием этой теоремы является тот факт, что векторное поле без особенностей может существовать только на многообразии, эйлеро- эйлерова характеристика которого равна нулю. Поскольку эйлерова характе- характеристика всякой четномерной сферы равна двум, то на такой поверхнос- поверхности векторного поля без особенностей задать нельзя. Это относится, в частности, и к двумерной сфере (теорема о невозможности «причесать ежа»). Хорошим примером проявления этой теоремы может служить вектор-потенциал А поля дираковского монополя. Напряженность маг- магнитного поля Н монополя с магнитным зарядом g определяется равен- равенством: Я = //ра; ?=%. C.4.7) Так как # = rotl||r, C.4.8) то в каждой точке вектор-потенциал А должен лежать в касательной плоскости к сфере, т. е. А должен быть двумерным векторным полем на сфере S2 и потому должен иметь особенности по угловым перемен- переменным при любом г. Иными словами вектор-потенциал А поля монополя будет иметь особенности в каждой точке некоторой линии в трехмер- трехмерном пространстве. Нетрудно догадаться, что этой линией должна быть полярная ось, а особые точки должны находиться в полюсах сферы, где координатная сетка (мередианы и параллели) имееет особенности. Действительно возможное решение для А имеет вид: Аг=Ав=0; A^^tgf. C.4.9) Здесь Ar, Aq, Av — компоненты А в сферической системе координат. Особыми точками поля А являются точки 9 = 0, тг, причем индексы поля А в каждой из этих точек п@) = п(ж) = 1 (см. рис. 38), так что сумма индексов равна двум, как это и должно быть для S2 согласно формуле C.4.6). Из теоремы Пуанкаре-Хопфа в данном случае следу- следует, что никаким изменением калибровки потенциала эти особенности вектор-потенциала поля монополя устранить нельзя.
Теория Морса и ассоциированные вопросы 113 Уже упоминавшимся ранее следствием теоремы Пуанкаре-Хопфа является также и тот факт, что аналитическая функция одного пере- переменного, голоморфна во всей комплексной плоскости, не может быть отлична от константы. В самом деле, действительная и мнимая час- части такой функции должны быть гармоническими функциями во всей плоскости. Критические точки отличной от константы гармонической функции двух переменных могут быть только седловыми точками ти- типа к = 1 (см. разд. 3.1, формулу C.1.6)). Следовательно, согласно формуле C.4.4) все индексы особых точек градиента гармонической функции отрицательны. С другой стороны, комплексная плоскость го- меоморфна сфере S2, эйлерова характеристика которой положитель- положительна (x(S2) = 2). Таким образом, существование отличной от константы аналитической функции, голоморфной во всей комплексной плоскос- плоскости z, противоречило бы формуле Пуанкаре-Хопфа C.4.6). 3.5. Оценка числа полюсов аналитической функции Неравенства Морса для числа критических точек относятся к дей- действительным функциям действительных переменных. Они, однако, мо- могут быть использованы для оценок числа полюсов и нулей аналити- аналитической функции f(z) комплексной переменной z, если вместо самой функции f(z) рассматривать действительную функцию: U(x, у) =ln\f(z)\; z = x + iy. C.5.1) Вблизи нуля или полюса мероморфной в некоторой области функ- функции f(z) функция U может быть представлена в виде: U = mln\z-zi\ + <p(x,y), C.5.2) где т — кратность нуля (то > 0) или полюса (т < 0), а (р(х, у) — гар- гармоническая в окрестности z\ функция двух переменных. Легко видеть, что точка z — z\ будет играть роль критической точки функции U: при т > 0 — роль минимума, при т < 0 — роль максимума. То об- обстоятельство, что U обращается к точке z\ в бесконечность, для наших целей несущественно. Поскольку z\ — изолированная точка, мы мо- можем, окружив ее некоторой достаточно малой окрестностью радиуса е,
