PROBLEMES MATHEMATIQUES
DANS LA THEORIE
CINETIQUE DES GAZ
par
T. Carleman
UPPSALA 19 57

ЁИБЛИОТЕКА СБОРНИКА.МАТЕМАТИКА"
Т. КАРЛЕМАН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ГАЗОВ
Перевод с французского
В.— К. И. КАРАБЕГОВА
Под редакцией
Н. Н. БОГОЛЮБОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1960

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 5
Предисловие 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава I. Общее изучение уравнения Больцмана 9
§ 1. Определение функции распределения' . 9
§ 2. Вывод уравнения Больцмана 9
§ 3. Общая структура уравнения Больцмана 17
§ 4. Классические основные формулы 18
§ 5. Состояние равновесия однородного газа 22
§ 6. Решение уравнения F(p') F(p[) —F(p)F{px) = 0 . . 23
§ 7. Граничные условия 25
§ 8. //-теорема Больцмана 27
§ 9. Общее изучение состояния равновесия газа .... 30
§ 10. Соотношения между функцией F и величинами,
характеризующими физическое состояние газа ... 32
§ 11. Новое преобразование уравнения Больцмана .... 32
§ 12. Верхние границы для выражений J (F), J (P, G), L(F),
T(F) 39
Глава II. Решение уравнения Больцмана в случае, когда
функция распределения не зависит от х, у, г . . 43
§ 1. Общие свойства решений уравнения -^r- = T(F) ... 43
§ 2. Теоремы существования и единственности ...... 53
§ 3. Поведение решения при t ->■ оо 63
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Введение 67
Глава I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия .... 70
§ 1. Изучение линейного оператора 5 (<р) 70

120 Оглавление
§ 2. Свойства ядра G (p, pt) 73
§ 3. Изучение уравнения ^+5-^+i|j- + c|j- +
+ XS(<p) = O в случае неограниченного пространства 80
Глава II. Уравнение Больцмана в специальных случаях 87
§ 1. Ряд Гильберта 87
§ 2. О решении уравнения Больцмана в области 0 <! X < I 91
§ 3. О сопротивлении, испытываемом твердым телом, дви-
движущимся прямолинейно и равномерно в неограничен-
неограниченном газе ^ . . . 96
Замечанле I 106
Замечание II 109
Замечание III 111
Замечание IV 112
Т. Карлеман
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ГАЗОВ
Редактор М. С. АГРАНОВИЧ Технический редактор С. В. Праданцева
Корректор Т. П, Пашковская
Сдано в производство 24;1Х 1959 г. Подписано к печати 2/И 1960 г.
Бумага 84х1087аа = 1>9 бум. л. 6,1 печ. л. Уч.-изд. л.-5,7О- Изд. J* 1/4666
Цена 4 руб. Зак. 734
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

АННОТАЦИЯ
Посмертно вышедшая работа одного из крупней-
крупнейших мировых аналитиков — шведского ученого Т. Кар-
лемана, подготовленная к печати его учениками. Автор
работал над этой темой в течение нескольких десяти-
десятилетий. Им были получены важные результаты, относя-
относящиеся к вопросам существования и единственности
решений уравнения Больцмана, которые и излагаются
в данной работе.
Работа представляет интерес для физиков-теоре-
физиков-теоретиков, занимающихся статистической механикой, и для
математиков, занимающихся интегро-дифференциаль-
ными уравнениями. Доступна для студентов старших
курсов и аспирантов физико-математических факульте-
факультетов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя монография известного
шведского математика Торстейна Карлемана представляет
собой неоконченную рукопись по математическим пробле-
проблемам, связанным с кинетическим уравнением Больцмана, издан-
изданную учениками Карлемана после его смерти. В основу этой
рукописи легла известная статья Карлемана, опубликованная
в Ada Mathematica еще в 1932 г., в которой впервые было
проведено строгое исследование вопросов существования,
единственности и предельных свойств решения кинетического
уравнения Больцмана.
Книга Карлемана, несомненно, имеет глубокое матема-
математическое содержание и доставляет целый ряд свежих идей,
несмотря на сказывающуюся местами вполне понятную от-
отрывочность изложения. Мы надеемся поэтому, что она будет
с интересом встречена нашими читателями.
Большое внимание в монографии уделяется изучению
случая, когда функция распределения не зависит от про-
пространственных координат, однако и приводимое изучение
некоторых частных случаев при наличии зависимости от про-
пространственных координат весьма поучительно.
Книга представляет интерес не только для лиц, занимаю-
занимающихся специально математическими вопросами кинетической
теории газов, но также и для более широких кругов мате-
математиков и физиков-теоретиков.
Н. Н. Боголюбов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая монография Торстейна Карлемана, скончав-
скончавшегося 11 января 1949 года, ведет свое начало от одной
его работы, напечатанной в журнале Ada Mathematica, том 60,
1932 г., и озаглавленной „О теории интегро-дифференциаль-
ного уравнения Больцмана". В этой работе строго доказано
существование единственного решения уравнения Больцмана
для частного случая, когда функция распределения скоро-
скоростей молекул F(x, у, z, £, т\, С, /) не зависит от простран-
пространственных координат х, у, z. Карлеман предполагает также,
что эта функция зависит только от t и от модуля скорости
у £2-f- f]2-f-С2, и называет свою работу предварительным
мемуаром, добавляя, что использованные в ней методы при-
применимы также в общем случае, который он намерен изучить
в последующем. Очевидно, это намерение не могло быть
осуществлено без перерывов; в течение многих лет Карле-
Карлеман несколько раз возвращался к этому большому делу.
К моменту его кончины имелся черновик рукописи, в кото-
которой он осуществил свои планы, одновременно расширив их.
Завершить свой труд Карлеману не удалось.
Мы сочли невозможным без чрезмерного насилия над
рукописью полностью соединить отдельные части моногра-
монографии, так же как и добавить к ней последние достижения
науки. Своей главной задачей мы считали проверку дока-
доказательств и внесение дополнений в текст, чтобы сделать
его более ясным. Но даже эта скромная программа привела

Предисловие
в ряде мест к значительным отклонениям от первоначального
текста Карлемана. Так, новым является нахождение функ-
функции F в случае равновесия, приведенное в § 6, и лемма
из § 8, важная для строгого доказательства //-теоремы
Больцмана в обобщенной форме, которая принадлежит Карл-
Карлсону. Эта лемма применяется также при изучении поведения
решения при I —*■ оо, благодаря чему удается сократить
довольно длинные рассуждения, проводившиеся Карлеманом
в соответствующем месте его статьи в Ada Mathematica.
Мы изъяли два коротких параграфа во второй части: один,
посвященный изучению решений уравнений A7) в окрест-
окрестности точки a = C = Y = x = 0, и второй — ряду Энскога.
Содержание этих параграфов было настолько неполным,
что не стоило включать их в данную работу.
Леннарт Карлсон Отто Фростман
Уппсала и Стокгольм, ноябрь 1956 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава I
ОБЩЕЕ ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
Определение функции распределения
Рассмотрим газ, молекулы которого отличаются друг
от друга только положениями и скоростями. Для изучения
свойств такого газа вводят функцию распределения
F(x, у, z, S, tj, С, t),
которая определяется таким образом, что Fdv dm представ-
представляет собой число молекул, центры которых в момент вре-
времени t находятся в элементе объема dv = dx dy dz, а векторы
скорости (£, tj, С) оканчиваются в элементе fif<o = d%di\dl,
пространства скоростей 2. Обозначим через р вектор с ком-
компонентами £, tj, С и условимся употреблять следующую крат-
краткую запись:
A) F (х, у, z, 5.TJ, C,t) = F(p).
Больцман вывел интегро-дифференциальное уравнение для
функции F в двух случаях, соответствующих следующим
гипотезам:
1) Молекулы являются абсолютно упругими шарами.
2) Молекулы отталкиваются (или притягиваются) цен-
центральными силами.
§ 2
Вывод уравнения Больцмана
Заметим с самого начала, что вывод, который мы про-
проведем, в сильной степени страдает отсутствием строгости,
так же как и само определение функции распределения.

Предисловие
в ряде мест к значительным отклонениям от первоначального
текста Карлемана. Так, новым является нахождение функ-
функции F в случае равновесия, приведенное в § 6, и лемма
из § 8, важная для строгого доказательства //-теоремы
Больцмана в обобщенной форме, которая принадлежит Карл-
Карлсону. Эта лемма применяется также при изучении поведения
решения при I —>• оо, благодаря чему удается сократить
довольно длинные рассуждения, проводившиеся Карлеманом
в соответствующем месте его статьи в Ada Mathetnatica.
Мы изъяли два коротких параграфа во второй части: один,
посвященный изучению решений уравнений A7) в окрест-
окрестности точки a = p = Y = x = 0, и второй — ряду Энскога.
Содержание этих параграфов было настолько неполным,
что не стоило включать их в данную работу.
Леннарт Карлсон Отто Фростман
Уппсала и Стокгольм, ноябрь 1956 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава I
ОБЩЕЕ ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
Определение функции распределения
Рассмотрим газ, молекулы которого отличаются друг
от друга только положениями и скоростями. Для изучения
свойств такого газа вводят функцию распределения
F(x, у, г, ?, т\, С, t),
которая определяется таким образом, что Fdv d<a представ-
представляет собой число молекул, центры которых в момент вре-
времени t находятся в элементе объема dv = dx dy dz, а векторы
скорости ($, т), С) оканчиваются в элементе dm = d\ di\ dK.
пространства скоростей Q. Обозначим через р вектор с ком-
компонентами £, т], С и условимся употреблять следующую крат-
краткую запись:
A) F (х, у, z, 5.4. Z,t) =
Больцман вывел интегро-дифференциальное уравнение для
функции F в двух случаях, соответствующих следующим
гипотезам:
1) Молекулы являются абсолютно упругими шарами.
2) Молекулы отталкиваются (или притягиваются) цен-
центральными силами.
§ 2
Вывод уравнения Больцмана
Заметим с самого начала, что вывод, который мы про-
проведем, в сильной степени страдает отсутствием строгости,
так же как и само определение функции распределения.

10 4.1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
Для того чтобы найти функциональное уравнение для
функции F, мы рассмотрим произвольную область U
в пространстве шести измерений (х, у, z, \, -ц, Q и функцию
ф(х, у, z, ?, tj, С), обращающуюся в нуль на границе области
G и вне G. Образуем сумму
распространенную на все те молекулы, которые представляются
точками (х, у, z, £, tj, С), принадлежащими G. Так как ф обра-
обращается в нуль вне G, мы можем распространить суммирование
на все молекулы. Вычислим приращение / за время dt,
большое по сравнению с продолжительностью отдельного
соударения, но малое по сравнению со средним временем,
протекающим между двумя соударениями. Допустим, что
газ находится в поле внешних сил с составляющими X, Y,
Z. Большинство молекул не подвергаются соударениям
за время dt. Приращение dl величины / за время dt равно
B) dl = dj-^dil,
где dj есть приращение, соответствующее регулярному
движению молекул, не подвергающихся соударениям, a dzl
обозначает изменение, вызванное соударениями. Имеем
дФ dXs, , дФ dy,, , дф dz4 , дФ d£4 ,
\ дх dt * ду dt -Г д2 dt -t- a£ dt
G
дф d%, .дФ d^\ ^ _ V' ( дф
~+"d^~dT^~ ас dt )a*~Zi [
Так как сумма 2' охватывает большинство рассматривае-
в
мых молекул, то мы можем в согласии со смыслом функ-
функции F написать эту формулу в виде
дф . __ дф , г дф , ^ дф
I/ дх '
&

§ 2. Вывод уравнения Больцмана ц
После интегрирования по частям получим
/3) -» т ^j. С Tf■ dF , .. dF , r dF
Для того чтобы вычислить d2l, мы предположим сначала,
что молекулы являются упругими шарами диаметра ^. Обо-
Обозначим через dMp множество молекул, принадлежащих эле-
элементу dv du>p, и через dMPi множество, соответствующее
dvdmPi. Пусть в момент соударения А я В обозначают центры
двух молекул, принадлежащих dMp и dMPl. Вектор ВА можно
записать в виде уд, где q — вектор единичной длины. Если пред-
предположить, что начало вектора q зафиксировано, то конец q
описывает сферу S единичного радиуса. Чтобы найти число
соударений между молекулами из dMp и молекулами из dMPi,
мы можем заменить молекулы из dMPi молекулами радиуса ■/_,
а молекулы из dMp — точками. Число столкновений, для ко-
которых q принадлежит некоторому определенному элементу
поверхности da, можно вычислить следующим образом. Для
каждой молекулы из dMPt построим конус, соответствующий
телесному углу da с вершиной в точке В. Этот конус вы-
вырезает из сферы радиуса у_ с центром в В элемент поверх-
поверхности da.. Построим в каждой точке da. вектор, равный
(рг—p)dt. При этом получится наклонный цилиндр, объем
которого равен
Ясно, что число соударений между молекулами, принадле-
принадлежащими dMp, и молекулами из dMPi, для которых q принад-
принадлежит da, равно числу молекул из dMp, центры которых
находятся в одном из объемов dV. Если предположить, что
эти молекулы образуют локально хаотическое множество, то
это число должно равняться
X2F(P)F(Pi)(Pi—Р' q)do>pd<aPidaqdvdt.
Очевидно, что область изменения q должна быть ограничена
той полусферой, где (pt—p, q)^>0. Следовательно, число

12 4.1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
столкновений за единицу времени, соответствующих элементу
dwp d<uPl daq dv, равно
D) X2F(P)F(Pi)(Pi—P. g)dwpdwPidaqdv.
Теперь мы займемся вычислением значений скоростей р'
и р'х молекул А и В после соударения. Если рассматривать
движение А относительно В, то А имеет скорость
Р=р—Ри
Разложим Р на составляющие: одну — в направлении д, дру-
другую— перпендикулярную к д:
E) P = g(.p—Pi.q)-\-(P — g(P—Pi.q))-
После соударения первая из этих составляющих меняет знак,
а вторая остается без изменения. Поэтому относительная
скорость Р' после соударения дается формулой
F) p'=s — q(j,—pl
которую можно записать также в следующем виде:
G) р> —р'г=р—рх — 2д{р—рх, д).
Согласно теореме о движении центра масс, имеем
P-\-p1=Pf+Pv
Следовательно,
р'=р—q(p—Pi. я)'
рг1=рг + д{р—р1. <?)>
{p'—p'v g) = — (p—Pv я)-
Если положить
то

§ 2. Вывод уравнения Больцмана
Следовательно, окончательно
Р'=Р — Я(Р—Pi' Я)>
(8)
(9)
qq
p=p'—q'{p'—p'v
Отсюда заключаем, что преобразование (8) инволютивно.
Обозначим через Ег ту часть многообразия 2 X ^ X ^.
которая удовлетворяет соотношению (рг — р, д)^-0. Оче-
Очевидно, преобразование (8) является инволютивной подстанов-
подстановкой, которая переводит Е1 в себя. Введя прямоугольные коор-
координаты (£, т], С), (£t, %, Сх), (/, т, п) для р, pv q, находим
== "Ч —
A0)
где
В силу свойства инволютивности это преобразование сохра-
сохраняет элемент объема многообразия 2 Х^ Х2, что мы можем
записать символически так:
diaP rf(V daq = d%- rf%( rfc^ ')•
Пусть Д — область пространства 2. Обозначим через L
ту часть множества Elt для которой векторы р принадлежат Д,
а через L' — образ L при преобразовании (8). Обозначим
также через LL' пересечение L и U. Число молекул в dv,
для которых представляющие точки векторов скорости вы-
выходят из Д за время dt, очевидно, равно
X2dvdt J
L-LL'
1) См., например, Chapman — Cowling, The mathematical
theory of non-uniform gases, Cambridge, 1939, pp. 64—65. [Русский
перевод готовится к печати. — Прим. ред.]

