АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ

А. М. МЕЙРМАНОВ

ЗАДАЧА СТЕФАНА

Ответственный редактор
д-р физ.-мат. наук В. Н. Врагов

1 X^FKIBCbKA Д "РЖА В НА
| ; ...КОЗА НБЛЮТЕКА

b Г;

1

о

НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1986
УДК 517.958

Мейрманов А. М. Задача Стефана.— Новоси-
бирск: Наука, 1986.

В монографии систематически излагается математиче-
ская теория кристаллизации плавления чистого вещества.
Доказывается корректность математической модели и описы-
ваются качественные свойства решения. Впервые проводит-
ся полное исследование классического решения в случае
двух и более пространственных переменных, дается опре-
деление переходной фазы, изучаются условия ее возникно-
вения и динамика взаимодействия переходной фазы с твер-
дой и жидкой фазами, строятся приближенные модели в
двухфазной задаче Стефана.

Книга рассчитана на специалистов в области математи-
ческой, физики.

Рецензент ы В. С. Белоносов, В. В. Пухначев

М

1702050000-711

042(02) - 86

108—86—1

g) Издательство «Наука», 1986 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................ °

Введение........................................................... ®

Глава I. Предварительные сведения........................... 13

§ 1.	Постановка задачи.....................................—

§ 2.	Принятые обозначения. Вспомогательные	предложения	.	.	24

§ 3.	Существование и единственность обобщенного решения зада-
чи Стефана................................................32

Глава 11. Классическое решение многомерной задачи	Стефана	...	36

§ 1.	Однофазная задача Стефана. Основной результат ....	—

§ 2.	Простейший вариант задачи .	.........................39

§ 3.	Построение приближенных решений однофазной задачи Сте-
фана на малом интервале времени.............................  47

§ 4.	Оценка снизу интервала существования решения. Предельный
переход •.....................................................51

§ 5.	Двухфазная задача Стефана................................ 61

Глава Ш. Существование классического решения многомерной задачи
Стефана на произвольном интервале времени ....	65

§ 1.	Однофазная задача..........................................—

§ 2.	Двухфазная задача. Устойчивость стационарного решения 79 •

Глава IV. Переменные Лагранжа в многомерной однофазной задаче
Стефана............................................................89

§ 1.	Постановка задачи в переменных Лагранжа....................—

§ 2.	Линеаризация..............................................91

§ 3.	Корректность линейной модели..............................94

Глава V. Классическое решение одномерной задачи Стефана для одно-
родного уравнения теплопроводности..................................98

§ 1.	Однофазная задача Стефана. Существование решения ...	—

§ 2.	Асимптотическое поведение решения однофазной задачи Сте-
фана при неограниченном возрастании времени ....	107

§ 3.	Двухфазная задача Стефана...............................112

§ 4.	Исключительные случаи: однофазное начальное состояние;
нарушение у^ювий согласования; неограниченные области 122

§ 5.	Двухфазная многофронтовая задача Стефана.................127

§ 6.	Фильтрация тяжелой сжимаемой жидкости в вертикальной
пористой галерее.............................................130

Глава VI. Структура обобщенного решения одномерной задачи Стефана.
Существование переходной фазы.....................................142

§ 1.	Неоднородное уравнение теплопроводности. Возникновение
переходной фазы..................................................

$ 2.	Однородное уравнение теплопроводности. Динамика взаимо-
действия переходной фазы с твердой или жидкой фазами 149
§ 3.	Однородное уравнение теплопроводности. Случай существова-
ния жидкой, твердой и переходной фаз одновременно .	.	.	158

§ 4.	Случай	произвольного распределения удельной внутренней

энергии	в начальный момент времени..........................162

Глава, VII. Периодические по времени решения одномерной задачи Сте-
фана	..................................................174

§ 1.	Построение обобщенного решения..............................175

§ 2.	Структура переходной фазы для знакопостоянной температу-
ры на границе области О» .	.	........................177

§ 3.	Случай знакопеременной функции 0+(«).......................182:

Глава VIII. Приближенные модели в двухфазной задаче Стефана .	.	193

§ 1.	Постановка задачи.	Описание	результатов.—

§ 2.	Существование и единственность обобщенного решения за-
дачи (40)...................................................201

§ 3.	Существование классического	решения задачи	(Л о)	.	.	.	205-

§ 4.	Квазистационарная	одномерная задача Стефана	(задача	(С))	218

Моделирование процессов кристаллизации с непостоянной температурой
плавления (И. Г. Гетц, А. М. Мейрманов).............................224

Литература.............................................................230
ПРЕДИСЛОВИЕ

Со времени издания первой монографии [82] по про-
блеме Стефана прошло почти двадцать лет. За это время
появились новые идеи и методы исследования, позволив-
шие решить ряд крупных задач. В какой-то мере про-
блема Стефана в своей первоначальной постановке исчер-
пала себя, и возникла необходимость в систематизации
и изложении накопленного материала.

В книге основное внимание уделяется вопросам су-
ществования и единственности решения задачи Стефана
и исследованию его структуры. Выбор материала дикто-
вался в первую очередь интересами автора, в течение ря-
да лет проводившего исследование задачи Стефана.
Большую часть книги составляют результаты автора и
его коллег. В стороне остались численные методы реше-
ния задачи Стефана, вопросы оптимального управления
границей фазового перехода, квазистационарная много-
мерная задача Стефана. Не рассматриваются также по-
становки, возникающие в приложениях и приводящие к
задачам стефановского типа.

Исторический- обзор и библиографию по задаче Сте-
фана до 1967 г. можно найти в [82]. В конце настоящей
книги приведена библиография последних лет по излага-
емому материалу. Она не претендует на полноту, поэто-
му рекомендуем читателю дополнительно обзорные статьи
по задаче Стефана Э. Мадженеса [182] и Д. А. Тар-
циа [219].

Автор пользуется случаем выразить благодарность
Б. М. Анисютину, предоставившему материал для § 1
гл. III, И. А. Калиеву, написавшему § 5 гл. V, § 4
гл. VI и § 3 гл. VII, а также Н. А. Кулагиной и
А. Г. Петровой за помощь при составлении библиографи-
ческого списка литературы.
ВВЕДЕНИЕ

Задачей Стефана называется задача определения поля темпе-
ратуры и границы фазового перехода в чистом веществе. Считает-
ся, что агрегатное состояние среды изменяется только вследствие
теплопроводности среды под воздействием внешних и внутренних
источников тепла. Передача энергии в каждой фазе рассматривае-
мого вещества описывается уравнением теплопроводности, а поведе-
ние границы фазового перехода, называемой свободной границей,—
условием Стефана. Последнее выражает баланс энергии при пере-
ходе среды из одного агрегатного состояния в другое.

Всюду в книге считаем, что среда может находиться только в
двух агрегатных состояниях, например в жидком и твердом.

Ключевым условием на свободной границе, помимо условия
Стефана, является равенство температуры среды температуре плав-
ления данного вещества, которая считается известной постоянной
величиной. Это условие имеет характер аксиомы, так как не сле-
дует ни из каких фундаментальных законов, но достаточно точно
отражает многие реальные процессы. В терминах термодинамиче-
ских параметров состояния среды равенство температуры среды на
границе фазового перехода фиксированной постоянной эквивалент-
но заданию удельной внутренней энергии U как однозначной функ-
ции температуры, терпящей разрыв первого рода при значении
температуры, равной температуре плавления, и достаточно гладкой
всюду вне этой точки. Примерный вид зависимости удельной внут-
ренней энергии от температуры приведен на рис. 1. Ниже указан-
ное соответствие носит именно такой характер.

Отметим, что не так редки и процессы, в которых температура
плавления чистого вещества при неизменных внешних воздействи-
ях зависит от того, как протекает процесс. Например, галлий мо-
жет находиться в жидком состоянии при температуре, много мень-
шей его средней температуры плавления. Обращаясь вновь к тер-
модинамическим параметрам состояния среды, видим, что в этом
случае удельная внутренняя энергия вещества в окрестности сред-
ней температуры плавления есть двузначная функция температуры.
Примерный вид такого соответствия изображен па рис. 2.

В данной точке вещества, находящегося в жидком состоянии,
зависимость удельной внутренней энергии от температуры описы-
Рис. 2.

вается верхней ветвью функции. При понижении температуры сре-
ды существует значение 0*, левее которого на графике, связываю-
щем 0 и U, зависимость удельной внутренней энергии от темпера-
туры описывается уже нижней ветвью, соответствующей твердой
фазе. Совершенно не очевидно, что при повышении температуры
фазовый переход произойдет при том же самом ее значении. Иначе
говоря, в некоторых ситуациях возможна петля гистерезиса.

Величина 0* и есть истинная температура плавления, при ко-
торой происходит фазовый переход. В данной модели она является
неизвестной. Для замыкания математической модели необходима
какая-либо правдоподобная аксиома, поставляющая дополнительное
уравнение для определения температуры плавления.

Одна из таких моделей была предложена А. Визинтином в его
докладе на междисциплинарном симпозиуме «Задачи со свободны-
ми границами», состоявшемся в июне 1984 г. во Франции. В зада-
чах о фазовых переходах будущее именно за этими моделями, бо-
лее точно описывающими поведение сплошной среды. Их изучение
только начинается. Сами модели требуют окончательного построе-
ния, детального математического обоснования и экспериментально-
го подтверждения.

. Всюду ниже, как уже отмечалось, температура плавления чи-
стого вещества считается известной постоянной величиной. Эта
аксиома замыкает математическую модель, называемую задачей
Стефана.

Исследование задачи Стефана условно можно разделить на не-
сколько направлений: существование и единственность решения в
случае одной пространственной переменной и в случае многих про-
странственных переменных; изучение структуры и качественных
свойств решения, в том числе его поведение при неограниченном
возрастании времени; квазистационарная многомерная задача Сте-
фана; численные методы решения; оптимальное управление процес-
сами фазового перехода.
Одномерная задача Стефана почти полностью изучена. Первые
теоремы существования классического решения носили локальный
по времени характер. Л. И. Рубинштейн [82] доказал существова-
ние классического решения в целом по времени в предположении
аналитичности свободной границы. Без этого предположения при
достаточно естественных ограничениях на данные задачи описан-
ный выше результат получил в 1965 г. Чанг Ли Чанг [180]. Позже
то же самое различными способами было доказано в работах
Дж. Кэннона, Дж. Дугласа, К. Хилла, Д. Генри, Д. Котлова,
М. Примичерио [114, 117—119, 122—124] и А. М. Мейрманова [55].
Все указанные теоремы относились к случаю заданной температу-
ры на известных границах области определения решения. Условия
существования классического решения задачи Стефана с заданным
тепловым потоком на известных границах получены Дж. Кэнноном
и М. Примичерио [125].

В работах Дж. Кэннона и его коллег, кроме того, детально ис-
следовались качественные свойства решения и асимптотическое по-
ведение свободной границы при неограниченном возрастании време-
ни. Первые полные результаты о поведении при больших значени-
ях времени решения задачи Стефана для нелинейных уравнений
принадлежат Н. В. Хуснутдиновой [91].

Для многомерной задачи Стефана доДгое время единственным
результатом оставались теоремы существования и единственности
обобщенного решения О.'А. Олейник [76] и С. Л. Каменомостской
[40], полученные в 1960 г. Отметим, что класс функций, в котором
решение задачи Стефана единственно, шире класса функций, кото-
рому принадлежит обобщенное решение. Как правило, наблюдается
обратное: теорема единственности справедлива для решений, обла-
дающих большей гладкостью, чем получается при доказательстве
его существования. Каждое классическое решение является и обоб-
щенным, поэтому вопрос о единственности решения задачи Стефа-
на был полностью решен и центральным моментом стало выясне-
ние условий, при которых обобщенное решение многомерной задачи
Стефана будет классическим.

Прогресс в изучении задачи наметился в 1973 г. после работы
Г. Дюво [140]. В ней однофазная задача Стефана сводилась к не-
которому вариационному неравенству, для которого устанавлива-
лось существование слабого решения. В 1975 г. А. Фридман и
Д. Киндерлерер [160], используя преобразование Г. Дюво, доказа-
ли, что в однофазной задаче Стефана свободная граница удовлет-
воряет условию Липшица. Полученной гладкости не хватало для
существования классического решения. Последнее было доказано
Д. Киидерлерером и Л. Ниренбергом [174] в 1978 г. Решающим
фактором здесь явились результаты Л. Каффарелли [108—111] о
гладкости свободной границы в эллиптических вариационных нера-
венствах и введение переменных Лежандра, в которых свободной
границе соответствует заранее известная плоскость.

Эквивалентную двухфазной задаче Стефана формулировку в ви-
де вариационного неравенства нашел М. Фремон [153] в 1974 г.,
но в отличие от однофазной задачи в двухфазной доказана только
непрерывность температуры (Л. Каффарелли, Л. Ивенс [112],
1983 г.).

Другой подход к построению классического решения многомер-
ной двухфазной задачи Стефана предложил автор [57] в 1979 г/
Введя специальную регуляризацию условия Стефана и переменные
Мизеса, в которых свободной границе соответствует фиксированная
поверхность, удалось доказать существование классического реше-
ния на малом интервале времени [57]. Переменные Мизеса хорошо
известны в гидродинамике [71], а в задаче Стефана впервые их ис-
пользовал И. И. Данилюк. Результат [57] повторил в 1981 г.
И. Ханзава [163], применивший теорию Нэша — Мозера.

Большое число работ по многомерной задаче Стефана посвя-
щено изучению обобщенных решений для нелинейных параболиче-
ских уравнений и различного рода нелинейных краевых условий да
заданных границах. Отметим среди них результаты А. Дамламля-
на [135], Г. Дюво [141 —143], Э. Мадженеса, К. Верди и А. Визин-
тина [184], М. Незгудки и И. Павлова [193], М. Незгудки, И. Павлова
и А. Визинтина [194], И. Павлова [201], А. Визинтина [221, 222].

В численных методах решения задачи Стефана одной из цент-
ральных является работа Б. Д. Моисеенко и А. А. Самарского [70],
использующая подход О. А. Олейник, предложенный при построе-
нии обобщенного решения. В последние годы при решении задачи
Стефана широко применяется метод конечных элементов. Это ра-
боты И. Нитцше [195—197], Р. Боннеро и П. Жамэ [103—105],
М. Мори [190—192] и др.

Квазистационарная задача Стефана отличается от перечислен-
ных нестационарных задач, так как в ней процесс передачи тепла
в каждой фазе описывается эллиптическим уравнением. Вследст-
вие этого квазистационарная задача исследуется другими методами.
Е. В. Радкевич' и А. С. Меликулов [81] методом вариации границы,
успешно применяемым Е. В. Радкевичем в задачах фильтрации со
свободными границами, доказали существование классического ре-
шения двумерной задачи в точной постановке. Большой цикл ра-
бот по квазистационарной задаче Стефана принадлежит И. И. Да-
нилюку [27—30] и его ученикам: Б. В. Базалию, В. Ю. Шелепову
[6], М. А. Бородину [13—15] и др.

В последние годы много публикаций было1 посвящено так на-
зываемой переходной фазе (mushy region в терминологии Д. Этти
[96]) в задаче Стефана. Что это такое? Вернемся к определению
обобщенного решения. По построению всякое классическое реше-
ние, в котором жидкая и твердая фазы разделены гладкой гипер-
поверхностью, является и обобщенным решением задачи Стефана.
Долгое время считалось, что ответ на вопрос, будет ли обобщенное
решение классическим, даст исследование дифференциальных
свойств границы фазового перехода. Для случая одной пространст-
венной переменной и однородного уравнения теплопроводности ука-
занная программа была реализована А. Фридманом [156] и
Дж. Кэнноном, Д. Генри, Д. Котловым [117]. Естественно было
ожидать, что если в начальный момент времени в рассматриваемо»
области состояние среды двухфазное, присутствуют только жидкая
и твердая фазы, разделенные гладкой поверхностью, то обобщенное
решение задачи Стефана совпадает с классическим и установление
этого факта — только вопрос времени. Но оказалось, что обобщен-
ное решение, по существу, шире классического решения задачи
Стефана.

В 1981 г. автор [61] построил обобщенное решение с переход-
ной фазой, отсутствовавшей в начальный момент времени. В пере-
ходной фазе температура тождественно равна температуре плавле-
ния 0*, а удельная внутренняя энергия U принимает значения из
интервала (С/-, U+), где

U± = Иш Ф(9), С7 = Ф(0), 0^=0*.

0-»б*+о

В данном примере во.обще отсутствует граница фазового пере-
хода, а есть целая область промежуточного состояния.

Как же она появилась? В своей первоначальной постановке за-
дача Стефана формулировалась как задача об определении класси-
ческого решения. При таком подходе неопределенность зависимости
удельной внутренней энергии от температуры в точке плавления
нигде не сказывалась. Авторы определения обобщенного решения
позволили удельной внутренней энергии принимать значения из
интервала (U-, U+) при температуре, равной температуре плавле-
ния, т. е. неявно в определении содержалась новая аксиома: допу-
скается состояние среды, отличное от жидкого и твердого, при ко-
тором температура среды равна температуре плавления, а удель-
ная внутренняя энергия принимает значения из интервала
(U-, U+).

Возможность образования новой фазы, заложенная в определе-
нии обобщенного решения задачи Стефана, проявила себя в приме-
ре автора. Решающими факторами в нем были внутренние источни-
ки тепла в уравнении теплопроводности и равенство нулю градиен-
та температуры на свободной границе в начальный момент времени.
Заметим, что основным условием классической разрешимости
многомерной двухфазной задачи Стефана [57] было, наоборот, тре-
бование строгой положительности модуля градиента температуры
на свободной границе.

Позже, в 1982 г., аналогичный, пример обобщенного решения
задачи Стефана, не являющегося классическим, построил М. При-
мичерио [204]. Пример возник в результате дискуссии, состоявшей-
ся в 1981 г. на междисциплинарном симпозиуме «Задачи со сво-
бодными границами» в Монтекатини (Италия) [150]. В частности,
в ходе дискуссии отмечалось, что переходная фаза была обнаруже-
на еще Д. Этти [96] в 1974 г. при численных расчетах задачи
Стефана.

В последующих работах по задаче Стефана аксиома, утвержда-
ющая существование промежуточного состояния среды, отличного
от жидкого и твердого, не вызывала возражений. Конечно, возмо-(
жен и другой подход, запрещающий
удельной внутренней энергии прини-
мать значения из интервала (U-, U+)
при температуре среды, равной темпе-
ратуре плавления, и тем самым отбра-
ковывающий обобщенные решения с
переходной фазой. Первый путь пред-
почтительнее, так как он указывает на
необходимость более точного моделиро-
вания в переходной фазе, которая на-

блюдается в реальных процессах.

Суммируя сказанное, можно заме-	ас. .

тить, что задача Стефана эквивалент-
на начально-краевой задаче для вырождающегося уравнения



в котором однозначная функция % (17) является обратной к функ-
ции U — Ф(0). Ее примерный вид см. на рис. 3.

Кратко опишем содержание книги.

В § 1 гл. I дается постановка задачи. В § 2 приводятся необ-
ходимые сведения из функционального анализа и теории дифферен-
циальных уравнений. В § 3 доказываются теоремы существования,
единственности и сравнения обобщенных решений задачи Стефана.

Глава II посвящена исследованию классического решения мно-
гомерной задачи Стефана на малом интервале времени. Это резуль-
таты автора [57, 58].

В гл. III существование классического решения многомерной
задачи Стефана доказывается для произвольного промежутка вре-
мени, если начальные данные в однофазной задаче удовлетворяют
некоторым условиям’ монотонности или если в двухфазной задаче
они близки к стационарному решению. В § 1 излагаются результа-
ты Б. М. Анисютина для однофазной задачи Стефана, который ис-
пользовал теорему Л. Каффарелли [108] о гладкости свободной гра-
ницы в задаче фильтрации в изложении А. Фридмана [158] и заме-
ну переменных Лежандра, введенную Д. Киндерлерером и Л. Ни-
ренбергом [175]. Предложенный метод иллюстрируется на примере
уравнения теплопроводности, но само утверждение справедливо для
более общего нелинейного уравнения теплопроводности	’

a(0)g = A0,

в котором а'(0)>О. Результаты § 2 опубликованы в [59].

В гл. IV многомерная однофазная задача Стефана изучается в
переменных Лагранжа, в которых область определения решения за-
ранее известна, а искомое решение удовлетворяет сильно нелиней-
ной системе дифференциальных уравнений без определенного тйпа.

Если введение переменных Лагранжа позволило полностью ис-
следовать одномерную задачу Стефана со специального вида нелй-
нейным краевым условием на известной границе [56], то в много-
мерном случае существование решения в целом по времени доказа-
но лишь для линеаризованной задачи. Результаты гл. IV получены
А. М. Мейрмановым и В. В. Пухначевым [67]. В § 1 гл. V с по-
мощью переменных Лагранжа строятся точные неавтомодельные
решения задачи Стефана для специального вида нелинейного урав-
нения теплопроводности. Данная конструкция предложена в [67].

Глава V посвящена одномерной задаче Стефана. В ней дока-
зываются теоремы существования классического решения однофаз-
ной и двухфазной задачи при достаточно слабых ограничениях на
входные данные и исследуются качественные свойства решения, в
том числе поведение при неограниченном возрастании времени.

В § 6 гл. V изучается задача о фильтрации тяжелой сжимае-
мой жидкости в вертикальной пористой галерее, которая эквива-
лентна однофазной задаче Стефана. Фильтрация происходит в обла-
сти 52(i) = {ге|О < х < где правая граница х = R(t) искомая,
а через левую границу х — 0 подается жидкость. Для линеаризо-
ванных уравнений сформулированная задача рассматривалась в
1975 г. А. Фридманом и Р. Йенсеном [159]. А. М. Мейрманов в
1977 г. исследовал ее в точной постановке [56]. В отличие от лине-
аризованных уравнений в нелинейном варианте большие трудности
вызвала уже первая оценка максимума модуля решения. После ее
получения оценки производных решения следуют из [50], если вос-
пользоваться переменными Лагранжа.

Отметим интересную особенность задачи в точной постановке.
Пусть масса жидкости, закачиваемой через левую границу области,
неограниченно растет с ростом времени. Естественно ожидать тогда
неограниченного роста свободной границы x = R(t}. Этот результат
и был получен в [159]. В точной же постановке существуют такие
начальные состояния, при которых с неограниченным ростом общей
массы жидкости в области Q(t) с ростом времени размеры самой
области 52(f) ограничены некоторой фиксированной постоянной.

В гл. VI излагаются результаты А. М. Мейрманова [61],
И» А. Калиева и А. М. Мейрманова [39] и публикуемые впервые
результаты И. А. Калиева о структуре обобщенного решения одно-
мерной задачи Стефана с произвольным распределением удельной
внутренней энергии в начальный момент времени. Отметим утвер-
ждение И. А. Калиева для однородного уравнения теплопроводно-
сти: если на одной границе области 52 поддерживать температуру
выше температуры плавления, а на другой — ниже, то независимо
ет распределения удельной внутренней энергии в начальный мо-
мент времени (число связных компонент жидкой, твердой и пере-
ходной фаз может быть и бесконечным) найдется такое конечное
значение времени, выше которого в области 52 останутся по одной
связной компоненте жидкой и твердой фаз, т. е. начиная с некото-
рого момента времени всякое обобщенное решение задачи Стефана
становится классическим.

Результаты гл. VI используются в гл. VII, где исследуются пе-
риодические по времени решения одномерной двухфазной задачи
Стефана в ограниченной области Q. Когда заданная температура на
границе области Q близка к постоянной, существование классиче-
ского решения доказали в 1981 г. М. Штедри и О. Вёйвода [215].
Этот результат усилил в 1983 г. А. М. Мейрманов [65] для произ-
вольно заданной температуры на границе области й, не принимаю-
щей значения, равного температуре плавления. Общую ситуацию
изучили И. А. Калиев и А. М. Мейрманов.

Построение приближенных моделей в двухфазной задаче Сте-
фана и исследование их корректности проводится в гл. VIII. Моде-
лируется процесс кристаллизации цилиндрического слитка, тепло-
проводность которого в направлениях, ортогональных его оси, мно-
го больше теплопроводности в направлении оси. Как правило, при-
ближенные модели зависят от некоторого (допустим, малого)'
параметра, и чем он меньше, тем приближенное решение в какой-то
норме ближе к точному. В данной ситуации точные решения зави-
сят от малого параметра, и чем он меньше, тем ближе они в неко-
торой норме к решению приближенной модели. В терминологии
[82] среда, занятая слитком, называется «сосредоточенной ем-
костью», а сама приближенная модель — задачей Стефана в среде
с «сосредоточенной емкостью». Результаты последней главы опуб-
ликованы в [54, 63, 66].

Нумерация теорем и лемм своя в каждой главе, а нумерация
формул — своя в каждом параграфе. Так, номер (2.3) соответству-
ет третьей пронумерованной формуле в § 2. Как правило, в каждом
параграфе свои обозначения описываемых величин, и одной буквой
в различных параграфах могут обозначаться различные объекты.

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исторически сложилось так, что задача о кристаллизации или
плавлении чистых веществ (задача Стефана) формулировалась сле-
дующим образом.

Область Q, занятая изучаемым веществом, в момент времени
0 разбивается некоторой гладкой поверхностью Г(£), подлежа-
щей определению, на две подобласти fi+(t) и Q-(t), занятые соот-
ветственно жидкой и твердой фазами данного вещества. Что такое
жидкая и твердая фазы, строго не определялось. Считалось, что ес-
ли постоянная 0* есть температура плавления изучаемого вещест-
ва, то ъ жидкой фазе температура среды не меньше чем 0*, а в
твердой — не больше. В каждой из областей Я* (t) температура
среды 0(z, it) удовлетворяет уравнению теплопроводности

рс~ = div (х\70) + /,	(1-1)

(7Г

где f(x, t)— заданная функция, описывающая источники или стоки
тепла, р — плотность среды, х — коэффициент теплопроводности,
с — коэффициент теплоемкости при постоянном объеме. Обычно эти
коэффициенты берутся постоянными и различными в жидкой и
твердой фазах. Например, с = cL в жидкой фазе и с = св — в твер-
дой. Всюду ниже cL, cs, xL, xs считаются известными строго поло-
жительными функциями температуры.

На искомой поверхности раздела фаз Г(/), помимо равенства
температуры среды температуре плавления

0 (х, t) = 0*,

выполняется условие Стефана

rrz [
-p£Fv = [x-J,

(1-2)

(1-3)

где Vv — скорость перемещения поверхности Г(£) в направлении
нормали v к этой поверхности (если поверхность T(t) задана урав-
нением h(x, t)=0, то

а символом [ф] в правой части (1.3) обозначена разность величины
Ф при подходе к границе фазового перехода со стороны твердой и
жидкой фаз:

[ф] = lim ф (х, t) — lim ф (х, t).
(x,t)-*r(t),	(x,t)-*T(t),

е<е»	е>0*

Положительная постоянная L называется скрытой удельной теп-
лотой плавления (кристаллизации) и равна минимальному количе-
ству энергии, которое необходимо сообщить единице массы рас-
сматриваемого вещества для того, чтобы перевести его из твердого
состояния в жидкое при неизменной температуре, равной темпера-
туре плавления.

Условие Стефана есть следствие закона сохранения энергии и,
как правило, оно выводится применением этого закона к элемен-
тарным объемам, содержащим как жидкую, так и твердую фазы.

Задача полностью замыкается заданием внешних воздействий
на границе области Q (краевые условия) и начального состояния
среды (начальные условия). Как правило, на границе области счи-
тается известной либо температура, либо тепловой поток, а в на-
чальный момент времени—температура.

Приведенная постановка является одним из самых простых ва-
риантов задачи Стефана — двухфазная однофронтовая задача Сте-
фана. Возможны как более сложные ситуации — многофазная мнб-
гофронтовая задача Стефана, так и более простые — однофазная
задача Стефана.

Многофазная задача Стефана описывает вещества, которые мо-
гут находиться в трех или более различных состояниях (например,
в жидком, твердом и газообразном). Но все трудности, присущие
задачам о фазовых переходах, уже содержатся в двухфазной зада-
че, поэтому многофазная задача нами не рассматривается.

Однофазная задача Стефана есть частный случай двухфазной
задачи Стефана, когда в одной из фаз температура среды тождест-
венно равна температуре плавления. Очевидным образом выписыва-
ется соответствующая математическая модель, основными соотно-
шениями которой являются уравнение теплопроводности в фазе с
непостоянной температурой и условие Стефана на искомой границе
фаз, в котором тепловой поток

q = —zVQ

со стороны фазы с постоянной температурой равен нулю.

Достаточно гладкое решение T(i) и 0 (т. е. решение, обладаю-
щее в каждой из областей Н±(?) непрерывными производными, об-
разующими уравнение (1.1) и условия (1.2), (1.3)) называется
классическим решением двухфазной (однофазной) задачи Стефана.

В свою очередь задача Стефана есть простейший вариант за-
дачи о фазовых переходах первого рода, не учитывающий измене-
ние таких характеристик, как плотность, скорость, напряжения и
т. д. Если задаца Стефана достаточно хорошо изучена как физика-
ми, так и математиками, то для задачи, учитывающей движение
среды, к настоящему моменту времени нет еще соответствующей
замкнутой математической модели, и она должна составить пред-
мет будущих исследований. Поэтому всюду ниже мы пренебрегаем
изменением плотности и, более того, считаем ее равной единице.

В 1960 г. С. Л. Каменомостская и О. А. Олейник предложили
новую формулировку задачи Стефана, включающую в себя как
частный случай общепринятую. А именно, задачу Стефана можно
рассматривать как начально-краевую задачу об определении непре-
рывной функции 0(z, t), удовлетворяющей всюду в области
Нт = £2 Х(0, Т) уравнению

% = div (xV0) + /	(1.4)

с разрывной функцией 17 = Ф(0), терпящей разрыв первого рода
при 0 = 0# и неоднозначно определенной в этой точке:

I" е[— L, 0] при 0 = О*,
а	9

U = У c$dx — L, 0 < О*, U = J cidx, 0 > 0*.
о	о

При этом уравнение (1.4) выполняется в смысле теории рас-
пределений как равенство обобщенной функции dU/dt обобщенной
Функции div(xV0) + /_
Так, если ф(я:, ^ — .достаточно гладкая функция, обращающая-
ся в нуль на границе области Q и при t — Т, то уравнение (1.4)
эквивалентно интегральному тождеству

^xV9V<p —	+ fq^dxdt = Jt7<p|t=0 dx,	(1.5)

Q у	Q

справедливому для произвольной функции ф с указанными выше
свойствами.

Как будет показано ниже (§3 настоящей главы), для одно-
значного определения решения уравнения (1.4) (или тождества
(1.5)) в начальный момент времени необходимо задавать не рас-
пределение температуры 0о(ж), а распределение удельной внутрен-
ней энергии U(х, 0) = U0(x). Если множество точек {6 (х, 0) = в*}
имеет нулевую меру, то функция Uo(x) почти всюду однозначно
восстанавливается по функции 0o(z) и безразлично, что задавать в
начальный момент времени. Но это не так, если мера указанного
множества положительна. Вернемся к обсуждению этого факта ни-
же, после строгого определения жидкой и твердой фаз вещества.

Решение интегрального тождества (1.5) (или уравнения (1.4)
с соответствующими краевыми и начальными условиями) называ-
ется обобщенным решением задачи Стефана.

Легко показывается, что всякое классическое решение задачи
Стефана является и обобщенным. Обратное, вообще говоря, невер-
но. Но если известно, что поверхность уровня {0 (х, t) = 0*} есть
гладкая гиперповерхность, разделяющая множества точек, где
0>0# и где 0<0#, то из тождества (1.5) следуют и уравнение
(1.1), и краевое условие (1.3).

Если для специалистов, изучавших задачу Стефана, предло-
женная конструкция обобщенного решения явилась новой, то, на-
пример, в газовой динамике аналогичная конструкция используется
достаточно давно [75].

Как известно, основные законы сохранения механики сплош-
ной среды можно записать в виде системы дивергентных урав-
нений

g + div(Fp-G) = X.	(1.6)

В частности, в законе сохранения энергии F = pU, где р — плот-
ность среды, U — удельная внутренняя энергия; G — —q, где
q — —xV0 — вектор потока тепла; X = Р : D (двойная свертка тен-
зора Р с тензором D), где Р — тензор напряжений, a D — тензор
скоростей деформаций.

Если все функции, образующие уравнения (1.6), непрерывно
дифференцируемы, то движение сплошной среды называется непре-
рывным. Но непрерывные движения не охватывают весь класс фи-
зических явлений, и разумно рассматривать класс обобщенных дви-
жений, когда функции, образующие уравнение (1.6), предполага-
ются лишь ограниченными. Так, например, в задаче о фазовых
переходах удельная внутренняя энергия меняется скачком при пе-
реходе через границу, разделяющую фазы. Или, если среда состоит
из различных веществ с различными теплофизическими свойства-
ми, то при переходе через границу, разделяющую вещества, скач-
ком меняются коэффициенты теплопроводности, теплоемкости и,
быть может, градиенты температур. В случае обобщенного движе-
ния уравнения (1.6) понимаются в смысле теории распределений.

В классе обобщенных движений наиболее изученным является
подкласс движений с сильным разрывом. Это такое обобщенное
движение, которое является непрерывным вне некоторой гладкой
гиперповерхности Гт из области QT, а на самой гиперповерхности
Гт функции F, v, G имеют конечный предел, вообще говоря, раз-
ный при подходе «слева» и «справа». Оказывается, предельные зна-
чения указанных функций на поверхности Гт (такую поверхность
называют поверхностью сильного разрыва) не произвольные,
а удовлетворяют системе уравнений на «сильном» разрыве

[F(w-7v)-Gv] = 0,	(1.7)

где Vv — скорость перемещения сечения Г(£) гиперповерхности Гг
плоскостью {t = const) в направлении нормали v к этому сечению.
Уравнения (1.7) следуют из уравнений (1.6) и предположения о
структуре движения. В самом деле, каждое уравнение (1.6) экви-
валентно интегральному тождеству

Ц(С - Fv} V<P - F - Х<р} dxdt = 0	(1.8)

Qji

с произвольной гладкой финитной в функцией <р. Пусть Q —
произвольная область, содержащая Гг, и

Q = Q+ U Q~ U о,
где о — часть поверхности Гг, а в Q+ и Q~ функции F, G, v непре-
рывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнению (1.6) в обыч-
ном смысле.

Выберем функцию ср с носителем в области Q. Умножим урав-
нение (1.6) на ф и проинтегрируем по каждой из областей Q+ и
Q". Перебросим в каждом из интегралов производные с функций
G, F, v на функцию ф и результат интегрирования по области (?+
и Q~ сложим. Вся сумма равна нулю и состоит из двух слагаемых:
интеграла по области Q и интеграла по поверхности о. Первое сла-
гаемое совпадает с левой частью (1.8) и, следовательно, равно ну-
лю. Во втором слагаемом подынтегральное выражение с точностью
До произвольного сомножителя совпадает с левой частью (1.7).
В силу произвольного выбора функции ф и равенства нулю интег-
рала по поверхности о равно нулю и подынтегральное выражение.

Ограничимся в дальнейшем законом сохранения энергии, в ко-
тором положим скорость среды равной нулю, плотность — единице,
а диссипативную функцию Р : D — известной функции /. В таком
виде он совпадает с уравнением (1.4), а его следствием является

А. М. Мейрманов

17
условие на «сильном» разрыве, совпадающее с условием ителрана.

[17] К + [?v] = О,

[С7] — —L, q = — %V0.

Возвращаясь к формулировке С. Л. Каменомостской и
О. А. Олейник, видим, что введенная ими функция U есть не что
иное, как удельная внутренняя энергия, терпящая разрыв первого
рода при переходе среды из жидкого состояния в твердое или нао-
борот.

Последний факт и надо положить в основу определения жид-
кой и твердой фаз. А именно, будем считать, что в данной точке
пространства в данный момент времени среда находится в жидком
состоянии, если удельная внутренняя энергия неотрицательна, и в
твердом — если не превосходит величины — L. При этом мы пред-
положили, что в жидком состоянии при температуре, равной темпе-
ратуре плавления, среда обладает нулевой удельной внутренней
энергией. Это непринципиально, поскольку в законе сохранения
энергии удельная внутренняя энергия определена с точностью до
произвольной постоянной.

Данное определение жидкой и твердой фаз более точное, чем
приведенное выше, поскольку различает состояние среды при тем-
пературе, равной температуре плавления.

Вообще говоря, никакие факторы не запрещают удельной внут-
ренней энергии принимать в процессе движения значения из ин-
тервала (—L, 0) на множестве точек ненулевой меры. В этом
случае будем говорить, что среда находится в переходном состоя-
нии (переходная фаза).

Иногда, для удобства изложения, под переходной фазой пони-
мается множество тех точек, в которых температура среды равна
температуре плавления, т. е. удельная внутренняя энергия прини-
мает там значения из интервала [—L, 0].

Всюду под решением задачи Стефана мы понимали температу-
ру 0, считая, что удельная внутренняя энергия U определяется из
термодинамического уравнения состояния С? = Ф(0). Но, как мы
видели, последняя зависимость не является однозначной в точке
разрыва функции Ф при 0 = 0* (в переходной фазе), в то время
как обратная зависимость 0 = х(С^) является однозначной при всех
значениях аргумента U, а уравнение (1.4) можно рассматривать
как нелинейное (вырождающееся в переходной фазе) уравнение от-
носительно функции U. Таким образом, под решением задачи Сте-
фана разумнее понимать не температуру 0, а удельную внутрен-
нюю энергию U.

Теперь можно еще раз уточнить определение классического ре-
шения задачи Стефана — это движение с сильным разрывом, в ко-
тором переходная фаза есть множество нулевой меры.

Возможны ли обобщенные движения с переходной фазой, за-
нимающей множество ненулевой меры? Оказывается, что возмож-
ны. В настоящем параграфе дадим вывод соответствующей матема-
тической модели, следующей из (1.5), а ее корректность иссле-
дуем в гл. VI.

Для простоты ограничимся случаем одной пространственной
переменной. Итак, пусть область й есть интервал (—1, 1) и про-
цесс такой, что область йг = ((а:, 0|— !<Zx<iR (t), 0<Zt<Z за-
нята твердой фазой, область йу = ((х, t) | R+(t)<.x < 1, 0<i < Т\ —
жидкой фазой, а область й* = ((ж, 0 | R~(t) < x<iR+(t), 0< t < Т} —
переходной фазой. Функции R~(t), R+(t) предполагаются непре-
рывно дифференцируемыми.

По определению движения с сильным разрывом всюду вне ли-
ний x = R~(t) и x = R+(t) движение непрерывное, т. е. в областях
йт и йт уравнение (1.4) эквивалентно уравнению (1.1), а в об-
ласти Йу — уравнению

9U _ ,
dt — *’

(1-9)

и функции 0 и U в соответствующих замкнутых областях облада-
ют непрерывными производными, входящими в уравнения (1.1) и
(1.9). Заметим, что априорное предположение о гладкости функций
0 и U в указанных областях непринципиально. Эта гладкость сле-
дует из предположения о структуре решения уравнения (1.4) и
дифференциальных свойств решений параболических уравнений
(см. [50]), если потребовать определенную гладкость функций %, с
и /. Если учесть, что скорость перемещения поверхности х = 7?(0
есть производная по времени функция 7?(0 и что предел удельной
внутренней энергии со стороны жидкой фазы на линии x — R+(t)
равен нулю, а со стороны твердой фазы на линии х = R~(t) — ве-
личине —L, то получим из (1.7) (где и = 0, F=U,	сле-

дующие соотношения:

(U(R~ (0 + 0, 0 + L) (0 = xs g {R~ (0 - 0, 1), (1.Ю)

U (7?+ (0 - 0, 0	(0 = xL g (Я+ (0 + 0,1).	(1.И)

Этих условий совместно с начальными условиями при t = 0 и
граничными условиями на границах х = ±1 недостаточно для за-
мыкания математической модели. Необходимы дополнительные
предположения.

Исследуем возникновение переходной фазы, когда

R (0) = R+ (0) = ха и R (0<2?+(0 при t > 0.	(1.12)

Оказывается, в этом случае при определенных условиях на
данные задачи краевое условие (1.10) или (1.11) распадается на
два независимых условия, а сама исходная задача — на последова-
тельное решение трех автономных задач.
Допустим, что f(x, t) непрерывна и /(х0, 0)>0. Без ограниче-
ния общности температуру плавления 0* можно считать рав-
ной нулю.

По предположению температура 0 неположительна в области
От и равна нулю на ее правой границе x = R~(t). Следовательно,

-Ц-(Л-(0 — О, t) 0.	(1.13)

Аналогично

-g(7?+(i) + 0,i)>0.	(1.14)

По определению в переходной фазе удельная внутренняя энер-
гия принимает значения из интервала (—L, 0). Иначе говоря,

U(R~(t)+0, t)+L>0, U(R+(t)—O, i)<0.	(1.15)

Сравнивая (1.11) с (1.14) и (1.15), видим, что -ffi+ (f)<g^Q. Но
тогда из (1.12) следует, что по крайней мере на малом интервале
времени dR - <Z 0. В СИЛУ (1-Ю), (1-13) и (1.15) последнее не-
dt

равенство возможно, если только

и (R~ (t) + 0, 0 + L = 0, -g (R~ (0 - 0, t) = 0.	(1.16)

Возможен и второй вариант, когда из (1.10), (1.13) и (1.15) сле-
дует, что R~(t)— неубывающая функция, а из (1.12) и последнего
факта — что R+(t) есть строго возрастающая функция. Но это
справедливо только при

£7 (7?+(£) — 0, i) = О, -g(7?+(i) + 0,f) = 0.	(1.17)

Для того чтобы узнать, когда какой вариант реализуется, про-
дифференцируем равенство Q(R~(t)— 0, £)=0 по времени:

(R- (0 - 0, t) (0 + (тг (О - о, t) = 0.

Если выполняются соотношения (1.16), то из второго уравне-
ния (1.16), последнего равенства и уравнения (1.1) следует, что

дх	к

Для функции 0(д:, t) при каждом фиксированном t при
х < R~ (t) справедливо представление

0 (х, £) = -§ (Я~ (о - о, 0 к—+ о (| X - R-(О I2).

Учитывая последние два соотношения и строгую отрицатель-
ность температуры при x<R~(t), видим, что первый вариант
(уравнения (1.16)) реализуется при f(xQ, 0)>0. Аналогично при
/(ж0, 0)<0 реализуется второй вариант (уравнения (1.17)).

В наших предположениях выполняются условия (1.16). Функ-
ция R~(t), определяющая область йу, и температура 6 в этой об-
ласти находятся из условий (1.1), (1.2), второго условия (1.16),
краевого условия на границе х = — 1 и начального условия при
t = 0. Эта модель является замкнутой.

Допустим, что функция R~ (t) найдена. Тогда, интегрируя
уравнение (1.9) и привлекая первое условие (1.16), определим
функцию U(х, t) всюду выше кривой х = R~(t):

t

U — —L+ J f(x,x)dx,	(1-18)

r-(x)

где равенство t = r~(x) определяет ту же самую кривую x = R~(t).

Функция R+(t), задающая область йу, и температура 0 в этой
области находятся из уравнения (1.1), условий (1.2), (1.11), крае-
вого условия при х — 1 и начального условия при t = 0. В краевом
условии (1.11) функция U задана соотношением (1.18).

Пусть теперь уравнение теплопроводности однородное (/ = 0),
а температура в начальный момент времени тождественно равна
нулю на некотором интервале	из области. й. Как было от-

мечено выше, для выделения единственного решения задачи Стефа-
на необходимо задавать начальное распределение удельной внутрен-
ней энергии U0(x). Но чему равна функция и0(х) на интервале
где начальная температура 0o(z) тождественно рав-
на нулю?

Общепринятым в такой ситуации являлось задание границы ха
раздела фаз: слева от точки х0 находится твердая фаза, а справа —
жидкая. Тем самым неявно задавалась функция иа(х): на интер-
вале (х7,$о) Ua = —L (твердая фаза при цулевой температуре),
а на интервале (z0, а^) U0 = Q (жидкая фаза при нулевой темпе-
ратуре). При таком определении функции UQ(x) единственным ре-
шением задачи Стефана является классическое решение.

Но возможны и другие распределения удельной внутренней
энергии в начальный момент времени. Пусть, например, при t = 0
переходная фаза занимает интервал (#7’ ):

— L<zUo(x)<ZO при x^(xq,x„),
слева от него находится твердая фаза, а справа — жидкая.

Каким будет решение? Естественно предположить, что пере-
ходная фаза мгновенно не исчезнет и по крайней мере на малом
интервале времени будут существовать две кривые х = R~ (t) и
a: = 7?+(f), разбивающие область йт на три подобласти йу, йр и
занятые соответственно твердой, переходной и жидкой фазами.
Предположим, что исследуемый процесс есть движение с силь-
ным разрывом, т. е. функции R~(t), R+(t) непрерывно дифферен-
цируемы, а функции 0, U обладают в замыкании каждой из об-
ластей йу, й* и йу требуемой гладкостью.

Температура 0 удовлетворяет в областях QF и й? уравнению
(1.1) с / = О, удельная внутренняя энергия U удовлетворяет в об-
ласти й* уравнению (1.9) с / = 0 и на границах x = R~(t) и
x — R+{t) выполнены условия (1.2), (1.10) и (1.11).

Аналогично тому, как это было сделано выше, с помощью ус-
ловий (1.10), (1.11) и предположений о структуре решения пока-
зывается, что функция R~(t) не убывает, a R+(t) не возрастает,
т. е. из любой точки области йу можно восстановить отрезок пря-
мой, параллельный временной оси и соединяющий эту точку с пря-
мой {t = 0). Следовательно, уравнение (1.9) можно проинтегриро-
вать и восстановить значение удельной внутренней энергии U в
каждой точке (х, t) области йг по начальному распределению
UQ(x):

U(x,t) = U0(x), (x,t)e=&.

С учетом этого условия (1.10) и (1.11) примут вид

(Uo (R- (I)) + L) (0 = g (7Г (0 - 0, t),	(1.19)

(д+	(0 = g (0 + 0,0,	(1-20)

и исходная задача распадается на две автономные задачи: опреде-
ление функции R~(t) и температуры 0 в области йу по условиям
(1.1) (где / = 0), (1.2), (1.19), краевому условию при х = — 1 и
начальному условию и определение функции 7?+(0, температуры 0
в области йу по условиям (1.1) (с / = 0), (1.2), (1.20), краевому
условию при х = 1 и начальному условию при t — 0.

Задачи решаются до тех пор, пока кривые x = R~(t) и
x=R+(t) не пересекутся. Это означает, что переходная фаза ис-
чезла (вернее, превратилась в точку) и далее следует решать обыч-
ную двухфазную задачу Стефана.

Всюду ниже считаем L = 1. Во всех главах книги, кроме пос-
ледней, удобно положить коэффициент теплопроводности равным
единице. Это не снижает общности, так как в противном случае
надо рассмотреть «приведенную» температуру

е

0 = [ х (s) ds,
о

для которой в соответствующем уравнении теплопроводности ко-
эффициент х равен единице.

В последней главе, наоборот,, рассматривается более общее
уравнение теплопроводности, учитывающее анизотропность среды:

з

— =У—fxig-L	(1.21)

dt	~ дх. I

i=i ’ ' г'
Ыидрсюнее опишем угу задачу, гюоледуе!on мидель прноталлп-
зации цилиндрического слитка, занимающего область Й из R3, учи-
тывающая теплопроводность окружающей среды Q. Последнее оз-
начает, что уравнение (1.21) выполняется в смысле теории распре-
делений всюду в области йт U QT, если соответствующим образом
определить коэффициенты теплопроводности х4 и удельную внут-
реннюю энергию U.

Так как фазовые переходы происходят только в области й (в
слитке), то удельная внутренняя энергия U зависит не только от
температуры, но и от точек пространства R3. Эта зависимость тако-
ва, что U есть дважды непрерывно дифференцируемая функция
температуры (для простоты считаем, что U в точности совпадает с
6) всюду в области QT и равна разрывной функции Ф, описанной
выше в этом параграфе, в точках области йг.

Если ц (х) — характеристическая функция области Й, то

Е7 = т1(л:)Ф(0) + (1-Т|(ж))е.

Нас будет интересовать частный случай задачи, когда тепло-
проводность вещества слитка в направлениях, ортогональных оси
слитка (пусть это будет ось х3), много больше теплопроводности в
направлении оси слитка и теплопроводности в среде, окружающей
слиток:

Xi = х2 = (1/е)ц(ж)+1 — ц(а:), х3 = 1, е<1.

Предположим, что обобщенное движение, описываемое уравне-
нием (1.21), есть движение с сильным разрывом. Одна поверхность
сильного разрыва заранее известна — это общая граница П облас-
тей Й и Q. Сильный разрыв такого вида называется контактным
разрывом. Если п = (щ, п2, 0)— нормаль к цилиндрической поверх-
ности П, то условие на контактном разрыве П, следующее из
(1.21), имеет вид

[50/дА] = 0,	(1.22)

где dQ/dN = V0ra, если предел берется из области Q, и dti/dN =
= (l/e)V0 • п, если предел берется из области Й. Полученного условия
(1.22) на поверхности П недостаточно для замыкания задачи. Не-
обходимо еще какое-либо одно соотношение. Для этого вернемся к
уравнению (1.21). На самом деле оно состоит из двух уравнений —
уравнения притока тепла

dU/dt = iivq	(1.23)

и закона Фурье

q = - A<V0>,	(1.24)

где A = diag(xj, х2, х3)—матрица теплопроводности. Так вот, ус-
ловие (1.22) на П есть следствие уравнения притока тепла (1.23),
а закон Фурье остался пока неиспользованным. Его также можно
рассматривать как систему трех уравнений вида (1.6), в которых
F = °, G есть вектор, г-я координата которого равна 0, а остальные
нулю, и Х = (1/х,)<?< для i = l, 2, 3. Соответствующие им условия
[0]п< — 0, г = 1, 2, 3,

из которых очевидным образом следует соотношение

[е] = о.

(1-25)

Условие (1.25) непрерывности температуры на поверхности
сильного разрыва для многих является очевидным и не требующим
длительного обсуждения. Но если среда, заполняющая область Q,
не является теплопроводной, т. е. q == 0 в Q, то непрерывность тем-
пературы при переходе через поверхность П (условие (1.25)) не
следует ни из каких уравнений.

Если внутри слитка имеется поверхность Г(£) фазового пере-
хода, то на ней выполняется условие Стефана

(1.26)

где Vv — скорость перемещения поверхности Г (£) в направлении
нормали v — (vb v2, v3) 

По определению движения с сильным разрывом всюду вне по-
верхностей П и Г(£) уравнение (1.21) выполняется в обычном
смысле, т. е. в области QT температура 0 удовлетворяет уравнению
теплопроводности

^=Д0,	(1.27)

а в области вне поверхности Г(£)— уравнению

(0) а1 2е	1 /а2е	э2е\

дх*	е \ дх^	дх% I

(1.28)

Для полного замыкания задачи необходимо задать краевое ус-
ловие на границе замкнутой области Q U Q и начальное условие
при t = 0.

§ 2.	ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

1. Сокращенные обозначения. R" — n-мерное евклидово прост-
ранство точек л:=(^!, хг, ..., хп); Q, Q, G — области из R";
R”+1—(га + 1)-мерное евклидово пространство точек (х, t), где
reR", a ie(—оо, оо)_ время; Q?— область из Rn+1 точек (х, t),
координата £ которых лежит в интервале (0, Т), в частности,
R?+1 = R”X (0, Т); Q(£)—область из R", сечение области Qr плос-
костью {£ = const); Й (Qr)—замыкание множества Q (Qr).

Если и = и(х, t), то

Dfu = du/dxt, i = 1, ..., n; du/dt = O(u;

Dxu — =(Dtu, .. ., Dnu);
D™u = D™1 ... D™\ m = (m^ ..., mn), | m | = mx + ... + mn;
D™u = D^D™1 ... Dn-T1^, | m | = m0 + Wj + ... + mn_f,
Dmu = D^D™1 ... Dnnu, | m | = m0 + m1 + ... + mn.

2.	Определение основных функциональных пространств.
L,(Q) (Z/,(QT))—банахово пространство, состоящее из всех изме-
римых в й (в йг) функций, суммируемых по й (по йг) в степени
q > 1. Норма в нем определяется равенством

/ р „	\ 1/9

IIм 11g,и = ( ) |м|
\й /

( Мд,йг = (J \u\qdxdt

\	\йг

FTqCQ), I — целое, 1 q <»,— банахово пространство, состоящее
из всех элементов Lq(Q), имеющих обобщенные производные до по-
рядка I включительно, с нормой

iimV.o = _s ЬМ.й.

|т|=0

1У,(Й)— замыкание в норме Wq (й) всех финитных в й функций.
irUc (Й) — пространство функций, принадлежащих пространст-
ву Wg (С), где 2с й — произвольная ограниченная область.
1У^1,г(йт) при целом I (q > 1)—замкнутое подпространство эле-
ментов из Л9(йг), имеющих обобщенные производные вида DrtDx
с любыми г и s, 2r + Isl 2Z, и нормой

21

2r+|s|=o

^’’(йу)—гильбертово пространство со скалярным произведением
(«, y)№i,o,n = f (uv + Vu- Vv)dxdt.

W2 (,aT) QT

И'а’Чйт)—гильбертово пространство co скалярным произведением
= f (uv + DtuDtv + \7u-W)dxdt.

w2 (qt) ат

<?(Й) (С(ЙГ))— множество непрерывных в й (в йт) функций с
нормой

I«|LO)

= max | и(х) | (|u |£! = max |u(a:, t)
V (*Д)=йт
Пространство №(й), 0 < а < 1, состоит из функций, непрерыв-
ных по Гельдеру, с нормой

I и |да) = | и |g } + <«>£>,

где (iOq1) называется константой Гелъдера и по определению есть

<н>па) = sup {| и (xj — и (х2) | | xt — х2 Г“}.

х1,х2е®

Н1 (й) с нецелым Z>0 есть банахово пространство с нормой

№>- .2 |оМ°"+ .2

HIf=O	|m|=[Z]

Для тех же I пространство Н1'1,2 состоит из функций
и(х, Z), непрерывных в йт вместе с производными вида DrtDsxu
при 2г + |s| < I и с конечно!! нормой

[П

I и |ау = S I DrtDxU |gy +	2	(О(-О£и>х1яУ'1) +

2r+fs|=0	2r+|s|=[!]

+ 2 m>(&r|s|)/2),
0<i-2r-|s|<2

где

<>>x“sT= su₽ II^U. 0 — k — *T“h

0 < a < 1,

<y>t“aT= sup {|p(z, t) — v(x, t')\ \t —
(ж,/),(х,!')=Йу

С21’'(йт), l целое,— совокупность непрерывных в йт функций, име-
ющих непрерывные в йт производные вида DTtDx с 2r + |s| > 21.

Если Х(й)—какое-либо из определенных выше пространств
дифференцируемых функций, то через Х(Й) обозначим множество
функций, принадлежащих Х(й') для любой замкнутой подобласти
й' из й.

В ряде случаев функции, зависящие от переменных х й и
fe(0, Т), рассматриваются как функции аргумента t со значения-
ми в банаховом пространстве Х(й). Например, Lq(0, Т;
И^(й))- это множество функций u(Z), заданных на (0, Т) и дей-
ствующих в ЖрСЙ), с нормой

/т	\i/g

||«||= J(l|u(0llW^ >
\о	/

где через || и (t) ||x(Q) обозначается норма элемента u(t) в простран-
стве Х(й).
3.	Специальные неравенства и теоремы вложения. Приведем
некоторые неравенства, применяемые в дальнейшем. Неравенст-
во Коши

п

i,i=l

(n	\ 1/2 / n	\ 1/2

S ) I аЦ’т1г'П2 I
ij—1	/ \ij=l	/

справедливо для любой неотрицательной формы a{j при произволь-
ных ц е Rn.

Неравенство Юнга
ab 1/г)ера₽ +
е > 0, 1/р + 1/q = 1, р > 1,	<•

справедливо для любых неотрицательных а и Ь.

Неравенство Гельдера

lint’ll^ 0 С llullp. olli>l)g, q, 1/р + 1/q = 1, р > 1.

При получении априорных оценок часто используется неравен-
ство Гронуолла.

Лемма 1. Пусть абсолютно непрерывная на [О, Т] неотри-
цательная функция y(t) равна нулю при t==0 и удовлетворяет для
почти всех t неравенству

с неотрицательными суммируемыми на [0, 7] функциями c(t) и
Тогда

у (t)	j /Г" (т) dx exp I J с (т) dx j.

о	\o	/

Назовем оператором вложения из одного пространства X в дру-
гое, более широкое, пространство Y оператор, сопоставляющий каж-
дому элементу из X его же как элемент из Y.

Теорема 1. Пусть Q— ограниченная область в R" с кусоч-
но-гладкой границей. Тогда оператор вложения из Wp(Q)
в Ha(Q) ограничен при ар 1р — п и вполне непрерывен при ар <
<1р — п (а<1).

Если 1 = 1 и п> р, то вполне непрерывен оператор вложения
из Wp (Q), в £„(Q), где q< рп(п — р)~1.

Более тонкие зависимости между различными функциональны-
ми пространствами отражают так называемые интерполяционные
неравенства.

Лемма 2. Пусть Q с R" и и е ГИр (Q) Д, (Q),	7^

°°. Тогда и е W? (Q) и

(2.1)
где 1/г = /с/п + а(1/р — l/n) + (l — a)/q, k/l^a^l.
Исключение составляет случай, когда число l — k — n/p — неот-
рицательное целое, а 1 < р < °°. Тогда а < 1.

Этому неравенству можно придать и другой вид, если оценить
правую часть по неравенству Юнга:

II и ||% < сае1/а || и 11% + с (1 — а) е~1/(1-а) || и > 0.

Лемма 3. Пусть иеТУт(й) или и	но \u(x)dx = 0.

Q

Тогда

II u ||g,Q < СII Vu 11“ QII и ||%“,	(2.2)

где a = (l/r— 1/q) (i/r — (n —	причем если m<n, то q<^

е [г, mn/ln-m)] при г С тп/(п — т), а при г>тп/(п — т)
можно взять q [тп/ (п — т), г].

Если m > ге, то q > г — любое, причем при т > п неравенство
справедливо и для q = °°.

Лемма 4. Пусть область Q с: R" удовлетворяет условию ко-
нуса, т. е. существует фиксированный шаровой конус К какой-либо
высоты d такой, что в какую бы точку Q ни поместить его верши-
ну, сам конус можно повернуть так, что он весь попадает в Q.
Тогда.для всякой функции и Н1’1/2	, где QT = QX(0, Т), имеет

место неравенство

| и $ < C16'-r I и + с2Гr I и |%,	(2.3)

в котором г и б — произвольные числа из интервалов (О, Z] и
(О, min{d, Т1/2}) соответственно, где d — высота конуса, а щ и с2 —
постоянные, зависящие от г, I и от угла при вершине конуса К.

Лемма 5. Пусть Q та же, что и в лемме 4. Тогда для любой
функции иеИ7р1(йт) справедливо неравенство

| DSX U < Сзб2-8-(П+2)/₽-^ || и + C4g-(S+(n+2)/P+Z) ц и кйу> (2 4)

Постоянная б должна удовлетворять условию

О < б < min {d, Т1/г} и 2 — s — (п +2)/р> X.

Лемма 6. Пусть R" удовлетворяет условию конуса, функ-
ция и(х, t) в Qr = £2X(0, Т) удовлетворяет условию Гелъдера по t
с показателем а и константой Гелъдера p.i и имеет производные
Dxu, которые при любом t из [О, Г] удовлетворяют условию Гель-
дера по х с показателем 3 и константой Гелъдера |г2. Тогда произ-
водные Dxu удовлетворяют в £1Т условию Гелъдера по t с показа-
телем 6 = a|J/(l + fJ) и константой Гелъдера ц, определяемой лишь
а, р, pi, ц2, d и телесным углом при вершине конуса К.

Формулировки лемм 1—6 и теоремы 1 содержатся в [2, 50].

4.	Некоторые теоремы из анализа [34, 45]. Пусть X — нормиро-
ванное пространство. Отображение X в множество R действитель-
ных чисел, обладающее свойствами линейности и непрерывности,
называется линейным ограниченным функционалом. Совокупность
всех линейных ограниченных функционалов на X называют сопря-
женным пространством и обозначают символом X*. Результат дей-
ствия функционала г\из X* на элемент и из X обозначим (г, и).

Сопряженное пространство к пространству LP(Q), i<p<°°,
изоморфно пространству Lg(Q), где 1/р+1/д = 1.

Множество X** линейных ограниченных функционалов на X*
называется вторым сопряженным к X пространством.

Естественным образом определяется каноническое вложение
пространства X в пространство X**: JXcX**. Если ^Х = Х**, то
пространство называется рефлексивным. Примерами рефлексивных
пространств служат пространства LP(Q) при 1<р<°° и гильбер-
товы пространства.

С помощью сопряженного пространства X* определяется по-
нятие слабой сходимости: последовательность {unJ из X слабо схо-
дится к и е X, если для любого v е X*

lim (г, ип) = (и, и).
Tl-* ОО

Множество К в банаховом пространстве X называется ком-
пактным, если из всякой последовательности его элементов можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу из К._

Например, всякое замкнутое ограниченное множество в 7Г(Й)
(в Н1'1/2 (йг)) компактно как множество из Яг(й) (из Нг'г/г (йг)),
если г < I.

Аналогично' определяется понятие слабой компактности: мно-
жество К банахова пространства X называется слабо компактным,
если из всякой последовательности его элементов можно извлечь
подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу из К.

Лемма 7. Ограниченное замкнутое множество рефлексивного
банахова пространства слабо компактно. Если и — слабый предел
последовательности {ип}, то

II и || < lim || ип ||.

П-ъоо

Неподвижной точкой и оператора Т, отображающего банахово
пространство X в себя, называется решение уравнения и = Wи.
Оператор Y, отображающий банахово пространство X в банахово
пространство Y, называется вполне непрерывным, если он перево-
дит всякое замкнутое ограниченное множество из X в предкомпакт-
ное_множество из Y. Например, оператор вложения, пространства
Я'(й) в пространство Нт (И) является вполне непрерывным
при I > г.

Теорема 2. (Шаудер). Если — вполне непрерывный опера-
тор, отображающий ограниченное замкнутое выпуклое множество К
банахова пространства X в себя, то существует по крайней мере
одна неподвижная точка и<^ К оператора ЧС

5.	Свойства решений дифференциальных уравнений [50]. Сфор-
мулируем некоторые теоремы о существовании и качественных
свойствах решений линейных параболических уравнений второго
порядка.

Рассматривается ограниченная область Q <= Rn с границей 5
класса Н1+2 (определение этого класса и класса О2 дано ниже,
в п. 6). В области Qr = fiX(0, Т) ищется решение и(х, t)
уравнения

П	п

Lu =s Dtu — 2 ац (х, t) DiDjU + 2 «i (х, t) DiU +

i.;=i	i=i

+ a(x, t)u = / (ж, t),

удовлетворяющее на границе Sr = 5X(0, T)
условий

одному из краевых

и |sT = Ф (х, t),

п

2 bi (х, I) DLu + b (х, t) и
i=l

= Ви = Ф (х, t)

ST ST '	'

(2-7)

и начальному условию

м1(=0 = <р(ж).

(2-5)

(2-6)

(2.8)

Предположим, что оператор L равномерно параболический в об-
ласти fiT:

ИI ? I2 < 2	< VI g I2, р, V = const > О,

ij=l

и функции bi(x, t) всюду на ST удовлетворяют условию

п

2 bi (х, t) Vj (х)
i=l

>6>0,

где v ='(vi, ..., v„) — нормаль к поверхности S в точке х.

Будем говорить, что функции /, ср, Ф удовлетворяют условиям
согласования порядка пг при х е 8 и t = 0, если производные по
времени функции и до порядка т, которые могут быть определены
при t = 0 с помощью уравнения и начального условия, удовлетво-
ряют при x^S краевому условию (2.6) или (2.7).

Теорема 3. Пусть I > 0 — нецелое число, коэффициенты
оператора L принадлежат классу Н1',/2(От), а граница S — клас-
су Н1+2. Тогда при любых f е Н!-1/2 (fir), среЯ1+2(й) и Фе
<=Я'+2'('+2,/2(Sr) (определение этого пространства будет дано в п. 6),
удовлетворяющих условию согласования порядка [1/2] +1, задача
(2.5), (2.6), (2.8) имеет единственное решение класса Н1+2-(1+2)/г (fiT).
Для него справедливо неравенство

К+я<г(К’ + 1’,Й+Я + |Ф1'Л-

Теорема 4. Пусть S, L, f и ср такие же, как и в теореме 3,
bi, b<sH‘+i’,!+'!,2(Sr). Тогда при любой феЯ1+1’,,+1,/2(5г), удов-
летворяющей условиям согласования порядка [(1+1)/2], задача
(2.5), (2.7), (2.8) имеет единственное решение и(х, t), причем

|ufir+"<^l/fc? + 1ф12+,, + |ФЙГ+11)-

Теорема 5. Пусть S<s=O2, q > 1, q 3/2. Предположим, чт&
коэффициенты ац оператора L являются непрерывными функциями
в Qt, а коэффициенты at и а имеют конечные нормы в Lt(Qt) и
LS(QT) соответственно, причем

(max (q, п + 2) при q =4= п + 2,

Г = ।

(п + 2 + е при q = п + 2,

(тах(<7, (п + 2)/2) при q^= (и + 2)/2,

5 1(п + 2)/2 + е при q= (п + 2)/2

и е > 0 — сколь угодно малое. Предположим, кроме того, что при
величины,!«i]|r,Q;+T\az,||aстремятся к нулю. Тогда при
любой f&Lq(QT) задача (2.5), (2.6), (2.8) с Ф = 0, <р = 0 имеет
единственное решение ueWg1(QT) и

114Лг<с||/каг-

Требование <р = О, Ф = 0 появилось только из-за нежелания
вводить пространства Соболева с дробными производными. В тексте
книги имеются ссылки на теорему 5 в случае, когда ф =И= О и Ф ¥= 0.
Но гладкость этих функций и характер требуемых оценок позво-
ляют свести задачу с неоднородными условиями на границе S и
при t = 0 к задаче с однородными условиями.

Следующие две теоремы посвящены локальным оценкам реше-
ний. Пусть Q'c=Q'/<=Q) причем расстояние от Q' до S и до
Q\Q" положительно. Положим Q' = Q' Х(Д\, Т2), Q" =Q" Х(7’о, Тг\
и То = 0, если Т, — 0.

Теорема 6. Пусть u^H,+2^‘+2>/2(Q") и в Q"

Lu = f.

Кроме того, если Т, — 0, то выполняется начальное условие
(2.8). Пусть коэффициенты оператора L принадлежат пространству
Н1’1/2 (Q" ). Тогда имеет место оценка

I и |<Э'1’2) ci (I / Iq" + I ф 1а'+2)) + с21 u |qv.

Теорема 7. Пусть Tt> То> Q, коэффициенты оператора L
удовлетворяют в Q" условиям теоремы 5, иеИ7,'1^’) и в Q'r
Lu = /. Тогда

IIи fe.Q' сз II / Ид, О" + с4 IIи II
где 1 р с q.

6.	Задача Коши для уравнения теплопроводности на гладком
многообразии без края в классах//772  (,+27'2 (5Т) [58]. Пусть поверх-
ность S ограничивает область Q и существует такое число d > О,
что в сфере радиуса d с центром в любой точке £ е S поверхность S
задается в локальной системе координат в точке § уравнением

Уп-Р(у'), у' = (у1,	уп^).	(2.9)

Будем говорить, что S^H‘, если для любой J-eS FeH'(o), где
<J — шар ly'}<d/2, и если нормы ) F |а() ограничены общей по-
стоянной.

Поверхность S принадлежит классу О1, если производные по-
рядка 1—1 функций F непрерывны, имеют первый дифференциал
и производные порядка I функций F равномерно ограничены.

Пусть S' разбивается на множества S(1), ..., Sm, ... так, что
для каждого Sw справедливо представление (2.9). Положим 5^ =
= SW X (О, Т), uw(y', t)—функция, в которую переходит
функция и(х, t) при отображении на ог, ог = оХ(0, Т). Оп-
ределим Я'-1/2 (Sy) как множество функций и(х, t) с конечной
нормой

« = Snp,u(ft)|^.
А

При различных способах разбиения S на Sm соответствующие
нормы получаются эквивалентными.