114 Глава 3 «регуляризовать» функцию U в этой точке, т. е. заменить U на функ- функцию U, конечную в точке zy и имеющую в ней минимум, если (т > 0) или максимум (то < 0). Используя затем теорию Морса применитель- применительно к регуляризованной функции U, мы получим для нее оценки снизу для чисел критических точек, которые, очевидно, будут справедливы и для U, т. к. топологические свойства областей меньших значений будут одинаковы для обеих функций при любом сколь угодно малом радиу- радиусе е упомянутой окрестности логарифмического полюса z\. Отметим, что т-кратный полюс или нуль функции f(z) будет при этом высту- выступать как простой (некратный) максимум или минимум функции U. Нам остается теперь лишь применить соотношения C.3.6) к функ- функции двух переменных. Многообразием, характеризуемым числами Бет- Бетти рг, является в рассматриваемом случае область мероморфности функции f(z). Тогда из формулы C.3.6) получаем следующие соотно- соотношения: т0 +тх + тмакс ^ р0 + Pi +V2\ C.5.3) то-mi Л- Томакс = Ро - Pi + Р2 = Х- C.5.4) Здесь т0 — суммарное число нулей f(z) и минимумов функ- функции С/, не являющихся нулями f(z); mi — число седловых точек функ- функции U; тмакс — суммарное число полюсов f(z) и максимумов функ- функции U, не являющихся полюсами f(z). При этом в соответствии со сказанным ранее в числа то и тмаКс входят только геометрически раз- различные нули и полюса функции f{z), т. е. каждый нуль или полюс вне зависимости от кратности считается один раз. Применим теперь соотношения C.5.3) и C.5.4) к оценке числа по- полюсов и нулей функции мероморфной в области Sf, т. е. сферы с I дырками, которая гомеоморфна кругу Rf_1 с I - 1 дырками. В этом случае минимумы и максимумы функции U, не являющиеся нулями или полюсами f(z), могут быть расположены только на границе облас- области, т. к. эти экстремумы должны принадлежать гармонической функ- функции <р(х, у) (см. формулу C.5.2)), все внутренние критические точ- точки которой могут быть только седловыми. Далее заметим, что в чис- число тмакс в формулах C.5.3) и C.5.4) не входят максимумы, лежащие на границе. Действительно, топологическая структура области мень- меньших значений при прохождении точки граничного максимума не мо-
Теория Морса и ассоциированные вопросы 115 жет измениться; не меняются при этом, следовательно, и числа Бетти области меньших значений. Последнее, в свою очередь, означает, что в правые части равенств C.3.3) и C.3.4) для к = п w к = п — 1 граничные максимумы не дают вклада. Таким образом для области с границей «макс = ТПр, C.5.5) где тпр — число внутренних полюсов функции f(z). Согласно изложен- изложенному, то для области с границей равно сумме чисел геометрически различных нулей функции f(z) и граничных минимумов функции U, не являющихся нулями f(z). Согласно предыдущему для области Sf при I ф 0 мы имеем = 0. C.5.6) Отсюда из формул C.5.3), C.5.4) следует т0 + тг +тр ^1; C.5.7) то-т1 + тр = x(Sf) =1-1. C.5.8) Мы рассмотрели область мероморфности Sf, т. е. сферу с I дыр- дырками. Рассуждая совершенно аналогичным образом, можно получить ограничения на числа т0, mi и тпр для функции, мероморфной на ри- мановой поверхности, гомеоморфной сфере PgCg ручками и I дырками. При этом мы получим т0 + mi + тр ^ 2g +1 + 2; C.5.9) то - mi + тпр = x(Pg) =2~2g-l. C.5.10) 3.6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Римана—Гурвица) В этом параграфе мы выразим эйлерову характеристику римано- вой поверхности алгебраической функции одной переменной через чис- число листов и порядки ветвления точек ветвления. Поскольку римановы поверхности алгебраических функций одной переменной являются ори- ориентируемыми двумерными многообразиями без края, то эйлерова ха- характеристика полностью определит топологические свойства рассмат- рассматриваемой римановой поверхности.