14 Ч. I. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
Число молекул, входящих в А, равно, в силу свойства инво-
лютивности (8),
X2dvdt J F(p)F(p1)Wdu>Pidwpda =
L'-LL1
= X2dvdt f F (/,') F (p[) W dupi dup da.
L-LL'
Таким образом, полное приращение числа молекул в Д равно
X2dvdti J F О) F (pt) W du>Pi da>p da —
— jF(p)F(Pl) WduPi dap da j =
L j
= x2 dv dt f [F (p') F (p[) — F (p) F (Pl)] W d*Pl d*p da ==
L
^ f [F <j>') F (p^) — F(p)F (Pl)J | W | duPl dup da.
4 X 2, X S
Отсюда следует, что
(И) d2I=dt-\
a s,xj
— F(p)F (pjj | W | du)Pl da diop dv.
Следовательно, замечая, что
/== Г <j>F dv da, -^т = j ф -fir- dv da,
a g
получим, согласно соотношениям B), C) и A1),
da>Pl da ldvdu> = 0.

§ 2. Вывод уравнения Больцмана
15
Так как это соотношение имеет место для произвольной
функции, обращающейся в нуль на границе области О, то
дх
') F (Pi) —
(Pi)
(Pi)]
da.
2 2,
Это и есть уравнение Больцмана в случае, когда молекулы
являются абсолютно упругими шарами.
Рис. 1.
Рассмотрим теперь случай, когда взаимодействие молекул
определяется центральными силами. Величина d-J вычисляется
так же, как и в предыдущем случае. Для того чтобы найти
выражение для d2l, сохраним обозначения, введенные выше при
изучении влияния упругих соударений. Мы будем говорить,
что молекула А, имеющая скорость/», соударяется с другой мо-
молекулой В, имеющей скорость pt, если в относительном движе-
движении А по отношению к В продолжение линии движения А
(до соударения) пройдет от В на расстоянии, меньшем неко-
некоторой определенной величины р0, которую мы назовем ра-
радиусом действия молекулы В. Заметим, что р0 может зависеть
от величины относительной скорости \р—pt\. Для того
чтобы характеризовать соударения между А и В, мы по-
построим вектор Р = р—рх (с началом в В) и плоскость Е,
проходящую через В перпендикулярно к Р. Обозначим че-
через С точку, в которой траектория относительного движе-
движения А (до соударения) пересекает плоскость Е. Мы опреде-
определим положение С при помощи полярных координат р, б в Е,

16 4.1. Рл. /. Общее изучение уравнения Больцмйна
вводя произвольную ось BN, соответствующую значению 9 = 0.
Удобно выбрать в качестве BN линию пересечения плоско-
плоскости Е с плоскостью, проходящей через векторы
р и Q =
При соударении точка А отклоняется в плоскости, содер-
содержащей Р и точку С, на угол ср, зависящий только от р и
\р—рх\. Обозначим, как и выше, через р' и р'г скорости
молекул А а В после соударения и положим Р'=рг—р'±.
Согласно теореме о движении центра масс, мы имеем
A3) Q
Для того чтобы охарактеризовать движение после соуда-
соударения, мы введем координаты р', б' в плоскости Е', соот-
соответствующие координатам р и 0 в плоскости Е. Имеем р' = р,
и, кроме того, можно выразить Р' и Q' в виде функций
от Р, Q, р и б. Эти соотношения инволютивны, и мы, таким
образом, получили инволютивное преобразование
(P. Q, р, 6)*Z(P', Qf, p', б').
Утверждается, что это преобразование сохраняет объемную
меру1), т. е. что можно записать символически
A4) du>p, doy p' dp' dbr = du>p da>p p dp dd.
Вернемся теперь к нахождению выражения для dj. Оче-
Очевидно, что в данном случае формулу D) следует заменить
формулой
F(p)F(p1)\p—pt\du>pduiPiPdpdB,
откуда заключаем с помощью рассуждений, подобных прове-
проведенным выше, что
dF . t dF , 3F . - dF . vdF , ., dF , 7 dF
2it p0
(p') F (p'i) — ^ (p) f* (Pi)l I p —Pi I p ^p(
2, О О
Ср. Chap man — Cowling, loc. cit.

§ 3. Общая структура уравнения Больцмана 17
§3
Общая структура уравнения Больцмана
Рассмотрим восьмимерную область Е= 2 X 2i X 2,
которая получается, когда точки р, рх, q пробегают соот-
соответственно пространства 2, Qx и S, где 2 есть все про-
пространство точек р, 2j — все пространство точек рх, а 2—
заданная поверхность, являющаяся областью изменения д.
Предположим заданным некоторое преобразование области Е
в себя:
P' = gi(p. Pi> Я).
A6) p[ = gz(P' Pi. Я)'
?' = #зО. Pi> Я)-
Обозначая через U тройку точек (р, рх, q) и аналогично
(р • Р[. Я') через W', мы можем записать это преобразова-
преобразование в сокращенном виде
Мы сделаем относительно 5 следующие предположения:
1) 5 есть инволютивное преобразование, т. е.
2) Преобразование 5 сохраняет элемент объема
daq.
Обозначим через h(p, pt, q) положительную функцию, ин-
инвариантную относительно преобразования 5. Тогда обобщен-
обобщенное уравнение Больцмана есть, по определению,
A7) ff
s, s
Xh(p.
где положено
2 Зак. 734.

18 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
Уравнения A2) и A5) предыдущего параграфа относятся,
очевидно, к категории функциональных уравнений, которую
мы только что определили. Для уравнения A2) поверх-
поверхностью Е служит сфера единичного радиуса, в то время как
для уравнения A5) Е есть бесконечная плоскость.
Наконец, заметим, что преобразования S(U), соответ-
соответствующие уравнениям A2) и A5), оставляют инвариантными
следующие функции:
Заметим, что в случаях A0) и A4) преобразование 5
обладает еще тем свойством, что замена р на рх влечет за-
замену р' на p'v если только в то же время заменить q точ-
точкой q* поверхности £ таким образом, чтобы это преобра-
преобразование Е в себя сохраняло элемент площади. Имеем также
h(P. Pi. д) = к(р1. р, д*).
В случае A0) преобразование q—*q* является тождествен-
тождественным преобразованием, в то время как в случае A4) следует
заменить б на — 6.
§ 4
Классические основные формулы
В литературе по кинетической теории газов часто упо-
употребляются следующие обозначения (см., например, • Н il-
bert, Grundziige der Theorie der Integralgleichungen):
B0) F(p) = F. F(pO = F1. F(p') = F'. F(pl) = F[;
B1) [F. F] = '
B2) IF, G] = ~{FfG[[
Мы будем изучать выражение

§ 4. Классические основные формулы 19
где ф(р) — произвольная заданная функция, a T(F)—пра-
T(F)—правая часть введенного выше обобщенного уравнения Больцмана.
Получаем
/Г С Г
фТ (/*") dm^x — ill? \Fj F\ duy^ dion do —
2 В S1 2
V [F, F] du>p du>Pl daq,
a 2j a
где последний член получен применением преобразования 5
к подинтегральному выражению предыдущего члена. Фор-
Формула B3) дает сразу
B4)
Сделав в этой формуле замену переменных р^±рг, q^-q*.
о которой говорилось в конце предыдущего параграфа,
найдем
B5) J фТ (F) dup = ~ f f J (ф, — ф[) [F, F) diop dioPl daq.
a S 2j 2
Складывая равенства B4) и B5), получаем
B6) fфT(F)d<i>p =
2 2, 2
Если положить ф = logF, то мы придем к формуле
B7) fT(F)logF dup = 1 /// [F, F] log j^- d<op d«>Pi daq.
2 S 2! 2 *
Функция, находящаяся под знаком интеграла в правой части,
необходимо отрицательна или равна нулю, откуда следует
важное неравенство
B8) J Т (F) log F diop < 0.
2
2*

20 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Вольцмана
Заметим, что если /z=:-^-|W| и если
B9) C
то все выписанные выше интегралы абсолютно сходятся для
ф = logF. Таким образом, соотношение B8) доказано строго.
Оно вытекает непосредственно из факта существования двух
таких постоянных Сх и С2, что
\р'\ + \р[\
2-
Ч< \Р\ + \Рх\ <
Выражение T(F, О)
Мы определим T(F, G) формулой
. G) = f f [F, G] dcDp, dag.
2, S
Соотношение B6) сразу обобщается следующим образом:
C0)
2 22 S
Выражения J(F),.J(F. G), L (F)
Выражение T(F) можно записать так:
C1) T(F) = J(F) — FL{F).
где положено
C2) J(F) =ffF (P') F (P[) h (P. Л. Я) d*Pl daq,
C3) L(F) = f JF {px) h (p, Pl, q) dwpi daq.
7(F) есть однородное функциональное преобразование вто-
второго порядка функции F, L(F) — линейное функциональное
преобразование этой функции. Рассмотрим выражение
C4) fj>J(F)dup =
2
/ / fo /) F (p0 h (p'Pi> q) dU3^ dl°p d<3i-

§ 4. Классические основные формулы 21
Осуществив преобразование 5 под знаком интеграла, найдем
C5) foj(F)di»p =
= / / / <Р (Р') F (P) F (Pi) h (P. Pi. Я) d<»p dwPi daa.
2 2j S
Определим еще J{F, G) формулой
C6) J(F, O)=
2, S
Сразу получим
C7)
a
= / / f Ф (Pr) F (p) G (px) h (p, pv q) dup dcoft daq.
S. 2
Отметим, наконец, формулу
C8) $фТ(F)d<Dp= f f ,f [фU>') — ф (p)] F(p) F(Pl) X
S 2 2, E
XA(j?, a, qydiupdis^doq.
Следствия из формулы C0)
Заменим в формуле C0) функцию ф одной из функций
1, £, tj. С, S2 -j-tj2 + С2. В силу свойств инвариантности,
отмеченных в конце предыдущего параграфа, имеем
ф(р)-\-ф(р,) — ф{р')~ Ф(Рд = 0'
откуда заключаем, что
C9)
, G)d(op= fr\T(F, G)d(op= fCT(F, G)do>p=0,
2 2

22 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
§ 5
Состояние равновесия однородного газа
Если состояние газа не зависит от координат х, у, z,
то мы можем предположить, что функция F независима от
этих переменных. В этом случае уравнение Больцмана можно
записать в виде
Если умножить это уравнение на dw>p и проинтегрировать
по Q, то получим, сделав необходимые предположения о схо-
сходимости,
D1) -ft fFd<*p= fT{F)d<*p=0.
а 2
Умножением D0) на log F и интегрированием получим
D2>
3 Я
Таким образом, учитывая D1), мы видим, что
D3)
IF. П log -jfp- d*p dco,, daa < 0.
Если имеется равновесие, то левая часть D3) должна рав-
равняться нулю, откуда следует, что
D4)
тождественно, каковы бы ни были р, рх, q.
Из свойств инвариантности A9) немедленно следует, что
функция
D5) /7__ ^-«(P+Tf+O+ae+uirH-oC+tf
является решением уравнения D4), каковы бы ни были а>
а, Ь, С, d. Соотношение A7) показывает, что

§ 6. Решение уравнения F(p/)F(p1) — F(p)F(p1) = о 23
если F есть функция распределения, соответствующая со-
состоянию равновесия. В этом случае имеем также
— = 0,
откуда заключаем, что
D6)
Если D5) есть самое общее решение уравнения D4) (это
мы скоро докажем), то из D6) непосредственно следует,
что для того, чтобы однородный газ допускал состояние
равновесия, составляющие X, Y, Z должны равняться нулю.
§ 6
Решение уравнения F(pf) F(p[) — F(p) F(px) = 0
Положим log- F (p) = /(p); тогда уравнение D4) перепи-
перепишется так:
D7) f(p)-\-f(Pi) = f(pf)-\-f(p[y
Очевидно, можно предположить /@) = 0, откуда непосред-
непосредственно следует, что
D8) из (р, /70=0 вытекает /Q>)+/(Pi)=/О Не-
Недействительно, соотношение D7) должно иметь место, каков
бы ни был вектор д, определяющий преобразование (8);
выбрав g=pl\p\, получим в этом случае р' = 0 и р[ =
Положим, далее,
Если (р, р1) = 0, то, в силу D8), имеем
D9)
и также

24 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
Следовательно,
из (р, р1)=0 вытекает g(p + pj'=g(p — Pi)-
Предположим теперь, что |р|= \Р\\ = г, а в остальном р
и рх произвольны; тогда векторы 5 = ^ ~Jl - - и sx = ——?p-i_
взаимно ортогональны, и предыдущее соотношение дает нам
g{P) = g(s-]rs^ = g{s — s^ = g{p1),
т. е. g(p) зависит только от г. Положим тогда
Функция ср должна удовлетворять вытекающему из D9) со-
соотношению
ср (г*) + ср (rj) = <f(]p +Px|2) = ср (г2 + г*).
где |р[ = г и |р1| = г1 произвольны и (р, р1)==0, откуда
следует, что
ср (г2) = — 2аг2.
Далее мы хотим доказать, что функция h(p) аддитивна
для произвольных векторов р и рх. Пусть j и j\= ± j —
два вспомогательных вектора, удовлетворяющие условиям
E0) и. р) = О. Pi) = о, и. Л) + (p. Pi) = о.
В силу D8), имеем
(— Pi-\-Ji)h
Заметив, что условия E0) влекут за собой равенства
ip+J. P
получаем
Следовательно, функция h(p) необходимо имеет вид

§ 7. Граничные условия
25
откуда вытекает наконец, что
/ (р) = \ [g ( р) 4- * Ш = —«
4-
Если отказаться от условия /@) = 0, принятого выше, то
к полученному решению следует добавить аддитивную кон-
константу d, так что
F (р) = в-«(Р
Это самое общее решение уравнений D4). В силу соотно-
соотношения B7), оно является также наиболее общим решением
уравнения
где а, а, Ь, с, d — произвольные функции от х, у, z, t.
§ 7
Граничные условия
Предположим, что газ заключен в неподвижный сосуд,
оболочкой которого служит поверхность 5. Мы укажем
граничные условия для функции F, приняв одну из двух
следующих простых гипотез:
I. Молекулы зеркально отра-
отражаются абсолютно упругой стенкой,
так что угол падения равен углу
отражения, а абсолютная скорость l,mji
до и после удара о стенку остается
неизменной. В этом случае гранич-
граничное условие для F (р) можно выра-
выразить формулой
Рис 2
где /, т, п — направляющие косинусы внутренней нормали.
II. В этом случае мы предположим, что почти все моле-
молекулы, ударяющиеся о стенку, входят внутрь твердого
где р — первоначальная скорость,
а р' — скорость после отражения и

26 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
материала, из которого сделана оболочка сосуда, и приоб-
приобретают среднее количество движения, соответствующее тем-
температуре оболочки в точке соударения. Мы предположим,
кроме того, что молекулы возвращаются обратно в сосуд
с распределением скоростей Максвелла. Если
то мы должны иметь
FE, 7,, Ц) = Ае~
где А и а зависят только от х, у, z и удовлетворяют сле-
следующим условиям:
1) Масса, которая входит внутрь через элемент поверх-
поверхности, должна равняться массе, выходящей оттуда:
< О
E1) — f
= J Ае—<?+*+?) (tZ-\-mti-\-n£)da>p.
2) Количество энергии, которое входит внутрь через
элемент поверхности, должно равняться количеству выхо-
выходящей энергии:
E2) — f
== J
(N есть внутренняя нормаль к поверхности сосуда, Т — тем-
температура, С > 0.)
Указанные условия, вообще говоря, приводят к резкому
скачку температуры на поверхности оболочки сосуда.
В обоих случаях, I и II, мы имеем на поверхности обо-
оболочки
E3)

§ 8. Н-теорема Больцмана 27
В случае I имеем, кроме того,
E4) f F (р) (Р + 7j2 + С2) (R + nnj + ПГ) do, = 0.
2
а в случае II
E5)
§ 8
//-теорема Больцмана
Лемма об одной вариационной задаче
Пусть [а — положительное распределение массы и
ф — некоторая непрерывная функция. Рассмотрим класс С
непрерывных функций <р^-0, удовлетворяющих условиям
(A) J<?d\>. = A, (В)
a s
и предположим, что существует функция
сро=ае-»*а, а>0,
такая, что в (В) имеет место знак равенства. Тогда
для всех ср £ С
= / <Р
s
и знак равенства имеет место только в том случае,
если ср = ср0 в области существования р.
Действительно, рассмотрим для ср > 0 функцию от ср
ф2ср — (loga-\- l)cp.
Элементарным вычислением находим, что Л (ср) будет мини-
минимально тогда и только тогда, когда ср = ср0, и это минималь-
минимальное значение равно — ср0. Поэтому для любой фиксирован-
фиксированной точки пространства Q имеем
l)cp — ср„,

28 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
где знак равенства имеет место только в том случае, если
ср = ср0. Интегрируя это неравенство по неотрицательному
распределению \>-, получаем
где равенство имеет место только в указанном выше случае.
Рассмотрим теперь газ, содержащийся в сосуде V с по-
поверхностью Г, и предположим, что граничными, условиями
являются условия I или II предыдущего параграфа. Обра-
Образуем интеграл
Н = J J F log F dtap dv.
Г 2
Дифференцируя по t, получаем
V 2 V 2
Заменим dF/dt на выражение
t dF dF rdF y.dF vdF 7 dF
dx ' dy дг d5 дт) dC
Мы найдем, что
г 2 Fa
-+- Z ^) d<op dt» + j* / Г (f) diop dv.
V 2
Легко видеть, что
г dF , г dF , г dF , _
J -wd°* = J -*rd*p==j-srd»*=
2 2 2
В силу E3), и первый член равен нулю. Следовательно, мы
имеем, учитывая C9),
/, = 0.

