1
математические
методы
в Физике

V
у
ИЗДАТЕЛЬСТВО
„МИР"

МАТНЕМАТЮАЬ МЕТНСЮ5
ОР РНУ31СЗ
А соигзе о/ ксЫгез
§юеп
аЬ Иге СоЫтЫа ШюегзМу
Ьу
Т. Э. ЬЕЕ
Рго/еззог о/ РНузкз
СОШМВ1А Ш1УЕК31ТУ
ИЕШ УОЯК

Ли Цзун-дао
М АТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
В ФИЗИКЕ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Е. В. ЗАХАРОВА и А. В. ХОЛОПОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
С. В. ФОМИН А
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР*
МОСКВА 1965

УДК 530.1
Настоящая книга представляет собой
обработанный курс лекций известного американского физика-
теоретика проф. Ли Цзун-дао, прочитанный им
в Колумбийском университете (США) для
студентов-физиков. Этот курс содержит изложение
некоторых разделов математики и математических
методов, широко применяемых в физике. Материал
книги, разумеется, не исчерпывает математических
средств, используемых в физике, однако то, что
в ней есть, должен знать каждый физик.
Книга может служить дополнительным
пособием по курсу математики для студентов
физических и физико-технических факультетов вузов.
Она будет полезна и специалистам-физикам,
химикам, инженерам и т. п., желающим без большой
затраты времени освежить или пополнить свой
математический багаж.
Книга может быть интересна также и многим
математикам — лекторам и научным работникам,
желающим познакомиться с подходом автора-физика
к изложению отдельных разделов математики.
Редакция литературы по физике

Предисловие к русскому изданию
Имя выдающегося современного физика Ли Цзун-дао
достаточно хорошо известно (в научной физической
литературе его обычно называют кратко, по фамилии — Ли).
Ему принадлежит ряд работ по квантовой теории поля,
статистической физике, теории элементарных частиц.
В 1957 г. он вместе с Янгом получил Нобелевскую
премию по физике за открытие несохранения четности при
слабых взаимодействиях.
В течение ряда лет проф. Ли читает в Колумбийском
университете курс лекций по математике для студентов-
физиков. В этот курс входят основные понятия линейной
алгебры, элементы векторного анализа, разложение по
ортогональным функциям, гильбертово пространство и
операторы в нем, некоторые методы теории функций
комплексного переменного, ряд сведений из вариационного
исчисления и теории дифференциальных уравнений. Эти
лекции были записаны группой студентов и в небольшом
числе экземпляров выпущены в виде ротапринтного
издания.
Существует значительное количество книг, излагающих
те или иные разделы математики специально для физиков.
Однако обычно все такие руководства пишутся
математиками, а не физиками. Своеобразие и интерес лекций Ли
состоит в том, что здесь математические факты и методы
излагаются с точки зрения физика-теоретика.
Курс Ли нельзя рассматривать как систематический
учебник, предназначенный, скажем, для подготовки к сдаче
экзамена по математике на физическом факультете. Такому
назначению не соответствует ни содержание книги, ни
характер изложения. Это изложение, часто весьма наглядное,
в ряде мест не соответствует даже так называемому

6
Предисловие к русскому изданию
«физическому уровню строгости». Например, не
различаются возможность сколь угодно точно аппроксимировать
функцию линейными комбинациями функций из некоторого
семейства и разложимость этой функции в ряд по элементам
данного семейства. В случаях, подобных указанному, мы
вносили необходимые изменения прямо в текст. В
некоторых местах неточности изложения оговорены в
примечаниях. Однако мы не считали возможным существенно
менять принятый автором свободный стиль изложения,
поэтому и в русском тексте далеко не везде точно указаны
условия, при которых устанавливаются те или иные
формулы или результаты, сохранены выражения вроде
«достаточно хорошие функции» и т. п.
При подготовке русского издания лекций Ли пришлось
также считаться с тем, что записи лекций и их ротапринт-
ное издание сделаны слушателями несколько небрежно,
а сам автор текста этих лекций не отредактировал.х)
Видимо поэтому изложение в некоторых местах слишком
конспективно, в тексте имеется значительное количество
опечаток, пропусков, а подчас и искажений смысла. В
русском издании переводчики и редактор попытались исправить
такие недочеты. Это также повлекло за собой ряд более
или менее существенных отличий русского текста от
оригинала.
Лекции Ли не охватывают, конечно, многих разделов
того математического аппарата, которым должен владеть
сейчас физик-теоретик. Например, в этих лекциях совсем
не затронуты теоретикогрупповые понятия и методы,
в последнее время играющие большую роль во многих
физических вопросах. Но все то, что в этих лекциях
изложено, безусловно необходимо каждому физику.
Книга не требует от читателя большой предварительной
подготовки. Она вполне доступна студентам-физикам
третьего и даже второго курсов. Вместе с* тем она будет
интересна и более подготовленному читателю, уже
знакомому с излагаемыми в ней разделами математики по
другим руководствам.
С. Фомин
1) Проф. Ли, любезно сообщив о своем согласии на русское
издание его лекций, подчеркнул, что сам он этих записей не
читал.

Г л а в а 1
векторный и тензорный анализ
§ 1. Векторная алгебра
Пусть хх\ х2, хг— координаты некоторой точки Р
в правой декартовой системе координат трехмерного
х&)
Хо
I *Р(хихг,х.3)
I
I
*зШ
г-"
у
/
/,
-«
Ъ№
Фиг. 1.
пространства (фиг. 1). Эти координаты однозначно
определяют положение точки Р в пространстве:
Р : (х1$ х2, х^).
Пусть х'Г х'т х'ъ — координаты той же точки в некоторой
другой правой декартовой системе координат. Координаты
точки в двух различных системах связаны соотношениями
Х\ = и\\Х\ ~Ь и\2Х2 ~Ь И13*3»
Х2===: и2\Х\ • И22*2 I ^23^3»
Х3= иЗХХ\ I ^32*2"» ^33^3»
(1.1)

8 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
что более компактно можно записать в виде
з
*; = 2 иихг (*= 1. 2, з).
При этом числа и^ подчиняются, как известно,
соотношениям
з з ^1 если / — к,
;§«««»=;§«„««=&,*=(0; если }фк. о^>
(р]к называется символом Кронекера).
Таким образом,
»11+»21+в31=1'
«11«12 + ^21^22 + «31«32 = °'
И Т. Д.
Трехмерным вектором А называется упорядоченная
совокупность трех чисел, которые при повороте осей
преобразуются так же, как и координаты хх, х2, х$ точки Р,
т. е.
(Ль А2, Лз)->(ЛЬ А2, Лз),
где
з
А\= 2«Иу ('=1. 2. 3), (1.2)
7 = 1
а и^— коэффициенты, определяющие в соответствии
с (1.1) переход от (ху хг лг3) к (х'г х'т х'^.
Рассмотрим некоторые примеры векторов. Точке
Р(хг, х2, #3) в пространстве можно сопоставить вектор г
с теми же координатами. Этот вектор г часто называют
радиусом-вектором точки Р (фиг. 2). Если координаты
вектора г зависят от некоторого параметра I, то мы
можем образовать тройку (йхх\<Н, йх21(М> йхъ\<Н)* которая,
как легко проверить, также является вектором. Этот вектор
обозначается V = йг/сН. Аналогично можно построить
вектор а = йч\(11. Вообще, имея некоторый вектор,
координаты которого зависят от параметра, можно построить
новый вектор, покоординатно дифференцируя исходный.
Вектор, образуемый подобным образом, называется
производной данного вектора.

§ 1. Векторная алгебра
9
Два вектора А и В будем считать равными, если их
соответствующие координаты совпадают хотя бы в одной
системе координат. Ясно, что если координаты двух
векторов совпадают в какой-то одной координатной системе,
то они совпадают и в любой другой системе.
Р(Х1,х%рс3)
•*-х9
х,
Фиг. 2.
Фиг. 3.
Суммой двух векторов А==(Л1, Л2, Лг) и В —
= (Вг, В2, /?з) будем называть вектор*
А+В = (Л1 + В1, Л2+В2, Л3+Я3).
Легко проверить, что получаемая таким образом тройка
действительно является вектором и что
А+В = В + А.
Пример 1. Геометрическая интерпретация
равенства векторов. Пусть А — некоторый вектор, а гр
и Гд — радиусы-векторы точек Р и <?. Подберем эти
точки, так, чтобы
Ах = х
\р~
ч<2'
Л 2 — х2р х2<2>
Л3 — х$р -
с3(3»
тогда А=гР(3 (фиг. 3). Таким образом, каждому
вектору А можно сопоставить некоторый отрезок, иначе
говоря, всякий вектор характеризуется величиной и
направлением в пространстве.

10 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Скалярным произведением А • В двух векторов А
и В называется число
з
а-ъ = 2Ьа1в1.
/ = 1
Скалярное произведение инвариантно относительно
поворотов системы координат. Действительно, используя
формулы (1.1), получаем:
2 а\в\ = 2 «/Л««5* = 2(2 и1)и1и) А]Вк=
Величина, не изменяющаяся при поворотах системы
координат, называется скаляром!). Таким образом, А • В
А
Фиг. 4.
~&х
есть скаляр. Очевидно, что А«А=2Л/. Число (А-А)1/2
/ = 1
будем называть .модуле (или длиной) вектора А и
обозначать символом | А |. В частности, если А = г, то
|А| = |г| = /*? + *» + *§.
Выберем систему координат так, чтобы ось хх была
направлена вдоль вектора А и чтобы вектор В лежал в
плоскости ххх2 (фиг. 4). Тогда
А = (Л, 0, 0), В = (5со5 0, 5з1п9, 0),
А - В = | А 11 В | соз в,
1) Скаляр необходимо отличать от псевдоскаляра;
последний, не изменяясь при поворотах системы координат, меняет
знак при переходе от правой системы координат к левой
(отражение). — Прим. ред.

$ /. Векторная алгебра
11
где Э — угол между векторами А и В). Поскольку
А • В — скаляр, это равенство выполняется в любой
системе координат. В частности, если А • В = 0, причем А
и В не равны нулю, то векторы А и В ортогональны.
Пример 2. Сохранение энергии. В силу второго
закона Ньютона
р = лга = лг-§-, (1.3)
где т — масса тела, Р — действующая на него сила, V —
скорость. Умножая равенство (1.3) скалярно на V,
получаем:
з
1 = \
—-да.
где #— модуль вектора V. В частности, если Р = 0, то
й ( гпу2 \ л ту2 ,
Ж(—) = °' Т'е- -2- = СОП8*-
Это одна из форм закона сохранения энергии.
Теорема 1.1. Пусть имеется правило, задающее
в каждой системе координат некоторую тройку
чисел {Ах, А2, Л^). Если это правило таково, что
з
2 Л1В1 есть скаляр для всякого вектора В =
!=1(В19 В2, Вг), то величина А = (Л1э Л2, Л^ является
\ лектором.
! Доказательство. При поворотах системы коор-
3;динат координаты вектора В преобразуются по
формулам (1.2)2
В'1 = %"1& ('=1. 2» 3).
; = 1

12 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Пусть при повороте (Ах, Л2, Л3) переходит в (а[, А'2, Лз).
Мы должны показать, что
з
4= 2 «Ну С=1- 2» 3>-
7 = 1
Но по предположению
2 л,'в; = 2 А&.
1=1 1 = 1
Поэтому
3 3 3 3/3 \
2 А1В1 = 2 А\ 2 ииВ} = 2 ( 2 «<; Л) Я,.
Поскольку В — любой вектор, отсюда следует, что
з
2
к =
Лу=2и*уЛ* (/=1. 2> 3). (1.4)
Умножая (1.4) на ии и суммируя по /, получаем [с
учетом формул (1.2)]:
з зз
2«Ну= 2 2 «<у«*у4 =
7=1 7=1*=1
3 3 3
= 2 Ак 2 »/у«*у = 2 6/*Л* = Л/' (/ = 1, 2, 3),
что и требовалось доказать.
Рассмотрим некоторую прямоугольную систему
координат. Пусть 1 = (1, 0, 0), 1 = (0, 1, 0), к = (0, 0, 1) —
единичные векторы в этой системе. Тогда
1.1=].)=к.к=1.
Эти соотношения выражают просто взаимную
ортогональность единичных векторов. В этой системе координат
вектор А = (Л1, Л2, Л3) допускает представление
А = Л11 + Л2] + Л3к. (1.5)

$ /. Векторная алгебра
13
Совершим поворот осей координат. Единичные векторы
старой системы в новой системе будут иметь координаты
!:(«„, «21, %),
} • (#12» #22» #32)»
к : (#13, #23» йзз)*
Пусть 1' = (1, 0, 0), Г = (0, 1, 0), к' = (0, 0, 1) суть
единичные векторы в новой системе координат (х'х% х'г х'Л.
Тогда в силу формул (1.2) и (1.5)
1 = ип\' + и21У + и31к',
} = и12\' + и22)'-+-имк\ (1.6)
к = й131/ + й2з1/Н-йззк/-
Очевидно, V • V = 1 и т. д., /' • / = 0 и т. д., а поэтому
Ы = 4 + 4 + 4=1>
I ' * = #11#12 + #21«22 + #31#32 = °'
Мы вновь получили формулы (1.1), заодно объяснив
их происхождение. Отметим также, что в силу формулы
(1.4) из предыдущего рассуждения следует, что единичные
векторы новой системы выражаются через единичные
векторы старой системы следующим образом:
Г — ип\ + «1а| + «18к,
У = и211-+-и22) + и23к, (1.7)
к' = %> + %] + #ззк-
Имея два вектора А и В, можно построить третий
вектор, положив
АХВ = (Л2Вз-Л3#2> А3Вг—АгВ39 ^41В2 - ^42В1).
Правда, следует еще проверить, что А X В действительно
является вектором. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся
теоремой 1.1. Именно докажем, что (А X В) • С является
скаляром для всякого вектора С. Легко проверить, что
(АХВ)-С =
В\ В2
I ^1 с2
(1.8)

14 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Определитель, стоящий справа в формуле (1.8), равен
объему параллелепипеда, построенного на векторах А, В и
С. Очевидно, что объем инвариантен относительно
поворотов, а так как это справедливо для любого вектора С,
то, согласно теореме 1.1, АХ В действительно является
вектором. Этот вектор называют векторным
произведением векторов А и В.
Определим величину и направление вектора А X В.
С этой целью выберем оси координат так, чтобы вектор А
АхВ
г^е в
/а
Фиг. 5.
был направлен вдоль вектора 1, а вектор В лежал в
плоскости /у (фиг. 5). Тогда в этой системе координат
А = (Л, 0, 0), В = (БС059, #51110, 0),
АХВ = (0, 0, |А||В|з1п9), 9 = ^(А, В).
Следовательно,
|АХВ| = |А||В||51п9|,
векторы А и В ортогональны к А X В и совокупность
векторов А, В и А X В образует правую тройку
векторов. Легко убедиться, что если векторы А и В
параллельны, то А X В = 0, а в общем случае величина вектора
АХВ равна площади параллелограмма, построенного
на векторах А и В. В частности, 1X1 = 0 и т. д.,
1ХЗ = к,кХЗ = -иХк = 1.
Пример 3. Закон сохранения момента
импульса в поле центральных сил. Пусть г = г(0 —
радиус-вектор движущейся точки. Если через Р обо-

§ 1. Векторная алгебра
15
значить действующую силу, то по второму закону
Ньютона Р = тт (точка над вектором в дальнейшем
обозначает дифференцирование по времени *).
Силу Р называют центральной, если векторы г и Р
параллельны при каждом I. Примерами центральных сил
могут служить сила тяжести, электростатическая сила
в поле точечного заряда и др. Оказывается, что в случае
центральной силы вектор р = ту (р — импульс, т — масса
и V — скорость тела) всегда лежит в некоторой
фиксированной плоскости. Докажем это утверждение.
Моментом импульса называют векторное
произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс:
Ь = гХр. (1.9)
Дифференцируя обе части (1.9) по I, получим:
Ь = гХр+гХр.
Так как вектор импульса параллелен вектору скорости, то
гХр = 0,
а из второго закона Ньютона р = Р и определения
центральной силы вытекает, что
гХр = 0.
Таким образом,
Ь = 0 или Ь = сопз!,
т. е. в случае центральной силы момент импульса является
интегралом движения (сохраняется по величине и
направлению). Из (1.9) видно, что р всегда лежит в
плоскости, перпендикулярной к Ь, положение которой
фиксировано в пространстве, что и доказывает наше утверждение.
Пример 4. Поворот на бесконечно малый угол.
Рассмотрим вращение вокруг оси г. Пусть т = г(1) —
радиус-вектор частицы в момент I и пусть 6^ —
бесконечно малый промежуток времени. За время 6^ радиус-
вектор частицы повернется вокруг оси г на малый угол 6ф.
Так как 6ф<^1, справедливы следующие соотношения:
созбф^!— -Й?р1, 81п6ф»6<р — -в-. (1.10)

16 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Используя (1.10), можно найти координаты частицы после
поворота на угол 6ф (за время 60:
г (60 = г (0),
х (60 = х (0) — у (0) 6ф + О (6ф2), (1.11)
з,(бо = *(0)бф+:у(0)+0(бф2),
где 0(6ф2)—бесконечно малая величина порядка (6ф)2.
С другой стороны, разлагая х(р) и у(/) в ряд Тейлора
в окрестности нуля при 6^->0 и ограничиваясь двумя
первыми членами разложения, имеем:
х(Ы) = хф) + хЫ%
У(«) = У(0) + у«. (1.12)
Сравнив (1.11) и (1.12), найдем, что
Вектор, направление которого параллельно оси вращения
и величина равна 6ф/6^, обозначим через со. В нашем
случае
„ = {0.0,^}.
следовательно,
г = (!>Хг. (1.13)
Все величины, входящие в (1.13),—векторы, поэтому
можно утверждать, что это равенство верно в любой
системе координат.
В случае постоянного ео ускорение а может быть
вычислено следующим образом !):
а = г = -^ (со X г) = о) X г = а) X (ю X г);
если к тому же вектор о) перпендикулярен вектору г, то
|а| = Н|«Хг| = |»Нг|.
!) Знак === означает равенство соответствующих величин
по определению.

$ /. Векторная алгебра
17
и вектор а антипараллелен вектору г, а
М = |«Хг| = |»||г|,
поэтому
а |«|»г ттр"1"'
Рассмотрим общий случай движения частицы в
пространстве по некоторой траектории г = г(?). Определим
N
х,
Фиг. 6.
единичный вектор т, касательный к траектории частицы,
положив (фиг. 6)
V
Дифференцируя это равенство по I, получаем:
а=у:
(И
т+|у|т.
Но из равенства т • т = 1 следует, что
х- т = 0,
т. е. вектор т перпендикулярен вектору т. Таким
образом, ускорение а можно разложить на тангенциальную
(касательную) и перпендикулярную ей нормальную
составляющие. Введем единичный вектор
N = -4-.
I -с I
(1.14)
2 Зак. 1034

18 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
ортогональный к т. Назовем его нормальным вектором
кривой г = г(0- Если 5 — длина дуги кривой,
отсчитываемой от произвольной, но фиксированной точки, то
справедливы следующие равенства:
*=*4*=м4- ($=м).
откуда
N = ■
(1.15)
IV
их
~03
Величину
ах
а = М|у|2|^| + т|у|.
Ле
аз
называют радиусом кривизны кривой. Точки, в
которых /? = оо (т. е. ^т/^5 = 0), называют точками
перегиба кривой.
Теперь мы можем записать:
. = М^ + х|у|.
Для равномерного движения по окружности эта формула
принимает вид
а =
И5
г.
Направление вектора N определяется направлением
вектора й%1й8.
По определению как вектор скорости V, так и вектор
ускорения а лежат в плоскости, образованной
нормальным и касательным единичными векторами.
Так как плоскость нормального и касательного
единичных векторов может изменять со временем свое
положение в пространстве, то траектория частицы, скорость и
ускорение которой заданы, имеет еще одну степень
свободы. Соответствующий параметр мы назовем кручением
кривой. В дальнейшем понятие кручения будет
использовано при вычислении производной ускорения.

§ 1. Векторная алгебра
19
Определим бинормальный вектор Ь как векторное
произведение нормального и касательного векторов:
Ь = тХИ. (1.16)
Например, если частица движется в плоскости, то
бинормальный вектор остается постоянным.
Определим кручение Т кривой формулой
у, 1 йЬ I
| аз г
Из фиг. 7 видно, что | йЬ | = <Л), потому что | Ь | = 1, Ь
перпендикулярен плоскости векторов т и N и йШ — угол
поворота этой плоскости. Иногда употребляются следующие
обозначения:
С1=-д- — кривизна кривой (первая кривизна),
С2== -гд- —кручение кривой (вторая кривизна),
С—у С1~\-С1 — полная кривизна.
Дифференцируя (1.16), получаем
ь = тхн+тхй.
Но вектор т параллелен вектору Ы, поэтому т X N "= О,
следовательно,
ь = тхй.
Поскольку Ь-Ь=1, то ЬХЬ = 0. Итак, вектор Ь
перпендикулярен векторам Ь и т, следовательно, вектор Ь
оказывается параллельным вектору N.

20 Гл. /. Векторный и тензорный анализ
Теорема 1.2. Полная кривизна равна модулю
вектора ^/N/^5:
М 1
аз |"
Доказательство. Циклическая перестановка в зек-
торном произведении (1.16) дает:
N = ЬX'С. (1Л7)
Дифференцируя (1.17) по 5, получаем:
Далее, из (1.15) и (1.14) очевидно, что вектор N
параллелен йъ1(18 и, следовательно, вектор Ь X йъ/(18
перпендикулярен вектору т. Теперь ясно, что вектор Ь X йъ/йЗ
параллелен вектору т. Кроме того,
I , у. Й?Х I I Й?Х
Г Х "53" — Ш
= СХ; (1.19)
аналогично показывается, что вектор с1Ь/с18 X ^
параллелен Ь, а
|-35-Х'Н-Й-НС- (1-20)
В правую часть равенства (1.18) входят взаимно
перпендикулярные векторы. Поэтому из (1.19) и (1.20)
следует утверждение теоремы:
§ 2. Тензорная алгебра
Многие величины, важные с физической точки зрения,
не являются ни векторами, ни скалярами. В качестве
примера приведем величины хьх^ связанные с моментом
инерции тела. При вращении эти величины преобразуются
по формулам
з

$ 2. Тензорная алгебра
21
Введем понятие тензора. Будем говорить, что в
трехмерном пространстве задан тензор п-го ранга, если
каждой декартовой системе координат сопоставлена
совокупность Ъп чисел Т^1 I (где /1§ /2, .... /л пробегают
значения 1, 2, 3), которая при переходе от одной
декартовой системы к другой преобразуется по закону
з
Т\ I I — 2 и/ / ш 1 ... и/ / 7\- / / , (1.21)
У1' 72 -'/г"1
где иц — матрица перехода к новой системе координат.
Рассмотрим некоторые примеры тензоров.
Пример 5. п=\. Тензор 1-го ранга имеет З1 = 3
компоненты Т1 (1=1, 2, 3), которые преобразуются по
формуле
з
7\:=2 *иТ, (/=1. 2. 3).
Отсюда следует, что тензор 1-го ранга есть вектор.
Пример б. п = 0. Обобщая определение тензора,
скажем, что тензор нулевого ранга имеет одну (3° = 1)
компоненту 5, которая при переходе от одной декартовой
системы к другой не меняется: 5'= 5.
Пример 7. п = 2. Тензор 2-го ранга имеет З2 —9
компонент. Каждая из них преобразуется по формуле
з з
Г/у =2 2 *1киЯТк1-
к = \ /=1
Тензор называют инвариантным, если его
компоненты не меняются при переходе от одной системы
координат к другой. Например, 61;-—инвариантный тензор
2-го ранга:
3 3
2 и1киЛ^1к = 2 и1ки/к = V
к, 1=1 У к = \
Теорема 1.3. Если Т[ / / есть тензор п-го ранга,
то величина
з
является тензором п — 2-го ранга.

22 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Доказательство. Очевидно, величина Я/ / ,
3 4'" п
имеет Ъп компонент. Выясним, как преобразуется каждая
из компонент #у ... / при преобразовании системы
координат:
Н'ч*---1п=^\1?111*-1п-
= У\ 2л 6; / 111 1 . . . II; 4 Т \ / / =
Ч* Ч 'V ]2 'Л
3
== 2 л!4 1*1 1 111 1 . , . 1Ц 1 Т, 1 / •
7Р 72' ■•■» -'л Ч"1
Далее, вспоминая формулу (1.1а), можно продолжить эту
цепочку равенств следующим образом:
= 1 2 / (/?й>1>1ТЛЛ - *п) "'Уз ■ ' • «V»
'3' •••» «'л \'172 7
== ^ и/«/« • • • и1 1 Н]п ... / .
. -*-1 . 'з'з *лул уз ••• -'л
7з -'л
Отсюда видно, что величина Н[ / ... / преобразуется со-
3 4 Л
гласно (1.21), т. е. Я/ / ... / есть тензор (п— 2)-го ранга.
Теорема 1.4. Если 5/ * / —компоненты тен-
12 "• 'л
зора п-го ранга, а Ту у ...у —компоненты
тензора т-го ранга, то величины 5// ,..* • Гу у ...у
являются компонентами тензора (т-\-п)-го ранга.
Этот тензор называют произведением тензоров 5 и Г.
Доказательство. При повороте системы
координат компоненты данных тензоров преобразуются
следующим образом:
ЙР 2 *Л
'г'г 'т

$ 2. Тензорная алгебра
23
Поэтому величины 5// ... / 'Т] ; ] преобразуются
так же, как и компоненты тензора ранга (т-\-п), а именно
3 3
= Л2 2 «/,*, • • • "/А"^'! • ' • "'«'«Л - 1п ' ГЛ - V
Например, если Л,- и #;-— компоненты векторов А и В,
то Л^В^ — компоненты тензора 2-го ранга.
Рассмотрим величины ЪцА^^ Выше (теорема 1.3) мы
показали, что если Т[ I ,• —тензор #-го ранга, то вели-
з
чина 2 ^1112^1112-" 1п есть тензоР (п — 2)-го ранга.
«ц «2=1
Отсюда следует, что величина
з
I, ] 1 = 1
есть тензор нулевого ранга (скаляр).
Операция умножения компонент тензора на 6|,/2
и последующего суммирования по 1г и /2 называется
сверткой тензора.
з
Так, величина Г/ * * = 2 ^ « ^« I I является
3 4 "■ п 1и г2=1 * 2 * 2 ' п
сверткой тензора Г/ / ... / . Тензор можно свертывать по
любым двум индексам. Заметим, что свертывая данный
тензор ранга п по различным парам индексов, мы
получим, вообще говоря, различные тензоры (п — 2)-го ранга.
В частности, если
3 3
2 Ъг&Ш* = (А • В) С,,. 2 Ьы?Ш> = А1х (В • С).
Свертка является одной из основных операций в
тензорном анализе. Ранее было показано, что Т1;- = 6^ есть
инвариантный тензор 2-го ранга. Теперь рассмотрим
важный пример инвариантного тензора 3-го ранга.
Предварительно введем следующее определение.

24 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Транспозицией называется перестановка двух
индексов в подстановке (1, 2, 3). Четность или нечетность
подстановки (/1§ /2, /3) определяется числом
транспозиций, необходимых для приведения данной подстановки
к виду (1, 2, 3). Например:
(2, 1, 3) — нечетная подстановка,
(2, 3, 1) — четная подстановка.
Положим теперь
(1, если (/, у, к) четна,
—1, если (/, у, к) нечетна.
I 0, если /, у, к не все различны.
Теорема 1.5. Величина г^к есть инвариантный
тензор 3-го ранга.
Доказательство. При преобразовании
координат (ху хг х^)->(*[* хг хъ) еДИНИЧЬ1Ь1е векторы 1', у, к'
новой системы выражаются через единичные векторы I, ], к
старой системы по формулам (1.7). Легко проверяется
равенство
1'0'ХЮ =
*21
*31
*12
*22
*32
*13
*23
*33
(1.22)
Переставляя векторы Г, У', к' в равенстве (1.22), получим:
ип и
'м
12 и13
Я "уз
к2 икЗ
=
+1, если (/, у, к) четная
подстановка индексов (1, 2, 3),
— 1, если (/, У, к) нечетная
подстановка индексов (1, 2, 3),
О в остальных случаях.
(1.23)
Образуем теперь сумму
2л иПи]тикпг1тп-
I, т, я=1
(1.24)
Так как г1тп = 0 при совпадении любой пары индексов,
то сумма (1.24) состоит из 9 членов, причем каждый есть

§ 2. Тензорная алгебра
25
произведение элементов, по одному из каждой строки и
каждого столбца матрицы
'«л «/2 «/з\
иЛ и]2 «уз Ь С1-25)
1к\ ик2 икЗ/
причем слагаемые суммы имеют те же знаки, что и
соответствующие члены определителя матрицы (1.25).
Вытекающее из формул (1.23) — (1.25) равенство
е/у* — *
+■1. если (/, у, к) четна,
— 1, если (/, у, к) нечетна,
О в остальных случаях
доказывает теорему. Тензор г^к называют символом
Леви — Чивита.
Во всем дальнейшем изложении любую величину,
имеющую п индексов, пробегающих значения 1, 2, 3, мы
будем считать тензором п-то ранга.
Пример 8.
а) АЬВ^ — тензор 2-го ранга,
б) г^кА1Вт— тензор 5-го ранга,
в) 2 ЪцьА]Вк = (А2 • Въ — А3 • В2) = (А X В), — тензор
1-го ранга,
г) 2 гиъТцъ — тензор 0-го ранга (скаляр).
/, ], к
Величину Тц называют симметричным тензором
2-го ранга, если 7,/у = Гу/. Если же Тц = — Ту1% то Тц
называют антисимметричным тензором 2-го ранга.
з
Например, положив 8и = 2 Яць^ь* где А — произ-
к = \
вольный вектор, имеем: 5^ =— 8д (из свойств е/;-й).
Теорема 1.6. Свойства симметрии (антисимметрии)
тензоров инвариантны, т. е. симметричный (анти-

26 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
симметричный) тензор Т ц остается симметричным
{антисимметричным) в любой системе координат.
Доказательство. Пусть
Т'и = ^и1кипТк1, (1.26)
к, I
Т'л = ^ипи1кТ1к. (1.27)
к, I
Сложим равенства (1.26) и (1.27) для антисимметричных
тензоров (или вычтем для симметричных):
Т'ц ± Тц = 2 и1кип Ты ± Т1к). (1.28)
/г, /
Ясно, что сумма слева в (1.28) тождественно равна нулю.
Тем самым доказано, что свойство симметрии
(антисимметрии) сохраняется в любой системе координат.
§ 3. Геометрическое представление тензоров 2-го ранга
1. Антисимметричные тензоры. Так как Г,у = — Тц%
то из равенства Ти = — Тп следует, что
М1 = '22 === '33 = ^»
а для недиагональных компонент тензора
'12— ^21' ^13=== ^31' ^23= ^32*
Таким образом, антисимметричный тензор вполне
определяется тремя независимыми величинами {Г12, Т13, Г23}-
Естественно поэтому связать с ним некоторый вектор.
Наоборот, имея произвольный вектор А с координатами Ак>
можно построить антисимметричный тензор
Тц— ~2 2и гиь^*9
где е/уй имеет тот же смысл, что и на стр. 25.
2. Симметричные тензоры. Так как в этом случае
Тц — Ту1У то тензор Тц имеет всего шесть независимых
компонент,
*Т1 *Т1 *Т1 *Т% *Т% *Т1
1 11' 1 22' 1 33' 1 12' 1 13' 1 23*

§ 3. Геометрическое представление тензоров 2-го ранга 27
Такой тензор уже невозможно представить через вектор.
Однако можно воспользоваться свойствами поверхностей
второго порядка. Как известно, поверхность второго
порядка определяется шестью независимыми параметрами, и
уравнение ее записывается в виде
Ах2 + Ву2+Сг2 + Оху-+Ехг + Руг=\.
Теорема 1.7. Любому ненулевому симметричному
тензору 2-го ранга соответствует некоторая, и
притом единственная, поверхность второго порядка,
определяемая уравнением
2^/=±Ь (1-29)
Замечание. Знак справа совпадает со знаком
определителя, составленного из компонент тензора Т ц (если
с1е11Г^ | р= 0, то, как мы позднее покажем, тензор Ту
тождественно равен нулю). Величина йе1\Ту\ предста-
вима в виде
Щти\ =
тпт
12' 13
'21' 22' 23
^31^32^33
— "б" ли гиьг1тпТцТ]тТы1 О -29а)
и, таким образом, является скаляром. Правило знака
необходимо ввести, ибо в противном случае мы получим,
например, следующие соотношения: Ту = — 6/;- и — х2 —
— у2— г2=\, что невозможно в вещественном
пространстве. Обратимся теперь к доказательству теоремы.
Доказательство. Покажем, что уравнение (1.29)
инвариантно относительно поворотов, т. е. что
Имеем:
2г;;^;=± 1.
и ч 1 ] *,*л*4 и] 1кх зкг 1кь у*4 Мз кг *4

28 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Инвариантность уравнения поверхности и формула (1.29а)
доказывают теорему.
3. Произвольные тензоры 2-го ранга. Произвольный
тензор 2-го ранга Ц^ может быть представлен
единственным образом как сумма симметричного и
антисимметричного тензоров:
где 5/;- = -у- (/?,у — Н;{) — антисимметричный тензор,
Тц = у (Лц + Лу/) — симметричный тензор.
Пример 9. Тензор инерции. Для движущегося
твердого тела момент импульса равен
Ь = /(гХу)рйт.
В случае вращения тела, используя формулу (1.13), имеем
Ь = ^рЛ[гХ(«>Хг)] = /рЛ[(о|г|2-г((о.г)].
Назовем тензором инерции величину
1и^19\\т\Чи-г1г]\ах = 1я (/, у, =1,2,3).
Тогда
з
Цл/°у=/рл
где Ь1 — проекция момента импульса на 1-ю координатную
ось. В общем случае векторы Ь и со непараллельны
друг другу. В отсутствие момента внешних сил Ь = О,
и, следовательно, вектор Ь постоянен, а вектор со пре-
цессирует вокруг вектора Ь. Пусть момент инерции
относительно некоторой оси выражается формулой
У= Гр52</т;
ч-С2
,/-,«>,
= ^-

«$ 4. Тензорные поля
29
где 5 — расстояние до оси вращения. В частности, если
ось вращения х, то 82 — х2^-у2. Тогда имеет место
следующая теорема.
Теорема 1.8. Если 1Х(1=1, 2, 3) — направляющие
косинусы некоторой оси, то момент инерции
относительно этой оси равен
^= 2 /,ЛЛ.
I, у = 1
Доказательство. Величина 2V*// есть скаляр,
поэтому ее можно вычислить в любой системе координат.
Примем рассматриваемую ось за ось х\ тогда (1г, /2, /3)
переходит в (0, 0, 1) и мы получим
2/М = -/ав=/р(|г|2-2Г2)Л =
= $ р(х2+у2) ах = § р82 ах,
что и требовалось доказать.
§ 4. Тензорные поля
Тензорным полем п-го ранга Т. , (V, хп, хЛ
называется совокупность Зл функций, которые в любой
данной точке пространства (хх, х2, х^) образуют тензор
п-го ранга.
1. Случай # = 0: имеем скалярное поле9 т. е.
функцию координат Ф(г).
Пример 10. Потенциал точечного электрического
заряда
К(г) = т1т.
Величина
/ з у/,
"'-С§*|
— скаляр, поэтому функция Ф(г) инвариантна
относительно вращений.

30 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
2. Случай л=1: векторное поле А (г) — векторная
функция векторного аргумента.
Пример 11. Электрическое поле точечного заряда
е
ПмгГ>
Теорема 1.9. Если Т., . (г) — тензорное поле
1\12 ••• 1п
п-го ранга, то величина д/дх.Т. . есть тензор-
1 1\12 '" 1п
ное поле п~\-\-го ранга.
Доказательство. Прежде всего заметим, что
/ д Т У__ д т>
[дх, ' 'Л -'я/ ~ дх\ 11**'"1п-
3
При повороте х\ — 2 ицх^ Отсюда следует в силу
7 = 1
условия (1.1а) что
V! , дх1
х1 = 2ии11х1 или 77 = и*г
1 = 1 *
Поэтому
3
[В равенстве (1.30) предполагается, что все х'Л] Ф I) и все
х.(1ф/) фиксированы.] Теперь видно, что величина
д\дх{Г1 /2... I преобразуется как тензор (п-\-1)-го ранга,
а именно
а число компонент такого вида равно Зл+1. Тем самым
наша теорема доказана. Рассмотрим следствия,
вытекающие из этой теоремы.
Следствие 1. Если Ф(г)—скаляр, то дФ/дх1 —
компоненты вектора (/=1, 2, 3). Этот вектор называют

$ 4. Тензорные поля
31
градиентом поля Ф(х) и обозначают его компоненты
как
(УФ^-Ц^егаДФЬ.
Оператор V называют оператором градиента („набла") *):
?=1 * +] * +к_Ё_.
дхх ' * дх2 ' длг3
3
Следствие 2. Если А — вектор, то 2 дА1/дх1 есть
скаляр. Его называют дивергенцией вектора А и
обозначают
V • А == (Иу А.
Следствие 3. Величины
Л*
представляют собой компоненты вектора (/=1, 2, 3).
Вектор V X А носит название ротора или вихря.
Следствие 4. Величина
з
д2Ф
2^=дф=™
есть скаляр. Этот скаляр называют лапласианом
скалярной функции Ф.
Следствие 5. Величины
з
/ = 1 "Ч
суть компоненты вектора, называемого лапласианом
векторной функции А.
Докажем справедливость некоторых тождеств,
связывающих введенные выше величины.
1) Этот оператор часто называют также оператором
Гамильтона. — Прим. ред.

32 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Тождество 1:
\7.(УХА) = 0 для любого А. (1.31)
Доказательство. Имеем:
д д я V д*Аъ
V —р _~_ А —_ V д*А* —
1*к дх1 8<7* дх< Ль~ 1и гП* дх1 дх,- ~~
I, и к I, ],Ь У
— 2и гп* дх< дх( •
Далее, переобозначая индексы суммирования, получаем:
АЛ гП* дх;дхь " 2и г^к дхьдх4 '
что и доказывает предложенное тождество.
Тождество 2:
V X 0?Ф) = 0 для любых Ф. (1.32)
Доказательство. Аналогично предыдущему,
д2Ф V д2Ф
У.*
_ у д2Ф _ _ у
— ^ гии дх дХк — 2л Ь*Ы дх} дхк
— — V ^2ф — V д2Ф __п
— 2лгип дхкдх}~ ААг^ дх]дхк '
и ъ ], к
Тождество 3:
VX(VXА) = V(V.А)-V2А. (1.33)
Доказательство.
д
[УХ^ХАЭЬ^е^-^^ХА)^
— ^ *ЦъьЫт дх]дхг
Но
У,*
2и г1]ЬгМт — &н б;щ 6/щ 6//.

$ 4. Тензорные поля
33
следовательно,
У, *> "» 7
_У_А__1_л -У-А_-^и
~ АА дхт дх1 *т мЛ дхь дхг Л<#
т I
Очевидно, что
[V X (V X А)Ь = -щ (V • А) - УЧ.
что и доказывает тождество (1.33).
Перейдем теперь к выяснению геометрического и
физического смысла градиента. Уравнение Ф(лг, у, 2) = сопз{
есть уравнение эквипотенциальной поверхности скалярного
поля Ф(лг, у, г). Физическим примером
эквипотенциальной поверхности может служить поверхность равного
потенциала поля точечного заряда, расположенного в начале
координат. Не трудно видеть, что такая поверхность будет
сферой, ибо
Ф(г) = ^.
Пусть Е — векторное {силовое) поле. Определим
силовую линию как такую линию, касательная к которой
в любой точке (х, у, г) совпадает с Е. Обозначим через
(18 бесконечно малый линейный элемент силовой линии.
Из определения силовой линии следует, что
Лхх Лх2 ; Лхъ
Е\ Е2 Въ
Обычно силовое поле изображается графически в виде
ортогональной сетки. Для его построения сначала
проводят эквипотенциальные поверхности, а затем по нормалям
к ним силовые линии, причем густота силовых линий
(число их на единицу площади эквипотенциальной
поверхности) определяется правилом
Число силовых линий , с .
Площадь (нормальная)
Для обоснования выбранного способа изображения остается
показать, что силовые линии нормальны эквипотенциаль-

34 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
ным поверхностям поля Е = — УФ. Возьмем б?5 —
бесконечно малый элемент поверхности Ф —Ф0; тогда
Теперь очевидно, что Е_|_^5, что и требовалось
доказать.
Фиг. 8.
Пример 12. Электростатическое поле точечного
заряда, расположенного в начале координат, имеет вид
Его градиент равен
Для случая двух зарядов система эквипотенциальных
поверхностей и силовых линий изображена на фиг. 8.
§ б. Теорема Гаусса — Остроградского
и ее применение
Теорема, которую мы сейчас сформулируем, являясь
одной из важнейших теорем векторного анализа,
связывает поверхностный интеграл от некоторого гладкого !) тен-
1) Гладким полем называется тензорнбе поле, каждая
компонента которого обладает непрерывными частными
производными по всем аргументам.

$ 5. Теорема Гаусса—Остроградского и ее применение 35
зорного поля п-то ранга с объемным интегралом от
тензорного поля (#4-1)-го ранга.
Теорема 1.10. Пусть дано гладкое тензорное поле
Т[ I I (хх, х2. х3). Тогда имеет место равенство
3 3
2 1-ЯГТ'А-',*■<= / ЦГ'Л-'.*5',. О'34)
/1 = 1 V г 5 /г = 1
где их — элемент объема, йЪ{й8х, й82, й8^)— вектор,
направленный вдоль внешней нормали к поверхности,
причем длина вектора с1§ численно равна площади
элемента поверхности 8.
Доказательство. Рассмотрим произвольный объем!/,
ограниченный замкнутой поверхностью 5. Разобьем этот
объем на элементарные объемы, которые с заданной
степенью точности аппроксимируются кубами. Докажем
формулу (1.34) для элементарного куба с ребрами,
параллельными координатным осям. Интеграл, стоящий в левой
части равенства (1.34), для куба может быть преобразован
следующим образом:
/^ /» \хх+йх\
Тщ...1п\ йххахг-{-
/\хг+ахь
Т**2**'~*п\ ^гах2. (1.35)
'*3
Из фиг. 9 ясно, что
\х1+ах]
Ти2*з- 1п\ ах2ах3=
= { ти21г...1пах2ахъ- { Ти219...1аах,
2 "-^з*
АВСй ЕРОН

36 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Так как б^ = 0 для всех граней, за исключением АВСВ
и ЕРОН, то
Тцг...1а\ ахаах3 = }Тиа...1я<*&1- (1.36а)
Аналогично получаем:
Г2«2...«1 йх,йхз=]7,«1...1яй82. (1.366)
Ты2 ... /я| аххах2 = ) Т312 ... /яй83. (1.36в)
Подставляя равенства (1.36,а, б, в) в (1.35),
получаем (1.34). Итак, теорема справедлива для любого
элементарного объема Д1Л Отсюда следует ее справедливость
МАО, с!оо2,ах3)
•27 йЗ^&ЪО,^
Фиг. 9.
и для всего объема V, так как сумма интегралов по
поверхности всех кубов дает интеграл по поверхности,
ограничивающей объем V, ибо интегралы по внутренним
сторонам кубов взаимно уничтожаются за счет различного
направления нормалей на смежных сторонах. Теорема
доказана.
Пример 13. Случай п=\. Для п=\ величины
Т1 — компоненты вектора; равенство (1.34) переписывается
в виде
1у.Га%=$й[у?ах= (Ср.<*8 = &Рп(18, (1.37)
т. е. поток вектора через замкнутую поверхность
равен объемному интегралу от дивергенции вектора.
Можно говорить, что величина сИуР характеризует
плотность источников (и стоков) данного векторного поля.

§ 5. Теорема Гаусса—Остроградского и ее применение 37
Теорема Гаусса — Остроградского для векторного поля
[формула (1.37)] чаще всего встречается в приложениях.
Случай п = 2. Имеем:
з з
1=\ 1=1
Рассмотрим тензор
Зи11...1п=ЪиТ111г...1п. (1.38)
Покажем, что в этом случае из теоремы Гаусса —
Остроградского следует равенство
/^л^-.'.*-/7^-^'- (Ь39)
Непосредственным следствием формулы (1.34) является
соотношение
з
Продифференцировав и просуммировав (1.38), найдем, что
3
д
1 = 1
Применим теорему 1.10 к левой части (1.41); получим:
з з
1 = 1 1=1
а из (1.41) и (1.42) следует, что
Л 1\12 ••• 1п 1 ) дХ; 1\12 "• 1п
Теперь формула (1.39) становится очевидной.
Проиллюстрируем применение теоремы Гаусса —
Остроградского к некоторым физическим задачам.
, 1. Уравнение неразрывности несжимаемой
жидкости. Выделим в жидкости с плотностью р, движущейся
со скоростью V, объем V. Величина д\Ы I рйх равна ско-

38 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
рости изменения массы в объеме V, а величина I ру^З —
массе жидкости, протекающей через границу 5 объема V
в единицу времени. Из закона сохранения массы следует
соотношение
-Т7- ГрЛ+ Гру^5 = 0,
V 8у
или
V
Равенство (1.43) выполняется для произвольного объема V,
откуда следует, что
-^ + ?-(ру) = 0. (1-44)
Это — уравнение неразрывности.
2. Трубка тока. Если V • А = 0 в некоторой области
пространства /?, то в ней силовые линии вектора А не
обрываются. Проведем силовые линии вектора А и
рассмотрим трубку этих линий, пересекающих плоскости 5Х
и 52, перпендикулярные вектору А. Согласно теореме
Гаусса — Остроградского, выполняется следующее
тождество:
]'А.^5=]'А.^5+]'А.</5= §У АЛ = 0.
8у 8Х 82 V
где 5К — полная поверхность, ограничивающая трубку, V
ее объем; при этом интеграл по боковой поверхности
трубки равен нулю, так как там векторы А и й
ортогональны. По определению I А • </5 представляет собой
число силовых линий, пересекающих 5Г а I А • #5—
число силовых линий, пересекающих 52. Так как 5Х и 52
можно взять сколь угодно малыми, силовые линии должны
быть непрерывными, т. е. должны либо замыкаться, либо
простираться от —оо до -)-оо. Поэтому силовые линии
уничтожаются или возникают в точках, где V • А=^=0.
Разберем частные случаи.

