М.Касивара
П.Шапира
Пучки
на многообразиях
Перевод с английского и французского
Ю. Ю. Кочеткова и
В. Е. Назайкинского
под редакцией
Б. Ю. Стернина
Москва «Мир» 1997

Masaki Kashiwara Pierre Schapira
Sheaves on Manifolds
With a Short History
«Les debuts de la theorie des faisceaux*
By Christian Houzel
Corrected Second Printing 1994
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York London
Paris Tokyo Hong Kong Barcelona

ББК 22.152+22.161.6
К28
УДК 515.14+517.95
Касивара М., Шапира П.
К28 Пучки на многообразиях: Пер. с англ. и франц. — М.: Мир,
1997. — 656 с, ил.
ISBN 5-03-003-116-2
Книга является первым в мировой литературе изложением
современного состояния теории пучков — центрального инструмента многих
важнейших разделов математики и, в частности, алгебраической геометрии и
аналитической теории дифференциальных уравнений. Она содержит
изложение микролокального анализа, включая язык производных категорий,
микроноситель пучка, конструктивные пучки, превратные пучки и ряд
важных приложений (например, неравенства Морсв, формулу Лефшецв
для конструктивных пучков, теорию голономных D-модулей, микрореше-
ння эллиптических и гиперболических систем). Изложение отличается
ясностью и замкнутостью. Материал совершенно не представлен на русспрм
языке.
Преднаэнвченв математикам разных специальностей (специалистам по
геометрии, анализу, дифференциальным уравнениям, теоретической
физике), в также аспирантам и студентам университетов.
ББК 22.152+22.161.6
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту 96-01-14132
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Редакция литературы по математическим наукам
ISDN 5-03-003-116-2 (русск.) Originally published in English
ISDN 3-540-51861-4 (англ.) under title: Sheaves on Manifolds
Copyright © Springer-Verlag Berlin
Heidelberg 1990
All Rights Reserved
© перевод на русский язык,
«Мир», 1997

О книге М. Касивары и П. Шапира
«Пучки на многообразиях»
Понлтие пучка, открытое Жаном Лере в немецком лагере для
военнопленных, за прошедшие полстолетия стало центральным
инструментом аналитической и алгебраической геометрии, а конструкции
гомологической алгебры, примененные к категории пучков,
превратились в стандартный язык описания. Со времени публикации
классической книги Годмана «Теория пучков» (в свое время переведенной
на русский язык) основы теории существенно изменились благодаря
технике производных категорий, а приложения обогатились
благодаря взаимодействию с анализом, теорией уравнений в частных
производных и физикой (микролокализация).
Книга Касивары и Шапира является первым в мировой
литературе учебно-монографическим изложением современного состояния
этой теории. Написанная известными математиками, которые
давно и творчески успешно работают над применением гомологических
методов в анализе и геометрии, она содержит чрезвычайно много
материала, изложенного с практически полными доказательствами и
объединенного стройной концепцией. Она незаменима в
университетском преподавании: ее можно положить в основу нескольких годовых
спецкурсов и семинаров. Любой математик, овладевший ее
содержанием, будет готов к чтению современной журнальной литературы.
Можно думать, что эта книга в ближайшие годы останется
стандартным введением в активно развивающуюся область.
Ю. Я. Мамин

Предисловие к русскому изданию
Монография, перевод которой вы держите в руках, без
преувеличения представляет собой выдающееся явление в современной
математической литературе. Она содержит замкнутое изложение теории
пучков на многообразиях, включающее фундаментальные понятия
этой теории, основные конструкции, такие, как двойственность,
преобразование Фурье, микролокализация, волновые фронты и
контактные преобразования, а также обрисовывает два основных
приложения теории — в вещественной аналитической геометрии и в теории
линейных дифференциальных уравнений.
Фактически излагаемая в книге теория пучков на многообразиях
есть микролокальный анализ пучков. Микролокальиый анализ в
широком смысле слова — это изучение на кокасательном пространстве
Т*Х объектов, «естественно живущих» на многообразии X.
Например, изучение ъТ'Х особенностей решений дифференциальных
уравнений Ри = 0 привело к понятию волнового фронта распределения
(Сато, Хёрмандер). В качестве другого примера рассмотрим
аналитическое подмножество S аналитического многообразия X.
Характеристику Эйлера-Пуанкаре и другие важные топологические
инварианты множества S можно вычислять, стратифицируя S, рассматривая
затем конормали к стратам (что дает лагранжево множество в Г* А")
и применяя соответствующим образом адаптированные классические
методы дифференциальной геометрии. Оба приведенных выше
примера объединяются в рамках единой теории — микролокальной
теории пучков.
Изложение ведется на языке производных категорий, наиболее
адекватном в данной ситуации, поскольку многие продвинутые
конструкции теории естественно формулируются именно на этом языке,
который, начиная с самых элементарных понятий, вводится и
подробно объясняется в книге, так что изложение действительно является
замкнутым. Фактически, однако, от читателя требуются
достаточно высокая математическая культура и порой значительные усилия,
чтобы проникнуть в весьма тонкие конструкции теории.
Несомненно, специалисты по теории пучков и алгебраической
геометрии и так имеют достаточную мотивацию, чтобы прочесть эту
книгу. Основная же цель настоящего предисловия — ввести в курс дела
специалистов по дифференциальным уравнениям и показать, что из-

I. Системы дифференциальных уравнений и V-модули 7
лагаемая в книге теория предоставляет им настолько мощный
аппарат, что ее изучение, безусловно, стоит тех усилий, которые при этом
будут затрачены,
Оговоримся сразу, что следующий ниже текст по существу
относится не ко всей книге в целом — с точки зрения теории
дифференциальных уравнений основной интерес представляет гл. 11, посвященная
теории 2>-модулей и приложениям развиваемых в книге конструкций
к аналитическим дифференциальным уравнениям в частных
производных, и именно на этих результатах мы сконцентрируем наше
внимание.
Ниже мы постараемся показать, как некоторые фундаментальные
вопросы и понятия, возникающие при исследовании
дифференциальных уравнений в частных производных и систем таких уравнений,
естественным образом решаются и интерпретируются в терминах
пучков Р-модулей и О-модулей и каковы преимущества этого подхода.
Изложение этих вопросов в гл. 11 опирается на весь развитый в
предыдущем тексте аппарат; мы же постараемся дать элементарное
изложение, использующее простейшие, тривиальные примеры и не
требующее от читателя — специалиста по дифференциальным уравнениям
никаких дополнительных знаний. Разумеется, при этом приходится
отказаться от формулировки результатов в полной общности; в
частности, мы, как правило, опускаем более тонкие моменты, связанные
с высшими когомолоШями пучков решений.
Прежде чем перейти к изложению материала, мы хотим
поблагодарить проф. М. Касивару и П. Шапира за внимание к подготовке
русского издания книги.
1. Системы дифференциальных уравнений и D-модули. Пусть
задана система линейных дифференциальных уравнений
A) Pu = v,
или, в более подробной записи,
РцЩ +---+/>i*u* = »i,
B)
/ml«l+ • • • + PmkUk = »m,
где и = (ui,..., ut) — неизвестные функции, v = (ui,..., vm) — из-

8
Предисловие к русскому изданию
вестные функции, а
C) Рц = Рц(х, -id/Эх) = Y, aija(x)(-id/dx)a,
|«|=о
i = 1, ...,m, j = 1,...,*,
— дифференциальные операторы в частных производных порядков
nj. Как обычно, « = («!,..., а„) — мультииндекс и * = (х1,..., хп).
Мы не предполагаем, что число неизвестных функций * совпадает с
числом уравнений m (или, как говорят в этом случае, что система
является определенное); многие важные системы, такие, как
уравнения Максвелла, уравнения Пфаффа или система Коши-Римана,
имеют больше уравнений, чем неизвестных (переопределенные
системы); нет также особых оснований исключать из рассмотрений случай
к > т (медоопределенные системы).
Круг вопросов общей теории дифференциальных уравнений,
возникающих при изучении системы A), включает в себя, в частности,
следующее:
(а) При каких условиях решение системы A) существует?
(б) Единственно ли решение, и если нет, то как много решений у
соответствующей однородной системы?
(в) Каким образом можно ставить для системы A) краевые
условия или задачу Коши?
(г) Каковы свойства гладкости решений? Как распространяются
особенности (волновой фронт) решений?
(д) Что такое характеристики и биохарактеристики системы A)?
(е) Каковы «естественные» области существования решений?
И так далее.
Вопрос о существовании решений системы A) является весьма
сложным и включает в себя как локальные, так и глобальные
аспекты. Например, уравнение ди/dip = v на окружности локально всегда
разрешимо, а глобальное решение существует только при условии,
что fv(tp)dtp = 0. Более тонкие примеры (например, знаменитый
пример Леви) показывают, что и локальная разрешимость даже для
случая одного уравнения далеко не тривиальна. Тем не менее
существуют необходимые условия разрешимости, которые
непосредственно выводятся из системы A). Они называются дифференциальными
условиями согласования на правые части vi,...,vm. Эти условия,
как правило, отсутствуют для квадратных (определенных) систем,
но являются неотъемлемым элементом теории в переопределенном
случае. Именно, дифференцируя уравнения системы A), мы
получаем ее дифференциальные следствия, которые могут быть присоедн-

1. Системы дифференциальных уравнений и Т>-модули 9
нены к системе, в результате чего получается равносильная
система дифференциальных уравнений (заметим, что дифференциальных
следствий бесконечно много). Если удается построить линейную
комбинацию уравнений расширенной таким образом системы, не
содержащую неизвестных функций «i,..., и», то получаем некоторое
соотношение, связывающее функции t>b ..., t>m. Такое соотношение
называется дифференциальным условием согласования, и его выполнение,
очевидно, необходимо для того, чтобы система A) имела решение.
В качестве примера рассмотрим систему
D) ft? = f1' ^ = W2' « = («1.«1)-€R>.
Дифференцируя первое уравнение по х2, а второе — по г1, получаем
дифференциальные следствия
. . д2и _ dv\ d2v _ дуг
W дх2дх^ ~ дх^' дх^дх1 ~ дх~*'
а из них — дифференциальное условие согласования
F) ^-fcT-°-
В силу леммы Пуанкаре условие F) является необходимым и
достаточным условием разрешимости системы D); поэтому в данном
случае ясно, что никаких дифференциальных условий согласования, не
выводимых из F), не существует. Однако в общем случае дело
обстоит не так просто, и зозникает вопрос о том, как выписать полную
систему условий согласования (и конечна ли она). Здесь оказывается
полезным встать на «алгебраическую» точку зрения. Каждое уело-;
вне согласования можно задавать матрицей-строкой Q = (Qi,..., Qm)
дифференциальных операторов, так что само условие имеет вид
G) Qv = Qiv1+--- + Qmvm=0.
При этом соотношение G) является дифференциальным условием
согласования для системы A) тогда и только тогда, когда
(8) QP = О
(здесь QP — композиция (произведение) матричных
дифференциальных операторов Q и Р). Будем говорить, что набор
{Q(e)be; = {(Q(,e) <№))•&

10
Предисловие к русскому изданию
дифференциальных условий согласованил для системы A) является
полним, если любое дифференциальное условие согласования может
быть представлено в виде
(9) Q = I>«Q(e),
а
где Ra — скалярные дифференциальные операторы, а сумма
конечна. Пусть Q — матрица дифференциальных операторов, строками
которой являются Q(a\ a £ J.1) Тогда утверждение, что Q
является полной системой дифференциальных условий согласования для
системы A), приобретает следующий вид:
0) QP = o,
(ii) если для некоторого матричного дифференциального
оператора Qi справедливо QXP = 0, то
A0) С?! = SQ
для некоторого матричного дифференциального оператора S.
Для того чтобы проинтерпретировать условия (i) и (ii), введем
кольцо V дифференциальных операторов (с гладкими или
аналитическими коэффициентами, смотря по тому, какой случай
рассматривается) и обозначим через V* прямую сумму в экземпляров кольца
Z>, снабженную естественной структурой левого Р-модуля: элемент
а £ V действует на элемент [а\Л ...,а,)£Т>* по формуле
A1) a(ai,...,a,) = (aai,...,aa,),
где aaj — произведение (композиция) дифференциальных операторов
а и aj. Иными словами, V — свободный модуль ранга s над V (говоря
о модулях, прилагательное «левый» в дальнейшем будем опускать).
Умножение справа на матрицу дифференциального оператора
/ Рп ... Я«\
\ Pmi .. . Pmk I
задает отображение
'' Будем считать, что множество индексов J конечно, или требовать в
последующих формулах конечности всех входящих в них сумм (возникающих, скажем,
при вычислении произведения матриц).

1. Системы дифференциальных уравнений и D-модули 11
A2) rP:Vm^Vk,
(ai,...,am) м- (aiPn + \- атРт\,.. .,aiPlk + MmPmt),
которое является гомоморфизмом Р-модулей, поскольку правое и
левое умножение коммутируют1 \
агР(а1...ат) = гр{ааг,.. .,аат).
В дальнейшем вместо гр мы часто будем писать просто
2>m-£z>*.
Аналогично, умножение справа на Q задает гомоморфизм
Z>*-$Z>m, s=\J\,
так что мы имеем последовательность гомоморфизмов 2>-модулей
A3) v*%vm -£z>*,
задаваемых правыми умножениями на Q и Р.
Условие (i), очевидно, означает, что последовательность A3)
является комплексом, т. е. композиция гомоморфизмов равна нулю
(заметим на всякий случай, что rprq = rqp). Что же касается
условия (ii), то оно означает, что комплекс A3) в действительности
является точной последовательностью, т. е. ядро Кег(Р) совпадает с
образом Im(Q). Действительно, пусть QiP = 0, т. е. Qi £ Кег(Р).
Тогда, согласно условию (ii), Qi = SQ, т. е. Qj е Im(<j).
Включение Im(Q) С Кег(Р) вытекает из того, что последовательность A3)
является комплексом.
Итак, в терминах 2>-модулей задача построения полной системы
дифференциальных условий согласования формулируется
следующим образом: «достроить» заданный гомоморфизм левых модулей
A4) Vm Д Z>*
до точной последовательности A3). Для аналитического случая из
теории 2>-модулей следует, что такое построение всегда возможно и,
1' Заметим, что всякий гомоморфизм свободных-левых Р-модулей задается
умножением справа на матрицу дифференциальных операторов.

12
Предисловие к русскому цаданию
более того, число s (т. е. число условий согласования в полной
системе) оказывается конечным. Более точно, это возможно над
достаточно малой областью в пространстве переменных х (зависящей от
оператора Р). Иными словами, нужно рассматривать не кольцо
дифференциальных операторов в фиксированной области, а пучок V
колец ростков дифференциальных операторов и соответствующие
пучки модулей; результат о возможности построения последовательности
A3) вытекает из нётеровости пучка колец V в аналитическом случае.
Здесь мы, допуская некоторую вольность, не будем проводить
явного разграничения между пучками и пространствами сечений, кроме
тех случаев, когда это абсолютно необходимо для понимания
соответствующего результата; так, мы пишем a G 2>, имея в виду, что а —
сечение пучка V над некоторым открытым множеством.
Сопоставим теперь системе A) гомоморфизм левых V- моду лей A4).
Заметим, однако, что если мы переходим от системы A) к
эквивалентной системе, например, путем добавления дифференциальных
следствий, то меняется и гомоморфизм A4). Чтобы избавиться от этого
неудобства, достроим A4) до точной последовательности
A5) Vm ^ Vk Л М -> О
(таким образом, М есть не что иное, как фактормодуль
свободного модуля Z>* по подмодулю Im(rp)) и сопоставим системе A) левый
Р-модуль М. Этот модуль уже не меняется, с точностью до
изоморфизма, от перехода к эквивалентной системе, и, как мы сейчас
увидим, различные системы A), соответствующие одному и тому же
2>-модулю М, эквивалентны в смысле, который будет точно описан
низке. Прежде всего, будем считать, что для системы A) уже
выписан полный набор дифференциальных условий согласования и, таким
образом, 2>-модуль М включен в точную последовательность вида
A6) V Я Vm Д Vk Л М — О
(эта последовательность есть не что иное, как начальный отрезок
проективной резольвенты модуля М). Предположим, что наряду с A6)
задана другая точная последовательность того же вида
A7) V1 % Vmi ^ Vkl ^ М — О,
т. е. М отвечает также системе дифференциальных уравнений
A8)
PlUi =t>i.

1. Системы дифференциальных уравнений и Т>-модули 13
Покажем, что все решения системы A8) могут быть получены из
решений системы A) и, обратно, все решения системы A) могут быть
получены из решений системы A8). Прежде всего, построим
гомоморфизмы
р : 2>* —► Z)*1, j>:Vm—*Vmi и x'-V—► *>''
такие, чтобы диаграмма
V Q ■ Vm Р ■ Vk ж » М ► О
A9) х[ 4 Л I
V1 Ql > D"*1 P' > X)*' ——► Л< ► О
была коммутативной. Это нетрудно сделать. Действительно, пусть
0j =@,...,0,1,0,....0), j = l,...,*
(единица стоит на j-u месте) — стандартные базисные элементы
модуля Z>*, и пусть bj 6 тГ1(т(а/)) — произвольно выбранные
элементы (так как ti — эпиморфизм, то *f'(«"(а/)) непусто). Условия
<p(aj) = 6j, j = 1,...,*, задают теперь некоторый гомоморфизм ip,
такой, что правый квадрат в диаграмме A9) коммутативен.
Построим теперь гомоморфизм У>, обеспечивающий коммутативность левого
квадрата. Пусть ci,...,cm — стандартный базис в Vm. Так как
верхняя строка в A9) точна, то *(cjP) = 0 и *i(<p(cjP)) = 0 в силу
коммутативности правого квадрата в A9). В силу точности нижней
строки получаем поэтому, что
B0) ^(с;Р) = ^Л, J = l,...,m,
для некоторых элементов dj € 2>m*. Полагая rp(cj) = dj, мы
определяем теперь требуемый гомоморфизм ф. Аналогично строится
гомоморфизм х- Напомним теперь, что любой гомоморфизм свободных
модулей определяется умножением справа на некоторый матричный
дифференциальный оператор, т. е. <р = гд, У> = гдг и у. = Rl Для
некоторых матричных дифференциальных операторов R,N и L.
Итак, мы имеем коммутативную диаграмму
V Q > Vm Р > Z>* —*—+ М ► 0
4 4 -I II
B1) р" Ql > Vmi Pl > Vtl " > Л< ► 0
4 4 *1 I
V Q > Pm p > P* и,,.* , , м ► 0

14 Предисловие к русскому изданию
(ниэкняя половина строится аналогично верхней). Коммутативность
этой диаграммы означает, в частности, что
B2) PR=NPU P1R1 = N1P, QN^LQi, QiN^LiQ.
Выбрасывая среднюю строку, из диаграммы B1) получаем диаграмму
V* Q . Vm Р . Z>* —2_» м > о
B3) ££l| дглг,1 яд,| II
V Я . Vm Р ■ Z>* ——► М ► О
Из коммутативной диаграммы B3) вытекает, что для любого А € 2>*
мы имеем
ARRi - А € Кег ir,
т. е. в силу точности
B4) ARRi -A = BP
для некоторого 2? = В(А) € 2>т. Поскольку Z>* — свободный
модуль, можно, рассматривая B4) на образующих модуля Vk,
добиться, чтобы отображение А у-* В(А) было гомоморфизмом, модулей, т. е.
В = АА для некоторого матричного дифференциального оператора Л.
Тогда из B4) получаем
B5) ДД1 = 1 + АР.
Далее, опять в силу коммутативности диаграммы B3), мы имеем
NNiP = PRRi = Р + PAP = A + РА)Р,
или
(NNi - 1 - РА)Р = О,
откуда в силу полноты условий согласования (т. е. точности строк в
B3) в члене Т>т) следует, что
B6) NNi-l-PA = SQ
для некоторого матричного дифференциального оператора S. Итак,
собирая все вместе, мы имеем следующие соотношения для
дифференциальных операторов:
B7) PR=NPi, PxRx^NiP,
B8) NNi = l + PA + SQ, R% = 1 + АР, RiR = 1 + AiPb
B9) Qrfi = LiQ

1. Системы дифференциальных уравнений и V-модули 15
(мы выписали только те равенства, которые нам непосредственно
необходимы).
Рассмотрим систему
C0) Ри = v
и систему
C1) Л«1 = «1,
где t»i = N\v.
Предложение 1. (i) Если правая часть системы C0)
удовлетворяет дифференциальны.** условиям согласования, то им удовлетворяет
и правая часть системы C1).
(Н) Множества решений систем C0) и C1) аффинно изоморфны;
изоморфизм P-1(t») —► Pj-1(t;i) задается формулой
C2) «мм, = Д1И,
а обратный изоморфизм — формулой
C3) Uihk= Ди1 — At».
Доказательство, (i) Пусть Qv = 0. Тогда в силу B9) Qivi =
QiNiv= LiQv = 0.
(ii) Если Ри = t», то PiRiu = NtPu = N\v = t»i в силу B7). Далее,
если P«i = t»i, то
P(Rui - At») = РДи! - PAt» = NPiU! - PAv
= NNiv - PAv = t» + PAv + SQv - PAv = v
в силу B7), B8) и поскольку Qv = 0.
Далее,
R(Riu) - Kv = и + APu - Л« = u
для любого решения и уравнения C0); кроме того,
R\(Ru! — At») = RiRui — RiAv = «i + AiPiUi — RiAv
= ui + Ai«i — fiiAt» = «i + (AiJVi — RiA)v
= ui + A1N1Pu-R1APu,

16
Предисловие к русскому изданию
где и = Rui — At). Преобразуя это равенство далее, получим, снова
пользуясь B7) и B8),
Ri(Rui-Av) = ui + AiPiRiu- R\(RR\ - l)u
= ui + AiPifiiu- {R1R)Riu+ fiiu
= ui + AiPifiiu-(l+AiPi)ftiu +/?iu=u!.
Итак, отображения C2) и C3) взаимно обратны, что и завершает
доказательство.
В силу доказанной эквивалентности можно принять точку зрения,
что основным объектом теории является не система A), а
соответствующий ей модуль М, и изучать именно его. Однако для того,
чтобы провести в жизнь эту программу, необходимо выяснить, как
понятия, естественным образом связанные с системой A),
выражаются в терминах модуля М-
В частности, прежде всего нужно уяснить, как выразить в
терминах модуля М понятие решения системы A), не апеллируя при этом
к самой системе. Начнем с решений однородной системы
C4) Ри = 0.
Бе решения можно искать в различных классах функций (гладких,
аналитических, обобщенных, ветвящихся и т. п.). Общим свойством
любого такого класса является то, что на входящие в него функции
можно действовать дифференциальными операторами, т. е. он
является Р-модулем. Обозначим его через С. *Ц
Предложение 2. Пространство решений системы р0)
естественно изоморфно пространству1^ Яот-р(М,С) гомоморфизмов
V-модуля М в V-модуль С.
Доказательство. Рассмотрим снова точную последовательность
A5), и пусть <р € Котщ>(М, С) — некоторый гомоморфизм из М в С:
Vm Z>* - М 0
C5) ^v? A
С
Пусть !р — такой гомоморфизм, что диаграмма C5) коммутативна,
1> Поскольку кольцо V некоммутативно, на множестве Нотх>(Л4,£) нет
естественной структуры Р-модуля.

/. Системы дифференциальных уравнений и V-модули 17
т. е. <р = <р -т. Каждой образующей
«j=@ 1/,...,0), j=l,...,Jb,
модуля Т>к гомоморфизм <р сопоставляет некоторый элемент uj € С.
Пусть и = '(tii, • • ->u*) (здесь значок t указывает транспонирование,
т. е. и — вектор-столбец). Покажем, что и — решение уравнения
C4). Поскольку верхняя строка в C5) точна, а диаграмма
коммутативна, мы имеем <р(АР)-= 0 для любого А = (А\,. ..,Am) € Vm и,
в частности, <р(Рц,.. ..Pit) = 0, i = 1, ...,га (здесь Рц — элементы
матрицы Р). Но
к к к
i=i j=\ j=i
поскольку ip — гомоморфизм. Таким образом,
*
т. е. Ри = 0, что и требовалось.
Обратно, пусть и — решение уравнения C4). Определим
гомоморфизм <р : Vk —► С формулой <p(aj) = uj, j = 1,..., Jb. Тогда <р ■ rp = О
и в силу точности верхней строки в C5) £»|кег* = 0, откуда
следует, что существует гомоморфизм <р, дополняющий диаграмму C5) до
коммутативной. Взаимная однозначность установленного нами
соответствия <р <-+ и очевидна. W
Рассмотрим теперь точную последовательность A6) и применим к
ней функтор Ношр(•,£). В результате получится комплекс
C6) 0 -у Romv(M,C) -у Homv(Vk,C) -► Eomv(Vm,C)
->Homj>(Z>',£).
Разберем более подробно, как он устроен. Заметим, что
Нотг(Л<,£) = КегР
по предложению 2, а Ногщ>B>*,£) = Ск (каждый гомоморфизм
Vk —* С задается своими значениями u/, J = 1,...,к, на
стандартных образующих модуля Т>к). Далее, отображения
Homr(Z>*,£)->Homr(Z>m,£) и nomv(Vm,C) — Honn>(Z>*,£)

18
Предисловие к русскому изданию
задаются обычным действием (умножением слева) на операторы Р и
Q соответственно. Действительно, например, отображение
£* « Homr(Z>*, С) -> Homr(Dm, С) м Ст
устроено следующим образом: если u = *(ui,..., и») € £*, то
соответствующий гомоморфизм Vk —* С имеет вид
*
(ai,...,at)^^a,u,,
i=l
а правое умножение на Р сопоставляет ему «сквозной» гомоморфизм
£ m
6 = Fl, • • •, 6m) ~ ЬР ~ £>Р),«, = £>(Р«),-,
i=l j=\
который, как мы видим, задается вектором Ри £ Ст.
Итак, комплекс C6) имеет вид
C7) О^КегР — £* $Ст%С*.
Когомологии Я1 = KerQ/lmP комплекса C7) в члене Ст имеют
смысл дополнительных к дифференциальным условиям согласования
препятствий к разрешимости в классе С неоднородного уравнения
Ри = v; иными словами, если Qv = 0 (выполнены
дифференциальные условия согласования), то для разрешимости уравнения Ри = v
необходимо и достаточно, чтобы класс коромологий [v] € Я1 равнялся
нулю. С другой стороны, поскольку комплекс C7) получен
применением функтора Ногщ>(-,£) к последовательности A6) — начальному
отрезку свободной резольвенты модуля М, — группа когомологии
Я1 задается производным функтором функтора Нот:
H1=Ext1v(M,C).
Итак, мы видим, что и пространство решений однородного уравнения,
и препятствия к разрешимости неоднородного уравнения
выражаются в терминах модуля М с помощью функтора Нотр и его
(первого1 ^производного функтора Extj>.
1> Высшие производные функторы ЕхЦ, не имеют такой наглядной
интерпретации в терминах исходной системы A). Тем не менее общие соображения
подсказывают, что полезно рассмотреть всю совокупность производных функторов, что
и делается в теории Р-модулей.

2. Продолжение решений
19
2. Продолжение решений. Обратимся теперь к другому вопросу, а
именно вопросу о «естественных областях» существования решения.
Впрочем, мы не будем сколько-нибудь серьезно углубляться в этот
аспект, а рассмотрим его на (достаточном для наших целей)
«простом» примере уравнения
а
C8) 5^ = 0, " = "(*•»)•
на плоскости двух переменных (х,у). Каковы естественные области
существования решения в данном случае?
Пусть G — некоторая область с гладкой границей dG на
плоскости (х,у), и пусть и — гладкое решение уравнения C8) в области G.
Пусть, далее, (хо, !Л>) € dG, и пусть v = (р, q) — вектор конормали к
границе в точке (r0,j/o). Бели р ф 0, т. е. параллельные оси х
прямые {у — const} пересекают границу dG в точке (х0, уо) (а значит, и в
близких точках) трансверсально, то, продолжая решение постоянной
вдоль каждой из этих прямых, получим, что решение
продолжается как гладкое решение в полную окрестность точки (х0,Уо)- Итак,
если на границе области G есть хоть одна точка, вектор
конормали v = (р, q) в которой имеет р-компоненту, отличную от нуля, то
такая область не есть «естественная область существования»
решения — каждое решение может быть с сохранением гладкости
продолжено как решение в более широкую область. Отсюда видно, что
естественные области существования решений суть полосы,
ограниченные прямыми {у = const}; действительно, в каждой такой полосе
можно построить решение, не продолжаемое ни в какую более
широкую область. Постараемся сформулировать этот результат в
несколько ином виде.
Пусть Т — пучок ростков решений уравнения C8) на плоскости.
На языке теории пучков продолжаемость всех решений через границу
области G в точке (х0, уо) € dG означает тривиальность гомологии
пучка Т с носителями в дополнении к области G. В нашем примере
непродолжаемость имеет место тогда и только тогда, когда вектор
v — (p,q) конормали к границе удовлетворяет условию р = 0, т. е.
характеристичен относительно оператора д/дх.
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть X — комплексно-
аналитическое многообразие. Требуется продолжить решение
дифференциального уравнения Ри = /, где Р — голоморфный
дифференциальный оператор на X, из некоторой области По С X в более
широкую область Пх С X. Будем продолжать решение «постепенно»,
деформируя область По к Qi через семейство П(, < € [0,1].
Оказывается, что если конормаль к границе области П< не проходит через
«запрещенные направления» ни при каком t € [0,1], то решение можно

20
Предисловие к русскому изданию
продолжить из По " fli- Более точно, пусть <г(Р) — главный символ
оператора Р, а
char(P) = {(*,£) € ТХ : «г(Р)(«,0 = 0}
— множество характеристических векторов оператора Р. Тогда
запрещенные направления — это в точности направления
характеристических векторов.
Естественной формализацией «запрещенных направлений» на
языке пучков является понятие микроносителя. Микроноситель
пучка Т — это замкнутое подмножество
SS(^) С Т*Х,
определяемое следующим образом: пусть Ф € С1(Х) — вещественная
функция; тогда (хо,<^Ф(х0)) £ SS(/"), если когомологви пучка Т с
носителями в {х : Ф(х) > Ф(хо)} тривиальны в точке хо-
Фундаментальным в теории Р-модулей является следующий
результат, принадлежащий авторам этой книги.
Теорема 1. Пусть М — когерентный Т>х -модуль на комплексно-
аналитическом многообразии X, и пусть Т — комплекс решений
модулям. Тогда
SS(.F) = char(A<),
где char(A<) — характеристическое многообразие модуля М
(подробнее см. ниже).
Эта теорема является ключом к переводу многих задач теории
аналитических линейных дифференциальных уравнений в частных
производных иа язык теории пучков и эффективному решению их
в новых терминах. Она тесно связяна с задачей Коши и теоремой
Коши-Ковалевской, которые мы рассмотрим в следующем пункте.
3. Задача Коши. Обратимся теперь к вопросу о постановке
задачи Коши для системы A). Напомним сначала основной результат
классической теории дифференциальных уравнений в частных
производных — теорему Коши-Ковалевской.
Теорема 2. Пусть X С С" — открытое подмножество, а
C9) Р = £ aa{x)DZ

S. Задача Коши
21
— голоморфный дифференциальный оператор порядка го на X,
такой, что а(т,о,...,о) Ф 0. Далее, пусть У = {х € X \ х\ = 0}, и пусть
y(f) обозначает джет (га — \)-го порядка функции f на Y:
«m-U EL g(m~1)/ I \
УШ ~ \m' a*1,,' • • •' (dxi)(.m-1) \yj'
Рассмотрим задачу Коши
D0) Pf = g, y(f) = h,
где g и h — голоморфные функции. Пусть хо € У. Тогда
существует окрестность V С X точки «о, такая, что эта задача имеет
единственное голоморфное решение в V.
Для случая одного уравнения или определенной (квадратной)
системы уравнений постановка задачи Коши достаточно очевидна.
Посмотрим, как обстоит дело в случае переопределенных систем.
Начнем с примера.
Рассмотрим частичную систему де Рама
D1) d'u = ы,
где х = (х\..., хп) € С", х' = (х1,... ,**), х" = (**+1,..., хп) и
координаты х" являются параметрами, т. е. а4 есть взятие
дифференциала по переменным х', а форма ш содержит только дифференциалы
переменных х':
<?и(х', х") = pj(x', x") dx', W = u/ dx' = £>(*) d*i-
Условие разрешимости имеет вид
D2) d'u = 0.
На самом деле указанный пример является весьма характерным,
поскольку микролокально такая система уравнений есть
каноническая форма системы линейных уравнений с простыми
невырожденными характеристиками.
Прежде всего, рассмотрим вопрос о том, как поставить для этой
системы задачу Коши, т. е. задать данные Коши вида
«Is = 0,
где 5 — некоторое аналитическое подмногообразие в С.

22
Предисловие к русскому гаданию
Случай 1 (fc = п). Достаточно задать значение и(х) в точке
(например, при х = 0). Таким образом, уже здесь мы видим, что
коразмерность многообразия S не равна единице. Решение может быть
восстановлено как интеграл по контуру.
Случай 2 (к < п). Считая х" параметрами, мы видим, что можно
задавать начальные данные на поверхности S = {х' = 0}. Решение
вычисляется аналогично первому случаю, при этом codimc S = к.
Такая поверхность, очевидно, не единственно возможная для
задания данных Коши. Исследуем условия на поверхность S, на которой
можно ставить данные Коши
u\s = ко
(codimc S = ib). Уравнение D1) задает производные функции и по
направлениям, лежащим в линейной оболочке (d/dxi,..., d/dxt).
Обозначим эту линейную оболочку через L. Очевидно, если
Го5фЬ = ГоС",
где ToS — касательное пространство к 5 в точке * = 0, то задача
имеет единственное решение.
Обязательно ли codimc S = к"! Рассмотрим пример
D3) du=u в G3,
где * = (яг1,*2, г3), ad — полный дифференциал. Можно задать
условия Коши на поверхности меньшей коразмерности:
D4) «U.=o = «o(*2,*3).
Очевидно, что функция и0 не произвольна: уравнения
ди ди
суть следствия уравнения D3) и траектории полей д/дх2 и д/дх3
лежат в поверхности S = {х1 = 0}. Получаем систему уравнений,
которой должна удовлетворять функция щ:
ди0 . duo .
Если эти условия выполнены, то решение задачи, очевидно,
существует (разумеется, при dw = 0).

S. Задача Коши
33
Итак, мы можем ставить условия на подмногообразии
коразмерности меньше к, однако при этом возникают условия согласования не
только на правые части, но и на начальные данные.
Мы рассмотрели случай codimS < к. Условие разрешимости имеет
вид
Г05 + Ь = ГоС",
но сумма в этом случае не прямая. Рассмотрим теперь случай
codimS > к. В этом случае, очевидно, решение не единственно. Мы
можем включить начальную поверхность в поверхность
коразмерности к, и решение будет зависеть от способа продолжения начальных
данных.
Условие
D5) T0S + L = T0Cn
есть, очевидно, условие нехарактеристичности задачи Коши.
Обсудим его в более инвариантных терминах. Вернемся временно к
случаю одного уравнения произвольного порядка:
D6) Pu = p(*,|-)u = /.
Обозначим через Рт(х,() главный символ оператора Р. Ковектор
£ ф 0 в точке х называется характеристическом для оператора Р,
если
D7) Рт(х,О = 0.
Пусть 5 — некоторое аналитическое подмногообразие в С, х0 € S.
Что означает, что поверхность 5 характеристична в точке х0
относительно Р1 Для ответа на этот вопрос рассмотрим конормальное
расслоение к 5
D8) N*S = {(х,{) € 2£С* \x€S,TxSc Кег{}
(т. е. £\t,s = 0). Введем обозначение
char Р = {Рт(х,£) = 0} С TSC = ГС \ {0}.
Рассмотрим пересечение
D9)
charPflWS..

24
Предисловие к русскому изданию
Это некоторое подмножество в N*S, проектирующееся в S. Те
точки из S, над которыми имеются точки этого пересечения,
называются характеристическими, остальные — нехарактеристическими.
Итак, х0 € S характеристична тогда и только тогда, когда
существует точка £ G 7£0С", такая, что («о.О € charP П N*S. Заметим, что
для определенной системы любая точка многообразия S
коразмерности большей единицы является характеристической. Теперь
теорема Коши-Ковалевской может быть переформулирована следующим
образом.
Теорема 3. Если поверхность S нехарактеристична в точке xq, то
задача Коши (с правильным числом начальных условий,
удовлетворяющих условиям согласования) имеет, и притом единственное,
решение в окрестности точки xq.
Рассмотрим случай определенной системы уравнений. В этом
случае Рт(х,£) — матрица размера sxs. Характеристические ковекторы
в этом случае можно определить с помощью так называемого скаля-
ризатора, т. е. такой (однородной по () матричной функции Q(x,(),
что выполнено неравенство
QP = X(x,i)E
в окрестности точки (хо,@)- Здесь А(ж,£) — аналитическая
однородная по ( функция, определенная в (конической) окрестности точки
(х0,@) и называемая гамильтонианом оператора Р. Очевидно, что
для заданного оператора существует много различных
гамильтонианов; множество всех гамильтонианов образует идеал в кольце
однородных по £ аналитических функций в окрестности точки (х0,(о)-
Обозначим этот идеал через Jp. Ковектор £ в точке * называется
характеристическим, если
А(*,О = 0
для любого гамильтониана А € Jp. Теорема Коши-Ковалевской
формулируется для этого случая точно так же, как и выше.
Попытаемся перенести введенные понятия на случай
переопределенных систем. А именно, пусть
Ри= v
— переопределенная система дифференциальных уравнений, т. е
и = («i,...,u»), v = («!,...,«,), а Р — матрица размера' / х в.
I < в, состоящая из дифференциальных операторов порядка т. Пусть

3. Задача Коши
25
Рт(х,£) — старший символ этого матричного оператора. Подберем
матрицу Q(x, £) размера s x I, такую, что
д(«,ОД»(«.0 = А(«,Оя,,
где Е\ — единичная матрица размера / х /.
При этом, однако, возникают некоторые затруднения. Прежде
всего, разные уравнения системы могут иметь разные порядки (такие
системы можно, конечно, рассматривать как системы Дуглиса-Нирен-
берга). Есть и более серьезные проблемы. Рассмотрим, например,
систему
E0)
' ди .
я— = Л>
ОХ\
ди ди _ ,
, дх% дх3
Ее главный символ есть
( * )■
Любая пара (а, 6) является скаляризатором:
E1) (а, 6) (^ Д^) = «fc + 6F + .Л).
Каждая функция такого вида, очевидно, будет гамильтонианом. Но
на самом деле множество гамильтонианов несколько шире.
Применяя к первому уравнению в E0) оператор д/дх% + «10/0*3, а ко
второму — оператор 0/0*1 и вычитая первый результат из второго,
получим уравнение
E2) <bL = Ek-!!L-XlEk,
дхз дх\ дх2 дхз'
которое является следствием системы E0). Повторяя процедуру
нахождения гамильтонианов для расширенной с помощью уравнения
E2) системы, получаем гамильтонианы вида
«& + 6(fc + nfc) + eft-
Векторы
d/dxi и д/дх2 + «1@/0*3)

26
Предисловие к русскому изданию
порождают двумерное касательное пространство в точке 0; если же
мы добавим вектор д/дх3, то пространство становится трехмерным.
Значит, характеристическое множество пусто и можно ставить
начальные условия для нашей задачи в точке.
Итак, к переопределенной системе следует добавить все ее
дифференциальные следствия (которых, вообще говоря, бесконечно
много). Гамильтонианом полученной системы тогда следовало бы
называть гамильтониан любой ее конечной подсистемы. Ясно, что
этот «наивный» язык становится неудобным и определять
гамильтонианы и характеристические векторы переопределенных систем
нужно, конечно же, в терминах колец дифференциальных операторов Я
модулей над ними.
К сожалению, соответствующее исследование выходит за рамки
данного предисловия; мы ограничимся здесь следующими
утверждениями (справедливыми в аналитической ситуации):
1. Для любого D-модуля М, соответствующего некоторой
системе A) дифференциальных уравнений на многообразии X, определено
множество char(A<) характеристических векторов, которое является
аналитическим подмножеством в Т*Х. Оно называется
характеристическим многообразием модуля М.
2. Множество char(Af) инволютивно (это означает, что скобка
Пуассона любых функций / и g на Т*Х, равных нулю на char(Af),
также равна нулю на char(Af)).
Перейдем от примеров к общей постановке. Пусть на п-мерном
многообразии X задана система дифференциальных уравнений
E3) Ри = v,
и мы хотим поставить для этой системы задачу Коши на некоторой
поверхности (многообразии) У С X размерности ifc. Итак, заданы мнск
гообразие X и подмногообразие У. Пусть далее Vx, Vy — пучки диф^
ференциальных операторов и Ох, Оу — пучки ростков голоморфный
функций на X и У соответственно. Наше рассмотрение будет чисто'
локальным, и мы введем на X такую локальную систему координа*
(х\,..., х„), что подмногообразие У задается уравнениями
У = {**+1=--- = *» = 0}.
Введем следующие обозначения:
* = (*',*"), х' = (xi,...,xk), x" = (xk+i,...,xn);
D = (D',D"), D'= (—,...,— V D" = (-2—,...,— У

S. Задана Коши
27
Начальные условия для системы E3) определяются заданием джета
некоторого порядка / вектор-функции и на У (ниже мы увидим,
почему разумно выбрать / = ord P — 1 для случая одного уравнения,
удовлетворяющего условию Ковалевской). Будем обозначать этот джет
через
/(«) = {«ег}|«,|</,
где
иа = {(D")au) \у, а = (at+1,..., а„) — мультниндекс,
и аналогичное обозначение введем для v.
Из системы E3) вытекают некоторые следствия относительно дже-
тов вектор-функций и и v. А именно, применяя к системе E3)
оператор (D")a, получаем
E4) (D")aPu = (D")av.
Композицию (D")aP можно записать в виде дифференциального
оператора
E5) Pa(z,D) = (D")aP(x,D).
Ограничим теперь равенство E4) на У, т. е. положим х" = 0.
Очевидно, что
m+|cr|
E6) Ра(х', О, V, D") = £ Pafi(x', D')(D")I>,
|Д|=0
где Рар(х', D') — дифференциальные операторы на У, a m — порядок
оператора Р. Таким образом, получаем систему уравнений
т+|о|
E7) £ Pap(x',D')up = va
относительно компонент up джета неизвестной функции и на У. В
случае одного уравнения, удовлетворяющего условию Ковалевской
(т. е. k = п — 1 я уравнение разрешено относительно производной
дти/дх™), система E7) приобретает вид

28
Предисловие к русскому изданию
m-l
m
E8) u"»+i + X) РУ(*'' ^«j = "i >
m+l
Отсюда видно, что «о, • • .,«m_i могут быть заданы произвольно, а
«mi um+i, • ■ ■ после этого однозначно определяются из системы E8).
В общем случае заранее не очевидно, что в задаче Коши можно
ограничиться заданием джета конечного порядка (и какого?);
поэтому мы будем рассматривать E7) как бесконечную систему уравнений
m+|cr|
E9) £ Рар(*',1У)щ = ьа, \а\ = 0,1,2,...,
|/5|=0
на джет j°° (и) бесконечного порядка функции и. Система E9)
называется индуцированной системой на многообразии У; как мы
увидим ниже, в нехарактеристической ситуации индуцирования система
эквивалентна конечной системе уравнений (таким образом, можно
ограничиться заданием на У джета конечного порядка неизвестной
функции и).
Мы выписали систему E9) весьма неинвариантным способом,
используя специально выбранную систему локальных координат.
Следуя нашей общей концепции, попытаемся выразить ZV-модуль Му,
соответствующий системе E9), непосредственно в терминах 7>х
-модуля М, соответствующего системе E7), и тем самым
продемонстрировать инвариантность понятия индуцированной системы.
Обозначим через VY-*x пучок «граничных операторов», т. е.
операторов, переводящих функции на X в функции на У и имеющих вид
F0) а = Г о А,
где А — некоторый дифференциальный оператор на X (т. е. А € Vx,
а I* — оператор, сопоставляющий каждой функции на X ее
ограничение на У. Очевидно, что Vy-*x является провыв Рх-модулем1),
F1) аВ = I* о АВ для любого В € Т>х,
') Более точно, правым модулем над ограничением Т>х н* У> так KaK Ру—X —
пучок на Y.

S. Задана Коши
29
и левым Vy -модулем (последнее легко проверяется в локальных
координатах, так как
B(x',D')oi* = ?oB(x',D')
для любого дифференциального оператора В(х',1У), не зависящего
от х" и D"). Элементы пучка Vy-^x в локальных координатах
записываются как дифференциальные операторы ф(аг', ХУ,!)"), не
зависящие от х"; при этом по определению
[Q(x\ D', D")f](x') = [Q(x\ ГУ, D")f]l„=Q
для любой функции f(x', x"), а правое действие Vx и левое действие
Vy на ZV-tx задаются правилами
Q(x', ГУ,ГУ')В(х, D) : вычислить композицию
дифференциальных операторов
F2) и положить х" = 0;
С(х', iy)Q(x', ГУ, ГУ') : вычислить композицию
дифференциальных операторов.
Заметим, что Komt>y(Vy-tx,Oy) (множество гомоморфизмов левых
Ру-модулей) естественно отождествляется с пространством
формальных джетов1) бесконечного порядка на У. Действительно, пусть
ip = {Vo}jS|=o — некоторый джет на У. Тогда соответствующий
гомоморфизм
<Р ■■ Vy-tx -* Оу
задается формулой
ordQ g //\cr
F3) <р(<Э(х',ГУ,ГУ')) = {<Э(*',ГУ,ГУ') J2 *>«~J-}L_o-
|а|=0 *
Обратно, если ip : Vy^x —* Оу — произвольный гомоморфизм левых
Ру-модулей, то мы полагаем <р = {<ра}> где
F4) <ра = Ш&У).
*' Никакие условия на рост производимх не налагаются, т. е. джет мажет не
бмть джетом никакой аналитической функции.

30 Предисловие к русскому изданию
Поскольку система E9) как раз есть система на джеты (только не
скалярных функций, а векторных), попробуем получить ее из
системы E7) с помощью Dy-fX •
А именно, рассмотрим ассоциированную с системой E7) точную
последовательность левых Vx-модулей
F5) ►Px^Pjt -?*T>x^M^Q
и умножим ее тензорно на Т>у-*х (что можно сделать, поскольку
Vy-*x — правый 2>х-модуль). Получаем последовательность левых
Vy -модулей
F6) ... -»Vy^x ® Vrx ^ Vy^x ® 2>£ ^Р
Vy-tx ®VX-* Vy^xM -* 0.
Поскольку
Vy-*X <8> Vx = Vy-* X,
последовательность F6) имеет вид
F7) . • • - ТУу^х ^ Т>у^х ^ Т>у^х - Vy^x ® X - 0,
где Q л Р действуют умножением справа. В координатах (х',х") мы
можем записать изоморфизм Vу -модулей
F8) {<?«(*', /У)} - 2 Qa(x', D>)(D"r.
При этом изоморфизме правое действие оператора Р на V^_^x будетэ
выглядеть следующим образом:
£ <?«(*', 1У){1ГУ,-Р
а
or
F9) = £ <?«(*'> **) £ ^(*'. 0')(я'У
=£ (£с«(^^„д(*/,1>/))(д,У-

3. Задана /Гоши
31
Отсюда видно, что оно задается в точности умножением справа на
матрицу дифференциальных операторов Рар индуцированной системы
E9).
Поскольку функтор ® точен справа, последовательностьF7) точна
в члене Т>у_^х, и, таким образом, индуцированная система имеет вид
G0) My =Py-fX ®M
(тензорное произведение над Т>\)-
Вообще говоря, последовательность F7) не обязана быть точной в
остальных членах (т. е. условия согласования для индуцированной
системы могут не исчерпываться условиями согласования,
индуцированными условиями согласования для исходной системы). Однако в
нехарактеристическом случае это так.
Введем теперь важное определение.
Говорят, что модуль М нехарактеристичен относительно У, если
chat(M) не пересекается с ненормальным расслоением к У. В этих
терминах имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Если М нехарактеристичен относительно Y, то
последовательность F7) точна и модуль Му порождается конечной
системой уравнений.
Теперь мы можем сформулировать теорему Коши-Ковалевской в
форме Касивары, т. е. на языке 2>-модулей:
Теорема 5. Пусть модуль М нехарактеристичен относительно Y.
Тогда имеют место изоморфизмы
Ъотт>х(М,Ох) a HomVY(MY,Оу),
Ext>Dx(M,Ox)°< Ext>Dy(MY,Oy), j = 1,2,....
Иными словами, задача Коши имеет единственное решение для
любых начальных данных и правых частей, удовлетворяющих условиям
согласования.
Подобным образом можно рассматривать многие задачи теории
дифференциальных уравнений в частных производных с
аналитическими коэффициентами (гиперболические системы, распространение
особенностей, граничные задачи, дифракция на нерегулярных
препятствиях...). Идея заключается в том, чтобы не рассматривать по
отдельности дифференциальный оператор Р (или соответствующую
систему М) и пучок, в котором он действует, а рассмотреть комплекс
0^ Eomvx(M,Ox) -> EomvK(Vx,Ox) -^ EomvK(Vx,Ox) ■&••••.

32
Предисловие к русскому изданию
Приведем «таблицу соответствия» некоторых понятий
традиционной теории дифференциальных уравнений и теории 2>-модулей.
Традиционный подход
Подход, связанный с
f-модулей
теорией
Система дифференциальных
уравнений PU = v
Дифференциальные условия
согласования на правые части Qv = О
Пространство Ker Р решений
однородного уравнения
Коядро оператора Р в пространстве
правых частей, удовлетворяющих
условию согласования, CokerP =
{v\Qv = 0}/{v\v = Pu}
Характеристики charP
Гамильтониан Н оператора Р
Бихарактеристики исистемм
Гамильтона
Начальнме данные в задаче Коши и
условия согласования на них
Волновой фронт решения
Т>-модуль М = Vk/(VmP)
Второй член свободной резольвенты
V Я Vm -£ Т>* -* М ->■ О
Ногар(Л4, £), где С — класс
функций, в котором рассматривается
уравнение
Характеристическое многообразие
charA4 модуля М
Характеристический идеал Icar(A4) С
0(Т*Х)
Бихарактеристические листы и инво-
лютивнме распределения
Индуцированная система Му
Микроноситель SS(^") пучка
решений Т
В этом списке мы сознательно не коснулись ряда важных
понятий (микролокализации, преобразования Фурье, интегральных
операторов Фурье, квантования канонических преобразований), которые
также имеют свои аналоги в теории 2>-модулей, но которые выходят
за рамки нашего предисловия.
Владимир Назайкинский, Борис Стернин
© Назайкинский В. В., Стернин Б. Ю., 1997

Предисловие
В течение долгого времени с момента ее разработки Лере теория
пучков в основном применялась в теории функций многих
комплексных переменных и в алгебраической геометрии, пока, наконец, она не
стала основным инструментом для почти всех математиков, а кого-
мологии не стали естественным языком для многих людей.
Однако хотя существует обширная литература по когомологиям
пучков (например, знаменитая книга Годемана) и даже по
производным функторам, в действительности очень мало книг развивают
теорию пучков в рамках замечательного языка производных категорий,
несмотря на то что его необходимость становится все более и более
очевидной. Большинство конструкций теории работают в полную
силу именно в этом контексте или даже бессмысленны вне него. Это
особенно очевидно в отношении появившейся в шестидесятых годах
двойственности Пуанкаре-Вердье или введенной в 1969 г.
микролокализации Сато, которая только сейчас становится понятной в полной
мере.
Начиная с семидесятых годов появляются другие
фундаментальные идеи, и теория пучков (на многообразиях) естественным
образом включает «микролокальную» точку зрения. Наша цель в этой
книге заключается в том, чтобы дать замкнутое изложение,
начинающееся с первоначальных понятий (производные категории и
пучки) и подробно описывающее основные элементы теории, такие, как
двойственность, преобразование Фурье, специализация и
микролокализация, микроноситель и контактные преобразования, а также
представить два основных приложения теории. Первое из них
относится к вещественной аналитической геометрии и включает
понятия конструктивных пучков, субаналитических циклов,
характеристик Эйлера-Пуанкаре, формулу Лефшеца, превратные пучки и т. д.
Второе приложение — это теория линейных уравнений в частных
производных, включающая 2>-модули, микрофункции, эллиптические и
микрогиперболические системы и комплексные квантованные
контактные преобразования.
В этой книге мы надеемся проиллюстрировать глубокие связи,
тесно соединяющие на первый взгляд такие далекие друг от друга
области математики, как, например, алгебраическая топология и
линейные уравнения в частных производных. В то же время мы хотим
подчеркнуть по существу геометрическую природу встречающихся
- М. Касивара, П. Шапира

34
Предисловие
проблем (что наиболее очевидно в теореме об инволютивности для
пучков) и показать эффективность для их решения даже
аналитиками алгебраических средств, введенных Гротендиком.
Разумеется, мы лишь коснулись многих других важных
приложений, как, например, теории микродифференциальных систем
(впрочем, на эту тему сейчас существуют исчерпывающие монографии),
и совсем не затрагивали других, таких, как теория представлений и
эквивариантная теория пучков.
Мы хотим выразить нашу благодарность К. Узелю, который
согласился написать краткий исторический очерк теории пучков, Л. Илю-
зи, который помог нам при подготовке разделов «Замечания», и всем
тем, кто «одолел» различные части книги и сделал конструктивные
замечания, в особенности Б. Андроникову, А. Арабиа, Ж.-М. Делору,
Е. Лайштнаму и Ж.-П. Шнайдерсу, а также сотруднице
Университета Пари-Норд Катрин Симон и сотрудникам секретариата Института
математических исследований в Киото, которые терпеливо печатали
рукопись.
Май 1990 г. М. Касивара и П. Шапира
К русскому изданию
В настоящее время общепризнано, что теория пучков является
краеугольным камнем математики. Русская школа (вслед за Гель-
фандом, Маниным, Бейлинсоном и многими другими) внесла большой
вклад в ее развитие. Вот почему мы особенно удовлетворены тем, что
наша книга «Пучки на многообразиях» переведена на русский язык.
Мы хотим выразить благодарность профессору Стернину, который
был научным редактором перевода, д-рам Кочеткову и Назайкинско-
му, которым выпала трудная работа по переводу английского
оригинала, и издательству «Мир», которое включило нашу книгу в свою
знаменитую коллекцию монографий по математике.
1996 г.
М. Касивара и П. Шапира

Введение
Назначение этой книги — дать замкнутое в себе изложение теории
пучков.
Пучки придумал Жан Лере, находясь в немецком лагере для
военнопленных во время второй мировой войны.
Теория пучков преследует достаточно общую цель — получать
глобальную информацию из локальной или, другими словами,
определять препятствия, характеризующие тот факт, что некоторое
локальное свойство не является глобальным: например, многообразие
не всегда ориентируемо, а дифференциальное уравнение,
разрешимое локально, может не иметь глобальных решений. Таким образом,
теория пучков является широким обобщением той части
алгебраической топологии (например, теории сингулярных гомологии), которая
соответствует постоянным пучкам или, более общо, локально
постоянным пучкам. Существует много естественно возникающих
примеров пучков — ориентирующие пучки, пучки дифференцируемых или
голоморфных функций, пучки решений систем дифференциальных
уравнений, конструктивные пучки, пучки, получаемые как прямые
образы, и пр.
Однако сначала было неясно, сможет ли такая общая теория иметь
приложения. Вопрос разрешился с ее успешным использованием в
теории функций нескольких комплексных переменных, и можно
предположить, что оригинальная работа Лере оставалась бы в забвении,
если бы не значительные достижения Картана и Серра в 50-х гг., а
позже Гротендика (см. разд. «Краткий исторический очерк» ниже).
Теория пучков работает в полную силу, если ее дополнить
инструментарием гомологической алгебры. Фактически именно Лере ввел
понятие спектральной последовательности, которое вместе с
производными функторами Картана-Эйленберга естественно подводит к
теории производных категорий Гротендика. После ее Включения в
аппарат алгебраической геометрии теория производных категорий
ныне получила полное признание как один из основных инструментов
математики. В частности, без ее использования, безусловно,
невозможно дать такое красивое обобщение двойственности Пуанкаре, как
то, которое дал Вердье в 60-х гг. (после близкой работы
Гротендика, основанной на этальных когомологиях), или детально
рассмотреть то, что Гротендик назвал «шестью операциями» над пучками
(функторы Rfm,f~x,Rfufx,®L и КНот). Как мы увидим, этот
формализм ведет к глубоким и сильным обобщениям классических
результатов. Мы уже упомянули двойственность Пуанкаре, но сюда

36
Введение
же, среди прочего, относятся формула Лефшеца для неподвижных
точек и характеристика Эйлера-Пуанкаре. Конечно, упомянутые
выше функторы являются абстрактными вариантами классических
операций над функциями: прямой образ — интегрирования, обратный
образ — композиции, тензорное произведение — обычного
произведения. (С помощью «двойственности» в абстрактном случае мы
получаем шесть операций вместо трех. «Двойственность» не имеет аналога
для функций, но мы определим ее для конструктивных функций.)
То, что мы кратко обрисовали к настоящему моменту — это, грубо
говоря, «классическая теория пучков». Новая (и фундаментальная)
идея, выдвинутая Микио Сато в 1969 г., расширила горизонты
теории пучков. Это так называемый «микролокальный подход», и
одной из целей данной книги является развитие теории пучков в
рамках этой концепции. Основной задачей Сато было изучение
аналитических особенностей решений систем линейных дифференциальных
уравнений. Уже в 1959 г. ои применил локальные когомологии для
определения пучка гиперфункций и интерпретировал последние как
суммы граничных значений голоморфных функций. Десятью годами
позже он ввел пучок микрофункций, чтобы определить
«направление, откуда приходят граничные значения». Чтобы сделать это, Сато
ввел функтор специализации vu (вдоль подмногообразия М
многообразия X) и его преобразование Фурье— функтор микролокализации
цм. Эти функторы отображают производную категорию пучков на
X в производные категории пучков на нормальном и ненормальном
расслоениях к многообразию М в X соответственно и позволяют
детально изучать пучок в окрестности к многообразию М, принимая во
внимание все нормали (или конормали) к М.
Пытаясь применить теорию Сато к изучению
микрогиперболических систем, авторы настоящей книги постепенно осознали, что они
используют только характеристическое многообразие системы (в ко-
касательном расслоении к комплексному многообразию X), что
можно забыть о комплексной структуре на X и даже о том, что
предметом рассмотрения являются уравнения в частных производных. На
самом деле речь идет о нехарактеристических деформациях
(комплексов пучков голоморфных решений системы) в «незапрещенных»
направлениях, т. е. поперек нехарактеристических вещественных
гиперповерхностей. Заметим, что эта техника нехарактеристических
деформаций применялась и раньше, но здесь авторы имели дело с
микродифференциальными системами и нуждались в микролокальной
геометрии. В частности, было введено понятие ^-топологии —
микролокальный аналог срезки. Позже, в 1982 г., обобщал свою работу
о микрогиперболических системах, авторы ввели понятие мироноси-
теля пучка: выражаясь нестрого, точка р кокасательного расслоения

Введение
37
ИХ к вещественному многообразию X не принадлежит SS(F) —
микроносителю нучка F, если F не имеет когомологий с носителями в
полупространствах, конормали которых близки к р. Это
определение позволяет изучать пучки микролокально и, в частности,
позволяет определить действие контактных преобразований —
естественных преобразований кокасательных расслоений — на пучках. Это
действие аналогично действию квантованных контактных
преобразований на микрофункциях [Sato-Kawai-Kashiwara 1] или на
распределениях Фурье [Hormander 2].
Понятие микроносителей тесно связано с теорией Морса.
Хорошо известно, что если ф — вещественная функция на вещественном
компактном многообразии X, то группы когомологий пространств
{х € Х;ф(х) < t} при меняющемся t изоморфны до тех пор, пока
t не дойдет до критического значения ф. Если рассматривать
аналогичную задачу для групп когомологий пучка F, то можно получить
похожий результат в терминах микроносителя пучка F. Для
комплексных многообразий микроносители конструктивных пучков
могут быть определены через функтор исчезающего цикла Гротендика-
Делиня. Заметим, что функтор исчезающего цикла является
частным случаем функтора микролокализации Сато.
Понятие микроносителя имеет глубокое геометрическое
содержание. Мы докажем, что это множество (т. е. микроноситель) инволю-
тивно. Это, в частности, дает чисто вещественное и геометрическое
доказательство соответствующей классической теоремы для
характеристического многообразия системы дифференциальных уравнений.
На протяжении всей книги мы будем убеждаться, что
микролокальный подход углубляет теорию пучков и приводит к
многочисленным приложениям. Приведем лишь несколько примеров.
(a) Многие морфизмы теории пучков становятся изоморфизмами
при выполнении некоторых микролокальных условий. Рассмотрим,
например, морфизм многообразий f:Y—*X. Пусть F — пучок (или
комплекс пучков) на X. Тогда существует канонический морфизм
(i.l) wY,x®f-lF^fF
(WY/X — относительный дуализирующий комплекс). Хорошо
известно, что этот морфизм является изоморфизмом, если / — гладкий
морфизм. Справедлив, однако, более сильный результат: этот
морфизм является изоморфизмом, если «морфизм / является
нехарактеристическим относительно F* (если / — замкнутое вложение, то
это означает, что пересечение микроносителя SS(F) и конормального
расслоения к подмногообразию У в X содержится в нулевом сечении).
(b) Пусть X — комплексное многообразие, л М — система
линейных дифференциальных уравнений на X, т. е. левый когерентный

38
Введение
Рх-модуль, где Т>х обозначает пучок колец голоморфных
дифференциальных операторов на X. Пусть
(i.2) F = KHomt>x(M,Ox)
— комплекс пучков голоморфных решений системы. Геометрия
линейных уравнений в частных производных с аналитическими
коэффициентами изящно описывается следующей формулой, доказательство
которой основано на теореме Коши—Ковалевской:
(i.3) SS(F) = char(A^).
Здесь char(Ai) обозначает характеристическое многообразие системы.
Применим результат п. (а) к следующему случаю: пусть У —
вещественно-аналитическое многообразие, а X — его комплексифи-
кация; тогда если М — эллиптическая система, то комплекс
вещественно-аналитических решений этой системы и комплекс ее решений
в гиперфункциях изоморфны. Таким образом, мы получаем чисто
теоретико-пучковое доказательство классической теоремы анализа.
(с) Комплекс пучков F на вещественно-аналитическом
многообразии называется слабо конструктивным, если существует
субаналитическая стратификация многообразия X, такая, что все группы кого-
мологий пучка F локально постоянны на стратах. Мы покажем, что
это условие эквивалентно микролокальному, а именно что
микроноситель пучка F есть субаналитическое лагранжево подмножество в
Т*Х. Более того, если выполнено условие конечности, то пучку F
можно сопоставить лагранжев цикл с носителем SS(F). Тогда
глобальная характеристика Эйлера-Пуанкаре на X равна индексу
пересечения этого цикла с циклом, естественно сопоставленным
нулевому сечению. Этот результат дает нам эффективное микролокальное
средство для вычисления индексов.
Мы надеемся убедить читателя данной книги, что
микролокальный подход к теории пучков в высшей степени естествен. Начиная
с теории производных категорий, мы изложим как классическую
теорию пучков («шесть операций»), так и микролокальную
(микролокализацию, микроносители, контактные преобразования). Далее мы
применим эту технику к изучению конструктивных пучков на
вещественных многообразиях и, наконец, коснемся вкратце приложений
этой теории к линейным уравнениям в частных производных.
Изложим содержание книги подробнее.
Глава 1 содержит основания гомологической алгебры,
необходимые для понимания остальной части книги. В том числе здесь
представлена теория производных категорий (за исключением t-структур,
описание которых отложено до гл. 10).

Введение
39
Главы 2 и 3 содержат «классические» понятия теории пучков,
изложенные на языке производных категорий. Сюда входит шесть
операций, а также преобразование Фурье-Сато, которое устанавливает
соответствие между пучками (точнее, объектами производной
категории пучков) на векторном расслоении и пучками на двойственном
расслоении.
Глава 4 посвящена понятию микролокализации. После описания
геометрической конструкции нормальной деформации
подмногообразия М в многообразии X и мы определяем: функтор специализации
им, который отображает пучки на X в пучки на нормальном
расслоении Тм X, и его преобразование Фурье-Сато, функтор
микролокализации цм. Мы также определяем естественное обобщение функтора
VM — функтор цпот — и изучаем функториальные свойства этих
функторов.
В гл. 5 мы вводим понятие микроносителя пучка. После
доказательства теоремы о глобальном продолжении для пучков в
терминах геометрии их микроносителей мы используем -у-топологию для
«микролокального» срезания пучков. Далее мы изучаем поведение
микроносителей при функториальных операциях в
нехарактеристическом случае (для обратных образов) и в собственном случае (для
прямых образов). Как приложение получаем доказательство
неравенств Морса для пучков.
В гл. 6 мы используем технику микроносителей для построения
локализации производной категории пучков 0ь(х) подмножеству Q С
Т'Х (при этом получаем новые триангулированные категории
0Ь(Х; Q)) и для определения прямых и обратных «микролокальных»
образов. Затем мы обобщаем результаты гл. 5, изучал поведение
микроносителей при функториальных операциях. В частности, мы
доказываем, что микроноситель цм{Р) содержится в нормальном
конусе микроносителя SS(F) вдоль ТМХ. Это утверждение является
теоретико-пучковой версией теоремы о микрогиперболических
системах и будет использоваться на протяжении всей книги. Эта глаЕва
такзке содержит результат исключительной важности — теорему об
инволютивности микроносителей.
В гл. 7 мы изучаем контактные преобразования в пучках. Бели
X — контактное преобразование открытого множества Qx СГ*Хна
открытое множество Пу С Г*У, то при подходящих условиях можно
построить изоморфизм 0Ь(Х; Их) ^ 0b(Y; Ну), совместимый с
функтором цпот. Вычисляя образ постоянного пучка А на
подмногообразии М С X, мы естественно приходим к понятию чистого пучка вдоль
гладкого лагранжева многообразия. Чистый пучок «обобщенно» (и
микролокально) изоморфен некоторому пучку Ьм [d] Для некоторого
Л-модуля Ь и сдвига d. Вычисление сдвига, однако, требует
использования всей техники индекса инерции троек лагранжевых плоскостей.

40
Введение
В этой главе мы вычисляем, в частности, сдвиг микролокальной
композиции ядер.
В гл. 8 мы проводим детальное изучение конструктивных пучков
на вещественных многообразиях. Мы вводим (микролокальное)
понятие //-стратификации и доказываем, что пучок слабо конструктивен
в том и только в том случае, когда его микроноситель субаналитичен
и изотропен (а следовательно, лагранжев). После этого мы
применяем полученные результаты к изучению функториальных операций на
конструктивных пучках. В случае комплексных многообразий мы
доказываем, что пучок конструктивен, если он конструктивен на
вещественном подлежащем многообразии и, кроме того, если его
микроноситель инвариантен относительно действия Сж. Из этого мы выводим
теорему о несобственных прямых образах. Наконец, мы показываем,
что функторы близкого цикла и исчезающего цикла являются
частными случаями функторов специализации и микролокализации.
Понятия субаналитических цепей и циклов вводятся в гл. 9 с
помощью дуализирующих комплексов. Затем, используя функтор /jftom,
мы сопоставляем конструктивному пучку его характеристический
цикл и показываем, что индекс пересечения этого лагранжева
цикла и нулевого сечения расслоения Т'Х равен глобальной
характеристике Эйлера-Пуанкаре пучка F на X. Мы также вычисляем
локальные характеристики Эйлера-Пуанкаре и показываем наличие
связи между лагранжевыми циклами и конструктивными
функциями на X, получая, таким образом, новый аппарат для исчисления
этих функций. В этой же главе мы доказываем теорему Лефшеца о
неподвижных точках для случая конструктивных пучков.
Глава 10 посвящена теории превратных пучков. Мы вводим
понятие {-структуры и даем определение превратного пучка (т. е.
превратного комплекса) на вещественном многообразии. Показывается,
что превратные пучки образуют абелеву категорию. Затем мы
рассматриваем превратные пучки на комплексном многообразии, даем
микролокальный критерий превратности и доказываем, что
превратность сохраняется при функториальных операциях.
В гл. 11 мы показываем, как можно применить теорию пучков для
изучения систем линейных уравнений в частных производных.
После краткого обзора теории Ох- и 7?х-модулей мы доказываем одно
включение в (i.3) и превратность комплекса голоморфных решений
голономного Х>х-модуля. Мы также вводим пучки гиперфункций и
микрофункций и выводим из (i.3) некоторые основные результаты о
решениях в микрофункциях эллиптических и гиперболических
систем. В этой главе также определяются квантованные контактные
преобразования для пучка Ох- Теория этих преобразований имеет
много важных приложений, которые в книге не обсуждаются.

Введение
41
В конце книги имеется приложение, в котором собраны
необходимые для ее понимания результаты (частично с доказательствами) из
симплектической геометрии. В частности, представлена теория
индекса инерции.
Каждая глава начинается кратким введением и содержит (в
конце) упражнения. Некоторые из упражнений (особенно это касается
упражнений к гл. 1) представляют собой вспомогательные
результаты, используемые далее в книге. Упражнения обычно несложные, в
более трудных случаях мы даем указания к решению.
Мы практически не включали библиографические сведения в
основной текст книги. Вместо этого каждую главу мы завершаем
небольшой исторической справкой. Дело в том, что большинство теорем
имеет длинную и запутанную историю, и было бы затруднительным
упоминать каждый раз всех, кто внес свой вклад в ее доказательство.
С другой стороны, представляется неправильным упоминать только
того, кто первым начал исследования в данной области, или того, кто
доказал окончательный результат.
Начала и истоки.теории пучков весьма запутаны, и исторический
очерк Кристиана Узеля, который согласился дать детальное
изложение этой части истории математики, безусловно, обогатил книгу.

Краткий исторический очерк
Возникновение теории пучков
К. Узель
1. Лекции Лере A945 г.)
Находясь в качестве военнопленного в концентрационном лагере
№17 в Австрии, Жан Лере прочитал курс алгебраической топологии
в организованном S лагере при его участии университете для
заключенных. Это была тема, к которой он приступил еще в 1934 г. в
совместной с Шаудером статье, посвященной обобщению на
бесконечномерный случай понятия степени отображения и теоремы Брауэра
о неподвижной точке [33]. Такого рода теорема для
функциональных пространств была нужна Лере для того, чтобы установить
существование решений нелинейных уравнений, которые встречаются в
гидродинамике (и решения которых могут не быть ни регулярными,
ни единственными).
Лекции Лере были опубликованы в конце войны в 1945 г. в
Журнале Лиувилля [29]. В этой работе алгебраическая топология
развивалась на новой основе, без предположений об ориентируемости или
локальной линейности и без использования методов подразбиения или
симплициальной аппроксимации. Упор был сделан на когомологии
(четкое различие между когомологиями и гомологиями стали
проводить лишь в последние годы перед войной [47], в особенности после
работы де Рама [37]); когомологии пространства с коэффициентами;
в кольце всегда имеют мультипликативную структуру, и
мультипликативная структура в гомологиях, с которой работали в случае
ориентируемых компактных многообразий, получается из
мультипликативной структуры в когомологиях с помощью двойственности
Пуанкаре. Лере переименовал когомологии в «гомологии» и говорил о
группах Бетти, когда речь шла о гомологиях. При определении кого*
мологий топологического пространства Е с коэффициентами в колН
це А он руководствовался способом Чеха [9], но заменил теоретиков
множественное понятие покрытия на более подходящее для алгебра-!
ической топологии понятие перекрытия (couverture). ;
Чтобы его ввести, он сначала рассматривает «абстрактный ком-*
плекс», последовательность конечно порожденных свободных абелеч
вых групп, соответствующих всевозможным разномерностям р, с ко»
граничным оператором, который действует на базисных элемента^

Краткий исторический очерк
43
Хра р-мерной группы по правилу Хра >->■ Хра, где Хра лежит в
(р + 1)-мерной группе (на всю р-мерную группу действие
распространяется по линейности). Кограничный оператор подчинён следующей
аксиоме: кограница кограницы равна нулю. Комплекс становится
«конкретным», если поставить в соответствие каждому Хра носитель
|Л?а|, являющийся непустым подмножеством в Е; налагается
условие, что если Х*Р примыкает к Хра (т. е. если они связаны конечной
последовательностью базисных элементов, каждый из которых
входит в кограницу предыдущего), то носитель элемента Х&
содержится в носителе элемента Хра. Конкретный комплекс К называется
перекрытием, если все носители замкнуты, для любой точки х
пространства Е подкомплекс, образованный элементами, носители
которых содержат х, является симплексом (его когомологии тривиальны)
и сумма К0 элементов размерности 0 является коциклом
(называемым единичным (ко)циклом). Классы когомологии пространства Е
с коэффициентами в А — это классы форм I? произвольных
перекрытий К пространства Е (линейных комбинаций с коэффициентами
из А р-мерных базисных элементов перекрытия К) при условии, что
принято соглашение отождествлять IP с «пересечением» U .Кл для
любого другого перекрытия К' (пересечение определяется с помощью
тензорного произведения комплексов; носитель элемента Хра ® Х'1^
является пересечением носителей элементов Хра и Х'*Р, и
производится факторизация по элементам с пустым носителем). Бели
пространство Е нормально, можно вычислять когомологии,
рассматривая только перекрытия из некоторого семейства, замкнутого
относительно пересечения и для каждого конечного открытого покрытия р
пространства Е содержащего перекрытие с р-малыми носителями; в
случае компактного Е можно ограничиться одним перекрытием, если
его носители «ацикличны»1) (т. е. когомологически тривиальны).
Лере перенес результаты Хопфа [23] о компактных ориентируемых
многообразиях на случай компактных топологических пространств.
Он развил теорию двойственности, позволяющую вычислять группы
1>етти. Первая часть курса лекций Лере завершается введением
числа Лефшеца непрерывного отображения пространства Е в себя для
случая, когда Е компактно, связно и допускает конечное «выпукло-
подобное» покрытие (т. е. покрытие замкнутыми ацикличными
множествами, пересечения которых являются пустыми или
ацикличными).
Во второй части Лере сравнивает число Лефшеца отображения
( : Е -* Е с числом Лефшеца ограничения этого отображения на
1' В оригинале «simple», но мы предпочли более распространенный в
отечественной литературе термин. — Прим. персе.

44
Краткий исторический очерк
замкнутое подмножество, инвариантное относительно £. Чтобы
обобщить на некомпактный случай результаты, доказанные ранее в
компактном случае, он вводит «псевдоциклы» (элементы
проективного предела когомологии компактных подмножеств В пространства
Е). Он определяет перекрытия («замощения»), исходя из клеточных
разбиений дифференцируемых многообразий, и устанавливает
двойственность Пуанкаре в случае ориентируемых многообразий без края.
В третьей части, с которой начинается работа Лере в области
алгебраической топологии, определяется полный индекс i@) решений
уравнения х — £(х) в открытом подмножестве О пространства Е (где
£ : F —► Е — непрерывное отображение, определенное на
замкнутом подмножестве F, содержащем С?); предполагается, что Е «выпу-
клоподобно» (компактно, связно и допускает покрытие «замкнутыми
ацикличными множествами, конечные пересечения которых пусты
или ацикличны, а внутренности образуют базу топологии), и
рассматриваются когомологии с целыми коэффициентами. Полный индекс
определен, если рассматриваемое уравнение не имеет решений на
границе области О. Он зависит лишь от ограничения отображения £ на
G, инвариантен относительно гомотопии (отображения £) и равен
числу Лефшеца, когда О = Е. Если все решения указанного уравнения
в О принадлежат объединению непересекающихся открытых
подмножеств Оа из О, то i(O) есть сумма i(Oa). В случае изолированного
решения х его индекс определяется как полный индекс »(V), где V —
достаточно малая окрестность точки х, и если О содержит лишь
изолированные решения, то i@) — сумма индексов этих решений. В
теории сильно вязких струй в ходе доказательства того, что каждое
решение указанного уравнения является изолированным и имеет
индекс 1, устанавливается теорма единственности. Лере определяет еще
один индекс для уравнений несколько более общей формы и
применяет свою теорию к уравнению Фредгольма. Он рассматривает также
случай уравнений вида х = £(х, х'), где £ : F —» Е — непрерывное
отображение, определенное на замкнутом подмножестве F из Е х Е*
(предполагается, что Е выпуклоподобно и ациклично); индекс
заменяется операцией проектирования Zp О на £", где Zp — псевдоцикл
на пространстве Ё х Е'.
2. Теория пучков и спектральная
последовательность
Впоследствии Лере существенно продвинул исследования в
области алгебраической топологии, которыми он занимался, будучи в
плену. Изучение соотношений между гомологнями расслоенного
пространства и гомологиями его базы и слоя потребовало введения
нового аппарата — когомологии с локальными коэффициентами, меня-

Краткий исторический очерк
45
ющимися от точки к точке, — и вычисления когомологий методом
последовательных приближений. Более общим образом, этот
аппарат должен был позволить в случае, когда имеется непрерывное
отображение £: X —► У, изучать когомологий пространства X, исходя
из когомологий пространства У и слоя отображения £;
исследования такого рода дали возможность Пикару [36] вычислять гомологии
комплексных алгебраических поверхностей, а Лефшец
распространил этот метод на более высокие размерности [28]. Впрочем, идея
локальных коэффициентов независимо возникла у Стинрода [41]: у
него она привяла частную форму локальных систем коэффициентов.
В работе [31], которая воспроизводит его курс лекций в Коллеж де
Франс в 1947-48 и 1949-50 гг., Лере определяет пучок на локально
компактном топологическом пространстве следующим образом: для
любого замкнутого подмножества F пространства X задано кольцо
B(F) и "для любого включения Fi С F замкнутых подмножеств из
X задан гомоморфизм «ограничения» 6 н* Fib кольца B(F) в B(F\).
Он потребовал, чтобы В@) = 0 и чтобы операция ограничения была
транзитивной: Fi(Fib) = F?b, если Fi С F\ С F. Пучок является
«непрерывным», если индуктивный предел колец B(W), где W
—замкнутая окрестность бесконечности, равен нулю и если для любого
замкнутого множества F кольцо B(F) является индуктивным
пределом колец B(V), где V пробегает замкнутые окрестности множества
F U со; пучок называется собственным, если он удовлетворяет
первому из этих условий и второму при некомпактных F и если, кроме
того, В(К) является индуктивным пределом колец B(V), где V —
замкнутая окрестность множества К, для всех компактных К.
Наряду с пучками Лере вводит, как и в своих лекциях 1945 г.,
комплексы и перекрытия, однако теперь по совету Анри Картава [б]
комплексы не обязательно имеют базис, но наделены умножением:
это дифференциальные кольца с правилом, которое сопоставляет
каждому элементу к замкнутое подмножество S(k) пространства X,
называемое носителем этого элемента. Если заданы комплекс К на
X и замкнутое подмножество F С X, то сечение FK —это комплекс
на F, являющийся фактором комплекса К по идеалу, состоящему из
элементов, носители которых не пересекаются с F; таким образом,
возникает пучок В: F >-* F/C, который называется ассоциированным
с комплексом К. Комплекс К является перекрытием пространства
X, если он не имеет кручения, градуирован степенями ^0, причем
оператор кограницы имеет степень 1, и обладает единичным
элементом и с носителем X, таким, что когомологий сечения хК сводятся к
кратным элемента хи для любой точки * из X.
Чтобы определить когомологий пространства X с коэффициентами
в собственном пучке В или даже гиперкогомологии, если В обладает
дифференцированием, которое превращает его в дифференциальный

46
Краткий исторический очерк
пучок, Лере воспользовался одним тонким перекрытием, вместо
того чтобы использовать все перекрытия, как в лекциях 1945 г.
Комплекс 1С называется тонким, если для любого конечного
открытого покрытия (V„) компактификации X Uco тождественный
автоморфизм комплекса К можно разложить в сумму линейных
отображений А„: К —♦ К, таких, что S(А„ ib) С V „ П S(k) для любого элемента ib
из АС и любого индекса и. Существование тонких перекрытий
конечномерного локально компактного пространства X устанавливается с
помощью конструкции Чеха или конструкции Алексаядера [1]. Бели
X n-мерно, то можно выбрать тонкое перекрытие, являющееся
нулевым в размерностях > п. Бели X — тонкое перекрытие пространства
X и В — собственный дифференциальный пучок на X, то определено
тензорное произведение X ® В; это комплекс, порожденный
элементами ib ® Ь, где ib € АС, 6 6 B(F) (F — замкнутое подмножество в X)
и S(k) С F; носитель элемента j^ kp ® Ьц — это множество точек *,
таких, что х^2,кц®Ьц не равно нулю (принято соглашение, что если
* € S(k), то х{к ® 6) = хк ® xb, а в противном случае *(ib ® 6) = 0).
Комплекс X о В — это фактор комплекса X ® В по идеалу элементов
с пустым носителем (носители определяются так же, как и выше).
Лере показывает, что когомологии комплекса X о В не зависят от
выбора тонкого перекрытия А', и обозначает эти когомологии через
Н(ХоВ).
Чтобы установить, что когомологии нормального пространства
вычисляются с помощью перекрытий из замкнутого относительно
операции пересечения семейства, в котором для любого открытого
покрытия р найдется перекрытие с /ьмалыми носителями, Лере в
своих лекциях 1945 г. использовал основополагающую лемму, согласно
которой К*.С и С" имеют одни и те же когомологии, если К* —
перекрытие, а С" — такой комплекс, что К* .е является симплексом для
любого носителя е комплекса С". Анализируя доказательство этой
леммы, он пришел к понятию спектрального кольца и к рассмотрению
фильтрованных колец с убывающей Z-фильтрацией), которые он
первоначально назвал sous-value (термин «фильтрованный» (filtre) ввел
А. Картан [3]). С каждым дифференциальным фильтрованный
кольцом А (ср. [26]) связана последовательность (НГА)Г
дифференциальных градуированных колец, где дифференциал кольца НГА имеет
степень г. Она определяется следующим образом. Обозначим через
А^ множество элементов из А, лежащих в компонентах фильтрации
с индексами £ р, и положим С = СС\А^ и Т>* — VC\A^f\ где С —
множество коциклов, а V — множество кограниц кольца А. Затем через
С? обозначим множество элементов а € А^\ кограницы которых
принадлежат компонентам фильтрации с индексами > р+r, и через V% —
множество кограниц 6а для а € С£~г. Эти группы представляют
собой аппроксимации порядка г для Ср и V соответственно. Ясно, что

Краткий исторический очерк
47
СР (соответственно V£) убывает (соответственно возрастает) с ростом
г и содержит С (соответственно содержится в Vp). В степени р
кольцо НГА определяется как факторкольцо (%/((%ti + ?%-\) и граница
6rhr класса /»г элемента сг € С£ в этом факторкольце есть по
определению класс элемента 6с£ по модулю C^t\ +Т>Р_1. Проверяется, что
когомологии кольца НГА канонически отождествляются с Hr+iA;
кроме того, при г ^ в каждое Н,А отождествляется с некоторым
подфактором кольца НГА. Таким же образом определяется
градуированное кольцо НсоА, р-компонентой которого является СР/(СР+1
+ Т>р) и которое изоморфно градуированному кольцу,
ассоциированному с кольцом когомологии "НА (с фильтрацией, индуцированной с
кольца А). При помощи спектрального кольца (НГА) это
градуированное кольцо отождествляет с некоторым подкольцом
«индуктивного предела» колец НГА и с самим этим пределом, когда фильтрация
кольца А ограничена сверху; если, кроме того, дифференциал кольца
Нг А равен нулю для г > /, то последовательность 7irA
стабилизируется для этих значений г и рассматриваемое градуированное кольцо
отождествляется с Нг А. Ясно также, что НА изоморфно кольцу "Кг А
для г > /, если фильтрация кольца А ограничена сверху, и что W/+i A
сосредоточено в степени 0. Спектральное кольцо зависит от А функ-
ториально. Если гомоморфизм X : А' —* А фильтрованных колец,
фильтрация которых ограничена сверху, индуцирует изоморфизм
колец W/+i«4' ^* Tii+iA, то он индуцирует согласованный с фильтрацией
изоморфизм колец НА' —* "НА.
Наряду с дифференциальным фильтрованным кольцом, Лере
рассматривает фильтрованное тензорное произведение К,1 ® А, тдр АС —
другое дифференциальное градуированное кольцо (с
дифференциалом степени 1), а элементы р-компоненты фильтрации кольца К
являются элементами /р-компоненты фильтрации на К1 (I — заданное
целое число). Когда К не имеет кручения, W/+i(£'®«4) (канонически)
изоморфно когомологиям кольца 1С1 ® "Н\А\ это становится
очевидным, если заметить, что замена дифференциала кольца А нулевым
не меняет H(Kl ® Л); это позволяет, используя результаты Картана,
установить при подходящих предположениях формулу Кюннета.
Бели В — собственный фильтрованный дифференциальный
пучок на пространстве X, X — тонкое перекрытие пространства X и
/ — целое число, то спектральное кольцо (НГ(Х1 о В)) и
когомологии "Н(Х1 о В) не зависят от выбора X и Лере их обозначает через
{"Н.Г(Х1 о В)) и %{Х1 о В) соответственно; в частности, W/+i(X' о В)
изоморфно когомологиям комплекса XloJ:lB, где {ТГВ) —
спектральный пучок, ассоциированный с В. При / = 1 отсюда вытекает, что
для собственного градуированного дифференциального пучка с
ограниченными снизу степенями градуировки н дифференциалом степени

48
Краткий исторический очерк
> 0, таким, что В{х) для любой точки х £ X сосредоточен в степени О,
имеется изоморфизм ЩХоВ) — Н(Хо?В), где ТВ — пучок когомоло-
гий пучка В. Бели (F„) — конечное замкнутое покрытие и если К* —
ассоциированный с ним (свободный) комплекс Чеха, то из
предположения, что H(F о В) — HB(F) для всех F, являющихся непустыми
пересечениями множеств Fp, следует равенствоН{К*®В) — ЩХоВ).
Непрерывному отображению £: X —► У локально компактных
пространств, произвольному собственному фильтрованному
дифференциальному пучку В на X и любой паре целых чисел (/, т), / < т, Ле-
ре поставил в соответствие спектральное кольцо 7ir((~1Ym oX1 о В),
определенное с помощью тонких перекрытий X на X и У на У;
перекрытие £~1У является фактором перекрытия У по идеалу элементов
у, таких, что (~1(S(y)) пусто, а £~1Ут о X1 есть тонкое перекрытие
пространства X. Кроме того, кольцо П(£~1УтоХ1оВ) — это ЩХоВ),
наделенное некоторой фильтрацией, не зависящей от выбора
перекрытий X и У, и соответствующее градуированное кольцо является
подкольцом индуктивного предела колец Hr{£~xYm о X1 о В) и
совпадает с этим пределом при подходящих условиях конечномерности;
далее, Ят+1(Г1Ут°Х,ов) = ЩУто^т(Х1 оВ)), где£Гг{Х1оВ) -
образ при £ спектрального пучка, ассоциированного cTioB (образ £Т
пучка Т на X при £ определяется формулой £F(F) = .F(£~1F) для
любого замкнутого подмножества F из У).
Конец статьи [30] посвящен частному случаю постоянного пучка
(«пучка, совпадающего с некоторым кольцом») и локальной системы
коэффициентов в смысле Стинрода [41] («пучка, локально
изоморфного кольцу» ). В статье [31], результаты которой были объявлены
в заметке [29] 1946 г. и которая излагалась в Коллеж де Франс в
1950 г., общая теория применяется к случаю, когда £ есть расслоение
со слоем F и рассматриваются когомологии пространства с
коэффициентами в (постоянном) кольце А. Пучок-образ В = £?{Х о А) на
У локально изоморфен 7i(F о А). Часть результатов, которые
содержатся в этой статье, была независимо получена Хиршем [22]. Для
случая когда F имеет те же гомологии, что и сфера, еще раз
получены, в частности, результаты Гизина [20], дополненные результатами
Чженя и Спеньера [10]; для случая когда У имеет те же гомологии,
что и сфера, заново установлены результаты Вана [44].
3. Семинар Картана и доказательство Вейля
теорем де Рама
Идеи Лере вдохновили А. Вейля и А. Картана предпринять
обновление алгебраической топологии. Первый из них беседовал с Лере I
1945 г. и вынес из этой беседы идею доказательства теорем де Рама
ныне ставшего классическим. Первый вариант этого доказательств!

Краткий исторический очерк 49
он изложил А. Картану в письме в 1947 г. [45], а окончательная
редакция была опубликована в Commentarii Mathematici Helvetici 1952 г.
[46]. Вейль ввел два двойственных друг другу двойных комплекса,
ассоциированных с «простым покрытием» U = ((/,)
дифференцируемого паракомпактного многообразия V, причем U должно быть
локально конечным, а каждое непустое пересечение Uj множеств {/,
(J принадлежит нерву покрытия U) должно быть дифференцируемо
стягиваемым. (т,р)-компонента первого двойного комплекса состоит
из «коэлементов» Q = (и>н), где для всякого Н = (t'o,. - -, ip), такого,
что U\h\ = (\v Ui„ ф 0,шн является дифференциальной формой
степени m на U\h\ ; дифференциалы d и д степени 1 определены внешним
дифференциалом и знакочередующейся суммой ограничений, и
имеется два соответствующих оператора гомотопии, определенных
соответственно с помощью стягиваний множеств U\n\ B точку и с помощью
разбиения единицы, подчиненного покрытию U. Эти операторы
позволяют установить изоморфизм между га-й группой де Рама
(замкнутые m-формы по модулю точных форм) и m-й группой когомологий
нерва покрытия U. У второго комплекса (т,р)-компонента
образована «элементами» Т — (tn), где для всякого Я, описанного выше,
<я является конечной сингулярной цепью размерности m с
носителем в U\h\\ Два дифференциала (степени —1) соответствуют
дифференциалу сингулярных гомологии и дифференциалу гомологии нерва
покрытия U, и имеются также два оператора гомотопии, которые
задают изоморфизм между сингулярными гомологиями многообразия
V и гомологиями нерва. Спаривание этих двух комплексов
задается интегрированием дифференциальных форм по сингулярным цепям
((Т, Q) определенно, только если Т или Q конечен).
Семинар Картана в Ecole Normale Superieure с 1948 по 1951 г. был
посвящен алгебраической топологии. Кроме того, Картан изложил
некоторые результаты на Коллоквиуме по алгебраической топологии
Национального центра научных исследований в 1948 г. Записки
семинара 1948-49 гг. содержат первоначальный вариант теории пучков
(доклады 12-17), который был изъят из обращения и заменен новым
изложением в записках семинара за 1950-51 гг. Принятое тогда
определение пучка было дано Лазаром: пучок /f-модулей F (К —
коммутативное кольцо) на (регулярном) топологическом пространстве X —
это накрывающее пространство (термин ГодеманаI) р: F —* X,
каждый слой р~1(х) = Fx которого имеет структуру Jf-модуля, причем
сложение и умножение на элементы (дискретного) кольца К
непрерывны в топологии пространства F. Каждому открытому подмноже-
') В оригинале, как и работах Годемана, — еарасе etale, однако в
отечественной литературе и, в частности, в переводе книги Годемана [13] принят термин
«накрывающее пространство», хотя иногда он трактуется уже. — Прим. перев.

50
Краткий исторический очерк
ству X пространства X ставится в соответствие модуль T(F, X)
сечений s: X —» F пучка F над X (характеризующийся тем свойством,
чтороs — idjf), и каждый слой Fx является индуктивным пределом
модулей r(F, X), где X — окрестность точки *. Можно определить
пучок F следующим образом: любому открытому подмножеству X
ставится в соответствие некоторый модуль Fx, а каждому вложению
X С Y открытых множеств — некоторый гомоморфизм ограничения
fxY '• Fy —* Fx так, чтобы для этих гомоморфизмов выполнялось
свойство транзитивности; в качестве слоя берется индуктивный
предел модулей Гх по окрестностям X точки х, и дизъюнктивное
объединение слоев наделяется надлежащей топологией. Отметим, что
канонические морфизмы Fx —* r(F, X) в общем случае не являются
ни инъективными, ни сюръективными, хотя оказываются таковыми
для различных пучков функций, которые естественно определяются
таким способом. Например, пучок Сп коцепей Александера-Спеньера
степени п определяется таким образом, если задать Сх как
множество отображений пространства Хп+1 ъ К л Сх —► Г(С*,Х) для
п ^ 1 не будет инъективным, но оказывается сюръективным, если
X паракомпактно. Так же обстоит дело для пучка S" сингулярных;
цепей.
Более важное новшество Картана — это введение семейства
носителей; так называется семейство Ф замкнутых паракомпактных
подпространств в X, которое является наследственным, устойчивым
относительно конечных объединений и обладает тем свойством, что
каждый его элемент имеет окрестность, принадлежащую Ф. Лере
рассматривал лишь случай семейства компактов, когда само X локальна
компактно. Отметим модуль r(F) глобальных сечений пучка F и его'
подмодуль Гф сечений s, носители которых принадлежат Ф (носитель
сечения s — это множество точек х, таких, что s(x) ф 0; он всегда!
замкнут). Бели f: F —* G — сюръективный гомоморфизм пучкой!
то соответствующий гомоморфизм 7#(F) —► /#(G) в общем случае не
является сюръективным, но он сюръективен, если ядро F' гомоморф
физма / — тонкий пучок, т. е. для любого открытого локально коЛ
нечного покрытия (W) пространства X тождественный автоморфизм
пучка F' есть сумма эндоморфизмов, каждый из которых является
нулем вне некоторого замкнутого множества, лежащего в открытом
множестве с тем же номером из указанного покрытия. Пучок коце-1
пей Александера-Спеньера и пучок сингулярных коцепей являются
тонкими пучками. Тонким будет и пучок внешних дифференциале
ных форм на дифференцируемом многообразии. Картан определял!
когомологии пространства X с коэффициентами в некотором пучк«
и с носителями из некоторого семейства Ф аксиоматически при уело»
вии, что основное кольцо К является кольцом главных идеалов. Эт|
последовательность функторов F *-* Нф(Х, F), значениями который!

Краткий исторический очерк
51
служат А"-модули, равные нулю при q < 0 и совпадающие с /#(Г)
при q = 0; кроме того, каждой точной последовательности
A) 0 -» F' -* F -* F" -» 0
пучков ставится в соответствие гомомоморфизм 5, : H4(X,F") —►
ffl+1(X,F'), функториально зависящий от последовательности. Эти
данные должны подчиняться следующим аксиомам: Нф(Х, F) = 0,
если F%— тонкий пучок и q > 0; последовательность
■ • • -» tfj(#, F') -+ tfj(*. F) -+ Я$(*, F") ^ Я$+1(*, F') -+...,
ассоциированная с последовательностью A), точна. Прежде чем
доказать единственность такой теории, Картан установил ее
существование, показав, что если
0 — К — Со -► Ci -► ► С„ -> ■ ■ ■
— точная последовательность, где все С„ являются тонкими
пучками без кручения (тонкая резольвента постоянного пучка К), то,
положив НФ(Х, F) = Нч(Гф(С о F)) для любого пучка F (где фунда-
менталъний пучок С — это комплекс Со —* С\ —*..., а о означает
тензорное произведение пучков на X, мы получаем некоторую теорию
когомологий. Коцепи Александера-Спеньера дают тонкую
резольвенту для К; когда этим же свойством обладают сингулярные коцепи,
то говорят, что исходное пространство является Я£С-пространством
(гомологически локально связным пространством).
Более общим образом, можно вычислить когомологий с
коэффициентами в пучке F и носителями в Ф с помощью Ф-резольвенты
0 —► Г —у Ао —* А\ —* ... пучка F, т. е. точной последовательности
пучков, такой, что Н%(Х, Ап) = 0 при g ^ 1 и я ^ 0. В этом случае
НФ(Х, F) ~ Н*(Гф(А)). Мы получаем Ф-резольвенту пучка F, тензор-
но умножая на F резольвенту 0 —► К —у Со —► С\ —*..., где С„ суть
Ф-инъективные пучки без кручения, т. е. такие, что для любого
эпиморфизма F' —у F" гомоморфизм Гф(С о F') —* Г#(Со F") сюръекти-
вен; в этом случае говорят, что комплекс С есть Ф-фундаментальный
пучок.
Перекрытиям Лере соответствуют в изложении Картана
каралась! (carapace). Карапас на «V — это К-иорулъ А, обладающий для
каждой точки х £ X фактормодулем <pt: А —» Ах, причем
требуется, чтобы носитель <т(о) элемента о из А был замкнут и непуст, если
о ф 0 (носитель <т(а) — это множество точек х, таких, что у>х(а) ф 0).
Можно также определить карапас, задавая носители, в духе Лере; в
этом случае Ах есть фактормодуль модуля А по подмодулю таких

52
Краткий исторический очерк
а, что х $ с(а). Дизъюнктивное объединение F = ?{А) модулей Ах
(х £ X) становится пучком, если наделить его топологией, в которой
базу открытых множеств составляют множества {<рх(а)\х £ X], где
a G A, a X — открытое подмножество в X. Естественный морфизм
модуля А в Г(Т(А)) инъективен, но, вообще говорят, не сюръективен.
Чтобы непосредственно получить гомологическую спектральную
последовательность расслоенных пространств способом, близким к
исходному способу Лере [30], С. Эйленберг (доклад 8) использует
аксиоматическую теорию гомологии упорядоченных множеств. Он
рассматривает (частично) упорядоченное множество, состоящее из
элементов А, В,..., с наименьшим элементом 0 и наибольшим
элементом 1 и каждой паре (А, В) с А < В ставит в соответствие абе-
леву группу Н(А, В), функториально зависящую от (А, В) (морфиз-
мы задаются порядком), а каждой тройке (А, В, С) — гомоморфизм
d: H(A,B) —► Н(В,С), функториально зависящий от (А, В,С),
причем так, чтобы периодическая последовательность
► Н(В, С) -> Н(А, С) — Н(А, В) -♦ Н(В, С)->...
была точной. Будем писать Н(А) вместо Н(А,0). Точная
последовательность, ассоциированная с тройкой (А,А,0), дает равенство
Н(А, А) = 0. Для строго возрастающей последовательности (Ар)ры
элементов рассматриваемого множества, ограниченной элементом А,
группы Вр и Ср определяются как образы группы Н(АР) в Н(А) и
H(Ap,Ap-i) соответственно, a Dp — как ядро гомоморфизма
H(Ap,Ap-i) —► Н(А, Ap-i) для каждого р; кроме того, для k ^ 1
через Ср обозначается образ группы H(Ap,Ap-it) в Н(АР, Ap_i), а
через Dp—ядро гомоморфизма Я(Ар, Ap_i) —► H(Ap+k-ijAp-i). Тогда
Dp = 0 и Ср = Н(АР, Ap_i); группы С* (соответственно D*) убывают
(соответственно возрастают) с ростом ib и содержат Ср30 = Ср
(соответственно содержатся в D™ = Dp). Наконец, пусть Ер = Cp/Dp
и Ер = Cp/D^ (а также Е* = H(Ap,Ap-i)); можно показать, что
Ер ~ Вр/Вр-1. С помощью морфизмов d троек (Ар,Ap-i,Ap-k-i)
и (Ap,Ap-ii,Ap-k-\) строится дифференциал dp : Ер —► Ер„к,
превращающий (Ер)р в комплекс, и доказывается, что гомологии
этого комплекса совпадают с Ек+1. Существует также контравариант-
ная теория, в которой все стрелки обращаются (когомологии). Если
взять в качестве упорядоченного множества множество
дифференциальных подмодулей фиксированного дифференциального Л-модуля А
(А — основное кольцо), то получается кошулева спектральная
последовательность в алгебраическом смысле; если А' Э В' — два
таких подмодуля, то им сопоставляется H(Af, В') = Н(А'/В'), а
гомоморфизм d для тройки A' D В' D С определяется точной по-

Краткий исторический очерк
S3
следовательностью 0 -> В*/С -> А'/С -* А'/В' -* 0.
Гомологическая спектральная последовательность расслоенного пространства
т: X —► В со слоем F, база В которого является конечным симпли-
циальным комплексом, получается с помощью фильтрации
пространства X, образованной подпространствами Хр = т~1(Вр), где В9 есть
р-остов пространства В; упорядоченное множество — это множество
подпространств пространства X, и если X' С У — два таких
подпространства, то H(X',Y') = H(X',Y';G) (относительные гомологии с
коэффициентами в группе G). Тогда мы имеем спектральную
последовательность, для которой Ep+1tP = Hp+t(Xp, Xp-\\ G) (с граничным
оператором тройки (Хр,Хр-\,Хр-ъ)) и Ep+fiPHp(B;Ht(F;G))
(гомологии базы с коэффициентами в локальной системе Hf(F;Q)). В
качестве другого приложения спектральной последовательности Кар-
тан изучает (доклады 11-12) гомологии и когомологии пространств с
группой операторов.
Картан ввел в теории пучков две спектральные
последовательности гиперкогомологий, задаваемые некоторым комплексом
пучков F на X. Пусть А — градуированный карапас с ко граничным
оператором d степени 1, носители которого принадлежат семейству
Ф. Тогда для каждого р определяется (естественный) гомоморфизм
НР+1(А) —► Н%(Х,НЬ(?(А))), если выполняются следующие
условия: (а) X имеет конечную Ф-размерность (т. е. существует такое
целое п, что И\(Х, F) = 0 для q > n и любого пучка F) или
градуировка модуля А ограничена снизу; (b) H9(F(A)) = 0 для q > к.
Этот гомоморфизм будет даже изоморфизмом, если предположить,
что Н*(Р(А)) = 0 при q ф к, что А ~ Гф{Т{А)) и что А гомотопически
Ф-тонок. Отсюда получается двойственность Пуанкаре для
дифференцируемого многообразия X, если для пучка S сингулярных цепей
обозначать цепи размерности р через S~p (чтобы дифференциал имел
степень 1); этот пучок гомотопически тонок и HP(S) = 0, если р ф —п,
где п — размерность многообразия X. Пучок Г = H~n(S) локально
изоморфен К и определяется локальной ориентацией многообразия
X; имеет место изоморфизм #p~n(/*(SoF)) ~ #£(<*",ToF), где
первый член, обозначаемый также через Н*_р(Х, F), — это сингулярные
Ф-гомологии многообразия X.
Серр изложил спектральную последовательность
непрерывного отображения f: Е —* В на языке теории Ф-когомологий (доклад
21);' мы задаем семейства носителей Ф и Ф на Е и В
соответственно и предполагаем, что они «согласованы» в соответствующем
смысле. Бели G — пучок на Е, то вычислим его когомологии как
когомологии карапаса А0 = /#(С о G), где С — фундаментальный
пучок на Е. Сопоставляя каждому элементу х 6 А0 носитель f(o~(x))
(где а(х) — носитель элемента * в Е), мы получаем карапас А на

54
Краткий исторический очерк
В. Тогда существует спектральная последовательность, такая, что
Ер+ч,р = #*E> ^Ч-^(Л))) и что £■«, — градуированная группа,
ассоциированная с соответствующим образом фильтрованной группой
Ht(E,G); слой пучка Н"(Г(А)) на В — это Hq9{Fb,G) F € В).
К. Ока в статьях [34] и [35], опубликованных в 1950 и 1951 гг.,
ввел в теории аналитических функций многих переменных понятие,
очень близкое к понятию пучка (теперь для него используется
термин «пучок идеалов»). Безусловно, развивая теорию пучков, Картан
помнил о работах Ока, и эта теория позволила ему
переформулировать результаты Ока как теоремы о когомологиях пучков (известные
теоремы А и В); семинар Картана 1951-52 гг. был посвящен этим
вопросам в рамках теории когерентных аналитических пучков. В 1953 г.
Картан и Серр [8] доказали конечность ко гомологии компактного
аналитического пространства с коэффициентами в когерентном пучке1);
Серр в 1953 г. [39] установил двойственность для аналитических
локально свободных пучков на компактных комплексных
многообразиях. Используя в качестве модели теорию аналитических пространств,
Серр [40] в 1954 г. строит основание алгебраической геометрии исходя
из теории когомологий когерентных алгебраических пучков.
4. Период зрелости: 1955-1958 гг.
Это период систематической разработки гомологической алгебры
и ее применения к когомологиям пучков. Книга «Гомологическая
алгебра» [7] Картана и Эйленберга, опубликованная в 1956 г., с тех
пор является классической; в ней используется язык функторов,
введенный в 1942 г. Эйленбергом и Маклейном [12], и теория
когомологий связывается в ней с понятиями сателлитов и производных
функторов. Первые сателлиты S\T и S1T ковариантного
аддитивного функтора Т на категории модулей строятся следующим
образом: пусть А — произвольный модуль; рассмотрим точные
последовательности 0—* М —* Р —> А —► 0 и 0 —> А —> Q —► JV —► 0,
где Р — проективный, a Q — инъективный модули, и положим
SiT(A) = Кет(Т(М) -» Т(Р)),5!Т(А) = Coker(T(g) — T(N)) (можно
показать, что это определение не зависит, с точностью до
единственного изоморфизма, от выбора точных последовательностей). Далее,
положим Sn+iT = Si(S„T) и S"+1T = S^^T), обозначим SnT через
S~nT и будем считать, что SoT — S°T — Т. Для любой точной
последовательности модулей 0 —► А' —► А —► А" —► 0 существуют
связывающие гомоморфизмы 0J: SiT(A") — Т{А') и в1: Т(А") -♦ SlT{A');
1) Эту теорему для относительного случая в 1960 г. установил Грауэрт; см.:
Grauert Н. Bin Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modtilraum komplexer
Strukturen". — Publ. Math. IHES, №5, 1960, pp. 5-64

Краткий исторический очерк
55
в бесконечной последовательности
► ST^') -♦ S*T(A) — S"T(A") Л £Г+1Т(А') -»...
композиция двух последовательных гомоморфизмов равна нулю, и
вся последовательность является точной, если Т полуточен. Для
контравариантных аддитивных функторов имеется двойственная
теория. Правые производные функторы ковариантного аддитивного
функтора Т определяются все одновременно (а не с помощью
рекуррентной формулы, как сателлиты): Л"Г(Л) = Нп(Т(Х)), где
О —* А —> Х° —* X1 —► ... — инъективная резольвента модуля
А] для контравариантного модуля берется проективная резольвента
... _► у 1 _► у о _♦ А _► о. Если, напротив, взять проективную
резольвенту в случае ковариантного функтора Т и инъективную в случае,
когда Т контравариантен, то получатся левые производные
функторы LnT. Когда Т ковариантен (соответственно контравариантен),
каждая точная последовательность модулей 0 —* А' —* А —* А" —* 0
определяет связывающие гомоморфизмы H*T(AM) —► 1Р*+1Т(А') и
LnT(A") -» 1П_!Т(Л') (соответственно ЯГТ(А') -* ir+lT{A") и
L„T(A') —► Ln-iT(A")) и длинные последовательности производных
функторов точны. Аналогичным образом, производные функторы
многих аргументов определяются с помощью надлежащих
резольвент для каждого аргумента. Существуют морфизмы функторов
т°: Г —► ЯРТ и <т0: L0T —► Г; для того чтобы первый (соответственно
второй) из них был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы
Т был точен слева (соответственно справа). Если это условие
выполняется, то для точности функтора Т необходимо и достаточно, чтобы
RlT = 0 (соответственно L\T — 0). Начиная с морфиэмов <г0 и т°,
можно определить морфизмы <т„: L„T -* SnT и т": S"T -* Я"Т.
Первый является изоморфизмом, если Г точен справа, а второй — если Г
точен слева. Теория производных функторов используется для
определения функторов Тог (производные функторы тензорного
произведения) и Ext (производные функторы функтора Нот); функторы Тог
позволяют удобно выразить полученные Кюнеттом [27] соотношения
между гомологиями произведения двух топологических пространств
и гомологиями сомножителей, и именно для того, чтобы понять эти
соотношения, Картан и Эйленберг занялись разработкой
гомологической алгебры. Построенная таким образом теория позволяет также
унифицировать различные теории когомологий: когомологии алгебр
(Хохшильд [24]), конечных групп (Тейт), алгебр Ли (Шевалле,
Эйленберг [11])- Теории спектральных последовательностей посвящена
гл. 15 книги Картана и Эйленберга, а в следующей главе
рассматриваются ее приложения. Речь по существу идет о спектральных
последовательностях композиций функторов, член E*q которых является

56
Краткий исторический очерк
композицией производных функторов, тогда как «предел» является
градуированным функтором, ассоциированным с производным
функтором композиции функторов (для подходящей фильтрации).
Последняя глава книги посвящена гипергомологиям: показано, что если
Т — аддитивный функтор на категории модулей я А — комплекс
модулей, то когомологии двойного комплекса Т(Х), где X —
«резольвента Картана-Эйленберга» комплекса А (это двойной комплекс), не
зависят от выбора X. Эти когомологии обладают такой фильтрацией,
что ассоциированный градуированный модуль будет «пределом» двух
спектральных последовательностей, членами E%q которых являются
соответственно H'{R?T{А)) и (Д«Т)(#Р(Л)).
В [2] Д. Буксбаум предложил более широкую абстрактную область
для построения гомологической алгебры — точные категории,
которые ввел для своих целей Гротендик, назвавший их абелевыми
категориями. Аксиомы точных категорий приведены в добавлении к
книге Картана и Эйленберга. Работа Гротендик а [14] имела целью
ввести в единые рамки теорию когомологии топологических пространств
с коэффициентами в пучке и теорию производных функторов для
функторов, определенных на модулях, аналогия между которыми
очевидна. И он указал такие рамки весной 1955 г. в Канзасском
университете. Гротендик определил абелевы категории как
аддитивные категории, в которых каждый морфизм имеет ядро и коядро и
естественный морфизм его кообраза на образ является
изоморфизмом. Пусть С — абелева категория, в которой существуют
бесконечные прямые суммы; тогда каждый ее объект вкладывается в инъек-
тивный, если потребовать существования «образующей» (объекта U,
такого, что мономорфизм i: В —► А является изоморфизмом, если
Hom(f/, i) биективен, или, что то же самое, любой объект является
факторообъектом объекта U^) и выполнения условия (АВ5): если
(Ai) — возрастающее направленное семейство подобъектов объекта А,
то для любого В С А имеет место равенство (£ Ai)(lB — ^2(AiC\B); в
этом случае говорят, что С содержит достаточно много инъективных
объектов.
Гротендик назвал 5-функтором на С последовательность (Т*)
аддитивных, например ковариантных, функторов, такую, что для
каждой точной последовательности 0 —► А' —► А —► А" —► 0 в С
задана последовательность связывающих гомоморфизмов д: Т*(А") —*■
Ti+1(A'), функториально зависящих от точной последовательности и
таких, что композиция любых двух последовательных морфизмов в
длинной последовательности
у Т*(А') -* Т(А) -» Г (А") -» Г+1(А') -»...
равна нулю. Он определил последовательность правых
сателлитов S*F ковариантного функтора F как универсальный д-функтор

Краткий исторический очерк
57
в том смысле, что для любого d-функтора (Т*) каждый морфизм
/°: F —*■ Т° продолжается до единственного морфизма 3-функторов
E*F) —► (Г*); это определение соответствует аксиоматическому
описанию сателлитов, данному Картаном и Эйленбергом. Левые
сателлиты определяются аналогично с помощью д*-функторов. Бели
каждый объект вкладывается в инъективный, то для любого кова-
риантного аддитивного функтора F существуют правые сателлиты
5*F (i ^ 0), а если F, например, точен слева или справа, то
сателлиты образуют точный d-функтор. Производные функторы
определяются, как в книге Картана и Эйленберга, с помощью
инъективных и проективных резольвент, существование которых необходимо
предположить. Гротендик распространяет на абелевые категории
теорию спектральных последовательностей и гиперкогомологий. В
частности, он рассматривает для этого случая спектральную
последовательность для композиции ковариантных аддитивных
функторов F: С —*■ С и G: С —*■ С; предположим, что С я С содержат
достаточно много инъективных объектов, что G точен слева и что
R?G(F(I)) — 0 для всех q, если / — инъективный объект категории
С; тогда мы получаем спектральный функтор, сходящийся к
функтору R(GF) (снабженному надлежащей фильтрацией) и такой, что
Щ9(А) = RPG{R*F{A)) для любого объекта А из С.
Предпучком множеств на топологическом пространстве Гротендик
называет индуктивную систему множеств (F(U)), определенную на
множестве открытых подмножеств U из X (упорядоченном
отношением включения). Пучки по Гротеднику — это те предпучки, для
которых выполняется следующее условие: если ({/,) — покрытие
открытого множества U непустыми открытыми множествами, а (/<) —
семейство элементов /,• € F(Ui), такое, что ограничения элементов
/,- и fj на Ui Л Uj совпадают в F(Ui Л Uj) для любой пары индексов
(*.i). то существует единственный элемент / € F(U), ограничение
которого на Ui совпадает с /,• для любого индекса i. Это условие
выражает тот факт, что естественные отображения F(U) —► f(F, U), где
через F обозначен пучок в смысле Картана (накрывающее
пространство), ассоциированный с предпучком F, биективно. Определяются
также пучки со значениями в некоторой категории, например пучки
групп, пучки колец и т. д. Если О — пучок колец на X, то
категория О-модулей (т. е. пучков левых модулей) является абелевой и в
ней существуют бесконечные прямые суммы; она имеет образующую
(прямую сумму пучков Ои, совпадающих с О на U и равных нулю
на X — U, где U — переменное открытое множество в X), а значит,
имеет достаточно много инъективных объектов.
Гротендик, развивая теорию когомологий с коэффициентами в
пучке, не налагает никаких ограничений иа пространство, что
позволяет применять эту теорию к нехаусдорфовым пространствам, ко-

58
Краткий исторический очерк
торые рассматриваются в алгебраической геометрии (топология За-
риского; Серр [40] использовал для когерентных пучков когомологии
Чеха покрытий открытыми аффинными множествами, установив, что
последние когомологически тривиальны в случае когерентных
коэффициентов). Семейства носителей, которые рассматривал Гротендик,
являются более общими, чем у Картана: это непустые
наследственные семейства замкнутых подмножеств, являющиеся возрастающими
направленными. Функтор F —» Гф(Р) (глобальные сечения с
носителями в Ф абелева пучка F, т. е. пучка абелевых групп) точен слева,
и гомологии НФ(Х, F) определяются как последовательность правых
производных функторов этого функтора; их можно вычислить с
помощью инъективной резольвенты пучка F. Спектральная
последовательность непрерывного отображения / : У —► X появилась как
частный случай спектральной последовательности для композиции
функторов; если ФлФ — семейства носителей на X и У
соответственно, причем Ф — паракомпактифицирующее (т. е. удовлетворяющее
условиям Картана) семейство или Ф образовано всеми замкнутыми
подмножествами в У, то существует спектральный функтор с
начальным членом Epf{F) = H"(X,IVf9(F)), сходящийся к H^,(Y,F) (F —
абелев пучок на У), где ft — функтор прямого образа «с
носителями в Ф», Rqft — его q-& правый производный функтор, а Ф' —
подходящая модификация семейства Ф (если Ф включает в себя все
замкнутые подмножества пространства У, то это — множество
замкнутых подмножеств А из У, таких, что f(A) £ Ф). Пучок Rqfo(F)
(высший прямой образ) — это пучок, ассоциированный с предпучком
U -* #Lm(/_1(^)> F) (Ф(и) — локализация семейства Ф над
открытым подмножеством U из X). Аналогичным образом, спектральная
последовательность, связывающая когомологии Чеха открытого
покрытия U с настоящими когомологиями, тоже получается как
приложение спектральной последовательности композиции функторов; ее
член £f* — это HP(U,H1(F)), где Я'(Г) — пучок, ассоциированный
с предпучком V t-> #'(V, F) (это q-й правый производный функтор
функтора вложения категории пучков в категорию предпучков).
Конец работы [14] содержит совершенно новый материал,
посвященный функторам Ext для пучков модулей, включая
спектральную последовательность, связывающую «локальные» функторы Ext
с «глобальными» функторами Ext, и когомологиям с
коэффициентами в пучках для пространств с группами операторов, где действие
групп эквивариантно. Теория функторов Ext для пучков позволила
Гротендику сформулировать и доказать теорему двойственности Сер-
ра на проективных алгебраических многообразиях в случае, когда у
них могут быть особенности (см. [15] и [16]).
Первая книга, в которой систематически излагается теория
пучков, была опубликована Р. Годеманом в 1958 г. [13]. Принятая в ней

Краткий исторический очерк
59
точка зрения близка к позиции Гротендика. Главное новшество —
это введение некоторых исключительно полезных классов
ациклических пучков — вялых и мягких пучков, которые легче использовать,
чем инъективные и тонкие, при построении резольвент. Говорят, что
Т — вялый пучок, если любое сечение этого пучка над открытым
множеством продолжается на все пространство; инъективный пучок
является вялым. Когда ядро эпиморфизма С *-* С" абелевых
пучков — вялый пучок, гомоморфизм C(U) —► C"(U) сюръективен для
любого открытого множества U. Любой пучок Т канонически
вкладывается в вялый пучок С°(Р): V >-*■ П*ес/ ^(*)> что Д3*1
каноническую вялую резольвенту 0 —* Т —► С0 —* С1 —►..., которая
позволяет вычислять когомологии с коэффициентами в Т, поскольку вялые
пучки являются Ф-ациклическими для любого семейства носителей
Ф. Говорят, что пучок Т на пространстве X является мягким, если
любое его сечение над замкнутым подмножеством пространства X
продолжается на все X; его называют Ф-мягким (Ф — паракомпакти-
фицирующее семейство), если для любого S £Ф ограничение F\S —
мягкий пучок. Если X паракомпактно, то любой вялый пучок мягок.
Бели ядро эпиморфизма С —* С" есть Ф-мягкий пучок, то
гомоморфизм Гф(С) —» Гф(С") сюръективен; отсюда следует, что Ф-мягкий
пучок Ф-ацикличен и что Ф-когомологии можно вычислять с
помощью Ф-мягких резольвент. Если пучок колец А является Ф-мягким,
то Ф-мягким будет и любой Л-модуль. Абелевы Ф-тонкие пучки
характеризуются тем, что их пучки локальных эндоморфизмов (над Z)
являются Ф-мягкими.
5. Производные категории и операции
над пучками
В 1957-1965 гг. Гротендик для нужд алгебраической геометрии
значительно продвинул развитие гомологической алгебры и теории
пучков, введя понятие производной категории и формализм
операций над пучками в рамках производных категорий. Кроме того,
чтобы определить хорошие когомологии схем с постоянными
коэффициентами, он пришел к расширению понятия топологического
пространства, заменив его понятиями ситуса и топоса. Семинар по
алгебраической геометрии в Институте высших научных исследований,
душой которого с I960 по 1968 г. был Гротендик, проходил под
знаком этого обновления теории. В 1961-62 г. он был посвящен теории
локальной двойственности для когерентных алгебраических пучков;
были введены когомологии с носителями в локально замкнутом
подпространстве, понятие дуализирующего модуля, а также изучались
функторы Ext для квазикогерентных пучков на схемах. Чтобы
получить теоремы двойственности в удовлетворительной форме, нужно

60
Краткий исторический очерк
было располагать языком производных категорий, который
сформулировал Вердье в своей диссертации 1963 г., следуя идеям Гротендика
(см. [42]). На этом языке работа ведется не с когомологическими
инвариантами, но прямо с комплексами, причем множество морфизмов
расширяется так, чтобы морфизм комплексов, который индуцирует
изоморфизм в когомологиях, стал изоморфизом; тем самым можно
избежать опасной операции перехода к подфакторам. Полные
производные функторы в смысле производных категорий устроены при
подходящих предположениях так же, как те функторы,
производными к которым они являются, и спектральные последовательности
появляются лишь тогда, когда нужно вычислять когомологии.
Р. Хартсхорн посвятил семинар в Гарварде 1963-64 гг. изучению
теории двойственности для когерентных алгебраических пучков по
«предварительным наброскам» Гротендика; он опубликовал записки
этого семинара в 1966 г. [21]. Теоремы двойственности
формулируются в относительной ситуации, когда f:X—*Y — морфизм нётеровых
(пред)схем. Наряду с обычным обратным образом /* пучков
Оу-модулей и его левым полным производным функтором Lf* (в смысле
производных категорий) в подходящих предположениях
определяется функтор обратного образа f (в производных категориях),
обладающий морфизмом следа Tr/: Rf»f' —* id, так чтобы имел место
изоморфизм двойственности RYLomox(F, f'G) ~ RRomoY(Rf*F, G), где
F принадлежит производной категории Ох-модулей, & G —
производной категории Оу-модулей. Бели / является гладким и имеет
относительную размерность п, то /!(G) = /*(G) ®ы[п], где и = #х,у —
пучок относительных дифференциальных форм степени л; когда /
конечен, /!(G) = "HomoY(f*Ox,G). Общая конструкция
чрезвычайно сложна. Аналогичная конструкция для этальных когомологии
была найдена Гротендиком на его семинаре 1964-65 гг., где он
изложил теорию двойственности для /-адических когомологии. Это
алгебраический и относительный аналог двойственности Пуанкаре.
Соответствующую теорию в обычной топологии развил Вердье [43]
в 1965 г., получив также относительное обобщение двойственности
Пуанкаре в случае непрерывного отображения /: X —► Y хаусдор-
фовых топологических пространств, когда Y локально паракомпакт-
но и / «локально евклидово» в следующем смысле: локально нщ
Y оно является замкнутой иммерсией, сопровождаемой проекцией;
V хШп —* V (V открыто в У); при дополнительном предположение^
что когомологическая размерность отображения / и топологическая
размерность пространства X конечны, имеет место изоморфизм
двойственности REom(f<.(F'),G') a. RKom(F',f'(G')), где /; — функтор
прямого образа с собственными носителями, и правый сопряженный
функтор / получается из резольвенты функтора р/: G' —» {пучок»

Краткий исторический очерк
61
ассоциированный с предпучком (U >-* Нот'[f*(Ju),G'))}, где J —
инъективная резольвента постоянного пучка Z на X.
М. Сато и М. Касивара ([38] и [25]) приспособили методы Гро-
тендика к изучению систем уравнений в частных производных и к
микролокальному анализу. Это дало важный толчок дальнейшему
развитию, и на новом витке берущая начало в этих работах техника
Р-Модулей оказалась плодотворной в алгебраической геометрии.
Библиография
1. Alexander J. W. On the connectivity ring of an abstract space. Ann.
Math. 37, 698-708A936).
2. Buchsbaum D. A. Exact categories and Duality. Trnas. A. M. S. 80,
1-34A955). [Имеется перевод в книге [7], добавление.]
3. Cartan H. Sur la cohomologie des espaces oil opere un groupe. C.R.
Acad. Sc. Paris 226, 148-150, 303-305A948).
4. Cartan H. Seminaire «Topologie algebrique», Iе ann'ee A948-49).
5. Cartan H. Sur la notion de carapace en topologie algebrique. Colloque
de topologie algebrique. CNRS 1-2 A947).
6. Cartan H. Seminaire «Cohomologie des groupes, suite spectrale, fais-
ceaux». 3e annee A950-51).
7. Cartan H., Eilenberg S. Homological Algebra. Princeton Univ. Press
A956). [Имеется перевод: Картан А., Эйленберг С.
Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, I960.]
8. Cartan H., Serre J.-P. Un theoreme de finitude concern ant les varietes
analytiques compactes. С R. Acad. Sc. Paris 237, 128-130{1953).
9. Cech E. Multiplications on a complex. Ann. Math. 37, 681-697
A936).
10. Chern S. S., Spanier E. The homology structure of fibre bundles. Proc.
Nat. Acad. Sc. USA 36, 248-255 A950).
11. Chevalley C. Eilenberg S. Cohomology theory of the Lie groups and
Lie algebras. Trans. A. M. S. 63, 85-124 A948).
12. Eilenberg S., Maclane S. Group extensions and homology. Ann. Math.
43, 758-831 A942).
13. Godement R. Topologie algebrique et theorie des faisceaux.
Hermann, Paris A958). [Имеется перевод: ГодеманР. Алгебраическая
топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.]
14. Grothendieck A. Sur quelques points d'algebre homologique. Tokoku
Math. J. 9, 119-221 A957). [Имеется перевод: Гротендик А. О
некоторых вопросах гомологической алгебры. — М.: ИЛ, 1961.].
15. Grothendieck A. Theoremes de dualite pour les faisceaux algebriques
coherents. Sem. Bourbaki 149 A957).

62
Краткий исторический очерк
16. Grothendieck A. The cohomology of abstract algebraic varieties.
Intern. Congress of Math, at Edinburgh 1958. Cambridge, 103-118
(I960).
17. Grothendieck A. Cohomologie locale des faisceaux coherents et theo-
remes de Lefschetz locaux et globaux. Sem. de Geometrie algebrique
1962 (SGA2), North-Holland, Amsterdam A968).
18. Grothendieck A. Cohomologie /-adique et fonctions L. Sem. de
Geometrie algebrique 1964-65 (SGA5). Lect. Notes. Math. 589.
Springer, Berlin Heidelberg New York A977).
19. Grothendieck A. Recoltes et semailles. Prepublication de l'Universite
de Montpellier.
20. Gysin W. Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen der
Mannigfaltigkeiten. Comment. Math. Helv. 14, 61-122A941).
21. Hartshorne R. Residues and Duality. Lect. Notes Math. 20. Springer,
Berlin Heidelberg New York A966).
22. Hirsch G. Sur les groupes d'homologie dos espaces fibres. Bull. Soc.
Math. Belgique 23-33 A947-48).
23. Hopf H. Quelques problemes de la theorie des representations
continues. Ens. Math. 35, 334-347 A936).
24. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra.
Ann. Math. 46, 58-67 A945).
25. Kashiwara M. Algebraic study of systems of partial differential
equations. Thesis, Univ. of Tokyo A970).
26. Koszul J.-L. Homologieet cohomologie des algebres de Lie. Bull. Soc.
Math. France 78, 65-127 A950).
27. Kiinneth H. fiber die Torsionzahlen von Produktmannigfaltigkeiten.
Math. Ann. 91, 65-85 A923).
28. Lefschetz S. On certain numerical invariants of algebraic varieties with
applications to abelian varieties. Trans. A. M. S. 22, 327-382 A921).
29. Leray J. Sur la forme des espaces topologiques et sur les points fixes
.• des representations. J. Math. Puree et Appl., 9" serie 24, 95-167
•*•',' A945); Sur la position d'un ensemble ferme de points d'un espace
,-. topologique, ibid. 169-199; Sur les equations et les transformations,
ibid. 201-248.
30. Leray J. Proprietes de l'anneau d'homologie de la projection d'un
espace fibre sur sa base. С R. Acad. Sc. Paris 223, 395-397 A946).
31. Leray J. L'anneau spectral et l'anneau nitre d'homologie d'un espace
localement compact et d'une application continue. J. Math. Pures et
Appl., 9e serie 29, 1-139 A950).
32. Leray J. L'homologie d'un espace fibre dont la fibre est connexe, ibid.
169-213.
33. Leray J. et Schauder J. Topologie et equations fonctionnelles. Ann.
ENS 51, 45-78 A934).

Краткий исторический очерк
63
34. Ока К. Sur quelques notions arithmetiqiies. Bull. Soc. Math. France
78, 1-27 A950).
35. Oka K. Lemme fundamental. Journ. Math. Soc. Japan 3, 204-214 et
259-278 A951).
36. Picard E. Memoire sur les fonctions algebriques de deux variables
independantes. J. Math. Puree et Appl. 5, 135-319 A889).
37. de Rham G. Sur 1'Analysis Situs des varietes a n dimensions. J. Math.
Pures et Appl., 9e serie 10, 115-200 A931).
38. Sato M. Hyperfunctions and partial differential equations. Proc.
Intern. Conference on Functional Analysis and related Topics Tokyo
1969, 91-94. Univ. Tokyo Press A969).
39. Serre J.-P. Un theoreme de dualite. Comm. Math. Helv. 29, 9-26
A955).
40. Serre J.-P. Faisceaux algebriques coherents. Ann. Math. 61, 197-278
A955). [Имеется перевод: Серр Ж.-П. Когерентные
алгебраические пучки. — В кн.: Расслоенные пространства. — М.: ИЛ, 1958,
с. 372-450.]
41. Steenrod N. Homology with local coefficients. Ann. Math. 44, 610-
627 A943).
42. Verdier J.-L. Categories derivees (Etat 0). Lect. Notes Math. 569,
262-312. Springer, Berlin Heidelberg New York A977).
43. Verdier J -L. Dualite dans la cohomologie des espaces localement
compacts. Sem. Bourbaki 300 A965-66).
44. Wang H.C. The homology groups of the fiber bundles over a sphere.
Duke Math. J. 16, 33-38 A949).
45. Weil A. Lettre a H. Cartan. Oeuvres 2, 44. Berlin A985).
46. Weil A. Sur les theoremes de de Rham. Comm. Math. Helv. 26
A952).
47. Whitney H. On products in a complex. Ann. Math. 39, 397-432
A938).
48. Dieudonne J. A History of Algebraic and Differential Topology 1900-
1960. Birkhauser, Boston A989).

Глава 1
Гомологическая алгебра
В этой главе излагаются основы гомологической алгебры, необход»
мые для понимания дальнейших глав книги: категории и функторы,
триангулированные категории, локализация, производные категория,
. индуктивные и проективные объекты, условия Миттаг-Лефлера.
Так как невозможно в одну главу вместить изложение всех
нужных нам результатов из гомологической алгебры, часть
вспомогательных утверждений мы сформулировали в виде упражнений и оставили
до гл. X изложение теории t-структур (которая до этой главы не
используется).
Без сомнения, читатель может также с большой пользой для
себя изучить классические монографии и статьи по этому разделу
математики, такие, как [Bourbaki 1], [Cartan-Eilenberg 1], [Freyd 1],
[Gabriel-Zisman 1), [Godement 1], [Grothendieck 1], [Hilton-Stammbach
1], [Iversen 1], [MacLain 1], [Mitchell 1], [Northcott 1], а особенно
монографии [Deligne 1], [Гельфанд-Манин 1], [Hartshorne 1] и [Verdier 2],
где рассматриваются производные категории.
Замечание 1.0. Хорошо известно, что неосторожная работа с
категорией множеств опасна. Один из способов избежать опасности —
работать исключительно в пределах данного универсума, и это мы
всегда будем предполагать. Такое предположение не влияет на
постановку наших задач, и больше к этому вопросу мы возвращаться
не будем.
1.1. Категории и функторы
Определение 1.1.1. Категорией С называется следующий набор
данных:
(i) семейство ОЬ(С), члены которого называются объектами
категории С;
(ii) набор множеств llomc(X,Y), определенных для всех пар
(X, У), X,Y £ Ob(C), элементы которых называются морфиз-
мами из X в У;
(Hi) набор отображений из Яотс(Х, Y) x Нотс(У> Z) в
Яотс(Х, Z), определенных для всех троек (X, Y, Z), X,Y,Z

1.1. Категории и функторы
65
€ ОЬ(С), которые называются отображениями композиции и
обозначаются (/, д) *-* д о /.
Эти данные удовлетворяют следующим условиям:
A.1.1) композиция морфизмов ассоциативна,
A.1.2) для любого объекта X € ОЪ(С) существует морфизм \&х €
Котс(Х,Х), такой, что foidx = / « idx°ff = g для всех
f € Eomc(X,Y) и всех g € Eomc(Y,X).
Отметим единственность морфизма id* для каждого X € ОЬ(С).
Из соображений краткости мы будем писать /: X —► У для
обозначения морфизма / € Romc(X,Y). Морфизм f:X—*Y
называется изоморфизмом, если существует морфизм g: Y —* X, такой, что
fog= idy я go f = id*• Если / — изоморфизм, то мы будем
использовать обозначение /: X'. ^* Y или X ^ У, когда понятно, о каком
морфизме идет речь.
Пример 1.1.2. Через 6ei мы будем обозначать категорию множеств
и их отображений.
. Подкатегорией категории С называется такая категория С,
что ОЬ(С') С ОЬ(С) и для каждой пары (Л", У), Л", У € ОЬ(С'),
Ноте (X, У) С Romc(X,Y). Кроме того, id* € Home (.У, X) и
отображение композиции для С есть ограничение отображения композиции
для С.
Бели, кроме того, Ногт»с(Х, У) = Нотс(^, У) для любой пары
(X, У), X, У G ОЬ(С'), то С называется полной подкатегорией
категории С.
Пример 1.1.3. Обозначим через Тор категорию топологических
пространств и непрерывных отображений. Тогда Тор является
подкатегорией категории 6ei, но не является ее полной подкатегорией.
Пусть С — категория. Противоположная категория, обозначаемая
через С, определяется следующим образом:
( ОЬ(С°) = ОЬ(С),
A.1.3) \ Ноте» (X, Y) = Нотс(У, X) для любых Л", У G ОЬ(С)
I с очевидным законом композиции.
Пусть /: X -+ У — морфизм в С. Мы назовем / моноформизмом, если
для любого W € ОЬ(С) и для любых g, g' € Homc(W^,^), таких, что
/ о д = / о д1, имеет место равенство д = д'. Мы назовем /
эпиморфизмом, если он является мономорфизмом в противоположной
категории С, т. е. для любого Z G ОЬ(С) и для любых h, h' G Ношс(У, Z),
таких, что h о f = h' о f, имеет место равенство h = h'.
1 ■ М. Касивара, П, Шагшра

66
Гл.1. Гомологическая алгебра
Объект Р категории С называется начальным, если множество
Нотс(Л^) содержит ровно один элемент для любого У € ОЬ(С).
Аналогично, объект Q называется конечным, если множество.
Romc(X,Q) содержит ровно один элемент при любом X, т. е. Q —
начальный объект в С. Заметим, что два начальных (соответственно
два конечных) объекта естественно изоморфны.
Определение 1.1.4. Пусть С я С — категории. Функтором F из
категории С в категорию С называется следующий набор данных:
(i) отображение F: ОЬ(С) -> ОЬ(С');
(ii) отображение F: Homc(X,Y) -> Eomc(F(X),F(Y)) для
любых Л", У € ОЦС).
Эти данные подчиняются следующим условиям:
A.1.4) F(idx) = id>(Jf),
A.1.5) F(fog) = F(f)oF(g).
Определенный таким образом функтор F называют также
ковариантным функтором из С в С, а функтор из С в С называют кон-
травариантным функтором из С в С.
Пусть, например, X € ОЪ(С). Тогда отображение Яотс(Х,-):
Z >-* Eomc(X,Z) является (ковариантным) функтором из С в 6et,
a Homc(-,^): Z *-* Homc(Z,X) является контравариантным
функтором из С в 6et
Определение 1.1.5. Пусть F\ и Fa — функторы из С в С Морфизм
в из F\ в Fi состоит из следующих данных:
для любого X € ОЬ(С) определен элемент
e(X)€Eoma(F1(X),F2(X)).
При этом выполнены следующие условия:
A.1.6) для любого / € Romc(X,Y) диаграмма
F,(X) -^U F2(X)
[ы/) |л(/)
Fl(Y) J¥l+ F2(Y)
коммутативна.
Отметим, что, имея категории С и С, мы получаем таким образо!
новую категорию, объектами которой являются функторы из С в и
а морфизмами — морфизмы функторов.

1.1. Катеюрии и функторы
67
Определение 1.1.6. Функтор F из С в 6ei называется представи-
мым, если существует объект X € ОЬ(С), такой, что F изоморфен
функтору Нотс(-^> •)•
В этом случае выбор X однозначен с точностью до изоморфизма,
и говорят, что объект X представляет функтор F.
Аналогичное определение можно дать для контравариантных
функторов.
Определение 1.1.7. Пусть F:C-*C — функтор.
(i) Мы называем функтор F вполне строгим, если
A.1.7) для любой пары (X,Y) объектов из ОЬ(С) отображение
Romc(X,Y) —* Homc'(.F(X), F(Y)) является биекцией.
(ii) Мы называем функтор F эквивалентностью категорий, если
имеет место A.1-7) и, кроме этого,
A.Ь8) для любого X' € ОЬ(С') существует X € ОЬ(С), такой, что
F(X) изоморфен X'.
Отметим, что F является эквивалентностью категорий в том и
только том случае, когда существуют функтор F': С —► С и
изоморфизмы функторов F о F' ~ idci и F' о F ~ idc. В этом случае мы
называем функтор F' квазиобратным к F.
Существует вложение категории С в категорию С всех
контравариантных функторов из С в 6ct.
Пусть h:C —► Cv — функтор X *-* Homc(-, X).
Предложение 1.1.8. (i) Для любого X € ОЬ(С) и любого F € Ob(Cv)
nomcv(h(X),F)~F(X).
(ii) Функтор h является вполне строгим.
Доказательство, (i) Морфизму / € Котс*(п(Х), F) мы сопоставим
Ф(/) € F(X) следующим образом. Так как / — это морфизм
функторов из Л(Х) в F, то f(X) определяет отображение из h(X)(X) =
Romc(X, X) в F(X). Теперь определим ф(/) как образ морфизма id* ■
Обратно, элементу s € F(X) мы сопоставим ф(в) € Komcv(h(X),F)
следующим образом. Для У € ОЬ(С) рассмотрим отображения
h(X)(Y) = nomc(Y,X)
^Hometi(F(X),F(Y))
- F(У),
з*

68 Гл.1. Гомологическая алгебра
где последняя стрелка определена элементом s. Легко проверить, что
ф я ф взаимно обратны.
(ii) Применяя (i) к Л(У), получаем
НотИЛрО,Л(У))~Л(У)(Х)
= Horace, У). П
Заметим, что контравариантный функтор F: С —► 6et представим
тогда и только тогда, когда он изоморфен h(X) для некоторого X 6
ОЦС).
Аналогично можно рассмотреть категорию СА, противоположную
категории Cv, т. е. категорию (ковариантных) функторов из С в Set.
Существует естественная эквивалентность категорий
и функтор h' : С —► СА, X *-* Romc(X,-), также является вполне
строгим.
1.2. Абелевы категории
Определение 1.2.1. Категория С называется аддитивной, если
(i) для любой пары (X,Y) объектов из ОЬ(С) множество
Komc(X,Y) имеет структуру аддитивной (абелевой) группы
и закон композиции билинеен;
(ii) существует объект 0 € ОЬ(С), такой, что Нотс@,0) = 0;
(iii) для любой пары (X,Y) объектов из ОЬ(С) функтор
W н* Hopic(X, W) х Home (У, W)
представим;
(iv) для любой пары (X, У) объектов из ОЦС) функтор
W у-* Homc(W^, X) х Horned, У)
представим.
Отметим, что условия (iii) и (iv) эквивалентны, если выполнен»»
условия (i) и (ii). Более того, представляющие объекты в (iii) и (㻧|
изоморфны (см. упр. 1.3). Мы будем обозначать этот представляют
щий объект через X ф У и называть его прямой суммой объектов X
и У. Изоморфизм
НотсрГ ф У, X Ф У) ~ Потс(Х, X ф У) ф Нотс(У, X ф У)

1.2. Абелевы категории
69
определяет два морфизма, ассоциированных с idjt$y, И: X —► X ф У
и i2 : Y —+ X ф У. Эти морфизмы обладают следующим свойством
универсальности: для каждой пары морфизмов f:X—* W я g:Y —►
W существует морфизм h: X ф У —► W, такой, что диаграмма
коммутативна. Аналогичное утверждение справедливо для
обращенных стрелок.
Бели F — функтор из С в С, где С я С — аддитивные категории, то
F называется аддитивным, если для любой пары (X, Y) объектов из
ОЬ(С) отображение F из YLomc(X,Y) в Нотс^РО, F(Y)) является
групповым гомоморфизмом.
Будем считать теперь С аддитивной категорией. Пусть Z € ОЬ(С).
Функтор Нотс(£, •) сопоставляет морфнзму /: X —► У групповой
гомоморфизм
Eomc(Z,f): uomc(Z,X) -► Eomc(Z,Y).
Аналогично определяем
Homc(/, Z): Нотс(У, Z).-» Homc(*, Z).
Определение 1.2.2. Пусть / € Eomc(X,Y).
(i) Если функтор
Ker(Homc(-, /)): Z н* Ker(Homc(Z, /))
= {и € Homc(Z, Л-); / о и = 0}
представим, то представляющий его объект называется ядром
морфизма / и обозначается Кег /.
(ii) Аналогично, если функтор
Ker(Homc(/, ■)): Z н* Ker(Homc(/, Z))
= {и € Нотс(У, Z); f о и = 0}
представим, то представляющий его объект называется ко-
ядром морфизма / и обозначается Coker /.

70 Гл.1. Гомологическая алгебра
Отметим, что равенство Кег / = 0 (соответственно Coker / = 0)
равносильно тому, что / — мономорфизм (соответственно эпиморфизм).
Предположим, что морфизм / имеет ядро. Тогда существует
морфизм функторов
0: Homc(-,Ker/) -♦ Ъотс(;Х)
и /7(idKer/) определяет морфизм
а: Кег / —► X,
причем fj = Homc(-.a).
Морфизм а обладает следующим свойством универсальности:
любой морфизм е : W —* X, такой, что / о е = 0, пропускается через
а, т. е. пунктирная стрелка на приведенной ниже диаграмме всегда
существует и определена однозначно (делая диаграмму
коммутативной):
W
е
\
\
Кег/
Аналогично, если / имеет коядро, то существует морфизм функторов
6: Homc(Coker /, •) -► Нотс(У, ■),
который определяет морфизм
7: Y -* Coker/,
причем 7 есть решение задачи на универсальность, представленной
следующей диаграммой (где д о / = 0):
Z
Coker /
Предположим, что морфизм а: Кег/ —► X имеет коядро. Это коядро
называется кообразом морфизма / и обозначается Coim /.
Аналогично, предположим, что морфизм у : Y —* Coker/ имеет ядро. Оно

1.2. Абелевы категории
71
называется образом морфизма / и обозначается Im/. Из свойств
универсальности ядра и коядра следует, что если Coim / и Im /
существуют, то существует и естественный морфизм
A.2.1) Coim/->Im/.
Определение 1.2.3. Аддитивная категория С называется абелевой
категорией, если выполняются следующие условия:
(i) для любого морфизма f:X—*Y существуют Кег/ и Coker/;
(ii) канонический морфизм Coim/ —► Im/ является
изоморфизмом.
Примеры 1.2.4. (а) Пусть *8ап(С) — категория банаховых
пространств над С и непрерывных линейных отображений. Это
аддитивная категория. Более того, если f:X—*Y — морфизм, то можно
определить его ядро и коядро (коядро определим как У/Im/, где
Im/ — замыкание в У образа морфизма /). Отметим, что из
равенств Кег / = Coker / = 0 не следует, что / — изоморфизм. Значит,
категория ЗЗап(С) не является абелевой.
(b) Пусть А — кольцо с единицей. Тогда категория ШоЬ(А)
левых Л-модулей и Л-линейных отображений является абелевой. Пусть
Аор — кольцо, противоположное кольцу А; тогда абелева категория
ШоЬ(Аор) эквивалентна категории правых Л-моду лей.
Можно доказать, что любая абелева категория эквивалентна
полной подкатегории категории ШоЪ(А) для некоторого кольца А (см.
[Mitchell 1]).
(c) Интересный пример аддитивной категории, не являющейся
абелевой, дает категория фильтрованных левых модулей над
фильтрованным кольцом (гл. 11).
Теперь мы будем считать С абелевой категорией.
Определение 1.2.5. Последовательность морфизмов
X—+Y—+Z
I i
называется тонной, если
(i)ffo/ = 0;
(ii) естественный морфизм Im/ —► Кег д является изоморфизмом.
Обобщая это определение, мы назовем последовательность
морфизмов точной, если каждые два последовательных морфизма образуют
точную последовательность в смысле определения 1.2.5.

72
Гл.1. Гомологическая алгебра
Значит, если f:X—*Y — морфизм, то мы получаем две точны*
последовательности
0_>Кег/ —Л"->1т/ — 0,
О -♦ 1т/ -► У - Coker/ — 0.
Отметим, что последовательность 0 —* X —+ Y (соответственно X —►
/ /
У —► 0) точна в том и только том случае, когда / — мономорфизм
(соответственно эпиморфизм).
Определение 1.2.6. Пусть С и С — абелевы категории. Аддитивный
функтор F из С в С называется тонным слева (соответственно
справа), если для любой точной последовательности 0 —► X' —► X —► X"
(соответственно X' —* X —* X" —► 0) морфизмов из С
последовательность 0 -♦ F(X') -* F(X) -* F(X") (соответственно F(X') -* F(X) -*
F(X") -* 0) точна.
Бели функтор F является точным справа и точным слева, то он
называется тонным.
Контравариантный функтор F из С в С называется тонным
слева (соответственно тонным справа, соответственно тонным), если он
является таковым как функтор из С в С.
Пример 1.2.7. Пусть X € ОЬ(С). Тогда функторы Еотс(Х, ■)
и Яотс(-,Х) оба являются точными слева как функторы из С в
ШоЦХ).
Определение 1.2,8. Пусть X € ОЪ(С). Тогда объект X
называется инъективным (соответственно проективным), если функтор
Иотс{-,Х) (соответственно Котс(Х, ■)) точен.
Отметим, что Z € ОЬ(С) инъективен в том и только в том случае,
когда для всех диаграмм указанного ниже вида, в которых верхняя
строка точна, существует пунктирная стрелка, делающая диаграмму
коммутативной:
0 Л- У
/
/
Z
Другими словами, объект Z инъективен тогда и только тогда, когда
для всех мономорфизмов f:X—*Y морфизм Homc(/, Z) сюръек-
тивен.

1.3. Категория комплексов
73
Из этого замечания вытекает, что если 0—*X—*Y—*Z—*0 —
точная последовательность, а X — инъективный объект, то
последовательность расщепима (см. упр. 1.5).
Более того, если 0 —► X' —► X —► X" -» 0 — точная
последовательность морфизмов в С и X' инъективен, то X инъективен в том и
только в том случае, когда X" инъективен.
Аналогичные утверждения для проективных объектов получаются
при обращении стрелок.
Терминология 1.2.9. Если С — абелева категория, аО-»Х-»У->
Z —► 0 — точная последовательность, то X иногда называют подобъ-
ектом объекта Y, & Z — факторобъектом объекта У. Используется
обозначение Z — Y/X.
Обозначения 1.2.10. Как 9Ro9(Z), так и 21Ь будут обозначать
категорию абелевых групп.
Если А — кольцо и X — некоторый Л-модуль, то мы будем писать
Ногти (X, ■) вместо Нотяяо9(А)(Х, ■) и аналогично будем использовать
обозначение Нотд(-,Х).
Если кольцо А коммутативно, то значениями этих функторов
являются объекты из ШоЪ(А). Мы сохраняем в коммутативном случае
те же обозначения, но будем помнить, что это теперь функторы из
ШоЬ(А) в ШоЬ(А). Аналогично мы поступаем и с функторами X ®д ■
и -®л X.
1.3. Категория комплексов
Пусть С — аддитивная категория.
Определение 1.3.1. Комплексом в категории С называется такой
набор данных {Xn,d'x}nez. что для любого п € Ъ
A.3.1) Хп € ОЬ(С), d£ € Homc(A'n,A'n+1) и dnx+1 od£ = 0.
Морфиэмом f из комплекса X в комплекс У называется
последовательность {/n}n6Z морфизмов /" : Хп —► У", такая, что для
любого п
A.3.2) d£ о/" = /"+1 о d£ -
Определенную таким образом категорию комплексов категории С мы
будем обозначать С(С). Это аддитивная категория, и если С абелева,
то С(С) также абелева.

74 Гл.1. Гомологическая алгебра
Часто встречается и такое описание комплекса:
►Л'"-1 —>ХП —► Л'п+1 —>■■-.
d—l dt
ах х
Семейство djt = {dx}n называется дифференциалом комплекса X.
Комплекс X называется ограниченным (соответственно
ограниченным сверху, соответственно ограниченным снизу), если Хп — 0 для
всех | п !>• О (соответственно п ■< 0, соответственно п >• 0). Полная'
подкатегория категории С(С), состоящая из ограниченных
комплексов (соответственно ограниченных сверху, соответственно
ограниченных снизу), обозначается через С*(С) (соответственно С+(С),
соответственно С~(С)).
Мы отождествляем С с полной подкатегорией категории С(С),
состоящей из комплексов X, таких, что Хп — 0 при п ф 0.
Определение 1.3.2. Пусть it — целое число, а X € ОЬ(С(С)).
Определим комплекс Х[к] следующим образом:
Х[к]п = *•"+*,
d£[t] = (-!)*<#-*.
По морфизму /:Х-»У категории С(С) построим морфизм /[it]:
X[k] -* Y[k], полагая
A.3.4) /[к]п = Г+к-
Функтор [it] из С(С) в С(С) называется функтором сдвига степени it.
Определение 1.3.3. Морфизм f:X—*Y категории С(С)
называется гомотопным нулю, если существуют морфизмы sn: Хп —► У"-1,
такие, что для всех п
A.3.5) Г = «n+1 ° dx+dy-1
обговорят, что морфизм / гомотопен морфизму д, если их разность
/ — д гомотопна нулю. Мы обозначим через Ш(Х, Y) подгруппу
группы Нотс(С)(Х, У), состоящую из морфизмов, гомотопных
нулю. Легко видеть, что отображение композиции Homc(c)(^>^) x
Нотс(С)(У, Z) -► HomC(c)(*, Z) переводит Ht(A", У) х Яотс(с)(Х, %) и
Homc(c)(-^i У) х Ht(y, Z) в Ш{Х, Z). Это замечание позволяет
определить новую категорию К(С) следующим образом.
A.3.3)

1.3. Категория комплексов 75
Определение 1.3.4. Категория К (С) задается так:
ПЗГП f Ob(K(C)) = Ob(C(C)),
{ ■ Л) \ НотК(с)(Х, У) = НотС(с)(Х, У)/ НЦХ, У).
Аналогично определяются категории К*(С), К+(С) и К~(С). Они
являются полными подкатегориями в К(С).
Впредь (до конца раздела) мы будем считать категорию С абе-
левой.
Определение 1.3.5. Если X € ОЬ(С(С)), то полагаем
Zk(X) = Kerdkx, Bk(X) = lmdkx-\
Hk(X) = Сокег(В*(Л-) -+ Zk(X)).
Hk(X) называется k-ми когомологиями комплекса X.
Другими словами,
A.3.7) Hk(X) = Ker d^ /Im d$f *.
Отметим.что Ик (•) является аддитивным функтором из С(С) в С и
A.3.8) Нк(Х) = Н°(Х[к]).
Бели морфизм f:X—*Y гомотопен нулю, то Я*(/): Нк{Х) —* Hk(Y)
является нулевым морфизмом. Следовательно, #*(•) можно
рассматривать как функтор из К(С) в С.
Существуют точные последовательности
О — Я*(Л") — Coker(d^-1) - A-*+1,
О -♦ Zk-\X) -* Л"*-1 -к В*(Л") -♦ О,
О -» Я* (Л") -» Л"* -» Coker(d^T1) — О,
A.3.9) 0 -» Я*(Л") -» Coker d^1 -» Zt+1(A-)
^Я*+1(А-)^0.
Предложение 1.3.6. Пусть Q—*X—*Y—*Z—*U — точная
последовательность в С (С). ГогЛ» существует канонически определенная
длинная точная последовательность в С

76 Гл.1. Гомологическая алгебра
, нп(х) —, яп(У) —► яп(я) —► яп+1(л:) — • • •,
д
причел* если диаграмма
О ► X ► У ► Z ► О
I i i
О ► X' ► Y' > Z' ► О
является коммутативной диаграммой точных
последовательностей в С(С), то все диаграммы
Hn(Z) ► Нп*1(Х)
I i
Hn(Z') ► Яп+1(А")
коммутативны.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными
горизонтальными строками
Coker(d^_1) —► Coker(d£-1) —► Coker(d£-1) —► О
Н Ь idS
О —► Zn+l(X) —► Zn+l(Y) —► Zn^{Z)
Утверждение теоремы вытекает из A.3.9) и упр. 1.9. Доказательство
функториальности этой конструкции мы оставляем читателю. D
Пусть X £ ОЬ(С(С)). Мы определим усеченные комплексы т^п(Х)
и т^п(Х) следующим образом:
A.3.10) т<п{Х): ► Хп~2 -♦ X"-1 -► Kerd£ -► 0 -► •• • ,
A.3.11) т>п(Х): ► O-^Cokerd^-1—A-"+1 — Хп+2 -♦ • • •
Существуют морфизмы категории С(С)
A.3.12) т*п{Х)-*Х, Х^т>п(Х)
и при п' < п
A.3.13) т<п'(Х) -» т<п{Х), т>п'{Х) -» т>п(Х).
Кроме того, справедливо
Предложение 1.3.7. (i) Естественный морфизм Нк(т^п(Х)) —»
Нк(Х) является изоморфизмом при к ^ п и Нк(т^п(Х)) = 0 при
к> п.
(и) Естественный морфизм Нк(Х) —*■ Нк(т^п(Х)) является
изоморфизмом при к ^ п и Нк(т^п(Х)) при к < п.
Доказательство тривиально.

1.4. Конусы морфизмов
77
Замечание 1.3.8. Объекты X и У из С(С) называются гомотопно
эквивалентными, если они изоморфны в категории К(С), т. е. если
существует морфизм / € Нотс(С)(Х, У), который является
изоморфизмом в К(С). Этот морфизм / называется гомотопической
эквивалентностью.
Обозначения 1.3.9. (i) Рассмотрим последовательность {Х„,
d*}neZ, где Хп € ОЬ(С), d* € Homc(X„,Xn-i) и d*od*+1 = 0.
Такую последовательность мы также будем называть комплексом в
С. Действительно, полагая Хп — Х-„, djf = d_n, получаем, что
{Хп, d^} является комплексом в смысле определения 1.3.1.
(ii) Мы иногда будем обозначать через X' (соответственно
через X.) комплекс {Xn,djf} (соответственно {X„,d*}). Объект
Kerdn-1 /Imd* называется n-й группой гомологии комплекса X. и
обозначается через Я„(Х).
Обозначение 1.3.10. С этого момента мы полагаем т<п(Х) —
т<(—!>(Х) и г>"(Х) = т>1»+1Хх).
1.4. Конусы морфизмов
Пусть С — аддитивная категория и /: X —» У — морфизм в С(С).
Определение 1.4.1. Конусом морфизма /, обозначаемым через
М(/), называется объект в С(С), определенный следующим образом:
{М(/)п = Х'п+1фУп,
*Щ»-{г+1 dn)-
(Напомним, что d£щ = - d^+1.)
Определим морфизмы a(f): У —► М(/) и /?(/): М(/) —► Х[1]
следующим образом:
A.4.2) «/Г = (.„».),
A.4.3) W)" = (idT.„,0).
Лемма 1.4.2. Для любого морфизма /:Х-»У в С(С) существует
морфизм ф: Х[1] —*■ M(a(f)), такой, что
A.4.4) ф является изоморфизмом категории К(С);

78 Гл.1. Гомологическая алгебра
диаграмма
у j&L м(/) -&L дг[1] jM. y[i]
A.4.5) |иг ]*«(/) J* |
'dyjil
М(Я ——? MHf)) -* y[i]
коммутативна в K(C).
Заметим, что это утверждение ие имеет места в С(С). Отметим
далее, что морфизм ф не единствен даже в К (С). Этот факт является
источником многих трудностей теории, до сих пор не проясненных.
Доказательство. Имеем
M(a(/))n = Yn+1 ф M(f)n = Yn+1 ф Xn+1 ф У».
Определим морфизмы фп: Х[1]п -* М(«(/))" и фп: M(a(f))n -* Л"[1]"
следующим образом:
фп=ШХ.+г I, V" = @,idX-+»,0).
Тогда лемма вытекает из следующих утверждений:
(a) ф = (фп)„ и ф — (ipn)n являются морфизмами комплексов,
(b) ^o^ = idx[i],
(c) ф о ф гомотопен idj/(e(y)),
(d) ф о «(«(/)) = /?(/),
(e) Да(/))о^ = -/[1].
Все эти утверждения, кроме (с), доказываются легко. Для
доказательства (с) определим морфизм sn: M(a(f))n —» M(a(/))n_1 форму*
лой
'О 0 idy» \
-С
,0 0 0
Легко видеть, что
i«W(.(/))- -^ ° V>" = *n+1 ° <«м(«(/)) + «ЧЙш)°«"- °
Определим треугольник в категории К(С) как последовательности
морфизмов X —» У —> Z —► Х[1], а морфизм треугольников — как
коммутативную диаграмму в К(С)
X ► У ► Z ► Л"[1]
4 1 I Н
X' > У ► Z' > Х'[1]

1.4- Конусы морфизмов 79
Определение 1.4.3. Треугольник X -* Y -* Z -* Х[1] в
К (С) называется выделенным, если он изоморфен треугольнику
X' —► У —IM(/) —► Х'[1], построенному по некоторому морфизму /
из С(С).
Предложение 1.4.4. Совокупность выделенных треугольников в
К (С) обладает такими свойствами:
(TR0) Треугольник, изоморфный выделенному, является
выделенным.
(TR1) Для любого X £ ОЬ(К(С)) треугольник X ^ Л" — 0 -♦ Л"[1]
является выделенным.
(TR2) Любой морфизм /: X —► У категории К(С) л«оэм;ет быть вло-
»сен в выделенный треугольник X —*Y —* Z —* Х[1].
(TR3) Треугольник X ±>Y ±> Z ±+Х[\] является выделенным
тогда и только тогда, когда выделенным является треугольник
уДяЛх[1]^1]У[1].
(TR4) Если X±>Y -»г-. Х[1] и X'Cy' ^ Z' -* Х'[1] —
выделенные треугольники, то коммутативная диаграмма
X -^— Y
J. [.
X' —^ У
может быть продолжена (не обязательно однозначно) до
морфизма треугольников.
(TR5) (аксиома октаэдра). Пусть
X -^— У > Z' ► Х[1],
у __£__> z ► X' ► У[1],
Л" -CL*. z ► V ► Л"[1]
— выделенные треугольники; тогда существует выделенный
треугольник
г'-^У-^Г-» z'[i],

80 Гл.1. Гомологическая алгебра
такой, что диаграмма
X -^— у , Z' > Х[1]
id* J |, | |idxw
л- -^L^ z ► у ► A"[i]
4 Ь 1 i/[i]
У —S— Z ► X' ► У[1]
I I 1- I
Z' ► У ► X' ► Z'[l]
коммутативна.
Доказательство. Утверждения (TR0) и (TR2) очевидны, a (TR3)
следует из леммы 1.4.2.
Так как конус морфизма /: 0 —► X есть X, то треугольник 0 —* X
^-2*Х —► 0[1] является выделенным. Применяя (TR3), получаем
утверждение (TR1). Докажем теперь (TR4). Заменяя
треугольники X Л У -к Z -* Х[1] иГ^У'-»г'-» Л"'[1] изоморфными, будем
предполагать, что заданы два треугольника л
и х' £у'"-Щ M(f'I^ Х'[1]. Мы построим морфизм w: M(f) ->
M(f'), такой, что
М4йч ( w о a(f) = a(f') о v,
{"} \u[l]oP{f)=P{f')ow.
Из определения категории К(С) следует, что существуют морфизмы
sn : Хп -* У'"-1, такие, что vn о /» - /"» о ип = sn+1 о d£ + d^T1 osn.
Мы определим морфизмы wn : M(f)n = Xn+1 ФУ" -> M(/')n =
X/n+l ф y/n формулой
„ /«"+1 0 \
Прямое вычисление показывает, что w является изоморфизмом в
категории комплексов и удовлетворяет A.4.6).

1.4- Конусы морфизмов
81
Докажем (TR5). Мы можем предполагать, что Z' =■ M(f), X' =
М(д) и У = М(д о /). Определим морфизмы и: Z' —►У и t»: У —► X'
следующим образом:
Bn:Xn+1ezn-tyn+1ezn, "п=(о id°.)-
Морфизм w: X' —► Z'[l] определим как композицию X' —► У[1] —►
Z'[l]. Тогда диаграмма (TR5) коммутативна, и достаточно показать,
что Z' —*У -^* X' ^* Z'[l] — выделенный треугольник. Для этого мы
построим изоморфизм ф: М(и) —* X' я его обратный ф: X' —► М(и),
удовлетворяющие условиям ф о а(и) = vi /3(и) оф = w. Имеем
М(и)" = M(f)n+1 ф М(д о /)" = Хп+2 ф Уп+1 ф Л-п+1 ф Zn
и Х'п = М(д)п = Уп+1 ф Z". Определим ф я ф формулами
(О О
idy.+, О
О О
О id-r.+i
Легко проверяется, что ф я ф — морфизмы комплексов и ф о а(и)
= V, Р(и) о ф = w.
Имеем ф о ф = id*/. Бели мы определим морфизмы
(О 0 idx.+i О
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0,
то имеет место равенство
(idM(o) -ф о ф)п = s»*1 о йпЩи) + d^l) os".
Следовательно, ф о ф = idjv/(„) в К(С).
D

82
Гл. I. Гомологическая алгебра
Замечание 1.4.5. Утверждение (TR5) может быть описано
следующей октаэдральной диаграммой:
Диаграмма 1.4.1
1.5. Триангулированные категории
Мы приходим к понятию триангулированной категории, абстрагируя
свойства категории К(С).
Пусть С — аддитивная категория и Т: С —► С — ее автоморфизм.
Мы будем иногда писать [1] вместо Г и [ib] вместо Т* (т. е. Х[1] вместо
Т(Х) и /[1] вместо Г(/)).
Треугольником в С называется последовательность морфизмов
Л" -♦ У -♦ Z -* Т(Х).
Определение 1.5.1. Триангулированной категорией С называется
следующий набор данных:
A.5.1) аддитивная категория С, на которой задан автоморфизм Т:
С->С,
A.5.2) семейство треугольников, называемых выделенными, для
которых выполнены аксиомы (TR0)-(TR5) предложения 1.4.4
(напоминаем, что Х[1] — это Т(Х)).
Пусть (С,Г) и (С.Т") — две триангулированные категории.
Аддитивный функтор F: С —*■ С называется функтором
триангулированных категорий, если FoT~T'oFkF переводит выделенные
треугольники в С в выделенные треугольники в С.

1.5. Триангулированные категории 83
Очевидно, что если С — аддитивная категория, то К(С) —
триангулированная категория. Пусть теперь С — триангулированная
категория, а А — абелева категория.
Определение 1.5.2. Аддитивный функтор F:C—*A называется
когомологическим функтором, если для любого выделенного
треугольника Л" -► У -► Z -* Т{Х) последовательность F(X) -* F(Y) -* F(Z)
является точной.
Для когомологического функтора F мы будем писать Fk вместо
F о Г*. Тогда для любого выделенного треугольника X —*Y —* Z —*
Т{Х) получаем длинную точную последовательность
A.5.3) ► Fk~\Z) -» Fk(X) -» Fb(Y)
- F\Z) -» Fk+1(X) — • • • .
Предложение 1.5.3. (i) Если Х-^У-^Z —> T(X) — выделенный
треугольник, то </ о / = 0.
(И) Для любого W е ОЬ(С) функторы Нотс((У,-) и Нотс(-, W)
являются когомологическими.
Доказательство, (i) Из (TR1) следует, что Х^Х -*■ 0 -+ Г(Х) —
выделенный треугольник. Тогда из (TR4) вытекает существование
морфизма ф: 0 —► Z, такого, что диаграмма
X ► X ► 0 >Т(Х)
-1 /| i* |
X —L^ Y —2-> Z >Т(Х)
коммутативна.
Следовательно, jro/=<^o0=0.
(ii) Пусть X 1+ Y -^ Z —► Т(Х) — выделенный треугольник.
Чтобы доказать когомологичность функтора Homc(W,-),
достаточно доказать, что для любого ф £ uomc(W, У), д о ф = 0, существует
ф £ uomc(W, X), такой, что ф = / о ф. Но это следует из (TR1),
(TR3) и (TR4): эти аксиомы дают возможность построить стрелку ф,
делающую диаграмму
W -^ W  >T(W)
■ ■♦ I* I
л- * у —'—* z ► т(х)
коммутативной. Доказательство когомологичности функтора
Homc(-,W^) аналогично. П

84 Гл.1. Гомологическая алгебра
Замечание 1.5.4. Пусть С — аддитивная категория, а /: X —*Y —
морфизм в С(С). Композиция X -£■ У —I M(f), как правило, не равна
нулю в С(С), но равна нулю в К (С).
Следствие 1.5.5. Пусть
X ► У ► Z ► Г(Л")
4 4 в[ *Ц
X' ► У ► Z' ► Т(Х')
— морфизм выделенных треугольников. Тогда если фиф —
изоморфизмы, то ив — изоморфизм.
Доказательство. Пусть W £ ОЪ(С). Применим к предыдущей
диаграмме функтор Homc(W, •)• Получим коммутативную диаграмму с
точными строками. Так как Komc(W,4>) и Home(W,ф) —
изоморфизмы, так же как Homc(W,T(^)) и Нотс(ИЛ, Т(ф)), то, применяя
упр. 1.8, получаем, что Romc(Wt9) — изоморфизм. Теперь,
используя предложение 1.1.8, убеждаемся, что в — изоморфизм. D
Предложение 1.5.6. Пусть С — абелева категория. Тогда
функтор #"(•): К(С) —► С является когомологическим функтором.
Доказательство. Достаточно показать, что если f:X—*Y —
морфизм в С(С), то точна последовательность
H°(Y) -» H°(M(f)) -» H°{X[l)).
Поскольку 0 —► У —► М(/) —► Х[1] —► 0 — точная
последовательность в С(С), доказательство вытекает из предложения
1.3.6. D
Определение 1.5.7. Пусть С — абелева категория и /: X —> У —
морфизм в К(С). Он называется квазиизоморфизмом (сокращенно
киз), если H"(f) является изоморфизмом для всех п.
Из определения следует, что / — киз в том и только в том случае,
когда #"(М (/)) = 0 для всех п. Если / — киз, то мы будем писать
для краткости X —у У.
киз
Обозначение 1.5.8. Пусть С — триангулированная категория.
Выделенный треугольник X —* Y —* Z —* Т(Х) мы будем обозначать!
Л'—У-►£->.

1.6. Локализация категорий
85
Определение 1.5.9. Пусть С — триангулированная категория.
Треугольник X Д У -£» Z 2* Т(Х) называется антпивыделенным
треугольником в С, если треугольник X Д У —► Z ^Л Т(Х) выделенный.
Заметим, что категория С с семейством антивыделенных
треугольников является триангулированной категорией. Мы обозначим ее
через С.
1.6. Локализация категорий
Пусть С — категория, & S — семейство морфизмов в С.
Определение 1.6.1. Семейство S называется мультипликативной
системой, если выполняются следующие условия (S1)-(S4):
E1) id* € S для любого X € Ob(C).
E2) Для любой пары (/, g) морфизмов из S, таких, что композиция
g о / определена, g о / G S.
E3) Любая диаграмма
Z .
{•
X —I—► У
в которой g £ S, может быть дополнена до коммутативной
диаграммы
W ► Z
V [•
х —I—► у
в которой h £ S. Справедливо аналогичное утверждение, в
котором все стрелки обращены.
E4) Если / и g принадлежат Иотс(Х, У), то следующие два
условия эквивалентны:
(i) существует морфизм t: У —► У, t € S, такой, что t о f =
t°9,
(ii) существует морфизм s: X' —► X, в € S, такой, что / о * =
g os.