§ 8. Н-теорема Больцмана 29
Отсюда следует, что мы можем записать /2 в виде
= / /(log /="+ l)-|f d<opdi, =
= f f FlogF(lZ-^-m^ц-\-п1:)d<opda —
V 2
Г С (
V ^
a
v dFlogF dFlogF . 7 dFlogF
+ / / T(F) log F dup dv = Л
F 2
Интегрированием по частям убеждаемся, что второй член У2
равен нулю. В случае граничных условий I мы видим, что Jx
также равен нулю. Поэтому, учитывая неравенство B8),
имеем
dt ^u-
Предположим теперь, что на поверхности оболочки вы-
выполняются условия II и что поток тепла идет внутрь сосуда,
т. е. что dTJdN <^ 0. Отыскивая минимум выражения
J /Hog/^ + wni + raCldov
К+тц'+пС <О
при условиях
E6) J F(p)\ti,-\-rmi-\-nX,\d<Ap = const
) <0
И
E7) f F (р) E« + if + £2) I « + m-q + «С | do>p < const,
по доказанной лемме находим, что этот минимум достигается
для распределения Максвелла ср0. Постоянные в условиях E6)
и E7) являются интегралами из формул E1) и E2), соот-
соответствующими распределению Максвелла. Следовательно, так
как F = <ро Для ft-f- тм\-\-пХ, > 0, то
JV log F <Д-\-гм\ + пХ.) diop < J ср0 log ?o

30 Ч. 1. Гл. 1. Общее изучение уравнения Шольцмана
Но, поскольку ср0 есть четная функция, последний интеграл
равен нулю, откуда заключаем, что Jx ^ 0 и, следовательно,
Таким образом, мы доказали знаменитую //-теорему
Больцмана в следующей форме:
Предположим, что газ заключен в сосуд, не отдаю-
отдающий тепла окружающим телам, и что отражение моле-
молекул газа от стенок сосуда подчинено законам I или II.
Тогда состояние газа изменяется так, что функция
Н = J J F log F d<s>p dv
Г 2
никогда не возрастает*
§ 9
Общее изучение состояния равновесия газа
Для того чтобы газ, заключенный в V, находился в рав-
равновесии, должно выполняться равенство dFJdt = 0, и, сле-
следовательно,
откуда заключаем, согласно сказанному в предыдущем па-
параграфе, что
и, следовательно,
Величины а, а, Ъ, с, d в этом случае не зависят от t, но
могут зависеть от х, у, z. Функция F должна удовлетво-
удовлетворять уравнению D(F) = 0, откуда заключаем, что
)
—2aS -\-a) -\-Y(r— 2ат] + b) + Z (— 2aC-f- с) = 0.

$ 9. Общее изучение состояния равновесия газа 31
Отсюда следует, что
( да да да ~ да да да
I Ж — ~dj— T— u' ^=d7 = ^ —
дъ — дЪ — п дс _ дс _ дс — п
2а йл:' Г — 2а ду ' ^ ~ 2а дг
Равенства E8) показывают, что а, а, 6, с являются кон-
константами. Из E9) выводим, что внешние силы X, Y, Z необ-
необходимо являются потенциальными с потенциалом ср = — rf/2a.
На границе имеем
J е~а I р la+rt+bn+cz+d (g _|_ m7l _(_ nQ d| d7j d;; _ 0.
Из формулы
4a
дифференцированием по а получаем
J ^ \~а ) С 2а'
2
Используя также аналогичные формулы, получающиеся диф-
дифференцированием по b и с, находим
J* е-а I p la+a£+6^+CC+d (^ _|_ т7] _|_ nQ d% d-Ц dL, =
— в
2a
Так как это соотношение должно иметь место для значений
/, т, п, соответствующих всем нормалям к Г, то мы полу-
получаем, что

32 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения ВольцмаНа
Следовательно, функция распределения F в случае
равновесия необходимо имеет вид
р _ с -* [~ (P+iC+C«)+9 (в. У, г)]
где ср есть потенциал внешних сил.
§ Ю
Соотношения между функцией F и величинами,
характеризующими физическое состояние газа
Обозначим через р, и, v, w, T плотность, компоненты
скорости и температуру в данной точке х, у, z. Тогда имеем
m
С Ftdo> = -£-u, f F-ndio = — v, Г/^C
J m J ' m J
2 2 : 2
Г F (E — aJ + (t] — »)« + (C —
— ■и»;
/re 2
Л=1,37Х Ю~16 эрг/градус; m есть масса одной молекулы.
§11
Новое преобразование уравнения Больцмана
Мы ограничимся случаем, когда молекулы предполагаются
абсолютно упругими шарами. Заменив F на kF, где k — со-
соответствующим образом подобранная константа, мы можем
записать уравнение Больцмана в виде •

§ 11. Новое преобразование уравнения Больцмана 33
где положено
= / J> (Pf) F (р[) \ W | d<oft daq,
2, г.
= f f F{Pl)\W\d<*Pldaq.
Вводя координаты 6 и ср на сфере £ (J2-{-т2-\-п2 = 1) при
помощи уравнений
/ == sin 9 cos cp,
от = sin 9 sin cp, daq = sin 9 db rfcp,
n = cos 9,
мы можем записать J(F) в виде
7(F) = J J f f'f[ I W | sin б dQ d<? d5t d^t rf^.
2, О О
Возьмем в качестве новых переменных интегрирования вели-
величины £', 7] , С , £i, 7]^. ПОЛОЖИМ
31 ., дт , дп ,
и образуем функциональный определитель
dl .„ dm „ дп „
i, тц, Ci, 8. T)
, %, Cx, 9,
В силу инвариантности выражений A9), этот определитель
сводится к
i, в, <р)
— n'W— n~ n"W— л-5—
I V V
m m' m"
n n' л"
4t m"w+'
= nW2 sin б;
3 Зак, 734.

34 4.h Гл. 1. Общее изучение уравнения Больцмана
следовательно,
I л: I W2 Sin 0 •
Области изменения переменных £t, ч\х, Ct, б, ср соответствует
дважды пробегаемое бесконечное пространство ($', т\', С,
5j, i)Q. Следовательно, получаем
+оо
=2ff f ffF<F, у.
x
Когда значения %'', t\'', С фиксированы, точка S^, tjJ, C£ опи-
описывает плоскость, заданную уравнением
Эта плоскость проходит чбрез точку р-—(£, т\, С) и пер-
пендикулярна вектору рр'. Обозначим эту плоскость через ЕРР'.
Пусть ^ — произвольная точка на Ерр. Имеем
| я
где rfog есть элемент площади на ЕРР'. Величина \W\ может
быть записана в виде
где r^j,' — расстояние между р и /?' в пространстве скоро-
скоростей. Таким образом, мы получаем
2' РР
Если заменить р' на рх, то получаем окончательно
F1)
PPi jp
ЕРРг

§ 11. Новое преобразование уравнения Больцмана 35
Рассмотрим теперь величину
L (/*) = f f F (Pl) | W \ du>Pl daq =
f \l(Si — 5) + m(% — 7)) + я(d — C)| Лвd<oft.
Вводя полярные координаты 6 и ср на сфере 2 так, чтобы
6 = 0 соответствовало направлению ррх, найдем
тс/2
= 47С/2Ф, Г sin 6 cos б d6 ==
Отсюда вытекает, что
F2) .
а»
Теперь мы изучим более подробно выражение
где ^ — произвольная функция. В случае, которым мы зани-
занимаемся, согласно формуле C5), имеем
/ +J(F) d*p=ffF (р) F (Pl) f ф {р') \W\daq rfcop d<oft.
2 2 2, S
Теперь нужно вычислить интеграл
f<f>(p')\W\daq.
■ s
Имеем
p'=P-\-9(Pi—Р- Я)-
3*

36
Ч. 1. Гл. 1. Общее изучение уравнения Вольцмана
Обратимся к рис. 3, где мы изобразили сферу, имеющую ррх
диаметром, и другую сферу 2 радиуса 1 с центром в р.
Мы обозначим первую сферу через К, а ее центр — через р2.
Очевидно, имеем соотношения
do'cosy =Widao,
W=r
PPi
Отсюда следует, что
F3)
- 2 Г
p и с
Мы получили, таким образом,
следующую важную формулу,
имеющую весьма прозрачный геометрический смысл:
F4) f
=2 f fF(p)F (Pl) J—j
2, 2 PPl К
В дальнейшем мы будем часто пользоваться следующими
легко доказываемыми формулами:
F5)
F6)
da,
где д<р/дп — нормальная производная к поверхности ср = О, и
F7)
lim (^
Сер
~дп
ds,
где дц>/дп есть нормальная производная к линии <р= 0 на 5.

§ 11. Новое преобразование уравнения Больцмана 37
Эти формулы мы можем использовать для упрощенного
вывода формулы F1). Согласно F4) и F5), имеем
= 2 lim (-£
<*->-со ^ те
2 2,
Но интеграл
> ~ f
к
можно непосредственно вычислить. Положив р2 = (рг
будем иметь
.Лг -Г-Ш\2 -а (г ^~42
_аг2 пгрр е " ^ГрР1 2 / е ^Tjpv% '
/С
откуда
г \2
= lim (-1) 3 / / F (p) F (P
г \2
Л^°° 2 2,
Последний член равен нулю, и, таким образом, мы
имеем
F8) У(/7)р =
Для того чтобы функция

38 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
равнялась нулю, р должен находиться в плоскости EpPl.
Следовательно, обозначая через пр и %, нормали к пло-
плоскостям EpPi и к параллельной ей плоскости, проходящей
через р2, легко получим в силу подобия
дпр
1
2
дпрз
В силу F6), отсюда заключаем, что
J(F)P = 2 С1Ш dtiipi f Fda,
9, RPpi
— формула, эквивалентная формуле F1).
Соотношение взаимности J(F, G) = J(G, F)
Согласно предыдущему, мы можем преобразовать правую
часть в F4) так, что получим
f f/(F, О)du>p = 2 f f F(p)Oip^y1-
Так как функция
на которую умножается F(p)O(pJ под двумя первыми
знаками интегрирования, симметрична относительно р и pt,
то мы получаем - .
J ф J(F, О) dwp = J фJ(O, F) diop,
я я
откуда заключаем, в силу произвольности функции ф, что
G0) J(F, Gl=J(O, F).

§ 12. Верхние границы для J(F),I(F, G), L(F),T(F) 39
§ 12 ...-..,
Верхние границы для выражений
, G), L(F), T{F)
Обозначим через M (R) верхнюю грань F (р) на сфере
радиуса R с центром в начале координат. Тогда правая
часть равенства F8) допускает мажоранту:
а V/
)
Кроме того, имеем
ГМ(ГР> Т. do>p= [М(R) Ге dapdRv
где Sm — сфера радиуса R с центром в начале. Поэтому
следует найти предел
/= hm I —) I dap.
a ->- со \ ^ / ** fpp%
Здесь точки Р и j?x рассматриваются как фиксированные.
Если плоскость fp^ пересекает сферу 5д, то функция F9)
равна нулю в точках окружности L, по которой они пере-
пересекаются. Вычислением, аналогичным проведенному выше,
доказывается, что
'2г
где п обозначает теперь нормаль к I на сфере и где ср
есть угол, под которым плоскость пересекает сферу. Так
как длина L равна 2kR sin 9, то, используя формулу F7)",
получаем
R
Если плоскость EpPl не пересекает эту сферу, то /—0.

40 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
Заменяя Р на р, получаем, таким образом, формулу
со
G1) 7(F)<4TC Г RM{R) f — QF(Pl)di*>PldR,
где 6 — величина, равная 1 или 0, в зависимости от того,
пересекает или нет плоскость EPPl сферу 5д.
Неравенство G1) может быть выведено также из соот-
соотношения взаимности G0) заменой О на М(\р |) =
с учетом равенства
Мы находим также, что
со
G2) J{F, 0)<4тс fRM(R) {-
PP1
и'
со
G3) J(F, 0)<4тс f^AI^tf) С — FipJdu-dR,
о . ъ рр'
где ЛТД/?) — максимум G(/>) на сфере \p\ = R.
Введем функции F1(p1) и F2(p{) при помощи соотношений
при \Pt\K\p\.
F1(pi)=0 при \р1\>\р\,
при \pi\>\p\.
Используя равенство
F) = J(F, F
'i. FJ — JiF^, F2).
получаем
G4) J(F)<2J(F, /?2) + -/(Л. Л)-
Для 7(F, F^ мы имеем, согласно G3), полагая \р\ = г,
со
G5) У (F, F2)< 4тс Г -±- F (/,,) rfW:Pi Г

§ 12. Верхние границы для J(F), I(F, G), L(F),T(F) 41
Для того чтобы найти верхнюю границу J(Flt FJ, мы рас-
рассмотрим сферу Sr/VY и область Г, заключенную между Sr/y%~
и Sr. Разобьем Ft на сумму F'± -\-F"x, где F'x равна F (pt)
внутри Sr/vT и нулю в остальных точках, в то время как F" равна
F(Pi) B Г и нулю в остальных точках. Следовательно,
имеем
В силу приведенных выше неравенств и соотношений,
J(Ft, FJ < 8тс f RM(R)dR fF
r/vT sr l
Таким образом, окончательно получаем, принимая во внима-
внимание G4) и G5),
оо
G6) У(/0<8« f ~ F (Pl) di»Pl j RM(R)dR.
2i * r/VT
Заметим, что если
то имеет место неравенство
откуда следует, что
I Fdat

42 Ч. 1. Гл. I. Общее изучение уравнения Больцмана
Порядок роста L (F), J(F) и T(F)
Предполагая, что
л!(/-)<4 >б
А= fF(px)
находим

Глава II
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА В СЛУЧАЕ,
КОГДА ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕ ЗАВИСИТ ОТ х, у, г
В дальнейшем предполагается, что внешние силы от-
отсутствуют. В этом случае уравнение Больцмана принимает
простой вид:
G8) dJl
или, более подробно,
G9) ^-\-
Мы поставим себе следующие задачи:
1) Изучить общие свойства решения, предполагая, что
оно существует в конечном интервале времени.
2) Найти решения, принимающие заданные начальные
значения.
3) Изучить поведение решения при t—>■ со.
§ 1
Общие свойства решений уравнения ^г = T(F)
Первые интегралы
Пусть F(p, f) — решение уравнения G8), непрерывное
вместе с производной dF/dt в области
и удовлетворяющее неравенствам
(80) 0<F(p,t)< k :[> х>6,
(У12)
где k — некоторая .постоянная.