116 Глава 3 Пусть q есть точка ветвления и lq ее порядок ветвления (lq > 1 — целое число; lq — 1 отвечает регулярной неветвящейся точке q). Напом- Напомним, что алгебраическая функция имеет конечное число точек ветв- ветвления и все они конечного порядка (lq < оо). Введем число nq, равное числу точек римановой поверхности «над q», т. е. числу значений алгеб- алгебраической функции и = f(z) в точке z = q. Если бы q была регулярной точкой (lq = 1), то, очевидно n(q) было бы равно числу листов п. Ес- Если же q является точкой ветвления (lq > 1), то пд связано с числом листов п и порядком ветвления lq простым соотношением: п = nqlq. C.6.1) Это равенство получается следующим образом. В окрестности изоли- изолированной точки ветвления q аналитическая функция f(z) может быть представлена в виде: f(z-<?)V C-6.2) Согласно определению число значений f(q) есть nq; число же зна- значений второго слагаемого в формуле C.6.2) равно числу значений кор- ня (z - q)''«, т. е. lq. Отсюда следует, что общее число значений функ- функции f(z) во всякой точке z, не являющейся точкой ветвления, т. е. число листов п функции f(z), равно произведению nq ¦ lq, как это и записано равенством C.6.1). Допустим теперь, что область Mz комплексной плоскости z, в кото- которой задана наша функция f(z), разбита на клетки, причем числа нуль- нульмерных клеток (вершин), одномерных клеток (ребер) и двумерных кле- клеток (граней) равны соответственно Ko{Mz), Ki(Mz) и А"г(М2). Будем считать, что все точки ветвления, лежащие в М2, являются верши- вершинами клеточного разбиения. Это будет означать, что ни одна из точек ветвления не лежит на ребрах или гранях нашего клеточного разбиения (напомним, что все клетки являются открытыми шарами и не содер- содержат своих границ, т. е. ребра — вершин, а грани — ребер и вершин). Клеточное разбиение Mz индуцирует клеточное разбиение римановой поверхности М рассматриваемой функции. Согласно сказанному, числа
Теория Морса и ассоциированные вопросы 117 ребер К\{М) и граней К2{М) индуцированного клеточного разбиения римановой поверхности М дают соотношения Kr(M) = nKr(Mz); г = 1, 2. C.6.3) Что же касается числа вершин, то оно, очевидно, будет равно К0(М)=п Яо(М2)-^1 +ХХ- C-6-4) L J Здесь суммы по q распространены на все точки ветвления. Используя далее равенство C.6.1), мы можем переписать выражение C.6.4) в сле- следующей форме: q{lq-\). C.6.5) С помощью формул C.6.3) и C.6.5) получаем соотношение между эйле- эйлеровыми характеристиками х(М) римановой поверхности М и х(М2) области Mz комплексной плоскости z: Х(М) = nX(Mz) - Y, »*(*« - !)• C-6-6) Это и есть формула Римана-Гурвица. Для алгебраической функции об- областью Mz может быть вся комплексная плоскость, гомеоморфная сфе- сфере (сфера Римана; формула C.6.6) была написана Риманом имено для этого случая). Для функции же, имеющей не только корневые, но и ло- логарифмические точки ветвления, Mz есть область, содержащая корне- корневые и не содержащая логарифмические точки ветвления. В этом случае, очевидно, Mz гомеоморфно сфере с некоторым числом дырок. Заметим, что сумму в формуле C.6.6) формально можно считать распространен- распространенной на все точки области q, так как для регулярных (неветвящихся) точек lq — 1 = 0 и эти точки фактического вклада в указанную сумму не дадут.