86 Гл.1. Гомологическая алгебра
Определение 1.6.2. Пусть С — категория л S —
мультипликативная система. Категория Cs, называемая локализацией категории С по
5, определена следующим набором данных:
A.6.1) Ob(Cs) = ОЬ(С),
A.6.2) для любой пары (X, У) объектов из ОЬ(С)
EomCs(X,Y) = {(X',8, f);X' £ ОЬ(С),
в: X' -+ X, /: X' -> Y, s £ S}/K,
где И. есть следующее отношение эквивалентности:
(Х',в,/)ЩХ",1,д)
тогда и только тогда, когда существует коммутативная диаграмма
X
/\-\
X' - X'" X"
\ /
Y
где и £ S.
Композиция морфизмов (X',s,f) £ uomcs(X,Y) и (Y',t,g) £
Homes (^> Z) определена следующим образом: мы применяем (S3) для
построения коммутативной диаграммы
в которой t' £ S, и полагаем
(У, *, д) о (X', s, /) = (X", s of, g oh).
Легко проверить, что Cs — категория.
Через Q мы обозначим функтор
Q.C^Cs,
определенный следующим образом: Q(X) — X для X £ Ob (С) и
<?(/) = (.Y,idA,/) Для / £ Home(X,Y).

1.6. Локализация категорий
87
Предложение 1.6.3. (i) Если в € 5, то Q(s) — изоморфизм в Cs-
(ii) Пусть С — категория, a F: С —* С — функтор, такой, что
F(s) является изоморфизмом в С для всех s £ S. Тогда F однозначно
пропускается через Q.
Доказательство тривиально.
Замечание 1.6.4. Из предложения 1.6.3 вытекает, что
A.6.3) (C)s^(Csy.
Следовательно, мы получаем категорию, эквивалентную Cs, заменяя
условие A.6.2) условием
A.6.2)' EomCs(X,Y) = {(Y',t,g);Y'} € Ob(C),
t:Y^Y',g:X^Y',teS}/K',
где отношение TV определено аналогично отношению К.
Предложение 1.6.5. Пусть С — полная подкатегория категории
С. Пусть S — .мультипликативная система в С, a S* — семейство
морфизмов из С, принадлежащих S. Пусть S' является
мультипликативной системой в С и выполнено одно из следующих двух
условий:
(i) если f:X—*Y — морфйзм из S, aY € Ob(C'), то
существует морфизм g:W —► X, W € Ob(C'), такой, что f о g g 5;
(ii) та же формулировка, что в (i), но с обращенными стрелками.
Тогда локализация C's> является полной подкатегорией в Cs-
Доказательство — прямая проверка.
Определение 1.6.6. Пусть С — триангулированная категория и
Af — семейство объектов из С. Тогда Af называется нуль-системой,
если выполнены следующие условия (N1)-(N3):
(N1) 0 6ЛЛ
(N2) X £Af в том и только в том случае, когда Х[1] € Я.
(N3) Бели X —*Y —* Z —* X[l] — выделенный треугольник и X €
tf,Y ел/,то гелг.
Теперь положим
A.6.4) S(M) = { /: X -»У; / включено в выделенный
треугольник X -£• У -► Z -► Х[1], где Z € JV } .
Предложение 1.6.7. Пусть N — нуль-система. Тогда S(Af) —
мультипликативная система.

88
Гл.1. Гомологическая алгебра
Доказательство. Условие (S1) вытекает из (N1) и (TR1). Докажем
выполнение условия (S2). Пусть X-Ly -► Z' -► Х[\] *Y-*+Z -►
X' —► У[1] — выделенные треугольники, такие, что Z' € -V и X' € Я.
По свойству (TR2) существует выделенный треугольник X ^-> Z —*
У —► Х[1], а по свойству (TR5) существует выделенный треугольник
г'-»У'-.Х'-. Z'[l]. Тогда из (N2), (N3) и (TR3) следует, что
У'€ЛЛт.е. jo/GS(Af).
Чтобы проверить условие (S3), рассмотрим выделенный
треугольник Z -i*Y Л X' -* Z[l], в котором Л"' € ЛЛ Пусть /: X -к У —
морфизм. Тогда существует выделенный треугольник W —► Х-^-*Х' —►
W[l].
Из (TR4) и (TR3) следует, что существует морфизм выделенных
треугольников
W —±_» Л" ► X' ► W[l]
I I I"* I
Z ► У ► X' ► Z[l].
Так как X' е Л/", то ft e 5(wV).
Аналогично доказывается утверждение с обращенными
стрелками.
Наконец, докажем (S4). Пусть f:X—*Yvit:Y—*Y' — морфизмы,
такие, что< £ S(Af) и tof = 0. Мы покажем, что существует морфизм
*: X' -* A', s € 5(Л0, такой, что/os = 0. Пусть Z Л У Л У -♦ Z[l] —
выделенный треугольник, в котором Z € Л/". Из (TR1), (TR3) и (TR4)
вытекает существование морфизма h: X —* Z, такого, что / = д о ft.
Если мы включим Л в выделенный треугольник X' -^*X—*Z —*■ X'[l],
то морфизм s будет обладать требуемыми свойствами.
Доказательство обратной импликации аналогично. D
Обозначение 1.6.8. Пусть С — триангулированная категория и М —
нуль-система в С. Мы будем писать С/At вместо Cs(tf)-
Предложение 1.6.9. Пусть С — триангулированная категория и
Af — нуль-система в ней.
(i) C/Af также является триангулированной категорией:,
семейство выделенных треугольников образуют треугольники,
изоморфные образам выделенных треугольников в С.
(и) Обозначим через Q естественный функтор С —► C/Af; тогда
Q(X) ~ 0, если X € Af.

1.7. Производные катеюрии
89
(iii) Любой функтор триангулированных категорий F: С —► С,
такой, что F(X) ~ 0 для всех X £ Я, единственным образом
пропускается через Q.
Это предложение есть очевидное следствие предложения 1.6.3.
Предложение 1.6.10. Пусть С — триангулированная категория,
Я — нуль-система в С и С — полная триангулированная
подкатегория в С, такая, что любой выделенный треугольник X —* У —+ Z —►
Х[1] в С, в котором X £ Ob(C') uY £ ОЪ(С), является выделенным
треугольником в С. Пусть Я'= ЯГ\ОЬ(С). Тогда
(i) Я' является нуль-системой в С;
(И) если, кроме того, любой морфизм У —* Z из С, где У £ ОЬ(С'),
Z £ Я, пропускается через объект из ЯП ОЬ(С'), то С/Я'
является полной подкатегорией в С/Я.
Доказательство, (i) очевидно.
(И) Мы должны проверить выполнение условия (i) предложения
1.6.5. Пусть X Ly -» Z -» X[l] — выделенный треугольник, в
котором У £ Ob(C'), Z £ Я. Нам известно, что морфизм У —► Z
пропускается через Z' £ ЯП ОЬ(С'): У -» Z' -► Z. Применяя (TR5)
к морфизмам У —► Z' и Z' —► Z, находим выделенный треугольник
Y —* Z' —*W —* У[1], такой, что морфизм W[— 1] —* Y пропускается
через X: W[— 1] —► X -=^У. Это завершает доказательство. □
Замечание 1.6.11. Пусть Я — нуль-система в С и Q — функтор
С -> С/Я. Тогда Q(X) ~ 0 для X £ 0Ь(С) в том и только в том
случае, когда существует объект У £ ОЬ(С), такой, что X ф У € Л/".
Это условие эквивалентно условию ХфХ[1]£Я. Доказательство —
прямая проверка.
1.7. Производные категории
В этом разделе С будет обозначать абелеву категорию.
Мы применим только что описанную конструкцию к
триангулированной категории К (С). Легко видеть, что
A.7.1) Я = {Х£ ОЬ(К(С)): Нп(Х) = 0 для всех г»}
является нуль-системой. Тогда из предложения 1.5.6 следует, что
в(Я) состоит из квазиизоморфизмов категории К (С).

90
Гл.1. Гомологическая алгебра
Определение 1.7.1. Положим D(C) = К(С)/Л/". Мы будем называть
0(C) производной категорией категории С.
Заменяя К(С) на К*(С) (соответственно на К+(С), соответственно
на К~(С)), мы аналогичным образом определяем производную
категорию D*(C) (соответствеино D+(C), соответственно 0~(С)). Из
предложения 1.6.3 следует, что функтор #"(•): К(С) —► С пропускается»
через D(C). Полученный таким образом функтор 0(C) —► С мы по*
прежнему будем обозначать #"(•)•
Предложение 1.7.2. (i) Категория 0Ь(С) (соответственно
D+(C), соответственно D~(C)) эквивалентна полной подкатегории
категории ЩС), состоящей из объектов X, таких, что Нп(Х) = в
при | г» |^> 0 (соответственно п -С 0, соответственно п > 0).
(И) Композиция функторов С —* К(С) —+ D(C) задает
эквивалентность категории С и полной подкатегории в 0(C), состоящей из
объектов X, таких, что Нп(Х) = 0 при пфО.
Доказательство. Предложение является прямым следствием
предложения 1.6.10 и того факта, что для объекта X £ ОЬ(К(С)), такого,
что Н'(Х) = 0 при j < п (соответственно Н'(Х) = 0 при j > п),
морфизм X —► т^п(Х) (соответственно т^п(Х) —► X) является
квазиизоморфизмом. О
Замечание 1.7.3. Пусть X £ ОЬ(К(С)) и Q(X) — образ объекта X
в D(C). Тогда Q(X) ~ 0 в том и только в том случае, когда X ква~
зиизоморфен нулю в К (С). Это утверждение немедленно вытекает из
замечания 1.6.11 и аддитивности функтора Яп(-). Пусть /: X —► Y —т
морфизм в С(С). По определению / есть нулевой морфизм в
категории D(C) в том и только в том случае, когда существует квазииэо-
морфизм g : X' —► X, такой, что fog гомотопен нулю, или когда
существует квазиизоморфизм h:Y —* У, такой, что ho/ гомотопеВ
нулю. Отметим, что, как правило, не существует
квазиизоморфизма g: X' —* X (соответственно h: Y —* У), такого, что f о g = О
(соответственно h о f = 0) в С(С).
Пример 1.7.4. Пусть С = ШоЬ(Х), а морфизм f:X-*Y определен
диаграммой
X •.. у 0 ► 0 ► Z ► 0 ► •••
1'= I 1 1' I
у ... ► о ► z —-—► z ► о ► •••

1.7. Производные категории 91
Тогда / гомотопен нулю, но не существует квазииэоморфизма j: X' —►
X, такого, что / о g = 0 (из инъективности морфизма /" следует
равенство g нулю).
Предложение 1.7.5. Пусть С — абелева категория, а 0 —►
X —► У —* Z —► 0 — точная послеЛ)вагоельмосгоь в С(С). Пусть
M(f) — конус морфизма f и фп : M(f)n = Xn+1 ® Yn -> Zn —
морфизм @,gn). Тогда {фп}п- M(f) —► Z есть морфизм комплексов,
ф о а(/) = g и ф — квазиизоморфизм.
Доказательство. Утверждение, что ф — морфизм комплексов,
очевидно. Более того, мы имеем точную последовательность
О -» М(idx) -i M(/) -» Z -к О,
где у ассоциирован с морфизмом idx —* /• Этот морфизм описывается
коммутативной диаграммой
X —^— X
1" 1'
X ► У
/
Из предложения 1.3.6 вытекает, что достаточно проверить
равенство Hn(M(idx)) = 0 для всех п £ Z. Так как M(idx) является
нулем в категории К (С), то это равенство очевидно. D
В условиях предложения 1.7.5 выделенный треугольник X —♦ Y —►
Z-+.Y[1] называется выделенным треугольником, ассоциированным
с точной последовательностью 0—* X —>У -► Z —> 0, Здесь h =
0(f) о ф-1.
Отметим, что этот выделенный треугольник порождает длинную
точную последовательность
yHn(X)^Hn(Y)-^Hn(Z)i^h)H^\X)-^...,
где Hn(h) = —6 F определено в предложении 1.3.6).
Отметим также, что если X, У, Z являются образами объектов из
С при вложении С —* С (С), то морфизм ft: Z —► X[l] равен нулю в
0+(С) тогда и только тогда, когда точная последовательность 0 —►
X —► У —► Z —► 0 расщепляется. В любом случае Я" (ft) = 0 при всех
г» € Ъ.

92
Гл.1. Гомологическая алгебра
Замечание 1.7.6. В разд. 1.3 мы определили функторы т>"(-) М
т^п() на категории С(С). Легко видеть, что эти функторы переводя^
морфизмы, гомотопные нулю, в морфизмы, гомотопные нулю. И&
предложения 1.3.7 следует, что они переводят квазиизоморфизмы Щ
квазиизоморфизмы. То есть мы получаем функторы т^п : D(C) —w
D+@ и г*»: D@ - D-(C). ^
Применяя предложение 1.7.5, мы получаем выделенные треуголь*
ники в 0(C):
t
A.7.2) т<п(Х)-^Х-^т>п+1(Х)—+,
A.7.3) т^-^Х) —» т<п(Х) —» Нп(Х)[-п] -^,
A.7.4) нп(Х)[-п}^г>п(Х)-^т>п+1(Х)-^.
Если X €0Ь(С(С)), то г>п+1(.Х) квазиизоморфен Coker(r<n(X)-*
X), т^-^Х) квазиизоморфен Кег(т<п(Х) -» Нп(Х)[-п}) 0
т>п+\Х) квазиизоморфен Coker(#n(X)[-n] -> т>п(Х)).
Предложение 1.7.7. Пусть I — полная аддитивная подкатегорий
в С, такая, что
A.7.5) для любого X £ 0Ь(С) существует X' € 0ЪA) и тонная пв|
следователъностъ 0 —* X —* X'.
Тогда
(i) для любого X £ 0Ь(К+(С)) найдутся X' £ Ob(K+(I)) u квази?
изоморфизм f:X—* X'.
(ii) пусть семейство Af определено условием A.7.1), и пусть Af' щ
М П 0Ь(К+A)); тогда канонический функтор К+A)/ЛР -'а
D+(C) есть эквивалентность категорий.
Доказательство. Из предложения 1.6.5 вытекает, что (ii) являете
следствием (i). Пусть теперь X £ 0Ь(К+(С)). Мы будем по иидукцЦ
строить комплекс Х'^р: • • • —► Х'р~1 —* Х'р —► 0 —► • • • и морфизм к«
плексов X —► Х'^р со следующими свойствами: Х'> £ Ob(Z) для все
},Н'(Х) ~ Н>(Х'^р) при j < р и отображение Н"(Х) -♦ Cokerd^
является мономорфизмом.
Бели р -С 0, то такое построение возможно. Предположим, \-щ
комплекс X'sp и соответствующий морфизм построены для некотор
гор. Пусть Z*+1 = Cokerd^1 eCokerd,-X;,+1 (см. упр. 1.6). Щ
берем X'f*1 £ Ob(I) так, чтобы существовал мономорфизм Z'p+1 Ц

1.7. Производные категории 93
Теперь применим результаты упр. 1.6 к диаграмме
Cokerd^-1 ► Xp+i
I 1
CokerdC1 > X*+1
(морфизмы Х'р -► Х'Р*1 и Хр+1 -► Х,р+1 определены очевидным
образом). Тогда #*•(*) а Яр(Х^р+1) в силу того, что НР(Х) -*
CokerdJL — мономорфизм и, более того, НР+1(Х) —► CokerdV
является мономорфизмом. D
Следствие 1.7.8. Пусть выполнены условия предложения 1.7.7, а
также справедливо условие
A.7.6) существует целое d ^ О, такое, что для любой точной
последовательности Х° —► X1 —► ■ • • —► X* —► 0 в С, в которой
Х> £ ОЬA) при j <d,Xd£ Ob(I).
Тогда для любого объекта X £ ОЬ(К*(С)) существует объект X' £
ОЬ(К*A)), квазиизоморфный X.
Доказательство. Из предложения 1.7.7 вытекает существование
объекта X' € ОЬ(К+A)), квазииэоморфного X.
Если Н>(Х) = 0 при j > п0, то Н'(Х') = 0 при j > n0.
Поэтому T^no+d(X') -» X' — квазиизоморфизм. Здесь (r^n'+d(X'))k €
Ob(I) при * < п0 + d и (T<*n*+d(X'))k = 0 при * > п0 + d. Так
как Нк(т^По+Л(Х')) = 0 при ib > n0, то в силу условия A.7.6)
(T^no+d(X'))n°+d £ОЦ1). Наконец, так как X ограничен, то
квазиизоморфизм X —* X' определяет квазиизоморфизм X —► т^кХ'
при Jb>0. D
Последнее предложение оказывается особенно важным в
следующей ситуации. '
Определение 1.7.9. Мы говорим, что категория С содержит
достаточно много инъективных объектов, если для любого X £ ОЬ(С)
существуют инъективный объект X' £ ОЬ(С) и мономорфизм X —► X'.
Другими словами, в категории С достаточно много инъективных
объектов, если ее подкатегория инъективных объектов удовлетворяет
условию A.7.5).
Предложение 1.7.10. Пусть категория С содержит
достаточно много инъективных объектов, и пусть I — полная
подкатегория инъективных объектов в ней. Тогда естественный функтор
К+A) —► D+(C) является эквивалентностью категорий.

94
Гл.1. Гомологическая алгебра
Доказательство. В силу предложения 1.7.7 достаточно показать, «л
A.7.7) Л^ПОЬ(К+B)) = 0,
т. е. что любой объект А' £ Ob(C+(Z)), такой, что Нп(Х) = 0 для
любого г», гомотопен нулю. Пусть Zn = Кег djj. Рассмотрим точны»
последовательности
A.7.8) o-^zn-^Xn-£+Zn+1 -^0.
Индукцией по п получаем, что все Zn инъективны. Поэтому послед
довательности A.7.8) расщепляются и существуют морфизмы
kn:Xn->Zn, tn: Zn+1 -А"»,
такие, что knoin = idz», jn°tn = idz»+i, *no<n = 0 и id*» = inolsn+tn«
jn. Тогда id*. = d^-1 osn + «"+1 о d* и sn = t"-1 okn:Xn — A"" -
гомотопия. С
Пусть теперь С — абелева категория, л С — полная абелева подка»
тегория в С. Обозначим через D£((C) полную триангулированную под?»
категорию в D+(C), состоящую их тех комплексов, когомологии кото*
рых (как объекты) принадлежат С. Имеется естественный функтор
A.7.9) D+(C')VD+(C).
Мы дадим полезный критерий того, что 8 является эквивалентно^
стью категорий. Сначала определение: подкатегория С категории,
С называется плотной, если для любой точной последовательности
У -► У -► X -► Z -► Z' из С, в которой У, У, Z, Z' принадлежат С
X также принадлежит С.
Предложение 1.7.11. Пусть С — абелева категория и С — полнщ
плотная абелева подкатегория в ней. Предположим, что для любонк
мономорфизма f: X' —* X, где X' £ ОЬ(С'), существует морфизм
д: X -* Y, где Y £ ОЪ(С), такой, что go f — мономорфизм. Тогой
функтор 8 из A.7.9) является эквивалентностью категорий.
Доказательство. Достаточно доказать (см. предложение 1.6.5) ел»
дующий факт:
. f для любого X £ Ob(D£,(C)) существуют
( ' ' ' 1 X' £ ОЬ(К+(С')) и квазиизоморфизм X ^ X'.

1.8. Производные функторы
95
Построение объекта X' проводится так же, как в доказательстве
предложения 1.7.7. Определив комплекс Х^р :•••—► А",р-1 —►
Х'Р -> 0 -+ ••■• и морфизм X -* Х'<р, такие, что Х'> £ ОЬ(С'),
Н*{Х) а Н>(Х'<Р) при j < р и НР(Х) -* Cokerd* является мо-
<»
номорфизмом, мы строим Х'р+1 следующим образом.
Пусть М = Cokerd^T1 ®CokerdF-iKerd^+l и N = Cokerd^
®Cokerd»c-,^P •
Существует точная последовательность (см. упр. 1.6. и A.3.9))
О -» #'(*) -» Cokerd^1 -» М -» Яр+1(Л-) -»0.
Следовательно, Af € Ob(C'). Из формулировки предложения следует
существование мономорфизма д: N —*■ X'p+1, X'p+1 £ ОЬ(С'), такого,
что д о i — мономорфизм (i: М —* N — мономорфизм). Морфизмы
Х'р —► Я7р+1 и Хр+1 —► Х,р+1 определяются естественным образом.
Нетрудно проверить (как в доказательстве предложения 1.7.7), что
комплекс Х'<р+1 обладает требуемыми свойствами. D
Замечание 1.7.12. В тех же предположениях 8 индуцирует
эквивалентность категорий D'(C') ~ D£,(C) (для доказательства нужно
использовать функтор т^п при г» » 0).
Комментарий 1.7.13. Повторим основные шаги построения
категории D(C). Мы начинаем с абелевой категории С и рассматриваем
категорию С(С) комплексов в С. После этого мы полагаем
морфизмы, гомотопные нулю в С (С), нулевыми морфизмами и приходим к
категории К(С). Преимущество категории К(С) перед С(С) состоит в
том, что существуют диаграммы, не коммутативные в С(С), которые
становятся коммутативными в К(С) (что делает К(С)
триангулированной категорией). Далее, мы хотим сделать так, чтобы морфизм
в К(С), индуцирующий изоморфизм в когомологиях, был обратимым.
Для этого мы локализуем К(С) и получаем категорию 0(C).
Обозначение 1.7.14. Пусть А — кольцо. Мы будем писать D(A)
вместо 0(ШоЪ(А)), если это не приводит к недоразумению.
1.8. Производные функторы
В этом разделе через С я С будут обозначаться абелевы категории, а
через F:C-*C — аддитивный функтор.
Пусть Q — естественный функтор К+(С) —► D+(C) (или К+(С)
- D+(C)).

96
Гл.1. Гомологическом алгебра
Определение 1.8.1. Пусть Т: D+(C) —► D+(C) — функтор
триангулированных категорий, as — морфизм функторов,
s:QoK+(F)^ToQ,
где K+(F): К+(С) —► К+(С) — функтор, естественно
ассоциированный с F. Предположим, что для любого функтора
триангулированных категорий G: D+(C) —► D+(C) морфизм
Hom(T, G) -к Hom(Q о K+(F), G о Q)
является изоморфизмом.
Тогда пара (Г, s) (единственная, с точностью до изоморфизма)
называется правым производным функтором функтора F и
обозначается через RF. Функтор HnoRF обозначается через R"F и называется
п-м производным функтором функтора F.
Мы дадим полезный критерий существования функтора RF.
Впредь до предложения 1.8.7 мы будем предполагать F точным
слева.
Определение 1.8.2. Полная аддитивная подкатегория I категории
С называется инъективной по отношению к F (или F-инъективной),
если
(i) выполнено условие A.7.5);
(ii) если Q ~* X' —* X —* X" —► О — точная последовательность в
С и X' и X принадлежат 0ЬA), то X" € 0ЬA);
(Hi) если 0 —► X' —► X «-► X" —► 0 — точная последовательность
в С и Х',Х,Х" принадлежат I, то последовательность 0 —►
F(X') -» F(X) -» F(X") -» 0 точна.
Отметим, что если выполнены условие (i) и (ii), то в (iii) достаточно
предполагать только, что X' £ ОЬA), так как F точен слева.
Пусть подкатегория I F-инъективна. Тогда легко проверить, что
F переводит объекты из К+A), квазиизоморфные нулю, в объекты
из К+(С), обладающие этим свойством. Поэтому композиция,
функторов
К+A) К-1£> К+(С) — D+(C)
пропускается через K+(I)/Af Л Ob(K+(Z)), где М определено, как в
A.7.1). Так как категория К+A)/Л/гПОЬ(К+A)) эквивалентна
категории D+(C) (см. предложение 1.7.7), то мы получаем
Предложение 1.8.3. Пусть I есть F-инъективная подкатегория
категории С. Тогда функтор из K+(I)/wVnOb(K+(I)) в D+(C),
построенный выше, является правым производным функтором
функтора F.

1.8. Производные функторы
97
Замечание 1.8.4. Из универсальности функтора RF следует, что
эта конструкция не зависит от 1.
Замечание 1.8.5. Пусть категория С содержит достаточно много
инъективных объектов и 2 — полная подкатегория инъективных
объектов из С (т. е. условие A.7.5) выполнено). Тогда так как любая
короткая точная последовательность в 1 расщепляется (см. упр. 1.5),
то X является F-инъективной для любого точного слева функтора F.
В частности, в этом случае RF всегда существует.
Замечание 1.8.6. Пусть 1 есть F-инъективная подкатегория
категории С, п — целое число, и пусть объект X £ ОЬ(К+(С)) таков, что
Нк(Х) = 0, если * < п. Тогда RkF(X) = 0 при * < г» и RTF(X) =
F(Hn(X)). Далее, для такого X найдется X' £ Ob(K+(Z)),
квазиизоморфный X, такой, что Х'к = 0 при к < п. Конечно, если
X £ ОЬ(К+A)), то RkF(X) = HkF(X) для всех к. В частности, если
X £ ОЬA), то RkF(X) = О, если * ф 0. (Объект X из С такой, что
RkF(X) = 0 при ib ф 0; называется F-ациклинным, см. упр. 1.19.)
Предложение 1.8.7. Пусть С, С, С" — абелеви категории, a F:
С —* С и F': С —* С — точные слева функторы. Предположим,
что существует полная аддитивная подкатегория 1 в С
{соответственно X' в С), которая является F-инъективной (соответственно
F'-инъективной), и, кроме того, F(Ob(I)) С Ob(I'). Тогда I
является (F' о Р)-инъективной и
A.8.1) R(F' о F) = RF' о RF.
Доказательство — прямая проверка.
Заметим, что из существования функторов RF, RF' и R(F' о F)
вытекает существование канонического морфизма функторов
A.8.2) R(F' of)-» RF' о RF.
В самом деле, мы имеем равенство
Hom(R(F' о F), RF' о RF) = Hom(Q о K+(F') о K+(F), RF' oRFoQ)
и существуют морфизмы
QoK+(F)-^RFoQ,
QoK+(F')-£+RF'oQ,
4 М. Касива[>а, П. Шапира

98 Гл.1. Гомологическая алгебра
что дает цепочку морфизмов
Qо K+(F')о K+(F) fi'^-inRF'oQo K+(F) Л-^°RF'oRFoQ.
Предложение 1.8.8. Пусть С и С — абелевы категории, F', F и
F" — точные слева функторы из С в С, а X: F' —► F и и: F —*■ F" —
морфизмы функторов. Пусть I — полная аддитивная подкатегория
в С, инъективная по отношению к F', F и F". Предположим, что
справедливо условие
A.8.3) для любого X £ ОЬA) последовательность 0 —► F'(X) —»
F(X) -у F"(X) -у 0 точна.
Тогда существует естественный морфизм функторов и: RF" —»
RF'[l], такой, что для любого X £ Ob(D+(C)) последовательность
RF'(X) й^) RF(X) й-^) RF"(X) ^9 RF'(X)[1)
является выделенным треугольником в D+(C).
Доказательство. Для любого X £ ОЬ(К+A)) существует точная
последовательность
О —► F'(Xn) A^) F(Xn) "И? F"(Xn) —» 0.
Из замечания 1.7.5 следует, что F"{X) изоморфен конусу М(\(Х))
морфизма Х(Х) (в категории D+(C')).
Морфизм а(\(Х)) : М(Х(Х)) —» F'(X)[1] порождает морфизм в
категории D+(C') из F"(X) в F'(X)[1]. Факторизуя, получаем
и: RF" — RF'[l].
Дальнейшие рассуждения очевидны. D
В заключительной части параграфа рассмотрим случай точного
справа функтора F. Обращал стрелки, определяем F-проективную
подкатегорию категории С и левый производный функтор,
обозначаемый через LF.
Точнее, полная аддитивная подкатегория V категории С
называется F-проективной (F точен справа), если
(i) для любого X £ ОЬ(С) найдутся X' £ ОЬG>) и точная
последовательность X' —у X —* 0;
(И) если 0 —► X' —у X —» X" —► 0 — точная последовательность в
С, лХ" яХ принадлежат ОЬ(Р), то X' £ ОЪG>);
(Hi) если 0 —► X' —у X —у X" -» 0 — точная последовательность
в С, а X', X, X" принадлежат ОЪ(Т), то последовательность
0 -♦ F(X') -у F(X) — F(X") -у 0 точна.
Построение левого производного функтора
LF: D-(C)->D-(C)
аналогично построению правого производного функтора. '

1.9. Двойные комплексы
99
Пример 1.8.9. Пусть А — кольцо. Тогда категория ШоЬ(А)
содержит достаточно много инъективных и проективных объектов (см.
[Cartan-Eilenberg 1]). Более того, пусть М — правый Л-модуль.
Тогда категория (левых) плоских А-модулей является проективной по
отношению к функтору М ®д •.
В следующих главах мы рассмотрим многочисленные примеры
производных функторов.
Замечание 1.8.10. Конструкция производных функторов может
быть обобщена на функторы, определенные только на К+(С).
Точнее, пусть F — функтор триангулированных категорий из К+(С) в
К+(С). Пусть дана полная триангулированная подкатегория 1
категории К+(С), такая, что выполнены следующие условия A.8.4) и
A.8.5):
A.8.4) для любого X € ОЬ(К+(С)) существует квазиизоморфизм X —*
X', где X' € ОЬA);
A.8.5) если X € ОЬA) квазиизоморфен нулю, то F(X) также квази-
изоморфен нулю.
Тогда функтор RF: D+(C) —► D+(C) определяется так же, как в
предложении 1.8.3, и обладает свойством универсальности из
определения 1.8.1.
Замечание 1.8.11. Пусть F: С —* С — контравариантный
функтор. Тогда следующим образом определим контравариантный
функтор K(F): К(С) -» К(С). Если Л" = (Xn)niZ € С(С), то
л««ъ J <K(F)<*))" =*•<*-),
( } 1^(/,)(Х) = (-1)п+1^хп-1)-
Если в качестве F взять канонический контравариантный функтор
С0 -* С, то К(С°) ~ (К(С))° и, если С абелева, D(C°) ~ (D(C))°. Кроме
того, К*(С°) ~ (K=f(C))° и D±(Ce) ~ (D=F(C))°.
1.9. Двойные комплексы
Пусть С — аддитивная категория.
Определение 1.9.1. Двойной комплекс (X,dx) в С определяется
набором данных {*»>"», d£'m,d';£,'m}n|m€z) где Хп<т £ ОЪ(С), d£'m :
Хп,т _+ хп+^т и d'£'m: Хп>т -» Хп>т+Х для всех пар (п,т), причем
имеют место равенства
A.9.1) d*=0, d£=0, d^od'^=d^od'x.
4*

100 Гл.1. Гомологическая алгебра
Условия A.9.1) означают, что d'£+i'm о d£,m = 0 (аналогично
понимаются другие условия).
Мы иногда будем называть простим комплексом комплекс в
смысле определения 1.3.1.
Пусть X и У — двойные комплексы. Морфизм / из X в У
определяется очевидным образом. Таким образом мы получаем категорию
С2(С) двойных комплексов на категории С.
Пусть X — двойной комплекс. Для заданного п € Ъ пусть X?
обозначает простой комплекс
fyn,m л"п>т\ _
Семейство морфизмов {dx'm}mgz определяет морфизм
Очевидно, что d"+1 о d" = 0. То есть мы построили функтор
*7:С2(С)-*С(С(С)),
который является эквивалентностью категорий.
Аналогично, используя d" вместо а", получаем эквивалентность
F,/:C2(C)^C(C(C)),
X~{XTi,d?i},
где Xft = {X"'m,d£'m}nez, d£ = {d^'m}nez.
Предположим, что X удовлетворяет следующему условию
конечности:
A.9.2) множество {(n, m) G Z x Z: n+ m = ifc, Xn,m ф 0} конечно для
любого Jb G Z.
Тогда можно построить по X простой комплекс s(X), положив
s(X)k = ф A'n-m.
Пусть i„,m : Х»-т -> е*в„'+т^П',т' и Pn.m : ®k=n'+m-*"''"'
—► Хп,т — естественные морфизмы из Х"'т в в(Х)ь и из в(Х)к в
.Xn,m соответственно. Определим
d*(x):8W-,8(X)t+1

1.9. Двойные комплексы
loi
(_1)„d«„,m)
0
ь
если m = m',
если п = г»',
в остальных
случаях
следующим образом:
A.9.3) р„/,т/ о d„(x) oin>m = <
для п + т = k, n' + т' = ib+ 1.
Предложение 1.9.2. Набор данных {s(X)k, <isrx)}kex определяет
комплекс в С, го. е. d^\ °^(х) = О-
Доказательство очевидно.
Мы назовем s(A') простым комплексом, ассоциированным с X.
Можно рассматривать множество объектов из С2(С),
удовлетворяющих A.9.2), как полную аддитивную подкатегорию С* (С) в С2(С).
Тогда s(-) становится аддитивным функтором:
A.9.4) 8(.):С}(С)-С(С).
Пусть теперь С — абелева категория.
Определим функторы т/-п, rfn, rf™, Tf™, используя
эквивалентности Fi и Fa. Например,
Tfn = (FI)-1oT<noFI.
Другими словами, rj-n(X) — это двойной комплекс
>Хп~^ —► X"'—> Kerd£' —>0—♦ •••
или, что эквивалентно, комплекс в категории С(С)
► Х?-1—>X?—* Kerd?—► ()—>•••.
Введем также простой комплекс
A.9.5) Щ(Х) = H»(F1(X))
и двойной комплекс
A.9.6) #/(*): > НР(Х)-^НР+1(Х) -^--.
Аналогично поступим для Нчп(Х) и Нц(Х).

102
Гл.1. Гомологическая алгебра
Теорема 1.9.3 Пусть /: X ~* Y — морфизм двойных комплексов,
причем X uY удовлетворяют условию A.9.2). Предположим, что f
индуцирует изоморфизм
/: HjHuiX) ~ HjHuiY).
Тогда s(/): s(X) —* в(У) — квазиизоморфизм.
Доказательство. Пусть q £ Ж. Имеем коммутативную диаграмму
выделенных треугольников
»т$-\Х) ► sr</(*) ► H]j(X)[-q] —^
srfr\Y) ► и-</(У) ► HUYK-q)
+i
(см. упр. 1.25).
Предположим, что ХЧИ = 0 при q ^ 0.
Тогда, так как вт^'-1(/) квазиизоморфен нулю при q < 0 и Я'7(/)
является квазиизоморфизмом для всех q по условию, st/}*(/) будет
квазиизоморфизмом при всех q. Поскольку Я*(вт/)'(/)) = Я*(в(/))
при { > 0 и фиксированном к (см. упр. 1.25), в рассматриваемом
случае утверждение доказано. В общем случае мы применим
полученный результат к функтору т^'(/). При фиксированном к имеем
Я*(а(/)) = Я'(вт//'(/)) для q <C 0, что доказывает утверждение в
общем случае. D
Отметим, что s преобразует морфизмы, гомотопные нулю, в мор-
физмы, гомотопные нулю. Точнее, морфизм /: X —» У в Cj(C)
называется гомотопным нулю, если найдутся морфизмы t"'m: Хп,т —►
У"-1-"» и Qm: Хп-т -♦ У"."»-1, такие, что
j//n-l,m ajn,m ,n+l,m i/m,m
d/n,m-lotn,m = <„,m+lodm,m
/»■"» = d,n-1'm о ^'m + *?+1'm о dmm + d"n'm-1 о Qm + <£'m+1 о d"n'm .
Тогда морфизм s(/) : в(Х) —► а(У) гомотопен нулю. В частности,
если Fj(f): Fi(X) —► Fi(Y) гомотопен нулю, то s(/) гомотопен нулю.
Аналогичные утверждения справедливы для морфизма Fjj(f).

1.10. Бифункторы
103
1.10. Бифункторы
Пусть С, С и С" — категории.
Определение 1.10.1. Бифунктором F из С х С в С" называется
следующий набор данных:
(О отображение F: ОЬ(С) х ОЬ(С') -♦ ОЬ(С");
(И) для любой пары (X,Y) € Ob(C) и любой пары (-Х'.У) €
ОЬ(С') отображение F:Homc(*,y) x EomC'(X',Y') -*
Rom c"(F(X, X'), F(Y, У')), такое, что отображение F(X, •)
(соответственно F(-,X')) является функтором из С в С"
(соответственно из С в С") и, если / € Homc(^, Y), д € НотС'(^', Y'),
имеет место равенство F(f, У) о F(X, g) = F(Y, g) о F(f, X').
Бифунктор называется аддитивным, точным слева, точным
справа, бифунктором триангулированных категорий, когомологическим
бифунктором и т. д., если он является таковым по каждой
переменной.
Морфизм бифункторов определяется очевидным образом.
Пример 1.10.2. Нотс(-, •) является бифунктором из С х С в Set.
Пример 1.10.3. Пусть А — кольцо.. Тогда • фд • является
бифунктором из аЯоЭ(Лор) х ЯЯоЭ(Л) в 3!ПоЭB).
Предположим теперь, что С, С и С" — абелевы категории, л F —
точный слева аддитивный бифунктор из С х С в С".
Если X € ОЬ(С+(С)) и X' € ОЬ(С+(С')), то F(X,X') —
двойной комплекс в С". Связывая с F(X,X') простой комплекс
s(F(X, X')), определим бифунктор
C+(F): C+(C) х С+(С) - С+(С"),
а факторизуя — бифунктор
K+(F): K+(C) х К+(С) - К+(С")
(факторизация возможна — см. последнее замечание в § 1.9).
Для того чтобы определить производный функтор от
бифунктора, удобно начать с рассмотрения бифунктора
триангулированных категорий. Пусть F: К+(С) х К+(С) -» К+(С") — бифунктор
триангулированных категорий. Пусть I (соответственно I') —
полная триангулированная подкатегория в К+(С) (соответственно
в К+(С)).

104
Гл.1. Гомологическая алгебра
Рассмотрим следующие два условия:
{для любого X € 0Ь(К+(С)) {соответственно
0Ь(К+(С'))) существует квазиизоморфизм X —► Y,
где Y € 0ЬA) (соответственно ОЬ(Т'));
1.2) |
для любого X € Ob(I) u любого X' е 0Ь(Г)
A.10.2) { комплекс F(X,X') квазиизоморфен нулю,
если X или X' квазиизоморфен нулю.
Предложение 1.10.4. Если условия A.10.1) и A.10.2) выполнены,
то существует бифунктор триангулированных категорий RF:
D+(C) х D+(C) -► В+(С"), делающий диаграмму
1x1' —?—* К+(С")
lQxQ' lQ"
D+(C) x D+(C) -¥-* D+(C")
коммутативной (здесь Q, Q' и Q" — функторы локализации,
определяющие категории D+(C), D+(C) u D+(C") соответственно).
Производный функтор RF обладает следующим свойством
универсальности: для любого бифунктора триангулированных
категорий G : 0+(С) х D+(C) ~* D+(C") канонический
гомоморфизм
Eom(RF, G) -» Hom(<?" о F, G о (Q x Q'))
является изоморфизмом. Здесь Q" о F и G о (Q x Q1) являются
бифункторами из К+(С) х К+(С) в D+(C").
Доказательство очевидно.
Следствие 1.10.5. Пусть F: К+(С) х К+(С) -» К+(С") —
бифунктор триангулированных категорий. Предположим, что существует
полная подкатегория I в К+(С), такая, что
A.10.3) для любого Y G Ob(K+(C)) условия A.8.4) и A.8.5)
выполнены по отношению к функтору F(-,Y);
A.10.4) для любого X G Ob(I) и любого Y G Ob(K+(I')) объект
F(X,Y) квазиизоморфен нулю, если Y квазиморфен нулю.

1.10. Бифункторы
105
Тогда для F существует производный функтор RF, а при
фиксированном У G 0Ь(К+(С')) для функтора F(-,Y): K+(C) -» К+(С")
существует производный функтор, обозначаемый через RiF(-,Y). Кроме
того, если X G 0Ь(К+(С)), то существует естественный
изоморфизм
flF(X,y)~fl/F(X,y).
Доказательство. Существование функтора RjF(,Y) вытекает из
замечания 1.8.10. Положив V = К+(С), получаем, что
существование RF есть следствие предложения 1.10.4. Равенство
RF(X,Y) = RiF(X,Y) следует из конструкции производного
функтора. D
Вернемся к ситуации, когда F — точный слева бифунктор из С х С
в С". Пусть 1 (соответственноI') — полная аддитивная подкатегория
в С (соответственно в С).
Определение 1.10.6. Назовем пару A,1') ^-инвективной, если
для любого X G ОЫ и любого X' G Ob(I') категория I является
F(-, .Х')-инъективной, а I' является F(X, )-инъективной.
Предложение 1.10.7. Пусть пара A,1') F-инъективна; тогда
пара (К+A), К+A')) удовлетворяет условиям A.10.1)—A.10.2).
Доказательство. Выполнение условий A.10.1) следует из
предложения 1.7.7. Проверим справедливость A.10.2). Сначала докажем, что
F(X, У) квазиизоморфен нулю, если X G Ob(I), У G ОЬ(К+(Г)) и У
квазиморфен нулю. В этом случае
H],(F(X, У)) = 0 для всех q.
Применяя теорему 1.9.3, получаем, что F(X,Y) квазиморфен
нулю. Аналогично проводятся рассуждения, если поменять ролями X
и У. □
Следствие 1.10.8. Пусть F:CxC'—* С" — точный слева
бифунктор абелевых категорий. Предположим, что существует полная
аддитивная подкатегория I категории С, удовлетворяющая
условиям (i)-(iii) определения 1.8.2 по отношению к функтору F(-,Y) для
любого У G ОЬ(С'). Пусть, кроме того, функтор F(X,-) точен
при X G ОЬA). Тогда категория К+A) удовлетворяет условиям
A.10.3Н1.10.4).
Доказательство. Утверждение является следствием предложения
1.10.7. □

106
Гл.1. Гомологическая алгебра
Предложение 1.10.9. Пусть F: С х С —► С" — точный слева
бифунктор абелевых категорий, a G: С" —* С" — точный слева
функтор абелевых категорий. Предположим, что существуют полные
аддитивные подкатегории I, V и 1" категорий С, С и С"
соответственно, такие, что пара A,1') F-инъективна, категория
1" G-инъективна и
A.10.5) F(Ob(l), Ob(I')) С ОЬA").
Тогда существует производный функтор R(GoF) : D+(C) x D+(C) —►
D+(C") и
R(G о F) ~ RG о RF.
Доказательство очевидно.
Аналогичные результаты справедливы и для других композиций
функторов.
Замечание 1.10.10. Бели мы в следствии 1.10.5 поменяем роли С и
С, то определим функтор RuF(X, •). Разумеется,
A.10.6) RiF(X;Y) ~ RnF(X, Y) ~ RF(X, У).
Пример 1.10.11. Пусть С —абелева категория. Тогда Нотс(-,-)
является аддитивным бифунктором из С х С в ЯЯоЭB). Если С
содержит достаточно много инъективных (или проективных) объектов,
то Нотс(-, -) имеет правый производный функтор
REomc(;-):@~(C)Y x D+(C) -+ D+(OTta>(Z)).
Функтор #"(•) о R Homc(-, •) обозначается через Ext£(-, •).
Пример 1.10.12. Пусть А — кольцо. Тогда -®а аддитивный
бифунктор из ШоЬ(Аор) х ШоЪ(А) в ЯЯоЭB). Он является точным
справа функтором по обеим переменным. Обозначим через • ®д • левый
производный функтор из D- (ШоЬ(Аор)) х D- (ШоЦА)) в D- (ЯЯоЭB)).
Тогда если N и М — модули, то H~n(N ®д М) обозначается через
Tor*(N,M).
Обозначения 1.10.13. Пусть А — коммутативное кольцо.
Производные функторы от Нот д(-, •) и • ®д • со значениями в й(ШоЬ(А))
будут по-прежнему обозначаться через ДНотл(-, •) и • ®ff •.

1.10. Бифункторы 107
Замечание 1.10.14. Пусть F: С х С —* С" — бифунктор абелевых
категорий, и пусть G:C'xC —► С" — бифунктор, определенный
формулой G(Y,X) = F(X,Y). Определим изоморфизм г: K+(F) ^ K+(G)
следующим образом. Пусть X = (Xn)„€z, У = (Yn)„€z — объекты из
С(С) и С(С) соответственно. Тогда г(Х, У) есть прямая сумма мор-
физмов (-l)nm • id: F(Xn,Ym) -* G(Ym,Xn). Легко проверить, что
г(Х, У) является морфизмом простых комплексов.
Замечание 1.10.15. Пусть F: С х С Y.C -* С" — трифунктор и
G: С —*■ С" — функтор. Предположим, что для всех X € ОЬ(С) и
всех У € ОЬ(С) морфизм
a(Y,X):F(Y,X,X)^G(Y)
является функториальным по У и, кроме того, для любого морфизма
/:Х—*Х'ъС диаграмма
F(Y,X',X)^ ^G(y)
F(Y,X,X)
коммутативна. Тогда для любых У€Ob(K(C)) и Х€ОЬ(К(С)) можно
определить морфизм
К(о)(У, X): K(F)(Y, X, X) -> K(G){Y)
как прямую сумму морфизмов
F(Ym,Xn,Xn)^G(Ym).
Легко проверяется, что К(а)(.Х, У) является морфизмом комплексов
(нужно использовать соглашение из замечания 1.8.11).
Например, если А — коммутативное кольцо конечной глобальной
размерности (см. упр. 1.28), то для X и У из Оъ(ШоЪ(А)) мы можем
определить морфизм
A.10.7) B(a)(Y,X):R1LomA(X,Y)®X->Y.
А
В самом деле, рассмотрим квазиизоморфизм Y —* I, где /
ограничен и инъективен, и квази изоморфизм Р —► X, где Р ограничен и
проективен. Тогда морфизм
К(ог)(/,Р): RНотЛ{Р, 1)®ЛР^1
корректно определен (см. замечание выше) и задает 0(а)(У, X).

108 Гл.1. Гомологическая алгебра
Замечание 1.10.16. Пусть F таков, как в замечании 1.10.14.
Отождествим F(X\p],Y) ~ F(X,Y)\p] с помощью формулы
F(X\p],YT^l[F(Xk^,Yn-k)~(F(X,Y)\p])n
к
и F(X, Y)[q] ~ F(X, Y)[q] с помощью формулы
(F(X,Y[q])r ~l[F(Xk,Yn+<-k)
SzD^Y[nXb,Yn^-k)~(F(X,Y)[q])n
к
так, чтобы эти отождествления были морфизмами комплексов.
Тогда диаграмма
F(X\P},Y[4]) ► F(X,Y[q})\p]
I I
F(X\p],Y)[q) ► F(X,Y)\p+q]
коммутативна или антикоммутативна в зависимости от четности
числа pq.
Замечание 1.10.17. Проблемы правильной расстановки знаков
являются довольно тонкими. Они подробно рассмотрены в работе
[Deligne 1], а также на первых страницах книги [Berthelot-Breen-
Messing 1]. Соглашения, принятые авторами последней книги,
отличаются от наших. В частности, в A.4.3) они заменяют /? на —/?.
1.11. Ind-объекты и pro-объекты
Пусть С — категория контравариантных функторов из С в ©et, a
h: С —► С — функтор X *-* Нотс(-,^)- Этот функтор делает С
полной подкатегорией в С (см. § 1). Напомним, что контравариантный
функтор F: С —► 6et называется представимым, если F изоморфен
объекту из С в С.
Пусть I — категория. Индуктивной системой в С,
индексированной категорией I, называется функтор из 2 в С. Аналогично,
проективной системой называется функтор из Iе в С. Определим
проективную систему F„ в 6ct, индексированную категорией I, формулой
F„(t) = {pt} для любого i € ОЬA). Тогда для проективной системы
F: Iе —► 6et, индексированной категорией 2, множество морфизмов

1.11. Ind-обаекты и pro-объекты
109
из F<> в F называется проективным пределом функтора F и
обозначается HmF или limF(i). Точнее, HmF состоит из таких наборов
{*(')}i'eOb(Z). что z(t') G F(t') и F(h)x(j) = z(t') для любого ft: i -»• j.
Мы будем иногда писать t G I вместо t € Ob(I) и lim вместо lim.
Определение 1.11.1. Пусть I и С — категории.
(a) Бели F — индуктивная система в С, индексированная
категорией I, то HmF обозначает функтор
I
X*-*l\mEomc(F(i),X)
из С в 6et.
(b) Если F — проективная система в С, индексированная
категорией I, то HmF обозначает функтор
I
X мБшНошc(X,F(i))
из С в 6et.
Если эти функторы представимы, то мы сохраним те же
обозначения для представляющих объектов в С и будем называть
эти объекты индуктивным и проективным пределами
соответственно.
Если F — проективная система в 6et, то определение 1.11.1(b)
эквивалентно данному ранее.
Определение 1.11.2. Категория I называется фильтрованной, если
выполнены следующие условия:
<\ П / ДЛЯ *'J G °ЬA) найдется к € 0ЬA)
\ и морфизмы i —* к, j —* к;
. . Г для любых двух морфизмов f,g G Homi(i,y)
\ найдется морфизм ft: j —► it, такой, что ft о / = ft о g.
Легко доказывается следующее предложение.
Предложение 1.11.3. Пусть F — индуктивная система в 6et,
индексированная фильтрованной категорией I. Тогда HmF может
I
быть представлен как (Uigobfl) ^@)/ ~> г&е х ~ у для х G F(t') и
у G F(j) тогда и только тогда, когда существуют объект k G Ob(I)
и морфизмы /: i —► к, g: j —* к, такие, что F(f)x = F(g)y.

110 Гл.1. Гомологическая алгебра
Определение 1.11.4. Пусть I и С — категории, причем категория
I фильтрованная.
(a) Для индуктивной системы F в С, индексированной категорией
I, через "Hm"F мы обозначим функтор
1 X >-+\т\Яотc(X,F(i))
из С в 6et. *€Г
(b) Для проективной системы F ъС, индексированной категорией
I, через "Hm"F мы обозначим функтор
1 X~limHomc(F(i),X).
из С в 6et.
Бели эти функторы представимы, то так же будут
обозначаться и представляющие их объекты в С.
Функтор из С" (соответственно из С) в 6et (т. е. объект из С
(соответственно из СЛ)) называется \пй-объектом (соответственно рго-
объектом), если он изоморфен "lim"F (соответственно "lim>'F) для
индуктивной (соответственно проективной) системы F,
индексированной фильтрованной категорией 1.
Пример 1.11.5. Пусть (/, ^) — упорядоченное множество. Мы
сопоставляем множеству / категорию 1 следующим образом:
Г ОЬA) = /,
A.11.3) < Нотi(i, j) состоит из единственного элемента «у,-,
I если i < У, и пуст в противном случае.
Тогда индуктивная система F в С, индексированная множеством /,
есть по определению индуктивная система в С, индексированная
категорией 1.
Обычно вместо F пишут {А-,-,^}, где Х{ = F(t'), piti = F(sij).
Аналогично определяется проективная система, индексированная
категорией I. Если / — направленное упорядоченное множество (т. е.
для любых i € /, У 6 / найдется к € /, такой, что к ^ i, к ^ j), то
категория I является фильтрованной.
Пусть F — индуктивная система в С, индексированная
фильтрованной категорией I. Предположим, что limF(j') представим, и обо-
i
значим через К представляющий его объект. Имеем
Eomc(K,K)~\imEomc(F(j),K).

1.11. Ind-объекты и pro-объекты 111
Этот изоморфизм определяет семейство морфизмов pj: F(j) —> К,
удовлетворяющих условию
A.11.4) Pj°F(s) = pi Для любого «: i—♦ j,
a {K,pi}i обладает свойством универсальности, описываемым
диаграммой
То есть для любого семейства морфизмов /,-: Х{ —► X, таких, что
fjoF(s) = fi при всех s: i —► j, существует (единственная) пунктирная
стрелка, делающая диаграмму коммутативной.
Пусть теперь "lim" F(j) представим, л L — представляющий его
j
объект. Для любого i € 0ЬG) изоморфизм
Homc(F(i),L) ~ HmHomc(F(i),F(i))
i
и морфизм v&F(i) вместе определяют морфизм р,: F(i) —► L,
удовлетворяющий A.11.4). Более того, используя изоморфизм
Homc(L,L) ~ limHom(£,F(j)),
i
можно найти объект tc € ОЬ(С) и морфизм f:L-* F(t'e), такие,
что
A-11.5) Pi.of = idL.
Для любого X € ОЬ(С) и любого i € Ob(I) композиция морфизмов
Eomc(X,F(i))-^nomc(X,L)-l-*Eomc(X,F(io))
-^limEomc(X,FU))
совпадает с каноническим морфизмом. Поэтому 3
A.11.6) для любого г € ОЬA) существуют j € Ob(I), s : i —* j
и t:ie —► j, такие, что F(t) о /о рх = F(s).
Фактически выполнение этих условий гарантирует существование
объекта " Иш" в ОЬ(С).

112 Гл.1. Гомологическая алгебра
Предложение 1.11.6. Пусть L G ОЪ(С). Тогда L представляет
"lim"F(j) в том и только в том случае, когда для всех i из I су-
i
ществуют морфизмы pi: F(i) —► L, объект t'e € Ob(I) u морфизм
f:L—* F(ie), такие, что выполнены условия A.11.4)-{1.11.6).
Доказательство. Необходимость уже доказана. Для доказательства
достаточности заметим, что для любого X € ОЬ(С) отображения
limHomc(X, FU)) ^ Нотс (X, L)
Т
и
Eomc(X,L)-UUomc(X,F(i0)) —♦ \imRomc(X, F(j))
взаимно обратны. 3 П
Следствие 1.11.7. Если и linf F(j) представим объектом L, то
i
HmF(j) также представим объектом L.
i
Следствие 1.11.8. Пусть С — категория, Т — функтор из С в
С и F — индуктивная система в С. Если eHm"F(j) существует
i
в С, то "limTF(y) существует в С и представляется объектом
TClim" F(j)).
i
Доказательство. Функтор Т сохраняет существование Pi, t„ и
/ из предложения 1.11.6, удовлетворяющих условиям A.11.4)-
A.11.6). П
В этом параграфе рассматривались главным образом
индуктивные пределы. Аналогичные результаты справедливы и для
проективных пределов, так как проективная система в С
является индуктивной в С.
1.12. Условие Миттаг-Лефлера
В этом параграфе мы будем главным образом изучать проективные
системы абелевых групп, индексированные множеством N. Через Ш
мы обозначим категорию абелевых групп. Мы будем рассматривать
упорядоченное множество (N,<) как категорию и обозначать ее
N (см. §1.11). Таким образом, проективная система абелевых
групп, индексированная множеством N", — это функтор из N°

I.IS. Условие Миттаг-Лефлера
113
в 2lb. Пусть X является таким функтором. Мы также будем
использовать для него обозначение {X„,p„iP}. Значит, рп,р- Хр —>
Хп — это морфизмы абелевых групп, определенные при р > г», и
выполняются условия
A.12.1) A,,n = id*», Рп,Р°РрЛ=Рп,ч, еслип<р<?.
Пусть Hom(N°,2lb) — категория контравариантных функторов
из N в 21Ь (т. е. категория проективных систем абелевых групп,
индексированных множеством N). Очевидно, что эта категория
абелева.
Так как категория 21 b допускает проективные пределы (как и
индуктивные), то существует функтор
lim:Hom(If,2lb)-»2lb,
i
который проективной системе ставит в соответствие ее проективный
предел. Если X = {X„,p„iP} — проективная система, то мы будем
использовать как lim X, так и ИтХп для обозначения ее проективного
предела. п
Заметим, что функтор lim точен слева. Мы построим полную
подкатегорию в Hom(N°, 21Ь), инъективную по отношению к lim.
Определение 1.12.1. Пусть X = {Хп,рп,р} — проективная
система абелевых групп. Говорят, что X удовлетворяет условию
Миттаг-Лефлера (сокращенно M-L), если для любого п € N
убывающая последовательность {рп,р(Хр)}р^п подгрупп из Х„
стационарна.
Предложение 1.12.2. Пусть
o->x'-Lx±x"->o
— точная последовательность проективных систем абелевых групп.
(i) Если X' и X" удовлетворяют условию M-L, то и X также
удовлетворяет условию M-L.
(ii) Если X удовлетворяет условию M-L, то и X" удовлетворяет
условию M-L.
Доказательство, (i) Для любых п, No, N\, р, где г» < М> ^ М ^ Р,
имеем коммутативную диаграмму с точными строками

114 Гл.1. Гомологическая алгебра
О ► X' -^— Х„ —*— X" > О
•р ~р "р
111
X'Nl ► XNl ► Xfft
1 1 1
XNo -?—> AX ► О
WJV0 ' л"о ' лЛГо
1 1 1
1 1 1
Зафиксируем n и выберем N0 я Ni ^ No так, чтобы
Im(A£ -» Л-;) = Im(X^0 -» А-;) для всех р > N0
Im( A£ -»*#,) = ВДХ*, -» А'£0) для всех р > #1 •
Так как g(lm(XNl -> Ajv0)) = ff(Im(Ap -> Ajv„)). to
Im(XNl ^XNo)C lm(Xp ^XNo) + f{X'N%).
Следовательно,
Im(Ajv, - An) С Im(Ap - Xn) + /(Im(*k - *n))
С Im(Ap —► An).
(ii) очевидно. D
Предложение 1.12.3. Пусть 0 —* X' —* X -?* X" —* 0 — точная
последовательность проективных систем. Предположим, нто X'
удовлетворяет условию M-L. Тогда последовательность
О -» Нт X' -» Нт X -»lim Xй'-* О
точна.

1.12. Условие Миттаг-Лефлера
115
Доказательство. Пусть X" = {X%,p„iP}, и пусть *" = {*"}neN —
элемент из ИтХ". Выберем возрастающую последовательность на-
п
туральных чисел {v(n)}„ так, чтобы v(n) ^ n и Im(.Xp -> Х'п) =
Im(JVJ,/n4 —► Х'п) для всех р ^ v{n). Отметим сначала, что если
ff(*«/(n)) = *"(„) Для *„(„) е Х„(„), то для всех р ^ i/(n) существует
*р € Ар, для которого выполняются равенства д(хр) = *_' и рп,р(хр) =
Pn,v(n){*v{n))- Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения,
выберем ур е Хр так, чтобы д(ур) = х'р\ Тогда /V(„)iP(yp) - *„(„) €
/(^(п)). так что Рп,р(Ур) ~ Pn,v(n)(*v(n)) € Im(/(Ap) -* /(*;)), и мы
можем найти гр € f(X'p), такой, что ур — гр обладает требуемыми
свойствами. Построим последовательность * = {*„(„)}п. такую, что
ff(*«/(n)) = *"(п) и Л»-1,"(")(*"(»»)) - Pn-i,«/(n-i)(*i/(n-i))- Если уже
построены *„(,) € Хищ для i < п0, то *^(п.) строится так, как описано
выше. Тогда элементы *„ = pn,v(n)(xv(n)) удовлетворяют равенствам
ff(*n) = < и/>„_i,„(*„) = ж„-ь П
Рассмотрим теперь проективные системы комплексов абелевых
групп или, что то же самое, комплексы проективных систем абелевых
групп. Пусть Х- = {Xk,dk} — комплекс проективных систем
абелевых групп: Хк = {Х^р^р} для каждого it — проективная система
абелевых групп, а морфизмы d и р* р удовлетворяют естественным
условиям совместимости.
С комплексом X' мы связываем комплекс абелевых групп,
обозначенный через Х^:
Х'^-йтХ' = {limX'.d*}.
Для любого п е N естественные морфизмы Х'^ —► Х'п определяют
морфизмы
^:Я*(^)^ИтЯ*(Хп)
п
для каждого it € Z.
Предложение 1.12.4. Предположим, что для каждого к £ Ъ
система Хк удовлетворяет условию M-L. Тогда
(a) для любого к морфизм фк сюръективещ
(b) если, кроме того, для некоторого i система Нг~1(Х') (го. е.
проективная система {#*-1(.ХД),Нг~1(рпр)}) удовлетворяет
условию M-L, то морфизм <j>i биективен.

116 Гл.1. Гомологическая алгебра
Доказательство. Положим Z* = Ker(d* : X* —► -V*+1) и В* =
In^d*^: Л'*_! —» А'*). Тогда существуют точные последовательности
A.12.2)
A.12.3)
A.12.4)
о-^-х'-д'+'-о,
0-+BZ-+ZZ-+H4XJ-+0,
0 -» КтВ*--+ HmZ* -» \imHk(Xn) -» 0.
Существование A.12.4) следует из предложения 1.12.3, поскольку по
предложению 1.12.2 проективная система {В*}п удовлетворяет
условию M-L. Так как, кроме того, lim(-) является точным слева
функтором, то
A.12.5) ljmZ*=Ker(\imX*->limX*+1 J
п \ п п /
= Кег(Х»,-**+').
Рассмотрим диаграмму с точными строками
Х^1 — Кег(Х»,-**+') — Я*(ХТО) — 0
A.12.6) |*k 11 1**
0 —» limB* ► HmZ* ► НтЯ*(Х;) —» 0
п п п
Из нее следует сюръективность морфизма фь.
Предположим теперь, что {Н*~1(Х^)}п удовлетворяет условию
M-L. Из A.12.3) и предложения 1.12.2 вытекает, что проективная
система {£Д-1}п удовлетворяет условию M-L. Используя предложение
1.12.3 и последовательность A.12.2), получаем точную
последовательность
0 -» ton Zlr1 -» limXfr1 ^limBJ,^ 0.
n n
Следовательно, в диаграмме A.12.6) V^'-i сюръективен, а ф{
биективен. D
Замечание 1.12.5. Обозначим через Hom(I,2lb) категорию
функторов из I в 21Ь, т. е. категорию индуктивных систем абелевых групп,
индексированных категорией I. Существует корректно определенный
функтор
lim:Hom(Z,<2lb)-»<2lb,

1.12. Условие Миттаг-Лефлера
117
который каждой индуктивной системе сопоставляет ее индуктивный
предел. В отличие от функтора lim функтор lim точен.
В частности, рассмотрим комплекс индуктивных систем абелевых
групп X' = {Xk,d }, где каждый объект Хк = {Xk,pkj} является
индуктивной системой. Тогда для каждого it £ Z имеем
A.12.7) Hk(\imX)~limHk(X).
В завершение этого раздела напомним результат Касивары (см. [Ка-
shiwara 5]) об индуктивных и проективных пределах множеств,
индексированных множеством К.
Предложение 1.12.6. Пусть {X,,p,tt} — проективная система
множеств, индексированная множеством Ш. Предположим, что
для каждого s £Ш канонические отображения
А,: X, —* МтХ,
U
ц,: limXt —* X,
г>«
инвективны (соответственно сюръективны). Тогда все
отображения />«„,«, («о ^ *i) инвективни (соответственно сюраективны).
Доказательство. Сначала докажем инъективность. Пусть * и у
принадлежат Л',, и таковы, что />«„,«,(*) = Р«0,«,Ы Для некоторого
«о < «1 • Пусть
/ = {s £ K;s < «i,/>.,.,(*) = />.,., (у)}-
Тогда / содержит «о- Из условий в £ /, г < « следует, что г £ I.
Пусть «2 = sup/. Так как А,2 инъективен, то 5г € /■ Если «2 = <ь
то * = у. Предположим, что «2 < si- Так как ц,3 инъективен, то
существует s > S2, s £ I. Противоречие.
Теперь докажем сюръективность. Пусть «о < <ь *о £ Х,0. Пусть
А есть множество упорядоченных пар («, *), где So ^ s ^ 8\,х £ X, и
/>,,»„(*) = х0. Упорядочим А следующим образом:
(*, *) < («', х') тогда и только тогда, когда s < s' и p,t,'(x') = *.
Покажем, что А индуктивно упорядочено. Пусть В С An В линейно
упорядочено. Пусть
/ = {s £ М; «о ^ s < «1, существует х £ X,, такой, что (s, х) £ В}.

118
Гл.1. Гомологическая алгебра
Пусть Si = sup/. Бели «2 G /, то В имеет максимальный элемент.
Бели «2 ^ I, то из сюръективности А,2 следует, что существует пара
(«2>*г) € А большая, чем любой элемент из В. Это доказывает
индуктивную упорядоченность А.
Пусть (*,*) — максимальный элемент в А. Бели s = «i, то
утверждение доказано. В противном случае из сюръективности ц, следует
существование s',s < s' < «i, и *' 6 ^«', таких, что p,if»(i#) = *.
Противоречие. П
Упражнения к гл. 1
Упражнение 1.1. Пусть С — аддитивная категория. Докажите,
что можно единственным образом задать структуру аддитивной
группы на каждом множестве l\omc(X,Y) так, чтобы закон композиции
Uomc(X,Y) х Homc(Y,Z) —* YLomc(X,Z) был также аддитивен для
всех объектов X,Y,Z € Ob(C). (Указание. Сначала определите, что
является нулем в Нотс(Х, Y), затем закон сложения, используя
правила композиции.)
Упражнение 1.2. Пусть С к С — категории, a F: С —► С и G: С —►
С — функторы.
(i) Докажите, что следующие два условия эквивалентны,
(а) Существуют морфизмы функторов
a:FoG-Mdc, /?:idc-»GoF,
такие, что композиция G(Y) п°1Щ G о F о G(Y) G(a(y))
G(Y) равна idc(Y) для любого Y g Ob(C'), а композиция
F(X) FWX)\ FoGo F(X) a<-F(-X)), F(X) равна idf.(X) для
любого X e Ob(C).
(b) Существует изоморфизм бифункторов Нотс(^(^),
У) =♦ Нотс(Х, G(Y)) из С х С в 6et.
В этом случае мы называем G правгг<л< сопряженным
функтором к F, а F — левым сопряженным функтором к G.
(И) Докажите, что для функтора F:C —* С (соответственно G:
С —* С) его правый (соответственно левый) сопряженный
единствен с точностью до изоморфизма (если он вообще
существует).
(Hi) Докажите, что для функтора F: С —* С (соответственно G:
С —* С) правый (соответственно левый) сопряженный
существует в том и только в том случае, когда для любого Y €

Упражнения к гл. 1
119
ОЬ(С') функтор X i-+ Home(F(X), У) представим
(соответственно для любого X g Ob(C) функтор У >-* Яотс(Х, G(Y))
представим).
Упражнение 1.3. Докажите, что если выполнены условия (i)-
(iii) определения 1.2.1, то Z является представляющим объектом для
функтора
W -» Homc(X, W) ф Нотс(У, W)
в том и только в том случае, когда существуют морфизмы t*i: X —* Z,
t2-.Y-*Z,p\: Z —► X, р2: Z —» У, такие, что рг ° t'i = 0, р\ о i2 = О,
Pi ° «1 = idx, P2 о «2 = idy и t'i о pi + i2 о р2 = idz-
Упражнение 1.4. Пусть X -^-* Z-^*Y — последовательность мор-
физмов аддитивной категории С и р2 о tj =0. Докажите
эквивалентность следующих условий:
(i) Для любого W £ ОЬ(С) последовательность
0 -» Eomc(W,X) -» Homc(W, Z) -» Homc(W,У) -» 0
точна,
(ii) Для любого W £ Ob(C) последовательность
0 «- Homc(*, W) «- Homc(Z, W) «- Нотс(У, W) «- 0
точна.
Существуют морфизмы it : У —* Z, р\ : Z —► X, такие, что
выполнены условия упр. 1.3.
Если все эти условия выполнены, то мы называем
последовательность Q—*X—*Z—*Y—*Q расщепляющейся. В этом
случае Z изоморфен X&Y и X называется прямим слагаемым
bZ.
(iv) Докажите, что если С — абелева или триангулированная
категория и морфизмы t'i : X —* Z я pi : Z —* X таковы, что
Pi о t'i = idx, то X является прямым слагаемым в Z.
Упражнение 1.5. Пусть Q—*X—*Z—*Y—*Q — точная
последовательность в абелевой категории. Тогда из инъективности объекта
X или проективности объекта У следует расщепляемость указанной
последовательности.

120
Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.6. Пусть С — абелева категория.
(i) Пусть f: X —* Z ж д: Y —* Z — морфизмы в С. Докажите,
что Кег(.Х ф У —► Z) является представляющим объектом для
функтора
W~Komc{W,X) х YLomc(W,Y).
Нот C(W,Z)
Представляющий объект для этого функтора обозначается
XxzY.
Аналогично, обращая стрелки, мы определяем объект
X Фг Y для морфизмов f : Z —* X я д : Z —* Y как
объект, представляющий функтор W —► Яотс(Х, W) XHomc(zwj
Нотс(У, W) (т. е. Coker(Z -» X ф У)).
(ii) Покажите, что в условиях (i) мы имеем коммутативную
диаграмму
О О
I _ I
Kerjr' —-—► Kerg
I _ I
О ► Кег/' ►ХхгУ-^- У
I' {•' I'
О ► Кег/ ► X f ■ Z
где морфизмы /' и д' определены очевидным образом.
(iii) Пусть
X' —^-» Y'
X —^— Y
— коммутативная диаграмма. Тогда следующие условия
эквивалентны:
(a) X' —► X ху У — эпиморфизм,
(b) X ®х> У -*Y — мономорфизм,

Упражнения к гл. 1
(с) в диаграмме
О 0 0
I i I
—► Кег/'Ху/Кегд' —► Кегд' —► Кетд —► О
I I ; I I
— Кег/' — X' -С У — Coker/' —
I >' I' I
—♦ Kerj — X -U Y — Cokerj —♦
I I 1 I
0 —» Coker g' —► Coker a —» Coker/ фу Coker g —►
III
121
0 0
все последовательности точны.
(iv) Пусть f:X—*Y — морфизм в С(С). Предположим, что для
каждого п квадрат морфизмов
Coker аг-1
А'п
I I
Coker d
n-i
У
удовлетворяет эквивалентным условиям из n.(iii). Тогда /
является квазиизоморфизмом. (Указание. Используйте
следующую диаграмму:
О -> Нп(Х) — Coker d^ — Xn+1 — Coker d^ — 0
I I
0 -> Hn(Y) — Coker d^-1 — Yn+1 — Coker d^ — 0)

122 Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.7. Пусть С — абелева категория.
(i) Бели Z £ ОЬ(С), то через V(Z) мы обозначим категорию, объ-ч
ектами которой являются эпиморфизмы f:Z'—*Z. Морфиз-
мы (/: Z' —* Z) —* (/': Z" —* Z) определяются как морфизмы
h: Z' —* Z", такие, что /' о h = f. Докажите, что категория
P(Z) кофильтрованная, т. е. категория V(Z)° фильтрованная,
(и) Для X € ОЬ(С) положим hz{X) = lim Homc(Z',X), где
Romc(Z', X) — это функтор из V(Z) в 21Ь, который
эпиморфизму /: Z' —* Z сопоставляет абелеву группу Homc(Z',X).
Докажите, что hz — точный функтор из С в %Ь и что если для /
и /' из Яотс(Х, X') равенство hz(f) — hz(f') выполняется при всех
Z € ОЬ(С), то / = /'.
Докажите, что последовательность в С точна, если ее образ при
действии hz точен при всех Z £ Ob (С).
Отметим, что это упражнение позволяет переводить на язык
категории 21 b задачи, сформулированные в терминах абелевых категорий.
Упражнение 1.8 (лемма о пяти морфизмах). Пусть С — абелева
категория. Рассмотрим коммутативную диаграмму в С с точными
строками
Х° ► X1 ► X2 ► X3 ► X4
J/o J/. J/, |/. [и
У0 ► У1 ► У2 ► У3 ► У4
Докажите, что
(i) если /о — эпиморфизм, а Д и /3 — мономорфизм, то /г —
мономорфизм,
(ii) если /4 — мономорфизм, a /i и /з — эпиморфизмы, то /г —
эпиморфизм.
Упражнение 1.9. Пусть С — абелева категория. Рассмотрим
коммутативную диаграмму в С с точными строками
X —^ У —'—► Z > О
!•,!'. 1'
О ► X' —^—► У —^—» Z'

Упражнения к гл. 1 123
Докажите, что существует естественно определяемая точная
последовательность
Кег а —► Кег /? —► Кег у Л Coker а —► Coker fi —► Coker у,
такая, что следующая диаграмма коммутативна:
У —±-+ Z
1 I
У < Кег у о д ► Кег у
1,1 1-
У 4-£— X' ► Coker a
Упражнение 1.10. Пусть С — абелева категория. Рассмотрим
диаграмму с точными строками
О ► М ► А/о ► Мi ♦ О
О ► М ► А/о" ► М[ ► О
Предположим, что объекты А/о и М'0 инъективны. Постройте
изоморфизм Afo ф М[ а Мо ф М\.
Упражнение 1.11. Пусть С — абелева категория и X £ ОЬ(С(С))
таков, что для любого Y £ ОЬ(С) комплекс абелевых групп Ноте (У, X)
точен. Докажите, что X равен нулю в К(С) (см. упр. 1.4.).
Упражнение 1.12. Пусть С — триангулированная категория.
Рассмотрим коммутативную диаграмму в С
X ► У ► Z ► Х[1]
II II 1 II
X ► У ► Z' ► Х[1]
в которой верхняя строка является выделенным треугольником.
Докажите, что при выполнении одного из следующих условий нижняя
строка также является выделенным треугольником:
(i) для любого Р £ ОЬ(С) последовательность Нот(Р, X) —►
Нот(Р, У) -» Нот(Р, Z') -» Нот(Р, Х[\]) точна,
(ii) для любого Q £ 0Ь(С) последовательность Hom(X[l],Q) —►
Hom(Z', Q) -» Нот(У, Q) -> Нот(Х, Q) точна.

124
Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.13. Пусть A'j —►У,—» Z\—► , i = 1,2, — два
треугольника в триангулированной категории. Докажите, что они
являются выделенными в том и только в том случае, когда их прямая
сумма X\®Xi —» У1ФУ2 —* ZiQZz —► — выделенный треугольник.
(Указание. Используйте результат упр. 1.12. Для доказательства
достаточности рассмотрите выделенный треугольник 6 : Х\ —*Y\ —* U —►
и докажите, что композиция Si —* Si ф b\ —* S, где Si и 62 — данные
треугольники, является изоморфизмом.)
Упражнение 1.14. Пусть С — категория, а 5 —мультипликативная
система в С. Если А' £ ОЬ(С), то через Sx мы обозначим категорию,
объектами которой являются морфизмы s: X' —* X, s £ S, & морфиз-
мы определены следующим образом. Для s: X' —* X и s': X" —* X
положим
Нот 5* («У) = {ft € Ноте (Л"', А")У = s о Л},
(i) Покажите, что категория (Sx)" является фильтрованной,
(ii) Докажите, что для X,Y £ ОЬ(С)
Homcs(X,Y) = ИтНотс(Л",У).
Здесь Нотс(А'',У) — это функтор из Sx в 6ct, который
сопоставляет морфизму «': X' —+ X множество Нотс(Л", У),
(iii) Обращая стрелки, определите категорию SY и докажите, что
Ноте, (X, У) = НтНотс(*,У')-
Упражнение 1.15 (см. [Deligne 1]). Пусть С —категория.
Определим категорию Ind(C) как полную подкатегорию в С (см. §1.1),
состоящую из объектов, изоморфных " lim" F для некоторой ин-
I
дуктивной системы в F в С, индексированной фильтрованной
категорией 1.
Пусть теперь категория С абелева. Для X £ ОЬ(К+(С)) через Sx
обозначим категорию, объектами которой являются
квазиизоморфизмы и: X —► X', а морфизм ft: (u: X —► X') —► (и': X —► X") определен
с помощью морфйзма v: X' —* X", такого, что v о и = и'.
(i) Докажите, чтофунктор<г: D+(C) -* Ind(K+(C)), X i-* "lim"A",
корректно определен и является вполне строгим. Здесь X' —

Упражнения к гл. 1 125
функтор из Sx в К+(С), который ставит в соответствие X'
морфизму и: X —* X'.
(ii) Пусть F: С —* С — точный слева функтор абелевых
категорий. Определим функтор Т: 0+(С) —► Ind(K+(C')) формулой
Т(Х) = "lim"F(X'). Мы будем говорить, что F производим в
X е Ob(D+(C)), если существует У £ Ob(D+(C')), такой, что
Т(Х) ~ <t(Y). Докажите, что такой объект У единствен и что
если F производим в каждом X £ Ob(D+(C)), то существует
правый производный функтор RF л а о RF ~ Т.
Упражнение 1.16. Пусть С — аддитивная категория,
(i) Докажите, что для X £ С~(С)) и Y £ С+(С))
Z°(s(Romc(X,Y))) = НотС(с)(Х,У),
Я0(8(Нотс(Х,У))) = Et{X,Y),
Я°(8(Нотс(Х,У))) = НотК(С)(^,У).
(s определено в A.9.4)).
(ii) Пусть С — абелева категория, содержащая достаточно
много инъективных (или проективных) объектов. Пусть
ХеОЬ@-(С)), УеОЬ@+(С)). Докажите, что
H°(REomc(X,Y)) = Нот0(с)(Х,У).
Упражнение 1.17. Пусть С — абелева категория. Говорят, что С
имеет гомологическую размерность < п, где п — неотрицательное
целое число, если Ext*(X,Y) = 0 при j > п для всех X,Y £ Ob(C).
Здесь ЕхЬ3(Х, У) = Ното(С)(Х,УИ). Предположим, Что С содержит
достаточно много инъективных объектов. Докажите эквивалентность
следующих условий:
(i) С имеет гомологическую размерность ^ п;
(ii) для любого X £ ОЬ(С) существует инъективная резольвента
объекта X длины ^ п, т. е. точная последовательность 0 —*
X —► /° —► • ► /" —► 0, в которой все /' инъективны.
Наименьшее n£NU {оо}, такое, что эти условия выполнены,
называется гомологической размерностью категории С и обозначается
через hd(C).

126
Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.18. Пусть С — абелева категория и hd(C) ^ 1.
Докажите, что для любого А' £ Ob(D*(C)) в категории D*(C) имеется
изоморфизм
X~®Hk{X)[-k].
к
(Пример: С = ШоЬ(А), где А — кольцо главных идеалов, в частности
поле или Z.)
Упражнение 1.19. Пусть С я С — абелевы категории, F:C—*C —
точный слева функтор, а 1 — некоторая F-инъективная
подкатегория в С. Мы назовем объект X из С F-ацикличным, если RkF(X) = О
при ib ф 0. Пусть J — полная подкатегория F-ацикличных объектов
в С.
(i) Докажите, что J F-инъективна.
(ii) Докажите, что для любого целого n ^ 0 следующие условия
эквивалентны:
(a) RkF(X) = 0 для всех * > п и всех X € ОЬ(С);
(b) для любого X € ОЬ(С) существует точная
последовательность
О^Х^Х0 -+ >Хп^0,
где X* € 0ЬB), 0 < j ^ п;
(c) если Х° —► ■ ■ ■ —► Хп —► 0 — точная последовательность
и если X' € Ob(J) при j < п, то Хп € Ob(J).
В этом случае мы говорим, что F имеет когомологическую
размерность ^ п.
Упражнение 1.20. В условиях предложения 1.8.7 предположим,
что F (соответственно F') имеет когомологическую размерность ^ г
(соответственно ^ г') (см. упр. 1.19). Докажите, что F' о F имеет
когомологическую размерность ^ г + /.
Упражнение 1.21. Пусть С и С — абелевы категории и F: С —*
С — точный слева функтор. Предположим, что в С существует
F-инъективная подкатегория 1. Пусть X 6 Ob(D + (C)) таков, что
R*F{H'{X)) = 0 для всех t > 0 и всех j ^ j„. Докажите, что
существует изоморфизм
R'F(X) ~ F(H'(X)) для всех j ^ j„.

Упражнения к гл. 1
127
Упражнение 1.22. В условиях предложения 1.8.7 пусть Х£
Ob(D+(C)), и пусть R'F(X)=0 при j < п. Докажите, что
Rn(F'oF)(X)~F'oRnF(X).
(Указание. Используйте замечание 1.8.6.)
Упраншение 1.23. Пусть С — абелева категория, лХ — полная
подкатегория в С. Предположим, что 1 удовлетворяет условиям A.7.5)—
A.7.6) и
если 0 —► X' —* X —у X" —уО — точная последовательность в С и
X' £ ОЬ(Т), то X" £ ОЬ(Т) в том и только в том случае, когда
X £ ОЬ(Т).
Пусть * = 0 или 6, или —, или +.
(a) Докажите, что любой объект X £ ОЬ(С*(С)) квазиизоморфен
некоторому Y £ ОЬ(С*(С)).
(b) Пусть С — абелева категория я F: С —у С — точный слева
функтор. Предположим, что 1 F-инъективна. Докажите, что
RF существует как функтор из D*(C) в 0*(С')-
(c) Пусть С" — абелева категория, a G: С х С —► С" — точный
слева бифунктор. Предположим, что для каждого X' £ ОЬ(С')
категория X С(-,Х')-1/шъектявал. Докажите, что RG
существует как бифунктор из D~(C) x D~(C') в D~(C") и из
D*(C) х D*(C) в D*(C") (см. [Hartshorn 1, с. 42]).
Упраншение 1.24. (i) Пусть F : С —у С — точный слева
функтор абелевых категорий, а X £ Ob(D+(C)). Постройте естественные
морфизмы H'(RF(X)) -* F(H*(X)).
(ii) Пусть С, С, С" — абелевы категории, a F — бифунктор из С х С
в С". Пусть Х€ОЬ@*(С)), Y £ ОЬ@*(С')}, где * = + или-.
(a) Предположим, что F точен слева и * = + (соответственно F
точен справа и * = —). Постройте естественные морфизмы
(p,?ez)
Hp+i(RF(X, Y)) -» F(Hp(X), H*(Y))
(соответственно F(HP(X),H^Y)) -♦ H'+*{LF(X,Y))).
(b) Предположим, что F точен. Докажите существование
изоморфизма (п £ Z)
H*{F(X,Y))~ ф F{H'(X),H*(Y)).

128 Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.25. Пусть С — абелева категория, а X — двойной
комплекс в С, удовлетворяющий условию A.9.2).
(i) Докажите, что следующие треугольники являются
выделенными в 0(C) :
шт?Г\Х) -> «#*(*) -> ШХ)[-п] -£,
Нпп(Х)[-п] - srfr(X) ->.т>-+1 (X) -J .
(и) Зафиксируем ib g Z. Докажите, что естественный морфизм
Я*(«#*(*)) - **(»(*))
(соответственно Hk(s(X)) —► Hk(sTf"(X))) является
изоморфизмом при п » 0 (соответственно при п<0).
(iii) Зафиксируем ib € Z. Докажите, что
Я*(8Г</п(Л')) = 0прип<0
и
Я*(вт£" (X)) = 0 при п > 0.
(Указание. Hk(s(X)) зависит только от {Xn,m;k — l ^п + т ^
* + !}•)
Упражнение 1.26 (Ж.-П. Шнейдерс). В условиях упр. 1.25
предположим, что
ИЧИ{Х) ~ 0 всегда, кроме случая q = qo,qi,
где qo < qi. Докажите существование выделенного треугольника
HJ}(X)[-q0) -> s(X) - HK(X)[-qi] ^.
(Указание. Используйте упр. 1.25.)
Упражнение 1.27. Пусть С — абелева (соответственно
триангулированная) категория. Обозначим через К(С) абелеву группу,
являющуюся фактором свободной абелевой группы, порожденной
всеми объектами категории С, по соотношениям X = X' + X",
соответствующим точным последовательностям 0 —► X' —► X —► X"
—► 0 (соответственно выделенным треугольникам А" —> X —► X"—► в
С). Она называется группой Гротендика категории С.
Пусть теперь С — абелева категория. Докажите, что
функтор t : С —► D*(C), X i-+ X, индуцирует групповой изоморфизм
К(С) ~ К@'(С)). Обратный изоморфизм дается формулой X >-+
£,(-1)'[Н*(Х)], где [Z] — класс объекта Z в К(С).

Упражнения к гл. 1
129
Упражнение 1.28. Пусть А — кольцо. Докажите эквивалентность
следующих условий:
(i) ЯКоЭ(А) имеет гомологическую размерность ^ п;
(ii) любой левый А-модуль М имеет инъективную резольвенту
длины ^ п;
(iii) любой левый А-модуль М имеет проективную резольвенту
длины < п (т. е. существует точная последовательность
О —► Рп —* • • • —у Pq —* М —* О, в которой все Pj проектив-
ны).
Положим gld(A) = sup(hd(9Ho?)(A)),hd(9Ro?>(A<'''))) и назовем
gld(A) глобальной гомологической размерностью кольца А.
Упражнение 1.29. Пусть А — кольцо.
(i) Докажите, что свободный А-модуль проективен.
(ii) Докажите, что проективный А-модуль М является прямым
слагаемым некоторого свободного А-модуля М' (т. е. М' =
М ф М", где М" есть А-модуль).
(iii) А-модуль М называется плоским, если функтор • ®а М точен.
Докажите, что проективные модули являются плоскими.
(iv) Пусть п — неотрицательное целое число. Докажите
эквивалентность следующих условий:
(a) Topf(N, М) = О для любого j > п, любого правого
А-модуля N и любого левого А-модуля М;
(b) любой левый А-модуль М имеет плоскую резольвенту
длины ^ п (т. е. существует точная последовательность 0 —►
рп _► у ро _> м _> о, в которой все PJ плоские);
(Ь)ор то же утверждение, что и в п. (Ь), с заменой левых
А-модулей правыми.
Определим слабую глобальную размерность кольца А,
wgld(A), как наименьшее л 5NU {+оо}, Для которого
выполнены эти условия,
(v) Докажите, что wgld(A) < gld(A).
Упражнение 1.30. Пусть А — коммутативное кольцо. Объект X из
D*(9Kcrt)(A)) называется совершенным, если он изоморфен
ограниченному комплексу конечно порожденных проективных А-модулей.
(i) Докажите, что если X -*Y —у Z —► — выделенный
треугольник в 0*(ЯЯоЭ(А)) и X, Y совершенны, то Z совершенен.
(ii) Докажите, что прямая сумма совершенных объектов
совершенна. (Указание. Для ограниченного комплекса
проективных модулей Р' и квазиизоморфизма Р' —у X' ф У, где
5 М. Касивара, П. Шапира

130
Гл. I. Гомологическая алгебра
Р' = A'J = Y1 = 0 при j > 0, обозначим через Р, X, У
комплексы, полученные заменой Р°, Р-1, А', У-1 на 0, Р-1фР0,
Х~1®Р°, У-1фР° соответственно. Затем построим
квазиизоморфизм Р —► ЛГ ф У, используя морфизмы Р° —► X'1 ф У-1,
так, чтобы композиция
р° -+ х-1 ф у-1 Лл-° ф у° ф р°
была равна @,0, idpo). Здесь ф\ро$ра_>Ра = (idpo,—idpo).)
(iii) Пусть М € ОЬ@*(9ЯоЭ(Л))), и предположим, что Af
совершенен. Пусть М* = ЛНот(ЛГ, Л). Докажите, что М*
совершенен и канонический морфизм М —* М** является
изоморфизмом.
Теперь предположим, что А нётерово и gld(-AS) < оо.
(iv) Пусть ШоЬ^(А) обозначает абелеву категорию конечно
порожденных А-модулей. Докажите, что все объекты из
совершенны,
(v) Обозначим через Dj(SWo?)(A)) полную подкатегорию в
Dh(9RoD(A)), состоящую из объектов, группы когомологий
которых принадлежат ШоЬ^(А). Докажите, что естественный
функтор Оь(ШоЪ*(А)) —► Ohj(9Rob(A)) является
эквивалентностью категорий. (Указание. Используйте предложение 1.7.11
(см. [SGA, Expose 1]).)
Упражнение 1.31. (i) Пусть Af€Ob(D*(9rtoD(Z))), и пусть М* -
RHom(Af, (Z)). Докажите, что из М* = 0 следует, что М — 0.
(Указание. Можно считать, что Нк(М) = 0 при ib > 0. Используя
выделенный треугольник т^~*(М) —► М —► Н°(М) —►, доказательство
можно свести к доказательству следующего утверждения: пусть М —
такой Ъ-модуль, что Hom(Af, Z) = Ext^Af, Z) = 0; тогда М = 0.
Для того чтобы доказать это утверждение, покажите, что М не
имеет кручения. Затем покажите, что М делим (т. е. что умножение
на п € Z\{0} — сюръективный морфизм) и что М ~ Q®z M. Если
М ф 0, то М = Q ф L, из чего следует, что Ext^Q.Z) = 0, а это
неверно.)
(н) Пусть М*£ОЪ(Оь(9ЛоЪ*(Х))). Докажите, что в этом случае
AfeOb(D*(!mo?)/(Z))).
Упражнение 1.32. Пусть ib — поле и X € Ob(D*(9Ho?)(ib))).
Положим X* = Rl\om(X,k) (дифференциал определен в замечании
1.8.11).

Упражнения к гл. 1 131
(i) Предположим, чтоХ 6 0b(Dj(9Kcrt)(ib))). Докажите
существование естественных изоморфизмов
Х^Х", X*®X^RHom(X,X)
и постройте морфизм X* ® X —► к как прямое произведение
морфизмов (ХпУ ® Хп -► it.
(ii) Пусть X е ОЬ@}(9По?>(*))), и пусть v £ Еот(Х,Х). Положим
i
где tr(#'») — след эндоморфизма НЦь): Н'(Х) -* НЦХ).
Пусть теперь У € ОЬ( К* (ЯКоУ (*))), а «еНот(У,У).
Докажите, что
J
(iii) Рассмотрим эндоморфизм выделенных треугольников в
0*(ОПоЭ(*))
X' ► X ► X" ►
+1
1"' 1* 1""
X' ► X ► X" ►
+1
Докажите, что tr(ti) = tr(w') + tr(w").
(iv) В условиях (ii) докажите, что tr(v) является образом v при
морфизме
Я°(R Нот(Х, X)) ~ Я°(Л" ® X) -► *.
Обычно для X е Ob(D}(9Ho?)(ib))) полагают
X(X)=2>l/dimtf'(X).
j
Конечно, х(-Х) = tr(idjc) в it (см. [SGA6, Expose 1]).
s*

132
Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.33. Пусть ib — поле, V — линейное пространство
над k я и: V —* V — эндоморфизм. Мы говорим, что и принадлежит
классу эндоморфизмов со следом, если dim(«"(V)) < оо для
некоторого п > 0. В этом случае мы полагаем
tr(«) = tr(u|u»(v)).
(i) Докажите, что определение следа tr(u) не зависит от
выбора п.
(ii) Пусть V —► W —► V — морфизмы линейных пространств над
it. Докажите, что now принадлежит классу эндоморфизмов со
следом в том и только в том случае, когда vou принадлежит
этому классу, и тогда tr(« о v) = tr(w о и),
(iii) Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными
строками
0 ► V —1—* V —^-» V" ► 0
|«' |и |«"
0 ► V "' ) V "" ) V" ► 0
Докажите, что и принадлежит классу эндоморфизмов со
следом в том и только в том случае, когда и' и и" принадлежат
этому классу, и тогда tr(«) = tr(u') + tr(«").
Упражнение 1.34. Пусть ib — поле и X £ ОЬ@}(9ЙоЭ(*))).
Положим
ЪДХ) = <"тЯ'(Х), Ь?(Х) = (-1Г£(-1)'М*).
Пусть X' -* X -» X"—> есть выделенный треугольник в
D*(9Jlo?)(ib)). Докажите, что
Х(Х) = Х(Х')+х(Х"),
(х(Х) определено в упр. 1.32.)
Упражнение 1.35. (i) Пусть / —направленное множество, a {Xi} —
индуктивная система, индексированная множеством /, в категории
С. Докажите, что " lim"X,- является индуктивным пределом в Cv.

Упражнения к гл. 1 133
Точнее, докажите, что для любого F 6 Ob(Cv)
Homcv(«lim"^,F) ~ limF(Xi).
(ii) Пусть {Yj} является индуктивной системой в С,
индексированной направленным множеством J. Докажите, что
Homcv I "linfXi, "linfYj j ~ "Km"alim" Romc(Xi,Yj).
Упражнение 1.36. Пусть А — нётерово кольцо, а ЭЯоо'(Л) —
категория конечно порожденных Л-модулей. Пусть {Xi,pij} —
индуктивная система в этой категории, индексированная
направленным упорядоченным множеством /. Докажите, что если "lim"Xj в
J
9ЯоЪ*(А) существует, то он является представляющим объектом для
"Ит"А'у.
i
Упражнение 1.37. Пусть С — аддитивная категория. Обозначим
через End(C) множество эндоморфизмов функтора idc: С —► С.
(i) Докажите, что End(C) является коммутативным кольцом.
(ii) Докажите, что если А — кольцо, то End(9Rob(A)) изоморфно
его центру (т. е. множеству
{а € А\ах = ха для любого * 6 А}).
(Hi) Если задан кольцевой гомоморфизм коммутативного кольца
А в End(C), то мы называем С аддитивной категорией над А.
Докажите, что Homc(X,Y) имеет структуру Л-модуля и что
композиция морфизмов А-билинейна.
(iv) Предположим, что С — абелева категория над коммутативным
нётеровым кольцом А.
(a) Докажите, что для любого М 6 ОЬ(9ЙоЭ^(Л)) и любого
X 6 ОЬ(С) функтор Y >-♦ Нотд(ЛГ, Romc(XtY)) представим.
Представляющий объект обозначается через X ®д М.
(b) Докажите, что ®д — точный справа бифунктор из С х
ШоЪ*{А) в С.
(c) Докажите, что этот бифунктор имеет левый
производный функтор ®£: 0~(С) х D-(9Jlo?)/(A)) -► 0~(С).
(d) Рассмотрите аналогично функтор Нотд(-, •): ШоЪ*(А)"
х С —► С (т. е. функтор ®Л в С).

134
Гл.1. Гомологическая алгебра
Упражнение 1.38. Пусть X к 1' — фильтрованные категории и
ф:1-*1' — функтор. Мы называем категории 1 и I' кофинальными,
если
(a) для любого »' £ ОЬ(Т') существует » £ ОЬ(Т) и морфизм »' —►
(b) для любого i € Ob Т), любого V £ ОЬ(Т') и морфизма /: <^(i) ~*
i' найдется морфиз i g: i —+ t'i ъХ, такой, что ф(д): ф(г) —* Ф(н)
пропускается чер< » :
Пусть С — категория и - индуктивная (соответственно
проективная) система, индексирс гая категорией I'. Докажите, что
limF оф^> Нгаг л "Hm"F о ф -► "Ihri'F
i I' i i'
(соответственно limF —► limF о ф и "lim".F —► " Ymi'F о ф) —
изоморфизмы, г» *i~ *1? *Т"
Упражнепие 1.39. Пусть С — абелева категория. Для X, У
€ОЬ@'(С)) положим Exbi(X,Y) = Rom0{c)(X,Y[j]).
(i) Пусть X,Y £ Ob(C) и n ^ I. По точной последовательности
Е:0
Zn.
Zx -♦ X -♦ О
определите элемент С(Е) £ Extn(X,Y). Такая точная
последовательность называется п-расширением объекта X с
помощью Y.
(ii) Докажите, что любой элемент из ЕхЬп(Х, Y) может быть
представлен как С(Е) для некоторого расширения Е объекта
X с помощью Y.
(iii) Пусть &: 0 -* Y -* Z'n -*••■-* Z[ ->X->0 — другое
расширение. Докажите, что С(Е) = С(Е') тогда и только
тогда, когда найдется расширение
Е": 0 -♦ У -♦ ^ -♦ > Z4 -* X -* О,
такое, что имеет место коммутативная диаграмма
1
I
Zi
х
х
I
Z{' —
i
Z[ ► X
(обычно Extn{X,Y) называется расширением Ионеды).

Замечания
135
Замечания
Мы отсылаем читателя к «Краткому историческому очерку» К. Узе-
ля, помещенному в начале этой книги, для детального ознакомления
с историей теории когомологий.
Отметим здесь лишь следующий общепризнанный факт: начала
теории производных категорий сформулированы Гротендиком в работе
[Grothendieck 4] и развиты Вердье в его диссертации. К сожалению,
эта диссертация никогда не была опубликована (опубликована
только короткая заметка [Verdie 2]).
До появления этой сложной теории математики использовали
производные функторы (см. книгу [Cartan-Eilenberg 1] и добавление
к ней, написанное Буксбаумом) и фундаментальную технику
спектральных последовательностей, предложенную Лере (см. [Leray 1,
2]) в 1945 г. Знаменитая статья Гротендика [Grothendieck 1] оказала
огромное влияние, прояснив и обобщив теорию.
В данной книге мы не используем спектральные
последовательности. Эта техника в полной общности нам не нужна. Теоремы 1.9.3
вполне достаточно для наших целей.
Напомним, наконец, что ind-объекты и pro-объекты были
введены в работе [Grothendieck 2], а условие Миттаг-Лефлера — в
[Grothendieck 3].

Глава 2
Пучки
В этой главе мы построим абелеву категорию пучков на
топологическом пространстве вместе с обычным набором функторов, таких, как
функторы обратного образа /-1 и прямого образа /», функтор
точного прямого образа /1, функтор тензорного произведения ® и
функтор Нот. Используя результаты первой главы, мы определим
производную категорию Db(X) категории пучков и производные
функторы функторов, упомянутых выше. Здесь будут введены понятия
инъективных, плоских, вялых и с-мягких пучков и построен аппарат
теории пучков, используемый в книге далее (в частности, доказаны
лемма о нехарактеристической деформации и теорема о
гомотопической инвариантности когомологий). Хотя нам это и не понадобится,
мы решили дать краткий очерк теории когомологий Чеха. В конце
главы будут рассмотрены некоторые естественно возникающие пучки
на вещественных и комплексных многообразиях.
Большинство излагаемых здесь результатов являются
классическими, и мы отсылаем читателя к монографиям [Bredon 1], [Godement
1] и [Iversen 1] для дальнейшего ознакомления с теорией пучков.
2.1. Предпучки
Пусть X — топологическое пространство. Обозначим через ОР(Х)
множество всех открытых подмножеств в X, упорядоченное по
включению. Рассмотрим следующую категорию Оф(Х):
( Ob(D*P(X)) = ОР(Х)
B1I) I H„raDWr),W = {<*>• «-" = «'•
I. к ' \ 0 в противном случае.
(Здесь V и U — открытые подмножества в X, a {pt} — множество,
состоящее из одного элемента.)
Определение 2.1.1. Пусть С — категория. Предпучком F на X со
значениями в С называется контравариантный функтор из Оф(Х) в
С, а морфизмом предпучков — морфизм таких функторов.

t.l. Предпучки
137
Другими словами, предпучок на X — это проективная система,
индексированная категорией Оф(Х) (см. § 1.11).
В этой книге мы будем рассматривать только предпучки (и пучки)
абелевых групп. Поэтому, если не оговорено противное, под С будет
пониматься 21Ь, т. е. предпучок будет предпучком абелевых групп.
Таким образом, предпучок ставит в соответствие каждому
открытому множеству U С X абелеву группу F(U) и
каждому открытому включению V С U — групповой гомоморфизм
Pv,u- F(U)—* F(V), называемый морфизмом ограничения и
обладающий следующими свойствами:
A 1 1\ I Ри'и = 1^г(.и)<Р™,и = pwyPv.u Для каждой
\ тройки W С V С U открытых подмножеств.
Морфизм предпучков ф-.F—^G — это семейство групповых
гомоморфизмов фу. F(U) —► G(U), совместимых с морфизмами ограничения.
Точнее, если обозначать одним и тем же символом pv,u морфизмы
ограничения для F и G, то приведенная ниже диаграмма будет
коммутативной для всех пар U, V открытых множеств, таких, что V С U:
F(U) -£_» G(U)
Pv.v pv,v
F{V) ► G{V)
фу
Определим предпучок 0 как функтор U *-* 0 для всех открытых U.
Прямая сумма F ф G предпучков F и G определяется формулой U у-*
F(U)(&G(U). Таким образом, категория предпучков абелевых групп и
морфизмов предпучков на топологическом пространстве X является
аддитивной категорией. Обозначим ее через ф6()(Х).
Пусть ф: F —► G — морфизм предпучков. Соответствие U >-♦ Кег фа
(соответственно U >—> Coker^y) определяет предпучок на X, и этот
предпучок является ядром (соответственно коядром) морфизма ф в
категории <p6f)(X). Этот предпучок обозначается через Кегф
(соответственно Coker ф). Так как свойство (ii) определения 1.2.3
очевидным образом выполняется, то ф6()(Х) является абелевой категорией.
Терминология 2.1.2. Пусть F — предпучок на X и U С X —
открытое подмножество. Элемент s G F(U) называется сечением пред-
пучка F над U. Если V открыто в U, то мы будем обычно писать s\y
вместо pv,u(s) и называть образ pv:u(s) ограничением s на V-

138
Гл.2. Пучки
Положим для х € X
B.1.3) F,=UmF{U),
и
где U пробегает семейство открытых окрестностей точки ж. Группа
Fr называется стеблем предпучка F в точке ж, а образ сечения s G
F(U) в Fr (где * € U) называется ростком этого сечения в точке х и
обозначается через sc.
Через F\u мы обозначим предпучок на U, определенный
следующим образом: U Э V ►-+ F(V). Этот предпучок называется
ограничением предпучка F на U.
2.2. Пучки
Пусть X — топологическое пространство.
Определение 2.2.1. Предпучок (абелевых групп) F на X
называется пучком, если выполнены следующие условия:
E1) Для любого открытого множества U С X, любого его
открытого покрытия U = (Jie/ Ui и сечения в € F(U) из равенств
s\ui = 0 для всех i следует s = 0.
E2) Для любого открытого множества U С X, любого открытого,
покрытия U = Ui£/ Ui и любого множества сечений s< € F(Ui)
из равенств 8i\v.nv. = 8j\VinVi для всех пар i,j € / следует
существование сечения s € F(U), такого, что «|и, = «< для
всех г.
Отметим, что, модифицируя определение, мы можем ввести понятие
пучков множеств, но такое обобщение нам в этой книге не
понадобится.
Отметим далее, что условия (S1) и (S2) эквивалентны следующему
утверждению: для любого открытого множества U С X и любого его
открытого покрытия U = (Jie/ Ui, замкнутого относительно конечных
пересечений, морфлзм F(U) —► Y\mF(Ui) является изоморфизмом.
t
Если F — пучок, то F@) = 0.
Если F — пучок на X, a U открыто в X, то F\y — пучок на U.
Определим носитель supp(F) пучка F как дополнение к
объединению открытых множеств U С X, таких, что F\u = 0.
Аналогично определим носитель сечения s пучка F на U как дополнение В
U к объединению открытых множеств V С U, таких, что s\y = 0.

&.&. Пучки
139
Обозначим носитель сечения в через supp(s). Имеет место равенство
supp(s) = {* € U;sx ф 0}.
Морфизм пучков определяется как морфизм соответствующих
предпучков. Тогда очевидно, что категория пучков на X, которая
обозначается через 6f)(X), является полной аддитивной
подкатегорией категории ф6()(Х). Обозначим через ГA/; •) функтор F у-* F(U)
из 6f)(X) в Ш>. Тогда r(U; F) = F(U).
Предложение 2.2.2. Пусть ф: F —♦ G — морфизм пучков. Он
является изоморфизмом в том и только в том случае! когда для любого
х G X индуцированный морфизм фх: Ft —* Gt является
изоморфизмом.
Доказательство. Необходимость очевидна. Пусть фх — изоморфизм
для любого х € X, и пусть U — открытое подмножество в X.
Докажем инъективность морфизма фу: F(U) —*■ G(U). Пусть s € F(U)
таково, что фи(в) = 0. Тогда (<^у(«))г = <fc(sr) = 0 и sr = 0 для всех
x€U.
Из аксиомы (S1) следует, что s = 0. Докажем сюръективность
морфизма фи- Пусть t € G{U). Тогда по условию существует
открытое покрытие {!/,} множества U и сечения в,- € F(U{), такие, что
<^(«j) = t\vr Так как ф(в{)\и^и1 = Ф(«])\и^и,, то из инъективности
морфизма ф вытекает, что e.'l^nt/; = ч\глпи}- Следовательно,
существует сечение s € F(U), такое, что в|у( = «j. Легко проверить, что
<£(«)=<. D
Предложение 2.2.3. Пусть F — предпучок на X; тогда
существуют пучок F+ и морфизм в. F *-* F+, такие, что для любого пучка G
на X гомоморфизм
Нотвь(х)(^+, G) -+ nomyeHX)(F, G),
определяемый морфизмом в, является изоморфизмом. Другими
словами, F —♦ F+ есть левый сопряженный функтор к функтору
включения 6Ь(Х) -► ф6()РО (см. упр. 1.2).
Более того, пара (F+, 0) единственна с точностью до
изоморфизма и вх: Fx —* F+ — изоморфизм.
Доказательство. Для любого открытого множества U С X
определим F+(U) как множество функций s из U в Ц„е[/ FK, таких, что
для каждой точки х € U значение s(x) принадлежит Fx и найдутся
открытая окрестность V этой точки, V С U, и сечение < € F(V),
такие, что ts = s(y) для всех у € V. Очевидно, что F+ удовлетворяет
условиям (S1)-(S2).

140
Гл.2. Пучки
Морфизм в : F —► F+ определяется следующим образом:
сечению « € F{U) мы сопоставляем функцию из U в Цх€и Fx,
задаваемую соответствием * >—> sx. Легко видеть, что вх : Fx —*■ (F+)x
является изоморфизмом для любого х € X. В частности, если
G — пучок, то 0 : G —* G+ — изоморфизм (см. предложение
2.2.2). Следовательно, для предпучка F и пучка G мы можем
построить гомоморфизм Нот^вьсх)^. G) —* Нотв(,(х)(^'+.С!) как
композицию морфизмов Hom<pei)(x)(^,.G) —» Нотв(,(А')(^'+ .О*)^
Homet)(X)(F+,G). Легко проверить, что этот гомоморфизм обратен
гомоморфизму Homeft(A-)(F+, G) -» НотЧ}в|,(х)(^, G). D
Мы назовем F+ ассоциированным пучком предпучка F.
Пусть ф: F —► G — морфизм пучков. Пред пучок U *-* Кег фи есть
пучок, который является ядром морфизма ф в категории 6f](X).
Напротив, t/ >-► Coker <^y не всегда является пучком, но
ассоциированный пучок является коядром морфизма ф в категории &Ц(Х). Таким
образом, через Кег ф мы будем обозначать пучок U ■-+ Кег фи, а через
Coker ф — ассоциированный пучок предпучка U i—> Coker фу. Нужно
иметь в виду, что Coker ф обозначает разные объекты в фбЬ(А') и в
6f)(X). Так как мы будем работать с пучками, то обозначение Coker ф
следует понимать в пучковом смысле.
Заметим, что для * € X
B.2.1) (Ker^)r = Ker^r,
B.2.2) (Coker ф)х = Coker фх>
где фх: Fx —► Gx — морфизм, ассоциированный с семейством
морфизмов фи, хG U.
Прямая сумма двух пучков FnG определяется как прямая сумма
соответствующих предпучков. Очевидно, что это пучок, и он
является прямой суммой в категории 6f)(X). Мы обозначим его через
F®G.
Предложение 2.2.4. Категория 61)(X) является абелевой.
Доказательство. Пусть ф: F —* G — морфизм пучков, К =
Coim^, L = 1тф и ф : К —*■ L — естественный морфизм. Из
B.2.1) и B.2.2) следует, что морфизмы фх: Кх —> Lx являются
изоморфизмами для всех х € X. Доказываемый результат вытекает из
предложения 2.2.2. □
Замечание 2.2.5. Из предложения 2.2.2 следует, что комплекс
пучков F' —* F —» F" точен в том и только в том случае, когда для любой

i.e. Пучки
141
точки х € X точна последовательность групп F'x —> Ft —► F'J. В
частности, функтор F *-* Ft из в1)(Х) в 21Ь точен. С другой стороны,
функтор Г(Х; •) из &t)(X) в 21Ь точен только слева.
Большинство пучков, с которыми приходится работать, имеют
более богатую структуру, чем структура абелевой группы.
Обозначим через Dting категорию колец с единицей и морфизмов
таких колец. Предпучок со значениями в 9ting называется предпуч-
ком колец. Если такой предпучок является пучком (со значениями в
21Ь), то он называется пучком колец.
Определение 2.2.6. Пусть К — пучок колец на X. Пучок М
называется "Я-модулем (или пучком 71-модулей), если M(U) является
левым 7£(£/)-модулем для любого открытого множества U С X и для
любого открытого вложения V С V гомоморфизм ограничения
согласован со структурой модуля, т. е. pv,u{sm) = pv,u(s) • pv,v(m) Для
любого s 6 Щи) и любого т € M(U).
Морфизм ТС-модулей определяется очевидным образом.
Аналогично определяются пучки правых ^-модулей.
Обозначим через ШоЪG£) категорию (левых) Л- моду лей. Бели
Пор обозначает пучок колец, противоположный Л (т. е. 7£0?(С/) =
Щи)ор), то категория ШоЬ(Иор) эквивалентна категории правых
7£-модулей.
Для F,G € ОЬ(ЯЙоЭ(£)) мы будем писать Homn(F,G) вместо
Нотдяо8(Я)(^'. G). Таким образом, Нотя(-, •) есть бифунктор из
ШоЬA1H х ШоЦП) в Ш>.
Легко проверить, что ЯЙоЭG£) — абелева категория. При этом
последовательность в ШоЪ(И) точна тогда и только тогда, когда она
точна в &t)(X).
Обозначим через Ъх пучок на X, ассоциированный с предпучком
U i-> Z (см. определение 2.2.11 ниже, где эта конструкция
обобщается). Тогда Ъх является пучком колец и
B.2.3) 6ЦХ)=тоЦ2.х).
Мы будем использовать оба этих обозначения. Более того, для
F,G €ОЪ(&\)(Х)) мы будем писать Hom(F, G) вместо Homz*(F,G)
HHome(,(x)(-P,,G)-
Пусть теперь Л — пучок колец на X, a F и G суть 7£-модули.
Рассмотрим предпучок
B.2.4) tf->Hom*k,(Fk,,G|i,).
Этот предпучок, очевидно, является пучком абелевых групп (даже
пучком 7£-модулей, если Л коммутативно).

142 Гл.2. Пучки
Определение 2.2.7. Обозначим через 7iomn.(F,G) пучок,
определенный в B.2.4), и назовем его пучком решений модуля F в G (над
П).
Заметим, что в общем случае естественный морфизм
B.2.5) CHomn(F, G))r - Hom*.(F„Gr)
не является ни инъективным, ни сюръективным. По построению
B.2.6) r(X;Wom*(F,G)) = Hom*(F,G).
Бифунктор Нотц(-, •) является точным слева по каждому из своих
аргументов.
Пусть теперь F — правый 7£-модуль, a G — левый 7£-модуль.
Определение 2.2.8. Обозначим через F®n G пучок,
ассоциированный с предпучком U >-* F(U) ®щи) G(U), и назовем его тензорным
произведением F и G (над К).
Если Л коммутативно, то F ®я G является пучком 7£-модулей.
Если И, = Zx, то мы будем писать F®G вместо F®j[x G. По
построению для любого х € X
B.2.7) (f®GJ =Fs®Gs.
Следовательно, функтор • ®п • точен справа для каждого из своих
аргументов.
Пусть S — другой пучок колец на X, & Н — некоторый G1, «$)-
бимодуль (т. е. Я наделен структурой левого 7£-модуля и правого
5-модуля так, что действия колец И. и S коммутируют). В этом
случае существует естественный изоморфизм
B.2.8) F ® (И ® Я J ~ ( F ® Я J ® G.
В этой ситуации мы будем пользоваться обозначением F ®я Я ®s G.
Предложение 2.2.9. Пусть И. — пучок колец, S — пучок
коммутативных колец, a S —»■ И. — морфизм пучков колец, такой, что его
образ содержится в центре пучка Л. Пусть F, G суть Ц-модули, а
Н есть S-модуль. Тогда существуют канонические изоморфизмы
B.2.9) Потп (н ® F, G J ~ 7iomn(F, 7ioms(H, G))
~-Horns(H,-Homn(F,G)).

В. В. Пучки 143
Доказательство. Для каждого открытого множества U С X
существуют естественные изоморфизмы
Hom*(t/) U{U)J» F(U),G(U)\ ~
~ HomR(U)(F(V), Romsm(H(U),G(U)))
~ Ноп*(У)(Я(СО, Hom*([/)(F(U), G(U))).
Обозначим через Н ®^F предпучок U н-> H{U) ®s{U) F{U), и пусть
Hom^v(-,) обозначает группу морфизмов в категории предпучков
7£-модулей. Тогда
Hom^v (h®F,g\ ~ Romn(F,Roms(H,G))
~uoms(H,uomn(F,G)),
и остается применить предложение 2.2.3. D
Следствие 2.2.10. В условиях предложения 2.2.9 существуют
канонические морфизмы
B.2.10) nomn(F,G)®F~*G вШоЦП),
S
B.2.11) Homn(F,G)®H ~* ?iomn (f,G®HJ в 9ЯоЭE),
B.2.12) nomn(F,G) -> «от*., (Worn* (G, Я), Worn* (F, Я))
в 9ПоЭE).
Доказательство, (i) Из B.2.9) следует, что
Нотп rHomn(F,G)® F,Gj anomsCHom^FG^Tiomn^G)).
Тогда единица из 7iomii(F,G) определяет морфизм B.2.10).
(ii) Тензорно умножая B.2.10) на Я, приходим к морфизму
nomn(F,G)®H®F~*G®H.
S S S
Принимая во внимание B.2.9), получим морфизм B.2.11).

144 Гл.2. Пучки
(iii) Положим для краткости D^F = 7iomii(F,1l). Тогда D^ —
это функтор из ЯКоЭG£) в ШоЬ(Иор). Существуют морфизмы
Wom*.,(DRF,D*F) ~*
Нотц., \Нотп (F,G®D*GJ ,DnFJ
• Worn*., rHomn(F,G) ® DnG, D*FJ ~
~ -HomsCHomniF, G), Wom*.,(D*G, D*F)).
Единица из D^F определяет морфизм B.2.12). D
Теперь построим проективные и индуктивные пределы в категории
ШоЦК).
Пусть {F,},€/ — проективная система 7£-модулей,
индексированная упорядоченным множеством /. Предпучок U *-► lim F/(t/), оче-
видно, является пучком и проективным пределом системы {F,} в
ШоЬ(И). Мы обозначим его через .lirnF,-. Таким образом, проектив-
i
ные пределы в категории ЯЙоЭG£) существуют и функторы ГA/-; •) и
lim коммутируют, т. е.
B.2.13) r(U]\imFi)~\imr(U;Fi).
Заметим, что если * € X, то естественный морфизм (limF,)r —►
lim(F,)r не обязательно является изоморфизмом. .
i
Аналогично, если {Fj},ej — индуктивная система ft-модулей,
индексированная упорядоченным множеством J, то через HmFy
У
мы обозначим пучок, ассоциированный с предпучком U *-* lim Fj(U).
Заметим, что для любого х € X существует изоморфизм
B.2.14) (limFj) ~lim(Fj)r.
Канонический гомоморфизм limr(U;Fj) -* r(U;\\mFj), однако, не
обязательно является изоморфизмом.
Как частный случай предыдущих рассуждений (когда порядок на
/ или J тривиален) мы получаем определение прямого произведения
П|£/ Я* и прямой суммы ф*€у Fj семейства пучков.
В конце этого параграфа мы рассмотрим примеры «простейших»
пучков на топологическом пространстве X.

2.3. Операции над пупками
145
Определение 2.2.11. (i) Пусть М — абелева группа.
Обозначим через Мх пучок, ассоциированный с предпучком U >-*■ М
(U открыто в X). Мы назовем Мх постоянным пучком со
стеблем М.
(ii) Пусть F — пучок на X. Он называется локально постоянным
на X, если существует открытое покрытие X = (J4 Ui, такое, что
F\ui — постоянный пучок для любого I.
Отметим, что если Мх — постоянный пучок со стеблем М, то
(Мх)х = М для всех * € X. Отметим также, что если U открыто, то
[\U; Мх) изоморфен множеству непрерывных функций на U со
значениями в М (М наделена дискретной топологией). Мы рассмотрим
примеры локально постоянных пучков в § 2.9.
Замечание 2.2.12. Пусть {pt} обозначает множество с
единственным элементом. Пусть А — кольцо. Оно определяет пучок колец на
{pt}, и иногда полезно рассматривать ШоЬ(А) как ШоЪ(А{рЬу), т. е.
рассматривать Л-модуль как пучок Л{р1}-модулей.
2.3. Операции над пучками
Пусть А' и У — топологические пространства, а /: У —► X —
непрерывное отображение.
Определение 2.3.1. (i) Пусть G — пучок на У. Его прямым образом,
обозначаемым через f,G, называется пучок на X, определяемый так:
U^f,G(U) = G(f~1(U)), U открыто в X
(ii) Пусть F — пучок на X. Его обратным образом, обозначаемым
через f~lF, называется пучок на У, ассоциированный с предпучком
V ь-+ UmF(U), V открыто в У, U пробегает семейство
и
открытых окрестностей множества /(V) в X.
Очевидным образом определяется прямой (соответственно
обратный) образ морфизма пучков на У (соответственно на X), т. е. мы
имеем два функтора
/,:вЬ(У)->вЬ(Х),

146
Гл.2. Пучки
Если "Я (соответственно S) — пучок колец на А' (соответственно на
У), то /-17£ (соответственно f,S) является пучком колец на У
(соответственно на X) и /» и /-1 индуцируют функторы, также
обозначаемые через /» и /-1 :
/.-. WooS -* ancfc(/„«S),
Пример 2.3.2. Пусть а* : X ~* {pt} — отображение (напомним,
что {pt} — это множество с единственным элементом). Пусть М —
абелева группа. Тогда
B.3.1) МХ = *ГХ1М{^.
Пусть F — пучок на X. Тогда
B.3.2) Г(Х; F) = r«pt}; ах. F) ~ аА-. F
Пусть у € У и F — пучок на X. Тогда
B.3.3) (Г1*-), = FKy).
Из этой формулы следует, что /-1 — точный функтор. С другой
стороны, функтор /, является только точным слева, что вытекает из
точности слева функтора Г(G;).
Существуют естественные морфизмы функторов
B.3.4) Г1 of, -id в ЙПо^/^),
B.3.5) id — /, о/ в ШоЦК).
Предложение 2.3.3. Пусть И — пучок колец на X, F €
ОЬ(9ЛоЭGг)) u G € ОЬ(ЗЯоЭ(/-17г)). Тогда
B.3.6) Нот*(FJ.G) ~ Нот,-.«(/_1F,G).
Другими словами, /-1 является левым сопряженным к /» и /»
является правьм< сопряженным к /-1.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизмы
Hom*(F, /,G)-> Hom,-,^/-^, /.G)
4нот/-,я(Г1^,С)
и "
Homy-.xCr'F.G) - Romf.f-in(f,Г1 F,f,G)
-Hom*(F,/.G).
d
Гомоморфизмы а и 7 определяются очевидным образом, а /? и <5
определены посредством B.3.4) и B.3.5) соответственно. Легко
проверяется, что /? о а и 8 о 7 взаимно обратны. П

S.3. Операции над пучками 147
Следствие 2.3.4. В условиях предложения 2.3.3
B.3.7) ?iomn(F,f,G) ~ /.Woroj-.^/^F.G).
Доказательство. Пусть U открыто в X. Тогда
Г(£/;/.Ивга/-,я(Г1^,С)) =
= Нот/-1Я|/_1A,)(/-Р,|/-ЧУ).с1/-ЧУ))
= Hom^|t,(F|[/,/.G|[/)
= r(U;-Hom7l(F,f.G)). □
Пусть Z — топологическое пространство, a g : Z —»■ У —
непрерывное отображение. Из конструкции прямого и обратного образов
непосредственно получаем
B.3.8) (fog).=f,og„
B.3.9) (/о*)-Г1"/-1.
Обратный образ коммутирует с тензорным произведением. Точнее:
Предложение 2.3.5. Пусть F\ (соответственно F2) — правый
(соответственно левый) К-модулъ. Существует канонический
изоморфизм
B.3.10) rlFi ® Г1^-/ fFi®F2V
Доказательство. Морфизм B.3.10) индуцирован морфизмами
Fi([/) ® Fa([/) — [Fi ® F^ ((/), t/ открыто в X.
щи) \ к )
Докажем, что это изоморфизм. Пусть у € У и х = /(!/)• Тогда
(г1 л ® г^Л ^(г1^),, ® (/-^2)у
= (Fi)r ® (F2)r
*(/i$*)
П

148
Гл.2. Лунки
Теперь мы построим функторы, связанные с подмножеством Z С
А'. Здесь Z рассматривается как топологическое пространство с
индуцированной топологией. Обозначим через у. Z *-» X
соответствующее включение. Для F € 0bFf)(.X)) положим
B.3.11) F\z=j-1F,
B.3.12) r(Z;F) = r(Z,r1^)-
Отметим, что определение B.3.12) согласуется с ранее данным
определением для открытого подмножества Z.
Существует естественный морфизм Г(Х; F) —► r(Z; F\z). Для s €
r(X;F) мы обозначим через s\z его образ в r(Z;F\z) и назовем его
ограничением s на Z.
Предположим, что Z замкнуто в X. В этом случае положим
Fz=j.rlF.
Существует естественный морфизм F —+ Fz- Более того,
B.3.13) lFJ\z=F{z:
В частности, (Fz)x = Fx, если х € Z, и (Fz)x = 0, если х £ Z. Если
Z локально замкнуто в X, то также можно построить пучок Fz на
X, удовлетворяющий условию B.3.13). А именно, если Z открыто, то
положим
Fz = Ker(F -+ Fx\z)-
В общем случае представим Z в виде Z = U Г\А, где U открыто в X,
а А замкнуто. Положим
Fz = (Fu)A.
Результат этого построения не зависит от выбора U или А (см. (i) в
следующем предложении).
Перечислим основные свойства функтора (-)z' F*-* Fz-
Предложение 2.3.6. Пусть Z — локально замкнутое
подмножество в X, a F — пучок на X.
(i) Пучок Fz удовлетворяет условиям B.3.13). Более того,
любой пучок на X, удовлетворяющий B.3.13), изоморфен Fz-
(ii) Функтор ()г: F ■-» Fz точен.

2.3. Операции над пучками 149
(iii) Пусть Z' локально замкнуто в X. Тогда
(Fz)z' — Fznz1-
(iv) Пусть Z замкнуто в X и j : Z <-^ X — соответствующее
включение. Тогда
Fz = j.i~lF.
(v) Пусть Z' — замкнутое подмножество в Z (Z локально
замкнуто). Тогда существует точная последовательность
О —♦ Fz\z> —+ Fz —+ Fz' —+ 0.
(vi) Пусть Z\ и Z2 замкнуты в X. Тогда последовательность
О —► FZlUZi —► Fz, Ф Fz, ■—* Fztr\z, -* О
а р
точна. Здесь морфизмы а = (аьаг) и 0 = @1,—lh) ин-
дуцированы естественными морфизмами Fzxuza ~* Fz{ и
Fzi —► Fz,nza (t = 1,2) соответственно.
(vii) Пусть Ui и Uz открыты в X. Тогда последовательность
О —► Fuir\v2 —•■ Fvx Ф Fu3 —-+ Futuu3 —► О
7 *
точна. Здесь морфизмы у = (тьТг) и 8 = F1,-62)
индуцированы естественными морфизмами F[/in[/2 —♦ Fy. u Fut —»
Fu^Uj (* = 1,2) сооговегосговеммо.
Доказательство. Все эти утверждения проверяются легко. □
Следствие 2.3.7. Пусть Z\ и Z2 замкнуты в X. Тогда
последовательность
О - r(Zi U Z2;F) - r(Z^F) ф r(Z2;F) -» r(ZlnZ2;F)
точна.
Доказательство. Применим точный слева функтор Г(Х; •) к
точной последовательности предложения 2.3.6(vi) и заметим, что
Г(Х; Fz) =й r(Z; F), если Z замкнуто в X. □
Определим другой пучок, функториально связанный с локально
замкнутым подмножеством Z пространства X. Пусть U открыто в
X, & Z — замкнутое подмножество в U. Положим
B.3.14) rz(U;F) = Ker(F(U)^F(U\Z)).

150
Гл.2. Пучки
Значит, rz{U;F) — это подгруппа в r(U;F), состоящая из таких
сечений, носитель которых содержится в Z.
Пусть V открыто в U и Z С V. Канонический морфизм ГгA/; F) —►
/'z(V; F) является изоморфизмом. Таким образом, для локально
замкнутого подмножества Z в X мы можем определить Гх{Х\ F) как
rz(U;F), где U — любое открытое множество, содержащее Z как
замкнутое подмножество. Отметим, что предпучок U '*-* rzr\u{U;F)
является пучком.
Определение 2.3.8. Пучок U ►-► rzr\u(U;F) обозначим через rz(F)
и назовем его пучком сечений пучка F с носителем в Z.
Предложение 2.3.9. Пусть Z локально замкнуто вХ, a F — пучок
наХ.
(\) Функторы rz(X;):F~ rz(X;F) из &t)(X) в Ш> и Г2{-):
F ^ rz(F) из 6f)(A') в &t)(X) являются точными слева.
Более того,
Г2(Х;-) = Г(Х;-)оГ2(.).
(ii) Пусть Z' локально замкнуто в X. Тогда
rz'(-)°rz(-) = rZnzi-).
(iii) Пусть Z открыто в X, a i: Z <—> X — соответствующее
вложение. Тогда
Гг(-) = и о Г1.
(iv) Пусть Z' — замкнутое подмножество локально
замкнутого подмножества Z пространства X. Тогда
последовательность
точна.
О - rZ'(F) - rz(F) - rZ\z>(F)
(v) Пусть Ui и Щ открыты в X. Тогда последовательность
О — rUlUU3(F) — rVl(F) ф rU3(F) —* rUinU,(F)
а р
точна. Здесь а = («1,02) и /? = (/?i, —/?г) индуцированы мор-
физмами A/lU[/2(F) -» rUt(F) и A/,(F) ? A/,nE/,(F) A = 1,2)
°ч Pi
соответственно.

S.3. Операции над пучками
151
(vi) Пусть Z\ и Zi замкнуты в X. Тогда последовательность
О —► rZinZj(F) —♦ rZl(F) ф rz,(F) —* rZlUZa(F)
7 «
точна. Здесь у = Gь7г) и 6 = (^ь—^г) индуцированы мор-
физмами rZlnz,(F) — J* (Л и TZj(F) -+ rz,uZ,(F) (i = 1,2)
соответственно.
Доказательство очевидно. D
Итак, мы определили следующие функторы на категории &i)(X):
7iom(-,-),-® -, f», f~l ,(-)z, Гг(-), Г(Х; ■). Рассмотрим теперь
отношения между ними.
Предложение 2.3.10. Пусть К — пучок колец на X и F g
ОЬ(ЯЙоЭG£)). Пусть Z — локально замкнутое подмножество в
X. Тогда существуют естественные изоморфизмы
B.3.15) KZ®F~FZ,
B.3.16) Homn(Kz,F) ~ rz(F).
Доказательство. Утверждение B.3.15) вытекает из соотношений
(**fF)
^(ftzlz) ® (F|z)~(ft|z) ® (F|Z)~F|Z
Z Щг Щг
и (Иг ®я F)\x\z = 0 и предложения 2.3.6(i).
Для доказательства изоморфизма B.3.16) предположим сначала,
что Z открыто в X. Для любого открытого подмножества U в X
носитель r(U;Hz) замкнут в U(~\Z. Из этого следует, что естественный
морфизм
Hom*(ftz,F) _» Hom*uGez|z,F|z)
является изоморфизмом. Множество справа — это r(Z; F). Теперь,
заменяя в этом изоморфизме X на открытое подмножество U, мы
получаем требуемый результат для открытого Z. Если Z
замкнуто, то применим функтор 7{отк(; F) к точной последовательности
О —► H>x\z —* К —* Hz —* 0 и сравним полученную
последовательность с точной последовательностью 0 —► /z(F) —> F —► rx\z(F).
Пусть теперь Z = AC\U, где А замкнуто, a U открыто в X. Имеем
Worn* (ftz, F) = Потп(ПЛпи, F)
= W0m*(ftA,A/(F))
= rA(A,(F))
= runA(F).

152 Гл.2. Пучки
Замечание 2.3.11. Предложения 2.2.9, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.9 и
2.3.10 дают возможность построения других морфизмов и
изоморфизмов. Пусть, например, f:Y—*X — непрерывное отображение,
И. — пучок колец на X, Z — локально замкнутое подмножество в
X, a F,Fy,F2 (соответственно G, Gi,G2) — пучки 7£-модулей
(соответственно /~ ^-модулей) (когда речь будет идти о тензорных
произведениях, то Fi,G и Gi будут считаться правыми модулями). Тогда
существуют естественные морфизмы и изоморфизмы
B.3.17) [F1®F2) aF1®(F2)z^(F1)z®F2,
\ * /z п *
B.3.18) Uomll{{Fl)z,F2) a Wom*(Fi,rz(F2))
~rznom1i(Fl,F2),
B-3.19) rlFz*{rlF)t-42»
B.3.20) rz/.G~/.r/-,(z)(G),
B.3.21) f.G®F^fjG ® /_1fV
B.3.22) /.G!®/.G2^/. (gi ® G2V
П \ f-i-Я J
B.3.23) f.nomf-in(GltG2) -*WomK(/.Gb/.G2),
B.3.24) r1Hom1i(F1,F2)-*-Homf-ln(r1Fur1F2).
Построим, например, морфизм B.3.21). Рассмотрим цепочку
морфизмов (символ И. для кратости опускается)
Hom(G®/-1F)G®/-1F)^Hom(/-7.G®/-1F,G®/-1F)
~YLom(rl(f.G®F),G®rlF)
~ Hom(/.G (g> F,/.(G ® Г*F)).
Образ тождественного морфизма объекта G®/-1F и дает требуемый
морфизм.
Обозначение2.3.12. Пустьрх'- X —> S яру'-Y -+ S — непрерывные
отображения, а X х$ У = {(х,у) € X х Z;px(x) — ру(у)} —
расслоенное произведение пространств X и У над 5. Обозначим через <h и
qj проекции из А' х 5 У на X и У соответственно, а через р проекцию
из X xs У на S (см. диаграмму B.3.25)).

'.4- Иивектионые, оялые и плоские пучки
XxY
и
XxsY
153
B.3.25)
Пусть И, — пучок колец на 5, a F (соответственно G) — пучок
р~х1К0р-модулей (соответственно ру^^-модулей). Положим
B.3.26) FH^G = gf1F ® q^G.
S р-Ч1
Если нет опасности ошибиться, то мы будем писать просто F$$sG, a
если 5 = {pt}, то 5 в формулах будет опускаться. Заметим, что если
S = {pt}, X = У, а 6 — диагональное вложение, то
FtoG^S-^FEG).
Пучок Fti&sG называется внешним тензорным произведением пучков
F и G (над 5).
2.4. Инъективные, вялые и плоские пучки
Пусть X — топологическое пространство, И. — пучок колец на X
и F £ ОЪ(ШоЪ(Я)). Мы будем называть пучок F "Я-инъективным,
если F инъективен как объект категории ЯЙоЭG£).
Предложение 2.4.1. (i) Пусть F И,-инъективен, a U — открытое
множество X. Тогда пучок F\u является Щи-инъективным.
(п) Пусть /: Y —* X — непрерывное отображение, a G —
некоторый /~1К-инъективный пучок на Y. Тогда f,G является
И-инъективным.
Доказательство. Пусть i: U <-^> X — включение. Тогда из B.3.18)
вытекает, что
Hom^|t,(G, F\v) = Hom^|t,((t'.G)|t/, F\v)
= Uomn((UG)u,F).
Так как функтор G ►-+ (t»G)y точен, то функтор G ►-►
HomR|u(G, F\u) также точен.
(ii) Надо применить предложение 2.3.2. D

154 Гл.2. Пучки
Следствие 2.4.2. Пусть функтор F 11-инзективен; тогда функтор
Homn{-,F) точен.
Предложение 2.4.3. Пусть И. — пучок колец на X. Тогда
категория ЯЙоЭG£) содержит достаточно много инъективных объектов.
Доказательство. Пусть X — пространство X, наделенное
дискретной топологией, а /: X —► X —естественное (непрерывное)
отображение. Пусть F £ ОЬ(ЯЙоЭG£)), и предположим, что существует /~1И-
инъективный пучок / и мономорфизм f~lF —* 1. Применяя точный
слева функтор /, и морфизм B.3.5), получаем точную
последовательность 0 —► F —► f»I. Так как f,I является ТС-инъективным по
предложению 2.4.1, то достаточно доказать утверждение для дискретного
пространства X.
Пусть F е Ob(S5t<rt(/-1ft)), и для любого х £ X пусть 0 -► Fx
-» /, — точная последовательность в ЯЯ<ЛG£Г), такал, что 1Х инъ-
ективен (см. пример 1.3.9). Тогда П*ех ^* определяет инъективный
пучок / на X и последовательность 0 —► F —► I точна. D
Замечание 2.4.4. В общем случае категория 9ЯоЬ{Т1) не обязательно
содержит достаточно много проективных объектов (см. упр. 2.23).
Определение 2.4.5. Пучок F на X называется вялим, если для
любого открытого подмножества U С X морфизм ограничения
Г(Х; F)—► r{U; F) сюръективен.
Предложение 2.4.6. Пусть F — вялый пучок на X.
(i) Для любого открытого подмножества U С X пучок F\u
является вялым на U.
(И) Пусть f:X—*Y — непрерывное отображение; тогда пучок
f,F является вялым.
(iii) Пусть Z — локально замкнутое подмножество в X. Тогда
пучок rz(F) является вялым-
(iv) Пусть Z — локально замкнутое подмножество в X, a Z' —
замкнутое подмножество в Z. Тогда последовательность
О -» rz<(F) -» rz(F) -» rZ\Z'(F) -» О
точна.
(v) Пусть Ui uUi — открытые подмножества в X. Тогда
последовательность
0-^rUlUU,(F)—+rUl(F)(&rv,(F)-r*rvlnv,(f1)-^0 '
а Р
точна (а и /? определены, как в предложении 2.3.9).

2-4- Инвектияные, вялые и плоские пучки 155
(vi) Пусть Z\ и Z2 — замкнутые подмножества в X. Тогда
последовательность
О — rZlnz,(F) —•■ rZl(F) ф rz,(F) —> rZlUZl(F) —» О'
7 *
тонна (у и 8 определены, как в предложении 2.3.9).
(vii) Пусть И. — пучок колец на X, G — некоторый К-модулъ,
а И есть П-инъективный модуль. Тогда пучок Hom-n(G, H)
является вялым. В частности, все И-инъективные модули
являются вялыми.
Доказательство, (i) и (ii) очевидны.
(iii) Заменяя X на U, где U открыто в X и содержит Z как
замкнутое подмножество, мы можем предполагать, что Z замкнуто.
Пусть U открыто в X. Нам нужно доказать, что морфизм
ограничения rz(X;F) —► rZnu(U;F) сюръективен. Пусть s £ rZnu(U;F).
Продолжим s нулем на X \ Z. Обозначим это продолжение через s'.
Потом продолжим s' на все X, используя вялость F.
(iv) Пусть U — открытое множество; тогда ГA/; rz(F)) —► Г(С/;
rZ\Z>(F)) ~ Г(и \ Z'; rz(F)) сюръективен по (iii).
(v) Из предложения 2.3.9 следует, что достаточно доказать эпи-
морфность /?. Но морфизм ограничения A/,(F) —► A/l(-i[/2(F) уже
эпиморфен.
(vi) Пусть s £ rZlUZ3(X; F). Найдем сечения st £ rzXX\ZiC\Z2; F)
(i = 1,2), такие, что s = «i — s2 на X \ Z\ П Z2. Продолжим S\ и «2 Д°
сечений s[ и s2 на всем X. Тогда s[ — s'2 = s + «', где s1 £ rZinZ3(X; F)
И («J — «') — Sj = 8.
(vii) Пусть U — открытое подмножество в X. Применяя
точный функтор Нотк(-,#) к точной последовательности 0 —►
Gu —► G —► Gx\u —► 0, получаем требуемый результат ввиду
следствия 2.4.2. D
Предложение 2.4.7. Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► 0 —
последовательность в &\)(Х). Пусть пучок F' вялый. Тогда
последовательность 0 -♦ Г(Х; F') — Г(Х; F) -* Г(Х; F") -* 0 точна.
Доказательство. Пусть s" £ r(X;F"), и пусть 6 — множество пар
{U,s), таких, что U открыто в X, s £ r(U\F) и s отображается в
s"|[/. Упорядочим 6, полагая {U,s) ^ (V,t), если U С V и Ци — s.
Тогда 6 индуктивно упорядочено. Пусть (U, s) — максимальный
элемент, и предположим, что U ф X. Возьмем точку х £ X \ U. Тогда
существуют открытая окрестность V точки х и сечение t £ r(V;F),
такие, что t отображается в s"|v- На U C\V сечение s — t
принадлежит Г{и C\V\F'). Найдем сечение г £ r(X;F'), такое, что

156 Гл.2. Пучки
r\unv — s — t. Заменяя t на t — г, мы можем считать, что t — в
на U Л V. Следовательно, s может быть продолжено на U U V.
Противоречие. D
Следствие 2.4.8. В условиях предложения 2.4.7 пусть Z локально
замкнуто в X. Тогда последовательности
О -+ rz(X; F') -+ Г2(Х; F) -+ Г2{Х; F") -+ О
u
О -> r«(F0 -> fz(F) -» r*(F") -» О
точны.
Доказательство. Для открытого множества £/, такого, что U Г\ Z
замкнуто в U, построим коммутативную диаграмму
ооо
1 1 1
0 ► rZnu(C/;F') ► rZnu(U;F) ► rZnu(U;F") ► 0
I I i
О ► r{U;F') ► r\U;F) ► r(U;F") ► О
II 1
О ► r(U \ Z; F) ► r(U \ Z; F) ► r{V \ Z; F") ► 0
4» 4» 4»
0 0 0
Из предложения 2.4.7 вытекает, что вторая и третья строки, а также
все столбцы точны. Следовательно, верхняя строка точна (см. упр.
1.8). D
Следствие 2.4.9. Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► О — точная
последовательность в &t)(X). Предположим, что пучки F' и F вялые;
тогда пучок F" также является вялым.
Доказательство. Пусть U открыто в X. В диаграмме
r(X;F) ► r(X;F")
r(U;F) —£_» r(U;F")
а и 0 сюръективны. Следовательно, у сюръективен.

2.4. Инвектилные, вялые и плоские пучки
157
Таким образом (см. определение 1.8.2), полная подкатегория
категории 6f)(X), состоящая из вялых пучков, инъективна по отношению
к функторам Г(Х; •), Гг(-) и /..
Отметим, что свойства пучка быть инъективным или вялым — это
локальные свойства.
Предложение 2.4.10. Пусть X = \JieJ Ui — открытое покрытие.
(i) Пусть F £ 0bFf)(.X)). Если пучок F^ вял при всех %, то
F — вялый пучок.
(и) Пусть И — пучок колец на X, a F £ Ob(9Rao(R)). Если
пучок F\ui является К\и(-инъективным при всех i, то F
К-инъективен.
Доказательство. Для доказательства п. (^достаточно доказать
следующее утверждение:
B.4.1) пучок F вял в том и только в том случае, когда для любого
открытого подмножества U морфизм F —► A/(F) является
эпиморфизмом.
Так как из вялости пучка F следует, что F t-> A/(F) — эпиморфизм,
то нужно показать обратное.
Пусть «„ есть сечение пучка F над открытым множеством К0.
Чтобы доказать продолжаемость сечения «0 до глобального сечения,
рассмотрим множество 6 пар («, V), где V открыто, a s £ Г(К; F).
Упорядочим 6, полагая («, V) < («', V"), если V С V и s'\v = s. Тогда 6
становится индуктивно упорядоченным, т. е. существует
максимальный элемент («, V), такой, что («, V) ^ («„, V0). Покажем, что V — X.
Если это не так, то найдется точка х £ X\V. Так как Fx —► /V(F)r —
сюръективный морфизм, то существует открытая окрестность W
точки х и сечение t £ r(W;F), такие, что tlvnw = slvnw- Тогда
существует сечение s' £ ГAУ U V; F), такое, что s'\w = < и s'\v = s. Это
противоречит максимальности пары (s, V). Следовательно, V = X и
B.4.1) доказано.
(н) Функтор 7iomn.(-,F) точен, и для любого пучка 7£-мо-
дулей G пучок 7iomn(G,F) является вялым. Тогда функтор
Hom*(-, F) = Г(Х; ■) о Потц(; F) точен. D
Определение 2.4.11. Пусть "Я — пучок колец на X и F £
ОЪ(ЯЯоо(Л)). Пучок F называется 11-плоским, если функтор ■®Rf
из категории правых ТС-модулей в &f)(X) точен.
Бели нет опасности путаницы, то мы будем писать «плоский»
вместо «ТС-плоский» .

158 Гл.2. /Тучки
Из B.2.7) следует, что F является ТС-плоским и том и только в то»4
случае, когда пучки Fx являются ^-плоскими для всех * £ X.
Предложение 2.4.12. Пусть F £ ОЪ(ЯЯоЪG1)). Тогда существует
Н-плоский пучок Р и эпиморфизм Р —► F.
Доказательство. Пусть 6 — семейство пар (U, s), где U открыто я
s £ r(U; F). Если (U, s) £ 6, то через V,{U, s) мы обозначим пучок-
Ни, индексированный парой (U,s). Положим
B.4.2) Р= ф Щи,в).
(у,«)ев -
Цепочка морфизмов Ни —► Fy —► F, где единичное сечение 1 6
r(U\TZ,u) отображается в s£r(U;Fu), определяет эпиморфизм Р —»'
F. Модуль Р является плоским, так как Рх является свободным
7£х-модулем для любого х £ X. D
Предложение 2.4.13. Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► 0 — точная
последовательность в ШоЪ(Я). Если F и F" являются Н-плоскими,
то F' также является Н-плоским.
Доказательство. Это утверждение немедленно вытекает из
соответствующих свойств 7£г-модулей (при всех х £ X). D
Заметим, что из двух последних предложений следует, что
категория ШоЬ(И) содержит достаточно много проективных объектов по
отношению к функтору G®n ■ (для любого правого 71-модуля G).
2.5. Пучки на локально компактных
пространствах
Если топологическое пространство X удовлетворяет некоторый
условиям конечности (например, является локально компактным)
то возникают новые интересные классы пучков и функторы на них.
В этом разделе, если не оговорено противное (как в предложения
2.5.1 или замечании 2.5.3), все пространства предполагаются
локально компактными и, в частности, хаусдорфовыми.
Предложение 2.5.1. Пусть X — (не обязательно локально
компактное) топологическое пространство, Z — его
подпространство и F — пучок на X. Рассмотрим канонический морфизм
V:limr(t/;F)^r(Z;F),
и

2.5. Пучки на локально компактных пространствах 159
■'()е U пробегает семейство открытых окрестностей
подпространства Z (в X).
(i) Mорфизм ф инъективен.
(ii) Пусть X хаусдорфово, a Z компактно. Тогда ф —
изоморфизм.
(iii) Пусть X паракомпактно, a Z замкнуто. Тогда ф —
изоморфизм.
Перед тем как приступить к доказательству, напомним, что хаус-
цорфово пространство X называется паракомпактным, если для
любого его открытого покрытия (t/,),g/ найдется открытое
локально конечное покрытие (Vj)j^j, являющееся измельчением покрытия
[Ui)iei (т. е. для любого j £ J найдется i £ I, такое, что Vj С Щ).
Также напомним, что если X паракомпактно и (t/,-),e/ —
открытое локально конечное покрытие, то существует открытое покрытие
(K")i'€/> такое, что V,- С Щ для всех t. Замкнутое подпространство
паракомпактного пространства паракомпактно. Локально
компактные пространства, счетные на бесконечности, а также метрические
пространства паракомпактны.
Доказательство предложения 2.5.1. (i) Если * £ r{U;F) является
нулем в ГB\ F), то sx = 0 для всех х £ Z. Поэтому s равно нулю в
открытой окрестности подпространства Z.
(ii) и (iii). Пусть s £ r(Z;F). Тогда существуют семейство
открытых множеств {{/j}ie/ и семейство сечений s,- £ r(t/,-;F), такие,
что s\uinz = Siluinz и Z С \JU{. В случае (ii) мы можем считать /
конечным, а в случае (iii) мы можем считать, что {С/,-} — локально
конечное покрытие пространства X.
В каждом случае мы можем найти семейство открытых
подмножеств {K'}i€/> такое, что V,- С Ui, {Vi} локально конечно и Z С U Vj.
Для любого х £ X положим /(*) = {i £ I;x £ V,-} и
W = {* е U Vi>Si* = si* для ****■ '"> J e Д*)}-
Тогда /(*) — конечное множество, и для каждого х £ X
найдется окрестность Wx, такая, что /(у) С /(*) при у £ Wx- Поэтому
W открыто и содержит Z (по построению). Так как s,- IwnVinV,- =
sjWnVinVj, то существует s £ r(W;F), такое, что s\WnVi = s.|wnV;.
Тогда s удовлетворяет равенству ф(ё) = s. О
Пусть /: У -* X — непрерывное отображение (X и У не
обязательно локально компактны). Напомним, что / называется собственным,
если оно замкнуто (т. е. образ замкнутого в У множества замкнут в

160 Гл.2. Пучки
X), а его слои относительно хаусдорфовы (т. е. любые две различные
точки слоя имеют в У непересекающиеся окрестности) и компактны.
Если X и У локально компактны, то / собственно в том и только в
том случае, когда прообраз любого компактного в X множества
компактен в У. Пусть G — пучок на У. Определим подпучок f\G пучка
/*G, полагая для открытого U С X
B.5.1) r(U; F,G) = {s £ Г{Г\Щ\ G)\ /: supp(s) -» U собственно}.
Так как свойство быть собственным локально на X, то очевидно, что
предпучок, определенный условием B.5.1), является подпучком
пучка f+G. Пучок f\G называется прямым образом с собственными
носителями пучка G. Обозначим через /; функтор G н-> f,G из в()(У) в
©1)(Л'). Если И — пучок колец на X, то функтор /i индуцирует
функтор, таюке обозначаемый /;, из ЗЯоЭ(/-17^) в ЯЯо?>G£). Очевидно, что
/i — точный слева функтор. Положим
B.5.2) ГС(Х; F) = {s £ Г(Х; F);supp(s) компактен и хаусдорфов}.
Если ах — отображение X —► {pt}, то Ге(Х; F) ~ ах> F.
Пусть д: Z —*Y — непрерывное отображение. Имеем
B.5.3) Л оЛ = (/of),.
В частности,
B.5.4) re(X;f,G)~re(Y;G).
Предложение 2.5.2. Пусть X и У локально компактны (в
частности, хаусдорфовы), /: У —► X — непрерывное отображение и
G — пучок на У. Тогда определенный для каждого х £ X
канонический морфизм
<*:(ЬС),^Гс(Г1(х);С\}-Чх))
является изоморфизмом.
Доказательство. Докажем сначала инъективность морфизма а,
Пусть V— открытая окрестность точки * и t £ r{V;f\G). Тогда
t определено сечением s £ r(/-1(K);G), таким, что отображение
supp(s) —► V собственное. Если a{t) = 0, TOSupp(s)n/-1(«) = 0 и i jf;,
/(supp(s)). Так как последнее множество замкнуто, то существует
открытая окрестность точки х, на которой t = 0.
Докажем теперь, что морфизм а сюръективен. Пусть в£Ге(/~1(х)\
G\/-i(x)), л К = supp(s). Из предложения 2.5.1 вытекает
существование открытой окрестности U множества Л' в У и сечения t £ Г(Ц; G)r

2.5. Пучки на локально компактных пространствах 161
таких, что t\[( = s\k. Уменьшая U, мы можем считать, что
имеет место равенство <|t/n/->(r) = e|t/n/->(*)- Пусть V — относительно
компактная открытая окрестность множества К, V С U. Так как
* ^ /(Knsupp(t) \ V), то найдется открытая окрестность W точки х,
такая, что f~l{W) Г\ VC\s\ipp(t) С V. Определим s £ r(f-1(W);G),
полагая
sl/-1(W)\(»upp(t)n^) = 0)
s|/->(»v)nv =t\j-*(wy\v-
Так как supp(s) С f~l(W) Л supp(i) Л V, то / собственно на этом
множестве. Более того, s\j-\^x) = s. □
Замечание 2.5.3. Пусть f:Y—*X — непрерывное отображение {X
и У не обязательно локально компактны) и G — пучок на У. Пусть
/ собственно на supp(G). Рассуждая, как в предложении 2.5.2, мы
можем показать, что для любого х £ X естественный морфизм
(/.Ф.-ЛГЧ»);^/-»)
является изоморфизмом.
Предложение 2.5.4. Пусть Z локально замкнуто в X {X не
предполагается локально компактным) иг: Z '-*Х — соответствующее
включение.
(i) Функтор ь точен.
(ii) Пусть F G ОЬ(Щ(Х)). Тогда
Fzai!oi-1(F).
Доказательство, (i) (uF)x ~ Fx или 0, в зависимости от того, х £ Z
или х £ Z.
(ii) Имеем i\oi~lF\x\z = 0 и (i|Oi-1F)|z = i~lF. Далее используем
предложение 2.3.6(i). D
С этого момента и до конца параграфа все пространства
предполагаются локально компактными.
Определение 2.5.5. Пусть F £ ОЬ(&\)(Х)). Пучок F называется
с-мягким, если для любого компактного подмножества К С X
морфизм ограничения T(A';F) —► r(K;F) сюръективен.
Из предложения 2.5.1 вытекает, что вялые пучки и, в частности,
инъективные пучки, являются с-мягким. В $ 2.9 мы приведем
примеры с-мягких пучков.
6 М. Касивара, П. Шапира

162
Гл. 2. Пучки
Предложение 2.5.6. Пусть F € ОЬ(в()(Л')). Тогда F является
с-мягким в том и только в том случае, когда для любого замкнутого
подмножества Z С X морфиэм ограничения re(X;F) —* ГсB\ \Fz)
сюръективен.
Доказательство. Если К компактно, то r(K;F) = ГС(К\ F\k), что
доказывает достаточность.
Предположим теперь, что F является с-мягким, и пусть s £
r(Z; F\z) — сечение с компактным носителем К. Пусть U —
относительно компактная открытая окрестность множества К в X.
Определим сечение s g Г(д1/ U (Z П U); F), полагал s\znjj = s, s\au
= 0. Продолжим 8 до сечения t £ r(X;F). Так как t = 0 в
окрестности dU, то можно считать, что носитель сечения t
принадлежит П. □
Предложение 2.5.7. Пусть F есть с-мягкий пучок на X.
(i) Пусть Z локально замкнуто в X. Тогда пучок F\z является
с-мягким.
(ii) Пусть f:X—*Y — непрерывное отображение. Тогда пучок
f\F является с-мягким.
(iii) Пусть Z локально замкнуто в X. Тогда пучок Fz является
с-мягким
Доказательство, (i) Если Z открыто, то утверждение очевидно.
Если Z замкнуто, то нужно применить предложение 2.5.6.
(ii) Если К компактно в У, то r(K;f.F) = re(f-1K;F). Так как
re(Y\f\F) = re{X\F), то утверждение следует из предложения 2.5.6.
(Hi) Это утверждение следует из (i) и (ii), так как Fz = f\(F\z),
где / — включение Z <—> X. П
Предложение 2.5.8. Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► 0 — точная
последовательность пучков на X и F' есть с-мягкий пучок. Пусть
f:X—*Y — непрерывное отображение. Тогда последовательность
0 —► f\F' —* fiF —* fiF" —* 0 точна. В частности, точна
последовательность ()'-► re(X;F') -» re(X;F) -► re(X;F") -► 0.
Доказательство. Для всех у £ Y пучок ^"|/->(у) является
с-мягким на /-1(у). Тогда из предложения 2.5.2 вытекает, что
утверждение достаточно доказать для отображения /: X —► {pt}.
Пусть s" € Ге(Х; F") и U — относительно компактная
открытая окрестность множества supp(s"). Покажем, что в" содержится
в образе Ге(Х; F) -» Ге(Х;F"). Заменяя F', F и F" на F{j, Fv и F{}, a
X и&Л, мы можем считать X компактным. Пусть {/<Г<}<=1 „ —
конечное покрытие пространства Л' компактными множествами, такое,

S.5. Пучки на локально компактных пространствах 163
что для любого i существует сечение s,- € r(A",-;F), образ которого
есть з"\к{- Проведем индукцию по п. Если п ^ 2, то на A"i П А'г
сечение si — s^ определяет элемент из T(A'i П Ki\F') и,
следовательно, продолжается до сечения в* £ r(X;F'). Заменяя si на вг + s',
мы можем считать, что si|jf,nxa = «г^п/Га- Поэтому существует
t € /,(A'i U AVi F), такое, что t\m = sj (i = 1,2). Далее применяем
индукцию. □
Следствие 2.5.9. Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► 0 — точная
последовательность в &t)(X). Пусть пучки F' и F являются с-мягкими;
тогда F" также с-мягкий.
Доказательство аналогично доказательству следствия 2.4.9. D
Из этих результатов вытекает, что категория с-мягких пучков
является инъективной по отношению к функторам re(X;-),fiK
Г(К; •) (А" — компакт). Если X счетно на бесконечности, то
справедливо более сильное утверждение.
Предложение 2.5.10. Пусть X локально компактно и счетно на
бесконечности. Тогда категория с-мягких пучков инвективна по
отношению к функтору Г(Х; •).
Доказательство. Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► 0 — точная
последовательность в &t)(X), где F' — с-мягкий пучок. Пусть {А"„}„ен —
возрастающая последовательность компактных подмножеств в X,
такая, что \JnKn = X и К„ С Int(A„+i) для всех п. Из
предложений 2.5.7 и 2.5.8 вытекает, что последовательности 0 —► Г(К„; F') —»
r(Kn;F) —► r(K„;F") —► 0 точны при всех п. Так как морфизм
Г(А„+1; F') —► r(K„;F') сюръективен при всех п, то, применяя
предложение 1.12.3, получаем, что последовательность
О -» limr(A'„;F') -* Hmr(A„;F) -» Hmr(A„;F") -» О
п п п
точна. Так как Г(Х; G)^+ \\тГ(К„; G) для любого пучка G, то
доказательство закончено. n D
Изучим отношения между функтором /; и функторами,
введенными ранее. Рассмотрим декартов квадрат локально компактных
пространств:
У —L_» A"
B.5.5) },' П |,
У ► X
б*.

V64 Гл.2. Пу\ки
Напомним, что это означает следующее: (а) диаграмма
коммутативна, (Ь) пространство У изоморфно расслоенному произведению
Y хх X' = {(у,*') € К х X';f(y) = g(x')} как топологическое
пространство (символ «квадрат» внутри диаграммы означает, что
диаграмма декартова).
Предложение 2.5.11. Существует канонический изоморфизм
функторов
B.5.6) g^of.^flog'-1.
Доказательство. Построим сначала канонический морфизм
B.5.7) fio9:-*g.of!.
Пусть G € 0ЬFЬ(У')). » V открыто в X. Сечение t £ Г(К; /; о ff'.G)
определено сечением s € Г((/ о g')~l(V);G), таким, что supp(s) с
g'~1(Z), где подмножество Z С f (У) собственно над V. Тогда
морфизм g;~l(Z) -* g~l(V) собственный и s определяет сечение пучка
g,f'G. Это определяет морфизм B.5.7).
Для того чтобы доказать B.5.6), рассмотрим пучок G €
0ЬF()(У)). Из предложения 2.5.3 следует, что
Hom(ff-1 о f,G, !\ о g'~lG) = Hom^G, g, о /( о g'^G).
Морфизм /i —» /|од1, од1'1 —* д, of!од1'1 индуцирует морфизм B.5.6).
Докажем, что это изоморфизм. Пусть *' € А''; тогда
(ff-1o/jGV = (/,G)f(^)
= A(r1(ff(*'))-.G).
Отображение д' индуцирует гомеоморфизм f'~l(x') ~ /-1(ff(*')) и
изоморфизм
Ге(Г1(д(х')); G) ~ re(f-\x');g'-lG) ~ (/. о g'^G),.. D
Теперь рассмотрим связь функтора / с тензорным произведением.
Лемма 2.5.12 Пусть А — кольцо, а М — плоский А-модуль. Пусть
F — пучок правых А-модулей. Тогда существует естественный
изоморфизм
ГС(Х; F)®M^rc(x;F ® Мх\ .

2.5. Пучки на локально компактных пространствах 165
В частности, если F является с-мягким, то пучок F ® Мх также
с-мягкии.
Доказательство. Мы можем считать X компактным. Если X =
\Jj Kj — конечное покрытие пространства X компактными
подмножествами, то существует точная последовательность
B.5.8) 0 —* Г{Х; F) -±+ фг(А^; F) JU 0Г(А7 Л Kk; F).
i it
Так как модуль М плоский, то последовательность остается точной
после тензорного умножения на М. Поэтому получаем диаграмму с
точными строками
О— r(X;F)®M Л ®r(Ky,F)®M -£* ®Г(К3;П Kk;F)® M
л
>,*
•1 _ '1 ( '1
О — r(x-,F® Mxj £* QrUjiF® Mxj *L фГ (k^K^F ® МХ
Покажем сначала, что а инъективен. Для х £ X имеет место
изоморфизм
B.5.9) lim (r(U;F)®M) =»limT [U;F ® Мх ) ,
-£*\ л ) -^ \ лх )
где U пробегает семейство открытых окрестностей точки х (на самом
деле обе части B.5.9) изоморфны Ft ®л М). Следовательно, если
сечение s £ Г(Х; F) ®а М удовлетворяет условию a(s) = 0, то мы
можем найти конечное покрытие X — (J;- Kj, такое, что А(«) = 0.
Тогда s — 0. То же рассуждение, примененное к Kj и KjClKt вместо
X, дает инъективность /? и у.
Для доказательства сюръективности а возьмем t £ Г(Х; F ®Лх
Мх). Из B.5.9) следует существование конечного покрытия X =
\Jj Kj, такого, что \'(t) принадлежит образу /?. Тогда из инъектив-
ности у следует, что I принадлежит образу а. О
Предложение 2.5.13. Пусть f:Y —* X — непрерывное
отображение, К — пучок колец на X, и пусть F £ ОЬ(ЯЙ<ЛG£)) и G £
оь(отоэ(/-1тг°р)).
(i) Существует естественный морфизм
B.5.10) fiG®F-+f, [G ® /_1F).
% \ /-Ч1 J
(И) Пусть F — плоский %-модулъ; тогда B.5.10) — изоморфизм.

166 Гл.2. Пучки
Доказательство. Отметим, что морфизм B.5.10) индуцирован мор-
физмом B.3.21). Пусть теперь F — плоский модуль. Покажем, что
B.5.10) — изоморфизм. Выберем х £ X я применим предложение
2.5.2 и лемму 2.5.12. Имеем
(/!(GArlF))^A(rlW;GA/_lF)
~re[r\*)\G ® {FT)y)
-ГДГЧ^-.С)® F,
пх
^ (/-G), ® Fx
Их
*(/!GfF),
П
Предложение 2.5.13 позволяет построить другие естественные мор-
физмы. Например, если Gi и G? — два /~ ^-модуля, то
существуют морфизмы (там, где рассматривается тензорное произведение, G\
считается правым модулем)
B.5.11) /.Gi®/.Ga
п.
(Gl -^°2)'
fiHomj-iniGuGi) ► HomnU,Guf,G2)
B.5.12) j [
f.Homj-tniGuGi) ► 'Hom^(/!Gi,/!G2).
Существование морфизма B.5.11) вытекает из B.5.10) и B.3.4).
Объясним существование верхней стрелки в B.5.12). Положим Я =
Homj-i (Gi, G2). Тогда существуют естественные морфизмы
/Я ® /.Gi -» /(Я ® Gi) -» /.G2.
Теперь существование верхней стрелки следует из предложения 2.2.9.
Другие стрелки в B.5.12) определяются аналогично. Отметим, что
если И. коммутативно, то эти морфизмы ТС-линейны.

B.6. Кошомологии пучков
167
2.6. Когомологии пучков
Применим результаты гл. 1 к категории пучков. Пусть X —
топологическое пространство, а И, — пучок колец на X. Категория
9ЯоЬ(Я) пучков (левых) ТС-модулей на X абелева. Следовательно, мы
можем рассматривать производную категорию 0(ШоЬG1)) и ее
полные триангулированные подкатегории 0*(ШоЬG1)), где * = +, —,Ь.
Для краткости будем писать
B.6.1) D*(fc) = 0*(тоЦК)), * = 0, +, -, 6.
В частности, если А — кольцо, то категория О(Ах) есть производная
категория категории пучков .А-модулей на X. (Например, D(Zx) =
0FЬ(Х)).)
Для того чтобы определить производные функторы от функторов,
введенных ранее, рассмотрим следующую ситуацию: Z локально
замкнуто ъ X, f:Y —* X я д: W —► У — непрерывные отображения,
S —* % — морфизм пучков колец на X, образ которого содержится в
центре пучка ft, a S коммутативен. Когда мы рассматриваем
функтор /> (или д<), то считаем соответствующие пространства локально
компактными.
Так как категория ШоЪ(И) содержит достаточно много инъектив-
ных объектов, то мы можем определить производные функторы от
всех точных слева функторов. Получаем
RTz(X\-)
ЯГг(-)
RT(Z;-)
Rf.
КНотк('г)
RHoms(-r)
RT.{X;.)
Rf\
0+(Я) -» 0+(ЯЬ),
0+(Я) -» 0+(Я),
0+(Я) -» 0+(ЯЬ),
D+(/-17e)^D+Ge),
D-Ge)exD+Ge)^D+E),
D-(S)exD+Ge)^D+(ft),
0+(Я) -» 0+(ЯЬ),
о+(/-1тг) -» о+(я).
Кроме того, так как функторы ()г : F —» Fz и /-1 : F —* f~lF
точны, то они определяют функторы на производных категориях, и
мы получаем функторы (где * = 0, +, —, 6)
(•)*:О'(Я)-0'(Я),
Напомним, что для нахождения производного функтора нужно
заменить комплекс пучков F комплексом инъективных пучков /,
квазиизоморфным F, после чего применить функтор к комплексу /. Для

168 Гл.2. Пучки
заданного функтора достаточно выбрать пучки Р из подкатегории
пучков, инъективной по отношению к этому функтору.
Пример 2.6.1. Пусть F € ОЪ(&\)(Х)). Рассмотрим точную
последовательность 0 —* F —* F0 —»'•••, где пучки F* вялые. Отождествим F
с комплексом •..—► 0 —* F —* О---, полагая степень F равной нулю.
Тогда F квазиизоморфно комплексу
f : ► 0-»F° — F1"-»--- ,
где F° имеет степень 0. Тогда ЯГг(Х; F) представляется комплексом
rZ(X;F).
Для того чтобы определить левый производный функтор • ®£ ■,
нужно наложить некоторые условия на %:
Определение 2.6.2. Пусть Л — пучок колец на X. Положим (см.
упр. 1.29):
wgld(ft) = sup(wgld(ft,)).
тех
Тогда wgldG£) называется слабой глобальной размерностью пучка %.
При рассмотрении тензорных произведений над пучком колец И,
мы всегда будем предполагать, что К имеет конечную слабую
глобальную размерность
B.6.2) Mrgld(ft) < со.
Применяя предложение 2.4.12, следствие 1.7.8 и упр. 1.23, мы
устанавливаем, что если F принадлежит Ob(D*G£))
(соответственно Ob(D+(TC))), то он квазиизоморфен ограниченному комплексу
(соответственно комплексу, ограниченному снизу) плоских
^-модулей. Поэтому мы можем определить производные функторы
• ® •: 0*(Я°р) х 0*(П) -» D*E),
и
• ®.:D*(ft)xD*(S)^D*Ge),
S
где * = -,+,&.
В частности, в условиях обозначения 2.3.12 для * = —,+,Ь мы
получаем функторы
• Я*.: D*(pi1(^°p)) х DW*) - D*(P_15).
(Здесь "Я и S — пучки колец иа S.)

B.6. Коюмолошии пучков 169
Теперь мы кратко опишем отношения между этими функторами,
используя результаты предложений 1.8.7 и 1.10.9.
Пусть F € Ob(D+Ge)). Тогда
B.6.3) ЯГг(Х; F) ~ ЛДА-; Rrz(F)).
В самом деле, если F инъективен, то я Tz(F) инъективен.
Пусть F € Ob(D'(ft)) и С? € Ob(D+(fc)). Тогда
B.6.4) ЯHomR(F, G) ~ ЯГ(Х; tfWom*(F, G)).
В самом деле, категория вялых пучков инъективна по отношению к
функтору Г(Х; •), и если F и G — пучки Л-модулей и F инъективен,
то пучок Нотц (G, F) вялый.
Пусть F £ Ob(D+(flr-1/^)). Тогда
B.6.5) R(f о g),F ~ Rf,Rg.F.
В самом деле, если F вялый, то g*F является вялым, т. е. вялые
пучки образуют йнъективную категорию по отношению к функтору
прямого образа. Аналогично, говоря о с-мягких пучках вместо вялых,
получаем
B.6.6) Д(/ о g)<F ~ RfiRgiF.
Предложение 2.6.3. Пусть ф: 0+(И) —► 0+E) — функтор,
индуцированный забывающим функтором ЗКоЭ(Я) -» ЗКоЭ(£). Пусть
F € Ob(D-(fc)), G € Ob(D+(fc)) и Я € ОЬ@~E)) (wgld(S) < оо);
тогда
0) Ф(КНотв(Н, G)) к RHoms(H, f(G));
Cn)«0+E)
B.6.7) RHomn (f ® Я,<?] =j momn(F, RHoms(H, G))
s RHoms{H, RHomn(F, G)).
Доказательство. Из предложения 2.2.9 следует, что если Я
является плоским над S и G инъективен, то 7ioms(H,G) — комплекс
инъективных ТС-модулей. Следовательно,
RTiomn(F<»H,G) = nomn(F®H,G),
s s
RHomn(F, RHom8(H, G)) ~ Ногш{Р,Нотв{Н, G)).