Поверхность S можно рассматривать как риманово многообра-
зие с метрическим тензором {?,Д, который в локальных координа-
тах (у1}, где х = х(у'), имеет вид gi} = DtxDjX, i, j = 1, ..., га—1.
С помощью контравариантных компонент g'1 метрического тензора
в каждой локальной системе координат оператор Лапласа — Бельт-
рами \ви — div (grad и) можно записать в виде

&su = | g |~1/2 Д Di (|g\^DjUW),
где Igl =det(gf)).

Теорема 8. Пусть SeH,+\l>Q, u0^Hl+2(S),
Тогда задача Коши

Dtu — h.Bu*=f, (x,t)^ST; u\t=o = uo, x^S,
имеет единственное решение иеЯ,+г,(1+2)/2(Зг) и

ИУг+2)<*(1/1(4 + 1“о1У+2)).

§ 3.	СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

Пусть Q с R" — ограниченная область с гладкой границей S
класса Н‘, 1>2. В области Qr = i2X(0, Т) требуется определить”
решение U (х, t) уравнения

- АО + /,	(З.г

где U = Ф(0), 0 = х(^) — описанные в § 1 функции.
На границе ST = 8 Х(0, Т) Q(x, t) совпадает с функцией 6’
(определенной в йт):

0(х, t) = 0‘(x, t) при (х, t)&ST,	(3.2)

а в начальный момент времени

U(x, O)=Z7o(x), хеЙ.	(3.3)

Теорема 9. Пусть ФеС! (—°0, 0] П С2[0, <»);

ф(0)е[—1, 0]; Ф'(0)> а0 = const > 0 при 0=/=О;

0О = X (Цо) 6= Lx (й) П W1. (Й); / <= Ь2 (йг);

01 <=	(Йг), Di& €= Wl'1 (Йг), 0Дх, 0) = 0О (х), хе 8.

Тогда существует ограниченное обобщенное решение задачи Сте-
фана (3.1) — (3.3)

U е Lx (йг), 0 <= Wl'1 (Йг) 0	(0, Т-, W} (Й)).

Доказательство сформулированного утверждения можно найти
в [50, 82, 156]. Поэтому изложим только его схему. Решение исход-
ной задачи есть предел регулярных задач, получающихся из (3.1) —
(3.3), если аппроксимировать функцию Ф гладкими функциями
ф„: Ф„ Ф. Для каждого п соответствующая начально-краевая
задача имеет единственное решение 0П, обладающее требуемой
гладкостью.

Основная оценка приближенных решений, не зависящая от но-
мера приближения п, получается после умножения уравнения для
0„ на разность (Dt0„ — DtQ') и интегрирования по области йг:

шах || DxQn (*) ||2,q + || DtGn ||2(0 < м.	(3.4)

te(o.T)

Эта оценка, лемма 7 и теорема 1 настоящей главы позволяют
выделить подпоследовательность функций 0пА, слабо сходящуюся
в ГИз’^йг) и сильно сходящуюся в £2(Йг), так, что Unk =
=	= Ф (0) при 0#=О, где 0= lim 0nft.

nft-»oo

Переходя к пределу в интегральном тождестве для функций
0„, убеждаемся, что пара функций 0, U является искомым решением
задачи Стефана.

Следствие 1. Пусть n — i. Тогда всюду в Йт решение
0(х, t) задачи Стефана (3.1) — (3.3) удовлетворяет условию
Гелъдера.

X

Доказательство. Функция v = J 0 (s, t) ds, Xa <= Й, удоб-
но

летворяет условию Гелъдера по переменной t равномерно по х^Й,
а ее производная dv/dx = Q — условию Гелъдера по переменной х
равномерно по t®(0, Г). Это следует из оценки (3.4), справедли-
вой и для решения задачи (3.1) —(3.3). Обращаясь к лемме 6 § 2

3 А. М. Мейрмапов

33
настоящей главы, видим, что 0 удовлетворяет условию Гельдера и
по переменной t.

Теорема 10. Ограниченное обобщенное решение задачи Сте-
фана (3.1) — (3.3) единственно. При этом область Q не обязательно
ограниченная.

Доказательство. Для разности V= — двух возмож-
ных решений £71 и U2 интегральное тождество (1.5) можно преоб-
разовать к виду

J U{Dt<p + рДф} dxdt = 0,	(3.5)

где fi = {x(£71)-x(£72))(£71-£72)-1, O^fi^o1, а функция ф обра-
щается в нуль на границе ST и при t = T.

Положим

v(x) = е • ехр(—1ж|),

где е > 0 — произвольно фиксированное число.

Рассмотрим начально-краевую задачу

Dt(p + (р, + v) Дф = F, <p |sr = 0, ф ](=г = 0	(3.6)

об определении функции ф в области Qr по произвольной гладкой
финитной в £2? функции F. Непосредственно сослаться на резуль-
таты о разрешимости сформулированной задачи мы не можем, по-
скольку (ji + v)—только неотрицательная ограниченная измеримая
функция. Для того чтобы воспользоваться результатами § 2 на-
стоящей главы, рассмотрим последовательность гладких неотрица-
тельных ограниченных функций рп(х, t), сходящуюся в норме про-
странства A2(Qr) к функции р(х, I). Если область Q неограничен-
ная, то аппроксимируем ее ограниченными областями с глад-
кой границей S{n) такими, что Q(n) <= Q(n+1) с Q.

Приближенные решения <рп(я, О задачи (3.6) построим как
решение уравнения

Аф« + (fin + v) Дфп = F

в области йт0, равное нулю на границе й при t = T. Соглас-
но теореме 3 § 2 настоящей главы существует единственное гладкое
решение ф„ указанной начально-краевой задачи.

Для получения оценки, не зависящей от номера приближения,
умножим уравнение для ф„(х, t) на Дфп и проинтегрируем по об-
ласти Q<n) (на произвольном сечении t = const >0). После неслож-
ных преобразований получим равенство

J (Pn + v) | Дфп |2dx — J| VTn|2<ir = — ^VFVtpndx,
Q(n)	a(n)	Q<n)

из которого, привлекая неравенство Гельдера и лемму 1 § 2, можно
вывести оценку

max [ рфпСс, /)|2dx + f v | Дфп|2<с2 (F).

<п)
Последняя оценка позволяет с помощью стандартного диаго-
нального процесса выделить подпоследовательность, сильно сходя-
щуюся в Ь2 (Й(тп)) и слабо сходящуюся в РК|’1(£2г*)) к функции
ф(х, t) из	такой, что

У v (х) | Аф (х, t) I2 dxdt < с2 (F).	(3.7)

Подставим найденную таким образом функцию ф (х, t) в тож-
дество (3.5) и преобразуем его к виду

J UFdxdt+ J vUtijpdxdt — 0.

Второе слагаемое в полученном равенстве меньше любого наперед
заданного числа. В самом деле, оценим его с помощью неравен-
ства (3.7):

J vUkqdxdt ^шах|

Ду

^1ЬЙгЬХ/2ДфЦ2,аг<

шах | U | c (F) ъТ У exp (— | х |) dx.
о

Следовательно,

У UFdxdt = 0,

что равносильно равенству U — 0.

Следствие 2. Если 0‘>О (0*^0),	(Uo^ — 1) и

f =*0, то 0 (х, t) строго положительна (отрицательна) всюду в об-
ласти йу.

Теорема 11 (сравнение решений [156]). Пусть п = 1, й =
= (0, X) и данные {0<i>,	{6(2), ^о2)) таковы, что

Тогда аналогичное неравенство справедливо и для соответству-
ющих решений задачи Стефана (3.1) — (3.3):

Uw(x, t)>Uw(x, t) в Йг.

Доказательство. Положим U = Ull) — Um, 0 = 0(1) — 0(2),
о = ?7о1) — U^\ 01 = 0(\)— 0(2). В интегральном тождестве для раз-
ности U, аналогичном (3.5), в качестве пробной функции возьмем
неотрицательную функцию ф. Поскольку (0, t)^Q и (X, t) 0
(если Х< <»), то
х	т

f Ф 0) Uo (х) dx + f (0,'Q 01 (0, 0 - ? (X, t) 01(Х, t)] dt^Q

V	л) IV**	9

О	о
и, следовательно,

(3.8)

Как и при доказательстве теоремы 10, для произвольной не-
положительной финитной функции F(x, t) можно построить неот-
рицательную функцию ф такую, что

+ +

Подставляя ее в (3.8) и устремляя и-»-00, заключаем, что
j UFdxdt < 0,
£2у

откуда в силу произвольного выбора неположительной функции F
следует неотрицательность функции U.

ГЛАВА П

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

§ 1. ОДНОФАЗНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Напомним постановку однофазной задачи Стефана. Пусть
£2Г с R? = Rnx(0, 71) — область, заключенная между известной по-
верхностью ^Fr = ^X(0, Т), ^"^R”, и искомой поверхностью
Гг = {(а;, i) lxеr(i)<=Rn, ie(0, 7)) так, что Qr = {(z, t)\x^
еQ(i)<=Rn, £е(0, Т)}. Требуется определить область Qr и функ-
цию 0 (температуру), удовлетворяющую в области Qr нелинейному
уравнению теплопроводности

п

a(Q)DtQ = 2 Д?0 + /СМ).
i=l

(1-1)

На известной границе ZFт

2 ii(x,i)Z)i0 + &(x,t)0 = O2).	(1.2)

i=l	/

0 = 0! (х, t)

На искомой границе Гт помимо равенства температуры температуре

плавления:

0(z, t) = 0

(1.3)
выполняется условие Стефана
п	'

Vv + 2 ViDiQ = 0,	(1.4)

i=i

где V,— скорость перемещения поверхности Г (Z) в направлении
нормали v к этой поверхности. Если v = V0/|V0| (такое определен
ние нормали возможно, если поверхность Г(2) нулевого уровня
температуры неособая, т. е. 1^91 =^0), то

Vv =-0,01001-*, (х, ()еГг.	(1.5)

Для замыкания задачи необходимо задать начальное положе-
ние свободной границы и начальное распределение температуры:

Г(0) = 5, 0(х, О)=0о(ж), jeQ(0) = G. (1.6)

С целью более точной формулировки основного результата ви-
доизменим запись условия Стефана. Предположим, что поверхность
S принадлежит классу С2, и пусть в каждой точке х0 е |D0o(xo) I
=# 0. Тогда

v(а:0) = DQ0(Xf>) |Z>0O(хо) I-1.

Существует число d > 0, зависящее только от дифференциальных
свойств поверхности, такое что скалярная функция R (х0, t) опре-
деляет поверхность T(i) по формуле	;

. х = х0 + R(х0, i)v(x0),	(1.7)

еслр только

|Д(х0, Z)|	(1.8)

Число d можно считать настолько малым,. что поверхность
Г(£), заданная соотношением (1.7), не пересекает поверхность
если только в начальный момент времени поверхность r(O) = S' не
пересекает поверхность

Дифференцируя по времени тождество

0(жо + R(x0, t)v(xa), £) = 0

и привлекая соотношение (1.5), получим

K=|P0|-*(Z?0v(xo))^(xo, г),	(1.9)

где D0 вычислено в точке (х, t), а точка х задана уравнением (1.7).
С учетом последнего равенства условие Стефана примет вид

DtR(x„ t) = X(x0, DQ) =—\D9]2 (DQv(xls))~l, (1.10)

где О0, как и в (1.9), вычислено в точке х, заданной равен-
ством (1.7).

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия'.

(I)	Замкнутые поверхности У и S ограничивают множества
Uд- и U в соответственно так, что Ugr czZ/g, ^"П5 = 0 и ST, S npib-
надлежит классу Ны, [Z] = m + 1 == п + 5.
(II)	a e Cm+2[0, °o), функции 0‘, 02, b, b{ (i=l, n) прш-
надлежит пространству H21'1	) и

п

а Mg1 = const > О, У bfli Mq1,

7—1

где q = (glt ..qn) — нормаль к поверхности Sf~ в точке х.

(III)/G=tf2M(R~),	0oe№'(G), на поверхностях и S вы-

полнены условия согласования до порядка m +1 вытекающие из
(1Л)-(1.3), (1.10), и

0о(х)>О, x^G-, llnl DQ0(x) 11 <N0, x<=S.	(1.11)

(IV) Соответствующие нормы функций f, 0O, 0‘, 02 ограничены
постоянной Nv, а нормы коэффициентов a, b, bt (i = l, ..., n) и
нормы функций, задающих в локальных координатах поверхности 3~
и S,— постоянной М„.

Тогда найдется достаточно малое число	зависящее

только от Мо, No и d, такое что у задачи (1.1) — (1.6) существует
единственное решение

Не С2’1 (5rJ,0eC2a(QTJ.

Замечание 1. Результат теоремы 1 справедлив и для более
общего уравнения

D(0= 2 Di(ai}(x,	+ f(x, t,Q,DQ), (1.12)

J,i=l	*

если потребовать строгую параболичность уравнения и достаточную
гладкость функций ац и /. При этом условию Стефана (1.4) соот-
ветствует условие

Vv + 2 OjjViDjd = 0.
ij=l

Доказательство этого утверждения содержится в [58].

Замечание 2. Решение задачи (1.1) — (1.6) есть решение
исходной задачи Стефана, если температура 9(х, t) строго положи-
тельна в области Если f(x, t)—0, то из условия (1.11) и прин-
ципа максимума следует положительность 9(х, t) по крайней мере
на достаточно малом интервале (0, Т). Если же /=^0, то первое
условие (1.11) обеспечивает положительность решения на достаточ-
но малом интервале времени вне малой окрестности свободной гра-
ницы. На искомой границе Гт решение тождественно равно нулю,
но его нормальная производная в силу второго условия (1.11) и
гладкости решения строго отлична от нуля по крайней мере на
очень малом интервале времени. Положительность производной ре-
шения по внутренней нормали обеспечивает положительность реше-
ния в достаточно малой окрестности Гг. Очевидно теперь, что ин-
тервал (0, TJ можно выбрать настолько малым, чтобы решение
0 (х, t) было положительным всюду в От-
§ 2. ПРОСТЕЙШИЙ ВАРИАНТ ЗАДАЧИ

Основным моментом в доказательстве классической разрешимо-
сти многомерной задачи Стефана является оценка решения вблизи
свободной границы Гт. При этом существенно используется условие
(1.11), позволяющее построить локальные координаты (переменные
Мизеса), в которых свободной поверхности соответствует часть пло-
скости. Новая искомая функция (в переменных х это координата,
чей орт сонаправлен с нормалью к поверхности S) удовлетворяет
в переменных Мизеса нелинейному параболическому уравнению
второго порядка и нелинейному краевому условию на образе сво-
бодной границы, содержащему производную искомого решения по
времени. Если линеаризовать уравнение и краевое условие, то воз-
никающая линейная краевая задача не является «параболической»,
т. е. краевое условие не удовлетворяет условию дополнительности.
Отсутствие разработанной теории таких задач затрудняет деталь-
ное исследование исходной нелинейной задачи. Но оказывается, что
для нее на малом интервале времени справедливы энергетические
оценки, получающиеся дифференцированием уравнения и краевого
условия по времени и по касательным переменным, умножением
результата дифференцирования на соответствующую производную
и интегрированием.

Поясним все вышесказанное на примере простейшего варианта
задачи.

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 а = 1, есть пло-
скость {xn = i}, S —плоскость {хп — 0), / = 0, 0‘ = 1 (мы рассмот-
рим случай заданной температуры на поверхности &"т}, a Qq(x) —
периодическая по переменным х'=(xt, ..., x„-t) функция с перио-
дом 1. Пусть, кроме того, 0о(я:) зависит только от хп вблизи плоско-
сти и

lln H>„0o(z)ll <2V0, x^G.	(2.1)

Тогда существует единственное периодическое по переменным
х' с периодом 1 решение задачи Стефана R(x’, t) класса С2’1 (*5тф),
определяющее область Фг* = {(#»£) I I I < °°» Я(а/, i)<xn<l,
0<f<7’#), и 0(х, t) класса С2’1 (йт*) на достаточно малом ин-
тервале времени (0, Г*), зависящем только от величины Na.

Доказательство сформулированного утверждения проведем
в несколько этапов. Во-первых, очевидно, что в силу теоремы един-
ственности решение будет периодическим по переменным х' с пе-
риодом 1, и всюду ниже в этом параграфе мы ограничимся пере-
сечением множеств G, S, Qr с полуполосой П = {х е R" 10 < х,- <
<1, г=1, ..., п — 1, —< хп < 1), оставляя за ними прежние обо-
значения.

Из неравенства (2.1) и предполагаемой гладкости решения
9 (х, t) следует, что на достаточно малом интервале (0, 7\)

IlnlPnOll^^oo.	(2.2)
Последнее неравенство позволяет ввести новые независимые
переменные

x = t, у' = х', 1/„ = 6(ж, t),	(2.3)

в которых области соответствует область GT = GX(0, Т), а сво-
бодной границе Гт — поверхность ST = S X (О, Т). Поверхность &~т
при отображении (ж,	т) переходит в себя.

Новая искомая функция м(у, х) — хп, периодическая по пере-
менным у' с периодом 1, удовлетворяет в области GT нелинейному
параболическому уравнению

	П-1 i+		
Dxu — к'и + Dn	г=1	= 0	(2-4)
	. Рп		

и условиям

и = 1 при (у, т)е^~г, «lt=o = Wo при y<=G,	(2.5)

п-1

Dxu -|---—— = 0 при (у, т) е ST-	(2.6)

Рп

/ П—1

В (2.4), (2.6) положено pi = Diu, = D^u.
i=i

Уравнение (2.4) соответствует уравнению теплопроводности

Для функции 0(z, £), условие (2.6) — условию Стефана

D,0=4W.

Первое условие (2.5) есть просто запись уравнения поверхно-
сти ST :хп = 1, а функция и0(у) во втором условии (2.5) находится
из уравнения

Уп = 0о (у', Wo (у)).

Последнее всегда имеет решение в силу (2.1).

При выводе (2.4), (2.6) были использованы соотношения

Рп	_д_ _ _д	Рг д  ду{ Рпдуп'	i = 1, ..., п — 1,	(2.7)
DtQ =	DTu	1  = - -Ц Пп0 = —, Рп	Рп	д	X д  дхп “ Рп дУп	(2.8)

Полученная начально-краевая задача (2.4) — (2.6) (назовем ее
задачей (В)), эквивалентна исходной задаче Стефана (назовем ее
задачей (А)) в переменных (х, t), если только

I In I Рп | Ig’t < оо-

Условие (2.6) и есть то условие, для которого не выполняется
условие дополнительности, и поэтому применить известные методы
построения решения (например, близкого к одномерному) не пред-
ставляется возможным. С другой стороны, как было отмечено выше,
для решения задачи (В) справедливы простейшие энергетические
оценки, позволяющие оценить его норму в пространстве С2-1 (С?т)
на достаточно малом интервале (О, Т). Возникает задача построе-
ния последовательности «регулярных» (или «параболических») за-
дач, аппроксимирующих задачу (В), для решений которых остава-
лись бы справедливыми найденные энергетические оценки, не за-
висящие от номера приближения.

В случае задачи (В) такая последовательность легко находится.
Это задача (Вх) об определении функций и* (у, т), удовлетворяю-
щих уравнению (2.4), условиям (2.5) и краевому условию

1+Ш

Dxue +------------ еД'и®	(2.9)

Рп

на границе ST.

Условие (2.9),-аппроксимирующее условие (2.6), является «ре-
гулярным», т. е. для него выполняется условие дополнительности
и соответствующая ему начально-краевая задача однозначно раз-
решима.

Лемма 1. В условиях теоремы 2 существует единственное
решение задачи (Ве) и* е H2l t(Gr), Т <Те, на достаточно малом
интервале (0, Те), который определяется соотношениями

^(Т, ие)<«> при T<Tt, 3^(Т,и*)=°°,	(2.10)

где ^(Т, и) = |	+ | In |р | |g°t с некоторым у е(0, 1), р = Du=‘

= (pt, ..., р„).

Доказательство. Кратко напомним, как выводятся усло-
вия согласования на поверхности 5, вытекающие из уравнения (2.4)
и краевого условия (2.6). Приравнивая производную Dxu, найден-
ную из уравнения (2.4), производной Dxu, найденной из условия
(2.6), получим тождество на границе ST:

S'u — Dn

(2.Н)

В силу .требуемой гладкости решения и (у х) это тождество
будет справедливо и для начальной функции и„(у)-.

А и0 Dn

1+S(W

г—1___

Dnuo

1+2W

—bi-’ ч sS-

Последнее соотношение есть условие согласования первого по-
рядка, вытекающее из (2.4), (2.6), которому, должна удовлетворять
начальная функция и„(у). Если искомое решение должно обладать
большей гладкостью, то, последовательно дифференцируя тождество
(2.11) по времени и заменяя возникающие производные Dxu из
уравнения (2.4), получим условия согласования более высокого
порядка. Общее число т таких условий равно числу производных
по времени D™u, которыми должно обладать искомое решение.

«Подправив» краевое условие (2.6), мы тем самым изменим и
условия согласования, которым должна удовлетворять начальная
функция и0(у). Следовательно, приближенное решение и' должно
удовлетворять начальному условию (2.5) с «подправленными» дан-
ными Uq (у). Такая коррекция начального условия всегда возмож-
на. Существует последовательность и%, сходящаяся к функции иа
в норме пространства Я2'(G) при е0 и такая, что для функций
..в
«о выполнены условия согласования до порядка т, вытекающие
из условий (2.4) и (2.9). В нашем частном случае все оказывается
проще, так как иа вблизи поверхности S зависит только от уп и
условия согласования, вытекающие из (2.4), (2.6) для такой функ-
ции, совпадают с условиями согласования, вытекающими из (2.4),
(2.9). Осталось заметить, что выполнение условий согласования для
функции «о(у) на поверхности S следует из выполнения условий
согласования для функции 60 (х) на поверхности S в исходной за-
даче (Л).

Предварительно докажем разрешимость задачи (5е) в классе
Hr'r/2(GT), г = 2 + *у с некоторым 7 s (0, 1).

Пусть

ЛГ>|Дц0|^ + |]п|Рпц0|(с0)|

— произвольное число. Через обозначим замкнутое выпуклое мно-
жество вектор-функций ы=(и1, ..., к>„) из пространства Ят т/2(<?Т),
равных в начальный момент времени вектор-функции Dua —
= (Ditto, ..., Dnu0) и таких, что

|(о|£><У, Г41®п|<е".	(2.12)

Рассмотрим линейную краевую задачу
п—1
1+
DiDnv +------------------------------D

®п

при (у, т) е= GT‘,
п(у', 1, т)=1; v(y, 0) = щ(у), y^G; (2.14)
п—1
i + 2

Dxv — еД'ц =-------, (у, т) е ST,	(2.15

об определении функции v(y, т) класса Hr’r/2(GT) по заданной век-
тор-функции (де®?. Разрешимость последней следует из известных
результатов [50]. В самом деле, рассмотрим краевое условие (2.15)
на границе ST как неоднородное уравнение теплопроводности с пра-

VUCO;

DxV = Д v - 2
/ n— 1	\

вой частью/ = — I 1 + S ®i 1 °»1 относительно функции v ({/', 0, т),
удовлетворяющей начальному условию v(у', 0, 0) = щ(у', 0). Из
теоремы 3 § 2 гл. I следует, что v(y', 0, т) определяется единствен-
ным образом и

| v (е) (| u0|S2+v) + ]/0£)	(е, Хо, *)

Из той же теоремы следует, что существует единственное реше-
ние v(y, т) класса Hr-r/2(GT), удовлетворяющее уравнению (2.13),
условиям (2.14) и совпадающее с найденным решением уравнения
(2.15) на границе 5Т. При этом

Iv |£> < с (М ([и.1£> + IV < N2 (е, N., N).	(2.16)

Легко видеть, что если = Dtv, то уравнение (2.13) совпадает
с уравнением (2.4), а краевое условие (2.15) —с краевым услови-
ем (2.9). Следовательно, если Z)z? = 4F(co) есть оператор, сопостав-
ляющий каждой вектор-функции © еЗЯ вектор-функцию Dv, где
v(y, т) —решение задачи (2.13) — (2.15), то неподвижная точка это-
го оператора определяет решение задачи (Ве).

Оператор Y, действующий^ из множества 24 в пространство век-
тор-функций из класса 1/2 (GT), непрерывный. Это следует из не-
прерывной зависимости от коэффициентов решений линейных пара-
болических уравнений второго порядка [50]. Более того, он вполне
непрерывный, так как переводит множество 24 в ограниченное мно-
жество в пространстве Я1+т-(1+1>/2(£т) (оценка (2.16)). Чтобы вос-
пользоваться теоремой Шаудера о неподвижной точке вполне непре-
рывного оператора, осталось показать, что оператор Т переводит
множество 24 в себя. Последнее удается показать, если интервал
времени, на котором рассматривается начально-краевая задача
(2.13) — (2.15), достаточно маленький.

Поскольку Dv (у, 0) =Z>u0(i/), то

| Dv (у, т) - Du. (у) |< | Dv - Du. |£г+?) т(1+7)/2 < 2NZT^+W*.

Обращаясь к лемме 4 § 2 гл. I, видим, что

| Dv - Du. ^\Dv-Du. + ±-\Dv-Du. |<G°>
r r

с произвольно малым p, 0 < p < T1/2. Следовательно,

| Dv < | Du. № + | Dv - Du. |(GT>< N + N3 (p +

Совершенно аналогично

| In (Dnv) |£> < | In | Dnu. |k0) + tf4T(1+™2.

Считая T < 1 и полагая p = T, окончательно получим
\Dv№<N +
Все условия теоремы Шаудера будут выполнены, если

‘ Т < (N - | Du0 |(GV) - | In | Dnu01 fe0))2/(1-?) [2V5 (8, 2V0,

Чтобы показать принадлежность решения задачи (Ве) указан-
ному в лемме 1 классу, обратимся к условию (2.9). Оно «подни-
мает» гладкость решения на единицу. В самом деле, пусть
Du^ ₽/2(Gr). Рассматривая (2.9) как уравнение теплопроводно-
/	п~1	\

сти с правой частью / = — (Z>nu)-1I 1 + 2 I &ги |2) из пространства
_	\ i=l	/

№’₽/2(5т), с помощью теоремы 3 § 2 " гл. I заключаем, что
Я2+э> <2+p,/2(Sr). По той же самой теореме и(у, т) как решение
уравнения (2.4), удовлетворяющее условиям (2.5) и совпадающее
на границе ST с -функцией класса Я2+₽-<2+Р)/2(5т), принадлежит
классу Я2+₽-(2+Э)/2(<?т), если только в начальный момент времени
выполнены соответствующие условия согласования. Следовательно,
<l+3)/2(Gr) и величина ограничена лишь гладкостью на-
чальной функции и0(у) и числом условий согласования в начальный
момент времени. Процесс построения решения позволяет продол-
жить его на максимальный интервал (0, Те), который определяется
условиями (2.10).

Приступим к выводу энергетических оценок решения задачи
(5Е), не зависящих от номера приближения 8. Подействуем для это-
го на уравнение (2.4) и краевое условие (2.9) оператором каса-
тельного дифференцирования

D™ = Dx 0	1 ... Dn_! , I m | = m,

умножим результат дифференцирования на D™u (там, где это не
вызывает разночтений, будем опускать индекс 8 у функций
и*(у, г)), проинтегрируем соответственно по области Gr, Т <Тг,
и границе ST и сложим полученные выражения. Граничные инте-
гралы по границам {xt = 0, 1), i = 1, ..., п — 1, взаимно уничтожа-
ются в силу периодичности решения по переменным х'. Имеем по-
сле несложных преобразований

4||D^(7’)||2>g+ 4-||D”ru(T)||22,S +

П—1	__	_

+ е 2II	Pi Иг,sT + 17- ^о1 Pn ll.Gy +

"n
1—1 *' 1

n-1	_	_ |]2

i=i	Pn

= 4-H?^u«ll^ + 4-H^ollls + f	(2.17)

Gy

[m/2]	_ -

где T=_2 ^-hDVkP + Vo, в 4%входят производные функций
ГМ=1
р порядка [т/2] и ниже и То, — непрерывные функции своих
аргументов, ограниченные, если ограничены аргументы и ограничена
величина |lnlpnl I. Пусть N — произвольное,

N > No > | uQ |(G20 + -| In | Dnu01 |(G0).

При каждом фиксированном e > О всегда существует максималь-
ный интервал (О, 7^)(П зависит, вообще говоря, от е), на ко-
тором

I DhP* I < АГ, к < [-£]; | In | pl | |<^ < ЛГ, (2.18)
где D* =	... Dknn, |fc| = ka + kt +_... + kn = k.

Все дальнейшие оценки будем проводить на интервале (О, Т),
где Т^.Т». На этом интервале коэффициенты при старших произ-
водных порядка [m/2] + 1 и выше в выражении для Т в равенстве
(2.17) ограничены величиной, зависящей только от N. Оценивая
последнее слагаемое правой части (2.17) с помощью неравенства
Гельдера и неравенства (лемма 2 § 2 гл. I)

+ С1 (р) || Р |||,Gr

с Irl <т и произвольной постоянной ц>0, а левую часть равен-
ства (2.17) снизу, получим:

II D™p ||i,Gt < N, {ц || D™p ||2>Gr + C1 (p)},	= N, (7V0, N). (2.19

Слагаемые, содержащие 8, в последнее неравенство не вошли, и по-
этому в нем и последующих неравенствах все постоянные не будут
зависеть от 8.

Производные вида DlD^p, i + | к | т, оцениваются непосред-
ственно из уравнения (2.4) через производные D™p. В самом деле,
применяя к (2.4) оператор Dr0, | г | = т — 1, и используя тождество
DnD^pi = DiD^pn, i ==1, .. ., п— 1, вычислим производную DnDr3pn
через производные^ Djfp. Действуя, далее, на уравнение (2.4) опе-
ратором Z)m~\ мы последовательно вычислим производные
\D™~*p, I к | т, через производные Dn ^D^~jp, 0	| у | 1 fe|

и тем самым через производные -D™р. При этом

l|JDSlg,er<^2(^)ll^lllGr.

Оценивая теперь правую часть последнего неравенства сверху
с помощью (2.19), получим

II D™P ll.Gr < ^3 {н ID™Pliter + с3 (и)}, N3 = N3 (No, N).
Выбирая р, достаточно малым, окончательно имеем

WD^g^N^N).	(2.20)

Неравенство (2.20) позволяет ограничить все производные
функций р до порядка [т/2] с помощью простейшей теоремы вло-
жения. В самом деле, в представлении

-Or Р (У, т) = D гр (у, 0) + J* DtDrp (у, t)dt, | г |<
О

оценим подынтегральный член в каждом сечении И = const} с по-
мощью теоремы 1§2гл.1:-

|П^(/)|У,)<Н1^(0ке, |g| = |7| + l, (2.21)

где постоянная с зависит только от характеристик области G, a t
играет роль параметра. Для справедливости неравенства (2.21) не-
обходимо, чтобы

п < 2{т — 1 — шах |?|) = 2(тп — 1 — [тп/2]).

Последнее, как легко проверить, всегда верно.

Таким образом, для 1г| < [т/2]

— (Т	\2.

l^|(Gr<^0 + 7'a Ш|£’р(*)|(с0))2<Й 2<	(2.22)

\О	/

< No + Тtc ( J | &"р (f) ||i,G dt¥ < No + T*cN*.

\o	/

Из представления
т

In I pn j = In I Dnu01 4- DtPn (y, t) dt
J Pn,

и неравенства (2.18) следует оценка

I In | pn 1No + N6 (АГ) T,	(2.2 3)

Пусть

Тогда при 7’^7’* правые части (2.22) и (2.23) не превосходят
величины N. Утверждается, что все интервалы (0, 71®) содержат
интервал (0, 71*), т. е. что Т* < Т».

В самом деле, допустим противное. Найдется е > 0, для которого
Т*^Т*. Для соответствующего решения р’ справедливы оценки
(2.22), (2.23):

£

|р>|<о) <^ + с(ед)2 <N, Й<[т/2], . (2.24)
Г#

|ln|p°||£>e<tf0 + NsTi<N.	(2.25)

I г*

Так как [m/2] > 3 при п > 2, то

Sf (Tl, и8) I ре |(G^ + I In I pBn I < 2N < oo.

Тем самым интервал (О, Тс) существования гладкого решения и*
задачи (Bt) содержит в себе интервал (0, Т*): Те> Т». Но тогда
неравенства (2.24), (2.25) выполняются на более широком интер-
вале времени, чем (0, 71*), что противоречит его выбору как мак-
симального.

Как уже отмечалось, [т/2] > 3 и из оценок (2.18) вытекает
ограниченность всех производных функций и” (у, т) до третьего по-
рядка на интервале (О, 7\):

|DV|(G0Je<.V,|7|<3.

Это позволяет выделить подпоследовательность {u8fe(y, т)}, равно-
мерно сходящуюся в пространстве С2’1 (Gt*) к функции и(у, т),
которая, очевидно, является искомым решением задачи (В).

Полагая t = т и х' = у', мы из уравнения

хп = и(х', 0(х, i), t)

определим классическое решение задачи Стефана (4) на всем ин-
тервале (О, Г*). Уравнение свободной поверхности xn = R(x', t)
находится по функции и(у, т) явно:

R(x', t) и(х', 0, t).

§ 3.	ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ

ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА НА МАЛОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

В общем случае произвольной поверхности S построение при-
ближенных решений более сложно, так как отсутствует единая па-
раметрическая запись свободной поверхности Гт в виде уравнения
Хп = В(х', t) и краевое условие (1.5) не «подправишь» оператором
Лапласа по касательным переменным х'. Но оказывается, условие
Стефана можно регуляризовать, если придать ему форму (1.10), эк-
вивалентную (1.4) на достаточно малом интервале времени. Роль
оператора Лапласа по касательным переменным в этом случае игра-
ет оператор Лапласа — Бельтрами, заданный на начальной поверх-
ности 5 (его определение дано в § 2 гл. I).
Итак, требуется найти функцию R*(x0, t), заданную на поверх-
ности ST = S X (О, Т) та. определяющую поверхность Гу по формуле
х = х0 + 7?'(х0, t)v(xo'), x0^S,	(3.1)

где\(х0) —нормаль к поверхности S в точке х0, и функцию 0'(х, £),
заданную в области Йт (это область, ограниченная поверхностями
STti Гт и плоскостями {£ = 0} и {t = Т}) по следующим условиям:

a (0е) DtQe = 2 £>?0Е + /, (х, t) е	(3.2)

1=1

6е = е1 либо 2 biDiQe + 60Е=О2, (х, t) 6= SFT; (3.3)
i—1

0е(х,£) = 0, (х,£)еГ^;	(3.4)

0е (х, 0) = 0е (х), х 6= G, Re |<=0 = 0;	(3.5)

DtR* - ebsR‘ = X (z0, D0‘), (х0, t) s ST. (3.6)

В (3.6) Дв — оператор Лапласа — Бельтрами на поверхности S,
X(xQ, DQ) = — |D0|2(£>0 • v(x0))_l. Производная DQ в последнем ра-
венстве вычислена в точке (х, t), где х определено формулой (3.1).

При е = 0 задача (3.2) — (3.6) совпадает с исходной задачей
Стефана, и следует ожидать, что решения задачи (3.2) — (3.6) при
е>0 (назовем ее задачей (Де)) аппроксимируют решение задачи
Стефана и сходятся к нему, когда е -► 0.

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, изменив краевое
условие (1.5), мы тем самым изменили условия согласования, кото-
рым должна удовлетворять функция 0о(х). Следовательно, началь-
ное условие для приближенного решения 0е (х, t) необходимо под-
править так, чтобы выполнялись условия согласования, следующие
из (3.2), (3.4), (3.6).

Лемма 2. Пусть 0оеЯ2г(С) и на поверхности S выполнены
условия согласования до порядка [Z] = m+1, следующие из (1.1),
(1.4), (1.3). Тогда для всякого е>0 найдется функция 0о(х) из
пространства Н2!(П), совпадающая с 0о(х) вне малой окрестности
поверхности S и такая, что

Иш 10О - 0е |(<?г)= 0,
е-»о

а на поверхности S 0q(x) удовлетворяет условиям согласования
до порядка тп+ 1, вытекающих из (3.2), (3.4), (3.6).

Доказательство этого вспомогательного утверждения есть
в [58]. Всюду ниже 0f в условии (3.5) определяется из леммы 2.

Теорема 3. Пусть поверхности S, функции 0‘, 02, /, b, bt,
i = l, ... п, те же, что и в теореме 1, а функции 0q (.ж) выбраны
в соответствии с леммой 2.
Тогда для всякого е > 0 существует решение задачи (Лв)
R‘ е Нг1' '(8Т), определяющее область йу, и 9е е И21,1 (йу) для
Т < Те. Число Л > О находится из условий

J(T, 0‘)<°°, T<Tt, J(T„ 9*) = оо;	(3.7)

J (Т, 0) = IDQ |$> + I In I (D9v (х0)) 1+ I In (2d - R)

где 7 е (О, 1) произвольное, v(x0)—нормаль к поверхности S
в точке х0^ S, a DQ в определении ] вычислено в точке х, заданной
уравнением (3.1).

Доказательство. Доказательство теоремы 3 в принципе
повторяет доказательство леммы 1 предыдущего параграфа. Пусть
ЭЛ — замкнутое выпуклое множество вектор-функций со, заданных
на поверхности ST и таких, что

<0 (х0,0) = ® (х0),

|1п|(®(х0, t)v(Xo))\\^N-,

® (*о) =	(*о), *0

N>N0^ max со |(/\ | In | ^cov) | |д0)}.

Как следует *из теоремы 8 § 2 гл. I, задача Коши

DtR— еДвй = Х(х0, со), й|(=о = О,	(3.8)

однозначно разрешима при всех со s ЭЛ и

I ^|(s2r+v)<2Vi(e, N).	(3.9)

При этом оператор Ч^, действующий из множества ЭЛ в про-
странство Hr'r/2(ST), г = 2 + 7, и сопоставляющий каждому элемен-
ту сое ЭЛ решение задачи Коши (3.8), непрерывный.

Поскольку |Л(ж0, t) I max \DtR\t^NiT, то при T<ZdN~{
функция R определяет поверхность Гт и область йт, ограниченную
поверхностями ^"г, Гг и плоскостями {t = 0} и И = Т). Для каждой
функции Л = Чг1(со) начально-краевая задача (3.2) — (3.5) имеет
единственное решение 0 е Яг. г/2(Йт). Стандартными методами
[50, 58] нетрудно показать, что оператор Vz, действующий из мно-
жества функций R е HT-r,2(ST)z удовлетворяющих условию
I# |sy d, в пространство Нг> т/2 (йг) и сопоставляющий каждой
такой функции R решение 0 задачи (3.2) —(3.5), непрерывный и

1е|^<^(^).	(з.Ю)

Суперпозиция ЧГ2°Ч,,1 операторов и Ч'г также будет непре-
рывным оператором из ЭЛ в Hr-r/2(QT), а оператор W, сопоставляю-

А- М. Мейрманов

49
щий элементу со е ЗИ вектор-функцию

Z)0(xo + R(x0, t)v(x0), t) = T (©), xQ <= S,
вполне непрерывный на множестве SOI, так как |D0|g+?>N2.

Как и в лемме 1 § 2, выберем интервал (О, Т) настолько малым,
чтобы оператор V переводил множество ЗИ в себя. Воспользуемся
для этого неравенствами

1Л(х0, t)l < \DtR\t^NJ\

jD0 (х0 + Rv (хв), 0 -© (х0) | < | DQ - © g*T) (| R\x0, t) |1+v+

< 2N2 {(I R |k°>)1+v + r<i+v>/a) ^37’(i+v)/2>

и леммой 4 § 2 гл. I

Ino °l(v)^- Ina ° p+V) , c 1^	° |(0)

|I>0 — © |sr ИI Z>0 — © |sr H—-1 Z)0 — © |sr

с произвольно малым ц, 0 < р, < Т1/2, из которых следует оценка

| DQ < I © |sT) + ц (No + N2)+J- N3T(1+V)/2.

Аналогичным образом получается неравенство

max | In | (Z)0 (z0 + Rv (x0), t) • v (ж0) 11 < I In I (tov) I |g0> + 2V47’(1+?)/2.
(x0,t)=sr.	1	1 v 711

©

Полагая p. = T и выбирая T достаточно малым, легко добиться
выполнения неравенств

| £91^ < N, > | In | (D0v) I |(s0’ < N.

Последние соотношения вместе с равенством DQ(x0, 0) == со(жо),
xQ е 5, и есть условие того, что оператор V переводит множество ЭД
в себя. Существование неподвижной точки оператора т. е. реше-
ния задачи (Аг), следует из теоремы Шаудера о неподвижной точ-
ке вполне непрерывного оператора.

Очевидно, что решение задачи (Л8) продолжимо по времени до
тех пор, пока J(T, 0е)<°°. Окончательная гладкость решения уста-
навливается так же, как и в лемме 1.

Для более общего уравнения (1.12) схема построения прибли-
женного решения та же. Единственное отличие состоит в построении
оператора W2(R) как решения соответствующей начально-краевой
задачи. В этом месте необходимо сослаться на результаты рабо-
ты [86] о разрешимости в малом по времени основных краевых за-
дач для произвольных нелинейных параболических уравнений.
§ 4.	ОЦЕНКА СНИЗУ ИНТЕРВАЛА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД

В отличие от простейшего варианта задачи в общем случае мы
не можем воспользоваться глобальной заменой переменных, фикси-
рующей свободную поверхность. Но так как решение изучается на
малом интервале времени, то глобальная замена переменных не вы-
звана существом дела. Поэтому с помощью разбиения единицы и
локальных оценок можно ограничиться малой окрестностью (в Qy)
стандартного множества s из S.

Пусть Gd есть d-окрестность поверхности S, лежащая в G:

Gd — {х е G\x = я?о + Rv(x0), xa^S, 1Я1 < d),

где v(x0) —нормаль к поверхности 5 в точке х0. Через Gd,T обозна-
чим пересечение цилиндра Gd X (О, Т) в R? с областью Фг- Поло-
жим также Gf =

Будем считать, переобозначая, если это необходимо, постоянные
No и d, что неравенство (1.11) для функций ©«(я) выполняется не
только на S, но и на более широком множестве G2d:

|1п|Р0®||<4<уо.	(4.1)

Пусть N > No — произвольное число. Понятно, что функции 0*
будут удовлетворять неравенству, аналогичному (4.1), но с постоян-
ной N, на некотором малом интервале времени (О, Т) в 2d-0KpecT-
ности свободной поверхности Гу. Кроме того, будем считать, что на
выбранном интервале времени сама свободная граница Гт отходит
от начальной поверхности S на расстояние не больше чем d, а нор-
мы_ производных функций О0' до порядка [т/2] в пространстве
С(Gtd,т) ограничены величиной N. Итак, для каждого е >0 сущест-
вует максимальный интервал (0, Т1^), на котором при Т < Т\

|7?e|(^<d, |1п|П0®||^г<^,	(4.2)

I & (П0«)	< N, \к | < [т/2],	(4.3)

где R’, 0е — решение задачи (4е). В силу доказанной гладкости ре-
шения и предположения (4.1) числа Г® строго положительны. Не-
равенства (4.2) и (4.3) служат для определения интервала (0,
и наша основная цель — показать, что Т* не стремятся к нулю при
уменьшении параметра е.

Так как на интервале (0, Т®) 17?® | <; d, то область G* отсто-
ит от свободной границы Гу на расстоянии большем чем d. Из
локальных оценок решений параболических уравнений второго
порядка (тебрема 6 § 2 гл. I) следует, что

| D0e р < N, (No, Мо, d), Т < Т\.	(4.4)

Рассмотрим на 5 системы открытых множеств {s(ft)} = 31g и
{S(k)} =	таких, что

1° sw с Sw <=S, [J sm = U Sw = 5;
k	k

2° в локальной системе координат, полученной из исходной де-
картовой системы координат ортогональным афинным преобразова-
нием z = %k(x), множества sm и Sw задаются уравнениями

sw = {z\zn = Z™(z'), z' е Р), Z(ft>(0) =0,

Sm = {z\zn = Zw (z'), z’ e V2X), DZm(0) =0,
Vх = {z'eIz'l < 7X,}, 7 = const > 0;

3° существует число к0, не зависящее от X, такое, что пересече-
ние любых к0 множеств из (а тем более из пусто.

Положим

Q(rft)= {(xti)eQ?-|x = x0 +2?v(x0),x0e5(ft), |2?|<2d},

®<т) = {(#, t) е Qt| х = х0 + Rv(x0), х0 е s(fe), | R | < 2d].

В области &Tfe) уже можно воспользоваться заменой перемен-
ных, аналогичной (2.3). Кратко опишем дальнейшую схему
действий.

1-й шаг. Запись уравнения теплопроводности и регуляризован-
ного условия Стефана в локальных координатах z — (х).

2-й шаг. Переход к новым переменным

T = f, у' = z', уп= v(z,t)=ee(^k1(z),t)	(4.5)

в каждой области и формулировка эквивалентной краевой за-
дачи для функции и(у, т) = zn.

3-й шаг. Получение в переменных (у, т) энергетических оценок
в норме W™. Эти оценки не будут замкнутыми, а именно, мы оце- J
ним нормы Du в W™ ((?т) через аналогичные нормы в ((?т)
(От и Qt — образы множеств и Qy) соответственно при
отображении (4.5)) с малым сомножителем ц >0 и известные ве-
личины.	;

4-й шаг. Замыкание энергетических оценок в исходных перемен-
ных; выбор интервала (0, Т*), содержащегося во всех интервалах
0, Г8).

Первый шаг. Пусть 2 = Яй(х), /(г, t) = f(%k4Z), 0-Функция
v(ztt) = 0е (^Г1(2), t) удовлетворяет в области нелинейному урав-
пению теплопроводности

а (г) Dtv == 2 Dfv + /.
i=l

(4.6)

Регуляризованное условие Стефана запишем в удобной для нас
форме

•	+	(i.T)

где uft=r'|(=n. v(z„) - |О»*(=“)~Г г» “$»<*•>

Как преобразовывается левая часть (4.7) при замене перемен-
ных (4.5), мы уже знаем (см. § 2), и поэтому основное внимание
уделим правой части условия (4.7).
Неудобным в этом условии являет-
ся то, что его левая часть записана
в точке (z, t), а правая — в точке
(z0, t), лежащей на поверхности ST.

Между указанными точками
вует взаимно однозначное
ствие (рис. 4)

Z = Zo(z)+ r(z)v(z0),

сущест-
соответ-

(4.8)

если число %, определяющее размер
множества Sm, и число d достаточ-
но малы. С целью устранения этого
неудобства запишем правую часть
условия (4.7) в переменных (z, t).

Рис. 4.

Так как при z = 0 г = zn (нормаль у в точке (0, z„) направ-
лена по оси zn), то, уменьшая, если это необходимо, числа А. и d,
можно считать, что

|ln|D„r||

(4.9)

в 2с/-окрестности множества Sm.

Если. zn = Z(8ft) (zz, t) — уравнение свободной поверхности Гу
в локальных координатах, то

T?8=7(zz, Z^).

Пусть {gi} = D<x(z)DjX(z)}, i, 7 = 1, ..., n — 1,— метрический
тензор поверхности S, записанный в локальных координатах,
n—1
lgl = det(gy), a {g°} — ассоциированный с {gtj} тензор: ^jg13gjk =

Тогда

As7?8 =

п—1

1 V _d_
lg|1/2


Поскольку, далее,

(^•ДО
|^о|

n

= 2 Di»Vi (z),
i=l

1*де vt(z) = Avo(zo(z)) |ZJvo(zo(z)) I-1, то окончательно имеем

2

-P.P+ID-P-eJ^-	<4-,0>

I о I	"i Jj==i	3	J

Так как поверхность S предполагается достаточно гладкой, то
функции и г дифференцируемы по крайней мере т + 3 раза и их
производные до указанного порядка ограничены постоянной Л/о.
Кроме того, поскольку

П о

2 ViDiV |i=0 = I Dvq I > exp ( — No),
i=l

то в дополнение к неравенствам (4.2), (4.3) можно считать интер-
вал (О, Т7*) настолько малым, что

П о

2^

Ao = 1=^>^-1>O.	(4.11)

Второй шаг. Как уже отмечалось, второе неравенство (4.2)
позволяет воспользоваться заменой переменных (4.5). В новых пе-
ременных (у, т) части свободной границы Г», лежащей в £2у\ со-
ответствует цилиндр

П£ = П2 X (0, Г), П2 = {(у', уп) 11 у' | < 2?Х, уп =0]},

а поверхности {(z, t) е Qy) | z=z0 + 2v (z0) d] соответствует поверхность

п£ = {(у, т) П у' I < 2П, уп = У0 (у’ т), те (0, Т)}.

Пусть От и Qt суть образы
ственно при отображении (4.5), а
Функция и (у, т) — z„ удовлетворяет
параболическому уравнению

областей сот^ и £2^ соответ-
Пу— пересечение П® с От.
в области От квазилинейному

где pt = D(u, i = 1, ..., n, F(y, т, и, p) = —Pnf(y', и, т).
Получим краевое условие для функции и на границе Пт' Левая
часть 3 = —Dtv + IDul2 условия (4.10) преобразуется к виду

(п-1	\

Dxu +------Si— /.

Рп /

Так как Div — —{Diu)/pn, i = l, ..., п— 1, Dnv = i/pn и

7(z', Z(ek)) = r(y', u{y', 0, т)), to Ao = pn1A(y', u, p'), p’ = (plt ...

- • 4 Pn-i),

и условие (4.10) в переменных (у, т) эквивалентно следующему:

П-1

1 + 2 P2i I	71-1

Dxu + -----— = е А (у’, и, р') 2 х- (aij (у', и)-£-г (у', и)) L

(4-13)

где а'1 = I g 11/2g'1.

Выбор начальной поверхности S обеспечивает строгую положи-
тельную определенность квадратичной формы {а'О:

|||\	(4.14)

1,7=1

И наконец, суммируя оценки (4.2), (4.9), (4.11), получим, что

А > А2 (Мо, N), | In | А (/) Ц) | К дг2.	(4.15)

Из неравенства (4.4) следует, что на границе Пу, принадлежа-
щей классу Н21’ функция и принадлежит классу Н21-1 и соответству-
ющие нормы ограничены величиной, зависящей только от Nt. При
этом функция У0, задающая поверхность П’г строго положительна:

Y°(y',	N, d)>0.	(4.16)

Замечание. Если в исходной задаче решение 0“ удовлетво-
ряет более общему уравнению

Р/0 — 2 А Фа (х, t, 0) DjQ) ~f(x, t, 0, DQ)

i,i=l

и условию Стефана

— DtQ +

n

2 bijDiQDjQ = e (DJQ  v (xQ)) &sRf
i,j=l

то в переменных (у, т) функция и(у, т) = z„ удовлетворяет в обла-
сти Qr уравнению

 П-1

п-1	2 PiAi - Ап

Dxu - У DiAi + Dn -SI---------------
и краевому условию

/п-1	\	п—1

+ 4 2 - л«=еЛ 2	kj sr7и*и>

rn \i=1	/	i=i » I з

на границе Пу. Здесь положено

п—1

Л, = 2 сиРз bint

3=1

Cij = 2 AilAjgbgi (stfc (z), t, v)t

4,1=1

Лч = const—элементы матрицы (dz/dx),
p (у, T, u, p) = — Pnf (&Й1 (z), t, v, Dv), p = Du.

Третий шаг. Получение энергетических оценок в норме
в принципе повторяет рассуждения § 2 данной главы, отличаясь тех-
ническими деталями. Первая из них связана с оценками интегралов
цо боковым границам От, не совпадающими с Пу и Пу. Для того
чтобы не рассматривать возникающие интегралы, результат диффе-
ренцирования уравнения (4.12) необходимо умножить на ^(y')D^ufi
где функция ^(у') равна единице в От и нулю вне От*

После несложных преобразований левая часть 31 тождества

^,=^ + ^ + ^4,	(4.17>

аналогичного (2.17), примет вид

^г(л=4(1^111 ^Жп>) +

п-1	/ —	_ \ 112

+ 2 Н ^0*---------------~п~ D™) 2 +

(=1	\	Рп / ||2,<?т

+ Ф2 2 D™p>

II i,3=l

2

2,Qr’



где Q2(T) —сечение плоскостью {t = T}.

Так как £ = 1 в От и в Пу, а квадратичная форма ayj
строго положительно определена, то 2f очевидным образом оцени-
вается снизу:

+ 8II D™p' Ц + 1|лМГ2, Qim + Wu (Г) Hint).

В последнем неравенстве Ni зависит от No, Ма, 2V и d и всюду ниже
зависимость постоянных Nh от указанного набора постоянных под-
разумевается и особо не оговаривается.
Второе отличие состоит в.оценке интеграла

входящего в правую часть (4.17). В указанном интеграле, за иск-
лючением главного члена

^оа =

все остальные слагаемые имеют ту же структуру, что и в интеграле
^з = ll^(^n)

который получается при дифференцировании произведения
(П-1	\

1 + 2 Pi Iи почти полностью аналогичен соответствующему
1=1 /

выражению в (2.17). Таким образом, &2, за исключением слагаемо-
го 5^02, оценивается сверху так же, как и

^2-3f02 + 3rs^\\Dmpl ,+ЛГ5(И),	(4.18)

с произвольно малым положительным числом ц. Если D™и =£ D™u f
то D™u = Dlpi, J q | = m — 1, для некоторого i и выражение

оценивается сверху правой частью (4.18). Слагаемое

3'i.-|s2go<Wp|1.^

оценим сверху с помощью неравенства Гельдера:

i2 < РI D™p Е, QT +	(И) II D^u EQ2.

И наконец, интеграл 5^4 возник при дифференцировании правой
части условия (4.13). Главный член, полученный при дифференци-
ровании, умножении на£27)™м и интегрировании по П^, вошел
в левую часть (4.17). В самом интеграле ^4 «максимальными» чле-
нами являются слагаемые вида eD™uD™p'. Если D™u.^D™u, то

и = Dg pi с некоторыми г и g, | g | = иг — 1, и

е || D™uD"p’ ||1>п* < ер 1| D™p' 2 + N, (р).

В противном случае

е || D”uDoP' |11яП2 < ер J D™p' ||*>пг + Na (р) || D™u	.
Остальные, подчиненные слагаемые оцениваются так же, как и в 2fz"

3fk < ец || D”p' I5>ns + N9 (h) || D?u 11^2 + У1о (p).

Суммируя все оценки, окончательно имеем

ID™u 1; „,т + II D?u (Г) tn. + IВ> р , + еI D”p-1|= , <

*	2, Чу	2, 11 у

<н|В”р|1’ .+«MWI*n,+

2,Чу	2,Пу

+	П2 + рГиГ,} + Л\2(н),	(4.19)

I	2,Ну	2>Чу/

где производные Dmp оцениваются через производные D™P непо-
средственно из уравнения (4.12) аналогично тому, как это было
сделано в § 2 настоящей главы.

Четвертый шаг. При переходе к исходным физическим
переменным (z, t) проще всего пересчитываются производные функ-
ции R’. В самом деле, если в локальных координатах z = Slft(a:)
Re(zot) = Rm (z1, t), то по определению

Rw(z', t) =r(z', u(z', 0, Z))

и	_	_

ft D™RW (T) || 2s(ft) - 1} < || D™u (T) ||-2 <
<^15{цда(,!)(п1122>5(« +1}, 

ЛГГз1 [ IID™ (DRW) II2 w - 1UII D™p' II2 2 <

I	2,by J	2,Пу

<2V13(||Z)”:(D7?(ft))||2 (ft) + ll.

2,by	J

Производные функции и (у, т) пересчитываются через производ-
ные функции v(z, t) по формулам, аналогичным (2.7), (2.8):

D^Pi = 2 hiD™ (DjV) + Zi0, D™u = l0D?v + Zoo,

3—X

где kj, le зависят от z, t, v, Dv, a Zi0, i = 0, 1, ..., n, зависит от про-
изводных функции Dv порядка, меньшего чем т, и имеют структу-
ру, аналогичную сомножителю Чг в тождестве (2.17). Оценивая
нормы в Ь2 производных £)9(£>р), |<?1 < т, через норму в Ъг старших
производных Dm(Dv) с малым сомножителем и младшие нормы и
учитывая ограниченность производных до порядка [тп/2] функции
Dv на интервале (0, Т), где Т ^.Т», получим

ЯТз (IID™ (Dv) II2 w - 1] < |1 D^p II2 (2) <

I	2, «у	J	2}wy

<^13(||D“(^)||2 (й) + 1].

(	2,Wy J
Аналогично пересчитываются производные D™u. Здесь только необ-
ходимо учесть, что в представлении

D?v = -4- № + ^Dlpn + . • • , |"?| = т- 1,

Рп

слагаемые вида D™ iqipD^u, |<?|	[т/2], оцениваются с по-

мощью неравенств (4.3) и представления

р (Z) = D™"’ р (0) + f D™~q+1 р (t) dt,

6
из которого следует, что

IWpOT?.а,(т) - gpr’+1? I' + лг„ (W.

Таким образом,	- - - . s

^1{11^(7’)1|22,(й(цГ) - 1} - H\\D™ (Д<2 а(» <

< фи (T) ||’>Ql(r) < ATI6 (p) {|| D?v (T) ||^(fe)(T) + 1} +

+ l4D™(Dv)l* w.

2,Wj

' Оценивая с помощью последних неравенств левую часть (4.19)
снизу, а правую сверху и суммируя результат по всем множествам
(От), получим с учетом свойства 3° множеств 91s неравенство

IwwilUw,++»|b“(M')ESr + ,

+ |S~(z>e-)|* .. +|Dre’|’ .+
2,ъ&Т	I	2,llf	2|Uj

+ ep ||D“ (DRe) g)Sr + I D™RR||2,Sr + TV17 (p).

При этом мы воспользовались оценкой (4.4) вне 2с?-окрестности по-
верхности S. Выбирая параметр р достаточно малым и пользуясь
леммой Гронуолла (лемма 1 § 2 гл. I), имеем

lDQ%^T)<N^0,M0,N0,N,d), Т^Т^.	(4.20)

Как видим, параметр е в оценку (4.20) не вошел и дальнейшие
рассуждения ничем не отличаются от аналогичных рассуждений
в § 2 настоящей главы. А именно, оценка (4.20) и простейшие тео-
ремы вложения йозволяют оценить левые части неравенств (4.2)
и (4.3) сверху постоянной N и левую часть неравенства (4.11) сни-
зу постоянной N~l на некотором достаточно малом интервале вре-
мени (0, Т*), зависящем только от постоянных /с0, Мо, No, N, d.

В отличие от § 2, где функции R*^ t) не вводились, в каждой
локальной системе координат производные функций R* до порядка
[т/2] пересчитываются через производные функций 0е до того же
порядка и в силу оценки (4.3) ограничены на интервале (0, 7#).
Так как при п > 2 будет [т/2] > 3, то неравенства (4.3) позволяют
выделить из последовательностей {Rc} и {0е} сходящиеся в С2-1 под-
последовательности. Очевидно, что соответствующие пределы этих
подпоследовательностей /?(х0, t) и 0(х, t) являются решением зада-
чи Стефана (1.1) — (1.5), (1.7) на малом интервале времени (0, Т*).

Замечание. Аналогичным образом изучается случай неогра-
ниченных поверхностей и S. Небольшие изменения касаются по-
следнего этапа, при замыкании оценок в норме W™, где необходимо
воспользоваться техникой локальных оценок решений параболиче-
ских уравнений.

Рассмотрим отдельно одномерную задачу. В этом случае требо-
вания на дифференциальные свойства данных задачи минимальные
и существование классического решения следует из теоремы 3, по-
скольку всякое приближенное решение совпадает с точным ре-
шением.

Итак, пусть требуется определить функцию R(t), задающую
область = {(ж, t) 10< х <R(t), 0< t < Т}, и функцию 0(х, t),
удовлетворяющую в области Йт нелинейному уравнению теплопро-
водности

+	(4-21)

На заданной границе х = 0

0 = 0° (0 либо	+ Ъ (0 0 = 01 (0.	(4.22)

На искомой границе х —R (0

0 = 0, 4г = -4|.	(4-23)

и»	VX

При выводе условия Стефана (4.23) предполагалось, что 0(х, 0
строго положительна в области Йт.

Наконец, в начальный момент времени

7?(0) = х0>0, 0(х, 0)= 0о(х), х^ (0, х0).	(4.24)

Теорема 4. Пусть а(0) 5= аа = const>0, 0о(х)^О при
х е G = (0, х0), а е С*[0, ~) J е= Н™'* (R+), R* = {(х, 010 < х,. t <
< оо}, Ь, 01 е Я(1+1)/2[0, ~), 0оеЯ2+т((?).

R точках х = 0 и х = хй выполнены условия согласования пер-
вого порядка:

0° (0) = 0О (0), а (0° (0))	(0) =	(0) 4-/(0, 0)

либо

-5-(0) +5(0) 0о(О) =040);

d20	I <20Л I2

0» (*о) = °Х (*о) + / (*0г 0) = а (0) I (*о) | •
Пусть, кроме того, при /	0	(х0) <0.

Тогда на достаточно малом интервале времени	сущест-

вует единственное решение задачи (4.21) — (4.24)

0еЛт(2+т)/2(йт), R е Я(3+?)/2 [0, 7], КТ*.

Интервал существования (О, Т*) определяется условиями
Jo (П = 10 |(4+т) < оо при Т < Т*, Jo (Т*) = оо; 0 (х, t) > 0 в ЙГф.

Как уже отмечалось, в одномерном случае всякое приближен-
ное решение (решение задачи (А)) совпадает с точным решением
задачи Стефана. При определении максимального интервала сущест-
вования решения в теореме 3 учитывались три фактора: 1) конеч-
ность величины Л (У); 2) невырожденность ебласти Йг; 3) ограни-
ченность снизу и сверху модуля градиента решения на свободной
границе.

Для одной пространственной переменной область йг всегда не-
вырожденная, так как R(t)—монотонно возрастающая функция.
Это следует из положительности решения 0(ж, t) в области йг и ус-
ловий (4.23). Ограниченность снизу и сверху модуля градиента ре-
шения на свободной границе в доказательстве теоремы 3 не исполь-
зуется, а необходима в дальнейшем при получении оценок прибли-
женных решений вблизи свободной границы, не зависящих от номе-
ра приближения.. Следовательно, единственным условием существо-
вания положительного решения на интервале (0, Т) остается конеч-
ность величины /0 (Т).

§ 5. ДВУХФАЗНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА

Все результаты о разрешимости однофазной задачи Стефана без
изменения переносятся на случай двухфазной задачи Стефана. Мы
рассмотрим простейшую однофронтовую задачу.

Пусть заданы замкнутые поверхности ST-, S и ^"+, ограничива-
ющие соответственно области U~, U, U+ так, что U~ U <=U+ в
Зг± П 5 = 0. Требуется определить поверхность Гг, совпадающую в
начальный момент с поверхностью S, такую что &~т(]Гт=0,
&"т — F±X (0, Т), и непрерывную функцию 0(ж, t), удовлетворя-
ющую в каждой из областей йу (йу ограничена поверхностями

Гт и плоскостями {4 = 0} и {t = T}) нелинейному уравнению
теплопроводности

а (0) DtQ	+ f (ж, t).	(5.1)

На заданных поверхностях	искомая функция 0 (х, £) совпа-

дает с известной функцией 0* (х, 4):

0 (х, 4) = 01 (х, 4), (х, 4) е	(5.2)
либо

У bi {х, t) Dfi + b {x, t) 0=02 {x, t), {x, t) e &~f.	(5.3)

i=l

На искомой границе Гг

0(x, t) =0	(5.4)

и

DtR{xQ, t) = X~(xo, DB) — X+{x„, 7)0), (x0, t) ^ST. (5.5)

Здесь R {x0, t) — гладкая функция, заданная на поверхности ST и
определяющая поверхность Гт по формуле

х = х0 + v (х0) R {х0, t),
где у(ж0) — нормаль к поверхности 5 в точке

= lim 17)0 (х±, t) J2 (7)0 (х±, *)• v (ж0))-1,
г-»0

ж* = ж0 + v (ж0) {R (ж0, t) ± г) е й£.

При выводе условия Стефана (5.5) предполагалось, что 0(ж, t)
положительна в области йг и отрицательна в области йг. И нако-
нец, в начальный момент времени

0(ж, О) = 0о(ж), хеб = й(0); R{xa, 0) = 0, ха S. (5.6)

Теорема 5. Пусть поверхности S, функции 0О, 0‘, 02, а,
j, b, bt (i = 1, ..., га) удовлетворяют тем же требованиям, что и в
теореме 1 {только 0о(ж) гладкая не в G, а в каждой из областей
<?± = й±(0), a a{s) —при «е (—оо, 0] и sе[0, °°)). На поверхно-
стях SF*, S выполнены условия согласования до порядка тп +1,
0О (ж) строго положительна в области G+ и строго отрицательна в об-
ласти G~ и

lim| 1п| 7)0о(ж ± rv(x)) 11 < оо, ze S.
г-»0

Тогда у задачи (5.1), (5.2) {либо (5.3)), (5.4)—^(5.6) существует
единственное решение R^(F’l{STj^, 0GC2’1 (йг*), где доста-
точно малое число Т*>0 определяется только данными задачи.

Замечание. Результаты теоремы 5 справедливы и для не-
ограниченных поверхностей ^'±, S. В частности, доказательство тео-
ремы 5 без изменений переносится на случай, когда поверхности
^_±, S заданы в виде xn = F{x') я все данные задачи (включая
функции F) являются периодическими по переменным х'.

Единственное отличие доказательства теоремы 5 от доказатель-
ства теоремы 1 состоит в оценке нормы решения в W2 вблизи сво-
бодной границы. Поясним это на модельном примере.

Пусть есть плоскости {ж„ = ±11 и S есть плоскость {жп = 0).
Пусть, кроме того, все данные задачи — периодические функции по
переменным х', 0*(ж', ±1, £) = ±1 и

|1пЮп0о(ж) 11 < °°, x^G~.
Последнее условие позволяет ввести переменные (2.3): во всей
области йт для достаточно малых Т. При этом отображении области
йт соответствует фиксированный цилиндр Gy=Gx(0, Т), за-
данные поверхности &"т переходят в себя, а искомая граница Гт —
в известную поверхность ST. В каждой из областей Gt новая иско-
мая функция и (у, т) = хп удовлетворяет уравнению (2.4), на задан-
ных границах &~т постоянна и непрерывна при переходе через по-
верхность ST:

и(у', +0, т) = и(/, —0, т).	(5.7)

Равенство (5.7) означает также непрерывность всюду в GT про-
изводных функции и (у, т) по касательным переменным у’ и по вре-
мени. С учетом этого условие Стефана (5.5) приводит к следующему:

- DTu =	+ 2	{ pn(/,+0,T) “ ~рп (/, — 0, т) }’	(5-8)

где р,= Р,и, г = !,...,«, рп(у', ±0,т) = lim рп(у', Уп, т).

Vn-»±o

Для вывода оценки решения и (у, т) в норме W"”(Gr) про-
дифференцируем уравнение (2.4) тп раз по переменным у' п т
(т. е. подействуем на него оператором -D™), умножим на D™u,
проинтегрируем по каждой из областей Gf и полученные соотноше-
ния сложим. Как и в § 2 (равенство (2.17)), выражение 3 =
= ^+ + ^-, где

п—1
i=l
Pn

преобразуем к виду

Sf = [ D™pnD™

Gq*

dydx - J D™uD™

S'p

[1 11/

Pn(/’+°> T)	°’ T) J

и в интеграле по границе S воспользуемся условием (5.8). После
m-кратного дифференцирования в первом слагаемом в 3 и интегри-
рования по частям в интегралах

= j DfuA'Dj’udpdT

u j1
получим равенство, совпадающее с (2.17). Дальнейший ход рассуж-

дений повторяет рассмотренный

Как и в § 4, отдельно

ранее случай

однофазной

выделим одномерную

задачу

Пусть требуется найти функцию двух переменных 0(х,
рывную в области QT = Q X (О, Т), Q = {х| |х| < 1), и
R(t), определяющую области

t),

Стефана

функцию

fir = {(^» 0 е ^т I (± 1) (х — R (t)) > 0},
по условиям

я (0) -т? = 44 + о> (*. о

01 дх

0 (± 1, t) = е± (I) либо + b±Q = 0О* (0	(5.10)

при х = ±1;

Я(0)=10ей, 8(х, 0) = 0о(х),	(5.11)'

6(R(t), t) =0, Ге (0, Г);	(5.12)

^ = ^(fl(0 + O,O-^(«(O-O,a ie(0,T). (5.13)

Теорема 6. Пусть а^а0 = const > 0, 0О (х) < 0 при х •= Q^_(0),
0о(ж)>О при xeQ+(0); aeC'f-», 0] П С"[0, ~), /е Ят>1/2 (Й«);

0О* ей Я(1+?)/2 [0, оо), 0* е=Я(2+т)/2[0, оо), 0леЯ2+’(Й±(О)).