44 Ч. 1. Гл. И. Решение уравнения Больцмана
Обозначим через h(p) такую функцию, что интеграл
f\Hp)\,r * 4x-irf">P
5 (УТ+71)
сходится. Из этого условия следует равномерная сходимость
интеграла
откуда заключаем, что
~ fh(p)F(p,t)dmp = f h(p) T(F) day
S 2
Если правая часть этого равенства обращается в нуль тож-
тождественно для любой функции F, то, как мы видим, интеграл
fh(p)F(p, t)dwp
а
остается независимым от t во всем интервале to<^t <C.tlt
в котором F(p,t) удовлетворяет условию (80). Мы будем
говорить, что h(p) есть первый интеграл уравнения G8).
Формулы, приведенные в конце § 4 гл. I, показывают, что
функции
(81) 1, 5, т], С. Р-|-т]*+ (? = /■»
обладают этим свойством. Можно выбрать начало коорди-
координат в Q так, что эти соотношения запишутся в виде
(82)
(83) j* F du> = A,
(84)
где А и В—положительные постоянные.

§ 1. Свойства решений 45
Строгое доказательство //-теоремы Больцмана
Доказательство //-теоремы Больцмана, данное в § 8 гл. I,
предполагает абсолютную сходимость тех интегралов, кото-
которые в нем фигурируют. В действительности эта сходимость
будет иметь место, в частности, если F ограничена снизу и
сверху посредством неравенств вида B9). Неравенство (80)
уже устанавливает верхнюю границу; для того чтобы полу-
получить также и нижнюю границу, мы добавим к решению F
уравнения Больцмана G8) не зависящий от времени член
подобного вида. Итак, положим
и умножим G8) на logFn, что дает
Заметив, что Г F dw — А, и обозначив через /^ значение Fn
s
при £ = 0, получим после интегрирования
t
n d<» — ffon log/0w dm = fdtfT (FJ log Fn d«o +
О 2
t
— T(F») ) logFn dco.
О 2
где интегралы абсолютно сходятся. Но легко видеть, что
A + г») 3
и, таким образом, при п -> оо последний член в правой
части стремится к нулю. В то же время Fn и fOn стремятся,
убывая, к F и /0 соответственно, и, в силу неравенства B8),
верного и для Fn, первый член в правой части -^ 0. Отсюда
заключаем, что
(85)

46 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмана
Мы должны будем также воспользоваться еще одним
неравенством:
г +
(86) J FlogF dia-tCK,
я
где К есть постоянная, определяемая заданием /0; докажем
его. Пусть AcQ — множество, где
Тогда ;
+ i
Кроме того, так как х log — есть возрастающая функция
на интервале @, 1/е) и всюду -^ 1/е, то мы имеем
f Flog^,da>^. Л
S-Д S-Д
Учитывая (85), мы приходим к приведенному выше резуль-
результату (86).
Нижняя граница для L (F)
Мы будем исходить из формулы (86) и неравенства
1, х>0, у>0.
В силу (86), имеем
f
.>*'
= 2^1 fA — I J Fbip^
\ rppi<l
где X и / —■ положительные числа. Положив X = 2К/А, имеем
Z.(/7)>2tc/(—С13-\- А/2), где С—постоянная, зависящая только
от начального значения /0, что мы выражаем с помощью

§ А Свойства решений' ' ." 47
обозначения С£/. Итак, выбирая I таким образом, чтобы
выражение в скобках равнялось А/4, получаем
(87) L (F) > р > 0, р ^ /.
Лемма об одном дифференциальном неравенстве
Если для всех 0 ^ t <^ tt выполняется неравенство
%jf P(t)>0. - ■
то, обозначив через к0 начальное значение и@), получаем
(88) sup а (t) < max (u0, sup -^Щ-^.
Мажоранты решений F(p, f)
Мы намереваемся теперь разыскать верхние границы для
F (p, t), пригодные для интервала @, tt) и зависящие только
от начальных значений fQ(p), принимаемых F(p, t) при £ = 0.
Найдем сначала верхнюю границу для
■ 2 Р'Р
Согласно формуле F4), мы можем записать это выражение
в виде .......
2 Г [F(p)F (Pi) -J- f-±-da
q dwp
В силу хорошо известных свойств поверхностных потен-
потенциалов, заключаем, что интеграл *
не превосходит того значения, которое он принимает, когда р'
находится в центре К, т. е. не превосходит 2tzrSPl. Следо-
Следовательно,
(89) Г -Д-
л Р'Р

48 q j рл jf решение уравнения Больцмана
Если Е есть плоскость, то, заменяя в F4) ф на f — j e~a<p
(где d есть расстояние от точки р до Е) и осуществив пре-
предельный переход (а -> со), находим
2 2,
где 6=1, если £ пересекает сферу /С, и 0 в противном
случае. Таким образом,
(90) f J(F) da < тиЛ2.
в
Теперь рассмотрим уравнение Больцмана G9) и заме-
заменим L (F) его нижней границей C, существование которой
мы только что доказали. Из (90), интегрируя по плоскости Е,
находим
-~ f
в в
Учитывая (88), выводим, что
В
Таким же способом получаем
откуда вытекает, что
f-±^Fdw:p<C2, C2£I.
Из формулы F1) следует, что
J(F)<C3, C3£/,
и, наконец, вновь используя (88), находим, что
F<M*,
где константа М* зависит только от начальных значений F.

§ I. Свойства решений 4S
Для того чтобы получить оценку сверху для F как
функции от \р | = г, нужно сначала найти еще одну нижнюю
границу для L (F). Имеем
(91) L (F) = 2* f rpPlF (Pl) daPl > 2* / (г — rx) F (Pl) d«>Pl >
Мы всегда будем предполагать, что
Так как J(F) < C3, то из G9) и (88) следует, что
(92) F< CeL
Эта новая оценка сверху для F позволяет нам доказать сле-
следующую лемму:
Из условий (83), (84) и (92) вытекает, что
(93)
(pl)Pl +
^ PPl г г'
где
Действительно, запишем
А г г2 — г\
~ г
и предположим для определенности, что г >• 3. Если мы
разобьем 2Х на три области сферой с центром, р и радиу-
радиусом г-1/* и сферой Sr/2, то мы найдем интегрированием по
различным областям, с учетом упомянутых условий, что мо-
модуль последнего члена в выражении V(F) меньше С6г~*/з,
где Съ зависит только от В и С4.
4 Зак. 734.

56 Ч. 1. Гл. И. Решение уравнения Ёольцмана
Докажем наконец, что существует константа с £ /, та-
такая, что
F(P.ft< _. 0<
(У 1 + г*)
С этой целью запишем
F = Ft-hF2,
где
Fy = F для гу .< р,
Ft = 0 для га > р.
В силу формулы (84), имеем
/ту
F2 (Pi) АвЛ < -^ = е.
^l
Положим, далее,
m (г) == sup RXM(R)
для R~^>r и для 0<!£<!/2- Из формул G6) и (93) мы по-
получим
r/V2
для г>Гх(р), гх (р) £ /. Кроме того, согласно формуле G2),
замечая, что в этом случае 9 = 0 для 0 < R < г — р, имеем
х — 2 (г —р)*
Очевидно, что J(Ft) = 0 для r>]/^2p, и, таким образом,
для г > max (гх (р), 1^2 р) будем иметь
(94) у (/*)< i?± . "(^-Р) + с (х) ег1
' х—2 (г—р)"-1
Теперь мы воспользуемся формулами (88), (91) и (94). Легко
видеть, что можно выбрать сначала е £ /, а затем некоторое
число /£/ так, чтобы для г~^>1 иметь
(95) /*

§ 1. Свойства решений 51
где т] — постоянная, принадлежащая /. Возможны два слу-
случая: или m(г) = :п@) = m для г^1, или nt(l) < m@).
В первом случае мы можем применить неравенство (95),
откуда следует, что
m <^ а -\- A — 2т)) яг -{-
Во втором случае sup R*M(R) для /?>0 и для 0<^£<^£2
достигается для значения R ■< /, и тогда
w (г) < МЧ\
Таким образом, мы приходим к следующей основной теореме:
Теорема I. Пусть F(p, t)—решение уравнения
T(F), удовлетворяющее неравенствам
в области 0<Ct<Ct1 и принимающее для t==O начальное
значение /0 (р), подчиненное условиям
Тогда существует постоянная с, не зависящая от t
и зависящая только от а, А, В, ■*., такая, что
Сформулируем также еще две теоремых).
Теорема II. Пусть F(p,t) — неотрицательное ре-
решение уравнения Больцмана, удовлетворяющее условиям
теоремы I для 0 ^t <^tt и обращающееся при t=0
в непрерывную функцию /0 (/?), отличную от тожде-
тождественного нуля. Если заданы два положительных сколь
угодно малых числа е и t0, то для t0 <^ t < tx имеем
logF(p, 0>—
i) Ср. работу, цитированную в предисловии, теоремы 3 и 4.
4*

52 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмана
где ct — конечная постоянная, зависящая только от
/оО)> *0, tx, s.
Комбинируя только что полученные неравенства, находим
(96) \logF(p, 0|<c2(l+/-2I+s, to<s£t<tl.
Следовательно, интегралы
Н= J FlogFdu,
a
= JT(F)logFdia
являются абсолютно и равномерно сходящимися. Отсюда
вытекает, что Н имеет производную по t и что
Из неравенства (96) следует также, что условия сходимости,
необходимые для вывода формулы B7) (из § 4), удовлетво-
удовлетворяются.
Из этой теоремы вытекает такое следствие: если в на-
начальный момент скорости всех молекул газа принадлежат
некоторой конечной области, то, несмотря на это, в сле-
следующее мгновение множество скоростей молекул будет со-
содержать все скорости.
Теорема III. Пусть F(p,t)—решение уравнения
-д-==Т(F), удовлетворяющее условиям теоремы I во всем
интервале 0 <; t < со и обращающееся при t = 0 в функ-
функцию fo(p), непрерывную в 2. Если задано сколь угодно
малое положительное число е, то мы можем найти
такое положительное 8, что
при
\р'—р\<

§ 2. Теоремы существования и единственности 53
§2
Теоремы существования и единственности
Для доказательства существования решения уравнения
-—r = T(F), обращающегося при £=0 в заданную функ-
функцию /0 (/?), мы применим метод последовательных прибли-
приближений, который позволит одновременно заключить, что по-
полученное решение будет положительным.
Предположим, что функция fo(p) непрерывна и что она
удовлетворяет неравенствам
О</о(р)<(-7=¥. *>6.
Определим функции
последовательно при помощи соотношений FQ(p) —
=/0(р)е1*. где у — положительная постоянная,
dJl + L{FQ)Fx
Прежде всего по индукции заключаем, что если /0 не-
неотрицательна, то Fn~^>0. Будем, теперь доказывать, что
можно так выбрать у и интервал O^.t^.to, чтобы после-
последовательность функций Fn была равномерно ограниченной.
Мы положим
t"n ==z s In >
что даст нам
(97) Щ- + et* [L (fn_,)
Область изменения t, O^^^x, подчиним ограничению

54 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмана
Тогда
Рассмотрим сначала случай я=1. Лемма (88) показывает,
что fx не превосходит наибольшей из величин
(V 1 + Л*)*
/2
Положим, как и выше,
A=ffodu. B=
Тогда мы, очевидно, будем иметь для L(J0) неравенство (91)
и, следовательно,
Так как, согласно формуле G7), мы имеем также
г») (У 1
>с> 6,
то ясно, что при заданных а и ъ мы можем выбрать -у столь
большим, чтобы для некоторого положительного числа а
иметь
(98) /2< S(fo\ <0—a)8g
Отсюда вытекает следующее неравенство:
1<(уТ+7Гг)х*

§ 2. Теоремы существования и единственности
55
Перейдем теперь к определению Fz- Согласно (97), имеем
t
Выберем т0 так, чтобы правая часть была больше
A— a)L(f0) для 0<^<т0.
Тогда
Для У(/х) получаем неравенство
8па I /о dm
(x — 2)
н
Полагая h(p) =— , получаем, в силу (97),
t t
fdtf\^-\d<»< /вт* /[(L(A)+T)A+y(A)] dwdt.
0 2
Но мы можем так выбрать число х0, зависящее только от /0,
а, -л и у, чтобы иметь
для О <С 1 <С "Сц- Отсюда, в силу (98), вытекает, что
/(Л) ^ S(/o) 1 ^
д

56
Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмаяа
если 0<£<т, где т — наименьшее из чисел
V *о> V
a tj — положительный корень уравнения
е-гь—1/2.
Таким образом, получаем
для ' 0 < t < т.
Точно такими же выкладками показываем, что
для 0 < t < т
и т. д., и, таким образом, имеем
аР ; для 0<£<т.
Заметим еще, что для любого положительного числа (*
можно определить 8 <[ т так, чтобы для 0^^<^8 иметь
L(Fn)>2«A(l—p.)r
Сходимость последовательности Fn
Вычитая из уравнения
уравнение
получаем
g^ \ L* \'п) \' »+1 • »/:

§ 2. Теоремы существования и единственности
57
Положим
A00)
Подставив выражение A00) в левую часть (99), получим
A01) i
Пусть шп при 0<[£<;8 есть верхняя граница для |ср«|
в 2, а вп — верхняя граница ф«- Используя неравенства
A^1 + г*)
и применяя неравенства
J(F, G)< —
4na
7-
--I
k («.) аа'
\o\<

58 ч. 1. Гл. П. Решение уравнения Больцмана
находим:
Мы имеем также
где Сг (х) — постоянная, зависящая только от х. Следова-
Следовательно, абсолютная величина правой части A01) меньше
(х)
В силу A01) и леммы (88), получаем
(Ю2)
—
х) шег'°
(х —
Кроме того, имеем
(юз) е№+1< sup f
+ Г2)
Коэффициенты при о>я и при б№ в неравенстве A02)
стремятся при г —> оо соответственно к величинам
(х— 2) (l — i*) — я» И (х —2)ЛA
Выбрав
. х — 6
<
получим Л1<1, и, таким образом, можно записать
&i = 1 —а,
где а —-положительное число. С другой стороны, видно,
что указанные коэффициенты стремятся к нулю, если г

§ 2. Теоремы существования и единственности 59
фиксировано, а {3 —>- со. Но, в силу неравенства A03), мы
можем зафиксировать такое число C, что
A04)
где е — заданное сколь угодно малое число. Из A04) вы-
выводим, что
. 2k fl ^ I л a 2kz
Взяв в качестве е положительное число, удовлетворяющее
неравенствам
2zk *_ Зя
1—а < 4 ' £ < 4 '
находим
2k n
а\{ . 2k a \
Отсюда следует, что
где С — постоянная. Из полученного неравенства вытекает,
что
ш№<сA— 0\
Следовательно, ряд
Ik/w. о—^n-iO>. о)
допускает мажоранту
откуда заключаем, что Fn(j>, t) сходятся равномерно для
0 <^ t -^ ^ к некоторому пределу F (p, t).