170 Гл.В. Лучки
Теперь существование первого изоморфизма в (ii) следует из
предложения 2.2.9. Для доказательства (i) и доказательства
существования второго изоморфизма в (ii) заменим Я ограниченным сверху
комплексом Я, таким, что Я" есть прямая сумма пучков Su (см.
конструкцию в предложении 2.4.12). Тогда Ext3s(Hn,K) = 0 при j\ ф О
для любого вялого 5-модуля К. Следовательно, Я Horns (Я, К) ~
Нот$(Я, К) для комплекса К вялых 5-модулей. Пусть теперь G
инъективен. Тогда (i) следует из того, что ф(в) является комплексом
вялых 5-модулей. По предложению 2.4.6(vii) Homs(F,G) является
комплексом вялых 5-моду лей. Поэтому RHoms(H,RHomK(F,G)) ~
Homs(H,'Homii.(F,G)). Так как объект Я является плоским над S,
то RMomti{F ®% H,G) ~ Hotnn{F ®s H,G). Остается применить
предложение 2.2.9. D
Используя производный функтор RT(X; •) для нахождения
нулевых когомологий, получаем
B.6.8) HomD+(Я) (F ®H,g\* HomD+E)(Я, RHomn(F, G)
~ Eom0+{n)(F, KHoms(H, G)).
Положим Я = Sz в B.5.7); тогда
B.6.9) RHomn(Fz,G) ~ RrzRHomn(F,G)
~ RHomn(F, Rrz(G)) в D+E).
Теперь, рассуждая, как в следствии 2.2.10, можно построить
естественные морфизмы
B.6.10) RHomn(F,G)®F-+G в 0+(Я),
5
B.6.11) RHomn(F,G)®H -> КНотц (f, G ® Н) вО+E),
B.6.12) RHormt{F,G) -* KHomn(RKomn(G,K)),RHomn{F,Tl))
в D+E)
В B.6.12) мы предполагаем, что К коммутативен, wgld(ft) < со а
F, G, КНотц^СЯ) ограничены. Тогда морфизм B.6.12) определяет
ся следующим образом. Из B.6.11) следует, что
RHomn(F, G) ® R7iomn{G, К) -+ ИПотп (F, G® R7iomn(G, К)) .

S.6. Коюмологии пучков 171
С другой стороны, B.6-10) дает морфизм G®£ RHom-ji(G,И) —► "Я.
Объединяя, получаем морфизм
RKomn{F,G)®FMomn(G,Tl) -* КНотк(Р,К).
к
Тогда из B.6.8) следует B.6.12).
Предложение 2.6.4. (i) Яусгоь G € ОЦО+(/~171)), и пусть F £
Ob(D-(ft)). Тогда
B.6.13) RMomn{F,Rf,G) ~ ЯПотГ1П(Г1 F,G).
(ii) Функторы f~l : D+(ft) -* 0+(Г1П) и Rf, : 0+(Г1К) -♦
D+(ft) сопряжены, го. е.
B.6.14) HomD+w(F, Rf,G) ~ Hom0+(/.,w)(/-lFf G).
Доказательство, (i) Если G инъективен, то /»G тоже инъекти-
вен. Следовательно, ДНотк(/, Д/»(-)) — производный функтор от
Komn(F,/,(•)). Так как ftHom/-iR(/-1.F, •)— производный
функтор отНоту-1я(/-1.Р, •)) то утверждение вытекает из предложения
2.3.3.
(ii) Доказательство аналогично доказательству п. (i). D
Аналогичные рассуждения дают
B.6.15) Rnomn(F, Rf.G) ~ Rf,RHomf-in(f-lF, G) в D+($).
Применяя B.6.14), получаем естественные морфизмы
B.6.16) id -» Я/, о /-1 в В+(К),
B.6.17) /-' о Rf, -»id в D+(/-1^).
Предложение 2.6.5. Яусгоь F, € OtyD+fft0»)), F2 G Ob(D+(ft))
(wgld(Te) < oo). 2VAi
B.6.18) /-'F, ® f-'F^r1 (F1&F2) eO+(f-lS).
f-4t \ И /
Доказательство. Если F является плоским над R, то f~*F будет
плоским над /~1-Я. Следовательно, /"'(О®/-»»/"^) является
производным функтором функтора /-1@ ®/-»я /"'(О- Остается
применить предложение 2.3.5. D

172 Гл.2. Пучки
Предложение 2.6.6. Яусть G € Ob(D+(f-lK°r)), F € ОЦО^Я))
(wgld(#) < оо). Тогда
B.6.19) Rf,G®F^ZRf,(G ® /~'И в D+(S).
п \ /-•* J
(Напомним, что X и Y локально компактны.)
Доказательство. Предположим сначала, что F плоский. Из
леммы 2.5.12 вытекает, что функтор • ®/-i^ f~lF отображает с-мягкие
пучки в /t-инъективные пучки. Следовательно, Rfi{- ®/-»я f~lF) —
производный функтор от /)(• ®/-i^ f~lF)- Так как Rf\(-) ®n F —
производный функтор от /((•) ®я F, то утверждение в этом случае
вытекает из предложения 2.5.13. В общем случае заметим, что если
F € Ob(D+(ft)), то F квазиизоморфен ограниченному снизу
комплексу плоских пучков. D
Предложение 2.6.7. Рассмотрим декартов квадрат B.5.5), и
пусть G € 0b(D+(/~17e)). Тогда
B.6.20) д-1 о Rf,G ~ Rf! о g'^G вВ+(д-1К).
Доказательство. Так как д~* о Rf\ является производным
функтором от д~* о /;, то достаточно показать (см. предложение 2.5.11), что
Rf! о д'~* есть производный функтор от ft о д'~1.
Обозначим через /у подкатегорию в ШоЬ(/~1И), состоящую из
таких пучков G, что G|y-i(x) является с-мягким пучком для всех х € X.
Аналогично определим подкатегорию 1у в 9Rob(g'~1f~1'R). Тогда
категория 1у инъективна по отношению к функтору д1'1, д'~1
отображает 1у в 1у и категория 1у инъективна по отношению к функтору
//, что завершает доказательство. D
Некоторые естественные морфизмы и изоморфизмы могут быть
выведены из приведенных выше формул. Опишем их, оставляя
доказательства существования читателю. Напомним, что если в
формуле есть тензорное произведение ®я, то wgldft < оо. Пусть F £
Ob(D+(ft)) и G € Ob@+(f-ln°')). Имеем
B.6.21) Rf.G®F ->Rf.[G ® /"'/Л в D+(S).
к \ 1-41 )
Пусть G\ € Ob(D+(/-1^°'')) и G2 € Ob@+(f-lH)). Имеем
B.6.22) Д/.G, ®Rf.G2->Rf. (G, ® G2) в D+E),
* V /-»« J
B.6.23) Rf\Gi®Rf.Gi^Rf. [G, ® G2) в D+E).
n \ /-чг /

2.6. Когомологии пучков 173
Пусть G, € Ob(Db(f-lH)), G2 € Ob(D+(/~1K)), и пусть /. и /,
имеют конечную когомологическую размерность (см. упр. 1.19).
Тогда
B.6.24) /e/.JRHom/-,K(G,,G2) -♦ BMomK(Rf,Gu Rf.G2),
B.6.25) ft/.iJHom/-,^(Gi,G2) -♦ RHomn(Rf,Gi,Rf!G7),
B.6.26) Rf,momf-m(Gi,Gi) -♦ RHorrm{Rf,GuRf,G2)
в D+E).
Пусть Fi € ОЬ@»(Я)) и F2 G Ob(D+(fc)). Имеем
B.6.27) f-'RHomniF^Fi) -» flWem/-.«(/-,F,,/-,F2)
bD+(/5).
Наконец, используем предложения 1.8.8, 2.3.6, 2.3.9 и 2.4.6. Пусть
C/i и С/2 (соответственно Zi и Z2) —открытые (соответственно
замкнутые) подмножества в X, Z — локально замкнутое подмножество в X,
a Z' — замкнутое подмножество в Z.
Если F G Ob(D+(ft)), то существуют следующие выделенные
треугольники:
B.6.28) RrUlUua(F) - Rlb^F) Ф Л1Ь,(П - ДА/,ш/3(^) ^.
B.6.29) RrZlnz,(F) - */*,(*") © ЯГ*а( Л - «rZlUZa(F) -^
B.6.30) Fy.ny, -» Fy, ф Fy3 -» FylUt/a ^,
B.6.31) Fz^Za —> Fz, Ф FZa -*• FZinZt -+,
B.6.32) ДГг-(Л -+ ДГг(^) -+ Rrz\AF) -^
B.6.33) Fzu, — Fz -♦ Fz< -j .
Обозначения 2.6.8. Пусть И, — пучок колец на X, Z локально
замкнуто в X,F € ОЪ@+(Я)), Я € Ob(DJ(ft)), G € Ob(D+(ft°P)).
Положим
/4(F) = Н*(КГг{П),
HJ{X;F) = Hi{Rr{X;F)),
Hz(X;F) = H*(Rrz(X;F)),
H'{Z;F) = Hi(RT{Z;F)),
Hi(X;F) = W(Rrc(X;F)),

174 Гл.2. Лучки
£xt^K, F) = Н*(НПотк(К, F)),
Ext4(#, F) = H'(REomn(K, F)),
Tozf(G, F) = H~j (g®f) .
Отметим, что если X локально компактно, то H}e(X;F)*^
lim H}K(X; F), где К пробегает семейство компактных подмножеств
к
пространства X.
Замечание 2.6.9. Для некоторого не обязательно локально
замкнутого подмножества Z пространства X определим функтор F *-*
r(Z; F) = r(Z; F\z). Мы можем рассмотреть производный
функтор F >-* R.r(Z;F). Здесь нужно соблюдать осторожность, так как
Rr(Z; F) может не совпадать с функтором Rr(Z; •), примененным к
F\z. Однако в следующих ситуациях существует естественный
изоморфизм Rr(Z; F) ~ Rr(Z; F\z):
(i) Z открыто;
(ii) X хаусдорфово и Z компактно;
(iii) Z замкнуто в паракомпактном открытом подмножестве
UCX.
Во всех случаях
Hj(Z;F)^limHj(U;F),
где U пробегает семейство открытых окрестностей множества Z
ъХ.
Замечание 2.6.10. Применяя функтор Rr(X; •) к выделенным
треугольникам B.6.28)-B.6.32), мы получим новые выделенные
треугольники. Применяя функтор #"(•) к этим треугольникам, получим
длинные точные последовательности. Последовательности,
полученные из B.6.28)-B.6.31), называются последовательностями Майера-
Въеториса. Например, существует точная последовательность
► Hk-\Ui Л U2; F) -+ Hk(Ui U U2; F)
Существует также точная последовательность, полученная
применением функтора Rre(X\ •) к B.6.33) (с Z = X, Z' = К — компакт)
■■■^Hk-l(K;F)^Hk(X\K;F)^Hk(X;F)^---.
Обозначение 2.6.11. (i) Пусть F € Ob(D+B£jt)). Его носитель,
обозначаемый supp(F), является замкнутым подмножеством в X:

2.7. Некоторые теоремы об обращении в нуль 175
B.6.34) supp(F) = (J supp Hi{F).
(ii) Пусть A — кольцо и М € Ob(D+(9Ho?)(.A))). Положим
Мх = а*1 М,
где ах — это отображение X —► {pt}.
(Hi) Пусть Л — коммутативное кольцо. Работая в категории
0+(Ах), мы будем называть А базовым кольцом. Бели не
может возникнуть путаницы, то мы будем писать Нот, ®, 0 вместо
Нотд, ®д, Ид. Начиная с гл. 3, мы часто будем писать 0+(Х) вместо
0+(Ах).
2.7. Некоторые теоремы об обращении в нуль
В этом параграфе будут сформулированы и доказаны теоремы об
обращении в нуль групп когомологий пучков, или, что эквивалентно,
теоремы об изоморфизмах групп когомологий, в некоторых частных
случаях. Эти результаты будут получены или с помощью
«нехарактеристических деформаций» (предложение 2.7.2), или
гомотопическими методами, с помощью процедуры Миттаг-Лефлера, которую мы
теперь сформулируем для пучков.
Предложение 2.7.1. Пусть X — топологическое пространство и
F € Ob(D+(Zjc)). Пусть {£/n}neN — возрастающая
последовательность открытых в X множеств, a {Zn}nm — убывающая
последовательность замкнутых в X множеств. Положим U = Уп Un,Z =
(i) Для любого j естественное отображение (pj : H3Z(U\F) —>
Hm#2 (Un;F) сюръективно.
n
(ii) Пусть для данного j проективная система {H3Z~ (Un;F)}„
удовлетворяет условию M-L. Тогда <pj биективно.
(iii) Пусть {Хп}п€н — возрастающая последовательность
подмножеств в X, таких, что \Jn Хп = X и Хп С Int(Xn+i) для
всех п. Пусть для данного j проективная система {Н}~1(Хп;
F)}n удовлетворяет условию M-L. Тогда естественное
отображение H3\X\F)—*\\mH3(Xn\F) биективно.
п
Доказательство. Мы можем считать F комплексом вялых пучков.

176 Гл.2. Пучки
Для доказательства (i) и (ii) обозначим через Еп простой комплекс,
ассоциированный с двойным комплексом
r(Un;F'-1) ► r(Un;F')
Так как объ-
► r(Un\Zn;F-1) ► r(ff„\Zn;Fl) -
Тогда HjZh(U„; F) ~ &{Еп) и H{{U; F) ~ Я' ( НтЯп ] •
екты {Е*п}п удовлетворяют условию M-L при всех i, то утверждение
следует из предложения 1.12.4.
(iii) есть следствие того, что {H}~l(lntXn;F)]n удовлетворяет
условию M-L, и того, что \\тН>(Хп; F) ~limH*(IntXn; F). О
Предложение 2.7.2. (лемма о нехарактеристической деформации).
Пусть X — хаусдорфово пространство, F g Ob(D+(Zx)) «
{Ut}te* — семейство открытых подмножеств из X. Предположим,
что выполнены следующие условия:
(О Ut = U»« иш для всех t € К;
(ii) для всех пар (s,t),s < t, множество Ut \U, П supp(F)
компактно;
(iii) полагая Z, = f]i>t(Ut \^»)> ^ЛЯ всех ШР (s>')> s ^ t, и всех
х €Zs\Ut имеем
Тогда при всех t £Ш существует изоморфизм
Rr({JU.;F\ ■=; RT(Ui;F)-
Доказательство. Рассмотрим следующие утверждения:
(a)S : Hm Hk(Ut; F) ~ Hk(U,; F),
t»
(Ь)\ Aim Hk(U.;F)^ Hk(Ut;F).
»<«
Пусть (a)J доказано для всех «Gl« всех tEZ,a (Ь)*к доказано для
всех (е!и всех к < к0. Из предложения 1.12.6 следует
B.7.1) Hk(Ut;F)~Hk(U.;F)

2.7. Некоторые теоремы об обращении в нуль 177
для всех jfc < jfc„ и всех пар (s,t),s ^ t. Зафиксируем t; тогда последо-
нательность {Я*<,~1(^<_1/п;^,)}„ удовлетворяет условию M-L и (b)k
следует из предложения 1.12.4. Индукцией по к получаем, что (Ь)*к
справедливо при всех t € Е и всех jfc 6 Z. Применяя предложение 2.7.1
к семействам {Я*(СА„; F)}„€h, мы доказываем результат индукцией
но jfc.
Докажем теперь (а)'к. Заменяя X на supp(F), мы можем с самого
начала считать Ut \ U, компактом для всех t ^ *. Рассмотрим
выделенные треугольники
ИГ(х\и,)(П\г, —► ДГ(х\[/,)(Л|г, —" Rr(ut\u.)(F)\z. -ц* •
Так как первые два члена равны нулю по условию, мы получаем, что
Rr(u,\u,)(F)\z, — 0. Поэтому для всех к £ 2 и всех t > s имеем (см.
обозначения 2.6.8)
0 = H\Z,;Rr{Ut\Ut)(F))
= ljmHk(Ur\Ut;Rr(X\Ut)(F)),
vz>z,
где U пробегает семейство открытых окрестностей множества Z,. Так
как для любого такого U найдется t', t }> t' > s, такое, что U П Ut Э
Ut.\U„TO
0 = \imHk{Ut;Rr(x\u.)(F))>
о»
что дает (а)'к. О
Систематическим изучением пучков на евклидовых пространствах
мы займемся в гл. 3, но здесь нам понадобится один технический
результат.
Лемма 2.7.3 Пусть I — интервал [0,1] С М, a F — пучок на I.
Тогда
(i) Hj(I, F) - 0 при всех j > 1;
(ii) пусть отображение F(I) —► Ft сюрвективно для всех t £ I;
тогда H>(I;F) = 0 при всех j ^ 1.
(iii) если F является постоянным пучком Mi на I, то морфизмы
М —* ЯГA; F) —> Ft являются изоморфизмами при всех t £ I.
Доказательство. Пусть j ^ 1 и * € H*(I;F). Пусть /<,,<3,<i < <2, —
естественное отображение:
fu,t,--Hi{I;F)-+HH[tuU];F).

178
Гл.2. Пучки
Определим множество J = {t € [0, l];/o,t(e) = 0}. Тогда 0 6 J и и;
0 ^ <'<<,<€ J, вытекает, что f £ J. Более того, J открыто, так ка|
для всех <0 < 1
Hi([0,U};F)=\imW([0,t];F),
и из /o,«,,(s) = 0 вытекает, что /o,«(s) = 0 при некотором t >i0.
Рассмотрим последовательность Майера-Вьеториса,
ассоциированную с разбиением [0,*о] = [0,1] U [!,<<,], где 0 < t < t„ < 1,
• • • - Я'([0,*.1; F) -+ Я'([0,<]; F) ф Я'([М.]; F) -+ Я'*({*}; F) -+• • .
Бели j > 1 или j = 1 и морфизм F(J) —► Ft сюръективен, то
B.7.2) №([0,to];F)~ffi([0,(];/le№([M.]iF).
Возьмем <0 = supj. Так как limH'([t,t0];F) = 0, то существует
««о
t < <о. такое, что /«,«„(«) = 0. С другой стороны, fo,t(s) — 0- Значит,
/„,«„(«) = 0 по B.7.2) и J = [0,1].
(iii) Из (ii) следует, что Я^/jF) = 0 при j > 0. Поэтому
Rr(I;F) ~ r(I;F). Композиция морфизмов М -► T(/;F) -► Ft
~ Л/ есть единичный морфизм. Следовательно, достаточно
показать, что если s 6 r(I;F) и ** = 0, то * = 0. Это следует из
доказанного выше утверждения, что supp(s) открыт и замкнут
одновременно. D
Рассмотрим теперь тройку топологических пространств 5, X, Y и
коммутативную диаграмму непрерывных отображений
у ; > л:
B.7.3)
5
В этом случае мы говорим, что f:Y—*X — непрерывное
отображение над 5.
Пусть И — пучок колец на 5 и F € ОЦО+(Л)). Морфизм B.3.5)
индуцирует морфизм
B.7.4) Rpx. °p~xF-+ Rpx, oRf,of-lop-1 F st Rpy. оp~lF,
а если / — собственное отображение, то морфизм функторов
B.7.5) Rpx, op~lF ~* RpX\ о Rf. of-1 op^F с* RpY, op~lF.
Мы обозначим через /* (соответственно/*) морфизм Rpx» °Рх1 ~*
Rpy* °РуХ (соответственно Rpx< ° Рх* ~* RPY< °Py1)> определенный
морфизмом B.7.4) (соответственно B.7.5)).

2.7. Некоторые теоремы об обращении в нуль
179
Определение 2.7.4. (i) Пусть /о : Y —► X и /i : Y —» А* — два
непрерывных отображения над S. Мы называем /о и Д гешотопмъши
над S, если существует непрерывное отображение h : Y х / —► X
[I = [0,1]) над S, такое, что /» =hoji (i = 0,1), где jt (t 6 /) — это
отображение У —► У х /, j/1-* (y,t). Если отображение h собственное,
то /о и /i называются собственно гомотопными.
(И) Пусть f:Y—*X — непрерывное отображение над S. Оно
называется гомотопической эквивалентностью над 5, если существует
непрерывное отображение д. X —* Y над 5, такое, что fog и д о f
гомотопны отображениям idjf и idy соответственно.
Предложение 2.7.5. (i) Пусть /о: У —► X и /i: У —► X гомотопны
nadS. Тогда ff=ff.
(ii) Если /о u /i собственно гомотопны, то /* = /*•
Доказательство, (i) Пусть h:Y у. I —* X — гомотопия, связывающая
/о и /i над S. Рассмотрим коммутативную диаграмму
У
Ух/
X
B.7.6)
РХ
PY
где р:У х/ -» У — проекция. Из замечания 2.5.3 и леммы 2.7.3
вытекает изоморфизм функторов из 0+(И) в D+(pY1'R):
B.7.7)
Py
Rp, op'1 ору1
j'1 op-1 ору1 ~Ру\
а композиция этих изоморфизмов тождественна на ру1.
Рассмотрим коммутативную диаграмму морфизмов функторов из
0+(П) в D+(ft)
Rpx* оРх1 Rpx* °ЛЛ» oh'1 ор^1
/*
-1 . „-1
I
RPY*°fi °Рх
.-1 .-1
Rpy, о Rp, op'1 ору
-1
Rpy* ору

180 Гл.2. Пучки
Здесь морфизм а,- определен формулой
Яр» op-1 op'1 -+J71 op-1 op =р-1.
Следовательно, а0 = «1 по B.7.7) и ff — ff.
(ii) Доказательство аналогично. Q
Замечание 2.7.6. Пусть X' (соответственно У) замкнуто в X
(соответственно в У), и пусть f:Y—*X — отображение над S, такое, что
f~1(Xl) С У. Пусть F e Ob(D+(ft)). Тогда существуют
естественные морфизмы
Rpx. о Rrx> °Рх1р -+ ДРх. о Д/. о /-1 о RrXiopxlF
-+ Rpx. о Я/, о Я//-ЧХ') ° Г1 °Рх1р
-+ RpY* о Rry ору1 F.
Обозначим через /*, х, следующий морфизм функторов:
B.7.8) /*',х': ^РХ* о Rrx> оРх1 -> R-PY* ° ЛГу/ op'1.
Если У = f~1(X'), то мы будем писать /j£, вместо fyi х>-
Предположим теперь, что /o,/i и /» из определения 2.7.4 удовлетворяют
условию
B.7.9) hl\X') С У для любого А е /, где ЛА() = Л(-, А).
Тогда, рассуждая, как в доказательстве предложения 2.7.5, имеем
B.7.10) foy,X' — fiY\x'-
Следствие 2.7.7. (i) Пусть f : Y —► X — гомотопический
изоморфизм над S. Тогда для любого F 6 Ob(D+G2.)) морфизм /* :
Rpx*PxlF' ~* RpY*PylF является изоморфизмом.
(ii) Пусть f:Y—>X — непрерывное отображение, a s: X —*Y —
его непрерывное сечение. Предположим, что so f гомотопно idx над
X. Тогда для любого F е ОЬ@+(Лх)) морфизм F -> Rf,f~lF и
композиция Rf,f~lF —► Rf,Rs,s~1f~1F ~ F являются
изоморфизмами.
(iii) В частности, если X — стягиваемое топологическое
пространство, то M^Rr^XfMx) для любого объекта М категории
0+(ШоЬ(А)).

2.7. Некоторые теоремы об обращении в нуль 181
(iv) Пусть /: У —► X — собственное непрерывное отображение со
гтягиваемыми слоями (и, следовательно, сюръективное). Тогда если
F e Ob(D+(Ax)), moF -> Rf»f~1F — изоморфизм.
/(окаэательство. (i) Пусть отображение g: X —►У такое же, как в
определении 2.7.4 (ii). Тогда по предложению 2.7.5 /* о jr# = id и
(/* о /# = id.
(ii) является частным случаем п. (i).
(iii) является частным случаем п. (ii).
(iv) Пусть F e Ob(D+(j4x)) и г е X. Из замечания 2.5.3 и п. (ш)
следует, что
~Fr, D
Отметим, что утверждение (iv) в следствии 2.7.7 часто называют
теоремой Вьеториса-Бигла. Мы уточним это утверждение и
обобщим его на несобственный случай.
Пусть f:Y—*X — непрерывное отображение. Обозначим через
%floo(Ay/f) полную подкатегорию категории Шод(Ау), состоящую
нз пучков G, таких, что для любого * 6 X пучок G|/-i(r)
локально постоянен. Обозначим через Df (Ay) полную
подкатегорию категории D+(Ay), состоящую из объектов G, таких, что
H*(G) 6 Mob(Ay/f) для всех j. Заметим, чтоШоЦАу//)
является плотной подкатегорией в Шоо(Ау) (см.§1.7). Отметим также,
что DJ(Ay) — триангулированная категория. Функторы /» и
/_1 индуцируют функторы, которые будут также обозначаться
через /. и /-1:
Г1
B.7.11) ШоЦАх) =* ШоЪ(Ау//).
U
Функтор «включения» ffllob(Ay/f) —► ШоЬ(Ау) индуцирует
функтор D+ (Щоо(Ауj/)) -+ В^(Ау). Таким образом, мы
получаем функторы (которые будут также обозначаться через Я/.
и/)
B.7.12) O+iAx)'** 0+(Лг).

182 Гл.2. Пучки
Мы дадим достаточные условия взаимной обратности этих
функторов. Пусть дано семейство {Уп}пен замкнутых подмножеств
пространства Y, удовлетворяющее условиям
{У = ЦУ», Уп С Int(Y„+i) для всех п,
/|у. — собственное отображение со стягиваемыми
слоями для всех п .
Предложение 2.7.8. Если выполнены условия B.7.13), то
функторы /_1 и f, (соответственно /-1 u Я/») в B.7.11)
(соответственно в B.7.12)) взаимно обратим.
Доказательство. Мы рассмотрим случай формулы B.7.12), так как
случай формулы B.7.11) проще.
Отметим сначала, что стягиваемое пространство непусто, а
значит, f(Yn) — X для всех п. Отметим далее, что локально постоянный
пучок на стягиваемом пространстве постоянен (см. упр. 2.4).
Рассмотрим сначала случай собственного /.
Пусть G е ОЪ@+(Ау)) и у е У. Тогда Н3'(G)|/-i/(y) —
постоянный пучок; поэтому Я'(/-1 /(у); Н-'(G)) = 0 для всех j e Z и всех
t > 0. Имеем
ЯЧГ1 о Д/.С)„ ~ Я>(Д/.<?)Лу)
^H>Xr4(y)\G)
c±nr4(y);H'(G))
* H>(G)y.
Поэтому /-1 о Rf„ ~ >^0+/д у Из следствия 2.7.7 получаем, что
fl/.o/-1~idD+(Ax) .
Теперь рассмотрим общий случай. Пусть F 6 ОЬ@+(Ах)), а V
открыто в X. Для каждого j семейство {H'(f~1(V) Л Yn,f~1F)}n
удовлетворяет условию M-L. Применяя лемму 2.7.1, получаем
W(V;F) sj Hi(f-l(V)C\YnJ-lF)
*±H'{rl<y)\rxF)-
Поэтому F ь-+ Я/, о f~lF — изоморфизм.
Пусть, наконец, G £ Ob(D^(.Ay)), у 6 У и V — открытая
окрестность точки /(у) в X. Так как для всех j семейство {Я^(/—1(У) Л
Yn\G)}„ удовлетворяет условию M-L, то
H'(f-1(V);G)~H'(r1(V)r\Yn;G).

S.8. KotOMOAotuu покрытий 183
Поэтому
~ Hm Я'(/-!(К);0)
уэТ(у)
~ Ит Я>(ГЧЮПУ„;С?)
гэ/(»)
т. е. GI-* /-1 о Д/.G — изоморфизм. D
2.8. Когомологии покрытий
Пусть X — топологическое пространство и U = {Cjb'eJ —
семейство открытых множеств в X.
Для целого р > 0 и набора а = {«о,...,ар) 6 Jp+1 положим
р
ua = f]ua
Бели а — перестановка на множестве {0, ...,р}, то через sgn<r
обозначим ее четность. Если а = («о,•••,«?), то положим а' =
(а<т@),-.,а<т(р)).
Пусть F — пучок на X. Для двух открытых подмножеств U и V в
X, где U С V, через pv у обозначим канонический морфизм /у —► /V
(см. §2.3).
С U я F мы свяжем комплекс пучков на X (см. обозначения 1.3.9),
обозначаемый через C.(U;F), следующим образом.
Для р е Ъ,р < 0, положим Cp(U; F) = 0. Для р > 0 пусть CP{U;F)
есть подпучок пучка фа€у,+1 Fy„, состоящий из
«знакочередующихся» сечений: (sa)aej,+i есть элемент из CP(W; F), если выполнены два
условия:
B.8.1) sa = (sgner)s0<r для любой перестановки а на {0,. ..,р},
/ если а = (а°' *''' ар) и а" = а"' для паРы различных
\ индексов I/ и i/ из {0,...,р}, то sa = 0.
Дифференциал dp: C^>(W; F) -* Cp_i(W; F) определен так:
для 0 е /р и s = (sa)a е Cp(U,F)
(для /? е /р и s = («в)в е cp(w
B-8-3) 4 (dp(*)b = E^,^)(^))-
Здесь (j, 0) = (У, fa, ■ ■.,0р-1) e Jp+1.

184 Гл. S. Пинки
Немедленно проверяется, что
B.8.4) dp_!odp = 0.
Пример 2.8.1. (i) Бели J = {0,1}, то комплекс C.(U;F) — это
О - FUinu, -» FVl ф Fv, — 0.
(ii) Если J = {0,1,2}, то комплекс C.(W; F) — это
О —► Fv1nu2nu3 -*■ Fv3nU3 Ф Fv3nu, Ф Fvinu2 ~* Fvt Ф Fu2 Ф Fu3 —► 0.
Положим U = (Jj Uj • Определим «отображение аугментации» 6 :
C,{U;F)—* Fu, положив 6\ри = Ри,и{- Немедленно проверяется, что
B.8.5) «od, = 0.
Из этого вытекает, что 6 индуцирует морфизм комплексов
C.{U;F) —* Fu, где Fu отождествляется с комплексом ••■-»0-»
Д,-0-»•••-.
Лемма 2.8.2 Морфизм C.(U;F) —*■ Fu является
квазиизоморфизмом.
Доказательство. Пусть C.(li;F) обозначает аугментированный
комплекс C.(U\F) —► F (т. е. комплекс •• • —► Co(U;F) —* F —►
0 —►•••). Пусть jo e J, J' = J\ {jo} и W = {Uj}jej'- Морфизм
Px.Vj. индуцирует морфизм ajo: C.(W; FUio) -*■ C.(U'; F).
Отметим сначала, что C.(li; F) является конусом отображения
«j.. В самом деле, обозначим через ®'a€j,+\ Fu. подпучок
пучка Фвеу,+1 Fua, состоящий из сечений, удовлетворяющих условиям
B.8.1) и B.8.2). Тогда
CP(U-F)= ф' Fu.
o€J»+l
= f ©' Fu,.,*,,) Ф ( ф' FUa)
^Cp-iiU'iFvJfBCpil/'-^).
Теперь нетрудно проверить, что дифференциал пучка CP(U; F)
является дифференциалом конуса отображения aJo. Так как otjjuj, —
изоморфизм, то комплекс C.(lf',F)\uit) гомотопен нулю. Поэтому
C.(U;F) —» Fu — квазиизоморфизм на U. Так как оба члена
равны нулю вне U, то доказательство закончено. D

2.9. Примеры пучков на многообразиях
185
Замечание 2.8.3. На самом деле мы доказали, что локально на U
комплекс C.(U; F) гомотопен F.
Пусть теперь U — открытое покрытие пространства X. Положим
B.8.6) C(U;F) = nomZx(CXU;Zx),F),
B.8.7) C\U\ F) = HomZx(C.(W; Zx), F).
Тогда r(X;C(U; F)) = C(U; F). Более того, так как Homzx(Zu; F)
= r(U;F), то C?(U\F) есть подмодуль из Пае/'+> f(^«)> состоящий
из сечений, удовлетворяющих условиям B.8.1) и B.8.2).
Предложение 2.8.4. Отображение аугментации 8 индуцирует
квазиизоморфизм пучков F ^* C"(U;F).
Доказательство. Примените замечание 2.8.3 к пучку Z*. П
Предложение 2.8.5 (теорема Лере об ацикличном
покрытии). Пусть U = {Uj}j£j — открытое покрытие пространства X,
a F — пучок на X. Предположим, что #*(£/«; F) = О для всех a e Jp
(р ^ 0) и всех * > 0. Тогда ЯГ(Х; F) квазиизоморфен C'(U;F).
Доказательство. Пусть Г — комплекс вялых пучков,
квазиизоморфный F. Тогда Rr(X; F) ~ Г(Х; I). Из предложения 2.8.4 и
теоремы 1.9.3 следует, что Г(Х;Г) квазиизоморфен а(Г(Х;С'(и;Г))),
где s(-) обозначает простой комплекс, ассоциированный с двойным
комплексом. Так как r(X;C\U;I')) ~ C'(U;I), то остается
заметить, что из теоремы 1.9.3 и условия данного предложения вытекает
квазиизоморфизм между C'(U; F) и s(C'(U\ /')). D
Замечание 2.8.6. Когомологии покрытий Hn(C'(U; F)) часто
называются когомологиями Чеха.
2.9. Примеры пучков на вещественных
и комплексных многообразиях
Пучки, которые рассматриваются в данном параграфе, будут
разбираться подробнее в гл. 11.
2.9.1. Пучок С°х. Рассмотрим предпучок на топологическом
пространстве X, сопоставляющий открытому подмножеству U С X
пространство C°(U) непрерывных комплекснозначных функций на U с
обычной операцией ограничения. Очевидно, что этот предпучок
является пучком. Обозначим его через Сх. Заметим, что постоянный
пучок Zx может быть отождествлен с подпучком пучка С^, состоящим
из функций, принимающих только целые значения.

186
Гл.2. Пучки
2.9.2. Пучок £/ос<|г. Пусть U — открытое подмножество евкл№
дова пространства К", a Ll(U\dx) — пространство функций на U,
интегрируемых по отношению к лебеговой мере dx на R". Предпучон
U *-* Ll(U\dx) не является пучком. Ассоциированный пучок на W*
обозначается через L}oe dx.
2.9.3. Окольцованные пространства. Окольцованное
пространство (Х,Ах) — это топологическое пространство X и пучок колец
Ах на нем. Морфизм окольцованных пространств / : (У, «4у) —*
(Х,Ах) — это непрерывное отображение / : У —► X и морфизм
пучков колец f~*Ax —► Ay. Если А — кольцо, а Ах — пучок
А-алгебр (т. е. существует морфизм Ах —► Ах), то (Х,Ах)
называется А-окольцованным пространством.
2.9.4. С°-многообразия. Пусть а — целое число @ < а < со)
или а = со, или а = и. Обозначим через Cg„ пучок комплексно-
значных функций на К" класса С" (С*1 — это класс вещественно-
аналитических функций). Вещественным многообразием М класса
С" и размерности п называется локально компактное счетное на
бесконечности пространство М с пучком колец См на нем, такое,
что (М,СМ) локально изоморфно (R",C£„) как С-окольцованное
пространство.
Через dimjf или dimgJV обозначается размерность
вещественного многообразия X. Отметим, что вместо Cfy часто употребляется
обозначение Ам.
Мы отсылаем читателя к книге [Guillemin-Pollack 1] за основами
дифференциальной геометрии.
2.9.5. Ориентация, формы и плотности. На С°-многообразии
М мы будем рассматривать ориентирующий пучок огм- Этот пучок
локально изоморфен Ъм , и выбор ориентации на М (если М
ориентируемо) эквивалентен выбору изоморфизма огм — Ъм- В следующей
главе мы будем изучать пучок огм подробно.
Пусть теперь а = со или а = и, & р — целое число. Обозначим
через См*' пучок дифференциальных форм степени р с
коэффициентами в См. Обозначим через d: С^' —* См(р+ ' внешний
дифференциал.
Напомним, что если (х\,..., хп) — система локальных координат
на М, то р-форма / однозначно представляется в следующем виде:
/ = y, fidxi<
i/i=p

2.9. Примеры пучков на многообразиях 187
|де / = {i'i ip} С {1,...,п} (м < t3 < ••• < ip),dxi = dr,-, Л ...
Л dxif, a // — сечение пучка Cjfr. Тогда
,=i |fl=p *
1'ассмотрим также пучок
(п = оо или а = w) и назовем его пучком С-плотностей на М.
С°°-плотности с компактными носителями можно интегрировать.
Обозначим через fM • отображение интегрирования (т. е. интеграл)
B.9.1) / .:Ге(М;У%)
•С.
Пучки С?м и Vjfr являются пучками Cjjjf-модулей. Из существования
«разбиения единицы» вытекает, что пучки Cfg, C\i ' ^м являются
с-мягкими, если а ф ш. Пучки CJfr, C%r > Vm ацикличны по
отношению к функтору Г(М;-) (т.е. Н'{М;С%1) = 0 при j > 0;
см. [Grauert 1]).
2.9.6. Распределения и гиперфункции. На С°°-многообразии
М существует естественно определяемый пучок Шм распределений
Шварца (см. [Schwartz 2], [de Rham 1]). Напомним, что Т>Ьщ — это
с-мягкий пучок и Гс(М;Т>Ьм) является топологически двойственным
к пространству Г(М; Vjg). Последнее пространство рассматривается
как топологическое с топологией Фреше.
На С^-многообразии М аналогично можно определить пучок Вм
гиперфункций Сато (см. [Sato 1]). Это вялый пучок, и Ге(М;Вм)
топологически двойственно к пространству Г(М; Vjfr). Последнее
пространство рассматривается как топологическое с топологией DFS-
пространства (подробнее рассмотрение этих вопросов см. в [Martineau
1] или [Schapira 1]). Конструкция Сато является чисто
когомологической, и мы рассмотрим ее в разд. 2.9.13.
Интеграл B.9.1) определяет спаривание
B'9'2) l(/,f )"/*/!.
Используя это, можно определить морфизм пучков из Cjfi в
Т>Ьм- Можно доказать, что этот морфизм инъективен. Более
того, на вещественно-аналитическом многообразии М инъекция

188 Гл.2. Пучки
Г(М;У%,) -* r(M;Vfi) индуцирует морфизм VbM -► Вм, которы!
также инъективен.
Можно определить пучки VbM' = С^ ®с°° ЪЬм (соответственнд
Вм = С%( ®cj, Вм) р-форм, коэффициентами которых являются
распределения (соответственно гиперфункции). Эти пучки являются
с-мягкими (соответственно вялыми).
2.9.7. Комплекс де Рама. Пусть М есть С00-многообразие. По
лемме Пуанкаре последовательность
B.9.3) 0-> С*->С£@)-ч...-><£■<">-> О
d
точна. Следовательно, пучок См квазиизоморфен комплексу
с-мягких пучков
B.9.4) См —> @ —> С~'@) -+ ► <£•<"> -> 0),
киз т d ""
что дает возможность явного вычисления групп когомологии
Н>(М;СМ) и Щ(М;СМ)- Например, применяя ЯГ(М; •) к B.9.4),
получаем
B.9.5) Rr(M; См) к @ -+ Г(М;С~'@)) -» ■ ■ ■ -> Г(М;С£'(п)) -+0).
d
Аналогичный результат справедлив при замене См на 2>6^. Бели
Af — вещественно-аналитическое многообразие, то справедлив
аналогичный результат при замене CQ на Cfa или Вм■ Следует, однако,
помнить, что пучок C%f не является с-мягким (но здесь Г(М; •)
ацикличен). С другой стороны, пучок Вм не только с-мягкий, но и
вялый, что позволяет вычислить группы когомологии H3z(M;Cm) для
локально замкнутого Z С М.
Комплекс B.9.3) называется комплексом де Рама на М.
2.9.8. Комплексные многообразия. Пусть 0£ обозначает пучок
голоморфных функций на С. Комплексным многообразием
размерности п называется С-окольцованное пространство (X, Ох),
локально изоморфное (С, Ос»)-
Через dime X обозначается размерность комплексного
многообразия X. Мы отсылаем читателя к книге Уэллса [Wells 1], в которой
изложены основы комплексной дифференциальной геометрии. Также
мы рекомендуем книгу [Banica-Stanasila 1] желающим полнее
ознакомиться с аналитической геометрией.

2.9. Примеры пучков на многообразиях 189
Обозначим через 0% пучок голоморфных р-форм на X и через
д — голоморфный дифференциал. Положим
B.9.6) ПХ=Ор®огх,
где огх — ориентирующий пучок на X (см. гл. 3). Поскольку лемма
Пуанкаре справедлива и в комплексном случае, пучок Сх квазиизо-
морфен комплексу
B.9.7) 0 -» С*0 -» у О^ -» 0.
2.9.9. Комплексы Дольбо. Пусть (X,Ох) — комплексное
многообразие. Обозначим через (X,Oy) топологическое пространство с
пучком C?y антиголоморфных функций на X. (Напомним, что
функция /: X —у С антиголоморфна, если комплексно-сопряженная к ней
функция / голоморфна.) Следовательно, {Х,0^) — другое
комплексное многообразие.
Обозначим через Хж подлежащее вещественно-аналитическое
многообразие. Отождествляя Хж с диагональю в X х X, получаем,
что X х X является комплексификацией многообразия Хж.
Действительно,
B.9.8) 0Х><Х|ХВ~С^.
На X х X рассмотрим голоморфный дифференциал d, который
действует как д на X и как д на Хд. То есть d = д + д, что приводит к
разложению пучков Сх* (а = оо или а = и) в прямую сумму
хш - \V ^х •
P+1-r
где Cx'^p'q' — пучок (р, д)-форм на X. В локальных голоморфных
координатах (z\,..., zn) на X сечение / пучка С<х'1'' может быть
однозначно представлено в виде
|/|«Р.М«1
где dz/ = dzj, Л ■ • ■ Л dz,-y и izj = dz,, Л • ■ ■ Л dz,4. В частности,
^/=EEElfdz,Adz/AdTj-

190 Гл.2. Пучки
Лемма Дольбо утверждает, что комплекс
5
точен. Аналогичный результат справедлив, если Cjj^ ''' заменить я!
C1x'^,'t', Ш^'** или Bjf '* . В частности, 0& квазиизоморфен ком.
плексу вялых пучков (см. [Komatsu 1] или [Schapira 1])
B.9.9) 0^В^,о)^ ► в£,я)-»0.
а
Как показал Головин, B.9.9) есть комплекс инъективных Ох-
модулей (см. [Головин 1]).
2.9.10. Операции на Ох- Пусть f:Y—*X — морфизм
комплексных многообразий. Будучи морфизмом окольцованных пространств,
/ индуцирует морфизм f~lOx —► Оу. Существует другой морфизм,
который может быть определен в производной категории D+(Cx):
B.9.10) Rf,nY[dimcY] -♦ flx[dimc*].
Этот морфизм может быть описан следующим образом.
Пусть п = dime X, т = dime Y, I = т — п. Морфизм
1СХ ' —► CY определяет по двойственности
морфизм
B.9.11) fivty0 ® огу .-» Шх~',,~') ® огх.
Тогда из B.9.10) и из существования комплексов Дольбо для Пу и
Пх вытекает B.9.10).
2.9.11. Когомологии пучка Ох- Мы отсылаем читателя к книге
Хёрмаидера [Hormander 1] для детального изучения когомологии
пучка Ох- Напомним только, что если множество П открыто в С, то
оно называется псевдовыпуклым, если W (О: Ох) = 0 для всех j > 0.
Например, все выпуклые области псевдовыпуклы, а если п = 1, то
любая открытая область псевдовыпукла. Последний результат
может быть обобщен следующим образом:
Г если Q открыто в С", то
^2" ' 2) 1 1Р{П; Ос-) = 0 для всех j>n

2.9. Примеры пучков на многообразиях 191
(см. [Malgrange 1], где доказано B.9.12) с помощью комплекса Дольбо
и того факта, что уравнение (Х^Ж1 SFj^SF") f = * всегд* разрешимо в
Пусть X — комплексное многообразие размерности n, Z локально
лмкнуто в X и * € Z\latZ. Тогда
B.9.13) H>z{Ox)* =0 для всех j £ [1, п].
Для j = 0 это следует из «принципа аналитического продолжения»,
а для j > п это следует из B.9.12) или B.9.9) (т. е. Ох имеет вялую
размерность п, см. упр. 2.9).
Полезный критерий обращения в нуль H3z(Ox) принадлежит Мар-
гино [Martineau 2] и Касиваре (см. [Sato-Kawai-Kashiwara 1]). Пусть
X = С, Z замкнуто и выпукло в X и * € Z.
B.9.14)
Если не существует аффинного комплексного
пространства L размерности d, содержащего
х, такого, что Lf\Z есть окрестность
, тонки х в L, то H3z{Ox)x = 0 при j ^n — d.
2.9.12. Граничные значения голоморфных функций. Пусть
Q — строго псевдовыпуклое открытое множество в С" с
С2-гладкой границей. Напомним, что на дП существует голоморфная замена
координат, которая переводит П в строго выпуклое открытое
множество.
Пусть j — вложение А<-»Й. Существует выделенный
треугольник на ~П
B.9.15) Ох\а -+ Rj.On -^ RTaa{Ox\n) —> •
Так как Н$п(Ох\п) = 0, то предпучок U ~ H\,nBn{U Л И\Ох\^
равен пучку Н^п(Ох[ц) (см. упр. 2.13). Имеем Н%п(Ох\ц) = 0 при
к > 1, так как Rkj,On = 0 при к > 0. Кроме того,
B.9.16) пучок #an@x|fl) является вялым.
Будем считать область Q строго выпуклой (см. предложение 2.4.10).
Пусть U выпукло и открыто в С. Применяя функтор Rr(U;) к
треугольнику B.9.15), получаем
ЦипЪнЬпФхЬг)) * Ох(ОГ\и)/Ох(Пг\и).

192
Гл.2. Пучки
На самом деле Hb(U П П\Ох) = 0 при it > 0, так как U С\И имя
фундаментальную систему выпуклых открытых окрестностей в U.
Пусть и — открытое подмножество в 8Q. Тогда существует ■
пуклое открытое множество [/вС, такое, что U C\Q = и и U U
выпукло. Тогда последовательность Майера-Вьеториса
О -» Ox(U U Q) -» Ox(U) ф Ох(П) -» Сх({/ П Я) -» О
точна и отображение Ох(П)/Ох@) -* Ох(ПП U)/Ox(Uc\ U) сюр*
ективно, что и доказывает B.9.16).
2.9.13. Гиперфункции Сато. Пусть М — вещественно-аналитш
ческое многообразие размерности п, а X — его комплексификацЮ)
(напомним, что X однозначно определено в окрестности многообразя|
М). Пучок Вм гиперфункций Сато определяется так:
B.9.17) Вм = Нм(Ох) ® огм/х,
где огм/х = огм®огх (см. гл. 3).
Из B.9.14) следует, что комплекс 11Гм(Ох)[п] сконцентрирован
степени 0. Поэтому
Вм a RrM(Ox)[n] ® огм/х-
Так как пучки Нм@)х равны нулю при j < п, то (см. упр. 2.13*
предпучок U *-* HfjnM(U',Ox) является пучком и равен Вм- (Мь
будем отождествлять пучок Вм на X и его ограничение на М.)
Кроме того, из B.9.12) следует, что этот пучок вялый. Он совпадает <4
пучком, описанным в разд. 2.9.6 (более подробное рассмотрение дана|
в гл. 11).
2.9.14. Пример локально постоянного пучка. Пусть X = С и
z — голоморфная координата на X. Пусть а — комплексное число и
Р — голоморфный дифференциальный оператор г^ —а. Рассмотри!*
комплекс пучков на X
B.9.18) F: = 0-^Ox—+Ох-^0.
Пучок H°(F)\x\{o] — Кег(Р)|лД{о} является локально постоянным,
так как на каждом открытом связном и односвязном множестве .
U С Х\{0} пучок H°(F)\u изоморфен постоянному пучку Су,
порожденному ветвью функции га. Если а $ Z, то Г(Х \ {0}; H°(F)) = 0,

Упражнения к гл. S
193
так как не существует ненулевых голоморфных решений уравнения
Pf = 0 на X \ {0}. Для а $ Z имеем
H°(F)\x\{o)— локально постоянный пучок ранга 1,
. я°(Л|{0} = о,
H1(F) = 0.
Если а = 0,1,2,..., то
H°(F)~CX,
Бели а = —1,-2,..., то
H°(F)~CX\{0} и H1(F) = 0.
Комплекс F — это простой пример того, что называется «превратным
пучком». Такие комплексы будут изучаться в гл. 8 и 10.
Упражнения к гл. 2
Упражнение 2.1. Пусть N — это множество N с топологией, в
которой открытыми множествами являются множества {0,1,...,»} И
само N. Покажите, что предпучок на N можно отождествить с
проективной системой групп на N, и докажите, что предпучок F на N.
является пучком в том и только в том случае, когда T(N; F) = limF.
Докажите, что также
(a) #J(N;F) = 0nPHi#0,l,
(b) Hl(W,F) = {{*„}„6N;*n € Fn}/{{xn}neIi;xn €Fnm
существуют y„eF„, такие, что хп = уп- y„+i}.
Упражнение 2.2. Пусть А л В замкнуты ъ X я AUВ = X.
Докажите, что для F G Ob(D+(,Y)) существует естественный изоморфизм
(RrB(F))A ^ RrB(FA).
Упражнение 2.3. (i) Пусть U открыто ъ X ях €U\U. H& примере
пучка F = Zu покажите, что формула (?iom(F,G))r ~ Hom(F*,Gr)
в общем случае неверна.
(ii) Приведите пример пучка F на X, замкнутого подмножества
Z С X и открытого подмножества U С X, таких, что ZC\U = 0, но
RFz(Fv) Ф 0. Так как Tz(Fy) = 0, то в данном случае производный
функтор композиции не равен композиции производных функторов.
7 М.Касивара, П. Шапира

194
Гл.и. Пучки
Упражнение 2.4. Докажите, что локально постоянный пучок на
стягиваемом пространстве X является постоянным.
Упражнение 2.5. Пусть X — паракомпактное пространство. Пучок
F на X называется мягким, если для всех замкнутых Z С X
естественное отображение r(X;F) —*■ r(Z;F) сюръективно. Докажите,
что если F является мягким, то Н*(Х; F) = 0 для всех i > 0.
Упражнение 2.6. Пусть X — локально компактное пространство и
F — пучок на X.
(a) Докажите, что F является с-мягким в том и только в том
случае, когда Нге(и-, F) = 0 для всех t > 0 и всех множеств U,
открытых в X (мы пишем H\.(U;F) вместо H*C(U; F|у)).
(b) Пусть, кроме того, X счетно на бесконечности. Докажите, что
если F является с-мягким, то F — мягкий пучок.
(c) Докажите, что свойство быть с-мягким локально на X.
Упражнение 2.7. Пусть И, есть с-мягкий пучок колец. Докажите,
что любой пучок 7£-модулей является с-мягким.
Упражнение 2.8. Пусть X — локально компактное пространство,
счетное на бесконечности. Пучок F на X называется гибким, если
для любой пары множеств Z\ и Zi, замкнутых в открытом множестве
U С X, отображение rZl(U;F)& rZ2(U;F) -* rZluz2{U;F)
сюръективно (см. [Bengel-Shapira 1]).
(a) Докажите, что вялые пучки являются гибкими.
(b) Докажите, что если пучок F гибкий, то rz(F) является
с-мягким для любого замкнутого Z С X.
(c) Докажите, что свойство быть гибким локально на X.
(Замечание. На вещественно-аналитическом многообразии М пучок
Vb\f является с-мягким, но не гибким. С другой стороны, факторпу-
чок Т>Ьм/Ам гибкий, но не вялый. Пучки Т>Ьм и Лм определены в
§9.)
Упражнение 2.9. Пусть X — топологическое пространство.
(а) Докажите эквивалентность следующих условий для пучка F
и неотрицательного целого числа п:
(i) Существует точная последовательность 0 —► F —* F° —*
у Fn —* 0, в которой пучки FJ вялые.
(ii) Бели последовательность 0 —» F —у F° —у • • • —у F1*'
—► 0 точна и F' вялые при 0 ^ j < n, то Fn является
вялым.

Упражнения к гл. S
195
(Hi) Hg(X;F) = 0 при к > п для любого замкнутого
множества 5.
(iv) Н§(Х; F) = 0 при к > п для любого локально замкнутого
5.
(v) Hs(F) = 0 при к> п для любого замкнутого 5.
(vi) Hs(F) = 0 при k> n для любого локально замкнутого
5.
Наименьшее п, удовлетворяющее этим условиям, называется
вялой размерностью пучка F. Максимум вялых размерностей
всех пучков F на X называется вялой размерностью
пространства X.
(b) Для локально компактного пространства X
определите с-мягкую размерность пучка F на X и с-мягкую
размерность пространства X. Сформулируйте эквивалентные
условия, аналогичные условиям (i)—(iv).
(c) Докажите, что для локально компактного пространства X
и пучка F на нем (с-мягкая размерность пучка F)^ (вялая
размерность пучка F)^ l+(c-мягкая размерность пучка F).
Упражнение 2.10. Пусть Л — пучок колец на X, и пусть М €
ОЦШоЦК)).
(a) Докажите, что пучок М инъективен в том и только в том
случае, когда для любого под-ТС-модуля 1 ъИ, (мы назовем I
идеалом в TV) естественный гомоморфизм
Г{Х\ М) ~ Нот*Gг, М) -* Нот*A, М)
сюръективен.
(b) Пусть А — поле. Докажите, что любой идеал пучка Ах
изоморфен пучку Ац, где U открыто в X. Выведите из этого, что
-Ax-модуль М инъективен в том и только в том случае, когда
М — вялый пучок.
Упражнение 2.11. Пусть f:Y-*X — непрерывное отображение
локально компактных пространств. Пусть G — пучок на У.
Докажите эквивалентность следующих двух условий:
(a) Для любого * € X пучок G\j-\^ является с-мягким.
(b) R?f\Gu = 0 для любого открытого U С У и любого j > 0.
Упражнение 2.12. Пусть X — топологическое пространство.
(а) Пусть (F\)x€A — индуктивная система пучков на X,
индексированная направленным упорядоченным множеством Л.
7*

196
Гл.2. Пучки
Пусть X компактно и хаусдорфово. Докажите существование
изоморфизма Km Я*(X; Fa) ~ Hk(X; Urn Fa) при всех ib € N.
"а* "а*
(Ь) Пусть (Fn)„g« — проективная система пучков на X, и пусть
Z локально замкнуто в X. Пусть {H%~l(X;Fn)}n
удовлетворяет условию M-L. Докажите существование изоморфизма
Я| (X;lirnF„) ~ ПтЯ| (X;Fn).
п п
Упражнение 2.13. Пусть F — пучок на X, a Z локально замкнуто
в X. Пусть R^Tz(F) = 0 при j < п. Докажите, что предпучок
U >-* H%(U;F) является пучком и равен пучку RnTz{F) (см. упр.
1.22).
Упражнение 2.14. Пусть X = (Ji€/ ^» — открытое покрытие
пространства X. Для любого i € / пусть F< — пучок на {/,-, и для каждой
пары (i,j) пусть фц — изоморфизм F^UinUi ^ ^ц/<П[/г
Предположим, что фи = id и фц о ф^ = ф{к на Ui Л Uj Л Uk- Докажите
существование пучка F на X и множества изоморфизмов {ф^щ, таких,
что ф{ : F\Vi =* Fi^ij = ф{ о фу1 на Ui Л Uj для всех пар (i, j).
Докажите, что F единствен с точностью до изоморфизма.
Упражнение 2.15. (i) Пусть F' — ограниченный снизу комплекс
пучков на X. Постройте естественный морфизм
Н*(Г(Х;Р-))^Н1A1Г(Х;Р-)).
(и) Пусть U = {Ui)i — открытое покрытие пространства X и F —
пучок на X. Постройте канонический морфизм
ff'(C(W;F))-ff'(;*;F).
Упражнение 2.16. Пусть А — коммутативное кольцо, а А* —
группа обратимых элементов в А. Пусть X — топологическое
пространство, U = {Ui}iti — его открытое покрытие, с € C2(U;A^) и 6с = О
(см. § 1.8). Пусть с' — класс элемента с в H2(C'(U; A%)) и с" — образ
с' в Н2(Х;Ах) (см. упр. 2.15). Определим категорию &1)(Х;с),
объектами которой являются семейства {Fi, pij }, где F, есть Л|у4-модуль
и р^: Fj\uinUi - Filt/.nt/, — изоморфизм, такой, что
PijPjkPhi = Cjjt • 1<1^.|[/;п[/,п[/* для всех i,j, к.
Морфизмы этой категории определены очевидным образом,
(i) Докажите, что 6f)(X;c) — абелева категория.
(И) Пусть с € C2(U;A%), и пусть с" = с". Докажите, что
категории &Ь(Х;с) и 6f)(X;c) эквивалентны.

Упражнения к гл. S 197
Упранснение 2.17. Пусть X — локально компактное пространство,
1Z — пучок коммутативных колец на X и wgld(ft) < оо. Пусть Z\ и
Z-i локально замкнуты в X.
(i) Постройте естественный морфизм
RrZl(F,) | RrZ2(F2) - RrZinZ2 f fi ® F2J ,
где F\ и F2 принадлежат D+(#).
(ii) Пусть H, = Ax, где А— коммутативное кольцо. Постройте
морфизм
RrZl(X; F,) ® RrZ2(X; F2) -» ДГг1Пг3 f X; F, ® F2)
и морфизмы (p, a € Z)
Этот последний морфизм называется кап-произведением (или
^-г»роизве<?ениел«). (Указание. Используйте упр. 1.24.)
Упражнение 2.18. Пусть /<: У, —+ Л',-, i = 1,2, — непрерывное
отображение локально компактных пространств над 5 (см. B.7.3)).
Пусть ру. — отображение пространства У,- в 5. Положим f = fiXsh-
У\ *s Уг —► A'i х$ AV Пусть "Я — пучок коммутативных колец на 5
и wgld(ft) < оо. Пусть G, € ОЪ@+(ру*К)).
(i) Докажите существование изоморфизма
Д/i-Gi Н>г fi/2<G2 —• Л/. ( Gi В* G2
fa J3*g2J
Формула, описывающая этот изоморфизм, называется
формулой Кюннета. (Указание. Сведите задачу к случаю, когда
S = Х\ = Х2 = {pt}. Затем используйте изоморфизм B.6.19)
аналогично тому, как это делается в доказательстве
предложения 3.1.15.)
(ii) Пусть S = Xi = Х2 = {pt}, a H — поле. Докажите, что
Ясп(У1хУ2;0,Б102)~ 0 (Яг(У1;С,)®Я1(Уа;Са)).
P+q=n
(Указание. Используйте упр. 1.24.)

198
Гл.2. Пучки
Упражнение 2.19. Пусть X локально компактно, а Л —
коммутативное кольцо и wgld(.A) < оо. Пусть F € ОЬ@+(Ах)) и Q
(соответственно Z) открыто (соответственно замкнуто) в X. Обозначим через
&х отображение X —* {pt}. Докажите существование изоморфизмов
Rr(i2;F) ~ R&x* RKom(An,F),
Rrc({2;F)~R&x<(An®FY
Rrz(X;F)~R&x.Rnom(Az,F),
Rrc(Z;F) ~ R&x< [Az ® F) .
Упражнение 2.20 (см. упр. 9.10). Пусть А — коммутативное
кольцо, wgld(v4) < оо, а Е — вещественное конечномерное векторное
пространство. Определим на Ob(D+(Ae)) операцию свертки, положив
F *G = Rs\(F №L G), где s — это отображение Е х Е —► Е, (х, у) *-*
х + У-
(a) Докажите, что если F,G,H принадлежат D+(Ae), to
F*G~G*F,F*(G*H)~(F*G)*H, A{0] *F~F.
(b) Пусть Z\ и #2 компактны и выпуклы в Е. Докажите, что
AZl *AZl ~Azl+z2-
(c) Докажите, что Ау * .Aint-r = 0, где у — выпуклый замкнутый
собственный конус.
(d) Пусть Е = Rn,Zi = [-1,1]", Zn =]- 1,1[п. Докажите, что
Azt *Az, ~A{o}[-n].
Упражнение 2.21. Пусть X — топологическое пространство,
{•^п }ngz — убывающая последовательность замкнутых подмножеств,
[}„Хп = 0 и Хп = X для г» < 0. Пусть F € Ob(D+(X)) и
Я£ ,х (F) = 0 при k ф п. Используя выделенный
треугольник" ЯГх.+,\х^,(^) - ЯГхлх^ЛП - ЯГХЛХж„р) -,
определим отображение dn : Нх iX (F) —* Нх+1 ,х и положим
Kn = HXnKXnJF).
(i) Докажите, что (K',d) является комплексом пучков на А'.
(ii) Докажите, что Нх (F) = 0 при ib < г», и установите
изоморфизм HXni (F) =► H"(F).
(in) Пусть Gn"= rXn(fn)n(d?.)-1(rXn+1(Fn+1)), где F - комплекс
пучков {Fn,d?.}„€z. Постройте морфизмы d£: G" -* Gn+1,

Упражнения к гл. 2
199
докажите, что G = (G',d'G) — комплекс, постройте морфиз-
мы G—*KhG—*Fh докажите, что если все F" вялые,
то эти морфизмы являются квазиизоморфизмами. Покажите,
что F~Kb 0+(X) (см. [Hartshorn 1]).
Упражнение 2.22. Пусть X — топологическое пространство и А' =
Ux и^г — покрытие пространства X открытыми или замкнутыми
множествами. Пусть Fi £ Ob(D+(t/,)),i = 1,2, а ф — изоморфизм
Fi\uxnua =► F2\Vlnv, в D+(Ui C\U2). Постройте объект F € Ob(D+(JQ)
и изоморфизмы V>i: F\ui к Fi, такие, что У>2|[/,пе/2 - Ф ° Ф^и^и,-
Упражнение 2.23. Пусть X = М", г» ^ 1 и ib — поле. Докажите,
что если объект Р £ ОЬ(ШоЬ(кх)) проективен, то Р = 0. (Указание.
Предположив, что Р ф 0, покажите, что существует непустое
открытое множество U С X, такое, что кц является прямым слагаемым в
/', и выведите противоречие.)
Упражнение 2.24. Пусть к — коммутативное кольцо. В этом
упражнении под термином «кольцо» понимается кольцо А и морфизм
К —► А, такой, что образ кольца ib принадлежит центру кольца А.
Пусть X — топологическое пространство и А, В, C,V — пучки колец
на X. Предположим, что A,B,CviV являются плоскими над ib.
(i) Докажите, что плоский (соответственно инъективный)
(А ®к 5)-модуль является плоским (соответственно инъ-
ективным) над А.
(п) Докажите, что функтор ■ ®в ■:
ШоЪ (а®В°р J х ШоЪ (в® СП -♦ ШоЬ (а®С°Л
имеет левый производный функтор ■ ®g ■ :
D" (а®В°А х D" (в®С" J -♦ D" (а®С"Л ,
и докажите существование изоморфизма
(к®М) ®N ~ К® (м® JVJ
в 0~(А ®к V"), где Л' € Ob(D-(.4 ®k B°r)),M e 0b(D"E ®t
С0?)), N € Ob(D~ (С ®t V°f)).
(hi) Докажите, что функтор 7{отд(-,) :

200
Гл.2. Пучки
Mob (л ® В°Л х ЖоЪ (л ® С" J -► ЗЯоЭ (в ® СУ )
имеет правый производный функтор ft7fom^(-, •):
D" (л®В°Л х D+ (a®C°A — D+ ^5®С°Л ,
и докажите существование изоморфизма
КНотА (м® N, К\ ~ RHomB(N,RHomA(M,K))
в D+(C ®t Z)°p), где М € 0b(D"(.4 ®t 5°")), JV е 0b(D"E ®t
С")) и К € 0b(D+(.4®t Г"*)),
(iv) Пусть /:У —► J¥ — непрерывное отображение, а В и .4 —
пучки колец на У и X соответственно, причем оба
являются плоскими над ib. Пусть существует г» £ N, такое, что
wgld(A) ^ г» для всех х€ X. Для К € 0b(D»E®* f^A0?))
постройте морфизм в D+(iby), функториальный по отношению
к М € Ob(D"(>l)) и N € Ob(D+(>l)),
Г1ЕНотАЩ,т^ЕНотв(к ® ГгМ,К ® /_1ЛП .
Упражнение 2.25. Пусть .X — топологическое пространство и 5
замкнуто в X. Пусть {St}tgz — убывающая последовательность
замкнутых подмножеств в S, таких, что Sk = S при ib <C 0 и S* = 0
при ib ;» 0. Пусть F £ Ob(D+(.X)) иг f Z. Предположим, что
^5*(^)Uk\s*+i = О ПРИ У < г Для в06* *• Докажите, что H*S(F) = О
при j < г. (Указание. Проводя индукцию по ib, предположите, что
Hs(F)\x\sk.i = 0 при j < г, и рассмотрите выделенный треугольник
RriSk_ASk)(F)\X\Sk — RTs(F)\x\sk — m^RTsiF) -j,
где » — открытое вложение JV \ 5* _ i —► X \ 5t.)
Упражнение 2.26. Пусть F е Ob(D4(Zx)), a W = {i/j}j=i,...,r —
открытое покрытие пространства X. Постройте естественный морфизм
Я°(П Ur,F\^Hr-l(X;F).
(Указание. Используйте упр. 2.15.)

Замечания
201
Замечания
Мы отсылаем читателя к «Краткому историческому очерку»
К. Узеля в начале книги для подробного ознакомления с историей
теории пучков.
Напомним только, что пучки были введены Лере [1,2] около 1945 г.
имеете со спектральными последовательностями — основным в то
премя инструментом изучения когомологий пучков. Теория
прибрела свое настоящее значение под влиянием работы Картана [Cartan 1].
Иероятно, возникновение современного формализма пучковых
когомологий можно отнести к работе Гротендика [Grothendieck 1].
Книга Годемана [Godement l] много способствовала популяризации
теории. Функториальные операции на пучках в рамках теории
производных категорий были определены Гротендиком сначала в когерентном
< лучае [Grothendick 4], а потом в случае дискретных коэффициентов
([SGA4], [SGA5]).
Во второй главе читатель встречал и другие имена в названиях
терминов и теорем: «когомологий Чеха», «формула Кюннета»,
«последовательность Майера-Вьеториса», «лемма Пуанкаре», «теорема
Кьеториса-Бигла», «комплекс де Рама» и др. Среди других важных
пкладов в теорию пучков надо отметить введение вялых и мягких
пучков Годеманом и введение локальных когомологий (функтор Гх(-)
и его производный) Гротендиком [Grothendieck 1]. Также
необходимо упомянуть лемму о нехарактеристических деформациях
(предложение 2.7.2), которая будет играть решающую роль в гл. 5. Она
принадлежит Касиваре [Kashivara 3,5]. Эта лемма является
«вариацией на тему» теории Морса и основана на так называемой теореме
Миттаг-Лефлера из работы Гротендика [Grothendieck 3].

Глава 3
Двойственность Пуанкаре—Вердье
и преобразование Фурье—Сато
В этой главе мы ознакомим читателя с двумя основными методами
изучения пучков на многообразиях. Сначала, следуя Вердье [Verdier
1], мы построим функтор /! — правый сопряженный к функтору Rf\.
Если f:Y —* X — непрерывное отображение локально компактных
пространств, удовлетворяющих некоторым условиям, и если F
(соответственно G) принадлежит 0+(Ах) (соответственно 0+(Ау)), то
имеет место соотношение
C.0.1) Hom(Rf,G,F) = Hom(G, /!F).
Этот результат обобщает классическую двойственность Пуанкаре.
Действительно, если X состоит из одной точки, F = А и У —
топологическое многообразие, то комплекс f'A (называемый
дуализирующим комплексом на У) изоморфен ориентирующему пучку на У,
сдвинутому на размерность. Имея функтор /!, можно построить ряд
интересных формул теории пучков.
Далее мы подробно изучим преобразование Фурье-Сато —
операцию, которая позволяет переходить от конических пучков (в
производной категории) на векторном расслоении к коническим пучкам на
двойственном векторном расслоении (и обратно).
В этой главе мы будем подробно изучать пучки на
топологических многообразиях: ориентирующие пучки, вялую размерность,
когомологически конструктивные пучки, а также рассмотрим понятие
7-топологии, которая будет предметом подробного изучения в гл. 5.
Другой подход к рассмотрению понятий, изучаемых в § 1^4, см. в
книгах porel et al. 1], [Gelfand-Manin 1], [Iversen 1] и [SHS].
Материал, изложенный в данной главе, большей частью
является классическим, но до появления этой книги не существовало его
систематического изложения.
Соглашение 3.0. В этих и последующих главах, за исключением
гл. 11, чтобы не затруднять изложение, мы будем работать с
пучками .Ах-ДОДУлей на топологическом пространстве X. Будет
предполагаться, что кольцо А коммутативно и имеет конечную глобальнук
размерность. (Напомним, см. упр. 1.29, что wgld(A) < gld(A).)

3.1. Двойственность Пуанкаре-Вердье
203
Если нет опасности ошибки, то мы будем писать D+(JV) или 0Ь(Х)
вместо D+(Ax) или Оь(Ах) соответственно. Мы также будем
писать F ®L G и RHom(F, G) вместо F ®%х G и RHomAx (F, G). Все
многообразия считаются конечными и счетными на бесконечности.
Подмногообразия всегда локально замкнуты.
В этой главе все топологические пространства предполагаются
локально компактными, за исключением пространств с ^-топологией.
Когда идет речь о композиции двух функторов, например /• о Rfi,
мы иногда будем опускать символ о.
3.1. Двойственность Пуанкаре—Вердье
Пусть /: У —► X — непрерывное отображение локально компактных
пространств. Цель данного раздела — построить правый
сопряженный функтор /•' к функтору Rf<: D+(Ay) —► 0+(Ах)- Функтор /•'
должен удовлетворять соотношению
C.1.1) Нот0+(Ах)(Д/-С, F) = HomD+(Ay)(G, /!F),
если Fe 0Ъ@+(Ах)), Ge 0Ъ@+(Ay)).
В частности, если У есть n-мерное ориентируемое многообразие,
X = {pt}, А = Q, G = Qy, F = Q{pt}> то, как мы увидим, /!Q{pt} а
Qy[n]; следовательно,
Hom(i2A(y;Qy)[n],Q) ~ ЯГ(У;<0>у).
Рассматривая j-ю группу когомологий, получаем
C.1.2) (Hr3'(Y;QY))* = Hi(Y;Qr),
где * означает переход к сопряженному векторному пространству над
Q. Это классическая двойственность Пуанкаре.
Сначала объясним процесс построения функтора /! эвристически.
Пусть F e Ob 0+(Ax) и V открыто в У; тогда
ДГ(К; f'F) = REom(Av, f'F)
= REom(Rf,Av,F).
Последний комплекс может быть описан с помощью с-мягкой
резольвенты К пучка Ах- Тогда Rf\Av = f.Ky- Если F — комплекс инъ-
ективных пучков, то
Rr(V\f,F) = Eom(f,Kv,F).
Эта конструкция требует дополнительных предположений об
отображении /.

204
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Определение 3.1.1. Пучок G на Y называется f-мягким, если дл-d
любого х£ X пучок Gly-i^) является с-мягким.
Из упр. 2.6 вытекает, что G является /-мягким в том и только щ
том случае, когда В? f\Gy = 0 для любого открытого подмножества]
К С У и любого j ф 0.
Предположим теперь, что
. . Г функтор f, : S5tofl(Zy) -► WIoqA.x) имеет
C.1.о) <
I. конечную когомологическую размерность.
Это означает, что существует целое г ^ 0, такое, что $ f\ = 0 при
j > г. Это условие эквивалентно одному из следующих двух условий
(см. упр. 1.19):
{для любого Gg ОЬ(©()(У)) существует тонная
последовательность 0 —► G —► G0 —► ► Gr —► О,
г<3е всеСР являются f-мягкими;
C.1.5)
для любой тонной последовательности
G°_> ► Gr-► 0 в б()(У),
где все G1 являются f-мягкими при
j < г, пунок С также f-мягок.
Отметим, что функтор /; имеет когомологическую размерность ^ г
в том и только в том случае, когда для любых х £ X функтор
Гс (/'(*); ) имеет когомологическую размерность < г.
Пусть К — некоторый Zy-модуль, a F есть Ax-модуль. Определим
предпучок fKF Л-модулей формулой
(АП(У) = HomAx (/. (ay g tfv), f) .
(Напомним, что для двух Лх-модулей F и G мы пишем
Нот ах (G, F) вместо EommoHAx)(G, F).)
Для V С V отображение f\(AY ®zY Ky) —► f\(Ay ®ZY Kv)
определяет отображение ограничений (f'K F)(V) —*■ (fKF)(V').
Лемма 3.1.2 Пусть К — плоский и /-мягкий TLy-модуль.
(i) Для любого пунка G на У пунок G®zY К является f-мягким,
(ii) G I-* fi(G ®ъу К) — точный функтор из ШоЬB.у)
Mob(Zx).

3.1. Двойственность Пуанкаре-Вердье 205
Доказательство, (i) Любой пучок С на У имеет резольвенту
^G-r^ >Go^G^Q
где каждый G3 является прямым произведением пучков Zv> V
открыто в У (см. конструкцию в доказательстве предложения 2.4.12).
Следовательно, G3 ®%Y К есть /-мягкий пучок. Так как
последовательность
-♦ G~r ® К — ► G° ® К -* G ® К — О
%у %у %у
точна, то C.1.5) завершает доказательство, если взять г достаточно
большим.
(ii) следует из (i). □
Лемма 3.1.3 Пусть К — плоский и f-мягкий Жу-модуль, a F —
инъективный А^-модулъ.
(i) Предпучок fKF является пучком и инъективным
Ау-модулем.
(ii) Существует канонический изоморфизм, функториальный по
отношению к G £ ОЪ(ШоЬ(Ау)),
HomAx U (g^K^FJ =; НотАу(С,/^^).
Доказательство. В ходе доказательства мы будем писать • ® К ыле-
сто-®zYK. Покажем сначала, что fKF является пучком. Пусть V =
U Vj —открытое покрытие открытого множества К С У. Существует
точная последовательность
0 AVjnVk -» 0 AVj -» Av -» 0.
Применяя лемму 3.1.2(ii), получаем точную последовательность
/ f 0 AVjnVk ® /С ) - / ( 0 Av. ® /С ) -+ /(Av ® /С) - 0.
Так как F инъективен, то последовательность
0^EomAx(f!(Av®K)>F)^EomAx If, I®AVj ®K),F
Нот Лх ( /i ( 0 A-nv* ® К , F
ki.fc /

206 Гл.5. Двойственность Пуанкаре-Вердье
точна и изоморфна последовательности
О - (ficFKV) -> Y[(fKF){Vj) -> liifKF){Vi П Vk).
3 j,k
Это означает, что fK (F) — пучок.
Определим гомоморфизм
a(G): EomAx(MG®К),F)^EomAy(G,f,KF).
Пусть ф £ Нот ах (fi(G ® К), F); тогда для любого открытого К С У
существует цепочка морфизмов Ах -модулей
G(V)®MAY ® Kv) —•■ fi(G®Kv)
А
—*f,(G®K)
±Ft
что задает морфизм из G(K) в (/^ F)(К) = Нот(/.(Лу ® Kv), F). Так
как этот морфизм функториален по отношению к открытому
множеству К С У, то мы получаем элемент a(G)(^) € Нотл*^,/]^).
Доказательство того, что «(G) — изоморфизм, мы проведем в три
шага.
(a) Если G = Ау, V открыто в У, то «(G) — изоморфизм. В
самом деле,
EomAx(MG®K),F) = EomAx(f,(Av®K),F)
* (fkF)(V)
~ Нот AY (GJ-kF).
(b) Если G = фу Avj для семейства открытых множеств Vjf С
У, то a(G) — изоморфзм; это следует из (а), так как
а(С)=П,«ОЧ.).
(c) Пусть теперь G — произвольный Ау -модуль. Из
предложения 2.4.12 вытекает существование точной
последовательности 0 —► G" —► G' —► G —► 0, где G' ^ ф^ Ауг Следовательно,
a(G') — изоморфизм. Рассмотрим коммутативную диаграмму
О —+ Hom(f,(G®K),F) —> Hom(f,(G'®K),F) —> Hom(f,(G" ® K),F)
|a(G) ja(G') |a(G")
0 ► Hom(G,ftF) > Hom( G'./^F) ► Hom(G",f'k F)

S.l. Двойственность Пуанкаре-Вердье 207
Из леммы 3.1.2 следует, что обе строчки в диаграмме точные.
Так как a(G') биективен, то a(G) инъективен. Проводя те же
рассуждения для пучка G", доказываем инъективность a(G").
Следовательно, a(G) биективен.
Как следствие этого мы получаем точность функтора Ношду(-,
fKF) на категории ШоЪ(Ау). Следовательно, fKF инъективен. D
Пусть когомологическая размерность функтора / не
превосходит г.
Лемма 3.1.4 Существует резольвента 0 —► Ъу —► К° —► ■ • ■ —*
Кг —*■ 0, такая, что все Ю — плоские и f-мягкие Ъу-модули.
Доказательство. Мы построим искомую резольвенту методом,
применявшимся в доказательстве предложения 2.4.3. Пусть У — это
множество У с дискретной топологией, а р: У —» У — естественное
отображение. Тогда К0 = p,p~lZy, К1 = р.р-1(К0(Ъу) Ю =
p.p-1(Coker(/fi-2 -♦ К*-1)) при 1 < j < г и КТ = Сокег(Кг~2 -
К'-1).
Последовательность 0 —► Ъу —► К0 —► ■ • • —► Кт —► 0 точна, все Ю
при 0 < j < г вялые и, следовательно, /-мягкие, а из C.1.4)' следует,
что Кг также /-мягкий.
Остается показать, что К1 являются плоскими при 0 < j
< г. Для этого мы покажем, что если пучок G плоский, то пучки
p»p~lG и p»p~lG/G также плоские. Если у € У, то
{p»p~lG)y = Urn Д Gy>
и
(ptp-1G/G)y=ljm П Gy.,
где U пробегает семейство окрестностей точки у. Это Z-модули без
кручения и, следовательно, плоские. D
Пусть Х(Х) обозначает полную подкатегорию в ШоЬ(Ах),
состоящую из инъективных объектов. Тогда К+(Х(Х)) —> 0+(Ах)—
эквивалентность триангулированных категорий. Пусть К —
такой же комплекс, как в лемме 3.1.4. Для F € К+A(А'))
пусть fKF — простой комплекс, ассоциированный с двойным
комплексом (fx-4(Fp)Yi1. Тогда fKF— комплекс инъективных
Л у-модулей. Легко проверить, что f'K переводит морфизм,
гомотопный нулю, в морфизм, гомотопный нулю. Факторизуя,
получаем функтор триангулированных категорий
/},:K+(Z(X))^K+(Z(y)).

208
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Теорема 3.1.5 Пусть /; У —> X — непрерывное отображение
локально компактных пространств, такое, что /> имеет конечную
когомологическую размерность. Тогда существует функтор
триангулированных категорий /! : 0+(Ах) —* 0+(Ау) и изоморфизм
бифункторов на 0+(Ау)° х 0+(Ах)
Нот0+(А*)(Д/'()>) ~HomD+(Ay)(-> /(О)-
Другими словами, f — правый сопряженный к Rf\.
(Отметим, что /! единствен с точностью до изоморфизма, см.
упр. 1.2.)
Доказательство. Покажем, что fK обладает требуемыми
свойствами. Для F € Ob(K+(Z(X))), G € Ob(K+(Z(Y))) из леммы 3.1.3
следует, что
Так как G ~ G ®zY ^у —► G ®zY К есть квазиизоморфизм, а
G хау К — комплекс /-мягких пучков (по лемме 3.1.2), то Rf\G ~
/!(G®Zy А') в 0+(Ах). Значит, Нотк+{moHAx))(MG ®Zy K),F) ~
Нот0+/Д JRf<G,F). С другой стороны, так как fKF — комплекс
инъективных Лу-модулей, то
НотК+(»ы>(Ау))(С'/*^) ^ Нот
D+(Ay
что и завершает доказательство. D
Замечание 3.1.6. (i) Теорема 3.1.5 допускает обобщение. А
именно, пусть f:Y—*X такое же, как выше, И, (соответственно
S) — пучок колец на X (соответственно на У), и пусть задан
морфизм пучков колец f~lH —► S. Тогда существует функтор
триангулированных категорий /■ : 0+(Л) —* D+E),
являющийся правым сопряженным к Rf\ : D+E) —» 0+(Л).
Доказательство аналогично приведенному выше; (//fiJ,)(K) определяется как
Нотяя09(Я)(/!(<5 ®Zy Kv), F).
(ii) Изоморфизм в теореме 3.1.5 совместим со сдвигами. А именно,
если F € Ob(D+(Ax)) и G € 0Ъ@+(Ау)), то следующая диаграмма

S.l. Двойственность Пуанкаре-Вердье
209
коммутативна:
HomD+(Ax)(R/.G,F) ► HomD+(Ay)(G,/!F)
l- I'
HomD+(Ax)((*/iG)[l], F[l]) HomD+(Ay)(G[l],(/!F)[l])
I' I'
HomD+(Ax)(iJ/.(G[l])(F[l]) > HomD+(Ay)(G[l],/!(F[l])).
Чтобы подчеркнуть зависимость от основного кольца А, мы будем
пока писать /А вместо /!. Следовательно, /А — это функтор из 0+(Ах)
в D+(Ay). Пусть фх: 0+(Ах) -» D+(ZA) и ^к: D+(Ay) -» D+(Zy) —
забывающие функторы.
Предложение 3.1.7. Имеет место изоморфизм
фуо/!А~&офх.
Доказательство. Пусть G £ Ob(D+(Zy)), F £ Ob(D+(AA-)). Тогда
HomD+(Zy)(G,/io^xF) ~ HomD+(Zx)(i?/,G^xF)
~ Нот D+ (Ax )(Ax®x Rf\ G, FJ
~ НотD+ (Axj (я/. (ay ®,GJ,FJ
- HomD+(Ax) (Лу fY G> &F)
~ HomD+(Zyj
Поэтому /х<>ФхР — Фу 0/аР- П
Пусть теперь j: 2-> У — непрерывное отображение локально
компактных пространств.
Предложение 3.1.8. Пусть f\ и д\ имеют конечную
когомологическую размерность. Тогда (/ о д)< тоже имеет конечную
когомологическую размерность и
(f09)' ^9 of'
как функторы из D+(Ay) e 0+(Az).
Доказательство следует из формулы (/ о д), ~ f\ о д,. Q

210
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Предложение 3.1.9. Рассмотрим декартов квадрат непрерывных
отображений и локально компактных пространств
У —£-+ X'
Л П [>
У —£—» X.
Пусть /' имеет конечную когомологическую размерность; тогда
(i) /' имеет конечную когомологическую размерность;
(ii) существует канонический изоморфизм функторов из
0+(Ах>) в 0+(AY)
foRg.-Rg'.of;
(iii) существует морфизм функторов из 0+(Ах) в 0+(AY')
g'-'/^fg-1.
Доказательство, (i) Пусть х' £ X'. Тогда //_1(*') гомеоморфно
f~1(g(x')). Следовательно, когомологическая размерность функтора
/' не больше когомологической размерности /1.
(ii) Требуемый результат получается из рассмотрения цепочки
изоморфизмов, функториальных по отношению к F € 0Ь@+(Лд-<))
и GeOb(D+(A/)):
HomD+(Ay)(G,/!^.F) ~ Eom0+{Ax)(RfiG, Rg.F)
"Eomo+^fa-1 Rf>G,F)
~Eom0+{Axi)(Rf:og'-iG,F)
= HomD+(Ayf)(,'-1G,/'!F)
~HomD+(Ay)(G,^:o/"F).
(iii) Бели F € ОЬ@+(Лх)), то из предложения 2.5.11 следует
существование морфизма Rf[g'~lf-F ~ g~lRf\fF —► g~lF. Это дает
требуемый гомоморфизм g'~lf'F —> f'ig~1F. О

S.l. Двойственность Пуанкаре-Вердье 211
Предложение 3.1.10. Пусть f< имеет конечную когомологическую
размерность. Тогда если F G ОЪ@+(АХ)), G G ОЬ@*(Лу)), то
RRom(RfiGtF)~RHom(GJ-F),
RHom(Rf,GyF)~Rf.RHom{Gy?F).
Доказательство. Существование первого изоморфизма следует из
существования второго— достаточно применить функтор Rr(X; •).
Существует канонический морфизм
Rf.RHom(G, fF) -» RHom{Rf\Gy Rfj'F).
Образуя композицию этого морфизма с морфизмом Rf\ о f F —> F,
получаем
Rf.RHom(G, fF) -► RHom(Rf,G, F).
Пусть V открыто в X; тогда
Я'(ДГ(К; Rf.RHom(G, /F)))
~KomDUAf_im)(G\,-liv),f-F[j]\f-4v))
~KomD4Av)({RfiG)\v,F\j]\v)
~ H}'(Rr(V; RHom(RfiG, F))).
Это завершает доказательство. D
Предложение 3.1.11. Пусть f> имеет конечную когомологическую
размерность; тогда существует естественный морфизм функторов
из 0+(Ах) х 0+(Ах) в 0+(Ау)
л->£гч->-л->(-£-).
Доказательство. Пусть F, Fi и Fj принадлежит 0+(Ах). Тогда
HomD+(Ay)(/!F,j!/-1F2)/!F)
~ HomD+(Ax) Uf, (М £Г^а) ,f\
~ Нот0+(Дх)

212 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Пусть F = F\ ®^ F2. Тогда требуемый морфизм есть образ морфизма
Я/'/ ft ®LAx F2 Д Fi ®LAx F2. П
Мы увидим в § 3.3, что если / является топологической субмерсией,
то морфизм предложения 3.1.11 является изоморфизмом.
Рассмотрим случай, когда функтор /' выражается через ранее
введенные функторы.
Предложение 3.1.12. Пусть f : Y —* X — гомеоморфизм
пространства Y на локально замкнутое подмножество в X. Тогда
Доказательство. Положим Z = f{Y). Пусть F £ ОЪ@+(Ах)) и
G € Ob(D+(i4r)). Тогда
HomD+(Ax)(*G'F) - HQmD+(Ax)(/,G,RrZ{F))
~ КотQ+^if-1 о fiGJ'1 Rrz(F))
sHomD+(Ay)(G>r1Ary(F)).
Откуда получаем /F ~ /_1 о Rrz(F). D
Предложение 3.1.13. Пусть /j имеет конечную
когомологическую размерность. В этом случае если F\ £ ОЪ(Оь(Ах)) и
F2£Ob{0+{Ax)), то
f-RHom(FuF2) ~ RHom{f-lFuf-F2).
Доказательство. Пусть G £ ОЬ@+(Ау)); тогда
HomD+(Ay)(G, f'RHotn(Fu F2))
~ HomD+(Ax)(i2/!G, RHom{FuF2))
~HomD+(Ax) (RIG®FUF2)
— H°mD+(Ax)
~Hom0+(Ax)(cSr1fi,/lfj)
~ YLom04AY){G,RHom{f-lFufF2))
Так как эта цепочка изоморфизмов существует при любом G, то
доказательство окончено. П

S.l. Двойственность Пуанкаре-Вердье
213
Предложение 3.1.14. Предположим, что X имеет конечную
с-мягкую размерность (см. упр. 2.9). Пусть F £ Ob(D+(Ax)) и G £
ОЪ(Оь(Ах))- Пусть qi и ?2 обозначают первую и вторую проекции
пространства X х X на сомножители, и пусть Л — диагональ е
X х X. Тогда
KHom(G, F) ~ RquRr&RHomiq^G, q\F).
Доказательство. Обозначим через 8 вложение Л в X х Л'. Тогда
Rqi.RruRHomlq^G, q[F) ~ б-ЯЯот^С q\F)
~ RHom{6-lq2lG>6-q\F)
~RHom(G,F). D
Рассмотрим теперь два локально компактных пространства X и У
и обозначим через gi и qi проекции пространства X х У на X и У
соответственно.
Предложение 3.1.15. Предположим, что Y имеет конечную
с-мягкую размерность. Пусть F £ Ob(D+(Ax)) и G £ ОЬ(Оь(Ау)).
Тогда существует канонический изоморфизм
Rr(XxY;RHom(q-\q[F))~Rnom{Rrc(Y;G),Rr{X;F)).
Доказательство. Обозначим через ах (соответственно &у) проекцию
X —► {pt} (соответственно У —► {pt}). Тогда
RT(X х Y; RHotn(q^lG,q[F)) ~ R&x, RquRHom(q-lG,q\F)
~R&x,RHom{Rqv,q^lG,F)
~ R ax. R4om{&xl R лу\ G, F)
~ R7iom(R ay! G, R a.x, F). D
Определение 3.1.16. (i) Пусть /: У —► X — непрерывное
отображение, и предположим, что /| имеет конечную когомологическую
размерность. Положим
wy/x = f'Ax
и назовем шу/х относительным дуализирующим комплексом. Если
X = {pt}, то положим шу = wy/x и назовем игу дуализирующим
комплексом на У.

214
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
(ii) Предположим, что X имеет конечную с-мягкую размерность.
Пусть F € ОЬ@'(Лх)). Положим
DXF = RHom(F,ux), VXF = RHom{F, Ax).
Назовем комплекс DXF комплексом, двойственным к F.
Если нет опасности путаницы, то мы будем писать DF вместо Dx^.
Из предложения 3.1.11 вытекает существование естественного мор-
физма функторов
C-1.6) ГЧ-)9»г/х-> /'(■)■
Если F £ ОЬ@*(Лх)), то из теоремы 3.1.5 и предложения 3.1.10
следует, что
C.1.7) EomDbiAx){F,ux) ~ Нот0ЧЯЫМ))(ЯГе(Х;/'М) и
C.1.8) REom{F,ux) к ДНот(ДГс(Х; F),A).
В частности, если F = Az, где Z локально замкнуто в X, то
ЯГг(Х;их) ~ REom{Rre{Z;Az), A).
3.2. Теоремы об обращении в нуль
на многообразиях
Пусть V — вещественное векторное пространство размерности п.
Лемма 3.2.1 Для любого пучка F на V
H{{V;F) = 0 для j>n.
Доказательство. Предположим сначала, что п = 1, и положим F =
i\F, где i: V —► [0,1] — гомеоморфизм пространства V на интервал
]0,1[. Имеем
Hl(V,F)^ H*([0,1]; F).
Утверждение леммы в этом случае вытекает из леммы 2.7.3. В
общем случае пусть V есть (п — 1)-мерное векторное пространство и
/ — сюръективное линейное отображение V —► V. Из
предыдущего рассуждения вытекает, что №f\F = 0 при j ф 0,1. Так как
R°fiF ~ T^°RfiF и r>lRf\F ~ [Rlf\F)[-\], то мы получаем
выделенный треугольник
R°f,F —* Rf,F —♦ №№)[-1) -g..
Применим к этому треугольнику функтор ГС(К'; •)• Получаем
длинную точную последовательность
• • • - Hi{V';R°f,F) -> НЦУ; F) -> H{-l{V;Rlf\F) -»•■■•
Требуемый результат получается с помощью индукции по п. □

3.2. Теоремы об обращении а нуль на многообразиях 215
Предложение 3.2.2. Пусть X есть n-мерное С0-многообразие и
F — пучок на X. Тогда
(i) F имеет с-мягкую резольвенту длины не более п;
(ii) F имеет вялую резольвенту длины не более п + 1;
(iii) H{(X;F) = Onpuj>n;
(iv) H}'{X;F) = Onpuj>n;
(v) если Z локально замкнуто в X, то Н%(Х; F) = 0 при j > г»+1.
Напомним, что С°-многообразие счетно на бесконечности по
определению.
Доказательство. Пусть 0 —* F —* Fq —> F\ —* ... — вялая
резольвента пучка F (см. §2.4.) Рассмотрим точную последовательность
O^F^F0^F1^ ► Fn_i -» Gn -» О,
где Gn = Im(Fn_i —► Fn). Докажем, что пучок Gn является с-мяг-
ким. Это свойство локально на X (см. упр. 2.6); следовательно, мы
можем считать X открытым множеством в некотором вещественном
векторном пространстве V размерности г». Пусть U открыто в X;
тогда
Hi(U;F) = Hi(V;Fv).
Группа в правой части равна нулю по лемме 3.2.1. Поэтому
H3e{U;Gn) — 0 при j > 0 и пучок Gn является с-мягким (упр. 2.6).
Теперь (iii) вытекает из (i), как и (iv), поскольку Н*(Х; G) = 0 при
j > 0, если G является с-мягким (предложение 2.5.10).
С помощью длинной точной последовательности,
ассоциированной с вложением Z «-► X, выводим (v) из (iv). Тогда (ii) следует
из (v). □
Предложение 3.2.3. Пусть V — вещественное векторное
пространство размерности п. Пусть М € Ob(D+(S0tcrt>(.A))) u * € V.
(i) Естественный морфизм Rr(V; My) —► {Му)х 2* М является
изоморфизмом.
(ii) Естественный морфизм Rr^{V;My) —► Rre{V\Mv)
является изоморфизмом.
(iii) Существует изоморфизм
RT{Rn; Л/».) ~ М[-п].
(iv) Пусть ф — линейный автоморфизм пространства V, a<f>f —
ассоциированный автоморфизм объекта Rre(V;Mv). Тогда

216 Гл.5. Двойственность Пуанкаре-Вердъе
$f = sgn(<^) • id Rrc(v-,MV), где sgn(^) — знак определителя
автоморфизма ф.
(v) С каждой ориентацией пространства V канонически связан
изоморфизм Rrc(V;My) ~ М[— п], согласованный с
изоморфизмом п. (iii).
Доказательств, (i) Надо применить следствие 2.7.7.
(ii) Пусть х = 0. Положим F = Му. Как и в п. (i), ДГ({у;|у| >
0}; F) —► ЯГ({у; \у\ > a}; F) — изоморфизм при а > 0. Следовательно,
ДГ{0}(К;F) -♦ ЛГ{у;|„|<в}(К; F) — изоморфизм. Так как H{{V\ F) =
НтЯ| . ,-в,(У;F), то утверждение (ii) доказано.
а
(iii),(iv) Предположим сначала, что п = 1. Обозначим через U\ и Ui
связные компоненты в К\{0} и рассмотрим выделенный треугольник
ДГ{0}(К; Mv) -?-*Rr{V\ Mv)-^Rr{Ui;Mv) Ф ЛГ(£/2; Mv) -U .
По (i) /? допускает левый обратный; значит, а — 0, и мы получаем
эпиморфизм
2
C.2.1) 0 - Г(К; Mv)-^®r(Ui;Mv) -^H\0](V, Mv) -+ 0,
где /? = (/?i, 02) и Д- — изоморфизм Г(К; Л/у) — ^(^«S Mv).
Поскольку ^?[1] о у = ±1 в зависимости от того, меняет ^ компоненты U\ и
С/г местами или нет, мы получаем (iii) и (iv) при п = 1. Будем теперь
проводить индукцию по dim V. Разложим V в прямое произведение
V ~ L х V, где dimL = 1. Из формулы Кюннета (упр. 2.18) мы
получаем
C.2.2) Rre{V; Mv) а ЯГе(Ь; ML) ® ЯГе(У; Av>),
что доказывает (iii). Для доказательства (iv) заметим, что $f
локально постоянно по отношению к ф € GL(K) (предложение 2.7.5),
и GL(K) имеет две связные компоненты. Следовательно, достаточно
найти ф, такое, что ф* = —1. Мы возьмем ф равным ip®idv, где ф —
антиподальное преобразование пространства L. Тогда (iv) следует из
C.2.2).
(v) вытекает из (iii) и (iv). П
В § 3.5 нам понадобится следующий результат.

3.3. Ориентация и двойственность
217
Предложение 3.2.4. Пусть V — вещественное конечномерное
векторное пространство, X — его открытое подмножество и F —
пучок на X. Предположим, что для любого выпуклого компактного
подмножества К С X отображение ограничения r(X;F)—*r(K;F)
сюръективно. Тогда H3{U;F) = 0 для любого выпуклого открытого
множества U С X при всех j > 0.
Доказательство. Мы можем считать, что X равно U и выпукло.
Рассмотрим возрастающую последовательность выпуклых компактных
множеств {Кп} в X. Из предложения 2.7.1 следует, что
достаточно доказать равенство Н* (К; F) = 0 для всех j > 0 и для любого
выпуклого компактного К С X.
Применим индукцию по dim К. Если dim К = 1, то искомый
результат есть частный случай леммы 2.7.3. Пусть теперь V = V ф L,
где dimL = 1. Пусть / — проекция V —* V, & /к — ограничение / на
К. Если у € V, то пучок ^|/-i(s)njc удовлетворяет условию данного
предложения. Поэтому &/к*(Р\к) = 0 при j > 0. Пучок /к*(Р\к)
также удовлетворяет условию предложения. Таким образом, по
индукции получаем
Hi(K;F) = Hi(f(K);fK,F) = 0
при У > 0. □
3.3. Ориентация и двойственность
Пусть /: У —► X — непрерывное отображение локально компактных
пространств.
Определение 3.3.1. Отображение / называется топологической суб-
мерсией с размерностью слоя I, если для любой точки у €Y найдется
ее открытая окрестность V, такая, что U = f(V) открыто в X и имеет
место коммутативная диаграмма
V -&- U
h у/р
UxR'
где р — проекция, a h — гомеоморфизм.
Заметим, что если X и У являются С1-многообразиями, а / есть
С'-субмерсия, то / является топологической субмерсией. Если / —

218 Гл.5. Двойственность Пуанкаре-Вердье
топологическая субмерсия, то f\ имеет конечную когомологическую
размерность (см. предложение 3.2.2).
Предложение 3.3.2. Пусть / — топологическая субмерсия с
размерностью слоя I. Тогда
(i) Hk(f'Ax) = 0 при к ф — I и H~\fAx) локально изоморфен
Ау,
(ii) морфизм функторов f'Ax ®ay f 4") ~+ /!(') является
изоморфизмом.
Доказательство. Докажем сначала (i) в случае, когда У = R' и X =
{pt}. Из C.1.8) следует, что если U открыто в У, то Rr(U;f'Ax) ^
RRom(Rre(U;Ay),A). Бели, кроме того, U гомеоморфно Ж1, то
из предложения 3.2.3 следует, что ДГс(£7;Лу) ~ А[—/], и, значит,
Н'(и;/!Ах) = 0 при J ф -I и Г(£7;Я-'(/!Лх)) к Нот(Я^(£/;Лу),Л).
Так как Н[{У;Ау) <— H[(U\Ay) — изоморфизм (по
предложению 3.2.3(H)), то А ~ Г(У;Я"'(/!Лх)) -» r{U;H-\fAx)) —
изоморфизм. Это показывает, что H~l{fAx) — постоянный пучок,
изоморфный Ау- Теперь рассмотрим общий случай. Так как задача
локальна, то можно считать, что У = К1 х ^ и/ — проекция. Пусть
р — проекция У —> R', а ах и aKi — проекции пространства X и
К' на {pt}. Из предложения 3.1.9 следует существование морфизма
р~1ы%\ —> f'Ax- Следовательно, для любого F £ ОЪ@+(Ах)) мы
имеем цепочку морфизмов
C.3.1) р-1^ ® f~lF -+ f'Ax ® Г1Р -» fF.
Достаточно показать, что композиция этих морфизмов является
изоморфизмом. Бели U открыто в К' и гомеоморфно К', а V открыто в
X, то существует цепочка изоморфизмов
ЯГ(и х V;f'F) ~ REom(Auxv,f'F)
~REom(RfAuxv,F)
~REom(Rre{U;Av)®Av,F\
^ R Нот(ЛГс(£7; Av), A)®R Eom(Av, F)
^Rr(U;^)®Rr(V,F). n

3.3. Ориентация и двойственность 219
Определение 3.3.3. Пусть /: У —► X — топологическая субмерсия
<• размерностью слоя /. Положим
огу/х = Н~ (шу/х),
где wy/x — относительный дуализирующий комплекс (определение
3.1.16), и назовем ozY/x относительным ориентирующим пупком.
Если X = {pt} (в этом случае У является топологическим
многообразием), то мы будем писать огу вместо огу/х и назовем огу
ориентирующим пучком на У.
Из предложения 3.3.2 следует, что
C.3.2) wy/x si огу/хЩ.
Предложение 3.3.4. Пусть f:Y—*X — топологическая субмерсия
с размерностью слоя I.
(i) Пусть <*>уух и огу/х — относительный дуализирующий
комплекс и относительный ориентирующий пучок для основного
кольца Ъ. Тогда
wy/x — Ay ® шу/х и °*у/х — Ay ® °ъу1х-
(ii) Существуют канонические изоморфизмы
огу/х® огу/х -Ау,
Нот{ргу/х, Ay) ~ огу/х.
(in) Пусть g: Z —► У — непрерывное отображение, и
предположим, что fog — топологическая субмерсия с размерностью
слоя т. Пусть F € ОЪ@+(Ах)). Тогда
g'of-1F~(fog)-1F®ozZ/x®9~1<Ky/x[m-l\.
Доказательство, (i) следует из предложения 3.3.2.
(ii) следует из упр. 3.3.
(iii) Из предложения 3.3.2 и предыдущего результата вытекает, что
(fog)'F~ {fog)-lF®ozz/x[m],
fFsif-lF®ozy,x[1\.
Так как огу/х локально изоморфен Ау, то результат следует из
соотношения
g'of^F^ozy/xlllsi^of'Fsiifog^F^tKz/xlm]. ' П

220 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Замечание 3.3.5. Пусть
— коммутативная диаграмма непрерывных отображений локально
компактных пространств. Предположим, что рх и ру являются
топологическими субмерсиями с размерностями слоев тип
соответственно. Тогда f'Ax — огу/s ® f~lo^x/s[n — m] и естественно
положить
C.3.3) огу/х = огу/s ® f~lozxis-
Заметим, что если g: Z —*Y — непрерывное отображение, такое, что
ру о д является топологической субмерсиеи, то
C.3.4) wZ/x — wz/y ® 9~1ь>у1х и огг/х — огг/у ® Я^огу/х-
Предложение 3.3.6. Пусть X есть n-мерное С°-многообразие.
(i) огх является пучком, ассоциированным с предпучком U >-»
Kom(H?(U;Ax),A).
(ii) Для х € X существует канонический изоморфизм огх х —
Еот(Н?х)(Х;Ах), А) ~ Щх)(Х;Ах).
(iii) Пусть X — гладкое и ориентируемое многообразие. Тогда
существует изоморфизм огх — Ах и изменение ориентации
пространства X меняет знак этого изоморфизма.
Доказательство, (i) Пусть U открыто в X и гомеоморфно R". Тогда
Rr{U;wx)~REom(Au;wx)
^ДНоЦЛГер^Ли),^)
~Rom(H?(U;Av),A)[n]
ввиду C.1.7).
(ii) следует из (i) и предложений 3.2.3 и 3.3.4(ii).
(iii) Пусть X = Ц. Ui — покрытие пространства X открытыми
множествами, гомеоморфными R", с согласованными ориентациями.
Тогда изоморфизмы фц.: огх\и< — Aut можно склеить (см. лемму
3.3.7 ниже), и фи1 заменяется на —фи{ при изменении ориентации (см.
предложение 3.2.3). D

S.S. Ориентация и двойственность
221
Лемма 3.3.7 Пусть Е = 1R", и зафиксируем изоморфизм же — Ае-
Пусть U и V открыты в Е и /: U —* V — диффеоморфизм.
Предположим, что якобиан отображения f положителен в каждой точке
множества U. Тогда следующая диаграмма является
коммутативной:
огц —-—► oze/u —~—* А-и
Г1(аеу) -^-» Г1{огЕ1у) —=-» Гх{Ау)
(Здесь морфизмы /* и /* определяются следующим образом. Пусть
;it/ (соответственно ау) — проекция множества U (соответственно
множества V) на {pt}. Тогда ff есть изоморфизм /-1 о а^1 ^» а^1
и /# есть изоморфизм f~l oa^[— п] ^+ /'оз!у[—п] ^* а[/[—п]. Заметим,
что /-1 ~ /!.)
Доказательство. Достаточно доказать, что для всех х0 EU
следующая диаграмма коммутативна:
Л /~
Н»(Е;АВ)
Мы можем положить х0 = f(x0) = 0. Положим и — /'@) и f\(x) —
u(x) + А(/(х) — «(ж)), 0 ^ А ^ 1. Найдем открытые окрестности U'
и V точки 0, такие, что f\(U') С V и /^'({О}) П С/7 С {0}. Так как
и* действует как единица на Н?0АЕ;Ае) (предложение 3.2.3), то из
замечания 2.7.6 следует, что то же самое верно для /*. D
Функтор /! является композицией ранее введенных функторов. В
самом деле, пусть /: У —► X — отображение С°-многообразий.
Представим / как композицию замкнутого вложения и субмерсии, / = poj:
C.3.5) /:у<^ухх — х,
i v
где р — проекция, a j — отображение графика, Ду) = (у, /(у)).
Применяя предложения 3.1.8,3.1.12 и 3.3.2 к F E Ob(D+(.Ax)), получаем
C.3.6) f'F ~ j-XRr)(y)(p~lF) ® жу[<ЬтУ],

222 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Если F = Ах, то
C.3.7) ozy,x a r^HffifiAYxx)) ® ozY.
Если / = idx, то
C.3.8) ozx ~ Н$тХ(АХхХ)\х
(где X отождествляется с диагональю в X х X).
Обозначение 3.3.8. В этой книге везде, за исключением § 10.3, под
dimX понимается размерность вещественного многообразия X. Если
/: У —* X — морфизм С°-многообразий, то положим
C.3.9) dimF/X = dim Y - dim A'.
Если У — подмногообразие, то мы также будем использовать
обозначение
codimxy = -dimy/A'.
Если нет опасности путаницы, то мы будем писать сосИтУ вместо
codimx У- Отметим, что
C.3.10) ыу/х ^ cwy/x[dimy/X].
Естественно положить
wyJx ~ KHom(wYix,AY),
C.3.11) ~ огу/х[- dimY/X].
Предложение 3.3.9. Пусть f:Y —» X — непрерывное отображение
локально компактных пространств. Предположим, что
(i) / — топололическая субмерсия;
(ii) Rfif'Zx —* Ъх является изоморфизмом.
Тогда если F £ Ob(D+(Zx)), то морфизм F —* Rf*f~1F является
изоморфизмом.
Доказательство. Пусть / — размерность слоя отображения /.
Имеем f'F ~ f~lF ® f'Zx, и f'Zx локально изоморфен Zy[/]. Поэтому
f-iF-RHomif'Zxj'F),
Rf.f-iF ~ Rf.RHomif'Zx, f'F)
~RHom(Rf,f'Zx,F)
^ F. a

3.3. Ориентация и двойственность 223
Замечание 3.3.10. Пусть f:Y—*X — непрерывное отображение
локально компактных пространств. Предположим, что / является
топологической субмерсией с размерностью слоя /. Тогда условие (п)
предложения 3.3.9 выполняется в том и только в том случае, когда
для любого х 6 X существует изоморфизм
C.3.12) яг«(/-г(*); «/-о) =г z.
Этот изоморфизм эквивалентен изоморфизму
C.3.13) Z^ RT(rl(xy,Zt-tw).
Действительно, положим М — Rre(f~1(x)\u>f-i^) и М* =
#Hom(Af,Z). Тогда М* ~ Л/Х/'Ч*)^/-^)) и изоморфизм M^Z
(в категории Ot(SDto9(Z))) эквивалентен изоморфизму Z ^* М*
(см. упр. 1.31).
Пусть теперь X является С°-многоо6разием размерности п, а ах —
отображение X —► {pt}. Морфизм Яaxi ax-^{pt} —* ^{pt} определяет
морфизм
C.3.14) Яах.а>х->А
Беря 0-е когомологии, получаем «морфизм интегрирования»,
который мы будем обозначать fx:
C.3.15) / :Н?{Х,0гх)->А.
Jx
С другой стороны, если А — С, а X есть С^-многообразие, то
существует морфизм Н"(Х; ог\) —*■ С, определяемый следующим образом.
Пучок огх квазиизоморфен комплексу де Рама (см. §2.9)
О—Сх'@)®вех — ►С?'(")ввех—0.
d
Так как пучок С%'^' ®огх с-мягкий, то
Я»(Х; огх) а Ге(Х; С°°'<п> ® огхУ<1Ге(Х; С^.С-1) ® тх).
Если ^ — плотность с компактным носителем, т. е. элемент из
/^(XjC^ ® о«х)> то fx ф корректно определен и равен 0, если

224 Гл.3. Двойственность Пуанкаре-Вердье
ф = <1ф для некоторого ф 6 Гс(Х;С^'^п~ ® жх) по теореме Стоке»;
Следовательно, fx определяет морфизм
C.3.16) / : Ге(Х;Сх°М ® огх)/ЛГе(Х; С~,(п_1) ® огх) -+ С.
Jx
Этот морфизм совпадает с морфизмом C.3.15) с точностью до
знака. Доказательство этого факта мы оставляем читателю в
качестве упражнения (упр. 3.20). Отметим, что если X связно, то
Н?(Х\агх) ot Hom(tf°(X;Cx);C) ~ С, из чего следует, что C.3.15) и
C.3.16) совпадают с точностью до ненулевой константы.
Морфизм интегрирования мы будем подробно рассматривать в
гл. 9. В конце этого параграфа мы дадим оценку для Ы(ШсЯ>(Ах)).
Предложение 3.3.11. Пусть X есть С0-многообразие
размерности п и А — кольцо. Гомологическая размерность категории
ЯЯоЪ(Ах) (см. упр. 1.17) ограничена сверху числом Зп + gld(.A) + 1.
Доказательство. Пусть F,G 6 ОЪ(ШоТ)(Ах)). Нам нужно доказать,
что
C.3.17) HomD(Ajc)(G, F{y]) = 0 при j > 3n + gld(^) + 1.
Пусть 6х — диагональное вложение X «-»■ X х X. Из предложения
3.1.14 следует, что
RHom(G, F) ~ exRHomiq^G, q[F).
Значит,
HomD(Ax)(G, F\J]) ~ Н'{ЯГ{Х;RHom(G, F)))
~ Н>(НГЛ(Х х X; KHomferG,q[F))).
Из предложения 3.1.15 следует, что
ЯГ(У х V;RHom(q^G,q[F)) ~ ДНот(ДГс(£/;С), Rr(U;F)).
Поэтому H'iRHom^q^G, q[F)) = 0 при j > n + gld(yl) (предложение
3.2.2(iv)). Теперь утверждение следует из предложения 3.2.2(v). □
Отметим, что эта оценка далека от наилучшей.
Следствие 3.3.12. Пусть X есть С°-многообразие. Тогда
КНот(-, •) является корректно определенным функтором из
0»(Лх)° х Оь(Ах) в D»(Ajr).
(Напомним, что gld(A) < оо.)

3.4- Когомологически конструктивные пучки 225
3.4. Когомологически конструктивные пучки
Пусть X — локально компактное пространство конечной с-мяг-
кой размерности. Напомним (см. упр. 1.30), что объект
М £ Ob(D*(9Jt<rt>(.A))) называется совершенным, если он квазиизо-
морфен ограниченному комплексу конечно порожденных
проективных А-модулей.
Определение 3.4.1. Объект F 6 ОЬ@'(9ЙоЭ(.А))) называется
когомологически конструктивным, если для любого х 6 X выполнены
следующие условия:
(i) "lim" Rr(U; F) и "lim" Rre(U; F) являются представимыми
xsu xeu
функторами (U пробегает семейство открытых окрестностей
точки х);
(ii) «lim" Rr(U; F)-> Ft и Rr{x](X; F) -► "lim" RTC(U;F) явля-
x£U x£U
ются изоморфизмами;
(iii) комплексы Fx и Rr{x}(X;F) совершенны.
Определение и свойства "lim" и "lim" см. в § 11 гл. 1.
Замечание 3.4.2. Заметим, что (ii) следует из (i). На самом
деле существование первого изоморфизма очевидно. Чтобы
доказать существование второго, возьмем убывающую последовательность
{/<„}„ компактных окрестностей точки х. Тогда "lim"Rre(X; F) ~
"lim"RrKn(X;F). Поэтому "lim"IIJcn(X>F) представим для
любого /Ь 6 Z и проективная система {Я^>(Х;^)}„
удовлетворяет условию M-L. Из предложения 2.7.1 тогда следует, что
Предложение 3.4.3. Пусть F когомологически конструктивен.
Тогда
(i) DF когомологически конструктивен (см. определение
3.1.16);
(ii) F -» DDF — изоморфизм;
(iii) Rr{t}(X;DF) ~ Rttom(Ft,A) и (DF)t ~ ДНот(ДГ{г}(Х;
F), А) для любого х € X.
Доказательство, (i) и (iii). Из C.1.8) следует, что
C.4.1) Rr(U;BF) к RHom(RTe(U;F),A).
Применяя фупктор "lim", получаем
геи
8 ■ М. Касивара, П. Шапира

226 Гл.З. Двойственность Пуапкаре-Вердье
C.4.2) "lira" Rr(U;BF) ~ RHorn ( "lim" Rre(U;F),A]
~Rnom(Rr{,}(X;F),A),
что доказывает существование второго изоморфизма в (iii).
Поэтому "lim" Rr(U;BF) представим и совершенен. Пусть К —
геи
о
компактная окрестность точки х и К — ее внутренность. Имеем
RrK(X;BF) ~ RUom(AK, BF)
~ RUom(Fj{,wx)
~RUom(Rr(X;FK),A).
Применяя функтор "lim", получаем
"lim" Rre(U; BF) ~ "lim"RTK(X, BF)
xeu •
~ Я Horn "lim" Rr(X; FK), A
\«ек
~ Я Horn ( "lim" Rr(U; F),a)
\ х~ёи I
~RYLom(Ft,A).
Так как последний комплекс совершенен, то существование первого
изоморфизма в (iii) доказано.
(ii) По (i) объекты BF и BBF конструктивны. Поэтому для х 6 X
из (iii) получаем
(BBF)t ~ REom(Rr{x}(X;BF),A)
~ R Нот(Д Eom(Fx, А), А) ~ Ft.
Следовательно, F —* BBF — изоморфизм. D
Предложение 3.4.4. Пусть X uY — локально компактные
пространства конечной с-мягкой размерности, a q\ и q^ — проекции
X х Y на X и Y соответственно. Пусть F £ Ob(D'(ylx)) и
G 6 ОЬ@+(Ау))- Предположим, что F когомологически
конструктивен. Тогда
DFHG -► KHom(q-1 F,q\G)

S-4- Когомологически конструктивные пучки 227
- изоморфизм. Если X есть С0-многообразие, то
D'F В G — RHom(q-1F, fcG)
- изоморфизм.
Доказательство. Достаточно доказать существование первого
изоморфизма. Пусть U и V — открытые подмножества в X и У соот-
иетственно. Из предложения 3.1.15 следует, что
RF(U х V; KHom(q-lF, q^G)) ~ REom(RFe(U; F), RF(V; G)).
11рименяя функтор "lim", получаем
c€C/
"lim" RF(U x V\KHom{qilF,ql2G))
~ Я Horn I "lim" Rre(U; F), Rr(V; G) I
V reu /
~ ДНот(ДГ{г}(Х; F), Rr(V; G))
~ REom(RF{x](X;F),A)®RF(V;G)
~(DF)r®fir(K;G).
Поэтому
RHom^F, q'^G)) ~ gf1 DF® q^G
~qi1D'F®qllG. П
Примеры 3.4.5. (i) Пусть X есть С0-многоо6разие, а У — замкнутое
подмногообразие в X размерности р. Тогда Ау и RTy{Ax)
когомологически конструктивны на А* и
C.4.3) Dx(Ay)~ RrY(ux)~wY.
(ii) Пусть X — вещественное конечномерное векторное
пространство, a Z — замкнутое (соответственно открытое) выпуклое
подмножество в А'. Тогда Az и RTz{Ax) когомологически конструктивны
на X (см. упр. 3.4).
8*

228 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Предложение 3.4.6. Пусть F и G — когомологически
конструктивные объекты из Db(X). Тогда
RHom{G, F) ~ KHom(DF, DG)
~d(d(f)®gj.
Доказательство. Для доказательства того, что канонический мор-
физм
KHom(G, F) -► KHom(VF, DG)
является изоморфизмом, достаточно доказать существование
изоморфизма (см. предложение 3.1.14)
q;1DG®qiF~q;1(DDF)®qiiDG,
что очевидно.
С другой стороны,
КНот (dF®G,wx) ~ KHom(G, KHom(DF,wx))
~ RHom(G, DDF)
~KHom(G,F). U
С конструктивными пучками мы будем Встречаться на протяжении
всей книги.
3.5. 7-топология
Пусть V — вещественное конечномерное векторное пространство, а
у — замкнутый выпуклый конус в V с вершиной в точке 0. Определим
топологию на V, связанную с у.
Определение 3.5.1. Открытыми множествами в 7-топологии на V
являются такие множества П, что
(i) Q открыто в обычной топологии;
(ii) Q + yzzQ.
Пусть X — подмножество в V. Через Х7 обозначим пространство
X с индуцированной 7-топологией, а через ф^ — естественное
непрерывное отображение
ф-у '. X —* Х-у

3.5. у-топология
229
пространства X (с обычной топологией) в ЛГ7. Вместо ф1 иногда
пишут ф*, чтобы отметить пространство X.
Заметим, что {0}-топология — это обычная топология, и если 7i С
Y2 — два замкнутых выпуклых конуса, то отображение Х7, —► Х1з
непрерывно.
Пример 3.5.2. Пусть X = 1R и у = [0, +оо[. Тогда 7-открытыми
множествами будут интервалы ]с, +оо[; —оо ^ с ^ +оо.
Через 7° мы будем обозначать противоположный конусу у конус:
Уа = -7-
Если Q С Х, то мы будем называть f? 7"откРытым
(соответственно 7-замкнутым, соответственно 7-окрестностью точки ж), если О
открыто (соответственно замкнуто, соответственно является
окрестностью точки х) в 7-топологии.
Предложение 3.5.3. Пусть X есть у-открытое подмножество в
V, a F — пучок на Х7.
(i) Пусть U — открытое выпуклое подмножество
пространства X. Тогда естественный морфизм Rr(U + у; F) —*
Rr(U; Ф^1Р) является изоморфизмом.
(ii) Пусть К — выпуклое компактное подмножество в
X. Тогда естественный морфизм ЯГ(К + у;ф^1Р) —*
RT(K; Ф^1Р) является изоморфизмом.
(iii) Естественный морфизм F —» Яф1Щф^1Р является
изоморфизмом.
Доказательство. Доказательство проведем в несколько шагов.
(а) Пусть U выпукло в X, а ф — естественное отображение Г(У +
7J F) -*■ ГA7; Ф^1Р)- Докажем, что ф инъективно. Пусть s — сечение
пучка F над U + у, такое, что sx = О в (ф~1Р)х для всех х EU. Для
такого х найдется 7-открытое множество W, содержащее х, такое,
что sy =0 для всех у £ W. Поэтому sr+t = 0 для всех х £ Un v £ у.
Покажем, что ф сюръективно. Сечение s пучка ф~хF над U
определено с помощью открытого покрытия U — Ц€/ Ui и сечений s,- пучка
F над Ui + у, таких, что sx — Sj>r для всех х £ Щ. Покажем, что
если х £ (Ui + 7) П (Uj + 7). то s,> = si>x. Пусть ж,- £ Ui П (х + уа),
xj £ [/,-П(х + 7°), xt = txi + (l-t)Xj (t £ [0,1]). Тогдах, £ Un(x + ya).
Положим
А = {t £ [0,1]; для любого it £ /,такого, что xt £ Uk, s»,r = «*,*}•
Можно дать другое определение множества А:
A = {te [0,1]; существует * £ /, такое, что если xt £ Uk,
ТО SiiX =Sjfc,r}-

230 Гл.3. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Поэтому А открыто, замкнуто и содержит 1, т. е. А = [0,1].
Следовательно, «f |(Uj+7)n(u,+7) = SikUi+iMUj+y)- Поэтому существует
s £ ГA/ + y,F), такое, что s\ui+y = «i, а это доказывает сюръектив-
ность if>. To есть мы доказали существование изоморфизма
C.5.1) r{V + r>F)~nV\i?F)
(в частности, Г([/ + у; F) ~ ГA/ + у; ф'^)).
(b) Пусть К компактно и выпукло в X. Из (а) следует, что
tonr(tf;*71F)-»r(*;rf71F)
и
— изоморфизм, где U пробегает семейство 7-открытых окрестностей
множества К. Для любого компактного выпуклого множества L,
такого, что К С L С К+у, любая у-окрестность множества К содержит
L. Поэтому
r(L^-lF)^r(K^;lF).
Так как Г(К + у; ф~*Р) ~ ШпГA; ф^Р), то
C.5.2) r(K + r,4;lF)^r(K;^lF).
(c) Естественный морфизм F —» ф^ф^Р является изоморфизмом.
В самом деле, если U выпукло и 7-открыто, то
r(t/;^;1F) = r(t/;*;1J')
~Г(ЩР).
(d) Предположим, что пучок F вялый, Q выпукло и открыто, а
К выпукло и компактно в Q. Морфизм ограничения Г@;ф~1Р) —*
Г(К; Ф^Р) сюръективен по C.5.1). Применяя предложение 3.2.4,
получаем
C.5.3) RjT(!2; ф^Р) = 0 при j ф 0,
из чего следует, что Я?Г(К;ф~1Р) и В?ф^ф~1Р равны нулю при
j ф 0. То есть предложение доказано в предположении вялости
пучка F.
(e) Пусть F — пучок на Х7, a F' — ограниченный снизу комплекс
вялых пучков, квазиизоморфный пучку F. Из C.5.3) следует, что
ЯГ{и + y;F)~ r(U + у; Г) ~ r(U; ф-*Г) ~ Rr(U; ф-'F), что
доказывает (i). Доказательства пп. (ii) и (ш) аналогичны. D
Опишем другой метод построения ф^Лф^Р. Пусть X = V.
Положим
C.5.4) ZG) = {(x,y)eXxX;y-xey}.
Обозначим через gi и ?2 проекции X х X на сомножители.

S.S. у-топология 231
Предложение 3.5.4. Пусть F 6 Ob(D+(.Ax)). Существует
естественный изоморфизм
Доказательство. Пусть <jj: Z(y) —» X — ограничение проекции qj
(j = 1,2) на Z(y). Тогда для любого 7-открытого множества Q имеем
qllQzz{(x,y)eX кХ;хеП,уех + у}Съ1П.
Поэтому для любого пучка G на Z(y) существует морфизм (^7 о
</j)»G —» (ф-у о gi)»G, т. е. мы получаем морфизм функторов из
D+(ZG)) в D+(X7)
Д(^7 о д2)» -* &(Ф-у о §{)*•
Таким образом, для любого F 6 Ob(D+(X)) существует морфизм
ЯфуР — ЯфуЩ2*Ъ.1*' -» Л^7*Д«1*Й"»1^.
что дает
C.5.5) ф^Яф^Р^ЩцЩ;^.
Докажем, что это изоморфизм.
Для выпуклого компактного множества К проекция q~[1K —»
42<iilK = К+7 имеет стягиваемые и собственные слои. Значит
(следствие 2.7.7(iv)),
Rriq^K; q^F) ~ ЯГ(К + у; F).
Таким образом, для любого х 6 X и любого целого j
tfi(fljfi,Ja1F). а йлН*(ЯГ(К; Щи&1 F))
к
~ limH'iRri^Ki^F))
к
~ lim H*(Rr(K + 7; F))
. ~ Н^ф^Яф^),,
где К пробегает семейство выпуклых компактных окрестностей точки
х, а это показывает, что C.5.5) — изоморфизм. □

232 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
3.6. Ядра
Пусть X и У — локально компактные пространства конечной
с-мягкой размерности. Пусть gi и q2 обозначают проекции
пространства X х У на X и У соответственно. Пусть Л" 6 Ob(D'(X x У)).
Определение 3.6.1. Определим функторы Фк- D+QO —* D+(X) и
!pjf. D+(X) —► D+(y) следующим образом:
*K(G) = Rqu(K&q?G\,
!*№) = Rq2*RHom(K, q[F).
Предложение 3.6.2. Существует изоморфизм бифункторов,
определенных на D+(y)° x D+(X),
Еот0+(Х)(ФК(),) =2 HomD+(y)(, !?*())•
Другими словами, Фк « Ф/c сопряжены.
Доказательство. Пусть F 6 Ob(D+(X)) и G 6 Ob(D+(y)). Тогда
HomD+(X)(#jr(G),F) = HomD+(X) (itqu UCGq^G) ,FJ
- HomD+(Xxy)
~ HomD+(X „yfa^G, RHom(K,q\F))
~ HomD+(y)(G, Rq2*RHom(K, q\F)). Q
Предложение 3.6.3. Пусть X = У и К — Ад, где Л — диагональ
в X х X. Тогда Фк « Фк изоморфны функтору id в D+(X).
Доказательство. Из предложения 3.1.14 следует, что
F ~ Rq2*RrARHom(q21Ax, q[F)
~ Rq2*RHom(A^q[F)
oi *k{F).
Так как А& ® q^G ~ (q^G)^, то Фк(<?) ~ G. D
Пусть Z — еще одно локально компактное пространство конечной
с-мягкой размерности. Обозначим через q\ и q? (соответственно gj'

S.6. Ядра
233
и q2) проекции пространства X х Z (соответственно У х Z) на X и
'/, (соответственно на У и Z). Через ду мы будем обозначать (i, ;)-ю
проекцию пространства X х У х Z (так, gi3 — это проекция на X х Z).
(.1.6.1)
91
XxY
«1
92
ХхУ xZ
913
'■
X xZ
я[
923
YxZ
9i'
tf
Предложение 3.6.4. Пусть К\ 6 Ob(D'(X x У)), и пусть Л 6
()h(Db(Y х Z)). Положим
К = Rqizt \qT2K1 ® q23lK2 J .
Тогда !Pjfa о !?#, ~Фк и <Pjt, оФ#3 ~ Ф#.
Доказательство. Пусть F 6 Ob(D+(.Ax)). Тогда
%,о^(Л = Rq'lKHom{K2,q'{'Rq2tRHom(Kl,q[F))
~ Rq'^RHom(K2, Я?2з»?12КНот^,q[F))
~ Rq%tRq23tKHom(q£K^KHomiq^K^qitfiF))
~ Д«2.Д«13»ДИот [qi2Ki®q23lK4t q^q'lFJ
~ Rq2.KHom [Rql3, (q^Ki I^aA??^)
= *k(F).
Доказательство существования второго изоморфизма
аналогично. D
Положим
C.6.2) Кх о К2 + Ллз! Ufa1 A"i ® ?2~з #2 ) •
Следствие 3.6.5. Предположим, что Z — X, К2оК\ ~ .Адх[(] и К\о
К2 ~ AAY [И dM некоторых I и V (Лх и Лу обозначают диагонали
eXxXuYxY соответственно). Тогда Фцц Фк21 !Pjr, и Фк2
являются эквивалентностлми категорий.
Отметим, что в этом случае / = /', если X ф 0.

234
Гл.3. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Пример 3.6.6. Пусть т: Е —* X — вещественное векторное рас>
слоение над локально компактным пространством X с размерностыа
слоя п. Пусть 7г: Е* —► X — двойственное расслоение. Обозначим
через Е (соответственно Е*) пространство Е (соответственно Е*) с
удаленным нулевым сечением. Положим
C.6.3)
5 - JS/K+, 5* = J&7K+.
Проекции пространств 5 и 5* на X являются топологическими суб-
мерсиями с размерностью слоя п — 1. Определим множества
C.6.4)
D = hx,y)eSxS*;(x,y)^OJ,
/=|(y,xNS*x5;(y,x)>o|
и объекты из D*E x 5*) и D»(S* x 5)
C.6.5) {*!=*>•«../*.
Предложение 3.6.7. Имеем
К1оК2~АЛв eD»Ex5),
/<-2 о Ki ~ АЛв. в D»E* х 5*).
Доказательство. Обозначим через pij (i, ;')-ю проекцию
пространства 5 х 5* х 5. Рассмотрим диаграмму
Р13
5xS*
SxS* xS
Pis
5x5
S.P"
S*xS.
Положим L = Pi2(D) Пр^з^/). Тогда К\ о /С2 ~ Ар13!(-А& ® <*>s*/x)-
Пусть (ж,ж') = z 6 5 х 5. Если z g 5 хх 5, то р^зЧ*) П L =
0. Если z e S хх S, но z £ S xs S, то Pii(z) П L гомеоморфно
замкнутому полупространству в Rn_1 или пусто. Поэтому в этом
случае (К\ о К2)г =0.

S.7. Преобразование Фурье-Сато 235
Пусть U = p^(As) П L. Так как (Rp\z%Al)as — Rpias(Au)t а
отображение U —* As изоморфно отображению 7г: I —* S, то получаем
К\ оK2\as — Л7Г|(у1/ ® u>s'/x) — RmxAs.
< )тображение тг: 7 —» S изоморфно проекции 5 х Е" —» S локально
на S. Поэтому Rx\ttAs —* As — изоморфизм.
Доказательство для случая К? о К\ аналогично. D
Из следствия 3.6.5 вытекает, что Фкц Фк3, &Kt и !Р)га являются
исвивалентностями категорий.
.4.7. Преобразование Фурье—Сато
Нведем понятие конического пучка. Пусть R+ —
мультипликативная группа положительных вещественных чисел, а X — локально
компактное пространство с действием К+ на нем. Другими словами,
существует непрерывное отображение
ц : X х R+ - X,
такое, что для любого х 6 X и любых t\ и t? 6 К+
C71ч ) i-v-.-*.-*/= /*(**(*• *i).*a).
Г /*(*,*1,*з) =
Определение 3.7.1. (i) Обозначим через ШоТ>^+(Ах) полную
подкатегорию в ШоЪ(Ах), состоящую из пучков F, таких, что F\b —
локально постоянный пучок для любой К+-орбиты 6 С X.
(И) Обозначим через D++(.Ax) (или просто через D++(X))
полную подкатегорию в D+(Ax), состоящую из таких объектов F, что
[{'(F) б ЯЯодж+(Лх) для всех j 6 Z.
(Hi) Объект, принадлежащий ШоХ>л+(Ах) (соответственно
0*+(Х)), называется коническим объектом.
Рассмотрим отображения
C.7.2) X^XxR+^X,
i p
где j(x) = (ж; 1), а р — проекция. Существуют естественные морфиз-
мы
C.7.3) n^F*— p-lRp*iTlF—►p-'F,

236 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
где 0 определяется значением в 1:
Rp+ц-1 F -► Rp^RjJ-1 /ГF ~ F.
Предложение 3.7.2. Пусть F 6 Ob(D+(X)). Следующие условия
эквивалентны:
(i)^6 0b(D++(X));
(ii) морфизмы а и 0 в C.7.3) являются изоморфизмами;
(iii) H'(n~lF) локально постоянен на слоях расслоения р для всех
jez;
(iv) fi~1F~p-lF;
(v) pF ~ p'F.
Доказательство. Эквивалентности (iv) •*=> (v) и (i) ■*=> (iii)
очевидны, как и импликации (ii) =>■ (iv) и (iv) =>■ (iii). Наконец, импликация
(iii) => (ii) вытекает из следствия 2.7.7. D
Следствие 3.7.3. Пусть U открыто в X. Предположим, что Ь П
U стягиваемо (в частности, непусто) для любой Ж+-орбиты Ъ С
X. Тогда для F 6 Ob(D++(X)) морфизм ограничения Rr(X;F) -►
Rr(U\ F) является изоморфизмом.
Доказательство. Пусть ц': U х R+ —* X — ограничение отображения
ц. Тогда fj,' имеет стягиваемые слои. Применяя предложение 3.3.9,
получаем
F~R^,-,F.
Следовательно,
Rr(X; F) ~ Rr(U х R+; /Л1*")
~ fir(t/xR+;p_1F)
~ Rr(U\ F). О
Пусть X и У — пространства с действем группы R+ на них.
Тогда R+ х Ж+ действует на X х У. Мы оставляем читателю задачу
«правильного» определения категории D++ -+(X x У) и понятия би-
конического пучка.
Если F 6 Ob(D++(X)), G 6 Ob(D++(y)), то имеет место
включение FB'G 6 Ob(D++ _+(A' х У)). Отметим, что биконический
пучок является коническим: действие группы R+ на X х У задается
диагональным вложением R+ в R+ x R+.
Пусть теперь /: У —» X — непрерывное отображение.
Предположим, что /i имеет конечную когомологическую размерность и /

S.7. Преобразование Фурье-Сато 237
перестановочно с действием группы R+. Получаем коммутативную
диаграмму
У «-£— У х 1+ -&—* У
C.7.4) .j /| |,
Л" ^— X х R+ -^-+ X
Предложение 3.7.4. (i) Пусть F £ Ob(D++(X)). Тогда объекты
f~lF и f'F являются коническими.
(ii) Пусть G 6 Ob(D++(y)). Тогда объекты Rf+G и Rf\G
являются коническими.
(iii) Пусть Fu F2 6 Ob(D++(X)). Тогда объект fj ®L F2
является коническим. Если Fi 6 ОЬ@$ц.(Х)), то объект RKom(Fi, F2)
является коническим.
Доказательство. Мы будем использовать предложение 3.7.2.
(i) Имеют место изоморфизмы
т. е. объект f~1F конический. Доказательство для f
аналогично,
(ii) Имеем изоморфизмы
fi'RhG ~ ДЛ/i'G ~ RhpyG ~ pxRf.G,
т. е. объект Rf,G конический. Доказательство для Rf<
аналогично,
(iii) Имеем
n'RHom(F1, F2) ~ AKomC/r'Fi./i'fa)
с-ДИотСр/"!,^)
~pRHom(FuF2). D

238
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Пусть г. Е —* Z — вещественное векторное расслоение с
размерностью слоя п над локально компактным пространством Z.
Мы отождествляем Z с нулевым сечением пространства Е и
обозначим через i:Zc-^E соответствующее вложение. Положим
C.7.5) E = E\Z, т = т\ё.
Обозначим через а антиподальное отображение х —» —х на Е, и если
А С Е, то через Аа мы обозначим образ подмножества А при
действии а. Назовем подмножество А С Е выпуклым (соответственно
коническим, соответственно собственным конусом), если для любого
z E Z множество г-1 (Z) Г) А выпукло (соответственно является
коническим, соответственно является собственным конусом). Напомним,
что конус называется собственным, если он не содержит прямых.
Предложение 3.7.5. Пусть F 6 Ob(D++ (E)). Тогда
(О Rt.F ~ i~lF,
(ii) R-n.F ~ i'F.
Доказательство, (i) Морфизм t~1Rt»F —* F определяет морфизм
Rt,F ~ i~1T~1Rr,F —» i-1F. Чтобы убедиться в том, что это
изоморфизм, возьмем z £ Z, и пусть U — открытая выпуклая окрестность
точки i(z). Тогда по следствию 3.7.3
Rr(U;F)~Rr(R+U;F)
~Rr(T(U);RT.F).
Беря когомологии обеих частей и переходя к индуктивным пределам
по семейству открытых выпуклых окрестностей точки i(z), получаем
требуемый результат.
(ii) Морфизм iii'F —* F определяет морфизм
i'F ~ Rniti'F -» Rt)F.
Чтобы доказать, что это изоморфизм, будем рассуждать, как в п. (i).
Пусть U — открытая выпуклая окрестность открытого множества
V С Z, такая, что отображение t_1V f\U —» V собственно. Тогда по
следствию 3.7.3
Rrz(r-lV;F)~Rru{T-lV,F).
Беря когомологии обеих частей и индуктивные пределы по
семейству открытых множеств из t~1V, удовлетворяющих перечисленным

3.7. Преобразование Фурье-Сато 239
выше условиям, получаем, что Rr(V;i'F) ~ Rr(V;Rn.F), откуда
iF~Rt\F. О
Пусть ir. Е* —* Z — двойственное расслоение. Аналогично
определим вложение t: Z «-»■ Е*, а также Е* ъъ.
Если А С Е, то полярное множество А" определяется следующим
образом:
C.7.6) А° = {уЕ Е*; тг(у) 6 т(А) и (х, у) > О
для всех х 6 т-17г(|/) П А).
Обозначим через pi и р? проекции произведения Е Xz E*:
Ex E*
,у/ '\*
Е Е*
Рассмотрим множества
P=Ux,y)eExE*;{x,y)^o\,
P' = Ux,y)eExE*;(x,y)^0^
и функторы (см. § 3.6)
C.7.7)
' Фр' = Rpi* о ДГр' op!j,
ФР> = Лр2!о()Р#ор71,
ФР = Дрг.оДГрор^1,
Фр = Др1!0()рОр^.
Из предложения 3.7.4 следует, что эти функторы являются
корректно определенными функторами из D++(F) в D++(F*) и из D++(E*) в
Пусть oze/z — относительный ориентирующий пучок пространства
Е над Z. Так как этот пучок постоянен на слоях расслоения г, то мы
иногда будем отождествлять oze/z и его ограничение на Z. Заметим,

240
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердъе
что otE/z\z — ozz/e (где Z —* Е — нулевое вложение). Пучки ozz/e
и ozz/E' естественно изоморфны, потому что ориентация
векторного пространства задает ориентацию двойственного пространства (см.
замечание 3.7.11 ниже).
Для изучения функторов C.7.7) нам понабится лемма.
Лемма3.7.6. Пусть F 6 0b(D++(F)). Тогда виррЦЯГр^1 F))p>)
содержится в Z x z Е* С Е x.z E*.
Доказательство. Пусть U = Е Xz E*\Z *z E*. Локально на U
проекция pi изоморфна проекции R" х Е —» Е, а множества Р и Р' лек
кально изоморфны множествам {х\ ^ 0} и {х\ ^ 0} соответственно,
где х\ обозначает первую координату пространства R". Поэтому для
доказательства того, что (ДГр^1F))p> равно нулю на U,
достаточно показать, что если (а) X локально компактно; (b) p — проекция
X х й —» X; (с) t — координата на R, то
C.7.8) («A«>o}(p-1G)){(=o} = О
для любого G 6 Ob(D+(X)). Так как p_1G является коническим на
расслоении X х R над X, то
(Rr{t>0}(p-lG))\t=o к Яр.ЯГ^о}^*?).
Теперь достаточно доказать, что RptRr^o){p G) равен нулю. Но
Rp*ЯГ{(£о}(Р!С) ^ ДИот(Яр!А{(>0}.G) и Rp<A{t^0} = 0. D
Теорема 3.7.7. Функторы Фр< и Фр из D++(F) в D++(E*)
естественно изоморфны.
Доказательство. Пусть F 6 Ob(D++B?)). Существуют
изоморфизмы
фР> = ДМрГ1 f)p'
-Ярз.аЯ'ХРГ1*'))^)
~ Ярз.ЯГр^1/')-
В самом деле, существование первого изоморфизма вытекает из
предложения 3.7.5(ii), существование второго — из упр. 2.2,
существование третьего — из леммы 3.7.6 и существование последнего — нз
предложения 3.7.5(i). D
Из этого следует, что функторы Фр и Фр/ изоморфны.

3.1. Преобразование Фуръе-Сато 241
Определение 3.7.8. Пусть F € Ob(D++(E)). Положим
F^=Sp,(F)(=Rp2,(pT1F)p.)
(~^р(Л = Др3,ДГр(рГ1Л)
и назовем FA преобразованием Фуръе-Сато объекта F.
Пусть G 6 Ob(D++ (£*)). Положим
Gv = *p,(G)(= ДР1*ДГР,(Р- G))
(~<Pp(G) = fip,.(piG)p)
и назовем Gv обратным преобразованием Фуръе-Сато объекта G.
Разумеется, такими же формулами, поменяв Е и Е* местами,
можно определить Fv и GA. Отметим, что
C.7.9) Fv ~ (FA)a ® cwB./Z[n] ~ (FA)" ® wB./z,
где (FA)a— обратный образ объекта FA при действии антиподального
отображения а на. Е*.
В самом деле, справедливость формулы C-7.9) вытекает прямо из
определений, так как p[F ~ pf lF ® шехяЕш/е-
Теорема 3.7.9. Функтор А из D++(E) в D^+(E*) и функтор v из
D£+(E*) в D£+(E) являются эквивалентностями категорий и
обратны друг другу. В частности, если F и F' принадлежат
Dj+(£), то
HomD+ (*)(*"• Л ~ HomD+ (^л,^л).
Доказательство. Из предложения 3.6.2 и теоремы 3.7.8 следует, что
Фр> и !?р/ — сопряженные функторы. Функторы Фр и Фр также
становятся сопряженными после выбора изоморфизма ozz/e — ozz/B'-
Поэтому если F 6 Ob(D++(j£)), то мы получаем морфизм
C.7.10) F->FA".
Чтобы доказать, что C.7.10) — изоморфизм, достаточно доказать, что
для каждого выпуклого открытого множества U С Е этот морфизм
индуцирует изоморфизм
ff'(t/;F)~tf'([/;FAV).

242 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердъе
По следствию 3.7.3 мы можем считать U выпуклым открытым
конусом. В этом случае
H*(U; FAV) = EomD++(E)(Au, 9р.Фр.(Р)\)Ъ
- Ното+^{в.)(^я'(^),Фр'(^)И)
~ HomD++(B.)(#p.(Ai,),#p(F)W)
с^Нот^ (Е)(ФрФр-(Аи),РЦ])
^Нот0+ (E)(Au,F\j]).
Здесь q индуцируется морфизмами ФрФр>(Аа) £* ФрФр(Аа) —» Ац-
Следовательно, достаточно доказать, что ФрФр(Аи) изоморфен Ац.
Этот факт доказывается в лемме 3.7.10 ниже. Аналогично
доказывается, что морфизм GVA —* G является изоморфизмом для G 6
ОЬ@++(Я*)). D
Лемма 3.7.10. (i) Пусть у — собственный замкнутый выпуклый
конус в Е, содержащий нулевое сечение. Тогда
(Ar)A~Ai„tr.
(ii) Пусть U — выпуклый открытый конус в Е. Тогда
(Аи)л ~ Aw ® огЕ'/г[—п].
Доказательство, (i) Пусть у ЕЕ*. Тогда
((A)A)y ~ ДГДр^Ну); А«х*е-)пр>)
^ ЛП(Р1(Р2_1(У) П Р') П у; Ае).
Положим 7у = Pi(?71(y)'^^")'^7- Если у ^ Int у", то уу — собственный
замкнутый выпуклый конус, содержащий полупрямую. Тогда так
как т-1Gг(у)) и т-1Gг(у))\7У гомеоморфны, то ((Ау)л)у = 0. Если
у 6 Int 7°, то 7у = {0} и отображение ((Ау)Л)у —► ((Аг)л)у является
изоморфизмом. Это показывает, что (Лу)Л с; ((Аг)л)ыт, и3 чего
следует (i), поскольку (Az)* — Ае»-
(ii) Доказательство аналогично. Имеем
((Аи)л)у a Rre(pi\y);A(UxE.)np,)
* Rre(pi tel(y) n P') n C/; ile).

3.7. Преобразование Фурье-Сато 243
Положим 7У = Pi(?2 l{y)f\P')f\U. Если у g С/00, то 7У = 0 и ((ЛУ)Л)У
= 0. Если у 6 {/0°, то морфизм ((Аа)л)у —»(Др2!^вхав*)у является
изоморфизмом.
Следовательно, (Аа)л а (Ярз\АвхяБ*)и** • Так как
Яр2\АЕхяЕ- ~огЕ./г[-п],
то (ii) доказано. П
Замечание 3.7.11. Так как Фр> и Фр>, а также Фр и Фр сопряжены,
то существуют морфизмы
a'(F):F->VP>&p,(F),
F(G):&P.*P,(G)^G,
a(G) : G - ФРФР(С),
0(F) : $p¥p(F) -► F.
Чтобы определить a(G) и 0(F), нам нужно отождествить Rt*we/z и
Rtt^ue'/z- Мы сделаем это следующим образом (задача локальна).
Выберем отрицательно определенную симметрическую форму на
Е. Тогда определяемый ею изоморфизм Е ^* Е* определяет и
изоморфизм между Rt+we/z и Rir*wE*/z.
После отождествления Фр> и Фр, а также Фр и Фр> (теорема 3.7.7)
мы можем показать, что a'(F) (соответственно ot(G)) и fi(F)
(соответственно /?'(G)) взаимно обратны. Доказательства мы опускаем.
Суммируем свойства преобразования Фурье-Сато.
Предложение 3.7.12. Пусть F 6 Ob(D++(£)).
(i) F™~Fa®(KE/z[-n].
(ii) Пусть U — открытый выпуклый конус в Е*. Тогда
Rr(U; FA) ~ RIb»(r-lr{U)\ F) ~ RrV'(E\ F).
(iii) Пусть у — собственный замкнутый выпуклый конус в Е*,
содермсащий нулевое сечение. Тогда
RT^E*; F*) ~ ЯДЫ7°; F) ® огЕ/2[-п].
(iv) Имеем
(ТУFY ~ &(F*), (DFY ~ D(FA).

244 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Доказательство, (i), (ii), (iii) являются следствиями ранее
доказанных утверждений,
(iv) Мы имеем
KHom(FA,AE') = KHom(Rpv.(pi1F)P>,AE')
~ Rp2*KHom((pi 1F)p>,pllAE*)
~ Rp2*RHom((pi1F)p',Pi1wE/z)
~ RPi.RrP,{p[{D'F))
~(D'F)V.
Доказательство для D аналогично. D
Изучим функториальные свойства преобразования Фурье-Сато.
Пусть Z' — локально компактное пространство и / : Z' —» Z —
непрерывное отображение. Положим Е' = Z' у. 2 E и обозначим через
/г (соответственно /т) отображение из Е' в Е (соответственно из Е'*
в Е*), индуцированное /.
Предложение 3.7.13. (i) Пусть F 6 Ob(D++(£)). Тогда
(flF)* ~ №),
(/Г^Г-д-НП-
(ii) Пусть G 6 ОЪ@++(Е')). Тогда
(Я/Т.С)Л~Я/Т.(СЛ),
(Д/г!С)л ~ Д/,.(СЛ).
Доказательство. Рассмотрим диаграмму с декартовыми квадратами
Е'* I" > Е*
C.7.11) Z'xP —L-+ Р
4 П 1"
2
Е' ► Е

3.7. Преобразование Фуръе-Сато
245
Тогда
f-rF"®UE'/z=flRqi*q[F
= Rq',*NiF
~(fiF)A®wE.,z,
что доказывает изоморфизм fl(FA) ~ (/j.F)A. Доказательство
существования остальных изоморфизмов аналогично. О
Пусть теперь Ei и Ej — два векторных расслоения над Z и /:
Ei —► Ej — морфизм расслоений. Обозначим через * f '. Е% —*■ Ei
двойственный морфизм. Тогда ше1/в3 — f-^E, и we;/e; — '/'Abj •
Предложение 3.7.14. (i) Пусть F 6 Ob(D++(£i)). Тогда
tf-1(FA)~(Rf,F)A,
'/!(^Л)^(ДЛЛЛ®"в;/вГ>
*r4*")*{RfiFy 9ыц/в;.
(И) Яустоь G 6 ОЪ@++(Ез)). Тогда
(/G)V ~ tf/«(Gv),
(f'cr а Д'Л(СЛ),
(wBl/B3®/!G)v~fi'/*(Gv),
(«ft/ft вГ^^Л1/^).
Доказательство. Положим Р" = Ei Xe3 Pj = Р{хе* Е% = {(ж,у) б
£i xz j^J; (^'/(у)) = (/(^O.y) < 0} и рассмотрим диаграмму с двумя
декартовыми квадратами

246 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Тогда
tf-1F*~tr1Rq2lq;1F
"Rq'yRqy.q^q^F
~ Rq'^RfiF
~ (Rf,F)A.
Аналогично
tfF-tfRq^F
~ Rq'2l,Rq2*qi4iF
*(Rf*F)\
Оставшиеся формулы можно доказать, положив F = Gv или
F = GA. О
Рассмотрим теперь внешнее тензорное произведение. Пусть Е\ и
Е2 — два векторных расслоения над Z. Мы будем одним и тем же
символом Л обозначать преобразование фурье-Сато на Ei (t = 1,2) и
на Ei xz E2.
Предложение 3.7.15. Пусть Ft 6 Ob(D++(jE,)), i = 1,2. Тогда
Ff®F£ ~ (fi&Fi\ .
Доказательство. Для i = 1,2 через p| (j = 1,2) и p,- обозначим i-ю
проекцию, определенную на Ej Xz Ej (j = 1,2) и на (Ei xz Ej)xz
(E{ xz Ej) соответственно. Пусть Pj (j = 1,2) и Р' обозначают
замкнутые подмножества {(х,у) ^ 0} в Ej xz Ej (j = 1,2) и в
(Ei xz Ej)xz (El xz E%). Имеем (см. упр. 2.18)
Ff |F* ~ RP2l ((ply'Fi k£)-lFi)
z \ z JP^zPi
(fi&F^ -RpvUpX^Fihtfi)-^^} .
Положим G = (pi)-1.Fi №z (Pi)-1^- Отображение рг может быть
представлено в виде
(eixeA х (е1 хеЛ ->El хЕ\ xRxR->El xE\,

Упражнения к гл. 3 247
где 0(*1,*а,0ьУа) = (УьУа. (*1,»1>,(*з,Уа)). a a(yi,y2,h,h) =
(УьУг)- Так как
WGP. ~ (Rp\G){tl+t2<0} и WGp'iXzp' к (Я/?.С){,1<(Мз<о},
то остается показать, что
Яа.((ЯДС{A+(з<о}) -» fia!((^G){«.<o,<3<0})
— изоморфизм.
Докажем справедливость этого утверждения в каждой точке
Е{ xz Е%. То есть мы должны доказать, что если Я — биконический
объект в D+(K х К), то
C.7.12) ДГе(К х К; Я{,1+,а<0}) ^ ЯЛ(И x К; Я{,|<0,1,<0}),
или, что эквивалентно,
C.7.13) ДГе(Ж х К; Я{0«1«3}и{о«3<-<1) = 0.
Это утверждение вытекает из того факта, что пучки когомологий
Я постоянны на каждой связной компоненте открытого множества
{hh ф 0}. □
Замечание 3.7.16. В этой книге мы не контролируем выбор
знаков. Например, отождествление огу/х и огу ® f~lotx (для морфиз-
ма / : У —* X) или отождествление o«z/B — ozz/E' Для векторного
расслоения Е —* Z (и, в частности, отождествление огт'Х — Ат*х)
не описывается в деталях.
Упражнения к гл. 3
Упражнение 3.1. Пусть А = Q. Положим X = К, В = {1/п;п 6
N\{0}} и Z = Я U {0}.
(i) Пусть F = QB. Найдите D'F и D'D'F. Покажите, что F ф
VVF
(ii) Пусть G = Qz. Докажите, что пучок G мягкий и что
H}0-,(X;G) бесконечномерно над Q. (Указание. Покажите,
что Н°(Х; F) (соответственно Н°(Х; G)) изоморфно
пространству всех последовательностей (соответственно стационарных
последовательностей) рациональных чисел.)

248
Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
(ш) Докажите, что Hf0](X;QX\z) ф 0.
Упражнение 3.2. Докажите, что мягкая размерность пространства
R" равна п, а его вялая размерность равна п +1. (Указание.
Используйте результат упражнения 3.1.)
Упражнение 3.3. Пусть X — топологическое пространство, a, F —
пучок на X, локально изоморфный Z*. Докажите существование
канонических изоморфизмов
F®F~ZX, V'F~F.
Упражнение 3.4. Пусть А' есть С°-многообразие. Назовем
множество Q С X локально когомологически тривиальным в X
(сокращенно l.c.t.), если для любого х 6 Т2\П
(ДГ^Лх)). = 0, (Rrn(Ax))r ^ A
(см. [Schapira 3]).
(i) Докажите, что Q является l.c.t. в X в том и только в том
случае, когда И'(Ап) — Ajj и D\Ajj) ~ An-
(ii) Докажите, что если Q является l.c.t. в А', то Q = Int(IT).
(Hi) Докажите, что если Q выпукло в R", то оно l.c.t. в R" и An и
Ajj когомологически конструктивны.
Упражнение 3.5. Пусть V — вещественное n-мерное векторное
пространство, ад:— квадратичная форма на V. Для а 6 R положим
Za = {х 6 V\q(x) ^ а}. Пусть е~ — число неположительных
собственных значений формы q.
(i) Докажите, что
если а ^ 0,
если а < 0.
Rre(V;Az.)[e-}-{§
(ii) Используя предложение 3.1.10, выведите из (i), что
RrZt(V;Av)[n-e-}~{A't
если а ^ 0,
если а < 0.

Упражнения к гл. 3 249
Упражнение 3.6. Пусть / : У —» X — сферическое расслоение
с размерностью слоя п ^ 1. Докажите существование выделенного
треугольника
R°ftAy -» ДДЛу -» ДпЛ^у[-п] -j»
и выделенного треугольника
Ах -* Rf*Ay -» /»огу/х[-п] -^».
(Указание. Используйте упр. 1.26.)
Упражнение 3.7. Пусть т:Е —» £ — векторное расслоение с
размерностью слоя n, a i: Z «-»■ J? — нулевое вложение. Предположим,
что на £■ задана относительная ориентация, т. е. задан изоморфизм
Ав 2i огЕ/z-
(i) Постройте изоморфизм r(Z;Az) — #§(£;./4в) (образ 1
называется классом Тома).
(п) Постройте коммутативную диаграмму
Rt\Ae ► Rt,Ae
I< I'
Az[—n] ► Az
и морфизм r(Z;Az) —* Hn(Z;Az) (образ 1 называется
классом Эйлера).
(iii) Докажите, что класс Эйлера является образом класса
Тома при отображении Щ(Е;АЕ) -* Нп(Е;АЕ) ~ Hn(Z;Az).
(iv) Докажите, что если расслоение имеет непрерывное сечение,
отличное от нуля в каждой точке, то его класс Эйлера равен
нулю (см. упр. 5.2).
Упражнение 3.8. Пусть X — топологическое многообразие, У —
замкнутое подмногообразие коразмерности /, a j : У «-»■ X —
вложение. Пусть задан изоморфизм огу/х — Ау. Постройте длинную
точную последовательность
H\Y;Ay)^Hk+,(X;Ax) - Я*+'(Х\У; Ах) - Hk+\Y;AY).
(Отображение а называется отображением Гизина. Образ 1 6
H°(Y;Ay) опять-таки называется классом Эйлера.)

250 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Упражнение 3.9. Мы находимся в условиях предложения 3.1.9.
(i) Докажите существование естественных морфизмов функторов
и коммутативных диаграмм
Я/, о Rg', ► ДД о Rg't
I I>
Rf\ о Rg* ► Лаг, о Rf! ► Rg, о я/( .
Я'-1 of >f"og-1
g~loRf, _21-> Rffog'-1
I I
g~loRf. ► Rfiog1-1
Rf!°gn ► g'oRf,
I 1
Rftog" -^ g'oRf.
(ii) Для G 6 Ob(D+(yly)), F 6 Ob(D+(ylx)) постройте
каноническую коммутативную диаграмму
RfiRHom(GJlF) ► RHom(Rf.G,F)
I I
Rf,RHom(G,f'F) —^—► RHom(Rf,G,F)
(iii) Для Fi и Fi из Dh(Ax) постройте коммутативную диаграмму
RHomd-^FiJ-^Fi)
/ \
\ /
RHom(f-Fi,f'F2)

Упражнения к гл. 3
251
Упражнение 3.10. Докажите, что в условиях предложения 3.3.9
нля любого F 6 Ob(D+(X)) морфизм Rfif'F —» F является
изоморфизмом.
Упражнение 3.11. Пусть к — поле, X — компактное п-мерное
''"-многообразие, F — когомологически конструктивный объект из
0*(&х) и DF — двойственный к нему объект.
(i) Докажите, что H'(X;F) и H~*(X;DF) являются
конечномерными векторными ^-пространствами, двойственными
друг другу. Отметим, что tf-''(X;DF) = Нп-*(Х;1?Р ®
огх).) (Указание. Докажите индукцией по j, что
lm(H'(U;F) —► H'(K;F)) конечномерен для любого
компактного К и открытого U, К С U.)
(и) Пусть к = К, X — компактное ориентируемое
многообразие класса С°°. Опишите двойственность между Н'(Х;Шх)
и Нп~*(Х;Шх), используя комплекс де Рама с
С00-функциями и распределениями в качестве коэффициентов (см. § 2.9).
Упражнение 3.12. Пусть Е — вещественное конечномерное
векторное пространство, у — замкнутый выпуклый конус с центром в О,
7а=-7-
(i) Докажите существование изоморфизма
Ау* —► фу лфуф(А^*).
(И) Пусть Q есть 7-открытое подмножество в Е. Докажите
существование изоморфизма
Ап а ф^Лфу^Ап.
Упражнение 3.13. Пусть X = К2 с координатами (ж, у), А =
{(х,у);у = 0} и В = {(х,у);х ф 0,у = zsin(l/z)}. Пусть F = QA)
G = Q-g. Докажите, что F и G когомологически конструктивны
над Q, но F ® G и RHom(F,G) когомологически конструктивными
не являются.
Упражнение 3.14. Пусть 5" — единичная сфера в евклидовом
пространстве К". Пусть а е К, — 1 ^ а < 1. Положим
n = {(x,y)€SnxSn;(x,y)>0}, К = An.
Докажите, что функторы Фк и Фк (см. § З.б) являются эквивален-
тостями категорий над D+(Aj»)-

252 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Упражнение 3.15. Пусть V — ориентированное векторное про
странство К" и m — целое число, 1 ^ т ^ п. Положим
Хт = {А; А — ориентированное m-мерное линейное подпрострав*
ство в V};
Q = {(A, fj) € Хт хХ„-т; А и /i трансверсальны и ориентация
пространства А 0 /i совпадает с ориентацией пространства
V);
К = А„.
Докажите, что Фк и Фк являются эквивалентностями категорщ
D+(AX.) и 0+(АХк_т) .
Упражнение 3.16. Пусть (t,x) — (t,x\,... ,хп) — координаты Ш
пространстве Ж1+п. Пусть ft (*' =1,2,3) — замкнутый конус:
71
72 = {(*,*);*ЧХ>,?},
7з={(*,*);*2 = |>?}.
Положим у? = 7i П {(t,x);t > 0} и G,- = А^, G$ = А^. Найдищ
преобразование Фурье-Сато этих пучков.
Упражнение 3.17. Пусть г. Е —» Z — векторное расслоение над ло
кально компактным пространством Z. Используя обозначения прв
мера З.б.б, обозначим одним и тем же символом у проекции Е —►
и Е* —* S*. Пусть j : Е «-► Е — включение. Докажите коммутатвё
ность следующих диаграмм, где Фо и 4>d определяются, как в C.7.7)
D+E) ► D+E*) D+E*) ► D+(S>
D++(S) D++(£*) D++(B*) D++(S)
К H !*• H
DJ+(£) -7— Di+(^*) d«+(f*) -v Di+(^)

Упражнения к гл. 3
253
Упражнение 3.18. Пусть X есть С°-многообразие размерности п,
г £ X и U — открытая окрестность точки х. Определим морфизм
вычета в точке х, обозначаемый Res(x; •), как композицию
Hn-\U\{x};mx) - Нп{х](Х;огх) =? А.
(i) Пусть X компактно, Z — конечное подмножество в X и и 6
Hn~1(X\Z;mx)- Докажите, что
^2 Res(x; и) = 0.
rez
(Указание. Используйте существование морфизма Н%(Х;
mx)-+Hn(X;ozx).)
(ii) Пусть X не компактно и Яп-1(Х;огх) = Нп(Х;огх) = 0.
Пусть У — компактное С°-многообразие размерности п — 1
и 7 : Y —* X — непрерывное отображение. Предположим,
что задан изоморфизм у~1огх а огу. Бели Z замкнуто в
X и Z П ?(У) = 0, то обозначим через 7-1 отображение
Hn~1(X\Z; огх) —» Hn~1(Y; огу), порожденное заданным
изоморфизмом.
Пусть х 6 X\y(Y). Так как Нп~1(Х\{х};огх) ^ А, то существует
единственный элемент и 6 Нп~1(Х\{х}; огх), такой, что Res(x;«) =
1. Положим
Ind(x;y) = j у~\и),
где /у обозначает отображение Hn~1(Y;ozy) —» А.
Пусть теперь Z — конечное подмножество в Х\7(У) и и 6
Hn~1(X\Z;(Kx). Докажите формулу вычетов Коши
17-ч^ = Ем*;?) &<*(*;»)•
xez
(Это упражнение взято из книги [Iversen 2].)
Упражнение 3.19. Мы сохраняем обозначения предложения 2.7.5
и диаграммы B.7.5). Пусть все пространства локально компактны,
а функторы hi, py\, рх\ имеют конечную когомологическую
размерность. Пусть, кроме того, Л — собственное отображение. Определим
для j = 0,1 морфизмы функторов fj#: Rpyi ору —» Rpx> ор*х,
используя морфизмы Rfj> о /j —► idx- Докажите, что /0# = /i#.

254 Гл.З. Двойственность Пуанкаре-Вердье
Упражнение 3.20. Будем считать, что в (i) и в (ii) X = Ш. Выберем
а, Ь 6 А', а < 6, и положим /4~ =] — оо, 6], /+ = [а, +оо[.
(i) Покажите, что Ъ\ квазиморфен комплексу
K:Q-+TI-®Zlt-+TI-nlt-+Q.
Пусть С'х обозначает комплекс де Рама 0 -» C^-t C£'( '
—* 0 (см. §9 гл. 2). Постройте морфизм комплексов К —*С'Х,
такой, что композиция
ZX =i Н\К) -f Н\СХ) ~ Сх
совпадает с морфизмом Ъх —» Сх < порожденным вложением
ZCC.
(ii) Докажите, что Н\{Х\Ъх) — Н1(Ге(Х\К)) и что следующая
диаграмма коммутативна с точностью до знака (определение
fx см. в C.3.16)):
Н^Х-Лх) —^ Н\Ге(Х;К)) —±- Н\ГС{Х;СХ))
I I/.
z ► с
(ш) Докажите, что если А = С, то гомоморфизмы C.3.15) и C.3.16)
равны с точностью до знака.
Упражнение 3.21. Пусть /: У —* X — топологическая субмерсия
локально компактных пространств, Z\, Z2 замкнуты в У и Z\ С Z?,
Пусть Hi((Z2\Zi)r\f~1(x); Zy) = 0 для любого j. Докажите, что для
любого F 6 Ob(D4(X)) морфизм Rf,Rrgl(f-1 F) -» Rf*RTga(f-lF)
является изоморфизмом.
Замечания
Мы отсылаем читателя к «Краткому историческому очерку» в
начале книги для подробного ознакомления с историей двойственносц
пучков и функтора /!.
Напомним, что функтор /! был введен Гротендиком [Grothendiecfc
4] в 1963 г. в рамках его теории двойственности для когерентны*

Замечания
255
пучков на локально нётеровых схемах. Эта теория послужила
моделью для создания теорий двойственности в иных ситуациях: для
локально компактных пространств [Verdier 1], этальных когомологий
([SGA4], [SGA5]) и недавно для D-модулей (см. § 11.2). Теория,
которую мы излагаем здесь, принадлежит Вердье и изложена в трудах
Гейдельберг-Страсбургского семинара [SHS]. Отметим, что многие
результаты § 3.2 и 3.3 были известны и ранее (см., например, [Borel 1],
[Borel-Moore l]).
Преобразование Фурье-Сато играет важную роль во многих
разделах математики (см. [Hotta-Kashiwara 1], [Malgrange 2], [Brylinski
2]). Аналогичная конструкция в алгебраическом случае
принадлежит Делиню (см. [Illusie 1], [Katz-Laumon l], [Laumon 1]). Это
преобразование впервые было введено Сато в 1970 г. для сферических
пучков (см. [Sato-Kawai-Kashiwara 1]). Только после 1975 г.
(особенно после статьи [Kashiwara 4]) началась систематическая работа с
векторными расслоениями (т. е. с использованием нулевого сечения).
Хотя нулевое сечение было впервые использовано в работе [Brylinski-
Malgrange-Verdier 1], все результаты §7 в основном содержатся в
работах [Sato-Kawai-Kashiwara 1] и [Kashiwara-Kawai 2].

Глава 4
Специализация и
микролокализация
Пусть X — многообразие, а М — замкнутое подмногообразие в X.
Сначала мы построим многообразие Хм — нормальную деформацию
подмногообразия М в X — и отображение (р, t): Хм —» X х К
(размерность Хм на единицу больше размерности X), такое, что t'1^)
изоморфно X при с ф О и <~'@) изоморфно ТмХ, нормальному
расслоению к многообразию М в X.
Мы будем использовать многообразие Хм для того, чтобы
сопоставить пучку F на X (или объекту F £ Ob(D*(X))) объект um(F) 6
Db(T\{X), называемый специализацией объекта F вдоль М.
Преобразование Фурье-Сато hm(F) объекта им(F) называется
микролокализацией объекта F вдоль М.
Определив функторы им и цм и изучив их функториальные
свойства, мы займемся изучением функтора \ihom.
Этот функтор является обобщением функтора микролокализации
и является одним из главных объектов рассмотрения данной книги.
Отметим, что результаты § 2 и § 3 впервые получены в работе [Sato-
Kawai-Kashiwara l].
Соглашение 4.0. Мы сохраняем соглашение 3.0. Кроме того, все
многообразия и морфизмы многообразий будут считаться
принадлежащими классу С°° либо вещественно-аналитическими.
В этой главе и далее мы будем работать главным образом в
категории ограниченных комплексов пучков (см. следствие 3.3.12).
Разумеется; многие результаты справедливы при более слабых
предположениях.
4.1. Нормальная деформация и нормальные
конусы
Пусть X есть n-мерное многообразие, М С X — замкнутое
подмногообразие коразмерности / и Тм X — нормальное расслоение к
многообразию М в X, т. е. векторное расслоение на М, определенное с

4-1. Нормальная деформация и нормальные конусы 257
помощью точной последовательности
D.1.1) 0 -► ТМ -► М х ТХ -► ТМХ -* 0.
х
Мы построим многообразие Хм и два отображения
D.1.2)
{р: Хм -»Х,
такие, что
р~\Х \ М) изоморфно (X \ М) х (R \ {0}),
D.1.3) ^_1(ж\{0}) изоморфно Xx(R\{0}),
@) изоморфно ГмХ.
Is
Многообразие A'w мы назовем нормальной деформацией
подмногообразия М ъ X.
С этой целью рассмотрим открытое покрытие X = JJ,- G,- и
открытые вложения ф{: Ui <-+ К", такие, что [/;ПМ = #W х Кп-().
Положим х = (*', х") е К( х К"-( и
К- = {(*,<) € К" х К; (<*', *") € *<(И)>-
Обозначим через <у(: V< —» Ж проекцию (ж,<) i-* t и через р^: V; —* Ui
отображение (x,i) *-* ф^1^х',х"). Определим отображение
Фц:Ъх(ЪпиЛ->Лп,
Ui
положив фц(х,1) = Щ((х,г), Щ(х,1)), где
(<*<,(.,<), f^i(x,t)) = МГ V. х").
Определение корректно, так как первые / компонент фjфJl^^tx',x")
обращаются в 0 при t = 0.
Пусть 72, — отношение эквивалентности, отождествляющее
(xi,U) G Vi и (xj,tj) G Vj, если U = ij и Xj = 0J( (з»,<0- Положим
Хм = (il*)/*
9 • М. Касивара, П. Шапира

258
Гл.4- Специализация и микролокализация
Легко проверяется, что Хм является многообразием и что
отображения р: Хм —* X и t : Хм —»■ Ж, заданные условиями р|у, = pv{
и t\vi = tvn определены корректно и удовлетворяют первым двум
условиям в D.1.3). Мы назовем Хм нормальной деформацией
подмногообразия М в X.
Заметим, что мультипликативная группа К \ {0} действует на Хм
следующим образом:
(c,(x',x",t))~(cx',x",c-4).
Покажем, что гиперповерхность t-1@) в Хм может быть
канонически отождествлена с нормальным расслоением ТмХ. Положим
0>*ОМ) = (Ф'ц'Щ'д' как выше> а также Фз ° ФТ1 = Фа = (Ф'цуФ'Ь)-
Тогда
D.1.4)
^(М)=Е**з§г^(М").
*=1
^(*,о) = да>«").
Поэтому семейство {Vi ni-I(O),0j-j(*,O)} определяет покрытие
пространства ТмХ координатными окрестностями, а точка х = (ж', х") €
Vi П<-1@) может быть отождествлена с нормальным вектором х' в
точке @, х") е М.
Обозначим через Q открытое подмножество в Хм, являющееся
прообразом К+ при отображении <, через j — вложение Q <—» Хм,
через р — отображение р о j и через s — иммерсию ТмХ <—» Хм•
Пусть г — проекция ТмХ —► М, а * — вложение М <—» X. Если нет
опасности путаницы, то мы будем писать г вместо i о т.
D.1.5)
М с , х
Отметим, что отображение р гладкое, а (р, <) — изоморфизм
множества Q на X х К+. Отметим далее, что р-1(М) есть объединение
ТмХ и М х К, a TmX П (М х К) = М х {0} совпадает с нулевым
сечением расслоения ТмХ.