R точках x — ±i, Хо выполнены условия согласования первого
порядка

0* (0) = 0О (± 1), 0о(хо±О) = О;

а(0о(±1))-^(О) = -^(± !) + /(+1,0)
“*	dx

либо

-§-(±1) + г>±(О)0о(±1) = 0*(О);

(х0 ± 0) + / (х0, 0) = - а (0)	(х0 ± 0)	(0),



dQ

Пусть, кроме того, при /т^=0 _^-(х0 ± 0) =Н= 0. Тогда н&
достаточно малом интервале (0, Т*) существует единственное ре-
шение задачи (5.9) — (5.13)

0 е ^2+v'<2+v)/2 (й£), Я е П(3+7)/2 [0, Г), Т < Т*,
такое, что с некоторым е (О, 1)

J (Г) = | 91^₽> + 10 Р+Р) + | In 11 — ^(Т) 11 < оо
Uj»	ял "Г

при Т < Т *,

lim J (Г) = оо и (± 1) 0 (х, t) > 0 в Qy.
т-»т*

ГЛАВА 111

СУЩЕСТВОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

§ 1. ОДНОФАЗНАЯ ЗАДАЧА

Вернемся к рассмотренной в § 2 гл. II модельной задаче, когда
известная поверхность есть плоскость {хп = 1), начальное поло-
жение S свободной границы совпадает с плоскостью {х„ = 0), за-
данная температура на поверхности ST тождественно равна посто-
янной и начальная температура 0о(х) — периодическая по перемен-
ным х' = (xi, ..Жп-1) с периодом 1 функция. Если

Гт = {(ж, t) I |х'| < оо, хп = R(z', t),
есть искомая поверхность, то

Qr = {(#, t)]R(x', t)< хп< 1, |х'| < оо, t е(0, Г)}

и	-

Dfi = 2 Г>20, (х,	(1.1)

i=l

0(х, 0=1, (x, t)^STT,	(1.2)

0(x, f)=0, (x, Z)e Гт,	(1.3)

D(0=W, (х,1)еГг,	(1.4)

0(x, 0)= 0O(ж), reQ(0)=C.	(1.5)

Ранее было показано, что на достаточно малом интервале вре-
мени (0,Т*) существует единственное классическое решение за-
дачи (1.1) —(1.5)

С2,1 (R?”1), 0eC211(Q7-J.

Как далеко по времени можно продолжить найденное решение?
Напомним, что для того чтобы построить решение, обладающее

5 А. М. Мейрманов

65
указанной в теореме 2 гл. II гладкостью на всем интервале (О, Т7*),
от начальной функции 0о(я) требовалась принадлежность простран-
ству 172,((7), где [Z] = т + 1 = п + 5. Иначе говоря, чтобы решение
0(х, t) можно было продолжить на более широкий интервал, необхо-
димо, чтобы в момент времени Т* оно принадлежало пространству
Н21	Из результатов предыдущей главы такая гладкость

для найденного решения не следует. Кроме того, в нашем случае
не надо забывать о выполнении неравенства (2.2) гл. II, обеспечи-
вающего замену переменных Мизеса.

Таким образом, можно сформулировать следующее утвержде-
ние: интервал (О, Г») существования классического решения зада-
чи (1.1) —(1.5) определяется соотношениями

JQ(T) = |1п|Рп0||^< оо,

Л(Л = |0|а(т)<оо,
lim {J0(T) + JiiT)} = оо.
т-^тх

(1-6)

Оказывается, что если наложить некоторые ограничения на
данные задачи (а именно ограничения, обеспечивающие выполне-
ние первого неравенства (1.6) на бесконечном интервале времени),
то классическое решение модельной задачи Стефана существует
при всех положительных значениях времени.

Решающими факторами здесь являются преобразование Г. Дю-
во, результат Л. Каффарелли о гладкости свободной границы в
задаче

2Р1р = /, ^еЦ; г|ац = |^||ец = 0	(1.7)

i=l

и эквивалентная формулировка задачи Стефана в новых перемен- |
ных (переменные Лежандра), в которых свободной границе coot- j
ветствует плоскость, а новая искомая функция в этих переменных |
удовлетворяет равномерно параболическому уравнению и равна ну- I
лю на образе свободной границы.	1

Для простоты изложения ограничимся случаем двух простран- |
ственных переменных, когда доказательство теоремы Л. Каффарелли |
достаточно простое (это доказательство принадлежит А. Фридману). |
Исследование задачи разобьем на несколько этапов. На первом |
этапе с помощью переменных Мизеса оцениваются первые произ- |
водные решения по времени и по пространственным переменным |
и доказывается ограниченность величины в неравенствах (1.6) |
для всех ограниченных	Т.	1

Далее,	используя	преобразование Г. Дюво	|

t	|

v(x, i) = J 0(x, т)фг,	(1.8) I

g(«)	j

где g(x)=t есть уравнение свободной поверхности Г(£), исходная |
задача (1.1) — (1-5) переформулируется в эквивалентную краевую |
задачу (1.7) для функции и, к которой применяется результат
Л. Каффарелли.

И наконец, на последнем этапе, вводя переменные Лежандра,
показывается, что решение задачи Стефана бесконечно дифферен-
цируемо при всех положительных значениях времени.

Лемма 1. Пусть в условиях теоремы 2 гл. II Т < Т„ и

Д0О (х) > 0 при х е G,

А0о (я) > 0 при х е S.

Тогда

) Z>ze, Z>0, In I Z>201(1.9)

где постоянная зависит от величины

х=|Ш”

+ | In | D2% I (G0) + | A0O |(G0) +

min

_.х2 = (о,2б)

A90(z)|

(6 > 0 — достаточно маленькая постоянная) и ограничена при всех
ограниченных Т > 0, б-1 >0, х > 0.

Доказательство. Мы докажем неравенство, аналогичное
(1.9), но в переменных Мизеса (у, т),

T = t, У1=®„ y2 = 0(z, t),

в которых исходной задаче Стефана (1.1) — (1.5) соответствует эк-
вивалентная начально-краевая задача: в области Gr = GX(0, Т)
определить решение и (у, т) = х2 уравнения

'	[ 1 -L р2 А

Dxu = Dpi — Z>21------L?,	(1.10)

I p2 I

равное единице на границе 3^т.

н=1, (у, т)е^г,	(1.11)

и удовлетворяющее краевому условию

Dxu + (1 + р?)/Ра = °	(1-12)

на образе ST = 8 X (0, Т) свободной границы Гт при отображении
(ж, £)->-(у, т).

В начальный момент времени

u(y, 0) = u0(y), yeG,	(1.13)

где функция Но (у) определяется из тождества У2 = 0»(У1, и» (у)).

В (1.10), (1.12) положено p( = D(u, i = 1, 2.

Требуемая оценка имеет вид

| Pl№T + | Dxu \<$ + | In | р211<?> < М2

и в силу формул

Z>20 = 1/р2, Dfi = -pl/p2, DtQ = — (l/p2)Dxu
эквивалентна оценке (1.9).
Уравнение (1.10) и краевые условия (1.11), (1-12) можно
дифференцировать по времени и по переменной yt. Производцые
Dpi — pt и Dpi = г удовлетворяют начально-краевой задаче об оп-
ределении в области G решения со (у, т) уравнения

Z)x(o = Z>i<o + Z>2	+ сР2со)	(1.14)

такого, что

<о = 0 при (г/, т)е^~т,	(1.15)

Z>,(0 = bDt(a + cD2m при (у, х)^8т,	(1.16)

(о(г/, 0) = со0(г/) при у е G,	(1.17)

где (Оо = 7>,ц0, если (о = р,, и = Z)Tw(y, О)=го(г/), если со = г.

В (1.14), (1.16) положено

Ь = — 2дх/р2, с = (1 + p?)/pl

Максимальное и минимальное значения функции со не могут
достигаться во внутренних точках области GT (принцип максиму-
ма). Не могут они достигаться и на границе ST, поскольку, напри-
мер, в точке максимума D2<d < 0 (принцип Хопфа — Зарембо —
Жиро [89, с. 69]), D,(o 5= 0 и .0,(0= 0, что противоречит равенству
(1.16).

Так как по условиям леммы Dxu неположительна в начальный
момент времени, то Dpi неположительна всюду в GT и

\Dpi,Dxii]$^M3,	(1.18)

М3 = шах | Oxu0, Dpi (0) |(G0).

Функция р2 — D2u также удовлетворяет уравнению (1.14) и,
следовательно, достигает своего минимального и максимального зна-
чения только на границах &~т, 8Т или в начальный момент време-
ни. Но на границе &"т выполнено уравнение (1.10), что с учетом
краевого условия (1.11) дает нам соотношение

D2p2 = 0 при (у, т) е &~т.

Последнее равенство запрещает функции р2 достигать своего
экстремального значения на границе (принцип Хопфа — Зарем-
бо— Жиро), т. е. максимальное и минимальное значения функции
р2 достигаются либо на границе ST, либо в начальный момент вре-
мени. Так как в начальный момент времени справедлива оценка
(2.1) гл. II, то нам остается оценить р2 только на границе ST.

Используя краевое условие (1.12), мы можем выразить р2 через
Д. и г: р2 = — (1 + рХ)/г.

Поскольку функция г (у, т) неположительна и ограничена по
модулю сверху, то

рг(у, т)>М4 > 0 при (у, i)^GT.	(1.19)
Чтобы оценить р2 сверху на границе ST, необходимо оценить
сверху неположительную .функцию г. Это не удается сделать сразу
ссылкой на принцип максимума, так как на границе т г обраща-
ется в нуль. Стандартный в этом случае путь — построение барье-
ра <р, ограничивающего сверху функцию г(у, т) всюду в GT и не
принимающего нулевое значение на границе ST.

Итак, требуется найти неположительную функцию ср (у, т) та-
кую, что разность q = г — ф была бы неположительна на границе
&~т и в начальный момент времени и не достигала бы своего мак-
симального значения во внутренних точках области GT и на грани-
це ST. Последнего проще всего добиться, потребовав выполнения
неравенств

Lq < 0 при (у, т) е GT,

Loq^Q при (у, т)е=£г, .
где

Lg = Dxq — D[q — bDjD/j — cD2q — DqbDrf — D2cD2q,

L„q = Dxq — bDtq — cD2q.

На этом пути имеется небольшая трудность. А именно, какой
бы ни была функция ф (отличная от постоянной), в выражение
для Lq = —£ф войдут сомножителями при производных Ьщ про-
изводные функций b и с. Указанные производные содержат вторые
производные функции и, которые еще только предстоит оценить на
следующих этапах. Как же быть?

Здесь проще всего воспользоваться локальными оценками ре-
шений параболических уравнений: в области Q, «далеко» отстоящей
от границы ST — образа свободной границы Гт при отображении
(х,	т),— применить теорему 6 гл. I. Точнее, необходимо

оценить вторые производные функции 0 в образе области Q при
отображении (у, т)->(л:, t) через максимум модуля решения, норму
начальной функции 0О и расстояние до границы Гт. Вне этой об-
ласти Q положить ф тождественно равной некоторой функции
времени.

Итак, пусть Q — область из GT, отстоящая от границы S? на
расстоянии, большем чем б > 0. Функции Ъ и с и их производные
будут ограничены в области Q, если образ области Q в области QT
переменных (х, t) при обратном отображении (у, т) -> (х, t) будет
отстоять от границы Гт на некотором положительном расстоянии v.
В самом деле, если это так, то вторые производные функции 0 ог-
раничены в указанной области величиной, зависящей только от v,
0 |я°у и соответствующей нормы начальной функции 0О (теоре-
ма 6 гл. I). Пересчитывая вторые производные функции и через
производные функции 0, получим необходимые нам оценки макси-
мума модуля производных функций b и с, если дополнительно вос-
пользоваться'неравенствами (1.18) и (1.19).

Для того чтобы оценить расстояние v от границы Гт до образа
области Q при отображении (у, т)->(а:, t), рассмотрим поверхность
уровня П — {(я, £)eQT|0(#,	Искомое расстояние v совпа-
дает с расстоянием от поверхности П до поверхности Гг нулевого
уровня функции 0. Последняя величина, как нетрудно подсчитать
пропорциональна (с коэффициентом пропорциональности, завися-
щим только от постоянной М2 в неравенстве (1.18)) числу

v0 = min I х'2 — х21,
^£(0,1)
t=(o,T)

где $2, ^2—координаты пересечения прямой {(х, t) е Qr |х, = const,
t = const) с поверхностями П и Гг соответственно.

В свою очередь

в = I 01/ ' Vtt-0|/'х / Л ₽Г |^lD26ll4 —2-2 |<-|4-г14 —

I Кж1'ж2-0еП Ц.ж1-ж2’0 еГТ I	I Р2 |

< Mt11 х'2 — х2 |.

Следовательно, v0 6#4, что и требовалось показать.
Положим

— е ехр (— ат),

ф = ф(У2^)

— е ехр (—ат) Р(у2),
. 0,

о С у2 < б,
6<у2<26,
26<у2< 1,

где положительные постоянные а, е будут выбраны ниже,
а Р(у2)—полином пятой степени. Для того чтобы функция <р
обладала вторыми непрерывными производными по переменной р2,
достаточно потребовать выполнения равенств Р(6) = 1, Р'(8)~
= Р"(6) = 0, 7?(26) = />'(26) = Р" (26)= 0. Легко проверить, что
полином

Р (Уг) Ро (£) = 6Г - 15V + ЮГ, £ = (26 - Уг)/6

удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и, кроме того,
Р(у2) монотонно убывает с ростом у2 на интервале (6, 26).

По условию леммы найдется такое достаточно маленькое чис-
ло е > 0, что

DzU(y, 0) = г0(у)< ф(у2, 0).

Тем самым достаточно проверить, что всюду в области GT

Lq = L [г — ф) = — Lq> - — Дтф + cZ>2(p + D2cD2<p <10

и на границе ST

Loq = L0(r — ср) = —Dt(p + 6О,ф + сД2ф < 0.

Последнее неравенство очевидно, так как при значениях у2,
близких к нулю, Dt(p = Р2(р — 0 и —2)тф = —еаехр(—ат)< 0.

Очевидно также, что Lq> неотрицательно в области GT всюду
вне полосы {(у, т)е Сг|6< у2 < 26). В оставшихся точках области
Q имеем

—/др = —еехр(—ат){аТ’(г/2)+ cP" (у2) +

+ D2cP'(y2)} = — е ехр(—ат)Л(Р, т).
В выражении Pi(y, т) первое слагаемое строго положительно
всюду, кроме линии {у2 = 26). Наоборот, при значениях у2, близ-
ких к 26, главным положительным слагаемым в Ро является второе
слагаемое:

cP" (у2) + D2cP' (у2) =	{(1 + р?) + Р2 (у, <

где функция Р2 стремится к нулю, если у2 стремится к значению
26. Здесь мы использовали явный вид функции с и ее производной:

Z)2c = Д-
р1

1 + р?

2piD2Pi 2	-— D2p2

72

и ограниченность величины (р2)-1 (оценка (1.19)).

Таким образом, выбором достаточно большого а легко добиться
положительности функции что окончательно доказывает лемму.

Оценка (1.9) означает, что функция R(xt, t), определяющая
поверхность Гт, удовлетворяет условию Липшица по обеим пере-
менным с постоянной Липшица, не зависящей от интервала (О, Т).
Точнее, эта постоянная ограничена, если величина Т конечна. Кро-
ме того, функция R(xu t) строго монотонно убывает с ростом вре-
мени (производная Dtu строго отрицательна на границе ST). По-
следний факт позволяет корректно определить преобразование
Г. Дюво (1.8) во всей области QT. Для дальнейшего достаточно
ограничиться частью области QT — множеством Цт тех точек (х, t)
из QT, у которых х2 < 0, a t s (У/2, Т).

Пусть уравнение g(x)=t определяет поверхность Г(*). Диф-
ференцируя тождество

9(^1, х2, g(Xi„ х2)) = 0

по переменным xt и х2 и привлекая условие Стефана (1.4), получим
ДО = —DtQD,g, (х, t) е Гт, * = 1,2,

= — ДО|Л0|_2, (ж, г)еГг, i = 1, 2.

Непосредственный подсчет показывает, что всюду в области Цт
2

- DiV + 2 Div = 1	(1.20)

i=i

и на границе Гг

v =	= D2v = 0.	(1-21)

Наша ближайшая цель — показать, что поверхность Гт есть
поверхность Ляпунова (т. е. первые производные функции R(x,, t)
удовлетворяют условию Гельдера). Для этого воспользуемся сле-
дующим утверждением.

Теорема 1 (Л. Каффарелли, А. Фридман [158, с. 141]). Пусть
в области Ц переменных (xt, х2) из R2 функция v(x) обладает вто-
рыми производными, ограниченными постоянной N, удовлетворяет
краевой задаче (1.7), где граница Г есть кривая x1 = R(xl)1 IxJ <
оо, с функцией R такой, что

\R(s')-R(s")\ ^N\s'-s"\.

Пусть, кроме того, |/| > 0 в Ц и первые производные функции
j ограничены той же постоянной N.

Тогда функция R(s) непрерывно дифференцируема и

с постоянными N(l>0 и те(0, 1], зависящими только от N.

Доказательство теоремы приведем в конце параграфа.

Рассмотрим решение v(x, t) краевой задачи (1.20), (1.21) на
сечениях Ц(£) области Цт плоскостями {t = const), где время t ле-
я(ит в интервале (Т/2, Т). Оно удовлетворяет краевой задаче (1.7) с

/ = 1 +Dtv = 1 +0 > 1.

Из оценки (1.9) следует, что первые производные функции /
по пространственным переменным равномерно ограничены при всех
t (при этом постоянная, их ограничивающая, конечна при всех
конечных Т). Таким образом, чтобы воспользоваться теоремой 1,
достаточно показать ограниченность вторых производных функ-
ции v:

г,/= 1,2.

Последнее вытекает из формул

D.QD-8

DiDiV = е Г'7’ (1-22)

I ^0 1

ограниченности указанных производных на сечениях {t = Т/2} и
{Л = 0) (локальные оценки решений линейных параболических
уравнений) и принципа максимума.

Итак, функция R(x,, t) непрерывно дифференцируема по пере-
менной xt и ее производная DtR удовлетворяет условию Гельдера

I DiR t) — DrR (xi, t) | < M61 х{ — x'i |“

с постоянными M;, и а, зависящими только от постоянной в не-
равенстве (1.9).

Еще раз вернемся к краевой задаче (1.7) и рассмотрим сече-
ние Ц (£) области Цт. Пусть

^==4,(^)> S = Si + ^2, 2 = х, + ix2

есть конформное отображение (которое зависит от времени t как
ог параметра) полосы Ц(Ц на полосу Q = {?1 iRe £| < °°, 0 < Im £ <
< 1) такое, что границе ГЦ) соответствует прямая {1т£ = 0).

Из общей теории конформных отображений [71, с. 80] следует,
що производная dty(z)/dz удовлетворяет условию Гельдера в замы-
кании области Ц(Ц с показателем а. Последнее позволяет поднять
гладкость функции v. А именно, пусть v(£) есть та же самая функ-
ция v, но записанная в переменных Аналогичным образом опре-
деляется функция f. В новых переменных £ в области Q функция v
также является решением уравнения Пуассона, но с правой частью

которая, как легко видеть, принадлежит пространству Ha(Q). Так
как v равна нулю на границе {1т£ = 0} области Q, то [51, с. 145]
v ^H2+a(Q). Следовательно, для i = 1, 2

|адр« 4)- аду(«", о I < м71х' - х"

равномерно по всем t из интервала (Т/2, Т).

Вспомним теперь, что первые производные D{v, i = 1, 2, удов-
летворяют условию Липшица по переменной t (оценка (1.9)):

|аду|(&

Мы находимся в условиях леммы 6 гл. I, которая утверждает,
что вторые производные DJ/>sv функции у удовлетворяют условию
Гельдера и по переменной t. Сохраняя прежнее обозначение пока-
зателя Гельдера а, окончательно имеем

| v |(а+а) < Ms (Мг).	(1.23)

Покажем теперь, что функция v бесконечно дифференцируема.
На самом деле нам достаточно доказать ограниченность нормы:
|<т+1)<^9

для всех Т < 7\. Последнее неравенство противоречит определению
интервала (О, Т^), если — конечная величина.

Из оценки (1.9), равенств (1.22) на границе Гт и неравенства
(1.23) следует, что найдется такое достаточно маленькое положи-
тельное число 6, что в полосе П шириной 6, лежащей в Цг и при-,
мыкающей к границе Гт, справедлива оценка

I In | Div | № < М10.	(1.24)

В полосе П совершим преобразование Лежандра

т = «, 1, = ^, Ь = -ад	(1.25)

Пусть П° — образ области П при отображении (х,	т).

Функция

w(l, т) = ^2х2 + v(x, 0

удовлетворяет в области П° уравнению

ад = D\w - (1 + | DrD2w |2) (plwT1 - 1	(1.26)

и равна нулю на образе Г° = {£|£2 = 0} свободной границы Гг.

В самом деле, дифференцируя тождество

1У(^1, U т) = ^2я:2(^, т)+у(£„ х(|, т), т)
по переменным | и т, получим равенства

D2w = х2, DiW = DiV, Dxw = Dtv.	(1.27)

Дифференцируя второе уравнение (1.27) по xh а первое — по
и х2, имеем

Div = D\w + D^PzwD^,
О = DiP^w + DlwD£2,
1 = DlwD2l2.

И наконец, продифференцируем последнее соотношение (1.25)
по х2:

Div = - D&2 = - (Dlw)-\	(1.28)

Равенство (1.28) показывает, что якобиан отображения (х, £)-»-
-*(В, т) строго отличен от нуля и, следовательно, отображение
(1.25) является диффеоморфизмом области П на область П°.

Это же равенство и оценка (1.24) обеспечивают параболичность
уравнения (1.26). Точнее, равномерно параболическим в области П’
будет уравнение для производных q (q = Dtw или q=Dxw), по-
лученное из уравнения (1.26) дифференцированием по переменной
Bi или т:

D^q = Dlq + bDrD2q + cD22q,

b = - 2DiD2w (DlivT2,	(1.29)

c = (l +|D1D2u;|2)(D1w)-2.

На границе Г°, образе свободной границы Гт, функция q тож-
дественно равна нулю. Так как коэффициенты уравнения (1.29)
удовлетворяют условию Гельдера с показателем а, то ^теорема 6
гл. I) функция q принадлежит пространству Н2+а- (2+®)/2(П°). В этих
рассуждениях и всюду ниже мы опускаем тот факт, что решение iv
(либо v) бесконечно дифференцируемо в каждой замкнутой обла-
сти, отстоящей на положительном расстоянии от границы Г° (гра-
ницы Гт) и начальной плоскости {т = 0) (локальные оценки реше-
ний линейных параболических уравнений). Обращаясь к уравне-
нию (1.26), видим, что производная D22iv принадлежит пространству
Я1+“, <1+а,/2(П°). Следовательно, коэффициенты уравнения (1.26)
имеют гладкость на единицу больше, чем мы предполагали. Но тог-
да более гладкой является и функция q. Продолжая неограниченно
указанный процесс, получим, что функция q, а вместе с ней и V,
бесконечно дифференцируемы. Итак, доказана

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1 настоящей
главы. Тогда классическое решение задачи Стефана (1.1) — (1.5)’
бесконечно дифференцируемо при t > 0 и продолжило на любой
конечный интервал (О, Т).
Замечание. 1реоования на дифференциальные свинства на-
чальной функции 0о(х) и на число условий согласования можно
ослабить и, по существу, требовать только выполнения неравенства
(2.1) в условии теоремы 2 гл. II и неравенств в условии леммы 1
настоящей главы. Эта схема будет реализована в последующих гла-
вах при изучении одномерной задачи Стефана.

Доказательство теоремы 1. Все нижеследующие рас-
суждения носят локальный характер, и, по существу, исследуется
малая окрестность границы Г с центром в произвольно фиксирован-
ной точке z0, лежащей на Г.

Без ограничения общности функцию / можно считать заданной
при всех значениях х и t (в нашем частном случае, когда / = 0 +1,
она продолжается единицей через границу Гг).

Пусть A (z) — ограниченное решение уравнения Пуассона ДА =
= / в единичном круге B((z0) = {z||z —z0| < 1} с центром в точке
z0 е Г. Согласно [51, с. 145]

А е Я2+т (Bi (z0)), f е(0, 1) - любое.

- Рассмотрим комплекснозначную функцию

a(z) = dA/dz - (1/2) (£>Л - iD2A).

Как легко проверить, a(z) удовлетворяет уравнению
dajdz = (1/2) (Did + iD2a) = /.

Функция

(0* (z) = a (z) — a (z0) —	(z0) (z — z0)

удовлетворяет тому же самому уравнению и, кроме того, равна ну-
лю вместе со своей производной по z в точке z = z0:

<?£0*	,	* / \	5®* / \ А

-^=/, (Zo) = -J- (Zo) = 0.
dz	uz

(1.30)

Пусть 8 > 0 — произвольное малое число. Тогда найдется число
б>0 такое, что в круге Be(z0) радиуса б с центром в точке z0

|3®*/3z 11 да* {dz | 1 < e < 1.

(1.31)

Это следует из условия теоремы (/ =# 0) и близости к нулю произ-
водной (Z), если точка z близка к точке z0.

Неравенство (1.31) показывает, что отображение ^ = o)*(z):
z -* £ круга Be,(z0) на окрестность точки | = 0 является диффеомор-
физмом, якобиан которого

3f = (1/2) (| da*/dz[\2 - | да* /дГ|2)

строго отличен от нуля в круге Z?4(z0).

Обратное преобразование г = ц(£) окрестности точки д = 0 на
круг Be (z0) принадлежит классу Я1+т.
¥(£) =

hjliu и вить решение краевой задачи (1.7J. Положим

к> (z)= (1/2) (D^ — iD2v) sh dvjdz.

Тогда d(n/dz = /.

Функция h(z) — ®*(z)— w(z) аналитична в области ЦПВ((г0),
непрерывна в замыкании этой области и совпадает с и*(г) на гра-
нице Г:

Л(г)=и*(г), геГ.	(1.32)

В условиях теоремы 1 существует аналитическая функция £ =
= ,ф(г), конформно отображающая область Ц на полосу Q =
= l£l IRe £| < <ю; 0<1т£<1) так, что границе Г соответствует
прямая {£|1т£=0}. Через г = ф(£) обозначим обратное преобра-
зование полосы Q на область Ц.

Пусть .ВД£о) — круг в плоскости £' радиуса X и с центром в
точке £б = i|5(z0).

Положим в 2?Д£0)

ф(£), если Im£^0,
пМфО), если Im £< О,

где X выбрано настолько маленьким, что образ множества
U е ВЛ(£0) |Im £ > 0) при отображении ф : £0 лежит в круге
Bo (z0).

Преобразование ф(£) всегда можно выбрать таким образом, что
всякому ограниченному множеству Q' из Q соответствует ограничен-
ное множество Ц' из Ц. В свою очередь, мера множества Ц' есть
интеграл по области Ц', который с помощью замены переменных
пересчитывается в интеграл по области Q' от квадрата производной
функции ф. Следовательно, функция ф(£) обладает производными,
локально квадратично суммируемыми в Q. Так как по условию тео-
ремы Л(г) удовлетворяет условию Липшица, а функция т](£) при-
надлежит классу Hl+1, то и производные функции ц(Л(ф(£))) сум-
мируемы с квадратом в части области 5Д£0), лежащей вне Q.

На границе {£|Im£ = 0) имеем ф(£) = ф(£) и ц(Л(г)) =
= ц (w*(z)) = z. Следовательно, функция Y (£) непрерывна при
переходе через линию {Im£ =0) и поэтому принадлежит простран-
ству W} (Вк (£0)).

Непосредственными вычислениями проверяется, что при
Im£<0

| ЗУ рТ 1-1 |dto* || дш* 1-1 _ । .

I	I	I — | dz IJ g~z |

где согласно неравенству (1.31)0С|ц|<е<1.

Так как при Im £ > 0 функция Ф (£) аналитическая, то всюду
в круге ВД£0) она удовлетворяет уравнению Бельтрами

=	O^lpl < е < 1.
Свойства решений последнего хорошо изучены [71, с. 213].
В частности, Т е Wp (Вк/2 (£0)), где р=р (е) оо при е -> 0. Но тог-
да и функция <р обладает большей гладкостью: (ре Wp (Вк/2 (Q Q Q)t
р> 2 — любое.

Чтобы показать, что на самом деле функция ф(£) обладает про.
взводными, удовлетворяющими условию Гельдера в замыкании об-
ласти Вш (£о) Л <2, построим другое продолжение этой функции че-
рез границу {£|1т £ = 0) в область Вх/2(^0).

Рассмотрим для этого функцию ф*(£), определенную в обла-
сти Q равенством

л(фЮ)=/(М(ф*(5)-2о)+Я(ф(&), z0),	(1.33).

где функция B(z, z0) вводится соотношением

{a*(z) = /(z0)(z-z0) + 7?(z, z0).	(1.34)

По построению функции w*(z) имеем

|z^zj 4«(z,z0)| + |-^(z,z0)| +	(z, z0)|<е|z-z017. (1.35)

Дифференцируя равенство (1.33) по переменной £ и учитывая ана-
литичность функций h и ф, получим

т <0 = - Ди i R (ф ® • 2"> = - 7U7 7- (ф (°’ г">
dt,	'Го) dt,	T(z0) dz	dt,

Привлекая неравенство (1.35), видим, что

ЮксДф'ОПф©-z0|\ z0 = T(£0).
I I

Теорема вложения (теорема 1 гл. I) пространства Wp в про-
странство Я1-2/р обеспечивает гельдеровость функции ф(£) при
р > 2. Поскольку ф' е Д, то окончательно имеем

1 £ - £ о 1 -р 1 Зф*/^ I Е Lp (В^ (So) П (?), ₽ = 7 (1 - 2/p).

Положим в Bl/2(So)

ф(С),; если Im S 0„

P(t) = j---—

1Ф*(?)» если Img<0.

Так как 54r*/6S = 0 при 1т£Х) и 4f*(S) непрерывна при
переходе через границу {£|1т £ = 0):

ф(£)=ф*(е), 1т£ = 0

(это следует из равенств (1.32—(1.34)), то

IS-SoI-WWe£p(Bx/2(So)), р=7 (1-2/р).
Оказывается, в этом случае для функции Чг*(^) в круге B,,s(tA
справедлива оценка	°

(So) 94* ,,,
яг

если только £ — 2/р > а > 0. В (1.36)

Л-||£	1^|р,вк/2(ад + П*!11.авх/2(!;о).

Для доказательства неравенства (1.36) воспользуемся пред-
ставлением

(1.37)

ЭВ	ду у — С	7

|<с3а|:-^Г,	(1.36) i

которое следует из формулы Грина

f f dyi dy* = - 4 fи w>dy-
Р	дв

Если в (1.37) положить п(5) = (Чг*(^)— Ч''*(^о) )/(£ — £ Л
то первое слагаем^ в правой части (1.37) будет аналитической
функцией в круге TWCo), а второе слагаемое есть потенциальный
оператор

в

переводящий функД™ U из пространства Lq(B) в функции ПСЛС)'
из пространства Н°(В), если q > 2 [71, с. 203].

Таким образом, для доказательства неравенства (1.36) доста-
точно показать ограниченность нормы

t-Г II
° 9l lk.B%/2(Co)

с некоторым q > 2. Положим q — 2/(l — а). Имеем

И’*	9^ ||Р1В

Второй сомножитель в правой части последнего неравенства огра-
ничен по построек10 величиной Л, а первый сомножитель ограни-
чен, если 1-2/д^а< 6-2/р. Итак, функция uft) удовлетворяет
в области 5Х/3(^о) условию Гельдера с показателем а. Очевидно, что

и (Со) (Со).

В силу произвольного выбора точки t,0 неравенство (1.36) спра-
ведливо для всех точек £2 из области 2?X/S(^o).‘

Y*G,)-y*(C2)	94*	„ ,а

-2

91
Меняя местами точки м & и применяя теорему о конечных при-
ращениях

Т* (С1) - ¥♦ &) =	(U) ~ еа),

окончательно получим

I (W -	&) | < 2с4 I С, - са |“

В частности, при Im £ == О имеем

что завершает доказательство теоремы 1.

§ 2.	ДВУХФАЗНАЯ ЗАДАЧА.

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ

1.	Постановка задачи. Основной: результат. Как и в § 1, огра-
ничимся случаем двух пространственных переменных, областями
типа полосы

Йг = ЙХ(0,Г), Й= telkj <°о, |«»1 < 1},
й? = {(ж, t) е йт | < R (*1, t)},

• йт = {(х, t) е Йт J х2 >R Ui, £)},
где xi = R(xl, t)—уравнение искомой поверхности Гт, и периоди-
ческими по переменной а:, с периодом 1 данными задачи.

В каждой из областей йт требуется определить решение 0 (х, tj
уравнения теплопроводности

DtQ = Д0	(2.1);

и поверхность Гг — {(х, £2т\хг = R(xt, t)} по следующим усло-
виям.

Температура 0 (х, t) непрерывна при переходе через поверхность
Гт и равна на ней нулю:

Q(x, t) = 0, (х, {)еГг.	(2.2)'

Кроме того, на искомой поверхности Гг температура G(x, t)
удовлетворяет условию Стефана, которое запишем в виде

ТД0+|Т>0+|-‘ = |Z>0+| - |Т>0-|,	(2.3)

где DQ^Xq, t0) = limD9(x, t),	t) = lim Dt9(x, t), когда точка

(x, t) стремится к точке (x0, t0) на поверхности Гг из области й^;
L — const > 0.

На заданных поверхностях = ^^ХСО, Т), 5г± = {т||г1|<
< <», х2 = ±1), температура 0(а:, t) тождественно равна постоянной:

0 (х, t) = Л±, (х, t) е 1	(2.4)

А+ = consjt >0, А~ = const < 0.
Для простоты изложения постоянные L, А+, |4"1 положим рав-
ными единице.

В начальный момент времени свободная поверхность Гт совпа-
дает с прямой S = {х| IxJ < оо, х2 = 0), а температура 0 — с изве-
стной функцией 0О (х):

Г(0) = 8, 0 (х, 0) = 0О (х), ггеЙ.	(2.5)'

В отличие от однофазной! задачи в двухфазной задаче Стефана
не удается доказать существование классического решения на про-
извольном интервале времени. Все предложенные в § 1 настоящей
главы конструкции специфичны (преобразования Г. Дюво и Ле-
жандра), и ни одна из них не переносится на двухфазную задачу
Стефана. Но для двухфазной задачи с помощью переменных Мизеса
удается доказать существование классического решения сразу на
бесконечном интервале времени (0, если начальные данные
близки к соответствующему стационарному решению

0х(х) = х2.	(2.6)

Это и есть устойчивость простейшего стационарного решения
в классе пространственных возмущений. Заметим, что в однофаз-
ной задаче стационарные решения отсутствуют, но аналогичный ре-
зультат справедлив для автомодельного решения [62].

Теорема 3. Пусть

0о(*)=0оо(я)+б7(гг),

где 0», (х) определено равенством (2.6), V(х)—периодическая по
переменной xt с периодом 1 функция, принадлежащая в замыкании
каждой из областей Й± (0) пространству Н3+а, а 6 — достаточно ма-
ленькое число.

Пусть, кроме того, V(x) тождественно равна нулю вблизи линий
и 8.

Тогда найдется число 6* > 0, зависящее только от величины

M0_raax{|VK>,|r|«++,®J,

такое что при | 61 < 6* на бесконечном интервале времени (0, °°)
существует классическое решение задачи (2.1) — (2.5)

ОеС2’1 (й?), ЯеС2’1^), 7’<оо,
периодическое по переменной х{ с периодом 1.

При этом

(2.7)

|7?«)|^ + |О4Л(01и1<^“₽{,	(2.8)

где постоянные и (J зависят только от величины Мо.

Замечание. Условие Т(;г)=0 вблизи линий ^~±, S возникло
только из-за желания упростить изложение и не следить за выпол-
нением условий согласования на указанных линиях.
2.	Формулировка эквивалентной краевой задачи. Выберем пара-
метр б настолько малым, чтобы при |6l < 61(Л/О)

D2Q0 (х) > 1/2,

Очевидно, что в этом случае (± 1) 0О (х) > 0 при zeQ±(0).

Считая, что неравенство D2Q > 0 выполнено в каждой области
йг (7’>0 — произвольно фиксированное число), введем новые не-
зависимые переменные

т = t, У1 = «1» У2 = 0 (я, /), х е Фг •

При такой замене переменных поверхности &~т = &~±Х(0, Т)
перейдут в себя, свободная поверхность Гг — в поверхность ST =
= 5Х(0, Т), а области йу— в области Gr = G± х(0, Т), G± =
= й±(0). Новая искомая функция и (у, т) = х2 удовлетворяет в каж-
дой из областей G? уравнению

Dxu - Dlu + D21(1 + pl)/p2} = 0	(2.9)

и известна на поверхностях

и(у,т)=±1, (у,т)е^.	(2.10)

На образе ST свободной границы Гг функция и (у, т) непре-
рывна,

и+(у,.х) = и~(у, т) = и(у, т), (у,т)е$г,	(2.11)

и, кроме того, при (у, т) е 8Т

Dxu + {1 + (Р!)2}(Ш+ - I/РГ) = 0-	(2-12)

В (2.9) —(2.12) pi = Dtu, и* (соответственно р^) суть пре-
дельные значения функции и (у, т) (функций Pi(y, т)) при стрем-
лении аргумента (у, т) из области Gj к точке (у0, т<>), лежащей
на границе ST.

Наконец, в начальный момент времени

u(y, О) = ио(у), у ей,	(2.13)

где функция Но (у) определяется из тождества y2 = 0o(yi, н0(у1, у2)).
Последнее всегда возможно в силу строгой положительности про-
изводной D2Qo{x).

Легко видеть, что функция и» (у) в каждой из областей G*
обладает той же гладкостью, что и функция 0о(у). Более того,

“о(у) = у2 + бС/(б, у),

где U(б, у) тождественно равна нулю вблизи линий ^"±, 5 и ее
норма в №+a(G±) равномерно ограничена постоянной, зависящей
только от Мо, если |бI < бь

Очевидно также, что функция и0(у) будет периодической по пе-
ременной у! с периодом 1. Всюду ниже рассматриваются только
такие функции, и этот факт особо не оговаривается. Кроме того,

6 А. М. Мейрманов

81
проще исследовать задачу не в областях Gf, а в их пересечении
с областью {г/|О<г/1<1, |у2| < 1} Х(0, Т), сохраняя за получен-
ными множествами старые обозначения G? (аналогично $т).

Заметим еще, что стационарному решению (#) соответствует
функция и» (у) = у2.

3.	Построение приближенных решении. Аналогично гл. II ре-
шение задачи (2.9) — (2.13) получим как предел при е -► 0 решений
ие(у, т) начально-краевой задачи (2.9) —(2.11), (2.13), удовлетво-
ряющих на границе ST условию, полученному из условия (2.12)
введенной в гл. II е-регуляризацией:

Dxu —eD[u = X (р+, р~),

Х(р+,Р~) = — {1 + (pt)2)(l/A+ — 1/рГ).

При каждом фиксированном е > 0 сформулированная задача
представляет собою однопараметрическое семейство начально-крае-
вых задач, непрерывно зависящее от параметра б, 161 < бь При
6 = 0 эта задача имеет единственное решение и„(у). Следует ожи-
дать, что при достаточно малых 6 задача также будет разрешима.

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для
каждого Т > 0 и е>0 найдется такое 62 = 62(е, Т), что начально-
краевая задача (2.9) — (2.11), (2.13), (2.14) имеет единственное
решение ие е Я9+“’(9+а)/2 если только |б| < 62. При этом

| In | D2uE | |(Ч < оо.	(2.15)

(j'p

Доказательство. Утверждение леммы будет следовать из
теоремы о неявной функции, если линейная начально-краевая задача

DxH-\H = f, (y,i;)<=G$;	(2.16)

Я+=Я~ = Я, (у, X)<=ST-,	(2.17)

DXH - eDyH - D2H~ + D2H+ = <p, (</,t)g5t;	(2.18)

Я(у,т) = 0, (у,т)е^;	(2.19)

H(y, 0)=0, yeQ;	(2.20)

полученная из исходной нелинейной задачи линеаризацией на точ-
ном решении u„(z/), однозначно разрешима при любых

/ е= Я“,а/2 (G?), <р (= я“’а/2 (Sr)

таких, что

Ж О) = о,	j*{y, 0)= Ф(у, 0), у s S. (2.21)'

Условия (2.21) являются условиями согласования первого по-
рядка для начально-краевой задачи (2.16) — (2.20). Существование
решения последней эквивалентно наличию априорной оценки

|Я|(2+*) + । Я |<2+“> < с /| / |(“> + |/|<“2 + |ф|^\.	(2.22)

Cry	Cry	I Cry	Cry	I
Это доказывается обычным образом, например методом продолже-
ния по параметру.

Для получения первой оценки, оценки максимума модуля ре-
шения, умножим уравнение (2.16) на Н2к~1 и проинтегрируем по
сечению {т = const}’ по каждой области С?*. Сложим результат ин-
тегрирования и в интегралах, содержащих старшие производные,
произведем интегрирование по частям. Имеем

(1|Я (т)|Ц,0 + \\Н(т)||l,s) + е(2Л- 1)||Я>-1Л1ЯЦ8 +

+ (2к - 1) ]| Hh ADH |tQ = | /Я2*"111>0 + Ц фЯ2^1 jljS ЗГй. (2.23)

Интегралы по границе S возникли при интегрировании по ча-
стям с использованием условия (2.18), а интегралы по границам
{z/i = 0), {у, = 1} взаимно сократились из-за периодичности реше-
ния по переменной у,.

Пусть

F = шах ||/|йу, [ Ф Isy)-

Поскольку а1 + Ь1 С 21-т(а + Ь)т для любых положительных а,
Ъ и 7 < 1, то

.70 < F {||Н (г) feV-b ||Я (г) ||2tsi < 2F (JН (т) ||2Ь+1|Я(т)||2Ь)(2й-1)/2'1

и из (2.23) обычным образом выводится оценка

шах (|| Н (т) 6)0 + || Я (т) g,s)1/2ft < 2FT.
те(о,Г)

Следовательно, при к •->- °°

\H\$^2FT.	(2.24)

Рассматривая далее краевое условие (2.18) как параболическое
уравнение на ST с правой частью ф0 = ф + D2H~ — D2H+ и началь-
ным условием (2.20), получим (теорема 6 § 2 гл. I)

|Я|^+а)<С /| ф|^ + |Я|(12а) + |ЯГ4:а)\.	(2.25)

Из уравнения (2.16) в каждой области Gt, краевых условий
(2.19) и начального условия (2.20) следует оценка, аналогичная
(2.25):

\Н\^а)<с(\1П + \Н\^\

Суммируя эти неравенства и учитывая (2.25), получим

| Я	+1 я |<’«> < с ( I ф IS» + I /1<« + 111<”> +1 я ««> +1Я |<‘±«У

(jy	Gy	Gy	Gy	Gy	Gy J

(2.26)
Требуемая оценка (2.22) вытекает из (2.24), (2.26) и нера-
венства (лемма 4 § 2 гл. I)

| н |<4+“> < и ] н |<?+а) +	। н |(G°>,

в котором ц > О — произвольное малое число.

Окончательное утверждение леммы следует из результатов о
зависимости дифференциальных свойств решений линейных равно-
мерно параболических уравнений от дифференциальных свойств ко-
эффициентов и правых частей, образующих уравнение (теорема 6
§ 2 гл. I). Эта схема была реализована в гл. II в аналогичной
ситуации при построении приближенных решений задачи Стефана
на малом интервале времени.

Следствие. Пусть N > Ма — произвольно фиксированное чис-
ло. Тогда существует постоянная б3 = б3(е, Т, N)>Q такая, что
при I б I < б3

| In | D2uE I |(Ч < N,	(2.27)

2

2 \&(Due)\^±<N.	(2.28)

U|=i

4.	Оценка постоянной 63 снизу. В настоящем разделе покажем,
что на самом деле постоянная б3 остается ограниченной снизу при
стремлении величины Т к бесконечности, а параметра е — к нулю.

Схема доказательства принципиально та же, что и в гл. II, где
исследовалась общая задача Стефана на малом интервале времени.

Отклонение Н = щ(у, т}—их(у) решения и(у, т) начально-
краевой задачи (2.9) — (2.11), (2.13), (2.14) от решения их (у) — yz
соответствующей стационарной задачи удовлетворяет начально-крае-
вой задаче

DXH = DlH + D2 {Р12~^-}, (у,т)е(?£;	(2.29)

Я(у,т) = 0, (у,т)е=^±;	(2.30)

Я+(у,т) = Я-(г/,т) = Я(1/,т), (</,r)eSr;	(2.31)

+	= DxH — eD[H, (y,i;)^ST-, (2.32)

\ 1 + P2 i+P2 J

H(y,0)=8U(8, y), y^Q.	(2.33)

В (2.29) — (2.33) Pi = DJI, i=l, 2, а при выводе (2.29) была
использована следующая цепочка равенств:

D2 [(1 + р^/р2} = D2 [(1 + Р?)/(1 + Р2)} =

= d2 {(1 + р?)/(1 + р2) -1} = - d2 ((р2 - р?)/(1 + Ш

где Pi = Dtu, i = 1, 2.

Умножим уравнение (2.29) на Я, проинтегрируем по каждой
области G+ и G~ при фиксированном т > 0 и результат интегриро-
вания сложим. После несложных преобразований получим равенство
4 4 ЩЯ (т) II1.Q + || н (т) ||22,s] + е II D.H (т) ||2.s + |(1 + P2)~l | DH |а U = О,
4 U Ь

(2.34)
из которого с учетом (2.27) следует оценка

/||ПЯ||2,аг, max || Н (т) ||2>а1 < 65/,	(2.35)

I	те(о.Т)	J

где через М здесь и всюду ниже обозначаются постоянные, завися-
щие только от Мо, N и не зависящие от е и Т.

Интегралы по границе S в (2.34) возникли после интегрирова-
ния по частям с использованием условия (2.32) и равенства

(А - р?)/(1 + Л) = 1 - (1 + Р{)/(1 + Р^

Применим к уравнению (2.29) и краевым условиям (2.30) —
(2.32) дифференциальный оператор По, Ifcl = 4, умножим результат
дифференцирования (2.29) и (2.32) на D^H, проинтегрируем при
фиксированном т > 0 по областям G+, G~ и границе S соответствен-
но и сложим полученные выражения:

х = 1A {I D*H (т) |2>а + I D*H (т) ts} + е I	(т) ts +

Li U I ' *	'

+ f f Р.Ч I’ -	M1, + I Dip, К dy -

= JjTZ)|P2dy^^2,	(2.36)

a

где T = ^DPD'P + ^D^PD^P + ^DPD^PDP + W^P, DP), P ||
= (Ръ P2), Y{ = Yi (P), i = 1, 2, 3, | r | = 3, | ri | = | r21 = 2 и функции

ограничены некоторой постоянной М, не зависящей от е и Г,
при всех 6, 161 < б3.

Из неравенств (2.27), (2.28) следует, что квадратичная форма
X2 - 2Л (1 + Р2) ~lXY + (1 + Pl) (1 + Р2) ~2 Y2 = К (X, У)

строго положительно определена:

Х(Х,У)>7И-*(Хг + У2).

Проинтегрируем по времени равенство (2.36), отбросим поло-
жительные слагаемые

ehfciLr +|{|А5Я(Т)|и + ||^Я(Г)Щ

в левой части полученного выражения, а соответствующую квадра-
тичную форму К [DqPi, DoP2) оценим снизу:

J 3r (T)dT	(2.37)

о

Заметим, что в этом неравенстве и всех нижеследующих оцен-
ках параметр е не участвует.

В выражении 3 г главным является слагаемое

^02= ^DPD'PDlPdy, |г| = 3, |*| = 4,

G

в котором первые два сомножителя в подынтегральном выражении
ограничены по максимуму постоянной N (неравенство (2.28)). Вос-
пользовавшись неравенством Гельдера, оценкой (лемма 2 § 2 гл. I)

+ пг’Ико

с абсолютной постоянной с и произвольным положительным числом
ц и неравенством (2.35), интеграл от 302 по времени оценим сверху:

J	(Т) dx < М {р I D*P £q + p-s62}.

О

Остальные слагаемые в 32 оцениваются аналогично. Суммируя <
все оценки, получим для i k I = 4	j

11 D*PLr < М {ц I &Р К,Ог + с (р) б2}.	(2.38);

«Некасательные» производные DhP оцениваются так же, как в ;
гл. II, с помощью уравнения (2.29) через «касательные» произвол-^
ггые DqPz

||Dft>|22,Qr<M {|р|р||г,йг + 62}-

Подставляя полученное неравенство в (2.38) и выбирая р доста-:

Точно маленьким, имеем	;

|DA>tCr<W.	(2.39)

Еще раз подчеркнем, что постоянная М в (2.39) не зависит от
е и Т.	s

Последняя оценка и теорема вложения пространства W% (6^)

в	[73, с. 424; 50, с. 78]

|5'грЕ<с 2 |^p|2G±, |г| = 2,

G°° |™|=1

с абсолютной постоянной с дают нам

| DT'P |(± <Мб, |г| <2.	(2.40'

^ао
Выбором достаточно маленького б, |6l < 64(Af0, Nj, легко до-
биться выполнения неравенств, определяющих интервал (-б3, б3).
Таким образом, всякий интервал (—б3, б3) содержит в себе интер-
вал (—б4, б4), где б4 не зависит от е и Т.

Вот теперь можно утверждать, что решение начально-краевой
задачи (2.9) — (2.11), (2.13), (2.14) существует на бесконечном
интервале времени.

В самом деле, если это не так, то должно существовать значе-
ние Т* > 0 такое, что величина

|1п|О2иЕ||'01 + |иеР±+а) = ^з(П
Cry	tjy

неограниченно растет, когда Т->Т*. Но первое слагаемое в 3f3{T\
ограничено при всех Т<Т* постоянной/V (неравенство (2.27)),
а второе слагаемое ограничено постоянной, зависящей только от
И о, N, е и 71*, поскольку той же самой постоянной N ограничена
норма |не1(2±а) (неравенство (2.28)) и уравнение (2.29) равно-
’Gy

мерно параболическое.

Из доказательств, приведенных в настоящем разделе, видно,
что оценка (2.40) (и тем самым оценки (2.27), (2.28)) остается
справедливой и для областей = G±x(0, оо).

5. Доказательство основного утверждения. Оценки (2.27) и
(2.28) позволяют с помощью диагонального процесса выделить под-
последовательности {не?[ (у, т)|, сильно сходящиеся в норме про-
странства С2'1 (Gr), Т < оо — любое, к функции и е С2’1 (G<£). По-
скольку слагаемое eDlue(yt, 0, т) в краевом условии (2.14) стре-
мится к нулю при е -*• 0, то и (у, т), очевидно, будет искомым ре-
шением начально-краевой задачи (2.9) — (2.13).

Для доказательства оценок (2.7), (2.8) умножим уравнение,
которому удовлетворяет разность Н = и(у,т) — и„(у), на Н и про-
интегрируем по каждой области G* при фиксированном т>0. Пол-
ностью аналогично выводу (2.34) получим то же самое равенство,
в котором надо положить е = 0.

Как обычно, при изучении асимптотического поведения реше-
ний параболических уравнений слагаемое

= У J (1 + P^DHfdy,

й

где	i = l, 2, оценим снизу нормой ЦЯЯ(т)|||(о:-

^4>М-1||ПЯ(т)|||,а,

а выражение

г(т) = ЦЯ«,п + ||Я(т)||2,3

оценим сверху той же самой нормой:

2(т)<М||ЯЯ(т)||2,а.
Последнее следует из представлений

У_2

Нг (г/1, У2, т) = 2 j н (yr, s, т) D2H (У1, S, т) ds,

-1

*2

н2 (У!, о, т) = Я2 (уи у2,1) — 2§н(уъ s, т) D2H (уг, s, т) ds,
О

неравенства Гельдера и интегрирования по переменным уи 0 <
< У1 < 1, И у2, |г/2| < 1.

Суммируя все оценки, имеем

~ + Mz^0.
at

Привлекая неравенство Гронуолла, находим

1|Я(т)|Ца + ||Я(т)Ц8<Ме-₽т.	(2.41)

Из представления

| ЯЙЯ (у, 2) |2 = | D*H (у, 0)|2 + 2 J D*HD*P dt
О

с |А?! =4 и оценки (2.39) следует, что

шах || D*H (т) [2,а sC М, |&| = 4.	(2.42)

те(о,<»)

Воспользовавшись неравенствами (2.35), (2.41), (2.42), нера-
венством (2.1) § 2 гл. I

где |А|=4, |г| = 3, оценкой (2.40), теоремой вложения простран-
ства W|(G) в пространство C‘(G) (теорема 1 § 2 гл. I)

|Я(т)|^<с 2 |M(T)||21G±
М=з

и неравенством [51, с. 162]

| я (т) |<2’ < с (| я (т) |£Г)1/(1+7)(1н w Ig±)?/(1+?).
получим

|Я(т)|^	(2.43)

Решение б (х, t) исходной задачи Стефана определяется из тож-
дества и(х,, 8(х, t), t) = x2. Последнее всегда возможно в силу
оценки (2.27). Уравнение свободной границы х2— R(xt, t) нахо-
дится через и {у, т) явно: R = u(x,, 0, t).

Из формулы замены переменных и оценок (2.40), (2.27), (2.43)
следует, что G(x,t) и R(x„t) обладают указанной в теореме 3 глад-
костью и для них справедливы оценки (2.7), (2.8).
ГЛАВА IV

ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА

В МНОГОМЕРНОЙ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧЕ СТЕФАНА

Ниже предлагается новый подход к изучению многомерной
однофазной задачи Стефана для однородного уравнения притока
тепла. Формулировка простейшего варианта этой задачи такова.

Обозначим через Q(t) область в пространстве Rn, зависящую
от времени, через T(t) — границу Q(f). Требуется определить по-
верхность Г(£) и температуру 9 (ж, i) по условиям

D(0 = A0, a:sQ(f), ^(0,Г);	(0.1)

0 = 0, Vv = - 2 ViDfi, я<=Г(г), fe=(O, Т);	(0.2)

i=i

0(х, О) = 0„(ж), jeQ(O).	(0.3)

В (0.2) Vv — скорость перемещения поверхности Г (t) в направ-
лении нормали v==(v,, ..., v„) к этой поверхности. Предполагается,
что область G = Q(0) задана, 0о(а:)>О, если х <= G, и 0о(х) = О,
если х е Г (0) = 8 = dG.

Предлагаемый способ исследования задачи Стефана основан
на ее аналогии с неустановившимся движением идеальной жидко-
сти со свободной границей [72]. При анализе последней задачи
весьма удобной оказалась ее запись в лагранжевых координатах,
где область определения решения заранее известна.

В переменных Лагранжа задаче Стефана соответствует началь-
но-краевая задача в фиксированной области для нелинейной систе-
мы п уравнений. Эта система не подходит ни к одному из изучав-
шихся ранее типов, и ее условно можно определить как вырожден-
ную параболическую систему. О вырожденности системы косвенно
говорит й тот факт, что на боковой границе цилиндра GT = G X
X (0, Т) для п искомых функций ставится лишь одно краевое условие.

§ 1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА

Для формулировки задачи Стефана в переменных Лагранжа
будем рассматривать (0.1) как уравнение неразрывности сжимае-
мой жидкости с плотностью р и скоростью р = (р„ ..., vn):

п

DtP + 2 Di (pvi) = 0,	(1.1)

i=l

а (0.2) — как кинематическое условие на поверхности T(t) (поверх-.
ности нулевого уровня функции 0):	')

DtQ + S ViDfi = 0 при 0 = 0.	(1.2)

1=1

Равенство (1.1) будет тождественно (0.1) при выполнении со-
отношений

р = 0 + ф,	=-(i/р)де,	(1.3)

где ф — функция, не зависящая от t. С учетом равенств

Vv = DtQ | DQ |-1, S v{Д0 = — | Z>01 при 0 = 0

1=1

второе из условий (0.2) записывается в виде

Dtti — |Z)0|2 — 0 при 0 = 0.

Ввиду (1.3) последнее равенство эквивалентно (1.2), если
ф = 1.

Напишем теперь уравнение траекторий «жидкой частицы»,
имеющей в момент времени t координаты х и вектор скорости v:

Второе равенство есть следствие (1.3). Рассматривая (1.4) как
систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
компонент вектора х, присоединим к этой системе начальные ус-
ловия

х = £ при t = 0.	(1.5)

Начальные координаты | «жидкой частицы» назовем лагран-
жевыми координатами.

Наша ближайшая цель состоит в преобразовании соотношений
(0.1) — (0.3) к новым независимым переменным (g, t). Обозначим
t) = u(l,t)

и заметим, что DQ = (M*)_1<Z)u>, где Л/* = gratia: — матрица, транс-
понированная к матрице Якоби М с элементами — DjX{, i, j =
= 1, ..., n. Подставляя это равенство в (1.4), получим

ЛГ* <Dtx> = Я (in f-Lj.	(1.6)

Нам осталось выразить и через М и £. Для этого воспользуемся
известным в механике сплошной среды тождеством Коши

Д(р^) = 0, ~р(^) = р(М),	(1.7)'

где введено обозначение ^ = detM Уравнение (1.7) является след-
ствием уравнения неразрывности (1.1). Используя начальные усло-
вия (0.3), (1.5) и равенство р = и + 1, находим, что

(и+1)д = р0(£)=1 + ад.	(1.8)

Подстановка (1.8) в (1.6) приводит к искомой системе уравне-
НИЙ ДЛЯ функций Xi(g, t), i = 1, ..., п:

M^Dtx} = D^^^.	(1.9)

Равенства (1.5) задают начальные условия для системы (1.9)’.
Вывод краевого условия исходит из очевидного тождества

Dili =	+ 2 ViD.fi.

i—1

Ввиду (1.2) из него следует, что на свободной границе, уравнение
которой в лагранжевых координатах есть и = 0, выполнено равен-
ство Dtu = 0. Это означает, что поверхность нулевого уровня функ-
ции u((-, t) не зависит от времени. Вследствие (0.3), (1.5) и опреде-
ления T(i) уравнение этой поверхности может быть записано в
форме 0о(£) = О. Поэтому если построить T(f) как образ Г(0) при
отображении £ х, то условие (0.2) будет выполнено автоматиче-
ски. Обращаясь теперь к условию (1.8) и учитывая равенства п =
= 0о = 0, для | <= Г (0) находим, что

^ = 1 при &еГ(0).	(1.10)

Приведем окончательную формулировку задачи Стефана в пе-
ременных Лагранжа. В цилиндре GT = G X (0, Т) требуется найти
решение x = (xt, ..., хп) системы уравнений (1.9), удовлетворяющее
на нижнем основании цилиндра условию (1.5) и на боковой по-
верхности St = S X (0, Т), S = Г (0), условию (1.10).

Далее будем называть эту задачу задачей (Л).

§ 2.	ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Рассмотрим гладкие вектор-функции х(£, i) и Х(£, t), где х не
обязательно удовлетворяет системе (1.9). Положим

х = х + еХ, М* = grad5 х, М* = grads х,
где е — формально введенный малый параметр.

Вычислим линейные относительно е члены выражений У =
= detdf и d/*<Z)(x>. Имеем

M*<Dtx> = M*<Dtx> + е{M4DtX> + N*<Dtx>} + ...,	(2.1)

где обозначено 2V* = grad5X. Предположим, что У = detJf ¥=0, и оп-
ределим вектор-функцию У равенством

У = М-'<Х>.

Используя очевидное тождество

N*(Dtx~> = D{xDtx} — Dt{M*{x~>}

и определение У, получаем

М*<Д(Х> + 2V*<D,x> = M*M<DtY> +

+ D{YM*(.Dtx>} + (M*DtM - DtM*M) <У>.	(2.2)
Далее, при е -> О

det М = 3 det (Е + eM~1N) = 3 + ъЗ tr (М~lN) + о (е).

Это выражение в терминах Y принимает вид

detM = ^|l + e S (DiYi + ЬгУД + о(е)!,	(2.3)

I L i=l	J

где b = (b„ bn),

, __ у _d_l j
bi “ дхъ ЭЕ; I ЭЕ. Г

_M<=1 A =7 \ *>«/

Действительно,

(2.4)

n	n

i=l	j=l

Э.тА Э£{	}

Преобразуем правую часть (2.4), используя формулу (2.9)
из [72]:

у JL = У _L =1п 7

Таким образом, b — D{\n3}.

Вследствие (2.1) —(2.3) линеаризованная система (1.9), пре-
образованная к переменным У=(У1, ..., Yn), записывается в виде

Л<ДУ> = V{divY + aF}+В<У>+/,	(2.5)

где обозначено А = М*М, В = MDtM* —	а = Z){ln 3} —

п

div Y = 2 DiYi, S7 U = DU.

2=1

Линеаризация краевого условия (1.10) приводит в силу (2.3)
к соотношению

div Y + bY = Ф, | е S.

(2.6)

К равенствам (2.5), (2.6) добавляется начальное условие

У(В,О)=Уо(£),

(2.7)

Окончательная формулировка линеаризованной задачи, назовем
ее задачей (5), такова: в цилиндре GT найти решение У системы
уравнений (2.5), удовлетворяющее на боковой поверхности ST
цилиндра GT условию (2.6) и на его нижнем основании G — усло-
вию (2.7).

В (2.5) — (2.7) функции /, ф, Уо, определенные соответственно
в GT, на ST и в G, считаются заданными.
Замечательной особенностью задачи (В) является возможность
ее сведения к задаче с одной неизвестной скалярной функцией.
Положим

77 = div У+ аУ	(2.8)

и рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний относительно Y = (Yt, ..., У„), в которой g играет роль пара-
метра:

A(DtY> — B(Y> = F, F=YU + f.	(2.9)

Обозначим через V (g, t) фундаментальную матрицу однород-
ной системы DtY = A~iB<.Y'>. Пользуясь формулой вариации посто-
янных, получаем следующее представление решения задачи Коши
(2.9), (2.7):

Y (I, t) = f ¥ (g, О ¥-1 & т) А-1 а, т) <F & т)> dr +
О

+ ¥ (g, t) ¥-1 (g, 0) <У0> = J (?0 (g, t, т) < V U & т)> dr + g & t).
о

(2.Ю)

Вычисляя, далее, с помощью уравнения (2.9) и представления
(2.10) производную DtU = div(DtУ) + aDtY + DtaY, имеем

DtU = div GT1 < V 77>) + V UA-1 <a> +

4-div/j Q(g, t, (I, r))dr | + h(l, t) +
\o	/

t

+ co(g, t, т|а) V 77 (g, r)dr,	(2.11)

о

где положено

Q(l,t,r) = A-l(l,t)B(l,t)Q0^,t,r),

® (I, t, r | a) = (?* (g, t, t) <Aa (£, 7)> - A-1 (g, t) В (g, t) <a (g, i)>,

7i(g, t) =/Л-1<а> + div(?l-1B<g>)+ (Dta — A~'B(.a>)g.

Сопоставление (2.6) и (2.8) приводит к равенству U = (a — b)-
• У + ф, из которого дифференцированием по времени получаем
краевое условие для потенциала U на боковой поверхности ST:

t

DtU = V Uc + f co (g, t, r | a — b) V U (g, t) dr + ф, (2.12)
о

где c = a —&, ф = g[D,c — Л-1В<с>] + / + 4-1<c> + Dtty.
Кроме того, функция U удовлетворяет начальному условию

С7(£,О)=СМВ>йпгУо(£) + а(£,О)У0(£).	(2.13}

Мы можем теперь сформулировать линеаризованную задачу
(Л) в терминах функции U: требуется определить решение урав-
нения (2.11) в цилиндре GT, удовлетворяющее условию (2.12) на
боковой поверхности ST цилиндра GT и условию (2.13) на его ниж-
нем основании.

§ 3. КОРРЕКТНОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

В настоящем параграфе доказываются теоремы существования
и единственности обобщенного решения задачи (В), когда линеари-
зация проводится на точном решении задачи (Л).

Лемма 1. Пусть x(^„t) есть точное решение задачи (Л), об-
ладающее в области GT третьими непрерывными производными по
переменным £ и t. Тогда

В = MDtM* — M*DtM = 0 при (l,t)e=GT, (3.1)
a — b = —qv, Q>a0 = const>0 при (£,,t)^ST,	(3.2)'

уА<у> > а0\у\2 при (l,t)^GT,	(3.3)

где v — единичный вектор внешней нормали к S.

Доказательство. Первое соотношение вытекает из следую-
щей цепочки равенств:

п

Bjh ==	&k%i & jXjDk	==

i=l

= S {^7 {PtXiDkXi) — Dk (DjXiDtXi)} + 2 {DtXi (PjDhxt —

— DhDjXi)} = DjDh {In (37p0)} — DhDj {In (<7/p0)} = 0,
где были использованы уравнения (1.3) и равенство вторых сме-
шанных производных скалярных функций xt и (InTf — In р0).

Для доказательства (3.2) заметим, что функция w = — ln(l + u)
удовлетворяет в G однородному параболическому уравнению

Dtw = div	<V»>I - М-1 <div (ЛГХ)*> V w, (3.4)

обращается в нуль на боковой поверхности ST, строго отрицательна
на нижнем основании G цилиндра GT и а — b = — M*<.Dtx) = — Vu?
при s 5.

Поверхность ST является поверхностью уровня функции и>, на
которой достигается ее минимальное значение, а градиент функции
w направлен по внешней нормали к поверхности S и нигде не обра-
щается в нуль в силу строгого принципа максимума.
Уравнение (3.4) следует из соотношений

Dtp = Dtp + 2 ViDip = — р S = — p div* v,
i=l	i=l

Dtw = Dt {— In p} = divx v, v = M*-1 < V >.

после применения к последнему операции div*, пересчитанной в
переменных Лагранжа.

И наконец, последнее неравенство (3.3) вытекает из определе-
ния матрицы А, тождества w = In.7 — ln(0o + 1) и ограниченности
Iwl и |1п(0о + 1) |. Положим

(X, У)= fx(£, t)YQ, t)^,

G

(X, Y)s= [xQ,i)y(5,

s

n	\

где X, У — либо вектор-функции (в этом случае ХУ =

i=i	/

либо скалярные функции, а через L2(GT) (L2(ST)) будем обозна-
чать пространство вектор-функций, либо скалярных функций, мо-
дуль которых квадратично суммируем в области GT (на границе
ST), особо не оговаривая, является ли данная функция вектором
или скаляром.

В условиях • леммы 1 задачу (В) можно переформулировать
следующим образом: требуется определить вектор-функцию У (£,£),
удовлетворяющую в GT системе уравнений

A<DtY> = V (div У + «У) +/,	(3.5)

условию

div У + aY = -q(Yv) + <р	(3.6)

на боковой границе S и начальному условию

У(|,0) = 0 при l^G.	(3.7)

Назовем (3.5) — (3.7) задачей (С).