118 Глава 3 3.7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана—Роха) Совокупность всех мероморфных функций, имеющих полюса крат- ностей, не превышающих заданных целых чисел mi, тг, ... , mg_i, ms соответственно в фиксированных точках zi, z2, . ¦ ¦ , ze-i, za = oo комп- комплексной плоскости переменной z, образует линейное пространство раз- размерности 1 = т+1, C.7.1) где m — есть сумма кратности полюсов. Действительно, произвольная функция такого типа может быть представлена в виде: t^-- C.7.3) r=0 t=l fci = l K %> Ясно, что линейная комбинация функций C.7.2), отличающихся коэф- коэффициентами аТ и ау, но характеризующихся теми же zt и гп{, будет опять-таки функцией типа C.7.3). Каждая функция C.7.2) при фикси- фиксированных Z{ и rrii однозначно определяется заданием / «координат», т. е. чисел Q0, ... , атз, ctiti, ... , ai,mi, ae_i,i, ... , aa-i>ms_1. Любые I + 1 функций типа C.7.3) обязательно линейно зависимы. Все сказанное равнозначно утверждению, что рассматриваемые мероморф- ные функции образуют линейное пространство размерности /, опреде- определяемой равенством C.7.1). Представим, что мы имеем некоторую алгебраическую функцию. Она, вообще говоря, будет мероморфна не на комплексной плоскости z, а на отвечающей данной функции римановой поверхности. Так же, как
Теория Морса и ассоциированные вопросы 119 и в рассмотренном выше случае для плоскости множество мероморф- ных на определенной конечно-листной римановой поверхности функ- функций, имеющих в фиксированных точках полюса, кратности которых не превышают заданных для каждого полюса чисел, является линейным пространством. Спрашивается, какова размерность этого пространст- пространства? Легко понять, что ответ будет не столь прост, как в разобранном случае для плоскостей. Например, на римановой поверхности функции \/z2 — Ь + Vz2 — с а Л Z-Zi будут четыре простых (некратных) полюса, но размерность простран- пространства мероморфных функций, имеющих простые полюса в этих точках римановой поверхности, равна всего лишь двум. Связь между сум- суммой кратностей полюсов, родом римановой поверхности, т. е. чис- числом ручек g, вклеенных в сферу, и размерностью пространства меро- мероморфных функций на римановой поверхности определяется формулой Римана-Роха. Мы приведем здесь эту формулу без вывода, но пояс- поясним некоторые связанные с ее выводом понятия, имеющие более общую значимость. К числу таковых относится понятие дивизора. Дивизором называется формальная сумма: к iai, C.7.4) где сц — точки римановой поверхности, а щ — положительные или от- отрицательные целые числа; используя введенную ранее терминологию, можно сказать, что сумма C.7.4) есть нульмерная цепь. Коэффициен- Коэффициенты Hi называются порядками точек а,- и иногда обозначаются так: щ = (ord D)i. C.7.5) Говорят, что Di > D2, C.7.6) если (ord D\)i > (ord 1JI для всех точек i. Сумма всех щ называется степенью дивизора D и обозначается символом deg degD = ]Г(ord D){. C.7.7)
120 Глава 3 Совокупность всех дивизоров, натянутых на точки сц, ... , а*, образу- образует, очевидно, аддитивную группу. Ее подгруппой является множество дивизоров, для которых degD = 0. C.7.8) Дивизоры, удовлетворяющие равенству C.7.8), называются главными. Они замечательны тем, что каждому такому дивизору отвечает ме- роморфная на данной римановой поверхности функция, имеющая в точках а,- нули или полюса. Дивизор, отвечающий мероморфной функ- функции /, обозначается символом (/). Сопоставление мероморфной функ- функции дивизора принято производить по правилу: (ord(/))j < 0, если щ — полюс /; C.7.9) (ord(/))i > 0, если а,-— нуль/, C.7.10) причем |(ord(/)),-| равен кратности соответственно полюса или нуля. Поскольку у мероморфной функции сумма кратностей полюсов равна сумме кратностей нулей, то deg(/) = ?>rd (/))•• =0 C.7.11) и дивизор (/) является главным. Важным является понятие размерности дивизора D. Размерностью дивизора D (dimD) называется размерность пространства мероморф- ных функций,таких, что (/) > -D. C.7.12) Заметим, что если D <0, то согласно определению C.7.12) dimD = 0. Далее, если D = 0, то, очевидно, dimD = 1, поскольку в этом слу- случае возможна лишь мероморфная функция, не имеющая полюсов, т. е. константа.