4.1. Нормальная деформация и нормальные конусы
\Р-Х(*) t
259
Хм
't-'@)^TMX\
+0
м
Рис. 4.1.1
Определение 4.1.1. (i) Пусть S — подмножество в X. Нормальным
конусом к S вдоль М, обозначаемым CW(S), называется множество
D.1.6)
CAfE) = TwXnp-1E).
(ii) Пусть Si и 5г — подмножества в X. Нормальный конус
C(Si, 52) — это множество Сдх (Si х 52) С ТХ, где Лх — диагональ
в X х X, а ТХ отождествляется с ТЛх(Х х X) с помощью первой
проекции.
По построению Cm(S) — замкнутое коническое подмножество в
Тм X, и его проекция на М совпадает с М П 3".
Аналогично, C(Si,S2) — замкнутое коническое подмножество в
ТХ. Отметим, что если М — замкнутое подмногообразие, то C(S, M)
является прообразом Cm(S) при отображении МххТХ -* ТщХ. Это
утверждение вытекает из следующего предложения.
Предложение 4.1.2. (i) Пусть (х) — локальная система
координат на X, a Si и Sz — подмножества в X. Пусть (x0;v0) £ ТХ.
Тогда
(ж0; fo) € C^Si, S2) ** существует последовательность
{(xn,yn,cn)}eSi x&xR+,
такая, что
D.1.7)
Уп
Сп(*п ~Уп) ► fo-

260 Гл.4- Специализация и микролокализация
(ii) Пусть (х) = (х',х") — локальная система координат на X,
М = {х;х' = 0},5 С X. Пусть х0 = @,ж?) 6 M,(x0;v0) 6 ТМХ.
Тогда
(x0;v0) £ Cm(S) О существует последовательность
{(xn,cn)} = {((x'n,x'U,cn)}eSxR+,
такая, что хп —► х0, Спх'п —*■ «V
п п
Доказательство. Достаточно доказать (ii). Пусть (x',x",t)
—координаты на Хм и р : Хм -»Х — отображение (х', x",t) >-+ (<х',ж").
(a) Пусть (x„,v0) € Cm(S). Тогда существует последовательность
{«,<><»)} в Р_15, такая, что «,<,<„) - (vo,x»,0). To
П
есть последовательность {((tnx'n, x'^),^1)} E S x R+ обладает
требуемыми свойствами.
(b) Обратно, пусть {(ж„,с„)}— последовательность в 5 х Ж+,
такая, что хп —► @, ж"),с„ж(, —» и0- Если последователь-
ность {с„} неограничена, то мы можем считать, что с„ —» +оо.
Тогда последовательность {(спх'п,х'^,с~1)} в р_1E)
сходится к (vo,x",0). Если последовательность {с„} ограничена,
то и0 = 0. Мы можем выбрать последовательность
положительных чисел {е„} так, чтобы е„ —* 0, e^'s'n —* 0. Тогда
п п
{(e^'xj,, х((,е„)} — это последовательность в p~l(S),
сходящиеся к @,<,0). D
Предложение 4.1.3. Пусть V — открытое коническое
подмножество в ТмХ.
(i) Пусть W — открытая окрестность множества V в Хм, а
U=p\Wf\i2). Тогда VnCM(X\U) = 0.
(ii) Обратно, пусть U — открытое подмножество в X, такое,
что УГ\См(Х\и) = 0. Тогда p~l(U)UV является открытой
окрестностью множества V в Q — Пи ТмХ.
Доказательство, (i) Так как W Г\р~1(Х \ U) — 0, то мы имеем V П
p~l(X\U) = 0.
(ii) По определению См(X\U)Up 1(X \U) замкнуто в Q. Так как
ТМХ \ V замкнуто, а СМ(Х \ U) С ТМХ \ V, то (ТМХ \V)U p~\X \
U) замкнуто в Q. Дополнительным множеством здесь является
P~l(U)UV. О
Следующий результат необходим для доказательства теоремы
4.2.3.

4.1. Нормальная деформация и нормальные конусы 261
Предложение 4.1.4. Пусть V — открытое коническое
подмножество в ТмХ. Тогда семейство открытых окрестностей W
множества V в Хм, таких, что слои отображения р: W П Q —* X связны,
образует систему открытых окрестностей множества V.
Доказательство. Пусть W — открытая окрестность множества V в
Хм. Положим
Х' = ХМ, X' = ТмХир-\Х\М) = Х'\(М xl), S = X'/R+.
(Напомним, что ТМХ = ТМХ \Mnp-\M) = TMX U (М х К).)
Тогда S — многообразие, а а: X' —* S является К+-расслоением.
Более того, S содержит ТмХ/К+ в качестве гиперповерхности и S —»
X — собственное отображение. Уменьшая X, если это необходимо,
о
выберем сечение а расслоения X' —* S, продолжая сечение Тм X —»
TMX/R+. Положим
W = \j { связная компонента множества
me*-*(w) а-1(х)Пщ содержащая <г(х)}.
По построению слои отображения W —* S связны и W —
открытая окрестность множества V П Тм X.
Определим множество W" = W U V U (W П <-1lR"). Это открытая
окрестность множества V. Далее, W" С W и слои расслоения р :
W" П Q = W -► X связны. D
Пусть f :Y —* X — морфизм многообразий, N С Y — замкнутое
подмногообразие коразмерности ib и f(N) С М. Обозначим через /|дг
отображение из N в М, индуцированное /. Пусть /' — отображение
из TY в У хх ТХ, ассоциированное с /, и /Р — замена базы Y хх
ТХ —» ТХ. Касательное отображение Tf есть /т о /':
D.1.8) Tf: TY —► Y х ТХ —► ТХ.
Обозначим через Тц/ отображение из TnY в ТмХ, ассоциированное
с Tf, через f'N отображение из TnY в N хд/ ТмX, а через fsT
замену базы N *м ТмХ -» ТмХ, т. е.
D.1.9) TNf: TNY—+Nx TMX —» ТМХ.
Если нет опасности путаницы, то мы будем писать /т вместо /дгт и /'
вместо f'N.

262
Гл.4- Специализация и микролокализация
Обозначим через px,Jxiix>sx>Px отображения, связанные с
нормальной деформацией многообразия М в X. Пусть Qx = ^'(IR"*").
Введем аналогичные обозначения для N и У: ру, jy, <у> sy, ру, Пу.
Отображение / определяет отображение /' из Yn в Хц. Если
У — Ь/>У") (соответственно х = (х',х")) — локальная система
координат на У (соответственно на X), такая, что N = {у,}/ = 0}
(соответственно М — {х; х' = 0}) и / = (/i, /2), то
D110) / W^''<)=(|/i(<!/,y"),/2(<y/.y"),<) для < ,4 0,
I /'(•, У". 0) = (<V/, @, у") ■ jA /,@, у"), 0).
Из этого вытекает существование коммутативной диаграммы с
декартовыми квадратами
D.1.11) т./
ТМХ
Отметим, что отображения рх пру гладкие и ty = tx°f'- Диаграмма
же
YN -CL- У
D.1.12) /'1 /[
Хм ► X
не является декартовой, и если / собственное, то /' может таковым
не быть. Такие неприятные явления не возникают, если / «чистое»
по отношению к М или / «трансверсально» к М. Напомним
соответствующие определения (здесь удобно работать с касательными и
кокасательными расслоениями, см. §4.3).
Пусть / : У —» X — морфизм многообразий и М — замкнутое
подмногообразие в X.
> YN , э Оу
ay jY
а /' а /
► Хм , Э fix
"X ЗХ
Py
а /
-► X
Рх

4-2. Специализация
263
Определение 4.1.5 (i) / называется чистым по отношению к М,
если N = /-1(М) является подмногообразием в У и отображение
7]у:ЛГхм ТМХ -+TJY сюръективно.
(И) / называется трансверсальным к М, если отображение
ЧЧгххТ^х : Y хх ТМХ -» T*Y инъективно.
Если / — замкнутое вложение, то мы будем называть У чистым
(или трансверсальным) вместо того, чтобы говорить, что / чистое
(или трансверсальное). Если / трансве реально кМ, то/ чистое по
отношению к М. Обратное неверно, что можно показать на примере,
когда Y является подмногообразием в X, а М — подмногообразием в
Y. Если / чистое по отношению к М и /~Х(М) = N, то отображение
р х f:Y[f —» У х Хщ является замкнутым вложением. Это вытекает
из того, что fN : TnY —» N Хм ТмХ — замкнутое вложение, из
инъективности отображения Yn *-* Y х Хм и из того, что <у = tx of,
TNY = iy1@)nTMX = tx\0).
Если / трансверсально к М и /-1(М) = N, то /': ГдгУ —» Y хх
ТмХ является изоморфизмом и квадрат D.1.12) декартов.
В гл. 7 нам понадобится обобщение определения 4.1.5.
Определение 4.1.6. Пусть Д : Yi —» X и /2 : Vj —» X — морфизмы
многообразий; Д и Д называют тпрансверсалънылш (соответственно
чистгши), если отображение(Д, Д): У1 xYj —* ХхХ трансверсально
(соответственно чисто) по отношению к диагонали в X х X.
Отметим, что если Д — вложение подмногообразия Y^ в X, то
трансверсальность (соответственно чистота) морфизмов Д и Д
эквивалентна тому, что Д является трансверсальным (соответственно
чистым) по отношению к Yj.
4.2. Специализация
Пусть М — замкнутое подмногообразие в X. Здесь и далее мы
сохраняем обозначения §4.1 (особенно 4.1.5).
Пусть FeOb(D+(X)).
Лемма 4.2.1. Существует естественный изоморфизм
M-lRj,p~lF ~ sj,plF.
Доказательство. Рассмотрим выделенный треугольник
D.2.1) (p-lF)a —* RUP~1F —> ЯГ{<=0}((р-^)я)[1] —* .

264 Гл.4- Специализация и микролокализация
Применяя е-1, получаем
~*j,pF,
так как р! ~ р~1 [1]. П
Определение 4.2.2. Пусть F £ Ob(D+(X)). Положим
vM(F) = g-lRj*p-lF a sjipF
и назовем vm(F) специализацией объекта F вдоль М.
Теорема 4.2.3. Пусть F 6 Ob(D*(X)). Тогда
(i) МЛ 6 ОЪ(&ж+{ТшХ)) u eupp(i>*(F)) С CW(rapp(F)).
(ii) Пусть V — открытое коническое подмножество в ТмХ. То-
Hi(V;vii{F)) = VmHt{U;F),
~и*
где U пробегает семейство открытых подмножеств в X,
таких, что См(Х \ U) П V = 0 (см. рис. 4.2а). В частности,
если v 6 ТмХ, то
Hl(vH(F)).=\JmHl(U;F),
и
где U пробегает семейство открытых подмножеств в X,
таких, что v £ См(Х \ U).
(iii) Пусть А — замкнутое коническое подмножество в ТмХ. То-
Н{(ТМХ; uM(F)) = limHjZnU(U; F),
z,u
где U пробегает семейство открытых окрестностей
многообразия М в X, a Z пробегает семейство замкнутых
подмножеств в X, таких, что См(%) С А (см. рис. 4.2b).
(iv) Существуют изоморфизмы
МЛ1« - Rn(uM(F)) ~ F\M,
(RrM(vM(F)))\M a Rn(uM(F)) ~ RTm(F)\m.
(v) RT,(vM(F)\tMX)~RrX\M(F)\M.

4-S. Специализация
265
„''' V
"V;
Рис. 4.2а
i М
Рис. 4.2Ь
Доказательство, (i) Так как p~xF локально постоянен по
отношению к действию К+, то это свойство выполнено также и для Rj.p~lF,
и для 8~lRj+p~lF. Утверждение о носителях очевидно.
(ii) Пусть U открыто в X и VПСм(Х \U) = 0. Имеем цепочку
морфизмов
D.2.2)
( Rr(P;F)-+Rr{p-\V);p-lF)
-+Rr(p-1(U)r\Cl;p-1F)
-» Rrip-\U) U V; Rj.j-lp-lF)
-+Rr(V;i>M(F)),
i
где существование третьей стрелки объясняется тем, что p~l(U) U V
является окрестностью множества V ъ Q (предложение 4.1.3).
Таким образом, получаем морфизм
limHk{U;F)-+Hk(V;vM{F)).
и
Покажем, что это изоморфизм. Имеем
Я*(К; vn(F)) ~ ljmHk(W; Rj*rlP~lF)
w
~KmHk(Wna-,p-lF),
w
где W пробегает семейство окрестностей множества V. По
предложению 4.1.4 мы можем считать, что отображение р: W П ii —»p(Wf\ О)
имеет связные слои, гомеоморфныеМ. Применяя предложение 3.3.9,
получаем v
Hk(W П Q;p~lF) ~ Hk(jp{W П ii); F).

266 Гл.4. Специализация и микролокализация
¥
Так как p(WCiQ) пробегает семейство открытых подмножеств U в X,
таких, что См(Х \ U) П V = 0 (предложение 4.1.3), то мы получаем
(iii) Имеем цепочку морфизмов
RrZnv(U;F) -+ Rrp-l{ZnU){p-\U);p-lF)
-» ДГ,-.(,ш,)пЯ(р-1(£0пЯ;р-1*')
-+fir(p-i(Znu)no)UA(p~ (U)\Rj*j~ p~ F)
-+RrA(TMX;vM(F))
Мы используем здесь замкнутость множества (р-1(£ П U) П f?) U А в
р-1([/). Получаем коммутативную диаграмму
► 1|тЯ*-1(У\2;К) - \mM%nv(U;F) — Шя#*A7;К) —...
и и v
• • • ^ Я*-'(ГМХ \ Л;.М(ЛН ^(ТмХ;.«(Л)^ ff*(TMX;.M(f)) ^ ...
Так как строки точны, а 7* и /?* — изоморфизмы по (ii), то все а* —
изоморфизмы.
(iv) Рассмотрим диаграмму D.1.5) и обозначим через к вложение
М в ТмХ в качестве нулевого сечения. Имеем морфизмы
F\M^k-l8-lp-lF
-*k-le-lRj,j-lp-lF
=* vm(F)\m
и
k'i/M(F)~k's'j,j'pF
«•p'F
~ i!F,
Эти морфизмы являются изоморфизмами по (ii) и (iii). Оставшаяся
часть (iv) следует из предложения 3.7.5.
(v) Рассмотрим морфизм выделенных треугольников
*rM(F)|M ► F\u ► RTx\u(F)\u
I I I
Я/м("м(ЛIм ► Ят»«/м(Г) ► Rt*("m(F)\tux)
+i

4.£. Специализация 267
Так как левая и средняя вертикальные стрелки являются
изоморфизмами по (iv), то и правая стрелка — тоже изоморфизм. D
Пусть / : Y —» X — морфизм многообразий, N (соответственно
М) — замкнутое подмногообразие в Y (соответственно в X) и f(N) С
М. Мы используем обозначения $4.1 (см. D.1.8), D.1.9), D.1.11)).
Предложение 4.2.4. Пусть G 6 Ob(D4(V)).
(i) Существует коммутативная диаграмма канонических мор-
физмов
R(TNf),uN(G) ► vm№G)
I I
R(TNf).vN(G) < vmW*G)
(ii) Более того, если отображения supp(G) —► X и Cjv(supp(G))
—+ ТмX собственны и если supp(G) —» П/-1(М) С N, то эти
морфизмы являются изоморфизмами.
В частности, если /-1(М) = N,f чистое по отношению
к М и собственное на supp(G), то зти морфизмы являются
изоморфизмами.
Доказательство, (i) Имеем цепочки морфизмов (см. упр. 3.9)
R(TNf),Uff(G) = RiTNfi.s^RJY'Py^G)
~ SxlR~fiRJY*PYlG
-* sx Rjx*R/\Py G
^s^RJx.Px'RfiG
= vM(Rf,G)
m(Rf.G) = sxlRjx.PXlRf.G
^sxlRjx*RhpylG
-s^RflRJY.&G
—► R(TNf)+Sy RJY*Py G
= R(TNf).uN(G).
Коммутативность диаграммы следует из построения.

268 Гл.4- Специализация и микролокализация
(Н) Если pZl(supp(G)) является собственным над Хм, то все мор-
физмы — это изоморфизмы, так как можно заменить Rfl и R(Tn/)*
на Rf! и на R(Tn/)i соответственно. Следовательно, достаточно
доказать, что если замкнутое множество Z С V собственно над X,Cn(Z)
собственно над ТцХ и Z П /_1(М) С N, то pZl{Z) собственно над
Хм. Так как слои отображения pZ1(Z) —» Хм компактны, то
достаточно показать, что это отображение замкнуто. Пусть {«„}„ —
последовательность в pYl(Z), такая, что последовательность {/'(«„)}
сходится. Мы должны показать сходимость подпоследовательности
из {«„}„. Мы можем считать, что последовательность {ру («„)}„
сходится. Так как отображение
j>Z\Z)\TnY-+Xm\TmX
собственное, то можно считать последовательность {/'(un)}n
сходящейся к точке из ТмХ. Тогда предел последовательности {ру(ип)}
содержится ъ Z П /-1(М) и, значит, в N.
Рассматривал локальные системы координат в X и У, как
в D.1.10), положим «„ = (j£,j£',<„)- Тогда <„ -» 0, in]fn -> 0.
п п
Мы можем считать, что <„ > 0 (т. е. и„ 6 pZl(Z)). Так как {$}п
сходится, то достаточно показать ограниченность последовательности
{ly'lnjn- Приведем предположение \j/n\ —» оо к противоречию. Выбрав
п
подпоследовательность, мы можем считать, что {yj,/|y(,|}n сходится
к ненулевому вектору и. Тогда {(i£/|j£|, j#,<n|i£|)}n принадлежит
Ру1^) и сходится к точке р £ TnY, не принадлежащей нулевому
сечению. С другой стороны, последовательность
/'(«„) = A /i(<„j/;,i/„'),/2(<nj/,^))
ln
сходится и, таким образом, последовательность < t i1/1 /i(<дУ^> i У^) f
сходится к нулю, из чего вытекает, что Тц/(р) принадлежит
нулевому сечению расслоения ТмХ. Значит,
CN(Z) n (TNf)-\TNf(p)) э Щ0Р,
что противоречит собственности отображения Cn(Z) —^ ТмХ. D
Прежде чем перейти к рассмотрению функтора обратного образа,
заметим, что если тх обозначает отображение ТмX —* X, то
D.2.3) ъАх-т^Ах,

4.£. Специализация 269
из чего следует, что Ту 1/!Ах — (Tn/)!Атмх, или, что эквивалентно,
t""W/x =* utny/tmx- Тогда
Г UT„Y/NXMTMX а ТХШу,Х ® Г-1^®-^,
\ b>NXMTJ,X/T'Y =* V^Uff/M ® *~1Wy/X*
Для простоты мы часто будем писать Wyyx вместо r-1wyyx или
*~1wy/x- Аналогичных соглашений мы будем придерживаться для
<^n/m . огу/х и т. д. Также мы будем писать шу/х ® ■ вместо шу/х ®L •
и т.д.
Предложение 4.2.5. Пусть F £ Ob(D*(X)). Тогда существуют
канонические морфизмы
fi:vK(fF)^(TKf)lvli(F),
такие, что следующая диаграмма коммутативна:
b>TNYITMX®{TNf)~lV\l(.F) » VX(u>YIX®f~lF)
I- I
(TNf)'uM(F) < vrtifF)
Р
Здесь вертикальные стрелки определены, как в C.1.6).
Все зти морфизмы являются изоморфизмами на открытом
множестве, на котором отображение Тц/: TnY —* ТщХ гладко.
В частности, если f:Y—*Xu /\ц: N —» М — гладкие
отображения, то определенные выше морфизмы являются изоморфизмами.
Доказательство. Так как отображения ру и рх гладкие, то
Ру1/'—/!Рх'- Получаем цепочки морфизмов
(T*f)-lv»i{F) = (TNf)-lsxlRjx*pxlF
*8yl?-lRix.PxF
-► »YlR3Y*f-lPx-F
~SylRiy.PylrlF
= Mf-'F),

270 Гл.4- Специализация и микролокализация
vN{?F) = SylRjy.PylfF
a a? RSy.Tpx *
к s^FRJx.P^F
-»{TN^sxlR}X,PxlF
= (TNf)'uM(F).
Коммутативность следует из построения.
В тех точках, где Тц/ гладкое, гладкое и /', а а,0 и у —
изоморфизмы. D
Рассмотрим, наконец, функтор тензорного произведения.
Пусть X и У — многообразия, а М и N — подмногообразия в X и
У соответственно.
Предложение 4,2.6, Пусть F € Ob(D4(X)) uG € Ob(D*(y));
тогда в категории Оь(Тм>(ц(Х х У)) существует естественный мор-
физм
им (F) H uN(G) -+ vM xN (f®G).
Доказательство. Пусть рх, jx,PX,sx — естественные отображения,
связанные с нормальной деформацией многообразия М в X.
Аналогично определим py,...,sy. Мы будем писать p,j,p,s вместо
PXxy,--,*xxy Hi/.j'.p'.s' вместо рх xpyjx х Jy.px *Py,sx х«у-
Естественное замкнутое вложение
k: (X~x^Y)MxN^XMxYN
определяет коммутативную диаграмму
ТМХ х TNY с > Хм х Уд, < d Ях х QY
* XxY
р у
Га/^(ХхУ) с > (^xVj^xw, э Пххг
« i

4.3. Микролокализация 271
Имеем морфизмы
vM(F) И vN(G) = MxlRjx.9xXFB SylRjYtpyXG
-ts'^Rj'J-1 (f®g\
"s-ik-tRjip'-1 (f®g\
-*-1д;,*-1р'-1 (f®g\
"s-iRj^tFEGY Q
Следствие 4.2.7. Пусть F и G принадлежат Ob(D*(X)). Тогда в
категории Оь(ТмX) существует естественный морфизм uu(F) ®
uM(G)^uM(F®G).
Доказательство. Пусть Лх — диагональ в X х X, а 6х — вложение
Лх '-*■ X х X. Аналогично определим Лтх,Лтмх,&тх,&тмх-
Отметим, что по D.1.9) 6тмх = Тмбх- Применяя предложения 4.2.5 и
4.2.6, получаем морфизмы
vtt{F) ® »мЦЗ) * Ых (»м(П Н vn(G)j
-«Fix ("***(*■ но))
-i^^^Hg))
~i/Mf^®G). n
4.3. Микролокализация
Пусть М — замкнутое подмногообразие многообразия X
коразмерности / (как в §4.1). Мы обозначим через Tj^X ненормальное
расслоение на М в X, т. е. ядро отображения М ххТ*Х —*Т*М. Обозначим
через 7Г проекцию Т*Х -»Хиее ограничение Т£Х —► М (мы будем
иногда писать 7Г вместо i о тг, где i: М —► X).
Обозначим через 7Г ограничение проекции тг на Т*Х = Г*Х \ X.

272 Гл.4. Специализация и микролокализация
Определение 4.3.1. Пусть F £ Ob(D*(X)). Микролокализацией
объекта F вдоль М, обозначаемой hm(F), называется преобразование
Фурье-Сато специализации vm(F):
/**(*") = "*(ЛА-
Применяя теорему 4.2.3 и результаты § 3.7, получаем такой
результат:
Теорема 4.3.2. Пусть F £ Ob(D*(X)). Тогда
(i) Лм(Л€ОЬ@;+(Г^)).
(ii) Пусть V — открытый выпуклый конус в Tj^X; тогда
H'(V;fiM(F)) = limH'ZnU(U;F),
u,z
где U пробегает семейство открытых подмножеств в X,
таких, что UOM = n(V), a Z пробегает семейство замкнутых
подмножеств, таких, что Cm(Z) С V". В частности, пусть
р £ TtfX; тогда
z
где Z пробегает семейство замкнутых подмножеств в X,
таких, что CM(Z)r(p) С {v £ (ГмХ),(р); (v,p) > 0} U {0}.
(iii) Пусть Z — собственный замкнутый выпуклый конус в Т^Х,
содержащий нулевое сечение над М. Тогда
Н'ж(ТйХ;рш(Р)9<*ш,х) = limW-'(U;F),
и
где U пробегает семейство открытых подмножеств в X,
таких, что СМ(Х \U)n Int Zoa = 0.
(iv) P*(F)\ii ~ R**iim(F) *■ RrM(F)\M ~ i'F,
Rkwm(F) ~ RrM(nM(F)) ~ i~lF ® uM/x.
Заметим, что
i~lF<8>wM/x = F\M<8>iKM/x[-(\.
Применяя сформулированные результаты к выделенному
треугольнику
RrM(itM(F)) —* R**iim(F) — Я*.М#(Л *-^.

4-S. Микролокализация 273
получаем выделенный треугольник
D.3.1) F\M ® шм/х —+ RrM(F)\M —+ R^liM^F) —+ .
Пусть теперь f:Y —* X — морфизм многообразий и N С У —
замкнутое подмногообразие коразмерности Кг, такое, что f(N) С М.
Отображение Tf (см.D.1.8)) определяет отображения
(А q ,ч T*Y < У х Т*Х у Т*Х.
Из этого следует существование отображений
(А % %\ TNY * N x ТМХ ► ТМХ-
D-3.3) N tHf и ** fNw M
Если нет опасности путаницы, то мы будем писать /» вместо fnv и
'/' вместо *f'N. Положим
D.3.4) ГУ*Х = KerC/: У х ТХ — TY) = Y~\TjY).
Замечание 4.3.3. В литературе часто встречаются обозначения pj
и Wf или просто р мы вместо */' и /» соответственно. Мы такие
обозначения не используем.
Применим функтор Фурье-Сато к морфизмам предложений
4.2.4 и 4.2.5.
Предложение 4.3.4. Пусть G £ Ob(D*(y)). Тогда существует
коммутативная диаграмма канонических морфизмов
RfNri^N1 /*w(G) » HmW\G)
I i
Если отображения supp(G) —* X и Cat(supp(G)) —* T^X
собственные и если /-l(Af)risupp(G) С N, то зти морфизмы являются
изоморфизмами.
В частности, если /-1(Л/) = N, a f чистое по отношению к М
и собственное на supp(G), то все зти морфизмы являются
изоморфизмами.

274 Гл.j. Специализация и микролокализация
Доказательство. Пусть Я = i>n(G). Применяя предложения 3.7.13
и 3.7.14 к /' = /Т о /дг, получаем
(Я(Г„/).Я)Л ~ Я/„,(Я/*„,Я)Л
х RfjtfiH*),
(Я(Г„/).Я)Л ~ Я/„(Я/*„.Я)Л
*Rf~(%H*9W%-lMTiX/T.Y).
Утверждение теперь следует из предложения 4.2.4 и
формулы D.2.4). □
Предложение 4.3.5. Пусть F £ Ob(D*(X)).
(i) Существует коммутативная диаграмма канонических
морфизмов
1 i
в которой вертикальные стрелки определены формулами
C.1.6).
(ii) Если f: Y —* X и /|дг : N —* М — гладкие отображения, то
все эти морфизмы являются изоморфизмами.
(ш) Если f трансверсально к М и /-1(М) = N, то существует
естественный морфизм
Доказательство. Положим Я = vm(F) и применим предложения
3.7.13 и 3.7.14. Имеем
№v/)!ATmx®(GV/)-^)a
* (ГлМ"*мТ„х ® Гй1и\<гАтмх ® Щ\И)Г
^Д'/'№(ДИтмх®/^Я)л
((Г„/)!Я)Л~(./^ТЯ)Л
* R?f „.&*(«*)■
То есть (i), (ii) следуют из предложения 4.2.5.

4-S. Микролокализация 275
Если / трансверсально к М и f~1(M) = N, то *f'N: T^Y -* N хщ
T£fX является изоморфизмом и u>n/m — (uy/x)\n• П
Отметим, что если / и /\n — гладкие отображения, то У хх Т*Х
является подрасслоением расслоения T*Y и /«■ индуцирует
изоморфизм (У хх Т*Х) П Т^У ^ У хх Т£Х.
Мы вернемся к изучению морфизмов, определенных в
предложениях 4.3.4 и 4.3.5, в гл. 5 и б, где в терминах микроносителей пучков
будут сформулированы достаточные условия того, что эти морфизмы
являются изоморфизмами.
Рассмотрим теперь тензорное произведение.
Предложение 4.3.6. В условиях предложения 4.2.6 существует
естественный морфизм
liM(F)®ixN(G) -+ Hmxn \FBG J .
Доказательство. Следует применить предложения 4.2.6 и
3.7.15. □
Предложение 4.3.7. Пусть М — подмногообразие в X и
у: TjfX хм ТМХ —* ТМХ — морфизм, заданный сложением
векторов. Тогда для любых F,G £ Ob(D в (X)) существует естественный
морфизм
D.3.5) Rr. (iiM(F)hiiM(G)j ->рш \F®G) ®шм/х.
Доказательство. Пусть 6: ТщХ «-»■ ТцХ Хм Т^Х — диагональное
вложение. Тогда
*м{?) ® "m(G) a 6-1 (uM(F) В vM(GJ) .
Отметим, что *6 = 7! тогда, применяя предложения 3.7.13 и 3.7.15,
получаем
Х/ТмХхмТмХ
Теперь остается применить следствие 4.2.7.

276 Гл.4- Специализация и микролокализация
Замечание 4.3.8. Морфизмы предложений 4.3.4 и 4.3.5 связаны
следующим образом (доказательство предоставляется читателю):
(a) Для любого морфизма <р: G —► f'F в категории Db(Y)
следующая диаграмма коммутативна:
RfN^f'^wiG) ► txM(Rfi.G)
а
RfN^MfF) ► nn(F),
0
где q — морфизм, заданный первой горизонтальной стрелкой
в предложении 4.3.4, а морфизм /? — второй горизонтальной
стрелкой в предложении 4.3.5.
(b) Аналогично, для любого морфизма ф: F —► Rf*G в категории
Dh(X) следующая диаграмма коммутативна:
fiM(F) -— RfNw.{%liNiJ-*■F)9vY/x®u%jb)
HM(Rf.G) -— RfN*.(tfNfN(G)®u>Y/x ®«>%Jm),
где морфизм а' задан первой горизонтальной стрелкой в
предложении 4.3.5, а морфизм {У — второй горизонтальной
стрелкой в предложении 4.3.4.
4.4. Функтор цНот
Пусть / — морфизмтУ ъХ и Aj С X X.Y — его график. Обозначим
через Ах (соответственно Ау) диагональ в X х X (соответственно в
Ух. У). Мы отождествим У хх Т*Х сТ£ (ХхУ) с помощью проекции
Т*(Х х У) —► (Т*Х) х У и аналогично отождествим Т*Х
(соответственно Т*У) с Тдх(Х х X) (соответственно Т^у(У х У)) с помощью
первой проекции. Если нет опасности путаницы, то мы будем писать
А вместо Aj. Имеет место диаграмма морфизмов (см. D.3.3))
Т1г(У х Y) < Tlf{X х У) ► Т&Х(Х х X)
D-4.1) ' Ь Ь Ь
Т*У < УхГ*Х ► Т*Х

4-4- Функтор yihom 277
Существует полезная формула
D.4.2) WYXxT'X/T'Y ®b>YXxT'X/T'X ^AyxxT'X-
Обозначим через fi : Y xY —* X xY отображение (/, idy) и через
fa: X xY —* X x X отображение (idx, /)• Получаем коммутативную
диаграмму, в которой первый квадрат декартов, а /г трансве реально
к ЛХ:
YxY > X
D.4.3)
L
Ду ►
/
Обозначим через qj (соответственно qj, соответственно q'j) j'-ю
проекцию (j = 1, 2), определенную на X х X (соответственно на X х У,
соответственно на У х У).
Определение 4.4.1. Пусть F £ Ob(D*(X)),G G Ob(D*(y)).
Положим
(i) nhom(G->F) = txAKHom(fe1G,q\F),
(ii) iihom(F <- G) = (цлКНот^1 F, $G))a,
(iii) если У = X и / — тождественное отображение, то положим
txhom(G, F) = nhom(G -*■ F) = HAxiRHomiq^G, q[F)).
В формуле (ii) символ (•)" обозначает обратный образ антиподаль-
ного отображения на У хх Т*Х.
Пусть тг обозначает проекцию из Тд(Х х У) на А ~ У.
Предложение 4.4.2. (i) Существуют канонические морфизмы
R^nhom^G ->F)~ RUom(G, f'F),
Rw,iihom(F *-G)~ RHom(f-lF,G).
В частности, когда У = X и f — тождественное отображение, то
#7r»/i/lom(G, F) ~ RHom(G, F).
\ I
I*
D
т Л Л Л
Л„

278 Гл.4. Специализация и микролокализация
(ii) Предположим, что G (соответственно F) когомологически
конструктивен. Тогда
Rir,.Hhom(G -► F) ~ KHom(G, Ay) ® f~ F®wY/x
(соответственно
Rn,.nhom(F *- G) сй f-lRHom(F, Ax) ® G).
В частности, когда Y = X и f — тождественное отображение, то
Rv,Hfiom(G, F) ~ RKom(G, Ax) ® F.
Доказательство, (i) По теореме 4.3.2 существует цепочка морфизмов
RTr*nARHom(q2lG,qi lF) ~ Rq3tRTARnom(q^lG,q\F)
~ Rq2tRHom(qjlG, Rr^q[F)
~ RHom(G, Rq&RruftF)
~RHom(G,f'F).
Аналогично
Ятг.^ЯИотСвГ'-Р.ЙС) - Rqi*RrARHom(qi 'f.^G)
s Д?2,ДИот((9Г,/,)Л) fcG)
~ RHom(Rqu(qil F)u,G)
~iWom(/-lF,G).
(ii) Доказательство проводится аналогично (см. предложение
3.4.4). D
Функтор цЛот обобщает функтор микролокализации Сато.
Предложение 4.4.3. Пусть Y — замкнутое подмногообразие в X,
j — вложение ТуХ —» Т*Х и F £ Ob(D*(A')). Существует
изоморфизм
Hhom(AY, F) ~ j*nY(F)-
Доказательство. Пусть / — иммерсия У «-»■ А'. Тогда
цйхИНот{^1 AY,q\F) ~ ^x(Rf2,fWiF)

4-4- Функтор цЛот 279
Отождествим Т£(Х х У) с У х* Т£ (X х Л'). Применяя предложение
1.3.4, получаем
Тогда из предложения 4.3.5 вытекает, что
Стебель объекта nnom(G, F) можно описать на языке 7-топологии
(см. §3.5).
Предложение АЛЛ. Пусть X — векторное пространство, a F и
С, принадлежат Ob(D*(X)), и пусть (х0;£0) G Т*Х. Тогда
W(nhom{G,F)\x,M = limHi(Rr(U-,KHom)(<l>;lR<l>y,Gu,F)),
"л
где U пробегает семейство открытых окрестностей точки х0, а у
пробегает семейство замкнутых выпуклых собственных конусов в
X, таких, что у С {v € A'; (t>,£,) < 0} U {0}.
Напомним, что ф1 обозначает отображение X —* Ху, где Х1 —
пространство X с 7-топологией.
Доказательство. Пусть у — замкнутый собственный конус в X.
Положим
D.4.4) Zy = {(х,х')£Х хХ;х'-х£у}.
Тогда
Hi(tinom(G,F))itoM = lim H^RTg^V x V; RKom(q^G, q\F))),
U.V.-r
где U и V пробегают семейство открытых окрестностей точки х0, а у
пробегает семейство замкнутых выпуклых собственных конусов,
удовлетворяющих условиям рассматриваемого предложения. Тогда
ЯГг^и х V; RHom^G^q^F))
~ Rr(U х X; RHom((q^lGv)zy,q\F))
~ Rr{JJ;RHom{Rqv{qilGv)zy,F)).
Теперь результат следует из предложения 3.5.4. □
Рассмотрим функторальные свойства цпот.

280 Гл.4. Специализация и микролокализация
Предложение 4.4.5. В условиях определения 4.4.1 существуют
коммутативные диаграммы канонических морфизмов
(i) fl'/,'/i/iom(G -► F) > nhom(G,f-lF®wYix)
I I
RtfitihomiG -► F) * /i/iom(G,/'F)
(ii) RiftvLhom^F <-G) ► nfiom(f'F,G ®wY/x)
I I
R%nhom(F <- G) * pAom(f-lF,G),
(iii) Rjr,jihom{G — F) ► fihom(Rf,G,F)
RfT,p/iom(G -»• F) ► pnom(Rf\G, F) '
(iv) Rfr,fihom(F *- G) ► fihom(F, Я/.G)
I I
Rfv*nhom(F *- G) < nhom(F, Rf+G)
Если f гладкое, то все морфизмы в (i) и (ii) являются
изоморфизмами. Если f является собственным на supp(G), то все
морфизмы в (iii) и (iv) — изоморфизмы.
Перед тем как приступать к доказательству, напомним (теорема
3.1.5 и формула B.6.14)), что морфизм Rf\G —► F задает морфизм
G —► f'F, и наоборот, а морфизм F —► Rf»G задает морфизм f~lF —»
G, и наоборот. Мы систематически будем использовать эти свойства
(заменяя У на У хЛ- Т*Х и X на Г*У или на Т*Х). Мы также будем
использовать морфизмы, построенные в §2.6.
Доказательство. Мы сохраняем обозначения, введенные в начале
этого параграфа. Применяя предложение 4.3.4 и 4.3.5, получаем
следующую цепочку естественных морфизмов:
(i,a) nhom(G -► F)
= HARUom{q^lG,q\F)
-► HuRHomiq^G, Rfi.fr1 fiF)
a lt&Rfi*RHomtiilG,tff-lF)
- VWy RHom^lG, q'ifr'F ® wy/x),

4-4- Функтор цАот 281
(i,b) nhom{G,f-F)=nAYKHom{qilG>qU'F)
"HAyf'iKHomfeiG^lF)
— R'f^ARHom^G^F).
Если / гладкое, то последний морфизм является изоморфизмом.
(ii,a) nhom(F *- G)
= HuKHom(qi1F,qliG)a
-► iiARHom{Rfuf\blF, &G)'
a ltARfi*RHomtfi-lfF, #G)*
- Г>Лу RHomtf^fF, q»G® wY,x)',
(ii,b) nhom(f-1F,G)~HAYRHom(q'l-1f-1F,q'lG)a
~ hay RHom(Rfr lftlF, А Йс)°
*!fiAyf\RHom(qi1F,q)iG)a
-► fi'/l/i4«Wom(?71F, q[G)a.
Ксли / гладкое, то последний морфизм является изоморфизмом.
(iii,a) tihom(G -► F) -► рАКНот(%1 Rh^G, q\F)
^ HA&KHom(qtlRf,G,q\F)
— foAxRHom^Rf.CqiF),
(iii,b) nhom(Rf,G, F) = tiAxRHoml^1 Rf.G, q\F)
- PAxRh.RHomiq^G,q\F)
-*■ Rf^HARUomiq^G,^).
Если / собственное на supp(G), то последний морфизм является
изоморфизмом.
(iv,a) nhom{F <- G) -»• цйRHomfa1 F, f\Rfv.q%G)a
=* HAfiRHomiq;1 F, q[Rf,G)a
- /i/*Ax RHomiq^F, q[Rf>G)\

282 Гл.4- Специализация и микролокализация
(iv,b) nhom^F, Rf,G) ~ ^xRHom(qj1F, q^Rf.G)"
s ^xRf2,R'Hom(qi1 F,&G)a
-► Rf*. цлКНот($1 v F, 9iG)a.
Если / собственное на supp(G), то последний морфизм является
изоморфизмом.
Эти морфизмы дают нам все горизонтальные стрелки
предложения. Вертикальные стрелки — это естественные морфизмы f< —* /,
и /-1 ®иу/х —* /'■ Доказательство коммутативности диаграммы мь
оставляем читателю. С
Предложение 4.4.6. В условиях определения 4.4.1 существуют
канонические морфизмы
(i) Wfif^iAomiRfiG, F) -+ /iA©m(G, f~lF®ыУ/х),
(ii) Я'/!/ nhom(F, Rf.G) -► nhom(f'F,G® ыу/х),
(iii) Rfr,tf'~1nhom(G,f,F)-^nhom(Rf,G,F),
(iv) Rf*,*/'-1 nhomif-1 F,G) — nhom(F, Rf,G).
Если f гладкое и собственное на supp(G), то морфизмы (iii) и (iv]
являются изоморфизмами.
Доказательство. Имеем следующие морфизмы:
(i) f~liihom{Rf\Gt F) -> /"' Rfr,fihom(G — F)
-* nhom{G -* F)
-*tf,,^om(GJ-1F®uY/x),
(ii) f-^homiF, Rf.G) - f;lRf„phom{F - G)
-► nhom(F *- G)
^Y' fihom(f' F,G ®uY/x),
(iii) '/'-VAom(G, /!F) ^7'-1 R*f.ithom{G -► F)
-+ fihom(G -* F)
->£lilLom(Rf.G,F)t
(iv) tf'-ltihom(f-1F,G)^tf'-1Rtf',tifiom(F+-G)
-► nhom(F *- G)
^fl»hom(F,Rf<G).

4-4- Функтор (ihom 283
Если / гладкое и Я € Ob(D*(y xA- Т*Х)), то Я -**?-1В*&Н —
изоморфизм. Применяя предложение 4.4.5, получаем, что в этом случае
(iii) и (iv) — изоморфизмы. □
Пусть F\ и /г принадлежат Db(X). Существуют канонические
морфизмы
D.4.5)
„Aomf/Fj,/'*!)
/ \
lihom(f'F2,f-1F1 ® ыу/х) /lhomif^Ft ® wy/x,/!Fi).
\ /
nA«n(/-1Jii>/-1Jii)
Аналогично, пусть G\ и Gi принадлежат Db(Y). Существуют
канонические морфизмы
tihom(Rf,G2,Rf,G1)
/ \
D.4.6) ^hom(Rf*G2,Rf.G1) MAomfH/.Gj.H/.Gi).
\ S
fiAom(Rf»G2,Rf*G1)
Предложение 4.4.7. Пусть F\,Fi,G\,Gz определены, как выше.
Тогда существуют коммутативные диаграммы канонических мор-
физмов
(i) Bffif^liAom(F7tFi) —» /iAom(/!F2,/-1F1®wy/x)
I I
R'f'M^omiF^Fi)®^) — /i«era(/-,ft®«y/x,/!*,i)
(ii) RfSf'-^hom^Gi) —» nhom(Rf,G2, Rfid)
I I
Rfr^f'^orn{G2,G{)®WYix) *— nbom(Rf,Gi,Rf.Gi)
Если f гладко, то все морфизмы в (i) — изоморфизмы.
Если f — замкнутое вложение, то все морфизмы в (ii) являются
изоморфизмами.
Доказательство, (i) Из предложения 4.3.5 следует существование
коммутативной диаграммы
f-ltihomi<Fi,Fl) —♦ Ра/Г'ДДоЦ^'Л.^Л)
I 1
flnhom(F2,Fi)® wf,j£ +— Huf2Rfiom(q2 'F2 ® wy/x, q\Fx)

284 Гл.4- Специализация и микролокализация
Применяя морфизм f~1RHom(-, •) —► R7iom(f (•),/'(•)) (см. упр. 3.9),
получаем
/-,/|А©т(/',,Л) —» nhom(fiF2^Fl)
£/iAom(fi, Л) ® и®]-* <— /i/iom((/-»F2 ® uY/x) -► Л)
Если мы применим функтор Д'/j к первой горизонтальной стрелке
диаграммы D.4.7), а функтор R*ft — ко второй, то результат будет
следовать из предложения 4.4.5(i).
(ii) Из предложения 4.3.4 следует существование коммутативной
диаграммы
*Г~1 lAamiG^Gi) — /^ДЛ-ДЛот^'Г'G^G,)»
I I
'/'!/iAom(G2,Gi)®wy/x «— /Mfl/i.flAom^'f'Gj.^GiH
из которой получаем
'/'-^Лот@2, Gi) > fihom(Rf,G* «- G,)
D.4.8) | |
'/'!Mom(G2,Gi)®wy/x « f*hom(Rf<G2<-Gi)
Бели мы применим функтор Д/,1 к первой горизонтальной стрелке в
D.4.8), а функтор Rf„, — ко второй, то результат будет следовать из
предложения 4.4.5 (iv).
Пусть / гладкое. Из предложения 4.4.5(i) вытекает существование
изоморфизма
R^jihomtf F2 -*Fi)~ nhom(f'Fi: f~lFi ®uY/x).
С другой стороны, по предложению 4.3.5
fihom(f'F2 -> Fi)®uY/x a PARHam(fil Ъ*^JW\F\)
* HAURnomfa1 Ft,q[Fi)
=* frHAxRHomfa1 Fit q\Ft),
а это доказывает, что морфизмы в (i) являются изоморфизмами.

4-4- Функтор цЛот 285
Пусть теперь / — замкнутое вложение. Из предложения
4.4.5(iii) следует существование изоморфизма
Rfr<Hhom(G2 -+ Rf<Gi) ~ nhom(Rf,G3, Rf,Gi).
С другой стороны,
fihom(G2 — Rf<Gi) ~ n&RHam(q^G2,qiRf\Gx)
~ HARfv.RHomiq'^Gi^'Gi)
* V^AyXHomiq'^G^q'-d),
а это доказывает, что морфизмы в (ii) являются
изоморфизмами. D
Теперь рассмотрим действие внешнего тензорного произведения на
цЛот (см. обозначение 2.3.12).
Пусть рх '■ X —► S и ру ; У —► 5 — морфизмы многообразий.
Обозначим через qi и 92 первую и вторую проекции как многообразия
X х У, так и X х$ У. Предположим, что
D.4.9) X х Y является подмногообразием в X х У.
s
Пусть j обозначает вложение X х$ У ■—* X хУ. Так как
(X xs У) хх*у Т*(Х х У) ~ Г»Х xs VY,
то мы имеем два отображения
D.4.10) T*(xxY)<—ГХхГУ —► Г'ХхГУ.
\ * / V в i.
Предложение 4.4.8. Пусть F\,F^ принадлежат D*(X), a Gi,Gi
принадлежат Dk(Y). Тогда существуют канонические морфизмы
@ R}j\ ffihom(F2,Fi)|nAom(G2,Gi)\
-уцЛот [F2aG2,FiBGi ) ,
(ii) fff,(iuan(Ft,Fi)*$phom{Gi,Gi)\
-^nhom(Rnom(qi1Fuq21G2),RHom(qi1F2,q^1Gi)).

286 1л.4- Специализация и микролокализация
Доказательство, (i) Пусть сначала 5 = {pt}. Из предложения 4.3.6
следует существование морфизмов
->ИдххДг (momlq^FiRq^G^q^EqiGAj
~ цЛот (F2BG2,FiBGi) .
Теперь рассмотрим общий случай. Применяя предыдущий результат
и предложение 4.4.7(i), получаем
R*ji ( nhom(F2,Fi) B/iAom(G2,Gi) J
~ R*jij~l (uhom^Ft, Fi) i fihom(G2,GiU
-► R* fathom (Fi H G2, Fi&GiJ
-^fihomU-1 [fjIgjJ.j-1 (fi®Gi\)
~ nhom (F2 В G2, Fi H G\) .
(ii) Пусть сначала 5 = {pt}. Обозначим через gj (соответственно
q'j, соответственно qj) j-ю проекцию X x. X (соответственно У x У,
соответственно (X x У) х (А' х У)). Тогда
Hhom{Fi, Fi)a H nhom(Gi, Gj)
- PAxxAy (дИот(«'1-,/'2>«'!Д) Н RHomiq'^CqTdy)
-+ИдххАу (fiHoni(gfI9fIF2,g2-IgfI/,i)
®RHom (92,?2G2,gf192Gi)) йшхху

4-4- Функтор [ihom 287
^•^х«у(ДИот(ДИот(^19Г1Л,^19Г1с2),
KHomfa1 ,q^Fz^q^Gy))) ®u>x*y
~^om(KHom(q^1F1,q-1Gi),RHom(q^1Fi,qj1Gi)).
Теперь рассмотрим общий случай. Применим предыдущий результат
и предложение 4.4.7(i) и получим
V' (phomi^Fi, Fi)° ®nhom(G2 ,Gi)j
^ *j\Xl (p&om{Ft, Fi)' HnhomiG^Gx))
-> tj\u1nhom(RHom(q^F1, q^Gt), KHom(q^F7, qjlGi))
^^om{rBHom[qilFuq^lG,),jlBHom[qilF,tqilGi)).
В последнем члене можно заменить q^Gt и q%lG\ на q\G^ и
q'^Gi соответственно. Теперь требуемый результат следует из
предложения 3.1.13. □
Рассмотрим композицию функторов [ifiom.
Пусть д : Z —*■ У и / : Y —*■ X — морфизмы многообразий,
h = fog. Обозначим через д,,д{,q" (i = 1,2) 1-е проекции
многообразия X х Y, X х Z, Y x Z соответственно. Через qtj
обозначим (i,j)-ro проекцию многообразия X х Y x Z (см.
диаграмму C.6.1)). Обозначим через д,у («',^-проекцию
пространства X х Y х Y х Z, а через ру (соответственно р~ц) (i,j)-ro
проекцию пространства Т*X х T*Y x T*Z (соответственно Т'Х х
T'Y х T*Y x T*Z). Обозначим через г^ ограничение p,j на
Ay XyxY T*(X xY х Y х Z). И наконец, обозначим через j
диагональное вложение XxYxZ<—>XxYxYxZ. Отметим, что
*? индуцирует изоморфизм
D.4.11) Ау уху П^Ля{Х xYxYxZ)-^ П1ХуАщ{Х xYxZ),
a Qi3ir индуцирует изоморфизм
D.4.12) (Aj х А,) х T2k(X x Z) -=-» Т£к(Х х Z).
Y Лк «13*
Следовательно, мы имеем коммутативную диаграмму

288
Гл.4- Специализация и микролокализация
D.4.13)
Г* (А'хУ)~УхГ*Х
/ X
**
Ar * T2jXA<,(XxYxYxZ)-=^T2jXy^(XxYxZ)^DT2k(XxZ)~ZxT-X
TX,(YxZ)~ZxT'Y
' Y
Предложение 4.4.9. Пусть F (соответственно G,
соответственно H) принадлежит D*(X) (соответственно Db(Y),
соответственно Db(Z)). Тогда существует канонический морфизм
7'-Vom(# -► G) ® g~ 1цпот(в -* F) -* цпот(Н -► F).
Доказательство. Пусть К\ — RHom(q^1G, q[F), Л'г = RHom(q"~1H,
q'fG) и L = «J" W*i) ®L V" WA'»)-
Имеем цепочку морфизмов
^•'«ia'Vii» V^xa, Hfj'A'i ® «34 A'aJ
-►'«{з'/М/хуД, fi ИТг #i ®9m #2))
^•<9'131^/хуЛ„(ЛИот(^з1д'2-1Я,?1з?'1'/'))
-► ^k(Rqi3<Rnom(qiiq'2-1H, q[3q'{F))
^цйк(КНот(£1Н,ЧЧР)).
Здесь мы применили результаты предложения 4.3.5 к
отображению j, а затем результаты предложений 4.3.6 и 4.3.4 к
отображению <цз- . Е

4-4- Функтор цпот
289
Аналогичный результат справедлив для композиции функторов
цИот(- *— ■).
Следствие 4.4.10. Пусть F\, F^, Fz принадлежат D*(A'). Тогда
существует канонический морфизм
L
fihom(Fi, F3) ® fihom(F2, F3) —► nhom(F\, F3).
Пусть теперь X, У, Z — многообразия. Обозначим, как обычно,
через qij (i,j)-k>проекцию многообразия XxYxZ, а через ру (i,j)-ro
проекцию пространства Т*Х х T*Y xT*Z; через ру обозначим
композицию рц и антиподального отображения, заданного на j-м
сомножителе.
Предложение 4.4.11. Пусть Ki,Fx G Ob(D*(X x Y) и Ki,F2 G
Ob(D*(y x Z)). Тогда существует канонический морфизм.
D.4.14) Rpal3! (p&tihomiKi,Л)®pjs'^от{КъF2)\
-*Hhom(Ki о Къ, F\ о Ft),
где К\ о Ку и F\ о Fj определены формулой C.6.2).
Доказательство. Пусть j: XxYxZ —* XxYxYxZ — диагональное
вложение. Рассмотрим коммутативную диаграмму
D.4.15)
Т*(Х х У) х Г*(У х Z) < ТХ х T*Y х ТХ _
Т*(Х х У) х Г*(У х Z) «-
Т*(Х xYxZ)
Vi,
id хрзх*
TmX x T£Y(Y x У) х T*Z
T*XxYxT*Z
VXxT-Z «-
Pb
10 ■ M. Касивара, П. Шалира

290 Гл.4- Специализация и микролокализация
Применяя предложение 4.4.8(i) к отображениям XxY -*Y nYxZ -*
Y, получаем морфизм
D.4.16) R*j' j~l (nhom^Ki, Л) I /Лот(Л'2, F2) J
-♦ fihom [q^Ki ® Я,зк^>ЯЬ1р1 ® ЪзЪ) ■
Применяя предложение 4.4.6(H) и формулу D.4.6), получаем
D.4.17) Rqiawtfu1 pAom Uf^/i'i ® q^K'i, q^fi ® ?м *И
-+ ^Лот f Д?13. Uf2lA'i ® «м-Кз J > д«13! ( ?ulj?i ® «м*2 J J •
Объединяя D.4.16) и D.4.17), получаем морфизм
D 4 18) ЯЛаУй1 tfjfiir* ^Лот(Л'1, Л) Н /Лот(Л'2, F2))
—► /*Лот(A'i о Къ, F\ о F2).
Так как левая часть в D.4.18) изоморфна левой части в D.4.14) в
силу коммутативности диаграммы D.4.15), то мы получаем требуемый
результат. □
Упражнения к гл.4
Упражнение 4.1. Пусть X есть n-мерное многообразие, а М —
замкнутое подмногообразие в X коразмерности /.
(i) Взяв локальные координаты (x',x",t) на Хм и (j/,j/") на X
таким образом, что p(x',x",t) = (j/,j/"), покажите, что dt/t1
является корректно определенным сечением пучка
относительных форм Sr~ ®p-ic~ "х ~ над всем Хм-
(ii) Покажите, что сечение dt/t1 можно задать внутренним
образом,
(iii) Выведите из (i) и (ii), что относительный ориентирующий
пучок ог~ канонически изоморфен Ах.

Упражнения к гл.4 291
Упражнение 4.2. Пусть М — замкнутое подмногообразие в А' и
S замкнуто в Л'. Докажите существование функтора v : Db(X/S) -*
Оь(ТмХ \ Cm(S)), такого, что следующая диаграмма коммутативна
с точностью до изоморфизма:
D»(X) -!£U Dh(TMX)
I 1
D»(X\5) -i— Db(TMX\CM(S)).
Упражнение 4.3. Пусть М — замкнутое подмногообразие в X, a S
локально замкнуто в X. Докажите, что Сд/E) = suppj/jif (As).
Упражнение 4.4. Пусть X — многообразие и F, G 6 Ob(D*(A')).
Пусть F и G когомологически конструктивны. Докажите, что
nhom(F, G) ~ fihom(DG, DF)"
(см. предложение 3.4.6).
Упражнение 4.5. Пусть Е —» Z — векторное расслоение, F 6
Ob(Djj+(£)). Докажите, что vz(F) ~ F и цг — ^Л, где Z
отождествляется с нулевым сечением расслоения Е.
Упражнение 4.6. Пусть Fi./j 6 ОЪ(Оь(Х)). Пусть (t;r) —
координаты на Т'Ш. Установите изоморфизмы
/iAom(F2, Fi) ~ nhom I F2 H A{0}, Л И Л{0})
/iAom(f2, Fi) ~ fihom I F2 И Ац, F\ El A» j
(Указание. Используйте предложение 4.4.7.)
<=0,т=1
<=0,т=0
Упражнение 4.7. Пусть Л/ — замкнутое подмногообразие в X,Z
замкнуто в A', F,G 6 Ob(Db(X)). Постройте следующие естественные
морфизмы и приведите примеры, когда эти морфизмы не являются
изоморфизмами:
(i) AcM(Z) -» vM(Az),
(ii) vMRHom(G, F) -* KHom(vM(G)t vM(F))t
('") uMRrz(F) - RrCM{Z)(yM{F)).

292
Гл.4- Специализация и микролокализация
Замечания
Разрешение особенностей — обычная операция в геометрии.
Классический пример здесь — это введение полярных координат.
Построение нормальной деформации подмногообразия М (что мы проделали
в §4.1) не является, однако, обычной процедурой, так как
полученное многообразие полностью содержит нормальное расслоение
многообразия М, а не только сферическое или проективное расслоение.
Это построение является вещественным аналогом операции,
введенной недавно в алгебраической геометрии (см. [Fulton lj).
Определение нормального конуса (определение 4.1.1) совпадает с
классическим и встречается у многих авторов (см. [Thom l],[Whitney
1.2]).
Функторы специализации и микролокализации были введены Сато
[Sato 2] в 1969 г. (см. [Sato-Kawai-Kashiwara 1]). Наша конструкция
несколько отличается от конструкции Сато, так как мы используем
понятие нормальной деформации многообразия М. В
алгебраическом случае аналогичную конструкцию придумал Вердье [Verdier 5],
который обнаружил ее связи со знаменитым функтором «исчезающих
циклов» (см. гл. 8 § 6).
Функтор микролокализации сначала рассматривался как
средство определения микрофункций и аналитических волновых фронтов.
Вскоре после работы Сато Хермандер [Hormander 1] ввел понятие
распределений С°°-волновых фронтов и интегральных операторов Фурье,
что послужило началом интенсивной деятельности в области теории
линейных уравнений в частных производных. После этого идея
слежения за особенностями кокасательного пучка (восходящая к XIX
веку) распространилась и на другие области математики — теорию
фейнмановских интегралов, аналитическую геометрию, теорию
представлений групп, теорию пучков, и все это и составляет ту область,
которая называется сейчас микролокальным анализом.
Все основные результаты jj 4.2 и 4.3 содержатся в работе
[Sato-Kawai-Kashiwara 1]. Функтор fihom был введен в работе [Kashiwara-
Schapira 3] как теоретико-пучковая версия функтора Нот категории
^-модулей (см.§ 11.4).

Глава 5
Микроносители пучков
На многообразии А' каждому объекту F категории D (X)
соответствует замкнутое коническое подмножество в Т*Х, называемое его
микроносителем и обозначаемое через SS(F). Грубо говоря, SS(F)
описывает множество конаправлений на X, в которых F «не
распространяется». В следующей главе мы покажем, что SS(F) — инволю-
тивное подмножество в Т*Х.
Это понятие позволяет сформулировать условия
коммутирования разнообразных функторов теории пучков; например, можно
ответить на вопрос, когда f'F изоморфен wy/x®f~lF или когда
f-lKHom(Fi,F2) изоморфен KHom(f-lFi,f-lFi).
Мы начнем с доказательства эквивалентности трех определений
микроносителя SS(F) и сформулируем в терминах микроносителя
критерий того, что для двух заданных открытых подмножеств По, И\
многообразия X, Qo Cfli, действующий из ЯГ({?1; F) в Rr(Qo',F)
морфизм ограничения является изоморфизмом. Естественным
инструментом исследования микроносителя является введенная в гл. 3
7-топология, ассоциированная с выпуклым замкнутым собственным
конусом у. В действительности, если X аффинно и фу: X —► Ху —
отображение, ослабляющее топологию на X, то ф~1 Я^7» играет роль
срезающего функтора в следующем смысле: SS(#~lЯфу. F)
содержится в X х уоа и морфизм ф~1Яф1ЛР —► F является «изоморфизмом на
X х Int 7°а». Это понятие микролокального изоморфизма
определяется здесь же и будет развито в следующей главе.
Затем дается несколько примеров микроносителей, а после этого
мы изучаем поведение микроносителей при разнообразных операциях
над пучками, таких, как тензорное произведение и Лот, прямые и
обратные образы, преобразование Фурье-Сато.
Всюду в этой главе мы предполагаем, что рассматриваемые мор-
физмы являются собственными или «нехарактеристическими»,
относительно микроносителя. Это ограничение будет снято в гл. 6.
Результаты этой и следующей глав очень похожи на многие
классические результаты теории дифференциальных уравнений в частных
производных с аналитическими коэффициентами, и в гл. 11 мы
покажем, как можно вывести некоторые из этих классических
результатов из теории микроносителя.

294
Гл.5. Микроносители пучков
Во многих местах изложение близко следует статье Касивары и
Шапира [Kashivara-Schapira 3], но некоторые доказательства
упрощены.
Мы придерживаемся соглашения 4.0.
5.1. Эквивалентные определения
микроносителя
Пусть X — многообразие. Если а — целое число или а = +оо, то
будем рассматривать функции класса Са A ^ а ^ оо) на X. Если
X — вещественно-аналитическое многообразие, то под функциями
класса Сш будем понимать вещественно-аналитические функции.
Как обычно, через 7Г : Т*Х —► X мы обозначаем кокасательное
расслоение.
Предложение 5.1.1. Пусть X — открытое подмножество
векторного пространства Е, р - (х0;@) Е Т*Х и F E Ob(D*(X)). Тогда
следующие условия, где 1 ^ а ^ оо или а = ы, эквивалентны:
A)« Существует открытая окрестность U точки р, такая, что
для любой точки xi Е X и любой вещественной функции ф
класса С, определенной в окрестности точки х\ и
удовлетворяющей условиям ф(х{) = 0 и Лф^хх) Е U, мы имеем
(Л/,{«Ж«)>°}(Л)«1 = 0 •
B) Существуют собственный замкнутый выпуклый конус у в Е,
удовлетворяющий условию 0 6 у, и объект F' Е ОЬ(Оь(Е)),
такие, что
(a) 7\{0} С {«;{«,£„) < 0}, го. е. & ЕЫ(уоа),
(b) F'\v a F\u для некоторой окрестности U точки х0
в X,
(c) Wy.F' = 0 (ср. §3.5).
C) Существуют окрестности U точки х0, число е > 0 и
собственный замкнутый выпуклый конус у, содержащий 0 и
удовлетворяющий условию (а) из п. B), такие, что если мы
положим
Н= {*;{*-*„,6) >-£},
L = {*;(*-*„, 6) = -е},
то Н П (U + 7) С X и имеется естественный изоморфизм
Rr(Hn(x + y);F)^Rr(Ln(x + y);F)
для каждого х Е U.

5.1. Эквивалентные определения микроносителя 295
Доказательство. Бели £0 = 0, то каждое из этих трех условий
эквивалентно тому, что F = 0 в окрестности точки х0. Предположим, что
U Ф 0.
B) => (l)i. Мы можем считать, что X = Е и F = F'. Положим
U = X х Int?00. Для любой функции ф, такой, что ф(х{) = 0 и
d^(xi) £ U, существует 7-открытое множество Q, которое совпадает
с {х; ф(х)<0} в некоторой окрестности точки х\. Более того, мы
можем предположить, что когда Of пробегает систему 7-окрестиостей
точки х\, множества (У\П образуют систему окрестностей точки х\
в X\ii в обычной топологии. Поэтому мы получаем
(Rr{*,4>(*)>o}(F))xi = (Щху\пу)(ЯФ-г*^))х1 = 0.
C) => B). Мы можем предполагать, что X 7-открыто и U С H\L.
Пусть QquQi — такие два 7-открытых множества, что Go С Qi, х0 £
Int(f?i\r?0) и Qi\n0 CC U. Тогда
E.1.1) ДГ((х + 7) П Я; F) ~ ЯГ(х + у; FH),
и аналогичная формула верна с заменой Я на L. Из E.1.1) мы
получаем, что НГ(х + у; FH\i) = 0 для любого х £ U, и поэтому
E.1.2) {*?R*vFh\l)\u = 0.
Применяя предложение 3.5.3, мы получаем
Я^7»ЯГядЯо(/я\£) ~ Rrniy\n0yR4y*FH\L
- ИГп1у\ПоуКФу*Ф1 ЯФу*^Н\Ь
~ Яф^*ЯГп1\п0Фу Щ>1*Рн\ь
= 0.
Отсюда следует, что Д/л1\л0(/гя\£) обладает нужными свойствами.
A)ы =$■ C). Мы можем предположить, что £0 = A,0,...,0),
х0 = 0 и F £ Ob(D»(£))-
Положим «=(«!, х'), х' = (ж2,..., ж„). Возьмем достаточно малое
е > 0 и определим Я и I, как в п.C). Далее возьмем достаточно
малое 6 > 0 и положим
E.1.3) 7 = {*;*1*-Ф'1>-
Мы выбираем е, ё и 7-открытое подмножество f?i таким образом,
чтобы 0 £ B\ и (f?i П Я) х Int yoa С М+ G. Покажем, что для каждого
х £ f?i П Я имеет место изоморфизм
E.1.4) ЯГ(Я П (* + 7); F)^Rr(L П (х + 7); Л-

296
Гл.5. Микроносители пучков
Для любого а 6 Q\ П (Я\£) мы можем построить семейство
{{?«(а)}<€Ж+ открытых подмножеств в X, такое, что
(i)fl«(a)Ca + Int7,
(ii) Qt(a) П L = (a + Int 7) П L,
(iii)fl,(a)= Uflr(a),
r«
(iv) f?«(a) имеет гладкую вещественно-аналитическую
границу #f?i(a),
E.1.5) - (v) Z*(a) = ( П fl«(a)W«(«0 J n Я содержится в
df?«(a), и внешняя конормаль к Qt(a) в точке
Zt(a) содержится в U,
(vi) ((J ««(а)) П Я = (а + Int 7) П Я,
(vii) ( П tf«(a)) П Я = (а + Int7) П L.
*■ Voo /
Положим, например,
^/t + («2|x' - a'|2 - (e + aiJJ
Тогда можно взять
f?«(a) = {x; xi < ai и (xi - aiJ > <l>t(x')}.
Рис. 5.1

5.1. Эквивалентные определения микроносителя 297
Теперь мы положим
E.1.6) l?«(a) = fl,(a)U((a + Int7)\#)
и покажем, что для каждого t > 0 имеет место изоморфизм
E.1.7) ЯГ(а + Int у; F) ^ ЯГ(Я,(а); F).
Обозначим через j вложение a + Int у «-»■ X и применим лемму о
нехарактеристических деформациях (предложение 2.7.2). Достаточно
показать, что
E.1.8) №\Д,(.)(Ф.Г1*'))» = 0
для любых у £ Z,(a)\nt(a) hs^I. Поскольку Z,(a)\fit(a) С £<(a),
мы можем считать, что у £ Zt(a)\Qt(a). Если у принадлежит #\L,
то E.1.8) следует из A)ш. Предположим теперь, что у £ Zt(a) Г\Ь =
Ln9(a+Int 7) • Поскольку a+Int у и f?«(a) имеют гладкие вещественно-
аналитические границы в окрестности точки у, согласно (l)w мы
имеем
E.1.9) (RrX\nt(a)(F))y = (ЯГх\(а+ыь 7)(F)), = О
и потому
E.1.10) (RTx\a,W(Ri,r\F)), = 0.
С другой стороны, (a + Int y)\Qt(a) представляет собой
дизъюнктное объединение множеств (a + lnby)\nt(a) и (а + lnty)\(Qt(a) U
Я). Значит, (RFx^t,aJRj,j~l F)) является прямым слагаемым в
Rrx\n,(a)(RJ*J~lF), и потому из E.1.10) следует E.1.8). Таким
образом, E.1.7) доказано для всех t.
Из E.1.7) мы получаем изоморфизмы
E.1.11) Rr((a + lnty)nH;F\H)^Rr(nt(a)nH;F\H)
~Rr(B,(a)r\H;F\H).
Наконец, покажем, что для любого г 6 fl| П Я имеет место
изоморфизм
E.1.12) Rr{{x + y)r\H;F\H)^Rr((x + y)r\L;F\H),
из которого немедленно следует E.1.4).
Пусть v = A,0..., 0). Тогда семейство множеств {(х + pv + Int 7) П
Н}р>о образует систему окрестностей подмножества (х + у) П Я в
И, а семейство {fit(x + pv) П L]p>o,t>o образует систему окрестностей
подмножества (ж + 7) <")£ в Н. Таким образом, E.1.12) следует из
E.1.11). □

296 Гл.5. Микроносители пучкое
Определение 5.1.2. Пусть X — многообразие.
(i) Пусть F 6 Ob(D*(A')). Микроноситель объекта F,
обозначаемый через SS(F), — это подмножество в Т*Х, определяемое условием
р $ SS(F) •<=> выполнено условие (l)i предложения 5.1.1.
(ii) Пусть и: F —*■ F' — морфизм в категории D'(X), и пусть А —
подмножество в Т*Х. Будем говорить, что и — изоморфизм на А,
если и вкладывается в такой выделенный треугольник F—*F'—*
F"—, 4ToSS(F")nA=0.
Заметим, что и является изоморфизмом в точке р тогда и только
тогда, когда у р есть такая окрестность U, что для любых точки х\
и функции ф, такой же, как в п. A)„ предложения 5.1.1, морфизм
(ЛГ{»^(»)>0}(^))*1 -»(Rr{x;1>(x)Z0)(F'))Xl
является изоморфизмом.
Следующие свойства микроносителя выводятся непосредственно
из определения.
Предложение 5.1.3. (i) Пусть F 6 Ob(D*(AT)). Тогда SS(F) —
замкнутое коническое подмножество вТ'Х и SS(F)C\TXX = supp(F).
(ii) SS(F) = SS(f[l]).
(iii) Пусть F\ —* Fj —* F3 —* — выделенный треугольник в
категории Db(X). Тогда при i, j, k 6 {1,2,3} имеем
E.1.13) SS(Fi) С SS(Fj) U SS(Ffc) для j ф k,
E.1.14) (SSiF^SSiFj))U (SS{Fj)\SS{Fi) С SS(Fk) длякф i,j.
Иногда мы будем называть свойства (iii) неравенствами
треугольника для микроносителей. В гл. 6 мы докажем, что микроноситель
всегда является инволютивным подмножеством в Т*Х.
Замечание 5.1.4. Пусть F 6 Ob(D"(X)). Включение SS(H'(F)) С
SS(F), вообще говоря, места не имеет, но выполняется соотношение
SS(F) С \JjSS(Hi(F)) (ср. упр. 5.4 и 5.6).
Замечание 5.1.5. Пусть фх- Оь(Ах) —* D*(Z\') — забывающий
функтор, и пусть F 6 0b(D*(/4.x)). Тогда
E.1.15) SS(f) = SS(*x(f)).
Иначе говоря, SS(F) не зависит от основного кольца А.

5.2. Распространение
299
Замечание 5.1.6. Из предложения 5.1.1 следует, что микроноситель
объекта F зависит только от С^-структуры многообразия А'.
5.2. Распространение
Пусть Е — конечномерное вещественное векторное пространство,
X — открытое подмножество в Е и F 6 Ob(D*(X)).
Предложение 5.2.1. Пусть U — открытое подмножество в X, а
у — замкнутый собственный выпуклый конус в Е, содержащий 0.
Пусть По и П\ суть у-открытые подмножества в Е.
Предположим, что
E.2.1) SS(F)П(U х 1пЬуоа) = 0,
E.2.2) По С Oi и Hi\n0 С U,
E.2.3) (ж + 7)\Д) компактно для любого х £ Q\.
Тогда
E.2.4) Rr(Bi П X; F) -+ ЯГ(Д) П X; F) — изоморфизм
и
E.2.5) ЯМЯГапЛЛМл, = 0,
где ф-у — отображение X —► Х-у.
Доказательство предложения мы начнем с частного случая, а
вслед за тем докажем общий.
Лемма 5.2.2. Предложение 5.2.1 справедливо, если По имеет вид
[х 6 Е\ (х,(9) < с} для некоторого @ € latyoa «
E.2.6) SS(F)n(Ux{yoa\{O})) = 0.
Доказательство. Снабдим Е евклидовой структурой, и пусть
</(,•) — метрика в Е. Положим
E.2.7) Wt = {(sus2)e№2;sl <t}u{(sus2) 6M3;s2<0}
U{(«i,a2) 6K2;si < 2t,S2<t,(si -2<J + (s2-<J><2}
для 0 < t.
Далее, положим 1(х) = (х, £„) - с,Н = {х, 1(х) > 0} и
E.2.8) U^xt) = {х S X;(d{x,xi +y),l(x)) eWt}.

300
Гл.5. Микроносители пучков
Рис. 5.2а
ТогдаU(t,xi) э X\H,U(t,x{) С #1,если0 < t < 1, и {U(t,xi)DH}t>0
образует систему окрестностей мнонсества (xi + у) П Н. Заметим
теперь, что d(x, х\ + у) — функция класса С1 на X\(xi + 7) и ее
дифференциал на этом множестве принадлежит уоа.
Следовательно, U(t,x\) имеет границу класса С1, внешняя конормаль к
которой лежит в уоа. Отсюда следует, что (RTx\V(t,xi){F))x = 0 при
xeUr\dU(t,Xl).
Выберем е достаточно малым для того, чтобы множество
U(e,Xx) содержалось в Q\. Тогда можно применить к семейству
{U(t, xi)}o<«e лемму о нехарактеристических деформациях
(предложение 2.7.2). Полагая F = Rrx\na(F)t мы получаем изоморфизм
E.2.9)
RT(U(c, *i)j FpHtT(U(t, xi); F).
Переходя в E.2.9) к когомологиям, а затем к индуктивному пределу
по t > 0, получаем
E.2.10)
ЯГ([%, ал); ^ЯЯГОп + 7; F).
Мы используем этот изоморфизм для того, чтобы доказать
справедливость равенства ЯГ{х + у; F) = 0 для каждого х 6 f?i, и это
завершает доказательство. Выберем v 6 Int? и положим xt = х + tv.
Пусть
I={f2 0;Rr{xt + r,F) = 0}.
Тогда / непусто, поскольку xt 6 По при t » 0. Пусть <„ = Inf I. Пусть
е > 0 таково, что U(e,xto) содержится в f?i, и пусть t > t0 таково, что
tela
xto+yCU(e,xt)cU(e,xu).

5.2. Распространение
301
Изоморфизм R,r(U(e, xu); F)—*R.r(xttl +у\ F) пропускается через
объект Rr(U(e,xt);F), являющийся нулевым. Поэтому <0 принадлежит
[. Бели бы to было строго положительно, мы могли бы найти такие
t, 0 < t < <„, и е > 0, что
xt + у С U(e,xu) С U(e,xt) С U(e,xt) С flt.
Поскольку изоморфизм R,r(U(e, xt); F) —► Rr(xt+y\ F) пропускается
через нулевой объект ЯГ({У(е,х«0); F),< принадлежит I. Итак, <0 = О
и лемма 5.2.2 доказана. Q
Окончание доказательства предложения 5.2.1.. Мы сведем
предложение 5.2.1 к лемме 5.2.2. Поскольку E.2.4) следует из E.2.5),
достаточно доказать E.2.5). Если у = {0}, то F\u = 0 и предложение
очевидно. Поэтому мы можем предположить, что у ф {0}. Пусть у' —
такой замкнутый собственный выпуклый конус, что \aty' Э 7\{0}, и
пусть Q — такое подмножество в Q\\Qq, открытое в -/-топологии
на Q\\Qq, что Q СС U. Такие Q образуют базу открытых
множеств в 7-топологии на Q{\Qq. Поскольку достаточно показать, что
Rr(n;RrX\n0(F)) = 0 для таких Q и поскольку Int?00 Э 7'°о\{0},
мы с самого начала можем предположить, что выполнено E.2.6).
Кроме того, мы можем предположить, что
E.2.11) QX\Q0 CC U.
По лемме о нехарактеристических деформациях (предложение 2.7.2)
для доказательства E.2.5) достаточно показать, что
E.2.12) RrH0Rrni\nB(F)i>Hc = 0 для любого с,
где для произвольной точки £0 6 Int 700 мы положили
Яе = {*;(*,{.)> с} и дН. = {х-,(х,(а)=с}.
Для любого ж, £ дНе П U существует такое 7-°ткРытое
подмножество Q Э х0, что П П Не С U. По лемме 5.2.2 имеем
Rij>y,(Rrnniic(F)) = 0. Теперь E.2.12) следует из того факта, что
множества Wf\Hc образуют систему окрестностей точки ж, в Нс,
когда W пробегает систему окрестностей точки х0 в 7-топологии.
Доказательство предложения 5.2.1 завершено. D
Теперь мы рассмотрим случай X — Y хЕ, где Е — конечномерное
вещественное векторное пространство, а У — многообразие. Пусть
у — замкнутый выпуклый конус в Е, содержащий 0 (мы не требуем,
чтобы у был собственным). Положим Ху = Y х Е1 и обозначим через
фу непрерывное отображение X —► Ху.
Для срезания микроносителей пучков мы будем использовать
у- топологию.
Пусть F e Ob(D»(.Y)).

302
Гл.5. Микроносители пучков
Предложение 5.2.3 (лемма о микролокальной срезке).
(г) Микроноситель SS(F) содержится в T*Y х (Е х 7е0) тогда и
только тогда, когда морфизм ф~1Яфу,Р —► F является иэоморфиэ*
мом.
(ii) Морфиэм <t>~lR419F —► F является изоморфизмом на T*Y х.
(Exlnty™).
Доказательство. Мы можем предполагать, что V аффинно.
Заменяя у на {0} х у, мы с самого начала можем считать, что X = Е.
Предположим вначале, что ф~1Яф19Р a F. Мы докажем включение
SS(F) С X х уоа. Пусть @ £ уоа. Выберем собственный выпуклый-
замкнутый конус у таким образом, чтобы У\{0} С {f;(f,£o) < 0)
к У + у = Е. Тогда для любого 7'-°ткрытого непустого выпуклого
подмножества Q ъ X имеем
ЯГ{П\ F) ~ Rr(Q + y;F)~ RQ(X; F).
Отсюда следует, что для любой пары выпуклых -/-открытых под*
множеств (f?o,f?i), удовлетворяющих условию ffo С fli, справедлив^!
соотношение
Д^7-.ДГЯ1\Яо(Л = 0,
откуда вытекает, что SS(F) Л (X х {£<>}) = 0-
Обратно, предположим, что SS(F) С X х уоЛ. Для
доказательства изоморфизма ф~1Яф1ЛР ~ F достаточно убедиться, что длА
любого относительно компактного открытого выпуклого
подмножества Q в X морфизм ограничения, действующий из ЯГ({2 + y\F) I
Rr(i2\ F), является изоморфизмом. Пусть 6 — множество выпу»
клых открытых подмножеств V в Q + у, таких, что V Э О и чт
ЯДУ; F) -» Rr(Q, F) — изоморфизм. Из предложения 2.7.1 следуе*
что 6 индуктивно упорядочено. Пусть V — максимальный элемен"
в 6. Докажем от противного, что V = Q + у. Если V ф Q + у, t
существует точка х0 6 {И + f)\V.
Лемма 5.2.4. Пусть V — открытое выпуклое подмножество в X
а х0 Е X. Пусть А — порожденный подмножеством V конус с вер
шиной в х0, а X' — замкнутый конус А — х0 с вершиной в начал
координат. Пусть Vi — внутренность выпуклой оболочки множ
ства V U {х0 ). Тогда V\\V локально замкнуто в У-топологии.
Доказательство леммы 5.2.4. Мы имеем
Vi = {A - *)*• + <«; и 6 V, 0 < t J$ 1}
= {A - i)z0 + tu; uEV, 0 < t < 1}.

5.3. Микроносители с локально замкнутыми подмножествами 303
Положим
V2 = {(l-t)x0+tu;uEVt >0},
V3 = {{l-t)x0+tu;ue V,t > 1}.
Тогда Vj и Vj являются А'-открытыми, и достаточно показать, что
Vk\V = V2\V3. Поскольку V С Vi С Vit V с V3 и V2 С Vi U Vz,
достаточно показать, что V\ Л Vz содержится в V. Для х 6 Vi П Vz мы
можем записать ж = A — t)x0 + tu = A — «)ж0 + st;, где 0 < t ^ 1, 1 < s
и u,v EV. Тогда (s — <)х = (s — l)tu + A -<)st;, и потому ж 6 V. О
Окончание доказательства предложения 5.2.3.. Пусть Vi, А и А'
такие же, как и в лемме 5.2.4. Тогда А' — собственный выпуклый конус,
a Vi\ V локально замкнуто в А'-топологии согласно предыдущей
лемме. С другой стороны, IntA' Э t; для некоторого к 6 f, и поэтому
А'00 Г\у"а С {0}. Согласно предложению 5.2.1, отсюда следует, что
{I^x.,RrVlKV{F))\Vl=0.
Итак, V\ 6 6, и мы пришли к противоречию.
Для того чтобы доказать (И), рассмотрим выделенный
треугольник ф~1Яф1ЩР -»f-» F'—►. Применяя к нему функтор Й.фу*, мы
получаем iZ^7»F' =: 0, откуда, согласно предложению 5.1.1, вытекает,
что
SS(F')n(X xlnt7°°) = 0.
Заметим, что если конус 7 несобственный, то Int у" = 0. О
Замечание 5.2.5. Срезка микроносителя будет снова обсуждаться
в§6.1.
5.3. Примеры: микроносители,
ассоциированные с локально замкнутыми
подмножествами
Напомним, что если Z — локально замкнутое подмножество в А',
то пучок Az на X определяется как нулевой пучок на X\Z и
постоянный пучок со стеблем А на Z.
Пусть Е — конечномерное вещественное векторное пространство,
а 7 —замкнутый выпуклый конус с вершиной в нуле. Напомним, что
7° = -7 и 7° = {£ е Е*\ («,£) £ 0 для любых t; Е ч).

304 Гл.5. Микроносители пучков
Предложение 5.3.1. SS(A^) П^"'(О) = 7°.
Доказательство. Сечение 1 6 Г(Е;Ае) определяет сечение Ц 6
Г(Е;АУ) с носителем у. Поэтому 7° содержится в 7г-1@) Л SS(A7).
С другой стороны, морфизм ф~} о 11фуш,Ау —► Ау является
изоморфизмом. Поэтому нужный результат следует из леммы о
микролокальной срезке (предложение 5.2.3). □
Предложение 5.3.2. Пусть X — многообразие, а М — замкнутое
подмногообразие. Тогда
SS{AM) = rMX.
Доказательство. Поскольку это утверждение локально на М, мы
можем считать, что X — векторное пространство, а М —
подпространство в X. Тогда требуемое утверждение становится частным
случаем предыдущего результата. □
Заметим, в частности, что SS(Ax) = Т%Х — нулевое сечение
расслоения Т* X.
Предложение 5.3.3. Пусть <р —' вещественная функция класса С1
и dip ф 0 на множестве {х;<р{х) — 0}. Тогда
0) SS(A{r;v(r)>0}) = {(*; Ady>(*)); M*) = 0, А ^ 0, <р{х) > 0},
(ii) SS(A{r;v(r)>0}) = {{x;Xd<p{x));Xlp{x)=0,X^ 0,ф) 2 0}.
Доказательство. Утверждение (i) следует из предложения 5.3.1,
если выбрать систему локальных координат так, чтобы множество
{х; <р{х) > 0} было замкнутым полупространством.
Утверждение (ii) следует из (i) и неравенств
треугольника (предложение 5.1.3), если рассмотреть точную последовательность
0 -» А{хМх)>0] -►Ах- ^{*;v(*ko} -> 0. □
Теперь мы обсудим некоторые конкретные примеры в R2.
Обозначим через {x\,xi) координаты в R2 и через (£!,&) двойственные
координаты.
Пример 5.3.4. Пусть Z = {х 6 R2;«i > 0,-х\/2 ^ х2 < х]'2}. Тогда
E.3.1) SS{AZ) = (Г;Х Л Z)\J {(х;0;6 > 0,х2 =4-Bfr/36K,
*1=B*,/36J}.
Действительно, положим <р±{х) = ж2 ±*/ при х\ ^ 0, <р±{х) = х%
при х\ ^ 0 и Z{; = {х; <Pi{x) ^ 0} (i = ±). Легко проверить, используя
предложение 5.1.1, что для i = ± микроноситель SS(Az;) является
замыканием множества {{х; \d<fi{x)); \<pi{x) = 0,А ^ 0,<р{(х) ^ 0}.
Тогда E.3.1) следует из предложения 5.1.3, поскольку Z = Z+\ Z-.

5.3. Микроносители с локально замкнутыми подмножествами 305
Пример 5.3.5. Пусть Z = {х 6 К2; *i, я2 ^ 0}- Тогда
E.3.2) тг-ЧО) П SS{AZ) = {*; *,6 ^ 0}.
Действительно, пусть Z* = {ж 6 Z; ±xi^0, ±iCo^0}-
Рассмотрим точную последовательность 0 —► Az —* Az+ @ Az- —► j4{0}
—» 0. Из предложения 5.3.1 и неравенств треугольника (предложение
5.1.3) получаем включение я"-1@) Л SS(Az) Э {fr^ifo ^ 0}. Чтобы
доказать обратное включение, обозначим через у конус Z~. Тогда
4~1R41+Az+ 21 ф~1Яф19Ащ ~ Az+ и, следовательно, ф~1Яф1ЛАг 21
ф~1 Лфч+Ах- ■ Поскольку Int70anSS(j4z-) = 0, из предложения 5.2.3
мы получаем Int?00 П SS(Az) = 0- Заменяя у на уа, приходим к
E.3.2).
В общем случае точно вычислить SS(j4z) затруднительно. Для
того чтобы оценить это множество, введем следующее определение.
Определение 5.3.6. Пусть S — подмножество многообразия X.
Положим
NX{S)=TXX\CX{X\S,S),
n;{S) = (nx{S))°,
N{S) = (J NX(S), N*{S) = (J NX'{S).
xex x$x
Множество N(S) называется строго нормальным конусом (или
конусом строгих нормалей) к 5, а N*{S) — ненормальным конусом (или
конусом конормалей) к S.
(Напомним, что нормальный конус С{Х \ S, S) был введен в § 4.1.)
Из предложения 4.1.2 следует, что ненулевой вектор в е ТХХ
принадлежит NX{S) тогда и только тогда, когда в локальной карте в
окрестности точки х существуют такие открытый конус у,
содержащий в, и окрестность U точки х, что
E.3.3) U Л (E П U) + у) С S.
В частности, N{S) — открытый выпуклый конус в ТХ,
удовлетворяющий условию
NX{S) = ТгХ «• СХ{Х \S,S) = 0
<*xgS или xelntS.

306
Гл.5. Микроносители пучков
Кроме того,
nx{S) = 0 <* n;{S) = т;х,
NX{S) ф0& N;{S)a — собственный
замкнутый выпуклый конус.
Заметим также, что
Nx{X\S) = Nx(S)a,
N:{X\S) = N;{S)a.
Предложение 5.3.7. Пусть X аффинно, и пусть 7 — собственный
замкнутый выпуклый конус с Int7 Ф 0. Пусть Q {соответственно
Z) — открытое {соответственно замкнутое) подмножество в X.
Пусть х 6 X.
(i) Если Nx*{B) СЫ-у°и{0} {соответственно N;{Z)a С Ы-у°и
{0}), то Q {соответственно Z) i-открыто
{соответственно т-замкнуто) в некоторой окрестности точки х.
(ii) Обратно, если ii {соответственно Z) т-открыто
(соответственно т-замкнуто) в некоторой окрестности точки х, то
Nx(ii) С 7° {соответственно N*{Z)a С 7°)-
Доказательство. Поскольку Q 7-°ткрыто в окрестности точки х
тогда и только тогда, когда X\Q 7-замкнуто в окрестности точки х
и N*{Q) = N*{X \ii)a, достаточно доказать утверждения,
касающиеся Q.
(i) Для каждого ненулевого t; 6 NX{Q) существует такой
выпуклый открытый конус 7», что Q 7»-открыто в окрестности
точки х (ср. E.3.3)). Покрывая 7\{0} конечным числом таких
конусов 7«, получаем требуемый результат.
(ii) следует из E.3.3). □
Предложение 5.3.8. Пусть X — многообразие, Q — открытое
подмножество, a Z — замкнутое подмножество в X. Тогда
SS{An) С N*{Q)\
SS{AZ)CN*{Z).
Доказательство. Мы можем считать X аффинным, а результаты
достаточно доказать для ii, поскольку мы можем применить
неравенство треугольника к последовательности 0 —* Ax\z —* Ах —► Az —* 0.

5.4- Функториальные свойства микроносителя 307
Пусть х 6 X и N*{Q) ф Т£Х. Пусть у — такой замкнутый
выпуклый собственный конус, что
E.3.4) N;{Q)Clnty°U{0}.
Согласно предыдущему предложению, £2 7-°ткрыто в окрестности
точки х, и мы можем предположить, что Q 7-открыто. Тогда An =
0~1Д^7»Лл, а значит, SS(A^) С X х 7°" (предложение 5.2.3).
Поскольку это включение имеет место для любого 7, удовлетворяющего
E.3.4), мы получаем нужный результат. □
5.4. Функториальные свойства микроносителя
В этом параграфе мы изучаем поведение микроносителя при
некоторых операциях, таких, как собственный прямой образ, обратный
образ в нехарактеристическом случае и т. д. Некоторые из
полученных здесь результатов будут обобщены в следующей главе.
Пусть X и Y — два многообразия. Как обычно, через gi и q?
(соответственно р\ и рг) мы обозначаем проекцию на первый и на
второй сомножители произведения XxY (соответственно Т* X х Т* У).
Если / — отображение из У в X, то, как и в гл. 4, через '/' и fr мы
обозначаем отображения
T*Y *— Ух Г*Х —> Т*Х.
V х S,
Предложение 5.4.1. Пусть F 6 Ob(D*(X)) «Об Ob(D*(y)).
Тогда
SS (FIс\ С SS{F) х SS(G).
Доказательство. Мы можем считать X л Y векторными
пространствами. Пусть {х0,Уо',£о,Чо) € Т*{Х х Y), и предположим, например,
что (х0;£о) 4 SS{F). Возьмем Я, L,U, 7, удовлетворяющие условиям
п. C) предложения 5.1.1 для пучка F на X, и положим у = у х {0}.
Тогда для z = (х, у) 6 U x Y мы имеем
E.4.1) Rr( ЯхУл(г + 7);?Г1*,®?21£)
с-ЯГ (нп{х + у);Р®сЛ
с- Rr{Hn{x+y);F)®Gy.

308 Гл.5. Микроносители пучков
Действительно, поскольку НП(х+у) компактно, мы можем применить
предложение 2.6.6.
Поскольку справедлива также формула, отличающаяся от
E.4.1) заменой Я на L, нужный результат следует из
предложения 5-1.1. □
Предложение 5.4.2. Пусть F G Ob(D»(X)) uG G Ob(D»(y)).
Тогда
SSiKHomiq^Cq^F)) С SS(F) x SS(G)a.
Доказательство. Достаточно доказать аналогичное утверждение с
заменой (jf 1F на q[F.
Мы можем считать, что X и Y — векторые пространства. Пусть
(*.,y.;£.,-'?o)$!SS(F)xSS(GH.
Предположим сначала, что (х0;£0) £ SS(F). В этом случае
доказательство такое же, как и для предложения 5.4.1. Возьмем Я, L, U, у,
удовлетворяющие условиям п. C) предложения 5.1.1 для пучка F
на X, и положим у = у х {0}. Для z = (ж, у) G U х У, согласно
предложению 3.1.5,
E.4.2) Я'(ЯГ(Я •xYC\{z + y);RHom{qtlG,q\F)))
~НтЯ'(ЯГ((Я Л (* + ?)) х W;RUom{q;lG,q\F)))
w
~ \\тШ{R Eom{Rrc{W, G), ЯГ{Н Л (х + 7); F))),
w
где W пробегает семейство открытых окрестностей точки у.
Поскольку мы имеем аналогичную формулу с заменой Я на L, доказательство
в этом случае следует из предложения 5.1.1.
Предположим теперь, что (у0;»;о) & SS(G). Возьмем конус у,
удовлетворяющий условию B) предложения 5.1.1 для пучка G на Y. Мы
можем считать, что R<j>1,G = 0.
Лемма 5.4.3. Пусть Y — конечномерное вещественное векторное
пространство, у — замкнутый выпуклый собственный конус,
содержащий О, a Q — такое у"-открытое подмножество в Y, что длл
любого компакта К в Y множество QC\ (К +у) относительно
компактно. Пусть О1 — такое у*-открытое подмножество в Q, что
Q\Q' относительно компактно в Y. Наконец, пусть G £ Ob(D*(y)),
и предположим, что Я^7»С? = 0. Тогда
(i) Я^7.(?л=0,
(ii) Rrc{i2',G)~Rre{i2;G).

5.4- Функториальные свойства микроносителя 309
Доказательство леммы 5.4.3. Пусть Q\ — некоторое 7-открытое
подмножество в Y. Предположим, что Qif\Q CC Y. Мы имеем
E.4.3) H'{Ql;Gn)^\\mHiK{Ql;G),
"к*
где А пробегает семейство замкнутых подмножеств в П\,
содержащихся ъ Q.
Для таких А множество А' — К + 7° замкнуто в Y (здесь К
обозначает замыкание множества К в Y). Поэтому
E.4.4) К'пПгСО.
Действительно, если х = у + v G Qi, где у G A", t; G у", то у = х — v
принадлежит множеству (f?i + у) П К = П\ П К = А', и поэтому
ж G К + у" С Q + уа = Я-
Поскольку К Г\{2\ С К' Г\П\, мы получаем, согласно E.43),
Я>(Д1;Оя)с;НтЯ^пП1 (fli;G),
где А' пробегает семейство таких 7-замкнутых подмножеств, что
А л «1 С Я. Тогда RrK'na,(t2i;G) ~ ЯГ^пл, («i; ЯФ^в) = 0, что
доказывает (i).
Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что Rrc(Q,G) ~
ЯГС(У,Gn) и аналогичная формула имеет место с заменой Q на i¥.
Поэтому достаточно показать, что Rrc(Y;Gfj\fji) = 0, а поскольку
подмножество Q\Q' относительно компактно, достаточно показать,
что Rr{Y\Gn\n') = 0. Однако Rr(Y;Gn) ~ Rr(Y;G0') = 0
согласно (i). D
Окончание доказательства предложения 5.4.2. Согласно
предыдущей лемме и предложению 3.1.15, для любого открытого
подмножества W в А' и любой пары 7°-открытых подмножеств Q и Q' в Y,
таких, что Q' С О и Q \ П' С С Y, мы имеем
Rr(W х Q;RHom{q^G,q\F)) ~ Rr(W х 17; AHomfaj'G.flF)).
Поэтому условие B) предложения 5.1.1 выполнено для пучка
RHom(q^1G,q[F) относительно конуса {0}х7°- Q
Предложение 5.4.4. Пусть f :Y —* X — морфизм многообразий,
G £ Ob(D*(y)) и отображение f является собственным на supp(G).
Тогда
ss^/.ocAOr-WG))).

310
Гл.5. Микроносители пучков
Более того, если / — замкнутое включение, то зто включение
превращается в равенство.
Доказательство. Пусть х £ X и <р — такая вещественная
С^-функция на X, что <р(х) = 0 и d(^> о /)(у) £ SS(G) для любого
у G f~l(x). Тогда Rr{vo}>0](G)\f-i(x) = 0 и
(ДЛ»>о)(Я/.С)). ~ (Rf.Rr{v.}>0](G)):
= 0.
(Здесь {(р ^ 0} обозначает множество {х G X;ip(x) ^ 0} и
аналогичный смысл имеет обозначение {/о (р ^ 0}.) Это доказывает первое
утверждение. Предположим теперь, что / — замкнутая иммерсия.
Мы можем считать, что X — векторное пространство, а У —
векторное подпространство в X. Предположим, что р $ SS(R/,G), и
выберем H,L,y,U удовлетворяющими условию C) предложения 5.1.1 для
пучка RftG на X. Для iGl/ПУ мы имеем
Rr(Hn(x+y);Rf,G) ^ ЯГA n(z+ 7);Я/.<?).
С другой стороны,
ЯГ(Я П (х + 7); Я/.G) ~ ЯГ((У л Я) л (я + (У л 7)); G)
и аналогичная формула верна с заменой Я на L. Теперь нужный
результат следует из предложения 5.1.1. О
Предложение 5.4.5. Предположим, что f:Y —► X — гладкое
отображение.
(i) Пусть F G Ob(D*(X)). Гог^а
ss(r1iJ') = 7'(/,-1(ss(F)))-
(ii) Пусть G G Ob(D*(y)). Тогда следующие условия
эквивалентны:
(a) все когомологии H3(G) — локально постоянные пучки на
слоях отображения /;
(b) локально на Y существует такой пучок F £
Ob(Db(X)), что G~f~lF;
(c) SS(O) С ПУ хх Т'Х),

5-4- Функториалъные свойства микроносителя 311
Доказательство, (i) Прежде всего докажем, что SS(/-1 F)
содержится в t/'(/iT1(SS(^))). Мы можем считать, что Y = К" х R(, A' = Rn, a
/ — проекция (ж,у) 1— х. Пусть р = (ж0,у0;6,»?о) i */*(/» 1(SS(/r))).
Если Т)ь ф О, выберем t 6R' таким образом, что (v,rH) < 0, и
положим у = {@,tv);t ^ 0}. Для произвольного е > 0 мы полагаем
Я = {(*, у); (у, тH) ~£ —е}, L = Н \ Int Я. Для z G Int Я мы имеем
Rr(Hn(z+iy,f-lF) = Rr(Ln(z + y);f-lF),
поскольку /-1F|(i+j@)t,)) — постоянный пучок. Таким образом,
доказано, что в этом случае р $ SS(/-1F).
Предположим теперь, что ij, = 0 и (*<>;£о) & SS(F). Выберем
Я, L,y,U в соответствии с условием C) предложения 5.1.1 для пучка
F на X и положим 7 = 7 х {0}- Тогда для любого г G /-1(^0 мы
получим
яд/-1 (я) л (* -И);/-1*1) - яг(ял (/(*) + 7);П
и аналогичный изоморфизм имеет место с заменой Я на I. Отсюда
следует, что р $ SS(f~1F).
Для доказательства обратного включения достаточно
использовать условие A) предложения 5.1.1 и заметить, что если <р —
вещественная С^-функция на X и х G X, то
(Rrw>0}(F))t = {RrWof>0}U-lF))y
для любого у G f~1(x).
(ii) Можно считать, что Y = X х Ж'. Тогда (а)^(Ь) в силу
предложения 2.7.8, (Ь)=>(с) в силу (i), а для доказательства импликации
(с)=>(а) мы применяем предложение 5.2.3 с у = W. □
Замечание 5.4.6. Пусть V = 1f'(Yx.xT*X) в ситуации предложения
5.4.5. Множество V является гладким инволютивным
подмногообразием в T*Y. Хотя включение SS(ffJ(G)) С SS(G), вообще говоря, и не
имеет места (ср. замечание 5.1.4), SS(G) CV« SS(W{G)) С V для
любого j, что следует из предложения 5.4.5.
Для того чтобы описать поведение микроносителей при различных
операциях теории пучков, введем обозначение А+В для двух конусов
А к В в Т*Х, полагая
E.4.5) (А + В) Л v~\x) = {а + Ъ; a G А Л 5г_1(*).6 € S Л *-1(ж)}-

312 Гл.5, Микроносители пучков
Лемма 5.4.7. Если А и В — замкнутые конусы вТ*Х и АП Ва С
TJ-X, mo A+ В также является замкнутым конусом вТ*Х.
Доказательство. Пусть (ж) — система координат на X, и пусть
(ж;£) — соответствующие координаты на Т*Х. По условию £ + т)
ф 0 на множестве {((x;£),(x;n)) G А хх В;\£\ + \г)\ = 1}.
Поэтому можно считать, что \( + t}\ ^ е для некоторого е > 0 на
этом множестве. Таким образом, А Хх В содержится в
множестве С = {(х;£,??); |£ + г)\ ~£ е(|£| + |i?|)}. Поскольку отображение
ц: С —» Г* А", заданное формулой (я;£,??) \-* (x;£+ tj), является
собственным, множество А + В = ц(А хх В) замкнуто. D
Предложение 5.4.8. Пусть F G Ob(D*(A')).
(a) Пусть Q — открытое подмножество в X, a j — открытое
вложение Й<->Х.
(i) Предположим, что SS(F) Л ЛГ(Я)" СТХХ. Тогда
SS(Rj,j-lF) С ЛГ(Я) + SS(F).
(ii) Предположим, что SS(F) r\N*(Q) С ТХХ. Тогда
SSiRj^F) С N*(a)a +SS(F).
(b) Пусть Z — замкнутое подмножество в X.
(i) Если SS(F)nN*(Z)CTxX, moSS(Rrz(F)) С N*(Z)a+
SS(F).
(ii) Если SS(F)r\N*(Z)a С TXX, mo SS(FZ) C N*(Z)+SS(F).
Доказательство, (а) Можно считать, что X — векторное
пространство. Выберем точку х» £ X и докажем утверждение в этой точке.
(i) Пусть £„ g Wr*o(#) + (SS(F) П я--1 (*.)); покажем, что (*.;£.) £
SS^Rjtj^F). По условию
{Nx\(B) + m-b)r\SS{Fyc{0},
и существует такой замкнутый выпуклый собственный конус К в
ТХ\Х, что
ЛД(Л) + Ш=Ъ С Int(A') U {0},
Kan(SS(F)n*-l(xo))c{0).
Пусть 7 — конус, полярный к if. Тогда у С {t>; (t>,&>) < 0} U {0}, и в
силу предложения 5.3.7 можно считать, что Q 7-открыто. Пусть U —

5.4- Фуикториальные свойства микроносителя 313
относительно компактная открытая окрестность точки х0, такая, что
(U х 700) П SS(F) С Т%Х. Пусть Д, и tii — такие два 7-открытых
множества, что ti» С £2\ С Д> U £/. Применяя предложение 5.2.1, мы
получаем
E.4.6) (Я*г.ЯГх\яв(ЛIя, = °-
Поскольку открытое множество f? 7-°ткРЫТО, Rj*j~l коммутирует с
Я^7». Поэтому E.4.6) остается верным с заменой F на Rjtj^F, что
в силу предложения 5.1.1 завершает доказательство.
(ii) Доказательство аналогично. Пусть £0 £ N*^ (ti)a + (SS(F) П
7Г-1(х0)). Мы можем найти замкнутый выпуклый собственный конус
у и окрестность U точки ж0, такие, что у С {v; (ь,£с) < 0} U {0} и
(С/ х 7°°) Л SS(F) С Т£Х. Можно считать, что Q 7°-открыто.
Применяя предложение 5.2.1, мы можем найти такие 7-открытые
подмножества По и tii, что tio С tii С tia U U, Hi\Qq — окрестность
точки х0, а Д07»ДГЯ1\Яо(/') = 0. Положим F' = ДГлдл0(/').
Заменяя ti при необходимости другим уа -открытым множеством,
совпадающим с ti в окрестности точки х0, мы можем с самого начала
считать, что ti П(К +у) относительно компактно в X для любого
компактного подмножества К в X. Тогда по лемме 5.4.3 мы
получаем, что R/f^^F'p) = 0. В силу предложения 5.1.1 отсюда следует, что
(г<>;£о) $ SS(F^) и пучок F'n изоморфен Fq = Rjtj^F в окрестности
точки х0-
(Ь) Положим ti = X \ Z. Тогда (Ь) выводится из (а) применением
неравенств треугольника к выделенным треугольникам Rrz(F) —►
F —► RjJ~lF —► и Rj>j-lF —► F —* Fz —►. □
+i +i
Следствие 5.4.9. Пусть Z — замкнутое подмножество в X, х & Z
и N*(Z) ф Т*Х. Предположим, что F G Ob(D'(X)) удовлетворяет
условию SS(F) Л N*(Z) С {0}. Тогда (Rrz(F))t = 0.
Доказательство. Можно считать, что X аффинно. Полагая F' =
Rrz(F), мы имеем
SS(F') Л ж~1(х) С (SS{F) Л ж~1(х)) + N;(Z)a.
Поскольку множество ((SS(F)nir~l(x))+N^(Z)a)nN*(Z) содержится
в {0}, существует замкнутый выпуклый собственный конус у, такой,
что Int7oa U {0} содержит N*{Z) и
(SS(F')nv-l(x))ny°aC{0}.
В силу предложения 5.3.7 можно считать, что Z 7-замкнуто.
Согласно предложению 5.2.1, существуют такие 7-открытые подмножества

314 Гл.5. Микроносители пучков
f}\ D Оо, что 11фу11Гх\По(Р')\п1 = 0 и Q\ \ По — относительно
компактная окрестность точки х. Так как N*(Z) С Int700 U {0},
множества Q Л Z образуют систему окрестностей точки х в Z, если Q
пробегает семейство 7-открытых окрестностей точки х. Поэтому
H>(F% = 1\тН>(П; F') = ]1тН>(П л QQ; F'),
а а
где Q пробегает семейство 7-открытых окрестностей точки х.
Поскольку Q Л Qq Л Z = 0, если 7-°ткРЫтая окрестность Q
точки х такова, что Q Л Z С Qi \ Qa, мы получаем требуемый
результат. □
Следствие 5.4.10. (i) Если М — замкнутое подмногообразие в X и
Fe Ob(D»(X)), то
Snpp^M(F))CT^XnSS(F).
(ii) Пусть F и G принадлежат Db(X). Тогда
supp(/iAom(G, F)) С SS(G) П SS(F).
Доказательство, (i) По теореме 4.3.2 (ii) для р G T^X \ SS(F) мы
имеем Н'([Мм(Р))р г* l\mH}Z(F)^P), где Z пробегает описанное там
2
семейство. Но мы можем, кроме того, предположить, что N*,->(Z) С
Т^Х \ SS(F). Тогда из следствия 5.4.9 вытекает, что H'z(F)w{p) = 0.
(ii) вытекает из (i) и предложения 5.4.2. D
В следующей главе мы дадим оценку множества
SS(/iAom(G,F)).
Следствие 5.4.11. Пусть М — замкнутое подмногообразие в X,
F G Ob(D»(X)). Предположим, что SS(F) Л Т^Х С Т£Х. Тогда
(i) SS(FM)CSS(F) + T^X,
(ii) естественный морфизм Fm®umix —* RFm(F) является
изоморфизмом.
Напомним, что шм/х = OTM/x[diniAf — dimX] — относительный
дуализирующий комплекс.
Доказательство, (i) Проводя индукцию по codim M, можно считать,
что М — гиперповерхность. Поскольку результат локален на М, мы

5-4. Функториальные свойства микроносителя 315
можем также считать, что М делит X на два открытых
подмножества П+ и ii~ : X = B~ UAfU £2*. Пусть j± — открытые вложения
S2± «-► X. Мы имеем выделенные треугольники
E.4.7) Rj-^F® Rj+ij+lF —+F ^ FM —+.
Теперь результат следует из предложения 5.4.8.
(и) Пусть i: М <—► TjfrX — нулевое сечение, а я-: TjfrX —► М —
проекция. Тогда имеется выделенный треугольник
E.4.8) xhm{F)^R*.hm{F)—+R*t{tiM{F)\f.x)—>.
С другой стороны, по теореме 4.3.2 i'nM(F) = Fm®wMjX и
Rk*Hm(F) = RFm{F)- В силу следствия 5.4.10 supp(nM{F)) С
»(М), откуда вытекает, что R*»(pM{F)\f х) = 0. Итак, мы
получили (ii). □
Определение 5.4.12. Пусть /: У —► X — морфизм многообразий,
а А — замкнутое коническое подмножество в Т*Х. Будем говорить,
что / нехарактеристичен относительно А, если
E.4.9) /-1 {А) П 7у*Х С У х ТХХ.
Бели F £ Ob(D*(X)), то / называется нехарактеристичным
относительно F при условии, что / нехарактеристичен относительно SS(F).
Если / — вложение, то вместо «/ нехарактеристичен» говорят
также «У нехарактеристичен».
Напомним, что через ТуХ обозначается ядро отображения
'/': У хх Т*Х —* T*Y. В частности, если отображение / гладкое,
то оно нехарактеристично относительно любого конического
подмножества в Т*Х. Рассуждения, аналогичные использованным в
доказательстве леммы 5.4.7, показывают, что если / нехарактеристичен
относительно А, то *f'(f~1(A)) также является замкнутым
коническим подмножеством.
Предложение 5.4.13. Пусть F £ Ob(D'(X)). Предположим, что
морфизм f:Y^*X нехарактеристичен. Тогда
(i)ss{f-1F)ctf'{f;4SS{F))),
(ii) естественный морфизм f~lF®WYix —* f'F является
изоморфизмом.

316 Гл.5. Микроносители пучков
Доказательство. Разложим / в композицию морфизмов с помощьк
отображения графика
Y-^YxX-^X, f = hog,
где д(у) = (у, /(у)), а Л - проекция произведения У х X на второе
сомножитель. Достаточно доказать результат отдельно для Л и д, I
можно с самого начала предполагать, что / либо гладок, либо
является замкнутым вложением. Теперь утверждение следует из
предложения 5.4.5 в гладком случае и из предложения 5.4.4 и следствия
5.4.11 в случае вложения. Cf
Предложение 5.4.14. Пусть F и G принадлежат Db(X).
(i) Пусть SS(F)nSS(G)e С Т^Х. Тогда
If ® g\
SS(F®Gj CSS(F) + SS(G).
(ii) Пусть SS(F)nSS(G) С TXX. Тогда
SS{KHom{G, F)) С SS(F) + SS(G)a.
Если, кроме того, G когомологически конструктивен, то
KHom(G, AX)®L F -* KHom{G, F) — изоморфизм.
Доказательство. Напомним, что
E.4.10) F ® G ~ 6Х* (F Н G) ,
E.4.11) KHom{G,F) ~ 6'xRHom{q^G,q\F),
где 6Х : X —* X х X — диагональное вложение. Поэтому требуемое
утверждение следует из предложений 5.4.13, 5.4.1,5.4.2 и 3.4.4. О
Замечание 5.4.15. В предложениях 5.4.8-5.4.13 мы всюду делал»
предположение о нехарактеристичности. Оно будет снято в гл. 6.
Примеры 5.4.16. (i) Пусть t — координата на R, /:!->! —
отображение Ы<3,и пусть G = Аж. Тогда Rf,G ~ Аж, но /.'/'"'(^«К)
содержит TV*0jIR. Поэтому включение в предложении 5.4.4, вообще
говоря, не является равенством. Однако если / голоморфно и конечно,
а пучок G С-конструктивен (см. §8.5), то равенство всегда имеет
место [Kashiwara 5].

5.^. Функториальные свойства микроносителя 317
(ii) Пусть А' = Ж2 с координатами (t,y),Y = {(t,y)\t = 0}, и пусть
2 = l(t,y);t> 0,-t<y<: t]. Тогда
E.4.12) SS(Az)n*-40) = {(r,iy); г < -|9|},
где (г, ij) — двойственные координаты. Тогда Y нехарактеристично
относительно пучка Az. Поскольку (Az)y = Rry(Az) = 0,
включения в предложении 5.4.13 не являются равенствами в общем случае.
Теперь мы обобщим предложение 5.4.4 на несобственную ситуацию.
Из теории Морса хорошо известно, что если У — компактное
многообразие, а (р — вещественная С1-функция на У, не имеющая
критических значений в интервале ]<i, tj[, то для любого j группы кого-
мологий Н*({х;<р(х) < t};Ax) изоморфны для всех t €]<1,<г].
Аналогичный результат справедлив в относительном случае, т. е. для
любого пучка G на У; при этом условие, что <р не имеет критических
значений (т. е. d<p(x) £Т£Х при <р(х) €]ti,h[), заменяется условием,
что dip(x) не принадлежит SS(G). Более точно, мы имеем следующий
результат.
Пусть /: У —► X — морфизм многообразий, а <р — вещественная
С'-функция на У. Положим
E.4.13) Yt = {yeYMy)<t}, Yt = {yeY;<p(y)^t}
и обозначим через jt (соответственно jt) вложение Yt '—* Y
(соответственно У <—► У), а через /« (соответственно /<) — отображение
/|к, = / о jt (соответственно / о jt). Пусть U € Ш.
Предложение 5.4.17. Пусть G 6 Ob(D*(y)), и предположим, что
supp(G) П Yt является собственным над X для всех t £ Ж.
(i) Пусть для любого у 6 У \ У<0
d<p(y)t(sS(G) + y(YxT'Xy).
Тогда
(а) Я/,G ~ RfujflG для1>10,
(a) RftG ~ RfuJtlG для t > <„,
(b) SS(Rf.G) С /,('/'-488@) П т-»(Я.)))
= /,rG'-1(SS(G))).
(ii) Предположим, что для любого у £ У \ У<0
-d^^^ssiO + r (у ^т*х^.

318 Гл.5. Микроносители пучков
Тогда
(с) Я/. G ~ Rft, j~' G dA*t>t0,
(c) Rf<G ~ RftJiG Лиг t ><„,
(d) SS(RfiG) С ЛСГЧБВД ПтГ'ОО))
с ЛСГЧБВД)).
Доказательство. Пусть / — отображение, задаваемое формулой
(/, <р): Y —► X х Ж, и пусть ди^ — проекции произведения X х Ш. на
первый и второй сомножители соответственно. Тогда отображение
/ является собственным на supp(G) и / = q о /. Пусть i(
(соответственно it) обозначает вложение Хх] — оо,<[<—► X х Ш (соответственно
X х] - оо, t]*-* X х Ж). Положим qt = q о it и gt = q°if Тогда, полагая
G = Rf*G, имеем
Rft*hlG ~ Rqui^G, Rfu'jrlG ~ flfc.if'G,
Rftdr'G * Rqt'.i^G, RftJlG ~ Яд,JtG.
Поэтому достаточно доказать утверждение для G,q,it,<p вместо
G,f,jt,<p-
(i) Из условий предложения следует, что
E.4.14) SS(GH(T*X х {(<;г);<Х.}) СГ*Х х {(<;r);r s$ 0}.
Пусть U — открытое подмножество в X, содержащееся в локальной
карте и выпуклое в этой карте. В силу предложения 5.2.3 и следстви
3.5.5 для всех t >t0 имеет место изоморфизм
E.4.15) Rr(U х JR; G) =Г Rr(U х) - оо, <[; G).
Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать изоморфиз»
Rr(Ux]t0, oo[; G) ^ Rr(Ux]t„, t[;G). В силу изоморфизма ]t0,оо[?
IR мы можем применить приведенные выше предложения. Это дока
зывает п. (а).
Поскольку q является собственным на supp(i<»i'JG), из предложе
ния 5.4.4 мы получаем, что
E.4.16) SSiRq.RitJ^G) С {(x;O;(x,t';^0)eSS(RiiJ71G)
для некоторого t'}.
Так как SS(Rit,i^G) содержится в SS(G) + (Г^Х х {(<, г); г < 0})
силу предложения 5.4.8, из E.4.16) и E.4.14) вытекает, что для t>i
SS(fi9»fii«»i71G) С {(*;£);(М';£,0) € SS(G) для некоторого*'},
откуда следует (Ь).

5.4. Функториалъные свойства микроносителя 319
Чтобы получить (а'), достаточно заметить, что для любого
компактного подмножества К в А' справедливо соотношение
Hk(K; Rqt^G) =5 lira Hk(K; Rqt.^G).
(ii) Доказательство аналогично, следует лишь заменить «т ^ О» на
«г ^ 0» в E.4.14) и вместо формулы E.4.15) использовать формулу
RrUx]-oo,t)(U х Ш-G) a RTUx].oattq(U х R;G)
для любых t и t',t„ ^t ^t'. □
'Замечание 5.4.18. Условия предложения 5-4.17 означают, что
/ относительно нехарактеристичен в следующем смысле. Пусть
Г* (У/А') — относительное кокасательное расслоение, т. е. коядро
морфизма '/': У хх Т*Х — Г* У, и пусть р: T*Y -* T*(Y/X) —
естественная проекция. Тогда условие предложения 5.4.17 записывается
в виде ±p(d<p(y)) £ p(SS(G)) для любого у 6 У \ У..
В качестве частного случая предложения 5.4.17 установим
следующий полезный результат.
Следствие 5.4.19 (микролокальная лемма Морса). Пусть F 6
Ob(D'(X)), и пусть ф: X —* R есть С1-функция, такая, что
отображение ф: supp(F) —► №. является собственным. Пусть a, b € № и
а <Ь.
(i) Предположим, что &ф(х) £ SS(F) для любого х £ X, такого,
что а ^ ф(х) < 6. Тогда естественные морфизмы
ЯГ(^10-<»,6[);^ЯГ(Г1а-сс,а]);/')
-+ДГ(Г1(]-°о,а[);/')
являются изоморфизмами.
(ii) Предположим, что — &ф(х) £ SS(F) для любого х € X, такого,
что а < ф{х) ^ 6 {соответственно а ^ ф(х) < 6). Тогда
естественный морф изм
ДГ^-1(]_0О>а])(Х; F) -> R^-iQ-oo,b])(X; F)
(соответственно
ЯГс(ф-»Q - оо,а[); F) - ЯГе(ф~1(] - оо, 6[);F))
является изоморфизмом.

320
Гл.5. Микроносители пучков
В качестве простого приложения полученных выше результатов
докажем неравенства Морса для пучков. С этой целью будем преда|
полагать вплоть до конца § 4, что основное кольцо А является полем^
и будем обозначать его через к. Для V € ОЬ@*(ЯИо1)'(Ь)) положим,,
как и в упр. 1.34,
E.4.17) bj(V) = d\mH>(V),
E.4.18) Ь?00 = (-1)(Е(-1УМК).
Пусть теперь F б ОЬ@*(ЛГ)), и пусть ф: X —► 1R —' некоторая
С°°-функция. Положим
E.4.19) Лф = {(х;<1ф(х)У,хеХ}.
Заметим, что Лф — лагранжево (вообще говорящие коническое)
подмногообразие в Т*Х.
Предложение 5.4.20. Сделаем следующие предположения:
(i) для всех t €Ш множество {х 6 suppF; ф(х) ^ t} компактно;
(ii) множество Лф П SS(F) конечно (и, например, равно
{pi,-,pn});
(iii) пусть Х{ = v(pi); тогда V{ = (Я^{о*(«<)}(^))** принадлежит
Ob(D\m&t>f(k))) для всех i=l,...,N. Тогда
(a) Rr(X;F) принадлежит Db(mobf(k));
(b) для Ь, = by(^r(X;F)),b; = Ь;(ДГ(Х;^)),Ц = Eibi(K) и
b'f = E,bj*(V;) мы имеем
E.4.20) Ь?ОГ ^лявсег/,
E.4.21) Е(-1Уь,- = Е(-1)Ч
i i
Доказательство. Заметим прежде всего, что из предположения (i|
следует, что функция ф является собственной на supp(F). Полом
жим G = R(j>*F. Пусть t — координата на Ж. Далее, пуст!
Ф({х1,...,хк}) = {<i,...,</<}, где*,- <ti+1 для всех i. Тогда
(i)' для всех t 6 R множество ] — оо, t] П supp(G) компактно.
(ii)' SS(G)П {(<; di); t 6 Щ содержится a Uf=i{(<»Sd*)} (это следуй*
из предложения 5.4.4).
(iii)' (Rr{0ii](G))ti-e^i)=uV}.

5.4. Функториальные свойства микроносителя 321
Действительно, левая часть последнего соотношения изоморфна
(Щ*;Ф{х)*ц}(Щф-Ци), а полому n QHx.)=i.(Rr{<Kx)>ti)(F))Ci по
определению микроносителя. Поскольку ДГ(Х; F) = Rr(HL;G), a G
удовлетворяет тем же условиям, что и F, мы с самого начала можем
предположить, что X = R, а ф — тождественное отображение.
Положим теперь te = —оо, t/,+1 = +00, It =] — оо, t[, Zt =] — 00, t] и
для краткости будем писать Ц = Itj,Zj = Ztj.
По лемме о нехарактеристических деформациях (предложение
2.7.2) имеют место изоморфизмы
Rr(Ij+1,F) =Г Rr(It;F), tj<t^ ti+l.
Переходя к когомологиям, а затем к индуктивному пределу для
t > tj, получаем
E.4.22) Я*(/л.,;/,)йЯ*(Я,;П
Рассмотрим выделенные треугольники
E.4.23) (Rr{i>ti)(F))tj — RT(Zj;F) — RT{It; F) -+ .
Поскольку Rr(I\\F) = 0, в силу E.4.22) мы получаем по индукции,
что и Rr(Z}\ F), и Rr(Ij]F) принадлежат Di(aUo5/(fc)). Это
доказывает утверждение (а).
Обозначим для краткости bj(Rr(Zi',F)) через bj(Z{) и
bj(Rr(Ii;F)) через bj(I{). Применяя результат упр. 1.34, мы
получаем из E.4.23) соотношение
ьГ5*Е(дао-ь?(/0).
f=l
Так как, согласно E.4.22),
Ь; = Е(М^)-М/0),
то выполняется неравенство E.4.20).
Наконец, E.4.21) следует из E.4.20), поскольку Ь* = — Ъ*_1 и Ь{* =
-bj!.! при/>0. □
Результаты о классических неравенствах Морса можно найти у
Милнора [Milnor 1]. Отметим, что выражение £,•(—l^ty есть не что
иное, как характеристика Эйлера-Пуанкаре объекта F на X. Мы
вернемся к этой характеристике в гл. 9.
11 -М. Касивара, П. Шапира

322
Гл.5. Микроносители пучков
5.5. Микроноситель конических пучков
8 этом параграфе мы изучаем микроносители пучков на векторных
расслоениях.
Пусть г: Е —* Z — вещественное векторное расслоение над
многообразием Z (ср. § 3.7). Через ц : Ж+ х Е —» Е обозначим
действие R+ на Е, а через е — векторное поле на Е, задающее
соответствующее инфинитезимальное действие. Таким образом, для любой
функции <р на Е имеем (е(<р))(х) = ^¥>(/x(i|£))|t=i.' Векторное поле
е обычно называется эйлеровым векторным полем. Отображение ц
порождает отображение *ц': Ж+ х.Т*Е —» T*R+ хТ*Е. Рассмотрим
композицию ограничения отображения '// на 1 6 П£+ с проекцией
Г»К+ хГ£-» Г*К+ ~ 1+ х t - 1. В результате мы получаем
отобразкение
E.5.1) 6e:T'E->R
— главный символ оператора е.
Пусть (z,x) — (локальная на Z) система координат, такая, что
(z) — координаты на Z, а (ж) — линейные координаты. Пусть
(*>з;С>£) — соответствующие координаты на Т*Е. Тогда
[* = <*,&> = £*/£,
E.5.2) | вЕ = (х,0,
(aE = (Cdz) + (t,dx).
Здесь ое —фундаментальная 1-форма на Т*Е (ср. §П.2).
Напомним, что через T*(E/Z) обозначается относительное кокаса-
тельное расслоение многообразия Е над Z. Оно определяется точной
последовательностью векторных расслоений над Е
E.5.3) 0 —£хТ*2 —Г*£—T*(£/Z) —0.
Z
Для любого z £ Z слой T*(E/Z)Z расслоения T*(E/Z) над z
можно отождествить с кокасательным расслоением T*(EZ) к слою Еж
расслоения Е над точкой z. С другой стороны, Т*(Ег)
изоморфно Ez х Е*. Поэтому для каждого z мы получаем отобразкение из
T*(E/Z)Z в Е*г. Это дает отображение
E.5.4) Г (E/Z) -> Е\
Затем мы определяем морфизм над Z
E.5.Г.) Фе-.ТЕ-.Е*
как композицию Т*Е -► T*(E/Z) -► Е*.

5.5. Микроноситель конических пучков 323
Предложение 5.5.1. (i) Существует единственное отображение
Фе- Т*Е—* Т*Е*, такое, чтоав — d&E =^в(«в*) « что композиция
ГЕ —► ТЕ* —► Е" равна фЕ.
Фе «
(ii) Be- о Фе = — вв- •
(iii) Фе* °Фе = а*, где а* — автоморфизм расслоения Т*Е,
индуцированный антиподальным отображением на Е.
Цоказательство. Пусть, как и выше, (z, х) — система локальных
координат на Е, и пусть (z, у) — двойственные координаты на Е*. Тогда
каноническое спаривание между Е и Е* над Z задается формулой
Е xz Е* Э (z,x,y)>-* (х,у) = 'EjXjyj. Пусть (*,*;<,О и (г,у;С,ч) —
соответствующие координаты на Т*Е и Т*Е*. Отобразкение Фе
задастся формулой (z,x;C,0 •-» (*;£)> и мы имеем
aE-deE = (Cdz)-(x,6Z).
Поэтому отобразкение
E.5.6) ФЕ:{2,х;и)»Ы;С,-х)
удовлетворяет нужным условиям. Отобразкение Фе однозначно
определяется этими условиями. Действительно, из равенства тгоФд = фв
следует, что
<М*. *,С,0 = (*,& <Po(z, х,С,0> <Pi(*, *> C,0)i
а из второго условия вытекает, что
(<potdz) + (<p1Nt) = (C,dz)-(x)dQ.
(ii) следует из формулы E.5.6).
(iii) Так как Фе-B,У,С,ч) = (*,»?;<.-«/). то ФЕ* °<Ы*>*><>£) =
(*,-*,<, "О- П
Замечание 5.5.2. Отобразкение Фе — симплектическое (т. е.
сохраняющее форму dare), но не однородное симплектическое (т. е. не
сохраняющее форму <*е) преобразование.
Мы обозначим через Se характеристическое многообразие
эйлерова векторного поля
E.5.7) Se = 0e\V)-
В координатах (z, x; £,£) влТ*Е многообразие Se задается
уравнением (*,£} = 0.
и *

324
Гл.5. Микроносители пучков
Наконец, заметим, что на многообразии ТЕ заданы два действия
группы 1R+, одно из которых отвечает структуре векторного
расслоения Т Е над Е, а другое — структуре векторного расслоения Е над Z.
Во введенной выше системе локальных координат эти два действия
описываются формулами
1(«,*;С,0'-(*,/«*;С,/|-10. /*ек+.
Подмножество в Т* Е будем называть биконическим, если оно
инвариантно относительно обоих действий группы Ж+.
Изучим теперь конические пучки на Е. Напомним (§3.7), что
через Dj+(£) обозначается полная подкатегория категории D*(J£),
состоящая из таких объектов F, что для любого j когомологии H'(F)
локально постоянны на орбитах действия группы Ж+.
Предложение 5.5.3. (i) Категория Djt+(£') — полная подкатегория
в 0Ь(Е), состоящая из объектов F, для которых SS(F) С Se-
(ii) Если F € 0Ь@^+(£)), то множество SS(F) биконинеское.
Доказательство. Пункт (ii) очевиден. Докажем (i).
Положим E = E\Z, где Z отождествлено с нулевым сечением.
Достаточно доказать утверждение на Е. Но оно следует из
предложения 5.4.5, так как £/R+ — многообразие, а Е Xg/j+
T(E/R+) = ExESE. D
Проекция г: Е —» Z и ее ограничение г на £ определяют
отображения
ТЕ < э ExTZ ► TZ
E.5.9)
L L
ТЕ < d ExTZ ► TZ
Кроме того, нулевое сечение расслоения Е позволяет нам определит!
иммерсии
E.5.10) TZ^-ExTZ^TE,
с помощью которых мы будем иногда рассматривать TZ как
подмножество в ТЕ. Заметим, что если А — замкнутое биконическсч
подмножество в ТЕ, то
E.5.11) Tvtrl-\A)=TZr\A.

5.5. Микроноситель конических пучков 325
Предложение 5.5.4. Пусть F £ ОЬ@^+(Е)). Тогда
(i) SS(RT,(F))cT*Zr\SS(F),
(ii) SS(Rt,(F)) С T'Z nSS(F),
(iii) SS(fir.(F))Cr,'r'-1(SS(F)),
(iv) SS(Rt,(F)) С Vt'-1(SS(/')).
Доказательство. Локально на Z мы можем выбрать координаты
(z; х), где (ж) — координаты в слое. Тогда требуемые
утверждения следуют из предложения 5.4.17, в котором нужно положить
Z = X,Y = Е и Yt = {(z,x);\x\2 < <} в случаях (i) и (ii) или
Yt = {(z, x);t~l < \х\2 <t} в случаях (iii) и (iv). □
В § 3.7 мы определили преобразование Фурье-Сато FA конического
пучка F € Ob(Dg+(£)). Напомним, что
FA = Rp2,Rrp(p^F),
где pi и р2 — проекции произведения Е xz E* на первый и
второй сомножители соответственно, а Р = {(z,x,y) £ Е xzE*;
(х,у)>0). □
Теорема 5.5.5. Пусть F £ Ob(D^+(E)). Тогда, отождествляя Т*Е
и Т*Е* с помощью отображения Фе (см. предложение 5.5.1), мы
получим
SS(F) = SS(FA).
Доказательство. По теореме 3.7.9 достаточно доказать включение
SS(FA) С SS(F). Выберем локальные координаты (z,x) на £ и
обозначим через (z, у) двойственные координаты на Е*, а через (z, x;£,£)
и (z,y;(,t)) координаты на Т*Е и Т*Е* соответственно. Тогда Фе
определяется формулой E.5.6). Пусть (z0,x0;Co,to) £ SS(F);
покажем, что (z0,£oXo>~Xo) £ SS(FA). На первом шаге предположим,
что
E.5.12) *. фО, £0ф О,
E.5.13) Rrz(F) = 0.
Обозначим через j вложение Е <—* Е, через j вложение Е xz E* <—*
Е xz Е* и через р2 проекцию Е xz Е* —* Е*. В предположении, что
выполнено E.5.13), мы имеем
Rrp(P;lF)~RrpfclRj.j-lF)
~ Rrp(Rj,j-lp^F) ~ Rj."rlRr,{pilF),

326
Гл.5. Микроносители пучков
и потому
Пусть (£„,£„;С,,— х„) € SS(FA). Применяя предложение 5.5.4
к р2, мы найдем некоторую точку х\ € Е, такую, что
(z0,xubX.A-x.)€SS(Rrp(pilF)).
Если (z0,xi,£o) € дР, то в силу E.5.12) множество Р имеет
гладкую границу, конормаль к которой в этой точке задается ковек-
тором £edx + х\Ау. Поскольку эта точка не лежит в SS(piF)°,
мы можем применить предложение 5.4.14 и найти такое &, что
(г.,*1,*.;С,6,0) € SSip^F) и (*.,*i,^;0,6, *•) 6 SS(AP). Таким
образом, х0 = kxi,^i = Jfe£0 для некоторого Jfe > 0 и B0,xi;Co,4i) €
SS(F). Это противоречие, поскольку множество SS(F) биконическое.
Чтобы избавиться от предположения E.5.13), рассмотрим
выделенный треугольник
Rrz(F) — F —► Rj,j~lF —► .
Так как предыдущий результат можно применить к Rj,j~lF,
достаточно показать, что (z0,£o>Co, — х0) $. SS(R,rz(F)*). Но это следует из
предложения 3.7.13. Действительно, обозначим через i вложение
Z <-> Е. Мы имеем Rrz(F)* ~ (iti'F)* ~ w~lrF, и микроноситель
пучка n~liF содержится в множестве {(z,у;С,ч)',Ч = 0}.
В заключение мы рассмотрим общий случай.
Рассмотрим пучок Arx{o} на М2. Применяя предложения 3.7.15 и
3.7.12, мы получаем
E.5.14) (F В АЖх{0))л ~ F* В А{0}хж[-Ц.
Ecли(гo,xo;C.)^)^SS(^^),тo(гO)xO)lH;C.)^,0)l)^SS(FEIЛЖx{0}))
так что (zo,6>,0, l;Ce,-*e,-l,0) £ SS(FA В A{0}x»), откуда следует,
что (zo,Zo,(o,— х0) $ SS(FA) в силу предложений 5.4.4 и 5.4.5. D
Упражнения к гл. 5
Упражнение 5.1. Пусть X — многообразие, а V — замкнутое
коническое подмножество в Т*Х. Обозначим через &\)V(X)
(соответственно D{,(X)) полную подкатегорию в 6f)(X) (соответственно в D*(X)),
состоящую из объектов F, для которых SS(F) С V.
(i) Теперь предположим, что X — комплексное векторное
пространство с линейными координатами (z) = (zi,...,zn), и

Упражнения к гл. 5
327
пусть (z; С) — координаты на комплексном кокасательном
расслоении А' х X'. Мы отождествим А' х А" с вещественным ко-
касательным расслоением посредством формы (£, dz) + (£, dz).
Пусть V = {(*;С); Z)iz;Cj = 0}- Докажите, что &f)v(X)
состоит из пучков, которые локально постоянны на орбитах
действия группы С* на X.
(и) В ситуации (i) выясните, является ли функтор 6 :
Db(&t)v(X))-* Dbv(X) эквивалентностью категорий.
Упражнение 5.2. Пусть F € Ob(D*(X)), и пусть <р —
вещественная С^-функция на X. Возьмем такую точку х0 € А', что <р(х0) —
0,d<p(xo) i SS(F). Докажите, что ulimnRr{t.iV>it)>0}(U;F) = 0, где
и
U пробегает семейство открытых окрестностей точки х0 в X
(относительно ind-объекта "lim", см. § 1.11).
Упражнение 5.3. Пусть Е — вещественное векторное пространство,
a F € ОЬ@^+(£)). Пусть & € Е". Докажите, что @;£„) <£ SS(F)
тогда и только тогда, когда существует такая фундаментальная
система выпуклых открытых конических окрестностей у точки £„, что
Rry»(E;F) = 0. (Указание. Используйте теорему 5.5.5.)
Упражнение 5.4. Пусть С = {(х,y,t) € Ж3;х2 + у2 = t2,t > 0}, и
пусть j — вложение С <—> М3. Положим F = Rj,Ac-
(i) Используя результат упр. 5.3, покажите, что 7r-1@)nSS(F) ф
(И) Докажите, что H1(F) = Ащ.
Заметим, что мы нашли пример пучка F € Ob(D*(X)), для
которого SS(H'(F)) не содержится в SS(F).
Упражнение 5.5. Пусть X — векторное пространство.
(i) Пусть Z — замкнутое выпуклое подмножество в X, и пусть
F = Az- Покажите, что для любого х € Z справедливо
соотношение SS(F) О к~1{х) = 7°, где у = CX(Z).
(ii) Пусть Q — открытое выпуклое подмножество в X, и пусть
F = Ап. Покажите, что SS(An) = SS(Ajj)a.
Упражнение 5.6. Пусть F £ Ob(D*(X)). Докажите включение
ssm с UjSS(# (/■)).

328 Гл.5. Микроносители пучков
Упражнение 5.7. (i) Пусть {Fa}a — индуктивная система пучков
на Л'. Докажите включение SS(limFA) С UA SS(Fa).
а
(ii) Пусть {F„}„€Af — проективная система пучков на А'.
Докажите включение SS(lim F„) С Ц, SS(Fn).
п
Упражнение 5.8. Пусть V — конечномерное векторное
пространство, а О — открытый конус (не обязательно выпуклый) в V*.
Положим G = (Ап)Л ® шу- Пусть ц : V х V -* V — отображение
(х,у) *-* у — х, и пусть К = ц~1С Вспомним функторе, введенный
в J 3.6.
(i) Докажите, что если F € Ob(D*(V)), то SS(#K(F))cV x Q.
(ii) Докажите, что существует естественный морфизм Фк(Р)
—> F, который является изоморфизмом на V х П.
(Сравните с предложением 5.2.3.)
Упражнение 5.9. Пусть F € Ob(D*(X x M)) удовлетворяет
соотношению SS(F)n(Tj£X хГ*М) С Т£хЖ(Х хМ). Пусть <р: Ш -► R —
непрерывное отображение, заданное формулой <p(s) = 0 при s ^ 0 и <p(s) = s
при s > 0. Докажите, что SSfa^F) П (Т£Х х Г*М) С Т£хЖ(Х х R),
где <рх =idx x<p.
(Указание. Пусть S = {(t,s) £ R2;t = s > 0 или * = 0,s < 0}.
Тогда fJ^F ~ Rq2*(qi1f)s, где gi и g2 — проекции из А' х Rt x R, на
А' х Rt и X х Ж, соответственно. Теперь достаточно проверить, что
ids i (SS(F) x TjWL, + SS(AXxS)).)
Упражнение 5.10. Пусть Fo и Fi — объекты категории Db(X),
причем и Fo, и Fi имеют компактный носитель. Будем говорить, что
Fo и F] гомотопны, если существует Я € Ob(D*(X x Ж)), такой, что
проекция р: А' х Ж -» Ж является собственной на зирр(Я), SS(tf) О
(Т$Х х Т*Ж) с Т%хЖ(Х х К) и Я|хх{<} к Я, i = 0,1.
(i) Докажите, что если Я реализует гомотопию указанным выше
образом, то существует Я, удовлетворяющий тому же
предположению, что и Я, и, кроме того, Я|а'х[1,2] ~ Fi В A[i,2]-
(Указание. Используйте упр. 5.9.)
(ii) Докажите, что гомотопность — отношение эквивалентности.
(Указание. Используйте (i) и упр. 2.22.)
(iii) Докажите, что если Fo и Fi гомотопны, то DxFo и DxFi также
гомотопны,
(iv) Докажите, что если Fo и F\ гомотопны, то для любого Jfe € Z
когомологии Hk(X;Fo) и Я*(А'; Fi) изоморфны.

Упражнения к гл. 5
329
(v) Для X = К покажите, что A[o,i] гомотопно А{о}, А[од[
гомотопно Нулю И А]о,1[ ГОМОТОПНО Л{0}[— 1].
Упражнение 5.11. (i) Пусть X — многообразие, a i: Y «-► X —
замкнутое вложение подмногообразия У. Докажите, что если
ТуХ \ SS(F) —► Y имеет непрерывное сечение, то i'F —► i-1F при
F 6 Ob(D*(X)) является нулевым морфизмом. (Указание.
Рассмотрите последовательностьцу((,г F) —» hy(F) —» ny(i*i~lF).)
(ii) Используя (i), снова решите упр. 3.7.
(Hi) Докажите, что в ситуации упр. 3.8 композиция
отображений Hk(Y;AY) -» Hk+'(X;AX) — Hk+'(Y;AY) равна нулю, если у
Ту X —» У имеется непрерывное сечение.
Упражнение 5.12. Предположим, что в качестве основного
кольца взято поле fc. Пусть X — многообразие, ф — вещественная
С°°-функция на X, и предположим, что
(i) для любого < 6 Ж множество {х 6 А'; ф(х) ^ <} компактно,
(ii) множество {х; Аф(х) = 0} конечно (и равно, скажем,
{xi,...,xn}), и для любого ж, гессиан #Дж,) невырожден
и имеет с, отрицательных собственных значений.
Докажите, что ЯГ{Х;кх) содержится в Оь(ЩоЪ*(к)) и
х(Я/Ч*;*х)) = Е(-1)",
i
где х() определена в упр. 1.32.
(Указание. Используйте предложение 5.4.20, локальную версию
упр. 3.5 и «лемму Морса».)
Упражнение 5.13. Пусть F 6 Ob(D*(X)). Докажите формулу
SS(DxF) = SS(F)a,
предполагая выполненным условие (i) или условие (ii), приведенные
ниже.
(i) F когомологически конструктивен,
(ii) Основное кольцо А удовлетворяет следующему условию: если
М 6 ОЪ(Оь(ЩоЦА)) и RllomA(M, А) = 0, то М = 0.
Заметим, что (ii) выполнено, если А — поле или кольцо целых
чисел Ъ (ср. упр. 1.31). Авторы не располагают примером кольца,
которое не обладало бы этим свойством.

330
Гл.5. Микроносители пучков
Упражнение 5.14. Положим X = К и В = {0} U {1/n; n 6 N \ {0}}.
Пусть F = G = Qb- Докажите соотношение i/{(oto)}(-FBG) ?t i/{0}(F)E3
f{0}(G).
Замечания
Понятие микроносителя комплекса пучков F на вещественном
многообразии X было введено авторами в 1982 г. [Kashiwara-Schapira
2, 3]. Оно может рассматриваться как обобщение теории Морса (см.
[Milnor 1]), что ясно видно из следствия 5.4.19, или даже как
обобщение менее давней «стратифицированной теории Морса» Горески и
Макферсона [Goresky-MacPherson 2], которая применима только к
конструктивным пучкам (см. гл. 8).
Однако мотивация наших конструкций связана с линейными
уравнениями в частных производных, и в особенности с гиперболическими
системами (см. [Kashiwara-Schapira 1]). При изучении таких систем
приходится нехарактеристически деформировать область
определения решений. Тогда оказывается, что можно забыть о самих
дифференциальных уравнениях и о комплексной структуре на А';
единственное, о чем нужно помнить, — это о характеристическом
многообразии системы в вещественном кокасательном расслоении, т. е.
о микроносителе комплекса решений системы (см. ниже теорему
11.3.3). Как мы покажем в гл. 11, этот метод чрезвычайно
плодотворен при изучении микродифференциальных уравнений.
7-топология была введена авторами в работе [Kashiwara-Schapira 1]
с тем, чтобы заставить микродифференциальные операторы
действовать на голоморфные функции. В этой же работе было доказано
предложение 5.2.1 (конечно, в более ограничительном контексте).
Результаты этой главы были получены в работе [Kashiwara-Schapira 3], за
исключением предложения 5.4.20, которое является вариантом Ша-
пира и Тозе [Schapira-Tose 1] одного результата Касивары [Kashiwara
7]. Это предложение является обобщением классических неравенств
Морса, по поводу которых см. работу Ботта [Bott 1].

Глава б
Микроноситель и
микролокализация
Пусть X — многообразие, a Q — подмножество в Т* X. Мы
определяем триангулированную категорию Db(X; Q) как локализацию
категории Dh(X) по полной подкатегории всех объектов, носители которых
не пересекают Q. Тогда понятие «микролокального на П» изучения
пучка F на X приобретает точный смысл: оно просто означает, что
F рассматривается как объект категории D'(A';f?). Имея в руках
что новое понятие, мы вводим микролокальные обратные образы и
микролокальные прямые образы пучков. Они получаются переходом
соответственно к pro-объектам и ind-объектам в категории Db(X;p)
(локализации категории Dh(X) в точке р), но мы даем условия,
гарантирующие, что эти операции не выводят из D*(A';p).
Локализация категории D*(X) связана с функтором цЛот
формулой
F.0.1) HomD4X;p)(G, F) = H°(nhom(G, F))p.
Эта формула является существенным шагом в доказательстве
теоремы 6.5.4, которая утверждает, что SS(F) — инволютивное
подмножество в Т*Х.
Прежде чем получить теорему об инволютивности, мы изучаем
действие различных операций (прямых образов при открытом
вложении, микролокализации и т. д.) на микроносители пучков,
распространяя при этом результаты предыдущей главы на
характеристический или несобственный случаи. В частности, мы получаем
соотношение
F.0.2) SS(/iAom(G, F)) С C(SS(F), SS(G)),
формулировка которого использует нормальные конусы в кокаса-
тельных расслоениях, которые мы изучаем в § 6.2.
Далее мы микролокально характеризуем пучки, микроносители
которых содержатся в некотором инволютивпом подмногообразии.
Кроме всего прочего, мы показываем, что если SS(F) содержится
в конормальном расслоении подмногообразия Y многообразия X, то
микролокально F изоморфен пучку Ly для некоторого Л-модуля L.

332
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
В заключение мы рассматриваем случай, в котором функторы
обратного образа и микролокализации коммутируют, и получаем
теоретико-пучковый аналог одного результата о задаче Коши для
микрогиперболических систем.
6.1. Категория Оь(Х;П)
Пусть V — подмножество в Т'Х. Определим полную подкатегорию
D$,(X) в категории D*(.Y), полагая
F.1.1) Ob(D»v(X)) = {F 6 Ob(D»(X)); SS(F) с V}.
Это триангулированная категория, причем выделенные
треугольники категории Dy(A') — это такие выделенные треугольники в
D'(JV), что участвующие в них объекты принадлежат D^(,Y).
Кроме того, Ob(D$,(X)) — нулевая система в D*(X). Поэтому мы
можем применить результаты § 1.6 и локализовать категорию D'(AT) по
Ob(Dt,(X)).
Определение 6.1.1. Пусть B = Т*Х \ V.
(i) Мы полагаем
Оь(Х;П) = Dh(X)/Ob(Dbv(X)).
(ii) Пусть F и G — объекты категории D*(X). Если они
изоморфны в D*(X; Q), то мы говорим, что F и G изоморфны на Q.
Для р 6 Т*Х мы пишем Dh(X;p) вместо Dh(X;{p}). Напомним,
что Ob(D*(X;B)) = Ob(D*(X)), а произвольный морфизм u:G -> F
в категории D* (X; Q) определяется заданием пары морфизмов v: G —*
F' и w: F —* F" в D'(A'), таких, что w — изоморфизм на Q, или, в
другом варианте, пары морфизмов w':G'—*Gmv':G'—*Fu Db(X),
таких, что w' — изоморфизм на Q. Более точно,
F.1.2) HomDb(x.fi)(G, F) = lim HomD4x)(G, F')
= limHomDb(x)(G",F),
где индуктивный предел в первой (соответственно второй) строке в
F.1.2) берется по категории морфизмов w: F —► F' (соответственно
w : G' —► G), таких, что w — изоморфизм на Q (см. упр. 1.14).
Заметим, что если F 6 Ob(D'(X; Q)), то SS(F) корректно определен
в П.

6.1. Категория Db(X;fi)
333
В § 4.4 мы ввели бифунктор цЛот, действующий из D*(A')e x D'(A')
и Оь(Т*Х). Если микроноситель пучка F или G не пересекается с
Я, то iihom(G, F)\n = 0 в силу следствия 5.4.10. Таким образом,
/<Лот(>,-)|л — корректно ©определенный функтор из D'(X;f?)e х
Ob(X;Q) в Оь(П). Мы сохраним для этого функтора обозначение
/thorn:
F.1.3) цЛотп: Db(X; Q)° x D»(A; Q) - D»(fl).
Изоморфизм Hom[}k(;c)(G,F) ~ Hu(T*X;nhom(G,F))
(предложение 4.4.2) задает морфизм
F.1.4) KomDHX,n)(G,f)^H\n;tihom(G,F)).
В действительности, если w : F —* F' — морфизм в Dh(X), а го —
изоморфизм на Q, то w индуцирует изоморфизм pihom(G, F)\n ^*
В общем случае морфизм F.1.4) не является изоморфизмом (см.
упр. 6.6), однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 6.1.2. Пусть р 6 Г*A', a F и G — объекты
категории D*(A). Тогда естественный морфизм Нотрь^рД^?, F) —►
H°((ifiom(Gt F))p является изоморфизмом.
Доказательство. Если р £ Т£ X, то доказывать нечего.
Предположим, что X — векторное пространство и р = (я0;£<>)
|; Т*Х. В тех же обозначениях, что и в предложении 4.4.4, мы имеем
F.1.5) H°(nhom(G, F))p ~ llmH°(Rr(U; ВЯот{ф-1R<t>^Gu, F)))
~ ljmHom^-^^.Gi/b.F).
Пусть а — морфизм, указанный в формулировке теоремы 6.1.2.
Покажем прежде всего, что а инъективен. Рассмотрим морфизм
и 6 HomDk(A-)(G, F), такой, что а(и) = 0. Существуют U,y, такие,
что композиция морфизмов (ф^1 R4i*Gu)u -»G-»f равна нулю.
Поскольку морфизм (ф~1 Еф1тСи)и —* С? в категории Db(X;p)
является изоморфизмом (предложение 5.2.3), мы получаем, что и = 0 в
Оь(Х;р). Покажем, что а сюръективен. Если f 6 H°(nhom(G,F))p,
го существуют такие U, 7 и w 6 Ъото*(х)((Фу1^Ф,г*С'и)и, F), что
ш представляет v. Поскольку (Ф^1Яф^*Си)и —* G — изоморфизм в

334
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Db(X; p), w определяет элемент из Нотг^х.рДС?, ^)i образ которого
под действием морфизма а равен v. D
Приводимое ниже следствие — важный шаг в доказательстве ин-
волютивности микроносителей.
Пусть F 6 Ob(D*(X)). Рассмотрим естественные морфизмы
Hom(F, F)^H°(Rr(X; RHom(F, F)))
=Г H°(Rr(T*X; nhom(F, F)))
-> Г(Т*Х; Ha{nhom{F, F))).
Обозначим через s образ элемента idp £ Hom(F, F) в Г(Т*Х;
H°(nfiom(F, F))).
Следствие 6.1.З. Справедливо соотношение
supp(s) = supp(/iAom(F, F)) = SS(F).
В частности, при р 6 T*X
F.1.6) p $ SS(F) «• nhom^F, F)p = 0.
Доказательство. Включение supp(s)C s\ipp(p:hom(F, F)) очевидно, а
включение supp(/iAom(F, F))C SS(F) вытекает из следствия 5.4.10.
Пусть р 6 Т*Х, р 0 supp(s). Тогда из равенства sp = 0 по
теореме 6.1.2 вытекает, что idp 6 Нотг^х-р)^ F) — нулевой морфизм.
Поэтому F = 0 в D»(A'; р), т. е. р $ SS(F). D
В дальнейшем мы обсуждаем микролокальные операции на
пучках, например обратные и прямые образы. Для этой цели нам
необходимо уточнить микролокальную лемму о срезке из § 5.2.
Предложение 6.1.4 (уточненная микролокальная лемма о срезке).
Пусть х0 — точка многообразия X, К — собственный замкнутый
выпуклый конус в Т£сХ, a U С К — открытый конус. Пусть F S
Ob(D*(yY)), и пусть W — комическая окрестность множества К П
SS(F) \ {0}. Тогда существуют обвект F' 6 Ob(D*(X)) и морфизм
и: F' —» F, удовлетворяющие следующим условиям:
F.1.7) и — изоморфизм на U,
F.1.8) 7r-1(zo)nSS(f")cn'U{0}.
Доказательство. При необходимости утолщая К, мы можем
считать, что {0} U Int К Э U. Можно также считать, что А' — векторное

6.1. Категория D*(A'; Q) 335
пространство и х0 = 0. Выберем такой замкнутый собственный
выпуклый конус у, что Коа С у С Uoa и что у \ {0} имеет С'-границу
6у. Мы возьмем такие координаты (х) = (х\,.. .,х„) на А', что
F.1.9) 7C{0}U{*;*i<0}.
Пусть (х;£) — соответствующие координаты на Т*Х. Поскольку
уоа q ^ существует такая открытая окрестность нуля B, что
F.1.10) W Э <? = {£ 6 7°° \ {0};
существует (*;£) 6 *~1{П) П SS(F)}.
Возьмем такое е > 0, что
F.1.11) Я Э {* 6 ?; *i ^-е}.
Теперь мы возьмем такое замкнутое подмножество Z в X с
С'-границей 6Z, что (см. рис. 6.1.1)
F.1.12) OelntZ,
F.1.13) ZC{x;xi^-e},
{6Z и 6у касаются в точках пересечения;
более точно, N*(Z)a = N*(y) для любого
xESZnSy.
Рис. 6.1.1
Построение подмножества Z мы оставляем читателю.

336
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Положим теперь F' = <j>~1Rij>y,Rrz(F) и обозначим через и
канонический морфизм F' —> F. Мы докажем, что F' и и обладают
нужными свойствами. По ми кро локальной лемме о срезке
(предложение 5.2.3) и является изоморфизмом на IntZ х Int?00- Поскольку
Int70° D U, выполнено F.1.7). Из того же предложения следует, что
SS(F') С А' х 700> и поэтому остается только доказать, что
F.1.15) если £ 6 6(уоа) \ {0} и @;£) 6 SS(F'), то £ 6 G.
Пусть q{\ X х X —» X — проекция на i'-й сомножитель (t = 1,2), и
пусть s: X х X —* X — отображение, задаваемое формулой в(х, х') =
х — х'. В силу предложения 3.5.4
F.1.16) F' ~ ^-(«"'А ® q-1 Rrz(F)).
Согласно условиям F.1.9) и F.1.13), отображение 92 *• s~1(f) Л
gf 1Z —» X собственное, и для вычисления SS(F') мы можем
применить предложения 5.4.4, 5.4.5 и 5.4.14. Мы получаем, что
- . Г если @;£) 6 SS(F'), то существует
{ • • ' \ («;0 6 SSiAy)' r\SS(Rrz(F)).
Теперь х содержится в Q в силу F.1.11) и F.1.13). Поэтому
доказательство утверждения F.1.15) сводится к доказательству следующего
утверждения:
F 118) Г если ^ 0 и (х;0 £ SS(A,)° nSS(Rrz(F)),
Поскольку £ ф 0 и (х;£) £ SS(AT)°, мы имеем х £ б?- Если х g
IntZ, то F ~ Rrz(F) в точке ж, и поэтому (х;£) £ SS(F). Еслш
ж £ 6Z, то, согласно F.1.14), N*(Z) = N*(y)a = R^tf. Предположим
что (*;£) $ SS(F). Тогда предложение 5.4.8 показывает, что £ 6
SS(firz(F)) П «■-'(ж) С -Ш^<£ + (SS(F) П ^(х)), откуда следует
что (ж;£) £ SS(F). Мы пришли к противоречию, что и завершает
доказательство. С
Нам потребуется утверждение, двойственное к предыдущему. С
этой целью мы рассмотрим сначала утверждение, двойственное в
предложению 5.2.3.

6.1. КатеюрияОь(Х;B) 337
Лемма 6.1.5 (двойственная микролокальная лемма о срезке).
Пусть у — замкнутый выпуклый собственный конус в векторном
пространстве X, такой, что Int? ф 0- Пусть s: X х X —» X —
отображение, заданное формулой (х,х') ■—► х—х', и пусть qf. ХхХ —»
X — проекция на t-fi сомножитель («' = 1,2). Тогда для любого
объекта F 6 Ob(D*(X)) с компактным носителем имеется естественный
морфизм
F.1.19) и: F -» JZftA/'.-i^fa'jF),
такой, что
0) SSfRea.flr.-.^fo'i*')) С X х 7°°,
(ii) и — изоморфизм на X х Int?00.
Доказательство. Мы имеем цепочку морфизмов
F ~ Д?2- Д^от(Л,-1@), 9i-F) -» Rq^KHomis-1^., gi-F).
Поскольку Ay. ~ ф^Яф^Ащ, в силу предложения 5.2.3
F.1.20) SS(Ar.)CXx70°,
F.1.21) уЦ. —* уЦо} — изоморфизм на X х Int?0"-
Теперь из предложений 5.4.5, 5.4.14 и 5.4.4 следует, что
SS(Rq2*KHom(s~1 A1*, q[F))CX x уоа. Утверждение (i) доказано.
С другой стороны, SS(A7\{0}) С X х (X* \ Ыуоа) в силу F.1.21).
Поэтому, снова в силу предложений 5.4.5, 5.4.14 и 5.4.4, мы
получаем SS(Rq2,KHom(8-1Ay.\{o}, q[F))CX x (X* \ Ыуоа). Это
доказывает (ii). D
Предложение 6.1.6 (двойственная уточненная микролокальная
лемма о срезке). Пусть x0,K,U,F uW — те оке, что и в
предложении 6.14. Тогда существует морфизм и: F —» F',
удовлетворяющий условиям F.1.7) и F.1.8).
Доказательство. Мы можем считать, что F имеет компактный
носитель. Доказательство аналогично доказательству предложения
6.1.4, за исключением того, что используется двойственный
срезающий функтор Rq2<RF,-i(T)(q\Fz) вместо tjt^Riji^Rrz^F)). Более
точно, мы берем те же у, Q, G, что и в упомянутом доказательстве, и
выбираем е > 0 таким образом, чтобы
F.1.11)' Q Э {х б уоа;*is$e}.

338 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Аналогично мы выбираем замкнутое подмножество Z с С'-грани-
цей 6Z, удовлетворяющее F-1-12) и следующим условиям:
F.1.13)' Zc{x;xi^e},
!SZ и 6fa касаются в точках пересечения;
более точно, N*(Z)a = N*(ya) для каждого
xe6Zr\6ya.
Мы полагаем
F.1.16)' F' = RqzRr.-i^q'iFz).
Тогда по предыдущей лемме существует канонический морфизм
Fz —* F'. Пусть и — композиция морфизмов F —* Fz —* F'.
Рассуждения, аналогичные проведенным выше, показывают, что и
обладает нужными свойствами. Мы оставляем подробности читателю. D
Теперь мы готовы ввести микролокальные операции над пучками.
Пусть /: У —» X — морфизм многообразий и р 6 У х.х Т*Х.
Положим ру = */'(р),рх = /т(р)- Эти обозначения будут сохранены до
конца предложения 6.1.10. Мы будем использовать ind- и pro-объекты
(ср.§1.11).
Определение 6.1.7. (i) Пусть F G ОЪ(Оъ(Х;рх)). Через f~lF
(соответственно fyF) мы будем обозначать pro-объект " lim"/-1/" (co-
F>-*F
ответственно ind-объект " lim"/!f") в категории D4(y;py). Здесь
F-*F'
F' —» F (соответственно F —* F') пробегает категорию морфизмов
в D'(X), являющихся изоморфизмами в точке рх- Мы называем
/"'F микролокальным обратным образом объекта F в точке р.
(ii) Пусть G€ Ob(D'(y;py)). Через ffG (соответственно f+G)
мы обозначим рго-объект " Нт''Д/iG' (соответственно ind-объект
" limnRf,G') в категории Dh(X;px). Здесь G1 —» G (соответственно
G —» G') пробегает категорию морфизмов в Db(Y), которые являются
изоморфизмами в точке ру. Мы называем ffG (соответственно /CG)
микролокальным собственным прямым образом (соответственно
микролокальным прямым образом) пучка G в точке р.
Эти четыре операции связаны между собой следующим образом.

6.1. Категория Ок(Х; ft) 339
Предложение 6.1.8. Предположим, что F£Ob(D*(A';px)) и GE
Ob(Db(Y;PY)).
(i) Имеют место естественные изоморфизмы
F.1.22) Нот0»(дг.рх)Л(//'(?^) ~ HomD4y.pYr(GJlF),
F.1.23) HomDt(X.px)v(F,/,"G) ~ HomD^.^^/,^*?).
(ii) Определены канонические морфизмы
F.1.24) f?G-+f?G,
F.1.25) "Y/x®f;lF-+fiF-
Доказательство. Поскольку все эти соотношения доказываются
непосредственно, проверим лишь F.1.22). Мы имеем
llomDbiX,px),(ftG,F)~ ljm HomD«.^.„^(RfiCF)
G'-*G
~ ljm ljm HomDt(X)(fi/.C', f)
G'-+G F-*F'
~ ljm lun HomD4y){G',fF')
G<-*G F-*F'
~ Urn HomonY;PY)(G,f'F')
F-*F'
~ HomDt(r.py)v(G,/]1F). D
Теперь мы изучим некоторые условия, гарантирующие, что
микролокальные обратные образы или микролокальные прямые образы
лежат в Dh(Y;py) или Оь(Х;рх).
Предложение 6.1.9. Пусть F 6 Ob(D*(X;pA)).
(i) Если */'~1(Р1')п/т 4SS(^)) С {р} в окрестности точки р, то
f~xF и f'^F лежат в D*(Y; pY) и морфизм шУ/х ® f„lF -*
f'^F является изоморфизмом. Более того, для любой
окрестности W точки р
F.1.26) ( SSWF) C ^(Wnf-^SSiF)))
\ в окрестности точки ру.
(ii) Пусть F 6 Ob(D*(A')), u предположим, что
(а) / нехарактеристичен для F,
(b)'/'-1(Py)n/T-1(SS(F))C{p}.
Тогда f~lF ~f~lF uf„F~ f'F.