60 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмана
Используя неравенство
легко доказываем, что
lim
равномерно на отрезке 0 ^ t ^ 8. Отсюда вытекает, что
функция
F(p, /)= lim Fn(p, t)
обладает непрерывной производной dF/dt, удовлетворяющей
соотношениям
UmF(p. O = /o
f0
Таким образом, мы нашли неотрицательное решение урав-
уравнения Больцмана, определенное на отрезке 0 <^ t ^ 8 и при-
принимающее при t = 0 заданные значения /0 (р).
Заменим теперь в предыдущих выкладках число а чис-
числом с, где с — постоянная, фигурирующая в теореме I пре-
предыдущего параграфа. Пусть Ьг — число, соответствующее 8
при этой замене. Тогда предельная функция lim Fn(p, t) =
= F(p, t) обладает при t = 8г мажорантой
Если теперь строить последовательные приближения, соот-
соответствующие начальной функции F(p, bt), и если известно,
что решение единственно, то мы получим продолжение ре-
решения на отрезок Ьг <^ t <<! 2Sf. Повторяя этот же процесс п
раз подряд, найдем решение на отрезке 0 ^ t <^ nbt. Так
как п произвольно, то отсюда следует, что решение про-
должимо непрерывным образом на все положительные зна-
значения t.

§ 2. Теоремы существования и единственности 61
Единственность решения
Мы хотим доказать, что решение F(p, t), только что
полученное, является единственным, принимающим значения
fo(p) при /=0 и удовлетворяющим на отрезке O-^.t^.t1
неравенству вида
\F(p, t) | < , x > 6, С — постоянная.
(/)х
Предположим противное: пусть существует второе реше-
решение ф, удовлетворяющее этим условиям. Имеем
A05) д-(ГФ)
Положим
F фе ср,
Пусть (о — верхняя граница | ср | в Q для 0^/^^, б—верх-
б—верхняя граница ф для 0^/^^. Теперь уравнение A05) можно
записать в виде
Мы найдем, что
, F
" (х — 2)(YT+nf-1 (x_2)
откуда заключаем, что
Имеем также
| e-?t (у 1-|-г2
С Р > 2vAr — с

62 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмана
Следовательно,
(x— 2)BnAr — с -{- |
Верхние границы коэффициентов при со и б в равенстве A06)
стремятся соответственно к пределам
4 1 / 12С иг
X Z Л<,Х- Z)
когда г стремится к бесконечности. С другой стороны, на-
находим, что коэффициенты при со и 0 в A06) стремятся
к нулю, когда г фиксировано, а р —> оо. Но таким же спо-
способом, как и выше, мы можем определить положительное
число [3 так, чтобы иметь
и, например,
Следовательно,
откуда заключаем, что
т. е. F = ^> для O-tC-t^t^ что и требовалось доказать.
Полученные результаты мы объединим в следующей
теореме:
Если дана непрерывная функция fo(p)> подчиняющаяся
условиям
—i, *>6,
7?)
то существует решение F(p, t) уравнения dF/dt=T(F),
непрерывное во всей области Q и сводящееся при t = 0

§ 3. Поведение решения при t-*-co 63
к функции fo(p). Оно удовлетворяет неравенствам
0<F(p,t)< C
где с — постоянная, не зависящая от tar. He суще-
существует другого решения, имеющего те оке начальные
значения и удовлетворяющего в интервале 0 -<[ t < t1 не-
неравенству вида
B
■*. > 6, С — постоянная.
§ 3
Поведение решения при t-*oo
Мы хотим изучить поведение при t—>■ со решения F(p, t),
существование которого установили в предыдущем пара-
параграфе. Рассмотрим функцию Больцмана
, t)logF(p, t)dw.
Согласно сформулированной на стр. 51 теореме II, эта функ-
функция непрерывна по t и (при t > 0) обладает непрерывной и
неположительной производной
Н' (t) = fT (F) log- F dw.
2
Учитывая соотношения
f F(p, t)dw = A,
A07) 2
J F(p, t)r2d(o = B,
2
где А и В — положительные постоянные, мы на основании
результатов предыдущего параграфа заключаем, что H(f)

64 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Ёольцмана
обладает конечной нижней границей. Отсюда (с учетом соот-
соотношения Н' (t) ^ 0) получаем, что
Ит H'(t) =
t ->-оо
Следовательно, мы можем выбрать такую последовательность
tx, 4. • • •. tn< что
lim tf'('J = 0. .
Используя теорему III из § 1, мы видим, что из последо-
последовательности tt, t2, . • ., tn, ... можно выделить такую под-
подпоследовательность tn (v=l, 2, ...), чтобы последователь-
последовательность F (p, tn\ сходилась равномерно к непрерывной функ-
функции f(p), когда v стремится к бесконечности. Согласно A07)
и неравенству (85), мы имеем
(Ю8)
2
Докажем, что выражение
есть тождественный нуль в области 2 X ^i X 2. Действи-
Действительно, если бы это было не так, то можно было бы найти
область D с положительной мерой, в которой
■If'fi—ffi\>P>0.
где р — постоянная. Отсюда заключаем, что можно выбрать
такое число v0, что
A09) F(p', tMH)F(pi, tnJ — F(p, t%)F(Pl, Ч)>1
в D для v > v0. Используя формулу C0), получаем
A10) //(/»J <~j fiFF^—FF,) log^—hd^d^ da.

§ 3. Поведение решения при t-*-co 65
Обозначим через М верхнюю грань F (p,t) в 2 для 0 < t <^ оо.
Тогда, в силу A09), будем иметь
и, в силу формулы (ПО),
Отсюда, устремляя v к бесконечности, выводим
0 < — | log (l + 2&) fhd^dw, do,
D
D
что невозможно. Таким образом, необходимо будем иметь
A11) f(Pr)f(p/1)—f(p)f(p1)=O.
Но мы уже отмечали, что это уравнение влечет за собой
равенство
A12)
где С и а — постоянные, определяемые соотношениями A08) 1).
Теперь мы можем доказать, что F(p, t) стремится кСе~аг',
когда t произвольным образом стремится к бесконечности.
Действительно, в противном случае нашлась бы последова-
последовательность хг, т2> . . ., xv неограниченно растущая и такая,
что F(p, xv) равномерно при v—>■ оо сходится к неотрица-
неотрицательной функции <jj(jt?), отличной от Се~аг*. Пусть k — нижняя
грань выражения
fflogfdw
а
для функций /, удовлетворяющих условиям A08). По лемме
об одной вариационной проблеме, доказанной в § 8 гл. I,
J) Приведенный выше вывод основан на теореме III из § 1,
полное доказательство которой доведено до конца только в слу-
случае, когда F{p,t) зависит только от \р\. Тем не менее легко
видеть, что можно получить строгое доказательство, заменяя равно-
равномерную сходимость слабой сходимостью, которой достаточно, потому
что решение функционального уравнения A11) пригодно при един-
единственном условии, что / есть измеримая функция.
5 Зак. 734.

66 Ч. 1. Гл. П. Решение уравнения Больцмана
эта нижняя грань достигается для функции A12). Из только
что доказанного результата следует, что
lim H(t) =
t ■>■ оо
Таким образом, мы имеем
Urn
С другой стороны,
(ИЗ) k= lim f'F(p, tv) log
Согласно неравенству (85), мы можем в очевидных соот-
соотношениях
lim \F(p, T^)da> = А,
1) i У. ОО
lim j F(p, -zv)r2dw =B
осуществить предельный переход под знаком интеграла,
который дает
| ф dw = A,
2
С п
S
Таким образом, согласно той же самой лемме, в соотноше-
соотношении A13) должен иметь место знак равенства и
вопреки предположению.
Итак, доказано, что решение F(p, t) уравнения Больц-
Больцмана при t —> оо стремится равномерно к функции Максвелла
Се~аг3.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВВЕДЕНИЕ
В первой части этой книги мы дали полную теорию
интегро-дифференциального уравнения Больцмана в случае,
когда функция распределения зависит только от координат
вектора скорости. В этой второй части мы будем предпо-
предполагать, что состояние газа может меняться в пространстве
от точки к точке. Однако мы ограничимся изучением пове-
поведения системы, находящейся вблизи равновесия. Этот случай
особенно важен для практических приложений.
В кинетической теории газов рассматривают функцию
распределения скоростей F(x, у, z, \, т), С, t), определенную
таким образом, что F dv dw обозначает число молекул, центры
которых в момент времени t находятся внутри элемента
объема dv = dx dy dz, а векторы скоростей (£, -ц, С) окан-
оканчиваются в элементе d(o = d\ d-ц dC пространства скоростей.
В этих предположениях уравнение Больцмана для функции F
имеет вид
A) D(F)=T(F).
где D(F) есть дифференциальное выражение
+ v% + z.
X, Y, Z—компоненты внешних сил. T(F) — некоторый
однородный оператор второго порядка; мы его сейчас опре-
определим. Ограничимся случаем, когда молекулы являются абсо-
абсолютно упругими шарами с диаметром %, а внешние силы
5*

66 Ч. 1. Гл. II. Решение уравнения Больцмана
эта нижняя грань достигается для функции A12). Из только
что доказанного результата следует, что
lim H(t) = k.
Таким образом, мы имеем
lim
С другой стороны,
(ИЗ) k— lim fF(p, xv) log Z7 (/?, tv) rfu> > ftylogtydw.
V->OO2 2
Согласно неравенству (85), мы можем в очевидных соот-
соотношениях
lim С F(p, xv)dw —A,
lim 1 F (p, xv) r2 doi = В
осуществить предельный переход под знаком интеграла,
который дает
Г ф rfa) = Л,
Таким образом, согласно той же самой лемме, в соотноше-
соотношении A13) должен иметь место знак равенства и
вопреки предположению.
Итак, доказано, что решение F(p, t) уравнения Больц-
Больцмана при t—* со стремится равномерно к функции Максвелла
Се-"*".

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВВЕДЕНИЕ
В первой части этой книги мы дали полную теорию
интегро-дифференциального уравнения Больцмана в случае,
когда функция распределения зависит только от координат
вектора скорости. В этой второй части мы будем предпо-
предполагать, что состояние газа может меняться в пространстве
от точки к точке. Однако мы ограничимся изучением пове-
поведения системы, находящейся вблизи равновесия. Этот случай
особенно важен для практических приложений.
В кинетической теории газов рассматривают функцию
распределения скоростей F(x, у, z, £, ij, С, t), определенную
таким образом, что F dv du> обозначает число молекул, центры
которых в момент времени t находятся внутри элемента
объема dv = dx dy dz, а векторы скоростей (£, tj, С) окан-
оканчиваются в элементе du> = d%dT\dC пространства скоростей.
В этих предположениях уравнение Больцмана для функции F
имеет вид
A)
где D(F) есть дифференциальное выражение
dF i t^ i dF rdF , vdF ,
X, Y, Z—компоненты внешних сил. T (F) — некоторый
однородный оператор второго порядка; мы его сейчас опре-
определим. Ограничимся случаем, когда молекулы являются абсо-
абсолютно упругими шарами с диаметром х> а внешние силы
5*

68 Ч. 2. Введение
отсутствуют. Обозначим через р и рх точки в пространстве
скоростей с координатами |, т\, С и %х, т\х, С1} и пусть /, т,
п—декартовы координаты точки, лежащей на сфере 2
радиуса 1 с центром в начале. Положим
Tj =
С С + ^ ' = — п,
Если обозначить точки
(г, т,'. со и (^ <, q)
через рг и />^, то можно определить T(F) следующим образом:
Qt есть неограниченное пространство, пробегаемое рг, a da —
элемент поверхности сферы S. В первой части было дока-
доказано, что T(F) можно преобразовать к виду
fF(q)daqda>Pl —
J
— 2t:F (p) f rpPiF (Pl) daPi \
2i /
=Va—^
где
и где f^,^ есть плоскость, проходящая через р перпенди-
перпендикулярно вектору ррх. q есть переменная точка плоскости
EPPi, a daq — соответствующий элемент поверхности.
Для изучения решений уравнения A), мало отклоняющихся
от соответствующего равновесию решения
где положено г=\р\, естественно сделать подстановку
F = А \ е~аг3 + е~~* Г"ф ) .

Ч. 2. Введение 69
Если положить, далее,
то уравнение Больцмана примет вид
где
2 в3*'
а Т'(F) и T'(F, G) определены соотношениями (ср. фор-
формулу, на которую мы сослались выше)
Т'
'(F) = / / iF (pf) F (рд — F (p) fa)]'w l d%>da =
y, a,
= 2 /* F(py) f F (q) daq dmPi—2tcF (/>) J rfflF (pj do>ft;
2, S
2i -Еда,
— wF (p) J* rmG (pj d<aPl — tcG (p) f rPPlF (p,) da>Pl.
Уравнение B) может быть формально решено посредством
степенного ряда вида
V- (То + №+ ^2 +■••)•
Если начальные значения ср0 обладают достаточно малой
мажорантой, то этот ряд сходится при ц=1 и первый член
будет превосходить остаток ряда. Следовательно, чтобы
получить аппроксимацию движения вблизи равновесия, мы
можем предположить, что ср — решение линейного уравнения
где 5(ср)—линейный оператор

Глава I
УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ВБЛИЗИ РАВНОВЕСИЯ
§ 1
Изучение линейного оператора S
Из соотношения
5 (<p) = —
видно, что 5(ср) — линейный оператор. Прежде всего мы
изучим интеграл
С <hS (ср) с1ш = — 2 Г е^Т' (g-r",
Воспользуемся следующей формулой, выведенной в первой
части:
f НТ' (F, О) rfo) =
2 2,
Если мы положим
то из нее будет следовать, что
=— I J J J(W +
2 2t a
2 2t 2
Таким образом, SO?)— положительно определенный опера-
оператор, т. е. . ■

§ 1. Изучение линейного оператора S(<p) 71
Из того факта, что уравнение
^ — ф^ — ф'^ о
не имеет других решений, кроме 1, £, т\. С, S2 —(— тJ —j— С2
или их линейных комбинаций, следует, что множество реше-
решений уравнения
образовано функциями
D)
^2С ср5 = в -''Л» (р + tj2 + С2)
и их линейными комбинациями с коэффициентами, не зави-
зависящими от \, т], С. В силу симметрии последнего члена
в равенстве C) относительно Фи?, находим, что 5(ср) есть
самосопряженный оператор.
Определение явного вида 5 (ср)
Мы имеем
E) 5(ср) = — 2el-/a7"(e-rl, e-^cp),
F) Г'О?-»-', е-^/2ср)=2 f e~rV2cp(p1) — d<*Pi f e-iv\*dcsq —
PPle~ridu>Pl-{-e-fa Jг^е'^
2,
Сразу находим, что
где 0 — угол между векторами/» w.ррх. Обозначая rPPi через р,
получаем соотношения
G) r2=r2 + Pa+2/-pcose,
Г2 Л2_ 2
(8) г cos е = J- 2р. .