Теория Морса и ассоциированные вопросы 121 Среди дивизоров, помимо главных дивизоров, определенную роль играют так называемые канонические дивизоры С, которые отлича- отличаются тем, что их степень равна взятой с обратным знаком эйлеровой характеристике сферы с g ручками: degC = 2g-2 = X(Pg). C.7.13) Канонические дивизоры С связаны с абелевыми дифференциалами, од- однако мы не можем здесь обсуждать этот аспект. В терминах дивизоров теорема Римана-Роха может быть сформу- сформулирована следующим образом: dimD = degD-g+l + dim(C-D). C.7.14) Здесь g— род (число ручек) рассматриваемой римановой поверхности алгебраической функции, С — один из канонических дивизоров. Пользуясь формулой C.7.14), найдем размерность канонического дивизора. Полагая D = С и учитывая, что dim(C — D — 0) — 1, имеем = 2g-2-g+l + l=g. C.7.15) Далее легко установить, что если degD>2g-2, C.7.16) то dim(C - D) = 0. C.7.17) Действительно, в этом случае deg(?» - С) > 0 C.7.18) и для главного дивизора (/), отвечающего мероморфной функции /, мы должны иметь (/) > -(С -D)=D -С. C.7.19) Отсюда следует deg(/) > deg(?> - С) > 0,
122 Глава 3 что невозможно, так как deg(/) = 0, Это означает, что нет ни одной ме- роморфной функции, удовлетворяющей условию C.7.19) или, другими словами, что размерность соответствующего пространства мероморф- мероморфных функций равна нулю. Резюмируя изложенное, на основе формулы Римана-Роха можем высказать следующее утверждение. Пусть сумма кратностей полюсов мероморфной функции на римановой поверхности рода g равна т. Тог- Тогда размерность I пространства мероморфных функций на этой римано- римановой поверхности определяется формулой: l = m- g+1 + S, 6^0, C.7.20) причем заведомо 6 = 0, если m>2g~2. C.7.21) Для случая комплексной плоскости, которая гомеоморфна сфере S2, (g= 0), неравенство C.7.21) выполнено всегда и формула C.7.20) пере- переходит в выражение C.7.1). Если же g > 0, то даже при 1 = 2 (наимень- (наименьшая размерность, отвечающая пространству мероморфных функций, отличных от константы) число полюсов т может достигать значения m = g+l. C.7.22) Из формул C.7.20) и C.7.21) следует также, что при g= 1 и т ф 0, т = I ^ 2. C.7.23) Это значает, что отличная от константы (/ ^ 2) мероморфная на торе функция должна иметь по меньшей мере два полюса или один двукрат- двукратный, тогда как минимальное значение т для сферы равно единице. В более общем случае g ^ 1 из формулы Римана-Роха следует неравен- неравенство Киллинга: т ^ 2/ - 2, g^l. C.7.24) 3.8. Топологические аспекты многоканальной задачи Нас будут интересовать топологические свойства римановой по- поверхности многоканальной 5-матрицы. Мы будем предполагать, что все
Теория Морса и ассоциированные вопросы 123 каналы двухчастичные и, следовательно, все пороговые точки ветвле- ветвления корневые (lq = 2). Далее примем, что частицы в каждом из каналов нерелятивистские, имеют равные массы и равные нулю спины (послед- (последнее условие введено из желания избежать мешающих выявлению су- существа дела алгебраических усложнений). Наконец, мы будем считать, что число открытых каналов при любой сколь угодно большой энергии начального состояния конечно и не превышает N. Массу наиболее тя- тяжелой частицы обозначим через mi. Подразумевается, что вырождения нет (разные частицы имеют разные массы). Таким образом, mg<m1, s = 2,3,..., N. C.8.1) При указанных выше ограничениях закон сохранения энергии дает 2тщ + ^i- = 2mj + %-, г, j = l,2,...,N. C.8.2) ГП{ nij Здесь Pi, pj — импульсы в с. ц. и. Для дальнейшего удобно ввести пе- переменные: 1 = 1,..., /V. (З.о.З) Тогда из выражения C.8.2) имеем ks = y/Q2 + к\, Q2 = 2(roi - го.) > 0, a = 2, 3, ... , N. C.8.4) Рассмотрим парциальную волну с определенным угловым моментом. 5-матрица в этом случае будет матрицей N х N, зависящей от пере- переменных ki, а фактически — от одной переменной к\, как это видно из выражения C.8.4). Заметим, что из унитарности и Т-инвариантности 5-матрицы следует соотношение о \гъ\, . . . , Л^у ) — j у — fc-y , . . . , —Kjy}. уо.О.О) При подходящем выборе разрезов в комплексной плоскости к\ можно получить1 'Мы придем к этому соотношению, проведя в плоскости разрезы по мнимой оси от точек iQa до точек —iQ.