Если умножить скалярно уравнение (3.5) на произвольную
гладкую вектор-функцию Т и проинтегрировать по области G с
использованием формулы интегрирования по частям, то получим
тождество

(Л<АУ>, Ч') + (div У+аУ, divY) +

+ (q(Yv), (Yv))s = (/, Т) + (4>, (Tv))s,	(3.8)

которое и положим в основу определения обобщенного решения.
Определение. Обобщенным решением задачи (С) назовем
вектор-функцию Уе/,,(СТ) такую, что

Yv^L2{ST), |£),У|, div УеL2(GT),

и У удовлетворяет тождеству (3.8) с произвольной гладкой функ-
< цией V и начальному условию (3.7).
Теорема 1. Пусть выполнены условия (3.2), (3.3) и ,|Н
Ко = max {| а |^, | DtA |^} < оо.	Я

Тогда обобщенное решение задачи (С) единственно.	Я

Доказательство. Разность Y двух возможных решений Я
У(1) и У(2) задачи (С) удовлетворяет тождеству (3.8) с f = 0, ф = 0. Я
Поскольку всегда существует последовательность гладких функций Я
сходящаяся к функции У в норме L2(GT) и такая, что div ¥„ Я
сходится к div У, a Tnv— к Yv соответственно в норме L2{GT') и Я
L2(ST), то в (3.8) можно положить Y = У:	Я

(Л<АУ>, У) + (div У+ аУ,div У)+(д(Уу), (Уу))8 = 0.	1

Из последнего равенства и неравенств Гельдера и Юнга еле- fl
дует, что	fl

|l|divy|lG-ll(y,H<y» + ao||yvf2,s<4^l|ylU (3.9) I

Интегрирование (3.9) по времени с использованием (3.2), (3.3) Я
и начального условия (3.7) дает неравенство	Я

Я

II У (0 ||22,G С J II У (т) ||2,G dr,	Я

о	Я

из которого вытекает утверждение теоремы.	Я

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3.2), (3.3), граница 9
S принадлежит классу С3 и	Я

А-! = max {| Д, |Gy, | a, £)(a|Gy, | ^, D<g |$>} < оо, (3.10) Я
А2 = тах{||/, D(/||2,Gr,||(p, Д(ф||2,зг}<оо.	(3.11) Я

Тогда существует обобщенное решение У задачи (С) такое, что Я
max ftl^yUII/W.o. l|tf(Oll(2% IIKv||2iS} < оо, (3.12) ]
ts(o,T)

где U = div Y + aY.	1

Доказательство. Пусть Т„(£) — достаточно гладкие век- Э
тор-функции, образующие ортонормированный базис в простран- ,||
стве L2(G). Обобщенное решение задачи (С) получим как предел л
при N оо галеркинских приближений	,||

yN=3^W^(B)
ь=1

с функциями 1ь (t), удовлетворяющими задаче Коши	ч

N dlN N	1

2^4 = 2 МГ + Ф/г,//?(°) = °, A=l,	(3.13)

7=1	з=1

Уравнения (3.13) суть условия ортогональности выражения ?
{A<DtYN~> — V (div Ул' + aYN)— f} первым N базисным функциям
Tj, ..., Т„ с учетом краевого условия (3.6).
Исходя из этого, функции аы, <pfc можно записать в виде
а„ = (¥*,4<¥?),

-6w = (div^+аТ,,<ЦуЧ%) + (д(ад, (4\v))s,
ф* = (/л»)+(ф,

Разрешимость задачи Коши (3.13) следует из известных тео-
рем теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В самом
деле, в силу условия (3.3) матрица {аи} имеет ограниченную об-
ратную:

W	IN	/ N	\\	Il N	Ц3

2 акзУкУ)= 2 УЛ, 2 у/гЛ >а02*/Л	=a0|z/|2,

fc,J=l	\ Л=1	\?=1	/ /	]| Л=1	||2,й

и систему (3.13) можно разрешить относительно производных по
времени.

Условия (3.10) и (3.11) означают, что функции' akj, bkj имеют
ограниченные производные, а функции <рк принадлежат простран-
ству И^(0, Т). Следовательно, у задачи (3.13) существует един-
ственное решение, принадлежащее пространству W% (0, Т).

Легко видеть, что функции У" удовлетворяют тождеству (3.8)

. N

при произвольных функциях ¥ = 5 ck (0 ¥fe (5). Для обоснования

Ь=1

предельного перехода при N -* °° в этом тождестве получим равно-
мерные оценки галеркинских приближений YN, не зависящие от
номера N:

шах |i YN(t)kG, ||Лк8г, 8 div y4,GT) СС;, (3.14)

46(0,T)	I

max	(3.15)

46(0,T)	'	J

С, = С4(КЖ), i = l,2.

Оценки (3.14), (3.15) выводятся стандартным образом, и мы
подробно остановимся на оценке (3.15) как более сложной.

Продифференцируем (3.13) по времени, умножим на DtlNh
просуммируем по к в пределах от 1 до N. Имеем

а <^У*>) + IIdivDtYN|!22.g + (q(DtYNv), (DtYNv^8 =

= -± (DtYN, DtA <DtYN>) + (Dtf, DtYN) -

' - (aDtYN + DtaYN, div DtYN) -

- (Dtq (Ynv\ (Z>4yNv))s + (Dt<p, (DtYNv))8. (3.16)

Интегрируя (3.16) по времени в пределах от 0 до t и оценивая
правую часть сверху с помощью неравенств Гельдера и Юнга, а

7 А. М. Мейрманов

97
ле₽ую снизу с помощью (3.Z), (3.3), получим неравенство
l|^Fw(f)||lG + ||divZ>Ty7ViiGf +

+ || DxYnv У,St < с (KJ (II DxYn ||*,Gt +

из которого с помощью леммы Гронуолла выводится требуемая
оценка (3.15).

Из (3.14) и (3.15) обычным образом следует существование
обобщенного решения задачи (С), для которого указанные неравен-
ства также имеют место.

Обращаясь к тождеству (3.8), видим, что для финитных функ-
ций Т

(Л<ДУ>-/, T) + (t/,divY) = 0,
что равносильно равенству

A<DtY>-f = VU.	(3.17>

Из последнего соотношения и (3.15), (3.11) следует, что
max ||Vt7||2>G,
z	te(o.r)

и jibi можем говорить о следе функции U на границе S при почти
всех t е(0, Т).

Выбирая теперь в качестве Т произвольную, не обязательно
финитную функцию, получим из (3.8) с учетом (3.17) тождество
(CZ— g(Kv)— <р, (Tv))s = 0,

из которого следует выполнение краевого условия (3.6) почти всю-
ду на s-

ГЛАВА V

КЛАССИЧЕСКОЕ решение ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§ 1.	ОДНОФАЗНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ

Пусть в начальный момент времени жидкая фаза занимает об-
ласть Q+(0) = {z|0 < х < я0}, а твердая фаза — область £2“(0) =
= (zl.ro < х < °°). При этом предполагается, что твердая фаза нахо-
дится при температуре, равной температуре плавления, т. е. всюду
в £Г(0) температура 60 равна нулю, а удельная внутренняя энер-
гия Uo равна минус единице.
Тогда в области Йг = {(х, t) 10 < х < R (t), 0<Zt<.T} темпера-
тура 6 (ж, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности

£ф(0) = ^, СМ)ей£,	(1.1))

дх

и двум условиям на свободной границе:

,0 = O’S = -S’ * = W), 1е(0,Т).	(1.2

Кроме того, на известной границе х = 0 при t s (О, Т)

0 = 0° (О либо fl+ Ь (<) 9 = 940*	(1.3

а в начальный момент времени

Я(О) = хо, 0(х,О) = 0о(х), ^efi+(0).	(1.4)

Из результатов гл. II следует, что при определенных условия*
гладкости сформулированная задача имеет единственное классиче
ское решение на достаточно малом интервале времени. Выясни*
условия на данные задачи, при которых найденное решение прог
должимо на произвольный интервал времени. Как видно из теорем#
4 гл. II, для этого достаточно показать положительность 0(ж, t) *
области йг и установить ограниченность величины

Jo(7’) = |0|(1++V)

12-р

с некоторым Ye(0,1).

В самом деле, если	то на верхней крышке {t = i>

области йу функция 0o(;r) = O(z, Г) принадлежит классУ
Я2+Т(й(7’)) и для нее выполнены все условия теоремы 4 гл. fl-
Следовательно, решение 0 (х, t) продолжимо на интервал (Т, Т + i)
с некоторым положительным б.

Положим

ТИ2 = шах

|94jo%j9o|X)d91, 4[оД)Ь г = 2 + у.

Лемма 1. Пусть функция 0°(£) неотрицательна, а функц^и
b(t) и 0‘(i) таковы, что решение задачи (1.1) — (1.4), удовлетвори
ющее второму условию (1.3), неотрицательно в области Qt- Тог$а
в условиях теоремы 4 гл. II для решения B(x,t) задачи (1.1)~
(1.4) справедливы оценки

0 С 0 (х, t) М (Л/2)exp (М (Af2) Т),	(I-5)

-	(М2) (| 01£> + К) < g (R(t), t) ^ 0,	(1.6)

где К = шах | (х — х0) 1 0О (х) |.
яед+(о)
Доказательство. В случае первого условия (1.3) оценка^
(1.5) следует из принципа максимума. Если при х = 0 рассматри-
вается второе условие (1.3), то функция

и (х, t) == 6 (х, t) exp\2М2х — (4/И2 + 1) Н

удовлетворяет в области йт однородному параболическому урав-
нению, для которого справедлив принцип максимума, и ограничена
величинами, зависящими только от М2, на границе х = /?(£) ив на-
чальный момент времени. На границе х = 0 функция u(x,t) удов-
летворяет второму условию (1.3), но с функциями 1)(t)=b(t) —
— 2Мг<0 и 0 = 0 (t) exp {— (47И1 -г 1) t и, следовательно, в воз-
можных точках положительного максимума или отрицательного
минимума и (О, t) оценивается через известные величины.

Неположительность производной	0 следует из по-

ложительности решения 0 (х, t) в области йт и равенства его нулю
на свободной границе. Для оценки производной ^.(Д (0> 0 снизу
рассмотрим функцию

и (х, t) = 0 (х, t) + N (ж — R (/)), N = const > 0.

Так как в силу условия Стефана производная dR/dt неотри-
цательна, то выражение

Z,UESa(0)__—	a(S)=-U),

неположительно в области йт. Тем самым u(x,t) не может до-
стигать положительного максимума внутри области Йт. Поскольку,
далее, 7?(t)>H(0), то выбором достаточно большого N, зависящего
только от К и от | 0 |$+, легко добиться неположительности и(х, t)
на границе х = 0 и в начальный момент времени. Таким образом,
функция и (х, t) неположительна всюду в области йт и равна нулю
на границе х = R (t). Но тогда производная на свободной грани-
це неотрицательна, что эквивалентно левому неравенству (1.6).

Замечание. Если во втором условии (1.3) функции b(t)
и 0*(i) неположительны, то решение 8(x,t) задачи (1.1) —(1.4),
удовлетворяющее второму условию (1.3), неотрицательно в области
Йт.

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда для
решения Q(x,t) задачи (1.1) — (1.4) справедлива оценка

/о(7’) = |0|(1ГЧ^4	(1.7)

с постоянной Nt, зависящей от М2 и Т и конечной, если конечны
величины М2 и Т.
Доказательство. Всюду ниже в этой лемме все постоян-
ные N зависят от М2 и Т и этот факт особо не оговаривается.

Прежде всего заметим, что свободная граница x = R(t) моно-
тонно возрастает с ростом времени и отстоит от заданной границы
х = 0 на расстоянии, не меньшем чем xtl. Это, во-первых, позволяет
воспользоваться теоремой 9 § 3 гл. I о гладкости обобщенных ре-
шений задачи Стефана в случае одной пространственной переменной
и утверждать, что

iA'p

(1.8)

с некоторым ре(0,1), и, во-вторых, локальными оценками линей-
ных параболических уравнений (теорема 6 § 2 гл. I).

В частности, можно считать, что производная дВ/дх на границе
х = 0 ограничена по модулю той же постоянной Ns. В области йт
производная дВ/дх удовлетворяет однородному параболическому
уравнению, для которого справедлив принцип максимума, и ограни-
чена на границах х = 0, х — R(t) ив начальный момент времени.
Следовательно, дВ/дх ограничена по модулю всюду в области йт-

В новых переменных

x = t, y=x/R(t)	(1.9}

области йт соответствует область QT = Q Х(0, Т), Q = {у|0 < у < 1),
а ограниченная функция и(у, т) = B(yR(x), т) является решением
начально-краевой, задачи

~ ди 1 д2и . ,	. __ хч

а ------3----5 = Л w, т)е Qt,

91 R2 (х) дх2	’

и = 0° либо + bu = 01 при у = 0, х s (О, Т),

и(1,т) = 0, те(0,Т); и(у, 0) = Ва(ух0), y^Q,

(1.10)

(1.11)

(1.12)

где

,	у ди ц . ди,	. ~

/ =-----Т- (1, т) — (у, т) а.

R (т) 9у 4 ’ ' ду ’

Функция « = а(и(у, т)) принадлежит пространству Яв’в/2(()г)
(оценка (1.8)), а функция Я(т)— пространству Я“[0, Т] с любым
ае(0, 1). Следовательно (теоремы 3, 4 § 2 гл. I),

lu|&+₽)<^« (I/Iqt + !)•	(1-13)

С учетом ограниченности величин |	| In Я |[<^т] и производных

dR/dx, ди/ду норма функции / в Явв/2(^т) оценивается обычным
образом:

1/1^<я7(|и|(4+р> +1).

Привлекая в последнем соотношении интерполяционное пера-
функций 0°, 0‘, Ъ необходимы при;

вепство (2.3) § 2 гл. I

I “ IQt1 P I IQj T «Ц I U |Qy
с абсолютной постоянной с и произвольно малым положительным;
числом ц, окончательно имеем

+ ц'2).

Обращаясь к оценке (1.13) и учитывая последнее неравенство,'
видим, что при p,N6Na < 1	'

1«1ег+₽)< До-

полученное неравенство и легко проверяемое соотношение
|0|(о+7)<^1О|и|^
ЧТ

доказывают лемму.

Таким образом, справедлива

z Теорема 1. Пусть выполнены условия теоремы 4 гл. II и
функции 0°, 01, b таковы, что решение 0(г, t) задачи (1.1) — (1.4)
неотрицательно в области QJ. Тогда указанное решение существу- \
ет при всех значениях времени из интервала (0, °°) и принадлежит 
пространству Нг'г/2, г = 2 + ц, в любой замкнутой ограниченной об- \
ласти из Qi.

на гладкость

построении решения, но гладкость решения 0(ж, t) и R(t) в точках
области Qi, не лежащих на прямых {t — 0) и {х = 0), не зависит
от гладкости функций 0°, 0‘, Ь и 0О. В самом деле, пусть Ф(«) бес*
конечно дифференцируема и G^t — последовательность областей
вида ((я, t) |0 < 6 — t/n < х < R(t), б — 1/п < t < Т}, так что

Поскольку R g Я(3+п/2[6 — 1/ге, Т], решение 0(т, t) •=
принадлежит пространству №+v,<3+t)/2((?6,t1) (локальные оценки ли-
нейных параболических уравнений). Привлекая условие Стефана
(1.2), видим, что на более узком интервале [б —1/(п+1), Г] R{t)
принадлежит пространству Я(4+т,/2[6 — 1/(п+ 1), Т]. Повторяя не- i
ограниченно указанный процесс, получим, что в области {б < х sS ;
R (t), б < t С Т} решение 0 (х, t) бесконечно дифференцируемо. ;
Если бесконечная дифференцируемость 0(я, t) во внутренних точ- '
ках Йоо следует из свойств параболических уравнений, то беско- 
нечная дифференцируемость свободной границы x = R(t) при t>0
следует из свойства условия Стефана (1.2) в случае одной про-
странственной переменной «поднимать» гладкость решения. х
Преимущество одномерной однофазной задачи- Стефана состоит
в том, что свободная граница x = R(t) всегда монотонна, а для
ограниченности производной dR/dt достаточно потребовать ограни-
ченности решения 0(z, t) и положительности величины

Jl(x)^K(x-xQ)-Qa(x)	(1.14)
с некоторой постоянной К > 0. Оказывается, этих условий и доста-
точно для построения классического решения задачи Стефана
(1.1) — (1.4) на бесконечном интервале времени.

Теорема 2. Пусть ФеС2[0, °°), Ф'(8)>а0>0 и неотрица-
тельные функции 0° (Л) и 0о (х) таковы, что

Q°(t)^Kxl>, В0(х)^ К(х0 — х).

(1.15>

Тогда у задачи (1.1) — (1.4) при всех значениях времени из
интервала (0, °°) существует единственное классическое решение
{R(t), 0(х, t)}. При этом dR/dt при всех 1>0 удовлетворяет усло-
вию Гелъдера, а 0(х, t) принадлежит пространству Hr,rli
г >2, в каждой ограниченной области ^т=1(^, i)sQr|x>>6,

Если Ф(«)—бесконечно дифференцируемая функция, то и-
R(t) —бесконечно дифференцируемая функция при t>0.

Доказательство. Как было отмечено выше, достаточно по-
казать, что решение 0 (х, t) принадлежит пространству HT-г/2 в каж-
дой области G^r.

Естественным является следующий процесс построения функ-
ций 0(ж, t) и R(t): функции 0°(1) и Qo(x) приближаются достаточ-
но гладкими функциями 0°(О и бо(^), для которых выполнены
условия теоремы 1; из последовательностей {0е), {Rj, где {0Е, RJ —
решение задачи (1.1) —(1.4), соответствующее данным 0q(x) и
0° (1), выделяются фундаментальные подпоследовательности, схо-
дящиеся к функциям 0(х, t) и R(t) соответственно.

Примем без доказательства следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть положительные функции 0О(1) и 0с(х) удов-
летворяют условию (1.15). Тогда существуют последовательности
функций {0®(1)) и {0о (#))> поточечно сходящиеся к функциям
0°(£) и 0О(х) соответственно и удовлетворяющие условиям теоре-
мы 1 и неравенствам (1.15).

Нам необходимо получить оценки решения, равномерные по
параметру е. Первая оценка следует из леммы 1:

О<0Е<&о, (х, <)eQt;	0<t<oo,	(1.16J

где = {(ж, 1) | 0 < х < ДЕ (1), 0 < 1 < оо).

Покажем, далее, что в области G^t решение Qc(x, t) удов-
летворяет условию Гелъдера с некоторым ^>0 и постоянной Гель-
дера, равномерно ограниченной при всех е > 0 (но зависящей от 6),

Функция и(х, t) = t,(t)8(x, t), где £еС2[0, °°), £ = 1 при
и £ = 0 при t < 6/2, удовлетворяет в области уравнению

/п \ ди ди , /
й dt

с ограниченной правой частью / = ~a(Qe)9e и u = Q, ди/дх=*
= —'Q-'dR/dt, du/dt = 1^~1\ди/дх\г при x—Re(t).
Умножим уравнение для и(х, t) на производную du/dt и про-;
интегрируем по а: в пределах от fh до Rt(t):

я8(0	не(П

Ве(О

о

Оценивая правую часть последнего тождества с помощью не-
равенства Гельдера и учитывая ограниченность величины
{ди/дх • du/dt) |»=s (локальные оценки решений параболических
уравнений), получим неравенство

Т	Л8(0

Г f |^ГсЫ£+ max [	(х, t)\2dx^M\(K, Т, б),

J J I on	t=(6,T) •’ I °х I

из которого, как и при исследовании гладкости обобщенного реше-
ния одномерной задачи Стефана (§ 3 гл. I) следует, что и(х, t)
принадлежит пространству ffp’^2(Gc°r) с некоторым jJ>0. По-
скольку и = 0е в области то

|0eg> ^М3{К, Т,8).	(1.17)

G6,T

Так как каждая функция 0е(х, t) определена в своей области Qt»
то для выделения фундаментальной подпоследовательности и пре-
дельного перехода удобнее эквивалентная задача в переменных
(1.9), в которых область определения решения ие{у, т)=0е(уЯе(т), т)
фиксирована и одна и та же для всех е.

В области Qi, т = {(у, т) I б < у < 1, б < t < Т} ограниченная
функция и„ удовлетворяет уравнению (1.10) с коэффициентами^ при
старших производных, принадлежащими пространству Я”-₽/2 (Q6, т).
Это следует из оценок (1.16) и (1.17). Из неравенства (1.16) сле-
дует, что коэффициент при младшей производной ограничен. В этой
ситуации можно воспользоваться локальными оценками линейных
параболических уравнений в пространствах Wp (Q&,t) (теорема 7
§ 2 гл. I):

\\иЛР%,т<МАК, б, р)

с произвольным р>2.

Выбирая р достаточно большим и используя вложение про-
странства ВИг’ЧФб.т) в пространство Я1+р'<1+Р)/2(^в, т) (лемма 5 § 2
гл. I), получим

I ие I$6,т	с И I'k Qe.T cMt.

Таким образом, коэффициенты и Правая часть уравнения (1.10)
удовлетворяют условию Гельдера и из локальных оценок решений
линейных параболических уравнений в пространствах Гельдер®
(теорема 6 § 2 гл. I) следует, что

|Ие|(^<М8(Я, Т,6Л), Л >6. '	(1.18>

Положим Х = 1/и. С помощью диагонального процесса из после-
довательности {uj можно выделить подпоследовательность (ЦеЛ|»
фундаментальную в пространстве Яг,г/2(<?1/т,т), r=2 + i,
при каждом фиксированном пг > 0. Очевидно, что функция R (i) =
(t	\l/2

Хо — 2 \ 1^(1, T)dT , где и (у, т) = Игл иВп (у, т), и функция
• ’ &У	I	П-»оо

0	7

0(х, t) — u(x/R(t), 1) являются искомым решением задачи (1.1)—
(1.4). При этом

R е= H<3+v)/2	г], 0 <= Rr’r/2 6 > 0.

Единственность полученного решения следует из того, что при
каждом конечном Т > 0 функция Щх, t), равная Ф(0(х, t)) в об-
ласти йг и минус единице вне области йг (в точках х>0, 0<
<t<T), является ограниченным обобщенным решением задачи
Стефана с данными 0°(£) при х = 0 и U0(x) при 1 = 0, где U0(x) =
= Ф(0о(х)) при х е (0, х0) и £70(х) = — 1 при х > х0.

В заключение рассмотрим задачу Стефана (1.1) — (1.4) с за-
данным потоком тепла на границе х = 0:

^(ОЛ) = 01(0-	(1.19)

Как было отмечено в гл. III, если О1 ss 0, то можно ввести пе-
ременные Лагранжа, отображающие область Qt в известную об-
ласть, в которой исходная задача Стефана эквивалентна начально-
краевой задаче для некоторой нелинейной системы уравнений.
Оказывается, в случае одной пространственной переменной эта си-
стема совпадает с нелинейным уравнением теплопроводности, а от
требования 0*^0 можно отказаться и рассматривать общую ситуа-
цию 0* 0.

Кроме того, для одной пространственной переменной возможно
введение так называемых «массовых» переменных Лагранжа (у, т) :

RW

т = £, г/= [ {Ф[0(я, Ol + ljds,	(1.20)

X

в которых соответствующее дифференциальное уравнение принима-
ет наиболее простой вид.

В самом деле, переменные (1.20) отображают область йг
в область QT = <(j/, т) 10 <-у < У(т), 0< т < ТУ, где

К(т)

У(т)= j {Ф [0 (х, т)] + 1} dx.

о
Так как Ф[0(Я, т)] = Ф(+О) = О, то

К(г)	К(г)

£ "+	(£>--£ (О, т)

dx dx J ox dx J	dz '

о	о

дг, следовательно, функция У (г) известна:

т	хо

У (г) = Уо - J 01 (s) ds, Уо = [ {Ф [0О (х)] + 1} dx.
О	о

Функция v (у, т) = 0(х, t) удовлетворяет в области QT нелиней-
ному уравнению теплопроводности

равна пулю на границе у = 0 и

g(y(x),T) = -0i(T).

Для вычисления функции v(y, т) в начальный момент времени,
ty — Vt^y), заметим, что в соотношениях _(1.20) в начальный
момент времени все величины определены и тем самым определена
замена переменных

«о

у = Уо(г) = f {Ф[0О(5)1 + 1}ds, х = У0"1(у),	(1-21)

X

С ПОМОЩЬЮ которой находится функция

МУ) = 0о [Го’1 (У)].	(1.22)

Таким образом, в переменных Лагранжа задача Стефана (1.1) —
(1.4) с условием (1.19) эквивалентна уравнению теплопроводности
,в известной области с соответствующими начальными и краевыми
условиями. Так как методы решения последней задачи хорошо раз-
работаны, это сильно упрощает исследование одномерной однофаз-
ной задачи Стефана с заданным потоком тепла на известной
границе.

Отметим, что для специального вида функции Ф(«) решение
задачи Стефана можно получить в замкнутой форме. Пусть

Ф(5)=8/(1-5), 0*(i)=o.

Функция v(y, т) удовлетворяет в цилиндре Qt — ^У, т) |0 <
< У < Уо, 0 < г < У) уравнению теплопроводности

dv/dx = d2v/dy\	(1.23)

равна нулю на границе у = 0 и ее производная по у равна нулю
на границе у — Уо.

Очевидно, что периодическая по переменной у с периодом 4У0
функция v (у, т), которая получается продолжением функции v(y, т)
четным образом в область {.(у, т) IУо < у < 2У0, 0<т<7’} и далее-
нечетным образом в область {(у, т) I —2У0 < у < 0, 0 < т < Т)г
удовлетворяет в полосе {(у, т) I lyl < <», 0<-г< Т} уравнению теп-
лопроводности (1.23) и совпадает в начальный момент времени
с известной функцией va(y) (v„(y) — периодическая по у функция
с периодом 4У0— строится по функции v0(y) так же, как г (у, т) —
по функции v(y, т)).

Следовательно,

v(y, x) = (4nf) 2 j (s) exp Г—jds.

— оо

Так как, далее,

f(f) = (4nf) 2 J ^(S)exp(-jJjdS.

(1.24>

— оо

Формула (1.24) в совокупности с формулами (1.21) и (1.22)'
избавляет нас от Необходимости решать нелинейную задачу Стефа-
на (1.1) —(1.4).

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
РЕШЕНИЯ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ ВОЗРАСТАНИИ ВРЕМЕНИ

В этом параграфе мы изучим поведение при неограниченном
возрастании времени решения задачи Стефана (1.1) —(1.4), удов-
летворяющего первому условию (1.3). Случай заданного потока
тепла на границе х = 0 изложен в монографии А. Фридмана [89].
Кроме того, как было отмечено ранее, указанная задача в пере-
менных Лагранжа эквивалентна начально-краевой задаче для нели-
нейного уравнения теплопроводности в известной области, методы
решения которой хорошо разработаны.

Схема исследования задачи (1.1) — (1.4) состоит в анализе
простейших автомодельных решений и применении теоремы срав-
нения обобщенных решений задачи Стефана (теорема 11 § 3
гл. I).

Прежде всего докажем существование автомодельных решений
задачи Стефана.

Теорема 3. Пусть ФеС![0, [}], Ф' (s) > 0 при s е [0, Ji], Т.ог-.
да задача Стефана (1.1) — (1.4) с данными 6°(£) = ф = const > О,:



L
дго®=О, U0(x) = — 1 при х<=(0, °°) имеет единственное решение вида
R* (t) = D» (0)	0* {x, t) = v (хГ^, 0)t

с функцией D* (0), непрерывно зависящей от параметра 0 и такой,
что lim D* (0) =0 при 0 -*• 0.

Доказательство. Как легко подсчитать, функция i>(£, 0),
^ == xt~l/~, и параметр D* = D#(0) подлежат определению из
условий

$ + 4 а 7% = °’ а = Ф' е (°’ D*}>	(2Л>

р(0, 0) = 0, p(D#,0) = O,	(2.2)

g(P*, 0) = -1д#.	(2.3)

Покажем, что для каждого D > 0 найдется хотя бы одна функ-
ция 7(%), удовлетворяющая уравнению (2.1) и краевым условиям
(2.2). Далее, вычисляя производную dV/d$ в точке Ъ, = Ь и под-
ставляя ее в левую часть (2.3), получим уравнение, решение кото-
рого Р* определяет решение задачи (2.1) —(2.3).

Для определения функции 7(5) рассмотрим линейную краевую
задачу

J + fa[g(l)lf = 0, 7(0) = 0, 7 (Z?) = 0,

где аргументом в коэффициенте а является произвольная неотрица-
тельная функция g(|), непрерывная на интервале (О, D) и ограни-
ченная там постоянной 0. Решение последней дается формулой

J exp I — j L a [g (s)] ds j dx

Рю-Н---------<2-4)

J exp I — J a |p ('si | ds j dr

0'0	J

Правая часть выписанного выражения есть непрерывный опе-
ратор Д' (g), определенный на множестве ЭИ функций g с описан-
ными ранее свойствами и отображающий это множество в себя.
Более того, так как производные функций 7 (5) равномерно ог-
раничены:

а0 = min {а (а), а-1 (а)},
es(o,₽)

то оператор T (g) вполне непрерывный на множестве ЭИ. По теоре-
Ме Шаудера найдется хотя бы одна неподвижная точка V опера-
тора ЧГ:У = ЧГ(У). Функция V(s) удовлетворяет уравнению (2.1)
и условиям (2.2).

Уравнение

^(Р) = -4Т)

имеет хотя бы одно решение D* > 0, поскольку для У(£) справед-
ливо представление, аналогичное (2.4), из которого легко выводятся

неравенства

-Ре ‘ е "'Л	< -S- (D)< - ₽« "• lie «Л

\о	'	ч0	'

Единственность найденного автомодельного решения следует из
того, что функция U* (х, t), равная Ф [9* (ж» 01 при 0 < х < R* (t)
И минус единице приж^Я* (£), является единственным ограничен-
ным обобщенным решением задачи Стефана с указанными в тео-
реме 3 данными.

Непрерывность Z>*(P) от параметра $ следует из теоремы
о непрерывной зависимости решений обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений от параметра.

Доказательство последнего утверждения теоремы вытекает из
равенства

’4^(Р)+ f	(2.5)

£ •>

о

которое получается после умножения уравнения (2.1) на £ и инте-
грирования по £ в пределах от 0 до D* с использованием усло-
вий (2.2) и (2.3).

При исследовании асимптотического поведения решения зада-
чи Стефана ограничимся случаем, когда

Ит9°(£) = Р, 0^р<оо,	(2.6)

t-»co

причем ситуацию (3 = 0 рассмотрим отдельно.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2 и условие
(2.6) с р > 0. Тогда для решения R(t) задачи (1.1) — (1.4) спра-
ведливо равенство

lim r1/27?(i) = P#(P),

f->oo

где Z>#(P)—- решение задачи (2.1) —(2.3).

Доказательство. Существование решения tR(i), 9(^, ^)1
задачи (1.1) — (1.4) при всех значениях времени из интервала
(0, °°) следует из теоремы 2. Для оценки решения R(t) снизу
фиксируем произвольно положительное малое число е, и пусть ta
настолько большое, что

0 < {J — е < 9°(i)sg р + е при te(f0, оо).	(2.7)
Функция 0* (х, t) = v(x(t — t0)-1/2, 0 — е) определяет обобщен-
ное решение U* (х, t), которое не превосходит функции U° (t) =
= Ф[0°(£)] на границе х = 0 и функции U0(x), равной Ф[0(ж, to)]
при 0<x<7?(t0) и минус единице при x>R(t0). Так как функция
U (х, t), равная Ф[0(х, t)] при 0<a:<7?(t) и минус единице при
x>R(t), t>t0, является обобщенным решением задачи Стефана и
совпадает с функциями U°(t) и и„(х) соответственно при х = 0 и
при t = to, то можно воспользоваться теоремой 11 § 3 гл. I о срав-
нении обобщенных решений задачи Стефана и утверждать, что

R (t)>(t-t0)1/2 Р#(₽-8), U(x,t)^U*(x,t), t>t0. (2.8)

Для оценки функции R (t) сверху воспользуемся тождеством
t

B(t) = B(t0) + j0°(T)dTt	(2.9)

*0

где В (t) = j xU (x, t)dx + -g- R2 (t).
о

Равенство (2.9) получается после умножения уравнения (1.1)
на х и интегрирования по частям.

Оценим B(t) снизу с помощью неравенств (2.8):

H(t)	B*(t)	J9»(₽-e)

j xU (x, t)dx~^ j xU*(x, t)dx = (t—t0)	£Ф[р(£,Р— 8)]d£.

оо	о

Вспоминая тождество (2.5) и неравенство (2.7), имеем

IR2 (t) + (t - t0) (p - 8 - I Dl ф - 8)) <
t

< B (to) + J 00 ft) dx < B (to) + (t — to) (P + 8).

*0

Переходя в последнем соотношении к пределу при t -► <»,
получим

ПЫ (t~rR2 (t))^rpl (р - 8) + 48.
t-*oo

С другой стороны, из (2.8) следует, что

Р»(Р-е)<Ит'(«_1Л2 (t)X

t~>co

Последние два неравенства, непрерывность функции ^*(₽) и
произвольный выбор величины 8 доказывают утверждение теоремы.

Положим

t
z (t > t0) = J 0° (т) dr,
fo .
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 2 и равен-
ство (2.6) с 0 = 0. Тогда если z(°°, 0)<°°, то

lim 5(0 = [25(0) + 2z(oo, 0)J1/2,

/—>оо

где B(t) определено в (2.9). Если же z(°°, 0)= то
lim (Я (i)[z (*, 0)Г1/2} =/2.

Доказательство. Пусть

М (t) = max U (х, t), Мх = lim Л/ (0.

Оценим второе слагаемое в выражении для 5(0 в равенстве
(2.9) снизу нулем, разделим обе части полученного неравенства на
z(t, 0) и перейдем к пределу:

Й^(-^г1<2 fl + Т-Д(^) 1.	(2.10)

IZ (/, 0) )	limz(t,0)	v 7

( t->OO	J

С другой стороны, это же слагаемое в левой части (2.9) можно
оценить сверху выражением (i/2) М	и аналогично преды-

дущему получить неравенство

Нт(д2(г)1> 2_________fl I —g(0)	1	(2 11)

_i£?(z(t,O)	+	1 + limz(t,0) Г	'Z11'

Утверждение теоремы следует из (2.10) и (2.11), если ЛЛ»=О.
Для доказательства того, что М„ = 0, воспользуемся следующим
фактом, справедливость которого проверяется непосредственно.

Лемма 4. Решение начально-краевой задачи

а(и)-^- = -^-, (х,	u\t=0 = u0, и\х=0 = и°, (2.12)

Ol ox

где и0, иа = const, имеет вид и(х, 0 = i>(£), £ = a;f~1/2, и для и(£У
справедливо представление

с© / Т	\

exp I — У -L. а [ v («)] ds j ’dr

V (£) = «о + (“° —“о) А--—Т“----------Г •

У exp I — у -i- а [ v (s)] ds j dx
o'o	/

В частности, min(u0, иа)^и(х, 0sgmax(uo, u°), и если u0u°>0, то
функция Ф[и(х, 0] является обобщенным решением задачи Стефана.

Пусть и(х, t) —решение задачи (2.12) с данными w° = e, и0 —
= |8|о+* где 8>0 — произвольно фиксированное число. Время te
«оо

выберем настолько большим, чтобы

O^0°(t)<e при £«=(£о, °0).
По построению функция Ф[и(х, t — i0)] является обобщенным
решением задачи Стефана и Ф[и(ж, t — f0)] больше чем U(x, t) на
границе х = 0 и при t = t0. Из теоремы сравнения обобщенных ре-
шений задачи Стефана следует, что

Q^U(x, г)<ф[и(а:, t — i0)J, (aU)eQ£\Q^.	(2.13)

Рассмотрим область (р — {(х, t) 10 < х < 8(t — i0)1/2,
По построению функция и(х, t) близка к величине иа = е в области
Q6, если б достаточно мало. Иначе говоря, существует 6 = 6(e) та-
кое, что

ь^и(х, i)s£2e при (х, t)^Q\	(2.14)

Нам осталось показать, что при некотором > t0 область
йХ\й(1» целиком лежит в области Q\ В силу непрерывности
функции Ф и произвольности выбора е это означает, что М„ = 0.

Выберем число 0 < е настолько малым, чтобы Р* (0) < 6/2.
Наоборот, число t0 можно считать настолько большим, что

0’(i)<0 при fe(f0, °°).

Из теоремы сравнения обобщенных решений задачи Стефана
следует, что решение {R(t), 0(х, t)} задачи Стефана (1.1) —(1.4)
мажорируется сверху при t>t0 решением Lff(£), 0(ж, t)} задачи
Стефана (1.1) — (1.4), в которой 9(0, Z)=0, 0(х, io)>0(x, f0):

7?(г)<Л(£) при £<=(£», °°).	(2.15)

В свою очередь, для решения {/?(£), 0(а:, t)} справедливо ут-
верждение теоремы 4:

Иш £~1/2Й (t) = Р* (0) < 6/2.

t->oo

Следовательно, найдется значение такое, что

R (t) < 6 (t — t0)1/2 при t е (f #, оо),
и тем самым область	целиком лежит в области Q\

§ 3. ДВУХФАЗНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА

В этом параграфе будут получены ограничения на данные
0±(t), 0о (х), при которых классическое решение двухфазной задачи
Стефана с заданной температурой на известных границах х — ±1
существует при всех значениях времени. Случай заданного потока
тепла на известных границах х = ±1 рассматривается полностью
аналогично после того, как устанавливается, что температура поло-
жительна (отрицательна) в области Йт (в йт) и свободная гра-
ница x = R(t) отстоит на положительном расстоянии от границ
х = ±1.
Напомним постановку задачи. Требуется найти функцию Я (г)’,
определяющую области Qr = {(я, t) | — К х <Z R (t), 0 < t < Г) и
Qt = {(г, t) | R (t) < х <. 1, О <Z t < Т}, и непрерывную в области
QT = QX(0, Т), Q = {ж! 1х| < 1} функцию 0(а:, t), положительную
в области Qr и отрицательную в области Qt> удовлетворяющую
в каждой из областей Qt нелинейному уравнению теплопро-
водности

90	Э20	,	„4-	го д

а (0) aF = 77> (*> *)е Qr,	(3.1)

и двум условиям на свободной границе x = R(t), /е(0, Т):

0 = 0,	.	(3.2)

di ох |х=Я(О+0 ох |х=в(/)-о	'

На известных границах ж = ±1

0(±1, t) = 0±(i), *е(0, Г),	(3.3)

и в начальный момент времени

7?(0) = ^eeQ, 0(х, О) = 0о(х), zeQ.	(3.4)

Лемма 5. Пусть в условиях теоремы 6 гл. II 0~(<)<О,
0+ (£)> 0 и

Mo = max{[0-,e+|[ooU),|9olQO)l-

Тогда для решения задачи (3.1) —(3.4) справедливы оценки
0<0(т,	(х, i)eQ?, - М9< 0{х, t)< 0, (х, t) еQ?, (3.5)

^(R(t)±O, i)>0, *e=(0, Т).	(3.6)

Неравенства (3.5) следуют из принципа максимума, а (3.6) —
из того, что 0(т, I) положительна (отрицательна) в области
Qf (в Qt) и равна нулю на границе x — R(t).

Лемма 6. Пусть выполнены условия леммы 5 и
= max {Й0-,0+Ко,тъ II 0о

Тогда для решения {R(t), 0(х, t)} задачи (3.1) — (3.4) справедли-
вы оценки

II 02О	II Ж 11 1 V	/О -7\

J dt' дх2 2>0±’ t ™оЭТ) I дх	)

— 1 + JVr^H^Xl-AT1, i€=(0, Т),	(3.8)

где постоянная зависит от Mt, а0, Т иЬ = min |0±(t)|u конеч-
is(0,T')

на при конечных значениях Mt, Т, б-*.

Доказательство. Вывод неравенства (3.7) разобьем на
три этапа. В первую очередь оценим | dQ/дх ||2,ат. Пусть

0°(х, i) = O-(f) + ((l+x)/2)[O+(O-0-(«)].

8 А. М. Мейрманов

ИЗ
Умножим уравнение (3.1) на разность (0 — 0°), проинтегриру-
ем по каждой из областей Q±(i) (напомним, что Q±(Z) есть сече-
ние области Йг прямой {t — const)) и результат интегрирования
сложим. После простых преобразований получим равенство

dt J ' ' J | ox I	.1 дх дх

И	О	Й

г е х .	/ а

+ A je’lf a(s)ds\dx—	Ja(s)dsjdz, (3.9)

й '0	' Й 'о	/

тде а (а) = Ф' (а) при s 0, b (s) = j |а (£)
о

Первое слагаемое в правой части (3.9) оценим с помощью не-
равенства Гелъдера:

С 50 90° дг<-1 (

J дх дх 2 J
Q	Я

dx.

й

Выражение под знаком производной в правой части (3.9) сум-
мируемо по времени.' Следовательно, можно воспользоваться леммой •
Гронуолла, если оценить левую часть равенства (3.9) снизу с по-
мощью неравенств

(3.10)

Таким образом,

«о, Л-

(3.11)

Помимо неравенства (3.11) нам понадобится оценка
IdQ	I

(±1, t) • Увеличивая правую часть равенства

функций

X

-1

с помощью неравенства Гелъдера, интегрируя по х в пределах от
—1 до R(t) и используя уравнение (3.1), получим

+(Д(/>+'>'+



Поскольку, далее,

ДО)

S<|0-(0|= J t)dx^(R(t) + l)Vi-g(0|2O_(t/
<fl«) + ir‘<e"’|-57<'>L-(.>-	<ЗЛ2)

Следовательно,

I 50 , . I2 я-2 II 39 ,||4	, ' -2II 30 ... ||2	|| 50 ... ||2

I дх { ’ ) I "" II Зх |L,q-(o а° || Зх () La-(t) II 3t () Lq-») ’

Аналогичное неравенство справедливо и для функции
0|* Окончательно имеем

(3.13)

% = min(6-2, Яо 2).

Умножим теперь уравнение (3.1) на dQ/dt, проинтегрируем по
каждой из областей Q±(0 и результат интегрирования сложим.
После интегрирования по частям в слагаемых

Q±(t)

использования тождества

± о, о + -g- (0 -g ± 0, 0 = 0

и условия Стефана (3.2) получим равенство

=	.*0 I ^4,

0 ' '	2 I dt I дх |x=R(O+o "Г дх |x=R(t)-o J

i 5 11 50 (/JI2 , ||30||2	4-11—II2 =

+ 2 dt j дх '||2,q + И dt ||2,Q-(t) + |l dt ||2,Q+(i) —

dx ' ' ' dt ' ' dx '	' ' dt ' ’	‘

Оценим ^(0 сверху с

Таким образом,

|| 50
ll dt

С учетом (3.6) 30(t) оценивается снизу:

'Г > —— II —(мН2 4-11—II2 II Эе II2

0	2 dt || дх ' |г,о II dt ||2,Q-(t) II 3t ||2,fl+(t)’

помощью (3.13):



2 max

I2

4

2.Q

2
л требуемая оценка (3.7) следует из неравенства (3.11) и леммы
Гронуолла (лемма 1 § 2 гл. I). Возвращаясь к оценке (3.12) и
аналогичной оценке для (1—Я(г))"\ убеждаемся в справедливо-
сти (3.8).

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 6 гл. П и
9+(/)>0, 9_(i)<0 при t <=[0, оо). Тогда для всех Т^(0, °°) суще-
ствует классическое решение задачи Стефана (3.1) — (3.4)

R е я(3+?)/г [О, Г], 9 е Z72+?'(2+v)/2 (о£).

Доказательство. Как следует из теоремы 6 гл. II, нам
достаточно показать ограниченность величины

|9|^₽) + |0р₽)

с некоторым ^*=(0, 1). Оценка (3.8) обеспечивает невырожденность
каждой из областей &*(<). а оценка (3.5)—необходимый знак
функции 6(х, t) в каждой из областей Qt-

Прежде всего заметим, что, как и в случае обобщенного реше-
ния одномерной задачи Стефана, из оценки (3.7) следует гельде-
ровость решения 9 (х, t):

|0|^<^3(М\, Л«0,б).	(3.14)

Кроме того, эта же оценка (3.7) позволяет оценить норму R(t)
в пространстве И^[0, Г]:

Т,а0,8).	(3.15)

В самом деле, так как свободная граница x = R(t) отстоит от
границ х = ±1 на некотором положительном расстоянии 2б0 (оцен-
ка (3.8)), то в каждой из областей {(х, t) I — 1 < х < — 1. + б»,
0<t<T}, {(х, i)|l —б0<х<1, 0<t<T) гладкость решения оп-
ределяется дифференциальными свойствами функций Ф(«), 0*(£),
0о (х) (теорема 6 гл. I о локальных оценках решений линейных
параболических уравнений), так что решение в указанных областях
принадлежит пространству Нг-т/г. Следовательно, на границах
х = ±1 ограничена по модулю производная д$!дх. Используя этот
факт, представление

1-^Г	=	+2 f

| дх |х=В(0±о I дх |х=±1 J дх дх

Q±(O

условие Стефана (3.2) и оценку (3.7), получим требуемую оцен-
ку (3.15).

Дальнейший ход рассуждений ничем не отличается от анало-
гичных рассуждений при исследовании однофазной задачи Стефана.
В каждой области Qr замена переменных

x = t, у = (2х-ДТ1)/(1тй)

отображает область Qt в прямоугольник Qr. При этом функция
и (у, т) = 0(я, 0 удовлетворяет в области Qr параболическому урав-
нению с коэффициентами при старших производных из простран-
ства Гельдера 7/₽if!/z(QT) (оценки (3.14), (3.15)). Так как на гра-
ницах р = ±1 и в начальный момент времени решение и(у, т) сов-
падает с функцией класса Нг т/\ то и(у, т) принадлежит простран-
ству Гельдера Н4’9/2 (QT) с некоторым q > 2, если только коэффи-
циент при производной ди/ду в уравнении для н(у, т) удовлетво-
ряет условию Гельдера (теорема 3 § 2 гл. I). Но указанный коэф-
фициент принадлежит только пространству Ь4(йт) (оценка (3.15)).
Последнее, если вспомнить теорему 5 § 2 гл. I, означает, что
и Е= И7!1 (Qr) и

1|и||(42)йт<^(^2,	(3.16)

где М2 = max (10~, 0+ I 6о Iq±(0>)•

Пространство W741(Qt) вложено в пространство Я1+|5, ll+S)/2(QT)
с некоторым {} > 0 (лемма 5 § 2 гл. I). Следовательно, производная
функции и (у, т), а с ней и производная функции 0(т, t) удовлет-
воряют условию Гельдера

|0^±3)<^в(Л/2, 7,п0,6).

Теорема полностью доказана.	.

Как и в случае однофазной задачи Стефана, требования на
дифференциальные свойства данных в двухфазной задаче Стефана
можно снизить. Если функции (±1)0±(^) строго положительны, то
основным требованием при построении решения является невырож-
денность каждой из областей Q±(Z). При выполнении последнего,
аналогично тому, как это было сделано в § 1 настоящей главы, по-
казывается, что_ гладкость решения 0(х, t) в каждой замкнутой
подобласти из Qr, содержащей точки границы x = R(t) и не со-
держащей точек прямых {х = ±1) и {t = 0), зависит только от
гладкости функции Ф. Требования на данные задачи, обеспечива-
ющие невырожденность областей Q±(f), сформулированы в лемме 6.
Таким образом, справедлива

Теорема 7. Пусть ФеС2(-°°, 0]ПС2[0, °°), ФЛ(з)я0> 0,
функции 0о (х) таковы, что 0^ е Wl.ioc [0, °°), 0ое 1T2(Q),;
(±l)0±(i)>O при t > 0, (±1)9о(х)>0 в области Q±(0), Ixpl < 1 и
в точках х = ±1 выполнены условия согласования нулевого порядка'.
0±(О) = 0О(±1). Тогда у задачи (3.1) —(3.4) при всех значениях
времени из интервала (0, °°) существует единственное классиче-
ское решение {R(t), 0(я, £))• При этом -& (t) при всех t>0 удов-
летворяет условию Гельдера, a R(t) и Q(x, t) удовлетворяют усло-
вию Гельдера на каждом ограниченном множестве из [0, °°) и Q»
соответственно. Более того, функция 0(ж, t) принадлежит простран-
ству Н"’9/2(Я) с некоторым q>2 в каждой замкнутой ограниченной
области G cz Q«, не содержащей точек прямых {х = ±1}
{t = 0).

Если феС“(-оо, 0] ПС”[0, °°), то R(t) бесконечно дифферен-I
цируема при t > 0.	|

В отличие от теоремы 2 § 1 в последнем утверждении от дан- J

ных задачи требуется существование производных, суммируемых
с квадратом, и выполнение условий согласования нулевого порядка. ’
Если указанная гладкость функций 0О (х) и в* (t) диктуется уело- ;

виями леммы 6, то выполнение условий согласования ниоткуда явно I

не следует. Эти условия возникают при построении решения, когда -
данные 0±(/), 0о(х) аппроксимируются гладкими функциями 0^(i)
и 0» (^)- Нетрудно показать, что если ©^(О)^ 0О(±1), а 0^(0) =
= 0о (± 1), то нормы функций де, 0о не будут равномерно огра-

ничены в Wl и, следовательно, необходимая оценка (3.8) для
приближенных решений {Re(t), 0Е(ж, £)) не будет равномерной по
параметру е. В свою очередь, выполнение условий согласования
для каждого приближенного решения 0e(z, t) необходимо при его

построении.

Рассмотрим теперь двухфазную задачу Стефана, когда на
границе области Q задан поток тепла.

Пусть требуется определить функцию R(t) и непрерывную
в области Qr функцию 0(х, t), удовлетворяющую в каждой из об-
ластей Qt уравнению (3.1), условиям (3.2) на границе x = R(t),
начальному условию (3.4) и

~(±i, =	t^(o,T).	(3.17)

Как было отмечено выше, в этой задаче достаточно выяснить,
при каких ограничениях на функции 00^ (0» 6о (х) решение задачи
0(я, t) строго положительно в области Qt, строго отрицательно
в области Qt и свободная граница х = R (t) отстоит на положи-
тельном расстоянии от границ области Q.

Лемма 7. Пусть в условиях теоремы 6 гл. II

О<0о±(О<Мо, I ©о (*)I < Мо, (±l)0o(z)>O
в области Q±(0).

Тогда для решения 0(х, t) задачи (3.1), (3.2), (3.4), (3.17)'
справедливы оценки

(±1)0(х,О>О в QJ, \е^^^(М0).	(3.18)

Если, кроме того, при £е(0, °°)

A(t) + 2M(t) — R+(t)<l, (3.19)'
где

1	t

A(t) = x0+ J Uo (x) dx + j [0(f (t) — 0JT (t)] dx,
-i	о

M (i) = max | V (x, t) |, U = U (x, t) =Ф [0 (x, 0]
sce£2
при x&Q+(t), U = U (х, t) + 1 при х *= й (t), U0 = U (х, 0), то

R~(t)^R(t)^R+(t).	(3.20)

Доказательство. Положительность функции 6(х, t) в об-
ласти йу следует из принципа максимума. Для оценки решения
0(х, 4) сверху заметим, что функция

v(x, t) = (x + 2)Q(x, t)

удовлетворяет в области Йг параболическому уравнению, реше-
ние которого ле может достигать максимума внутри области йу.
Так как, далее,

-g-u, i) + p(i,t) = Oo+со-

то в точке возможного положительного максимума функции v (х, 4)
на границе х = 1

g-(l, 0>0 и р(1, 4)<90+(4)<Л70.

Аналогичным образом оценивается функция 0 (ж, t) в обла-
сти йу .

Для доказательства неравенств (3.20) проинтегрируем уравне-
ние (3.2) по х в каждой из областей й*(4) и по времени. Резуль-
тат интегрирования сложим:

J U (х, 4) dx + f U (х, t)dx + R (4) = А (4).
c-(t)	a+(t)

Поскольку

i	J U (x, t) dx 0, f U (x, t) dx^. 2M (t),

Q~(t)	a+(t)

TO R(t)>A(t)-2M(t) = R~(t)>-l.

$ U(x,t)^-2M(t),
a-(t)

Точно так же из неравенств

J (7(х, t)dx~^O
a+(t)

следует, что R(t)^ A(f)+ 2M(t) = R+(t)< 1.

Таким образом, если выполнены условия теоремы 6 гл. II и
условия леммы 7 настоящей главы, то решение {R(t), 0(х, 4)} за-
дачи (3.1), (3.2), (3.4), (3.17) существует при всех 4^(0, °°).

Пусть теперь функции	0о(х) удовлетворяют только ус-

ловиям леммы 7. Всегда найдутся последовательности функций
6ое(0 и 0Q (х), поточечно сходящиеся к функциям 9^(4) и 0о (х)
соответственно, для которых выполнены условия теоремы 6 гл. II
и условия леммы 7. Пусть {Яе(4) 0е(х, 4)} — решение задачи (3.1),
(3-2), (3.4), (3.17) с данными 0оЕ(4), 0od)- Аналогично тому, как
это было сделано в § 1 настоящей главы, доказывается, что из
последовательностей {7?е(4), 0е(х, 4)) можно извлечь подпоследова-
тельности, фундаментальные в каждом пространстве Яг,г/2(^), гдв^
G — любая замкнутая ограниченная область из £2^, не содержа-
щая точек прямых {x = ±ll и it = 0). Очевидно, что предельные
функции (R(t), 0(х, /)} являются ограниченным решением задачи
Стефана (3.1), (3.2), (3.4), (3.17). При этой если уравнение (3.1)
и краевые условия (3.2) выполняются в обычном смысле, то усло-
виям (3.4) и (3.17) указанное решение удовлетворяет только
в смысле соответствующего интегрального тождества.

Нами доказана следующая

Теорема 8. Пусть феС2(—оо, 0] П С2[0, °°), Ф'(8)>а0>0,
O^0±(f)^Afo, «е(0,'<»); (±1)0о(ж)> 0 в £2*(0), |0о(ж) I x^Q
и — 1 < А (/)— 2М (/), А (£) + 2М (t)< 1, Ze(0, °°), где A(t) uM(t)
определены в (3.19).

Тогда у задачи (3.1), (3.2), (3.4), (3.17) при всех положитель-
ных значениях времени существует единственное ограниченное
классическое решение (R(t), 0(х, ()} такое, что dR/dt удовлетворяет
условию Гелъдера при всех t > 0, а 0 (х, t) принадлежит простран-
ству Нг-г/г(G) с некоторым г>2 в каждой ограниченной замкнутой
области G из £2», не содержащей точек границы области £2„.

При исследовании асимптотического поведения решения двух-
фазной задачи Стефана ограничимся случаем заданной температу-
ры на границе области £2 такой, что

lim 0+ (t) = р+ > 0, lim 0~ (t) = |3~ < 0.
t->oo

Совершенно естественным является предположение о стремле-
нии решения {/?(£), 0(х, t)} задачи Стефана (3.1) — (3.4) к реше-
нию {/?„, ©«.(х)} стационарной задачи Стефана при неограничен-
ном возрастании времени. Решение последней выписывается явно:
0оо(я)=£Ц^и-Лоо).	(3.21)

р — р

Изучение асимптотического поведения решения задачи Стефана
(3.1) — (3.4) начнем с простейшего случая, когда 0* = const. Общий
случай следует из рассмотренного простейшего случая и теоремы
сравнения обобщенных решений задачи Стефана.

Лемма 8. Пусть в условиях теоремы 7 0±(i) = const. Тогда

II 0(0 - Ms,О + | я (0-/»«=! <^"4	(3.22)

где положительные постоянные щ и с2 зависят только от а0, Мо и 0*,
Доказательство. Положим

и(х, t) = f)(x, t)— 0«(х).

Умножим уравнение для 0(х, t) на и(х, t), проинтегрируем по
каждой из областей £2±(i) и результат интегрирования сложим.
После несложных преобразований получим равенство

d
dt

j* bdx + a21R (t) — Rao |2

Q

(3.23)
где

и

b {и, х) — J sa (s 4- б», (х)) ds, а2 = -—~ 1
о

Если а0

а

S-u'

2 U

1 2
г- и2

и утверждение леммы следует из неравенств

2

4а4 \R(t) — Лоо |2 = I и (R (£), t) | =

t)dx

и леммы Гронуолла. В самом деле, если положить

z (t) = J Ь (и (х, t), х) dx 4- а21 R(t) — Rx |2,
и

то

Мг.а’

и, обращаясь к (3.23), видим, что

dzldt +'c^1z О, z (0) = с4.

Следовательно, z (t) < с4 exp (—c3t).

Теорема 9. Пусть в условиях теоремы 7

lim 0+ (t) = р+ > 0, lim 0“ (t) = 0“ < 0.
t-*oo	t—>оо

Тогда

lim | R (0 - (₽+ + ₽')/(₽- - 0+) I = 0.
f-*oo

Доказательство. Фиксируем произвольно положительное
малое число е, и пусть t0 > 0 таково, что

0'— е < 0“ (t)	4-е < 0,

0 < 0+ — е С 0+ (t) 0+ + е при t е (to, °°).

Всегда найдется функция Оо^х) такая, что 0oel¥2(Q)t
0»(x)>0(a:, to), xeQ; (±1)0о(х)>0, xeQ±(^0); 0О(±1)== 0* + е.

Решение {R(t), 0(х, t)} задачи Стефана (3.1) —(3.4) с данны-
ми {0*4-6, 0о(х)} существует на интервале (t0, °°) и по теореме
сравнения обобщенных решений задачи Стефана ограничивает свер-
ху решение (R(t), 0(х, t)}: 0(я, t)^Q(x, t), R(t)>R(t) при
(to, °0). Переходя в последнем неравенстве к пределу при £-*-«>
и учитывая, что

(f) = Лоо +2е/ (0~ — f}+),
/—>оо

получим

lim R (t) > Rx + 2е/(р~ — 0+).

t->OO

Совершенно аналогично

lim R (t) ^Roo — 2е/(fT — р+).
/->00

В силу произвольного выбора е	>

lim R (t) = lim R (t) = Rx.

i-»°°

§ 4.	ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ:

ОДНОФАЗНОЕ НАЧАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ;
НАРУШЕНИЕ УСЛОВИЙ СОГЛАСОВАНИЯ;

НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ

В предыдущих параграфах остались нерассмотренными ситуа-
ции, когда в начальный момент присутствует только одна фаза и
когда входные данные несогласованны, т. е. когда в однофазной
задаче Стефана 0о(а:о — 0) ¥= 0 либо когда в двухфазной задаче Сте-
фана

0о(±1)^0±(О), 0о (z0 ± 0)¥= 0.

Возможны два пути решения возникающих задач. Первый —
прямое исследование «нерегулярных» задач: изучение свойств ре-
шения уравнения теплопроводности в «треугольных» областях й?,
сечение которых й+(£) прямыми {t = const} стягивается в точку в
начальный момент времени, или изучение свойств решения урав-
нения теплопроводности с несогласованными краевыми и начальны-
ми условиями. Второй путь, на наш взгляд, более естественный,
это аппроксимация исходой задачи регулярной задачей Стефана,
изучение дифференциальных свойств решений регулярных задач и
предельный переход. При таком подходе нет необходимости знать
точный характер поведения решения в тех точках, где нарушаются
условия согласования либо вырождается одна из фаз. Иначе говоря,
процесс построения решения отделяется от процесса исследования
решения в указанных точках и изучение дифференциальных свойств
решения задачи Стефана выделяется в самостоятельную проблему.
Последнее возможно в силу специфики параболических уравнений:
если известна какая-либо «слабая» оценка во всей области определе-
ния решения, то дифференциальные свойства решения в любой
подобласти зависят от дифференциальных свойств данных задачи в
чуть более широкой подобласти и не зависят от характера входных
данных где-то вдали.

В первую очередь рассмотрим однофазную задачу Стефана
(1.1) — (1.4) с заданной температурой на границе я = 0, в которой
либо xa = R(0) = 0, либо нарушается условие (1.14).

Теорема 10. Пусть феС^О, оо), ф'(з) = a(s) 5= а0 > 0. Если
я0>0, то функции 0°(i) и 0о(я) предполагаются неотрицательными
и ограниченными постоянной К. Если же я0 — 0, то существует стро-
го положительная функция 0+(f) из пространства W% [0, Т], где
Т~>0 — какое-либо малое число, такая что

е+(о) = о, o<e+(t)^e°(t)^K,	т).	(4.1)

Тогда у задачи (1.1) — (1-4) с заданной температурой 0°(i) на
границе х = 0 существует единственное ограниченное классическое
решение {R(t), 0(я, t)}, такое что (/) удовлетворяет условию
Гельдера при всех £ > 0, a 0(я, t) принадлежит пространству
Нт'г/2(П), г >2, в произвольной замкнутой ограниченной подобла-
сти G из области Qi, не содержащей точек {х = 0} и {t = 0).

Доказательство. Рассмотрим последовательность {Re(t),
6с(х, t)} решений регулярных задач Стефана (1.1) — (1-4), в ко-
торых

7?е (0) = я{; = я0, если я0 > 0,
0ое е С1 [0, я0Е], 0оЕ (4) = 0,
и неотрицательные функции 0д (я), равномерно ограниченные по-
стоянной К, поточечно сходятся к функции 0о(я).

Если я0 = 0, то Яо = е и 0д (я) = 0, 0 < я < е.

В первом случае функции Re(t) ограничены снизу величиной
я0, так как Re{t) монотонно возрастают и в начальный момент сов-
падают с я0. Во втором случае, когда х$ = е, нижний барьер RE (£)
функций 7?e(i) строится как решение задачи Стефана (1.1) — (1.4),
в котором 0^ (я, t} равно нулю в начальный момент времени и совпа-
дает с функцией 0+(£) на границе я = 0. Пусть Ue(x, t) = Ф[0е(я, £)]
при 0 < я < Re(t), Ut(x, t) = — 1 при я > Re(t); UE (х, £)=Ф [0j (я, £)]
при 0<Zx<ZR+ (t), UE (я, t) =— 1 при я > 7?i (2). По построению
функции Ue, Ut являются обобщенными решениями задачи Стефа-
на и UE не превосходит Пг на границе я = 0 и в начальный мо-
мент времени. Следовательно (теорема сравнения обобщенных ре-
шений задачи Стефана),

Л8(0) = 7?е+(0); RE(t)^R+(t},	(4.2)

Функции 0^ (я, t) удовлетворяют условию Гельдера по простран-
ственной переменной равномерно по е:

10i t) - 0е+ (я", t) I < N. (J 0+ К>[0.Г], а0, К) • I х - я" |р. (4.3)
Это показывается так же, как и в § 3 настоящей главы: уран*?
нение для 0^" умножается на производную dQ^/dt и полученное;:
равенство интегрируется по пространственной переменной; после не-;
сложных преобразований оценивается норма в Ь2 старших произ-
водных, что влечет за собой требуемую оценку (4.3).

Таким образом,

| 0+ (0 ) = I 9е+ (0, Z)- 0е+ (#e+ (0> О | <	1 (О |₽>

и окончательно имеем

^e(Z)^max Но,

е+(0

1/31

>0, ze (о, т).

(4.4) /

Оценка сверху функций {fiE(Z)} следует из той же теоремы
сравнения обобщенных решений задачи Стефана. В самом деле, так
как функции ОДх, Z) равномерно ограничены сверху постоянной К
(принцип максимума), то на линии х = х3 и в начальный момент :
времени функции U„_(x, t) не превосходят функций U*(x, t), где
17* = ф(0*) при Xq<Z x<i.R* (t), U* = — 1 при x>R*(t), а {/?*(/),
08 (х, Z)| — автомодельное решение однофазной задачи Стефана:
В* (^о, 0 = К, R* (0) = 4, R* (Z) = х$ + D* (К) tY'2. Таким образом,

7?e(Z) = 4 +AJ^)Z1/2.

(4.5)

Неравенства (4.4) и (4.5) являются основными, поскольку те-
перь можно воспользоваться локальными оценками решений парабо-
лических уравнений;

0е(8, Z) = 0°(Z)e=#r/2[8, Л, 6>0, г>2;

| 0°е |(^] < N2 (6, К, а0).

Далее, так же как и при доказательстве теоремы 2 § 1 настоя-
щей главы, показывается, что

T Hg(<)

<?2ее

не(/)

С 1

dxdt + max 1	-Z— (х, Z)

iste.n J I &

О

2

dx N3 (8, К, а0).

Вспоминая доказательство теоремы 6 § 3 настоящей главы, ви-
дим, что последняя оценка влечет за собой гельдеровость функций
0е(ж, Z) и суммируемость четвертой степени производной dRJdt:

(I 9г Р , IIЯеЙМ < ^4 (6, К, а0),

I G6,T	I

где

G£r = {U, t)\8<x<Re(t), 6<Z<r}.

В переменных (1.9) функции ve(y, т) = 0Е(уЯе(т), т) являются
решениями равномерно параболического (при т 8) уравнения с
коэффициентами, удовлетворяющими всем условиям теоремы 7 § 2
гл. I. Следовательно, в чуть меньшей области

ve е W2,1	<261Т - {(У, Т) 16г < у < 1, Sr < т < Т}.

Пространство ГГд’1	вложено в пространство 7/2 (@в, т)

с некоторым у > 1, следовательно, коэффициенты уравнения для:
ve(y, т) удовлетворяют условию Гельдера. Но тогда (теорема 6 § 2
гл. I)

АШ, 6,	«о), г >2, S2>61>6.

Последняя оценка позволяет с помощью стандартного диагональ-
ного процесса выделить из последовательности функций {ие(у, т)}
фундаментальную подпоследовательность, сходящуюся в каждом
пространстве Hr- t/2(Qk, т) к функции н(г/, т). Нетрудно видеть, что
функции
(t	х 1/2

4-2j-g(l,T)dTl , Q(x,t) = v[-^,t)
О	J

есть искомое решение исходной задачи Стефана.

Как уже отмечалось, если уравнение (1.1) и условия на свобод-
ной границе (1.2) при f>0 выполняются в обычном смысле, то ус-
ловие на границе х = 0 и начальное условие (при х<> > 0) удовлетво-
ряются только в смысле соответствующего интегрального тождества.

В двухфазной задаче Стефана схема исследования дифференци-
альных свойств решения в принципе не отличается от рассмотрен-
ной выше схемы, если известна оценка

~i<R~(t)^Re(t)^R+(t)< 1.	(4.6)

Теорема 11. Пусть ФеС2(-°°, 0] ПС2[0, °°), Ф'(s) = a(s)^
>а0>0, 0х е ITs.ioc (0, оо), (±l)0±(f)>O при оо), ограни-
ченная функция 0о (ж) неположительна при x^Q~(0) и неотрица-
тельна при х е Q+ (0).

Тогда у задачи (3.1) — (3.4) при всех значениях времени суще-
ствует единственное ограниченное классическое решение {R{t)r
Q(x, t}}. При этом (t) удовлетворяет условию Гельдера для по-
ложительных значений времени, а функция 0(х, t) принадлежит
пространству Hr’rlz(G), г >2, в любой замкнутой ограниченной под-
области G из Q^, не содержащей точек границы

Доказательство. Пусть {7?e(£), 0е(х, t)} есть решение за-
дачи (3.1) —(3.4) с данными {0-(£), 0+(£), 0^ (я)}, где функции
0о (х) принадлежат пространству PK2(Q), неположительны при
—1, ^о], неотрицательны при х е [х^, 1] и в точках x = ±i
удовлетворяют условиям согласования нулевого порядка. Точки х£
совпадают с х0, если |х0| < 1, и х$ = + 1 ± е, если х0 = 4=1.

Существование функций {7?e(t), Qe(x, t)} следует из теоремы 7
§ 3 настоящей главы.
Положим

и(х, t)= £(£)0<.(.r, t),
где £ е (71[0, <»), 5 = 0 при t е (0, 5/2), £ = 1 при t (6, <»).

Функция u(x, t) удовлетворяет в каждой области йу = {(х, t)
S йу | (± 1) 0е (я, £)>0} равномерно параболическому уравнению
ограниченной правой частью. Умножая уравнение для и (х, t)
производную ди/dt и интегрируя полученные равенства по каждоц^И
из областей Й?, аналогично тому, как это делалось ранее, можнс^М
показать, что и(х, t) принадлежит пространству ТУ^’^йт) и, сле-^И
довательно, удовлетворяет условию Гельдера по прострапственной^И
переменной. Но так как £ = 1 при t > 6, то

10е« t)-Gc(x", t)\^Nt\x'-x"\*, t>b, (4.7)Я

с постоянной Ne, зависящей только от норм Ц 0* Цгдо.т], I ©о |а0)
постоянных а0 и 6. Последняя оценка и строгая положительность*^^
функций lO*^) | доставляют нам требуемые неравенства (4.6).

Далее, как и при доказательстве теоремы 6 § 3 настоящей гла-|^Н
вы, показывается, что функции Rt(t) принадлежат пространству'^^
Wt [6, 7] и нормы их в этом пространстве равномерно ограничены
при всех е > 0. Дальнейшие рассуждения в точности повторяют ана-^И
логичные рассуждения в доказательстве теоремы 10.

В отличие от однофазной задачи Стефана, в двухфазной задаче1М
Стефана выполняется неравенство (4.7) вплоть до точек х =
т. е. решение 0(х, t) задачи (3.1) —(3.4) удовлетворяет граничным
условиям при х = ±1 в обычном смысле. Начальное условие

0(х, 0) = Оо(х),	аН

как и в однофазной задаче Стефана, принимается в «среднем»:

lim f 10 (х, t) — 0О (х) |2 dx = 0.	Д

Это следует из легко выводимой оценки	Д

,Г f |4г *)p^<0°-	I

После всех рассмотренных нами ситуаций исследуется задача Я
Стефана в неограниченных областях. Положим	

Й+(0)= {xl~о° < х < 0), z0 = 0.	