$ 5. Теорема Гаусса—Остроградского и ее применение 39
1. Если Н — вектор магнитного поля, то V • Н = О,
так как известно, что не существует магнитных зарядов.
2. В электростатике имеется уравнение V • Е = 4яр,
где Е — вектор электрического поля и р—плотность
электрических зарядов. Силовые линии электрического
поля начинаются или кончаются на зарядах или в
бесконечности.
3. Тензор напряжений. Рассмотрим тело, погруженное
в среду (твердую, жидкую или газообразную). Вообще
говоря, на него будут действовать как силы вида Г Р их
(гравитационные или электрические, действующие на
заряженное тело), так и поверхностные силы, ввиду того что
каждый элемент поверхности тела взаимодействует с
окружающей средой.
Пусть /1 — сила, действующая на элемент
поверхности (18 и приложенная к внешней стороне поверхности,
ограничивающей объем. Мы можем предполагать (по
крайней мере, для достаточно малых площадок), что /1
пропорциональна площади элемента поверхности:
и = 2 тиаз,.
Так как I и й — векторы, величина Ту должна быть
тензором 2-го ранга. Этот тензор называется тензором
напряжений. Полная сила Р, действующая на тело,
таким образом, равна (в силу теоремы Гаусса —
Остроградского)
.|>,Л + 2 {Тиа5,= //>| + 2-^ут. 0.44а)
V ] 8у V \ 7 /
откуда видно, что поверхностные силы можно заменить
эквивалентными объемными силами [в смысле выполнения
равенства (1.44а)].
По второму закону Ньютона
(Р), = /рМт. (1.45)

40 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
где а—ускорение, а р — плотность вещества. Так как
равенство (1.45) справедливо для любого объема V,
получаем уравнение движения:
у
Каков физический смысл тензора напряжений? Пусть
вектор й?5 параллелен координатной оси хг. Тогда из
равенства
// = тп а81 + т12 а82 + Т1Ъ а83;
следует
/1 = тиаз9 /2 = т21аз, /г = тг1аз.
Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда
вектор (18 параллелен координатным осям х2 и лг3
соответственно:
/1 = т12аз, /2 = т22аз, /г = тг2аз,
/1==Г13^5, /2 = Т23а8, /3==Гзз^5.
Выберем систему координатных осей так, чтобы
Т1;- = Х16ц. Для тела, у которого вектор й§ параллелен,
например, оси л;, имеем:
/, = М5. /2 = /з = 0-
Сила, действующая на тело в данном случае, есть сила
растяжения (Хх > 0) или сила сжатия (Кх < 0) вдоль оси хГ
В случае произвольного направления вектора й?8 тело,
кроме того, будет находиться под воздействием напряжений
сдвига.
Пример 14. Идеальная (невязкая) жидкость.
Силы, действующие на любой элемент поверхности
идеальной жидкости, нормальны к этой поверхности, поэтому
для идеальной жидкости тензор напряжений в любой
системе координат имеет вид
где Р—некоторая функция координат. Следовательно,
согласно формуле (1.46), уравнение движения любой
частицы принимает вид
ра = Р —?А

# 5. Теорема Гаусса—Остроградского и ее применение 41
Вычислим ускорение а. Пусть у = у(г, 1)\ пусть далее
г = г0 при ^ = ^0 и г = г0-{-уд* при 1 = {0~\-Ы.
Воспользовавшись формулой Тейлора, найдем
аМ = у(г0 + уМ, *0 + 60 — у(г0, *0) =
т. е.
р[0г-*)У + -^-]=Р-?Я.
4. Электростатическое поле. Рассмотрим точечный
электрический заряд е, помещенный в начало координат.
Плотность заряда а (г) определяется следующим образом:
( оо при г = 0,
о(г) = \ *
1 0 при г^О,
но
Г о (г) их = е
(интегрирование по всему пространству, включая начало
координат).
Положим:
68(Г) = 1М.,
4 ' е
или
63(г) = 6(л:)6(у)6(г),
причем
6(^^ = 0 при х1 Ф0,
но
ь
(б(х1)ах1=1 (а, *>0).
-а
Величина 6(лг) есть Ъ~функция Дирака. Это не функция
в классическом смысле, однако ее можно представить как
предел некоторой последовательности функций, графики
которых убывают по ширине и вытягиваются вверх так,

42 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
что площади, ограниченные каждой кривой и осью х>
равны единице. Например,
Ь(х)= \{т/а(х),
а-»0
где
ау я
Введение символов, подобных 6-функции Дирака, дает
возможность физикам рассматривать элементарные частицы
как точки.
Вернемся теперь к рассматриваемому нами примеру.
Потенциал поля точечного заряда задается как
Тогда напряженность поля равна
Е==-?ф=т^г'
а дивергенция вектора Е равна
Однако в начале координат операция дифференцирования
не определена, поэтому воспользуемся теоремой Гаусса —
Остроградского:
§ V . Е й% = I Е • 48 = { т^г|г|2йО = 4то.
Интеграл слева берется по сфере вокруг начала
координат. Следовательно, если а(г) = ^63(г), то
V- Е = 4я*63(г).
или
— У2Ф = 4ш?63(г). (1.47)
Замечание. Читатель, у которого вызовут сомнения
операции с 6-функцией, сможет получить те же результаты
с помощью гауссовского распределения и предельного
перехода.

§ 5. Теорема Гаусса—Остроградского и ее применение 43
Теперь предположим, что плотность распределения
заряда произвольна. Потенциал, создаваемый заданным
распределением плотности, выразится формулой
Ф(Г) = /Т7=7ТЛ'- <М8)
Применяя к (1.48) оператор V2, получаем
Ч*ф (г) = — Г о (г0 4я63 (г — г0 й%\ (1.49)
ибо из равенства
У271г = —4я63(г)
следует
*2 (|г-г'|) = ~ 4Я63(Г ~~ Г°* (1*49а)
откуда очевидна справедливость (1.49). Из свойств 6-функ-
ции непосредственно вытекает, что
//(г)63(г)Л = /(0). (1.50)
Подставляя (1.50) в правую часть (1.49), получаем
уравнение для потенциала Ф в случае любого распределения
плотности заряда:
Ч2Ф = — 4яо(г). (1.51)
Уравнение (1.51) называют уравнением Пуассона
(уравнение (1.51) с нулевой правой частью, т. е. уравнение
72Ф = 0, называют уравнением Лапласа).
Замечание. Соотношение V • Е = 4яр является одним
из уравнений Максвелла.
Общее решение уравнения (1.51) имеет вид
где Ф0 удовлетворяет уравнению Лапласа ДФ = 0.
Действительно, полагая Ф0 = Ф — I (а (г')/1 г — г' |) й%'%
получаем
У2Ф0 = V2© — V2 ]* -т^^гт М = 4лл —4ла = 0.

44 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Рассуждения, проведенные здесь для уравнения (1.51),
в действительности носят достаточно общий характер и
применимы к широкому классу линейных уравнений.
Пусть Н — линейный оператор, т. е. оператор,
обладающий следующими свойствами:
Н (а<р + Щ = аЯф + ЬЩ.
Если
ЯФ = /(г). (1.51а)
а функция О (г) такова, что
#С(г) = 63(г)
[такая функция О (г) называется функцией Грина
уравнения (1.51а)], то решение уравнения (1.51а) может быть
представлено в виде
Ф (г) = / О (г - г') / (г') ах' + Ф0 (г),
где ЯФ0 = 0. Действительно, положив
Ф0 == Ф - I О (г — г') / (г') ах',
имеем
#Ф0 = ИФ — I НО (г — г') / (г') <1х' =
= #Ф — ^ б3 (г — т')/(т')ах' = НФ(т) — /(г) = 0.
Этот прием широко применяется для решения линейных
неоднородных уравнений, когда правая часть
(неоднородность) и общее решение однородного уравнения известны.
Он носит название метода функций Грина, изложению
которого будет посвящена гл. V.
б. Тепловой поток. Введем следующие обозначения:
к — коэффициент теплопроводности',
Т — температура;
(3 — количество теплоты, проходящее через
единичную площадку в секунду (тепловой поток).
Из термодинамики известно соотношение
(} = — к\Т.

§ 6. Теорема Стокса и ее применение 45
Если е — энергия, содержащаяся в объеме V', то из закона
сохранения энергии следует, что
V 8у
Но г = сТ (с — удельная теплоемкость). Следовательно,
V
а так как это уравнение справедливо для любого объема V, то
Последнее соотношение носит название уравнения
теплопроводности.
§ 6. Теорема Стокса и ее применение
В то время как теорема Гаусса — Остроградского
связывает объемный интеграл с поверхностным, теорема
Стокса выражает интеграл по некоторой поверхности
через криволинейный интеграл по контуру, на который
эта поверхность натянута.
Пусть 5 — некоторая незамкнутая поверхность,
натянутая на замкнутый контур /,, й?5 — элемент поверхности,
й\ — элемент дуги!). Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1.11 (теорема Стокса). Циркуляция
векторного поля А по замкнутому контуру Ь равна
потоку вектора УХА через любую поверхность,
натянутую на этот контур:
&АЛ= ГУХА^5. (1.52)
]) Поверхность 5 при этом предполагается двусторонней.
Выбор стороны поверхности 5 и .направления обхода контура Ь
должны быть согласованы между собой (см., например,
Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. III, М. — Л., Физматгиз, Л960.)—Прим. ред.

46 Гл. I. Векторный и тензорный анализ
Доказательство. Рассмотрим элементарную
площадку в форме прямоугольника (фиг. 10). Если мы имеем
дело со скалярными величинами, то можно выбрать
ориентацию координатных осей произвольно. Выберем
С
I
и
4х, А
Фиг. 10.
~Х,
направление осей так, чтобы стороны прямоугольника
совпадали с ними:
с1$ = йхх йх2к.
Вычислим интеграл в правой части равенства (1.52):
/УХА,5=//(^ ."■■
| йхх йх2 =
/\л\-^-ил\ л
А2йх2 — I Ахйхх
дх>
Но
ъХг+ОХг
\х2
5
|ЛГ, н-дГлг,
йх<
— I Л^ С1Х2 — I -**2 ^2 —
А
В
\ А2 йх2 + Г А2 йх2 = ф А2 йх2
После аналогичного преобразования другого интеграла
получим для правой части (1.52)
И(1$-ж)ах>ах> = §Аа1- (1'53)
Таким образом, для элементарного прямоугольника теорема
доказана. Любая поверхность (кусочно-гладкая) может быть
разбита на элементарные прямоугольники. Применяя
к каждому такому прямоугольнику теорему Стокса и скла-

§ 6. Теорема Стокса и ее применение
47
дывая получаемые при этом равенства, легко доказать
теорему Стокса для общего случая. Действительно,
смежные стороны двух соседних прямоугольников будут
обходиться в противоположных направлениях, поэтому при
сложении равенств типа (1.53) слева останется лишь
криволинейный интеграл по внешней границе (контур /,).
Замечание. Теорему Стокса можно сформулировать
для тензорных полей /г-го ранга.
Рассмотрим применения теоремы Стокса в теории поля.
Безвихревые и потенциальные векторные поля.
Векторное поле называют безвихревым в некоторой
о
О
Фиг. 11. Фиг. 12.
области /?, если УХА = 0 в /?. Векторное поле А
называют потенциальным, если всюду в области /?
существует такое непрерывное скалярное поле Ф, что
А = УФ,
где функция Ф есть потенциал векторного поля А.
Очевидно, всякое потенциальное поле будет
безвихревым. Обратное верно лишь для односвязных областей.
Введем понятие односвязной области.
Область /? пространства называется односвязной, если
любой замкнутый контур С, лежащий в ней, можно
непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при
этом за пределы области.
Так, область (I), показанная на фиг. 11, есть одно-
связная область в плоскости, а (II) — неодносвязная область.
В пространстве примером односвязной области может

48 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
служить шар и вообще всякий выпуклый объем, как
целый, так и с полостью (скажем, шаровой пояс). В
качестве примеров неодносвязных областей укажем тор и
пространство, имеющее полость в форме бесконечного
круглого цилиндра.
В односвязной области на каждый замкнутый контур С
можно натянуть кусочно-гладкую поверхность, целиком
лежащую в этой области.
Теорема 1.12. Если И — односвязная область и
УХА = 0 всюду в /?, то векторное поле А
потенциально, т. е. существует такое Ф, что \7Ф=А.
Доказательство. Выберем точку г0 в Я (фиг. 12).
Пусть
г
Ф(г)= ( Аа\
Го
вдоль любого пути. Далее из теоремы Стокса и из
равенства V X А = 0 вытекает
АЛ= ]*УХА</5 = 0.
Теперь очевидно, что
г г
ал = о== /а<я— § ках.
Следовательно, Ф(г) — функция только от г, а так как
х
7БГ//(У) *у = /(*).
О
то легко заключить, что
А = УФ.
Ясно, что скалярное поле Ф определяется векторным
полем А с точностью до постоянного слагаемого, так как
А = УФ1 = Щ, Ф1 — Фг = сопзи
§
§

§ 6 Теорема Стокса и ее применение 49
Замечание. Область /? должна быть односвязной,
иначе ф А л?1 не равен нулю, например вдоль пути,
изображенного на фиг. 13, если в отверстии V X А ф 0.
Однако многосвязную область можно сделать односвязной,
Фиг. 13.
Фиг. 14.
разрезая ее, как показано на фиг. 14, где заштрихованная
область односвязна. Но, вообще говоря, здесь уже
Ф+ =^Ф_, где
Ф+(Г) = /ЛД.
Ф_(г) = ^ кй\
г
(см. фиг. 14), поэтому безвихревое векторное поле А не
потенциально во всей области /?, так как в потенциальном
поле функция Ф должна быть однозначной. Поле будет
локально потенциальным, т. е. в нем можно построить
функцию Ф в окрестности каждой точки (локальный
потенциал). Однако функция Ф во всей области
перестает быть однозначной (многозначный потенциал).
Пример 15. Магнитостатика. Уравнение
магнитостатики имеет вид
где Н — магнитное поле, а } — плотность тока. Если]=^=0
внутри объема V, но } = 0 вне V, то поле Н будет
безвихревым вне объема V. Будет ли поле Н потенциальным?

50 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Если объем V ограничен, то Н^^Ф вне V. Если
объем V неограничен (трубка тока), то векторное поле
Н непотенциально (локально потенциально).
§ 7. Теорема Гельмгольца. Уравнения Максвелла
Мы переходим к формулировке и доказательству
важной теоремы о возможности представления произвольного
векторного поля в виде суммы градиента некоторой
скалярной функции Ф и ротора некоторой векторной
функции А, дивергенция которой равна нулю.
Теорема 1.13 (теорема Гельмгольца). Любое
векторное поле Р, однозначное, непрерывное и
ограниченное во всем пространстве, может быть разложено
на сумму потенциального и безвихревого векторных
полей и представлено в виде
Р = — УФ + ^ХА, причем У.А = 0. (1.54)
Скалярную функцию Ф называют скалярным
потенциалом, а векторную функцию А — векторным
потенциалом векторного поля Р.
Доказательство теоремы сводится к построению
потенциалов Ф и А, удовлетворяющих равенству (1.54),
по заданному полю Р. Оно будет проведено в три этапа.
Вначале докажем теорему для двух частных случаев,
а затем распространим полученные результаты на общий
случай.
1. Пусть данное, нам векторное поле Р удовлетворяет
условию
|Р|<-^Г> *1>0 при г->оо. (1.55)
Рассмотрим функцию
В силу наложенных условий этот интеграл сходится, и
функция О (г) определяется однозначно. Далее легко
проверяется равенство
у20(г) = — 4яР(г),

§ 7. Теорема Гелъмгольца. Уравнения Максвелла 51
а применение формулы (1.33) к векторной функции О (г)
дает
72О(г) = У(У.О(г))-^Х0?ХО(г)).
Теперь, используя полученные формулы, можно записать
функцию Р в виде
Г = -^[?(?-а)-^Х(?Ха)] = —?Ф + ?ХА.
где
0(0 = ^.0,
Иными словами, теорема доказана с условием (1.55).
Потенциалы Ф и А можно представить в более простой
форме, если воспользоваться симметрией функции |г—г'|.
Преобразуем для этого Уг • О (г) и V X О (г):
V, • О (г) = / V, у^) *С = / Р (гО V, (Т7А77Т) «>.
Так как
-А/(г-г') = --^г/(г-г').
дх1 дх1
имеем
Применяя теорему Гаусса — Остроградского к первому из
интегралов справа, получаем
/Ч^ЬЧт^*5''
где интеграл по с18' берется по сфере достаточно
большого радиуса. В силу условия (1.55)
Поэтому окончательно имеем

52 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Вычислим далее УгХО (г). Имеем:
▼,Х-0(Г)-/^Х(Т^Г)Л' =
или иначе
УгХО(г) =
Первый интеграл по их' равен нулю, как следует из
теоремы Гаусса — Остроградского с условием (1.55). Таким
образом,
Чтобы представить полученные результаты в более
наглядной форме, введем величины р и /, положив:
\7-Р = 4яр, УХГ = 4Щ.
Тогда
ф («•) = / -|^|- ^', (1.56)
А(г) = /т^гГйт'. (1.57)
Необходимо отметить, что нахождение скалярного и
векторного потенциалов сводится в таком случае к решению
скалярного и векторного уравнений вида
_у2Ф = 4яр, (1.58а)
_У2А = 4^, (1.586)
которые называются скалярным и векторным
уравнением Пуассона соответственно. Уравнения (1.58а) и
(1.586) имеют единственное решение, если
соответствующие однородные уравнения, называемые уравнениями
Лапласа, имеют только нулевые решения. Ясно, что
скалярный и векторный потенциалы определяются
соответственно с точностью до гармонической функции
(решения уравнения' Лапласа) и градиента от нее. В связи

$ 7. Теорема Гельмгольца. Уравнения Максвелла 53
с этим интересно одно свойство гармонических функций,
вытекающее из доказанной части теоремы.
Следствие. Если функция Ф удовлетворяет
уравнению Лапласа У2Ф=*= 0, а на бесконечности ведет себя как
при | г | —> оо (г\ > 0),
Г1 + Т1
то она тождественно равна нулю.
Доказательство. Определим векторное поле Р
равенством Р = — УФ. Тогда
4яу = V X Р = 0, 4яр = V . Р = — У2Ф = 0.
Так как по условию
ф- 1
то
|Г|ЬМ. •
1?Ф|^^г при |г|^оо;
поэтому из теоремы Гельмгольца следует, что Ф = 0.
2. Рассмотрим теперь случай, когда ротор векторного
поля удовлетворяет условию
^ХР убывает как —^— (1.59)
при |г| ->оо.
Пусть векторный потенциал А задается, как и прежде,
формулой (1.57). Для доказательства теоремы достаточно,
во-первых, проверить, выполняется ли равенство (1.54),
и, во-вторых, показать, что \7-А = 0. Покажем вначале,
что V • А = 0. Вычисляя V • А, будем иметь
но

54 Гл. I. Векторный и тензорный анализ
поэтому первый интеграл равен нулю, так как V •) = 0.
Второй интеграл преобразуем по теореме Гаусса —
Остроградского, используя условие (1.59):
согласно доказанному выше следствию, он также равен
нулю. Таким образом, векторное поле А — безвихревое.
Нетрудно проверить и справедливость равенства (1.54).
Для этого воспользуемся соотношением (1.33), из
которого следует, что
УХ(?ХА) = 4я].
Поэтому V X (Р — V X А) = 0 для произвольных
векторов Аир, откуда и вытекает равенство (1.54).
3. Не будем теперь накладывать никаких
дополнительных ограничений на Р. Для доказательства теоремы в этом
общем случае рассмотрим сферу радиуса /? и введем
обозначения
|Р(г) п
Ч(Г)-\ 0 при |г|>Л
ри |г|<Я,
ри |г|>Я,
„ч |*<г) = -5Г?ХР ПрИ |Г| </?>
3 (г) = { т
{ 0 при |г|>/?.
Покажем, что при этом V • А = 0, где
А = /(174тТ)^г')^,
Первый интеграл равен нулю, так как его можно свести
к поверхностному интегралу по сфере радиуса
большего /?. Но в силу равенства У-Л = 0, которое следует
из соотношения
•Кг^^ХСКг).

# 7. Теорема Гелъмголъца. Уравнения Максвелла 55
второй интеграл также равен нулю. Следовательно,
\7-А = 0 и справедливость формулы (1.54) для ($(г) не
требует особой проверки. Поэтому в области,
ограниченной сферой радиуса /?,
Р = УХ А — УФ (V. А = 0).
Устремляя радиус сферы к бесконечности, убедимся, что
теорема верна для любой конечной части пространства.
Тем самым теорема доказана полностью.
Пример 16. Представления электромагнитных
полей с помощью скалярного и векторного
потенциалов. Как известно, электромагнитное поле полностью
описывается векторами Е и Н (векторами напряженности
электрического и магнитного полей). Связь между этими
величинами устанавливают уравнения Максвелла,
являющиеся обобщениями экспериментальных физических
законов. Рассмотрим эти уравнения.
1. У-Е = 4лр. Это уравнение означает, что
источниками электрического поля являются электрические заряды.
Оно может быть получено из закона Кулона.
2. V • Н = 0. Это уравнение утверждает, что
магнитных зарядов не существует, что вытекает из замкнутости
Ма1 Н 1ТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ.
3. Третье уравнение Максвелла
обобщает закон Био и Савара.
4. Наконец, четвертое уравнение
УХЕ,— с дг
выражает закон электромагнитной индукции Фарадея.
Очевидно, задача нахождения электромагнитного поля из
уравнений Максвелла требует вычисления шести величин —
составляющих векторов Е и Н. Однако ее можно свести
к нахождению лишь четырех величин, именно скалярного
потенциала Ф и трех составляющих векторного
потенциала Ат

56 Гл. и Векторный и тензорный анализ
Так как V • Н = 0, определим векторный потенциал А
формулой Н = УХ А. Из уравнений Максвелла вытекают
следующие соотношения:
из четвертого уравнения:
?х(я+|а) = о,
т. е.
1 С
из первого уравнения:
у(— уф_1д) = 4лр,
или
_У2Ф —1у. А = 4лр;
из третьего уравнения:
ух(?ХА)-|(-?ф-1а) = ^.
ИЛИ
-У2А + ^А + ?(?.А-ь{ф) = ^].
Поскольку V • А — произвольно, А можно выбрать так,
чтобы
V. а + -Ф = 0.
1 с
(Это равенство называют условием Лоренца.) Тогда
Е = — УФ — 1д. Н = ?ХА.
а функции Ф и А удовлетворяют следующим уравнениям:
у2ф_±Ф = —4лр,
1 •• 4я (Ь60)
Если поле не зависит от времени (статический случай),
мы получим для АиФ скалярное и векторное уравнения
Пуассона (Лапласа).

§ 7. Теорема Гельмголъца. Уравнения Максвелла 57
Обозначим
V2 1_^_=п2.
с2 дР ~ и
Оператор П2 будем называть оператором Даламбера
(даламбертианом). С помощью оператора Ц2
уравнения (1.60) записываются более компактно:
□2Ф = —4лр,
ГП2А А ' О'603)
Рассмотрим однородный случай (р = 0, ]=0). Тогда
□ 2г|) = 0, где ф={Ф, Ах, А>, Л3}. (1.61)
Частное решение уравнения (1.61) есть
I г / \ * и • г
где и — единичный вектор в произвольном направлении,
а / — любая функция координат. Это утверждение
доказывают следующие выкладки:
д$ д/ дг щ а/
дХ1
д2ц
дх2 =
дг дхь с а1 г *
иь а2/ йг и] а2/
с йг2 ах1 ~~ с2 йг2 %
а/ ац а2/ и
~ йг * (И2 ~~ йг2 '
отсюда (учитывая, что й2-|-й2 + и2= 1, ибо и —
единичный вектор):
т\ , у,2 1 \ ^4
□2я|
1 = 1
^-=2 (4-4) 5=°- сад
Уравнение (1.61) линейное, т. е. для него справедлив
принцип суперпозиции, именно: если \|?1 и г|?2 его решения,
то и их сумма г^-)- % также является решением. Поэтому
можно ожидать, что общее решение уравнения (1.61)
будет иметь вид
+ =2Л('-»Г7)-

58 Гл. 1. Векторный и тензорный анализ
Физический смысл решения легко понять, рассмотрев его
поведение во времени. Пусть
•ф = -ф031П (к • г — о)0,
где
со
С = Т'
к • г — со/ = со
(|-'-«)-(^-')-
В любой фиксированной точке через промежуток времени,
равный периоду Т = 2я/со, картина повторяется, и в
любой момент времени на расстоянии А, = 2я/|к| от
данной точки картина также повторяется. Здесь X — длина
волны, со—циклическая частота, к— волновое число
(число волн на расстоянии 2я).
§ 8. Основные дифференциальные операции
в криволинейных системах координат
В некоторых задачах удобнее определять положение
точки в пространстве не тремя декартовыми
координатами х, у, х, а числами \х, \2, \ъ, которые называются
криволинейными координатами точки. При этом
* = Ф1(&1. \* &з)' У = Ф2Й1. &2- У» *=Фз(&1- &2» У»
11 = ^1(х, у, г), 12 = %(х, у, х) &з = Фз(*. У- *)•
При изучении таких систем очень полезно ввести
координатные поверхности, т. е. поверхности ^ = соп$1
и линии их пересечения.
Криволинейная система координат называется
ортогональной, если координатные линии в каждой точке
пространства взаимно ортогональны, или, иными словами,
если единичные векторы, касательные к координатным
линиям, образуют ортогональную тройку векторов.
Условие ортогональности системы можно записать в
виде

§ 8. Операции в криволинейных системах координат 59
а элемент длины в координатах ^, |2, ^3 с учетом
условия (1.62) представляется в форме
= А?<*|? + А»<*Ц+Л»Й&
где
Величины Н1 называют параметрами Ламе (данной
системы координат).
Фиг. 15.
Фиг. 16.
Пример 17. Сферические координаты. В этой
системе положение точки определяется тремя
параметрами г, Э, ф (фиг. 15)
л; = г $т 9 со$ф, у = г8т9зтф, 2г = гсозв,
й82 = йг2 + г2 ав2 + г2 81П2 8 йц2,
Нг=\, Н2 = г, /г3 = гзт9.
Цилиндрические координаты (фиг. 16):
л: = рсозф, ); = р81Пф, г = г9
аз2=ар2 + р2 йц2 + а*2,
Нх = 1, Л2 = р, Нъ = 1.

60 Гл. I, Векторный и тензорный анализ
Координатой вектора А в криволинейной системе
координат назовем выражение
А(г).еДг).
где е,- — единичный вектор в направлении координатной
линии
!;- = соп${, ^ = соп$*, ]фкфЬ.
Очевидно, градиент скалярной функции Ф в
криволинейной системе координат равен
Найдем теперь выражение для дивергенции и ротора.
Так как декартовы составляющие вектора е^ меняются от
А м«,в
Фиг. 17. Фиг. 18.
точки к точке, необходимо быть осторожным при
дифференцировании. Мы обойдем эту трудность, используя
инвариантные определения дивергенции и ротора,
основанные на теоремах Гаусса — Остроградского и Стокса.
Для дивергенции имеем
\7-А= Нт -^-(Кай8.
Применим эту формулу к элементу объема Дг/ (фиг. 17)
и подсчитаем разность потоков через противоположные
грани АВСО и ЕРСН:
Ях=-Щ^ (АВД ^.1 ^2 <%

$ 8. Операции в криволинейных системах координат 61
Аналогично подсчитывается разность потоков и через
другие грани:
С?2=-5|7 ^Н^ ^ ^2 ^3'
<2з = -^ Из^г) <%1 Л1г <%
Отсюда следует окончательный результат:
+ аь ^А^ + 3|Г(/г1Лз/г2)]'
Например, в сферических координатах
1 д(Ат-г2) 1 дМвз1п6) 1 дЛ„
Н1уА = — -А — -А *• 2 •
ШУА Г2 0Г ^Г51П0 06 ^ Г 51П.0 (Эф *
в цилиндрических координатах
1 д(рА0) 1 дА(Г) дА2
ШУ А р ^р ^ р д<р ^ дг '
Рассмотрим го! А, определив его следующим образом:
(УХА^НшД-сСаЙ.
5,->0 ^ 7
Задача состоит в том, чтобы подсчитать циркуляцию
вектора А по контуру АВСО, изображенному на фиг. 18.
Она равна алгебраической сумме четырех слагаемых:
АВ->А2н2а12\и, со ^_л2мЫ^з'
ВС-> ЛзМЫы-^,. &А -> -АънМь+аь>
Следовательно,
ф А М = [— -щ (Л2/г2) + -щ- (Л3/г3)] 0\2 й^.
Площадь криволинейного прямоугольника АВСО равна
йох = Н2НЪ й\2 й\ъ,
поэтому
<? х А>>=тк [<к(ЛЛ) - ж {АМ '•

62 Гл. I. Векторный и тензорный анализ
аналогично
(?ХА)2 =
(УХА)3 =
1
1
■{•
:{'
д(А1Н1)
д(А2Ь2)
41 "
д (Л3А3)
д(АМ
■}•
■}•
Например, в сферических координатах
1 д (Лф з!п 9)
зПГв" сЮ 7з
1 дА, 1 0(гЛф)
1 д(Аа&1п&) 1 дАп
го* А = —^ - -
го^А =
го^оА =
г 31П 0 дф г дг
1 <?(Л6г) 1 дЛг
дг г дб
в цилиндрических координатах
1 дАг дАф
р р <?Ф Лгг
дА, дА9
го1п)А =
(РЛ— дг др '
р др р дф

Г л а в а 2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В Л-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Линейное пространство
В математике и физике часто встречаются объекты,
которые можно складывать между собой и умножать на
числа. В качестве примера можно привести решения
однородной системы уравнений, векторы скорости в
механике, комплексные числа, а также функции, заданные на
некотором отрезке, для которых в анализе определены
операции сложения и умножения их на числа. В
дальнейшем будем называть такие объекты векторами, хотя
по своей природе эти объекты могут не иметь ничего
общего с „обычными" векторами трехмерного пространства.
Отбрасывая конкретную природу векторов, мы сможем
найти общие закономерности, присущие любой
совокупности объектов, для которых определены операции
„сложения" и „умножения на числа". Операции „сложения" и
„умножения" не обязательно должны быть „обычным"
сложением и умножением: они должны лишь
удовлетворять следующим условиям.
/. Сложение. Для любых векторов
а) х-^-у = у-{-х,
б) (х + у) + г = х + (у + г). (2.1)
в) существует такой вектор 0, что х-^-0 = х,
г) для любого вектора х существует вектор у, такой,
что х-\-у = 0.
2. Умножение. Если х, у — векторы, а а, р — числа, то
а) \ . х = х,
б) а • фх) = (ар) • х, (2.2)
в) (а + 19(* + з» = а(* + у) + Р(* + у) =
= ах -}- ау -(- рд; -(- $у.

64 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Линейным пространством называется множество X,
для элементов которого (называемых векторами) введены:
1) операция сложения, удовлетворяющая условиям
(2.1) и позволяющая по двум элементам множества хх и х2
построить третий элемент этого же множества хъ — их
сумму.
2) операция умножения, удовлетворяющая условиям
(2.2) и позволяющая из любого элемента множества х и
любого числа а построить новый элемент этого же
множества ад:.
Хотя вначале может показаться, что такое абстрактное
определение интересно лишь для математиков и не
принесет пользы при математическом рассмотрении физических
проблем, на самом деле понятие линейного пространства,
лежащее в основе многих разделов математики,
чрезвычайно ценно и в физических приложениях. Чтобы
освоиться с понятием линейного пространства, приведем
несколько примеров.
Пример 1. Обычное трехмерное пространство.
Элементами этого пространства являются обычные векторы,
подчиняющиеся правилу векторного сложения. Легко
проверить, что операции сложения векторов и умножения
вектора на число удовлетворяют условиям (2.1) и (2.2),
следовательно, трехмерное пространство есть линейное
пространство.
Пример 2. Пространство, элементами
которого являются любые упорядоченные совокупности
из п вещественных чисел х = (Ъ>1, 12, .... 1п). Каждое
из чисел 11 называют 1-й координатой вектора х.
Определим операции сложения и умножения для таких векторов:
(&1. &2- •••» У + ОЪ. %. •••• Лл) =
= Й1 + Л1. &2+Л2. •••• Ъп + Чп)>
<*(&!• &2. •••. 6Я) = №. <*&2. .... с^я).
Легко проверить, что определенные таким образом
операции сложения и умножения удовлетворяют аксиомам
(2.1) и (2.2), и пространство является линейным.
Пример 3. Элементами линейного пространства могут
быть непрерывные функции /(0» определенные на от-

$ /. Линейное пространство
65
резке 0<С^<;#. Сложение и умножение вводятся так же,
как в анализе.
Введем теперь важное понятие линейной зависимости
векторов. Пусть хх, х2, .... хп— векторы,
принадлежащие линейному пространству /?, и пусть ах% а2, .... ап—
числа.
Векторы хг, х2, •-.. хп называются линейно
независимыми, если равенство
2ЗД = 0 (2.3)
1 = 1
справедливо только в том случае, когда все а1 равны
нулю. В противном случае векторы х19 х2, ..., хп
называются линейно зависимыми.
п
Если х = ^ а^, то вектор х называется линейной
1 = 1
комбинацией векторов хх, х2, .... хп. Если векторы
а:,, лг2, .... хп линейно зависимы, то по крайней мере
один из них является линейной комбинацией остальных.
Пример 4. Три некомпланарных вектора
трехмерного пространства линейно независимы.
Пример 5. Покажем, что функции 1, I, ^2, .... 1к
линейно независимы. Допустим, что это не так, т. е. что
а01 + а^+ ...+аЛ** = 0. (2.4)
где а0, ах, .... ак не все равны нулю. Последовательно
дифференцируя к раз равенство (2.4), получаем систему
&+1 уравнений. Так как определитель этой системы
отличен от нуля, то, решая ее, находим, что
а0 — аг= ...=ай = 0,
чем и доказывается линейная независимость системы
векторов 1, I, ^2, . .., 1п в пространстве функций.
Базисом линейного пространства Я называется
такая система линейно независимых векторов ех, е2, . . ., еп,
что каждый вектор пространства /? можно представить
в виде линейной комбинации этих векторов
*=2ЛЛ- (2-5)
1=1

66 Гл. 2, Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Коэффициенты разложения в равенстве (2.5) определены
единственным образом. Если бы для одного и того же
вектора были возможны два разложения, т. е.
п п
1 = 1 1=1
то, вычитая одно разложение из другого, мы получили бы
равенство
п
2(&,-л/)«* = о.
1 = 1
в котором не все числа (^ — г];) равны нулю, что
невозможно в силу линейной независимости векторов еь.
Числа х\х, г|2, .... цп называются координатами вектора х
в базисе (ех, е2, .... еп).
Пример 6. Три взаимно перпендикулярных вектора
дают базис в трехмерном пространстве; координатами
вектора в этом случае служат его проекции на базисные
векторы.
Пример 7. В пространстве, элементами которого
являются упорядоченные совокупности из п чисел, базис
образуют векторы ех = (1, 0, .... 0), е2=- (0, 1, .... 0), ...
..., ^ = (0, 0, .... 0, 1), ибо любой вектор можно
записать в виде
п
Введем теперь важное понятие размерности
пространства. Если в линейном пространстве существуют п линейно
независимых векторов, но нельзя найти п-\-\ линейно
независимого вектора, то пространство называется /г-мер-
ным, а число п называют размерностью этого
пространства. В /г-мерном пространстве обязательно
существует базис из п линейно независимых векторов, и, более
того, любая совокупность /г линейно независимых
векторов образует в /г-мерном пространстве базис.
Пример 8. Пространство, элементами которого
являются упорядоченные совокупности из п чисел, /г-мерно;
оно обладает базисом из п векторов, как уже известно
из предыдущего примера.

§ 2. Матрицы и действия над ними
67
Пример 9. Пространство функций бесконечномерно,
т. е. в нем можно найти сколь угодно большое число
линейно независимых векторов. Базиса в том смысле, как
мы определили это понятие выше, в пространстве
функций не существует.
§ 2. Матрицы и действия над ними
Матрицей называют прямоугольную таблицу,
составленную из чисел. Обычно матрицы обозначают следующим
образом:
*и\\
*22
*т2
Мя
*2л
... а„
Совокупность элементов матрицы, расположенных по
горизонтали, называют строкой, а совокупность
элементов, расположенных по вертикали,—столбцом. Первый
и второй индексы матричного элемента а^ указывают
соответственно номер строки и столбца, в которых
расположен элемент. Можно ввести операции сложения матриц
и умножения матрицы на число.
Суммой матриц А и В называется матрица, у
которой элемент с индексами I и ^ равен сумме элементов
матриц А и В с теми же индексами. Ясно, что сложение
определено для матриц, обладающих одинаковым числом
строк и одинаковым числом столбцов.
Произведением матрицы А на число А, называется
матрица, у которой элемент с индексами ь и у равен
произведению элемента матрицы А с теми же индексами на
число А,.
Легко проверить, что таким образом определенные
операции удовлетворяют соответственно условиям (2.1)
и (2.2); следовательно, множество матриц с т строками
и п столбцами образует линейное пространство.
Базис в таком пространстве составляют матрицы,
у каждой из которых лишь один элемент равен единице,
а все остальные равны нулю, причем индексы элемента,

68 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
равного единице, пробегают все возможные значения,
т. е. базисные матрицы имеют вид
О 0 0 ... 1
О 0 0 ... О
О 0 0 ... О
О 0 0 ... О
О О О ... 1
О О О ... О
10 0.
0 0 0.
0 0 0.
. 0
. 0
. 0
0 10.
0 0 0.
0 0 0.
. 0
. 0
. 0
0 0 0.
10 0.
0 0 0.
.. 0
. 0
. 0
0 0 0.
0 10.
0 0 0.
. 0
. 0
. 0
1
0 0 0.
0 0 0.
10 0.
. 0
. 0
. 0
0 0 0.
0 0 0.
0 10.
. 0
. 0
. 0
о о о ... о
о о о ... о
О О О ... 1
Легко видеть, что число базисных матриц равно #г X #
и, следовательно, размерность пространства матриц также
равна туп. Кроме операций сложения и умножения на
числа, для матриц можно ввести еще несколько операций.
Произведением матрицы А (с т строками и п
столбцами) на матрицу В (с п строками и / столбцами)
называют матрицу с т строками" и / столбцами, у которой
элемент, стоящий на пересечении /-й строки и у-го столбца,
равен сумме произведений всех элементов 1-й строки
матрицы А на соответствующие элементы у-го столбца
матрицы В, т. е.
« | * = 1, 2, 3 т,
(АВ)и=%А1кВк)-{ ,_, 0 0 , (2.6)
7=1. 2, 3,
/.
Таким образом, произведение матриц определено только
в том случае, когда число столбцов у матрицы А равно
числу строк у матрицы В.

# 2. Матрицы и действия над ними
69
Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на
ее же столбцы (с теми же номерами), называется
транспонированной по отношению к Л и обозначается как А.
Иначе говоря, элемент Ац матрицы А, стоящий на
пересечении 1-й строки и у-го столбца, определяется
следующим образом:
Если матрица А имеет т строк и п столбцов, то А
имеет п строк и т столбцов.
Матрицей, комплексно сопряженной матрице А,
назовем матрицу Л*, у которой элемент с индексами ь и у
есть величина, комплексно сопряженная элементу с
индексами I и у исходной матрицы А:
Эрмитово сопряженной матрицей называют
матрицу Л+, полученную из исходной матрицы А путем
транспонирования А и перехода к комплексно
сопряженной, т. е.
(А+)и = (*»)•■
Если А—матрица с т строками и п столбцами, то А+ —
матрица с п строками и т столбцами.
Отметим наиболее важные свойства введенных нами
операций.
1. Умножение матриц ассоциативно, т. е.
{АВ)С = А(ВС)% (2.7)
действительно,
1(АВ)С]и = 2 (АВ)1ЛС„ = 2 А1еВекСк; =
к ек
= ^Л1е(ВС)е1 = [А(ВС)]и.
е
2. Для произведения транспонированных матриц
справедливо следующее соотношение:
АВ = ВА\ (2.8)

70 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
действительно,
(АВ)и = (АВ)п = 2 А/кВк1 = ^ Ак,В1к = (В А)и.
к к
3. Произведение матриц некоммутативно, т. е.
АВ Ф В А.
Заметим, что, поскольку произведение матриц
определено лишь в том случае, когда число столбцов первой
из перемножаемых матриц равно числу строк второй
(а число столбцов второй матрицы не обязательно должно
равняться числу строк первой), произведение В на А
может вообще оказаться неопределенным.
Две матрицы называются коммутирующими, если
АВ = В А.
В противном случае матрицы называются некоммутирую-
щими.
4. Для комплексно сопряженных матриц справедливо
следующее соотношение:
(АВ)* = А*В*. (2.9)
5. Для сопряженных матриц выполняется равенство
(АВ)+ =В+А+. (2.10)
Справедливость равенств (2.9) и (2.10) проверяется
элементарно.
Будем в дальнейшем обозначать квадратные матрицы
(т. е. матрицы, у которых число строк равно числу
столбцов) большими латинскими буквами, например
аи а12 ... а1п
#21 ^22 • • • а2п
А =

$ 2. Матрицы и действия над ними
71
Обозначим малыми буквами х, у, г, ф, я|) матрицы,
состоящие из одного столбца, например
х =
Ясно, что матрицы, содержащие одну строку, должны
обозначаться теми же буквами, но со знаком —, означающим
транспонирование, например
:(*1.
**)•
Мы будем называть столбец х просто вектором /г-мер-
ного пространства (см. пример 2 этой главы).
Отметим еще один важный частный случай — так
называемую единичную матрицу, у которой вдоль главной
диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули.
Введем для нее специальное обозначение:
1 =
(/),/ = *,
У'
О 0 ... 1
Из определения соответствующих операций над матрицами
и определения единичной матрицы непосредственно
вытекает справедливость следующих равенств:
1Л = А1,
/ = / = /=/+.
Будем считать известным понятие определителя
(детерминанта) матрицы и, кроме того, напомним, не
приводя доказательств, некоторые другие факты, известные
из алгебры !).
!) См., например, Г. Е. Шилов, Введение в теорию
линейных пространств, М., Флзматгиз, 1956. —Прим. ред.

72 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
1. Равенство
2М/у*у = 0 (/=1,
выполняется при условии, что либо с1е11 А \
X) = 0.
2. Из равенств
ЛЯ = 0
и
с!е*|Л|^0
в = о.
2 /г) (2.11)
0, либо все
(2.12)
(2.13)
вытекает, что
(2.14)
3. Для любого не равного нулю вектора у и для
любой матрицы, определитель которой не равен нулю,
всегда найдется такой ненулевой вектор х, что будет
справедливо равенство
Ах = у. (2.15)
4. Определитель произведения двух матриц равен
произведению определителей этих матриц, т. е.
(1е*| АВ\ = М\А\ • <1е*|Я|. (2.16)
Матрицу В называют обратной матрице А, если
ЛВ = /, (2.17)
где / —единичная матрица. Матрица, обратная к матрице Л,
обычно обозначается через А~ .
Теорема 2.1. Для любой матрицы, определитель
которой не равен нулю, существует обратная
матрица.
Доказательство. Рассмотрим матрицу Л,
определитель которой не равен нулю. Согласно (2.15), всегда
найдется такой вектор х*, что
Ах* = Л
И1
\ч
\ч.
=
'0 |
0
1
0 1
= е,

§ 2. Матрицы и действия над ними
73
где е-] — вектор, у-я компонента которого равна единице,
а все остальные нули.
Рассмотрим теперь матрицу, у-м столбцом которой
является вектор х\ т. е. матрицу
хп
Обозначим эту матрицу А 1. Ясно, что
1 0 ... О
АА~1 =
О 1 ... О
О 0 ... 1
= /.
Теперь, для того чтобы получить результат теоремы,
остается лишь проделать следующие очевидные
преобразования:
ЛЛ~1Л = 1Л = Л1,
а(а~1А — /) = 0,
но так как с1е1Л=^=0, то в силу (2.14)
А"1А — / = 0,
или
Л_1Л = /,
что и требовалось доказать.
Унитарными называют матрицы, удовлетворяющие
условию
Ц+Ц = 1,
т. е.
к к
(2.18)

74 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Теорема 2.2. Если
йеЦЦ*Ц\=19 (2.19)
то
№\и\ = е1*, (2.20)
где ф — действительное число.
Доказательство. Равенство
с!е*| Л| = с1е*|Л| (2.21)
следует непосредственно из свойств определителя.
Используя (2.21), легко убедиться в справедливости равенства
йе* | А+ | = (1е* | А | = (с!е*| Л |)*. (2.22)
Далее, используя (2.16), запишем (2.19) в виде
йе1|[/*1/| = с1е1|1/*|(1е1|1/|=1.
Теперь очевидно, что
№\и*\<1е{\и\ = \й&\и\\2=1,
откуда непосредственно следует (2.20).
Отметим, что теорема 2.2 останется справедливой,
если, формулируя ее, мы заменим II на Ц+, ибо
выполняется условие
(1е1|(/+| = (1е*|г/*|. (2.25)
Замечание. Равенство (2.19) выполняется, в
частности, для унитарной матрицы. Однако справедливость
равенства (2.19) еще не означает, конечно, что матрица и
унитарна. Пример:
Ч!0-
Теорема 2.3. Если Ц — унитарная матрица, то
из равенства
х' = их (2.26)
(2.23)
(2.24)

§ 2. Матрицы и действия над ними
75
(х')+х'-.
следует что
(л/)+ =л;+*У\ (х')+х' = х+х. (2.27)
Доказательство. Применив к (2.26) операцию
сопряжения, получим
(х*)+ = х+и+, (2.28)
а перемножив (2.26) и (2.28), получим
х+Ц+Цх = х+1х = х+х,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.4. Если
х' — Ух, (2.29)
то равенство
х'х' = ~хх (2.30)
будет выполняться тогда а только тогда, когда
выполнено условие
уу = уу = 1, (2.31)
Доказательство.
Достаточность. Применим к (2.29) операцию
транспонирования
хг = хУ. (2.32)
Перемножив (2.32) и (2.29), получим
хг хг = хУУх = х1 х = хх;
достаточность условия (2.31) доказана.
Необходимость. Пусть х — единичный вектор е1%
т. е.
0
0
(2.33)

76 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Если х'' х' = хх, то
х'х' — хх = 0 = хУУх — хх = х(УУ — I) х. (2.34)
Из (2.34) и (2.33) следует, что
(УУ-1)и = 0. (2.35)
Возьмем теперь в качестве х вектор, у которого две
координаты, 1-я и у-я, равны единице, а все остальные —
нули:
х = (00 ... 10 ... 01 ... 0). (2.36)
Подставляя (2.36) в (2.34), имеем:
(9У -1)1} + (УУ - /)„ + (УУ - 1)п + (УУ - 1)ц = 0.
откуда, учитывая равенство (2.35), находим
<уУ-1)1} + <уУ-1)}( = 0.
ИЛИ
(УУ — 1)=— $У—1) = —(УУ — 1у, ■
следовательно,
УУ-1 = 0.
Так как УУ = 1, то, учитывая (2.21), имеем
йе* \УУ\ = (йе* | V'!)2 = ее* |/| = 1;
отсюда
ёе*|К| = ±1.
поэтому если
УУ = 1.
то и
УУ = /,
что и требовалось доказать.
Матрицы, удовлетворяющие условию (2.31), называются
о рто го па льны ми.
Пример 10. В двумерном вещественном пространстве
ортогональные матрицы имеют следующий вид:

$ 2. Матрицы и действия над ними 77
1) в случае, когда с!е{ \У\ = 1,
/С08ф 51Пф\
У = [ ; (2.37)
\— 51Пф С08ф/
2) в случае, когда с1е1|У|=—1,
/С05ф 51Пф \
У = . ; (2.38)
\81Пф —С05ф/
при этом в обоих случаях
у = V-]-ж, где V и чи) — вещественные.
Прямой проверкой не трудно убедиться, что матрицы
(2.37) и (2.38) ортогональны.
Покажем теперь, что всякая матрица второго порядка,
удовлетворяющая условию
УУ = 1, (2.39)
имеет вид (2.37) или (2.38). Действительно, матричное
уравнение (2.39) эквивалентно следующей системе
уравнений:
^УЯ +^12^22 = 0. (2.40)
1^21 —Г" У 22 = 1 •
Полагая ф=агссо8 1^п, получаем из (2.40)
\Т • У21 8*П(Р
Ь2 = 8Шф. _==__-^(
У21 = ± 51П ф, У22 = + С08 ф,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.5. Если Уг и У2— ортогональные
матрицы, то Уу2— также ортогональная матрица.
Аналогично, если иг и И2— унитарные матрицы,
то и матрица ихи2— унитарна.
Доказательство.
<ууд (У'У\)=Угууу2=у2у2 = /,
точно так же
(^2)+ (^2) = 1#1/!+ ЦМ = <У2+ {/2 = /.