124 Глава 3 Тогда равенство C.8.5) сведется по существу к условию симметрии одноканальной задачи: S*(ki) = S(-k{). C.8.7) Итак, матричные элементы 5-матрицы являются в рассматри- рассматриваемом случае аналитическими функциями переменной fei, имеющи- имеющими N — 1 пар корневых точек ветвления с порядками ветвления lq = 2. Поскольку каждая переменная кв(кг), как функция от кг, двузначна, число листов п римановой поверхности, происходящих от пороговых ветвлений, будет, очевидно, таким: n = 2N~X. C.8.8) Если вместо переменной ki рассматривать энергию Е\ = к\, то доба- добавится еще одно ветвление второго порядка и число листов 5-матрицы как функции переменной Е\ увеличится Ег: п = 2N. C.8.9) Помимо унитарных разрезов, о которых шла речь выше, 5-матрица ис- испытывает скачки еще на так называемых динамических разрезах, обу- обусловленных взаимодействием. Динамические разрезы не будут здесь интересовать нас: они могут трактоваться либо как дырки в римано- римановой поверхности, возникшей за счет пороговых ветвлений, либо вообще в определенном («сепарабельном») приближении могут быть заменены полюсами (в этом случае 5-матрица будет мероморфна на «пороговой» римановой поверхности). С помощью формулы Римана-Гурвица C.6.6) определим род рима- римановой поверхности 5-матрицы iV-канальной задачи. Согласно сказан- сказанному выше в этом случае для всех точек ветвления по переменной fci имеем общее же число точек ветвления равно 2(iV — 2). Таким образом, q(lq — 1) = (N — 1J C.8.11)
Теория Морса и ассоциированные вопросы 125 и для эйлеровой характеристики римановой поверхности xWn), пола- полагая x{Mz) = x(S2) — 2) получаем n) = 2^2 - (iV - l^* = 2^C - N). C.8.12) Так как род g{M^) (число ручек) поверхности М^ связан с соотношением: C.8.13) то, подставив выражение C.8.12) в формулу C.8.13), найдем g(MN) = 2N-2(N-Z) + l, N21. C.8.14) Из этой формулы следует g(M%) = g{M2) = 0, Mi ~ M2 ~ 52, C.8.15) т. е. что римановы поверхности одноканальной и двухканальной 5-матриц топологически эквивалентны друг другу и гомеоморфны сфере 52. Многоканальность сказывается на топологических свойст- свойствах Мдг, начиная с N = 3. Для N = 3 формула C.8.14) дает g(Mz) = l, M3 = Pi. C.8.16) Таким образом, Мз гомеоморфна тору. Как может проявиться различие сферы и тора в свойствах 5-матрицы, обсудим ниже. Предварительно же найдем род римановой поверхности переменной Е\. В этом4 случае имеем Ei-.lq-1 = 1, ng = ~=2N~1. C.8.17) z Общее число точек ветвления равно N + 1, так как, кроме iV-порогов, точкой ветвления является еще и бесконечно удаленная точка. Отсюда следует ?>9(f9 - 1) = (W + l^1 C.8.18)
126 Глава 3 и в соответствии с формулой C.6.6) получаем г^-^З - N), C.8.19) т. е. ту же формулу, что и для римановой поверхности по перемен- переменной ki, хотя числа листов и точек ветвления в обоих случаях неоди- неодинаковы. Уже это обстоятельство указывает на то, что топологические инварианты римановой поверхности улавливают нечто относящееся к физическому существу многоканального процесса, а не к способу его описания в отличие от конкретной многолистной реализации римано- римановой поверхности, выглядящей совершенно различно для различных пе- переменных. Чтобы продемонстрировать влияние топологических характерис- характеристик римановой поверхности на свойства многоканальной 5-матрицы, рассмотрим упоминавшееся выше сепарабельное приближение, в ко- котором все динамические разрезы заменены полюсами и, следователь- следовательно, 5-матрица мероморфна на сфере с g ручками Pg. Тогда из форму- формулы C.7.24) вытекает, что даже при самой «бедной» динамике, при кото- которой элементы 5-матрицы «едва» отличны от констант, т. е. наименьшей размерности / = 2 пространства мероморфных функций, число полю- полюсов m(N) в iV-канальном случае при п ^ 3 должно быть больше двух m(N) > 2. C.8.20) Вообще же даже при I = 2 число полюсов 5-матрицы может достигать значения (см. формулу C.7.22)): m{N) = 2N~2(N-3) + 2, N > 1 C.8.21) Вместе с тем в одно- и двухканальном случаях при I — 2 возможен лишь один полюс. Мы не рассматриваем здесь вопрос о связи размерности простран- пространства мероморфных функций с конкретной физической параметриза- параметризацией динамики многоканальной задачи — это увело бы нас слишком далеко от основного направления данных лекций. Мы не будем так- также рассматривать оценок на числа полюсов и нулей многоканальной 5-матрицы, базирующихся на неравенствах Морса. Наша цель в этом разделе заключалась в том, чтобы показать, каким образом топологи- топологический подход помогает получить представление в целом о специфике