Теорема 12. Пусть ф<=С2[0, <»), Ф'($)>а0>0, в0(х)-не- 1
отрицательная, ограниченная сверху постоянной К измеримая Я
функция.	1

Тогда при всех значениях времени существует единственное i
классическое решение задачи Стефана (1.1), (1-2), (1.4)	;

R^H{s+v)/2[8, Т], Q^Hr'r/2(S^\Qt),
О < 6 < Т < оо, г = 2 + у, у е(0, 1),
Qr = {(х, t)) - оо < х< R (0, 0 < t < Т}.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что
искомое решение {R(t), 0(х, t)} мажорируется сверху автомодель-
ным решением {R* (0, 9* (*, 0} задачи (1.1), (1.2), (1.4), в кото-
ром (я) = .К = const. Существование решения последней задачи до-
казывается так же, как и в теореме 3 § 2 настоящей главы.

Теорема 13. Пусть ФеС'2(—°°, 0] П С2[0, °°), Ф'(«)>а0>0,
0„ (х) — измеримая ограниченная по модулю постоянной К функция,
неположительная в области Q_(0) = Ы—оо < х < 0} и неотрицатель-
ная в области £2+ (0)= {z]0 < х < °0), х0 = 0.

Тогда при всех значениях времени существует единственное
ограниченное классическое решение задачи Стефана (3.1), (3.2), (3.4)

R е #(3+v)/2 [6, Т], 0 е= Яг,г/2 ),

г = 2 + у, у«=(0, 1), 0<8<7<°о,

Йг = {(х, t)]R(t) <х< оо, 0< t < Т},

QF = {(x, t)\-oo<x<R(t), 0<zt<T}.

Как и выше, нам достаточно найти непрерывные функции

(2), ограничивающие R(t):

оо < R~ (£) < R (t) < R* (t) < oo.

Легко видеть, что автомодельное решение (#+ (2), 9* (х, 2)1
однофазной задачи Стефана (1.1), (1-2), (1.4) с 0о(х)=— К при
жей’(0) мажорирует сверху искомое решение R(t):

R (t) <1 R* (/) (при ЭТОМ 0^ (х, f) 0 (х, £)).

Аналогично автомодельное решение {Т?*- (2), Q* (х, 2)] однофаз-
ной задачи (1.1), (1.2), (1.4) с Q0(x)=K при jeQ+(0) мажорирует
искомое решение R(t) снизу.

При этом надо учесть, что условие (1.2) в последних двух слу-
чаях имеет вид

~(i) = ^(^(t)^°,t).

§ 5.	ДВУХФАЗНАЯ МНОГОФРОНТОВАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА

Пусть 12 = Ы Ы < 1}. Рассмотрим задачу Стефана

=	0 =	(5.1)

0(±1, t) = 0*(«), «^(0, Т),	(5.2)

U(x, (У)=и0(х), x^Q,	(5.3)

когда в начальный момент времени имеется конечное число связных
компонент жидкой и твердой фаз, т. е. вся область Q есть объедя^^В
нение конечного числа интервалов (0), к = 1, ..., т + 1, каждый^!
из которых занят жидкой или твердой фазой.

Входные данные 0±(i), £7» (я) таковы, что обобщенное решениад^И
задачи Стефана (5.1) — (5.3) существует при всех значениях времеЦИ
ни i 0. Для этого достаточно, например, предположить, что 0^ ШЯИ
€=И11ос (0, оо), 0о = х(/7о)еИ1 (Q), ФеС!(-оо, О]ПС2[О,
и в начальный момент времени выполнены условия согласованиями
нулевого порядка: 0Х(О) = 0О (±1).

Определение 1. Обобщенное решение задачи Стефана^И
(5.1) — (5.3) обладает в момент времени t = x структурой (С, т),|И
если существуют числа п(т), ..., г„(т), — 1 = г0 < г, < ... < rm <
<гот+г=1> такие что области Q(,i!(t) = {xlrk-t <х< rj, Л = 1, ...JH
..., тп +1, заняты попеременно жидкой и твердой фазами.	^И

Говорят также, что у обобщенного решения задачи Стефана'лИ
в момент времени t = r задана структура (С, тп).	Я

Определение .2. Обобщенное решение задачи Стефана Я
(5.1) —(5.3) сохраняет на интервале времени (Т,, Т2) структуру И
(С, тп), заданную в момент времени t = Tt, если существуют непре- Я
рывные функции rk(t), k = 1, ..., m, — 1 = г„ < г, (t) < ... < rm(t) < Я
<rm+i = l, при is [Л, Т2), такие что области (i), к = 1, ... Я
..., тп + 1, при i s [Г,, Т2) заняты попеременно жидкой и твердой И
фазами.	Я

Если интервал (0, Т) разбит на конечное число подынтервалов Я
(Tk-i, тк), 0 = То < Т, < ... < Тр+1 = Т, на каждом из которых обоб- Я
щенное решение задачи Стефана сохраняет структуру (С, тпк), за- Я
данную в момент времени t = Тк, к = 0, 1, ..., р, то обобщенное ре- Я
шение задачи Стефана (5.1) — (5.3) называется классическим оеше- Я
нием двухфазной многофронтовой задачи Стефана на интервале Я
(0, Т) или просто классическим решением.	' Я

Цель настоящего параграфа — выяснить, при каких ограничени- Я
ях на входные данные обобщенное решение задачи (5.1) — (5.3) бу- Я
дет классическим при всех значениях времени t > 0.	Я

В отличие от предыдущих параграфов, в настоящем параграфе Я
функции 0±(i) не предполагаются знакопостоянными. Будем только" Я
считать, что нули этих функций могут скапливаться лишь на бес- Я
конечности. Тогда весь интервал времени (0, °°) можно разбить на Я
не более чем счетное число подынтервалов (Tk~t, Tk), k — 1, 2, ...,	1

О = T0<Z Тг < ... < Tk < ..., lim Tk= оо, на каждом из которых 1

А-»оо	j-Я

функции 0±(i) знакопостоянны. Поэтому в дальнейшем можно огра- з|
ничиться интервалом (0, Т), на котором функции 0±(t) не меняют
своего знака.	-7

Теорема 14. Пусть фе=С2[—оо, 0) П С2[0, оо), Ф'(«)>а0>0,	1

«0 е JV1 (Q), 0* <= JPj (0,	10± (i) I > 0 при t s (0, Т), в началъ-

ный момент времени задана структура (С, тп) ив точках х — ±1 J
выполнены условия согласования нулевого порядка: 0±(О) = 0О(±1). . ’

Тогда на всем интервале (0, Т) обобщенное решение задачи J
Стефана (5.1) — (5.3) будет классическим решением двухфазной
многофронтовой задачи Стефана.

Доказательство. На первом этапе будем считать, что
О1*2 <= Wf (О, Т) и в начальный момент времени для m > 2 при всех
к = 2, ..., тп в области Q<ft)(0) существуют точки ук е Q(M (0), в ко-
торых |0о (у*) I >0.

Как было показано в гл. I, обобщенное решение задачи Стефа-
на существует и температура удовлетворяет условию Гельдера:
еЯ:'1,2(Йг). Следовательно, найдется интервал времени (0, т), на-
котором

|0w(f)l = 10(уА, 1)1 >0 при 1^(0, т), /с = 2, ..., тп.

В силу локальных оценок решений линейных параболических
уравнений функции 0<k) (1) как минимум один раз непрерывно
дифференцируемы на интервале (0, т).

Положим 0(,,(f) = 0-(«), 0(m+1>(l) = 0+(t). В области G(xk) =
= Gw X (0, т), где Gm = {x\yk-i<x<yk}, ^ = -1, yn+l = 1, при
к = 2, ..., m + 1 рассмотрим задачу Стефана об определении функ-
ций {U, 0), 0 = %(Я), удовлетворяющих уравнению (5.1), начально-
му условию (5.3) и таких, что

0(у>, t)~ 0О) (1), 7 = ~ 1, А; е (0, т)-

Поскольку в каждой такой задаче начальное состояние среды
двухфазное, то, как следует из результатов настоящей главы, в об-
ласти Gxh) существует единственное классическое решение двух-
фазной однофронтовой задачи Стефана. Обращаясь к теореме един-
ственности обобщенного решения задачи Стефана, видим, что по-
строенные таким образом функции (U, 0} в каждой из областей
Gxh) совпадают с ранее найденным обобщенным решением задачи
Стефана (5.1) — (5.3). Таким образом, на достаточно малом интер-
вале времени обобщенное решение задачи Стефана (5.1) — (5.3) яв-
ляется классическим.

Как и при исследовании двухфазной однофронтовой задачи Сте-
фана, показывается, что на интервале (0, т) нормы

1|9||г,от.» max ||0(О||£о	(5.4)

ts(o,r)
ограничены постоянной, зависящей только от величины

М = шах {||0о|й, ||0+, 9'’112Ло.т)}-

В § 3 гл. I доказывалось, что в случае одной пространственной
переменной из ограниченности нормы (5.4) следует принадлежность
функции 0(х, 1) пространству Гельдера Ят т/2(ЙТ). Но, как видно
из хода доказательства, это требование к обобщенному решению
задачи Стефана было основным. Следовательно, предположение
0± е рр2 у) можно ослабить и считать, что 0* е W (0, Т).
Так как 0 (х, т) е W}2 (Q), в точках x = ±i выполнены уело-<
вин согласования нулевого порядка и решение в момент времени
t = x обладает структурой (С, т), то, приняв момент времени t = r
за начальный, классическое решение задачи Стефана можно продол-
жить на интервал (т, т + б), б > 0.

Что может помешать продолжению классического решения на
весь интервал (0, Т)? Единственной причиной является исчезнове-
ние какой-либо связной компоненты Q**’ (t) жидкой или твердой
фазы в момент времени t = t,. Обращаясь к (5.4), видим, что при
t = ti выполнены все условия нашей теоремы, только обобщенное
решение обладает не структурой (С, т), а структурой (С, т,), где
mi < m-

Следовательно, момент времени t = tt можно принять за началь-
ный и продолжить классическое решение на максимальный интер-
вал (tlf t2), на котором решение сохраняет структуру (С, тп,), задан-
ную в момент времени t = h.

Так как общее число компонент жидкой и твердой фаз конечно,
то весь интервал (0, Т) разбивается на конечное число подынтерва-
лов (tj,—1, £),), fc== 1, ..., р “I-1, 0 ti tp tp+i ~~~ , на
каждом из которых сохраняется структура (С, mh-i), заданная в мо-
мент времени t = tk-t.

Пусть теперь для какой-то связной компоненты й(*’ (0) не най-
дется такой точки ук, что I0o(j/h)I > 0, иначе говоря, 0о(х) = О при
всех xeQ(*>(0), Тогда если 10о(j/л—i) I > 0 и |0о(1Л+1) I > 0, то в об-
ластях G(xh) и G(Tfe+1) решаются однофазные задачи и все рассуж-
дения повторяются с соответствующими изменениями.

Если же, например, и в области Й('‘"1,(0) будет 0о(х)^О, то
компоненты Q<l,_1)(t) и Q(M(i) различных фаз находятся в равнове-
сии при t>On граница раздела фаз «стоит»: гк_,(?)^ т\(0). Равно-
весие продолжается до тех пор, пока не исчезнет какая-либо из ком-
понент Q(*~J) (t) или£2<*)(4).

§ 6.	ФИЛЬТРАЦИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОРИСТОЙ ГАЛЕРЕЕ

Введением массовой лагранжевой координаты исходная задача
сводится к нелинейной краевой задаче в фиксированной области
для квазилинейного параболического уравнения. Существование
классического решения в целом по времени следует из разрешимо-
сти задачи в малом по времени и нелокальных оценок решения в
гельдеровских нормах. Последние вытекают из результатов [50J
после оценки максимума модуля решения, которая устанавливается

ОО

для произвольных функций /(р) таких, что J = оо, и для функ-
1

ций /(р) вида р1 или е<р~1). С помощью леммы сравнения и простей-
ших энергетических оценок изучается асимптотическое поведение
решения при t -* °°.
1.	Постановка задачи. Основной результат. Пусть тяжелая сжи-
маемая жидкость занимает область Q(t) = LrlO < х < R(t)}, в кото-
рой скорость v, давление р и плотность р = /(р) (/(р)— заданная
функция) удовлетворяют уравнению неразрывности и закону Дарси

т (ру) = 0,	(6.1)

dt охм '	4	'

(6-2)

В (6.1), (6.2) m = const>0— пористость грунта, к — const > 0 — ко-
эффициент проницаемости грунта, у, = const >0 — вязкость фильт-
рующейся жидкости, g = const >0 — ускорение силы тяжести.

На свободной границе х = R (t)

mdR/dt = v, р = р* = const > 0.	(6.3)

На нижнем основании х = 0 задан расход массы:

рг?=<р(1).	(6.4)

Кроме того, в начальный момент времени известно положение
свободной границы и распределение давления:

7?(О) = 7?о>О, р(х, 0) = Ро(х), zeQ(O).	(6.5)

Без ограничения общности постоянные т, к, у, g, р* можно
положить равными единице и считать /(1)= 1.

Теорема 15. Пусть /еС2[0, °°), Л(р)>0 при ре[0, <») и либо

ОО

1

либо f(p) равна одной из функций е(р_1’ или р\ ц > 1.

Пусть, кроме того, р0 е #2+a(Q(0)), р0 > 1,
e//,,+o)/2{0, оо) и в начальный момент времени в точках х = 6 и
x — Rq выполнены условия согласования первого порядка.

Тогда на произвольном интервале времени (0, Т) существует
единственное решение задачи (6.1) — (6.5)

р s Я2+“. <2+*>/2 (Qr), R е= Я(3+“’/2[0, Т],

где QT = {(х, I)\х <= Q(i), £*=(0, Т)}.

Рассмотрим стационарные режимы, соответствующие случаю
<p(t) —0. Из (6.1) — (6.4) следует, что давление р(х) удовлетворяет
уравнению dp/dx + /(р) = 0, из которого, привлекая второе усло-
вие (6.3), находим

р(х)

' Г ~ = Яоо-^.	(6.7)

W
1

Положение свободной границы R„ либо полная масса жидкости
Л1„ являются свободными параметрами. Они связаны соотношением

Moo — J p (x) dx = J / [p (ж)] dx.	(6.8)

о	0

Нам удобнее считать заданную полную массу жидкости, опреде-
ляя R„o из уравнения (6.8). Это связано с тем, что не при всех значе-
ниях параметра 7?„ уравнение (6.7) имеет решение для же (О, R„).
В самом деле, если /(р) не удовлетворяет условию (6.6), то уравне-
ние (6.7) не имеет решения при

оо

^>7?* = ]*^.	(6.9)

1

Уравнение (6.8) можно обратить. Введем для этого новую неза-
висимую переменную

оо

у = J р (a) ds, у (0) = Мте, у (7?оо) = 0.
X

Функция Р(у) = р(х) удовлетворяет задаче Коши

-р(ж)с/Р/£7у + р(ж) = 0, Р(0)=1,

и, следовательно, Р(у)~ 1 + у. Поскольку, далее,

dy/dx = -р (х) = -f[P (у) ] = -/ (1 + у),

ТО,

7<гта- f та (6',0>
О	1

Если постоянная 7?*, введенная равенством (6.9), ограничена,
то положим

2>*(х)

J та<в11>
1

оо

Теорема 16. В условиях теоремы 15 пусть J <р (t) dt <Z <х>
о

и lim ф(£)=0. Тогда для решения (6.1) —(6.5) с /(р) = ехр(р— 1)
f->00

lim R (t) = Roc,
t->oo

где R„, определяется из уравнения (6.10) с постоянной

со	Я0

Моо= j <p(t)dt + J f[p0(x)]dx.
о	о
При §q>(t)dt = оо будет lim R (t) = оо, если /(р) удовлетворяет
О	*-*“

условию (6.6), и lim R (£) = R*, если /(р) не удовлетворяет уело-
i->oo

вию (6.6) и начальные данные таковы, что Ro <Z R*, р0 (ж) < р* («),;
где R* и р*(ж) определены равенствами (6.9) и (6.11).

Существование решения задачи (6.1) — (6.5) в малом по време-
ни доказывается полностью аналогично теореме 4 гл. II. Исходная
задача отличается от рассмотренной там нелинейным краевым усло-
вием на заданной границе, что несущественно при доказательстве
локальной разрешимости. Таким образом, для доказательства суще-
ствования решения в целом по времени достаточно оценить норму
решения в №+“ (2+“)/2(Qr) только через нормы | ф |[^т“)/2), |ро|а(о)а).

2.	Эквивалентная краевая задача в фиксированной области.
Введем массовую переменную Лагранжа по формуле

W)
у = J р (s, t) ds.

X

Функция и(у, t) = P(y, t)-y-l, где Р(у, t) = p(x, t), удовлет-
воряет следующей краевой задаче:

+ > + !)?-;] при (р, ()sG„ (6.12)

fw + У-+ l)f-“= ф(П при у = Y(t),	(О, Т),	(6.13)

и = 0 при у = 0, ie(0, Т),	(6.14)

и {у, O)=uo(y) при у е G(0).	(6.15)

В (6.12)-(6.15)

GT = {(y, t)\y^G(t),	(О, Т)},

G(t)={y\O<y<Y(t)}t dY/ dt = q> (t), Y(O) = yt,
н0

у о — J f [p0(x)]dx, а функция и0(у) определяется из тождеств
о

«о

ио (У) = Ро k (i/)] — У — !> У = У / [Ро («)] ds-

х(у)

Лемма 9. Пусть М(Т) =| и |^, М0=шах [| и0 |(с2^а), | ф|([(01,т“)/2)}.
Т огда

| и |^+а) <	(Л/ (Г), Мо, Т),	(6.16)

max | и (*) I'gYo < Мг (М (Т), Мо).	(6.17)

te(o,T)

Доказательство. Оценка (6.16) следует из результатов
[50], а (6.17) —из [49], если заметить, что уравнение (6.12) не вы-
рождается при l^u(y, t)+ у + 1 М (Т) + Ма + 1.
Левое неравенство следует из принципа максимума для функ-
ции Р(у, t) (либо для функции р(х, t) в исходных переменных),
а правое — из предположения леммы.

3.	Лемма сравнения. Докажем лемму, позволяющую сравнивать
два различных решения задачи (6.1) — (6.5).

Лемма 10. Пусть pt<= Нгг/2(&№), Ri^Hr/z]0, Т], где г = 24-а,
{(х, £)1хе£2Д£), fe(0, Т)}, Q<(f) = {zlO <х < Rt(t)}— реше-
ние задачи (6.1) —(6.5), соответствующее данным {poi(x), (fi(i),
i = l, 2.

Если

р01(х)>р02(х), Ф, (t)	<р2 (0, Roi^Roz,

то

Pi (х, t) 5s р2 (х, t), Ri (t) 5= R2 (t)
npux^Qz(t), fe(0, T).

Доказательство. В условиях леммы для задачи (6.1) —
(6.5) справедлив результат о непрерывной зависимости решения
{р(х, t), R(t)} от входных данных {р0(х), ф(£), Д) в соответствую-
щих гельдеровских нормах | р и |Я |[о^тр Поэтому если мы
докажем утверждение леммы для случая Roi > Roi, ф1(^)>ф2(^), то,
совершив предельный переход, мы тем самым установим справедли-
вость леммы и для случая Roi > Ий2, ф1(()Э= ф2(«).

Итак, пусть RQi>RQz. Тогда Ri(t)>Rz(t) для достаточно ма-
лых t. Предположим, что существует t0>0 такое, что Ri(t0) = R2(ta).
Поскольку Ri (t) > Rz (i) при t < t0, to

dlt

Из последнего неравенства и условия (6.3) следует, что
"fa (^i (Qi го) ~fa № (^о)» М'

(6.18)

С другой стороны, разность ш = р, — р2 удовлетворяет в обла-
сти Q2T линейному однородному равномерно параболическому урав-
нению, неотрицательна в начальный момент времени и на линии
х = Т?2(^) и dw/dx 4- a(t) w < 0 при х = 0. Заменой w = и ехр([М 4-
4- легко добиться того, чтобы и (х, t) удовлетворяла уравнению

и условию

4- bt (0 и < 0 при х = о,

с коэффициентами Ь((х, £) > 0, bs(x, t)>Oa 64(0>0-

Но тогда минимум функции и(х, t) равен нулю и достигается
в точке (Rz(t0), Ъ), где

g(fi2(t0),t0)<0.
Последнее утверждение следует из [6У, с. ОУ] и противоречит
неравенству (6.18).

ОО

4.	Случай	°0, При выполнении условия (6.6) построим

1

точное решение задачи (6.1) —(6.5) и с помощью леммы сравнения
оценим максимальное значение произвольного решения исходной
задачи.

Лемма 11. В условиях теоремы 15 пусть f(p) удовлетворяет
соотношению (6.6). Тогда

1 р (х, р(х — ct),
где ограниченная при ||| < <» функция р(£) определена равенством

1
а постоянная с зависит только от величины Мо.

Доказательство. Из (6.6) следует, что уравнение (6.19)
обратимо при всех значениях аргумента из интервала (—°°, 7?0),
а функция p(x — ct) удовлетворяет краевой задаче (6.1) —(6.5) с
входными данными 1р(х), >p(t), В»), где <р(/) = cf[p(—rtf)]. Посколь-
ку Яд(-^)1^ 1 и

£•=—/ Ip (х)1 — с < О, I & (х) I > 1 + с,
то выбором достаточно большой постоянной с легко добиться выпол-
нения неравенств <р(£)><р(£), р(х)>р0(х) и утверждение леммы
следует из леммы сравнения.

5.	Случай f(p)= ехр(р — 1). Исходную задачу в переменных
Лагранжа сведем к эквивалентной краевой задаче, для которой
справедлив принцип максимума.

Лемма 12. В условиях теоремы 15 пусть J(p)= ехр(р — 1).
Тогда

\Р$Т^М3(МЬ).

Доказательство. В области GT переменных Лагранжа
(у, т) сделаем замену переменных: х — t, £ = 1 — е~у.

Функция ш (£, т) = ехр (и (у, t)), где и (у, t) — решение
(6.12) —(6.15), удовлетворяет краевой задаче

(1 + В) || + W = у ф(т), £ = £0 (т), т 6= (О, Т);

и>(0, т) = О, те (О, Л; и>& О) = т±1ехр[Мо (1пгД?^
при |е(0ЛД (т)= 1 — ехр (—У (т)), |# = Во(О)<13 QT =
= {(£, т) 10 < | < |о(т), 0 < г < Т}, для которой справедлив принцип
максимума.

6.	Случай f(p) = p\ Y > 1. Максимум модуля решения задачи
(6.1)—(6.5) оценим в исходных переменных (х, t) с помощью стан-
дартных энергетических оценок.

Лемма 13. В условиях теоремы 15 пусть f(p) = p\ к > 1.
Тогда

р(х,	Т).

Доказательство. Функция и — p'l+l удовлетворяет следую-
щей краевой задаче:

'^?/(v+i)=4 1 dv 2V/(V+1)1	(	.	(6.20)

dt	дх[1-{~удх	J x	v '

ГПК + v”'n¥" - - ?«). * - 0. <e(0. ТУ, (6.21)

(6.22)

Я(О) = Яо, v(x, O) = vo(z), «efi(O).	(6.23)

Умножая уравнение (6.20) последовательно на 1 и и, после ин-
тегрирования по частям и несложных преобразований с использова-
нием краевых условий (6.21), (6.22) получим

шах || и (i)||v/(v+i),n(n С N,	(6.24)

ts(o,T)

£ II V (0 ||2?/((?+1),Я(П + 4 (ll V (0 lla^to)2 ЛГ(1 + Tx (0 I V (0 |2T/(T+1)|1,Q(t))•

(6.25)

Через N в (6.25) и всюду ниже обозначаются постоянные, за-
висящие только от у, Т и Ма.

Правую часть (6.25) оценим сверху с помощью неравенства
Гельдера и леммы 3 гл. I:

, 2Т И . ,	2V

glN’+11а<ИИ1Й(кь a)v+1’

\	V+1 )

2 V	бу	V Зу+1

IV - 1IW „ < ₽ (II v I V - 1
?+!’“	V+1’

Из последних соотношений, оценки (6.24), очевидных нера-
венств

ах^с(Х)(1+ И + аР), Л>0, а>1,

\а - IIх с(Х) (1 + я1), Х>0, а>2,

оценки (6.25) и леммы Гронуолла следует оценка

шах ||р(0112?/(?(-1),й(<) +[Й|2а	(6-26)

»е(о,т)	И"-Ч12,«г
Умножим теперь (6.20) на dv/dt и проинтегрируем по области
Q(Z). Имеем

_1_ f	(!+-<?W I INI8 + ... 1 х

У +1 J hi |	+ 2(1 + у) | dx I |х=л(0	2 (1 + у) Л

0(0

хз1е<'>Г..и» -ф й L++

2V

+	% L + 2(ГЙГ I к IU» - А + /. + Г. + Л. (6.27)

Слагаемое Sfi оценим по неравенству Гельдера:

.	1ЛК^||-’«)Г«1+я|^(0|,|1,а„ +

+ Ч («х)| I ” «) I>я)+” | й(<) Г1.0(1) -+ '1 («1) /«•

Используя тождество

С а Г	Зу Г	, f ^v,

I -х- р1+7зг dx = —| yi+v — I dx +	v1+^—idx,

J dx dx y + 1 J I dx I J dx

aw L	n(t)	0(0

получим

C	1 I a2 I2	C 61,-1

I^o2l<e2 у1+ЧгМ ^ + С2(е2)	n?+1da: +

aw	1	W)

Слагаемое llp(i)ll(e-r-1)/(T+i), a(t) в последнем неравенстве оценива-
ется с помощью леммы 3 гл. I:

6V-1	4V-1

v+1	v+1

(6.28)

где Л. =

бу — 1
4у

1-

(Тц-1)(4Т—1) 1
(2у + 1) (бу —1) Г

Имеем, далее,
5V I	*У-1

v-*+i |х=0 < 1 + 7^7 IIV (0 |1&(О IIV (П ||£^
г ~	v+1'

Правую часть последнего неравенства оценим по аналогии с
(6.28):

Иу-1^,в<₽|ЙЬИр^,0’

ГПР 1 = 5? _ 1 1 -	_ (V-l)(3y-l) 1

д Л1 8у + 4 4’ Лг 4у I. (2у +1) (4у — 1) J'
Таким образом,

Из представлений

22-dpi d ( V4-1

У1+?^71	= — L±2_yv+1

^|x=0 л13у + 1

0(0

=1Iv+l
x=o dt 3Y+1

= (1 + T)2

I-II2

I дх I |x=H(t)

Г 22_112 С я я2

1ф+Н|.-.+Че5?*.

Q(O

2У ,	\

'+1 dx ],
дх |’

22-1

У1+т|х=о = 1 —

4у Г

1 +V J

2?-1 -

pv+i 2? dx

о(О

и оценки

,12у+5

получим

II я	,.12у+5	бу+2

X81+ шах мтт1

Л</* l|2,W(O	te(0,r)	—!— ,£

I* А» а

I 121+т £ dx

J ох
жо



Обращаясь к уравнению (6.20), видим, что

- f

N J

0(0

1

pl + V

d2v

дх2

2	р_____1 I Я 12	С 2у—1 . -

} V 1+7 dx+ J	^s^01+^eil.

6(0	0(0

Учитывая положительность dR/dt + 1 (давление достигает на свобод-
ной границе своего максимума), суммируя все оценки и выбирая
последовательно малыми параметры е(, е2, е3, получим из (6.27),
(6.26) и леммы Гронуолла оценку

max (t)||

<=(0,Т)1|дд:	|]2tQ(f)
которая вместе с представлением

H(i)

v(x, /) = 1— j t)ds
X

доказывает утверждение леммы.

7.	Поведение решения при t -* оо. Для простейшего случая
ф(£) = 0 докажем экспоненциальную скорость сходимости решения
задачи (6.1) —(6.5) к стационарному решению. Общий случай до-
казывается с помощью леммы сравнения.

Лемма 14. В условиях теоремы 15 пусть <р(4)^0 при

0. Тогда

|Л(*)-Л«1 <Ne^‘, t>t0,

где постоянные N и $ зависят только от Мй, а постоянная опре-
деляется из (6.10) с

= Y (i0) = J / [р (х, i0)] dx.

°(«о)

Доказательство. В переменных Лагранжа (у, t) функция
и (у, t) удовлетворяет при t^tQ однородным краевым условиям
(6.13) и (6.14). Следовательно, при £ > £0

min и (у, t0) и (у, t) max и (у, £0)	(6.29)

aeG((o)	^eG(4o)

и согласно лемме 9

max |и(£)|<^<2И6(М0).	(6.30)

ie(t0,oo)

Умножая (6.12) на u(y, t) и интегрируя по области G(t), по-
лучим равенство

^Иоо	^00

J F(u,y)dy+ J /(P)|g|4 =	0, t^t0,	(6.31)

*0	6	i

где

u

F (и, y) = J sf + у + 1) y~2 (s + у + 1) ds.
0

В силу оценки (6.29)

У-*^{/(Р), f(P), /-2(Р))^У,	(6 32)

N^u^F^u, y)^Nu2.	(6.33)

Из (6.33), (6.31) и неравенства || и ||2,G(t) < N || и следует,
что

Мж	мх

JI J ? {и, у) dy +	(и, у) dy С 0.

в	о
Таким образом, /

1|«(0111ад<Лг J F (и, у) dy < Ne~fit при £>£0.
О

Обращаясь к (6.30) и привлекая простейшее интерполяционное
неравенство, получим

| и (£) l^) < Ne~&t при	(6.34)

Положение свободной границы x = R(t) определяется формулой,
аналогичной (6.10):

мх

R(t) = f	(6.35)

' J / [“ («, t) + s + 1]	'

о

и утверждение леммы следует из (6.35) и оценки (6.34).

Лемма 15. В условиях теоремы 15 пусть

Iи |o<L N (Мо), f <р (£) dt < оо и lim ф (£) = 0.
о	*->0°

Тогда

lim | R (t) — Rx | = О,

где Rn определяется из (6.10) с постоянной

оо	*0

Мх = J Ф (t) dt + j / [р0 (х)] dx.
о	о

Доказательство. Как и в лемме 14, получим дифферен-
циальное неравенство (в отличие от предыдущего случая оно будет
неоднородным) для функции F(u, у):

J F(u, y)dy + $ J F {и, y)dy^N<p(t),

G(t)	GW

интегрируя которое, находим
t

f F (и, у) dy < F (i0) e-p(f-'o) + j ф (t) e~₽('-T)dT =
«О	<0

= (P (t0) - ф (t») N/& е~^-^ + ф (t*) 2V/P < N {e-PO-M + Ф (t#)}.

Здесь F (t0) = J F (u, y) dy, a t* — некоторая точка из интервала
с(‘о)

(t#, t), определяемая теоремой о среднем.
Зафиксировав произвольно е > 0, выберем ta так, чтобы
jV<p (£*) < е/2. Тогда

J F (и, y)dy<e, при t > t0 + -1 In
G(t)

Остальные рассуждения полностью аналогичны лемме 14.

Следствие. Решение задачи (6.1) — (6.5) с функцией состо-
яния /(р) = ехр(р — 1) удовлетворяет условиям леммы 15.

СЮ

Перейдем к случаю J ф (£) dt = оо. Пусть фп (£) —гладкие неот-
о

рицательные функции такие, что ф„(£) = ф(£) при £<=(0, п), фп(0~
= 0 при fe(n + 1, оо) и фп(0^ф(7).

Из леммы сравнения следует, что

Rn(t)^R{t) при £^(0, оо),	(6.36)

где Rn(t) — решение задачи (6.1) —(6.5), соответствующее данным
{рЛ(х), ф„(£), Ro}. Переходя в (6.36) к пределу при t^°°, получим
неравенство

Я" <limfl(t),	(6.37)

/->00

где

и#п

МЪО

пп |

м2, = J f[p0 (х)] dx + j фп (£) dt > J ф (i) dt.

0	0	0

При выполнении условия (6.6) lim — оо. Пусть f(p) не

7l-»oo

удовлетворяет (6.6). Тогда

lim 7?" = R*.	(6.38)

П->ОО

С другой стороны, в силу ограничений, наложенных на началь-
ные данные р<>(х) и Ro, и леммы сравнения ,R(t)^.R*. Следова-
тельно,

НтЯ(г)<Я*.	(6.39)

/-*00

Переходя в (6.35) к пределу при t^>-°o, получим с учетом
(6.38) и (6.39) требуемое утверждение теоремы 16.
ГЛАВА VI

СТРУКТУРА ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ФАЗЫ

§ 1. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ФАЗЫ

Мы уже выяснили, что если в начальный момент времени в
области Q присутствуют только жидкая и твердая фазы (для про-
стоты считаем, что есть только одна граница раздела фаз), на одной
границе области й поддерживается неотрицательная температура,
а на другой — неположительная, и либо уравнение притока тепла
однородное относительно температуры, либо выполняется условие

J°(x0± 0)^=0,	(1.1)

где 0О (я) — начальное распределение температуры, а х0 — точка,
разделяющая фазы, то в последующие моменты времени (по край-
ней мере близкие к начальному) картина не изменится: в области й
будут присутствовать только жидкая и твердая фазы, разделенные
границей x = R(t) (теорема 6 гл. II).

А что будет, если уравнение притока тепла неоднородное и ус-
ловие (1.1) нарушается? Оказывается, в этом случае возможно та-
кое распределение начальной температуры 0о(х), при котором для
t > 0 существует переходная фаза, отсутствовавшая в начальный
момент времени.

Будем искать решение задачи Стефана, обладающее следующей
структурой: существуют две достаточно гладкие функции R~(t) и
R+(t), R~(t)^R+{t), совпадающие в начальный момент времени и
такие, что область Q~(t) = {яг|—1 < х < R~(t)} занята твердой фазой,
область Q+(i) = {x\R+(t)< х < 1) занята жидкой фазой, а область
й*(^)={ж|7?_(г) < х <R+(t)} — переходной фазой (рис. 5). Как
было показано ранее, температура 0(z, t) удовлетворяет в каждой
из областей йт = {(ж, t) ^(t), te (0, Г)) нелинейному неод-

Рис. 5.

-7

нородному уравнению теплопровод-
ности

= (1,2)
оъ дх	•

В области й* = {(#, 01 з:ей* (£),
t е (0, Т)} температура 0(х, t) тож-
дественно равна нулю, а неизвестной
является удельная внутренняя энер-
гия U, которая принимает значения
из интервала (—1, 0) и определяется как решение уравнения

d£ = f(x,t), (х, t)eQj.	(1.3)

На границах x = R±(t), разделяющих фазы, температура равна
нулю:

0 (#*(£), t) = 0, «е(0, Т),	(1.4)

а условия баланса энергии (уравнения сильного разрыва) имеют вид
(и (я- (0 + О, f) +1) Й {R- (0 - о,, t),	(1.5)

и (R+ (i) - 0, t) = g (Д+ (t) + 0, t), t е= (О, Т).	(1.6)

Задача замыкается заданием начального положения границы
раздела фаз и начального распределения температуры:

7?-(О) = 7?+(О) = яо, 0(х, О) = 0о(ж), jeQ, (1.7)
и краевых условий на известных границах:

0(±1, i) = 0±(f), *e(0, Т).	(1.8)

В § 1 гл. I было показано, что если f(x0, 0)>0, то условие (1.5)
эквивалентно двум условиям

U(R~(t) + O, t) = —1,	(1.9)

g(7?-(0-0,f) = 0,	(1.10)

а решение исходной задачи Стефана распадается на последователь-
ное решение трех задач: определение границы x = R~(t) области
12т и температуры 0(ж, t) в этой области по условиям (1.2), (1.4),
(1.7), (1.8), (1.10) (задача (Л)), определение удельной внутренней
энергии U на границе x = R+(t) области £2т по условиям (1.3) и
(1.9) и определение границы x = R+(t) области Qr и температуры
Q(x, t) в этой области по условиям (1.2), (1.4), (1.6) —(1.8) (зада-
ча (В)).

В частности, если дВ/дх непрерывна в замыкании области Qrt
то из условия (1.10) следует, что

Задача (А) решается независимо и сводится к решению задачи
стефановского типа. Положим для этого

и (х, t) = -^t (я, t), (я, t)EE&T.

Функция и(х, t) удовлетворяет в области Q? уравнению
'(0)Й-ё-«'(0)“* + г? <1Л1>
Если продифференцировать по времени тождество 9(Я~(/) —О,
t)=0 и воспользоватьсй соотношением (1.10), то получим условие

u(R~(t)—O, i) = 0, ie(Q, Т),	(1.12)

которому должна удовлетворять функция и(х, t) на искомой грани-
це х = R~(t).

Так как граница x = R~(t) также подлежит определению, то
существует еще одно условие, связывающее искомые величины при
x = R~(t). Чтобы его найти, продифференцируем условие (1.10) по
времени и в полученном выражении заменим вторую производную
по пространственной переменной из уравнения (1.2) и воспользу-
емся условием (1.12):

Й (R~ (t) — 0, t) = / (Я" (0, t) t е= (0, Т).	(1.13)

Наконец, на известной границе х = — 1

u(- 1, t) = и- (i)S^, t (о, Т),	(1.14)

и в начальный момент времени

и |<=0 = UO(х) =---, sgQ (0).	(1.15)

Лемма 1. Пусть _а^ С2(—°°, 0], a(s)>a0>0, 9"еС2[0, °°),
0оеС‘[- 1, г0], /еСг1(йг), в точках х = ~ 1 и х — х0 выполнены
условия согласования

0о(-1) = 0-(0), и-(0) = щ(-1),

Оо (*о) = °, J (*о — 0) = 0, и0 (х0 — 0) = 0,

и Q~(t)< 0 при t е(0, с»), 90(«)< Q при х е Q~(0),
f(xo,O)>O, g°(xo-O)<O.

i'oeda у задачи (Л) на достаточно малом интервале (0, 7’*),0< Т* <2
Т существует решение {R~(t), 0(х, t)} такое, что

R- Н1 + У/2 [0>	Q £2,1

Доказательство. Будем искать функции R~(t) и и(х, t)
как решение начально-краевой задачи (1.11) — (1.15), где в коэффи-
циентах уравнения (1.11) аргументом является функция

t

0(х, t) =Оо(ж) + Ju (я, x)dx, (x,t)^Q,r-	(1.16)

о

Формула (1.16) определяет функцию f)(x, t) всюду в области
йг» если только граница x = R~(t) не возрастает с ростом времени,
т. е. если

^<0, z<=(0, т).

Из условия (1.13) и требований леммы следует, что указанная
производная строго отрицательна в начальный момент времени.
В силу предполагаемой гладкости она не должна сменить знак по
крайней мере для очень малых значений времени.

Допустим, что функции R~(t) и и(х, t) уже найдены. Тогда
функция 0(а:, t), восстановленная по формуле (1.16), и функция
R~(t) являются искомым решением задачи (Л). В самом деле, по
построению u — dQ/dt и уравнение (1.11) можно один раз проинте-
грировать по времени. Результатом интегрирования является урав-
нение (1.2), так как по построению постоянная интегрирования
(точнее, произвольная функция переменной х) равна нулю в началь-
ный момент времени.

С учетом равенств

g (R~(t) -0, t) = О,

(f)-0, t) + f(R~ (t), 0 = 0,
дх

условие (1.13) также можно проинтегрировать по времени:

(7?~ (/) — 0, /) = с = const.

Поскольку, далее, в начальный момент времени

то постоянная интегрирования с равна нулю.

Интегрируя тождество

g (R~ (t) — 0,t)	+ g (R~ (t), t) = 0

и вспоминая условие согласования 0o(^o) = Ot убеждаемся в том, что
0(х,7) обращается в нуль на границе x = R(t).

Нам осталось только проверить строгую отрицательность функ-
ции 0(х, t) в области Йу. Вне малой окрестности границы х =
= R~(t) для малых значений времени это следует из строгой отри-
цательности начальной функции 0о(а:). В малой окрестности грани-
цы x = R~(t) для малых значений времени производная u = dQ/dt
du.

строго положительна. В самом деле, по условию леммы (х0 — 0)<
< 0. Следовательно, в силу предполагаемой гладкости решения
g(fl-«)-0, г)<0
на достаточно малом интервале времени. Последнее вместе с *
условием (1.12) обеспечивает строгую положительность и(х, t)
вблизи границы x = R~(t). Это в свою очередь влечет строгую отри-
цательность 0(ж, t) вблизи линии x = R~(t).

Доказательство разрешимости задачи (1.11) — (1.15) построим
по стандартной схеме. Пусть постоянная Мо ограничивает нормы
функций «о, и~, f, указанные в условиях леммы, и величину

|§(*о- О)||/(хо, 0)|-\

Фиксируем произвольно постоянную М > Мо и рассмотрим вы-
пуклое множество ЗИ пар функций {v(y, t), R(t)} таких, что v(y, t)'
непрерывна в области GT = G X (О, Т), G = <г/1—1 < у < 0), и ограни-
чена по модулю постоянной М, а

Й<=СЧ0, Л, |Жт]<М;

—1 + (1 +а:0)/2 < Л(1)<1, te(0, Т);

Л(О) = ХЙ, f (*)<0, ге(0, Т).

Функция R (t) задает область QT = {(х, t) I—1 < х < R (t), 0 <
В этой области определим функцию w(x, t) как решение
уравнения

2

«(e)^ = j4 + gU,0,	(1-17)

удовлетворяющее условиям (1.14), (1.15) и равное нулю на грани-
це х = R(t). В уравнении (1.17) положено

g(x, t) = а'(9)У2 +

i
0 (х, t) = 0q (x) 4- j v (x, t)

v(x, t)=v((x — R(t))/(1 + R(t)), t).

Существование решения w(x, t) полученной начально-краевой
задачи не следует непосредственно из результатов § 2 гл. I, так как
область Qt нецилиндрическая, а условия (1.14), (1.15) — неоднород-
ные. Но, как легко видеть, эти условия можно свести к однородным,
а замена переменных

т = £, у = (х — R(t) )/(1 + R(t))
позволяет пересчитать ее к эквивалентной задаче в цилиндре GT,
для которой справедлива теорема 5 § 2 гл. I. Возвращаясь к исход-
ным переменным, заключаем, что w е Wp’1 (Qt), р> 2 любое, и

М).
Для достаточно большого р пространство Wp1 (Qt) вкладыва-
ется в пространство Я₽ ₽/2(^т) (лемма 5 § 2 гл. I) с £ = 1 + у, 0<
< у < 1:

(1.18)

Мы должны подобрать функции v(y, t) и Л(1) таким образом»
чтобы

t

й <*> -*•+1 (й <т)  °’т) Л "4,1 (й>

v(y, t) = w(H(t) + y(R(t)+.l),	v),

т. e. найти неподвижную точку оператора Т = (Чгг, Т,), заданного
на множестве 2Л.

Оценка (1.18) обеспечивает полную непрерывность оператора
Т, и для того чтобы воспользоваться теоремой Шаудера о непод-
вижной точке, достаточно показать, что оператор Т отображает
множество 2Й в себя. Этого можно добиться выбором малого интер-
вала (О, Г*), 0<71ж^7’.

По условию леммы

' . £(-о-О,О) = ^(хо-О)<О.

Очевидно, что неравенство |^(/?(t)— 0, t)<0 будет сохра-
няться на некотором интервале (0, 71*), величина которого зависит
-только от и М:.

(*(<) - о, t) =	(х0 - 0,0) + (й(0- о, t) -

—g-(xo-O, 0)<-^(х0-0) + #2( |Я(0 - ХоГ + ^)<о.

Следовательно

d'F,
^1(0< 0, *е(0, гФ).

Точно так же выбором малого Т* легко добиться, чтобы

| w (х, t) |	| и0 (х) | + | u> (х, t) — iv (х, 0) К Л/о + jV2£(1+t)/1 < М,

(х, t) е <?т»;

-1 + (1+ хо)/2<Т1(0<1, *е(0, Т*);

I	1 du

I ~dT = f (to, 0) d? (X<> — °) +

+	—	(x0-0, 0) <M.
Таким образом, существует по крайней мере одна не'подвижная
точка {и (у, t), R~(t)} оператора ¥, определяющая решение
{R~(t), В(х, £)} задачи (Л), где

t

О (х, t) = 0О (х) + J и (х, т) dr,
о

и (х, t) = и ((я — R~ (£))/( 1 + R~ (£)), t).

По построению dR~/dt удовлетворяет условию Гельдера и

(0) = —.±2. (х _ 0).

di ' ' f (х0, Oj dx ' °	'

Непосредственно определять область Q* после решения задачи
(Л) невозможно, но, решая уравнение (1.3) с условием (1.9), мож-
но найти удельную внутреннюю энергию U(х, t) всюду выше кри-
вой х = R~ ft):

t

U (х, t) = — 1 + J f (x, т) dr.	(1.19)

r-(x)

В этом равенстве г"(ж) — функция, обратная к R~(t): r~[R~(t)]^t.

Соотношения (1.19) достаточно для замыкания задачи (В). По-
следняя решается так же, как задача об определении функций
R~(t) и u = dQ/dt в области Qy. Единственное, что надо потребо-
вать от данных задачи,— это выполнение условия

Л-1Г (°) < “	(*о + °) = ЛГ (°) < °’	<1-20)

обеспечивающего невырожденность области Q* по крайней мере
для малых значений времени и строгую положительность функции
0(т, t) вблизи границы x = R+(t) на достаточно малом интервале
времени.

Лемма 2. Пусть seC![0, <»), a(s)> а0>0, feC(Qr), 0+е
еС‘[0, оо), 0О е С2[ж0, 1], 0+(t)>O при te(0, °°), 0о(ж)>О при х&
е (л'о, 1), в точках х = х0 и х—1 выполнены условия согласования

0о(хо) = О, 0о(1) = 0+(О)

и выполнено условие (1.20).

Тогда у задачи (В) на достаточно малом интервале времени
0, Т*) существует решение {R+(t), 0(у, t)} такое, что 0(х, t)
строго положительно в области Qy, и

R+ Д-1+Т/2 [0	0 C2,l (Q+J п Я1+Т,(1+Т)/2 ф+j

При выборе интервала (0, У *) необходимо помнить, что удель-
ная внутренняя энергия U(х, t) в области Qy принимает значения
из интервала (—1, 0). Это будет так, если удовлетворяет нера-
венству

t

-1+ J /(x, т)йт<-1 + A7oT»<-6<0,
r-(x)

где 6 > 0 — произвольно фиксированное малое число.

Сформулируем окончательный результат.

Теорема 1. Пусть выполнены условия лемм 1 и 2. Тогда обоб-
щенное решение U(x, t) и Q(x, t) = %[U(x, i)] задачи Стефана

dU d29 ,	/ .х n

= ~^ + /С*, t), (x,t)^QT,

0(±1, i) = 0±(i), is (О, У),
6 (х, 0) = 0о (я), х s И,

таково, что на достаточно малом интервале времени (0, Г*) функ-
ция. 0(х, t) строго отрицательна в области СТт* = {(ж, t)|-1 <х<
<Z.R~ (t), 0< t < У*}, тождественно равна нулю в области =
= {(я:, i) | R~ (t) < х< R+ (i), 0< t < T*} и строго положительна
в области йт«= {(ж, i)|7?+(t)<x<l, 0<t<T#). Непрерывна
дифференцируемые функции R~(t), R+(t) совпадают в начальный
момент времени и

. R~(t)<R+(t) при ie=(0, Т*),

а удельная внутренняя энергия U(х, t) принимает в области йт»
значения из интервала (—1, 0).

§ 2. ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПЕРЕХОДНОЙ ФАЗЫ
С ТВЕРДОЙ ИЛИ ЖИДКОЙ ФАЗАМИ

В этом параграфе рассмотрим случай, когда в начальный мо-
мент времени изучаемое вещество, занимающее область й = {ж|0<
<х<оо}, находится в жидком состоянии в подобласти й+(0) =
— {хЮ < х < х0}, а в остальной части й*(0) области й его темпе-
ратура равна температуре плавления. Иначе говоря, в подобласти
й*(0) вещество может находиться в жидком, твердом или переход-
ном состоянии при нулевой температуре и его состояние определя-
ется начальным распределением удельной внутренней энергии U0(x).
Будем считать, что во все моменты времени на границе х = 0 об-
ласти й поддерживается неотрицательная температура.

Есть два пути построения обобщенного решения данной задачи
Стефана. Первый путь, предложенный в гл. I при доказательстве
существования обобщенного решения задачи Стефана,— аппрокси-
мация разрывной функции Ф(0) (либо обратной ей функции %(С7))
гладкими функциями Фп(0), нахождение решения соответствующей
начально-краевой задачи для равномерно параболического уравнения
и последующий предельный переход.

У этого способа нахождения обобщенного решения задачи
Стефана есть два существенных недостатка: трудность исследова-
ния структуры решения, в частности выделение границы раздела
фаз, и неэкономичность — для каждого приближения мы должны
решать начально-краевую задачу во всей области Qr = Q X (О, Т).
Напомним определение обобщенного решения задачи Стефана: для
всякой гладкой финитной функции <р, равной нулю при х = 0 и
при t = T, справедливо тождество

+	^о(х)ф(х,0)^.	(2.1)

Для приближенных решений 0„ соответствующее тождество
имеет вид

f f {— ФДбп)-^- + ^~~]dxdt = [ UQ (ж) ф (х, O)dx.
л I л) \	\s v	XS Js XS J	t J

Йу	£2

Чтобы получить дифференциальное уравнение для функции 0„,
в последнем тождестве необходимо совершить обратные преобра-
зования:	z

J J P0»!9”)- _ М ^dxdt = J _ фп [0п (а.) о) ]} <р 0) dx.

Яр	Л2

Естественно считать, что в начальный момент времени
Фп[Вп(я:, 0)] = UQ(x) или Qn(x, 0) = 0о (ж) = %п [£70 (ж)].

Тогда в силу произвольного выбора функции <р приближенные
решения 0„ удовлетворяют нелинейному уравнению теплопровод-
ности

at	е ^г‘

Если Фп и совпадают с Ф и % соответственно при положи-
тельных значениях 0 и 17, то функции ©о =принимают
отрицательные значения, когда функция UQ принимает значения
из интервала (—1, 0). Следовательно, 0„(т, t) также принимает как
положительные, так и отрицательные значения.

Аналогично, если Ф„ совпадает с Ф при отрицательных значе-
ниях температуры, то 0« положительна и соответствующее при-
ближенное решение 0„(т, t) строго положительно во внутренних
точках области Qr. Таким образом, приближенные решения не об-
ладают свойством конечной скорости распространения возмущений,
которым обладает решение задачи Стефана.

Второй путь, на наш взгляд более экономичный,— сведение
исходной задачи Стефана к однофазной задаче стефановского типа,
т. е. определение области йг тех точек области Йт, где темпера-
тура строго положительна. Такое решение сохраняет свойство ко-
нечной скорости распространения возмущений: в каждый момент
времени т существует значение х = xt такое, что в области
{(я, t) \хх < х <	0 < t < т! температура тождественно равна нулю.

Если предположить, что во все моменты времени жидкая фаза
занимает область Q+(t) = {x\0<x<R(t)), а переходная фаза —
область Q*(t) = {x]R(t)< х < °°}, где R(t)— неубывающая непре-
рывно дифференцируемая функция, и в начальный момент времени
в переходной фазе отсутствуют участки, занятые жидкой фазой,
т. е. Z7o(a:)<O, то на линии раздела фаз

О (R (t), 0 = 0, £ (R (0 - 0, 0 = Uo (R (0)	(2.2)

где По (х) — начальное распределение удельной внутренней энер-
гии при х<=(ха, оо).

При указанных предположениях условие (2.2) было получено
нами ранее в § 1 гл. I. В области Q? = {(ж, t)\x^.Q+ (t), £е(0, Т)}
температура 0(х, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности

a(0)-g- = -^, а(0) = Ф'(0).	(2.3)

В этом уравнении нет необходимости аппроксимировать функ-
цию Ф(а), а можно по непрерывности доопределить ее производ-
ную в нуле: а(0) = lim a(s).

8—*4*0

Задача замыкается заданием температуры на границе х = 0
и в начальный момент времени и начального положения свободной
границы:

0(0, t) — Q+(t), fe(0, Т),

(2.4),
/?(О) = ;Го, 0(^, О) = 0о(ж), JeQ+(0).

Если Ua(x)—непрерывно дифференцируемая строго отрица-
тельная функция, то нахождение решения задачи (2.2) —(2.4) не
представляет особых трудностей. Это делается так же, как и в § 1
гл. V, где изучалась однофазная задача Стефана.

Сформулируем поэтому окончательный результат.

Лемма 3. Пусть asC‘[0, «>), Uo^C^x», °°), a(s)>a0~
= const > 0, Uo(x) С —б = const < 0; 0+(t), te(0, °0), и Q0(x), x^
(0, ж0),— неотрицательные ограниченные функции.

Тогда у задачи (2.2) — (2.4) на бесконечном интервале времени
существует единственное классическое решение (R(t), 0(ж, t)}
такое, что

Я е С10, 00)0^(0,00), ^(t)>0, te=(0, оо);

Qx = {(z, t)[x>k,t>k}, Z>0;

О < 0 (x, t) < Mo = max {I 0O |((°o>Xo], 10+ |[gj|.
Лемма 3 позволяет построить обобщенное решение задачи Сте-
фана в случае произвольной измеримой функции С70(х), принимаю-
щей в области Q* (0) значения из интервала [— 1, 0]. Для этого
надо подобрать последовательность строго отрицательных дифферен-
цируемых функций (^), поточечно сходящуюся к функции
Ua(x), и из последовательности решений {/?"(<), 0„(z, t)} задачи
(2.2) — (2.4), соответствующих входным данным {0+ (£), 0О (z),
tfon (с) 1 > выделить сходящиеся подпоследовательности.

Теорема 2. Пусть а^СДО, °°), a(s)>a0>0, 0+(1), <е(0,°°),
и 0о (х), ге(0, z0),— неотрицательные ограниченные измеримые
функции такие, что

vrai шах 0О (х) > 0 при ze(0, х0),

и пусть измеримая функция U0(x), заданная при z^(z0, °°), при-
нимает значения из интервала [—1, 0].

Тогда у задачи Стефана

dV 520	/ г»

Qt —	2 1	(х, t) Qoo,

дх

0 (0, t) = 0+ (£), t ё= (0, оо),

U (х, 0) = С70 (х), х е й,

(2.5)

где Uо (х) = Ф[0О (х) ] при z«=(0, z0), обобщенное решение 0(z, t)
строго положительно в области й£= {(х, t) 10 < х < X*, h (x)<J<Z оо}
и тождественно равно нулю в его дополнении йж = {(z, Z)10<z<
<Х#, 0< t <Zh (z)} U {(z, t) | x~> X*, i>0} (рис. 6). Непрерывная
функция h(x) определена на интервале (0, X*), тождественно
равна нулю при ze(0, z0), монотонно возрастает на интервале

(Zn, Xu.) U

Рис. 6.

lim h(x) — оо, если Х* < оо.

оо

Если J 0+ (t)dt — оо, то

X* = оо.

Доказательство. Рас-
смотрим последовательность бес-
конечно дифференцируемых стро-
го отрицательных функций (z),
поточечно сходящуюся к функции
Ua(x) в каждой точке z области
{z|z0 < z < °°) и

t/J(^) = -i,

Un. (z)< Un0+1 (х)< .. . Uo (z),
причем равенство Ug(x) = U0(x) достигается только там, где
U0(x) = —l.

Для каждого набора данных {0+ (£), 0О (х), Uq (я)) согласно
лемме 3 существует решение {Rn(t), Qn(x, t)} задачи (2.2) —(2.4).
Продолжим 0„ тождественно нулем в область {(ж, t) |7?„(£)<я<
О < t < °°} и положим Un (х, t) = Uо (х) в этой области. Там, где
0„>О, положим £7„ = Ф[0„]. Функция Un(x, t), терпящая разрыв
первого рода на линии x = Rn(t), является обобщенным решением
задачи Стефана (2.5), соответствующим начальному распределению
удельной внутренней энергии Uq (х) (Uq (х) = Ф [0О (я)] при х е
е(0, Ж1)).

Теорема сравнения (теорема 11 § 3 гл. I) и специальный вы-
бор начальных данных обеспечивают монотонность последователь-
ностей {/?„(<)} и {0п(я, t)}:

Rn(t)<Rn+l(t), 0„(х, t)^Qn+i(x, t).	(2.6)

Так как функции 0n(x, t) равномерно ограничены и непрерыв-
ны во внутренних точках области Q», то существует предельная
функция 0 (ж, t):

0 (х, t) = lim 0„ (х, t),
п-»оо

ограниченная в замкнутой области и непрерывная во всех
внутренних точках Более того, нетрудно^ показать, что^в каж-
дой ограниченной подобласти Q, такой что Q <=	(т. е. Q не со-

держит точек границы области □«,), функция 0(rr, t) принадлежит
пространству Гельдера Ha alz(Q) с некоторым а>0.

Это свойство устанавливается для каждого приближения 0„ (х, t)
так же, как в гл. V, с постоянными, зависящими только от области
Q и не зависящими от номера приближения. Напомним схему до-
казательства. Пусть б > 0 такое, что область Q лежит внутри квад-
рата G = {(х, t) I б < х < б~‘, б < t < б_)) и б < ха.

Из локальных оценок решений параболических уравнений сле-
дует, что на прямой {(х, t)\x = 8, б < t < б-1} ограничены произ-
водные функции 0„ (х, t):

<Ж, I

Mo==max|0n|^.	(2.7)

Если умножить уравнение (2.3) для функции 0П на 0„, проин-
тегрировать результат умножения по области {(ж, t) |б < х < Rn(t),
6<t<6-t), то после несложных преобразований получим нера-
венство

б-1Яп<о

I2

dxdt < N2 (Мо, Л\, а0).

(2.8)

Пусть t,(t)—бесконечно дифференцируемая функция, равная
нулю при t = 0 и единице при t > б. Если умножить уравнение
(2.3) на и результат умножения проинтегрировать по х в
пределах от 6 до Rn(t), то получим равенство

Яп(4)

1^2
2 dt

dx

x=Rn(l)-о

ЙП(О

2^+а [ ж
at J 2 J ox

6

Rn(<)

_ 1 C ЖЖ

- 2 J £ dx \dx

6

2

dx +

dt dx

х=в

(2.9)

в

2

При выводе последнего было использовано тождество

двп /р /t\ (у t\ 	ID	n .v^n(f)

dt (Rn (t) 0, t) —	(Rn (t) 0, t) ——

<?0n

Поскольку, далее,

<0 и t7o(^n(0)<O, то^Д

x=Rn(t)-0	0 '	' "	dt

и из оценок (2.7), (2.8) и равенства (2.9) следует, что

б 1 й„(О

б б

d0„ I 2

dxdt +

max

<^(6,6-!)

Rn(O

(’ l<|2

б

dx^Z

N3{Mm 6).

Аналогичная оценка справедлива для функции 9п(я, t) и в той
части области G, где она тождественно равна нулю. Следовательно,

Ж

2

dxdt +

max
tE(6,6-1)

G(O

2

dx N3.

Полученное неравенство, как это было показано в § 3 гл. I,
обеспечивает гельдеровость функции 9n(x, i) в области G. Очевид-
но, что предельная функция 9 (я, t) также удовлетворяет условию
Гельдера в области G, а тем более и в Q.

Для доказательства сходимости последовательности функций
{Rn(t)} удобнее рассмотреть последовательность функций {/гп(х)},
обратных к функциям Rn{t):

h„(R„(t)) = t.

Так как /?„(£)>Я„(0) = х0, то функции hn(x) определены при
х^х0. На интервале (0, х0) доопределим функции hn(x) тождест-
венным нулем.

Обращаясь к неравенствам (2.6), видим, что функции hn(x)
образуют монотонно убывающую последовательность:

ht (х) > hz (х)	> hn (х) > ....	(2.10)

Пусть

Хп = lim Rn(t).

t~^co
функции hn(x) определены на интервале (О, Х„), при этом

хо <	-^2



где X* — lim Хп.
п->оо

Очевидно, что предельная функция h(x) = lim hn(x), существо-
n-»oo

вание которой следует из (2.10), определена на интервале [0, X*).
оо

В частности, если \ Q+(t)dt = oo, то для решения {Rt(t), 9t (rr, t)}
о

задачи (2.2) — (2.4) справедливы результаты § 2 гл. V об асимпто-
тическом поведении решения при неограниченном возрастании
времени, из которых следует, что

Xr = lim Rr (t) = оо.
f->oo

По построению функция h(x) монотонно возрастает с ростом х,
ограничена во всех точках интервала (0, X*) и

lim h (х) = оо, если X* <Z оо.

В самом деле, допустим противное. Пусть Х*<оо и lim h(x) =

x-+X^

= £* < оо. Область Q+ — {(я, t) 10 <х<СХ*, t* < t < оо} является
предельной для областей

Qn = {(я, t) | 0 < х < Rn (t), t* < t < оо},

Qn c= <2п+1<= ... c(?+,

и в ней Q(x, t) строго положительна как решение нелинейного
уравнения теплопроводности, если только

vrai max 0О (х) > 0.

х£(0,х0)

Это следует из строгого принципа максимума [52, теорема 2.4,
с. 175] для функции 9 (х, t) в области

По предположению

lim Rn(t) = X* при t е (£#, оо),

П-»оо

что влечет за собой равенство 9 (X*, t) = 0, t е (f*, оо). Следова-
тельно, 9(a:, t) достигает на границе х = X* области Q* своего
минимального значения, и по теореме Хопфа [89, с. 69]

Ц (X* — 0, t) < 0 при t€= (£*, оо).	(2.11)

С другой стороны (рис. 7),

0 = 0, ^- = 0 при х е (Хф, оо), t е (t*, оо).
Рассматривая интегральное тождество (2.1) с произвольной функ-
цией <р, носитель которой сосредоточен в малой окрестности точки
(Хф, t), £ > £*, с учетом вышеприведенных равенств и уравнения
теплопроводности для функции 0 в области Q+ получим условие
™ (X* - 0, 0 = 0,	,оо),

которое противоречит ранее полученному неравенству (2.11). Та-
ким образом, функция h(x) неограниченно возрастает при стрем-
лении точки х к точке Х#.

Попутно мы получили следующее утверждение.

Лемма 4. В условиях теоремы 2 ни при каких значениях х„
to, t,, O<to<ti<°°, x0<Zx1<zX^., множество точек {(х, i)lx = x4,
fe(Z0, t,)} не может быть частью общей границы областей Qi и Q^,.

Из леммы 4 следует непрерывность функции h(x). В самом
деле, допустим противное, т. е. пусть существует точка х, > ха
такая, что (рис. 8)

lim h (х) = t0 < t1 = lim h(x).

x~>xi—0	x-*Xj+O

По построению 0 (x, t) строго положительна при х < х, и
e(Z0, Л) и тождественно равна нулю при х> х, и te(i0, ii). Сле-
довательно, отрезок {(х, t)\x = xt,	t,)} является частью об-

щей границы областей Qi и Q.», что противоречит утверждению
леммы 4. Теорема полностью доказана.

Если a(s) —достаточно гладкая функция, то дальнейшая Глад-
кость функции h(x) и характер ее поведения зависит от дифферен-
циальных свойств начального распределения удельной внутренней
энергии.

Лемма 5. Пусть в условиях теоремы 2 деС“[0, <») и 170е
е Ck (х,, х2), Uо (х) < 0 при х [art, х2], где х0 хх <Zx2

Тогда h^Ck+l(x,, х2) и	Если Uo(x) = 0 при хе

е(х,, х2), то в этих точках h(x) = const = h(x,).
ыьршзсилиъи иг UVpuiiwc у т~ (г
верждение: если h (х) = const на
интервале (х2, х2), то на этом ин-
тервале U0(x) = Q.

Доказательство. Первое
утверждение леммы следует из
локального рассмотрения задачи в
области Q/+\Q^, где ti = h(xf).
А именно, решение задачи (2.2) —
(2.4) на интервале (#2, 12), где
в качестве начального распределе-
ния удельной внутренней энергии

взята функция U(x, £,), в силу теоремы единственности обобщен-
ного решения задачи Стефана совпадает с решением задачи (2.5).
Следовательно, функция R(t) по крайней мере один раз непрерывно
дифференцируема во внутренних точках интервала (Z,, t2). Даль-
нейшая ее гладкость (тем самым и гладкость функции h(x)) по-
казывается так же, как и в § 1 гл. V.

Пусть Uo(x) = O на интервале J = (xt, х2). Рассмотрим задачу
Стефана об определении функции U (х, t) в области G+ = {(х, t) I
\x&J, t^(th оо)}, ti = h(Xi):

dU
dt

д26

дх2 '

0 = x[tfl;

0(х^ t)—B(x(, t), i = 1, 2; U(x, tt) = 0, x e J.

Так как 0(ж1( t)>0 (отрезок {(x, t)\x = xt, t>tt) целиком
лежит в области Qi), то функция U (х, t) строго положительна во
внутренних точках области G+ (рис. 9).

С другой стороны, отрезок {(х, t)\x^J, £ = <,} целиком лежит
в замыкании области Q,» (h (х) — монотонно возрастающая функ-
ция), где dVJdt — Q. Следовательно,

U(x, ti) = Ua (х) — 0 при х е ].

Обращаясь к теореме единственности обобщенного решения
задачи Стефана, заключаем, что U (х, t) — U (х, t) в точках области
G+. По построению

U(х, t) > 0 при (х, t)eG‘ и
U(х, t)~0 при x^J, t< tt.

Но это и означает, что h(х) = Z, при x^J.

Если h (х) ti на интервале J, то, рассматривая интегральное
тождество (2.1) с финитными функциями ф, носитель которых со-
средоточен в малой окрестности точек (х, Л), x^J, убеждаемся в
справедливости равенства

U (х, tt — 0) = U {х, ti + 0) = 0, х<^ J.
Прямоугольник {(х, t)\x^J, ie(0, tt)} содержится в области!
где U(x, t)=U!>(x). Следовательно, при x^J будет

= U(x, /1-0) = 0.

Приведенные в этом параграфе утверждения показывают, чт<м
при одинаковых данных 0+(0 и 0о(х) чем меньше удельная внут-а
ренняя энергия в переходной фазе (грубо говоря, чем «тверже»!
переходная фаза), тем медленнее движется граница, отделяющая!
жидкую фазу от переходной. Там же, где в переходной фазе ветре-1
чаются участки, сплошь заполненные жидкой фазой (U0(x) = 0)Л
скорость перемещения указанной границы бесконечна.	J

Случай взаимодействия твердой фазы, занимающей область ]
й~(0) = LrlO <х < rrj, с переходной фазой, занимающей область!
Й* (0) = {аг|х0 < х < оо}, рассматривается аналогично.	|

§ 3. ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

СЛУЧАЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЖИДКОЙ, ТВЕРДОЙ	1

И ПЕРЕХОДНОЙ ФАЗ ОДНОВРЕМЕННО	•)

Пусть изучаемое вещество занимает область Q = tri — 1 < х < 1), '
на границе х = — 1 во все моменты времени поддерживается строго
отрицательная температура, на границе х = 1 — строго положитель-
ная и в начальный момент времени наряду с жидкой и твердой ;
фазами присутствует переходная фаза. В этом параграфе изучим
простейший случай, когда в начальный момент времени область Q
разбивается на три подобласти Q- (0) = |х | — 1 <; х <	S2* (0) =

= (х | хо< х < и Q+(0) = [r| Xq<Z x<Z 1}, занятые соответствен-
но твердой, переходной и жидкой фазами. Оказывается, что при
таком распределении удельной внутренней энергии в начальный
момент времени решение исходной задачи Стефана распадается на
решение на некотором интервале времени (0, t*) двух однофазных
задач, рассмотренных в предыдущем параграфе, и решение двух-
фазной задачи Стефана с двухфазным начальным состоянием на
интервале времени (/*, оо). Время /*, за которое исчезает пере-
ходная фаза, может быть и бесконечным. Его величина зависит от
распределения удельной внутренней энергии в начальный момент
времени и от поведения заданной температуры на границе об-
ласти Q,

Как мы уже отмечали ранее, интегральное тождество в опре-
делении обобщенного решения задачи Стефана можно записать по-
разному. В частности, пробная функция <р не обязательно должна
обращаться в нуль при t = Т. С учетом этого сформулируем исход-
ную задачу Стефана: требуется определить удельную внутреннюю
энергию U(x, t) и температуру 0(ж, t) = y\U(x, £)], удовлетворяю-
щие в области Йо» =QX(0, °°) интегральному тождеству
f	+	T)-Uo(x)<f(x,O)}dx=O

«/ t/ I	OX OX J	J

Qt	Q

(3.1)
с произвольной непрерывно дифференцируемой функцией <р, <plea =
= 0, при всех Т из интервала (0, °о).