78 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
§ 3. Линейные операторы
Будем говорить, что в /г-мерном пространстве задан
оператор А, если известно правило, согласно которому
каждому вектору х /г-мерного пространства ставится в
соответствие вектор у этого же пространства
у = Ах.
Оператор А называют линейным, если он
удовлетворяет следующим двум требованиям:
1. А (х1-\- х2) = Ахх-\- Ах2,
2. А(кх) = кАх.
Пример 11. Рассмотрим оператор /, который любому
вектору х ставит в соответствие тот же вектор:
1х = х.
Этот оператор называют единичным, или
тождественным, оператором. Легко видеть, что единичный оператор
линеен.
Пример 12. Нулевым оператором называют
оператор, переводящий каждый вектор линейного пространства
в нулевой вектор:
Ох = 0.
Пример 13. Рассмотрим линейное пространство,
каждый элемент которого х представляет собой
совокупность п чисел:
*=*<&!. ъ и-
Пусть, далее, А — квадратная матрица с п строками
Л=||а„|| (*, Ь=1. 2, .... п).
Определим оператор А следующим образом:
. Ах=\\а1к\\х, (2.41)
где выражение в правой части следует понимать как
умножение матрицы на вектор; это значит, что вектор,
получаемый действием оператора А на вектор х, равен
результату умножения вектора х на матрицу ||а^|| слева.

# 3. Линейные операторы
79
Компоненты вектора Ах тогда определятся по формулам
п
Л* = 2 а1к1к (*■= 1. 2. .... я)-
й = 1
Ясно, что такой оператор А — линейный.
Для линейных операторов естественно определить
сложение и умножение на число.
Суммой линейных операторов А и В называют
оператор С, который каждому вектору х /г-мерного
пространства ставит в соответствие вектор Ах-\-Вх, т. е.
действие суммы линейных операторов
определяется равенством
Сх — Ах + Вх. (2.42а)
Из ассоциативности и коммутативности сложения
в линейном пространстве, в котором заданы операторы А
и В, следует ассоциативность и коммутативность
сложения самих операторов А и В. Легко проверить,
что сложение операторов удовлетворяет и остальным
условиям (2.1).
Произведением линейного оператора А на число %
называют оператор, переводящий вектор х в вектор Х(Ах)\
таким образом, по определению
ХАх = Х(Ах). (2.426)
Операция умножения оператора на число удовлетворяет
условиям (2.2).
Таким образом, множество линейных операторов,
заданных в линейном пространстве, само образует линейное
пространство. Отметим, в частности, что для каждого
линейного оператора А существует такой оператор (— Л),
что Л + (— Л) = 0.
Вспомним теперь, что множество матриц также
образует линейное пространство и что, согласно (2.41), каждая
матрица определяет некоторый линейный оператор. Связь
между матрицами и линейными операторами
устанавливается следующей теоремой,

80 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Теорема 2.6. В данном базисе каждому линейному
оператору можно поставить в соответствие
определенную матрицу. Верно и обратное, т. е. всякой
матрице в фиксированном базисе соответствует
некоторый линейный оператор.
Доказательство. Проведем его в два этапа.
Сначала покажем, что существует единственный линейный
оператор Л, переводящий базисные векторы /^-мерного
пространства ех, е2, .... еп в наперед заданные п
векторов того же пространства /1§ /2, ..., /„; после этого
будет нетрудно установить взаимнооднозначное
соответствие между матрицами и операторами.
Итак, докажем, что всегда существует единственный
линейный оператор Л, для которого справедливы
равенства
Ае1 = /19 Ае2 = и .... Аеп=/а. (2.43)
Убедимся сначала, что такой оператор однозначно
определяется векторами /1§ /2, .. ., /п. Пусть
тогда
Ах = А(ц1е1-+-ц2е2-+- ... +г\пеп) =
= ЛИ«1 + ЛИ*2 + ... +У\пАеп = г\1/1+ ... + Ля/„.
следовательно, Ах однозначно определяется векторами
и л /«•
Покажем теперь, что для любых векторов /1§ /2, ..., /п
существует оператор Л, определяемый формулами (2.43).
Для этого векторам е1 сопоставим векторы // (/=1,
п.
2, .... /г). Тогда вектору х = 2 ц1е1 будет соответство-
1 = 1
п .
вать вектор Ах = ^ х\ьАеь\ поскольку вектор х един-
1=1
ственным образом определяется своими координатами
{г\г, г\2> •••» ЛлЬ т0 емУ (т- е- х) будет соответствовать
вполне определенный вектор Ах. Проверка линейности
оператора А не представляет труда. Тем самым первый
этап доказательства завершен.

# 3. Линейные операторы
81
Представим вектор /1 как линейную комбинацию
базисных векторов е1% е2, .... еп:
п
Тогда матрица
окажется однозначно связанной с оператором А\ верно и
обратное, т. е. каждый оператор (преобразование)
однозначно связан с матрицей Л = ||а/у||, которую обычно
называют матрицей линейного преобразования.
Теорема доказана полностью.
Эта теорема играет важную роль, ибо, установив связь
между линейными операторами и матрицами, мы тем самым
получили аналитический аппарат для изучения линейных
операторов в конечномерных пространствах. Все теоремы,
доказанные в § 2 для матриц, можно перенести и на
операторы. По существу дела матрицы представляют для
нас интерес именно как средство изучения операторов;
применение матриц в физике связано главным образом
с рассмотрением различных линейных операторов.
Для матриц была определена операция умножения;
введем операцию умножения и для операторов.
Произведением операторов А и В называют
оператор, действие которого эквивалентно последовательному
применению к вектору х сначала оператора В, а потом
оператора А; таким образом, произведение
С=АВ
определяется как оператор
Сх = А{Вх).
Важно, что произведение операторов
некоммутативно:
АВфВА.
Справедливость этого утверждения вытекает уже из факта
некоммутативности произведения матриц. Однако мы
построим пример некоммутативных операторов, не привлекая
для этого матрицы.
6 Зак. 1034

82 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Пусть р — пространство многочленов любой степени.
Обозначим через ^ оператор дифференцирования
многочлена
а через П — оператор умножения многочлена р на х:
Ир = х • /?.
Тогда
— ^ ч^ у) — п -1
С другой стороны,
й<11р) = 0(х . р) = р + % . х.
ЩОр) = х%.
Ясно, что ЛП Ф ГШ. Отметим, что вопрос о
коммутативности операторов играет большую роль в квантовой
механике.
Оператор В, определенный в линейном пространстве /?,
называют обратным оператору Л, если
АВ = 1, (2.44)
где / — единичный оператор.
Обратный оператор существует не для каждого
оператора. Например, нулевой оператор не имеет обратного.
Попробуем найти необходимые и достаточные условия
существования обратного оператора. Для этого перейдем
от операторов, действующих в я-мерном пространстве, к
соответствующим им матрицам. Нетрудно убедиться, что
единичному оператору соответствует единичная матрица.
Поэтому операторное равенство (2.44) эквивалентно
матричному равенству
АВ = Е. (2.45)
Таким образом, чтобы оператор А имел обратный,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему матрица
линейного преобразования имела обратную. Но, как мы
знаем, матрица обладает обратной в том и только в том
случае, когда ее детерминант отличен от нуля.
Следовательно, линейный оператор, заданный в конечномерном
пространстве, имеет обратный, только если детерминант
соответствующей ему матрицы отличен от нуля,

§ 4. Преобразования координат
83
§ 4. Преобразования координат
При решении многих задач очень важно
надлежащим образом выбрать систему координат, а для этого надо
уметь переходить от одних систем координат к другим,
т. е. знать, как при таких» переходах изменяются, скажем,
координаты какого-то вектора или матрица линейного
оператора. По существу, дальнейшее изложение линейной
алгебры в я-мерном пространстве невозможно без
выяснения вопроса о том, как преобразуются координаты
векторов и матрицы линейных операторов при
преобразованиях координат. Итак, рассмотрим преобразования базиса
в я-мерном пространстве.
Пусть ех% е2, .... еп — фиксированный базис в я-мер-
ном пространстве, а /1§ /2, .... /п—другой фиксированный
базис в том же пространстве. Выразим векторы системы
Л» Л» •••» /п чеРез базисные векторы е1% е2, ..., еп:
// = 2 сае\
/ = 1
(/= 1, 2,
я).
(2.46)
Из коэффициентов Сц в формулах (2.46) можно образовать
матрицу
с=1М =
'12
^22
'л2
'1«
ь2п
(2.47)
называемую матрицей перехода от базиса е1% е2, ...
.... еп к базису /1§ /2 /л.
Воспользуемся следующим известным фактом: если из
координат я векторов, заданных в я-мерном пространстве,
построить квадратную матрицу так, чтобы ее элемент
с индексами Ь] был равен /-й координате у'-го вектора,
то для неравенства нулю определителя этой матрицы
необходимо и достаточно, чтобы данные я векторов были
линейно независимы. Отсюда следует, что определитель
матрицы (2.47) всегда отличен от нуля, так как базисные
векторы линейно независимы по определению.
Следовательно, уравнения (2.46) разрешимы, т. е. из них можно

84 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
найти векторы ех, е2 еп, если известны векторы
1\> /г* • • •» /п- Получающаяся при этом система уравнений
*/=2»///у (/=1. 2. .... л) (2.48)
7 = 1
описывает обратный переход от базисной системы /1э
/2 /п к системе е1% е2, .... еп, причем легко видеть,
что матрица этого перехода В=\\1)^\\ есть обратная
к матрице С:
Я=И*/у1
ьи ь
12
Ь21 Ъ22
Кх Ь
п2
= С~\ (2.49)
Отметим, что матрица (2.47) задает соответствующий
линейный оператор С, определяемый соотношениями /1 =
— Се1 (/=1, 2 п). Такой оператор называется
оператором перехода от базиса ех, е2, ..., еп к базису
/1% /2 /„; он всегда обладает обратным.
Выясним теперь, как преобразуются координаты
вектора при переходе к другому базису. Пусть снова е1ч
е2 еп — исходный базис, а /1§ /2 /П — новый
базис и пусть С= \\с^\\ —матрица перехода от исходного
базиса к новому. Любой вектор х можно разложить по
базисным векторам:
* = &1*1 + !2*2 +
•• + 1пеп =
= ^1/1+412/2+
Подставляя векторы еь (/=1, 2,
в (2.50), получаем
., я) из (2.48)
х = 2 Б/у = 2 л*/* = 2 I] ( 2 *у*/*
; = 1
й=1
= 2 2Ыу/»- <2-51)
*«1 \у = 1 >

$ 4. Преобразования координат
85
откуда в силу единственности разложения вектора х по
базисным векторам /1$ /2 /п имеем
Л*=2Ыу (*=!• 2 /г). (2.52)
7 = 1
Таким образом, при переходе от базиса ег, е2 еп
к базису /1§ /2, .... /п с помощью матрицы С
координаты произвольного вектора преобразуются с помощью
строк матрицы (С-1).
Величины, преобразующиеся при переходе от базиса
еХл е2 еп к базису /2, /2, .... /п при помощи
матрицы С-1, называют контраградиентными\
коградиентными называют величины, которые при таком
переходе преобразуются при помощи матрицы С (т. е. как сами
базисные векторы).
Рассмотрим теперь вопрос о том, как преобразуются
матрицы линейных операторов при переходе к новому
базису.
Обозначим снова матрицу перехода от базиса е1ч е2, ...
..., еп к базису /г, /2 /п через С. Обозначим,
далее, матрицу линейного преобразования А в базисе
е1% е2 еп через Л=||а/Й||, а матрицу того же
преобразования в базисе /1§ /2, ..., /п через Л' = ||я!й||.
Тогда будет справедлива следующая теорема.
Теорема 2.7. Матрица А' преобразования А в
базисе Д, /2 /п выражается через матрицу А
того же преобразования А в базисе е1% е2 еп
по формуле
А' = С-1АС, (2.53)
где С — матрица перехода от базиса е1% е2 еп
к базису /г, /2 /„.
Доказательство. Введем преобразование С:
Се1=/1 (1=1, 2, .... п); (2.54)

86 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
его матрица в базисе ех% е2,---* еп есть матрица
перехода С. Далее
п
^*=2в««|> (2-55)
1 = 1
л/* = 2 «;*/,. (2.56)
Выразим в формуле (2.56) /^ через е,-, для чего
используем (2.54):
п
АСек = 2 в;АС«г (2.57)
/ = 1
Применяя к обеим частям (2.57) преобразование С"1,
получаем
п.
С~1АСек = 2 ад, (2.58)
откуда ясно, что
А' = С~1АС\
тем самым утверждение теоремы справедливо.
Сделаем в заключение одно замечание. Теорему 2.7
можно считать ответом на вопрос, как связаны матрицы
одного и того же оператора в различных базисах. Однако
может возникнуть и другой вопрос (в некотором смысле
обратный, к рассмотренному выше): какова связь между
операторами, которые в разных базисах имеют одинаковые
матрицы ||#/й||? Пусть А — оператор, задаваемый
соотношением
Ае1 = /1 (/=1, 2 я), (2.59)
а Б и С—операторы, имеющие соответственно в базисах
е1% е2 еп и /1§ /2 /п одинаковые матрицы
Р^||. Заметим, что, используя (2.59), можно записать
С/1 = С(Ае1) = САе1
С/с = 2 ь1)1> = 2 ЬцА*1 = А 2 V; = АВеь\

# 5. Скалярное произведение и ортогональность 87
следовательно,
САе1 = АВеь
и окончательно
С = АВА'\ (2.60)
Между равенствами (2.53) и (2.60) существует
принципиальное отличие: (2.53) — это матричное равенство,
причем матрица слева отнесена к новой, а все три матрицы
справа — к старой системе координат. Поэтому вид
матриц в (2.53) зависит от выбора базиса. Равенство же
(2.60) — операторное, и здесь нет нужды говорить о
координатных системах.
Матрицы А и А\ входящие в равенство (2.53),
называют подобными матрицами. Операторы С и В в
равенстве (2.60) определяют подобные преобразования.
§ 5. Скалярное произведение и ортогональность
Хотя вышеизложенная теория и предлагает (в
определенном смысле) абстрактные аналоги некоторым
привычным для нас свойствам трехмерного пространства,
все же между описанными линейными пространствами и
обычным трехмерным пространством нет полного
соответствия. В рассмотренных выше линейных пространствах
еще отсутствуют понятия, аналогичные понятиям длины,
угла и скалярного произведения, известным в трехмерном
пространстве. В этом параграфе мы введем понятия,
представляющие собой обобщения понятий длины, угла и
скалярного произведения на случай линейного /г-мерного
пространства.
Скалярным произведением в (вещественном или
комплексном) линейном пространстве называется
(соответственно вещественная или комплексная) числовая функция
двух векторов х и у, обозначаемая как (х, у) и
удовлетворяющая следующим условиям:
1) (х, у) = (у, х) (в вещественном
пространстве), (2.61)
(х, у)=(у, х)* (в комплексном пространстве);
2) (ахх + а2х2, у) = а1(х1, у) + а2(л;2, у)\ (2.62)
3) (х, х)^0; (х, л;) = 0 только при х — 0. (2.63)

88 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Линейное пространство, в котором введено скалярное
произведение, называют евклидовым пространством
(комплексное линейное пространство с введенным в нем
комплексным скалярным произведением часто называют
унитарным пространством или комплексным
евклидовым пространством).
Пример 14. В обычном трехмерном пространстве
скалярное произведение двух векторов удовлетворяет
аксиомам (2.61)—(2.63) и, следовательно, является скалярным
произведением в смысле данного нами определения. Так
как скалярное произведение векторов в трехмерном
пространстве есть произведение длин векторов на косинус
угла между ними, то скалярное произведение вектора
самого на себя в этом случае разно квадрату длины
вектора.
В общем случае мы определим длину вектора в
евклидовом пространстве как корень квадратный из
скалярного произведения этого вектора на себя:
\х\=У(х, х). (2.64)
Углом между двумя векторами х и у назовем
угол, косинус которого равен отношению
Легко проверить, что для „обычных" векторов (т. е. для
векторов трехмерного пространства) такое определение
совпадает с понятием угла, используемым в аналитической
геометрии.
Можно показать (мы не приводим этого рассуждения),
что выражение (2.65) никогда (т. е. ни при каких
векторах х и у) не превышает по абсолютной величине
единицы.
Введем понятие, которое мы часто будем использовать
в дальнейшем. Векторы х и у называются
ортогональными, если
(х, у) = 0. (2.66)
Отметим, что в силу (2.62) нулевой вектор ортогонален
любому вектору пространства /?. Если же х Ф 0 и у Ф О,
то ортогональность векторов означает, что угол между

# 5. Скалярное произведение и ортогональность 89
ними [понимаемый в смысле определения (2.65)]
составляет 90°. В трехмерном пространстве наше определение
ортогональности сводится к обычной геометрической
ортогональности векторов.
Пример 15. Векторы /г-мерного пространства
представляют собой упорядоченные совокупности п чисел
х = (г\1, т]2, ..., к]п)\ длина вектора х тогда имеет вид
1*1= /Л?+Л22+ ...+Л2- (2.67)
Пример 16. Пусть задано бесконечномерное
пространство, элементами которого являются любые
непрерывные функции, определенные на отрезке [а, Ь], и пусть
операции над функциями определены так, как обычно
в анализе. Введем в этом пространстве скалярное
произведение по формуле
ь
(/. е) = $Пх)8(х)ах\ (2.68)
а
тогда длина вектора будет равна
Пример 17. Для векторов х и у из примера 15
условие ортогональности запишется в виде
Л1&1 + Л5& + ••• +ЛЛ1Я = 0.
Пример 18. В пространстве, рассмотренном в
примере 16, условие ортогональности имеет вид
ь
а
легко проверить, что любые две функции системы
1, СОЗ^, 51ПЛ СОЗ 2^, 81П2Л ..., СОЗЯ^, 31ПЯ^, ...
взаимно ортогональны на отрезке [0, 2я].

90 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Рассмотрим некоторые свойства систем ортогональных
векторов (т. е. систем, в которых любые два вектора
ортогональны друг другу).
Теорема 2.8. Ортогональные ненулевые векторы
1^, 1|)2, ..., г|)т в п-мерном линейном пространстве
(т ^ п) линейно независимы.
Доказательство. Пусть
аА+Мх>+ ... +атг|)т = 0,
где все г|^ — ненулевые векторы. Умножив это равенство
скалярно на г|)р получим
Я1СФ1» гЫ+МФр Ь)+ ••• +«т№р Фт) = °.
откуда ах = 0 (поскольку ,ф1 — ненулевой вектор).
Аналогично, умножив на г[)2, %, ..., "фт, получим, что
а2 = аг = а4= ... = ат = 0. Следовательно, векторы
II?!, г|)2, ..., г|)т линейно независимы, что и требовалось
доказать.
Ясно, что т < /г (ибо в /г-мерном пространстве любые
п-\~\ векторов линейно зависимы). Таким образом, в
/г-мерном пространстве нельзя найти систему взаимно
ортогональных ненулевых векторов, состоящую более чем из п
векторов.
Обратная теорема неверна: линейно независимые
векторы не обязательно ортогональны. Однако из т линейно
независимых векторов всегда можно построить систему т
ортогональных векторов. Процесс такого построения
обычно называют ортогонализацией. Укажем еще одно
свойство системы взаимно ортогональных векторов,
которое нам потребуется при построении ортогональной
системы.
Теорема 2.9. Если каждый из векторов уг, у2, ..., ук
ортогонален вектору х, то и линейная комбинация
«1^1 Н-а2у2Н- ... + акук
ортогональна к х.
Доказательство. Согласно условию (2.62),
(а1у1 + а2у2+ ... + акук, х) =
= а1(у1, х) + а2(у2, х)+ ... + МУ*» х) = 0,
что и требовалось доказать.

§ 5. Скалярное произведение и ортогональность 91
Нормированный вектор определяется как вектор,
длина которого равна единице. Ясно, что вектор
. х
~ \х\
нормирован, каким бы ни был вектор х ф 0.
Векторы ех, е2, ..., еп образуют ортогональный
нормированный (ортонормированный) базис, если они
взаимно ортогональны и длина каждого из них равна
единице, т. е. если
('/.**) = »/*. (2-69)
Докажем теорему о существовании таких базисов в
евклидовом пространстве.
Теорема 2.10. В любом п-мерном евклидовом
пространстве существует ортогональный
нормированный базис.
Доказательство. В любом /г-мерном
пространстве существует, базис из п векторов. Покажем, как, исходя
из произвольного базиса /1э /2, ..., /я, построить
ортонормированный базис ег, е2, .... еп, что и будет служить
доказательством теоремы. Положим ег=/г. Будем искать
вектор е2 в виде
е2 = /2 г ае\л
Подберем а так, чтобы
(е2, ег) = 0,
иначе говоря,
отсюда
(/2+аег, ег) = 0;
П_ (Л, «0
С*- ~. Г" •
Предположим теперь, что векторы ег, е2, ..., ек_г уже
найдены. Будем искать теперь вектор ек в виде
«* = /* + я1«, + а2е2+ ••• + ак_1ек_1. (2.70)
Ясно, что коэффициенты ах, а2, ..., ак_г следует
найти из условий ортогональности вектора ек к векто-

92 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
рам ех, е2, .... вк_г. Найдем, например, аь\
отсюда
(/*• */)+М«/' ^) = 0
и, следовательно,
Осталось лишь показать, что вектор ек отличен от нуля.
Но, согласно (2.70), ек — линейная комбинация векторов /к,
ек-Х> ек_2 е1% причем коэффициент при /к равен 1;
далее ек_г является линейной комбинацией /к_г, ек_2,
ек_ъ ег и т. д. Продолжая эти рассуждения, найдем,
что ек является линейной комбинацией векторов /к, /к_г,
/к_2 /\ с коэффициентами, из которых по крайней
мере один отличен от нуля. Но эти векторы линейно
независимы, ибо они образуют базис; поэтому ек ф 0. Итак,
из п линейно независимых векторов /1§ /2, ..., /п мы
построили п взаимно ортогональных векторов ех, е2 еп.
Их линейная независимость является следствием
теоремы 2.8. Если теперь нормировать векторы ех, е2, .... еп,
положив
*; = Г *' (/=1. 2 /г),
то доказательство теоремы будет завершено. Описанный
процесс построения ортогонального базиса по заданному
базису /1§ /2 /„ называют процессом ортогонали-
зации.
§ 6. Унитарные и ортогональные преобразования
Вернемся теперь к изучению линейных преобразований.
В § 3 мы установили теорему 2.6, согласно которой
в фиксированном базисе можно установить взаимно
однозначное соответствие между матрицами и операторами.
В § 2 условиями (2.18) и (2.31) были определены матрицы,
названные соответственно унитарными и
ортогональными. Естественно напрашивается мысль сопоставить
унитарным и ортогональным матрицам преобразования,

§ 6. Унитарные и ортогональные преобразования 93
которые можно было бы назвать соответственно
унитарными и ортогональными преобразованиями. Однако
при этом возникает одно препятствие: свойства операторов
не должны зависеть от выбора базиса, тогда как в
теореме 2.6 сопоставление оператора и матрицы
производилось в фиксированном базисе. В линейных пространствах
невозможно гарантировать, что при переходе к новому
базису унитарные матрицы останутся унитарными (или
ортогональными). Поэтому и соответствие между
унитарными матрицами и сопоставляемыми операторами
оказывается случайным, так как это соответствие зависит
от выбора базиса. Однако в евклидовых пространствах,
где можно выбрать ортогональный базис, положение
меняется коренным образом.
Будем говорить, что преобразование V унитарно,
если его матрица
11 #19 • • • #1)
V-.
*21
*22
*2л
в каком-либо ортонормированном базисе комплексного
евклидова пространства унитарна, т. е. [см. условие (2.18)]
ци+==и+ц = 1.
Матричное равенство Ц+Ц^=1 эквивалентно равенству
$«„«% = *«• (2-71>
Условие (2.71) имеет простой геометрический смысл,
именно скалярное произведение векторов
Це1 = аие1-\-а21е2~{- ... + &,*„,
п
равно 2 ача% (поскольку еХл е2 еп — ортогональ-
ный базис), поэтому
ф\, иеч) = Ь1к (2.72)

94 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
и, следовательно, базис Це1, 1]е2 Уе,г также орто-
нормированный. Таким образом, мы доказали, что
справедлива следующая теорема.
Теорема 2.11. Чтобы линейное преобразование V
было унитарным, необходимо и достаточно, чтобы
оно переводило ортогональный и нормированный
базис комплексного евклидова пространства ех,
е2 еп снова в ортогональный и нормированный
базис Це1% 11е2, .... Vгеп.
Теорема 2.12. Если матрица преобразования V
в каком-то ортогональном базисе комплексного
евклидова пространства унитарна, то матрица
этого преобразования унитарна и в любом другом
ортонормированном базисе того же пространства.
Доказательство. Пусть Vе — унитарная матрица,
представляющая линейное преобразование V в базисе
ех, е2, ..., еп и пусть Р — другая унитарная матрица,
при помощи которой мы перейдем к другому ортонорми-
рованному базису /г, /2 /п. Тогда, согласно
формуле (2.53), матрица линейного преобразования V в
базисе /1§ /2, ..., /п будет иметь вид
Ц/==р-1иеР. (2.73)
Так как Р — унитарная матрица, то по определению
Р"1 = Р+.
Далее, Р4" унитарна, ибо
я+(я+)+ = я+я = /,
следовательно, унитарна и Я-1. Применив теперь к
равенству (2.73) теорему 2.6 („произведение двух унитарных
матриц есть унитарная матрица"), мы найдем, что Ц,
унитарна, что и требовалось доказать.
Теперь легко устанавливается следующая теорема.
Теорема 2.13. Унитарное преобразование в
комплексном евклидовом п-мерном пространстве
сохраняет неизменным скалярное произведение
(их, Цу) = (х, у). (2.74)

$ 6. Унитарные а ортогональные преобразования 95
Доказательство. Пусть
*=2 1^1. У=Ъ Лу*у
/ = 1 7 = 1
Подставляя эти значения х и у в левую часть (2.74) и
учитывая (2.62) и (2.72), получаем
2 !,*/*/. 2 п,^у) = 2 2 &лу (^*/*у) =
\/=1 ;=1 / /=1;=1
/7
= 2 Ъьщ = (х. у)>
#=1
что и требовалось доказать.
Следствие. Унитарное преобразование не меняет
длин векторов.
Следствием этой теоремы, по существу, является и
теорема 2.4, утверждающая, что из х' = Цх, где Ц —
унитарная матрица, следует {х')+ х' = х+х. Действительно,
теперь величину х+х можно понимать как скалярное
произведение (квадрат длины вектора) в комплексном
евклидовом пространстве, а не как произведение двух
матриц, как это считалось в § 2.
В вещественном евклидовом пространстве можно ввести
понятие ортогонального преобразования.
Преобразование V ортогонально, если его матрица
[V,
У =
V,,
^22
'\п
^п
в ортонормированном базисе вещественного пространства
ортогональна, т. е. если [см. (2.31)]
УУ=1.
Можно показать, что унитарные преобразования не
меняют скалярного произведения векторов
вещественного евклидова пространства и что переходы от одного

96 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
ортогонального базиса к другому представляют собой
ортогональные преобразования.
В свете этих фактов теорему 2.5 можно
сформулировать в терминах операторов и скалярных произведений,
для чего необходимо лишь заметить, что, как нетрудно
проверить, хх представляет собой скалярное произведение.
§ 7. Специальная теория относительности
Изложенная нами теория линейных преобразований
в /г-мерном пространстве широко используется в
современной физике. В качестве примера рассмотрим
специальную теорию относительности, где существенно
используются результаты, полученные нами при изучении
унитарных и ортогональных преобразований (§ 2 и 6).
Специальный принцип относительности утверждает, что
все законы природы одинаково формулируются во
всех инерциальных системах отсчета 1). Этот принцип
составляет первый постулат специальной теории
относительности Эйнштейна.
Второй постулат, вытекающий из опыта Майкельсона
и Морли, гласит, что скорость света одинакова во всех
инерциальных системах отсчета. Эти два постулата
образуют вполне достаточную основу для строгого
построения стройной и изящной теории, в корне
изменяющей привычные представления о пространстве и времени.
Рассмотрим две системы координат, движущиеся
прямолинейно и равномерно друг относительно друга.
Обозначим одну из этих систем символом 2, а другую
символом 2' и будем считать, что штрихованная система 2'
движется относительно нештрихованной системы 2 со
скоростью V. Не ограничивая общности, можно считать,
что скорость V направлена вдоль оси хг.
Опыт Майкельсона и Морли показал, что скорость
света в системах 2 и 2' имеет одно и то же значение с.
Это, однако, противоречит ньютоновской механике, в
основе которой лежит преобразование Галилея.
*) Инерциальными называют системы отсчета, в которых
закон инерции имеет простейший (ньютоновский) вид д,р1й1 = 0.

§ 7. Специальная теория относительности 97
Действительно, запишем преобразование Галилея для
перехода от системы 2 к системе 27:
х'х = хх — VI,
х'2 = ху х'ъ = ху *' = {. (2.75)
Из (2.75) следует, что если точка Л в системе 2 движется
параллельно оси хх со скоростью ю1% то относительно
системы 27 ее скорость будет равна V^ — V; поэтому
следует ожидать, что скорость света в системе 27 будет
равна с — V, а не с, как это было установлено опытом
Майкельсона и Морли.
Чтобы устранить это противоречие, необходимо найти
преобразование, которое давало бы результаты,
согласующиеся с опытом.
Начнем с математического выражения принципа
инвариантности скорости света. Пусть в некоторый момент
времени, принимаемый нами за начальный, в обеих
системах (1 = ^ = 0) начала штрихованной и нештрихованной
систем совмещены с точечным источником света, который
в этот момент излучает световой сигнал. Волновой фронт
в системе 2 будет представляться в виде сферы и
описываться уравнением
хг + х2 + х1 — ^2=0-
Так как скорость света в системе 27 также равна с, то
в 27 волновой фронт будет описываться уравнением
(*;)2+(*2)2+(*з)2-(с'')2=о.
Естественно потребовать, чтобы выполнялось следующее
равенство:
*2+4+4-С'2--(*1Т + (*2)2 + (*з)2-(С02.
Полагая
хА = Ш,
можно переписать предыдущее равенство в виде
2^=2(^. (2-76)

98 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Событие, происходящее с материальной точкой,
определяется местом, где оно произошло, и временем, когда
оно произошло; т. е. для описания события необходимо
указать 4 числа: три пространственные координаты и
время. Если вместо времени пользоваться координатой
х4 = Ш% то тем самым событие будет определено как
точка четырехмерного пространства. Далее можно ввести
в этом пространстве скалярное произведение так, чтобы
квадрат длины вектора х определялся формулой
1*12=24
Таким образом, равенство (2.76), выражающее требование
инвариантности скорости света относительно различных
инерциальных систем координат, в терминах
четырехмерного пространства можно сформулировать как требование
инвариантности скалярного произведения в различных
ортогональных базисах четырехмерного пространства
событий. Ясно, что переход от одной координатной системы
четырехмерного пространства событий к другой
осуществляется с помощью некоторого преобразования.
Равенство (2.76) требует, чтобы скалярное произведение
(или, что эквивалентно, длина вектора) оставалось
инвариантным при этом преобразовании. Кроме того, это
преобразование должно быть линейным, ибо тогда будет
справедлив принцип суперпозиции, и при малых скоростях
(г/—>0) искомое преобразование перейдет в галилеево.
Эти требования (линейность и инвариантность скалярного
произведения) однозначно определяют искомое
преобразование. Оно будет ортогональным; действительно, мы хотим,
чтобы при преобразовании V,
х' = Ух,
сохранялось скалярное произведение
хх — х'х'. (2.77)
Но, согласно теореме 2.5, преобразование V, для которого
справедливо (2.77), -г это преобразование, имеющее
ортогональную матрицу, т. е. ортогональное преобразование.

§ 7. Специальная теория относительности 99
Так как скорость V направлена вдоль оси хх, то
по соображениям симметрии
■хг
'■ ЛГ ',
следовательно, матрица преобразования V имеет вид
У =
О
О
О
1
О 1
О О
О У
14
О О
о
44
(2.78а)
Если поменять местами сначала 2-й и 4-й столбцы, а затем
2-ю и 4-ю строки (что эквивалентно переобозначению
переменных: х2 обозначается как дг4 и х4 обозначается
как лг2), выражение (2.78а) можно переписать в виде
У =
^11 Уи
О О
УА1 Ки О О
0 0 10
0 0 0 1
(2.786)
но тогда ясно, что преобразование У не меняет базисных
векторов х2 и лг3, Действуя лишь на векторы хх и х4.
Таким образом, определяемое формулой (2.78а) [или (2.786)]
ортогональное преобразование У в четырехмерном
пространстве можно свести к ортогональному преобразованию
^ =
Уп У
14
44
действующему в двумерном пространстве. Как было
выяснено в § 2, всякую ортогональную матрицу в
двумерном пространстве можно представить в виде
СОЗСр 51ПСр
-51Пф СОЗф
Важно заметить, что с!е1|1/| = 1, т. е. правая система
координат после преобразования остается правой. Нетрудно
убедиться, что Уп и ^—действительные, а Уи и УАХ—мни-

100 Гл. 2, Линейная алгебра в п-мерном пространстве
мые числа. Следовательно, ф = /0, где 0 — действительное
число. Поэтому
уп у14
сН 0 /зН
/зН 0
гзН 0\
сЬв/1
(2.79)
где зЬ и сЬ — соответственно гиперболические синус и
косинус. Положим
Р = Й10;
тогда
У1 — р2 У\ — р2 ,
8Ь0:
Теперь (2.78а) можно переписать в виде
сЪV 0 0 ^$ЪV
0 10 0
0 0 10
— ^$ЪV 0 0 сЪV
У =
(2.80)
и искомое преобразование выразится формулами
, хх — $с1
Х2 = Х2*
Хп — ЛГд,
(2.81)
*' =
/-р*
/1-Р2
Определим теперь коэффициент р, входящий в
формулы (2.81). Пусть наблюдатель А, покоящийся в
системе 2, следит за точкой Р, которая покоится в системе 2'
и имеет в ней координаты х'г х'2, х'у I'* Ясно, что для
наблюдателя А скорость точки Р будет равна V —
скорости движения 2' относительно 2. Найдем теперь скорость
точки Р в системе 2, используя для этого
преобразование (2.81). Обозначим координаты точки Р в системе 2
через хх% лг2» х& *; тогда ее скорость в системе 2 будет

$ 7. Специальная теория относительности 101
равна йхх\<Н. Далее,
<н =
К1 —Р2 '
VI -Р2 '
йхх _ Рс/1 — рз
Л К1 — р2
Как мы уже сказали, йх11сМ = '09
= РС.
рс = г>, р = -Н.. (2.82)
Подставляя (2.82) в (2.81), получаем окончательный вид
искомых преобразований:
Л, у- »
; /■-$'
2 """""" 2*
4 = *з' (2-83)
Формулы (2.83) определяют преобразование Лоренца.
При «я -> 0 (или с -> сю) эти формулы переходят в
преобразование Галилея. Можно показать, что уравнения Максвелла
инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Укажем, что преобразования Лоренца образуют группу
вращений в четырехмерном пространстве событий, оставляя
инвариантной квадратичную форму ( 2 х1
\ц=1 Ц>
Получим в заключение из преобразований Лоренца
два важных физических закона: закон преобразования
времени и закон преобразования длины.
Рассмотрим два события А и В, происходящих в одной
и той же точке в системе 2' в разные моменты времени

102 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
(например, рождение и смерть человека, который всю
жизнь прожил в одном городе):
А(х[, х'у х'у ^л)>
В(х[.х'гх'3.*'в).
В системе 21 время, прожитое человеком, составляет
$ п — ^ а === — - !2> Iв $А-
в А /1-р2 ' в А
В отличие от „оседлого" человека из нашего примера
мезон движется быстро. В системе, связанной с мезоном,
время его жизни равно 10~6—1(Г8 сек, но в
лабораторной системе отсчета время жизни мезона будет значительно
больше. Аналогичная ситуация имеет место и с пассажиром
космического корабля.
Представим себе стержень, покоящийся в системе 2
и имеющий в ней длину хА — хв = /,, независимо от того,
в какой момент времени производились измерения. Пусть
наблюдатель, покоящийся в системе 2/, в момент времени
2'({'а = {в) измеряет длину стержня; это означает, что
наблюдатель в один и тот же момент времени фиксирует
начало и конец стержня. Очевидно, при этом длина стержня,
измеренная в системе 2/, равна
= V 1 — Р2 (хА — хв) < хА — хв.
§ 8. Эрмитовы операторы
Оператор Н называется эрмитовым (самосопряженным),
если в каком-либо ортонормированном базисе евклидова
пространства его матрица удовлетворяет условию
Н = Н+. (2.84)
Примером эрмитова оператора может служить любой
оператор, обладающий в ортонормированном базисе
симметричной вещественной матрицей.

$ 5. Эрмитовы операторы
103
Теорема 2.14. Если Ц — унитарный оператор,
а Н—эрмитов оператор, то оператор 1ЛШ'1 также
эрмитов.
Доказательство. Для унитарных преобразований
1/~1 = и+, поэтому
(унц-гУ = (ини+)+ = (и+)+ н+и+ = *//л/-\
что и требовалось доказать.
Вектор х ф 0, удовлетворяющий уравнению
Ах = 1х, (2.85)
называется собственным вектором линейного
оператора А, а число А, — собственным значением этого
оператора.
Линейное подпространство /, называют
инвариантным относительно преобразования Л, если всякий
вектор х, принадлежащий подпространству Ь, под
действием оператора Л переходит в вектор Ах, также
принадлежащий Ь.
Лемма 2.1. Собственные значения эрмитова
оператора действительны, а его собственные векторы,
принадлежащие различным собственным значениям,—
взаимно ортогональны.
Доказательство. Рассмотрим собственные векторы
грр г|)2, ..., г|)л. Для любых двух собственных векторов
справедливы следующие уравнения:
АЪ = Ь&1. (2-86а)
Л-фу = А,/фу. (2.866)
Будем рассматривать эти два уравнения как матричные.
Умножая (2.86а) на г|)1", а (2.866) на г))*, получаем
^А% = 1.^% (2-8?а)
^А^ = Х^у (2.876)
Применим операцию сопряжения к (2.876):
^А% = Х]^%. (2.88)

104 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
Вычитая (2.88) из (2.87а), получаем:
(К — ь*№% = °- (2-89>
Полагая /==*, из (2.89) находим, что А,* = А,/, т. е. что
Х1— действительное число. Далее, если г|);- и г^
принадлежат различным собственным значениям, т. е. Х1 Ф А,у, то
из (2.89) также следует, что
^ = 0.
Но ^^г как легко проверить, есть не что иное, как
скалярное произведение векторов г|^ и г|у, таким образом,
ясно, что г|);- и г|); ортогональны. Лемма доказана.
Из леммы 2.1 следует, что если е — собственный
вектор эрмитова оператора Я, то совокупность векторов,
ортогональных к е, образует (п—1)-мерное
подпространство, инвариантное относительно преобразования Н.
Лемма 2.2. Д комплексном пространстве всякий
линейный оператор А имеет хотя бы один
собственный вектор.
Доказательство. Выберем в нашем пространстве
базис ег, е2, . .., еп. Линейному оператору А в этом
базисе отвечает матрица ||а^|[. Если
* п
то координаты вектора Ах вычисляются по формулам
п
Л/=2я/Д* (/=1. 2, .... я). (2.90)
и=\
Для всякого собственного вектора
Ах — Хх.
Из равенств (2.90) получаем систему уравнений
относительно Ъ)1
п
Л = 1

$ 8. Эрмитовы операторы
105
или в развернутом виде
(«11 — ^1 + 012^2+ ••• +«М&л = 0.
«21&1 + («22 —*) ^2 + ••• +«2я&я = 0.
«11161 + «Я2&2 + ••• + (аяя —Щя = 0.
(2.91)
Для доказательства леммы необходимо показать, что
существуют числа А, и ^, ^2, .... ^„ (причем ^ не все
равны нулю), удовлетворяющие системе (2.91).
Известно, что для существования ненулевого решения
однородной системы (2.91) необходимо, чтобы ее
определитель равнялся нулю
*п — А/ #19 ... аЛп
йе*
■*21
*22"
*2л
:0. (2.92)
ап\ ап2 ••• «л* — '
Ясно, что условие (2.92) приводит к уравнению /г-й
степени относительно %. Такое уравнение имеет хотя бы один
(в общем случае комплексный) корень А,0. Подставив Х0
в систему (2.91), найдем числа Щ, Щ, .... |°. Очевидно,
что вектор
1 = 1
будет собственным вектором, а к0 — собственным
значением. Лемма доказана.
Теорема 2.15. Пусть И — эрмитов оператор
в п-мерном евклидовом пространстве. Тогда у
оператора Н существует п взаимно ортогональных
собственных векторов, для которых
соответствующие собственные значения вещественны. Всегда
существует ортогональный базис, в котором матрица
оператора Н диагональна и вещественна.
Доказательство. Согласно лемме 2.2, существует
хотя бы один собственный вектор ех оператора Я, а в силу
следствия из леммы 2.1 совокупность векторов, ортогр-

106 Гл. 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве
нальных к е19 образует (п— 1)-мёрное подпространство /?х,
инвариантное относительно Н.
Рассмотрим теперь оператор Н лишь в (/г—1)-мерном
подпространстве /?1# Заметим, что лемма 2.2 остается
в силе для операторов, действующих не во всем
пространстве, а в любом инвариантном Подпространстве. Поэтому
в подпространстве /?2 существует собственный вектор е2.
Множество векторов из /?1§ ортогональных к е2, образует
(п — 2)-мерное подпространство /?2- В подпространстве /?2
снова можно найти собственный вектор оператора Я,
а продолжая этот процесс, получим п взаимно
ортогональных собственных векторов оператора Я, собственные
значения которых вещественны (согласно лемме 2.1). Тем
самым доказано первое утверждение теоремы.
Выберем полученные собственные векторы оператора Н
в качестве базиса. Тогда
Не1 = А,^,
Не2 '=■ А,2#2»
Неп = %пеп,
т. е. матрица оператора Н в этом базисе имеет вид
[^ 0 ... 0 ]
0 12 ... 0
I I *
(о о ... хп)
где все Х1 вещественны. Теорема доказана полностью.
Теорему 2.15 часто называют теоремой о приведении
эрмитова оператора к диагональному виду. Можно
также доказать более общую теорему: для всякого
унитарного оператора и в п-мерном комплексном
пространстве найдется ортогональный базис, в
котором матрица оператора Ц диагональна.
Необходимость в диагонализации эрмитовых и
унитарных матриц очень часто возникает как в математике
так и в физике,

Г л а в а 3
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
ФУНКЦИЙ
§ 1. Гильбертово пространство
До сих пор мы занимались /г-мерными пространствами.
Однако в физике, и особенно в квантовой механике, бывает
необходимо рассматривать бесконечномерные пространства
функций, важнейшим из которых является так
называемое гильбертово пространство !). Элементы гильбертова
Г
Фиг. 19.
-*~Х
пространства представляют собой комплекснозначащие
функции, определенные на интервале а<;.х;^# и
интегрируемые со своим квадратом. Понятие функции есть
обобщение понятия вектора в /г-мерном пространстве.
Чтобы пояснить эту мысль, проведем следующее
рассуждение. Разобьем интервал [а, Ь] на п отрезков, каждый
шириной е (фиг. 19), и на каждом из них выберем точку х'г
1) Определение гильбертова пространства см., например,
А. Н. Колмогоров, С. В. Ф о м и н, Элементы теории
функций и функционального анализа, вып. 2, М., изд-во МГУ, 1960;
Г. Е. Шилов, Математический анализ, специальный курс, М.,
Физматгиз, 1961. — Прим. ред.

108 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Возьмем значения / (х'\функции / (х) в этих точках. Теперь
функции / (х) можно сопоставить /г-мерный вектор
г=щ ■ =/«2л*э«.- <зл«
где еь — базисные векторы /г-мерного пространства.
Вектор /(/г) представляет собой лишь грубое приближение
к /(х). Однако чем больше п и чем меньше е тем, в
некотором смысле, ближе соответствие между /М и / (х).
Векторы вида /М образуют /г-мерное пространство,
в котором скалярное произведение естественно определить
формулой
|е/(»)(х;)^)(^;). (з.1б)
/=1
г = 1
При /г->оо размерность этого пространства растет,
а скалярное произведение (3.16) стремится, очевидно, к
ь
Поэтому естественно считать, что такой предельный
переход при /г —>оо приводит к бесконечномерному
пространству, в котором векторами служат функции, а скалярное
произведение определяется формулой
ь
(/.*)=//(*)*(*)<**- (ЗЛ в)
Таким образом, при переходе от /г-мерного пространства
к гильбертову суммирование должно быть заменено
интегрированием.

§ 2. Полнота систем функций
109
л->оо
Ь
Перед нами встают две проблемы: 1) какие функции
играют роль базиса в бесконечномерном пространстве?
2) как достаточно точно аппроксимировать любую
функцию, используя базисные векторы?
§ 2. Полнота систем функций
Прежде всего напомним некоторые определения.
Нормой функции называют число
= Нт [(/п)+ /пУ/2 =
ь -IV*
(Г(х)/(х)ах\ =[(\/(х)\Чх^\ (3.2а)
2 А
Функция / (х) называется нормированной на
интервале [а, Ь\, если
ь ь
/!*{х)/{х)йх= § \/{х)\2йх = \. (3.26)
а а
Две функции /г(х) и /2(х) называются
ортогональными на интервале [а, Ь]9 если
ь
(ГхМ/2(х)ах=0. (3.2в)
а
Система функций {//(*)} называется ортонормиро-
ванной, если
ь
///(*)/у (*)<** = 6,у.
В конечномерном пространстве система векторов т)1§
%» • • •» Лт называется полной, если каждый вектор этого
пространства может быть представлен в виде
т
2 а1у\1 (а1 — числа).
1 = 1
По аналогии с этим хотелось бы сказать, что система
функций /Ддг) (/=1, 2, ...) полна в некотором классе

ПО Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
функций /?, если любая функция из /? может быть
представлена в виде
/г->оо Ы\
(3.3)
Однако для стоящих перед нами задач это условие слишком
сильное, если в (3.3) требовать равномерную
сходимость ряда !), так как это сильно ограничило бы класс
функций, допускающих разложение по системе /г Для
наших целей вполне достаточно ограничиться требованием
сходимости в среднем, именно потребовать, чтобы
Нт Г
/(*>-2«//|(*)
1 = \
ах = о.
(3.4)
Разницу между этими двумя типами сходимости можно
видеть из фиг. 20. Если ширина пика в точке хх
стремится к нулю при й->оо и высота его не убывает, то
мы имеем сходимость в среднем, так как величина
интеграла не меняется при изменении величины
подынтегральной функции в изолированной точке; однако равномерной
сходимости здесь не будет. Заметим, что из равномерной
сходимости следует сходимость в среднем, но обратное
неверно.
1) Ряд сходится равномерно, если для любого заданного е
существует такое N. что для всех х в интервале а ■< х < Ь и
всех п > N выполняется неравенство
Прим. ред.
1 = 1
<е.—

# 2. Полнота систем функций
111
Итак, назовем систему функций полной в
пространстве /?, если любая функция из /? удовлетворяет
условию (3.4), которое в дальнейшем будет записываться
в виде
п
/(*)-= цт 2 «//*(*). (3.4а)
/2->оо 1 = 1
где знак = означает сходимость в среднем !).
Пусть задана полная ортонормированная система
функций. Поставим задачу: найти коэффициенты а[Л при
которых выполнялось бы условие (3.4), т. е. найти
разложение функции /(х) по системе /ь. Согласно определению
полноты, существует множество коэффициентов а9, для
которых
ь
\\т С\Оп\2ах = 0, (3.46)
л-»оо *
а
где
*) Обычное определение полноты некоторой системы Гфа}
элементов в каком-либо линейном нормированном (в частности,
в гильбертовом) пространстве Я состоит в следующем:
система 1фа} полна в ЯУ если для каждого элемента /^Я и
каждого е > 0 существует такая линейная комбинация г|?е =
п
= 2 а/Ф/ элементов фа, что
Н+е-/||<«-
Это условие, вообще говоря, более слабое, чем возможность
разложить / в ряд по элементам !фа}. Например, как будет
показано ниже (теорема 3.1), всякая непрерывная функция на
отрезке может быть сколь угодно точно приближена
многочленами /(х), т. е. линейными комбинациями функций 1, х% х2...
Вместе с тем она, вообще говоря, не может быть разложена
в ряд по этим функциям. Однако для ортонормированных
систем {//} в гильбертовом пространстве Я (а ниже понятие
полноты будет, в основном, рассматриваться именно для таких
систем) возможность аппроксимировать в смысле сходимости
в среднем любую функцию из Я линейными комбинациями
элементов из {//( равносильна тому, что всякая функция из Я
разлагается по {//} в сходящийся в среднем ряд. — Прим. ред.