72 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
Отсюда в результате элементарного подсчета получим, что
2 °° *
Г1<*о>Л = 2тс J J e-(r2+p3+2pr cos e)p3 sin QdQdp =
+ B/* + l)JVe2 rfpj .
9X 0 0
п
Первый член в правой части урав-
нения F) можно записать в виде
у. Р Г'г2п -r\J2-r2 cos2 8
Рис. 4. ^l
Поэтому для 5(ср) имеем соотношение
о/ ч Г Го -(r2+r?)/2 4« (r2-rf)/2-r2cos2el , ..
■S(<p)= J [2терв V V/ — е\ VI J ср (Pl) do>A-
Согласно (8), имеем
2 2 2 /2 2\2
4 4p2
Итак, очевидно, что 5(ср) выражается формулой
(9) S (ср) = k (г) ср (/,) — j* О (/7, Pl) ср (Pl) dco^,
где положено:
A0) Л(г) =
о
(r)— J
Р2
A1) и(Р,р1)=—е
К J \У Hit р

$ 2. Свойства ядра G(p,pi) 73
Свойства функции k (r)
Непосредственно находим, что
lim &(г)
Теперь мы докажем, что k (г) есть возрастающая функ-
функция от г.
Дифференцируя k (г), получаем
A2) Л'(г)
Отсюда следует, что &'(/")> 0 для r>l/"j/^2. Умножим
уравнение A2) на 2г2/4тг2A — 2г2) и положим
2г2
Тогда
Итак, ясно, что £f(r);>0 для г < l/"|/2 и, следовательно,
ftr (r) >• 0 для г <С l/]/^2. Поэтому k' (r) положительна при
г >■ 0, что и доказывает наше утверждение.
Имеем
откуда
Свойства
Р2 < гг-\~r\-
§ 2
ядра
\-2гг1
Q
Р.
(Р, Pi)
2(г2Ч

74 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
и, следовательно,
\О(Р. Рх)! < ^ е-^
Отсюда вытекает, что
A3)
где С — конечная постоянная, не зависящая от р. Согласно
хорошо известной теореме *), отсюда следует, что функция
G(p, Pi), являющаяся симметричным ядром, ограничена
в смысле Гильберта, т. е. что
s s
где k — конечная постоянная, если
Положим
Мы теперь изучим интеграл
V
=fG1 (p, Pl
V. "Г 1/
где р подчинено условию
1
Учитывая G), получаем
тс СО - Х-(
/= Dл)р f С ~е
Р
вJ)
О о Р A+У"г2+р2+2гРСО5в)
СО 1С -|- (ра+(р + 2Г COS в)")
= 27cDic)" Г Г^5
 J p
sin ddp dd
-stnfldpd6
вг3
2тс Dя)Р г г 1 е i
" -Р-3 ojoj *-'(l + ry
См', ниже, стр. 78,

§ 2. Свойства ядра G(p,p{)
75
Полагая
будем иметь
f-f-2 cos6 = 5,
где D — область в плоскости s, t, определенная неравен-
неравенствами
Если выкинуть круг s2-\-t2 <С.Р, то, как легко видеть, этот
интеграл имеет при г, стремящемся к бесконечности, поря-
D
у
у
Рис. 5.
док g-т*. Нетрудно заметить, что в этом случае интеграл
асимптотически равен
г i -
dtds =
-г о
rLyj
тсDтс)Р 1 С с
= д^з i a I I
d5
1-4
rt -isyr
r«+i
, Г—>-СО,

76 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
Замечая, что интеграл / ограничен и меньше
о v
находим, что существует постоянная С (а, р), с которой
а отсюда легко вывести, что
(.4)
где С — постоянная, зависящая только от а и р. Мы вос-
воспользовались только хорошо известным неравенством
J.
Фигурирующее в теории Гильберта х) и Энскога уравне-
уравнение в точности совпадает с уравнением
A5) к (г) «р (/,)_ J О (/>. Л) ср (Л) ^й = А
Ядро К(р, q) равно G(p, q)fk(r). Важно знать, выполняются
ли для этого ядра теоремы Фредгольма. Этот вопрос, оста-
оставленный без ответа Гильбертом, был разработан его учени-
учеником Е. Гекке 2) методом, который, быть может, сложен, но
весьма интересен и глубок.
Сейчас мы попытаемся получить указанный результат
с помощью самых общих методов, требующих минимального
количества выкладок.
Рассмотрим ядро К(р, q), ограниченное в смысле Гиль-
Гильберта, и предположим, кроме того, что
!im / fK(-p' <i)tin(P)'vn(9)d<opdu>q = 0
S 2
*) Мы дадим изложение этой теории в последней главе,
з) Н е с k e E., Ober die Integralgleichung der kinetischen Gas-
theorie, Math. Zeitschrift, 12 A922).

§ 2. Свойства ядра G(p,p{) TJ
для любых последовательностей функций с интегрируемым
квадратом, удовлетворяющих условиям
| и» (/>) N<op < Clf f\vn(p)\2d<»p<C2,
а 2
а также
lim #п(р) = 0 почти всюду,
п->оо
lim vn (p) = 0 почти всюду.
n-»-oo
В этом случае ядро К(р, q) вполне непрерывно. Из указан-
указанных условий следует, что для уравнения
справедливы теоремы Фредгольма.
Для приложений очень важным является разыскание про-
простых критериев, позволяющих судить, является ли ограни-
ограниченное ядро вполне непрерывным или нет. Приведем один
критерий, который может быть полезным в некоторых случаях.
Рассмотрим неограниченное пространство 2, и пусть
G(p, q) — ограниченное ядро. Положим
К (p. q) =
и предположим, что
lim g(p)=O,
а интеграл
/ / \О(Р. q)\2d^pdcOq
конечен. Этих условий достаточно, чтобы утверждать, что
ядро К(р, q) вполне непрерывно.
Чтобы доказать это, достаточно воспользоваться следую-
следующей очевидной теоремой. Если ядро К(р, q) можно пред-
представить в виде суммы двух ядер Кх и К%,
К(р, q) = Kx {p. q) + Кг (p. q),
одно из которых вполне непрерывно, а второе ограничено
сколь угодно малым числом, то К(р, q) вполне непрерывно.

78 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
Приведем теперь еще одну теорему. Если
J\K(p, q)\dioq и J]K(q, p)\dwa
2 2
меньше некоторой постоянной С, не зависящей от р, то
К(р, q) ограничено. Действительно, имеем
I//
Я 8
ffi 2
<
2
Учитывая теперь неравенство A3), мы видим, что сфор-
сформулированных теорем достаточно, чтобы утверждать, что
теоремы Фредгольма применимы к уравнению A5).
Уравнение A5) можно записать в форме
?* (Р) — fG*(p, Рг) <?* (Pi) d<»Pl = h* (Pl),
если произвести следующее преобразование:
k(r)
Обозначим через О*, G*, ..., G*n(G\=^G*^ последователь-
последовательность итераций для G*. Гекке доказал, что пятая итерация G*
имеет интегрируемый квадрат, т. е. что
f f
2 2
Однако полученный им номер больше, чем требуется. Дей-
Действительно, мы докажем сейчас, что уже итерация О* обла-

§ 2. Свойства ядра G(p,p{) 79
дает указанным свойством. Исходя из формулы
G* (р, А) = / G* (a A) G* (р2> а) *»А
£3
и замечая, что
k(r) > сA +г), с = const,
получаем, применяя неравенство Шварца и используя нера-
неравенство A4) для C = 2,
*(
G2 P, PO
Образуем
Получаем
|G3|< з
и, в силу
Для
1 ^ ^i Л /
\/ /Г ^2(Л> /'г) ^
хч V / 1+гз Mj
третью итерацию
^з (Р' -Pi) == / о* (P. P2) G*
2
* . * [\П(
A _1_ ч'/г /1 _[_ Wa J I *■
2
симметрии,
Gl= jG*(p, р2)Оз(/з
2
J 1
в» ~~ A-
(Р2> А.) <
^ Г
- 4A-
2> Pi) ^Ш
P. J52) rf@ w
■+" Гз ^ 'Ч
C2
4-ГK/2 A +Г!K/з
1 1
мы таким же способом получим
i~v- f |Gr -1 l
A + rI^ A + n)'/. ^ ' -—— ' (l+r,K
c7

80 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
поэтому
2,
Отсюда следует, что
оо
/ / Gl (p. Plf dup duPl < №СЧ f ц^у7 dr.
2, 2 0
откуда и вытекает сформулированная теорема.
§3
Изучение уравнения
в случае неограниченного пространства
В этом случае естественной краевой задачей является
разыскание решения <р, сводящегося при t—О к заданной
функции /0. Для сокращения обозначений мы будем писать
<р(£, ^, С, х, jv, 2", t) в виде <p(jp, ^, f), где ^ обозначает точку х,
у, z. Итак, нашей задачей будет найти такое решение приве-
приведенного выше уравнения, что
В пространстве х, у, z, t рассмотрим кривую, определяемую
дифференциальными уравнениями
£ ~~ -q Г~
и проходящую через точку (х, у, z, t) — (q, t). Мы обозна-
обозначим через Lp> qt t отрезок этой кривой, ограниченный точкой
^ = 0 и q'(ъ) — произвольной точкой этой кривой, 0-<[г^^.
Рассматриваемое уравнение вдоль кривой Lp> q> t можно за-
записать в виде
A6) ^- + U(r)<p = Xj"o (p.

§ 3. Случай неограниченного пространства 81
и, таким образом, получить
<р(р, д, О = /о(/>. ?o)*-Xft(r)i +
■сЛЯ,* 9'
или, в сокращенных обозначениях, не могущих привести
к каким-либо недоразумениям,
Для того чтобы решить это уравнение, мы применим метод
последовательных приближений, полагая
LP, Я, t
Предположим теперь, что |/0| обладает мажорантой
не зависящей от х, у, z. Последовательно получаем
. I «Ро К Ф-
I <?11 < ^ /1 G О. Pi) I Ф (Pi) d^v,.
и вообще
где положено G
Так как ряд
б Зак. 734.

82 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
сходится, то будет сходиться и ряд
оо
2 «р.-
v=.O
Таким образом, мы доказали существование решения рас-
рассматриваемой краевой задачи.
Однако будет уместным заметить, что приведенные рас-
рассуждения не доказывают, что полученное решение остается
ограниченным для всех положительных значений t. Этот
вопрос будет выяснен другим методом, который мы изложим
в следующем параграфе.
Вопрос о единственности
Использованный нами метод показывает, что существует
только одно решение поставленной краевой задачи, если
потребовать, чтобы верхняя грань М(р) для \f(p, q, f)\,
когда q пробегает все пространство, а О^^^^, имела
интегрируемый квадрат, каково бы ни было t. Действительно,
рассмотрим тот специальный случай, когда /0 = 0. Для М(р)
получаем последовательность неравенств
и, следовательно, обозначая через k верхнюю грань G*(p, Pi),
имеем
/ М (pf d^p < -^р. • f M (pf rfoy
2 2
Так как это неравенство справедливо для всех целых поло-
положительных значений п, то мы должны иметь
f
т. е. М (jp)==O, что и требовалось доказать.
Применение интеграла Фурье
Если мы в уравнении A6) заменим х, у, z, t на х/Х,
у/\, z/X, tfk, то получим уравнение

§ 3. Случай неограниченного пространства 83
Займемся решением краевой задачи
[<?Ъ=о = Н(Р> х> У- *)■
Мы применим преобразование Фурье — Лапласа
ф(р, а, р, т, *) =
оо оо оо со
0 —oo —oo —oo
f
Таким образом, для <j> получаем интегральное уравнение
Фредгольма
A7) (х+*(г)—/(ое
— fG(P> Pi)ФЫ^юл = Н (р).
2
где
OO OO OO
= 7о^з Г Г [ ei(aas+f>y+rth(p, x, у, z)dxdydz.
— оо —оо — оо
Из общей теории следует, что решение ф(р) есть меро-
морфная функция от» в полуплоскости
ЯМ> —*@) = —4»с».
Изучим теперь однородное уравнение, соответствующее урав-
уравнению A7):
(* + k (г) — I (с* + pTi + TQ ) Ф (Р) - f О (р. Л) ф (л) <*юй=0.
Если мы умножим это уравнение на ф(р) и проинтегрируем
по р, то, в силу неравенства
будем иметь
s г
Отсюда следует, что
/г м < о.
6*

84 Ч. 2. Гл. I. Уравнение Больцмана вблизи равновесия
Следовательно, решение ф(р, ■*) регулярно справа от мнимой
оси в плоскости *.
Изучение решения уравнения A7) для больших значений
/[и] в области /?[»]>—4я2
Запишем для краткости
Тогда можно переписать уравнение A7) в виде
-TTf) f G(p' рМр^ъ^тШ'
Этому уравнению соответствует следующий ряд Неймана:
A8) *(/>) = 2
0
где
9,
-i' Pn)
Для изучения сходимости ряда A8) мы применим неравенство
Гёльдера к выражению, представляющему фп(р)- Это нера-
неравенство имеет вид

§ 3. Случай неограниченного пространства 85
где число измерений области интегрирования произвольно.
Мы получим
[// /1+
X | О fa, P2)\1+™ ■ ■ • \G(Pn-i> Pn)\1+™ X
m
Положим /и = 3 и предположим, что \Н(р)\ т допускает
такую мажоранту М(р), что [см. A4)] имеет место нера-
неравенство
J* | G (p, p{) \l mM(pt)d(oPi<ikMip),
где k — постоянная. Тогда
f f.. .f\G(p,pl)\1+™\G(p1,p2)\1+™...\G(pn_1,pn)\1+™X
, i
X I H(pn) | >+™ do»A ... du>Pn < /
Рассмотрим теперь выражение
/то**.-
Если R [x] >» — 4я2, то мы можем утверждать, что суще-
существуют такие постоянные а > 0 и £ >• 0, что
Отсюда следует, существование такой постоянной k'', что
Осуществив подходящее ортогональное преобразование,
получим
A9) /г4^<
2
оо оо оо
<k' f f f
7 Зак. 734.

86 Ч. 2. Г л: Г, Уравнение Больцмана вблизи равндвесия
где положено ::
Вводя переменную р = "J/^tj2-(-С2, мы можем записать правую
часть неравенства A9) в виде
dp.
Можно вычислить этот интеграл в явном виде и найти, что
он равен
Следовательно, окончательно получается, что
< [M{p)]4t
Итак, ряд A8) сходится, если |х| достаточно велик.

Г л а'ва II " '; .'...';. "'*'.',[
УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА В СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ
§ 1
Ряд Гильберта
Гильберт в своем большом труде Grundziige einer alge.tr
meinen Theorie der linearen Integralgleichungan посвятил
последнюю главу математическому изучению кинетической
теории газов. Из одного места в предисловии к этой книге
ясно видно, какое важное значение он придавал приложению
теории интегральных уравнений к этой области математи-
математической физики. Я воспроизвожу здесь следующую цитату х):
„В конце я прибавил новую главу о кинетической тео-
теории газов. В то время как до сих пор во всех многочислен-
многочисленных приложениях теории интегральных уравнений всегда
имелось некоторое дифференциальное уравнение, к которому
применялась теория интегральных уравнений, в теории газов
интегральное уравнение появляется как первичное, как пря-
прямое следствие из формул соударения, и так как, кроме того,
для систематического обоснования теории газов теория инте-
интегральных уравнений представляется незаменимой, то я вижу
в теории газов наиболее блестящее применение для теорем
о разрешимости интегральных уравнений".
Речь идет о решении уравнения
D(F)=T(F).
Положим
2
Г —
тогда
Это уравнение можно записать еще и так:
!) Мы приводим перевод с немецкого. — Прим. перев.
7*

88 V. 2. Гл. П. Уравнение Больцмана в специальных случаях
Приравнивая коэффициенты при , \ в обеих частях этого
уравнения, получаем
T(Fa. Fo)=0, : .
2T(F0, FJ^
2
v=l
Из первой формулы следует, что Fo есть функция вида
где а„ — функция от х, у, z, t. Запишем, далее, приведен-
приведенные выше уравнения в следующем виде:
B0) Г>0)>0)=0,
T(F0, FO^i-DCFo),
T(F0, F2)=±D (Fx) — i- T(FV Fx),
n-l
B1) T(F0, Fn)= LD(Fn^)~ 1
: : - ■ ■ ; v=i
T(FQ, F)—есть линейный оператор, действующий на F;
мы обозначим его через V(F). Написанные соотношения,
позволяющие последовательно определить функции Flt F2,
F3, • . ., имеют вид уравнений Фредгольма.
Если продифференцировать уравнение
T(F0. Fo) = 6,
ta мы получим
где аодожено