На границе области й температура принимает заданные зна-
чения:

0(±1, f) = 6±(i), te(0, оо).	(3.2>

Введем следующие обозначения:

оо	*0

А~ = J 10“ (i) | dt — j (1 + х) 11 + Uo (x) | dx,
о	-i

oo	1

A+ = [ 10+ (i) | dt + J (1 — x) Ug (x) dx,
о	ж+

xo

x

/-(X)= J (1 + x)|l +I7o(x)ldx,

“o’

4

/+(X)= J (l-x)|t70(x)|dx.

X

Положим также

X~ = min [X| Г (X) = A~}, Xi = max {X | f+ (X) = Л + ).

Будем считать, что

(I)	0* е И4,1ос (0, оо), (± 1) 0* (t) > 0 при t е (0, оо).

(II)	Z70(rr)=C — 1 при ieQ'(0), t70(x)>0 при xeQ+(0), —1 «S
С и<>(х)^0 при хе й*(0), 0О = х(^о)^ (ЭД-

ЦП) В достаточно малой окрестности точки Хд множество точек,
лежащих справа от точки Хд, в которых удельная внутренняя энер-
гия Ut(x) обращается в —1, имеет нулевую меру; аналогично в до-
статочно малой окрестности точки х£ множество точек, лежащих
слева от точки х^, в которых U<i(x) равна нулю, имеет нулевую
меру.

(IV) Если А+ + А~ < <», то lim 0* (t) = 0 при t оо.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (I) — (IV), ае
еС"(—°0, 0] П С‘[0, оо), a(s)>a0>0.

Если Л+ + А~ “ оо или Л+ + А~ < °°, но Х~ > Xi, то сущест-
вуют числах* и t*, Q<Zt*<L<x>, х0 < хф < xjj", и три непрерывные
функции h~(x), h+(x) и R(t) такие, что h~(x) — Q на интервале
(— 1, Хд) и монотонно возрастает на интервале (хд, х*); h+ (х) = О
на интервале (х£, 1) и монотонно убывает с ростом х на интервале
(х#, Хд) и h~ (х#) = h+ (хф) = t*; функция R(t) со значениями из
интервала (—1, 1) определена на полуинтервале (t*, оо) и непре-
рывно дифференцируема во всех его внутренних точках, R (t*) = х*
(рис. 10).

Обобщенное решение 0(х, t) задачи Стефана (3.1) — (3.2) строго
положительно в области Qi = {(я, Z) (х* < х< 1, h+ (ж) < £ < t*} (J
(J {(х, t) \ R (?) < х < 1,	строго отрицательно в об-

ласти Q« = {(ж, t) | — 1 < х < х*, h~ (x)<Zt < (J {(x, t) | —1<ж <
< R (t), t*<Zt<Z оо) и тождественно равно нулю в области Q(„ =
= {(х,Г)\хё <.x<Zx*, 0< t<h~(x)} U ((ar, t) | x* < x<~xi, 0<£<
<Л+(*)}.

Если A++ A~ < °° и X~^Xi, то функции h~(x) и А+(ж)
определены соответственно на интервалах [—i, Х~) и (Xi, 1] и
1нпЛ_(ж) = °о прих^Х~, limh+(x) = <» при x-^-Xi (рис. 11).

Обобщенное решение 6 (х, t) задачи Стефана (ЗД)— (3.2)
строго положительно в области Qi = {(ж, t) | Xi < х < 1, h+ (х) <
С t < оо), строго отрицательно в области Q» = | (х, t) | — 1 < х <
-СХоо, h~ (x)<Zt <Z оо} и тождественно равно нулю в области Qi =
= Qoo\(Q- U Qi).

Доказательство. При малых значениях времени Т реше-
ние задачи (3.1) —(3.2) на интервале (0, Т) распадается на реше-
ние двух независимых задач, рассмотренных в предыдущем параг-
рафе, об определении области Qy = {(ж, i)|—Kx<Zxt, h~ (x)<Z
<Z<7’}> /т(а;г) = 7', и функции 0(ж, t) в этой области и об опреде-
лении области Qt и функции 0(ж, t) в этой области.

Следовательно, основной вопрос сводится к выяснению усло-
вий, при которых график функции t = h~ (х) пересечет или не
пересечет график функции t = h+ (х). Так как функции h~ (х) и
h+(x) монотонные, то размер переходной фазы с ростом времени
уменьшается и пересечение указанных графиков в конечный мо-
мент времени означает, что переходная фаза к этому моменту
времени исчезает совсем. Но тогда единственным продолжением
решения задачи Стефана (3.1) — (3.2) на интервале (Z*, оо) будет
решение обычной двухфазной задачи Стефана с двухфазным на-
чальным состоянием, рассмотренной в гл. V.
Если — то из теоремы 2 следует, что функция h~(x)
заведомо определена на интервале [— 1, а-о] и ее график пересечет
график функции t = h+(x) в некоторый момент времени

Аналогично, если А+= °°, то функция h+(x) определена на
интервале 1] и ее график заведомо пересечет график функции
t = hr(x) в момент времени t* h+ (z^)-

Выясним области определения функций /i+(z) и /г~(я) при
А+ + А~<°°. Точнее, выясним условия, при которых области
определения функций h+(x) и h~{x) не пересекаются и тем самым
переходная фаза существует во все конечные моменты времени.
Нам удобнее исследовать регулярный случай, когда U0(x) —непре-
рывно дифференцируемая в области Q*(0) функция, принимающая
там значения из интервала (—1, 0). Общий случай получится, если
мы аппроксимируем функцию /7о(х) гладкими функциями Uq(x),
— 1 <ZUq (х) < 0 при х s Q* (0), и совершим впоследствии пре-
дельный переход. При этом функции можно подобрать так,
чтобы последовательность [Rn (01, где кривые х ~ Rn (0 аппрок-
симируют кривую t = h~ (х), монотонно возрастала, а последова-
тельность (0} — монотонно убывала. Для этого достаточно
выбрать последовательность (27о) в первом случае убывающей,
а во втором — возрастающей.

Итак, пусть Це (х) непрерывно дифференцируемая, -1 < Uo (х) <
< 0 при х е Q* (0) и переходная фаза существует во все конечные
моменты времени. Правая граница х = 7?“(0 области и темпе-
ратура 0(х, 0 в этой области определяются как решение задачи
(2.2) — (2.4) предыдущего параграфа. Аналогично, левая граница
х = /?+(0 области йоо и температура Q(x, 0 в области Qi опре-
деляются как решение той же задачи (2.2) — (2.4), но с соответст-
вующими начальными и граничными условиями. По предположению

/?-(0<Я+(0, £е(0, оо).

Очевидно, что функция U (х, 0, равная Ф[0(я, 0] при —1<
<x<R~(t), £>0и £7о(я) при R~ (0 < х < 7?^, t > 0, где Rx =
= lim7?-(0, есть решение задачи Стефана, аналогичной (3.1) —
t—^oo

(3.2), но в области {(х, 0|— 1 <Z.x<Z Rx, 0<i<oo} и с условиями

0 (— 1, t) = 0 (0, 0 (R~, t) = 0, te (0, оо).

Пусть Т > 0 произвольное. В силу строгой монотонности функ-
ции R~{t) будет R~(T)<ZRx- Следовательно, можно подобрать
функцию фт = <рг(;г) так, чтобы фт = 1 + х при хе(-1, R~(T)) и
фг = 0 при х = Rx- Подставим выбранную функцию фт в тождест-
во (3.1). Так как 0 = х(£0 тождественно равна нулю вне области
йг при х<Нх, то после несложных вычислений получим

л—(Т)	т	R—(T)

J (х + 1) Udx = J 0_ (t) dt + {х + 1) UQ (х) dx.

-1	о	-’1

Последнее равенство можно преобразовать к виду

В~(Т)	В~(Т)

У (х + l)jl/(x, Т) + l|dx- У (х + 1)|П0(х) +l|dx =
-i	-

- *о

т	«о"

= ye~(f)df + у (х + i)|t/0U) + i|dx. (3.3)
о	-I

По условию теоремы температура 0 на границе х = — 1 стремит-
ся к нулю при неограниченном возрастании времени. В этом слу-
чае, как было показано в § 2 гл. V,
lim1 max 10 (х, t) | = 0.

*-*“> Яея-(О

Так как, далее,
lim U = lim Ф(0) = — 1,
а-»—о	ь е->-о

то lim max | U (х, f) + 11 = 0.

<-*°° хей~(П

Переходя к пределу при Т -* °° в (3.3), с учетом последнего
соотношения получим равенство (Я») = Л-.' Следовательно,
= 7?~. Совершенно аналогично Xi ='/?£, где = lim7?+(f).

г-  '	t-*°o

Таким образом, неравенство	и есть то требуемое

условие, при котором переходная фаза существует во все конечные
моменты времени.

§ 4. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

УДЕЛЬНОЙ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ В НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ

Рассмотрим задачу Стефана о фазовых переходах в веществе,
занимающем область Й = {xl Ixl < 1). Предположим, что температу-
ра на границах х = ±1 области Й известна и не меняет там своего
знака, а начальное распределение удельной внутренней энергии
произвольное, но такое, что существует обобщенное решение. При
этих условиях покажем, что при некоторых ограничениях на вход-
ные данные найдется такой конечный момент времени Т*, что
при t > Т* в области й останутся либо твердая и жидкая фазы
и обобщенное решение задачи Стефана совпадает с классическим
решением двухфазной однофронтовой задачи Стефана, либо только
одна фаза, жидкая или твердая, и обобщенное решение задачи
Стефана при t > Т* совпадает с классическим решением уравне-
ния теплопроводности.

Итак, в области Qr = Q X (О, Т) требуется определить решение
U(x, <), 6 (я, Z) = xlV(£, *)] уравнения

в смысле теории обобщенных функций. На границах x = ±i об-
ласти Q температура 0(х, t) совпадает с известной функцией:

9(±1, t) = G±(t), fe(0, Т),	(4.2)

а в начальный момент времени известно распределение удельной
внутренней энергии:

U(x, О)=С7о(х).	(4.3)

Функции 0*(£), U0(x) предполагаются ограниченными. По-
ложим

Л = max fl, max | U0(x) |, шах | Ф [0± (£)] |1.

I яей	/е(о,°°)	/

Пусть Т+ и Т~ суть решения уравнений
т	т

J|0+(0|^=4A и J]0-(t)]df = 4A
о	о	,

соответственно. Если первое уравнение не имеет решения, то по-
лагаем Т+ = оо. Аналогично поступаем со вторым уравнением. Число
Т* есть минимальное из двух чисел Т+ и Т~:

Т* = min {7’+, Т~}.	(4.4)

Основным утверждением настоящего параграфа является

Теорема 4. Пусть феС2(-°о, 0] П С2[0, °o)j 0±^С[О, оо] f)
П W2,1ос(0, оо), U0(x)—измеримая ограниченная функция такая,
что 0О = % [Z70] е W\ (О), и в точках х = ±1 выполнены условия
согласования нулевого порядка: 0±(О) = 0О(±1). Пусть, кроме того,
функции 0±(i) знакопостоянны и число Т*, введенное формулой
(4.4), ограничено.

Тогда если 0+(£)0_(£)> 0, то при tZ>T* в области Q при-
сутствует только одна фаза, жидкая или твердая, и решение за-
дачи Стефана при t>T* совпадает с классическим решением не-
линейного уравнения теплопроводности. Если же 0+(£)0“ (£)<(),
то при t^> Т* в области Q существуют только жидкая и твердая
фазы и обобщенное решение задачи Стефана при t> Т* совпадает
с классическим решением двухфазной однофронтовой задачи
Стефана.

Схема доказательства теоремы 4 следующая. На первом этапе
рассматривается задача Стефана, в которой в начальный момент
времени присутствует конечное число компонент жидкой, твердой
и переходной фаз, т. е. область Q разбивается на конечное число
подобластей, в каждой из которых находится только одна фаза.
Для этой задачи доказывается теорема 4.

Далее, на втором этапе произвольное распределение удельной
внутренней энергии в начальный момент времени аппроксимируется
данными, соответствующими рассмотренной выше ситуации,
и строятся приближенные решения. Решение исходной задачи по-
лучается в результате предельного перехода.

В свою очередь, исследования на первом этапе основываются
на следующих задачах Стефана: задача Стефана на полупрямой
R+ = {xl—1 < х < °°} с заданной температурой 0~(£) на границе
х = — 1 и конечным числом компонент жидкой и твердой фаз, каж-
дая из которых занимает ограниченную область, и переходной фа-
зой, являющейся крайней справа и занимающей неограниченную
область (задача (Л)); задача Стефана на всей прямой R =
= Lrl |z| < оо} с конечным числом компонент жидкой и твердой фаз,
каждая из которых занимает ограниченную область, и двумя
компонентами переходной фазы,' являющимися крайними слева и
справа и занимающими неограниченные области (задача (В));
многофронтовая двухфазная задача Стефана в области Q с конеч-
ным числом компонент жидкой и твердой фаз (задача (С)).

Пусть для определенности 0_(£)<О.

Определение 1. Обобщенное решение задачи Стефана на
полупрямой R+, удовлетворяющее условию (4.2) на границе х — — 1,
обладает структурой (Л, тп) в момент времени т, если существуют
числа х^ ..., xm, — 1 — ха < Xi < ... < xm < xm+l = оо, такие, что об-
ласти (т) = {rrlx е (xk-i, xk)}, k = l, ..., тп, заняты жидкой и
твердой фазами соответственно для четных и нечетных к, а интер-
вал Q(m+1) (т) занят переходной фазой.

Определение 2. Обобщенное решение задачи Стефана со-
Храняет на интервале (О, Т) структуру (Л, тп), заданную в на-
гельный момент времени, если существуют непрерывные функции
•••> m' —i = ro(0<ri(f)<---<rm(i)<rm+1(i)==00 при
такие что области Qy} = {(х, t) | х е (rft_t (t), rh (t)), t e
»1. m, заняты жидкой и твердой фазами соответ-
.четных и нечетных к, а область занята пере-

Ляалогичиые определения формулируются для задач (В) и (С) .

Итак, пусть требуется определить решение задачи (А), удов-
летворяющее в области Ry = Rt .X (О, Т) уравнению (4.1) в смысле
теории обобщенных функций, условию (4.2) на границе х = — 1,
условию

и(х, O)=*tfo(z), x^R+,	(4.5)

и обладающее в начальный момент структурой (Л, тп).
Лемма 6. В условиях тео-
ремы 4 пусть 0О е W\(R+), в на-
чальный момент  времени реше-
ние обладает структурой (А, тп)
и функция иа(х) непрерывно
дифференцируема в области
Q(m+D (Q) и не Принимает там
значений 0 и —1.

Тогда весь интервал време-
ни (0, °°) существования обоб-
щенного решения задачи Стефа-

на разбивается не более чем на	Рас. 12.

тп интервалов (Tk-i, Tk), Q = T„<
< Ti< .. .< TP< TP+i = °°, р<тп, и на каждом из интервалов
(Т^, Tk), k = l, ..., р +1, обобщенное решение задачи Стефана
сохраняет структуру (Л, m^-,), тп0 = тп > m, > ... > тпр, заданную
в момент времени t = Tk~t (рис. 12).

Доказательство. Интервалы (7\_i, Tk) являются макси-
мальными в том смысле, что в момент времени t — Tk одна или
несколько компонент жидкой или твердой фазы исчезают. Далее,
на интервале (Tk, Tk+i) решение задачи Стефана сохраняет струк-
туру (Л, тпк), заданную в момент t = Tk, но уже с меньшим числом
компонент жидкой и твердой фаз по сравнению с предыдущим
интервалом. •	___

Предположим вначале, что 0О е Я2+“	(0)), 0~ <= Я<2+“)/2[0, со)'.

Следует ожидать, что найдется достаточно маленький интервал
(О, Т), на котором обобщенное решение задачи Стефана сохраняет
структуру (Л, тп), заданную в начальный момент времени, и функ-
ции rk(t), k = i, ..., тп, принадлежат пространству Я(2+“)/2[0, TJ.

Обычным образом тогда показывается, что в каждой из облас-
тей к = 1, ..., т, температура 0(х, t) удовлетворяет нелиней-
ному уравнению теплопроводности

/о. дд д20

0(e>Si-3?’

(4.6)

а на границах x = rk(t), k = i, ..., тп — i, при m > 1 — двум усло-

виям на сильном разрыве:

Q(rk(t), t) = 0, Ze(0, Т),	(4.7)

(х,	= (- l)ft+1 t е= (О, Т).	(4.8)

дхх '\x=rh(t)+o	47 dt '	' ’	>	'	’

В области	температура 0 тождественно равна нулю,

а удельная внутренняя энергия U (х, t) определяется по своему
начальному распределению:

U (г, t) = Uo (х), (х, t) е= Qt”*+1).
На границе ж = гт(0 температура 6 (х, t) удовлетворяет усло-
вию (4.6) и, кроме того,

f-®(rm(0-O, 0 = C/o(rm(0)^), *е(0, Т),	(4.9)

если область занята жидкой фазой, и

g {rm (0 - 0, 0 = Uo (rm (0) + 1) t е (0, 7),	(4.10)

если область Qy"’ занята твердой фазой. Исходя из выписанных
уравнений, потребуем, чтобы начальные данные в точках х = хк
к —0, 1, ..., т, удовлетворяли условиям согласования первого по-
рядка.	'

Так же как и в гл. II, где строились гладкие приближенные
решения многомерной задачи Стефана, доказывается, что на до-
статочно малом интервале времени существует классическое реше-
ние задачи (Л).

Для этого надо рассмотреть множество 2)1 вектор-функций
{rj(0, ..., rm(0} = r(0, совпадающих в начальный момент с векто-
ром г(0) = {ж1, ..., хт}, в которых каждая компонента rk(t) ограни-
чена в норме пространства Я(2+а)/2[0, 71]:

/ 2+а\

I rk — xk |[О,Г]' < 1, d = 1, . . ., т.

Пусть

xm(0, T\r) = min f min | г/1_1 (0 — гй (0|1,
/<=1.................т l«e(o,T)	J

Го(0 = -1.

Для того чтобы каждый элемент г(0 множества 2)1 определял
области к = 1, ..., тп+ 1, необходимо, чтобы хт(0, 71; г)>0.
Потребуем, кроме того: xm(0, Т; r)>(l/2)x,„(0, Т; г(0)) для всех
элементов г е 2Я.

В каждой из областей к — 1, ..., т, построенных по фикси-
рованному элементу г^УЯ, рассмотрим начально-краевую задачу
(4.5) — (4.7), (4.2). Согласно теореме 3 § 2 гл. I существует един-
ственное решение 0 е Я2+а’(2+“)/2 (Qf >), к — 1, ..., т, и

|0|2Йа)<^1-
и J

- (2-F)

где #i зависит только от норм |0 |[о,т] , | %1я(Цо)’ к = 1, ..., т.

Условия (4.8), (4.9) (либо (4.10)) служат для построения
оператора задачи 91 (г), неподвижные точки которого определяют
решение исходной задачи: 91(?’) = (п> • • •> гт),

ГМ - Й + Пя<*.	dt'{~ 1>'‘+1'

о

к = 1, .,т — 1,
t

гт (t) = хт + j (Uo (гт (т)))-1 (7„ (т) - 0, т) dx.

О

Имеем

\rh-xh\$T}^TM2(Mv Р), к = 1,...,т,	(4.11)

тде Р = min ’ {min {| Uo (х) |, 11 + Uo (х) |}}, a Q(m+1) (0)—мно-

XS£2(W1+1)(O)

жество, занятое в начальный момент времени переходной
фазой,

|rft- ^о.т] <^3(MX, Р).	(4.12)

Последняя оценка показывает, что оператор 91 вполне непре-
рывный на множестве 9Я. Существование неподвижной точки опе-
ратора 91 гарантируется теоремой Шаудера, если оператор 91 пере-
водит множество 2R в себя. Это следует из неравенства

/2+а\	р + «\

I Гк ~ Xk |[о,т] <^б|г/£— Хк +6 2 “|гй — Хк |[^Т]

с произвольно малым 6>0 и оценок (4.11) и (4.12), если время
Т выбрать достаточно малым.

Функция rm(t), определяющая крайнюю правую границу х =
= rm(t), растет не быстрее, чем функция r+(t), где {U+(x, t),
r+(t)} — решение задачи Стефана в области Rf, совпадающее с
10_ (t) I на границе х = — 1 и с функцией (х) в начальный мо-
мент времени: Uq (х) = | 001д+ при х^{—1, жт + 1),	(х) = — |3

при х^(хт+1, °°). Чтобы показать это, достаточно воспользоваться
теоремой сравнения обобщенных решений задачи Стефана.

Полностью аналогично рассуждениям гл. V, где исследовалась
однофронтовая двухфазная задача Стефана, показывается, что нор-
мы функций rh(t), k = i, ..., т, в пространстве W\ [О, 7] и нор-
ма функции 0 (х, t) в пространстве Lоо(о, Т- W|(R+)) ограничены
постоянной, зависящей только от величины

Мо(П = шах{||0-К(\Т), ||0O^R+}.

Кроме того, норма функции 0 (х, t) в пространстве Я2+“' (2+а)/2(<7),
где СсОт4, к = 1, ..., т,— область, отстоящая от границ {х — — 1}
и {t = 0} на расстоянии, большем чем б, зависит только от б,
Мо(Т) и xm(0, У; г), где величина xm(0, Т; г), характеризующая
минимальное расстояние между границами x = rh-l(t) и x = rk(t),
к — 1, ..тп, была определена выше.

Поскольку пространство W\ [О, Т] содержится в пространстве
Я3/4[0, Т], то функции rA(t), к = 1, ..тп, удовлетворяют условию
Гельдера с нормой Гельдера, зависящей только от МГ1(Т)- Но тогда
интервал (О, Т) можно выбрать таким, чтобы хт(0, У; г)^
^(1/2)хт(0, 0; г) = х, и на выбранном интервале указанные выше
нормы функции 0 не будут зависеть от xm(0, Т; г). Совокупность
этих ограничений на функции 0 и rh, к = 1, ..., тп, назовем свой-
ством NiM^T), Т, х).

Вот теперь можно рассмотреть произвольные начальные данные
0~еС[О, оо] П РКгдос (0, оо) и 0ое ГГ2(К+), для которых решение
в начальный момент времени обладает структурой (А, тп). Аппрок-
симируем их гладкими функциями так, чтобы в начальный момент
времени решение обладало структурой (А, тп) и выполнялись все
условия, позволяющие построить на достаточно малом интервале
времени (0, Т) гладкое решение задачи (А). Очевидно, что для
найденных таким образом приближений имеет место свойство
N(M0(T), Т, х), а сами решения сохраняют структуру (А, тп),
заданную в начальный момент времени.

Следовательно, из семейства приближенных решений можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к классическому ре-
шению задачи (А), сохраняющему на интервале (0, Т) структуру
(А, тп), заданную в начальный момент времени. При этом

0-(7’) = 6(-1, Т), ||0(7)|&+< оо, хт(0, 7;г)>0.

Последнее позволяет повторить все вышеприведенные рассуж-
дения и продолжить решение задачи (А) на больший интервал.
Так как норма ||0 (Т) 1^^+ зависит только от М0(Т) и Т и конечна
при конечных Т, то указанный процесс повторяется до тех пор,
пока не исчезнет какая-либо компонента жидкой или твердой фазы,
т. е. до момента Т\, при котором xm(0, h; г) = 0.

При t = Tl решение задачи Стефана обладает структурой
(A, /Hi), и, приняв этот момент времени за начальный, можно
построить решение задачи (А), сохраняющее на интервале (7\, TV)
структуру, заданную в момент времени t = Ti.

Поскольку общее число компонент жидкой и твердой фаз ко-
нечно, весь временной интервал (0, «>) исчерпается за конечное
число шагов.

Полностью аналогично доказывается существование классиче-
ского решения задачи (5).

Лемма 7. Пусть в условиях теоремы 4	вне

ограниченной области Q+(0)UQ~(0) функция 0о(з:) тождественно
равна нулю, а непрерывно дифференцируемая функция ио(х),
задающая начальное распределение удельной внутренней энергии,
принимает в переходной фазе значения из интервала (—1 + 0, — 0),
О < 0 < 1.
Рис. 13.

Тогда если в начальный момент времени обобщенное решение
задачи Стефана обладало структурой (В,тп), то весь интервал вре-
мени (0, оо) разбивается на не более чем тп интервалов (Tk-i, Tk),
О = То< Ti < ... < ТР< TP+i = оо, р < тп, и на каждом из интерва-
лов (Th-i, Tk), k = l, ..., р, обобщенное решение задачи Стефана
сохраняет структуру (В, mh-i), заданную в момент времени t —
= Tk-i, k = i, ..., р, тп — m0> тп,> ... > (рис. 13).

Задача (С) была рассмотрена ранее в § 5 гл. V.

Приступим к изучению задачи (4.1) — (4.3) в предположении,
что весь интервал Q = {х 11 хI < 1} разбит на конечное число под-
ынтервалов Q(A) (0), каждый из которых занят твердой, жидкой или
переходной фазой, и на множестве й*(0), занятом переходной фа-
зой, удельная внутренняя энергия непрерывно дифференцируема и
принимает значения из интервала (—1 + 0, —0).

Понятно, что решение задачи (4.1) — (4.3) для данного началь-
ного распределения удельной внутренней энергии распадается на
достаточно малом интервале времени на решение задачи (4) на
полупрямой R+, решение задачи (4) на полупрямой В- =
= {xl— оо < х < 1}, в которой температура при х = 1 совпадает с
известной функцией 0+(£), и, быть может, несколько задач (В)У
Если отсутствует переходная фаза, решение задачи (4.1) — (4.3)
совпадает с решением задачи (С).

Пусть, например, x = rm(t) —крайняя правая граница в задача
(4) на полупрямой R+, отделяющая жидкую или твердую, фазу
при x<rm(t) от переходной фазы. Пусть, далее, x = rm+i(t) —
ближайшая к указанной линии свободная граница, являющаяся
крайней слева в задаче (В), либо в задаче (4) на полупрямой R-
и отделяющая переходную фазу от жидкой или твердой фазы.
Область (t) = {x\rm(t)< х < rm+l(t)} занята переходной фазой.
и ее мера строго убывает с ростом времени. Если в какой-то мо- *
мент времени t = 7\ будет rm(7\) = Гт+1(7\), то начиная с этого*

момента времени либо решается на одну задачу (В) меньше (число

связных компонент переходной фазы больше единицы), либо ре-

шается задача (С) (переходная фаза исчезла совсем).

Обобщенное решение задачи Стефана
на весь интервал времени (0, Этот
конечное число подынтервалов (Tk-t, Тк),

(4.1)-(4.3)

продолжимо







интервал разбивается на

на каждом из которых решение компонуется из решений задач
(А), (В), (С), сохраняющих на интервалах (Tk-i, Тк) структуру,
заданную в момент времени t — Tk-i. При этом если в какой-то
момент времени t = Тп переходная фаза исчезла, то при t > Тп ре-
шение задачи Стефана (4.1) —(4.3) совпадает с решением задачи (С).

Очевидно, что число связных компонент каждой из фаз может

только уменьшаться.

Приступим к непосредственному доказательству теоремы 4
для указанного начального распределения удельной внутренней
энергии. Пусть для определенности 0~(£)< 0, 0+(£)> 0 и Т~ < <*>.

Предположим противное. Пусть при t> Т~ существует область
Qw(it) = {x\rk-l(t)<x<rk(t)}, — 1 <га_,(£)< rk(t)< 1, занятая жид-
кой или переходной фазой, а граница x = rk(t) разделяет фазы.
Если эта область занята жидкой фазой, то найдется по крайней
мере одна область Q<,1+,>(i), занятая твердой или переходной фа-
зой, отделяющая данную компоненту жидкой фазы от компоненты
этой же фазы, примыкающей к границе х = 1.

В области QT, Т > Т~, найдется непрерывная кривая Гт, про-
ходящая через точку (rk(T), Т) и разделяющая различные фазы
так, что слева от нее все время находится жидкая фаза. Возможно,
таких кривых будет несколько, но нам безразлично, какую из них
фиксировать.

Из анализа структуры решений задач (Л), (В) и (С) следует,
что кривая Гт определяется функцией rk(t): Гт = {(х, f) lx = rft(t)’»
fe(0, 71)}, принадлежащей пространству РР^О, Т). Но тогда для
области {(#, t) I—1 < х < rk(t), <е(0, Т)} справедлива формула
Гаусса — Остроградского, и уравнение (4.1) можно записать в экви-
валентной ему форме интегрального тождества

т гл(О

С С f дд аэ

J J дх

о о

МО

— 4?”) dxdd + J <f(x,t)U (х, t) dx |(=г —

— J ф о -Ц- (*’ dt 1^?;°0 = 0

для произвольной гладкой функции ф. При выводе последнего было
использовано равенство U(rk(t) — 0, i) = 0, следующее из того, что
слева от границы x = rk(t) все время находится жидкая фаза.
Положим в полученном тождестве q> = 1 + х. Имеем после не-
сложных преобразований
т

^1(0)-^1(П + ^2(Г)= J \Q~(t)\dt,	(4.13)

о

где
rkW

3 j (t) = j (1 + х) U (х, t) dx,
т

32 (t) = J (1 + rh (/)) -g- (rft (0 - 0, t) dt.
0

Оценим левую и правую части равенства (4.13). По условию
теоремы и по предположению о том, что Т > Т~	Т*, правая

часть (4.13) строго больше величины 4Л. С другой стороны, в сла-
гаемом Зг(Т) в левой части (4.13) производная функции 6 на
границе Гт неположительна, так как температура слева от границы
Гт положительна и равна нулю на самой границе. Таким образом,
5<1(0)-^1(Т)>4Л.	(4.14)_

Легко видеть, что для функции U (х, t) справедлив принцип
максимума:

\U(x, i)l ^Л.

Следовательно,

1^1(*)1<Л J (1 + z)dx<2A.
-1

Используя последние соотношения, оценим левую часть нера-
венства (4.14) сверху:

4Л< Щ0)| + 1^,(7) I <4Л.

Полученное противоречие показывает, что в области Q(l!) (t)
при t > Т~ не может быть жидкой фазы.

Допустим, что область Q(ft> (i) при t > Т~ занята переходной
фазой. Найдется единственная кривая Гг = {(х, t)\x = rh(t), is
<=(0, Т)}, проходящая через точку (rk(T), Т), разделяющая раз-
личные фазы и. такая, что слева от нее все время находится пере-
ходная фаза. При этом функция rk(t) непрерывно дифференцируема
при всех t е [0, Г] и монотонно убывает.

Полагая в интегральном тождестве для решения {U, 0} за-
дачи Стефана (4.1) — (4.3) пробную функцию ср равной 1 + х, ана-
логично предыдущему получим равенство
т

31(0)-31(Т)-33(Т) = J |0-(«)|Л,	(4.15)

о

rhW

где 33(Т) =	(1 4- х) Uo(х) dx.

W)
Так как

|^1(0)-^3(Л1 =

j (1 + х) Uo (х) dx

<2Л,

то, оценивая правую часть (4.15) снизу, а его левую часть сверху,
снова получим противоречие.

Подобным же образом исследуются все оставшиеся возможные
ситуации. Итак, при t > Т* в области Q либо присутствуют только
по одной связной компоненте жидкой и твердой фаз, разделенных
гладкой границей x = r(t), либо вся область Q занята одной фазой,
жидкой или твердой.

Перейдем к доказательству теоремы 4 в общем случае. Так
как 0О е Wl (Q), то функция 0о(.г) удовлетворяет всюду в Q усло-
вию Гельдера и тем более непрерывна. Следовательно, множество
Q+(0) = {х1бо(я)> 0} является объединением не более чем счетного
числа открытых непересекающихся интервалов О™ длины ат. Упо-
рядочим интервалы по их длинам: ат+1 С ат.

Аналогично множество Q~(0) = {zl0o(^)< 0} является объеди-
нением не более чем счетного числа открытых непересекающихся
интервалов Q/7 длины Ък. Как и выше, считаем, что 6t+i С bh.

СО	оо

Поскольку ряды 2 ат и 2 &Л сходятся, для любого натураль-
т=1	k=i

ного п найдется число N такое, что

ОО	00

2 ат + 2	~'

m=N+l	k=N+l

Приближенные решения {U{n\ 0(п)1 исходной задачи (4.1) —
(4.3) определим как решение той же самой задачи, но с началь-
ным распределением удельной внутренней энергии, равным (х).

Функцию U^(x) построим следующим образом. На интерва-
лах Qm, ЙГ, т, к = 1, ..., N, положим U(on) (х) = Un(x). Точки £2*У)
множества Q, лежащие вне этих интервалов, есть объединение ко-
нечного числа замкнутых интервалов. Положим там U0(x)— U0(x),
если — 1 +2/п (70(х) —2/п, £70(х) = —1 + 2/ге, если Ui,{x)<
<—l + 2/n, и £70 ——2/п, если Uo>— 2/п. В качестве (х)
возьмем непрерывно дифференцируемую функцию, отстоящую от
функции £70(а;) в пространстве b2(Q(jv)) на расстоянии, не большем
чем 1/и, и принимающую значения из интервала (—1 + 1/ге, — 1/п).

Очевидно, что

lim || 0О - 0<п)	= lim || Uo - U'^ |'2>й = О,

n-»oo	n-foo

eS“’- zM"’].

и число Т*, подсчитанное для функций Uq'\, совпадает с числом
Г*, подсчитанным для функции Uo.
По ранее доказанному каждое приближенное решение задачи
(4.1) — (4.3), соответствующее начальному распределению удельной
внутренней энергии U{on){x), при tZ>T* является либо классиче-
ским решением двухфазной однофронтовой задачи Стефана, либо
классическим решением уравнения теплопроводности.

Так же как и в теореме 1 § 3 гл. I, показывается, что семей-
ство {0(п)} равномерно ограничено в норме пространства
jyi’1 (Qr) П Я7,72 (Qt), Т> Т*, и из него можно выделить пбд-
/„("/1)1

последовательность (О |, сходящуюся с подпоследовательностью
к решению {9, U} задачи Стефана (4.1) — (4.3), соответ-
ствующему начальному распределению удельной внутренней энер-
гии U0(x). Переобозначая, если это необходимо, индексы, будем
считать, что сходятся сами последовательности {0(п)} и {Я<и)}.

Пусть Т~^>Т* и для определенности 0~(£)<О, 0+(£)>(). Из
результатов гл. V следует, что граница раздела жидкой и твердой
фаз x = rln>(t) непрерывно дифференцируема на замкнутом интер-
вале [Т7*, Т], а функция 0(п)(х, Т*) непрерывно дифференцируе-
ма на каждом из замкнутых интервалов [— 1, гп> (Г*)] и
[/^(Т#), 1]. По определению удельная внутренняя энергия глад-
ким образом зависит от температуры на каждом из указанных
интервалов, и, следовательно, там она является непрерывно диф-
ференцируемой функцией. При этом постоянная, ограничивающая
максимум модуля производной удельной внутренней энергии на
этих интервалах, не зависит от номера приближения п.

Без ограничения общности последовательность чисел (r(n) (Г*)|
можно считать сходящейся к числу	последовательность

(Я^Чу, Т*)}, где U$\y, Т*) = Uw(x, Т*), у = [(1 + г(Т*))х +
+ г(Т*) — /п\Гц.)] [1 + rw (Г*)] \ равномерно сходящейся на ин-
тервале [—1, г(Г*)] к функции Us(y, 71*), а последовательность
МП)(У, П)1 где Я£п)(у, T*)=Uw(x, Т*), у = [(1-г(7’ж))х-
— г(п)(Т*) —г(7’*)][1 —г(п)(Г#)] \ —к функции UL (у, Тф) на ин-
тервале [г(Т*), 1].

Очевидно, что Us и UL совпадают с функцией U (х, Т*) со-
ответственно при x<Zr(T*) и х>г(Т*), где U(x, t)—решение
задачи Стефана (4.1) —(4.3), соответствующее начальному распре-
делению удельной внутренней энергии U0(x).

Так как Uw(x, Т*) < 1 при х < г(п\Т*} и Я(п> (х,	0 при

х>г(п)(7\), то U (х, Г*)^— 1 при х^г(7’#) и Я (х, 7’*)^0 при
^>г(Т’И!).

Единственным обобщенным решением задачи Стефана (4.1),
(4.2) при t>T*, в котором удельная внутренняя энергия совпадает
в момент времени t = Т* с функцией Я (х, 71*), является клас-
сическое решение двухфазной однофронтовой задачи Стефана. Но
одно такое решение {Я(х, t), 0(х, t)} было построено ранее как
предел приближенных решений {Я(п), 0<п)). Следовательно, оно и
является классическим решением при £ > Т1*. Остальные случаи
рассматриваются аналогично. Теорема 4 полностью доказана.

Замечание. Очевидно, что если в начальный момент вре-
мени решение задачи Стефана обладает структурой (А), (В) или
(С), то оно сохранит свою структуру на всем интервале времейи
(О, оо), даже если функция 0+(i) меняет свой знак. Единственным
требованием, как и в § 5 гл. V, является конечное число нулей
функции 0+(i) на каждом ограниченном интервале (нули функции
0+(Z) могут скапливаться только на бесконечности). При этом каж-
дая связная компонента переходной фазы есть множество

{(я, t) е йоо | х~ < x<Zхй, 0<t<h~(x)] J {(я, i) е Qoo | ari

<х+, 0<t<h+(x)}.

Непрерывные функции h~ (х) и h+(x) соответственно монотон-
но возрастают и монотонно убывают, а хй xt.

Таким образом, размеры сечения каждой связной компоненты
переходной фазы прямой {i = const) строго убывают с ростом
времени.

ГЛАВА VII

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПО ВРЕМЕНИ
РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

Рассмотрим двухфазную задачу Стефана в бесконечной полосе
Q<„ = QX(—оо, оо), Q = {а;| Ы < 1), в случае, когда на границах
х = ±1 области Йе температура 0(z, t) является известной перио-
дической функцией времени с периодом Т > 0. Как следует из об-
щей теории, возможны решения задачи, в которых начальное усло-
вие заменяется условием периодичности

U(х, t) = U(x, t + T), (х,

Физически периодическое по времени решение не реализуется,
но это есть то предельное решение, к которому сходится с неогра-
ниченным ростом времени решение задачи Стефана с произвольным
начальным распределением удельной внутренней энергии, если- на
границе области поддерживать периодический температурный
режим.

Схема исследования периодического решения следующая. До-
казываются теоремы существования и единственности периодиче-
ского по времени обобщенного решения задачи Стефана (§ 1).
В § 2 для случая строго отрицательной функции 0_(/) и строго
положительной функции 0+(f) с помощью теоремы А. С. Кронрода
и Е. М. Ландиса изучается структура построенного решения и по-
казывается, что вся область й„ разбивается на три подобласти:
й^ = |(х, t) | — 1 < x<R~(t), — оо < t < оо)—где решение 0 строго
отрицательно, й! = {(х, t) | R~ (t) < x<ZR+(t), —оо<7<оо|— где
решение 0 тождественно равно нулю, и й^ — где решение 0 строго
положительно. С использованием результатов гл. VI и периодич-
ности найденного решения доказывается, что множество й^ пусто,
т. е. R~(t) = R+(t) при всех te(-°°, °°). В последнем параграфе
исследуется ситуация, когда функция 0+(t) меняет знак на интер-
вале (О, Т), и показывается, что решение будет классическим.

§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Положим йт;=йХ(—Т, Т) и через (йг) обозначим мно-
жество функций из И721(^г), периодических по времени с перио-
дом Т. Аналогично вводятся пространства Lq(QT), Wq’° (йт),
Wsp [- Т, 7], s > 0, р > 1, q > 0.

Определение 1. Измеримые функции U^E„(QT) и 9е
0 е W2’0 (йт), связанные соотношениями 6 = х(^)> U = Ф(0) и
удовлетворяющие краевым условиям

0(-1, i.) = 0-(i), 0(1, l) = 0+(i), «е(-оо, оо), (1.1)

с периодическими по времени с периодом Т функциями 0“(t) и
0+(£), называются периодическим по времени обобщенным реше-
нием задачи Стефана, если

f С(£еэ_Ф
J J дх

Ду

-U^idxdt = 0
at)

(1-2)

для произвольной функции <р е W*’1 (йг), равной нулю на грани-
цах {х = ±1}.

Теорема 1. Пусть Фе С3(—°°, 0] Л С3[0, °°), Ф'(а) = а(з)>
> а0 = const > 0, 0_, 0+ <= Wi [— Г, Т].

Тогда существует хотя бы одно периодическое по времени обоб-
щенное решение задачи Стефана

U eLmOe^^Qj).

Доказательство. Рассмотрим последовательность трижды
непрерывно дифференцируемых функций Ф„(а), поточечно сходя-
щуюся к функции Ф(«) при «=#0 и такую, что Фп (s) = ап (s) а0
при |sl < <®, Фп(«) = Ф(х) при Isl > 1/п.

Следуя принятой схеме, будем строить обобщенное решение
задачи Стефана как предел при п -*• °° периодических по времени
решении 0„ уравнения

«п (^)S1 = t) е Йоо,	(1.3)

01 дх

удовлетворяющих краевым условиям (1.1).

Существование решений 0„ задачи (1.1), (1-3) следует из ре-
зультатов И. И. Шмулева [94] о периодических по времени реше-
ниях первой краевой задачи для квазилинейных параболических
уравнений. Очевидно, что при всех п функции 0„ и С/„ = Ф„(0П)
удовлетворяют тождеству (1.2).

Получим равномерные по п оценки, позволяющие перейти к
пределу в соответствующем интегральном тождестве.

Оценка

|	< Мо = шах (| 0- |[-т,т], | 0+ |([°2т,т])	(1-4)

следует из принципа максимума, а неравенство

□ л 2

о 41 ?7„ |йу max 10~, 0+||1Д_Г>Г] + 47’Мо = Мг (1.5)

С/л 2,asj’

получается после умножения уравнения (1.3) на разность 0„ — 0,
где

0 (х, t) = 0~ (0 + ^j-1 [0+ (0 - 0“ (*)],

и интегрирования по частям по области Qr.

В силу выбора функций Фп функции Un равномерно ограни-
чены:



а значит, постоянная М2 в неравенстве (1.5) не зависит от номера».

Основная оценка получается так же, как и в § 3 гл. I, после
умножения уравнения (1.3) на разность (dQn/dt — dQ/dt) и интег-
рирования по частям по области QT:

+ м2

1,СГ 2

= а0М3.	(1.6)

Покажем, что последовательность {0„} равномерно ограничена
в пространстве #“ “/2(Qr):



(1.7)

Для этого, как было установлено в § 3 гл. I, наряду с оцен-
ками (1.4), (1.6) достаточно, чтобы

шах
iS(-T,T)



(1-8)
Оценка (1.8) получается так же, как и оценка (1.6), но только
после интегрирования выражения

\ St дх2 / \ St dt ) О

вначале по области Й, а затем по времени в пределах от £*п) до t,
it	+ i , при условии, что ограничена величина

<19>

Существование такого значения i(,n) из интервала (-Т, Т) и
оценка (1.9) следуют из (1.5) и теоремы о среднем:

Суммируя все оценки, видим, что из последовательностей {0„}
и {{/„} можно извлечь подпоследовательности (оставим за ними
первоначальные индексы) такие, что: Un(x, t) слабо сходится в
Г2(Фг) к измеримой ограниченной функции U^E„(QT); 0„(;r, t)
сходится сильно в Я7'т/2(йт) и слабо в И^’Чйу) к функции
0еЯм/2(йт)пС(Йт).

Переходя к пределу в интегральном тождестве (1.2) для функ-
ций (Un, On), убеждаемся в том, что пара функций (U, 0) удовлет-
воряет тождеству (1.2) и во всех точках области Йт будет 0 = %(С7).

Теорема 2. Ограниченное периодическое по времени обоб-
щенное решение задачи Стефана единственно.

Отличие в доказательстве данного утверждения от аналогич-
ного утверждения в § 3 гл. I (для непериодических решений)
состоит в построении приближенных решений сопряженной задачи,
где необходимо сослаться на результаты И. И. Шмулева [94].

§ 2. СТРУКТУРА ПЕРЕХОДНОЙ ФАЗЫ

ДЛЯ ЗНАКОПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ Йо.

В этом параграфе рассмотрим случай 0_(£)<О, 0+(£)>О.
Основным результатом здесь является доказательство того, что
переходная фаза занимает область йОО   ((z, i) IR (t)<Zx<Z R+ (t),
— 00 < t <Z 00}, где — 1 < R~ (t) R+(t) < 1, слева от границы x =
= R~(t) находится твердая фаза, а справа от границы x = R+(t)—
жидкая фаза.

Допустим, что этот факт уже установлен. Положим тогда
Uо (х) = U(х, 0), где U (х, t)—периодическое по времени обобщен-
ное решение задачи Стефана.
Рассмотрим задачу Стефана

SU д20	„ . /л '

= —т, xeQ, (е О, оо)
dt дх2

0 (± 1, /) = 6± (/), t е (0, оо);

U (х, O) — Uo(x), x^Q.

(2.1)

С одной стороны, в силу единственности обобщенного решения •
задачи Стефана (теорема 10 § 3 гл. I) решение этой задачи совпа-
дает с найденным в § 1 настоящей главы периодическим по вре-
мени обобщенным решением задачи Стефана.	!

С другой стороны, из результатов гл. VI следует, что найдется 5
значение времени t*, выше которого решение задачи Стефана (2.1) |
будет классическим, независимо от величины UQ(x) на интервале
(7?~(0), R+(0)). Но так как данное решение периодическое по вре-
мени с периодом Т и переходная фаза существовала в момент вре-
мени t = 0, то она существует и в моменты времени t = T, 2Т, ...
..., кТ, где кТ > t*. Последнее противоречит ранее полученному
результату, т. е. переходная фаза отсутствует во все моменты вре-
мени, а периодическое по времени обобщенное решение задачи
Стефана является классическим: существует непрерывно дифферен-
цируемая периодическая с периодом Т функция R(t) такая, что
область Q^ = {(ж, t) | — 1 < x<Z R (i), 1t1 <оо} занята твердой фа-
зой, а область й£= {(ж, t) | R (t) < х <1, 111 < оо}—жидкой фазой. -

Таким образом, достаточно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 0+(£)> 2[J = const>
> 0, 6~(£)^ —2J3 < 0, fe(—°°, оо). Тогда существуют две периоди-
ческие с периодом Т функции R~(t) и R+(t) такие, что область
Q^ = {(я, t) | — 1 < х <R~(t), 11 |<оо]занята твердой фазой, область
Q1 = I (х, t) \R~ (t)<Zx< R+(t), 111 < оо)занята переходной фазой,
а область Qi — {(ж, i) | R^~ (i) < я < 1, 111 <Z oo } — жидкой фазой.

При доказательстве теоремы 3 будет использована

Теорема 4 (А. С. Кронрод, Е. М. Ландис [46]). Для почти
всех е множество уровня {(х, t) |0(ж, £) = е} дважды непрерывно
дифференцируемой в прямоугольнике Qr функции 0 состоит из ко-
нечного числа замкнутых или разомкнутых гладких спрямляемых
непересекающихся кривых, вдоль которых

(2-2>

с концами, выходящими только на границу dQr, и разделяющих
множества {(х, t) |0 > е) и {(х, t) |0 < е).

Эта теорема является аналогом известной теоремы Сарда [74]
о том, что мера складки отображения /: R" -► Rm (т. е. множества
тех точек а е R”, для которых хотя бы в одной точке множества
{a;e Rnlf(x) = a} дифференциал функции / имеет ранг, меньший чем
min(m, п)), равна нулю.
Доказательство теоремы 3. Пусть Й^ есть множество
{(х, i)eQool0(rc, 1)<0). Аналогичным образом определяется область

Из принадлежности функции 6 пространству Гельдера Ят,т/2(йоо)
следует, что каждая из областей Й^ и й£ содержит полосу шири-
ной 6, примыкающую к соответствующей границе. Постоянная б
зависит от нормы Гельдера функции 0 и числа 0,

20 = min Г min | 0~ (i)|, min 0+(f)\.
yt=(0,oo)	tS(0,°o) J

Во внутренних точках областей йу = ЙЙ П йт дифференциаль-
ные свойства функции 0 зависят только от дифференциальных
свойств функции Ф. Следовательно, 0 по крайней мере дважды
непрерывно дифференцируема в каждой замкнутой подобласти
из йу.

Чтобы воспользоваться теоремой 4, для каждого п рассмотрим
бесконечно дифференцируемую монотонную функцию 4f(s), равную
s, если $<—1/п, и нулю, если s>— 1/2п. Функция ЧИ[0(гг, £)]
удовлетворяет всем условиям теоремы 4, а ее множество уровня
{(ж, £)|Чг[0(а:, £)] = —е), е > 0, совпадает с множеством уровня
{(х, t) |0(лс, t) = — е), если е > 1/п.

По теореме 4 существует значение е„, лежащее в интервале
(1/п, 2/и), для которого множество уровня {(я, t) |0(х, £) = — еп}
состоит из конечного числа спрямляемых кривых, вдоль которых
выполнено неравенство (2.2). Без ограничения общности можно
считать, что и множество {(х, t) |0(я, £) = еп} в области йт состоит
из конечного числа спрямляемых кривых, вдоль которых справед-
ливо (2.2).

Числа п выберем настолько большими, чтобы е„ < 0. Тогда все
разомкнутые линии уровня не могут выходить на границу области
й„. Они начинаются или кончаются только на прямых {t = — Т}
и {t = T).

Всюду внутри области йт температура 0 удовлетворяет урав-
нению теплопроводности

a(0)g = g, а(0) = Ф'(0),	(2.3)

и из принципа максимума [52, с. 175] следует, что линия уровня
L — {(x, t) 10 (я, t) = — еп) не может быть замкнутой, поскольку
тогда всюду внутри нее 0(гг, £)=— е„, что противоречит (2.2).

Точно так же L не может начинаться и кончаться на прямой
{t = T}. В самом деле, если она начинается и кончается на пря-
мой (t = Т}, то температура 0 тождественно равна постоянной всю-
ду внутри области, ограниченной этой прямой и линией L.

Покажем, что каждая линия уровня L — {(x, t) |0(я, t) — — en),
начинающаяся на прямой {t = —Т} и кончающаяся на прямой
{t = Т}, есть кривая x = R~(t), t^(—T, Т), с функцией R~ класса
W\ (— Tr Т). Для этого достаточно убедиться в том, что в парамет-
рической записи

L:x = x(s), t = t (s), se(0, S),
функция t(s) строго возрастает.

Принадлежность функции R~ пространству (— Т, Т) следу-
ет из спрямляемости кривой L:

f /, . dR~ (t) 12У/2 ,. Q .

—T

Итак, допустим противное. Существуют значения Si < s2 такие,
что t(s1)=t(s2). Возможны две ситуации:

(I)	Кривая 1=_{(х, f)e=L|ss J = (slt s2)) имеет точки, лежащие
ниже прямой {t = t (si) = const), т. e. хотя бы при одном значении
se/ t (s)< t (s4_);

(II)	t(s)=t(Si) для всех se J.

Возможна и третья ситуация, когда кривая I целиком лежит
выше прямой {t = t(«i) = const). Но поскольку «(«^<7 и конечная
точка кривой L лежит на прямой {t = Т}, то существуют две другие
точки s3 и s3 < s2 < з4, такие, что t(sa)= t(sl) и кривая
{(х, _t)^ Lls^(s3, з4)) имеет точки, лежащие ниже прямой
{£ = t (s3) = const) (в частности, точка x = x(s2), f = t(s2)). Тем са-
мым, переобозначая величины з3 и з4, мы попадаем в ситуацию (I).

Пусть реализуется первый случай. Всегда можно считать, что
F(s)< t ($,)= t (s2) при всех s^J. Это следует из теоремы о струк-
туре открытых множеств на прямой [45]: множество точек, в ко-
торых непрерывная функция f(s)= t (s4) — t (s) положительна, от-
крытое и состоит из объединения не более счетного числа открытых
интервалов. В качестве J можно взять один из таких интервалов.

Выбранная кривая I, на которой 0 = —еп, и прямая {t = t(Si) =
— const) ограничивают область G, внутри которой 0 удовлетворяет
уравнению (2.3). Следовательно, максимум и минимум функции 0
может достигаться только на нижней «параболической» границе I,
где 0 = —е„. Таким образом, 0(х, t) тождественно равна постоян-
ной всюду в области G, что невозможно, так как в этом случае ее
первые производные тождественно равны нулю всюду в G, в том
числе и на I.

Если реализуется вторая ситуация, то

0 (х, t) = — Еп, = ^4(х, t) = 0 при (х, t) €= I.
OX

Обращаясь к уравнению теплопроводности для функции 0 и
учитывая строгую положительность функции а(0), видим, что

|| (х, t) = 0 при (х, t) е I.

Полученные равенства противоречат (2.2).

Пусть L есть линия уровня, начинающаяся на прямой {t = —Т}
и кончающаяся на прямой {t = T} с непериодической по времени
функцией Рассмотрим кривую L(1), полученную сдвигом по
времени на период части кривой L, лежащей в полосе
{(я, Z) I—T<t<0}. Один из концов Lw выходит на прямую
{t = 0}, а другой — на прямую {t = Т}. Так как L(1) входит в мно-
жество уровня {(ж, 1)10(х, t)=— еп}, то по теореме 4 она должна
быть частью линии уровня Lm, концы которой выходят на грани-
цу области QT. Поскольку один из концов L<2) расположен на пря-
мой {t = Т} и оба конца Lt2> не могут находиться на этой прямой,
го единственно возможным является расположение другого конца
Lm на прямой {t — —Т}. Указанный процесс продолжим неограни-
ченно, что противоречит конечности числа компонент множества
уровня.

Пусть теперь L есть линия уровня, начинающаяся и конча-
ющаяся на прямой {t = —Т}. Полностью аналогично предыдущему
показывается, что L состоит из двух ветвей L, и L2, каждая из
которых описывается уравнением x = ht(t) на интервале (—Т, t*)
и =A2(i#). Если ^<0, то кривая £(1), полученная из L
сдвигом на величину Т, должна быть частью кривой Lm, концы
которой расположены на прямой {t = —Т}.

В противном случае кривая L(2), начинающаяся на прямой
{i = —Т} и кончающаяся на прямой {t = Т}, имела бы локальные
максимумы и минимумы внутри Qr и, следовательно, не описыва-
лась бы уравнением x = R~(t). Последнее не соответствует ранее
полученному результату.

Кривая Lm, так же как и L, состоит из двух ветвей
i = l, 2, каждая из которых описывается уравнением x = h^(t),
— Т ^.t	, где величина в отличие от t*, уже положи-

тельная. Но тогда кривая £(3), полученная из части ^i2), лежащей
в полосе {(х, £) I — Т <£<€>}, сдвигом по времени на период, яв-
ляется частью непериодической кривой L(i), начинающейся на пря-
мой {t = —Т} и кончающейся на прямой {t = T}. Как было пока-
зано ранее, таких линий уровня не существует. Таким образом, все
линии уровня L описываются на интервале (—Т, Т) уравнением
х = Нп (0 с периодической по времени функцией Нй (О-

На самом деле каждое множество уровня состоит только из
одной компоненты, поскольку если бы были две кривые, вдоль
которых 0 = —еп, то в области Q, ограниченной этими кривыми
и прямыми {t = — Т} и {t = Т), функция 0 была бы тождественно
равна постоянной. Последнее невозможно, так как равенство

&’ОГ + |Йсм)Г = °,

в силу непрерывности первых производных выполнялось бы и на
самих линиях уровня, что противоречит (2.2),

Точно так же показывается, что линия уровня {(х, t) |0(х, t) =
= е„) есть кривая х =	(0 с периодической функцией Rn из про-

странства Wi [— 7, Т].
Всегда можно считать, что последовательность {е„} строго убы-
вает. Тогда последовательность функций (7?,?! будет строго возра-
стать, а последовательность функций — строго убывать.

Пусть

7?- (i) = lim (t), t <=(— T, T).
oo

Очевидно, что

~i<R-(t)^R+(t)<i, te(-T,T).

По построению левее линии х = Rn (t) температура строго
меньше чем —е„, а правее линии х = Rn (i) — строго больше чем
е„*. Так как других линий уровня в области Q^, нет, то в области
{Gr, t) | R„ (t) < x<Z Rn (t), I Z| < o°} модуль температуры строго
меньше чем е„. Но тогда в области Q«> = ((х, t)\R~ (t)<Zx<ZR+ (t),
11 < оо ] температура тождественно равна нулю.

Итак, на самом деле множество тех точек, в которых периоди-
ческое по времени обобщенное решение задачи Стефана 0 строго
отрицательно, состоит из одной связной компоненты Q^, правая
граница которой есть кривая x = R~(t). Аналогично множество тех
точек, в которых решение 0 строго положительно, состоит из одной
связной компоненты Qi, левая граница которой есть кривая
x = R+(l).

Можно показать, что функции R~(t) и R+(t) непрерывны, но,
как видно из рассуждений, приведенных в начале параграфа, до-

_________________________________	— "Ь
статочно только знать следующее: существуют точки ,
— 1 < х~ Хд <Z 1 такие, что 0(х, 0)<0 при х^(—1, х^),
0(х, 0) = 0 при х е (xj7, х^) и 0(х, 0)> 0 при х е (х^, 1).

Замечание. Как и в гл. V, требования на гладкость функ-
ций 0+(£) и 0_(i) можно снизить. А именно, утверждение теоре-
мы 3 справедливо и для функций 0~ (t), 0+ (£) s W% [— 7', Г].

§ 3. СЛУЧАИ ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ФУНКЦИИ 0 + (О

Если выполнены все условия теоремы 1, то, как было пока-
зано в § 1 настоящей главы, существует единственное периодическое
по времени обобщенное решение задачи Стефана (U, 01, удовлетво-
ряющее краевым условиям (1.1) и интегральному тождеству

(П^-г/^Ьхйг = °
J (до; дх	dt J

для произвольной функции ср <= Wl’1 (Qt), равной нулю на гра-
нице области Q. При этом U s£„(Qr), IFi^Q?) П (О, Т‘,
иЭД) Л н™'2(йт)-
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда 0~(i)<O
при всех ie[0, Т], а 0+ (t) > 0 при ie(0, t0) и 0+ (t) < 0 при

Т). Так же, как и в § 2, покажем, что обобщенное решение
на самом деле является классическим, т. е. в области QT суще-
ствует конечное число линий, разделяющих я$рдкую и твердую
фазы.

Для этого в первую очередь исследуем структуру множеств
{(х, t) 10(ж, £) = ±е), где 8>0 — достаточно малое число. Как и в
§ 2, заключаем, что согласно теореме 4 А. С. Кронрода и Е. М. Лан-
диса найдется положительное число 8 < {3 такое, что каждое мно-
жество {0(х, i) = e} и {0(я, i)= — е} из области Qr состоит из ко-
нечного числа непересекающихся гладких спрямляемых кривых,
вдоль которых

|2И2+1яМ>0-

Эти кривые не могут быть замкнутыми, а начинаются или кон-
чаются на прямых {i = ±Т) или на границе {х — 1). При этом
число 8 можно считать настолько маленьким, что концы указанных
кривых на границе {х = 1} расположены в малой окрестности точек
t — —T, -Т + tB, 0, i<>, Т.

В отличие от предыдущего параграфа в рассматриваемой ситуа-
ции существуют непериодические кривые, начинающиеся на пря-
мой Й = —Т) и кончающиеся либо на прямой {i = 7’}, либо на
границе {х = 1}, либо на прямой {i = —Т}, и начинающиеся на
границе {х = 1} и кончающиеся на прямых {i = ±7’} либо на гра-
нице {х = 1).

Каждая из таких кривых в области QT есть часть линии уров-
ня из Qoo, которая начинается на границе {х = 1} в некоторой точ-
ке ti и кончается на той же границе в некоторой точке i2, причем
lt2— ti\<T, и все непериодические линии уровня из Qoo есть копии
какой-то одной фиксированной линии, получающиеся из нее сдви-
гом по времени на величину кТ, к = ±1, ±2, ....

В самом деле, рассмотрим область Q2T. В силу периодичности
решения 0(х, i) по времени структура линий уровня в полосе
{($, i)e Q2tI0 < t 2Т} та же самая, что и в области Qr. В частно-
сти, ни одна из линий уровня не может кончиться внутри указан-
ной полосы. Иначе говоря, если непериодическая линия уровня L
из Qr кончается на прямой {t = Т}, то она есть часть линии уровня
L(1) из Q2T, которая может начинаться на прямой {t = —2Т} либо
на границе {х = 1}, а кончаться на прямых {i = ±27’} либо на гра-
нице {х = 1).

Если Lw начинается на прямой {t — —2Т}, а кончается на
прямой {i = — (Zc +l)/1}, либо на границе {ж = 1} и кончается
в области Q3T. На каком-то шаге процесс обрывается, т. е. L есть
часть линии уровня Lm из области Q(k+1)T, которая начинается на
прямой {t = —(ТсЧ-!)?1}, либо на границе {х = 1) и кончается
там же. В противном случае в Qoo нашлась бы по крайней мере
одна непериодическая линия уровня один из концов которой
не выходит на границу области Qe. Вспоминая, что 0(х, t) — пе-
риодическая по времени функция, и возвращаясь к области QT,
видим, что в этом случае в QT существовало бы счетное число
непересекающихся линий уровня, что противоречит, теореме 4.

Если линия Lw начинается либо кончается на прямой
{t —— (k + i)T}, 'то, рассматривая расширяющиеся области
й(*+1)т<= й()1+2)т<=... , получим, что Lw есть часть линии уровня
L(m> из Q(m+i)T, которая начинается и кончается на границе
{х — 1}.

Опишем детальнее эти линии уровня. Рассмотрим только «край-
ние» линии уровня, т. е. линии, концы которых лежат в достаточно
малой окрестности точек t = —Т, +i0 — Т, 0, i0, Т на границе
{х = 1} и наиболее удалены от этих точек. Возможны три ситуации.

В первой, назовем ее ситуацией (а), линия уровня {0(х, f)=e}
в области начинается в точке t* на границе {х = 1}, где ti < t0
близка к t0, и кончается в точке на той же границе, где
tz > Т и близка к Т. Эта линия L+ и граница {х = 1} ограничи-
вают область Q+. Внутри области Q+ расположена линия уровня
{0(х, t)=— е}, которая начинается в точке 1? на границе {х = 1),
где > t0, и кончается на той же границе в точке tz, tz < Т.
Указанная линия L~ и граница {ж = 1} ограничивают область Q~.
Для L~ термин «крайняя» означает, что всюду внутри Q~ темпера-
тура строго меньше чем —е.

Все остальные непериодические линии уровня получаются из
описанных сдвигом по времени на величину кТ, к = ±1, ±2, ....
Для L+ термин «крайняя» означает, что всюду вне области Q+ и
вне областей, полученных из нее сдвигом по времени на величину,
кратную периоду, температура строго больше, чем е. Но так как
на границе {х=—1} температура строго отрицательна, то должна
существовать в точности одна периодическая линия уровня мно-
жества {0(х, t) — e}, разделяющая границу {х==—1} и указанные
множества. В свою очередь, поскольку температура на границе
{х = —1} строго меньше, чем —е, то существует в точности одна
линия уровня L~ множества {0 (х, t) = —е), разделяющая линию
и границу {х = —1). Температура слева от Lo строго меньше
чем —е, и —е<0(ж, £)<е для всех точек (х, t), находящихся
между линиями и

Во второй ситуации, назовем ее ситуацией (6), линия L~
множества {0(ж, £) =—е) в области начинается в точке ti на
границе {х = 1}, где t± < 0 и близка к 0, и кончается в точке tz
на той же границе, где tz > t0 и близка к t0. Эта линия L~ и гра-
ница {х = 1} ограничивают область Q~. Внутри области Q~ распо-
ложена линия уровня {0 (х, t) — е}, которая начинается в точке <i
на границе {х = 1), где t± > 0, и кончается на той же границе в
точке tz, t^ < t0- Указанная линия L+ и граница {х = 1} огра-
ничивают область Q+.
Все остальные непериодические линии уровня в Q.» получаются
сдвигом по времени описанных линий L* на величину, кратную
периоду. Всюду в области Q+ температура строго больше чем е,
а всюду вне Q~ и областей, полученных из Q~ сдвигом по времени
на величину, кратную периоду, температура строго меньше чем —е.
Поэтому периодических линий уровня множеств {0(;r, 1)=±е1
не существует.

В последней ситуации, назовем ее ситуацией (с), линия Z+
такая же, как в случае (Ь), а линия Ъ~ такая же, как в случае (а).
В этом случае области (?*, ограниченные кривыми Л* и границей
{х = 1}, не имеют общих точек. Вне областей Q* и их копий, по-
лученных сдвигом по времени на величину, кратную периоду, тем-
пература меньше чем е, и больше чем —е. Следовательно, найдется
в точности одна периодическая линия Z»o множества {0(х, i) = —е},
разделяющая области Q± и их копии и границу {х = 1}.

В оставшихся ситуациях, отличных от (а) — (с), нашлись бы
линии уровня, пересекающие друг друга, что противоречит
теореме 4.

Как устроены линии Z,^ и L*? Из результатов предыдущего
параграфа следует, что определяется равенством х —	(£)

с периодической по времени непрерывной функцией R^ (t).

Точно так же показывается, что если t* = max [t | (х, t) е Z/^),
то Z* состоит из двух линий. Одна из них начинается в точке
t — на границё {х = 1} и определяется равенством х = R± (t)
на интервале t*). Другая начинается в точке t=f% на
той же границе {х = 1} и определяется равенством х = Z?j (£) на
интервале tt). В точке t* будет R± = R$.

Пусть теперь последовательность положительных чисел {еД
подобрана в соответствии с теоремой 4 и

lim е„ = 0 при п -> оо.

Понятно, что структура линий уровня {(х, /1)|0(ж, /) = ±еп} при
достаточно большом п описывается ситуациями (а), (Ъ) или (с)
и остается такой при дальнейшем возрастании п. Через Q*,®
обозначим множество тех точек из Q„, в которых модуль темпера-
туры строго меньше чем е„. В ситуации (а) это множество (?п,
______	г 4-
лежащее между двумя периодическими линиями уровня =
= {(х, t) 10 (х, t) = ± еп), множество Qt\Qn< заключенное между
линиями уровня Z± = {{х, t) 10 (х, t) = ± еп} и границей
{х = 11, а также его копии, полученные сдвигом по времени на
величину, кратную периоду. В ситуации (Ь) это множество
Qn \Qn и его копии, полученные сдвигом по времени на величину,
кратную периоду. И наконец, в ситуации (с) множество Q*,®
есть множество точек из Q», лежащее правее единственной перио-
дической по времени линии уровня L^n. = {(я, t) | 0 (х, t) = — еп}
и не содержащее точки множеств Q„ , Qn и их копий, получен-
ных сдвигом по времени.

В каждой из ситуаций (а) — (с) множество Й*|ОО пересекает
прямую {t = 0} по конечному числу связных интервалов
.7”,	3^kn- Понятно, что число этих интервалов зависит от рас-

сматриваемой ситуации. При увеличении номера п множества й*>00
образуют убывающую последовательность: Q*,<» Q*+i>00. То же
hn

самое справедливо и для множеств .7” = J .7", Зп^>Зп"г'-. При
1=1

этом в каждом из трех случаев общее число интервалов .7" с ро-
стом п может изменяться, но остается ограниченным сверху по-
стоянным числом, не зависящим от п. В самом деле, для случаев
(а), (Ь) фиксируем некоторое п = п0. Пусть количество интервалов
«7"° ограничено числом кй. Тогда легко видеть, что общее число
интервалов -7J‘ при п > п0 ограничено сверху числом 2/с0 и не за-
висит от п. Случай (с) является переходным между (а) и (Ь).
Поэтому эта же оценка на общее число интервалов .7” справедли-
ва и для случая (с). По построению на интервале 3/ = 1, ..., кп,
к„ < ка, модуль температуры меньше чем еп. В пределе на каждом
оо

из интервалов <7j — |~| <7" температура тождественно равна нулю.
«=1

Таким образом, в момент времени t = 0 в области Q присут-
ствует конечное число связных компонент жидкой, твердой и пе-
реходной фаз. Положим Uo(x)=U(x, 0). Рассмотрим решение за-
дачи Стефана Ш, 0), в котором U совпадает в начальный момент
времени с функцией Uo(x), а 0 совпадает на границе {х = ±1} с
функцией 0±(О- Как следует из результатов § 4 гл. VI, у этой
задачи существует единственное обобщенное решение с конечным
числом связных компонент жидкой, твердой и переходной фаз в
области {(z, t) lx е Q, ie(0, 71)}.