Литература 127 многоканального процесса по сравнению с одноканальным. Мы убеди- убедились, что уже самое начальное исследование в этом направлении позво- позволяет различить «с какого N начинается многоканальный случай» (та- (таким критическим числом является N = 3). Мы видели также, что сам факт увеличения числа каналов по чисто геометрическим причинам мо- может качественно сказаться на свойствах физической системы, если, ко- конечно, связь между каналами не мала. Подчеркивая «геометрический» характер этих качественных изменений, мы имеем ввиду отдалить привычные модификации за счет, например, усиления взаимодействия между частицами, которые имеют место и в одноканальном случае. С увеличением числа достаточно сильно связанных каналов возникают и новые особенности, обусловленные причинами такого рода, поскольку появляются дополнительные «диагональные» взаимодействия, вызван- вызванные виртуальными переходами типа канал j -> канал S -> канал j. Использование же топологических методов позволяет понять, что, по- помимо таких эффектов, в многоканальных процессах имеется довольно глубоко скрытая специфика, слабо зависящая от конкретной динами- динамической модели. Литература [1] Болтянский В. Г., Ефремов В. А. Очерк основных идей тополо- топологии. — «Математическое просвещение» 1957, №2, 1958, №3, 1959, №4, 1961, №6. [2] Гильберт Д., Кон-ФоссенС. Наглядная геометрия. Пер. с нем. М., ОНТИ, 1936. [3] Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. Пер. с анг. М., «Мир», 1970. [4] ХуаР., Теплиц В. Гомология и фейнмановские интегралы. Пер. с англ. М., 1969. [5] ФамФ. Введение в топологические исследования Ландау. Пер. с англ. М., «Мир», 1970. [6] Фет А. И. Топология и вариационное исчисление. Вторая летняя математическая школа. Киев, «Наукова думка», 1965. [7] Matveev V. В. Abelian functions and solutions. Wroclaw, 1976.
128 Литература [8] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ- функционального анализа. М., «Наука», 1972. [9] Pollard E.R. An introduction to algebraic topology. GERN, 1976- 1977. [10] ПотрягинЛ. С. Основы комбинторной топологии. М., «Наука», 1976. [11] КурошА. Г. Теория групп. М., ГИТТЛ, 1953. [12] Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. Пер. с англ. М., «Мир», 1967. [13] АрнольдВ. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1971. [14] ДолъдА. Лекции по алгебраической топологии. Пер. с англ. М., «Мир», 1976. [15] СпеньерЭ. Алгебраическая топология. Пер. с англ. М., «Мир», 1971. [16] Хилтон П., УайлиС. Теория гомологии. Введение в алгебраичес- алгебраическую топологию. Пер. с англ. М., «Мир», 1966. [17] Телеман К. Элементы топологии и дифференцируемые многообра- многообразия. Пер. с рум. М., «Мир», 1967. [18] Фукс Д. Б. Гомотопическая топология. М., Изд-во МГУ, 1967. [19] Рохлин В. А., Фукс Р. Б. Начальный курс топологии. М., «Наука», 1977. [20] НолидзуК. Группы Ли и дифференциальная геометрия. Пер. с англ. М., 1960. [21] Пуанкаре А. Избранные труды. Пер. с фр. М., «Наука», 1972, Т.П. [22] Морс М. Топологические методы теории функций комплексного пе- переменного. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1951. [23] ЭлъсголъцЛ.Э. Качественные методы в математическом анализе. М., ГИИТЛ, 1955. [24] Милнор Дж. Теория Морса. Пер. с англ. М., «Мир», 1965. [25] Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Пер. с англ. М., «Мир», 1972. [26] Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Пер. с рум. М., Изд-во иностр. лит., 1962, т. I, гл. X; т. 2, гл.УТЫХ. [27] ГурвицА., КурантР. Теория функций. Пер. с нем. М., «Наука», 1968.