§ 1. Ряд Гильберта 89
Таким образом, пять функций Fo^, являются линейно неза-
независимыми решениями уравнения T(F) = 0. Можно доказать,
что решений, отличных от их линейных комбинаций, не су-
существует.
Теперь мы должны изучить решения соответствующего
сопряженного уравнения Г'(^>) = 0. Этот сопряженный опе-
оператор определяется абстрактно соотношением
J фТ (F) di*> = f FT' (ф) du>,
которое должно удовлетворяться для всех функций F. Если
мы заменим ф на фч, то увидим, что левая часть равна нулю,
какова бы ни была F. Следовательно,
I"(*,) = 0, v=l, 2, .... 5,
и, таким образом, фх, ф2, .. ., фъ являются собственными
функциями сопряженного уравнения.
Теперь, предполагая, что классическая теория Фредгольма
применима к линейному оператору T(F), мы можем найти
функции /\ следующим способом. Для разрешимости урав-
уравнения B0) необходимо и достаточно, чтобы
» = 0, v=l, 2, 3, 4, 5.
Отсюда мы получаем пять уравнений в частных производных
для функций а„. Если функции о, удовлетворяют этим урав-
уравнениям, то Fx существует и имеет вид
v=l
где си — произвольные функции от х, у, z, t.
Перейдем теперь к вычислению F2. Для разрешимости
уравнения B1) необходимо и достаточно, чтобы
Г ф,(D (Fl) + D(^ сиРофХ\ <2ш = 0.
2 V
(
v

90 Ч. 2. Гл. II. Уравнение: Вольцмана в специальных случаях
Это даёт: нам:еще одну.-систему;уравнений в.-частных
изводных для clv, ,v= J,,,'«<.;5. Мы получим .■■■■■. ■■.i•■•';,: • •,;-..
Этот процесс можно продолжать неограниченно.- При каждой
шаге вводятся пять новых ^произвольных.функций от х, у,
z, t. Последующее уравнение порождает пять уравнений
в частных производных для этих функций. Функции F^
можно выбрать таким образом, чтобы они были ортогональны
к; 'ф'^. -Следовательно/1*^ являются- линейными комбинациями
d постоянным» коэффициентами Ti3r- ■ '; • ■■■■'■■ ■
/
5.
Итак, мы получаем следующую ^теорему-,Гильберта.,Если
дана последовательность функций-., , , -
то существует один; и ;только один ^степенной ряд
F = —
д-л некоторого • ■
Неизвестно, является ли ряд Гильберта сходящимся.
Вероятно, даже, что он не сходится. Другое неудобство
этого ряда заключается в том, что последовательно опреде-
определенные коэффициенты содержат члены, зависящие от• t и
стремящиеся к бесконечности при t —* op. С этой точки
зрения следует предпочесть ряд Энскога. Об этом ряде
можно прочесть в трудах Энскога. Однако уместно заметить,
что и для этого последнего ряда вопрос о сходимости
остается открытым..

§ 2. О решении уравнения Больцмана в области О.<дг^/ 91
§2
О решении уравнения "Больцмана в "области Q^x\4^l
Предположим, что F зависит только от р_, x,.t,n пусть
/ = тс. В качестве краевых условий примем F (p) = F(p'),
где р'—-отражение вектора р, т. е. -- . _.
для х = 0 и лг = тс. Для интересующего >нас случая мы
можем написать . ...-.■ - : -
г- dt : dje ~
Если положить
то мы придем к уравнению
B2) ~7Й~+-^~!г~
где
5(ср) = А(г)ср — /С?(/?,
2,
-г—f (Pi) [*- d '*
2.
l/ 2/
. £)= 2в^/* Г -V— / (Pi) Г в" Г2/ 2 g (q) daq
Введем теперь функцию
Заменяя 5 на —? в уравнении B2), получаем при помощи
очевидных преобразований
<23> -§— *-£
Записав .
w = <p(S, -п, С) — срС—S, -п. С) = <рE, т], Q — фE. Ч. О,
Мы предполагаем, как и выше, что X = Y = Z = 0.

92 Ч. 2. Гл. II. Уравнение Больцмана в специальных случаях
найдем
a A-v , а—v
<Р — 2 ' т— 2 '
£(в. в) (£(в. e) + L(w. B))+i-L(«. г/).
Следовательно, складывая и вычитая уравнения B2) и B3),
получаем
Заметим, что эти уравнения определяют и и v как четные
или нечетные функции от \, если начальные условия
соответственно четны или нечетны. Для того чтобы удовле-
удовлетворить граничным условиям на поверхности оболочки со-
сосуда, мы полагаем
оо со
и = ^j av cos чх, v = J^j b4 sin чх,
где ан и Ъч — функции от I, tj, С, t. Кроме того, мы пред-
предполагаем, что ач являются четными функциями от ij, а Ън —
нечетными. Тогда формально получим
со
со
' ' ) cos тх • cos nx -
со
2 ^ ^ ^ n тх s'n пх ~
оо
2 L(a"»' ara)(cos(« + «)^ + cos(/re — ri)x)-\-

оо
2 ^ (*• *»•) (cos (m — п)х — c

§ 2. О решении уравнения Больцмана в области 0 < х < / 93>
и аналогично
со
sinvx
= 4 S ^cosmx sin nx L (am, bn) -j-
sin rex L (bn, am) =
oo oo
2 S (i ((OT) -H~sin (re—от) *) (L (flw, bn)-\-L (bn, a
Приравнивая коэффициенты при cosvjc и sin vat в обеих
частях этих равенств, получаем х)
v, bn))-\-
-r -4 2u (L(am,
*) Мы полагаем 6q = 0.

94 Ч. 2, Гл. II. Уравнение Больцмана в специальных случаях
Мы можем объединить написанные выше уравнения в одно,
записав
_ -^ч ~г" "у и ■"■*> ■ /5-j
-„ — 2 , "-—21
Тогда получим
4- k\r) Ло — j G(p, рх) A(Pi) dwPi =
dt
2,
,B4) -^
- 2, ......... ■
■-■--••' оо -■.:.-.: .'. ..■.-. . . ■. .
■ v-==i.;2;-..,.-. ' _■■-■, ■ v.
Если положить здесь формально ■■'.
оо
/ОРСЧ Л '^1 „Й л(А)
ft = l
то найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
степенях ja в обоих частях приведенных выше уравнений, что
коэффициенты А^ могут быть определены последовательно.
Коэффициенты Л» получаем из уравнения
) -f- M) A™ — fO(f>, >0 ^1Х) (РХ) «*">л = 0 " ■
•с начальными условиями
где а„-и §v определены при помощи разложений

§2. О решении уравнения Больцмана в области 0-4j-tf.</ 95
■а <ро.(|, 7J, х) — начальное значение ср. Последующие коэффи-
коэффициенты определяются из уравнений . ■■...-.
r) — К) А™ — f G (р. /7^ Л<*> (pt) йшА = S<*>,
'Л
где 5; ' — определенные выражения второго порядка, кото-
которые получаются из правых частей уравнений B4) и которые
зависят только от А® при I < k. Следует добавить началь-
начальные условия
Таким образом, вопрос о последовательном разыскании функ-
функций А[ ' сводится к задаче разрешения интегро-дифферен-
циального уравнения
• ^L ■+(k (г) — ЩЪ — / О (р, ^ ф (Рг) *<»Ри= S ■(?," Ч> С. 0...
где g": и /г —заданные функции. Мы можем свести эту за-
задачу к одному интегральному уравнению Фредгольма, вводя
функцию
о
Получим
Применяя указанный метод, можно доказать, что ряд B5)
сходится для ja=1, если |сро| обладает достаточно малой
мажорантой. Таким образом, мы приходим к полному реше-
решению уравнения Больцмана вблизи равновесия и при началь-
начальных условиях, указанных в названии этого параграфа.

96 Ч. 2. Гл. П. Уравнение Больцмана в специальных случаях
Примем теперь гипотезу, что законно пренебрежение
членами второго порядка. В этом случае мы получим урав-
уравнения
-^-Н- Ь (г) Ао — f G (p, Pl) Ао (Л) rfWjPi = 0.
2
4т^+ <* (г> — ^) A — fG (р, Л) Л, (Л) rfco^ = 0.
2
Для изучения собственных колебаний мы положим
Не ограничивая общности, мы можем предположить, что
Ав = 0. Поэтому мы должны иметь
со, + k (г) о», — J G (р, рг) о), (рх) rfcoA = 0,
Si
v= 1, 2, ....
Из результатов, приведенных на стр. 83, следует,
что у всех собственных значений (х) этих уравнений веще-
вещественные части отрицательны и, таким образом, все эти
колебания являются затухающими.
Замечание. Представляется вероятным, что существует
лишь конечное число собственных колебаний.
Наконец, мы заметим, что только что примененный нами
метод может быть также использован для описания движения
в параллелепипеде. В этом случае мы симметризуем по со-
составляющим S, ij, С и разложим полученные восемь функций
в ряды Фурье по х, у, z.
§ 3
О сопротивлении, испытываемом твердым телом,-
движущимся прямолинейно и равномерно
в неограниченном газе
Предположим, что твердое тело К, ограниченное поверх-
поверхностью S, движется со скоростью а в направлении оси х
внутри газа, для которого в начальный момент времени
функция скоростей равнялась е~г*. Если рассмотреть систему

§ 3. Сопротивление, испытываемое твердым телом в газе 97
координат, связанную с этим телом, то для функции рас-
распределения, соответствующей стационарному режиму, найдем
выражение вида
■ F = е~г -\- е 2 (е 2 — е 2 -\- <р);
здесь <р — функция, стремящаяся к нулю, когда хг-\-у2-\-
-j-zz—> со, и удовлетворяющая в первом приближении урав-
уравнению
где предполагается, что а — малая величина. В силу этого
предположения, мы можем заменить
на
Отсюда следует, что правая часть равенства B6) в первом
приближении равна нулю. В качестве граничных условий
примем те условия, которые вытекают из гипотезы о зеркаль-
зеркальном отражении молекул от поверхности S. Если р' обозна-
обозначает скорость, приобретаемую после отражения молекулой,
ударявшейся о стенку со скоростью р, то на S мы будем
иметь
откуда заключаем, что
где V,' f\f, U — компоненты р'.
Для решения уравнения B6) мы сделаем преобразование
Фурье, предположив, что <р = 0 внутри S:
ф(р, а, р, у)= Г Г С e-t^+to+rtfip, х, у, z)dxdydz.

98 Ч. 2. Гл. II. Уравнение Бояьцмана в специальных случаях
Интегрируя затем по частям, находим
>) + «Eа-
= J J
a
S
Рассмотрим, в частности, случай, когда S представляет
собой бесконечный цилиндр с образующей, параллельной,
оси г, пересечение которого с плоскостью х, у есть L.
В этом случае мы полагаем , " >
ф(р,а, р) = f J е~* («+РЮ?-<а х: у) dx dy,
— ОО
B7) (^(г) + Г(Еа + 71Р))^ — JO (p. pj j>iPl)du>Pl =
2
= .f (У-h-цт) е-* {**+№)<? (р, x, y)ds,
f
где / и /га — направляющие косинусы внутренней нормали
к L. Обозначим через Ф(р, а, C) решение уравнения
(,28) [k (г) + i (Еа -Ь TiP) 1 Ф — / G (р, Л) Ф (Pl) du>Pl =
8.
Тогда
B9) ф(р)=
Уравнение B8) является регулярным интегральным уравне-
уравнением Фредгольма. Из приведенных на стр. 83 и 71 рас-
рассуждений следует, что это уравнение обладает одним и
только одним решением для а Ф 0 и ф Ф 0. Для а=р —О
однородное уравнение, соответствующее уравнению B8),
обладает пятью линейно независимыми решениями. Отсюда
можно заключить, что Ф стремится к бесконечности, когда
а3 —(— р2 —> 0. Для изучения решения уравнения B8), когда
р2 —а2_|_рг стремится к нулю, мы введем ядро
0-х (Р. Рд = О (Р, рд— S Ф, (/») ^ (Рх) k (r) A (rj,
v-l

§ 3. Сопротивление, испытываемое твердым телом в газе
где ф, (р)— решения однородного уравнения
k (г) ф (р) — J G (р, рх) <|> (Pl) d<oft = 0,
■---■' в, ■
нормированные таким образом, что
° при 1:чЬ*-
1 при l = k.
Отсюда следует, что
k (г) Ф — / Ог (р, Л) Ф (Pl) d<oA + f(o5 + И Ф =
.2,
5 ■ •
= 2*W «W (р) cv
v = l . .
где
Определим функции Wv (p) при помощи уравнений
* (О т, (р) — / °i (p. Pi) ^ (Pi) d»A+1 («e+Рч) ^ (p)
и введем функцию ф*(р), удовлетворяющую уравнению
f
а,
Тогда найдем
W k(r)du).
a v=i a
Функции Ч?"„(р) можно разлагать по положительным сте-
степеням а, р. Полагая сначала £5 = 0, мы, таким образом, мо-
можем написать
W,(p) = W.

a00 Ч. 2. Гл. П. Уравнение Больцмана в специальных случаях
где ч?\,0(р) = tv(Р)< а остальные коэффициенты определяются
последовательно из интегрального уравнения
— fG1(p, pd^
Учитывая явные выражения для ф„(рI), можно показать при
помощи нетрудных, но громоздких выкладок, что определи-
определитель
\i
JJUV
«есть величина порядка а6 при а—»■ 0, в то время как все
определители, получаемые при нахождении Cv из приведен-
приведенной выше системы уравнений, имеют порядок О (а5). Поэтому
для произвольных а, р имеем
Функция ср (р, х, у) выражается через ф(р, а, р) по
^формуле
оо
«Р (Р. х, у) = ^ ff е* («+Р») ф (p. a, p) da rfp.
—оо
Правая часть равна нулю, если точка (х, у) находится
внутри L. Заменим в формуле B7) х и у на х0 и _у0. По-
Получим
,C0) <р(р. х, у) =
= ~» fff ei (« (^-^о)+Р B/-2/о)) ф
L —оо
где Ф=:ф(р, a, p, jc0, з/0) определяется из уравнения
©— /G(p, Л)Ф(А)^">Л =
Si
'■*■) Ср. с формулой >D), стр. 71.

§ 3. Сопротивление, испытываемое твердым телом в газе 101
Соотношение C0) определяет ср(р, х, у) как результат при-
применения линейного оператора к ?(р, х0, Уо) [(х0, у0) рас-
расположена на L]. Если разбить область интегрирования по а,
р на две части К и Кг, где К определено неравенством
а2_|_ рг _ р2 ^ p2f a /^'—неравенством р2 > р2, то найдем,
что первый член справа в формуле
Яе г (a (ar-aO+З (г/-2/0) ) ф ( #) rfa гЙ =
— оо
/Г
_^ j et(a х-хо)+ (*-».))<
Ро Ро
является абсолютно непрерывным оператором, действующим
на <р(р, х0, _у0), в силу того, что Ф(р) стремится к беско-
бесконечности не быстрее, чем 1/р при р—»■ О, как это показывает
изучение, подробно проведенное выше.
Сингулярности этого оператора происходят от того, что
интеграл не сходится равномерно относительно х — х0,
у — у0, когда а2 -f- р2 —*■ оо. Таким образом, если отбросить
два первых члена в ряде Неймана для Ф, то мы получим
абсолютно непрерывный оператор. Таким образом, сингу-
сингулярности оператора, выражающего <?(р, х, у) через
ср(р, х0, у0), сосредоточены в следующих выражениях:
/ — 1 Г Г I Г ei (a (a5-a5o)+15 (У-Уо) ) V
1 BтсJ J J £ (,-)-|-г-(а£ + рт)) J ^
— оо L
X (%+ут0) ср (р, х0, уо) da. rfp ds0,
J
X ? (Pu xo> Уо) da rfp dsQ.
Вычисление этих интегралов мы произведем с помощью двух
искусственных приемов.