340
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Доказательство. Если рх 6 Т^Х, то / нехарактеристичен
относительно F, и результат вытекает из предложения 5.4.13.
Пусть рх 6 Т*Х. Докажем прежде всего результаты, касающиеся
/"'. Пусть F такое же, как и в (i), и положим х„ = я"(рх), Уо =
^(py), V = KerG£oX —»• T*oY). Возьмем собственный замкнутый
выпуклый конус К и открытый выпуклый конус U, такие, что, рх 6
U С К, К П Vc{0} и /„'/'"V) П SS(F) П КС{рх}.
По уточненной микролокальной лемме о срезке существует такой
морфизм и: F' —* F, что и — изоморфизм в точке рх, a F'
удовлетворяет условиям (ii) (а) и (ii) (b).
Кроме того, если F" —* F' — изоморфизм в точке рх, a F и
F" удовлетворяют условиям п. (ii), то, вкладывая этот морфизм в
выделенный треугольник F" —► F' —► F» —►, мы
обнаруживаем, что / является нехарактеристическим относительно F0 и что
'/'" (Ру) п ЛГЧ^^^о)) = 0. В силу предложения 5.4.13 получаем,
что py $. SS(f~1F0). Это означает, что /-1F" —» /-1f" —
изоморфизм в Db(Y;pY). По определению объекта f^F индуктивный
предел можно брать по категории морфизмов F' —* F, где F'
удовлетворяет условиям п. (ii). Тогда все f~lF' изоморфны в Оь(У;ру), что
доказывает утверждения п. (i) и (ii), касающиеся f~l.
Утверждения относительно /j, доказываются аналогичным образом с
использованием двойственной уточненной микролокальной леммы о
срезке, а изоморфизм шу/х ® /j1^ ~* f'^F следует из (И) и
предложения 5.4.13. □
Предложение 6.1.10. Пусть G 6 Ob(D*(V";ру)).
@) Мы имеем ,
ffG~ "Hm" RfiGv a "lim"Rf<RrK(G),
V К
/,"G~ "Ит"Я/.ЯЛ,С~ "Imf Rf,(G к),
V К
где V [соответственно К) пробегает системы открытых
(соответственно замкнутых) окрестностей тонки у0 = я(ру).
(Заметим, что указанные изоморфизмы определены в категори-
ях Оь(Х;Рх)Л и&(Х;рхУ.)
(i) Если fr1(px)ntf'~ (SS(G)) С {р} в окрестности тонкир, то
ffG и f*G лежит в Db(X;px), и морфизм f^G —» f?G
является изоморфизмом. Кроме того, для любой окрестности W
тонки р

6.1. Категория Db(X; Q) 341
SS(f?G) С f*(W n*f'~l(SS(F)))
в окрестности тонки рд-.
(ii) Если supp(G) является собственным над X и если
/х Чрх) n'/'_1(SS(G)) С {р}, то f?G a f»G a Rf.G.
Доказательство. Изоморфизмы "lim" Rf\Gv as "lim" Я/'ЯГ/г(G) и
"lim" Rf,Rrv(G) ~ "lim" R/,Gk очевидны, поскольку имеются есте-
~v* ~к*
ственные морфизмы Gv -* ДГк(С) и Gk -* flTV(G) при V С К или
Я/>(С) - Gv и A/V(<7) - GK при К С V.
(а) Мы прежде всего покажем, что если G удовлетворяет условиям
(i), то множество открытых окрестностей V точки у0,
удовлетворяющих следующим условиям:
F.1.28) V —* X — собственное отображение,
F.1.29) r~\SS(Gv)) n/-'(px) С {р},
является системой окрестностей точки у0 ■
Поскольку вопрос имеет локальную природу, мы можем
предположить, что Y u X — векторные пространства, ру = @;»7о) и
Pjc = @;&).
Тогда существует такое е > 0, что
F.1.30) {у € У;/(у) = 0 и (y,1f(y)-b) € SS(G)} С {0}U{y; \y\ > 2е}.
Поэтому существует такое а > 0, что
F.1.31) (y;'/4!/K. + 9)*SS(G), если |у| = е и |9|£Cl.
Положим теперь
F.1.32) V = iy;e1\y\<(f(y),to) + eie}.
Достаточно показать, что V удовлетворяет F.1.29).
Согласно F.1.31), SS(G)nN*(V)n7r-1(/~1@)) С 7^У. Поэтому из
предложения 5.4.8 вытекает, что
F.1.33) SS(Gv) С SS(G) + ЛГ (V)* над /~\0).
Поскольку '/' SS(GV) П /^Чрх) П *-х(К) С {р}, достаточно
показать, что если у £ V\ V, то (у; '/'(у) £„) g SS(GV).
F.1.27)

342 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Ввиду F.1.33) существуют такие к ^ 0 и (у;»;) € SS(G), чт
Г (У) <о = ч+к(-*Г(у)^ + е1У/\у\).
Поэтому ij = A + kYf'(y) ■ 6 - кеху/\у\.
Поскольку |Jfeeij//(l + к)\у\\ ^ ei, это противоречит F.1.31).
(b) Докажем изоморфизм f?G ~ "lim"RfiGvb Пусть С -* G —.
V •*
изоморфизм в точке ру. Мы вложим его в выделенный треугольни)
G' —► G —► G0 —►. Тогда ру ^ SS(G0), и, согласно (а), существу»
ет система открытых окрестностей точки у0, состоящая из множесп
V, таких, что отображение V —* X собственное, a *f'~ (SS(Gov)) f
f*1(px) = <3- Для такого V мы имеем рх £ SS(Rf<G0v)
согласно предложению 5.4.4, и поэтому Rf\G'v —* Rf\Gy — изоморфизм I
0(Х;рх)- Переходя к проективному пределу по V и G', мы получае*
"lim" Rf.G' ~ " lim" RfiG'v ~ "Inn" RfiGv
G' G',V V
(c) Если G удовлетворяет условиям (ii), то для V,
удовлетворяющих F.1.28) и F.1.29), RfiGv -» Rf\G — изоморфизм в Dk(X;px).
Отсюда мы получаем, что f?G ~ Rf\G.
(d) Утверждения о /i*G доказываются аналогично, с заменой
условия F.1.29) на шаге (а) на условие
F.1.29)' y_1(ss(fl/v(G))) n f;\px) с {р).
Детали мы оставляем читателю.
(e) Чтобы доказать (i), мы можем в силу шага (а) предположить,
что G удовлетворяет условиям (ii). Тогда результат следует из шагв{
(с) (и из соответствующего результата для f£(G)). D
В заключение сформулируем следующий результат, доказатель-.
ство которого немедленно вытекает из предложения 5.4.1.
Предложение 6.1.11. Пусть Y и X — два многообразия, ру €
ГУ, рх€Т*Х ир = (рх,ру) € Т{Х х Y).
Пусть F\ и F2 {соответственно G\ и G2) лежат в D'(A')
[соответственно в Db(Y)). Тогда имеется канонический
гомоморфизм
F.1.34) HomD4x.px)(Fi,F2) x HomD4y.py)(Gi,G2)
Ното»(х xY,p)[
L L \
FiBGi,.F2BG2

6.2. Нормальные конусы в кокасательном расслоении 343
A.2. Нормальные конусы в кокасательном
расслоении
И следующем параграфе мы изучим поведение микроносителя при
различных операциях. Для формулировки результатов нам
потребуются некоторые новые операции над коническими подмножествами
и кокасательных расслоениях. Их конструкция использует понятие
нормального конуса, введенное в §4.1, и симплектическую
структуру в Т*Х (см. приложение). Пусть X — многообразие. Мы ото-
'кдествляем Т*Т*Х и ТТ*Х посредством —Н, где Н — изоморфизм
Гамильтона. Если (х) = (xi,...,xn) — система локальных
координат на А', а (х,£) — соответствующие координаты на Т*Х (и, значит,
каноническая 1-форма ах имеет вид (£,dx) = ^ £jdxj), то
F.2.1) -Я((А, Ах) + (/,, d*>) = (х, щ} - (р, А) ,
где (A,d*> + (/i,dO € Т;Т*Х, (а, £) - {/i, &> € ТРТ*Х, р € Т*Х.
Если А — гладкое коническое лагранжево подмногообразие в Т*Х,
то —Я индуцирует изоморфизм Т*А ~ ТаТ*Х. В частности, если
М — подмногообразие в X, то мы имеем изоморфизмы
F.2.2) Т'ТМХ ~ Т*ТМХ ~ Тт^хТ'Х.
Здесь первый изоморфизм получен из предложения 5.5.1 при Е =
ТмХ. Пусть (ж', ж") — такая система локальных координат на X,
что М = {(х',х");х' = 0}, и пусть (х',х";£',£") — соответствующие
координаты на Т*Х. В этих координатах мы отождествляем ТцX с
X, а Т*(ТМХ) — с Т*Х. Мы также отождествляем ТТ^Х(Т*Х) с
Т*Х. Тогда изоморфизмы F.2.2) описываются формулами
ТТШХ _^_ Т*ГМХ JZL. Тт.мхТ*Х
F.2.3) U Ш Ш
(*',*";*',П — (£',*";-*',£") —* (*',*";?,?')
Пусть р обозначает проекцию Т^Х —» М, а р — ее сужение на
Тд^X. Мы имеем отображения (ср. E.5.9))
ТТ^Х < э 7]^ХхГМ » Т*М
U U |
Т>Т^Х < э Т£,Х х VM » VM

344
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
С указанными выше координатами ТЦ{Х хм Т*М изоморф
но подмножеству {х' = 0} в Т'Т^Х, а рж задается формуле!
(о, *";*', г)-(*";£")•
Напомним (ср. E.5.10)), что Т*М вложено в ТТ'мхТ*Х ~ Т*ТМХ
посредством нулевого сечения расслоения Т^Х и отображения *р'. В
тех же координатах, что и выше, это вложение имеет вид (х";£") м
@,х";0;Г)-
Лемма 6.2.1. Пусть (х',х") — система локальных координат не
X, такая, что М = {(х',х");х' = 0}, и пусть (х',х";£',£") —
соответствующие координаты на Т*Х. Пусть А — комическое
подмножество в Т*Х. Тогда
(i) РгУ-\Ст.мх{А)) = Т*МГ\Ст-мх(А);
(ii) (*";£") G Т*МГ\ Cti,x(.A) & существует такая
последовательность {«,*£;#„ О) в А> нт0
F.2.4)
KI —о,
(iii) (х";£Ц)бр,г*р'~ (Cf.x(A)) «• существует
последовательность {(х'п, *{{;&> О) в А> удовлетворяющая F.2.4) и,
кроме того, условию
F.2.5) ia-*+<*>•
Напомним, что Стг х(А) обозначает нормальный конус к А вдоль
ТМХ, ср. J4.1.
Доказательство, (i) Множество Ст^х{А) биконическое. Поэтому (i)
является частным случаем E.5.11).
(ii),(iii) Пусть (х',х";?,(") ~ координаты на Тт^х(Т*Х).
Подмногообразие ТМХ хм Т*Х определяется уравнениями {х4 = 0},
а отображение р„ имеет вид @,х";£',£") •—► (x",£"). Вложение
Т*М «-► Тт^х(Т*Х) задается соответствием (*",£") •-»■ @,*";0,£").
(а) Пусть {(х'п,х„\(!пЛп)) — последовательность в А,
удовлетворяющая F.2.4).
Предположим сначала, что {£'п} — ограниченная
последовательность. Переходя к подпоследовательности, мы можем считать, что

6.2. Нормальные конусы в кокасате льном расслоении 345
',', —> £'0 для некоторого £'. Пусть {<„} — такая последовательность
г*
и R+, что t„ —► 0 и t~xx'n —» 0. Мы имеем
П П
J«,<;Un,tnC')-^@-<;o.o),
Поэтому (х";^") принадлежит Т*МГ\Ст*х(А).
Предположим теперь, что {£'п} — неограниченная
последовательность. Переходя к подпоследовательности, мы можем считать, что
\f'n\ ^оои &/|&| —»й ^ 0. Положим <„ = 1СГ1- Тогда
{
К-<;<пС<пС)-^(о,<;СО),
Следовательно, @, <;£,£') 6 Ст^х(А), и поэтому «;£') G
(Ь) Пусть К;С) СрЛ'-ЧСт^А)).
Существует такое &, что @,х%;ро,B)еСт£х(А). Поэтому
существуют последовательности {(xj,,x£;#,,#,')} в Л и {t„} в К+, такие,
что
{
<»«;£,')-*№£')
п
Последовательность {ij,,x^;t„^,t„^'} удовлетворяет F.2.4). Если
A";й')бР»УС'гх(''1), то мы можем считать, что Q ^ 0. Если
1п —► оо, то \tn£'n\ —•■ °°> и F.2.5) выполнено. Если {t„} — ограни-
ченная последовательность, то £" = 0. В этом случае, выбирая такую
последовательность {s„}, что sn|£nl —•■ Oi sn —* °°> sn|*n| —* 0, мы
п п п
получим последовательность {(x'n,x'^;s„^,s„^)} в А,
удовлетворяющую F.2.4) и F.2.5). □
Замечание 6.2.2. Мы имеем
У-ЧСт^х^)) = (*р(Ст^х(А))) ПГмХх Т'М.
Поэтому, не опасаясь путаницы, мы обозначим это множество через
tp-l(CTix(A)).

346 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Пусть теперь Y пХ — два многообразия, а / — морфизм из У в X,
Мы отождествим У с графиком отображения / в X х У. 0бозначи|
через q проекцию Ту (X х У) —» У, а через q ее ограничение на Ту (X Jj
У). Заметим, что Ту (X х У) отождествляется с У ХхГ'Л'с помощь!
первой проекции.
Определение 6.2.3. Пусть А (соответственно В) — коническое под
множество в Т*Х (соответственно в T*Y). Мы полагаем
(i) С,(А,В) = СЧ{Ххг)(АхВа)
(это замкнутое биконическое подмножество в
7т^(хху)Т*(Х хУ)~ Г» (У хх Т*Х));
(и) fHA,B) = qW-l(C,(A,B))
= Т*УПС7ДЛ,В);
(iii) /*(А,В)=?Л'-1(СДА,В));
(iv) /#(A) = /#(А7?У) и f*(A) = /#(Л,7рУ);
(v) если Y = X, а / — тождественное отображение, то Ml
полагаем А+В = f#(A;Ba) СТ*Х и А+^В = /*(А,В°) <
Г*Л\
Отметим, что если У = X, а / — тождественное отображение, •»
определение СДЛ, В) в (i) совпадает с С(А, В).
Заметим также, что Сц(А, В), f*(A, В), f£,(A, В) и т. д. — замкну
тые множества.
Предложение 6.2.4. (i) Предположим, что f — замкнутое ело
жение. Тогда
/*(А) = Т*¥Г\СЧх(А),
f*(A) = p*y-l(CTix(A)),
где р обозначает проекцию ТуХ —* У.
(И) Пусть 7Г обозначает проекцию Т*Х —» X. Тогда если А и В -
конические подмножества в Т*Х, то
А+В = Т'ХПС(А,Ва),
A+B = **tp-1(C(A,Ba)).
оо
(iii) Пусть (х) (соответственно (у)) — система локальных icoojj
динат на X (соответственно на Y), и пусть (х;£) (соответственн

6.2. Нормальные конусы в кокасательном расслоении 347
I у; ij)) — ассоциированные координаты на Т*Х {соответственно на
ГУ). Тогда
(a) (уо,гH) £ f*(A,B) t> существует такая последовательность
\(хп;£п)ЛУп;Чп)} в Ах В, что
| Уп —>/Уо,хп —►/(t/o),
(fi.2.6) < " "
' \ ('/'(«/») 'Ь ~ Чп) — п., \хп - ПУп)Ш — 0;
(b) (Уо',г]о) € /^(А,В) <^ существует такая последовательность
\(.хп]£п),(уп,г)„)} в Л х В, что выполнено F.2.6) и, кроме того,
(«.2.7) К„| —- Н-оо.
.Доказательство. Пункты (i) и (И) следуют непосредственно из опре-
иоления.
Пункт (iii) следует из леммы 6.2.1 после следующей замены коор-
цинат на Т*(Х х У):
(*,у;£,»?)~ (*-/(«/),«/;£.»?+ '/'(«/)•£)• п
Замечание 6.2.5. Пусть А — замкнутое коническое подмножество
|| Т*Х. Тогда
(G.2.8) f*(A) = <f'f^(A)Uf*(A).
Аналогично пусть А и В — замкнутые конические подмножества в
ГХ. Тогда
F.2.9) A+B = (A + B)U(A+B).
Замечание 6.2.6. Пусть А — замкнутое коническое подмножество
и Т*Х. Тогда f%(A) = 0 в том и только в том случае, когда /
иехарактеристичен относительно А (ср. определение 5.4.12).
Аналогичным образом, А+ооВ = 0 для двух замкнутых
конических подмножеств в Т*Х тогда и только тогда, когда А П Ва С Т^Х.
В связи с предыдущим замечанием естественно ввести следующее
определение.

348
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Определение 6.2.7. (i) Пусть А — замкнутое коническое подм»
жество в Т*Х, а V — подмножество в T*Y. Будем говорить, что
не характеристичен относительно А на V, если /*(Л)П V = 0.
(и) Пусть F € Ob(D*(X)). Мы говорим, что / нехарактеристичб
относительно F на V, если / нехарактеристичен относительно SS(/
на V.
Если / — замкнутое вложение, то говорят также «У нехарактерщ
стично» вместо «/ нехарактеристично».
Замечание 6.2.8. Следующие частные случаи предложения 6.2.
будут особенно полезны.
(i) Пусть (ж', х") — система локальных координат на X, М -
{х' = 0}, а з обозначает вложение М —► X. Пуст
(х',х";£',£") — соответствующие координаты на Т*Х. Та
гда если А — замкнутое коническое подмножество в Т*Х
то (x"',£'o)€J*(A) в том и только в том случае, когда суще
ствует последовательность {(х'п,х";£'„,£%)} в А, такая, чт
х'п _><),«::—«:,£-♦£ и кп&|—о.
п п п п
(ii) Пусть (ж) — система локальных координат на X, а (х;£) —
соответствующие координаты на Т*Х. Пусть An В — два з«
мкнутых конических подмножества в Т*Х. Тогда (х0;£0)
А+В, если и только если существуют последовательност
{(*п;6>)} в А и {(!/„;»?п)} в В, такие, что хп —► х0, уп —► х«
in + Пп * 6 И \Х„ - Уп\\(п\ ► 0.
Заметим также, что (x0;£o)€^+oo.B тогда и только тогд
когда существуют последовательности {(х„;£„)} и {(уп;»?пI
удовлетворяющие указанным выше условиям и такие, чг
6.3. Прямые образы
В § 5.4 мы изучали поведение микроносителя при различных операцг
ях типа собственных прямых образов и нехарактеристических обрат
ных образов. Здесь мы обобщаем эти результаты.
Мы будем использовать понятие нормальных конусов, введенные
в §4.1, и операции /*, + и т. д., введенные в предыдущем параграфу
Теорема 6.3.1 Пусть Q — открытое подмножество в X, a j —
вложение Q<-+X. Пусть F e Ob(D*(f?)). Тогда
(i) SS(Rj,F) С SS(F)+N*(B),
(ii) SS(fljF) C SS(F)+N*(B)a.

6.3. Прямые образы 349
Доказательство. Мы покажем это, перемещая Q в общее положение,
<■ тем чтобы F был нехарактеристическим относительно N*{B).
(i) Мы можем предполагать, что А' — векторное
пространство. Пусть (ж0;£о) $. SS(F)+N*(Q). Для того чтобы показать, что
(£0;£о) £ SS(i?j»F), мы можем считать, что х0 6 supp(F),£0 ф 0,хо 6
ОН, и поэтому (х0;£о) $ SS(F). Поскольку £0 не лежит в #*(#),
мы можем считать, что Q 7-открыто, где у — такой замкнутый
выпуклый собственный конус, что N* (П) С Int?0 U {0},Int7 ф 0 и
£о £ 7° (см- предложение 5.3.7).
Возьмем такое t;6 Int 7, что (£<>, v) < 0. Для s > 0, t > 0 положим
Н, = {х;(х-Хо,£о) >-«},
tit,, = {x;x-t((x-x0,@} + s)veB}.
Тогда
Ht,. ПЯ.СЙ,
fit,. Г) Н, С Of,., 0<t'^t,
{
Поскольку i(t),£o) < 1| мы определяем преобразование (х;£) «-► (у;»7),
полагая
t/ = ж —<((« — «„ ,£e) + s)t>,
Тогда
(*;0€#'(Лм)»(|«9)€АГAг).
Покажем теперь, что существуют открытая окрестность [/ x W
точки (х0\£о) и число е > 0, такие, что, полагая С/, = U Г\ Н,, для
0<t<e,0<s<e будем иметь
гвзп /(а) ^(Лплач^Гпт-чс/Ос^а',
К ' ' ' I (b) (SS(F) + АГ (Л,,)) П (t/, x№) = 0,
Действительно, предположим, что (а) или (Ь) не выполнено. Мы
найдем последовательности {t„}, {s„}, {x„}, {£„}. {Сп}. такие, что
(<„^0, *„^0, t„>0, s„>0,
n n
xn^x., С 6 *;„(««„,.,.) \{0},
(*„;£„) ess(F),
6. + <n = <£>, In -► 6>, где
с = 0 или с = 1 (с = 0 для (а), с = 1 для (Ь)).

350 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Определим (уп',Чп) £ ЛГ*(#), полагая
Уп =xn-tn((xn-Xo,(o) + sn)v,
Zn =Vn-tn(t]n,v}Zo,
и далее положим
Рп = <п + Чп = <£п + *п(Чп, »)£>•
Тогда »7П 6 7° и
{(£., v) < 0, (£,, v) < 0, (rjn, v) > 0, (р„, t;} ^ О,
\ln\ ^ ^(tyn, v) Для некоторого с7 > О,
с"|Рп| ^ -(Рп, f) Для некоторого с" > 0.
Последнее утверждение следует из того факта, что направлени.
рп сходятся к направлению &>. Поэтому
с"\Рп\ > ~C(L, ») - tn(ljn,v) ■ fa, v)
2*п(Пп,У}\(£0,ь}\
^ c"'t„|»7„| для некоторого с"' > 0.
Заметим, что р„ ф 0, поскольку rj„ ф 0.
Таким образом, последовательность |т/„|(|р,»|—1)<„ ограничена,
hnldPnl-1)!1'» - Уп\ -^* 0- Так как р„/|р„| сходится к £„/|6>|>
(хп;Сп/\рп\) е SS(F),(yn;W|P»l) e #*(Я), мы имеем (*.;&/|&|)
SS(F)+N*(Q). Это противоречит предположению, и тем самым (б.ЗД
доказано.
Пусть теперь jt>, обозначает иммерсию Qti, «-»■ X. Для
фиксированного s, 0 < s < е, положим
F.3.2) Ft = Rjt,,.(F\n,,).
В силу предложения 5.4.8 и условия нехарактеристичности F.3.■
мы имеем
F.3.3) SS(Ft)n(U, xW) = 0.
Согласно предложению 5.2.1, отсюда следует, что существуют з
мкнутый собственный конус У и У-открытые подмножества И0 С U
такие, что 7'C{t/;(t/;£<>) < 0} U {0} и х0 6 Int(#i \ Q0)CH,, приче
Яф-г'*ЯГ^П1\п,Iр*) = ° ЛЛЯ всех * e]°i£[-

6.3. Прямые образы 351
Применяя предложение 2.7.1, получаем R<j>y',Rr(n,\na)(F) = О,
откуда следует, что (х0;£0) $ SS(F).
(ii) Доказательство аналогично. Полагая
F-3.4) Gt = RjtAF\n,,.),
мы находим
F.3.5) SS(G«) П (U, х W) = 0.
Поэтому существуют Я, L, у, как в предложении 5.1.1, такие, что
ЯГ(Я П (х + у); Gt) ^ Rr(L П(х + у); Gt)
для х вблизи I, и 0 < i < 1. Поскольку Нк(Н П (х + 7); RJ)F) =
1ипЯ*(ЯП(х + 7);С«)иЯ*(^П(х + 7);Я;^)=ИтЯ*(^П(х + 7);С«),
мы имеем Я*(Я П (х + у); Rj\F) -» Hk(L Г) (х + у); Rj<F). Отсюда
следует, что (х„;£0) $ SS(Rj)F). □
Предложение 6.3.2. Пусть М — замкнутое подмногообразие в
X,U = X\M,j — вложение U «^ X и F 6 ОЬ@»([/)). Тогда
SS(Rj.F) П *-\М) С SS(F)+7£X,
SS(Rj<F) П тг-^М) С SS(F)+T^X,
SS((Rj,F)\M)CT* М П CTliA-(SS(F)).
Доказательство. Пусть р : Хм —» X — нормальная деформация
X вдоль М (ср. §4.1). Напомним, что существуют локальные
системы координат (х',х") на X и (x',x",t) на Хм, такие, что М =
{х' = 0},p(x',x",t) = (tx',x"), a K+ действует на Хм по формуле
\{x',x'',t) = (Аж',ж",А-Ч) (А 6 К+). Положим
U = {(x',x",t);x' ф 0} = ХМ \(М х К),
#±=#П{±<>0}, М = #П{< = 0} = ГмХ,
X' = J//K+, Х'± = U±/R+, М' = М/К+.
Обозначим через у проекцию U —» X' и через р — отображение
X' —» X, так что р = р о у. Тогда X' — многообразие, р —
собственное отображение, а у -— гладкое отображение. Кроме того,

352 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
М' = р~1(М) — гиперповерхность в X', изоморфная сферическое1
нормальному расслоению SmX = TmX/R+,X' = Xl U М' U Х'+, а;
индуцирует изоморфизм Х'+ ~ U. Обозначим этот изоморфизм черв)
»', а вложение Х'+ *-* X' — через Jfe:
М ► M/R+ = М'
п п
и
и
Если f" = i-1f, то
■* U/R+ = X'
М
п
и+/ш+ = х'+
Rp.Rk.F' ~ Rj.F,
Rp.RkiF' ~ Rj,F.
U
Пусть
S = prtp'-l(SS(F•)+T^X•).
Применяя предложение 5.4.4 и теорему 6.3.1, мы получаем
F.3.6) *~1(Щ П SS(Rj,F) С S
и аналогичную формулу с заменой j, на j\. Поскольку у — гладко
и сюръективное отображение, мы имеем
SS(F')+TM,X' = 7,V-1(SSG-1F'|{/+)+TJi иу
Поэтому
F.3.7) 8 = Р*У-1 USS(p-lF\0+)+T^U) х й] .
Пусть (x',x",t;Z',Z",T) — координаты на Т*Хм- Тогда jr_
и У задаются формулами (x',x",t\£',£") >-► (tx',x";£',£") ж
(x',x",t;Z',Z") -► (x',x",t;tt',Z",(x',Z')) соответственно. Поэтому и?

6.3. Прямые образы 353
включения (О,х"\£'0,х") 6 5 следует существование такого х'л ф О,
что
(*'., *:,0;0,tf, <*'..£» 6 SS{p-lF\0+)+TtU.
Мы получили такую последовательность {(x'n,x'^,t„;^'n,^,Tn)} в
*S(p-lF\u+), что
<-+<, <-гж"' '«"Г0- $»-г0'
II II П П '
Чп Чо I 1птп * "•
п п
Поскольку
(*',*",<;£',Г,т) 6 88(р-^|у+) «> (tx',x";t-^',e) 6 SS(F),
О 0, x'/0, <r =(*',£'),
мы видим, что последовательность {(t„x'n,x%;t~l£'„,£%)} содержится
в SS(F) и удовлетворяет соотношениям
*„*;-*(), *;'-**"' С-*£, Кх'п\-к1а-^ о.
n n n п
Это доказывает два первых включения в силу замечания 6.2.8.
Для того чтобы доказать последнее включение, рассмотрим
выделенный треугольник
Rj\F -+ Rj.F - (Rj,F)M -^ .
Из неравенств треугольника вытекает, что SS((Rj,F)m) С
SS(F)+Tj£X. Теперь третье включение следует из предложения 5.4.4
и леммы 6.2.1(H).
В гл. 7 нам придется иметь дело с прямыми образами относительно
отображений, собственных лишь в микролокальном смысле. Более
точно, рассмотрим следующую ситуацию.
Пусть gi: Л' х У -> X и р: Т*(Х х У) -> (Г*Х) х У обозначают
естественные проекции.
Предложение 6.3.3. Пусть Q — открытое подмножество в Т*Х,
и пусть F 6 Ob(D'(A' x У)). Предположим, что
F.3.9) проекция p(SS(F)) П (Q х У) —»■ Q является собственной.
Тогда
(i) SS(RquF)n Q С ?i»Vf1(SS(F)),
(ii) SS(Rq1,F)nncqiA[-\SS(F)),
(iii) Rqv.F —» Rqi,F — изоморфизм в D'(X; Q).
12 M. Касивара, П. Шапира
F.3.8)

354
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Заметим, что F.3.9) означает, что для любого компактного
подмножества К С О существует такое компактное подмножество L С У,
что
F.3.10) SS(F)D(K х TY) С К х (bxVY
Доказательство. Выбрав замкнутое вложение многообразия У в
векторное пространство, мы можем считать, что У = К" для некоторого
п. Поскольку IR" изоморфно открытому шару в R", мы можем
теперь предположить, что У — открытый шар в К". Положим У = К"
и обозначим через j открытое вложение X х У <—>ХхУ, а через gi —
проекцию X х У —» X. Тогда Rqi,F ~ Rqi,Rj,F и Rqv.F ~ Rqi,Rj\F.
Положим Z = X х ЗУ. По теореме 6.3.1
SS(Rj.F) С SS(F) U (TZ*(X х У)+ SS(F)),
SS(Rj,F) С SS(F) U (TZ*(X x У)+ SS(F)),
SS((fij.F)z) С Т}{Х х y)+SS(F).
Рассматривая выделенный треугольник
Rj)F -+ Rj,F -+ (Rj,F)z -^,
мы видим, что все результаты доказываемого предложения следуют
из соотношения
F.3.11) Чи*$~\ШХ х У)+ SS(F))nft = 0.
Докажем F.3.11). Пусть К — компактное подмножество в Q. Из
F.3.10) мы получаем SS(F) П (К х Т*У) П я--1B) = 0, откуда К П
Ч1ЛТ\Т^Х х У)+ SS(F)) = 0. D
6.4. Микролокализация
Мы дадим оценку микроносителя микролокализации.
Теорема 6.4.1. Пусть М — замкнутое подмногообразие в X, и
пусть F 6 Ob(D»(X)). Тогда
(i) . SS(i/Ar(^))CCTlix(SS(F)))
(ii) SS(i/M(F)) = SS(/iM(F)).
■

6.4- Микролокализация
355
Здесь мы отождествляем Тт&хТ*X,Т*ТМХ и Т*ТщХ, пользуясь
предложением 5.5.1 (ср. F.2.2) и F.2.3)).
Доказательство. Пункт (и) следует из теоремы 5.5.5.
(i) Выберем такую систему локальных координат (х\х") на X,
что М = {(х',х");х' = 0}. Как и в §4.1, Хм снабжено
координатами (x',x",t) и мы обозначаем через р: Хм —* X отображение
(x',x",t) ■-► (tx',x"), а через Q — открытое подмножество {t > 0} в
Хм- Тогда мы можем отождествить ТмX с {< = 0} в Хм- Обозначим
через j вложение Q <—► Хм, через s — иммерсию ТмХ «-»■ X и
положим р = р о j (ср. с диаграммой D.1.5)). Пусть (x',x",t;£',£",r) —
координаты на Т*Хм- По определению vm(F) = s~1Rj,p~lF.
Применяя предложения 5.4.5 и 6.3.2, мы получаем
SSip-'F) = {(x\x\t;i\i",T);t > 0, (<*',*"; Г1*', О € SS(F),
tr-(x',O = 0},
и поэтому если (х'0,х";£'0,£") £ SS(i/m(F)), to существует такая
последовательность {(x'n,x'^,tn;^'n,^,Tn)} в SS(p-1F), что
и — о, |tn||rn| -* о и «,<;СО — К-*";СО-
п п п
Поэтому (tnx'ntx'^t^1^,^) принадлежит SS(F). , Так как
SS(F)— коническое множество, (tnx'n,x%;Z'n,tnZ%) лежит в SS(F).
Теперь из определения множества Ct*x(SS(F)) сразу следует,
что K,x»;^,^')eCTlix(SS(F)). " П
Заметим, что, используя те же обозначения, что и в
доказательстве теоремы 6.4.1, мы получаем, что если (х'0,х";£'0,£") лежит в
SS(j/jm(F)), то (х'а,£'0) = 0. (Это вытекает из соотношений |t„lkn| —* О
и t„Tn — (х'п,£'п) = 0, полученных по ходу доказательства.) В
обозначениях E.5.7) это означает, что SS(i/a*(F)) С Sr»x, что эквивалентно
КОНИЧНОСТИ J/jtf (F).
Следствие 6.4.2. Пусть f : Y —* X — морфизм многообразий.
Пусть F 6 Ob(D*(X)) и G G Ob(D*(y)). Тогда
(i) SS(/iAom(G - F)) С C7„(SS(F), SS(G)),
(ii) SS(/iAom(F «- G)) С C„(SS(F), SS(G))a,
где а — антпипоЖмъное отображение относительно
структуры векторного расслоения в T*(YxxT*X) над Y *х
ТХ;

356 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
(ш) если G когомологически конструктивен, то естественный
морфизм
RHom{G, AY) <S> /-1F <8> wY/x -» KHom(G, /!F)
является изоморфизмом на T*Y \ /#(SS(F), SS(G)).
Доказательство. Пункты (i) и (ii) непосредственно следуют из
теоремы 6.4.1.
(iii) Рассмотрим выделенный треугольник
F.4.1) Ятг. Я —► Ятг» Я —► Ятг» Я —►,
+1
в котором Я = fihom{G —*■ F). Тогда SS(i?7r»#) П V = 0 в силу
предложения 5.5.4 и определения 6.2.3(ш), и результат следует из
предложения 4.4.2. О;
Следствие 6.4.3. Пусть F и G принадлежат D*(X). Тогда
(i) SS(/iAom(G, F)) С G(SS(F), SS(G)),
(ii) если G когомологически конструктивен, то естественный
морфизм
KHom(G,Ax) ®F-+ KHom(G, F)
является изоморфизмом на Т*Х \ E5(F)+oo SS(G)°).
Доказательство. Это частный случай следствия 6.4.2.
Следствие 6.4.4. Пусть f : Y —* X — морфизм многообразий, и
пусть F e Ob(D*(X)). Тогда
(i) SS(/-1F)C/#(SS(F)))
(ii) SS(fF) C /#(SS(F)),
(iii) если V — подмножество в T*Y и f нехарактеристичен
относительно F на V, то естественный морфизм
f-lF®wY/x->f'F
является изоморфизмом на V и, кроме того,
SS(/-1F)nKc'/'(/,-1(SS(F))).

6.5. Инволютилностъ и распространение 357
Доказательство. Отождествим Y с графиком морфизма / в X х Y
и обозначим через q проекцию TY(X х У) —» Y. Тогда
и имеется выделенный треугольник F.4.1) с Я = /i7(FE3wy). Теперь
нужные результаты следуют из предложения 5.4.4. □
Следствие 6.4.5. Пусть F и G — объекты категории D+(X).
Тогда
(i) SS (f® в) С SS(F)+ SS(G),
(ii) SS(iWom(G, F)) С SS(F)+ SS(G)a.
Доказательство. Нужно применить предложения 5.4.1 и 5.4.2, а
также следствие 6.4.4, как в доказательстве предложения 5.4.14. □
Замечание 6.4.6. В ситуации следствия 6.4.4(iii) предположим, что
V —открытое подмножество в Т* У. Тогда отображение*/': */*-1(V)n
f~1(SS(F)) —» V является собственным. Однако последнее условие
строго слабее, чем условие «/ нехарактеристичен относительно F на
V», как показывает следующий пример.
Возьмем X = К2 с координатами (y,t), положим Y = {(y,t);
t = 0} и рассмотрим пучок F = Az, где Z = {(y,t);t = у2}. Пусть
V = {(y,v) e T*Y;V > 0}. Тогда F\Y ~ А{0} и f;l(SS(F))n
*/'-\У) = 0.
Замечание 6.4.7. Микроноситель инвариантен относительно
(^-преобразований на X, а • + • и /*(•) не инвариантны (ср. упр. 6.7).
Это означает, что теорема 6.3.1 и ее следствия не являются
наилучшими возможными результатами.
6.5. Инволютивность и распространение
В теории дифференциальных уравнений в частных производных
фундаментально важными являются результаты о
распространении особенностей вдоль бихарактеристических кривых и об инволю-
тивности характеристического многообразия. В этом параграфе в
качестве приложения следствия 6.4.3 мы докажем результаты такого
типа в рамках теории пучков.

358
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Пусть U — открытое подмножество в Т*Х, а ф — вещественная
С2-функция на U. Мы полагаем
F.5.1) Vo = {peUJ(p) = 0}, У± = {реи;±ф(рJ 0}.
Пусть р е Vo- Интегральная кривая гамильтонова векторного поля
Нф, проходящая через р, называется бихарактеристикой множества
Vo (или функции ф), выпущенной (или исходящей) из р, и
обозначается через Ьр. Мы определяем также положительную
полубихарактеристику 6+, выпущенную из р, как положительную полутраекторию
поля Нф, выпущенную из р. Если (х; £) — система однородных сим-
плектических координат, то 6+ —такая кривая (x(t), £(<))<>o, что
Заметим, что 6+ зависит от V+, а не от ф. Более точно, замена ф на
Л^, где Л(р) > 0, не влияет на 6+ в окрестности точки р.
Аналогичным образом определяется отрицательная
полубихарактеристика Ь~. Если &ф{р) = 0, то мы считаем, что 6* = {р}.
Пусть S — локально замкнутое подмножество ъТ*Х.
Определение 6.5.1. Пусть р £ S. Мы говорим, что S инволютив-
но в точке р, если для любого в £ Тр*Т*Х, такого, что нормальный
конус CP(S, S) содержится в гиперплоскости {t; £ TPT*X; {v,0) = 0},
выполнено условие Н(в) £ CP(S).
Если S инволютивно в любой точке р £ S, будем говорить, что S
инволютивно.
Разумеется, если S — гладкое подмногообразие, то S
инволютивно в смысле определения 6.5.1 тогда и только тогда, когда TPS
инволютивно в ТРТ*Х для всех р £ S, поскольку в этом случае
Cp(S,S) = Cp(S) = TpS.
Предложение 6.5.2. Предположим, что S инволютивно и
замкнуто в открытом подмножестве U вТ*Х. Пусть <f>:U—*№. —
функция класса С2, такая, что ф\§ = 0. Тогда S является объединением
бихарактеристик функции ф.
Доказательство. Пусть р £ S. Мы можем предположить, что
йф(р) ф 0, поскольку в противном случае траектория поля Нф,
выпущенная из р, сводится к одноточечному множеству {р}. Поэтому S
содержится в гладкой гиперповерхности {ф = 0}, откуда следует, что
CP(S,S) С {ре ТРТ*Х; (»,drf(p)> > 0}.
Таким образом, Нф £ CP(S), и нужный результат вытекает из
следующей леммы. D

6.5. Инволютиаиость и распространение
359
Лемма 6.5.3. Пусть U — многообразие, S — замкнутое
подмножество в U, v — векторное поле класса С1 на U, р„ £ S, а 6+ —
положительная полутраектория поля v, выпущенная из р0 (т. е. Ь+:
[О, +оо[—» U удовлеторяет условиям 6@) = р0 и -gjb+(t) = v(b+(t))).
Предположим, что v(j>) £ CP(S) для всех р£ S. Тогда Ь+
содержится в S.
Доказательство. Мы можем предположить, что U — открытое
подмножество в К^, ро=0и«=^в координатах (t, х) £ Ж х К^-1
Тогда6+(<) = (<,0).
Предположим, что (а,0) £ S для некоторого а > 0. Существует
такое е > 0, что, полагая В = {х £ Ш^-1; |ж| ^ е], мы
получаем S Л {а} х В = 0. Пусть 7* — выпуклая оболочка множества
{(*, 0)} U ({а} х Б)}, и пусть <„ = inf{<; yt Л 5 = 0}. Тогда 7«. П 5 ^ 0,
0^t„ <аи7(П5=0 для t0 < * ^ а. Выберем некоторое
р G 7«о n S- Тогда ^ $ Cp(S), т- е- мы пришли к
противоречию. □
Теорема 6.5.4 (теорема об инволютивности). Пусть F
принадлежит D*(X). Тогда его микроноситель SS(F) инволютивен.
Доказательство. Пусть S = SS(F), р £ S и в £ Т£Т*Х.
Предположим, что
F.5.3) CP(S, S)C{0 = 0},
F.5.4) Я@) g CP(S).
Мы приведем эти предположения к противоречию. Согласно
F.5.4), в ф 0 и существует такое замкнутое подмножество Z в Т*Х,
что р £ Z,S С Z и (Я@),А) < 0 для всех A e Wp*(Z) \ {0}.
Действительно, если выбрать локальную систему координат вблизи р, то
можно найти открытый выпуклый конус 7 c вершиной в р,
содержащий Н(в) и такой, что 7 Л 5 = 0 в окрестности точки р. Теперь
достаточно положить Z = Т*Х \ у.
С другой стороны, из F.5.3) вытекает ввиду следствия 6.4.3, что
SS(/iAom(F, F)) Л 7г-1(р) содержится в множестве {#@) = 0} (здесь 7Г
означает проекцию Т*Т*Х —» Т*Х). Поэтому мы получаем
SS(/iAom(F, F))nN;(Z) С {0}.
Поскольку fihom{F, F)p = (fiFz/iAom(F, F))p, мы имеем fihom{F,
F)p = 0 по следствию 5.4.9. Итак, p^SS(F) в силу следствия 6.1.3, и
мы пришли к противоречию. D

360
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Замечание 6.5.5. Если в определении 6.5.1 заменить условие
CP(V,V) С {в = 0} более слабым условием CP{V) С {в = 0}%,
теорема 6.5.4 перестает быть верной (см. упр. 6.2).
Пусть теперь U — открытое подмножество ъТ*Х, ф — веществен^
нал функция класса С2 на U, a Vq, V+, V- определены, как в F.5.1).
Предложение 6.5.6. Пусть F и G — объекты категории Db(X)„.
Предположим, что SS(F)nU С V+ и SS(G)nU С V-. Пусть j£Zi§,
и — сечение пучка Hi{jihom{G, F)). Тогда supp(u) содержится в Цц
и представляет собой объединение положительных полубихарактв*
ристик.
Доказательство. Положим К = [inom(G, F). Из следствия 6.4.3 мь
знаем, что над U носитель supp(/C) содержится в V+ Л V_ = Vo, a
SS(A") содержится в C(V+, V-) = {v £ ТТ*Х\ (v, Аф) ^ 0}, если ото.
ждествлять ТТ*Х и Т*Т*Х с помощью изоморфизма —Н. Поэтому
SS(tf) С {в £ Т"ГХ; {в, Нф) 2 0}
(так как {-Н@),<1ф) = {0,НФ)).
Теперь результат вытекает из следующей леммы.
Лемма 6.5.7. Пусть Z — многообразие, v — векторное поле
класса С1 на Z, а К £ Ob(Dh(Z)). Предположим, что SS(K) С {в
T*Z; (в, v) ^ 0}. Пусть j £ Z и и — сечение пучка Н>(К) над Z. Га
гда supp(ti) является объединением положительных полутраектори
поля v.
Доказательство. Пусть р £ Z,n пусть 6 — траектория поля и, про
ходящая через р. Мы можем считать, что 6 ф {р}, и после замень
координат можно предполагать, что ^ = 1хУ,6 = 1х {Уо}>» = fa
где t — Координата на К.
Пусть 7 — конус {< ^ 0} в К, и пусть у = у х У. Примени,
предложение 5.2.3, мы получаем К ~ ф^1Щ^+К'. Отсюда вытекав!
что Н>(К)\ь ^ Ф^1Ь для некоторого L £ 0bFf)(K7)), и если и\ь -*
сечение пучка Н*(К)\ь, то supp(«|t) представляет собой объединен»
интервалов [а, +оо[ в силу предложения 3.5.3. Е
Пример 6.5.8. Пусть t — координата на Ж, a (t;r) — кс
ординаты на Т*Ш. Пусть F = А^>0у, G = А^=0у. Тогд
Hnom(G, F) = А{«=о,т<о}[—1] и носитель любого ненулевого се
чения и пучка Hl(fihom(G, F)) представляет собой интерва,
{t = 0, г £] — оо,0]}. Этот интервал является положительной
полубихарактеристикой поля #« = —■§?, выпущенной из точки @,0), но*
не представляется в виде объединения отрицательных
полубихарактеристик.

6.6. Пучки в окрестности инволютивного многообразия 361
6.6. Пучки в окрестности инволютивного
многообразия
Пусть /: У —» X — морфизм многообразий.
Предложение 6.6.1. Предположим, что f — замкнутое
вложение, и отождествим У с подмногообразием в X. Пусть р£ТуХ и
F£Ob(Db(X)).
(i) Предположим, что SS(F) С 7Г-1(У) в окрестности точки р.
Тогда существует G £ Ob(D*(y)), такой, что F ~ /»G в
Оь(Х;р).
(И) Предположим, что SS(F) С ТуХ в окрестности точки р.
Тогда существует такой объект М 6 Ob(Db(£Dtod(A))), что
F = MY eDh(X;p).
Доказательство, (i) Если р £ Т% X, то доказывать нечего.
Предположим, что р £ ТуХ. Индукцией по коразмерности подмногообра-
шя У сводим дело к случаю, когда У — гиперповерхность. Пусть
[ф = 0} — уравнение поверхности У, причем р = (х0;<1ф(ха)).
Положим Q± = {х £ X; ±ф(х) > 0} и обозначим через j±
открытые вложения ii± <-*■ X. Применяя теорему 6.3.1, мы видим, что
1> $ SS(Rj-*jZ1(F)). Поэтому ДГ{^о}(^) —» F — изоморфизм в
Оь(Х;р), и мы можем предположить с самого начала, что supp(F)
содержится в множестве {ф ^ 0}. Снова с помощью теоремы 6.3.1
устанавливаем, чтор g SS(Rj+ij^.1(F)). Поэтому F —» Fy —
изоморфизм в Db(X;p). Так как Fy n f*f~lF, отсюда вытекает требуемый
результат.
(и) Мы имеем F = /»G в D*(X;p) для некоторого G £
Ob(D'(y)). Применяя предложение 5.4.4, получаем SS(G)Cipy
и некоторой окрестности точки тг(р). Пусть g — отображение
V —♦ {pt}. В силу предложения 5-4.5 G = g~lM для некоторого
МеОЪ(Оь(то9(А))). Итак, F~ MY в D»(X;p). D
Предложение 6.6.2. Предположим, что f — гладкое
отображение, и отождествим У xjf T*X с подмногообразием в T*Y.
Пусть р £Y хх Т*Х, и пусть G £ Ob(D*(y)). Предположим,
что SS(G) С У хх Т*Х в окрестности точки р. Тогда существует
F £ Ob(D»(X)), такой, что G~f~lF в Оь(У;р).
Доказательство. Используя индукцию по dim У — dim X, мы мо-
/кем считать, что У = R", X = К"-1, / — проекция (х\, х') >-». х',
.. р = @,6), где&, =@,£).
Для £0 = 0 результат уже был доказан в предложении 5.4.5. По-
ому мы предположим, что £0 ф 0. Пусть Н( — открытое полу-

362
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
пространство {х G lRn;(s,£o) > ~с)> 7 — замкнутый выпуклый ко*
нус в К", такой, что у°а — окрестность точки £0, и, наконец, U —^
окрестность нуля, представляющая собой пересечение Н, с
некоторым 7-°т1фытым подмножеством в R". Мы можем предположить
что
F.6.1) SS(G) П (U х 7°°) С У х Т*Х.
Отсюда мы выводим, что
((SS(G) \ (U х y°a))+N*(H,)a) П (U х Int70°) = 0,
((SS(G) r\(U x yoa))+N*(Ht)a)n(U x 7") С УхГ*Х.
Тогда
F.6.2) SS(Gff.) П (U x 700) С У хГ*Л\
Мы полагаем
F.6.3) С = ф^Щ^Сн.).
Достаточно показать, что
F.6.4) SS(G') П (U х 7°°) С У хГ*Х
Действительно, предполагая, что выполняется F.6.4), мы получу
ем, 4ToSS(G')n7r-1(G) С У ххТ*Х в силу предложения 5.2.3, и дл
завершения доказательства остается применить предложение 5.4.
поскольку G'~Gb Db(Y;p) в силу предложения 5.2.3.
Наконец, F.6.4) вытекает из F.6.2) и следующей леммы.
Лемма 6.6.3. Пусть Е — вещественное конечномерное векторне
пространство, у — замкнутый выпуклый собственный конус в I
такой, что у Э 0, и пусть G G Ob(D*(i?)), G' = ф~1 ity7»(G). Пуст
х £ Е, и предположим, что для некоторой компактной окрестност
К точки х множество (К + 7) П supp(G) компактно. Пусть £ £ .В
u(i + 7;£)n SS(G) = 0. Тогда (х;{) g SS(G').
Доказательство. Обозначим через 91 и 92 проекции из Е х Е на пе
вый и второй сомножители, а через s — отображение
F.6.5) s:Ey.E-yE, s(x,y)=y-x.
Тогда по предложению 3.5.4
F.6.6) G' ~ Rs, Ur% ® fc'GJ •
Теперь
SS(G') С {(ж;О): существует у, (у, х+у- -£,£)
£ SS(AY) х SS(G)},
что и завершает доказательство. Q

6.7. Микролокализация и обратные образы 363
6.7. Микролокализация и обратные образы
В этом параграфе мы дополним результаты §4.3, используя
микроноситель.
Пусть / : У —» X — морфизм многообразий, и пусть М
(соответственно N) — замкнутое подмногообразие в X (соответственно в
Y), причем f(N) С М. Как и в §4.3, мы используем обозначения
'/'■ U. '/'nj/n* Для отображений
T*Y
T£Y
Y хТ*Х
х
N х ГЛХ 1
м М In,
Т*Х
т&х
Теорема 6.7.1. Пусть V — открытое подмножество в TfiY, и
пусть F£Db(X). Предположим, что
(i) / нехарактеристичен относительно F на V (ср. определение
6.2.7),
(ii) /iVir|t*'-i(v) : '/лГЧЮ ~* TjfoX нехарактеристичен
относительно Gr^x(SS(F)),
(in) *f-l(V) П Kl№F)) CYxx T£X.
Тогда естественные морф из мы (ср. предложение 4.3.5)
R%\(^nim ® fr\l4i{F))\v -» M"Y/X ® f~lF)\v
(Mf'F))\v - (R%Jk*M(F))W
являются изоморфизмами.
Доказательство. Мы пойдем тем же путем, что и в доказательстве
предложений 4.2.5 и 4.3.5. Заметим прежде всего, что отображение
f~l(SS(F)) —» T*Y является собственным на некоторой окрестности
подмножества V в силу (i) и замечания 6.4.6. Поэтому на V
вертикальные стрелки в предложении 4.3.5 являются изоморфизмами
к силу О) и 00 ВВИДУ следствия 6.4.4. Поэтому достаточно пока-
<ать, что первый из указанных в теореме морфизмов — изоморфизм.
1'ассмотрим диаграмму D.1.11), обозначения которой мы сохраним.

364 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Тогда
(TNf)-lvM(F) ~ Sylf-lRjx,p-xlF,
uN(f-lF) ~ SylRjYJ-lp-xlF ~ sY\Rjy.fTxF®"t-„XIXM)
Рассмотрим выделенный треугольник
uyn/x„ ® f-'RJx^F -+ f'Rjx.Px'F —> Н
+i
Тогда носителем Н будет ТцУ, и для доказательства теоремы
достаточно показать, что V П SS{(sYlH)h) = 0. Здесь, как и в
предложении 5.5.1, мы отождествляем Т*ТцУ и Т*ТЦ,У. В силу следствия
6.4.4 достаточно показать, что
F.7.1)
для любой точки q0GV существует точка
qGTNY х T*Yn, такая, что q0 = Vy(g)eV и /'
нехарактеристичен относительно RjXtPx1 F
в точке q.
Мы выберем такие системы локальных координат (х) = (г', г") нч
Л" и (у) = (у1, у») на У, что М = {(*',*");*' = 0} и N = {(у1, у");!/ *
0}. Обозначим через (х1, х",t;g,£",т) координаты на Хм и черй
(у*.У1',tw'tif'tT) координаты на Yn-
Мы будем писать
f(l/,t/')=(9W,t/'),Kt/,l/')),
Поэтому
tgWy,t) = g(ti/,i/'),
Заметим, что
F.7.2) 7W, Л •(€'.'{")

6.7. Микролокализация и обратные образы
365
Положим q = @, tf,0; ?£, 0, т.) и х» - Л@, »{,'). Тогда qa = (»J; t£) £
V. Предположим, что /' характеристичен относительно RjxmP^F в
точке q. Применяя предложение 6.2.4, мы найдем
последовательности
МпХ.О) в YN и {(x'n,x'',tn;CCrn)} в SSiRjx.rtn
такие, что
Г«.!/М-Г@,!^0),
F73) {K.x^t^-.CO.xi'.O),
F.7.4) тп + Шп, £А) ■ & + Ч\/пЛМ ■ С — г.,
п
г дум,я&) • &+*ж. «г.*;.) • с -т* «л,
F'7'5) Ьж.й.О-й + Мй.М-Й-^о,
F.7.6) w+iui+itfi—»«>.
п
F.7.7) \(x'n,xZ,tn) - Шп,£Л)\ ■ (|г„| + |&| + О -^ 0.
Из F.7.4) и F.7.6) мы получаем
F.7.8) \а + \С\ —> оо.
П
Кроме того, из F.7.7), в частности, вытекает, что
F.7.9) l*»-t'„|-(h.l + l&l + ltfl) —0.
п
Предположим сначала, что t„ > 0. Тогда (tnx'n,x'^;^'n,tn^)£SS(F),
и из F.7.2), F.7.5), F.7.9) мы выводим, что
F.7.Ю) r(t«&,iO-(&,t«£Z)-?M,o).
Поскольку / нехарактеристичен относительно F в точке р =
(О, j£; i?i,0) (предположение (i)), отсюда следует, что
F.7.11) последовательность {|£j,| + |tn£n'|}n ограничена.
Таким образом, (£JJ) —► +оо.

366 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Поскольку последовательность {(£'n,tn£ll)} ограничена, мы
можем предположить, переходя к подпоследовательности, что
&—»Й .*»&'—»#• Тогда в силу F.7.10) (O.tfrfUnCW) х*
п п
f~1(SS(F)). Из предположения (ш) мы получаем, что ft' = 0.
Таким образом, (ft,<n&') —► (£i>0)- Мы можем предположить,
П
что последовательность ft,'/|ft[| имеет предел ft'. Мы получаем
такую последовательность {(<ns'n,xJ(;£{,,<„#,')} в SS(F), что
(&,*-&')-^(Я,о),
^(<-*п.'-О-^@,й).
Тогда @,x";ft,ft') G Qr£x(SS(.F)) и из предположения (ii)
вытекает, что Лу,,@, у£') • ft' = Лу«@, j/i', 0) • ft' ф 0. Из F.7.5) мы получаем
(напомним, что |#,'| —► оо)
П
9у"Ып, lC. *») ■ | + Л,»(•„, !/„', <„) • ||i -^ 0.
Мы пришли к противоречию, поскольку |ftj ограничена.
Наконец, предположим, что t„ = 0. По теореме 6.3.1
существует двойная последовательность {(х
n,mi х'п,т^п,т\ (n,mi fn,mi 1i,m)} B
SSffi^F), такая, что
\xn,m> ^n.mrn.miWroifii.mi Tn,m) ~~* [Xn, £„, U;£„,£„, T„)
' ' ' m
и t„im положительны.
Поэтому мы можем выбрать подпоследовательность,
удовлетворяющую F.7.3)-F.7.7), и доказательство окончено. D
Замечание 6.7.2. Мы можем разложить / в композицию с помощью
его графика следующим образом:
Y с у YxX YxX ► X
и и и и
N N с > NxM ► М
Тогда можно было бы вывести теорему 6.7.1 из двух таких следствий.

6.7. Микролокализация и обратные образы 367
Следствие 6.7.3. В ситуации теоремы 6.7.1 предположим, что
выполняется условие (i), а также допустим, что
/\n : N —* М — гладкое отображение.
Тогда справедливо заключение теоремы.
Действительно, в этом случае отображение fa* гладкое и
Г~\ПУ)СУххТмХ.
Следствие 6.7.4. В ситуации теоремы 6.7.1 предположим, что
Y = X, a f — тождественное отображение (и потому N С М С А'
и N хм ТМХ = TfiX Г\ТМХ). Предположим также, что
выполняется условие (ii). Тогда естественное отображение
HN(F)\vnT£X - {fit,Pn{F))\vrtTZX
является изоморфизмом.
Доказательство. Из предположения (ii) вытекает, что (над V)
TnxmT- х(тмх) содержится в нулевом сечении. В
частности, над V в нулевом сечении содержится и Слгхмт* x(SS(F)f\
ТЦХ), поскольку TbXMT;!iX(TMX) ~ ТЫхмт£х(Т£Х)М при
отождествлении касательного расслоения и кокасательного расслоения.
Поэтому существует открытая окрестность W множества V П ТМХ
в V С ТЦХ, такая, что SS(F) П W С ТМХ. Тогда условия теоремы
6.7.1 выполнены с заменой V на W. □
Следствие 6.7.5. Пусть f:Y—*X — морфизм многообразий, V —
подмножество в T*Y, F £ Ob(D»(X)) и G £ Ob(D»(V)).
Предположим, что f нехарактеристичен относительно F на VC\SS(G).
Тогда естественные морфизмы(ср. предложение 4.4.5) fihom(G,f'F) —►
RtfrlihomiG -* F) и tihom(f-1F,G) -*■ Rtf'tnhom(F *- G) суть
изоморфизмы на V.
Доказательство. Надо использовать следствие 6.7.3 в
доказательстве предложения 4.4.5.
Следствие 6.7.6. В ситуации следствия 6.7.5 предположим
дополнительно, что / — замкнутое вложение. Тогда
естественные морфизмы R*f{ f~* finom(Rf\G, F) —► fihom(G,flF) и
Rtf!f~1^om(F,RftG) -*■ n'hom(f-1F,G) (ср. предложение 4.4.6)
суть изоморфизмы на V.
Доказательство. Надо использовать следствие 6.7.5 и
предложение 4.4.5, как и в доказательстве пп. (i) и (ii) предложения
4.4.6. a

368 Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Упражнения к гл. 6
Упражнение 6.1. Пусть X — открытое подмножество векторого
пространства Е, а 7 — собственный замкнутый выпуклый конус в Е,
и пусть F £ Ob(D*(X)). Предположим, что SS(F)CX х уоа.
(i) Докажите, что для любой точки х £ X существуют ее
окрестность U и G e Od(D*(£7)), такие, что F\v ~ (^"'G)^.
(ii) Докажите, что SS(W(F)) С X х 700 для всех j.
Упражнение 6.2. Пусть Z — {(х,у) £ Ш2;х2 ^ у > —ж2}, и пусть
F = AZ.
(i) Докажите, что SS(F) = {(х,у;£,г));х2 ^ у ^ -х2,£ = г) = О,
или у = — х2,£ = 2xi;,i; ^ 0, или у = х2,£ = —2хг),г) ^ 0}.
(Н) Пусть р = @,0;0,0). Докажите, что CP(SS(F)) = {у = 0,£ =
0,i?<0}.
(iii) Пусть в = dy. Докажите, что CP(SS(F)) С {в-1@)}, но -Нв £
CP(SS(F)). (Ср. замечание 6.5.5.)
Упражнение 6.3. Пусть F £ Ob(D*(X)), и предположим, что
H'(F) = 0 для j < 0. Пусть и £ H°(X;F) = r(X;H°(F)), x £ X,
и пусть 7 — замкнутый выпуклый собственный конус в ТХХ,
такой, что 7 Э 0. Предположим, что (SS(F) П тг-1(ж)) П у'а С {0} и
Cjr(supp(u)) П 7 С {0}. Докажите, что х £ supp(u). (Указание.
Используйте предложение 5.2.1.)
Упражнение 6.4. Пусть /: У —» X — морфизм многообразий, и
пусть F\ и Fj — объекты категории Db(X).
(i) Предположим, что / нехарактеристичен относительно
SS(fi)+SS(f2)°. Докажите изоморфизм
f-1RHom(F2>Fl) ~ RHom(rlF2,r1Fl).
(ii) Пусть / нехарактеристичен относительно SS(Fi)+ SS(F2). До-
кажите изоморфизм
/-1F1®/!F2~/!(V1®F2V

Упражнения к гл. 6 369
Упражнение 6.5. Пусть М — замкнутое подмногообразие в X, X —
накрытие пространства X \ М, а р — отображение X —* X (т. е.
р = t о р, где i: X \ М *-*■ X, а р — проекция X —» X \ Л/).
Пучку F £ Ob(D*(X)) поставим в соответствие
pM(F) = Rp,p-1F
~KHom(Rp,Ax,F).
(i) Доказките, что
SS(pM(F)) С SS(F) U (SS(F)+T^X).
(ii) Пусть /: V —► X — морфизм многообразий, трансверсальный
к М. Положим N = /-1(М). Предположим, что /
нехарактеристичен относительно F и относительно SS(F)+T^X.
Докажите изоморфизм
r1P¥(F)npK{f-lF)-
Здесь рдг определяется аналогично с помощью накрытия X Хх
Y над У \ N.
Упражнение 6.6. Пусть X = R2, и пусть (ж, у) — координаты на
X, а (х,у;£,т)) — соответствующие координаты на Т*Х. Положим
П = {(*,У,*, V); П > 0} и П = П \ {(ж,у;£, »?);»?> 0,ж < 0,^ = 0}.
(i) Докажите, что из F 6 Ob(D*(X)), SS(F) П tf = 0 вытекает,
что SS(F) П Я = 0.
(ii) Докажите, что для любых F, G 6 Ob(D*(X)) отображение
Ноток(Х;Я)(ЛС) -» Нот0к(х;л')(^,G)
является изоморфизмом,
(iii) Докажите, что Я°(/2';^Лот(Л{о}.-А{о})) — -^2> но ПРИ ЭТОМ
Еотоъ(х,П')(А{°}>Мо}) — А- (Указание. Используйте
теорему об инволютивности.)
Упражнение 6.7. Пусть у — кривая {(ж, у) 6 К2; у = 0, ж ^
0} U {(*,У) е К2;У = хх,х > 0}, где 1 < А < 2. Пусть Л = T7*R2.
Доказките, что
Л+/1 = Л U T{*0}R2.

370
Гл.6. Микроноситель и микролокализация
Упражнение 6.8. Пусть j = {(z,y) € Ш2;ху = 0, ж > 0, у ^ 0}.
Покажите, что если F 6 ОЬ@'(ЛГ)) и SS(F) С SS(A7), то существуе»
такой объект М 6 ОЬ@*(ЯПоЭ(Л))), что F ~ М7 в D'(K2).
Упражнение 6.9. Мы сохраняем обозначения предложения 6.1.8.
Докажите изоморфизмы
HomDt(X.px)A(/i"G, F) ~ HomDt(y.py)v(G, frF) ~ /Mora(G -* F)p,
HomDt(X;px)v(F, /?G) ~ HomD^y.p^C/^F.G) ~ ^Aom(F *- G)p.
Замечания
Изучение нормальных конусов в кокасательных расслоениях (т. е,
результаты §6.2) было начато в работе [Kashiwara, Schapira 1]. Оно
мотивировалось наблюдением, что классическое понятие гиперболич*
ности для уравнений в частных производных может естественным!
образом быть сформулировано в терминах таких конусов, и теорем*
6.3.1, 6.4.1 и 6.7.1 в действительности представляют собой теоретиков,
пучковые варианты некоторых результатов в микрогиперболичв¥
ских системах (см. предложения 11.5.4 и 11.5.8 далее в этой кнн*
ге, а относительно дальнейших продвижений см. работу [D'Agnolo,
Schapira l]).
Операция +, первоначально введенная в работе [Kashiwara
Schapira 2], сейчас выступает как естественный инструмент пр|
изучении произведений (скажем, произведений распределений, см
[Lebeau 1]) или при исследовании стратификации (ср. гл. 8).
Теорема об инволютивности (теорема 6.5.4) представляет собой дат»
леко идущее обобщение соответствующего результата для систем ли*
нейных дифференциальных уравнений, который первоначально был
доказан аналитическими методами в работе [Sato, Kawai, Kashiwank
1] (после фундаментальной работы [Guillemin, Quillen, Sternberg l])s
Интересно заметить, что теорема об инволютивности для дифферент
циальных уравнений имеет в настоящее время три кардинально
различных доказательства: первое из них — аналитическое, как
отмечалось выше, второе — чисто алгебраическое, принадлежащее Габбво
ру [Gabber 1], и последнее — чисто «геометрическое» (и «веществен*
ное»), опирающееся на теорему 6.5.4 (ср. теорему 11.3.3 ниже). Эт*'
теорема впервые была получена в работах [Kashiwara, Schapira 2,3] в
менее точной форме и с другим доказательством.

Замечания
371
Предложение 6.5.6 очень полезно при изучении
распространения аналитических особенностей микродифференциальных
уравнений, особенно в задачах дифракции. Это предложение
принадлежит Шапира [Schapira 3]. Все остальные результаты этой главы
принадлежат авторам, причем многие из них были уже доказаны Ка-
<иварой и Шапира в работе [Kashiwara, Schapira 3].

Глава 7
Контактные преобразования и
чистые пучки
В этой главе мы выполняем контактные преобразования в пучках.
Мы начинаем с того, что обобщаем на микролокальную ситуацию
понятие ядра, введенное в § 3.6, и развиваем микролокальное исчи-'
сление ядер.
Пусть X и У — два многообразия, a Qx и Qy — открытые
подмножества соответственно в Т*Х и T*Y. Мы показываем, что при
соответствующих предположениях корректно определены функторы Фк.
и Фк из 0»(У; Qy) в Dh(X; Qx) и из Db(X; Qx) в 0»(У; Qy), задающие
эквивалентности категорий, совместимые с функтором цЛотп. Далее,:
если х: &х —* Qy — контактное преобразование, то мы показываем,
что после сужения множеств Qx и Qy всегда можно, используя эти
ядра, построить эквивалентность Dh(X;Qx) -* О*(У; Qy). Пусть
теперь М — гиперповерхность в X, а N — гиперповерхность в У.
Предположим, что контактное преобразование х переводит Т£Х П Qx Л
TffYC\Qy. Если график преобразования х ассоциирован с
ненормальным расслоением к некоторой поверхности 5 в X х У и если в качеств*!
ядра К выбран пучок As, то мы показываем, что Фк(An) a Am[d] 1
Dh(X;p) (p € Их), где d— сдвиг, который мы вычисляем, использу
индекс инерции.
Это вычисление приводит к понятию чистых пучков вдоль глад
кого лагранжева многообразия Л, понятию, которое является
теоретико-пучковым аналогом понятия распределений Фурье, введении)
Хёрмандером [Hormander 2,4], и понятия простых голономных си*
стем Сато-Каваи-Касивары [Sato-Kawai-Kashivara 1]. Если А =»
Т^Х, где М — замкнутое подмногообразие в X, то чистый пучок)
F вдоль А в точке р есть не что иное, как образ в Оь(Х;р) пучк*
LM[d], где L — некоторый Л-модуль (таким образом, Ьм — пучок нт
X с носителем М, постоянный на М со стеблем L), a d — сдвиг. (В
таком случае говорят, что F — чистый пучок со сдвигом d+ ^ codim M.\
В том случае, когда ранг проекции it: Л —* X непостоянен, сдвиг
пучка F может претерпевать скачки, и его вычисление в полной мере
требует техники, связанной с индексом инерции. Мы завершаем
главу вычислением сдвига для композиции двух ядер и сдвига чистого
пучка после перехода к его прямому или обратному образу.

7.1. Микролокальные ядра
373
Сведения, содержащиеся в этой главе, не обязательны для
понимания оставшейся части книги, исключая §§ 10.3 и 11.4.
Мы придерживаемся соглашения 4.0. Кроме того, если не
оговорено противное, все рассматриваемые подмногообразия кокасательных
расслоений предполагаются локально коническими.
7.1. Микролокальные ядра
В этом параграфе мы «микролокализуем» конструкции § 3.6.
Пусть X и У — два многообразия. Мы обозначим через q\ и qj
соответственно проекции X xY —* X и X xY —» У, а через pi и до —
проекции Т*(Х хУ)-» Т*Х и Т*(Х х Y) -+ T*Y. Мы полагаем также
р? = р; оа, где а — антипод ал ьное отображение. Если Z — третье
многообразие, то через ду обозначается проекция изХ xY x Z на, (t, j)-&
сомножитель. Например, ?13 есть проекция на X х Z. Аналогично
определяются проекции щ из Т*(Х х Y x Z) ~ T*X x T*Y x VZ. В
этой главе Г*(Х х У) ххт*у T*(Y x Z) обозначает расслоенное
произведение с помощью проекций р\: T*(Y x Z) —* T*Y и р%: Т*(Х х У) —►
T*Y. Мы отождествляем это множество с Т*(Х х Y x Z) с помощью
соответствия
Ш*;0. (к -ч)), ((у; ч), (*;С))) ~ ((*;*), (у; ч), (*;0)-
Пусть Qx,iiY,iiz — открытые подмножества в Т*Х, T*Y uT*Z
соответственно. Мы полагаем Qx = a(Qx), где о — антиподальное
отображение, и аналогично определяются QY, Q\ и т. д.
Определение 7.1.1. Через U(X,Y;Qx,Qy) обозначается полная
подкатегория в Db(X x У; Qx xT*Y), состоящая из всех таких
объектов К, что
(i) SS(AT) П {Qx x TY) Cftxflf,
(ii) отображение p\: SS(A') П (Qx xT*Y) —» Qx собственное.
Бели нет опасности путаницы, мы пишем U(Qx,Qy) вместо
fi(X,Y;Qx,QY).
Разумеется, если Q'x и Q'Y — открытые подмножества в
Т*Х и T*Y соответственно, причем Q'x С Qx и Qy С fly, то
Ob(N(Qx,QY)) содержится в Ob(N(Q'x,QY)). Если У = {pt}, то
G.1.1) N(flx,{pt})~D4X;flx).
Пусть К 6 ОЪ(Оь(Х х У)) и L е ОЬ@»(У х Z)). Напомним (§3.6),
что К о L — объект в Ob(D4(X x Z)), определяемый формулой
G.1.2) KoL^RqiaJq^K&q^L
•

374 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Предложение 7.1.2. Пусть К £ Ob(N(f?x,f?y)). Тогда
(i) естественный морфизм К о L —► Rqi3*(qijK ®L q^^) явлл-,
ется изоморфизмом в Db(X х Z;iix х T*Z),
(ii) SS(KoL)n(f2xxT*Z)Cpi3((SS(X)n(f2xx^))xT.y(SS(I)n!
(Оу х Г*2))),
(ш) если L 6 Ob(N(fiy, tfz)), то К о L е ОЪ(ЩПх,Пг)).
В частности, соответствие (К, L) >-* К о L задает бифунктор из
ЩПх,Пг)хЩПг,Пг)вЫ(Пх>Пг).
Доказательство. Заметим сначала, что
G.1.3) (Pr21(SS(K)))+p2-31(SS(I)) П (ПХ xT-Yx TZ) = 0.
оо
Действительно, возьмем последовательность {(x„,y„;£n,i)n)} в
SS(/C) и последовательность {(!/„, zn] ч'„,Сп)} в SS(I), такие,
что (*„;£„) —► (*„;£>) е Фс,(*„;<*) —► (*<>;<o),yn —► Уо,у„ —►
п п п п
Уо,Чп + Чп —► •?<>• Тогда последовательность {t)n} ограничена, по-
я
скольку К £ Ob(N(f2x,f?y). Отсюда следует G.1.3). Из следствия
6.4.5 (ср. замечание 6.2.5) мы получаем
G.1.4) SS (q^K ® q^ b\ П%х VY x VZ
Из предположения относительно К следует также, что для любого
компактного подмножества А в Six x T*Z существует такое
компактное подмножество В в У, что
G.1.5) (x,y,z;t,n,() 6 (Pn4SS(K)) + p^(SS(L))) Пр^(А)
=>уев.
В силу G.1.4) и G.1.5) мы можем применить предложение 6.3.3 к
qijK ®£ qj^L на fix х T*Z для отображения 513. Мы получаем (i),
а также
SS(/<" о L) П (Qx х T*Z) С {(ж, г; £, С)}; существует такая точка
(y,v) 6 ГУ, что (*,у;& -,) g SS(AT),
(x;0e«xH(y,^;v,C)eSS(L)}.
Этим доказано (ii), a (iii) отсюда следует. □

7.1. Микролокальные ядра 375
Напомним, что в § 3.6 мы сопоставили объекту К 6 Ob(D»(X x У))
функторы Фк: Dh(Y) — Dh(X) и Фк:Оь(Х) -» 0»(У), полагая
G 16) { *K(G) = R*»(K®blG)-KoG>
\
*k{F) = Rq2.RHom(<K,q\F).
Определение 7.1.3. Пусть К 6 Ob(N(f?x,f?y)). Определим
функтор Фк: 0*(У;QY) -» D»(X;1?х), полагая Ф*(<2) = KoG.
Это определение осмыслено в силу предложения 7.1.2,
примененного к Z = {pt}, и согласовано с G.1.6).
Мы обозначим через г: X xY —*Y хХ каноническое отображение
G.1.7) г(х,у) = (у,х).
Предложение 7.1.4. Предположим, что объект К 6 Ob(D*(X x
У)) удовлетворяет условию г,К 6 ЩBу>^х)- Тогда
(i) !Р# индуцирует корректно определенный функтор из
Оь(Х;Пх) в Q\Y;QY);
(ii) естественный морфизм Rq2\KHom(K, q\F) —» !pjr(F)
является изоморфизмом в Db(Y; Qy)\
(iii) SS(*K(F))r\nYCp$(SS(K)r\p;l(SS(F)r\nx)).
Мы не воспроизводим доказательство, так как оно мало отличается
от доказательства предложения 7.1.2.
Пусть W — четвертое многообразие, a Qw — открытое
подмножество в Г* W.
Предложение 7.1.5. Функторы из ЩПх,Иу) х N(f?y,f?z) х
N(Oz,ftw) e N(Qx>ftw), задаваемые формулами (K,L,M) >-+
(К о L) о М и (/С, I, M) >-* /С о (L о Л/), изоморфны.
Доказательство очевидно. D
Предложение 7.1.6. (i) Функторы из ЩПх,Иу) х N(f?y,f?z) x
Db(Z; Qz) в D*(X; Qx), задаваемые формулами (К, L, Н) >-* Фкоь(.Щ
и (K,L, Н) н* Фк(Ф^Н)), изоморфны.
(ii) Функторы из NA2|, Ду) х N(tfy, tf£) х D»(X; ftx) e D*(Z; f?z),
задаваемые формулами (L,K,F) *•* ^-'(Jfoi)^) « (L,K,F) i-+
^г-Ч^г-чКЛ)» изоморфны.
Здесь г обозначает одно из канонических отображений X х У —»
У х X, Ух2—2хУиЛГх2->2хХ.

376 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Доказательство. Утверждение (i) — частный случай
предложения 7.1.5, a (ii) следует из предложения 3.6.4. □
Пусть 5у обозначает (|,;)-ю проекцию, определенную на X х Z х
Y х Z. Через iz мы обозначим функтор из N(f?x,f?y) в ЩПх х
Qz, Hy х &z), определенный формулой
G.1.8) iz: A' ^ q^K ® q^ АЛг.
Рассмотрим диаграмму
ЩПх,Пг)хЩПг,Пг) ► ЩПх,Пг)
G.1.9) Л
|., |«,
ЩПХ х Пг,Пу х Пг) х D»(V x Z-,nY x T*Z) —► 0Ь(Х х Z,nx x TmZ)
где ai(K,L) = (iz(K),L),a2(H) = Ht0i(K,L) = К о L и fa(H,G) =
**(G). '
Предложение 7.1.7. Диаграмма G.1.9) коммутативна, т. е. /?2 о
e*i ~ q2 oft.
Доказательство очевидно. D
Предложение 7.1.8. Пусть К 6 Ob(D*(X x У)). Предположим,
что К 6 Ob(N(«x, Яу)) и г~1К 6 Ob(N(tfy, tf$)). Тогда функторы
Фк: Db(Y;QY) -» D*(X;tfx) «!%,• D*(*;tfx) — 0»(У;Ду) являются
взаимно сопряженными.
Доказательство. Мы знаем (упр. 1.14), что
HomDb(x.„x)(<MG),F) = limHomDb(x)(<PK(G'),F'),
где индуктивный предел берется по категории морфизмов G' —* G
и F -» F', таких, что G' ~ G в 0»(У;Яу) и F ~ F' в D»(X;I2x).
Аналогично
Нот0*(у.Яу)(С,!^(Л) = limHomDb(y)(G',!%(F')),
где индуктивный предел берется по той же самой категории. Поэтому
нужный результат вытекает из предложения 3.6.2. О

7.1. Микролокальные ядра 377
Предложение 7.1.9. Пусть К 6 Ob(D*(X x У)). Предположим,
что К когомологически конструктивен, и- пусть КЕ ОЪ(ЩПх, &y))-
Положим К* = r,KHom(K,wXxY/Y)- Тогда г~1К* 6 ОЪ(ЩО%,П$))
иФк 2! &к* как функторы из Э*(У;Qy) в Db(X;Qx).
Доказательство. Поскольку SS(r-1A"*) = SS(A")°, объект г-1 К*
ггринадлежит ЩП%,ПУ). Пусть G 6 Ob(D*(Y)). Из G.1.3) нам
известно, что
fsSCA-^+SSC^G)] П(ПХ х T*Y) = 0.
Применяя следствие 6.4.3, мы получаем такой изоморфизм в
категории Db(X *Y;BX хГ»У):
КНот(К*, q^G) ~ KHom(K*, q'2AY) ® qJ * G.
Тогда в силу предложения 7.1.2
~Я<11! (KQq^G)
ъОь(Х;Пх)- □
Предложение 7.1.10. Пусть К 6 ОЪ(ЩПх, #у)) « L 6 Ob(N(f?y,
fix)). Предположим, что KoL oi A&x в Dh(X хХ;Пх xT*X) и Lo
К~АЛхв Dh(YxY;nYxT*Y). ТогдаФк: Dh(Y;QY) - Оь(Х;Пх) и
Ф[,: Db(X;Qx) —» D*(Y;f?y) — взаимно обратные эквивалентности
категорий.
Доказательство. Это легко следует из предложения 7.1.6. D
Предложение 7.1.11. Пусть КеОЪ(Оь(Х х У)), FeOb(Oh(X;Qx))
иСеОЬ@»(У;ВД.
(i) Предположим, что К 6 ОЬAЧ(Цу, Bу)). Тогда в Db(Qx)
имеется естественный изоморфизм
ЯрыЛот(К, KHom(q; 1G, q[F)) ~ цпот(Фк(G), F).
(ii) Предположим, что г+К 6 ОЪ(ЩПу,Пх)). Тогда в D'(tfy)
имеется естественный изоморфизм
Rp^hom^K, RHem(q^G, q[F)) ~ цпот(С Фк(F)).

378
Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Доказательство, (i) Рассмотрим отображения
X х Л'
G.1.10) и
Дх
XxXxY с
U
AxxY
и ассоциированные с ними отображения
ТлЛХхХ)
I»
XxYxXxY
U
Акху
YxTAx{XxX)
G.1.11)
I
Т*Х
T-AxxY(XxXxY) -
I
(Т'Х) х У
I
Y хТХ
ТЛхх¥(Х xYxXxY)
I
Т*(Х х У)
Обозначим, как обычно, через «j j-ю проекцию, определенную в
X xY х X xY, а через «у (i, У)-ю проекцию. Положим
Я = KHom(q^K, KHom(q-lG,q[F))
~ iWom («34 Я" ® «^G.g'iF J .
Тогда fihom(K, KHom(q^lG, q\F)) ~ /i^xхуЯ.
Отображение j нехарактеристично относительно Я на 1?х х Т*У <.
Т^хХу(Х х X х У). Действительно, рассмотрим последовательност
{(*».Jfa.*!,.J/{,;6».»b.&.»?»)} в SS(#), такую, что (жп,уп,ж'„,j/„) —*
Я
(ж„,Уо,жв, У»), (&•,£,, »Ь + г)'п) —► (&,-£» гH), (ж0;£0) 6 «х• Тогда по
следовательность {т/п} ограничена в силу предположений, наложе»
ных на К.
Применяя следствие 6.7.3, мы получаем такой изоморфизм на Их"
T*Y:
ЯУ,рПот(К, KHom(q;lG, q[F))
* Р&хкгГКНот («34Я" ® «J1*?, q\FJ
~ цАх%уКНот L-^K ® «з ^.«iFj .

7.2. Контактные преобразования в пучках 379
Возьмем теперь прямой образ обеих частей под действием q„. В
< илу предложения 4.3.4 имеется естественный морфизм
Rqr*R*Ji^om(K, RHomiq^G, q[F))
— РДх H«*#W«m» (q~\K ® 9з~1с> i\F J
~ цЛх RHom(q-l<PK(G), q[F)
который является изоморфизмом, если носитель объекта G
компактен. Поскольку q,t о V' = Рь мы резюмируем следующее.
Имеется естественный морфизм
G.1.12) tihom(<PK(G), F) -» Rpulifiom(K, RHom^G, q[F)),
который является изоморфизмом, если G имеет компактный
носитель. Чтобы завершить доказательство утверждения (i), заметим,
что для любого компактного подмножества А в Qx существует такое
компактное подмножество В в У, что из равенства supp(G)Dfl = 0
вытекают следующие утверждения:
(a) Bupp(Rpltfihom(K, RHom(q-lG, q\F))) П А = 0,
(b) supp(/Mom(<P*(G),F))nA = 0.
Действительно, (а) очевидно, поскольку К принадлежит ЩОх,Оу),
а (Ь) вытекает из предложения 7.1.2(ш). Для того чтобы доказать,
что G.1.12) — изоморфизм, остается заменить G таким пучком G',
что G'\b = G\b и носитель supp(G') компактен.
(ii) Доказательство аналогично. □
В следующем параграфе мы дадим достаточные условия того, что
Фк и iPjf — эквивалентности категорий.
7.2. Контактные преобразования в пучках
Пусть задано замкнутое коническое подмножество Л С Их х Gyt где
Qx и Оу — открытые подмножества в Т*Х и T*Y соответственно,
как и в § 7.1. Мы предположим, что
G.2.1) pi\A:A-+Qx и рЦ|л:Л—>f?y—гомеоморфизмы.
Обозначим через х отображение р\\л о (pjjU)-1 из Qy в Qx. Если А
гладкое и лагранжево и если pj — диффеоморфизмы, то х —
контактное преобразование.

380 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Теорема 7.2.1. Пусть К 6 0b(D*(X x У)). Предположим, что
выполнено условие G.2.1) и, кроме того,
G.2.2) К когомологически конструктивен,
G.2.3) (рГL(«х) U рГ1 («У ))nSS(K) С Л,
G.2.4) естественный морфизм Ал —* fihom{K,K)\A является
изоморфизмом в 0Ь(Л).
ТогдаФк: 0ь(У;Пу) -» 0ь(Х;Пх) и Фк: 0ь(Х;Пх) -» Db(Y-,nY) —
взаимно обратные эквивалентности категорий.
Более того, если G\ и G2 принадлежат 0ь(У;Пу), то в Db(Qx)
имеется естественный изоморфизм
G.2.5) X*^om(G2,Gi) ~ /iA©m(*jr(Ga),*jr(Gi)).
Доказательство. Согласно предположениям G.2.1) и G.2.3), К
принадлежит ЩПх,Пу), аг»А' принадлежит N(f?y, J?£), где г
обозначает отображение G.1.7) изХхУвУхХ. Рассмотрим декартов
квадрат
XxY ► X xYxY
i
I Я П I Яз
У ► YxY
i
где j и j — диагональные вложения. Положим Е = КНот^^К*
i\^K). Это объект категории D*(X x У х У). В силу предложений1
7.1.9, полагая К* = г-1 RHom(K,wXxY/x), мы имеем К*оК ~ Rq23*&
ъЩПу,Пу)-
С другой стороны, j'E ~ RHom(j~lq^21K,yq[3K) ~ КНот(К,К)*
Поэтому мы имеем канонические морфизмы
AXxY-+KHom(K,K)-+j'Et
которые индуцируют морфизмы
AY -» Rq2*Ax*Y -» Rq2*J'E ~ У!Я«2з»#-
Итак, мы получили морфизм
G.2.6) а:АЛу -* К* о К в N(fly,fly).
Докажем, что q — изоморфизм. Пусть Z — еще одно многообразие,
F б Ob(D»(X х Z\QX x T*Z)),Ge ОЬ@»(У х Z;QY x TZ)). Пусть

7.2. Контактные преобразования в пучках 381
iz(K) обозначает объект в N(Qx x T'Z,Qy х T*Z), построенный в
G.1.8). В силу предложения 7.1.11 в 0b(Qx х T*Z) мы имеем
естественный изоморфизм
G.2.7) x.(/iAom(G,«,eW(F))lnrx7-*)
~ ^Лот(Ф,-г(х)(С), F)\nxxT*z-
Выберем Z = У, G = Лду ъ F = К. Мы получаем изоморфизм
Х»Мот(Лау, !Pjy(Jf)(/0) =* /*Лот(Я", А").
Поскольку !P',y(jf)(A') ~ К* о К ъ силу предложения 7.1.9, мы
получили на f?y С Т^у (У х У) изоморфизм
G.2.8) »л(а): »Лу(АЛу) ~ »Лу(К* о К).
Так как SS(/<"*оK)D(Qy х Г*У) С 71У (У х У), из предложения 6.6.1
и изоморфизма G.2.8) следует, что а — изоморфизм в U(Qy,Qy).
Аналогично доказывается изоморфизм Адх ~ К о К*' в N(Qx,&x),
где К" = г~1КНот(К,шххУ/у)- В силу предложения 7.1.10 из этих
изоморфизмов следует, что Фк '■ Db(Y;i2y) —» D*(X;f?x) —
эквивалентность категорий. Поскольку Фк — функтор, сопряженный к Фк,
получаем, что Фк — квазиобратный функтор к Фк- Тогда G.2.5)
вытекает из G.2.7) с Z = {pt}. □
Покажем, что если х — контактное преобразование между Qy и
Six, то после уменьшения множеств Qy и Qx можно построить
эквивалентность категорий Db(Y;Qy) и Db(X;Qx) с помощью теоремы
7.2.1.
Пусть Qx и Qy — открытые подмножества в Т*Х и T*Y
соответственно, а х- &Y —* &х — контактное преобразование. Положим
G.2.9) Л = {(*,»;*,ч) 6 Их х QY;(x;Z) = хЬг,-ч)}-
Это коническое лагранжево многообразие, замкнутое в Qx x f?y.
Пусть ру € Яу, рх = х(ру) е Пх-
Следствие 7.2.2. Существуют открытые окрестности X' тонки
""(Рх). У точки тг(ру), f?x точки рх и Оу тонки ру, такие, нто
Q'x 6 T*X'r\Qx,Qy СТ*У'Г\Оу, и существует К 6 Ob(D»(X'xY')),
такой, нто
(a) х индуцирует контактное преобразование Qy — Q'x,
(b) ((Q'x x T*Y') U (Г**' х Of)) П SS(/<-) С Л П (Q'x x Д£),
(c) Фк- D*(y'; f?y) —» 0h(X'; Q'x) — эквивалентность категорий,
(d) для G\ и G2 из Db(Y';Q'Y) мы имеем в Db(Q'x) изоморфизм
G.2.5).

382 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Доказательство. В силу следствия П.2.8, уменьшая при необходимо*
сти Qy и Qx, мы можем разложить х в композицию Х2 ° Xi, гДе к*^
ждое из Xi (» = 1,2) — контактное преобразование, а лагранжево мно*
гообразие Л,-, ассоциированное с \i по формуле G.2.9), является ко*
нормальным расслоением к гиперповерхности. Как следует из пред*,,
ложений 7.1.2и 7.1.6,если Ki 6 Ob(D»(A"xZ)) и К2 б Ob(Dh(ZxY')y
удовлетворяют условиям (Ь), (с) и (d) следствия, то /C2 ° Ki
также удовлетворяет этим условиям. Таким образом, мы с самого на-:
чала можем предполагать, что существует такая гиперповерхность
S С X х У, что лагранжево многообразие Л, определенное фор-'
мулой G.2.9), содержится в Тд(Х х У). Поскольку Л является
К+-коническим, а 5 — гиперповерхность, существуют открытые
окрестности П'х, Оу, X', У точек рх, ру, ""(Рх), *{py) соответ
ственно,такие, что((Д^ хГ*У')и(Г*Х'хП^))ПТ^(Х xY) С Л. ТогдаЙ
все предположения теоремы 7.2.1 выполнены для К = А§п(х'хУ) i
Dh(X' x У). Cf
Определение 7.2.3. В ситуации теоремы 7.2.1 мы говорим, что Фц
и iPjf — расширенные контактные преобразования над х-
Покажем, что все расширенные контактные преобразования над
тождественным преобразованием порождены эквивалентностями
категорий в D'(Srto9(A)). В этом смысле Фк по существу единственно.
Пусть х тождественно в окрестности точки р £ Т*Х. Из
предложения 6.6.1 мы заключаем, что К ~ Мдх в Db(X x X; (р, р°)), где
М б Ob(D»(artoD(A)). Если G 6 Ob(D»(X)), то
Фх(С) = Мх®С в Оь(Х;р).
Предложение 7.2.4. Предположим, что функтор Мх ®L • опреве*
ляет эквивалентность категорий в D'(X;p). Тогда функтор М ®£ •
определяет эквивалентность категорий в Оь(ШоЪ(А)).
Доказательство. Пусть У — такое подмногообразие в X, что р 6
ТуХ. Положим Л = ТУХ. Тогда Мх ®L • индуцирует
эквивалентность категорий на 0ЬЛ (X; р), а эта последняя категория эквивалентна.
D*(SJtoD(A)) в силу предложения 6.6.1. D
Пример 7.2.5. Пусть X и У — два экземпляра пространства Ж",.
снабженные линейными системами координат (х) и (у)
соответственно. Пусть (х;£) и (у; г)) — соответствующие координаты на ко-
касательных расслоениях. Рассмотрим контактное преобразование
X: f*Y ~ f*X, задаваемое формулой
G.2.Ю) х:(|яч)"->(*;0 = (у + ч/1ч1;ч),

7.2. Контактные преобразования в пучках 383
где М = (Еу»?2I/2- Пусть S = {(х,у) 6 X х У;£,(ау " И»)я 5* 1}, и
пусть Л = SS(As) ПТ*(Х х У). Тогда
Л = | (*, у;£, »?); Е(*У - У;J = U = -9 - А(* - у), А > О I.
Таким образом,
(*» О = х(у; ч) <* (*> у; £, -п) е л.
Пусть К = As. Тогда все условия теоремы 7.2.1 выполнены и Фк '•
D'(y,T*y) -> D'(X;T"X) — эквивалентность категорий.
Для G 6 Ob(D*(y)) мы имеем Ф*(С) ~ Rqv(q21G)s. В частности,
Фк(А{0}) а А{£ хр1уфк(Ау) а 0,Фк(А{у*о}) ~ Л{£..}>1}[-1] в
Db(X;f*X).
Пример 7.2.6. Рассмотрим пример, аналогичный примеру 7.2.5, на
комплексных многообразиях.
Пусть X и У — два экземпляра пространства С, снабженные
С-линейными координатами (z) и (и») соответственно, причем z =
х + У—Ту и и» = и + У—Tv. Пусть (г; С) и (и», в) —
соответствующие координаты на комплексных кокасательных расслоениях. Если
X* и У* обозначают овеществления многообразий X и' У, то
канонические 1-формы на Т*Х* и Г*У* равны соответственно 2 Re(EyO^i)
и 2Re(E0ydu»y). Пусть Пх = {(г;С);С2 * Ж+ U {0}}, где С2 = Еу<,2,
и аналогично Qy = {u»;0);02 i Ж+U {0}}. Тогда (-в2I/2 —
голоморфная функция на Qy, корректно определенная в силу условия
Re((—в2I!2) > 0, и мы можем рассмотреть голоморфное контактное
преобразование х из Qy в Qx, задаваемое формулой
G.2.И) Х: («»; 9) - (*; О = (и» + */(-*2I/2; 9).
Пусть Z = {(z,w);(z— и»J = —1}. Рассмотрим лагранжевы
многообразия
Л± = {(г,и»;С,в);С2^Ж+и{0},С=-в,г = и»±С/(-С2I/2}.
Тогда (*;<) = x(w]9) •» (z,u»;C,-0) 6 Л+ и 72(Х х У)П(ЯХ х Я£) =
Л+иЛ". Положим Z+ = {(z,u»);Im((z-u»J) = 0,Re((z-u»J) < -1},
и пусть К = Az+ ■ Тогда
SS(tf) = {(z, и»; С, в)] (z, w) € £+, С = -9 = *(* - и»), * б С, Re * ^ 0,
(l + Re((z-u»)a)).ReJb = 0}.

384 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Отсюда получаем
SS(/C) П (Пх х T*Y) = SS(A') П (ГХ х iiY) = Л+.
(Заметим, что SS(Az)n(f?x хГ*У) = SS(Az)nG4,Xx^) = Л+иЛ"*%
а К изоморфен Az[-l] в 0h(X x У; Л+).)
Таким образом, преобразование Фк определяет эквивалентност!
категорий
Оь(¥;Пу)^Оь(Х;Пх).
Определим вещественные подмногообразия N = {w 6 Y;Imw = 0
и М = {z 6 X; (ImzJ = 1}. Вычислим Фк(Ам)-
Для z = х + л/^Лу (ж 6 К", у Е К") мы имеем Фк(А^)г *
Rre(S„;AY), где
St = {we N; (z, w) 6 Z+} = {we R"; (x-w,y) = 0, (x-wf < y2 - \\
Поэтому Sz = 0 при у2 < 1, и Sz гомеоморфно (п — 1)-мерному от
крытому шару при у2 > 1. Мы получаем, что
Ф*(Ллг)~Л{у3>1}[1-п].
7.3. Микролокальная композиция ядер
Пусть X, Y и Z — три многообразия, и пусть рх,Ру я PZ — точки
T*X,T*Y и T*Z соответственно. Положим х0 = я"х(рх).!/о = яу(ру.
и z„ = Kz(pz)- Мы сохраняем те же обозначения pij,qij,p"j и т. д.
что и в §7.1.
Пусть (К\,Кт) — пара, состоящая из объекта К\ из Db(X >
Y,(Px, Ру)) и объекта К* из Э*(У х Z;(py, pz)). Будем гова
рить, что пара (Ki,Ki) микролокально допускает композицию в
точке (px,PY,Pz), если
Г SS(tf,) х SS(tf2) n {рх} х T-Y х {Pz} с {(рх, PY, Pz))
G.3.1) < т*у
I, в некоторой окрестности точки (j>x,Py,Pz)-
Заметим, что если F принадлежит D*(X;p), то корректно определев
росток микроносителя SS(F) в точке р. Из этого замечания вытекает
что формула G.3.1) имеет смысл.

7.3. Микролокальная композиция ядер 385
Предложение 7.3.1. Пусть (КиК2) 6 Ob(D»(X х У)) х Ob(D*(y x
Z)) — пара, микролокально допускающая композицию в точке
(Рх> Py> Pz)- Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) "lim"Я7! о К2 принадлежит 0b(X x Z;(px,pz)), где К[ -» Кх
пробегает категорию изоморфизмов в точке (рх, Ру), а К'2—*
К2 пробегает категорию изоморфизмов в точке (ру, р%).
Кроме того, для любой окрестности W точки (рх, ру, Pz)
в Т*Х х T*Y х T*Z мы имеем
G.3.2) / SSCMs'^o^CpJs^n^SS^O^SS^a)))
L в некоторой окрестности точки (рх, р%).
(ii) Если, кроме того, пара (К\, Ki) удовлетворяет условиям
G.3.3) (SS^O тху SS(A-2)) П {{рх} х TjY x {pz})
С {(РХ, PY> Pz)}>
G.3.4) (SSttfO^SS^n ({(*.;<))} х 7J.Y х {(*о;0)}) = 0,
то "lim" (Ki)x*v<>K2 принадлежит Db(Xx.Z; (рх,Р%)) и из°-
v
морфен "lim'' К[ оК2. Здесь V пробегает систему открытых
окрестностей точки у0.
(ш) Существуют морфизмы К[ —* К\ и К'2 —» Ki, такие, что в
точках (рх,Ру) и (py,Pz) соответственно они являются изо-
морфизмами, а пара (К[,К2) удовлетворяет условиям G.3.3)
и G.3.4).
(iv) Если рх 6 f*X, mo "lim" К[ о Ki принадлежит Dh(X x
Z;(px,Pz)) u изоморфен "lim" K[ о К'2.
Определение 7.3.2. Для пары (КиК2)еОЪ(Оь(Х x Y;(px, pY)))x
ОЬ@'(У х Z; (ру, р%))) pro-объект "lim" K[ оК2 в категории Db(X x
Z; (pxiPj))' описанный в предыдущем предложении, обозначается
через A'i о,, К2 и называется микролокальной композицией ядер К\ и
Доказательство предложения 7.3.1 мы начнём со следующей
леммы.
М. Касивара, П. Шапира

386 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Лемма 7.3.3. В обозначениях предложения 7.3.1 предположим, что
px G Т*Х. Пусть S — такое замкнутое коническое подмножество
в T*{Y х Z), что
I
G 3 5) I SS(*')A5C{(p*'Py' Р*)>
в окрестности точки (pA'.py.Pz)-
Тогда существует такой морфизм <р: К[ —» Kt в Db(X х У), что
<р — изоморфизм в точке (px,Pz)> a К[ удовлетворяет условиям
G.3.6) SS(A'0TXy5n({Px} xi;eY x {p°z}) С {(px,PY,Paz)},
G.3.7) ss(i<[) n (свд,. х г;.у) = 0.
Доказательство. Возьмем такую компактную окрестность L точки
ру в T*yY, что (SS(K,) xT.y S) П ({рх} х I х {р|}) С {(рх.Ру.Р^)}-
Пусть G — образ множества S П (^„У х {р%}) при отображении pi:
Г(Ух2)-ГУ. Тогда
G.3.8) ({рх} х (Gnl)')nSS(tfi)C {(px,Pay)}-
Возьмем собственный замкнутый выпуклый конус у в Т?^ ул{Х х ^)»
такой, что
G.3.9) ({рх} х Т^У) nlnt7 С {рх} х 1° и (рх.Ру) 6 Int-jr,
G.3.10) 7 П ({(*.; 0)}х 7^ = 0.
Здесь (хо;0) — начало координат в T£QX.
Затем возьмем такое коническое открытое множество U, что
1пЬтЭиэ(рх,Р°>)-
Теперь, применяя уточненную микролокальную лемму о срезке,
(предложение 6.1.4), мы получаем такой морфизм ip: К[ —» Ки
что
G.3.11) <р — изоморфизм на U,
G.3.12) SS(K[)cUU(i\({px}xGa)).
Тогда tp обладает требуемыми свойствами. D

7.3. Микролокальная композиция ядер 387
Доказательство предложения 7.3.1. Прежде всего покажем, что из
G.3.1), G.3.3) и G.3.4) вытекает, что
G.3.13) { (SS(^i)T?ySS(K2)) П({Рх} хГ*У х {р|})
I С {(рх, PY, р|)} в окрестности точки (x0,y.,z0).
Бели G.3.13) не выполнено, то существует такая последовательность
{(УП;»М)} С T*Y \ {pY}, что у„ —* у, (рх,Ы-г1п)) 6 SS(tf,),
П
((yn;»b).Pz) G SS(/<). Если {пп} ограничена, то {(уп,Пп)}
сходится к py в силу G.3.3), что противоречит G.3.1). Если {пп} —
неограниченная последовательность, то мы можем предположить,
что ifo/|ito| сходится к tj ф 0. Тогда ((x0;Q),(y0;-ri)) 6 SS(A"i) и
(О/о, »?), (*»; 0)) 6 SS(A), что противоречит G.3.4).
Теперь мы в несколько шагов докажем предложение.
(а) Предположим сначала, что рх 6 Т*Х. Тогда (ш) следует из
леммы 7.3.3. Кроме того, при доказательстве (i), (ii) и (iv) мы можем
в силу той же леммы предположить, что пара (К\, К2) удовлетворяет
G.3.3) и G.3.4).
В силу G.3.4) SS(er,%) П SS(q^K2)a С 1xxYxZ(X х У х Z) в
окрестности точки (xa,y0,z0). Поэтому в силу предложения 5.4.14
G = q^£ Ki ®L ?м ^2 удовлетворяет условию
G.3.14) ( SS{G) CS = SS{Kl) * T*Z+T*X * SS(^)
\ в окрестности точки (х0, у0, z0).
Поскольку (Vi3)~1('^) изоморфно образу произведения SS(/Ci)
хт.у SS(K2) в Т*Х х У х T*Z, из G.3.13) и G.3.14) вытекает, что
G.3.15) / (V,3)-1(SS(G))n?r31,((Px,P^)) С {(рх,У.,р|)}
\ в окрестности точки (рх, Уо, Pz)-
Таким образом, мы можем применить предложение 6.1.10 и
заключить, что "lim" Rqi3*(Gx*v*Y) = lim" (Ki)x*v о К2 принадле-
v v
жит D'(X х Z;(px,Pz))- Пусть теперь К[ -» Кх и К2 -» К2 —
изоморфизмы в точках (рх>Ру) и (py,Pz) соответственно.
Существует такой изоморфизм К" —» К[ в точке (j>x,Py), что (/С{', А)
и (К[', К2) удовлетворяют условиям G.3.3) и G.3.4). Тогда а^К'^®1
4-13^2 ~* 4i2K\®L Ч2з1К* —* Ч\2^\ ®L Ч23К2 — изоморфизмы в точке

388 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
(рх, У»,Рг) в силу предложения 5.4.14. Поэтому в силу предложения
6.1.10
G.3.16) «lim» (ATOxxV о К'2 =? "lim" (KJxxv о К2.
V V
Переходя к «проективному пределу» по К", мы получаем
G.3.17) "lim" K[ oK'2^i "Urn" (tfi)xxv о А'2.
К[ V
Полагая К2 = К2, получаем
"lim" К[ о К2 =Г Пип" (Krfxxv о К2,
а переходя к «проективному пределу» по К'2 в G.3.17), получаем
"lim" К[ о К'2 =Г "lim" (Ki)Xxv о К2.
*£*• *v~
(b) pz € T*Z. Доказательство аналогично доказательству шага
(а).
(c) Предположим, что рх 6 TxX,pz 6 TjZ и ру 6 f*Y.
Поскольку (px,tPY,Pz) $ SS(A'i) x.T'Y SS(K2) при t > 0, мы имеем либо
(рх,Ру) $. SS(A"i), либо (py,Pz) $ SS(K2), откуда вытекают
требуемые результаты.
(d) (px,Py>Pz) Е ТХХ х TfY х TjZ. Поскольку supp^) xY
8upp(K2)r\{xt}xYx{z0}C{(x0>yo,Zo)} в окрестности точки (х0,Уо,г0),
пара (Ki,K2) удовлетворяет условиям G.3.3) и G.3.4) и "lim" К[ о
к1,к'2
К2 ^ u\imn(Ki)xxv о К2 принадлежит Dh(X x Z; (px,Pz))- О
Предложение 7.3.4. Пусть q\ и q2 — проекции из (X х Z) х
(У х Z) соответственно на X х Z и на Y x Z, и пусть i —
диагональное вложение X х У х Z <-*■ (X х Z) х (У х Z). Пусть
(Ki,Ka) € Ob(D»(X х У; (?*,#))) х ОЬ@»(У х Z;(pY,pz))). - пара,
микролокально допускающая композицию в точке (px,PY,Pz)- Тогда
(u(Kl®Az),K2)eOb(Ob{XxZxYxZ>(px,Pz,PY,Pz)))xOb(pb(Yx
Z х {pt}; (py,Pz, pt))) микролокально допускает композицию в точке
((рх,Рг)>(рг>Рг)>Р*-) и
K1oK2~UKlSAz)oK2.
Доказательство проводится непосредственно.

7.3. Микролокальная композиция ядер 389
Предложение 7.3.5. Пусть X,Y,Z и W — четыре
многообразия, рх 6 VX, py 6 T*Y, pz 6 T*Z, pw 6 T*W. Пусть
Kx 6 Ob(D4(X x Y;(Px,pP))),K2 6 Ob(D4(y x Z;{py,A))),Ka 6
Ob(D'(Z x W;{jpz,Pw)))- Предположим, что
G.3.18)
f SS(Ki)TXySS(K2)TXzSS(K3)
^(px-PyO-Cpy.Pz).^,?^)}
. в окрестности этой тонки.
Тогда (Ki, К2), (К2, Ks), (Ki о^ К2, Кз) и (Ki, K2 о^ К3)
микролокально допускают композицию и
G.3.19) (Кх окЛ oK~Kio (к2оК3) в Ok(X x W;{px,Pw))-
Доказательство проводится непосредственно.
Предложение 7.3.6. Пусть X, У, Z, X', У, Z' — шесть
.многообразий и pw e T*W (W = X,Y, Z, X\ У, Z').
Пусть Кг eOb(D4(X х Y;(px,ft))),K2eOb(Dk(Y х Z;(pr,p|)))f
К[ 6 Ob(D4(X' х Y>;(px;ft>))) «^£ Ob(D4(y' x Z';(pr>tp%.))).
Предположим, что пары (К\,К2) и (Ку,^) микролокально
допускают композицию. Тогда пара (К\ HL K[,K2№L K'2) микролокально
допускает композицию и
G.3.20) (Ki В К{\ о (к2 В К'Л ~ (кх о кЛ В f tf{ о К'Л .
Доказательство проводится непосредственно.
В заключение этого параграфа мы определим класс ядер,
микролокально допускающих композицию с любыми ядрами.
Определение 7.3.7. Обозначим через N(X, У;рх,Ру) полную
триангулированную подкатегорию в D4(X x У;(рх,Ру>)). состоящую из
таких объектов К, что
G.3.21) ( SS(K) П ({РХ} Х rY) С (Ь>х,Рау)}
\ в окрестности точки (рх.Ру).
Легко убедиться, что справедливо следующее утверждение.

390 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Предложение 7.3.8. Для любых К 6 0b(N(X, У; px,Py)) и L е
0Ь@*(У х Z;(py,Pz))) пара (K,L) микролокально допускает
композицию в точке (px>PY>Pz), u микролокальная композиция ядер
индуцирует функторы
G.3.22) о-: ЩХ,У;Рх,ру) х Db(Y x Z;(py,p%))
-+0\XxZ;(px,paz)),
G.3.23) -о-: ЩХ,У;рх,Рг) х U(Y,Z;pY,pz)) -» ЩХ, Z;pX,pz).
7.4. Интегральные преобразования в пучках,
ассоциированных с подмногообразиями
Мы начнем с элементарного результата из дифференциальной
геометрии. Пусть / : У —» X — морфизм многообразий, а N
(соответственно М) — замкнутое подмногообравие в У (соответственно в
X). Мы предполагаем, что отображение / гладкое, и
отождествляем У Хх Т*Х с замкнутым инволютивным подмногообразием в Т*У.
Положим
G.4.1) V = У х Г*Х, Л = t^Y.
Пусть р 6 Л П V. Будем считать, что
G.4.2) пересечение Л П V является чистым в точке р.
Вспомним отображения */' и /», действующие изУххГХвГУи
Т*Х соответственно. В силу G.4.2) отображение /т |дпу • Af\V —» Т*Х
имеет постоянный ранг (см. упр. FI.5), и для достаточно малой
окрестности W точки р образ /т(И^ПЛГ\ V) есть лагранжево многообразие.
Мы будем предполагать, что существует такое подмногообразие М в
X, что
G.4.3) fT(W П А П V) = ТмХ в окрестности точки /»(р).
Мы полагаем у0 = *y(p), x„ = *х(/,(р)) и А„(р) = ТрЯ-р1^)-

7.4- Интегральные преобразования в пучках
391
Предложение 7.4.1. В описанной выше ситуации (/ гладкое,
выполнены условия G.4.2) и G.4.3)) предположим дополнительно, что
N — гиперповерхность в У. Тогда существуют локальные системы
координат (ж) = {х\,х',х") на X и (x,i,u) на У вблизи точек ж„ и
у0 соответственно, такие, что р = (Q;dxi),f(x,i, и) = х, М = {х 6
X; xi = х' = 0}, N = {(х, t, и) 6 У; ц = q(i) + (х', и)}, где q(t) —
квадратичная форма, a xi 6 Ш., х', и 6 Ш.г, t 6 W1, х" 6 Ш.т для некоторых
г, п, т 6 N. Кроме того, если предположение G.4.2) заменить на
G.4.4) пересечение Af\V трансверсально в точке р,
то квадратичная форма q(i) невырожденна.
Доказательство. Коранг проекции Л Л V —* Y в точке р равен
dim(A.(p) П TP(V П Л)) = dim(A„(p) П TPV П ТРЛ) = 1.
Поскольку эта же формула верна и в некоторой окрестности точки
р в V П А, множество ту (Л П V) есть гладкое подмногообразие L в
У. Более того, L ~ (Л П V)/R+. (Заметим, что L является дискри-
минантным множеством отображения f\n : N —» X.) Рассмотрим
диаграмму
T&Y < о AnV —+ T&X
I о J * J
N , ч L ► М
где /t = /|t, /t = /т |апу •
Выберем координаты (xi,x',xw) на X таким образом, что М =
{xi = х' = 0} и *. = 0,/т(р) = dxi. Пусть (*1,*',*";6,^,П —
соответствующие координаты на Т*Х, причем £i ф 0. Поскольку
L ~ (Л П V)/IR+ и /ь — гладкое отображение, имеем и = £'/& ° /ti
и х" о /t задает координаты на L. Мы пишем ж" вместо х" о /^.
Затем мы дополняем координаты (х", и) на L до координатной системы
(x",u,t") на I, которую мы продолжаем на У (заметим, что если
пересечение Л П V трансверсально, то Д — изоморфизм и (х", и) —
система координат на L). Итак, мы имеем координаты (х\, х', х", t", и)
на У, которые дополняем переменной f, обращающейся в нуль на L.
Положим t = (<',<")• Тогда
f(x1,x>,x",t',t»,u) = (xux>,x'>),
£={«! = *' = <' = ()},
N = {xi = g(x', x", t\ t", и)} для некоторой функции д.

392 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Поскольку дх<д = £'/$i на L, мы можем записать
g={x',u) + h{x',x",t',t",u),
где
G.4.5) &../» = О на {x' = t' = 0}.
Из включения L С N следует, что
G.4.6) Л = 0 на {x' = t' = 0},
а из включения TfiY хдг L С V — что
G.4.7) &.А = 0 на {x' = t' = 0}.
Предположим временно, что
G.4.8) dfitih@) невырожденна.
Тогда по лемме Морса (см. [Hormander 4, т. 3, приложение С]),
заменяя f = (<ь ... ,tr) другими координатами, мы можем написать
л(о,х",<')<",«)=Е±<>2
и получаем
h(x', x",t',<", и) = q(i') + (х', ф', х", <', <", «)>,
где q(i') — невырожденная квадратичная форма (по отношению к
переменной <'). В силу G.4.5) ip@,x",0,tH, и) = 0. Заменяя и на и—(р,
получаем требуемый результат.
Наконец, докажем G.4.8). Пусть (x,t, u;£,t, v) — координаты на
T'Y, причем £ = (&,£', £"), г = (г1, т"). Мы имеем
Л={х1 = {х', и) + Л, -£76 = « + &'Л> "Г/6 = ^»Л,
- г/6 = & А, -»/& = х* + & А},
В силу G.4.5)-G.4.7) получаем, что
ТРЛ = {*i = 0, -£' = « + S*,r,A@) • *' + #,,А@) • <',
- т> = $,,А@) •<' + $r.A@) -x',t" = т" = 0,-v = *'},

7.4- Интегральные преобразования е пучках 393
Поэтому
ТРЛ DTPV ={Xl =x' = T = v=t" = 0,
- ? = и + dlt,h(o) -t',o = d$t,h(o) ■ <'}.
Поскольку образ множества TPAT\TPV при отображении TP(T*Y) —»
ГУоУ содержится в ГУо1, мы имеем (x,t, u;£,t,v) € TpAf\TpV =>
t' = 0. Итак, dfiti/t@) невырожденна, что и завершает
доказательство. □
Мы сохраним системы координат, доставляемые предложением
7.4.1, и положим
G.4.9) ЛГ+ = {ОМ, u);ci > q(i) + (х', и)}.
Пусть п+ (соответственно п_) — число положительных
(соответственно отрицательных) собственных значений формы q(t).
Определим число по с помощью соотношения
G.4.10) п+ + «о + n- = dimY/X - codimM + 1.
Другими словами, по — размерность вполне изотропного
пространства формы q; в частности, по = 0, если q невырожденна.
Предложение 7.4.2. В предположениях предложения 7.4.1 пусть
L 6 ОЪ(Оъ(тоЦА))). Тогда
(i) в категории pro-объектов категории Db(X) имеется морфизм
ulM'Rf,(Llf+nU)-,LM[6],
и
где 6=1 — codimAf — (по + п_) = п+ — dimY/X; здесь U
пробегает семейство открытых окрестностей точки у»;
(ii) f?LN+ a "lim" Rfi(Lff+nU) существует в D4(X;/T(p)), и опи-
и
санный в п. (i) морфизм является в зтой категории
изоморфизмом (ср. определение 6.1.7 и предложение 6.1.10).
Заметим, что (i) и (ii) вытекают из следующих двух утверждений,
которые мы собираемся доказать.
(a) Для открытой окрестности U точки у0 имеется морфизм
Rf<\LN+nu) -» Lm[S] в категории D*(X).
(b) Существует система открытых окрестностей точки у0 в U,
такая, что для любой окрестности U' из этой системы морфизм
Rfi(LN+nU,) —» Lm[6] является изоморфизмом в категории
D»(X;/,(p)).

394 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Заметим также, что "lim" Rf<(Lff+nu) не существует в D*(X).
и
Доказательство. Мы разделим координаты (<) на группы (<) =
(s',s",<') таким образом, что
q(t) = s<2-s,
и разложим отображение / в композицию
/: У ► Уг ► У2 ► Уз ► X,
/i h !ь S*
где AOc.s'.sV» = (x,s',i',u),h(x,s',t',u) = (*,<»,/з(*,<',«)
= (*,ц)и f4(x,u) = (x).
Пусть tj > 0 и е > 0, причем rj ^.e. Положим
tfo = {(*, *', s»,t', и); \х\<г], \t'\ < e, \u\ < e, s'2 < e, s < e].
(a) Вычислим Rfv.LN+nUo- Для |x| < ij, \i"\ < e, \u\ < e,s'2 < e мы
имеем
f^(x, s',<', и) П N+ П Uo = {s"; (*', u) + s'2 - xx s$ s < e}.
Это множество пусто при (х',и) + a?2 — х\ ^ е, является открытым
шаром при (х', и) + а?2 — х\ ^ 0 и гомеоморфно множеству
•S* = {а < s < 6} при 0 < (х', и) + в'2 - xi < е.
(с 0 < а < 6). Поскольку ft.Tc(S*;I»»-) = 0, мы получаем
Rfi,LN+crtJ0 - Lif+nut [-"-]>
где t/i = {|х| < t), )t'\ < е, \и\ < с, s'2 < е} и ЛГ+ = {ц > в'2 + {х', ц)}.
(b) Вычислим Rfv.Lff+nUi- Для |х| < t), \t'\ < e, |u| < e мы имеем
£1(х,*, u) П NJ*- П t/i = {s'; s'2 < е, s'2 s$ хх - {х', и)}.
При 0 ^ х\ — (ж', и) < е это множество есть замкнутый шар или {0}.
При х\ — {х', и) < 0 это множество пусто. Поскольку |х| < t) и »7 <; е,
нет необходимости рассматривать случай х\ — (ж', и) ^ е. Поэтому
Rfr.Lff+nu, - Lff+(\u,>
где U2 = {|х| < п, \1'\ < е, \и\ < е} и ДГ+ = {хх > (х', и}}.
(c) Вычислим Rf3<Lff+nu . Мы немедленно получаем
RfoLNir\v, = LN+(\u3[-no]>
где U» = {\х\ < г), \и\ < е} и ЛГ3+ = {ц > (ж',«)}.

7.4- Интегральные преобразования в пучках 395
(d) Наконец, вычислим Rf4,.Lff+nU3. Рассмотрим выделенный
треугольник
L{\u\<e,(t\u)>4} -+ i{|«|<«} -•■ £{|«|<*,<г',«)<г,} ^ •
Множество {и; \и\ < е, (х', и) > х\) пусто при х\ ^ t\x'\, а в противном
случае является непустым выпуклым открытым множеством.
Поэтому (Rf4i(LN+nUa))m изоморфен (Rf4>.Lua)x при х\ ^ t\x'\ и
равен нулю в противном случае:
Д/4'Ьдг+пи, - (Rf4lL{\a\<t}){r^,\r'\}nUt
где С/4 = {|ж| < tj}, Nf = {xi ^ е|я'|}, а г —размерность пространства
переменных и, т. е. г = codimAf — 1.
(e) Мы получили
Rf\LN+nU0 - ^лг+пи« W»
где 6 = 1 — codimM — по — п-, a Uo,U4 и Л^ определены выше.
Для завершения доказательства осталось заметить, что
естественный морфизм i{r,>c|r'|} —» Lm является изоморфизмом в категории
0h(X; f,(p)). (Напомним, что /,(р) = @; d*i).) D
Сдвиг, фигурирующий в предложении 7.4.2, можно
интерпретировать с использованием индекса инерции, свойства которого
излагаются в приложении.
Введем некоторые обозначения. В ситуации предложения 7.4.1 мы
положим
} \ А.(р) = W*y(p), Ш = Т,£1*?1сх{Ш).
Предложение 7.4.3. В ситуации предложения 7.4.2 мы имеем
1 — codim М — («о + "-)
= §[1 + dimM - dimy - dim^TpVI П XN(p)) - т],
гдет = TEr(X0(p),XN(p),Xi(p)).
(Напомним, что тег (•, •, •) — индекс инерции трех линейных лагран-
жевых подпространств в симплектическом векторном пространстве
Кр.)

396 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Доказательство. Мы используем доставляемые предложением 7.4.1
координатные системы (x,t, и) на У и (ж) на X, так что f(x,i,u)
= х, М = {*! = х' = 0}, N = {ал = {х',и) + ?(<)}, где q(t) = \{At,i)
с некоторой симметрической матрицей А. Через (x,t,u'; £,t,v)
обозначим соответствующие координаты на Т* У.
Тогда
Xo(p) = {x = t = u = 0},
Мр) = {*1 = Г = 0, ? = -и, г = -At, v = -х'},
\i(p) = {x = T = v=±0}.
Рассмотрим изотропное подпространство ръ Ер, определенное
соотношением р = {х = О}1. Мы можем отождествить Е? с пространство»
переменных (t, и; т, v). Поскольку р1 Э А0 (р) + Ai (р), по теореме П.З.
T = TEe({t = U = 0}, {« = 0, Г = -Л<}, {т = V = 0}).
Рассмотрим изотропное пространство {« = О}1. Имеем
т = т({< = 0},{т=-Л<},{т = 0}),
где индекс инерции вычисляется теперь в пространстве переменны*
(<,т). В силу предложения П.З.б получаем
G.4.12) r = -sgn(A),
где sgn(A) = п+ — п- — разность числа положительных собственны
значений и числа отрицательных собственных значений формы q.
С другой стороны,
no = dim(TpVL П XN (p)).
Записывая по + "- = j(no + n_ +n+ + no — ("+ — "-))> из G.4.10) Mi
получаем, что
1- codim М - l[dimy/X - codim M + 1 + dim(Tp V1 П \ц(р)) + т]
= |[1 - codim Л/ - dimY/X - dim(TpVx П XN(p)) - т],
а это и есть требуемый результат. L
Применим предшествующие результаты для того, чтобы получат!
композиции ядер, связанных с гиперповерхностями. Прежде всег
нам потребуется элементарная лемма.
Пусть Ai С Т*(X х У) и Л2 С Г*(У х Z) — два (конических,
лагранжевых подмногообразия, и пусть (рх^Ру) € -^1 и (pyjP'z) € Лц
Предположим, что
G.4.13) p$\Al: Ai -» T*Y и pi\Aj: A2 -» T*Y трансверсальны.
Как и в § 7.1, Т*(Х х У) ху.у T*{Y x Z) обозначает расслоенное
произведение расслоений р%: Т*(Х х У) -+ T*Y и pi: Г*(У х Z) -» Г* Г

7.4. Интегральные преобразования в пучках
397
Лемма 7.4.4. Предположим, что выполнено G.4.13). Тогда AiXt'Y
Л2 — гладкое подмногообразие в Г*(ХхУ)хт«уТ*(У х2Г). Кроме
того, заменяя Л\ и Л2 на AiC\U и Л2ПК, где U uV — достаточно малые
открытые окрестности точек (j>x,Py) u (PYtP'z) соответственно,
мы получаем, что
(О Р13 индуцирует изоморфизм многообразия Л\ хт»у Л2 на
некоторое гладкое лагранжево подмногообразие Л в Т*(Х х Z);
(И) если обозначить через 6 диагональное вложение X xY xZ <—*
X х Y x Y x Z, то 6Т трансверсально к Л\ х Л2, а Л\2 =
t6'6~1(AixA2) —лагранжево подмногообразие вТ*(XxY xZ).
Кроме того, *gi3 трансверсально к Л\2, a^UirVii1^^) = Л-
Доказательство. Из условий леммы вытекает, что Л\ хт»у Л2 —
гладкое подмногообразие *T*(XxYxZ), размерность которого равна
dim(X х У) + dim(y x Z) - dimT*Y = dim(X x Z).
(i) Мы полагаем
= ТРХТ*Х, EY = TPYT*Y, Ez = TP2T*Z,
T(px,p\r)Ai, A2 = T(py>p. )Л2.
Если Е — симплектическое векторное пространство, то через Е" мы
обозначаем пространство Е, оснащенное той же кососимметрической
формой с обратным знаком.
Через а обозначим отображение из Е в Еа, задаваемое
формулой гиг, Тогда EY ~ TP-,(T*Y) и Е% ~ Tp.(T'Z)
(изоморфизмы задаются с помощью а*), и мы по-прежнему обозначаем через
Ai и А2 лагранжевы плоскости в Ex @ EY и Еу ф Eg,
переходящие в Ai и А2 при изоморфизмах Г(рх>р« )Т*(Х хУ) ~ Ех Ф EY и
Г(ру>р. )Г*(У х Z) ~ Еу Ф Е\ соответственно.
Тогда в соответствии с предложением П. 1.4 мы имеем
(ЕХ =
G414) U=
Х1оХ2= р13 ( Ai х А2 J ,
где pi3 — проекция из (Ех фЕу)хЕг {Еу ф Ег) на Ех Ф Ez.
Поскольку Ai о Л2 — лагранжево подпространство в Ех Ф Е\, а
dim(Ai Xey A2) = dimAi + dim A2 - dimity = dim(X x Z) = dimAi о
A2, мы видим, что pi3 : Ai хт»у Л2 —» T*(X х Z) — вложение, а
Р1з(Л1 хт'у Л2) — лагранжево многообразие.
(И) Достаточно показать, что
s*-T(Px,p-Y,P%)(xxYxZ х Т*(Х х У х У х Z))
\j>x,rY,rz> у XxYxYxZ )
^ T(px,PY,Py,p% )(*, xYxYxZ)

398 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
трансверсально к Ai x А2 с; ?(>х,р* lPy>p« )(Л\ x Л2), а
Via: Г(»0,РХ|Р.)(У х Т(Х х Z)) ^Т(,х, Уо> р.)Т*(Х х У х Я)
трансверсально к ImE~1(Ai х А2)) —*Т(рх, уо, р*)^"Ч-^ х У х Z), где
У. = т(Ру) 6 ТУ*У. Пусть теперь / С р С Т(Д,,у)G»(У x Y)) ~
изотропные подпространства, определенные формулами
P'L = Vv, ру)(У *Y*Y Г (У х У)) и р = Vy> РУ)(ТУ*(У х У)).
Тогда
Т(рх, ру, pv, р|) (^ х У х ZxxyXYxZT-(X xYxYxZ)}
^EY@p'L®Ez,
T{px,v„P%)T*{X xYxZ)~(Ex®Er-@EY®S2)(°®>'®°),
и
Г(у.,рх,Р^)(У Х Г(* Х Z)) - (^X ФРФ^)@Ф"'Ф0).
Таким образом, задача сводится к установлению равенств
(Ai Ф А2) + (Ех ф p,L ф JE7J) = Ex®EY®EY®Eaz
и
(Ai ф Аа^0®"'®^ + (Ех Ф р Ф Д2)@®>'®°)
= (Дх Ф Ду ф EY Ф Д^0®"'®0) ,
которые непосредственно следуют из соотношения
(Ai ф А2) П @ ф р' ф 0) С (Ai ф А2) П @ ф р ф 0)
~ Ker ( Ai х А2 -» Ех Ф Е% ) = 0. D

Ц. Интегральные преобразования в пучках
399
Определение 7.4.5. В ситуации леммы 7.4.4 положим Л = Л\ о Л2.
Разумеется, Л10Л2 определено только в окрестности точки (рх, ?%)■
Более точно, А\ о Л2 — росток множества в точке (j>XtPz)- Пусть
теперь Si С X X.Y и S2 CY х. Z — две гиперповерхности. Положим
G.4.15)
М = Ts* (X х Y) П (Г*Х х TY),
^2 = TS\(Y xZ)D (t*Y х f Z).
Пусть (px,Py) e Ai,(py,Pz) e л2- Полагаем х0 = 7r(px),y„ =
я(ру) hz, = (pz). Тогда из рх $ T^X upz $T£Z вытекает, что
G.4.16) g2|s, '-Si-yY и gi|s,: S2 -► Y гладкие.
Мы предполагаем выполненным G.4.13) и следующее условие:
G 4 17^ ( AioA2 = TS*(X x Z) в окрестности точки (px,Pz)
\ для подмногообразия S ъ X х Z.
Сохраним обозначения G.4.14) и положим также
А.(рх) = Трхт-1(х.), А.(ру) = Грутг-Ну.),
Для кратости мы также пишем Х0х (соответственно А„у- и A0z)
вместо А0(рх) (соответственно А0(ру) и A0(pz)). Это лагранжевы
подпространства в Ех, Еу и Ez соответственно. Наконец, полагаем
G.4.19)
fMpy) =р2'(А1ПрГ1(А,(рх)))
= Гру(р5(Л1Птг-1(хв)хГ'У))
= а.(рх)оа;,
А2(Ру) =Pi(A2npr1(A.(pz)))
= Гру(р1(Л2ПГ*Ухтг-1(^)))
= А2 о A0(pz).
Здесь р\ — проекция Ех Ф EY —» Л?у или J?y ф J£f —» ££> и мы
используем обозначения, введенные в предложении П. 1.4 и после
предложения П.3.8. Заметим, что Ai(py) и А2(ру) — лагранжевы
подпространства в Еу.

400 Гл.1. Контактные преобразования 0 чистые пучки
Предложение 7.4.6. Пусть (px,PY,Pz) G Т*Х х f*Y x t*Z, и
пусть Si и S2 — две гиперповерхности в XxY uY xZ, как и выше.
Пусть V и L" принадлежат D*(£5toD(.A)), и пусть L = V ®£ L".
Наложим условие трансверсальности G.4.13), и пусть выполнено
также G.4.17). Тогда пара (L's ,£$,) микролокально допускает
композицию в точке (px,PY,Pz) « в ВЬ(Х х Z; (px,Pz)) имеется
изоморфизм
G.4.20) VSioL^~Ls[6l
где
G 4 21) f * = l-J[dimY + codimS + T],
I r = tEy(А.(ру),Л2(ру), Ai(py)).
Доказательство. Первое утверждение в G.4.21) немедленно следует
из G.4.20). В силу G.4.16) q^Si и q^S? трансверсально
пересекаются в X х Y х Z. Положим
G.4.22) 5i2 = gr215ing2-3152, W = qgSi, f = 4iz\w-
В силу G.4.16) отображение / гладкое. Кроме того, Si2 —
гиперповерхность в W, *f трансверсально Tgl2W, a /, индуцирует
изоморфизм *f~lTsltW ~ Т${Х х Z). Применяя предложения 7.4.2 и 7.4.3,
получаем в Db(X x Z',(px,Pz)) изоморфизм
"Jim* RMLsl2nu)^Ls[6],
и
где U пробегает семейство открытых окрестностей точки (x0,y0,z0) в
W, а сдвиг 6 будет вычислен позднее. Пусть <71,1/2,£/з —
открытые окрестности точек x0,y0,z0 в X,Y,Z соответственно, н пусть
U = (Ui х U2 х Щ) П W, U13 = Ui x U3. Мы имеем Rf\(LSl%nv) =*
(RqML'Si ®L L^)u3)ul3-
По лемме 7.3.3 получаем, что "lim" (I'Si о 1£3)и, существует и изо-
морфен Is[«] в 0Ь(Х х Z; (?*,?£)).
Из предложения 7.3.1(H) следует, что
L'SloL'b*Ls[6} в D\XxZ;(px,Pz))-

7.4. Интегральные преобразования в пучках 401
Наконец, вычислим сдвиг 6. Пустьр= (pxiPy'PYiP'z) £^5,xS3(-^x
YxYxZ) и р' = Н'(р) 6 TgtJ(X х Y x Z), где через i обозначено
диагональное вложение XxYxZ'—^XxYxYxZ, и пусть
р" = У(рО> гДе через j обозначено вложение W ч X х У х Z.
Положим
Е" = Тр„ T*W, К = Tp..tt-4(P"),
*i = тр" ЛГЧ*^.. *•)). *а = rps13 W
В силу предложения 7.4.3
5 = |[1 + dimS - (dim(X х У х Z) - 1) - г"],
где г" = rB--(A'e',Ai',Ai'). Поскольку i[l+dim5-(dim(Xxy xZ)-l)] =
1 — 5(<ИтУ + codimS), остается лишь показать, что г = т".
Положим Е1 = ТР.Т*(Х х Y х Z), К = Т,.*-1*^), А'х =
T?T(em}xYx{,,}(X xYxZ) и А2 = Tp.T*sJX xYxZ).
Заметим, что р' 6 Г*Х х ТуУ х T*Z. Рассмотрим в Е' изотропное
подпространство pt = (Tp.(W xxxYxZ Т*(Х х У х Z)))L. Тогда
(Е'У ~ Я", р'СА'.П А'2 и (А;)"' ~ А|' (i = о, 1,2). Поэтому
т" = г' = тв(А'0, А2, Ai).
Теперь положим Ё = ТрТ*(Х xY xY x Z),X0 = Tfirlir(p),\i =
TpTir.)xYxiz.}(x>iY^YxZ)n~X2 =TpT$ixSj(XxYxYxZ).
Рассмотрим в Ё изотропное подпространство р = {0} х (Г(р. >ру)(Гу (У х У) П
*-1*(Й',Л')))х {0}. Тогда £>" ~ Д',р С А0П А"ь (\{)У~ \'{ (i = о, 1,2).
Поэтому
T, = f = rg(Ao,A2,Ai).
del
Теперь мы используем обозначения G.4.18) и G.4.19) и отождествим
Ё с Ех Ф Еу ф EY ф £|. Тогда
т = т(АоХ Ф А0у ф А„у ф Кг, h Ф А2, А„х Ф Л ф AoZ),
где Л — диагональ в EY® Еу-
Таким образом,
г = te.qEy (А0у ф А.у ,p5(Ai npf^Aox)) Ф Pi(A2 П pg-^A.*)), ^).
Применяя предложение П.3.9, получаем
f = rBy(A,y,A0y,A2(py),Ai(py))
= ГБу(А,у, А2(ру), Ai(py))

402 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Следствие 7.4.7. Пусть X и У — два многообразия одной и те
оке размерности п, a S — гиперповерхность в X х У. Положи
А = Ts*(XxY), и пусть р= (рх,Ру) G ЛГ)(ТХxTY). Предположи,
что
<р1\л:Л-*ГХир'\л.Л-*Т*У -
G.4.23) < локальные изоморфизмы в окрестности
\ точки р.
Положим К = As и L = rtAs[n— 1], где г — каноническое отобщ
жение X х У —» У х X. Тогда
(i) К 6 Ob(N(X, У; Рх,ру)) uL£ ОЪ(ЩУ,Х;рг,рХ)),
(ii) К о„ L ~ АЛх в ЩХ,Х;рх,Рх) « L о„ К ~ АЛх
Щ¥,¥;ру,ру).
Доказательство. Положим х0 = тг(рх),у<> = *(py)- Положим так»
Л' = ^о^ х х)> Л" = ЛоЛ'. Тогда (х,*';£,£') € Л", если и толы
если существует точка (yjff) G Г*У, такая, что (х,у;£,-п) 6 Л
(У) *'; »?>£') ^ Л'. В силу G.4.23) отсюда вытекает, что х = х' и £ = —
Итак, Л" = Т^х (X х X). Аналогичным образом Л' о Л = 7^у (У х У
Значит, выполнены все условия предложения 7.4.6, и мы получаем'
KoLsiAAx[n-l + S\b Dh(X x X;(px,#)),
где 6 = 1 - §Bп + г) = 1 - п + |г,
г = тг,ут-у(Ао(ру), A2(py).*i(py)),
А.(ру) = Тру7Г-17г(ру),
А2(ру) = PiCfy,,,,. )i;(e)(Y x X) ПрГ^хТГ-1^.)),
Ai(py) = P5(rfrx#- )TS*(X x У) ПрГ^тг-1^.)).
Поскольку Ai (ру) = А2(ру), мы видим, что т = 0и/СоD!~ Лдх,
N(X,X;px,Px)- Аналогично можно доказать, что L о^ К ~ Лду.
Замечание 7.4.8. Существуют открытые окрестности Six точки jfi
и Qy точки ру, такие, что условия G.2.1) и G.2.3) теоремы 7.2.1 щ
полнены при К = As- Поэтому Фк и Фк задают взаимно обрати»
эквивалентности категорий D*(X; Ду) и Db(Y;QY)> причем выполЩ
но G.2.5).
В силу предложения 7.4.6 мы получили более прямое доказателц
ство эквивалентности D4(X;px) — 0*(У;ру) и теперь в состояШЙ
отслеживать сдвиг 6, появляющийся в контактных преобразования
(ср. примеры 7.2.5 и 7.2.6). Изучению этих сдвигов посвящен след^
ющий параграф.

7.5. Чистые пучки 403
7.5. Чистые пучки
Пусть Л — (коническое) лагранжево подмногообразие в Т*Х, р £ Л,
и пусть (р — вещественная функция класса С°° на X. Мы полагаем
G.5.1) Av = {(x;dip(x));xeX}.
Заметим, что Av — лагранжево, но, вообще говоря, не коническое
подмногообразие в Т*Х.
Определение 7.5.1. Будем говорить, что функция <р трансверсалъна
многообразию Л в точке р, если <р(п(р)) = 0 и многообразия Л и Av
пересекаются в точке р трансвереально.
Заметим, что если Л — ненормальное расслоение некоторого
подмногообразия М в X, то это условие эквивалентно утверждению, что
*(р) — невырожденная критическая точка функции <р\м (т. е. ее
гессиан невырожден).
Для р 6 Av П Л положим
G.5.2) А.(р) = Т,*-1*(р), \л(р)=ТрЛ, \v{p) = TpAv<
G.5.3) tv(p) = гг,т-х(А.(р), Ал(р), Av(p)).
Если путаница исключена, мы пишем А0, tv, ... вместо А0(р), rv(p) и
т. д.
Если ip трансверсалъна Л в точке р £ Т*Х, то dip(ir(p)) ф 0 и
множество {ip = 0} является гладким многообразием. В этом случае
мы полагаем
G-5.4) hv=o}(p) = TpT*w=0]X.
Тогда
G.5.5) tv = т(А0, \л, A{v=0}).
Действительно, обозначим через р(р) прямую в ТрТ*Х, порожденную
эйлеровым векторным полем в точке р (напомним, что это векторное
поле определяется в системе однородных симплектических
координат (х;£) выражением Х/^'зтО" Тогда р(р) — изотропное
подпространство, содержащееся в А0(р) П XA(p),(Xv(p))^ = ()ч<?=о}(р))^
и G.5.5) следует из теоремы П.3.2.
Заметим, что
Г ^v(p) и ^л(р) трансверсально пересекаются тогда
G.5.6) < . . . . . .
J, и только тогда, когда A{v_0} П Ал(р) = р(р).

404 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Лемма 7.5.2. Пусть X и X' — два многообразия одинаковой размер
ности, S С X' х X — гиперповерхность и As = Tg{X' x X). Пуст
р = (р',ра) 6 As, и предположим, 4mopi\As up%\As — локальные uai
морфизмы в окрестности точки р. Обозначим через \'Т*Х -*Т*Х
контактное преобразование, определенное в окрестности точки р
задаваемое формулой х =Pi\as °(PaUs)-1, Пусть <р — такая фут
ция на X, что Av Э р. Предположим, что x(^=o)^) = -^=о}^
для некоторой вещественной функции ф на X'. Мы выбираем ф тй
ким образом, чтобы были выполнены соотношения &$(?($)) = р'
ф{ъ{[/)) = 0. Пусть F б Ob(D*(X)). Положим К = As-
Тогда для любой лагранжевой плоскости А в Тр(Т*Х) и любой
j G 7L + tv/2 мы имеем
Щ^о}(Р)гМУ + rv/2] ~ Rr{^o}(*KF)^)U + fo/2) + d],
где d = i(n-l)+Jr(A.(p)lAlA1(p))( а Ai(p) = х(А„(р'))
ТР(Т*Х), rv = r(A0(p),A,Av(p)) и ц = г(А.(р')>х(А),А^(р'))
r(Ai(p),A,Av(p)).
Доказательство. Сначала заметим, что
Щ^о}{Р)ж(р) = phorn(A{v=o},F)p.
Применяя теорему 7.2.1 и предложение 7.4.6, мы находим, что
Rrw>o}(F)<p) = /гг{*>0}(**(Л W)MJ.
где 6 определяется соотношением Фк(А{<р=0у) ~ Л{^=о}[6]) в
Db(X';p'), т. е. (предложение 7.4.6)
6 = 1- i[dimX + 1 + т-(А0(р), A{v=0}(p), Ai(p))].
Вычислим d = \tv — 6 — ^Тф. Из условия коцикличности (теорема
П.3.2) мы получаем
2d = r(A0,A,Av) — A — n - 7-(A0,Av,Ai)) — r(Ai,A, Xv)
= (n-l) + r(X0,X,\1). Q
Предложение 7.5.З. Предположим, что ip трансверсальна А е
точке р 6 T*X, a F 6 Ob(D*(X)). Предполооким также, что
SS(F) С Л в окрестности точки р. Пусть j — такое число, чпи-

7.5. Чистые пучки 405
j - |(п + dim(A0 П Ал)) G Ъ. Тогда Rriv>0}(F)^p)\j + r„(p)/2] не
зависит от <р (см. формулу G.5.3) для определения tv(j>)).
Доказательство, (а) Предположим сначала, что Л = TfiX для
некоторого подмногообразия М в X. Выберем систему координат х =
(х',х"), где х' = (xi,...,xt), таким образом, что М = {х" = 0} и
ж(р) = 0. Пусть (х;£) — соответствующие координаты на Т*Х, £ =
(£';£")• Тогда
Av = {(x;0;tj = d<p/dxi},
TPAV = |(x;0;^i = Е^«^@) • **},
TpTtX = {(z;O;x"=t' = 0}.
Пересечение TpAvr\TpT^fX равно {0} тогда и только тогда, когда
матрица (#!irk¥>@))i£j,*£j невырожденна. Поэтому в силу леммы
Морса (ср. [Hormander 4, т. 3, приложение С]) мы можем предположить
после замены координат, что <р\м = J2i£j£iaix]> гДе ai G Kiaj Ф 0.
Получаем
т* = т«х = о}, W = е = о}, tf = dlMV ■ *})
= r(W = о}, tf' = о}, tf' = %,мо) ■«'}).
где индекс в последней строчке вычисляется в пространстве
переменных (х';£'). В силу предложения П.3.6 получаем
G.5.7) rlf=-Bgn(dltM0))
= #{i;iO'</,«j<0}
-#{jM^j4/,ai>0}.
С другой стороны, в силу предложения 6.6.1 существует такой пучок
L б ОЪ(Оь(ШоЦА))), что F ~ LM в D»(X;p). Тогда
^L\j + rJ2-q],
где у = #{;'; 1 ^ j ^ /, а, < 0} (это частный случай вычисления,
проведенного в процессе доказательства предложения 7.4.2). Поскольку
rv — 2q = — /, мы получаем нужный результат в этом случае.

406 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
(Ь) Перейдем к общему случаю. Мы можем считать, что р 6 Т*+
(иначе А = TfoX, ср. упр. П.2). Пусть ^и^] — функции, трансвер!
сальные А в точке р. Согласно следствию П.2.7, можно найти кой
тактное преобразование х^ Т*Х ~ Т*Х', определенное в окрестноеп
точки р и такое, что
0) X = PiUs ° (pSUs)""\^s = TS*(X' x X), где S — гиперповераг
ность в X' х X, а х(Л) = Т^,Х' для некоторого подмногообр*
зия М' в X'.
00 хСГ^.=0}Х) = Т^=0}Х' для некоторых функций ^,- (i = 1,2)?
Теперь нужный результат следует из первой части доказательств
и из леммы 7.5.2, поскольку сдвиг d, полученный в этой лемме, н<
зависит от t. L
Определение 7.5.4. Пусть Л — лагранжево подмногообразие Я
Т*Х,р€Лп F£ Ob(D*(X)). Предположим, что SS(F) С Л в окрест,
ности точки р, и пусть <р — функция, трансверсальная А в точке р,
Пусть d — число, удовлетворяющее условию
G.5.8) d=\dim(\0(p)n\A(j>))modZ.
Пусть также ^(р) = 7"(А0(р),Ал(р),Ау(р)) (ср. G.5.3)), и пусть L ^
ОЪ(Оь(МоЪ(А))). Если имеется изоморфизм
Rr{v>0)(FIt(j>)[-d+ i dim* + \tv(jp)) ~ L,
то говорят, что F имеет тип L со сдвигом d в точке р.
Если H'{L) = 0 при j ф 0, то говорят, что F чист в точке р. Если,
кроме того, L — свободный Л-модуль ранга 1, то говорят, что F прост!
в точке р.
В описанной ситуации класс эквивалентности объекта L относи-
тельно изоморфизмов называется типом объекта F со сдвигом d в
точке р. Заметим, что тип объекта F не зависит от <р в силу
предложения 7.5.3.
Примеры 7.5.5. (i) Если F имеет тип L со сдвигом d, то F имеет
тип L[—k] со сдвигом d+ k, a F[k] имеет тип L со сдвигом d+ к.
(ii) Пусть М — замкнутое подмногообразие в X. Тогда Ащ —
простой пучок со сдвигом j codimAf в каждой точке р 6 TfoX.
Действительно, выберем координаты х = (х',х"), в которых М = {х" =
0}, х' = (xi,...,Xi),p = @;Adx„). Возьмем <р(х) = \х„ + YLj=ix)-
Тогда <р трансверсальна Tj^X в точке р, и мы имеем
(*<W^))° = (n ПРИ* = °"
г*^ ' { 0 в противном случае.
Из G.5.7) получаем d = 5(dimX — /).

7.5. Чистые пучки
407
(Ш) Пусть ф — вещественная функция на X, Z = {х;ф(х) ^
0}, U = {х;ф(х) < 0},р = (x0;di/)(x0)), причем ф(х0) = 0,dip(xo) ф 0.
Тогда пучок Az (соответственно Аи) является простым со сдвигом |
(соответственно —^) в точке р. Действительно, Az а А{ф=о} — Л[/[1]
bd'№p).
(iv) Напомним пример 5.3.4: пусть Z = {х Е №2;si > 0,— х\'2 <
*2 < **/2} и Л = {(*;fl;fc > 0,*2 = -(%/%)*. *i = (%/3f2J}.
В силу (Ш) пучок Az имеет сдвиг § на Л П {& > 0} и сдвиг — \ на
Л'"•{ft < 0}- Вычислим сдвиг пучка Az в точке @;dx2). Выберем
уэ(х) = ж2. Тогда ^> трансверсальна Л в @; dx2) и гу = 0. Поскольку
{Щх >o}(-^z))° = ^ ПРИ У = 1 и 0 в противном случае, сдвиг равен 0.
Изучим поведение сдвига при некоторых специальных контактных
преобразованиях.
Предложение 7.5.6. Пусть F — объект типа L со сдвигом d
вдоль Л в точке р. Рассмотрим контактное преобразование х :
Т*Х ^Z Т*Х', определенное в окрестности тонки р, и предположим,
что х = Pi\as °(p2Us)-1>-^s = Tg(X' x X), где S —
гиперповерхность. Положим К = As- Тогда Фк{Р) имеет тип L со сдвигом d1
вдоль х(Л) в точке х(р)> *де
d' = d-\{n-\)- ir(A.(p),AA(p),А,(р)),
Ai(p) =p2(Aas(x(p),p°) r\P^(K(xip))))
= X~4UX(P))) = A.(X(P)) о AAs(x(p),p«)«.
Доказательство. Мы можем подобрать такую функцию ip на X, что
она трансверсальна Л в точке р и хСТТ^^Х) = 27й=о}-^' ЛПЯ
некоторой гладкой функции ф. Таким образом, результат следует из леммы
7.5.2. □
Следствие 7.5.7. Пусть U — открытое подмножество вТ*Х, L 6
Ob(Db(mod(A))),FEOb(Db(X)). Предположим, что SS(F) П U С Л.
Тогда множество таких точек р в Af\V', что F имеет тип L в
точке р, открыто и замкнуто в Л П G.
Доказательство. Пусть р £ Л П U. Мы можем найти контактное
преобразование х, удовлетворяющее условиям предложения 7.5.6 и
такое, что х(Л) = Т£Х' для некоторой гиперповерхности N в X'.
Тогда фк(F) ~ L'ff в 0*(Х', Х(Р)) для некоторого V 6 Ob(D*(E0toD(A))).
Отсюда следует, что <)>k{F) ~ L'N в Dh(X'; Q) для некоторой
открытой окрестности Q точки х(р)- В силу предложения 7.5.6 мы можем
свести дело к случаю Л а Т^Х. Тогда следствие становится
очевидным. D

408 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Замечание 7.5.8. Из доказательства последнего предложения мы
видим, что если F имеет тип L в точке р, то существует объект Q
простой в точке р и такой, что F ~ Lx ®G в Db(X;p).
Вычисление сдвига — не столь простая операция, как показывав!
пример 7.5.5(iv), но мы можем использовать следующий результат
для того, чтобы привести ситуацию к общему положению.
Рассмотрим связное топологическое пространство S и непрерывно
отображение р\ S —► Л. Мы предполагаем, что задано непрерывно
семейство лагранжевых плоскостей fi(s) в Тр^Т* X,s £S, таких, что
G.5.9) /i(s) П А0(р(б)) = fi(s) П AA(p(s)) = {0}.
Предложение 7.5.9. Предположим, что функция d(s)—jr(A0(p(s))^
XA(p(s)),n(s)) постоянна на S. Тогда тип объекта F со сдвигом d(ej»
в точке p(s) постоянен.
Доказательство, (а) Предположим вначале, что Л = ГДX для неко^
торого подмногообразия М в X. Тогда d(s) локально постоянен, так
же как и т(А0(р(*)), AA(p(s)),/i(s)), поскольку постоянна размерности?
dim(A.(p(S))nA^(p(S))).
(b) Для того чтобы рассмотреть общий случай, мы выбираем ков^
тактное преобразование х> определенное в окрестности точки р(во)»*
удовлетворяющее условиям предложения 7.5.6 и такое, что х(Л) —
Т$Х' для некоторого подмногообразия N в X' и x(,u(s»)) трансвер-*
сально A0(x(p(s))). Положим p'is) = x(p(s)) и будем писать р или р*
вместо p(s) или p'(s) для краткости.
Определим d'(s) равенством d'(s) = d(s) — ^{п — 1) — ^t(X0(j>),
Ал(р),А,(р)), гдеА1(р) = х-1(А.(р'))-
Тогда в силу предложения 7.5.6 тип объекта F со сдвигом d(s) в
точке p(s) совпадает с типом объекта Фк (F) со сдвигом d'(s) в j/(s).
Мы имеем
r(A.(p'),Ax(A)(p').x(Ms))) = r(A,(p), A4(p),/iE)).
Тогда, согласно (а), достаточно показать, что величина
Щ - ^(Ш,*л(р),Ш)- ЫхЛр)Лл(р),Ф))
= d(s)- ir(A0(p), /!(.), А,(р)) - ИА.(р), Хл(р), /*(•))
локально постоянна. Поскольку fi(s) трансверсальна как А„(р), так и
Ai(p), остается проверить, что dim(A0(p) П Ai(p)) локально постоянна
(теорема П.3.2). Мы имеем
А„(р) П А,(р) = А0(р) Пр2(рГ1(А.(р')) П ATs.(X'xX)(p',pa))
* Ats-(X'xX)(p',P°) П А.(р',р°),

7.5. Чистые пучки
409
и размерность этого пространства равна 1, поскольку S —
гиперповерхность. Это завершает доказательство. □
Дадим применение предложения 7.5.9.
Пусть Х\ и Х2 — два многообразия, Ai — лагранжево
подмногообразие в T*Xi, Pi 6 Л,- (i = 1,2). Мы обозначаем через ад проекцию
IixXj-t Xci.
Предложение 7.5.10. Пусть F,- £ ОЬ@'(ЛГ,)); и предположим,
что Fi имеет тип Li со сдвигом d{ ер,- вдоль Ai (t = 1,2). Тогда
(i) FiE3£F2 имеет тип L\®L£2 со сдвигом di+rf2 в (р1,рг)
вдоль Л\ х Ai;
(ii) KHomfai 1Fi, q^1^) имеет тип RHom(Li, L2) со сдвигом d2—
di в (Р1,рг) вдоль Af x Л2.
Доказательство, (i) В точках р{ общего положения в Л,- мы имеем
F{ ~ (Li)»fi[d(Pi) — \ codim М,], i = 1,2, для некоторых
подмногообразий М( в Xi. Поэтому Fx Иь F, a {Lx ® La)Wl ум,ЫШ + *№) -
~ codim Mi х Af2]. Таким образом, F\ H£ F2 имеет тип L\ ®L L2 в
точках общего положения в Ai x Л2, а значит, и во всех точках из Л\ х Л2 в
силу следствия 7.5.7. Для вычисления сдвига в точке (pi, до) выберем
два семейства лагранжевых плоскостей щ{р\) С Tp'/T*Xi (i = 1,2)),
Pi E Ai, удовлетворяющих G.5.9). Пусть «/(pj,^) обозначает сдвиг
объекта F\ Е3£ F2 в точке (p^p-j). В силу предложения 7.5.9
2(<*(pi,P2) -d(pi,P2)) = т(Хл(р\,р^),ХА1хЛ3(]Л,Рз),14р\) ® нШ)
- r(A0(pi,p2), Ад.хА^ьра),/!^!) ф/*(рз)),
2(d(p<) - d(pi)) = г(А.(р{), Ад,(р5),/|«))
-r(Ao(p,-),AAi(p,-),/i(p,-)), i = l,2.
Поскольку d(p'i,p'2) = d(p\) + «/(p^) для p'j в общем положении и
= г(А.(йIАд1(|/1),/1(Й)) + r(A0(p2), AA2(p2),/i(p'2))
для любой точки (р'иРг), мы получаем «/(рьРг) = d(Pi) + <*(ра)-
(ii) Доказательство аналогично. D
В заключение этого параграфа мы распространим предложения
7.4.6 и 7.5.6 на более общую ситуацию. Пусть X, У, Z — три
многообразия, a Ai С Т*(Х X У), Л2 С Т*(у х Z) — два
лагранжевых многообразия. Пусть р\ = (рх,Ру) 6 А\ и р\ = (py,Pz) £ Лг.
Мы сохраняем обозначения G.4.14) и G.4.19), т. е. полагаем А,- =

410 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
TPiAt, i = 1,2, \0{pw) = Tpwn-1w(pw) для^ = X,Y,Z, \i(py) Щ
K(px) о AJ, А2(ру) = A2 о A0(pz). Введем обозначение (ср. упр. П.9)*
G.5.10) г(А, : А2) = т(\0(ру),\2(рг),МРг))-
Теорема 7.5.11. Пусть Кх 6 Ob(D*(* x Y;(px,py))) и К2
Ob(D*(y х Z;(py,p%))), причем SS(Ki) С Л,- в некоторой окрестм
сти точки pi (i = 1,2). Предположим, что pjUi : М —» T*Y
Pi \a3 '■ А2 —» Г*У трансверсальны и К{ имеет тип Li со сдвигом й
вдоль Л,- в точке щ, х = 1,2.
Тогда пара (К\, К2) микролокально допускает композицию SS(K\'
К2) С Л = Л10Л2 в некоторой окрестности точки (рх>Р%) uKio^K
def
имеет тип L\ ®L L2 со сдвигом d\ + d2 — |(dimy + т(А\ : Л2)) едал
Л в точке (px,Pz)-
Доказательство, (а) Заметим, что если А\ и Лг — конормальнь»
расслоения к гиперповерхностям и Л — ненормальное расслоение
подмногообразию, то мы возвращаемся к предложению 7.4.6.
Если Z = {pt} и Л\ — ко нормальное расслоение к гиперповерхно
сти, ассоциированной с контактным преобразованием, то мы возвр*
щаемся к предложению 7.5.6. |
(b) Пусть Л — диагональ в К х К, и пусть q 6 Т*Ш. Тогда (Кх Я
Ал) Оц (К2 В Лд) ~ {Ki Оц К2) В А& в силу предложения 7.3.6.
Заменяя W, pw на W х К, (pw,q) (W = X,Y,Z) и КХ,К2 hi
К1 ВЛд, К2№Ад, мы можем с самого начала предполагать, что pw €
t*W(W = X,Y,Z).
(c) Свести теорему к случаю Z = {pt} можно с помощью следую»
щей процедуры. В тех же обозначениях, что и в предложении 7.3.4^.
мы имеем К\ о^ К2 ^ i*(K\ В Az) o^ К2. Поскольку it(K\ В Az)
имеет тип L\ со сдвигом d\ + |dimZ и r(Ai : А2) = r(A'2 : А2), гд4
Х\ = Ai х T£{Z x Z), доказываемая теорема для (К\, К2)
эквивалентна теореме для («»(^i В Az), К2).
(d) Пусть W — другое многообразие, и пусть Аз — лагранжево
подмногообразие в T*(Z x W), а К3 6 Ob(Db(Z x W; (pz,p"w)))- Пред^
положим, что К3 имеет тип Ьз со сдвигом </з вдоль Л3 и, кроме того,,,
отображения А\о А? —* Т* Z ъ Аз —* Т* Z трансверсальны, так же как
и отображения Л2 —» T*Z и Аз —► T*Z. Поэтому Л\ —» T*Y и Л2оЛз —*:
T*Y трансверсальны. Если теорема верна для (A"i, К2),(К2,Кз) Ш
{К\ Оц Кг,Кз) (соответственно (К\,К2 Оц Кз)), то она верна и длЛЕ-
(Ki,K2 Оц Кз) (соответственно для (К\ о^ К2, Кз))- Это немедленно!
следует из изоморфизма {Кхо^К^о^Кз а К101Л(К2о1ЛК3) иформул»
(ср. упр. П.9)
r(Ai: А2) + r(Ai о А2: А3) = r(Ai: А2 о А3) + т(\2: Аз).

7.5. Чистые пучки 411
(е) Если существует подмножество 1? в А\ Х-ty Л2, такое, что
(px,PY>Pz) лежит в Q и теорема верна в каждой точке из 1?, то
теорема верна в точке (px>PY>Pz)- В действительности это будет
следовать из предложения 7.5.9.
Пусть р : S —» Л\ XT-Y М — непрерывное отображение,
такое, что p(s0) = (px,PY,Pz) Для s0 £ 5. Мы запишем p(s) =
(px(s),Py(s),pz(s)) и положим
\i(s) = Г(рх(»IРУA)-)Л1, A2(s) = TfryWji^Aa и
Ew(s)=Tp„{,)rW, XoW(s) = X0(pw(s)) для W = X,Y,Z.
Выберем лагранжевы плоскости Hw(s) С Ew(s), непрерывно
зависящие от s и такие, что pw(s) Л A0w(s) = О (MP = X,Y,Z) и что
(мгМ Ф М«И П Xi(s) = 0,(/iy(s) ф /iZ(s)°) П A2(s) = 0,(/iX(«) Ф
hz(s)a)n(Xi(s)o X2(s)) = 0. Затем выберем функции di(s),d2(«),</(s),
удовлетворяющие условию </{(s0) = ^i (> = 1,2) и такие, что функции
di(s) ~ 5ГВх(,)фВу(,).(А0х(«) ф XoY(s)a,Xi(s),nx(s)@fiY(s)a),
d2(s) - 5^Ву(»)фВ2(»)«(лоу(я) ф Xoz(s)a, X2(s),fiY(s) ф nz{s)a),
<*(*) ~ 5^Bx(»)®Bz(»)-(Aox(s) Ф A0z(s)°, Ai(s) о A2(s),/iX(s) ®/*z(s)°)
локально постоянны. В силу предложения 7.5.9 К\ имеет тип L\ со
сдвигом rfi(s) в точке (рх(в),рк(в)а), а Я имеет тип Lj со сдвигом
d2(s) в точке (ру(*),рг(*)а).
Предположим, что К\ о^ К2 имеет тип L\ ®L L2 со сдвигом
d = his!) + d2(si)
- %[dimY + r(Aoy(Sl), A2(Sl) о AoZ(Sl), A.x(si) о Ai(ei)-)]
в некоторой точке (px(si),pz(si)a)- Если rf(si) = d, то К\ o^ К2
имеет тип L\ ®L L2 со сдвигом d(s) в точке (px(s),pz(s)a) в силу
предложения 7.5.9. Поэтому для того, чтобы доказать теорему для
s = s0, достаточно показать, что d\(s)+d2(s) —d(s) — ^t(XoY(s), A2(s)o
Aoz(s),A0x(s) о Ai(s)°) — локально постоянная функция от s. Это
утверждение эквивалентно тому, что локально постоянна функция
t(s) =тВх(,)фВу(,).(А0х(в) ф A0y(s)°,Xi(s),nx(s) Ф/*у(в)°)
+ гву(»)фЕ2(.)..(*оу(«) Ф A0z(s)a, A2(s),/iy(s) ®/iz(«)e)
-tex(,)®Ez(>)'(xox(s) Ф A0z(s)a, Ai(s) о A2(s),/ix(«) ®/iz(s)°)
- т^у(»)(Аоу (s), Aj(s) о Aoz(s), Aox(s) о Ai(s)a).

412 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
В силу упр. П. 10 мы имеем
t(s) = rByD)(/iy(s))/ix(s)oAi(sH)A2(s) ofiZ(s)).
Поскольку/iy(s),/ix(«)о Ai(s)° и A2(s)o/iz(s) попарно трансверсаль-
ны, t(s) локально постоянна. Выбирая S = Q и полагая р равный
тождественному отображению, получаем требуемый результат.
(f) Мы докажем теорему для случая, когда Л\ — график
контактного преобразования из Т*Х в T*Y. В силу (с) мы можем с самого
начала предполагать, что Z = {pi). Тогда мы разложим контактное,
преобразовине ГХ-»ГУв композицию Т*Х -» Т*Х' -» T*Y таким
образом, что график преобразования Т*Х —» Т*Х' (соответственно^
Т*Х' —» Г* У) соответствует ненормальному расслоению к некоторой
гиперповерхности S С X х X' (соответственно S' С X' х Y). В силу"
замечания 7.5.8 мы можем предположить, что К\ = As о As>. В
силу (а) теорема верна для пары (As,As') в любой точке, в которой
отображение Л\ —» X х Y имеет постоянный ранг. Поэтому в силу (е)
она верна для (As,As<) всюду. Применяя (d) и предложение 7.5.6,
мы получаем (f).
(g) Теперь мы докажем теорему в общем случае.
В силу (с) мы можем считать, что Z = {pt}. Тогда существуют
контактные преобразования Xi на Т*Х и Х2 на Г*У, такие, что
(xi xxj'K-^Oi ХгС^г) и XiC^i0-^)— конормальные расслоения к
гиперповерхностям (предложение П.2.6). Пусть F,- и G,- — простыв
объекты, микроносители которых содержатся в лагранжевых
многообразиях, ассоциированных соответственно с Xi и xf' (•" =
1,2), и которые удовлетворяют условиям G\ о^ Fi ~ Адх, G2 о»
F2~Aay. Тогда микроносители объектов Fi о^ К\ о^G2 и F2oltI<2
содержатся в конормальных расслоениях к гиперповерхностям.
Поэтому в силу (а) теорема верна для (FioliI<ioliG2,F2oliK2). В
силу (f) теорема справедлива для (G2,F2ot, ^2) и (^оД^бз),
Поэтому в силу (d) теорема верна для (^о,,^,^). Снова в
силу (f) теорема верна для (GijFio^Ki) и (G\,K\ o^ К\ о^ К2).
Поэтому, согласно (f), она верна для (G\ o^Fi о^ К\,К2), т.е.
для (КиК2). О
Заметим, что в доказательстве п. (g) нельзя было воспользоваться
предложением 7.5.6, поскольку оно применимо только при Z = {pt}.
В качестве приложения теоремы 7.5.11 мы получаем следующее
утверждение.
Следствие 7.5.12. Пусть f : Y —* X — морфизм многообразий,
PEY хх Т*Х, ру = */'(р), рх = f*(j>)- Пусть Лу — такое лагран-

7.5. Чистые пучки 413
жево многообразие в T*Y, что */' трансверсально Лу в точке ру.
Пусть G £ Ob(D*(y)), и предположим, что SS(G) С Лу в
некоторой окрестности точки ру, a G имеет тип L со сдвигом d вдоль Лу
в точке ру.
(i) Для достаточно малой открытой окрестности W точки р
множество Лх = /*(*?(Лу) П W) является лагранжевым
многообразием, изоморфно отображающимся на */'" (Лу) П
W с помощью отображения /».
(ii) Пучок ffG = "linf Rf*Gu существует в Dh(X;px) (ср. пред-
и
ложение 6.1.10), и f^G имеет тип L со сдвигом
d- i(dimY/X + г(А0(рх),ААх(рх))/1ГГ-1(Л.(ру)))).
Здесь U пробегает систему открытых окрестностей точки
*y(j>y), « мы пишем /»'/'" (Ло(ру)) вместо (d/ir)(d'/')-1(A0(py)).
Доказательство, (i) следует из упр. П.5.
(ii) Применим теорему 7.5.11 с Ki = А& и К2 = G, где Л С X х У —
график отображения /. О
Следствие 7.5.13. Пусть f : Y —* X — морфизм многообразий,
р еУ х-х Т*Х, ру = *f'(p) и рх = /ir(p). Пусть Лх — лагранжево
подмногообразие в Т*Х, такое, что /» трансверсально Лх в точке
рх- Пусть F G Ob(D*(X)), и предположим, что SS(F) с Лх в
некоторой окрестности точки рх, a F имеет тип L со сдвигом d
вдоль Лх в точке рх ■ Тогда
(i) для достаточно малой открытой окрестности W точки р
множество Лу = */'(/*1(Лх) П W) есть лагранжево
многообразие, изоморфно отображающееся на fc1(Ax)C\W с
помощью '/';
(ii) /-'F = "Ит"/^' « № = "lim"/'^' существуют в
F,-*F F-tF1
Db(Y;py), где F' —» F (соответственно F —» F') пробегает
категорию изоморфизмов в точке рх, а шу/х ® /jT1 — fjiF
(ср. предложение 6.1.9);
(Hi) fa1 F имеет тип L со сдвигом d.
Доказательство, (i) следует из упр. П.5.
(ii) следует из предложения 6.1.9.
(ш) Применим теорему 7.5.11 с А-! = А а и К2 = F, где Л С Y х X —
график отображения /. О

414 Гл.7. Контактные преобразования и чистые пучки
Упражнения к гл. 7
Упражнение 7.1. Пусть V — вещественное (соответственно
комплексное) конечномерное векторное пространство, а V* — его
сопряженное пространство. Положим Sy = (V \ {0})/К+ (соответственно
(V \ {0})/С*), и пусть Z = {(х,у) £ Sv х- Sv-;(x,y) = 0}. Пусть
К = Az,Q = T*Sv и Of = T*Sv- Докажите, что условия
теоремы 7.2.1 выполнены для К на (Q,Q') (в работе [Brylinski 2] можно
найти подробное исследование таких контактных преобразований в
контексте комплексных многообразий и конструктивных пучков).
Упражнение 7.2. Пусть т : Е —* Z — векторное расслоение над
многообразием Z. Отождествим Т*Е и Т*Е*, как в предложении
5.5.1. Пусть F\ и F2 принадлежат D* +(Е). Докажите изоморфизм
Hhom(F2, Fi) ~ fihom(F£, Ff).
(Указание. Используя упр. 3.17 и 4.6, покажите, что это
утверждение эквивалентно аналогичной формуле для F\ и F2 в D^+(£) или
D'(i3/R+). Затем используйте теорему 7.2.1.)
Упражнение 7.3. Пусть (х) и (у) — две системы линейных
координат на двух экземплярах X и Y пространства К" соответственно,
и пусть (х;£) и (y;rj) — ассоциированные координаты. Рассмотрим
контактное преобразование х (частичное преобразование Лежандра),
определенное для £„ ф 0, г\п ф 0 формулой y>j = (,£~1 (р < j < п),
Уп = (Е"=р+1 хзШп\Ук = Хк (к ^ p),tfj = -XjZn (р < J < n),tfn =
tn,Vk=Zk (к^р).
(i) Докажите, что х ассоциировано с ненормальным расслоением
к подмногообразию S = {(х, у); х* — ук = 0, 1 < к ^ р, х„ —у„ +
e;:;+i^w=o}.
(ii) Применяя теорему 7.2.1, докажите, что микролокально
Фк(Ам) ~ AN, где N = {у„ = 0},М = {хр+1 = ■■■ = хп =
0} и К = As[d\ для некоторого сдвига d, который следует
вычислить.
Упражнение 7.4. Пусть X - комплексное многообразие, а Л —
связное комплексное лагранжево подмногообразие в Т*Х. Пусть
F £ Ob(D'(X)), и предположим, что SS(F) С Л в окрестности
многообразия А. Докажите, что если объект F чистый со сдвигом d в
точке р е А, то F чистый со сдвигом d в любой точке многообразия
А. (Указание. Используйте предложение 7.5.9 и упр. П.7.)

Замечания
415
Упражнение 7.5. В ситуации теоремы 7.5.11 предположим, что
X, Y, Z и Л,- — комплексные многообразия, причем Ki имеет тип
Li со сдвигом 0 (i = 1,2). Докажите, что пучок К\ Оц К2 имеет тип
L\ ®L L2 со сдвигом —dime V.
Замечания
Симплектическал геометрия восходит к Гамильтону и Якоби, и
физики привыкли работать в «фазовом пространстве», т. е. в
кокасательном расслоении (см. великолепное введение к книге [Guillemin-
Sternberg 1]). Однако лишь совсем недавно появился математический
аппарат, который позволил выйти за рамки чисто геометрической
точки зрения и работать в кокасательном расслоении (как говорят,
«микролокально») с классическими объектами, связанными с
многообразием X, такими, как, например, распределения или
дифференциальные операторы. Первым шагом было введение
«псевдодифференциальных операторов» (обзор теории которых мы здесь не делаем,
отсылая читателя к работе [Hormander 4]), затем появились
канонический оператор Мае лова (см. [Мае лов 1]) и, наконец, теория
микрофункций Сато [Sato l] и теория интегральных операторов Фурье
[Hormander 2], которые, в частности, позволяют осуществлять над
этими классическими объектами контактные преобразования.
Изложенная в этой главе теория представляет собой теоретико-
пучковую версию теории интегральных операторов Фурье или ее
комплексного эквивалента — теории простых голономных модулей [Sato-
Kawai-Kashiwara 1]. Впервые эта теория была введена другим
методом в [Kashiwara-Schapira 3].