112 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Положим
/=1
Выберем а1 так, чтобы §п было минимальным для каждого
конечного п (в смысле сходимости в среднем). Очевидно,
для минимального §п будет справедливо неравенство
ь ь
а а
Из (3.46) следует, что
Найдем теперь а,., которые минимизируют выражение
М= } \/(х)-^а1/1(х)
/ = 1
их
при конечном п. В силу того что / (х) — полная орто-
нормированная система, получим
Ь г- П
/=1
^л: =
- 2в1/ <*> /I <*>+2 в1 V/ (*} ^{х)
1 = 1 1 = 1
Ь п п
=/1/(*)1»й*-2*,<;-2Х<,+
а /=1 /=1
/г п п Ь
+2|в/12-2к*12+2|с/12=/|/и)12^+
/=1 /=1 /=1 а
/=1 /+1 1=1 1=1 1 = 1
* п п
= /|/(*)|2**+2к-'/1а-2к/12.
/ = 1
/=1

$ 2. Полнота систем функций
113
где
ь
с{= {/*(х)/(х)ах.
а
Так как минимум М достигается при аь = с1, мы получаем
ь
«,= //;(*)/(*)**• (3.5а)
а
Числа а1 называются коэффициентами Фурье
разложения функции / по ортогональной системе {/1\. Ввиду
простоты нахождения коэффициентов Фурье мы обычно
будем использовать в качестве базисных векторов полную
систему ортонормированных функций. Обратим внимание,
что когда коэффициенты а1 найдены по формуле (3.5а), то
ь п
нш [\/(х)\>ах-У.\С1\2=о,
ИЛИ
* оо
/|/(*)|яАк = 2|с/1а- (3-5б)
а * = 1
Равенство (3.56) обычно называют равенством Парсе-
оо
валя; из него следует, что ряд 2 \с112 сходится. Равен-
1=1
ство (3.56) выполняется только для полных
ортонормированных систем. Для ортонормированных (но не полных)
систем выполняется так называемое неравенство Бесселя
оо й
2>,12</|/(*)12<**-
/=1 а
Теорема 3.1 (теорема Вейерштрасса). Функция,
непрерывная на интервале а ^ х <С &> допускает в этом
интервале равномерное приближение многочленами.

114 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Доказательство1)- Совершим преобразование
х — а-\-&
с=-
>•— а + 2г '
е>0;
тогда 0<С< 1. Поскольку С связана с х линейно,
достаточно показать, что 1, С. С2. ... образуют полную си*
стему; тогда и 1, х, х2, ... также будет полной системой.
п мало
п велико
Фиг. 21.
Поэтому, ограничиваясь случаем О^л;^ 1, мы не
уменьшим общности доказательства. Обозначим через
йп{х — х0) следующую функцию:
Оп(х-х0) = Мп[\-(х-х0Пп 0<*0<1. (3.6)
где Ып — нормирующий множитель, определяемый условием
1
§ Оп(х — х<)ах=\ для 0<лг0<1. (3.7)
Функция [1—(х — х0)2]п изображена на фиг. 21. При
п—>оо она стремится к нулю всюду, кроме х = х0.
Обозначив у = х— х0, запишем (3.7) несколько иначе:
\-х$
{ «->2Тау = ±-
(3.8)
-х0
1) Приводимое автором доказательство теоремы Вейер-
штрасса — далеко не самое простое из имеющихся в литературе. —т
Прим. ред.

$ 2. Полнота систем функций
115
При п :> 1 в (3.8) интегрирование можно вести в
пределах от х0— 6 до х0-{-6 (смысл б ясен из фиг. 21).
Такая замена вводит ошибку порядка (1—У2)" 1у=б* т* е*
б
-б
Положив 6=1, можно переписать равенство (3.8) в виде
-щ- /О-УУ^У + ОО-боУ. (3.9)
-1
где 60 равно либо х0, либо 1 — х0 в зависимости от х0.
При больших п имеем:
1
-1
Докажем соотношение (3.10). Введем обозначение
1
-1
Тогда
1
/(л)= {0-у2)пау =
= УО-У2)п\и- }(-2у)п(1-у2)п-1уаУ =
-1
1
= _2« |(1_у2_1)(1__у2)"-1 ау:
-1
-1
= — 2п[1(п) — 1(п—1)Ъ
следовательно,
1
/(0)= /йу=2.

116 Гл. В. Разложения по ортогональным системам функций
Поэтому
2" 2(я-1) о
1+1 2 (л— 1)4-1
2*л1 (2"/г!)2
2п 2 (д-1) 2_
у^ —2/г+1 2(/г-1) + 1 "• ^ ~
(2/г+1)(2/г —1) ... ~~ (2/г+1)! *
Используя формулу Стирлинга1) 1п/г!^/г1п/г — /г,
получаем
1п/(/г)^2/г1п2 + 2/г(1п/г— 1)—(2/г+1)[1п(2/г+1)—1] =
= 2/г 1п 2/г — 2/г — (2/г -+ 1) [1п (2/г +-1) — 1 ] «
« 1п (2/г)! — 1п(2/г+1)!.
Следовательно,
(2/г + 1)! — 2/г + 1 '
Формула (3.10) доказана.
Пусть/(д:) любая непрерывная функция. Введем
функцию Рп(х), определив ее как
1
= § {(х')йп(х' — х)йх\ 0<а<х<»<1. (3.11)
о
Так как Вп есть многочлен относительно х> функция Рп
также представляет собой многочлен относительно х (после
интегрирования х' исчезает). Покажем, что
/(*)= Нт Рп(х). (3.12)
л-»оо
При хг ф х имеем:
Нт йп(х' — х) = 0 (3.13)
/2-»00
И
1
§ Оп{х' — х)йх=\.
1) Формула Стирлинга имеет вид Нт ——= = 1.—
^ Р п+оо У2лпп+Ч*е-п
Прим. ред.

# 2. Полнота систем функций
117
Следовательно, можно ожидать, что Вп ведет себя как
6-функция. Преобразуем выражение (3.11)
1
Ь. = ^/{хг)[\-{хг-хУ\пах\ (3.14а)
о
используя обозначение
у = хг — х.
Запишем (3.14а) в виде
1-Х
■щ= / /(У + х)[1-у*]пау- (3.146)
-X
Интегрируя в пределах от —б до б, перепишем (3.146)
следующим образом:
б
Ж= //^ + ^)'1~>'21Л^ + 0[тах/-(1-б2)ЛЬ(ЗЛ4в)
-б
где через тах/ обозначено максимальное значение /(х)
на „обрезанном" интервале. По определению непрерывной
функции
|/(* + У)— /(*)|<е Для У<Ь,
следовательно,
п -б V -б /
+ 0[тах/-(1 — б2)"]. (3.14г)
Из (3.11) и (3.14г) получим
1 б
/ / (*') Вп (*' - х) ах' = Мп/ (х) | (1 - уГ йу +
О -6
г б
+ 0 еЛ7я {(1-у2)пау
+ 0 [Мл тах/ • (1 — б2)"] =
-б
= / (х) + О (е) + О [Мп (1 - 62)^ тах /], (3.15)

118 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
где было учтено, что
б
#л /О—У2)я^у=1.
-б
Теперь из (3.15) и (3.11) следует равенство
1
Шп /%(*)= Пт Г / (*') 0Я (*'— х)ах'=/(х), (3.16)
/2->00 /2->00!^
иначе говоря,
/(*) = Ит /%(*).
л->оо
что и требовалось доказать.
Из теоремы Вейерщтрасса непосредственно вытекает,
что система функций 1, х, х2, ... полная. Это следствие
будет часто использоваться в дальнейшем. Теорема Вейер-
штрасса допускает обобщение на случай функций
нескольких переменных; в частности, из нее вытекает, что в
пространстве функций двух переменных полна система
[хтуп] (т. я=1, 2, ...). (3.17)
§ 3. Примеры полных ортонормированных систем.
Ряды Фурье
Рассмотрим функции, определенные на окружности.
В этом классе функций полная система1) имеет вид
[$\птх, со$тх} (т = 0, 1, 2, ...). (3.18)
Система (3.19) не только полна, но и ортогональна на
интервале (0, 2л;), в чем и состоит ее существенное
отличие от системы 1, х, х2, .... Используя формулы
еШх ] с-1пх
С05 ПХ = -^ ,
(3.19)
51П ПХ = й ~~ »
г) Полнота этой системы доказывается так же. как это
делалось выше. — Прим. ред.

$ 3. Примеры полных ортонормированных систем 119
можно из системы (3.18) получить систему
1, е±1х, е±21х„... (3.20)
Эта система полна и ортогональна на интервале (0, 2я)
[или на интервале (—я, я)]. Ортогональность ее следует
из равенства
2я
{ ешхе1пх ах = 0 при пгфп. (3.21)
Пусть далее на интерзале (—я, я) определена
функция /(х), периодически продолженная на всю числовую
ось с периодом 2я, т. е. /(лг) = /(лг + 2я). Возникает
вопрос о разложении этой функции в тригонометрический
ряд [в ряд по системе (3.18)]:
/ (*) = -у- + V (ап соз пх + Ьп зш пх), (3.22)
где коэффициенты ап и Ьп однозначно определяются видом
функции /(л:). Коэффициенты ап и Ьп должны быть
такими, чтобы ряд (3.22) был сходящимся, причем именно
к функции /(л:). Ниже будет доказана сходимость этого
ряда (теорема 3.2). Сейчас определим коэффициенты ап
и Ъп, предполагая возможность такого разложения.
Предварительно выпишем следующие равенства:
Г соз пх соз пгх их = я6тл, (3.23)
■я
я
I 31П пх соз гпх йх = 0, (3.24а)
-я
п
Г 31П пх 31П пьх йх = лЬщп, (3.246)
-я
я
—я
я
-я

120 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
которые легко проверить непосредственно. Докажем,
например, (3.246):
51П ПХ • 51П ШХ = у [С05 (П — Ж) X — СОЗ (ГП + П) X],
л
;1 Iя
соз Ах (1х = -х$[пАх\ =0, если А ф 0; (3.25)
А 1-я
-я
я
I ах = 2л. (3.26)
-л
Из (3.25) и (3.26) следует (3.246). Аналогично
доказываются и равенства (3.23) и (3.24а). Чтобы формально
вычислить коэффициенты ап и дп, допустим, что ряд (3.22)
можно почленно интегрировать. Интегрирование лает
л
[/(х)ах = -тЦ- 2я.
-л
л
а0=1 Г /(х)ах. (3.27а)
-л
л
Г / (х) соз пх их = яаЛ,
-я
л
ап = — Г / (х) соз я* йх%
-л
л
Г / (х) 31П ял; г/л; = л&п,
-л
л
Ьп = — Г / (х) 31П я* г/лг.
следовательно,
Аналогично
(3.276)
(3.27в)
Ряд (3.22) с коэффициентами ап и Ьп, определяемыми
по формулам (3.27), называется рядом Фурье функции

$ 3. Примеры полных ортонормированных систем 121
/(л;), а сами коэффициенты — коэффициентами Фурье
этой функции.
Полученные формулы легко обобщаются на случай,
когда функция /(х) имеет произвольный период 2/,.
Можно записать разложение в ряд Фурье для этой
функции, положив
я
у = -гх.
где — я <; у ^ я и соответственно — Ь ^ х <С /,. Для
функции Г* (у) = / [(Цл) у], полученной после такой
замены, верны формулы (3.22), (3.27). Возвращаясь к
старой переменной, найдем разложение в ряд Фурье для
функции /(л:), определенной на интервале (—/,, /,):
оо
/(^) = -^ + 2(а«С08-^ + *»8!п^Т1)' (3-28а)
где
«о = т (/(х)ах,
-/.
ь
ап = ^ ^/(лг)со5^</л;, (3.286)
-/.
ь
ьп = Т ) /(х)^п-гах,
-/.
Используя формулы Эйлера, можно записать ряд Фурье
в комплексной форме. В такой записи ряд Фурье
функции /(л:), определенной на интервале а ^ х <^ Ь, имеет
вид
оо . 2тЯ
/(*)= 2 Ате"*=*х. (3.29а)
т= —оо
где
Ь . 2лт
Ат = Т±7)/(х)е-'>>-«хах. (3.296)
а

122 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Однако, получая формулы (3.28) и (3.29), мы исходили
из предположения о том, что ряд (3.22) можно почленно
интегрировать. Поэтому остается еще доказать
разложимость функции в ряд Фурье. Чтобы доказать возможность
такого разложения, необходимо показать, что ряд (3.28)
или (3.29) действительно сходится к функции / (х). Это
будет сделано в теореме (3.2). Прежде чем перейти к ней,
введем следующее определение.
Функцию, заданную на интервале [а, Ь], называют
кусочно-дифференцируемой, если она дифференцируема
во всех внутренних точках этого интервала, за
исключением лишь конечного числа точек, в которых сама функция
и ее производная терпят разрыв, но имеют конечные
правые и левые предельные значения. На концах интервала
должны быть конечные предельные значения (правое или
левое соответственно).
Теорема 3.2. Кусочно-дифференцируемая функция
/(л:), определенная на интервале (—я, я) и
удовлетворяющая условию /(я)=/(—я), может быть
представлена рядом Фурье, который сходится:
1) к значению функции во всех точках, где функция
непрерывна,
2) в точках разрыва непрерывности к значению
-^[/(*о+) + /(*о-)Ь
где /(х0_) и /(х0+) суть предельные значения функции
в точке разрыва соответственно слева и справа.
Доказательство. Докажем сначала первое
утверждение, а затем второе.
1. Пусть функций /(х), определенная на интервале
(—я, я), удовлетворяет условию
/(*) = /(-я) (3.30)
и пусть производные этой функции имеют не более чем
конечное число разрывов непрерывности, причем во всех
точках разрыва скачки конечны. Мы должны доказать, что
оо
/ (х) = -^- -+- ^ (ап С08 пх + ^лз1п пх)> (3.31)
л = 1

$ 3. Примеры полных ортонор миро ванных систем 123
где
ап = — Г /(х)со$пхс1х, Ьп = — Г / (х)ъ\ппх их.
-я -л
(3.32)
Покажем сначала, что ряд справа в (3.31) сходится
к некоторому пределу. Рассмотрим ряд Фурье функции
, оо
■у + 2 (а'п С08 Л;с + ^л 8*П ПХ\ (3«33)
л = 1
где
я я
ал = — § /' (х) соз л* ах, К = ~ / /' (*) 5*п Л* <**•
-я -я
(3.34)
Согласно неравенству Бесселя, которое здесь применимо,
ибо система {созялг, 51п пх)—ортонормированная система,
имеем:
~ '2 . .'2\
(3.35)
2(«л + #л ) < ОО.
Л=1
Из неравенств
оо
л«1
вытекают неравенства
а
2:т<<+-Ж' 2-^<^+ж- <3-36>
Из (3.35) и (3.36) найдем, что
2
— 4- —
п ' л
< оо.
(3.37)

124 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Так как по условиям теоремы /(х) дифференцируема,
то справедливы равенства
— \ /(х)$\ппхс1х=х
г , ч С05 ПХ Iя . 1 С лг / \ -»
= -}Ю-Ш-\_л + -Ш ] /'Юсагпхах.
тг/'ю
С08 ЯЛ ЙЛГ =
= /(*)
з!п ял:
я/г
-я
л
— I /'(*) 8*п #* <**.
которые можно [учитывая (3.32) и (3.34)] переписать в виде
К1 =
(3.38)
Из (3.37) и (3.38) следует, что ряд Фурье функции / (х)
оо
5 (х) = -Щ- -\- V (ап сов пх + Ьп 81П /глт) (3.39)
/2 = 1
сходится.
Остается показать, что ряд Фурье функции /(х) сходится
именно к значению этой функции, т. е. что
оо
5 (*)=-%-+2^ (апсо5 пх+^8*п **)=/ (*)•
/2=1
Для этого заметим, что как /(д:), так и 5(лг)—
непрерывные функции, причем их ряды Фурье имеют один
и тот же вид. Рассмотрим функцию
Ф(*) = /(х) —5(х). (3.40)
Так как все коэффициенты Фурье в разложении этой
функции равны нулю, то ф(лг) ортогональна ко всем
функциям системы {совпх, ъ'шпх]. Но система [со$пх$
$\ппх} — полная система, поэтому ф(л:) должна быть

$ 3. Примеры полных ортонормированных систем 125
тождественно равна нулю на интервале (—я, я).
Следовательно,
/(*) = 5(*),
что и требовалось доказать в первой части теоремы.
2. Обозначим частичную сумму ряда Фурье функции
/(х) (имеющей одну точку разрыва непрерывности с ко«
нечным скачком) через
5.(х)в^ + 2(аРсов^ + *р81п^). (3.41)
где я0, ар и Ьр определяются формулами (3.286).
Определим функцию О (лг), такую, что
О (х + 2Ь) = О (*), (3.42)
^2~ (А — л:) при 0 < х -< /,,
(3.43)
Я(*) =
-2Г(^— И) при —/,<*<()
Из (3.43) вытекает, что О (0+) = — = — О (0_). Определим
коэффициенты Фурье и частичную сумму ряда Фурье 6'л (х)
для функции О(лг). Имеем ар = 0, ибо функция Д(лг)
нечетная, а функция созл: четная; далее,
I
а0 = -~ § О(х)йх = 0, (3.44)
йр = 4- {оМ&п-^ахфО. (3.45)
/2
5°И Ь.0 = %Ьр$т^\ =0. (3.46а)
„-1 ,дг=0
Следовательно,
1
Нш $?(0) = 0 = 4-10(0+)+ 0(0-)]. (3.466)

126 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Рассмотрим теперь более общую функцию /(х), имеющую
в точке х0 разрыв [/ (х0+)Ф/(х0_)], и введем
вспомогательную функцию
Р(х) = / (х) - [/ (х0+) - / (х0_)] О (х- *о);
тогда
Р (*о+) = / (*о+) - 4" [^ <*о+) - / (*о-)] =
= 4-[^^о+) + /(^о-)] =
= / (*о-) - [/ (*о-) - / (*о+)1 4" = Р (*<>-)•
Таким образом, мы доказали, что введенная нами
функция Р (х) непрерывна. Обозначим теперь частичные суммы
ряда Фурье функций Р(х), / (х) и й (х — х0)
соответственно через 2лС*)» $п(х) и $п(х). Имеем
2, (х) = 5„ (х) - [/ (х0+) - / (х0_)] 8° (х - х0),
и так как из (3.46а) следует, что 8% (х0) = 0, то
2Л*о) = 5Л*о). (3.47)
Переходя к пределу при п->оов равенстве (3.47), имеем
Ит8п(х0)=Ит 2„ (*<>)• (3-48)
'/2->00 /2-»00
Но ввиду непрерывности Р (х)
\\т 2Я (*о) = "о I/ (*о+) + / (*о-)Ь
л-»оо ^
и, следовательно,
Пт Зп(х) = Т[/(х0+) + /(х0_)]ш
/2->оо ^
что и требовалось доказать.
Отметим, что если в точке х = х0 функция / (х)
непрерывна, то
Нт 5л(*о) =/(*<))•

$ 3. Примеры полных ортонортированных систем 127
как и следовало ожидать. Можно доказать теорему 3.2
и для функций с конечным числом разрывов
непрерывности. Для этого нужно, введя функции
повторить рассуждения, аналогичные проведенным выше,
для функции с одним разрывом.
Замечание. Если / (х-\-21) = /(х), то ряд Фурье,
имеющий период, равный 2/,, представляет функцию
на всей оси — оо < х < оо, но если / (х + 2/,) ф /(х),
то ряд Фурье сходится к /(х) только в интервале
— /,<* </,.
Теорема 3.3 Если функция / (х) такова, что ее
можно разложить в ряд Фурье на интервале
О ^х 4-^» то она может быть представлена либо
в виде
/2=1
либо в виде
п = \
т. е. /(х) можно разложить либо только по
$\п(плх/Ь), либо только по соз(плх/Ь) на интервале
от О до Ь.
Доказательство. Пусть
' {Х)~\/(\х\) при *<0.
Для Р{х) коэффициенты Ьп = 0, ибо Р (х) четная функция,
а $т(плх/Ь) нечетная; таким образом, ряд Фурье
функции Р (х), представляющей / (х) на интервале 0 ^ х ^ /,,
будет содержать только косинусы. Для такого ряда
Ап = ~}/(х) соз ~ йх% Вп = 0.

128 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Аналогично, положив
/(х) при х > О,
0 (*)'— I
■/(\х\) при х < О
и разложив О в ряд Фурье, найдем, что ввиду
нечетности О ее ряд будет содержать только члены с синусами.
Для такого ряда
ь
Вп = т § /(х)$\п^^-ах, Ап = 0.
о
Теорема доказана.
§ 4. Интеграл Фурье
Разложим / (лг) на конечном интервале —Ь <^ х < Ь
в экспоненциальный ряд Фурье:
* (тя/1) х .
/(*) = ^Лте
~оо \~—1*
Введем следующие обозначения:
ецтящхи (3.49а)
ВФпд= {/(х)е-1***ах;
тогда (3.49а) можно переписать в виде
со
С помощью ряда (3.496) можно представить функцию
заданную либо на интервале (—I, /,), либо периодическук
функцию с периодом 2Ь.

$ 4. Интеграл Фурье
129
Пусть теперь / (х) определена на всей числовой оси.
Взяв любое достаточно большое /,, можно представить
/(х) на интервале (—/,, /,) в виде ряда (3.496).
Поставим перед собой задачу — найти форму представления
функции в случае, когда в формуле (3.496) /,->оо.
Поскольку 1/2/, = Д/гт/2л, запишем (3.496), используя
введенные выше обозначения:
оо
/(*)= 2 ё(кт)е1к™*Ькт12л. (3.49в)
к„= —оо
т
Переходя в (3.49в) к пределу /,->оо (и, следовательно,
А^т —> 0) и заменив в пределе сумму интегралом, мы
получим так называемое разложение в интеграл Фурье:
оо
— о»
оо
— ОО
запишем разложение в интеграл Фурье в более
симметричном виде:
оо
/(х) = -Д=- §к(к)е1кхак, (3.50а)
— ОО
ОО
к(к) = —=г § /{х)е-1кхй*, (3.506)
— ОО
Функцию /(х) в (3.50а) называют фу ръе-преоб разова-
нием Н(к), а Н{к) называют фурье-образом.
Конечно, проведенное выше рассуждение ни в коей
мере не является доказательством того, что / (х) можно
аналогично
Положив

130 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
представить в виде (3.50). Можно показать1), что такое
представление возможно при определенных условиях
Разложение функции в интеграл Фурье допускает
обобщение на случай функций нескольких переменных.
Рассмотрим кратко случай двух переменных. Предположим,
что
1) функция /(х, у) определена на всей плоскости
(— оо <; л; <; оо, — оо<у<; оо);
2) существуют производные [д/ (х, у)]/дх и [д/ (х, у)]/ду;
3) при фиксированном х существует
оо
— оо
а при фиксированном у —
оо
]* / (*. У) их.
— оо
Применяя при фиксированном у формулу Фурье (3.50),
получаем
оо
/(*. У) = у=- / *(У- А,)*'*1***!. (3.51а)
— ОО
оо
к (у, *1) = у=Г //(*. у)е-'**х<1х. (3.516)
— ОО
Зафиксируем теперь в (3.516) значение к1$ а затем
применим к функции Н (у, кх) формулу Фурье. Получим
ОО
к (у, *1) = тт=- /*(*!• ^е1к^йк2. (3.52а)
|/"2я
*(*,. *2)="р=- /А (У. кх)е-1к*уйу. (3.526)
— ОО
ОС
1
— оо
1) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс
дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, М. — Л., Физматгиз,
1960.— Прим. ред.

$ 4. Интеграл Фурье
131
Подставляя теперь (3.52а) в (3.51а) и (3.516) в (3.526),
получаем искомые формулы Фурье для функции двух
переменных:
оо оо
/<*• У) = ~к /й*1 { ак^(.К к^е1^х+к^ (3.53а)
— ОО —ОО
оо оо
е(К *2) = ^г {ах {ау/(Х, у)в-'(*1*+*«й. (з.бзб)
-оо —оо
Рассуждая аналогичным образом, нетрудно получить фу-
рье-преобразование для функции трех переменных:
/ (х, у,г) = / (г) = ^1^ / е (к) е*-* <*3к, (3.54а)
по всему
пространству
*(А,Л.*з) = *(10==7ГдГ Г /(«•)«-гк-гй3г. (3.546)
по всему
пространству
где
(Щи = йкх йк2 йкъ* ^Зг = йгх йг2 йгг = их йу их.
Пример 1. Фурье-преобразование Ъ-функции
Дирака. Применив к 6-функции формулы (3.50), получим
оо
6 (х — х0) = -±= ГИ,{к)е1кх(1к, (3.55а)
— оо
оо
Н {к) = -1=. / 6 (* — х0) «"'^ их.
Используя определение 6-функции, последнее равенство
можно преобразовать таким образом:
оо
А(*) = -р= {б(х-х0)е-"«ах = у^ге-"г\ (3.556)

132 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Подставив (3.556) в (3.55а), получим следующее
разложение 6-функции:
оо
6 (х - *о) = -у=- ( е1" (х-х°] Ок. (3.55)
— ОО
Итак, фурье-образ 6-функции есть постоянная. Формула
(3.55) часто используется в квантовой механике.
Выражение для 6-функции в трехмерном пространстве имеет
следующий вид:
оо
63(г~Го)=7^г К(г"Го)<*3к- <3-56)
— оо
Пример 2. Применение формулы (3.56) для
решения волнового уравнения. Запишем волновое
уравнение:
□2ф==у2Ф-^5- = 0. (3.57)
Можно показать !), что в любой заданный момент времени
решение уравнения (3.57) будет иметь вид
ф (г, о = -^- / е ^. О е*" а*к ((Рк = акхак2ак^.
(3.58)
Используя (3.58), легко написать следующие два равенства:
Г(Р = "тЛ/7 Г8*• '>(~&2)е'кГ<**• (3'58а)
•^ = —1— Г^(к, *)е1к'г(Рк. (3.586)
Подставляя (3.58а) и (3.586) в уравнение (3.57), получаем
П2Ф = 0 = -^Д-к^(к, {)-±ё{к. 0]^к'г^3к.
(3.59а)
!) См., например, А. Н. Тихонов, А. А. Самарский.
Уравнения математической физики, М., Гостехиздат, 1953. —
Прим. ред.

$ 5. Эрмитовы операторы
133
Умножим подынтегральное выражение в (3.59а) на е~1 °'г
и затем проинтегрируем по г (по всему пространству).
Получим:
]>пГ/к°,г ^зкГ_к2^(кэ г)__^(кэ *)]*/к"г =0.
(3.596)
Учитывая (3.56), можно переписать соотношение (3.596)
в виде
/ 63 (к - к0) [-к*е (к, 0 - ± % (к, 0]^3к = 0. (3.59в)
Согласно определению б-функции, из равенства (3.59в)
при произвольном к0 следует уравнение:
-А2г(к, 0—^г(к. 0 = 0; (3.60)
решая его, найдем
^(к, *) = Аъе™ + Вке-ш. (р = Кс) (3.61)
Таким образом, окончательно имеем следующий общий
вид решения уравнения (3.57):
ф (г, 0 = —Цг-1 [Аке* 1*-г+<*\ + Вке* №-г-®/1] ^зк> (3.62)
Из (3.62) следует, что общее решение волнового
уравнения представляет собой суперпозицию плоских волн
(описываемых частными решениями).
§ 5. Эрмитовы операторы
В гл. 2 было установлено, что в конечномерном
пространстве собственные векторы эрмитовой матрицы
(такая матрица в конечномерном пространстве
соответствует эрмитову оператору) образуют полную ортонорми-
рованную систему. Теперь мы в состоянии распространить
этот вывод на гильбертово пространство. Напомним
свойства эрмитова оператора Н.
1. Эрмитов оператор Н линеен:
И (а<р + Щ = аЯф + ЬЩ, (3,63)
где а и Ь — константы, а ср и ^ — векторы.

134 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
2. В /г-мерном пространстве эрмитова матрица
определяется требованием Н = Н* (т. е. Нц = #7/).
Пусть Н — эрмитова матрица и пусть г^ и г|э2 — любые
два вектора. Тогда
и, следовательно,
№ И%У=2 %н;$и = 2 №и%=У Щ>
наоборот, из равенства
следует, что оператор И — эрмитов:
(^Н%у = ^Н% (3.64)
Для операторов, действующих в гильбертовом
пространстве, равенство (3.64) можно принять за
определение эрмитовости.
Итак, линейный оператор Н в гильбертовом
пространстве называется эрмитовым, если условие
((г|)*#ф а%\* = | ф*#г|) ах (3.65)
выполняется для функций, принадлежащих к некоторому
классу допустимых функций.
Мы будем иметь дело только с классом допустимых
функций, элементами которого являются вещественные
или комплексные функции п переменных хг, х2, ..., хп,
определенные в области й и дифференцируемые столько
раз, сколько это необходимо для выполнения условия (3.65).
Вообще говоря, функции, принадлежащие к допустимому
классу, должны быть интегрируемы конечное число раз
и иметь конечное число разрывов непрерывности, а
область й должна быть областью вещественного
пространства; кроме того, обычно требуется, чтобы функции г|)
были либо равны нулю на границе области, либо
удовлетворяли условиям периодичности*

$ 5. Эрмитовы операторы
135
Пример 3. Рассмотрим оператор
дифференцирования й1 их. Пусть
/1,2(«)=/1.2(*) = 0;
тогда
=-(/^/.^)
Таким образом, оператор (Цйх — неэрмитов; легко
проверить, однако, что оператор (\/1)(с1/с1х) — эрмитов.
Замечание. ра = (/?//) (й1йх\ — оператор импульса
в квантовой механике.
Пример 4. Рассмотрим оператор двукратного
дифференцирования сР1йх2. Пусть пространство состоит из
непрерывных периодических функций / (х):
/(* + 2ф = /(*).
Тогда
/а2 й | /• й/\ а/2
^ I + 5ь-шКйх= 1**1[* Я**;.
их
отсюда
-/. -/, \-/. /
и, следовательно, й2/(1х2— эрмитов оператор.
Замечание. Оператор кинетической энергии в
квантовой механике имеет вид Е = — ф2/2т) {й21(1х2)\
следовательно, он эрмитов.
В /г-мерном пространстве собственные значения Хт
эрмитовой матрицы Я, определяемые уравнением
НЧ>т — К<Рт>

136 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
вещественны, причем
т ^т тт
И
Ч)тЧ>п = Ьтп. (ЛеММа 2Л)
Наконец, если операторы А и В эрмитовы, то
операторы АВ-\-ВА и (1/1) (АВ — В А) также эрмитовы.
В гильбертовом пространстве введем следующее
определение.
Функция г|) называется собственной функцией
эрмитова оператора //, если она удовлетворяет уравнению
#г|) = Ь|). (3.66)
Теорема 3.4. Если Н — эрмитов оператор, а г|)т
и г^ — две собственные функции этого оператора,
соответствующие собственным значениям %т и %п,
т. е. удовлетворяющие уравнениям
НЪт = КЪт (3-67а)
Щп = ХпЦп, (3.676)
то %т и Хп — вещественные числа и при Хт Ф Хп
{^тЬаХ = °- (*-68)
Доказательство. Нормируем ^>т и г|)л так, чтобы
Умножая обе стороны уравнения (3.67а) на г|У^ и
интегрируя, получаем
К=(€>Н^таХ- (3-69а)
Из (3.69а) имеем
*;=(/С"г,<Н*- (3,69б)
Но в силу (3.65)

§ 5. Эрмитовы операторы
137
Таким образом, из равенств (3.69) видно, что %т = %пи
и, следовательно, Хт — вещественное число. Для
доказательства соотношения (3.68) умножим равенство (3.676)
на г|)^, а равенство (3.67а) на г|)* и затем проинтегрируем
их. Получим
К {№„<** = {№*„**•
НО
/ <Щп ах = (/ №% ах)* = { фян% ах,
следовательно, из (3.70) имеем
ИЛИ
Отсюда при %т ф Хп вытекает, что
Теорема доказана.
Теперь ясно, что собственные функции эрмитова
оператора образуют ортонормированную систему
1^т\ах = Ьпт. (3.72)
Пример 5. Система тригонометрических функций
{соз/глг, §\ппх) является системой собственных функций
оператора й21йх2. Действительно, это следует из того,
что решения уравнения
(3.70а)
(3.706)
(3.70в)
(3.71)
7&г/ = -*2/' <3'73а>

138 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
имеют вид
С соз пх \
/= . • (3.736)
Решение (3.736) будет периодическим при & = шт/А и
вещественным, причем собственные функции оператора
а2/ах2 образуют полную ортонормированную систему.
Рассмотрим теперь произведение эрмитовых операторов.
Пусть А и В — эрмитовы операторы; тогда
I га (В$) ах = [{(В$у а/ ах\* =
= / В $ (А/)* ах = [I ё* В (А/) ах\*. (3.74)
Следовательно, если АВ = ВА, то оператор АВ также
эрмитов. В частности, оператор Ап эрмитов. Заметим, что
операторы АВг-\-ВА и (\/1)(АВ — В А) всегда эрмитовы,
если А и В эрмитовы.
Однако в цепочке равенств (3.74) недостаточно
потребовать, чтобы функции / и ^ принадлежали к
допустимому классу: необходимо, чтобы и А/, и В$ также
принадлежали к допустимому классу. Аналогичным образом
можно утверждать, что Ап эрмитов оператор, если только
известно, что функции гр, Лг^ ... Ап~1^) также
принадлежат к допустимому классу.
Так, оператор ра (пример 3) эрмитов на множестве
функций, принимающих нулевые значения на границах
области своего определения. Легко показать, что р2а при
таких условиях будет эрмитовым, но рАа уже не будет
эрмитовым оператором. Если же рассматривать множество
периодических функций, то, поскольку р$ будет
периодической функцией, а следовательно, таковой будет и
любая функция вида р^р, оператор р^ будет эрмитовым.
§ 6, Полиномы Лежандра
В теореме Вейерштрасса было доказано, что система
{1, х, х2 . . .} полна на интервале— 1 < х < !• Однако
легко видеть, что эта1 система не ортогональна. Используя

$ 6. Полиномы Лежандра
139
метод ортогонализации, можно из системы {1, х, х2 ...}
построить ортогональную систему. При этом нужно
удовлетворить двум требованиям: во-вервых, п-я функция
новой системы должна быть полиномом /г-й степени и,
во-вторых, быть ортогональной ко всем функциям с
меньшими номерами. Как можно показать, эти два требования
определяют функции новой системы с точностью до
постоянного множителя. Таким образом, если обнаружится,
что существует какое-либо другое множество
ортогональных на интервале (—1,1) функций, п-я функция которого
является полиномом /г-й степени, то эти функции должны
будут с точностью до нормирующего множителя совпасть
с функциями, полученными методом ортогонализации;
в случае если нормирующий множитель в обеих системах
один и тот же, то такие две системы функций
тождественно совпадают.
Используя метод ортогонализации, построим несколько
первых функций рассматриваемой системы. Будем через
рп(х) обозначать полином /г-й степени, ортогональный ко
всем полиномам меньшей степени. Положим
р0(х)=1.
Так как х ортогонален единице, то
Рг (х) = х.
Далее, хотя функция х2 и ортогональна к х, но она не
ортогональна к единице. Методом ортогонализации найдем
полином второй степени, ортогональный к единице и к лг.
Рч (Х) = X2 + а1Х + а2*
Запишем условия ортогональности р2(х) к р0(х) и рх(х):
1
Г (х2 + а^ + а2*) * их = О
-1
1
Г (х2-\-ахх-\-а21) х (1х = 0.
-1

140 Гл. 3. Разложения по ортогональным Системам функций
Из этих уравнений найдем а2 и ах:
1
— I х2 их
_ -1 1 •
а2— 5 — — з",
/**
-1
1
— I хъ их
Следовательно,
к2 ах
-1
р2(х) = х2 —
Однако найденные нами полиномы нулевой, первой и
второй степеней хотя и ортогональны, но не нормированы.
Из условий нормировок
1(МоРоуах=\,
■1
1
-1
1
((М2р2?ах=\
-1
1
-1
1
-1
найдем, что следующие полиномы ортонормированы:
У "2 Р2 = у 2" Т Г — "3 ) Р2 = ^Р2-
Ро>
Р\

§ 6. Полиномы Лежандра
141
Продолжая этот процесс дальше, можно было бы
показать, что ортонормированный полином * /г-й степени
имеет вид
\/'Щ1Рп(х) (»=1. 2,...).
где Рп (х) вычисляется по так называемой формуле Род-
рига
Рп (*)= 2^7 -Е?(х2 ~ 1)Я (» = 1 • 2, • • •)• (3.75)
Вместо того чтобы проводить весь процесс ортогонализа-
ции, мы докажем непосредственно следующую теорему:
Теорема 3.5. Функции вида
|/"2я±1/>л(х) (Я= 1, 2. ...). (3.76)
где Рп(х) определяются формулой (3.75), образуют
на интервале — 1 ^ х <С 1 полную ортонормирован-
ную систему.
Доказательство. Полнота системы следует из
того, что Рп (х) является полиномом /г-й степени на
интервале — 1 < х ^ 1 (теорема Вейерштрасса). Остается
лишь показать, что эта система ортонормирована, т. е.
что справедливо соотношение
1
/ Рп (*) Рт (*)<** = Ьпт 2^ГГ • <3'77)
-1
Положим для определенности п > т. Используя (3.75),
перепишем левую часть (3.77) так:
1
]>„(*) Л» (*)** =
-1
1
= ШТ 2^Г / -& <** " V & (*2 - \Г их. (3.78)
-1

142 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Возьмем интеграл справа по частям:
-1
{■&&-*Г-&Г&-1Г*Х:
<п-\
йхп'-1
(*2_1)* * (*2_1)
йхт
ги + 1
-1
— /
ап~1
Лхп~1
т + 1
.&-\у*^{х*-\Гйх.
-1
Здесь
ап~1
йхп~*
{х2-\Т^{х2-\)
= 0,
так как (х2—\)п является полиномом относительно
выражения (х2—1), равного нулю, при х=± 1. Повторяя
интегрирование по частям п раз, получаем
(Рп(х)Рт(х)ах =
-1
1
= * , , Г(-1)л(*2-1)
я 4т*"(л?-\)т
ах
т\п
-йх\
так как п > т, то п-{-т> 2т, поэтому
лп + т
Тгп(Х2-\Г = 0
йхп
и, следовательно, для т Ф п
1
-1

$ 6. Полиномы Лежандра
143
Рассмотрим случай т = /г. В этом случае
1
{рп(х)Рп(х)ах =
-1
1
= Т^ПГ(-1)Я /(*2-1Г-5г(*2-1)Я^
но
г]2П
да-(*2-1)л = (2«)!;
так как полином (л;2—\)п обязательно содержит член
вида х2П, причем все остальные его члены—меньшей
степени, то его производная 2/г-го порядка равна (2/г) !.
Таким образом,
1 1
/ Рп (х) Рп (х) ах = (-1)" ^у2 (2/г)! / (х> - I)" ах;
-1 ' -1
применив подстановку лт = 51П0, получим
1 Я/2
/ рп {х)рп (х) ах = (~*У! / (зш2 е- 1Гсоз е <*е =
-1 -я/2
Я/2
_(2л)1_ г Соз2л+1 е^е
(2пп\)2 } С°5 КЗаК3'
-я/2
Значение последнего интеграла легко вычислить с
помощью рекуррентной формулы:
Я/2 Я/2
Г со§2п+1вав = 2 § соз2л+1е^е =
-Я/2 О
_д 2лг(2/г — 2)(2/г — 4) ... _ 2-22/|(/г!)2
^ (2пН- 1) (2лг — 1) (2/г — 3) ... (2/г+1)1 "
Теперь ясно, что
1 Я/2
^РЛх)^йх=-^ I соз2"-ы9й0 =
-1 -Я/2
_ (2/г)! 2 - 22/г (п !)2
(2% I)2 (2л+1)! — 2л+ 1 '

144 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
таким образом, мы доказали, что
{рп(х)Рт(х)ах = ьтп
2п+1
и что система функций (3.76) полна, тем самым завершив
доказательство теоремы.
Теорема 3.6. Полином Рп{х) в точке х=\ равен
единице:
Ял(1)=1. (3.79)
Доказательство. Положим х=\-\-г и
рассмотрим Рп(х) при е->0+. Заметим, что
(л:2 — \)п = (х + \)п (х — \)п = гп (е + 2)п.
Так как
а а а
ах 4(1 +г) а1*'
то
(*2-1)
ап
Х->1
= ^7Г^(2 + е)Л]
а&п
1е->0
= [^е"](2 + ег|^о+[^-е«]^(2+е)"
е->0
+ •■
п\
...=л!2Л + -^2.е + ... =/г!2Л,
'е->0
ибо все члены, кроме первого, содержат степени 8 и,
следовательно, обращаются в нуль. Таким образом,
\\тРп(х)--
1 ап
е->0
2пп\ ахп
(х2—1)п
= 1,
х->\
и равенство (3.79), а тем самым и сама теорема доказаны.
Замечание. Три требования: условие нормировки
для /г-й функции
Л,0)=1.
ортогональность системы (3.76) и требование того, чтобы
/г-я функция была полиномом /г-й степени, однозначно
определяют полиномы Лежандра.

$ 7. Мультипольное разложение
145
§ 7. Мультипольное разложение
В этом параграфе мы рассмотрим применение
полиномов Лежандра в решении физической задачи о муль-
типольном разложении поля некоторого
распределенного заряда и одновременно получим ряд полезных
результатов, касающихся свойств полиномов Лежандра.
Вообще говоря, свойства полиномов Лежандра можно
рассматривать в ином порядке, чем это сделано выше, начав
с некоторых фактов, которые мы сейчас установим.
Можно получить изящное выражение для полиномов
Лежандра, используя методы, возникшие при решении
проблем электростатики. Пусть заряд занимает конечный
объем и плотность заряда задана функцией р(г).
Рассмотрим поле, создаваемое этим зарядом на расстояниях много
больших, чем линейные размеры этого объема. Введем
систему координат с началом внутри объема, занимаемого
зарядом. Обозначим через г радиусы-векторы точек,
заключенных в этом объеме, а через К — расстояние от
начала координат до точки, в которой вычисляется
потенциал поля (/?^>/").
Из электростатики известно, что
V
где У(К) — потенциал в точке К. Это выражение можно
разложить в степенной ряд
оо
V л = 0
Установим вид функции ал. Положим / = г//? и лг = со$6.
Тогда
|К — г | -1 = | /?2 + г2 — 2Яг соз 6Г% =
= /?"1(1+/2_ 21ху1/ш = Н-1Н(!, х).

146 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Разложим функцию Н{1% х), называемую производящей
функцией, в степенной ряд:
Н{1, х) = (1+Р — 2/х)-,/2 =
2 $*<■+<■-ад-*
л = 0
(3.80)
1=0
Найдем вид первых трех членов:
7 = 0
0 1,
1 — 1(1+Р — 2!хГ''\21— 2х)
= х
1=0
2 -^[т(1+/2_2/х)"5/!(2/-2х>2-
— 4-С1Ч-/2 —2/лг>-^. 2]^=*^!.
Таким образом,
а0 = I р их — полный заряд,
V
а1= I грсозЭ^т — дипольный момент,
V
Г „ (3соз20 —1) .
а2= I ГР о —квадрупольный момент.
Бросается в глаза, что первые три члена разложения (3.80)
совпадают с тремя первыми полиномами Лежандра Р0(х),
Рг(х) и Р2(х). Напрашивается мысль, что вообще
оо
: 2 Ял (*)/". /<0. (3.81)
Я(/, АГ):
У\-\-1* + 2х1
л = 0
Эта догадка верна, и формулу (3.81) можно доказать.
В самом деле, пусть
оо
тй=7г&72я-<*>Ш"- <3-82>
/^0

$ 7. МультипольнОе разложение
147
Покажем, что Рп(х) в (3.82) — действительно полиномы
Лежандра. Используем для доказательства тот факт, что
1/| К — г| является решением уравнения Лапласа
^(■ПГгтгН. (3.83)
Подставив выражение для 1/|К—г| из (3.82) в (3.83),
можно записать уравнение
оо
2 -т^Т ^ \рп (соз 6) г"] = 0. (3.84)
л = 0
Умножив (3.84) на /?, найдем, что
оо
У?(Р0г°)+ 2 ^г V? [Рп (соз Э) гп] = 0; (3.85)
/2=1
но при /?->оо сумма в левой части (3.85) стремится
к нулю, следовательно,
У2г(р0г°) = 0. (3.86а)
Умножив (3.84) на /?2 и устремив /? к бесконечности,
получим, использовав (3.86а),
У2г(р1Г1) = 0. (3.866)
Точно так же, умножая (3.84) на /?"+!, устремляя затем /?
к бесконечности и используя п предыдущих соотношений
типа (3.86а) и (3.866), получаем
У2г(рпгп) = 0. (3.86в)
Но
г2 __ 1 д ( 2 д \ . 1 д ( . а д \ , 1 д2
У/г— г2 дг\Г дг)~т~ г2зт0 дв \8Ш0 дб^ г2 51П2 0 дФ2 '
(3.87)
Используя эти соотношения, запишем уравнение (3.86в)
в виде
У?[Р/2(соз0)гл] = О =
«,.-«{„(»+1)Я. + 1^ ^[з1„е^^>-]}. (3.88)

148 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Возвращаясь к обозначению соз 0 = х (и учитывая, что
с1х = — 51п0бШ и 1—л:2 = 31П20), можно переписать
(3.88) в виде
^[(1-^^^] = -^+1)рЛх). (3-89)
Уравнение (3.89) носит название уравнения Лежандра,
а входящие в него полиномы Рп(х) мы отождествим с
полиномами Лежандра.
Обозначим через Н оператор .
Тогда
НРп (х) = -п(п+\)Рп (х) (3.90)
и Рп(х) будут собственными функциями оператора Я.
Если теперь показать, что оператор Н — эрмитов на
отрезке — 1<д:<1, то, согласно теореме 3.4,
полиномы Рп(х) будут образовывать ортогональную систему.
Докажем, что Н действительно эрмитов оператор:
/ф'Я^*-/ф-^.[(1-^]^ =
-1 -1
-1
—/а-*>Яг<"-.
-1
аналогично
1 1
Г г|)*Яф ах = — § (I
-1 -1
' их их
/
<'-*г>5
(1х
ах

§ 7. Мультипольное разложение Ш
Тем самым мы показали, что
1 Г 1
{ч*щах=\ (^щах
-1 1--1
т. е. что оператор Н эрмитов; следовательно,
полиномы Рп{х) образуют ортогональную систему функций.
Каждый Р{х) является полиномом п-й степени по х, ибо
Если теперь мы покажем, что Р/г(1)=1, то будут
выполнены все три условия, которые, как было уже
установлено, однозначно определяют вид полиномов Лежандра
[см. формулу (3.75)]. При л;=1 имеем
1
V"! И-/2 —2/
оо
Л = 0
поскольку сумма геометрической прогрессии 1 +/-т*/2+ • • •
равна 1/(1 —/). Но, согласно (3.81),
оо
7^7 = 2^,(1) Л (3-916)
л=0
приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми
степенями в рядах (3.916) и (3.91а), получаем искомый
результат
Р„(1)=1-
Таким образом, доказано, что Рп(х) в формулах (3.81)
и (3.82) действительно являются полиномами Лежандра.
Поскольку вычисление полиномов Лежандра по
формуле Родрига не всегда удобно, выведем рекуррентные
формулы, позволяющие легко вычислить полином
Лежандра (п~\- 1)-й степени, по известным двум
полиномам я-ой и (п— 1)-ой степеней. Будем при этом исходить

150 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
из представления (3.81). Прологарифмируем
равенство (3.81):
_^1п(1+/2_2хО = 1п/2р/У С3-92)
Дифференцируя обе части (3.92) по /, получаем
-1 + х __п (393)
1+/2_2/х 2/у» '
П
Умножив это равенство на (1+/2 — 21х)^Рп1п, найдем
п
после упрощений
2ГНЯй_1 + 0 = |Г[(^+1)^+1 +
+ (п-1)Ра_1-2пхРп).
Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых
степенях /, получаем важную рекуррентную формулу
(п+1)Рп+1(х) — (2п+1)хРп(х) + пРя_х(х) = 0. (3.94)
Формула (3.94), связывая три последовательных полинома
Лежандра, позволяет вычислить полином любой степени
по первым трем (которые нам уже известны).
Можно найти также и другие формулы, в которые
будут входить производные от полиномов Лежандра.
Например, дифференцируя по х равенство (3.92), получаем
I 2№
14-/2 — 21х ^/У"
Перепишем это равенство в виде
%1п+1Рп = %1п+1[Р'п+1 + Р'п-1-2хР'п}.
Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых
степенях /, получаем
Р'п+1 — 2хР'п + Р;_! = Рп. (3.95)
Существуют и другие рекуррентные формулы,
связывающие полиномы Лежандра последовательных порядков.