Вспоминая теорему единственности, заключаем, что периодиче-
ское решение {U, 0} совпадает с {V, 0}. Значит, у периодического
по времени обобщённого решения задачи Стефана в области Qr ко-
нечное число связных компонент жидкой, твердой и пере-
ходной фаз.

Пусть ^7 (i) — сечение какой-либо связной компоненты пере-
ходной фазы. В гл. VI было доказано, что интервал Э (t) с ростом
времени строго убывает: У 3? (х), если t<T. С другой стороны,
в силу периодичности решения 3f(t) = У (t + Т). В частности,
.7(0) = .7(Г). Полученное противоречие показывает, что у периоди-
ческого по времени обобщенного решения задачи Стефана переход-
ная фаза отсутствует вообще и это решение является классическим.

Какая структура у найденного периодического по времени клас-
сического решения задачи Стефана? В соответствии с рассмотрен-
ными выше случаями возможны три ситуации.
Рис. 14.

В ситуации (а) существует одна связная компонента жидкой
фазы, которая отделена слева от связной компоненты твердой фазы,
примыкающей к границе {х = — 1), периодической кривой x = Ra(t)
и от связных компонент твердой фазы, примыкающих к границе
{ж = 1}, непрерывными кривыми x = Rl(t + kT) и x = R2(t + kT).
При этом кривая x = Ri.(t) начинается на границе {« = 1} в точке
£ = £0, а кривая x = 7?2(i) начинается на той же границе (х = 1} в
точке t = Т, и обе они пересекаются в точке (ж*, t%) где х* — Ri (i#)t
г = 1, 2 (рис. 14). Функции Ri(t), i = l, 2, непрерывно дифферен-
цируемы всюду вне точек t = t0, t* и t — T, t* соответственно.
Периодическая функция R<>{t) непрерывно дифференцируема при
всех ie(—оо, оо).

В ситуации (Ъ) каждая связная компонента □<&) жидкой
фазы примыкает к границе {х = 1} и отделена от единственной
связной компоненты твердой фазы двумя непрерывными кривыми
x = Ri(t+kT) и х = Rz(t + кТ). Кривая x = /?t(t) начинается на
границе {ж = 1} в точке £ = 0, а кривая x = R2(t) начинается на
той же границе в точке t = t0, и обе они пересекаются в точке
(а?*, £„.), где х* = Ri (t*), i = l, 2 (рис. 15). Функции Ri(t),
i = 1, 2, непрерывно дифференцируемы всюду вне точек 0, t* vLt0, t*
соответственно.

В ситуации (с) (рис. 16) существует одна периодическая по
времени кривая х = 7?0 (f), непрерывно дифференцируемая всюду
t

Рис. 16.

вне точек t = t* + Hlft = U, ±1,
±2, ..и отделяющая связную
компоненту твердой фазы, примы-
кающую к границе {х = —1), от
связных компонент жидкой и
твердой фаз, примыкающих к
границе {х = 1}. Как устроены
компоненты, примыкающие к гра-
нице {х = 1}? Связная компонен-
та жидкой фазы, примыкающая
к отрезку (0, t0) на границе
{х = 1), ограничена этой границей,
линией х = Ra (t) и двумя линия-
ми x = R((t), i=i, 2, определен-
ными при значениях времени из
интервалов (0, t* — Т) и
соответственно. Связная компо-
нента твердой фазы, примыка-
ющая к границе {х = 1} по отрез-
ку (t0, Т), ограничена этой
границей, линией x = T?2(t). где
t е (t0, t*), и линией x = R1(t —
— Т) при t е (Т, t#). Функции
fli(t), i = 1, 2, непрерывно диффе-
ренцируемы всюду в области опре-
деления вне точек 0, t* — Г и t0,t*

соответственно. Все остальные компоненты жидкой и твердой фаз,
примыкающие к границе (х = 1), получаются из описанных сдвигом

по времени на величину, кратную периоду.
Оказывается, если величина

т

Р = f {0+ (t)-0~(t)}dt

О

(3.1)

отлична от нуля, то можно оценить размеры связной компоненты,
примыкающей к границе {х = 1). Для этого необходимо более де-
тальное знание дифференциальных свойств решения 0 (х, t).

В первую очередь покажем, что во всех трех случаях произ-
водная дд/дх суммируема на интервале (О, Т) при х = ±1. Рассмот-
рим для определенности ситуацию (Ь). Область Q+, ограниченная
линией x = Ri(t) и границей {ж = 1) и лежащая в полосе
{(х, t) 10 < t < б0}, занята жидкой фазой, и в ней

Йф<0)=5’	<3‘2>

’|зо аМ

К *4tQ+’

max |J?(t)|

<е(0,в0) I dX ll2,Q+(t)J

(3.3)

Постоянную fio можно выбрать настолько малой, что область
Q~ = {(x, t)|/?1(2S0)<x<fl1(t), 0<t<6») занята твердой фазой.
При этом на границе {ж = Я1(2бо)) температура строго отрицательна
и, следовательно, непрерывно дифференцируема:

| g(26«), 0 |< М, t е (0, б0).	(3.4)

В области Q~ температура удовлетворяет уравнению (3.2) и для
нее справедливы оценки, аналогичные (3.3). Очевидно, что на гра-
нице раздела фаз x = Ri(t) выполняется условие Стефана

й (Я, (0 - о, о - й (Я,(<) + о, «) -	(3.5)

Функция 6(х, t) достигает своего минимального значения в Q*
на границе х — Ri(t). Следовательно,

g(7?1(f) + 0,i)>0. t<=(0, 60).

С учетом последнего неравенства, представления

1

£<*• <)-£(«.«)+«• »> + j
Я1(()

(3.6)

условия Стефана (3.5) и оценок (3.3), (3.4) имеем

®0

f|g(l. t)\dt^ f || (Ях(0 + о,. t)dt +
I C/kC	I	UX

о	0

dxdt

6o	®o

< - j ~dF~ dt + J I?x (^ <*) - °t *) Idt + MImes (e+) l1/2«
о	0

В области Q~ справедливо представление, аналогичное (3.6), из
которого вытекает неравенство
во

J 1№ (Г) - 0, t) | df < М + М| mes ((Г) |1/2.	(3.7)

О

Суммируя два последних неравенства, окончательно получим
во

J |Ц (1> 01 dt < 1 — 7?! (60) + М {1 + | mes (<>+) |V1 + | mes (<?~) |1/21-

Для оценки производной ||(1, t) на интеравле (6Q, tj вос-
пользуемся представлением

|gd^)|a = |i!(^0|2 + 2j||(x,.)g(x,0dz.	(3.8)

хо
Если 7?i(i0)<l, то после интегрирования (3.8) по переменной !
х0 в пределах от R,(t) до 1 и по времени в пределах от 60 до ta I
следует требуемое утверждение.	1

Если Ri(t0)=l, то проинтегрируем (3.8) по х0 от R,(t) до 1 1
и по времени от б0 до i0 — §i, где 6i — некоторое достаточно малое !
положительное число. Поскольку функция (1 —7?i(i)) строго поло- ]
жительна на интервале (60, i0 — 6,), то получим, что |^(1, t) сумми- j
руема на интервале (60, io — 6,). Суммируемость ^(1, i) на интервале
(i0 — б,, i0) доказывается так же, как и для интервала (0, б0).	’

Аналогичным образом рассматривается интервал (i0, Т) и си- j
туации (а) и (с). Поскольку на границе {х =—1) температура 1
строго отрицательна, то принадлежность функции ||(—1, i) про- |
странству L2(0, Т) следует из локальных оценок решений линейных ]
параболических уравнений.	’

Производные §j(±l, О определены и суммируемы на (О, Т), 3
следовательно, в определении обобщенного решения можно отка- |
заться от условия равенства нулю пробной функции ф на границе 5
области Q. Для этого достаточно в качестве пробной функции взять ;
произведение ф(ж, t)he(x), где <р(х, t)—уже произвольная функ-
ция из пространства И^’^йт) П С (Qt), a he(x) равна нулю при 1
х = ±1, совпадает с единицей при |л:|<1 — е, непрерывна в Q и ,]
линейно зависит от х вне отрезка [—1 +в, 1 — е]. Требуемое тож- 1
дество получится после перехода к пределу при е -*• 0 в (2.2) и ?
использования теоремы о среднем:	>

dt. (з.9) з

J J \ дх дх dt J	,1 [ Зг)ж=-1	'	<

Sr	-Т

Полагая в тождестве (3.9) ф = 1 + ж и ф = 1 — х, получим ра-
венство

т	т

<зл0>
о	о

Очевидным образом интегральное тождество (3.9) распростра-
нится на область ЙХ(0, т), где т — произвольное положительное
число, и на непериодические пробные функции. Для этого достаточ-
но в качестве пробной функции рассмотреть функцию ф(х, i) =
= q>(x, t)he(t), где ф(х, i) — произвольная функция из простран-
ства W^’1 (QT) Q C(QT), a he(t) — непрерывная функция, равная
нулю при t < 0 и i > т, совпадающая с единицей в интервале
[е, т — е] и линейная по i в оставшихся точках. Подставляя ф в
(З.У) и переходя к пределу при е -* и, получим

j JfsS - и Я dxd‘ + J и V ’> * 1Й -

О Й	Й

И, .ч 30,	.

<₽(^>	t)

о

х=1

dt.

х=-1

(3.11)

Рассмотрим ситуацию (Ь), и пусть Р<0. Если x=Ri(t) есть
левая граница связной компоненты жидкой фазы, примыкающая к
отрезку (0, t0) на границе {а: = 1), то производная (Px(i) + 0, t)
строго положительна на интервале (0, t*) и суммируема. Это еле-'
дует из условия (3.5) и оценки (3.7).

Пусть (к — 1) Т < t* кТ. Возьмем в интегральном тожде-
стве (3.11) х ~(к — 1)Т и в качестве пробной — функцию <ре(я, t),
равную при фиксированном t из интервала (0, т) нулю при
x<.Rt(t), совпадающую с единицей при х>Ri(t) + е, непрерывную
в Q и линейную по х внутри интервала (Ri(t), Z?i(t)+e). Переходя
к пределу при е -* 0, получим равенство

1	(fe—1>Т	(Ь-1)Г

J U(x,x)dx = J g(l,f)di- J g(^(t) + O, t)dt.

в1(т)	о	о

В силу периодичности рассматриваемых функций и равенства (3.10)
первое слагаемое в правой части последнего соотношения совпадает
с числом (к — 1)Р/2, а второе слагаемое отрицательное. Следова-

тельно,

1

J U (х, т) dx

Л1(Г)

>^(к- 1)|Р|.

С другой стороны, модуль функции U (х, t) ограничен сверху
величиной

Мо= шах тах|ф[0~(^)], Ф[0+(£)]|,	(3.12)

tS(0,T)

и окончательно имеем 2Ма ^(1/2) (к — 1)|Р|.

Таким образом, величина t* оценивается сверху числом
Т(4Мо/\Р\+1).

Если Р>0, то все рассуждения повторяются для области
{(х, t) I — l<i<R2(t), t0<t<(k— 1)Т). Совершенно аналогично
исследуются ситуации (а) и (с).

Сформулируем окончательный результат.

Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 1 0+(£)>О при
te(0, to) и 0+(t)<O при t^(to, Т). Тогда периодическое по време-
ни обобщенное решение задачи Стефана является классическим и
существуют три возможные ситуации ,(а), (Ь), (с):
(а)	Единственная связная компонента жидкой фазы отделена
слева от связной компоненты твердой фазы, примыкающей к грани-
це {х = —1}, периодической линией x = R0(t) с непрерывно диффе-
ренцируемой периодической с периодом Т функцией R0(t) и отде-
лена от связных компонент й(&) твердой фазы, примыкающих к
границе {х~1}, непрерывными кривыми x = Rl(t + kT) и х =
= R2(t + кТ), к = 0, ±1, ±2, ... . Функция Rt(t) определена на
интервале ft0, t*), а функция R2(t)—на интервале (Т, t*J, t* е

оо). Rpu этом Ri(t0)=i, —l<Rt(t)<l при t е (t0, t*),
R2(T)=1, —l<Z?2(t)<l при t<=(T, t*),	Rl(t)<R2(t) при

t^{T, t*) и R lit*) = R2(t*). Функции R (t), i = l, 2, непрерыв-
но дифференцируемы в области определения всюду вне точек С,
t* и Т, t* соответственно.

Если величина Р, заданная равенством (3.1), отлична от ну-
ЛЯ) то

t*<T(4(M0 + l)/|P| + 2),

где постоянная Мо определена в (3.12).

(6)	Единственная связная компонента твердой фазы отделена
от связных компонент жидкой фазы, примыкающих к грани-
це {х = 1), двумя непрерывными кривыми x — R^t + kT) и х =
= R2(t + kT), к = 0, ±1, ±2, ... . Функция Rt(t) определена на
интервале [О, t*], а функция R2(t)—Ha интервале [£0, £*],
e'[to, °°). При этом Z?i(O)=l, — 1 < 7?i(t)< 1 при te(0, t*),
Л2(/0)=1, — 1 </?2(t)< 1 при t^(t0,t*), Rt(t)<R2(t) при
ts(t0, t*) и Ri(t*) = R2(t*). Функции Ri{t), i = l, 2, непрерыв-
но дифференцируемы в области определения всюду вне точек О,
t* и tb, t-j. соответственно.

Если величина Р отлична от нуля, то

t*^Tm\p\ + P).

(с)	Связная компонента твердой фазы, примыкающая к гра-
нице {х =—1), отделена от связных компонент жидкой и твердой
фаз, примыкающих к границе {х = 1), непрерывной периодической
с периодом Т линией x = RQ(t). Функция Ro(t) непрерывно диф-
ференцируема всюду вне точек t=t^ + kT, fc = O, ±1, ±2, ... .
Связная компонента жидкой фазы, примыкающая к отрезку (О, t0)
на границе (х = 1), ограничена этой границей, линией x = R0(t) и
двумя линиями x = Ri(t), г = 1, 2, определенными при значениях
времени из интервалов {О, t*—Т] и {t0, ^*1 соответственно.
Связная компонента твердой фазы, примыкающая к границе {х = 1},
по отрезку (to, Т), ограничена этой границей, линией x = R2(t), где
te[t0, t*], и линией x = Ri(t — Т) при t^[T, t#J. При этом
«,(())= 1,	Я2(М=1,	R0(t*) = R^t* — Т) = R2(t*). Функции

Rt(t), t = l, 2, непрерывно дифференцируемы всюду в области
определения вне точек 0, t* — Т и t0, t* соответственно. Все
остальные компоненты жидкой и твердой фаз, примыкающие к гра-
нице {х =1), получаются из описанных сдвигом по времени на ве-
личину, кратную периоду.
Если Р^О, то справедлива та же оценка на г*, что и оля
случая (а).

Замечание. Как и в предыдущем параграфе, условия на
0±(?) можно ослабить и требовать только квадратичной суммируе-
мости первых производных.

ГЛАВА VIII

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МОДЕЛИ
В ДВУХФАЗНОЙ ЗАДАЧЕ СТЕФАНА

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОПИСАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В настоящей главе исследуются несколько моделей, описыва-
ющих кристаллизацию цилиндрических слитков. Это, во-первых, мо-
дель кристаллизации или плавления цилиндрического слитка, зани-
мающего область й из R3, учитывающая теплопроводность окружа-
ющей среды Q (задача Ае)). Во-вторых, приближенная модель,
описывающая тот же процесс, но в предположении бесконечной
теплопроводности материала слитка в направлениях, ортогональных
оси слитка (задача (До)) • Обсуждается также точная модель, опи-
сывающая фазовые переходы в том же слитке й, но без учета теп-
лопроводности окружающей среды Q, когда на границе П, общей
для областей Q и й, тепловой поток пропорционален разности
температуры слитка на границе П и температуры окружающей сре-
ды Q, считающейся известной (задача (Ве)). По аналогии с задачей
(Ао) строится приближенная модель (задача (.Во)), которая совпа-
дает с обычной двухфазной задачей Стефана для неоднородного
уравнения теплопроводности. В ней детально исследуются только
квазистационарные режимы (задача (С)).

Ситуации, рассматриваемые в этой главе, отличаются от обще-
принятой, когда имеется последовательность приближенных моде-
лей, в каком-то смысле аппроксимирующих точную модель. Здесь же
имеется последовательность точных моделей, зависящих от пара-
метра е > 0, которые в каком-то смысле аппроксимируются при
е0 приближенной моделью (е = 0). Аналогичная картина встре-
чается в теории поверхностных волн [72], когда последовательность
точных уравнений аппроксимируется уравнениями мелкой воды.

Приведем постановки задач. Пусть, как и ранее, Ф(0) есть раз-
рывная в точке 0 = 0 функция, равная 0 — 1 при 0 < 0, 0 при 0 > 0
и принимающая значения из интервала [—1, 0] при 0 = 0. Через
й и Q обозначим цилиндрические области из R3 с общей границей
П, фиксированной высоты и осью, параллельной оси х3 (рис. 17).
Более точно, граница сечения области й плоскостью (х3 = const)
есть замкнутая кривая f (сечение поверхности П той же плоскостью

13 А. М. Мейрманов

193
Рас. 17.

ток,— с температурой этой

= const/, совпадающая с внутрен-
ней границей сечения области Q
плоскостью {х, = const}, которое, в
свою очередь, является областью ти-
па кольца. Положим также G —
= Q I) П I) (), F = dG, а проекцию об-
ласти G на ось х3 обозначим через I.
В задаче (Ло) Z = (—1, 1), а в задаче
(С) I совпадает со всей прямой R.

Пусть г) (я:) —характеристиче-
ская функция области Q, равная в
ней единице и нулю вне ее. Будем
считать, что удельная внутренняя
энергия вещества слитка совпадает
с функцией Ф(0), где 6 —темпера-
тура слитка, а удельная внутренняя
энергия среды, окружающей сли-
среды. Тем самым мы предполагаем,

что температура плавления вещества слитка равна нулю, а вне
слитка фазовые переходы отсутствуют. С учетом сказанного заклю-
чаем, что удельная внутренняя энергия среды, заполняющей об-
ласть G, равна

^Ф0(г, 0) = т]Ф(0) + 0(1-т]).

(1-1)

Если 0 = х(м)—зависимость, обратная зависимости и = Ф(0),
то всюду в G

0 = т)Х(а) + (1	«)•	(1-2)

Среду, занимающую область Q, считаем изотропной, и коэффи-
циент теплопроводности в ней равным единице. Наоборот, вещество
слитка считаем анизотропным с различными коэффициентами теп-
лопроводности Xi в различных направлениях х,:

Xi = x2 = l/e, х3 = 1, е<с1.

Коэффициенты теплопроводности в области G равны тогда

х1 = х2=(1/е)т] + 1 —ц, Хз = 1.	(1.3)

Задача (Ле). В области GT = GX(0, Т) требуется определить
решение и (х, t) уравнения

з

Dtu = S Di (xjDjO), 0 = Хо (*. и)	(1.4)

. в смысле теории обобщенных функций, удовлетворяющее на границе
ZFj = ZF X (0, 7) краевому условию

dQ/dn = О,

(1.5)

где п =(nt, п2, Пз) —нормаль к поверхности и совпадающее в
начальный момент с известной функцией щ (х):

и(х, О)=ио(х), x^G.	(1.6)’
Если ф(х, t)—гладкая функция, равная нулю при г = т, то
задачу (Ле) можно записать в эквивалентной форме в виде инте-
грального тождества.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1.4) — (1.6)
называется ограниченная функция и8е/ЦСт) такая, что функция
0г, определенная равенством (1.2), принадлежит пространству
WZ2,0(Gt’) и для произвольных функций ф е И7^’1 (Gt), равных
нулю при t = T, выполнено интегральное тождестйо

f ) S ХгОгбе^гФ — НеВ4ф| dxdt = J Uo (z) ф (x, 0) dx. (1.7)

Выясним (пока только формально), какой будет приближенная мо-
дель (Ло), если параметр е устремить к нулю.

Как было отмечено в § 1 гл. I, решение 0е всюду внутри об-
ласти QT удовлетворяет уравнению

Dtu* = 4 (Ж + Ж) + D23Ba.

Устремляя параметр е к нулю, получим, что функция

0 (х, t) — lim 0Е (х, t)
е->о

всюду внутри От зависит только от переменных х3 и t:

0(z, 1) = 0(х3, t), (x, i)eQr.	(1.8)

Подставим функцию 0(z, t) в тождество (1.7). Получим тож-
дество

f {В0Вф — 0В(ф} dxdt + f {Z)3TZ>30 - UDtV} dxdt =

Q'p	Й71

= [ U3 (x3) T (x3, Q)dx + 0O (x) ф (x, 0) dx,	(1.9)

a	Q

которое справедливо для всех функций ф<= И7!’1 (Ст), равных нулю
при t = Т и не зависящих от переменных (х„ х2) в области Qr:

ф(т, t)=xIr(x3, t), (х, t)^QT.

В (1.9) С7 = Ф(0).

Определение 2. Обобщенным решением задачи (Ло) назы-
вается ограниченная функция и^ L^(GT), не зависящая от пере-
менных (яд, х2) в области От, такая что функция 0 = Хо(^, и)
принадлежит пространству И72’°(СТ) и функции и, 0 удовлетво-
ряют интегральному тождеству (1.9).

Задача (Ло) и есть искомая приближенная модель, описыва-
г ющая фозовые переходы внутри цилиндрического слитка Q с уче-
том теплопроводности окружающей среды Q. В ней функция 0
имеет смысл температуры, а и — удельной внутренней энергии.
Внутри слитка температура 0 = 0 и удельная внутренняя энергия
и —U зависят только от времени и осевой координаты х3.
•	(L-v) функция ip произвольная. В частности, ip мо-

жет быть финитной в области Qt- Если это так, то функция 0
удовлетворяет интегральному тождеству

J {D0Z>ip — 0Z)tip} dxdt = О,
Qt

что в предположении достаточной гладкости 0 (х, t) эквивалентно
уравнению теплопроводности

ло = де, (х, t)^QT.	(1.Ю);

А что происходит в области йг? Предположим, что всюду на Пг
определена нормальная производная dQ/dn е L, (Пт), где п =
= («1, пг, п3) —внешняя по отношению к Q нормаль к П. Рассмат-
ривая тождество (1.9) с функциями ip, равными нулю при t = O,T,
получим с учетом уравнения (1.10) и формулы интегрирования по
частям равенство

J {D3WD3Q - UDt4} dxdt = - J Wdadt.

Пу

Пусть замкнутая плоская кривая f есть сечение поверхности П
плоскостью {х3 — const). Тогда, используя зависимость функции Т
всюду в области йт только от переменных (х3, t), интеграл по по-
верхности Пг в последнем равенстве можно преобразовать в повтор-
ный интеграл, а далее в интеграл по области йг:

т

Пу	О

V

У (х3, t) dx3

dt =

t) dx dt*

где a — величина, обратная площади сечения области Й плоскостью
{х3 = const). Следовательно, в области йг справедливо тождество

D3QD34 - UDt4 + a (j) ||

dxdt — 0

(1.11)

v

с произвольной финитной в 1т функцией 4е, зависящей только от
переменных (xs, t).

Таким образом, если предположить суммируемость нормальной
производной dQ/dn решения задачи (40) на поверхности Пт, то
всякое обобщенное решение задачи (Ав) удовлетворяет в области
Qr уравнению (1.10), а на поверхности Пт (или в области йг) —
интегральному тождеству (1.11).

Обычным образом вводится понятие классического решения за-
дачи (Ао) как решения с сильным разрывом в области йг. Итак,
пусть в ьг существует поверхность (разовою перехода т г =
= {(х, t)\x^Q, х3 = R(t), is (О, Т)}, которая является поверх-
ностью сильного разрыва функций U и D3Q. Всюду вне Гг в QT
функции U и Z>30 гладкие и удовлетворяют неоднородному урав-
нению теплопроводности

DtU Die - а&^ ds,
V

(1.12)

где e = x(Z7).

На самой поверхности Гт помимо равенства нулю температуры:

6 = 0, (х, t) Е Гт,
выполняется обычное условие Стефана:

(1.13):

(1.14)

В начальный момент времени

и(х, 0) = щ(х), x<=G,	(1.15)

где u0(x)= U0(xs) при isQ.

Полученная начально-краевая задача (Ло) в обобщенной либо
классической постановке нестандартная. В ней ищется решение
уравнения теплопроводности в области QT, но значение этого реше-
ния на границе Пт неизвестно, а подлежит определению как реше-
ние параболического уравнения по касательным к Пт переменным.
Само уравнение на Пг понимается в смысле теории обобщенных
функций, а его правая часть есть функционал над нормальной про-
изводной решения на границе Пг.

Если температура 0 в области не меняет знака (в слитке
отсутствуют фазовые переходы), то сильный разрыв отсутствует и
тождество (1.11) эквивалентно неоднородному уравнению тепло-
проводности, понимаемому в обычном смысле. Похожая ситуация
встречалась в гл. II при построении приближенных решений много-
мерной задачи Стефана. Как и там, корректность задачи (Ло) и в
этом случае доказывается достаточно просто.

Все обстоит сложнее, если в Йг присутствует как жидкая, так
и твердая фазы. Во-первых, из-за неоднородности уравнения при-
тока тепла на границе Пт (в области Qr) возможно появление пе-
реходной фазы. Во-вторых, при движении с сильным разрывом
функционал с нормальной производной решения в условии (1.12)
может быть не ограничен при подходе к линии разрыва Гг. Поэто-
му наиболее ожидаемые результаты — это существование обобщен-
ного решения в целом по времени и классического решения на ма-
лом промежутке времени.

Замечание 1. Условие (1.12) (либо (1.11)) можно вывести
другим путем, рассматривая только область Q и составляя для нее
баланс энергии в предположении постоянства температуры на се-
чениях {«j = const) с учетом потока тепла со стороны области Q.
JB терминологии |«ZJ граница 11 (либо область Q) называется «со-
средоточенной емкостью».

Теорема 1. Пусть граница П принадлежит классу Нг+а и
ограниченная функция щ (х) такова, что и0 (х) — Uo (х3) при х е Q,

60 = X (“о) w2 (G), 0О (аг3) = % [f/0 (*з)1
и 0о удовлетворяет краевому условию (1.5).

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи
(Ло), являющееся пределом при е -> 0 соответствующих решений
задачи (Ле).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, поверх-
ность П принадлежит классу Н5+а, 0О е Я5+“-(5+“)/2(^) и существует
число RtJ, Ro <= I = {ж3| |ж3|<1), такое что 0о(Хз)<О при x3<R0,
<9о(я3)>О при xz> Ro,

*	|D30o(7?o ± 0) |> d> 0.	(1.16)

Пусть, кроме того, на границе П выполнены условия согласо-
вания первого порядка

№0 = Dfo-a^^ds, х^П,	(1.17)

т

Д0о(а?1, ^2, 7?о±О) = О, (xt, х2, 7?о)еП,	(1.18)

следующие соответственно из уравнения (1.10). и условия (1.12) и
уравнения (1.10), условия (1.14) и гладкости функции 0о(ж3),
а вне линии ц = {я3 = 7?0} на поверхности П — условия согласования
второго порядка, вытекающие из уравнения теплопроводности (1.10)
в области QT и краевого условия (1.12) на границе Пт.

Тогда на достаточно малом интервале (0, Т*) существует
классическое решение {R(t), 0(х, t)} задачи (Ло) такое, что
R W1, [0, T’si5], а 0(ж, t) обладает непрерывными производными,
образующими уравнение (1.10) и краевое условие (1.12), всюду
вне линии Гт* на поверхности Пт*. Краевое условие (1.14) вы-
полняется в обычном смысле и все входящие в него производные
решения удовлетворяют условию Гельдера по времени с показа-
телем 1/2.

В модели (5е) уравнение (1.4) рассматривается только в об-
ласти QT, а на границе Пг решение 9 (я, t) подчиняется условию

(119)

где n = (ni, п2, Пз) —внешняя по отношению к Q нормаль к по-
верхности П.

Задача замыкается заданием нулевого теплового потока на
оставшейся части границы Q (на сечениях {л:3 = ±1}) и заданием
удельной внутренней энергии в начальный момент времени.

Не будем останавливаться на формулировке теорем существо-
вания и единственности обобщенного решения задачи (Ве) ' (это
делается так ле, как и к 3	1К ___

приближенной модели (Во).

Если 9е — решение задачи (2?е), то оно удовлетворяет инте-
гральному тождеству

j* |o39eD3^ + i + />2$е1М’) — MeDttyj dxdt +

Яу

+ J •$ (0B — /) dodt = 0	(1.20)

Uy

с произвольной гладкой функцией тр, равной нулю при t = 0 и
при t = T.

Как и ранее, заключаем, что при е~>0 функции 9е(т, ^ схо-
дятся к функции 0(х3, £), а функции щ = Ф(9е)—к функции
U = Ф [0]. Подставим предельные функции 0 и U в тождество
(1.20) и положим ф = Ч|‘(л:3, t). С учетом последнего интеграл по
поверхности П в этом тождестве преобразуем в интеграл по об-
ласти Q:

f ¥ (0 — /) da = f ¥ (0 — /) (Zol dx3 = So [ ¥ (0 — /) dx3 =

ii	i I v	)	i

= b0\w(Q~f)dx,
a

где So — длина кривой у, a b0 = S0/a — отношение этой длины к
площади сечения области Q плоскостью {х3 = const).

Имеем окончательно

J {О30О3¥ - UDt^ + &0¥ (0 - /)}dx3dt = 0.	(1.21)

1т

Интегральное тождество (1.21) и начальное условие

U(x3, 0)=1Ш)	(1.22)

полностью определяют решение в модели (2?0).

Легко видеть, что (Ва) есть обычная двухфазная задача Сте-
фана для уравнения

DtU - DlQ + b90 = bof, 0 = Х(СГ).

Она была исследована ранее, и в настоящей главе изучим только
квазистационарный режим, когда область Q есть бесконечный ци-
линдр, и f(a:3, t) = F(x3— vot).

В квазистационарной задаче решение 0 ищется в виде

0 (х3, t) = о (х3 — v3t) со (z).

Подстановка его в уравнении для 0 дает обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение

=	(1.23)
в котором = есть разрывная функция температуры <о в
имеет смысл удельной внутренней энергии.

Для замыкания задачи к уравнению (1.23), которое понимается
в смысле теории обобщенных функций, необходимо добавить усло-
вия на бесконечности при Izl-*». Естественно считать, что тем-
пература в слитке на бесконечности совпадает с температурой окру-
жающей среды:

lim | и (z) — F (z) | = 0.	(1-24)

|Z|-»OO

Задача (1.23), (1.24) описывает в пределе при f->-oo темпера-
туру бесконечного слитка, который движется равномерно со ско-
ростью Vo относительно неподвижного муфеля печи, температура
которого равна F(z). Координата z связана с неподвижным муфе-
лем печи, а координата х3 жестко связана со слитком.

Задача (С). Требуется определить функцию и(г), удовлет-
воряющую всюду на прямой R = {z||z|<oo) уравнению (1.23) и
условиям на бесконечности (1.24).

Определение 3. Ограниченная непрерывная функция
<й(г), обладающая первыми производными, локально суммируемыми
на прямой R, и удовлетворяющая при lz|->-oo условиям (1.24),
называется обобщенным решением задачи (С), если для всех глад-
ких финитных функций <p(z)

f { ( v0A - g)	+ b0 (F - co) Ф] dz = 0.	(1.25)

R

Как и ранее, под классическим решением задачи (С) будем
понимать обобщенное решение <b(z), обращающееся в нуль в ко-
нечном числе точек. Без ограничения общности постоянную bt
можно считать равной единице.

Теорема 3. Пусть F(z) = F, = const>0 при z<0, F(z) =
= const = F3 < 0 при z > 0 и F\ + F2 > 0.

Тогда при всех v0 > 0 существует единственное решение е> (z)
задачи (С), являющееся классическим при и* е (0, v0), где
v*= | F21 (1 + | F21)~1/2,	такое что ® (z) > 0 при z<zQ и m (z) < 0

TipU Z Ид,

,	1 1n (^-4)|^2|-^0

°	V M^"^) ’

2%i = v0 + (v2 + 4)1/2, 2X2 = v0 - (vo + 4)1/2.

При v0>v* ®(z) является только обобщенным решением за-
дачи (С), таким, что ®(z)>0 при z<zlt (o(z) = 0 при zi<z<zt
и со (z) < 0 при z > z2, где

2,-2,+^Л1-4м+4),в.

^Г2| z
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (Ло)

Доказательство существования и единственности обобщенного
решения задачи (40) проведем по той же схеме, что и для много-
мерной задачи Стефана в § 3 гл. I. В условиях теоремы 1 пусть
0е(ж, t) есть решение задачи (4е), соответствующее начальному
распределению удельной внутренней энергии щ(х).

Нетрудно показать, что решение 0е(х, t) задачи (4е) суще-
ствует, единственно и для него справедливы оценки

max f||Z>t0e||2,GT, max || DQe (t) ||2.G, -1 max ||	(f), Д20е(Ока)<М’г

(.	t<=(O,T)	b tG(0,T)	)

(2.1)

где постоянная M зависит только от величины Т и постоянной тп0=
= II % Eg, 0О = % (и0). Это делается обычным способом. Функ-
ции Ф и г] в представлениях (1.1) и (1.3) аппроксимируются
гладкими функциями Ф(к) и т]<к) так, что т]('1)(х)=1 при хей,
а функция «о (х) — гладкими функциями (х) так, что (х) =
= Uoky (х3) при х <= Q.

Для приближенных решений 0eft) соответствующей начально-
краевой задачи имеют место оценки, аналогичные (2.1). Для этого
надо умножить уравнение, которому удовлетворяет функция и& ,
на производную Z)t0eft) и проинтегрировать по области G при
фиксированном f>0. Постоянная М, ограничивающая указанные
нормы, не зависит от к и от е. В самом деле, от номера к постоян-
ная М не зависит по построению (последовательность [uoft)(a:)}
можно выбрать так, чтобы нормы | 0oft)E,G были равномерно огра-
ничены величиной 2/По), а параметр 1/е может войти в М только
как сомножитель при норме

шах {||П10(О'1),	||2>а|.

Но функции 0(oh) подобраны так, что эта норма для всех значений
к равна нулю.

Неравенства (2.2) для приближенных решений 0е° позволяют
выделить при фиксированном е > 0 подпоследовательность |t)8 'fa
слабо сходящуюся в	к ограниченной функции 0, (х, t)

из пространства (Gt), такую что последовательность функций
где Uek) = ФоЙ) (х, 0gft))» сходится сильно в L2(Gt) к огра-
ниченной функции пе = Ф0(а:, 0„).

Очевидно, что функции {и„ 0е) есть решение задачи (4,), для
которого справедлива оценка (2.1). Но тогда последнюю процедуру
можно повторить и выделить из последовательностей {0е) и {uj под-
последовательности, сходящиеся к ограниченным функциям
0 е Ж2’1 (GT), u^L00 (Gt), в = %0(x, и), соответственно слабо в
^2Л(^т) и сильно в L2(Gt).

Поскольку IlDjOg, D2Qs ||2,ог<Л/е, то ||Z>i0, А9||2,аг = 0 и, сле-
довательно, 0(х, t)=Q(x3, t) при (х, t)^QT. Функции и(х, t)
и 0(ж, t) есть искомое обобщенное решение задачи (40). Чтобы это
показать, достаточно в интегральном тождестве для решения
{«Е, 0е} задачи (4е) в качестве пробной функции взять функцию
t), зависящую только от времени на сечениях {х3 = const} в
области Qr, и перейти к пределу при е -> 0.

Лемма 1. Ограниченное обобщенное решение задачи (40)
единственно.

Доказательство. Разность 0 = 0, — 02, и = и, — и2 двух воз-
можных решений задачи (Ло) удовлетворяет интегральному тож-
деству

[0{£)гф + Aty}dxdt + [ U{DtW — p,3^}dxdt = 0,	(2.2)

Qt	qt

если e IP2’1 (GT), и удовлетворяет краевому условию (1.5).
В (2.2) положено

p = QU-1, С7=ё71-Г2 = Ф(0,)-Ф(02),

У =a&^ds-DpV.

z	J дп	а

V

Из определения функции ф следует, что 0Е?ц(а:3, f)^l.

Пусть pA(z3, ^—положительные достаточно гладкие функции
такие, что

(хя, t) 1/к, |] р — life ||2,zr < 1/к.

Рассмотрим задачу об определении функции фДж, t), равной
нулю при t = T и удовлетворяющей условию (1.5) и уравнениям

Dt^h + Д^ = f, (х, t)^QT,	(2.3)

t) = Wk(x3, t), (х,

-№ + ^ = pJ^Vft-a^^d.sl \х, t)enr, (2.4)
I.	v )

с произвольной гладкой функцией j(x, t) такой, что f(x, t)=F(x3,t}
при (х, t)^QT.	_

Предположим, что функции Ч*\(;г, i) класса Я2+а- <2+а)/2(^г)
уже построены. Для получения основной энергетической оценки
умножим уравнение (2.3) на Дтр (опустим для удобства индекс к) и
проинтегрируем по области Q при фиксированном ^, 0 < t < Т.

В слагаемом (О(ф — /)Д'ф произведем однократное интегриро-
вание по частям и в интеграле по границе П заменим сомножитель
(DiY —F) из уравнения (2.4) на рЗ'.
В полученном интеграле по границе П сомножитель Sf зависит
только от координаты х3 и времени. Следовательно его можно пре-
образовать в повторный интеграл

п	I V

dx3

и далее в интеграл по области Q. Имеем

J | Аф |2 dx —|2 dx + f DjDtydx +	a J р.7	. (§)	ds\	dx = 0.

Q	Q	Q	£2	v I

(2-5)

Умножим теперь краевое условие (2.4) на ЯзТ, проинтегри-
руем по области Q и в слагаемом Я!1? (Dt'V — F) произведем
однократное интегрирование по частям. Сложив результат указан-
ных действий с равенством (2.5), получим после применения нера-
венств Гельдера, Юнга и леммы Гронуолла оценку

J ^Idxdt < (1 + ет~) || Df$,GT = Mt	(2.6)

Подставим функцию фл в тождество (2.2):

, J Bfdxdt + J UFdxdt = A,	(2.7)

Q у	Q ji

A = f U$22fh -J dxdt.
dJr I J

Оценивая А сверху по модулю с помощью неравенства Гельде-
ра, используя оценку (2.6), ограниченность функции U и свойства
функций получим, что

|А|< max \U\MJc~1'2.

Следовательно, правая часть в (2.7) равна нулю. Полагая
F(x3, t) = Q на границе Пт, имеем

f Qfdxdt = 0,

Qt

что равносильно равенству 0 = 0 почти всюду в QT. Возвращаясь
к соотношению (2.7) и считая F(x3, t)^0, заключаем, что оно
возможно лишь при (7 = 0 почти всюду на Пт.

Займемся теперь построением функций i|\(;r, t).

Лемма 2. Пусть f(x, t) = F(x3, t) при. (х, г)еПг и
j <= На-а/г (QT). _ Тогда существует единственное решение
ф е Я2+а> (2+а)/2(@г) начально-краевой задачи (1.5), (2.3), (2.4),
равное нулю при t — T.
Доказательство. Рассмотрим однопараметрическое семей-
ство начально-краевых задач (Е>.), ^е[0, 1], отличающихся от
сформулированной задачи дополнительным слагаемым

(1-Х) ap^^ds
у

в правой части краевого условия (2.4) на Пг- При Х = 1 задача
(£х) совпадает с исходной задачей, а при Х = 0 распадается на
две задачи: определение функции Y (х3, t) на границе Пт как ре-
шения уравнения

" DtW +	= F,

равного нулю при t — Т и удовлетворяющего условию (1.5), иопре-
деление решения ф(х, t) неоднородного уравнения теплопроводности
(2.3) в области QT, совпадающего с T (х3, t) на границе Пг, удов-
летворяющего условию (1.5) и равного нулю при t = T.

Таким образом, множество тех %, при которых задача (£\)
имеет .решение, непусто.

Покажем, что норма в пространстве №+“ (2+а)/2(@г) возможного
решения задачи (Е,.) ограничена постоянной, не зависящей от X.

Для оценки максимума модуля решения краевое условие на
границе Пг запишем в виде

DS¥ -iiaxj)^dS +	= F.	(2.8)

v

Пусть положительный максимум функции ф достигается в точ-
ке (х°, t°) на границе Пт. Тогда он достигается во всех точках П,
лежащих на сечении у = {х| х3 — Хз = const} в момент времени
t = t3. В этих точках

Z>32Y<0,

Последнее неравенство следует из принципа Хопфа —Зарем-
бо—Жиро [89, с. 69], если вспомнить, что п — внешняя по отно-
шению к Q нормаль к поверхности П.

Следовательно, левая часть уравнения (2.8) в точке положи-
тельного максимума неположительна. Аналогично в точке возмож-
ного отрицательного минимума функции ф на границе Пг левая
часть уравнения (2.8) неотрицательна. Но тогда функции
|ф — (Г — 0(|./1о°т + !)} и (ф + (^ — О (I/ \qt + *)} не могут дости-
гать соответственно положительного максимума и отрицательного
минимума в области QT и на границе Пг:

I tl'ft < Т (| / й> + 1).	(2.9)
Рассмотрим, далее, краевое условие (2.8) как параболически
уравнение с правой частью

F = F + a^^ds.

V

Согласно теореме 3 § 2 гл. I имеем

IV |(^“’< d F	с (I / \%I +1 -ф |9г+а)).

С другой стороны, привлекая ту же самую теорему, заклю-
чаем, что для решения 4(х, <) неоднородного уравнения (2.3)
имеет место оценка

। ч> i'«? +1 ч' С’ +1 * ©“’)• (2-ю)

Воспользовавшись интерполяционным неравенством (лемма 4
§ 2 гл. I)

с достаточно маленьким б > О, получим из (2.9) и (2.10) требуемую
оценку

Последняя оценка позволяет применить метод продолжения по
параметру и доказать существование решения задачи (Ei.) при X = 1.

§ 3.	СУЩЕСТВОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (Ао)

Доказательство гладкости обобщенных решений задачи (Ао)
будет основано не на изучении дифференциальных свойств полу-
ченного обобщенного решения, а на построении непосредственно
классического решения, как это уже делалось в гл. V при иссле-
довании одномерной задачи Стефана. В силу теоремы единственно-
сти построенное классическое решение совпадает на интервале
(0, Т*) своего существования с обобщенным решением задачи (40).

Само построение классического решения базируется на теореме
Банаха о неподвижной точке сжимающего оператора. Для этого
фиксируется функциональное пространство, которому должна при-
надлежать свободная граница Гг, и рассматривается ограниченное
множество ЗЭТ из этого пространства. Каждый элемент взятого
множества определяет поверхность Гт, лежащую на гиперповерх-
ности Пт. В сечении {t = const) это есть плоская замкнутая кривая
из П, лежащая в сечении {х3 = const). Для заданной поверхности Гг
из ЗЯ ищется решение уравнения теплопроводности в области QT,
удовлетворяющее начальному условию (1.15), краевому условию
(1.5), условию (1.12) всюду на Пт, исключая поверхность Гт, и
равное нулю на самой поверхности Гт (условие (1.13)).

Условие Стефана (1.14) не удовлетворяется и служит для по-
строения оператора задачи 91, неподвижные точки которого опреде-
ляют классическое решение задачи (Ло).
Основная трудность в предложенной конструкции состоит в
том, что касательные производные на границе Пг построенного
таким образом решения вспомогательной задачи терпят разрыв при
переходе через поверхность Гт. Следовательно, нормальные произ-
водные решения на границе Пт, входящие в условие (1.12), вообще
говоря, неограниченно растут вблизи Гг. В гл. V было показано,
что аналогичный оператор 91 в одномерной задаче Стефана «подни-
мает» гладкость на 1/2, т. е. переводит ограниченное множество из
пространства Я(2+“)/2 [О, 7] в ограниченное множество из простран-
ства Я(3+а,/2 [0, 71]. В настоящей главе ситуация несколько иная, но
и здесь запас гладкости оператора 91 позволяет преодолеть указан-
ную трудность и доказать существование классического решения
задачи (Ло). Малость интервала существования классического ре-
шения по существу, так как никакие факторы не запрещают появ-
ления переходной фазы в момент времени t = Т*.

Исходную задачу удобнее исследовать в новых переменных

x = t, yi = Xi, у2 = х2, y3 = q(x3, R(t)),	(3.1)'

где функция R(t) задает искомую границу Гг раздела фаз на
поверхности Пт, а функция q(sit s2) класса С5 выбрана так, что
Dtq > аа = const > 0 и при фиксированном s2, |s2l =5 1/8, она отобра-
жает интервал I в себя. При этом концевые точки s, = ±1 остаются
на месте и q линейно по обоим аргументам при |sj< 1/2:

g(±l, s2) = ±l; g(st, s2) = Si — s2, |sd<l/2.

Отображение (3.1) переводит область QT и поверхность Пг
в себя, свободную границу Гт на поверхности Пт — в фиксирован-
ную поверхность

= у Х(0, Г), у = {ж е П|х3 == 0).

Пусть 9Л есть множество функций г(т) из пространства
И72 (0, Т) таких, что

r(O) = 7?o, g(0) = 0, |г(т)| < 1/8, ||г^01П< 1.

При замене переменных (3.1) с поверхность Гт, задавае-
мая соотношениями {х е П/ х3 = r(t), ie(0, Т)}, переходит в из-
вестную поверхность "(т- Уравнению теплопроводности в новых пе-
ременных соответствует уравнение

Dxv - Div - Div - D3 (bD3v) + cD3v = 0,	(3.2)

где b = (Z\<?)2, c = (drldx)D3q + D\q, а краевому условию (1.12) —
условие

- D3(bD3V) + DXV + a j)^nds + cD3V = 0.	(3.3)

Имея в виду метод построения решения, более целесообразным
представляется переход от дифференциальных уравнений (3.2) и
(3.3) к соответствующему интегральному тождеству.
, Положим	Ч

(у, w) = J vwdy.	(3.4^

Для заданной функции reSJl рассмотрим задачу (Сг) об оп-
ределении функции v(y, т), удовлетворяющей условиям (1.5),
(1.15), равной нулю на линии у на поверхности П при всех
т е (О, Т) и такой, что

2 »

(Z>Tp, ф) + 2 ] DivDitydy + (bDsty + сф, D3v) = 0	(3.5)

i=i Q

для всех функций ф <= W}'° (GT) таких, что ф(у, т)=Чг(1/3, т) при
(у, t)eQt и Т(0, т) = 0.

В. тождестве (3.5) и всюду ниже в этом параграфе значения
всех функций в области QT, если они определены в GT, либо следы
функций на Пг, если они определены в QT, зависят только от вре-
мени и осевой координаты у3 (либо х3) и обозначаются соответ-
ствующей заглавной буквой.

Исходя из условия Стефана (1.14), определим оператор 91
формулой
т

91 (г | т) = f {D3V (- 0, 0 - D3V (+ 0, t)} dt, (3.6)
b

где v(y, т)—рёшение задачи (Сг).

Ниже будет показано, что оператор 91 отображает множество 2U
в пространство Жз(0, Т). Пусть 7?(т) есть неподвижная точка
этого преобразования. Тогда функции R(t) и 0(х, t)=v(y, т), где
v(y, т) —решение задачи (Св), являются классическим решением
исходной задачи (Ло), если @(ж3, t) (х3 — 7?(£))>0 при |х3| < 1.

1.	Вспомогательная задача (Сг), При построении решения зада-
чи (Сг) воспользуемся методом Галеркина.

Лемма 3. Для всех г е существует единственное решение
v(y, т) задачи (Сг) такое, что

Jl|TM2tGr, max || Dv (t)||2>g) < Mr,	(3.7)

I	те(о,г)	/

max ||ZW(t)|M<M2.	(3.8)

I	T=(o,T)	J

Через M здесь и всюду ниже обозначаются постоянные, за-
висящие только от Т и от величины М3 = 10О |q+“\ причем
М(М0, Т)^М(М3, Та), если Т =5 Т3. Так как теорема 2 носит локаль-
ный характер, то всегда можно считать 74 1 и все постоянные М
зависящими только от величины Мо.

Доказательство. Тождество (3.5) положим в основу оп-
ределения галеркинских приближений

N

vN = V3 (у) + 2 ck (т) фй (у),

fe=l
где v<>(y') = Gl)(x), a — базис в пространстве VFa(G) функ-
ций ф(у) таких, что ф(у) = Т (у3) при у е Q и (0) = 0. Обозначим
пространство всех таких функций через Н.

Более того, выберем в качестве базиса в пространстве Н соб-
ственные функции спектральной задачи

— Дф = лф. у е Q,

д^/дп = 0, у е dG\dQ,

Ф(У) = ^(Р^ «еП. Y(0) = 0,	(3.9)

- D23W + a(j)g ds = VP, yen,
v	*

ортонормированные в скалярном произведении (3.4).

Оператор L, соответствующий задаче (3.9), определяет в про-
странстве Н скалярное произведение [ф, ф] и соответствующую
энергетическую норму IIZ>i|?ll2> 0 = [ф, ф]1/2 по формуле

(Ьф, ф) = J D^Dqdy = [<р, ф].	[(З.Ю)

G

Замыкание пространства Н в норме L2(G) есть подпростран-
ство L2(G), состоящее из функций, не зависящих от у, и у2 в об-
ласти Q и равных нулю на сечении Q плоскостью {г/3 = 0}. Всякое
множество из этого подпространства, ограниченное в норме VK^G),
будет компактно в L2(G) (точнее, относительно компактно). Поэто-
му для существования ортонормированного базиса из собственных
функций оператора L достаточно показать его строгую положитель-
ную определенность [69, с. 216]:

(Лф, ф)>с“* (if>, ф), с = const >0.

Последнее следует из неравенства Пуанкаре ИфИа, а с1ИЭф112, в,
поскольку функции ф обращаются в нуль на сечении {у2 = 01
в области Q. Функции сЛ(т) определяются из решения задачи Коши
для системы линейных уравнений

+	(3.11)

j=i

сД0) = 0, Л = 1, ..., N,

где

2

— а* = 2 Dify) + (ЬП3фЛ + сфь, £>3ф;),
1=1

2

Ьк = 2 (п1р0, Фл) + (Р3 (bD3v0) — cD3v0, фй) —
1=1

Q

ад,
V
В выражении для Ък производные функций в соответствую-
щих интегралах были переброшены с помощью интегрирования по
частям на производные функции п0.

В силу выбора функционального пространства, которому при-
надлежат функции г(т), определяющие коэффициенты b и с в тож-
дестве (3.5), коэффициенты aSh(r) и Ьк(г) системы линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений принадлежат про-
странству ^2(0, Т). Следовательно, при каждом фиксированном N
на интервале (О, Т) существует единственное решение задачи Коши
(3.11) ck е= W22 (О, Г), к = 1, ..., N.

Получим равномерные по N оценки приближенных решений,
позволяющие совершить предельный переход при N -> <». Первая
оценка (оценка (3.7) для приближенных решений vN) выводится
обычным образом после умножения к-то уравнения (3.11) на произ-
водную Dxch, суммирования по к и применения неравенств Гель-
дера, Юнга и леммы Гронуолла. Опишем поэтому подробно получе-
ние только второй оценки (оценки (3.8) для приближенных реше-
ний), аналогичной (3.7).

Для этого продифференцируем каждое уравнение системы
(3.11) по времени, умножим результат дифференцирования к-го
уравнения на вторую производную Dxck, просуммируем по А: и про-
интегрируем по времени в пределах от 0 до t, t < Т. Имеем после
несложных преобразований (как обычно, опустим для удобства
индекс N):

2

II D*v lU + у 2 II DxDiV (f) Ill.G + A || b^D^v (<iG =
1=1

2

= 42 II A^(°)||2,g + j\\b1/2DxD3v(0)l,G-(DxbD3v(t), D3Dxv(t)) +
1=1

t

+ J {-| (Dxb, I D3Dxv |2) — (cDxv, D3Dxv) — (DxcD3v, D\v) +
0

-I- (DxbD3v, D3Dxv)} dr.	(3.12)

Правая часть в равенстве (3.12) оценивается обычным образом
через положительные слагаемые в левой части. Например,
t	t

f (DxcD3v, Dxv) dr < [ max | Dxc 11| D3v (r) ||2>G| Dxv (t) ||2,g dr <

1	0

/ i	W2	, at2

< M!II Dxv ||2,G( 1 1 max | Dxc |2 dr	< x|| Dxv|‘gjG + x (1 + r20 (T)\

\o y^G	)

где r0 (T) = || г 1|22[о,ть x = const >0 зависит только от функции q,
определяющей отображение (3.1), а Х>0 — произвольное ма-
лое число.
Точно так же оцениваются и другие слагаемые, содержащие
производные функций b и с.

Осталось оценить норму в L2(G) функций DiDxvN(y, 0). Без
ограничения общности постоянную Ro, задающую начальное поло-
жение искомой границы xa = R(t) на поверхности П, можно считать
равной нулю. Тогда отображение q в начальный момент времени
совпадает с тождественным (точнее, его можно так выбрать) и
&(0) = 1. Из уравнений (3.11) следует, что

(J ZK WW [to ЧН77 I|2,G	,

где bN (у) = 2 МО)фй(у), а &Л(0) являются коэффициентами
Ь=1

Фурье в разложении функции Ъ(у) =	по базису {фй}й°=1!

&fc(0) == (S, фА). Последнее равенство вытекает из условий согласова-
ния (1.17) в начальный момент времени и равенства нулю произ-
водной Dxr(0), в силу чего Ыт=о = 1, с|т=о = О.

Таким образом,

3 =

 -V	W

X bfc (0) фй, у К (0) фй

. к=1	к=1

N

= S |Ьй(0)|Пй,
Л=1 .

где скалярное произведение [,] определено формулой (3.10). По-
скольку функция Ъ = Ап0 принадлежит пространству Н (это сле-
дует из гладкости функции п0 и условия согласования (1.18)), то

ОО '	ОО

IID (Аг0) ||2,G = [Ml = S | bh (0) I2 [фй, фй] = S Хй I bh (0) I2,
й=1	fe=l

к

& = S и I bk (0) I2 < || D (An0) g,G < Mo.

A=1

С учетом последней оценки из (3.12) и леммы Гронуолла сле-
дует требуемое неравенство (3.8) для приближенных реше-
ний vN(y, т).

Оценки (3.7). и (3.8) позволяют выделить из последовательно-
сти функций {vN} подпоследовательность, слабо сходящуюся вместе
с производными, указанными в неравенствах (3.7) и (3.8), в про-
странстве L2(Gt) к некоторой функции и(у, т). Очевидно, что
функция v(y, т) принадлежит пространству Z2(0, Т; Н), удовлетво-
ряет интегральному тождеству (3.5) и для нее имеют место оценки
(3.7) и (3.8).

Единственность решения задачи (Сг) следует из интегрального
тождества для разности v двух возможных решений, если в нем
положить ф = v и воспользоваться неравенством Гельдера и леммой
Гронуолла.

2. Дифференциальные свойства решений задачи (Сг). Всюду
внутри QT гладкость функции v(y, т) определяется только диффе-
ренциальными свойствами коэффициентов b и с в интегральном
ТОЖДвСТВв	• Ч/иыч.Шэ1М uupaouwi ламламо**».*»!*^xvn, чам «✓ *—

<= и7*’2 Wt))» где Qt' ’ = Qw X (О, Т), a Qw — произвольная область
из Q, отстоящая от границы П на расстоянии, большем чем
Л, X > 0. Оказывается, аналогичное утверждение имеет место и для
областей, замыкание которых содержит поверхность Пг, если только
эта область отстоит па положительном расстоянии от поверх-
ности ут.

Указанная гладкость решения задачи (Сг) потребуется при
изучении свойств оператора 91, введенного формулой (3.6). Там, где
дифференциальные свойства решения не очень хорошие (вблизи
ут), коэффициенты Ь и с в тождестве (3.5) имеют очень простой
вид. Вдали от ут хорошим является решение.

Пусть Qw есть множество точек из Q, координата у3 которых
превосходит по модулю положительную постоянную X. Через Пх
обозначим общую часть границы dQw и поверхности П.

Лемма 4. Решение и(у, т) задачи (Сг) принадлежит про-
странству Ж24'2 П Wt’2 (П£), где Л > 3/8,	= Qw X (О, Т),

nw = n(Wx(O, Т), и норма этого решения в указанном простран-
стве ограничена постоянной, зависящей только от М3.

Доказательство леммы будет более обозримым, если вер-
нуться к исходным переменным (ж, t). По построению линия
Ax3 = r(t)} на поверхности П не выходит за пределы множества
П\П(1/8). Следовательно, области Qw отстоят от указанной линии на
положительном расстоянии, если Х>Х,>1/8.

Функция w(x, t)^v(y, т) удовлетворяет в переменных (ж, t)
интегральному тождеству

(Dtw, $) + (Dw, Zh|>) = 0	(3.13)

для произвольных гладких функций i|)(x, t), равных нулю на линии
{a:3 = r(Z)) на поверхности П при Ze (О, Т).

Записывая неравенство (3.7) для функции w(x, t), заклю-
чаем, что

/II	max ||	(Z)|j2,Gl < М3.	(3.14)

I	t=(O,T)	)

Следовательно, на сечениях И = const) всюду внутри Q функ-
ция ш(х, t) удовлетворяет уравнению Пуассона

Aw = f	(3.15)

с правой частью f = Dtw из пространства L2(Q). На границе П
функция w (х, t) совпадает с функцией W (х3, t) такой, что D3W е
еХ2(П). На оставшейся части границы dQ выполняется усло-
вие (1.5).

Представим w в виде суммы двух функций wt и где —
гармоническая в Q функция, совпадающая с Ж на границе П,
а w2 удовлетворяет уравнению Пуассона (ЗД5) и равна нулю на
поверхности П. На оставшейся части границы области Q функции
Wi и w2 удовлетворяют условию (1.5). Имеем
+11-ПШ |ЦС),
|^|а21П<СШ1о = ^1ЯИ2,(?-

(3.16)

(3.17)

Оценка (ЗЛ7) следует из свойств решений эллиптических урав-
нений [51, с. 227, 234], а оценка (3.16) — из леммы 5, доказательств»
которой будет приведено в конце параграфа.

Лемма 5. Пусть и — гармоническая в области Q функция?
удовлетворяющая условию (1.5) на части границы области Q, от-
личной от П, и совпадающая с функцией U (z3) на границе IL
Тогда



с постоянной с, зависящей только от геометрии области Q.

Суммируя оценки (3.16) и (3.17) и интегрируя их по времени,
получим, что

 1Ё|22.пЛС(1,АИ7^^	<зл8>

Возвращаясь к интегральному тождеству (3.13), видим, что
всюду на поверхности Пт, исключая множество Гт = {х3 = r(t)r
t е (О, Т)), функция w (х, t) удовлетворяет уравнению

DtW - DlW =^-a^~ds.
v

(3.19)

Дальнейшая гладкость решения ' w (х, t) следует из свойства
краевого условия (3.19) «поднимать гладкость». А именно, пра-
вая часть

F = -aj)d^-ds
v

(3.20)

в равенстве (3.19) в силу оценки (3.18) принадлежит пространству
L2(Zt). Из локальных оценок решений линейных параболических
уравнений следует, что w(x, t) принадлежит пространству
И^’1 (П^’), и ||W||(2Lz)=С(теорема 7 § 2 гл. I).

*'2, Пу

Пространство ТУ|’1(Пт')) вкладывается в пространство
1уз-1/9,i-i/2q (jjW) с _ 8/з рз, с 361] функций W(x3, t), обла-
дающих дробными производными. В свою очередь, функции из это-
го пространства служат следами на поверхности Пг функций w(x,t)
из пространства И"^’1^). Обращаясь к локальным оценкам реше-
ний линейных параболических уравнений в пространстве Wq’1 (Qt)
с неоднородными условиями на границе Пг [50, с. 404], видим, что
в чуть меньшей области Qj^, Х>Х2> Хц функция we*W)
И М	<7 = 8/3, Х>Х2.

9» Vy

Применяя вновь ту же самую теорему вложения [73], получим,
что DW е Л4(П<т)). Следовательно, правая часть (3.20) уравне-
ния (3.19) на Пт принадлежит пространству Ь4(П(г)). Восполь-
зовавшись теоремой 7 § 2 гл. I, заключаем, что в области П(т\
X Хз Х2,

х>х3.

4,Пу

Поскольку пространство W^1 (П^) содержится в простран-
стве ИЛр~1/р1~1/2р(П<т)) с р = 16/3 [73], то, повторяя те же рас-
суждения, что и выше, имеем

р = 16'/3’ х>х4>х3.

Пространство Wp1 (^т5) вкладывается в пространство
^1+₽,(1+₽)/2	с некоторым р > 0 (лемма 5 § 2 гл. I и тем

самым

Ы'ЛмЧ^з,
11 у

Таким образом, правая часть F уравнения (3.19) принадлежит
пространству Яр,р/2 (П^)- Из локальных оценок решений пара-
болических уравнений, но теперь уже в пространствах Гельдера
(теорема 6 § 2 гл. I), следует принадлежность функции w(x, t)
пространству #2+р’(2+Р)/2 (П?^) в меньшей области П^, Х>Х5>
>Х4, и этой же функции — пространству Я2+Р,(2+Р)/2 (^tW) с Х>
> Хв > Х5. Продолжая указанную процедуру еще два раза, полупим,
что	Х>Х7>Х6, и

М%₽)<М9, Х>Х,-
Vy

Утверждение ле^мы следует из формулы замены переменных,
если 1/8 < X, < Х7 < 1/4.

3.	Доказательство теоремы 2. Покажем, что оператор 91, введен-
ный формулой (3.6), будет сжимающим на множестве 2R, если ин-
тервал времени (0, Т) выбрать достаточно маленьким.

Л е м м а 6. При всех г <= 2Я справедливы оценки

II л (Г, IТ) - Э1 (г21 т) Цгдо.т] < 7’1/4М10|| гг - r2 |^0.T],	Д3.21)

И(Нт)||йо,т]<7’1/>11.	- (3.22)

Доказательство. Пусть vt(y, т) есть решение задачи
соответствующее элементу г4е=ЭД, i = l, 2. Составим интегральное
тождество для разности v = vt — v2 (соответственно r==rl —г2).
Имеем

(Dxv, i|0 + 2 (DiV, D&) + (bwD3q + с(1Ч, D3v) = (/0, гр), (3.23)
г=1

где bm = b(y2, п),	с(1)=с(у3, r„ Dxrt), f0 = A1DxrD3vi +

+ г {(Л2 + A3Dxr-^D3v2 + Л4£)|р2], а функции А{ = Лх{у3, г„ г2)
ограничены. Все слагаемые в выражении для f0 определены, по-
скольку в области Qt\Qt"\ к >3/8, где, вообще говоря, производ-
ная Dlv3 отсутствует, коэффициент А, равен единице, а остальные
коэффициенты А2— Л4 равны нулю. Вне области Qt\Q<t) функ-
ция v2 достаточно гладкая (см. предыдущий пункт).

В тождестве (3.23) в качестве пробной функции гр возьмем
производную Dxv. По аналогии с ранее полученными неравенствами
имеем

шах || Dxv (т) ||2,G < М12 И(2^,Г].	(3.24)

Т£(0,Т)

Для оценки старших производных функции v(y, т) рассмотрим
тождество (3.23) на базисных функциях tyk(y) и продифференциру-
ем его по времени. Переходом к всевозможным линейным комбина-
циям продифференцированных равенств с коэффициентами, зави-
сящими от времени, выводится интегральное тождество для про-
изводной Dxv. Если в нем положить гр = Dxv, то получим равен-
ство, почти совпадающее с равенством (3.12). Основное отличие со-
стоит в дополнительном слагаемом (Z)t/0, Dxv), в котором Dxf&
G L2(GT) и

1|Ог/01кст<Л/13'Гг||^0,Т].

В самом деле,

Dxf0 = A3DxrD3v2 + A3rDxD23v2 + A2rD3v2Dxr\ + r \AsDxD3v2 +

+ A3D3v2 + Л107)3г21 + Dxr {A11DxD3v2 + Л12О3г/2 + Л13/)|у2|,

где Л.= Л<(у3, rt, r2, Dxi\, Dxr2) ограничены, а в области Qt\Qt‘\
X > 3/8, отличны от нуля только коэффициенты А5 и Л8.

В выражении (Dxf0,-Dxv) наибольшую трудность представляет
оценка первых трех слагаемых. Вот как, например, оценивается
первое слагаемое:

(A3DxrD3v2, Dtp) < х||	2,g + ^7тах1Л1- тах II D3v2 (t) IIIff X

i=(0,T)

х|Д?г(т)|2,

где х > 0 — произвольно малая величина, а второе слагаемое в пра-
вой части неравенства суммируемо на интервале (О, Т):

(Т	\ 1/2

f | Dxr (т) |2 dr	< || г ||(V,[0,т].

О	/
Остальные члены в (Dxf0, Dxv} оцениваются аналогично. Тянитеj
образом, как и при получении неравенства (3.8), имеем

(1|^|кст, max ||j9rOy(T)f,2,G|<M14 |!г||(22,[о,т].	(3.25)

— (о, Г)	J

Воспользовавшись опять исходными переменными х, связанны-
ми с переменными у формулами (3.1), в которых 7? = r1(t), а вре-
мя t фиксировано, заключаем, что производная z(x, t) = Dtv{y, t)
удовлетворяет в области Q уравнению Пуассона с правой частью

/ = - Л(/о + Div + Dt l(e(1) - D3b0)) D3v} + D3DtvDlq(x3, rx (i)),:

а на границе П совпадает с функцией Z = Z (х3, t). Из неравенства
(3.5) следует, что

{Wzmut, падкий c^ieHU.r).

Повторяя те же самые рассуждения, что и при выводе оценки
(3.18), имеем

I я 1,пг < М” | я1.пт< М“ (V Ь.Ог + I О’	'С.т,.

(3.26)

Полученная гладкость функции v(y, т) позволяет утверждать,
что всюду на поверхности Пт вне множества выполняется крае-
вое условие

V = У(г/3,т), DXV — D3{b™D3V) + C(1\D3r +	= 0. (3.27)

Более того, как и в лемме 4, показывается, что V ёЕ W3’2 (ПрХ)),
где к > 1/8. В частности, на границах у3 = ±1 определена производ-
ная DJ)3V и из условия (1.5) следует, что

Щ),У(±1, т) = 0, te(0, Т).	(3.28)

Обращаясь к условию (3.27) и оценкам (3.25) и (3.26), видим,
что DxD^V е Ь2 (Пу), где П^ есть часть поверхности Пт, лежа-
щая в полупространстве {у3 > 0), а Пу— в полупространстве
{у3 < 0), и

II D^v 1п± < r	(3.29)

Воспользовавшись, далее, представлением
в котором было учтено равенство (3.28), имеем	'

т

У |ад37(±о, т)|Мт<
о

< 4 max || DTDaV (т) |ЦП IIDxD2aV||2 ± < М21 (|| г||(22)[0,Г])‘.

Т=(0,Т)	2-Пт

Последнее неравенство дает требуемую оценку (3.21) опера-
тора 91, если дополнительно привлечь очевидное соотношение

T	/т	\1/$,

J | w (т) |2 dr Т1/2 Н | w (т) |4 du 1 ,
о	\о	/

Оценка (3.22) получается полностью аналогично. Из неравенств
(3.21) и (3.22) видно, что оператор 91 при достаточно малом Т сжи-
мающий и будет переводить множество 2J? в себя, если только
Лх91(г|0) = 0. Но последнее следует из непрерывности функции
D3V0(y3). Таким образом, у оператора 91 существует единственная
неподвижная точка R е W% (0, Т), определяющая классическое ре-
шение задачи (Ло) на достаточно маленьком интервале (0, Т*).
Теорема 2 будет доказана полностью, если на выбранном интервале
времени

y3V(y3, т)>0, у3 ¥= 0, |z/3| < 1.

Для этого надо вспомнить условие

УзИ0(уз)>0 при у3 0, |г/3| < 1,
условие (1.16) и уменьшить, если необходимо, интервал време-
ни (0, Т*).

4.	Доказательство леммы 5. Пусть з — длина дуги на кривой у,
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, x(s) =
—	x2(s))— уравнение кривой у на поверхности П, лежащей

в плоскости U3 = const = z), ё(з) —орт нормали к поверхности П
в точке х(з) на кривой у.