Глава 8
Конструктивные пучки
В начале этой главы мы разъясняем понятие конструктивного
пучка на симплициальном комплексе, а также напоминаем основные
результаты теории субаналитических множеств Хиронаки.
Затем мы даем следующее определение (являющееся
модификацией определения стратификации Уитни): стратификация
X = |_|а€А Ха вещественно-аналитического многообразия
называется ^-стратификацией, если Ха являются субаналитическими
многообразиями и для каждой пары (а, /?), такой, что Хр П Ха ф 0 имеют
место включения Хр С Ха и
(Т^Х+Т^Х) П ж'^Хц) С П,Х.
(Определение операции + см. в § 6.2.) Можно доказать, что если Л —
замкнутое коническое субаналитическое изотропное подмножество в
Т*Х, то существует ^-стратификация X = [JaXa, такая, что Л С
ILT^x.
Далее мы вводим следующее определение. Объект F из D*(X)
называется слабо М-конструктивным (w-IR-конструктивным для
краткости), если существует локально конечное покрытие X = (J, Xj
субаналитическими подмножествами, такими, что для всех к и для всех j
пучки Hk(F)\xj локально постоянны. Бели, кроме этого, комплексы
Fx совершенны для всех х £ X, то F называется К-конструктивным.
Используя существование ^-стратификации, мы доказываем, что
F является w-K-конструктивным тогда и только тогда, когда SS(F)
содержится в замкнутом коническом субаналитическом изотропном
множестве или, что эквивалентно, когда SS(F) субаналитичен и ла-
гранжев. Другими словами, tw-R-конструктивность — это
микролокальное свойство. Мы активно используем результаты предыдущих
глав для вывода функториальных свойств w-Ш- и К-конструктивных
объектов. Используя существование триангуляции для
субаналитических множеств, мы также доказываем, что производная категория
категории К-конструктивных пучков эквивалентна полной
подкатегории в D*(X), состоящей из объектов с ^-конструктивными когомо-
логиями.
Для комплексных многообразий мы вводим понятия w-C- и
С-конструктивных объектов. Определения аналогичны, с точностью

8.1. Конструктивные пучки на симплициалънам комплексе 417
до замены термина «субаналитическое подмногообразие» на термин
«комплексно-аналитическое подмногообразие». Полезная теорема
утверждает, что F является ш-С-конструктивным в том и только
в том случае, когда F является ш-К-конструктивным (на
подлежащем вещественном многообразии) и SS(F) инвариантен относительно
действия Сх на Т*Х. С помощью этой теоремы многие свойства R-
конструктивных пучков переносятся на С-конструктивный случай.
В конце главы мы вводим хорошо известные функтор близкого
цикла и функтор исчезающего цикла и сравниваем их с функторами
специализации и микролокализации.
Соглашение 8.0. Мы сохраняем соглашение 4.0. В частности,
gld(A) < оо, где А — основное кольцо. Кроме того (если явно не
оговаривается противное), все многообразия и морфизмы считаются
вещественно-аналитическими и счетными в бесконечности.
Через dim X (соответственно dime X) мы обозначаем размерность
вещественно-аналитического (соответственно
комплексно-аналитического) подмножества X.
8.1. Конструктивные пучки
на симплициальном комплексе
Определение 8.1.1. Симплициальным комплексом S = (S,A)
называется набор данных, состоящий из множества S и множества Л его
подмножеств, удовлетворяющий следующим условиям:
E.1) Любое а £ А является конечным и непустым подмножеством
в 5.
E.2) Бели г — непустое подмножество в 5 и г С с, о £ Л, то т £ Л.
E.3) {р} £ Л для любого элемента р£ S.
E.4) Для любого элемента р £ S множество {<т £ Л;р £ о~}
конечно.
Любой элемент из Л называется симплексом, а элемент из S
называется вершиной.
Пусть Ks обозначает множество отображений из 5 в К. Напомним,
что элемент х £ Rs есть семейство х(р) £ R, индексированное
элементами р£ 5. Введем в Rs топологию произведения. Симплексу о~ £ Л
мы сопоставим подмножество |<г| из Ks следующим образом:
(8.1.1) И = {х £Rs;x(p) = 0 для р$<г,
х(р) > 0 для р £ а и £>(р) = 1}.
р
14 ■ М. Касивара, П. Шапира

418 Гл.8. Конструктивные пучки
Отметим, что множества |<г| попарно не пересекаются. Положим
(8.1.2) |S|=(JM.
(8.1.3) U(a)= (J |г|
И ДЛЯ X £ |S|
(8.1.4) U(x) = Щ<г(х)),
где <г(х) — единственным образом определенный симплекс, такой, что
х £ \<г(х)\, т. е. <т(х) = {р;х(р) фО}.
(8.1.5) U(<r) = {х £ | S |; х(р) > 0 при р G <т},
(8.1.6) U(x) = {у е | S |;у(р) > 0 для всех р,
таких, что х(р) > 0}.
Пример 8.1.2. Пусть S = {1,2,3}, а Л — семейство непустых
подмножеств множества 5. На рисунках изображены множества
|<г|, tf(«r) и U(x), где а = {1,2},* = A,0,0).
А
.3
lof о2 хШ^къ ШШь
М
Рис. 8.1.1
Топологию пространства | S | мы будем считать индуцированной с
M.s. Тогда, как легко видеть из (8.1.5) и (8.1.6), U(<r) и U(x) открыты
в | S |. Положим
(8.1.7) S(<r) = {peS;{p}U<reA}.
Тогда S(<r) конечно в S (аксиома (S.4)) и U(<r) содержится в Rs(").
Следовательно, U(<r) гомеоморфно локально замкнутому
подмножеству в R', где/ = #5(<г). Так как |<г| = {х £ U(<r);x(p) = 0 дляр$<г},
то |<г| замкнуто в U(<r), а значит, локально замкнуто в |S|. Легко
видеть, что

8.1. Конструктивные пучки на симплициальном комплексе 419
(8.1.8) \а\ = {х£ Rs; х(р) = 0, если р £ а, х(р) ^ О и £>(р) = 1}
= U И,
где \с\ обозначает замыкание |<г| в | S |. Отметим, что для а и г в А
(8.1.9) и(<г)пи(г)=\и^ит)' «*""***'
v ' ' v ' \ 0, если <t\Jt£A;
(8.1.10) if(<r) С (/(т) тогда и только тогда, когда г С о.
Из аксиомы (S.4) и (8.1.9) следует, что семейство {U(a)}e£&
образует локально конечное открытое покрытие множества | S |, т. е. | S | —
паракомпактное топологическое пространство.
Определение 8.1.3. Пусть F G Ob(D*(| S |)).
(i) F называется слабо S-конструктивнъш (w-S-конструктив-
ным), если для всех / £ Z и всех с £ А пучки H*(F)\0\
постоянны,
(ii) Если F является w-S-конструктивным и Fx — совершенный
комплекс для всех х £ | S |, то F называется S-
конструктивным.
(Определение совершенного комплекса см. в упр. 1.30. Напомним,
что если А нётерово, то Fx совершенен в том и только в том случае,
когда H'(F)X для всех j £ Z конечно порожден. Напомним, что по
предположению gld(A) < оо.)
Пучок F называется w-S-конструктивным (соответственно S-koh-
структивиым), если, рассматриваемый как объект из D*(| S |), он
является ю-Я-конструктивным (соответственно S-конструктивным).
Обозначим через D*,_g_e(| S |) (соответственно D|_e(|S|)) полную
триангулированную подкатегорию в D*(|S |), состоящую из uvS-koh-
структивных (соответственно S-конструктивных) объектов.
Обозначим через w-(£one(S) (соответственно <£ons(S)) полную
подкатегорию в ffloD(As), состоящую из ttf-S-конструктивных
(соответственно S-конструктивных) пучков.
Пусть u : F —► G — морфизм пучков на S, причем F и G
являются w-S-конструктивными. Легко доказать, что Keru, Imu
и Cokeru ubS-конструктивны. Более того, если 0 —» F' —» F —»
F" —* 0 — точная последовательность пучков на | S | и F' и F"
w-\ S (-конструктивны, то F также иьБ-конструктивен, т.е. w-<£ons(S)
является абелевой категорией.
Бели основное кольцо А нётерово, то те же результаты имеют место
в категории <£ons(S).

420 Гл.8. Конструктивные пучки
Предложение 8.1.4. Пусть F является w-S-конструктивным
пучком. Тогда для любого а £ А и любого х £ \<т\ существуют
изоморфизмы
0) H0(U(a);F)^H0(HF)^Ft,
(ii) H>(U(<r);F) = H'(\<r\;F) = 0 при j фЪ.
Доказательство. Для 0 < е < 1 положим /< = {< G R;f ^ < ^ 1} I
определим отображение тг,: /, х U(<r) —* U{a) формулой
(8.1.11) т,(<,у)(|>)=*у(р)+A-*)*(р) при ре 5.
Отображение тге непрерывно и сюръективно, тгеA, •) — тождественное
отображение {1} х U(<r) ~ U(<r), а 7ге(с, •) — гомеоморфизм {с} х U(<r)
на {с} х U(a).
Обозначим через да проекцию из It x U(<r) на (/(<?). Так как из
У € |т| следует, что ir,(i,y) £ \т\, то ir~1F — постоянный пучок на
слоях отображения q2, т. е. тг^1 F = q^lG для некоторого пучка G на
U(<r) (G = q2*n~1F). Применяя следствие 2.7.7, получаем, что для
всех t £ /, морфизм Rr(It x t/(<r);7rt-1F) -» ЛГ({<} х t/(<r);7rt-1F)
является изоморфизмом. Следовательно,
(8.1.12) RT(U(<t),F) ~ Rr({c}) х ОД;*;/')
~firGrt({c}xt/((T));F).
Отметим, что семейство {тг,({е} х U(<r))}t>o образует систему
окрестности точки х в X. Беря когомологии от обеих частей
(8.1.12) и переходя к индуктивному пределу по с > 0, получаем, что
H*(U(<r; F) является нулем при j > 0 и изоморфен Fr при j = 0. Если
те же рассуждения мы проведем для симплициального комплекса <т
и пучка F\\„\, то получим тот же результате заменой U(<r) на |<г|, что
и завершает доказательство. D
Следствие 8.1.5. (i) Функтор ГA/(<г); •) является точным на
категории u>-<Cona(S).
(ii) Если F является w-S-конструктивным пучком и Г{К{<т);
F) = 0 для всех а £ А, то F = 0.
Назовем пучок F на | S | S-ацикличным, если для всех Jb > 0 и всех
а £ А имеет место равенство Hk(U(<r);F) = 0. Тогда в силу
предложения 8.1.4 w-S-конструктивные пучки S-цикличны. Естественно,
вялые пучки на | S | также S-ацикличны.
Пусть F — пучок на | S |. Мы функториально сопоставим ему
ttf-S-конструктивный пучок 0(F) и морфизм s(F): 0(F) —» F. Для
этого определим сначала объект
(8.1.13) <*(F) = (&{F{U{*)))u(a).

8.1. Конструктивные пучки на симплициальном комплексе 421
Если М является Л-модулем, то Нот(Л/и(„), F) = Hom(M, r(U(<r);
F)). Поэтому существует естественный морфизм i(F) : a(F) —» F,
и этот морфизм функториален по отношению к F. Пусть F'
обозначает ядро морфизма i(F) и 0(F) обозначает коядро морфизма
a(F') —> a(F), являющегося композицией a(F') -»f'-> <x(F).
Морфизм s(F): 0(F) —» F, функториальный по отношению к F,
получается из диаграммы
ИГ),
,{F)
a(F') —- a(F) —- 0(F)—- О
I/
О
Отметим, что пучки a(F) и 0(F) ttf-S-конструктивны.
Лемма 8.1.6. Если а £ Л, то естественный морфизм ГA/(<т);
0(F)) —» Г(К(о~); F) является изоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
<x(F')(U(<r)) — <*(F)(U(*)) — 0(F)(U(<r)) — 0
1 1 I
О —- F'(U(<r)) —+ a(F)(U(<r)) —+ F(V(<r)) —+ 0
Так как ГA/(<г); •) — точный функтор на tu-(£ons(S), то верхняя
последовательность точна. Так как морфизм a(F)(U(o~)) —* F(U(o~))
сюръективен, то нижняя последовательность точна. Теперь
требуемый результат вытекает из сюръективности морфизма at(F')(U(o~)) —*
F'(U(a)). О
Лемма 8.1.7. Пусть F является w-S-конструктивным; тогда
s(F): 0(F) -► F — изоморфизм.
Доказательство. Пучки Ker s(F) и Cokers(F) являются ttf-S-кон-
структивными, и их сечения над U(<r) равны нулю по лемме 8.1.6
и следствию 8.1.5(i). Тогда по следствию 8. 1.5(h) эти пучки равны
нулю. D

422 Гл.8. Конструктивные пучки
Из этой леммы следует, что /? : SRod(A|s|) —► tu-(Cone(S¥
является правым сопряженным функтором к функтору включения
ub(Cone(S) -> ЯПоЪ(А\ s |).
Предложение 8.1.8. (i) Функтор /? из 6f)(| S |) в w-<£ons(S) тоиещ
слева.
(П) Если F — пучок на | S |, то r(U(a); Rkp(F)) = Hk{U(<r); F) длж,
всех а £ А и всех k ^ 0.
(iii) Rkf){F) = 0 для всех к > 0 в том и только в том случае, когда
пучок F S-ацикличен.
Доказательство, (i) Пусть 0 —► F' —► F —► F" —► 0 — точная;
последовательность пучков на |S|. Так как пучки P(F'),P(F) и,
0(F") ttf-S-конструктивны, то для доказательства точности
последовательности 0 —► f}(F') —* fi(F) —* fi(F") достаточно показать
(см. следствие 8.1.5(H)), что для всех а £ Л последовательность
0 - Г(ОД;/?(F')) - r(U(a)J(F)) -» r(U(<r);0(F")) точна. Но
это следует из леммы 8.1.6 и точности слева функтора r(U(o~); •).
(ii) Пусть F' — инъективная резольвента пучка F. Тогда Rk0(F) =
Hk{PF~). Кроме того,
r(U(<r); Rk0(F)) = r(U(<r); Я*(#Г)))
= Hk(r(U(*);p(F-)))
= Hk(r(U(a);F))
= Hk(U(<r);F).
(Мы использовали здесь лемму 8.1.6 и тот факт, что w-S-конструк-
тивные пучки S-ацикличны.)
(iii) вытекает из (ii) и следствия 8.1.5(ii). D
Предложение 8.1.9. Пусть F' — ограниченный снизу комплекс
S-ацикличных пучков. Пусть H"(F') w-S-конструктивен для
всех rEZ. Тогда морфизм fi(F') —* F' является
квазиизоморфизмом.
Доказательство. Обозначим через d" дифференциал комплекса F'
(т. е. dn: Fn -* Fn+1). Положим Zn(F) = Kerd", Bn(F') = Imd"-1.
Рассмотрим точные последовательности
(8.1.14) 0 — Zn~l (F') -* F"-1 - Bn(F') - 0,
(8.1.15) 0 — Bn(F') - Zn(F) - Hn{F) - 0.
Предположим, что Zn~1(F) S-ацикличен. Применяя функтор
P к (8.1.14), получаем, что RkP(Bn(F)) = 0 при Jfe > 0, а из

8.1. Конструктивные пучки на симплициальном комплексе 423
этого и из предложения 8.1.8 следует, что B"(F ) S-ацикличен. То
же рассуждение, проведенное для последовательности (8.1.15),
дает S-ацикличность Zn(F). Рассуждения по индукции доказывают
S-ацикличность Zn(F') и Bn(F').
Так как функтор 0 точен слева, то P{Zn(F')) = Zn{P{F')).
Поскольку Rlfi(Zn~ 1(F')) = 0, из рассмотрения последовательности
(8.1.14) получаем, что P(Bn(F')) = Bn(^(F')). Аналогично, так как
R1^(Bn(F')) = 0, то из рассмотрения последовательности (8.1.15)
получаем, что 0(Hn(F')) = Hn(P{F')). Тогда из леммы 8.1.7 следует,
что fi(Hn(F)) ~ Hn(F). Это доказывает изоморфизм Hn(P{F')) ~
Hn{F). О
Для того чтобы работать с категорией D4(|S|), сделаем следующее
предположение:
(8.1.16) |
существует целое п, такое, что
#<г ^ п + 1 для всех a G Л.
Назовем наименьшее п, удовлетворяющее (8.1.16), размерностью
комплекса S. Из (8.1.16) и предложений 8.1.8 и 3.2.2 следует, что
Я*/? = 0 при к > п. Рассмотрим функторы (здесь 6 — естественный
функтор)
б
uMCone(S) ^ Шод(А\ 31 )•
Р
Они индуцируют функторы
(8.1.17) D4(uMfrn*(S))^Dt_S-e(|S|).
ftp
Теорема 8.1.10. В условиях предположения (8.1.16) функторы 6 и
Rfi в (8.1.17) являются эквивалентностями категорий и взаимно
обратны.
Доказательство. Изоморфизм Rfi о 6 ~ id в Dh(w-<£ont(S)) следует
из существования изоморфизма /? о 6 ~ id в w-<Lons>(S)).
Изоморфизм 6 о Rfi ~ id в D£,_g_e(|S |) следует из предложения
8.1.9. D
Теорема 8.1.11. Пусть основное кольцо А нётерово и
справедливо предположение (8.1.16). Тогда естественный функтор
6: D'((£ona(S)) —» D^_e(|S|) является эквивалентностью
категорий.
Доказательство. Из предложения 1.7.11 (и замечания 1.7.12) и
теоремы 8.1.10 вытекает, что достаточно убедиться в справедливости
следующей леммы.

424
Гл.8. Конструктивные пучки
Лемма 8.1.12. Пусть и : F —» G — эпиморфизм w-S-конструк-
тивных пучков, и пусть G S-конструктивен, Тогда существуют
S-конструктивный пучок Н и морфизм v: Н —» F, такие, что uov —
эпиморфизм.
Доказательство. Из следствия 8.1.5 вытекает, что
отображение F(U(o~)) —► G(U(o~)) сюръективно для любого о~ Е Д. Так
как (предложение 8.1.4) G(U(o~)) ^» Gt при х £ |<г|, то G(U(o~))
конечно порожден. Следовательно, существуют конечно
порожденный свободный модуль Н(а) и эпиморфизм Н(а) —» G(U(v)). Этот
морфизм расщепляется, и мы получаем морфизмы Н(а) —»
F(U(a)) -> G(U(a)). Положим Н = ф„ Н(<г)Щоу Тогда Я есть
S-конструктивный пучок, морфизмы #(<т) —» F([/(<r)) определяют
морфизм Н —* F и композиция Я —» F —» С? — эпиморфизм. П
Из этих рассуждений следует, что категория w-(Eone(S) содержит
достаточно много проективных объектов, а если А нётерово, то и
категория (Cone(S) содержит достаточно много проективных объектов.
8.2. Субаналитические множества
В этом разделе мы без доказательств изложим введение в теорию
субаналитических множеств Хиронаки. Подробнее с этой теорией можно
ознакомиться по работам [Hironaka 1,2], [Hardt 1,2], [Bierstorne-
Milman 1].
Пусть X — многообразие (напомним, что все многообразия
считаются вещественно-аналитическими), a Z — подмножество в X.
Определение 8.2.1. Множество Z называется субаналитическим
в точке х £ X, если существуют открытая окрестность U точки х,
компактные многообразия Y> (i = 1,2,1 ^ j ^ N) и морфизмы fj :
Yj —» X, такие, что
ZnU = Un{J(f}(Y/)\ff(Y?)).
j=i
Если Z субаналитично в каждой точке х £ X, то оно называется
субаналитическим в X.
Предложение 8.2.2. (i) Пусть Z субаналитично в X. Тогда
множества Z и lnt(Z) субаналитичны в X, а связные компоненты
множества Z локально конечны и субаналитичны.
(и) Пусть Z\ и 2^ субаналитичны в X. Тогда Z\ U Z^%Z\ \ 2^ и
Z\ D Zi субаналитичны.

8.8. Субаналитические множества
426
(iii) Пусть f:Y—*X — морфизм многообразий. Если Z С X
субаналитично, то множество f~1(Z) субаналитично в Y.
Если W CY субаналитично в Y и f собствен на W, то f(W)
субаналитично в X.
(iv) Пусть Z замкнуто и субаналитично в X. Тогда
существуют многообразие Y и собственный морфизм f:Y—*X, такие, что
f(Y) = Z.
Сформулируем теперь лемму о выборе кривой.
Предложение 8.2.3. Пусть Z субаналитично в X и х0 £~2. Тогда
существует аналитическая кривая 11-» x(t), ]— 1,1[—> X, такая, что
х@) = х0 и x(t) 6 Z nput^O.
Сформулируем теорему о десингуляризации в
вещественно-аналитическом случае.
Предложение 8.2.4. Пусть <р : X —» Ж —
вещественно-аналитическая функция, не равная тождественно нулю на каждой
связной компоненте многообразия X. Положим Z = {х 6 Х;<р(х) =
0,d<p(x) = 0}. Тогда существует собственный морфизм
многообразий /: Y —» X, индуцирующий изоморфизм У \/-1BГ) ~ X\Z, такой,
что в окрестности каждой точки у0 6 /-1BГ) найдется локальная
система координат (jft уп), в которой <р о / = ±j/J' ... j£", где
г;- — неотрицательные целые числа.
Пусть Z — субаналитическое подмножество в X. Определим
множество Zne как подмножество точек х 6 Z, таких, что
существует открытая окрестность U точки х в X, для которой
множество U П Z является замкнутым подмногообразием в U. Положим
Z.ing = Z\Zng. Множества Z„g и Zt\ng субаналитичны в X и Z С Zn%.
Если х Е Z„g, то dim* B") (размерность Z ъх) является корректно
определенной величиной. Положим
(8.2.1) dimBT)= sup dimarBT).
Теорема триангуляции, сформулированная ниже, сводит изучение
конструктивных пучков вдоль субаналитических стратификации к
изучению конструктивных пучков на симплициальных комплексах.
Предложение 8.2.5. Пусть X = |_|а€А Ха — локально конечное
разбиение многообразия X на субаналитические подмножества.
Тогда существует симплициалъный комплекс S = E, Л) и
гомеоморфизм i:\S\'=*X, такие, что

426
Гл.8. Конструктивные пучки
(i) i(\o~\) для любого а 6 Л является субаналитическим
подмногообразием в X;
(п) для любого о~ £ А существует а £ А, такое, что i(\o~\) С Ха.
8.3. Субаналитические изотропные множества
и ^-стратификации
В этом разделе будут сформулированы и доказаны все утверждения
о субаналитических изотропных множествах, которые понадобятся
нам далее. Мы также введем понятие ^-стратификации.
Пусть S — локально замкнутое субаналитическое подмножество
многообразия X. Положим
(8.3.1) Т£Х = ТЦХП*-1E).
Предложение 8.3.1. Множество TgX субаналитично в Т*Х.
Доказательство. Мы можем считать S замкнутым. Пусть /: У —»
X — собственный морфизм многообразий и /(У) = S. Положим
(8.3.2) У0 = {у 6 Г1 Ereg); fy: TyY — Tf(y)S сюръективен}.
Тогда Y0 открыто и субаналитично в У, а 50 = /(У.) открыто, плотно
и субаналитично в 5. Множество Р = Т*Х \ Л'/'~1(Г*Уо)
субаналитично и
р = {(*;£) е г**;У(»К = ° до* любого у е у. пгЧ*))-
Следовательно, РПтг-1Eо) = TgtX, и это множество субаналитично.
Поэтому множество TgX = !TJ -^ также субаналитично. D
Предложение 8.3.2. (i) Пусть М — замкнутое подмногообразие в
X и S субаналитично в X. Тогда нормальный конус Сд* (S) субана-
литичен в ТщХ.
(и) Пусть Si и 5г субаналитичны в X. Тогда нормальный конус
СE1,5г) субаналитичен в ТХ.
Доказательство, (ii) следует из (i), a (i) является прямым
следствием определения 4.1.1. D
Предложение 8.3.3. Пусть Si и 52 субаналитичны в 1" и « 6
Cx(Si,Sz). Тогда существуют две вещественно-аналитические
кривые xt(t), t€] — 1,1[, i = 1,2, такие, что х,-@) = х, Xi(t)eS{ (t ф О, i =
1,2) и xi(i) — a?2(t) = ***> + 0(ik+1) для некоторого целого к.
Доказательство. Пусть р — отображение 1" х 1" х 1 —» R"x
IR". (Ж)У>8) »-► {х,х — ay). Тогда если мы отождествим ТХ с
множеством {« = 0}вГхГх Ж, то C(Si,Sj) = p-^Si xSj)nnr\TXt
где fi = {s > 0}.

8.3. Субаналитические изотопные множества и ^-стратификации 427
Пусть v ECx(S\,Si). По лемме о выборе кривой существует кривая
u{t) = (x(t),y(t),s(t)), -1<*<1, такая, что ж@) = х, у@) = v, s@) =
О и x(i)ESi, x(i) - s(i)y(i)eS2,s(i)>0 при i ф 0. Полагая xi{t) =
x{t), x2(t) = x(t) - s(t)y(t), получаем xi(t) - x2(t) = s(t)y(t) = tkv +
0(t*+1) при некотором Jfe > 0. П
Предложение 8.3.4. Пусть S субаналитично в X и в —
вещественно-аналитическая 1-форма на X. Тогда следующие условия
эквивалентны:
(i) e\s,.t = о,
(ii) 0\cx(S) = 0 для любого х Е X.
Условие (ii) означает, что в как линейный функционал на ТХХ
обращается в нуль на G'X(S).
Доказательство. Импликация (ii) =>• (i) очевидна.
Пусть имеет место (i), и пусть х0 £ S, v 6 Cx,(S),v ф 0. По
предыдущему предложению существут кривая x(t), —l<t<l, такая, что
x(i) 6 5reg и x(i) = x„ + ikv + 0(t*+1). Выберем локальную систему
координат и запишем в в виде в = ^,jOj(x)dxj, v = («i,...,«„). Тогда
£^(*(*))(&г,-/&) = 0 при t ф 0; поэтому k4£ljaj[x0)vjtk-1 + 0(ik)
= 0, и мы получаем @(хо), v) = 0. □
Определение 8.3.5. Если выполнены эквивалентные условия
предложения 8.3.4, то мы говорим, что в исчезает на 5, и пишем 0\s = 0.
Следствие 8.3.6. (i) Пусть h: X' —» X — морфизм многообразий,
S С X и S' С X' — субаналитические подмножества и ЛE*) С S.
Пусть в есть 1-форма на X. Тогда из 0\s = 0 следует, что h*0\s'
= 0.
(ii) Пусть (Sj)jqj — локально конечное семейство
субаналитических подмножеств в X, и пусть в есть 1-форма на X. Если 0|s,- = 0
для всех j, то 0\UjSj = 0.
Доказательство, (i) Для всех х' £ X' имеем
h'(C,,(S')) С CKtl)(S).
(ii) следует из равенства

428
Гл.8. Конструктивные пучки
Предложение 8.3.7. Пусть Л: X' —» X — морфием многообразий,
aSCXuSPcX' — субаналитинеские подмнолчства. Пусть
ft(S') = S, и пусть в есть l-форма на X. Тогда следующие два уело*
вия эквивалентны:
0) 8\а = 0,
(ii) A*0|s< = 0.
Доказательство, (i) =$- (ii) вытекает из следствия 8.3.6(i).
(ii) =>• (i). Мы можем считать S невырожденным. Пусть g: У —»
X' — собственный морфизм, такой, что g(Y) = S'. Тогда g*h*0 = 0.
Положим / = g о Л; У -► X и У0 = {у 6 Y;fy : TyY -> Г/(уM
сюръективно}. Тогда из плотности /(У>) в S вытекает требуемый
результат (мы предполагаем У счетным в бесконечности). □
Нам понадобится результат о конических субаналитических
подмножествах в векторных расслоениях.
Предложение 8.3.8. Пусть т: Е —► X — векторное расслоение.
(i) Пусть Л — коническое и субаналитическое подмножество в
Е. Тогда Л субаналитинно в Е.
(ii) Если А субаналитинно в Е и Л—* X — собственное
отображение, то Ж+ • А субаналитинно.
(Ш) Если А — коническое субаналитинеское подмножество в Е,
то т(А) субаналитинно в X.
(iv) Пусть т'': Е' —► X — векторное расслоение и /: Е —* Е' —
морфизм расслоений. Если А — коническое субаналитинеское
подмножество в Е, то f(A) субаналитинно в Е'.
Доказательство. Пусть у: Е —► Е/Ж+ — проекция и i: X —► Е —
нулевое сечение. Рассмотрим подмногообразие S С Е, такое, что
S —» E/R+ — изоморфизм.
(i) Пусть /г. Ж+ х Е -» Е — умножение. Тогда А' = ц([0,1] х EПЛ))
субаналитинно в Е и (i) следует из того факта, что А' \ i(X) — А ъ
окрестности точки i(X).
(ii) Отображение /i: [0,1] х А —» Е собственно, потому что А
собственно над X. Теперь (ii) следует из того, что М+ • А — /*([0,1] х A) U
р(/*-1(Л) П (]0,1] х Е)), где р — вторая проекция R х Е -» Е.
(iii) есть частный случай (iv) при Е' = X.
(iv) Пусть АСЕ — субаналитическая открытая окрестность
нулевого сечения в Е, такая, что отображение А—*Х собственное. Тогда
/(ЛПЛ) субаналитично. Так как /(Л) = R+ • /(Л П Л), то (iv) следует
из (ii). П

8.3. Субаналитические изотопные множества и ^стратификации 429
Рассмотрим теперь субаналитические изотропные подмножества в
Т*Х. Напомним, что ах (или просто а) обозначает каноническую
1-форму пл.Т*Х.
Определение 8.3.9. Пусть Л — коническое субаналитическое
подмножество в Т*Х.
(i) Л называется изотропным, если а|д = 0.
(ii) Л называется лагранжевым, если оно изотропно и инволютив-
но (см. определение 6.5.1).
Предложение 8.3.10. (i) Пусть Л — замкнутое коническое
субаналитическое подмножество в Т*Х. Следующие условия
эквивалентны:
(a) Л изотропно;
(b) существует локально конечное семейство {Xj}
субаналитических подмножеств в X, такое, что Л С Q\ Т^.Х;
(c) существует конечное семейство {Xj} субаналитических
подмногообразий, таких, что Xj С я"(Л) и Л С U, Т^.Х.
(ii) Если Л изотропно и Y субаналитично в X, то существует
субаналитическое подмногообразие У0 С Y, открытое и плотное в
Y, такое, что Л П я-^У.) С Ту.Х.
Доказательство, (i) (b) =>• (а). По следствию 8.3.6 достаточно
доказать, что а|т» х = 0. Это следует из соответствующего результата
xj
для Xj.reg, так как Т£.Х = Т%.^Х.
(а) =>• (с). Пусть d — максимальный ранг проекции 7г: Лге8 —» X.
Будем проводить индукцию по d. Пусть Л0 = {р 6 Лге8; ранг 7Г в р
равен d). Тогда Л„ открыто и субаналитично в Л. Положим Х0 =
(^(Л)),^ и Л'„ = Л о П 7Г-1(Х0). Тогда Л'„ открыто и субаналитично в
Л, плотно в Л„ и дифференциал проекции ж: Л'0 —» Х0 сюръективен в
каждой точке р £ Л'0. Докажем, что
(8.3.3) л'0 с г;.х.
Выберем локальную систему координат (si,...,x„) = (x',x"), где
х' = (xi,...,xp), такую, что Х0 = {х" = 0}. Пусть ( = (£',£")
обозначает двойственную систему координат. Тогда a|T-i(x.) = £'d*'
и dxi,.. .,dxp линейно независимы на Х„, а ж — гладкое
отображение. Поэтому £' = 0 на Л'в, что доказывает (8.3.3). Положим теперь
Л' = Л\Т£лХ. Так как из (8.3.3) следует, что Л'в П Л' = 0, то
возможен следующий шаг индукции,
(с) =>• (Ь) очевидно.

430 Гл.8. Конструктивные пучки
(И) Заменяя ЛиУнаЛП тг_1(У) и У соответственно, мы можем с
самого начала считать, что Л С 7Г-1(У). Тогда, выбирая {X,}, как в
(i)(c), достаточно определить У0 как объединение связных компонент
множества Уге8 П Xj, открытых в Угев. D
Предложение 8.3.11. Пусть /: У —► X — морфизм многообразий.
(i) Пусть Л С T*Y — коническое субаналитическое изотропное
множество, такое, что отображение /, : '/'-1(Л) —» Т*Х
собственно. Тогда /т*/'-1(Л) — коническое субаналитическое
изотропное подмножество вТ*Х.
(ii) Пусть Л С Т*Х — коническое субаналитическое изотропное
множество. Тогда tf'f^1[A) — коническое субаналитическое
изотропное множество в T*Y.
Доказательство, (i) Заметим сначала, что */'*ау = f*otx- Применяя
теперь предложение 8.3.7, получаем цепочку импликаций
ау\А = 0 =*■ GТ«И«/—(А) = 0 » />х|у—(А) = О
=*'afx|/.V'-1(A) = 0-
(ii) Субаналитичность */'f~l{A) следует из предложения 8.3.8. В
остальном доказательство аналогично доказательству n.(i). О
Следующий результат будет играть важную роль в доказательстве
теорем конечности.
Предложение 8.3.12 (микролокальная теорема Бертини-Сарда).
Пусть <р: X —» Ш — вещественно-аналитическая функция, а Л С
Т*Х — замкнутое коническое субаналитическое изотропное
множество. Пусть S — {i £ M;i = ip(x),d<p(x) £ Л для некоторого х £ X}.
Пусть ip собственна на тг(Л). Тогда S дискретно.
Доказательство. Имеем S = {t £ K;(t,di) £ ip^ip'-1^)}. Так как
<pr*ip'~1 (Л) — замкнутое субаналитическое изотропное подмножество,
то S дискретно.
Предложение 8.3.13. Пусть Л и Л0 — локально замкнутые
конические подмножества вТ*Х и Л С Л0. Предположим, что А0 суба-
налитично и изотропно, а Л инволютивно и замкнуто в Л0. Тогда
Л субаналитично и лагранжево.
Доказательство. Нам понадобятся две леммы.
Лемма 8.3.14. Пусть Л0 — изотропное подмногообразие вХ, а Л —
инволютивное подмножество, замкнутое в Л0. Тогда Л открыто в
Л„ и dim Л = dimX.

8.3. Субаналитические изотопные множества и ^-стратификации 431
Доказательство леммы 8.3.14. По предложению 6.2.9 Л0 локально
принадлежит лагранжеву многообразию. Следовательно, мы можем
считать Л0 лагранжевым. По предложению 6.5.2 для любой
вещественной функции <р, равной нулю на Л0,Л есть объединение
интегральных кривых поля Hv. А объединение интегральных кривых,
исходящих из точки х, образует ее окрестность. D
Лемма 8.3.15. Пусть S — коническое локально замкнутое
субаналитическое изотропное подмножество вТ*Х, и пусть V —
локально замкнутое инволютивное подмножество. Предположим, что
V С 5 и dimS < dimA. Тогда V = 0.
Доказательство леммы 8.3.15. Будем проводить индукцию по
dim5. Достаточно доказать, что V П 5reg = 0. Следовательно, мы
можем считать S гладким. Пусть х £ V. По лемме 8.3.14 dim* V =
dim А', что противоречит неравенству dim5 < dimA. D
Окончание доказательства предложения 8.3.13- Положим Л'0 =
(A>)reg, Л' = ЛГ\Л'0. По лемме 8.3.14 Л' замкнуто и открыто в
Л'0. Так как Л'0 субаналитично, то Л' также субаналитично. Теперь
достаточно показать, что Л = Л' П Л0. Положим V = Л\Л'. Это —
инволютивное подмножество в Т*Х, содержащееся в А0 \(Л0)ге8.
Значит, V пусто по лемме 8.3.15. D
Для рассмотрения нормального конуса изотропного подмножества
вдоль лагранжева подмногообразия нам понадобится такая лемма.
Лемма 8.3.16. Пусть X = Ж" х К с системой координат (x,i).
Пусть Y — гиперповерхность {< =0}, a Z субаналитично в X и
Z С Z \ Y. Пусть а есть l-форма на X и в = ia + bdt, где Ь —
вещественно-аналитическая функция на X. Тогда из 0\z = 0 следует,
что a\zr\Y = 0 и b\znY = 0.
Доказательство. Мы можем считать Z замкнутым. Пусть
/ : X' —» X — собственный морфизм многообразий, такой, что
/(А") = Z. Положим У = /-1(У). Пусть X" — объединение тех
связных компонент многообразия X', на которых t о / = 0. Так как
/(А" \ А") э Z \ Y, то /(А' \ А") = Z. Следовательно, заменяя
А' на А' \ А", мы можем считать Y' нигде не плотным. Применяя
предложение 8.2.4 к функции ? = { о /, мы можем считать, что в
окрестности каждой точки из Y' существует локальная система
координат (*i,..., iN), такал, что V = ± Ц]=1 ij*, где 1 ^ / ^ N и «у —
положительные целые числа. Положим а' = f*a, b' = f*b. Тогда

432 Гл.8. Конструктивные пучки
fat' + b'dt' = 0. Так как dt'/t' = £,-(«у/^)<1^, то
(8.3.4) а' = -6' ЬЧ/(,)а«Л.
Из этой формулы следует, что произведение *i... ii делит 6' и, значит,
6'|у< = 0 и 6|ynz = 0.
Мы можем переписать (8.3.4) в виде
а' = {-V/U ..Л,) (£«,...uiq/tjW) .
Следовательно, а'|у/, = 0. Отсюда по предложению 8.3.7 следует,
что а*!у» =0 и a\yr\z =0. □
Теорема 8.3.17. Пусть Л С Т*Х — (гладкое коническое) лагран-
эюево подмногообразие, a S С Т*Х — коническое субаналитическое
изотропное подмножество в Т*Х. Мы отождествим ТдТ*Х и Т*Л
с помощью —Н, где Н — гамильтонов изоморфизм: ТТ*Х ~ Т*Т*Х.
Тогда
(i) нормальный конус CU(S) есть коническое субаналитическое
изотропное подмножество в Т*Л;
(ii) Ca(S) содержится в гиперплоскости {ах = 0}.
(Напомним, что ах = 0 на Л и ах определяет линейный
функционал на ТдГХ. Поэтому гиперплоскость {ах = 0} корректно
определена в ТАТ*Х ~ Т*Л.)
Доказательство. Мы можем считать Л ненормальным
расслоением к некоторому подмногообразию (предложение П.2.9 и упр. П.2).
Для простоты положим Л = {(х;£) £ T*Rn;x = 0} (в общем
случае доказательство аналогично). Рассмотрим отображение р: Т*Х х
И -» 7»Х,((«;0,«) ен. (**;£). Тогда ТАГ»Х ~ {« = 0}, CA(S) ~
р-»E)П{« >0} П {« = 0} и р*(<*х) = Ej6d(«*j) = <(£;№) +
(x,£)dt. Так какр*(ах)|р->E) = 0 по предложению 8.3.7, то из леммы
8.3.16 следует, что
fc^d*i)
= 0 и (*,О1сдE) = 0.
СдE)
Значит, A£<з><ф)|сдE) = 0, что и завершает доказательство, так как
—^2jXjd£j есть каноническая 1-форма на Т*Л. О

8.3. Субаналитические изотопные множества и ^-стратификации 433
Следствие 8.3.18. (i) Пусть Л\ и Л^ — конические
субаналитические изотропные подмножества в Т*Х. Тогда A\+Aj — коническое
субаналитическое изотропное подмножество в Т*Х.
(ii) Пусть f : Y —* X — морфизм многообразий, а Л С Т*Х —
коническое субаналитическое изотропное подмножество. Тогда
/*(Л) — коническое субаналитическое изотропное подмножество в
T*Y {см. определение 6.2.3).
Теперь мы приступим к изучению стратификации многоообра-
зия Л' субаналитическими подмногообразиями. Напомним основные
определения.
Пусть (Xj)j£j — семейство подмножеств в X. Это семейство
называется покрытием, если X = [JjsjXj. Если Xj попарно не
пересекаются, то такое покрытие называется разбиением многообразия X.
В этом случае мы пишем X = \JjSjXj. Покрытие X = Ц€/ Х%
называется утончением покрытия X = Uj€/Щ> если ляя любого i 6 /
найдется j 6 J, такое, что Xi С X'j.
Определение 8.3.19. (i) Разбиение У = Ц,^ Ха замкнутого
субаналитического подмножества YQX называется его
субаналитической стратификацией, если оно локально конечно, все Ха
являются субаналитическими подмногообразиями иХ^С Ха для всех пар
(а, 0) Е А х А, таких, что Ха П Хр ф 0. Если условия определения
выполнены, то Ха называются стратами.
(ii) Пусть N и М — подмногообразия в X. Мы говорим, что пара
(N, М) удовлетворяет ц-условию, если
(8.3.5) (Т£Х+Т£Х) П r-\N) С TfiX.
(iii) Разбиение X = |Je€A Ха называется ц-стратификацией, если
оно является субаналитической стратификацией и для всех пар
(а, /?) 6 А х А, таких, что Хр С ~Ха \Ха, пара (Ха, Хр) удовлетворяет
/^-условию.
Отметим, что если X = |_j0 Xa есть /i-стратификация, то
множество А = Uo-Гу.-^ является замкнутым коническим субаналити-
ческим_и изотропным подмножеством в Т*Х. В самом деле, если
Хр С Ха, то Т^Х П ir~l(Xp) содержится в T£fX.
Теорема 8.3.20. Пусть X = Uj€/ -^i — локально конечное
покрытие многообразия X субаналитическими подмножествами. Тогда
существует ^-стратификация X = Uj€S-^a> являющаяся
утончением покрытия {Xj}.
Для доказательства теоремы нам понадобится лемма.

434
Гл.8. Конструктивные пучки
Лемма 8.3.21. (i) Пусть У — замкнутое субаналитическое под-
множество в X, aY = (Jje/^j — локально конечное покрытие
множества У субаналитическими подмножествами. Тогда
существует субаналитическая стратификация множества Y,
являющаяся утончением покрытия {Xj }.
(ii) Пусть N и М — субаналитические подмногообразия в X. То-
гда множество Q точек xeN, таких, что (М, N) удовлетворяет
^-условию в окрестности точки х, является плотным в N и
субаналитическим в X.
(ш) Пусть X' открыто и субаналитично в X, а X' = \_\асА Х<* —
субаналитическая стратификация множества X', страты Ха
которой субаналитичны в X. Тогда существует наибольшее
открытое подмножество Q в X', такое, что Q = \_\а^А(Ха П f?) является
ц-стратификацией множества П. Кроме этого, Q субаналитично
вХ.
Доказательство леммы 8.3.21. (i) Пусть А — множество конечных
подмножеств множества J. Положим Za = {f]jea^j) \ (Uirfa-^i)'
где а 6 А. Тогда У = \Ja Za — локально конечное субаналитическое
разбиение, т. е. мы с самого начала можем считать, что У = |J. Xj —
локально конечное субаналитическое разбиение. Будем проводить
индукцию по dim У. Пусть Xj — объединение связных компонент
множества (Х,)ге8ПУгев, открытых в Y^g. Положим У = У \({Jj Xj).
Так как Y\Y' = |_L Xj — объединение непересекающихся множеств,
то это есть субаналитическая стратификация. Пусть А — множество
конечных подмножеств множества J. По предположению индукции
существует субаналитическая стратификация У = |JL€j< Yj,
являющаяся утончением исходной стратификации
У= [J [ГпХ;п(р|(хлУ'))\( U (*Г\у)]-
Тогда У = (\_\jej(Xj \ У')) U (Uje/' *j) — искомая стратификация.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что для
любого j и любого ib e J' из Xj \ У П Yj ф 0 следует, что Xj \ У Э
П. Существует а, такое, что Yk С П;€а(*i \У) \ (UieAcXiW)-
Поэтому из Xj \ У П Y/t ф 0 следует, что j 6 а. Это доказывает
требуемое утверждение.
(И) П = N\ tt(Z), где Z = (ТЦХ+Т£Х) \ ТЦХ. Поэтому Q
субаналитично. Так как TfiX+TfoX изотропно, то существует открытое
плотное подмножество U в N, такое, что (Т^Х+Т^Х) П 7г-1([/) С
TfiX (предложение 8.3.10(ii)). Тогда *{Z) C\U = 0.

8.3. Субаналитические изотопные множества и ^-стратификации 435
(ш) Множество Q является дополнением к множеству
IW) XP n *И?хтх+Тх,Х) \ Т$0Х), где (в,/?) еАхА, Хр С
Ха\Ха. П
Доказательство теоремы 8-3-20■ Мы можем считать, что X =
|L Xj — субаналитическая стратификация. Проводя индукцию по
dimY, достаточно показать, что если У — замкнутое
субаналитическое подмножество в X, такое, что X \ У = \_\j€j(Xj \ У) есть /i-стра-
тификация, то существуют нигде не плотное субаналитическое
подмножество У С Y и более тонкая субаналитическая стратификация
X = \JiX'i, такие, что разбиение Х\ У = Ц^Х* \У) является
^-стратификацией. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим
стратификацию У = |Jt У* субаналитическими многообразиями, более
тонкую, чем разбиение У = Ц.(X,- П У). Тогда X = (Ц(Xj \ У)) U (|_|* У*)
является субаналитической стратификацией. То есть мы можем
считать, что J = J' u J", X \ Y = Ui€J, Xj, Y = Ц€/» Xj. Пусть Q —
наибольшее открытое подмножество в X, такое, что Q = Ц, (Xj П Q)
является ^-стратификацией (лемма 8.3.21(ii)). Тогда Q субаналитич-
но и содержит X \У. Следовательно, достаточно показать, что QClY
плотно в У. Но это следует из леммы 8..3.21(H). □
Следствие 8.3.22. Пусть А — замкнутое коническое
субаналитическое изотропное подмножество в Т*Х- Тогда существует
^-стратификация X = Uo Х<ч такая> что Л С Ue ^х Х-
Доказательство. Из предложения 8.3.10 следует существование
локально конечного покрытия X = (J;- Xj субаналитическими
множествами, такого, что А С Uj T^X- Применяя теорему 8.3.20, мы
находим ^-стратификацию X = LkXa, утончающую покрытие. Тогда
\Jj Т£ X С Uo TxaXi что и доказывает утверждение. О
Предложение 8.3.23. Пусть М — подмногообразие в X, а А —
коническое субаналитическое изотропное подмножество в Т*Х. Если
Т£Х Г)А = 0 и (A+TjfrX) П тТЧМ) с Т&Х, то In Г£Х нигде не
плотно на каждом слое расслоения TjfrX —» М.
Доказательство. Мы покажем, что ir~1(x0) П А нигде не плотно в
TjfrX для любого ж„бМ. Возьмем локальную систему координат
(х\ х") на X, такую, что М = {х' = 0}, и пусть ж„ — начало
координат. Мы будем использовать ассоциированные системы координат на
Т*Т£Х и ТТ^ХТ*Х, как в F.2.3). Из условия (A+T^X)mr-1(M) С
TjfrX следует, что
(8.3.6) {*' = 0} ПОт-х(А) С {? = 0}.

436 Гл.8. Конструктивные пучки
С другой стороны, Ст^х(Л) изотропно по теореме 8.3.17, и, следов»*
тельно, существует открытое плотное подмножество U в к~1(х0) Л
Т£Х, такое, что Ст^х(Л) хТ£Х U С Гж*_1(Го)пТ).х(Г^Х)
(предложение 8.3.10(ii)). Так как Гж*_1(Го)пТ.х(Г^Х) есть {х' = 0,ж" = 0}, то
Ст^х(Л) хт^х V содержится в {х' = (" = 0}, т. е. в нулевом сечении
расслоения Тт£хТ*Х. Это означает, что Л П U содержится в TjfoX в
окрестности U, a TjfrXП А пусто, из чего следует, что Hf\U = 0. О
Следствие 8.3.24. Пусть X = |Je Хв есть /*-страти$икация.
Тогда
*(rj?.^\U5^x)=Jf-
Введем понятие субаналитической фильтрации, сходное с
понятием стратификации, но в некоторых случаях более удобное.
Определение 8.3.25. (i) Убывающей фильтрацией на
топологическом пространстве X называется убывающая последовательность
{X}} его замкнутых подмножеств, такая, что Xj = X при j <C 0 и
Х} = 0 при j » 0.
(ii) Субаналитической фильтрацией на
вещественно-аналитическом многообразии X называется убывающая фильтрация {Xj},
такая, что Xj субаналитичны в X и Xj \ >fy+i —
вещественно-аналитические многообразия.
(Hi) Субаналитическая фильтрация называется ft-фильтрацией,
если пары (Xj \ Xj+i,Xk \ Xk+i) удовлетворяют ^-условию при всех
j и k,j > к.
Аналогично определяются возрастающие фильтрации.
Предложение 8.3.26. Пусть X = \JaXa — локально конечное
покрытие многообразия X замкнутыми субаналитическими
подмножествами. Тогда существует субаналитическая ц-фильтрация
{Xj}, такая, что для любого j каждая связная компонента
множества Xj \ Xj+i содержится в некотором Ха-
Доказательство. Мы можем считать, что X = |Je Ха является
^-стратификацией. Положим
Xj= [J Ха.
dim Ха $ - j
Тогда Xj \Xj+\ является объединением попарно непересекающихся
(—;)-мерных многообразий. Фильтрация {Xj} обладает требуемыми
свойствами. О

8-4- Ж-конструктивные пучки
437
Докажем существование функции Морса по отношению к
изотропному подмножеству. Этот результат понадобится нам в гл. 10.
Предложение 8.3.27. Пусть X является п-мерным замкнутым
подмногообразием в №.N, а Л — замкнутое коническое
субаналитическое изотропное подмножество в Т*Х. Пусть Л„ —
субаналитическое п-л«ерное подмногообразие, содержащееся в А, и dim(A \ Л„) < п.
Тогда существует точка х0 6 Ш", такая, что если ф(х) = \х —
х012, х € X, и Аф = {(х, <1ф(х)); х 6 X) С Т*Х, то
(8.3.7) АфГ) А С Л0 и пересечение трансверсально.
Доказательство. Обозначим через q проекцию X хЛк Т*ШК —» Т*Х.
Заменяя Х,А,Л0 n&RN, q~l Л, q~lA0, мы можем считать, что X = Ш.п.
Обозначим через (х;{) однородные симплектические координаты на
Т*Шп. Полагая д(х,£) = х — £/2, имеем Лф = д~1{х0). Пусть теперь /
является композицией:
/: Л >-* ТШп —► Шп.
я
Так как (Нт(Л \ Лв) ^ п — 1, то /(Л \ Л0) имеет меру 0. Положим
G = {р 6 Л0; Tpf не сюръективно}. По теореме Сарда (см. [Guillemin-
Pollack 1]) /(G) имеет меру 0. Следовательно, /(Л \ Л„) U /(G) ф Жп
и любая точка х0 6 №" \ (/(Л \ Л0) U /(G)) удовлетворяет требуемым
условиям. О
Функция Морса на стратифицированных пространствах описана в
работах [Lazzeri 1], [Pignogni 1] и в [Goresky-MacPherson 2].
8.4. Ж-конструктивные пучки
В этом разделе мы рассмотрим пучки, локально постоянные вдоль
субаналитических стратификации.
Предложение 8.4.1. Пусть X = UaeA Ха есть ц-стратификация,
a F E Ob(D*(X)). Следующие условия эквивалентны:
(i) для всех j £ Z и всех а 6 А пучки H^(F)\xa локально
постоянны;
(ii)SS(F)cUeeA^eX.
Доказательство. (ii)=^(i) Согласно следствию 6.4.5, SS(Fx„)
содержится в SS(F)+T$aX в окрестности Ха. Поэтому SS(Fxa)^Tr~1(Xa)

438 Гл.8. Конструктивные пучки
содержится в Т^Х, и по предложению 5.4.4 SS(F|x„) С Т£аХа.
Значит, по предложению 5.4.5 пучок H'(F)\Xa = H'(F\Xa) локально
постоянен.
(i)=»(ii) Так как задача локальна, то мы можем считать
стратификацию конечной. Пусть В — подмножество в А, такое, что
У = Uo€B Xa замкнуто в X. Предположим, что SS(F)njr-1(X \У) С
|_1в€А!Г£вХ. Пусть а„ Е В таково, что Ха<> открыто в У.
Положим У = Y \ Х„л. Рассуждая по индукции, достаточно показать,
что SS(F) П 7г-1(Х \ У) С UoeA тхаХ- То ^ть **ы можем считать,
что У = Хвф. Обозначим через j открытое вложение X \ Хвф *-► X.
Получаем выделенный треугольник
RJ<rlF^F—>FXa. -j.
По условию и предложению 5.4.4 SS(fx01) С ТХаХ. Тогда из
предложения 6.3.2 следует, что
ss(Rj,j-*F)тг-Ч*..) с (\JTLx)+TL.x
= \J(TXax+TL.x)
с (]тХах.
Это и требовалось доказать. П
Теорема 8.4.2. Пусть F E Ob(D*(X)). Следующие условия
эквивалентны:
(i) существует конечное покрытие X = (Jie/-^* субаналитиче-
скими подмножествами, такое, что для всех j Е % и всех
i E I пучки H*(F)\Xi локально постоянны;
(ii) SS(F) содержится в замкнутом коническом
субаналитическом изотропном подмножестве;
(Hi) SS(F) — замкнутое коническое субаналитическое лагранжево
подмножество.
Доказательство, (i) =>• (ii) следует из предложений 8.3.20, 8.4.1
и 8.3.10.
(ii)=»(i) вытекает из следствия 8.3.22 и предложения 8.4.1.
(ш)=Ф-(Н) очевидно.
(Н)=Ф-(ш) следует из теоремы инволютивности (теорема 6.5.4) и
предложения 8.3.13. П

8.4. ^-конструктивные пучки
439
Определение 8.4.3. Пусть F € Ob(D*(X)).
(i) Объект F называется слабо Ш-конструктивным (w-Ш-кон-
структивным), если он удовлетворяет условиям
теоремы 8.4.2.
(И) Если F является иьМ-конструктивным и Fx для каждого х е
X является совершенным комплексом, то F называется Ж-кон-
структивнъш.
Заметим, что если основное кольцо нётерово, то условие (п)
эквивалентно утверждению, что все группы когомологий Н> (Fx) конечно
порождены.
Обозначим через 011_ж_е(Х) (сооответственно 0^_е(Х)) полную
триангулированную подкатегорию в Dh(X), состоящую из ш-М-кон-
структивных (соответственно R-конструктивных) объектов.
Пучок F на X называется ш-М-конструктивным (соответственно
Ж-конструктивным), если он является таковым, когда
рассматривается как объект в D*(X). Обозначим через w-HL-<torui(X)
(соответственно М-<Еоп9(Х)) полную подкатегорию в ШоЪ(Ах), состоящую из
ю-М-конструктивных (соответственно R-конструктивных) пучков.
Пусть и: F —» G — морфизм пучков на X, причем F и G ш-Ж-кон-
структивны. Легко доказать, что Кег и, Im u и Coker u являются
и>-1Й-конструктивными. Кроме того, если 0 —» F' —» F —» F" —» 0 —
точная последовательность пучков на X и F' и F" ш-М-конструктив-
ны, то F также w-IR-конструктивен. Следовательно, ю-Ш-£опа(Х) —
абелева категория.
Если основное кольцо А нётерово, то все эти утверждения
справедливы и в категории R-Cone(X).
Пример 8.4.4. Пусть Z С X — локально замкнутое
субаналитическое подмножество. Тогда пучок Az М-конструктивен.
Теорема 8.4.5. (i) Естественный функтор Db(w-R-<Cons(X)) -*
D^_j_c(X) является эквивалентностью категорий.
(и) Пусть основное кольцо А нётерово. Тогда естественный
функтор Dk(JSL-<ton»(X)) —► D^_C(X) является эквивалентностью
категорий.
Доказательство, (i) Нам нужно доказать утверждения (а) и (Ь)
ниже.
(a) Для любого F e Ob(Dj,_j_c(X)) существует объект G £
Ob(D*(u>-JR-<Con*(X))), изоморфный F в 0Ь(Х).
(b) Для любых объектов F и G из Db(w-R-(tona(X)) имеет место
изоморфизм
(8.4.1) HomD4ti;_»_C()n,(A-))(F, G) ^ EomDb(X)(F, G).

440
Гл.8. Конструктивные пучки
Докажем (а). Выберем локально конечное покрытие
субаналитическими множествами X — (Jjgj Xj > такое, что Hk{F)\xi локально
постоянны для всех ifc и всех j. По предложению 8.2.5 существует
симплициальный комплекс S = E, Л) и гомеоморфизм *: | S | ^* X,
такие, что
(8.4.2) «'(М) субаналитичны для всех а € А
/ длл люо°го ff G Л существует j € J,
\ такое, что »(|<г|) С Xj.
Поэтому »_1(F) является объектом в D^_s _e(| S |) и по теореме 8.1.10
существует объект G € Ob(D*(ti>-<bms(S))), изоморфный i~l(F).
Тогда i,G является объектом в D*(u)-ffi-(Cons(X)), изоморфным F.
Докажем (Ь). Пусть F' и G' — два ограниченных комплекса
w-R-конструктивных пучков. Существуют симплициальный
комплекс S = (S,A) и гомеоморфизм i : |S| ^* X, удовлетворяющие
(8.4.2) и такие, что
. . Г i~1(F) и »-1(С) есть комплексы
\ w- S -конструктивных пучков.
Рассмотрим диаграмму
(8.4.5)
HomD»(«-«»iu(s))(*~1*"»*~1Gr') —► HomD»(u,_E-eoiif(x))(^".Gr')
Eomob(la\)(irxF',i~xG') —=— VlomoHX)(F\G)
Согласно теореме 8.1.10, u — изоморфизм. Следовательно,
отображение w сюръективно. Докажем, что w инъективно. Пусть <р €
Ното»(„;_Е_€ом(х))(.Р',С) и w(<p) = 0. Представим <р
квазиизоморфизмом G' ^* G' и морфизмом <р': F' —> G' . Заменяя <р на <р', мы
можем считать ip морфизмом из F' в G'. Тогда <р = v о »-1(у>), и если
w(<p) = 0, то »-1(у>) = 0, т. е. <р = 0.
(ii) Доказательство аналогично. D
Из теоремы 8.4.2 следует, что ю-К-конструктивность —
микролокальное свойство. Значит, мы можем применить всю технику,
развитую в гл. 5 и 6, для изучения функториальных свойств
конструктивных объектов.

8.4. Ж-конструктивные пучки 441
Предложение 8.4.6. (i) Пусть f:Y—*X — морфизм
многообразий.
(i)a Пусть F € ОЬ@*,_ж_е(Х)). Тогда /-1F и f'F принадлежат
(i)b Пусть G € Ob(D* _R_e(Y)), и пусть f является собственным
на supp(G). Тогда Rf.G € Ob(D£,_R_e(X)).
(ii) Пусть F и G принадлежат D^_R_C(X). Тогда G®L F
и KHom(G, F) принадлежат D„ *-e(X)i a /iAoro(G, F) €
ОЪ@1_л_е(ГХ)).
(iii) Пусть E -* X — векторное расслоение и F € Ob(D*+B?)).
Предположим, что F w-Ш-конструктивен. Тогда F ,
преобразование Фурье-Сато объекта F, является w-R-конструк-
тивным объектом.
Доказательство. Применим теорему 8.3.17 и предложение 8.3.11.
Тогда (i)e вытекает из следствия 6.4.4, (i)b — из предложения 5.4.4,
(ii) — из следствия 6.4.5 и следствия 6.4.3, a (iii) — из теоремы
5.5.5. D
Для дальнейшего рассмотрения R-конструктивных пучков нам
понадобится лемма. Сначала введем
В, = {х£Шп;\х\ < е},
В,,,, = {* бИ";^ < |*| < е},
S, = {xeW;\x\ = e}.
Обозначим через В, и 5,-,, замыкания В, и В,<}, соответственно.
Лемма 8.4.7. Пусть F € Ob(D*,_R_c(X)), а <р: X -> Ша —
вещественно-аналитическая функция. Предположим, что <р собственна
на supp(F). Тогда существуют естественные изоморфизмы
(i) ЯГ{ф-1(В,); F) =f Rr(<p-l{Bt); F) =f Rr(<p-l{0); F) при
0<е<1;
(ii) RTv.m(X; F) =f RT^pJX; F) =f Rre{<p-\Bt); F) при
0<e' <е<1;
(iii) Rr{<p-l{B0tt); F) =f Rr(<p-l(Bt..it.); F) =f RT(St,„; F) при
0 ^ e" < e"' < e' ^ e < 1.
Доказательство. Заменяя ip на |у>|2, мы можем считать, что п = 1.
Применим микролокальную теорему Бертини-Сарда (предложение
8.3.12) с Л = SS(F) и микролокальную лемму Морса (следствие
5.4.19). D

442
Гл.8. Конструктивные пучки
Отметим, что эта лемма применима в том частном случае, когда
X открыто в Шп, а <р(х) = х - х0 для некоторого х0 £ X.
Предложение 8.4.8. Пусть /: У —► X — морфизм многообразий, и
пусть G € ОЬ@£_с(У)). Предположим, что f собствен на supp(G).
Тогда Rf,G e ОЬ@^_с(Х)).
Доказательство. Из предложения 8.4.6 следует, что нам достаточно
доказать, что Rr(f~1(x);G\f-i^xj) есть совершенный комплекс для
каждой точки х € X. Представим / в виде композиции с помощью
отображения графика. Теперь мы можем считать / гладким и
положить X = {pt} (мы используем очевидное соображение, что если
S С У — подмногообразие, то G\s € 0Ь@^_СE))). Используя
замкнутое вложение У «-♦ Шп, мы можем считать, что У = К".
Рассуждение по индукции сводит задачу к случаю п = 1. Другими
словами, нужно доказать, что если У = R и G имеет компактный
носитель, то комплекс Rr(Y;G) совершенный. Так как SS(G) суба-
налитичен и изотропен, то существует конечная последовательность
ti,...,tff вещественных чисел, такая, что supp(G)c[<i,<jv] и Gr|jtw_,,<i[
постоянен при всех * ^ N. Рассматривая выделенные треугольники
G]-°°,*;[ —> G —" G[«i,+oo[ -^,
G]»il+0o[ —► Gjtii+oo[ —► G{ti} -^
и рассуждая по индукции, приходим к выводу, что достаточно
доказать, что комплекс flr(y;G]ji_li<1.[) совершенен. Так как этот
комплекс изоморфен комплексу Rr{t)(Y;G) для любого t €]<i-i,<;[, то
требуемый результат вытекает из рассмотрения выделенного
треугольника
Rr{ t] (У; G)^RrQt -e,<+e[; G) —
Rr(]t-e,t[U]t,t + e[;G)—►. D
Предложение 8.4.9. Пусть F € Ob(D*,_R_c(X)). Рассмотрим
следующие условия:
(i) F Ш-конструктивен;
(ii) F когомологически конструктивен;
(iii) Rr{x)(X;F) совершенен для любого х € X;
(iv) DF = R7iom(F,ux) Ш-конструктивен.

8.4- Ш-конструктивные пучки
. 443
Тогда (i)*>(ii)=>(iii)=>(iv). Если основное кольцо А является полем
или А = Ъ, то эти четыре условия эквивалентны.
Доказательство, (i)^(ii) Используем обозначения леммы 8.4.7.
Выбрав систему координат в окрестности точки х„, мы получим
выделенный треугольник @ < е «С 1)
RT{tt)(X;F) —* Rr(B,;F) —* Rr(B,\{x0};F) -^ .
Существуют изоморфизмы Rr(B,;F) ~ Fx<t,Rr(B, \ {х0};F) ~
Rr(St'-,F)(Q < е' < е). Так как комплекс Rr(S,i;F) совершенен,
то результат следует из предложения 8.4.8.
(ii)^(i) и (ii)=>(iii) очевидны.
(ii)^(iv) Используя те же рассуждения, что и в доказательстве
предложения 3.4.3, получаем
(Df% ~ ДНот(ЯГ{#}(Х; F),A).
Но комплекс (DFX), двойственный совершенному, сам совершенен.
(iv)=>(i). Если х € X, то Rr{t}(X;DF) = Rl£om(Fx,A). Так как
этот комплекс совершенен, то и комплекс Fx совершенен (см. упр.
1.31 для случая А = Ж). D
Предложение 8.4.10. (i) Пусть f:Y—*X — морфизм
многообразий и F € ОЬ@^_с(Л")). Тогда f~lF и f'F принадлежат 0£_С(У).
(ii) Пусть F и G принадлежат 0^_С(Х). Тогда G ®L F и
RHom(G, F) принадлежат D^_C(A').
Доказательство. Из предложения 8.4.6 нам известна
«^-конструктивность объектов /-1F и f'F.
(i) Так как (f~1F)y = ^/(y), то этот комплекс
совершенен (см. доказательство предложения 8.4.8). Имеем /'DjcDjcF =
f'RHom(DxF,ux) ^ RHom\f-lDxF,wY) ~ Dy(/-1DxF).
Следовательно, f'F R-конструктивен по предложению 8.4.9.
(ii) Очевидно, что G®LF R-конструктивен. Так как RHom(G, F) =
D(DF ®L G) (предложение 3.4.6), то этот объект R-конструктивен по
предложению 8.4.9. D
Следствие 8.4.11. Пусть F € ОЬ@^_с(Х)).
(i) Пусть К компактно и субаналитинно в X. Тогда
ЛГк(Х; F) и ЛГ(А"; F) — совершенные комплексы.
(ii) Пусть Q относительно компактно, открыто и
субаналитинно в X. Тогда ЛГ(Л; F) и ДГС(Л; F) — совершенные
комплексы.

444 Гл.8. Конструктивные пучки
Доказательство. Примените предложение 8.4.8 и 8.4.10 (а также
изоморфизмы упр. 2.19). □
Предложение 8.4.12. (i) Пусть т: Е —» Z — векторное расслоение
и F € Ob(D*+(£)). Предположим, что F R-конструктивен. Тогдс
FA — преобразование Фуръе-Camo объекта F — также Ш-конструк-
тивен.
(ii) Пусть F и G принадлежат 0^_С(Х). Тогда ftfiom(G,F) £
Ob(Di_eB-X)).
Доказательство, (i) Мы придерживаемся обозначений $3.7.
Тогда FA = Rp2,RTp(p^ iF). Обозначим через « нулевое вложение
Е* t-* E xz E*. Так как объект ЯГр{р^F) является коническим на
векторном расслоении Е xz Е* —► Е*, то FA ~ »-1 Я/XpjF)
(предложение 3.7.5). Тогда F R-конструктивен по предложению 8.4.10.
(ii) По предложению 8.4.10 достаточно доказать, что если М —
подмногообразие в X, то vm(F) R-конструктивен.
Из определения специализации vm(F) следует, что достаточно
доказать, что Rj,j~* F R-конструктивен, если j — открытое вложение
fl 4 X и fl = {« £ X;ip(x) > 0}, где <р — вещественная
функция, dip ф 0 на X. Но это следует из изоморфизма Rj,j~1F ~
RHom(An,F) и предложения 8.4.10. D
Рассмотрим теперь связи между функтором двойственности и
функтором цЛот.
Предложение 8.4.13. Пусть М — подмногообразие в X, a F €
Ob(Dg_e(X)). Тогда существуют естественные изоморфизмы
0) »мФх F) ~ ВТмх(ЫР)),
(и) ЦмФх F)~HT*,x(HM{F)y ®uMjx.
(Здесь «а» обозначает прямой образ при антиподальном
отображении на Т^Х.)
Доказательство. Мы используем обозначения $4.2. Из леммы 4.2.1
следует, что
"m(DxF) = s-* Rj.p-1 RHom(F,ux)
~ s~1 Rj,RHom(p!F, р'шх)
~ s~1R7iom(j\piF,LJ^M)
~ RHom(s'-0F,uTmx)
*Y)tmx{*>m(F)).

8.5. С-копструктивные пучки
445
Мы использовали R-конструктивность объекта G = KHam(j>p F,
шхм) (это следует из доказательства предложения 8.4.12) и
формулу «-1DG~D«fG (см. упр. 8.3).
(ii) Из (i), формулы C.7.9) и предложения 3.7.12 следует, что
/iM(DF) = (MDF))Ve®uf:i/M
*(D„„(F))Ve®uM/A-
~D„M(F)e®wM/A-. □
Предложение 8.4.14. Пусть F и G принадлежат 0^_е(Х). Тогда
существуют естественные изоморфизмы
(i) (tnom(F, G) ~ /iAom(DxG, DxF)a,
(ii) Dr« A' (/iAom(F, G)) ~ /iftom(G, F)®u>x-
Доказательство, (i) В действительности эта формула справедлива
при более слабом предположении когомологической
конструктивности F и G (см. упр. 4.4) и следует из предложения 3.4.6.
(ii) Из предложения 8.4.13 следует, что
Dr«x(/iAoro(F,G)) ~ Dr«x/i4(GH DF)
к MDjrxA-(GB DF))e ®w*7ixX
~/i4(DGHF)e®wx
~/i4(FBDG)®WA-
~ /iAom(G, F) ® wx. П
8.5. С-конструктивные пучки
В этом параграфе мы обсудим комплексно-аналитический аналог
теории. Так как комплексная'геометрия не является предметом
рассмотрения данной книги^ то детали доказательства будут опускаться.
Если X — комплексное многообразие, то через X* мы будем
обозначать вещественное подлежащее многообразие. Мы будем
ссылаться на § 11.1, в котором описана связь между (Т*Х)* и Т*(Х*). Бели
нет опасности путаницы, то мы будем писать X вместо X*.
Пусть S — локально замкнутое подмножество в X. Оно
называется С-аналитическим, если 3? и 2?\ S являются
комплексно-аналитическими подмножествами (мы отсылаем читателя к книге Картана
[Cartan 2], где изложены основы аналитической геометрии). В
частности, если S С-аналитично в X, то S субаналитично в X*.

446
Га.8. Конструктивные пучки
Подмножество Л С Т'Х называется К+-коническил, если оно
обладает соответствующим свойством в Т*(ХЛ), локально
Сх-коническим, если оно локально инвариантно относительно действия Сх,
т. е. А П S открыто в S для любой Сх-орбиты S, и С* -коническим,
если оно есть объединение Сх -орбит.
Если А — комплексно-аналитическое подмногообразие, то оно
инволютивно (соответственно лагранжево, соответственно
изотропно), если ТрА — комплексно-инволютивное (соответственно
лагранжево, соответственно изотропное) подмножество в Т*Х при
каждом р € А. Предположим, что А — замкнутое С-аналитическое
подмножество в Т'Х. Тогда Л является К+-коническим в том и
только в том случае, когда оно Сх -коническое. В этом случае мы будем
называть А коническим.
Заметим, что если Л — комплексно-аналитическое
подмногообразие и Лгев лафанжево, то А лафанжево (см. упр. 8.8).
Предложение 8.5.1. Пусть S и Y являются С-аналитическими
подмножествами в X. Тогда нормальный конус C(Y,S)
(принадлежащий ТХ* и построенный с использованием вещественной
структуры многообразия X) С-аналитичен в ТХ.
Доказательство см. в книге [Whitney 2].
Отметим, в частности, что C(Y, S) инвариантен по отношению к
действию Сх.
Предложение 8.5.2. Пусть П открыто в Т'Х, а А — локально
Сх -коническое инволютивное замкнутое подмножество в П.
Предположим, что А содержится в замкнутом Ш+-коническом
субаналитическом изотропном подмножестве в П. Тогда А — комплексно-
аналитическое множество.
Доказательство. Из предложения 8.3.13 следует, что А субана-
литично и лафанжево в П. Для любого р € A„s пространство
ТРА является вещественной лагранжевой плоскостью в ТРТ*Х.
Так как А локально Сх-коническое, то ТРА = (TPA)L содержит
С-Н(а), где а - комплексная 1-форма на Т*Х. Следовательно, о|л,.в
= 0, из чего вытекает, что <1а|л,.в = 0 и Ке(«1аIт,л+./гтт,л = О-
Это означает, что yfATpA С (ТРА)Х = ТРА. То есть ТРА —
комплексное линейное подпространство для любого р € Ang. Значит,
Лге8 — комплексное многообразие. Положим n = dimc^-
Тогда <Ишк(Л \ -dreg) ^ 2п — 1. Пусть S есть объединение Bп - 1)-
мерных связных компонент множества (Л \ Лп6)теЕ, а 5* —
наибольшее открытое подмножество в S, на котором (Ani,S) удовлетворяет
/i-условию. Так как S1 плотно в S, то <Ит(Л \ Лге8) \ S* ^ 2п - 2.

8.5. С-конструктивные пучки
447
Для любого р G S' выберем последовательность точек {рп} в Лгев,
сходящуюся к р и такую, что TPKAng сходится к г С 2],!Г*Х, где
г Э 3],5' (см. упр. 8.12). Так как ТРлЛпе является комплексным
линейным пространством, то таково и т. Следовательно,
(8.5.1) dimc(TpS* + n/^TTpS') = n для любого peS1.
Пусть 5(. — комплексификация множества S'. Вложение 5* «-► Т*Х
продолжается до отображения Sq —► Т*Х, и, уменьшая Sfc, если
необходимо, мы можем считать, что это отображение имеет постоянный
ранг (по (8.5.1)). Следовательно, его образ — это комплексное
подмногообразие в окрестности множества S'. Обозначим его через Z.
Те же рассуждения показывают, что любое комплексное
подмногообразие, содержащее S', содержит и Z, в окрестности множества 5*.
Отметим, что Z изотропно и, следовательно, лагранжево. Далее
доказательство состоит из трех этапов. Мы докажем, что
(a) 5* П Ang \ Z нигде не плотно в 5*;
(b) 5 = 0;
(c) Л комплексно-аналитическое.
(a) Будем рассуждать от противного. Пусть S' Л Ang \ Z содержит
непустое открытое подмножество из ff. To есть мы можем считать,
что ylreg \ Z Э S'. Так как ylreg \ Z субаналитично, то существует
собственное вещественно-аналитическое отображение f:W—* T*X,
такое, что f(W) = Anf\Z. Мы можем считать, что /-1 (ylreg \ Z)
открыто и плотно в W. Рассмотрим теперь комплексификацию Wq
и продолжим / до голоморфного отображения /: Wc —♦ Т*Х. Если
w € /-1(^reg \ Z), то Im^ Wc -> Tf(w)T*X) совпадает с Tf(w)(Ani),
мы получаем
(8.5.2) ранг / меньше или равен п.
Так как f(W) Э S', то существует точка w £ W, такая, что образ
TWW —► Гу(ш)Г*Х содержит Tj(w)S. Следовательно, в этой точке
ранг / равен пи/ имеет постоянный ранг в окрестности точки w.
Для достаточно малой окрестности U точки w f(U) есть n-мерное
комплексное подмногообразие, содержащее S, в окрестности точки
f(w). Следовательно, f(U) = Z в окрестности точки f(w) и 0 ф
f{U П /-1 (/lreg \ Z)) С Z. Противоречие.
(b) Предположим, что S ф 0. Тогда найдется р € S' \ (Ang \ Z).
В окрестности точки р имеет место включение Лпе С Z, и так как
Л = /lreg, то Л С Z. По лемме 8.3.14 А открыто в Z. Поэтому А = Z
в окрестности точки р, а это противоречит тому, что р £ 5* С Л \ /lreg.

448
Гл.8. Конструктивные пучки
(с) Из (Ь) следует, что <Итк(Л \ Лге8) < 2п - 2.
Применяя теорему Реммерта-Штейна [Remmert-Stein 1] о расширениях
комплексно-аналитических множеств, получаем, что Лпв
является комплексно-аналитическим. D
Дадим пример применения этого результата. Рассмотрим
замкнутое С-аналитическое подмножество S в X. Множество Т£Х
определено формулой (8.3.1). Локально на X множество S определяется
формулой {я € X;fj{x) = 0,j = 1,...,р], где /у — голоморфные
функции. Следовательно,
Т£Х = | (х; £ Xjdfj(x)J; А,- € С, /,(«) = 0 Vj
Из предложений 8.3.1 и 8.5.2 следует, что TgX — замкнутое
коническое С-аналитическое и С-лангражево подмножество в Т*Х.
Перенесем теперь на комплексный случай основные результаты
§8.3.
Предложение 8.5.3. Пусть А — замкнутое коническое
изотропное С-аналитическое подмножество в Т*Х. Тогда существует
конечное семейство {Xj} замкнутых С-аналитических
подмножеств в X, такое, что Л С UjTjf.X. Кроме того, для любого
С-аналитического подмножества Y С X существует
С-аналитическое многообразие У0 С X, открытое и плотное в Y, такое, что
ЛПх-^У^С^Х.
Доказательство аналогично доказательству предложения 8.3.10.
Предложение 8.5.4. Пусть X = Uje j ^i — локально конечное
покрытие многообразия X С-аналитическими подмножествами.
Тогда существует ц-стратификация X = (Jag л Ха, более тонкая, чем
это покрытие, и такая, что Ха для всех а £ А является
комплексным многообразием.
Доказательство использует предложения 8.5.3 и 8.5.1 и
аналогично доказательству теоремы 8.3.20.
Теперь сформулируем основной результат данного параграфа.
Теорема 8.5.5. Пусть F £ Ob(D*(X)). Следующие условия
эквивалентны:
(i) существует локально конечное покрытие X = UjeJ ^j
С-аналитическими подмножествами, такое, что для всех
j € J и всех k G Z пучки #*(F)|a,. локально постоянны;

8.5. С-конструктивные пучки
449
(ii) SS(F) содержится в замкнутом Сх -коническом
субаналитическом Ш-изотропном подмножестве множества А;
(iii) SS(F) — замкнутое коническое С-аналитическое лагранжево
подмножество;
(iv) Fe Ob(Dj,_R_c(X)) и SS(F) является Сх -коническим.
Доказательство. (i)=>(ii) Надо применить предложения 8.5.4 и 8.4.1.
(ii)=>(iii). Надо применить теорему инволютивности 6.5.4 и
предложение 8.5.2.
(iii)=>(iv) следует из предложения 8.5.2.
(ш)=>(п) следует из предложений 8.5.3, 8.5.4 и 8.4.1. □
Определение 8.5.6. Пусть F£ Ob(D*(X)).
(i) F называется слабо С-конструктивным
(w-C-конструктивным), если он удовлетворяет эквивалентным условиям
теоремы 8.5.5.
(ii) Бели / и>-С-конструктивен и Ft для каждого х € X является
совершенным комплексом, то F называется С-конструктив-
ним.
Обозначим через 0£,_С_С(Х) (соответственно Dj._c(X)) полную
триангулированную подкатегорию категории 0Ь(Х), состоящую
из ш-С-конструктивных (соответственно С-конструктивных)
объектов.
Пучок F на X называется ю-С-конструктивным (соответственно
С-конструктивным), если он является таковым, когда
рассматривается как объект из D*(X). Обозначим через u>-C-<£ona(X)
(соответственно C-<£or\s(X)) категорию таких пучков. Отметим, что естественный
морфизм Ob(w-C-<£ons(X)) —► D^-C-eC^O не обязательно является
эквивалентностью категорий. (Соответствующее доказательство не
проходит, так как теорема о триангуляции в комплексном случае не
верна.)
Предложение 8.5.7. (i) Пусть f:Y-*X — морфизм комплексных
многообразий.
(a) Пусть F € ОЬ@$._С(Х)). Тогда f~lF и f'F принадлежат
01-С-ЛУ).
(b) Пусть G € ОЬ@^_с(У)), и предположим, что f собствен на
supp(G). Тогда RUG € Ob(Dj,_c(X)).
(ii) Пусть F и G принадлежат 0$._е(Х). Тогда G ®L F и
RHom(G, F) принадлежат Dj._e(X) u /iftom(G, F) € ОЪ@ьс_е(Т*Х)).
15 - М. Касивара, П. Шапира

450 Гл.8. Конструктивные пучки
(iii) Пусть Е —» X — комплексное векторное расслоение и F €
ОЬ@^+(£)). Предположим, что F С-конструктивен. Тогда FA
также С-конструктивен.
Кроме того, если мы заменим в (i), (ii) и (iii) 0<;_е(-) на
D«;-C-c(")> "»<> все утверждения останутся справедливыми.
Доказательство. Из предложений 8.4.8, 8.4.10 и 8.4.12 следует, что
достаточно доказать утверждения для w-C-конструктивных
объектов.
(i) По следствию 6.4.4 SS(/_1F) С f*(SS(F)), и последнее
множество является Е+-коническим и изотропным. Так как SS(F)
является Сх-коническим, то по теореме 8.5.5 SS(/-1F) является
Сх-коническим, a f~lF является ш-С-конструктивным. Аналогично
доказывается утверждение для f F. Пункты (ii) и (iii) также
доказываются аналогично. D
Рассмотрим теперь несобственные прямые образы.
Пусть /: У —► X — морфизм комплексных многообразий, а <р: У —►
R — вещественно-аналитическая функция. Положим, как в E.4.13),
(8.5.3) Yt = {y€YMv)<t}, Yt = {y£Y;<p(y)^t).
Обозначим через jt (соответственно jt) вложение Yt c~* Y
(соответственно Yt «-► У) и положим ft = / о jt, ft=fo jt. Пусть t„ € Ш.
Предложение 8.5.8. Пусть G € ОЬ@{,_е(У)), и предположим,
что
(i) supp(S) Л Yt собствен над X для всех t;
(ii) для всех у 6 Y \ Yu
d9(y)tSS(G) + tf'(YxT*xy
Тогда утверждения (а), (а'), (Ь), (с), (с') и (d) предложения 5.4.17
справедливы и в данном случае и Rf,G и RfiG принадлежат
0ЬС.С(Х).
Доказательство. Так как SS(G) С*-коническое, то для у € У \ У«,
имеем
-dy>(y) $ SS(G) + 7'(y x T*x\ .
Следовательно, мы можем применить предложение 5.4.17 (i) и (ii).
Так как Л/.G =i Rf,(Gft) и Л/.G ~ fl/„(fl/>((G)), то по
предложению 8.4.8 эти объекты принадлежат 0^_е(Х). Так как их
микроносители содержатся в множестве /ir</'-1(SS(G)njr-1(yje)) и это

8.5. С-конструктивные пучки
451
множество субаналитично, изотропно и является Сх-коническим, то
утверждения предложения следуют из теоремы 8.5.5. D
Бели dimX = 1, то условия предложения 8.5.8 всегда выполнены
«локально». Точнее, имеет место.
Предложение 8.5.9. Пусть f: Y ~* X — морфизм комплексных
многообразии, dime X = I, и пусть G € ОЬ@£._С(У)). Пусть х0 € X,
и пусть К — компактное подмножество в f~1(x9). Тогда
существует открытая окрестность U (соответственно V) точки х0
(соответственно множества К), V С f~l(U), причем если
обозначить через fv.V-*U морфизм, индуцированный f, то
(i) Rfv>.G и Rv,G принадлежат 0^_e(U),
(ii) SS(Rfv<G)uSS(Rfv.G) С fvr'fvH^G)).
Кроме этого, если У открыто в С" и К = {0}, то в качестве V
можно взять открытый шар с центром в 0 радиуса е <С 1.
Доказательство. Представляя / в виде композиции У «-► У х X —♦ X,
мы можем считать, что У = Z х X, где Z — комплексное
многообразие, а / — проекция на X. Положим Z9 = Z х {«<>}(= /-1(*о)) и
обозначим через j вложение Z„ <-* У. Положим А = SS(G), и пусть
(8.5.4) A,=j*A (см. §6.2). °
Лемма 8.5.10. Имеем
Доказательство леммы 8.5.10. Выберем локальную систему
координат (z,x) на Z х X и обозначим через (*,«;£,£)
ассоциированную систему координат на T*(Z x X). Тогда (*<>', Со) принадлежит
*з'и1(Л + *Р(У *х Т*Х)) в том и только в том случае, когда
существует последовательность {(zn,XnXn,tn)} в А, такая, что
n
Следовательно, достаточно доказать, что
(8.5.5) №„-*,|—-0.
п
Предположим, что (8.5.5) не выполняется. По лемме о выборе кривой
(в голоморфном случае) найдем голоморфное отображение
0:{<€С;О<1<|< 1} -»А.
15*

452 Гл.8. Конструктивные пучки
При этом, полагая 0(t) = (z(t),x(t);C(<)i£@)i имеем при t —» О
f (*(*);C@) —(*-;<•),
U(«)~*"P. 1<«^г.
Так как Л изотропно, то
Поэтому G(t)-2gp- ограничено. Противоречие. D
Окончание доказательства предложения 8.5.9. Пусть <р: Z0 —» R —
вещественно-аналитическая функция. Предположим, что <р
положительна и собственна. Положим «0 = sup|y>| и, используя предложение
к
8.3.12, выберем вещественные числа «0 < «i < «2 так, чтобы
(8.5.6) &<p(z) $ Ло при ei ^ <p(z) ^ «2-
Положим Z*0 = {z G Z„;<p(z) < «}. Мы утверждаем, что для
достаточно малой открытой окрестности U С X точки х0 условия
предложения 8.5.8 выполнены на V = Z*2 х U, если <р рассматривать как
функцию на Z х X (положив <p(z, х) = <p(z)) и положить t0 = ц. Бели
это не так, то найдется последовательность {(z„,х„)} ъ Z х X, такая,
что
(zn,xn;d<p(zn),0) ZA + Zx Т*Х,
П
Мы можем считать, что zn —► г0. Тогда по лемме 8.5.10 (z0ld<p(z0))
п
€ Л„. Противоречие. П
Замечание 8.5.11. Предложение 8.5.9 перестает быть
справедливым, если отказаться от условия dim А' = 1. Мы отсылаем читателя
к работе [Henry-Merle-Sabbah 1], в которой проведено геометрическое
рассмотрение этой задачи при dimX > 1.
8.6. Функтор близкого цикла
и функтор исчезающего цикла
В гл. 4 мы определили функторы иу и /iy специализации и
микролокализации в вещественном случае. Бели X и У — комплексные
многообразия, то эти функторы мы определим по-другому.

8.6. Функтор близкого цикла и функтор исчезающего цикла 453
Пусть X — комплексное многообразие и /: X —♦ С — голоморфное
отображение. Положим У = /-1@) и обозначим через i вложение
Y^X.
Пусть С* — универсальное накрытие для С* = С\ {0} и р: С* —»
С — проекция (т. е. пусть С* = С и р(г) = ехрBку/^Лг)). Положим
X* = X xq С* и обозначим через р проекцию X* —♦ X, порожденную
р (т. е. p = idxcp):
X* ► &
(8.6.1) [р D [p
Y с > х ► С
< I
Отметим, что р\ — точный функтор.
Определение 8.6,1. Для F € Ob(D*(X)) положим
Vl(F) = i-lRp.p-\F)
и назовем ipj функтором близкого цикла.
Отметим, что if>/(F) — объект категории 0*(У) и зависит только
от F|x\v- Так как р-1 ~ р-, то из двойственности Пуанкаре-Вердье
следует, что
p.p-1F ~ KHom(p<Ajz., F)
~iJWom(/-V!^.,F).
Значит,
(8.6.2) fj(F) ~ i-1RHom(f-1p,Ai..,F).
Теперь действие 1 G Z на С* индуцирует автоморфизм Г на р<Ас. и,
следовательно, автоморфизм на rpj (F). Этот автоморфизм
называется монодромией объекта *p/(F) и будет обозначаться через М. Теперь
рассмотрим комплекс
(8.6.3) А-: 0 — p<At. —*АС—*0,
где Ас имеет степень 0, а дифференциал tr — это морфизм следа
Р\АС. ~ pip'Ac -+ Aq.

454 Гл.8. Конструктивные пучки
Определение 8.6.2. Для F € Ob(D*(X)) положим
^y(F) = rlKHom(f-lK, F)
и назовем ф/ функтором исчезающего цикла.
Действие Т на Р\А(.„ и тождественное преобразование на Ас
индуцируют автоморфизм комплекса К и, следовательно, автоморфизм
объекта Ф/iF). Этот автоморфизм называется монодромией объекта
ф/iF) и также будет обозначаться через М.
Рассмотрим точные последовательности комплексов
(представленных столбцами):
О ► О ► Р\АС. —-—* р<Ас, ► О
(8.6.4) [ jtr [
Ас ► Ас ► О
id
Р\АС. ► Р\АС. ► Ас
(8.6.5) | jtr
О ► 0 ► Ас —^ Ас ► О
Отметим, что точность верхней строки в (8.6.5) следует из того, что
для а € С*
(где А^ обозначает множество последовательностей {an}ngz, таких,
что ап = О для всех, за исключением конечного множества, целых
чисел п) и Г определено формулой {а„}п -* {an+i}n, а. tr: (p;.Ag.)a —»
(Ас )а определено формулой {ап }п —» 53„«п • Получаем два
выделенных треугольника в Оь(Ас):
Ас-+К-+р,Ас.[\]
+1
(8.6.6)
v ; * МсЛ+1] — к-+ а{0}-^
(отметим, что А{о] изоморфен комплексу Ас —♦ Ас в D*(Ac)),
которые дают нам выделенные треугольники в 0*(У):
(8.6.7) < +
\?Р-.ф/(Р)^ф/(Р)[-1]тГ.

8.6. Функтор близкого чикла и функтор исчезающего чикла 455
Отметим, что при таком построении треугольников и морфизмов
(8.6.8) {
сап о var = 1 — М в End(^/(F)),
varocan = 1 — М в End(^/(F)).
Рассмотрим связи между ф/ ,i/>/, vy и /iy в случае, когда У неособо.
Тогда d/ определяет функцию
(8.6.9)
/: ТуХ -» С.
Обозначим через « сечение расслоения ТуХ -* У, заданное /-1A), и
через в' — сечение расслоения ТуХ —♦ У, заданное d/.
Предложение 8.6.3. Пусть У неособо и F £ Ob(D*,_R_c(X)).
Выберем точку в р-1A) С С* и отождествим У с нулевым сечением
расслоения ТуХ. Тогда существуют изоморфизмы
(8.6.10)
\^(F)~^-Mf)).
Кроме того, если F € Ob(D*,_c_c(X)), то имеют место
изоморфизмы
(8.6.11)
I *,(F) с* s'-^y(F).
Отметим, что из этого предложения следует, что если F
w-C-конструктивен, то ij>j(F) и Ф/iF) также «ьОконструктивны и
(8.6.12)
supp(^ (F)) с {х е y-,d/(*) e SS(F)>.
Доказательство, (а) Предположим сначала, что X = С xY, а / —
проекция на первый сомножитель. Рассмотрим диаграмму
R+хСхУ с-
D
ЖхС xY , -■ С xY
П
(8.6.13) ж+ х р, х у р i 1 х с х у t fc -, с* х
h'
CxY = X

p
456 Гл.8. Конструктивные пучки
Здесь j' — включение, к' — включение, определенное формулой
b'(z,y) = @)г>у))'1 — отображение (t,z,y) —> (iz, у). Отображенил
т', ?г, т" порождены проекцией р: С" —*• С.
По определению J>y имеем
(8.6.14) *y(F)|JvA~*-1jy.A'~1F.
Выбор точки в р-1A) С С* позволяет нам отождествить как С* с С,
так и проекцию р: С* —► С с отображением р(г) = ехрBт\/—Гг).
Получаем декартов квадрат
1+хСхУ —^-> С* х X ~ С* х У
I- ° ' 1
R+хСхУ — ► X
где h"(t, z, у) = (* + A/2жу/=Т)\оЦ,у).
Так как Л' и Л" — гладкие отображения, то для F € Ob(D6(X))
h-xRp,p-lF ~ </»"-1p-1F
~<jt'-1V-1F.
Возвращаясь к диаграмме (8.6.13), получаем
k-lRj.h'-lRp.p-lF ~ k^Rj^y-^'^F
~ Jb-1».Rj>'-1V-1JF
~k~lir,ir-lRj,h'-lF.
Пусть G = Rj*h'~lF', и напомним, что F м-Я-конструктивен.
Мы хотим доказать, что
(8.6.15) <
(, — изоморфизм.
В самом деле, любая точка х £ С х Y имеет фундаментальную
систему открытых односвязных окрестностей U, таких, что Gt ~ Rr(U; G)
(так как G tu-R-конструктивен). Так как т_1(G) ~ U x Z, то
RT(U;v.irlG) к RT(w-l(U);w-lG)
~Rr(U;GI.

8,6, Функтор близкого чикла и функтор исчезающего цикла 457
Переходя к индуктивному пределу, получаем
(jt.*-1^ ~ (Gt)z.
Аналогично доказывается, что
«V'-1*-^), ~ ((Jb^G),)*,
и это дает нам (8.6.15). Объединяя (8.6.15) и (8.6.14), получаем
^(P^P-'F)\fvX с* <*"-1Jb-1jy./»'-1F
mW-\»Y{F)\tYX).
Применяя функтор Rft, получаем *p/(F) в левой и %I>j{vy{F)) в правой
части равенства соответственно (см. теорему 4.2.3).
Это доказывает существование первого изоморфизма в (8.6.10).
Для доказательства существования второго достаточно рассмотреть
коммутативную диаграмму выделенных треугольников
*/(*■)[-!] -^ ФЛП ► «"^ ►
I' I 1'
Ф/(МП)[-Ц -^ Ф}{МР)) > i-ЧМП) —^
Мы докажем (8.6.11), предполагая ш-Е-конструктивность F. В этом
случае p~luy{F) постоянен на слоях расслоения гор: С* xqTyX —*■ У.
Пусть ё — сечение отображения С* хс ТуХ —*■ У, такое, что pos = s.
Применяя следствие 2.7.7, получаем
*jivY(F)) = Rr.(p.p-W(F)\fYX)
~8-lp-lVy{F)
~ s-1uY(F).
Отождествляя Ту X с СхУ и ТуХ с СхУ, получаем, 4Tos'~1fty(F) ~
Rir,RHom(AuxY,PY(F)), так как /iy(F) С*-коничен. Здесь U =
{z G С; Re z > 0}.
Из теоремы 3.7.9 следует, что
*'" W) = RT.RHomiAZxy, uy{F))
*RT.RHom{AZxY,MF))>
где Z= {z€C;Im* = 0,Re*>0}.

458
Га.8. Конструктивные пучки
Теперь мы получаем коммутативную диаграмму
Ac\z ► Ас
1 1
Р\АС. ► Ас
используя включение C\Z «->■ С* над С. Так как комплекс Aq\z —*•
Ас изоморфен Ах, то достаточно показать, что
(8.6.16) Лт.KHomfaAf;. ВAy,uy(F)) ^
RT*KHom(Ac\z В Ay, ^(F)).
Так как uy(F) локально постоянен на слоях отображения (С \ Z) х
У —* У, то e-1i/y(F) ~ RT,KHom(Ac\z В .Ay, vy(F)). Это доказывает
(8.6.16), и мы получаем, что s'~1fiy(F) ~ 4>/(F).
В общем случае рассмотрим вложение X ъ С х X с помощью
отображения графика /: X «-♦ С х X —► С и заметим, что
я '
t/>j(F) ~ t/>t(9.F),
^(F) ~ Ms.F)
(см. упр. 8.15). П
Зная функтор исчезающего цикла, можно получить информацию
о SS(F).
Предложение 8.6.4. Пусть F € Ob(Dj,_c_e(X)), ар € Т*Х. Тогда
следующие два условия эквивалентны;
(i)p*SS(F);
(ii) существует открытая окрестность U точки р, такая, что
для любой точки х £ X и любой голоморфной функции f,
определенной в окрестности х и такой, что f(x) = 0 и d/(z) £ U,
имеет место равенство ф}{Р)„ = 0.
Доказательство. Из п. (i) предложения 8.6.3 и следствия 5.4.10
вытекает (ii). Обратно, предположим, что (ii) имеет место. Докажем,
что £/nSS(F) = 0. По теореме 8.5.5 А = SS(F) является комплексно-
аналитическим лагранясевым подмножеством в Т*Х. В общей точке
р1 £ А П U F изоморфно Ly (в категории Оь(Х;р')) для
некоторого L £ ОЬ@*(9Иод(.А))) и некоторого комплексного подмногообразия
У С X (предложение 6.6.1). Мы покажем, что L = 0. Если р' £ Т£Х,

Упражнения к гл. 8
459
тоУ = Хи£ = 0 (можно взять / = 0). В противном случае
выберем локальную систему координат (*i,..., г„) на А', такую, что
р' = @; dzi) и У = {zi = • • • = z, = 0}. Положим /(г) = г1 +E"=f+i*i •
Тогда ^(F)o ^ /i{/=o}(f V =i /i{/=o>(^y)P' =* M^y). s ^/|y(Ly)e =г
L[/ — n] (см. упр. 8.14 и 8.15), что и завершает доказательство. D
Упражнения к гл. 8
Упражнение 8.1. Пусть S = (S,A) — симплициальный комплекс.
Определим категорию Л, положив ОЬ(Д) = {<г; а € Л) и Нотп(<г, т) =
0, если <г <£ т, Hom(<r, г) = {pt}, если <г С т. Обозначим через Д(Л)
категорию ковариантных функторов из Д в ШоЬ(А), и пусть 6 —
это функтор из t0-<£oas(S) в Д(А), заданный формулой Рн{гн
F(U(<r))}. Докажите, что 6 — это эквивалентность категорий.
Упражнение 8.2. Пусть (t, х, у) — система координат на X = М3, и
пусть Z = {у7 - *V - х3 = 0},Z2 = {* = у = 0},Zi = Z \ Z7,Z0 =
X \ Z. Докажите, что X = Zo U Z\ \J Z? является субаналитической
стратификацией, но не /i-стратификацией.
Упражнение 8.3. Пусть f:Y—*X — морфизм многообразий, F 6
Ob(D4(X)),GeOb(D*(y)).
(i) Докажите изоморфизмы:
f'(DxF)~DY(rlF),
Rf.(DYF)~Dx(RfiG).
(ii) Пусть F R-конструктивен. Докажите, что
f-1(DxF)~DY(f,F).
(iii) Предположим, что G и fi/i(DyG) R-конструктивны.
Докажите изоморфизм
Rf,(DYG) ~ Dx(Rf.G)
и докажите R-конструктивность Rf,G.
Упражнение 8.4. В условиях предложения 5.4.17 докажите, что
если объект G R-конструктивен, то Rf,G (соответственно RtfG)
также К-конструктивен.

460
Гл.8. Конструктивные пучки
Упражнение 8.5. Пусть X = \Ja Xa есть /i-стратификация.
Положим Л = \Ja Т$аХ. Пусть F £ ОЬ@*(Л")). Докажите, что SS(F) С Л
в том и только в том случае, когда SS(H*(F)) С Л для всех j.
Упражнение 8.6. Пусть B — подмножество в Т*Х. Определим
полную подкатегорию 0iU)_^_e(X;i2) (соответственно 0^_е(Х;П))
категории D*(A"; i2) как категорию, состоящую из объектов F,
удовлетворяющих следующему условию: для любой точки р £ Q существует
F' £ ОЪ@1_л_е(Х)) (соответственно F' £ ОЪ@^_е(Х))), такой, что
F и F' изоморфны в D6(A";p).
(i) Докажите, что F из 0Ь(Х;П) принадлежит 0^_к_с(Х;Л) в
том и только в том случае, когда существует открытая
окрестность U множества (I, такая, что SS(F)f~\U содержится в
замкнутом субаналитическом изотропном подмножестве в U ■
(ii) В условиях предложения 6.3.3 докажите, что если F К-кон-
структивен, то Rqv.F и Rq\,F принадлежит 0^_е(Х; П).
Упражнение 8.7. В условиях теоремы 7.2.1 предположим, что К
R-конструктивен. Докажите, что Фк индуцирует эквивалентность
категорий Dg_c(Y; #у) ~ 0^е(Х;Пх)- (Указание. Используйте
упр. 8.6.)
Упражнение 8.8. Пусть X — комплексное многообразие и А —
замкнутое коническое С-аналитическое подмножество в Т*Х.
Предположим, что ylreg инволютивно. Докажите, что Л инволютивно в
Т*ХЛ (в смысле определения 6.5.1). (Указание. Используйте
результат Касивары-Монтейро-Фернандеса [Kashiwara-Monteiro-Fernandes
!])•
Упражнение 8.9. Пусть S = (S, Л) — конечномерный симплициаль-
ный комплекс (т. е. комплекс, удовлетворяющий условию (8.1.16)), и
пусть X = | S | обозначает соответствующее топологическое
пространство. Положим
Xt = {х £ Х;х £ \tr\ для некоторого <г £ Л с #<г ^ — Jb 4- 1}.
(i) Докажите, что Я^^1+1 (их) = 0 при j ф к.
(ii) Используя упражнение 2.21, докажите, что их изоморфен
комплексу {Нх \Х (Wjf)} в D*(A'), и опишите этот комплекс.

Упражнения к гл. 8
461
Упражнение 8.10. Пусть X — комплексное многообразие, S —
замкнутое С-аналитическое подмножество, U = X\S и j — открытое
вложение U <^> X. Пусть F £ Ob(Dj._c(£/)) и SS(F) С TJU.
Докажите, что Rj\F и Rj,F принадлежат Oq_c(X).
Упражнение 8.11. Пусть X = Ц, Ха — субаналитическая
стратификация вещественно-аналитического многообразия X. Докажите,
что если А = [Je ТхаХ замкнуто, то Л инволютивно (в смысле
определения 6.5.1).
Упражнение 8.12. Пусть N и М — субаналитические
подмногообразия bRnuNCM\M. Рассмотрим следующие условия (а) и (Ь)
(формулировка восходит к Уитни).
(a) Для любой последовательности {х„} точек из М, сходящейся
к х £ N, если {ТХщМ} сходится к плоскости т, то TtN С т.
(b) Для любой последовательности {«„} точек из М и любой
последовательности {уп\ точек из N, сходящихся к х £ N, если
последовательность прямых {Ж(х„,уп)} сходится к / и
последовательность {ТХщМ} сходится к т, то I Ст.
Докажите, что из (Ь) следует (а) и что из /i-условия следует (Ь).
(Указание. Используйте лемму о выборе кривой.)
Упражнение 8.13. Пусть / — голоморфная функция на
комплексном многообразии X, и пусть F £ Ob(Dj,_c_c(X)). Докажите
существование канонического изоморфизма
Упражнение 8.14. Пусть X = С,/(я) = Yljxh и ПУСТЬ М £
ОЪОь(9ПоЪ(А))). Докажите изоморфизм ф/{Мх) г; М{о}[—п].
Упражнение 8.15. Пусть / : У —► X — морфизм комплексных
многообразий, a t: X —► С — голоморфная функция на X. Пусть
G £ Ob(Dj,_c_c(Y)), и предположим, что / собствен на supp(G).
Обозначим через /0 ограничение / на {t о / = 0}. Докажите, что
t/>t(Rf*G) ~ Rf0.tl>tof(G),
^(Д/.G) ~ Я/..*./(С).

462
Гл.8. Конструктивные пучки
Замечания
Истоки теории субаналитических множеств восходят к работам,
Лоясевича [Lojasiewicz 1,2], а разрабатываться она начала Габриэло-,
вым [1] и Хиронакой [Hironaka 1,2]. Основные результаты
принадлежат Хиронаке [loc.cit], но и другие ученые внесли важный вклад, в
частности, см. [Hardt 1,2], [Tamm 1] и [Teissier 1]. Первоначально
технически очень трудная, эта теория затем была существенно упрощена
(см., например, [Denkowska-Lojasiewicz-Stacica 1]): в небольшой
статье [Bierstone-Milman 1] содержатся все основные теоремы с полными
доказательствами.
Понятие стратифицированного пространства впервые появилось в
работе Картана и Шевал'ле [Cartan-Chevalley 1]. Уитни [Whitney 1,2]
ввел условия регулярности на страты (знаменитые «условия (а) и
(Ь) Уитни») и доказал, что для любой заданной стратификации су-.
шествует более тонкая стратификация, удовлетворяющая этим
условиям (аналог теоремы 8.3.20). Существуют различные условия
регулярности вещественных стратификации (см. обзор [Trotman 1]). В
частности, следует отметить понятие «^стратификации,
принадлежащее Вердье [Verdier 3] A976 г.), которое является вариантом условия,
принадлежащего Kyo [Kuo 1]. В этой статье Вердье доказал, что,
во-первых, w-условие сильнее условий Уитни и, во-вторых,
«^стратификации всегда существуют. Последнее утверждение эквивалентно
теореме 8.3.20, так как в [Trotman 2] доказана эквивалентность
понятий w- и /i-стратификаций. Отметим также работу [Delort 1], где
дано обобщение операции +.
В комплексном относительном случае Лу-условие Тома
является эффективным средством изучения прямых образов (см.
[Henry-Merle-Sabbah 1]), а Хиронака [Hironaka 3] доказал, что если
пространство образа имеет размерность, большую единицы, то это
условие удовлетворяется «локально», что, пс-существу,
эквивалентно предложению 8.5.9.
Микролокальное изучение стратификации (т. е. рассмотрение
стратификации с использованием лагранжевых подмножеств, что
теперь называется «конормальной геометрией») было начато Касива-
рой [Kashiwara 3,5] и продолжено в работах [Kashiwara-Schapira 1,3].
Конструктивные пучки ввел Гротендик (в [SGA 4], раздел IX,
принадлежащий Артину), он же изучил их функториальные свойства (в
контексте этальных когомологий). Интерес к этой теории
возродился после открытия Касиварой [Kashiwara 3] связи конструктивных
пучков с D-модулями (см. гл. 11.3), а также после создания
теории когомологий пересечений (ГМ-когомологий) Горески и Макфер-
. соном [Goresky-MacPherson 1] и теории превратных пучков Габбером

Замечания
463
и Бейлинсоном-Берштейном-Делинем [Beilinson-Bernstein-Deligne 1]
(см. обзор Брилински [Brylinski 1]).
Теория функторов близкого и исчезающего циклов (§ 8.6)
принадлежит Гротендику (см. [SGA 7], раздел 1) и Делиню [Deligne2].
Своими истоками она имеет работы Лефшеца и Пикара по исчезающим
циклам и монодромии.
В предложении 8.6.4 доказано, что микроноситель С-конструкти-
вного пучка на комплексном многообразии может быть описан с
помощью функтора исчезающего цикла. Как заметил Брилински рос.
cit.], это утверждение в неявной форме содержится в работе Касива-
ры [Kashiwara 5].
Все результаты § 8.1, а также теорема 8.4.5 содержатся в работе Ка-
сивары [Kashiwara 6]. Большинство результатов $8.3, 8.4 и 8.5
впервые были получены аналогичными методами в [Kashiwara-Schapira
3], но, конечно, операции над конструктивными пучками были
известны задолго до этого (см. [Verdier 4]). Однако определение 8.3.19
и предложение 8.4.14 — это новые результаты, как и доказательство
предложения 8.4.1, не использующее теорему изотопии Тома-Мазера.

Глава 9
Характеристические циклы
На вещественно-аналитическом многообразии X с помощью
дуализирующего комплекса их мы определим субаналитические цепи и
субаналитические циклы. Затем введем понятие пересечения двух
циклов.
Для R-конструктивного объекта F из 0Ь(Х) мы построим
характеристический цикл CC(F) объекта F как естественный образ мор-
физма \Ар € Hom(F,F) в HgS,FJT*X',ir~lux)- Это и есть
«лагранжиан». Бели, например, М является замкнутым подмногообразием
в X, а V € ОЬ@*(ЯИо?>'D))) (основное кольцо — это поле Jb
характеристики 0), то CC[Vm) = т[ТЦХ], где [Т^Х] — лагранжев
цикл, соответствующий конормальному расслоению Т£,Х к М в X,
а га = x{V) = £у(—1У dim№(K). Мы изучим функториальные
свойства характеристических циклов, связанные с
нехарактеристическими прямыми и собственными прямыми образами. Мы докажем,
что если F имеет компактный носитель, то характеристика Эйлера-
Пуанкаре x(X;F) = £у(—iy dim#'(X;F) Р*вна индексу
пересечения цикла CC(F) и цикла, соответствующего нулевому сечению
расслоения Т'Х. Мы также выведем формулу локальной
характеристики Эйлера-Пуанкаре. Эти характеристики можно найти с помощью
«функции Морса относительно SS(F)».
Затем мы выведем формулу— аналог «формулы Лефшеца для
числа неподвижных точек». Если /— эндоморфизм многообразия
X и задан морфизм <р € Hom(/-lF,F), то можно определить
характеристический класс С(<р) € Н°(Х;их), степень которого
определяет след tt(<p) отображения Г(Х;<р) € Нот(ДГ(Х; F),Rr{X;F))
(предполагается, что F имеет компактный носитель). Если / имеет
конечное число неподвижных точек и трансверсален единице, то мы
покажем, как найти Ьт(<р) по локальной формуле.
Наконец, мы рассмотрим группу Гротендика категории D^_C(X).
Мы докажем, что эта группа изоморфна группе лагранжевых циклов
на Т*Х (изоморфизм определен отображением F *-+ CC(F)), а
также изоморфна группе IR-конструктивных функций на X (изоморфизм
определен отображением F *-+ х(^)(х) = х(^»))* Это задает новое
исчисление на алгебре конструктивных функций на X.
Мы придерживаемся соглашений 8.0. В $ 9.1, в § 9.4 и далее основ-

9.1. Формула характеристики Эйлера-Пуанкаре 465
ным кольцом будет поле характеристики 0, которое мы будем
обозначать через Jb.
Замечание 9.0. Коммутативность диаграмм в § 9.1 будет тщательно
проверяться. Эта же схема проверки работает в аналогичных
случаях и далее. Иногда мы будем оставлять проверку читателю.
Контроль знаков при диаграммных вычислениях очень трудоемок
(особенно в данной главе). Поэтому мы не будем различать
коммутативных и антикоммутативных диаграмм. Это не влияет на понимание
смысла вычислений. В приложениях правильный знак нетрудно
угадать, рассматривая простые примеры.
9.1. Формула характеристики Эйлера-Пуанкаре
В этом разделе основным кольцом будет поле Jb характеристики 0.
Если V € ОЬ@*(9ИоУ (Jb))), то
(9.1.1) Х(К) = £(-1)>сШпЯ'"(К).
i
Пусть А' — вещественно-аналитическое многообразие, F
принадлежит 0{_е(Х) их£Х.
Определение 9.1.1. Положим
X(F)(X)=X(FX),
Xe(F)(x) = X(Rrit}(X;F)) = *(D(F))(*).
Если Rr(X;F) (соответственно Rre(X;F)) принадлежит
Оь(тоЪ*(к)), то положим
X(X;F) = x(Rr(X;F))
(соответственно Хе( A"; F) = х( ДГе(Х; F))).
Целое число х(Х'> F) называется характеристикой или индексом
Эйлера-Пуанкаре объекта F, а функция x{F)(x) — локальной
характеристикой или локальным индексом Эйлера-Пуанкаре объекта F.
В этом разделе мы рассмотрим методы вычисления этих
характеристик.
Единица из Hom(F, F) = Hom(Jbx, KHom(F, F)) определяет мор-
физм
(9.1.2)
kx — KHom(F, F).

466
Га.9. Характеристические циклы
Если определить дуализирующий функтор Djc как КНот(,ых), то
мы получаем морфизм
(9.1.3) tix:F®I>xF-^ux.
Мы назовем trjc морфизмом следа. Пусть 8Х : X —» X х X —
диагональное вложение (если нет опасности путаницы, то мы будем
писать 6 вместо 6х и, аналогично, D вместо Djc и т. д.). Существует
единственный морфизм
(9.1.4) 6х-+6-х,
такой, что коммутативна следующая диаграмма:
6~16,# ► S~l —^— 6'6,ё~1
(9.1.5)
6'-
I1
■* 6'6t6~l
Значит, получаем цепочку морфизмов
Jbx — RHom(F, F) ~ 6'(F H DF) — S~l(F В DF) ~ F ® DF — wx.
trx
Определение 9.1.2. Образ элемента 1 € Г(Х;кх) в #eUpp(F)№
wjc) (см. выше) называется характеристическим классом
объекта F и обозначается через C(F). Бели 5 — замкнутое
подмножество и 5 Э supp(F), то мы используем то же обозначение C(F)
для образа характеристического класса объекта F при морфизме
Hlpp{F){X;u,x)^ H%{X;UX).
Если X = {pt}, то F € ОЬ@*(ЯИоэ'(А:))) и C(F) = *(F) (см. упр.
1.32).
Рассмотрим прямые образы характеристических классов.
Пусть f:Y-*X — морфизм многообразий, a G € ОЬ@^_С(У)), и
предположим, что / является собственным на supp(G). Рассмотрим
диаграмму
Rf.ky—* RftRHom(G,G) ^- Rf.S^G^DyG) —*
(9.1.6)
kx
■ KHom(RJ,G, Rj,G) £- «!x(fl/.G El Dx RJ\G) -
—► RJ<(G ® DYG) —► RJ\oiY
>(R),G)®{DXR1<G)—* шх

UU^G) ^ ,.****■*.*■"*> A /.*(G-DkG> - /^(GBDyG) * *<G-DrG>
/.i^g./W- f**«Arbw**r) -ММЫЪ^М™™ /!(/.1/!(GBDyG)
/.«УЛ«-И^С,/.,СН.у) ^/.«y/I(/1GHDyG)^/.rV1!(GBDyG) l[
f.^AxUf^r) - /.W-DrO) -./Wg^GJ^/.^/.G^DvG)
l| 'I <b) I
it T
^(/,СЯ /.DyG) - «^(ЛОН /.DyG) .=. /'G® /.DyG
Jt «T 'T
1ЛО,ЛОИ«х) - «x(/!GSDx/!G)-*x1(/!GSDx/!G)^ *G*Dz/iG
■Hom(fiG,f<G) .=_ ^««"(^ н ■
Диаграмма (9.1.8)

468
Гл.9. Характеристические циклы
Предложение 9.1.3. Диаграмма (9.1.6) коммутативна.
Доказательство. Для кратости мы будем опускать обозначение «Я*
производного функтора.
(i) Квадрат 1, очевидно, коммутативен.
(И) Рассмотрим коммутативную диаграмму отображений
Ух У
h
*- XxY
(9.1.7)
Sy
■**- ХхХ
□ Ьх
в которой квадрат декартов. Тогда квадраты 2 и 3 в (9-1.6) могут
быть представлены, как на диаграмме (9.1.8) на с. 467.
Коммутативность всех квадратов в (9.1.8) легко проверяется, за
исключением (а) и (Ь). Их коммутативность следует из лемм 9.1.4 и
9.1.5 соответственно.
Лемма 9.1.4. Пусть Z -?-* У -*-* X — цепочка морфизмом
локально компактных пространств конечной с-мягкой размерности. По-
ложим h = / о д. Предположим, что g и h являются замкнутыми
вложениями. Тогда если G € ОЬ@*(У)), то следующая диаграмма
коммутативна:
(9.1.9)
9G
I
I<
h'f,G
„-i/
g~lG
i
-4-4.G
I'
h~lfi.G
Доказательство леммы 9.1.4. Так как функтор /»; =/»»: D*(Z) —►
0Ь(Х) является строгим, то достаточно доказать коммутативность
диаграммы, полученной из (9.1.9) применением функтора /»i(~ /»»).
Полученная таким образом диаграмма вкладывается в диаграмму
(9.1.10) (см. с. 469). Коммутативность диаграммы (9.1.10) следует из
того, что композиции
f\G - fi.ffi.G - f,G и UG - /./-7.G - UG
равны единице.
D

h,g'G
f.g'.g'G ► .f'G
f.G
t.g.g~lG
h.g~lG
bgf'f'G > f'.g'.g f f'G
f'f'f'.G fJ~4.G
(c)
f.g.g~lrlf.G Л- h.g-lrlf.G
hrtffrG
f'G
f.G
-* h.h-4.G
Диаграмма (9.1.10)

470 Гл.9. Характеристические циклы
Лемма 9.1.5. Рассмотрим следующий декартов квадрат локально
компактных пространств конечной с-мягкой размерности, в
котором отображение g есть замкнутое вложение:
У г я' , У
(9.1.11) J j> D J j
X' г я , X
Тогда если G € Ob(D*(Y)), то диаграмма
/>УС > fig'-lg
(9.1.12) i | |
gf*G > <r7.G
коммутативна.
Доказательство леммы 9.1.5. Достаточно доказать коммутативность
диаграммы, полученной из (9.1.12) применением строгого функтора
<7: — <7ф. Такая диаграмма вкладывается в следующую
коммутативную диаграмму, что и завершает доказательство.
Окончание доказательства предложения 9.1.3. Остается доказать
коммутативность квадрата 4 в (9.1.6). Это вытекает из следующей
леммы. D
Лемма 9.1.6. Пусть f : Y —► X — морфизм локально
компактных пространств конечной с-мягкой размерности, и пусть F €

9.2. Субаналитические цепи и субаналитические циклы 471
ОЬ@»(Д")), aGZ ОЬ@»(У)). Тогда диаграмма
f,(G ® Hom(G, fF))«— f,G ® /. Hom(G, f'F) —» f>G ® Hom(f,G, F)
fif-F > F
коммутативна.
Доказательство тривиально.
Из предложения 9.1.3 получаем такой результат:
Теорема 9.1.7. Пусть f:Y —► X — морфизм многообразий, G €
ОЬ@£_с(У)). Предположим, что f собствен на supp(<7). Тогда
C(Rf*G) есть образ класса C(G) приморфизме Н° ,gJY;wy) —►
^/(supP(G))(^;w*)-
В частности, если F £ ОЪ@^_е(Х)) имеет компактный носитель,
то, рассматривая морфизм а*: X —► {pt}, получаем
(9.1.14) X(X;F)= I C{F),
Jx
где fx — отображение Н°(Х;их) —► ib, определенное в § 3.3. В
следующих параграфах мы разовьем полученные здесь результаты в двух
направлениях: с одной стороны, мы построим микролокальный
аналог класса C(F), а с другой — обобщим формулу характеристики
Эйлера-Пуанкаре до формулы следа. Для этого нам понадобится
подготовительный материал.
9.2. Субаналитические цепи
и субаналитические циклы
Сингулярные гомологии определяются через сингулярные цепи. В
этой книге мы ограничиваемся субаналитическим случаем. Пусть
X — многообразие (напомним, что все многообразия и морфизмы
считаются вещественно-аналитическими). Для целого р через CS'p(X)
обозначим Л-модуль, порожденный символами [S], где S пробегает
семейство субаналитических р-мерных ориентированных
подмногообразий в X, причем должны выполняться следующие соотношения

472 Гл.9. Характеристические циклы
(9.2.1)-(9.2.3):
(9.2.1) [Si U 5г] = [Si] + [5г], если Si и 5г не пересекаются,
{[S] = [S'], если S' — открытое плотное в S
субаналитическое подмножество с
индуцированной ориентацией,
/ [5°] = -[S], если Sa равно S как множество,
\ но ориентация противоположна.
Обозначим через CS^ (или через CSP, если нет опасности путаницы)
пучок на X, ассоциированный с предпучком U *-* CS'p(U). Если F —
пучок на X, то положим
CSP(F) = CSP ® F.
Определение 9.2.1. Пучок CSP(F) называется пучком
субаналитических р-цепей со значениями в F.
Для того чтобы описать пучок CSP(F), нам понадобятся некоторые
дополнительные результаты о дуализирующем комплексе ы\ ■
Если S С X — субаналитическое подмножество, то через j§
обозначим вложение S «-* X. Если dim(S) ^ р, то SngiP будет обозначать
объединение р-мерных связных компонент множества 5reg. Если S
локально замкнуто, то положим
(9.2.4) dS = 'g\S.
Это замкнутое множество.
Предложение 9.2.2. Пусть S — замкнутое субаналитическое
подмножество размерности ^ р.
(i) Для любого пучка F на S имеем H>(S;F) = H>(S,F) = 0 при
j>p.
(ii) Hj(ws) = 0 при j < -p.
(Hi) H-»(S;ws) a H0(S;H-»(us)) ~ Eom(HP(S;As), A).
Доказательство, (i) Выберем фильтрацию S = Sp Э ■■• Э So, где
Sk — замкнутые субаналитические подмножества в 5, a Sk \Sk-i
гладки и имеют размерность к. Тогда
&E; FSt\s^,) = lim W(Sk \ S*_i; Fv),
и

9.2. Субаналитические цепи и субаналитические циклы 473
где U пробегает семейство открытых подмножеств в Sk\Sk-i,
таких, что U П Sk-i = 0- Из предложения 3.2.2 следует, что
H>(S;Fsh\Sb-i) = 0 при j > к. Теперь, рассматривая длинную
точную последовательность
..■-+W(S;Fs\s,-i)^Hi(S;F)^Hi(S-Fs,_1)^...,
будем проводить индукцию по р. Так как H^S^Fs,^) =
#*(Sp_i;F,S,_i). то все члены с j > p равны нулю и мы
получаем, что Hi(S;F) = 0 при j > р. Обращение в нуль H}.{S;F) при
j > р следует из равенства H>(S; F) = limH'(S; Fu), где U пробегает
и
семейство относительно компактных открытых подмножеств в S.
(ii) и (iii). Из C.1.8) получаем
Rr(S;ws) a Rnom(Rrc{S;As),A).
Так как комплекс Rrc(S;As) сосредоточен в степенях < р,
то Rr(S;ws) сосредоточен в степенях ^ — р и H~p(Rr(S;us)) a
H-P(RKom(Rre(S;As);A)) ~ Hom(#P(S; AS),A). D
Предложение 9.2.3. Пусть S — замкнутое субаналитическое
подмножество в X размерности ^ р, a S0 — локально замкнутое
субаналитическое подмножество в S. Тогда
(i) js..H-P(Us.) * HlOs.H-P(Us)),
(ii) если S„ замкнуто, a dimE \ S„) < р, то js„*H~p(ws,,) —
3s.H-'{ws),
(iii) если S„ открыто и плотно в Sns,p, то существует точная
последовательность
О -► js*H-p(us) -► Js.*o*s. -* Js\Ss..H~p+1("s\s.)-
Доказательство, (i) Имеем Rjs.t^s, — R^s.i^s)- Так как w$, и ws
сосредоточены в степенях ^ —р, то (i) доказано.
(ii) следует из того, что w$|s\s. сосредоточен в степенях > —р.
(iii) Рассмотрим выделенный треугольник
Rrs\sAws) —►<•><? —► Pjs.*Js*ws -^ ■
Он порождает длинную последовательность (заметим, что ws\s, —
Rrs\s.(us) и us\s. =г ozs,[-p])
H-p(uSSSo) - Н~'[ша) -» Js..o*s. - ff-'+1(ws\s.)-

474
Гл.9. Характеристические циклы
Так как dimE \ 50) < р, то первый член обращается в нуль. Щ
Вернемся к изучению пучков CSp. Для неотрицательного целогЛ
р пусть LCLSp (X) обозначает множество локально замкнутых суб*4
налитических подмножеств в X размерности < р. Введем частичный*
порядок < на LCLSP(X) следующим образом: Si < 5г для Si и S? и*
LCLSP(X) в том и только в том случае, когда существует субанали-,
тическое подмножество S С Si П 5г, такое, что
( S открыто в Si и замкнуто в Si
( ' { и dim(Si\S)<p.
Отметим, что LCLSP(X) — это направленное упорядоченное
множество, т. е. для любых Si и 5г из LCLSP(X) найдется S, такое, что;
Si < S и 52 < S. В самом деле, положим S = (Si \952) U E2 \ dSi).
Отметим, что S < SngiP для любого S € LCLSP{X). Если Si < 5г, то
имеет место канонический морфизм
(9.2.6) }Sl*H-'{uSi) - 3s,.H-P(wS3).
Этот морфизм является композицией
где S удовлетворяет (9.2.5). Это построение не зависит от выбора S.
В самом деле, если S' — какое-либо другое множество,
удовлетворяющее (9.2.5), то 5" = S П S' также удовлетворяет (9.2.5), а морфизм
js*H~p(u>s) —► Js"*H~p(ws") корректно определен и является
изоморфизмом (так как S" замкнуто и открыто в 5 и dimE \ S") < р).
Лемма 9.2.4. Существуют изоморфизмы
CSp ~ lim jstH~p(b)s)-timJs'*<Ks',
S£LCLS,(X) S'
где S' пробегает семейство р-мерных субаналитических
подмногообразий в X.
Доказательство. Так как S < StegiP для S € LCLSP(X), то
существование последнего изоморфизма очевидно.
Пусть U открыто в Xj_a V — открытое субаналитическое
подмножество в X, такое, что V С U. Определим морфизм
a: CSpiU) - ИтГ(К; js.««.) — Г I V;\imjStozs J

9.2. Субаналитические цепи и субаналитические циклы 475
следующим образом. Бели S — ориентированное р-мерное
субаналитическое подмногообразие, то его ориентация определяет сечение
s пучка ozsnv над V. Тогда а задано соотношением [S] •-» * €
r(V;js.ozs)- Взяв индуктивный предел по U и V, получаем морфизм
CSp —► \\mjs*ozs, который, очевидно, является изоморфизмом. □
S
Пусть CLSpX обозначает множество замкнутых субаналитических
подмножеств в X размерности ^ р. Упорядочим CLSP(X) по
включению. Если Si и Si принадлежат CLSP(X) и Si С 5г, то по
предложению 9.2.3 существует инъективный морфизм
(9.2.7) ;s,.Jr'(wSl) - Js2*H-"(uSa).
Определение 9.2.5. Положим
ZS* = ton js*H-p(us)
seczsr(x)
и назовем ZS* пучком субаналитических р-циклов на X (над
кольцом А). Бели нет опасности ошибки, то мы будем писать ZSP вместо
ZS*.
Для Ах-модуля F на X положим ZSP(F) = ZSP ® F и назовем
этот объект пучком субаналитических р-циклов со значениями в F.
Так как CLSP(X) содержится в LCLSP(X), то имеет место точная
последовательность
(9.2.8) 0-+ZSp-> CSp.
Пусть S € LCLSP(X). Тогда существует выделенный треугольник
was —► wj —*■ Rjs*us —►,
который порождает длинную точную последовательность
О -» Я-Р(а^) -» js.H-*{us) -» Я1""^).
Беря индуктивные пределы, получаем точную последовательность
(9.2.9) 0 — ZSP — GSP — Z5P_!,
где первая стрелка — это морфизм из (9.2.8). Определим граничный
оператор
(92.10) 6p:CSp-+CSP-i
как композицию CSP —► ZSr-\ —► CSp-\. Бели нет опасности ошибки,
то мы будем писать д вместо 6р.

476
Гл.9. Характеристические циклы
Предложение 9.2.6. (i) CS. является комплексом пучков (см. обо»
значение 1.3.9).
(u)ZSp~Kerdp.
(Hi) CSp(F) для любого пучка F на X является мягким пучком.
(iv) Существует канонический морфизм шх —* CS. в Оь(Х).
(v) Если П открыто в X, то CS^\n s CS" и ZS*\n ^ ZS*}.
Доказательство, (i) и (ii) очевидны.
(iii) Для любого субаналитического подмножества W С X пусть
pw обозначает эндоморфизм пучка CSP, определенного на js*H~p(ws)
морфизмом
Js*H~p{us) -* Jsnw*H~p(usnw)-
Тогда pw\w = id.Pyy = pw и pw = 0 на X \ W. Если Z —
замкнутое подмножество в X и s 6 r(Z;CSp(F)), то существуют открытая
окрестность U подмножества Z и сечение S £ r(U; CSP(F)),
ограничение которого на Z равно «. Пусть W — субаналитическое открытое
подмножество ъХ nZ CW CW CU. Тогда pw{3) € Г^{Х; CSP(F))
является глобальным продолжением сечения «.
(v) доказывается аналогично.
(vi) Так как H~n(CS.) = KerSn =2,Sn = H~n{ux), то мы
получаем морфизм Н~п(ип)[п] —* CS. О
Предложение 9-2.7. Пусть L — локально свободный пучок
конечного ранга на X.
(i) supp(a) для любого а £ r(X;CSp(L)) является замкнутым
субаналитическим подмножеством чистой размерности р.
(ii) Пусть S eCLSp(X). Тогда
Г3(Х; ZSp(L)) ~ H-"(S;us ® L).
(iii) Пусть S € LCLSP(X). Тогда
r(X;js*H-"{us®L)) ~ H-'(S;ws ® L)
~ {а е rsiX;CSp{L));sxipp(da) с dS).
Доказательство, (i) Локально сечение а принадлежит js*ozs для
некоторого субаналитического р-мерного подмногообразия S.
(ii) Пусть S'eCLSp(X) и 5 С 5'. В этом случае rs(js'*H-p{ws0) ^
Js*H~p(ws), из чего следует (ii).
(iii) Бели а € H~p(S;ws ® £). то очевидно, что supp(a) С 5 и
supp(9a) с dS. Нам нужно доказать обратное. Так как задача
локальна, мы можем считать, что L = Ах и a£r(S';H~p{wsi)) для
некоторого S'£LCLSp(X). Тогда Г^>ФЯ-"(а/я-)) ^ JsnS'*H~4«>sns')-

9.2. Субаналитические цепи и субаналитические циклы 477
Следовательно, мы можем считать, что S' С !>. Заменяя 5' на
E П S')reg,p U E \ S')KgtP, мы можем предполагать, что 5' открыто
в 5, a dimE \ S1) < р. Тогда выделенный треугольник ws\s' —►
ш§ —► us1 —► дает точную последовательность
О -* H-'(us) -+ js>.H-f(uS')\s -»is\s».H-»+1(ws\s»)|s-
Так как da\s = 0, то а € H~p{ws). D
Следствие 9.2.8. Пусть L — локально свободный пучок конечного
ранга на X. Тогда
r(X;CSp(L)) ~ Urn r{S; H~p(ws) ® L),
S£LCLS,(X)
r{X\ZSp{L))~ lim r(S;H-p(u>s)®L).
StCLSr{X)
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 9.2.10, которую
мы сформулируем ниже, рассмотрим функториальные операции на
субаналитических цепях.
Пусть f;Y—*X — морфизм многообразий, a CSY и CSX
обозначают комплексы субаналитических цепей на У и X соответственно.
Имеем
(9.2.11) f,CS* =\imjs.H-p(ws),
s
где S € LCLSP(Y) и / собствен на S. Если S таково, то
множество S' = f(S) \ f{dS) принадлежит LCLSP(X) и отображение
Sf\f~1(S')—*S' собственно. Следовательно, мы получаем
/ijs.ff-'(«s) -* Js:H-'iuy) -* CSX,
где первая стрелка получена взятием р-х когомологий морфизма
Я/iwj —► w,(jv. Переходя к индуктивному пределу, получаем
морфизм fiCS% —► CSX . Так как этот морфизм коммутирует с
дифференциалом, то существует морфизм комплексов
(9.2.12) f,CS.Y^CS.x.
Если / — пучок на X, то получаем морфизм
(9.2.13) fiCS.r{f-lF) -* CS.X{F).

478
Гл.9. Характеристические циклы
Если а € r(Y;CSp(f~1F)) и / собствен на supp(a), то мы обозна-«
чим через /*(а) образ сечения а при морфизме (9.2.13) и назовем его
прямым образом сечения а.
Внешнее произведение а В /? двух циклов а € r(X;CSx(F)) и /? 6;
r(Y;CS¥(G)) определено морфизмом
JSi.tf-»(ws1)Bjs1.tf-,(ws1)-*isixs,.tf-»-«(wSlxs,),
где Si € LCLSP(X) и S2 € LCLSt(Y). Так как эти морфизмы комк,
мутируют с дифференциалом, то существует морфизм
(9.2.14) CS.X(F) Я CS.Y(G) -* CS.XxY(F В G).
Определим теперь гомотопию субаналитических циклов.
Определение 9.2.9. Пусть 70 и 71 принадлежат r(X;ZSx). Мц,'
назовем 7о и 71 гомотопными, если существует г € /jcx[o,i](X X
R;CSx£f), такой, что
(9.2.15) 0т = i0.7o-«1.71,
где »'< — включение X «-+ X х R, х ►-► (х, I).
Пусть 9 обозначает проекцию А'хМ -► X и S — образ supp(r|
при проекции q. Применяя q„ к (9.2.15), получаем, что 7о—Ti = Вя**}
Следовательно, 7о и 71 имеют один и тот же образ в ЯД/ИХ; CS.*»;
Теперь мы можем доказать такую теорему.
Теорема 9.2.10. Канонический морфизм (см. предложение 9.2.SJ
их —* CS.X является изоморфизмом в D'(X).
Доказательство. Пусть n = dimX. Так как H~n(CS.x) = ZSn як
Н~п(их), то достаточно показать, что H~P(CS.X) = 0 при 0 ^ р < nj
Пусть * € X, а а € (Z<SP)* при 0 ^ р < п. Уменьшая X, если необхо*
димо, найдем замкнутое субаналитическое подмножество S размер»
ности < р, такое, что а является образом сечения (которое мы также
обозначим через а) пучка H~p(S;ws). Рассмотрим (п—1)-мерное
многообразие У, такое, что X ~ Ж х У в окрестности точки х, а проекции
/: X —► У собственная на S (существование такого У докажите само*
стоятельно в качестве упражнения). Пусть /? е Н?0 „,[(№; С£%) —■»
канонический элемент, граница дC которого есть [{0}]. Положи*
7 = Р И а. Тогда у € Г(Ш х X;CSp+i) и ду = д0 В а = i.a, гд
i — отображение X «-+ Ш х X, а; и-» @, х). Пусть у> обозначает отог
бражение Ш х X -* X, (*, (в, у)) •-►(* + *, у). Тогда у>: R x S -► Jft
собственное и, следовательно, отображение <p\tupp(y) собственное. По?|
этому <р,у € r(X;C5p+i) и д<р,у = ч>,ду = <p,i,a = а, что доказывает,
равенство H~P(CS.X) = 0 при 0 < р< п. Q>

9.2. Субаналитические цепи и субаналитические циклы 479
Следствие 9.2.11. (i) Стебли пучков CSP и ZSP являются
плоскими А-модулями, и ZSp(F) является ядром морфизма CSP(F) —*
CSp-i(F) для любого пучка F на X.
(И) В категории 0Ь(Х) существует естественный изоморфизм
wx®F~ CS.(F).
Доказательство, (i) Стебель пучка CSP — это индуктивный
предел свободных Л-модулей; следовательно, он плоский. Рассмотрим
точную последовательность 0 —► ZSP —► CSP —* ZSp-\ —► О при
р < dim А'. Тогда если ZSPl плоский, то ZSP плоский и мы получаем
точную последовательность 0 —► ZSP{F) —► CSP(F) —► ZSP-\(F) —► 0.
Таким образом, (i) устанавливается индукцией по р.
(И) следует из (i) и теоремы 9.2.10. □
Определим теперь пересечение двух циклов. Пусть Sj — замкнутое
субаналитическое подмножество размерности pj (j = 1,2) в n-мерном
многообразии X. Пусть L\ и L2 — локально свободные пучки
конечного ранга. Рассмотрим цепочку морфизмов
(9.2.16)
Hs>x{X;ux ® Lx) ® H£>(X;wx ® L2)
~ H^Pl(X->0zx ® Ii) ® Hns-p\X;0zX ® L2)
* Hs7nPs,~P2(XM ® Li ® La ® огх).
Определение 9.2.12. Пусть Су € Н^р'(Х;шх ®Lj) (j = 1,2). Образ
Ci ® C2 в Нд~$~Рг(Х;ых ® Li ® L2 ® огх) при морфизме (9.2.16)
называется пересечением циклов С\ и С2 и обозначается через С^ПСг.
Если 5ifl52 — компакт, п = pi+рг и L\®L2 ~ огх, то число /х С1ПС2
называется индексом пересечения Ci и С2 и обозначается #(C*i ПСг).
Напомним, что /х — это морфизм Н°(Х;их) —► А.
Замечание 9.2.13. Пусть Q G Н3р'(Х;шх), j = 1,2. Тогда
(9.2.17) Ci П С2 = (-1)(п-р0(»-р»)с2 n Ci
8 Hslnsl~p*'(Х;их ® огх). Это следует из того факта, что если К\ и
К2 — комплексы, то диаграмма
HPl(Ki)®Hp>(K2) ► Hp*+p>(Ki®K2)
1 1
Hp>(K2)®HK{Ki) ► HP^+P'(K2®Ki)

480 Гл.9. Характеристические циклы
коммутативна или антикоммутативна в зависимости от четности pipj
(см. замечание 1.10.16).
Если dimEi П S^) < р\ + рз — п, то морфизм (9.2.16) определяет
морфизм (см. предложение 9.2.6)
(9.2.18) rSl (X; ZSPl(L\)) ® Га,(Х; ZSPi (L2)) -+
^Sins2(-X"; ZSPl+P2-n(Li ® Li ® огх)).
Этот морфизм мы также будем называть морфизмом пересечения и
будем обозначать его П.
Замечание 9.2.14. Применяя (9.2.12) к морфизму ах : X —► {pt},
получаем морфизм &xi CS.X —► А и, далее, морфизм CS.X —► wjc (в
категории 0Ь(Х)). Последний морфизм совпадает с изоморфизмом,
построенным в теореме 9.2.10 (с точностью до знака).
9.3. Лагранжевы циклы
В Т*Х объектом специального рассмотрения являются циклы,
носители которых субаналитичны и изотропны. Пусть п = dimX.
Определение 9.3.1. Положим
£х = ИтЯ°Aг-1ых),
л
где Л пробегает семейство всех замкнутых конических
субаналитических изотропных подмножеств в Т*Х. Мы назовем Сх пучком ла-
гранжевых циклею наТ*Х.
Так как *~1шх — &тх ® °^Т'Х/х[~п], то лагранжев цикл есть
п-цикл со значениями в огт'Х/х- Как частный случаи результатов
§ 9.2 получаем такие утверждения:
(а) Пусть А — коническое локально замкнутое субаналитическое
изотропное подмножество. Тогда
(9.3.1) Я°(£х)~Я°0г-1ых)
^ Зл-Н~п(шл ® огт.х/х)
~ H°A(ZSn(ozT.x,x))-
В частности, если Л — гладкое подмножество размерности п, то
Нл(Сх)\л ^ огл ® огт.х/х-

9.S. Лашрамжееы циклы
481
(b) Пусть 8 — сечение пучка Сх на открытом подмножестве
U С Т*Х. Тогда supp(s) является замкнутым коническим субана-
литическим изотропным подмножеством чистой размерности п, но
мы не знаем, является ли оно инволютивным в смысле
определения 6.5.1.
Изучим функториальные свойства лагранжевых циклов. Пусть
У — еще одно многообразие размерности т, а Ах (соответственно
Ау) — замкнутое коническое субаналитическое изотропное
подмножество ъТ'Х (соответственно в T*Y). Определим внешнее
произведение двух лагранжевых циклов через цепочку морфизмов
Hl^ux) В <,(*" V) - Н°АххЛу{^шх^^шу)
Переходя к индуктивному пределу по отношению к Ах и Ау,
получаем
(9.3.2) CxECy^Cxxy-
Пусть теперь f: У —» X — морфизм многообразий. Напомним, что
7' и /г — это отображения У хх Т*Х — TY и У х* T*X — VX
соответственно (см. D.3.2)). Чтобы избежать недоразумений, мы
будем иногда обозначать через яу (соответственно хх> соответственно
т) проекцию T*Y —* У (соответственно Т*Х —* X, соответственно
YxxT*X^Y).
Пусть Ах и Ау — замкнутые конические субаналитические
изотропные подмножества в Т*Х и T*Y соответственно.
Предложение 9.3.2. (i) Предположим, что }Т собственно на
*f'~1(AY). Тогда существует естественный морфизм
(9.3.3) #°y(T'y;^V)-tfyV4*v)(r*;*xW
(И) Предположим, что'/' является собственным на /~1(Лх).
Тогда существует естественный морфизм
(9.3.4) Н*Ах{Т'Х- *х1шх) - Я°7-1(Лх)(Г У; *y V).
Отметим, что, согласно условию п. (i), /»'/'-1(^к) есть замкнутое
коническое субаналитическое подмножество в Т*Х и по
предложению 8.3.11 это множество изотропно. Аналогично, из условия (И)
вытекают замкнутость, коничность, субаналитичность и изотропность
подмножества *ff-1 {Ax) С T*Y.
16-М.Касивара, П. Шапира

482 Гл.9. Характеристические циклы
Доказательство, (i) Пусть ?г: У Хх T*X —* У — проекция.
Рассмотрим морфизмы
Я5У(ГГ;1Гу W) - Я,^_Члу) (y x T-Jf;ir-W)
Требуемый результат получается применением морфизма
■R/r!T-1Wy ~ ZxXRf\Wy —► T^Vx-
(И) Рассмотрим морфизмы
Я5Х(ГХитрых) - H°,;>IAk){y х Т-Х; ж-1/"*)
Для завершения доказательства нам остается построить морфизм
(9.3.5) ЯТ?*-1/-1"* -> *yXwY.
Сделаем это следующим образом. Рассмотрим диаграмму
Л
YxY ► YxX
<v г
и l
Ay ► Aj
Отметим, что морфиэм */i: Тд (Y хХ)-» ТЛу (У х У) изоморфен */'.
Применяя предложение 4.3.5 к пучку 6,f~1u>x, получаем
из чего вытекает (9.3.5). D
Отметим, что, отождествляя t-1w и штх/х > морфизм (9.3.5)
можно построить так:
Я'/?»-1/" W К Я*/|/Г Vl/X К Vf'vYxxT-X/Y
-► Wj-.y/y — *у Wy,
существование которого следует из (9.3.5), является изоморфизмом.

9.3. Лагранжееы циклы 483
Определение 9.3.3. В условиях предложения 9.3.2 обозначим через
/♦ морфизм (9.3.3), а через /* — морфизм (9.3.4).
Примеры 9.3.4. (i) Если X есть 0-мерное многообразие {pt}, то
Сх — А. Обозначим через [pt] цикл, соответствующий 1 € А.
(ii) Пусть ах — морфизм X —► {pt}. Положим
(9-3.6) [TxX]=ax[pt].
(iii) Пусть /: У «-► X — замкнутое вложение. Положим
(9.3.7) [ГУ*Х] = /.РУУ].
(iv) Пусть /: У —► X — морфизм многообразий, и пусть / транс-
версален замкнутому подмногообразию Z С X. Тогда
(9.3.8) rmX) = [Tj-4Z)Y).
Определим понятие пересечение для лагранжевых циклов.
Пусть а : X —► Т*Х — непрерывное сечение морфизма т (т. е.
т о а — idx). Существует морфизм
(9.3.9) Н°в(Х)(ГХ; г Ах) к Я°(Х; <т*Ах)
= Н°(Х;АХ).
Отметим, что я'Ах ^ <«Т'Х ® т-1огх [— "]i где п = dimX. Бели задана
ориентация на Т*Х, то т'Дх ^ z~lwx.
Определение 9.3.5. (i) Образ 1 € Н°(Х;АХ) в Н0д{Х){Т*Х;^Ах)
при изоморфизме (9.3.9) обозначается через [а].
(ii) Через [его] обозначается цикл, определенный нулевым сечением.
Пусть Si и 5г — замкнутые подмножества вГХ. Рассмотрим
цепочку морфизмов
(9.3.10) H°Si(ГX;х'Ах) ® Н°2(Т*Х; ж~ W)
xH°SinS2(rX;UT-x).
Как и в определении 9.2.12, если у € #§ (Т*Х;1г!Лх) и ё €
#°а(Г*Х; t-1wy), то через 7 <~1 6 мы будем обозначать образ у ® (

484 Гл. 9. Характеристические циклы
при действии цепи морфизмов (9.3.10) и называть его пересечением
циклов 7 и 6. Если Si П S2 компактно, то через #G П 6) мы будем
обозначать число fT.x уГ\6. Если р — изолированная точка в Si flSj,
то через ф(уГ\6)р мы будем обозначать число jvyf\6, где U — малая
окрестность точки р.
Пусть 5 — замкнутое подмножество в Т*Х, такое, что т собствен
на S. Морфизм R*\Wtx —► их определяет морфизм
(9.3.11) а: H°s{T*X;wT~x) - H°(s)(X;wx).
G другой стороны, пусть Л — замкнутое коническое подмножество.
Тогда морфизм Rx,ir~1wx —* и>х определяет морфизм
(9.3.12) /?: ^(rX.TW) - Н°хЛ(Х;и,х).
Предложение 9.3.6. Пусть а является непрерывным сечением мор-
физма х, и пусть А — лагранжев цикл, supp(A) = Л. Тогда
а([<г]ПА)=£(А).
Доказательство. Достаточно доказать коммутативность
приведенной на с. 485 диаграммы (9.3.13) (Л в обозначениях опущено).
Коммутативность левого нижнего квадрата следует из соотношения <гт! ~
id, а правого квадрата — из того, что морфизмыт.т-1 —► id и
т.т-1 —► т.о-.о--1*--1 ~ id равны. D
9.4. Характеристические циклы
С этого места и до конца главы основное кольцо А будет полем
характеристики 0, и мы будем обозначать его через к. Пусть F €
Ob(Dg_cpO). Рассмотрим цепочку морфизмов
RHom(F, F) ~ Ar„/iAom(F, F)
~Rx.Rrss(F)nnom(F,F)
~ Дт.Rrss(F)H*(F В DF)
-» R*,RrSs(F)l*AF.(F ® DF))
-»R*,Rrss(F)P4(<6*ux)

S
S
!
с

486
Гл.9. Характеристические циклы
Определение 9.4.1. Образ idf € Uom(F,F) в H°S^F)(T*X
*-1<«>х) С Н°(Т'Х;Сх) называется характеристическим цикла.
объекта F и обозначается CC(F).
Проведем сравнение операций над R-конструктивными пучками щ
над лагранжевыми циклами.
Пусть У — многообразие и G € ОЬ@^_е(У)). Используя предлор,
жение 4.4.8, легко убедиться в справедливости формулы
(9.4.1) CC(F В G) = CC(F) В CC(G).
Пусть f:Y-*X — морфизм многообразий.
Предложение 9.4.2. Пусть f собствен на supp(G). Тогда
(9.4.2) CC(Rf,G) = U CC(G).
Доказательство. Обозначим через 8х (собственно 6у) диагонально
вложение X <-* X х. X (соответственно У <-*Y х У), а через 8 —
отображение графика У =-> X х У. Рассмотрим диаграмму (см. D.4.3))
(9.4.3)
Y xY
(y
AY
- X хУ
- ХхХ
h
и
<х
и
АХ
Обозначим через ту (соответственно т, соответственно тх) проекции
Т*"У —*Y (соответственно У ХхТ'Х —► У, соответственно Т*"Х -»Х).
Введем обозначения S = SS(G), S' = 7'-1E).5" = /Л5")-
Существуют естественные морфизмы (см. § 4.3)
7i ° P&Y ~* РД/ ° Л/u, /г»! ° /U/ -» /My ° Л/я»
которые порождают коммутативную диаграмму (9.4.4) (см. с. 487; в
этой диаграмме мы опускаем символ Л).
Поэтому образ CC(G) € rs(T*Y; т^ыу) в Г3»{Т*Х; т^ы*) (через
rs>(Y хх Г*Х; T_1wy)) совпадает с CC(Rf,G). П
Предложение 9.4.3. Пусть '/' собствен на f^1(SS(F)) (т. е. /
нехарактеристичен относительно F). Тогда
(9.4.5)
CC(/-1F)=rCC(F).

Hom(G,G) ► Rom(fiG,fiG)
I« I«
r*Y(Y xY;GBDG) -» Г4/(Х x Y;/.GHDG) -» Г4х(Х х X;/.GB/,DG)
I I I
/*(!ГУ;/!Л1Г(СН1Х7)) -» Г,,(У х rXi^^GHDG)) -» rs»(T'X;/i4x(/!GH/,DG))
J I I
/MT*У; /i4r (*r.(G ® DG))) -»rs<(Y x T*X;/i4/(«.(/- 7.G в DG))) -»/>(T*X;/мх(«jr.(/!<?в D/.G)))
1 ' i I
Диаграмма (9.4.4)

488
Гл.9. Характеристические циклы
Доказательство. Положим 5 = 55(F),5' = /~ 1(S),5"= *f'(S').
Рассмотрим диаграмму
Y >
i
Л
<У —
Sy
—* У х
L
у » Л
X —
S
S
— х>
сХ
6х
с
—► Лх
Обозначим, как выше, через ту,т и пх проекции T*Y -* Y,Y Xx
Т*Х —♦ У и Т*Х —* X соответственно. Существуют естественные
морфизмы
/а"» ° А»Д* -* Рл, ° /a» */i! ° *»<*/ -* /iav ° (WK/X ® /Г1)-
Так как '/' собствен на 5', то мы получаем коммутативную
диаграмму (9.4.6) (см. с. 489). Следовательно, CC(/-1F) является
образом CC(F) е Н%G*Х;жхХых) в Я^СГУ;^ V) (чеРвз я2'(у х*
Г'Х;/,-1^1^)). D
Пусть а обозначает антиподальное отображение на Т'Х. Так как
а отображает субаналитические изотропные множества в
субаналитические и изотропные, то определен морфиэм
а,: а
■'Сх^Сх.
Если Л —лагранжев цикл, то через Л" мы обозначим его образ при
действии в». Если У С X — подмногообразие, то
(9.4.7) [ТУХ]" = (-l)dimy[7yX].
В самом деле, RrTfx(*~1ux)'^UTjx/T'X ® *~Vjr,a~Vr,?x/T*x -*
ыт'Х/Т'Х и аштх/т'Х —*ШТ'Х/Т'Х равны с точностью до (—i)d,mK
после отождествления а' и а-1.
Предложение 9.4.4. Пусть F € Ob(D^_c(X)); тогда
CC(DXF) = (CC(F))e.
Доказательство. Имеем /u(DF В DDF) ~ a~ 1Ha(F И DF). D
Отметим, что CC(F) является микролокальным объектом в
следующем смысле. Если Q открыто в Т*Х, a F и F'
изоморфны в Оь(Х;П), то CC(F)|„ = CC(F')ln- Это следу-

Hom(F,F) —
)
ГЛ,(Х xX;FEVF) >/д,(У х X;f~lFHDF)-
► HomCf-1^,/-1^)
•/,^(Vxy;/-'fBD(/-1f))
/•.p-jr^JPHDF)) - rs,(^T7;^(/-'fBDf)) - Гя..(Г-У;^у(/-^Н(<,г/х e/-«DF)) _ Гя„(^ y>W/-.f H/Df))
Г'<™*-Л^вОГ)))^ГИУ,<™;^,(М/-'Г®^^
Г,G-Х;М4,(«Т.«хИ - МГхГЛ;^!^,)) _ /X^, ДлЛ^.^л ® /" i„x)))
Г^(Т*У;^ЛуF,..«к))
rx{TX;ir-lux)
rs,(Y хП;.-'Г'ч)
/в'ЧУУ.чГу'С-У/ДГ®/"'^)) —■ rs«(T*>';Tv1wv)
Диаграмма (9.4.6)

490 Гл.9. Характеристические циклы
ет из изоморфизма ftftom(F,F)\n ~ fthom(F',F')\n. Используя этхк
замечание, мы можем явно вычислить CC(F). Бели X = {pt}, то,
CC(F) = x(F) = Е>(_1У umH'(F). Если У — замкнутое подмного-,
образие, a H'{F) — локально постоянный пучок ранга щ для все*
j, то CC(F) = Е,(-1Ут,[7уХ]. В самом деле, пусть J: У <-► X —
вложение, а ау : У —► {pt}. Тогда F = Ri. a^l(V) для некоторого»
V € Ob(D*(£Dto9^(Jb))). Теперь утверждение следует из предложений
9.4.2 и 9.4.3. В частности, для замкнутого подмногообразия У С X
(9.4.8) СС(*у) = [TJX].
Чтобы рассмотреть общий случай, введем пучок
ССх =\ипН°(*-1ь>х),
л
где Л пробегает семейство локально замкнутых субаналитических
конических изотропных подмножеств в Т*Х. Мы назовем ССх пучком*
лагранжевых цепей. Имеют место включения
Сх С ССх С С5ГХ(огт«х/х).
Пусть теперь F £ Ob(D^_e(X)), а Л = SS(F). Существует открытое,
плотное подмножество Л0 С Л, такое, что
Л0 является субаналитическим подмногообразием,
и если {Ла}а — множество связных компонент
многообразия Л0, то для каждого а существует
подмногообразие Ха С X, такое, что Ла С Г£ X.
Для каждого а пусть [Ла] — цепь с носителем Ла, которая
равна PjJ^X] на Ла. Бели U — открытое подмножество, такое, что
Ла = ТхаХ П U, то мы будем иногда писать [Т£ Х]Г\ U вместо
[Ла]. Пусть р € Ла. Из предложения 6.6.1(ii) следует существование
V € 0Ь@'(ЯИ<Я>'(*))), такого, что F ~ Vx„ в D6(X;p).
Следовательно, CC(F) = тпа[Ла] в окрестности точки р при тпа = x(V)- Так как
Ла связно, то CC(F) = тв[Лв] в окрестности множества Ла, и если
Q открытой плотно в VX и ППЛ = Л0, toCC(F)|jj = £вл»ог[Л|]|я-
Следовательно,
(9.4.10) CC(F) = Z,mQ[Aa] в ССХ.
(9.4.9)

9.4- Характеристические циклы 491
Предложение 9.4.5. (i) Пусть F € ОЪ@{_е(Х)). Тогда CC(F)
является лагранжевым циклом над Ъ.
(ii) Пусть F' —► F —► F" —► — выделенный треугольник в
0»-е(*)- Тогда
(9.4.11) CC(F) = CC(F') + CC(F").
В частности,
CC(F[*]) = (-1)* CC(F).
Доказательство, (i) следует из (9.4.10).
(ii) Пусть Л — замкнутое коническое субаналитическое
изотропное подмножество в Т*Х, содержащее SS(F') U SS(F"), и пусть Л0 С
Л — открытое плотное подмножество, удовлетворяющее условию
(9.4.9). Тогда CC(F) = £в тв[Лв], CC(F') = £e тп'а[Ла], CC(F") =
53втвИ<*]- Пусть р € ТхаХ. Из предложения 6.6.1(H) следует
существование выделенного треугольника V —► V —► V" —► в
Оь(ШоЪ*(к)), такого, что треугольник F' —► F —► F" —►
изоморфен Vx —► Vxa —► VXa —► в Оь(Х;р). Следовательно,
тпа = тп'а + m'a. U
Пример 9.4.6. Обозначим через t координату на X = R и
рассмотрим множества
Z± = {±t%0}, U± = {±t>0}.
Пусть (t; т) обозначает соответствующую систему координат на Т*Х.
Рассмотрим лагранжевы цепи
"± = [ПX] П {±t> 0}, /}± = [Т{о}Х}П{±т>0}.
(Здесь и далее если <р — вещественная функция на X, то {<р > 0}
обозначает подмножество z~l{x;tp{x) >ч 0} в Т*Х.) Тогда
H°{tT=0](T*X; СХ) = Z[TXX] ф Ъ[Т@}Х] ф Z(a+ + /?+).
(Мы рассматриваем субаналитические цепи с коэффициентами в Z.)
Теперь
(i) CC(kx) = [TxX] = <*+ + <*-,
(ii)CC(*{0}) = [%*] =/?+ + /?_,
(ш) СС(*2±) = а±+^±,
(iv) СС(%±) = а±-/?т.

492 Га. 9. Характеристические циклы
В самом деле, (i) и (ii) уже доказаны (см. (9.4.8)). Найдем CC(fct/+)i
Носителем этого цикла является множество {t ^ 0, г = 0}U{< = 0, г £
0}. При этом fct;+ ~ кх на множестве {< > 0, г = 0} и ки+ a Jb{0}[—1|
на множестве {t = 0, г < 0}, что дает CC(jbt/+) = а+ — /?_. Остальные
формулы доказываются аналогично.
Пример 9.4.7. Пусть (t, х) = (t, х\,..., хп) — система координат на
X = R1+". Рассмотрим множества
Z± = {±t 2 И}, Z0 = {\t\ $ \х\},
Ut=latZt (e = +,-,0), S± = {±t = \x\ > 0},
где |*|2 = £, **•
Пусть (I, я; г, £) обозначает соответствующую систему координат на
Т*Л'. Определим лагранжевы цепи
<r€ = [TxX]nU€, е = +,-,0,
г«.«, = Ра.,*] П {е2г > 0}, ei = ±1, £2 = ±1,
T± = PW]n{±T>K|},
То = [Г{*0}^]П{|г|<|Ш-
Имеем
(i) CC(*x) = «r+ + «r0 + «r_,
(ii) СС(*{0}) = т++Т0+Т->
(iii) CC(*Z±) = <г± + r±± + т±,
(iv) CC(ta±) = «r± " '±T + (-1)"+17*,
(v) CC(*Zo) = <r0 + r+_ + r_+ + (-1)"(t+ + T-).
(vi) CC(*t/0) = <r0 - (r++ + r__) + 7o,
(vii) CC(ks±) = r±+ + r±_ -7o + ((-1)" - 1O¥.
Проверим справедливость (iii). Имеем
SS(kz±) С supp(<r±) U supp(r±±) U suppG±).
Кроме того, kz± микролокально изоморфен кх (соответственно
ks±, соответственно fyo}) B общей точке из supp(<r±) (соответственно
supp(r±±), соответственно suppG±))-
Остальные утверждения доказываются аналогично.

9.5. Микролокальные формулы характеристики Эйлера-Пуанкаре 493
9.5. Микролокальные формулы
характеристики Эйлера—Пуанкаре
Пусть X — многообразие и F 6 Ob(D^_c(X)). Используя формулу
пересечения, мы найдем х(Х; F),x(F)(jc) и т. д. Напомним
определение морфизмов а и 0 (см. (9.3.11) и (9.3.12)):
а: НЦГХ;шг-х) - Н°хE)(Х;их)
E замкнуто, а т собствен на S),
/?: яЖГХ^-'ых) - НлпХ(Х;и,х)
(Л замкнуто и конично).
Предложение 9.5.1. Пусть <г — непрерывное сечение морфизма т.
Тогда в H?npp(F)(X;wx)
C(F)=a([«r]nCC(F))
= /?(CC(F)).
Доказательство. Из предложения 9.3.6 следует, что достаточно
доказать справедливость равенства C(F) = /?(CC(F)), что вытекает
из следующей коммутативной диаграммы, если мы положим Л =
SS(F):
Hom(F, F)
I
rxnA(X;6'(F®DF))
rXnA(X;F®DF)
r(T*X;nhom(F,F))
I
rA(T*X;nA(F®DF))
- r*-4XnA)(T*X;^F.(F®DF)))
ГХ
Диаграмма (9.S.1)

494 Гл.9. Характеристические циклы
Следствие 9.5.2. Пусть F имеет компактный носитель. Тогда
(9.5.2) x(*;f) = #(Mncc(F)).
Доказательство. Надо применить предложение 9.5.1 и формулу
(9.1.3). О
Отметим, что это следствие может также быть выведено из (9.1.14)
с помощью отображения а: X —► {pt}.
Обобщим этот результат. Пусть / — открытый интервал в R,
<р: X —* I — вещественно-аналитическая функция и <rv — сечение
х !-► dy>(«). Пусть Лу = <Гч>(Х) = {(x,dip(x));x € X}, т. е. мы
сопоставляем функции <р цикл (см. определение 9.3.5)
(9.5.3) [<т^€Н°Л9{ТХ;ткх).
Теорема 9.5.3. Пусть F € Ob(D^_c(.Y)). Предположим, что
(9.5.4) множество {х € supp(F); ip(x) < t}
компактно при всех t € /,
(9.5.5) множество SS(F) П Av компактно.
Тогда для всех j G Z пространства Н3 (X; F) конечномерны и
x№f) = #(Wncc(F)).
Доказательство. Пусть i2t = {х £ Х;<р(х) < t}, и пусть jt —
открытое вложение Д «-♦ X. Положим Ft = Rjuj^1F. Применяя
следствие 5.4.19, получаем, что R,r(X;F) ^* R.r(X;Ft) для всех
t >> 0. Следовательно, пространства H*(X;F) конечномерны и по
следствию 9.5.2 x(X;F) = x(X;Ft) = #([«ry)] n CC(Ft)). Так как
SS^Jnir-1^) = SS(Fi)n*-1@«) и SS(F)D Л„ С *-1(Я<) при <>0,
то, учитывая (9.5.5), остается доказать, что
(9.5.6) SS(Ft) ПЛуС T_1(fl<) ПРИ ' > °-
Пусть К = *(SS(F) П Av). Тогда если х € supp(F) \ К, то d<p(x) ф 0,
и из предложения 5.4.8 следует, что
SS(F,)cSS(F) + R<o4, при t > 0.
Из этого включения я (9.5.5) вытекает (9.5.6).
О

9.5. Микролокальные формулы характеристики Эйлера-Пуанкаре 485
Следствие 9.5.4. Пусть F € Ob(D^_c(A')). Предположим, что
имеет место (9.5.4) и
(9.5.7) SS(F)* П Av компактно.
Тогда для всех j пространства Н{(Х\ F) конечномерны и
Xc(X;F) = #([«ry)]nCC(F)e)
= #([*_„] П 00(F)).
Доказательство. Имеем Нот(ДГе(Х; F), k) ~ Hom(F,wx) ~ ЯГ(Х;
D*F). Следовательно, Хе(Х; F) = \(Х; DyF) и требуемый результат
вытекает из предложения 9.4.4 и теоремы 9.5.3. D
Замечание 9.5.5. Пусть <р: X —► R — вещественно-аналитическая
функция. Предположим, что <р{х0) = 0,dy>(xo) = 0 и гессиан <р
в точке х0 положительно определен (из этого следует
существование локальной системы координат в окрестности точки х0, такой,
что <р(х) = 53J_i xj). Применяя микролокальную теорему Бертини-
Сарда (предложение 8.3.12), получаем, что х0 является
изолированной точкой множества SS(F) Л Av. Тогда по теореме 9.5.3
(9.5.8) x(f)(*.) = #([«v]nCC(F)),.
и, аналогично, по следствию 9.5.4
(9.5.9) Xc(F)(x9) = #([*_,] П 00(F))...
Здесь и далее #(с), для с € #s(.Y;wx) и изолированной точки х,
принадлежащей замкнутому подмножеству 5, обозначает образ с при
сквозном отображении Н%(Х;ш) —► Н9у(Х;и) —► *.
Докажем более общий результат.
Теорема 9.5.6. Пусть х„ € -Y, F € (Djt_e(.Y)), а ^ — eetqecmeexxo-
ажмитическал функция на .Y. Предположим, что
(9.5.10) Л,, П SS(F) С {(М*,)}.
Тогда
X(*T{,M#.)}(F))(«.) = #([«r,] П 00(F)).
Доказательство: Мы можем считать, что .Y = R",*0 = 0,у>(яо) = 0.
Положим Л = SS(F) и ^(jt) = £"=1 xj. Бели 0 — вещественная
функция на Ж, то, если нет опасности путаницы, через {в > 0} (например)

496 Гл.9. Характеристические циклы
мы будем обозначать множество *~1({х € Х;в(х) > 0}) (см.
аналогичные обозначения в примерах 9.4.6, 9.4.7). Из микролокальной
теоремы Бертини-Сарда (предложение 8.3.12) вытекает
существование Sq >0, такого, что
(9.5.11) ЛпЛ^П{0< \х\^6о} = 0,
(9.5.12) (Л+Г{;=0}Х) П Лф П {0 < И ^ Ы = 0-
(Напомним, что по следствию 8.3.18 множество Л+Т,* 0уХ
изотропно.) Далее, существует 6i > 0, такое, что
(9.5.13) Jb > 0, 0 < \х\ ^ б!, <р(х) > 0 => (*; kdip(x) + d<p(x)) $ Л.
В самом деле, если (9.5.13) не выполняется, то существует
вещественно-аналитическая кривая t н-» (x(t), a(t), b(t)) € X х Ж х К, такая, что
a(t) > 0,6@ > 0,*@) = 0 и <p(x(t)) > 0 при t ф 0 и (x(t); a(t)drp(x(t))+
b(t)d<p(x(t))) G Л. Так как Л изотропно, то
a(t)±tl>(x(t)) + b(t)±4>(x(t)) = 0.
Но это противоречит условию £гр > 0 и ^ip > 0 при 0 < t 4H 1, что
доказывает (9.5.13).
Положим ВF) = {х € X; \х\ < 6}. Так как пучок ДГ(у)^о}(^)
.М-конструктивен, то существует 6 > 0,6 < intFo,6i), такое, что
Rr(BF); Rrw>0}(F)) ^ (Rrw>0)(F)H.
Зафиксируем такое 6 и обозначим через j открытое вложение ВF) «-►
X. Положим F' = Rj,j-lF, А' - A U (Л + Г9*В(<)Х). Отметим, что
(9.5.14) SS(F') с SS(F) + Ш<0ЛФ
и, в частности, SS^') С Л'. Так как Л' изотропно, то по
микролокальной теореме Бертини-Сарда существует е > 0, такое, что
(9.5.15) Л' П Л„ П {0 < \<р(х)\ ^ е} = 0.
Применяя микролокальную лемму Морса (следствие 5.4.19),
получаем
(9.5.16) ЯГ{у)>0}(Х; F') ~ ЯГС(Х П {<р > -е}; F').

9.5. Микролокальные формулы характеристики Эйлера-Пуанкаре 497
Согласно (9.5.15), SS(F') Л Av Л {0 > <р > —е} = 0. Отсюда по
следствию 9.5.4
(9.5.17) Хс(ХП{<р> -e};F') = #(WnCC(F%>_t)).
(Правая часть равенства (9.5.17) — это индекс пересечения циклов
[о-,,] и CC(F') ъТ*(ХС\{(р > —е}), что имеет смысл, так как множество
Av Л SS(i<") Л {<р > -е} компактно.)
Таким образом, мы получили равенство
x(Rrw>0}(F))(x.) = #(K,] DCC(F'|{y)>_t})).
Остается показать, что
Av Л SS(F') П {<р > -е} Л {|*| = 6} = 0.
Это равенство выполняется на множестве {—е < <р < 0} по (9.5.15) и
на множестве {<р > 0} по (9.5.13). Предположим, что оно не
выполняется на множестве {tp = 0}. Найдем точку р € SS^) и число с > 0,
такие, что р — сАф = dy>, |?r(p)| = 6. Если с = 0, то это противоречит
предположению. Если с > 0, то (Л \ Л,,) Л {у> = 0} Л Л^ ?£ 0, что
противоречит (9.5.12). Доказательство окончено. D
Примеры 9.5.7. Пусть У — замкнутое подмногообразие
размерности /, х0 € У и <р — вещественно-аналитическая функция, такая, что
<р(х0) = 0 и многообразия ТуХ и Av пересекаются трансверсально в
точке р = dy>(x0). По лемме Морса существует локальная система
координат (xi,...,xi) на У, в которой <р\у = Y^j=iajx]i гле ai / 0
для всех j. Пусть q = #{;'; а,-<0}. Так как ЯГ{^>о}(*к)«. — *[-?]
(см. § 7.5), то из теоремы 9.5.6 следует, что
(9.5.18) #(['»] ПруХ]) = (-1)«.
Этот результат поддается обобщению. Пусть F € Ob(D^_c(X)), а
ф: X —► Ш — вещественно-аналитическая функция. Пусть Л = SS(F).
Пусть выполнено (9.5.4) и
( Лф Л Л— конечное множество, содержащееся
\ вЛмс, причем это пересечение трансверсально.
Естественно назвать ф «функцией Морса по отношению к Л».
Действительно, если F = кх, то мы получаем обычное определение
функции Морса. Пусть Лф Л Л « {р,... ,pw}, и предположим, что
( F — чистый пичок со сдвигами d; и кратностллш т,-
\ в точках pj, t в 1,..., N.

498
Гл.9. Характеристические циклы
Из теоремы 9.5.6 и определения чистого пучка получаем
(9.5.21) #(М П CC(F))Pi = (-1)< • тщ,
где
(9.5.22) $ = *-% dimX - ^г(А0(Р<), АЛ(р,), А,(р,))-
Используя теорему 9.5.3, получаем
(9.5.23) x(X;F)=E(-l)<'Sm,-.
Отметим, что последний результат может быть выведен и даже
уточнен (заменой равенства на «неравенство Морса») с помощью
предложения 5.4.20.
Замечание 9.5.8. Так как Сх является подпучком пучка CS„ <g>
°*Т'Х/Ху то лагранжев цикл может рассматриваться как
субаналитический цикл со значениями в ozq-x/x-
Дадим описание лагранжевых циклов в этих терминах. Для
n-мерного многообразия М и нигде не обращающейся в нуль
вещественной n-формы v на X обозначим через sgn(v) ориентацию,
заданную формой v. То есть sgn(u) рассматривается как сечение пучка
огх. Пусть теперь (xi,...,х„) — система координат на X, а (х;£) —
ассоциированная система координат на Т*Х. Отождествим огтх/х и
огх с помощью соответствия sgn(d£) «-► sgn dx, где d£ = dft Л • • -Л d£„,
a dx = dxi Л • • • Л dx„. Тогда
' [^{*i="=*i=o}(-^)] является циклом
(9.5.24) I «*i«S*i *»=ен-1 €. = 0}
с ориентацией
. (-1)' sgn(d& Л • • • Л d& Л dx(+1 Л • • • Л dx„) ® sgn(d^),
{[<rv] для функции <р на X является циклом А9 с
ориентацией, индуцированной ориентацией на X
посредством проекции Av ^* X.
Определим пересечение двух n-циклов в Т*Х следующим образом.
Пусть Z\ и Zj суть n-мерные подмногообразия в Т*Х,
пересекающиеся трансверсально в точке р € Т*Х. Пусть 0,- (i = 1,2) —
такие n-мерные формы, что 0i|za = 0 и sgn@i Л 02) = sgn(d£ Л dx) =
(—l)n(n-1)/2 . sgn((dax)n). Если а,- есть n-цикл [Z,] с ориентацией
sgnF,|z<), то #(«1 П«г) = 1. В этих условиях следствия 9.5.2, 9.5.4,
теорема 9.5.3 и формулы (9.5.8) и (9.5.9) остаются справедливыми.