$ 8. Сферические гармоники
151
§ 8. Сферические гармоники
Рассмотрим оператор
—ь2=-^4гЫпв4А + -А1г-А' (3.96)
31п 6 (Э6 \ дб / ' 31П2 6 дц2 ч '
Он представляет собой угловую часть оператора Лапласа
в сферических координатах. В квантовой механике его
обычно называют оператором момента. Докажем
следующее утверждение.
Оператор —Ь2 .эрмитов в пространстве
функций на сфере.
Действительно, первый член этого оператора —
эрмитов, что было уже доказано при рассмотрении полиномов
Лежандра. Напомним, что тогда мы обозначили его через Н,
записывая его с помощью замены х = соз 0 в виде
Дважды проинтегрировав по частям второй член
оператора (3.96) и использовав тот факт, что для
однозначной функции /(2я) = /(0), мы получим
2я 2я
о о
откуда ясно, что второй член эрмитов. Теперь очевидно,
что эрмитов и сам оператор — /Л поскольку сумма двух
эрмитовых операторов есть также эрмитов оператор.
Перейдем теперь непосредственно к сферическим
гармоникам. Как мы видели, тригонометрические
функции {соз/гл:} и {зт/гд;} образуют полную ортонормиро-
ванную систему в пространстве однозначных функций
одного переменного, определенных на окружности
единичного радиуса.
Сферические гармоники образуют полную ортонор-
мированную систему функций в пространстве
однозначных функций на сфере единичного радиуса. Подобно
рядам Фурье, сферические гармоники также являются
собственными функциями некоторого эрмитова оператора.
В задачах математической физики сферические гармоники

152 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
встречаются весьма часто, так как они представляют
решение угловой части уравнения Лапласа в сферических
координатах.
Вспомним, что в пространстве функций одного
переменного система 1, х, х2, ... полна на интервале (а, Ь)
(где — оо<а<^лг^#< оо), а в пространстве функций
трех переменных полна система
{х'уигу} (*, и, ю=\, 2, .... /г, ...). (3.97)
Введем сферические координаты, которые связаны
с декартовыми координатами следующими соотношениями:
г = г со$0,
х-\-Ьу = гъ\п№*9 (3.98)
х — /у = г $1п0е-/(Р.
Используя (3.98), преобразуем каждую функцию системы
(3.97) к виду
х*уигу = г1+и+у соз* 0 $т'+" &е1 (*-«)Ф; (3.99)
тогда система (3.97) запишется как
{г{+и+у С08т/ 0 $[п(+и $е1 (1-й) Ф}. (3.100)
На сфере радиуса единица эта система принимает еще
более простой вид:
{со8*е8т<+"е^ (<-")*}. (3.101)
Введем теперь новую переменную т=\1 — и\. При этом
1-\-и = т~\-тт\ " \ = т-{-2к;
поэтому
8!п'+" Э = $\Пт 9 81П2* Э = $\Пт 0(1— С082 0)*.
Теперь каждый элемент системы (3.101) может быть
записан в виде
С08* 0(1— С082 0)* 81Пт дв± 1т Ф.
Перегруппировав члены [для чего надо раскрыть скобку
(1 — соз20)л и собрать члены с одинаковыми степенями],

# 8. Сферические гармоники
153
мы получим окончательно систему
{со$пв$ттве±1т(?}, (3.102)
где т и п — целые и положительные числа. Нетрудно
показать, что путем линейных преобразований можно
перейти от системы (3.102) к полной системе (3.97). Этот
факт и заключает в себе доказательство полноты системы
(3.102). Но, к сожалению, эта система еще не ортонор-
мирована, в чем нетрудно убедиться, положив т — 0.
Получающиеся при этом функции Рп (0) = созЛ 0, как
известно, не образуют ортонормированной системы. Однако
путем ортогонализации можно получить полную и орто-
нормированную систему.
Функции, составляющие эту полную ортонор-
мированную систему, называются сферическими
гармониками.
Попробуем непосредственно построить несколько
первых ортогональных сферических гармоник,
воспользовавшись тем фактом, что при т = Ь должны получаться
полиномы Лежандра, и тем, что всякие две функции
с различными т должны быть ортогональны друг другу.
Пусть / = т -|- п (здесь п и т — целые и
положительные числа). Запишем несколько первых гармоник.
1
0
1
2
т
0
0
±1
0
±1
±2
Число
функций
1
1
2
1
2
2
Ненормированные функции
1
соз 0
81пв^; з1п б*-'*
соз2 9 — ~
соз 0 з1п 0<?/(р; соз 0 з!п 0<Г/ф
31п20^2(Р; зт20*-/2(Р
Аналогично для любого значения / существует 2/~|-1
функций (т. е. т = 0, ±1, ..., ±/).

154 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Предположим, что общий вид нормированных
сферических гармоник следующий:
У1±т (Оф) = (+ 1Г /(2/^(/)+^)Г)!р" <С08Э> е1т>
(3.103)
Р? (х) = (1 - хТ12 ^п Л (*) (* = С08 е)- (3-Ю4)
Множество функций У1тп полно в пространстве функций,
ибо каждую из функций полной системы (3.101) можно
представить в виде линейной комбинации функций У1т.
Таким образом, необходимо лишь доказать, что У1т
образуют ортогональную систему.
Прежде чем перейти к доказательству этой основной
теоремы, мы докажем две леммы, относящиеся к
свойствам функций Р/т (лг), которые обычно называют
присоединенными полиномами Лежандра. Введем
следующие обозначения:
для функций у™% очевидно, справедливо равенство
У?*1 =4? У?- (ЗЛ05)
Лемма 3.1. Функции у™ удовлетворяют
дифференциальному уравнению
(1-х2)^У?-2х(пг+1)-^уТ =
== — (/ — т) (I + т-\г 1) у«. (3.106)
Доказательство. Зафиксируем значение/ в
уравнении (3.106). При /# = 0 оно совпадает с уравнением
Лежандра (3.89), и так как у® является полиномом
Лежандра, то в этом случае мы уже ранее доказали, что
лемма справедлива. Докажем, что лемма справедлива для
любого т. Воспользуемся методом индукции; предполо-

$ 8. Сферические гармоники
155
жим, что лемма верна для некоторого т. Нужно показать,
что она верна и для т -+- 1.
Дифференцируя (3.106) и учитывая (3.105), получаем
И /У2
их 'I ' ч } их2
~йх
— 2х(я»+1)4-у,-*1 = — (/ — «)(/ +Я1+1)у*+>.
или
<> - х2) ■& у?+1 - 2х [(-т +!) +! 1 ж уТ+1 =
= - [(/ - т) (/ + т + 1) - 2 (щ + 1)] у«+>.
Но
— [(/ — т)(/+я»+1) — 2(т+ О] =
= — (/ — т— 1)(/ + /я+1) — / — т— 1 + 2/и + 2 =
= — (/ — /и — 1) (/ + т + 1) — (/ — т — 1) =
== — (/ —/и—1)(/-4-от+ 2);
таким образом, окончательно получаем
(1_^^у«+1_2х[(|||+1)+П-|г-У?+1 =
= _[/_(т+1)][/ + (т+1)+1]УГ+1- (3-Ю7)
Итак, допустив, что лемма верна для тУ т. е. что
уравнение (3.106) справедливо при некотором т, мы доказали,
что это уравнение справедливо и для т-\-\. (В самом
деле, уравнение (3.107) — это то же уравнение (3.106),
где т заменено на-/гс-|-1.) Поскольку лемма верна при
т = 0, то ясно, что она верна и для любого другого гп,
что. и требовалось доказать. Рассматривая вторую лемму,
будем обозначать Я? просто как Я/.
Лемма 3.2. Функции Р™ удовлетворяют
дифференциальному уравнению
7ЙГ[(1 -*2)^К(*) + [/(/4- О—^/Тю = 0;
(3.108)
иначе говоря, величины
[/('+!)-
\—х\

156 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
суть собственные значения, а функции Р? (х) —
собственные функции оператора
Доказательство. Дифференцируя равенство
я/"(*)=о-*2)т/2уГ(*>.
находим, что
-А /*■ (х) = - тех (1 - хНт12)-1 уГ (*) +
+ (1—*Т/2^уГ.
следовательно,
[(1-х^РГ(х)] =
= — тх(1 — х2)т/2уГ + (1 — *^(т/2)+1,-^-у/т. (ЗЛ09>
Дифференцируя (3.109), получаем
■Ь Vх - х2) Чх РТ <*>] = - т V ~ х^'2 УГ +
+ /и2*2 (1 — х2)1^-11 у« — тех (1 — х2)т/2 -^ у* —
_ (т + 2) х (1 _ ХГ>2 ^- УГ + 0 - ^2)(т/2)+1 ^г УГ =
= (1 _ х2)т/2 {(1 - х2) -^- ^ - 2 О» + !> * "37 УГ ~
-«уГ+тёе-з?}- (ЗЛ1°)
Используя теперь лемму 3.1, перепишем равенство (3.110)
следующим образом:
Ар-*ЧхР?*А_
их
==(1_х2)т'2|_(/_от)(/ + /й+1)-ОТ + 1^-}уГ.
(3.111)

§ 8. Сферические гармоники
157
Но
(/ — т)(/ + /я+1) = /(/+ 1) —Л1(/11+1) =
= /(/+!) — т2 — т.
а
их
поэтому (3.111) можно переписать в следующем виде:
.[(1-*»)-А/?<*)] =
= {-/(/+1) + те2 + 1^.}(1-хГ/2>'Г =
что и доказывает лемму.
Теорема 3.7. Сферические гармоники, определен-
ные формулами (3.103) и (3.104), образуют полную
ортонормированную систему функций.
Доказательство. Полнота системы сферических
гармоник была установлена нами ранее (см. стр. 154).
Поэтому необходимо доказать лишь ортонормированность
этой системы, т. е. справедливость равенства
2Я Я
( *р]*81пе</ек?т/ Угту^ЪгЪт^.. (ЗЛ12)
о о
Поскольку очевидно, что
2я
о
нужно только показать, что
Положим х = соз Э, тогда
{(■-^жЬэтИж)-

158 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Согласно лемме 3.2,
но
-^ УЫь = _ щ\У1т1 = - т2У1т[,
следовательно,
= -/(/+1)К/^, (3.113)
или
— #^ = — /(/+1)^.
Так как собственные значения не зависят от т^ то имеет
место (2/-+- Х)-кратное вырождение, т. е. 2Г+1
собственным функциям оператора —I? соответствует одно
собственное значение. Из эрмитовости оператора — I?
(доказанной выше) следует, что Уш. при различных /
ортогональны, т. е. что
1
§РГ(х)Рг(х)с1х = 0.
-1
Остается только вычислить значения
1
{[р?(х)]2ах,
-1
т. е. определить значения нормирующего множителя.
Вычислим этот интеграл:
1 1
{[рГ(х)]2ах= ^(1_хТ(^уГ1)2^ =
-1 -1
1
-1
= {1-хТуГ1-шуГ1}( - 1уГ1У-**)м~1Х
1 -1
{ Н //2 ч

$ 8. Сферические гармоники
159
но поскольку
(1-хТуГ'^уГ1
= 0
и, согласно (3.106),
1
_ |(1_*2)*-1уГ1|_2т*-^у{»-1 +
-1
+о - я2)-й-ур-1 }=('+»)('—«+ох
1
X /(1-*»)'"-,(у»-1)2Лс.
-1
то (3.114) можно переписать в виде
1
1
= (/ + т)(/ —1И+1) ^[Р?1"1^)]2^- (3.115)
-1
Последовательно применяя формулу (3.115), мы придем
к выражению
1
1[р?(х)]2ах =
= (1 + т)(1+т—1) ...
-1
-1
(/+!)(/ —т+1)(/ —1И + 2) .../ {[Р1(х)]2йх,
а так как
/[я?(*)]2</*== {1Р1№2ах = -щТ.
-1 -1
и, кроме того,
(1 + т)(1 + т-1)... (/- т+ 1)= {1 + ™)Х ,

160 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
то
Теорема доказана.
Так как мы доказали сейчас полноту и ортонормиро-
ванность системы функций Ушф* ф), то теперь можно
написать разложение Рф, ф) по системе У^ф, ф) и
коэффициенты этого разложения:
оо /
/7(6.Ф)=2 2 ЛшУшф, ф). (3.117)
/ = 0 тп=-1
Аш= [ [Уш^ф, ф)зтФ^е^ф. (3.118)
Нам остается доказать теорему, которая установит
единственность функций КГт(9, ф).
Теорема 3.8 (теорема единственности). Функции Уш,
удовлетворяющие условию
Ъл Л
I ац>($тваву*1гпф, ц>)У1>т>ф, Ф)^е=б/Гбт^, (З.П2)
о о
определены единственным образом с точностью до
фазового множителя е16, где б — вещественное число.
Доказательство. Мы не будем рассматривать
случай т ф т'\ он не дает никакой информации о
единственности, так как в этом случае интеграл в (3.112)
всегда равен нулю независимо от значений,
принимаемых постоянными множителями, входящими в выражение
для У1т.
Доказательство проведем по индукции, а именно
докажем, что из предположения о том, что функции У1т,
удовлетворяющие условию (3.112) при /' < /, определены
единственным образом, следует, что функции У1т будут
однозначно определены для всех /.
Рассмотрим сначала случай т — 1. Так как 1 = т-\-п,
то из (3.102) вытекает:
У1,±1 = е±пУ$т1в-соп$и

§ 8. Сферические гармоники
161
нричем из условий нормировки константа определяется
единственным образом, Поэтому остается рассмотреть случай
— 1<т<1.
Вспомним, что мы определили функции У1т как такие
попарно ортогональные линейные комбинации функций
вида созЛ0 8тт00±/т(Р, которые можно зависать так:
Уш = А0е1т(*ъ\пт 0 со$1~т 0 + е1т*$\пт 0# (соз 0),
где
^(со5 0) = Л1со8/-т-10 + Л2со5/-'га-20+ ... +А1_т.
Обозначим
• г = е1тч> в\пт § (соз 0).
Возвращаясь к выражениям (3.99), (3.100), мы видим, что
функция вида г1~1г представляет собой полином
относительно (хуг), причем максимальная степень равна /—1,
поэтому при г = 1 ее можно разложить в ряд вида
/'
*(8. <р)= 2 2 ЯГт.Кгт.(в. Ф). (3.119)
Г</-1 т' = -1'
с конечным числом членов. Следовательно,
Уш = А0е1т(*ъ\пт 0 соз'-'" (0) Н-
/'
+ 22 ВшУмф. ф), (3.120)
где, согласно нашему допущению, все Угт- единственны.
Вычислим теперь коэффициент Л0. Согласно (3.103),
при / = 0 и т = 0
1
Л = коо = у^ '
и, следовательно, он также единственным образом
определен ИЗ УСЛОВИЙ НОрМИрОВКИ. ОчеВИДНО, ЧТО Вущ' МОЖНО
определить единственным образом при помощи
следующего равенства:
ВГт> = - А0 | У\.т.е1т* 81пт 0 соз|-|Я 9 (Л.

162 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Теперь из (3.120) вытекает (ибо У^тч Ло и #/'т
единственны), что У1т определены единственным образом,
но все же с точностью до фазового множителя е1Ь, так
как он не влияет на величину интеграла от УшУгт'-
Для завершения доказательства остается заметить, что
несколько первых У1т можно (как уже было сделано
раньше) найти непосредственно, убедившись в их
единственности.
§ 9. Преобразование сферических гармоник
при поворотах осей координат
Пусть х-} (где /=1, 2, 3) — некоторая прямоугольная
система координат, а х'ь (/=1, 2, 3)—другая
прямоугольная система координат, полученная путем поворота
первой системы вокруг начала, причем поворот задается
формулой
х\ = Н1]х} (Л /=1, 2, 3). (3.121)
Ясно, что при таком повороте новые сферические
координаты (0', ф') являются функцией старых (0, ф). Докажем
следующую теорему о свойствах сферических гармоник
при повороте системы координат.
Теорема 3.9. При повороте системы координат,
задаваемом преобразованием (3.121), сферические
гармоники преобразуются по формуле
Кгт,(9',ф0= 2Г10,ш.жК1ш<в.ф). (3.122)
где 01т>т зависит только от /?^, т. е. параметр I
при поворотах не изменяется.
. Доказательство. Любая сферическая функция
К(0', ф'), заданная в новой системе координат, может быть
разложена по сферическим функциям в старой системе
координат, ибо система сферических функций в старых
координатах образует функциональный базис
ушФ'. Ф0 = 22с„т/л,к,,т(е,Ф). (3.123)
V т

$ 10. Аналогия между сфер, гармониками и тензорами 163
Лапласиан инвариантен относительно поворотов, которые
мы задали формулой (3.121):
/=1 * 1=1 '
Аналогично
г'2 = г2,
следовательно, оператор —Ь2 также инвариантен
относительно поворотов:
(— I2)' = — I2.
Используя эти факты, получаем [вспоминая (3.113)]:
(-12)' Уш, (в'. ф0 = /(/+ О Уш. (в7, ФО. (ЗЛ25)
(- ^) У,т (0« Ф) = 1' «' + 0 ГГт (0« Ф) =
= (-/,2/КГт(е, Ф). (3.126)
Поэтому как У1т, (0', ф'), так и УГтФ> ф) являются
собственными функциями одного и того же эрмитова
оператора. Следовательно, они ортогональны, т. е. при / Ф V
/г,т.(е'.ФОН-т<в.ф)<я=°-
Таким образом, при / Ф V коэффициенты С1>т1т, = 0, и
теперь из (3.123) вытекает справедливость формулы
/
т = —1
которую и требовалось доказать.
§ 10. Аналогия между сферическими гармониками
и тензорами
Интересно обсудить связь, существующую между
сферическими гармониками и тензорами. Для тензоров первого,
второго и нулевого рангов она проявляется особенно
отчетливо. Чтобы ясно увидеть эту связь, запишем выра-

164 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
жение для У1т в декартовых координатах. Вспомним, что
для единичной сферы
хх ± /лг2 = зт00± Ф, д;3 = соз0.
Таким образом, в декартовой системе координат
сферические гармоники У1т имеют следующий Вид:
V - 1
\ ±1 = соп81-(х1 ± 1хХ
К10 = соп81-(х3),
'2>±2=соп51-(:х1±1х2)2,
2 ±1 = соп8Ь(х] ±/х2)х3,
К20==соп81.(2х| — х2-
*1)
(3.127а)
(3.1276)
(3.127в)
(3.127г)
(3.127д)
(3.127е)
и т. д.
Вспомним, что, согласно теореме 3.9, при поворотах
вида (3.121) сферические гармоники преобразуются по
формуле (3.122). Изменяя обозначения, формулу (ЗЛ22)
можно записать в виде
^(0,Ф')= 2 0'па.Г1т.Ф.Ч). (3-128)
Бросается в глаза аналогия между этой формулой и
законом преобразования тензоров при преобразованиях
координат. Правда, эта аналогия не полна, так как тензор
А,-го ранга имеет 3^ компонент, а сферическая гармоника
А,-го „ранга" только (2А.+ 1) „компонент". Однако мы
можем сгруппировать компоненты тензора таким образом,
что эти группы станут похожи на сферические гармоники.
Проведем такую группировку. При / = 0
^00 = М)'
причем и К00, и Т0 ведут себя при преобразовании
координат как скаляры. При /=1 тензор Т1 преобразуется
по формуле
^

§ 10. Аналогия между сфер, гармониками и тензорами 165
т. е. ведет себя как вектор. Обозначим компоненты
вектора Т1 через Т1% Т2, Тг и соберем эти компоненты в две
группы (1/1^2) (7*! ± *Т2) и Г3 по аналогии с записью
К1 ±1 и К1 0 в декартовых координатах [см. (3.127в) и
(ЗЛ27г)]:
^г(Г1±1Г^У1ш±1 = а(х1±1х^
Г2
* з ~ м, о — ал;з
(знак „~а указывает, что выражения, соединенные этим
знаком, при поворотах вида (3.121) ведут себя аналогичным
образом). Мы видим, что Ух ведет себя как вектор,
так же, как и К1 0.
В случае / = 2 тензор Т^ преобразуется как тензор
второго ранга. Пытаясь разбить Тц на части так, чтобы
ощущалось сходство между тензорами и сферическими
гармониками, мы используем тот факт, что тензоры
второго ранга можно разлагать на симметричную и
антисимметричную части:
где
$ц = $]1* Ац = А-]Ь.
Антисимметричная часть ведет себя подобно вектору,
поскольку она связана с вектором следующим выражением:
к
Поэтому можно говорить, что Ац и Уш при
преобразовании координат ведут себя одинаково. Аналогично
диагональные элементы тензора Тц% т. е. Ти=8и ведут
себя как скаляры, откуда возникает аналогия еще для
одной компоненты
И наконец, симметричную часть можно сгруппировать
следующим образом:
(5П ± 2/5!2 — 522) ~ К2, ±2 = а (хх ± 1х2)2,
(513 ± /523) ~ У2, ±1 = а (хг ± 1х2) хг,
(25зз - 5П - 522) ~ К2> 0 = а (2х\ - *» - х§.

166 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Итак, мы установили соответствие между девятью
компонентами тензора второго ранга и сферическими
гармониками. Можно провести аналогию между сферическими
гармониками и тензорами третьего ранга, но сделать это
труднее. Интересно было бы попытаться найти эту
аналогию.
§11. Свойства сферических гармоник. Продолжение
Для дальнейшего изучения свойств сферических
гармоник при поворотах введем оператор поворота х)
^=7е«^а^- (7=1» 2» 3) (3.129)
(например, Ь1 = (1/1)[х2(д/дхг) — хг(д/дх2)]- Этот
оператор естественно появляется при изучении бесконечно малых
4
Фиг. 22.
поворотов осей координат. Рассмотрим бесконечно малый
поворот вокруг оси д;3 (фиг. 22), при котором
(Э, Ф)->(Э, ф + 6ф).
При таком повороте
гф, Ф)->/че, Ф + бф).
Разлагая ^(Э, ф-|-&Ф) в окрестности точки (0, ф) в ряд
Тэйлора и пренебрегая членами второго порядка малости,
') В использованной здесь записи подразумевается, что по
повторяющимся индексам проводится суммирование. — Прим. ред.

# 11. Свойства сферических гармоник 167
получаем
ИЛИ
РФ, ф+6ф) = /?(6ф)^(0, ф),
где
*<вф) = (1+«Ф-^-).
Равенство (3.129) можно представить в виде
^=т1тХ%.
(3.130а)
(3.1306)
(3.131)
Запишем его компоненту, отвечающую ^ = 3, в
цилиндрических координатах:
^з = т[(р + 2)Х?]3 = 7-[рХ?]з.
ибо
Следовательно,
Подставляя значение Ьъ в уравнение (3.1306), для
бесконечно малого поворота вокруг оси г получаем выражение
#(6ф)=1+/6ф/,3. (3.133а)
Аналогично для поворота вокруг оси ха можно получить
#(6Ф)=1-Н6ф/,а. (3.1336)
В случае конечного поворота пренебрегать в разложении
функции Рф, Ф + 6ф) членами второго порядка малости
уже нельзя; более точное выражение для /?(6ф) в случае
поворота вокруг оси а теперь будет иметь вид -
#(6ф) = е'фЧ (3.134)
Кроме того совершенно очевидно, что оператор Ьа
эрмитов и что оператор е ф а унитарен.

168 Гл. 8. Разложения по ортогональным системам функций
§ 12. Перестановочные соотношения для компонент
оператора момента импульса
Перестановочные соотношения для компонент момента
импульса играют особо важную роль. Используя
обозначения, принятые в квантовой механике, запишем
Р« = 7ТГа (« = 1.2.3).
где ра — оператор составляющей импульса вдоль оси а.
Для упрощения записи мы опустили постоянную Планка /?;
вообще же оператор импульса обычно записывают как
_ Ь д
ра~ I дха '
Далее, учитывая формулу (3.129). получаем для компонент
оператора момента импульса такое выражение:
^а = у СаруЯр -^- = Еа$уХ$Ру (3.135)
(здесь еа^ — трехиндексный символ Леви — Чивита).
Установим два важных перестановочных соотношения:
ХаР* ~ Р*Ха = ~ Т6аЭ' (ЗЛ36)
^а/,3 — ^?^а = ^а;з"уАу. (3.137)
Докажем сначала первс^е соотношение. Имеем:
Ха дх^ дх$ \~
— — -г ЬаьР (г),
откуда ясно, что перестановочное соотношение (3.136) верно.
Равенство (3.137) докажем для случая а=1, р'=2:
1\1<1 —121\ = (х2Рз — хъР2> (ЧР\ — х\Ръ) -
— (*ЪР1 — Ххрг) (Х2Ръ - Х3р2) = Х2ръ (Х3р{) —
— хгр2 (хгрх) + хър2 (ххр3) — х2ръ (ххрг) —
— *з/>1 (х2Рз) + хъР\ (хъРг) + *\Ръ (х2рЛ) —
— ХгРЖХгРд = Х2Р\ (Р'бх* ~ хгРъ) +
+ ххр2 (хърг - ргхг);
(ХаР?-РрХа)17(Т) = т{

$ 12. Перестановочные соотношения для оператора момента 169
учитывая (3.136), последнее равенство можно
переписать как
*чР\ Оз*з — *з/>з) + Х\Р2 (хгРъ — />з*з) = «
= * (Ххр2 — Л^) = *Х3»
т. е.
Таким образом, соотношение (3.137) для случая а=1 и
Р = 2 доказано. Для всех других значений аир
доказательство аналогично.
Эти перестановочные соотношения чрезвычайно важны
в квантовой механике. Из них вытекает, что операторы
компонент момента импульса не коммутируют друг
с другом.
Отождествим теперь оператор р с оператором
бесконечно малого перемещения. Рассмотрим бесконечно
малое перемещение
Х(х —>■ Х(х —{— ОХ(х\
тогда
/(ха + Ьха)^/(ха) + &ха-^--\- ... =
Для конечного перемещения, так же как и для конечного
поворота, мы получим следующее точное выражение:
I Ьх р
/(ха + Ьха) = е аа/(ха).
Поведение сферических гармоник при поворотах часто
используют в квантовой механике, поскольку сферические
гармоники являются собственными функциями некоторых
из ранее рассмотренных операторов.
Теорема ЗЛО. Справедливы следующие
соотношения:
ЦУ1т = гпУш, (3.138)
^1±1Ь2)Уш = М±Уш±и (3.139)
где Ы± — константа, которую мы определим ниже.

170 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Доказательство. Пркажем, что соотношение
(3.138) верно:
Ыш = у ^Г[С0П8{ Х *'тф/ (Э)1 =
= пг [сопз* X е1т*/ (0)] = тУ1т,
что и требовалось доказать.
Докажем теперь соотношение (3.139). Поскольку Ьх
и Ь2 есть операторы поворотов, то, согласно теореме 3.9
[формула (3.122)], справедливо следующее соотношение:
(11 + И2)У1т = ^ А1тм.Уш.(Ъь <р). (3.140)
т' = -1
Далее, используя перестановочные соотношения для ^а,
(3.137), получаем
^3 (^1 Г ^2/ == ^3^1 I ^3^2 === ^1^3 I ^2 Т~ ^2^3 I ^1»
следовательно,
/,з(^+^2) = ^1 + ^2)^з + /). (3.141)
Использовав этот факт и формулу (3.138), запишем
Ц {(^ + *Х2) У1т) = (^ + /1а) {(Лз + /) К/ж} =
= {^ + И2){т+\)Уш =
= {т+\){^х+И2)У1т\. (3.142)
Отсюда ясно, что 04 4-^Ц) ^/т есть собственная функция
оператора ^3» отвечающая собственному значению,
равному т-\-\. Но, согласно (3.138), К/т' есть собственная
функция оператора А3» отвечающая собственному
значению т\ следовательно, К/т' ортогональна к (Сг 4- /^2) К/ш
при /гг' =т^= /гг -}- 1 (ортогональность обусловлена эрмито-
востью оператора Ьъ\ см. теорему 3.4).
Определим теперь Атт>. Умножая обе стороны
соотношения (3.140) слева на К/т' и интегрируя, мы в силу
ортогональности (11-{-И2)Уш и К/т', получаем для
т/ ф т + 1
Атт' = / Уш' {1*1+ Ш) К/,лйО = 0. (3.143)

$ 12. Перестановочные соотношения для оператора момента 171
Поэтому равенство (3.140) можно переписать в виде
\и ± Щ) Уш = Ат% т±хУ1% т±1. (3.144)
Заметим, что аналогичные рассуждения можно провести,
заменив в выражении {Ьх-\-И^) знак „плюс" на „минус";
поэтому в равенстве (3.144) можно писать (±).
Равенство (3.144) по существу совпадает с (3.139), если
положить Ы± = Ат%т±\. Остается лишь получить выражение
для Ы±.
Для этого мы проделаем следующие выкладки:
\N±\2 = ^N*±N±V^т±^V^>т±^с^^ =
= I (/.! ± щг у]т щ ± щ) у1т аа =
= { (й Т- 1$ У*ш (Ьг ± Ш) Уш <*& (3.145)
Введем обозначения
(/., + ^2)Кгт = ^ Уш = /.
Рассмотрим первый случай — знак „плюс". Имея в виду,
что операторы Ьх и Ь2 — эрмитовы, получаем
I ы+ р = / ё%/ а®+1-{ §* V аа =
=-[/Г(^-^)^]* =
=- [/ У*т Ф\ — Ш) (^ + ^2) Уш <«]' • (3.1 46)
Но квадрат модуля | Л^+12 есть вещественное число,
поэтому
\N+^2 = ^ Уш $ - Шх + ШЦ + 4] Уш йО. =
= I У*ш [I? -й- Ц] Уш <Й. (3.147)
Учитывая теперь соотношения (3.113) и (3.138), из (3.147)
имеем:
\Ы+ |2 = (/+ 1)/ — т2 — т = (/ — т)(1-\-т ■+-1)

172 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
и
| Л/+ | = уТ'-ж) (* + *+!)•
Аналогичным образом для |Л/_|2 получим:
| /V. | = У(/-|-|и)(/ — т+1).
Окончательно
(/,, ± ^г) Кгт = У(1±т)(1±т — 1) К,, т ±,, (3.148)
^1^т=у^УЬт+1 + ^-Кг,т_1> (3.149)
^« = Ш-^+К/,т+1-^-^_К,.т_1. (3.150)
На этом мы закончим обсуждение собственных значений
и собственных функций оператора момента импульса и
перейдем к вопросу о связи между сферическими
гармониками и другими хорошо известными функциями
сферических координат.
§ 13. Связь сферических гармоник с полиномами
Лежандра
Раньше мы уже нашли формулы, устанавливающие
связь между полиномами Лежандра и сферическими
гармониками. Здесь мы установим те же формулы иным
способом, опирающимся на теорему (3.8) о единственности
системы сферических гармоник.
При т = 0 сферические гармоники зависят только
от созб, т. е.
Кю = /(соз0).
С другой стороны, уравнение (3.113) при т = 0 переходит
в уравнение Лежандра (3.89), решением которого являются
полиномы Лежандра Рх (соз 0), поэтому можно записать
К/0 = соп8* - ЯДСО8 0); (3.151)
отсюда же следует, что У10 образуют полную ортонорми-
рованную систему, состоящую из полиномов степени /
относительно соз 0 на интервале 0 ^ 0 <^ 2я и отличаю-

$ 13. Связь сферич. гармоник с полиномами Лежандра 173
щуюся от РДсобЭ) только постоянным множителем. Иными
словами, справедливо соотношение
]>1оКго^й = 6,г. (3.152)
Из него можно определить нормировочный коэффициент:
$ у*Уг л& = ]* и (созЭ) /исозбИфзш е^е=,
1
= 2я 1г1(х)Уго(х)ах =
-1
1
= 2я|сопз1|2 ]* Р*(х)Рг(х)ах = 6ц> (3.153)
-1
(здесь мы воспользовались заменой х = соз Э). Как мы уже
доказали в свое время [см. формулу (3.78)],
1
I Р*(х) Рг (х) ах = -5^; (3.154)
-1
сравнивая это равенство с (3.153), мы находим, что
константа в (3.151) равна
/Щг> (3-155)
Теперь равенство (3.151) можно записать в виде
Г10=]/Г21Ш1Р1(СО5^- (ЗЛ56>
Укажем алгоритм нахождения связи между полиномами
Лежандра и сферическими гармониками высших порядков.
Применение к функции У10 оператора (^ -\- 1Ь2) дает
функцию Кп:
(/:, + И2) Ую = УЦГ+1) Уп. (3.157)
Снова применяя к Кп оператор (1*х + /^), получаем
функцию У12:
(I, + 1Ц Уп = у==Щ 0-1 + И-2)2 У10 =
= У(/—1)(/+2) Ки. (3.158)

174 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Продолжая этот процесс, придем к следующей
формуле:
к<- * -=/"$таг(/м ± 11Г Кго> (3-' щ
где Уг% ± т получена в результате я-кратного действия
оператора фх ± И2) на функцию У10.
Перепишем формулу (3.159) в виде
У1>±т = (± 1у»1/"^ЦШЕЖ>*ЯГ(со8в). (3.160)
где Р? (х)— функция, носящая название присоединенной
функции Лежандра; она определяется формулой Род-
рига:
/о /У"
Р? (х) = (1 - х)т'2 А_ рг (Х). (3.161)
Мы обнаруживаем, что формулы (3.160) и (3.161)
представляют собой не что иное, как формулы (3.103) и (3.104),
полученные другим путем.
§ 14. Теорема сложения
Рассмотрим функции двух переменных, определенные
на сфере единичного радиуса. Положение точки на сфере
определяется координатами 0 и ф. Пусть, далее, угол
между радиусом-вектором г точки УИ(0, ф) и радиусом -
вектором г' точки М'ф', ф') равен а.
Функция К/о(0, ф), как мы знаем, не зависит от ф, т. е.
К/о(0, ф) = Кю(в).
Запишем теперь функцию К/о(0) в новой системе
координат, получающейся, если ось, от которой отсчитываются
углы 0' и ф', совместить с радиусом-вектором г' точки
М'(0', ф'):
Кю(0', ф')=К,0(а).
Согласно теореме 3.9, функцию К/0(а) можно записать
через значения функций У1т (0, ф) в старой системе
координат:
Ую(*)= 2 ОотУшф. Ф). (3.162)
/71=-/

$ 14. Теорема сложения
175
Сформулируем и докажем теперь так называемую теорему
сложения, устанавливающую связь между 0, ф, 0', ф' и а.
Теорема 3.11. Пусть 0 и ф— координаты точки М,
а 0' и ф' — координаты точки М\ причем угол между
радиусами-векторами этих точек равен а, тогда
справедливо равенство
I
ЯДсоза)^: (2/4^1} 5] кЦв'.фО^Се, Ф). (3.163)
т=-1
Доказательство. Рассмотрим оператор
вращения 1<з, действующий только на нештрихованные
(исходные) координаты !),
Г — 1 д
Ч — 7" Еа№хч ~дх~~
и аналогичный оператор
>3' =-Тга'Р'ч'Ху --^
а
действующий только на штрихованные координаты (т. е.
координаты, полученные из исходных путем поворота).
Так как изменение всякой функции /(0, ф) в результате
поворота на бесконечно малый угол 6ф около оси р
равно (/6ф^з)/(0. Ф). то мы получим, что изменение
значения Кш(а) вследствие последовательного поворота вокруг
осей р и р' на угол 6ф будет равно
/6ф(^ + ^')^0(а). (3.164)
Но это изменение должно быть равно нулю, ибо Кь0(а)
является функцией только угла а, т. е. функцией
взаимного расположения векторов г' и г, не меняющегося при
поворотах системы координат. Поэтому
(1р + 1рОКю(а) = 0. (3.165)
') Индексы а, входящие в эту формулу, не следует
смешивать с углом а: здесь а — индекс, принимающий значения 1, 2
или 3. — Прим. ред*

176 Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Аналогично из инвариантности Е1 относительно поворотов
и из соотношения (3.113) следует, что
1*УЮ (а) = (V)' У10 (а) = 1(1+1) У10 (а). (3.166)
Продолжим доказательство. Подействуем на обе части
равенства (3.162) оператором (А2)',
г
гп~-1
(^)'Кю(а) = (/.2)' 2 О10тУ1тф, Ф). (3.167)
Согласно теореме 3.9, Оот = /(/?/у), где /?/у — матрица
перехода от х1 к х' (3.121), поэтому В\т = р{$\ ф').
Учитывая, что оператор (р-)' действует только на
функции от 0' и ф', можно [поскольку К/т(0ф) не зависит
от 0' и ф'] переписать (3.167) в следующем виде:
г
(1*)'Ую(а) = 2 [(^),Оо^(0/, Ф,)]^(0, Ф). (3.168)
т = — I
Далее, используя равенства (3.166) и (3.162), можно
записать следующую цепочку равенств:
(!»)' Ую (а) = №т{а) =Щ+1)У10 (а) =
= 2 /(/+1)Оот(б'( у')Ушф, Ф). (3.169)
/72 = -/
Последний шаг здесь был выполнен с помощью
умножения обеих частей равенства (3.162) на /(/ + 1). Из (3.168)
и (3.169) получаем
2 [(/.2)'0^(9'( Ф')]К/т(9, Ф) =
т=—1
I
= 2 ['('+ 1)Оо*(е\ Ч>')]УшФ, ф), (3.170)
т= -I
или [учитывая единственность и ортонормированность
системы функций К/т(0, ф)]
(г)' О10т(в\ ф') = /(/+1)Яот(б'. ф')- (ЗЛ71)

$ 14. Теорема сложения
177
Развернем равенство (3.165):
г
О = (/,з + ^з) Ую (а) = 2 \й01от (Э', ф')] Ут (в, Ф) +
т=—1
I
+ 2 Мт(е', Ф>К/те(в, Ф) (3.172)
[Здесь мы учли, что оператор Л3 действует только на
функцию от нештрихованных координат, и, кроме того,
использовали равенства (3.162) и (3.138)]. Из (3.172)
следует:
Мт(в'> ф') = -тОо«(е', ф'). (3.173)
Отсюда и из (3.138) ясно, что Оот(б', ф) (так же, как У1т)
являются собственными функциями оператора А3» и им
соответствуют те же (отличающиеся только знаком)
собственные значения. В свете единственности У1тф, ф)
(теорема 3.8) мы должны написать:
О1от(д\ у') = АтУ1г_тф', Ф0. (3.174)
где
Ат = сопз*.
Подставляя в формулу (3.162) значение Ую из формулы
(3.156) и выражение для 01&т из (3.174), получаем
(поделив обе части равенства наЩ^Щ -\- 1)/4я)г
Я, (сое а) = 2 ЗД,_т(0', Ф')К/т(0, ф), (3.175)
т=*-1
где Вт = соп${.
Чтобы определить Вт, подействуем на обе части
равенства (3.175) оператором ^1 = ^ЛГ [см. формулу (3.149)];
получим
^[Р,(соза)] =
= 2 [т УН1+Ъ-т(т+\)Уи _т (9', Ф') К,, т+1 (6. Ф)+
+ ^. у/(/+1)_(ж_1)ж К/, _т (0', ф') К,, „,_, (9, Ф)] Вт.
<3.17б)

17В Гл. 3. Разложения по ортогональным системам функций
Заменив в (3.175) пг на #1+1, запишем
Рг(соза) = ^21 ^ти^-ш-1(^фОК/>т+1(е,Ф). (3.177)
Действуя оператором Ьх на обе части равенства (3.177),
находим, что
^[Р/(соза)] =
ХВт+1/|§.т(в\фО/|>Я|+1(в.ф) +
+ \ |//(/+1)-(т+1)(/|| + 2)Х
ХЯ^Л.-^СЭ', <рОК||т+1(6. ф)]. (3.178)
Установим связь между Вт и /^.ц. Для этого почленно
сложим равенства (3.176) и (3.178). Поскольку
(/,; + ^)Р/(созе) = 0,
2 {|(вт+5т+1)[к,т+1(е, Ф)г^т(е', фОХ
X //(/ + 1) —я*(« + 1)] +
+ у'/(/+1)_т(т-1) К,, _т(0', <р') К,,я_,(0, Ф)Вт +
+ у/(/+1)-(т + 1)(т + 2)Х
хвт+1кг,_т_2(е',Фокг,т+1(е. Ф)}=о. (з.пэ)
Умножая это равенство на К/§/я+1(9, ф) К/, _,„(9\ ф'),
затем интегрируя почленно результат и учитывая ортонор-
мированность рассматриваемых функций, получаем
\ [Вя+1 + Вт\ у/(/+1)-л»(«+1) X
X/ |^т+1(9. ф)|2!^.-да(9'. Ф')|2^^' = 0. (3.180)

$ 14. Теорема сложения
179
Согласно атому тождеству, должно быть
Вт + 1 + Вт = 0' (3-181)
откуда следует, что
Вт = {-\)тк. (3.182)
Таким образом, разложение (3.177) принимает
следующий вид:
Р1(*о*а) = к 2 (-1)т^,-,Л9', ф')К/т(0, Ф). (3.183)
т--1
Так как (3.183) должно выполняться для всех углов 8',
ф', 9, ф, то можно положить 9' = О (т. е. 9 = а); тогда
при тФ О
уи -т (е'> ф') = С0П8* ' *[п1т ,е7 (е0 = О,
и, следовательно, (3.183) с учетом (3.156) и того, что мы
полагаем 0 = а, примет вид
Рг (соз а) = кУю (9', Ф0 У10 (О, Ф) =
^Ь-З^-Р^со&а).
Отсюда очевидно, что
ь 4я •
таким образом, (3.183) принимает вид
Р/(со8а) = 5_^_ ^ (-1у*уи_т(р9 Ф0К/т(9ГФ).
(3.184)
Но, согласно определению У1т [формула (3.160)] можно
написать:
УшФ. Ф) = (-1ГК/,_т(8, Ф). (3.185)
12*

180 Гл. в. Разложения по ортогональным системам функций
Из равенств (3.184) и (ЗЛ85) и следует результат,
являющийся содержанием доказываемой теоремы:
I
Рг (С05 а) = "27-^ПГ ^ У*1т№> ф')^т(в. ф)-
т=—1
§ 15. Применения сферических гармоник
Как указывалось ранее, сферические гармоники находят
ряд приложений в физике. Одно из них — мультипольное
разложение, обсуждавшееся в § 7 этой главы. Там была
получена формула (3.82), которую мы перепишем сейчас
несколько иначе:
71Г^ = -Шт)РПсоза). (ЗЛ86)
/ = 0
Используя теорему сложения, (3.186) можно
преобразовать следующим образом:
оо /
/ = 0 т=-1
(3.187)
Вспомним, что потенциал в точке /? равен
^<Я)=/-пг=7Гйт' <ЗЛ88>
Т
где интеграл берется по всему объему 7\ занятому
распределенным электрическим зарядом. Теперь, учитывая
(3.187), можно переписать формулу (3.188) так:
оо /
/ = 0га = -1 "•
оо /
= ^2 УшФ^)Яы-фт< (3-189)
1=0 щ = -1
где
Яш^Жф^УшФ- фУр^А-. (3.190)

$ 15. Применения сферических гармоник 181
Отметим, что величина (}1т зависит от выбора начала
координат.
На этом мы закончим изучение сферических гармоник,
хотя круг связанных с ними вопросов, представляющих
для нас значительный интерес, далеко не исчерпан.
Например, можно показать, что для сферических гармоник
справедливы все теоремы, которые мы доказали для рядов
Фурье. Можно также установить рекуррентные формулы
для сферических гармоник, рассмотреть производящие
функции и т. д.*)
1) См., например, Е. В. Г обе он, Теория сферических и
эллипсоидальных функций, М., ИЛ, 1952; Д. Джексон, Ряды
Фурье и ортогональные полиномы, ОД., ИЛ, 1948. — Прим* ред.

Г лав а 4
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ТЕОРЕМА МИНИМАКСА
§ 1. Вариация функционала и функциональная
производная
Ранее мы показали, что операторы (1//)(д/дф) и
Ь2 — эрмитовы и что их собственные функции образуют
полную ортонормированную систему. В дальнейшем,
используя более сильные методы, мы докажем теоремы,
объясняющие этот факт.
Пусть Н — эрмитов оператор. Предположим, что все
функции, на которые будет действовать Я, принадлежат
к классу допустимых функций. Введем следующее
определение:
Г ф*#ф ах
А,(Ф)=^ (4.1)
I ф*ф 6.x
(здесь функция ф может быть комплексной). Это
определение устанавливает соответствие между каждой
функцией ф и некоторым определенным числом X. По этой
причине X (ф) называют функционалом. Вообще говоря,
функционал считают определенным, если указан способ,
устанавливающий соответствие между функциями
(определенного класса) и числами.
Пусть функция ф изменяется так, что новая
функция ф + 6ф близка !) к первоначальной. (Разумеется ф + йф
*) Под близостью функций следует, вообще говоря,
понимать близость их по норме, т. е. малость расстояния между
ними. Линейное пространство называют нормированным,
если каждому его элементу х поставлено в соответствие
неотрицательное число ||л:||, называемое нормой х и
удовлетворяющее трем условиям: 1) ||л:|| =0 только для

§ /. Вариация функционала и функциональна производная 183
также должна принадлежать к классу допустимых
функций.) Изменение функции можно рассматривать как
бесконечно малое перемещение в пространстве, элементами
которого являются функции допустимого класса. Выясним,
вызовет ли изменение ф на 6ф соответствующее
изменение А,, и если да, то установим связь между этими
изменениями. Введем понятие вариации функционала 6Л.
Пусть
61 ф*#ф ах = § (ф + бф)* И (Ф + бф) Лх —
— ]* ф*#ф их = I [ф*# (бф) + (бф)* #ф] ах, (4.2)
где, записывая последнее выражение, мы пренебрегли
вариациями второго порядка, например 6ф*//6ф.
Аналогично
61 ф*ф ах = Г [ф*6ф + (бф*) ф] ах. (4.3)
Можно записать
МФ)=4- <4-4>
где введены обозначения
Л= Гф*#фЛ, В = Г ф*фйт.
Вариацию функционала А, теперь можно определить
следующим образом:
№ = -^ (В ЬА — А ЬВ). (4.5)
х = 0;2)\\ах\\=\а\\\х\\, 3) ||* + у|1<11-*11 + IIУII
(неравенство треугольника).
3 нормированном линейном пространстве под расстоянием
между двумя элементами можно понимать норму их разности.
В нашем случае (в гильбертовом пространстве) норма
определяется следующим образом (что мы делали и ранее):
Л/) = |//|
«/и=к(/./)=1/ ^ шлх.