Формула

(х^ х2, z) = x(s) +ne(s)	(3.30)

задает ортогональную криволинейную систему координат (s, п, z)
в области Q вблизи поверхности П7 В этой системе координат перио-
дическая по переменной s функция w(s, п, z)=u(x) удовлетворяет
эллиптическому уравнению

d2w	d2w	d2iv	div n

TT + TT + Ss-2- +	= 0

dz	dn	ds

(3.31)

в области
положено

Ш = {(s, п, z)|se (0, So), ne(0, n0), Izl < 1). В (3.31)

—1 I л I de , . |2\

g5 1= ^l + n|_(S)| J, gn = gs__.,

So — длина кривой у, a n0 — достаточно малая величина.
Области ni соответствует часть области Q, примыкающей к Пг
при отображении (s, п, z)->(#,, х2, xs), а поверхности П — часть-
плоскости {и = 0) при отображении (xh х2, х3) (s, п, z). Обозначим
ее через Ц.

Как известно, гармоническая функция бесконечно дифферен-
цируема во внутренних точках области, где выполнено уравнении
Лапласа, и норма ее производных любого порядка во внутренней?
подобласти оценивается какой-либо слабой нормой во всей области.
В частности, все вторые производные функции и(х) на поверхности
{п = п0} в области Q равномерно ограничены постоянной, зависящей
только от п0 и нормы ||u||(2Vq- Поскольку, далее,

1Н|2*ш< c°nst 1М1м2,	(3.32)

то аналогичное утверждение справедливо для вторых производных
функции w(s, п, z) при п = па.

Продифференцируем уравнение (3.31) по s, умножим на dw/ds-
и проинтегрируем результат этих действий по частям по области Щ-
С учетом равенств

dw/ds = dW/ds = 0 при п = 0

и гладкости w при п = п0 обычным образом получим оценку

|vS|2,ni<consth По-

следствием последней является неравенство

< const II u||(2^.	(3.33)

2,Ш

Рассмотрим теперь уравнение (3.31) в каждом сечении
{$ = const) как двумерное уравнение Пуассона

7т + тт=/>	(.3.34)

dz dn

, d2w , div . ri'.

-f = g>-T + gng~, /е-МШ)-
os	иц>

Как и при доказательстве леммы 4, представим функцию w
в виде двух функций wt и w2, одна из которых, пусть это будет wt,
удовлетворяет в сечении nits) области П1 плоскостью {s = const)
уравнению Пуассона (3.34) и равна нулю на границе Ц(а>, где
Ц(г) — сечение границы Ц плоскостью {s = const), а другая — гармо-
ническая в ni<s) функция, совпадающая на Ц(8) с функцией W(z) =
= w(s, 0, z).

Нормальная производная на границе Ц(,) функции и?, квадра-
тично суммируема по границе Ц<3) и [51, с. 227, 234]

2>Ц(8)<С°П8ЦЛ2,Ш(«)-	(3-35)

d2u>
ds2

Il

II дп
Аналогичная норма гармонической функции w2 оценивается
с помощью формул обращения Гильберта [71, с. 71] через норму
в Л2(Ц(в)) касательной производной функции W:

dw II	II II

-3—	const	....

дп ||2,ц<8>	IIaz 1)2,

(3.36)

Интегрируя неравенства (3.35) и (3.36) по s и суммируя их,
окончательно имеем

| £ 1.Ц	cons 1 (I £ |2,ц + I' f ll2’in) < 001131 (IIDU Ь’п + IIи 11^Ь)>

Утверждение леммы следует из последней оценки после соот-
ветствующего пересчета производных в исходных переменных.

§ 4. КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА
(ЗАДАЧА (С))

Изучим структуру обобщенного решения задачи (С). Как будет
показано, при произвольной ограниченной непрерывной всюду,
кроме точки z = 0, правой части F(z) множеством нулевого уровня
обобщенного решения является конечное число замкнутых интер-
валов, которые могут вырождаться в точки. Из вида решения и ин-
тегрального тождества (1.25) § 1 настоящей главы будут выведены
условия, которым удовлетворяет обобщенное решение на концах
этих интервалов. Исходная задача распадается на последовательное
решение конечного числа автономных задач. Разрешимость послед-
них доказывается для простейшего- случая кусочно-постоянной
функции F.

Предположим, что обобщенное решение задачи (С) существует,
и изучим его структуру. Функцию F(z) считаем ограниченной, не-
прерывной всюду вне точки z = 0, и предположим, что z/’(z)<0
при z#=0.	,

Пусть, кроме того,

lim F (z) = F2 <Z 0, lim F (z) =	> 0.	(4.1)

z-*<x>	z-^—00

Из непрерывности функции ®(z) следует, что множество тех
точек z, в которых ®(z)¥=0, есть объединение не более чем счетного
числа открытых непересекающихся максимальных интервалов Z*.
На каждом из интервалов Д функция А (со) равна либо и (там, где
<о > 0), либо А = о — 1 (там, где и < 0).

Пусть носитель функции cp(z) сосредоточен на интервале
7*= (а, (J) и для определенности ю(г)>0 при z^Ih. Тогда тож-
дество (1.25) примет вид

Р

П S® ’ S 5? - (сй - dz = °-
а
Если вспомнить определение обобщенной производной, то по-
следнее равенство означает, что функция voa — da>/dz дифференци-
руема и ее производная равна F — <в:

-^-+p°d7 + td = f’	<4‘2>

Если интервал 1к не содержит точку z = О, где функция F тер-
пит разрыв первого рода, то решение co(z) уравнения (4.2) дважды
непрерывно дифференцируемо вплоть до точек z = а и z = р.

Из принципа максимума следует, что полупрямая R- =
= {zlz<0} не содержит полностью интервалов 7*, на которых
<o(z)<0, а полупрямая R+ = <z|z> 0) — интервалов 1п, на которых
(o(z)>0.

В самом деле, пусть, например, 1к — (а, (5) — ограниченный ин-
тервал из R~, на котором <o(z)<O. Дважды непрерывно дифферен-
цируемая на интервале 1к функция to(z) достигает на нем своего
минимума:

со (а.*) = mine) (z), а*е[а, £].

Так как по определению интервала 1к будет <в(а) = ®(Р) = 0,
то а* =И= а, Р- Но тогда

^(а#)>0, g(a#) = 0, <о(а*)<0,

что противоречит уравнению (4.2), в котором F (а*) > 0.

Если интервал 1к неограничен снизу, т. е. а = — то необходи-
мо привлечь условие (1.24) на бесконечности и условие (4.1), из
которых следует существование такого значения а+, что ®(а+)>0.
После этого все рассуждения полностью повторяются, но только для
интервала (а+, Р).

Покажем, что на полуоси R- не может быть следующих
ситуаций:

1)	интервалы 1к и 1п, где co(z)>0, имеют общую граничную
точку;

2)	интервал 1 = (а, р), на котором o(z)>0, является смежным
с интервалом 3 = (Р, 7), на котором w(s)^0;

3)	граничные точки а или р интервала 7, на котором <o(z)>O,
являются предельными для концов а„, р„ интервалов 1п = (а„, р„),
на которых <в(г)>0.

Для доказательства первого утверждения заметим, что функ-
ция Л(<о(г)) имеет в граничной точке z = a, общей для обоих ин-
тервалов, устранимую особенность:

lim A (a (z)) = 0.

z-»+a

Следовательно, можно считать Л(и) —<о всюду на Тк U 7„. Зна-
чение <о = 0 является минимальным для z е Тк U 1п и не может до-
стигаться внутри указанного интервала при z — а. Полученное
утверждение противоречит определению интервалов 7* и 7„.	, с
Для доказательства второго утверждения рассмотрим тождество
(1.25) на функциях ф(г), носитель которых сосредоточен внутри
интервала 3 = (р, 7). Так как w(z) = 0 на .7, то функция Л (и)
принимает в каждой точке zeУ некоторое значение ц(z) из интер-
вала [—1, 0]. G учетом этого тождество' (1.25) примет вид

v

${v^S+F{f]dz=()’
₽

из которого, как и при выводе уравнения (4.2), заключаем, что
функция рот] обладает обобщенной производной, равной F:

= ze(M)-	(4-3)

Рассматривая, далее, тождество (1.25) на функциях, имеющих
носитель вблизи точки z = р и отличных от нуля в этой точке, обыч-
ным образом выводим

^(Р-О) = -рот](Р + О).	(4.4)

В самом деле, в интегральном тождестве (1.25) разобьем ин-
теграл на сумму двух интегралов — один по интервалу (а, Р),
а другой по интервалу (Р, 7) (считая функцию <р финитной на ин-
тервале (а, 7)):

Р

+ -®)<Ppz+ 1	+ ^Wz = °.

tJ V \	1*4 / t*«	J	*'4	1*4	z

a	P

Перебрасывая в каждом из них дифференцирование с пробной
функции ф и учитывая уравнения (4.2) и (4.3), получим требуемое
условие (4.4).

Поскольку <в (z) > 0 при z < Р, то (0 — 0)^0. С другой сто-
роны, функция т] (z) неположительна. Следовательно, равенство
(4.4) возможно лишь при равенстве нулю левой и правой его
Частей:

g(0-O) = O, т](Р) = О.	(4.5)

Обращаясь к уравнению (4.2) в точке z = (J, видим, что ;

,2
7^(Р-0) = -/(₽)<0.
dz

Последнее неравенство вместе с представлением

®(z) = 4^(P-°)(z-P)2 + o(|z-P|2)
z dz

влечет за собой строгую отрицательность функции co(z) вблизи
точки z = p при z<p, что противоречит определению интервала I.
Допустим теперь, что реализуется последний вариант: w(z)>0
на интервале (а, Р) и точка р- является предельной для концов
(а„, §п) интервалов 7„, на которых <b(z)>0. С учетом регулярности
<o(z) на множествах 1п и уравнения (4.2) интегральное тождество
(1.25) для произвольных финитных функций <p(z), равных единице
на интервалах (Р, а„) и нулю в точках z = a, р„, преобразуется сле-
дующим образом:

₽	“п

о = f l(uoa> —	+ (F — ®) <p)dz 4- f (F — со)dz +

»/ I \	oz /	)	»'

a	P

Pn	an

+ j	+ (F-co)q>]dz = j (F-co)dz-

an	₽

-g(P-O) + g(an + O).

(4.6)

Интегрируя уравнение (4.2) на интервале (an, Рп), имеем

Pn

- J(P„-O) + g(ccrt+O)= f (F-o)dz. (4.7)

QZ	(1Z

«П

Функция co(z) положительна внутри интервала 7„. Следова-
тельно, при z =‘an ее производная неотрицательна, а при z = рп —
неположительна:

g(an + 0)>0, ^(рп-0)<0.

С учетом этого из равенства (4.7) вытекает оценка

Рп

\d£ + °)| + °)|< .[

Последнее соотношение вместе с равенством (4.6) дает нам
неравенство

₽п

|g(₽-0)|< J IF-<o|dz.

Р

Так как р„ произвольны и рп -► р, а функции F и со ограни-
чены, то

J(₽- 0) = 0.

Мы попали в ситуацию, рассмотренную выше при доказатель-
стве второго утверждения. Полученное равенство противоречит
уравнению (4.2), положительности функции ю(г) при z<p и ра-
венству этой функции нулю при z = р.
Аналогичным образом исследуется полуось R+.

Таким образом, единственно возможными являются следующие
варианты.

I.	Существует единственная точка z0 такая, что <в(з)>0 при
z<z0, <b(zo) = O и m(z)<0 при z>z0 (классическое решение).

II.	Существуют точки z2>zi'^0 такие, что <в(г)>0 при z<z,,
to (z) = 0 при z е (г,, z2) и и (z) < 0 при z > z2.

Еще возможна ситуация, когда <в (z) = 0 на интервалах (—<», у J
либо (уг, оо), если

J | F (z) | dz < оо или j*|F(z)|dz<oo.
— оо	о

В наших условиях указанные интегралы неограниченны и по-
следний вариант невозможен.

Если реализуется первый вариант, то всюду вне точки z = z»
функция <o(z) удовлетворяет уравнению (4.2), в самой точке z = z»
она обращается в нуль, и, кроме того, в этой точке выполняется
условие Стефана

g(««-O)-f(z. + O)_p..	(4.8)

Во втором варианте <o(z) удовлетворяет всюду вне отрезка
(zb z2) уравнению (4.2), а на отрезке (z4, z2), где <о = 0, неизвест-
ной является функция ц(г), которая определяется из уравнения
(4.3). В граничных точках zt и z2, как и при выводе (4.4), имеем
co (zx) = 0, - g (zx - 0) = поц (zx + 0),	(4.9)

co(z2) = O, — ^(г2 + О) = по(ц(г2 —0)+1).	(4.10)

В каждом из вариантов необходимо учитывать условия (1.24)
на бесконечности.

На самом деле второе условие (4.9) распадается на два не-
зависимых условия. Действительно, g)(z) положительно при z<z4
и co(z1) = O. Следовательно, ^(zx— 0)^0. С другой стороны,
т) (z) неположительна при z > z4 и второе равенство (4.9) возможно
лишь при

g(z1-O) = O, ц (zj + 0) = 0.	(4.11)

Таким образом, во втором варианте точка z, и функция ca(z)
при z<z, определяются из автономной задачи (4.2), (1.24) и пер-
вых условий в (4.9) и (4.11). После нахождения точки zt функ-
ция T|(z) определяется всюду при z>z, из уравнения (4.3) и вто-
рого условия (4.11):

Z

r|(z) = HF(M-

Ч
Точка z2 и функция <o(z) при z z2 находятся из уравнения
(4.2), условия (1-24) и условий (4.10), в которых

z2
n(z2^0) = lfF(|)^.
°zi

Приступим к непосредственному доказательству теоремы 4.
Прежде всего покажем, что при малых v0 всегда реализуется пер-
вый вариант.

Считая z0 > 0 и решая уравнение (4.2) при z < z0 и при z > z0,
получим

со (z) = F1 + при ze(- оо, 0),

~ 1 1_ 1	) + ^2 + при Z Е (0, Zo),

Л2

© (z) = F2 + c2e%2Z при z е (z0, оо).

В этих формулах 2Xi = v0 + (г?о + 4)1/2 > 0, 2?.3 = v0 —
— (уо + 4)1/2<О. Постоянные ct и с2 определяются из условия
<о (z0 — 0) = (о (z0 + 0) = 0:

^4*0 = £l_£2 (%2<Л1го _ х/Л) - F21
Лг Л2

c2e^z° = _ т?2.

Условие Стефана (4.8) доставляет нам уравнение для опреде-

ления точки z0:

p^2z0 _ _ (^1 ~ М ^2 + г;о

(4.12)

Поскольку Х2 < 0, то положительный корень z0 уравнения (4.12)

всегда существует, если

I (^1 М го

<1.

(4.13)

При г» = 0 будет Z4 = Х2, и справедливость (4.13) следует из
условия теоремы Ft + F2 > 0. Так как все рассматриваемые выраже-
ния непрерывны, то неравенства (4.13) справедливы и для малых
положительных значений va.

Прямым подсчетом убеждаемся, что левое неравенство (4.13)
выполняется при всех v0 > 0, а правое — при

0<p0<21F2|(l-|J’2|2)-i/2 = p*,	(4.14)

если 0 < |F21 < 1, и при всех р0 > 0, если |F2I > 1.

Производная (z0 — 0) является монотонно возрастающей
функцией параметра п0:

-% (*. - 0) - г. + 141 м + 4)« - s м. (4.15)
При v0 = v*, где р* = | F21 (1 + | F2 |)-V2, будет g (p*) = 0.
Следовательно, первый вариант реализуется в интервале
(0, min(p*, р*)), так как при р > р* соотношение (4.15) определяет
положительные значения производной 4^ (z0 — 0), что невозможно
в силу положительности функции со (z) при z < z0 и равенства
со (z0) = 0.

Так как р* < р* при lf2l sg 1, то искомый интервал равен
(О, р*).

При р0>р* реализуется второй вариант. Функция k>(z) при
z<zt и точка z, находятся из автономной задачи (4.2), (1.24) и
первых условий в (4.9) и (4.11):

<в (z) = Fr + при z е (— оо, 0),

(0 (z) = 7^—(%iex2z — X2eX1Z) + F2 + cxeX1Z при z e (0, zT).

— Л2

Как и выше, постоянная ci определяется из условия —

С1ек1г1 = | F21 + (X2exizi - X^i),

Ai ~ Л2

а точка zt — из условия (4.11) :

Функция т](г) при z>z, находится из уравнения (4.3) и вто-
рого условия (4.11):

n (z) = (^А) (z — zi)-

Решая задачу (4.2), (1.24) и (4.10), определим точку z2 и
функцию со (z) при z > z2:

(0 (z) = F2 (1 — /г(2~г2))1 z ^2, оо),

z2 = z1-(l/F2)g(p0).

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ
С НЕПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ ПЛАВЛЕНИЯ

И. Г. ГЕТЦ, А. М. МЕИРМАНОВ

Рассмотрим модели, описывающие кристаллизацию чистого ве-
щества с непостоянной (но известной) температурой плавления и
кристаллизацию бинарного сплава. Первая модель более простая и
служит как бы моделью — лоцманом при построении второй. Основ-
ная особенность той и другой моделей — возможность появления
переходной фазы, что влечет за собой дополнительные аксиомы,
характеризующие поведение среды.

1.	Описание кристаллизации чистого вещества с непостоянной
температурой плавления дано в [149]. В нем уравнение притока
тепла имеет общепринятую форму

dlUdt — div(x V 0),	цу

но в соотношении, связывающем энтальпию U и температуру 0, зна-
чение 0*, где функция Ф терпит разрыв первого рода, может за-
висеть от точек пространства и от времени. Для простоты изложе-
ния будем считать, что Ф(0) = 0 при О>0*, Ф(0) = 0 — L при
0<0* и Фе[0* — L, 0*] при 0 = 0*. Если предположить, что
0 = 0* в некоторой области Qt и энтальпия меняется в интервале
(0*-Л 0*), то правая часть уравнения (1) не исчезает (как это
было в случае постоянной температуры плавления), а будет зави-
сеть от вида коэффициента х. Указанная величина надежно опре-
деляется в жидкой и твердой фазах, а ее вид в переходной фазе
необходимо постулировать. Как и в [149], будем считать х в пере-
ходной фазе линейной функцией энтальпии: х = %+ + ((х+ — х_) /L) X
Х(С7 —0*). Математическая модель замыкается добавлением крае-
вого условия на границе Q и начального условия для энтальпии:

(U-Ut(x, i))lxe8a = 0, U\t=0 = Ua(x).	(2J

В зависимости от величины 0 уравнение (1) параболическое
(0¥=0*) или гиперболическое (0 = 0#). Поэтому, в отличие от
ситуации 6* — con st, на границе области Q следует задавать не
температуру, а энтальпию.

В [149] исследовалась одномерная задача (1), (2), когда 0#
имела специальный вид, и доказывалось существование гладкой
границы, разделяющей переходную и жидкую фазы.

Если 0 = x(t/, 0* ) — зависимость, обратная к зависимости U =
==Ф(0, 0# ), то положим 0о = х(^о, 0*), 0ij=x(t/i, 0#).

Теорема 1. Пусть 3Q е= С2, 0* еC3(Qr), 0ое (Q), 0хе
<= (Qr) и

f \U0(x + у) - Uo (х)	VyeQ.

а

Пусть, кроме того, при всех £е[0, Г] в малой окрестности
границы dfi

(x+-x-)(V0# (х, i)v(z(x)))>0,	(3)

где v(z)—внутренняя нормаль к границе д£1 в точке z^dQ и
z(x)— ближайшая к х точка на границе д£2, нормаль к которой
коллинеарна вектору (z — x). Тогда существует по крайней мере
одно обобщенное решение задачи (1), (2) такое, что

0 = Х(^> 0*) (QT) и для любой строго внутренней подоб-
ласти О/, из Q и Vy е Q', Vf е [О, Т], Ут > О

\U (х + у, t)— U (х, t)\dx^.C1(Q')\y\,	(4)

q'

f|Z7(z, t + т) — U (х, t)\dx-^ С]Т3'2;	(5)

и'

Замечание. Если п = 1, то условие (3) лишнее, а неравен-
ства (4), (5) выполняются при Q' = Q.

2.	При описании кристаллизации бинарного сплава общеприня-
той является модель, априорно предполагающая существование
гладкой границы раздела жидкой и твердой фаз [82]. В ней тре-
буется определить температуру 0, концентрацию примеси с и гра-
ницу раздела фаз Гт. Жидкое и твердое состояние среды в данной
точке пространства в данный момент времени определяется с по-
мощью диаграммы фазового равновесия по значениям температуры
и концентрации: если 0 больше величины (с), то среда находится
в жидком состоянии, а если 0 меньше чем if-(с), то в твердом.
При таком описании отсутствует температура плавления среды.
Ниже она естественным образом 'вводится с помощью некоторого
аналога химического потенциала.

Температура 0 удовлетворяет в каждой из областей Qt и Q7,
занятых соответственно жидкой и твердой фазами, уравнению тепло-
проводности pepdQ/dt = div(x V 0) (для простоты изложения всюду
ниже считаем рсР = 1), а концентрация — уравнению диффузии
dddt = div(Z> V с). Коэффициенты х и D, как правило, считаются
постоянными в каждой из областей Qr- На искомой границе Гг
фазового перехода помимо обычного условия Стефана выполняется
условие баланса массы [с] • V, = —[О- дс/ду]. Предельные значения
температуры 0+ и 0~ на границе Гт соответственно из областей Q?
и Q7 совпадают: 0+ — 0~, а предельные значения концентрации
определяются из диаграммы фазового равновесия: ф4.(с+) = ф-(с_) =
— 0+. Математическая модель замыкается двумя условиями на гра-
нице области Q и начальными условиями для температуры, кон-
центрации и положения границы раздела фаз.

Имея перед собой схему построения модели кристаллизации с
известной непостоянной температурой плавления, попытаемся пе-
ренести ее на модель кристаллизации бинарного сплава. Для этого
надо записать уравнения теплопроводности и диффузии в виде за-
конов сохранения, содержащих только первые производные от
функций, которые по своему физическому смыслу должны терпеть
разрыв, и корректно определить все величины, входящие в законы
сохранения. В модели кристаллизации бинарного сплава разрывны-
ми функциями являются энтальпия и концентрация примеси. Если
для уравнения теплопроводности формулировка в виде закона со-
хранения дается уравнением (1), то уравнение диффузии записать
в аналогичной форме нельзя. Но ситуация оказывается не безна-
дежной, поскольку уравнение диффузии — частный случай более
общего уравнения

dc/otf = div [Л V(|V6)],	(6)

в котором р = gi — р2, рч^фД®, с)—химические потенциалы ком-
понент смеси, известные функции параметров состояния бис (ра-
венство химических потенциалов при фазовом переходе определяет
вид кривых на диаграмме фазового равновесия). С термодинамиче-
скими функциями U, 0, с, 5 (энтропия) химический потенциал р
связан тождеством

dU = QdS+ndc.	(7)

Уравнения (1) и (6) понимаются в смысле теории обобщенных
функций как соответствующие интегральные тождества, в которых
производные с функцией U, х V 0, е, AV(p/0) переброшены на
пробные функции.

Нам осталось найти область допустимых значений термодина-
мических параметров и всюду в ней определить коэффициенты к
и Л. Если в качестве основных параметров состояния взять темпе-
ратуру и концентрацию, то остальные величины находятся с по-
мощью следствия из тождества (7)

д р , 1 dU
Й9(Г + 02  1с

(8)

и соответствующего уравнения состояния р = фо(0, с) или U =
= Ф(0, с).

Первая аксйома В{ модели кристаллизации бинарного сплава
общепринята и формулируется следующим образом: значения па-
раметров 0 и с из областей П+ = {(0, с)|0<с<1, 0>ф+(с)} и
П_ = {(0, с)10<с< 1, 0=^ф-(с)} определяют соответственно жид-
кую и твердую фазы; при изменении агрегатного состояния вещест-
ва температура 0 и химический потенциал ц, изменяются непре-
рывно.

Как и в модели кристаллизации с известной температурой плав-
ления, будем считать, что возможно переходное состояние среды,
когда параметры 0 и с лежат в области П* = {(0, с)|0<с<1,
ч|?_(с)< 0 <ф+(с)}. Относительно функций U, р, х, Л предположим,
что они дважды непрерывно дифференцируемы в каждой из обла-
стей П+, П*, П_ и непрерывны всюду в области П = {(0, с)|0<
<с<1, |0| < °°}. Утверждение о возможности переходного состоя-
ния и описание зависимостей U, ц, х, Л от параметров 0 и с всюду
в области П составляет содержание аксиомы Ви.

Пусть, например, U = 0 в жидкой фазе и U — 0 — L в твердой
фазе. Тогда (см. (8)) р = 0-Л+(с) в жидкой фазе и ц = 0-Л_(с)
в твердой фазе. Из условия постоянства химического потенциала ц
на каждой линии {0 = const) в области П* (аксиома Вг) вытекают
равенства Л* (с) = <р(ф±(с)) и р = 0 <р(0) в переходной фазе. Обра-
щаясь к (8), видим, что энтальпия в переходной фазе зависит _от
концентрации линейно: U = 0 + L (f+ (0) — с) (f- (0) — /+ (0))_1, где
с = /±(0)—уравнения линий ликвидуса и солидуса на диаграмме
фазового равновесия. Функция ср в представлении для ц определя-
ется из последнего равенства и (8): ф'(т) = — £т~2[/+ (т) — /_(т)]-1.
Если коэффициент Л такой, что tedh^/dc = Z)*, то уравнение (6)
в жидкой и твердой фазах совпадает с уравнением диффузии.
В переходной фазе коэффициенты х и Л определяются по аналогии
с предыдущей моделью. Например, если (0, с) — коэффициент
теплопроводности соответственно в жидкой и твердой фазах, то в
переходной фазе х =(х_ — х+) (с —/+(0)) (/_(0)-/+(0))-1, где х* =
= х±(0, /±(0)).

Химический потенциал ц неограниченно растет в крайних точ-
ках диаграммы фазового равновесия, где функции и ф_ (соответ-
ственно /+ и /_) совпадают. Поэтому в качестве искомой функции
удобнее рассматривать величину v, определяемую из равенства
0(p(v) = p. Тогда v = ф+(с) в жидкой, v = '$-(c) в твердой и v = 0
в переходной фазах, а уравнение (6) примет вид

dc/dt — div(%(0, c)Vv),	(9)

где коэффициент X = Аф' (v) определен всюду в области П измене-
ния параметров 0 и с.

Легко видеть, что функция 0*sv(0, с) есть температура плав-
ления бинарной смеси. Жидкая и твердая фазы задаются неравен-
ствами 0 > v и 0 < v соответственно (сюда также относятся точки
фазовой диаграммы L+ = {0 = ф+ (с)} — жидкая фаза и 1г = {0 =
5=ф_(с)} — твердая фаза), а переходная фаза — равенством 0 = v
(без точек кривых Z,+ и L~).

В последней аксиоме Вш постулируется выполнение уравнений
(1) и (9) в смысле теории обобщенных функций. Математическая
модель Вг—Вш кристаллизации бинарного сплава замыкается кра-
евыми и начальными условиями для энтальпии и концентрации.

Очевидно, что если решение в модели Bi — Вщ (обобщенное
решение) есть движение с сильным разрывом (см. гл. 1, § 1), то
оно совпадает с решением задачи о кристаллизации бинарного спла-
ва в постановке [82]. Таким образом построенная модель Z?r — BUi
содержит в себе общепринятую модель кристаллизации бинарного
сплава.

3.	В одномерной стационарной задаче требуется определить
функции U, v, 0, удовлетворяющие в области Q = trlO<;z:<l} си-
стеме уравнений

#[x(Z7, v)^-] = 0, -#-k(tf, v)^r-l = 0	(Ю)

dx ' ’ ' dx J ’ dx L ' ' dx ]	' '

в смысле теории обобщенных функций и условиям

0(i) = 0', v(i) = v\ i = 0, 1.	(11)'

Если в процессе решения сформулированной задачи будут най-
дены функции U, v, 0, то концентрация примеси с определяется с
помощью равенств v = i|)+(c) при 0>v и v = if-(c) при 0<v. При
0 = v (в переходной фазе) с = /+(0) + (/+(0)— /-(0)) (U— G)/L.

Теорема 2. Пусть на границах области Q среда находится
либо в твердом, либо в жидком состоянии, т. е. (0° — v°) • (0‘— v‘) #=
¥=0, строго монотонно возрастающие функции /±(т) дважды непре-
рывно дифференцируемы на интервале [X, У], содержащем значе-
ния и vl и (± 1) /± (т)	0 при т е [X, У].

Тогда существует по крайней мере одно обобщенное решение
задачи (10), (И) такое, что 9,	Весь интервал й можно

разбить не более чем на три подынтервала, занятых различными
фазами, так, что во внутреннем интервале может находиться толь-
ко переходная фаза.

Если = 0, то переходная фаза отсутствует.

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 |9‘ — 9“| ~ а=#0 и
У±(9°)=^0 при v°<9°, /1(9°)=/= 0 при v°>9°, /+(91)=т^0 при
v1 < О1, /L (91) =И= 0 npwv‘>9‘.

Тогда существует такое е = е(а), что при |0° — v°| < е,
19* — v‘l <е решение задачи (10), (11) описывает процесс кристал-
лизации с переходной фазой.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Авдонин Н. А. Математическое описание процессов кристаллизации.— Ри-
га: Зинатне, 1980.— 180 с.

2.	Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики
неоднородных жидкостей.— Новосибирск: Наука, 1983.— 319 с.

3.	Базалий Б. В. Об одном доказательстве существования двухфазной зада-
чи Стефана.— В кн.: Математический анализ и теория вероятностей.
Киев: Наук, думка, 1978, с. 7—11.

4.	Базалий Б. В. Устойчивость гладких решений двухфазной задачи Стефа-
на.— Докл. АН СССР, 1982, т. 26% № 2, с. 265—269.

5.	Базалий Б. В., Шелепов В. Ю. Об асимптотическом поведении решения
одной задачи Стефана.— Докл. АН УССР, сер. А, 1978, № 12, с. 1059—1061.

6.	Базалий Б. В., Шелепов В. Ю. Об одной теплофизической квазистационар-
ной задаче со .свободной границей.— В кн.: Краевые задачи теории теп-
лопроводности. Киев: Наук, думка, 1975, с. 45—56.

7.	Базалий Б. В., Шелепов В. Ю. Оценки скорости стабилизапии решения
задачи Стефана.— Докл. АН УССР, сер. А, 1981, № 4, с. 4—6.

8.	Бачелис Р. Д., Меламед В. Г., Шлайфер Д. В. Решение задачи Стефана
методом прямых.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1969, т. 9,
№ 3, с. 113—126.

9.	Бачелис Р. Д., Меламед В. Г. О решении квазилинейной двухфазной
задачи Стефана методом прямых при слабых ограничениях на входные
данные задачи.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, т. 12,
№ 3, с. 828—829. •

10.	Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.—
М.: Мир, 1966 — 351 с.

11.	Бижанова Г. И. Стабилизация решения второй граничной задачи Стефа-
на.— Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 198(\ № 5, с. 12—17.

12.	Бижанова Г. И. Применение метода малого параметра к решению задачи
типа Стефана.— В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по
асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений.
Ч. 2. Алма-Ата: Наука, 1979,. с. 191—192.

13.	Бородин М. А. Теорема существования решения однородной квазистацио-
нарной задачи Стефана.— Докл. АН УССР, сер. А, 1976, № 7, с. 582—585.

14.	Бородин М. А. Однофазная квазистационарная задача Стефана.— Докл.
АН УССР, сер.. А, 1977, № 9, с. 775—777.

15.	Бородин М. А. О разрешимости двухфазной квазистациопарной задачи
Стефана.— Докл. АН УССР, сер. А, 1982, № 2, с. 3—5.

16.	Бородин М. А. О разрешимости двухфазной нестационарной задачи Сте-
фана,— Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 5, с. 1040—1042.

17.	Бородин М. А., Фельгенхауэр У. Однофазная квазилинейная задача Сте-
фана— Докл. АН УССР, сер. А, 1978, № 2, с. 99—102.

18.	Бородин М. А., Фельгенхауэр У. Осесимметричная однофазная задача Сте-
фана.— В кн.: Математическая физика. Киев: Наук, думка, 1978, вып. 24,
с. 74—76.
19.	Будак Б. М., Москал М. 3. О классическом решении многомерной задачи
Стефана,— Докл. АН СССР, 1969, т. 184, № 6, с. 1263—1266.

20.	Будак Б. М., Москал М. 3. О классическом решении многомерной много-
фронтовой задачи Стефана.— Докл. АН СССР, 1969, т. 188, № 1, с. 9—12.

21.	Будак Б. М., Москал М. 3. О классическом решении первой краевой зада-
чи Стефана для многомерного уравнения теплопроводности в координат-
ном параллелепипеде.— В кн.: Решения задач Стефана. М.: Изд-во МГУ,
1970/1971, с. 87—133.

22.	Вишик М. И. Об одном неравенстве для граничных значений гармониче-
' ских функций в шаре,—Успехи мат. наук, 1951, т. 6, № 2, с. 165—166.

23.	Головкин К. К. Два класса неравенств для достаточно гладких функций п
переменных.— Докл. АН СССР, 1961, т. 138, № 1, с. 22—25.

24.	Городничев С. П. Об улучшении точности интегрального метода решения
однофазных задач Стефана.— Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1977, № 5,
с. 16—21.

25.	Григорьев С. Г. Пакет прикладных программ для приближенного числен-
ного и аналитического решения задач Стефана.— В кн.: Пакеты приклад-
ных программ. Методы и разработки. Новосибирск: Наука, 1981, с. 201—
205.

26.	Григорьев С. Г., Косолапов В. Н., Пудовкин М. А., Чугунов В. А. Схема
обобщенного метода интегральных соотношений однофазных задач -Сте-
фана и ее применения.— В кн.: Прикладные задачи теоретической и ма-
тематической физики. Рига: Изд-во Латв, ун-та им. П. Стучки, 1980,
с. 43—52.	*

27.	Данилюк И. И. Об одном варианте двухфазной задачи Стефана,—Докл.
АН УССР, сер. А, 1973,. № 9, с. 783—787.

28.	Данилюк И. И. О процессе кристаллизации при образовании гарнисажа.—
В кн': Математическая физика. Киев: Наук, думка, 1975, вып. 17, с. 99—
111.

29.	Данилюк И. И. О двухфазной квазистационарной задаче Стефана.— Докл.
АН УССР, сер. А, 1982, № 1, с. 6—10.

30.	Данилюк И. И. О многомерной однофазной квазистационарной задаче
Стефана.— Докл. АН УССР, сер. А, 1984, № 1, с, 13—17.

31.	Данилюк И. И., Салей С. В. Об одном варианте двухфазной задачи Сте-
фана при наличии теплоисточников.— Докл. АН УССР, сер. А, 1975, № 11,
с. 972—976.

32.	Домалевский С. С; Влияние термоупругих напряжений на эрозию элект-
рических контактов.— Изв. вузов. Электромеханика, 1978, № 1, с. 14—17.

33.	Домалевский С. С., Ким Е. И., Харин С. Н. Модель термоупругого разру-
шения электродов в импульсном разряде.— Изв. АН КазССР. Сер.
физ.-мат., 1976, № 5, с. 9—14.

34.	Иосида К. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1967.— 624 с.

35.	Кавокпн А. А. Об оценке положения свободной границы одной задачи
типа Стефана.— Математика и механика/MB и ССО- КазССР, Алма-Ата,
1971, вып. 7, ч. 1, с. 95—97.

36.	Кавокин А. А. О задаче Стефана с нелинейным граничным условием.—
Математика и механика/MB и ССО КазССР, Алма-Ата, 1973, вып. 8,
с. 56-61.

37.	Кавокин А. А. Об асимптотической непрерывности решения задачи Сте-
фана относительно граничных условий для малого времени.— Изв. АН
КазССР. Сер. физ.-мат., 1976, № 1, с, 63—66.

38.	Калиев И. А. Двухфазная задача Стефана с однородными краевыми ус-
ловиями.— В кн.: Материалы XIX Всесоюзной научной студенческой кон-
ференции. Математика. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1981, с. 35—39.

39.	Калиев И. А., Мейрманов А. М. О структуре обобщенного решения одно-
мерной задачи Стефана.— В кн.: Задачи гидродинамики со свободными
границами. Новосибирск: изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1984,
с. 24—47. (Динамика сплошной среды, вып. 64).

-40	. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана.— Мат. сб., 1961, т. 53, № 4,
с. 489-514.

41.	Карташов 3. М., Любов Б. Я. Аналитические методы решения краевых
задач уравнения теплопроводности в области с движущимися граница-
ми.— Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1974, № 6, с. 83—112.

42.	Ким Е. И., Бижанова Г. И. Исследование второй граничной задачи Сте-
фана при малых значениях времени,—Вести. АН КазССР, 1981,.. № 6,
с. 76—86.

43.	Ким Е. И., Бижанова Г. И. Об одном классе интегро-дифференциальных
уравнений.— Вести. АН КазССР, 1982, № 5, с. 38—48.

44.	Ким Е. И., Омельченко Л. А., Харин С. Н. Математические модели теп-
ловых процессов в электрических контактах.— Алма-Ата: Наука, 1977.—
236 с.	'

45.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
нального анализа.— М.: Наука, 1972,— 496 с.

46.	Кронрод А. С. О функциях двух переменных,—Успехи мат. наук, 1950,
т. 5, вып. 1, с. 24—134.

47.	Кружков С. Н. О некоторых задачах с неизвестной границей для урав-
нения теплопроводности,— Прикл. математика и механика, 1967, т. 31, № 6,
с. 1009—1020.

48.	Кружков С. Н. Об одном классе задач с неизвестной границей для урав-
нения теплопроводности,— Докл. АН СССР, 1968, т. 178, № 5, с. 1036—1038.

49.	Кружков С. Н. Об основной априорной оценке для решений квазилиней-
ного параболического уравнения.— Изв. АН УССР. Сер. физ.-мат. наук,
1972, № 3, с. 16—20.

50.	Ладыженская О. А., Со.тонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и
квазилинейные уравнения параболического типа.— М.: Наука, 1967.—
736 с.

51.	Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные урав-
нения эллиптического типа.— М.: Наука, 4973,— 576 с.

52.	Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболиче-
ского типов.— М.: Наука, 1971.— 287 с.

53.	Мартыненко О. Г., Соловьев И. А. Некоторые решения однофазной и
одномерной задачи Стефана.— В кн.: Методы исследования и оптимиза-
ции процессов переноса. Минск: изд. Ин-та тепломассообмена им.
А. В. Лыкова АН БССР, 1979, с. 198—201.

54.	Мейрманов А. М. Обобщенное решение задачи Стефана в среде с сосре-
доточенной емкостью.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики
СО АН СССР. Новосибирск, 1972, вып. 10, с. 85—101.

55.	Мейрманов А. М. Многофазная задача Стефана для квазилинейных пара-
болических уравнений.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики
СО АН СССР. Новосибирск, 1973, вып. 13, с. 74—86.

56.	Мейрманов А. М. Однозначная разрешимость и асимптотическое поведе-
ние при i -> оо одной задачи стефановского типа, возникающей в гидрав-
лике.— В кн.: Нестационарные проблемы гидродинамики. Новосибирск:
изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1977, с. 98—111. (Динамика
сплошной среды, вып. 30).

57.	Мейрманов А. М. О классической разрешимости задачи Стефана.— Докл.
АН СССР, 1979, т. 249, № 6, с. 1309—1312.

58.	Мейрманов А. М. О классическом решении многомерной задачи Стефана
для квазилинейных параболических уравнений.— Мат. сб., 1980, т. 112,
№ 2, с. 170—192.

59.	Мейрманов А. М. О решениях двумерной двухфазной задачи Стефана,
близких к одномерным.— В кн.: Краевые задачи для уравнений гидро-
динамики. Новосибирск: изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1981,
с. 135—149. (Динамика сплошной среды, вып. 50).

60.	Мейрманов А. М. Задача Стефана: приближенное моделирование.—Успе-
хи мат. наук, 1981, т. 36, вып. 4, с. 201.

61.	Мейрманов А. М. Пример несуществования классического решения задачи
Стефана.—Докл. АН СССР, 1981, т. 258, № 3, с. 547-549.

62.	Мейрманов А. М. О двумерных автомодельных решениях задачи фильт-
рации сжимаемой жидкости со свободными границами.— Численные ме-
тоды механики сплошной среды: Математическое моделирование/Ин-т
теорет. и прикл. механики. Новосибирск, 1981, т. 12, № 6, с. 56—64.
63.	Мейрманов А. М. Приближенные модели в двухфазной задаче Стефана
(«сосредоточенная емкость»).—В кн.: Механика неоднородных сплошных
сред. Новосибирск: изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1981,
с. 56—77. (Динамика сплошной среды, вып. 52).	’

64.	Мейрманов А. М. Периодические решения двухфазной задачи Стефана.—
В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Новосибирск: изд.
Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1982, с. 35—40. (Динамика сплошной
среды, вып, 57).

65.	Мейрманов А. М. Структура обобщенного решения задачи Стефана. Пе-
риодические решения.— Докл. АН СССР, 1983, т. 272, № 4, с. 789—791.

66.	Мейрманов А. М. О структуре обобщенного решения квазистационарной
одномерной задачи Стефана.— Дифференц. уравнения, 1984, т. 20, № 5,
с. 882—885.

67.	Мейрманов А. М., Пухначев В. В. Лагранжевы координаты в задаче Сте-
фана.— В кн.: Математические проблемы механики сплошных сред. Ново-
сибирск: изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1980, с. 90—111. (Дина-
мика сплошной среды, вып. 47).

68.	Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.—
М.: Изд-во иностр, лит., 1957.— 256 с.

69.	Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.— М.: Нау-
ка, 1977,— 512 с.

70.	Моисеенко Б. Д., Самарский А. А. Экономичная схема сквозного счета
для многомерной задачи Стефана,— Журн. вычисл. математики и мат.
физики, 1965, т. 5, № 5, с, 816—827.

71.	Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптиче-
ских систем уравнений.— Новосибирск: Наука, 1977.— 420 с.

72.	Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившився движения идеальной
жидкости со свободной границей.— Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та,
1975,— 173 ,с.

73.	Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения.— М.: Наука, 1977,— 455 с.

74.	Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.— М.:
Мир, 1977 — 232 с.

75.	Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики,— М.: Наука,
1981 — 368 с.

76.	Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана.—Докл.
АН СССР, 1960, т. 135, № 5, с. 1054—1057.

77.	Пудовкин М. А., Григорьев С. Г., Косолапов В. Н. Применение обобщен-
ного метода интегральных соотношений для исследования процесса об-
разования криогидратного ограждения горных выработок.— В кн.: Теп-
ломассообмен-VI. Минск: изд. Ин-та тепломассообмена им. А. В. Лыкова
АН БССР, 1980, т. IV,. ч. 2, с. 32—37 .

78.	Пудовкин М. А., Саламатин А. Н., Чугунов В. А. Решение двухфазной
задачи Стефана для цилиндрической области.— В кн.: Исследования по
прикладной математике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975, вып. 3, с. 97—
107.

79.	Пухначев В. В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели элект-
рического взрыва проводников.— В кн.: Труды семинара С. Л. Соболева.
Новосибирск: изд. Ин-та математики СО АН СССР, 1976, № 2, с. 69—82.

80.	Пухначев В. В. Возникновение особенностей в решении задачи стефанов-
ского типа.— Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 3, с. 492—500.

81.	Радкевич Е. В., Меликулов А. С. О разрешимости двухфазной квазиста-
ционарной задачи кристаллизации.— Докл. АН СССР, 1982, т. 265, № 1,
с. 58—62.	„	,

82.	Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана.— Рига: Звайгзне, 1967.— 457 с.

83.	Салей С. В. О глобальной разрешимости одной задачи Стефана,—Докл.
АН УССР, сер. А, 1979, № 6, с. 424—428.

84	Салей С. В. Об одной задаче со свободной границей при наличии тепло-
источников.— В кн.: Краевые задачи математической физики. Киев: Наук,
думка, 1979, с. 172—192.
85.	Салей С. В. О скорости сходимости свободной границы к предельному
значению в одной задаче Стефана.— Докл. АН УССР, сер. А, 1981, № 6,
с. 19—23.

86.	Соболевский П. Е. О локальной и нелокальной теореме существования
для нелинейных параболических уравнений.— Докл. АН СССР, 1961,
т. 136, № 2, с. 292—295.

87.	Успенский А. В. О методе выпрямления фронтов для многофронтовых
одномерных задач типа Стефана.—Докл. АН СССР, 1967, т. 172, № 1,
с. 61—64.

88.	Фельгенхауэр У. Об одной однофазной нестационарной задаче Стефана.—
Докл. АН УССР, сер. А, 1981, № 1, с. 30—32.

89.	Фридман А. Уравнения параболического типа.— М.: Мир, 1968.— 427 с.

90.	Харин С. Н. Математические модели процессов тепло- и массообмена в
электрических контактах.— В кн.: Электрические контакты. М.: Наука,
1975, с. 5-14.

91.	Хуснутдинова Н. В. О поведении решений задачи Стефана при неограни-
ченном возрастании времени.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидроди-
намики СО АН СССР, Новосибирск, 1969, вып. 2, с. 168—177.

92.	Чекмарева О. М. О применении интеграла Коши для исследования задач
стефановского типа.— В кн.: Вопросы математической физики. Л.: Наука,
1976, с. 193—197.

93.	Шаповаленко В. В. Расчет температурного поля и фронта кристаллиза-
ции полого цилиндрического слитка.— В кн.: Математическая физика.
Киев; Наук, думка, 1977, вып. 22, с. 98—102.

94.	Шмулев Н. И. Периодические решения первой краевой задачи для па-
раболических уравнений.— Мат. сб., 1965, т. 66, № 3, с. 398—410.

95.	Alexander В., Manselly Р., Miller К. Moving finite elements for the Stefan
problem in two dimensions.— Atti della Acad. Naz. dei Lincei, 1979, v. 77,
p. 57—61.

96.	Atthey D. R. A finite difference scheme for melting problems.— J. Inst.
Math. Appl., 1974ц v. 13, p. 353—366..

97.	Atthey D. R. A finite difference scheme for melting problems based on the
method of weak solutions.— Proc. Symposium on moving boundary prob-
lems in heat flow and diffusion. Oxford: Clarendon Press, 1975, p. 182—191.

98.	Baumeister J., Hoffman К. H., Jochum P. Numerical solution of a parabolic
free problem via Newton’s method.— J. Inst. Math. Appl., 1980, v. 25,
p. 99—109.

99.	Berger A. E., Brezis H., Rogers J. C. W. A numerical method for solving
the problem — A/(u) = 0.—RAIRO — Analyse Numerique, 1979, v. 13,
p. 297—312.

100.	Bertsch M., de Mottoni P., Peletier L. A. Degenerate diffusion and the Ste-
fan problem.— Preprint N 20, Mathematical Institute, University of Leiden,
The Netherlands, 1983.

101.	Blanchard D., Fremond M. The Stefan problem: computing without the free
boundary.—Int. J. Numer. Meth. Eng., 1984, v. 20, p. 757—771.

102.	Bonacina C., Comini G., Fasano A., Primicerio M. Numerical solution of
phasechange problems.— Int. J. Heat Mass Transfer, 1973, v. 16, p. 1825—
1832.

103.	Bonnerot R., Jamet P. A second order finite element method for the one-
dimensional Stefan problem.— Int. J. Numer. Meth. Eng., 1974, v. 8, p. 811—
820.

104.	Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the
two-dimensional Stefan problem by spacetime finite elements.— J. Comp.
Physics, 1977, v. 25, p. 163—181.

105.	Bonnerot R., Jamet P. A conservative finite element method for one dimen-
sional Stefan problems with appearing and disappearing phases.— J. Comp.
Physics, 1981, v. 41, p. 357—388.

106.	Borgioli G., Di Benedetto E., Ughi M. Stefan problem with nonlinear boun-
dary conditions: the polygonal method — ZAMM, 1978, v. 58, p. 539—546.

107.	Bossavit A., Damlamian A. Homogenization of the Stefan problem and
application to magnetic composite media.— IMA J. Appl. Math., 1981, v. 27,
p. 319—334.
iuo. uuiorciiy bi. a. amu эшиьмииээ vi uiv uc« suiiixuu iu а шпации proDiem.—
Arch. Rat Meeh. Anal., 1976, v„ 63, No,' 1, p. 77—86.

109.	Caffarelly L. A. The regularity of elliptic and parabolic free boundaries.—
Bull. Amer., Math. Soc., 1976, v. 82, p. 616—618.

110.	Caffarelly L. A. The regularity of free boundaries in higher dimensions.—
Acta Math., 1977, v. 139, p. 156—184.

111.	Caffarelly L. A. Some aspects of the one-phase Stefan problem.— Indiana
Univ. Math. J., 1978, v. 27, p. 73—77.

112.	Caffarelly L. A., Evans L. C. Continuity of the temperature in two-phase
Stefan problems.— In: Free Boundary problems: theory and applications
(Research Notes in Mathematics, v. 79). Boston: Pitman, 1983, p. 380—382.

113.	Cannon J. R., Douglas J. The stability of the boundary in a Stefan prob-
lem.— Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 1967, v. 21, p. 83—91.

114.	Cannon J. R., Douglas J., Hill C. D. A multi-boundary Stefan problem and
the disappearance of phases.— J. Math, Meeh., 1967, v. 17, p. 21—33.

115.	Cannon J. R., Di Benedetto E. On the existence of weak solutions to an
n-dimcnsional Stefan problem -with nonlinear boundary conditions.—SIAM
J. Math. Anal., 1980, v, 11, p. 632—645.

116.	Cannon J. R., Fasano A. A nonlinear parabolic free boundary problem.—
Ann. Math. Рига Appl., 1977, v. 92, p. 119—149.

117.	Cannon J. R., Henry D. B., Kotlov D. B. Continuous differentiability of the
free boundary for weak solution of the Stefan problem.— Bull. Amer. Math.
Soc., 1974, v. 80, p. 45—48.

118.	Cannon i. R., Henry D. B., Kotlov D. B. Classical solutions of the one-di-
mensional two-phase Stefan problem.— Ann. Math. Рига Appl., 1975, v. 107,
p. 311—341.

119.	Cannon J. R., Hill C. D. Existence, uniqueness, stability, - and monotone de-
pendence in a Stefan problem for the heat equation.— J. Math. Meeh., 1967,
v. 17, p. 1—19.

120.	Cannon J. R., Hill C. D. Remarks on a Stefan problem.— J. Math. Meeh.,
1967, v. 17, p, 433—441.

121.	Cannon J. R.; Hill C. D. On the infinite differentiability of the free boun-
dary in a Stefan problem.— J. Math. Anal. Appl., 1967, v. 22, p. 385—397.

122.	Cannon J. R., Hill C. D., Primicerio M. The one-phase Stefan problem for
the heat equation with boundary temperature specification.— Arch. Rat.
Meeh. Anal., 1970, v, 39; p. 270—274.

123.	Cannon J. R,. Primicerio M. Remarks on the one phase Stefan problem for
the heat equation with the flux prescribed on the fixed boundary.— J. Math.
Anal. Appl., 1971, v. 35, p. 361—373.

124.	Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem with temperature
boundary conditions.— Ann. Math. Рига Appl., 1971, v. 88, p. 177—191.

125.	Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem with flux boundary
conditions.— Ann. Math. Рига Appl., 1971, v. 88, p. 193—205.

126.	Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem: regularity of the
free boundary.— Ann. Math. Рига Appl., 1971, v. 88, p. 217—228.

127.	Cannon J. R., Primicerio M. A Stefan problem involving the appearance of
a phase.— SIAM J. Math. Anal., 1973, v. 4, p. 141—148.

128.	Chan C. Y. Continious dependence on the data for a Stefan problem.—
SIAM J. Math. Anal., 1970, v. 1, p. 282—287.

129.	Ciavaldini J. R. Analyse numerique d’un probleme de Stefan a’deux phases
par une method d’elements finis.—SIAM J. Num. Anal., 1975, v. 12, p. 464—
487.

130.	Ciment M., Guenther R. B. Numerical solutions of a free boundary value
problem for parabolic equations.— Applicable Analysis, 1974, v. 4, p. 39—62.

131.	Crowley A. B. Numerical solution of Stefan problem.— Int. J. Heat Mass
Transfer, 1978, v. 21, p. 215—219.

132.	Crowley A. B., Ockendon J. R. A Stefan problem with a nonmonotone bo-
undary.— J. Inst. Math. Appl., 1977, v. 20, p, 269—281.

133.	Damlamian A. The homogenization of the Stefan problem and related to-
pics. Proc. Seminar on free boundary problems.— 1st. Naz. di Alta Matema-
tica, Roma, 1980, v. 1, p. 267—275.
134.	Damlamian A. How to homogenize a nonlinear diffusion equation: Stefan’s
problem.— SIAM J. Math. Anal., 1981, v. 12, p.t 306—313.

135.	Damlamian A. Some results on the multiphase Stefan problems.— Comm.
Part. Diff. Equat., 1977, v. 2, p. 1017—1044.

136.	Damlamian A. Homogenization du probleme de Stefan.— С. R. Acad, Sc.
Paris, 1979, t. 289A, p. 9—11.

137.	Damlamian A., Kenmochi N. Le probleme de Stefan aves conditions latera-
les va riables.— Hirosima Math. J., 1980, v. 10, p. 271—293.

138.	Datzeff A. Sur le probleme lineaire de Stefan.— Memorial des Sciences Phy-
siques N 69. Paris: Gauthier-Villars, 1970.

139.	Di Benedetto E., Showalter R. E. A pseudo — parabolic variational inequa-
lity and Stefan problem.— Technical Summery Report N 2100, Mathematics
Research Center, University of Wisconsin (august 1980).

140.	Duvaut G. Resolution d’un probleme de Stefan.— C. R. Acad. Sc. Paris, 1973,
t. 276A, p. 1461—1463.

141.	Duvaut G. The solution of two-phase Stefan probleme by a variational ine-
quality.— Proc. Symposium on moving boundary problems in heat flow
and diffusion. Oxford: Clarendon Press, 1975, p. 173—181.

142.	Duvaut G. Two phase Stefan problem with varying specific heat coeffici-
ents.— An. Acad. Brasil. Cienc., 1975, v. 47, p. 377—380.

143.	Duvaut G. Stefan problem for two-phases varying.— Memories de Mathe-
matica de Univ. Fed. do Rio de Janeiro, N 51, 1975.

144.	Elliott С. M., Ockendon J. R. (Ed.). Weak and variational methods for mo-
ving boundary problems.— Research Notes in Mathematics, 59. London:
Pitman, 1982.

145.	Fasano A., Primicerio M. General free boundary problems for the heat equa-
tion I.— J. Math. Anal. Appl., 1977, v. 57, p. 694—723.

146.	Fasano A., Primicerio M. General free boundary problems for the heat equa-
tion IL—J. Math. Anal. Appl, 1977, vt 58, p. 202—231.

147.	Fasano A., Primicerio M. General free boundary problems for the heat equa-
tion III.—J. Math. Anal Appl., 1977, v. 59, p. 1—14.

148.	Fasano A., Primicerio M. Free boundary problems for nonlinear parabolic
equations with nonlinear free boundary conditions.— J. Math. Anal. Appl.,
1979, v. 72, p. 247—273.

149.	Fasano A., Primicerio M. A parabolic — hyperbolic free boundary problem:
mushy regions with variable temperature in melting processes.— Preprint
N 4, Universita degli studi di Firenze, Institute Matematico “Ulisse Dini”,
1982/1983.

150.	Fasano A., Primicerio M. (Ed.) Free boundary problems: theory and appli-
cations.— Research Notes in Mathematics, v. 78 (pt I), v. 79 (pt II). Boston:
Pitman, 1983.

151.	Fasano A., Primicerio M., Karnin S. Regularity of weak solutions of one —
dimentional two-phase Stefan problems.— Ann. Math. Рига Appl., 1977,
v. 115, p. 341—348.

152.	Fasano A., Primicerio M., Rubinstein L. I. A model problem for heat con-
duction with a free boundary in a concentrated capacity.— J. Inst. Math.
Appl., 1980, v. 26, p, 327—347.

153.	Fremond M. Variational formulation of the Stefan problem. Coupled Stefan
problem. Frost propagation in porous media.— In: Int. Conf, on Computa-
tional Methods in Nonlinear Mechanics. Austin, Texas, 1974, p. 341—350.

154.	Fremond M. Diffusion problems with free boundaries.— Autumn Course on
Applications of Analysis to Mechanics, I. С. T. P. Trieste, 1976.

155.	Friedman A. The Stefan problem in several space variables.— Trans. Amer.
Math. Soc., 1968, v. 132, p. 51—87, Correction, 1969, v. 142, p. 557.

156.	Friedman A. One dimensional Stefan problem with nonmonotone free boun-
dary.— Trans. Amer. Math. Soc., 1968, v. 133, p. 89—114.

157.	Friedman A. Analyticity of the free boundary for the Stefan problem.—
Arch. Rat. Meeh. Anal., 1976, v. 61, p. 97—125.

158.	Friedman A. Variational principles and free boundary problems.—N. Y.:
Viley-interscience, 1982.—710 p.

159.	Friedman A., Jensen R. A parabolic quasi-variational inequality arising in
hydraulics.— Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 1975, v, 2, p. 421—468.
160.	Friedman A., Kinderlehrer D. A one pnase steian proniem.— muiuua
Math. J., 1975, v. 24, p. 1005—1035.

161.	Greenspan D. A particle model of the Stefan problem.— Comp. Math. Appl.
Meeh. Eng., 1978, v. 13, p. 95—104.

162.	Gupta R. S., Kumar D. Variable time step methods for one-dimentional
Stefan problem with mixed boundary condition.— Int. J. Heat and Mass
Transfer, 1981, v. 24, p. 251—259.

163.	Hanzawa E. I. Classical solution of the Stefan problem.—Tohoku Math. J.,
1981, v. 33, p. 297—335.

164.	Hoffman' К. H. Monotonic bei zweiphasen — Stefan problemen.—Numer.
Funct. Anal. Optimiz., 1979, v. 1, p. 79—112.

165.	Ichikawa Y., Kikuchi N. A one-phase multi-dimensional Stefan problem by
the method of variational inequalities.— Int. J. Numer. Meth. Eng., 1979,
v. 14, p. 1197—1220.

166.	Jensen R. Smoothness of the free boundary in the Stefan problem with
supercooled water.— Illinois J. Math., 1978, v. 22, p. 623—629.

167.	Jerome J. W. Existence and approximation of weak solutions of the Stefan,
problem with nonmonotone nonlinearities.— In: Lecture Notes in Mathema-
tics, N 506. Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1976, p. 148—156.

168.	Jerome J. W., Rose M. E. Error estimates for the multi-dimensional two-pha-
se Stefan problem.—Math, of Comput., 1982, v. 39(160), p. 377—414.

169.	Katz H. A large time expansion for the Stefan problem.— Siam J. Appt
Math., 1977, v. 32, p. 1—20.

170.	Kawarada H., Natori M. On numerical solutions of the Stefan problem I.—
Memoirs Numer. Math., 1974, v. 1, p. 43—54.

171.	Kawarada H., Natori M. On numerical solutions of the Stefan problem II.
Unique existence of numerical solution.— Memoirs Numer. Math., 1975, v. 2,
p. 1—20.

172.	Kerri J. A simple and apparently safe solution to the generalized Stefan
problem.— Int. J. Heat Mass Transfer, 1977, v. 20, p. 467—474.

173.	Kikuchi N., Ichikawa Y. Numerical methods for a two-phase Stefan problem
by variational inequalities.— Int. J. Numer. Meth. Eng., 1979, v. 14, p. 1221—
1239.

174.	Kinderlehrer D., Nirenberg L. The smoothness of the free boundary in the
one phase Stefan problem.— Comm. Pure Appl. Math., 1978, v. 31, p. 257—
282.

175.	Kinderlehrer D., Nirenberg L. Hodograph methods and the smoothness of
the free boundary in the one phase Stefan problem.— In: Proc. Symposium
on moving boundary problems. N. Y.: Academic Press, 1978, p. 57—69.

176.	Kinderlehrer D., Stampacchia G. An introduction to variational inequalities
and their applications.— N. Y.: Academic Press, 1980.

177.	Lacey A. A., Shillor M. The existence and stability of regions with super-
heating in the classical two-phase one-dimentional Stefan problem with heat
sources.— IMA J. Appl. Math., 1983, v. 30, p, 215—230.

178.	Lacey A. A., Tayler A. B. Mushy region in a Stefan problem.— IMA J.CAppL
Math., 1983, v,. 30, p. 303—313.

179.	Langcham. E. The nature of the mushy region in Stefan problems with Jou-
le heating.—In: Proc. Symposium of moving boundary of heat flow and
diffusion. Oxford: Clarendon Press, 1975, p. 256—257.

,180. Li-Shang J. Existence and differentiability of the solution of two-phase
Stefan problem for quasilinear parabolic equations.— Chinese Math., 1965,
v. 7, p. 481—496.

181.	Magenes E. Topics in parabolic equations: Some typical boundary prob-
lems.— Publ. N 130, Laboratorio di Anal. Numerica, Pavia, 1977,

182.	Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili spaziali.— Publ. N 309,
Laboratorio di Anal. Numerica, Pavia, 1983,

183.	Magenes E. (Ed.) Free boundary problems.— 1st. Naz. di Alta Matematica,
Roma, 1980, v. I, II.

184.	Magenes E., Verdi C., Visitatin A. Semigroup approach to Stefan problem
with nonlinear flux.— Publ. N 358, Laboratorio di Anal. Numerica, Pavia,
1983.
юи. и±еусг и. п. л не numerical buiuuuu ui muniuimeusiouai oieian proDiems.—
A survey.— In: Proc. Symposium on moving boundary problems. N. Y.: Aca-
demic Press, 1978, p. 73—89.

186.	Meyer G. H. A numerical method for two-phase Stefan problem.— SIAM J.
Num. Anal., 1971, v. 8, p. 555—568.

187.	Meyer G. H. Multidimensional Stefan problems.— SIAM J. Num. Anal., 1973,
v. 10, p. 522—538.

188.	Meyer G. H. One-dimensional parabolic free boundary problems.— SIAM
Review, 1977, v. 19, p. 17—34.

189.	Milinazzo E., Blum an G. W. Numerical similarity solutions to Stefan prob-
lems.—ZAMM, 1975, v. 55, p. 423—429.

190.	Mori M. Numerical solution of the Stefan problem by the finite element
method.— Memoirs Num. Anal., 1975, v. 2, p. 35—44.

191.	Mori M. Stability and convergence of finite element method for solving the
Stefan problem.—Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1976, v. 12, p. 539—563.

192.	Mori M. A finite element method for the two phase Stefan problem in one
space dimension.— Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1977, v. 13, p. 723—753.

193.	Niezgodka M., Pawlow I. A generalized Stefan problem in several space,
variables.— AppL Math. Optim., 1983, v. 9, p. 193—224.

194.	Niezgodka M., Pawlow I., Visintin A. On multi-phase Stefan type prob-
lems with nonlinear flux at the boundary in several space variables.— Publ.
N 293, Laboratorio di Anal. Numerica, Pavia, 1981.

195.	Nitsche J. A. Finite element approximations to the one-dimensional Ste-
fan problem.— In: Recent Adv. in Numerical Analysis. N. Y.: Academic
Press, 1978, p. 119—142.

196.	Nitsche J. A. Approximation des eindimensionalen Stefanproblems durch
finite elemente.— In: International Congress of Math. Helsinki, August, 1978,
p. 15-23.

197.	Nitsche J. A. Finite element approximations for free boundary problems.—
TICOM, Second International Conference on Computational Methods in Non-
linear Mechanics, Austin, Texas, March, 1979, p.( 26—29.

198.	Nodi T. A difference scheme for solving two-phase Stefan problem of heat
equation —Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1980, v. 16, p. 313—341.

199.	Ockendon J. R. Numerical and analytic solutions of moving boundary prob-
lems.— Proc. Symposium on moving boundary problems. N. Y.: Academic
Press, 1978, p. 129—145.

200.	Ockendon J. R., Hodgkincs W. R. (Ed.) Moving boundary problems in heat
flow and diffusion.— Oxford: Clarendon Press, 1975.

201.	Pawlov I. A variational inequality approach to generalized two-phase Ste-
fan problem in several space variable.— Ann., Mat. Рига ed AppL, 1982,
v. 81, p. 333—373.

202.	Primicerio M. Stefan like problems with space-dependent latent heat.—
Mecanica, 1970, v. 5, p. 187—190.

203.	Primieerio M. Problem! di diffusione a frontiera libera.— Boll. U. M. I., 1981.
v. 18A, p. 11—68.

204.	Primicerio M. Mushy region in phase-change problem.— In: Applied Non-
linear Functional Analysis. Lang, Frankfurt/Main, 1982, p. 251—269.

205.	Rasmussen H. An approximate method for solving two-dimensional Stefan
problems.— Letters Heat Mass Transfer, 1977, v. 4, p. 273—277.

206.	Rogers J. C. W., Berger A. E., Ciment M. The alternating phase truncation
method for numerical solution of a Stefan problem.— SIAM J. Num. Anal.,
1979, v. 16, p. 563—587.

207.	Rubinstein L. I. The Stefan problem: comments on its present state.—
J. Inst. Math. AppL, 1979, v. 27, p. 739—750.

208.	Rubinstein L. I. Analyticity of the free boundary for the one-phase Stefan
problem with strong nonlinearity.— Suppl. B. U. M. L, 1981, v. 1, p. 47—68.

209.	Schaeffer D. G. A new proof of the infinite differentiability of the free
boundary in the Stefan problem.—J. Diff. Equat., 1976, v. 20, p. 266—269.

210.	Seban R. A. A comment on the periodic freezing and melting of the water.—
Int. J. Heat and Mass Transfer, 1971, v. 14, p. 1862—1864.

211.	Sherman B. A general one-phase Stefan problem.— Quart. AppL Math., 1970,
v. 28, p. 377—382.
212.	Sherman В. Limiting behavior in some Stefan problems as the latent heat
goes to zero.— SIAM J. Appl. Math., 1971, v. 20, p. 319—327.

213.	Sherman B. General one-phase Stefan problems and free boundary problems
for the heat equation with Cauchy data prescribed on the free boundary.—
SIAM J. Appl. Math., 1971, v. 20, p. 555-570.

214.	Solomon A. D. An easily computable solution to a two-phase Stefan prob-
lem.— Solar Energy, 1979, v. 25, p. 525—528.

215.	Stedry M., Vejvoda 0. Time periodic solutions of a onedimensional two-pha-
se Stefan problem.—Ann. mat. pura et appl., 1981, v. 127, p. 67—78.

216.	Tao L. N. The Stefan problem with arbitrary initial and boundary conditi-
ons.— Quart. Appl. Math., 1978, v. 36, p. 223—233.

217.	Tao L. N. The analyticity of solutions of the Stefan problem.— Arch. Rat.
Meeh. Anal., 1980, v. 72, p. 285—301.

218.	Tarzia D. A. Sur le probleme de Stefan a deux phases,— C. R. Acad. ScL
Paris, 1979, t. 288, p. 941—944.

219.	Tarzia D. A. Una revision sobre problemas de frontera movil у libre para
la ecuacion del calor. El problema de Stefan.— Universidad National de
Rosario, Separata de Mathematical notal, Ano XXIX, 1981/82, p. 147—241.

220.	Tayler A. B. The mathematical formulation of Stefan problems.— In: Proc.
Symposium on moving boundary problems in heat flow diffusion. Oxford:
Clarendon Press, 1975, p. 120—137.

221.	Visintin A. Sur le probleme de Stefan avec flux non lineaire.— Boll. U. M. I.
Analisi Funzionali 1 Applicazioni, 1981, v. 18C, p. 63—86.

222.	Visintin A. The Stefan problem for a degenerate parabolic equation.— Publ.
N 4, Laboratorio di Anal. Numerica, Pavia, 1981.

223.	Wilson D. G., Solomon A. D., Boggs P. T. (Ed.). Moving boundary prob-
lems.— N. Y.: Academic Press, 1978.
Анварбек Мукатович Мейрманов

ЗАДАЧА СТЕФАНА

Утверждено к печати

Институтом гидродинамики СО АН СССР

Редакторы издательства В. Н. Дятлов, И. П. Зайцева
Художественный редактор Т. Ф. Каминина
Технический редактор С. А. Смородинова
Художник А. И. Смирнов

Корректоры Л. Л. Михайлова, Т. Ф. Погиблова

ИБ Mt 29855

Сдано в набор 15.03.85. Подписано к печати 16.12.85. МН-02131. Формат бОХЭО'/и. Бумага
офсетная. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 15. Усл. кр.-отт.

15. Уч.-изд. л. 16,4. Тираж 1750 экз. Заказ № 630. Цена 2 р. 80 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука», Сибирское отделение.
630099, Новосибирск, 99, Советская, 18.

4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.