102 Ч. 2. Гл. П. Уравнение Больцмана в специальных случаях
1) Заменим
выражением
оо
о
2) Интегрирование по а, р мы выполним посредством
метода суммирования
оо
lim I j е~* (а +р ) [ ] dadb.
— со
При этом мы воспользуемся формулой
_
Тогда получим
/ L
E_>0 J
—со О L
fff
J J J
—со О
1 Г Л
0 Jj
X (Ц>+ Г1то) 9 (Р> хо> Уо)м dsu.
видеть, что величина интеграла по существу опре-
определяется только окрестностью точек (х0, у0, t), для которых
Осуществим следующее геометрическое построение. Из
точки Р = (х, у), расположенной вне L, проведем полупря-
полупрямую, проходящую в направлении, противоположном напра-
направлению вектора £, tj. Если эта полупрямая не пересекает L,
то уравнения х — xo = t%, у — Уо = £-ц не имеют решений
при t > 0. Следовательно, 1Х равен нулю. Другой случай
будем иметь, если существуют точки пересечения, скажем А

§ 3. Сопротивление, испытываемое твердым телом в газе 103
и В (для простоты мы предполагаем, что L — выпуклая кри-
кривая). Положим
= и и
(для окрестности точки пересечения) и осуществим это
преобразование в двойном интеграле, фигурирующем в по-
последнем выражении для 1Х. Таким образом находим
У(х-х«?+(у-у,)*
'.-2
D (и, v)
о- Уо)е
-к {г)
D (s0, t)
где сумма берется по всем точкам пересечения. С другой
стороны, имеем
дх0
D (и, v)
D(s0, t)
Следовательно,
где следует выбрать знак + или
— в зависимости от того, входит
ли полупрямая в рассматриваемой
точке пересечения внутрь области
или выходит из нее.
Рассуждая аналогичным образом, получаем для /2 сле-
следующее выражение:
Рис. 6.
/2±= f
X
. -«о.
где A = $tjx — т)?х и где смысл отрезков кривой L?J)l пояс-
пояснен на рис. 7. Если Р расположена на L, то мы имеем
h =
«Р (Л. *о. J'o)
где
изображено на рис. 8.

104 Ч. 2. Гл. II. Уравнение Больцмана в специальных случаях
Рис. 7.
Согласно сказанному, мы можем записать ср(р, х, у)
в виде
, х0,
2(<р(р, х0,
. х0, у0)),
где 1Х и /2—введенные нами обозначения, а/3(<р(р, х0, у0)) —
абсолютно непрерывный оператор. Для дальнейшего нужно
установить следующее различие между значениями, прини-
принимаемыми функцией ср (р, х0, у0). Обозначим через <р+ (р, х0, у0)
те значения ср, которые соответствуют молекулам, падаю-
падающим на стенку, а через ср-(р, х0, _у0) — значения, соответ-
соответствующие отраженным молекулам. Очевидно (по крайней
мере для выпуклых L), что
если (х, у) стремится к точке, расположенной на L. Сле-
Следовательно,
Т+(Р- х, ^) = /2(ср(р, х0, _Vo))H-/3(<p(p. хо,Чуо)),
где (х, у) обозначает теперь точку на L. Каждый из чле-
членов, входящих в правую часть, линейно раскладывается на
два, из которых один содержит <р+(р, х0, у0), а второй
ср-(р, х0, у0). Используя граничные условия, указанные на
странице 97, мы можем преобразовать выражения, содер-
содержащие ср- (р, х0, у0), в члены, содержащие линейно

§ 3. Сопротивление, испытываемое твердым телом в газе 105
ср+(р, х0, у0) -f- известные члены. В результате получаем
уравнение вида
ср+(р, х, у)— У(ср+(р, х0, yo)) = g(p, х0, у0),
где g есть известная функция. Таким образом, мы свели
задачу о сопротивлении к уравнению типа Фредгольма.
В моей заметке „Sur la theorie de l'equation integrodif-
ferentielle de Boltzmann" (Arkiv f6r Matematik etc., 23A,
N: о 22) я кратко указал на другой метод исследования этой
задачи.
8 Зак. 734.

ЗАМЕЧАНИЕ I
В качестве примера применения метода, изложенного на
стр. 97 и последующих, мы изучим задачу об определении
внутри области, ограниченной кривой С, регулярной анали-
аналитической функции, вещественная часть которой принимает
на С заданные значения.
Для /(г) = a-\-iv мы имеем дифференциальные уравнения
ди_ dv 0
дх ду '
^4- — — О
Введем функции
ср(а, Р)= С f е-1(«я>+ти(х, y)dxdy,
ix, y)dxdy,
в
где D есть конечная область, ограниченная кривой С. Умно-
Умножим дифференциальные уравнения на е-*(ек"+Ру) и проинте-
проинтегрируем по х, у. После интегрирования по частям получим
/аср — Щ = — J е-* («"+?») (a rfj/ -f- if rfx),
= С e~i («»+P») (и rfx —
Отсюда следует, что
— vdy)).

Замечание I 107
Заменим в правых частях написанных здесь уравнений х
на х0 и у на у0, умножим на
I— gi («аг+р2/)
B*J
и проинтегрируем по а и р по всей плоскости а, р. По
теореме Фурье получится (х, у лежит внутри С)
и(х, у) = — jР (и dyo-\-v dxo)-\- j"Q(udx0 — v dy0),
с с
v(x, y)= j Q{udyo-\-vdxQ)-\- JP(u dxQ — vdy0),
с
где введены обозначения
= 7(Я* /7
—оо
7
—оо
Для вычисления этих интегралов положим
a = pcos6, х — хо = rcosf,
p = psin6, у — уо = г sin<p.
Тогда получим
' = ,} ч* f do f eir*cos (8-?> cos 6 dO ==
О
со
О 0
со 2ic
COS
0 —я
Интегрируя сначала по р с применением метода суммиро-
со
вания lim f e~^f(p)dp, получаем
оо
1 COS ср 1 X Хо
8*

108 Замечание I
Для нахождения Q нам нужно только поменять ролями
(х— xQ) и (у— у0), откуда заключаем, что
^ 2гс г2
Введем теперь / и т — направляющие косинусы внутрен-
внутренней нормали в точке (дг0, у0):
dx0 — т ds0, dy0 = — / ds0.
Тогда получим:
, ч 1 г / cos ф + т sin ф , ,
а(х, У) = %к ) г -adso+
с
— т cos ф + / sin ф ,
, ч 1 С
"О (X, у) = gj J
С
t sin <p-\-m cos ф
1 /• m sin ф + / cos ф
2lU Ч
С
Пусть (о — угол между вектором (х — х0, у — у0) и внут-
внутренней нормалью в точке (х0, у0). Получаем
, ч 1 Г cos ш 1 /• sin со
с
, . 1 г sin «о 1 /• cos a
v(x, У) = — ^ J —«dso+^ J -^-^^0.
с с
Если (х, у) расположена вне С, то левые части в преды-
предыдущих формулах следует заменить нулем.
Если устремить (х, у) к какой-либо точке р контура,
то для г» получим интегральное уравнение Фредгольма
1 Г COS о).., 1 f Sin (й
которое дает решение поставленной задачи. Так как одно-
однородное уравнение допускает единственное собственное реше-
решение v = const, то мы находим, что v определяется с точно-
точностью до произвольной постоянной.

Замечание II 109
ЗАМЕЧАНИЕ II
Здесь мы будем говорить о некоторых простых систе-
системах уравнений в частных производных, в которых прояв-
проявляется глубокая аналогия с уравнением Больцмана.
Заметим прежде всего, что изучение таких систем весьма
полезно для нахождения методов, которым надлежит следо-
следовать для успешного изучения уравнения Больцмана.
Если рассмотреть воображаемый линейный газ, молекулы
которого могут обладать только двумя различными значе-
значениями скорости, взаимно меняющимися при столкновениях,
и если предположить, что плотностями этих двух видов
молекул являются положительные величины и и v, завися-
зависящие только от х и t, то нужно будет рассматривать систему
уравнений
ди , да о ,
dv_ dv 2 2
обладающую многими свойствами, аналогичными свойствам
уравнения Больцмана:
u-\-v играет ту же роль, что и Г F dw.
Положительные решения уравнения T(F) = 0 соответ-
соответствуют соотношению и = v.
Предполагая, что
Г {u~\-v)dx < со,
— со
из дифференциальных уравнений находим:
[+СО
/<« + «)
Построим теперь выражение, соответствующее //-функ-
//-функции Больцмана:
и log u-\-v log v.

110 Замечание II
Выражение, соответствующее интегралу f log F • T(F)d(o,
равно
(У — и2) log и-±-(и2 — v2) log v = (y2 — и2) log — < 0.
Получаем
д , . , , „ du , dv , . да , , dv
{ulogu\vlogv) \ + log и -w-\logv
з—\-logv • 5 (u2 — г»2) log — .
dx i^ s dx K ' s v
= ГГ —log a • з—\-logv • 5 (u г») log —
dt s dx i^ s dx K ' s v
Интегрирование по х приводит к неравенству
oo со
^ f(ulogu-\-vlogv)dx = — j*(«2—
соответствующему //-теореме.
Из дифференциальных уравнений непосредственно сле-
следует, что
д (к -(- v) d(v — и)
Поэтому
мы
dt
можем положить
u-\-v ду
2 dx'
dx
V U
2
dt ш
Таким образом, рассматриваемая система эквивалентна урав-
уравнению в частных производных
~~дх^~
Следующая система с тремя переменными также является
аналогом уравнения Больцмана:
ди . ди
dt+dlc
dv , dv
dw , dw ~

Замечание HI 111
Складывая эти уравнения, получаем
д {и-\-v -\-w) , да , dv . дте/ „
5? г-бпс ~г~ у ~+~ 5F ~
Умножим правые части на log и, log г» и log-о» соответственно.
Тогда получим
D,2 — U2_)_^,2 — j
-f- (и2 — та2 + и2 — та2) log да = (/d2 —и2) log — -|-
— «2) log -^ +(^2 — v2) log ^ < 0.
ЗАМЕЧАНИЕ III
Здесь мы приведем несколько соображений о разложе-
разложениях, аналогичных разложениям Гильберта в теории диф-
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
и выясним, обладает ли оно решением, голоморфным вблизи
начала и разлагающимся в степенной ряд
где первый коэффициент отличен от нуля. Сразу замечаем,
что в этом случае он не может быть независимым от х.
Подставляя написанный сейчас ряд в дифференциальное
уравнение, получаем
•»=0 р
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X
в обеих частях уравнения, найдем
Возьмем, в частности, уо = у0, y^^ke3*. Как обычно, по-
получим
(X — у.Jу0 +

112 Замечание IV
Поэтому можно последовательно вычислить все коэффи-
коэффициенты уч, вводя на каждом шаге произвольную постоянную.
Спрашивается, является ли этот ряд сходящимся? Ответ
получим, решая уравнение в явной форме. С этой целью
положим
что приводит к уравнению
и' — 2и = — 2t2,
общее решение которого имеет вид
а = С (к) e2t + t* + t + i •
Возвращаясь к старым переменным, получим
По предположению, левая часть есть голоморфная функция
от X. Следовательно, такой же должна быть функция Р(к) е^^.
Но в силу того, что у0 зависит от х, это возможно
только при условии, что Р(Х) есть нуль. Поэтому голо-
голоморфные решения необходимо являются решениями диф-
дифференциального уравнения
ЗАМЕЧАНИЕ IT
Здесь мы будем искать функции вида
удовлетворяющие уравнению Больцмана, где а, а, Ь, с, d —
функции от х, у, z, t. Проверке подлежит следующее
уравнение:
dt у
где ср есть функция от внешних сил.
Положим

Замечание IV ИЗ
Подставляя указанную выше функцию F в только что вы-
выписанное дифференциальное уравнение, получим
л
Левая часть есть многочлен третьей степени от £, tj,- С. Не-
Необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты этого
многочлена равнялись нулю. Рассмотрим прежде всего члены
третьей степени. Это дает
да да да _
дх = ~ду ^ dz = U-
Отсюда следует, что а зависит только от переменной t.
Приравнивая нулю члены второго порядка, получаем
да да „ да db да .дс
dt ' дх dt ' ду dt ' dz
dbLda n деЛда О дсЛдЬГ\
Члены первого порядка дают уравнения
^ + ^ + 2а|2 = о,
dt l дх ' дх
C3) Я+|+2«$ = °.
а постоянный член — уравнение

114 Замечание IV
Число уравнений превышает число неизвестных функций.
Легко находим
и аналогичные уравнения для b и с. Следовательно, функ-
функция а необходимо имеет вид
а = & + с?х + с^у + cpz + c$yz -+- <#**+<# xy
Аналогичным образом получаем
Ъ = сР + с?х + с™ у + cfz + с$уг + c®xz +
c{1)xyz.
с =
Подставим теперь эти выражения для а и b в первое из
уравнений C2). Получим
СA)^2 = 0,
откуда заключаем, что сB) = сA) = ciV = с^} = 0.
Тот же процесс приводит к уравнению с^3) = 0, и, сле-
следовательно, в силу очевидных свойств симметрии, а, Ъ, с
являются линейными функциями от х, у, z с коэффициен-
коэффициентами, зависящими только от переменной t.
Эти линейные функции могут быть записаны так (а' = -~\ :
' С
Ь = — а'у-\-Сх — Az~\-m,
с = — a'z-\-Ay — Вх-\-п.
Согласно C3), dajdt, dbjdt, dc/dt являются частными производ-
производными некоторой функции по х, у, г. Следовательно,
дЧ дЧ дЧ
dtdy dtdx' dtdz дШх' dfdz
Из уравнения C1) следует, что

Замечание IV 115
поэтому А, В, С—постоянные. Имеем
~{x + y + z) — (lx^r
где g есть функция от одного только t. Находим
|^ = ^ (д? + у + г») — (Г л + О* + я'г) + ?' — 2«'т,
дх ' <3у ^^
Если мы предположим, что <р=0, то получим
^ (JC2 _J_ у2 + 22) _ (rjc + т»у + „^) + g, = 0.
Следовательно,
aw = 0, l"=,m" = n" = Q, g'=0;
а является многочленом второй степени; I, m, n — линейные
функции от t, a g — постоянная.
Скорости
Имеем тождественно
4а
Составляющими средней скорости являются
a b с

116 Замечание IV
Для определения движения точки, в которой средняя ско-
скорость газа равна нулю, имеем уравнения
— а'х-\-Вг — Су + 1 = 0,
— а?у-\-Сх— Аг-\-т = 0,
— a'z-\-Ay — Вх + п = 0.
Оси мы можем выбрать так, чтобы А — В = 0.
. В этом случае имеем
г = £,, а'х-\-Су = 1, —Сх-\-<х'у = т.
Положим
а,' = %, \A = l{t-\-l%, m = ntjX-\- mz, n = n1x-{-n2.
Получаем
х —
j . .. - L - i ^ - ! — ^-^-r p~ i
Таким образом, проекцией кривой нулевой средней ско-
скорости на плоскость х, у является эллипс. Если п2 = 0, то
и сама кривая есть эллипс.
Имеем формулу
d = "~ (х* + у2 + 2*) — {1'х + т'у + л'2) + g.
Температура Т вычисляется по формуле
Г —__Е.
Плотность р равна
Предположим, что

Замечание IV 117
В этом случае имеем
Г— т
Выбрав подходящим образом начало отсчета времени, мы
можем считать
откуда заключаем, что
2k %& + 8 '
Очевидно, что //-функция Больцмана остается постоянной.
Полная масса равна
а полная кинетическая энергия
"
Вычислим максимум р в данной точке (х, у, z). Для
3-0
находим
Соответствующее максимуму время дается формулой

US Замечание IV
Следовательно, скорость распространения асимптотически
равна
VI-
25 ~~ У т. '
Формулы, полученные нами для некоторых движений массы
газа в пустом бесконечном пространстве, ^-особенно важны
потому, что они не зависят от закона взаимодействия мо-
молекул газа.