184 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
Выражение (4.5) аналогично выражению для производной
отношения двух функций. Преобразуем его:
ЬХ=-±Г[ВЬА — АЬВ]=-~[ЬА — Х&Б] =
= -=-^ ГГбф7/фЛ +
+ / Ф*#б<р а% — к1 {ф* (бф) + (6ф*) ф} л] =
= -т-^— Г Г ф* (я — Я)бф ах+
I фф*а?т '-•/
+ {/ф*(Я-Я)6ф^т}*]; (4.6)
Теорема 4.1. Если функция ф удовлетворяет
уравнению
#Ф = А,ф, (4.7)
то при произвольных бф
6А,(ф) = 0. (4.8)
Наоборот, если функция удовлетворяет условию
(4.8), то она должна удовлетворять уравнению (4.7).
Доказательство. Прямое утверждение
непосредственно следует из соотношения (4.6), если в нем учесть
уравнение (4.7).
Докажем обратное утверждение. Пусть
#ф — А,ф = г1>, (4.9)
где г|э Ф 0. Выберем, далее, 6ф = ег|). Подставляя теперь
тождество (4.9) и (4.6), получаем
Г [(6<Р*) * + (бф) **] аг г Г [ | ф р +1 * I2] ах
6А,(ф)=-* - = -1 >0.
I ф*ф их I ф*ф их
(4.10)
Из равенства (4.10) ясно, что 6А,(ф) = 0 только в том
случае, когда г|5 = 0, т. е. когда Яф = А,ф. Теорема
доказана полностью.

# Л Вариация функционала и функциональн. производная 185
Рассмотрим приращение функции, которое имеет вид
6ф (х) = ебд (х — л:0), (4.11)
где через 60 обозначена дельта-функция Дирака (ее не
следует смешивать с вариацией 6). Вообще говоря,
функция ф может быть комплексной: ф = ф1 + /ф2. Мы
рассмотрим следующие два случая:
1 • бГР 1Ф2- сопзе = б(Р1 = 8бЯ С* — *о).
2- 6(Р 1ф, = сопз1 = / 6(Р2 = &0 (* — Х0).
Введем следующее определение: функциональной
производной А,(ф) по ф! называется величина
6Л (ф) _ 6Л (ф) 0
6ф1(л:)= е " ^л^>
Функциональная производная отражает воздействие на X (ф)
со стороны вариации ф, имеющей вид г60 (х — х0). Ее можно
сравнить с влиянием, которое оказывает на поле
возникающий в пространстве источник.
Вычислим функциональную производную:
6А(ф) I _ 6Л (ф) _
6Ф1(-^) 1ф2=соп81_ е _
е I ф*Ф^т и
+ / [е60 (х - х0)Г (Я — А,) ф </т] =
[{(//-Я,)фГ + (//-Л)Ф]х . (4.13)
/
фф* 6,1
Аналогично для вариации 6з2 = (е/0 Ъй (х — х0) найдем
(4.14)
Конкретный выбор 6ф (4.11) соответствует простому
случаю в электростатике. Если ф рассматривать как
плотность заряда, то 6ф = еб^ (х — х0) представляет собой заряд
величины 8, мгновенно возникший в точке х0. Если вели-

186 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
чина А, является какой-либо функцией распределения плот-
норти заряда (А, может быть потенциалом, напряженностью
поля и т. д.), то 6^(ф)/6ф(дг) характеризует изменение X
вследствие возникновения заряда в точке х0.
- Поэтому из нашего определения функциональной
производной следует, что если 6А,(ф) = 0 для произвольного
изменения 6ф(дг) (х лежит в некоторой области /?), то
6А,(Ф) _ &Мф) _0
6ф! (X) 6ф2 (X)
для всех х в /?.
§ 2. Экстремальные свойства функционала X (ср)
Пусть Н — эрмитов оператор и
#Фт = Миг (4-15)
Упорядочим последовательность собственных значений
оператора (4.15)
^1<Л<Л<--- (4.16)
и соответствующие собственные функции
Ф1в Ф2. Фз. ••• (4.17)
Теорема 4.2. Минимальное значение % (ф) равно кг,
где функция ф—произвольная, но принадлежащая
к допустимому классу.
Доказательство. Пусть фа — такая функция,
на которой функционал X (ф) достигает относительного
минимума. Тогда
6М<Р) ^р
6Фа (х)
т. е.
6А,(ф)1 ' =0
(по определению относительного минимума)» Это означает
(согласно теореме 4.1), что при ф = фа(л:)
ща(х) = 1ауа(х).

§ 2. Экстремальные свойства функционала А,(ф) 187
Отсюда можно получить, что числа Ха являются
экстремальными значениями функционала А,(ф). Следовательно,
1) Хг является абсолютным минимумом, ибо Хг —
наименьшее значение из всех А^; 2) абсолютный минимум
достигается на функции фг Теорема доказана.
Для совокупности функций ф;, ортогональных к фр
имеет место следующее следствие из этой теоремы.
Следствие. Собственное значение Х2 равно
абсолютному минимуму функционала А,(ф) на совокупности
функций ф^, ортогональных к ф^ т. е. функций,
определяемых условием
Вообще Хт равно абсолютному минимуму,
достигаемому функционалом А,(ф) на совокупности функций,
ортогональных к подпространству, натянутому на ф1э
Ф2» •••» Ф/л-1» а функция, на которой достигается этот
минимум, есть собственная функция фт.
Доказательство этого утверждения проводится
так же, как и в случае Хх, с той разницей, что
рассматривается не все пространство, а лишь пространство
функций, ортогональных к ф1э ф2 Фт-1-
Таким образом, мы получили способ
последовательного нахождения собственных значений Хт и собственных
функций (рт эрмитовых операторов. Этот способ пригоден
и в качестве приближенного численного метода. Именно
можно задаться видом функции фт, считая ее зависящей
от нескольких параметров, затем, минимизируя срт как
функцию этих параметров или используя какой-либо метод
последовательных приближений, найти удовлетворительное
значение для фт, а следовательно, и для %т. Такая
процедура часто используется в квантовой механике.
Теорема 4.3. (теорема полноты). Если наименьшее
собственное значение конечно и при этом Пт Ял=-|-оо,
/7-»00
то функции фр ф2, ф3 построенные описанным
выше способом, образуют полную ортогональную
систему.
Доказательство. Функции ф1§ ф2 фл, ...
ортогональны по построению. Поэтому необходимо лишь

188 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
доказать, что они образуют полную систему/Прежде чем
сделать это в общем случае, отметим справедливость
нашего утверждения для двух операторов
специального вида.
Легко проверить, что теорема верна для оператора
Н = — V2, действующего на функции, областью
определения которых является куб со стороной /,; в этом
случае Х = к[-\-к\-{- &з. где каждое к1 принимает значения
■^ (т, = о, 1. 2. ...)•
Теорема справедлива также для оператора Я = ^2,
действующего на функции, определенные на сфере [для
него А, =/(/-}-1)]. Действительно наименьшее
собственное значение X в обоих случаях конечно (и равно нулю),
а сверху значения X в обоих случаях не ограничены. Как
мы уже показали ранее, собственные функции этих
операторов образуют полные ортонормированные системы,
причем разложение для первого оператора ведется по
тригонометрическим функциям, а во втором — по сферическим
гармоникам.
Перейдем теперь к доказательству общего случая.
Рассмотрим функцию / и введем следующие обозначения:
ФЛ = /-2«1«Р|. (4Л8)
где
Умножая обе части (4.18) на ср* и интегрируя,
находим, что
Отсюда ясно, что ^п ортогональна к линейной оболочке,
натянутой на ф1э ф2 Фл-1» т- е-
Ъп±<?1' Ф2 Фл-1-

$ 2. Экстремальные свойства функционала А,(ф) 189
Рассмотрим далее выражение
ах
Ь(фл) = -
/*л*л^т
(4.20)
Так как ^^Фр Фг Фл-1» то» согласно следствию
из теоремы 4.2,
тт[Х^п)] = 1п+1. (4.21)
Преобразуем числитель выражения (4.20), используя (4.18):
Г п 1 Г л
/ = 1
*=1
^Т:
= /ГЛ/Л-2|*,|2А,,. (4.22)
/=1
Здесь после почленного перемножения были использованы
равенства
#ф. = А, .фг а^ = ^ /ф* й?т.
Подставим результат (4.22) в выражение (4.20):
п
ЧЧ>„) = -
< = 1
/|*||*Л
учитывая (4.23), находим из (4.21)
п
(4.23)
г=1
/•*••
их
^^п+г
(4.24)
или
К+1 /1 Ч>„ Р Л < / /*Я/ Л - 2 I «, I2 */• (4.25)
*-1

190 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
Согласно условиям теоремы, существует некоторое кт > 0,
и для /г > т все Хп > 0. Следовательно, отбрасывая члены
с индексами от т до #, мы увеличим правую часть (4.25)
на заведомо положительное число и должны тогда
заменить знак ^ на <; таким образом,
/|Ф„|2л<т1т //*я/л-2|в||2^
ы\
. (4.26)
Выражение в квадратных скобках справа представляет
собой конечное число, величина которого не зависит от п.
Далее, в силу условий теоремы НтЯ,л = оо; поэтому,
я-»оо
устремляя п к бесконечности, мы обнаружим, что
1\т Г|ф„|2^т = 0. (4.27)
п->оо *
Но .это и означает, что система функций {фЛ} полна
в гильбертовом пространстве. Теорема доказана.
§ 3. Теорема минимакса
Пусть
I ф*#ф<^Т
Мф)=* , (4.28)
I ф*ф их
однако теперь функции ф определены в области /?,
которая не обязательно представляет собой правильную
геометрическую фигуру. Выберем произвольное множество
ортонормированных функций /1§ /2 /я,
принадлежащих к классу допустимых функций и определенных
в /?. Введем обозначение
т(/г, /2,...>/л) = тш[Цф)] (4.29)
для всех ф, ортогональных к подпространству, натянутому
на /р /2, .... /л. т. е. для функций ф,
удовлетворяющих равенству
/■
Тогда справедлива следующая теорема.

§ 3. Теорема минимакса
191
Теорема 4.4. Имеет место равенство
. шах [т(/г, и • •.-/«)} = *я+1- (4.30)
Доказательство. Как обычно, Нц>1=Х1(р1.
Обозначим
л + 1
Ф=2ед (4.31)
и потребуем, чтобы ф была ортогональна к
подпространству, образуемому /1§ /2, .... /п. Это требование может
быть всегда выполнено, ибо п -|~ 1 коэффициентов всегда
можно подобрать так, чтобы удовлетворялись п условий.
Так как [согласно (4.31)]
/1 + 1
#Ф = 2 а^ф,,
*=1
ТО
/* + 1
1 = 1 '
И
л + 1
/ф*Ф^т=5]|а,|2. (4.33)
/ + 1
Подставляя равенства (4.32) и (4.33) в формулу (4.28),
получаем
/1 + 1
^(Ф) = -~Т1 • (4-34)
2 1^12
/=1
Следовательно, А,(ф) есть средневзвешенное от Я/ и
поэтому не может превышать наибольшее из Х^ Поскольку
все А./<А,яЫ (при /<я+1), то
'2Г«|12*,
.Я,(ф)±=^ <^, (4.35)
<.* = 1

192 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
поэтому, учитывая (4.29), можно записать
* ел. и .... /„) < * (Ф) < хп+1. (4.зб)
Итак, мы видим, что максимальное значение т(/1, /2, .... /„)
не может быть больше, чем А,л+1. Покажем теперь, что
максимальное значение т(/г, /2, .... /п) достигает
значения Я,Л+1. Для этого рассмотрим частный случай
Ф и г. 23.
СЛ» и •••• /я) = (Ф1. Фг« •••• Фя)- Из самого способа
упорядочения собственных значений следует, что
/в(ф1§ ф2, .... фл)=*Ч+1. (4.37)
поэтому в общем случае
шах [т (/1§ /2, ..., /„)} = А,Л+1. (4.38)
что и требовалось доказать.
Теперь мы можем приступить к доказательству
интересной и полезной теоремы о собственных значениях
эрмитовых операторов. Рассмотрим поверхность 5",
ограничивающую произвольный объем /?', который в свою очередь
заключен в некоторый больший параллелепипед В (фиг. 23).
Пусть оператор Н = — Л действует на функции,
определенные в объеме /?', и пусть, кроме того, граничные
условия для волновых функций г|5, принадлежащих к
допустимому классу, будут иметь вид г|5 = 0 на 5. Тогда
в объеме /?'
Щ = Щ. (4.39)
Аналогично внутри В положим Н з=— Д и на границе В
Ф = 0; тогда
#Ф = А,ф. (4.40)

$ 3. Теорема минимакса
193
Упорядочим теперь множество собственных значений для
(4.39) и (4.40):
^1 ^ ^2 ^ ^3 ^ • • • »
^1 ^ ^2 ^ ^3 ^ • ' * '
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.5. Для всех п справедливо неравенство
Ь'пЖ- (4.41)
Доказательство. Обозначим через ф' следующую
функцию:
• *=( 0 между 5 и Я; (4'42)
далее заметим, что
^ (фТ Аф' их С | V<р' |2 ах
Мф0 = --~ = "7 • <4-43)
в » в
Последнее равенство получается путем интегрирования по
частям, при котором один член исчезает в силу
наложенных граничных условий. Аналогично
Г | Уя|? |2 ах
^) = ^7 • (4.44)
I ^йх
в
Так как Угр = УфЛ внутри Н и обе функции равны
нулю вне 5, из (4.43) и (4.44) получаем
>/(г|)) = Цф'). (4.45)
Класс, состоящий из всех функций ф, обозначим через О,
а класс, состоящий из всех функций ф', — через О'. Как
уже было показано, при Ц>^6
ЛИП А, (ф) = Х1$

194 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
а при ф' ^ О'
т1пА,(ф{) = А,|.
Так как О' ^ О (С есть подмножество О), то О содержит
больше функций, чем О'. Поэтому
гшп А, (ф) = Хг < гшп X (фО = Х[. (4.46)
Наша цель — доказать аналогичные соотношения и для
А,2 и Х2. Обозначим минимальное значение X для всех ф,
ортогональных к ц>г и принадлежащих О, через
Х2 = Ш1пА,(ф),
а для всех ф', ортогональных к ф^ и принадлежащих О',
через
^2 = ш1п X (ф').
Отсюда сделать вывод о том, что Х2^>Х2, еще нельзя,
ибо хотя и О' ^ О, но подмножество О, состоящее 'из
функций ф, ортогональных к ф1? может быть меньше
подмножества О', состоящего из функций ф', ортогональных
к ф^. Однако здесь оказывается полезной теорема 4.4.
Выберем произвольную функцию /у Пусть т! (/г) —
минимум А,(фО Для всех ф', принадлежащих О' и
ортогональных к /1ц и пусть* т(/^) — минимум X (ф) для
всех ф, принадлежащих О и ортогональных к /,, т. е.
т,(/1) = Ш1пЯ(фО,
,^ч . л , ч ' ' (4.46а)
«т (/\) = гшп X (ф). ч '
Теперь можно утверждать, что
т'(/)>т(/0. (4-47)
ибо множество всех ф, ортогональных к /1§ содержит
в качестве своего подмножества все ф', ортогональные
к. /1э поскольку все ф и все ф' ортогональны к одной
Ц той же функции.
' Теперь, применяя теорему 4.4, получаем из
неравенства (4.47)
шах \т! (/х)\ = Х2 > шах [т (/х)] = Х2,

§ 4. Положительные. операторы
195
т. е.
Л/2 ^- Я/2»
Покажем, что
Я/з ^ Я#;
с этой целью определим две функции /1 и /2 так, чтобы
т'(/^ /2) = тт Я (ер') для всех ф', принадлежащих О' и
ортогональных к функциям /г и/2, и т(/1, /2) = гшпЯ(ф)
для всех ф, принадлежащих О и ортогональных кДи /2.
Отсюда, рассуждая аналогично предыдущему, получаем
Я*з ^> Я/з»
Повторив этот прием для любых значений п> мы
установим, что вообще
Я/л ^> ЯЛ
для всех /г. Тем самым доказательство завершено.
Из этой теоремы вытекает два очень важных следствия.
1. Из решения задачи для параллелепипеда мы знаем,
что ф образуют полную ортонормированную систему, ибо
%х < оо, а 1ппЯ/л = оо. Следовательно, ПтЯ/Л = оо(по
л-»оо л-»оо
теореме 4.5), причем Я/1 конечно; поэтому о|) образуют
полную ортонормированную систему, т. е. собственные
функции эрмитова оператора //== — А, удовлетворяющие
граничным условиям -ф = 0, образуют полную
ортонормированную систему.
2. Рассмотрим мембрану, имеющую определенные
собственные функции... Если на нее наложить дополнительные
связи, например, поместив в определенной точке
небольшой груз (т. е. приложив силу), то все собственные
значения возрастут.
Вообще увеличение количества связей в задаче, где
применяется оператор Н = — Д, приводит к возрастанию
собственных значений.
§ 4. Положительные операторы
Продолжая изучение гильбертова пространства, рас-,
смотрим один специальный тип операторов, именно так
называемые положительные операторы.

196 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
Оператор называется положительным, если для любой
функции ф и любого Н
^Ф*Яф^т>0. (4.48)
Если оператор Н — эрмитов, то ф должна
принадлежать к классу Допустимых функций. Например, оператор
Н== — А положительный в том случае, когда функции ф,
на которые он действует, удовлетворяют граничным
условиям ф = 0, ибо в этом случае
— § ф*Аф их = 11 Уф |2 ах > 0.
Последнее соотношение получено путем интегрирования
по частям с использованием граничных условий.
Аналогично оператор # =— У[/У] положительный, если/^>0,
ибо тогда
— / Ф^ [/V] ф ах = § /1 Уф |2 ах > 0.
Теорема 4.6. Будем рассматривать только
эрмитовы операторы. Положим
Я = Я0 + Я1, (4.49)
где Нх — положительный оператор, и пусть, далее,
Н*< = К<' И%=К%, (4-50)
тогда
К>С (4.51)
тогда
где
Доказательство. Положим
И1^Н0+1И1, (4.52)
"Л = Ы- (4-53)

§ 4. Положительные операторы
197
Нас интересует изменение Я| при изменении | от 0 до 1.
Если I изменилось на величину й\9 то
Ф*->Ф* + &ф|.
6 ; I (4,54)
Хп —> Хп -(- 6Хп.
Ввиду того что условия нормиробки сохраняются, можно
записать
6 / да* *«ах=1I6 № *1+(*«)* Ч] Л = °- <4-55>
Далее,
ьх1=/ [6 (Ф*)* я|Ф*+(„в)- «до+б| („$• Н&] ах,
(4.56)
а так как
/ (ф*)' ^6Ф| Л = [ / 6 („«)• Я^ Л]* = Ч / Дф< („*)• Л.
ТО
поэтому 6X1/61 ^> 0, ибо Их — положительный оператор.
Отсюда ясно, что к}г увеличивается с увеличением ^, если
Теорема доказана.
Таким образом, если граничные условия не изменяются,
а Н „увеличивается" на положительный оператор, то
собственные значения не могут увеличиться.
Пример. Пусть
где
/>/о и /о = а («о>0);
кроме того, пусть ф = 0 на некоторой поверхности 5.
Оператор Н можно записать в виде
Я = -/0Д-У. [/-/<>]•

198 Гл. 4. Вариационные принципы и теорема минимакса
Мы знаем, что #0 = — /0Д имеет собственные значения
^1<^2<С--- и собственные функции, образующие
полную ортонормированную систему. Кроме того, оператор
положительный, поэтому Хп^Х°п. Следовательно, Н
порождает полную ортонормированную систему.
Аналогично рассмотрим оператор
Н = — Д + 1Л
где У^ Уо=соп${ > 0. Пусть Я0 = — Д-)-1/0, причем
ф :=0 на поверхности 5 и
Я1 = К-У0>0.
Собственные значения Н0 не ограничены и Нх.^0,
поэтому Н имеет собственные функции, образующие полную
ортонормированную систему.

Г л а в а 5
МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА
§ 1. Примеры уравнений. Определение функций Грина
В современной физике, особенно в квантовой
механике, основным математическим аппаратом являются
дифференциальные уравнения в частных производных. Среди
методов решения таких уравнений центральное место
занимает метод функций Грина.
Напомним сначала некоторые физические явления, при
исследовании которых необходимо решать
дифференциальные уравнения в частных производных.
1. Теплопроводность. Из соотношений
(1 = —АУГ и УО = -с-^,
где О — передаваемое тепло (тепловой поток), Т—
температура, к — коэффициент теплопроводности, с —
удельная теплоемкость, следует уравнение теплопроводности:
2. Квантовая механика. Эволюция системы N частиц
описывается уравнением Шредингера
где для N частиц массы т
злг
й2 ^ д2
* = 1
К1

200
Гл. 5. Метод функций Грина
3. Диффузия. Как известно, уравнение диффузии
имеет вид
*Нг&: (5.3)
величина X носит название коэффициента диффузии.
Уравнения (5.1) — (5.3) можно представить в форме1)
«к*. ю=_*ц*а, (5.4)
где Н— некоторый эрмитов оператор, и
к
для уравнения (5.1) Р = — Ь и г|) — температура,
ы
для уравнения (5.2) Р="9—* и 'Ф — волновая функция,
для уравнения (5.3) р = М, и г)) — концентрация вещества.
Конечно, в каждом из этих случаев функция г|э должна
удовлетворять некоторым граничным условиям. Приступая
к решению уравнения (5.4), заметим, что собственные
функции оператора Н образуют полную ортонормирован-
ную систему и должны удовлетворять уравнению
Предположим, что решение уравнения (5.4) можно
представить в виде
оо
ч>(*. р)=2 4»(Р)ф«(*)- (5-6)
т = 0
Подставляя в уравнение (5.4) предполагаемую форму
решения, получаем
т. е.
Н* = 2 Ат (Р) "4>т (*) = - Ц 4>т (*) Щ К ф),
т = 0 т = 0
оо
2[^«(Р) + -^-^т(Р)]ф«(*)=0. (5.7)
т = 0
]) В дальнейшем совокупность пространственных координат
обозначается одной буквой х — {х{, х2 хп}\ элемент объема
их — йхх йх2 ... йхп.

$ /. Примеры уравнений. Определение функций Грина 201
Равенство (5.7) справедливо, если оно выполняется для
всех т. Таким образом,
АтЛт КР) — зр
откуда
Амт=Ая(Р)е-Ы.
и, следовательно,
оо
*(*. р)=2^«(0)«-х*рфЯ1(*).
т = 0
Считая ряд (5.6) равномерно сходящимся, можно найти, что
поэтому
Итак, если задано начальное состояние, то
оо
* (*. Р) = 2 / * (*'' 0) *« (Х'> Ут (*> «~ ^ <*Т' (5'8>
т = 0
(здесь интегрирование идет по х\ так что Фт(#) можно
писать под знаком интеграла). Результат (5.8) можно
представить несколько иначе:
ф(х, $) = $(х\0®)\х')Ц(х', 0)йх\
где
оо
<*|Оф)|*0=2ф;(*/)Фт(*)«~*я,Р- (5-9)
/п = 0
Выражение (5.9) называют функцией Грина для
уравнения (5.4).
Использованное нами обозначение предложил Дирак.
Преимущества его выясняются из дальнейшего изложения.
Замечание. Выражение (5.9) является функцией Грина
только для уравнения (5.4); для различных уравнений
получаются, вообще говоря, различные функции Грина.

202
Гл. 5. Метод функций Грина
Функции Грина обладают следующими интересными
свойствами.
1. Если
п
г|)(х, р = 0) = 6я(х — х")~Ць(х1 — х"{), (5.10)
то
г|) (х, р) = I (х| О (Р)| х') 6" (х' — х") их' >= (х | О (р)| х").
(5.11)
Таким образом, (л;| О (Р)| х") представляет собой решение
уравнения (5.4) при начальном условии типа (5.10).
[Равенство (5.11) справедливо и при р = 0.]
2. Если р1 и р2 — значения параметра р, то
]" (х\ О (р!)| х') {х'\ О (р2)| х") ах' =
= (л;|а(р1 + р2)|^>. (5.12)
Доказательство этого факта непосредственно
вытекает из определения функции Грина. Учитывая соотношение
/ф;-(^)Фт(х')^=бтга„
имеем для левой части формулы (5.12):
X ( 2 Ф* (*") Фт (*') е-хтЧ ах' =
\/л = 0 /
оо
= Ц Ф*т (*") Ф« (*> в""т (?1+32> = <*1 ° 0»1 + Р2)1 X").
т = 0
Это свойство допускает простую физическую
интерпретацию. Рассмотрим диффузию газа в некоторой среде.
Зная начальную концентрацию ^(х, 0), .мы можем найти
концентрацию газа в момент 2 = ^, используя функцию
(лг| 0(^)| х'). Считая затем г|5(лг, 1Х) начальным состоянием,
можно найти т\)(х, ^2). С другой стороны, из начального
состояния ^(х, 0) можно перейти непосредственно к
конечному г|э(л;, 12)-

$ 2. Линейные операторы
203
3. Функцией, эрмитово сопряженной к функции
Грина (х\ 0(Р)| х'), называется функция
(х\0+(®\х')^(х'\0®)\х)*.
Так как Хт вещественны, то из равенства
оо
<х'| О(Р)| х> = 2 Фт (*') Ф*т (*) *" V
следует, что
оо
{Х' | о (р> | *>• = 2 Фт (х) ф; (*о е-^р*.
/и = 0
Если'переменная р— мнимая (например, в уравнении Шре-
дингера), то
<х'|0(р)|ху = (х|0(-р)|х'>,
(х|0+(р)|х') = (х|0(-р)|х'). фш *'
4. Функции Грина ортогональны:
/ {х | 0+ (Р) | х") {х" | О (Р) | *') Л" = 6Л (х — *')• (5.14)
Здесь также имеется в виду, что р — мнимая. Для
доказательства равенства (5.14) воспользуемся свойствами 2
и 3. Левая часть формулы (5.14) тогда примет вид
<х|О(р-р)|х') = <х|О(0)|х'>;
из этого равенства и свойства 1 ясна справедливость
формулы (5.14). Свойство 4 аналогично свойству
унитарных матриц 0+0 = 1. Поэтому, когда равенство (5.14)
выполняется, мы будем говорить, что функции Оф)
унитарны.
§ 2. Линейные операторы. Матричная формулировка
свойств линейных операторов
Рассмотрим линейные операторы, определенные на
системе допустимых функций (рт (х), где фт (х) —
собственные функции оператора Н (Н — эрмитов оператор),

204
Гл. 5. Метод функций Грина
Собственные значения Хт могут принимать как дискретный,
так и непрерывный ряд значений. Например, энергия
электрона в атоме водорода может иметь непрерывный
спектр значений в области положительных энергий и только
дискретный спектр в области отрицательных энергий.
Когда А, пробегает счётное множество значений, систему
{ф/лО*)} можно рассматривать как систему базисных
векторов бесконечномерного пространства:
Фш (*):
#г-й элемент.
(5.15)
Если бы число базисных элементов было конечным,
то Лц)т(х) можно было бы представить в виде линейной
комбинации конечного числа базисных векторов:
АЧт(Х) = %Ат'тЧтЛх).
т'=0
где
Ат>т= ( Ц*т, (X) АЦ)т (X) йХ.
Переходя к бесконечномерному случаю, введем
следующее определение.
Величины Ат'т называются матричными
элементами оператора Л. Таким образом, линейный
оператор А допускает представление в матричной
форме:
оо
Лфв(*) = ?д,.тФт.<*);
т' = 0

$ 2. Линейные операторы
205
Очевидно, что оператор А полностью определен, если
известны его значения на базисных векторах,
Достоинства матричной трактовки выявляются при
изучении свойств операторов. .
1. Матричный элемент произведения двух
операторов А и В есть
оо
(ЛЯ) . = 2 Ат,Я.т.
т"=0
Действительно, по определению
№)„.„ = {<С.(х)АВ<ра(х)ат.
НО
оо
Яф„(*)=2А,.тФт.(*)
т = 0
и, следовательно,
{Ав)т,т = 21 [Ф;, (х) лФт„ (х) ах) вт,т =
оо
— У А Я
^«л т т т т
т" = 0
2. Оператор Л+, сопряженный оператору А,
имеет матричные элементы
И Ц' = Ат'т'
Если Л — эрмитов оператор, то
В самом деле,
. (А+)тт- = [$У*тЛх)Ачт{х)<1х] =
= {<1(Х)А(0т'(Х)аХ=Агпт'.
3. Оператор А — унитарный, если его матричные
элементы удовлетворяют равенству
со
т" = 0
Распространим свойства линейных операторов на
случай, когда X—непрерывная величина. Теперь ут{х)

206
Гл. 5. Метод функций Грина
нельзя считать вектором типа (5.15), так как значения X
образуют несчетное множество. Поэтому ту символику,
которую мы будем, следуя Дираку, использовать, не
следует понимать буквально1).
1. Введем обозначение
(х\А\х')=== 2 Ат.т<С(х')Чт'(*)- (5.16)
т\ т
Для эрмитова оператора Н запись (5.16) упрощается:
<*|я|*'>= 2ЛЧА™']фЖ)Фт.(*).
т, т'
ИЛИ
<*|л|*'> = 2ьжФ;(*0фт(*).
т
2. Справедливо соотношение
$/*(х)Ае(х)ат=С/*(х)(х\А\х')е(х')ахат'. (5.17)
Доказательство. В силу разложений
/(*) = 2/т.фт'(*). «г(*) = 2«гтФт(*)
т' т
левую часть соотношения (5.17) можно записать как
}Г(х)А§(х)ах =
= 2 Га. еа№' Ю Лц>т (х) ах = 2 Га.еяАт.т ,
т, т' т', т
а правую часть преобразовать следующим образом:
1Г(х)(х\А\х')ё(х')ахах' =
= //*(*) 2 Ат-тЧ>т(*') **•(*) е&) & М-
т, т'
1) Строгое математическое изложение соответствующих
понятий должно было бы опираться на теорию обобщенных
функций. — Прим. ред.

$ 2. Линейные операторы
207
Поэтому
/Г(*К*И1*')*(*')лл'а= ^ Аа.ага.вм.
т, т'
что и требовалось доказать.
3. Так же как и в дискретном случае, имеет место
соотношение
(х\АВ\х') = §{х\ А |*"><*"|Я|*'> Л". (5.18)
Доказательство. По определению левая часть
равна
{х\АВ\х')= 2 (ЛЗ)тт,Ф;(х')Фт,(х) =
щу т'
2 Ат'т'Вт'т Ф1 С*') ф^ (X).
т т т га ■т
т, т',т
Преобразуем правую часть, используя свойства функций
Фт (ХУ-
$(х\А\хГ)(*'\В\х')й'х! =
/, га
= \ ^т. ,В - ГО* (*')ф«'(*)-
т', т" I, т
т, т , т"
Теперь ясно, что формула (5.18) справедлива.
Рассмотрим несколько важных примеров операторов.
Пример 1. Единичный оператор /.Для него
^ 'т'т т'т*
так как
Ют'« = / ф«' (*)7ф* (Л;) Л= / ф«' (*> ф* (Х) Л'
Поэтому
<х|/|х')= ^,бт,тФт,(х)Ф;,(х').
т, га'
Вспоминая, что
<* | О <р) | *') = Ц «р; (*') Фт (х) е - V,

208 Гл. 5. Метод функций Грина
получаем:
(х\1\х') = (х\О(0)\х') = Ьп(х—х'),
где 6п(х — х') /г-мерная 6-функция Дирака.
Пример 2. Оператор У(х), представляющий
собой функцию от х. В этом случае
(х\У(х)\х')= 2 1У(х)]т,тсе*т(х')срт(х).
т', т
Но матричный элемент оператора V (х) равен
V (*)1«-„ = / Ф*ш. (*") V (х") Фт (х") Л",
следовательно,
(х\У(х)\х')= ^ /ф;.(^")^(х")ФЯ1(^")Ф;(^)ФП1(^)^'.
/и, т'
С учетом соотношений
т'
2фт^')ФтЮ=6Л(х'-^")
т
это равенство можно переписать следующим образом:
(х\У(х)\х')=[у(х")Ьп{х"- х)Ьп(х' — х")Л",
или
<л; | V (х) | х') = V (х) Ьп (х — л;').
Пример 3. Перейдем теперь к изучению свойств
функции
Прежде всего учтем легко доказываемое соотношение
(//)вФя(*) = (Я«)вФж(*).
где фт (х) — собственная функция оператора Н. Нам
понадобится также равенство

$ 2. Линейные операторы
209
которое доказывают, разлагая оператор е~*"т[о
степеням р#. Фактически величина е~$н имеет. смысл
оператора только при разложении в степенной ряд. Таким
путем получим:
(х\е-*»\х') = 2 ,(е-т)т.т^т(х')Ч>т.(х) =
т, т
= 2 <г^Ут(х')Фш,(*)
т\ т
и окончательно будем иметь:
(х\Оф)\х') = (х\е-№\х'), (5.18а)
где Н — эрмитов оператор, Оф) = е~$н—функция
Грина в абстрактной операторной форме.
Пользуясь терминологией квантовой механики, скажем, что
е~$н—это тот вид, который имеет оператор О(Р) в
собственном представлении. Таким образом, собственное^
представление — это векторное пространство с
базисом, в котором О(Р) имеет вид е~$н.
Для нахождения вида оператора О(р) в так называемом
пх-представлениии необходимо вычислить (х\О(р)|х'),
а нахождение его вида, скажем, в «р-представлении»
требует вычисления (Р|0(Р)|Р'). Запись оператора О(р)
(как и любого другого линейного оператора) меняется
в зависимости от выбора представления.
Понятие представления помогает глубже изучить
свойства самих линейных операторов. Заметим, что в
новых обозначениях сопряженный оператор вводится
равенством
(х'\А+\х) = (х\А\х')*,
откуда ясно, что для эрмитова оператора Н
Будем называть оператор А унитарным, если
§ (х\А+ \х") {х"\А\х') ах" = Ь'г (х - х').

210
Гл. 5. Метод функций Грина
Очевидно, для чисто мнимых Р оператор 0($) = е~®н
унитарен:
Оф).0+(р) = /.
Разберемся в смысле обозначений Дирака. Для
упрощения рассуждений вернемся к /г-мерному пространству.
Выберем систему базисных векторов ег, е2, ..., еп и
разложим любую функцию ф („вектор") по этой системе:
(Ф1
ф2
1Ф«
В гильбертовом пространстве в качестве системы
базисных векторов фДх), ф2С*0, •••» фтМ. ••• выберем
собственные функции оператора Н, которые, как известно,
образуют полную систему.
Разложим функцию ^(х) по базисным функциям ут(х):
оо
*Ф(*)= 2 Ф«Фт(*)-
т = 0
Таким образом, можно считать, что теорема 4.3
(теорема полноты) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между гильбертовым пространством и
бесконечномерным пространством последовательностей. При этом
каждой Ц>т(х) соответствует единичный вектор |Ят),
который называют кет-вектором. Для другого эрмитова
оператора и, следовательно, другой системы функций
{"ФетС*)} получается другая система кет-векторов |^т).
Разложим ^т(х) по старой системе:
Ф» (*) = Ъът.тчт. (*) = 2 {^ I рт) ф«' (*)• •
т т
Символ- (^тА[^т)'означает скалярное произведение.
Заметим, что оно строится из кет-вектора и вектора, назы-

<$ 2. Линейные операторы
211
ваемого бра-вектором 1). Напомним введенное выше
определение
Естественно положить (%т> \=\кт')+. Таким образом,
Ы = 2<\„-К>|^.>.
т'
т
Обозначение Лхт, I Хт} — просто сокращение выражения
(IV И^и)' П0ЭТ0МУ
Нетрудно установить также следующие свойства бра- и
кет-векторов:
1) I ^ = 2 <а.»ЧМЫ = 2 <М»*«> !*■".•>•
т' т'
т
з)(М^>=Ы^>*'
' 4) 2 {К | IV) <^т< | V) = Ьтт", («ОЙСТВО уНИТЗр-
т
ности)
/и т
х) Обозначение скалярного произведения скобкой вида (а\Ь)
было введено Дираком. Термины бра- и кет- происходят от
английских Ьгас- и ке\-, образующих слово Ьгаске! (скобка). Эти
слова дают удобное мнемоническое правило образования
скалярного произведения для векторов самой общей природы.
Заметим, что векторы (а\ и \а) — сопряженные: {а | == (| а))*
или (#| = (|а))+ в соответствии с характером сопряжения. —
Прим. ред.

212
Гл. 5. Метод функций Грина
Рассмотрим действие оператора Л на кет-вектор и
бра-вектор. Очевидно, эти действия дают Л|А,т) — новый
кет-вектор, ([хг | Л — новый бра-вектор.
Таким образом,
т'
где, как и прежде,
{Ьт'\А\Ьт) = Ат'т = / Ф*т, (*) Лфт (х) й%. (5.19)
Аналогично
<иг И = 2<и,.| *„,.><*•-,'И-
т
Из свойств 1—5 непосредственно следует, что
<И,. ИI •*!> = 2, <!*,. | К') < V \А\Ю (К | ■*!>• (5.20)
Выражения (5.19) и (5.20) являются матричными
элементами операторе А в представлениях ф и г|э соответственно.
В заключение параграфа остановимся на самом понятии
„представление". Будем рассматривать \х) как базисный
вектор гильбертова пространства; при этом {х\Хт) = ут(х)
и (%т I х} = ф^ (лг). Геометрически фт (х) есть проекция
вектора Хт на х, поэтому естественно говорить, что
скалярное произведение {х\Хт) характеризует преобразование
операторного представления от базиса, образуемого
системой векторов |А,т), к базису, где базисными векторами
служат векторы х (к х-пространству).
Прямой подстановкой получаем:
<*'И|*>=2/т.тФ;,(*')Фш(*)=
т, т'
= 2 {Ьт'\А\1т)(х\1т)(Хт.\х') =
т, т'
Поэтому Лхг'|Л|лг) не зависит от выбранной для его
определения ортонормированной системы векторов.

§ 3. Функция Грина для уравнения диффузии 213
§ 3. Функция Грина для уравнения диффузии
В § 1 мы привели примеры используемых в физике
дифференциальных уравнений в частных производных и
дали определение функции Грина, отметив, что
конкретный вид ее меняется в зависимости от типа уравнения.
Теперь наша задача построить функции Грина для
некоторых^* основных уравнений. В частности, в этом
параграфе мы сосредоточим внимание на уравнении диффузии.
Рассмотрим одномерное уравнение диффузии
-д? = —# (-оо<*<оо),
где р принимает действительные положительные значения
О < р < со. Предположим, что функция г|) удовлетворяет
периодическим граничным условиям. (Мы сначала найдем
решение на конечном отрезке вещественной оси, полагая
г[)(0) = г|?(/,), а затем устремим /,->со.)
Уравнение на конечном интервале можно решить
методом разделения переменных. Как обычно,
представим г|)(лг, Р) в виде произведения
Ф(*. Р) = Ф(*)И(Р).
Подставляя этот вид г|)(лт, Р) в исходное уравнение,
получаем:
ф"(л;) = — &2ф(лт);
решение этого уравнения имеет вид
Ф(*) = **'**. Ъ = — т (т = 0, ±1, ±2, ...)
(константа т появилась из-за периодических граничных
условий). Функция \х (Р) удовлетворяет уравнению
Его решение есть
цф) = *-**;
окончательно функция г|)(лг, Р) записывается как

214
Гл. 5. Метод функций Грина
Очевидно, функцией Грина данной задачи будет
следующее выражение:
т т
(5.21)
Мы хотим получить асимптотику функции Грина (5.21)
при /,->оо. Используем теперь прием, аналогичный одному
из методов построения интеграла Фурье: образуем сумму
^ 2™. в« (х-*)-*? = 2 ^ Р (к) (А« = 1);
т т
из предыдущего следует, что Дт = (Ь/2л) Д&, поэтому
Д&—>0 при Ь->оо, но так, что всегда /,Д& = 2я,
следовательно,
сю
1,т Хт'Ч*^ Ит Ътяр<®= I шр^ак-
пг к —оо
Теперь из (5.21) вытекает, что функцией Грина для
уравнения диффузии будет функция
оо
{х\ОЩх0) = -~ ]* е^х-хд-^йк. (5.22)
— ОО
Преобразуем показатель степени экспоненты в (5.22):
1Нх-х0)-к^ = -^[к-^Щ-^^-,
в обозначениях
функция Грина (5.22) приобретает вид
оо-/6
(х\О(®\х0)=±е~№ I е-**аг. (5.23)
. . -оо-/6
Интеграл -(5.23) берется в комплексной плоскости, и его
вычисление относится к методам теории функций комп-

$ 3. Функция Грина для уравнения диффузии 215
лексного переменного (гл. 6). Контур интегрирования
показан на фиг. 24. Так как внутри области, ограниченной
этим контуром, отсутствуют полюсы подынтегральной
функции, то
/<
Кроме того, на контуре
\е-№\ = \е-Ы*-У*)\\е21№\ = е-№е№.
Таким образом, подынтегральное выражение стремится к
нулю при х->оо и при у < со, поэтому интегрирование
1
-00
1
1
*
-00-18
1 Ке
э 1
+00-1Й
Фиг. 24.
по контуру в комплексной плоскости сводится к
интегрированию по вещественной оси; поэтому
+оо—/6 с»
— оо— /6 —оо
Итак, функция плотности распределения
диффундирующего газа имеет вид
_ (*-*о)2
<*|О(Р)|*0> = .
1
2/"яр
4?
На фиг. 25 изображен график этой функции. Процесс
диффузии происходит так: с течением времени выброс
кривой уменьшается и кривая выравнивается. Это связано
с изменением плотности распределения частиц/ диффун-

216
Гл. 5. Метод функций Грина
дирующих в среде. Площадь под кривой постоянна и от
времени (параметра р) не зависит:
{(х\О(®\х0)а(х-х0) = -^±щ I' е ~ах=1.
— ОО ' ^ -ОО
При ^ = 0 имеем:
1{х\С(0)\х0)а(х-х0)=\,
следовательно,
<^|О(0)|^0) = 6(л:-л:0)..
к_ А
I очень мало
I очень велико
Фиг. 25.
В трёхмерном случае задача решается аналогично, если
учесть соотношение
§ 4. Функция Грина для волнового уравнения
Волновое уравнение запишем в виде
У2г1) = -^г'ф или #г|) = — «ф (# = — V2). (5.24)
Это уравнение охватывает общие случаи распространения
волн-, за исключением резко разрывных явлений, таких,
как ударные волны. Чтобы найти функцию Грина
уравнения (5.24), разложим его решение г|)(лг, I) в ряд по
собственным функциям оператора И = — V2
(коэффициенты этого разложения зависят от I):
Ч> (*. О = 2 А» (0 Фт (х). Щт = ХтФш. (5.25)

$ 4: Функция Грана для волнового уравнения 217
Подставляя разложение (5.25) в уравнение (5.24),
получаем:
Щ + Ц= 2 (4Л.+ Ат) Фт (х) = 0. (5.26)
т
Равенство (5.26) справедливо для всех собственных
функций фт:
Я„АДО+Л(0 = 0. (5.27)
Общее решение уравнения (5.27) имеет вид
Ат (0 = ате1уЪ + Ьте~'У^. (5.28)
Последнее выражение, очевидно, описывает
колебательный процесс при Хт > 0 и экспоненциальный спад
при Хт < 0. Итак, решение (5.24) найдено с точностью
до коэффициентов ат и Ьт. Коэффициенты ат и Ьт
определяются начальными условиями, заданными при ^ = 0,
т. е. функциями г|?(л;, 0) и г|)(лг, 0). При * = 0 из (5.25)
и (5.28) получаем:
г|>(*. 0) = 2(«« + *«)ф«(*).-
т
Ф (X, 0) = 2 I УК("т - *») Фт (*)•
т
откуда определяются коэффициенты ат и Ьт:
ат + ьт=-- $ Ф*т (х> * (*• °)ЙТ-
«» - Ьт = / 7^=- Ф*т (*) * (■«. 0) <*Т.
или
1
А 1
^=2"
/ф*ш(*Ж*. 0)Л--^=/Ф;(х)*(д:,0)</т].
Так как решение уравнения определяется двумя
начальными функциями т\)(х, 0) и ^(дг, 0), то можно построить
для каждой из них функции Грина; иными словами,
функцию г|э(л;, 0 можно представить в форме
Ф(*. 9 = /К*1<М0|*'И(*'> °) +
+ (х\0.2(!)\х')Ъ(х', 0)}Л'.

218
Гл. 5. Метод функций Грина
или
Подставив выражения для ат и Ьт в (5.27), а затем
получившееся при этом выражение для Ат в (5.25),
получим:
+ / % 8'"^ Фт (х) Ф; (*') ф(*', 0)</т'. (5.29)
(х\0[ (*)| *'> = 2соз УТт^т(*')Фга (х), (5.30а)
т
<*|02(*)И =2-5!У^-Ф;(^/)Ф|1|(^). (5.306)
Формулы (5.30а) и (5.306) можно записать в операторном
представлении: _
ох до = соз у ни
откуда непосредственно следует, что
Таким образом, Оа(<х=1,2) удовлетворяют волновому
уравнению, а также соотношениям
(причем 02 = 0 и С?! = 1 при ^ = 0). Поэтому
{х\01ф)\х') = 6п(х — х').
Выясним, как решение г|)(л;, ^) зависит от начальных
условий. Для этого необходимо применить понятия
вариации функционала и функциональной производной. При
фиксированных х и I функция г|)(лг, I) является
функционалом от г|)(л:, 0) и -ф (л:, 0), поэтому
**(*• ОЦи,о) = /^1°1(01^>^(^.'0)^,
где индекс ^(л;, 0) указывает, что г|)(лт, 0) при варьиро-

$ 4. Функция Грина для волнового уравнения 219
вании остается постоянной. Пусть
йф(*", 0) = г6й(х" — *')•
Элементарное интегрирование этого выражения дает:
-^^\.=(х\01(тХ'У (5-32)
и аналогично
6г|? (х, О
= (х|02(*)|х,у (5.33)
Формулы (5.32) и (5.33) показывают, как влияют
начальные условия на решение уравнения.
Перейдем теперь к исследованию распространения волн
в бесконечной области, заполненной однородной средой.
Уравнение этого процесса записывается следующим об»
разом:
ЧЦ-±$=0, г|> = г|г(г, О-
Как и прежде, вначале решим задачу для конечной
области пространства (куба со стороной Ь). Из условия
периодичности следует:
Кт = с2к2, кх=-1-тх, ку^-^-Шу, кг = ^-тг,
|к|=-т-У»2+»2+ж''
а собственные функции оператора V2 суть
где константа й введена для нормировки.
В соответствии с формулой (5.306) получаем:
<г|Оя(0Ю= ^ ±^^<Мг-о. (5.34)
тх,ту,тг
В пределе (при /,->сю) ряд (5.34) переходит в интеграл
оо
<г|О2(0|г') = -^г {*^е*-«-^а°к. (5.35)
— ОО
Это и есть функция Грина для волнового уравнения
в трехмерном случае. Подсчитаем интеграл (5.35), вводя

220 Гл. 5. Метод функций Грина
вектор р = г — хг и переходя к сферическим
координатам. Элемент объема равен йък = к2$\пв(1к г/Э^ср. После
соответствующих преобразований (5.35) запишется как
<г|02(*)Ю =
2я я со
0 0 0
СО3 0*
ЛШ
-та
21кс
.^зтЭ,
где 0 — угол между векторами к и р. Интегрирование по
угловым координатам производится непосредственно:
2Я Я и ,и
1 *'*р_*-'*р
Ыг)8 / ^ф / ^081п0^/йрс°8е=
4л;2
1кр
тогда
(г 102 (*)1 г'> = —д-1-. /[«« <е+"> - ««<р-">1
4А.
Учитывая равенство
2?Г /«"*<** = 6 (*).
— оо
получаем окончательно
(4^(010 = ^ {6(р + с0-5(р-с0} =
^4а1с|г-гЧ{6(|Г^г/|+С°~6(|Гм"г/|~С^
<г|о2(0|О=1о(|г-г'|.0
( 1 6 (| г — г' | — <*)
или
где
(5.36)
при I > О,
, 4я |г —г'|
^(|г-ггО= , »<|г-г'| + *)
~ш ..-.'V при '<°-
г —г
ибо
* (|г —г'Ц-с/) = 0 при *>0,
6 (|г—г'|—сО = 0 при *<0.