9.6. Формула Лефшеца для неподвижных точек 499
9.6. Формула Лефшеца для неподвижных точек
Рассмотрим два морфизма многообразий
9
Положим Л = (f,g): Y -> X х X. Пусть F € ОЬ@£_С(Х)), и
предположим, что задан морфизм
(9.6.1) -peHomt/^F.f'F)..
Положим
S = supp(F), T = f-1(S)ng-1(S),
(9.6.2)
Z = Tnh~\Ax)= {у € Y;f(y) = g(y) € 5},
Предположим, что
(9.6.3) T компактно.
Отметим, что носитель морфизма <р содержится в Т. Естественные
морфизмы id —► Л/*/-1 и Rg\g' —► id определяют морфизмы
ЯГ(Х; F) -* Я/}-.(я)(У; /"^), ДГТ(У; «!F) - ЯГ(Х, F).
Объединяя их с морфизмом <р, мы получаем морфизм (который мы
по-прежнему обозначаем <р)
(9.6.4) <р: ЯГ(Х; F) -* ЯГ(Х; F).
Целью данного раздела является вычисление tr(y>) — следа
морфизма <р, где
Здесь H*(tp) обозначает эндоморфизм пространства Н'{Х; F),
определенный морфизмом (9.6.4). Так как H>(tp)
разлагается в цепочку морфизмов H'(X;F) -► Hsg{T)(X\ F) -> H>(X;F),
a H},TJX;F) конечномерно, то tr(#'(y>)) определен корректно (см.

500 Гл.9. Характеристические циклы
упр. 1.33). Пусть S — диагональное вложение X «-► X х X.
Рассмотрим цепочку морфизмов (пока мы не предполагаем справедливости
(9.6.3))
KHom(F,F)*?- 6'(FBDF)
—+ 6'Rh.h-\FBDF)
.=_ RTARh.RrT{rlF®DglF)
_ri- RhmRTg(rlF9Dg-F)
—+ Rh,Rrz(g'F®Dg'F)
Y* Rh,Rrz{uY),
что дает морфизм
(9.6.5) Uom(F,F) — H%(Y;uiy).
Определение 9.6.1. Образ idf в Hz(Y;uy) называется
характеристическим классом морфизма <р и обозначается С(<р).
Предложение 9.6.2 (теорема Лефшеца о неподвижных точках).
Пусть f,gu<p определены, как выше, и предположим, что имеет
место (9.6.3), a supp(F) компактен. Тогда
4?) = jf ОД.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму (9.6.6)
(см. с. 501). Так как <р разлагается в композицию морфизмов
ЯГ(Х; F) -?-* RPr(Y;glF) -£-* ЯГ((Х; F), то след <р равен следу £°»,
что равно образу idf в к при действии цепочки морфизмов в правом
столбце диаграммы, что и завершает доказательство. О
Отметим, что это предложение остается справедливым без
предположения компактности supp(F) (см. упр. 9.9).
Пусть теперь у £ Z, и предположим, что у является изолированной
точкой в Z. Положим Z' = Z \ {у}. Тогда
H°z(Y;u>y) * Я{°,г}(У;Ыу)фЯ§,(У;Ыу).

9.6. Формула Лефшеца Аля неподвижных точек
R Hom(F, F) - Я Нот(ЯГ(Х; F), ЯГ(Х; F))
Rr(X;6'(FBDF))
I
Rr(X;6'(F®DF))
501
fir(XxX;FHDF)
i
RrT(Y;gF®Dg'F)
Rre(Y;uY)
Sri
k <
V
RT(X;F)9RT(X;DF)
1
ДГ/-»(Я)(У; /-ХЛ ® ЯГ(У; Dj!F)
i
RrT(Y;g,F)<s>(Rre(Y;g,F)r
I
- ЯГС(У;^)®(ДГС(У;<?!^))*
Диаграмма (9.6.6)
Определение 9.6.3. В этих условиях обозначим через Су(у>) образ
C(ip) при действии морфизма
Я&(У;и;г) -> Я°у}(У;и;у) ~ к.
Если у £ Z, то положим Су(у>) = 0.
Бели Z конечно, то очевидно, что
tr(p) = Е ад.
Обозначения 9.6.4. С этого места мы будем считать У = X и
S = idy, т. е. Z является пересечением supp(F) и множества
неподвижных точек морфизма /.
Если х — неподвижная точка морфизма /, то через <рх мы будем
обозначать эндоморфизм объекта Fx, являющийся композицией мор-
физмов
F„ ~ (f~lF)x — F..
9

502 Гл.9. Характеристические циклы
Если х — неподвижная точка морфизма fax является
изолированной точкой множества /-1(я) Г\Т = /-1(я) Пsupp(F) П
/-1(supp(F)), то через Г{х}(<р) мы обозначим эндоморфизм
ЯГ{«}(Л'; F), являющийся композицией морфизмов
Rr{t}(X; F) —> ЯГ{/-,(#)}(Х; Г1^) -^
RTy-wyMX; F) —> RT{#}(X;F).
При вычислениях необходимо соблюдать осторожность, так как
С*(у>), и(у>») и Ьг(Г{»}(у>)) — это, вообще говоря, различные
объекты.
Пример 9.6.5. Пусть / : К —► К — аналитический
диффеоморфизм с двумя неподвижными точками t0 и ti, t0 < ti, т. е. /
индуцирует гомеоморфизм интервала [<o,'i]- Пусть F = £[«„,«,], а <р
является каноническим изоморфизмом /-1fc[t0,ti] -* tyo.ii]- Тогда
ti(<p) = x(R; F) = 1 = Cto(<p)+Ctl(<p). С другой стороны, <pti действует
как тождественное преобразование на Fti (i = 0,1). Следовательно,
ti(<pti) = 1 и Cti(<p) ф tr(y>ti) для i = 0,1. Аналогичные аргументы
справедливы для Г^гу((р). Как мы увидим позже, Cti(<p) = 0 или 1 в
зависимости от того, возрастает или убывает f{i) — t в <,-.
Пример 9.6.6. Пусть X есть n-мерное компактное многообразие,
F = кх и <р — канонический морфизм /-1fcjc ^* кх. Рассмотрим
цепочку морфизмов
кх a RHom(kx,kx)
~б'(кх®шх)
—♦ 6h,ux-
Пусть Г/ = {(f(x),x);x € X}, и пусть j: Г/ «-► X х X — вложение.
Тогда по построению C(ip) является образом 1 при действии
морфизмов
Г(Х; кх) -^ Н°Л(Х хХ;кхВых)
-^Н°-Чл)(Г,;Г1(кх®шх))
— я?-»(л)(/>;«-/7)
-~_ Н°.1(Л)(Х х Х;иххх).

9.6. Формула Лефшеца для неподвижных точек 503
Пусть [/>] € Я£,(Х х X;CSn{kxВогх)) и [А] £ Н°(Х х X; ZSn(kxВ
огх)) — циклы, ассоциированные с Г/ и А. Тогда, отождествляя
(огх И кх)\л и (кх Н ог)|д, получаем аA) = [А]. Отсюда
$ЦА]) = [Г,]П[А],
что дает
(9.6.7) C(<p) = [rf]n[A).
Таким образом, мы вывели знаменитую формулу Лефшеца для
неподвижных точек
}
(см. замечание 9.0).
Другими словами, след <р вычисляется как индекс пересечения
графика морфизма / и диагонали.
Замечание 9.6.7. Пусть х — изолированная точка в Z. Тогда
Сх(<р) является локальным инвариантом в следующем смысле:
пусть F и F* принадлежат ОЬ@^_е(Х)), <р: /_1F -► F, ip': f~lF' -►
F' — морфизмы. Предположим, что существует окрестность W
точки а; и изоморфизм ф: F\w —► F'\w, такие, что диаграмма
f~lF\Wnj-\(w) ► F\Wnj-\(w)
f~l F'\wnj-i(w) ► F'\wnj-*(W)
коммутативна. Тогда Сх(<р) = Cx(<p'). Доказательство тривиально.
Мы расскажем теперь, как можно вычислить С(<р) в некоторых
конкретных случаях. Начнем с доказательства гомотопической
инвариантности класса С(у>).
Пусть / = [0,1], /: X х I —► X — ограничение морфизма
многообразий X х Ж -* X, р: X х 1~* X — проекция. Пусть F € ОЬ@£_С(Х)),
и пусть ip: j~lF —► p-1F — морфизм. Для t e / пусть », обозначает
вложение X «-+ X х I, х *-* (x,t). Положим /t = / о it,<pt = ij(y>):
Z = {(*,«) 6 supp(F) x /; /(*,<) = *}.

504 Гл.9. Характеристические циклы
Предложение 9.6.8. Пусть множество Z, определенное
этими условиями, является компактным. Тогда образ С(у><) в
H°,*AX;wx) не зависит от t.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
flHom(F,F)
1
Rru(XxX;F®DF) —+ RruxI(X х X х /;FB DFH Jb/)
1 I
Rrp{2)(X;fr1F®DF) <— RFz(XxI;f-1F®p-'DF)
fp(^№F®DF) < ЯГг(Х x/jjr'FBp!
1 1
ДГр(^(Х;и;х) « ■ RFj(X x /;p"W)
где if — это морфизм, индуцированный отображением id —► it, oij-1.
Тогда C(^t) есть образ с € Н°я(Х х 1\р~1их) при действии г*. Так
как морфизмы
*$*)(*;«"*) "^ ЯР°-W* * /;P_W) -^ Я^(Х;а,х)
являются изоморфизмами и г* ор# = id, то г* не зависит от <. D
Пусть теперь х — изолированная точка в Z, а V — локально
замкнутая субаналитическая окрестность точки х, такая, что
(9.6.8) V П f~l(V) замкнуто в V и открыто в f~l(V).
Пусть Гу(<р) обозначает морфизм из f~lRFv(F) в RFv(F),
являющийся композицией
f~lRrv(F) —+ fir/-,(v)(/-1F) —♦ RTj-xlv)(F)
— Rr}-4V)nV(F) —* RTV(F).

9.6. Формула Лефшеца для неподвижных точек 505
Предложение 9.6.9. Пусть имеет место (9.6.8). Тогда Сх(<р) =
Сх(Гу(<р)). В частности, если V относительно компактно и ZC\V =
{*}, то Сг(<р) = Ь(Гу(<р)).
Доказательство. Утверждение является следствием локальной
инвариантности (замечание 9.6.7) и теоремы Лефшеца (предложение
9.6.2). D
Справедливо аналогичное утверждение.
Пусть V — локально замкнутая субаналитическая окрестность
точки я, такая, что
(9.6.9) V П f~l(V) открыто eV и замкнуто в f~l(V).
Пусть <pv — морфизм из f~lFy в Fv, являющийся композицией
f~lFy —► (f~lF)/-i(v) —*~^'j-1(y) —► Fynj-цу) —► Fv.
Предложение 9.6.10. Пусть выполняется условие (9.6.9) имеет
место. Тогда Сх(<р) = Cx(<pv)- В частности, если V относительно
компактна ZC\V = {х}, то Ct(<p) = tr(yv).
Теперь мы займемся вычислением следа специализации морфизма
<р в неподвижной точке х отображения /. Для краткости мы будем
писать vxF вместо i/{ty(F). Обозначим через их<р композицию мор-
физмов (см. предложение 4.2.5)
(9.6.10) {Ttf)-lvtF ► Vtf~lF —+ v.F.
Предположим, что
(9.6.11) Г] и А пересекаются трансверсально в х £ X.
Из этого предположения следует, что 0 — единственная неподвижная
точка отображения T„f: Т„Х —► Т„Х.
Предложение 9.6.11. Пусть выполняется условие (9.6.11). Тогда
Ct(tp) = C0(i/tip).
Доказательство. Достаточно рассмотреть коммутативную
диаграмму (9.6.12) (см. с. 506), при построении которой мы
использовали изоморфизм Di/fF ~ i/rDF из предложения 8.4.13. О
Из этого предложения следует, что для вычисления Ct(<p) при
условии (9.6.11) достаточно рассмотреть следующую ситуацию.

:?
I
в;
Q
Q
В
:?
* tC
rf
в;
Q
<■*■»
ч
с
в;
т ~ ь.
£
rf
£
С
в;
Q
в
Q
*
X —» Ь
tf
а*
Q
т ^ ь<
<■*■»
ч
в;
*
h*
<■*■»
н
С
в;
S
S
1
5
¥
о
И
в;
ь.
Q
В
1*.
*
X
ьГ
Q
в
ь.
vH
"*-»
*
5
OJ
>
»
с
Q
в
ь,
*4
1 —
"*-»
*
5
«ч
'н
3
~* й
^
а;
X
3
С
ft!

9.6. Формула Лефшецй для неподвижных точек 507
Пусть V — конечномерное вещественное линейное пространство,
и : V —► V — линейный эндоморфизм, F — конический объект в
Dr-c(V) и <р € Hom(u~1f*IF). Предположим, что
(9.6.13) 1 не является собственным значением эндоморфизма и.
Пусть Vе обозначает комплексификацию пространства V. Для А е С
через Vjp обозначим обобщенное собственное подпространство в Vе,
отвечающее А, т. е. х £ Vf в том и только в том случае, когда
существует го > 0, такое, что (и — А)т(я) = 0. Линейное подпространство
V, С V называется сжимающимся, если
(9.6.14)
Г "(К.) С К.,
u\v, не имеет собственных значений А € R,
таких, что А > 1,
u\v/v, не имеет собственных значений A € Ж,
таких, что 0 ^ А < 1,
что эквивалентно условиям
( U(V,)CV„
(9.6.15) I 0KACCV.®,CC Ф КЛС.
I 0<А<1 Л*]1,+оо[
Из этих условий следует, что и-1(К,) = V,.
Аналогично, назовем линейное подпространство Vt С V
расширяющимся, если
«(V«) С V.,
u\v. не имеет собственных значений А € И,
(9.6.16) ^ таких, что 0 < А < 1,
ulv/v. не имеет собственных значений A € R,
таких, что А > 1,
Это экривалентно условиям
( *(К.) С Vt,
(9.6.17) | еКдССКг®кСС 0КЛС.
I 1<Л А*[0,11

508 Гл.9. Характеристические циклы
Мы сконцентрируем внимание на расширяющихся пространствах.
Пусть К« — расширяющееся пространство. Тогда u\v,: Vt —► Vt —
изоморфизм. Пусть Ге(<ру.) — эндоморфизм, являющийся
композицией
RT4V.;F\V.) > Rrjy,;u-lF\vm) -Jf-^ Rre(Ve]F\v.).
Предложение 9.6.12. Пусть и: V —► V — линейное отображение
без нетривиальных неподвижных точек uVt — расширяющееся
подпространство в V {см. (9.6.13)). Пусть F — конический объект в
Dr_c(V) « <Р € НотСи-1^,^). Тогда С0(<р) = ti(re(<pv.)).
Доказательство, (а) Предположим сначала, что и не имеет
собственных значений А € С, таких, что |Л| = 1. Рассмотрим разложение
К = К++К.,где
V+=(®VACjfW, v_= |0vf (ПК.
\|A|>1 / \|А|<1 /
Выберем норму на V, для которой существуют константы
ci,c2,0 < с\ < 1 < C2, такие, что \и(х)\ > съ\х\ на V+ и \и(х)\ < с\\х\
наК_.
Положим Z„j = {я G V+;|a;| < а} х {я € V_;|a:| € 6}. Тогда
u-1(Z„i) nZ0t открытое Za\ и замкнуто в u-1(Ze»)- Применяя
предложение 9.6.9, получаем
(9.6.18) Co(p) = tr(!T(pO).
Здесь r(ipZtt) — эндоморфизм на Rr(X;Fz.h) ^ Rre(Zab;F\z.b),
индуцированный <pz.b-
Лемма 9.6.13. Для любого 6 > 0 существует ао > 0, такое, что
Rre(Za\\ F) —► Rre(Zoob; F) является изоморфизмом при а > а0.
Доказательство. Пусть У = {(*,»+) е R х К+; t2 + \х+\2 = 1}.
Вложим К+ в У с помощью отображения (я+ •-► i ' ■, у *t ^1.
Тогда V+ является открытым подмножеством в У, определенным
условием t > 0. Пусть j : V+ х V- —► У х VL — открытое
вложение. Тогда пучок F' = Rj<F[\T_^^ является w-R-конструктивным.
Теперь применима лемма 8.4.7 (<р = t). В самом деле, утверждение
леммы 9.6.13 эквивалентно следующему: ДГ({|<| ^ c};F') = 0 при
0<е<1. О

9.6. Формула Лвфиица для неподвижных точек 509
Окончание доказательства предложения 9.6.12. Пусть q : V —*
V- — проекция. Тогда так как Rq<F конично, то при 6 > О
(9.6.19)
Hke(V+;F)~Hb(RqiFH
~H*({x-eV-;\x-\4;b};Rq,F)
~ Urn H*(Zah;F).
а-*ео
По предыдущей лемме это изоморфно Hk(Zah',F) при а > 1, т. е.
мы получаем цепочку изоморфизмов Rre(V+;F) «^ Rre(Zoob\F)
♦^ Rre{Zai\ F). Это доказывает утверждение в том частном случае,
когда Vt = V+ и нет собственных чисел А, таких, что |А| = 1.
(b) Замена и на tu,t e R, 1 —t <. 1, не меняет Со(<р) (предложение
9.6.8 и замечание 9.6.15 ниже) и не меняет ti(re(<pv,)) (предложение
2.7.5). Следовательно, мы можем считать |Л| ф 1.
(c) Пусть W = фд^^ П V), и пусть Vt — расширяющееся
пространство. Из (а) следует, что достаточно доказать равенство
(9.6.20) Hre(<pw)) = и(Ге(<рУт)),
так как из него следует, что ti(re(<pw)) = ^(Fe(<pv,))- Для
доказательства (9.6.20) обозначим через V пространство Ve/W, а через
«' — отображение V —*V, индуцированное отображением и, и пусть
р: Vt —► VtfW — проекция. Заменяя V на V, и на и' и F на Rp<F,
получаем, что достаточно доказать равенство
(9.6.21) b(re(<pv)) = b(<po)
в предположении, что нет собственных чисел Л 6 [0, оо[.
Так как Rrc(V;F) ^ Rr{0}(V;F) и RT(V;F) =T F0, то (9.6.21)
эквивалентно утверждению, что след ip при действии на ЯГ(К\{0}; F)
равен 0. Так как F коничен, то этот след равен следу y,ip, при
действии на Ry,F, где у — отображение V \ {0} —► Sv = (V \ {0}/)R+.
del
По предположению у,и (отображение на Sv, индуцированное и) не
имеет неподвижных точек, т. е. tr(y,<p) = 0 (предложение 9.6.2). D
Аналогично доказывается
Предложение 9.6.14. Пусть и: V —* V — линейное отображение,
не имеющее нетривиальных неподвижных точек, а V, —
сжимающееся пространство (см. (9.6.14)). Пусть F — конический объект в
Oi-e(V), а<р£ Hom(u-1F, F). Тогда С0(<р) = tr(/V.(y>)).
Доказательство аналогично доказательству предложения 9.6.13.
Отметим, что ЛГу,(К; F) и ЯГС(К«; F) не обязательно изоморфны.

510
Гл.9. Характеристические циклы
Замечание 9.6.15. Пусть V — вещественное конечномерное
линейное пространство. Обозначим через р проекцию V х R —»■ V, а через
it — вложение V «-► V х R, х •-► (ж, t). Пусть и : Kxl-» V —
непрерывное отображение, линейное по z € V. Пусть F —
конический объект в 0^_С(К), а <р — морфизм из u~1F в p~lF. -Положим
щ = it о и. Пусть <pt = ij о <р; u^*F —► F. Тогда если 1 не является
собственным значением щ, то Со(у><) не зависит от t. Это
утверждение следует из предложения 9.6.8.
Следствие 9.6.16. Пусть X — комплексное многообразие, a F €
0Ь@с_с(Х)). Тогда если выполнено (9.6.11), то Cx(tp) = tr(y>r).
Если, кроме этого, О не является собственным значением для f'(x)
(т. е. f — локальным изоморфизм в точке х), тоСх(<р) = *Г(А*}(^))-
Доказательство. Заменяя F на vsF, мы можем считать X
комплексным векторным пространством, / —линейным отображением, a F —
Сх-коническим объектом (в том смысле, что F локально постоянен
на Сх-орбитах в X). Заменяя / на А/, где А € С и |А —1| < 1, мы
можем считать, что любое ненулевое собственное значение отображения
/ не является вещественным. Положим Vt = {0}. Если 0 не является
собственным значением, то мы можем взять Vt = ТХХ и использовать
тот факт, что Rre{TtX; uxF) ~ Rr{t}(X; F). D
Пример 9.6.17. Пусть X есть n-мерное многообразие, F = кх и ip:
f~lF —► F — каноническое отображение. Пусть Гу и Л пересекаются
трансверсально в точке х„ € X. Тогда
(9.6.22) С*.(у>) = sgn(det(l - /'(*.)))•
Действительно, по предложению 9.6.11 мы можем считать
X линейным пространством, а / — линейным отображением.
Возьмем Vt = 0A>1(V^ П V) и применим предложение 9.6.12.
Тогда dety.(/|v;) > 0. Согласно предложению 3.2.3(iv), ipv,
действует единицей на ЛГ«(Кг; Jbx) ~ Jb[— dimK«]. Следовательно, Со(<р) =
ti(re(<pv.)) = (-l)dimV« = sgn(det(l - /'(*<>))) (последнее равенство
вытекает из того, что
detv(l - /'(*.)) = <btv.(l " f(*i)) ■ det„/vi(l - /'<*«))>
и det„/v.(l -/'(*.)) > 0, detv.(/'(*.) - 1) > 0).

9.7. Конструктивные функции и лагранжевы циклы 511
Пример 9.6.18. Пусть f,F и <р такие же, как в примере 9.6.5.
Предположим, что f'(to) ф 1. Тогда
(9.6.23) CM-{h еслио^^х!.
Действительно, С<0(у>) = tt(rc(<pv.)), и мы можем положить Vt =
ТХХ, если f'(t0) > 1, и Ке = {0}, если 0 ^ f'(t0) < 1. Так как
vtoF ~ fc{t>0}, то Rre(T{t<t)X;vuF) = 0 и flrc({0};i/«eF)~ *, откуда
следует (9.6.23).
9.7. Конструктивные функции
и лагранжевы циклы
конструктивной функцией <р на X называется функция,
принимающая целые значения (Z-функция), такая, что
/ ^ля ■*юо*ого m € Z л*ноз*сество ^-1(m) субаналитично
I, и семейство {^-1(т)}те* локально конечно.
Из результатов гл. 8 следует, что Z-функция конструктивна в том и
только в том случае, когда существует /i-стратификация Х = \JaXa,
такая, что <р\ха постоянна при любом а. Пусть 1д обозначает
характеристическую функцию подмножества А С X. По теореме
триангуляции функция <р конструктивна в том и только в том случае, когда
существуют локально конечное покрытие X = \JaXa, где Ха
компактны, субаналитичны и конструктивны, и целые числа тпа, такие,
чтор = £втв1хв.
Множество конструктивных функций на X обладает естественной
структурой алгебры. Эту алгебру мы будем обозначать CF(X). Пред-
пучок U >-* CF(U) (U — открытое подмножество в X), очевидно,
является пучком. Обозначим его через СТх и назовем пучком
конструктивных Z-функций на X. Отметим, что СТх — мягкий пучок.
Пусть теперь F € Ob(Dj_c(X)) (основное кольцо — поле к
характеристики 0). Локальная характеристика Эйлера-Пуанкаре
x(F)(x) = J2j(~*У'dimH^(F)x, очевидно, является
конструктивной функцией. Более того,
Г972х (x(F®G)=x(F) + X(G),
K"f \x(F®G) = x(F)x(G),
и если F' —► F —► F" —► — выделенный треугольник, то
(9.7.3) X(F) = X(F') + X(F")
(см. упр. 1.34).

512
Гл.9. Характеристические циклы
Обозначим через К»_С(Х) группу Гротендика категории D^_C(X)
(см. упр. 1.27). Эта группа есть факторгруппа свободной абелевой
группы с образующими из ОЬ@^_(.(Х)) по множеству
соотношений F = F' + F" (соотношения находятся во взаимно однозначном
соответствии с выделенными треугольниками F' —*■ F —► F" —►).
По теореме 8.1.11 К»_С(Х) является группой Гротендика абелевой
категории R-fone(X). По (9.7.3) локальная характеристика Эйлера-
Пуанкаре х индуцирует групповой гомоморфизм, также
обозначаемый через х-
(9.7.4) X:Km_,(X)-*CF(X).
Теорема 9.7.1. Морфизм х является изоморфизмом.
Доказательство, (а) Пусть (р € CF(X). Выберем субаналитическую
стратификацию X = \Ja€A Ха, такую, что <р = £в6Д гпа1Хо,, та €
Z. Пусть са = sgn(ma) при та ф 0. Положим
(9.7.5) j.= $t£-l[izf-],
вед< L J
гдеА' = {а€А;тафО}.
Очевидно, что F € ОЬ@^_с(Х)) и x(F) = 9- Это доказывает
сюръективность х (отметим, что supp(F) = supp(y>)).
(b) Докажем инъективность х- Элемент и € К»_С(Х) представим в
виде конечной суммы и = £. aj [Fj], где aj € Z, а [Fj] обозначает образ
Fj e Ob(D^_c(X)) в KR_C(X). Если F € Ob(D^_c(X)), то положим
Fk = F©- • -®F (Jb раз) для Jb € N и F* = F-*[l] для ik < 0. Имеем и =
[ф^ F*J']. Следовательно, и € К»_С(Х) представим одним объектом
FH3 0i_e(X).
Пусть X = Ц,, Ze — субаналитическая стратификация, такая, что
#'(^)|z» постоянны для всех j и всех а. Пусть Х^ обозначает
объединение стратов коразмерности ik. Из рассмотрения выделенного
треугольника Fx0 —► F —► Fx\x0 —► получаем
[F\ = [Fx.] + [Fx\x.].
Продолжая это рассуждение, получаем [F] = ^[Fjc»], т. е. (см.
упр. 1.27)
[F] = U-iY[H4F)xk].

9.7. Конструктивные функции и лагранэкхвы циклы 513
Таким образом, из x(F) = О следует, что для любого а
dim 0 H*(F)tm = dim 0 H>{F)Za.
Значит,
j чет. ) нечет.
0*'(F),.~ 0 Hi(F)Sa
jчет. jнечет.
0 *'(*>.- 0 Hi(F)Xk
j чет. j нечет.
(так как Xk является дизъюнктным объединением Za), что
доказывает равенство [F] = 0. D
Рассмотрим естественные операции на конструктивных функциях.
Пусть X и У — многообразия.
(a) Определим «внешнее произведение»
(9.7.6) СТхЪСТх^СТх%у,
полагая (у>В ф){х, у) = <р(х) • гр(у). Очевидно, что если <р = x(F), *Р =
X(G), то<рВф = x(FВ G).
(b) Пусть f:Y—*X — морфизм многообразий. Определим
«обратный образ»
(9.7.7) r-rlCTx^CTY>
полагая (f<p)(y) = <p(f(y)). Если <р = x(F), то /> = x(/_1F)•
(c) Пусть у> € /'«(A'jC.^x). Определим «интеграл» от <р,
обозначаемый через Jx ip, следующим образом. Выберем объект F £
Ob(D^_c(X)) с компактным носителем, такой, что x(F) = <Р-
Положим
J<p = x(X;F).
х
Определенное таким образом число зависит только от <р (из-за
аддитивности функтора х(Х; •) по отношению к выделенным
треугольниками; см. также теорему 9.7.1).
Значение fx <p может быть найдено следующим образом.
Выберем конечное семейство {Ха} относительно компактных
локально замкнутых субаналитических подмножеств, таких, что
9 = На тоДл\,, та G Z. Тогда
(9.7.8) f<P = Zrnax(X;kXa).
J a
X
17 М. Касивара

514
Гл.9. Характеристические циклы
В частности, если Ха компактны и конструктивны, то /х <р = £„ та.
(d) Пусть f:Y—*X — морфизм многообразий. Определим
«прямой образ»
(9.7.9) f.:f<.CrY^CFx,
полагая
(/.*)(*) = J* ■ 1/-Ч»)-
у
Для проверки конструктивности ft%l> применим теорему 9.7.1,
представив i/> как x(G), G € ОЬ@£„е(У)), таким образом, чтобы
/ был собственным на supp(G). Тогда
f.x(G) = x(RfiG),
так как x(RfiG)(x) = x(Y;G® к{.цж)).
(e) Наконец, для <р € СТХ мы определим «двойственную
функцию», обозначаемую через Dx<p (или просто Dip). Пусть <р = х(^)'>
тогда Dx<p = x(Dx^)- Так как Dx — триангулированный функтор,
а х аддитивен, то определение корректно. Заметим, что (Dx<p)(x) =
Xe(F)(x). Поэтому значение (Dx<p)(x) можно найти следующим
образом. Выберем локальную систему координат с началом в я и
обозначим через В{х,е) открытый шар с центром в х радиуса е. Бели е > О
достаточно мало, то по лемме 8.4.7
Rr{t)(X;F)~Rre(B(x,e);F)
~Rr(X;F®kBitit)).
Следовательно,
(9.7.10) (Dxp)(«) = JlB(,,.)<P
х
для 0 < е < 1. Отметим, что значение (Dx<p)(x) зависит только от
ростка функции ip в х, т. е. Dx является эндоморфизмом пучка СТх
(9.7.11) Ъх'.СТх^СТх-
Предложение 9.7.2. (i) Пусть <р € CF(X). Тогда Т>х о DjcV = ip.
(ii) Пусть f : У —► X — морфизм многообразий и if> €
r(X;f,CFY). Тогда f,DYi/> = Vf,i/>.
Доказательство следует из соответствующих свойств пучков и
теоремы 9.7.1. D

9.7. Конструктивные функции и лагранжевы циклы 515
Пример 9.7.3. Пусть Z — локально замкнутое субаналитическое
подмножество в X. Предположим, что для любой точки х £ Z
существует фундаментальная система открытых окрестностей U, U С X,
такая, что UDZ гомеоморфно Жл. Тогда легко доказать, что DjfJbz —
k-g[d\. Следовательно,
(9.7.12) DX1Z = (-l)'lj.
Пусть Z компактно и jx lj = 1. Положим dZ = Z \ Z. Так как
fx X9Z = Ix 4~ fx ** и /x lz = Jx Dxlz, то
(9.7.13) x(dZ;kaz) = JUz = 1 - (-1)'-
x
Это является обобщением формулы Эйлера.
Мы построим теперь операции на пространстве конструктивных
функций, аналогичные пучковым операциям.
Пусть /: У —► X — морфизм многообразий. Определим
(9.7.14) ?.Г1СТх^СТу
формулой
/! = Dyo/*oDx.
Если tp = x(F),F € ОЬ@£_с(Х)), то f\F = x(fF). Аналогично
определим
(9.7.15) horn: СТх х СТх -* СТх,
полагая
кот(ф, <р) = Dxty ■ (Dx<p))-
Из предложения 3.4.6 следует, что если F и G принадлежат D^_C(X),
то
hom(X(G), X(F)) = X{KHom{G, F)).
Для определения микролокализации конструктивных функций нам
надо будет рассмотреть однородные конструктивные функции на
векторном расслоении.
Пусть т: Е —► Z — векторное расслоение. Обозначим через СТе/ж*
подпучок пучка СТе, состоящий из функций, постоянных на орбитах
группы Ж+. Положим
(9.7.16) CFR+(£) = Г(Е; £FB/R+).
Пусть Ощ_са+(£) обозначает полную триангулированную
подкатегорию конических объектов в 0л_е(Е), и пусть Кв_ед+(£) — ее
группа Гротендика.

516
Гл.9. Характеристические циклы
Лемма 9.7.4. Локальная характеристика Эйлера-Пуанкаре
индуцирует изоморфизм
X--KR_CiR+(S)-CFR+(£).
Доказательство. Пусть »: Z с-+ Е — нулевое вложение, а у. Е с-+ Е
и у: Е —► Е/Ж+ — естественные отображения. Положим Se = Е/Ж+.
Существует коммутативная диаграмма
О ► KR_C(Z) ► KR_ +(£) —- KR_CEB) ► О
or *^ p
(9-7.17) [ [ [
О ► CF(Z) ► CF_ + (£) ► CF(SB) ► О
о' (8<
где а обозначает функтор Я».: DR_C(Z) —► D' _+(£)> P — функ-
К—С,К
тор Ry, о j'-1 : DR ж+(£) -»■ Oi-c(Se), <*' — это морфизм
«расширения нулем», а C1 -— естественный морфнзм. Первая и третья
вертикальные стрелки являются изоморфизмами по теореме 9.7.1,
а нижняя строка, очевидно, является точной последовательностью.
Достаточно показать, что верхняя строка — точная
последовательность. Пусть Р": К»_сE£;) —► KR_cR+(£) — отображение,
производное от^н» Rjiy~1F (см. предложение 8.3.8 (i)), и a": KR_cR+(£) —►
KR_C(Z) — отображение, производное от F-» »'-1F. Тогда если
F G Ob(D* R+(^))i то мы имеем выделенный треугольник
Rj,y~1Ry,F -^ F -► п»-1^ —>. Следовательно, 1 = 0" о $ + а о
и", а" о/?" = 0, что и доказывает точность верхней
последовательности. D
Определим морфизмы
(9.7.18) п и т„:т„С/"в/т+-*С/*,
полагая
(9.7.19) T\tp=ttp и т,<р=г*<р,
где » — это нулевое вложение Z с-* Е.
Дадим другое описание лит.. Выберем метрику на векторном
расслоении Е. Пусть В(е) — открытое множество в Е, такое, что
В(е) Г) т~1(г) для любого z € Z является открытым шаром радиуса

9.7. Конструктивные функции и лагранжевы циклы 517
е с центром в 0 (в индуцированной норме). Пусть <р £ CFR+(£). Из
предложения 3.75 следует, что
(9.7.20) т,<р = т,(<р ■ 1В(,)) и т,<р = т,(<р ■ 1-щ).
Определим теперь преобразование Фурье конструктивной функции.
Мы будем пользоваться обозначениями $ 3.7, а также через т: Е* —►
Z обозначим двойственное расслоение и через Pi и рз — проекции
Е xz Е* на Е и на Е* соответственно. Положим Р' = {(я, у) £ Е xz
Е*>{*>у) ^ 0} и обозначим через »в нулевое вложение Е* ~ Z xz
Е* <-+Exz E*.
Определение 9.7.5. Пусть ip £ CFR+(£). Положим
<РЛ = p2(((Pi<P) • !/")»
Ч? = (-1) V".
где п — размерность слоя расслоения Е, а <рла = а*<рл — образ
функции <рл при антиподальном отображении.
Назовем <рл (соответственно y>v) преобразованием Фурье
(соответственно обратным преобразованием Фурье) функции ip.
Отметим, что
(9.7.21) <РЛ=Ъ((Р1<Р)-1Р')-
Из определения л следует, что если F £ Ob(DR_c(£)) и F коничен,
то
(9.7.22) X(F )Л = X(Fл)-
Таким образом, из леммы 9.7.4 и теоремы 3.7.9 следует
Предложение 9.7.6. Пусть <р £ CFR+(£). Тогда <рл и y>v
принадлежат CF^(E') и у>ЛУ = у>Ул = <р.
Несложным упражнением для читателя является
переформулировка предложений 3.7.13, 3.7.14 и 3.7.15 в аналогичные утверждения
о конструктивных функциях.
Отметим, что преобразование Фурье коммутирует с оператором
замены базы. В частности, можно вычислять <рл послойно, т. е. если
<р£С¥л+(Е) uz£Z, то
(9.7.23) (^)|1Г-1(,) = (^|Т.1(,))Л.

518 Гл.9. Характеристические циклы
Примеры 9.7.7. (i) Пусть Е — линейное пространство, ay € Е'.
Тогда по определению
в
(И) Пусть U — открытый выпуклый конус в Е, а у — замкнутый
выпуклый собственный конус в Е, содержащий Z. Тогда
AУ)Л = (-1)Уо.,
A7) = llnty
Эти утверждения следуют из леммы 3.7.10 (но могут быть проверены
непосредственно).
Наконец, дадим определение специализации и микролокализации
конструктивных функций.
Пусть М — замкнутое подмногообразие в X и » — вложение М «—►
X. Мы будем использовать морфизмы p,j,s из гл. 4 и диаграмму
D.1.5).
Определение 9.7.8. (i) Пусть <р £ CF(X). Положим
vm(<p) = -s\(p*<p) ■ 1п),
/iAf(y) = vm(<p)a ■
(ii) Пусть <р и ф принадлежат CF(X). Положим
цАот(гр, ip) = цл(<р В Dxi>).
Следовательно, мы определили морфизмы
i/д,: х~1СТх -* т.СГТиХ/л+,
(ifiom: СТх х С?х -* t»^t*X/r+-
Очевидно, что эти морфизмы «коммутируют» с х- Например,
(9.7.24) x(/i/U>m(G, F)) = /ibom(X(G), X(F))
для F и G из 0{_е(Х).

9.7. Конструктивные функции и лагранжевы циклы 519
Пример 9.7.9. (i) Пусть ,(х', х") — локальная система координат на
X, такая, что М = {х' = 0}. Пусть t — координата на R, a j —
вложение X х Ш* «-► X х R. Тогда
(vM(<p))(x',x«) = -Dx((DxxR(yK^',*") • 1{<>о}))|«=о).
(ii) Пусть (я, у) — координаты на R2, М = {0},А = {у = 0, х ^
0} U {у = *2,* > 0}. Тогда Са/(А) = {у = 0,* > 0}, но vM(lA) =
2-1см(д)-1{о}-
Отсюда вытекает, что в общем случае им Aд) ^ 1см(Л) (однако
носитель функции vm{^a) всегда содержится в См(Л)).
(iii) Пусть г : Е -* Z — векторное расслоение и <р € CFR+(£).
Тогда vz(y>) = <р.
Рассмотрим теперь группу лагранжевых циклов на Г*Х.
Пусть Сх обозначает пучок лагранжевых циклов на Т*Х над
кольцом Z. Из предложения 9.4.5 следует, что характеристический цикл
СС(') определяет гомоморфизм (также обозначаемый СС):
(9.7.25) СС: КЕ-с(Х) -+ Н°(Т*Х; Сх).
Теорема 9.7.10. Гомоморфизм СС в (9.7.25) является
изоморфизмом.
Доказательство, (а) Пусть А — лагранжев цикл. Построим объект
F € ОЬ@£_с(Х)), такой, что CC(F) = А. Пусть А = supp(A). Это
коническое субаналитическое изотропное подмножество в I^X. Мы
будем проводить рассуждения индукцией по <Итк(Л). Существует
субаналитическое подмногообразие У с X, такое, что У открыто в
т(Л), dim(ir(yl) \ У) < dimir(yl) и Л П т-1(У) С 7уХ. Следовательно,
Лг 'х(£х) — локально постоянный пучок ранга 1 на т-1(У). Поэтому
существует F G ОЬ@£_с(Х)), такой, что supp(F) С У, #j(F)|y
локально постоянны и CC(F) = А на т-1(У). Положив ц = А — CC(F),
имеем dimir(supp(/i)) < dimir(jl). Продолжаем индуктивное
рассуждение, заменив А на ft.
(Ь) Пусть F € Ob(D^_c(X)) и CC(F) = 0. Докажем, что F = 0
в К»_С(Х). Из теоремы 9.7.1 следует, что достаточно доказать, что
x(F)(x) = 0 для всех я. Но это следует из замечания 9.5.5. D
Определим «морфизм Эйлера»
(9.7.26) Ей: *„£* -> СТХ
следующим образом. Пусть х £ X, а ф такова, что ф(х) = 0, Аф(х) = 0
и гессиан ф в точке х положительно определен. Пусть А — сечение
пучка **Сх- Положим
Еи(\)(х) = #(Ыг\\)х.

520
Гл.9. Характеристические циклы
По теореме 9.7.10 и замечанию 9.5.5 морфизм Ей корректно определен
и имеет место
Теорема 9.7.11. Диаграмма
К,_в(Х).
ее
/
Н°(ГХ;СХ) -~ Н'(Х;СГХ)
коммутативна и ее стрелки являются изоморфизмами.
Упражнения к гл. 9
Упражнение 9.1. Пусть F является К-конструктивным пучком
на многообразии X. Докажите, что Hom(F,CS.x) изоморфен
KHom(F,wx) в категории D*(X). (Указание. Используйте упр. 9.2.)
Упражнение 9.2. Пусть 5 — замкнутое субаналитическое
подмножество многообразия X. Непрерывная вещественнозначная функция
<рп& S называется субаналитической, если ее график субаналитичен
вХх1.
(i) Докажите, что пучок Ss субаналитических функций на S
является мягким пучком колец и что морфизм Sx —► Ss сюръ-
ективен.
(ii) Окольцованное пространство (X,S) называется
субаналитическим, если оно локально изоморфно (как окольцованное
пространство) субаналитическому подмножеству
вещественно-аналитического многообразия с пучком субаналитических
функций на нем. Дайте определение субаналитического
подмножества в X, IR-конструктивного пучка на X и комплекса
пучков субаналитических циклов CS.X. Докажите, что CS.X
изоморфен их в категории D*(X). Докажите утверждение,
аналогичное утверждению упр. 9.1 (Указание. Используйте
результат Хиронаки, сформулированный в упр. 9.3.)
Упражнение 9.3. Пусть X есть n-мерное многообразие, а основное
кольцо А — это С. Докажите, что существует морфизм комплексов
(9.У.1) CS.X -*» Vbx ® огх[п],

Упражнения к гл. 9 521
который является квазиизоморфизмом. Здесь Vbx — комплекс де
Рама с коэффициентами в распределениях. (Указание. Используйте
следующий результат, принадлежащий Хиронаке, — авторы
благодарны ему за возможность включить этот результат в книгу:
Пусть S — локально замкнутое вещественно-аналитическое
подмногообразие в X размерности р. Пусть S субаналитично в X.
Тогда существуют р-мерное вещественно-аналитическое многообразие
У, морфизм вещественно-аналитических многообразий /: У —► X и
открытое вложение »:S «-► У, такие, что »(S) субаналитично в У, /
собствен на »'E) и /о» совпадает с вложением S '-* X (можно считать,
что »(S) локально определено неравенствами (j/i > 0,..., j/t > 0} в У,
где (j/i,..., ур) — локальная система координат в У).
Теперь определим ф в (9.У.1) следующим образом. Для р-мерного
ориентированного субаналитического подмногообразия S и сечения
в е ГС(Х;С£,(Р)) положим f ф([51\)в = fs9.)
Упражнение 9.4. Пусть /: У -»Х — морфизм многообразий, а
<р: У —► R — вещественно-аналитическая функция. Для А € К
определим отображение р\: У ххТ*Х -* T*Y так: р *-► */'(p) + Ad9(ir(p)).
Если 5 замкнуто в Г*У, то определим
ал: tf°(T*y;*?V) - Hj.l(S) (УхТ*Х;*- V) ,
используя морфизм Рх1 Ту 1шу ^ T-1wy. Если Т замкнуто в Y ххТ*Х
и /» собствен на Г, то определим
/?: Я» (УхГ*Х; *" V) - Яу°.(Т)(Г*Х; ж jW),
ИСПОЛЬЗуЯ МОрфиЗМЫ Rfw\Z~lWx ^ ZxlRf\0tY —* KxlUX-
Пусть теперь G € ОЬ@£_с(У)), а / собствен на supp(G) П У« для
всех t, где У< = {tp < <}. Пусть t, € R, и для некоторого
фиксированного А > 0 положим
т±= U /^(вадгчг-чуо)-
(i) Предположим, что для у € У \ У«
drt»)*SS(G) + y(y)<r*X).
Докажите, что fl/„G € Ob(D£_c(X)), p^ 1(SS(G))
содержится в Т+ и CC(Rf,G) = Р о ax(CC(G)) содержится в
(ii) Докажите аналогичное утверждение с заменой dy>(y) на
—dy>(y), Л/.G на Д/iG, ад на ог_д и Т+наГ_.

522
Гл.9. Характеристические циклы
Упражнение 9.5. Пусть г: Е —* Z — векторное расслоение, а в —
эйлерово векторное поле на Е, и пусть Р± = {±0 > 0} С Т'Е. Пусть
А — замкнутое коническое подмножество в Р+Г\Р-. Обозначим через
г вложение T*Z <-^ Р± С Т'Е.
(i) Постройте морфизм
<Р± ■■ ЯГл(тд1Ы£!) ->»»tCzxuz.
(Указание. Рассмотрите морфизмы
ДГл(тв1ыв)*~ НГЛНГР±(ж^1ыв) - RrA(AP:f ® ЯГР±(жЕ1ыЕ))
и используйте существование изоморфизма Ар^ ®
&Гр±(*е1ше) =а i**zlwz-)
(И) Достройте морфизм
гР±: ИХСГЕ;ж^ив) - Hf.^T'Z^wz).
(iii) Пусть F — конический объект в 0^_С(Е). Докажите, что
CC(Rr.) = i>.(CC(F)),
СС(Дл) = V+(CC(^)).
(Указание. Используйте упр. 9.4.)
Упражнение 9.6. Пусть X — компактное многообразие нечетной
размерности. Докажите, что x(X\kx) = 0.
Упражнение 9.7. Пусть F — конический R-конструктивный
объект в Оь(Е), где Е — векторное расслоение. Используя
упр. 7.2, отождествляя Т'ЕиТ*Е", как в предложении 5.5.1, и
отождествляя тге1ше и те1ше', докажите, что CC(F) = CC(FA).
Упражнение 9.8 (теорема Хопфа об индексе). Пусть X —
компактное многообразие, a v — вещественно-аналитическое
векторное поле на X с конечным множеством нулей xi,...,xjf.
Пусть поле невырожденно в каждой точке Xt (к = 1,...,JV), т. е.
v — YL\ja\}z*W~- + ^(кР) в локальной системе координат с
центром Хк, причем матрица Аи = (ву) невырожденна. Положим
et = sgndet^t). Докажите, что
X(X;QX)= I>*.
(Указание. Рассмотрите сечение « касательного расслоения ТХ —►
X, заданное полем v, и вычислите индекс пересечения сечения s и
нулевого сечения.)

Замечания
523
Упражнение 9.9. Докажите предложение 9.6.2 без предположения
о компактности supp(F).
Упражнение 9.10. Пусть Е — конечномерное линейное
пространство, а Л = Гс{Е\СТе) — группа конструктивных функций на Е с
компактными носителями.
(i) Постройте операцию свертки на Л, заданную формулой tp*i/> =
8,{tp Н ф), где я — отображение Е х Е —► Е, (х, у) *-* х + у.
(ii) Докажите, что (А, *) — коммутативная алгебра с единицей
(iii) Пусть Z — выпуклое компактное субаналитическое
подмножество в Е. Докажите, что
1Z*DA_Z) = 1{0}.
(iv) Докажите, что D(<p * J>) = Dip * Dtf> я JE(<p * V») = (JE У)(/£ V»)-
Упражнение 9.11. Пусть Jb — поле, V — вещественное линейное
пространство, V* — двойственное пространство, q — проекция Т* V ~
V xV* —* V*. Пусть F € Ob(Dg_c(ifcv)) имеет компактный носитель.
Предположим, что
(i) F ~ *£#} в 0»(К;р), гдер = (..;*.) GTV;
(ii)g-46)nSS(F) = {p}.
Докажите, что g(SS(F)) = V*.
(Указание. Докажите, что supp(g.CC(F)) = V*.)
Упражнение 9.12. Пусть X — комплексное многообразие.
(i) Пусть FeOb(D$,_c(X)). Докажите, что X(Ft) = х(ЛГ{„>(Х;
F)) для любого х £ X (см. [Sullivan 1]).
(ii) Пусть ф есть С-конструктивная функция на X (т. е.
существует комплексная стратификация X = LL^«> такая> что ф\ха
постоянна). Докажите, что £>х@) = ф.
(Указание. Используя функтор специализации, сведите задачу к
случаю, когда X — линейное пространство, a F локально постоянен
на орбитах С*. Затем используйте тот факт, что характеристика
Эйлера-Пуанкаре для S1 равна нулю.)
Замечания
Понятие цикла является одним из основных в алгебраической
геометрии, и мы отсылаем читателя к книге [Fulton 1] для
подробного ознакомления с теорией циклов. В
вещественно-аналитическом случае конструкции §9.2 являются когомологическими
вариантами результатов, хорошо известных специалистам в области

524
Гл.9. Характеристические циклы
теории гомологии (особенно после появления работ [Borel-Moore 1],
[Borel-Haefliger 1], [Неггега 1], [Bloom-Неггега 1], [Poly 1] и [Verdier 4]).
Формула Римана-Роха для конструктивных пучков на
комплексных многообразиях была предложена в качестве гипотезы Гротенди-
ком. Она была доказана Макферсоном [MacPherson 1], который ввел
так называемое локальное препятствие Эйлера (см. [Schwartz 1]) и
доказал, что изоморфизм между группой циклов и группой
конструктивных функций коммутирует с функтором прямого образа. Затем в
работах Сабба и Гинзбурга (см. [Sabbah 1], [Гинзбург 1] и [Ginsburg
2]) были построены функториальные операции на лагранжевых
циклах и получены результаты (в комплексном случае), аналогичные
результатам § 9.3. Наши методы, однако, существенно отличаются от
методов этих двух авторов.
Теорема о характеристике Эйлера-Пуанкаре первоначально была
доказана Касиварой для голономных 2>-модулей. Касивара ввел
инвариант, оказавшийся эквивалентным инварианту Макферсона (см.
[Brylinski-Dubson-Kashiwara 1]). Затем Дабсон [Dubson 1] в
комплексном случае и Касивара [Kashiwara 7] в вещественном случае показали,
что эта формула может быть интерпретирована как формула
пересечения. Конструкция характеристического класса из $9.4
сравнительно недавняя (предыдущее построение принадлежит Касиваре и
использует формулу (9.4.10)).
Мы не будем давать обзора результатов, связанных с формулой
Лефшеца. Напомним только, что Вердье первым указал, что
формализм двойственности Гротендика может быть применен для вывода
общих формул следа для соответствий между конструктивными
пучками в этальном случае (см. [SGA 5, expose III]). Результаты $9.6, в
сущности, новые, они были анонсированы Касиварой [Kashivara 8] в
1988 г. Необходимо упомянуть, что формула Лефшеца для
многообразий с краем была впервые доказана в работе [Brenner-Shubin
1], где были введены понятия расширяющихся и сжимающихся
пространств.
Отметим, наконец, что в недавней работе [Schapira-Schnei-
ders 1] (см. также [Schapira 4]) была предложена конструкция
характеристических классов для более широкого класса пучков,
включающего 2>-модули.

Глава 10
Превратные пучки
Хотя превратные пучки — сравнительно новый объект исследований,
они играют важную роль в таких областях математики, как
алгебраическая геометрия и теория представлений групп. Систематическое
изложение этой теории в аналитическом случае в литературе найти
трудно, хотя в этих вопросах достигнуто достаточно глубокое
понимание.
В этой главе мы определим превратные пучки на вещественно-
аналитическом многообразии X и покажем, что они образуют абе-
леву подкатегорию категории Dg_c(X). Затем мы рассмотрим
комплексный случай. Мы докажем, что превратность является
микролокальным свойством, т. е. что объект из 0£._С(Х) превратен в том
и только в том случае, когда он является чистым объектом со
сдвигом - dime X в общих точках своего микроносителя. Так как теория
Морса применима к микролокальным задачам, то мы можем
доказать теорему об обращении в нуль для превратных пучков на
многообразии Штейна. Затем мы докажем сохранение превратности при
действии функторов специализации, микролокализации и действии
преобразования Фурье-Сато. Для этого нам понадобятся
дополнительные сведения из гомологической алгебры. В § 10.1 мы введем
понятие {-структуры, что позволит нам строить абелевы подкатегории
в триангулированных категориях.
Читатель может ознакомиться со следующими работами по
теории превратных пучков: [Beilinson-Bernstein-Deligne 1], [Goresky-
MacPherson 2,3] (см. также [Borel et al. 1] и [Гельфанд-Манин 1]).
Мы придерживаемся соглашений 8.0.
10.1. «-структуры
Пусть О — триангулированная категория (см. § 1.5).
Определение 10.1.1. Пусть D^° и D^° — полные подкатегории в
О. Мы назовем пару (D^°, 0^°) t-структурой на О, если выполнены
следующие условия (здесь D^" = D^°[— n], D^n = D^°[—n]);
(i) О^-'сО^иО^СО^;
(ii) HomD(X, Y) = 0 при X € Ob(D<°) и У € ОЦО^1);

526 Гл.10. Превратные пучки
(iii) для любого X € Ob(D) существует выделенный треугольник
Хо —► X —»Xi —>в0, такой, что Х0 € 0Ь@<°) и Xi €
ОЦО^1).
Полная подкатегория С = D^° П D^° называется сердцевиной
(-структуры.
Замечание 10.1.2. (i) Понятие i-структуры самосопряжено, т. е.
если (D*°,D*0) есть (-структура на D, to((D^°)°, (D<°)°)
является (-структурой на противоположной триангулированной
категории 0°.
(ц) Если (D^°,D^°) есть f-структура на D, то (D^n,D^n) также
является (-структурой на 0.
Дадим несколько примеров.
Примеры 10.1.3. (i) Пусть С — абелева категория, a D = 0(C) —
ее производная категория. Обозначим через 0^°(С)
(соответственно 0^°(С)) полную подкатегорию в О, состоящую из таких объектов
X € 0(C), что Н'(Х) = 0 при j > 0 (соответственно j < 0).
Тогда (D<°(C),D>°(C)) является t-структурой на 0(C).
Действительно, выделенный треугольник г^°Х —► X —► т^1Х —►
удовлетворяет аксиоме (iii) определения 10.1.1. Сердцевиной 1-структуры
(D<(C),D>(C)) является С.
(ii) Пусть А — нётерово коммутативное кольцо и gld(.A) < со.
Пусть X — вещественно-аналитическое многообразие. Тогда
0<°С(Х) = 0*°(АХ) П Di_e(X) и 0>°_е(Х) = 0>°(AX) П 0^_С(Х)
образуют (-структуру на Dg_c(X). Пусть Djc — функтор
двойственности (определение 3.1.6). Тогда образы подкатегорий 0£°С(Х) и
Dj°c(X) при действии Djc образуют (-структуру на 0^_е(Х). Такая
(-структура будет рассматриваться в следующем параграфе.
До конца этого параграфа пара (D^°,D^°) будет обозначать
(-структуру на триангулированной категории 0.
Предложение 10.1.4. (i) Включение 0^" —► 0 (соответственно
0>» _► 0) имеет правый сопряженный функтор т^п : 0 —► 0^"
(соответственно левый сопряженный функтор т^п: О —► D^"), m. e.
существует морфизм т^п —* Hq (соответственно idp —► т^"),
такой, что отображение
HomD<. (X,r*nY) — Нот0(Х,У)
является изоморфизмом для любого X € Ob@^n) и любого
У € Ob(D) (соответственно Ното>»(г^"Х,У) —► Ното(Х, У)

10.1. t-структуры 527
является изоморфизмом для любого X € ОЬ@) и любого
У € ОЬ@>")).
(И) Существует единственный морфизм d: т*"+1(Х) —► т*"(Х)[1],
такой, что цепочка г^п(Х) —► X —► т*п+1(Х) —► г*"(Х)[1]
является выделенным треугольником. Кроме того, d является морфизмом
функторов r^"+1 —► [1] о г*".
Функторы т^" и т*п называются функторами усечения по
отношению к t-структуре.
Доказательство. Мы можем считать, что п = 0. По определению
10.1.1(Ш) для X € Ob(D) существует выделенный треугольник Хо —►
X —* Xi —♦, где Х0 € Ob(D<°) и Xi € Ob(D>1).
Покажем, что морфизм Ношо(У, Хо) —► Ното(У,Х) является
изоморфизмом для любого У € Ob(D^°) (соответственно морфизм
Hom[)(Xi,Z) —► Homo (Л', Z) является изоморфизмом для любого
Z G Ob(D^1)). Это утверждение следует из рассмотрения длинной
точной последовательности
Нот(У, Хх [-1]) — Нот(У, Х0) — Нот(У, X) — Нот(У, Хх)
(соответственно
Hom(X0[l], Z) — Нот(Хь Z) — Hom(X, Z) — Hom(X0, Z)),
а это дает (i) при Хо 2; r^°X и Xi ~ т^Х (см. упр. 1.2).
Первое утверждение из (ii) вытекает из определения lO.l.l(iii) и
следующей леммы.
Лемма 10.1.5 Пусть О —триангулированная категория, а X —►
У -£-» Z —'-* Х[1] (» = 1,2) — два выделенных треугольника. Если
HomD(X[l], Z) = 0, то hi = h2.
Доказательство. По (TR4) (см. предложение 1.4.4) существует
морфизм треугольников
X —*— У —*-^ Z —Ь1-* Х[1]
id} id} *} id} ■
х —L^. у _J_^ z —ia-» x[i].
Следовательно, g = ф о g я hi = h2o ф. Так как (idz — ф) о g = 0,
то по предложению 1.5.3 существует морфизм ф : Х[1] —* Z,
такой, что idz—ф = ф о hi. Но по условию леммы ф = 0, т. е. ^ =
idz, hi = /»2- D

528 Гл.10. Превратные пучки
Докажем, наконец, что d является морфизмом функторов.
Бели /': X —► У — морфизм, то по (TR4) существует морфизм
выделенных треугольников
ТИпХ „ х „ T>n+iX -Ю* т<"Х[1]
|т<«/ }/ [ф }r<Vfi]
r*»Y ► У ► т>п^у -*£L г<"У[1].
Из коммутативности среднего квадрата следует, что ф = r^n+lf. D
Отметим, что
П0 1П Гг<»(ХН)~г<»+т(Х)[т],
* ' \ т>"(Х[га]) ~ т>п+т(Х)[тп].
Мы будем писать т<п и т>п вместо т^"-1 и r^"+1 соответственно.
Аналогичный смысл имеют обозначения D<n и D>n.
Предложение 10.1.6. (i) Если X € Ob(D^") (соответственно
X € ObD^"), то морфизм т^пХ —► X (соответственно X —► т*пХ)
является изоморфизмом.
(ii) Пусть X € ОЬ@). Тогда X € ОЪ@<п) (соответственно
X € Ob(D^")) в том и только в том случае, когда т>пХ = О
(соответственно т<пХ = 0).
Доказательство, (i) следует из предложения 10.1.4.
(ii) следует из рассмотрения выделенного треугольника т*пХ —►
X—+т>пХ—*. О
+1
Предложение 10.1.7. Пусть X' —► X —► X" —► — выделенный
треугольник в О. Если X' и X" принадлежат 0^° (соответственно
D^°), то и X принадлежит D^° (соответственно D^°).
Доказательство. Докажем утверждение для случая D^°. Пусть
X' и X" принадлежат D^°. Тогда, согласно определению 10.1 .l(i), (ii)
Еот[т<0Х,Х') = Hom(r<0X,X") = 0. Следовательно, Hom(r<0X,
X) = 0, что дает т<0Х = 0. Применение предложения 10.1.6(ii)
завершает доказательство. D
Предложение 10.1.8. Пусть a ub — целые числа.
(i) Если 6 ^ а, то т>ь о т^а ~ т>а о r>b ~ т>ь и т<* о т<а ~
(ii) Если а> Ь, то т<* о т>а = т>а о т<* = 0.

10.1. t-структуры
529
(Hi) т^от^' ~ r^4or^a. Точнее, если X € Ob(D), то существует
единственный морфизм ф: т^а о т^*Х —► т^* о т*аХ, такой,
что диаграмма
т<*Х X r>aX
A0.1.2)
т*ат<ьХ
Ф
- т*ьт>аХ
коммутативна и <£ является изоморфизмом.
Доказательство, (i) Существование изоморфизма r^a о т^* ~ т^*
следует из предложения 10.1.6(i). Для любых X € Ob(D)
и У € Ob(D^) имеем HomDib(r>br>aX,Y) ~ Нот0(г>вХ,У) ~
HomD(X,y)~HomD>k(r>*X,y). Следовательно, r>*r>eX ss т>*Х.
Доказательство существования других изоморфизмов может быть
получено с использованием соображений двойственности.
(ii) следует из предложения 10.1.6(ii).
(Hi) По (ii) мы можем считать, что 6 ^ а. По (i) существуют
выделенные треугольники
т*ьт>аХ —► т*аХ —► т>ьХ
A0.1.3)
+1
т<вХ
Г<»Х — т>ат*ьХ
+1
Из предыдущего предложения вытекает, что т^ьт^аХ и т^ат^ьХ
принадлежат D^a П D^4, откуда следуют существование и
единственность ф. Покажем теперь, что ф — изоморфизм. Применим
аксиому октаэдра TR5 к морфизмам т<аХ —► т**Х —► X:
>аХ
A0.1.4)
>ьх
<***

530 Гл.10. Превратные пучки
Получаем выделенный треугольник
т>'т*ъХ -L т>аХ -L* т>ьХ—+.
+i
(Отметим, что fug единственны.) Следовательно, т^ат^ьХ ~
т&т>аХ. U
Пусть С — сердцевина категории D.
Определение 10.1.9. Определим функтор Н°: D —>С:
A0.1.5) Н°(Х) = т>°т^°Х ~ т*°т>°Х.
Положим также
A0.1.6) Нп(Х) = Н°(Х[п)) ~ (т>пт*пХ)[п].
Предложение 10.1.10. Пусть X € ОЬ(О), и пусть X
принадлежит 0^а (соответственно 0^а) для некоторого а. Тогда X
принадлежит D^° (соответственно D^°) в том и только в том случае,
когда Нп(Х) = 0 для всех п < 0 (соответственно п > 0).
Доказательство. Достаточно показать, что если X ^+ т^аХ и
На(Х) = 0, то X ^+ т>аХ. Но это следует из рассмотрения
выделенного треугольника
На(Х)[-а] —> т>аХ —+ т>вХ—>. О
Предложение 10.1.11. (i) Сердцевина С = 0^°ПО^° является абе-
левой категорией.
(ii) Если X' —► X —► X" —► — выделенный треугольник в D и
X' и X" принадлежат С, то и X принадлежит С.
(iii) Если 0 —► X —► У —> Z —► 0 — точная
последовательность в С, то существует единственный морфизм h : Z —* Х[1],
такой, что X —► Y —► Z —* Х[1] является выделенным треуголь-
h
ником в О.
Доказательство, (ii) следует из предложения 10.1.7.
(i) Из (ii) и из рассмотрения выделенного треугольника X —► X $
У —► У —> следует, что С — аддитивная категория. Пусть /: X —►
Y — морфизм в С. Включим / в выделенный треугольник X —►

+t
10,1. t-структуры 531
-. Тогда по предложению 10.1.7 объект Z принадлежит
0<° П D^-1. Докажем, что
Г #0(Z)~r>°Z~Coker/ и
1 H°(Z[-1]) ~ r<°(Z[-l]) ~ Кег/.
Для этого рассмотрим объект W б ОЬС и длинные точные
последовательности
Hom(X[l], W) — Hom(Z, W) — Нош(У, W) — Нот(Х, W)
A0.1.7)
Нот(^,У[-1]) — Hom(W;Z[-l]) —* Нот(И^,Х) — Нот(^,У).
Так как Нот(Х[1], W) = Нот(И^,У[-1]) = 0, Hom(Z, W) ~
Hom(r>°Z,W) и Hom(W;Z[-l]) ~ Hom(V,r<°(Z[-l])) (поскольку
W € ОЬ(С)), соотношения A0.1.7) доказаны.
Докажем теперь, что канонический морфизм Coim/ —► Im/
является изоморфизмом.
Включим морфизм У —► r^°Z в выделенный треугольник / —►
У —* r^°Z —►. Тогда по предложению 10.1.7 / принадлежит D^°.
Применим аксиому октаэдра к морфизмам У —► Z —► t^°Z:
I
A0.1.8)
+i
Получаем выделенный треугольник r^°(Z[— 1]) —► X —
Следовательно, / принадлежит D^°, т. е. / € ОЬ(С). Так как
r^°(Z[— 1]) ~ Кег/, то, применяя A0.1.7) к выделенному
треугольнику Кег/ —► X —у I —►, получаем, что / ~ Coim/.
Аналогично, применяя A0.1.7) к выделенному треугольнику / —► У —у
Coker/—у, получаем / ~ Im/, что доказывает (ii).

532
Гл.10. Превратные пучки
(Hi) следует из леммы 10.1.5 и из A0.1.7). □
Предложение 10.1.12. Функтор Н° : D —► С (см. определение
10-1.9) является когомологическим функтором.
Доказательство. Пусть X —► У —► Z —► — выделенный
треугольник в О. Покажем, что последовательность Н°(Х) —► #°(У) —►
H°(Z) точна. Доказательство проведем в три шага.
(а) Предположим, что X, Y,Z € ObD^°. Покажем точность
последовательности 0 — Н°(Х) — H°(Y) — H°(Z).
Пусть W € ОЬ(С). Тогда Homc(Wi H°(X)) ~ KomD(W, t>°X) ~
Uomo(W,X). Следовательно, Homo(W,Z[— 1]) = 0 и требуемый
результат вытекает из рассмотрения длинной точной
последовательности
Horned, Z[-l]) — Ното(И^ X) — HomD(W; У) — HomD(W; Z).
(b) Предположим, что Z € Ob(D^ 0). Докажем точность
последовательности 0 — Я°(Х) — #°(У) — #°(Z). Если W € Ob(D<°),
то HomD(W,Z) = HomD(W;Z[-l]) = 0, откуда HomD(W;X) ~
Uomo(W,Y), т. е. т<0Х —► r<0Y — изоморфизм. Используем
аксиому октаэдра:
A0.1.9)
и получаем выделенный треугольник т^°Х —► t*°Y —► Z —►.
Теперь достаточно применить (а).
(c) Утверждение, двойственное к (Ь), дает точность
последовательности Н°(Х) -* H°{Y) -> H°(Z) -> 0, если X € Ob(D<°).
(d) Рассмотрим общий случай. Аксиома октаэдра, примененная к
последовательности т^°Х —► X —► У,

10.1. t-структуры
533
A0.1.10)
дает выделенные треугольники т^°Х
W
+1
и г
>оХ
W
+1
Применяя (с) к первому треугольнику, получаем, что
последовательность Н°(Х)
к треугольнику W —► Z ■
H°(Y) — H°(W) точна. Применяя (Ь)
г>°
Х[1]
+1
получаем, что
последовательность 0 —► H°(W) —► H°(Z) точна, откуда вытекает точность
последовательности Н°(Х) — #°(У) — H°(Z). D
Определение 10.1.13. Пусть О; (»' =. 1,2) — две триангулированные
категории с определенными на них «-структурами (Of , Of ). Пусть
d — сердцевина категории D,- и е,•: С,- -»D( — функтор включения.
Пусть F: Di —► Ог — функтор триангулированных категорий.
(i) F называется t-точным слева (соответственно справа), если
F(Df°) С 0^° (соответственно F(Of°) С Of°)- Он
называется t-точным, если он t-точен слева и справа,
(ii) Положим
"F=H0oFo£l:Ci^C2.
Предложение 10.1.14. Пусть О^Ог и F такие же, как в
определении 10.1.13, и пусть F является t-точным слева (соответственно
справа). Тогда
(\) Если X е Ob(Df°) (соответственно Of0), то H°(F(X))
~"F(H°(X)).
(ii) Функтор рF: Ci —*Съ точен слева (соответственно справа).

534
Гл.10. Превратные пучки
Доказательство. Достаточно провести доказательство для 1-точных
слева функторов.
(i) Пусть X G Ob(Df0). Применим F к выделенному
треугольнику Н°(Х) —► X —► т>0Х —► и получим
выделенный треугольник F(H°(X)) —+ F(X) —* F(t>0X) —►, где
F(t>0X) G Ob(D£°). Применение когомологического
функтора #"(•) к этому треугольнику завершает доказательство,
(ii) Пусть 0—*X~*Y~*Z~*0 — точная последовательность
в &. Она порождает выделенный треугольник X —► У —►
Z —► в Di (предложение 10.1.11). Применяя F, получаем
выделенный треугольник F(X) —► F(Y) —► F(Z) —►. Так
как F(X), F(Y) и F(Z) принадлежат D^°, то имеем точную
последовательность 0 — H°(F(X)) — H°(F(Y)) — H°(F(Z)).
Остается применить (i). D
Замечание 10.1.15. Если функтор F : Di —► D2 t-точен, то он
переводит С\ в C-i и функтор F|c, точен. Кроме того, F\cx a PF и
F(Hn(X)) ~ Hn(F(X)) для любого X 6 Ob(D0.
Замечание 10.1.16. (i) Пусть D — триангулированная категория с
<-структурой, как в примере 10.1.3(i). Тогда функторы усечения т^п
и т^п совпадают с функторами, определенными в замечании 1.7.6.
(ii) Пусть F: & —► Сг — аддитивный функтор абелевых
категорий. Пусть F точен слева и категория С\ содержит
достаточно много инъективных объектов. Тогда RF: 0+(С\) —► 0+(Сг)
является «-точным слева, где t-структура на D+(C<) индуцирована
естественной t-структурой (см. пример 10.1.3(i)) на D(C<).
Предложение 10.1.17. Пусть D< — триангулированная
категория, Dj — ее полная триангулированная подкатегория и (Of0, Of0)
есть t-структура на D, (» = 1,2). Пусть /: Di —► 62 и д: бг —► Di —
функторы триангулированных категорий и f является
сопряженным слева к д. Предположим, что /(Di) С Ог (соответственно
<?(Ог) С Di) и /Idj t-точен справа (соответственно д\о3 t-точен
слева). Тогда для любого Y 6 Ob(D^°), такого, что g(Y) G Ob(Di)
(соответственно X 6 Ob(Df°), такого, что f(X) 6 ОЬ(Ог)), g(Y) 6
Ob(Df °) (соответственно f(X) G Ob(D^0)).
Доказательство. Для любого X € Ob(DJ-°) (соответственно У €

ЮЛ. Превратные пучки на вещественных многообразиях 535
Ob(D£0)) имеем
HomD>o(X, т<°д(У)) ~ Hom^ (A', g(Y)) ~ Нот0з(/(Х), У) = О
(соответственно имеем Нот[)>о(г>0/(Х),У) г; Hom^ (/(X), У) cs:
Homp (Х,а(У)) = 0). Следовательно, r<0g(Y) = 0 (соответственно
r>°f(X) = 0). □
Следствие 10.1.18. Пусть Dj — триангулированная категория с
t-структурой (»' = 1,2), и пусть / : Di -» Ог и j : Dj -» Di —
функторы триангулированных категорий, где f является левым
сопряженным к д. Тогда f является t-точным справа в том и только
в том случае, когда g является t-точным слева.
10.2. Превратные пучки на вещественных
многообразиях
Пусть р — отображение из Z в Z. Двойственное отображение р*
определяется формулой
A0.2.1) р*(п) = -р(п)-п.
Бели оба отображения р и р* являются невозрастающими, то мы
назовем отображение р превратностью, т. е. р — превратность, если
A0.2.2) р(п) — р(п + 1) = 0 или 1 для любого п,
или, что эквивалентно,
A0.2.3) 0 ^ p(n) —p(m) ^ га —п для любых т,п, п^т.
Определим отображение р[к] формулой
A0.2.4) р[к](п) = р(к + п).
Тогда
A0.2.5) Р*[к]*(п) = р[к](п) + к.
Пусть X — вещественно-аналитическое многообразие. Напомним,
что 0^,-л-е(Х) обозначает полную подкатегорию в D*(X),
состоящую из слабо К-конструктивных объектов. Бели S — подмножество
в X, то через is мы обозначим вложение S <—* X. Бели S субана-
литично, то его размерность определена корректно (см. §8.2). Бели
S = 0, то положим dim5" = -оо.

536 Гл.10. Превратные пучки
Определение 10.2.1. Пусть р — превратность.
(i) Через PD^°U,_»_<.(X) мы обозначим полную подкатегорию в
0^,_л_е(Х), состоящую из объектов F, таких, что
A0.2.6) f dim(supp(tf'(F))) < *
\ для всех j и к, таких, что j > p(Jb).
(или, что эквивалентно, dim(supp(r>p(*)(F)) < Jb).
(ii) Через pD^°u,_r_<.(X) мы будем обозначать полную
подкатегорию в D£,_R_C(X), состоящую из объектов F, таких, что
{
H'(i's(F)) = 0 для всех локально замкнутых
A0.2.7) ^ субаналитических подмножеств S и всех j,
таких, что j < p(dimS).
Положим
ро%п-*-ЛХ) = ро%°-1-ЛХ)[-п],
р01-1-Л*) = pDf-R-cW npD>°_R_c(X).
Положим также
ро1п-ЛХ) = ро%1*-ЛХ) n dr_c(x).
Аналогично определяются PD|"C(X) и pDr-c(^)-
Замечание 10.2.2. (i) Определение категорий pD„_r_c(.?Q и
рО^_л_ЛХ) зависит только от значений р(п) для 0 ^ n ^ dimX.
(ii) Если р = 0, то '0<°_ш_ЛХ) = 0*°_л_ЛХ) = {F€ 01_Ш_ЛХ);
H>(F) = 0 для всех j > 0} и PD>°_R_C(X) = D>°m_e(X) = {F €
DLr-c(^); &{F) = 0 для всех j < 0}.
(iii) Бели p1 — превратность и р(п) ^ ^(п) для всех п, то
'о?-ж-ЛХ)с>Ъ1°_л_лх) и р'о10_л_лх)с>о>°_л_лх).
В частности, если а ^ р(п) ^ 6 для всех п, то
A0.2," ' D»-*-cW <= "DS-r-cW С D* ,_е(Х) и
lD^_R_c(X)CpD>°_R.
eW С D>lm_e(X).

10.2. Превратные пучки на вещественных многообразиях 537
(iv) Пусть группы когомологий объекта F 6 Ob(D*(X))
локально постоянны. Тогда если H'(F) = 0 при j < p(dimX), то
F € ОЪ(рО^_л_е(Х)). Действительно, для локально
замкнутого субаналитичного S имеем i'sF ~ rswx ® i^F ® огх[— А\тХ\ ~
us ® i's1 F ®mx[dimX), а Н'{ш$) = 0 при j < — dimS (по
предложению 9.2.2). Следовательно, H'(i'sF) = 0 при j < p(dimS) ^
p(dimX) + dim* - dim5.
Замечание 10.2.3. Определение может быть обобщено на случай
субаналитичного Л' (см. упр. 9.2). Большинство утверждений при
таком обобщении остаются справедливыми.
Наша цель — доказать, что пара (pD^iR_c(X),',D^iR_c(X))
образует t-структуру. Для этого нам понадобятся вспомогательные
результаты.
Предложение 10.2.4. Пусть F e ОЬ@*,_ж_е(*)) и X = |_)а Ха —
субаналитическая стратификация равноразмерностными
стратами.
(i) Пусть когомологий объекта ixl F локально постоянны для
всех а. Тогда F принадлежит р0^_л_е(Х) в том и только
в том случае, когда Н' (ixla F) = 0 для всех а и всех j, таких,
что j > p(dimXQ).
(ii) Пусть когомологий объекта i'XaF локально постоянны для
всех а. Тогда F принадлежит р0^)_л_е(Х) в том и только
в том случае, когда W (ix F) = 0 для всех а и всех j, таких,
что j < p(dimXa)-
Доказательство, (i) следует из равенства
dim(supp(tf'(F))) = mp{dimXa; H*(F)\Xm ф 0}.
(ii) Если F £ Ob('D>° ,_«(*))• то H*(iXa(F)) = О при j <
p(dimXa) по определению. Докажем обратное.
Пусть S — замкнутое субаналитическое множество. По условию
объект iXa(F) сконцентрирован в степенях ^ p(dimXa) и его
когомологий локально постоянны. То есть, согласно замечанию 10.2.2(iv),
*.(*") €Ob('D>° ,_«(*■)), где
р\п) = — п +p(dimXa) +dimXa.
По определению из этого следует, что rSnX (F) = fsnX<Mix(^) CKOH"
центрирован в степенях > p(dim(Sf\Xa)) = — dim(S'Л.Xor)-|-p(dim.Xor)+
dimЛor > p(dimE П Xa)) > p(dim S).

538 Гл.10. Превратные пучки
Полагая Xt = \_1цтха^к-^о" имеем
<ИтХа=к
Но это равно нулю при j < p(dim5). Теперь мы можем
применить результат упр. 2.25 и получить, что H]S(F) = 0 при
j < p(dim5). D
Условия A0.2.6) и A0.2.7) на первый взгляд не кажутся
симметричными, но на самом деле являются таковыми. Покажем это.
Сначала дадим определение. Положим
A0.2.9) cosupp>'(F) = {x;H'(ilF) ф 0}.
Отметим, что если основное кольцо А является полем, то
»-1Я'(DxF)~Я-•>(i•pF)^ что дает
cosupp»(F) = supp(#~'(D;rF)).
Предложение 10.2.5. Пусть F принадлежит 0^^ж_е(Х). Тогда
cosupp'(F) является субаналитинеским подмножеством в X, a F 6
ОЪ(рО^°_л_е(Х)) в том и только в том случае, когда
/ din^cosupp^F)) < * ^-"Л всех 3 и всех Ь,
\ таких, что j < p(Jb) + ib.
Доказательство. Рассмотрим стратификацию X = |Ja^a, такую,
что i'x F имеет локально постоянные когомологии. Тогда
A0.2.11) i\,F ~ iiXaF ~ (огХа ® iXaF)t[- dimXa].
С ледовател ьно,
coeupp'(F) = |Jsupp(tf'-dim x-(i'x.F)),
а
из чего вытекает, что cosupp* (F) субаналитично, а также
эквивалентность утверждений A0.2.7) и A0.2.10) (предложение 10.2.4(ii)). D
Отметим, что условие j < p(k) + Jb эквивалентно условию —j >
p-(k).

10.2. Превратные пучки на вещественных многообразиях 539
Следствие 10.2.6. Пусть F 6 Ob(D*,_E_e(A')), а X = \_\а Ха есть
^-стратификация, такая, что SS(F) С Ua^JT X. Пусть Y
является d-мернъш подмногообразием, трансверсальным всем стратам
Ха. Предположим, что F 6 ОЪ(рО^_л_е(Х)) (соответственно
ОЪ(рО^_л_е(Х))). Тогда i^F (соответственно iyF) принадлежит
pMD^°R_c(Y) (соответственно pMD*°R_c(K)).
Предложение 10.2.7. Предположим, что F 6 ОЪ(рО^°_л_е(Х)) и
G€0b(p0l°_i_e(X)). Тогда
A0.2.12) H>(KHom(F,G)) = 0 при j < О,
A0.2.13) предпучок U *-* HomD(y)(F|y,G|y) является пучком.
Доказательство. Пусть S = \Jj<08\ipp(H'(KHom(F,G))), и пусть
S ф0. Тогда для j < 0 имеем
tsH>(KHom(F,G)) ~ #'(»'iflftom(F,G))
~W(KHom(islF,(sG)).
Пусть ib = dim5. Тогда объект i'sG сконцентрирован в
степенях ^ р(к}. С другой стороны, из условий на F следует,
что 5' = \Jj>p(b)&upp(H} (ig1 F)) ямеег размерность < ib. Поэтому
5 \ 5' ф 0. Так как »J1F|s\s' сконцентрирован в степенях < р(к), то
RHom^g1 F,i'sG)\s\s' сконцентрирован в степенях > 0.
Противоречие.
Свойство A0.2.13) следует из A0.2.12), так как Komo(v)(F\v,
G\v) z± H°(U; RHom(F, G)) ~ r(U; H°(RHom(F, G))). D
Теперь мы можем доказать основной результат данного параграфа.
Теорема 10.2.8. Для любой превратности р пара (PD„_»_C(-^),
PD£°R_C(A')) образует t-структуру на Dj,-R-c(-^)- Более того, если
А нётерово, то пара (PD»°C(A'),',DR!°<.(A')) образует t-структуру на
Oi-,(X).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай Ot-*-c(X)- Мы
должны доказать, что
(a) HomDk(X)(F, G) = 0 для любого F 6 ОЪ(рО*°_л_е(Х)) и любого
С€ОЦР011_л_е(Х));

540
Гл.Ю. Превратные пучки
(Ъ)рО<°_л.е(Х)СРО<1_л_е(Х)ЯРО>°_л_е(ХH'>0>1_л_е(Ху,
(с) если F 6 Ob(D*,_R_c(X)), то существует выделенный
треугольник F' —* F —► F"—*, где F' 6 Ob(*D<im_e(X)). a
F"eob(PD>iR_c(j:)). +1
Так как (а) следует из предыдущего предложения, а (Ь) очевидно,
то остается доказать (с).
Выберем возрастающую /«-фильтрацию {X*}* на X (см.
определение 8.3.25), такую, что
{Xk \ Xk-i является к-мернъш многообразием
для всех к и F\xk\Xi.-i имеет локально
постоянные когомологии.
Рассмотрим условие
A0.2.15)j
' существует выделенный треугольник
F'—«xUF —•F Vв °»-*-Лх \ **).
WeF'6 0b(PDf_R_c(X\Xt)),
f" 6 Ob('D>im_e(X \Xt)) и F'U,.^..,
uF"\xj\Xj-i имеют локальные постоянные
. когомологии при j ^ к.
Так как A0.2.15)* выполняется при fc > 0, то достаточно доказать
A0.2.15)t_i, если имеет место A0.2.15)»- Пусть F' —► ix\XkF —►
F" —* — выделенный треугольник, удовлетворяющий A0.2.15)*.
Пусть jf: Х\Хц «-► А'\Х*_1 —открытое вложение, а »: Xt\Xt_i «-►
X \Xt-i — замкнутое вложение. Морфизм F' —*■ ix\xkF ^■ЛРТ нам
морфизм j\F' —► ix\x F. Включим этот морфизм в выделенный
треугольник
A0.2.16)
*Г-
'xU*-.f
+i
Имеем цепочку морфизмов T^k\.i'G —» »»»!G —► G. Включим
композицию этих морфизмов в выделенный треугольник
A0.2.17)
r^Wi.i'G
рн
+1

10.2. Превратные пучки на вещественных многообразиях 541
Наконец, включим композицию морфизмов i~jAx F —* G —* F" ъ
выделенный треугольник -
A0.2.18)
Покажем, что
A0.2.19)
A0.2.20)
F' —►»Z\ x F —*F" —►
F'€OH"D<°_^_e(X\Xk^)).
По построению j~lF" ~ F" и j~lF' ~ F'. Следовательно, по
предложению 10.2.4 достаточно доказать, что
A0.2.21) ^"сконцентрирован в степенях ^p(Jb)+l,
A0.2.22) i~1F' сконцентрирован в степенях ^ p(Jb).
Применял функтор г к выделенному треугольнику A0.2.17),
получаем выделенный треугольник
A0.2.23)
r<p(*)j'G _> iG —» if"
+i
Следовательно, if" ~ r^p^+1i'G, что доказывает A0.2.21).
Теперь применим аксиому октаэдра (§ 1.4) к выделенным
треугольникам A0.2.16), A0.2.17), A0.2.18):
A0.2.24)
•х\х»
Получаем выделенный треугольник
A0.2.25) j<F' _> F' — T*rtkKi'G
+i

542 Гл.10. Превратные пучки
Следовательно, t-1/' ^* r^p^i'G, что доказывает A0.2.22).
Легко проверяется, что F' и F" имеют локально постоянные кого-
мологии на Xj\Xj-i при j ^ Jb. Этот факт дает возможность
продолжить индукцию. Бели А нётерово, то те же рассуждения проходят в
категории 0^_е(Х). О
Функтор U ~ рО°ш_л_е(и), где U открыто в X, ведет себя как
пучок. Точнее, имеет место
Предложение 10.2.9. Категория рОт_л_с(Х) является
стеком, т. е. если X = (J<e/ ЭД — открытое покрытие многообразия
X,F{ 6 0Ъ(?01_л_е(и{)) и даны изоморфизмы fa : Fj\Vii =? Fi\Vii,
удовлетворяющие условиям коцикла (fa\viik) о (/,t|y,,J = fik\uiik
для любых », j, Jb, то найдутся F 6 ОЬ(р0^11_л_е(Х)) и изоморфизмы
/{•• F\ut ^ Fi, такие, что fa о/,-|Уц = /,|у,,.
Кроме того, семейство (F, {fi}i) единственно с точностью до
изоморфизма (здесь Uij = ЩГ\ Vj,Uijt = UiC\Uj C\Ut).
Доказательство, (а) Единственность следует из предложения
10.2.7.
(b) Докажем сначала существование семейства (F, {/,},) в случае
конечного /. Проведем индукцию по #/. Достаточно доказать
утверждение для случая ф1 = 2, / = {1,2}. В этом случае F определяется
с помощью выделенного треугольника
*tfu.'(*iki) —► ivt'.Fi ф iv,\F2 —► F -^,
где морфизм iu^iFilui,) —»»и»!^2 определен морфизмом /л.
(c) Рассмотрим общий случай. Согласно пп. (а) и (Ь), мы можем
считать, что / = N и U„ С U„+i для всех п. Представим Fn 6
Ob(pD° _»_,.(£/п)) йнъективным комплексом /„ 6 ОЪ(С+(ЗПоЪ(АиЛ)))-
Тогда изоморфизмы Fn ^+ Fn+i|y» порождают гомоморфизмы /„ —►
In+i\v„ и, следовательно, гомоморфизмы ipn : «у.'/п —* iv%+1iln+i-
Пусть теперь F = lim /„. Достаточно доказать, что естественный
п
морфизм /„ —► ijjlF является квазиизоморфизмом. Но это
следует из того факта, что (/„)* для х € U„ квазиизоморфен (/т)* при
т^ п. D
Мы будем обозначать через рт^" и рт^п функторы усечения,
ассоциированные с t-структурой C,D<°u,_»_<.(X),',D^0u,_r_<;(X)), т. е.
A0.2.26) ' ' — -№-'^П—(П
rpr<":Dt_R_ci
l"r^:Dt_R_cl
(X)-'D^R_e(X).

tO.S. Превратные пучки на вещественных многообразиях 543
Через р#" обозначим п-е когомологии по отношению к этой
(-структуре. А именно,
A0.2.27) "Я": 01_л_е(Х) ^'D° _R_C(X).
Мы сохраним те же обозначения для р0^_с(Х) в случае нётерова А.
Теперь мы займемся изучением функториальных свойств t-струк-
тур, порожденных превратностями.
Предложение 10.2.10. Пусть Y — локально замкнутое
субаналитическое подмножество в X.
(i) Функтор tyitp1 переводит объекты категории р0^°ш-к-с(А')
в объекты той оке категории (т. е. этот функтор {-точен
справа).
(ii) Функтор Д»у«»у переводит объекты категории pD^°w-i-e(X)
в объекты той же категории (т. е. этот функтор 1-точен
слева).
Доказательство, (i) Так как iyi и iy1 являются точными
функторами, то они коммутируют с функтором #'(•)• Таким образом,
утверждение вытекает из включения supp(jy!ty1(F)) С supp(F).
(ii) Имеем (vsiY*iYF)Yns ~ i'yns^- Значит, результат следует из
определений. D
Предложение 10.2.11. Пусть /: У —► X — морфизм многообразий,
ad — целое число. Пусть dim/-1 (jc) ^ d для всех х 6 X. Тогда
(i) /-1 переводит объекты категории Р0^°Ш_»_(.(Л') в объекты
(ii) f' переводит объекты категории р0^°и-л-с(Х) в объекты из
Доказательство, (i) следует из того, что
dim(8upp(W'(/-1F))) = dim(/-1(supp(W'(F))))
^dim(supp(tf'(F))) + d.
(ii) следует из предложения 10.2.5 и равенств
cosupp'(/!F) = {у € Y\H%?F) ф 0}
= {УеУ;Я'(|,(у)Л^0}
= /^(cosupp^F)),
что дает
dim(cosupp^(/lF)) ^ dim(cosuppJ(F)) + d. □

544 Гл.10. Превратные пучки
Предложение 10.2.12. Пусть /: У —► X — морфизм многообразий,
ad — целое число. Пусть dim/-1(jc) ^ d для всех х 6 X.
(i) ПустьО€ОЪ('О*0_Л-с(У)).аЯ/&еОЪ(О1_л_е(Х)). Тогда
Д/СбОЬ(»М0<1т_е(Х)).
(ii) Пусть G € ОЬ(*0>1Е_.(У))> a Rf.G e ОЬ@^_»_С(Х)). Тогда
ДДС€ОЬ(»МО>1Е_е(Х)).
Доказательство. Это утверждение следует из предыдущего
предложения, предложения 10.1.17 и того факта, что /-1 и Л/» так же, как
Rfi и /!, являются сопряженными функторами. D
Предложение 10.2.13. Пусть основное кольцо А является полем.
Тогда функтор двойственности Dx (см. определение 3.1.16)
переводит объекты категорий PDE_(,(X) и*0Е_е(Х) в объекты категорий
p*0lle(X) и?*0%°_е(Х) соответственно.
Доказательство. Это утверждение следует из того, что »J1(DxF) £i
HomDF, А) и i'x(DxF) — Homf»'^ А), и из предложения 10.2.5. D
Отметим следующий полезный результат.
Предложение 10.2.14. Пусть У — замкнутое подмногообразие в
X,aFeOb@l_i_e(X)).
(i) F 6 Ob(pDjiE_e(X)) e том и только в том случае, когда
F\x\y € Ob("D<°(X \ У)) и iy'F 6 ОЬ(<°Е_С(У)).
(ii) F G Ob(*D{*iE_e(X)) в том и только в том случае, когда
F\x\y € ОЬ(Р0£°_Е_с(Х \ У)) и iYF 6 ОЬ(^Е_С(У)).
Доказательство, (i) следует из того, что supp#'(F) =
■upptf'(F|X\y) U supp W(iYlF).
(ii) следует из того, что cosupp^F) = со8ирр^(^|х\у)
Ucosupp*(»^F). D
10.3. Превратные пучки на комплексных
многообразиях
Пусть X — комплексное многообразие. Положим
PDf-c-c(*) = "Df-R-cW П 0„_с_е(Х).
Аналогично определим PD^C_C(X), PD°_C_C(X), PD^C(X),
"D^C(X), 0с_с(Х)ит.д.

10.S. Превратные пучки на комплексных многообразиях 545
В предложении 10.2.4 мы можем выбрать Л'а комплексными
многообразиями, и тогда pDjic_e(X) и пр. зависят только от значений
р в точках 2Z. В последующем мы будем выбирать р таким, чтобы
р = р* на 2Z, т. е.
A0.3.1) р(п) = —п/2 для четных п.
Мы назовем р средней превратностью.
Соглашение 10.3. В данном параграфе, если не утверждается
обратное, все многообразия и морфизмы многообразий являются
комплексно-аналитическими.
Для комплексно-аналитического множества S через dim S мы
будем обозначать его комплексную размерность, а через dimm 5 — его
вещественную размерность.
Следовательно, для объекта F из 0bw_c_e(X) справедливо
утверждение
A0.3.2) |
F 6 Ob(pDj_c_(.(X)) в том и только в том случае,
когда dimsupp(#'(F)) ^ —j для всех j;
A0.3.3)
' F G Ob.(pDJ*°c_e(X)) в том и только в том случае,
когда H3s(F)\s = 0 для любого локально замкнутого
комплексно-аналитического подмножества
. S С X при j < — dimS;
(Последнее условие эквивалентно такому: dimcosuppJ(F) ^ j.)
Выберем комплексную ^-стратификацию X = l_|QXQ, такую, что
SS^CUa^X. Тогда
A0.3.4)
F € ОЪ(рО*_с_е(Х)) в том и только в том случае,
когда Fx £ Ob(D<-dimх"(ШоЬ(А))) для всех х € Ха
, и всех а;
A0.3.5)
F G Ob(pD^° С_С(Х)) в том и только в том случае,
когда (Rr{t](F))x € Ob@>dimX°(Wlob(A))) для всех
к х £ Ха и всех а;
18 • М. Касивара, П. Шапира

546 Гл.10. Превратные пучки
Определение 10.3.1. Объект изр0с_с(Х) называется превратным
пучком.
Отметим, что в общем случае превратный пучок пучком не
является, но мы называем его пучком из-за его локальных свойств,
доказанных в предложении 10.2.9.
Пример 10.3.2. Пусть У — замкнутое подмногообразие в X. Тогда
.Ay[dimX] — превратный пучок.
Сформулируем комплексные аналоги предложений 10.2.11 и
10.2.12.
Предложение 10.3.3. Пусть d — целое число и /: У —► X — мор-
физм комплексных многообразий, такой, что dim/-1(jc) ^ d для всех
х£Х. Тогда
(i) /-1 переводит объекты категории р 0^°_с_е(Х) в объекты ка-
тегорииРОЦс_е(¥);
(Н) / 'переводит объекты категории рО^0_с_е(Х) в объекты ка-
тегории PDlziUy);
(iii) если G € ОЬе>0<!с_с(У)) и Rf,G £ ОЪ@ьш_с_е(Х)), то
RfiG 6 Ob(PD<lc_c(X));
(iv) если G € Ob(PD>°_c_e(Y)) и Rf.G € ОЬ@»ш_с_с(Х)), то
Rf.G€Oh(i>0lZdcam
Утверждения теоремы 10.2.8 остаются справедливыми в
комплексном случае: для доказательства мы должны выбрать фильтрацию
{X,}, такую, что Xj являются комплексно-аналитическими
многообразиями.
Теорема 10.3.4 Пара (pDj*ic_c(X),',D;^c_<.(X)) образует t-струк-
туру на Dj„-c-e(^0- Если основное кольцо А нётерово, то пара
CD^C(X),"D>°C(X)) образует t-структуру на 0ьс_е(Х).
Следующее предложение является следствием предложения
10.2.13.
Предложение 10.3.5. Если кольцо А является полем, то функтор
двойственности Djc отображает объекты из p0q_c(X) в объекты
из PD|°C(X) и обратно.
Следующее предложение также легко доказать.

10.3. Превратные лучки на комплексных многообразиях 547
Предложение 10.3.6. Пусть X uY — комплексные многообразия.
(i) Если F 6 ОЪ(Р0*°_с_е(Х)), G € ОЬ(^С_С(У)), moF&G
€ Ob("Df_c_c(X х У)),
(ii) Если основное кольцо является полем, F 6 Ob(pD£°c(X)) и
G 6 ОЬ(Р0|!с(У)), mo F M G € Ob(PD^c(X х У)),
(ш) Если F € Ob("Df_c_c(A')) «С€ Ob("Df_R_c(y)), то
KHomiq^Fqtfye ОЬ('0>°с_е(* * *))•
(Здесь oi и ?2 — проекции X х У на X и У соответственно.)
Доказательство, (i) Выберем комплексно-аналитические
^-стратификации X = LL*a,y = ЦТ/»- такие, что SS(F) С LL^X,
SS(G) С Ll^j Ту^У. Тогда утверждение следует из предложения 10.2.4,
так как
Ъ\*у,(р®с)-ГхаР®Ъ1С-
(ii) следует из (i) и из того, что FH G ~ Dxxy (DXFH DyG).
(Hi) Имеем
»х„хУ,ДЯ°™(?Г1*'. ?2<?) =i flWom(i^ FB Лу„ wx„ В ф,<3).
По условию »x^F сконцентрирован в степенях ^ — dimXQ, а
их„ Я iyG сконцентрирован в степенях ^ —2dimXQ — dimYp.
Поэтому объект »х«хК,^'от(?Г1^'?2^!) сконцентрирован в степенях
> - dim(XQ х Yfi). D
Введем понятие микролокальной превратности.
Определение 10.3.7. м0*2с-с№ (соответственно "DJ^c-eW)
есть полная подкатегория в Dj,_c_c(X), состоящая из объектов F,
таких, что тип L объекта F со сдвигом 0 в каждой невырожденной точке
из SS^) удовлетворяет равенству Н> (L) = 0 для всех j > п — dim
(соответственно j < п — dimX).
Из предложения 7.5.9 и упр. П. 7 (см. также упр. 7.4) вытекает
эквивалентность следующих трех условий на F 6 Ob(Dj,_c_c(X)):
A0.3.6) F€Ob("D^c_c(X)) (соответственно MD^_C_C(X)).

548
Гл.10. Превратные пучки
A0.3.7)
' Для каждой невырожденной точки р € SS(F),
такой, что т: SS(F) —► X имеет постоянный
ранг в окрестности точки р, существуют
подмногообразие Y и L£ ОЬ@*BЯоЭ(Л))),
такие, что F ~ Ly[dimY] в D*(X;p) и W(L) = 0
, для всех j > 0 (соответственно j < 0).
{Условие A0.3.7) выполняется для некоторой точки
р из неприводимой компоненты микроносителя
SS(F)oVw всех его неприводимых компонент.
Одной из задач этого раздела является доказательство равенств
"DfC-cW = pCc-cW и "Df-c-eW =рО>°0ш-с-с(Х).
Для этого Нам прежде всего понадобится теорема об обращении
в нуль для превратных пучков на многообразиях Штейна (обзор
свойств многообразий Штейна см. в книге [Hormander 1]).
Напомним, что такое многообразие голоморфно вкладывается в С^ (при
некотором N) как замкнутое подмногообразие.
Теорема 10.3.8. Пусть X — многообразие Штейна.
(i) H>(X; F) = 0 для любого F 6 ОЬ(*1С_С(Х)) при j > 0.
(ii) Щ{Х; F) = 0 для любого F 6 Ob("D^c_c(X)) при j < 0.
Доказательство, использующее теорию Морса, похоже на
доказательство предложения 5.4.20.
Доказательство. Вложим X в CN как замкнутое подмногообразие.
Пусть F 6 Ob(Dj,_c_c(X)), Л = SS(F), а Л0 = {р 6
имеет постоянный ранг в окрестности точки р). Тогда Л0 —
субаналитическое подмногообразие и dim»(Л \ Л0) < dimsX.
Применяя предложение 8.3.27, найдем точку г0 6 CN, такую, что, полагая
<р(х) = \х — z012 для х 6 X и Лц, = {(х, d<p(x)); я € X} С Т*Х, имеем
A0.3.9) Лц, Л Л С Л0 и пересечение трансверсально.
Возьмем точку р 6 Лц, Л Л и положим х0 = *(р). Так как р 6 Л„, то
F~ Ly[dimY] в Оь(Х;р) и в D*(X;pa) для некоторого комплексного
подмногообразия У и объекта L 6 ОЬ@*(Я71оЭ(Л))). Так как Л0 =
ТуХ ъ окрестности точки р и пересечение Л и Лц, трансверсально
в р, то гессиан функции у>|у в точке х„ невырожден (см. §7.5). С

10.3. Превратные пучки на комплексных многообразиях 549
другой стороны, форма дЪ<р положительно определена на Tx,CN и,
следовательно, на Г*.У, что дает такое утверждение:
A0.3.10) [
количество положительных собственных
значений гессиана Ress(<p\y) не менее dim У.
В самом деле, A0.3.10) вытекает из следующего элементарного
результата из линейной алгебры:
Пусть V есть п-мерное комплексное векторное пространство, а
В — вещественная симметричная билинейная форма на
подлежащем вещественном пространстве VR. Продолжим В до С-линейной
формы В на KR ®r С а V ф V. Тогда если эрмитова форма В(х,х~)
положительно определена на V, то В имеет не менее п
положительных собственных значений.
Таким образом, мы можем выбрать локальную систему координат
(х\,..., хи) на У так, чтобы
A0.3.11) <р(х) = *? + ...+ *? x\d + <р(хл),
где d = dim У и / ^ d, откуда получаем
A0.3.12) Н.*.»*..»^»..
^(Я{^+...+,?_..._^>0}A.М))о
= W+t-d(L).
Аналогично
A0.3.13) («{.rt.)<vi..)}(n).. * H»*-\L).
Так как / > d, мы получаем, что
«*iuF€ObCD<ic_e(X)), то
( если F € ОЬ(
A0.3.14)
' "" i(F))#. =0npuj>0,
f если FSOb^Ol0 r
A0ЛЛ5) гя> Гл
если F€Ob('iD^c_c(X)), mo
= 0 при j < 0.

550 Гл.10. Превратные пучки
По микролокальной теореме Бертини-Сарда (предложение 8.3.12)
<р(к(Лц,Г\Л)) является дискретным множеством, содержащимся bR^0-
Положим t0 = —оо и tp{*(Av О Л)) = {fi,f2>- ••}•
По предложению 5.4.4 SS(RtptF) С Ui^a}®- Следовательно,
Rtp*F постоянен на открытых интервалах ]<,_i,i,[ (»' ^ 1). Положив
Ц = ЯГ(\- oo,ti+1[; R<p,F),
Vf = RreQ-oo,ti+1[;R<p.F),
получаем для » > 1 выделенные треугольники
(Ю.3.16) (Rr[til+coi(R<P*nh —* И —> ц_, -^
A0.3.17) VJ1, —> V? — (*/]_«,,, ^.F)),, ^ •
Пусть теперь F 6 Ob("D*° C_C(X)). Так как
eupp((*rM#)>li}(F))|,-i(l|)) = <p-l(ti)ri*(SS(P)n Л„),
то
Я^(ДГ[,,1+вв[(Я^Л),, * Ф"'№*(*)>«;}№,
p
где р пробегает конечное множество у>-1(*<) О t(SS(F) П Л,,). По
A0.3.14) эти группы когомологий обращаются в нуль при j > 0, а
выделенный треугольник A0.3.16) дает следующие свойства:
H'(Vi) ~ #'(Ц_1) при j>0,
Я°(Ц) — Я°(У;_1) сюръективен.
Поэтому семейство {Я;-1(Ц)},- удовлетворяет условию Миттаг-Ле-
флера при j > 0, и по предложению 2.7-1
Н'(Х; F) ~ Я'(К; R<ptF) ~ limff'(Vi)
Аналогично, если F 6 Ob("D^!c_c(X)), то Я'(ДГ{,<,,}(^))<, = 0 при
j < 0. Следовательно,
~#'(К0) = 0 при;>0.
>("D^C_C(X)), то Я>(ЯГ{,
Яу(КД,)~Я^(К,е) при;<0.
Это дает
Я^(Х; F) ~ Я>(К; %.F) ~ lira Я'(УУ=)
~Я'(Кос) = 0 при;<0.

10.3. Превратные пучки на комплексных многообразиях 551
Лемма 10.3.9. Пусть F e Ob(Dju_c_c(X)), а X = \}аХа — такая
стратификация, что SS(F) С |JQ Т% X. Пусть У —
подмногообразие в X, пересекающее все страты Ха трансверсально.
(i) Предположим, что F € Ob("D^c_c(X)). Тогда i^F 6
Ob("D<:^dcImK(y)) и t?YF€ObCD^_°iZY(Y)).
(ii) Предположим, что F 6 Ob("D*ic_e(.?0)- Тогда iY*F 6
Ob("D>-_t-TY(Y)) и |^€ОЬ(>С_0С^К(У)).
Доказательство. Из трансверсальности пересечения следует, что
ТуХ Г\A}аТ^аХ) С Т£Х. Следовательно, морфизм »> не
характеристичен для F, и мы можем применить предложение 5.4.13 и
получить
iYlF ® ыу/х ^iYF,
SS^FJclJr^.y.
а
Пусть у 6 У Г\Ха. По следствию 8.3.24 существует точка р € У х*
TLX \UWoZx,X, такая, что т(р) = у. Тогда F ~ 1х„ в D4(A-;p)
для некоторого L 6 ОЬ@*BПоЭ(Л))) и iY*F ~ Ix„ny в 0*(У;'»'у(р))
по предложению 6.1.9.
Теперь (i) и (ii) следует из A0.3.6), A0.3.7) и A0.3.8). D
Рассмотрим специализацию превратных пучков.
Предложение 10.3.10. Пусть У — гладкая гиперповерхность в X,
и пусть F принадлежит 0^_с_е(Х). Предположим, что F\x\y €
ОЬ('10^С_<.(Х\У)) (соответственно ОЬ(^С_С(Х \ У))).
Тогда ^у(Р)\туХ принадлежит pDj*°c_cGVX) (соответственно
р01°_с_е(ТуХ)).
Доказательство. Мы проведем доказательство в три шага.
(a) Пусть X открыто в С и У = {0}. Если F € Ob(Dj,_c_c(X)) и
F\x\y сконцентрирован в степенях ^ —1 (соответственно ^ —1), то
vy(F) обладает тем же свойством.
(b) Докажем, что для всех р 6 ТуХ
A0 3 18) { ФМП € ОЪ@*-*(тоЪ(А)))
\ (соотв. »•,
МП €ОЪ@>1(ЫоЪ(А)))).
Выберем локальную голоморфную систему координат (*i,..., zn) на
X, такую, что У = {*i = 0} и р = @;d/dzi). Пусть /:Л-*С-

552 Гл.10. Превратные пучки
морфизм, заданный первой координатой z\. Обозначим через В{е)
открытый шар в А' с центром 0 радиуса е > 0. Обозначичм через j,
вложение В(е) «-+ X и через /, отображение / oj,. Обозначим через
Ту/ отображение ТуХ —» Г@}С Применение предложения 4.2.4 дает
нам изоморфизмы
ПО 3 19) ( (TYf).MRJ.Jrln = v{o}{Rf.Rh.J7ln
\{TYf),vy{Rjtlj^F)~v{0}{Rf,Rjt>J:lF).
С другой стороны, по лемме 8.4.7
( i;lmr(F) a "lim" RT(U;vy(F)).
A0.3.20) < , U
) $i>y(F)~ ulim" Rre(U; МП),
*■ и
где U пробегает семейство открытых окрестностей точки р в ТуХ, что
дает
( i;W(F)~ "lim" u{a}{Rfttj;lF)v,
A0 3 21) < '
UPMF) к -Una- RTww{Rft\J7lF),
где v = @,d/dzi) 6 Г{о}С. Из предложения 8.5.9 мы знаем, что
Rft*J7lF\v и Rft\J7lF\v принадлежат Dj,_c_c(£/) для достаточно
малой окрестности U точки 0 € С
Докажем, что
{О})))-
A0.3.22) /*W^Ob(PD<Vc("\{0}))
\ {соотв. Rft,JTlF 6 Ob("D^c_c(£/ \
Выберем комплексную /i-стратификацию Х — \\аХа, такую, что
SS(F) С Ua^JC„^'' Тогда по микролокальной теореме Бертини-Сарда
(предложение 8.3.12)
|_|(В(е) хх ПаХ) n T{).l(t)]X С TJX при 0 < |t|< с.
а
Применяя лемму 10.3.9, получаем, что если F € ОЬСО^°_с_е(Х))
(соответственно Ob('iD^ic_<.(X))), то K-i(tJ7l(F)
(соответственно ijli, Jrl(F)) принадлежит MD*Lc_e(/t-1(f)) (соответственно

10.S. Превратные пучки на комплексных многообразиях 553
Так как /е-1(') является многообразием Штейна, то мы можем
применить теорему 10.3.8. Получаем
RnfrW,;4t)J7ln с оь(о<ЧОТоэ(Л)))
(соответственно ЯГС(/(Г-1(«);»7_1,^Л~1^) G ОЪ@>~1 (ЯЯоЦА)))). Так
как
{Rft.j7lF)t ~ (дг{0дл.л1Л.[2] = лг(л-,(«);»/,-»(ол If )И
то получаем A0.3.22), что вместе с A0.3.21) и (а) дает нам A0.3.18).
(с) Закончим доказательство предложения.
Пусть //-стратификация X = [JQ6i4 Ха такова, что существует
Ао С А, для которого
A0.3.23)
( SS(F) С U TLX>
Y = \JX°,
SS(MF)\tYx)C U (TZJxtyX).
а£А,
Пусть х G Ха, а подмногообразие Z С X пересекает Ха в х трансвер-
сально и dimZ+dimXQ = dimX. Применяя обратное преобразование
Фурье-Сато к изоморфизмам, определенным в теореме 6.7.1,
получаем изоморфизмы
A0 3 24) ( MF)\zxvTYx a vgnriij;1 F),
A0.3.25) * ^„-"znr^n,,
Пусть p6{i}xy fYX ~ {*} xzny TzoyZ. Тогда
\ Rr{p}UY{F)~Rr{p}UZnY{rzF).
Применяя лемму 10.3.9, получаем, что izl{F)\z\Y
(соответственно i'z(F)z\y) принадлежит MD^~^^lm (Z\Y) (соответственно
"Ol^C^cZ(z\Y))- Используя (b), получаем
vz*Y(izlF)P € ОЪ@-1-ЛтХ-(ШоЦА)))
(соответственно ДГ{р}1/2пу(«'^1^)Р € ОЬ@^1+<1,тДГ"(аПоЭ(Л)))).
Теперь требуемый результат вытекает из A0.3.25) и A0.3.4)
(соответственно из A0.3.25) и A0.3.5)). D

554 Гл.10. Превратные пучки
.Следствие 10.3.11. Пусть У — гладкая гиперповерхность в X,
определенная уравнением {/ = 0}, и F £ Ob(Dj,_c_c(yY)). Пусть
F\x\Y € Ob("D<ic_c(X\y)) (соответственно ОЬ(^С_С(Х\У))).
Тогда
(i) ip/(F)[— 1] принадлежит рО„1с_с(У) (соответственно
(ii) если, кроме того, »y!(F) (соответственно »y!(F))
принадлежит pDj*°c_c(y) (соответственно рО^°с_с(У)), то ^/(F)
принадлежит Р0^°С_С(У) (соответственно pD„ic_c(y)).
Доказательство, (i) следует из предложений 8.6.3 и 10.3.10.
(ii) следует из (i) и рассмотрения выделенных треугольников
(8.6.7). □
Теперь мы можем доказать один из основных результатов этого
параграфа.
Теорема 10.3.12. Имеют место равенства
*Df-c-c(*)=PDf-c-c(*)
и
"D^c_c(X) = pD^c_c(X).
Доказательство, (а) Пусть 1:ХхС-»С — проекция. Если F
принадлежит /iD^°c_c(A') (соответственно MD„ic_c(X)), то F И Лс[1]
принадлежит мО^°с_с(Х хС) (соответственно ,tD^l0_c_e(X xC)).
Тогда ^«(FB Лс[1])[— 1] ^ F принадлежит PD*°C_C(X) (соответственно
рО%°-с-с(Х)) по предложению 10.3.10.
(b) Обратно, пусть F принадлежит PD*°C_C(.Y) (соответственно
рОш°с-с(-^))- В°зьмем /i-стратификацию Х = \JaXa, такую, что
SS(F) С \JaTj[ X. Будем рассуждать по индукции. Достаточно
доказать, что
если Ха — замкнутый страт и
F\X\xaeOb("Di0_c_e(X\X0)),
_ „ то mvn L объекта F в общей точке
' многообразия Т£ X со сдвигом 0 удовлетворяет
равенству Н*(Ь) = 0 при j > — dimX
. (соответственно j > — dimX).

10.3. Превратные пучки на комплексных многообразиях 555
Выберем подмногообразие Z, пересекающее Ха трансверсально в
точке х. Так как /{-превратности и ^превратности сохраняются
функтором ig1 с тем же сдвигом (следствие 10.2.6 и лемма 10.3.9),
то, заменяя X на Z и F на i^lF, мы можем считать, что Ха =
{х}. Найдем голоморфную функцию /, такую, что f(x) = 0 и
d/(*) = Р € r{;}X\L|Wo^T. Так как supp(^(F))
содержится t(SS(F) П Л/), то он сконцентрирован в {х}. Кроме этого,
Ф/(Р)* — Ф/(^{х}) = L. Значит, мы получаем требуемый результат,
так как, согласно следствию 10.3.11, <f>/(F) € Ob(',Di*!c_<.(/-,@)))
(соответственно pDJ^c_c(/-1@))). □
Следствие 10.3.13. Функторы ф/[—1] и ф/, действующие из
Ощ_с_с(Л') в О*,_с_с(/-1@)), являются t-тонными по
отношению к t-структуре, заданной средней превратностью.
Доказательство. Если d/ ф 0, то утверждение вытекает из
следствия 10.3.11 и теоремы 10.3.12. В противном случае нужно
применить результат упр. 8.15 к вложению графика морфизма /. D
Напомним, что мы положили РН° = рт*° орт*° и рНп = РН° о [п].
Следствие 10.3.14. Пусть F£ Ob(D*,_c_c(X)). Тогда
A0.3.27) SS(P#'(F)) С SS(F).
Доказательство. Утверждение следует из того, что рН3(ф/(Р))
~ф/рН*(Р) (следст вие 10.3.13 и предложения 8.6.4). D
Рассмотрим теперь функториальные операции на превратных
пучках.
Предложение 10.3.15 (точность слева функтора /-1 и точность
справа функтора /!). Пусть f:Y —► X — морфизм многообразий.
(i) Функтор f~l переводит объекты категории pD*Jic_c(X)
в объекты категории рО^_™_/ (У).
(ii) Функтор f переводит объекты категории pD*ic_c(X) в
объекты категории рО*:£.™У/ДГ(У).
Доказательство. Представим / как композицию отображения
графика и проекции. Отдельно рассмотрим случай, когда / гладок
и когда/— замкнутое вложение.
Если / — гладкий морфизм, то результат вытекает из
предложения 10.3.3, так как в этом случае /' ~ /-1 ® огу/х[2(ИтУ/А'].

556 Гл.10. Превратные пучки
Если / — замкнутое вложение, то будем рассуждать по индукции
и редуцируем утверждение к случаю, когда У — гиперповерхность,
заданная уравнением {д = 0}. Тогда результат вытекает из
рассмотрения выделенного треугольника (8.6.7) и следствия 10.3.13. D
Следствие 10.3.16. Пусть F € Ob(D*,_c_e(X)), и пусть
отображение f:Y—*X нехарактеристично относительно F. Тогда
(i) / нехарактеристично относительно рН'(F),pт*>F upr^F;
(ii) если F 6 Ob("D°_c-cW), "»о Г1? € ОЬ(>о££'ех(У)) и
/!FeObCD;_d™J/x(y));
(iii) pH>(f-l(F)) ~ /-4p//;'_diml7X(f))[dimy/X],
pH>(f'iF)) s /!("#J+dimy/x(F))[-dimy/X].
Доказательство, (i) вытекает из следствия 10.3.14.
(ii) следует из предложения 10.3.15, так как f'(F) ~ f~l(F) ®
cwy/xpdimy/X].
(iii) следует из (i) и (ii). D
Предложение 10.3.17. Пусть f:Y—*X — морфизм многообразий.
Предположим, что любая точка х £ X имеет открытую
окрестность U, такую, что f-1(U) является многообразием Штейна.
(i) ЕслиС € ОЬ(<°С_С(У)),Rf.G € ОЬ@^_С_С(Х)), тоД/.G €
ОЬ('0<°_С_С(Х)).
(ii) Если G € ОЬ(^С_С(У)), Rf.G € Ob(Dt_c_c(X)), то Rf.G €
ОЬ('ОГ_С_С(Х)).
Доказательство. Так как результат очевиден, если / — замкнутое
вложение, то, представляя / в виде композиции графика и проекции,
будем считать / гладким.
Пусть G € ОЬ(*°С_С(У)) (соответственно Ob(pOl°_c_e(Y))).
Выберем /{-стратификацию X = JJq-^o, такую, что SS(Rf,G)
(соответственно SS(RfiG)) содержится в \_]аТхаХ. Для точки х £ Ха
найдем подмногообразие Z С X, пересекающее Ха трансверсально в
х и такое, что dimZ + dimXQ = dimX. Теперь, учитывая A0.3.4) и
A0.3.5), достаточно показать, что
ПО 3 28) I C4>zRftG € ОЬ@<*т*«(ЯПоЭ(Л)))
К ■ ' \(со<угъ.?гЪ^№еОЪ@}-*™х°(ЖоЪ(А)))).
Пусть /: /~! (Z) —* Z — ограничение морфизма /. Тогда tz Rf, G ~
Rf*ilj-ieZ\G и t^1 RfcG ~ RfiijltrZsG. Следовательно, для достаточно

10.3. Превратные пучки на комплексных многообразиях
малой штейновой открытой окрестности точки х имеем
( i-lrzRf.G~ Rr(U;i'zRf.G)
557
A0.3.29)
~RrCtl{U);i)_l{z)G)
(соотв. teiglRf,G ~ Rre(U;izlRfiG)
~Rre(f-l(U);ijl4Z)G)).
Так как V-i(z)G € Ob(PD^*c_*<"(/-1(^))) (соответственно
»jil(z)G € Ob(PDlZcZXa(f~4Z))), то (Ю.3.28) по предложению
10.3.15 следует из A0.3.29) и теоремы 10.3.8. D
Предложение 10.3.18. Пусть Е — комплексное векторное
расслоение над X со слоем размерности п. Тогда преобразование Фурье-
Сато переводит объекты из рО^_с_е(Е) ^ D^+(£) и объекты из
PD*-C-e(S) П ОЬ(Е) в объекты из >0<п_с_е(Е') П 0{+(Е*) и в
объекты из pO%Zc-c(E*) П 0^+(Е*) соответственно.
Доказательство. Пусть F принадлежит D*,_c_c(i?)nD^+(£).
Рассмотрим диаграмму
* Е* хС
Е*
Re
Ш
где Pi и рг (соответственно рг и t) обозначают первую и вторую
проекции, определенные на Е хд- Е* (соответственно на Е* х С), а у —
отображение (я, у) >-► (у, {г, у)). Тогда по определению 3.7.8 имеем
Г FA =;Яр2.ЯГ7-.(в.хAи)-.(»>в))(рГ1^)
I - ^P2!((PrlfO-4£*x(R*)-4*<o)))-
A0.3.30)
Используя первый изоморфизм из A0.3.30), получаем
FA ~ Дрг.Д7.ДГ7-чв-х(ае)-ч*>,))(РГ1^)
Так как Ry,p'[1F Сх-коничен по отношению к действию Сх на С, то
A0.3.31) FA~<t>tRy.pTlF.

558 Гл.10. Превратные пучки
Аналогично, используя второй изоморфизм из A0.3.30), получаем
A0.3.32) FA ~ Дрг,((Д7!РГ1^)в.х(Не)-Чк<о))
mf>,(RvP7lF).
Если F принадлежит pD^°c-c(^') ^ D^+(£) (соответственно
PQt°-c-c(E) n °ЫЕ))> то по предложению 10.3.3 pf lF
принадлежит pO*Zc-c(E xJf Е*) (соответственно pOt-C-e(E xx E*)).
Теперь мы можем применить предложение 10.3.17 к отображению у и
завершить доказательство использованием <-точности фг (следствие
10.3.13). О
Предложение 10.3.19. Пусть У— замкнутое подмногообразие в X
коразмерности п. Тогда функторы иу. 0*,_С_С(Л') —► Diw_c_e(TyX)
и ny[coiim\]: О^-с-еСЮ ~~* ®w-c-c(TyX) ■являются t-тонными.
Доказательство. Сначала рассмотрим комплексный аналог
нормальной деформации, введенной в §4.1.
Мы можем предположить, что X открыто в С х С" и У = {г' =
0}, где z = {z',z"},z' G C,z" € С. Пусть / — отображение из
СхСхСвСхС", заданное формулой (t,z',z") ~ (tz',z"), и
пусть X — /-1(Х). Ограничение морфизма / на X мы будем по-
прежнему обозначать через /.
Пусть Z = <-,@) С X. Отображение Tf определяет морфизм
Tzf: TZX -* ТуХ. Отождествляя ТуХ с У х С и ТгХ с Z х С,
получаем, что морфизм Tzf задается формулой (z',z", т) t-» (z",tz').
Пусть s: Z —> ТгХ — сечение, заданное формулой (г1, г") •-» (г1, г", 1).
Тогда Tzf отождествляет s(Z) с ТуХ.
Применяя теперь предложение 4.2.5 к гладкому отображению
Tzf\fzg, получаем изоморфизмы
vy(F)~(Tzf<>s)-lvy(F)
= «-'(Tzf)-1МП
^s-luz(f-lF)
~МГ1П
Утверждение о vy следует из того, что отображения F н->
(/-,(F)[l])|t^o и ^«[—1] сохраняют t-структуру, ассоциированную
со средней превратностью. Теперь применение предложения 10-3.18
завершает доказательство. D

Упражнения к гл. 10
559
Следствие 10.3.20. (i) Пусть F e Ob(pD^lc_<.(A')), и пусть G €
ОЬ(РО>!с_е(Х)). Тогда Mhom(F, C)[dimX] € ОЬ(^°_С_С(ГX)).
(ii) Пусть основное кольцо А является полем. Тогда если F и G
принадлежат рОс^е(Х), то /iAom(F, G)[dimX] e Ob(*D£_e(I-jr)).
Доказательство, (i) следует из предложения 10.3.6 и предыдущего
предложения, примененного к диагонали А' х А',
(ii) следует из (i) и предложения 8.4.14, так как
DT'x(/*Aom(F, G)[dimX]) ~ /iAom(G, F) ® ozx[i\mX]. D
Упраэкнения к гл. 10
Упражнение 10.1. Пусть О — триангулированная категория с
«-структурой. Если X € ОЬ(О), то пусть dn(A): т>пХ -* (г<"А)[1] —
морфизм d, определенный в предложении 10.1.4.
(i) Докажите, что при 6 ^ а диаграмма
Т>«Х -^И2» (г<"А)[1]
I I
т>»Х ► (т*ьХ){1]
d'(A')
коммутативна,
(ii) Докажите, что диаграмма
(т>пХ)[1] d"(Xm . (r<"A)[l]
I' I'
г>»-1(А[1]) . г<-»(Х[1])
d'-ЧХЦ])
антикоммутативна.
Упражнение 10.2. Пусть (Х,Ох) — нётерова отделимая схема,
такая, что Ох,х является регулярным кольцом для любого х € X,
т. е. g\A(Ox,*) < со. Предположим, что X равноразмерностна и имеет
размерность d. Пусть Djoh(Ox) — полная подкатегория в Оь(Ох),
состоящая из объектов с когерентными когомол огнями. Определите

560 Гл.10. Превратные пучки
функтор двойственности D(F) = KHomox(F,Ox)[d] из ^oh(Ox) в
oU(ox).
(i) (а) Докажите, что D'(Coh@x)) s D»oh@x), где Coh(Ox) —
это абелева категория когерентных Ox-модулей (это
утверждение верно для всех нётеровых схем X).
(Ь) Докажите, что D о D ~ id.
(й) Определите полные подкатегории в 0heoh(Ox) формулами
f°h(Ox) = {F£ D»,h(Ox);dim№pp(T>'<*)F) < к для всех к}
'°1лЛ°х) = {F € D»oh(Ox); tf£(F) = 0 для всех замкнутых
подмножеств Z и всех j < p(dimZ)}.
(Здесь р обозначает превратность.)
(a) Докажите, чтоD переводитp0f°h(Ox) np0>°h(Ox) в"*О|ооь@х)
и p*Ofoh(Px) соответственно.
(b) Докажите, что пара (р0^,(Ох) и p0%°h(Ox)) образует *-струк-
туру.
(c) Докажите, что U н-> p0%>h(Ou) является стеком (см.
предложение 10.2.9).
(Указание. Используйте результат Гротендика [Grothendieck 5]: для
любого когерентного идеала / и любого объекта F € Ob(D*(Ox)) с
квазикогерентными пучками когомологий Я§ «^ lim £xtox(Ox/Ik,
F), где Z = supp@x//).) T
Упражнение 10.3. Пусть А — кольцо дискретного нормирования.
Докажите, что любая t-структура на Оь(ШоЬ(А)) является либо
естественной, либо, с точностью до сдвига, двойственной к
естественной. Другими словами, если X = Spec(.A), то она равна (p0foh(Ox),
p0^h(Ox)) для некоторой превратности р (см. упр. 10.2).
(Указание. Используйте упр. 1.18 и для t-структуры (D^°, D^°)
на 0*(ЯПоУ(Л)) сначала докажите, что если А € Ob(D^°) и
А£ОЪ@>1),тоА£ОЪ@*°).)
Упражнение 10.4. Пусть X — вещественно-аналитическое
многообразие и F € Ob(D*,_E_e(X)). Положим d = dimsupp(F). В
предположении, что F € ОЬС0^°ж_е(Х)) (соответственно PD^°R_C(X))
докажите, что H>(X\F) = 0 при j > p(d) + d (соответственно
tf>(X; F) = 0 при j<p(d)).

Замечания
561
Упражнение 10.5. Пусть X — вещественно-аналитическое
многообразие, U открыто и субаналитично в X, j — вложение U «-> X
и р — превратность. Для F € ОЪ(р0Ч_л_е(Х)) пусть pj\j~lF =
>Hu(j,j-lF) и Pj,j-lF = "H°(Rj,j-lF) (см. § 10.1). Докажите
эквивалентность следующих двух условий:
(i) F изоморфен образу »j,j F — pjJ~lF в "D°_R_C(X);
(ii) F не имеет ненулевых подобъектов и факторобъектов с
носителями в X \ U в "D° _R_C(X).
Упражнение 10.6. Пусть X — комплексное многообразие и F £
ОЬ@»Ш_С_С(Х)). Докажите, что SS(F) = Ц- SS('ff'(F)).
Упражнение 10.7. Пусть X — комплексное многообразие, а 0 —►
F' —* F —► F" —► 0 — точная последовательность в р0° _С_С(Х).
Докажите, что SS(F) = SS(F') U SS(F").
Упражнение 10.8. Предположим, что основное кольцо А является
полем. Пусть X — комплексное многообразие размерности n, a F —
превратный пучок на X.
(i) Пусть Z замкнуто в X. Докажите, что H~n(F)\z
удовлетворяет «принципу аналитического продолжения», т. е. носитель
любого сечения этого пучка на открытом подмножестве U С Z
замкнут и открыт в U.
(ii) Пусть Z — замкнутое субаналитическое подмножество в X,
а х € Z — неизолированная точка в Z. Докажите, что
{Hz{F))x = 0. (Указание. Используйте соображения
двойственности.)
Упражнение 10.9. Пусть У — комплексная гиперповерхность в
комплексном многообразии А'. Докажите, что My [dim X — 1]
является превратным пучком для любого Л-модуля М.
Упражнение 10.10. Пусть F € ОЬ@£,_К_С(Х)), Z — локально-
замкнутое субаналитическое подмножество в А' и j £ Ъ. Докажите,
что HZ(F) = 0 для всех j < г в том и только в том случае, когда
dim(Z П cosuppJ (F)) < j — r для всех j.
Замечания
Источником теории превратных пучков являются, с одной
стороны, «когомологии пересечений» Горески и Макферсона (см. [Goresky-
MacPherson l]) — удачная попытка обобщить теорию двойственности

562
Гл.10. Превратные пучки
Пуанкаре на случай пространств с особенностями, а с другой —
теория голономных Р-модулей (обе теории тесно связаны, см. гл. 11).
Уже в 1975 г. Касивара [Kasliivara 3] показал, что если М — го-
лономный D-модуль на комплексном многообразии X, то комплекс
КНотт>(М,Ох)[Икч:Х] превратен, и дал следующую
формулировку «проблемы Римана-Гильберта» (см. [Ramis 1, р. 287]):
определить плотную абелеву подкатегорию holreg абелевой
категории голономных Р-модулей, такую, что функтор КНотт)х(*,Ох)
индуцирует эквивалентность категорий 0^о1 (Vx) и "c-eC^O"
Эта проблема была решена в 80-х гг. (см. [Kashiwara 6],[Mebkhout
1]). Из существования такой эквивалентности немедленно вытекает
существование абелевой подкатегории в Dj;_c(X), соответствующей
абелевой подкатегории holreg в О^о1 (Рх). Это и есть категория
превратных пучков.
Собственно теория превратных пучков создана Габбером и Бейлин-
соном, Бернштейном и Делинем [Beilinson-Bernstein-Deligne 1].
Большинство результатов данной главы хорошо известны. Результаты о
^-структурах в § 10.1 извлечены из упомянутой выше работы Бей-
линсона, Бернштейна и Делиня, им же принадлежит теорема 10.2.8.
Центральный результат — о сохранении превратности при действии
функтора исчезающего цикла — принадлежит Горески и Макфер-
сону [Goresky-MacPherson 3] (в работе [Beilinson-Bernstein-Deligne 1]
этот результат доказан в этальном случае). Микролокальная
интерпретация превратности была дана в работе [Kashiwara-Schapira 3] (в
случае А = С). Отметим, наконец, интересную конструкцию
превратных пучков в работе [MacPherson-Vilonen 1].

Глава 11
Приложения к о-модулям и
©-модулям
По определению комплексное многообразие X оснащено пучком
колец Ох голоморфных функций. Структура пучка Ох и теория
Од:-модулей к настоящему времени хорошо изучены, и мы не
собираемся здесь объяснять эту теорию с самого начала. Мы ограничимся
только несколькими основными фактами, касающимися
алгебраической структуры пучка Ох, его вялой размерности и операций над Ох ■
Ссылки даются на работы [Banica-Stanasila 1], [Cartan 2], [Hormander
1] и [Serre 1].
Затем мы вводим пучок колец Т>х голоморфных
дифференциальных операторов конечного порядка на X. Как и в предыдущем
случае, теория Dx-модулей хорошо изучена и наше изложение будет
очень кратким. Его цель — дать основные понятия (включая
понятие характеристического многообразия) и описать операции над
Т>х-модулями. Далее мы напомним классическую теорему Коши-
Ковалевской и ее обобщение на случай 2>лг~модулей, а также выведем
формулу
A1.0.1) SS(KHomVx(M,Ox))Cchat(M),
где char(.M) — характеристическое многообразие модуля М (это
включение в действительности является равенством, см. $11.4).
В качестве приложения формулы A1.0.1) немедленно
получается с помощью результатов § 8.5 конструктивность комплекса
КНогп-рх {М, Ох) для случая голономного модуля М; легко также
показать, что этот комплекс является превратным.
Более подробное изложение теории Рх-модулей можно найти в
работах [Bjork 1], [Kashiwara 5] и [Schapira 2].
После этого мы изучаем пучок Ох «микролокально». Введя
кольцо £f- микролокальных операторов, мы даем набросок
доказательства важной теоремы, которая утверждает, что голоморфные
контактные преобразования можно локально «проквантовать» над
Ох- В конце главы рассматривается пучок См микрофункций Са-
то на вещественно-аналитическом многообразии М. С
использованием формулы A1.0.1) и результатов гл. 5 и б воспроизведение
многих классических результатов теории дифференциальных уравнений

564 Гл.11. Приложения к О-модулям и Т>-модулям
в частных производных становится легким упражнением. В
частности, это относится к результатам об эллиптических уравнениях,
аналитическом волновом фронте, микрогиперболических системах и
распространении особенностей.
Уже ясно, что цель этой главы состоит не в том, чтобы дать
полное или систематическое изложение теории аналитических (ми-
кро)дифференциальных уравнений, а в том, что ввести читателя в
эту теорию и помочь ему лучше разобраться в основополагающей
работе [Sato-Kawai-Kashiwara 1] в свете теории микроносителей пучков.
В данной главе все пучки, если не оговорено противное, суть пучки
векторных пространств над С.
11.1. Пучок Ох
Пусть X — комплексное многообразие комплексной размерности п,
и пусть Ох — пучок колец голоморфных функций на X. Мы
начнем с описания взаимосвязей между многообразием X и
подлежащим вещественно-аналитическим многообразием X*.
Обозначим через X комплексно-сопряженное к X многообразие.
Это такое комплексное многообразие, что X = XR, но голоморфные
функции на X суть антиголоморфные функции на X. Итак, имеется
изоморфизм колец Ох —► Од-, « >-*■ % причем ай = ай для а € С и
tie Ох. _
0тождествим_многообразие Хш с диагональю в X х X. Тогда
произведение X х X есть комплексификация многообразия Хш. Если
через Ах* обозначить пучок (комплекснозначных)
вещественно-аналитических функций, то Ах* = ОххХ~\х*-
Кроме того,
ГХ*®С = ТХ х Т¥.
» х
Композиция отображений
ТХ* — ТХ* <8> С ~ ТХхТХ — ТХ
R X
задает изоморфизм
A1.1.1) TXR~(TX)R
вещественно-аналитических векторных расслоений над X* и по
двойственности изоморфизм
A1.1.2)
ТХ*^(Т*Х)*.

11.1. Пучок Ох 565
Пусть ф — вещественная функция класса С1 на многообразии X*.
Последний изоморфизм сопоставляет вектору d^(x) € Т*ХЛ вектор
дф(х) € Т*Х, где d^ — вещественный дифференциал, л дф — его
голоморфная компонента.
Пусть ах (соответственно ах») — комплексная (соответственно
вещественная) каноническая 1-форма на многообразии Т*Х
(соответственно Т*ХЛ). Тогда огу = ах и аххх~~ ах + ах~- Поэтому
A1.1.3) aXB = 2Reax.
Пусть z = (zi,...,zn) — система голоморфных координат на X, и
пусть (z;Q — ассоциированные с ней координаты на Т*Х, так что
ах = Ё,- tjdzj. Если z = х + у/^у и С = £ + yf^n, то
A1.1.4) а*. = 2^)(№ - rjjdyj).
i
Эта форма индуцирует гамильтоново векторное поле Я* для любой
вещественнозначной функции Л на Т*Х*.
Всюду в дальнейшем, если путаница исключена, мы
отождествляем (Т*Х)* с ГХ1 и даже иногда пишем Т*Х и X вместо Т*Х*
иХ*.
Напомним теперь некоторые основные понятия, связанные с
когерентностью. Пусть (X, Их) — окольцованное пространство. Если
не оговорено противное, под .4*-модулем будем понимать левый
Их-модуль.
Говорят, что Их-модуль М конечно свободен, если он изоморфен
модулю Ах для некоторого N € N. Он называется локально конечно
свободным, если у каждой точки х £ X есть такая открытая
окрестность U, что М\и — конечно свободный Их|у-модуль.
Точная последовательность Их-модулей
A1.1.5) М. — >.Мо— .М— О
называется s-представлением Лх-модуля М- Такое представление
называется конечно свободным или локально конечно свободным, если
все Mj обладают соответствующим свойством.
Резольвентой длины т называется со-представление с Mj = 0 при
j > т.
Говорят, что Их-модуль М локально имеет конечный тип
(соответственно конечное представление), если он локально допускает
конечно свободное О-представление (соответственно 1-представление),
т. е. если локально на X существует точная последовательность
A%-*M-*Q (соответственно А$ -* -Ах" -*М-*0).

566 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Определение 11.1.1. (i) Ля-модуль М называется когерентным,
если он локально имеет конечный тип и если для любого открытого
множества U любой Иу-подмодуль локально конечного типа
локально имеет конечное представление.
(и) Пучок Ах называется когерентным, если он когерентен как
левый Их-модуль.
(ш) Пучок Ах называется нётеровым, если он когерентен, стебель
Ах,х нётеров для любого х € X и, наконец, для любого открытого
подмножества U С X любое возрастающее семейство когерентных
подмодулей произвольного когерентного Ах | у-модуля локально
стабилизируется.
Обозначим через ШоЬсоъ(Лх) категорию левых когерентных
модулей над когерентным кольцом Ах • Эта категория абелева.
Вернемся к случаю комплексного многообразия X комплексной
размерности п.
Теорема 11.1.2. (i) Пучок колец Ох нётеров (и, в частности,
когерентен).
(ii) Пусть М — когерентный Ох-модуль. Тогда локально на
многообразии X модуль М допускает конечно свободную резольвенту
длины п.
Результат о когерентности пучка Ох принадлежит Ока [Ока 1].
Свойство (ii) известно под названием теоремы Гильберта о сизигиях.
Теорема 11.1.3. Пусть Z — локально замкнутое подмножество
многообразия X, и пусть х 6 X, х $ Int Z. Тогда
Hjz(Oxh = 0npuj<t[l,n].
Разумеется, тривиальность группы Н^{Ох)х эквивалентна хорошо
известному принципу аналитического продолжения. Тривиальность
групп H]z(Ox)t при j > п доказана в [Malgrange 1] (см. также $9.11
гл. 2).
В заключение обсудим операции над пучком Ох ■
Пусть (У, Оу) — другое комплексное многообразие. Тогда имеется
естественный морфизм
A1.1.6) Ox®Oy^OXxy
пучков на X х У. Пусть теперь задано голоморфное отображение
/: У —► X. Тогда имеется естественный морфизм
A1.1.7)
Г'Ох^Оу

11.1. Пучок Ох
567
пучков на У. Этот морфизм есть не что иное, как композиция с
отображением /, которая переводит голоморфную функцию ф на
многообразии X в голоморфную функцию фо/н& многообразии У.
Сложнее дать описание прямого образа.
Пусть 0%' обозначает пучок голоморфных р-форм на X. Положим
A1.1.8) Пх = 0(£)®огх,
где огх — ориентирующий пучок на многообразии X* и п = dimcX.
Разумеется, комплексное многообразие X всегда ориентируемо, и
в большинстве случаев можно забыть о пучке огх-
Пучок Ох является обратимым Ох-модулем, т. е. локально он
свободен и имеет ранг 1 над Ох- Если С — обратимый Ох-модуль,
то мы полагаем
A1.1.9) С9-1=Потох(С,Ох).
Разумеется, £®-1 ®ох £ — &х-
Элемент объема порождает пучок Пх над Ох ■ Существование
элемента объема гарантировано лишь локально.
Теорема 11.1.4. В категории 0*(Х) существует естественный
морфизм
Я/. Яу [dime У] -* 0x[dimcX].
Этот морфизм функториален относительно композиции
отображений.
Напомним (см. $ 2.9), что этот морфизм может быть получен
следующим образом.
Пусть Vby — пучок форм-распределений на У* бистепени (р, q)
относительно У и У. Положим m = dime У, n = dimcX, / = т — п.
Существует морфизм «интегрирования»
f<Vb(Yiq) ®огу^ 0б£",,,~1) ® огх,
который и дает нужный морфизм при замене пучков Оу и Ох их
резольвентами Дольбо с коэффициентами соответственно в Vby и
Vb^\
В качестве приложения этой теоремы построим фундаментальный
класс, ассоциированный с подмногообразием Z С X (комплексной)
коразмерности d.

568 Гл.11. Приложения к О-модулям и Т)-модулям
Пусть J — определяющий идеал подмногообразия Z в X, т. е.
пучок идеалов кольца Ох, порождаемых сечениями, обращающимися
в нуль на Z. Тогда имеется естественный морфизм
A1.1.10) J/J2-+0(x)®oxOz,
задаваемый формулой / >-» if. Из этого морфизма получаем
морфизм
A1.1.11) Л "(J/J3) -+ Of ®0х Oz-
Но
л^до2)^^®-1®^^.
Поэтому мы получаем морфизм
A1.1.12) Oz ^oi"~d)<8tox 0f®0^)9~1.
С другой стороны, в теореме 11.1.4 определен морфизм
Qz^H$(nx).
Умножая тензорно на Ох' ® Ох@~ и комбинируя результат с
формулой A1.1.12), мы получаем морфизм
A1.1.13) 0z^Hdz@f)®mz,x.
Определение 11.1.5. Образ сечения 1 пучка Oz под действием
морфизма A1.1.13) называется фундаментальным классом
подмногообразия Z многообразия X и обозначается через 6z.
Пример 11.1.6. Пусть подмногообразие Z задается уравнениями
/i = • • • = fd = 0, причем d/i Л • • • Л ifd фйъя. Z. Тогда 6z есть класс
*°pMb,BWVXA-AxJ-
Здесь l/fi-..fd — образ в Hg(X;Ox) элемента группы
Hd~1(X\Z;Ox), полученного путем рассмотрения открытого
покрытия {fj ф 0}/ei,„.,d множества A' \ Z (см. упр. 2.26).

ll.i. Vx -модули
569
11.2. Рх-модули
Прежде всего напомним некоторые основные факты о
фильтрованных кольцах и модулях (см. [Schapira 2]).
Все кольца предполагаются унитарными (т. е. кольцами с
единицей 1). Бели не оговорено противное, под модулем понимается
унитарный левый модуль (т. е. левый модуль, на котором 1 действует
как тождественное отображение).
Фильтрованное кольцо А (или кольцо с фильтрацией) над Z — это
кольцо (также обозначаемое через А), оснащенное таким семейством
подгрупп {At}tez, что
{At С Ak+i для любого к, 1 € -Ао,
Ai-AiC Ak+i для любыхk,luA = \jAk.
Фильтрованным модулем (или модулем с фильтрацией) М над
А называется Л-модуль М, оснащенный таким семейством подгрупп
{Мк}кег, что
{
Мк С Mk+i для любого к,
A1.2.2) I Ai-MkC Mk+i для любых k,l uM = \JMk.
к
Говорят, что фильтрации {M*}t и {М'к}к наМ эквивалентны, если
существует такое г G N, что М*_г С М'к С М*+г для всех fc € Z. В
частности, любая фильтрация {М*}* на М эквивалентна сдвинутой
на г фильтрации, которая обозначается через М[г] и задается
формулой
(М[г])к = Мк+r длякьЪ.
Морфизмом фильтрованных Л-модулей ф : М —* N называется
такой морфизм Л-модулей, что ф(Мк) С Nk для всех к.
Пусть 0—* L —* М —* N —► О — точная последовательность
Л-модулей, и пусть модуль М снабжен некоторой фильтрацией.
Тогда индуцированная фильтрация на L задается формулой L* =
L П Мк, а фильтрация образа на N — формулой Nk = ф(Мк).
Последовательность 0—* L —* М —* N —► О фильтрованных А-ьло-
дулей называется строго точной, если она является точной
последовательностью Л-модулей, а фильтрация на L (соответственно на N)
совпадает с индуцированной фильтрацией (соответственно
фильтрацией образа). Фильтрованная прямая сумма М ф М' двух
фильтрованных модулей М и М' определяется следующим образом:
(М Ф М')к =Мк® М'к.

570 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Таким образом, категория фильтрованных Л-модулей аддитивна.
Следует, однако, иметь в виду, что эта категория не является абеле-
вой. Например, фильтрованный морфизм Л —► Лм — мономорфизм
id l
и эпиморфизм, но, вообще говоря, не изоморфизм фильтрованных
Л-модулей.
По определению конечно свободным фильтрованным Л-модулем
называется фильтрованный Л-модуль, изоморфный конечной прямой
сумме модулей вида А[г].
Конечно свободным s-представлением фильтрованного Л-модуля
М называется строго точная последовательность фильтрованных
Л-модулей
A1.2.3) L, — ►!(, — М — О,
в которой все Lj конечно свободны.
Фильтрованный модуль М называется модулем конечного типа,
если он допускает конечно свободное О-представление. В этом случае
говорят, что фильтрация на М хорошая.
Фильтрованное кольцо А Называется нётеровым (или
фильтрованным нётеровым), если любой подобъект модуля конечного типа в
категории фильтрованных Л-модулей сам является модулем
конечного типа. Это условие эквивалентно тому, что для любого Л-модуля
М, снабженного хорошей фильтрацией, и любого подмодуля N в М,
снабженного такой фильтрацией, что N —► М — фильтрованный
морфизм, эта фильтрация хорошая. Бели А — фильтрованное нётерово
кольцо и, кроме того, для любого а £ Л-i элемент 1 — а обратим, то
А называется кольцом Зарисского.
Это определение фильтрованных нётеровых колец слегка
отличается от определения 1.1.2 в гл. 2 книги [Schapira 2]. В
действительности, как заметил ван Ойстейен (Van Oystaeyen), это последнее
является слишком слабым и из него не вытекает, что gr^) — нётерово
кольцо. В частности, предложение 1.1.7 в цитированной книге
частично ошибочно. (Эта ошибка не имеет никаких последствий для
оставшейся части указанной книги. Чтобы исправить ее,
достаточно заменить слабое определение фильтрованного нётерового кольца
определением, которое мы дали только что.)
Градуированное кольцо gr(A) определяется так:
A12.4) gt(A) = флк/Л*-!.
*
Аналогично если М — фильтрованный Л-модуль, то
(градуированный) §г(Л)-модуль gr(M) определяется так:
(П.2.5) gr(M) = 0Mt/Mt_!.
к

11. t. Vx-модули
571
Порядком элемента и G M называется наименьшее число fc € Z U
{—со}, для которого и G Mj (мы считаем по определению, что М_оо =
0). Порядок обозначается через ord(u).
Через «г* обозначается проекция Мъ —► gr(M). Если ord(u) = Jb, то
мы пишем ff(u) вместо о~к(и).
Предложение 11.2.1. Предположим, что gr(A) нётерово (как
градуированное кольцо) и At = 0 при к < 0. Тогда А — фильтрованное
нётерово кольцо.
Доказательство представляет собой легкое упражнение.
Предположим теперь, что кольцо gr(Л) коммутативно. Тогда
можно определить скобку Пуассона на gr(.A), полагая для а £ Ak/Ak-i, Ь €
Ai/Ai-i
A1.2.6) {a,6} = <rt+,_1([a,6]),
где а (соответственно 6) — любой элемент в At (соответственно в Ai),
удовлетворяющий условию fft(a) = а (соответственно <г;F) = Ь), а
[а,Ь] = аЬ— Ьа.
Пусть М есть Л-модуль конечного типа. Его можно наделить
хорошей фильтрацией, выбрав набор образующих (vj)f=1 и полагая
Мк = Y^j AtVj. Очевидно, что любые две хорошие фильтрации
модуля конечного типа эквивалентны. Теперь легко доказать, что
радикал аннулятора модуля gr(M) представляет собой градуированный
идеал кольца gr(.A), который зависит только от М, а не от выбора
хорошей фильтрации. Он обозначается через 1саг(М). Итак,
' а € 1саг(М)— однородный элемент порядка к о
. „ . существует I G N, такое, что аМп С Mn+t;-i
для любого п и любого а 6 Ati,
, удовлетворяющего условию а(а) — а'.
Пусть А — фильтрованное нётерово кольцо. Рассмотрим точную
последовательность
A1.2.8) 0 — L — М — TV —0
Л-модулей конечного типа. Можно оснастить М хорошей
фильтрацией, а L (соответственно N) — индуцированной фильтрацией
(соответственно фильтрацией образа). Тогда A1.2.8) становится точной
последовательностью фильтрованных модулей и последовательность
A1.2.9). 0 - gr(L) - gr(M) - grGV) - 0

572 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
сама является точной. Поэтому
A1.2.10) Icar(M) = Icar(L)nIcarGV).
Более того, справедлив важный результат, принадлежащий Габберу
[Gabber 1].
Теорема 11.2.2. Пусть gt(A) — коммутативная нётерова алгебра
над Q. Тогда для любого А-модуля М конечного типа идеал 1саг(М)
инволютивен, т. е.
{1саг(М),1саг(М)} С 1саг(М).
Пусть теперь X — топологическое пространство. Пучок А
фильтрованных колец на X — это пучок колец А, снабженный семейством
пучков подгрупп {Ль}*ег> таким, что.4* С Ль+t, 1 есть сечение пучка
Ло, Ak At С Ak+i и А является объединением пучков Ак • Аналогично
определяется понятие фильтрованного Л-модуля, конечно свободного
фильтрованного И-модуля и т. д.
Говорят, что фильтрация И-модуля М хорошая, если локально на
X существует фильтрованная точная последовательность С —* М —*
0, в которой пучок С конечно свободен.
Предложение 11.2.3. Пусть А — пучок фильтрованных колец на
X. Предположим, что gt(A) когерентен как градуированное коль-
цо (соответственно нётеров) и для каждого х £ X фильтрованное
кольцо Ах,* является кольцом Зарисского. Тогда
(i) А когерентен (соответственно нётеров) как пучок колец;
(И) если М есть А-модуль, снабженный хорошей фильтрацией,
то М когерентен как А-модуль в том и только в том случае,
когда gr(M) когерентен как градуированный модуль;
(Hi) если М когерентен и снабжен хорошей фильтрацией, aAf —
когерентный подмодуль в М, то индуцированная фильтрация
на Af является хорошей.
Доказательство см. в [Bjork 1] или [Schapira 2].
Предположим теперь, что X — комплексное многообразие
комплексной размерности п. Через Т>х мы обозначаем пучок колец
голоморфных дифференциальных операторов конечного порядка на X.
Это подалгебра в Нотс(Ох,Ох), порожденная Ох и векторными
полями.
Фильтрация на Т>х определяется рекурсивно:
Г112 1П [Vx(m) = Q при m < 0,
К ■ ' \Vx(m) = {PeVx;[P,Ox]CVx(m-l)}.
В частности, Vx@) = Ox-

It.». Vx -модули 573
Градуированное кольцо gr(Z>x) естественно изоморфно под-
кольцу 0[т»х] кольца *,(От'х), состоящему из сечений, которые
полиноминальны на слоях векторного расслоения ж: Т*Х —► X.
Пусть (х) = (xi хп) — локальная система голоморфных
координат на X, а (х;£) — соответствующие координаты на Т*Х.
Дифференциальный оператор Р порядка m имеет вид
A1.2.12) P(x;Dx)= £>e(*)D°,
|a|<m
где аа — голоморфные функции, а = (art,.. .,«„), Ы = "i + •••
+ an,D° = jDf1 ...D%*, г. Dj = д/dxj (мы используем также
обозначение Dtj).
Главный символ <rm(P) — функция на Т*Х, такая, что
A1.2.13) <rm(/»)(«;fl = £«.(«){•■
|в|=т
Главный символ <тт(Р) определен на Т*Х внутренним образом.
Можно также рассмотреть полный символ оператора Р, который имеет
вид
P(x,i)= £>"(*Г.
но эта функция зависит от выбора локальных координат
(xi,...,xn). Произведение PoQ двух дифференциальных
операторов дается (в выбранных локальных координатах) формулой
Лейбница
(PoQ)(X,0= £ 1^P{X;0.^-Q(X;0,
леи*
где а\ = «i!...an! при а = («!,...,«„) G N".
Применяя предложение 11.2.3 и хорошо известные результаты об
0[T'X]i МЫ получаем следующее утверждение:
Предложение 11.2.4. (i) Кольцо Vx когерентно и нётерово
справа и слева.
(И) Пусть М — когерентный Vx-модуль, снабженный хорошей
фильтрацией. Тогда gr(A4) когерентен. Более того, если Я —
когерентный подмодуль в М, то индуцированная фильтрация на Я
является хорошей.
Пусть М — когерентный Х>.у-модуль. Локально можно
снабдить М хорошей фильтрацией и определить градуированный идеал

574 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
1саг(Л4) в gr(Z>x)- Это когерентный градуированный идеал, который
зависит только от М и потому определен глобально. Многообразие
его нулей в Т*Х, т. е. множество общих нулей всех сечений этого
идеала, называется характеристическим многообразием модуля М
и обозначается через char(.M). В силу A1.2.10) мы видим, что если
0—► £ —> М —* М —>0 — точная последовательность когерентных
Рх-модулей, то
A1.2.14) char(jM) = char(£)Uchar(^0-
Предположим, что М снабжен хорошей фильтрацией, и положим
gi(M) = 0T.x ® T"lgr(A<).
Поскольку функтор От'Х ®*-1о{Г.х] *~1(-) точен на категории
<3[т«х]-модулей, имеем
A1.2.15) char(A<) = supp(gr(A<)).
По теореме 11.2.2 и предложению 11.2.3 char(A4) является замкнутым
аналитическим множеством в Т*Х, инволютивным и коническим
относительно действия группы Сх (ср. упр. 8.8).
В частности, dimc(char(.M)) > п. Если dimc(char(A4)) ^ п, то М
называется голономным модулем.
Пример 11.2.5. Предположим, что М имеет одну образующую и с
определяющими соотношениями PjU = 0,j = l,...,N. Пусть J —
левый идеал в Vx, порожденный операторами Pj. Тогда М ~ Vx/J
и
char(jM) = {{*;£); <r(P){x;£) = 0 для любых Р € J}.
Разумеется, chax(M) может быть строго меньше множества
{(я;£);<г(Pj)(x;£) = 0 при j = 1,...,N}. В действительности,
хотя элементы Pj и порождают J, может случиться, что элементы
o~(Pj) не порождают gr(«7). Тем не менее идеал gt(J) локально
конечно порожден.
Как следствие инволютивности множества char(A4) мы получаем
такое утверждение:
Предложение 11.2.6. Пусть М — когерентный Vx-модуль. Тогда
локально на X модуль М допускает конечно свободную резольвенту
длины п.
Другими словами, локально на X существует комплекс
A1.2.16) 0—► Х>£"—► ...—vV$—vD^°—► (),
точный везде, кроме степени 0, и такой, что М ^ V^'/V^Po-

lt.8. V\--модули 575
Пример 11.2.7. Пусть Z — замкнутое подмногообразие
комплексной коразмерности d в X.
Гомоморфизм £xt$x(Oz,Ox)^H^(RHomox(Oz,Ox)) -> Hz(°x)
инъективен, и мы обозначим через Bz\x или через Нщ(Ох)
порожденный его образом 2>х-модуль. Если хи ..., хп — такая система
локальных координат на X, что Z = {xi = • •• = xj = 0}, то Bz\x
порождается классом и элемента 1/ху ■. -хл, и эта образующая
удовлетворяет соотношениям
ци = ■■■ = xju = Dd+iu = ■■■ = D„u = 0.
Иными словами,
Bz\x *T>xl{Vxxi + ■■■+ Vx*d + VxDd+l + ■■■+ VxDn).
Заметим, что пучок Bz\x когерентен и char(Bz|x) = T£X.
Рассматривая регулярную последовательность (xt,..., x,t, Aj+t, - - -, Dn) в Vx и
соответствующий комплекс Кошуля (ср., например, [Schapira 2,
Appendix В.4]), мы получаем свободную резольвенту длины п пучка
Bz\x-
Обозначим через ШоЬ(Т>х) (соответственно WtoD(Z>jf)) абелеву
категорию левых (соответственно правых) Х>х-модулей.
Категории WtoD(Z>x) и WtoD(Z>jf) эквивалентны. В
действительности имеется естественный изоморфизм
A1.2.17) O^^Sxil^Ox^x),
превращающий 0% в правый когерентный Х>х-модуль. Если М —
левый Х>х-модуль, то 0% ®ох М снабжается структурой правого
Х>х-модуля следующим образом.
Для t; € Ojf >u € Л4 и векторного поля в полагаем
(v®и)в = (vO) ®u-v®0u
и продолжаем это действие до действия кольца Т>х на 0% ®ох М-
Аналогичным образом определяется левое действие кольца Т>х на
Я ®ох Ох , где Я — правый Х>х-модуль.
Функторы М и-» Ох ®ох МиМ *-*М ®ох Ох дают нужную
эквивалентность.
Обозначим через D*oh(X>x) (соответственно Djoh(I>^)) полную
подкатегорию производной категории О*(9Ио0B?х)) (соответственно

576 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
D*(WtoDB>3f'))), состоящую из объектов с когерентными когомологи-
ями.
Категория ШоЬ(Т>х) имеет достаточно инъективных объектов (в
силу предложения 2.4.3), и для каждого х € X мы имеем gld(Z>x,c) ^
п (это легко выводится из предложения 11.2.6). Поэтому функторы
KHomVx(-, •) и • ®рх • корректно определены на Оь(Т>х)° х D*(T>x)
и D*(Z>£) х D*(Dx) и принимают значения в 0+(С*) и D*(Cx)
соответственно.
В заключение этого параграфа напомним кратко основные
операции над Х>х-модулями.
На Djoh(I>x) (и поэтому и на D*oh(I>^)) имеется любопытная
инволюция, аналогичная функтору двойственности (см. § 3.4) в теории
пучков. Положим
A1.2.18) Кх = VX ® flf"l[dimcX].
Заметим, что на Кх имеются две естественные структуры левого
Х>х-модуля. Для М € Ob(Djoh(X>x)) положим
A1.2.19) М* = KHomVx{M,Kx)-
Очевидно, это объекты категории D6C7tot>(Z>x)) (благодаря структуре
бимодуля на Кх, ср. упр. 2.23), и немедленно проверяется, что М* €
Ob(D»oh(Dx)). Более того,
A1.2.20) М"хМ.
Пусть теперь У — еще одно многообразие.
Если М (соответственно М) — левый Djc-модуль (соответственно
ZV-модуль), мы определим левый 2?*хг-модуль, полагая
A1.2.21) Mmtf = VXxY ® (МММ").
VxBVy
Легко проверить, что если М и М когерентны, то таков же и МЩ^-
Кроме того,
A1.2.22) сЬаг(Л4@Л0 = char(A<) x сЬагЛЛ
Наконец, пусть f:Y—*X — голоморфное отображение.
Мы снабдим пучок Oy®f-iox f~ 1®X естественной структурой
правого /-1Х>х-модуля. Кроме того, его можно снабдить структурой
левого Х>у-модуля следующим образом.

U.S. VX -модули 577
Пусть &х (соответственно ву) — пучок голоморфных векторных
полей на X (соответственно иа У). Бели t; — сечение пучка ву, то
дифференциал /': TY —► У xjf TX, будучи применен к v, определяет
сечение f'(v) пучка Оу ®j-i0x f~l&x> которое локально на У может
быть записано в виде конечной суммы £ • а;- ® ш,-. Рассмотрим сечение
пучка Оу ®/-i©x f~lT>x вида а® и. Мы положим
t>(a ® и) = t>(a) ® и + У2<*<*} ® W; ° и-
1
Если локальные системы координат (xi,...,xn) на X и (yi,...,ym)
на У выбраны так, что / = (/i,..., /„), то
A1.2.23) D„h(a®u) = -r—®u + 4Sra-^-®Dx-ou.
ОУк JT[ ОУк
Затем левое действие пучка ву на Оу ®/->ох f~l®x естественно
расширяется до левого действия пучка Vy.
Определение 11.2.8. Пучок Оу®j-i0x f~lVx, снабженный
указанной структурой (Ру,/~1Рх)-бимодуля, обозначается через Vy^x-
Его каноническое сечение 1 ® 1 обозначается через \у-*х ■
Бимодуль Vy-tx определяет два функтора
Dy^x 9 r4yOb(Vx)-*D\Vy),
• ® Vy^x: 04(Х>уГ) -+ D»(/-lD^).
Если g : Z —* Y — другое голоморфное отображение, то имеется
канонический изоморфизм
A1.2.24) Vz^y ® g-lVy^x~Vz^x.
g-it>Y
Пример 11.2.9. (i) Пусть х = (х',х") — система координат на X, и
пусть У = {х G Х;х' = 0}. Тогда как V^-модуль Vy-*x изоморфен
2?х/(х') Vx, где (х') Т>х — правый идеал, порожденный
координатами (х'). Любое сечение этого пучка может быть записано в виде
Р(х", Dx>, Ас") (т. е. в виде дифференциального оператора на X, не
зависящего от х').
(ii) Пусть х = (х', х") — система координат на У, и пусть /: У —►
X — проекция (х', х") >-* (х"). Тогда Т>у-*х — T^y/(Dx>)Vy и сечение
этого пучка может быть записано в виде P(x,x",Dx»), т. е. в виде
дифференциального оператора на У, не зависящего от Dz>.
19-М.Касивара, П Шапира

S78 Гл.11. Приложения к О-модулям и D-модулям
Определение 11.2.10. (i) Пусть М — левый Х>х-модуль (или, более
общо, М G Ob(D*(Djc))). Определим обратный образ f~lM пучка М
относительно / формулой
f-lM = VY^x ® Г1М е Ob(D»(Dy)).
(ii) Пусть N — правый Dy-модуль (или, более общо, М G
ОЬ(Оь(Т>^))). Определим прямой образ f^N (соответственно
собственный прямой образ /,Л/") пучка Я относительно / формулой
Ц{ = R/, (^g VY^x) e Ob(D»(P?))
(соответственно
/,JV = R/i U j> VY^x) e Ob(Dl(Z>£))).
Напомним без доказательства основные результаты, касающиеся
обратных образов и принадлежащие Касиваре [Kashiwara 5].
(Относительно прямых образов см. [Kashiwara 4], [Houzel-Schapira l],
[Schneiders 1] и [Boutet de Monvel-Malgrange 1].)
Как обычно, через /» и '/' мы обозначаем естественные
отображения нз Y хх Т*Х ъТ*Х hT'Y соответственно.
Определение 11.2.11. Пусть М — левый когерентный Рх-модуль.
Говорят, что / нехарактеристично относительно М, если
TJX П /;l(diar(A<)) С У хх ТЦХ.
Предложение 11.2.12. Пусть f нехарактеристично
относительно когерентного Т>х -модуля М. Тогда
(i) H>(f~lM) = 0 при j ф О,
(ii) Я°(/~ М) {обозначаемое просто через f~lM) —
когерентный Vy-модуль.
(iii) char(/-lA<) = */'/;1(сЪги(М)).

U.S. Голоморфные решения Dх-модулей 579
11.3. Голоморфные решения D*-модулей
Напомним сначала без доказательства классическую теорему
Коши-Ковалевской в усиленной форме, принадлежащей Лере
([Leray 3]; ср., например, [Schapira 2]).
Пусть х = (xi,..., х„) — голоморфные координаты на С", а
(х;£) — соответствующие координаты на Г*С". Мы снабдим С"
обычной эрмитовой структурой ((х,х') = Tljxj^j) и обозначим
через В(х„,р) открытый шар радиуса р с центром в х0. Мы используем
также обозначение х = (xi,x') и через В'(х0,р) обозначаем
пересечение шара В(х„,р) с гиперповерхностью {х е C";xi = х0д}, где
^о — t^o.ti ■ ■ ■ i ^o.nj-
Пусть X — открытое подмножество в С", и пусть Р —
голоморфный дифференциальный оператор порядка т, определенный в X.
Тогда Р записывается в виде
(И.3.1) Р= £aa(*)D«.
|ot|<m
Мы предполагаем, что
A1-3.2) e(m|0 о) = 1.
Пусть е0 G X. Положим
У*. ={xG X;xi = xol}.
Пусть / — сечение пучка Ох. Определим первые т следов сечения
/ на Yt<t как сечение пучка (Оух ), задаваемое формулой
(п.3.3) тх0(Л = (/к.,я*1/к..---,-ОГ1/к„).
Рассмотрим задачу Коши
<п-з'4) {'.!</)%).
Теорема 11.3.1. Пусть х G X. Существуют такие г > О,
р0 > 0,6 > 0, что для любого р > 0, удовлетворяющего условию
р ^ р0, любого х0 G X, удовлетворяющего условию |х —х0| ^ г,
любого g G Ох(В(х0,р)) и любого (Л) G OJ? (В'(х0,р)) задача Коши
A1.3.4) имеет единственное решение f G Ох(В(х0,6р)).
Прежде всего мы выведем отсюда полезный результат о
продолжении, принадлежащий Зернеру [Zerner 1]; см. также [Hormander 3.
Theorem 11.4.7].

580 Гл.11. Приложения к О-модулям и Т>-модулям
Предложение 11.3.2. Пусть <р — такая вещественная функция
класса С1 на X, что tr(P)(x; д<р(х)) ф О на X. Пусть Q = {х £
Х;<р(х) < 0}, м пусть / G Ох@) — такое сечение, что Pf
голоморфно продолжается в окрестность точки х, б дB. Тогда f
голоморфно продолжается в окрестность точки х0.
Доказательство. Бели dip(x0) = 0, то Р обратим в некоторой
окрестности точки х0 и утверждение доказано. Пусть dip(x„) ф 0.
Выберем такую систему локальных координат (xi,.. .,х„) вблизи х0, что
х0 = 0 и <р(х) = Re«i — ^(Im xi, х'), где dV>@) = 0. Мы можем
предположить, что Р удовлетворяет условиям A1.3.1) и A1.3.2).
Положим х, = (—£, 0,..., 0) и будем пользоваться обозначениями
теоремы 11.3.1. Рассмотрим задачу Кош и
Г Pf, = Pf,
Ь..(/.) = т..(Я.
Тогда Л = / и /t голоморфна в шаре B(xt, SR), где 6 может быть
выбрано не зависящим от е, a R удовлетворяет условию
-е < V>@, х') при \х'\ < R.
Поскольку dV>@) = 0, мы имеем ф@,х') = о(|х'|), и B(x,,SR) будет
окрестностью нуля, если е выбрать достаточно малым. D
Теорема 11.3.3. Пусть X — комплексное многообразие, а М —
когерентный Vx-модуль. Тогда
SS(RHomVx(M,Ox)) = спаг(Л<).
Доказательство. Здесь мы докажем только включение • С ■■
Относительно противоположного включения см. замечание 11.4.5.
(а) Предположим сначала, что М = Vxl^xP. Пусть pG ГХи
ff(P)(p) ф 0. Бели р G Т£X, то Р — обратимая функция в
окрестности точки р и RHom-Dx{M,Ox) = 0 в этой окрестности.
Предположим, что р £ Тх X, и выберем такую локальную систему координат,
что р = (*,;&), где£0 = A,0, ...,0).
Мы применим предложение 5.1.1. Положим
Н, = {хе С; Re(* - *„&) £ -е},
L, = {* G С; Re(* - *„&) = -е},
ys={xe Cjlmzi = 0,-Reset ^S\x'\].

11.3. Голоморфные решения Vx-модулей 581
Выберем R, 6, 0<Ж1иО<£^1, таким образом, чтобы
A1.3.5) е(Р)(х,£)фО для |*-*0|^Я, ^ G т! \ {0}.
Затем мы выберем (, 0 < е < 1, таким образом, чтобы (я + ys) П Lt С
В(х<>, R) при \х - х„\ < Я/2.
Объект RHomj)x(M,Ox) может быть представлен комплексом
0 —► Ох -р Ох — 0.
Кроме того, если К выпукло и компактно, то хорошо известно, что
Н*(К;Ох) = 0 при i > 0, т. е. ЯГ(К;Ох) га Ох(К) (ср. [Hormander
1]). Для доказательства того факта, что р $ SS(RHomvx(M,Ox)),
достаточно, таким образом, показать, что комплексы
0 —* Ох((х + у,) П Я,) -j* Ох((х + у,) П Я.) — 0
и
0 —» Ох((* + т*) ПI.) —* Ох{{х + у,) ПЬ,)^0
квазиизоморфны при \х — х9\ ^ Л/2.
Поскольку /• сюръективен на пространстве Ох((х + ys) П Lt) по
теореме 11.3.1, остается показать, что
(feOx((x + ys)nL,),
Pf € Im(Ox((* + Т«) П Я.) -* Ох((* + 7f) П £,)) =*
/еОх((* + т«)пяг).
Но A1.3.6) легко вытекает из предложения 11.3.2 ввиду A1.3.5) с
помощью рассуждения, аналогичного использованному в
доказательстве предложения 5.1.1.
(Ь) Рассмотрим теперь общий случай. Пусть р G T*X, p ^ char(A4).
Выберем систему образующих (щ,..., ujy) модуля М в окрестности
точки 1г(р). Для каждого j существует такой оператор Pj, что Pjuj
= 0 и <г(/*,-)(р) ?4 0. Положим С = ®f-iVx/VxPj и определим Т>х-
линейный морфизм ф: С —* М, полагая ф{\тоАТ>хР}) = «;-. Пусть
К = Кег V1- Мы получаем точную последовательность когерентных
Х>х-модулей
A1.3.7) 0 — К — £ — Л< — 0.
Пусть £/ — такая окрестность точки р, что U П char(A4) = 0,(/П
сЬаг(£) = 0 (и, следовательно, £/ПсЬаг(£) = 0). Пусть вещественная

582 Гл.11. Приложения к О-модулям и V'-модулям
функция <р класса С1 на X и точка х„ G X таковы, что <р(х„) = 0 и
d<p(x0) е U.
Для краткости обозначим функтор (Д^^^Ь}КН.отх>х (•, Ох))х,
через 5р(-). Согласно первой части доказательства, S^{C) = 0.
Применяя 5р(-) к точной последовательности A1.3.7) и переходя к когомо-
логиям, мы получаем длинную точную последовательность
0 -* H^S^iM)) -* H°(SV(C)) -* H°(SV(K)) - H\S¥(M)) -*....
Теперь очевидно, что Я°E¥>(Л()) = 0. Поскольку К удовлетворяет
тем же предположениям, что и М, мы имеем Я°Eр(&)) = 0. По
индукции получаем H*(SV(M)) = 0 для всех j, что и завершает
доказательство.
Замечание 11.3.4. Доказанное включение наиболее полезно в
приложениях.
Теперь мы изучим некоторые операции над голоморфными
решениями 2>-модулей. Пусть М (соответственно ЛГ) — левый Х>;г-модуль
(соответственно 2?у-модуль). Имеется канонический морфизм
A1.3.8) RHomvx(M,Ox)®KHomVY(Ar,0Y)->
KHomVxxY (МЩГ, Oxxy)-
Пусть f:Y—*X — голоморфное отображение. Если М и С — два
левых Х>х-модуля, то в D*(Cy) имеется естественный морфизм
A1.3.9) rlRHomVx(M,£)->KHomVy(£-lM,l-lC).
Этот морфизм получается следующим образом (ср. упр. 2.23).
Сначала заменим С комплексом С инъективных Х>х~модулей. Затем
выберем ограниченную резольвенту Р' бимодуля Т)у-*х, состоящую
из (^./"'Ря^-бимодулей, плоских над f~lVx- Наконец, выберем
Фу-инъективную резольвенту J' модуля V ®/-»t>x ^ • Тогда мы
имеем морфизмы
Г1КНотрх(М,С)^ f-lHomVx(M,C)
-+Homf-lVx(f-lM,f-lC)
->HomVY [V 9 f'lM,V ® Г1Г
V J~lvx /-4>x
-+HomVY (У ® f~lM,J
\ J~*vx
~ КНотг,у(Г1М,Г1£).
Теорему Коши-Ковалевской можно распространить на системы.