$ 5. Уравнение Пуассона
221
§ б. Уравнение Пуассона
В этом параграфе мы рассмотрим уравнение
Пуассона
— Дф = У, (5.37)
в котором У—заданная функция координат.
Собственные значения Хт и собственные функции
оператора Лапласа Д предполагаются известными (для
определенных граничных условий). Мы должны различать две
возможности:
1) нуль является собственным значением оператора
Лапласа, т. е. существует такая ненулевая функция ф0, что
Дф0 = 0;
2) нуль не является собственным значением оператора
Лапласа.
1. Предположим, что ненулевой функции,
удовлетворяющей уравнению — Дф = 0, не существует. Запишем
символически решение уравнения (5.37) с помощью
обратного оператора И' (# = — Д):
Выражение Н~ есть функция Грина в абстрактной форме.
Тем самым мы задаем представление
{х\0\х')^±.^т{х)^т{х'),
т
которое имеет смысл, так как ХтФ0. Решение
уравнения (5.37) в таком случае находится сразу же при любой
функции У:
^(х) = § {х\0\хг)3{хг)й%\
ибо
Ь({х\С\х')) = ^т(х)у*т{х') = Ьп{х-х'),
т
откуда вытекает, что ^(х) удовлетворяет уравнению (5.37).
В операторных обозначениях это эквивалентно
равенству ДО = У. Кроме того, имеет место соотношение

222
Гл. 5. Метод функций Грина
указывающее связь между правой частью уравнения и его
решением.
2. Предположим, что существует одна функция %(х),
такая, что
— Дф0 = 0.
Тогда оператор Н~~1 нельзя определить всюду. Разложим
функции ^(x) и ^(х) в ряд по собственным
функциям фт(дг):
Л^Х) = 2 АщУт (*). Ф 0*0 = 2 ВтЧт (*)• (5.38)
т * т
Из разложений (5.38) в силу уравнения ^=Н^) следует,
что
лп = хпвп:
Если коэффициент Л0 (соответствующий А, = 0) не нуль,
то В0 обращается в бесконечность и, следовательно,
решение ^(х) неограниченно возрастает. Но подобное
положение не имеет физического смысла. Таким образом,
коэффициент Л0 необходимо положить равным нулю или,
иными словами, принять, что У(л;) ортогональна
функции %(х). Положим:
(х\С\х')^ ^ ТГ *«<*>*« <*'>'
Тогда решение ^>(х) примет вид
У(х) = ^(x\О\x')^(x').а^;'-^-а^>0(x), (5.39)
где а — произвольная постоянная. Подставляя выражение
(5.39) в уравнение Пуассона (5.37), можно убедиться, что
оно действительно удовлетворяется. Отметим, что
аналогичный результат получается и в случае, когда
существует несколько функций, соответствующих нулевому
собственному значению:
^Ъ(x) = ^{x\0\x')^(x') йх' + ^ И/Ф/о (*)•
I
Пример 4. Уравнение Пуассона в пространстве.
В этом случае Н = — А. Как и ранее, построим сначала

§ 6. Неоднородное волновое уравнение 223
функцию . Грина для задачи в конечном объеме (куб
со стороной /,) и, если %т Ф О, выполним Предельный
переход при Ь->со. Полагая Хт = к2т> где кт = (2я/А) • т,
мы при этом получаем:
<г|0|г')= Ит^
1 е1кге-1кг'
т
/к|г-г'|
г'| ]
з1п Л | г — г' |
йк = 4~
~ 2л21 г — г' | ) к 4я | г — г' | '
о
где интеграл был преобразован к сферическим координатам.
Как известно, уравнение Пуассона встречается в
электростатике. Его решение дается формулой
Ч(г) = /(г1010У(гО^ = ^/^г2У|+^о(г),
(5.40)
где Дг|)0 = 0. Формула (5.40) определяет потенциал ^(г')
поля зарядов, распределенных с плотностью У(г).
§ 6. Неоднородное волновое уравнение
Вернемся теперь к решению волнового уравнения, но
теперь уже для случая, когда присутствуют источники,
т. е. когда уравнение имеет вид
Щ(х, *) + *(*. *) = •/(*. *)• (5.41)
Конечно, физически источник не существует все время,
а возникает в некоторый момент времени 1 — 1г Поэтому
следует тщательно различать решения, для периодов
времени I < 1Х и I > 11% поскольку ясно, что физическое
содержание этих решений будет совершенно различным.
Используя функцию Грина для однородного волнового
уравнения, построим некоторую новую функцию О (,
определив ее равенством:
Г 02 при;>0.
ге' 1 0 при *<0. 1 '

224
Гл. 5. Метод функций Грина
Замечание. Начало отсчета времени в формуле (5.42)
совпадает с моментом включения источника.
В лг-представлении функция Оге4 имеет вид
| ^Л^аф/п(Х)ф;(^) приг>о,
4 ' ге1' ; I 0 при I < 0.
(5.43)
откуда видно, что она удовлетворяет однородному
волновому уравнению во все моменты времени, кроме I = 0:
("+■&) °- = {о
0 при I > 0,
при I < 0.
Пока не известно, как ведет себя эта функция при I = 0.
Предварительно проинтегрировав тождество (5.43) по
времени, перейдем' в нем к пределу при е->0 (е > 0).
Получим
е е
Нт Г Сге* (0 (И = Нт бге* (О I = Нт соз|/я" * = 1,
е->0 «* е->0 I е->0
-е -е
так как Оге1 = 0, при Ь < 0. Аналогично покажем, что
е
Нт Г #Оге< (О М = 0.
е-»0 ^
Окончательный результат имеет следующий вид:
0 при I > 0,
\ П . (4\ ]
(■
" + ^)Оге* (0 = | /•*(') При * = 0.
0 при Ь < 0.
Замечание. Результат записан в абстрактной
операторной форме [/ — оператор, соответствующий в лг-пред-
ставлении оператору 6(х — х')]. Время I — внешний
параметр, поэтому дф представляет собой лишь множитель,
естественно остающийся неизменным при переходе от одного

$ 6. Неоднородное волновое уравнение 225
представления к другому. Так, в х-представлении
[И + -^){х\ 0<ег (0 | *'> = 6 (х - х') 6 (*).
Это действительно верно, ибо
{X | ЯОге4 | X') = НХ{Х\ Сге< (0 | X*).
а справедливость последнего равенства легко установить,
разложив з ряд по фт (х) каждый множитель очевидного
равенства
{х | #Оге<| *') = I {х |Н| х") (х" \Оте(\ х')их".
Теперь можно записать решение неоднородного
волнового уравнения:
*ге| (*• 0 = I {х | Сге{ (* — 01 *'> Л*'. О Л7 йт'.
Отметим, что общее решение уравнения (5.37) есть сумма
решений однородного уравнения [см. (5.29)] и
неоднородного уравнения, именно:
Ф(*. 0=Че1(*. 0 + ^.
Начиная изучение уравнения (5.37), мы определили
функцию Оге1 и получили с ее помощью решение \|э.е1 (х, ^).
Идя несколько иным путем, можно определить другую
функцию Оа(1у как
( О при г>0,
°а^ = | _а^ при ,<0
Повторяя, по существу, те же выкладки, можно получить
новое решение уравнения (5.37), г|)аау (х, I). Возникает
вопрос: когда использовать то или иное решение? Иначе
говоря, каково возмущение функции \|)(л;, ^), вызываемое
бесконечно малым изменением 6.У(х\ О функции ^(x', О
для моментов времени I > 1Х и I < 11ч или какое из
равенств справедливо:
6ф (х, () г 6ф (х, 0 _ г
&/О*', О ~" °ге1 или ~Щхт~П ~ ш'

226 Гл. 5. Метод функций Грина
Мы ответим на этот вопрос, доказав теорему, из которой
следует, что волновая функция недоопределена
(определена не полностью), если известна лишь функция ^(x, I).
Теорема 5.1 1). Функция ф(л;, 0» представляющая
собой решение уравнения (5.37), может быть
полностью определенной, только если заданы начальные
условия в момент времени 1 — 1х
*(*• 'Нв/1 = *!(*). Ф(*. 0|/в/1 = *1(^)
и функция У известна для всех значений х и I.
Доказательство. Положим по определению:
оо
Фге4 (х, о = / ах' $ аг {х | оге( ц - п\ х')У(х', о.
и
фай7(*. 9==/йт' $сИ'{х\0^(*-О\ х')Лх', О-
— оо
Тогда
1"+*г)+г..<*-0=(. о при (<^
Так как
\ ^77Т=*[пУ^пУ~~*д ПРИ '>*1-
О при ^ < 1Х,
откуда
Пт (х |Оге1(г — Ц)\ х') = 0,
то очевидно, что и фге4 стремится к нулю при 1->1х-\-§.
Рассмотрим моменты времени 1Х < V < I. Производная
*) Здесь, как и во всякой теореме единственности,
необходимо указать тот класс функций, в котором ищется решение.
Приведенная автором теорема о единственности решения задачи
Коши для волнового уравнения справедлива в классе дважды
непрерывно дифференцируемых функций. — Прим. ред.

$ 6. Неоднородное волновое уравнение 227
^(х, I) равна
оо
Интегрировать можно и от 1Х до I {I < ^). С учетом
равенства 6ге1 (^ — О = соз |/Я (^ — *') получаем
и
При стремлении ^ к 1Х справа (что обозначается как
/->^-(~0) функция %е{(х, 1) стремится к нулю, ибо
функция У (л;', О предполагается непрерывной в точке
1 = 1Х. Таким образом, при I > 1Х
1) *фге1(^. О есть решение уравнения (5.41),
2) Нт фге4(*. *) — 1*т Ф(*. 0 = °.
/->/,+о /->/,+о
3) начальные условия заданы в точке 1 — 1х.
При I > 1Х общее решение уравнения (5.41) можно
представить в форме
*(*.') = Фге< (*• *) + / {х | О, (* - ^ | *'> ^ (*') <*т' +
+ / (х 102 (* - ^)| *') ^ (хО Л', (5.44)
причем, если ^->^-|-0, то г|? (л:, О—^^ОО и ф (х, 1)->
Найдем теперь решение уравнения для моментов
времени / < ^, что требует рассмотрения функции Оа(1у. ибо,
как нетрудно показать,
(Я 4 ^) ^аау (х, 0 = У (х, 0 при I < *„
Чт.1|)а(1у(х. () = 0 и 11т *„,„(*. О«0.

228
Гл. 5. Метод функций Грина
Таким образом, общее решение уравнения (5.41) есть
+ {(х\02(*~ *х)| х') гЬ (*') ах'. (5.45)
Выясним физический смысл этого решения. Будем
рассматривать функцию ф(л;, *) как функционал от
функций У(л;, 0» ^ОО» ^М*) и исследуем функциональную
производную
6ф (л:, О
6/(*',*')
Ф,ф,
при фиксированных л; и Ь. Выписанное выражение
зависит от х, I и л;', *'. Из математического формализма
вовсе не следует, что „причина" 6У в момент х'9 I'
вызывает „следствие" 6г|) в более поздний момент х, I.
Пусть у\){(х) и ^(х) постоянны на прямой ^ = ^ (фиг. 26).
В верхней полуплоскости (^ > ^)
_} (х\ От* (*—*')] х*) при *>/, и^>^,
О при I > ^ и *' < ^,
6ф (х, О
6/(*',*')
а в нижней полуплоскости (^ < ^)
6ф (х, О
6/(*',*')
О При * < ^ И *' > ^
Ф„ Ф, I <*|Оа<1у (* — *')! *'> ПРИ ' < *1 И '' < ^
Таким образом, „причина" 67 воздействует на г)), если г))
наблюдается в той же полуплоскости, из которой исходит
изменение 6У.
В некоторых задачах удобно выбрать 1Х = — оо; при
этом всегда
6ф(*. О
6/(*'*')
Если же ^ = оо, то
6ф (л:, 0 |
*'(*'.о1ф1,*|
<д;|0Ге1и-^|^>-
= (*|0а<1у(' —*')!*'> •

# 6. Неоднородное волновое уравнение 229
Применяя полученные результаты к конкретному
оператору — с2У2 (где с — скорость света), находим
<г№<ою-*<"-''-4^-1<!;-,|+а>.
('1°..»0=-"^^|"1.
Можно также указать области, где Оге1 и Оа(^у не равны
нулю (фиг. 27).
-*~2
Ь<11
&п*±0
ва**°
Фиг. 26.
Фиг. 27.
Пример 5. Пусть требуется вычислить поле
равномерно движущегося точечного заряда. Тогда
-А +
1 д
с2 дР
ф (г, *) = ^^т> 0 = 4ш>63 [г — 8 (0], (5.47)
где 8 (*) — расстояние от начала отсчета до движущегося
заряда в момент времени I. Зададимся следующими
начальными условиями:
Ф(г. 01^.00 = 0, ф(г, ()\ =0.

230
Гл. 5. Метод функций Грина
Согласно формуле (5.44), для решения задачи необходимо
взять Огеь а решение ф(г, I) представить в виде
оо
— оо
-«Ги,7,<-^тп) *<■■ <■>■<*>
— со
Чтобы проинтегрировать выражение (5.48), положим
/(0=|г-8(0|-*(*-0-
Выясним местоположение частицы в три различных
момента времени, 1\ < ^ге* < I. Здесь I — момент наблюдения
поля, причем /(^)==0 при Ь' = {; 1Х — момент времени
в прошлом (по отношению к *), для которого / (*') < 0.
Тогда должен существовать, по крайней мере, один момент
времени, такой, что /(^') = 0 и 1Х < I' < I. Мы обозначим
этот момент через ^ге*. Из определения величины *ге* видно,
что ^Ге1 есть тот момент времени в прошлом, в который
движущаяся частица испускает волну, причем она
достигает точки наблюдения г, I через тот же интервал
времени, за который частица переместится в точку г', 1'\
иначе говоря, справедливо равенство
|Г—8(*Ре0|=*(* —*Ре0. (5-49)
Так как |з| < с, то волна достигнет точки 8(^ге0 (т. е.
точки, в которую частица должна попасть лишь в момент
времени ^ге0 прежде, чем окажется там частица, и
следовательно, / (*') < 0 для I < ^ге{. Рассуждая аналогично,
можно показать, что /(О>0 для I > 1^-
Поэтому /(^) = 0 для одного и только одного
момента времени ^ = ^^^\ т. е. значение ^ге( единственно.
Теперь можно проинтегрировать выражение для
потенциала ф (г, Г), предварительно вычислив производную й/1(Нг:
$ = ^1|г-.(0|-с<*-П] = -,ё^(0 + *.
где по определению

$ 6. Неоднородное волновое уравнение 231
Для потенциала ф(г, /) получим следующее выражение:
, 1 01/(0-/(^)1 .
е^ |г-в(П1 [*//<«'] 7'
или, иначе,
ф(г-/)=>-зУге1)| [г-.с^уд^- (5-5о)
ЧГ-8^ге.)|
Потенциал вида (5.50) называют потенциалом Лие-
нара — Вихерта.

Глава 6
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Теория, которую мы изложим в данной главе, состоит
из нескольких простых, но фундаментальных теорем,
применяемых в самых различных областях математики и
теоретической физики. Будут приведены некоторые примеры
применения методов этой теории к физическим проблемам.
Элементарные понятия, такие, как комплексная величина
и ее интерпретация в комплексной плоскости, понятие
о функции комплексного переменного и др.,
предполагаются известными.
§ 1. Аналитические функции. Теорема Коши
Функция /(г) комплексного переменного г
называется аналитической в некоторой области Н%
если она
1) однозначна в этой области;
2) конечна;
3) в любой точке области /? существует предел
\\т ——!———-1-1-,
Дг->0 Аг
величина которого не зависит от характера
стремления Дг к нулю.
В соответствии с данным определением можно легко
показать, что, например, функция /(г) = г или функция
/(г)= \\х (при г Ф 0) — аналитические, тогда как
функция /(г)—г* неаналитическая.
Найдем условия аналитичности функции /(г). Пусть
/(*) = Ф(*. ЗОН- Ж*. У)*

§ 1. Аналитические функции. Теорема Коиш 233
где ф(д;, у) и ф(л;, у)— вещественные функции, а
функция /(г) — аналитическая. Тогда при Д2 = Дл; (т. е. при
неизменном у)
а при Дг = /Ду имеем:
а*/ д"§ . дф
йг ду ду
Из третьего условия аналитичности /{г) следуют
соотношения
ду___д± дц__(Н?_ в ,
дх ~ ду ' ду ~~ дл: ' ^ ;
которые называют условиями Коши — Римана.
Замечание. Мы показали необходимость условий
Коши — Римана. Эти условия достаточны, если на
функцию /(г) наложить некоторые дополнительные условия !).
(Эти условия обычно выполняются во всех физических
приложениях.)
Из условий Коши —Римана Ештекает интересное
ограничение для вещественной и мнимой частей аналитической
функции; дифференцируя формулы (6.1) по х и по у,
соответственно получаем
д2ц д2ф д2ф д2$
дх2 ~" дх ду * ду2 ~~ ду дх '
откуда
д2Ф , д2ф _ 0
ад:2 ' ду2 — '
или, иными словами,
Дф = 0.
Аналогично Дф = 0. Таким образом, вещественная и
мнимая части аналитической функции удовлетворяют
уравнению Лапласа, т, е. являются гармоническими
функциями.
') А именно условие дифференцируемости ф и ч|э как
функций двух переменных х и у, —Прим. ред.

234 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Пример 1. Двумерное электростатическое поле.
Пусть ф — электростатический потенциал. Рассмотрим
некоторую систему проводников. На поверхности
проводника по определению ф = соп${. Как известно, вектор
У
ГЛ
Фиг. 28.
электрического поля Е выражается через потенциал ф
следующим образом:
Е==_уФ.
Так как в этом случае V • Е = 0, то
дЕг
дЕу
дх
ду
Введем векторный потенциал К{х, у),
направленный по нормали к выбранной плоскости (х, у) и такой,
что
Е = УХА, *, = --тй-. Ех = ^-, А = 10.0,Л}
или
дц>
дх
дА
ду
дц
Ту
дА
дх
Последнее означает, что функция /(г) = ф — ЬА —
аналитическая, а поэтому
11 —
йг —
-ЕХ+1ЕУ.
Применяя эти результаты, можно легко решить
задачу о нахождении поля вблизи заземленного проводника,
имеющего, например, форму прямого угла (фиг. 28) с гра-

$ /. Аналитические функции. Теорема Кбши 235
ничным условием ф = 0 при лг = 0 или у = 0.
Вещественная часть функции / {г) = /1 к \ х1 равна ф = — 21 к \ ху и,
как нетрудно видеть, удовлетворяет граничным условиям
на проводнике. Уравнения 2\к\ху = С являются
уравнениями эквипотенциальных линий (гипербол), а силовые
линии, как известно, ортогональны к семейству линий
равного потенциала.
Отметим также тот очевидный факт, что, взяв любую
аналитическую функцию (ее вещественную часть), мы
получим уравнение семейства эквипотенциальных кривых.
Задача состоит в нахождении объемного распределения
зарядов, создающих данное поле.
Перейдем к формулировке и доказательству одной из
фундаментальных теорем теории аналитических функций.
Теорема 6.1 (теорема Коши). Если функция /(г) —
аналитическая в области /?, то интеграл от этой
функции в комплексной плоскости по любому
контуру С, лежащему в /?, равен нулю.
Доказательство. Пусть
/(г) = <р + Л1> и йг = йх-\-1йу.
Тогда
/ {г) аг=(рах-ц <*у+/ (ф ах+ц <*у)=р л+ю л, (6.2)
где
й\ = йх\-\-(1у],
р = ф1 + г|)}, 0 = г|)1 + ф].
В силу условий Коши — Римана
[?хн, = о. *[?ха]2 = о.
Применяя теорему Стокса к выражению (6.2), получаем
окончательный результат:
с с
= /[?ХР],П*8 + [?ХО]гП<Й = 0.
Теорема доказана.

236 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Теорема Коши позволяет установить наиболее
интересные свойства аналитических функций. Прежде всего из
нее вытекает следующая теорема.
Теорема 6.2 (интегральная теорема Коши). Если
функция /(г)—аналитическая в области /?,
ограниченной замкнутым контуром С, то значение ее в
любой точке г0 внутри области /? равно
с
Доказательство. Пусть контур С представляет
собой окружность радиуса р с центром в точке г0,
целиком лежащую внутри контура С (фиг. 29). Очевидно, что
Ф и г. 29.
функция /(г)/(г — г0) аналитическая в кольце между
контурами С и С Разрежем это кольцо по линии С",
соединяющей С и С. В силу теоремы Коши
С С" С С"
[интегралы входят в (6.4) со знаком „плюс", если они
берутся в направлении, показанном на фиг. 29 стрелкой).
Следовательно,
1М2-аж =$.№-&. (6.5)
С С'

$ /. Аналитические функции. Теорема Коши 237
Производя замену переменных
х = х0 -|~ ре/е, их = /ре/е,
преобразуем правую часть равенства (6.5) следующим
образом:
^ Ш_ аг = |" ^ (* + ^ ^ = I /"/ (,0 + ре«) М.
Но функцию
можно представить в виде
/ (*0 + ре») = / (2Го) + д/ (г<) + рв/в).
В силу аналитичности функции /(#) приращение Л/(2)
стремится к нулю при Ля -> 0. Поэтому получаем
2Я 2я
' / / (*о + Р^'6) <*9 = 2™У (*о) + I { Д/ ^в. (6.6)
Так как это равенство справедливо при любом р,
устремим р к нулю. Тогда (6,6) перейдет в формулу (6.3).
Теорема доказана.
Формулу (6.3) называют интегральной формулой
Коши. Она связывает значение функции во внутренней
точке области со значением этой функции на
ограничивающем эту область контуре (этот контур обязательно
должен лежать в области аналитичности функции).
Используя найденное интегральное представление
аналитической функции, можно вычислить и ее производную
в точке х0. Проделаем это, полагая
(точки 20Н-^ и х0 лежат внутри контура С). Образуем
разность

238 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменноьо
По условию /(г) — аналитическая функция, а г — г0 > О,
поэтому
ит Л*о + Б)-/(*о) _ <*/\ _ 1 Г /(г)а*
1->о
Давая определение аналитической функции, мы
предполагали существование только первой производной. Но
построение может быть, очевидно, выполнено и для
(п 4- 1)*й производной, если определена п-я производная.
Таким образом, производная любого порядка от ана»
литической функции существует и выражается с по-
мощью интегральной формулы Коши.
Например, вторая производная функции /(г) равна
а для п-й производной найдем:
Таким образом, мы установили замечательное свойство
аналитических функций, а именно: функция,
аналитическая в данной точке, дифференцируема бесконечное
число раз,
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Аналитическое
продолжение
Рассмотрим вопрос о возможности разложения
аналитической функции в ряд Тейлора и о радиусе сходимости
этого ряда. Дадим определение особой точки.
Точка г = г0 называется особой точкой функции
/(г), если /(г) — не аналитическая в этой точке;
говорят, что функция /(г) имеет особенность в точке г0.
Теорема 6.3. Пусть функция /(г) — аналитическая
в точке г = г0, а ближайшая особенность ее
находится в точке г0-\-а. Тогда функция /(г) предста-
вима как сумма сходящегося степенного ряда в круге
радиуса \а\ с центром в точке г0.

§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Аналитическое продолжение 239
Доказательство. При |||<г<|а| имеем:
С
где С — окружность радиуса г с центром в точке г0.
Преобразуем подынтегральнве выражение:
1 1 , I 1
+ —I—[_!_ + ё 1-
1 2 — г0 [г — г0 ' (г — г0 — I) (г — г0) }
_ 1 , 6 ,
#"^(2Г-2Г0)^ + 1^(2Г-г0)ЛГ+1(2Г-2Г0-.Е)-
Окончательно
/(*о+р-/(*о)=ш|11 (Г-У' +**• (6-7)
где
Покажем теперь, что /?уу стремится к нулю при М->оо.
На контуре С г — г0 = геш, а функция /(г:)
ограничена в силу своей аналитичности. Очевидно, г — г0 —
— | > 0, поэтому остаточный член /?^ можно оценить
так:
I ? 1ЛГ+1 "
|/г^1<соп8*|-5-| ,
где константа не зависит от ЛЛ По условию |^|<г,
и следовательно,
Нт /?„ = ().
Но это и означает, что имеет место равенство
оо
(6.8)
где стоящий справа ряд сходится при всех |||<|а|.
Теорема доказана.

240 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Формула (6.8) является обобщением ряда Тейлора на
случай комплексной переменной. Ясно, что функцию /(г)
можно разложить в этот ряд для всех |||<|а|; иными
словами, радиус сходимости ряда равен | а |.
Введем важное понятие аналитического
продолжения. Пусть функция /(г) — аналитическая в некоторой
области /?. Существует возможность расширить область,
в которой будет справедливо разложение в ряд Тейлора
(в том числе и на точки, внешние к /?). Выбирая точку г0
(в области /?), разложим функцию /(г) в ряд Тейлора.
Фиг. 30.
В точке г0 радиус сходимости этого ряда будет равен
расстоянию до ближайшей особой точки, в которой
разложение перестает быть справедливым. Часть получаемого
круга выйдет за область Я, причем функция /(г) будет
аналитической в таком круге. Выберем, далее, другую
точку, уже в области /?', и повторим процесс. Таким
путем можно распространить функцию /(г) на всю
плоскость комплексного переменного х и найти ее особые
точки.
«
Теорема 6.4. Если /(г) — функция, аналитическая
в кольце (фиг. 30), то она представила в точках
этого кольца в виде
оо
Доказательство. Если точка г лежит на
контуре С, то
1&1<1*-*о1 = гС

§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Аналитическое продолжение 241
а если г лежит на контуре С, то
|61>|* —гоН'с-
На контуре С справедливо то же самое разложение,
которое рассматривалось в предыдущей теореме:
'=%(*-\л"+*+**
На контуре С аналогичным образом имеем
I 1 г—г0
~ ^ — ^о — 5 ~~Т~~~ Б(^ — -гг0 — 6) ~~
_ у(г-г0)а_ (г-го)"-*-1 _ у [г-г0)п ■ „с
/1 = 0 . Ь V 0 Ъ/ л = () Ь
Последний ряд, очевидно, сходится, так как на контуре С
Поэтому
<1.
/(го + 1) = %ап1п + %Ьп+1-±т + Км>
л = 0 // = 0
гце
«» =
ьп =
Нп =
1
2я/
1
2я/
1
С
с
/ (г) <*г
(г-г0)л+1
/?*+/?№•
С С
Но так как /? и /?уу стремятся к нулю при Л/~>оо, то
и /?уУ—>0 при /V—>оо. Переходя при Л/->оо к пределу,
получаем:
оо оо
/1 = 0 /2 = 0 Ь
Это разложение называется рядом Лорана.

242 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
§ 3. Классификация особых точек
До сих пор мы не имели критерия для классификации
особых точек. Их можно различать, например, по
характеру поведения функции вблизи таких точек. Основным
аппаратом при этом служит разложение в ряд Лорана.
Рассмотрим функцию /(г), аналитическую в некоторой
окрестности точки г0, за исключением самой точки г0
(случай изолированной особой точки). Проведем
окружность с центром в г0. Тогда
оо оо
/(2о + У = 2<аЛ + 2ф (6.10)
для каждого г0 -)- Е, из области аналитичности функции / (г).
Возможно, что при некотором /г = Л/'
#ЛГ+1 = #ЛГ_|_2= ... =0,
так что выражение (6.10) примет вид
оо
/(*о+Э = 2«,Г+-Ь-+-|*-+ ... +$.
/2 = 0 ^ ^ *
В этом случае говорят, что в точке г = г0 имеется полюс
порядка N. а выражение
N
^ 1п
называют главной частью разложения функции /(г)
в точке г0. Можно дать также следующее определение
полюса.
Точка г0 называется полюсом Ы~го порядка
функции /(г), если <р(г) = \//(г) имеет в точке г0 нуль
N-20 порядка, причем случай накопления нулей
в точке г0 исключается.
Точка г0 называется существенно особой точкой
функции /(г), если главная часть разложения
функции /(г) в точке г0 представляется бесконечным
рядом1),
1) Под главной частью разложения (6.10) понимается
совокупность членов, содержащих отрицательные степени §. — Прим. ред.

$ «5. Классификация особых точек 243
Бесконечно удаленную точку (г = об) можно
исследовать точно так же, предварительно произведя
преобразование р=1/,г и рассматривая точку р = 0 функции
^•(р) = /(1/р). Если при этом #*(р) имеет в нуле полюс
порядка /V, то говорят, что функция /(г) имеет в
бесконечности полюс того же порядка.
Теорема 6.5. Если функция /(г)—аналитическая
всюду в комплексной плоскости, кроме, быть может,
нескольких точек (изолированных), где она имеет
полюсы, то /(г) — рациональная функция.
Доказательство. Пусть точки гх, г2, ..., гт —
полюсы функции /(г) порядков Л^, Л^2, .... №т
соответственно, а р1% /72, ..., рт — соответствующие главные
части:
р — 1__ — -г • • • -]-- -яг
(/=1, 2, ... , т).
Если еще и ,г = оо есть полюс порядка т^ функции /'(г),
то положим
00
Обозначим
т
1 = 1
Здесь {* (г) — функция аналитическая уже всюду в
комплексной плоскости (включая бесконечно удаленную точку).
Для нее можно записать
с
в частности, при х = О
следовательно.
ц,)-*<!» = ^§1$й%. (6.11)

244 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Равенство (6.11) справедливо для произвольного контура С,
в частности, и для круга радиуса /? с центром в начале
координат
гг = Ке1в.
С помощью замены переменных приведем (6.11) к виду
2л
о Я*10—*
Оценим эту разность, принимая во внимание, что |§"Сг)|<Л1:
2я
О
Неравенство (6.12) верно для произвольных /?, откуда
Пт \е(г) — еФ)\=0. «Г(*) = «г(0) = соп8*,
или окончательно
тп
/ (г) = сопз* -Ь 21 Рь (*) + /^ (г),
1 = 1
что и доказывает нашу теорему.
§ 4. Многозначные функции. Пример
из гидродинамики
В предыдущих параграфах мы занимались однозначными
функциями. Далее будут встречаться функции /(г),
имеющие в одной и той же точке г несколько значений. Такие
функции называют многозначными.
Рассмотрим в качестве примера функцию /(г) = \пг.
Если г = ре1в, то 1п2 = 1пр-|-/0. Прибавив к
аргументу 2я, мы получим ту же самую точку г в
комплексной плоскости; однако функция 1п г, очевидно, примет
значение \пр-\~1ф~{-2п). В общем случае
1п2 = 1пр + /(2я/г + е) (л = 0, ±1, ±2, ...).
Говоря „логарифм некоторого комплексного числа", мы
имеем в виду, что выбрано одно из возможных значений
этого логарифма.

$ 4. Многозначные функции. Пример из гидродинамики 245
Для изучения многозначных функций полезно ввести
понятие римановой поверхности. Проведем в
комплексной плоскости линию, как показано на фиг. 31, от начала
координат в бесконечность и будем полагать, что эта
линия исключена из комплексной плоскости (разрез).
О зГ
Фиг. 31,
Для точек Л, лежащих на противоположных „берегах"
разреза, имеем:
/И+) = 1пр + /(в1 + е). е->0+;
/ (Л_) = 1п р+ / (0! + 2я — е), е-> 0_.
Выражение 1п р —|— /0 (0 <; 0 < 2я) называют главным
значением логарифма комплексного числа г=ре1в.
Не пересекая разреза, невозможно изменить аргумент х
на 2я. Таким образом, разрезая плоскость, мы переходим
к однозначной функции, однако / (г) уже не будет
непрерывной, так как
Пт|/(Л+) —/(Л_)|=2я/
е-»0
не равен нулю.
Заметим, что разрез можно провести под любым
углом 0! к оси х, предварительно обойдя начало
координат произвольное число раз. Таким способом из
бесконечного множества значений функции (многозначной) можно
построить бесконечное множество однозначных функций.
Рассмотрим теперь систему комплексных плоскостей,
одна над другой (нечто вроде винтовой лестницы), каждая

246 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
из которых соответствует некоторому значению п. Все
они связаны по линии разреза, ибо пересечение разреза
эквивалентно переходу с одной плоскости на другую
(вверх или вниз в зависимости от направления обхода).
^Каждая такая плоскость называется листом римано-
вой поверхности', на каждом листе функция /(г) будет
однозначной. Точка, общая для всех листов, при обходе
которой возникает многозначность, называется точкой
ветвления, а значения функции на каждом отдельном
листе — ветвью функции.
Пример 2. Построим риманову поверхность для
функции
/(*) = (*_ I)1/..
Полагая 2=1-1- ре1д (начало отсчета перенесено
в точку 2=1), получаем
/(2) = Ур^6/2.
Квадратный корень У р всегда выбирается положительным.
Увеличим Э на 2я; мы вернемся в ту же точку 2, но /(2)
примет значение
/ (2) = У р е'е+2л/2 = — У р е<°/2 = — / {г\
В каждой~точке плоскости исследуемая функция двузначна.
Таким образом, г = 1 —точка ветвления и функция /(2) =
= (2—1)1/2 имеет две ветви. Лист римановой поверхности
определяется неравенством 91 < 0 < Э1-|-2я; кроме того,
Нт /(Л+) = /р^2, 11т /(А_) = — У~ре1*!2.
е=0+ е-»0_
Пример 3. Более сложным примером многозначной
функции может служить /(г) = (г2—1) . Она имеет две
точки ветвления (±1), что нетрудно усмотреть из записи
/(2) = (2+1),/2(2-1//'.
Существует несколько способов выделения
однозначных ветвей данной функции. Рассмотрим один из них.
Сделаем разрез между точками -\-1 и —1 (фиг. 32а).
Выберем величину /(2) в различных областях плоскости

§ 4. Многозначные функции. Пример из гидродинамики 247
так, чтобы она была однозначной и непрерывной при
переходах от листа к листу. При этом достаточно
определить функцию вблизи оси х. Двигаясь вдоль и вокруг
разреза (фиг. 326), положим
при у = 0+ х>1, / (г) = Ух2 — 1 > О,
при у = 0_ х< — 1, /(*) = — ух2 — 1,
при у = 0_ |*| < 1, /(2) = — * Ух2—1,
при у = 0+ \х\ < 1, /(*) = * Ух2—\.
Таким образом, в каждой точке комплексной плоскости
функция /(г) будет иметь определенное значение и,
следовательно, будет однозначной. Конечно, квадратный
корень можно взять со знаком „минус", т. е. положить
г\_ .*. .
1 в
^У
•7 '
т\
9 1
-*" ЧУ
/
6
1
'У=0*
у-о. 1
а
Фиг. 32.
/ = — Ух2—1 для у = 0, лг>1; на соответствующем
листе римановой поверхности функция /(г) будет иметь
противоположный знак. Какой из двух листов выбрать,
решают соображения удобства.
Пример 4. Обтекание пластины потоком
жидкости. Эта задача — одна из многих задач, решение
которых значительно упрощается при использовании
методов теории функций комплексного переменного. Пусть
имеется пластина, обтекаемая потоком жидкости и
расположенная к нему под углом а (фиг. 33). Задача состоит
в том, чтобы найти уравнения линий тока или уравнения
эквипотенциальных линий для векторного поля скоростей V
потока. Предположим, что поле скоростей соленоидальное

248 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
и потенциальное. Как известно!), в этом случае можно
ввести функцию /(<г) = ф — М, называемую комплексным
потенциалом и такую, что у = — [/'(я)]. При этом
Ф = сопз{ и Л = сопз1 — уравнения линий разного
потенциала и линий тока соответственно. Контур пластины
является линией тока, и поэтому Л принимает на ней
постоянное значение, а именно Л = 0.
Ф и г. 33.
Естественно потребовать, чтобы на больших
расстояниях от пластины скорость потока стремилась к
постоянному пределу. Отсюда следует, что асимптотика
функции /(х) при |г|->оо имеет вид
|г/0| хе1а.
Теперь приступим к решению задачи. Пусть задано
некоторое отображение плоскости х = х -}- 1у на
плоскость г' = \-\-1Ц. Тогда
/(г) = у-1А = Р(г').
Линии тока (Л = сопз1) в плоскости х переходят при
отображении в- соответствующие им линии в плоскости г'.
Естественно поэтому попытаться преобразовать заданную
в плоскости х область в какую-либо более простую
1) См., например, М. А. Лаврентьев, Б. В. Ш а б а т,
Методы теории функций комплексного переменного, М., Физ.-
матгиз, 1958. — Прим. ред.

$ 4. Многозначные функции. Пример из гидродинамики 249
область в плоскости х'. Выберем отображение следующим
образом:
г = г' + ±-. (6.13)
Уравнение х' = ре1® есть уравнение окружности в
плоскости х'\ при этом
X = (р + -) С05 0 + / (р — 1) 51П 6 = X -+ /у,
следовательно,
^ / 1 \2 *'
Ю* Ю"
т. е. окружность в плоскости х' отображается в эллипс
с полуосями
* Р к Р
При 2->1 эллипс вырождается в отрезок прямой — 2^
<х<2, у = 0.
Отображение (6.13) будет давать взаимно однозначное
соответствие между плоскостями х и г\ если из
плоскости х исключить этот отрезок — 2 ^ х <^ 2, т. е.
сделать разрез в плоскости х от точки х = — 2, у = 0 до
точки лг = -|~2, у = 0.
Замечание. Функция (6.13) отображает внутренность
круга на внешность отрезка [—2, 2]. Точки, лежащие
на этом отрезке, —двойные, а сам отрезок, следовательно,
состоит из двух берегов (верхняя полуокружность
отображается в нижний берег, а нижняя — в верхний берег).
Разрешая выражение (6.13) относительно х', получаем
г,=1±ЦБ± (6Л4)
(радикал "^г2— 4 имеет точки ветвления 2 = ± 2). Теперь
можно приступить к решению нашей гидродинамической
задачи. Рассмотрим вначале частный случай а = 0.
Решение в этом случае тривиально:
/<А> = г/0г,

250 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
причем
А = — У0у = сопз! для у = сопз*.
В случае когда поток обтекает препятствие, имеющее
форму круга, решение также нетрудно найти:
/(*) = «о(* + 7)'
В общем случае (а ф 0) целесообразно сделать замену
переменных г' = геш. При этом векторное поле скоростей
при \г\—>оо принимает вид
—I- = у0е1а = — г/*, юх = —г/0 соз а, г/у = г/0 зт а.
Отсюда ясно, что решение задачи для круга в плоскости г'
в случае потока, направленного под углом а к горизонту,
будет иметь вид
В плоскости г соответственно имеем:
/(*) =
'■V,
2
+ Уг>-4 л1а , г-^-4
еш н '—= е
• /а .
2 ' 2
* соз а + * (г2 — 4)'/2 51п а]. (6.15)
Выражение (6.15) получено с помощью соотношения
1 '_ г — У г2 — 4
г9 ~ 2
вытекающего из (6.13) и (6-14). Дифференцируя (6.15)
по 2, можно проверить, выполняются ли условия на
бесконечности; с помощью производной
Л/ , . Г . . г з!п а
йг
, . Г , . г81па 1
при ,г—>ро найдем, что
ъх = — г/0соза, г/у = г/081'па.
Замечание. Мы видели, что функция ]/ г:2 — 4" имеет
на оси л: разрез от — 2 до -{"* 2; затруднений из-за этого

§ 5. Теория вычетов и ее приложения 251
не возникает, так как в этом месте находится пластина
(на пластине Л = 0). Снизу на пластине (при у = 0_)
скорость равна
Л Г ЛГ81ПС1 "1
причем, если л:=р2со5а, то ух = 0\ если л:>2соза,
то ух > 0, а если х < 2 соз а, то ух < 0. Таким образом,
жидкость слева от штрих-пунктирной линии, показанной
Фиг. 34.
на фиг. 34, обтекает пластину слеза, а жидкость,
находящаяся справа от этой линии, обтекает пластину справа.
Аналогично при у = 0 +
Л Г , лгз1па 1
уу = Ъ, 1гг = -*0[«>8а+та-_8].
Картина потока над пластиной — двойное зеркальное
отражение потока под пластиной, ибо Ух(у = 0_, х) =
= ух (у = 0+, — х). Отметим также, что точки х = ±2 —
особые точки нашего решения, так как в них |г^|=оо,
что физического смысла не имеет.
§ б. Теория вычетов и ее приложения
Мы приступаем к изложению теории, широко
применяемой в анализе, особенно при вычислении интегралов
Докажем простую, но очень важную теорему.

252 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Теорема 6.6. Если функция /(г) — аналитическая
внутри замкнутого контура С, за исключением
точек гх, г2> • • •» гп » в которых она имеет полюсы
Фиг. 35.
с главными частями
= /(*)-ф,(*) (/=1. 2.../г),
где Ф/(г) — функция, аналитическая в точке х1У то
п
С / = 1
Доказательство. Согласно теореме Коши,
п
*-1 Сь
где Сг — окружность вокруг особой точки г1 (фиг. 35).
Рассмотрим первый интеграл в сумме, стоящей справа:
Ь„йг
С» Сх а=1 С,
Интеграл от функции Ф! (я) равен нулю, так как ср^ (г) —
аналитическая внутри контура Сг. На контуре Сх имеем

§ 5. Теория вычетов и ее приложения 253
^ = 2:1-{-р^ш1 поэтому
га, 2 л
• ф/Ю** = 2»а / ра-1^а-1)9=2яй1'
С, а=1 О Р *
Аналогично подсчитываются и остальные интегралы.
Подставляя значения интегралов в сумму, получаем
I
ы\
что и требовалось доказать.
Величины /?; называются вычетами функции /(г) в
полюсах г1 [иногда их обозначают как Кев/(г) |г.1.
Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах очень
эффективно. Покажем это на примерах вычисления функций
Грина, рассмотренных в предыдущей главе.
Пример 5. Как известно, для уравнения
( — У2+[х2)и = 0
функция Грина выражается интегралом
(х\Н 1\х) = ±- {^ьГ+^-аЬ. (6.16)
— оо
Вычислим интеграл (6.16), пользуясь теоремой о вычетах.
Заметим прежде, что подынтегральная функция имеет
существенно особую точку при & = оо и полюсы первого
порядка в точках к= ±1\х. Вычисляемый интеграл берется
по вещественной оси, но мы положим к = ^-\~1г\ и
рассмотрим интеграл в комплексной плоскости, замыкая
контур, как показано на фиг. 36. Тогда
е1к (х-к1) — е-ч\(х-х')е11, {х-х')
и при т] ^> 0 и х ^ х' имеем оценку
1^* <*-*'>!< 1.
Далее,
I /(к)йк= &/(к)ак— {/(к)йк,
-я с 1>

254 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
а интеграл по контуру С в силу теоремы (6.5) равен
С I
Чтобы вычислить интеграл заметим, что
/е1к{х-х')
—о «- йк
и поэтому
<
/
№1* + у? \
Пт Г
/?->оо ,У
/Л (*-*')
/г2-|-ц2
.ДЛ = 0.
Фиг. 36.
* ?
Замечание. Значение интеграла — вещественная
функция. Тот же результат получится и для интеграла
1 г сов к (х — х')
2л )
к2 + \х2
а к.
Окончательно
_1_ Г.
2я ^ й2+^2
<?& =
2ц
(6.17)

§ 5. Теория вычетов и ее приложения 255
Функция Грина симметрична, поэтому формулу (6.17)
следует уточнить, записав ее в виде
(х\Н Чх) = ±— . (6.18)
Этот пример показывает, что теория вычетов дает
эффективный метод вычисления интегралов, подынтегральная
функция которых стремится к нулю на выбранном кон-
тУРе Г^ при /?—>оо. Прежде чем перейти к другому
примеру, докажем одну полезную лемму.
Лемма 6.1 (лемма Жордана). Если на контуре Гд
(фиг. 36) при /?->оо функция ф (г) стремится к нулю
равномерно по всем направлениям 8(0^0^л), то
для положительных а
\\т [ е1а*(Э(г)аг = 0.
Доказательство. Пусть р <С /? и г = р#/е*
Учитывая условия леммы, имеем:
|<?(*)|<е(Я),
где
е (/?)-> 0 при /?->оо.
Обозначим
/=:- § е1аг(2(г)йг.
Величину / можно оценить следующим образом:
я
И<е(Я)/ е-а**^Н(1Ъ, (6.19)
о
где
етг _- е1аП соз 9-а# з1п 9 и ^ _ ЩеМ ^0#
Подынтегральная функция симметрична (относительно
0 = л/2), поэтому запишем оценку (6.19) несколько иным

256 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
способом:
Я/2
а так как
|/| < 2г(К) § е-а*&1пвКав,
51пе>^-, о<е<4г,-
оценка окончательно запишется так:
1'К-Ж-»
и-ц
(6.20)
Следовательно, \\т |/|=0, что и требовалось доказать.
Пример 6. В качестве иллюстрации применения леммы
Жордана вычислим функцию Грина для оператора Я =
— — А + М-2 в трехмерном пространстве; иными словами,
вычислим интеграл
к2 + \х2
= ■5? ) ) к> + »> ь2аьасо5в =
2п г 7 011*\ г-г' I СО5 0
-1 -оо
1 " е1к\т-г'\ кик
= 1л2Г } |г — г'| 1т+'\^' (6,21)
— оо
Сравнивая выражение (6.21) с функцией е1агС}(г), нетрудно
заметить, что
<?(*)= к2 + \х2 ->0 ПРИ |*|->оо.
Приняв во внимание этот факт, приступим к
интегрированию. По лемме Жордана
/еИг 1 г-г' I
2 , как = о.

§ 6. Задача о случайном блуждании и метод перевала 257
откуда следует
/
в1Ь |г-г'| « е1к\т-т'\
*2 + [Х2 "«"* — у Л2 + (1!
где контур интегрирования тот же, что и выше (фиг. 36).
Вычет в точке к = 1\х равен
2-ц|г-г'|
поэтому
(г|Я-Чг') =
_ 1 Л° в**|г-Г'| ^_ц|г_г'1
.~ ЫЧ\т-х'\ } .& + »* Ай*= 4я|г —г'| • (6 2)
— СО
Выражение (6.22) носит название потенциала Юкави.
§ 6. Задача о случайном блуждании и метод перевала
Задача о случайном блуждании является классической
проблемой теории вероятностей. В качестве примера
рассмотрим одномерное перемещение частицы по прямой. По
условию частица может находиться лишь в точках прямой
с целочисленными координатами, а ее движение
заключается в том, что она скачком переходит из данной точки
в соседнюю справа или слева. Цель задачи состоит в том,
чтобы вычислить вероятность нахождения частицы в
определенной точке прямой после некоторой серии
перемещений (при этом каждое перемещение состоит из нескольких
скачков вправо или влево).
Будем считать известными понятие вероятности р (а)
события а и правила сложения и умножения ее-
роятностей, а также некоторые другие понятия теории
вероятности. Сформулируем два важных закона
теории вероятностей.
1. Если два события аир взаимно независимы, то
вероятность того, что события аир произошли
одновременно, равна
рШ = р(р)рФ).
17 Зак. 1034

258 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
2. Если события аир несовместимы, то вероятность
того, что произойдет хотя бы одно из событий а
или р, равна
/7(а + р) = /7(а) + /7(р).
Зная эти правила, мы можем приступить к постановке
и решению нашей задачи. Предположим прежде всего,
что скачок вправо или влево — равновероятные
события, а каждый результат движения (серии скачков)
независимое испипгание\ вероятность попадания после п шагов
в точку т% удаленную на расстояние т от начала
отсчета !), в результате одного испытания обозначим
через рт% где
т = — #, —я+1, —/г + 2 О, 1, 2, ... , п.
Вероятность попасть в точку М после Ь испытаний
обозначим через
РЬ(М), где Ж = — ЛЛ
— N+1 О, 1 N (М = я/,).
Нам нужно найти величины РС(М). Введем функцию
п
/(*)= 2 Рт*а.
т— — п
тогда РЬ(М) — коэффициент при гм в разложении
М=-пЬ
(6.23)
В сумме (6.23) Рь(М) представляют собой все
возможные способы, которыми можно за /, независимых
испытаний достигнуть точки М. С другой стороны, можно
написать, что
1) Предполагается, что в начальный момент частица
находится в точке 0. — Прим ред.

§ б. Задача о случайном блуждании и метод перевала 259
где С—окружность на комплексной плоскости г с
центром в начале координат (г = геш).
Отклонимся несколько от основной цели, чтобы
получить важные для дальнейшего соотношения. Равенства
пЬ п
М=-пЬ т = — п
выражает тот факт, что частица обязана находиться где-та
(вероятность достоверного события равна 1). Поэтому
2 Р1(М)=1.
М=-пЬ
Определим величину Ж, называемую математическим
ожиданием величины М:
М = ^МРь{М) = [г-^^Р1{М)г»]\^. (6.25)
Выражение в скобках называется логарифмической
производной, а функция [/(г)]1 — производящей функцией
для величины РЬ(М). Имеем:
Мы получили важный результат: М равно среднему
расстоянию, которое частица пройдет за Ь испытаний.
Будем использовать средние обозначения:
А = ^РЬ(М)А для набора испытаний,
(а) = 2 аРт Для одного испытания.
Аналогично величине М введем величину М2:
№ = 2 ШР^Щ-* [(* -±^ 2 ^ (*)**] | -
= (12 — 1)</п)2 + /.<т2> =
= (Ж)2 +1 [(/и2) - </я>2]. (6.27)

260 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Определим также величину, называемую дисперсией
(ДМ)2 = М2 — (м)2 = I [(ш2) — (ш)21 (6.28)
причем (ДМ)2 > 0, ибо
0 < (М — М)2 = М2 — 2ММ + (М)2-
Замечание. Среднее значение М и дисперсия (ДМ)2
линейно зависят от Ь. Задача о случайном блуждании
Фиг. 37.
в этом смысле отличается от большинства статистических
проблем, в которых дисперсия является квадратичной
функцией от Ь. В нашем случае
ДАТ 1 Л ,
-=- ж —т= ->0 при /,-
М VI .
>00.
До сих пор речь шла о конечном числе испытаний.
Полезно распространить полученные результаты на
случай, когда Ь стремится к бесконечности, и найти
асимптотическое поведение для величины М, предполагая, что
при Ь—>оо отношение МЦ* остается постоянным; иными
словами,
-^ = [х = соп$1 (— п < [X < п).
При этом условии РЬ(М) представляется интегралом по
контуру С (фиг. 37):
***•<№ =Ш§еи'{')1Г; <6'29>

$ 6. Задача о случайном блуждании и метод перевала 261
где
Р(г) = 1п/ — ц1пг. /(*)= 2 рм*
тп
т = -п
При интегрировании воспользуемся так называемым
методом перевала. Исследуем поведение функции Р (г) на
действительной оси при г—>оо и при \г\ = г->0.
Очевидно, при г~>0 функция Р (г) представляется в форме
Р(г) п 1п г — [х 1п г + 1п р_п, (6.30)
ибо при малом г
а поэтому
Пт /7(<г) = оо.
2->0
Так как #>[х и, кроме того, при 2->оо
Т7 (.г) — п\пг — [х 1п г — 1п рп,
то Мт Р(г) — оо.
2->оо
Покажем теперь, что Р(г) имеет единственный
минимум на оси х (т. е. при действительных г). Условие
минимума записывается так:
^ — 1^ — ^-0 ' Г63П
или, иначе,
гп 2 пгРтгт = 1хгп 2 Ртгт (6.31а)
т=—п т ——п
1мы умножили обе части равенства (6.31а) на гл, чтобы
избежать появления отрицательных степеней г]. Графики
кривых, соответствующих правой и левой частям
равенства (6.31а), очевидно, пересекутся по крайней мере
в одной точке (фиг. 38). Нетрудно убедиться также в
единственности такой точки. Для этого достаточно вычислить
первую производную от функций слева и справа в (6.31а)
и показать, что они возрастают монотонно, причем одна

262 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
растет быстрее, чем другая, и при больших г становится
больше ее. Поэтому на вещественной оси существует
МР^Г
Фиг. 38.
лишь одно гт1п, в котором Р (г) имеет минимум,
удовлетворяющий уравнению
„-/„Л - 2>Лп'т
Запишем Р (г) в виде
Р(г) = (р(х, у) + АК*. У).
При г = гтХп на вещественной оси
Уф = Уф = 0, У2ф = У2г1> = 0.
Пусть г = х~\-1у. Так как при х = гт1а
(6.32)
(6.33)
д2Ф
дх*
>0.
то в силу (6.33)
ду'
^<о.
Иными словами, функция ф имеет седловую точку (при
х = гт{^. Пусть контур интегрирования в (6.29) есть»

§ 6. Задача о случайном блуждании и метод перевала 263
окружность радиуса г = гт1п. Тогда
д2Р I _ Г1 а2/ 1 / а/ \2] _
-<^-<*>?-[^ + ^]ви0. (6.34)
а при г = гЫа
гт1п
Перепишем формулу (6.29) с учетом представления р (г)=*
= <р+й|Г.
я
-я
Нам известно, что Я^(ЛГ) вещественно, поэтому надо
вычислить лишь действительную часть интеграла, т. е.
я
Я1(М) = тдг- ^е^соз/лме. (6.35а)
Чтобы вычислить этот интеграл, исследуем поведение
функции ф в окрестности точки (0 = 0, г = гт1п),
разлагая ее в ряд по степеням Ау:
Ф (х. /±у)=ф (*. 0)+§ | ДУ + т 0|у=о ДУ2+0 (Ау3).
Так как
= 0 и Ду = /'т!п9 (при малых 9),
гт1п
мы имеем:
Ф = Фо + т92г^-0-| +0(63).
^ ^ 10=0
где
ф0 = ф(г==гт1п, 9 = 0).

264 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Учитывая, что У2ф = 0 (при г = гт1п, 0 = 0), последнее
разложение для функции ф можно переписать в виде
ф=Фо-4-в2г2.,„-Й| +ОС03)-
* ох 1е=о
Используя соотношение (6.35), окончательно получаем
(6.36)
Ф = Фо-4Д'е2 + °(е3)'
где
Вообще же
(6.36а)
Ь2г = (т2)г-(тУг.
ф = 1п|/| — \х\пг.
Функцию |/| можно оценить следующим образом:
\/\ = \^Ртгте^\<^РтГт =
= /(г)</(г = гт1п; 0 = 0).
Таким образом, ф (г) < ф (г = гт1п), иначе говоря, ф(гт1п)
является абсолютным максимумом функции ф(г) на
контуре С. Функция ф (г) стремится к нулю при возрастании
ЬфсоъЬр
Фиг. 39.
угла Э, причем достаточно быстро, как видно из графика
фиг. 39.
При увеличении параметра Ь скорость убывания
функции е1ч со$ /л|) с ростом 0 возрастает. Поэтому для больших Ь
можно расширить интервал интегрирования в формуле
(6.35а) от я до со, не внося при этом заметной ошибки;

$ б. Задача о случайном блуждании и метод перевала 265
интеграл вычисляется непосредственно; учитывая, что
Л?
^Фсоз /д|) « /,ф0 — -у- /,Э2, (6.37)
имеем
— оо *"
Иными словами, (6.38) есть асимптотика РЬ(М) при
^~>оо.
Мы, однако, внесли некоторые ошибки: во-первых,
отбрасывая член О(03) и, во-вторых, изменяя пределы
интегрирования. Оценим порядок погрешности. Для этого
представим ф(лг, у) в виде
Д202
ф = Фо ^ Н<х93+ре4. (6.39)
Тогда для малых 0, используя разложение
ех=\+х + ^- ... ,
получим
2 2
^ф = /ф°-(1/2) А'е (1 +/лЭ3 + /,ре4). (6.40)
Член с Э3 дает при интегрировании нуль как нечетная
функция, а член с Э4 имеет порядок 0(1//,2), откуда следует,
что вносимая ошибка при отбрасывании члена с Э4 имеет
порядок 0(1/^,). Порядок ошибки, вносимой изменением
пределов интегрирования, равен 0(е~1). Таким образом,
суммарная ошибка, допущенная нами, имеет порядок
0(1/1). т. е.
Р, (М) » —^=. [1 + 0 Щ]. (6.41)
Исследуем это выражение. При малых 9
ф0 = 1п/(г) — \х\пг. (6.41а)

266 Гл. 6. Методы теории функций комплексного переменного
Найдем максимум величины Рь (М) как функции \х. Имеем:
йР^М) _
й\к
=?р |_ дг д\х ' д\х
1/2яДг2
(6.42)
Так как
дг
= 0,
то отсюда и из (6.41а) имеем:
д\х с1\к
Поэтому при г = 1
^Фо ___ цто __ |п -
^1 = 0.
д\х
или иначе, учитывая (6.32), можно сказать, что /\(Л1)
имеет максимум в точке \х = (т). Вычислим вторую
производную от ф0. Имеем:
д2Фо
д\х2
д_ - I __ 1 йг
ф |г=г1 г й\л
Г = 1
(6.43)
Далее, так как й?ф0/^г = 0, мы получаем
1 а/
/ а\пг
М- = 0,
или
а» = [-1*{-тт)!+71&]й1пл
При г= 1
ар = [(т2) - (т)2\ аг = а; аг.
(6.44)
Сравнивая выражения (6.43) и (6.44), получаем
окончательный результат:
42Фо|
а^
_1_
д2 '
(6.45)
Г = 1
Теперь разложим функцию ф0 по степеням \х в
окрестности точки г = 1 ([х = {т)):
Фо 0О = Фо1г-1 + -^Г |гв1 (М- — <"*» +
+
1 / <?2Фо \ I
2\д1х* ) \
\г = 1
(И - (т))2 + ...

$ 6. Задача о случайном блуждании и метод перевала 267
Так как
Фо1г=1 = 1п2Ли=°
д<Ро
др \г=\
получим
= — 1пг|г=1 = 0,
Фо
^=у(^-)и1(>х~<т))2+о([|1^<т>12)'
ФО — — -^72"^— (т)]2'
а с учетом (6.45) последнее выражение перепишем в виде
2Д2.
и поэтому
Теперь с помощью формул (6.25а), (6.36а) и (6.28)
функцию /,ф0 можно выразить через (ДМ)2:
-(М — М)2
(АМ)2
*о = =Чш?и- (6-46)
После подстановки (6.46) з (6.38) окончательно получаем
р-(М-М)/2(АМ)2
Р, (М) = г . (6.47)
Формула (6.47), выражающая закон распределения
вероятности в задаче о случайном блуждании, может найти
применение в любой задаче, в которой результаты испытаний
независимы, если число испытаний стремится к
бесконечности.
Рассмотренный метод широко применяется в физике,
например в теории рассеяния (случай больших углов),
а также в задачах по диффузии. Можно указать
множество других его приложений.

Г л а в а 7
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы будем исследовать дифференциальное
уравнение второго порядка
^+/>(*)47 + ^)/ = ° <7Л>
в комплексной плоскости. Как частные случаи в него
включены уравнения Бесселя и Эрмита. Свойства уравнения
(7.1) определяются функциями р{г) и <7(2).
Если в точке г = г0 функции <7 (я) и р (г) аналитические,
то х = г0 называется обыкновенной точкой уравнения.
В остальных случаях г = г0—особая точка.
§ 1. Решение уравнения вблизи обыкновенной точки
Предположим, что г0 обыкновенная точка и пусть
2 — 2о-\-1 (п*е |&|<^#)- Будем также полагать, что р(г)
и <7(2) аналитические в круге (и на окружности) радиуса
а с центром в точке г0. Для дальнейшего удобно сделать
преобразование неизвестной функции /(г), положив
г
_1 § р{г)йг
/(г) = е ** § (г);
тогда
а2/
аг2
1 г
1 -[-ЪР(*)8(г) + е'(г)\е г°
йг
[-ъР'(*)е(*)-Р(*)е'(*)+-
1 2

§ 1. Решение уравнения вблизи обыкновенной точки 269
Подставляя (7.2) в (7.1), получаем уравнение для
функции $ (г):
йг2
[я{г)-\рЧ*)-\Ц^-]2{г) = Ъ- (7.3)
В рассматриваемой области функции <7 (г) и р (г)
аналитические, и преобразование (7.2) переводит области
аналитичности /(г) в области аналитичности 8(г)> поэтому
обыкновенные точки нового уравнения те же самые, что
и старого. За новую независимую переменную можно
выбрать ^, ибо г0 фиксировано:
где
Чтобы решить уравнение (7.4), рассмотрим несколько
более общее уравнение
422у (I)
-§|г^ + А"©«\© = °- (7-5)
Представим решение уравнения (7.5) в форме ряда по
степеням А,:
оо
**«)= 2 *,»*„(&). (7.6)
п = 0
и пусть X — достаточно мало, так что ряд сходится.
Используя это разложение, можно получить связь между
функциями $п(1) и ёп-Л1):
-^§га- + ^(6)«г».1(Б) = 0. (7.7)
Решение последовательности уравнений (7.7) дает при п = О
8,о = ао + *о&"»
при п= I

27© Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
откуда
О О
при п = 2
I Ъ* Ь Ь
^2 (I) = (- О2 / ^ / ^з / ^2 / <Ъх* (У V (у ёо (У;
0 0 0 0
следовательно, при произвольном п имеем:
^(1) = (-1)"/^2Л/ ^2«-1..-
о о
• • • / ^1 IV (&2Л-1) ^ Й2П-3) • ' • " «1)1 ^0 (У-
0
Так как функция &п(1) — аналитическая в рассматриваемой
области, то величина интеграла не зависит от пути
интегрирования. Поэтому возьмем для простоты все интегралы
вдоль радиуса-вектора 1>1 = г1еш, где значение Э
фиксировано. Тогда
/ •*&/ = / ■«**>
о о
Чтобы установить, является ли полученное выражение
решением исходного уравнения, необходимо исследовать
сходимость ряда (7.6) или, иными словами, оценить
величину 8п(1). ;
В силу аналитичности функций V(^) и §"0(1) имеют
место оценки:
1«0)|<Л1. \е0®\<А.
где М и А — некоторые постоянные. Поэтому
\еп(1)\<мяАОЯ9
где
9 О

$ /. Решение уравнения вблизи обыкновенной точки 271
Нетрудно путем прямого интегрирования установить, что
г г2
9
.-/
йг,
г , _ г2"
(7.8)
О О
Теперь, учитывая (7.8), запишем цепочку неравенств для
оценки
, ^, ^ \1ГМ*А (а*М)»А
\КпКЬ)\ «Ч (2л)1 ^ (2/г)! •
и следовательно, для любых ^, X:
I* ^(6)1 < (2/г)1 >0 "РИ^-^00-
Тем самым сходимость ряда (7.6) доказана, так как а
может быть выбрано сколь угодно малым. Ряд сходится
равномерно, откуда следует аналитичность функции $(& внутри
круга и на границе, т. е. в той же области, где анали-
тичны функции р (I) и # (I). К тому же при п > 0, $п (0)=0,
а ^0 (0) = а0, следовательно,
оо
**<о)= 2 *»(°> *■" = «<)
' /1 = 0
Лёп
<*1
6=
_|
0
=о \Ь0
й%
*Е
* = 0
при
при
— Ь*
и0.
п
п
>о,
= 0;
поэтому
Итак, мы нашли решение уравнения (7.4), аналитическое
в некоторой окрестности точки ^ = 0 и зависящее от
значений $(& и й^/сК, в точке ^ = 0. Методом аналитического
продолжения можно получить решение всюду в
комплексной плоскости, за исключением особых точек.
теорема 7.1. Пусть решения уравнения (7.7), /х (г)
и /2Сг)> суть две аналитические в области /?
функции, такие, что
/1(*о) = /2(*о) и /1Ы=Л(*<>)
в некоторой точке 2 = 20. Тогда /х (г) = /2 (г) для
всех г, лежащих в /?.

272 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
Доказательство. Обозначим
Очевидно, что
Р(х0) = Р'(х0) = 0,
а из рассматриваемого дифференциального уравнения
следует, что р"(х0) = 0. Дифференцируя уравнение любое
число раз (это возможно в силу аналитичности), легко
показать, что р(п) (х0) = 0 при любом п. Последнее означает
равенство нулю функции Р (г) в области аналитичности
р(х) и <7(<г). Следовательно, /г(х) = /2(х). Теорема
доказана.
Пример 1,. Уравнение Эрмита. Если в уравнении
(7.1) положить р(х) =—2х и д(х) = 2\х, то получим
уравнение вида
/" {г) _ 2гГ (г) + 2^1/ (х) = 0, (7.9)
называемое уравнением Эрмита. Здесь р (г) и ц (х) —
функции, аналитические всюду, кроме точки х = оо [для р (х) ].
Решение уравнения (7.9) находится непосредственно, как
это следует из предыдущего, в виде ряда
оо
/(*) = %ап*П> (7.10)
п = 0
который сходится всюду. Подставляя ряд (7.10) в
уравнение (7.9), получаем соотношение между коэффициентами
ряда:
2 [(/г + 2) (п + 1) ап+2 — 2пап + 2|хая] хп = 0;
я
оно справедливо для всех /г, поэтому
(*-г-1)(л+2)ая+2+2ая01 -Л)во.
или иначе:
__ 2 (\х — я)
а«+2— (Л+ 1)(л + 2) *"'

$ /. Решение уравнения вблизи обыкновенной точки 273
Запись формулы (7.10) различна в зависимости от четности
коэффициентов, именно:
оо
/чета = 2(^ж22'". *ш + 1 = (да+1)(2|Я+1) *«: (7<! 1а)
/нечетн= 2^Л22/г + 1, сЛ+1 = („ _|_ !) (2/2+ 3) °п% (7Л16)
Пусть [х — положительное целое число. Если оно четное,
то ряд (7.11а) будет состоять из конечного числа членов,
так как при щ = \1/2 коэффициент Ьт+1, а также и все
последующие равны нулю. Аналогично если \х нечетно, то
ряд (6.116) конечен. Иными словами, при целых \х одно
из решений есть полином конечной степени, называемый
полиномом Эрмита. Он имеет одну особую точку, а именно
полюс в точке г = оо. Отметим, что другое решение
представляется бесконечным рядом с существенно особой
точкой в бесконечности.
Приведем несколько первых полиномов Эрмита:
#0(2) = соп${, Н1(г) = сопв1г, .Н2(г) = соп&1(1—г2).
Легко заметить также, что при больших х коэффициенты
рядов (7.11) ведут себя следующим образом:
«. 0/Л+1 1 «• С/»-»-1 1
/я-юо °т т п->зо сп п
Этим свойством обладает и функция ег%\
ег = 2л а<п2 р и —— = —.
р=ор ар Р
поэтому асимптотика функций /четн и /нечетн ПРИ 2->оо
одинакова:
/ ~ ег* и { ~ р*2
У четн * и У нечетн е »
где знак ~ означает, что
2->оо
[ ш",* ]
Мы нашли асимптотическое поведение функций /четн(г)
и /нечетн(*)• Применив к уравнению (7.9) преобразование

274 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
(7.2), которое в данном случае имеет вид
/(*)=*2 *(*).
получим уравнение
^+[(2й+1)-22]^(г) = 0.
которое, как мы показали, эквивалентно исходному.
В дальнейшем используется именно эта форма уравнения
Эрмита.
Пример 2. Гармонический осциллятор.
Уравнение Шредингера для одномерного гармонического
осциллятора имеет вид
где
оо
1\-Ф\2ах=1.
— оо
X
Переходя к переменной г = — и вводя обозначения
Я = 4 1/-(2|х+1), а = -Д=
(ц — некоторое число), приведем это уравнение к виду
-^Р- + [(2ц + 1) - г2] г|) (г) = О,
откуда ясно, что оно является уравнением Эрмита.
Поэтому положим
Ц = е ^ /(г).
где /(я) удовлетворяет уравнению
Функция /(г) может быть полиномом или бесконечным
рядом (по четным или нечетным степеням). Условие

$ 2. Решение уравнения вблизи регулярной точки 275
нормировки
оо
/|1>(*)|2<**=1
— оо
дает
оо
{ е-*2/2(г)аг<оо. (7.12)
— оо
Но бесконечные ряды (7.11) асимптотически стремятся
к ег\ откуда следует неограниченность интеграла (7.12),
так как I ег* йг расходится. Следовательно, / (г) = Н^ (г)
(где \х — положительное целое), а собственные значения
и собственные функции для гармонического осциллятора
имеют вид
§ 2. Решение уравнения вблизи регулярной особой
точки
До сих пор мы установили следующие результаты.
Уравнение (7.1), все особые точки которого нам известны,
имеет два независимых решения, каждое из которых
определяется двумя постоянными, скажем,
Общее решение будет, как обычно, линейной
комбинацией функций /г (г) и /2 (г):
Функция /(г) есть решение уравнения (7.1) во всех
обыкновенных точках. Теперь займемся отысканием решения
в окрестности особых точек определенного класса.
Определим два класса особых точек.
Если г0—особая тонка и при этом функции
(г — г0) р (г) и (г — г0)2 # (я) — аналитические в точке
г = г0, т. е. есЛи р{х) имеет полюс первого порядка,
а д(г) — полюс второго порядка, то г0 называется

276 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
регулярной особой тонкой. В остальных случаях г0
называется нерегулярной особой точкой. В
дальнейшем мы рассмотрим только регулярные особые точки.
Пусть г0 — регулярная особая точка и г — г0 = ^.
Обозначим
Р(1)^(г-г0)р(г)\2_2о=1, Я(1) = (г-г^я(г)\г^=^
Функции Р(%) и (3(1) аналитичны в точке ^ = 0.
Разложим эти функции в окрестности нуля в ряды по
степеням |:
оо оо
т= 0 т= 0
Пусть эти ряды сходятся при Ц\ < |0. При малых | можно
выделить сингулярную часть уравнения, т. е. член,
стремящийся к бесконечности при ^->0:
4*/{г) , Р0 а/ {г) . <?0
йг2 ~т~ \ йг ' I2
/(*) = 0. (7.13)
После того как решение уравнения (7.13) будет найдено,
нужно будет найти решение уравнения (7.1), но уже без
сингулярной части. Попытаемся найти решение
уравнения (7.13) в виде
/(г) = 1°> (7ЛЗа)
где о — пока неизвестная величина. Чтобы определить а,
подставим решение (7.13а) в уравнение (7.13). Для а
получается характеристическое уравнение
/Ча) = а(а-1) + Я0а + <Э0 = 0 (7.14)
или, иначе,
Р (а) = (а — аг) (а — а2) = 0,
где а! и а2—корни уравнения (7.14).
Представим далее решение уравнения (7.1), как и
ранее, в форме ряда
оо
/,(&)=&"'2 «„I" «=1. 2). (7.15)
/1 = 0
Из предыдущего известно, что коэффициент а0
произволен; положим поэтому а0=\. Подобная форма решения,

§ 2. Решение уравнения вблизи регулярной точки 277
как легко заметить, при малых ^ переходит в решение
уравнения (7.13), которое только что изучили.
Рассмотрим вначале решение (7.15) для /= 1.
Продифференцируем /(г) дважды по г:
-° (7.16)
^■ = 2 (« + а,)(" + а1-1)алГа-2.
п = 0
Само уравнение (7.1) нам удобнее представить в форме
12-^^ + Е/>(1)^Г + <3(1)/(1) = 0. (7.17)
Подставляя выражения (7.16) и разложения для (2(^)
и Р(1) в уравнение (7.17), получаем
со
%^+а1{*п1(п + а1-\)(п + а1) + Р0(п + а1) + (20] +
л = 0
+ ая_1[(п—1+а])Р1 + (11] +
+ аа_2[(п-2 + а1)Р2 + р2]+...}=0.
Исследуем каждый член полученной суммы в отдельности.
При /г = 0
а0 [аг (аг — 1) + Р0ах + <Э0] = а0Р(ах) = 0.
Но /7(<х1) = 0, ибо мы подставили в характеристическое
уравнение (7.14) его корень с^. В силу этого
постоянная а0 выбирается произвольно, и, как мы делали до этого,
положим а0 = 1.
При п— 1
а1Р(а1+1У+а0[а1Р1 + Ях] = 09
откуда определяется коэффициент ах [при условии, что
Р(аг+1)Ф0].
Вообще при любом п
п
авР(» + а,)+ 2 вл-«К»-« + а1)Рт + С.л]=0.
И1=1

278 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
Заметим, что, задав а0, из последнего равенства можно
найти любой коэффициент ап при условии, что Р (п \- ах)Ф§.
Если условие Р (ах -\- п)Ф0 выполнено для всех п, то
в качестве пока формального решения уравнения (7.17)
можно взять бесконечный ряд (сходящийся или
расходящийся). Вопрос о сходимости проще всего исследовать
в некоторых частных случаях, рассматриваемых ниже.
Необходимость такого исследования отпадает, если
предположить, что Р(п-\- а1) = 0 для некоторого я. Это
означает, что п-\-ах является корнем характеристического
уравнения, или, иными словами, а2 = п -|-ар поэтому при
условии, что разность а2 — а1 есть целое число, ряды
(7.15) станут полиномами. В остальных случаях
исследование сходимости необходимо.
Случай 1. Пусть аг—а2 — не целое число. Так
как Рт и ()т являются коэффициентами разложения
аналитической функции в ряд, то
Р __!_ & 1Жл* п __!_ * ЯШ
т ~ 2л/
Коэффициенты Рт и С}т легко оцениваются, если учесть, что
\Р®\<М9 |в©|<Л«'.
Оценка для Рт такова:
I "т I ^> ~рп »
где с — постоянная. Аналогично для <2т имеем:
1<?тК-рГ.
где с' — постоянная. Ясно, что существует постоянная Л,
такая, что
\Рт\<-рс, К^ + ^К-^-- (7Л8)
Для того чтобы доказать сходимость ряда (7.15) [а это
эквивалентно доказательству существования решения
уравнения (7.1)], достаточно показать, что коэффициенты ат
удовлетворяют неравенству
К1<|^Г (*>1). (7-19)

$ 2. Решение уравнения вблизи регулярной точки 279
При этом функция /(I) (решение), представленная
рядом (7.15), будет аналитической, а сам ряд будет иметь
радиус сходимости г/к.
Покажем, что неравенство (7.19) справедливо.
Коэффициент а0 был определен ранее; для него |#0К(/г/г)°.
Воспользуемся методом математической индукции. Именно,
предполагая, что \ат\<^(к/г)т для всех т < я, покажем,
что такое неравенство справедливо для т — п. Оценим
сумму
п
га =1
используя оценку (7.18). Имеем
п
га»1
а так как справедливы соотношения
2 кп-т = \+к + к*+ ... +Лл-1<лАл-1.
т = \
п.
т =1
то окончательно оценка оказывается следующей:
2 *я-«к*-*)Лв+аЛ. + <г«]
^ -4 !,Я-1(Я + О».
иными словами, для коэффициента ап имеет место
неравенство
Л*"-'и(/1+1) __ Л*»~'(*+1) 1 „пт
а*^ 2/7(А2 + а,)г" — 2(/г + а1-а2) гп " ^' и;
Наше утверждение будет справедливым, если выбрать &
так, что для всех /г будет
. _Л(л-И)_
"^ 2(/1 + а, + ая) •
Но выражение
Л(п+\)
2(п-\-а1 — а2)

280 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
имеет максимум, не зависящий от п. Поэтому существует
такое &, что
\*«\<[т)я- (7-21>
это и доказывает наше утверждение. Итак, ряды сходятся
в круге радиуса г/к. За пределы этого круга решение можно
распространить методом аналитического продолжения.
Сделаем общий вывод.
В случае, когда величина (а! — а2) не равна целому
числу, уравнение (7.17) имеет два линейно независимых
решения, определяемых формулами (7.15), а общее
решение представляется в виде суммы а/1(2)-\-&/2(2).
Для случая, когда величина (аг — <х2)—целое число,
пока что известно следующее:
если (а1— а2) равно нулю, то уравнение (7.1) имеет одно
решение /г =/2;
если (а! — а2) — целое положительное число, то /2(<г)
существует, а /г (г) нет;
если (ах — а2) — целое отрицательное число, то /х {г)
существует, а /2(г) нет.
Случай 2. Разность (а!—а2) равна целому
положительному числу. Предположим, что существует еще одно
решение, кроме /х (г). Будем искать его в виде
Л 0) = Л <!)*©;
тогда
П (В = /((I) е (I)+/, (Е) е' О).
/; а)=г[ (I) е о,)+2/; © *' (I)+/, (I) ё" (!)•
После подстановки выражений (7.22) в исходное
уравнение получаем
I2/,*" (I) + ъ?и' (I) + \Р (I) /гё' (.1) +
или, так как член в скобках равен нулю,
6/1 й12 "МБ ц аъ +&^/1 й1 — и-

$ 2. Решение уравнения вблизи регулярной точки 281
Итак, для функции &'($) имеется следующее уравнение
первого порядка:
Ы) ^иГ]_~7Г^Г Г (7'23)
Его интеграл дается выражением
оо
1п -^ = - 21п Д - Р01п I - ^ РтГ ±- + сопзх, (7.24)
где использовано представление /}(|)= 2^т1т- Отсюда
т=0
1м. —.
*«* -2^
т = 0
Ар О)
*1
где
/II'
ехр
•2%Ро
ь2а,+Я0
(7.25)
Ф(1) =
-2^"
т = 0
2 а"^
т=0
так как
/1 = Г' 2ат|т-
т=0
Очевидно, что функция ф(^)—аналитическая в точке ^ = 0,
поэтому ее можно представить в виде ряда
оо
где с0=1, ибо а0=1. Учитывая равенство
Р (а) = (а — а^ (а — а2) = а (а — 1) + Р0а + ф0 = 0,
получаем
Я0 + 2а1 = а1 — а2+1=5+1.

282 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
*8 —
— А
А т=0 —
Г С° 1 С' 1
[|5+1 1 Е5 1 •
• • ~ 1" С5 + 1 ~Ь Ъс$+2 • • '
где 5 — целое и положительное число. Поэтому (7.25)
можно переписать в виде
оо
7: СШЬ
(7.26)
откуда после интегрирования получается выражение для
функции 8(1):
оо
§а) = Ас51п1 + Г8 Е^Г + сопзи (7.27)
т = 0
где функция 2 йт1т — аналитическая, а постоянная равна
нулю, ибо мы выбрали /2 = {ХВ и новое решение типа с/х
для нас интереса не представляет [поскольку мы искали
решение, линейно независимое от /г{г)]>
Итак,
оо
/2 (|) = АС8/, Ц) 1п | + ^ 2 Ьт\м (7.28)
ш = 0
(ряд 2^т^т есть результат перемножения аналитических
функций /1 и ^). Функция /2(с|), как видно, имеет член
вида а1п|, во всяком случае при 5 = 0, так как с0=\.
Если же 5 Ф 0, то с5 может равняться нулю. Как известно,
функция 1п г имеет в комплексной плоскости точку
ветвления 2 = 0. (Этот вопрос обсуждался в гл. 6.)
§ 3. Уравнение Бесселя
Уравнением Бесселя называется дифференциальное
уравнение второго порядка следующего вида:
Л2!
а?2
^т# + (1-|-)/=0- <7-29)
Очевидно, 2 = 0 является регулярной особой точкой, ибо
функции Р=\/2 и <7=1 ~-(п2/22) удовлетворяют
сформулированным в предыдущем параграфе условиям. Решение,

§ 3. Уравнение Бесселя
283
согласно формуле (7.15), имеет форму ряда
со
/(*) = *» 2 ««*". (7.29а)
т = 0
где а0 Ф 0. Соотношения для определения коэффициентов
ряда получаются при подстановке /(г) в уравнение
ат[(а+ т)(а+ т-1)+(а+ т)-~п>)+ ат_2==0. (7.30)
При /га = 0 выражение (7.30) переходит в
характеристическое уравнение
а (а — 1) + а — /г2 = 0,
из которого следует, что а=±/г; поэтому возможны
два решения.
При т=\ коэффициент а1 = 0, следовательно, все
нечетные коэффициенты равны нулю. Степенной ряд (7.29а)
содержит только четные степени г и принимает вид
оо
/±(*)=**• 2м«. *«=-■4^г- (7-31>
Если п — нецелое, то знаменатель выражения для Ъх в (7.31)
в нуль не обращается, вследствие чего решения (7.31)
с плюсом и минусом линейно независимы, а общее
решение уравнения будет иметь вид линейной комбинации
решений /х и /2.
Если п—целое, то решениями будут функции
со
/г(г) = г^\ >]М2/, (7.32)
/=о
со
/2(г) = с5/,(г)1пг + г-1»1 2 *,*» (7-33)
1 = 0
Эти два решения называются функциями Бесселя. В
дальнейшем мы изучим некоторые основные свойства
бесселевых функций.
Мощным методом решения дифференциальных
уравнений является метод интегральных представлений,
который в нашем частном случае дает возможность опре-

284 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
делить функцию Бесселя как интеграл в комплексной
плоскости. Определим ^п{г) как
1 (г\п Г ек 4//
'-^-Ьк)!1!-*-*- (7-34)
где контур в комплексной плоскости показан на фиг. 40.
Сделав разрез вдоль отрицательной вещественное полуоси,
распространим это определение и на нецелые п.
Подынтегральная функция — аналитическая всюду, кроме точки
-ОО-И0+
-00-104
Фиг. 40.
I = 0, так что интегрировать можно по любому пути,
обходящему точку ^ = 0. Заметим, что при п целом в точке
^ = 0 имеется полюс, а при п дробном—точка ветвления.
Чтобы выбрать однозначную ветвь, положим над разрезом
*п = \*\пе1пя.
Покажем, что так определенная функция ^п{г)
удовлетворяет уравнению Бесселя. Пусть
^я + 1
(7.35)
-2/1+21
2 | __га/4/
ф:_[«"_^].-~.
Ф;=-[л<»-1)г*-1~5Г<2» + 1>*", + 4|?] '-*!•
Подставим (7.35) в уравнение Бесселя. Получим
о-:+>;+(. -йф.-.-«. [•■ (> -"41)+Я •

§ 3. Уравнение Бесселя
285
или, иначе,
^К+^;+('-ЗЧ-л'<н;)
е^
1п
Зависимость от х целиком содержится в функции Фл,
а отсюда непосредственно вытекает равенство
Л (*) +1Л(*) + (\ -§■) К {г) =
Но интеграл справа равен нулю, так как подынтегральная
функция стремится к нулю при I —> — оо — 10+ и
^ —> — оо-\-Ю+у следовательно, ^п{x) есть функция
Бесселя. Преобразуем интеграл (7.34), учитывая, что Ь в нуль
нигде не обращается. Разложим подынтегральную функцию
в ряд по степеням I. Тогда ^п{г) приобретет вид
(7.36)
Определим функцию Г(/) как
— = — Г 4 *• (7.37)
Функция Г(/) часто встречается в математике и носит
название гамма-функции. С использованием Г(/)
разложение (7.36) запишется следующим образом:
•/„ (*) = гп ^
(-*»)"
„ Г(/п + п+1)2п+2т/п! '
которое однозначно определяет ^а(г).

286 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
Установим сразу некоторые свойства гамма-функции:
-оо+/0 ,
(I) 2ш $ I1 2ш
(1-1)*
1-\
+
-оо-Ю,
й1
/ — 1 Г (/ — 1)
При / целом интегрирование можно продолжить, получив
в результате
Г(/) = (/-1)(/-2)... 2Г(1),
где, очевидно,
^0)Г1 = -^1тм
и функция е*\1 — аналитическая всюду, кроме ^ = 0. Ясно,
что делать разрез нет необходимости, и мы будем
интегрировать по окружности вокруг начала. Элементарное
интегрирование дает
Г(1)=1, т. е. Г(/) = (/—1)1 .
Гамма-функцию для нецелых значений / можно считать
обобщением понятия факториала; если же / — нуль или
отрицательное число, то функция [Г (/)]"*— аналитическая,
и, следовательно, интеграл (7.37) равен нулю. Иными
словами,
Г(0) = Г(— 1) = Г(—2)= ... =со.
Теперь вернемся к изучению бесселевых функций. Мы
получили два решения )п и У_л, линейно независимых
при нецелых п. Если п — положительное целое.число, то
гамма-функция не обращается в бесконечность только
при т — п +• 1 ^ 1 (при т ^> п). Поэтому все члены
в разложении У_Л, для которых т < я, будут нулями.

§ 3. Уравнение Бесселя
287
Окончательно общее решение уравнения Бесселя при
целом п принимает вид
/(*) = А/,л, + ЯК|л|,
т=Х)
Ап\ — функция Бесселя 1-го рода,
У|л|(2) — функция Бесселя 2-го рода.
Выведем некоторые рекуррентные формулы, используя
интегральное представление бесселевых функций. Согласно
интегральному представлению,
-Ф» + 7<Р,,(2) = ^«-г!/4'.
или
Интегрируя последнее равенство по контуру,
изображенному на фиг. 40, получаем следующее соотношение:
Аналогично показывается, что
•/„+!(*) + ■/«-!(*) =-у-•/„(*)• (7-40)
Особый интерес представляют функции Бесселя
полуцелого порядка. Остановимся вначале на функции /у2(<г).
Чтобы вычислить коэффициенты разложения этой
функции, необходимо знать функцию Г(т-|-3/2). Она равна
г("+4)-(- + *)(—±)-г(т)-

288 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
Теперь для А/2(г) получается довольно простая формула:
1/2 ,ЙоГ(1)(2« + 1)!2а» + 1/.«!
^ ^0г(^)(2,„+1) ~Ы Г (4-)
По определению
ш
_ 1 Г _^_ .,
— 2ш ^ /7а а1и
Разобьем контур интегрирования на три части (фиг. 41).
На контуре Сх
1 = 1е1* и <й = ф«йв.
I
Фиг* 41.
радиус | можно устремить к нулю и контур Сх — стянуть
в точку; при этом
и, следовательно,
г егй\
1 >*
На контуре С2
<.М_^0 при ?->0.
/ = * + /()+

# 3. Уравнение Бесселя
289
и по определению (мы уже выбрали соответствующую
ветвь)
А — I и,/2* 2 _,
\х\х,2е 2 =1\х\\
Поэтому
оо
1 1_ Г <?~|дг| . _1_ г е1 .
г/п~ 2я/ ./ /|лг|'л ах+ ъа } ,'/, ЙГ-
Но интеграл вдоль С3 — тот же самый, что и по С2 (они
одного знака), поэтому
1 _ 2 7 «-'*! , ,
Этот интеграл непосредственно вычисляется с помощью
замены у—>(х)1,к
Г
ш
Итак, функция У1; (г) выражается через элементарные
функции:
Вернемся теперь к дифференциальному уравнению
Бесселя (7.29) и сделаем в нем замену
/_ Ф(*) .
тогда для функции ф имеем:
*»<*> ьГ1_^Х)ф(г) = 0. (7.43)
й?г2 '\ г
Отметим, что при п = г/2 одно из его решений имеет вид
, Ф,А (г) = зш г = |/ Ц- Л/а (г). (7.44)

290 Гл. 7. Линейные дифференциальные уравнения
а для последующих полуцелых значений функции
могут быть вычислены, например, по рекуррентной
формуле. Например,
ф., = 51П 2, ф3/ = С05 2,
Т 72 Т II 2
( С05 г . . \
Ф_у2 = С05 2, ф_3/2= —( —— + 81П*].
Замечание. Функции Бесселя полуцелого порядка
выражаются через тригонометрические функции и различные
степени г. Функции цп{г) носят название сферических
функций Бесселя.
Пример 3. Колебания сферы. Дифференциальное
уравнение, описывающее колебания сферы радиуса а, как
известно, имеет вид
— Дг|) = Ь|). (7.45)
Замечание. Уравнение (7.45) является уравнением для
собственных функций оператора Лапласа в сферической
системе координат с граничным условием г|) = 0 на
поверхности сферы.
В силу сферической симметрии решение можно искать
в форме
* С. 6. <р) = 2 Ъ СО У1т (9, ф), (7.46)
1,т
где К/т(8, ф) и /?/(/•) удовлетворяют соответственно
уравнениям
ЬЧ1т (в, Ф) = / (/ + 1) Уш (в, ф), (7.47)
-уг^^-)+1-Ч^Ъ = ^- (7.48)
В уравнении (7.48) сделаем замену переменных /?/->
->М1/г. Тогда
д2М1
дг2
.(Щ+И-х)м, = о.

§ 3. Уравнение Бесселя
291
а если г=Укг и 1-\-1/2=:п, то мы получим
так как
Если /—целое, то /г — полуцелое, и, таким образом,
общее решение уравнения (7.49) есть
где ф„0г) — сферическая функция Бесселя.
Выясним, каковы физические требования,
накладывающие определенные ограничения на решение. Требуется,
чтобы г|)(г, 0, ф) оставалась конечной при г->0, так что
Мг должна стремиться к нулю при г->0 быстрее, чем г,
ибо /?г(г) = Мг/г. Заметим также, что для / = 0
Птф1/(г) = 0, Пт ф (г)=1,
а при /> О
11т ф/+1/> (г) = 0, Пт Ф.(/+1/>) (г) = ос,
поэтому имеет физический смысл только решение с
положительным значением индекса:
^(г.9.ф)^^^(^Г)кгот(9.Ф). (7.50)
1,т
Необходимо, кроме того, удовлетворить граничному
условию г|)(а, 0, ф) = 0. Так как К/т(0, ф) не равна
нулю на поверхности сферы, потребуем, чтобы было
Ф;+1/, (лУ"А,)==0. Это условие представляет собой
уравнение относительно А,; его корни дают собственные значения
оператора Лапласа (т. е. собственные частоты колебаний
Сферы). Каждое / в сумм§ (7.50) соответствует одной

292 Г л, 7. Линейные дифференциальные уравнения
функции ф, а функция г|) тождественно равна нулю при
г = а (при всех Э и ф) только при условии, что все Ах
равны нулю, за исключением одного.
Окончательное выражение для собственных функций
таково:
Ъш. = *+*{Г"'Г)А1.ГшФ.*)- (7-51)
Пример 4. Колебания цилиндра. Уравнение имеет
тот же вид, что и для сферы:
— Д«ф = А/ф, (7.52)
но в цилиндрической системе координат, ибо граничное
условие г|) —0 задано на поверхности цилиндра, т.е. при
р = а.
Решение задачи, очевидно, можно представить в форме
г|)(р, Э, г) = Ркт(р)е1тЧ1к*.
Такое представление станет понятным, если учесть, что
функция ехр /шр есть собственная функция оператора
Лапласа на окружности, а ехр 1кг— на оси г. Функция
Ркт (р) удовлетворяет уравнению
<РР*тЬ) , 1 ^т(Р) ,
ар2 ~г р ар ~г
+ [(*■ - *2) - ^г] Рш (Р) = 0. (7.53)
Если положить г=рУх — к2, то
а2Р . 1 аР . Л т2\ „ А /7 к.ч
-а^ + ТЧ7 + (1-'^Г=0' (7-54)
где #г— целое число. Общее решение этого уравнения
есть
*?<Р> = А'|я,|(*) + Я»'|«|(*)- (7-55)
Из требования ограниченности функции прир->0 следует,
что 5 = 0, или

§ 3. Уравнение Бесселя
293
причем
. ./,т|(УТ=Ра) = 0.
(Последнее требование следует из граничного условия и
является уравнением относительно А,.) Корни его —
собственные значения нашей задачи, зависящие от трех
индексов. Итак,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Глава 1. Векторный и тензорный анализ 7
§ 1. Векторная алгебра 7
§ 2. Тензорная алгебра 20
§ 3. Геометрическое представление тензора 2-го
ранга 26
§ 4. Тензорные поля 29
§ 5. Теорема Гаусса — Остроградского и ее
применение 34
§ 6. Теорема Стокса и ее применение 45
§ 7. Теорема Гельмгольца. Уравнения Максвелла . 50
§ 8. Основные дифференциальные операции в
криволинейных системах координат 58
Глава 2. Линейная алгебра в п-мерном пространстве . . 63
§ 1. Линейное пространство 63
§ 2. Матрицы и действия над ними 67
§ 3. Линейные операторы 78
§ 4. Преобразования координат 83
§ 5. Скалярное произведение и ортогональность . 87
§ 6. Унитарные и ортогональные преобразования . 92
§ 7. Специальная теория относительности .... 96
§ 8. Эрмитовы операторы 102
Глава 3. Разложения по ортогональным системам
функций 107
§ 1. Гильбертово пространство 107
§ 2. Полнота систем функций 109
§ 3. Примеры полных ортонормированных
систем. Ряды Фурье 118
§ 4, Интеграл Фурье ♦,,♦,,, 128

Оглавление
295
§ 5. Эрмитовы операторы 133
§ 6. Полиномы Лежандра 138
§ 7. Мультипольное разложение 145
§ 8. Сферические гармоники 151
§ 9. Преобразование сферических гармоник при
поворотах осей координат 162
§ 10. Аналогия между сферическими
гармониками и тензорами ^ . 163
§ 11. Свойства сферических гармоник.
Продолжение 166
§ 12. Перестановочные соотношения для
компонент оператора момента импульса 168
§ 13. Связь сферических гармоник с
полиномами Лежандра 172
§ 14. Теорема сложения 174
§ 15. Применения сферических гармоник .... 180
Глава 4. Вариационные принципы и теорема минимакса 182
§ 1. Вариация функционала и функциональная
производная 182
§ 2. Экстремальные свойства функционала к (ф) 186
§ 3. Теорема минимакса 190
§ 4. Положительные операторы 195
Глава 5. Метод функций Грина 199
§ 1. Примеры уравнений. Определение функций
Грина 199
§ 2. Линейные операторы. Матричная
формулировка свойств линейных операторов 203
§ 3. Функция Грина для уравнения диффузии . . 213
§ 4. Функция Грина для волнового уравнения . . 216
§ 5. Уравнение Пуассона ,. . 221
§ 6. Неоднородное волновое уравнение 223
Глава 6 Методы теории функций комплексного
переменного 232
§ 1. Аналитические функции. Теорема Коши . . . 232
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Аналитическое
продолжение 238
, § 3. Классификация особых точек ........ 242
§ 4. Многозначные функции. Пример из
гидродинамики 244

296
Оглавление
§ 5. Теория вычетов и ее приложения 251
§ 6. Задача о случайном блуждании и метод
перевала 257
Глава 7. Линейные дифференциальные уравнения .... 268
. § 1. Решение уравнения вблизи обыкновенной
точки 268
§ 2. Решение уравнения вблизи регулярной особой
точки 275
§ 3. Уравнение Бесселя 282
Ли Цзун-дао
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ
Редактор А. Гусев
Художник А. Калининев Худож. редактор В. Подмарькова
Технич. редактор М. Белева Корректор Т. Палладина
Сдано в производство 8/1 1965 г. Подписано к печати 14/У 1965 г.
Бумага 84X108732=4,6 бум. л. Печ. л. 15,2. Уч.-изд. л. 11,3. Изд. № 2/2382
Цена 79 коп. Зак. 1034
ИЗДАТЕЛЬСТВО „М И Р"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР
по печати. Измайловский проспект, 29
I м ■ \
I 4<ы \