11.3. Голоморфные решения Vх-модулей 583
Теорема 11.3.5. Предположим, что f нехарактеристично относи-
тельно М- Тогда естественный морфизм
f-lKHomvx(M,Ox) — RHomVy(rlM,0Y)
является изоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим отображения
и р
где g — отображение графика (у *-* (у, /(у))), ар — проекция. В силу
A1.2.24) достаточно доказать этот результат для р и g по отдельности.
Для случая р нужно доказать, что
p-lRHomVx(M,Ox) a KHomVyxX@YMM,0Yxx).
Это утверждение легко сводится к случаю М = Vx, когда оно есть
не что иное, как лемма Пуанкаре.
Поэтому с самого начала можно предположить, что / — иммерсия.
Применяя индукцию по codimУ, мы можем даже считать, что У —
гиперповерхность. Тогда то же доказательство, что и в теореме 11.3.3,
сводит дело к случаю, когда М = Vx/VxP-
Выберем локальную систему координат (zi,.. .,£„), в которой
У = {xt = 0}. Мы можем предполагать, что Р удовлетворяет
A1.3.1) и A1.3.2). Вычислим индуцированную систему Vy-*x ®vx
(Vx/VxP) ^ Vx/(xiVx + VxP)- Теорема Вейерштрасса о
делении (для дифференциальных операторов) утверждает, что для
любого S G Vx,t существует единственная пара (Q, Я) e VXx, такал,
что
S = Q о Р + Я,
т-1
Я= j:«,(i,D,-)Di.
Таким образом, S единственным образом записывается в виде
т-1
S = QoP + xlT+J2Rj(*',D*')Dil-
у=о
Отсюда следует, что Vy-+х ®ох (Vx /Vx P) — свободный модуль
ранга т над Vy, порожденный элементами \у-*х ®«, • • • ■ W-*x ®D^~lu,
где и есть образующая lmod VxP модуля Vx/VxP.
Теперь теорема 11.3.4 перефразируется следующим образом:
Р 7v
Coker@x -j*Ox)\y = 0,
а это частный случай теоремы 11.3.1. D

584 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Замечание 11.3.6. Аналогичный результат, принадлежащий Шнай-
дерсу [Schneiders 1], справедлив и для прямых образов.
Мы закончим этот раздел доказательством того факта, что
комплекс голоморфных решений голономного Т>х -модуля является
превратным.
Теорема 11.3.7. Пусть М является голономным Т>х -модулем.
В этом случае объект RHom-px(M,Ox) принадлежит
категории Dj._c(X) (т. е. является С-конструктивным) и, кроме того,
комплекс RHomvХ(М, Оx)[dimcX] превратен.
Доказательство. Положим F = RHom-px (М, Ojc)[dimc X].
(a) Сначала докажем, что F является С-конструктивным.
По теореме 11.3.3 и теореме 8.5.5 F слабо С-конструктивен.
Поэтому остается доказать, что для любых х9 £ X и j G Z векторное
пространство H'{F)X, конечномерно.
Выберем локальную карту в окрестности точки х0 и обозначим
через В{х0, е) открытый шар радиуса е с центром в точке х0.
Положим Ft = Rr(B(x0,e);F). По лемме 8.4.7 естественные морфизмы
F, —» Ft> суть квазиизоморфизмы при 0 < е* < е «С 1. Для
вычисления Ft выберем (используя предложение 11.2.6) конечно свободное
представление модуля М
О —, v%' — ... —* V%° —> М — 0.
Ра
Тогда Ft представляется комплексом
0 —> Of{B{x0, в)) -♦... — О»* (В(х., 0) — 0
(поскольку Н*(В(х0,е);Ох) = 0 при j ф 0). Пространство
Ох(В(х0,е)) естественно снабжается структурой пространства
Фреше, и морфизм ограничения Ох(В(ха,е)) —► Ох{В{х0,е'))
компактен при 0 < е' < е. Поэтому требуемый результат вытекает из
следующей леммы, доказательство которой получается прямым
применением одной теоремы Шварца [Schwartz 1].
Лемма 11.3.8. Пусть F' и С — два ограниченных комплекса
линейных непрерывных отображений пространств Фреше, и пусть
и : F' —* С — непрерывный линейный морфизм. Предположим,
что для любого j линейное отображение и* : F' —► & компактно и
что и — квазиизоморфизм. Тогда для каждого j G Z пространства
H'(F') конечномерны.
(b) Наконец, докажем, что F превратен. Пусть п = dime X. Пусть
S — комплексное подмногообразие комплексной коразмерности d.

11.4. Микролотльное изучение пучка Ох 585
Тогда H'S(F) = О при j < d - п, поскольку H's(Ox) = 0 при j < d
(ср. B.9.14)). Поэтому F принадлежит категории pD^°c(Cx).
Пусть теперь j £ N фиксировано, и положим У = supp(#'(F)).
Поскольку F С-конструктивен, У есть замкнутое комплексно-
аналитическое множество. Докажем, что dime У ^ —j-
Поскольку достаточно доказать это неравенство в точках общего положения
множества У, мы можем считать в силу предложения 8.2.10, что
char(.M) П х~1(У) С ТуХ. Пусть х G У. Выберем
подмногообразие Z, трансверсальное У в точке я, dime У + dime Z = п. Вложение
f:Z<-*X нехарактеристично относительно М; поэтому по теореме
11.3.5 имеем
Теперь f~lM допускает конечно свободную резольвенту
длины dimcZ в силу предложения 11.2.6, и поэтому Hk(F\z)x
= Hk+n(KHomvz(rlM,Oz)) = 0 при Jb + n > dimcZ. Так как
H'(F\z)x Ф 0| мы получаем j ^ dimcZ — п = —dimeУ, чт° и
требовалось.
11.4. Микролокальное изучение пучка Ох
Пусть X — комплексное многообразие комплексной размерности п,
a S — комплексное подмногообразие комплексной коразмерности d.
Предложение 11.4.1. Комплекс usiPx) сосредоточен в степени d.
Доказательство. Тривиальность групп Н'{ц${Ох)) при j < d
следует из B.9.14). Доказательство тривиальности при j > d — легкое
упражнение (ср. [Sato-Kawai-Kashiwara 1]). D
Пусть У — другое комплексное многообразие. Мы положим
A1.4.1) Пхх¥/¥ = Охх¥ ® я71Ях-
Определение 11.4.2. (i) Положим
С%х=Н\ц5{Ох)).
(ii) Пусть f:Y—*X — морфизм комплексных многообразий. Мы
полагаем
#-*Х = Я"(^/№схУ/у)),
где а — антиподальное отображение. При / — idx мы пишем £х
вместо Sx-tx-

586 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Фундаментальный класс множества AjbXxY задает сечение
пучка Нд A^xxY/y), и оно определяет глобальное сечение пучка £у-*х<
которое мы обозначим через 1у-*х (в действительности это
определение согласуется с определением 11.2.8). При / = id* мы пишем 1х
вместо ljc-fjc. Носителем пучков £у-^х и &X+-Y является множество
TZt{XxY)~YxxrX.
Изучим композицию пучков £у_+ х.
Если X, Y, Z — три многообразия, то через рц обозначим
проекцию из Т*Х х T*Y х T*Z на (»', ;')-ю компоненту, а через р§ —
композицию проекции pij с антиподальным отображением на j'-й
компоненте. Аналогичным образом определяются проекции на произведении
T*W х Т*Х х T*Y х T*Z, соответствующем четырем многообразиям
W, X, У, Z.
Лемма 11.4.3. (i) Для Кх € Ob(D*(A" х У)) и К2 € Ob(D»(y x Z))
существует канонический морфизм Rpi3\(Pi2l(i^om(Ki,i2xxY/Y)
®P^l^orn{K2,QYxZlz)) -^nhom(Ki оК2, Пххг/г)[-&™сУ].
(ii) При кх е ob(Dh(w х х)), к2 е оцоь(х х у)) и к3 е
ОЬ@*(У х Z)) имеет место коммутативная диаграмма,
которая расположена далее на с. 587, где Fi= Rp\v{p\2l^hom{K\.,
Owxx/x) ® Раз lrfom(I<2, Oxxyiy)) e Ob(D»(T*X x T*Y)) и F2 =
RPi3.(Pai2 Vvborn(K2,QxxYlY)®pa23 lnbom(K3,i2YxZ/z)) € ОЬ@»(Т*У
x T'Z)), а а и ft суть морфизмы, индуцированные морфизмами,
указанными в (i), а именно
Ft —► fihom(Ki о К2, GwxY/y)[— dimX] u
F2 —* [ihom(K2 о Кз, OxxZlz)[~ dimX] соответственно.
Доказательство, (i) Применяя предложение 4.4.11, мы получаем
морфизм
RPi3<(Pi2 lnfiom(I<i,BxxY/Y)®P23lnbom(K2,OyxZ/z))
-► fihom(Ki о К2, QxxY/Y ° &YxZ/z)-
Комбинируя его с морфизмами (см. теорему 11.1.4)
fiXxY/Y О HyxZ/Z - RPl3\(qi2 HxxY/Y ® Ч23 ®YxZ/z)
—f Rqi3i(GxxYxz/z)
-►^xxz/z[-dinicy],
получаем требуемый результат.

5.
x
1С
¥
о
«с
а.
Тч-
ом
X
о
«с
а.
1—i
ей
X
I
5
е?
*«
i«
®
*_
X
S
с§
1—*
т
о
а.
1 <ч
S
«
e»-t
а.
QS
^_^
isi
Ь9
X
>,
£
*>.
со
о
«с
1 И
в м
ft.
®
5
п.
а,
05
*
Ё
■3
'Ri
X ^
* х
t< уп
- ^ *<
i • -
«С у"
_а. ^
~«Т
й 3-
ft. 1 м
Xв£
®
, 1
X
в
-о
t ^—ч
^ в-
-i n
J* X
х >.
ьс;
—* с: й
С* ><
*¥
о о
- «с
^-=t
^ 1 п
5 an
1 ®
^
1 ts
а.
'•»-''
со
а.
05
X
с;
о
о
1

588 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
(ii) Доказательство оставляется читателю. D
Пусть g: Z-*Yuf: Y—*X — морфизмы комплексных
многообразий. Мы сохраняем те же обозначения, что и в
предложении 4.4.9 (в частности, см. диаграмму 4.4.13, где *f — отображение
ZxxVX -► Z х уT*Y, &д*— отображениеZxxТ*Х -+YxxТ*Х).
Предложение 11.4.4. (i) На Z хх Т*Х имеются естественные
морфизмы
7' - i£f-y ® я;1£у->х -* £Ьх,
<£l£*«-r ®7' - i£?«_z -- £*«-z.
и образ произведения lz-*Y ® ly-fX относительно первого из этих
морфизмов равен lz-*x- Кроме того, если h : W —* Z — другой
морфизм комплексных многообразий, то композиция морфизмов на
Pi ^•5r-fZ®P2 1£?-»у®рГ1£?-»х ассоциативна; это остается верным
и при обращении стрелок. Здесьp\,pi иРз — отображения U3W хх
Т*Х eY xx T*X, Z xY T*Y и W xzT*Z соответственно.
(ii) Пучок £х снабжен естественной структурой кольца с
единицей 1х, а £у-*х (соответственно £*<_у) ecmt> (/'-1£?>
/~1£*)-бимодуль (соответственно (fxl^x,*/'~1£у)-бимодуль).
(ш) Пусть F € ОЪ@Ь(СХ)) и j € Z. Тогда H^(nhom(F,Ox))
(соответственно Hi(phom(F, Д*))) снабжено естественной
структурой левого (соответственно правого) £*-модуля.
Доказательство, (i) Используя лемму 11.4.3 и введенные в ней
обозначения, мы получаем морфизм
RP\3t(Pi2 1цЬот(С&,, HxxY/y) х Ргз 1рЬот(СЛ<1, HyxZ/z))
-> nhom(C&l оСл,,ttxxZ/z)[-dimeY].
Поскольку Сд, о Сд, изоморфно Сд/0 , остается перейти к когомо-
логиям в обеих частях. Доказательство ассоциативности композиции
мы оставляем читателю, а тот факт, что 1z-*y ® ly-fX дает lz-*x —
классический результат исчисления фундаментальных классов.
Второй морфизм определяется аналогично.
(ii) вытекает из (i).
(Hi) Доказательство аналогично доказательству п. (i). D

11.4- Микралональное изучение пучка Ох ЯЛ
Замечание 11.4.5. Пучок колец £х над VX называется кольцом
микролокальных операторов на X. Его ограничение на нулевое сеч#»,
ние X в Т*Х обозначается через Djj? и называется кольцом диффЩ
ренциальных операторов бесконечного порядка. Это последнее еств»
ственным образом содержит кольцо Т>х дифференциальных оператор
ров (конечного порядка), введенное в § 2. В действительности кольце!
£х содержит подкольцо £х, называемое кольцом микродифференцщ
альных операторов (конечного порядка), ограничение которого на X
совпадает с Т>х ■ Мы не собираемся вводить кольцо £х в данной книге
и отсылаем читателя к работам [Sato-Kawai-Kashiwara 1], [Bjork 1] и
[Schapira 1]. Заметим лишь, что работать с кольцом £х значительно
проще, чем с £*; в частности, оно когерентно и нётерово.
Пусть М — когерентный 2>х-модуль. Используя пучок £х (и тот
факт, что пучок £* строго плоский над £х), можно показать, что
A1.4.2) char(.M) = supp f £x ® t^M) .
Поскольку ch&r(M) = ch&r(M*) (ср. A0.2.19)), мы получаем
A1.4.3) char(.M) = supp (ех ® т М*)
= sapp(KHom1l-it)x(ir~l M,£\))
= s\ipp(ti&KHomVx(M, Oxxx))-
Теперь легко завершить доказательство теоремы 11.3.3 (ср. [Kashi-
wara-Schapira 3, Theorem 10.1.1]).
Далее мы применим теорему 7.5.11. Пусть X, Y, Z — три
комплексных многообразия, Л\ С Т^(Х х Y) и Лг С T*(Y х Z) — два
конических комплексных лагранжевых подмногообразия и р\ = (рх,Ру) G
Л\,р2 = {ру,Р%) € Лг- Предположим, что
A1.4.4) p£Ui: Ai -> T*Y и рх \Лз: Л2 -> T*Y трансверсальны.
Предложение 11.4.6. Пусть Кх € Ob(D4(X x Y;(px,Py))) u K2 G
ОЬ@*(У х Z;(py,P^))), причем SS(ATj) С Л< в окрестности точки
Pi (»" = 1,2). Пусть выполнено предположение A1.4.4) и, кроме того,
К{ — простой пучок со сдвигом нуль вдоль Л,- (»' = 1,2). Тогда
(а) К\ Оц K2[d\mcY] — простой пучок со сдвигом нуль вдоль Л\ о
Лг;

590 Гл.11. Приложения к О-модулям и Т>-модулям
(Ь) имеется такой естественный морфизм (рГ'^х^з 1£f)-<>u-
модуля в окрестности точки (px,Pz) '•
A1.4.5) р?3. [p^H^homiK,, HxxY/y))
® pa^1H0(nhOm(K2,i2Yxz,z)))
-+ Н° Lhom (к, о tf2[dimc У], Я*х z/z)),
где pf,- — композиция проекции pij и антиподального отображения
на j-м пространстве.
Доказательство, (а) следует из теоремы 7.5.11 (ср. упр. 7.5).
(Ь) В силу предложения 7.3.1 мы можем предположить, что
(Ль Кг) удовлетворяет G.3.3) и G.3.4), atfio„tf2 = u\im"(Ki)XxV<>
v
К%, где V пробегает открытую систему окрестностей точки *г(ру).
По лемме 11.4.3 мы имеем морфизмы
A1.4.6) Rpk-tenVom^!, QxxYIy) ®P&lih°rn{K2, QyxZ/z))
-* fihom(K\ о tf2[<limcУ]. ^XxZ/z)
-> fihom I K\ о КъЩтсУ), SixxZ/z J ■
Применим теперь ту же лемму с X, У, У, Z и с Кi, Сду и tf 2.
Тогда морфизмы а и /? из Rp^3!(pJ2^Aom(/ifi, QxxY/y) ® £у ®
р2з 1А»Лот(ЛГ2, /?yxz/z)) в nhom(Ki о„ tf2[dimc У], OxxZ/z),
полученные с помощью отображений fi^om(Ki,QxxY/Y) ®£y —► j»Aom(/fi,
^Xxy/y) и £? ®рЬот(К2,{2ухг/г) —*Mom(^2i#yxZ/z)> равны
между собой. Переходя к группам когомологий, мы получаем
требуемый результат. D
С помощью предложения 11.4.6 мы теперь можем определить
действие комплексных канонических преобразований на образе пучка
Ох в Оь(Х;р).
Пусть У - комплексное многообразие той же размерности, что и
X, и пусть Ux «Uy — открытые подмножества в Т*Х и T*Y
соответственно. Пусть Л С Ux х UY — замкнутое комплексное лагранжево
подмногообразие, и предположим, что
A1.4.7) P\\a-A-*Ux и р5|л: A—>Uy — изоморфизмы.

11.4- Микролокальное изучение пучка Ох
591
Обозначим через \ комплексное контактное преобразование,
ассоциированное с Л, т. е. х = (PiU) ° (pSU)-1- Пусть объект К G
Ob(Db(X х У)) удовлетворяет следующим условиям:
!К когомологически конструктивен,
(pT4Ux)Opa2-1(UY))nSS(K)CA,
К прост с нулевым сдвигом вдоль Л.
Заметим, что для заданного Л, удовлетворяющего A1.4.7), локально
всегда существует К, удовлетворяющий A1.4.8). Это следует из того
же рассуждения, что и в доказательстве следствия 7.2.2. По теореме
7.2.1 функтор Фк: G -> Rxiv{K®q^lG) из Db(Y; С/у) в 0Ь(Х; Ux)
корректно определен и представляет собой эквивалентность категорий.
Пусть р = (рх,Ру) € Л, и пусть
A1.4.9) • SeH0(phom(K,nXxY,x))p.
Согласно лемме 11.4.3, взяв Z = {pt}, мы получаем морфизмы
Rpu(lthoTn)(K, nXxY/x) ® Р?_1/'Лот(Оу,Оу))
-» цГют{Фк(Оу), R4iittxxY/x ® ?JЧ°г))
— цЬот(Фк[п](Оу),Ох),
где последняя стрелка получается из
Rqv.&Xx\'/x[n] -* Ох-
Итак, сечение « из A1.4.9) определяет морфизм
A1.4.10) о,(8):Фк[п](Оу)^Ох в D4(X;px).
Объясним, как вычислять композицию таких морфизмов.
Пусть Z — третье многообразие той же размерности, Uz —
открытое подмножество в T*Z, Л' С Uy x U% — лагранжево многообразие,
а К' G ОЬ@*(У х Z)). Предположим, что (UY,UZ, Л', К')
удовлетворяет условию, аналогичному A1.4.8). Пусть р' = (pytPz) G Л и
s' е Н\цКот{К',Пухг/у))Р>- Положим Л" = ЛоЛ', К" = КоК'[п].
Тогда К" — простой пучок с нулевым сдвигом вдоль Л" и
Фк1п}°Фк'1п}=Фк"[п]-

592 Гл.11. Приложения к О-модулям u "D-модулям
Мы получаем в Оь(Х;р) морфизмы
*K»[n]{Oz) -———* Фк[п](Оу) ► Ох.
*к[»](°'(* )) в(»)
Предложение 11.4.7. Имеет место равенство
»(*) оФк[„](«(«')) = а(* о в'),
где вое' — образ элемента в®«' под действием морфизма, указанного
в предложении 11.4.6.
Доказательство вытекает из леммы 11.4.3.
Следствие 11.4.8. Пусть р G Т*Х. Тогда имеется естественный
морфизм колец
£Хр^Нот0цХ.р)(Ох,Ох).
Доказательство. Это частный случай предложения 11.4.7 при Л =
Л' = Т^(ХхХ) и К = К' = Сл[-п]. О
Теорема 11.4.9. (i) Пусть выполнены условия A1.4.7) и A1.4.8),
и пусть р = (рх,Ру) € Л. Тогда существует элемент s €
H°(fihom(K,tixxY/x))p> такой, что
A1.4.11)
Г £х,рх ЭР~Р* и £?iPy BQ~sQ
дают изоморфизмы
£х,рх ^ Н\рПот(К, (ix*Ylx))p 5= £?,;
РУ
(И) Для такого 8 морфизм а(«): Фк[п](Оу) —► Ох является
изоморфизмом в Оь(Х;рх) и a(s) согласованно с действием пучка £*Рх
на Ох в Оь(Х;рх) и пучка €$>ру на Оу в 0*(У;ру).
Доказательство, (i) Мы здесь примем на веру существование
элемента я, удовлетворяющего A1.4.11). Конструкция такого « проведена в
работе [Kashiwara 5] (ср. также [Schapira 2, ch. 1,§ 5]). (В
цитированных работах конструкция проведена в контексте колец £х и £у, но
доказательство справедливо и для £х и £*.)
(ii) Пусть К* = г„К, где г — каноническое отображение X х У —►
Y х X (см. §7.2), и пусть в' £ Н°(цпот(К*,Оухх/г))р', где р1 =
(ру,рх), » *' удовлетворяет условию A1.4.11). Тогда s" = в о в'
задает автоморфизм пучка £*|Рх- Поскольку К о К* ~ Сд (ср.
доказательство теоремы 7.2.1), fihom(K о К*[— п], QxxX/x) изоморфен
£* и автоморфизм so s' обратим. В силу предложения 11.4.7 отсюда

11.5. Микрофункции
593
следует, что а(«) имеет правый обратный. Аналогично доказывается,
что a(s) имеет левый обратный. Итак, а(«) — изоморфизм.
Наконец, опять в силу предложения 11.4.7, при Р G £*|Рх Q G £у|РУ
мы имеем
<*(«) о 4>K[n](Q) = a(s о Q) = а(Р о «) = Р о а(в). D
Определение 11.4.10. Изоморфизм а(«) в теореме 11.4.9 называется
квантованным контактным преобразованием над Х-
Любое контактное преобразование можно локально прокванто-
вать, но «квантование» не единственно (имеется много сечений «,
удовлетворяющих A1.4.11)).
Следствие 11.4.11. В ситуации теоремы 11.4.9 пусть s
удовлетворяет (И.4.11). Тогда a(s) для любого G € Ob(D*(Y)) определяет
изоморфизм x*l*fiom(G, Оу) ci ц6от(Фк[п](С),Ох) в окрестности
точки рх.
Напомним, что х — контактное преобразование, ассоциированное
с Л.
Доказательство получается применением теорем 7.2.1 и 11.4.9. D
Это следствие имеет много приложений, в частности, когда
выбирается G — Cn для вещественного подмногообразия N в У, но мы их
не рассматриваем здесь (ср. [Kashiwara-Schapira 3]).
Замечание 11.4.12. H>(nhom(F,Ox)) для F G Ob(D*(X)) имеет
структуру £*-модуля, как показано в предложении 11.4.4. Но нам
неизвестно, можно ли определить fihom(F, Ох) как объект категории
0(#).
11.5. Микро функции
Пусть М — вещественно-аналитическое многообразие размерности п,
а X — его комплексификация.
Определение 11.5.1. Положим
См = Нп(цм(Ох) ® огм/х),
Вм = См\м = Нм(Ох) ® огм/х-
Пучок См (соответственно Вм) называется пучком микрофункций
Сато (соответственно гиперфункций Сато) на М.
Как обычно, в определении См мы для краткости пишем огм/х
вместо 1г-1огм/х-
ОМ. Касивара, П. Шапира

594 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Предложение 11.5.2. (i) Комплекс цх(Ох) сосредоточен в
степени п.
(ii) Пучок C\f\f-x конически вялый (т. е. его прямой образ в
ТМХ/Ш+ является вялым).
(iii) Пучок Вм вялый.
(iv) На М имеется естественная точная последовательность
пучков
A1.5.1) 0 — Лм — Вм — *.СМ — 0.
Напомним, что Лм = Ох\м — пучок вещественно-аналитических
функций на М.
Доказательство, (i) следует из B.9.14) и теоремы 11.1.3.
(ii) Используя следствие 11.4.11, можно показать, что См\±-Х ло~
кально изоморфен пучку Н1(цп(Ох)), где N — гладкая граница
строго псевдовыпуклого открытого подмножества Q ъ X. Если у —
отображение ТМХ —* TMX/R+, то отсюда следует, что у,См
локально изоморфен пучку Щх\П)№*Ъд> а этот пУчок вялый в силу
B.9.16).
(iii) Пусть Z — локально замкнутое подмножество в М. Тогда
ЯГгВм = ЯГг(Ох) ® mMlx[n] сосредоточен в степени нуль по
теореме 11.1.3.
(iv) Это частный случай выделенного треугольника D.3.1). D
Заметим, что из следствия 11.4.11 вытекает, что локально можно
определить действие аналитических контактных преобразований на
пучке См ■
Обозначим через sp изоморфизм
A1.5.2) 8р:Вм^*.См-
Определение 11.5.3. Пусть и — гиперфункция на М. Носитель
микрофункции sp(u) в ТМХ называется сингулярным носителем
гиперфункции и и обозначается через SS(u).
Таким образом, SS(u) — замкнутое коническое подмножество в
ТМХ и SS(u) С MxxT$X тогда и только тогда, когда и вещественно-
аналитична.
Объясним понятие граничного значения голоморфной функции (см.
[Schapira 3]). Пусть A — открытое подмножество в X,
удовлетворяющее условиям
{B~Э М и вложение у. Q '—* X гомеоморфно
вложению открытого выпуклого
подмножества в №2п локально на X.

11.5. Микрофункции
595
В соответствии с этим предположением KHom(Cjj,Сх) ^ Qj.
Применяя функтор КНот(-,Сх) к морфизму Cjj- —► См, мы
получаем в О'(Л') морфизм
(П.5.4) ым/х^Сп-
(Напомним, что шМ/х - КНот(См ,Сх) а огм/х[-"])
Применяя к A1.5.4) функтор phom(-,Ox), мы получаем морфизм,
который снова обозначим через Ь:
A1.5.5) Ъ: fihom(Cn,0Х) -> Им(Ох) ® огм/х[п]
и, в частности,
A1.5.6) b:j.j-lOx-*Bit.
Именно последний морфизм и называется обычно граничным морфиэ-
мом.
Если / принадлежит Г(A;Ох), то он определяет элемент в
Н0(Т*X;fihom(Cn,Ох))- Поскольку цЛот(Сп,Ох) имеет носитель
SS(Cn), из A1.5.5) мы получаем, что
(П.5.7) SS(b(/)) С ТМХ П8В(СЯ)
(см. [Delort-Lebeau 1] относительно дальнейших результатов на эту
тему).
Заметим, что любая гиперфункция может быть получена как
сумма граничных значений голоморфных функций. Выражая вялость
пучка См в терминах граничных значений, мы получаем знаменитую
теорему об острие клина (см. [Martineau 2]).
Изучим теперь решения в микрофункциях Рх-модулей. В
действительности большинство из формулируемых нами результатов
справедливо в более общем контексте £х- или даже £*-модулей
(напомним, что См есть £*-модуль в силу предложения 11.4.4), но мы
предпочитаем для простоты ограничиться Т>х-модулями.
Предложение 11.5.4. Пусть М—когерентный Vx-модуль. Тогда
(i) SS(RHomVx(M,CM)) С CT^x(ch&t(M)).
В частности,
(ii) s\ipp(RHomVx(M,CM)) С ТМХ Пспаг(Л<).
Доказательство. Нужно применить теорему 6.4.1 к F =
RHomVx(M,Ox) и теорему 11.3.3. D
Бели Р — дифференциальный оператор, то мы видим из
этого результата, что Р является изоморфизмом пучка См на
множестве ТМХ \ {<?'(/')~1@)} и что есля и — гиперфункция, то SS(u) С
SSCPuJuMP)^)}.
20"

596 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Определение 11.5.5. (i) Когерентный Р^-модуль М называется
эллиптическим, если ТМХ П chat(M) = 0.
(ii) Пусть в G Тт-хТ'Х. Говорят, что 9 микрогиперболична
относительно М, если в £ Ст^х (char(X)).
Если в е Т*М (напомним вложение Т*М «^ Тт^хТ*Х, см. §6.2),
то говорят просто, что в гиперболична относительно М ■
В силу предложения 11.5.4 если М эллиптичен, то морфизм
КНогпъх(М,Ам) -* КНотъх(М,Вм)
является изоморфизмом (достаточно применить КНотрж(М, •) к
точной последовательности A1.5.1)).
Если в микрогиперболична, то в £ SS(KHomr>x(M,CM)). Если в
гиперболична, то в £ SS(/JWorapx(A<, Вм))-
Классической темой в теории дифференциальных уравнений в
частных производных является распространение особенностей.
Пусть U — открытое подмножество в Т*Х, а / — голоморфная
функция на U- Предположим, что Im/ равна нулю на ТМХ. Тогда
для любого р G U П ТМХ бихарактеристика 6Р, проходящая через р
в инволютивном подмногообразии {Im/ = 0} многообразия (T*X)R,
содержится в ТМХ в окрестности точки р (см. приложение).
Предложение 11.5.6. Пусть М — когерентный Vx-модуль, и
пусть / — голоморфная функция на U С Т*Х. Предположим, что
lmflr^xnv = 0, char(A<)П U С {/ = 0}.
Тогда для любой бихарактеристики 6 многообразия {1т/ = 0} пучки
Sxt'v {М,См)\ь локально постоянны (j € N).
Доказательство. В силу предложения 11.5.4 SS(KHompx(M,
См)) содержится в СТ^х({ГЧ0)}) = {* G Т*ТМХ; (в, Н}) = 0}.
Поэтому достаточно применить предложение 5.4.5(ii). Q
Пример 11.5.7. (i) Пусть X — комплексное многообразие. На
X* 2?Хх^-модуль VxW^Y является эллиптическим. Это
система Коши-Римана. Заметим, что
A1.5.8) Ox a KHomVx{0Y,Bx*) к KHomVx%-(VxW>T,Bx*)-
(ii) Пусть (г) = (z\,...,zn) — система голоморфных координат
на X, (г, С) — соответствующие координаты на Т*Х, где z = х +

U.S. Микрофункции
597
у/—Ту, С = £ + V—Т»7, и пусть М = {г G X; у = 0}, так что
Говорят, что оператор Р эллиптический, гиперболический и т. д.,
если ассоциированная система М = T^xl^xP является
эллиптической, гиперболической и т. д. Тогда оператор Р эллиптичен, если
а{Р){х; in) ф 0 при п ф 0. В частности, оператор Лапласа Л =
Yl^=i Щ эллиптичен.
(iii) Пусть координаты (z,C) те же, что и выше, и пусть р =
(я0;«/«,) е ТмХ,в* G (Тт£хТ*Х)р. Тогда в0 микрогиперболична для
Р в точке р, если
A15 9) <<г(РЖ*;ч) + еО)фО
\ при |* - х,| + |»7 — *7«| + |0 - 0,| + е < 1,е > 0.
В действительности, используя локальную версию теоремы Бохнера
о трубке (см. [Komatsu 2]), достаточно проверить A1.5.9) при в = в9.
Волновой оператор D = jD? — £"=2£у удовлетворяет A1.5.9) с
tj0 = 0, в = dxi.
(iv) Предположим, что о~(Р) веществен на ТМХ. Бели и —
решение-микрофункция уравнения Ри = 0, то supp(u) — объединение
интегральных кривых гамильтонова поля HfmatPy Напомним, что
для вещественной функции Л на Т*Х поле Я* задается формулой
(см. 11.1.4)
h ~ 2£l W dxi дх> дЬ + дУ> dni H dUj) •
Поэтому
„R 1^(дЪе<т(Р) в dRe<r(P) д\
Him,iP)\Tix - ^ \—Щ—Щ ~ дп. Щ) ■
Теперь мы опишем основные операции над микрофункциями.
Пусть N — другое вещественно-аналитическое многообразие, и
пусть У — комплексификация многообразия N.
Естественный морфизм (предложение 4.3.6)
цм(Ох) Н hn(Oy) — A»Af xn(Ox H Oy)
в комбинации с морфизмом Ох В Oy —► OxxV определяет морфизм
A1.5.10)
См №CN -» Cmxn-

598 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Пусть теперь f: N —* М — вещественно-аналитическое
отображение; той же буквой / обозначим его комплексификацию /: У —» X.
Рассмотрим отображения (см. 4.3)
A1.5.11) TtYr-NxTjhX--+TjhX.
В силу предложения 4.3.5 имеется естественный морфизм
UfmWsiu ® fJixWiOx)) — /iw(/-1Ox ® wy/x).
Комбинируя его с морфизмом f~lOx —* Оу, мы получаем морфизм
(П.5.12) R^'nJnICm^Cn.
Это означает, что если и — микрофункция, определенная на
открытом подмножестве U в ТМХ, и если W — открытое подмножество
в T$Y, такое, что *f'N : /^J(supp(u)) П (*/'jv)-1^ -► W —
собственное отображение, то можно определить обратный образ f*v
микрофункции и относительно / как микрофункцию на W. В частности,
если и — гиперфункция на М и отображение *fN собственное на
/^* (SS(u)), то можно определить гиперфункцию /*и, причем SS(/*u)
содержится в tf'Nf'^]r(SS(u)). Если f:N-*M — иммерсия, то обычно
пишут u\n вместо /*«.
Для определения прямых образов введем пучок Vm = А£ ® огМ
аналитических плотностей на М (и аналогично введем VN). В силу
предложения 4.3.4 имеется естественный морфизм
Rfnr^N1млг(Яу) -+ hmWiQy).
Комбинируя его с морфизмом интегрирования (теорема 11.1.4), мы
получаем морфизм
A1.5.13) RfNxt'f'N1 \Сц ® VN) ^Cm(9)Vm.
В частности, если t; — «плотность гиперфункции» на N, т. е. v €
r(N;Brf ®Аы V/v), и отображение / собственно на supp(t>), то можно
определить прямой образ f,v плотности v при отображении /. Это
гиперфункция на М, и SS(/»t>) содержится в /#»'/'# (SS(t;)).
Заметим, что если отображение f:N—*M гладкое, то N хм ТМХ есть
гладкое подмногообразие V в TfiY и SS(/.t>) содержится в образе под

11.5. Микрофункции
599
действием отображения /» множества SS(t>) П V. Часто пишут /, t;
вместо /. v.
Предыдущие конструкции можно обобщить, рассматривая
операции на решениях-микрофункциях микродифференциальных систем.
Однако мы ограничимся Т>х -модулями и будем рассматривать
только обратные образы.
Пусть f:N—*Mto же, что и выше. Используя морфизм A1.3.9)
и предложение 4.3.5, мы получаем естественный морфизм
A1.5.14) R'f'N.J^KHomvxiM^M) -» KHomVY{rlM,CN)-
Предположим, в частности, что / нехарактеристично относительно
М. Тогда Г М
сосредоточен в степени нуль и, более того, */'jy
конечен на f^]r(supp(RHomj)x(M,См))) в силу предложения 11.5.4,
поскольку '/' конечен на /71(сЬаг(Л<)). Поэтому в данном случае
для каждого j G N морфизм A1.5.14) индуцирует морфизм
A1.5.15) *fmfiil£*l{>x(M,CM) - Ext^ir'MXN).
Иными словами, обратный образ /*и решения-микрофункции
системы М есть решение-микрофункция системы /-1Л4.
Применяя теорему 6.7.1 к F = КНотпг>х(М,Ох) и используя
теорему 11.3.5, мы можем решить задачу Коши в микрофункциях для
микрогиперболической системы. Л именно, справедливо следующее
утверждение.
Предложение 11.5.8. Пусть V — открытое подмножество в T£Y.
Предположим, что
(i) / нехарактеристично относительно М (т. е. ТуХ П
f;4&™{M))CYxxTxX),
(Н) //Vir|«y<-»(v) : *f'ff (V) —» T£fX нехарактеристично
относительно Стдх(спаг(.М)),
(Hi) *ГХ(У) П £l{6ba*(M)) CYxx T^X.
Тогда морфизм A1.5.14) является изоморфизмом на V.
Пример 11.5.9. Пусть (г; С) — координаты на Т*Х, как в
примере 11.5.7(H), и пусть С = (СьС)- Пусть N—гиперповерхность
{xi = 0} в Л/, и пусть Р — дифференциальный оператор порядка
т, гиперболический в направлениях ±dxi, т. е. удовлетворяющий
условиям
<т(Р)(х; in + М)фО для любых t G R \ {0} и любых (я; ij)eR"x ffin
при 0 = A,0,...,0).

600 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
Рассмотрим задачу Коши
(\\4\g\ Р« = °, 7(«) = И
V ' (.при i(u) = (u\N,...,dm-1u/dm-1x1\N).
Применяя предложение 11.5.8, мы получаем, что для любого сечения
(w) G Bff существует единственное сечение u G Вм \n > являющееся
решением задачи A1.5.16). Кроме того, оператор Р: Вм\ц —* Вм\ц
сюръективен.
Упражнения к гл. 11
Упражнение 11.1. (i) Пусть М — левый когерентный 2>х-модуль,
а М* определен, как в A1.2.19). Докажите изоморфизм
A1.У.1) Пх ® М[-п] ~ KHomvxiM'.Ox),
Т>х
где n = dimcX.
(ii) Положим Т)ЩМ) = Qx ®t>x М. Докажите, что если М голо-
номен, то DR(A4) — превратный пучок на X.
Упражнение 11.2. (i) Докажите, что морфизм A1.3.8) является
изоморфизмом, если предположить, что М или Я голономен.
(ii) Аналогично, пусть М (соответственно Я) — когерентный
Х>х-модуль (соответственно Vy-модуль). Предположим, что М или
Я голономен. Докажите изоморфизм
A1.У.2) [Qx k> M ) В ( Пу I Я) ~ QxxY ® (MEN).
\ Т>х / \ *>Y J Vxxy
(Указание. Примените теорему 11.3.7 и немного функционального
анализа.)
Упражнение 11.3. Пусть М — вещественно-аналитическое
многообразие размерности п, а X — комплексификация многообразия М.
Пусть М — голономный Т>х -модуль. Докажите, что
A1.У.З) €х^х(М,См) = 0 при j^n.
(Указание. Используйте упр. 10.8.)

Упражнения к гл. 11
601
Упражнение 11.4. Пусть М — вещественно-аналитическое
многообразие, X — комплексификация многообразия М, а К —
компактное подмножество в М. Докажите, что можно естественным
образом отождествить Гк(М;Вм®Ам Ум) с пространством (Ох(АГ))',
сопряженным к топологическому векторному пространству Ох{К) =
Г(К;Ох)- (В частности, Гк(М;Вм) естественным образом
наделяется топологией ^^-пространства.)
См. [Sato 1], [Martineau 1] и [Schapira l].
Упражнение 11.5. Пусть М — вещественно-аналитическое
многообразие, X — комплексификация многообразия М, &М —
когерентный Х>х-модуль. Предположим, что
( глобально на X М допускает конечно
\ свободную резольвенту (вида A1.2.16)),
A1.У.5) М. эллиптичен.
Пусть Q СС М — относительно компактное открытое подмножество
с гладкой границей. Пусть
. г гиперболична относительно М
(П.У.о) ^ m е в^ Ст^х(сЫ1(М)] щ £ f9*nM.
Докажите, что пространства Н>(]1Г(П,КНотг)х(М,Вм)))
конечномерны.
(Указание. Пусть М' — конечно свободная резольвента модуля
М. Докажите изоморфизм КНотг>х(М',Лм{И)) — RHomvx(M',
Вм{&))- Затем используйте тот факт, что Bm{Q) rz (Гап(М;Вм) —►
Гл(М;Вм))[1] — комплекс FS-пространств, а Ам№) есть DFS-npo-
странство, и примените функциональный анализ.)
Дальнейшие результаты см. в работах [Schapira-Schneiders 1] и
[Schapira 4].
Упражнение 11.6. Пусть X — комплексное многообразие, а М —
когерентный Х>л'-модуль. Докажите, что если в G Т*Х
нехарактеристично относительно М (т. е. в £ char(A4)), то в,
рассматриваемое как вектор в Т*ХЛ, гиперболично относительно МЩО-у- (т. е.
в ^CT^iXxY)(ch&v(M) хТ^Х)).

602 Гл.11. Приложения к О-модулям и Т>-модулям
Упражнение 11.7. Пусть X — комплексное многообразие, а
М— когерентный Х>л'-модуль, удовлетворяющий A1.У.4). Пусть
Q С С X — открытое подмножество с гладкой границей.
Предположим, что. Т£пХ П char(A4) = 0. Докажите, что пространства
Н'(ЯГ({2; RHomt>x (M, Ох))) конечномерны.
(Указание. Используйте упр. 11.6 и 11.7.)
Частный случай этого утверждения см. в [Bony-Schapira 1].
Упражнение 11.8. Пусть / : У —» X — морфизм комплексных
многообразий.
(i) Докажите, что в Db(V^) имеется естественный морфизм
(nY 9 Vy->x)[&
Я/. ( QY 9 T>y^x\ [dime У] — f2x[dimcX]
(это уточнение теоремы 11.1.4, см. [Schneiders 1]).
(ii) Пусть Я — правый когерентный Х>у-модуль. Постройте мор-
физмы
A1.У.7) Rf,XRHomDY(Ar,f}Y[d\mcY]))
— KHomvx (/,JV, «x[dimc X]),
A1.У.8) RUKHomDY(tf,(lY[&mcY)))
-» RHomVx (l,tf, f2x[dimc X]).
(iii) Пусть f: N —* M — морфизм вещественно-аналитических
многообразий, и той же буквой / обозначим комплексификацию /: У —♦
X морфизма /. Пусть М — когерентный правый ZV-модуль.
Постройте естественный морфизм
RfN^f'~N RnomVy (M,Cn 9 Vn) -» RKomVx \LM,Cn 9 VM) .
\ Ли ) \ Am )
(iv) В ситуации (iii) предположим, что отображение / собственное
над N Dsupp(^). Постройте естественный морфизм
A1.У.9) Г (n;HomVY (аГ,Bn 9 Vm\)
- Г (м;Потъх (&{£//),Ви £ VM))
(т. е. если v — плотность гиперфункции на N, являющаяся решением
системы Af,Tof,v есть решение системы Я°(/ ЛО).

Упражнения к гл. 11 603
Упражнение 11.9. Пусть X — комплексное многообразие, л N —
вещественно-аналитическое подмногообразие коразмерности d,
удовлетворяющее условию
A1.У.10) TN + y/^lTN = N xTX.
N X
Пусть У — комплексификация многообразия N. Рассмотрим
следующие коммутативные диаграммы отображений, где 6 — диагональное
вложение:
У с_> X хХ У с_* X хХ
Я Я f
I Is ")\ 1"
N с_> X X
Положим М = (Г1(Т>хШ&х~)-
(i) Докажите, что У х* !Г*Х = char(A4). (Заметим, что
отображение / гладкое.)
(ii) Докажите изоморфизм
/"* Ох к RHomVy (М, Оу).
(iii) Докажите изоморфизм
A»w@jc) ® ozjv/x [d\ ~ RHomvy (M,Cn)-
(Указание. Используйте следствие 6.7.4.)
См. [Kashiwara-Kawai 1].
Замечание. Zfy-модуль М называется индуцированной системой
Коши-Римана.
Упражнение 11.10. Пусть М — вещественно-аналитическое
многообразие, N — подмногообразие, X — комплексификация
многообразия М, а У — комплексификация подмногообразия N ъ X. Пусть
М — когерентный 7>х-модуль, такой, что У нехарактеристично
относительно М.
(i) Докажите следующий изоморфизм на У:
KHomvy (My , Oy) as KHomVx (M, ЯГу(Ох)) ® w?^
(используйте следствие 5.4.11).

604 Гл.11. Приложения к О-модулям и V-модулям
(и) Докажите следующий изоморфизм на N:
RHomvy (My,BN) ca RHomVx(М, Гк(Вм)) ® ы%]м-
(iii) Пусть Q — такое открытое подмножество в М, что Q Э N
и вложение B <—► М локально гомеоморфно вложению в R"
выпуклого открытого подмножества. Постройте граничный
морфизм
Ь : KHamvx(M,rn(BM))\N — RHomVY(MY,BN).
(Указание. Используйте A1.5.4). См. [Schapira 3].)
Упражнение 11.11. Пусть X — комплексное многообразие, U —
открытое подмножество в Т*Х,р £ U, и пусть М' — ограниченный
комплекс конечно свободных левых £*-модулей на U,
Л*": 0-(#)"*—...-♦(#)"•—>0
Ра
(здесь Pj — действующие справа матрицы, элементами которых
являются сечения пучка £^ на U).
(i) Используя следствие 11.4.8, покажите, что комплекс
О —* 0%° —+ ... — 0%* —+ О
fa
корректно определен в Оь(Х;р). Мы обозначим его
Solp(M).
(ii) Покажите, что SS(Solp(.M')) С supp(AC) в окрестности точки
р. (Напомним, что supp(AC) = Ц, supp(#'(A4*)).)
См. [Kashiwara-Schapira 3, $11.4].
Замечания
Подробное обсуждение исторических аспектов теории когерентных
(Эх-модулей выходит за рамки этой книги. Подчеркнем лишь, что
она связана с именами Ока [Ока 1], Картана [Cartan 2] и Серра [Serre
1], и отошлем читателя к работе [Hormander 1] за обзором
соответствующих результатов.
Точно так же мы не делаем обзор теории 2>х-модулей и отсылаем
читателя к библиографическим замечаниям в [Schapira 2], напомнив

Замечания
605
лишь, что эта теория появилась в 70-х годах в работах [Kashiwara 1]
и [Bernstein 1,2].
Классическая теорема Коши-Ковалевской была уточнена Лере
[Leray 3], который получил теорему 11.3.1. Затем она была обобщена
на системы в двух разных направлениях. Одно из них [Kashiwara 1]
относится к «задаче Коши» (теорема 11.3.5). Другое связано с
«распространением»; это теорема 11.3.3, полученная в [Kashiwara-Scliapira
2,3] после частных результатов, установленных в работах [Zerner 1],
[Bony-Schapira 1] и [Kashiwara 5]. Теорема 11.3.7 была получена еще
в работе [Kashiwara 3]. Она послужила отправной точкой для
многих важных исследований; интересующегося читателя мы отсылаем
к книге [Bjork 2].
Кольцо €х микролокальных операторов (предложение 11.4.4) и
разнообразные естественно связанные с ним модули были построены
в работе [Sato-Kawai-Kashiwara 1], где были развиты идеи
микролокализации и микрофункций, принадлежащие Сато [Sato 2]. Именно
он [Sato 1] в 1959 г. ввел гиперфункции как суммы граничных
значений голоморфных функций и проинтерпретировал их в терминах
локальных когомологий. В настоящее время при изучении этих
граничных значений и в особенности при попытке осмыслить теорему об
острие клина [Martineau 2] понятие микрофункции выглядит весьма
естественным. Как показано в §5, оно является эффективным
инструментом при изучении линейных дифференциальных уравнений в
частных производных.
Теория вещественных квантованных канонических преобразований
восходит к Маслову [1] и систематически развивалась Хёрмандером
[Hormander 2] в С°° -случае и Сато, Каваи и Касиварой [Sato-Kawai-
Kashiwara 1] в аналитическом случае. Эти авторы доказали, что
пучки микрофункций и микролокальных операторов локально
сохраняются под действием таких преобразований, что является частным
случаем следствия 11.4.11. Подчеркнем тот факт, что теорема 11.4.9,
принадлежащая Касиваре и Шапира [Kashiwara-Schapira3], является
значительно более сильной, поскольку она рассматривает сам пучок
Ох, а не его микролокализации. Следствие 11.4.11 имеет красивые
приложения, касающиеся обращения в нуль когомологий
микролокализации пучка Ох вдоль вещественных подмногообразий или
когомологий систем микродифференциальных уравнений с простыми
характеристиками. Для краткости мы не включили сюда эти результаты
и отсылаем читателя к работам [Kashiwara-Schapira 3,4].
По аналитическим уравнениям в частных производных имеется
обширная литература, и $ 5 дает только взгляд на этот предмет,
отправной точкой которого служит предложение 11.5.4(ii),
полученное в работе [Sato 2]. Типичными являются предложение 11.5.6 (см.

606 Гл.11. Приложения к О-модулям и Т>-модулям
[Sato-Kawai-Kashiwara 1]), которое к настоящему времени
существенно уточнено многими авторами (см. обзор в работе [Tose 1]), и
утверждения относительно гиперболических уравнений, начиная с работы
[Bony-Schapira 2] (где рассматривался случай одного уравнения),
которые далее развивались в [Kashiwara-Schapira 1], где были получены
предложения 11.5.4(ii) и 11.5.8. Та же техника теперь
используется для изучения краевых задач, к которым мы здесь не обращались
(за исключением формул A1.5.5) и A1.5.7), полученных в [Schapira
3]). Подчеркнем, что функтор цЛотп позволяет нам определить
новые пучки микрофункций и новые волновые фронты, хорошо
приспособленные к краевым задачам (см. [Schapira 3], [Kataoka 2] и [Uchida
В заключение отметим, что при исследовании аналитических
особенностей распределений большинство исследователей используют
«преобразование Фурье-Броса-Ягольнитцера», введенное Шёстран-
дом ([Sjostrand 1]; ср., например, [Delort-Lebeau 1]). Однако теперь
можно распространить метод, использованный в jj§ 4 и 5 на
исследование граничных значений голоморфных функций умеренного роста
(т. е. распределений), используя функтор ТН (гомоморфизмы
«медленного роста»), введенный в [Kashiwara 6], и его
микролокализацию, функтор Tfihom [Andronikof l].

ПРИЛОЖЕНИЕ
Симплектическая геометрия
Мы собрали здесь основные сведения из симплектической геометрии,
используемые повсеместно в этой книге. В § 1 и 2 мы обсуждаем
некоторые основные понятия, касающиеся симплектических
векторных пространств и однородных симплектических многообразий. Все
результаты хорошо известны и более или менее элементарны.
Поэтому мы опускаем некоторые доказательства, которые читатель может
найти в работах [Арнольд 2], [Duistermaat 1], [Abraham-Marsden 1] и
в особенности [Hormander 4, гл. 21].
В § 3 мы вводим индекс инерции тройки лагранжевых плоскостей.
Наше изложение близко к данному в работе [Lion-Vergne 1], и для
удобства читателя мы приводим все доказательства. Мы также даем
сводку некоторых свойств этого индекса, необходимых в гл. 7, в виде
упражнений.
П.1. Симплектические векторные пространства
В этом и следующем параграфе мы рассматриваем симплектические
пространства в вещественном случае, хотя теория остается той же
самой и для комплексного случая.
Пусть Е — вещественное конечномерное векторное пространство.
Симплектической формой <г на Е называется невырожденная косо-
симметрическая билинейная форма на Е. Векторное пространство Е,
снабженное симплектической формой <г, называется симплектиче-
ским векторным пространством. Размерность такого пространства
всегда четна.
Пусть (Ei,<n) и (Eijffi) — два симплектических векторных
пространства. Линейное отображение и: Е\ —► Еъ называется симплек-
тическим, если и*сг = с\. Симплектическое отображение всегда
инъективно.
Через Sp(E) обозначается группа симплектических
автоморфизмов симплектического векторного пространства Е. Это замкнутая
подгруппа группы GL(E) линейных автоморфизмов пространства Е.
Пример П.1.1. Пусть V — вещественное конечномерное векторное
пространство, а К* — двойственное пространство. Пространство Е =
V® V* естественным образом снабжено симплектической структурой:

608 Приложение. Симплектинеская геометрия
для (х;£) и (*';£') из V ф V* мы полагаем
(п.1.1) <г((*;0.(*';О) = <*'.0-<*.*')•
Эта форма называется естественной симплектической формой на Е.
Если Е = V ФУ* я и — линейный изоморфизм пространства V,
то отображение I " , -,) является симплектическим автоморфизмом
пространства Е.
Пусть (Е, <г) — симплектическое векторное пространство.
Поскольку форма <т невырожденна, она определяет линейный
изоморфизм Н из Е" в Е по формуле
(П.1.2) @,v) = <r(v,HF)), veE, 0£E*.
Этот изоморфизм называется гамильтоновым изоморфизмом.
Если в G Е*, то иногда пишут Н$ вместо Н@) и называют Н$ га-
мильтоновым вектором ковектора в.
Поскольку Я — изоморфизм, кососимметрическая билинейная
форма на Е*, заданная формулой (u, v) >-* <г( #„,#„), есть симплек-
тическая форма на Е*. Она называется скобкой Пуассона и
обозначается через {u,v}.
Таким образом,
(П.1.3) {u,v} = <r(Hu,Hv)=(v,Hu).
Пусть р — линейное подпространство в Е. Мы полагаем
(П.1.4) pL = {xeE;<r(x,p) = 0}.
Тогда
PLL=P, (p\,P2)L = p{r\p7, (pl^P2)L=pt+p2-
Пространство pL называется косоортогоналъным дополнением к р.
Определение П.1.2 Линейное подпространство р ъ Е называется
изотропным (соответственно лагранжевым, инволютивним), если
pD pL (соответственно р = рх, р Э рх).
Некоторые авторы пользуются термином «коизотропное» вместо
«инволютивное».
Заметим, что если р изотропно (соответственно лагранжево или
инволютивно), то dimp ^ n (соответственно dimp = n или dimp ^ п),
где п = ^dimE.

П.1.- Симплектические векторные пространства вОв
Прямая (гиперплоскость) всегда изотропна (инволютивн»),
Если dimp = п и р либо изотропно, либо инволютивно, то р лаграи-
жево.
Пусть р изотропно. Тогда пространство pL/p можно снабдить
естественной симплектической структурой, полагал <г(х,у) = <г(х,у), где
х (соответственно у) есть образ вектора х (соответственно у) в pL/p,
(Мы обозначаем той же буквой <г и симплектическую форму на рх//,«)
Если А — линейное подпространство в Е, то мы полагаем
(П.1.5) А> = ((АПрх)+р)/р.
В частности, Ер = рх/р. Тогда легко проверить, что
(П.1.6) (Ах)' = (W)L.
В частности, если А лагранжево в Е, то А' лагранжево в Ер.
Обратно, обозначим через i вложение рх £—► Е и через j проекцию
рх -* рх I p. Тогда если ц — лагранжево подпространство в pL/p, то
ij~l(fi) — лагранжево подпространство в Е, содержащее р.
Симплектическое пространство, описанное в примере П. 1.1, не
является таким уж частным случаем. В действительности
справедливо следующее утверждение.
Предложение П.1.3. Пусть А0 — лагранжево подпространство в
Е. Тогда существует такое лагранжево подпространство Х\ в Е,
что Е — Ао ф Ai- Кроме того, для такого лагранжево
подпространства \\ отображение и: А0 ф А* —► Е, задаваемое формулой и(х,у) =
х — Н(у), является симплектическим изоморфизмом. Здесь Н(у)
задается посредством цепочки отображений A J ~ (E/\i)* —» Е* —» Е.
Доказательство, (i) Пусть р — изотропное пространство, такое, что
рПАо = {0}. Бели р ф рх, торх <[_ А0 +р, поскольку иначе мы имели
бы р Э (рх П Ао) и, следовательно, рх П А0 = {0}, что противоречит
условию dimp-1- > п. Выберем е € рх\(А0 + р). Тогда р+Ше изотропно
и (р + Me) П Ао = {0}. С помощью индукции по dimp получаем Аь
(ii) Пусть х и х' лежат в А0, a t/ и t/ — в AJ. Тогда
o-(x-H(y),x'-H(i/))=-o-(x,H(y')) + o-(x',H(y)) = -{y',x) + {y,x').
Поэтому отображение и симплектическое. Так как dim(A0 ф AJ) =
dim Е, то и есть изоморфизм. D
Пусть (Е, <г) — симплектическое векторное пространство. Через
Е" мы обозначим пространство Е, снабженное симплектической
формой -<г, т. е. Е" = (Е, -<г).

ею
Приложение. Симплектическая геометрия
Для двух симплектических векторных пространств {Е\,<т\) и
{Ei,<T2) прямая сумма Ei®E2 также является симплектическим
пространством со структурой а\ ф о-?.
Пусть Ei (»= 1,2,3) — три симплектических векторных
пространства. Мы обозначим (», j)-k> проекцию, определенную на Е\хЕ?х Е3,
через pij (например, ргз есть проекция на Е\ х Ез).
Предложение П.1.4. Пусть А и и — два лагранжевых
подпространства в Ei ф Е$ и Еч ф Е% соответственно. Положим А о ft =
P\z(j>\2^ •"> РиА*)- Тогда А о ц — лагранжево подпространство в
Доказательство. Диагональ Л в Е^фЕ? является лагранжевым
подпространством. Поэтому р = {0} хЛх {0} — изотропное подпростран-
с I во в Ei ф Е% ф Ei ф £3. Поскольку Ех ф £3 = (£i ф £J ф £2 Ф £3)р
и А о ^ = (А ф ft)p, мы получаем требуемый результат. П
Изучим теперь симплектические базисы. Пусть (Е,о-) — симплек-
тическое векторное пространство размерности, скажем, 2п.
Базис (ei,..., en; /i,..., /„) называется симплектическим, если,
обозначая через {е\,..., е*; /f,..., /*) сопряженный базис в Е*, мы
имеем
(П.1.7) * = Е/;Ле;.
,•=1
Разумеется, условие (П.1.7) эквивалентно условию
(П.1.8) ( ff(e'',e*) = *№•'*) = °«
I o"(ej. fk) = -<r(fk,ej) = -Sjk, l<j,fc<n,
где Sjk — символ Кронекера (Sjt = 1 при j = к и 6jt. = 0 в противном
случае).
Для такого симплектического базиса симплектический
изоморфизм Я, определенный формулой (П.1.2), удовлетворяет
соотношениям
(П.1.9) Я(е;) = -/у, Я(/;) = е,-, l<j<n.
Пусть J я К— два подмножества в {1,...,п}, и пусть
((е/)/€./>(Л)*е/()— линейно независимое семейство,
удовлетворяющее соотношениям (П.1.8). Тогда легко доказать, что это
семейство можно дополнить до симплектического базиса. В частности,

П.2. Однородные симплектинеские многообразия 611
если р — изотропное (соответственно лагранжево или инволю-
тивное) подпространство, то существует такой симплектический
базис, что р порождается векторами (e\,...,ej) (соответственно
(ei,..., е„) или (e\,...,en,fi,..., Д)) для некоторых j и к.
Обозначим через G(E, n) грассманиан n-мерных линейных
подпространств в Е (напомним, что dimE = 2n). Это компактное
многообразие (см., например, [Griffith-Harris 1]). Обозначим через Л(Е)
подмножество в G(E, n), состоящее из всех лагранжевых плоскостей.
Это замкнутое (гладкое) многообразие, которое называется лагран-
жевым грассманианом.
Пусть ft e Л(Е). Положим
(П.1.10) Л„(Е) = {\еЛ(Е);\Пц = {0}}.
Предположим, что в Е задан симплектический базис, и пусть (z;£)
обозначает соответствующие линейные координаты (т. е. каждое р G
Е записывается в виде р= ^21=\(xiej^jfj))- Для любого A G G(E,n)
существуют п х n-матрицы А и В, такие, что
(П.1.11) матрица (А, В) имеет ранг п, А = {(*;£); В£ = Ах).
Тогда A G Л(Е), если и только если А1 В — симметрическая матрица.
Заметим, что в этом случае В£ = Ах, если и только если х = *Bz
и £ =* Az для некоторого z G Ж".
Пусть ft — лагранжево подпространство {х = 0}. Тогда A G Лц(Е),
если А = {(«;£);£ = Ах) для некоторой симметрической матрицы А.
Поэтому Лц(Е) открыто и плотно в Л(Е) и изоморфно Жп(п+1)/2.
Мы иногда будем говорить, что некоторое свойство «Р» выполнено
для плоскостей А общего положения (A € Л(Е)), если существует
такое открытое плотное подмножество (I в Лм(£), что это свойство
«Р» выполнено при A G О.
Мы также встретимся со следующей ситуацией: А лагранжево в
Е и содержит прямую р. Мы ищем ц € Л(Е), для которого ц П А =
р. Рассмотрим отображения * : pL —► Е и j : pL —► рх/р. Тогда
достаточно выбрать ц' G Л(ЕР) с ц'Г\\р = Ои положить/i = »(j-1(a»'))-
Для краткости будем говорить, что для подпространства ц общего
положения с ц Э р мы имеем А П ц = р.
П.2. Однородные симплектические
многообразия
Все рассматриваемые здесь многообразия и морфизмы
многообразий считаются вещественными класса С°° или вещественно-
аналитическими. Бели не оговорено противное, рассматриваемые

612
Приложение. Симплектическая геометрия
вещественные функции на многообразиях считаются С°° -гладкими
или вещественно-аналитическими. Однако большинство
устанавливаемых нами результатов остаются верными с соответствующими
изменениями и для комплексно-аналитических многообразий.
Пусть X — многообразие. Через г: ТХ —► X мы обозначаем его
касательное, а через к: Т*Х —► X — кокасательное расслоения.
Через ТХ и Т*Х мы обозначаем расслоения ТХ и Т*Х с удаленным
нулевым сечением, а через так — сужения отображений гигна
ТХ и Т*Х соответственно. Напомним, что если М —
подмногообразие в X, то нормальное и конормальное расслоения ТмХ и TfiX к
М в X определяются следующими точными последовательностями
векторных расслоений над М:
I
О — ТМ -* М х ТХ -> ТМХ — О,
(п-21) \ 0-+Т£Х -*МхТ,Х -+Т*М->0.
Пусть / : У —► X — морфизм многообразий. С / ассоциированы
морфизмы
( ГУ — 1
) TY <—
TY —*Y xTX —+TX,
(П.2.2) { T4V __ у ^ т,х _^ т,х
х /.
В частности, если рассмотреть проекцию т: Т*Х —► X, то мы получим
отображение V: Т*Х хх Т*Х -» Т*Т*Х.
Ограничивая это отображение на диагональ в Т*Х хх Т*Х, мы
получаем отображение Т*Х —► Т*Т*Х, которое является сечением
расслоения Т*Т*Х —»• Т*Х, т. е. дифференциальной формой
степени 1 A-формой). Эта 1-форма на Т*Х называется канонической
\-формой и обозначается через ах или просто через а, если путаница
исключена.
Пусть (*i,. ..,*„) — система локальных координат на X. Тогда
Xj — вещественные функции, определенные на некотором открытом
подмножестве U и удовлетворяющие на U условию dxi Л • • -Adx„ ф 0.
Для каждого х G U набор (dxj,... ,dx„) определяет базис в
векторном пространстве Т£Х, и любой вектор £ 6 Т£Х единственным
образом записывается в виде££"_п^ху. Система (xi,.. .,x„;£i,. .,£п)
называется системой координат на Т*Х, ассоциированной с
координатной системой (xi,.. .,£„)• Легко проверяется, что каноническая
1-форма ах есть не что иное, как форма J^?=i &*Ц/. Пусть <г = da.
Тогда <г = $2"=1d£,- л *Ц/ — симплектическая форма на Т*Х (т. е.
о- для каждого р G Т*Х индуцирует симплектическую структуру

П.2. Однородные симплектинеские многообразия 613
на векторном пространстве ТРТ*Х). Другими словами, многообразие
Т*Х снабжено естественной симплектической структурой da. Теперь
мы можем распространить на Т*Х некоторые из понятий, введенных
в§1.
Подмногообразие V в Т*Х называется изотропным
(соответственно лагранжевым или инволютивным), если для любого р € V
касательное пространство TPV обладает соответствующим свойством
в ТРТ*Х. Если / — вещественная функция, определенная на
некотором открытом подмножестве U в Т*Х, то гамилътоново
векторное поле Hf функции / — это векторное поле на U,
представляющее собой образ d/ относительно гамильтонова изоморфизма
Н: Т"ГХ ~ ТГХ.
Скобка Пуассона двух функций fug определяется формулой
(П.2.3) {f,g} = H/(g) = da(H/,Hi).
Легко проверить соотношения
({/,*} = -{*./}.
(П.2.4) , \ {f,hg} = h{f,g} + g{f,h})
U{f,9},h} + {{g,h},f} + {{h,f},g} = 0.
В частности, [#/,#,] = H{j,t), где [и, v] = uv — vu — коммутатор
векторных полей и и v.
Пусть (xi,.. • ,х„)— система локальных координат на X,
(х,£) — ассоциированные координаты на ГХ я / — вещественная
функция на U С Т*Х. Тогда
Подмногообразие V ъ Т*Х инволютивно тогда и только тогда,
когда скобка Пуассона {/, д} равна нулю на V для любых двух
функций fug, равных нулю на V. Действительно, векторное расслоение
(TV)L порождается векторными полями Hj, соответствующими
таким функциям /, что f\v = 0. Поэтому условие (TV)L С TV
эквивалентно условию Hf(g) = 0 для любых /, д, таких, что f\y = 0, g\v = 0.
Далее в силу (П.2.4) мы находим, что если V инволютивно, то подрас-
слоение (TV)L в TV удовлетворяет условиям интегрируемости Фро-
бениуса (т. е. пучок сечений расслоения (ГУ-1-) замкнут относительно
скобки [•, •]). По теореме Фробениуса (см. [Hormander 4, Appendix С])
инволютивное многообразие V расслаивается на листы, которые
называются бихарактеристическими листами многообразия V.
Заметим, что размерность этих листов совпадает с
коразмерностью многообразия V. В частности, если V лагранжево, то
листы открыты в V.

614
Приложение. Симплектическая геометрия
Пример П.2.1. Пусть Z — подмногообразие в X. Многообразие
Z Хх Т*Х инволютивно, а Т£Х лагранжево. Обратим внимание
на предельный случай Z = X, в котором мы получаем лагранжево
многообразие ТХХ, т. е. нулевое сечение кокасательного расслоения
Т*Х.
1-форма а индуцирует на Т*Х структуру, более богатую, чем
просто структура симплектического многообразия, а именно однородную
симплектическую структуру, которую мы сейчас и опишем.
Пусть Н(а) — образ формы а при гамильтоновом изоморфизме.
Если координаты (z;£) выбраны, как и выше, то мы имеем
(П.2.6) * = £>**>. Я(ог) = -2>^7-
) i '
Итак, —Н(а) — эт~о просто радиальное векторное поле на Т*Х (т. е.
инфинитезимальный генератор действия группы К+ на Т*Х). Это
поле называется также эйлеровым векторным полем.
Мы скажем, что подмножество S ъТ*Х является коническим
(соответственно локально коническим), если оно инвариантно
(соответственно локально инвариантно) относительно действия группы Ж+.
Таким образом, S является локально коническим тогда и только
тогда, когда его пересечение с любой орбитой группы R+ открыто в
этой орбите. Функция /, определенная на открытом подмножестве
U в Т*Х, называется однородной, если она удовлетворяет
дифференциальному уравнению H(a)f = kf для некоторого Jb G С. Заметим,
что подмногообразие V является локально коническим, если и
только если поле Н{а) касательно к V или, эквивалентным образом, V
локально определяется однородными уравнениями.
Локально коническое подмногообразие изотропно тогда и только
тогда, когда a\v н 0, поскольку (a, v) — da(t>, Н(а)) при v G ТТ*Х.
Говорят, что локально коническое инволютивное
подмногообразие V регулярно, если a\v всюду отлично от нуля. Это
эквивалентно локальному существованию однородных функций /i,...,/r,
равных нулю на V, где г = codim V, таких, что
/п „ -ч Г {/.-./>} = 0 на V для любых i,j G {1,..., г},
I адл-ладла^онак.
Эквивалентное условие заключается в том, что эйлерово векторное
поле не касательно ни к одному бихарактеристическому листу ни в
одной точке.
Пример П.2.2. Пусть Z — подмногообразие в X. Тогда Z Хх Т*Х
регулярно и инволютивно вне Т£Х.

П.2. Однородные симплектические многообразия 615
Соглашение П.2.3. В данном приложении, если не оговорено
противное, все подмногообразия в Т'Х предполагаются локально
коническими.
Пусть р(р) — линейное подпространство в ТРТ*Х, порожденное
эйлеровым векторным полем в точке р. Бели р G Т£Х, то р(р) = {0},
в противном случае р(р) — прямая.
Если V — (локально коническое) подмногообразие, то для любого
р G V касательное пространство Тр V содержит р(р). Пусть р G Т*Х.
Мы полагаем
(П.2.8) Ao(p) = rpir-1ir(p).
Это лагранжево линейное подпространство в ТРТ*Х.
Пусть Л — лагранжево подмногообразие. Коранг проекции и\л '•
А —► X по определению есть размерность пространства ТРА П Ао(р).
На Т*Х этот коранг равен по меньшей мере единице, поскольку и ТГА,
и Ао(р) содержат р(р). Если коранг постоянен и равен, скажем, d, то
локально на Л множество *(Л) является гладким подмногообразием
М в X коразмерности d и А = Т^Х. В частности, если в некоторой
точке р коранг равен единице, то в окрестности этой точки А является
конормальным расслоением к некоторой гиперповерхности.
Пусть теперь X и У — два многообразия одинаковой размерности,
и пусть Ux (соответственно Uy) — открытое подмножество в Т*Х
(соответственно T*Y). Пусть х — диффеоморфизм Ux на Uy. Если
X*(day) = dax, то говорят, что х — симплектический изоморфизм.
Если, кроме того, х однороден (т. е. коммутирует с действием группы
Е+), то х*(ау) = ах и мы будем говорить, что х — контактное
преобразование, хотя это в действительности не совсем верно, поскольку
контактная структура — это структура, получающаяся на фактор-
пространстве T*X/R+.
Пусть х — однородный диффеоморфизм Ux ^* Uy, и пусть Ах —
его график в Ux x Uy ■ Обратный образ х* {0) 1-формы 0 на Uy
характеризуется условием (х*(Р) — Р)\лх = 0- Пусть Л" — образ графика
Лх при антиподальном отображении на T*Y. Условие x*(<*y) = (*х
выполнено тогда и только тогда, когда (ах + ау)|л« = 0| т. е. А°
изотропно и, следовательно, лагранжево. Другими словами, х
является контактным преобразованием тогда и только тогда, когда Л£ —
(локально коническое) лагранжево подмногообразие в Т*(Х х У).
Мы называем Л£ лагранжевъш многообразием, ассоциированным
с графиком контактного преобразования х-
Пусть (у) — система локальных координат на У, и пусть (y;rj) —
соответствующие координаты на T*Y. Тогда однородное отображение
X: Ux —* Uy задается двумя наборами функций, а именно
однородными степени 0 функциями fj и однородными степени 1 функциями

616 Приложение. Симплектическая геометрия
9k A < j,k < n), с помощью уравнений j/j = fj,rjk = Як- Отображение
X является контактным преобразованием тогда и только тогда, когда
Л" инволютивно, т. е. тогда и только тогда, когда
(П.2.9) {/,,/*} = 0, {gj,gk}= 0, {fj,gk} = -6jk.
Пример П.2.4. Пусть (х;£) — координаты на T*Rn, и пусть <р(£) —
однородная степени 1 функция, определенная на некотором открытом
подмножестве U в (ffinj* (например, <р(£) = (£V ф1'2 на ffin \ {0}).
Тогда отображение \ '• (*;£) •-» (х + У)/(^);^) является контактным
преобразованием.
Следующий результат полезен при построении контактных
преобразований.
Предложение П.2.5. Пусть V — регулярное инволютивное
подмногообразие в Т*Х и р G V Л Т*Х. Пусть А — такое
линейное лагранжево подпространство в ТРТ*Х, что р(р) С А С TPV
(напомним, что р(р) — прямая, порожденная эйлеровым
векторным полем). Тогда существует такое лагранжево многообразие
Л С Т*Х, что Л С V и ТРЛ = А.
Доказательство. Пусть п = dimX, г = codim V. Пусть (/i,..., /г) —
система однородных функций, равных нулю на К и удовлетворяющих
(П.2.7). Бели г = п — 1, то мы полагаем е = а(р); в противном случае
выбираем v £ \L\(TPV + R#(a)) и полагаем е = #-1(t;)|v. В
соответствии с классической теорией дифференциальных уравнений мы
можем найти такую функцию g на V, что
(H(a))v(g) = 0, H/i\v(g) = 0 (j < г),
\dg(p) = e, g(p) = 0,
поскольку е не касается бихарактеристического листа, проходящего
через р.
Положим V\ = {q G V;g(q) = 0}. Тогда Vi — коническое
многообразие с требуемыми свойствами, если г = п— 1; в противном случае
Vi — регулярное инволютивное подмногообразие. В последнем
случае мы применяем индукцию по г. □
Пусть X,Y,Z — три многообразия. Через pi и р? мы
обозначаем проекции на первый и второй сомножитель, определенные на
Т*Х xT*Y или на T*Y х T*Z; далее, ру обозначает («, jj-ю проекцию,
определенную на Т*X х T*Y x T*Z. Положим р% = aopj, где а — ан-
типодальное отображение. Пусть А\ С Т* (X х Y) и Лг С Т* (У х Z) —

П.&. Однородные симплектические многообразия 617
два лагранжевых многообразия. Пусть (рх,Ру) £ М,(РууР%) G Ла.
Предположим, что
(П2 10) ( отображения p$\Ai:Ai~* T'Y uPl\M: Л2 — T*Y
\ трансверсальны в точке ру.
Заменим Ai и Ла на А\ П U и Ла Л V, где £/ и К — достаточно малые
открытые окрестности точек (рх,Ру) и (PYiPz) соответственно; тогда
отображение pi3 индуцирует изоморфизм многообразия Лi ху. у Ла на
некоторое лагранжево подмногообразие ЛъТ*(Х х Z). Мы полагаем
(П.2.11) Л = Л!оЛ2
(см. лемму 7.4.4 и определение 7.4.5).
Предложение П.2.6. Пусть Лх — лагранжево подмногообразие в
Т*(Х х Y), и пусть (рх,Ру) £ ^i, причел* ру g ГуУ. Предположим,
что отображение Pi\Al:Ai —*Т*Х гладкое. Тогда существуют
многообразие Z той же размерности, что и Y, и лагранжево
многообразие Лг С T*(Y х Z), определенное в окрестности точки (py,Pz)>
такие, что
(i) Л а = Tg(Y х Z), где S — гиперповерхность в У х Z;
(и) Лг ассоциировано с графиком некоторого контактного
преобразования (m. e. Pi\a2 upaUa суть локальные изоморфизмы);
(Ш) А\ о Лг = Тд,(Х х Z), где S' — гиперповерхность в X х Z.
Доказательство. Положим Ех = ТрхТ*Х,Еу = TPYT*Y, и пусть
Еу обозначает пространство Еу, снабженное противоположной сим-
плектической структурой. Тогда пара (pi.Pa) задает симплектиче-
ский изоморфизм Г(Рхр. )Т*(Х xY) ~ Ех *• Щ,и мы отождествим
лагранжевы подпространства в T(pXtP*.)T*(X x Y) с их образами в
Ех х Еу.
Пусть рх обозначает линейное подпространство, порожденное
эйлеровым векторным полем в точке рх в пространстве Ех\ аналогично
введем подпространства ру в Еу, рху в Ex x EY и руу в Еу х EY.
Положим
Ai = Т^х>р.у)Л, \QX = Трх*~1*{рх), А0у = TPY*-l*(py)
и отождествим Ах и Лох с лагранжевыми подпространствами в Ex x
Еу и £jc соответственно.
В силу предположения, что pi|x,: Ai —► Ех сюръективно, мы
получаем, что ра|л,: \\ -* Еу инъективно (см. упр. П.4). Кроме того,
Рг \ру) П Ai = рху • Поскольку Рз^ГЧ^ох) <~l Ai) лагранжево в Еу

618
Приложение. Симплектинеская геометрия
(предложение П.1.4), для лагранжева подпространства \ С Еу
общего положения, такого, что ру С А, мы имеем
АПр2(рГ1(лох)ПА1) = ру.
Отсюда следует, что рху = Рг^М npj(Aojr) П Ai, так что
{Pxy = (Аох х А) П Ai для лагранжева
подпространства А С £у общего положения,
такого, что ру С А.
Тогда для лагранжева подпространства ц С Еу х EY общего
положения, такого, что руу С ц, мы имеем
(П.2.13) pi |м: ц —» Еу и piln: ft —* EY — изоморфизмы,
(П.2.14) (Аоу х\0у)Пц = руг-
Поскольку А = Pi(fiC\P21(Аок)) находится в общем положении, в
дальнейшем мы можем считать, что А удовлетворяет условию (П.2.12).
Тогда
(П.2.15) (AioA,)n(Aox x\0y)=pxY-
Возьмем теперь У, ру и Аоу в качестве Z, pz и Aoz соответственно.
В силу предложения П.2.5 мы можем найти такое лагранжево
многообразие Аг С T*(Y х Z), что T^PY,p%)^2 = А»- Тогда Аг удовлетворяет
всем требуемым условиям в силу (П.2.13), (П.2.14) и (П.2.15). D
Следствие П.2.7. Пусть Л С Т*Х — лагранжево многообразие,
и пусть р £ Л. Тогда существует такое контактное
преобразование х, определенное в окрестности тонки р, что х(Л)
представляет собой ненормальное расслоение к некоторой гиперповерхности и,
более того, лагранжево многообразие, ассоциированное с графиком
преобразования х> является ненормальным расслоением к некоторой
гиперповерхности.
Доказательство. Данное утверждение является частным случаем
предложения П.2.5 при X = {pt}.
Следствие П.2.8. Пусть А С Т*(Х х У) — лагранжево
многообразие, ассоциированное с контактным преобразованием (т. е. рх\л и
Рг1л — локальные изоморфизмы). Тогда локально на Л существуют

П.З. Индекс инерции
61»
подмногообразие Z той же размерности, что и X, и два лагранже-
вых многообразия Л\ С Т*(Х х Z) и Л2 С T*(Z x Y), такие, что Л\ и
Лг ассоциированы с контактными преобразованиями, являются ко-
нормальними расслоениями к некоторым гиперповерхностям eXxZ
и Z xY соответственно и удовлетворяют условию Л = Лх о Лг.
Доказательство. В силу предложения П.2.6 существует такое
контактное преобразование х> что если Лг — лагранжево
подмногообразие, ассоциированное с его графиком, то Лг и Ло Лг являются ко-
нормальными расслоениями к некоторым гиперповерхностям. Тогда
Л = (ЛоЛг)оЛз, где Лз — лагранжево многообразие, ассоциированное
с Х-1- D
В заключение данного параграфа напомним следующий хорошо
известный результат.
Предложение П.2.9. Пусть Л — коническое подмногообразие в
Т*Х и р G Л. Предположим, что Л изотропно (соответственно
лагранжево или регулярно инволютивно). Тогда существует
такое контактное преобразование х, определенное в окрестности
точки р, что Х(р) = @;d*n) G T*R" и Л = {(*;£); х = 0, & = ...
= £г = 0 (г < п)} (соответственно Л = {(х;£);х = 0} или
л = {(*;*); 6 = ••• = *, = о (р<«)}).
Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.
П.З. Индекс инерции
Пусть (Е, tr) — вещественное симплектическое векторное
пространство размерности 2п, и пусть А^Аг.Аз — три лагранжевых
подпространства. (В данном параграфе, если не оговорено противное,
подпространствами называются линейные подпространства.)
Определение П.3.1. Индексом инерции тройки (At, Аг, А3),
обозначаемым через tb(Ai, Аг, А3) (или просто r(Ai,A2, A3)), называется
сигнатура квадратичной формы q, определенной на Зп-мерном векторном
пространстве Ai ф Аг Ф Аз формулой
q(xi, х2, х3) = <r(xi, х2) + <r(x2, x3) + <r(x3, xi).
Этот индекс также иногда называют индексом Маслова.
В подходящем базисе пространства Xi ФА2ФА3 форма q может быть
представлена диагональной матрицей, на диагонали которой стоят р+
единиц, р_ минус единиц и Зп—р+—р_ нулей. Тогда сигнатура формы
q, обозначаемая через sgn(g), равна р+ — р_.
Индекс г обладает следующими свойствами.

620 Приложение. Симплектическая геометрия
Теорема П.3.2. (i) t(Xi, Аг, Аз) антисимметричен по отношению к
перестановкам \j, т. е.
г(Аь Аг.Аз) = —r(A2,Ai, А3) = — т(АьАз, Аг).
(и) г удовлетворяет «условию коцикла*: для любой четверки
Ai, Аг, A3, A4 лагранжевых подпространств
r(Ai, А2, Аз) - г(Аь А2, А4) + r(Ai, А3, А4) - г(А2, А3, А4) = 0.
(iii) Если лагранжевы подпространства А1,Аг, А3 непрерывным
образом двигаются в лагранжевом грассманиане Х(Е) так, что
dim(Ai П Аг), dim(A2 <~l Аз) и dim(A3 П Ai) остаются постоянными, то
r(Ai,A2, Аз) остается постоянным.
(iv) r(Ai, A2, A3) = n+dim(AinA2)+dim(A2nA3)+dim(A3nAi)mod2Z.
(v) Если р — изотропное подпространство, содержащееся в (Ai П
Аг) + (Аг П А3) + (А3 П Xi), то
^(АьАг.Аз) = TB^Af.Ag, A§).
(vi) Пусть Еа = (Е, —tr) — векторное пространство Е,
снабженное симплектической формой —<г. Тогда
т£«(А1,Аг, A3) = — Tb(Ai,A2,A3).
(vii) Пусть (Ei,<ri) и (Яг.в'г) — два симплектических
векторных пространства, и пусть Aj, Аг, Аз (соответственно /*i, /*2, А»з) —
тройка лагранжевых подпространств в Ei (соответственно 2?г)-
Тогда
T£i©£a(Ai Фмг.АгФ^г.АзФ^з) = ГвДАьАг, А3) + тел(щ,^2,^з)-
(Здесь Ei ф Еч снабжено симплектической формой <Т\ ф <г2.)
Доказательство (i) очевидно, поскольку квадратичная форма
?(*it*2, *з) антисимметрична относительно перестановки \).
(iii) Для х = (*!, z2, *з) и у = (yi, уг, уз) в Ах ф А2 Ф А3 положим
В(х,у) =
<г(*1,У2) + <г(*2,Уз) + o-(*3,yi) + «"(Уь^г) + о-(У2,*з) + ^(Уз,*0-
По определению вполне изотропным подпространством I формы q
называется пространство
(П.3.1) I = {х е Ai ф А2 Ф А3; В(х, у) = 0 для любого у}.

П.З. Индекс инерции 621
Поскольку В(х, у) = <r(yi, х2 - х3) + <г(уг, *з - *i) + <г(Уз, *1 - *г), мы
имеем
/ = {(zi, z2, «3)eAi ф А2 Ф Аз; *г - *3GAi, х3 - *i GA2) *t - х2 G A3}.
Положим (/1 = z2 + *3-*i, У2 = *з + *1-*21 1/3 = *1 +*2~*з- Тогда
yi G Аг П А3, уг G А3 П Ах, у3 G Ai П А2.
Более того,
2г1=у2 + уз, 2г2 = 1/3 + У1, 2г3 = У1+У2-
Таким образом, линейное преобразование (xi,X2,x3) •-» (уьУг.Уз)
изоморфно отображает / на (Ai П А2) Ф (А2 Г) Аз) Ф (Аз П Ai).
Поскольку ранг формы q (обозначаемый через rk(g)) равен Зп — dim/,
мы получаем
(П.3.2) rk(g) = Зп - dim(Ax П А2) - dim(A2 П А3) - dim(A3 П Х{).
В силу условий, наложенных в (Hi), мы получаем, что ik(q)
постоянен. Поскольку q движется непрерывным образом, если Xj движутся
непрерывным образом, отсюда следует (ш).
(iv) Мы имеем
(П.3.3) sgn(?) = rk(g) mod 22.
Поэтому (iv) следует из (П.3.2).
(ii) Предположим временно, что At и А2 пересекаются трансвер-
сально, и обозначим через Pi и рз проекции
рц Е = \i ® \2-> Ai (s = 1,2).
Для х и у в Е мы имеем
<r(j>i(*),y) = <r(pi(*),Pi(y)+P2(y))
= o-(Pi(*),P2(y))
= <г(*, Р2(у))-
Лемма П.3.3. Предположим, что Xi и А2 трансверсальны. Тогда
индекс г(А1,А2,А3) равен сигнатуре квадратичной формы q3 на \3,
задаваемой формулой
?з(*з) = -ff(Pi(*3),p2(*3)) = -<r(pi(x3),x3).

622 Приложение. Симплектическая геометрия
Доказательство леммы П.3.3. Пусть х = (ari,ar2, хз) G Aj ф А2 ф Аз.
Тогда
q(x) = <r(xi, х2) + <г(х2, х3) + о-(х3, х{)
= <r(xi,x2) - o-(pi(x3), х2) - <r(xi,p2(x3))
= <r(Xl -Pl(x3),x2 -Р2(*з)) - <r(pi(x3),Pl(X3))-
Линейное преобразование (хх,Х2,хз) •-» (xi — р\{хз),Х2 — ръ{хз),хз)
устанавливает эквивалентность квадратичной формы (xi, Х2, хз) •-»
<r(xi -pi(x3),X2 -р?(хз)) форме (xi,X2,x3) •-»■ о-{хх,Х2). Поэтому ее
сигнатура равна нулю, что и доказывает лемму. D
Лемма П.3.4. Пусть Aj (j = 1,2,3) и ц — четверка лагранжевых
подпространств, такая, что Xj Г\ц = {0} (j = 1,2,3). Тогда
(П.3.4) г(Ах, А2, Аз) = т(Хи А2, ц) + т(А2, А3, ц) + т(А3) Xi, fi)
Доказательство леммы П.3.4. По лемме П.3.3 правая часть
формулы (П.3.4) представляет собой сигнатуру следующей квадратичной
формы на At ф А2 ф Аз:
Я'(У1 ,У2,Уз) = o-(Pi(!/2), Уг) + <г(Р2(Уз), Уз) + ^(Рз(у0, yi),
где pj на этот раз обозначает проекцию
Pj-.Xjeii-^Xj о = 1,2,з).
Рассмотрим линейный автоморфизм пространства Ai фА2ф Аз,
заданный формулами
х\ = *1+р1(у2), *2 = У2+Р2(Уз), *з=Уз+Рз(уО,
У1 =(*l-Pl(*2) + Pl(*3))/2, У2 = (*2-Р2(*з)+Р2(а;1))/2.
У = (х3 - P3(xi) + рз(х2))/2.
Простое вычисление показывает, что
(П.3.5) q(xi,X2,x3)= д'(УьУ2.Уз)-
Таким образом, лемма доказана. □
Окончание доказательства теоремы П.3.2. Выберем лагранжево
подпространство ц, трансверсальное ко всем Xj (j = 1,2,3,4), и
применим (П.3.4). Тогда (ii) следует из (i).

П.8. Индекс инерции 623
(v) Мы разобьем доказательство на несколько шагов.
(a) Пусть сначала р С Aj П Аг П А3- Тогда квадратичная форма q
на Ai ф Аг ф Аз является прообразом соответствующей квадратичной
формы на А{ ф AJ Ф Ад при сюръективном отображении Ai ф Аг Ф Аз —►
Af ф AJ Ф A3. Отсюда следует утверждение для данного случая.
(b) Предположим теперь, что р С Аг П Аз и Ag" = Af. Рассмотрим
квадратичную форму q" на Ai ф Аг Ф (Ai П р^) ф р, определенную
формулой
q"(xi ,x2,u,v) = <r(zi, х2) + <r(x2, u + v) + <r(u + v, xi).
Тогда q"(xi,x2,u,v) = <r(xi,x2) + <r(x2,«) + <r(v,*i) = <r(xi -u,x2-v).
Поэтому сигнатура формы q" равна нулю. По предположению А3 =
(Ai C\pL)+р. Отсюда вытекает, что сигнатура формы q на Ai ф АгФ Аз
совпадает с сигнатурой формы q". Поэтому в данном случае т = 0.
(c) Положим Aj = (А,П/>-1-) + />= (Aj +/>)П/>х,t = 1,2,3. Мы имеем
(П.3.6) AfinAs=3jin4
Действительно, из включений р С Ai + АгПА3 С А! + Х2Г\р± вытекает,
что _
/> С Ai + (Ai + />) П А2 П />х С Ai + Ai П А2.
Мы получаем Ai С Ах + (Ai П Аг) и, таким образом,
AiCtAi + ^nAzJlnCAx + Az),
откуда
(П.3.7) 3?»пЛа = 3jinAs.
Поскольку оба пространства в (П.3.7) лагранжевы, отсюда следует
(П.3.6). Аналогично,
(П.3.8) AA,nAs = AAinA\
Поэтому, согласно (Ь), мы получаем
(П.3.9) T(X1,X1,\j) = 0 для j = 2,3.
Теперь
t(Xi, А2, Аз) = r(Ai, A2, Ai) + r(A2, A3, Ai) + г(А3, Аь Ai)
= f(At, Аг,А3).
Повторяя это рассуждение, получаем
f(Ai,A2,A3) = r(Ai, Аг, Аз),
и член в правой части равен r(Af, AJ, AJJ) в силу (а).
Пункты (vi) и (vii) очевидны. D

624
Приложение. Симплектическая геометрия
Замечание П.3.5. Условие коцикла, введенное в п. (ii) теоремы
П.3.2, наглядно показано на рис. П.3.1.
t(Ai,A2,A3) = г(АьА2,А4) + г(А2,Аз,А4) + г(Аз,А1,А4)
Рис. П.3.1.
Мы явно вычислим индекс Маслова в частном случае.
Предположим, что пространство Е снабжено симплектическим базисом. Пусть
(х; £) — соответствующие линейные координаты. Пусть Ая В — две
матрицы размера пхп, удовлетворяющие предположению (П. 1.11) и
такие, что матрица А* В симметрическая. Положим
А1 = {* = 0}, А2 = {£ = 0}, \3 = {(х;$;Ах=В£}.
Предложение П.3.6. Мы имеем т(А1,А2,Аз) = —sgn(i4'B).
Доказательство. Обозначим через pi и р? проекции из2? = А!фА2
на Ai и А2 соответственно. Согласно лемме П.3.3, число — r(Ai, Аг, Аз)
есть сигнатура квадратичной формы дз на Аз, заданной формулой
да((*;0) = <Kpi(*;0,p*(*;0) = »«.*) = (*.*)•
Отображение пространства Шп в Аз, действующее по формуле z и-»
(*Bz,*Az), является линейным изоморфизмом. Поэтому (£,z) =
(г, A*Bz), откуда следует нужный результат. □
Пусть Ai,..., Ajy — лагранжевы подпространства, причем N ^ 3.
Пусть [I — еще одно лагранжево подпространство. По теореме П.3.2
(ii) мы имеем тождество
(П.3.10) т(\и А2, Аз) + г(Ах, Аз, А4) + • • • + т(Аь Ajv-i , Адг)
= 7"(Ai,A2,A») + r(A2,A3,A») + .. + r(Ajv-i, Aw, A*)
+ r(AJV,A1,^).

П.З. Индекс инерции 625
Оно наглядно показано на рис. П.3.2 (для N = 5).
Рис. П.3.2
Определение П.3.7. Пусть Ai Адг — лагранжевы
подпространства, N ^ 3. Индекс r(Ai,..., Ajy) определяется как левая часть
формулы (П.3.10).
Предложение П.З.8. (i) r(Ai, Аг,..., Ajy) = т(\2, А3,..., Ajy.Ai) =
-t(Ajv,Ajv_i,...,A1).
(ii) Предположим, что N ^ 4 и j G {3, ,..,#- 1}. Тогда
r(Ai,...Ajy) = r(Ai,...,Aj) + r(Ai,Aj,A/+i,...,Aiv).
(iii) Если Xj непрерывным образом двигаются так, что
dim(Ai П Аг), dim(A2 П Аз), • • •, dim(Ajv_i П Ajy) и dim(Ajv П А!)
остаются постоянными, то и r(Ai,..., \jv) остается постоянным.
(iv) г(Ах,...,\N) = nN + dim(A! П А2) + •• • + dim(Ajv П Ах)mod2Z.
Доказательство. Пункты (i) и (ii) очевидны в силу определения и
теоремы П.3.2. Пункты (iii) и (iv) немедленно следуют из теоремы
П.3.2 и из (П.3.10) при выборе лагранжева подпространства ц транс-
версальным к каждому из подпространств Aj. П
Как и выше, через Еа мы обозначим пространство Е,
снабженное симплектической формой —<г, а через а — тождественное
отображение Е —► Еа. Если А — подпространство в Е, то через Аа
мы обозначаем его образ при отображении а. Тогда T£>(AJ, A§, А§) =
—tb(Ai, А2,А3).
Предложение П.З.9. Пусть Ai, А2,^i, /12 — четыре лагранжевых
подпространства е Е, и пусть А — диагональ в Е" ф Е (которая
является лагранжевой). Тогда
(П.3.11) гв.в£;(А?фА2(А»1 ®A»2.^) = tb(Ai,A2,a»2.A»i)-
21 - М. Касивара, П Шапира

626 Приложение. Симплектическая геометрия
Доказательство. Обозначим левую часть (П.3.11) через т. Тогда г =
Т\ + т2 + тз, где
т, =r(AJ©A2,/*i©A»2.A?©A»2)>
r2=r(^;©^2,^.Ai®A»2),
т3 = т(ДА?фА2(А?ф^2).
Далее,
П =T(AJ,^J,AJ) + r(A2lA»2,A»2) = 0.
г2 = гК,^.а;),
7s = r(Ai,A2,A»2)
(для вычисления г2 и г3 мы применили теорему II.3.2(v) с р =
{0} ф j»2 и р = AJ ф {0} соответственно). Поэтому г = r(Ai,'A2,j»2) —
t^i.^.Ai) = r(A1(A2lA»2.A»i)- Q
В заключение параграфа опишем действие симплектической
группы Sp(E) на пространстве Л3(Е) троек лагранжевых подпространств
ъЕ.
Для г = (го, ri, Г2, гз, d) G N4 х Z мы полагаем
Wr = {(Ai, А2, Аз) G Л3(Д); dim(A! П А2 П А3) = г0,
dim(A! П А2) = гз, dim(A2n А3) = «Ч,
dim(A3nAi) = r2, т(Аь А2,А3) = <*}•
Тогда Sp(£) естественно действует на Л3(Е) и 1^. инвариантны
относительно Sp(E). Рассмотрим условия
{0 ^ г0 < rltr2, гз ^ п, гх + г2 + гз ^ п + 2г0,
И < п + 2г0 - (г! + г2 + г3),
d = n + Г! + г2 + г3 mod 2Z.
Можно легко показать, что эти условия необходимы и достаточны
для непустоты Wr. Действие группы Sp(E) на Л3(Е) имеет конечное
число орбит. Эти орбиты суть множества Wr, где г удовлетворяет
(П.3.12). Поскольку мы не используем этот результат, мы оставляем
доказательство в качестве упражнения.

Упражнения к приложению
Упражнения к приложению
Упражнение П.1. Пусть (х) = (xi,... ,хп) — система локальЯШ
координат на X, и пусть (х;£) — соответствующие координаты I
Т* X. Пусть ip = (ipi,..., ipf): X —► W — гладкое отображение. ГЩ
ложим S = {х; <р(х) = 0} (здесь dip Л • • • Л dipp ф 0 и S — гладк*
поверхность). Пусть x„€S, р = (xe',£j<iidy>f(x0)) € Т£Х. Докажет!
что
r/X = j(«;fl;p(*) = 0, </=EA^, A.GrJ,
TPTS'X = | («;0; E^(*«)*i = °» »' = L ■ • ■ > Л
Упражнение П.2. Пусть Л — замкнутое коническое лагранжеввй
подмногообразие ъТ'Х. Докажите, что существует подмногообразие!
М в X, такое, что Л = TfcX.
Упражнение П.З. Пусть X и У — два многообразия одинаковой'
размерности, и пусть / — такая вещественная функция на X х У,
что d/ ф 0 на S = {/ = 0}. Положим Л = Г/(Х х У). Докажите, что
Pi U и Р% U — локальные изоморфизмы (Л на Г* X и Л на Г* У соответ-
ч ( ° dvf\
ственно) и тогда и только тогда, когда определитель I , , А" , 1
не обращается в нуль на 5.
Упражнение П.4. Пусть (Ei,<ri) и {Е^,<гг) — два симплектических
векторных пространства, и пусть Л — лагранжево линейное
подпространство ъ Е\@ Е2.
Докажите, что р\ \\ инъективно тогда и только тогда, когда рз|л
сюръективно.
Упражнение П.5. Пусть f:Y~*X — морфизм многообразий, и
пусть peY хх Т*Х.
(а) Пусть Ау — лагранжево подмногообразие в T*Y.
Предположим, что отображение'/' является чистым относительно Лу в точке
и ■

628
Приложение. Симплектическая геометрия
ру. Докажите, что если U — достаточно малая окрестность точки р,
то fx(U П */'-1(Лу)) — гладкое лагранжево многообразие.
(Ь) Пусть Лх — лагранжево подмногообразие в Т*Х.
Предположим, что отображение /» является чистым относительно Ах в точке
рх- Докажите, что если U — достаточно малая окрестность точки р,
то *f'(U П f^1(Ax)) — гладкое лагранжево многообразие.
Упражнение П. 6. Пусть Е\ и E-i — два симплектических
векторных пространства, v — лагранжево подпространство в Е\ ф Е\, а А,-
и щ — два лагранжевых подпространства в Е{ (*' = 1,2). Докажите,
что
= тех (Ai, щ, v о ц2) - те2(А2, А»2> Ai о и")
= TB^XitPitVo A2) - rBa(A2,A»2./ii о "")•
Упражнение П.7. Пусть (Е, <г) — комплексное симплектическое
векторное пространство. Снабдим подлежащее вещественное
векторное пространство Ел вещественной симплектической формой 2 Re <г.
Пусть Ai, А2) А3 — три комплексных лагранжевых подпространства в
Е. Докажите, что T£»(Ai, А2, Аз) = 0.
Упражнение П.8. Пусть Ех (» = 1,2,3,4) — симплектические
векторные пространства, и пусть А,- С Е{ ф Ef+1 (»' = 1,2,3) — лагранже-
вы плоскости.
Докажите, что (Ai о А2) о Аз = Ai о (А2 о Аз).
Упражнение П.9. Пусть (Ei,fii) — пара, состоящая изсимплекти-
ческого векторного пространства Е{ и лагранжевой плоскости щ в Е{
(| = 1,2,3,4).
Тогда для лагранжевых плоскостей А! С Ех ф Е\ и А2 С Е2 ф Е%
мы полагаем (ср. G.5.10))
t(\i: А2) = тЕз(ц2, А2 o/i3,/ii о AJ).
Пусть теперь Aj — лагранжева плоскость в Е{ ф Ef+1 (»' = 1,2,3).
Докажите равенство
t(\i: А2 о Аз) + т(А2: А3) = т(\х о А2: А3) + r(Ai : A2).
(Указание. Используйте упр. П.6 и докажите, что обе части равны
тЕ3фЕ*(а»2 Ф А»з. A»i о А? Ф А!} о ц\, А2).)

Замечания
9*
Упражнение П. 10. Пусть Е{ — симплектическое векторное прок
странетво, и пусть А,- и щ — два лагранжевых подпространства в А
(»' = 1,2,3). Пусть v и I/' — лагранжевы подпространства в Е\ ф Щ
и£гФ Щ, соответственно. Докажите, что
ТЕхфЕ;(Ai ф Aj, v,т ф А»г) + гв»ев; (А2 Ф А§, и', р2 Ф А»з)
- тв,ев; (л1 Ф лз." ° "'. A»i Ф А»з)
= гва(А2, i/'oA3,Ai oi/a)-T£;3(j»2,»''oA»3,A»i о И).
(Указание. Используйте упр. П.6.)
Замечания
Симплектическая геометрия и контактная геометрия —
классические предметы, восходящие к Гамильтону и Лкоби, и мы не даем
здесь их обзора. Как указано в начале приложения, результаты
первых двух параграфов хорошо известны, их можно найти, например, в
работе Хёрмандера [Hormander 4].
В 1965 г. для того чтобы вычислять асимптотические
разложения в окрестности каустики (т. е. когда проекция гладкого лагран-
жева многообразия не имеет постоянного ранга), Маслов [Маелов 1]
(ср. также [Keller 1]) ввел индекс замкнутой кривой на лагранже-
вом подмногообразии симплектического пространства. Его теория
была прояснена и переформулирована Арнольдом [Арнольд 1], а
затем Хёрмандером [Hormander 2] и Лере [Leray 4], которые определили
индекс трех трансверсально пересекающихся лагранжевых
плоскостей. Наконец, Касивара (ср. [Lion-Vergne 1]) определил индекс г в
общем случае простым способом, который мы изложили здесь.
Заметим, что в цитированной работе [Lion-Vergne 1] индекс г обобщен на
случай локального поля.

Список литературы1)
Арнольд В. И.[1] О характеристическом классе, входящем в условие
квантования. — Функц. анализ и его прилож., т. 1 A967), вып. 1,
с. 1-14.
— [2] Математические методы классической механики. — М.: Наука,
1974.
Бернштейн И. Н. [1] Модули над кольцом дифференциальных
операторов. Изучение фундаментальных решений уравнений с
постоянными коэффициентами. — Функц. анализ и его прилож., т. 5
A971), вып. 2, с. 1-16.
— [2] Аналитическое продолжение обобщенных функций по
параметру. — Функц. анализ и его прилож., т. 6 A972), вып. 4, с. 26-40.
Бреннер А. В., Шубин М. А. [1] Теорема Атьи-Ботта-Лефшеца для
многообразий с краем. — Функц. анализ, и его прилож., т. 15
A981), вып. 4, с. 67-68.
Габриэлов А. М. [1] О проекциях полуаналитических множеств. —
Функц. анализ и его прил., т. 2 A968), вып. 4, с. 18-30.
Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы голологической алгебры. Т. 1.
Введение в террию когомологий и производные категории.— М/.
Наука, 1988.
Гинзбург В. А. Теорема об индексе дифференциальных систем и
геометрия многообразий с особенностями. —ДАН СССР, т. 281 A985),
No. 3, с. 521-525.
Головин В. Д. [1] Гомологии аналитических пучков и теорема
двойственности. — М.: Наука, 1986.
Маслов В. П. [1] Теория возмущений и ассимптотические методы. —
М.: Изд-во МГУ, 1965.
Abraham R, Mardsen J. Б. [1] Foundation of Mechanics. Cummings Publ.
A978).
Andronikof Б. [1] Microlocalisation temperee. Memoires de la Soc. Math,
de France A994).
Banica C, Stanasila O. [1] Methodes algebriques dans la theorie globale
des espaces complexes. Vol. I—II. Gauthier-Villars-Bordas A977).
Beilinson A. A., Bernstein J., Deligne P. [1] Faisceaux pervers. Asterisque
100 A982).
Bengel G., Schapira P. [1] Decomposition microlocale analytique des
distributions. Ann. Inst. Fourier Grenoble 29, 101-124A979).
') Работы, первоначально вышедшие на русском языке, вынесены в начало
списка литературы. — Прим. ред.

Список литературы
631
Berthelot P., Breen L., Messing W. [1] Theorie de Dieudonne cristalline
II. Lect. Notes Math. 930. Springer, Berlin Heidelberg New York
A982).
Bierstone E., Milman P. D. [1] Semi-analytic and sybanalytic sets. Publ.
Math. I. H. E. S. 67, 5-42 A988).
Bjork J.-E. [1] Rings of differential operators. North-Holland Math. Lib.
A979).
— [2] Analytic D-Modules. Kluwer Publ. To appear.
Bloom Т., Herrera M. [1] De Rham cohomology of an analytic space.
Invent. Math. 7, 275-296 A969).
Bony J.-M., Schapira P. [1] Existence et prolongement des solutions holo-
morphes des equations aux derivees partielles. Invent. Math. 17,
95-105 A972).
— [2] Solutions hyperfonctions du probleme de Cauchy. In: Hyperfunc-
tions and pseudo-differential equations, Komatsu H. (Ed.),
Proceedings Katata 1971. Lect. Notes.Math. 287, 82-98. Springer, Berlin
Heidelberg New York A973).
— [3] Propagation des singularites analytiques pour les solutions des
equations aux derivees partielles. Ann. Inst. Fourier Grenoble 26,
81-140 A976).
Borel A.[l] The Poincare duality in generalized manifolds. Michigan Math.
J. 4, 227-239 A957).
Borel A. et al [1] Intersections cohomology. Progress in Math. 50,
Birkhauser, Boston A984).
Borel A., Haefiiger A. [1] La classe d'homologie fondamentale d'un espace
analytique. Bull. Soc. Math. France 89, 461-513 A961).
Borel A., Moore J. C. [1] Homology theory for locally compact spaces.
Michigan Math. J. 7, 137-159 [1960].
Bott R. [1] Lectures on Morse theory, old and new. Bull. Amer. Math.
Soc. 7, 331-358 A982).
Bourbaki N. [1] Algebre, Chapitre 10. Elements de Mathematiques. Mas-
son A980). [Имеется перевод: Бурбаки Н. Алгебра, гл. 10. —
М.: Наука, 1987.]
Boutet de Monvel L., Malgrange В. [1] Le theoreme de l'indice relatif.
Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. 23, 151-192 A990).
Bredon G. E. [1] Sheaf theory. McGraw-Hill A967). [Имеется перевод:
Бредон Г. Теория пучков. — М.: Наука, 1988.]
Brylinski J.-L. [1] (Co-)homologied'intersection et faisceaux pervers. Sem.
Bourbaki 585 A981-82).
— [2] Transformations canonique, dualite projective, theorie de Lefschetz.
Asterisque 140/141, 3-134 A986).
Brylinski J.-L., Malgrange В., Verdier J.-L. [1] Transformee de Fourier
geometrique I. C. R. Acad. Sci. 297, 55-58 A983).

632
Список литературы
Brylinski J.-L., Dubson A., Kashiwara M. [1] Formule de l'indice pour lee
modules holonomes et obstruction d'Euler locale. C. R. Acad. Sci.
293, 573-576 A981).
Cartan H. [1] Sem. Ec. Norm. Sup. A950-51), Benjamin A967).
— [2] Sem. Ec. Norm. Sup. A951-52, 1953-54, 1960-61), Benjamin
A967).
Cartan H., Chevalle С [1] Sem. Ec. Norm. Sup. A955-56), Benjamin
A967).
Cartan H., Eilenberg S. [1] Homological Algebra. Princeton Univ. Press
A956). [Имеется перевод: Картан А., Эйленберг С,
Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, I960.]
D'Agnolo A., Schapira Р. [1] An inverse image theorem for sheaves with
applications to the Cauchy problem. Duke Nath. J. 64, 151-472
A991).
Deligne P. [1] Cohomologie a support propre. In [SGA 4], expose XVII.
— [2] Le formalisme des cycles evanescents. In [SGA 7], expose XIII.
Delort J.-M. [1] Deuxieme microlocalisation simultanee et front d'onde de
produits. Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. 23, 257-310 A990).
Delort J.-M., Lebeau G. [1] Microfonctions lagrangiennes. J. Math. Puree
Appl. 67, 39-84 A988).
Denkowska Z., Lojasiewicz S., Stasica J. [1] Certaines proprietes
elementaires des ensembles sous-analytiques. Bull. Acad. Poloh.
Sci. Math. 27, 529-536 A979).
Dubson A. [1] Formules pour l'indice des complexes constructibles et D-
modules holonomes. С R. Acad. Sci. 298, 113-116 A984).
Duistermaat J.J. [1] Fourier integral operators. Lect. Notes Courant Inst.
New York A973).
Freyd P. [1] Abelian categories, an introduction to the theory of functors.
Harper and Row, New York A964).
Fulton W. [1] Intersection theory. Springer, Berlin Heidelberg New York
Tokio A984). [Имеется перевод: Фултон У. Теория
пересечений. — М.: Мир, 1989.]
Gabber О. [1] The integrability of the caracteristic variety. Amer. J.
Math. 103,445-468A981).
Gabriel P., Zisman M. [1] Calculus of fractions and homotopy theory.
Springer, Berlin Heidelberg New York A967). [Имеется перевод:
Габриэль П., Цисман М. Категория частных и теория гомотопий. —
М.: Мир, 1971.]
Ginsburg V. [1] см. Гинзбург В. А. [1].
— [2] Characteristic cycles and vanishing cycles. Invent. Math. 84, 327-
402 A986).
Godement R. [1] Topologie algebriques et theorie des faisceaux. Hermann,
Paris A958). [Имеется перевод: Годеман Р. Алгебраическая
топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.]

Список литературы
633
Goresky M., MacPherson R. [1] Intersection homology II. Invent. Math.
71, 77-129 A983).
— [2] Stratified Morse theory. Springer, Berlin Heidelberg A988).
[Имеется перевод: Горески М., Макферсон Р. Стратифицированная
теория Морса. — М.: Мир, 1991.]
— [3] Morse theory and intersection homology theory. In: Analyse et
topologie sur les espaces singuliers. Asterisque 101/102, 135-192
A983).
Grauert H. [1] On Levi's problem and the embedding of real analytic
manifolds. Ann. Math. 68, 460-472 A958).
Griffiths P., Harris J. [1] Principles of algebraic geometry. John Wiley k.
Sons A978). [Имеется перевод: Гриффите П., ХаррисДж. Основы
алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1980.]
Grothendieck A. [1] Sur quelques points d'algebre homologique. Tohuku
Math. J. 9, 119-221 A957). [Имеется перевод: Гротеидик А. О
некоторых вопросах гомологической алгебры. — М.: ИЛ, 1961.]
— [2] Techniques de descente et theoreme d'existence en geometrie alge-
brique II. Le theoreme d'existence en theorie formelle des modules.
Sem. Bourbaki 195 A959-60).
— [3] Elements de geometrie algebrique HI. Publ. Math. I. H. E. S. 11
A961), 17 A963).
— [4] Residus et dualite. Pre-notes pour un «Seminaire Hartshorne»,
manuscrit A963).
— [5] Dix exposes sur la theorie des schemas. North-Holland, Amsterdam
A968).
Guillemin V., Quillen D., Sternberg S. [1] The integrability of caracteris-
tics. Comm. Pure Appl. Math. 23, 39-77 A970).
Guillemin V., Pollack A. [1] Differential topology. Prentic Hall A974).
Guillemin V., Sternberg S. [1] Symplectic techniques in physics.
Cambridge Univ. Press A984).
Hardt R. M. [1] Stratification of real analytic mappings and images.
Invent. Math. 28, 193-208 A975).
— [2] Triangulation of subanalytic sets and proper light subanalytic maps.
Invent. Math. 38, 207-217 A977).
Hartshorne R. [1] Residues and duality. Lect. Notes Math. 20. Springer,
Berlin Heidelberg New York A966).
Henry J.-P., Merle M., Sab bah C. [1] Sur la condition de Thorn stricte
pour un morphisme analytique complexe. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.
17, 227-268 A984).
Herrera M. [1] Integration on a semi-analytic set. Bull. Soc. Math. France
94, 141-180 A966).
Hilton P.J., Stammbach U. [1] A course in homologies! algebra. Springer,
New York Berlin Heidelberg A970).

634
Список литературы
Hironaka H. [1] Subanalytic sets. In: Number theory, algebraic geometry
and commutative algebra (in honour to Y. Akizuki). Kinokuniya,
Tokyo 453-493 A973).
— [2] Introduction to real analytic sets and real analytic maps. Istituto
«L. Tonelli» Pisa A973).
— [3] Stratification and flatness. Real and complex geometry. Oslo 1976,
Sythoff & Noordhoff 199-265 A977).
Hormander L. [1] An introduction to complex analysis in several variables.
Van Nostrand, Princeton A966). [Имеется перевод: Хёрмандер Л.
Введение в теорию функций нескольких комплексных
переменных. — М.: Мир, 1968].
— [2] Fourier integral operators I. Acta Math. 127, 79-183 A971).
— [3] The analysis of linear partial differential operators I. Springer, Berlin
Heidelberg New York Tokyo A983). [Имеется перевод: Хёрмандер
Л. Теория линейных дифференциальных операторов с частными
производными, т. I. — М.: Мир, 1986.]
— [4] The analysis of linear partial differential operators IH-IV.
Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo A985). [Имеется
перевод: Хёрмандер Л. Теория линейных дифференциальных
операторов с частными производными, т. 3,4. — М.: Мир, 1987,1988.]
Hotta R., Kashiwara M. [1] The invariant holonomic system on a semi-
simple Lie algebra. Invent. Math. 75, 327-358 A984).
Houzel C, Schapira P. [1] Images directes des modules differentials. C. R.
Acad. Sci. 298, 461-464 A984).
Illusie L. [1] Deligne's /-adic Fourier transform. Proc. Symp. Pure Math.
46, 151-163 A987).
Iversen B. [1] Cohomology of sheaves. Springer, Berlin Heidelberg New
York Tokyo A987).
— [2] Cauchy residues and de Rham homology. L'Enseig. Math. 35, 1-17
A989).
Kashiwara M. [1] Algebraic study of systems of partial differential
equations. Thesis. Univ. Tokyo A970).
— [2] Index theorem for maximally overdetermined sysmtes of linear
differential equations. Proc. Japan Acad. 49, 803-804 A973).
— [3] On the maximally overdetermined systems of linear differential
equations I. Publ. R. I. M. S. Kyoto Univ. 10, 563-579 A975).
— [4] fe-functions and holonomic systems. Invent. Math. 38,33-53A976).
— [5] Systems of microdifferential equations. Progress in Math. 34,
Birkhauser, Boston A983).
— [6] The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems. Publ. R. I.
M. S. Kyoto Unjv. 20, 319-365 A984) (or: Faisceaux constructibles
et systemes holonomes d'equations aux derivees partielles a points
singuliers reguliers. Sem. Eq. Der. Part. Publ. Ec. Polyt.
A979/1980)).

Список литературы
635
— [7] Index theorem for constructible sheaves. In: Systemes differentiels et
singularites, A. Galligo, M. Maisonobe, Ph. Granger (Ed.). Asterisque
130, 193-209 A985).
— [8] Character, character cycle, fixed point theorem and group
representation. Adv. Stud. Pure Math. 14, 369-378 A988).
Kashiwara M., Kawai T. [1] On the boundary value problems for elliptic
systems of linear differential equations. Proc. Japan Acad. 48, 712—
715 A971) and 49, 164-168 A972).
— [2] Second microlocalisation and asymptotic expansions. In: Complex
analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory. D. Iagol-
nitzer (Ed.). Lect. Notes Phys. 126, 21-76. Springer, Berlin
Heidelberg New York A980).
— [3] On holonomic systems of microdifferential equations, III. Publ.
R.I.M.S. Kyoto Univ. 17, 813-979 A981).
Kashiwara M., Monteiro-Fernandes T. [1] Involutivite des varietes micro-
caracteristiques. Bull. Soc. Math. France 114, 393-402 A986).
Kashiwara M., Schapira P. [1] Micro-hyperbolic systems. Acta Math. 142,
1-55 A979).
— [2] Micro-support des faisceaux. In: Journees complexes Nancy, Mai
1982 (Publ. Inst. Elie Cartan), or: С R. Acad. Sci. 295, 487-490
A982).
— [3] Microlocal study of sheaves. Asterisque 128 A985).
— [4] A vanishing theorem for a class of systems with simple
characteristics. Invent. Math. 82, 579-592 A985).
Kataoka K. [1] Microlocal theory of boundary value problems I—II. J. Fac.
Sci. Univ. Tokyo 27, 355-399 A980) and 28, 31-56 A981).
Katz N., Laumon G. [1] Transformation de Fourier et majoration de
sommes d'exponentielles. Publ. Math. I. H. E. S. 62, 146-202 A985).
Keller J. B. [1] Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for non-
separable systems. Ann. Phys. 4, 180-188 A958).
Komatsu H. [1] Resolution by hyperfunctions of sheaves of solutions of
differential equations with constant coefficients. Math Ann. 176, 77-
86 A968).
— [2] A local version of the Bochner's tube theorem J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo 19, 201-214 A972).
Kuo J. C. [1] The ratio test for analytic Whitney stratifications. In: Proc.
Liverpool singularities symposium. Lect. Notes Math. 192. Springer,
Berlin Heidelberg New York A971).
Laumon G. [1] Transformee de Fourier, constante d'equations fonction-
nelles et conjecture de Weil. Publ. Math. I. H. E. S. 65, 131-210
A987).
Lazzeri F. [1] Morse theory on singular spaces. Asterisque 7/8, 263-268
A973).

636
Список литературы
Lebeau G. [1] Equations des ondes semi-lineaires II. Controle des singu-
larites et caustiques поп lineaires. Invent. Math. 95, 277-323 A988).
Leray J. [1] L'anneau d'homologie d'une representation. C. R. Acad. Sci.
222, 1367-1368. Structure de l'anneau d'homologie d'une
representation. Idem, 1419-1422 A946).
— [2] L'anneau spectral et l'anneau nitre d'homologie d'un espace locale-
men t compact et d'une application continue. J. Math. Puree Appl.
29, 1-139 A950).
— [3] РгоЫёте deCauchy I. Bull. Soc. Math. France 85, 389-430 A957).
[Имеется перевод: Лере Ж. Задача Коши I. — Сб. «Математика»,
3:5 A959), с. 57-89.]
— [4] Lagrangian analysis. M. I. Т. Press, Cambridge Mass. London
A981), or: Cours College de France A967/77).
Lion G., Vergne M. [1] The Weil representation, Maslov index and theta
series. Progress in Math. 6, Birkhauser, Boston A980). [Имеется
перевод: Лион Ж., Вернь М. Представления Вейля, индекс Ма-
слова и 0-ряды. — М.: Мир, 1983.]
Lojasiewicz S. [1] Ensembles semi-analytiques. Inst. Hautes Etudes Sci.
Bures-sur-Yvette A964).
— [2] Triangulation of semi-analytic sets. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa
18, 449-474 A964).
MacLane S. [1] Homology theory. Academic Press A963). [Имеется
перевод: Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.]
MacPhreson R. [1] Chern classes for singular varieties. Ann. Math. 100,
423-432 A974).
MacPherson R., Vilonen K. [1] Elementary construction of perverse
sheaves. Invent. Math. 84, 403-435 A986).
Malgrange B. [1] Faisceaux sur les varietes analitiques reelles. Bull. Soc.
Math. France 85, 231-237 A957).
— [2] Transformation de Fourier geometrique. Sem. Bourbaki 692 A987-
88). [Имеется перевод: Мальгранж Б. Геометрическое
преобразование Фурье. — В кн.: Труды семинара Н. Бурбаки за 1988
г. — М., Мир, 1990.]
Martineau А. [1] Les hyperfonctions de M. Sato. Sem. Bourbaki 214
A960-61).
— [2] Theoreme sur le prolongement analytique du type «Edge of the
Wedge». Sem. Bourbaki 340 A967/68).
Mebkhout Z. [1] Une equivalence de categories — Une autre equivalence
de categories. Сотр. Math. 51, 55-62 and 63-64 A984).
Milnor J. M. [1] Morse theory. Ann. Math. Studies 51, Princeton Univ.
Press A963). [Имеется перевод: Милнор Дж. Теория Морса. —
М : Мир, 1965.]
— [2] Singular points of complex hypersurfaces. Ann. Math. Studies 61,
Princeton Univ. Press A968).

Список литературы
631
Mitchell В. [1] Theory of categories. Pure App. Math. 17, Academic Press
A965).
Northcott D. G. [1] An introduction to homological algebra. Cambridge
Univ. Press (I960).
Oka K. [1] Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes.
Iwanami Shoten, Tokyo A961).
Pignoni N. [1] Density and stability of Morse functions on a stratified
space. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 593-608 A979).
Poly J.-B. [1] Formule des residue et intersection des chaines sous-analyti-
ques. These Univ. Poitiers A974).
Ramis J.-P. [1] Additif II a "variations sur le theme GAGA". Lect. Notes
Math. 694. Springer, Berlin Heidelberg New York A978).
de Rham G. [1] Varietes diffeientiables. Hermann, Paris A955) or: Dif-
ferentiable manifolds. Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo
A984). [Имеется перевод: де Рам Ж. Дифференцируемые
многообразия. — М.: ИЛ, 1956.]
Remmert R., Stein К. [1] Uber die wesetlichen Singularitaten analytischer
Mengen. Math. Ann. 126, 263-306 A953).
Sabbah C. [1] Quelques remarques sur la geometrie des espaces conormaux.
In: Systemes differentiels et singularites, A. Galligo, M. Maisonobe,
Ph. Granger (Ed.). Asterisque 130, 161-192 A985).
Sato M. [1] Theory of hyperfunctions I—II. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 8,
139-193 and 387-436 A959-1960).
— [2] Hyperfunctions and partial differential equations. In: Proc. Int.
Conf. on Functional Analysis and Related Topics. Tokyo Univ. Press,
Tokyo, 91-94 A969).
Sato M., Kawai Т., Kashiwara M. [1] Hyperfunctions and
pseudo-differential equations. In: Hyperfunctions and pseudo-differential equations,
Komatsu H. (Ed.), Proceedings Katata 1971. Lect. Notes Math. 287,
265-529. Springer, Berlin Heidelberg New York A973).
Schapira P. [1] Theorie des hyperfonctions. Lect. Notes Math. 126.
Springer, Berlin Heidelberg New York A970).
— [2] Microdifferential systems in the complex domain. Springer, Berlin
Heidelberg New York Tokyo A985).
— [3] Microfunctions for boundary values problems. In: Algebraic
analysis, 809-819 (Papers dedicated to M. Sato) M. Kashiwara, T. Kawai
(Ed.). Academic Press A988).
— [4] Sheaf theory for partial differential equations. Proc. Inter. Cong.
Math. Kyoto 1990, Springer-Verlag.
Schapira P., Scheiders J.-P. [1] Paires elliptiques I. Finitude et dualite.
С R. Acad. Sci. 311, 83-86 A990); II. Classes d'Euler et indice. С
R. Acad. Sci. 312, 81-84 A991).
Schapira P., Tose N. [1] Morse inequalities for ffi-constructible sheaves.
Adv. in Math. 93, 1-8 A992).

638
Список литературы
Schneiders J.-P. [1] Un theoreme de dualite relative pour les modules
diflerentiels. С R. Acad. Sci. 303, 235-238 A986).
Schwartz L. [1] Homomorphismes et applications completement continues.
С R. Acad. Sci. 236, 2472-2473 A953).
— [2] Theorie des distributions. Hermann, Paris A966).
Schwartz M.-H. [1] Classes caracteristiques definies par une stratification
d'une variete analytique complexe. С R. Acad. Sci. 260. 3262-3264,
3535-3537 A965).
Serre J.-P. [1] Faisceaux algebriques coherents. Ann. Math. 61, 197-278
A955). [Имеется перевод: В кн.: Расслоенные пространства. —
М.: ИЛ, 1958, с. 372-450.]
[SHS] Sem. Heidelberg-Strasbourg A966-67). Dualite de Poincare. Publ.
I. R. M. A. 3, Strasbourg A969).
[SGA 2] Sem. geometrie algebrique A962), by Grothendieck A. Cohomolo-
gie locale des faisceaux coherents et theoremes de Lefschetz locaux et
globaux. North-Holland, Amsterdam A968).
[SGA 4] Sem. geometrie algebrique A963-64), by Artin M.,
Grothendieck A. and Verdier J.-L. Theorie des topos et cohomologie etale
des schemas. Lect. Notes Math. 269, 270, 305. Springer, Berlin
Heidelberg New York A972-73).
[SGA 4^] Sem. geometrie algebrique, by Deligne P. Cohomologie etale.
Lect. Notes Math. 569. Springer, Berlin Heidelberg New York A977).
[SGA 5] Sem. geometrie algebrique A965-66) by Grothendieck A.
Cohomologie f-adique et fonctions L. Lect. Notes in Math. 589. Springer,
Berlin Heidelberg New York A977).
[SGA 6] Sem. geometrie algebrique A966-67) by Berthelot P., Illusie L.
and Grothendieck A. Theorie des intersections et theoreme de Rie-
mann-Roch. Lect. Notes Math. 225. Springer, Berlin Heidelberg
New York A971).
[SGA 7] Sem. geometrie algebrique A967-69). Groupes de monodro-
mie en geometrie algebrique. Part I by Grothendieck A. Lect. Notes
Math. 288. Springer, Berlin Heidelberg New York A972). Part II
by Degline P. and Katz N. Lect Notes Math. 340. Springer, Berlin
Heidelberg New York A973).
Sjostrand J. [1] Singularites analytiques microlocales. Asterisque 95
A982).
Sullivan D. [1] Combinatorial invariants of analytic spaces. Proceedings of
Liverpool singularities symposium I. Lect. Notes Math. 192,165-168.
Springer, Berlin Heidelberg New York A971).
Tamm M. [1] Subanalytic sets in the calculus of variations. Acta Math.
146, 167-199 A981).
Thorn R. [1] Ensembles et morphismes stratifies. Bull. A. M. S. 75, 240-
284 A969).

Список литературы
839
Teissier В. [1] Sur la triangulation des morphismes sous-analytiques. Publ.
Math. I. H. E. S. 70 A989).
Tose N. [1] Propagation theorem for sheaves and applications to microd-
ifferential systems. J. Math. Puree Appl. 68, 137-151 A989).
Trotman D. [1] Comparing regularity conditions on stratifications. Proc.
Symp. Pure Math. 40, 575-585 A983).
— [2] Une version microlocale de la condition (w) de Verdier. Ann. Inst.
Fourier Grenoble 39, 825-829 A989).
Uchida M. [1] Microlocal analysis of diffraction at the corner of an obstacle.
To appear, or: Semi Eq. Der. Part. Publ. Ec. Polyt. A989/90).
Verdier J.-L. [1] Dualite dans les espaces localement compacts. Sem. Bour-
baki 300 A965-66).
— [2] Categories derivees, etat 0. In [S.G.A.4^].
— [3] Stratifications de Whitney et theoreme de Bertini-Sard. Invent.
Math. 36, 295-312 A976).
— [4] Classe d'homologie associee a un cycle. In Sem. Geom. anal.
A. Douady, J.-L. Verdier (Ed.). Asterisque 36-37, 101-151 A976).
— [5] Specialisation de faisceaux et monodromie moderee. In: Analyse
et topologie sur les espaces singuliers. Asterisque 101-102, 332-364
A981).
Wells R. O. Jr. [1] Differential analysis on complex manifolds. Springer,
New York Berlin Heidelberg A980). [Имеется перевод: Уэллс Р.
Дифференциальное исчисление на комплексных
многообразиях. — М.: Мир, 1976.]
Whitney H. [1] Local properties of analytic varieties. In: Differential and
combinatorial topology (A symposium in honor of Mars ton Morse).
Princeton Univ. Press, 205-244 A965).
— [2] Tangents to an analytic variety. Ann. Math. 81, 496-549 A965).
— [3] Comlpex analytic varieties. Addison Wesley, Reading Mass A972).
Zemer M. [1] Domaine d'holomorphie des fonctions verifiant une equation
aux derivees partielles. С R. Acad. Sci. 272, 1646-1648 A971).

Список обозначений и соглашений
Общие понятия
N: множество неотрицательных целых чисел
Z: кольцо целых чисел
Q-. поле рациональных чисел
Ш: поле вещественных чисел
С: поле комплексных чисел
R+: мультипликативная группа положительных
вещественных чисел
Ш~; множество отрицательных вещественных чисел
Що (соотв. М^о): {с € М; с ^ О (соотв. с ^ 0)}
Сх: мультипликативная группа ненулевых комплексных
чисел
фА: число элементов конечного множества А
А \ В: дополнение к подмножеству В в А
6ij: символ Кронекера, 6ij = 0 при » ф j и 6ij = 1 при » = j
5: замыкание подмножества 5
dS: S\S, см. (9.2.4)
X xsY: расслоенное произведение над 5, см. обозначения 2.3.12
М": n-мерное евклидово пространство
lim: индуктивный предел
lim: проективный предел
"lim": ind-объект, см. § 1.11
"lim": pro-объект, см. § 1.11
{xn}n£i- последовательность, занумерованная множеством
/ (/ = N или Z)
х„ —* х: последовательность {zn}n сходится к х
п
{pt}: множество, состоящее из единственного элемента
D: означает, что квадрат декартов
Мн огообразия
X, У,... вещественные или комплексные многообразия
6 или 8х : X «-+ X х X: диагональное вложение
г: ТХ —► X: касательное векторное расслоение к X
т: Т*Х -»Х: кокасательное векторное расслоение к X

Список обозначений и соглашений
641
ТмХ: нормальное векторное расслоение к подмногообразию
М многообразия X, см. П.2.1
Т£[Х: конормальное векторное расслоение к
подмногообразию М многообразия X, см. П.2.1
Tjf X ~ X: нулевое сечение, отождествленное с X
Еу: векторное пространство Е с 7-топологией, см. $ 3.5
Х7: пространство X с 7-топологией, см. 5 3.5
<ру: непрерывное отображение X —► Х1, см. § 3.5
/: У —► X: морфизм многообразий
f\n: N —* М: морфизм, индуцированный морфизмом / (N С Y,
МСХ)
Tf: TY-^T xx TX — ТХ, см. D.1.8)
TNf: TNY—+NxMTMX > ТМХ, см. D.1.9),
TY ^Y xx TX —> ТХ, см. D.3.2),
*»У <-^хм TUX'--* T&X, см. D.3.3)
'/{, INw
*f : TfX: ker('/': У x* Г*Л" -* Г* У), см. D.3.4)
ах: отображение X —► {pt}
X: комплексно-сопряженное к комплексному
многообразию X многообразие, см. $ 11.1
X*: подлежащее вещественное многообразие комплексного
многообразия X, см. § 11.1
dimY/X, codimjc У: относительные размерность и коразмерность, см.
обозначение 3.3.8
dimX, dim* X: размерность многообразия X, см. $2.9 и обозначение
3.3.8 (за исключением § 10.3)
dime X: комплексная размерность многообразия X, см. $2.9
Векторные расслоения
г : Е —» Z: векторное расслоение над Z
* : Е* —* Z: двойственное векторное расслоение
Z отождествляется с нулевым сечением векторного
расслоения над Z
E = E\Z,E* =E*\Z
т = г1в>,г = "IB»
а: антиподальное отображение на Е
S": образ подмножества S при действии a, S С Е
5°: полярное множество для S С Е, см. C.7.6)
е: эйлерово векторное поле, см. § 5.5

642
Список обозначений и соглашений
А + В: сумма в векторном расслоении, см. E.4.5)
S = Е\ Ш+: сферическое расслоение, ассоциированное с векторным
расслоением Е, см. C.6.3)
Т*(Е \ Z): относительное кокасательное расслоение, см. E.5.3)
Нормальные конусы
Cm(S)'- нормальный конус к S вдоль М, см. определение 4.1.1
C(Si, Si): нормальный конус к Si x 5г вдоль диагонали, см.
определение 4.1.1.
CM(A,B),f*(A,B),f#(A,B),f*(A),f*(A),A+B,A + B: см. опреде-
оо
ление 6.2.3
N(S) = ТХ\ С(Х \ S, S): см. определение 5.3.6
N*(S) = N(S)°: см. определение 5.3.6
Хм- нормальная деформация подмногообразия М в X, см.
§4.1
Симплектическая геометрия
а: симплектическая форма, см. § П.1
ах или а: каноническая 1-форма на Т'Х, см. § П.2
Н; гамильтонов изоморфизм, см. § П.1
Hj: гамильтоново векторное поле, см. § П.2
{•, ■}: скобка Пуассона, см. § П.2
т(-, •, ■): индекс инерции, § П.З
Ер: РХ/р, Р изотропно в Е, $ П.1
Ар = (А П pL +.р)/р, А лагранжево, р изотропно, см. J П.1
Ai о А2: композиция лагранжевых плоскостей, § П.1
Л\ о Лг: композиция лагранжевых многообразий, см.
определение 7.4.5
Л^: лагранжево многообразие, ассоциированное с <р, см.
G.5.1)
А0(р) = Tpir-1ir(p) , см. G.5.2)
Ал(р) = ТРЛ
Ту,: см. G.5.3)
r(Aj : А2): см. G.5.10)
Алгебра
А: кольцо (все кольца имеют единицу)
Л-модуль: левый Л-модуль (все модули унитарны)
Аор: противоположное кольцу Л кольцо (Л^-модуль— это
правый Л-модуль)

Список обозначений и соглашений
643
С: категория, ОЬ(С), Нотс(-, ■) см. § 1.1
С: противоположная категория, см. {1.1
id: тождественный морфизм
С: категория функторов из С в Set
Сл: CeVo
Ker, Coker, Im, Coim: см. $ 1.2
С*(С): * = 0, +, —, 6: категории комплексом в категории С, си.
§ 1.3
К*(С): * = 0,+,—,6: см. определение 1.3.4
Ht(X, У): группа морфизмовиз X в У, гомотопных нулю, см. § 1.3
К(С): группа Гротендика категории С, см. упр. 1.27
Х[к] сдвинутый комплекс, см. определение 1.3.2
т^,т^: функторы усечения, см. A.3.10), A.3.11), § 10.1
Нк(Х): к-е когомологии комплекса X, см. определение 1.3.5
M(f): конус морфизма /, см. § 1.4
X —► У —► Z —►: треугольник, см. обозначение 1.5.8
Cs: локализация категории С по 5, см. определение 1.6.2
C/N: локализация категории С по N, см. обозначение 1.6.8
D*(C),* = 0, +,—,6: производные категрии, см. определение 1.7.1
RF: правый производный функтор функтора F, см.
определение 1.8.1
LF: левый производный функтор функтора F, см. § 1.8
0£,(С): полная подкатегория в О*(С), состоящая из
комплексов, когомологии которых (как объекты) принадлежат
С, см. §1.7
Hi(X), Нц,в(Х): комплексы, ассоциированные с двойным
комплексом, см. § 1.9
N ®а М или N <g> M: тензорное произведение (над кольцом А)
Нотд(ЛГ, М) или Нот(ЛГ,М): группа гомоморфизмов (над
кольцом А)
Tor*(N, М) = H~n(N ®J M): , см. пример 1.10.12
ExtJGV,M) = Hn(REomA(N,M))
M-L: Миттаг-Лефлер, см. § 1.12
ф: прямая сумма, см. § 1.2
X xz У: произведение над Z, см. упр. 1.6
X 0z Y: прямая сумма над Z, см. упр. 1.6
Ext'(X,y) = Homo(c)(X Y\j)): см. упр. 1.17
hd(C): гомологическая размерность категории С, см. упр. 1.17

644 Список обозначений и соглашений
gld(i4): глобальная гомологическая размерность кольца А, см.
упр. 1.28
wgld(i4): слабая глобальная размерность кольца А, см. упр. 1.29
tr след, см. упр. 1.32
Х- характеристика Эйлера-Пуанкаре, см. упр. 1.32
Ь,(К) = dim#>(K) , см. E.4.17)
b,-(V) = (-1У Е^-(-1IЫП , см. упр. 1.34 и E.4.18)
Пучки
F,G,H,...: пучки, Л — пучок колец на пространстве X
Homii(F,G) или Hom(F,G): пучок ТС-гомоморфизмов Я-модуля F в
G, см. определение 2.2.7
Hom(F,G) = r(X;Hom(F,G))
ft9*: противоположное кольцо
F ®я G или F®G: тензорное произведение ТС-модулей F и G над И,
см. определение 2.2.8
F\z- ограничение пучка F на Z
Fx = F\{sy. стебель предпучка F в х
s\z, «*: ограничение сечения s на Z и росток сечения в в х
supp(s): носитель сечения s
Г(Х; F): глобальное сечение пучка F на X
r(Z;F) = r(Z;F\z)
f~1F: обратный образ пучка F, см. определение 2.3.1
f,F: прямой образ пучка F, см. определение 2.3.1
f>F: прямой образ с собственными носителями, см. B.5.1)
/*: см. определение 2.7.4
F&. пучок на X, такой, что Fz\z = F\z, Fz\x\z = О, Z
локально замкнуто, см. $ 2.3
rz(F): пучок сечений пучка F с носителем в Z, см. §2.3
Мх = в^М: постоянный пучок на X со стеблем М (М есть А-
модуль)
Mz = (Mx)z, Z С X,Z локально замкнуто
F Hs G: внешнее тензорное произведение (пучок на X х$ У), см.
обозначение 2.3.12
Ге(Х; F) = ax\F: глобальное сечение с компактными носителями,
см. B.5.2)
Д/., ЯГг, ЯГ(Х, •), Rf\, ®L, HL, RHom: производные функторы
соответствующих функторов, см. §2.6
Н*Х(П HZ(X;F), Hi(X;F), f<(F,G), Ext'fi(F,G), Tm>R(F,G) :
см. обозначения 2.6.8

Список обозначений и соглашений 644'
wgld(TC): см. определение 2.6.2
supp(F): замыкание множестваЦ, supp H'(F), см. B.6.34) и § 2.2
C'(U; F): комплекс Чеха, связанный с семейством открытых
подмножеств, см. § 2.8
/!: правый сопряженный функтора Я/i, см. §3.1
DxF= KHom(F,ii>x), см. определение 3.1.16
D'XF = KHom(F, Ax), см. определение 3.1.16
■J*
морфиэм Я"(Х;огх) —► А, см. C.3.15)
преобразование Фурье-Сато, см. определение 3.7.8
обратное преобразование Фурье-Сато, см. определение
3.7.8
Фк, &к- функтор, ассоциированный с ядром К, см. определение
3.6.1 и 7.1.3
К\ о К2: композиция ядер, см. C.6.2) и G.1.2)
Ki о,, Ki'. микролокальная композиция ядер, см. определение
7.3.2
v\f(F): специализация объекта F вдоль М, см. определение
4.2.2
Pm(F): микролокализация объекта F вдоль М, см.
определение 4.3.1
/~1,/^,/^,/*: микролокальные операции, см. J6.1
phom(G —► F),fiAom(F <— G),pAom(F, G): функторы
микролокализации, см. определение 4.4.1
SS(F): микроноситель объекта F, см. § 5.1
0*(Х) = О*(Ах) (* = й>| +i Ь| —)"• производная категория категории
пучков Л-модулей, см.§ 2.6
ЩХ, Y; Ox, Qy)- категория ядер, см. определение 7.1.1
ЩХ, Y;px,Py)- категория ядер, см. определение 7.3.7
ф/: функтор исчезающего цикла, см. §8.6
ф}\ функтор близкого цикла, см. § 8.6
рНк: превратные когомологии, см. § 10.2
Специальные пучки
огх- ориентирующий пучок, см. определение 3.3.3
огу/х- относительный ориентирующий пучок, см. определение
3.3.3 и C.3.3)
их- дуализирующий комплекс, см. определение 3.1.16
иу/х'- относительный дуализирующий комплекс, см.
определение 3.1.16
V&M: пучок распределений, см. п. 2.9.6
Вм- пучок гиперфункций, см. п. 2.9.6 и определение 11.5.1

646 Список обозначений и соглашений
Уд/: пучок плотностей на многообразии, см. п. 2.9.5
См- пучок микрофункций, см. определение 11.5.1
Пучки на комплексных многообразиях
Ох- пучок голоморфных функций на X
Ох'. пучок голоморфных р-форм
&х ■ Ox ® o*x (n = dime X)
Т>Х- пучок колец голоморфных дифференциальных
операторов конечного порядка, см. § 11.2
Vy-tX- бимодуль дифференциальных операторов из У в X, см.
определение 11.2.8
1сагЛ4: см. A1.2.7)
ch&r(M): характеристическое многообразие 2>х-модуля М, см.
A1.2.14)
Кх = Vx ®ох «|"l[dimcX] , см. A1.2.18)
Я* = RHomVx(M,ICx) , см. A1.2.19)
И, : внешнее тензорное произведение в категории V\-
модулей, см. A1.2.21)
/-1Л4: обратный образ в категории Х>х-модулей, см.
определение 11.2.10
/ Л/", Д.ЛЛ прямой образ в категории Х>*-модулей, см. определение
~* ~* 11.2.10
&х> £y-*X' £x*-y- кольцо и бимодули голоморфных
микролокальных операторов, см. определение 11.4.2 и предложение
11.4.3
С||Х: пучок микрофункций на комплексном подмногообразии
5, см. определение 11.4.2
Категории
Set: категория множеств
2tb: категория абелевых групп
Шод(А): абелева категория левых Л-модулей
ШоЪг(А): категория конечно порожденных левых Л-модулей
ЯЯоЭ(Я): категория пучков ft-модулей (И — пучок колец на X)
ЗЯоЭ(Лх): категория пучков Л-модулей на X
6J)(X) = SWod(Zx): категория пучков абелевых групп на X
0(A) = 0(тоЦА)) , см. обозначение 1.7.14 и B.6.1)
0(A) = О(Ах) = 0(ШоЪ(Ах)) , см. § 2.6 и, в частности, обозначение
2.6.11
Оь(Х; П) локализация категории Оь(Х) на Q С Т*Х, см. § 6.1

Список обозначений и соглашений
647
Оь(Х;р) = Оь(Х;{р}): локализация категории D*(X) в р, см. §6.1
®il+(E) подкатегория категории D+(E), состоящая из
конических объектов, см. определение 3.7.1
CoiUf(S), uMEons(S): категории S-конструктивных и слабо S-конструк-
тивных пучков, см. $8.1
Ds-c(S) и D*,_s_e(S): подкатегории категории D*(|S|), состоящие из
S-конструктивных и слабо S-конструктивных объектов,
см. §8.1
R-Cone(X) и w-R-towX: категории R-конструктивных и слабо R-
конструктивных пучков на X, см. определение 8.4.3
0^_С(Х) и D*)_R_C(X): подкатегории категории 0Ь(Х), состоящие из
R-конструктивных и слабо R-конструктивных
объектов, см. § 8.4
0ьс.с(Х)ш01.с_с(Х):,см.18.Ь
Kr_c(A"): группа Гротендика категории 0^_ДХ), см. §9.7
CDf-i-!(^)'fD»-i-tW) и т. д. : «-структура, связанная с
превратностью р, см. § 10.2
С°ш-к-с№> "D»-R-c№) и т- Д- : «-структура, определенная
микролокально, см. § 10.3
Циклы, следы и конструктивные функции
x(F)(it), Xc(F)(x), x(X;F), Xc(X;F): характеристики (индексы!
Эйлера-Пуанкаре, см. §9.1
try: морфизм следа, см. (9.1.3)
fx: Н°(Х,шх)^ксм. §3.3и§9.1
CSp(F): пучок субаналитических р-цепей со значениями в F, см.
определение 9.2.1
CS* = CSP(AX) = CSP
др : CSP —> C5(p_i): граничный оператор, см. (9.2.10)
ZS*: пучок субаналитических р-циклов на X, см.
определение 9.2.5
С\ П Ci- пересечение двух циклов, см. определение 9.2.12
#(Ci Л Сг): индекс пересечения двух циклов, см. определение 9.2.12
Сх- пучок лагранжевых циклов, см. определение 9.3.1
/*,/»: обратный и прямой образы лагранжевых циклов, см.
онределение 9.3.3
В: внешнее произведение циклов, см. (9.3.2)
[ТуХ]: лагранжев цикл, ассоциированный с Y <-* X, см.
пример 9.3.4
[(То]: цикл, определенный нулевым сечением, см.
определение 9.3.5

Предметный указатель
аксиома октаэдра (octahedral axiom)
79
антиподальное отображение
(antipodal map) 238
бифунктор (bifunctor) 103
- аддитивный (additive ~) 103
- когомологический (cohomological
~I03
- точнмй (слева, справа) ((left, right)
exact ~) 103
- триангулированных категорий (~
of triangulated category) 103
бихарактеристика (mcharacteristic
curve) 358
бихарактеристмческий лист (bichar-
acteriatic leaf) 613
вершина (vertex) 417
внешнее тензорное произведение
(external tensor product) 153
вполне изотропное подпространство
(totally isotropic «pace) 620
гамильтонов вектор (Hamiltonian
vector) 608
- изоморфизм (~ isomorphism) 608
гиперфункция Сато (Sato hyper-
function) 192, 593
главный символ (principal symbol)
573
гомотопные морфизмм (homotopic
morphisms) 74
- отображения (~ maps) 179
- пучки (~ sheaves) 328
- циклм (~ cycles) 478
группа Гротендика (Grothendieck
group) 128, 512
декартов квадрат (Cartesian square)
163-164
дифференциал (differential) 74
задача Коши (Cauchy problem) 579
изоморфизм (isomorphism) 65, 298
- симплектический (symplectic ~)
615
изотропное множество (isotropic set)
- подпространство,
подмногообразие (~ subspace, submanifold)
608,613
инволютивное множество (involutive
set) 358
- подпространство, подмногообразие
(~ subspace, submanifold) 608,
613
индекс инерции (inertia index) 619
- Маслова (Maslov ~) 620
- пересечения (intersection number)
479
- Эйлера-Пуанкаре (Euler-Poincare
index) 465
локальный (local ~ ~ ~) 465
каноническая 1-форма (canonical
1-form) 612
кап-произведение, --"-произведение
(cup-product) 197
категории кофинальные (cofinal
categories) 134
категория (category) 64
- абелева (abelian ~j 71
- аддитивная (additive <s>) 68
- нефильтрованная (cofiltrant ~) 122
- производная (derived ~) 90
- противоположная (opposite ~) 65
- , содержащая достаточно много
инъективных объектов («•>
having enough injectives) 93
- триангулированная (triangulated
~)82
- фильтрованная (filtrant ~) 109
кваэииэоморфиэм (quasi-isomor-
phism) 84
класс Тома (Thorn class) 249
- фундаментальный (fundamental
~M67
- характеристический
(characteristic ~) 466, 500
- Эйлера (Buler ~) 249
когомологии (cohomology) 75
- Чеха (Cech ~) 185
кольцо базовое (base ring) 175
- градуированное (graded ~) 570
- дифференциальных операторов
бесконечного порядка (~ of
infinite-order differential operators)
589
конечного порядка (~ of
finite-order ~ ~) 572, 589
- микродифференциальных
операторов (конечного порядка) f~ of
(finite-order) microdinerential
operators) 589
- микролокальнмх операторов (~ of
microlocal operators) 589
- противоположное (opposite ~) 71
- с фильтрацией (filtered ~) 569
- фильтрованное (filtered ~) 569

Предметный указатель
641
- Зариского (Zariskian ~) 570
- нетерово (Noetherian ~ ~) 570
комплекс (complex) 73
- двойной (double ~) 99
- двойственнмй к комплексу пучков
(dual ~ of a complex of sheaves)
214
- де Рама (de Rham ~) 188
- Дольбо (Dolbeault ~) 189
- дуализирующий (dualizing ~) 213
- относительнмй (relative ~ ~) 213
- ограниченный (сверху, снизу)
(bounded ~ (from above,
below)) 74
- простой (simple ~) 100
- ассоциированный с двойным (~
~ associated to a double complex)
101
- симплициальнмй (simplicial ~)
417
- усеченнмй (truncated ~) 76
комплексное многообразие (complex
manifold) 188
конструктивный объект, пучок (соп-
structible object, sheaf) 225, 419,
439,449
контактное преобразование (contact
transformation) 615
- квантованное (quantized ~ ~)
593
- расширенное (extended ~~) 382
конус морфизыа (mapping cone) 77
- конормалей (conormal ~) 305
- конормальнмй (conormal ~) 305
- нормальный (normal ~) 259
- собственный (proper ~) 238
- строгих нормалей (strict ~ ~) 305
- строго нормальный (strict ~ ~)
305
кообраэ (coimage) 70
косоортогональное дополнение (ог-
togonal space) 608
коядро (cokernel) 69
лагранжев грассманиан (Lagrangian
Qrassmannian manifold) 611
лагранжево множество (Lagrangian
set) 429, 449
- подпространство,
подмногообразие (~ subapace, submanlfold)
608,613
лемма Морса ыикролокальиая («ш-
crolocal Morse lemma) 319
- о выборе кривой (curve selection
~L25
- пяти морфизма (Ave ж) 133
- - срезке микролокальмая
(microfocal cut-off ~) 303,334,337
локализация (localisation) 86
микролокализация (mlcrolocaliea-
tion) 372
микролокальная композиция (micro-
local composition) 384,385
микроноситель (mkro-support) 398
множество биконическое (Ысошс set)
324
- выпуклое (convex ~) 33В
- изотропное (isotropic ~) 429, 446
- инволютивное (involutlve ~) 358
- коническое (conic ~) 338, 446, 614
- лагранжево (Lagrangian ~) 429,
446
- локально коническое (locally ~ ~)
446, 614
- полярное (polar ~) 339
- субаналитическое (subanalytic ~)
424
- С-аналктическое (C-analytic ~)
445
модуль (над пучком) (module (over a
sheaf)) 141
- когерентный (coherent ~) 566
- конечно свободный (finite free ~)
565,570
- конечного типа (~ of finite type)
570
- локально имеющий конечнмй тип
(~ locally of finite type) 565
конечное представление (~ ~
~ ~ presentation) 565
- конечно свободный (~ finite free
~) 565
- плоский (flat ~) 129
- с фильтрацией (filtered ~) 569
- фильтрованный (filtered ~) 569
- 2>-модуль голономнмй (holonomie
P-modulej 574
монодромия (monodromy) 449
мономорфизм (monomorpnism) 8ft
морфизм fmorphism) 73
- вмчета (residue ~j 253
- граничнмй (boundary value ~) MS
- нехарактеристичнмй
(относительно А на V) (non-characteristic (§МГ
A on V) ~) 315, 348
- ограничения (restriction ~) 137
- следа (trace ~) 466
- трансверсальнмй к Af (м
transversal to M) 363
- чистмй по отношению к М (~
clean with respect to AT) 363
- Эйлера (Buler ~) 519
морфиэмм трансверсмымм
(transversal morphisms) 363
- чистме (clean ~) 363
неравенства Морса (Morse
inequalities) 330
нормальная деформация (normal
deformation) 257

650 Предметны
носитель (support) 138,175
- сингулярный (singular ~) 594
иуль-система (null-system) 87
образ (image) 71
- обратный (inverse ~) 145, 578, 598
- микролокальнмй (microlocal ~
~K38
- прямой (direct ~) 145, 578, 598
- микролокальнмй (собственный)
(microlocal (proper) ~ ~) 338
- с собственными носителями (~
~ with propre supports) 160
объект (objectJ 64
- инъективный (injective ~) 72
- когомологически конструктивнмй
(cohomologically constructibie ~)
225
- конечный (final ~) 66
- начальный (initial ~) 66
- представляющий (representative ~)
67
- проективный (projective ~) 72
- слабо CR-,S-KOHCTpyKTKBHMft(w-
C-JR-.S-конструктивный) (week
C-,R-,S-constructible ~, w-C-con-
structible ~) 449, 439, 419
- совершенный (perfect ~) 129, 225
- С-Д-,8-конструктивный (C-.R-,
S-constructible ~) 449, 439, 419
- F-ацикличнмй (F-acychc ~) 97,126
ограничение (restriction) 137, 138,
148
однородная симплектическая
структура (homogeneous symplectic
structure) 614
оператор волновой (vave operator)
597
- гиперболический (hyperbolic ~)
597
- граничный (boundary ~) 475
- Лапласа (Laplace ~) 597
- эллиптический (elliptic ~) 597
операция свертки (convolution
operation) 197, 523
отображение Гиэина (Gysin map) 249
пересечение (intersection) 479 .
плоскость общего положения
(generic plan) 611
подкатегория (subcategory) 65
- плотная (thick ~) 95
- полная (full ~) 65
- F-инъестивная (F-injective ~) 96
- F-проективиая (F-projective ~) 98
покрытие (covering) 433
полями символ (total symbol) 573
полубихарактернстика
положительная (positive half-bicharacteristk
curve) 358
указатель
- отрицательная (negative ~ ~) 358
порядок (order) 571
последовательность Майера-Вьето-
риса (Mayer-Vietoris sequence)
174
превратность (perversity) 535
- средняя (middle ~) 545
предел индуктивный (inductive limit)
109
- проективный (projective ~) 108,
109
предпучок (presheaf) 136
преобразование фурье-Сато
(Fourier-Sato transform)
пространство окольцованное (ringed
space) 186
- расширяющееся (expanding ~)
507
- сжимающееся (shrinking ~) 507
- сиыплектическое (symplectic vector
~N07
прямая сумма (direct sum) 68, 569
прямое слагаемое (direct summand)
119
пучок (sheaf) 138
- ассоциированный с предлучком
(~ associated to a presheaf) 140
- биконический (biconic ~) 236
- вялмй (flabby ~) 154
- гибкий (supple ~) 194
- гиперфункций Саго (~ of Sato
byperfunctions) 593
- когерентный (coherent ~) 566
- колец (~ of rings) 141
- голоморфных
дифференциальных операторов (~ ~ ~ of holo-
morphic differential operators) 572
- конический (conic '-) 235
- лагранжевмх цепей (~ of La-
grangian chains) 490
- циклов (~ ~ ~ cycles) 480
- локально постоянный (locally con-
■ stant ~) 145
- микрофункций Сато (~ of Sato
microfunction) 593
- модулей (~ of modules) 141
- мягкий (soft ~) 194
- нётеров (Noetherian ~) 566
- ориентирующий (orientation ~)
219
- относительный (relative ~ ~) 219
- плоский (flat ~) 157
- постоянный (constant ~) 145
- превратный (perverse ~) 546
- простой (simple ~) 406
- решений (~ of solution) 142
- сечений (~ of sections) 150
- слабо С-,К-,8-кОнструктивнмй(и>-
С-Д-.Б-конструктнвный) (week

C-,R-,S-constructible ~, w-C-con-
structible ~) 449, 439, 419
- субаналитических р-цепей (~ of
subanalytic p-chains) 472
р-циклов (~ ~ ~ p-cycles) 475
- чистый (pure ~) 406
- с-мягкий (c-soft ~) 161
- С-Д-.Б-коиструктивный (C-JR-S-
constructible ~) 449, 439, 419
- F-инъективный (F-injective) 1S3
- /-мягкий (/-toft ~) 421
разбиение (partition) 433
размерность вялая (flabby dimension)
195
- гомологическая (homological ~)
12S
- глобальная (global ~ ~) 129
- когомологическая (cohomological
~) 126
- симплициальиого комплекса (~ of
simplicial complex) 423
- слабая глобальная (weak global
~) 129, 168
- о-мягкая (c-soft ~) 195
распространение особенностей
(propagation of singularities) 596
расслоение ненормальное (conormal
bundle) 612
- нормальное (normal ~) 256, 612
- относительное кокасателыюе
(relative cotangent ~) 319
регулярное подмногообразие (regular
submanifold) 614
резольвента (resolution) 565
росток (germ) 138
сердцевина (heart) 526
сечение (section) 137
сигнатура (signature) 620
симплекс (simplex) 417
снмплектнческая форма (symplectic
form) 607, 808
симплектический базис (symplectic
basis) 610
симплектическое векторное
пространство (symplectic vector
space) 607
система гиперболическая (hyperbolic
system) 596
- индуктивная (inductive ~) 108
- координат ассоциированная
(associated coordinate ~) 612
- Коши-Римана (Cauchy-Rlemann
~) 596, 603
- микрогиперболическая (mlerohy-
perbolic ~) 696
- проективная (projective м) 101
- эллиптическая (elliptic «*) IIM
указатель 651
скобка Пуассона (Poisson bracket)
571, «08, 613
специализация (specialisation) 264
стебель (stalk) 139
стек (stack) 542
страт (stratum) 433
стратификация (stratification) 433
строго точная последовательность
(strictly exact sequence) 569
теорема Бертиии-Сарда
микролокальная (microlocal Bertini-Sard
theorem) 430
- Вейерштрасса о делении (Weier-
strass division ~) 583
- Вьеториса-Бигла (Vietoris-Begle
~) 181
- Гильберта о сизигиях (Hilbert
»y»ygy ~) 566
- десингуляризации (desingulariza-
tion ~) 425
- Коши-Ковалевской (Cauchy-Ko-
valevski ~) 579
- Лере об ацикличном покрмтии
(Leray acyclic ~) 185
- Лефшеца о неподвижных точках
(Lefschetz fixed point ~) 500
- об ннволютивности (involutivity ~)
359
- острие клина (edge of the wedge ~)
595
- триангуляции (triangulation ~)
425
тип (type) 406
топологическая субмерсия
(topological submersion) 217
точная последовательность (exact
sequence) 71
треугольник (triangle) 78, 82
- внтивмделеннмй (antidistmguished
~)85
- выделенный (distinguished ~) 79,
82
условие коцикла (cocycle condition)
620
- Миттаг-Лефлера (Mittag-Leffler
~) 113
условия Уитни (Whitney conditions)
461
утончение покрытия (finer covering)
433
фильтрация (nitration) 436
- субаналитическая (subanalytic ~)
436
- хорошая (good ~) 570, 572
^-фильтрация (^-filtration) 436
формуле вычетов Кошн (Cauchy
residues formula) 253

652 Предметны
- Кюннета (Kunneth ~) 197
- Лейбница (Leibniz ~) 573
- Лефшеца для неподвижных точек
(Lefscbetz fixed point *») 503
функтор (functor) 66
- аддитивный (additive ~) 69
- близкого цикла (nearby-cycle ~)
453
- вполне строгий (fully faithful ~) 67
- исчезающего цикла (vanishing-
cycle ~) 464
- кваэиобратный (quasi-inverser ~)
67
- коваривнтный (covariant ~) 66
- когомологический (cohomological
~) 83
- контравариантный (contravariant
~) 66
- представиыый (presentable ~) 67,
108
- производимый (derivable ~) 125
- производный левый, правый
(derived left, right ~) 96, 98
- сдвига (shift ~) 74
- сопряженный (слева, справа)
(adjont (left, right) ~) 118
- точный (слева, справа) (exact (left,
right) ~) 72, 53
- усечения (truncation ~) 527
функция конструктивная (соп-
structible function) 511
- Морса (Morse ~) 437
- однородная (homogeneous ~) 614
- трансверсальная многообразию
(transversal to a manifold ~) 403
характеристика Эйлера-Пуанкаре
(Euler-Poincare index) 321, 465
указатель
характеристический класс
(characteristic class) 466, 500
- цикл (~ cycle) 486
характеристическое многообразие
(characteristic variety) 574
частичное преобразование Лежан-
дра (Legendre partial
transformation) 414
эйлерово векторное поле (Euler
vector field) 322, 614
эквивалентность категорий
(equivalence of categories) 67
- фильтраций (~ ~ nitrations) 569
эпиморфизм (epimorphhm) 65
ядро (kernel) 69
can 454
ind-объект (ind-object) 110
pro-объект (pro-object) 110
«-представление («-presentation) 565
- конечно свободное (finite free ~)
565, 570
- локально конечно свободное
(locally ~ ~ ~) 565
var 454
7-топологня G-topology) 228
«i-стратификацил (stratification) 433
р-условне (^-condition) 433, 436
^-фильтрация (^-filtration) 436
lihom 277

Оглавление1)
О книге М. Касивары и П. Шапира «Пучки на многообразиях» %
Предисловие к русскому изданию '§.
Предисловие tt
К русскому изданию 34
Введение 31
Краткий исторический очерк. К. Узель 41
Глава 1. Гомологическая алгебра 64
1.1. Категории и функторы 64
1.2. Абелевы категории 68
1.3. Категория комплексов 73
1.4. Конусы морфиэмов 77
1.5. Триангулированные категории 82
1.6. Локализация категорий 85
1.7. Производные категории 89
1.8. Производные функторы 95
1.9. Двойные комплексы 99
1.10. Бифункторы 103
1.11. Ind-объекты и pro-объекты 108
1.12. Условие Миттаг-Лефлера 112
Упражнения к гл. 1 118
Замечания 135
Глава 2. Пучки 136
2.1. Предпучки 136
2.2. Пучки 138
2.3. Операции над пучками 145
2.4. Инъективные, вялые и плоские пучки 153
2.5. Пучки на локально компактных пространствах 158
2.6. Когомологии пучков 167
2.7. Некоторые теоремы об обращении в нуль 175
2.8. Когомологии покрытий 183
2.9. Примеры пучков на вещественных и комплексных
многообразиях 185
Упражнения к гл. 2 193
Замечания 201
Глава 3. Двойственность Пуанкаре-Вердье и преобразование
Фурье-Сато 202
3.1. Двойственность Пуаякаре-Вердм '.. 203
3.2. Теоремы об обращении в нуль на многообразиях 214
*) Введение и гл. 1-4, 8-10 мрММ Ю. Ю. Кочетков, остальное — В. Б. Назай-
кинский. — Прим. ред.

654
Оглавление
3.3. Ориентация и двойственность' 216
3.4. Когомологически конструктивные пучки 225
3.5. 7-топология 228
3.6. Ядра 232
3.7. Преобразование Фурье-Сато 235
Упражнения к гл. 3 247
Замечания 254
Глава 4. Специализация и микролокализация 256
4.1. Нормальная деформация и нормальные конусы 256
4.2. Специализация 263
4.3. Микролокализация 271
4.4. Функтор phom 276
4.5. Упражнения к гл.4 290
4.6. Замечания 292
Глава 5. Микроносители пучков 293
5.1. Эквивалентные определения микроносителя 294
5.2. Распространение 299
5.3. Примеры: микроносители, ассоциированные с локально
замкнутыми подмножествами 303
5.4. Функториальные свойства микроносителя 307
5.5. Микроноситель конических пучков 322
Упражнения к гл. 5 326
Замечания 330
Глава в. Микроноситель и микролокализация 331
6.1. Категория 0Ь(Х; П) 332
6.2. Нормальные конусы в кокасательном расслоении 343
6.3. Прямые образы 348
6.4. Микролокализация 354
6.5. Инволютивность и распространение 357
6.6. Пучки в окрестности инволютивного многообразия 361
6.7. Микролокализация и обратные образы 363
Упражнения к гл. 6 368
Замечания 370
Глава 7. Контактные преобразования и чистые пучки 372
7.1. Микролокальные ядра 373
7.2. Контактные преобразования в пучках 379
7.3. Микролокальная композиция ядер 384
7.4. Интегральные преобразования в пучках, ассоциированных с
подмногообразиями 390
7.5. Чистые пучки 403
Упражнения к гл. 7 414
Замечания 415
Глава 8. Конструктивные пучки 416
8.1. Конструктивные пучки на симплициальном комплексе 417
8.2. Субаналитические множества 424
8.3. Субаналитические изотопные множества и ^-стратификации . 426

Оглавление 655
8.4. R-конструктивные пучки 437
8.5. С-конструктивные пучки 445
8.6. Функтор близкого цикла и функтор исчезающего цикла 452
Упражнения к гл. 8 459
Замечания 462
Глава 9. Характеристические циклы 464
9.1. Формула характеристики Эйлера-Пуанкаре 465
9.2. Субаналитические цепи и субаналитические циклы 471
9.3. Лагранжевы циклы 480
9.4. Характеристические циклы 484
9.5. Микролокальные формулы характеристики Эйлера-Пуанкаре 493
9.6. Формула Лефшеца для неподвижных точек 499
9.7. Конструктивные функции и лагранжевы циклы 511
Упражнения к гл. 9 520
Замечания 523
Глава 10. Превратные пучки 525
10.1. (-структуры 525
10.2 Превратные пучки на вещественных многообразиях 535
10.3. Превратные пучки на комплексных многообразиях 544
Упражнения к гл. 10 559
Замечания 561
Глава 11. Приложения к 0-модулям и Р-модулям 563
11.1. Пучок Ох 564
11.2. Рх-модули 569
11.3. Голоморфные решения Рх-модулей 579
11.4. Микролокальное изучение пучка Ох 585
11.5. Микрофункции 593
Упражнения к гл. 11 600
Замечания 604
Приложение. Симплектическая геометрия 607
П. 1. Симплектические векторные пространства 607
П.2. Однородные симплектические многообразия 611
П.З. Индекс инерции 619
Упражнения к приложению „ 627
Замечания 629
Список литературы 630
Список обозначений и соглашений 640
Предметный указатель 648

Научное издание
Масаки Касивара, Пьер Шапира
Пучки на многообразии
Заведующий редакцией академик В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ведущий редактор Г. М. Цукерман
Художник Ю. С. Урмаичеев
Технический редактор Е. В. Денюкова
Корректор В. И. Киселева
Оригинал-макет подготовлен Н. Б. Андреевой
в пакете A^^S-Tj^i. с использованием
кириллических шрифтов,
разработанных в редакции АИП
издательства «Мир»
ИБ № 8549
Лицензия Л. Р. № 010174 от 22.01.92 г.
Подписано к печати 27.01.97. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Объем 20,50 бум. л. Усл. печ. л. 41,00.
Усл. кр.-отт. 41,00. Уч.-изд. л. 37,96. Изд. Х« 1/9471
Тираж 1000 экз. Заказ 585. С003.
Издательство «Мир»
Комитета Российской Федерации по печати
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография Х« 6
Комитета Российской Федерации по печати
109088, Москва, Южнопортовая ул., 24.